С. А. СТЕПАНОВ
АРИФМЕТИКА
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
КРИВЫХ
МмСКИЛ «НАУКА»
Г.ИЛНПАН. РЕДАКЦИЯ
Ф11: III КО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
г.':И

ББК 22.13
С79
УДК 5:11.5
Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых.— М.: Наука.
Гл. ред. фиа.-мат. лит., 1991.— 368 с— ISBN 5-02-014G07-2.
Дается систематическое изложение современною состояния, а также
основных идей и методов одного из древнейших разделов математики —¦
теории диофантовых уравнений, Основное внимание уделено рассмотрению
наиболее изученного к настоящему времени случая — уравнений с двумя
неизвестными. Изложение иллюстрируется большим чыс.иом конкретных
примеров.
Для специалистов по теории чисел, алгебраической геометрии, матема-
математической логике и дискретной математике, а также для аспирантов и сту-
студентов старших курсов, специализирующихся в указанных областях.
Ил. 4. Библиогр. 290 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук профессор В, Л. Псковских
Научное издание
СТЕПАНОВ Сергей Александрович
АРИФМЕТИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИЯЫХ
Заведующий редакцией А. П. Баееа
Редактор Л, Е. Морозова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Аг.ссльрод
Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ № 41250
Сдано в набор 06.11,90. Подписано к печати 20.11.91. Формат 0()Х!И1/Н>.
Бумага тип. ЛГ« 2. Гарнитура обыкновенная новая. Печать ныгокни.
Усл. печ. .1. 23. Усл. кр,-отт. 23. Уч.-изд. л. 23,32. Тираж 2000 rm;i.
Заказ Л» 520. Цена R р.
Издательско-нроизводственное и книготорговое объединение «TLiyi;»»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский ппоеппкт, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25
с 1602030000—105
053@2)-91
21-91
а». Фнамотлетг, 1991
ISBN 5-02-014607-2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 5
Введение 7
Глава I. Уравнения над конечными полями 12
§ 1. Сравнения 12
1. Основные понятия A3). 2. Сравнения по простому модулю A5).
3. Алгебраические сравнения A5).
Задачи 18
§ 2. Сравнения по двойному модулю и конечные поля ... 24
1. Кольцо Fp [x] B4). 2. Количество неприводимых в Fp [ж] много-
многочленов степени та B6). 3. Алгебраическая структура конечных по-
полей B8). 4. Автоморфизмы конечного поля Fq B9), 5. Единствен-
Единственность поля Fq C3).
Задачи 33
§ 3. i-функции Артина 37
1. Характеры конечных абелевьгс групп C7). 2. Характеры поля
Fq D0). 3.. Производящая функция Артина D1).
Задачи 47
§ 4. Суперэллиптическое уравнение и уравнение Артина — Шрей-
ера 51
1. Суперэллиптическое уравнение и суммы характеров E1). 2. Чис-
Число Fq-рациональных точек па кривой f(x, у) = 0 E3). 3. Оценка
сумм характеров с многочленом E6).
Задачи 58
Глава II. Распределение квадратичных вычетов и невычетов . . 67
§ 1. Результаты И. М. Виноградова и Д. Берджссса .... 67
1. Теорема Виноградова — Полна (@7). 2. Гипотезы И. М. Виноградо-
Виноградова F9)., 3. Теорема Бердчосса G1).
Задачи 77
§ 2. Большое решето и его применение к задаче о наименьшем
квадратичном невычете 82
1. Большое решето (82).. 2. Исключительные простые числа (87).
3. Теорема Линника (88).
Задачи 92
Исторические комментарии к главам I и II 96
Глава III. Рациональные точки на алгебраических кривых . . 101
§ 1. Рациональные кривые 101
1. Плоские алгебраические кривые A01). 2. Параметризация кривых
A02). 3. Алгебраические кривые второй степени A04). 4. Алгебраи-
Алгебраические кривые степени п>3 A03).
Задачи 109
§ 2. Эллиптические кривые 113
1. Бирациональный изоморфизм кривых A13). 2. Сложение точек на
эллиптических кривых A15). 3. Теорема Морделла A17)., 4. Ранг
эллиптической крикоЯ A22).
Задачи 125
Глава IV. Теорема Римана — Роха 130
§ 1. Аффинные и проективные многообразия 130
i. Аффинные алгебраические множества A3A). 2. Регулярные ото-
отображения A32). 3. Рациональные функции на алгебраическом много-
многообразии A34). 4. Проективные и квазипросктивпые многообразия
A36). 5. Неособые алгебраические многообразия A40).
Задачи 144
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Дивизоры на алгебраических кривых 146
L Локальное кольцо точки A46). 2. Нормирования A47). 3. Дивизо-
Дивизоры A55).,
Задачи
§ 3. Теорема Римапа — Розга па алгебраической кривой
1. Теорема Римана A64). 2. Распределения A67). 3. Дифференциа-
Дифференциалы A70). 4. Канонический класс A75).
Задачи
Глава V, Гипотеза Римана для конгруенц-дзета-функции
§ 1. Дзета-функции алгебраических кривых и многообразий
1. Рациональные точки многообразия A84). 2. Рациональные диви-
дивизоры на кривой A85). 3. Дзета-функция кривой A92). 4. Дзета-функ-
Дзета-функция многообразия B04).
Задачи
§ 2. Число рациональных точек алгебраической кривой над конеч-
конечным полем
1. Предварительная оценка B17)., 2. Оценка А. Вейля B20).
Задачи
Глава VI. Целые точки на кривых и нестандартная арифметика
§ 1. Целые точки на алгебраических кривых
1. Уравнение Туэ B26). 2. Суперэллиптические уравнения B30).
3. Целые точки на кривых рода g >1 B32),
Задачи
§ 2. Алгебраические системы и модели
1. Суперструктуры B43). 2. Стандартный и нестандартный универсу-
универсумы B47)., 3. Алгебраические системы B49). 4. Принцип перманент-
перманентности B53). 5. Теорема направленности B56).
Задачи
§ 3. Нестандартные расширения полей алгебраических чисел
1. Арифметика поля алгебраических чисел B6П). 2. Арифметика не-
нестандартного расширения поля алгебраических чисел B70). 3. Не-
Нестандартные простые дивизоры B72). 4. Внутренние дивиеоры B76).
Задачи
Глава VII. Теорема Зигепя — Малера
§ 1. Нестандартный эквивалент теоремы Зигеля — Малера
1. Функциональные дивизоры B92). 2. Исключительные функцио-
функциональные дивизоры C04).
Задачи
§ 2. Доказательство теоремы Зигеля — Малера
1. [Гиперэллиптический случай C22). 2. Общий Случай кривых рода
g>i C2S).
Задачи
Заключенно. Десятая проблема Гильберта
Список литературы
Предметный указатель
162
164
179
184
184
211
216
221
226
226
233
240
265
269
284
292
292
312
322
331
341
348
361
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга основана на курсе лекций, прочитанном авто-
автором веспой 1989 г. в Тата институте фундаментальных исследо-
ваттий (Бомбей), и посвящена наиболее изученному разделу дио-
фантова анализа — теории уравнений с двумя неизвестными.
Проблематика теории диофантовых уравнений обманчиво про-
проста и состоит (при классическом понимании) в отыскании рацио-
рациональных или целочисленных решений неопределенных полипо-
миальных уравнений с целыми коэффициентами. Что касается
вопроса о роли теории диофантовых уравнений в математике, то
ответ па него (в значительной степени предутадаппый еще
К. Ф. Гауссом в его знаменитом изречении о королевском стату-
статусе теории чисел) удалось получить лишь в наши дни, после со-
создания формализованной теории доказательств и теории алгорит-
алгоритмов. Он оказался необычайно эффектным: к теории диофанто-
диофантовых уравнений сводится в некотором смысле слова «почти вся»
математика (см. [81 d]).
Указаппая универсальность диофантовых уравнений требует,
естественно, для их изучения огромного арсенала понятий и ме-
методов. В настоящее время этот арсенал достаточно солиден и
включает в себя не только классические методы арифметики, гео-
геометрии чисел и анализа, но и современные методы алгебраиче-
алгебраической геометрии, математической логики и теории диофантовых
приближений.
Еще сравнительно недавно (см. Диксон [44]) совокупность
исследованных к тому времени диофантовых уравнений можно
было уподобить многочисленным островам Полинезии и Микро-
Микронезии, разбросанным по бесконечному простору Тихого океана.
Многие из этих уравнений стали знамопитыми (вроде острова
Гуам — первого клочка суши, открытого в Океании экспедицией
Магеллана, и одновременно, по неведомому стечению обстоя-
обстоятельств, величественнейшей верншны затонувшего горного хребта,
вознесшейся над прилегающей к ной Марианской впадиной на
целую милю выше, чем Джомолунгма над уровнем моря); неко-
некоторые до сих пор сохранили налет экзотичности (вроде острова
Таити); другие снискали печальную славу (подобно аттолу Би-
Бикини), и, наконец, очень многие диофантовы уравнения весьма
специального вида в пастоящее время почти полностью забыты
(подобно многочисленным необитаемым островам).
Последние десятилетия ознаменовались созданием достаточно
общих методов, применимых к широким классам диофаптовых
уравнений. Доказательство гипотезы Морделла о конечности чис-
числа рациональных точек на кривой рода g > 1 (Фалтивгс [125])

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
и более ранние результаты о числе точек кривых над конечпыми
полями (см. гл. I, V) привели к созданию сравнительно закон-
законченной теории диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
Значительный прогресс достигнут (см. гл. III) и при исследова-
исследовании вопроса о структуре множества рациональных точек в исклю-
исключительном случае кривых рода 1 (эллиптических кривых), а так-
также в вопросе об эффективном перечислении множества целых то-
чрк на кривых достаточно общего вида (см. гл. VI). Развитие
кругового метода Харди — Литтлвуда открыло возможность для
установления целочисленной разрешимости ряда диофантовых
уравнений с достаточно большим числом пеизвесгпых. Обобще-
Обобщение метода Туз па многомерный случай (В. Шмидт [146а]) по-
позволило изучить структуру множества целочисленных решений
широкого класса норменных уравнений с произвольным числом
неизвестных. Наконец, отрицательное решение 10-й проблемы
Гильберта (Ю. В. Матиясевич [82а]) привело к уяснению при-
причин тех трудностей, которые связаны с изучением диофантовых
уравнений, и значительно расширило наши представления о роли
диофантовых уравнений в математике.
Первоначально автор предполагал парисовать по возможно-
возможности широкую картину современного состояния теории диофанто-
диофантовых уравнений, дать представление о всем спектре используемых
в ней методов и, в то же время, продемонстрировать их внутрен-
внутреннее единство. Объем книги не позволил, однако, изложить ана-
аналитические аспекты теории и, в частности, результаты, получен-
полученные с помощью кругового метода Харди — Литтлвуда и методами
теории диофантовых приближений. С этими аспектами читатель
может познакомиться по книгам И. М. Виноградова [27 с],
Р. Бона [28] и В. Шмидта [146 i]. Поэтому было решено ограни-
ограничиться рассмотрением арифметических, алгебро-геометрических и
логических аспектов вопроса. Но и после этого материал оказал-
оказался слишком обширным. Поэтому значительную его часть при-
пришлось изложить в виде задач (которых в книге более двухсот
пятидесяти). Задачи рассчитаны на активно работающего чита-
читателя. Некоторые из них (отмеченные звездочкой)—весьма труд-
трудные и требуют для своего решения значительных творческих
усилий. Как правило, такие задачи снабжены подробными указа-
указаниями, а наиболее сложные из них — еще и ссылками на ис-
источники.
По некоторым вопросам книга пересекается с «Основами
диофантовой геометрии» С. Ленга [70 h]. Но в отличие от по-
последней опа не предполагает у читателя столь солидной магема-
тической подготовки и, в частности, знания современных методов
алгебраической геометрии.
Предварителъпый текст книги был просмотрен А. Н. Парши-
Паршиным и С. Ф. Сопруновым (гл. VI, VII). Автор выражает им бла-
благодарность за ряд полезных советов и замечаний.
ВВЕДЕНИЕ
В наиболее общей формулировке задача о решении диофанто-
диофантовых (неопределенных) уравнений состоит в отыскании множест-
множества Х(к0) всех решений (х±, ..., хп) е к% системы полиномиальных
уравнений
f,(xu ..., я„) = 0, i^i^m, A)
с коэффициентами из некоторого поля ко и в определении алге-
алгебраической структуры множества Х(ко).
В классической постановке, восходящей к Диофанту Алексан-
Александрийскому [45], коэффициенты многочленов /г являются целыми
числами, и задача заключается в отыскании всех рациональных
решений системы A) (см. также [140, с. 171; 9]).
В арифметических вопросах, связанных с диофантовыми урав-
уравнениями, возникает необходимость в нахождении множества
X(Z) всех целочисленных решений системы A), или, в более
общей постановке, множества X (Zh0) всех наборов (х\, . .., хл)
с компонентами из кольца целых чисел ZkQ поля к0, удовлетво-
удовлетворяющих этой системе. Пример уравнения
у2 = х3 - 2,
имеющего бесконечное число рациональных решений и лишь два
целочисленных решения (х, г/) = C, ±5), показывает (см. задачи
1, 2 из § 2 гл. III), что вопрос о целочисленных решениях часто
существенно отличается от вопроса о рациональных решениях и
требует для своего исследования особых приемов и методов.
На всех этапах своего многовекового развития теория диофан-
диофантовых уравнений оказывала определяющее влияние па формиро-
формирование пауки нового времени. Становление теории относится к
I — III векам н. э. и характеризуется решительным отказом от
прежних геометрических традиций греческих математиков и пово-
поворотом к арифметико-алгебраическому направлению. Перед средне-
средневековой Европой достижения античной математики в указанном
направлении неожиданно предстали шестью книгами «Арифмети-
«Арифметики» Диофапта [45], случайно обнаруженными в 1571 г. в биб-
библиотеке Ватикана.
Следующий этап в развитии теории диофантовых уравнений
тесно связан с именем Ф. Виета — родоначальника буквенного
исчисления, и с именами создателей теории чисел — П. Ферма,
Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа и А. Лежандра, разработавших ло-
локальные методы изучения диофантовых уравнений на основе тео-
теории сравнении (см. [23 h]). Достижения этих выдающихся уче-

8
ВВЕДЕНИЕ
яых были подытожены К. Ф. Гауссом в его знаменитой книге
«Disquisitiones arithmeticae [30 а], опубликованной в 1801 г. (см.
также [30 с]).
Начало XIX века ознаменовалось открытием тесных взаимо-
взаимосвязей между теорией диофантовых уравнений и другими обла-
областями математики — алгеброй, геометрией и анализом. Под-
Подтверждением тому служат исследования Ж. Л. Лежандра,
К. Ф. Гаусса, Л, Дирихле, Ш. Ормита по теории квадратичных
форм, завсршившяеся созданием арифметики квадратичных полей
и заложившие основы группового подхода в математике; работы
Э. Куммера по изучению уравнения Ферма хп + уп = zn, привед-
приведшие его к созданию арифметики круговых долей и увепчавтпиеся
разработкой теории дивизоров для полей алгебраических чисел
(Р. Дедекинд, Е. И. Золотарев, Л. Кронекер); наконец, результа-
результаты К. Якэби по применению теорем Л. Ойлера и Н. Абеля о сло-
сложении эллиптических и абелешых интегралов к сложению рацио-
рациональных точек на алгебраических кривых, заложившие основы
арифметики абелевых многообразий. При этом была обнаружена
глубокая аналогия между долями алгебраических чисел и полями
алгебраических функций, приведшая, с одной стороны, к созданию
арифметической теории функциональных полей и, с другой сто-
стороны, к введению в арифметику /з-адических чисел (К. Гензель),
играющих в числовых полях роль рядов Птоизе для алгебраиче-
алгебраических функций. Тем самым были заложены основы коммутатив-
коммутативной алгебры и современной алгебраической геометрии.
Конец ХТХ — начало XX веков характеризуется интенсивным
проникновением в теорию диофантовых уравнений аналитических
методов. Наиболее мощными ив лих являются метод А. Туэ (см.
гл. VI), основанный на применении результатов теории диофан-
диофантовых приближений (приближений вещественных чисел рацио-
рациональными), и круговой метод Харди — Литтлвуда (см. [131,28]).
восходящий своими корнями к методу производящих функций
Л. Эйлера.
Метод А. Туэ получил свое дальнейшее развитие в работах
К. Л. Зигеля, установившего на его основе знаменитую теорему
о конечности числа целых точек на кривых рода g > 1 (см.
гл. VII). Затем результат Зигеля был перенесен К. Малером на
случай квазицелых точек с координатами из произвольного конеч-
конечного расширения поля рациональных чисел Q. Недавно метод
А. Туэ был распространен В. Шмидтом [146е] на случай несколь-
нескольких переменных, что позволило ему получить многомерное обоб-
обобщение результата Туэ о конечности числа целочисленных реше-
решений норменного диофантова уравнения (уравнения Туэ)
norm(ou:+ (Зу) = а
степени т
3.
вввдение 9
Круговой метод Харди — Литтлвуда, основу которого состав-
составляет процесс поднятия локальных решений системы полиноми-
полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами до во целочислен-
целочисленных решений, плодотворен лишь в случае, когда число перемен-
переменных много больше максимальной степени входящих в систему
уравнений. Этот метод был значительно усовершенствован
И. М. Виноградовым (см. [27 с, 28]), и существенно усиленный
его оценками тригонометрических сумм Г. Вейля, привел к прак-
практически окончательному решению знамеиитой проблемы Варинга
о представимости всякого достаточно большого целого N ограни-
ограниченной суммой п-х степеней целых чисел. Наиболее общий ре-
результат, полученный круговым методом, принадлежит Бёрчу [14]
и состоит в том, что каждая невырожденная в определенном
смысле система однородных уравнений с целыми коэффициента-
коэффициентами, имеющих одинаковую степень и зависящих от достаточно
большого числа переменных, обладает по меньшей мере одним
отличным от нуля целочисленным решением (см. также В. Шмидт
[146 j]).
Круговой метод Харди — Литглвуда в определенном смысле
сводит вопрос о разрешимости системы диофантовых уравнений
в целых числах к вопросу о разрешимости соответствующей си-
системы сравнений по леем простым модулям. Отчасти поэтому в
двадцатых годах нашего столетия возродился интерес к алге-
алгебраическим сравнениям и их обобщениям — уравнениям над ко-
конечными полями. Изучение таких уравнений методами алгебраи-
алгебраической геометрии привело к необходимости их дальнейшей ариф-
метизации и завершилось созданием в «Основаниях» Л. Вейля
[23 с] алгебро-геометрических принципов исследования решений
систем диофантовых уравнений над произвольными полями. По-
Полученные им на этом пути результаты о числе рациональных то-
точек алгебраических кривых, определенных над конечными поля-
полями, привели к интересным арифметическим следствиям, касаю-
касающимся оценок рациональных тригонометрических сумм и сумм
характеров (см. комментарии к гл. I и II), Лишь подавно резуль-
результаты А. Вейля удалось доказать элементарно, опираясь исключи-
исключительно на классические понятия и методы теории чисел (см.
гл. I и V).
Тридцатые годы ознаменовались крупными успехами матема-
математической логики в направлении формализации математики. Раз-
Разработка точного понятия алгоритма привела к обнаружению алго-
алгоритмически неразрешимых проблем и открыла возможность для
решения знаменитой 10-й проблемы Гильберта о существовании
финитного способа, позволяющего определить, разрешимо или не
разрешимо в целых числах произвольно заданное диофантово
уравнение с целыми коэффициентами. Полученный в 1970 г.
Ю. В. Матиясевичем [82 а] результат о совпадении диофаятовых
и перечислимых множеств привел к отрицательному решению

ВВЕДЕНИЕ
этой проблемы и дал ясное представление о тех трудностях, с ко-
которыми связано изучение общих диофантовых уравнений (см.
[41, 81 d]).
Разработка понятия алгоритма внесла в теорию диофантовых
уравнений еще один новый момент — вопрос об эффективном
перечислении множества всех решений изучаемого уравнения.
Многие из методов теории диофантовых уравнений (в том число
и метод А. Тун) обладают тем недостатком, что позволяют уста-
установить лишь конечность числа целочисленных решений опреде-
определенного класса уравнений (и даже дать границу для этого чис-
числа), но не позволяют указать границу для самих решений. На-
Начиная с шестидесятых годов в теории диофантовых уравнений
интенсивно разрабатывается эффективный метод, основанный на
использовании нижних оценок для модуля линейных форм от
логарифмов алгебраических чисел (см. гл. VI). К настоящему
времени этим методом получены эффективные границы для цело-
целочисленных решений целого ряда классических диофантовых урав-
уравнений, в том числе для уравнения Туз. уравнения Туэ — Малера,
гиперэллиптического уравнения и уравнения Каталана.
В самые последние годы пальма первенства при решении труд-
пых задач теории диофантовых уравнений снова перешла к алге-
алгебраической геометрии. Построение этальной топологии и разра-
разработка теории этальньтх когомологий привели П. Делиня к дока-
доказательству справедливости «гипотезы Римана» для дзета-функции
А. Вейлп алгебраических многообразий над конечными полями
(см. § 1 гл. V). Дальнейшее развитие теории абелевых многооб-
многообразий и многообразий модулей кривых увенчалось замечательным
результатом Г. Фалтингса, доказавшего знаменитую гипотезу
Морделла о конечности числа рациональпых точек на кривых ро-
рода g>i. Оба результата являются, несомненно, наиболее выдаю-
выдающимися достижениями математики XX в. Однако математический
аппарат, используемый для доказательства этих результатов, на-
настолько объемен и сложен, что всякое более или менее доступной
их изложение возможно в наши дни лишь на уровне разъяснения
исходных идей и освещения основных этапов рассуждений (см.
обзор Катца [60Ь] и дополнение Ю. Г. Зархина, А. Н. Паршина
к книге С. Ленга «Основы диофантовой геометрии» [70 h].
Первые две главы книги посвящены систематическому изло-
изложению теории уравнений над конечными полями, а также прило-
приложениям результатов этой теории к оценкам сумм характеров и
к вопросу о распределении квадратичных вычетов и невычетов.
Основными результатами третьей, четвертой и пятой глав яв-
являются соответственно теорема Морделла о конечности ранга эл-
эллиптической кривой пад полем рациональных чисел, теорема Ри-
Римана — Роха для кривых и базирующееся на се использовании
доказательство теоремы А. Вейля о числе рациональных точек
абсолютно неприводимой кривой над конечным полем. Теория
ВВЕДЕНИЕ
11
алгебраических кривых изложена с арифметической точки зре-
зрения, развитой в монографиях Шевалле [145Ь], Дойринга [46Ь]
и в лекциях Г. И. Перельмутера.
В шестой и седьмой главах кшгги излагается «нестандартное»
доказательство теоремы Зигеля — Малера о конечности числа
квазицелых точек кривой рода g > 1 над полем алгебраических
чисел.
Для понимапия осиовпого текста книги требуется знакомство
с теорией Галуа в объеме «Алгебры» С. Ленга [70 d] и с теорией
делимости в полях алгебраических чисел в объеме «Теории чи-
чисел» 3. И. Боревича, И. Р. Шафаревича [19]. Необходимые све-
сведения из алгебраической геометрии, математической лошки и
теории диофантовых приближений приведены по мере изложения
основного материала. Задачи рассчитаны на активно работающего
читателя.
В кпиге использованы следующие обозначения: Z — кольцо
целых чисел, N— множество неотрицательных целых чисел; Q,
[R и С — поля рациональных, действительных и комплексных!
чисел; Qp— поле ^-адических чисел; Zp— кольцо целых р-ади-
ческих чисел; Fq — конечное поле характеристики р>0; log a —
логарифм числа а > 0 по основанию е (е = 2,718281 ... — неперо-
во число). Знак <= употребляется для обозначения как строгого,
так и нестрогого теоретико-множественного включения (в случа-
случаях, приводящих к недоразумениям, точный смысл знака <= огова-
оговаривается особо). Остальные обозначения вводятся по ходу изло-
изложения материала.

ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
§ 1. Сравнения
Возникновепие теории сравпепий тесно связано с лзучепиам
диофаптовых уравнений. Эта связь основана на том простом фак-
факте, что если неопределенное уравнение
f(xu ..., хл) = 0, A)
где / — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целочислен-
целочисленное решение (xi, .. ., х„), то соответствующее ему сравнение
f{xu ..., хп)=0 (modm) {2)
разрешимо для любого модуля т.
Пример 1. Покажем, что целое число вида &к + 3 пельзя
представить суммой двух квадратов целых чисел. Действительно,
если бы это было возможно, то было бы разрешимо сравнение
х2 + у2 = 3 (mod 4).
Простая проверка показывает, что последнее сравнение не имеет
решений, и мы приходим к противоречию.
Во многих случаях оказывается, что локальная разрешимость,
т. е. разрешимость сравпепия B) по некоторым модулям щ яв-
является также и достаточным условием для разрешимости диофан-
това уравнения A).
Пример 2. Справедлива следующая теорема, доказанная
Лежаыдром: если а, Ъ и с—попарно взаимно простые поло-
положительные целые числа, свободные от квадратов, то неопределен-
неопределенное уравнение
ах2 + by2 — cz2 = О
нетривиальным образом разрешимо в целых числах х, у, z тогда
и только тогда, когда разрешимы сравнения
х2—Ьс = 0 (modа),
х2 — ас = 0 (mod b),
х2 + ab = 0 (mode).
Разрешимость указанных в теореме сравнений можно устано-
установить для каждого конкретного набора чисел а, Ъ и с хотя бы про-
простым перебором. Следовательно, теорема Лежандра дает простой
§ 1. сравнения
13
и эффективный критерий разрешимости диофантова уравнения
ах2 + by2 — cz2 = 0 (доказательство теоремы Лежандра приведено
в § 1 гл. III).
1. Основные понятия. Поставим в соответствие каждому цело-
целому числу а его остаток г = а — mq, 0 ^ т =sj m — 1, от деления на
целое положительное число тп. Если двум целым числам а и Ъ
соответствует один и тот же остаток г, то они называются срав-
сравнимыми по модулю тп. Для обозначения сравнимости чисел а и Ъ
употребляется запись a^b (modm). Ясно, что a^b (modm)
тогда и только тогда, когда разность а — Ъ делится на т. Если
разность а — Ъ не делится на т, то числа а и & называются не-
несравнимыми по модулю т; в этом случае употребляется запись
а Ф Ь (mod m).
Подобно обычным равенствам сравнения можно складывать,
вычитать и перемножать. Если а=Ъ (modm) и c^d (modwi),
то й ± с = Ь ±d (mod т) и ас^ bd (mod m). Действительно, ес-
если a — b = mq, с — d = mt, то (a— b)±(c — d) — (q±t)m. Далее,
(а — Ъ)с = mqc, так что ас = be + mqc, и (с — d)b = mtb, так что
bc = bd+mtb. Отсюда ас — bd + (qc + tb)m и, значит, ас =
= bd (modwi). В общем случае сравнения делить нельзя. Дей-
Действительно, мы имеем 36 = 16 (mod 10), 12 = 2 (mod 10), но
.3^8 (mod 10). Однак-о обе части сравнения можно сократить на
мпожитоль, взаимпо простои с модулем.
Отношение сравнимости по модулю т является отношением
эквивалентности; оно рефлексивно, так как а = а (modm), сим-
симметрично, поскольку из а = b (modm) следует Ь = а (modm),
ж транзитивно, так как из а = Ъ (mod m) и Ъ = с (mod m) следу-
следует а =3 с (modm). Тем самым отношение «=¦ (modm)» разбивает
множество всех целых чисел Z на непересекающиеся классы А,
В, С, . .., состоящие из всех сравнимых между собой по моду-
модулю т целых чисел. Эти классы называются классами вычетов по
модулю т. Очевидно, что целые числа 0, 1, .... m — 1 лежат в
разных классах вычетов, и так как каждое целое число сравнимо
по модулю т с одним из этих чисел, то имеется ровно т классов
вычетов по модулю т.
Операции сложения, вычитания и умножения сравнений инду-
индуцируют аналогичные операции на множестве классов вычетов.
Пусть А ж В — два класса вычетов по модулю т. Каковы бы ни
были числа а ^ А и b ^ В, их сумма а + Ъ всегда лежит в одном
и том же однозначно определенном классе С = А + В, который
назовем суммой классов А и В. Аналогичным образом определя-
определяется разность А — В и произведение АВ двух классов вычетов
по модулю т. Эти классы образуют относительно сложения абе-
леву группу порядка т. Нулевым элементом этой группы явля-
является класс вычетов, состоящий из всех целых кратных числа т,
а обратным к классу А является класс —А, состоящий из всех
элементов класса А, взятых со знаком минус. Более того, классы

14
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
вычотов по модулю т > 1 образуют коммутативное кольцо. Еди-
Единичным элементом служит класс Е, содержащий целое число 1.
Дистрибутивный закон А (В + С) = АВ + АС непосредственно сле-
следует из дистрибутивпого закона для целых чисел.
Любое число из класса вычетов А по модулю т называется вы-
вычетом по модулю т. Вычет г, 0 < г < т — 1, равный остатку от
его деления на модуль т, называется наименьшим неотрицатель-
неотрицательным вычетом. Взяв из каждого класса вычетов по одному пред-
представителю, получим полную систему вычетов по модулю т. Таким
образом, множество из т целых чисел образует полную систему
вычетов по модулю т тогда и только тогда, когда его элементы
несравпимы друг с другом по модулю т. Чаще всего в качестве
полной системы вычетов употребляются наименьшие неотрица-
неотрицательные вычеты 0, 1, .. ., т — 1.
Классы вычетов по модулю т, элементы которых взаимно
просты с т, назовем приведенными, классами вычетов. Взяв из
каждого такого класса по одному вычету, получим приведенную
систему вычетов по модулю тп. Приведенную систему вычетов
можно составить из чисел полной системы вычетов 0, 1, ...
..., тп — 1, взаимно простых с модулем т. Следовательно, при-
приведенная система вычетов по модулю т состоит из <р(т) элемен-
элементов, где ф(пг) — функция Эйлера, равная количеству неотрица-
неотрицательных целых чисел, меньших т и взаимно простых с то.
Пусть f(x) = п(,хп + п\хп~1 + ... + ап — многочлен с целыми
коэффициентами. Решением сравнения /(ж)=0 (mod m) назовем
всякий класс вычетов х = хо (modm), для которого целое число
Хо удовлетворяет условию f(xo)— 0 (modm).
Обозначим (а, Ь) наибольший общий делитель целых чисел
а и Ь. Если (а, т)= 1 и х пробегает приведенную систему выче-
вычетов по модулю т, то ах также пробегает приведеппую систему
вычетов по модулю т. Действительно, чисел ах столько же,
сколько и чисел х, т. е. <р(т). Далее, числа ах несравнимы меж-
между собой по модулю т и взаимшо просты с т. Следовательно,
сравнение ах ^ 1 (mod т) имеет единственное решение х = хо
(modm) такое, что (хо, т)= 1. Другими словами, если А, X —
приведенные классы вычетов и Е — класс вычетов, содержащий
число 1, то уравнение АХ = Е разрешимо. Таким образом, каж-
каждый приведенный класс обратим и тем самым приведенные клас-
классы вычетов по модулю т образуют по умножению абелеву группу
порядка <${т), единичным элементом которой является класс Е.
Далее, если (а, т)= 1 и х пробегает приведенную систему выче-
вычетов, состоящую из наименьших неотрицательных вычетов ги гг, ...
. . ., гФ(т), то наименьшие неотрицательные вычеты ах состоят из
т«х жо чисел гь г2, ..., >,(mJ. Следовательно,
IT О в II ari (mod та)
7-1 j—1
§ 1. СРАВНЕНИЯ
и тогда
q>(m)
(аФ(щ) _ 1) Д п = 0 (mod m).
3=1
Но числа r\, rj, . . ., гпт) взаимно просты с модулем т, и в таком
случае ¦афСт) = 1 (modm). Тем самым установлен следующий
результат.
Теорема (Эйлер). Если целое число а взаимно просто с. т,
го аф(т) = 1 (mod m).
Теорема Эйлера означает, что каждый приведенный класс
вычетов по модулю т удовлетворяет уравнению х"ш — 1 = 0.
2. Сравнения по простому модулю. Рассмотрим кольцо клас-
классов вычетов по простому модулю р. В этом случае все классы вы-
вычетов, за исключением нулевого, будут приведенными и, следова-
тельпо, образуют по умножению абелеву группу. Таким образом,
классы вычетов по простому модулю р образуют конечное поле
из р элементов, называемое простым конечным полем. В дальней-
дальнейшем будем обозначать это поле Fv, а его единичный элемент сим-
символом 1. В случае простого модуля р имеет место следующее
утверждение, являющееся частным случаем теоремы Эйлера.
Малая теорема Форма. Если а не делится на простое
число р, то av~s =1 (modp).
Из этой теоремы следует, что а" = a (mod/?) для любого це-
целого числа а. Другими словами, каждый элемент поля Fv удов-
удовлетворяет уравнению xv — х = 0.
Для выяснения структуры поля Ъ\ нам потребуется понятие
первообразного корня. Первообразным корнем по модулю тп на-
называется такое целое число т|, для которого ¦n9(m) = I (modm) и
xj» ф 1 (mod m) при 1 < 6 =€ <p(m)— 1. Существование первообраз-
первообразных корней для всех простых модулей р устанавливает следую-
следующая теорема.
Теорема (Гаусс). Имеется ф(р — 1) первообразных корней
по простому модулю р.
Доказательство теоремы будет приведено в следующем нара-
графе для более общего случая произвольных конечных полей.
Из теоремы Гаусса следует, что мультипликативная группа Fр
поля Fp является циклической группой порядка р — 1.
3. Алгебраические сравнения. В заключение параграфа оста-
остановимся на вопросе о числе решений алгебраического сравнения
f(z)= 0 (modj?) по простому модулю р, где
f{x) = сюхп + aix"~l + ... + an-ix + а„
— многочлен с целыми коэффициентами и flo^O (mod^). Два
целочисленных многочлена f(x) и g(x) назовем равными по мо-
модулю р, если все коэффициенты их разности f(x)— g(x) делятся
на р. Для обозначения равенства мшгагочленов f(x) и g(x) по мо-
модулю р будем использовать запись f(x) = g{x) (modp). Мы ска-

16
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
жем, что класс вычетов х = xq (mod /?) является s-кратным ре-
решением сравнения /(;г)з=0 (mod/?), если имеет место разложе-
разложение f(x) = (x — xo)ag(x) (mod/?), где s^l и g(x) — многочлен
с целыми коэффициентами, удовлетворяющий условию g(xo)^0
(mod/;). Имеет место следующий результат.
Теорема (Лагранж). Количество решений сравнения f(x)^
= 0 (mod p) по простому модулю р, взятых с их кратностями, не
превосходит степени п = deg f многочлена f (х) = аахп + а\Хп~х + ...
... + ап-\х + ап, flo^O (mod/)).
Доказательство. Теорема легко доказывается индукцией
по степени п многочлена j(x). Для п = 1 утверждение теоремы
очевидно, поскольку при (ао, р) = 1 сравнение аох 4- а\ s О
(mod/?) имеет единственное решение. Есл,и сравнение f(x) — O
(mod/?) степени га>1 имеет s-кратное решение х = xq (mod/?),
то f(x) = (x — xQ)lg(x) (mod/?), где g(ж) — многочлен степени
п — я. Следовательно, каждое решение сравнения /(д:)—0 (mod/?)
удовлетворяет либо сравнению х — хо — 0 (mod/?), которое при-
приводит к исходному решению х = хо (mod/?), либо сравнению
g(x) = 0 (mod/?), которое по индуктивному предположению име-
имеет не более п — s решений. Тем самым сравнение /(^) — 0 (modp)
имеет самое большее п решений.
Заметим, что сравнение f(x)=0 (mod m) можпо трактовать
как уравнение f(x) = O над простым конечным полем Fr. При
такой интерпретации теорема Лагранжа выражает широко извест-
известный факт, что число корней ненулевого многочлена с коэффици-
коэффициентами из произвольного поля не превосходит степени п много-
члепа /(#).
Рассмотрим простейший тип алгебраических сравнений — дву-
двучленные сравнения хп = а (mod/?), где аФО (modp). Пусть г\ —
первообразный корень по модулю р и пусть х = ч\" (mod/;), а ^
= ц1 (mod/?). Тогда сравнение хп = а (modp) эквивалентно ли-
линейному сравнению пу = I (mod/) — 1).
Лемма. Линейное сравнение пу = Z (mod m) не имеет ре-
решений, если I не делится на d =(тп, п), и имеет d решений, если
1 делится на d.
Доказательство. При d=l сравнение пу = I (mod тп)
имеет единственное решение. Пусть d > 1. Из равенства пу — I =
= mq следует, что сравнение пу = I (mod m) разрешимо лишь
тогда, когда / делится на d. При выполнении этого условия име-
п I тп
ем^-у-—=—д, где
имеет единственное решение
[Н'инмши //«" j/o (mod тп), у==уо+ — (mod т.), ...,у = ,
) (mod т.) сравнения пу = I (modm).
( тп п \ . п п I
(—, — ]= 1. Сравнение —у^-
—j- , которое дает d
§ i. сравнения
IT
Возьмем пг — р — 1. Из определения первообразного корпя сле-
следует, что d=(n, /? — 1) долит I лишь в случае, если а d e=
= г] d ^l (mod/?);получаем следующий результат.
Критерий Эйлера. Пусть р — простое число и d =
= (п, р—1). Сравнение хп = а (modp), а^О (mod/?), разреши-
р—1
мо тогда и только тогда, когда а d == I (mod /?). В случае разре-
разрешимости оно имеет d различных решений.
Если сравпешто х" = а (mod/?) разрешимо, то число а называ-
называется вычетом степени, п по модулю р. В противпом случа оно
называется невычетом степени п по модулю р. В частности, при
п = 2 вычеты и невычеты называются квадратичными, при и =
= 3 — кубическими и при и = 4 — биквадратичными.
Заметим, что если аФО (mod/?)—квадратичный вычет по-
простому модулю р > 2, то сравнение ж2 = a (mod/?) имеет два
решения х = хо (mod/?) и ж s= — ;r0 (mod/)); если же а делится
на р, то сравнение х2^ а (modp) имеет единственное решение
?==0 (mod/)). Для простых р > 2 введем в рассмотрение символ
Лежандра (—), который определяется для всех целых а следую-
следующим образом:
1, если б является квадратичным вычетом по
модулю р ш а-фО (modp);
-1, если а является квадратичным невычетом
по модулю р;
О, если а = 0 (mod/?).
Тогда для количества Np решений сравнения х2 = а (mod/))
имеем формулу
р— +[р''
Если р — нечетное простое число, то для каждого а Ф 0 (mod p)
имеем а?1-1 — 1 = \а 2 — 1 / U 2 +1.^0 (mod/?). При этом
р-1 р-1
а 2 — 1 ии ' +1 не делятся одновременно па р (иначе их
разность 2 делилась бы на р). Это замечание позволяет, в случае
п = 2, следующим образом переформулировать критерий Эйлера:
р-1
(modp).
_ I аЪ\ ( а \( Ь \ ..
Отсюда легко выводим, что ^— |= I — | [— j для любых двух не-
2 С. А. Степанов

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
лых чисел а, Ъ и что f — ] = (— )при a=b (modp). Кроме того,
мы видим, что среди чисел 1, 2, ..., р — 1 имеется ровно ^-п—
Р— 1
квадратичных вычетов и —к— квадратичных невычетов по про-
простому модулю р.
Задачи
1. Используя малую теорему Ферма и теорему Лаграюка, вывести т е о-
jpeMy Вильсона: если р — простое число, то выполняется сравнение
(р — 1)! + 1==0 (mod p).
Доказать обратное утверждение: если (р — 1)! + 1 = 0 (mod p), то р —
простое число.
2. Пусть m и m' — взаимно простые положительные целые числа. До-
Доказать, что если х и х' пробегают полные (приведенные) системы вычетов
по модулям m и т' соответственно, то хт' ~\- х'т пробегает полную (при-
(приведенную) систему вычетов по модулю mm'.
3. Вывести из результата предыдущей задачи, что функция Эйлера ф(го)
мультипликативна (арифметическая функция f(m) фО называется мульти-
мультипликативной, если из условия (то, п) = 1 следует, что f(mn) = f(m)f(n).
4. Используя мультипликативность функции ф(та), показать, что
Ф <т) -— ^ "Л /l — —
где произведение берется по всем простым числам р, делящим т. Вывести
отсюда соотношение
2
dim
5. Пусть т — положительное целое число, f(xu ..., г„) — многочлен с
целыми коэффициентами и i = У—1. Под решением сравнения
f(xh ..., хп) =0 (modm) (*)
будем понимать всякий набор х1 ^x'r (mod m), ..., хпs xn (mod m)
классов вычетов по mod т, для которого целые числа х't ,.., х' удовлет-
удовлетворяют условию f (хх> ..., атп) =0 (mod m). Используя соотношение
.ах
, если m долит а,
О в противном случае,
доказать, что число N{m) решений сравнения (#) выражается формулой
iV(m)=_ > > е m
a=lx1 ^=1
6. Пусть «л, ..., а„, b — целые числа и й= («i, ..., яп, m). Доказать,
что для числа N(m) решений линейного сравнения
+ ... + апхп s Ъ (mod m)
§ 1. СРАВНЕНИЯ
справедливы равенства
mn -"^d, если d делит 6,
О в противном случае.
7. В обозначениях задачи 5 показать, что функция N(m) является муль-
мультипликативной, т. е. Лт(та,го2) = N(ml)N(m2) при (ти тг) = 1.
8. Пусть р — простое число, а > 1 — целое число и /{-ti, ..., хп) — мно-
многочлен с целыми коэффициентами. Доказать, что каждое решение Х\ ==
= ж^(гшх1р), ,,., хп = х'п (mod р) сравнения f(xu ..., х„) = 0 (mod,p)r
удовлетворяющее хотя бы для одного / = 1, 2, ..., п условию
порождает pta~1)(.n-1i различных между собой решений z1=z
, .., хп = х^ (mod pa) сравнения
, хп) =0
9. Пусть р > 2 — простое число н га, Ь, с, d — целые числа. Установить,
что при d ф 0 (mod p) число решений сравнения
^2 = ж2 + d (modp)
равно р — 1, и вывести отсюда справедливость соотношений
Р 'ax* + bx+JL) \{-у^{Р)- ССЛП Ь*-^ = °№^
Х=1
Ь2
если Ь2 — АасфО
а
10*. Пусть р > 3 — простое число и а Ф 0 (mod p). Доказать, что срав^-
нение
хг + ах = j/ (mod/>)
разреппгмо прир—~5-(Р — I )] значениях у = 0, 1, ..., р — 1.
11. Доказать, что уравнение
не разрешимо в целых числах.
12. Доказать, что уравнение
У1
не имеет решений в целых ж, у, z.
13. Доказать, что целое число п вида 4it + 7 не может быть представ-
представлено в виде суммы квадратов трех целых чисел,
14*. Доказать, что уравнение
х2 + 82у2 = 2
не имеет челочисленных решений и что соответствующее сравнение
я2 + 82г/2 =• 2 (modm)
разрешимо при любом модуле т.
2*

20 ГЛ., I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
15. Доказать, что для простых чисел р вида •Ira + 3 сумма
S (к) = У \^-±
(modр),
равна нулю. Для простых р вида 4m -f- 1 установить следующие свойства
-сумм Якобсталя S(k):
а) S(k) —четное число;
б) S(kt2) ^
к) если/-*-1 = 1 и /—-] = 1, то
л \2
г) |Я{*)| <2\'Р.
16. Диказать, что для нечетных простых р Еида р = Зт + 2 сумма
равна нулю. Для простых р вида /? = Зот + 1 доказать справедливость сле-
следующих утверждений:
а) T(lss) = (^\T(l);
б) если 1] — первообразный корень по модулю р, то
+Т(ц*) =0
=3Р;
в) имеет место равенство
г) |Г{*I <2}>;
д) уравнение
+ ^ Р
разрешимо в целых числах х и г/.
17*. Пусть р— простое число и /(j:i, ..., х„) —многочлен с коэффици-
коэффициентами из поля Fv степени m > 1 по совокупности переменных гь ..., #„.
Доказать теорему Варнинга f22]: если тп < п, го число Np решений
уравнения /(#i, ., ., гп) = 0 в элементах поля Fp делится на р.
(Указание. Представить Nv в виде
я воспользоваться циклическим строением мультипликативной группы F*
поля Fv.)
18. Основываясь на результате задачи 17, установить справедливость
следующей теоремы Шевалле [145а]: если f(x\, ..., хп)—форма по-
положительной степени тп с коэффициентами из Fv и m < re, то уравнение
i(z\, ¦¦-, х„) = 0 имеет над полем Fv хотя бы одно ненулевое решение.
1. СРАВНЕНИЯ
21
19*. Пусть р — простое число, тге ^ 1 — целое число, Fv — конечное поле,
состоящее из чисел 0, 1, ..., р — 1 и d = (m, p — 1). Доказать, что для
¦суммы
,ахт
Т (а, р) = 2 е Р •
где i — у—1 и а — произвольный ненулевой элемент поля Fp, справедлива
оценка _
\Т(а,р)\ < {d-i)fp.
(Указание. Пусть Г| — порождающий элемент мультипликативной
труппы F* поля Fv и %а{у) — хараг;тер группы Fp, определенный для
каждого s = 0, 1, ..., d— 1 и каждого г/ = V е F* равенством xs (у) =
.SV
2IU-— -
d
=е а . Доказать, что
Г(а, р) =
2
B-1
s=0
и что при s =^= 0 для модуля суммы Гаусса
*
~
г/eF*
справедливо равенство |7"8(о)| = }'р.)
20. Пусть р — нечетное простое число, m Гэ 2, а — целые числа и
= (го, р— 1). Установить следующие свойства сумм
а)
б) при (а, р) = 1 имеет место оценка
р
| Т (а) \ <! ,- .
21, Пусть ш\, ..., тп — положительные целые числа, р—простое число,
dj = (toj, p — 1), 1 <; / =g n, и а\, ..., ап — отличные от нуля элементы поля
Fv. Доказать, что для числа Nv решений (xv ..., х^ е F7^ уравнения
справедлива оценка
(Указание. Воспользоваться результатами задач 5 и 19.)
22. Пусть р — простое число, т0 = {ть ,.., т„} — наименьшее об-
общее кратное целых положительных чисел mi, ..., тп и dj = (m,-, p— 1),

22 ГЛ., I, УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
О ^ / s^ га. Доказать, что для числа NP решений уравнения
ахх^ + ... + anz™n = aQ, aQ, и, «„s Р%
в элементах поля Fv справедливо неравенство
П—1
23*. Пусть q — положительное целое число и л — целое число, взаимно»
простое с q. Установить следующие свойства сумм Гаусса
ЭС=О
а) если (qi, ?2) = 1, то
Т(а, qiqi) = T(aq2, qt)T(aqt, q2);
б) если q = 2ар11 ... ps * — каноническое разложение числа q, гд»
Р\, ..., р, — нечетные простые числа, то
в) справедливы соотношения
{"|/?i если j=l (mod 2),
\/Yq, если jsO (mod 4),
0, если q = 2 (mod 4);
г) если р — нечетное простое число и а > 1, то
Т(а, р«) =
{Указание. Положить х = у + ра~]!г, 0 =g; ^
д) если р — нечетное простое число, то
a-1 — 1,
е) если а > 3, то
T(a, 2a) = 2Т(а, 2«-2).
(Указание. Положить х = у + 2"~\ 0 ^ у ^ 2а~2 — 1 0<г<=-ЧУ
ж) если a > 1, то ' "%i!'^'i *> и ^z ^ л>
в) если р — нечетное простое число, то
§ 1. сравнения 23
24*. Пусть р — почетное простое число и
7A, Р)- >, е Р
ж=0
— нормированная сумма Гаусса. Установить следующие свойства матрицы
а) если Я], ..., Яр — характеристические числа матрицы А, то
2 ХЛ=ГA, р);
б) квадрат матрицы А имеет вид
р 0 ... О
О I
В
0
где
О ... О р|]
,_ 0 ... Р О
--. о о!1
- диагональная матрица;
в) характеристический многочлен матрицы А2 имеет вид
р+1 р—1
(t~p) 2 {t + P) 2 ;
г) среди характеристических чисел Х^, ..., X,* матрицы Д2 имеется
j> + l P-1
—и—чисел, равных р, и—<>— чисел, равных —р;
д) если среди характеристических чиссл_Хь ..., Хр матрицы Л имеется
A, I, m и п чисел, равных j'p, —Ур, t)'p и —iVp соответственно, то
/c+J=—2—' "г + 71 = —'
е) справедливы соотношения
ГA, р) = (&-Z+(m-ra)i)V7
и
А; — i = ± 1, т = та при р S3 1 {mod 4),
к = I, тп — га = ±1 при р = 3 (mod 4)
{см. свойство з) из задачи 23);
ж) для определителя матрицы А справедливы равенства
р(р-0
справедливы соотношения
А — I s I (mod 4) при р ^ 1 (mod 4),
m — re^l (mod4) при р == 3 (mod4).

24
ГЛ, Г. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
25. Используя результаты предыдущей задачи, показать, что
y^^ — J ~\/р, если /i = l (mod 4),
I i ~\/р, если р = 3 (mod 4).
26*. Пусть тге > 1 — нечетное число и т = pip2 . •. ?s — его разложение
на простые множители (не обязательно различные). Для целого о, взаимно-
простого с т, определим символ Якоби равенством
Исходя из и-чвестпых свойств символа Ложандра! — установить аыалогич-
\ Р I
пые свойства символа Якоби и, используя эти свойстна, а также результа-
результаты задач 23, 25, доказать, что
|(ТГ , если г = 1 (mod 2),
К— \(t-1- ia)V~q, если g = 0 (mod 4),
I 0, если ?3s2 (mod 4).
27. Пусть !ир — различные нечетные простые числа. Используя резуль-
результаты задач 23, 25 и 26, доказать справедливость квадратичного закона вза-
взаимности, Гаусса
>
и двух его дополнений
-(-1)
§ 2. Сравнения по двойному модулю и конечные поля
1. Кольцо Fp [х]. Пусть Fv — поле классов вычетов но прос-
простому модулю р. Рассмотрим кольцо Fp [x] многочленов от пере-
переменного х с коэффициентами из поля FP. Элементы поля FP на-
назовем константами кольца FP [x]; единичный элемент поля Fp.
обозначим 1.
Будем говорить, что многочлен f{x) делит в кольце FP\x]
многочлен g(x), если существует такой многочлен h(x)^ FP [x] T
что g(x) = f(x)h{x). Если непостоянный многочлен f{x) не име-
имеет других делителей, кроме а и af(x), где а е FP, то f(x) назы-
называется неприводимым в кольце FP [x] многочленом. Далее, наи-
наибольшим общим делителем двух многочленов f(x) и g(x) назы-
называется такой многочлен d(x), который является их общим дели-
делителем и вместе с тем делится на любой другой общий делитель
этих многочленов. Если многочлены / и g не имеют общих де-
делителей, отличных от констант, то они называются взаимно про-
простыми. Заметим, что наибольший общий делитель определен с
точностью до постоянного множителя a s Fp, а Ф 0. Для нахож-
2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
25
дения наибольшего общего делителя d=(f, g) многочленов / п
g Ф 0 можно воспользоваться алгоритмом Евклида последователь-
последовательного деления с остатком:
/ = gh + r, g = rhi + п, г = n/i2 + гг.
r\ = гъЫ + гз, ¦ ¦ ¦, г„-2 = rn_]An + rn, rn_i = rnhn+i,
A)
где многочлены r, ri, . .., rn удовлетворяют условию
0 < deg rn < ... < deg n < deg r <; deg g.
Из равенств A) следует, что всякий общий делитель многочле-
многочленов / и g делит г„ и, в таком случае, rn — d. Далее, исключая из
системы A) многочлены rn-i, . ¦., п, г, получаем представление
наибольшего общего делителя d =¦(/, g) в виде линейной ком-
комбинации
d = fa + gv
многочленов / и g с коэффициентами и, v e Fp [x]. Отсюда сле-
следует, в частности, что если произведение gh многочленов g и h
делится в кольце FP [x] па неприводимый многочлен /, то либо g,
либо h делится на /. Действительно, если, например, / не делит g,
то из представления fu + gv = 1 получаем fhu + ghv = h, и тог-
тогда / делит h. Это свойство неприводимых многочленов приводит
к справедливости следующего утверждения (см. [1, гл. 1, § 2]).
Теорема 1. Каждый непостоянный многочлен g(x) кольца
Fp \х\ допускает разложение g = /х . . . ft в проияведение непри-
неприводимых многочленов /i, . . ., /„; такое разложение единственно с
точностью до констант кольца Fv [x] и порядка следования сомно-
сомножителей.
С точки зрения делимости кольцо Fp [x] вполне аналогично
кольцу целых чисел Z- При этом Fp соответствует мультипли-
мультипликативной подгруппе {'±1} кольца Z- Продолжим развитие этой
аналогии. Назовем два многочлена а(х) и Ъ (х) из кольца FP [x]
сравнимыми по модулю f(x) = хп + aia;" + ... + cc^-^ + ап,
п > 1, он е Fp, если их разность а — Ъ делится в кольце Fv [x] на
многочлен f(x). Сравнения такого рода будем называть, следуя
Дедекинду, сравнениями по двойному модулю и для обозначения
сравнимости а (х) и Ъ (х) по модулю f(x) будем писать а (гM3
— Ь(х) (mod f(x)). Отношение сравнимости по двойному модулю
рефлексивно, симметрично, транзитивно и поэтому разбивает
множество всох многочленов с коэффициентами из поля Fv на
непересекающиеся классы А, В, С, ..., называемые классами вы-
вычетов по модулю f(x). Поскольку каждый многочлен а(х) срав-
сравним по модулю f(x) с одним и только одним многочленом г(х)
вида
r(x) = aixn~l + а2хп~2 + .. . + ап,
где а\, ..., й„ независимо друг от друга пробегают все элементы

26
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
поля Fp, то имеется б точности q = рп классов вычетов по мо-
модулю f{x). Сравнения по двойному модулю можно складывать,
вычитать и перемножать подобно обычным сравнениям. Эти опе-
операции индуцируют аналогичные операции на классах вычетов во
модулю f{x), превращая множество классов вычетов по двойному
модулю в коммутативное кольцо с единицей. Нулевым элементом
этого кольца является класс, состоящий из всех кратных много-
многочлена }(х), а единицей — класс вычетов Е, содержащий единич-
единичный элемент 1 поля Р„.
Пусть теперь f(x) = х" + а.\Хп~х + ... + а.„-\х + ап — неприводи-
неприводимый многочлен кольца FP[x]. Если многочлен а(х) из класса вы-
вычетов А не делится на }{х), то многочлены аи/ взаимно просты
и, следовательно, в кольце FP [x] найдутся такие многочлены uvivr
что /и + av — i. В таком случае a(x)v(x)= I (modf(x)) и, стало
быть, уравнение АХ = Е имеет единственное решение X=V, где
V — класс вычетов по модулю f(x), содержащий многочлен v(x).
Следовательно, в случае неприводимого многочлена f(x) классы
вычетов по модулю f(x), отличные от нулевого класса, образуют
до умножению абелеву группу порядка q — i. Таким образом, на-
нами установлен следующий результат.
Теорема 2. Если f(x)— неприводимый многочлен степени.
п~^ 1 из кольца Fp [x], то классы вычетов по модулю f(x) обра-
образуют конечное поле Fq, состоящее из q = рп элементов.
2. Количество неприводимых в ^р[ж] многочленов степени п.
Докажем существование для каждого целого п > 1 конечных по-
полей Fq, где q = pn. Для этого, согласно теореме 2, достаточно уста-
установить существование в кольце FP [x] неприводимых многочле-
многочленов степени п.
Теорема 3. Для каждого целого п > 1 в кольце Fv [x]
существует хотя бы один неприводимый многочлен сте-
степени п.
Доказательство. Пусть g — отличный от нуля нормиро-
нормированный (со старшим коэффициентом 1) многочлен степени п из
кольца FP[x]. Положим Ng = рп ж назовем эту величину нормой
многочлена g. Яспо, что N(f ¦ g) — Nf ¦ Ng для любых двух от-
отличных от нуля нормированных многочленов / и g. Введем в рас-
рассмотрение дзета-функцию
кольца FP [х], где s = а + it — комплексная переменная с о =
= Re s > 1, а произведение берется по всем нормированным не-
неприводимым многочленам / <= Fp [x], и заметим, чхо она представ-
представляет собой аналог дзета-функции Римана кольца целых чисел Z-
По теореме 1 об однозначности разложения на неприводимые
§ 2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
27
жпожители имеем
где суммирование в правой части ведется по всем нормирован-
нормированным многочленам g кольца FP [x] положительной степени, и тогда
?
deg g=n
Поскольку в кольце Fv [x] имеется в точности р" нормированных
многочленов степени п, то из последнего равенства получим
Следуя Гауссу, обозначим (п) число нормированных неприводи-
неприводимых многочленов f *= Fp\x] степени п. Тогда, исходя из опреде-
определения дзета-функции, имеем
ж в таком случае
Логарифмируя последнее равенство, получаем соотношение
An»
которое, используя известное разложение функции log A — т) по
степеням т, можно переписать в виде
оо со оо
2w2
п=1 г=1
Сравнивая в обеих частях этого соотношения коэффициенты при
Р"т\ находим
2 п (в) = р™,
п\т
откуда по формуле обращения Мёбиуса (см. задачу 18)
d\n

28 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Выражепие
d\n
представляет собой сумму различных степеней простого числа р,
взятых со знаками плюс и минус, а следовательно, не можег
быть равным нулю. В таком случае, поскольку (п) — неотрица-
неотрицательное целое число, имеем (п) >1 i, стало быть, для всякого
п > 1 в кольцо Fv [x] существуют неприводимые многочлены сте-
степени п.
3. Алгебраическая структура конечных полей. Выясним алге-
алгебраическую структуру полей Fq. Пусть многочлен g{x) пе делит-
делится на неприводимый в кольце Fv [х] многочлен f(x) степени п.
Если г пробегает множество R, состоящее из q — 1 отличных от
нуля многочленов вида аухп~1 + ачхп~2 +...+«„, то остатки от-
отделения gr на многочлен / пробегают то же самое множество.
Следовательно,
и тогда
П
ген
'- = 0 (mod/(*)).
Но многочлены г взаимно просты с / и, значит,
Я*-!-! =0 (mod/(ж)).
Переходя к классам вычетов кольца FP[x] по модулю f(x), по-
получаем следующий аналог малой теоремы Ферма.
Теорема 4. Каждый отличный от нуля элемент поля F^T
q — pn, удовлетворяет уравнению z"~l — 1=0.
Отсюда следует, что каждый элемент поля Fq является кор-
корнем многочлена zq — z.
Далее, имеет место следующее обобщение теоремы Лаграгока.
Теорема 5. Пусть f(z)—отличный от нуля многочлен с
коэффициентами из поля Рч. Тогда число корней многочлена f(z)
в поле FQ, взятых с их кратностями, не превосходит степени dog/
многочлена f(z).
В дальнейшем единицу поля Fq будем обозначать 1. Порядком
отличного от нуля элемента а поля Fq назовем наименьшее нату-
натуральное число m такое, что ат = 1. Заметим, что если а — эле-
элемент порядка т, то равенство aJ = ah возможно лишь в случае,,
когда / — k (mod m). В частности, взяв /' = q — 1, к = 0, получаем
по теореме 4, что <? — 1 = 0 (mod то). Таким образом, порядок
каждого ненулевого элемента поля Fq делит число q — 1. Пока-
Покажем, что в каждом конечном поле Fq, q = pn, имеется хотя бы
один элемент rj порядка q — 1. Этим будет установлено, что
§ 2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 29
мультипликативная группа Fq поля Fq является циклической
группой порядка q — 1.
Теорема 6. Конечное поле Fq содержит <$(q— 1) элементов
порядка G — 1, где (р(п) — функция Эйлера.
Доказательство. Пусть тп — делитель числа q — 1, Обоз-
Обозначим ^(ш) число элементов поля Fq порядка m и предположимг
что i|)(m)>0. Из этого предположения следует, что в иоле Fq
существует элемент а порядка т. Степени 1, а, ¦ ¦., а этого-
элемеита различны между собой и являются корнями многочле-
многочлена zm — 1. По теореме 5 эти степени исчерпывают все корни
мпогочлена zm — 1, и, значит, каждый элемент порядка т должен
иметь вид а" при некотором s = 0, 1, .. ., т — 1. Если (s, m) =
= d > 1, то элемент а3 имеет порядок m/d, строго меньший т.
Если же (s, т)= 1 и а"' = 1 для некоторого положительного це-
целого / </га, то мы должны иметь щ = 0 (modm), что невозмож-
невозможно. Таким образом, элемент as имеет порядок т в том и только
в том случае, когда (s, m)= 1 и, стало быть, i|>(m) = ф(т), где
ф(т?г)—функция Эйлера. Воспользуемся теперь равенством
m\q—l
и известным соотношением (см., например, [142 а, гл. II, § 2\
или задачу 4 из § 1)
2 ф (та)
|
1
для фупкции Эйлера ср(т). Имеем
5 [ф Н - Ц) (яг)] = О,
m\q— 1
и в таком случае г|з(пг) = <р(пг) для всех m\q— 1. В частности^
¦ф(<7~ 1) = -ф(? ~ 1) и> тем самым, теорема доказана.
4. Автоморфизмы конечного поля Fq. Пусть F — произволь-
произвольное поле и е — единичный элемент этого ноля. Характеристикой
поля F назовем такое наименьшее положительно-е целое число I
(если оно существует), что
Если такого целого I не существует, то скажем, что поле F имеет
характеристику нуль. Ясно, что если характеристика I поля F от-
отлична от нуля, то I является простым числом. В поле Fq, состоя-
состоящем из q = рп элементов, имеет место равенство р ¦ 1 = 0 и, сле-
следовательно, характеристика поля Fq равна р. Пусть а, р — произ-
произвольные элементы поля характеристики р > 0. По формуле

30 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
бинома Ньютона имеем
ж так как [^J = /!(/l;)! = ° (mod р)для всех / = 1, 2,.,..., р - 1,
то (а + р)р = ар + рр. Таким образом, для любых двух элементов
та, р поля F?, ^ = рп, справедливо равенство
Вернемся к изложенному выше процессу построения поля Fq.
Элементами этого поля являются классы вычетов кольца Fv [х]
по модулю j(x), где f(x) — неприводимый многочлен степени п
¦с коэффициентами из поля FP. Обозначим 0 класс вычетов, со-
содержащий многочлен а(х) = х. Тогда /(9) = 0 и, следовательно,
многочлен f(x) является минимальным многочленом элемента
б е Fq. Из алгоритма деления с остатком g = fh + г, г = а\хп~1 +
+ а.2Хп~2 + ... + «„, следует, что каждый элемент а поля Ft пред-
представляется в виде линейпой комбинации
а = г@)= йгб71-1 + а2дп-2 + .. . + д„
элементов 1, 0, . .., В" с коэффициентами щ из поля Fv. Степе-
Степени 1, 8, ..., 6"~' элемента 8 линейно независимы над полем Fp и,
стало быть, образуют базис поля Fq над полем Fv. Отсюда следу-
следует, что поле Fq является алгебраическим расширением ноля F9
степени п.
Возводя обе части равенства /F) = 0 в степень р, получаем,
ввиду малой теоремы Ферма и свойства полей характеристики р,
что /@Р)=О. Повторяя этот процесс несколько раз, убеждаемся,
что, наряду с элементом 6, корнями многочлепа f(x) будут так-
также 0р. ...,6Р . Заметим, что дальнейшее возведение в сте-
степень р не имеет смысла, ибо по теореме 4 dq = 0. Покажем, что
элементы 6, 0р, ...,вр различны между собой. Пусть г\ —
элемент поля Fq порядка q — 1 и пусть n = afi"'1 + afi7 + ...
... + дя, где uj e Pp. Если предположить, чтоб = 0Р при 0 *S / <
< к «s п — 1, то получим соотношение Цр} = Цр ¦ В таком случае
¦Г]?''-?" = 1, и так как 1 =^ р" — ?3 < g — 1, то приходим в противо-
противоречие с определением элемента т). Таким образом, для неприводи-
неприводимого многочлена f(x)— хп + оцхп~1 + , .. + а„ из кольца ^Р [а:]
«праведливо разлон^ение
]
Сопоставление
§ 2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
индуцирует автоморфизм
a: Fq - Fa
поля Fq, действующий на его элементы а = ai6"~! + агбп~Е + ...
... + ап но правилу cr(a) = aiO'(n"ni! + a28(™-2>2' + ... + an =
— (aid71'1 + a26n~z+ • ¦ • + ^n)p = ap и оставляющий поле Fv непо-
неподвижным. Указанный автоморфизм а называется автоморфизмом
Фробениуса поля Fq.
Теорема 7. Группа автоморфизмов {группа Галуа) поля Fq,
q = рп, является циклической группой порядка п с порождающим
элементом а.
Доказательство. Степени 1, а, .'.., а" автоморфизма с
также являются автоморфизмами поля Fq, действующими на эле-
элементы a e Fq по правилу
а> (а) = а,Р>.
Так как о1 (9)^= 0^(9) при 0 ^ / < к < п — 1, то эти автоморфизмы
различны между собой и, следовательно, исчерпывают все воз-
возможные автоморфизмы поля Fq, которых может быть не более,,
чем п. Теорема доказана.
Пусть Гт — группа Галуа поля Fpm и Гп — группа Галуа по-
поля Fp7l. Поле F m является подполем поля FрП в том и только-
в том случае, когда Гт является подгруппой группы Г„. Учиты-
Учитывая этот факт, а также цикличность групп Гт и Г„, получаем сле-
следующий результат.
Теорема 8. Поле Fpm является подполем поля Fpn тогда
и только тогда, когда пг делит п.
Рассмотрим последовательность вложенных друг в друга полей
и положим
Fv= U *>
Множество Fv является полем, поскольку для любых a, P e Fp.
найдется такое число п, что a, p s FpU\, и можно определить сум-
сумму a + p и произведение оф элементов аир. Далее, всякий мно-
многочлен g (x) из кольца Ff [x] имеет коэффициенты в некотором
поле Fvm и, если f(x)—его неприводимый делитель в кольце-
F^m[x], имеющий степень d, то все корни многочлена f{x) ле-
лежат в ноле F md, являющемся при достаточно большом п под-
подполем поля Fp-ni- Следовательно, корни многочлена /(х) лежат
в поле FP и, таким образом, Fv является алгебраически замкну-
замкнутым полем. Поле FP называется алгебраическим замыканием ко-
конечного простого поля Fv.

*¦?
32 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Пусгь а — автоморфизм Фробениуса поля Fq, состоящего ил
<1 = р" элементов. Для каждого элемента aeF, определим em
норму norm а формулой
§ 2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
33
тг—1
J
1
norm а = JJ aJ (a) = JJ ocPJ.
0
j=0
Аналогичным образом определяем слвд
п—\ п-1
i=o i=o
элемента a s fT. Норма и след являются соответственно муль-
мультипликативным и аддитивным гомоморфизмами поля Fq в поле Fp.
Следующая теорема является частным случаем теор-емы Гиль-
Гильберта 90.
Теорема 9. Пусть Fq — конечное поле, состоящее из q = рп
элементов. Тогда
а) норма элемента asf, равна 1 в том и только в том случае,
если существует ненулевой элемент р е Fq, для которого a = $1~";
б) след элемента a, s Fq равен нулю в том и только в том слу-
случае, если существует элемент у е Fq, для которого а = у — fp.
Доказательство, а) Пусть поле Fq порождается над по-
полем Fp элементом 6, так что Fq = FP(Q), Для каждого / = 0, 1, . ..
. . ., п — 1 и всякого отличного от нуля элемента a F
резольвенту Лагранжа — Гильберта
R (а, 00 = 6J' + aQjp + a^+P
Поскольку определитель
¦
det Q3P
являющийся определителем Вандермонда, отличен от нуля, то
среди элементов R(a, Q'), 0 </ < п — 1, поля Fq найдется отлич-
лый от нуля. Пусть это будет элемент
/ , ,
Fq построим
Если предположить, что norm a = 1, то получим
и тогда a — В1^. Обратно, если а = В1"*1
б) Поскольку определитель
то norma= ^ = 1.
отличен от нуля, то среди элементов tr I, tr 6, ..., tr 6"~! имеет-
имеется по меньшей мере один ненулевой. Пусть б = 0J'и tr б Ф 0. По-
Положим
Лели предположить, что tr a = 0, то получим a = if — *f. Обратно,
осли а = f — ЧР, то, очевидным образом, tr а = 0.
5. Единственность поля Fq. Б заключение параграфа пока-
покажем, что каждое конечное поле F изоморфно одному из рассмот-
рассмотренных нами полей Fq, где q = p". Поскольку поле F конечно,
то оно имеет положительную характеристику р, являющуюся
простым числом, и, значит, содержит поле, изоморфное простому
конечному полю Fv. Отождествим Рр с его образом в поле F. По-
Поскольку FP <=¦ F, то поле F является конечномерным векторным
пространством над Fp. Пусгь размерность этого пространства рав-
равна п и пусть a)i, ., ., сп„ — базис поля F над Fv. Всякий элемент
а е F однозначно представим в виде
a = ajcoi + ., . + а„(йге,
где а3 е Fp. Следовательно, поле F состоит из q= pn элементов.
Далее, каждый элемент поля F является корнем многочлена zq —
— 2, и, значит, поле F является полем разложения этого много-
многочлена. Но поле разложения многочлена г3 — z однозначно опре-
определено в алгебраическом замыкании Fv поля Fp; получаем сле-
следующий результат.
Теорема 10. Каждое конечное поле Fq, состоящее из q = рп
элементов, однозначно определяется в алгебраическом замыка-
замыкании Fp поля Fp пак поле разложения многочлена zq — z. Всякое
конечное поле F изоморфно одному и только одному из полей Fq.
С более детальным излодаепием теории конечных полей чита-
читатель может познакомиться по книге [72].
Задачи
1. Доказать, что в конечном поле Fq справедлив следующий аналог тео-
теоремы Вильсона:
JJ
2. Доказать индукцией по m и п, что в поле простой характеристики р
справедливо равенство
3. Пусть Fq — конечпос поле из q элементов и f(x) — неприводимый мно-
многочлен из кольца Fe[a;] степени т. Доказать, что j{x) делит многочлен
„п
х4- — х тогда и только тогда, когда т делит п.
3 С. А. Степанов

34 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
4. Показать, что в кольце Fq[x] справедливо разложение
m]njm
где внутреннее произведение берется по всем неприводимым нормирован-
нормированным многочленам степени т. Вывести отсюда, что для количества (т}
неприводимых нормированных многочленов степени т нэ кольца Fq[x] име-
имеет место формула
1
2>
dim
5. Пусть а — элемент порядка т поля Fq, где q = р", и v — показатель
числа р по модулю m (паименьшее положительное целое число такое, что
v—1
рч = 1 (mod/и)). Доказать, что многочлен / (х) = JJ (я — а? ) является
/¦=0
неприводимым многочленом из кольца Fp[x].
6. Пусть f(x) —неприводимый многочлен степени m из кольца Fp[x].
Доказать, что в кольце Fq[x], где q = рп, многочлен f(x) распадается на
d = (та, п) неприводимых множителей, каждый из которых имеет сте-
степень m/d.
7. Пусть Fq — конечное поле, состоящее из g = рп элементов, и Fv — его
простое подполе. Доказать, что для каждого ие^ уравнение norm х = а
имеет (рп — i)/(p~ 1) решений и для каждого $eFp уравнение tr у = $
имеет рп~1 решений в элементах поля Fq.
8. В обозначениях предыдущей задачи показать, что
2П1
trcwc
p =
если
если
ее = О,
<хфО.
9. Пусть Fg — конечное поле и Fv — его простое подполе характеристи-
характеристики р ф 2. Для символа
i
0,
1,
если
если
если
доказать следующие свойства:
а — О,
с^Ия а—квадрат в поле в F^
а не является квадратом ъР ,
зь следующие свойства:
a) I ?jL I = I — 11 J— для любых элементов a, fie F.;
•> 2()
2
a<=Fq
в) С^)=/
где
_ символ дежандра.
) д (
\ ? / V Р I \ Р I
10. Пусть f(x) ~ ах2-\-bx ~\-с — многочлен из кольца Fg[x]r где F9 —
конечное поле характеристики р ф 2, и d = й2 — 4ас — дискриминант мно-
многочлена f(x). Доказать, что
'9
~Ьх
(?— 1), если _d= 0,.
если d ф 0.
g 2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
35
11. Пусть Fq — конечное поле характеристики р ф 2. Используя резуль-
1 дт предыдущей задачи, показать, что число Nq решений уравнения ах2 -+-
\- by2 = a, d = аЪ ф О, в элементах поля Fq выражается формулой
— )(q— 1), если а = 0,
g — I —: I, если а Ф 0.
12. Пусть F, — конечное доле характеристики р Ф.2 и
— квадратичная форма над полем F, определителя d = oi... «n =7^ 0. Дока-
Доказать индукцией по s, что при n— 2s число решений Nq уравнения
f{xu ..., хп) = а
о элементах поля F,j вмражается фор\тудой
qs~x, если а = 0,
^-1__^—^^^jg--^, если а^О.
13. В обозначениях предыдущей задачи показать, что при п = 2s + 1
величина Л'а задается формулой
52i, если а = 0,
14. Пусть
^(/) = «02(т-1) П («*-«*
т
— дискриминант мпогочлеп-а j (x)=a JJ (х — а.^ и
m я
результант многочленов f (x) = й0 JJ (^ — a^ и ^ (i) = bQ JJ (ж
Установить следующие свойства результанта:
a) R(g, /) = (-1)™Л(/, «г);
5) если g = jh + г, то
g)\
в) если f{x) = fi{x)h(x), то
я (Л г) =*R{f
v) R (/, у) = «J Д в (а.) = (- I)™*™ Д / (Рк):
J = l Й=1
Д) Я(Л F) =^{*)/(a:) +-JS(^)g(a:), где Л, В—многочлены от х с коэф-
коэффициентами из поля коэффициентов многочленов / и g;
Ь*

36
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
е) если / — нормированный многочлен степени то, то
т(т— 1) m(m—1)
D if) = (- 1) 2 Л (/, /') = (- 1) 2 Д (/', /),
где /' — производная многочлена /.
15. Используя результаты задачи 14, докааать, что если U (*),
нормированные многочлены, то
.., /« (
16*. Используя результат предыдущей задачи, доказать теорему Во-
Вороного— Штикельбергера ?29, 148]: если р — нечетное простое
число, Fq — конечное поле, состоящее из д = р" элементов, и f(x)—норми-
f(x)—нормированный многочлен степени m из кольца Fq[z] с отличным от нуля дис-
дискриминантом D(f), то для числа g неприводимых делителей многочлена
f(x) в кольце Fq[x\ справедливо соотношение
)
17. Пусть I, p — разлитаые нечетные простые числа. Рассматривая в
кольце Fp[x] разложение многочлена х1 — 1 на неприводимые множители
и используя теорему Вороного — Штикельбергера, вывести квадратичный
закон взаимности Гаусса:
18. Пусть ц(й) —функция Мёбиуса, определенная для всех целых п
¦ 1 равенствами:
/1.
/ \у
если »= 1,
если п = рЛ
О,
. р, есть произведение
различных простых чисел рх, ..., ps,
если п делится на квадрат простого
числа,
и f(n) —произвольная арифметическая функция (комплекспозначная функ-
функция, определенная на множестве положительных целых чисел).
Установить справедливость следующих свойств функции Мёбиуса:
а) Функция ц(га) мультипликативна.
б) Выполняется соотношение
V .• ^\ I1' если п — {т
f/W = io, если п>1.
(Указание. В случае п > 1 воспользоваться тем обстоятельством,
что все делители d > 1 числа п = р^1 ... pss, для которых (i(d) ф 0, име-
имеют вид d = pi .,. рг , 1 <! tj < ... < ia ^ s, а также мультипликатив-
мультипликативностью функции ц<«).)
в) И ф
ью функции ц<«).)
в) Имеет место ф о р м у л а обращения Мёбиуса: если
то
2
<l\n
/(») = .
2v
§ 3. Ь-ФУНКЦИИ АРТИНА
37
(Указание. Воспользоваться определением функции g I -i 1 и ре-
результатом п. б).
19*. Пусть Fq — конечное поле и /], ..., /, е Fq[xi, ..., хп] — многочлены
положительных степеней mi, ..., т„. Доказать, что если (mi + ... + т>) < п%
то число Nq решений системы уравнений
/l{*l, ¦¦; Хп) = ... = },{Х1, ..., Хп) =0
п элементах поля Fq делится на характеристику р поля Fq,
§ 3. L -функции Артина
1. Характеры конечных абелевых групп. Kait следует из за-
задачи 5 из § 1 вопрос о числе решений уравнения
в элементах простого копечного поля FP сводится к оценке три-
тригонометрической суммы
хт
xeFp
Более широкое применение находят суммы
с произвольным многочленом g s FP [x].
Далее, число NP решений уравнения
V* = Hx)Je=Fp[x],
в элементах поля FP характеристики р > 2 выражается формулой
Поэтому вопрос о величине Nv сводится к оценке сумм символов
Лежандра
Для дальнейшего потребуется обобщение сумм S(f) и T{g) па
случай произвольного конечного поля Fq.
Напомним, что характером конечной абелевой группы G на-
называется гомоморфизм группы G в мультипликативную группу
С* поля комплексных чисел С- Другими словами, характер
группы G — это такая не обращающаяся в нуль комплекснознач-
пая функция х на G, для которой
для любых х, у е G.

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Так как при гомоморфизме групп единичный элемент отобра-
отображается на единичный, то %A)=1. Если %i и %2 — характеры
группы G, то произведение XiXz, определяемое по формуле
(Х1Х2) (x) = %i(%)%2(z), также является характером группы G.
Далее, отображение JC, определяемое равенством %~1(х) = %{х),
будет, наряду с %, характером группы G и, значит,^ характеры
группы G образуют по умножению абелеву группу G с единич-
единичным элементом %о таким, что Хо(#) = 1 для всех ieG. Группа U
называется двойственной группой к группе G.
Пример. Символ Лежандра I—-) является характером
мультипликативной группы Fp простого конечного поля Fp.
2пг—
Функция е р является характером аддитивной группы этого
поля.
Лемма 1. Пусть G — циклическая группа порядка п и ц —
ее порождающий элемент. Каждый характер % группы G име-
имеет вид
Х(Ч*) п 0
при некотором а = 0, 1, .. ., п — 1.
Доказательство. Пусть % — произвольный характер
группы G. Имеем х"('П)==Х(тГ)=аХA) = 1. и> значит, %(ц) явля-
я
при не-
не2
ется корнем степени п из 1. Следовательно, %{ц) = е
котором а = 0, 1, ..., в — 1 и тогда
JC (*)*) = *
Следствие. Группа характеров G циклической группы G
изоморфна группе G.
Доказательство, Все характеры х», 0 ^ s < n — 1, раз-
различны между сабой и образуют циклическую группу порядка га
с порождающим элементом хь
Пусть теперь G — произвольная конечная абелева группа по-
порядка п = jo/ ... р/, где р\, ..., рг — простые числа. Группа G
представляется в виде прямого произведения
G = Gi X ... X GT
циклических групп Gi, ..., Gr, имеющих порядки п1 = р^, ...
.. ., пГ = р г соответственно (см., например, [136]). Пусть щ, ...
. .., г|г — порождающие элементы групп G\, ..., Gr. Если х —
щ
произвольный характер группы G, то х (Tlj) ~ е П' ПРИ неко-
некотором а, = 0, 1, ..., nj—1, а так как каждый элемент x^G
§ 3. i-ФУНКЦИИ АРТИНА
однозначно представим в виде
k hr
x = r\11 ... rir ,
то
Х(а
'?) = % (ii1 • • • ^*Г) = X I1!!*) ¦ ¦ • X W) =
2lti-
.. е
Нами установлен следующий результат.
Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа порядка п =
= Рг • ¦ ¦ Р г и G = G[ X . . .X GT — ее представление в виде пря-
прямого произведения циклических групп Gi, ..., Gr порядков П\ ~
= Pi, ,. ., пг = Рг соответственно. Тогда каждый характер х
группы G имеет вид
2Я1-
=е
при некоторых а, = 0, 1, ..., щ — 1, 1 < / < г.
Следствие. Группа характеров G конечной абелевой груп-
группы G изоморфна группе G.
Доказательство. Характеры Хах <%> O^aj^re, — 1,
1^/<г, образуют конечную абелеву группу G, являющуюся
прямым произведением циклических групп порядков ni, ..., пт.
Стало быть, G изоморфна группе G.
Лемма 3. Пусть G — конечная абелева группа порядка п.
Тогда
если х = Хо.
если
и
п, если х = 1,
О, если ?=j?=l.
Доказательство. Если % = Хо, то утверждение очевидно.
Пусть Х^Хо- Тогда существует элемент xq^G, для которого
1. Имеем
2
xeG
и, значит, S = 0.
Второе утверждение следует из первого, поскольку группа С?
естественно изоморфна группе, двойственной к G.

40
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
2. Характеры поля Fq. Перейдем к изучению характеров ко-
конечного поля Fq. Ненулевые элементы поля Fq образуют по умно-
умножению циклическую группу Fq порядка q — 1. Группа характе-
характеров трудны Fq изоморфна Fq. Характер хо, равный 1 для всех
x^Fq, назовем тривиальным характером. Каждый характер %
группы Fq удовлетворяет уравнению у?~1 = Хо- Наимепыпее по-
положительное целое d, для которого %Л = хо, назовем порядком ха-
характера х и будем обозначать его через ord х- Ясно, что d являет-
является делителем числа q — 1. Далее, если %' = Хо, то число s #= 1 па-
зокем показателем характера % я обозначим его через ind %. Легко
проверить, что s является показателем характера % в том и толь-
только в том случае, когда d = ord х делит s.
Пусть s — делитель числа q — 1 и (Fg)s — подгруппа элемен-
элементов y^Fg, представимых в виде у = xs, ie/r Если % — ха-
характер групны Fq показателя s, то мы имеем %(xs) = %"(х)= 1.
Обратно, если %{у) = 1 для всех y^(Fq)s, то %" = Хо- Таким об-
образом, %(х) зависит лишь от класса смежности группы Fq по
подгруппе (FgY, и, значит, характер % показателя s можно трак-
трактовать как характер факторгруппы F*/(F*(j)s. Ясно, что имеет-
имеется в точности s таких характеров.
Расширим определение характера х группы Fq, положив
если х = Хо-
10, если х ^ Хо-
Такой характер % назовем мультипликативным характером
поля Fq.
Лемма 4. Пусть s — положительное число, делящее q — 1.
Тогда
s, если х <= (F*)s,
0, если
1, если х — 0.
Если ц — порождающий элемент мультипликативной группы F9
поля Fq и х ^ 5Со — мультипликативный характер поля Fq пока-
показателя s, то
Доказательство. При хФО первое утверждение следует
из леммы 3; при х — 0 имеем
Х@)~1-
§ 3. L-ФУНКЦИИ АРТИНА
41
Для доказательства второго утверждения заметим, что х яв-
является нетривиальным характером факторгруппы Fqj\Fqy и
что 1, т), т|2, . ..., т)* пробегают все элементы этой факторгруппы.
Тогда утверждение следует из леммы 3.
Введем теперь в рассмотрение аддитивные характеры г|з по-
поля Fq, которые представляют собой характеры аддитивной группы
поля Fq.
Лемма 5. Каждый аддитивный характер if> поля Fq харак-
характеристики р имеет вид
2ТО
при некотором {J ^ ^9-
Доказательство. Имеем
и, стало быть, функции ty&(x) являются аддитивными характера-
характерами поля FQ. Все они различны между собой, и их число равно q.
Значит, %(#) исчерпывают все аддитивные характеры поля Ft.
Лемма доказана.
3. Производящая функция Артина. Пусть -РдУ— расширение
степени v ноля Fq и Fp — простое подполе поля Fq. Группа Галуа
Г„ поля FqV над полем Fq является циклической грунной поряд-
порядка v. Обозначим Ov порождающий элемент группы Fv. Его дей-
действие на элементы x^F^ задается правилом а,(х)—хя. Отобра-
Отображение
tr^ = х + av(x)+ ...+ о^Г1 (х)=х+ х* + ... +a^v-1
поля F „ в поле Fq назовем относительным следом элемента х е
, а отображение
normv х = х • ov (x) ... dy~l i
= х •хЯ ¦ ¦ ¦
поля F v в поле Fq назовем относительной нормой элемента х.
Далее, если tr и norm являются следом и нормой из поля Fq в
поле Fp, то отображения Trvx = tr(trvx) и NoraivX = norm (norm,va;)
поля F94 в поле Fp назовем соответственно абсолютным следом
и абсолютной нормой элемента % е F v.
Если х — мультипликативный характер поля Fq, то
является характером поля FqV. Назовем Xv(^) мультипликатив-
мультипликативным характером, индуцированным характером %. Аналогично, ес-
если if — аддитивный характер поля Fq, то

42
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
является характером поля F у, который назовем аддитивным ха-
характером, индуцированным характером г|з.
Пусть f(x) = xl + alx'-1 + ... + al, g(x)= Ъохп + Ъ\Хп~1 + ...
... + bn-ix — непостоянные многочлены из кольца Ft [х] и / =
= /х . . . /г — разложение многочлена j на различные неприводи-
неприводимые множители /i, ...,_/, е ^д[ж]. Рассмотрим суммы
Xv (/(*)I>v (?(*)) A)
и покажем, что они регулярным образом зависят от целочислен-
целочисленного параметра v. Для выяснения зависимости Tv от v введем в
рассмотрение L-функцию Артина L(z) комплексного переменно-
переменного 2, которую определим в виде ряда
B)
\v=l
абсолютно сходящегося в круге Izl < q~l и равномерно — в каж-
каждом меньшем круге | z | < g-1~V где ао — фиксированное поло-
положительное число.
В дальнейшем дадим другое определение L-функции Артипа
¦L(z) = L(z, x), которое (при надлежащем выборе характера %)
эквивалентно данному и аналогично определению L-ряда Дирих-
Дирихле для полей алгебраических чисел.
Для каждого v> 1 положим
1 V
I*1
C)
где суммирование ведется по воем неотрицательным целым i\, ...
. .., U с условием ц + 2*2 + . .. + viv = v, и заметим, что $«, лежат
в поле алгебраических чисел- Q (<?2i"/p), полученном из поля ра-
циоттальных чисел Q присоедипетшем к нему примитивного кор-
корня степени р из 1.
Лемма 6. Пусть .¦? — положительное целое, делящее q— 1
и deg(/t.. . /r)= m. Предположим, что выполнено хотя бы одно
из следующих двух условий:
1) %—нетривиальный мультипликативный характер поля Fq
показателя s и (s, s\, ..., ят)= 1;
2) if — нетривиальный аддитивный характер поля Fq и
Ьо^О, (га, q)=i.
Тогда pv = 0 для всех у > m + п — 1.
Доказательство. Пусть ii, ..., iv — неотрицательные це-
целые числа, удовлетворяющие условию ц + 2?2 + ... + viv = v.
§ 3. L-ФУНКЦИИ АРТИНА
Если для каждого т = 1, 2, ..., -v многочлен
43
име1ет в кольце Fq [x] ровно U неприводимых делителей степени т,
то набор (?[, ..., iv) назовем типом разложения многочлена а(х).
Пусть
V 1Т Т-1
где
Легко видеть, что когда неотрицательные целые ii, .. ., zv пробе-
пробегают все решения уравнения U + 2f2 + . -. + viv = v Kxf , ...
. . ., ^независимо друг от друга пробегают все элементы полей
ft, l^x^v, то элементарные симметрические функции этих
элементов щ, ..., uv независимо друг от друга пробегают все эле-
элементы поля Fq. Далее, функции щ, .. ., и,-, илвариантны при всех
перестановках элементов Х\ , ...,х^ е/1,, I^t^v, а также
при замене их на сопряженные над нолем Fq. Поэтому, если (со-
(согласно основной теореме о симметрических функциях) положить
1=1 .7 = 1 Ь=0
1=1 j=l ft=0
и каждому многочлену а{х)= xv + uixv~l + .. . + ич с типом раз-
разложения (?i, ..,, iv) поставить в соответствие гх! ... iv! 1 5 ... v v
возможно повторяющихся наборов
, ..., uv
то получим соотноптение
X
В дальнейшем будем считать, что v > m + п — 1. Пусть dcg Д =
vi
= V;, 1 ^Л < г, и пусть /,• (х) = 2 (ж + а»ц.) — разложение много-
u=i
члена /,- на линейные множители в кольце F Vj [*]• Поскольку
II II П
+ a, J = о^ + г^;1 + .. . + «v.

44 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
то имеем
/К, и„) - П П « + и^1 + ... + uv)s\
i—1 Ц=1
Положим
«11
E)
Если щ, ..., Uv_m фиксированы, а Mv-m+i, . .., и, независимо друг
от друга пробегают все элементы поля Fq, то |t, ..., |г независи-
независимо друг от друга пробегают все элементы полей F v , .... F „
соответственно. При этом
7{их, . .., «„) = Д (normVi g,)'* = Д &ч
F)
и отличные от нуля элементы ^i = normv. |4 ровно по ^ раз
пробегают все элементы мультииликативной группы F% поля Fq.
Далее, по формуле Варинга (см., например, [21, с. 2111)
ем
имеем
v
I
где
Т—1
VI /"„ft
2j С,..дА ...Kvi
b + vXw=ix r V
и тогда
V ¦ • •
ц=1
= (- 1)«-1 60««n + g' (иг, . . . , ^.J. G)
Учитывая D), F), G), при условии, что v > т + п - 1, по-
получаем
= N
х
где
§ 3. L-ФУНКЦИИ АРТИНА
45
Пусть % — нетривиальный характер показателя s и т| —по-
рождающий элемент мультипликативной группы
Тогда
поля
S
х
Положим Ci = "Л . 1 < f < г, так что ?l ^ П
Имеем (s, si, .. ., sr)= 1, и, стало быть, если fei, ..., кг пезависи-
лю друг от друга пробегают значения 1, 2, .. ., q — 1, то числа
kiSi + ... + krsr с одинаковой кратностью иробегатот все элементы
О, 1, ..., s — 1 полной системы вычетов по модулю s. В таком
случае произведение Z,i .. . ?/ по нескольку раз пробегает все
элементы факторгруппы Fqj{FqY и, так как х — нетривиаль-
нетривиальный характер этой факторгруппы, то лемме 4
S
Таким образом, если х ^ Хо, то pv = 0 при всех у > т + п — 1.
Пусть теперь i|5 — нетривиальный аддитивный характер по-
поля F4. Из уравнений E) следует, что Wv-m+i, .. ., и, однозначно
определяются по |i, ..., |г, Щ, ..,, uv-m> и тогда
х
d1 • ¦ • Cr)
Мы имеем
X
X
ж так как по условию b0 ^ 0, (л, д)= 1, то w = (—1)"~1Ъопип вме-
вместе с ип пробегает все элементы поля Fq. В таком случае, по
лемме 3
ж, значит, снова получаем, что pv = 0. Лемма доказана.
Пусть алгебраические числа Pv определены соотношениями C).
Рассмотрим многочлен
P(z) = 1 + р,« + ... + р^™-^^-1
и ©бозвачим К минимальное расширение поля Q (е2Лг^), в

46
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
котором имеет место разложение
m+n—i
P(z)= П A-М- (S)
Теорема 1. Пусть f (x) = ft (х) ... f/ (x), g (х) = Ьохп +
+ Ь\хп~х + ... + &„-!# — непостоянные многочлены из колыша
Fq [х] степеней I, n соответственно, s — положительное целое чис-
число, делящее q—1, и deg(/i.. ./т}= пг. Если выполнено хотя бы
одно из следующих двух условий;
1) % — нетривиальный мультипликативный характер поля Fq
показателя $ и (s, s\, ..., sf)= 1;
2) г(? — нетривиальный аддитивный характер поля Fq и 60 ^ О,
(ni <7) = 1| т0 L-функция Артина B) имеет вид
L(z)~P{z).
Далее, если алгебраические числа coi, . . ., d)m+n_i определены
разложением (8), то для суммы A) справедливо представление
m+n—l
Щ
1=1
,j, v =
Доказательство. По известному комбинаторному
деству (см., например, [103, с. 84]) имеем
тож-
тожехр
V rv
V
v—i
и тогда по лемме 6
exp ¦ — zv \ =
Следовательно, ввиду (8).
m-t-n- I
Далее,
v ?v zv _ v
v=l j=l
и, в таком случав,
log A
V=l
V
для всех v> 1.
Следствие, L-функция Артина B) аналитически продол-
Жима на всю комплексную плоскость и регулярна в каждой точке
¦.этой плоскости. '
§ 3. i-ФУНКЦИИ АРТИНА
47
Теорема 2. Пусть ©ь ..., шг — комплексные числа и с,
И — положительные числа. Если
}^+ ... +^\<cRv (9)
для всех v = 1, 2, ..., то |©^| ^ R при f — 1, 2, ..., г.
Доказательство. При достаточно малых значениях Ы
имеем
log A — ш) = —
v=l
и тогда
log
Ввиду условия (9) ряд справа сходится для всех |zl < R ' и, зна-
значит, функция
регулярна в круге Ы<Д~'. В таком случае i~(a1z?=0 при
Ы < R'1 и, следовательно, I &>jl ^ R для всех / = 1, 2, ..., г.
Задачи
1. Показать, что конечная циклическая группа порядка ра, где р — про-
простое число, не представима в виде прямого произведения собственных
подгрупп,
2. Пусть порядок п конечной циклической группы G равен произведе-
произведению взаимно простых чисел ; и т. Доказать, что G представляется в виде
прямого произведения ее циклических подгрупп порядков I и т.
3. Пусть т) — злемепт максимального порядка конечной абелевой груп-
группы G. Доказать, что циклическая группа, порожденная элементом г\, вы-
выделяется в качестве прямого сомножителя грушш G.
4. Пусть Fq — конечное поле и у. ф — мультипликативный и аддитивный
характеры этого ноля. Доказать, что для суммы Гаусса
Т (X, Ф) = 2 X И Ъ W
справедливы соотношения:
а) Т(хо, *.)=?;
б) если х ^ Хо, то Т(%, to) = 0;
в) если ф Ф фо, то Т(%о, ф) = 0;
г) если х Ф хо, Ф Ф Фо, то
5. Пусть ф — нетривиальный аддитивный характер лоля F9, s — поло-
положительное целое, делящее- q — 1, и а — отличный от нуля элемент поля Fq,

48 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
В обозначениях задачи 4 доказать, что
У $ (axs) =2 X (а) Т (X, if).
r5 indx=s
Вывести отсюда справедливость оценки
6. Пусть Fq — конечное поле характеристики р > 2, if — нетривиальный
аддитивный характер поля Fq и а ф О, Ъ, с — элементы поля Fq. Доказать,
что
= ?'*.
7. Пусть /(#1, ..., д;п) —многочлен с коэффициентами из конечного по-
поля Fq и i|) — нетривиальный аддитиввый характер поля Fq. Доказать, что
для числа Nq решений уравнения
/(*!, „,1,)=0
в элементах поля Fq справедлива формула
8. Пусть si, ..., sn— положительные целые числа и dt = ($;, q—1),
1 ^ i tg; n. Используя результаты задач 5 и 7, доказать, что для числа N<,
решений уравнения
a/i +...+ aj" =_- 0, av .... ew e F*f
в элементах конечного поля Fq справедливо неравенство
п
I п—1 ! 1
9. Пусть s — положительное целое, делящее д — 1. Доказать, что для
числа TV, решений уравнения
в элементах поля Fя имеет место неравенство
10. Пусть si, ..., .т„
шее общее кратное и d<
решений уравнения
положительные целые числа, а s0 — их наимень-
наимень(s,-, </ — 1), 0 ^ i ^ n, Доказать, что для числа Nq
*
йо- а ап
§ 3. L-ФУНКЦИИ АРТИНА
в элементах конечного поля Fq справедливо неравенство
та—1
11. Пусть /(ж|, ..., хп) —невырожденная квадратичная форма опреде-
определителя d над полем Fq нечетной характеристики р. Доказать, что число N9
решений уравнения
/(*ь ..., *«) =0
в элементах поля Fq выражается формулой
дп~1, если re ^ I (mod 2)t
9 + V г
. если re = 0(mod2).
Здесь I —) — символ, определенный в задаче 9 из § 2.
12. Пусть х, ty — нетривиальные мультипликативный ж аддитивный ха-
характеры конечного поля Fq и
Используя результат теоремы 1, установить справедливость соотношении
Дэвенпирта — Хассе
13. Пусть х — мультипликативный характер поля Fq порядка 2, ¦ф — не-
нетривиальный аддитввный характер и a, b^Fq. Доказать, что для суммы
Клостермана
Г (в, Ъ)= 2 t(<w + **~J)
справедливо соотношение
Г (а, Ь) =
жег,
14. Пусть -ф —нетривиальный аддитивный характер поля Fq, n — взаим-
взаимно простое с q число, g{z) = Ъ3хп + Ь,хп~1 + ... + Ъп--\Х — многочлен из
кольца Fq[x] степени п.
— тригонометрическая сумма Г. Вейля и
L (г, g) = exp f у — zv
4 С. А. Степанов

so
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) L-фущщия Артина ?(z, g) имеет вид
Цг, g) = 1 + Pi* + ¦.. + Pb-iz»-1;
п—1
J
б) если ? (л, д) —. JJ A _ с^л),
то
я
в) справедливо равенство
11—1
IP™-!!-? 2-
15. Пусть а, Ь — отличные от нуля элементы поля Fq, if — нетривиаль-
нетривиальный аддитивный характер поля Fq,
L (z, a, b) = (
v=l
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) L-функция Артина L(z, a, b) имеет вид
/,(z, а, й) = 1 + р,з + р2г2;
б) если ?(z, а, 6) = A — Wlz) (I — <o2z), то
с) справедливо равенство |р2| = S-
16. Пусть / (х) = /*i (г) ... /'г (Ж) _ разложений многочлена / е Fq[x]
на пеприводимые множители, s — положительное целое число, делящее
q — 1, ж deg(/i.../r) = m. Далее, пусть % — нетривиальный мультиплика-
мультипликативный характер поля Fq показателя s, (s, su ..., sr) = 1 и
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) L-функция Артипа
имеет вид
L(z, /)=exp
= 1 -Ь
=expl 2^
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
т—1
б) если L (л, /) = JTJ A — ю^), то
3=1
в) справедливо равенство
§ 4. Суперэллиптическое уравнение
н уравнение Артина — Шрейера
Суперэллиптическое уравнение
и уравнение Артина — Шрейера
(i)
B)
и сумм с аддитивным характером
играют особую роль в теории чисел. Это объясняется тем, что
вопрос о числе NgV решений уравнений A) и B) тесно связан
с оценками сумм с мультипликативным характером
) C)
D)
имеющими многочислепные прилолгения в самых различных
арифметических задачах. Некоторые из этих приложений будут
рассмотрены в следующей главе.
1. Суперэллиптическое уравнение и суммы характеров. Обо-
Обозначим I степень многочлена j{x). При s = 2 уравнение A) на-
называется гиперэллиптическим, а при s > 2 — суперэллиптическим.
В частном случае, когда s — 2, 1 = 3, 4 и многочлен f{x) имеет
различные корни, уравнение A) называется эллиптическим.
Пусть s'— (s, g—1) и s = s'r. Поскольку число г взаимно-
просто с q — 1, то z = yr вместе с у пробегает все элементы по-
поля Fq и, значит, число решений х, y^Fq уравнения A) совпа-
совпадает с числом решений х, у ^ Fq уравнения
в котором s'\q—\. Поэтому с самого пачала можно предпола-
предполагать, что показатель s в уравнении A) является делителем чис-
числа q — 1. В дальнейшем будем считать это условие выполненным.
4*

52
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Лемма 1. Для количества N v решений уравнения A)
¦й элементах х, у поля F v справедлива формула
л>= 2 2 х* (/(*)) =
Доказательство. Пусть t — некоторый элемент поля F v.
Для доказательства леммы достаточно установить, что число ре-
решений уравнения у" = t в элементах # е /' v равно величине
2 ъ@ = 2 x(normv0-
ind x=s infl x=s
Отображение ^ >->¦ normv t является гомоморфизмом группы
FqV на группу Fq. Ограничение этого отображения на подгруп-
подгруппу (^v)* задаст гомоморфизм этой подгруппы на(^*)8- Далее, по
лемме 4 из § 3 имеем
Is, если normv? e (Fq)s,
2 X (normv t) = \ о, если normvt <? (FtY и
\ 1, если normv? = 0.
Сравним указанные значепия суммы
2 x(normv*)
с числом решений уравнения у' = t. В первом случае t e C^v)"
и уравнение у' = t имеет s решений в элементах у s i^v- Во вто-
втором случае / ф. {FqV)s, 1ф0 и уравнение ys = t не разрешимо,
В третьем случае t = 0 и уравнение у* — t имеет единственное
решение у — 0.
Лемма 2. Для количества Nq^ решений уравнения B) *
элементах х, у е -FgV справедлива формула
(^)) = 2 2 *(trv^(a;)).
Доказательство. Пусть ? — некоторый элемент поля
FqV. Для доказательства леммы достаточно установить, что чис-
число решений уравнения уя — у = t в элементах у е F v равно
величине
величине
Из теоремы 9 § 2 следует (с заменой Fv на Fq и /"в на F v), что
уравнение у9 — У — t раэрепгямо топда и только тоща, когда
trv t = 0. При этом, наряду с решением у уравнение yq — у = t
% 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
53
имеет по меньшей мере q решений у + z, z^Fq, а поскольку
степень многочлена у4 — у = t равна q, то по теореме 5 из § 2
это уравнение, в случае его разрешимости, имеет ровно q реше-
решений. С другой стороны, по лемме 3 из § 3 имеем
если trvi = 0,
если
ш лемма тем самым доказана.
2. Число Fq - рациональных точек на кривой f{x, у) = 0. Вве-
Введем сначала важное для дальнейшего понятие абсолютно не-
неприводимого многочлена.
Определение. Многочлен f(x, у) с коэффициентами из
поля F называется абсолютно неприводимым, если он неприво-
дим над казндым алгебраическим расширением К поля F.
В § 2 гл. V докажем следующий общий результат:
Теорема А. Пусть f{x, у) — абсолютно неприводимый мно-
многочлен из кольца Fq [x, у]. Тогда для числа NqV решений урав-
уравнения
¦в элементах х, у поля F
fix, y) = 0
справедлива оценка
Из этой теоремы следует, что в случае абсолютно неприводи-
неприводимого многочлен f(x, у) величины N v ведет себя приблизительно
как qv. Покажем, что утверждение теоремы становится невер-
неверным, если f(x, у) не является абсолютно неприводимым много-
многочленом.
Пример. Пусть р — простое число вида р — 8k + 3 и
f(x, у) = у2 — 2ж4 — 4х2 — 2 — многочлен с коэффициентами из
поля Fv. Обозначим а корень в поле Fp2 многочлена z2 — 2.
Тогда в кольце F^ [x, у] справедливо разложение
Поскольку число 2 не является квадратичным вычетом по мо-
модулю р, то указанное разложение не имеет места в F9[x, у] и,
следовательно, многочлен f(x, у) — неприводим в кольце Fp[x, у],
но не является абсолютно неприводимым многочленом.
Уравнение f(x, y) = 0 разрешимо в элементах х, y^Fv тогда
я только тогда, когда либо у — а(х2+ 1) = 0, либо у + а(х2+ 1) =
= 0. Отсюда, ввиду линейной независимости над полем Fv эле-
элементов 1 и а, получаем
у - 0, з? + 1 = 0.
Но число —1 является квадратичным невычетом по модулю р и,

54
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
стало быть, уравнение f(x, у)—0 не разрешимо в элементах
поля Fp.
Лемма 3. Пусть у* — f(x) — многочлен с коэффициентами*
из поля F. Следующие условия эквивалентны между собой:
1) многочлен у' — f(x) абсолютно неприводим;
2) если f = /i1... /r —разложение многочлена f(x) на непри-
неприводимые множители в кольце F[x], то (s, s\, ..., sr)=l.
Доказательство. Пусть выполнено условие 1) и пред-
предположим, что d = (s, su ..., sr)> 1. Положим g = /i1 ^г
Приходим к разложению
Ki(ii-l) sfrf-2)
у d +у d g+ ... +i
противоречащему абсолютной неприводимости многочлена у3 —
-f{x).
Пусть теперь выполнено условие 2) и предположим, что мно-
многочлен у* — f(x) приводим в кольцеJ?[x, у]. Положим K = F(x).
Над алгебраическим замыканием К поля К справедливо раз-
разложение
Jr
в котором элементы у{(х) имеют вид yt(x)=Qy(x), KK_s,
где у(х)—какой-либо корень многочлена у* — f(x) в поле Кг
а X, — примитивный корень степени s из 1. Из приводимости мно-
многочлена у3 — f(x) в кольце F[x, у] следует, что для некоторых
ii, ..., ih где t < s, произведение
является элементом этого кольца. Свободный член рассматри-
рассматриваемого произведения
принадлежит F[x] и, значит, у' (х) е р [х]. Обозначим ^наи-
^наименьшее положительное целое число, для которого y*(x)^F\x\.
Тогда число s кратно |х, а так как у' (х)^ F[x] и t<s, то ц < s.
Положим y*(z) = g(x). Мы имеем y"(x) — f(x) и тогда g'3/* =
= /. Из однозначности разложения / = /i1 . • ¦ // многочлена / на
неприводимые множители следует, что все s{, 1 *? г < г, делятся
па d — sj]i, а поскольку d> 1, то получаем, что (s, si, ..., sr)> 1.
Но это противоречит условию 2) и, тем самым, лемма доказана.
Следствие. Пусть l = degf(x). Если (I, s)=l, то много-
многочлен у" — f(x) абсолютно неприводим.
Лемма 4. Пусть
ix, у)
(г) у'-1
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
55
— многочлен с коэффициентами из поля F, где /о — ненулевая
константа, и
dg/it)
v (/) = max .
Если v(f) = l/s, где (I, s)=l, то многочлен f(x, у) абсолютно
неприводим.
Доказательство. Покажем сначала, что если f(x, y) =
= g{x, y)h{x, у), то v(/)="max(v(g), {h))
Пусть
g (x, у) - gQy )
ш
h(x, y)=
Тогда
gj(x)kk(x),
причем степень каждого слагаемого g;hk не выше
]'v(g) + kv{h)<{j + k)max(v{g), v(fe)) = imax(v(g), v(fe)).
Следовательно,
deg Д (x)
max (v (g), v (h)), 1 < г < s,
. стало быть,
Положим для краткости v = v {/) и сделаем замену переменного
y
Имеем
, У1 = /оГ + h (х) tfu~» + ... + t. (х) =
причем
и
Стало быть,
ж тогда
Следовательно,
и, значит, v == v{/)¦= max(v(g), v(h)).
h, (x) yv<n-» + ...
= g(x, y")h(x, yv).
x, yy) = vs
m, degh(x, yv)>vn.
degg(x, j/') = m, deg h(x, yv) = vn
deg gj(x) < v/, deg hh(x)< vk.

56
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
Для доказательства леммы предположим, что многочлен-
Ял;, у) абсолютно приводим и что f(x, y) = g(x, J/)h(x, у)— его»
собственное разложение на множители g(x, у) и h(x, у), где
degvg{x, y) = m<s и degyh(x, y) = n<s. Имеем
v(g) = max
j
v (h) = max
и, в таком случае, v(f)?=max(v(g), v(A)), что противоречит ра-
равенству v(/) = max(v(g), y(h)). Полученное противоречие дока-
доказывает лемму 4.
Следствие. Пусть n = degg(x). Если (и, q)=i, то много-
многочлен уя — у — g(x) абсолютно неприводим.
3. Оценка сумм характеров с многочленом. Воспользуемся
теперь результатом теоремы А для получения оценок сумм C)
и D).
Теорема 1. Пусть j{x) — многочлен с коэффициентами из.
пяля Fq, / = fi ... Ir— его разложение на неприводимые мно-
множители в кольце FQ [х] и m = deg{/i.../,). Пусть, далее, % — не-
нетривиальный мультипликативный характер поля Fq показателя
s и (s, S], .. ., sT)<= 1. Тогда при всех у ^ 1 справедлива оценка
Доказательство. Из условий теоремы следует, ввиду
леммы 3, что многочлен у° — f(x) абсолютно недриводим, а толда,,
по теореме А, для количества Лг?г решений уравнения ys = f(x)
в элементах х, у поля FqV справедлива оценка
с некоторой константой с, зависящей от многочлена у'
По лемме 1 имеем
a> = ?v+ 2 2xv(/H)
ХФХ0
ind x=s
и, стало быть,
2 2 xv(/(*))l<^?/i.
Далее, по теореме 1 из § 3
2 xv (
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕИЕРА
57
и тогда
2 *?
V/2
для всех "V ^ 1. Отсюда, ввиду теоремы 2 того же параграфа
Wx)
тельно,
-.1/2
для всех рассматриваемых нами /, % и, с.тедова-
(m — 1) g
,V/2
Теорема доказана.
Поскольку имеется s — 1 нетривиальных характеров % пока-
показателя s, из теоремы 1 мы получаем следующий результат.
Следствие. Если / = /i1 ... f/, deg (ft ... fr)=m uys — f>(x) —
абсолютно неприводимый многочлен из кольца Fq[x, у], то для
числа iVgV решений уравнения A) в элементах х, у поля FqV
справедливо неравенство
Теорема 2. Пусть g(x)= boxn+ Ъ[Хп~1 + ... + Ъп-\х — мно-
многочлен из кольца Fq[x] степени п, взаимно простой с q, и ty —
нетривиальный аддитивный характер поля Fq. Тогда при любом
"V 3= 1 справедлива оценка
Доказательство вполне аналогично доказательству тео-
теоремы 1. Поскольку (п, q)=i, то по следствию из леммы 4 мно-
точлен у" — у — g (x) абсолютно неприводим, а тогда, по теоре-
теореме А, для числа NqV решений уравнения yq^—J/ = ^(^) в эле-
элементах х, у поля F v справедлива оценка
По лемме 2 имеем
ж, значит,
У. 2
¦***„
Далее, по теореме 1 из § 3
„V/2
Я-1
= - У соТ

58 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
и тогда
для всех v 351. Отсюда, ввиду теоремы 2 из того же параграфа,,
для всех рассматриваемых /, ajj и, стало быть,
Следствие, Если степень п многочлена g(x)=boxn-{~
+ Ъ\хп~1 + ... + Ъп-\х из кольца Fq [x] взаимно проста с q, то
для числа NqV решений уравнения B) в элементах х, у поля
Fqv справедлива оценка
Задачи
1* (Морде лл [89с]). Пусть р—яечетпое простое число, g(x) =
= boxn -f- bixn~l + • - ¦ т bn-ix — многочлен из кольца vFj>[x] степени не вы-
выше п и
р1 iaiS® _
0 *»_,)= 2' р' i = V-i
х=0
Установить следующие свойства сумм S(bB, ..,, 6n-i):
а) справедлива оценка
р—1
V | S (bQ,...,bn_l} Г <ер«»;
ьо,...,ьп_1=о
б) если 1 е f р и (I e Fj,, то
Р1 s™ggL р1 д
в) если X пробегает все млвменты из Fp и ц пробегает все элементы
. . .. PiP-i)
поля Fv, то многочлен g (х) степени п порождает по меньшей мере
различных многочленов
г) если g(х) — многочлен степени п>1 ез кольца Fp[x], то справед-
справедлива оценка
¦ 8(х)
х=о
¦{п)р п.
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
59
2* (Дэвенпорт [48а]), Пусть р — нечетное простое число, аи ..,
<хп — различные элементы поля Fp и
Установить справедливость следующих свойств сумм
= 3, А:
а) имеет место соотношение
где
..., <хп) при п =
(«11«2,«а,а4) = -1 + [-у)г@, 1, 6),
Ъ = -
j6) справедливо равенство
2
Г2 @, 1, Ь)=р"-2р-1;
ъ) имеет место соотношение
Г2 @, 1,6)=р-
(У казани е. В сумме
Г2 @, 1, 6) =
2=1
x,y=l
положить г = ху и воспользоваться соотношением а));
г) справедлива оценка
|Г@, 1, Ь)| *SicpV\
(Указание. Применить к сумме
неравенство Коши и воспользоваться равенством б)).
d
3. Пусть f — поле характеристики р > 0, ?> =i~ оператор дифферен-
дифференцирования в кольце Р[х], действующий на элементы f(x) = аожп + а\хп~г +
+ . - - + in по правилу
Df(x) = геяож"-1 + (« — 1)Я1ЖЯ-2 + ... + а„_1(
и Л' — положительное целое число, меньшее р. Доказать, что если
/(a) =Df(a) =... = D"f(a) =0,
то элемент agF является по меньшей мере (N + 1)-кратным корнем мно-
многочлена /(ж), т. е. (ж — <х)Л'+: делит в кольце F[x] многочлен f(x).

ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
, . 4. Пусть Fq — конечное лолс характеристики р > 2 и f{x) — отличный от
нуля многочлен из кольца Fq[x]. Доказать, что все решения x^Fq ураэт
нения
± /
= О
являются по меньшей мере двукратными корнями многочлена
Вывести отсюда, что для числа Nq решений эллиптического уравнения
у2 — х3 + ах + Ь, а, Ъ е= F3,
в элементах ж, у ^Fq справедлива оценка
9 + 3
I Nq ~ * I < ~2~-
5* (А. Г. Постников). Пусть fg — конечное поле характеристики*
р>2 и йя2 + 6,г -f- с — многочлен степени 2 из кольца ^д[л;] с отличным
от нуля дискриминантом d = Ъ2 — Аас. Используя задачу' 4, доказать, что
для числа Nq решений уравнения
у1 = ах% -\- Ъх + с
в элементах х, у поля Fq имеет место формула
где
— символ поля Fq, определенный в задаче 9 из § 2.
6* {С. А. С т е п а н о в [117Ь]). Пусть I ;э= 3 — нечетное число, р > ЭД2 —
/ р U/a
простое число и N ^ Ип~ ) — положительное целое число. Пусть, да-
d
и D=2-j-—-
лее, f(x) — бесквадратный многочлен степени I из кольца
оператора дифференцирования в поле Fp(x). Доказать справедливость сле-
следующих утверждений:
а) если рациональные функции
Uf<=Fp(x), 1<A</, / = 1,2,...,
задаются рекуррентными соотношениями
DH%~V + 2 (ft -
Hf :
то они представимы в виде
/:
¦з—к+1 '
где Р^'' — многочлены из кольца Fp[x] степени не выше (I — 1) (/ — к + 1)-
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
64
б) если рациональные функции г?' (ж), (^' (х) задаются в поле-
Fp(x) рекуррентными соотношениями
с начальными значениями r^0',
= 0 при / > 2N, и если
li \ 2iV
= (i ± f 2 J
то для выполнимости равенств
, /= 1, 2, ..., такими, что г;-
2JV
-0' =
достаточно выполнимости соотношений
(Указание. Использовать индукцию по т);
в) если И'\ ^г', 1 <T/<2iV, многочлены из кольца /"р[а:] степени не-
выше —о— — 1' сРеДи которых хотя бы один отличен от нуля, то Н$ (х) —
отличный от нуля многочлен из Fp [x];
г) существует отличный от пулевого набор многочленов г?', tj 'e F^ \x\
степени не выше N{N-\- i)l, при котором полином '
(*)) 2 rf
1-Х
2
3=1
обладает тем свойством, что
Ra(x) = DR0(x) ==...= D™-lR0(x) = О
для всех решений х eFp уравнения
р—1
(Указание. Для нахождения г^°\ /^ воспользоваться методом не-
неопределенных коэффициентов, а также утверждением б) с i = 0, т = 2iV— t
и утверждением а));
д) многочлен 2?о(лО отличен от нуля, его степень не превосходит ве-
величины
Np+-
ж Ro(z) имеет своими корнями кратности по меньшей мере 2/V все решения
р-1
ieFj уравнения 1 ± / 2 {х) =0.

«2 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
(Указание. Дли доказательства того, что Я0(х) ФО воспользоваться
утверждением в));
е) число Np решений гиперэллиптического уравнения
У2 = /(г)
з элементах х, у поля Fp удовлетворяет неравенству
\Np-p\t
Кр \1/2
М )
Лагранжа, число корней многочлена Яо(х), взятых с их кратностями, со сте-
тенью До(ж))-
d
7. Пусть F — поло и D — ^- — оператор дифференцирования в кольце
F[x]. Определим гиперпроизвоЭную Dt (Xacce [133а]. Тейхмюллер [121])
порядка i 5s 0 от многочлена f e F[x] равенством
и сравнить, используя теорему
Доказать следующие свойства гиперпроизводной Dt:
а) Di{f±g) ^Dif + D
б) Dt(af) =<xDif, a
-) ^(/,¦•¦/.)=^
д) если F — поле характеристики р
/(а) = Я,/(сс) = ..
0, а
F и
= О,
то элемент а. является по меньшей мере (N + 1)-кратным корпом многочле-
многочлена }(х).
8. Пусть Fq — конечное поле характеристики р > 2. Обобщая критерий
Эйлера из § 1, доказать, что уравнение
g—1
-разрешимо тогда и только тогда, когда a
d =
=1, где d= (s, g — г). По-
Поd
(, g )
казать, что в случае разрешимости уравнение имеет d различных решений.
Доказать, что уравнение у" = а не разрешимо в том и только в том
«случае, когда
g—l. (d-p(g-l)
9* (С. А. Степанов [117е]). Пусть Fq — конечное поле характеристи-
пли р > 2 и /(г) — бесквадратный многочлен нечетной степени 2 < I -jr I
иа кольца Fq[x].
а) Расширить конструкцию задачи 6 и, используя гиверпроизводные
D$, 1 <Г i;^ JV ^ \-nf I , построить отличный от нуля в Fq[x] многочлен
2 f
% 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ШРЕЙЕРА
степени не выше
{qJ
+N(N+1I,
имеющий своими корнями кратности по меньшей мере 2jV все решения х е"
g-i
е Ftf уравнения 1 + f 2 (ж) — 0.
б) Взяв JV = \\w\ и сравнив число корней многочлена Яо(х) с его-
степенью, получить для числа Nq решений гиперэллиптического уравнения
в элементах х, у поля Fq оценку
в) Вывести отсюда оценку
(тЬ
обобщенный символ Лежандра из задачи 9 § 2.
где
10* (С. А. Степапов [117с], В. М. Ш ми дт [146h]). Пусть I, s ~ вза-
взаимно простые положительные целые числа, Fg — копечное поле из j>
> 100s?2 элементов, s\q—1, / — многочлен из кольца ^И степени I ж
ч-г
g=f s . Доказать справедливость следующих утверждений:
а) если i?ii0(x) —многочлен вида
JV
j=0
где deg г^Ч (х) ^— — I, то из равенства
2 е'(*)^0(*) = о
i-0
следует, что r\°j (х) = 0 для всех 0 ^ i < s — 1,
б) если h(z) — многочлен степени т, l^t^S'— 1, Л — множество эле-
элементов х е Ря, для которых либо j(x) = 0, либо h(g(x}) =0nN^t + i —
целое число с условием
то существует ненулевой набор многочленов г\°\ е F [х] степени не вы-
выше у — I, при котором полином
До (*) =
2 2
»=0 3=0

64
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
тем свойством, что
JV' = — (N -J- / 4- 1) |> обладает
R0{x) = DiR^x)
= О
для всех х е А.
(Указание. Воспользоваться методом неопределенных коэффи-
коэффициентов) ;
в) многочлен Ей{х) отличен от пуля и его степень пе превосходит ве-
величины
¦у qN + Щ;
г) для числа Л7, решений уравнения
У = /<*)
з элементах х. у поля Fq справедлива оценка
Лз < ч +
Г/2д\1/21
(Указание. Положить Лг = у | — 3, h (г) = г — 1 и сравнить чис-
число корней многочлена До(я), взятых с их кратностями, со степенью R0(x).);
д) для величины Nq справедлива оценка
.я—1
Г/2?', 1/2"!
(Указание. Положить iV= — — 3, h (г) = 1 4- г 4- ...
IVя' J
и сравнить число корней многочлена Ro(x) с его степенью.);
е) если / = /j1 .., frr — разложение многочлена / на неприводимые мно-
множители в кольце Fq[x], deg(/L.../г) — го и % — нетривиальный мультипли-
мультипликативный характер поля Fq показателя s, то справедлива оценка
11. Пусть g(x) = Ъохп + btxn-1 + ... + Ьп_1х — ненулевой многочлен из
кольца Fq [х] и а — некоторый элемент поля Fq. Пусть, далее Na — число
решений уравнения
trvg (х) = а
* элементах х е F v. Доказать справедливость следующих утверждений:
а) имеет место равенство
S К=*
a<=Fq
б) справедливо соотношение N 4=qN0, где N v— число решений в
элементах х, у е F v уравнения j/1* — ^ = ^(ж).
12* (С. А. Степанов [117d], В. М. Шмидт [M6h]). Пусть v > 3,
*~|~2"Ь N — кратное q число с условием 0<CN^.qv~k~1, g(x) = baxn -f-
-f й^"-1 + ... + bn-ix — многочлен из кольца F4[x] .степени n<q, взаим-
§ 4. УРАВНЕНИЕ АРТИНА — ПГРЕЙЕРА
но простой с q, и
h (х) =
(x)
(х).
В обозначениях предыдущей задачи доказать справедливость следующих
утверждений:
а) Существует отличный от пуля многочлен
9-1 N/q
2 2^^^
из кольца
степени не выше
обладающий свойством, что каждое решение х е F v уравнения
trvg (х) = а
является его корнем кратности по меньшей мере JV.
(Указание. Воспользоваться методом неопределенных коэффициен-
коэффициентов, рассматривая в качестве таковых многочлены rj jnW' a такЖе
критерием кратности корня многочлена из задачи 7);
б) Для величины Na справедливо неравенство
Na < qv-l+qk+*.
(Указание. Взять Лг = qv-h+{ и сравнить число корней многочлена
Ra.a{x) с его степенью.)
в) Справедливо неравенство
(Указание. Воспользоваться соотношением из п. а) предыдущей
задачи.)
г) Имеет место неравенство
N —
д) Справедливы оценки
<П — 1) (д _ 4) gV/2,
13. Пусть 8i, ..., О,, — действительные числа. Используя принцип «ящи-
«ящиков Дирихле», установить существование целочисленного набора (pi, ...
..., рп, q) с произвольно большим q > 0, удовлетворяющего системе не-
неравенств
I п. ! -f,j.L.\
1 < i < п.
(Указание. Рассмотреть tn 4-1 гс-мерных точек ({s0i}, ..., {s0n}),
s = 0, 1, ..., tn, где {а} — дробная доля числа а, и tn полуоткрытых кубиков
v2 уд + 1 vn vn + l
t ==^- t
где vi, ..., vn = 0, 1, ..., t— 1.)
5 С. А. Степанов

66
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
14. Пусть A)Ь ,.., to, — непулевые комплексные числа. Используя ре-
результат предыдущей задачи, доказать существование бесконечной последо-
последовательности положительных целых v, для которых
15. Пусть "ф — нетривиальный аддитивный характер конечного поля Fq,
п — взаимно простое с q число и g(x) = Ъахп-\- biz* +...-Ь Йп-ii— мно*
гочлен из кольца Fq[x\ степени п. Используя результаты предыдущей за-
задачи и задачи 14 из § 3, доказать существование бесконечной последователь-
последовательности положительных целых V, для которых выполняется неравенство
XSF
,,«—I
16. Пусть / = /j1... /гг —разложение многочлена /е Fq[x] на непри-
неприводимые множители и пусть deg (/i... /г) = т. Далее, пусть / — нетриви-
нетривиальный мультипликативный характер поля Fq показателя s и пусть.
(s, $i, ..., sr) = 1. Используя результаты задачи 14 и задачи 16 из § 3,
доказать существование бесконечной последовательности положительных
целых v, для которых выполняется неравенство
2 **
xeF ..
17. Пусть а, Ь — отличные от нуля элементы поля Fq и i|? — нетривиаль-
нетривиальный аддитивный характер этого поля.
а) Установить абсолютную неприводимость многочлена
ах2 — (у2 — jr)x + Ь.
б) Используя теорему А и результаты задачи 15 из § 4, вывести для
суммы Клостермана оценку
ГЛАВА II
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
И НЕВЫЧЕТОВ
§ 1. Результаты И. М. Виноградова и Д. Берджесса
1. Теорема Виноградова — Полна. Пусть f(x, у) —многочлен
с целыми коэффициентами нр — простое число. Если многочлен
/, рассматриваемый как элемент кольца Fp [x, у], абсолютно не-
неприводим, то из теоремы Л § 4 гл. I следует, что для числа Np
решений сравнения
f(x, y) = 0 (mod/>) A)
справедлива асимптотическая формула
Отсюда следует, что при всех достаточно больших р сравнение
A) разрешимо в элементах х, у полной системы вычетов 0, 1, ...
-.., р — 1 по модулю р.
Для многих задач теории чисел важен вопрос о разрешимо-
разрешимости сравнения A) на неполной системе вычетов, когда перемен-
переменные х, у пробегают некоторые подмножества множества {0, 1, ...
..., р — 1}. Первые общие результаты в указанном вопросе были
получены И. М. Виноградовым [27а] и Г. Полна [97а] при изу-
изучении закона распределения квадратичных вычетов и невычетов
по простому модулю р > 3. Из этих результатов следует, в част-
частности, что если Н > pU2 log1+Ej5, где в > 0, то квадратичных вы-
вычетов и невычетов на отрезке [1, Я] асимптотически поровну.
Теорема 1. Для числа NP(H) решений сравнения
е целых числах х = а +• 1, .
Н<р, справедлива формула
а + Н и у = 0, 1, ..., р — 1, где
Доказательство. Имеем
я
х=1
x=i
5*

68 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
и, следовательно, достаточно показать, что
н
2
^ ciPг log р.
Для простоты будем считать, что а=0.
Рассмотрим сумму Гаусса
р—1
При х^О (modp) имеем
= Z, — е
и тогда
н
Н
Отсюда, принимая во внимание равенство \Т\=р1/2, по
Но
2 еЮ*
получаем
2 f
ЗС=1
*=i
В ,xt
2Я1-
ti
2
1-е
н
1-е
2Л1-
и, значит,
(=1 Р
Из графика функции # = sin2f. легко
sin-
Itf
^
случае,
^ видеть, что па отрезке
справедливо неравенство sin~>- И; в таком
Р р
н
1
A)
Теорема доказана.
§ 1. РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕССА
69
Следствие. Пусть R(H) и соответственно N (Я) — количе-
количество квадратичных вычетов и невычетов среди чисел а +1, ...
..., а + Н. Тогда
2. Гипотезы И. М. Виноградова. Пусть d(p) —максимальное
расстояние между соседними квадратичными невычетами, п(р) —
наименьший квадратичный певычет и г(р) — наименьший про-
простой квадратичный вычет по модулю р среди чисел 1, 2, ...
..., р — 1. И. М. Виноградовым был высказан ряд гипотез о по-
поведении величин d(p), n(p) и г(р), а именно: для любого задан-
заданного е > О
dip)
И. 1^->0, Ш. ^ + 0
при p -*¦ °°.
В настоящее время мы далеки от доказательства этих гипо-
гипотез, и особенно трудной представляется гипотеза I. Из расши-
расширенной гипотезы Римана для ?-рядов Дирихле следует [152, 74],
что
п(р) = О {log2 p),
= O(log2p).
В то же время для поятверэиденвя справедливости гипотезы I
не удается получить даже подобного рада условные результаты.
Теорема 2 [27а]. Для наименьшего квадратичного невы-
невычета п(р) справедлива оценка
n(p)^cpi/2V'e (log» р),
где с > 0 — абсолютная константа и е — основание натурального
логарифма.
Доказательство. Положим Н = [pl/2log2p] и рассмотрим
числа 1, 2, ..., Я. Если п(р)<Н1/2, то имеем я(р)^ р1/4 logp^
^ р1 2 eloga/>. этом случае утверждение теоремы справедливо.
Пусть теперь п (р) > Я1/2 и пусть тп^ Н — положительное це-
целое число, являющееся квадратичным невычетом по модулю р.
Поскольку каждый положительный квадратичный невычет п
удовлетворяет неравенству п^п(р), то среди простых делите-
делителей числа m может быть лишь один квадратичный невычет (если
бы их было больше, то неравенство п(р)>Н1/2 оказалось бы
противоречивым). Следовательно, m — qt, где q — простое число,
удовлетворяющее условиям I -— ] = — 1 и п (р) < q =sc Я. Далее,

70 ГЛ. П. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
поскольку
я
я
2
m=l m=l
(
то
Я /т
т—1
H
I— ^
н
т=1
1-Я-2
-Я-2
-2 2 я'1),
n(p)<q<&H }
где последняя сумма берется по всем простым q, лежащим мещ-
ду п(р) и Я. Из теоремы 1 следует, что
я
Я
m=l
^logp
и тоща
1-2
B)
Воспользуемся теперь следующим соотношением из теории
простых чисел (см. [142а, гл. VII, § 5])
2«--
Из этого соотношения следует, что
2 Г1 = log log H - log log n(p) + O
и тогда, ввиду B),
где
п (р)
. Следовательно,
log-g ¦> е1/2-а(р)
log п(р) -^
§ \. РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЗЕЕССА
и, стало быть,
71
Теорема доказана.
3. Теорема Берджесса. Для получения более сильных утверж-
утверждений относительно величин d(p) и п(р), чем те, которые дают
теоремы 1 и 2, воспользуемся результатами гл. I.
Предварительно докажем несколько лемм. Следующая лемма
принадлежит Дэвенпорту и Эрдешу [49].
Лемма 1. Пусть р>2 — простое число и А< р — 1, г —
положительные целые числа. Тогда
Доказательство. Имеем
р~ 1 /ft
Щ(^))"= 2 '2(
Разобьем наборы (Xi, ..., %2г) на два класса. Б первый класс
отнесем те наборы (Х\, ..., Ляг), в которых не более г различных
компонент и число равных между собой компонент четно.
Остальные наборы отнесем во второй класс.
Оценим число наборов первого класса. Количество упорядо-
упорядоченных наборов (Ль ..., %2т), у которых s ^ г компонент Л^ ,...
. ..,^s суть различные между собой числа из множества {1,
2, ..., h), а каждая из остальных компонент совпадает с одной
из указанных, не превышает границы
При этом компоненты Xiv...Xi3 можно выбрать не более чем
Bг - *) I! < Bг - 1) Bг - 3)... 5 • 3 • К BгJ
различными способами и, значит, число наборов (Ль ..., %2Г)
первого класса не превосходит величины
Br)r S h(h- 1) .. . (h — s + 1)<{2rfhr.
Для каждого такого набора имеем
ж=0

72
ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
и, следовательно, вклад наборов первого класса в сумму
Р-1 / h , \2Г
ill
не превышает Br)rphr.
Число наборов второго класса не превосходит общего числа
наборов (Ai, ..., Лаг), т. о. величины &2г, и для каждого из них
внутренняя сумма
р-1 ., , , v , , . . ,
су ^^* / \ ~^~ 1^ * " * \ ~* 2г)
имеет вид
где vi + ... + vs < 2r; aj, ..., ae — попарно несравнимые между
собой по модулю р целые числа и vi, ..., л?» не все четные.
В сумме S можно заменить показатели vi, ..., л>„ на величины
ей ..., ег по правилу
12, если Vj четное,
1, если \j нечетное.
В результате эта сумма примет вид
5 =
где е\ + ... + ее =S 2т и по крайней море одно из es равно 1. По-
Поскольку характер %(fy — \-r) имеет показатель 2, то согласно
теореме 1 из § 4 гл. I
Таким образом,
P-I / h
2т
^Br)rphr + Br —
и лемма, тем самым, доказана.
Лемма 2. Пусть N — количество решений сравнения ху
^х'у' (mod;?), где 1^х, х'^Е, 1 «? у, у'^Ни iHH
Тогда при произвольном ю > 0 справедлива оценка
с некоторой константой c' = c'(a>)i> 0.
§ 1. РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕОСА
73
Доказательство. Поскольку НН\ <р, то N равно коли-
количеству решений в целых числах 1 *? х, х ^ Н, 1^у, у' < Hi
уравнения ху^х'у'. Обозначим d{n) количество положительных
целых х', у', удовлетворяющих уравнению х'у' = п, и заметим,
а, га.
что если п = рг ... ps — каноническое разложение числа п на
простые сомножители, то d(n)—>(a.i + 1).. .(a, + 1). В таком
случае
d(mn)^ d(m)d(n)
н
Кроме того, имеем
t
и, значит,
н
z=l
Лемма доказана.
Лемма 3 (неравенство Гёльдера). Пусть &s, bh К.
к я, р — неотрицательные действительные числа, причем
а
+ i-=l. Тогда
м
м
\ i/« / м \
/ V j=i /
Доказательство. Будем считать, что не все числа as и
Ъз равны нулю (иначе нечего было бы доказывать). Рассмотрим
ха 1
при х>0 функции f(x) = x и g(x)=— +-а- Имеем /(l) = g(l)"
и /'A)=#'('1)= 4. Следовательно, прямая у~х является каса-
ха 1
тельной к кривой у = — + -g- в точке A, 1), и поскольку про-
производная g'(x) = a;o~1, ос>1, функции ^(ж) монотонно возрастает
ха 1
вместе с х, то график функции г/ = Ь -о при а; > 0 располо-
расположен выше графика функции у = х.
Отсюда следует, что
Если положить х — ыу1"^, где и > 0, и > 0, тр получим
гл;
а

74 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Значит,
а так как — + -g- = 1, то
Положим
2-?
г/а1
3=1
Тогда из последнего неравенства следует, что
М / М \ 1/а / М \ 1/Р / М
/ M \l/a/M
=1!л) II1
и тем самым лемма доказана.
Следующий результат Берджесса [13] значительно уточняет
теорему 1 и, в свою очередь, приводит к усилению теоремы 2.
Как показано в работе [56], этот результат может быть получен
методом двойных сумм И. М. Виноградова.
Теорема 3 (Берджесс). Для любого заданного е > 0 суще-
существует б==б(е)>0 такое, что при Н > р1Н+* и любом целом а
справедлива оценка
C)
X—1
еде с = с(б)>0 — некоторая константа.
Доказательство. Для простоты изложения будем счи-
считать, что а = 0. Далее, ввиду оценки A) можно предполагать, что
Положим
г _ [i.] + 1, в
При Ку<Ни
-J-
(г + 4-), Et = [Нр~» ~в ]
, Н2 - [Р«»\.
имеем
2
Суммируя обе части этого равенства по всем указанным у и z,
§ 1, РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕССА
75
получаем
где
я шх н2
Оценим сумму W. Имеем
где N(Х)~ число решений сравнения ху~х = 'к(шо^р) ъ целых
я—1, 2, ..., Я и г/= 1, 2, ..., #г Положив а=_^_ fi = r
Г—. 1' " '
г—1
, получаем по лемме 3
В таком случае
|
и так как (снова по лемме Зса=р =
2r
ТО
Далее, имеем
где JV - количество решений сравнения
лых х, *', у, у' из интервалов !
Зг

76 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
и тогда по лемме 2
,w\
Отсюда, взяв а достаточно малым по сравнению с е, получаем
на основании леммы 1, что
\W\<c"Hp-\
Следовательно,
2(-f
-а
и тем самым теорема доказана.
Следствие. Для любого заданного б > 0 существует кон-
константа ро = Ро(Ь) такая, что при р>Ро имеет место неравенство
Доказательство. Следствие выводится из оценки C)
аналогично тому, как теорема 2 была выведена из оценки A).
Возьмем е >0 и положим H — [pUi+e]. Если п(р)^ Ни2, то
/ ч 1/4^64-8/3
п {р) <Ср , и в этом случае следствие справедливо.
Пусть теперь п (р) > Пи2. Поскольку каждый неотрицатель-
неотрицательный квадратичный невычет пг ^ Н представляется в виде m =
= qt, где q— простое число с условиями I—)= —1 it n(p)^
*S q < II, то то же рассуждения, которые были использованы
при доказательстве теоремы 2, приводят нас к неравенству
где последняя сумма берется по всем простым числам q из ин-
интервала n(p)^5 q s?; Я. По теореме Берджесса
я
\cllp-
и тогда
-6'
где 0 ^ а (р) <! схр . Следовательно,
и, зпачит,
для всех р > ро. Следствие доказано.
§ i. РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕССА
77
Задачи
1. Пусть р> 2 — простое число и N(a, ^—количество чисел хе
(" х \ t&-\- i\
— \ = а, ——1~р. Доказать справед-
справедливость соотношений:
если р =з 1 (mod 4),
если р = 3 (mod 4),
если jr> = I (mod 4),
если р = 3 (mod 4),
если р = 1 (mod 4),
если jj = 3 (mod 4),
если р= 1 (mod 4),
если jsss 3 (mod 4).
2. Пусть р > 2 — простое число. Доказать, что
1 '/ 1U/2
N(i, i) =
ЛГA, -1)=
JV (—1, —1) =
\р
(
р
р
р
{
—
4
4
4
4
4
4
4
о
3
t
3
з
3. Используя результат предыдущей задачи, показать, что при р > 3
справедлива оценка d(p) < 2Ур.
4. Пусть р > 2 — простое число, s < р и (ott, ..., а,) — заданный набор
чисел ocj = ± 1, 1 ^ / ^ я. Положим
и обозначим iVj—количество чисел jg{0, 1, ..., р — 1}, для которых
, |=а«-
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Имеет место соотношение
б) Справедливо неравенство

78
ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
в) Если 2s <; ——g— и р > ро, то найдется хотя бы одно число
: {0, 1, ..., р — 1}, для которого
1\ fx+'\
количество -V» чисел х s {0, 1, _.., р — 1}к
для которых
выражается асимптотической формулой
26
5. Уточнить результаты теорем 1 и 2, доказав справедливость неравенств
6. Пусть ^ — конечное поле характеристики /> > 2 и ©,, ..., ш„ —его
базис над простым полем Fp. Пусть, далее, % — нетривиальный мультипли-
мультипликативный характер поля Fq и V(H) — множество элементов х = xja, + ..
... + а;п<й„ поля Fq с условием O^o,-<j,^ej + if<j, I sg / s? в. 06o&V
щая результат теоремы 3, доказать, что для всякого е > 0 найдутся б =
= б(е, <В[, ..., <о„, х) и р0 = ра(е, ©1, ..., <о„, х) такие, что при Н > pV*+*,
р > Ро справедлива оценка
<{нР-ьт.
7. Пусть р > 2 — простое число и
Л
Л
=2 If)»
к=1
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) имеет место неравенство
р—1
71=1
б) хотя бы для одного Л = 1, 2, ., м р — 1 выполняется соотношение
8 . Пусть р > 3 — простое число н га > 1 — делитель числа р — 1. Дока-
Доказать, что наименьший среди чисел J, 2, ..., р — 1 невычет степени я по мо-
модулю р не превосходит величины
п—1
где А = е и е — основание натурального логарифма.
§ 1, РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕССА
79
9*. Пусть р > 3 — простое число и 1 ^ Н < р — целое число. Доказать,
что количество первообразных корней по модулю р, лежащих среди чисел
1, 2, ..., Я, равно
где ф(т) —функция Эйлера, |9| < 1 и к — число различных простых дели-
делителей р — 1. Вывести отсюда верхнюю границу
для наименьшего первообразного корня i\(p) е {1, 2, ..., р — 1}.
10*. В обозначениях задачи 6 доказать, что количество элементов поряд-
порядка q — 1 мультипликативной группы F^ поля Fq, лежащих в множестве
У (Я), Н > ри*+\ р > ро, равно
6>0.
11. Пусть р —нечетное простое число, (а, р) = 1 и 1 ^ U < р. Доказать,
что
U .ах
12. Пусть р —нечетное простое число, (а, р) = 1 и NP(U, V) —количест-
—количество решений сравнения
^^p,.y^^p
установить справедливость формулы
Np(U, V) =Е1
p. Используя, результат предыдущей задачи,
log2 р).
13. Пусть р — нечетное простое число и NP(A, В) —количество решений
сравнения
х2+ j/2= I (modp)'
1=sS^s?5sS/>. Используя результат задачи 11, доказать,
с 1
что
N (A, B)=^.
р р
14* (С. А, Степанов [117k]). Пусть р — нечетное простое число,
!==?#==?/> — целое число,-ЗИ = {fi(x), ..., /«(ж)}— множество всех непри-
неприводимых нормированных многочленов из кольца Fp \х] степени п > 1 и
(л) = [— 1, z<^Fp, l<s<m. Доказать справедливость следующих
утверждений:
(Я + 1) log 2 ,
а) Если . — -Ь 1 < п < Р% то среди наборов
Я. = (Я,,A), ..., l
найдутся по меньшей мере два одинаковых.

80
ГЛ. 1Г. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
б) При вьгаолпонии условия предыдущего пункта найдутся бесквадрат-
бесквадратные многочлены /(ж), g(x) ^Fp[x] степени 2ге, для которых
в) Если Р>7 и 1<Я< '^-ff1^', то найду1СЯ беС№
ратные многочлены /(*), #(*) еУ,[г] степени 2, для которых
н
я=1
15. Пусть р — нечетное простое число, 1 ^ Лт =^ р — целое число, 0 < е <
< 1/4я и Э! = {/](л:), ..., /г(я)}—множество всех многочленов из кольца
Fp[x] степени пе выше п. Пусть, далее, Bh ^ ,.ъ.ы~ ^-мерный комплекс-
комплексный «кубик», состоящий из точек
где (к, — 1)ер < 6, < квър, если 1 ^ к, ^ [е-1] — 1, 1 < * < N, н
([в]—1)в/)<0а</), если к, = [е^1]. Доказать справедливость следую-
следующих утверждений:
а) Если ге
log/)
2лг
т0 сРедн
¦> ,...,eZ3U *> Л
найдутся по меньшей мере две точки, лежащие в одном из «кубиков»
й! %'
ЛТ log (l + e)
б) Для каждого целого га 5s j" „ найдется отличный от ну-
ля многочлен f(x) = fj(x) —f%(x), 1 <;/, т ^ г, степени не выше га, для ко-
которого
I N ^!^\
L — 2пе) 7V.
16*. Пусть т, п — положительные целые числа, р — простое число и
Л(га), &{х) — функции Мангольдта и Чебышева, определенные равенствами
., , [log/?, если п = рш, те>1,
Л(ге) = (о, если пФР™,
Установить справедливость следующих утверждений,
а) Выполняются равенства
din
2
§ 1., РЕЗУЛЬТАТЫ ВИНОГРАДОВА И БЕРДЖЕССА
б) Имеет мосто равенство
п\ = П Р*>
где
в) При х ->- <х> имеем
log?
Р
(Указание. Воспользовавшись утверждением предыдущего пункт»
и соотношениями
пкх
log m = г log я — х 4- О (log x),
показать, что
(в) = ^ I у
Установить, что последнее соотношение справедливо и для нецелых п. Ис-
Используя неравенство [х] — 2 [х/2] ^= 0, вывести отсюда опенку
{[7] ^2 И
log p=A {n) -
Складывая затем неравенства
Получить оценку 9 (я) = 0{ге).
Представить, наконец, целую часть — числа ~г в виде
и воспользоваться асимптотикой
deJ ^, Г х
р-бх
для суммы А(х).)
6 G. А. Степанов

$2 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
г) При х -»- оо имеет место асимптотическая формула
(Указание. Показать, что
У ^М у log t
я затем воспользоваться результатом предыдущего пункта.)
д) При х -*¦ оо имеем
(Указание. Воспользоваться соотношением
logp I v e(n)—
1
'log n
р ' log р л*
2<п<:
и, применив к последней сумме преобразование Абеля, показать, что
Р = Zl [ 2d n Hlogm- log (m + i) +c^U[]og x '
= 2 [2
log m log (m + 1)
о(
llogz
Затем воспользоваться соотношениями
1 Г 1
log га log(m
2
mlog m
Log z
¦я результатом п. в}.)
§ 2. Большое решето и его применение к задаче
о наименьшем квадратичном невычете
1. Большое решето. Трудности, связанные с доказательством
типотезы И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невы-
невычете п(р), привели к ослабленной форме проблемы — задаче о
поведении п(р) «в среднем» по простым числам р. В этом на-
направлении Ю. В. Линником [73Ь] при помощи созданного им
метода большого решета [73а] было установлеао, что гипотеза
И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете спра-
справедлива для подавляющего большинства простых чисел р.
§ 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО 8$
Важнейшие этапы развития метода большого решета и его*
многочисленные применения подробно освещены в книге Г. Дэ-
венпорта [48f]. Основу метода составляет следующий общий ре-
результат о значениях тригономет- ,
ричеокого многочлена на конеч- ^"
иом множестве точек.
Лемма 1. Пусть а-ц,
fl-w+i, ..., an — произвольные
комплексные числа и
ane2
N
Пусть, далее, хи ..., xR — произ-
произвольные вещественные числа и
-1/2 -в
Рис.1
где Hall — расстояние от а до ближайшего целого числа. Тогда,
R N
F-\ 2N) Ц
Ц ||
r=l n=—N
Доказательство. Пусть 6 — произвольное число, удов-
удовлетворяющее условиям О О < 6/2 иб^ 1/2JV. Определим перио-
периодическую с периодом 1 функцию ц>{х) следующим образом:
re~1(i — е!^)), если и<е,
ф(аг)~1о, если е<]*|<1/2.
Она является непрерывной функцией ограниченной вариации и,
следовательно, представима равномерно сходящимся рядом:
Фурье
Таи как функция <р (х) вещественна, то с_„ = с, и поскольку она
четная (рис. 1), то ряд Фурье функции ц>(х) оодаржит лишь
косинусы.
Выпишем коэффициенты Фурье
1/2 &
с» = \ Ф (х) e-™inxdx = |. j /1 - 4 ) cos 2nnxdx.
-1/2 9 ^
Интегрируя по частям, получим
в
- \ sin 2nnxdz =
о

ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Для изучения тригонометрического многочлена S (х) в окре-
«тности точки х = хг введем вспомогательный многочлен
По равенству Парсеваля для свертки имеем
1/2 №
i q>(y)T(.X-y)dy= 2 Л
-1/2 "=-ff
и, значит,
S(x)= \ tp(y)T(x-y)dy.
в
-е
Применяя неравенство Коши, получаем
е е
|S(x)|2< \^(y)dy l\T{x-y)\*
-6 -9
и так как
то
|Г(л:~гг)|я^ = | j \T(z)\*dz.
—Ь ас—в
Заменим теперь г на х, и просуммируем обе части последне-
последнего неравенства по всем г = 1, 2, ..., Л. В силу выбора парамет-
параметров б и б интервалы (хг — б, хг + 9) не пересекаются по mod 1
я тогда
л
1/?
gg J
/
J
—1/2
Отсюда, применяя к T(z) равенство Парсеваля, получаем
Вспомним ограничение 6 < 1/2N. Коэффициенты (лгаЭ/sin ягабL
достигают своего максимального значения при га = ±N и, значит,
| 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
85
Позаботимся теперь об оптимальном выборе параметра 6, удов-
удовлетворяющего условиям G ^ 6/2 и Э < 1/2JV. Положим nNQ = т.
Тогда
х < nNe/2, г < л/2
_2 ( яЛт9 V = 2лЖ т3
¦Функция T3/sin4 х убывает с возрастанием х от 0 до То, где to —
единственное решение уравнения
л интервале @, я/2). Если To<niV5/2, то положим т = То. Тогда
значение рассматриваемой фуитщши в точке хо равно
sin4t
о
Если же xo>nJV6/2, то положим T=-g-<T0. В этом случае
-значение функций будет равно
т3 41/ х Xigif \
2nN т3
3
Из таблиц находим хо = 0, 8447... и №гда
sm х„
= 2,019..., ^
= 2,171 ...
Поскольку оба указанных числа меньше, чем 2,2, получаем
утверждение леммы.
Следующая лемма имеет несколько больший арифметический
характер.
Лемма 2. Пусть U и V > 0 — целые числа и
V+V
S{x)= 2
Тогда
q
У
n-D+X
Доказательство. В сумме S(х) заменим ййДбкс сумми-
суммирования га на m по следующей формуле:
n^m+U + N+l,

86
ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
где
V/2, если V четное,
(V—1)/2, если V нечетное.
Тогда т изменяется от —N до N, либо от —N до N— 1. В по*
следнем случае будем считать, что т тоже изменяется до N+
полагая aN — 0.
Теперь к сумме
можно применить лемму 1. Числа х\, хг, ..., xR — это все рацио-
иальные числа —, у которых знаменатели не превосходят чис-
г, - I
ла X. Если —ф^, то
и, значит, б > ЦХ2. Применяя лемму 1, получим
2 2
' 2N)
2
m=-JV
u+v
< 2,2 max (X2, F) 2 |an|ar
2
0=1
(a,g)=l
что и требовалось доказать.
Лемма 2 позволяет теперь установить следующий чисто ариф-
арифметический результат.
Лемма 3. Пусть щ, гаг, .. ¦, пв — различные целые положи-
положительные числа, не превосходящие V, р — простое число и
Np(h) — количество индексов j, для которых га,- = А (mod/)).
Тогда для любого Х>0
2
; V)H.
Доказательство. Рассмотрим тригонометрическую сумму
5-1
и представим ее в виде
П=1
§ 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
87
-где
Согласно определению Np(h) имеем при а^'О (mod/))
Н an: p—1
^5
A, если п = rij при некотором /,
О в противном случае.
.ah p—1
7
I \е
.ah
2лг —
V
Кроме того, поскольку
р-1
Л=0
то
Поэтому
•<г=1
и так как
то
Значит,
р
р—1 р—1
2 2
Р—1
7,е
2Я1-
2
'р, если ^^^(modp),
О в противном случае,
pitX Л=0
и тогда по лемме 2
2 р 2
ft=0
'2 тах
я-
Лемма 3 тем самым доказана.
2. Исключительные простые числа. Выведем теперь из лем-
леммы 3 результат, который был установлен Ю. В. Лииником в его
исходной работе о большом решете.

88
ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Теорема 1. Пусть заданы Н различных целых чисел п\г
щ, ..., Пв, лежащих между 1 и V, и вещественное число г,
0<т< 1. Назовем простое число р < Vй2 исключительным, если
количество классов вычетов по modp, которым принадлежат
числа п\, П2, ..., Пи, меньше чем A — т)/р.
Количество исключительных простых чисел р < Vй2 не пре-
превосходит величины 2,2V.{tH)~1.
Доказательство. Из леммы 3 следует, что
Обозначим SK множество исключительных простых чисел р
Vй2 и усилим предыдущее неравенство
2
Если р е SJ3, то число классов вычетов по модулю р, для которых
NP (h) = 0 не меньше чем хр, и поэтому для всех р е $ имеем
2
Значит,
2 я2
рт~- <2, 2VH
и, следовательно,
Теорема доказана.
3. Теорема Линника. Перейдем к применению метода боль-
большого решета к задаче о наименьшем квадратичном невычете.
Для этого воспользуемся одним результатом И. М. Виноградова
(см. [27а, с. 85]), который сформулируем в следующем виде:
Лемма 4. Пусть Н{х, у) — количество положительных це-
целых чисел п «? ж, все простые делители которых не превосходят у.
При достаточно большом у справедливо неравенство
где с — положительная константа.
% 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
89
_ _ Г log х 1
Доказательство. Пусть s = j^y и предположим сна-
-чала, что s < 2, т. о. у>хи2. В этом случае
f
р\п
р
•и так как
где ^ — некоторая постоянная, то
Пусть теперь s = \, ^ 2. Покажем сначала, что лемму
достаточно доказать для тех х и у, которые удовлетворяют
условиям
у*^х<у+^+*. A)
Действительно, если лемма доказана при этих условиях и если
то, полагая у =хи<-"+1), имеем
Н-1 + -
$+3
V"
¦и, ввиду того, что у ^у, получаем
Н(х, у)>Н(х, у)>хехр\
Но поскольку
3s log s > 2 {s + 1) log s > (s + 1) log (s + 1),
TO
Итак, будем считать условия A) выполненными и положим
Возьмем любое число х\, удовлетворяющее условию
и оценим снизу количество Hi положительных целых чисел п

у
щхс хо
у. Имеем
90 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
х\, делящихся хотя бы на одно простое число р из интервалам
ы
IE" ^ Р J
и, воспользовавшись простейшими результатами из теории рас-
распределения простых чисел, получаем
Таким образом, Н\ > ех\ для всех достаточно больших у.
Возьмем любое число х%, удовлетворяющее условию
у2
у2
х2
и оценим снизу количество Н% положительных целых чисел п ^
=S х2, делящихся па произведение каких-либо двух простых р ш
q из интервала yl~" < р, q^y. При этом произведения pq и qpt
отличающиеся порядком следования множителей, будем считать-
различными. Имеем
±Y + О
и, значит, Нч > е2х2 для всех достаточно больших у.
Продолжая эти рассуждения, находим, что если х = xs — лю-
любое число, удовлетворяющее условию
ys^.x<iys+1-(s+11e = у" «+2,
и Я, — количество положительных целых чисел п^х, делящих-
делящихся на произведение s простых pi, ..., р, из интервала у1'' <
<р\, ..., р,^у (считая за различные произведения, отличаю-
отличающиеся порядком следования множителей), то
Л, > e,*xt =
для всех достаточно больших у. Стало быть, если х, у удовлет-
удовлетворяют условиям D), то
§ 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
91
Но
я, значит,
-Лемма доказана.
Обозначим N(p^x, п(р)> у) количество простых чисел р =S
^ х, для которых наименьший положительный квадратичный не-
невычет ji(p) превосходит у.
Теорема 2 [73Ь]. Имеет место неравенство
N(р<х, п(р)>#)<exp (c-j^l log
с > 0 — некоторая константа.
Доказательство. В качестве последовательности
П\, П2, . . ., Пн,
B)
участвующей в формулировке теоремы 1, возьмем последователь-
последовательность положительных целых чисел п ^ х2, все простые делители
которых не превосходят у. Пусть простое число р^х таково, что
п(р)>У- Тогда все простые, не превосходящие у, являются квад-
квадратичными вычетами по модулю р, а поскольку произведение
любого количества квадратичных вычетов снова является квадра-
квадратичным вычетом, то каждое из чисел последовательности B)
либо является квадратичным вычетом по модулю р, либо делится
ва р. Значит, для всякого простого числа р ^ х, для которого
п (р)> у, элементы последовательности B) принадлежат самое
большее (/) + !)/2 классам вычетов по модулю р. Далее, имеем
¦и тогда каждое такое простое число является исключительным
« параметром т = 1/4. Отсюда, ввиду теоремы 1, получаем для
величины N(p^x, n(p)>y) оценку
где Н=И(х2, у) — количество положительных целых чисел п ^
^ х2, делящихся лишь на простые числа, не превосходящие у.
По лемме 4 имеем
Н
— с
с
logyMglogy

92 ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
и, стало быть,
N(р^Х,п(р)> у) < ехр [с {gf log jffif).
Теорема доказана.
Задачи
1. Доказать, что число 2 является наименьшим квадратичным невыче-
невычетом для простых р вида р = 8к + 3 и р = 8к -\- 5.
2. Вывести из теоремы 2, что при заданном е > 0 и всех достаточно-
Солыпих х количество простых р, принадлежащих отрезку [хе, х] и удовлет-
удовлетворяющих условию п(р) > р", не превосходит константы с = с(е).
3. Вывести из теоремы 2, что при любом заданном 8 > 0 и всех доста-
достаточно больших х справедливо неравенство
N{p ^х, п{р) >р») <с(е) log log x.
4*. Установить, что для справедливости оценки п(р) = 0(рг) достаточно»
выполнимости неравенства
2 (f
где N — любое число из отрезка [flog/), plog2p].
5. Пусть s>0,0<a:=:i — проиавольные действительные числа, f(n) —
мультипликативная функция с условием |/(п)| ^= а> %{х) —периодическая-
с периодом 1 функция и Ра (а) — множество целых чисел п из интервала
1 ^ п ^ ах, все простые делители которых не превосходят хх/г. Доказать,
что
/ (п) g (пО)
, (a)
:Bs)s max
h
f (m) g (mQ)
6* (Ю. В. Лин ник, Л. А. Рсньи [74]). Пусть р — простое число>
вида р = 4к + 1. Доказать, что если гипотеза Виноградова о тон, что
п(р) <PV>
при любом s > 0 и р > Po(s), не верна, то имеет место оценка
h
max
2
(Указание. Разложить функцию
в ряд Фурье и для оценки величины
§ 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
воспользоваться неравенством
N
справедливом при любом Л'^ 1, представлением
n=i
2 1 п \ sin2nre9 V*
It/ я ^
sin 2яп0
+
sin 2ятяв
где Qe(a) —множество целых чисел т из интервала i sSim^ax, все про-
простые делители которых больше х"8, и результатом предыдущей задачи с
f(n) si i g{x) = sin2nx.)
7* (Ю. В. Л и и н и к, А. А. Р е н ь и [74]). Пусть р — простое число
вида р = 4& + 1, Доказать, что если гипотеза Виноградова о том, что
r(p) <P1/S
при любом s > 0 и р > po(s), не верна, то
2(f
m=l
max
„1/2
(Указание. Разложить функцию
в ряд Фурье и для оценки величины
sD-)\=
воспользоваться оценкой Дэвенпорта [48d]
JV
2! Iх ("<
равномерной по 6 и справедливой для любого А > 0, формулой суммиро-
суммирования Абеля, представлением
21 п \ sin 2ягс0 = V 1 / V4 }x (n) sin 2nl2nQ ,
2
nep
<=•)
и результатом задачи 5 с /(re) = ц(ге) и g{x) = sin 2ns.)
8. Пусть 2>n = {-Pii ¦ •-i Pл} — произвольное множество из п ^ 3 раз-
различных точек Р< = (х4, yi), I ^ i ^ в, лежащих в единичном квадрате

¦94
ГЛ. П. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
*0 ^ *> У ^ 1; Д(^1, Ль -Pft) —площадь треугольника с вершинами в точках
Pi, Pj, Рк И
min
Р4, Р., Рк).
.Доказать справедливость неравенства Дп ^ е/гс2, где с > О — некоторая аб-
абсолютная константа.
(Указание. Рассмотреть простое число р, п ^ р <г2г», кривую у =
s л2 (mod,p) и три произвольные различные точки i>1==(a;1, arjj,
J*2 == (^2- ^г)' ^э = (^з1 ^з)' лежащие на 9Т°и кривой. Показать, что
A(Pi, Рг, Рз) > 1/2 и, преобразовав квадрат 0 z^. х, у ^р — 1 в квадрат 0 ^
^ х, у ^ 1, получить требуемое неравенство.)
9*. Последовательность целых чисел <ц, ..., я„ называется В,-после-
•дователъностъю , если все суммы а{ + ... -\- ai , i jjj ^ «S ... ^ г, ^ то,
-s :> 2, различны между собой. Пусть f, (ж) — максимальное число членов
В, — последовательности, лежащей в интервале 0 ^ а ^ х. Доказать спра-
справедливость следующих утверждений:
а) Если р — простое число и q = рт, то для каждого s ^ 2 найдутся
дельте Я|, ..., ат, 1 ^ а{ < q', I ^ i =g; m, такие, что все суммы
различны по mod (gs — 1).
(Указание. Пусть а! = 0, а2, ..., а, — все различные элементы ко-
конечного поля Fq, состоящего из д — рг элементов, и 8 — примитивный эле-
мент поля F s(t. e. F s = Fq(Q)). Пусть, далее, 0 = 0 + «*. 0< at < q,
П
^m. Показать, что числа а\, ..., ат удовлетворяют требуемому ус-
условию. Для этого предположить, что
%+•¦•
¦••+ei
для двух различных наборов (ц, ..., ia) и (/!, ..., /s), и, воспользовавшись
тем, что G не может быть корнем никакого многочлена из кольца ^дН сте-
пени, меньшей s, прийти к противоречию.)
б) Если р — простое число, q = рг и s ^ 2, то
(Указание. Пусть а\, ..., ат — целые числа, определенные в п. а).
Показать, что последовательность
О], яг, • • .i От, am+i = q'
шредставляет собой ^.-последовательность. Для этого предполояеить, что
A * ~т~ * ¦ ~т"" CL - Q, • —(-• —|— Я ¦ {-ь \
.для некоторых различных наборов (i[, .,., it) и (/i, ..., /,). Обозначив [*ч
количество появлений at в левой части, а V, — количество появлений at в
лравой части равенства (¦*), показать, что (niT ..., (im+i) ф (vi, ..., vm+i)
л что
Щ + • • • + Hm+i = vi + ... + vm+1 = s,
.'Заменив в соотношении (#) каждое am+i на в[ и рассмотрев это соотноше-
соотношение по mod (qB — 1), прийти к противоречию с результатом п. а), за исклю-
§ 2. БОЛЬШОЕ РЕШЕТО 95
чением случая, когда (|J.i + u.m+i, цг, • • » р™) = (vi + v™+i. va, •. •) Vm). В этом
случае установить, что Hi = v( — т, ц2 = V2, ..., Ц™. = vm, JJ.m+1 = vm+i + т
при некотором целом т1=^='О, и прийти к противоречию с условием
41iJ iIj,)
в) Имеет место неравенство
Fs(x)
Нш inf ;¦¦¦ > 1.
(Указание. Воспользоваться результатом п. а) при г = 1 и полу-
получить оценку
Рассмотреть соседние простые числа р и р' такие, что р ^ ж1/а ^ я', и вос-
воспользоваться результатом Ингама о том, что
р' —р = O(pVs+°)
при любом в > 0 (см., например, [142Ь, гл. V]).)
г) Выполняется неравенство
Рз(х) <х"* + хш+1.
(Указание. Пусть ау, ..., ат есть В2-последовательпость и пусть
1 ^ «! < ... < ат ^ х.
Тогда все разности aj — at, I ^ i < j! ^ т, различны между собой. Назовем
число j — i порядком разности, а3- — а<. Пусть а^ —ai , ai —ai , ...
1 2 2 3
..., гх— i. = i.— Jg= ... = т — все разности порядка т > 0. Показать, что-
сумма всех разностей порядка т не превосходит величины хх. Вывести от-
отсюда, что сумма всех положительных разностей порядка г?ц, где 1 ^ (А <:
1
sg m, не превосходит величины -j" Ц ((* + 1) х- Далее, показать, что число-
1 1
таких разностей есть \хт -~ — I1 (И + 1)=HV> где v = т —— (ц + 1), и вы-
вывести отсюда, что сумма всех положительных разностей порядка =^ц не
1
меньше, чем -я" |^v (|xv + !)• В результате получить неравенство
из которого следует, что
Наконец, взять ц = [z!/4] +1.)
10*. Гипотеза Боуза — Чоулы (см. [20]). В обозначениях зада^-
чи 9 при любом s ^= 2 выполняется соотношение
hm
4
(При s = 2 справедливость этой гипотезы следует из результатов преды-
предыдущей задачи.)

96 ГЛ. II., РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К ГЛАВАМ I И II
Без всякого преувеличения можно сказать, что теория сравнений со-
составляет основу классической теории чисел. Фундамент зтой теории был
-заложен в работах Ферма, Эйлера и Лагранжа. Первое систематическое из-
изложение теории сравнений было дано Гауссом (см. [30а], а также [30с]).
Полученные им результаты приведены в § 1 гл. I.
Из задачи 7 § 1 гл. I следует, что вопрос о количестве решений алгеб-
алгебраического сравнения
}(хх, ..., Хп) = 0 (mod т)
но составному модулю т= р^ ... ps сводится, в силу свойства мульти-
мультипликативности, к аналогичному вопросу для сравнения
j{xi, ..., хп) =0
аю модулю ра, равному степени простого числа р. В свою очередь, при оп-
определенных условиях невырожденности, последний вопрос сводится к воп-
вопросу о количестве решений сравнения
1{хи ..., Хп) з=0 (mod,p)
по простому модулю р. Тем самым сравнения по простому модулю состав-
составляют фундамент теории алгебраических сравпепий.
Исторически объектом первых исследований в теории алгебраических
¦сравнений но простому модулю явились сравнения
f(x, y)=0 (mod/;) A)
¦с двумя неизвестными. При доказательстве своей знаменитой теоремы о
представимости всякого целого положительного числа в виде суммы че-
четырех квадратов Лагранжу [67] потребовалось утверждение о том, что
¦сравнение
х2+у2+ 1^=0 (тоЛр) B)
разрешимо. Обратим внимание на доказательство этого утверждения, пред-
предложенное Лагранжем. Предположил!, что указанное сравнение не имеет ре-
лпений. Тогда, по критерию Эйлера, сравнение
р—1
1-И-1-.Г2) 2 = 0(modp)
должно иметь р решений. Но степень последнего сравнения равна р — 1 п
ло теореме Лаграижа оно пе может обладать более чем р — 1 решениями.
Полученное противоречие показывает, что сравнение B) имеет хотя бы од-
одно решение.
Указанный метод Лагранжа был применен Аладовым [3] при изучении
вопроса о распределении пар квадратичпых вычетов и невычетов, В частно-
частности, для количества NF решений, сравнения
лм была получена формула
р-1
К сожалению, этот метод к концу 19-го столетия был совершенно забыт. На-
тгример, последним учебником, в котором изложен метод Лаграпжа, явля-
является учебник Т. Л. Чебышева «Теория сравнений» [143].
Широкое изучение квадратичных сравнений было предпринято Гауссом
?30а, ЗОЬ]. Им также были получены точные формулы для количества Np
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ I И II
97
решений некоторых кубических и биквадратичных сравнений. Последняя
запись в дневнике Гаусса (см. [ЗОЬ], с. 271) содержит предположение о том,
что для количества Np решений биквадратичного сравнения
при простом р = Ак + 1 имеет место формула
Np= (a-lJ + 462 — 4,
где целые а и Ъ одпозначно, с точностью до знака, определяются из пред-
представления простого числа р в виде суммы двух квадратов
р = а2 + 462.
Это предположение было доказано Херглотцем [134] в 1921 г. при помощи
арифметической теории эллиптических функций. Элементарное доказатель-
доказательство результата Херглотца можно найти в книге Хассе [133с].
Весьма эффективная теория эллиптических сравнений частного вида
у2 = х3 + азе (modp), у2 = х3 + Ь (modp)
и связанных с ними сумм
р.
V
v
V
C)
(см. задачи 15, 16 из § 1 гл. I) была развита Якобсталем [154]. В качестве
следствия им было получено явное представление простого числа р = Ак -\- i
ь виде суммы двух квадратов. Со свойствами более широкого класса сумм
типа C), называемых суммами Якобсталя, можно познакомиться по ра-
работе [123].
Классы вычетов по простому модулю р образуют конечное поле FP.
Поэтому сравнение A) мояшо трактовать как алгебраическое уравнение
Нъ У) = О
над полем Fv. В 1908 г. на Всемирном конгрессе математиков Пуанкаре [100]
высказал мысль, что для изучения сравнений от двух неизвестных можно
применить методы теории алгебраических функций. Осуществление этой
программы началось с работы Е. Артина [5а], опубликованной им в 1924 г,
В этой работе, по аналогии с теорией квадратичных расширений поля ра-
рациональных чисел Q, Артин построил теорию квадратичных расширений
Fp(x, H) поля рациональных функций Fp(x), получаемых присоединением
к полю Fp(x) корней сравнения
2/2==/(z) (mod», D)
где / — бесквадратный по модулю р целочисленный многочлен степени п ^
:>3. В частности, им была введена в рассмотрение ^-функция поля Fj,(x,~\jf)
Л—]
' ' E)
являющаяся аналогом ^-функции Дедскинда квадратичных расширений по-
поля Q (подробности см, в следующей главе), и сделано предположение о
том, что для ^-функции E) справедлива гипотеза Римана.
Это предположение приводит к следующей оценке для количества Л^р
решений сравнения D):
(n-i)P"\
(п-2)р^,
если п нечетное,
если п четное.
F)
7 С. А. Степанов

98
ГЛ. И. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Задача о числе решений сравнения D) очевидным образом сводится к
оценке суммы символов Лежавдра
При этом гипотеза Артина приводит к псравенству
Для оценки сумм G) Хопфом [138], Дэвенлортом [48а, 48Ь, 48с] и Мор-
деллом [№с, 89а] был использован метод кратных сумм (см. задачи 1 и Z
из § 5 гл. I). Сущность этого метода состоит в отыскании в пространстве!-
параметров а,, ..., ап. множества преобразований Т, оставляющих неизмен-
неизменным модуль суммы
х=1
и в нахождении верхней границы для среднего значения
а! аП=1
Если удастся найти достаточно много таких преобразований Т и точно оце-
оценить величину S, то для индивидуальной суммы S(a , а„) также по-
получается достаточно хорошая оценка. Однако методом кратных сумм ги-
гипотеза Артина не только не была доказана, но даже не был получен истин-
истинный порядок оценки по р. По сути дела метод кратных сумм в задачах
теории сравнений по простому модулю — это лишь проявление общего ме-
метода аналитической теории чисел без учета специфики поля классов вы-
вычетов по модулю р, а именно, наличия в нем автоморфизма Фробениуса^
Именно этим, по-вндимому, объясняется тот факт, что метод кратных сумм:
не приводит к оптимальным результатам.
В 1936 г. Хассе [133Ь] (см. также [133d]) на основе развитой им тео-
теории алгебраических функций с конечным полем констант доказал гипотезу
Артина для многочленов f(x) степени 3 и 4. Элементарное доказательство
оценки Хассе
для количества Nv решений сравнения
= х3 + ах + Ъ (mod p)
(8*
было предложено Ю. И. Маниным [81а] в 1956 г.
А. Вейль [23d] дал широкое обобщение результата Хассе и для коли-
количества Nq решений уравнения
f(x, у) = 0 (9>
в элементах х, у конечного поля Fq (в случае абсолютно неприводимого мно-
многочлена f(x, у)) получил оценку
\Nq—q\ ^2gfq, A0)*
где g ¦—род кривой (9). Это позволило ему доказать функциональный ана-
аналог гипотезы Римана для ^-функций абсолютно неприводимых алгебраиче-
алгебраических кривых, определенных над конечными полями. В качестве следствия
ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ К ГЛАВАМ I И II
99
лтого результата рядом авторов [23d, 23е, 58, 16а, 57, 98, 96а, 96Ь] были
получены оценки сумм характеров
S Xv (/(*))
и тригонометрических сумм
tr (tr
V/a
с (g) ?
с рациональной функцией g(x).
Доказательство Вейля оценки A0) весьма сложно. В частности, оно по-
потребовало пересмотра основ классической алгебраической геометрии. В рам-
рамках классической теории алгебраических функций доказательство оценки
Вейля дано в работах [:106а], [133d] и [150h]. Наилучший из имеющихся
сейчас вариантов алгсбро-гсомстрического доказательства итого результата
содержится в работе [83] и в монографии [70а] (см. также [132, с. 463,
задача 1.10]).
В \ 967 г. А. Г. Постников заметил, что все элементы х е Fp, дающие
решения сравнения (8) и удовлетворяющие условию хъ + ах + Ъ ф.
Ф0 (mod/;), являются, по меньшей мере, двухкратными корнями много-
многочлена
R (х) = 2 (х3 -\- ах + *) \1 — (xs -|- ах -f b)
р-1
«овпадающего по mod (хр — хJ с числителем первой рациональной функ-
функции в конструкции Манина [81а]. Сравнение числа корней (с учетом их
кратности) многочлена R(x) с его степенью позволило А. Г. Постникову
получить для количества Nv решений сравнения (8) оценку Nр^~2" (Р + *)-
Аналогичные рассмотрения для многочлена
Q (х) = 2 (х3 -f ax ¦
¦ b)[l-(x* + .
1
2
+ Ъ)
привели его к неравенству Np^ -^(р — З), из которого следует, в част-
частности, что при р > 3 сравнение (8) всегда разрешимо. Заметим, что для
квадратичного сравнения
у2 = аз? + Ъх + с (modp)
такая конструкция приводит к точному ответу (см. задачу 5 из § 5 гл. I).
Начиная с 1969 г., автором [117b—117J] разрабатывался элементарный
метод доказательства оценки A0), базирующийся на конструкциях, анало-
аналогичных конструкциям Манина -- Постникова, и идейно близкий к методу
Туя [122] (см. также задачу 4 из § 1 гл. VI) в теории диофантовых прибли-
приближений. В основе этого метода лежит построение многочленов от переменно-
переменного х не слишком высокой степени, для которых элементы х е Fq, связанные
с решениями уравнения (9), являются корнями достаточно высокой крат-
кратности. Сравнение числа корней этих многочленов с их степенями приводит
к асимптотике вида A0) для количества решений уравнения (9). В разра-
разработке этого метода приняли также участие Н. М. Коробов [63], Старк
[116а], В. Шмидт [146f — 146h], Митькин [87] и Бомбьери [16Ь —16с]. Наи-
7*

100
ГЛ. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
более простой вариант метода был предложен Вомбьери за счет отказа от
явных конструкций и привлечения теоремы Римана — Роха. Его резуль-
результат будет изложен в гл. III. Следует отметить, однако, что явные конст-
конструкции обладают тем преимуществом, что с их помощью в некоторых слу-
случаях удается получить более сильные оценки, чем те, которые эквивалент-
эквивалентны функциональному аналогу гипотезы Римана. Например, в работе [63]
при нечетном п ^ 5 и р > (в2+9}/2 для количества Nv решений сравне-
сравнения D) получена оценка
(п — 3) {п — 4) U/2
которая усиливает неравенство F) при достаточно больших п. Другие ре-
результаты, улучшающие оценку F) при п X />1/2, получены в работах
[116а, 118].
В дополнение к изложенным в § в и § 7 результатам о распределении
степени вычетов и невычетов отметим следующие факты.
Из расширенной гипотезы Римана для L-рядов Дирихле следует [152],
что для наименьшего квадратичного невычета п(р) справедлива оценка
п{р) = О(\о^р).
С другой стороны, из теоремы Линника [73с] о наименьшем простом в ариф-
арифметической прогрессии легко выводится (см., например, [109, 130]), что.
п(р) > clogp
для бесконечно многих простых р.
Аналогичный результат
ih(p) > с (к) logp
имеет место и для наименьшего невычета степени к > 2 по модулю р.
В работе [151Ь] Эллиот установил, что при любом г > 0 и при некото-
некоторой положительной константе с\ = с\ (в) неравенство
п(р) > С\ logp
выполняется по меньшей мере для х1~г простых р eg: x. В этой же работе
им показано, что при любом Ь > 0 и при некотором v = vF") > 0 неравенство
п(р) > logI+ep
выполняется для менее, чем С2(б)х1~у простых р =sj x. Это привело его к
предположению о том, что при любом е > 0 справедлива оценка
Отметим, что из расширенной гипотезы Римана следует [88, с. 114], что
п{р) > С log р log logp
для бесконечно многих простых р.
В заключение отметим результат Эрдеша [153] о поведении величины
п(р) в среднем. Именно, если я(х) означает количество простых р ^ х, то
справедливо соотношение
lim —z— 2_, п(р) = const.
Вывод этого результата основан па использовании большого решета
Дшшика.
Заметим также, что при любом е > 0 для величины г(р) справедлива
[26] оценка
Г(р)
ГЛАВА III
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ
НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
§ 1. Рациональные кривые
1. Плоские алгебраические кривые. Пусть к — алгебраически
замкнутое поло и ко — некоторое подполе поля к. Обозначим Аа
аффинную плоскость над полем к, представляющую собой мно-
множество всех наборов (а, р) элементов а, р поля к. Набор Р =
= («, Р) будем называть точкой плоскости Аа, а элементы
¦а, $ — координатами точки Р.
Плоской алгебраической кривой пазывается множество всех
точек Р = (х, у) е А2, координаты которых удовлетворяют
уравнению
/(*,*/) = 0, A)
где f{x, у) — многочлен с коэффициентами из поля к. Если ко-
коэффициенты многочлена f{x, у) принадлежат полю Аго, то гово-
говорят, что кривая A) определена над полем ко.
Точка Р = {х, у) кривой A) называется к0-рациональной, ес-
если ее координаты х, у принадлежат полю ко <= к.
В дальнейшем нас будут интересовать следующие два случая.
1) Поде к совпадает с полем комплексных чисел С и ко
является полем рациональных чисел Q. В этом случае вопрос
о множестве Q-рациональных точек кривой A), определенной
над Q, эквивалентен вопросу о множестве решений уравнения
f(x, у) = 0в рапиопальных числах х, у.
2) Поле к0 является конечным полем Fqj_ состоящим из q =
= рт элементов (^ — простое число), и k = Fq — его алгебраиче-
алгебраическое замыкание. В этом случае множество ^„-рациональных т0~
чек кривой A), определенной над Fq, совпадает с множеством
решений уравнения f(x, y)=0 в элементах х, у поля Fq. В ча-
частности, если FP — простое конечное число, то вопрос о ^р-рацио-
пальных точках кривой (:1) равносилен вопросу о решениях
сравнения f(x, y}^0 (mod/)).
Если многочлен f(x, у) представляется в виде произведения
f = g-h многочленов g(x, у) и h(x, у), то определяемая много-
многочленом f(x, у) кривая является объединением двух кривых, за-
задаваемых уравнениями g(x, у) — 0 и h{x, y)=0 соответственно.
В случае, когда многочлен f(x, у) неприводим, определяемая

102
ГЛ, III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
им кривая называется неприводимой. Поскольку каждый много-
многочлен раскладывается в произведение конечного числа неприво-
неприводимых многочленов, то каждая плоская алгебраическая кривая,
определенная пад полем к0, является объединением конечного
числа неприводимых кривых, называемых ее неприводимыми
компонентами. При этом может оказаться, что неприводимая
компонента алгебраической кривой определена не над полем к0,
а над некоторым его собственным конечным расширением к' <= к.
Нам удобно исключить такую возможность и ограничиться рас-
рассмотрением класса плоских алгебраических кривых, все неприво-
неприводимые компоненты которых также определены над полем ко.
В этом случае задача сводится к изучепию неприводимых алгеб-
алгебраических кривых, определенных над ко и обладающих тем свой-
свойством, что они остаются неприводимыми над каждым конечным
расширением поля ка- Такие неприводимые алгебраические кри-
кривые называются абсолютно неприводимыми.'
В дальнейшем под плоской неприводимой кривой, определен-
определенной над полем йго, всегда будем понимать абсолютно неприводи-
неприводимую алгебраическую кривую.
2. Параметризация кривых. Плоская алгебраическая кривая
A) называется рациональной, если существуют такие рациональ-
рациональные функции x(t) и y(t), не являющиеся одновременно кон-
константами, что
/(*(*), y(t)) = O
тождественно относительно параметра t. Если t~to — значение
параметра t, при котором знаменатели рациональных функций
x(t) и y(t) отличны от нуля, то точка Po = (x(to), у (to)) лежит,
очевидно, на рассматриваемой рациональной кривой. Это не озна-
означает, однако, что, придавая параметру t все допустимые значе-
значения, можно, исходя из заданной параметризации x(t), y(t),
получить все точки (х, у) кривой A).
Пример 1. Окружность х2 + у2 = 1 обладает параметриза-
параметризациями
И
1-f*
IT?
1-t4
2t
2«2
Первая из этих параметризаций при t e R (J {оо} дает все точ-
точки окружности, в то время как вторая параметризация приводит
лишь к точкам верхней полуокружности: х2 + у2 = 1, у Р* 0.
Рассмотренный пример в достаточной степени отражает об-
общую ситуацию. Именно, нетрудно показать (см. [144Ь, гл. 1,
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
103
§ 1]), что каждая рациональная кривая обладает такой парамет-
параметризацией x(t), y(t), которая задает взаимно одпозяачное соответ-
соответствие между всеми значениями параметра t и всеми точками
(х, у) этой кривой, кроме некоторого конечного множества зна-
значений t и некоторого конечного множества точек (х, у). Пред-
Предположим теперь, что коэффициенты многочлена f(x, у) и рацио-
рациональных функций x(t), y(t) принадлежат полю ко. Если функ-
функции х(?), у (t) задают описанную только что параметризацию кри-
пой A) и параметр t пробегает все элементы поля ко, в которых
функции х(t), y{t) определены, то наборы (x(t), y(t)) исчер-
исчерпывают все &о-рациональные точки рассматриваемой кривой, за
исключением, быть может, конечного их числа. Тем самым ука-
опие подходящей параметризации рациональной кривой приво-
приводит к описапию множества ее &о-рациональных точек.
Приведем некоторые примеры рациональных кривых. Сте-
Степенью неприводимой кривой A) назовем степень определяющего
кривую многочлена f(x, у). Кривые степени 1, т. е. прямые, яв-
являются, очевидно, рациональными кривыми.
Докажем, что кривая степени 2 рациональна. Возьмем на
кривой A) произвольную точку Po = (xq, г/о) и проведем через
пев прямую
у — yo = t(x — хо)
с угловым коэффициентом t. Найдем точки пересечения кривой
и этой прямой. Для этого достаточно подставить
у = Уо + Ь(х — хо) B)
и уравнение A). Многочлен
f(x, уо + Цх — Хо))
имеет степень 2 и, если положить
f(x, z/o + t(x - zo)) = A(t)x2 + В(t)x + С(t),
где А, В, С — многочлопы от t, то для определения х получим
уравнение
A (t) х2 + B(t)x + С @=0.
Нам известен одип корень х — хо этого уравнения. Поэтому дру-
другой корень х однозначно определяется из соотношения
Подставляя выражение
X Xf\
A(t)
и уравнение B), находим параметрическое представление
C)
D)
торой координаты точки (х, у) кривой степени 2.

104
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
При построении параметризации кривой A), имеющей сте-
степень 2, мы исходили из точки (xq, у о) этой кривой. Если коэф-
коэффициенты многочлена f(x, у) и координаты х0, г/о точки (хо, J/o)
принадлежат полю ко, то коэффициенты рациональных функций
C), D), дающих эту параметризацию, также принадлежат по-
полю ко. Тем самым можно указать общий вид А*о-рациопального
решения уравнения степени 2, если только известно хотя бы од-
одно такое решение.
3. Алгебраические кривые второй степени. Вопрос о суще-
существовании хотя бы одного /йо-рационального решения является,
как правило, довольно тонким. Дадим решение этого вопроса для
случая ko = Ft и для случая к0 = Q. В дальнейшем для удоб-
удобства будем считать, что характеристика поля к0 отлична от 2.
Любая неприводимая кривая степени 2, определенная пад
полем ко, задается уравнением
Ах2 + 2Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0
с коэффициентами из к0. Если определитель Д = АС — В2 квад-
квадратичной формы Ах2 + 2Вху + Су2 равен нулю, то многочлен
f(x, у) = Ах2 + 2Вху + Cy2 + Dx + Ey + F
с помощью невырожденного линейного преобразования перемен-
переменных с коэффициентами из поля ко приводится либо к виду
ах2 + у, а Ф 0,
либо к виду
х2 — с,
где с не является квадратом в поле ко. Если же А Ф 0, то мно-
многочлен f(x, у)' эквивалентен над полем ко многочлену
ах2 + by2 + с, аЪФ 0.
Кривая х2 —¦ с = 0 не имеет /со-рациональных точек. Существова-
Существование ^-рациональных точек на кривой ах2 + у = 0 очевидно и
поэтому остается рассмотреть вопрос о существовании Ао-рацио-
нальных точек на кривой
ах2 + Ъу2 + с = 0, аЪ Ф 0.
При с = 0 последнее уравнение имеет тривиальное решение х = 0,
j = 0 и ввиду неприводимости кривой это решение является
единственным его решением.
Теорема (Лагранж). Если Fq — конечное поле характери-
характеристики р Ф 2 и а, Ъ — отличные от нуля элементы этого поля, то
уравнение
ах2 +Ьу2 + с = О,
разрешимо в поле Fq.
Доказательство. Запишем уравнение в виде
у2 = ах2 + р, а Ф 0,
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
105
и допустим, что последнее уравнение не разрешимо в поле Fq.
Тогда по критерию Эйлера (см. § 1 гл. I) многочлен
должен иметь в поле Fq точно q корней. Но степень многочлена
F{x) равна q — 1 и мы приходим в противоречие с тем, что чис-
число корней многочлена не превосходит его степептт.
Перейдем к вопросу о существовании Q-рациопальных точек
на кривой
ах2+Ъу2 + с = 0, аЬсФО. EJ
Заметим сначала, что для разрешимости уравнения E) в рацио-
рациональных числах х, у необходимо, чтобы не все коэффициенты
а, Ь, с были одного знака. Сделав, если это необходимо, замену
переменных
1 .. у
или
X 1
У " У
можно привести уравнение E) к виду
ах2 + ЪуЧ _ с = о, а>0, 6>0,
с>0.
F)
Кроме того, можно считать, что а, Ъ, с — взаимно простые в со-
совокупности и свободные от квадратов целые числа.
Пусть х = р/г, у = q/r — решение уравнения F) в числа!
i.jeQ. Тогда уравнение
ах2 + by2 — cz2 = 0, а>0, Ь > 0, с >0, G)
обладает нетривиальным (отличным от х — у = % — 0) целочис-
целочисленным решением (х, у, z)=-(p, q, r). Обратно, если уравнение
G) нетривиальным образом разрешимо в целых х, у, z, то имеем
1^0 и тогда уравнение F) разрешимо в рациональных числах
х, у. Таким образом, вопрос о существовании рациональных то-
точек на кривой E) сводится (при выполнении указанного выше
необходимого условия) к вопросу о нетривиальной разрешимости
в целых числах х, у, z уравнения G).
Если в уравнении G) коэффициенты а = da' и b = db' име-
имеют общий делитель й>1, то, умножая форму ax2 + by2 — cz2 на
d и заменяя х, у на х = dx, у' = dy, приходим к уравнению
а'х'2 + b'y'2-cdz2 = O,
в котором а' и Ъ* взаимно просты. Повторяя этот процесс не-
несколько раз, получаем уравнение того же вида

106
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
в котором целые положительные бесквадратпые коэффициенты
а', Ъ' и с' попарно взаимно просты.
Теорема (Лежандр). Если а, Ъ и с—попарно взаимно
простые положительные целые числа, свободные от квадратов,
то неопределенное уравнение
ах2 + Ъу2 — cz2 = 0 (8)
нетривиальным образом, разрешимо в целых числах х, у, z тогда
и только тогда, когда разрешимы сравнения
х2— Ьс^О (mod а),
х2-ас^0 (mod Ь), (9)
x^ + ab^O (mode).
Доказательство. Необходимость условий (9) очевидна.
Докажем их достаточность.
Пусть р — какой-либо нечетный простой делитель числа с.
Тогда из (9) следует, что сравнение ax2+by2^0 (modp) имеет
нетривиальное решение, скажем х = а, z/ = p. В таком .случае
форма ах2 + Ьу! раскладывается по модулю р на линейные мно-
множители:
ах2+ by2 = а$~2($х + ау) ($х — ay) (modp).
Такое же разложение верно, разумеется, и для формы ах2 +
+ by2 — cz2, т. е. имеет место равенство (см. § 1 гл. I)
ах2 + by2 — cz2 = lp(x, у, z)mp(x, у, z) (modp), A0)
где lp и mP — целочисленные линейные формы. Аналогичные ра-
равенства имеют место и для нечетных простых делителей р ко-
коэффициентов а и Ъ, а также для р = 2, так как
ах2 + by2 — cz2 = (ах + by — czJ (mod 2).
Найдем теперь такие линейные формы 1(х, у, z) и пг(х, у, z),
чтобы выполнялись равенства
1(х, у, z)^lp(x, у, z) (modp),
m(x, у, z) = mv(x, у, z) (modp)
для всех простых делителей р коэффициентов а, Ъ и с. Тогда
из равенства A0) получим
ах2 + Ъу2—cz2 = l(x, у, z)m(x, у, z) (mod abc). A1)
Будем придавать переменным х, у, z целые значения, удов-
удовлетворяющие условиям
0^x<fbc, О^у<Уас, O^z<lfab. A2)
Если исключить из рассмотрения тривиальный случай а = Ь =
¦= с = 1 (для него утверждение теоремы очевидно), то из попар-
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
107
ной взаимной простоты a, b ш с следует, что не все числа УЬс,
У ас и УаЬ будут целыми. Значит, число наборов (ж, y,_z), удов-
удовлетворяющих условиям A2), строго больше, чем УаЬ • УЬс • Уас =
= abc. Рассмотрим значения, принимаемые линейной формой
1(х, у, z) при этих значениях переменных. Так как число набо-
наборов (х, у, z) с условием A2) больше числа вычетов по модулю
abc, то для двух различпых наборов (х\, у\, z{) и (х2, уч, 22)
имеем
\(х\, г/1, zi)^l(x2, J/2, z2) (modabc).
Отсюда, в силу линейности формы 1(х, у, г), получаем, что при
?о = ^1 — Х2, г/о = J/1 — J/2, 20 = 2] — z2 выполняется сравнение
1(хо, г/о, 2о)^О (modabc).
Следовательно, ввиду A1),
ах\ + Ъу\ — czl = 0 (mod abc). A3)
и (х%, у%
Поскольку для наборов (zi, j/i,
ловия A2), то
\хо\ < fbc, \уо\ < 1а~с,
и значит,
выполнены ус-
ус— abc
ах20
— cz\
< lab",
2abc.
Последнее неравенство совместимо со сравнением A3) лишь в
случаях, когда
\ l \
либо когда
ах\ + byl — cz\ = 0,
yl — cz\ — abc.
ах\
Первый случай дает нетривиальное решение (х$, j/o, Zo) ¦ Во вто-
втором случае существование нетривиального целочисленного реше-
решения уравпения (8) следует из тождества
ab (axl + byl — czl — abc) =
= a (xaz0 + byaf + b (y0z0 — ах0)* — с {z\ + abf.
Доказанный результат допускает некоторое уточнение. Имен-
Именно, как показал Хольцер [137], уравнение (8) обладает, в случае
его нетривиальной разрешимости, минимальным нетривиальным
целочисленным решением (х, у, г), удовлетворяющим условиям
Это дает эффективную процедуру (алгоритм) для нахождения
нетривиального целочислептюго решения (х, у, z) уравнения
(8) и, стало быть, для нахождения (в случае его существова-
существования) рационального решения (х, у) уравнения E). Простой

108
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
арифметический вывод результата Хольцсра был предложен Мор-
деллом [89h].
4. Алгебраические кривые степени и> 3. Перейдем к рас-
рассмотрению неприводимых кривых степени п > 3.
Пример 2, Рассмотрим кубическую кривую
У2 = х3 + х2, A4)
содержащую точку @, 0). Полагая у = tx, получаем
x2(t2 — ж — 1) = 0.
Корень х = 0 этого уравнения соответствует точке @, 0). Дру-
Другой корень х = t2 — 1 определяется из равенства t2 — х — 1 = 0.
Из уравнения прямой y = tx находим y = t(t2— 1). Таким обра-
образом, кривая A4) является рациональной кривой с параметриза-
параметризацией:
X = t2— I, y = t(t2— 1).
В частности, эта кривая имеет бесконечно много Q- рациональ-
рациональных точек.
Пример 3. Покажем, что при п ~5? 3 кривая Ферма
не является рациональной кривой, если п не делится на харак-
характеристику р поля к.
Предположим противное, что эта кривая рациональна, и пусть
x=x(t), y = y(t) — QQ параметризация. Запишем рациональные
функции x(t) и y(t) в виде
где р, q, r — взаимно простые в совокупности многочлены из
кольца к [t]. Тогда получаем тождество
pn(t)+q»(t)-f"(t) = O. A5)
Продифференцировав его и сократив результат на п (что воз-
возможно в силу того, что п не долится на характеристику поля),
приходим к соотношению
Рассмотрим A5) и A6) как систему линейных уравнений от-
отсительно рп~1 q71-1 п-'1 й
() ()
носительно рп~1, q71-1 и гп-'1 с матрицей
1р
р'
q ~ r
Исключая из этой системы
и qn~\ получаем равенства
?-' (p'q - pq') = г"-1 (p'r - pr'),
Pn-1(p'q-pq')=rn-1(r'q-rq'),
из которых, ввиду взаимной простоты многочленов р, q и г,
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
109
следует, что
p^\{r'q-rq'), q«-4(p'r-pr'), r"~4 (p'q - pq').
Обозначим h, I, m степени многочленов р, q, г и будем считать,
без уменьшения общности, что h^ 1> т. Равенство r'q — rq' — 0
возможно лишь в случае, когда многочлены г и q являются кон-
константами. Но тогда многочлен р также должен быть константой,
и приходим к противоречию. Если r'q — rq' ?> 0, то из соотноше-
соотношения pn~l(r'q — rq') следует, что (п—l)h^l + m—1. В таком:
случае (п — 3)Л<—1, и так как п~3?Ъ, то снова приходим к
противоречию.
Рассмотренные примеры показывают, что среди неприводимых
кривых степени п > 3 имеются как рациональные, так и нера-
нерациональные кривые. В дальнейшем мы увидим, что вопрос о ра-
рациональных кривых вкладывается в более общий вопрос о клас-
классификации плоских алгебраических кривых с точностью до бира-
ционального изоморфизма. С такой точки зрения рациональные
кривые представляют собой простейший тип алгебраических кри-
кривых — это кривые, биращгонально изоморфные прямой (нривые
рода 0).
В заключение параграфа заметим, что возможность рацио-
рациональной параметризации кривой A) может быть использована
литтп. при изучении рациональных решений уравнения
Что касается вопроса о целочисленных решениях этого уравне-
уравнения, то наличие рациональной параметризации, как дравило, не
приводит к устранению основных трудностей.
Задачи
1. Доказать, что кубическая кривая у2 = я3 + ах + Ь дад полем харак-
характеристики р ф 2 рациональна в том ж только в том случае, когда много-
многочлен хъ + ах + Ь имеет кратный корень.
2. Найти параметризацию кривой
axs + bx2y + cxy2 + di/ = Az* + Вху + Су1.
3. Пусть fn-\{x, у) и fn(x, у)—формы степеней п— 1 и п. Доказать,
что если кривая /n-i(x, у) +/„(#, у) — 0 неприводима, то она рациональна.
4. Пусть у (яг, у)—кубический кривая над полем Q, имеющая обыкно-
обыкновенную двойную точку. Доказать, что все рациональные точки этой кри-
кривой могут быть выражены через рациональные значения параметра (точка
кривой зазывает обыкновенной двойной точкой, если ее кратность равна 2
и кривая имеет в этой точке различные касательные направления).
5. Доказать, что все целочисленные решения (х, у, г) уравнения
рассматриваемые с точностью до замены х на у, представляются в виде
T=r(s3 — t*), y = 2rst, s = r(s2 + t2),
где r, s, t — целые числа, причем s и ( взаимно просты и одйо из них четно,
а другое нечетно.

110
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
6. Пусть (х, у, г) — решение уравнения
х4 + у* = z*
в положительных целых х, у, z с условием (х, у) ¦= 1:
а) доказать, что
где s и t — взаимно простые положительные числа разной четности, причем
t = 2u — четное число;
б) вывести из п. а), что s = и2, и = и>2 и что положительные целые г,
у, ш удовлетворяют уравнению
ж2+ Bм/2J = у«;
в) используя представление
х == а2 — Ь2, 2»2 = 2а6, у2 = а2 + 6г.
показать, что а = |2, Ь = т]2 и что положительные целые |, r\, v удовлет-
удовлетворяют уравнению
вполне аналогичному исходному
г) из п. а) и б) вывести, что i? < 2;
д) повторяя описанный в п. а) — г) процесс (т. е. применяя метод бес-
бесконечного спуска Ферма), установить неразрешимость уравнения
в отличных от нуля целых числах х, у, г;
е) установить результат Ферма о неразрешимости в отличных от нуля
целых х, у, г уравнения
х* + у* = г4.
7. Доказать справедливость тождеств Фибоначчи
(а2 + Ь2) (с2 + d1) = (ас + bdJ + {ad - beI
и Эйлера
(я2 + Ь2 + с2 + d2) (а2 + Р2 + f + б2) = (асе + Ь0 + сТ + йбJ +
+ (др - Ьа - сб + <*ТJ + И + 6S - са — dpJ + И — 6у 4- с^ — daJ.
8. Пусть /> — простое число вида р = 4& -J- 1:
а) доказать разрешимость сравнения
и вывести отсюда существование целых х и у, удовлетворяющих уравнению
я2 + у2 — т/\
где то — положительное целое число, меньшее р;
б) показать, что если в последнем уравнении m > 1, то найдутся такие
целые s и ?, что
s2 4- г2 = пгг,
где г < то;
в) используя соотношения х2 4- г/г = тор, t'|!'=ffirB тождество Фи-
Фибоначчи из задачи 7, показать, что
= (г! 4-
= (ass 4- г/О2
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
111
г) доказать, что каждое из чисел xs 4- yt ж xt — ys в последнем равен-
равенстве делится па ш;
д) показать, что если в уравнении х2 -\- у2 = тпр число m строго больше
единицы, то найдется положительное целое т' < т, для которого уравнение
х2 4- у2 = т'р
разрешимо в целых ж и у;
е) повторяя рассуждения п. б)—д), установить разрешимость в це-
целых х -а у уравнения
я2 4- У2 = Р.
9. Используя п. е) предыдущей задачи, а также тождество Фибоначчи
и тот факт, что целые вида 4k 4- 3 не представимы суммой двух квадратов,
установить справедливость следующей теоремы Эйлера: для разреши-
разрешимости уравнения
ж2 г У2 == п
в целых х, у необходимо и достаточно, чтобы каноническое разложение це-
целого числа п не содержало нечетных степеней простых вида 4к 4- 3.
10. Пусть р — простое число вида 4к 4- 3:
а) доказать разрешимость сравнения
z2+J/2 + l = 0 (mo&p)
и вывести отсюда существование целых х, у, z, t, удовлетворяющих урав-
уравнению
где m — положительное целое число, меньшее р;
б) применяя рассуждения и. б) — д) задачи 8 и используя вместо тож-
тождества Фибоначчи тождество Эйлера из задачи 7 показать, что если в урав-
уравнении
х* 4- уг -I- г2 + «2 = тр
число m строго больше единицы, то найдется положительное целое то' < пг,
для которого уравнение
аг 4- &2 + Сй + d2 = m'p
разрешимо в целых а, Ь, с, й;
в) повторяя рассуждения п. б), установить разрешимость в целых
л, у, z, t уравнения
х2 4- У1 + =? + t2 = р.
11. Используя тождество Эйлера и результаты задач 8, 10, установить
справедливость теоремы Лагранжа о том, что каждое положительное целое
представимо суммой четырех квадратов целых чисел.
12. Пусть а — положительное целое число, не являющееся полным
квадратом:
а) используя одномерный вариант теоремы Дирихле о приближениях
(см. задачу 13 из § 4 гл. I) установить существование положительного чис-
числа то (можно взять то = 1 + 2Уа), для которого неравенство
имеет бесконечно много решений в целых х и у. Вывести отсюда существо-
существование целого к, ]к\ < т, для которого уравнение
х2 — ау2 = к
обладает бесконечным множеством целочисленных решений (ж, у);

112
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
б) взяв два целочисленных решения (х\ у'), {х", у") уравнепия
х2 — ауг = к с условиями х" = х (mod /с), у" = у' (mod А), {х", у") Ф
Ф (—х', у') и положив
х'х" - ау'у" х'у"-х"у'
х^ к ' У— к
показать, что целые х и у удовлетворяют уравнению
х2 — ау2 = 1;
в) обозначив {х\, yt) решение уравнения
х2 — ау2 = 1
в целых х > 0, у > 0 с наименьшим значением у и определив положитель-
положительные целые хп, уп, п = 1, 2, ..,, равенствами
показать, что каждый из наборов (хп< уп) удовлетворяет указанному урав-
уравнению;
г) доказать, что все целочисленные решения уравнения Пелля
исчерпываются наборами (я„, уп), » = 1, 2, ..., где
(х± + ух Уа)~", если хп > 0, уп < О,
— {х, + Уi "V <0~™, если х„ < 0, у„ > 0.
\ \i'ir/ II ^ II
13. Пусть р—простое число вида 4/с + 1. Доказать, что уравнение
х2 — ру2 = —1
имеет бесконечное множество целочисленных решений [хп уп) п = О
±1, ±2, ..„где
и (а, Ь) — некоторое частное решение этого уравнения.
14. Используя результаты задачи 12, установить справедливость следую-
следующей теоремы Гаусса: если уравнение
ах2 + Ъху + су2 + dx + еу + f — О
с целыми коэффициентами разрешимо в целых я, у и если выполнены ус-
условия
а) D = б2 — 4ае>0,
б) D не является полный квадратом,
в) 4ас/ + bde — ае2 — Ы2 — /Ь2 ф О,
го оно имеет бесконечно много целочисленных решений.
15. Используя результаты задачи 12, показать, что если уравнение
обладает целочисленным решением (х0, уа, za, fc), удовлетворяющим ус-
условиям
а) d = — (хо + Jfo) (г0 + *о) > О,
б) d не является полным квадратом,
в) ха ф Уо, zo Ф t0,
го оно имеет бесконечно много целочисленных решений.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ ИЗ
§ 2. Эллиптические кривые
1. Бирациональный изоморфизм кривых. Пусть неприводимые-
кривые X и Г определены над полем ко с к уравнениями
/(?, #) = 0, g(u, v)=0. Рациональным отображением кривой X
в кривую Y называется такая пара рациональных функции
ф(ж, у) и 1)з(я, у), определенных на X, что функция g(<p(x, у),
ty(x, у)) равна нулю на кривой X.
Определение. Кривые X и Y называются бирационалъна
изоморфными, если существуют рациональные отображения X в
Y и Y в X, обратные друг другу. Они называются бирациопалъна
изоморфными над полем к$, если коэффициенты рациональных
функций, задающих бирациональный ивоморфыам, принадлежат
полю &о.
На протяжении этого параграфа предполагается, что все рас-
рассматриваемые в нем кривые определены над полем рациопаль-
ных чисел Q.
Теорема 1. Всякая неприводимая кубическая кривая
/(#! 2/)=0. имеющая рациональную точку, бирациоиалъно изо-
изоморфна над полем Q кривой
v2 = и3 + аи+ Ъ.
Доказательство. Пусть Р —рациональная точка рас-
рассматриваемой кубической кривой X. Обозначим Q рациональную
точку, в которой касательная к X в точке Р снова пересекает
X, ж примем точку Q за начало координат. Прямая у = tx, про-
проходящая через Q, пересекает кривую X в двух других точках,,
я-координаты которых определяются уравнением
Ах2-
где А, В ж С — многочлены от параметра t с рациональными
коэффициентами степеней 3, 2 и 1 соответственно. Так как Р
к Q — рациональные точки, а прямая PQ касается кривой Xt
то многочлен четвертой степени В2 — АС имеет рациональный ко*
рень, скажем t = ?0. Полагая
помучаем
где g(z)—многочлен третьей степени. Применяя теперь лилей-
лилейную подстановку
z = га + s
с -подходящими рациональными г, s и полагая
Ах + В
8 С. А. Степанов

ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
яриходил! к уравнению
v2 = иъ + аи + Ъ.
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 1 следует, что ко-
координаты точек (х, у) и (и, v) связаны между собой соотно-
соотношениями i
аи + р
уи + 6 '
у = tX,
где а, 0, if, fie Q. Следовательно, рациональным точкам кривой
v2 = иг + аи + b соответствуют рациональные точки кривой
f(x, у) = 0 и обратно. Таким образом, при изучении вопроса о
рациональных точках кубических кривых f(x, y)=0, имеющих
.хотя бы одну такую точку, можно ограничиться рассмотрением
кривых вида
у2 = х3 + ах + Ь.
При этом удобно считать бесконечно удаленную точку (х, у) =
= (оо? оо) за рациональную точку кривой у2 = х3 + ах + b. В про-
проективных координатах ей соответствует рациональная точка
(х, у, z) = @, 1, 0) кривой
y^z — х3 ¦+ axz2 + bz3.
Теорема 2. Если кривая
имеет рациональную точку, то она бирационалъно изоморфна над
¦Q кривой
Доказательство. Можем считать, что с является пол-
полным квадратом. Далее, полагая в случае необходимости х = Цх',
у = у'/х'а, можем считать, что а танже является полным квадратом.
Если а ¦¦= 0, то утверждение теоремы очевидно. Если же а?=01
то, положив x = x'Jia, у = у'/Уа, приходим к случаю а = 1. За-
Заменив, наконец, х на x — bJA, можем записать уравнение A)
в виде
у2 = х4 - бея2 + 8dx + e. B)
Бирациональный изоморфизм !между этой кривой и кривой
•v2 = и3 + а'и + Ь' задается соотношениями
У = — ж2 + 2и + с, х= V~=—.-
с в уравнение B),
Действительно, подставляя у = —х2 +
получаем
х* - 2{2и + с)х2 + Bи + сJ = xi-
e.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
11S
2dx - (и* + си + -i- (с2 — e)j = 0
Значит,
\li С) Х- -р ^jLtJ. I U- -у ок. -р -у
и тогда
x(u — c) = — d±Ui + и3 — сЧ + \ (с2 — е)(и — с)
\1 результате приходим к кривой
1/2
3 1 1
где а' = ?-с2 —^-е, Ъ' = d2 —~с{с% — е). Теорема доказана,
2. Сложение точек на эллиптических кривых. Рассмотрим эл-
эллиптическую кривую, задаваемую уравнением
yt^xz + ax+b, C)
где 4а3 + 27&2 Ф 0. Определим на кривой C) операцию сложения
точек. Пусть Pi—(xi1 z/j) и i>2=(^2, У2)—Две различные точки
этой крявой. Найдем третью точку Рэ = (^з^Уз) кривой C), ко-
координаты которой хз, уз рациональным образом выражаются через
координаты х\, у\, х2, уч точек Pi и: Р% Для этого проведем черв»
точки Р, ш Р2 прямую
с текущими координатами х и у. Эта прямая пересекает кривую
C) в трех точках, две из которых Pi и Рц известны. Для отыска-
отыскания третьей точки Р3 = (xs, y3) выразим у через х из уравнения
D) и подставим результат в уравнение C):
= х* + ах + Ъ. D')
Два корня х\ и Х2 этого кубического относительно х уравнения
известны. Для нахождения третьего корня хз воспользуемся темг
что сумма корней
Х\ + XI + Х3
нормированного кубического многочлена равна коэффициенту при
х2, взятому с обратным знаком. Таким образом,
Т ^j Т
и, следовательно,
у2 — у.
2 

116
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
Подставляя это значение для х в уравнение прямой D), находим
вторую координату г/3 точки Р3:
у
Вместе с точкой Ра на кривой C) лежит также и симметричпая
Рис. 2
с ней точка Рз = (х3, — уъ). Именно ее (см. рис. 2) будем считать
суммой
точек Р{ и Рг на кривой C).
В случае Р\ = Рг первая координата хз точки Рз определяется
соотношением
х3 = — 2х1
(а.; + а
которое получается из E) предельным переходом при Х2~>-хи
Для дальнейшего нам потребуется другая форма соотношения
E). Пусть
х3 + ах + Ь = (х - он) {х — а2) (х— а8)
— разложение многочлена х3 + ах + Ь на линейные множители.
Заменим в уравнении D') х\, х2 и х на х\—<х, Х2 — <х и х — а,
где а — один из элементов «i, аг, аз- Для нахождения х3 — а
воспользуемся тем, что произведение
(xi - а) (х2 — а) (ж3 — а)
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
117
яорней этого уравнения равно свободпому коэффициенту, взятому
со знаком минус. Это приводит к соотношению'
A {¦hit fy\ —- n It rt\ *
^з — « = /д _awr _a) \—^—^ _ T ~ j -
которое при Pi = Рг принимает вид
— a — 2a;r, — 2a \
(х'^—а — 2а^г -- i
w,—
G)
3. Теорема Морделла. Покажем, что все рацжональпьто точки
¦эллиптической кривой
у* = хз + ах + Ь, 4а3 + 2762^0,
определонпой над нолем Q, рациональным образом выражаются
через некоторое конечное множество S = {Р\, ..., Рг} таких то-
точек. Этот результат впервые был доказан Морделлом [89Ь].
Приведенное ниже доказательство принадлежит А. Вейлю [23Ь].
Предварительно сделаем несколько замечаний. Если q — об-
общий знаменатель коэффициентов а и 6, то, заменяя в случае
необходимости х и у на x/q2 и yjqz соответственно, можем счи-
считать, что а и Ъ являются целыми числами. Далее, поскольку
дискриминант А = — Dа3 + 21Ъг) многочлена а;а + яа;+Ь отличен
от нуля, то корни G&1, О/г, аз этого многочлена различны между
собой.
Обозначим Kv =Q (&v), 1 ^ v ^3, расширение поля рациональ-
рациональных чисел Q, полученное присоединением корня av, и заметим,
что среди полей К\, К%, Къ могут быть одинаковые. Пусть a —
один из элемсптов ai, 0&2, «з и К — одно из полей К\, Кг, К?,.
Запишем уравнение C) s виде
у2 = (х — щ) (х — аг) {х — аз) = Norm(x — а)
Tj изучим структуру чисел х — a, jeQ, чьи нормы Norm (ж — к)
являются квадратами в Q. Отметим, что введеппая нами норма
Norm (х — а) числа х — а отличается, вообще говоря, от обычной
нормы norm (х — а) элемента х — а, поля К.
Числа х — а принадлежат множеству S (а) элементов {J =
= /о + t\<x + ha2, t0, tL, I2eQ, поля К, пормы которых Norm ?1
являются квадратами рациональных чисел. Далее, S (а) содер-
содержит в себе подмножество чисел, являющихся квадратами в поле
К. Разобьем множество S (а) на классы, отнеся в один класс
все элементы вида tit2, где х^К. Ясно, что имеется бесконечное
число таких классов.
Если Л и В — два класса и т) е Д, 9s?, то элемент т)Э од-
однозначно определяет класс С, состоящий из чисел тубт2, т ^ К.
Тем самым можно определить умножение классов по правилу
С = А -В. Очевидно, что введенная таким образом операция ум-

118
ГЛ„ III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
ножения классов ассоциативна и коммутативна. При этом еди-
единичным классом будет класс Е, состоящий из квадратов элемен-
элементов поля К. Далее, операция умножения классов обратима иг
стало быть, введенные в рассмотрение классы А, В, С, ... обра-
образуют бесконечную абелеву группу. Так как А2 = Е, то каждый-
элемент А этой группы имеет порядок 2.
Лемма 1. Числа вида х — а, поля К, нормы которых явля-
являются квадратами рациональных чисел, лежат в коленном множе-
множестве классов.
Доказательство. В равенстве у2 = Norm (ж — а) положиж
х = p/q, где р, q — взаимно простые целые числа. Тогда получим:
соотношение
{уЯ2J = q Norm0? — aq).
Поскольку (р, q)=l, то число q взаимно просто с нормой
Norm(/J—щ) целого алгебраического числа р—aq л, в таком
случае, q = s2. Следовательно, у = r/s3, где (г, s) = 1, и тогда
г2 = Norm (p — as2) = (p — a^s2) (р — (ад?2) (р — «3«2) ¦
В поле К\ имеется лишь конечное число дивизоров а, деля-
делящих одновременно числа p — a.\S2 и (р — а,2в2) (р — a^s2). Действи-
Действительно, если р — ais2 = 0 (mod а) и (р — аг«2) (р — аъ$2) —
?= О (modа), то (ai — а2) (ai — аз) — 0 (modа), а поскольку
cci, аг, «з — фиксированные числа, то последнее сравнение вы-
выполняется лишь для конечного числа дивизоров а. Отсюда сле-
следует, что
р - ais2 = м-12,
где и. — одно из чисел некоторой конечной системы и % — целое-
алгебраическое число. Разделив обе части последнего равенства
на s2, получаем
х —
= [it2
[it,2,
где ?—некоторый элемент поля К\. Аналогичный результат
справедлив для х — сег и х — аз. Лемма доказана.
Свяжем теперь закон сложения точек на кривой C) с опе-
операцией умножения введенных в рассмотрение классов А, В, С, ...
Для этого сопоставим рациональной точке Р — (х, у) кривой C)
число х — а и скажем, что точка Р принадлежит классу А, если
х — а лежит в этом классе.
Лемма 2. Если точки Р и Q принадлежат классам А и Вг
то их сумма Р + Q принадлежит классу А В.
Доказательство. Утверждение леммы очевидным обра-
образом следует из соотношения F).
Лемма 3. Точка Q = 2P принадлежит единичному классу Е.
Другими словами, если Q имеет координаты (х, у), то х — a = т2,
К.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
119
Доказательство. Утверждение леммы следует из соот-
соотношения G).
Лемма 4. Если точка Q = {x, у) принадлежит единичному
.классу Е, то существует рациональная точка Р = (х', у') такая,
что Q = 2Р.
Доказательство. Пусть
2, (8)'
где мо, ui, u2 — рациопалъные числа. Тогда
х — а = и\ + 2м0и1а + (и\
а2
= «о t- 2«ll«1a + ( u\ + 2uuu2) a2 — 2щиа (aa + b) — u\ (aa2 + ba) =
= (ul — 2bu1u2) + Bu0u1 — 2au1u2 — bu\) a + (u\ + 2u0u2 — aul) a2
и, следовательно,
ul — 2Ъщи2 = x,
2иощ — 2ащи2 — bu\ = — 1, (9)
tfi + 2или2 — aul = 0.
Исключая ио из второго и третьего уравнения, приходим к соот-
соотношению
ul + ац^а + Ьи\ = и2,
которое, ввиду того, что «2^0, можно переписать в виде
Положим x' = Ui/u2, y' = l/u2. Тогда точка Р — (х', у') является
рациональной точкой кривой C). Из третьего уравнения систе-
системы (9) имеем
х'2 + 2и9у' — а = 0.
Выражая щ, U\, u% через х , у', получаем
— х'*+а х' 1 2
и0 + uLa + ща? = —2?— + У а + V а '
Отсюда и из уравнений G), (8) находим, что Q = 2Р. Лемма
доказана.
Лемма 5. Если точки. Р и Q принадлежат одному и тому
же классу, то
где R — рациональная точка кривой C).
Доказательство. Утверждение леммы следует из лемм
2 и 3, так как точка P + Q принадлежит единичному классу Е.

120
гл. ш. рациональный точки на кривых
Теорема А (см. [89Ь], [23Ь]). Все рациональные точки;
кривой C) могут быть получены из некоторого их конечного
числа с помощью операции сложения точек.
Доказательство. По лемме 1 все рациональные точки
попадают (по отношению к введенной выше принадлежности)
в конечное число классов А, В, С, ... Пусть
<?1 = (#ь У\), •••, Qm^{xm, ym)
представители этих различных классов. Предположим, что рацио-
рациональная точка -Ро = (х, у) лежит в том же классе, что и точка
Qi Тогда по лемме 5 имеем
I\ + Q^ = 2PV
где jPi — рациональная точка кривой C). Аналогичным образом
Р1 + Qi2 = 2Pt,
где Рг — снова рациопальная точка рассматриваемой кривой. Та-
Таким образом, для всех к = 0, 1, 2, ... имеем
Ph + Qik+1^2Pk+1. {щ
Отсюда следует, что точка -Ро линейным образом выражается
через точки Q\, ..., Qm и точку Ph+i. Действительно, исключай
Рь Р2, ..., Pk, получаем
¦¦¦+
= 2h+1P
h+l.
Покажем, что указанный процесс приводит к конечному мно-
множеству точек jPjh-i.
Перейдем в уравнении C) к другим координатам, заменив хТ
у на x/z2, y/z3 соответственно. Тогда уравнение C) запишется
в виде
у2 = х3 + axzi + bz5,
и точка Ро — (х, у) будет иметь однородные координаты
(xz, у, za). Предположим, что х, у, z — целые числа и что-
(x,z)=i.
Вернемся к соотношению
ж обозначим однородные координаты точек Ре, Qj , Pi и 2Pt
через (х, у, z), (p, q, г), (хи уи zx) и (s, t, и). Положим Ло =
= тах([ж1, z2), р = тах(|/?|, г2), Я3 = max (l^l, z\) и ю =
= lnax(UI, ы2). Ясно, что]уI = О(^о/а)> где константа в символе
«С» зависит лишь от а и Ь.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
121
Оценим величину и. Из соотношения E) имеем
«, + ")(*1+*а) + 2Ь-2у1у,
х,=
*i-W
ш, значит,
и2
pz
2) + 2brizi —
Так как (s, и) = 1, то из последнего соотношения следует, что
<й = 0(А§).
Покажем^ теперь, что Xi = О(ю1М). Из формулы G) имеем
(s _ ai42)i/2 = г-^— (х\ — azj — 2ах^ — 2a2z^) = е0 + eta + e2a2
и, так как (s — au2I72 — целое алгебраическое число из поля К,
таковым является и eo + eia + ега2. Следовательно, если А — дис-
иркминант многочлена х3 + ах + й, то Де0, Aei, Дег суть целые
числа и тогда
ДBе0 —аея) = — ж1( — Де2 = — zx
также являются целыми числами. Далее, так как (Х], zi)=i,
то целое число и, значит, х\ \ АBе0 — ae2), z{\ Ae2. Но числа
ДBео —яе2) и Дег линейно выражаются через (s — «iU2I/2,
(s — аг«2I/2, (s — ази2I/2 и, стало быть, оценивается величиной
О(ю1/2). Следовательно, 4 = С>К/2), 4=0 (ш1/а) и тогда \ =
Применяя указанные рассуждения к каждому из соотноше-
соотношений A0) цри к = 0, 1, 2, ..., получим последовательность чисел
-Яо, Ль ?»2,. - • таких, что Я^-ц =(? (Я^ ). Эта последовательность ог-
ограничена и, значит, однородные целочисленные координаты точек
Ph+i также ограничены. В таком случае множество точек Ph+i
конечно, тем самым теорема доказана.
Полученный результат может быть сформулирован также сле-
следующим образом.
Теорема В. Существует такое конечное множество {Pi, ...
...., Рп) рациональных точек привой
Е: у2^
Ф О,
¦что всякая рациональная точка Р этой кривой представляется
гв виде
Р = miPi + ... + mnPn
с целыми mi,
mn.

122
ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
4. Ранг эллиптической кривой. Нетрудно видеть, что введен-
введенная операпдя сложения точек на эллиптической кривой Е явля-
является коммутативной групповой операцией, нейтральным элемеп-
том которой служит бесконечно удаленная рациональная точка
О этой кривой. Поскольку рассматриваемая операция задается.
рациональными функциями с коэффициентами из Q, то она ин-
индуцирует аналогичную операцию на множество Е (Q) рацио-
рациональных точек кривой Е, превращая это множество в абелеву
группу. Из теоремы В следует, что группа Е (Q) является ко-
конечно порожденной.
Следует отметить, что в качестве нулевой точки О может быть,
выбрана любая рациональная точка из E(Q). При этом, есте-
естественно, формулы в групповом законе несколько изменят свой:
вид (см. [1] гл. 18, § 1).
Если рациональпая точка Р кривой C) удовлетворяет усло-
условию тР = О при некотором целом т, то она называется точкой
конечного порядка эллиптической кривой у2 = х3 + ах + Ъ. Мно-
Множество Г (Q) таких точек является конечной подгруппой груп-
группы Е (Q). Структуру группы I4Q) для кривых у2 = х3 + ах-\- Ь-
с целыми а и Ъ во многом выясняет следующая теорема На-
гелля [90].
Теорема 3. Пусть (х', у') — точка конечного порядка,
кривой
г/2 = х3 + ах + b, a, &e Z-
Тогда х', у'еЬ либо у' Ф0, либо y'2\Das-{-27b2).
Рассмотрение многочисленных примеров привело к предполо-
предположению (см. [59с]), что группа Г (Q) равномерно ограничена
для всех эллиптических кривых над полем Q. Это предположе-
предположение, даже в более сильной форме, было доказано Мазуром [77а —
77с], установившим справедливость гипотезы Огга [94] о том,
что группа Г (Q) произвольной эллиптической кривой над по-
полем Q изоморфна одной из следующих 15 групп: 2/2Z, 1 ^ Ь^~ Ю,
I = 12 и 2/2Z X Z/»*Z. I < m < 4.
Более сложным оказался вопрос о ранге (числе образующих
бесконечного порядка) группы Е (Q) (группы Морделла — Вей-
ля). Этот ранг называется также рангом соответствующей эллип-
эллиптической кривой. В большинстве исследованных случаев ранг
группы Е (Q) оказывается очень малым (равным 0, 1 или 2).
Пока неясно, существуют ли эллиптические кривые сколь угодно-
большого ранга (что считается весьма вероятным). В этом на-
направлении до сих пор получены лишь отдельные факты. Так,.
А. Нерон [91] доказал, что существует эллиптическая криваяг
ранга Э^Ю. Грюневальд и Циммерт [36] привели пример эллип-
эллиптической .кривой раита >8. Недавно Местру [85] удалось по-
построить примеры эллиптических кривых рангов от 3 до 14 вклю-
включительно. В частности, согласно его вычислениям, кривая ранга
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
123
14 имеет вид f + 357 573 631» = хг + 2 597 055я2 - 549 082а; -
- 19 608 054.
Интересные гипотезы о ранге группы Е (Q) были предложе-
предложены Берчем и Суыннертоном—Дайором [15]. Ограничимся спова
рассмотрением кубической кривой
Е: у2 = ж3 + ад + 6, Д = -Dа3 + 27й2)#0 A1)
с целыми коэффициентами а и Ь. При этом мы не теряем общно-
общности, поскольку каждая эллиптическая кривая C) может быть
преобразована к такому виду заменой переменных (х, у) м~
<->¦ (с/2х, д3у) с подходящим положительным де2-
Если простое число р не делит Д, то редукция кривой Е по
modp приводит к эллиптической кривой Ер над полем Fp. Для
количества NP точек кривой Ер с координатами в Fv (включая
•бесконечно удаленную точку) справедлива формула
Np = р + 1 — (др —
где Icopl = р112. Для таких р локальная L-функция кривой Е оп-
определяется но формуле
L(EP,s)= [(l-w,p~>){l-uPp-°)]-\
Аналогичным образом, локальная ^-функция кривой Е определя-
определяется для простых р i А как ^-функция кривой Ер над полем Fp
ло формуле
)
v, s) =
Для р!А положим
ж определим глобальные L- и "^-функции кривой Е формулами
L{E,s)=Y[L (Ep, S), I (E, s) = Д I (ЕР, *)¦
р-ГД Р
Из этого определения получаем соотношение
ЩЕ, s)^i(s)l(i-s)L-HE, s),
связывающее ^-функцию ?(#, s) кривой Е с i-функцией L(E, s)
зтой кривой и обычной ^-функцией Римана. Это соотношение
:имеет особое значение для кривых с комплексным умножением
(см. задачу 12), когда вели^шна L(E, 1) допускает выражение в
виде явной формулы, дающей возможность для ее вычисления
(см., например, [119а]).
Нетрудно видеть, что произведение Ц L (?p, s) сходится при
v
Tie s > 3/2. Существует предположение (доказанное в некоторых
«специальных случаях), что функция L(E, s), задаваемая этим

124
ГЛ. 1П. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
произведением, может быть аналитически продолжена на вск>
комплексную плоскость. При s ->¦ 1 приходим формально к ра-
равенству
Очевидно, что бесконечное произведение в правой части послед-
последнего равенства не может быть вычислено. Однако конечное про-
произведение
вычислимо вплоть до значений N порядка нескольких тысяча
Исходя из этих вычислений, Берч и Суиннертон-Дайер [15] вы-
высказали следующие две взаимосвяяапные гипотезы.
Гипотеза 1. Пусть г — ранг эллиптической кривой Е. Су-
Существуют положительные константы с' и с" {зависящие от Е)
такие, что
Гипотеза 2. Функция L(E, s) имеет в точке s = 1 нуль-
порядка г.
За последние годы был получен ряд результатов, подтверж-
подтверждающих справедливость указанных предположений (см. обзоры
Касселса [59с], Циммера [141] и Мазура [77d]). Среди них
отметим результаты Раджвада [101], Милна [86а] и Коутеса —
Уайлса [65]. Особый интерес представляет работа Коутеса if
Уайлса, из которой следует (см. [108а, 37, 116с]), что если кри-
кривая Е над Q имеет комплексное умножение и содержит рацио-
рациональную точку бескопечного порядка, то Z-функция Хассе — Вой-
ля L(E,s) обращается при s = l в ноль. При г=1и при допол-
дополнительном предположении о том, что L(E, l) = 0 и первая про-
производная функции L(E,s) отлична от нуля в точке s — 1, гипо-
гипотеза 2 была доказана Гроссом и Загье [34]. Для кривых с комп-
комплексным умножением более сильный результат получил Рубин
[108Ь], показавший, что если г ^2, то порядок нуля функции
L(E, s) в точке s = 1 яе меньше 2, и установивший для таких
кривых справедливость гипотезы 2 при условии, что порядок
нуля функции L(E, s) в точке s = 1 не выше 1. В общем случае,,
но при некотором дополнительном условии на Е (которое гипо-
гипотетически всегда выполняется) В. А. Колывагин [62а, 62Ь] уста-
установил, что если Ь(Е, 1)^0, то группа E(Q) конечна.
В заключение параграфа дадим аналитическую формулиро(вку
теоремы В. Хорошо известно (см.. например, иниру [70g]), что
кривая A1) обладает параметризацией
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
125
где
=-4-+ 2
— tisf
— эллиптическая функция Вейерштрасса с решеткой периодов
Ь = [а>1, ю2], Imfi>i/cD2>0 и инвариантами а = — 15 2 1
Ь = — 35 2 оз~в. Указанна!я параметризация задает биекцию
между значениями комплексного параметра z(modL) и комп-
лекснозначными точками Р (z) = Ы (z), -у ф' (г)) кривой Е.
этом теорема сложения
точек кривой Е имеет параметрическое представление
3^0 (modi).
Таким образом, в терминах параметра z теорему В молено пере-
переформулировать в следующем виде.
Теорема С. Все рациональные точки кривой A1) задаются
параметрически в виде
z =
где z\, ..., zn — некоторые фиксированные значения параметра &
и mi, ..., тпп пробегает все целые значения.
С более детальным изложением арифметики эллиптических:
кривых читатель может познакомиться по книге Сильверман*
[111b].
Задачи
1. Пусть Ра =
Уо)> Vi Ф 0,— рацйопальнан точка кривой
5,2
Проведя через Ро касательную
5,2 =
показать, что она пересекает кривую у* =
где
в точке Р\ = (xi, y{fr
Показать, в частности, что кривая у2 = хъ — 2 имеет рациональные точке
/129 383\

¦126
ГЛ, III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
2* (Морделл [89g]). Пусть к - целое число, не содержащее в сво-
•ем каноническом разложении шестой степени простого числа Тотличное
от 1 и —432. Пусть, далее, кривая
у* = хз + к
¦обладает рациональной точкой Р„ = (ха, уа) с условием х0у0 Ф О
а) Положив х0 = р/д\ у0 = г/д\ где (р, д, г) = 1, (р, д) = 1, rr q) = 1
показать, что точка Р, = (*,, у,) из задачи 1 имеет координату я, опреде-
определяемую соотношением * ' ии^вда
f>) Доказать, что если 3/>2/2г не является целым числом то Р, ^ Р„
в) ^Показать, что если Зрг!2г — целое число, то, применяя к точке Р, ука-
указанный в предыдущей задаче процесс, можно прийти к рациональной точ-
точке Р1 Ф Ро;
г) Используя результаты из п. а) — в) установить, что кривая
г/2 = хз + к
ямеет бесконечное число рациональных точек.
3*. Доказать, что кривая
у2 = я3 + к
имеет при к = 1 только пять рациональных точек @, 1) @, —1), (—1, 0),
- /ло ч'йГ " а ПрИ к = —432 — лишь две рациональные точки A2, 36)
4. Пусть f(x) = ах* + Ъх* + сх> + da; + e -, многочлен с целыми коэф-
коэффициентами. Предположим, что а =-= а2 ф 0 является полным квадратом
и что F
8cAi — 4ebc + Ь3 gfe 0.
Положив
у = ах2 -f px + "(,
.где 2ар = Ь, 2ау + ^2 = с, показать, что кривая
Уг = fix)
имеет рациональную точку Ро = (х0, i/0) с координатами
64д3е— 16в2
= ах
¦5. Доказать, что уравннние
= хъ + 45
не разрешимо в целых числах х и у. (Указание: Рассмотреть соответ-
соответствующее сравнение по модулю 24).
6. Доказать, что уравнение
не разрешимо во взаимно простых целых я, у, z и что соответствующее
сравнение
я4 — 17г/4 =з 2г2 (mod^")
разрешимо при любом простом р и любом целом п ^ 1.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
127
(Указание. Предположить, что уравнение х* — 17i/* = 2z2 разреши-
разрешимо во взаимно простых целых я, г/, г. Затем, установив с помощью квадра-
квадратичного закона взаимности Гаусса, что каждый нечетный простой дели-
делитель р числа z является квадратичным вычетом по модулю 17, прийти к-
противоречию с тем. что 2 не является вычетом четвертой степени по мо-
модулю 17.)
7. Используя результат предыдущей задачи, показать, что эллиптиче-
эллиптическая кривая
2у2 = х* — 17
имеет р-адические точки для каждого простого р и не имеет точек в пол&
рациональных чисел Q.
8. Пусть а, Ъ, с, d — бесквадратпые целые числа с условием с > Ъ > а.
Используя теорему 3, а также результат Гурвица [38] о том, что. кривая
А: ахг + Ъуъ + cz* + dxyz = 0
не имеет точек конечного порядка, доказать, что если А имеет хотя бы од-
одну рациональную точку, то группа Морделла — Вейля А (С) этой кривой1
бесконечна.
(Указание. Провести касательную к рассматриваемой кривой в
точке (ж, г/, z) с целыми взаимно простыми координатами х, у, z и пока-
показать, что при подходящем целом т ^ 1 она пересекает кривую Л в точке-
(х', у', г') также с целыми взаимно простыми координатами
= \cz
«•). *'=^<
удовлетворяющими условию \z'y'z'
9. Доказать, что уравнение
>
не разрешимо в целых х Ф 3 и у Ф ±5. (Указание. Воспользоваться со-
соотношением
и однозначностью разложения на простые множители в кольце целых чисел
(/^))
поля
10. Пусть ф(г) —эллиптическая функция Веиерштрасса с решеткой пе-
периодов L, параметризующая эллиптическую кривую
Е (С): у1 = хя + ах+ Ъ. 4аэ |- 27Ь^Ф0,
вложенную в комплексное проективное пространство Р . Доказать, что ото-
отображение
1
задает аналитический изоморфизм комплексного тора C/L и кривой К (С)
11. Доказать, что каждый комплекспо:апалитический гомоморфизм
Я: E/L-+V/M
представляет собой умножение па такое комплексное число а, что <xL cz M.
12. Доказать, что любое число a, oi с i, задающее комплекспо-апалити-
ческий эндоморфизм тора С/Л, является либо целым рациональным числом.
(йе2), либо элементом кольца целых чисел мнимого квадратичного по-
поля (в последнем случае говорят, что соответствующая эллиптическая кри-
кривая Е (С) имеет комплексное умножение).

128 ГЛ. III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
13. Доказать, что эллиптическая кривая
Е(С): г/2 = х3 + ах + Ъ
допускает следующие автоморфизмы:
1) тождественный автоморфизм (х, у) <-* (ж, у)\
2) (ж. у) •-¦ (х, ~у), если аЬ Ф 0;
3) (х, у) <-» (—х, ± iy) , если а Ф 0 и Ь = 0;
4) (х, у) ^ (ртх, +у), 1 < т ^ 2, р = е2'11''3, если а = 0 и Ь # 0.
14. Доказать, что кривые
Е (С): у2 = г*
# 0,
Е' (С): г/2 — х3 + а'х + Ь', 4а'3 -f 27Ь'2ф 0,
язоморфны межд\г собой тогда и только тогда, когда равны их инварианты
15. Пусть /п — функции на кривой
Я (С): / "= ^3 + ах + Ь, 4а3 + 276я ф 0,
задавае^пле соотношениями
/. = 1,
h = 2у,
/з = 3^* + бах2 + 126s - a2,
/4 = 4j( (т6 + Бах1 + 20Ьх2 — 5а2х* — Aabx — 862 — а3)
3,
" -^m— l'm+l1
Пусть, далее,
4y«n fn+ifn—i /n—a*n+r
Используя формулы сложения точек на кривой Е (С), показать, что
16. Доказать, что группа EN (С) точек порядка 7V эллиптической кривой
изоморфна группе 1/NIX2/N1,
17. Доказать, что группа Е (Q) рациональных точек эллиптической кри-
кривой Ферма
Е: х% + у3 = г3
лзоморфна Z/3Z.
§ 2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
129
18. Пусть (х, у) —произвольная точка эллиптической кривой
Е: у2 = х3 + ах + Ъ, 43 0
о
Доказать справе;1ливость следующей теоремы Ойлера о сложе-
сложении эллиптических интегралов: для любых точек {х\, у\) и
(^2, г/г) кривой Е существует такая третья точка, (хз, уъ) этой кривой, что
t{%u yi) + t(xi, уц) = t{xz, уз)
и координаты точка (s3, Уъ) выражаются в виде рациональных функций с
рациональными коэффициентами через координаты точек (х\, у\) и (хг, уг).
Вывести отсюда теорему сложения точек на кривой Е.
9 С. А. Степачов

ГЛАВА IV
ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Данная глава посвящена детальному изучению поля рацио-
рациональных функций на проективпой алгебраической кривой. Преж-
Прежде чем перейти к такому изучению, напомним некоторые общие-
факты из алгебраической геометрии. Подробнее с этим читатель
может познакомиться по книгам [132] и [144Ь}.
§ 1. Аффипньте и проективные многообразия
1. Аффинные алгебраические множества. Пусть к — алгебраи-
алгебраически замкнутое поле произвольной характеристики и п 5^ 1 —
фиксированное целое число. Определим п-мерное аффинное про-
пространство А над полем к как множество всех наборов (хи
..., х„) с компонентами из к. Элемент х = (хи ...,'хп), xt^kT
будем называть точкой пространства Л„, a xt — координатами
точки х.
Положим Т = {Т\, ..., Тп) и рассмотрим кольцо многочленов
T]*= k[Th ..., Тп] от неизвестных Ти ..., Тп с коэффициента-
коэффициентами иа к. Нулем многочлена F e k [T] назовем всякую точку х =
= (хк, ..., хп) «= Л™ такую, что F(x) — 0.
Алгебраическим (аффинным) множеством X называется мно-
множество общих пулей некоторой совокупности многочленов Ft(T)
из кольца к[Т].
Рассмотрим идеал а^к[Т], порожденный совокупностью мно-
многочленов Fi(T), задающих алгебраическое множество X. Тогда
X можно представить как множество V(a) общих нулей всех
многочленов Fea, Всякий идеал а такой, что X=V(&), назо-
назовем определяющим идеалом алгебраического множества X. Среди
определяющих идеалов данного алгебраического множества X
имеется наибольший идеал &(Х), состоящий из всех многочлепов
кольца к[Т], обращающихся в ноль во всех точках iel. Идеал
а(Х) назовем идеалом аффинного алгебраического множества X..
Поскольку кольцо к [Т] нётерово, то любой его идеал имеет ко-
конечное число образующих. Поэтому, если Fu .. ., Fr — образую-
образующие идеала а(Х), так что
a(X)=k[T]F1(T)+ , .. + k[T]FT(T),
то X может быть задано также как множество общих нулей ко-
конечного числа многочленов F\, ..., Fr.
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
131
Нетрудно видеть, что объединение конечного числа алгебраи-
алгебраических множеств есть алгебраическое мложестао и что пересече-
пересечение любого числа алгебраических множеств снова является ал-
алгебраическим множеством. Кроме того, пустое множество и все
пространство А™ являются алгебраическими множествами. Сле-
Следовательно, если алгебраические множества объявить замкнуты-
замкнутыми, а их дополнения в А™ — открытыми множествами, то про-
пространство А" становится топологическим пространством. Введен-
Введенная таким образом топология называется топологией Зарисского
пространства Аи- Любое открытое множество U, содержащее точ-
точку ж, называется окрестностью этой точки, а пересечение всех
замкнутых множеств, содержащих заданное множество Y, назы-
называется его замыканием и обозначается Y.
Пример 1. Выясним, как устроена топология Зарисского
аффинной прямой Ах- Каждый идеал а. в кольце к[Т] много-
многочленов от одного неизвестного Т имеет вид а = k[T]F(T) с не-
некоторым F^k[T]. Поэтому всякое алгебраическое множество в
А1— это множество нулей одного многочлена. Так как поле к
алгебраически замкнуто, то любой ненулевой многочлен имеет
в к[Т] разложение
В таком случае V(a) = {ai, ..., am} и, значит, алгебраическими
множествами в А1 являются всевозможные конечные подмноже-
подмножества прямой А1- Отметим, в частности, что топология Зарисского
прямой А1 не хаусдорфоова.
Теорема Гильберта о нулях [32а]. Пусть к — ал-
алгебраически замкнутое поле, а. — идеал в кольце к[Т] = к[Т\, ...
..., Тп] uF^k[T]—многочлен, обращающийся в ноль па V(a).
Тогда Fm е а при некотором целом m 3^ 1.
Доказательство см. в [70d, с. 290], [8, с. 105] или в
152, т. 2, с. 195].
Определение 1. Пусть а — идеал коммутативного кольца
Л с единицей. Радикалом г(а) идеала а называется множество
всех элементов sei таких, что am ^ а при некотором целом
тп> 1.
Из теоремы Гильберта следует, что идеал <х(Х) алгебраиче-
алгебраического множества X равен радикалу г(а) определяющего идеала
й этого множества. Более того, имеется взаимно однозначное со-
соответствие между алгебраическими множествами пространства
А" и радикальными идеалами (идеалами, совпадающими со свои-
своими радикалами) кольца к [Т\, ..., Тп\.
Дадим теперь краткое описание топологии Зарисского про-
пространства Аи- Поскольку включение У <= X равносильно включе-
включению а(У)=| <х(Х) и поскольку, ввиду нётеровости кольца к [Т],
а*

132
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
всякая возрастающая цепочка (tica2c,,,ca,c,,, идеалов
кольца к [Т] стабилизируется, то имеется взаимно однозначное
соответствие между алгебраическими подмножествами У алгеб-
алгебраического множества X и радикальными идеалами, содержащи-
содержащими ui{X), и топология Зарисского пространства Ап нётерова,
то есть каждая убывающая цепочка Y\ ^ У 2 ^ ... ^ Ys ^ .. . зам-
замкнутых множеств стабилизируется.
Определение 2. Топологическое пространство X называ-
называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объеди-
объединения своих собственных замкнутых подмножеств. Это эквива-
эквивалентно тому, что всякая пара непустых открытых подмножеств
в X имеет непустое пересечение, а также тому, что любое непу-
непустое открытое множество U <= X всюду плотно в X (его замыка-
замыкание U совпадает с X).
Из изложенного выше следует, что алгебраическое множество
X с А" (рассматриваемое как топологическое пространство) не-
приводимо тогда и только тогда, когда идеал й(Х) множества X
является простым идеалом кольца к [Т]. Напомним, что идеал р
коммутативного кольца А с единицей называется простым, если
$?=А и из включения ii/e|i следует, что либо ж ер, либо у^'р.
Идеал ш в А называется максимальным, если ia?= А и не суще-
существует идеала а, удовлетворяющего условию ш <= <t cz А (включе-
(включения строгие). Легко видеть, что у — простой идеал в том и только
в том случае, если факторкольцр А/у является областью цело-
целостности, и что т. — максимальный идеал тогда и только тогда,
когда А /т. — поле.
Определение 3. Неприводимое замкнутое подмноя;ество X
пространства А (с индуцированной топологией Зарисското| на-
называется аффинным алгебраическим многообразием.
Нетрудно видеть, что аффинным многообразиям взаимно од-
нозначно соответствуют простые идеалы кольца к [Т\ (наметим,
что всякий простой идеал радикален).
Пример 2. Пусть F — неприводимый мпогочлеп из кольца
к [Т] = к [Т\, ..., Тп]. Поскольку к\Т\ является кольцом с одно-
однозначным разложением на неприводимые множители, то много-
многочлен F порождает в к [Т] простой идеал. Следовательно, множе-
множество нулей X = V(d) многочлена F неприводимо и, тем самым,
является аффинным многообразием. При п = 3 многообразие X =
= V(F) называется поверхностью, а при п > 3— гиперповерх-
гиперповерхностью.
2. Регулярные отображения. Функцией па алгебраическом
множестве X назовем всякое отображение X в поле к. При этом
функция / на X называется регулярной, если она индуцирована
некоторым многочленом F <s к [Т\, ..., Тп]. Другими словами,
f регулярна, если f(x) = F(x) для всех х^Х (f = F\s).
Множество всех регулярных на X функций образует кольцо,
обозначим его к [X]. Более того, это множество является конечно
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
133
порожденной Аг-алгеброй. Имеет место естестгвениый эпиморфизм
а: к[Т]^к[Х]
с ядром
переводящий F в f = F\x и задающий (в случае непустого X)
^-изоморфизм
к[Х]
fe-алгебр. Кольцо к[Х] называется аффинным координатным
кольцом множества X.
Так как к [X] есть гомоморфный образ кольцд многочленов
к[1], то в к[Х] имеет место теорема о конечности базиса идеа-
идеалов, а также следующий аналог теоремы Гильберта о
нулях: если функция /е к[Х] обращается в нуль во всех
точках х е X, в которых обращаются в пуль функции fu .... /г, то
Пусть Y — замкнутое подмножество алгебраического множе-
множества X. Множеству Y можно сопоставить идеал
кольца к[Х]. Наоборот, каждый идеал а' кольца к[Х] опреде-
определяет идеал а в к [Т], состоящий из всех прообразов элементов
fea' при гомоморфизме а: к[Т ] ->- к[Х]. Идеал а содержит в
себе <Х(Х) и, значит, определяет замкнутое множество Y<=X.
В частности, каждая точка jel является замкнутым подмно-
подмножеством и, стало быть, определяет идеал
По оиределению этот идеал является ядром гомоморфизма к [X] -»-
-»- к, сопоставляющего каждой функции f <= к[Х] ее .значение
f(x) в точке х. Так как к[Х]/ш(х)— поле, то идеал Ш(х) макси-
максимален. Наоборот, любой максимальный идеал m <= к [X] соответ-
соответствует некоторой точке iel Действительно, он определяет зам-
замкнутое подмножество Y множества X. Далее, для любой точки
j/eE F имеем т<=ш(у), а так как at максимален, то т. = ш(у).
Определение 4. Пусть ХсД"и У с Дт — замкнутые
множества. Отображение /: X -*¦ У называется регулярным, если
существуют такие регулярные на X функции /i, ..., /m, что
j{x) == (/, (х), ..., fm (x)) для всех ieX.
Яспо, что регулярное отображение/: Х->А"\ задаваемое
функциями /ь ..., fm, будет отображением X в У лишь в том
случае, когда /ь ..., /т, как элементы кольца к[Х] удовлетворя-
удовлетворяют уравнениям множества У.
Пусть /: X ->- У — регулярное отображение X в У и g: У -*-
->¦ к — произвольная функция на множестве У. Отображение /* =>

134
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
= g о f можно рассматривать как отображение функций на У в
функции на X. Ввиду этого /* является отображением k[Y\ в
к[Х] и, более того, гомоморфизма ^-алгебры k[Y] в А-алгебру
к [X]. Справедливо и обратное утверждение, а именно, всякий
гомоморфизм k-алгебр ф: k[Y]^k[X] имеет вид ср=/*, где / —
некоторое регулярное отображение X в Y.
Регулярное отображение /: X -»- Y замкнутых множеств назы-
называется изоморфизмом, если оно обладает обратным отображени-
отображением g: Y -*- X, / » g = ly, g ° f = ix^ которое также регулярно. Ал-
Алгебраические множества X и Y называются в этом случае изо-
изоморфными. Ясно, что если / — изоморфизм, то /* является изо-
изоморфизмом й-алгебр к[Х] и k[Y]. Легко проверить, что справед-
справедливо и обратное, так что замкнутые множества изоморфны тогда
и только тогда, когда их координатные кольца изоморфны над к.
Пример 3. Пусть к = Fq — алгебраическое замыкание ко-
конечного ноля Fq характеристики р ж X — алгебраическое множе-
множество, определяемое системой уравнений
Pt(T)=0, i<i<r,
где Рг — мпогочлены ига кольца Fq [T].
Рассмотрим отображение о пространства А", задаваемое
формулой
Очевидно, что это регулярное отображение. Покажем, что оно
переводит X в себя. Действительно, если iel, то />,(;г)=0,
и тогда по свойству ноля Fg имеем
Pi (*?, ...,4) = {Pi to, ..., xn)f = о.
Отображение о: X -*¦ X называется отображением Фробениуса.
Его значение заключается в том, что все точкж ieJe коорди-
координатами из Fq (и только они) остаются неподвижными под дей-
действием о.
Пример 4. Проекция f(x, у) = х гиперболы ху = 1 на ось х
является регулярным отображением, но ие является изоморфиз-
изоморфизмом, так как это отображение не взаимно однозначно: на гипер-
гиперболе нет точки (ж, у), для которой f(x, y)~0.
Пример 5. Отображение f(t) = (t2, l3) прямой на кривую
хъ = у2 взаимно однозначно, однако оно не является изоморфиз-
изоморфизмом, так как обратное отображение имеет вид f~l{x, y) — yjx,
а функция у!х не регулярна в начале координат.
3. Рациональные функции на алгебраическом многообразии.
Пусть алгебраическое множество X неприводимо. Тогда коорди-
координатное кольцо к [X] является областью целостности и его можно
вложить в поле частных к(Х), называемое полем рациональных
функций па X. Из определения поля частных следует, что к(Х)
состоит из таких рациональных функций ф = fig, /, g е к [X],
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
135
что g Ф О на X, причем считается, что fig = fig', если fg' —
-fg = O на X.
Рациональная функция <ре/с(Х) называется регулярной в
точке х^Х, если существует представление <p=f/g такое, что
g(x)=JL0. В этом случае элемент f(x)/g(x) поля К называется
значением функции ф ,в точке х и обозначается <р(х). Множество
точек, в которых, рациональная функция (р^к(Х) регулярна,
не пусто и открыто. Ото множество называется областью опре-
определения функции ф и обозначается D(*$).
Исходя из теоремы Гильберта о нулях в кольце к [X], не-
нетрудно убедиться, что рациональная функция <р, регулярная во
всех точках замкнутого множества X, является регулярной функ-
функцией на X. Кроме того, из неприводимости X вытекает, что если
рациональная функция ф равна нулю на непустом открытом под-
подмножестве из D{fp), то она равна нулю на всем X. Отсюда сле-
следует, в частности, что две рациональные функции из к(Х), сов-
совпадающие на непустом открытом подмножестве их общей обла-
области определения, совпадают между собой на всем множестве X.
В заключение укажем другой, обладающий большей общ-
общностью, способ построения поля к(Х).
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Мультиплика-
Мультипликативно замкнутым множеством в А называется всякое подмноже-
подмножество S<=A, содержащее 1 и замкнутое относительно умножения.
Определим на AXS отношение равенства, положив (а, &) =
= (а', Ъ') в том и только в том случае, если (ab'— а'Ъ)с = О
для некоторого c^S. Это отношение рефлексивно, симметрично
и транзитивно. Поэтому оно определяет на А X S отношение эк-
эквивалентности. Класс экшивалентности пары (а, Ъ) обозначим
ajb, а множество всех таких классов — S^. Введем па S~XA
структуру кольца, определив сложепие и умножение по правилам
ab' + а'Ъ а а'
T'V
a'
V
W
аа
Кольцо S~lA называется кольцом частных А относительно S.
Заметим, что если А — область целостности и S = А — {0}, то ука-
указанная конструкция приводит к полю частных кольца А. Ото-
Отображение ф: А -*¦ S~lA, ф(ж)=ж/1, определяет гомоморфизм ко-
колец Л и S~XA. Вообще говоря, он не инъективен.
Если р — простой идеал кольца А, то кольцо частных
4v = (-f- a, be А,
относительно мультипликативно замкнутого множества S = А — $
называется локализацией кольца А относительно р. Это локаль-
локальное кольцо с единственным максимальным идеалом
m
I6
»¦

136
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Пусть X — неприводимое замкнутое множество в Ап, <х(Х) —
простой идеал в к[Т], соответствующий множеству X, и
F,
], Сф<х{Х)\
— локализация кольца к [Т] относительно а(Х) с максималь-
максимальным идеалом
Если ср = fig — элемент ноля к (X) и F, G — многочлены из коль-
кольца к[Т] такие, что F\x=f, G\x = g и G<?a(X), то соответствие
задает канонический изоморфизм между к(Х) и Dx/Wlx. Следова-
Следовательно, поле к(Х) можно отождествить с ?>х/2Ях.
4. Проективные и квазипроективные многообразия. Определим
п-мерное проективное пространство Рп над полем к через соот-
соответствующее аффинное пространство An+1. Назовем две точки
z = (x0, xi, ..., хп) и у = (уо, уи ..., уп) пространства А"+1 экви-
эквивалентными, если существует такой элемент J,ejfc, Х?=0, что
*« = tyi для всех i = 0, 1, ..., п. Затем точками х = {хо : х\ :...: хп)
пространства Рп объявим классы эквивалентных между собой
непулевых точек пространства А"+\ определенных пад к. Любой
набор (Хх0, Ххи .. ., Хх„), ХФО, задающий точкужеР™, будем
называть строкой однородных координат этой точ'ки.
Рассмотрим градуированное кольцо
k[T0,rv ..., Гп] = в к[Гв, 7\, ...,Tn]m
m=o
многочленов от неизвестных Tq, Ти ..., Тп с коэффициентами из
поля /с, где к[То, Т\, ..., Тп]т — подгруппа однородных много-
многочленов степени т. Скажем, что точка ieP" является проектив-
проективным нулем многочлена F ¦«= к [То, Ти ,.., Тп), если F обращается
в нуль в каждой строке однородных координат точки х. Легко
видеть, что если igP°- проективный нуль многочлена F =
= Fo + F\ + ... + Fm, то точка х является проективным нулем и
каждой однородной компоненты Ft этого многочлена. Действи-
Действительно, если (Ххо, Кх\, ..., Ххп) — строка однородпых координат
точки х, то для всех X е к* будем иметь
Поскольку поле к алгебраически замкнуто и, значит, содержит
бесконечно много элементов, утверждение следует из того, что
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
137
отличный от пуля многочлен от одного неизвестного X не может
иметь бесконечного числа нулей.
Идеал а кольца к[Т0, Т\, . .., Тп] назовем однородным, если
вместе с каждым своим многочленом F он содержит и все одно-
однородные компоненты этого многочлена. Скажем, что точка х ^ IP
является проективным нулем однородного идеала а <= к [Го, Ти ...
..., Тп], если она является проективным нулем каждого много-
многочлена, лежащего в а.
Определение 5. Проективным алгебраическим множеством
ХсР" называется совокупность всех проективных нулей F(ft)
некоторого однородного идеала л. Всякий идеал а такой, что X =¦
= Т/(а), называется определяющим идеалом проективного алгеб-
алгебраического множества X,
Среди определяющих идеалов а данного проективного множе-
множества X имеется наибольший, обозначаемый й(Х). Он состоит из
всех многочленов F е= к [Го, Th ..., Тп], обращающихся в нуль
во всех точках х е X. Из изложенного выше следует, что идеал
й{Х), называемый идеалом проективного алгебраического множе-
множества X, является однородным.
Как и в аффинном случае, в пространстве Р можно ввести
топологию Зарисского, объявив замкнутыми множествами всевоз-
всевозможные алгебраические подмножества этого пространства. При
этом нетрудно показать, что проективное алгебраическое множе-
множество X (рассматриваемое как топологическое пространство с ин-
индуцированной топологией Зарисского) неприводимо тогда и толь-
только тогда, когда однородный идеал а(Х) прост.
Определение 6. Неприводимое замкнутое подмножество
пространства Р™ (с индуцированной топологией Зарисского) на-
называется проективным алгебраическим многообразием (или про-
просто проективным многообразием).
Перейдем к рассмотрению рациональных функций на проек-
проективных многообразиях. Здесь встречаемся с важным различием
между функциями от однородных и неоднородных координат: ра-
рациональная функция
¦f (Т Т Т Л
V0' 1' ' "' ")
О IT Т Т \
не может рассматриваться как функция точки а:еР" даже в
том случае, когда Q (х) ?= 0, ибо ее значение зависит от выоора
однородных координат точки х. Однако если Р и Q — однород-
однородные многочлены одной и той же степени и Q{x)=?§, то /(#) =
= P(x)jQ(x) имеет в точке х вполне определенное значение, за-
зависящее лишь от х.
Пусть X — неприводимое замкнутое множество в Рп и Ох —
локальное кольцо на X. состоящее из отношений F/G, Gc^u(XI
однородных многочленов F, G одинаковой степени. Единственным

138 ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
максимальным идеалом этого кольца является идеал
Факторкольцо ОхДйх является полем, которое называется полем
рациональных функций на проективном многообразии X и обо-
обозначается к(Х). Рациональная функция f^k(X) называется
регулярной в точке i^I, если существует представление / =
= F/G, в котором G (х) Ф О, Множество точек регулярности функ-
функции / обозначается D(/). Можно показать, что D{f)~ X в том
и только в том случае, если / = const (см. [144Ь, т. i,
гл. 1, § 5]).
Рассмотрим открытые подмножества
ДГ = {х = (х0: xL: ...: хп) <= Рп\х{ф0}, 0<г<л,
пространства Рп- Они покрывают, очевидным образом, простран-
-А 7 п&реводящие х—(ха: хг: .,.
= А": определяют взаимно одно-
ство
и отображения
злачные соответствия межщу А? и аффинным пространством Ап-
Более того, каждое из отображений <р* задает гомеоморфизм
прослранства hi с индуцированной в нем топологией простран-
пространства Р™ на пространство А™ с топологией Зариоского. Отсюда
следует, что любое непустое проективное алгебраическое мно-
множество X czP содержит в себе открытые подмножества X f) Ai >
которые, в свою очегредь, являются аффинными алгебраическими
множествами в А* = А ¦ В частности, каждая тотака нроектив-
пого алгебраического множества обладает открытой окрестностью,
являющейся аффинным алгебраическим множеством.
Рассмотрим теперь понятие рациональной функции на алгеб-
алгебраическом многообразии, Пусть X — либо аффинное, либо про-
проективное многообразие, и U — непустое открытое подмножество
в X. Тогда U — всюду плотное а X неприводимое множество и,
следовательно на U обычным образом возможно определить поле
рациональных функций k(U). Если X — аффинное многообразие,
то из сказанного в ц. 3 следует, что k{U) = k(X). Аналогичное
утверждение справедливо и в проективном случае. Указанное
свойство аффинных и проективных многообразий совместно с
тем фактом, что открытые подмножества X (] А? проективного
алгебраического (множества X czPn являются аффинными алгеб-
алгебраическими множествами, приводят к следующему более общему
понятию многообразия.
Определение 7. Квазипроективным многообразием назы-
называется открытое подмножество проективного многообразия.
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
139
Очевидно, что проективные многообразия являются квазипро-
ективньгми, нетрудно показать, что и аффинные многообразия
также являются квазипроективными многообразиями. Далее, лег-
легко видеть, что квазипроективные многообразия являются непри-
неприводимыми множествами. Рациональные функции на квазипроек-
квазипроективном многообразии X определяются как рациональные функ-
функции на открытом подмножество X проективного многообразия X.
Прежде чем ввести следующее новое понятие установим, что
две точки х = (хо : хх : ..,: хт) и у = {Уо'-У\'----'- Ут) проективного
пространства Рт равны менаду собой тогда и только тогда, когда
xiyi = xjyi для всех i, j = 0, 1, ..., т. Действительно, если х = у,
то существует такой элемент J,eF, что у,=Кх,, и, в таком
случае, х^у, — Ххгх, = ytXj = х}у{. Обратно, если x^j = х$х для всех
г, у и если х%9 ф- 0, то х\\}^ = X\yjo для всех / = 0, 1, . . ., т и,
значит j/j = %Xj.
Определение 8. Пусть X — квазипроективное многообра-
многообразие в Рп. Рациональным отображением <р: Х-*-Рт называется
отображение, задаваемое набором cp = (i<PoJ фь ..-7 фт) рациональ-
рациональных функций поля к(Х), из которых хотя бы одна не равна
нулю на X. Набор i|) = (i(>o, фь ..., i|)m) задает то же самое ра-
рациональное отображение, если ф^ = ср^ для всех i, 7 = 0, 1, ...
..., т.
Рациональное отображение ф называется регулярным в точке
х е= X, если существует представление <р = (<ро, <рь • •-, <f>m), в ко-
котором все функции <р< регулярны в точке х (в этом случае <р(х) =
= (фо (х): 1ф1 (х): ... : фт (х))). Областью определения D (ф) ото-
отображения ф называется множество всех точек х е X, .в которых
все <р, регулярны хотя бы для одного представления <р =
(р фф)
Определение 9. Пусть ХсР"в Yczi'P — квазипроек-
тивные многообразия. Отображение <р: Х->- Y называется рацио-
рациональным, если оно является рациональным отображением X в
Р™ и если найдется такое открытое множество Pcfl^), что
(p(U)^Y. Наибольшее из множеств U с указанным свойством
обозначается Z)y(<p). Рациональное отображение ф: Х-»-У на-
называется регулярным, если Z>r(Vp) = X или, другими словами, ес-
если хр(Х)<= Y.
Последнему определению можно придать иную, более удобную
для прттменений форму. Рассмотрим наборы (Fq : Fi :... :Fm)
однородных многочленов Ft^ k [To, Tu ..., Tm] одной и той же
степени. Набор (Fq : F\ : ...: Fm) назовем допустимым, если из
условия, что Fi(x)?=0 для некоторого х е X и некоторого i, сле-
следует, что (^о(^): Fi(x): .. .: Fm(x))^ Y. Далее, два допустимых
набора (Fq : F\ : ...: Fm) и (G<>: G\:...; Gm) будем считать эк-
эквивалентными, если FiGj — GJF5 = 0 на X для всех i, j. Систему S
допустимых эгажгаадентных наборов назовем полной, если для

140
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
любой точки jsl в системе S найдется допустимый набор
(Fq : Fj : ...: Fm), у которого Fi(x)?=0 для некоторого i =
= 0, 1, ..., т.
Пусть S — полная система эквивалентных допустимых набо-
наборов. Отображение <р: X -*¦ У называется регулярным, если в каж-
каждой точке х е X его можно представить в виде
где (FD: Fi:...: Fm)^S и ^(лг^О, хотя бы для одного ? =
= 0, 1, ..., т.
Определение 10. Регулярное отображение ф: X-^ У ква-
зипросктивных многообразий называется изоморфизмом, если оно
обладает обратным регулярным отображением if;: У ->- X, <р ° яр =
= lr, яр°ф = 1х. Многообразия X и У называются в этом случае
1б
Квазипроективные многообразия X vr Y называются бирацио-
налъно изоморфными, если существуют взаимно обратные рацио-
рациональные отображения <р: X -»- У и яр: У -»- X.
Справедливо следующее утверждение (см., например. [144Ь,
т. 1, с. 62-63]).
Теорема 1. Квазипроективные многообразия X и Y бира-
ционально изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны по-
ля к(Х) и k(Y) рациональных функций на X и Y. Многообра-
Многообразия X и Y бирационалъно изоморфны в том и только в том слу-
случае, если в них содержатся изоморфные друг другу открытые
подмножества.
Отметим, что понятие бирациоыального изоморфизма грубев
понятия изоморфизма, так как существуют бирационально изо-
изоморфные многообразия, не изоморфные между собой.
5. Неособые алгебраические многообразия. Понятие неособой
точки многообразия X можно определить в терминах частных
производных функций, задающих X, используя при этом по-
понятие размерности многообразия.
Определение 11. Пусть X — топологическое пространство.
Определим его размерность dimX как верхнюю грань множества
тех целых п, для которых существует цепочка Ха <= Х\ <=...<= Хп
различных неприводимых подмножеств в X. Размерностью аф-
аффинного, проективного и квазшгроективного многообразия назо-
назовем его размерность как топологического пространства.
Определение 12. ПустьХсгА™— аффинное многообразие
и Fu ..., Fr^k[Tu ..., Тп] — образующие идеала а(Х). Мно-
Многообразие X называется неособым в точке х "= X, если ранг
матрицы
равен п — s, где s — размерность многообразия X. В этом случае
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
141
точка х называется пеособой точкой рассматриваемого многооб-
многообразия. Многообразие называется неособым, если оно неособо в
каждой своей точке.
Недостатком данного определения является то, что оно за-
зависит от вложения X в аффинное пространство. Дадим внутрен-
внутреннее описание понятия неособенности, свободное от этого недо-
недостатка и основанное на использовании локального кольца точки.
Определение 13. Пусть X — квазипрооктивное многообра-
многообразие. Локальным кольцом ох точки х е X называется совокупность
всех рациональных функций f^k(X), регулярных в точке х.
Единственным максимальным идеалом кольца ох является
идеал
состоящий из всех необратимых элементов кольца ох.
Если X — аффинное многообразие, к [X] — его коордипатпое
кольцо и
=0,
— максимальный идеал этого кольца, то легко видеть, что 0«
представляет собой локализацию к [Х]т(ЗС) кольца к [X] относи-
относительно простого идеала ш(х).
При изучепии определенных свойств многообразия X иногда
достаточно их изучения в некоторой окрестности произвольной
точки х е X. Такие свойства будем называть локальными. Квази-
проективпые многообразия (как и проектиттые) локально устрое-
устроены как аффинные многообразия. Именно, каждая точка х квази-
квазипроективного многообразия X имеет окрестность, изоморфную аф-
аффинному многообразию. Далее, если U — окрестность точки iel,
то из равенства k(U)= к(Х) следует, что локальное кольцо ох
точки х совпадает с множеством функций f^k(U), регулярных
в х. Стало быть, понятие кольца ох также является локальным и,
значит, при изучении свойств локальных колец можно ограни-
ограничиться аффинными многообразиями.
Локальное кольцо ох точка х квазипроективного многообразия
X является, кроме того, нётеровым. Для доказательства этого ут-
утверждения достаточно установить иётеровоетъ кольца ох =
= A; [XJjj,^) в случае аффинного многообразия X. Справедливость
же последнего утверждения вытекает ив следующего общего фак-
факта (см. [144Ь, т. 1, с. 106]).
Предложение 1. Если А — нётерово кольцо, то его лока-
локализация Ау относительно каждого простого идеала у также яв-
является нётеровым кольцом.
Пусть Ю, — максимальный идеал кольца ох. Будем рассмат-
рассматривать Шх/Шх как векторное пространство над полем вычетов Ojius.
Поскольку ох — нётерово кольцо, пространство юж/шх конечномер-
конечномерj ф к Ш/ш
Поскольку ох р ц, рр
но. Далее, так как поле ojm* изоморфно полю к, то Шх/шх можно

142
ГЛ. IV, ТЕОРЕМА РИМАНЛ — РОХА
рассматривать как векторное пространство над полем к. Размер-
Размерность пространства nWtttx над полем 0,/nt, или, что то же самое,,
его размерность над к обозначим dim nWttt?.
Определим теперь размерность dim X аффинного многообра-
многообразия X в терминах его координатного кольца к [X]. Поскольку
замкнутые неприводимые подмножества многообразия X с Д™ со-
соответствуют простым идеалам кольца к \Т\, ..., Тп], содержащим
идеал <х(Х), а последние, в свою очередь, соответствуют простым
идеалам координатного кольца к [X], то размерность dim X мно-
многообразия X можно трактовать как наибольшую из длин цепочек
отличных друг от друга простых идеалов ъ к [X].
Определение 14. Высотой h(f>) простого идеала р в коль-
кольце А называется верхняя грань множества тех целых тп, для
которых существует цепочка fo <= $1 cz ... a ym = у, отличпых друг
от друга простых идеалов. Размерностью dim Л кольца А назы-
называется верхняя грань высот множества всех его простых идеалов.
Таким образом, размерность аффинного многообразия X может
быть определена как размерность его координатного кольца к [X].
Чтобы придать размерности локальный характер, воспользу-
воспользуемся следующими утверждениями.
Предложение 2. Пусть А^ — локализация кольца А отно-
относительно простого идеала р. Все простые идеалы кольца Ау на-
находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеа-
идеалами кольца А, содерокащимися в р.
Доказательство см. в [8, с. 56—57].
Предложение 3. Пусть к — некоторое поле и А — цело-
целостное кольцо, являющееся конечно порожденной k-алгеброй. Тог-
Тогда для любого простого идеала у кольца А имеет место соот-
соотношение
h (p) + dim A/p = dim A.
Размерность кольца А равна степени трансцендентности его поли
частных над к.
Доказательство см. в [84, гл. 5, § 14], в [8, гл. II]
ив [52, т. 2, гл. 7, § 10].
Пусть х — точка аффинного многообразия X и ш (х)~ макси-
максимальный идеал координатного кольца к [X], соответствующий
точке х. Так как ох = к [ХЦЖ), то в соответствии с предложени-
предложением 2 имеем dimoI = к(ш(х)). С другой стороны, так как
к [Х]/ш(х) ^ к, то из предложения 3 получаем /t(m(a:)) =
= dim к [X]. Следовательно,
dim X = dim к [X] = dim о*.
Определение 15, Пусть А — нётерево кольцо с макси-
максимальным идеалом m и полем вычетов к = А/Ш. Кольцо А назы-
называется регулярным, если dimftttt/m2 = dim A.
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
143
Справедливо следующее утверждение (см. [132, гл. 1, § 5]).
Теорема 2. Аффинное многообразие X с А" тогда и толь-
только тогда неособо в точке х е X, когда локальное кольцо этой
точки ох регулярно.
Исходя из сказанного, приходим к следующему определению
аеособой точки квазипроежтивного многообразия.
Определение 1С. Квазипроективпос многообразие X назы-
называется неособым в точке х^Х, если локальное кольцо о* этой
точки является регулярным. Многообразие X называется неосо-
неособым, если оно неособо в каждой своей точке, и особым в против-
яом случае. Точка, в которой локальное кольцо не регулярно,
называется особой точкой мпогообразия X.
Дадим, наконец, описание неособой точки аффинного много-
многообразия в терминах касательного пространства.
Пусть аффинное многообразие X с А™ определено своим идеа-
идеалом а (X) = к [Т] Fx + ... + k [T] Fг. Линейная форма
j „ v dF[x) 1Т..__„Л
называется дифференциалом многочлена F ^ к[Т]п в точке х =
Д71
ф
= (xi, ..., хп), а множество точек пространства
ряющих системе лилейных уравнений
dJFx = ... = dj'r = 0,
удовлетво-
удовлетвоназывается касательным пространством в* многообразия X в точ-
точке х е X. Если
GdJ
FdjS
— дифференциал рациональной функции FJG, F, G е к [Т],
в точке х и /ее, — отграничение функции FIG на X, то диффе-
дифференциалом dj функции f является ограничение
dj = dx ( —
дифференциала dx Ig-J па подпространстве вя с А". Легко пока-
показать, что dj не зависит от конкретного выбора рациональной
функции F/G, индуцирующей /.
Введенное выше дифференцирование задает гомоморфизм dx:
Ож—^-Эж локального кольца ох в пространство ©ж линейных форм
на в*. Так как dxa = 0 для любого а е к, то изучение этого го-
гомоморфизма можно заменить изучением гомоморфизма dx: vtx—>-
~*~®х- Нетрудно показать, что гомоморфизм dx: Юх-^-вж опреде-
определяет изоморфизм пространств шж/ш1 и вж. Следовательно, ~ '~2

144
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
можно рассматривать как касательное пространство квазипроек-
квазипроективного многообразия X в точке х е X. При этом точка iel яв-
является неособой точкой этого многообразия в том и только в том
случае, если dimftrax/in? = dimX. Если же dimhmx/ml> dim X,
то x является особой точкой многообразия X.
Задачи
1. Пусть X = {х}—одноточечное множество пространства Ап. Найти
семейство многочленов, задающее алгебраическое множество X, и идеал
этого алгебраического множества.
2. Установить связь между идеалами алгебраических множеств X,
У с А™ и идеалами алгебраических множеств X (J Y и X [\ Y.
3. Пусть а, Ь — идеалы кольца А с единицей. Их суммой а + Ь называ-
называется множество всех сумм х + у, х е ct, jeI. Это — наименьший идеал,
содержащий а и Ь. Произведением аЬ идеалов й и Ь называется множеств»
всех конечных сумм ^ Х\У\1 гКе Xi е ft, г/г е Ь.
Установить справедливость следующих свойств радикала г-(а) идеала с:
а) г(г(е)) =г(а);
б) г(аЬ) = r(a n ») - г(а) П г(Ъ);
в) г(а) = А ¦<=>• а = А;
г) г(ь + Ь) =г{г(а)+г(Ь));
д) если у — простой идеал, то г(?т) = г ft) для всех целых m > 1.
4. Пусть 4 — некоторое кольцо с единицей и X — множество всех его*
простых идеалов. Для всякого подмножества i'ci обозначим V(Е) мно-
множество всех простых идеалов, содержащих Е. Доказать справедливость сле-
следующих утверждений:
а) если а. — идеал, порожденный множеством Е, то V(E) = V(a) =
= V(r(a));
б) V@) = X, V{A) = 0;
в) множества V(E) удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств
в топологическом пространстве (соответствующая топология на X называ-
называется топологией Зарисского, п топологическое пространство X называется
простым спектром кольца А и обозначается Spec/1).
5. Изобразить пространства SpecZ, Spec Я, Spec С [ж], SpeclR[>]r
SpecZ[a;]. Здесь С [ж], IR [х] и Z [х]—кольца многочленов от неизвестного
х с комплексными, действительными гг целыми коэффициентами соответст-
соответственно.
6. Пусть х — точка пространства X=SpecA Если х рассматривается
как идеал в А, будем обозначать ее %. Пусть, далее, У— замыкание множе-
множества FcId топологии пространства X.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) точка х замкнута в X = Spec 4 тогда и только тогда, когда идеал
Ух максимален:
б) x = V()x);
в) у е х -«=*- ух а % (включение нестрогое).
7. Представление замкнутого множества IcA* в виде Х= (J XiT
i
где Xj ф Xj при i Ф /, называется несократимым разложением X на непри-
неприводимые замкнутые подмножества Х-с, называемые неприводимыми компо-
компонентами X, Доказать, что несократимое представление замкнутого множест-
множества единственно.
8. Пусть X — алгебраическое множество в A t определенное уравнения-
уравнениями х2 — г/г = 0 и xz — х = 0. Показать, что несократимое разложение X
§ 1. АФФИННЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
145
содержит три компоненты. Описать эти компоненты и найти их простыв
идеалы.
9. Пусть XczAn, Y cz А™ — замкнутые множества. Множество пар
(х, у), где х е X, j/e У, называется произведением X и Y и обояначается
X X Y. Доказать, что произведение неприводимых замкнутых множеств не-
приводимо.
10. Показать, что при естественном отождествлении Am+n = Ат х Аи
топология Зарисского на Am+n не совпадает с произведением топологий
Зарисского на Ат и А".
11. Пусть /: X->-Y— регулярное отображение замкнутых множеств
X cz Ап л У с Ат. Подмножество Т cz X X Y, состоящее из точек (х, 1{х)),
называется графиком отображения /. Доказать справедливость следующих
утверждений:
а) Т — замкнутое подмножество в X X У\
б) Т изоморфно X.
12. Доказать, что любое неприводимое замкнутое множество X cz An
бирациопальпо изоморфно гиперповерхности в некотором аффинном прост-
пространстве А7™.
(Указание. Воспользоваться тем, что координатные функции t\, ...
..., tn поля k(X) алгебраически зависимы над к, и представить поле к{Х)
в виде к(Х) = к(у1г ..., ym, ут+>), где уи ..., ут — алгебраически незави-
независимы над к и
F(yi, ¦ .., Ут, Ут+l) = 0.
причем многочлен /' пепрпводим пад полем к и ~zz Ф 0.
13. Доказать, что алгебра А над полем к тогда и только тогда изоморф-
изоморфна кольцу к[Х], где X — неприводимое замкнутое множество в Ап, когда
А не имеет делителей нуля и порождена пад к копечным числом элемен-
элементов. Вывести отсюда, что расширение К поля к тогда и только тогда изо-
изоморфно полю к(Х), когда оно порождено конечным числом элементов.
14. Доказать, что отображение / из примера 5 является бирациональ-
ным изоморфизмом (следовательно, понятие бирапиояальпого изоморфизма-
является более грубым по сравпепию с понятием изоморфизма).
15. Доказать справедливость однородной теоремы Гильбер-
Гильберта о нулях: если aczk[T0, Т\, ..., Тп]—однородный идеал и f e
е к[Т0, Г[, ..., Тп]—однородный многочлен положительной степени, обра-
обращающийся в нуль во всех точках множества V (а) С Vn, то Fm e а при
некотором целом m ^ 1.
(Указание. Переформулировать задачу в терминах пространства
An+1 и воспользоваться обычной теоремой Гильберта о нулях.)
16. Многообразие X называется рациональным, если оно бирациональ-
но изоморфно пространству v" для некоторого п Js= 1. Доказать справед-
справедливость следующих утверждений:
а) любая коника в Р (кривая, определяемая неприводимым однород-
однородным многочленом F(T0, 3"j, T?) степени 2) является рациональной кривой;
б) кубика у2 = ж3 является рациональной кривой.
17. Пусть X — квазипроективное многообразие и х е X. Показать, что
существует взаимно однозначное соответствие между простыми идеалами
локального кольца ох и замкнутыми подмногообразиями в X, содержащими
точку х.
18. Пусть icF" — проективное многообразие размерности s с идеа-
идеалом й(Х), порожденным многочленами Ft, ..., Fr ^ k[T0, Tt, ..„ Тп], и
пусть х = (ха: х\ :...: хп) — точка многообразия X. Показать, что точка;
Ю С. А. Степанов

146
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
X неособа в том и только в том случае, если ранг матрицы
&F, (х)
ранен п — s.
(Указание. Рассмотреть соответствующую аффинную якобиеву мат-
матрицу и воспользоваться теоремой Эйлера об однородных функциях.)
19. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и Spec А — спектр это-
этого кольца. С каждой точкой х е Spec А связано локальное кольцо ох —
это локальное кольцо соответствующего простого идеала }х с А (см. зада-
задачу 6). Точка же Spec Л называется ыеособой (регулярной), если ее локаль-
локальное кольцо ох нйтерово и регулярно.
Пусть Шх — максимальный идеал кольца ох. Тогда Oxjmx — к(х), и
mJmx является векторным пространством над полем к(х) (которое конеч-
конечномерно в случае, если ох — нётерово). Векторное пространство
^называется касательным пространством к Spec А в точке х.
Найти касательное пространство к Spec Z в точке х = @) ив точках
л = ~рф @).
§ 2. Дивизоры на алгебраических кривых
1. Локальное кольцо точки. Всюду на протяжении этой и
доследующей глав под алгебраической кривой будем понимать
цсоеобое одномерное проективное многообразие. При этом мы не
теряем общности, поскольку (см., например, [132, с. 70]) всякая
алгебраическая кривая бирационально изоморфна неособой про-
проективной кривой.
Пусть ох — локальное кольцо точки х кривой 1иИ, — макси-
максимальный идеал кольца ох.
Лемма. Справедливо соотношение
Л п?-@).
п=1
оо
Доказательство. Пусть ае (] т™. Тогда ней для
всех п = 1, 2, .... Так как кольцо о* нётерово, то
Шх = охщ + ... -Ь охиг = (ии ..., щ)
и, значит, идеал т? порождается всевозможными произведениями
щ^ ... шп, i^.ix, ..., in^.r. Это равносильно тому, что всякий
элемент «eiiii имеет вид a = Fn(ui, ..., иг), где Fn^ox[Tu ...
..., Тт\ — однородный многочлен степени п. Пусть а — идеал в
кольце ох[Т\, ..., Тг), порожденный всеми такими многочленами
JFn(T\, ..., Тг), п = 1, 2, ... Поскольку кольцо о* нётерово, то по
теореме Гильберта о базисе (см., например, [8, с. 100]) кольцо
Ui [Т\, ..., Тг] татоке нётерово, и, следовательно, идеал а имеет
конечный базис, скажем а = (Fn^ ¦ ••> Fn^, n{^-\, который можно
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
составить из тех многочленов Fni для которых Рп(щ,
При каждом фиксированном ге> max щ имеем
147
Fn(Tv ...,7V) = 2 Gi(Tv ...,Tr)F4(Tx, ...,7V),
где Gi — однородные многочлены степени п — пи Положим Тх =
{(Ц], ....м^еш, l cz шх, то для
= Mt, ..., Тг = ит. Так
элемента ос е шх получаем представление
а = Fn (щ, . .., и-г) = 2 Gi ("i- ¦ • ¦• ur) a =
i
где реи,. Отсюда следует, что аA — р") = 0, а поскольку 1 — р" —
обратимый в кольце ох элемент, то а = 0. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть х — точка кривой X. Тогда
1) каждый идеал <х кольца 0х, а=^@), <х?=ох, является не-
некоторой степенью идеала ш^;
2) шх —единственный ненулевой простой идеал в кольце ох;
3) 0х — кольцо главных идеалов.
Доказательство. 1) Так как а=^ох, то асщ,,. Из леммы
следует существование такого целого п 3^ 1, что (tcuiiH acj:
c?m" . Значит, найдется такой элемент a g а с ilj, что аф.
^Е!ж+1- Идеал Шх — главный, т. е. mx = tox, и, стало быть, а =
= ?"«, где и е о,. Поскольку а ^ m™+1, то w Ф шх и, слодоватсльтю.
ы^—обратимый в кольце о, элемент. В таком случае, tn = au~l <^
ещ тогда Шж <= а* Значит, а = ш"-
2) Так как всякий нетривиальный идеал в кольце ох является
степенью Шх, то ю* — единственный простой идеал,
3) Поскольку идеал шх — главный и любой идеал а кольца
ох имеет видй = щж, то ох — кольцо главных идеалов.
2. Нормирования. Пусть L => к — некоторое расширение по-
поля к. Под нормированием поля L над к будем понимать всякое-
отображение v: L*—>- 2i удовлетворяющее условиям:
1) v(k*) = Q, v(L*)=l-
2) v(xy)=v(x)+v(y);
3) v(x + y)>mm(v(z),v(y)).
Доопределим v на все поле L, положив v@) = °°, ж изучим
свойства нормирования v.
Поскольку у{1)=0 и v(—1)==0, имеем v(—y) = v(y). От-
Отсюда следует, что v(x —y)>mm(v(x), v(y)).
Предложение 1. Если v(x}?= v(y), то v{x + y) =
= min(y(a:), v(y)).
Доказательство. Пусть например, v (x) < v (у). Докажем,
что тогда v(x + у) — v(x). Предположим, что это не так, т. е.
v(x + y)> v(x). При этом предположении имеем у(ж)=*
10*

148
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
= v (х + у — у) 3= min (v(x + у), v (у)) > v (х) и, следовательно, по-
получаем противоречие.
Множество 0„ = ix^L\o(x)> 0} элементов поля L является,
«чевядно, кольцом. Идеал т„ = {х s ox,\v(x)>O) состоит из всех
необратимых элементов xsot и, значит, является единственным
максимальным идеалом кольца 0„. Поэтому о„ — локальное коль-
кольцо. Далее, так как х Ф- о„ в том и только в том случае, когда
x~l<=mv, то 0„ является F-кольцом. Кольцо 0„ называется ко.гь-
г^о.и нормирования поля L, а его максимальный идеал tttB — иЗеа-
ло.ч нормирования.
Предложение 2. Каждое кольцо нормирования 0„ явля-
является кольцом главных идеалов и каждый нетривиальный идеал
й <= 0„ является степенью единственного максимального идеала mv
-кольца ov.
Доказательство. Пусть t ^ 0v, v(t)=i,— униформизиру-
ющий параметр нормирования V. Для каждого элемента х <s о„
имеем v(x/tvix)) = 0 и, значит, х = tHx)u, где и — обратимый эле-
мепт кольца 0с. Пусть <Х — произвольный нетривиальный идеал
кольца о„. Так как г(а)^0 для любого элемента а е а, то в а
имеется элемент а с наименьшим значением г;(я). Имеем а =
= Г(а-'«, где и. — обратимый элемент, и тогда f(a)ett. Отсюда
следует, что (r<a)) = (?)"(a) = tv(a)ov^ a. Докажем справедливость
обратного включения а<=(/)':<"'. Пусть fo — произвольный элемент
идеала а. Имеем v(b)> v(a) и тогда v(b/a)>0. Значит, Ь/а =
= и'есл и, стало быть, Ъ = аи/ е (?)г(а>. Следовательно, a<=(?)"(a)
и, таким образом, a = (/)"(a). Далее, имеем (?) = т„ и тем самым
a = m"B(a). Предложение доказано.
Предложение 3. Пусть о и о' — два кольца нормирования
поля L над к и пусть т и ш' — их максимальные идеалы. Тогда
следующие условия эквивалентны между собой (включения не-
нестрогие) :
1) о с о'. 2) т=>т',
3) о = о', 4) т = т'.
Доказательство. Импликация 3)=^2) очевидна. Дока-
Докажем справедливость импликации 2)=*-1). Пусть ш'<=т и пред-
предположим, что существует элемент х е о, не принадлежащий о'.
Тогда г'ец' и, значит, х е ш. Тем самым, получаем элемент
г'е|, обратимый в кольце 0, и приходим к противоречию.
Покажем, что справедлива обратная импликация 1)=^2).
Пусть о <= о' и предположим, что существует элемент х е щ',
не принадлежащий т. Тогда х~1 еосо' и, значит, элемент хе
s щ.' обратим в кольце о'. Полученное противоречие показывает,
что m => ш'.
Докажем справедливость импликации 1)=^4). Имеем о<=о'
и тогда Ш => dt'. Пересечение о П ш' является пенулевым простым
идеалом V кольца о, содержащимся в максимальном идеале ш.
Но в кольце 0 имеется единственный простой идеал m и, значит,
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
149
4Р = т. Таким образом, 0 П т' = т и, стало быть, m с ш.'. Отсюда
следует, что ш = ш'.
Покажем, наконец, что справедлива импликация 4) => 3). Дей-
Действительно, если ie«', но х Ф о, то имеем x~l e щ и, следова-
следовательно, х~]^Ш'. Отсюда получаем, что хФо', и приходим к про-
противоречию.
Предложение 4. Пусть L — алгебраическое расширение
.поля рациональных функций к(Т) и Qv — кольцо нормирования
поля L с максимальным идеалом т„. Тогда о„/т, =* к.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму гомоморфизмов
Имеем Кег ф = т» П к = {0} и, значит, ф — вложение. Отсюда сле-
следует, в частности, что естественный гомоморфизм 0„ -*¦ ojm.v явля-
является А-эпиморфизмом. Будем считать теперь, что к с о„/ш.0. Так
как L — поле отношений кольца 0„, то его степень трансцендент-
трансцендентности над к равна степени трансцендентности о„ над к. Далее,
так как о„/тЕ — гомоморфный образ кольца о, и так как ojttt,
не изоморфно о„, то степень трансцендентности ojm,, над к мень-
меньше степени трансцендентности 0„ над к. Следовательно, степень
трансцендентности поля о„/т„ над к меньше степени трансцен-
дентпости L над А;. Но по условию поле L является алгебраиче-
алгебраическим расширением поля рациональных функций к(Т) от одного
переменного Т и, значит, имеет степень трансцендентности, рав-
равную единице. В таком случае, степень трансцендентности поля
0„/Юс над к равна нулю и, следовательно, ojt&v является алгеб-
алгебраическим расширением поля к. Так как к — алгебраически замк-
замкнутое поле, отсюда следует, что о„/ш„ совпадает с к и предложе-
предложение, тем самым, доказано.
Предложение 5. Каждое кольцо нормирования целозамк-
иуто в своем поле частных L.
Доказательство. Пусть x^L ж
1 + ... + ап, = 0, at e= о„.
Докажем, что х е о„. Предположим, что x<?ov. Тогда r'ei,,
а так как 1 + ахх~1 + ... + апх~п = 0 и aix~i + .., + апх~п е= т„,
то получаем, что lei,, и приходим к противоречию. Предложе-
Предложение докапало.
Пусть X — алгебраическая кривая i о, — локальное кольцо
точки х е X с максимальным идеалом Ю*. Свяжем с точкой х
нормирование vx поля функций L = к (X) на кривой X. Пусть
(/) — идеал кольца о*, порожденный отличпой от нуля функцией
/ е о*, и пусть (/) = В&, где а — некоторое неотрицательное целое

150
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РСХА
число. Положим vx(f) = a и vx@)=°°. Ясно, что если (/) = ittj,
(g) = VXx, то vx(f-g) = a + b = vx(f)+vx(g). Далее, если а =
==min(a, 6), то из включения №х с т? следует, что (/+?) =
= Я!с, где с > а. В таком случае, c = vx(f + g)^a = min (a, b) =
= mm(vx(f), vx(g)). Кроме того, если а^к*, то (а) = ож = mS
и тогда vx(k*) = 0. Распространим теперь функцию vx на лоле
частных L кольца ох, положив vx(flg)~ vx(f) — vx{g), и покажем,
что 1>Х(Ь*) = Х- Пусть t—униформизирующий параметр точки
х, так что mx = (t) и vx(t)=l. Для каждого целого а рассмотрим
функцию / = t"u e L, где и — обратимый элемент кольца о*. Име-
Имеем i?x(/)=fl и, тем самым, отображение vx: L*-+Z является
отображением L* на Z- Следовательно, оно задает нормирование
поля L над к.
Покажем теперь, что oVx = ?х ж fflUjc = m*. Очевидно, что
о» с о„ж. Пусть /ео^т. е. vx(f) = aS? 0. Так как / = tau, где
и — обратимый элемент кольца о*, il'e ох, то имеем /е о*. Таким
образом, 0ах с Ох и, следовательно, о„ж = о*. Аналогичным образом
доказывается, что т,,я = Шх и, стало быть, нами установлен сле-
следующий результат.
Теорема 1. Каждая точка х алгебраической кривой X оп-
определяет каноническое нормирование vx поля к (X) над к, обла-
обладающее свойствами:
1) если f = t"u — элемент поля к(Х), где vx(t)=l ж и обратим
в кольце бх, то Vx(f) = a;
2) 0vx = ох и mVx = тж.
Теорема 2. Сопоставление x^*v* гадает биективное соот-
соответствие между точками х алгебраической кривой X и нормиро-
нормированиями vx поля к(Х) над к.
Доказательство. Докажем инъективпость рассматривае-
рассматриваемого отображения. Пусть х?= у — точки многообразия X с: Р™
и т*, т„ — максимальные идеалы локальных колец ох, оу этих
точек. Точка х является алгебраическим подмножеством в X и
ее идеал а (ж) представляет собой совокупность однородных мно-
многочленов, обращающихся в точке х в ноль. Так как у ?= х, то в
идеале й(х) существует такой однородный многочлен F, что
F(y)?=0. Предположим, что координата хо точки х = (ж0 : хх :...
...:хп) отлична от нуля. Тогда Т0^а(х) и получаем представле-
представление / = F/To , m = deg F, некоторой рациональной функции / е
em^ciox. Покажем, что /9^Ш„. Предположим противное: /ею,.
Тогда / имеет представление f — Fi/Gj, где Fi(y)==0 и Gi(y)?=O.
При этом GJ-FJ™^ а (X) ж, значит, G, (у) F (у) - Fx (у) у™ = 0.
Так как F1(y) = 0, G\(y)^O, то F(y) = O, и приходим в про-
противоречие с выбором многочлена F, Таким образом, Ut^^ia,, и,
стало быть, разным точкам .т, у е X соответствуют разные идеа-
идеалы Illj. И Ю„.
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
151
Установим сгоръективность отображения. Пусть v — произ-
произвольное нормирование поля к(Х) над к. Будем считать, что ТгФ
"Ф&{Х) для всех i — О, 1, ..., п. Положим /{j = 2УГ.,-. Функции
¦ft) не равны нулю на кривой X, и среди пих найдется функция
/i j с наименьшим значением v(fij): v(fi j ) = min v(fij). Тогда
00 \ о о/ 0<ij^n
v C^^Vo) ^ ° для BCex *' ¦? и' в частности, i; (UiJU^) > 0. Ho
JU0/fi0i0= Ti!Tiu и> значит, ТУ?^ е о„ для всех i = 0, 1, ..., п. Бу-
Будем считать, без уменьшения общности, что го = 0. В таком случае
ti = TJTo s о„. Обозначим У = Ао П % аффинную часть много-
многообразия X. Функции ti являются координатными функциями
кольца /с [У], так что k[Y] = k[t\, ..., tn). Пусть a(F)—идеал
-аффинного мно,гооб|раиия У. Так как k[Y_| = k[T\, ..., Г„]/ш(У),
то условие iP(fi, ..., tn)=0 эквивалентно тому, что F^a(Y).
Пусть Fea(F) и ж( = i< (mod ш„). Так как ?{ s о„, то х, s о„/шв = А,
а поскольку ^(d, ..., tn)^0 (modmt), то F(xu .,., хп) = 0. Таким
•образом, координаты точки х = (х\, ..., хп) удовлетворяют урав-
уравнениям многообразия Y и, значит, х ^ У. При определении ло-
локального кольца Ох точки х достаточно ограничиться рассмотре-
рассмотрением открытой части У многообразия X. Поэтому можно считать,
¦что 0x=\z^r-—"' Т, g(xv ¦ ¦¦¦>Zn)?z0\. Покажем, что Ож<=о0. По-
Поскольку li^0v и к <= 0„, то j
как g(a;i, ..., хп)Ф0, то
^•(ii, ..., ?„,}^т„ и тогда элемент
де ос. Следовательно, ¦
С
tn), g(t\, ..., !,)е|)и а так
-, tп)Ф0(modшv). Значит,
..., („) обратим в коль-
ov и, стало быть, ох<= 0^. Вое-
пользовавшись теперь предложением 3, получаем о* = ог. Теорема
доказана.
Из этой теоремы следует, что изучение кривой X можно за-
заменить изучением нормирований ее поля рациональных функций
к(Х). Сама кривая X отступает при этом на задний план.
Теорема 3 (об аппроксимации). Пусть х\, ..., хв — попарно
различные точки кривой X, /ь ..., /s — произвольные функции
из поля L = k(X) и Ш[, ..., ms — любые наперед заданные целые
числа. Тогда в поле L существует такая функция /, что
VXi (/ — /г) ^Шг, для всех I = 1, 2, . . ., S.
Следствие. Если Х\, ..., xs — попарно различные точки
кривой X и mi, ..., ms — любые наперед заданные числа, то су-
существует функция f е L такая, что vx. (j) = mi, 1 ^ t^ s.
Доказательство теоремы. Докажем теорему индук-
индукцией по s. Для s = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть ут-
утверждение теоремы справедливо для всех sr < s. Докажем его
справедливость для s. Доказательство разобьем па три этапа.
1) Докажем сначала, что нормирования vv .,,, vs (in = уЖ{),
рассматриваемые кал функции на L*, линейно независимы нащ

152
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
полем рациональпых чисел Q. Предположим, что это не так,,
и пусть
S—1
г^= 2^1. ^eQ. A)
Покажем, что Я,- > 0 для всех i = 1, 2, ..., s — 1. Допустим, что»
среди чисел Я< имеются отрицательные. По индуктивному пред-
предположению и следствию из него можпо найти такой элемент ф е
е к (X), что
VI (ф) =
1, если
О, если
Аналогичным образом, существует такой элемент ty^k(X), что»
г0, если Яг>0,
1, если Яг<0.
Так как v{(<$)?= Vi(ip), то имеем ^(ф +я|])= (^(ф), ((i|5)}0
для всех i = l, 2, ..., »— 1. Значит, ввиду A), ^(ф-Ь i|))> 0.
С другой стороны, у,('ф)>0, i>s(i|j)<0 и тогда i>«(9 + i|)) =
= min(ft(9), ys(iJ)))<0. Полученное противоречие показывает,
что в соотношении A) все коэффициенты Я; неотрицательны. По-
Поскольку не все Я< равны нулю, то можем считать, что Х\ > 0.
Покажем, что среди чисел Яз. ..., Яа_1 также найдется хотя бы
одно положительпое. Пусть это не так. Тогда vs=%\V\ и, следо-
следовательно, »xs = ох ¦ В таком случае ?„ = • х\ и приходим в противо-
противоречие с тем, что точки х\, ..., xs попарно различны. Таким об-
образом, получаем соотношение
в котором хотя бы один коэффициент Я{ отрицателен. Но по до-
доказанному выше этого не может быть и, значит, предположение
о линейной зависимости Vi, ..., v5 над полем Q приводит к про-
противоречию.
2) Покажем теперь, что существуют функции ф[, ..., q>s^L
такие, что
Используем для этого индукцию по s. При 5 = 1 утверждение
очевидно. Пусть утверждение справедливо для всех s' < s. Тогда
существуют такие рациональные функции <piT ...t ф,-1т что
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Рассмотрим определитель
153
Д = det
• •• МФ.-0
^i докажем, что существует такой элемент ф s L, при котором
Л Ф 0. Допустим, что такого элемента нет. Разлрвким определи-
определитель А по последнему столбцу. Тогда получим, что для всех
-ipeL выполняется соотношение
тде не все Kt равны нулю, поскольку по индуктивному предпо-
предположению
Я. =
J3 результате приходим к противоречию с линейтюй независи-
независимостью V\, . . ., Vs.
3) Пусть Д^0 и г, l^rsg s,— фиксированное целое число.
Тогда существуют такие Я^гс^ Q# что
— 1. если i = г,
если
г.
'Выберем целое т > 1 таким обраком, чтобы m^;> eZ, m +
+ у* (/j) ^max (mv ¦¦¦<ms) для всех t, / = 1, 2, ..., s, и рассмот-
рассмотрим функции
Так как
Vi (gr) =
то при i Ф г имеем
,Vi(hT) = —Vi(i + g
.Далее, поскольку
l + g
.— l) = —Vi(gi) — Vi(i +
т, если f = г,
т, если i=^r,
= — min @, —m) = т.
¦ + ЯГ1'
-шщ(ггA), 1-ч(^Г1)) =
= т — min @, т) — т,

154
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОТА
и тогда
Vi (/ - h) = Vi B Ar/r + (Aj - 1) ft
^ — 1) + у* (/i)V
> rain (Vi (hi) + y{ (/j), ..., Уг (/ii_x) + i>j (/i-i),
i) + ^ (/i+i), .. •, Vi (hs) + i>{ (/,)) =
= min (m + Vi (fT)) ~^ max ^
Теорема доказана.
Доказательство следствия. Пусть U — униформизи-
рующий параметр в точке хг и /* = к \ так что vXi(fi) = mt. По>
теореме об аппроксимации существует функция /ei такая, что
vXi(f — /») ^ wii +1 для всех г = 1, 2, ..., s. Для этой функции /
имеем vx. (/) = vXi (/ — /; + /г) = min (v^ (/ — /j), ^ (.A)) = m;, 1<
^ f^s, что и требовалось доказать.
Пример. Пусть X = Р1, так что а(Х) = 0. Любая функция
cpe/c(X) цредставима в виде <р = ^G'0[ Ti)/G(T0, T\), где-
/*', G — многочлены одинаковой степени. Положим t = Ti/2V
Тогда cp=F(l, t)/G(i, t)=f(t)fg(t) и, значит, Л(Х) = A(Aj) =-
= k(t) есть чисто трансцендентное расширение поля к. Люба»
точка ж е Р1 имеет вид х=(хо:х\). Если х0 Ф 0, то # =
= A : х\\хъ) = (\ : а:'). Кроме того, в Р1 имеется бесконечно уда-
удаленная точка #«,=@:1). Рассмотрим точку х =A :х'). Локаль-
Локальное кольцо ох точки х имеет вид
Его максимальный идеал т* состоит из функций /'(/)/'g (t) e o^
таких, что f(x')=O. Найдем униформизирующий параметр tr
идеала Ю*. Так как /(х') = 0, то (t — х') делит многочлен
j(l) и, значит,
/ @ _ « Т'ч» h О
где h/g<=ox и hlg<?x&x. Таким образом, Ю» = (? — ж')ол и, следо-
следовательно, униформизирующий параметр идеала га* имеет вид;
f = t — х . Так как vx(f/g)= 0, то при а > 0 величина vx(flg)
определяет порядок нуля функции fig в точке х, а при а < 0 —
порядок полюса f/g в этой точке. В бесконечно удаленной точке-
•?«, ={0 : 1) униформизирующим параметром является V = 1/?.
Локальное кольцо оХас этой точки состоит из всех рациональных
функций f(t)!g(t) таких, что deg/(()^ degg(t). Максимальный
идеал ШЖоо кольца оХа> это множество всех рациональных
функций fig, для которых deg / < deg g. Величина vXoa (f!g)>
% 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
155
у) = deg g - deg /.
определяется равенством
Определение 1. Пусть х — точка алгебраической кривой
X vl f — не равная нулю функция из к(Х). Если /^щ,.. то точ-
точка х называется нулем функции /, а величина vx(f)—порядком
этого нуля. Если /-1 e Шх, то точка х называется полюсом функ-
функции /; величина ^Л/) называется порядком полюса функции
f Ф ох в точке х.
3. Дивизоры. Дивизором на алгебраической кривой X назо-
назовем всякое выражение
D = 2 ««-^ ^eZ,
в котором все ах равны пулю, за исключением конечного их чис-
числа. Множество дивизоров на кривой X образует свободную абе-
леву группу с базой X. Эта группа называется группой дивизо-
.ров алгебраической кривой X и обозначается Div(X).
Степенью дивизора D — 2jOx-x называется сумма его коэффи-
щиентов: degD == 2 ах- Имеем deg(Z) + D') = degD + degD', и,
значит, отображение deg: Div(Z)-»-2 является гомоморфизмом.
Легко проверить, что указанное отображение — эпиморфизм. Яд-
Ядром отображения deg: Div(X)-*-Z является группа дивизоров
нулевой степени, которую обозначим Div^(Z). Так как
Div(X)/Div°(X)~Z,
то факторгруппа Div(Z)/Div°(Z) представляет собой свободную
.абелеву группу ранга 1.
Определение 2. Дивизор
D =
если
называется положительным (символическая запись: ?*^
ъсе его коэффициенты ах неотрицательны.
Понятие положительного дивизора позволяет определить от-
лотттение частичного порядка в множестве дивизоров на кривой
X. Именно, будем считать D' > D", если только D' — D" ^ 0.
Дивизоры
'") ^ i (а'х, а'х) ¦ х
ш
= 2 шах(а'х, а'х)-х
жеХ
назовем соответственно наибольшим общим делителем и наи-
наименьшим общим кратным дивизоровD' = 2j ах-хж D" = 2jJjx-x.

156
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
15?
Ясно, что D'>(D'. D"), D">(D',D"), W, D")>D\
W\D"}>D" и W\D")=D' + D" —(Dr, D").
Определение З. Пусть f.ge=L = k(X) и
D = 2 ax •x
xeX
— фиксированный дивизор на кривой X. Будем говорить, что»
функции fug сравнимы но modl> (fs^g(modD)), если
М/ ~ 8) ^ а=с для всех х е X.
Легко видеть, что если f = g(modD) и /' = g'(modD), то>
uf + $f ^ a.g + $g'(mod D), при любых к, fei, В частности,
все функции /, сравнимые с нулем по mod D, образуют линей-
линейное пространство над полем к, которое обозначим L{D). ',
Пусть D — 2 Ojt-a; — дивизор на X и S — любое конечное- (
множество попарно различных точек кривой X. Будем говорить,
ото функции /, g е к(Х) сравнимы по modi) на множестве S
S (f ^ g(raod D)\, если vx(f—g)^ а* для всех x^S. Множество
функций f^k(X) таких, что /=0(modZ>), представляет собой
s
линейное пространство над полем к. Обозначим это пространст-
пространство L(S, D), и заметим, что L(D)<=- L(S, D) для любого S.
Пусть / — непостоянная функция поля L — k(X), Тогда эле-
элемент / трансцендентбы над к и ноле L является алгебраическим
расширением поля k(f) конечной степени [L : k(f)].
Для изучения рациопальных функций на алгебраической
кривой воспользуемся следующим общим результатам.
Теорема. На проективном многообразии нет всюду регу-
регулярных непостоянных функций.
Доказательство ом. [144, т. 1, с. 78], или [132, с. 37].
Теорема 4. Каждая непостоянная функция иа кривой X
имеет хотя бы один полюс и хотя бы один нуль.
Доказательство. Если функция f^k(X) не имеет полю-
полюсов на X, то она всюду регулярна, и, значит, / — const <? k. Да-
Далее, если функция / не имеет нулей, то функция /~] регулярна
на всей кривой X и тогда снова / = const. Теорема доказана.
Покажем, теперь, что всякая непостоянная функция/ е к(Х)
имеет лишь конечное число пулей и полюсов. Предварительно*
докажем следующий результат.
Лемма 1. Пусть
D' =
D=-
Если D > D', то для любого конечного множества S точек кри-
кривой X выполняются соотношения
J.1
dimhL{S,D')/L{S,D)= 2 (ах-а'х).
sees
Доказательство. Положим
As= 5 ах-х и D's= 2 а'х-х-
xes xes
Ввиду того, что D ^ D', имеем ах ^ а'х и, стало быть, 2 (а* — а*) —
= m>0. Кроме того, L{S, D) = L(S, Ds), L(S, D') = L(S, D's)
и L{S,D)^L(S, D').
Если m = 0, то яж= ах для всех je5, и тояда Ds = Ds.
В таком случае L(S, D') = L(S, D) и утверждение леммы спра-
справедливо.
Пусть теперь m > 1. Очевидно, что существует последова-
последовательность дивизоров
D's = А, < D1 < D2 < .. . < Dm = Ds,
в которой Di—>Dt-\ + Xi, Xi^S, для всех i — 1, 2, ..., m. Тогда
мы имеем цепочку
L (S, Ds) = L (S, Dm) с L E, D^) с . . . с= L (S, Do) = L (S, Ds)
вло;кенных друг в друга пространств. Лемма будет доказана,
если докажем, что L{S, Dm-i)/L(S, Dm_i+i) — одномерные прост-
пространства при всех i = l, 2, ..., т. Положим D' = Zi ax-x и
D = 2 ах-х = D' + х', где х <н 5. Тогда достаточно доказать,
xeS
что dimLE'. D')/L(S, /))=1. Из теоремы об аппроксимации
следует, что существует функция f^b(X), которая удовлетворя-
удовлетворяет условию vx (/) = ах для всех х е= S. Далее,
f а'х, если х-фх',
а* = ) '
I ах -\ \, если х = ж ,
и тогда /е?E, /)'), /^LE, D).
Рассмотрим класс функций /, сравнимых с / по modLE, /Э)..
Этот класс представляет собой ненулевой элемент факторпрост-
ранства L(S, D')/L(S, D) и надо доказать, что каждый другой
ненулевой элемент этого факторпространства пропорционален /.
Другими словами, надо показать, что для каждой функции и е
^L(S, D') найдется элемент а^к такой, что u—af^L(S, D).
Так как u^L(S, D'), то vx (и) ^а'х = vx (/) и, значит, ^(ы/"-1)^
^= 0 для всех х е S. Таким образом, uf~] e qs при всех J^iS,
а поскольку 0х1Шх=-к, то «/"'(moditt,:)^ к для каждого ie5.
В частности, u/ (mod гаж') = а е/с и, стало быть, ц/^1— a^nv..

158
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Отсюда следует, что (и — а/)/ * <s mx, и тогда vx> ((и— а/)/ 1)>1.
Значит vx,{u— af)^svx,(f) +1 =аж,, а так как при z^z', .г е= tf,
имеем i>K (и — а/) > min (vx G1), vx (/)) > а'х = ах, то 1?я(м — а/) > а*
для всех x&S. Стало быть, u — af<^L(S, D) и тем самым лем-
лемма доказана.
Теорема 5. Пусть Ь — к(Х) — поле функций на алгебраи-
алгебраической кривой X. Число нулей и число полюсов каждой непо-
непостоянной функции j e L, с учетом их кратлостей, не превосходит
одной и той же величины [L : к (/) ].
Доказательство. Достаточно установить, очевидно, спра-
справедливость теоремы для числа нулей функции /. Пусть х\, ...
..., х, — все нули функции /. Надо доказать, что
Рассмотрим множество S — {xh ..., xr} нулей функции / и по-
ложпм D = ^ ai-Xi, где а^ = v4 (/) ^ 1. Мы имеем Z> > 0 и по
лемме 1
г г
dimAL E, 0)/L E, ?») = 2 «i = 2 ^ {/) = deg D = m.
Пусть _/[, ..., /m e L{,S, 0) — представители классов вычетов
J\, ..., /m no modL(jS, D), образующих базис факторпростраыст-
ва L(S, O)/L,(S, D) над полем к. Покажем, что /i, ..., fm линей-
линейно независимы над лолем k(f). Предположим, что это не так,
ж пусть
т
2 щи = о,
где Uj^k(f) и (йь ..„, 1^)^@, ..., 0). Но можно считать, что
щ е А" [/] и что щ = gj/ + aj, где ^- е к [/], а,-е /с и (аь ..., ат) Ф
т т
^='.@, . •., 0). Тогда / 2 ?j/j = — 2 otj/j. и так как
i=i i =1
?=1
;для каждой точки xt >
3=1
>, то vXl 2j «j/j
для всех Xi e 5.
Следовательно, 2 aj/i = 0 (mod L {5, D)) и, значит, 2 aj/j = 0.
Лз линейттой независимости /i, ..., jm следует, что ai =>...
^.. = am = 0, и приходим в противоречие с выбором cti, ..., ат.
Полученное противоречие показывает, что /i, ..., fm линейно не-
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
зависимы над полем k(f) и тогда m < \L :k(f)]. Но m = 2 vH(/>
и, значит,
В частности,
и теорема, тем самым, доказана.
Следствие. Пусть f — отличная от нуля функция на кри-
кривой X. Тогда #*(/) = 0 для почти всех х^-Х (для всех х^Х,
кроме конечного их числа). Далее, vx(f) — O для всех х^Х
лишь в том случае, если / е к*.
Приведенное следствие показывает, что можно ввести в рас-
рассмотрение дивизор
(/)= 2 *>*</)•*•
Этот дивизор называется дивизором функции.
Определение 4. Дивизор D называется главным или ли-
линейно эквивалентным пулю, если существует функция /et=>
= k(X), такая, что
?» = (/)= 2 vx(f)-x.
хех
Теорема 6. Главные дивизоры образуют подгруппу Р(Х}
группы Div(X). Имеет место естественный изоморфизм L*/k* =*
^Р(Х).
Доказательство. Имеем (/) — (#)= 2 vx(fig)¦ х =
и, значит, Р{Х) —подгруппы группы Div(X).
Рассмотрим отображение <р: Z,*-»-jP(X), ставящее в соответ-
соответствие функции / ее дивизор (/). Так как (/ • g) = (f) + (g), то
ф — гомоморфизм. Очевидно, что ер — эпиморфизм. Далее,
Кег <р = {/<= L* I (/) =¦ 0> = {/е &*}
и, значит, L*lk* -у Р(Х) — изоморфизм.
Определение 5. Пусть / — пепостоянная функция на
кривой X. Дивизор
(/)„= 2 vx{f)-x
Х
2
называется дивизором нулей функции /, а дивизор
— дивизором полюсов функции /.

160
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — PGXA
Теорема 7. Если / е Z =, /с (X) и f Ф к, то
deg (/) о -deg (/)„=[? :*(/)].
Доказательство. Рассмотрим подкольцо &[/-'] поля L =>
= &(Х) и найдем базис поля L, целый над k[f~l]. Имеем
А(/) = k{tl) и тогда [L:ft(/)] = [L:ft(/u->)]=m. Пусть щ, ...
-.., um — базис поля L над &(/). Каждый элемент щ алгебраи-
чен над k{f) и, следовательно, и&, является целым над &[/"']
яри некотором у, «= &[/-!]. Поэтому базис wh ..., wm, где «74 =¦
= UiVi, будет целым над &[/~!].
Пусть 5 = {х\, ..., xj — множество всех нулей функции /.
Если х Ф S, то f 'е $х и тогда к У'1] <= ох. Так как кольцо о* це-
лозамкнуто, отсюда следует, что ^-sj, и, значит, vx(w})>0 для
всех / = 1, 2, ..., т. Выберем целое и. > 1 таким образом, чтобы
|л>тах(— vx.
v —
и для каждого v > ц. рассмотрим функции i~rwh 0 <
Докажем, чТ0 (v — ц+1)т элементов f~rwh 0<r^v — jx,
1 < j ^ /?i, линейно независимы над полем к. Пусть, наоборот,
V—ц m
2
при некоторых отличных в совокупности от нуля А,,-е /г. Тогда
m / v—H
ж, значит,
v—ti
r=0
О
для каждого / = 1, 2, ..., т. Но элемент f~x трансцендентен над
к и, в таком случае, kri = 0 для всех г и j. Получаем противо-
противоречие.
Пусть Lv — {f~TWj} — линейное пространство над полем к
размерности (v — ц,+ 1)т, порожденное функциями f~rW), и
лусть (/H = О. Рассмотрим пространство L(—vD) и покажем,
что Lv <= L(—yD). Для каждого ifeS имеем
если же х Ф S, то
- rvXi(f) = -([i-.
= -(A + ф;х.(/);
Значит, f-rWj^L(—vD) и, следовательно, L4<=L(—vD). Так как
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
161
v?> > 0, то L (S, 0) <= L (S, —vD), причем
dimftL E, — v?))/L E, 0) = 2 vus (/) = v deg Z» = v deg (/)„.
S
Кроме того, L(—vD)<^L(S, —\D) и
, -vD)!L{S, O) = vdeg(/)o-
Покажем, что L(—vZ>) П LEr, 0)cic, Действительно, если
g<=L(—vD)hL{S, 0), то^И>0 для всех xt e 5 и y«(g)^O
для каждого ж ^ 5. В таком случае, по теореме 4, g *s к и, ста-
стало быть, dimkL(—vZ3)<vdeg(/)o + 1- Следовательно,
или
deg (/)о > т (l - [^г) — 4"
Устремляя v в бесконечности, получаем
deg
а так как по теореме 5
то
deg(/H=.|
Далее, поскольку (/)==(/~1)о и deg(/)« = deg(/-')o =
(/)(/)
, то deg (/)„=-[L :/с (/)]. и, тем самым,
теорема доказана.
Следствие. Если f—отличная от нуля функция на кри-
кривой X, то deg(/)= 0.
Доказательство. Если /*=?, то vs(f)=O для всех х <^ X
и тогда deg(/)=O. Если же / Ф к, то (/)=¦(/)о—(/)«. и снова
/) = deg (/H — deg (/) „ = 0. Следствие доказано.
Имеем
Факторгруппа Cl(X) = Div(X)/P(X) называется группой клас-
классов дивизоров па кривой X, а ее подгруппа Cl°(X) = Div°(X)/
JP(X)—группой классов дивизиров пулевой степени. Два диви-
дивизора D и D' называются линейно эквивалентными (D~Dr),
если они лежат в одном и том же классе смежности группы
Div(X) по подгруппе Р(Х), т. е. когда D' = D+{f) для некото-
некоторой функции /е=&(Х). Липейно эквивалентные между собой ди-
дивизоры имеют одинаковую степень.
11 С. А. Степанов

162
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Задачи
1. Пусть К — поле и Г — вполне упорядоченная абелева группа. Под
нормированием поля К будем понимать всякий гомоморфизм V. К* -*¦ Г
мультипликативной группы К* поля К в Г, удовлетворяющим условию
Нормирование v называется тривиальным, если опо отображает К* в 0. Два
нормирования v и v' называются эквивалентными, если существует сохра-
сохраняющий порядок изоморфизм X между и (К*) и v'(К*) такой, что v'(x) =
— kcv(x) для всех isP, Доопределим v на всем поле К, положив:
v@) = оо.
Подкольцо о поля К называется кольцом нормирования, если оно обла-
обладает том свойством, что для всякого х е К либо ге», либо r'se.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) кольцо нормирования о является локальным кольцом;
б) максимальный идеал ш кольца о состоит из всех необратимых эле-
элементов кольца о;
в) кольцо о целочамкпуто в поле К;
г) каждое кольцо нормирования о имеет вид о — о„, где ov — множество1
элементов х поля К, удовлетворяющих условию v{x) ^ 0 для некоторого
нормирования v поля К;
д) имеется биективное соответствие между кольцами нормирования в
классами эквивалентных нормирований поля К.
2. Доказать, что в конечном поле Fq нет нетривиальных нормирований.
3. Пусть р — простое число. Каждое рациональное число х Ф 0 одно-
однозначно представляется в виде х=РУ~г~-< где целые числа а. и Ъ не делятся
на р. Показать, что функция
задает нормирование поля рациональных чисел Q. Опо называется р-ади~
ческим нормированием поля Q.
4. Пусть р — произвольное вещественное число, удовлетворяющее ус-
условию 0 < р < 1, и vp — р-адическое нормирование поля О. Доказать, что
функция
обладает свойствами:
1)
2)
3)
: 0 ДЛЯ ВСЕХ X I
х ¦ У\р= \x\v
х + У! р
и | х | р = 0 лишь при х = 0;
sib;
Функция \х]р называется р-идической нормой ноля С-
5. Доказать, что если р-аднческая норма тголя Q имеет вид | х ]р =
, то для каждого ненулевого числа isQ выполняется соот-
ношение
ill
где \х\ —обычное абсолютное значение рационального числа х.
6. Последовательность {х„} злементов поля Q называется фундамен-
фундаментальной или последовательностью Коши относительно р-адической нормы,
если \хт — хп]р->-0 при т, w--*-oo. Две фундаментальные последовательно-
последовательности {хп} и {уп} называются эквивалентными, если \хп—Уп.\р-^0 при п.-*-
-*¦ «з. Доказать справедливость следующих утверждений:
§ 2. ДИВИЗОРЫ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
163
ъ) множество всех фундаментальных последовательностей разбивается
на непересекающиеся классы эквивалентных между собой последовательно-
последовательностей (множество таких классов обозначается Qpy,
б) если а и р — два класса из Ср и {хп} е «, {у*} е= р, то классы а + р
и а ¦ р, содержащие последовательности {хп + у„] и {х-пУп}, определены од-
однозначно по а. Р и не зависят ох конкретного выбора последовательностей
{¦^п}, {Уп}- Они называются соответственно суммой и произведением клас-
классов <х и Р;
в) множество Qp является полем относительно определенных в п. б)
апераций сложения и умножении;
г) если {хп} е а, то {|zn|p}—фундаментальная последовательность в
поле вещественных чисел
К и lim
гп |р не зависит от конкретного вы-
бора последовательности {х„}. Этот предел называется р-адической нормой
элемента а еОр и обозначается \а\р;
д) поле С изоморфно вкладывается в Q путем сопоставления элемен-
элементу х е О последовательности (х, .г, .. .);
е) поле Q (при его отоледествлении со своим изоморфным образом)
всюду плотно в Qp;
ж) поле Qp является полным относительно р-адической нормы |а|р
(любая фундаментальная последовательность {хп} элементов поля Qp схо-
сходится к некоторому элементу ае Qp (\хп — а|р-+0 при п-> оо);
з) поле С„ определено единственным образом с точностью до изомор-
изоморфизма над Q, сохраняющего р-адическую сходимость. Оно называется по-
полем р-идических чисел.
7, Доказа1ь, что ]шле Qp изоморфно полю всех сходящихся по р-ади-
р-адической норме рядов
8. Замыкание кольца Z в поле Qp относительно р-адической топологии
называется кольцом целых р-адических чисел и обозначается Zp. Доказать,
кольцо Zp компактно.
9. Доказать, что для различных простых р и р' поля
p и Qp,
ф
не изо-
изоp p
морфны между собой. Показать, что всякое поле Ор не изоморфно полю
вещественных чисел п?.
if). ] 1усть а — целое, не делящееся на простое число р. Доказать, что
в пиле Q последовательность \а \
сходится
ет условию ар~' = 1. Показать, что в поле
ее предел а удовлетвори-
многочлен Тр~1 — 1 пол-
полностью раскладывается на линейные множители.
11. Нормирование v поля К называется дискретным, если v является го-
гомоморфизмом К* на Z. Доказать, что эпиморфизм и: К*->-Ж является
нормированием поля К в том и только в том случае, если v(n ¦ е) ^ 0 для
всех целых кратных п • е, п ^ 1, единичного элемента е поля К.
12. Пусть о — кольцо дискретного нормирования поля К. Доказать спра-
справедливость следующих утверждений:
а) в максимальном идеале m кольца о имеет такой элемент t, что v(t)
порождает группу Z. Элемент t называется униформизирующим (или ло-
локальным) параметром идеала Ш;
б) всякий элемент jsX представляется в виде х = ut", где и — обра-
обратимый элемент кольца с и пе/;
в) m = to;
г) каждый идеал а Ф @) в кольце о является главным и имеет вид
ft = ш.г при некотором целом г ^ 0.
И*

164
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА— РОХА
13. Пусть к — произвольное поле и k{t) —поле рациональных функций
над к. Каждую рациональную функцию ipeS(t) можно однозначно пред-
представить в виде
где f,g — многочлены. Доказать, что функция
у(ф) = т, v@) = оо,
задает нормирование поля k(t). Показать, что пополнение поля k(t) отно-
относительно нормы
|ф|„ = рчч», 0<р<1,
изоморфно полю k((t}) формальных степенных рядов, состоящему из всех
рядов вида
с обычными правилами действий над степенными рядами.
14. Пусть к(х, у) --ноле рациональных функций от х ж у над полем к.
Для произвольного целого v положим х-, = xy~v- Отличную от нуля рацио-
рациональную функцию <p(s, у) е к(х, у) представим в виде
Ф
vyv, у) = у
п f^—
где многочлены / и g не делятся на у. Показать, что функция vv(<p) = пг
vy@) = оо определяет нормирование поля к(х, у).
15. Пусть х, х' — точки на эллиптической криво
на эллиптической кривой
E. x X2=X3 _
¦K
27ЬЛ Ф 0.
Доказать, что сопоставление аг w Сх точке х е Е класса Сх е=
содер-
содержащего дивизор х — х', задаст взаимно однозначное соответствие между
точками кривой Е и элементами группы С1(Е).
16. В условиях предыдущей задачи показать, что Сх + Су + Cz = 0 в том
и только в том случае, если точки х, у, z лежат на одной прямой.
17. В условиях задачи 15 выяснить закон сложения классов Сх, С„ е
е С1°(/?) в терминах точек аг, у<^Е, если в качестве х' каята бесконечна
удаленная точка.
18. В условиях задачи 15 доказать, что группа С1°(?') имеет ровно четы-
четыре элемента второго порядка. Найти соответствующие им точки на кри1-
вой Е.
§ 3. Теорема Римана — Роха на алгебраической кривой
1. Теорема Римана. Пусть L = k(X)—поле рациональных
функций на алгебраической кривой X, D — дивизор на X и
ХB?)!={/е/, |/-0 (mod/?)}
— линейное пространство над к, состоящее из рациональных
функций на кривой X, сравнимых с нулем по mod D.
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 165
Теорема 1. Для любого дивизора D^Y)iv(X) размерность
dimhL(D) пространства L{D) конечна. Более того, если D^D',
то
dim*L(D')— dimb?(?>)< degD — degD' = deg{D — D').
Доказательство. Поскольку D~^D\ то L(D)<= L(D').
Покажем, что
degD- degD'.
Пусть D = 2 a-x'Xi D' = 2 a'x-x и 5 — множество точек
x e X, для которых либо а* Ф 0, либо а'х Ф®. По лемме 1 из § 2
имеем
= 2 (ах -а'х) = deg (D-D').
s
Далее, справедливо равенство
L(D) = L(D')(]L(S, D).
Действительно, так как L(D)<= L(D') и L(D)<= L(S, D), то
L(D)<=L{D')nL(S, D).
Обратно, если /e L(D')f\ L(S, D), то vx(f)^ ax для всех х s
<=5 и vx(f)>0 при x^S. Тогда vx(f)> ах для всех х е Х и,
значит, f^L(D), Следовательно,
L(D)=>L(D'){\L(S, D)
и, стало быть,
L(D) = L(D')UL{S, D).
В таком случае
L(D')/L(D) = L(D')/L(D')l\ L(S, D)
и поскольку (см. [70d, с. 95; 8, с 29])
L(D')!L(D')nL(S, D)c*(L(D') + L(S, D)/L(S, 2J)«=
<=L(S,D')/L(S,D),
то
dimhL(D')/L(D)<degD— degD'.
Для данного дивизора D' возьмем такой дивизор D, что
D > D' и deg D > 0. Имеем L (О) = @) и тогда
dimftL(Z)'I<°°.
Далее, поскольку для любых двух дивизоров D~S* D' прост-
пространства L(D) и L(D') конечномерны, то
dimAL (D') — dim*!, (D) < deg?> — degD'
и тем самым теорема доказана.

166
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Положим l(D) = dimhL(D) и i (D) = l(D) + degD. Если
D' >D, то из теоремы 1 слезет, что i(D')>i(D).
Теорема 2. Функция i(D) является функцией классов ди-
дивизоров; i(D) = i(D') при J) ~ D'.
Доказательство. Поскольку degD является функцией
классов дивизоров, то теорему достаточно доказать для 1{D).
Пусть D' = D+(f), /?=0 и D= 2 ах-х, D' -= 2 ах-х. Уста-
X
новим изоморфизм пространств L(D) и L(D'). Если
то Vx(uf)=vx(u) + vx(f)^ax+vx(f)=ax и, значит, uf^L{D').
В таком случае отображение м >-»¦ ы/ является линейным отобра-
отображением ?(?>) в пространство L(D'). Поскольку /'^=0, то это
отображение биективно.
Теорема 3. Функция i(D) ограничена снизу.
Доказательство. Зафиксируем функцию f^L = k (X),
f<?k, и обозначим Do = (fH = 2 а<х'х дивизор нулей функции /.
хех
Из доказательства теоремы 7 § 2 следует существование таких
целых |я = ц (/) ит = (ц—1) cleg Z)o, что
i(—vD0) = l(— vD0)+deg( — vD0)> — т
для всех v > |я. Отсюда получаем ограниченность i(D) на се-
семействе {—D)
Покажем теперь, что для любого дивизора D = 2 я*-ж най-
дется эквивалентный ему дивизор D', удовлетворяющий условию
D' 5* —vDq при всех v > ц/ ^ |я. Пусть х\. ..., xs — все нули
функции / и /(ж)=^0. Тогда f~l(x) = axe к и ^(Z — ах)> 1.
Определим функцию ^'^О равенством
- П
Я-.<0
и положим D' = D + (g) = 2 а2/-#- Выберем \ > (д, настолько
большим, чтобы aXj^—va^ при всех i = 1, 2, ..., s, и покажем,
что .D' ^ — vZ>o, т. е. что <%^ — va^ для всех у е X. При у — х{
это верно по выбору числа v. Пусть теперь уФхг. В этом случае
ау = 0 и мы должны показать, что ау== ау + vy(gO^0. Заметим,
что поскольку f(y)^O, то Vy(f)^O и ^(Z)^ 0. Если множест-
множества точек х е X, по которым берется шроизведение в определении
функции g, пусто, то g = 1, и тогда av^Vy(i) = 0. Пусть это
мпожество не пусто. Предположим сначала, что ау ^ 0. Имеем
^(/~')^0 И1 значит, z;B(Z —otx)^0. В таком случае vy(g)^O
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА—РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 167
и тогда ау= ау + vy(g) ^ 0. Пусть ау < 0. В этом случае
а'у = ау + vv (g) = as+ 2 {— ах) vv (f'1 — ax) =
= ay — ayvy (Г1 — ay) + 2 (— a*) ^ (/-1 — a*
и теорема доказана.
Из теоремы 3 следует, что г (D) ^ —т дл:я всех D e Div (Z)
и, значит, на некотором дивизоре D функция i{D) принимает
свое минимальное значение.
Определение 1. Родом алгебраической кривой X называ-
называется целое число g, удовлетворяющее условию
— g + 1 = rain i{D).
Be Div (X)
Так как i(D) — l(D) + degD^—#+1 для всякого дивизора
D, то, полагая D = 0, получаем i@)= l@)= l> —g + 1. Следо-
Следовательно, род g кривой Х является неотрицательным целым чис-
числом. С некоторыми способами вычисления рода и с примерами
кривых рода 0,1 читатель может познакомиться по задачам
И—15 данного параграфа.
Теорема Римана. Если X — алгебраическая кривая рода
g, то для каждого дивизора D^ Div (X) выполняется неравенство
2. Распределения. Дальнейшей нашей целью является изу-
изучение величины
По теореме Римана k(D)^0 для всех Z)sDiv(Z). При некото-
некотором D достигается равенство X (D) = 0, и это равенство выпол-
выполняется для всех D' =S D.
Рассмотрим кольцо F всех (в самом широком смысле) функ-
функций г: X-*-L = k(X), определенных на кривой X со зпачопиями
в поле L. Для каждой функции r^F и для каждой точки х^Х
положим vx(r) = vx(r(x)).
Определение 2. Функция г: X -»- L называется распреде-
распределением, сели для почти всех точек iel (для всех х^Х, кроме
их копечттого числа) выполняется условие vx(r)^ 0.
Пусть R — множество всех распределений. Покажем, что R
является подкольцом кольца F. Действительно, если г, г' е R, то
vx(r±r')>mm(va(r)> vx(r')):
vx(r-r')=vx(r)+vx(r')
и, значит, vx(r + r')S* 0, va(r ¦ r')^=0 для почти всех х е X.

168
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА—РОХА
Пусть / е= L — функция на X. Обозначим г, функцию, кото-
которая в каждой точке х е X принимает значение /. Так как / име-
имеет конечное число полюсов, то vx{rf)^ О для почти всех х и,
значит, г/ является распределением. Распределение rf называет-
называется главным распределением. Отображение L ->- R является, оче-
очевидно, мономорфизмом и поэтому мы можем отождествить L с
его образом в R при указанном отображении. Тогда R является
векторным пространством над L и, значит, над полем к.
Пусть D= ^ах-х—дивизор на X и геЛ — некоторое рас-
пределение. Будем говорить, что т сравнимо с нулем по modD
(г=0 (modZ))), если vx(r)> ах для всех х ^ X. Если r~rf, то
это определение совпадает с определением функции, сравнимой
с нулем по modZ). Очевидно, что все распределения, сравнимые
с нулем по modi?, образуют линейное пространство
= 0 (modZ>}} =
х для всех
над полем к, и можно считать, что L(D)<= R(D). Распределения
г и г' назовем сравнимыми по modD (r = r' (modD)), если
r — r'^0 (modD).
Теорема 4 (о распределениях). Если, D>D', то i?(Z>)c=
<=R{D') и
dim*Я(Z)')/i? (D) = degD - dcgZ)'.
Доказательство. Пусть D = ^ ax-x, D' —
2
xeX
и S — такое конечное множество точек, что cix = ax = 0 при всех
х Ф S. По лемме 1 из § 2 имеем
dim*?E, D')[L(S, Z») =
— degZ)'
и поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что
R{D')JR(D)c*L(S, D')/L{S, D).
Для каждой функции u^L(S, D') введем в рассмотрение рас-
распределение
И, еСЛИ !?,$,
О, если х ф S,
и покажем, что г!' е R (D'). Действительно, если х ^ S, то
Vx(f'u)=vx (и)^ ах, а если х Ф S, то vx(rv) = °°. Значит, vx (ru) ^ а*
для всех х е X и тогда r^^R(D'). В таком случае сопоставле-
сопоставление !*>-»]¦" задает А-линейное отображение a: L(S, D')-+ R(D')
пространства L(S, D') в пространстве R(D'). Обозначим А, =
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
169
= п»а составное отображение
Я: L{S, D')
где л — естественный гомоморфизм R(D') на R(D')fR(D). Яд-
Ядром отображения X является пространство
Ker^ = {WeZE, D')\ru<=R(D)}=L(S, D),
и для доказательства теоремы достаточно показать, что отобра-
отображение X сюръективно.
Пусть г е R(D')/R(D) и г — представитель класса г в R{D').
По теореме об аппроксимации существует такой элемент u e Ь,
что у*(и — г)> ах для всех i?S, Так как
у» (и) = ^х (« — '' + г) > min {уж (м — г), vx(r)} ^ а^
для всех x^S, то u^L(S. D'). Покажем, что Х(и) — п(а(и)) =
= г. Для этого достаточно доказать, что г = Vй плп, что г — ги
(modD). Следовательно, достаточно показать, что vx(r — ru)~S* о»
для всех iel. Но если x<^S, то ^(г—ru)=vx(r — и)^ ах по
выбору функции и. Если жч х Ф S, то vx(r—ги) = vx (г)^ ах =>
= 0 = аж. Теорема доказана.
Отождествим снова поле L с его образом в R при рассмот-
рассмотренном выше отображении L ~+R. Тогда сумму R(D) + L можно
рассматривать как подпространство пространства R.
Теорема Римапа —Роха (первая форма). Для любого
дивизора D факторпространство R/R(D) + L конечномерно и его
размерность над полем к равна К(D) = l(D) + deg 0 + g — 1 =
+
() g
Доказательство. Доказательство теоремы разобьем на
три этапа,
1) Докажем сначала, что если D ^ D', то
dim, (R (D') + L) /R(D)+ L = i(D)— i{D').
Предварительно покажем, что имеет место равенство
') П (R(D)+ L) = R(D) + L(Df).
В самом деле, правая часть равенства очевидным образом вхо-
входит в левую. Возьмем элемент г' = г + / из левой части, где г' е
еД(Я'), r^r(D) и /ei. Так как г, г'еД(О'), R(D)<=R(D'),
то f^L(D') и, значит, левая часть входит в правую. Равенство
доказано.
Применяя теорему об изоморфизме (см. [70d, с. 95; 8,
с. 29]), получаем
') + L)IR{D)+ L ={R{D') + R{D)+ L)/R(D) + L =*
<* R(D')/R(D')U(R{D) + L)at R(D')IR{D) + L(D')!*
и {R{D')IR(D)}!{L{D')IL(D')[\R{D)}.

170
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Но L{B')uR{B) = L(B) и тогда
(R{D') + L)JR(D) + L =*
Таким образом
dim, (Л (?>') + L)/R (?) + ? =
= dimkR(B')/R(B)-dimliL(B')/L(B) =
2) Покажем теперь, что
dimh R/R (В)+ L
% (В).
Пусть В = 2j ax-x ш r\, ..., rm — линейно независимые над А;по
mod(R(B)+L) элементы пространства R. Для каждой точки
х е X положим
а'х = min(ax, vx(rt), ...,vx(rm)).
Так как п, ..., rm — распределения, то можно указать такое ко-
конечное множество S точек х, что vx(n)> 0 и ах = 0 для всех
х *?S. Поэтому имеет смысл дивизор В' = 2 а'х-х. Для всех
х е= X имеем ах ^ ак и, значит, В>В', Кроме того, уж('ч)> а»
для всех л: е X и ? = 1, 2, ..., т. Тогда п^R(B') и, тем более,
ri<^R(D') + L. Таким образом, если гь ..., гт — классы вычетов
но mod (Я (?>) + ?), содержащие гь - -., г,„ соответственно, то
^ ^{R(D') + L)jR{D) + L и, следовательно,
3) Покажем, наконец, что
Пусть />о такой дивизор, что i (Do) — —g + 1 и пусть D 7? D\
Do>D' (в качестве D' можно взять, например, наибольший об-
общий делитель (D, А>) дивизоров D и Д>). Имеем i(D')= —g+ I
и тогда
Но (R(D') + L)/R(D) + L является подпространством простран-
пространства R/R(D) + L и, значит,
dinu RfR (D) + L >%{D).
Теорема доказана.
3. Дифференциалы. Для приложений более удобна иная фор-
форма теоремы Римана — Роха, основанная на понятии дифферен-
дифференциала.
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
171
Пусть В => 2 ах-х ш L(—B)= {f*sL\ vx(f)+ axX) для всех
jeI} = {/ei|(/) + /)^O, либо / = 0). Если в теореме Рима-
на — Роха заменить В на —В, то получим
Ц-В) -degB + g—l = dlmkR/R(-B) + L,
или
Определение З. Дифференциалом на кривой X называется
всякий линейный функционал <а: R -*¦ к на пространстве распре-
распределений R, аннулирующий подпространство R(—D) + L при не-
некотором D<^ Div(X) (cl)Ih(-b)+z. = 0).
Определение 4. Если дифференциал со и дивизор D связаны
соотношением go|H(-d)+l =i0, to будем говорить, что со сравним
с нулем по modD и писать со = 0 (mod D).
Укажем основные свойства дифференциалов.
Предложение 1. Множество всех дифференциалов на X
образует линейное пространство над к.
Доказательство. Если со и со' — дифференциалы, то су-
существуют такие дивизоры D и D'', что со1Д(-о)+ь *=¦() и
ffl' \r{—d')+l= 0. Пусть а, ?1 — элементы поля к. Ясно, что асо+
+ pu)'li = O. Положим D0=(D, D'), так что D0^B и D0^D'.
Тогда — Do> — В, —Ва>—В' и, следовательно, R{—B0)czR(—B),
R(—Bo)<=R(—B'). В таком случае сш+рсо'^^д^ = 0 и, значит,
асо + Pco'|h(_d \+L=0. Таким образом, линейная комбинация асо+
+ flco' дифференциалов со ж со' снова является дифференциалом.
Предложение, тем самым, доказано.
Предложение 2. Если со =з 0 (mod Z)) u Z)' s? D, то to = О
(modi?')-
Доказательство очевидным образом следует из включения
R(—D')<=R(—D).
Предложение 3. Если со = 0 (modZ>) и со = 0 (modZ)'),
го со = 0 (mod Do), где В0={В, В'} — наименьшее общее крат-
кратное дивизоров D и D'.
Доказательство. Пусть В = 2 о,х-х. В' = 2 ах-% и Ва =
х JE
х<вх
— 2 пх-х, где aS = max (ад, аж). Для доказательства предложе-
хеХ
ния достаточно установить, что
R(—Do)<= R(-B) + R(-B').
Для каждого r^R(—B0) положим
. _ fr (x), если ах = ах~^ ах,
(О, в противном случае.
Ясно, что г' является распределением. Более того, если г' (х) Ф О,
то {r')vx~^—а%= — fljH, стало быть, г'^ R{—В). Представим

172
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
гЛ(—До) в виде г = /+г" и покажем, что г" еД{—/)').
В самом деле, если т"{х)Ф0, то г(х)Фг'(х) и тогда г'(аг)-=О.
В таком случае г" (ж)= г (л;), и, следовательно, Vx{r") = ъ\(г)^
^—ах=—ак. Значит, r"<=R(—D'). Таким образом, каждый
элемент r&R(—D0) представим в виде r = r' + r", где г'^
е^(—D), r" si?(—D'), что и требовалось доказать.
Обозначим А линейное пространство всех дифференциалов
над полем к. Множество
является конечномерным подпространством этого пространства.
Действительно, поскольку Д (D) — пространство линейных функ-
функционалов на R/R(—D) + L, A(D) является двойственным к
R/R(—?))+? пространством: Д(D) = (RjR{—Z>) + L)*. По тео-
теореме Римана — Роха пространство R/R(—D)+L конечномерно
и, значит, размерность 8 (?>)=¦ dim* Д (D) пространства A(D) сов-
совпадает с размерностью dimhR/R(—D) +L пространства
R/R(-D) + L.
Тем самым можно переформулировать теорему Римана — Ро-
Роха следующим образом:
Теорема Римана — Роха (вторая форма). Для любого
дивизора D имеет место равенство
Заметим, что 1{—D), deg D являются функциями классов ди-
дивизоров. Поэтому S(D) также является функцией классов диви-
дивизоров ц, стало быть, если С е С1(Х) — класс дивизора D, то по-
последнее равенство можно переписать в виде
Пример. Пусть к— поле комплексных чисел и L = k(z)—
поле рациональных функций от комплексного переменного z с
коэффициентами из к (поло рациональных функций на аффин-
аффинной прямой А1). Для всякой функции f<=k(z) символ fdz назо-
назовем дифференциальной формой на А1. Если г s R — произволь-
произвольное распределение поля L, то можно определить вычет выраже-
выражения rfdz в точке х е A1 (J {#«} (ж„ — бесконечно удаленная точ-
точка) при помощи равенства
Resx (rf dz) =±-.[ г (х) fdz,
где Г — замкнутый контур, не содержащий внутри себя других
полюсов функции r{x)j, кроме, быть может, самой точки х. Оп-
Определим скалярное произведение (/ dz, r) равенством
<jdz,r)=
'Resx(r}dz).
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 173
Если г =¦ г<р — главное распределение, то согласно теореме
о вычетах
и, значит, скалярное произведение (fdz, r) аннулирует простран-
пространство L. Далее, положим vx(fdz) = va(f), если же A1; vXoo(fdz) =
= vXx (/) — 2 и для каждого дивизора D = 2 ах'х рассмот-
рим пространства
п(П)= {/dz\vx(f dzO* ax}
Так как для любой точки х е A1 (J {х«>} и при любых f dz^Q(D),
r^R(-D) имеем Res*(r/dz) =>0, то скалярное произведение
(fdz, r), fdz sQ(D), аннулирует пространство R(—D)+L. Сле-
Следовательно, линейный функционал w(r) = {fdz, г) является диф-
•форотигиалом на проективной прямой Р1= A1 Ufa™}-
Используя теорему Римана — Роха, нетрудно доказать (см.
[145Ь, гл. II, § 5]), что справедливо и обратное, а именно, что
каждый линейный функционал на пространстве распределений
R, аннулирующий подпространство R(—D) + L, имеет вид со =
= (fdz, r) для некоторого дифференциальной формы fdz^Q(D).
Аналогичный результат о двойственности пространств Q(D) и
RjR(—D) +L справедлив также и для общего случая — поля
L = k(X) рациональных функций на кривой X (см. [110с, с. 28;
70е, гл. 1, § 5] и задачи 1 — 10 данного параграфа).
Покажем теперь, что пространство дифференциалов Д можно
рассматривать как линейпое пространство над полем L. Для это-
этого введем умножение дифференциалов иеД на элементы /si.
Именно, определим произведение /со равенством (/со) (г) = со (rtr)
и покажем, что оно также является дифференциалом, Действи-
Действительно, если г,г'ейив,ре к, то имеем
(/со) (аг+ рг')=-«Ыаг+ У)) =
=¦ со (ar,r + §rtr) = аа (г,г) + р.ш (rsr') =
Далее, если со = 0 (modi?) и re R (_/)—(/)), то r,r^R{—D)
и, значит, функционал /со аннулирует подпространство
R(—D — (f)) + L пространства R. Легко проверить, что введен-
введенное умножение обладает свойствами:
а) (/ + /')со = /(й + /'ш,
б) /(и+ ©') = /<»+ /•»',
в) (//> = /(/'«),
г) 1 ¦ со ««э.

174
ГЛ, IV. ТЕОРЕМА Р1ШАНА —РОХА
Следовательно, Д является линейным пространством над L.
Теорема 5 (о пространстве дифференциалов). Пространст-
Пространство А является одномерным пространством над полем L =. к (X).
Доказательство. Покажем сначала, что существует хотя
бы один отличный от нуля дифференциал шеД, По теореме
Римана — Роха имеем
б (?>)¦= -deg D + g — i + 1{-D).
Возьмем строго положительный дивизор D', удовлетворяющий
условию degD' > 1 — g, и положим D = — D'. Тогда
Ц—Щ = dim* L (—D) = dims L (D') = 0
и, стало быть,
6(D)=degD' + g — l>0.
Следовательно, в пространстве A(D) найдотся дифференциал
со Ф О,
Пусть ю' — любой другой дифференциал пространства А. По-
Покажем, что ш'==/й) для некоторого элемента /si. Пусть
со = 0 (modО), <в' = 0 (modi?') и Do — такой положительный,
дивизор, что
deg A) > g — 1 — degD,
degD0># — 1 — deg D',
degDo >3g — 2 — degD — degD'.
Рассмотрим пространства L(—Do—D), L(~~D0 — D') и поло-
положим m = dimhL(—Do — D), m = dimhL(— Do — D'). Учитывая
выбор дивизора Do и используя теорему Римана ¦— Роха, имеем
m > dog Do + deg D — g + 1 > 0.
m 52 degZH + deg D' — g + 1 > 0.
Пусть /i, ...,/„ и /i, ...,/m'— базисы пространств L(—Do — D)
и i(—Oo — D') соответствеппо. Рассмотрим дифференциалы
/jtt), ..., /mco, /i0)', ..., /m'Co' и покажем, что все они принадлежат
пространству Д(— Do). В самом деле, /,ш = 0 (mod((/<)+D) и,
так как fi<= L{—DQ — D), то (/*)Ss —Do — D. Стало быть, (/;) +
+ ?>>^А, и, значит, Дш = 0 (mod(—Do)). Аналогичным обра-
образом fica' = 0 (mod (— D0))n, следовательно, /Lco, ..., /m<o, /jw', ...
. .., f'm'tu' (= Д(— Do).
Оценим размерность пространства Д(— Do). В силу теоремы
Римана — Роха имеем
dim* A (-Do) = deg A» + g - 1 + г (Д,).
Так как Do — положительный дивизор, то /(Z?o)= (Н
и тогда
dinvA(—Do)< deg Dv
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 175
Далее, поскольку
m + m >2 degD0
degD' - 2g + 2 > degD0 + g,
то имеем
dimA Д (— Do);< m + m'.
Отсюда следует, что дифференциалы ^со, ..., /mco,/j©', .. ., /m'O)'
линейно зависимы над полем к, т. в. существуют такие отличные
в совокупности от нуля элементы Я], . .., Ят, Ах, ..., Хт> поля &,
для которых
т т'
2 ^© + s a-I/iV = о.
i=l i=l
В таком случае
ga + ^'to' = 0
и для доказательства теоремы остается показать, что g' =
та'
— 2 ^г/г ^=0.Предположим противное, что .?>¦'=¦ 0. Тогда в силу
г=1
литтейпой независимости функций /i, ..., /m' получим ^х = . .. =
^?Ьт/=0 и, стало быть, gco^O. Но по выбору дифференциала «
пмеем ш т6 0, и следовательно, g = 2 ^i/i = 0. Из линейной неза-
дзисимости функций /i,..., /m вытекает, что 2ц = ... = А,т = 0 и, в
таком случае, приходим в противоречие с выбором элементов
lj, .. ., km, K[, . .., %m. Таким образом, g' Ф 0 и, значит, со' =
~ — {g/g')to- Теорема доказана.
Определение 5. Если со = 0 (mod@)), то дифференциал
<о называется целым или дифференциалом первого рода.
Теорема 6. Размерность пространства А@) дифференциа-
дифференциалов первого рода равна роду g кривой X.
Доказательство. По теореме Римана — Роха имеем
l(—D)=-degD — g+ 1 + 6(П).
Положим D=@), Утверждение теоремы следует из того, что
/ @) = dim* L @) =¦ 1 и deg @) = 0.
4. Канонический класс. В заключение параграфа введем в
рассмотрение канонический класс дивизоров на кривой X.
Теорема 7 (о дифференциалах). Для каждого ненулевого
¦дифференциала ш существует дивизор (со), обладающий следую-
следующими свойствами:
1) ю==0 (mod(<o));
2) если ю = 0 (modD), то D=S((o).
Дивизор (со) определен однозначно и может быть охарактеризо-
охарактеризован как дивизор D наибольшей степени, для которого со за 0
.(modD).
Доказательство. Покажем, сначала, что степени всех
дивизоров, удовлетворяющих условию (о = 0 (modD), ограниче-

176
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
ны сверху одним и тем же числом. Прежде всего заметим, что
посколькуа^О, то 8(D) = dimhA(D)>l. Докажем теперь, что
Н—?>) ='dimftL(—Z))=S g. Если D=@), то утверждение следует
из предыдущей теоремы. Пусть D^@) и пусть /ь ..., /m —
базис пространства L(—D) над полем к. Рассмотрим дифферен-
дифференциалы /ico, ..., /ma. Они линейно независимы над полем к. Да-
Далее, поскольку /<а = 0 (mod ((/,) + D)) и (ft) + D> О, то имеют
место сравнения /=<э = 0 (mod(O)). Значит, все дифференциалы
/lto, ..., /ща являются дифференциалами первого рода, и их чис-
число т не превосходит dimft A@)= g. Таким образом, m = l(—D)^
=S g it, следовательно, ввиду теоремы Римана — Роха
uegD s? l(-D) + g - 1 - 6(?>)< 2g ~ 2.
Выберем среди дивизоров D, удовлетворяющих условию
со = О (modi)), дивизор максимальной степени и обозначим его
(а). По построению имеем а = 0 (mod (а)). Далее, если D' =
= ((о) и D — произвольный дивизор, удовлетворяющий условию
а = 0 (modi)), то ввиду предложения 3 имеем а = 0 (modDo),
где D0 — {Dr, D). Поэтому, если предположим, что D>D' для
некоторого D, то получим, что а = 0 (modДо), где degZ?0>
>degZ)'. Но ото противоречит выбору дивизора D' = (а) и по-
полученное противоречие показывает, что D «? D'. Теорема
доказана.
Определение 6. Дивизор (со), удовлетворяющий условиям
предыдущей теоремы, называется дивизором отличного от нуля
дифференциала а.
Следствие 1. Если / <= L, /Ф О и а е Д со Ф 0, то (/«) =
= (/) + («).
Доказательство. Пусть /а = 0 (mod/)). Тогда « =
= /^(/ш)^0 {m.oA{{tl) + D)) и, так как {/-»)=_(/), то со —
= 0 (mod(Z)—(/))). Отсюда следует, что D— (/)г?(ю) и, в та-
таком случае, Z> =S (/) + («). В частности, (/©)«?(/) + {ш) и по-
поскольку /со = 0 (mod((/)+ (©))), то (/) + (ш)<{/ю). Значит,
(/со) = (/) + ((о), и следствие, тем самым, доказано.
Следствие 2. Отличный от нуля дифференциал оз принад-
принадлежит пространству A (D) в том и только в том случае, если
Доказательство. Если 2)^(ю), то со = 0 (modZ)) щ
значит, (оеД(О). Обратно, если «еД(В), то со = 0 (modD),
и тогда D <(оо).
Следствие 3. Ненулевой дифференциал а является диф-
дифференциалом первого рода в том и только в том случае, если ди-
дивизор (со) положителен.
Следствие 4. Дивизоры всех отличных от нуля дифферен-
дифференциалов лежат в одном и том же классе линейно эквивалентных
между собой дивизоров.
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
177
Доказательство. Пусть ©^0 — фиксированный диффе-
дифференциал. Любой другой ненулевой дифференциал а' имеет по-
теореме 5 вид а' = /а, / е L*, и по следствию 1 (а') = (/) + (а).
Если а' пробегает все отличные от пуля дифференциалы, то
(а') пробегает все дивизоры, линейно эквивалентные диви-
дивизору (а).
Определение 7. Класс линейно эквивалентных между со-
собой дивизоров, содержащий дивизор (со) отличного от нуля диф-
дифференциала а, называется каноническим классом.
Обозначим канонический класс W.
Теорема 8. Имеют место равенства I (—W) = dim* L (-W) =
Доказательство. Покажем сначала, что 1(—(а)) = g.
Ввиду теоремы 6 для этого необходимо установить изоморфизм
пространств L(—(а)) и А@). Докажем, что такой изоморфизм
задается посредством сопоставления / ~* /а. Действительно, ус-
условие /et( — (а)) равносильно тому, что / = 0 (mod(—(а))).
В свою очередь, последнее условие равносильно условию (/со) =
= (/) + (а)>0, которое, в силу следствия 3, равносильно тому,
что /а еД@).
Покажем теперь, что если а — отличный от нуля дифферен-
дифференциал, то 5((а) ) = dimft А( (а))= 1, В самом деле, поскольку
аеЛ((а)) и а Ф 0. то 6((а))> 1. Далее, если а' = /со, где / —
произвольная функция из L, то условие а'=/со ^ Л((а)) рав-
равносильно, ввиду следствия 2, тому, что (а)=^(/а) = (/) + (а). По-
Последнее условие равносильно условию (/) ^ 0, которое, в свою
очередь, равносильно условию / е к. Таким образом, А ((со))^ к
и, следовательно, б((а))= 6(W)= 1.
Согласно теореме Римана — Роха имеем
I (—W) = deg XV — g + 1 + б {W),
и по доказанному выше
В таком случае
тем самым теорема доказана.
Следствие. Если deg D > 2g
2, то
l(—D)=degD — g+l.
Доказательство. По теореме Римана — Роха имеем
;(_?)) = deg D — g + 1 + 6(D). Покажем, что если deg D> 2g — 2,
то A(D) = 0. Предположим противное, что А{Э)Ф 0. Тогда в
A(D) найдется отличный от нуля дифференциал а, и, ввиду
следствия 2, (a)>D. В таком случае 2g — 2 = deg(a)> degD >
> 2g—2. Получаем противоречие. Значит, A(D) = 0 и тогда
б (?>) = dim* A (D) = 0. Следствие доказано.
12 С. А. Степанов

178
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
Теорема Римана — Роха (третья форма). Для любого
класса С <г С1(Х) справедливо равенство *)
1{—С) = deg С — g + 1 + l(C — W).
Доказательство. Достаточно доказать, что S(D) =
= 1{D—(со))= dimkL(D—(«)), где со — некоторый отличный от
луля дифференциал. Пусть й)'=/аеД(й), Это эквивалентно
тому, что IX (/«) = (/) + (м) и, значит, неравенству (/) + (ю) —
— /) X). Но последнее неравенство равносильно условию / е
*= L(D—(a)) и, следовательно, сопоставление />-* /<а задает изо-
изоморфизм пространств Д(?) и L(D— (оз)). Теорема доказана.
Для всякого класса С <г С1(Х) обозначим С* •= W — С сопря-
сопряженный ему класс и положим
Теорема Римана — Роха (четвертая форма). Для лю-
любого класса С е Gl (X) имеет место равенство
9(С*)=Р(С).
Доказательство. Имеем
deg С* = deg(W - С) = 2g — 2 - deg С.
Поэтому
р(С*) = Z(- С*) - g + 1 + ±degC=l(C - W) - g + 1 + i-
и согласно предыдущей теореме
Следствие. Справедливы равенства
0,
1,
о,
г
в,
если
если
если
если
degC<
С = 0,
СфО и
C^W ;
C = W.
0,
deg С = 0,
и deg С = 2
— 2,
Доказательство. Пусть D — дивизор, лежащий в С. Ес-
Если Д < О, то /(—С)=0. Пусть degC<0. Предположим, что /е
е L(—D) ж f ?= 0. Тогда получим, что (/) + -D 32 О, В таком слу-
случае degfl^O и полученное противоречие показывает, что если
degC<0, то L(—C)=O.
*) Пространство L(—D) и его размерность l{— D) часто обозначаются
¦L{D) и l(D). В этих обозначениях теорема Римана — Роха имеет вид
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ 179
Пусть С = 0. Если f^L(-D), то (/) + @)^0 и тогда (/)>0.
В таком случае /е к и, значит, 1(—С)= 1.
Пусть С Ф 0 и degC = 0. Предположим, что L(—В)Ф0. Ес-
Если f^L(-D) и /^0, то (/) + ?» >0. Но поскольку deg((/) +
+ D)=0, то (/)+/) = 0 и тогда D=(f~i). Отсюда получаем, что»
С = 0 и приходим к противоречию. Таким образом, L(—D) = О
л, значит, 1{— С)>— 0,
Если C^W и degC = 2g-~2, то W-СФО и deg(W~-C)^
= 0. По доказанному выше Z(C — VF) = O и тогда, согласно тео-
теореме Римана — Роха в третьей форме
Наконец, если C — W, то по теореме 8 1(—С) —g. Следствие-
доказано.
Задачи
1. Дифференцированием поля К называется всякое его отображение ТУ
в себя, удовлетворяющее условиям:
zDy — yDz
Дифференцирование D называется тривиальным, если Dy = 0 для каждого-
элемента у ^ К. Оно называется тривиальным на подполе к с К, если Dy =
= 0 для всех jet.
Если F(T) —многочлен от неизвестного Т с коэффициентами из поля Л',
то обозначим FD (T) многочлен, полученный из F применением D ко всем
его коэффициентам, a F' {Т) — формальную производную многочлена F по
переменной Т.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Каждое дифференцирование поля К тривиально на его простом под-
подполе (поле, порожденном единицей 1 поля К).
б) Если поле L = K{z) порождено над К элементом s, являющимся
корнем многочлена F{T)? то для любого элемента y^L, удовлетворяющего-
соотношению
существует единственное дифференцирование D* поля L, совпадающее с
D на К и такое, что D*z = у.
Дифференцирование D* называется продолжением дифференцирования
D на поле L.
в) Дифференцирования D поля К образуют липейпое пространство над
К, если положить (D +D')u = Du. + D'u и (yD)u = у(Du).
г) Каждое дифференцирование D поля L — k{X) рациональных функ-
функций на алгебраической кривой X, тривиальное на к, однозначно определяет-
определяется его заданием на некотором элементе zet.
{Указание. Воспользоваться тем, что в поле Ь = к(Х) существует
ялемент г, для которого L явлнется сепарабсльным расширением поля k{z)
(см, [70d, гл. 10. § 6]), а также результатом п. б).)
д) Все дифференцирования поля L = к (X), тривиальные на к, обра-
образуют одномерное линейное пространство Л над полем L.
12*

480
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
е) Спаривание
(D, u)^Du, ue=L = k (X)
определяет L-липсйный функционал du на пространстве Л, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям
d(y + и) — dy + du,
d(y -и) = у du + udy
(здесь у du определяется отображением (D, у du) м. у Du).
Пространство ?-лппсниых функционалов da, двойственное к Л, назы-
называется пространством дифференциальных форм на алгебраической кривой
X и обозначается Q.
ж) Поле L = к{Х) сепарабельно над k(z) в том и только в том случае,
если элемент dz порождает пространство Q. Если поле L сепарабельно над
А (г), то каждая дифференциальная форма т* на X имеет вид w* = ydz, где
2. Пусть k((t)) —поле формальных степенных рядов
с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля к. Зададим дискрет-
дискретное нормирование v поля &((()), положив v(y) = п. Число п назовем по-
порядком элемента }g k{{')). Всякий элемент м <г &((*)) порядка ге = 1 на-
назовем локальным параметром ноля &((()). Соотношение
определяет дифференцирование поля ?((*)). Коэффициент n_i ряда у =
~ >S uv*V называется ого вычетом относительно локального параметра ?
и обозначается Resi(y).
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Если элемент y<=k((t)) имеет вид # = 2fflvuV' где и = 2 *v*V '
ТО Д(У = ?„!/ ¦ В(Ц.
б) Если ц, z — два элемента поля k((t)) и и — отличный от t локальный
параметр, то
в) Если t — ненулевой элемент поля к ((и)) порядка е ^ 1, то поле
к{[и)) является алгебраическим расширением поля А ((О) степени е.
г) Если t — ненулевой элемент поля к((и)) порядка е 5= 1, то для лю-
любого у е к((и)) справедливо соотношение
где tr — след из поля к((и)) в поле k((t}).
(Указание. Показать сначала, что доказываемое соотношение явля-
является формальным тождеством, ее связанным с характеристикой поля к. По-
Поэтому можно считать, что char к = 0. В этом случае t = w", где w — неко-
некоторый локальный параметр лоля к((и)), и тогда, согласно б), достаточно
установить равенство
Ввиду линейности, справедливость последней формулы достаточно прове-
проверить для элементов у вида У = и', «gZ.)
g 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
181
3. Пустъ у, z — элементы поля к((и)) и ydz — дифференциальная форма
¦этого поля. Определим вычет Res (ydz) дифференциальной формы ydz ра-
равенством
Res(ydz) = ResieiyD^z).
где w — некоторый локальный параметр поля к ((и)). Показать, что если
t — ненулевой элемент из поля к((и)) порядка е ^ 1, то
Res,u.(y(Dj)du) =-Re8t(tr(y)dt),
4. Пусть t — ненулевой элемент порядка е ^ 1 из поля к((и)). Доказать
справедливость следующих утверждений:
а) Каждое дискретное нормирование v поля k({t)) единственным обра-
образом продолжается до дискретного нормирования v* поля /;((«)).
б) Для всех отлитных от нуля элементов jeS((l)) справедливо соот-
соотношение v*(y) = ev(y).
о. Пусть L = к(Х) —поле функций на алгебраической кривой X a t —
униформиэирующий параметр точки iel Доказать справедливость сле-
следующих утверждений:
а) Каждый элемент у локального кольца ох точки х имеет единственное
разложение в степенной ряд
б) Поле L вкладывается в поле формальных степенных рядов k((t)).
(Указание. Воспользоваться тем, что Л изоморфно полю частных
кольца ох.)
в) Если и — другой униформизирующий параметр точки х <= X, то
А ((и)) =*((*))•
6. Пусть у — некоторый элемент поля L = к (X) рациональных функций
па кривой X, t — униформизирующий параметр точки х г= X и z — такой
алнмент поля Л, что dy = zdt. Доказать, что z = Diy, где Dt —-дифференци-
—-дифференцирование поля формальных степенных рядов k((t)).
7*. (Ленг |70е, гл. 1, § 5], Серр [110с, гл. 2, п. 7—13]). Пусть L =
= к (X) — поле функций на кривой Хи- такой элемент поля L, что L яв-
является сепарабельным алгебраическим расширением поля k(z). Каждое кано-
каноническое дискретное нормирование vx поля k(z) имеет коттечттое число про-
продолжений их , ..., vx до дискретных нормирований поля L (см. [70d, гл. 12,
§ 6: 145Ь, гл. 4, § 1 и 46Ь, гл. 4, § 33]). Если t\, .... tr — униформизирующис
параметры точек xj,.... хт, то t является элементом порядка в|^1н тогда
k{(ti)) —расширение степени d поля k((t)). Таким образом, каждая точка
xi е X, 1 s; [ ^ г, определяет вложение поля L в конечное расширение по-
поля *((*))•
Пусть m* = ydz — дифференциальная форма на X и ti—упиформияи-
рующий параметр точки xt e X. Определим вычет Res^ (to*) диффере)И(и-
алъной формы со* в точке xi равенством
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Для всякого j/ei имеет место равенство
dz) = ^ Res {ydz),
где tr— след из поля L в поле k(z).

182
ГЛ. IV. ТЕОРЕМА РИМАНА —РОХА
б) Для любой дифференциальной формы со* = ydz на кривой X выпол-
выполняется соотношение {теорема о вычетах)
2 Res,, (со*) = 0.
(Указание. Установить сначала справедливость указанного соотно-
соотношения для поля k(z) и затем воспользоваться результатом п. а).)
8. Пусть t — униформизирующий параметр точки х кривой X и Lx =
= к ((t)) —соответствующее полю L = к(Х) в точке х поле формальных
степенных рядов. Рассмотрим ограниченное прямое произведение
П
х<гХ
полей Lx. Элементами А являются бесконечные векторы и = (..., их, .) а
компонентами и* е ?*, удовлетворяющими тому условию, что 'vx(ux) ^ О-
для почти всех х е X, Операции покомпонентного сложения и умножения
превращают А в кольцо. Ото кольцо называется кольцом аделей, Поле L
вкладывается в А посредством отображения «>->(...,«,.,.)¦ Доказать,
что кольцо аднлей А изоморфно кольцу распределений R.
9. Пусть и =(.... и*, ...) — адель и со* = ydz — дифференциальна»
форма на кривой X. Доказать, что спаривание
{и, ydz) = 2 Ress (ux ydz)
Xt=X
определяет дифференциал со на Х-
10. Пусть vx — каноническое нормирование поля Т, = &(Х) и t—уни-
t—униформизирующий параметр точки х кривой X. Дифференциальная форма-
со* =^dz на X называется регулярной в точке х, если ux(yDtz) ^0.
Установить изоморфизм между пространством Д дифференциалов на
кривой X и пространством Q ее дифференциальных форм. Вывести отсюда,
что род g кривой X равен размерности над полем к подпространства всюду-
регулярных па X дифференциальных форм со* = ydz,
11. Кривая X называется плоской, если она задается однородным урав-
уравнением
F(.r0: х{ : Xi) = 0.
Доказать, что род g плоской кривой X выражается формулой
(п — 1) (п - 2)
8 = '
2
где п — степень кривой X.
(Указание. Устаповить, что каждая всюду регулярная на X диф-
дифференциальная форма к»*, с точностью до замены х = х\1х§ на у = х^х^г
имеет вид
СО* =
Р (д, у)
dx,
где Р — многочлен степени не выше п — 3. Затем воспользоваться резуль-
результатом предыдущей задачи.)
12*. Регулярное отображение /: X^-Y кривой X на кривую Y называет-
называется конечным отображением, а кривая X—накрытием кривой Y. Имеем вло-
вложение /*: k(Y) -*-k(X) поля k(Y) в k(X). Степень k(X) над k(Y) называет-
называется степенью конечного отображения f и обозначается deg/. Если к(Х) —
сепарабельное расширений поля Л (У), то отображение / и накрытие X так-
также называются сепарабельными. Пусть vx — каноническое нормирование и
t — локальный параметр в точке jsF. Величину ех = vx{f*(t)) назовем
индексом ветвления отображения / в точке х. Если ех > 1, то говорят, что
§ 3. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА НА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
183
•отображение / разветвлено в точке х. При этом точку у = j(x) называют
точкой ветвления. Если ех = 1, то говорят, что отображение / неразвет-
влено в точке х е X.
Конечное отображение /: Х-*- Y индуцирует гомоморфизм /*: Div(F) ->-
-»-Div(X), который определяется следующим образом. Пусть t —упиформи-
;<ирующий параметр точки у = j{jo) и их — соответствующее точке х нор-
нор* 2
мирование поля к(Х). Положим f*y=
(/* ({))'х- Так как / —
Ях)=у
нечвое отображение, то указанная сумма конечна, и, значит, f*y — диви-
дивизор на X. Этот дивизор не зависит от выбора униформизирующего парамет-
параметра t. Распространим определение /* по линейности на все дивизоры кри-
кривой Y. Яспо, что /* сохраняет линейную эквивалентность и, стало быть, ин-
индуцирует гомоморфизм С1(У)-»-Cl(X).
Пусть ц (X) — род кривой X, g{Y) — род кривой Y mf :X-*-Y — конечное
сепарабельное отображение степени deg / = я. Доказать, что если char к =
= 0, или если char к = р и р не делит ни одно из чисел ех, то справедлива
следующая формула Гурвица для рода g(X):
-2 = n Bg (У) - 2)
хех
13. Доказать, что кривая X рациональна в том и только в том случае,
когда ее род равен нулю.
14. Показать, что кривая
над полем к характеристики р -Ф 2, 3 имеет род g = 1.
15. Доказать, что если кривая X над полем характеристики р Ф 2, 3 име-
*т род g = 1, то оно бирационально изоморфна кривой
4а3 + 27Ь2 =
= 0.
(Указание. Воспользоваться теоремой Римана — Роха.)
16. Пусть X — кривая и хи ..., хт — некоторые ее точки. Показать, что
существует рациональная функция /е к{Х), имеющая полюсы в каждой из
точек Xi и регулярная всюду вне этих точек.
17*. Пусть х — произвольная точка кривой X рода г ^ ' и L, (X) — мно-
множество функций /eL = /t(X), имеющих в точке ж единственный полюс
порядка s 5s 1- Установить справедливость следующей теоремы Вейер-
штрасса: множество L,(x) пусто равно для g значений s, лежащих в ин-
интервале 1 :g; s *? 2g — 1.
(Ука.чание. Воспользоваться теоремой Римапа — Роха.)

ГЛАВА V
ГИПОТЕЗА РИМАНА
ДЛЯ КОНГРУЕНЦ-ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
§ 1. Дзета-функции алгебраических кривых
и многообразий
1. Рациональные точки многообразия. До сих пор мы рас-
рассматривали алгебраические многообразия, определенные над ал-
алгебраически замкнутым полем к. Для арифметических приложе-
приложений важны мпогообразия, определенные над некоторым алгеб-
алгебраически незамкнутым подполем ко поля к. Изучим специфику
таких многообразий.
Пусть ко — подполе поля к. Будем говорить, что точка х =
= {xv •.., жп) е А" рациональна над ко, если ave&o для всех i —
= 1, 2, ..., п. Точка х= {х^-.х^. . . . :хп) е Рп называется рацио-
рациональной над ко, если существует такая строка однородных коор-
координат (Ххо, Хх\, ..., Кхп), "А Ф О, что %Xi s А"о при всех i = 0, 1, ...
..., п. Это эквивалентно тому, что если хгФ0, то xjxte ко при
всех j = 0, 1, ..., п. Множество точек многообразия X, рацио-
рациональных над к0, назовем множеством /со-рациональных точек это-
этого многообразия и обозначим Х(к0).
Определение 1. Будем говорить, что многообразие X оп-
определено над полем ко с: к, если идеал а (X) этого многообразия
обладает базисом, состоящим из многочленов с коэффициен-
коэффициентами из ко.
Пусть а*о (X) = к0 [Т] Рг+ ... +ко[Т] Frcz к0 [Т] - идеал
многообразия X, определенного над ко, и а(Х) = k[T]F[ + ...
.,. + к [Т] F, а к [Т] — идеал этого многообразия в кольце к [Т].
Тогда справедливо соотношение
Отсюда следует, что если а — автоморфизм поля к над к0 и х —
точка многообразия X, определенного над ко, то ах является
точкой многообразия X.
Пример. Пусть к0 = Fq — конечное поле из q элементов и
k = Fq — алгебраическое замыкание поля Fq, являющееся рас-
расширением Галуа поля Fq. Если IcA" — аффинное алгебраиче-
алгебраическое многообразие, определенное над полем к0, то автоморфизм
о: х !-* xq поля к определяет автоморфизм Фробениуса
a: (xv .. .,хп)-+ {х\, .. .,xl)
§ 1, ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
185
•мпогообразия X, оставляющий неподвижными все йо-рационалъ-
шые точки {х\, ..., хп)^Х. Далее, поле к' = F v является цик-
циклическим расширением поля ко степени v и оно инвариантно от-
относительно av. Автоморфизмы
a1: (arj, . . .,zn)*-+ (x\ , ...,х%), l<i<v —1,
многообразия X переводят /с'-рациональпуго точку (х\, ..., xn)<s
е X в А;'-рациональные точки
\Xi, . . . , Хп), . . . , \Хг , , . . , Хп ]ЕД,
и автоморфизм
av: (xv ...,хп)*-+ {xf, ... , xf)
оставляет неподвижными все ft'-рациональныс точки многообра-
многообразия X.
2. Рациональные дивизоры на кривой. Пусть ко = Fq — конеч-
лое поле и к = Fq — его алгебраическое замыкание. Рассмотрим
алгебраическую кривую X, определенную пад полем ко, и обо-
обозначим а автоморфизм Фробениуса поля к над к0. Образ точки
х е X при автоморфизме о, обозначим о (х) и заметим, что
Пусть к(Х) — поле рациональных функций на кривой X.
Каждая функция f^k(X) представляется в виде f = F/G, где
F, Gs/c[f].— однородные многочлены одной и той же степени
и G не принадлежит идеалу а(Х) кривой X.
Определение 2. Функция f^k(X) называется рацио-
рациональной над ко, если имеется представление / = F/G, где F, G s
¦eko[T] и G^a(X).
Поскольку <Xk0 (X) = а(Х) П к0 \Т], то многочлен G«=ko[T]
не принадлежит а (X) в том и только в том случае, если G <?
ф аи0 (X). Поэтому рациональную над к0 функцию / можно оп-
определить также как функцию, обладающую представлением / =
— FJG, где F, G^ko[T] и G ф.йнд(Х). При этом считаем, что
FIG и F\\G\ определяют одну и ту же функцию, если
FGi-FlG = 0 на X.
Рациональные над ко функции на X образуют поле ко(Х)с
с к (X). Каждая функция / е к (X) может быть представлена
:в виде
' / = S «i/i.
где «; s к, fi^ko(X) и поэтому к(Х) является тензорным про-
.изведением
нолей ко(Х) и к над полем ко.

186
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАТГА
Определение 3. Дивизор D = 2 ах'х на кривой X назы-
хех
вается рациональным над ко, если D = oD, где
Множество рациональных над А*о дивизоров образуют под-
подгруппу Divft(j(X) группы Div(X).
Пусть Gsd(kfk0) — группа Галуа поля к над полем к0. Вве-
Введем на кривой X отношение эквивалентности, назвав две точки-
х, у ^ X эквивалентными между собой (х ~ у) в том и только в
том случае, если существует такой элемент т е Gal (Л;/А;о), что
Каждая точка а; <г X однозначно определяет поле ко(х), по-
порожденное ее координатами. В аффинном случае имеем /го(ж) =
•= ko(xi, ..., хп). Пусть х = (х0: xt: ...: хп) е Рп и х, ^ 0. Пока-
Покажем, что ко(х)= ка(хо/хг, Xi/xi, ..., xn/xi). Действительно, если
Xj Ф 0 при / Ф i, то
и, значит,
Аналогично,
к [ ii fi. х- \ - к (х»
и тогда
Таким образом, поле ко(х) определено однозначно и можем счи-
считать, что ка{х)— ко(х{, ..., х„), где xf — нормированные коорди-
координаты точки х = A: х{. . ,.: хп) е Рп.
Ясно, что поле ko(x) является конечным расширением поля
ко и, значит, ko(x) = FqV при некотором целом v S* 1. Покажем^
что класс эквивалентных с х точек кривой X полностью опреде-
определяется действием тта х группы Галуа поля ко(х).
Предложение 1. Если х е X и к0 (х) = F v, то класс экви-
эквивалентных с х точек кривой X образует множество
Доказательство. Имеем о1 (х) ¦— а1 (х) при любых i, j =
0, 1, ..., v — 1. Покажем, что все точки а'(х), 0=*i^v—1,.
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
187
различны между собой. Допустим, что аг(х)= а'(х) при 0=Si<
</s?v — 1. Обозначим х\, ..., хп нормированные координаты
точки х. Тогда &-*(ха)= х, для всех s = 1, 2, ..., п и, значит,
xs^iFqj_i. В таком случае Fq4a Fqi_i, и мы приходим к проти-
противоречию.
Покажем теперь, что все эквивалентные с х точки у е X ис-
исчерпываются точками о*(ж), О =С ? «? v—1. Пусть точка у экви-
эквивалентна точке х. Тогда у = х(х), где т — некоторый автомор-
автоморфизм поля к над к0, и достаточно рассмотреть ограничение этого
автоморфизма на поле ко(х) = FqV. При таком ограничении т яв-
является автоморфизмом поля F v и, следовательно, г — о1 при не-
некотором i = 0, 1, ..., v — 1. Предложение доказано.
Определение 4. Простым рациональным над к0 дивизором
называется любой дивизор, представимый в виде
v = 2' я.
хех
где штрих означает, что х по одному разу пробегает вес точки
некоторого класса эквивалентности.
Данное определение корректно, так как согласно предложе-
предложению 1 рассматриваемая в нем сумма конечна. Ввиду того же
предложения дивизор !р рационален над ко. Точки х, входящие
в дивизор }), называются его компонентами. Если х — компонен-
компонента дивизора р, то он может быть записан в виде
S
1=1
где v — [ка(х): ко] — степень поля ка(х) над ко. Поэтому степень
deg V дивизора у равна [&о(#): &о]. Легко видеть, что
V* = fy **- х ~ у.
Предложение 2. Дивизор DeDivfX) рационален над
тогда и только тогда, когда он представляется в виде
г5е почти все а^ равны нулю.
Доказательство. Если дивизор D =
над ко, то при некотором v ^ 1 таком, что а"'(х) =
входящих вВс ненулевыми ах, имеем
а*'х рационален
для всех х,
Отсюда следует, что все эквивалентные между собой точки вхо-
входят в дивизор D с одинаковыми коэффициентами и тогда

188
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
D= Zj«^-!p, Обратное утверждение очевидно. Предложение-
доказано.
Пусть х — компонента простого рационального над ко диви-
дивизора р. Точка х определяет капоническое нормирование их поля
L = к (X). Обозначим vx |t ограничение этого нормирования на
поле Lo = ко(Х). Легко видеть, что локальные кольца в Lq точек
х, у е- X совпадают лишь в случае, когда х ~ у. Приходим к сле-
следующему результату.
Предложение 3. Для совпадения vxjt и vy|j, на поле-
Lo = kd(X) необходимо и достаточно, чтобы точки х и у были
эквивалентны между собой.
Это предложение показывает, что сопоставление ft >->¦ v^ — vx \l
задаст биективное соответствие между простыми рациональными:
дивизорами над ко и нормированиями поля функций Lo = к$ (X).
Заметим, что если Оу с= к0 (X) — кольцо нормирования v^ и т^—
максимальный идеал этого кольца, то
о„/т, ~ к0 (х),
где х — некоторая компонента дивизора р.
Предложение 4. Главный дивизор (/) рационален над к&
тогда и только тогда, когда } е ko(X).
Доказательство. Пусть дивизор (/) = 2 vx(/)¦х рацио-
х<=Х
нален над к0 и пусть f = F/G, G<?&(X),— некоторое представ-
представление функции fek(X). Из рациональности дивизора (/) сле-
следует, что наряду с точкой х многочлен F (соответственно G)
имеет своими пулями все сопряженные над полем А'о точки о* (х)
и тогда F, G^ko[T\. Следовательно, f^ko(X). Обратное утвер-
утверждение очевидным образом следует из предложения 2.
Определение 5. Класс дивизоров CsCl(X) называется
рациональным над ко, если он содержит хотя бы один рацио-
рациональный над ко дивизор.
Рациональные над к0 классы дивизоров образуют подгруппу
группы С1(Х). Обозпачим ее C]kg(X). Вложение
Div
ft|) (X)
- Div (X)
индуцирует эпиморфизм
Ядром этого эпиморфизма является группа Рн0 (X) главных ра-
рациональных пад к0 дивизоров и, значит,
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
189
Пусть D' — рациональный над ко дивизор и Lq(—?)') =
L(—D')u ко(Х) — линейное над полем &о пространство. Тогда
и, следовательно,
(- D') = divkL (- D').
Далее, пусть Rq — линейное над полем к0 пространство распре-
распределений со значениями в L$ = ко(Х) и До — соответствующее
ему линейное над &о пространство дифференциалов. Имеем
и, в таком случае,
Ао =
= 1.
Значит, канонический класс FFeCl(X) содержит рациональный
над к0 дивизор (о/) отличного от нуля дифференциала а'еД,,
и, стало быть, справедливо следующее утверждение.
Предложение 5. Канонический класс рационален над ко.
Заметим теперь во всех результатах, связанных с теоремой
Римана — Роха, дивизоры на рациональные над к® дивизоры,
классы дивизоров па рациональные над ко классы дивизоров и
размерности пад полем А; на размерности над к0. Тогда эти ре-
результаты сохраняются (ср. Дойринг [46Ь, гл. 2], Шевалл&
[145Ь, гл. 2]) и приходим к справедливости следующего ут-
утверждения.
Теорема Римана — Роха. Для всякого рационального над ко,
класса дивизоров С имеет место равенство
0 (- С) = deg C-g
dimhQL0 (С - W),
которое в симметрической форме записывается в виде
где
С* = W - С, и р (С) = dimftoLn (- С) - \ deg С.
Пусть Div' (X) с Divft() (X) — группа рациональных над
дивизоров степени нуль и
— группа рациональных над ко классов дивизоров нулевой
степени.
Теорема 1. Число элементов группы СЛ1д(Х) конечно.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что для каж-
каждого неотрицательного целого v имеется лишь конечное число*

490
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
рациональных над ко положительных дивизоров степени v. Дока-
Докажем сначала справедливость этого утверждения для простых ра-
рациональных над ко дивизоров. Пусть х — компонента простого
рационального над к0 дивизора р степени у и к0 (х) = FqV. Тогда
дивизору р соответствует рациональная над полем F v точка х
кривой X сг Р™ и, следовательно, достаточно показать, что на X
имеется лишь конечное число таких точок. Без умоныттения общ-
общности можно считать, что точка х имеет вид х ={1 : х\ : ...: хп),
где Xi e FqV — ее нормированные координаты. Число таких точек
не больше чем qvn и, значит, общее число точек х, рациопаль-
ных пад Fv не превосходит величины (n+l)gVIJ. Таким обра-
образом, число простых рациональных над ко дивизоров р степени v
конечно.
Пусть теперь D =2ар'Р — произвольный рациональный над
у
Ао положительный дивизор степени v. Имеем
deg D = X <h deg p = v
и, значит, число таких дивизоров не превосходит количества ре-
решений в неотрицательных целых а^, deg руравнения
= v.
Пусть !pi, ..., fs — все простые рациональные над ко дивизоры
степени ые выше v и пусть deg р,- — v,-, а9. = ец- Тогда задача сво-
сводится к вопросу о числе решений в неотрицательных целых а*
уравнения
2 (ZjVi = V.
Но число таких решений не превосходит величины (v+l)s и,
следовательно, число рациональных над ко положительных диви-
дивизоров степени v конечно.
Установим, наконец, коыечпость группы С]% (X). Рассмотрим
некоторую непостоянную функцию g <= ko(X) и положим / = g",
где s — достаточно большое положительное целое число. По-
Поскольку g Ф const, то deg(g)o>O и тогда deg(/)o = sdeg(gH =
= v > 2g. Зафиксируем /, v и докажем, что каждый рациопаль-
ный над ко дивизор нулевой степени линейно эквивалентен- раз-
разности двух рациональных над ко положительных дивизоров сте-
степени V. Так как по доказанному выше число рациональных на
ко положительных дивизоров степени v конечно, отсюда будет
следовать, что число рациональных над &о классов дивизоров ну-
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
191;
левой степени также конечно. Пусть D e Div? (X). По теореме?
Римана — Роха
dimfeoL0 (?• - (fH)> deg (/H - g + 1
g + 1
и, значит, существует такая ненулевая функция и^ко(Х), что>
(") + (/)о — D >0. Положим D'=(/)o и В" =(u-) + (/)o — D.
Дивизоры D', D" являются рациональными над ко положитель-
положительными дивизорами одной и той же степени v. Из соотношения:
D = D'—D"+(и) следует, что дивизор D линейно эквивален-
эквивалентен разности D' — D". Тем самым теорема доказана.
Обозначим h число элементов группы С1^ (X).
Предложение 6. Если род g кривой X равен нулю,,
то h — 1.
Доказательство. Достаточно установить, что при g = О'
каждый дивизор D степени нуль является главным дивизором.
Если degZ> = 0, то по теореме Римана dimkL(D)^ 1 и, значит,
существует такая отличная от нуля функция /, что (/) ^ D.
Степень положительного дивизора (/) — D равна нулю и, следо-
следовательно, D = (/). Предложение доказано.
Обозначим е > 1 наименьшую из степеней всех строго поло-
положительных рациональных пад ко дивизоров и заметим, что сте-
степень каждого рационального над ко дивизора D имеет вид.
degZ) = те при некотором mei
Предложение 7. Пусть С\, ..., Ch — все рациональные-
над ко классы дивизоров нулевой степени и Со — фиксированный
рациональный класс степени е. Тогда каждый рациональный
над ко класс дивизоров С степени те однозначно представляется
в виде С = \Со + Сг, где i — одно из чисел 1, 2, ..., h. В част-
частности, имеется в точности h рациональных над ко дивизоров сте-
степени ve.
Доказательство. Поскольку степень всякого рациональ-
рационального над ко дивизора кратна е, то степень каждого рационально-
рационального над ко класса дивизоров имеет вид ve при некотором целом v.
Пусть С — произвольный рациональный над ко класс дивизоров;
стоттопи ve. Класс vCq также имеет степень ve и, значит, раз-
разность С — vCo представляет собой рациональный над ко класс
степени нуль. В таком случае С = vCo + d при некотором i =
= 1, 2, ..., h и предложение, тем самым, доказано.
Для каждого рационального над ко класса дивизоров С
положим
Теорема 2. Число п (С) различных рациональных над
положительных дивизоров, лежащих в рациональном над

192 ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
классе С, выражается формулой
Доказательство. Пусть Do^C— рациональный над к0
дивизор. Рассмотрим пространство Lq(—Do), и каждой отличной
от нуля функции /eLo(—Da) сопоставим рациональный над /со
положительный дивизор D = Do + (/) из С.
Обратно, пусть D е С — рациональный над к0 положитель-
положительный дивизор. Тогда существует такая отличная от нуля функ-
функция /е Loi-Do), что D = Do + (/).
Таким образом, сопоставление / >-*¦ D = Do + (/) определяет
отображение множества всех отличных от нуля функций прост-
пространства Lt>(—Do) на множество всех рациональных над ко поло-
положительных дивизоров класса С. Если D = Do + {/) = Do + (g), то
(/) = (#} и, значит, f = ag, где аеА'о. Стало быть, если
|?о(—До) I —число элементов пространства Lo(—Do), то
а так как |Lo(— D0)\ =
Jn(-c)
то
Теорема доказана.
3. Дзета-функцня кривой. Введем в рассмотрение дзета-функ-
дзета-функцию алгебраической кривой X, определенной над полем ка.
Определение 6. Дзета-функцией алгебраической кривой
X называется функция комплексного переменного s — о + гт, за-
задаваемая рядом
2
Г)
где D пробегает все рациональные над ко положительные диви-
дивизоры кривой X и ND = gdeg D.
Заметим, что если D =
T0
fL если
ра У, то
компонента простого рационального над к0 дивизо-
дивизоN, =
§ I. ДЗКТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
193
Теорема 3. Пусть е — наименьшая из степеней всех стро-
строго положительных рациональных над полем ко дивизоров. Ряд
D
абсолютно сходится в области а > 1 и представляет в этой обла-
области рациональную функцию вида
с (Х, „ _
\
где F(q~s) — многочлен от q~" степени не выше 2g — 2.
Доказательство. Прежде всего заметим, что из теоремы
Римана — Роха вытекает справедливость следующих соот-
соотношений:
0, если deg С> О,
1, если С — О,
О, если СфО и
g—1, если С ф. W и
g, если С = W,
[degC-g+l, если degC>2g — 2.
Далее, иоскольку deg W = ve = 2g — 2, то Bg — 2)/е при
является целым числом.
Имеем
?(х>*) = 2<лтдг = 2 2
D С DeC
2 2
С -Dec
п, следовательно, ввиду теоремы 2
U-C)-adegC _
¦ и ' г-
7h 2 («'
aegc^o
i 2
y-O-sdcgC
Если о > 1, то
2 .¦
deg С^О
-^т 2
е0-2 2 «""°-'с
v=0 deg C=ve
v=o
i-Te\
и тогда
w.)--^- 2 "ч
а degC^o
13 с. А. Степанов
I.(-C)-<degC

194
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
При g = 0 каждый класс С, для которого deg О 0 удовлет-
удовлетворяет условию deg С > 2g - 2. Кроме того, ввиду предложения
о имеем А = 1 и, значит, в этом случае
- 1) A - q~es)
Q~l
V=0
Пусть теперь g > 1. Тогда
o« deg C< 2g—i
lo(-C)-suegC
Я — :
oo
A — 1) (l — q~ea)
(ff - 1) A -
где Cj
значит
рациональный над к0 класс дивизоров степени ve и
-i)(i _,-«)'
Многочлен F(q~"s) имеет вид
V=0 j= 1
и, следовательно, является многочленом от q~e степени не выше
2g — 2. Теорема доказана.
Из теоремы 3 следует, что t,(X, s) аналитически продолжает-
продолжается до мероморфной на всей комплексной плоскости С функции,
имеющей полюсы первого порядка в точках
• • — 2лг _ 2лг „
'* ~ е log q ^ Sm ~ ~ elogg Щ' ^' m e ^'
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЯ 195
Теорема 4. При о > 1 имеет место равенство
где 1р — пробегает все простые рациональные над к$ дивизоры
кривой X.
Доказательство. Пусть AfS»l—целое число и "ри ¦-¦
..., ТРш — все простые рациональные над &о дивизоры с условием
deg Pj < Af. Положим
Если о > 1, то
и тогда
¦ m / oo
-(^Г)"х= 2 ТО Vji
VJ-0
¦ m / oo \
Ш = П S TO~V =
j=1 ^^о у
где /?' — рациональные над ft0 дивизоры, имеющие в своем разло-
разложении лишь простые дивизоры pi, ..., fm:
D' =
Устремляя М к бесконечности, приходим к равенству
П A -
1 = 2
D
- = i
Теорема доказана.
Предложение 8. Существует рациональный над к0 класс
дивизоров степени 1.
Доказательство. Пусть е — наименьшая степень всех
рациональных над ко строго положительных дивизоров. Тогда для
доказательства теоремы достаточно показать, что е = 1.
Рассмотрим поле к0 = F», являющееся расширением поля
ко степени е 5* 1. Если р — произвольный простой рациональный
над к0 дивизор степени v, то он представляется в виде
Где х — некоторая F v — рациональная точка кривой X. Посколь-
13*

196
ГЛ. V, ГИПОТЕЗА РИМАНА
ку e|v, то при переходе от поля к0 к полю А-о кла
ности
-о класс эквивалент-
эквивалентнад полем к0 распадается на e=(v, e) классов эквивалентности
7 г
над полом л-0 и, значит, простои рациопалъный над к0 дивизор у
распадается на е простых рациональных над к'о дивизоров
Pit . •.» Vfi соответствующих указанным классам эквивалентности
над A-j. Пусть
дзета-функция кривой X над полем А"о. Имеем
П A - q-sMV - П ГП d -
' 4
и, так как е deg р; = cleg ft,
С № *) - П (П О - д-*^') = (С (X, ,))'. .
j-i \ 1>j . /
По теореме 3 функции ?,'(X, s) и %(Х, s) пхгеют при s = i полюс
одного и того же порядка, равного 1, и тогда из последнего со-
соотношения следует, что е = 1. Предложение доказано.
Теперь, после того, как показали, что е = 1, можно уточнить
результат теоремы 3.
Предложение 9. Дзета-функция ?(X, s) представляет
собой рациональную функцию от q~s вида
^(?-) = 2 «ад*
И Оо = 1, О2г = qs.
Доказательство. При g — 0 имеем
{q - 1) A -
- 1) A - q~s) A - g~s) (I - д1-4
§ I. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
Пусть теперь g = 1. Тогда
197
„1—s
' deg C=o
9-1 -9-1
Наконец, если g > 2, то
J0(-C)-*degC
(q~D(i~q~s)
deg C=o

1 * v
1 д-1 ^
Agi-
+ <*-
Л + 7-
3-1
(А _ 1) 5?—1-«(гг-а)
*-1
2g—3
1 V
, ^^
+ (e_
3
¦ffgCi-«
1)A-
+ qS~
1)A-
!)Bff-:
i
2-1
$Bg—
i , (J
-v-
14
legC 1
1)
V
1-й deg C-iZg—
» hql-Zq
(q-i
k+q~l)((j
S) A-
Otq~s^r ...
deg C=2^—2
h
1) A - Г5)
la(-C)-sdegC
Q + .
3
(l-e)Bff—1) д
)(i-^-s) (?-i)(i-3~')
5-1 '
l)(l-9"s)
4cr2?_1?-Bg-1)*4-/rWf
(i,)(lg)
Предложение доказапо.
Теорема 5. Дзета-функция %{Х, s) удовлетворяет уравне-
уравнению
Доказательство. При.g — 0 имеем
Пусть теперь g = 1. Тогда
Пусть, наконец, ^ > 2. Запишем ?(^Х\ s) в виде

198
где
ГЛ. V.. ГИПОТЕЗА РИМАНА
<z-l
I0(-C)-sdegC
—3
Ммеем
+ &?!?. - T-L=r).
и, значит, достаточно показать, что
Положим
Тогда
, s).
Jc(-O-sdegC
—3
и по теореме Римана — Роха
Заметим, что, когда С пробегает классы дивизоров с условием
W, — С пробегает те же классы, только в обратном порядке. В та-
таком случав
Р(С)
—з
3-1
-И)
p(W-Q-f s- - V 2?-2-deg С)
Kiegt.W-
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
и, следовательно,
p(C)-(i""")degC:
199
* 2
—з
„(g— i)(as—l) I * V
= 9 \j—i_,Z
—s
Теорема доказана.
Положим q" = f и I (X, s)= Z (X, t).
Теорема 6. В круге \t\ < q'1 имеет место равенство
(°° JV v
где N v — число F v -рациональных точек кривой X.
Доказательство. Прежде всего заметим, что условие
\t\ < q~l равносильно условию а> 1. При о> 1 имеем
и тогда
= П A - я~'еее* )~* =П A -
.mdeg))
$ m~x
21 2 ^V'-2f2
Положим
2
В таком случае
Z (X, ?) = cxp ( ^ —^
и, ста*1о быть, для доказательства теоремы достаточно показать,
что

200
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
Рассмотрим множество 9{v ncexFqy- рациональных точек кри-
кривой X. Это множество разбивается на классы эквивалентных меж-
между собой точек, образующие простые рациональные над ко диви-
дивизоры р. Поэтому
Лг v = 2' deg р,
IP
где штрих означает, что сумма борется по всем указанным клас-
классам эквивалентности множества 9JV.
Покажем, что простой рациональный над к0 дивизор р пред-
представляется одним из рассматриваемых нами классов л том и толь-
только в том случае, когда degplv. Действительно, пусть р соответ-
соответствует одному из классов эквивалентности и пусть х — компо-
компонента дивизора J). Имеем [ко(х) : к0] = deg р, и, так как х — ра-
цшшальная над F vточка, ко(х) с: Fv. В таком случае
к0 cz к0 (х) с FqV
и, следовательно, dcgplv.
Обратно, пусть degplv. Если х — компонента простого рацио-
рационального над ко дивизора у, то условие degpiv означает, что
[кв(х) : ко] делит [FqV: &0] и, значит,
К <= К (Х) <= ^gV
Стало быть, точка хеХ рациональна над полем Fq4 и, следова-
следовательно, дивизор р соответствует одному из классов эквивалентно-
эквивалентности множества %.
Из сказанного следует, что A'v = N v и тем самым теорема
доказана.
Согласно предложению 9 функция Z(X, t) имеет вид
где
Пусть
Ojf+qH28, О;
— разложение многочлена P(t) па линейные множители в неко-
некотором конечном расширенна поля рациональных чисел Q.
Теорема 7. Для числа N v рациональных над полем Fq?
точек кривой X рода g справедлива формула
= q1 + 1 -
2g
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
Доказательство. Имеем
201
П
и тогда
- о -
V=l
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степеттях переменной
t, нолучаем
Теорема доказана.
' По аналогии с дзета-функцией ?{Х, s) можно рассмотреть
L-функцию х\ртина кривой X, определенной над копечпым цог-
лем ко = Fq. Для этого обозначим % характер конечного порядка
группы Clfco(X) (гомоморфизм группы С1^о(Х) в мультиплика-
мультипликативную группу С* поля комплексных чисел С, удовлетворяю-
удовлетворяющий тому условию, что %т{С)=1 при некотором целом m^l
для всех С е СЬо (X). Распространим характер % на группу
(X), положив
для каждого дивизора D e DiVfto(X), и определим Zi-функциго
Артина комплексного перемептгого s = о + ix в виде ряда
г>
где D пробегает вес рациональные над &о положительные дивизо-
дивизоры кривой X. Этот ряд абсолютно сходится при о> 1, и при.та-
при.таких о справедливо равенство
тде р пробегает все простые рациональные, над &о дивизоры кри-
кривой X.
Покажем, что если характер % не тривиален, на группе
СЦ(Х), то /.-функция L(Xi %, s) является многочленом от ff

202
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
степени 2g — 2. Действительно, представляя каждый класс
С е= С1йо (X) в виде
где СеС1йо(Х) и Со — фиксированный рациональный над &о
класс дивизоров степени 1, получаем
- «=12 х сп 2 %v (Co) (e«-c'-^J -
V=0
2g— 2
2
С
V=2g~l
Поскольку характер % не тривиален на Clg (X), то Геи п
§ 3 гл. I) • ' '
V=0
и тогда
где
Пусть РГ — канопический класс группы С1 (X). Имеем
—U если С ф0,
) если С = 0,
и, стало быть,
Покажем, наконец, что для любого характера % конечного
Порядка Zr-функция Артина L(X, %, $) удовлетворяет функцио-
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
нальному уравнению
203
где W — канонический класс и %{С)~%(С) — комплексно
женный с х характер. Действительно, если характер % не три-
тривиален на группе С1^ (X), то по теореме Римана — Роха инеем:
0<:
/^ч
degC-g+l+ la(C-W)-siegC _
—2
Если же характер % тривиален на С1ао(Х), то, полагая снова
C = C"+vC0,
где С еС1йо(Х) и degC0 = 1, а также
получаем
2 2
- О g-v> -
2 2
В соответствии с теоремой 5 имеем
(
_ i
— e
и тогда
Чтобы получить класс L-функций, приводящий в частном1
случае к функции L(z) из § 3 гл. I, необходимо расширить опре1-
деление характера % поля ко{Х). -.-'¦'

204
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
Пусть f — строго положительный рациональный над ко диви-
дивизор и Divf (X) cz JDiVu0 (X) — группа дивизоров, взаимно про-
простых с f. Обозначим S = {j)[, ..., рЛ множество простых рацио-
рациональных над ко дивизоров, содержащихся в f, и положим
P(X) |(/)PJ
Легко проверить, что Pf(%) является подгруппой (пазываемой
лучом по modf) группы главных рациональных над ко дивизо-
дивизоров, взаимно простых с f. Факторгруппа
называется группой классов дивизоров по modf. Определим ха-
характер Xf no m°d f как гомоморфизм группы Clf (X) в мульти-
мультипликативную группу комплексных чисел, равных по абсолютной
величине 1, и распространим его па группу Div^ (X), положив
, | ^ {D + Р{ (X)), если D взаимно прост с f,
\ 0, в противном случае.
Положим теперь
и заметим, что при Re s > 1
? № Xf. *) ~ П A - хг
Если Xf — примитивный характер по mod f (не являющийся
характером пи по какому меньшему модулю), то Z-фупкция
Ц (X, xf» $) является (см. [4b'b, § 30]) многочленом от % => q~'
степени 2g — 2 + deg f и удовлетворяет функциональному урав-
уравнению
?^l+degf/2)L(X, Xf, S) = mll->XS-l+<l*gf/2)L (X, xf, 1 - 5),
где Г| ¦= r\ ("/f) — постояпная с условием |т]| = 1.
Положив' теперь X — Р1 и выбрав иадлежащим образом ди-
дивизор f (называемый кондуктором примитивного характера Xf>
нриходим к L-функции L (P1,. Xf, s), соответствующей в аффин-
аффинном случае функции L(z) из § 3 гл. I (см., например, [98а,
с. 10-23J). : ¦
4. Дзета-функция" многообразия. В заключение параграфа
остановимся на некоторых' результатах, касающихся дзета-функ-
дзета-функции- Z(X, I) n-MepHvso проективного неособого многообразия X,
определенного над полем ko~Fqcz k (назовем ее дзета-функцией
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
205
Вейля многообразия X). С этого момента будем считать, чхо по-
поле к имеет бесконечную степень трансцендентности над ко и что
ноле ко(Х) вложено в поле к.
Определение 7. Многообразие X, определенное над по-
полем ко, называется абсолютным, если оно остается многообразием
над каждым алгебраическим расширением к' поля ко. Это озна-
означает, что если а = й(Х) — ндеал многообразия X, то радикал рас-
расширенного идеала йк' [Т] является простым идеалом в кольце
к'[Т\.
Пусть к' и к" —расширения поля ко, удовлетворяющие усло-
условиям: ко <= к' <= к, ко с к" с к,-
Определение 8. Расширения к' и к" поля ко называют-
называются линейно разделенными над ко, если выполнены следующие
эквивалентные между собой условия:
1) если элементы xi, ..., хш поля к' линейно независимы пад
ко, то они также линейно независимы над к";
2) если элементы у\, ..., уп поля к" линейно независимы
над &о, то они также линейно независимы над к'.
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 10. Пусть ка — совершенное поле. Много-
Многообразие X, определенное над полем ко, является абсолютным
в том и только в том случае, если поля ко и ко(Х) линейно раз-
разделены над ко или, что то же самое, если поле ко алгебраически.
замкнуто в ко{Х).
Доказательство см. в [146h, гл. 6, § 6].
Отметим, что в условиях предложения 10 сам идеал afco^]
является простым в кольце ко [Т]. Отсюда следует, что гипер-
гиперповерхность X с Рп, определяемая уравнением / = 0, где / е
е к0 [Т], является абсолютным многообразием в том и только
в том случае, когда / — абсолютно пеприводимый многочлеи.
Пусть X czPn — абсолютное неособое многообразие, опреде-
определенное над конечным полем ко = Fq, и пусть NqV — число его
FqV- рациональных точек. Определим дзета-функцию Z{X,'t) мно-
многообразия X равенством
N ,
Z(X,*)-«p 2-f
V—1
В 1949 г. А. Вейль [23g] высказал ряд гипотез относительно
функции Z(X, t):
1) если r = dimX, то степенной ряд, определяющий фупкцию
Z(X, /), абсолютно сходится в круге \t\ < q~r комплексной пло-
плоскости С;
2) Z(X, t) является рациональной функцией комплексного
переменного i вида
P«)PWPW

206
где
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
щ
г @ = П A
3=1
< i < 2Г,
где
Po(t)=l-t, P2r{t)=l~qrt;
3) Z(X, t) удовлетворяет функциональному уравнению
Z{X, ltqrt)=±qr*"PZ(X, I),
2Г
X-S(-:
0
4) для функции Z(X, t) справедлива «гипотеза Римана»
;
5) если X представляет собой редукцию по mod}) неособого
комплексного проективного многообразия Х$, определенного над
конечным расширением F, доля рациональных чисел Q, где р —-
простой идеал поля F с нормой Щ — д, то степень Д- многочлена
Pt(t), 0^t^2r, совпадает с i-мерным числом Бетти многообра-
многообразия Хц, а число % — с характеристикой Эйлера — Пуанкаре это-
этого многообразия.
Позже Дойринг [46а] предположил, что коэффициенты мно-
многочленов Pi{t), 0 *S i ^ 2г, являются целыми рациональными чис-
числами и, в частности, что ащ — целые алгебраические числа.
Все эти предположения справедливы при г= 1.
Пусть X — многообразие размерности г>1. Справедливость
предположения 1) была установлена Вейлем и Ленгом [71], по-
показавшими, что
(см. также [92, 146g и 146h, гл. 5, § 5; гл. 6, § 7]).
Рациональность Z(X, t) и функциональное уравнение были
впервые установлены Дворком [39а — с] с помощью методов
/>-адического анализа (по поводу этого доказательства см. также
доклад Серра [НОЬ] и книгу Коблица [61]). Другое доказа-
доказательство рациональности дзота-фупкции Вейля Z(X, t) и выпод
функционального уравнения 3) были даны Гротендиком [35а,
Ь] на основе развитой им и М. Артином [7Ь] теории этальных
когомологий (см. также М. Артин [6] и Милн [86Ь]). Подход
Гротендика оказался весьма плодотворным и привел к представ-
представлению функции Z(X, t) в виде
где Pt(t) — многочлены с коэффициентами из поля Z-адических
чисел Q/ (I — простое число, отличное от характеристики р поля
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
207
ко ~ Fq), _а также к новому определению чисел Бетти Вг_много-
образия X (полученного из X расширением поля Fq до Fq) как
размерностей dim//J(X, Qj) групп l-адических когомологий
Нг \Х, Q;), рассматриваемых как векторные пространства над Qj.
При этом выяснилось совпадение степеней degP,(f) многочленов
P<{t), 0^г^2г, с определенными таким образом числами
Бетти В(.
Завершение грандиозной программы по изучению функции
Z (X, t), заложенной в работах А. Вейля [23Ь], Дворка [39а]
и Серра [110а] было осуществлено Делинем [42а, Ь], устано-
установившим, что многочлены Pi(t) в укаэаттпом выше представлении
для функции Z(X, t) имеют целые рациональные коэффициенты,
не зависящие от I, и что они записываются в виде
где тц — целые алгебраические числа, удовлетворяющие условиям
|шц1=д'72, 0^i<2r, l^f^Bt.
Для комплексных многообразий X® и их редукций X по mod у
из этого результата следует совпадение обоих определений чисел
Ботти В( (классического и Z-адического) и, значит, справедли-
справедливость всех указанных выше гипотез для дзета-функции Z(X, t).
Доказательство гипотез А. Вейля привело к ряду арифмети-
арифметических результатов. Укажем некоторые из них.
Пусть tfv — аддитивный характер поля F v, a<=Fq и
Тал(а) = 2_„ ^v (xi + ... + хп)
— обобщенная сумма Клостермана, Как показал Делинь [42а]
(см. также [HOd, 60b, с]), ?-ряд
входит в качестве множителя в соответствующую дзета-функцию
Z(X, t) абсолютного неособого многообразия X, определенного
над полем Fq, и представляется в виде
I C-Dn
где
П-1
2

208 ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
Отсюда, ввиду того, что
п
следует оценка
Далее, пусть f(x\, .,., хп) — многочлен степени m^l с коэф-
коэффициентами из поля 1<\ и
— п-кратная тригонометрическая сумма Г. Вейля. Еслп число /га
взаимно просто с характеристикой поля Fq и старшая форма
г 'V *1 *7l
...+tn=m
многочлепа / определяет пеособую гипериоверхность
/m(#i, ..., хп) = 0
в проективном пространстве Р" над алгебраическим замыкани-
замыканием Fq поля Fq, то справедлива следующая оценка (Делпнь [42а]):
l5B,v(/)|<(m-lJ-3*"/2.
Аналогичный результат для сумм
T'n.v (/) = 2 ь (/ к, ..., хп))
с квадратичным мультипликативным характером %„ был получен
Г. И. Лерельмутером [96с7 d], показавшим, что если многочлен /
и его старшая форма /т определяют неособые гиперноверхности
/ = 0и/т = 0в пространствахА" и Р" над полем Fq, то
\TnAI)\ <c{m, n)q™12
(см. также [42с]).
Заметим, что представление функции Z(X, t) в виде
Z(X *- Pi
где PQ(t)=*l-t, P2r(t)=l-q4 и
Щ
приводит к соотношению
1=1
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
209
Отсюда следует, что задача о числе iVgV рациональпых пад FqV
точек многообразия X размерности г>1, определепного над по-
полем Fqt сводится к изучению структуры многочленов
Pi @ = П A
l<i<2r-l,
3=1
и, в частности, к вычислению чисел Бетти Вг соответствующего
комплексного многообразия Х<с- Тем самым, в отличие от одно-
одномерного случая, эта задача не эквивалентна «гипотезе Римана»
для длета-функции Z(X, t) и требует дополнительных геометри-
геометрических исследований. Во всех изученных к настоящему времени
случаях (приводящих, в частности, к указанным выше оценкам
сумм Тпу(а), 5n,v(/) и 7\л.(/)) функция Z(Z, t) имеет весьма
специальный вид. Типичную ситуащио дает пример сумм
T'n.v (/) = 2 Xv (/ (ж0' *v •¦¦' хп)),
F
где / — однородный многочлен степени /га = 2s с коэффициентами
из поля Fq характеристики р > 2. Если
(
\V=1
то соответствующая этому ряду дзета-функция Z*(X, t) пред-
представляется в виде
Далее, если Тп+\—множество всех наборов т = (то, Ti, ..., т„)
неотрицательных целых чисел то, тч, ..., тл, удовлетворяющих
условию То + Ti + ... + т„ = s и
X =
то соответствующее сумме T,,v(/) многообразие X задается в
Y дг A+ 1)(ге+2) ... (»+*)
проективном пространстве lr , iv = ! р
мой уравнений
, систе-
о-,
т =
где F(..., 2/t, ...) — такая квадратичная форма, что F(..., хх,...) =
— f(x0, Х[, .,., хп). Числа Бетти Bh Q.^i^2n, многообразия X®
14 С. А. Степанов

210
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
определяются (см. [96с]) равенствами
1, если i = 21, гфп,
О, если i = 21 + 1, 1фп,
если i = п,
и Ьп (/, I) = Рп (г){~г) , где Р„ {t) — многочлен степени Вп.
Другим важным следствием справедливости гипотез А. Вейля
явилось доказательство Делиия гипотезы Рамануджана о поряд-
порядке роста коэффициентов Фурье т(п) параболической формы ве-
веса 12 относительно SLZ(Z):
A (z) =
A
= 2 т (п)
i = /ГГ
Эта гипотеза заключалась в том, что
k(n)| ^d(n)nu/2
для всех пЭИ, где й(ге) — число делителей положительного це-
целого п. Ввиду соотношений:
1) т(тп)~ x(m)i(n), если (т, га)=1,
2) т(р'+:) = т(р)т(р')-рпх{р-1), если р — простое и s>I,
достаточно установить, что
1т(р)\ ^2j>u/2
для всех простых чисел р.
Если рассмотреть многочлен Гекке
x(P)t
A
то последнее предположение эквивалентно равенству
Если можно пайти такое неособое абсолютное многообразие X
размерности г > 12, определенное над полем Fp, что многочлен
1 — i(p)t + put делит многочлен Pi\(t), входящий в дзета-функ-
-ДНЮ
7
этого многообразия, то гипотеза Рамапуджана стаиовится след-
следствием «гипотезы Римана» для Z(Z, t). Конструкция такого мно-
многообразия X была осуществлена усилиями Эйхлера, Шимуры,
Куги и Ихары (см. [66, 55а, Ь]). Однако соответствующее
атому многообразию X комплексное многообразие X® оказалось
не компактным и, стало быть, лежащим вне границ справедли-
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ И МНОГООБРАЗИЙ
211
востн для Z(X, t) гипотез А. Вейля. Делинь указал способ глад-
гладкой компактификации этого многообразия и, тем самым, полу-
получил многообразие X*, определенное над полем F?, обладающее
всоми свойствами, необходимыми для вывода гипотезы Рама-
пуджана из «гипотезы Римана» для дзета-функции Z(X*, t).
Задачи
1. Пусть X = Р1 — проективная прямая над полем к = Fq. Доказать
справедливость следующих утверждений:
a) Z (Р , () = ,, а (л , „*\ >
б) z (р\ -~А = qt-ъ (р1,0;
в) числа Бетти проективной комплексной прямой р? определяются
равенствами
Вв = Яа = 1 и В1 = 0;
г) характеристика Эйлера — Пуанкаре прямой F^ равна
(Указание. С определением чисел Бетти и методами их вычисления
можно познакомиться по книге [47].)
2. Доказать, что дяета-функция проективной кривой ХсР, заданной
пад полем Fq уравнением
имеет вид
3. Пусть X с Ап — аффинная кривая, опроделеппая пад полем Fq ха-
характеристики р > 2, и N у — число р v _ рациональных точек этой кри-
кривой. Определим дзета-функцию Z(X, i) кривой X равенством
Л' , \
\v=l
Доказать справедливость с-тед^чощих утверждений;
a) Z(A\0= T^\
в) если X с А задается над полем Fq уравнением х2 + у2 = 1, то
(X, *) =
l_ot ПРИ 1— i (mod 4),
¦qt
1-1 t
1 _„, при
(mod4);
14*

212
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
г) если Ха А2 задается над Fq уравнением уг — х3, то
д) если Хс А задается над Fq уравнением у2 = х3 + х2, то
Z (л, tj = -^ --.
4. Пусть Хер— эллиптическая кривая, определенная пад полем Fq.
Доказать справедливость следующих утверждений:
a) Z (X, 0 = ' ! ' а ;
J A — 0A — ff*)
в) если Х$— соответствующая X коиплскспая эллиптическая кривая,
то Во = В2 = 1 и 5, = 2;
г) если 1+ oi« + gi2 = A — ooi) (I —cat), то
д) для числа Лг v рациональных над полем F v точек кривой X спра-
справедлива формула
е) имеет место оценка
5. Пусть X — проективная кривая рода g, определенная над полем Fq.
Установить справедливость следующих утверждений:
а) дзета-функция кривой X удовлетворяет функциональному урав-
уравнению
б) коэффициенты многочлена P(t) в представлепйи
P(t)
Z (Z ^
являются целыми рациональными числами;
в) если
то
6. Пусть X = Р™ — проективное ?г-мерное пространство над полем /",.
Исходя из определения дзета-функции, показать, что
Установить для Z (Pn, t) справедливость гипотез А. Вейля,
§ 1. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ II МНОГООБРАЗИЯ
213
7. Пусть Z {X, г) =
Д
— длета-функция неособого абсолют-
П(;о
3=1
ного многообразия X cz P'1 размерности г, определенного пад полем Fq.
Докаяать, что функциональное уравнение для Z(X, t) экниналептпо выпол-
выполнимости соотношений
8*. Многообразие X cz Vn, определенное над полем ко cz к, называется
линейным, если оно задается совокупностью линейных уравнений. Сово-
Совокупность всех m-мерных линейных многообразий Хт пространства Рпг оп-
определенных пад &о, называется многообразием Грассмапа и обозначается
Gm,n- Установить справедливость следующих утверждений:
я) многообразие Gm.n имеет размерность г = (т + 1) (п — т);
б) Gm п является абсолютным неособым многообразием;
в) если ка = Fq и к = Fq, то для числа N у рациональных над полем
F v точек многообразия <?,„,„ справедлива формула
где Рт,п — многочлен вида
,v —
Z. ~™«ц^_^—
дал—m+i
Г—1
г) Z (G , t) = ТТ д—, где целые числа Д2; определяются раз-
ГА (! _ qhf*
ложепием
,п22
д) числа B2i удовлетворяют соотношениям
и совпадают с числами Бетти соответствующего комплексного грассманова
многообразия,
О*. Установить рациональность дзета-функции Z(X, t) проективной ги-
гиперповерхности X, определенной над полем Fq уравнением
10. Пусть X сг Ап — гиперповерхность, определенная над Fq и N v —>
число ее ^ v- рациональных точек. Доказать справедливость следующих
утверждений:
а) коэффициенты ат ряда
v=l
являются неотрицательными целыми числами;

214 ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
б) при всех т = 1, 2, ... справедлива оценка
11*. Пусть р —простое число, Qp— поле />-адических чисел, К — конвч-
пое расширение поля Qp степени п и norm a — норма элемента aeif над
полем Qp. Положим
1 _t) (а\
(см. задачи 1—12 из § 5 гл. IV).
Образ поля К при отображении vv является подгруппой аддитивной
группы A/га) Z={iGQ|toe2} и представляется в виде A/е) Z, где
е — некоторое положительное целое число, делящее п. Число е называется
индексом ветвления поля К над Qp. Если е = 1, то говорят, что поле К —
неразветвленное расширение поля Qp. Если же с = п, то К называется
вполне разветвленным расширением поля Qp- Пусть 0р = {г е 7Г| ]х|р<:
s? 1} — локальное кольцо поля К и mp = {ieop| \x\p < 1} — максималь-
максимальный идеал этого кольца. Поле opjm.v является конечным расширением по-
поля Fp и называется полем вычетов для К. Степень ор/шр над Fp называет-
называется степенью поля вычетов.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Индекс ветвления е и степень s поля вычетов связаны соотношением
es = п.
(Указание. Пусть л — элемент поля К, для которого vv(n) = i/e,
ИХ],.,., Xg — такие элементы этого поля, что \xi\ v = 1 и их образы при ре-
редукции по _ mod Up образуют базис поля Up/Шр над Fv. Покажите, что эле-
элементы х<л}, l^i^s, 0 =g: / ^ е — 1 составляют базис поля К над Qp.)
б) Пусть А' —вполне разветвленное расширение поля Qp и я —такой
элемент поля К, что vr(n) = i/e. Тогда я является корнем многочлена
Эйеенштейна
}(х) = х" + ахх"-1 + ... + ае,
где д^2р,л; =0 (modp), I ^ i < е, и ае Ф 0 (modp2). Обратно, если а —
корень многочлена Эйзенштейна, то Qp(cc)— вполне разветвленное рас-
расширение поля Qp.
(Указание. Воспользоваться тем, что многочлен Эйзенштейна f{x)
пеприводим над Qp.)
в) Существует ровно одно неразветвленное расширение К, степени s по-
поля Qp, которое получается присоединением к полю Qp примитивного кор-
корня степени ps — 1 из i.
(Указание. Пусть J = xs + a~\Xs~^ +...-}- as — миннмальпый много-
многочлен порождающего элемента ц мультипликативной группы F*s пояя F
и / — многочлен из кольца Zp[x], редукция которого по modp приводит
к /. Показать, что многочлен / неприводим в Zp [x] и что корень г\ много-'
члена / порождает неразветвлепное расширение Ks = Qp (т|) степеня s
поля Qp. Показать, далее, что в поле К3 существует элемент а, для кото-
рого ар—1— l = 0.J
г) Если ? —расширение поля Qp степени п с индексом ветвления в
и степенью поля вычетов s, то К = К3(я*), где л* — корень некоторого мпо-
гочлена Эйзенштейна с коэффициентами из неразветвленного расшире-
расширения К„.
§ i. дзета-функции тгривых и многообразий
215
д) Если К — конечное расширение поля Qp степени п с индексом ветв-
ветвления е и степенью поля вычетов s, а я — такой элемент этого расширения,
что vp (я) = 1/е, то каждый элемент а, е К однозначно представим в виде
2
i=m
где ш = еи-р(а) и а? = ОС; при всех i~^ m.
е) Конечные неразветвленные расширения поля Qp исчерпываются все-
всеми расширениями, которые получаются присоединением к Qp корней из
1 степени, взаимно простой с р.
12*. Объединение всех конечных неразветвленных расширений ноля Qp
называется максимальным неразветвл-гнным расширением поля Qp и обоз-
обозначается Кпт. Кольцо
является локальным кольцом с максимальным идеалом
mnr = {гео«'| \x\v<i).
Поле оп'Мп' совпадает с алгебраическим замыканием FP поля FP. Каждый
элемент xeFp обладает единственным представителем х е о" (представи-
(представителем Тейхмюллера), который является корнем из 1 в о"г и редуцируется
в х (modm"). По этой причине кольцо опг называется поднятием поля Fp
в характеристику нуль или кольцом векторов Витта поля Fp.
Установить справедливость следующих утверждений:
а) алгебраическое замыкание ?5„ поля Q_ не полно относительно схо-
сходимости по ^-адической норме.
(Указание: Пусть at — примитивный корень из 1 степени р2—I в
поле Qp. Положить
aj ~ 2j aiP > aj S й '
и выбрать возрастающую последовательность целых чисел
0 = «о < п\ < л2 < ¦ ¦.
таким образом, чтобы последовательность {ctj} являлась фундаментальной,
но не сходилась ни к какому элементу а е Qp);
б) пополнение Пя поля Ор по р-адической норме | |р является пол-
полным алгебраически замкнутым полем;
в) множества Ор, Ор и Qp имеют одну и ту же мощность;
г) поле fip имеет несчетную степень трансцендентности над Qp (т. е.
Rp нельзя представить в виде алгебраического расширения поля, полученно-
полученного из Q_ присоединением счетного числа элементов at e Пр).
13. Пусть R — некоторое кольцо и if [[ж]] —кольцо формальных степен-
степенных рядов
i=0
от неременного х с коэффициентами из R. Ряд .{{х)
называется

216
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
сходящимся в точке го е Йр, если в поле Qp сходится последовательность
его частичных сумм
JV
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) ряд / (х) == ^ ai^ е &р UXU сходится в точке ха <= Qv тогда в
только тогда, когда
б) каждый ряд /,WeZp[[i]] сходится п круге [г]р < J, х^пр;
в) всякий ряд /(ж) е fij,[[r]], сходящийся в некотором круге \х\р < г,
представляет в нем непрерывную функцию;
г) ряд
сходится при \х\р < 1 и расходится при l^l^^l (папомшш, что|а|р =
Д) РЯД
i=0
сходится в круге \х\р <р-'/(»>-и и расходится в каждой точке ieQj, ле-
лежащей впс его;
с) в круге [х\р < р-1/(р-11 цметот место равенства
log ехр х = х, exp log A -J- х) = 1 + х;
ж) ряд
г=0
B/+1)!
% И*]]
сходится в круге |г|Р < p-'/tp-'),
14. Найти ошибку в следующем «доказательстве» иррациональности чис-
числа л. Пусть я = а/Ь и р — простое число, по делящее а. Тогда
О = sin (брл) = sin (ар) = V (— II
1=0
что невозможно.
§ 2. Число рациональных точек алгебраической кривой
над конечным полем
В этом параграфе дается доказательство теоремы А, сформу-
сформулированной в § 4 гл, I. Пусть X — неособая проективная кривая
рода g, определенная над конечным полем ко = Fq. Теорема А
является частным случаем следующего утверждения.
§ 2. ЧИСЛОFg-РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК КРИВОЙ 217
Теорема В. Для числа NqV рациональных над полем Fvb
точек кривой X справедлива оценка
Л>-^-1|<2^/2. A)
Доказательство теоремы В разобьем на два этапа. Вна-
Вначале установим справедливость оценки
B)
с некоторой достаточно большой константой с, а затем, восполь-
воспользовавшись аппаратом дзета-функций, развитым в предыдущем
параграфе, получим оценку A). _
1. Предварительная оценка. Пусть k = Fq — алгебраическое
замыкание поля ко = Fq. Метод, который мы применим для вы-
вывода неравенства B), состоит в построении отличной от нуля
функции f^k(X), имеющей пули достаточно высокого порядка
почти во всех F v- рациональных точках кривой X и обладающей
не слишком большим числом полюсов. Неравенство B) получа-
получается при этом в результате сравнения числа пулей и полюсов
рациональной функции / (см. комментарии к гл. I). Конструк-
Конструкцию функции / с указанными свойствами осуществим, следуя
Бомбьори [16Ь, с], с помощью теоремы Римана — Роха.
Заметим, что поскольку каждое расширение FqV, поля ко = Fq
также является полем определения кривой X, то без уменьше-
уменьшения общности можно считать, что q — р2т.
Лемма. Если q^p2' и qv > (g + 1) \ то
q
Доказательств о. Будем считать, что тта кривой X име-
имеется хотя бы одна F'qV - рациональная точка у (иначе нечего было
бы доказывать). Обозначим Rm линейное над полем к простран-
пространство функций f^k(X), регулярных вне у и имеющих в точке у
полюс порядка не выше т. Ото пространство обладает следую-
следующими свойствами (некоторые из них очевидны):
1) diff s? dimi?+ 1;
m — g + 1
) ft+i
2) если т> 2g — 2, то
dim* R
(см. следствие теоремы 8 из § б гл. IV);
3) если f(x) е Дт, то / (a:"v) e= R
mqV
) f() , mq
4) в пространстве Rm существует такой базис
vv(ft)< М/i-fi) пРи всех i = 1, 2, ..., s — 1.
Действительно, имеем
@) <= А; = До ^^1 ¦=...<=#-»
..., /., что

218
и тогда
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
m
= Ф
Ввиду свойства 1)
и, значит, указанный базис можно получить, если в /?< выбрать
(когда это возможно) элемент /;, не лежащий в Rt-\.
Пусть п, х — неотрицательные целые числа и щ, ..., и. —
некоторые элементы пространства Rn- Рассмотрим функцию
= и? (т) U
(х) U
и докажем следующее утверждение:
5) если npx<qt, то функция f равна нулю в к(Х) тогда и
только тогда, когда все ui, I ^ i ^ s, равны нулю.
В самом деле, предположим, что / = 0 и что г'о — первое зна-
значение г = 1, 2, ..., s, при котором UiФ 0. При всех х^Х имеем
и тогда по свойству 4)
р\ (щ) + зХ (/; ) > min
(Ji))
В таком случае
0
и, значит, функция що обращается в точке у в нуль. Поскольку
эта функция регулярна во всех остальных точках i^X, то
«i0 = 0, и мы приходим к противоречию, которое доказывает
.справедливость утверждения 5);
6) если m, n > 2g ~ 2 и
— g+l)(n —
— g+1,
то существуют отличные в совокупности от пуля элементы
щ, ..., us^Rn, для которых функция
uf(x)f1(x)+...+uf(x)fs(x)
тождественно равна нулю.
Действительно, рассматриваемая функция регулярна вне у п
имеет в точке у полюс порядка I < прх + т. Множество таких
функций образуют линейное пространство над к размерности п©
выше пр* + т — g+ 1 (см. свойство 2)). Поскольку каждая функ-
функция lit пробегает векторное пространство размерности п — g + 1
§ 2, ЧИСЛО Fg-РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК КРИВОЙ
219
и поскольку по свойству 2) s = m — g+1, то найдутся такие
щ, ..., us e /?„, не все равные нулю, для которых
uf(x)f1(x)+ ... +uf(x)ft{x) = 0
при всех jeX Утверждение 6) доказано.
Если х — рациональная над полем F v точка, то имеем xq = х
и, значит, при выполнении условий то, п > 2g — 2, пр* < gfv,
(т — g+ 1) (re — g+ 1)> прх + т — g + 1 существует отличная от
нуля функция f(x), обращающаяся в нуль в каждой F v- рацио-
рациональной точке х кривой X, отличной от у. Кроме того, посколь-
ку j имеет вид/=ф , то каждая такая точка является нулем
функции / кратности по меньшей мере рх. Таким образом, / имеет
по меньшей мере (N?v — 1) р нулей с учетом их кратностей.
С другой стороны, функция / регулярна вне у и имеет в точ-
точке у полюс порядка не выше прх + mq". Поскольку число1 нулей
функции / совпадает с числом ее полюсов, отсюда следует, что
при всех то, п, х, удовлетворяющих условиям т, п> 2g — 2,
прх < qv, (m — g+ 1) (п — g + 1)> nf + m — g + 1, справедливо
неравенство
Возьмем рх = q2, п = qvn - 1 и т — q + 2g. При gv
все указанные выше условия выполняются и тогда
(g + 1L
q
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству оценки B).
Теорема С. Если q = p'2r и q>c' — c'(X), to справедливо
соотношение
с константой в символе «О», пе зависящей от v.
Доказательство. Поле к(Х) содержит чисто трансцен-
трансцендентное подполе к (и) и является сепарабельным расширением
поля к(и). В таком случае существует нормальное расширение
поля к (и), которое нормально также и над к{Х) (см. [70d, гл. 8,
§ 1]). Геометрически ситуация может быть представлепа в виде
где X' -*- Р1 и X' -*¦ X — накрытия Галуа с группами Галуа G
и В, где Я — подгруппа группы G. Указанная ситуация реали-
реализуется, вообще говоря, над некоторым конечным расширением
поля F v Переходя в случае необходимости к такому расшире-
расширению, будем считать без уменьшения общности, что эта ситуация
реализуется над полем F^.

220
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНЛ
Пусть х — нераяветвлеипая относительно накрытия X' —у- Р1
рациональная над FqV точка проективной прямой Р1. Если х —
точка кривой X', лежащая над х, то для некоторого a^G имеем
представление
сф') = *'Л
называемое подстановкой Фробениуса элемента а. Обозначим g'
род кривой X' и через m — порядок элемента а. Отображение
а{х') переводит кривую X' в изоморфную ей над полем F mv
кривую Ха. Если N v (Х'а) — число F у-рациональных точек кри-
кривой Ха, то в соответствии с леммой имеем
iVgV(x;)<9v-M + B?' + lKv/2.
Кроме того,
где константа 0A) возникает от точек ветвления пакрытия
Х'-у Р1. Так как Л^(Р) = gv + 1, то
причем постоянная, входящая в символ «О», зависит лишь от
|G| и g. Далее, имеем
аея
и, б таком случае,
q' J- • \i /¦
Теорема докалапа.
2. Оценка А. Вейля. Перейдем к доказательству теоремы В.
В § 1 было показано, что дзета-функция Z(X, t) кривой X ро-
рода g, определенной над полем ко = Fq, имеет вид
где
— многочлен с целыми коэффициентами. Кроме того, там то бы-
было показано, что если
ТО
C)
§ 2. ЧИСЛО Fq -РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК КРИВОЙ
221
Покажем, что всё нули о^ * функций Z (X, t) лежат на окруж-
окружности \t\ = q~U2. Это равносильно тому, что все нули функции
%(Х, s) = 7j(X, t) лежат на прямой Res = 1/2. Из теоремы С
следует, что ряд
Z'(X, t)qi
Z(X,t) i — qt \ — t
абсолютно сходится в круге Ul < q~in. Значит, функция Z(X, t)
не имеет нулей при ]t\ < q~V2. В силу функционального уравне-
уравнения она не имеет нулей и при Ui > q~u2. В таком случае, все
нули функции Z(Z, t) лежат па окружности \t\ — q~U2 и, следо-
вательно,
(,
W2
Из соотношения C) имеем
и, стало быть,
Теорема В доказана.
)
при всех i => 1, 2, ..., 2g.
Задачи
1. Пусть X — кривая рода g, определенная над полем Fq и пусть N v —
число F у-рациональных точек этот'т кривой. Показать, что JV^, N 2,...,JV g
однозначно определяют Л' v для всех v~^ g + i.
2. Пусть х — мультипликативный характер и г|з — аддитивный харак-
характер поля Fq. Доказать, что для числа N v решений системы уравнений
y'=f{x), zi — z =
9
- 2
имеет место равенство
в элементах х, у,
3. Доказать, что если /, g — многочлены из кольца Fq[x] степеней I, n
соответственно и (s, I) = (n, q) = 1, то уравнения
y' = f(x), z" — z = g(x) s
определяют абсолютную кривую в аффинном пространстве А над по-
полем к = Fq.
/i. Пусть / = /1t.,.//— разложение мпогочлена feFq[x] степени I
на неприводимые множители и лусть т = deg (ft--.fr). Пусть, далее, fe
е Fq [х] -- многочлен степени п п % —нетривиальный мультипликативный
характер показателя s, if — нетривиальный аддитивный характер поля ,Fq.
Доказать, что если (I, я) = (я, q) = 1, то имеет место оценка
2! xv (/(*)) V* (*

222
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
(Указание. Воспользоваться результатами двух предыдущих задач,
результатами § 3 гл. I и теоремой 13.)
5*. Пусть ХсА" — кривая, определенная над полем F« системой уравч
нений
где fh ..., /„ — многочлены степени не выше т. Пусть, далее, I = {.?i, ...
..., sn} — наименьшее общее кратное чисел s , s» и s = si... sB,
Доказать справедливость следующих утверждений:
ft) Если si | q ~ 1 при всех i = 1, 2, ..., п и % — мультипликативный ха-
характер поля Fд порядка 7, то для числа Л", рациональных над Fq точек кри-
кривой X имеет место формула
V-2-
б) Если к = Fq m [к(Х) : к(х)] = s, то для всякого ненулевого набора
(к, . -., in) многочлен
не является J-й степенью в кольце к [х].
в) Если [к(Х) :к(х}] = s и f > 100Pm2rc2, то для величины jV9 справед-
справедлива оценка
\
{Указание. Показать, что число Лг, решений системы уравнений
в элементах х, yi,
равно числу решений системы
где Sj = (sj> Ч — i)i I < i =^ «I и воспользоваться результатами двух преды-
предыдущих пунктов, а также результатом задачи 10 из § 4 гл. I.)
6. Пусть р > 2— простое число и» — фиксированное целое положитель-
положительное число. Доказать, что для числа Nn элементов х <= Fr, удовлетворяющих
условию
справедлива асимптотическая формула
(Указание. Рассмотреть кривую X с А™, задаваемую над Fp систе-
системой уравнений
и воспользоваться результатом предыдущей задачи.)
§ 2. ЧИСЛО ^-РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК КРИВОЙ
223
7. Пусть р — простое число. Отождествим поле F? с числами 0, -1, ...
..., р — 1 и рассмотрим множество F™ нйборов х = (Х|, ..., хп), 0 ^ Х{ < р.
Для двух наборов а= (аь ..., ап) и 6 = FЬ ..., Ь„), удовлетворяющих
условию 0 ^ flj < 6( < р, 1 ^ i ^ в, положим
Пусть V — некоторое подмножество в Z7^ и TV' — число элементов х е V,
представимых в виде х = у — у', у, /ей, и засчитываемых столько раз,
сколько имеется таких представлений. Обозначим (и, г) = uiZi + ...
... + unzn — скалярное произведение наборов и = (и^, ..., ип) е F™ и z =
Доказать справедливость соотношения
2 2
ая!1
же У jr.v'eB
8*. Пусть /i(^), ..., /, (х) — многочлены из кольца Fp[xu ..., хп], V —
множество решений системы
в элементах г=
2Л1-
Пусть, далее, В = В@, Ь) и |Л| —число элементов множества А с i^.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Для числа N' йлементов х €= V, представимых в виде х = у — J/ ,
г/5 у' е j?, и засчитываемых с соответствующими кратностями (см. преды-
предыдущую задачу) имеет место неравенство
\B\i~p-\B\
б) Если i^Fp[x\, ..., хп], то
гдеР(т, г) =f,/,(x) +... + f./,W+/(a:).
в) Пусть многочлены /ь ..., fs удовлетворяют условиям:
(I) 2^deg/i^ те, l<i^s;
(II) система уравнений /i = ... = /л = 0 определяет аосолютное мно-
многообразие в аффинном пространстве Апнад полем FP;
(III) для всех достаточно больших р и всех ненулевых наборов
it , ...,ts)<=Fs старшая форма ц>(х) многочлена t[fi(x) + ... + tsf,{x) оп-
определяет неособое проектированное многообразие Хс F ,
Тогда
S(V) ^ [т. — 1)™р^2.

224
ГЛ. V. ГИПОТЕЗА РИМАНА
(Указание. Воспочьаоваться соотношением из предыдущего пункта
и для каждого ненулевого набора (tlt..., ts) ^F^применить оценку Делиня
¦ F(x.t)
2Я1
e V
Где Р(Х, t) = hh(x) +... + tsf,{x)
г) Если Л'—число решений в элементах
системы уравнений
=0,
представимых в виде х = у — у\ у, j'eB= @, &), то при любом ё > 0,
Р > ро(&) и при условии, что
\В\ > A + е) [т — 1)"р'+«'*,
выполняется неравенство .V З5 1.
(Указание. Воспользоваться результатами д. а), в), оценкой Вей-
ля — Ленга, а также тем, что N > 0 при Лг' > 0.)
9*. {Май ер с он |Т8])- Пусть многочлены /i, ..., /s s Fp[ir, - ¦¦¦, xn\.
удовлетворяют условиям (I) — (Ш) п. в) предыдущей задачи и пусть при
любом е > 0 и р > ро(к) выполнено соотношение
П
l
Н) >A + е) B« - 2)V+n/2.
где 0 ^ at < bi < p, 1 <g i ^: п. Доказать, что система уравнений
имеет решение х = (х^ ..., хп) е Z7", для которого с; ^ х{ < Ь,- при всех
i — 1, 2, ..., га. В частности, существует решение х — (х\, ..., х„)_ указанной
системы с условием 0 sg xi ^ 2A + еI/и(т — l)ps/7>+1'2, I <g i ^ и. -
(Указание: Пусть с= (ci, ..., с)—«центр» параллелепипеда Н =
= #(я, ?)), где с; — наибольшее целое, не превосходящее (tf* + &()/2. По-
Показать, что
5 - с --= {г е Fl | г = г/ - с, у €= fij
содержит множество всех наборов х е F^J, представимых в виде х =
— У — у', где у, у' е iS't0, b') и \В'\^ 2~п\В\. Далее, покааать, что система
f'1(x)=...=f's(z) = 0,
1'ле
удовлетворяет условиям (I) — (III) задачи 8 и применить к ней результат
п. г) задачи 8).
10. Пусть f(x, у) ¦— абсолютно неприводимый многочлен степени т > 1
с коэффициентами из поля Fp. Доказать, что если при любом е > 0 и р >
> ро(в) выполпепо условие
(Ь - a) (d - с) > A + е) Bт - 2) V", „',,-
где 0 ;=: а <Ъ < р и0^Кй<р, то уравнение f(x, у) = 0 имеет решение
§ 2. ЧИСЛО Гв-РАЦИОНАЛЪНЫХ ТОЧЕК КРИВОЙ
225
{х, у) е F*, для которого
asgx<&, с ^у <d.
В частности, существует решение (х, у) этого уравнения с условием
0 < К 2A + гУ'\т - i)pw, 0 е: у < 2A + е)>/2(га- 1)р8/4.
(Указание. Воспользоваться схемой решения задач 8, 9 и оценкой
Бомбьери
f(x.v)Q
справедливой (см. ?17, лемма 4]) для каждого ненулевого набора
15 с. А. Степанов

ГЛАВА VI
ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА КРИВЫХ
И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
§ 1. Целые точки на алгебраических кривых
1. Уравнение Туэ. Множество рациональных точек на кривых
рода g = 0 и g=i, определенных над Q, может быть как конеч-
конечным, так и бесконечным (на кривых рода g = 0 это множество
либо пусто, либо бесконечно). Примером кривых рода g ¦= 1 с ко-
конечным числом рациональных точек служат кривые у2 = х3 -Ь \
и хъ + уг = 1. С другой сторопы, кривые у2 = х3 + 3 (см. задачу 2
из § 2 гл. III) и xs + y3 = 6 (см. [43], с. 340) имеют бесконеч-
бесконечное число рациональных точек.
Положение в корне меняется, если рассмотреть кривые рода
g>i, определенные над полем Q. Доказанная в 1983 г. Фал-
тингсом [125] гипотеза Морделла утверждает, что на
всякой такой кривой лежит лишь конечное число точек с коорди-
координатами из Q. На самом деле Фалтингс установил значительно
более сильный результат, а именно, что каждая кривая рода
g > 1, определенная над конечным расширением К поля Q, име-
имеет лишь конечное число точек с координатами из всякого конеч-
конечного расширения L поля К (с историей вопроса и основпыми
идеями этого доказательства читатель может познакомиться по
дополнению к русскому переводу книги Ленга [70h], написан-
написанному Ю. Г. Зархиным и А. Н. Паршиным). Отметим, что дока-
доказательство Фалтингса гипотезы Морделла существенно исполь-
использует идеи и результаты более ранних работ И. Р. Шафаревича
[144а], Дж. Тейта [120а, Ъ], А. Н. Паршина [95а, Ь, с],
С. 10. Аракелова [4а, Ь] и 10. Г. Зархина [53а, Ь].
Из результата Фалтингса следует, например, что кривая Ферма
хп + уп*=1
при п 5= 4 имеет лишь конечное число не только рациональпых
точек, но также и точек с координатами из любого фиксирован-
фиксированного конечного расширения поля Q- В частности, при всяком
п >4 уравнение
xn + yn = zn A)
имеет лишь конечное число решений в целых взаимно простых
числах х, у и z. Более того, из результата Фалтингса легко сле-
следует [135], что предположение Ферма о том, что при п 5= 3 урав-
уравнение A) не разрешимо в отличных от нуля целых х, J и г,
$ i., ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
227
справедливо для «почти всех» показателей п (отношение N(t)/t,
где N(t) — число тех п ^ t, для которых теорема Ферма не верна,
¦стремится к пулю при t-*¦ °о).
Для вывода этого утверждения воспользуемся тем, что пред-
предположение Ферма достаточно доказать для всех простых чисел
р > 2. Согласно результату Фалтингса для каждого р > 2 урав-
уравнение хр + ур — zp имеет лишь конечное число решений (х, у, z)
во взаимно простых целых х, у, г. Обозначим эти решения
(xh г/i, zt), I s? i < v(p), и положим
Я(/))= max \\
Если и, v, w — взаимно простые целые числа, удовлетворяющие
условию u"v + vsp = w'v, uvw Ф 0, где s 531— целое число, то
(us, v\ w") = (Xi, yi, 2*) при некотором i, i^i^v(p), и тогда
\uviv\s --? В(р). Учитывая неравенство luuwl^2, приходим к
оценке s^H(p), и заключаем отсюда, что предположение Ферма
справедливо для всех показателей ге = 0 (modp) таких, что
п>РН(р).
Покажем теперь, что N(t)^Et для любого е >0 и для всех
i 5^ to (г). Для этого выберем т = т(е) таким образом, что
П
И ПОЛОЖИМ
4= П Р, г = г(в)= max pH(p).
Воспользовавшись решетом Эратосфена, получаем (см. задачу 18
из § 2 гл. I)
eZ|r<rt<i, («, 7) =
«, (n, ?) =
= '¦
dig
П (l-
если только isSfo(e). Следовательно, N(t) = o(t) при t-»-00.
Доказательство указанного выше результата Фалтингса тре-
требует привлечения алгебро-геометрического аппарата, далеко вы-
выходящего за рамки данной книги, и поэтому мы ограничимся
рассмотрением более простого вопроса о конечности числа целых
точек на кривой рода #3= 1.
Первый общий результат в задаче о числе целых точек на
кривой рода g > 1 был получен в 1909 г. А. Туэ [122], устано-
15*

228 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
вившим конечность множества целочисленных решений носящего
теперь его имя уравнения
{x, г/)= т,
B)
где / <= Z [х, у] — неприводимая форма степени п Э^ 3 и т — от-
отличное от нуля целое число. Доказательство Туэ указанного ре-
результата основано на том факте, что алгебраические числа пе
могут слишком хорошо приближаться рациональными числами.
Это свойство алгебраических чисел впервые было обнаружено
Лиувиллем [75], который показал, что для заданного алгебраи-
алгебраического числа а степени п > 3 и для любых взаимно простых
целых чисел р и q > 0 выполняется неравенство
\a-p/q\ >cjqn,
где с — положительная константа, зависящая лишь от а. Туэ
значительно усилил оценку Лиувилля, доказав, что при произ-
произвольном е>0и v = —
2 i 1 + s справедливо неравенство
la — plq\ > c'/gv
C)
с некоторой постоянной с' > О, зависящей лишь от а и е (см.
задачу 4).
Вывод результата Туэ о конечности множества целочисленных
решений уравнения B) из оценки C) весьма прост. Действи-
Действительно, пусть
и (х, у) ~ целочисленное решение уравнения B) с достаточно
большим значением \у\. Вез уменьшения общности будем счи-
считать, что у > 0 и что
<... <«„_-=.
Имеем
и тогда
К1П
at —
| m
yn
\ai~xly\
Последнее неравенство при достаточно большом у противоречит
неравенству C), и полученное противоречие показывает, что
уравпепие B) может иметь лишь конечное число решений в це-
целых числах х и у. Заметим, что постоянная с' в оценке C)
не эффективна. Это связано с тем, что метод Туэ позволяет
§ 1. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ 229
установить лишь конечность числа решений неравенства
\a-p/g\<llq\
по не дает возможности указать границу для самих решепий
(р, q) этого неравенства. Поэтому результат Туэ устанавливает
лишь конечность множества целочисленных решений уравнения
B), но пе приводит к явной границе для самих этих решений.
Аналогичным недостатком обладает и указанный выше резуль-
результат Фалтингса.
Иной, но также неэффективный метод исследования целочис-
целочисленных решений уравпепия B), при дополнительном условии,
что многочлен j{%, 1) имеет хотя бы один комплексный корень,
был позже предложен Сколемом [112а]. Этот метод основан на
редукции вопроса о количестве целочисленных решений уравне-
уравнения Туэ B), рассматриваемого как норменное уравнепие
/ (х, у) — norm (x — ay) — m
для неполного модуля {х — ау) в поле алгебраических чисел К
степени п > 3, к задаче об исследовании целых р-адических ре-
решений (ui, ¦ ¦ •, иТ) системы показательных уравнений
tr
= 0,
D)
где р — некоторый простой идеал поля разложения многочлена
1{х, 1), at — фиксированные элементы этого поля и ?i, ..., ?г —
осповпьте единицы поля К. При этом бесконечность множества
целочисленных решений уравнения B) равносильна бесконечно-
бесконечности множества решений системы D) в целых числах щ, ..., иг,
и идея метода состоит в том, что в некоторых случаях удается
установить конечность числа решений системы D) не только
в целых рациональных, но даже в целых J-адических числах
Mi, .... иг. Реализация этой идеи сводится к следующему. Вкла-
Вкладываем % в кольцо целых у-адичестсих чисел Z^ и рассматрива-
рассматриваем систему D) как локально-аналитическое многообразие над
"Zf- Из предположения о бесконечности множества целочислен-
целочисленных решений системы D) и из компактности кольца 2^ выте-
вытекает, что на локальном многообразии, задаваемом системой D),
должна лежать некоторая аналитическая кривая. Тем самым
вопрос о конечности множества целочисленных решений уравне-
уравнения B) оказывается равносильным более простому вопросу о не-
неразрешимости системы показательных уравнений в формальных
степенных рядах.
С подробным изложением методов Туэ и Сколема читатель
может познакомиться по книгам [127d, гл. 4, 19, гл. 4] (см. так-
также .задачи 4 и 13). Явные верхпие границы для числа решений
уравнений B) в целых взаимно простых х и у, зависящие лишь

230
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
от т и п, но не зависящие от коэффициентов формы /, были по-
получены в работах [18, 111а и 149].
В 1952 г. А. О. Гельфонд [31а, с. 219—220] указал, что ре-
результат Туэ может быть эффиктивизирован, если только удастся
получить достаточно хорошие нижние оценки для модуля линей-
линейных форм
Ln~ x\ log осг+ ... + хп bg <х„
от логарифмов алгебраических чисел ai, ..., <х„ с коэффициента-
коэффициентами х1У ,..,ineZ. Такие оценки были получены в 1966 г. А. Бей-
кором [10а, см. также 10е] и привели к яттой границе
тах(Ы, \у\)^со\т\в E)
для всех целочисленных решений (х, у) уравнений B) с эффек-
эффективно вычислимыми но заданной форме / постоянными Cq и 9.
В свою очередь оценка E) позволила получить (см. [127Ъ])
эффективное степенное усиление
\a-plq\ >с(«
неравенства Лиувилля (см. также [127е, гл. 11 и 127d, гл. 9]).
Аналогичный эффективный анализ целочисленных решений
(х, у, zi, ..., zs), z, 53 0, ..., zB > 0, допускает и более общее урав-
уравнение Туэ — Малера
f(x,y) = mpl1 ... pl\ F)
где р\, ..., р, — фиксированные простые числа (см. [115с, гл. 5]),
что приводит к явной границе для решений уравнения Туэ B)
в квазицелых числах х и у (рациональных числах, знаменатели
которых делятся лишь на простые числа из заданного множе-
множества S = ipi, ..., р,}.
Все указанные результаты, касающиеся уравнений B), F),
без труда переносятся на конечные расширения К поля Q (см.
[115с, гл. 5]).
2. Суперэллиптические уравнения. Другой класс неопределен-
неопределенных уравнений, допускающих эффективный анализ, составляют
суперэллиптические уравнения
*' = /(*), G)
где s > 2 и /eZM — многочлен степени п Э^ 3.
Простейшим уравнением такого типа, имеющим собственную
глубокую историю (см. [89/]), является эллиптическое уратшение
Конечность множества целочисленных решений этого уравнения
впервые была установлена Морделлом [89а], связавшим эти ре-
решения с целочисленными решениями конечного числа кубиче-
§ 1. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
231
ских уравнений вида B) и воспользовавшимся затем результа-
результатом Туэ. Явная граница
тах(|ж|, Ы ) < exp A0101 & I104}
для целочисленных решений (х, у) уравнения (8) была впервые
получена А. Бейкером [10с], а затем усилена Старком [116Ь]
тах(Ы, !^i)<exp(c(e)|/cl1+e),
где е>0 — произвольное число, а с(е) — эффективно определя-
определяется по е, и В. Г. Спринджуком [115с]
тах(Ы, Ы)<ехрЫА:|Aод(|&|+1)N},
Где а — эффективно вычислимая абсолютная постоянная (см.
также [64]). Тем не менее многие естественные вопросы, свя-
связанные с уравнением (8), остаются невыясненными до сих пор.
В частности, неизвестно, для каких к это уравнение разрешимо
в целых или рациональных х и у.
Явная граница для целых точек на произвольной эллиптиче-
эллиптической кривой была указана А. Бейкером и Коутесом [11].
Первый шаг в исследовании целочисленных решений гипер-
эллиптического уравнения
/ = /(х) (9)
был сделан Зигелем [54с], доказавшим их конечность в предпо-
предположении, что многочлен f(x) имеет по меньшей мере три про-
простых корня сс|, «2 и аз- Идея Зигсля заключалась в сведении
уравнения (9) к конечному числу уравнений Туэ вида
над фиксированным конечным расширением К поля Q (а1( а2, а3)
и в установлении конечности множества решений этих уравнений
Туэ в целых числах поля К. При доказательстве последнего фак-
факта Зигель дал обобщение метода Туэ и, в частности, распростра-
распространил его результат о рациональных приближениях на случай
аппроксимации алгебраических чисел алгебраическими же чис-
числами из фиксированного конечного расширения поля Q.
Эффективный анализ уравнения A0), проведенный А. Бейке-
Бейкером [10d], позволил ему указать для целочисленных решений
(z> У) уравнения (9) явную границу
тах(Ы, |г/|)<ехрехрехр(п1011Я), A1)
где и — степень и Н — высота многочлена f.(x) (см. также [10е]).
Аналогичным образом была получена (см. [10!d]) оценка
max (| х |, 1 у | )< exp exp exp
A2)
для целочисленных решений (х, у) суперэллиптического уравне-
уравнения G). Неравенства A1), A2) позже были существенно уси-
усилены В. Г. Спринджуком [115а, Ь] (см. также [115с]).

232 ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
С другими эффективными результатами в теории диофанто-
вых уравнений читатель может познакомиться по книге Тайде-
мана и Шори [147].
3. Целые точки па кривых рода ?5= 1. В 1929 г. Зигель [54а]
установил общий результат о конечности числа целых точек на
кривой рода g > 1. Рассуждения Зигеля основывались на следу-
следующих фундаментальных фактах: во-первых, па полученном им
самим усилении и обобщении (см, [54а]) теоремы Туэ о рацио-
рациональной аппроксимации алгебраических чисел на случай при-
приближения их алгебраическими числами из фиксированного поля
и, во-вторых, на известном результате А. Вейля [23а] (см. также
[70h, гл. 6]) о конечности ранга группы рациональных точек
на кривой рода g^i, обобщающий соответствующий результат
Морделла для случая эллиптических кривых (при g > 1 элемен-
элементами этой группы являются пе сами рациональные точки, а не-
некоторые их наборы).
Заметим, что оба эти факта неэффективны и что без их эф-
фективизацип метод Зигеля не в состоянии привести к явным
границам для координат целых точек на рассматриваемых кривых.
В случае кривых рода 1 результат Зигеля был распространен
Малером [79а] на квазицелые точки (координаты которых явля-
являются кпазицелыми числами относительно некоторого заданного
множсстпа S = (pi, ..., р3) простых чисел р\, ..., ря).
Широкое обобщение результатов Зигеля и Малера было дано
Ленгом [70Ь] (см. также [70h, гл. 8]) и Левеком [68Ь], пока-
показавшими, что на всякой кривой X рода g > 1, определенной над
конечным расширением К поля Qi имеется лишь конечное число
квазицелых К-рационалъных точек (точек с координатами из К,
знаменатели которых делятся лишь на простые дивизоры из за-
дапного конечного множества 5 = {рь ..., рЛ. Назовем этот об-
общий результат теоремой Зигеля — Малера и заметим, что он так-
также неэффективен, как и исходный результат Зигеля.
Несколько позже будет приведено доказательство теоремы
Янгеля— Малера, предложенное А. Робинсоном и Рокеттом [105]
и основанное на использовании методов нестандартной арифме-
арифметики. По сравнению с ранее известными доказательствами оно
обладает тем преимуществом, что пе требует привлечения неэф-
неэффективного результата А. Вейля о конечности рапга /С-рацио-
нальпых точек на кривой. Тем самым неэффективность теоремы
Зигеля — Малера остается связанной лишь с использованием в ее
доказательстве неэффективных результатов, касающихся аппрок-
аппроксимации алгебраических чисел алгебраическими числами из за-
заданного конечного расширения поля Q. Другим преимуществом
этого доказательства является то, что оно с предельной ясностью
раскрывает идейную сторону метода Зигеля.
В заключение параграфа заметим, что в основе построения
нестандартной арифметики, которая будет использована нами при
§ 1. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
233
доказательстве теоремы Зигеля — Малера, лежат методы мате-
математической логики. Применение таких методов в арифметических
вопросах далеко не единичное явление. Подтверждением тому
служит новое решение 17-й проблемы Гильберта о представимо-
представимости всякой положительно определенной над К или над Q рацио-
рациональной функции f(xh ..., х„) суммой квадратов рациональных
функций, данное А. Робинсоном [104а] с помощью методов не-
нестандартного анализа и существенно отличающееся от первона-
первоначального ее решения, предложенного Артипом [5Ь]. Другим при-
примером плодотворности методов математической логики в арифме-
арифметических задачах является доказательство справедливости (для
всех достаточно больших простых р) гипотезы Артипа (см. [19,
с. 68]) о нетривиальной />-адической представимости нуля задан-
заданной /ьадической формой степени m от п < тп? переменных {[2],
[50а, Ь]). Еще одним примером можот служить работа [155], по-
посвященная конструктивным аспектам теоремы неприводимости
Гильберта. Результатом такого слияния алгебры, теории чисел
и алгебраической геометрии с математической логикой явилось
создание нового направления в математике — теории псевдо-ал-
гебраически замкнутых полей (см. [129]).
Задачи
1. Степенью degа алгебраического числа а пазывается степень мини-
минимального многочлена ?eZ[i] этого числа (многочлена наименьшей по-
положительной степени со взаимно простыми коэффициентами, корнем кото-
которого является а). Если старший коэффициент многочлена Р(х) равен 1,
то а называется целым алгебраическим числом.
Пусть а—алгебраическое число степени п :> 2, Р(х) = аахп +
+ aixn~l + . • • + ап — минимальный многочлен числа а. и к12), ..., а(г1) —
его сопряженные к поле С. Доказать, что для всех взаимно простых" це-
целых р и q > 0 выполняется неравенство {неравенство Лиувилля)
\a-plq\ >c!q»,
где
(Указание. Рассмотреть отличное от нуля целое число
m = <РР (p/q) = qna0 (p/q - a) f[ {plq - a«)
1=2
и воспользоваться тем, что |m| 5= 1-)
2. Пусть 1, ось ..., am — вещественные алгебраические числа, хц. х±, ...
..., хт — целые числа иХ= шах \хЛ. Доказать, что если степень алгеб-
раического числа
а = 20 -Н«)»1 -I- ¦ • ¦ 4- хтатф О
равна п, то справедливо неравенство

234
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
где с'= t-'(oti, ..., On) —положительная эффективно вычислимая по-
постоянная.
(Указание. Воспользоваться тем. что норма целого алгебраического
числа а.сс, as Z, удовлетворяет неравенству |norm (aa) | Js 1).
3. Обобщение теоремы Л и у в и л л я. Пусть т < п — положи-
положительные целые числа и oci, ..., сс.„, — вещественные алгебраические числа,
причем 1, «1, ..., От — линейно независимы над полем Q и степень поля
Q («j, ..., ат) пад Q равпа п. Доказать, что существует такая эффективно
вычислимая постоянная с" = c"(ah ..., ат) > 0, что при всех взаимно про-
простых целых р\, . ,., рт и q > 0 выполняется неравенство
max Ic^ — р/д\^-с"/д~п/т.
(Указание. Положить
с" = mm
6m
где с' — эффективная константа из предыдущей задачи, и предположить,
что
!«i — Pilq\ < c"q~n'm
для всех i = 1, 2,..., т. Положить затем X •¦= [2<?1/mJ + 1 и с помощью прин-
принципа «ящиков Дирихле» установить существование отличпых в совокупно-
совокупности от нуля целых чисел хо, х\, ..., х,п, не превосходящих по абсолютной
величине X и таких, что
При отличном от нуля целом
а — xaq + xipi + .. . + Хтрт
прийти к противоречию с неравенством \а\ ^ 1, а при я = 0 — с оценкой
+ . . . + XmV-rn I > с'Х1-'1
из предыдущей задачи.)
4*. (Туэ [122], Н. И. Фельдман [127сГ|). Высотой Н(/) и длиной
L(f) многочлена
назовем величины
U (/) = max | аг I, i (/) =
а высотой Н(а) и длиной L(a) алгебраического числа а — высоту и длину
минимального многочлопа этого числа. Пусть а — целое алгебраическое чис-
п
ло степени п ^ 3, е — произвольное положительное число HV = y + l + e.
Пусть, далее, m — положительное целое число, 0 < 6 < га/2 и
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Существует эффективная постоянная А = А (а, б) > 0; отличные в
совокупности от нуля целые afj, 0 sg i < М, 0 ^ / г=: п — 1, пе превосходя-
превосходящие по абсолютной величине Ат и многочлены /1 SeZ [x], heZ[xt a]
¦ § I. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
235
с условиями deg / s? m + М, (leg g ^ m + -W, deg k z^M, L(f) < Лт, L{g) ^
^.Am такие, что
M /n-i
a/ (x) - z(x) = [x- a)m 2 ?
i=0\j=0
(Указание. Выбрать отличные в совокупности от нуля целые ai}
такими,' чтобы выполнялось неравенство
max
где В = В (а, 6) — эффективная постоянная, и чтобы коэффициенты мно-
многочлена
m+М п—1 / М «—I
(х - «ГА (*, а) = 2 2 S S
а=о г=о Vi=o i =o
при всех произведениях хна\ 0^/с<т + М, 2 < Z < ге — 1, обращались
в нуль. Для этого нетривиальным образом разрешить в целых ац(\ац\ sg:
^ Вт) систему из г = (п — 2) (т + М + 1) целочисленных линейных урав-
уравнений
i=0 j=0
относительно s = п(М + 1) > г неизвестных а*;.)
б) Если а, т — неотрицательные, р и q > 0 — взаимно простые целые
числа и
: 2 I*],
где Д g — многочлены из п. а), то среди чисел
Po-.x(piq), 0^ с, т < [2m6+n — 1]
имеется хотя бы одно отличное от нуля.
(Указание. Воспользоваться соотношениями
a,i-g={x- a)mh, a/' — g'=(x- a)™-^*
: установить, что
I/ 8 !
I/'
= Рт~^,
где f" — минимальный мпогочлеп числа аи Q <=T\x\ — отличный от нуля
многочлен степени не выше 2mfi — n — 2, Далее, воспользоваться формулой
Лейбница для производной от произведения и показать, что
р(и) _ у
Наконец, предположив, что Pa.x(pl'l) — 0 Для всех а> т = 0, 1, ...
..., [2т8 + п — 1], прийти к противоречию с тем, что (?(з)^0.)
в) Если \q<x — p\ < 1, 0 ^ s =g [2m6 + n —1] и (в обозначениях п. а))
)-1, b, =
то
\b,\

236
ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
\ава— Ь,\ ^ DmqM\ga — p\m-2nli-" + \
где С, В — эффективные положительные постоянные, зависящие лишь от
а и б.
г) Существуют такие эффективные положительные константы до и ш,
зависящие лишь от а и е, что если неравенство
\а-р/д\ <q-v
разрешимо в целых кааимно простых р = Pi и q =
шимо в целых взаимно простых р = р2 и д = ?2 >
(Указание. Взять
> д0, то оно не разре-
разрео) = B + (п — I) (п f 2e)) D + 2е)е-'
и предположить, вопреки утверждению, что pi/qi и p^lqi— решения нера-
неравенства \а — plq\ < q~v. Затем, воспользовавшись результатом п. б), найти
целые Со, То, 0 ^ с0, т0 ^ [2т8 + п — 1], для которых •fWto(j»1/91)=?tO, и вы-
вывести отсюда, что хотя бы одно из целых чисел
отлично от яуля. Наконец, обозначив s соответствующее из чисел со, То и
воспользовавшись результатом предыдущего пункта, показать, что
где
log2
Jog 2
1
Затем прийти к противоречию с неравенством
\а,р2— bsq2\ > 1.)
д) Неравенство
имеет лишь конечное число решений в целых взаимно простых числах р
и q > 0.
(Указание. Воспольноваться результатом предыдущего пункта.)
е) 'Георема Туэ. Если а' — алгебраическое число степени п J5= 3, то
неравенство
имеет лишь конечное число решений в целых взаимно простых р и q > 0.
(Указание. Воспользоваться тем, что если Q'(x)= box" + Ъ\хп~х-\-...
...+ bn — минимальный многочлен числа а', то а = 60а' — целое алгебраи-
алгебраическое число. Затем применить к а результат предыдущего пункта.)
5. Пусть/ е Z [х, у]— неприводимая форма степени п^Зи #е Z [х, у]—
п
произвольный многочлен степени т< тг-— 1. Доказать, что уравнение
f{x, у) = e{Xt у)
имеет лишь копечное число решений в целых числах х и у.
6. Пусть sisZ и /eZ[i,!(]— форма степени п ^ 2, обладающая свой-
свойством, что среди корней многочлена /(г, 1) нет вещественных. Вывести эф-
§ 1. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
237
¦фсктивную верхнюю границу для модулей целочисленных решений х и у
уравнения
f(x, у) = т.
7. Доказать справедливость следующего обобщения теоремы
Т у о. Пусть f <= Z [х, у] — форма степени п ^ 3, причем
а, р, 6eZ, и
где а, Ь, с, (JeZ, Ь >>4ас и ге = 2й. Тогда при любом целом m Ф 0 урав-
уравнение
![х, у) = га
ег лишь конечное число решений в целых числах х и у.
(Указание. Разложить /(х, у) на неприводимые в кольце Z [х, у]
множители
и рассмотреть следующие возможные случаи:
1) / = d{ax2 + Ъху + су2)''2, б2 < 4йс;
2) среди неприводимых форм /;eZ |>, г/] есть:
а) формы степени п' ^ 3;
б) две непропорциональные линейные формы ах + $у и а'х + ^'г/;
в) две непропорциональные формы второй степени
ах2 + Ъху + су2 и а'з? + Ь'ху + c'y2;
г) линейная форма ах + $у и форма второй степени ож2 + Ьху +
8. Пусть m <Ф 0 — целое число и
{*, г/) = %
Восиользовавшисъ результатом задачи 7, показать, что если среди чисел
osi, On есть три различных, то уравнение
/(г, у) = m
имеет лишь конечное число решений х, у е Z,
9*. Пусть Лига — отличные от нуля целые числа. Доказать, что для
каждого целого п ^ 3 уравнение
х2 — к = туп
имеет лишь конечное число решепий в целых числах х и у.
(Указание. Если у к = I e Z и (х, у)—целочисленное решение
уравнения
х2 — к = туп,
то, исходя из соотношения
{х + 1)(х-1) = ту»,
установить, чю
где А и В — целые числа, все простые делители которых входят в

238 гл- "V*1- ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
каноническое разложение числа 21т. Вывести отсюда, что
x-\-l = aun, x — l = bvn, u,ve=Z,
где целые а и Ь принимают лишь конечное число значений для всех' рас-
рассматриваемых решений (х, у). Затем, воспользовавшись результатом зада-
задачи 8, показать, что при любых фиксированных а и Ъ уравпоние
аип — bvn = 21
имеет лить конечное число решепий в целых и и и.
Если ~yk=:Q ф.2. и (х, у) —целочисленное решение уравнения
а? _ ft = туп,
то, переходя в равенстве
(х+в)(х — в) == туп
к целым дивизорам квадратичного поля К= Q F), получить соотношения
где а и а' деляг B0т)г'~1, Затем, воспользовавшись существованием такого»
целого дивизора с, что ic = (а) и 7Vc^co(9), где Л'с — норма дивизора с
и со > 0 — эффективная константа (см. [19, с. 246]), прийти к равенствам
г + е = (A + BQ)(u + vQ)", х — 0 = D— BQ)(u-vQ)n,
где ?Л, gJ9, и, dsZ aj= (№)" —положительное целое число. Показать,
что для всех целочисленных решений {х, у) уравнения
xs~ к = тдя
рациональные числа А, В принимают лишь конечное число значений. Исклю-
Исключив из полученных равенств х, получить конечное число уравнений
(а + 66) (и + yQ)n - (a — Ьд) (и — v6)n_
О
и установить, что их левые части представляют собой формы от и, v сте-
степени п с коэффициентами из Z. Показать, что при Ь = 0 каждое целочис-
целочисленное решение (u, v) любого из этих уравнений удовлетворяет условию
| v | sg: 2q. Доказать, наконец, что при Ъ ф 0 многочлен
P(z) = (а + 66) (z + G)" — (а - 66) B - 0)"
не имеет кратных корней, и воспользовавшись результатом предыдущей за-
задачи показать, что каждое из указанных уравнений имеет лишь конечное
число решений в целых и и v).
10. Доказать, что если а а т — отличные от нуля целые числа, то при
всяком целом га ^ 3 уравнение
ахг-\- Ъх + с — туп
имеет лишь конечное число решений в целых числах х и у.
{Указание. Предположив существование целочисленного решения
(х, у) рассматриваемого уравнения, свести задачу к исследованию целочис-
целочисленных решений уравнения х' —к = т'уп).
11. Доказать справедливость следующего результата Полна
[97Ь]: если а, 6, с — целые числа и а <Ф 0, Ь2 — 4ас <Ф 0, то наибольший про-
простой делитель P[f(x)] значений многочлена f(x) = ах2 + Ьх + с при це-
целых х стремится к бесконечности вместе с х.
{Указание. Предположить, что для бесконечной последовательно-
p
сти целочисленных значений х выполняется равенство/ (х)=±
V
§ 1. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
239
где /¦:, ..., ря — фиксированные простые числа, и прийти к противоречию с
результатом предыдущей задачи).
12. Пусть m, n — заданные целые положительные числа и пф 2". До-
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Уравнение
хп + Уп = ™^z
имеет лишь конечное число решений в положительных взаимно простых
числах х, jeZ, простых числах р и целых числах %.
(Указание. Ограничиться рассмотрением случая, когда п — нечет-
нечетное простое число. Предположив, что решений (х, yt p, z) бесконечно много,
и воспользовавшись разложением
х* + Уп = {х + У) (х"~[ — хп^у + ...- ху"-* + (/"-'),
показать, что
n— 1
- хп~2у
Затем, положив v = min (zi, z2) и рассмотрев сравнения
х + у = 0 (modр"), х"-1 — хп'2у + ... —хуп~2 + уп~1 = 0 {modpv),
прийти к противоречию с тем, что
пфО (modpv)
для достаточно большого модуля pv.)
б) Если р фиксированное простое число, то уравнение
х" + уп = mpz
имеет лишь конечное число решений в целых х, у, z с условием (х, у) = 1,
13*. Пусть ai, ..., an, Яь ..., %п — алгебраические числа, причем ни од-
одно из отношений ai/Kj при i ф j не является корнем из 1, и К = Q (av . . .
. ,.,otn, Хд, ... Хпу Пусть, далее, р — нечетное простое число, не делящее
ни одно из чисел a.t; р—простой дииизор поля К, делящий р; \ \ — оп-
определяемая этим дивизором })-адическая норма поля К; К — пополнение
полп К по норме I L; Qp— алгебраическое замыкание поля р-адических
чисел Qp и Йр — пополнение поля Qp по р-адической норме | |р. Поле
К содержит Qp и имеет над ним конечную степень. Следовательно, поле
К у изоморфно вкладывается в Qv и порма | L совпадает с нормой | \р,
индуцированной этим вложением (см. задачи 11.—13 из § 1 гл. V), Ис-
Используя локальный метод Сколсма, доказать, что показательное уравнение
имеет лишь конечное число решепий в целых числах х.
(Указание. Пусть $е — максимальная степень простого дивизора t>,
Делящая р, и N = (Ny)e— (Щ)*-1, где JV. — норма дивизора у. Тогда для
любого а е К, взаимно простого с >, aw = 1 (mod У), и значит, la* — 1]р <
< р~К Позтому определои р-адический логарифм logaN числа aN и для всех
(eSj с условием \t\T ^ 1 определена />-адическая функция
aNi — exp(ilogaN).
Предположить, что уравнение

240 !ГЛ- VI- ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
имеет бесконечно много решений в целых х и, полагая х = .Vt + j/, 0 sjr у <
< Л', переписать его в виде
где f*i = ^iai и Pt= аг • При заданном ^ рассмотреть левую часть послед-
последнего уравнения как аналитическую функцию от переменного t e пр, имею-
имеющую по предположению бесконечное число нулей в круге 111 р г? 1. Пока-
Показать, что при указанных ограничениях на а4 эта функция не равна тож-
тождественно нулю, и прийти к противоречию с тем, что отличная от нуля р-
адичеекая аналитическая функция не может иметь в ограниченном круге
бесконечно много нулей.)
§ 2. Алгебраические системы и модели
Данный и последующий параграфы включены в книгу лишь
ради полноты изложения и предназначаются читателю, но знако-
знакомому с нестандартным анализом. В них разъясняются основные
принципы нестандартного подхода в математике и приводятся
результаты, которые в дальнейшем будут использованы при не-
нестандартном доказательстве теоремы Зигеля — Малера. Основу
этого доказательства составляет факт существования нестандарт-
нестандартного расширения *К заданного поля алгебраических чисел К.
Чтобы не слишком загромождать идейную сторону, ограничимся
построением нестандартных расширений *1М и *К, соответствен-
соответственно, множества неотрицательных целых чисел ОМ и поля действи-
действительных чисел 0?. Для построения нестандартного расширения
*К поля алгебраических чисел К достаточно внести необходи-
необходимые изменения в используемом при этом формальном языке L.
Нестандартный анализ берет свое начало от юношеской мечты
Лейбница о построении универсального исчисления, охватываю-
охватывающего все разделы классической математики. В частности, Лейб-
Лейбниц предполагал, что система действительных чисел (R может
быть расширена до некоторой новой системы *.Я, содержащей
в себе бесконечно малые величины и обладающей тем свойством,
что она наследует истинность всех утверждений, справедливых
К. При этом он трактовал бесконечно малые величины не как
функции, стремящиеся к нулю, а как «идеальные числа», обла-
обладающие теми же свойствами, что и конечные числа (см. [69,
с. 166, 192]). Однако, в такой широкой формулировке принцип
Лейбница приводит к явным противоречиям. Например, при пе-
переходе от К к *К нарушается аксиома Архимеда {для
каждого же К существует такое ие'М, что х<п). Действи-
Действительно, если е >0 — бесконечно малое число, то для всех пеЫ-
должны иметь пг < 1 или, что то же самое, б > п. Аналогичным
образом, при расширении И? до *R нарушается свойство полной
упорядоченности и аксиома полноты множества С? (см. зада-
задачу 3). Стало быть, всякое расширение поля действительных чи- ¦
сел R, содержащее бесконечно малые величины, с необходи-
необходимостью должно быть неархимедовым (см. задачи 2, 8).
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
24 f
Само по себе построение собственного неархимедова расшире-
расширения поля действительных чисел К, содержащего некоторые бес-
бесконечно малые величины, не представляет особого труда. При-
Примером такого расширения является поле рациональных функций
О? (е) от некоторого бесконечно малого элемента е (см. задачу 8),
Однако поле [R (е) обладает одним весьма существенным недо-
недостатком — оно содержит слишком мало функций, наследующих
определенные свойства класса всех функций действительного
переменного х. Следовательно, поле R (е) менее всего подходит
на роль расширения *R, которое «наследует истинность всех ут-
утверждений, справедливых в К»- Действительно, чтобы макси-
максимальным образом обеспечить выполнимость последнего условия,
нужно иметь такое неархимедово расширение *,? поля iR, при
котором каждая функция /: К ->• К допускает некоторое естест-
естественное продолжение до функции */: *С-ч —>- *К, сохраняющей
определенные свойства исходной функции /.
Построение расширения *S поля действительных чисел К
обладающего всеми необходимыми свойствами, впервые было осу-
осуществлено А. Робинсоном [104Ь] в 1961 г. В результате этого
построения (почти 300 лет спустя) принцип Лейбница получил,
наконец, строгую математическую формулировку. Построенное
А. Робинсоном неархимедово расширение *К ноля [R стало на-
называться нестандартным расширением этого поля (или полем
гипердействительных чисел). а возникшее при этом новое на-
направление в математике, базирующееся на понятиях и методах
математической логики, получило название «нестандартный
анализ».
Основу нестандартного анализа составляет теория моделей
(изучающая связь между формальными языками и алгебраиче-
алгебраическими системами) и, в частности, теорема компактности
А. И. Мальцева (см. п. 5).
При этом весьма существенными являются следующие два
обстоятельства:
1) все утверждения классического анализа выразимы в фор-
формальном языке математической логики;
2) подавляющее большинство утверждений математического
анализа выразимо в логике первого порядка (см. заключитель-
заключительную часть данного параграфа).
Ввиду теоремы компактности Мальцева все утверждения
обычного математического анализа, выразимые в логике первого
порядка, остаются справедливыми ы в псархимодовом расшире-
расширении *0? поля К. Однако распространение с К на *0? предложе-
предложений, выразимых в логиках высших порядков (таких как свой-
свойство полной упорядоченности или аксиома полноты), связано с
весьма значительными трудностями. Чтобы преодолеть их, А. Ро-
Робинсон предложил для формального анализа предложений в язы-
языке высшего порядка использовать язык первого порядка (не до-
16 с. А. Степанов

.242
ГЛ. "VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
пускаются кванторы Ух и Зу, а допускаются только ограничен-
ограниченные кванторы, например, VieK и Зг/eN). При таком
подходе свойства поля R, выразимые в логике первого порядка,
переносятся на *К без изменений, а свойства, выразимые в ло-
логике высших порядков, переносятся па *iR с тем ограничением,
что преобразованные кванторы V и 3 действуют лишь на так
называемых внутренних множествах. Это привело к следующему
уточнению принципа Лейбница: существует неархимедово
расширение *К поля действительных чисел iR, содержащее в се-
себе бесконечно малые элементы и обладающее теми же свойства-
свойствами, выразимыми в формальном языке математической логики, что
и исходное поле Ы- Поскольку среди действительных чисел нет
бесконечно малых, из этого уточнения принципа Лейбница сле-
следует, что свойство быть бесконечно малым не может быть выра-
выражено в формальном языке математической логики, или, как бу-
будем говорить в дальнейшем, множество бесконечно малых
элементов является внешним подмножеством *К. Следует под-
подчеркнуть, что в сформулированном только что принципе речь
идет лишь о сохранении формального смысла предложений. Со-
Содержательный смысл высказываний при переходе от 1R к *0?
может существенно измениться. Например, аксиома Архимеда
«для каждого геК существует такое п <= IN, что х<п» пре-
преобразуется в высказывание «для каждого х е *R существует
такое гее *М, что х<п», которое уже не будет аксиомой Архи-
Архимеда для *К, а означает просто, что для каждого элемента
я^ *\R найдется превосходящее его гипернатуральное число
ве*М. Поэтому при перенесении высказываний с поля К на
*К нужна особая осторожность.
Поле 3?* вполне оправдывает свое название, поскольку оно
устроено весьма нестандартно. Оно содержит множество гипер-
гипернатуральных чисел
и является упорядоченным неархимедо-
вым полем (см. задачи 9—16). Множество *F={xe=*iR\ \х\<
<С п для некоторого neii) конечных элементов поля *К,
где Ы =тах(а:, —х), является подкольцом этого доля, содержа-
содержащим в себе К, а множество */ = [х е *0? | х = 0 или х 1 е=
e*J? — *F) бесконечно малых элементов поля *R является
максимальным идеалом кольца *F. Поле действительных чисел
О? изоморфпо факторкольцу *F/*I, так что каждое действитель-
действительное число х входит в *iR (при отождествлении К с *Fj*I) вме-
вместе с целым классом х + *1 бесконечно близких к нему чисел,
называемым (из уважения к Лейбницу) монадой числа х. При
этом монады различных действительных чисел х и у пе пересе-
пересекаются между собой. Таким образом, при микроскопическом
рассмотрении гипердействительной прямой *R оказывает-
оказывается, что наряду с каждой точкой isK эта прямая содер-
содержит целый (бесконечный) класс бесконечно близких к ней
точек.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
243
Ознакомившись со строением «в малом», посмотрим на его
строение «в большом». Назовем два гипердействительных числа
х ж у эквивалентными, если их разность х — у есть конечное чис-
число. Это отношение эквивалентности разбивает множество гаиер-
действителышх чисел *iR па непересекающиеся классы, которые
естественно назвать галактиками. Каждая галактика представля-
представляет собой объединение бесконечного числа монад. Одну из галак-
галактик (которую естественно назвать нашей) составляют конечные
гипердействительные числа *F. Каждая из галактик расположена
на гипердействительной прямой *\R целиком по одну сторону от
другой. Между любыми двумя галактиками находится третья
(а значит, бесконечно много других галактик). Среди галактик
нет ни «самой левой», ни «самой правой» (если галактика G со-
содержит х, & со е *S? — *F — бесконечно большое положительное
число, то х + со лежит в галактике, расположенной правее G,
ai-(ii лежит в галактике, расположенной левее G).
С более детальным обсуждением необычайной структуры ги-
гипердействительной прямой *К читатель может познакомиться
по книге В. А. Успенского [124].
Построение нестандартного расширения *R ноля [R наиболее
естественно, по-видимому, проводить на основе теоремы компакт-
компактности А. И. Мальцева. В данной книге предпочтение отдается
другому пути, базирующемуся на понятии улътрапраизведсния
(см. [113а, гл. 3]) и требующему самых минимальных сведений
из математической логики. Опущенные в изложении детали чи-
читатель может восстановить либо самостоятельно, либо по кни-
книге [40Ь].
1. Суперструктуры. При построении нестандартного расшире-
расширения поля К удобно использовать тот факт, что все математиче-
математические объекты и отношения между ними могут быть истолкованы
па языке теории множеств. Перечислим, не вдаваясь в подроб-
подробности, основные понятия этой теории, которые нам потребуются
в дальнейшем (существование всех рассматриваемых множеств
гарантировано принимаемой неявно расширенной системой аксиом
Цермело — Френкеля ZFC; см. [113b, гл. 1 и 51, гл. 2]).
Пустое множество 0 является единственным множеством, не
содержащим элементов. Мы будем (ради удобства) рассматри-
рассматривать также и другие объекты, не содержащие элементов (а зна-
значит, не являющиеся множествами). Эти объекты (см. ниже) на-
называются индивидами.
Для любого множества X совокупность его подмножеств
назовем множеством-степенью множества X. Упорядоченный
набор объектов х\, ..., хп в дальнейшем будем обозначать
(хи ..., хпУ. Для любых двух множеств X и Y определим их
16*

244 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЙ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
декартово произведение X X У как
?, »е«
и положим
Конечное множество, состоящее из элементов х\, ..., х„, обозна-
обозначим {х\, ..., хп).
Если Д <= XX У, то R называется отношением (в случав X=Y
оно называется отношением па X). Иногда вместо <х, j)eS
употребляется запись R(x, у). Под областью определения D(R)
отношения R понимается множество всех х таких, что R(x, у)
для некоторого у. Если / <= X X У — отношение и для каждого
j;ej существует в точности один элемент г/ *= У такой, что
<.х, уУ е f: то / называется отображением множества X в У, или
функцией с областью определения X и значепиями в У. При этом
элемент у еГ обозначаем /(ж). Если Z <= X, то полагаем
ж называем f{Z) образом множества Z при отображении /. При
/(Х)=У отображение / называется отображением X на Y; если
же f(x) = f(y) влечет х = у, то / называется взаимно однознач-
однозначным отображением.
Если / отображает X71 в У, то / называется функцией от п
аргументов (или п-местной функцией) с областью определения
Хп и значениями в У (обозначение: /(xi, ..., жп)).
Введем теперь понятие предиката, т. е. фупкции R(x\, ..., хп),
значениями которой являются высказывания об упорядоченных
наборах <?[, ..., Хп>- Для этого рассмотрим «особое» двухэле-
двухэлементное множество У = {0, 1}, где 1— истина, а 0 — ложь, и оп-
определим на нем операции конъюнкции Д,' дизъюнкции V, им-
импликации => и отрицания ~| обычным образом:
Vi
1
1
0
0
Ул
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
. 1
0
0
1
1
Функцию i?(a:i, ..., хп), определенную на множестве Хп со
значениями в У = {0, 1), назовем п-местным предикатом на Хп.
С теоретико-множественной точки зрения предикат определяется
заданием множества R <= Хп. При этом R (xi, .,., хп) понимается
как высказывание: упорядоченный набор <?i, ..., хпУ принад-
принадлежит R. В соответствии с этим вместо R {х\, ..., х„) часто
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
245
употребляется запись <хи ..., 1,>ей. Предикат R(xu ,,., хп)
при п = 1 называется свойством, а при и > 1 — отношением.
С исчислением предикатов читатель может познакомиться по
книге [93Ь]. Простейшим примером предиката является обыч-
обычное отношение < на множестве положительных целых чисел;
имеем
A<2) = 1, C<2) = 0, A<2) Д C<2) = 0,
A<2)VC<2)=1
Символ = будем рассматривать как символ двухместного пре-
предиката, определенного на любом множестве.
Всюду в дальнейшем IN обозначает множество неотрицатель-
неотрицательных целых чисел. Иногда область определения функции назы-
называется индексным множеством и вместо функции говорится об
индексированном семействе. Следовательно, индексированное
семейство с индексным множеством / — это отображение X с
областью определения /. В этом случае для каждого i e / вме-
вместо X(i) пишем Xi, а само индексированное семейство обозна-
обозначаем {Xili^I}. Если индексным множеством является IN, то
индексированное семейство называется последовательностью.
Если {Xili^I}—индексированное семейство множеств, то
и хи
iex
обозначают соответственно объединение, пересечение и декар-
декартово произведение семейства.
Определение 1. Пусть I — некоторое непустое множе-
множество. Тогда F<=P{I) называется фильтром на /, если
1) X^F, Y<=P(I) и Хс У влечет Fef;
2) X, Y&F влечет Xf\YsF;
3) 0<?F, I*sF.
Из условия 2) следует, что пересечение любого конечного
числа элементов фильтра также принадлежит фильтру.
Пример 1. Пусть Х<=1 и Х?=0. Тогда семейство
является фильтром на /.
Определение 2. Фильтр F на / называется ультрафиль-
ультрафильтром, если из включения F с F', где F' — также фильтр на /,
следует F — F'.
Пример 2. Пусть X — {х} для некоторого ie/. Тогда се-
семейство
является ультрафильтром (называемым тривиальным).
Справедливо следующее утверждение, являющееся слабой
формой аксиомы выбора (см. [ИЗЬ, гл. 2]).

246 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Предложение 1. Если F' — фильтр на I, то существует-
ультрафильтр F на I такой, что F' a F.
Определение 3. Пусть F — ультрафильтр на /. Положим
= \iF (X)
1, если le/1
О, если ХфР,
и назовем отображение \к множества РA) в мпожество {0, 1}
мерой, порожденной ультрафильтром F.
Очевидно, что ц@) = О, ц(/)=1ичто ]x(Xi U ... U Х„) = О,.
если }i(Xi) = 0 для каждого i = l, 2, ..., п.
Нестандартный иодход к решению задач начинается с выбо-
выбора подходящего множества индивидов S. Так, множество S мо-
может быть множеством действительных чисел, множеством точек
топологического пространства, множеством элементов поля алгеб-
алгебраических чисел К и так далее. По техническим причинам по-
полезно считать, что объекты из S не являются множествами, т. е.
если #<= S, то утверждение у <= х ложно и Р(х) = 0.
Пусть S — некоторое множество индивидов. Расширим S до
такого множества, которое включало бы в себя все множества,
необходимые для изучения S. Для этого определим сначала
иерархию
So = S, Sn+1 = Sn[jP(Sn), в е IN.
Затем положим
S= U Sn
и назовем S суперструктурой с индивидами ?._Каждый элемент
из S называется индивидом суперструктуры S, а каждый эле-
элемент разности S — S — множеством в 5. Заметим, что 0 <= S, так
что 0 s S.
Определение 4. Множество X^S называется транзитив-
транзитивным в S (или просто транзитивным), если для любого ге!
либо ге5, либо х<= X.
Транзитивность X в S эквивалентна тому, что из х е X — S
и у ^ х следует у с: X. Нетрудно видеть, что каждое множество
Sn транзитивно в S. Суперструктура S обладает также следую-
следующими свойствами:
1) если X, Y^S — S и f — отображение X в Y, то f^S^
f(x)^S для каждого х^Х и f(Z)e=S для каждого Z<=-X\
2)' если I, Y^S — S и Xt^Y для каждого i^It то
U
iei
iei
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
247
2. Стандартный и нестандартный универсумы. Пусть S — не-
некоторое множество индивидов. Основой для дальнейшего будет
«лужить понятие универсума.
Определение 5. Подмножество U множества S называ-
называется универсумом с индивидами S, если
1) 0еР;
2) 5сР;
3) если х, у ^U, то {х, у) ^ U;
4) U транзитивно в S.
Из сказанного в предыдущем пункте легко следует, что су-
суперструктура S является универсумом с индивидами S.
Пусть х, у е S. Если существует единственное ге5, для ко-
которого (у, z) е х, то положим х \ у = z; в противном случае
положим х\у=0. Операция \ обладает следующими свой-
свойствами:
1) если f — функция с областью определения D(f) и у е
J
2) х \ у е S для всех х, y<^S.
Далее, транзитивность универсума U приводит к следующе-
следующему свойству замкнутости: если х, у еР, то (х, 1/>еР и
Суперструктуру S назовем стандартным универсумом. Пока-
Покажем как можно построить другой универсум (называемый не-
нестандартным универсумом), индивиды которого включают S и
чьи свойства тесно связаны со свойствами S, Для этой цели вы-
выберем некоторое непустое индексное множество / и рассмотрим
меру \i, порожденную ультрафильтром F на /. Скажем, что не-
некоторое свойство выполняется для почти всех i s It если множе-
множество элементов i, для которых оно истинно, имеет меру 1. В котт-
струкции, которая будет предложена, используются функции /,
отображающие / в 5. Положим /* = /(&) и для каждого «eN
обозначим Vn множество таких /, что /* е Sn для почти всех ief,
Далее, положим V = (J Vn и заметим, что имеется естествеп-
ное вложение^ стандартного упиверсума U = S в V, при котором
элемент f^S отождествляется с «постоянной» функцией, такой
что U = / для всех г е /. Если /, g е 70 и ft = g{ для почти всех
je/, то будем писать / ~ g. Легко видеть, что отношение «~»
является отношением эквивалентности на V (и, в частности,
на Vo).
Для каждого /е70 положим
и обозначим
)
множество непересекающихся между собой классов эквивалент-

248
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
ности, на которые разбивается отношением «~* множество Fo..
В силу естественного вложения S в V можно отождествить каж-
каждый элемент х^ S с соответствующим элементом х е W. Таким
образом, можно считать, что S <=- W,
Определим теперь универсум *U с индивидами W, который
назовем нестандартным универсумом. Для этого построим сна-
сначала суперструктуру W;
Wo = W, Wn+l =Wn[jP(Wn), » e= N, W =
а затем каждому элементу / e Vn сопоставим некоторый элемент
/ s Wn. Множество таких элементов / обозначим *U, и для их
определения воспользуемся индукцией по п. Элемент / был уже-
определен для каждого / ^ Vo, причем таким образом, что / s
eF = Wo, Пусть f определен для каждого /eF,, n 5? О, таким
образом, что j^Wn. Тогда для f^Vn+i — Vn положим / =
= Шё ^Уп и gi^fi для почти всех_г = /}. В силу предположе-
предположения имеем g e Wn для каждого g е= /, и тогда / <= И7,,. В таком
случае, J^Wn+\ и, тем самым, получаем индуктивное опреде-
определение элементов / е Wn для всех га е IN с условием, что / е У„
влечет / s Wn. Положим, наконец,
и назовем *U нестандартным универсумом, соответствующим
U = S. Важно отметить, что *U зависит пе только от U, но так-
также от индексного множества / и ультрафильтра F. Несколько
позже увидим, что *U на самом деле является универсумом. ^
При естественном вложении 5сУ каждому элементу f^S
соответствует элемент J^*U. Элементы /, для которых f^Sr
называются стандартными элементами *U. Остальные элементы
универсума *U (если они существуют) называются нестандарт-
нестандартными элементами. В частности, стандартными индивидами явля-
являются в точности элементы множества S, а нестандартными инди-
индивидами — элементы разности W ~ S.
Легко видеть, что если /, g^V и h{ = {/,-, gj для каждого-
i^I, то h^V и h = {/, g). Более того, *U транзитивно в W и,
в таком случае, множество *U является универсумом с инди-
индивидами W.
Нетрудно убедиться, что если /, g e V, то:
\) f^g тогда и только тогда, когда fi^gi для почти всех
%) f = g тогда и только тогда, когда /* = ?. для почти всех
iI
Кроме того, если NF, то:
3) h = </, ?> в том и только в том случае, когда hi
для почти всех is /.
<fit
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
249
и hi =
для почти всех
то:
Наконец, если /, g^
4) Ле= V и h = f\g.
3. Алгебраические системы. Для каждого универсума U по-
построим теперь язык Lrr, который необходим для формулировок
утверждений, касающихся U.
Основу каждого языка составляют логические связки Д (и)',
V (или),  (не), =*¦ (влечет), ^=^ (если и только если), символ
равенства =, кванторы V (для всех), 3 (существует), а также
бесконечная последовательность переменных х, у, %, ... и круг-
круглые скобки ( ), необходимые для однозначного прочтения
формул.
Кроме этих логических символов можно ввести множество L
функциональных, предикатных и константных символов. Напри-
Например, язык L = {+, 0} абелевых групп содержит функциональный
символ + и константный символ 0; язык L = {е} теории мно-
множеств содержит лишь предикатный символ е и не имеет функ-
функциональных и константных символов.
Каждому функциональному символу / ^ L и каждому преди-
предикатному символу Л е L поставим в соответствие неотрицательное
:целое число # (/) и #(Д). Если пг = #(/), то / называется
тп.-местным функциональным символом; если п = #(й), то R
называется п-местным предикатным символом. Например, имеем
#(+) = # (<=)=* 2.
Если дан язык L, то имеется естественное понятие алгебраи-
алгебраической системы для языка L. Под алгебраической системой 271
понимается непустая совокупность объектов М, которая явля-
является областью действия кванторов, вместе с интерпретацией
основных предикатных, функциональных и константных сим-
"волов из L.
Определение 7. Алгебраической системой для языка L
называется пара 2R = (М, 6), где М — непустое множество и Э —
•отображение с областью определения L (будем писать х' вместо
€(ж)) такое, что:
1) если R^L — re-местный предикатный символ, то R' <= Мп;
2) если /eL — re-местный функциональный символ, то
f: M«^M;
3) если с е L — константный символ, то с' е М.
Константный символ с, соответствующий объекту с', назовем
.именем объекта с'. Обычно будем опускать штрих у /, R, с,
и применять слегка путающую практику использования одной
и той же буквы для обозначения символов языка L и их интер-
интерпретаций в М.
Пример 3. Алгебраическая система © = <G, +, 0>, где G —
некоторое непустое множество, является абелевой группой.
Пример 4. Алгебраическая система 91 = <М, +, -,0,1>,
тде IN — множество неотрицательных целых чисел, а • суть опе-
операция умножения, называется арифметикой.

250 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Обратимся к синтаксическим понятиям языка L. Всякая ко-
конечная последовательность, элементами которой являются основ-
основные символы языка L, называются выражениями. Из множе-
множества выражений выделим те, которым можно придать смысл.
Определение 7. Термы языка L есть HaHMienbinee множе-
множество выражений, содержащее переменные х, у, z, ..., все кон-
константные символы и замкнутое относительно следующего пра-
правила образования: если tu ..„ tn—термы языка L и если
/s L — и-местный функциональный символ, то выражение-
f(t], ..., tn) также является термом. Терм, не содержащий пере-
переменных, называется замкнутым термом.
Например, выражения
(х + у), (х + 0), ((х + у) + 0)
являются термами языка L = {+, 0).
Если в L нет функциональных символов, то правило образо-
образования бессодержательно и множество термов состоит только из;
переменных и константных символов.
Определение 8. Атомная формула языка L — это выра-
выражение одного из следующих двух типов:
(t1=ta) и R(tu ..., fB),
где ti, ..., tn — термы языка L, a
ный предикатный символ.
Например, выражения
— произвольный ге-мест-
являются атомными формулами языка ? = {ег}. В языке L =
= {+, 0} абедевых групп предикатных символов нет и поэтому
атомпыми формулами являются лишь утверждения о равенства
термов, например, выражения
(x + y = z), (x+y = y + x), (x + y)+z = x+(y + z).
Определение 9. Формулы первого порядка языка L есть»
наименьшее множество выражений, содержащее атомпые фор-
формулы и замкнутое относительно следующего правила обра-
образования:
1) если ф и 1|5 — формулы, то выражения
также являются формулами;
2) если ф — формула и х — переменная, то Eх) ср и (\fx) cp>
также являются формулами.
Например, выражения
(* + */ = 0), (By (х + у = 0)), (Уж (Зу (х + у = 0)))
являются формулами языка L = {+, 0} абелевых групп.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
251
Определение 10. Множество -F(cp) свободных переменных
«формулы ф определяется следующим образом:
1) если ф — атомная формула, то F((p) есть в точности мно-
множество'переменных, входящих в ср;
2) F(-]v) = F(y):
3) /-(ф А яр) = f (Ф V *) = /Чф=^) = ^(Ф) U/¦(*);
4) FCxq>) = !''(Ущ) = 7'т(ср) — {х).
Например, в формуле (х + у = 0) обе переменные х и у —
свободные; в формуле (Бу(х + у = 0)) свободной переменной
является лишь х; в формуле (VzCy(x + у = 0))) свободных
переменных вообще нет.
Определение 11. Формулы, по содержащие свободных пе-
переменных, называются высказываниями в L.
Например, формула
представляет собой высказывание «X есть множество», а фор-
формула (X есть множество) Д (Y ость множество) Д (Vx^Y)(x^
¦е X) представляет собой высказывание «F есть подмно-
подмножество X».
До сих ггор термы, формулы и высказывания в L являлись
конечными совокупностями символов. Чтобы придать высказы-
высказываниям определенный смысл (задать семантику для языка L),
•свяжем их с алгебраическими системами при помощи отношения
выполнимости 9И1= ф.
Пусть №¦= <М, •> — алгебраическая система для языка L.
Интерпретацией в 24 назовем функцию s с областью определе-
определения, равной множеству переменных языка L, и областью значе-
значений, равной некоторому подмножеству из М. Будем понимать s
как приписывание значения s (x) переменной х. Значит, для
каждого тзрма t языка L можно определить функцию t', отобра-
отображающую интерпретации s на элементы множества М.
Определение 12. Пусть Ш — алгебраическая система. Для
•терма t языка L определим t' следующим образом:
1) если t — константный символ с, то t'(s) = c' для всех s;
2) если t переменная х, то t'(s) — s(x) для всех s;
¦ 3) если t — терм f(t\, ..., ?„), то
для всех s.
Пример 5. Пусть L — {+, -, 0, 1} — язык колец и t — x2 +
+ 2х + 1 — терм этого языка. Тогда t' для любого кольца 9? есть
-функция из L в Ш. Если s(x) = a, то t' (s) = a? + 2a + 1.
Li последующем определении мы используем символ >>\х) для
обозначения интерпретации s', которая совпадает с s, за исклю-
исключением s'(x) = a.

252
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Определение 13. Пусть ffl^<M, •> — алгебраическая си-
система для языка L. Для всех интерпретаций s и всех формул
ф определим отношение
(читается: формула <р истинна в 24 при интерпретации s) сле-
следующим образом:
1) Ш f=(?i = h) [s] равносильно t\ (s) = i'2 (.?);
2) Ш1= R (tu ..., tn) [s] равносильно (t[ (.<?), ...,t'n (s)) <= Я';
3) SC? (=: [ ф [s] равносильно тому, что неверно SJt F ф [s];
4) 2Й 1= (ф Д -ф) [si равносильно ЗЛ Р ф [s] ЗИ Р t []
) ( [ ф [s] равносильно тому, что неверно SJt F ф [
4) 2Й 1= (ф Д -ф) [si равносильно ЗЛ Р ф [s] тг ЗИ Р it [s];
5) «ОТ Р (ф V ф) [s] равносильно 2ЯР[] 2ЯР\|ф];
5) «ОТ Р (ф V ф) [s] равносильно 2S Р ф [s] или JOT P ф [s];
6) *ОТР(ф=> if) [s] равносильно тому, что или не выполняется'
-фЫ, или ЭДРфИ;
7) ЭК р (Э^ф) И равносильно существованию а^М такого,
что
¦ 1= ф s
I равносильно тому, что для всех
8) 5Й{
имеет место
Заметим, что в 1) знак = использован в двух различных
смыслах, а именно, в качестве действительного равенства t\{s) =
= t2 (s) и в качестве символа для равенства в формуле (?i = ^) •
Такое неоднозначное использование знака = не должно приве-
привести к недоразумениям.
Нетрудно видеть, что справедливость 571Р ф [s] зависит толь-
только от значений s(x) для переменных, которые действительно-
свободны в ф. Это означает, что если s (х) = s' (x) для всех х,
свободных в ф, то ЗЯРф^] тогда и только тогда, когда ЯРф^'].
Таким образом, если ф = ф(^[, ..., хп) и ai=s(xi), ..., ап =
= s(xn), то вместо ЗИРф[я] можно без смущения писать ЖР
Рф(Я], ..., яя). Точно так же, если ф — высказывание, то истин-
истинность или ложность Ж Р ф [s] совершенно не зависит от s. По-
Поэтому будем писать
для ка-
ка(читается: Ш1 является моделью для ф), если
кой-либо интерпретации s.
Определение 14. Алгебраическая система WI является:
моделью множества высказываний Ф, если Ш Р ф для всех ф^ф.
Если даны две алгебраические системы ЗЯ и Э1 для языка Lr.
то они называются элементарно эквивалентными (записывается:
Ш^Ш), в том и только в том случае, если ЗЭТРф равносильно»
91 Рф для всех высказываний ф языка L. В случае изоморфизма
ЗИ ^ Ж имеем Ш = 31.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
253:
В заключение параграфа дадим краткое описание спектра
логик, используемых в математических теориях. Задание логики
равносильно заданию синтаксиса и семантики языка L. Пусть
Ш=>(М, •>—алгебраическая система для языка L. Логика пер-
первого порядка является самой слабой логикой, в которой, в част-
частности, кванторы V и 3 всегда действуют только на элементах
мпошества М. Логика второго порядка разрешает одпому из кван-
кванторов действовать на подмножествах множества М и на функ-
функциях F, отображающих, скажем, MX М в М. Логика третьего*
порядка разрешает использовать кванторы по множествам функ-
функций и т. д. Слабая логика второго порядка разрешает использо-
использовать кванторы по конечным подмножествам множества М и по
натуральным числам.
Выразительная сила языка логики первого порядка достаточ-
достаточно велика и имеются всякие основания рассматривать логику
первого порядка в качестве основного языка математики (соглас-
(согласно тезису Гильберта вся классическая математика выразима в
логике первого порядка; см. [113а, гл. 1, § 5]).
4. Принцип перманентности. Для каждого универсума U по-
построим соответствующий язык Ьи, взяв в качестве предикатного
символа е7 в качестве функциональных символов < >, \ ив ка-
качестве константных символов элементы некоторого множества М,
взаимно однозначно соответствующего U. Для каждого констант-
константного символа сеМ обозначим с' соответствующий ему элемент
универсума U и назовем с именем элемента с' (в тех случаях,
когда позволяет ситуация, будем опускать штрих у с, и для обо-
обозначения элемента из U и его имени будем употреблять одпу~
и ту же букву с).
Рассмотрим U как алгебраическую систему для языка Lc и
для выражения истинности высказывания ф в U воспользуемся
записью С/Рф (если ф ложно в U, ю будем писать U & ф)
Если t — замкнутый терм языка Lv, то tr = t(s) обозначим его
образ при интерпретации s и назовем t' значением терма I в U.
Более конкретно, определим значопие t' следующим образом:
1) если t — константный символ с, то положим t =c' для
всех с<= U;
2) «*,л»'=<4 0;
3) (h \ t2y = t[ \ С
Это позволяет определить t' рекурсией по длине терма * (па
числу вхождений в t функциональных символов < > и \). Вклю-
Включение t'e[/ следует из результатов п. 2 и индукции по длине
терма t. Поскольку t' — множества, то для них имеет смысл
предикатный символ е.
Определим теперь по рекурсии отпошение U F ф для выска-
высказываний ф в языке Lv:
1) U t= (t, = У <*t[ = h;

254 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
2) U s=:(t^ L2)^t'i^t'2;
3) U tn ~] ф -фф- не верно, что U f= ф;
4) С/ fr (ф /\ Ц)) фф- С/ )=: ф и {/ |= я];;
5) ?/ (= C^i e ?) ф (xi)<=>U t= Ф (с) для некоторого с'еС,
Это определение представляет собой рекурсию относительно
•общего числа вхождений в высказывание символов ~~|, Д и 3.
Заметим, что поскольку мы имеем дело с высказываниями, то
fi, ?2 в 1), 2) и I в 5) должны быть замкнутыми терминами
(для которых определены их значения t±, t2 и t'). Заметим,
кроме того, что при задании семантики языка Ьо можно огра-
ограничиться лишь символами =,&~~|, Д,Э,( ), < >. \- Осталь-
Остальные символы \/,=>, <=*-,У могут быть получены из "")> Д и 3.
Формулы в Lu могут быть использованы не только для фор-
формулировок утверждений об универсуме U, но также для опре-
определения подмножеств U.
Определение 15. Пусть X<=U. Тогда X называется опре-
определимым подмножеством U, если существует формула гр = ф(.г),
содержащая свободную переменную х такая, что
X{ceU\Ut=<p(c)}.
В этом случае ф называется определением X в языке Ln.
В дальнейшем будем рассматривать ровно два универсума:
стандартный универсум U =* S и нестандартный универсум *U.
Положим Lu = L,L*u = *L и вместо U\^q>, *?/Ёф будем пи-
писать (ради краткости) Ё<р, • 1= ф. Если ф формула в L, то *ф
будем обозначать формулу в *L, полученную из ф заменой каж-
каждого константного символа, входящего в ф, на соответствующий
константный символ с (мы используем тот факг, что с' явля-
является стандартным элементом *U при каждом c'&U). Если,
в частности, с' е S для каждого с, входящего в ф, то *ф = ф
(в этом случае ф является формулой как в L, так и в L).
В данном пункте будет показано, что всякое математическое
утверждение относительно U, формализованное в языке L, имоет
интерпретацию в *U и что эта интерпретация истинна в *U
тогда и только тогда, когда исходное утверждение истинно в U.
Отсюда следует, что алгебраические системы U и *U элементар-
элементарно эквивалентны и что нестандартный универсум *U можпо рас-
рассматривать как модель для множества высказываний, истинных
в L=LU. Назовем *U нестандартной моделью для L. Наиболее
существенным для дальнейшего является то обстоятельство, что
в формулах языка L нами не допускаются кванторы Vx (для
всех х) и Зу (существует у), а допускаются только ограничен-
ограниченные кванторы (выражения вида (\/х ^ у) у (х) и (За?е у) ф(ж),
являющиеся сокращениями для формул V# (x G у =ф- ф (яг)) и
Зх(х^у Д ф (х)); см. п. 5 в онределении отношения ?/1=ф).
В дальнейшем будем считать, что в формуле ф(#ь ..., хп)
лвно указаны лишь свободные переменные х\, ..., хп.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ'
25S
Теорема 1 [76]. Пусть <р = ф(ж1, .. .г я„>, п 2? 0;—формула
в L и пусть /i, ..., U е V. Тогда
в том и только е том случае, когда
E<P(/il, • •¦, fin)
для почти всех is/.
Доказательство этого результата основано на индукции?
по числу вхождений в формулу ф символов ~~|, Д 3 и приве-
приведено в книге [40Ь]. Обсуждение теоремы 1 в более широком
контексте можно найти в книгах [113а, гл. 3] и [12].
Важным частным случаем теоремы 1 является случай п = О,
приводящий к следующему утверждению.
Принцип перманентности. Пусть ф-—высказывание-
в L. Тогда * Ё *ф в том и только в том случае, когда Ёф.
Принцип перманентности является одним из основных ин-
инструментов нестандартного анализа. Математическая теорема,
эквивалентная Ёф (ф — некоторое высказывание в L) может
быть доказана путем проверки того, что * Ё *ф. Заметим, что
если ф содержит только константные символы с при с' е 5, то-
принцип перманентности допускает более простую форму:
* Ё <р ^^-1= ф. Из принципа перманентности вытекает, что если
Ц>(х) и if(x) — формулы в L, причем
то
{с' <= *U\*
= ic' s *U\*
(с)}.
Этот факт может быть использован для задания следующей
важной операции на определимых множествах.
Пусть X— {с' е f/|t= ф(с)}, где Ф — формула в L. Положим
и заметим, что *Х пе зависит от частной формулы ф, используе-
используемой для определения X, а зависит только от множества X.
В частности, поскольку
— определимое множество, мы имеем
* A7) = {с е *U\ * t= (с = с)} = *U,
что оправдывает введенное ранее обозначение *U для нестан-
нестандартного универсума. Аналогичным образом, для каждого « е !М
имеем *(U — Sn) = *U — *Sn и *х=>х для всякого x^(U — S).
Поэтому в дальнейшем вместо х почти всегда будем использо-
использовать обозначение *х. Для полноты положим *х => х при х е S и
заметим, что стандартными элементами универсума *U явля-
являются в точности элементы вида *х яри x^U.

256 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ II НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Нетрудно убедиться, что введенная операция обладает сле-
следующими свойствами:
1) если X<=S, то Х^*Х и *X0S = X;
2) если х, у е U, то х = у -<=>- *х = *у, jej/ -фф- *х <= *yt
*<х, у> = <*х, *#> и * (х \ у) = (*ж (¦ *#);
3) если X, Y определимые подмножества V, то *(XUY) —
= *ZU*7 *(ХПУ) = *ХП*У *(Хг7) *Х*У
, (
4) *0 = 0,
() ХУ
i, ..., *xj и *U = U
5. Теорема направленности. Хотя нами в достаточной степе-
степени развита техника нестандартного анализа, мы даже пе пока-
показали еще, что имеет место строгое включение S <= W (вели
.S = W, то *U =¦ U). Легко видеть, что без дополнительных пред-
предположений относительно индексного множества / нельзя исклю-
исключить вырожденный случай S = W.
Выберем в качестве / достаточно большое множество (чтобы
обеспечить строгое включение S <= W в случае бесконечного мно-
множества S и тем самым гарантировать существование нестандарт-
нестандартных элементов, достаточно положить / = S л задать па / какой-
либо нетривиальный ультрафильтр). Ключевым понятием при
этом является понятие направленности.
Определение 16. Отношение RefJ называется направ-
направленным, если для всяких х\, ..., xn&D(R) найдется такой эле-
элемент х, что <Xi, хУ е R при всех i = 1, 2, ..., п.
Справедливо следующее утверждение, установленное А. Ро-
Робинсоном [104d] (см. также [40Ь]).
Теорема направленности. Пусть R e U — направлен-
направленное отношение. Тогда существует такой элемент y(=*U, что
<*х, уУ е *R для всех x^D(R).
Покажем, что в случае бесконечного S теорема направлен-
направленности гараптирует существование нестационарных индивидов.
Предположим, что Ы с: S. Тогда IN e= S, P (N) е § и т. д.
Отсюда следует, что Nc*N. Рассмотрим отношение
Я = «ж. УУ I ^ е IN, у <= U, х < у}.
Это отношение направлено, так как Z?(/f) = N, и если
j:,, .. ,, 4 е N, а х больше, чем Х{, ..., хп, то
xiRx, ..., XrJtx.
По теореме направленности существует элемент y°^*U такой,
что
<х, yy<s*R
для всех же IN (здесь *х = х, так как же IN с: S). Поскольку
i?cr ОМ X Mi то */fcz *1N X *М и, значит, i/e *M. Допустим, что
!/el\l. Тогда *у = у и, так как *1=<*ж, *j/)e*i?, по прин-
принципу перманентности \=<х, уУ <^R. Другими словами, х<у для
^сех ж е М и, стало быть, jeN является наибольшим неотри-
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
257
цательным целым числом. Ввиду того, что такого числа не
существует, заключаем, что j/e*!N — IN. Таким образом,
*М — IN Ф0, и поскольку #e*IN — N, то y<?S. Значит, у —
нестандартный индивид. Тем самым установлено существование
нестандартных индивидов.
Приведенные выше рассуждения показывают, что нестандарт-
нестандартные индивиды существуют в точности в том случае, когда S бес-
бесконечно. Действительно, в случае бесконечного S множество N
может быть биективно вложено в S. С другой стороны, если S
конечно, то нетрудно показать, что нестандартных элементов
не существует.
Так как *# является нестандартным продолжением отноше-
отношения < с множества N на *М, то для всех х, г/е*М, таких,
что <х, уУ е *Rf будет х < у. Для обозначения того, что х<у
или х => у, будем употреблять запись х^у.
Если расширить язык L, включив в него предикатный сим-
символ <, то наличие на N линейного порядка может быть выра-
выражено следующим образом:
N \= Vz 4yVz((x<y) Д {y<z)=>(x<z)),
N |= Vx4y((x<y) V (y<x) V (*=y))-
По принципу перманентности заключаем, что отношение < ли-
линейно упорядочивает *Ы-
Покажем теперь, что всякий элемент множества *0М — N
больше любого неотрицательного целого числа.
Предложение 2. Если be*N-Nh nefJ, то п<и.
Доказательство. Предположим противное, что и^п для
некоторого neN. Пусть п — минимальное из таких чисел.
Имеем
IN
0) =И.г = 0))
и тогда, в соответствии с принципом перманентности,
Из семантики языка *L следует, что 0 < и, и тогда п Ф 0. По-
Положив теперь п = m + 1, получаем meN ит<«^т + 1. Так
как 7И + 1 — стандартный элемент, то и # m + 1 и, следовательно,
m < и < т+ 1.
Имеем
т
(здесь
*М
снова означает, что «р истинно в DM), и, так как
(д ф , р
и ge *М, принцип перманентности дает
Полученное противоречие доказывает предложение.
17 с. А. Степанов

258 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
если
если
Определение 17. Элемент «ё*|\| называется конечным,
N, и бесконечным (или бесконечным целым числом),
и ие*М-М.
Следовательно, конечными элементами *N являются стан-
стандартные элементы, а бесконечными — нестандартные элементы.
Мы установили существование лишь одного бесконечного эле-
элемента множества *N. На самом деле таких чисел имеется бес-
бесконечно много. Для их построения рассмотрим функцию я ^ (J
с областью определения D (я) = М X N и такую, что
п.
Положим для любых
*IN
Тогда при и е *1N — IN имеем
*IN.
Применяя принцип перманентности к t= Ух(х<Сх + 1), где
Eqj означает истинность высказывания срв N z i+l — сокра-
сокращенная запись выражения я f <ж, 1>, получим
Следовательно, элементы и + 1, н. + 2, ... являются бесконечны-
бесконечными. Аналогичным образом, если ue*N-N, то все элементы
и —Л, и — 2, ... также являются бесконечными.
Таким образом, начав с бесконечного целого числа и, полу-
получаем блок бесконечных целых:
,,.<и-д<и — 2<и-Л<и<и+Ки+2<и+3<...
(штрих у чисел 1, 2, 3... опускаем).
Из принципа перманентности следует, что нет такого v e *1N,
для которого
и < v < и + 1.
Одпако для каждого данного блока существует другой блок, со-
состоящий из больших элементов. Например, если v = и+и, где
ие*М—!N, то и + m<.v — л для всех т, п е N. Кроме того,
v < у + n<v + v и т. д. Двитаясь в обратном направлении, вы-
выводим (из принципа перманентности), что если ме*М — N,
то или и, или и + 1 имеет вид v + v, где v — бесконечный эле-
элемент. Так как v < и, отсюда следует, что не существует первого
блока. Более того, порядок блоков плотный. Действительно,
пусть блок, содержащий v, предшествует блоку, содержащему и:
...<v-2<v~Kv<v+i<v + 2<...
Поскольку или u+v, или и + v + 1 можно записать в виде z + zt
§ 2, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
259
ТО
v + m<z<u — n
для всех т, п ^ N.
В итоге получаем: *N состоит из начального сегмента N,
ва которым следует упорядоченное множество блоков; порядок
на этом множестве блоков плотный без первого и последнего
элемента; каждый блок изоморфен в смысле порядка целым
числам
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, :..
Хотя *Н — N является непустым подмножеством *N, это
подмножество не имеет наименьшого элемента. Поскольку лю-
любое непустое подмножество N имеет наименьший элемент, воз-
возникает кажущееся противоречие с принципом перманентпости.
' Предложение 3. Пусть X cr *N таково, что X^*U и
X Ф 0. Тогда X содержит наименьший элемент.
Доказательство. Пусть М = Р(Щ. Согласно принципу
перманентности для множеств имеем X е *М. Далее, так как
каждое непустое подмножество множества N содержит наимень-
наименьший элемент, то имеем
М 5= VZ {{X = 0) V (Зт е X) (Уж е= X) (т < х)).
Принцип перманентности дает
•М t= У/Х ((X = 0) V (Эт е= X) (Vx ЁХ)(га< х)).
Так как Х^*М и ХФ 0, то из семантики языка *L следует,
что существует такой элемент т<^ X, что т s? х для всех х е X.
Другими словами, т — наименьший элемент множества X.
Следствие. *IN — N ^ *?/".
Множества из W, принадлежащие *U, называются внутрен-
внутренними; множества из W, не являющиеся внутренними, называ-
называются внешними. Мы пока'зали, что множество *N — N внешнее
и, следовательно, установили существование внешних множеств.
Из теоремы 1 вытекает также (см. [40Ь]) справедливость сле-
следующего утверждения.
Теорема 2 (о внутренних множествах). Пусть X — внут-
внутреннее множество и Y — определимое подмножество *U. Тогда
множество X П Y внутреннее.
Следствие 1. Если X<=Y, где X — внутреннее и Y — опре-
определимо в *U, то Y — внутреннее множество.
Следствие 2. SN— внешнее множество.
Доказательство. Предположим, что N — внутреннее
множество, т. е. Ne *U. Тогда, положив N = М' е *U, мож-
можно определить *N — N следующим образом:
*N — N = {а' <= *U ] * 1= ((а <= *М) Д ~] (а <= М))
(существование константного символа М в *L следует из пред-
предположения, что М' = N — внутреннее множество) .¦
17*

260
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Так как *N— внутреннее множество и *IM—JMcN, то полу-
получаем, что *0М — IN ¦— также внутреннее множество, и приходим
к противоречию со следствием предложения 3.
Следствие 3. Если X<=S и X бесконечно, то X — внешнее
множество.
Справедливы, кроме того, следующие утверждения.
Теорема 3. Если X и Y — внутренние множества, то
ХУ-Y — также внутреннее множество.
Теорема 4. Пусть X, Y — внутренние множества универ-
универсума *U и f : X ->¦ Y — отображение X в Y. Если t=t(x)— та-
такой терм языка *L, что /(«')= t(a') для каждого а'еХ, то
функция f (рассматриваемая как множество) является внут-
внутренней.
Нами достаточно подробно разъяснены основные аспекты не-
нестандартного подхода в анализе, чтобы подвести некоторые ито-
итоги и сформулировать общие принципы такого подхода при изу-
изучении произвольных математических структур. Нестандартный
подход основан на том факте, что каждая математическая
структура И допускает нестандартное расширение *М, насле-
наследующее свойства структуры М. Указанную взаимосвязь между
М и *М удобно сформулировать в виде общих принципов нестан-
нестандартного расширения.
Первый из этих принципов выражает тот факт, что *М явля-
является моделью структуры М.
Принцип перманентности. Каждое математическое
утверждение относительно М имеет интерпретацию, в *М, и эта
интерпретация истинна в *М в том и только в том случае, когда
исходное утверждение истинно в М.
Отметим, что математическое утверждение относительно М
понимается как высказывание в формальном языке L исчисле-
исчисления предикатов на М. Этот язык содержит имена (константные
символы) для всех индивидов, а также для всех объектов выс-
высшего порядка в М (например, для множеств индивидов, отно-
отношений между индивидами, отношений между множествами и
так далее). Исходя из этих символов и располагая достаточным
запасом переменных, каждое высказывание в L строим за конеч-
конечное число шагов с использованием'логических связок и кванто-
кванторов в соответствии с правилами исчисления предикатов. При
этом кванторы могут действовать не только на индивидах, но и
на объектах любого заданного типа.
В большинстве случаев описание математических утвержде-
утверждений относительно М в языке L связано с большими трудностя-
трудностями. Поэтому для описания таких утверждений используем обыч-
обычный математический язык, если только ясно, что имеется
возможность трансляции этого языка па формальный язык L.
Основное свойство нестандартных моделей связано с концеп-
концепцией интерпретации математических утверждений относительно
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЙЙСТЕМЫ И МОДЕЛИ
261
М в нестандартном расширении *-М. Эта интерпретация выби-
выбирается специальным образом в соответствии со следующими
правилами:
1) логические связки при их интерпретации сохраняют свой
обычный смысл;
2) каждый -индивид в М имеет то же самое имя в *М и
кванторы по индивидам (например, «существует число» или
«для всех чисел») сохраняют свой смысл в *М;
3) имена других объектов в М (множеств, отношений между
индивидами, отношений между множествами и так далее) также
обозначают соответствующие объекты в *М, которые называются
стандартными объектами, Однако кванторы действуют не на
всем классе объектов в *М (примерами являются: «существует
отношение» или «для всех множеств»), а лишь на некотором их
подклассе, который состоит из так называемых внутренних объ-
объектов (множеств, отношений и так далее). Среди внутренних
объектов имеются стандартные объекты.
Рассмотрим, например, случай М = М неотрицательных це-
целых чисел. Из принципа Пеано математической индукции сле-
следует, что каждое непустое ограниченное подмножество множе-
множества М имеет максимальный элемент. Это утверждение требует
для своей формулировки в формальном языке L привлечения
квантора, действующего на множествах. В соответствии с 3) его
интерпретация в *N должна касаться лишь внутренних мно-
множеств. Отсюда следует, что всякое непустое ограниченное внут-
внутреннее подмножество *!N содержит максимальный элемент. Не-
Непустое ограниченное подмножество *Ы, не содержащее макси-
максимального элемента, необходимо должно быть внешним. Приме-
Примером такого внешнего подмпожества в *IN служит множество
IN, которое ограничено в *N всяким нестандартным элементом
xe=*N.
Отметим, что понятия стандартного и внутреннего объектов
относятся к определениям нестандартного расширения. Более
точно, нестандартное расширение *М структуры М определяется
как структура высшего порядка, расширяющая М, в которой
некоторые объекты отмечаются как стандартные или внутрен-
внутренние, и для которой выполняются основные принципы нестан-
нестандартного расширения.
Следующий принцип касается отношений в структуре М.
Пусть R является ^-местным отношением между индивидами
в Л/. В соответствии с 3) R является некоторым стандартным
поместным отношением в *М. Пусть а\, ..., ап—индивидумы
структуры М и пусть отношение R{a\, ..., ап) выполнено в М.
Согласпо принципу перманентности указанное утверждение
истинно в *М. Другими словами, новое отношение R в *М явля-
является расширением исходного отношения в М. Таким образом,
мы приходим к следующему принципу (который является след-

282
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
ствием принципа перманентности, но который мы предпочитаем
сформулировать отдельно).
Принцип нестандартного расширения для от-
отношении. Каждое отношение в М единственным образом рас-
расширяется до стандартного отношения того же типа в *М. Рас-
Расширенное отношение обозначается тем же символом, что и ис-
исходное. Каждое свойство исходного отношения, выражаемое в
языке L, выполняется и для расширенного стандартного отно-
отношения при условии, что оно имеет интерпретацию в *М.
Указанный принцип имеет место. не только для отношений
между, индивидами, но и для отношений между объектами выс-
высшего порядка.
Рассмотрим в качестве примера случай М = К, где К — поле
алгебраических чисел конечной степени. В нем имеются тернар-
тернарные отношения а + Ъ => с и а • Ъ = с. Эти отношения расширя-
расширяются до некоторых стандартных отношений в *К, для которых
мы используем те же символы сложения и умножения. Исход-
Исходные тернарные отношения удовлетворяют :всем аксиомам поля.
Следовательно, этим аксиомам поля удовлетворяют и расширен-
расширенные стандартные отношения. Отсюда получаем, что *К является
надполем поля К. Покажем, что К алгебраически замкнуто в
поле *К. Для этого достаточно показать, что каждый многочлен
/ s К [х] степени п 5s 1 имеет корень в * К в том и только в том
случае, когда он имеет корень в К. Но утверждение о том, что /
имеет корень в К принадлежит языку поля К и, следовательно,
эта утверждение (до принципу перманентности) истинно в К
тогда и только тогда, когда оно истинно в *К.
Из приведенных выше двух принципов еще не следует, что
*М является собственным расширением М (они тривиальным
образом справедливы для *М = М). В противоположность к ним,
следующий принцип утверждает, что *М содержит (в случае
бесконечного М) некоторые нестандартные объекты (чем объяс-
объясняется его название «нестандартное расширение»).
Принцип нестандартного расширения для на-
направленных бинарных отношений. Если бинарное от-
отношение R направлено в М, то существует такой элемент х е *М,
что R(*a, x) выполняется для всех a^D{R). __
Другими словами, возможно бесконечная система условий
<*а, хУ ^ R разрешима в *М, если только любая ее конечная
подсистема разрешима в М. Этот принцип можно рассмат-
рассматривать как специальный случай теоремы компактности
А. И. Мальцева: если каждое конечное подмножество Го про-
произвольного множества Т высказываний логики первого порядка
обладает моделью, то существует модель и для самого множе-
множества Т (см. [113а, гл. 1, или 51, § 17, 21J).
Если М — бесконечная структура, то сформулированный
только что принцип гарантирует существование нестандартных
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
263
индивидов в *М. Действительно, рассмотрим отношение нера-
неравенства а Ф Ъ между индивидами М, областью определения ко-
которого является сама структура М. Так как М бесконечна, это
отношение направлено, и мы получаем, что существует индивид
хе *М, отличный от всех не М (т. е. нестандартный индивид).
Рассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть А — любое
множество в М (например, множество индивидов). В соответ-
соответствии с 3) А определяет некоторое стандартное множество *А
в *М, характеристические свойства которого при их интерпрета-
интерпретации в *М идентичны с характеристическими свойствами множе-
множества А в М, Отсюда следует, что *А является расширением
множества А (А состоит из тех стандартных элементов, которые
содержатся в *А). Если А — конечное множество, состоящее,
скажем, из п элементов, то *А совпадает с А. Это следует из
того, что утверждение о том, что А состоит из п элементов, при-
принадлежит языку L и, следовательно, остается истинным при его
интерпретации в *М. С другой стороны, если А бесконечно, то
мы можем рассмотреть отношение неравенства аФ Ь, ограничен-
ограниченное на А, и по аналогии с изложенным выше показать, что *А
содержит нестандартный элемент.
Принцип нестандартного расширения для мно-
множеств. Каждое множество А в М определяет единственным
образом некоторое стандартное множество *А в *М; если А
определяется в L формулой <р, то ее интерпретация в *М опре-
определяет множество *А. Исходное множество А состоит в точно-
точности из стандартных элементов, принадлежащих *А, Множество
*А содержит нестандартные элементы (т. е. является собствен-
собственным расширением А) в том и только в том случае, когда А
бесконечно.
Последние два принципа справедливы не только для отноше-
отношений и множеств индивидов, но и для отношений и множеств
объектов высшего типа. Пусть А — множество объектов высшего
типа (множество отношений или функций и т. д.). В этом слу-
случае элемепт sei, являясь объектом высшего типа, не обязан
содержаться в структуре *М. Тем не менее, каждый такой
объект расширяется единственным образом до стандартного объ-
объекта из *А и, если мы сопоставим каждому а^А соответству-
соответствующий ему стандартный объект, то получим вложение А в *А.
Отождествим теперь элементы из А с соответствующими им
стандартными объектами и будем рассматривать А как подмно-
подмножество множества *А (нестандартное расширение *А множе-
множества А всегда в дальнейшем будем понимать именно в этом
смысле). Например, мы не различаем отношения в Ж и соответ-
соответствующие их расширения в *М.
Выше мы показали, что всякое бесконечное множество А в М,
рассматриваемое как подмножество *А, необходимо внешнее.
Сформулируем это свойство в виде следующего принципа.

264
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Принцип выделения внешних множеств. Каждое
бесконечное множество А, которое состоит только из стандартных
элементов, необходимо внешнее в *М. Другими словами, всякое
бесконечное внутреннее множество в *М содержит нестандарт-
нестандартный элемент.
Как уже отмечали, нестандартное расширение *М данной
структуры М не единственно. Отметим также, что имеется не-
несколько способов построения нестандартных расширений. В пре-
предыдущем параграфе был построен нестандартный универсум *U
с помощью ультрапроизведений. С другой стороны, нестандарт-
нестандартное расширение *М структуры М можно определить аксиомати-
аксиоматически, взяв за основу сформулировапные выше принципы.
Предположим, что для данной структуры высшего порядка
М выбрали определенное нестандартное расширение *М. Пусть
А — некоторое множество в Ш (множество индивидов или мно-
множество объектов более высокого типа). Известно, что А един-
единственным образом определяет некоторое стандартное множество
*А в *М, состоящее из внутренних объектов того же типа, что
и объекты из А. Рассмотрим теперь А не только как множество,
но как подструктуру высшего порядка структуры М и, анало-
аналогичным образом, рассмотрим *А как подструктуру структуры
*М. Тоща, как легко видеть, *А является нестандартным расши-
расширением структуры А. Таким образом, фиксированное нестандарт-
нестандартное расширение *М структуры М содержит нестандартное рас-
расширение *А каждой подструктуры А структуры М, Другими сло-
словами, имеем функтор
А -» *А,
переводящий подструктуру А структуры М в нестандартное ее
расширение *А, являющееся подструктурой структуры *М. По
принципу перманентности этот функтор точен (см., например,
[126, т. 1, ч. 1]) не только относительно включения А<= В, но
также относительно всех других отношений между подструкту-
подструктурами, которые могут быть выражены в языке L. Поэтому в ка-
качестве М можем взять некоторый фиксированный универсум,
содержащий в себе все математические структуры, которые пред-
представляют интерес с точки зрения того или иного раздела мате-
математики (алгебры, теории чисел, математического анализа и т. д.).
Этим замечанием мы воспользуемся в дальнейшем при выборе
универсума, связанного с изучением нестандартных расширении
полей алгебраических чисел.
Нам удобно будет придерживаться следующей точки зрения.
Возьмем фиксированный универсум М, который, как структура
Высшего порядка, содержит все математические структуры, инте-
интересные с точки зрения теории алгебраических чисел. Более точ-
точно, М должен содержать все поля алгебраических чисел и их
пополнения относительно их различных нормирований. Затем,
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
265
выбрав фиксированное нестандартное расширение *М универсу-
универсума М, рассмотрим каждую структуру А, которая встретится в
дальнейших рассуждениях в качестве подструктуры из М. Тогда,
в соответствии со сказанным выше, нестандартное расширение
*А структуры А однозначно определяется как некоторая под-
подструктура из *М.
Для наших целей удобно взять в качестве М множество не-
неотрицательных целых чисел IN; вернее, М представляет собой
полную структуру высшего порядка, базирующуюся на множе-
множестве IM. Подструктурами этого универсума являются в точности
те структуры, которые могут быть описаны на языке неотрица-
неотрицательных целых чисел. Так, М содержит все целые числа Z (ко-
(которые могут быть описаны как классы эквивалентности пар на-
натуральных чисел). Далее, М содержит рациональные числа Q
(пары целых чисел), а также действительные числа К и р-ади-
ческие числа QP (последовательности рациональных чисел).
Если К — поле алгебраических чисел конечной степени п и
©1, ..., ю„ — базис этого поля над Q, то элементы поля К мо-
могут быть описаны их координатами в этом базисе, то есть набо-
наборами <хи ..., хпУ рациональных чисел. Значит, К также содер-
содержится в М.
Для более детального знакомства с техникой нестандартного
анализа рекомендуем читателю книги [40Ь] и [104с].
Задачи
1. Доказать, что для всякого упорядоченного (отношением <) поля К
справедливы следующие утверждения:
а) имеет место неравенство 0 < 1;
б) для всех х е К выполняется соотношение х < х + 1;
в) неравенство х < у влечет неравенство —у < —х;
г) если \х\ = max (x, —х), то
\х-у\=:\х\-\у\ и |z + y|sS |*1+ Ы;
д) возможны вложения:
N с= Q с К.
2, Упорядоченное поле К называется архимедовым, если для каждого
Jef существует п е N такое, что х < п. В противном случае называется
неархимедовым.
Установить справедливость следующих свойств архимедова поля л (счи-
(считать, что Q сг К): .
а) если ijeIhi>0, у > 0, у — х > 1, то для некоторого п е= in вы-
выполняется х < п < у;
б) если х, у^К к х<у, то существует сеС, такое, что х < г < у,
3. Элемент s<=K называется верхней гранью непустого множества X
упорядоченного поля К, если z sg s для всех Jel Если, кроме того, ни-
никакое не! такое, что и < s, не является верхней гранью множества А, те
я называется наименьшей верхней вранью множества X.
Упорядоченное поле К называется полным, если любое непустое под-
подмножество X поля К, имеющее верхнюю грань, имеет я наименьшую верх-
верхнюю грань.

266
ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) полное упорядоченное иоле К является архимедовым.
(Указание. Воспользоваться тем, что возможно вложение N cz К
и предположив, что К не является архимедовым, прийти к противоречию);
б) если К, К' — полные упорядоченные поля, то существует единствен-
единственное отображение ср ноля К в поле К' такое, что (считаем Q е К, Qc К'):
1) ср(г) = г для всех геС,
2) ф(ж) < у (у) в том и только в том случае, если х < у при х, у е К.
(Указание. Пусть ф(а) для ie^ есть наименьшая верхняя грань
в К' множества
4{|}
Воспользовавшись результатом п. б) задачи 2, показать, что ф(г) = г при
reQ и что ф(#) < (р{у) равносильно х < у.
Установить единственность отображения ф, исходя из противного.)
4. Пусть К — упорядоченное поле и
F = {х
/ = {х <
К
- \х\<сп Для некоторого
х — 0 или x~l e К — F},
где \х] = тах(ж, —х). Если lef, to x называется конечным элементом;
если ж е= ЛГ— F, то ж называется бесконечным элементом; элементы множе-
множества / называются бесконечно малыми. Доказать справедливость следующих
утверждений:
а) если К— архимедово поле, то F = К и / = {0};
б) х <= / тогда и только тогда, когда \х\ < 1/п для всех bgN- {0};
в) F является подкольцом поля К;
г) / является идеалом в F,
5. Если х, у — элементы упорядоченного поля К и х — у s /, то назовем
х, у бесконечно близкими и для выражения этого факта воспользуемся
записью х та у (при х~ у ф.1 пишем х qb у).
Доказать справедливость следующих угверждений:
а) отношение fa является отношением аквивалентности на К и, следо-
следовательно, на F;
б) если F -+FJI — естественный гомоморфизм F на F/I и "х — образ
элемента ieF при этом гомоморфизме, то °х = °# тогда и только тогда,
когда х да у;
в) если х<=К — 1, то х-1 е F;
г) / — максимальный идёалкольца F;
д) факторкольцо /у/ является полем;
е) если ieF-7, 1>0и}е/, Toi + y>0; ¦¦
ж) если i,jeF,i<j,i56[Jis!j',ii«!i',ioi'< j/';
з) если г, s е / и 1 ^ у, то "i ^ °у;
и) F// является упорядоченным полем (считаем °х < еу, если а; < у
usSii);-. . ¦ . • . ¦ .
к) возможно вложение: Q с: F/I;
л) при г е Q с 'FjJ имеет.место .равенство °г = г;
м) F// является архимедовым полем.
6. Доказать, что не существует множества аксиом логики первого по-
порядка, характеризующих поле действительных чисел R с точностью до нзо-
Морфи'эмй. , Г -
(Указание, Установить^ что множество высказываний логики пер-
первого порядка, истинных в R = <IR, +, •, <, 0, 1> счетно и воспользовать-
воспользоваться следующей, теоремой Лёвентейма-Сколемана (см., напри-
например, [113 а], гл. 1—2); пувть у. —? бесконечный кардинал и Т — множество
¦аксиом первагб порядка мощности ?Z'/t; если существует модель, в кото-
которой ¦Ъсё-'о-ксиомы Т: ихтмаиы, тл существует модълъ. для. У, множество элемен-
элементов которой имеет мощность )
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ
267
7. Показать, что аксиома полноты для поля действительных чисел
R: VXc R (ХФ0 а ограничено =>¦ X имеет наименьшую верхнюю
грань) не выразима в логике первого порядка.
8. Пусть R — поле действительных чисел, т — некоторый элемент, не
принадлежащий R, и K = R (т) — поле рациональных функций or т с коэф-
коэффициентами из R. Если
— какое-либо представление отличного от нуля элемента / s= К в виде част-
частного двух многочленов Р = т*(ао + <Ч* + • ¦ • + amxm и Q = т' F0 + JiT +...
... + Ьптп), где по Ф 0, to чй 0, то при aab0 > 0 назовем / положительным
(обозначение: />0), а при аоЬо < 0 — отрицательным (обозначение; /<0).
Как обычно, положим / < g, если только / — g < 0.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) отношение f< g в поле Х = Й(т) не зависит от выбора конкрет*
ных представлений для элементов / и g;
б) поле К является упорядоченным (отношением <) полем, содержа-
содержащим К в качестве собственного подполя;
в) поле К является неархимедовым (существует элемент / е К, для ко-
которого / > п при любом n e IN);
г) в поле К не существует элемента / такого, что р = х.
9. Пусть К — архимедово упорядоченное поле, содержащееся в мно-
множестве S индивидов стандартного универсума U. Доказать, что нестандарт-
нестандартное расширение *К поля К является неархимедовым упорядоченным полем.
10. Пусть К cz S — архимедово упорядоченное поле и
*F = {х е *К | | х | < п для некоторого n e Щ,
*1 = {х 6= *К | х = 0 или х-1 <=*К — *f].
Доказать, что естественный гомоморфизм (см. задачу 5)
является изоморфизмом ноля К в *F/*I.
В дальнейшем поле К будем отождествлять с его образом в *Fj*I при
этом изоморфизме.
11. В обозначениях предыдущей задачи установить справедливость сле-
следующих утверждений:
а) *Nn*/' = IN;
б) множества К, *F, */ и *К — *F являются внешними подмножест-
подмножествами *К.
(Указание. Воспользоваться теоремой о внутренних множествах и
результатом предыдущего пункта.)
12. Доказать справедливость теоремы Дедекинда: если Л, 5 —
непустые подмножества архимедова упорядоченного поля К с S с U, такие,
что из а ?= А, Ъ е В следует а < Ъ, то найдется такой элемент с е *F/*I, что
а^.с sg; 6 для всех а^А и ЬеВ (считаем, что К вложено в *FI*J).
(Указание, Пусть R — отношение, состоящее из всех таких пар
(а, 6), что йеЛ, b^K, as^b и Ъ меньше всех элементов множества В.
Показать, что R — направленное отношение, и, воспользовавшись теоремой
направленности, установить существование такого х е *U, что <а, х} е *Д
для всех аеА Доказать, что х е *К и, воспользовавшись принципом пер-
перманентности, а также определением отношения R, показать, что а <: a: s^ й
для всех веЧ Ь sg *B. Наконец, воспользовавшись результатом пункта з)
задачи 5, установить, что а = °а < °х =g °6 = Ь и доложить е =ь ох.)
la Пусть К с S — архимедово упорядоченное поле. Доказать, чтв
*Fj*I — яолное упорядоченное поле.
(Указание. Пусть Z e *FJ*I — непустое подмножество, имеющее
верхнюю грань в *Ff*t. Показать, что множества Y «= {у е К с: *F/*I\ у —

2G8
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ- И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
верхняя грань множества Z] и Х = К— Y удовлетворяют веем условиям
теоремы Дедекинда. Применив теорему Дедекинда, найти такое z е *F/*I,
что х^. z ^ у для любых х е X и уеГ. Используя включения СсХс
a *FJ*I и архимедовость поля *F/*I, установить, что z является верхней
гранью Множества Z. Показать, затем, что z — наименьшая верхняя грань
множества Z.) .
14. Пусть К — архимедово упорядоченное поле и Q <= ?с S czU. До-
Доказать, что для каждого х<=К существует re *Q, такое, что х та т.
(Указание. Воспользоваться плотностью Q в К (см. задачу 2) и
принципом перманентности.)
• ¦ 15. Дать' нестандартное построение поля действительных чисел R:
¦ а) Установить существование полного упорядоченного поля (R,
(Указание. Положить K—Q, !R=*F/*/ п воспользоваться ре-
результатом задачи 13.) .'',.'
б) Показать, что'если К, К' -- полные упорядоченные поля, содержа-
содержащиеся в некотором множестве стандартных индивидов S, и если ф — единст-
единственное отображение К на ЛГ', сохраняющее порядок и тождественное на Q
(см. задачу 3), то при ж, у s *К Неравенство х < у равносильно неравенству
у(х} < ф(г/), Mjp(r) = г для всех, re *Q.
в) Показать, что если а; е А"-и re*Q, wisr тогда и только тогда,
когда ф(х) ж г.
г) Показать, что лри всех х. у е if справедливы соотношения
ф(х+ у) = 9(a;).+ tp(y), tf(x- у) =<р(х) • ф(у).
(У к а я а п и е. Йосгшльзовать.ея результатом задачи 14 и результатом
предыдущего пункта.) , .
д) Доказать, что существует единственное с точностью до изоморфизма
полное упорядоченное поле R. (поле действительных чисел).
(Указание.' Воспользоваться результатами пунктов а) иг).)
16. Пусть *й—нестандартное расширение поля действительных чи-
чисел R. В силу задачи 9 *R является неархимедовым упорядоченным полем.
Его элементы назовем гипердействительными числами. Имеем С с R с *0?
(последнее включении строгое, так как *R.содержит бесконечные элемен-
элементы). Пусть *F — множество конечных элементов и */—множество бесконеч-
бесконечно малых элементов поля *R.
Установить справедливость следующих утверждений:
а) естественный гомоморфизм
*р
"задает единственный изоморфизм между К и *F/*I;
б) если °х — образ элемента х <s *F при гомоморфизме
xs=R=^°x = x;
- в) если х fa 0 и у « 0, то х 4- У & 0;
г) если х fa 0 и i/ e *F, то %' ¦ у za 0;
'•': '¦ д) х дб 0, то ж ё *^;
е) если х 9fc 0 и ж' га у, то л: s» j/~';
'. :' ж)- для любого х s К существует ?• е *Q такое, что х ж >.
!l - 17.- Пусть |лп j п е' NJ — последовательность действительных чисел и
/жит?г ^ *Щ—?е.._интерпретация.в *К.' Доказать справедливость следую-
следующих утверждений .i . -.-¦• ¦ ?v .. . : . : ¦ ¦ ¦ . ¦
а) х„ ->- х тогда и только тогда, когда. х:п fa х для всех n s т\у — м;. -
^) ч: пцедвл^иой- точкой лоследовательноети {xn} в том
^а-ж дая; декртрроге s s *N—rN.- ¦ ,: -,-;;;
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
269
§ 3. Нестандартные расширения полей
алгебраических чисел
1. Арифметика поля алгебраических чисел. Пусть К — конеч-
конечное расширение поля рациональных чисел Q- Арифметическая
структура поля К может быть описана при помощи его простых
дивизоров, которые определяются в терминах нормирований это-
этого поля. Более точпо, простой дивизор )р поля К определяется
как к.ласс эквивалентных между собой- нормирований этого по-
поля. Для такого описания удобно расширить введенное ранее
понятие нормирования и наряду с неархимедовыми нормирова-
нормированиями (которые в гл. IV назывались просто нормированиями)
рассмотреть архимедовы нормирования (ем. задачу 2). В соот-
соответствии с этими двумя типами нормирований вводятся два типа
простых дивизоров —, нещрхи.щедов.ы простые дивизоры и архиме-
архимедовы простые дивизоры.
' Пусть у — неархимедов простой дивизор поля К. Среди опре-
определяющих его нормирований имеется единственное нормирова-
нормирование v, для которого v(K*) = X- Такое дискретное нормирова-
пие обозначим v^ и назовем v^ у-адической порядковой функцией
ноля К, Нормирование v^ однозначным образом определяет
у-адическую норму ¦ -
1И^(Л>р(ж) ¦ A)
поля К, где Щ — неархимедова норма дивизора $, равная числу
элементов его поля классов-вычетов.
Пусть теперь V — архимедов простой дивизор поля К. Среди
всех нормирований, определяющих р, имеется единственное нор-
нормирование, которое индуцирует на поле Q обычное абсолютное
значение. Обозначим это нормирование [ |$ ' и введем в рас-
рассмотрение архимедову норму Ц ||р, положив
если у вещественный дивизор,
если р комплексный дивизор.
B)
Как обычно, архимедов простой дивизор $ называется веществен-
вещественным или комплексным в соответствии с тем, будет ли связаппое
с ним ^-адическое пополнение по норме || Цр изоморфно полю
действительных чисел К или же полю комплексных чисел С-
Введенные нами нормы обладают тем свойством, что для
любого х е К, х Ф 0
., . ПИр^!. C)
где у пробегает все простые дивизоры поля К, как архимедовы,
так и неархимедовы.. Произведений в соотношении C) является

270 ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
конечным, так как для каждого заданного ненулевого элемента
х^К имеется лишь конечное число простых дивизоров В для
которых \\х%ф1 (см. задачу 14).
Для «сякого архимедова простого дивизора в положим
vv (х) •= — log | х \\r Лв = e, где е — основание натурального ло-
логарифма, и назовем v$ (x) архимедовой порядковой функцией
поля К, a Ny — архимедовой нормой дивизора В.
2. Арифметика нестандартного расширения поля алгебраиче-
алгебраических чисел. Пусть *К — нестандартное расширение поля К и
V — множество всех простых дивизоров последнего поля. В соот-
соответствии с принципом перманентности нестандартное расшире-
пие *V множества V интерпретируется как множество всех внут-
внутренних простых дивизоров поля *К, которые определяются обыч-
обычным образом как классы эквивалентных между собой нетриви-
нетривиальных внутренних нормирований поля *К. При такой интер-
интерпретации всякое истинное утверждение относительно простых
дивизоров из V приводит к аналогичному истинному утвержде-
утверждению относительно дивизоров из *V,
Арифметика поля *К может быть описана следующим обра-
образом. В поле *К имеются два типа внутренних простых дивизо-
дивизоров: архимедовы и неархимедовы. Пусть В — неархимедов внут-
внутренний простой дивизор. Среди всех внутренних нормирований
поля *К, определяющих В, имеется единственное нормирование v,
для которого v(*K — {0}) = *Z, где *Z — аддитивная группа
стандартных и нестандартных целых чисел. Такое нормирование
поля *К обозначим v^ и назовем v^ у-адической порядковой
функцией поля *К. Таким образом, v$ является обычным нор-
нормированием поля *К в смысле Крулля с единственным дополни-
дополнительным условием, присущим лишь нестандартному расширению,
что Vy — внутреннее нормирование. Поле вьвчетов по неархиме-
неархимедову простому дивизору В не обязательно конечно. Однако оно
звездно конечно в том смысле, что при некотором ne*N имеет
место внутренняя биекция этого поля вычетов на интервал
1 ^ v ^ п, лежащий в *N. Ясно, что понятие звездной конеч-
ности представляет собой интерпретацию обычного понятия
¦конечности. Указанное число ne*N определяется единствен-
единственным образом и называется нормой Nf простого дивизора В. По-
Поэтому в поле *К можно ввести неархимедову В-адическую нор-
норму \х\у по формуле A), интерпретируемой в *К. Значениями
этой нормы являются неотрицательные элементы поля *Q.
Если В — архимедов внутренний простой дивизор поля *К, то
среди определяющих его нормирований имеется единственное
нормирование, которое индуцирует в поле *Q обычное стандарт-
стандартное абсолютное значение. Обозначим это нормирование | х |j,. Ин-
Интерпретация в *К формулы B) приводит к определению архи-
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
271
медовой нормы Цяг|^ поля *К. Простой дивизор В называется
при этом вещественным или комплексным в соответствии с тем,
¦будет ли пополнение поля *К по норме [| х \$ изоморфно *К или *С»
Для каждого ненулевого элемента х е *К имеет место фор-
формула C), которая является интерпретацией соответствующей
формулы, истинной в К, к в которой В пробегает все внутрен-
внутренние простые дивизоры поля *К. Рассматриваемое в этой форму-
формуле произведение является при этом звездно конечным, поскольку
для заданного ненулевого х е *К звездно конечно множество тех
В е= *V, для которых || х |, ф 1.
Для полноты изложения сделаем несколько общих замечаний
о звездно конечных произведениях. Пусть А — внутренняя абе-
лева группа, записываемая мультипликативно, и {aj — некото-
некоторая внутренняя последовательность элементов группы А со звезд-
звездным носителем. Это означает, что индекс i пробегает некоторое
внутреннее множество /; отображение i *-* aj является внутрен-
внутренним отображением / в А и множество тех i, для которых a^l,
является звездно конечным. При таких условиях произведение
ТТ «i корректным образом определяет некоторый элемент труп*
lei
пы А. Указанное определение представляет собой интерпрета-
интерпретацию обычного определения конечного произведения. Звездно ко-
нечпые произведения удовлетворяют всем правилам, справедли-
справедливым для конечных произведений и выразимым в языке L.
Звездно конечное произведение не является, вообще говоря, про-
произведением в смысле обычной алгебры, по тем не менее оно
является некоторым оператором, свойственным структуре не-
нестандартного расширения. Возникающая здесь ситуация во мно-
многом аналогична ситуации в математическом анализе, когда рас-
рассматриваются бесконечные произведения, которые не являются
"Произведениями в смысле алгебры, а определяются при помощи
¦предельного перехода.
¦ В соответствии с принципом нестандартного расширения для
отношений каждый простой дивизор В поля К может быть един-
единственным образом расширен до стандартного простоя дивизора
доля *К. Это стандартное расширение обозначается тем же са-
самым символом В и обладает томи же свойствами," что и исходный
простой дивизор. Например, оба рассматриваемых дивизора име-
имеют одну и ту же норму #В и для каждого отличного от нуля
элемента х^К задают одну и ту же норму \\х\\г Ввиду этого
будем рассматривать простые дивизоры peF как стандартные
простые дивизоры множества *7. При таком отождествлении V
с множеством стандартных элементов из *V видно, что *V явля-
является расширением множества V. Ввиду бесконечности V и в со-
соответствии с принципом нестандартного расширения для мно-
множеств выводим, что *V является собственным расширением V и
что у — внешнее подмножество множества *V. Из сказанного

272
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
следует, что в поле *К существуют нестандартные простые
дивизоры.
3. Нестандартные простые дивизоры. Выясним основные свой-
свойства нестандартных простых дивизоров поля *К.
Лемма 1. Каждый нестандартный простой дивизор }) поля
*К тривиален на К. В частности, такой дивизор у обязательно
неархимедов. Норма Щ нестандартного простого дивизора явля-
является бесконечным элементом множества *М. Если хев*К таков,
что Ikllp^l, mo || x ||p является бесконечным элементом поля *Q
Доказательство. Пусть х — ненулевой элемент поля К.
Множество S тех ()eF, для которых |ja;||q =?*= 1, конечно и, сле-
следовательно, в соответствии с принципом расширения для мпо-
жеств, это множество не изменяется при переходе к *V. Дру-
Другими словами, если <f — внутренний простой дивизор из *V, для
которого ЦжЦ^^М, to q^S.. В частности, так как S<=V, то каж-
каждый простой дивизор q, для которого || ? Iq ?= 1* необходимо стан-
стандартный. Таким образом, если ^ — нестандартный простой диви-
дивизор, то || з Ну = 1 для всех ненулевых х^К. Отсюда следует, что
V тривиален на К. Кроме того, поскольку архимедово нормиро^-
вание нетривиально на Q, мы видим, что f — неархимедов про-
простой дивизор.
Из тривиальности }> на К следует, что поле К изоморфно
вкладывается в поле вычетов *К/у>. В частности, поле *К/$ —
бесконечно. С другой стороны, из сказанного выше следует, что
поле *К/$ звездно конечно, и, значит, существует внутренняя
б lN *N
, ,
биекция этого поля па интервал
О i
из множества
*N.
Отсюда заключаем, что Щ является нестандартным и, стало
быть, бесконечным элементом множества *IN.
Если || х Цр > 1, то vf (х) < 0. Отсюда, учитывая, что
fp (x) e *Zi получаем (в силу принципа нестандартного расши-
расширения для отношений) неравенство v^ (х) ^ — 1 (очевидным об-
образом справедливое в Z). В таком случае []a:|j^JVj> и, следо-
следовательно, || х |[р — бесконечный элемент поля *Q. Лемма до-
доказана.
Пусть 6^1— стандартное действительное число. Рассмотрим
множество элементов х е К, содержащихся в параллелотопе
fl^I^<6 D)
для всех jeF, Хорошо известно (см., например, [24, с. 164]),
что множество таких х е К конечно. Согласно принципу нестан-
нестандартного расширения для множеств рассматриваемое множество
остается неизменным при переходе к *К, и, следовательно, если
х^*К удовлетворяет условиям D) для P^*F, то х является
стандартным элементом поля *К. Другими словами, если * —
нестандартный элемент поля *К, то условия D) не выполня-
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
273
ются и, значит, существует по меньшей мере один простой ди-
дивизор ^ е *V, для которого
Этот дивизор р может зависеть, вообще говоря, от выбора 6еК.
Покажем, что на самом деле можно найти такой простой диви-
дивизор ))е*7, для которого неравенство ||ж||р>б выполняется для
всех fieD?. Для установления этого факта обозначим Sx мно-
множество тех y°^*V, для которых ||х||р>1 и рассмотрим отдельно
два случая.
1. Множество Sx конечно. Пусть JH, fo, •¦¦—последова-
•¦¦—последовательность простых дивизоров из *V, для которых || я Ир >ге для
всех веМ- {0}. Каждый член этой последовательности содер-
содержится в конечном множестве Sx, и тогда найдется такой элемент
$ е 51т что $„ = Р для бесконечно многих п е N — {0}. Такой
простой Дивизор у удовлетворяет неравенству || х ||^ > п и для
всех neN — {0} и, значит, |jx||v является бесконечным элемен-
элементом поля *Q.
2. Множество Ss бесконечно. По самому своему опре-
определению множество Sx является внутренним, а так как оно бес-
KOHe4HOj T0 (согласно принципу выделения внешних множеств)
Sx содержит нестандартный простой дивизор у, для которого
||а;^>1. Из леммы 1 следует, что в этом случае \х\р является
бесконечным элементом поля *Q. Приходим к следующему
результату.
Лемма 2. Пусть х — нестандартный элемент поля *К. Тогда
существует простой дивизор y^*V, для которого \х^ является
бесконечным элементом поля *Q-
Часто удобнее пользоваться логарифмическим значением нор-
мы
(х) = - log || х \ = v? (х) log (Щ.
E)
При этом бесконечно большому значению Ца;^ соответствует
значение wv (х), которое меньше любого стандартного действи-
действительного числа.
Если ? — неархимедов простой дивизор, то и>у является адди-
аддитивным нормированием поля *К в смысле Крулля; оно отлича-
отличается от нормированной порядковой функции Vy только множите-
множителем log(Aty). Следовательно, в неархимедовом случае нормиро-
нормирование wv (x) обладает свойствами
Wf (xy)= W) (Ж) + Wy (у), F)
w? (х + у) > min (Wj)(x), wp {у}). G)
Если у — архимедов простой дивизор, то первое из указанных
18 с. А, Степанов

274
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
свойств сохраняется и выражает тот факт, что отображение
wf- *K—>-*R является гомоморфизмом мультипликативной
группы поля *К в аддитивную группу поля *R. Второе же
свойство должно быть несколько модифицировано следующим
образом.
Мы имеем
\х\у, если )) — вещественный дивизор,
\х\у, если р — комплексный дивизор,
\y\p).
Отсюда во всех случаях получаем неравенство
из которого следует, что
и>) (х + У)-> — log 4
(x), w^ (у)).
(8)
Возникающее при этом дополнительное слагаемое — log 4 конеч-
конечно и исчезает лишь в случае, когда имеем дело с величинами
бесконечного порядка. Остановимся на этом вопросе более
подробно.
Напомним, что гипердействительное число а е *R называ-
называется конечным, если существует положительное число fieR,
для которого
В частности, каждое стандартное гипердействительное число ко-
конечно. Если указанное неравенство выполняется для всякого
действительното б > 0, то число « называется бесконечно малым.
Каждое конечное гипердействительное число а бесконечно близ-
близко к стандартному числу а', которое представляет собой деде-
киндово сечение в R, определяемое по а.
. Конечные гипердействительные числа образуют аддитивную
подгруппу в *R, которую обозначим *Kfm- Если два числа
3 *R
а, |3
таковы, что их разность а,— $ является конечным ги-
гипердействительным числом, то скажем, что ее и р.— числа одного
¦ о
и того же порядка значимости и будем писать а = р* Это озна-
означает, что аи^ определяют один и тот же класс вычетов в фак-
факторгруппе
о
Заметим, что естественная проекция *R->-R сохраняет имею-
имеющееся в *R отношение порядка. Поэтому, если ее, f? e *R, то
запись
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
275
будет означать, что порядок значимости числа а не превосходит
порядка значимости числа р. Это означает, что существует такое
число 6e*Rfin, что JJ — а>6. Легко проверить, что указанное
отношение действительно является отношением порядка на фак-
о
торгруппе R.
Возвращаясь теперь к соотношениям F) — (8), мы видим,
что их можно переписать в виде
„ v (x), Wy (у)).
Это означает, что составное отображение
о U\, pro] о
*fiTi*RR
является нормированием поля *К в смысле Крулля. Указанное
нормирование тривиально на К. Действительно, если х — нену-
ненулевой элемент поля К и ? — стандартный простой дивизор, то
wf (х) = — 1°? IIх % СУТЬ стандартный и, следовательно, конеч-
о
ный элемент поля *5?. В таком случае мы имеем, что w^ {x) = 0.
Если же У — нестандартный простой дивизор, то ввиду леммы 1
а
№|(г) = 0и, значит, w (x) =0. Таким образом, нами получеа
следующий результат.
Теорема I. Каждый простой дивизор уе=*У определяет
нормирование w$ поля *К со значениями в группе R, триви-
тривиальное на поле К.
Если ^ — стандартный простой дивизор, то нетрудно прове-
проверить, что множество значений нормирования Wy совпадает со
всей группой 0? и что его поле вычетов изоморфно :р-адическому
пополнению поля К. Если же f — нестандартный простой диви-
дивизор, то множество значений нормирования w^ является собствен-
о о
ной подгруппой группы R. В этом случае нормирование w^
эквивалентно исходному нормированию и>$ и оба эти нормиро-
нормирования имеют изоморфные группы значений и поля вычетов.
Если х — нестандартный элемент поля *К, то по лемме 2
существует по меньшей мере один простой дивизор р <= *V, для
которого v>y (х) < 0 (это означает, в частности, что w$ не обра-
обращается в нуль на х). Следовательно, рассматриваемые нормиро-
о
вания ю^ могут быть использованы для построения теории диви-
дивизоров поля *К, которая описывает *К по отношению к К как
к его основному полю. Ситуация вполне аналогична случаю поля
18*

276
ГЛ., VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
функций на кривой, где также имеется поле констант. Остав-
Оставшуюся часть параграфа посвятим развитию теории дивизоров
поля *К.
4. Внутренние дивизоры. Начнем рассуждения с понятия ди-
дивизора в алгебраическом числовом поле К. Это понятие вводит-
вводится обычным образом (см., например, [19, гл. 3]) с одним допол-
дополнительным условием, что наряду с неархимедовыми простыми
рассматриваются также и архимедовы простые дивизоры. При
рассмотрении дивизоров поля К мы будем использовать адди-
аддитивную запись.
Определение 1. Группой дивизоров 3) поля К называется
прямая сумма
- 5) = 3>'©2>", ..-
где 3>' — свободный R-модуль. порожденный архимедовыми про-
простыми дивизорами и ®" —свободный Z-модуль, порожденный
поархимедовыми простыми дивизорами.
Это означает, что каждый дивизор aeS имеет единственное
представление в виде
¦ ¦ ¦ ' a = 2<V?. ' (9)
где р пробегает все простые дивизоры из V, а коэффициенты ctj,
удовлетворяют следующим условиям:
1) o^eR, если р — архимедов простой дивизор;
2) «у е 2, если J3 — неархимедов простой дивизор;
3) otp = 0 для почти всех р ^ F {всех fey за исключением
их копечпого числа).
Другими словами, группа 5) может быть представлена как груп-
группа всех функций a: F. —>-0?, удовлетворяющих условиям 1)—3).
Каждый ненулевой элемент х^К определяет дивизор (х)s 3),
а именно главный дивизор
(*)= 2Wj (*)•»• * A0)
Отображение ж '-»¦ (ж) задает гомоморфизм /?* -*• ® мультиплика-
мультипликативной группы К* в аддитивную группу ®. Ядро этого гомомор-
гомоморфизма состоит из корней из 1, содержащихся в К. В частности,
указанное ядро конечно. Множество главных дивизоров образу-
образуют подгруппу $ группы 3).
Определение 2. Факторгруппа & = ®/$ называется груп-
группой классов дивизоров поля К.
Дадим теперь интерпретацию введенных выше попятий в не-
нестандартном расширении *К поля К. При такой интерпретации
*® представляет собой группу всех внутренних дивизоров. Внут-
Внутренние простые дивизоры р s *y содержатся в *3> и каждый
дивизор &^*?> допускает единственное представление в виде
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ, РАСШИРЕНИЯ ДОЛЕЙ
277
(9), где р пробегает все простые дивизоры.из *V: При этом ко-;
эффициенты 0Ьр удовлетворяют следующим условиям:
*1) ctp e *К, если ? — архимедов простой дивизор*
*2) Mj, e *Z, если р — неархимедов простой дивизор; .
^3) множество тех $<=*V, для которых а^фО, звездно
конечно.
*4) функция f *-* осу, задающая отображение *V в *К?, внут-
внутренняя. - ¦ ¦ .-"¦-„
Другими словами, группа *® может быть представлена как
группа всех внутренних функций a: *F—>-*R, удовлетворяющих
условиям *1)—*3).
Как и в случае поля К, имеет место разложение
*3> = *®' ® *3)",
где *3)'—; архимедова, а *3>" — неархимёдова компонентьт груп-
группы *$).
Отображение К -»3), задаваемое при помощи сопоставления
.г I-». (а;), имеет стандартное расширение
которое описывается формулой A0). Так как ядро отображения
К -»- 3) конечно, опо пе расширяется при переходе к *К и, следо-
следовательно, ядро отображения *К -*¦ *3) конечно и состоит в точ-
точности из корней из 1, содержащихся в К. Образ мультиплика-
мультипликативной группы поля *К при гомоморфизме *К -> *® назовем
группой внутренних главных дивизоров и обозначим се *$.
Определение 3. Факторгруппа *@ = *3)/*ф называется
группой классов внутренних дивизоров поля *К.
Обозначим коэффициент а? в соотношении (9) ^(ч) и
определим у-адическую норму \\a|[v дивизора ae*S равенством
Нам спова удобнее будет логарифмическое значение этой
нормы
"> <а> ]о» || а ||, = w, (a) log (jW).
Заметим, что для архимедова у мы определили Aty таким обра-
образом, что log(Np) = l. Стало быть, в этом случае и^(а) = i>v(a).
Каждый дивизор а ^ *® однозначно определяется заданием
значений ivy (а) для всех р е * F. В -частности, можно сложение
дивизоров задать соотношениями
и?, (а + Ь) = w? (a) + и;, (Ь)
для всех у s *F. Отношения
и?,, (Ь)

278
ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
для всех у задают отношение частичного порядка а ^ Ь на *?).
Если a s? Ь, то будем говорить, что Ь делит а. Дивизоры С и Ь,
для которых №р(с) = тах(и>„(а), и„(Ь)) и w^(b) = min(w^(a),
и>у(Ь)), называются соответственно наименьшим общим кратным
с = {а, Ъ) и наибольшим общим делителем Ь = (а, Ь) дивизо-
дивизоров а и Ь.
Назовем число
2 щ (a)=2 ^(a
(И)
размером дивизора
Если формула A1) рассматривается в 3), то она задает гомомор-
гомоморфизм о: ®->[R. Если же эта формула рассматривается как ин-
интерпретация в *35 (в этом случае сумма звездно конечна), то
получаем гомоморфизм о: *Я>—»-*R, который представляет собой
стандартное расширение гомоморфизма <т: 2>->К. В любом из
этих случаев гомоморфизм сг сюръективен. Обозначим его ядро
соответственно 3>о и *5)о- Принимая во внимание соотношение
C), которое может быть переписано в виде
2 и^ (х) = О,
t
мы видим, что главные дивизоры содержатся соответственно в
3>0 и *2>0. Назовем факторгруппы ©о = ®о/$ и © = *®о/*Ф груп-
группами классов дивизоров размера нуль.
Будем рассматривать 3) как подгруппу группы *3), т. е. как
подгруппу всех стандартных дивизоров. Дивизор ае*3> назовем
конечным, если существует такой стандартный дивизор О О,
—с =? а г? С Мы видим, в частности, что все стандартные дивизо-
дивизоры конечны. Если неравенства — С =?1 & ^ с выполняются для каж-
каждого стандартного О 0, то дивизор а назовем бесконечно малым.
Это означает, что w$ (a) = 0 для неархимедова р и что w^ (a) —
бесконечно малое гшлердействительное число для архимедова 1>.
Каждый копечный дивизор <х бесконечно близок к соответствую-
соответствующему стандартному дивизору °й.
Конечные дивизоры образуют подгруппу *5>цп группы *3).
Определение 4. Факторгруппа
называется группой дивизорных порядков значимости.
Как и в случае гилердействительных чисел, запись a = Ь
будет означать, что дивизоры а и Ь имеют один и тот же поря-
порядок значимости и, следовательно, определяют один и тот же
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
класс вычетов в группе ®. Далее, запись d ^ Ь будет означать,
что существует такой дивизор с е *®Нп, что Ъ — й ^ с. В соответ-
ствии с этим получаем отношение частичного порядка на ®,
обладающее тем свойством, что оно наследует отношение частич-
о
ного порядка на *® при естественной проекции *© -*- 3). При
этом сохраняются операции взятия наибольшего общего делите-
делителя и наименьшего общего кратного.
Группа 3) будет играть центральную роль в наших дальней-
о
ших рассмотрениях. Мы можем рассматривать © как группу,
состоящую из тех же самых элементов, что и группа *3), но
о
вместо знака = использовать знак =, задающий один и тот же
порядок значимости. В этом смысле следующая лемма фактиче-
фактически содержит утверждение о группе Ф.
Лемма 3. Пусть <Х, Ь — внутренние дивизоры из *©. Для
о
того чтобы выполнялось соотношение й^Ь, необходимо и до-
достаточно, чтобы
wv (a) < и;, (Ь)
о
для всех !p&*F. В частности, соотношение С = Ь эквивалентно
о
выполнимости соотношений w^(a) = w^(b) для всех ?^*У..
о
Доказательство. Если <Х^Ь, то существует стандартный
дивизор с, для которого Ь — a ^ С. Отсюда следует, что
wv (I — a) = W) (Ь) — u?p (a) > ы>„ (с).
Так как с — стандартный элемент, то w^ (с) — стандартное ги-
пердействительное число, и, в таком случае, Wj,(a)^ ш? (Ь).
о
Обратно, предположим, что w^ (а) ^ и^ (Ь) для каждого р е *V.
Это означает, что существуют также стандартные гипордействи-
тельные числа у^, что w^(b — a)^7j- По определению имеем
¦ wv (Ь — a) = vv (Ь — a) log (jVp).
Если р — нестандартный простой дивизор, то его норма Aty явдя-»
-ется бесконечным элементом множества *М и таковым же эле-
элементом поля *[R является log(iVj)). Следовательно, если
Vy(b — a)<0, то получаем "^(Ь — <x)<Yp и приходим к про-
противоречию. В таком случае v^ty — а) ^ 0 и тогда w^ (Ъ — a) ^ О
для каждого нестандартного простого дивизора f.
Обозначим S множество тех ? е * V, для которых ш^ (Ь — а) <
< 0. Тогда 5 — внутреннее множество, не содержащее нестан-
нестандартных дивизоров. Отсюда} в соответствии с принципом выде-

280
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
ления внешних множеств, заключаем, что S — конечное множе-
множество. Каждый элемент ре5 является стандартным и поэтому
log (Nf) — стандартное положительное число. В таком случае
числа yv/log(N$) — также стандартные для всех ре=S. Пусть
Y — стандартная нижняя граница для этих чисел. Можно счи-
считать, что у е Z) и тогда дивизор
с = v 2 »
является стандартным дивизором, удовлетворяющим неравен-
неравенству С < Ь — й. Действительно, для f е S имеем по построению
(в) = у log (Щ) < y» < и>» (Ь — <*)•
Если же
, то
—а).
Таким образом, нами найден стандартный дивизор С, для кото>-
о
рого Ь — а^ с. Значит, а^Ь и лемма, тем самым, доказана.
о
Для дивизора dG*S обозначим и?р(а) порядок значимости
о о
числа ^р(й), так что Wj,(a)elR. Согласно лемме 3 u^(a)
зависит только от порядка значимости дивизора а. Другими ело-
о
вами, если мы рассмотрим дивизор й как элемент группы ©,.
то u?p(<l) корректным образом определяется как элемент из
о
R. Если 5р пробегает все элементы из *V, то получаем функ-
о
ггяю ))н.1^(й), задающую отображение из *V в *IR. Лемма 3
о
показывает, что (Xе© определяется этой функцией единствен*
о
ным образом. Таким образом, группа ?> может быть точно пред-
представлена как некоторая группа функций, задающих отображе-
отображение *V в &.
Пусть х — ненулевой элемент поля К. Рассмотрим главный
*
дивизор (а;) е *D и его образ в Я). Функция, представляющая
о о
этот образ, имеет вид y«-*«fy(х),гдеw^ —введенное выше норми-
нормирование Крулля поля *К над К. Значит, если рассматривать (х)
о
как элемент группы ?>, то он содержит информацию о значении
х во всех нормированиях иу Ввиду этого элемент (i)eS на-
надо рассматривать как «главный дивизор» элемента х относитель-
но нормирований иу Если каждому х е *К сопоставим его-
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
281
4
главный дивизор (х) е й), то получим составное отображение
proj °
состоящее из внутреннего отображения *К ->¦ *® и проекции *©
о о
на ®. В этом смысле элементы из © будем называть «дивизо-
а
рами», а группу S —«группой дивизоров».
Если х — стандартный элемент, то (х) также стандарт-
о
ный элемент и, в таком случае, (х) = 0. С другой стороны, если
х — нестандартный элемент поля *К, то ввиду леммы 2 имеем
о
(х) Ф 0. Следовательно, лемма 2 дает описание ядра составного
о
отображения *К -*¦ © и утверждает, что это ядро представляет
собой мультипликативную группу поля К. Можяо выразить этот
факт другими словами, сказав, что последовательность отобра-
отображений
1 -*¦ К ¦* *К -у ?
а
точна. Опишем теперь образ отображения *К -*- 3). Для этого
рассмотрим гомоморфизм о: *®->*К, определенный соотноше-
соотношением A1). Если a = Ь, то о(а)=о(Ь) и, следовательно, а оп-
ределяет отображение о: 2>->[R, которое сюръективно ввиду
сюръективности исходного гомоморфизма о. Ядро этого отображе-
отображения состоит из тех внутренних дивизоров а, для которых размер
а(<х) конечен. Для каждого такого дивизора а можно найти ди-
визор а0, удовлетворяющий условиям: а0 = 0 и о (do) = 0. Дей-
Действительно, если о(<Х)=6, где б — некоторое конечное гипер-
гипердействительное число, и V — архимедов простой дивизор, то
оFр) = 6 и, следовательно, можно положить Oq = u — 6у. Отсюда
следует, что каждый элемент из Я>о может быть представлен ди-
дивизором размера 0, т. е. дивизором из *Я>о- Другими словами,
©о состоит из порядков значимости дивизоров, имеющих нуле-
нулевой размер.
Из формулы C) следует, что размер любого главного диви-
дивизора равен пулю. Отсюда получаем, что образ введенного со-
составного отображения *К -*¦ ?) содержится в ©о.
Теорема 2. Каждый дивизор в Й>о — главный, т. е. явля-
является образом некоторого ненулевого элемента х поля *К при
отображении *К -*¦ ©. Более того, последовательность отобра-
отображений
0 П °
¦©-5-R.
точна.

282 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Доказательство. Пусть а ^ *?>. Надо показать, что об-
раз дивизора а в ©о представляет собой главный дивизор. Это
означает, что в поле *К имеется такой элемент х, что а = (х)
или что а=>(х) + Ъ для некоторого конечного дивизора Ь е *S0.
Таким образом, достаточно показать, что а эквивалентен некото-
некоторому конечному дивизору I* (а ~ Ь). Для этого достаточно, в свою
очередь, установить существование такого стандартного диви-
дивизора С S? О, для которого справедливо следующее утверждение:
каждый дивизор а е *3>0 эквивалентен некоторому дивизору
Ь е *?>0, удовлетворяющему условию — с ^ Ь *? с.
Это утверждение является интерпретацией в *© соответ-
соответствующего утверждения в 3) и справедливо в *® в том и толь-
только в том случае, если исходное утверждение справедливо в ?>.
Таким образом, достаточно установить справедливость следую-
следующего утверждения: каждый дивизор не® эквивалентен некото-
некоторому дивизору Ь е S>Oi удовлетворяющему условию — с ^ Ь ^ С
Согласно определению группы S) имеет место разложение
© = Ф'© ?>", где S)'— архимедова часть и &" —неархимедова
часть группы дивизоров ©. Если ввести в рассмотрение проек-
проекцию S) -*¦&", имеющую своим ядром 5)', то двойное отображе-
отображение /?->-Я)-»-©" приводит к факторгруппе ?" =3>"/Ф, представ-
представляющей собой неархимедову часть группы классов дивизоров
<? = ?>/$. Хорошо известно (см. [19, гл. 3]), что ? — конечная
группа, порядок которой называется числом классов h поля К.
Ограничение проекции ®-»-®'" на So остается сюръектив-
ным. Действительно, пусть <l"~?>", о(а")— б и f — архиме-
архимедов простой дивизор. Тогда дивизор <х" — бр имеет размер 0 и
проектируется на а".
В силу сюръективности проекции ®о -*¦ Я)" существуют ди-
дивизоры С], ..., сле©0, образы которых в Ф" представляют раз-
различные классы в S". Обозначим эти образы clt ..., с^ и рас-
рассмотрим произвольный дивизор aes©o. Его образ в Я)" эквива-
эквивалентен (по модулю главных дивизоров в Я)") одному из диви-
дивизоров «,'• Поэтому в ?> мы имеем эквивалентность а ~ с,- + а',
где a'eS'fl ?>o.
Для изучения дивизора а' положим *о — ®' Л ®о и за~
метим, что группа ?>0 представляет собой ядро в Ф' отображе-
отображения о: ®'-*-R. По определению, ?>' является свободным R
модулем, порожденным архимедовыми простыми дивизорами.
Другими словами, если г ¦— число архимедовых простых диви-
дивизоров, то ©' представляет собой действительное r-мерное век-
векторное пространство. Так как отображение о: ®' -> В? является
R-линейным, то ?>о представляет собой {г—1)-мерное подпро-
подпространство в ?>'. Это подпространство содержит те главные ди-
дивизоры, которые полностью содержатся в Ф' и, следовательно,
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
283
являются дивизорами единиц и^ К. По теореме Дирихле (gm.
[19, гл. 2]) группа единиц поля К является конечно порожден-
порожденной группой ранга г — 1, Более того, если иь ..., иг-\ — основ-
основные единицы, то их главные дивизоры {щ), ..., (wr-i) образуют
базис ®о над полем К.
Из сказанного следует, что каждый дивизор d' e ?>0 един-
единственным образом представляется в виде
Г—1
Пусть щ = [а,], так что аг = nt + б,-, где 0 < 6j < 1. Тогда
a' =r^n
г—1
где и = U]/ ... щ^ —¦ единица поля К и V = 2
i=l
Поскольку коэффициенты б( дивизора V ограничены, то Ь' со-
содержится в ограниченной области. Следовательно, можно ука-
указать такой дивизор с' ^ 0, не зависящий от б*, что — с' < Ь' <
=? с'. Именно, если С{ — наименьшее общее кратное дивизоров О,
(м(), — (U(), то в качестве с' может быть выбран дивизор
г—г
Мы показали, что каждый дивизор а' е ©0 эквивалентен
некоторому дивизору Ь' такому, что — с' < V < с'. Следователь-
Следовательно, по сказанному выше, каждый дивизор <Х ^ Й)о эквивалентен
некоторому дивизору tj + V, где l^j<h и — с'<Ь'<
< с'. Положим
с = с0 + с',
где с0 — наименьшее общее кратное дивизоров 0, !± С\, ...
..., ± сл. Тогда дивизор а эквивалентен дивизору Ъ = с;- + Ь', ко-
который удовлетворяет условию —с < Ь < с. Теорема доказана.
Заметим, что при доказательстве теоремы 2 нами существен-
существенным образом были использованы теорема Дирихле об единицах
и теорема о конечности числа классов h. Легко видеть, что до-
доказанная только что теорема фактически эквивалента этим двум
теоремам.
В заключении параграфа хотелось бы отметить аналогию
между утверждением теоремы 2 и соответствующим утверждени-
утверждением для полей рациональных функций с коэффициентами из К.
Именно, в последнем случае каждый дивизор степени нуль так-
также является главным. В этом отношении расширение *К поля
К вполне подобно полю рациональных функций и, значит, *К

284 ГЛ, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
можно рассматривать в некотором смысле как ноле функции
односвязного пространства. Из дальнейшего будет видав, что но
отношению к некоторому его функциональному поднолго. поле
*К во многом аналогично полю • функций универсального наа
крывающего пространства.
Задачи
1. Нормой II Ц поля К называется функция, определенная на К, при-
принимающая неотрицательные вещественные значения и удовлетворяющая
следующим аксиомам:
1) \\x\\ = 0 о х = 0;
2) \\xy\\ = \\x\\ ¦ \)у\\;
3) существует константа с > 0 такая, что || 1 + х}\ ^ с при всех
Норма II II поля К называется тривиальной, если |U|| = 1 для всех
х Ф 0. Две нормы || Hi и II На поля К называются эквивалентными, если
существует положительное действительное число т такое, что
для всех х ^ К. Норма II II поля К называется дискретной, если найдется
такое б > 0, что из условия 1 — 5 < \]хЦ < 1 + 5 следует равенство 1Ы1 = 1.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Всякая норма поля К эквивалентна норме с константой с = 2.
б) Для нормы с константой с = 2 справедливо неравенство треуголь-
треугольника
II* + уII < 11«11 + Ы
(Указание. Установить индукцией по s, что
2s
II i—i
2s max
я вывести отсюда, что для любого целого и ^ 1 справедливо неравенство
max
Используя последнее неравенство, показать, что
II* + у\\ sS {Цп + 1) AЫ1
затем перейти к пределу при в-+- °°.)
в) Если || || — дискретная норма поля К, то найдется такое действи-
действительное число р, 0 < р < 1, что значения нормы || II на отличных от нуля
элементах поля К совпадают с множеством {р"| v e Z} {если ||х|| = р", то
v = v(x) называется порядковой функцией элеитента х Ф 0, а отображение
v: #*-*¦ Z— дискретным нормированием поля К).
2. Норма II II поля К называется неархимедовой, если в аксиоме 3) (см.
предыдущую задачу) можно положить с = 1, т. е. если
II*+yi!=ES maxA|*|
В противном случае норма II II называется архимедовой. Установить спра-
справедливость следующих свойств неархимедовых норм:
а) если ||х|| < Hjrll, то \\х + у\\ = \\y\\;
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОПЕЙ
285
б) множество тех ie^, для которых ||х|| ^ 1, является подкольцом
поля К (которое называется кольцом нормирования поля К относительно
нормы II II и обозначается о);
в) две пормы поля К эквивалентны тогда и только тогда, когда им со-
соответствует одно и то же кольцо нормирования с;
г) множество m элементов х поля К, таких, что 1Ы1 < 1 является един-
единственным максимальным идеалом кольца о (этот идеал однозначно опреде-
определяет соответствующий неархимедов простой дивизор f поля К);
д) если е — единичный элемент поля К, то норма II II неархимедова в
том и только в том случае, если lire • е|| ^ 1 для всех seZ;
е) любая норма поля К ненулевой характеристики р необходимо неар-
неархимедова.
3*. Установить справедливость следующей теоремы Островско-
Островского: всякая нетривиальная норма поля рациональных чисел Q эквивалент-
эквивалентна либо р-адической норме {х \ = р р , либо обычной абсолютной ве-
величине \х].
(Указание. Рассмотреть два случая: либо [|«|| > 1 для некоторого це-
целого а > 1, либо ||а|| ^ 1 для всех целых а ^ 1.
В первом случае представить произвольное целое i>1 в виде
х = zq + Х\а + .,. + x,-\as~l, 0 ^ х\ ^ а — 1,
и показать, что
11|| V
где с' не зависит от х и 0 < а ^ 1. Затем, заменив х на хп
бесконечности, получить неравенство
Hail < х".
Далее, положив х = а' — у, где 0 < у
аналогичных рассуждений неравенство
и устремив ге к
'. a' — a*~l, получить с помощью
Вывести отсюда, что нормирование !1 II поля Q эквивалентно в этом
случае обычной абсолютной величине | |.
Во втором случае показать, что норма II II неархимедова и что множест-
множество тех teZ, для которых !Ы1 < 1, не пусто и является простым идеалом
кольца Z, порожденным простым числом р. Вывести отсюда, что в таком
случае норма 1| || эквивалентна р-адической норме I | v.)
4. Пусть || ||га, 1 ^ m ^ и,— неэквивалентные между собой нетривиаль-
нетривиальные нормы поля К и xi, ..., х-я — заданные элементы этого поля. Доказать,
что в поле К найдется такой элемент х, для которого при любом е > 0 вы-
выполняется система неравенств
. <
(Указание. Положить
где s — достаточно большое целое число, и показать, что достаточно найти
такие элементы а\, ..., ап еК, что Цат1!т > 1 и ||am||i < 1 при I ф т. Для
доказательства последнего утверждения воспользоваться индукцией по
п>2.)
5. Поле К называется полным относительно нормы || II, если оно полно
как метрическое пространство по отношению к метрике ||* — у\\, т. е. если
каждая фундаментальная последовательность хп элементов этого поля
(\\хт — xnll -*- 0 при т, п ->¦ оа) имеет в нем предел по норме || ||.

266
1VL, VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) всякое поле К с нормой II II может быть вложено в единственное с
точностью до изоморфизма поле К с нормой [| II, продолжающей исходную
норму и обладающей тем свойством, что по отношению к ней К является
замыканием поля К;
б) продолженная норма |[ II неархимедова в поле К тогда и только
тогда, когда она неархимедова в поле К;
в) любое сохраняющее норму вло;кепие поля К в полное поле L может
быть единственным образом продолжено до вложения К в L.
6*. Пусть К — поле с неархимедовой нормой Л ||. Множество элементов
ие К, для которых |Ы1 = 1, называется группой единиц поля К (по отно-
отношению к рассматриваемой норме). Пусть m — максимальный идеал кольца
нормирования о поля К (см. задачу 2) и f — соответствующий этому идеалу
неархимедов простой дивизор поля К. Назовем факторкольцо о/т полем вы-
вычетов простого дивизора р (в случае, когда К — конечное расширение поля
рациональных чисел Q, поле о/га конечно и число его элементов называется
нормой Ny неархимедова простого дивизора р). Если норма' || II дискретна,
то ш- главный идеал, и если ш = (я), то всякий элемент idX имеет вид
х = л"щ где v = v(х) —порядковая функция элемента х и и—единица
кольца о.
Пусть К' — конечное расширение степени п поля К, е' и го' — кольцо
нормирования и максимальный идеал этого кольца, соответствующие норме
поля л', которая является продолжением нормы II || поля К на К'. Пред-
Предположим, что норма || || дискретна. Тогда продолженная норма поля К'
также дискретна и, следовательно, и' = (я'). Пусть Г = 1 и Г' — группы
значений нормирований полей К и К', соответствующие рассматриваемым
нормам. Группа Г' является подгруппой группы Г. Индекс е = (Г : Г') под-
труппы Г' в группе Г назовем индексом ветвления поля К\ а степень / по-
поля с'/ш' над полем о/т — степенью поля вычетов.
Предположим, что поле К полно относительно дискретной нормы II ||
и что его поле вычетов о/т конечно. В этих предположениях доказать спра-
справедливость следующих утверждений:
а) Кольцо нормирования о поля К состоит из тех и только тех элемен-
элементов ief, которые представляются в виде ;
71=0
где хп независимо друг от друга пробегают некоторое множество предста-
представителей факторкольца о/т в кольце о.
б) Кольцо о компактно в топологии, индуцированной нормой II ||.
в) Поле К локально компактно.
г) Индекс ветвления е поля К' и степень поля вычетов / связаны со-
соотношением ef = п =. \К' : К].
(Указание. Выбрать элемепты <0i, ..., о>/ из К' таким образом, чтобы
их классы вычетов составляли базис поля о'/т' над о/ш. Показать, что если
<Xi, ..., a.f независимо друг от друга пробегают множество представителей
о/а в о, то элементы ctitoi +... +«/«•/ образуют систему представителей о'/т'
в о'. Учитывая соотношение я; = ji"V, где и' — единица кольца о', вывести
отсюда, что каждый элемент х s= о' допускает разложение
Показать, что ef элементов oj^jx'* составляют множество образующих коль-
кольца о' над о и что они линейно независимы над К.)
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
287
7, Доказать, что если К — локально компактное поле в топологии, ин-
индуцированной неархимедовой нормой |] ||, то:
а) поле К полно;
б) его поле вычетов о/т конечно;
в) нормирование II II дискретно.
8. Пусть к — поле с нормой | | и V — векторное пространство над тю-
тюлем к. Вещественнозначная функция II Ц на V называется нормой, если:
1) \\x\\ > 0 для всех ненулевых элементов х, е V;
2) Ik + y||<NI + llvll;
3) H'ozll = |a| -1Ы1 для всех веЬгеУ,
Две нормы || II и || ||* на пространстве V называются эквивалентны-
эквивалентными, если существуют константы сие* такие, что
для всех х е V.
Пусть к — полное относительно нормы | | локально компактное поле
и пусть пространство V — конечномерно. Доказать, что если wj, ..., wn —
базис пространства V над fe, то каждая норма на V эквивалентна норме
= max | х-х j.
9. Пусть К — расширение поля к. Мы скажем, что норма II II поля К
является продолжением нормы \ | поля к, если Цх|| = \х\ для всех хек.
Пусть, далее, к — полное относительно нормы | | локально компакт-
компактное поле и К — расширение поля к конечной степени [ЛГ: й] = п. При этих
предположениях установить справедливость следующих утверждений:
а) Существует единственное продолжение нормы | | поля к на поле Кг
а именно
1Ы1 = |погтК/ьх|1/п.
(Указание. Рассмотреть поле К как векторное п-мерное пространст-
пространство над полем к. Для доказательства единственности нормы ]| || поля К вос-
воспользоваться результатом предыдущей задачи, а также тем, что две нормы
поля К, индуцирующие одинаковую топологию, необходимо эквивалентны.
Для доказательства существования нормы поля К проверить, что функция
||х|| = |погтК/и*|1/п
удовлетворяет всем аксиомам 1)—3) нормы (см. задачу 1). Для проверки
условия 3) воспользоваться тем, что функция ||г|| непрерывна на компакте-
{х\ \х\ =1} и отлична на нем от нуля.)
б) Если Mi, ..., о»п — базис поля К над полем к, то для любых х\, ...
..., хпе к, отличных в совокупности от нуля, найдутся положительные кон-
константы С] и С2 такие, что
max |
в) Поле К, полное относительно нормы || ||, локально компактно.
10. Пусть А и В — два коммутативных кольца, содержащих поле к, при-
причем В имеет конечную размерность п над к. Пусть Wi, ..., й)п — базис коль-
кольца В над к и (Of = 1. Тогда кольцо В с точностью до изоморфизма опреде-
определяется таблицей умножения
s=l

288 ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ -АРИФМЕТИКА
Определим новое кольцо С, содержащее поле к, элементами которого явля-
являются выражения вида
п
Zj i i' 1 '
где &г имеют тот же закон умножения
п
о>*со*= 2 "ijs00*'
что и wj. Сопоставления
а~ат*, 2РЛ^|;Мг*
задают изоморфные вложения колец А и В в кольцо С.
Кольцо С определяется кольцами А, В с точностью до изоморфизма и
не зависит от конкретного выбора базиса «н, ..., wn. Оно называется тен-
тензорным произведением
С = А®кВ
колец А а В пад полем к.
Предположим теперь, что А и В — поля, содержащие к, и что В — ко-
конечное сепарабельное расширение поля к степени [В : к] = п. В этих пред-
предположениях доказать справедливость следующих утверждений:
а) Кольцо С =~ А ®иВ является прямой суммой
С= е Кг
конечного числа полей Ki, каждое из которых содержит в себе изоморф-
изоморфный образ полей А и В.
(Указание. Показать, что если [1 — порождающий элемент поля В
над к и /e4[i] — мипимальный многочлен степени п элемента [1, то
А ®\В = j4[(**], где 1, (J*, ..., Р*п—1лииейно независимы над А и /(Р*) = 0.
Далее, показать, что если
— разложение многочлена / на неприводимые в кольце А[х] множители,
то многочлены /< различны и, если Ki = A($i), где /i(pi) =0, то отобра-
отображения
задаваемые формулами
являются гомоморфизмами колец. Вывести отсюда, что кольцевой гомо-
гомоморфизм
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
289
является изоморфизмом и что гомоморфизм колоц
щ
BABK
представляет собой вложение.)
б) Если Fe k[х\ — характеристический многочлен элемента jieS и
6(e4[i], I ^ I =g: m,— характеристические многочлены образов элемента [5
при отображениях
в) Для каждого элемента J
г=1
: В имеют место равенства
m
— TTnorra^-., ,В,
И*. Пусть К — сепарабелъное расширение поля к конечной степени
[К : к] = п. Доказать, что существует не более п различных продолжений
нормы | [ поля к на К. Показать далее, что если || IU, 1 ^ i ^ m — вее
различные продолжения нормы J | на К и к, Ki — пополнения полей к л К
по нормам | 1 и || II; соответственно, то имеет место равенство
(Указание. Воспользоваться результатами задач 5,. 9 и 10.)
12*. Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел Q и
L — конечное расширение поля К. Обозначим L пополнение поля L по нор-
норме II I! этого поля, К — замыкание ноля К в поле // и hK — композит по-
полей L и К (наименьшее подполе ноля L, содержащее L ж К).
Доказать, что поле LK полно относительно индуцированной нормы. Вы-
Вывести отсюда, что LK = L.
(Указание. Композит LK является конечным расширением поля К.
Пусть СО|, ..., «iOT —базис поля LK над К. Показать, что для любой фунда-
фундаментальной последовательности
последовательности коэффициентов х„п сходятся в поле Я".)
13*. Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел Q,
р — неархимедов простой дивизор поля К и ш. = (я) — соответствующий
ему максимальный идеал кольца нормирования с поля К. Пусть далее р —
простое число, порождающее идеал mflZ. Тогда р = я и для некото-
некоторого целого e^i ж некоторой единицы и из кольца р. Простой дивизор f
однозначно определяет две нормы 1 L и || [ , а именно, такие нормы,
для которых
19 С. А. Степанов

290
ГЛ. VI. ЦЕЛЫЕ ТОЧКИ И НЕСТАНДАРТНАЯ АРИФМЕТИКА
Если / — степень поля о/т пад полем J/pZ, to
У»
для любого ненулевого элемента х е К. Множество норм поля К, состоя-
состоящее из всех р-адических норм | |^, а также из вещественных и обычных
комплексных норм | [, назовем канонической системой норм поля К. Сис-
Систему всех S-адических норм
»,
а также всех вещественных и комплекс-
комплексных норм вида || II = | |2 назовем кеазиканонической системой норм по-
поля К. Пусть К„ — пополнение иоля К по архимедовой иди неархимедовой
норме 1 L канонической системы, К —алгебраическое замыкание поля
Ку и L — конечное расширение поля К, Доказать, что два вложения
а,т: L-+R
полл L над К индуцируют одну и ту же норму поля L в том и только в том
случае, когда они сопряжены иад полем К (сопряженность над К озна-
означает, что существует изоморфизм поля °LK на поле iLK , тождествен-
тождественный на К Л.
(Указание. Если вложения а и х сопряжены, то ввиду однозначно-
однозначности продолжения нормы с К на ЙГ-, они индуцируют на L одинако-
одинаковые нормы.
Для доказательства обратного утверждения установить, что если 9 : т? —
-)- aL — некоторый ЛГ-иаоморфизм, то его можно продолжить до К -изомор-
-изоморфизма полей
и aLK Л
14*. Пусть К — конечное расширение степени п поля рациональных чш-
еел Q и | |„ — некоторая каноническая норма поля Q. Если | L — про-
продолжение | |р на поле К, то будем говорить, что простой дивизор f лежит
над простым дивизором р и писать $\р (мы используем одно и то же обо-
обозначение р для неархимедова простого дивизора поля Q и для порождающе-
порождающего его максимального идеала).
Пусть ш — максимальный идеал кольца нормирования о поля К, соот-
соответствующий неархимедову простому дивизору у. Если ш. = (я), m П 2 = (р)
и р = п, и, где и — некоторая единица кольца б, то целое число ев*^ 1 на-
называется индексом ветвления простого дивизор* р в р. Если $ — архимедов
или неархимедов простой дивизор поля К, лежащий над р, и К , Qp — по-
пополнения полей К, Q по каноническим нормам | | , | | соответственно,
то число п = \К*' Qpl называется локальной степенью.
п = \К*'
pl
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Если поле К имеэт г вещественных и 2s комплексных вложения в по-
поле комплексных чисел С, так что п = г + 2s, то каноническая система со-
содержит г вещественных и s комплексных архимедовых норм. Локальная сте-
степень для случая вещественных и комплексных норм равна 1 и 2 соот-
соответственно.
§ 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
291
б) Если !>в (К*) и v (С*) — группы значений дискретных нормирова-
нормировании v и vp, соответствующих каноническим нормам
индекс
ветвления е простого дивизора f> совпадает с индексом ветвления поля К
(см. задачу 6).
в) Если /и — степень поля вычетов неархимедова простого дивизора J>
поля К, то
(Указание. Воспользоваться результатами предыдущего пункта и
п. г) задачи 6.)
г) Для каждого простого дивизора р поля Q имеет место соотношение
(Указание. Выбрать элемент а ^ К таким образом, что К= Q (а).
Показать, что если
f = h--.fr
— разложение на неприводимые в кольце Qp [x] множители минимального
многочлена f ^ 2 [х]] элемента а, то все /i различны. Вывести отсюда, что
вложения поля К в алгебраическое замыкание Qp поля Qp находятся во
взаимно однозначном соответствии с корнями многочленов /* и что вложе-
вложения сопряжены тогда и только тогда, когда элемент а отображается ими
в корни одного и того же многочлена /j. Затем воспользоваться результа-
результатом предыдущей задачи и показать, что локальные степени совпадают со
степенями многочленов /<.)
д) Для каждого простого дивизора р поля Q и для всякого элемента х
поля К выполняются соотношения
UOTmK/Qx =
=п
norm,
Яр
е) Для каждой канонической нормы
мента х е К имеет место соотношение
\Р поля Q и для всякого эле-
K/Qx
(Указание. Воспользоваться результатами предыдущего пункта и
п. а) задачи 9.)
ж) Для всякого ненулевого элемента ieS найдется не более конеч-
конечного числа канонических норм
поля К, для которых
з) Если х — произвольный ненулевой элемент поля К и
пробегает
все квазиканонические нормы поля К, то || х Щ = для почти всех у и
(Указание. Воспользоваться результатами п. д), е), а также ре-
результатом задачи 5 из § 2, гл. IV.)
19*

ГЛАВА VII
ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ - МАЛЕРА
Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел
Q и X — плоская аффинная алгебраическая кривая рода g, оп-
определенная над К уравнением
П*, if)— 0.
Тсорома Зигеля — Малера утверждает, что если g> 1, то на при-
привой X имеется лишь конечное число точек (x't у') с квазице-
квазицелыми координатами х', у' е К.
В данной главе дается нестандартное доказательство этой
теоремы, основанное на использовании арифметики фиксиро-
фиксированного пестандартпого расширения *К поля К.
§ 1. Нестандартный эквивалент теоремы Зигелп — Малера
1. Функциональные дивизоры. Арифметическая структура
поля К может быть описана при помощи простых дивизоров "р
этого поля, определяемых как классы эквивалентных между со-
собой нетривиальных нормирований поля К,
Пусть *К — фиксированное нестандартное расширение поля
К. Поле К алгебраически замкнуто в *К. Элементы поля К
называются стандартными, а элементы поля *К, не принадле-
принадлежащие К, называются нестандартными элементами поля *К.
Точка (хг, у')^ *КХ*К называется нестандартной, если хотя
бы одна из ее координат нестандартна.
Предположим, что вопреки утверждению теоремы Зигеля —
Малера на кривой X имеется бесконечно много ^-рациональных
точек с квазицелыми координатами по отношению к некоторо-
некоторому конечному множеству простых дивизоров S = {»ь ..., "pj
поля К. Тогда, в соответствии с принципом нестандартного рас-
ширепия для отношений, на кривой X существует нестандартная
точка (х', у') с координатами х , у', являющимися квазицелы-
квазицелыми элементами поля *К по отношению к тому же самому мно-
множеству простых дивизоров S. По построению множество S со-
состоит только из стапдартпых простых дивизоров 1р и, стало быть,
знаменатели элементов х' и у' не делятся ни на какой нестан-
нестандартный дивизор поля *К.
Как было отмечено выше, поле К алгебраически замкнуто
в *К. В таком случае, поскольку точка (х', у') нестандартна,
то по крайней мере одна из ее координат трансцендентна над К.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
293
Отсюда следует, что (х\ у')— общая точка кривой X над по-
полем К. Это означает, что поле функций К(Х) на этой кривой
Я-изоморфно полю F = K(x', у'), и при отождествлении К(Х)
с F получаем включение F <=*К (см. замечание в конце п. 2
данного параграфа), которое можно интерпретировать как пред-
представление рациональных функций из F нестандартными алгеб-
алгебраическими числами. В силу указанного изоморфизма род поля
F равеп роду g кривой X.
Поле F порождается над его полем констант К двумя раци-
рациональными функциями х и у , которые при их интерпретации
в виде алгебраических чисел поля *К содержат в своих знаме-
знаменателях лишь стандартные дивизоры этого поля. Тогда спра-
справедливость теоремы Зигеля — Малера вытекает из следующего
утверждения.
Теорема А. Пусть F — поле алгебраических функций от од-
одного переменного над полем К и пусть F вложено в *К, так что
Если F поле рода g > 1, то знаменатель каждой непостоян-
непостоянной функции х е= F делится по меньшей мере на один нестан-
нестандартный простой дивизор поля *К.
Легко показать, что справедливо и обратное, а именно, что
теорема А следует из теоремы Зигеля — Малера. Таким обра-
образом, теорема А может рассматриваться как нестандартный экви-
эквивалент теоремы Зигеля — Малера.
Теорема А допускает иную формулировку, в которой вме-
вместо непостоянных функций участвуют простые дивизоры поля
F (классы эквивалентных между собой нормирований поля F
над К). Такие дивизоры, в отличие от арифметических про-
простых дивизиров поля *К, будем называть функциональными
простыми дивизорами (в случае алгебраически замкнутого по-
поля К функциональные простые дивизоры поля F находятся во
взаимно однозначном соответствии с точками кривой X).
Каждый нестандартный арифметический простой дивизор р
поля *К тривиален на К и, следовательно, индуцирует на поле
F нормирование, которое, в случае его нетривиальности, опре-
определяет некоторый функциональный простой дивизор Р поля F.
Будем говорить, что дивизор Р индуцирован простым дивизо-
дивизором р и писать при этом р I Р.
Если каждый функциональный простой дивизор Р индуциро-
индуцирован некоторым нестандартным арифметическим простым диви-
дивизором ? поля *К, тогда справедливо утверждение теоремы А.
Действительно, каждая непостоянная функция х <= F имеет по
меньшей мере один полюс, скажем Р, представляющий собой
функциональный простой дивизор. Если этот дивизор индуциро-
индуцирован нестандартным арифметическим простым дивизором р поля
*К, то Т> делит знаменатель рациональной функции х.

294
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Обратно, из теоремы Л следует, что каждый функциональ-
функциональный простой дивизор Р поля F индуцирован некоторым нестан-
нестандартным арифметическим простым дивизором "р поля *К. Дей-
Действительно, в соответствии с теоремой Римана — Роха сущест-
существует функция х е F, имеющая Р в качестве единственного свое-
своего полюса. Из теоремы А следует, что имеется нестандартный
простой дивизор у поля *К, делящий знаменатель рациональ-
рациональной функции х и, следовательно, индуцирующий полюс Р функ-
функции х. Так как это единственный полюс рассматриваемой функ-
функции, то у] Р.
Из сказанного получаем, что теорема А эквивалентна следу-
следующему утверждению.
Теорема В. В условиях и обозначениях теоремы А каждый
функциональный простой дивизор Р поля F индуцируется не-
некоторым, нестандартным арифметическим простым дивизором
J) поля *К.
Для полей рода g = О утверждения теорем А и В перестают
быть справедливыми, например, пусть F = K(x), где х — неко-
некоторый нестандартный целый элемент в *К. Тогда ^ = 0 и зна-
знаменатель элемента х не делится ни на один неархимедов про-
простой дивизор. Значит, теорема А не справедлива для функции
х е F, а теорема В не справедлива для полюса функции х. Од-
Однако нестандартный подход позволяет получить некоторую ин-
информацию и в случае g — 0. Оказывается, что в этом случае су-
существует не более двух исключительных в смысле теоремы В
функциональных простых дивизоров, т. е. простых дивизоров
поля F, которые не индуцируются никакими нестандартными
арифметическими простыми дивизорами поля *К (см. задачу И).
Это приводит к параметризации тех функций и<^ F, знаменате-
знаменатели которых не содержат нестандартные арифметически про-
простые дивизоры (см. задачу 1,2). Указанный результат можно
рассматривать как нестандартную версию зигелевской парамет-
параметризации кривых рода 0, обладающих бесконечным числом це-
целых точек [54d]).
Среди всех нормирований поля F (обязательно неархимедо-
неархимедовых) , определяющих функциональный простой дивизор Р, име-
имеется ровно одно каноническое нормирование, для которого груп-
группа значений совпадает с Z- Назовем это нормирование Р-ади-
ческой порядковой функцией поля F и обозначим ее Vp. Поле
вычетов дивизора Р является расширением конечной степени
п = deg P поля К (см. задачу 2). Если
то имеет место соотношение
выражающее тот факт, что каждый ненулевой элемент х е F
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
295
имеет одинаковое число нулей и полюсов (в этом соотношении
jP пробегает все функциональные простые дивизоры поля F,
включая простой дивизор, соответствующий бесконечно удален-
удаленной точке кривой X).
Определение 1. Свободный Z -модуль, порожденный
функциональными простыми дивизорами Р поля F, называется
¦группой функциональных дивизоров поля F.
Обозначим эту группу Div (F) и заметим, что каждый функ-
функциональный дивизор А е Div (F) однозначно представляется в
киде
А = 2аР.Р,
р
хде аР — целые числа, равные нулю для почти всех Р. Поло-
Положим
Число
Wp(A)=vP(A)deg P.
deg A = 2 wp (A)
р
назовем степенью функционального дивизора А.
Определение 2. Ядро степенного гомоморфизма deg:
Div (F) —>¦ % называется группой функциональных дивизоров
¦степени ноль.
Обозначим эту труппу Div°(F). Каждый пенулевой элемент
jel1 определяет главный дивизор
'{мы используем квадратные скобки, чтобы отличить функцио-
функциональные главные дивизоры от арифметических главных диви-
дивизоров (х) е *2)). Сопоставление х *-*¦ [х] задает отображение
F -* Div.(F), ядром которого является мультипликативная груп-
группа поля констант К. Другими словами, последовательность
точна. Ввиду соотношения A) образ 5E [F) мультипликативпой
трудны поля F при отображении F -*¦ T)iv(F) содержится в груп-
группе Div°(F).
Одределение 3. Факторгруппы Gl(F) = Di\(F)l$(F) и
С1°(/') = Div°(.F)j^(F) называются соответственно группой клас-
классов функциональных дивизоров и группой классов функциональ-
функциональных дивизоров нулевой степени.
Установим связь между функциональными и арифметически-
арифметическими простыми дивизорами. Пусть у е * V — арифметический про-
простой дивизор и . Wy (ж) = —loglMly— логарифмическое значе-

296
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
ние нормы \\х\\г В общем случае функция w^(x) либо вовсе не
является, нормированием поля *К (в елучае, когда р — архиме-
архимедов простой дивизор), либо она не тривиальна на К (в случае,
когда V — стандартный простой дивизор). Однако модифициро-
модифицированная функция wr задающая порядок значимости величины
wt (x)' представляет собой нормирование поля *К, тривиальное
на К. Следовательно, ограничение фупкции wv па подполе F
поля *К задает, в случае его нетривиальное^ на F, нормирова-
нормирование поля F над К, определяющее некоторый функциональный
простой дивизор Р. В этом случае назовем арифметический про-
простой дивизор V эффективным на F и скажем, что дивизор Р ин-
индуцирован дивизором р. Если функциональный простой дивизор
Р индуцирован арифметическим простым дивизором р поля *КГ
то будем писать у\Р. Построенное нами нормирование wP ноля
F эквивалентно функции го? на F в том смысле, что существу-
ет гипердействительное число п^ > 0, для которого
w)f(x)'=nvwp(x) B)
при всех О Ф х е F. Порядок значимости числа nv определяется
этим соотношением единственным образом.
Пусть п е F — униформизирующий параметр простого диви-
дивизора Р, т. е. Ур(л)=1. Если положим e^ = vf(ji) и /? =
, то из соотношения B) получим
Число е^ можно рассматривать как р-адический индекс ветвле-
ветвления, а число Д, как р-адическую степень поля вычетов расшире-
расширения *К поля F. В свою очередь, инвариант пр можно рассмат-
рассматривать как локальную степень поля *К над F.
Лемма 1. Каждый функциональный простой дивизор Р по^
ля F индуцируется некоторым арифметическим простым диви-
дивизором р поля *К.
Доказательство. По теореме Римаыа— Роха существу-
существует элемент х е= F, имеющий Р своим единственным полюсом,
т. е. wP(x)<0 для единственного функционального простого
дивизора Р поля F. Так как х <? К, то из леммы 2 из § 3 гл. VI
следует, что существует арифметический простой дивизор р, та-
такой, что Wy(x) < 0. Последнее неравенство означает, во-иервых,.
что у эффективен на F и, во-вторых, что р индуцирует в поле
F функциональный простой дивизор, который является полю-
полюсом элемента х. Поскольку элемепт х имеет единственный по-
полюс Р, отсюда следует, что р|Р. Лемма доказана.
S 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
29Т
Покажем теперь, что существует вложение i: Div(P)-»- S>
группы функциональных дивизоров Div^) в группу дивизор-
о
ных порядков значимости ©. Для существования такого вложе-
вложения необходимо, чтобы образ iA каждого функционального ди-
дивизора А имел следующие р-адические значения:
('уМЛ), если Н Л (~
'^ 1 0, если р не эффективен на F.
Далее, если дивизор iA e *2> с указанными свойствами суще-
существует, то в соответствии с леммой 3 из § 3 гл. VI он определя-
определяется однозначно.
Лемма 2. Для каждого функционального дивизора А ^
е Diyff) существует арифметический дивизор iA <s *S>, удов-
удовлетворяющий условиям C). Этот дивизор однозначно определен
в своем порядке значимости и составное отображение.
i: Div(F)^ *S> -> S
является инъективным гомоморфизмом, обладающим следую-
следующими свойствами:
1) А ^ В <=> iA ^ iB\
2) i (А, В) = (iA, iB);
4) i [x] L (x).
Доказательство. Установим сначала существование ди-
дивизора iA ^ *S), удовлетворяющего условиям C). Если А = [х] —
главный дивизор некоторого элемента х е F, то можем поло-
положить iA=(x). В этом случае справедливость C) гарантирована
соотношениями B). В общем случае попытаемся выразить А
через главные дивизоры, и затем воспользуемся полученным
только что результатом.
Покажем сначала, что можно ограничиться рассмотрением
случая, когда А *? 0. В самом деле, если А не положителен, то
представим А в виде А=В — С, где В = {О, А} ^ 0 и С =
= @, —А)>0. Тогда, если установлено существование iB и iC.
то мы можем положить iA — iB — iC (заметим, что условия C)
носят аддитивный характер).
Итак, пусть А>6, т.е. wP(A)>0 для всех функциональных
простых дивизоров Р. Среди них имеется лишь конечное число та-
таких, что ieP(A)>-0. Используя теорему об аппроксимации (тео-
(теорема 3 из § 2 гл. IV), можно найти такой элемент x^-F, что
wP(x)= wv(A)
для всех Р с условием wP(A)>i).
Далее, имеется лишь конечное число простых дивизоров Р
с условием wp(x)>§ и, следовательно, можно найти такой

298
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИ(ГЕЛЯ — МАЛЕРА
ненулевой элемент y<=F, для которого
iwp(A), если wP(A)~
"-> (У) = [
В таком случае
), если wP(A)^>0,
min' '-
О, если wP (A) = О и wP (x) > 0.
ш
mm(wP(x), ы;Р(г/))<0, если wP(x)*i0.
Отсюда следует, что
max@, mm(wP(x), wP(y)))=wP[A)
для каждого функционального простого дивизора Р и, значит,
A-iO, ([x], [у])}.
Таким образом, нам удалось выразить дивизор А через главные
дивизоры [х] и [у].
Положим теперь
*Л = {0, {(х), (у)))
ж заметим, что для каждого арифметического простого дивизо-
дивизора у
и;» (iA) = ™ах @, min («;„ (х), wv (у))).
Если р — эффективен на F, то, используя соотношение B), по-
получаем
шр (г'Л) = Пу шах @. min (даР (х), wP (у))) = тг^Юр (А).
Если же ft не эффективен на /*', то имеем w^ (х) = 0 = ц^ (г/), и
тогда w-р (iA) = 0. Тем самым мы установим существование диви-
дивизора iA е *®, удовлетворяющего условиям C).
В ломме 3 из § 3 гл. VI было показано, что каждый дивизор
о о
,в © однозначно определяется его р-адическими значениями в R.
о
¦Следовательно, дивизор iA однозначно определен в 3) условия-
условиями C) независимо от выбора элсмептов x,y^F, участвовавших
в построении этого дивизора. Таким образом, мы получили отоб-
о
сражение i: Div(F)^S), которое, как легко видеть, является го-
гомоморфизмом групп, сохраняющим отношение частичного по-
порядка, а также операции взятия паиболынего общего делителя
ж наименьшего общего кратного. Остается показать, что
и установить, тем самым, инъсктивность отображения i.
% 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
299
Пусть Р — функциональный простой дивизор. Из леммы 1
«следует, что существует арифметический простой дивизор у\Р.
о о
iB, имеем wv(iA) ^wv(iB).Ввиду C) это означает,
nvwP (A) < nvwP (В)
Так как
что
дли, что
nvwP (A) < rifWp (В) + у,
Где у — некоторое конечное гипердействительное число. Стало
«быть,
к^(Л)^ wP(B)+b,
,тпе 6 = ylriy
а
Поскольку щ> 0, то /?„ — бесконечно большое число и, зна-
значит, 6 — бесконечно малое число. Б частпости, б < 1 и, сле-
следовательно,
wP(A)< wP(B)+ 1.
Так как wP(A) и W[>(B) — стандартные целые числа, то
а так как Р — произвольный функциональный простой дивизор,
то А ^ В. Лемма доказана.
о
Ввиду получеппого нами вложения г: Div(,F)^S можно
отождествить группу Div(F) с ее образом в S). В соответствии
<с этим вложением будем рассматривать функциональные диви-
дивизоры А^Ш\(Р) как арифметические внутренние дивизоры с
той лишь оговоркой, что для них вместо знака = используется
зпак ==. При этом формула C) и свойство 4) из леммы 2 пере-
перепишутся в виде
vP (А), если р | Р, D)
О, если р не эффективен па F,
[х] = (х) ' E)
¦соответственно.
Каждый функциональный дивизор ^^Div^), рассматри-
рассматриваемый как элемент грушш S), имеет однозначно определенный
размер а(А)^Ы. Поэтому получаем отображение
a: Div {/'")—»-Я?.
*С другой стороны, имеем отображение deg: Div(F)->Z> ста-
ставящее в соответствие дивизору A^Div(F) его степень
= 2 wP (A) = 2 vP {A) deg P.
р р

300
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Возникает естественный вопрос о том, каким образом связаны
между собой инварианты а и deg на группе DivfF).
Рассмотрим сначала этот вопрос для случая конечного рас-
расширения Е степени п поля F. Пусть <?р — индекс ветвления про-
простого дивизора $ поля Е, лежащего над простым дивизором Р"
ноля F(^>\P), относительно Р (см. задачу 2). Если F и Е имеют
одно и то же поле констант и если
con: Div(^)-+ Div(?)
— отображение, ставящее в соответствие каждому дивизору
группы Div(F) дивизор
conF/ FA = 2 vP (A) <?„ ¦ р
группы Div(E) (называемый конормой дивизора А), то для:
всех А ^ Div(F) имеет место (см. задачу 5) соотношение
deg (conF/EA) = п deg A.
Введенное выше отображение
вполне аналогично отображению con.
Кроме того, размер о (А) дивизора А, рассматриваемого как:
элемент группы 3), играет роль степени этого дивизора. Поэто-
Поэтому, несмотря на то, что расширение *К поля F не является
конечным, мы вправе надеяться на существование такого гипер-
действительного числа v>0, для которого при всех A ^Div(F)
справедливо аналогичное соотношение
о
а (А) — v deg Л.
Однако, ввиду того, что *в? является неархимодовым упорядо-
упорядоченным полем, последнее соотношение в общем случае оказы-
оказывается неверным. Тем пе менее, справедливо весьма похожее,
но более слабое, соотношение
^ F),
где символ ~ означает бесконечную близость соответствующих
гипердействительнътх чисел.
Прежде чем перейти к доказательству справедливости по-
следпего соотношения, остановимся па нем более детально. На-
Напомним, что два гипердействительных числа a, f5 e *К назы-
называются бесконечно близкими, если а = р" + 6 для некоторого.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
301
¦бесконечно малого числа б. Как и в случае конечных гипер-
гипердействительных чисел, бесконечно малые числа образуют изоли-
изолированную аддитивную подгруппу *Rinf группы *Ц?. Поэтому
факторгруппа *K/*Rint наследует отношение порядка, имею-
имеющегося Ha*R- В соответствии с этим, если а ^ jl + 6 при неко-
некотором бесконечно малом б, то будем писать а < р. Заметим, что
оба отношения а ^ р и а ^ р имеют аддитивный характер и
не согласованы с операцией умножения. Тем не менее, множе-
множество *ii?fin образует кольцо нормирования поля *№?, а множест-
множество *K;ni является максимальным идеалом этого кольца.
Лемма 3. Пусть v — бесконечно большое гипердействителъ-
о о
ное число. Если. сс<[р\ тогда a/v < p7v. В частности, если a=Pi
то a/v« p7v. Другими словами, сопоставление a>->a/v задает
сохраняющий отношение порядка гомоморфизм аддитивной
а
-группы й? = *R/*Sfin на группу *K/*Rinf-
о
Доказательство. Если a < р, то а «? $ + f, где ч — не-
некоторое конечное число. Отсюда следует, что a/v ^ §/v + 6, где
•5 = f/v, а так как f — конечное и v — бесконечно большое, то
-б — бесконечно малое число. Следовательно, a/v ^ p7v и лемма,
тем самым, доказана.
Если J4sDiv(iJ?), то число о{А) определено по mod *Кг;п.
Из предыдущей леммы следует, что отношение a(A)/v определе-
определено по mod *Кш- Поэтому соотношение F) является лучшим, на
-что можно надеяться при наших рассмотрениях.
Теорема 1. Существует бесконечно большое число v e *К
такое, что
а (А)
deg Л
для всех функциональных дивизоров A^Dlv(F). Число v опре-
определено однозначно с точностью до бесконечно малых в следую-
следующем мультипликативном смысле: если ц. е *R — другое такое
число, то v/u, ~ 1.
Доказательство. Выясним сначала формальные свойст-
свойства отображения а.
1) Отображение a: Div (/")->-К представляет собой сохра-
сохраняющий отношение порядка гомоморфизм, который равен нулю
на главных дивизорах [х] е Div (F).
Ввиду включения П1у(^)<=3>, справедливость первого утверж-
утверждения следует из его справедливости для исходного отображе-
отображения a: *S)—»-*R. Что касается второго утверждения, то ввиду
формулы C) из § 3 гл. VI, оно справедливо для отображения
<т: *®->*R и для главных дивизоров (аг)^*ф. Поскольку, вви-
ввиду соотношения E), дивизоры [х] и (х) можно отождествить,
о
то оно справедливо также и для отображения о: Div(F)->K.

302
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
2) Отображение a: Div{F)-> (R не paewo тождественно
о
нулю. Более того, а(Л)>0 9ля каждого А > 0.
о о
Если 4 > 0 в группе Div (.?"), то Л>0 в группе S и, следо-
следовательно, достаточно показать, что для каждого внутреннего-
о
дивизора <t неравенство a > 0 влечет за собой неравенство
О о
a(a)>0. Ввиду леммы 3 из § 3 гл. VI, если a > 0, то сущест-
о
вует f e= *V, для которого w^ (a) > 0. В таком случае, доста-
достаточно доказать, что
для любого внутреннего дивизора а и любого внутреннего про-
простого дивизора р. Это утверждение тривиальным образом спра-
справедливо в *3), а именно
Но тогда оно выполняется также ив®.
Приступим теперь к доказательству теоремы. Пусть g — род.
поля F. Если degA>g, то из теоремы Римана — Роха следует,
что существует положительный дивизор А' > 0, который линей-
линейно эквивалентен дивизору А. Тогда из свойства 1) выводим, что»
Если deg A > 0, тогда существует положительное целое-
neZ такое, что deg (nA)> g. В таком случае о (пА) = па (А) > О
о
и, следовательно, о (А) ^ 0. Заменяя теперь дивизор А на
дивизор А — В, получаем
deg A ^ deg В => а (А) > о (В).
Далее, заменяя А ж В соответственно па тпА и пВ, где m, n e
s 2, выводим, что
m deg A> n deg В => то (А) > по (В). G)
. Последнее утверждение остается справедливым и для рацио-
рациональных т, п (этот случай сводится к случаю целых т, п ум-
умножением на наименьший общий знаменатель).
Выберем фиксированный положительный дивизор В > 0.
Тогда degi?>0 з. по свойству 2) о*E)>0. Пусть ve*IR
о
таково, что v = а (В)/deg В. Ясно, что v — бесконечно боль-
большое гипердействительное число. Полагая в G) m = 1, п =
= r/degB, где ге(!,и используя результат леммы ?, получаем
deg А > г => а (А) > rv => a (^)/v ^ г.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
303
Данное утверждение справедливо для любых рациональных
г < deg А. Поэтому, устремляя г к deg А, приходим к нера-
неравенству
-2^1 > deg A.
С Другой стороны, проведя в G) замены А •++ В и повторяя
рассуждения, получаем противоположное неравенство
Следовательно,
о (А)
deg A
и остается лишь доказать единственность числа v.
Заметил!, что если а, р <^*КМ, тогда а « р1 =*¦ а/р1 « 1.
Пусть j4 — произвольный дивизор положительной степени. Тог-
Тогда в соотношении
——
числа o(j4)/v и c(A)/ii не являются бесконе^шо малыми и, стало
быть, v/jx « 1. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть А, В е= Div (F). Если deg^>0, то
а(А)>0 и
а (В) ^ dog В
а (А) ~ deg A'
Рассмотрим теперь непостоянный элемент х е F и возьмем
в качестве А дивизор полюсов элемента х:
А = -@, [х])={0, -\х]).
Мы знаем, что (см. теорему 7 из § 2, гл, IV) deg^=[F: K(x)]r
С другой стороны, если рассмотрим А как внутренний дивизор,
то получим, что
где {0, — (х)} является знаменателем элемента х е *К в ариф-
арифметическом смысле. Чтобы вычислить размер этого знаменателя,
заметим, что
Юр {0, — (х)} = шах @, — Wy (я)) = log-max"(l, \\x\\^j,
и введем в рассмотрение высоту Хассе

304
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
элемента х. Тогда получаем соотношение
o(A)~logH(x)
и приходим к следующему результату.
Следствие 2. Пусть х — непостоянный элемент поля F.
Тогда для каждого дивизора B^Div(F) справедливо соотно^
шсние
а(В)
В частности, взяв в качестве В дивизор полюсов другого не-
лостоянного элемента y^F, получаем следующий результат.
Следствие 3. Для любых двух непостоянных элементов
имеет место соотношение ¦
log Я (у) _ [F: К (у)]
iogH(x) ~ [F: К{х)]'
2. Исключительные функциональные дивизоры. Пусть Р —
функциональный простой дивизор поля F. Из леммы 1 следует,
что существует по меньшей мере один арифметический простой
дивизор ? поля *К, такой, что f\P. С другой стороны, теорема В
утверждает, что среди таких арифметических простых дивизо-
дивизоров р имеется нестандартный простой дивизор, если только род
g поля F больше нуля. Следовательно, необходимо изучить те
фушщиопальпые простые дивизоры Р, которые не индуцируются
нестандартными простыми дивизорами р. Такие простые дивизо-
ры назовем исключительными и покажем, что исключительные
простые дивизоры существуют только в случае g = 0.
Расширим понятие исключительных простых дивизоров и
назовем функциональный дивизор А ^ Div(i?) исключительным,
если
А = Pi + Р2 + ... + Рг,
где Pi — различные исключительные простые дивизоры: Таким
образом, исключительные дивизоры положительны и не имеют
кратных компонент.
Наша ближайшая цель будет состоять в том, чтобы полу-
получить одеттку для степени исключительного, дивизора А, кото-
которая одновременно даст нам верхнюю оценку для числа исключи-
исключительных простых дивизоров поля F (если только они существу-
существуют). Как мы знаем из теоремы 1, степень дивизора А тесно свя-
связана с его размером. В силу этого приходим к необходимости
изучения размера о (А) исключительного дивизора А.
Скажем, что арифметический простой дивизор р эффективен
на А (обозначение: $\А), если р индуцирует некоторую компо-
компоненту Р дивизора А.
Лемма 4. Пусть A^Biv(F)—исключительный дивизор
.поля F. Тогда существует лишь конечное число арифметичес-
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
305
них простых дивизоров t поля *К, эффективных на А. Простые
о
дивизоры $\А характеризуются условием Wy(A)>0 и имеет
место соотношение
Доказательство. Если $]А, го существует некоторая
компонента Р дивизора А, такая, что р|Р. Отсюда, ввиду D)
получаем
о о о
и>у {А) = nfwp (А) ^ «у > 0. ¦
о
Обратно, предположим, что и;?D);>0. Тогда из формулы D)
следует ,что простой дивизор у эффективен на F, т. е. сущест-
существует некоторый функциональный простой дивизор Р, такой,
что у\Р. Более того, эта формула показывает, что и>Р(А)>0
для простого дивизора Р. Значит, Р является компонентой
дивизора А и, следовательно, f\A. Таким образом, мы устано-
установили, что
Рассмотрим теперь А как элемент группы © в соответствии
с вложением
Пусть ae*S — внутренний дивизор, представляющий А в
h(a = A). Тогда для каждого р имеем и^ (а) = wv(А). Это
означает, что гипердействительное число м^ (а) представляет
о
Wy(A) в R. Обозначим S множество тех арифметических про-
стых дивизоров J), для которых Wy (а) > 0. Тогда S — внутрен-
внутреннее множество и, как было показано выше, S содержит каж-
каждый простой дивизор ?, эффективный на А. Более того, если
простой дивизор у е S не эффективен на А, то Wj (ct) = 0.
Покажем, что S не содержит нестандартных простых диви-
дивизоров. Пусть, например, р е S — нестандартный простой дивизор.
Тогда р -Г А (так как А — исключительный дивизор) и, следо-
вательно, wу (а) = 0. Это означает, что гипердействительное
число it>j> (a) = Vp (а) log (Ny) положительно и конечно. В ре-
результате мы приходим к противоречию с тем, что Nf — беско-
бесконечно большое число (см. лемму 1 из § 3 гл. VI).
20 С. А. Степанов

306
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЁЛЯ — МАЛЕРА
Так как S — внутреннее множество, не содержащее нестан-
нестандартных элементов, то оно необходимо конечно. В частности,
имеется лишь конечное число арифметических простых диви-
дивизоров р, которые эффективны на А.
Положим
а' = 2р,(а)-».
Поскольку сумма справа конечна, то &' — внутренний дивизор.
По построению, дивизор а' совпадает с а в простых у\А и равен
нулю в других простых р|а. Следовательно,
wv{a') = wv(A)>Q, если р|Л
О
и?р (а') = 0 = itfp (Л), если р \ Л.
Отсюда следует, что а' = Л, т. е. а' ^ *D также является пред-
ставителем дивизора А ^ S). Стало быть,
2 <
a) = 2
Па
Лемма доказана.
Элемент х ^ F назовем А-целым, если ни один из полюсов
этого элемента не является компонентой дивизора А, т. е. если
Wp(x)~^= 0 для каждой компоненты Р дивизора А.
Следствие. Пусть А — исключительный дивизор поля F,
каждая компонента которого имеет степень 1. Тогда для каж-
каждого А-целого непостоянного элемента x^F найдутся такие
элементы а$ е К, $ \ А, что
°*(^)< 2 wt(x— a,).
V\a
Доказательство. Пусть Р — компонента дивизора А,
индуцированная арифметическим простым дивизором f\A и
«р — вычет элемента х по mod Л Так как degP = l, то а^^К,
и элемент х — ар поля F имеет ноль в Р, т. е. иР (ж — Яу)^.1-
С другой стороны, Р — простая компонента дивизора А (компо-
(компонента кратности 1) и, стало быть, wP{A) = 1 <>р (х — а^у Зна-
Значит, wp (A) <; wP (x — а^ и тогда, ввиду D),
Утверждение следует теперь из леммы 4. Следствие доказано.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
307
Наша задача по нахождению верхней оценки размеров ис-
исключительных дивизоров редуцируется, таким образом, к задаче
об отыскании верхней оценки для конечных сумм вида
Для решения последней задачи воспользуемся теоремой Туэ —
Зигеля — Рота, которую можно сформулировать следующим
образом.
Теорема 2. Пусть S — конечное множество простых ди-
дивизоров р поля К, пу — заданные элементы алгебраического за-
замыкания К поля К и х > 2 — произвольное действительное
число. Тогда существует лишь конечное число элементов х & К,
удовлетворяющих неравенству
Щ
tee
(8)'
где !;^ — продолжение нормы | ||^ на К.
Туо, Зигель и Рот рассматривали случай К = Q и S = {$,
где р — единственный архимедов простой дивизор поля рацио-
рациональных чисел Q, который, как оказалось, содержит в себе
все принципиальные трудности. При этом Туэ [122] установил
справедливость сформулированного выше результата при я >
>v/2+l, а Зигель [54а] — при х > 2Vv, где v — степень «^
над полем Q. Наконец, Рот [107] доказал конечность числа
решений неравенства (8) в алемснтах seQ для всякого за-
заданного у. > 2.
Обобщение теоремы Туэ — Зигеля — Рота на случай произ-
произвольного конечного расширения К поля Q и S = {р}, где Р —
произвольный архимедов простой дивизор поля К, было пред-
предложено Левеком [68а].
Риду [102] распространил теорему Туэ—Зигеля — Рота на
случай К = Q и S = {pi, . .., уЛ. Аналогичный результат для
равпых между собой чисел йр был получен автором [117а] в
случае произвольного расширения К поля Q- Сформулированная
выше теорема является частным случаем более общих резуль-
результатов, полученных Малером '[79с, приложение С] и Ленгом
(см. [70Ь, гл. 7]).
По теореме Туэ — Зигеля — Рота множество элементов х ^
е К, удовлетворяющих неравенству (8), конечно. Следователь-
Следовательно, оно не расширяется при переходе к полю *К. Это означает,
что каждый элемент х е *К, который удовлетворяет этому не-
неравенству, является стандартным и, значит, если х е *К — не-
стащдартный элемент, то он не удовлетворяет указанному не-
неравенству. В результате мы получаем следующую нестандарт-
нестандартную версию теоремы Туэ — Зигеля — Рота,
20*

308
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Теорема 3. Пусть S — конечное множество стандартных
простых дивизоров поля *К, а^ — заданные стандартные элемен-
элементы этого поля и к > 2 — стандартное гипердействителыюе чис-
число. Тогда для каждого нестандартного элемента х е *К выпол-
выполняется неравенство
Логарифмируя обе части этого неравенства, получаем
9( p)
Выбирая затем элементы а^^ К в. соответствие с утверждением
следствия леммы 4, приходим к неравенству
а (А) < к log Н (х).
Так как logH(x) — бесконечно большое число, то (ввиду лем-
леммы 3)
logH(x) ^Х'
а так как х > 2 — произвольное стандартное число, то
о (А) ^ о
\щН(х) ^*-
С другой стороны, согласно следствию 2 теоремы 1 имеем
о (А) ^ AegA
: К(х)У
В таком случае
и, следовательно,
deg A
[F: К [х
AegA<2[F: Щх)].
(9)
Неравенство (9) получено для всякого непостоянного эле-
элемента х е F и для каждого исключительного дивизора А при
дополнительных условиях, что х является Л-целым элементом
и что каждая компонента дивизора А имеет степень 1. Покажем,
что эти дополнительные условия можно исключить. Другими
словами, неравенство (9) справедливо для каждого исключитель-
исключительного дивизора А и для всех непостоянных элементов х поля F,
Чтобы исключить первое дополнительное условие, заметим,
что. формула (9) зависит лишь от поля К(х) и не зависит от
выбора порождающего элемента х этого поля. Поэтому, если х
не является .4-целым, то выберем другой порождающий элемент
у поля К(х), который-будет Л-целым. Тогда справедливость не-
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
309
равенства (9) для у влечет, ввиду равенства К(х) = К(уI его
справедливость для х. Например, можно взять у = (х — с)~[, где
элемент с е К выбран таким образом, что он отличен от выче-
вычетов элемента х по modP для каждой компоненты Р дивизора А,
не являющейся полюсом для х.
Чтобы исключить второе дополнительное условие, воспользу-
воспользуемся методом расширения поля констант. Если К' — конечное
расширение поля К, то обозначим F' = FK' соответствующее ему
расширение поля F (которое можно трактовать как поле част-
частных кольца F®KK', либо как композит полей F и К'). Группа
Div(F) естественным образом вкладывается в группу Div(F'),
и такое вложение не изменяет степени дивизоров (см. задачи
5, 9). Это означает, что если рассматривать дивизор А е Div (F)
как элемент группы T>rv(F'), то его степень (над новым полем
констант К') равна степени дивизора А как элемента группы
Div(F). Кроме того, для любого непостоянного элемента x^F
имеет место равенство [F: K(x)] = [F': K'(x)] (см. задачу 8).
Следовательно, справедливость неравенства (9) в поле F' над К'
влечет за собой его справедливость в поле F над К. Хорошо из-
известно (см. задачи 4, 6), что поле К' можно выбрать таким об-
образом, что каждая компонента дивизора Ae.D'iv{F) распадается
в группе Div(F') на простые компоненты степени 1. Такое поле
F' называется полем разложения дивизора А, Таким образом,
если мы покажем, что исключительный дивизор А поля остает-
остается исключительным в его поле разложения F', то из справедли-
справедливости неравенства (9) в поле F' получим справедливость этого
неравенства в поле F.
Напомним, что понятие исключительного дивизора поля F
связано с вложением F cz *K этого поля в нестандартное расши-
расширение *К поля К. Поэтому, чтобы говорить об ислючительных
дивизорах поля F' — FK', необходимо вложить его в нестандарт-
нестандартное расширение *?'поля^'. Поле f естественным образом: вкла-
вкладывается в композит *КК' полей *К и К'. Покажем, что этот
композит совпадает с нестандартным расширением *К' поля К'.
Действительно, пусть cai, ..., со„ — базис поля К' над К. Утверж-
Утверждение о том, что элементы о)ь . .., <ап составляют базис К' над К
остается истинным в нестандартном расширении и, значит, эле-
элементы <0|, ..., га„ образуют базис ноля *К' над *К. Следователь-
Следовательно, *КК' = *К' и поля *К, К' линейно разделены над К. Отсюда
получаем, что поле F' естественным образом вкладывается в по-
поле *К'. Это вложение F'<^*K' дает возможность рассматривать
свойство исключительности дивизора А поля F'. Пусть у' —
арифметический простой дивизор поля *К', эффективный на А.
Чтобы установить исключительность дивизора A eDiv(F'), мы
должны показать, что V — стандпртны» простой дивизор. Пусть
Р' — функциональный простой дииизор поля F', индуцированный
простым дивизором V'. Тогда Р' является компонентой дививорл

310
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
л5")- Пусть, далее, Р — функциональный простой диви-
дивизор поля F, индуцированный простым дивизором Р'. Тогда Р яв-
является компонентой дивизора А е Div (F). Пусть, кроме того, р —
арифметический простой дивизор поля *К, индуцированный
простым дивизором V. В результате мы имеем ситуацию, изо-
изображенную на рис. 3 в виде диаграммы по-
полей и соответствующих простых дивизоров.
Из построения следует, что Р индуцирован
арифметическим простым дивизором р. Ста-
Стало быть, поскольку А — исключительный
дивизор поля F, то р — стандартный простой
дивизор. В частности, простой дивизор $ не
тривиален на К и тогда У не тривиален на
К'. Отсюда получаем, что р' является стан-
стандартным простым дивизором поля К',
Отметим также, что расширение F' =
— FK' поля F не разветвлено (см. задачи
2, 6). Это означает, что каждый функцио-
функциональный простой дивизор Р ноля F при его
рассмотрении в качестве дивизора поля F'
не содержит кратных компонент. Отсюда
следует, что исключительный дивизор А не
имеет кратных компонент не только в группе Div(F), но также
и в группе Div(F').
Из сказанного выше заключаем, что каждый исключитель-
исключительный дивизор А поля F остается исключительным и в поле F' —
= FK'. Следовательно, если возьмем в качестве F поле разло-
разложения дивизора А, то получим, что неравенство (9) справедли-
справедливо для поля К без всяких дополнительных условий на а; и на
исключительный дивизор А.
Положим
d = min[F: K{x)} A0)
Рис. 3
и пазовем d минимальной степенью поля F над подполем ра-
рациональных функций. Эта величина является инвариантом по-
поля F. Из неравенства (9) выводим, что
deg A =? 2d
для каждого исключительного дивизора А поля F. В частности,
мы видим, что число компонент дивизора А ограничено величи-
величиной 2d. Отсюда следует, что имеется не более 2d исключитель-
исключительных простых дивизоров поля F.
Резюмируя изложенное выше, получаем следующий ре-
результат.
Теорема 4. Пусть d — минимальная степень поля F.
Имеется лишь конечное число г =S 2d исключительных простых
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
дивизоров Р\, ..., Рг поля F и, если
ЗН
то
deg A s?2d.
Следствие. Справедливо неравенство
deg A ss 2g + 2,
где g — род поля F над К.
Доказательство. Достаточно показать, что d ^ g + 1.
Пусть В — произвольный дивизор поля F степени g + 1. Тогда,
по теореме Римана — Роха, dimjtL(—#K=2 и, следовательно,
существуют по меньшей мере два различных положительных ди-
дивизора В' и В", линейно эквивалентных дивизору В. Для этих
дивизоров имеем В' —В" = [х], где х — непостоянный элемент
поля F, [F: K(x) \ «S degS" = deg В = g + 1. Следствие до-
доказано.
При доказательстве следствия был использован тот факт, что
существует по меньшей мере один функциональный дивизор
степени g + 1. Для полноты изложения покажем, что каждое
стандартное целое является степенью некоторого функциональ-
функционального дивизора поля F. Для этого достаточно, очевидно, устано-
установить существование хотя бы одного функционального дивизора
степени 1. Справедливо следующее утверждение (ср. его с со-
соответствующим утверждением из § 1 гл. V).
Предложение. Каждое поле алгебраических функций
F над К, вложенное в *К, имеет бесконечно много простых ди-
дивизоров степени 1.
Доказательство. Пусть х\ — непостоянный элемент
поля F и R — целое замыкание кольца К[х\] в поле F, Тогда
R является конечно порожденной Х-алгеброй и, если R =
= К[х\, . .., Хт], то пусть
fi(xi, ..., хт)=0, Ki^r,
— система определяющих соотношений для xi, ..., хт над по-
полем К. Так как эта система имеет нестандартное решение х\, ...
. .., хт, то в соответствии с принципом нестандартного расшире-
расширения для множества она имеет бесконечно много решений
(fli, ..., ат)^Кт. Каждое такое решение задает Ж-гомоморфизм
R -+¦ К, отображающий Xj на а,. Ядром этого гомоморфизма яв-
является максимальный идеал кольца R. Отсюда следует,, что
имеется бескопечно мпого максимальных идеалов ш кольца R
таких, что R/ш == К. С другой стороны, поскольку R является
дедекиндовым кольцом, то его максимальные идеалы ш нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с теми простыми
дивизорами Р поля F, чьи кольца нормирований содержат R.
При таком соответствии кольцо нормирования простого диии-

312
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
вора Р совпадает с локализацией кольца R относительно 01 и
поле вычетов простого дивизора Р изоморфно полю R/ш. Из
сказанного следует, что имеется бесконечно много функцио-
функциональных простых дивизоров Р поля F с полем вычетов К, т. е.
простых дивизоров степени 1. Предложение доказано.
Отметим, что справедливо и обратное утверждение: если
абстрактное поле функций F над К от одной переменной имеет
бесконечно много простых дивизоров степени 1, то существует
К — изоморфизм этого поля в *К. Это утверждение получается
из принципа нестандартного расширения для множеств обра-
обращением приведенных выше рассуждений.
Задачи
1. Пусть F/K— поле алгебраических функций от одной переменной с
о
полем констант К, вложенное в *К, и пусть <р: Div (F) -*¦ R — произволь-
произвольный нетривиальный гомоморфизм, сохраняющий отношение порядка и об-
обращающийся в ноль на главных дивизорах.
Доказать, что существует бесконечно большое число ve'E, такое, что
tf(A)/v яр AegA для каждого дивизора А е Div(F),
2. Пусть F/K и E/L — поля алгебраических функций от одной перемен-
переменной с полями констант К и L. В дальпейшем будем считать, что EfL — ал-
алгебраическое расширение поля F/K и что F Л Ь = К. Каждый простой диви-
sop у поля E/L индуцирует некоторый простой дивизор Р поля F/K. В этом
случае будем говорить, что f лежит над Р и писать ]pjP. Если vP — Р-адиче-
ская порядковая функция поля F/K, так что vp {F*) = Z и v — индуцирую-
индуцирующее функцию vP нормирование поля EJL с группой значений v~ (/¦"*) = Г~ С
czZ, то индекс e=YZ: Г Л назовем индексом ветвления дивизора р относи-
относительно Р. Если в >1, то простой дивизор f называется разветвленным отно-
относительно Р; если же<?в=1) то у называется неразветвленным.
Пусть Op, mP и
jj, т„— локальные кольца и их максимальные идеалы
нормирований vp и v соответственно. Поля 2 — 0р/шР и 2 = 'и
на-
называются полями вычетов простых дивизоров Р и 1р. Поле Ер канонически
вкладывается в поле 2 и степень /„ поля 2„ над 2F называется степенью
простого дивизора f относительно Р.
Пусть простой дивизор J) поля E/L лежит над простым дивизором Р по-
поля F/K с E/L.
Доказать следующий утвер5кдспия:
а) Справедливы равенства
б) Если х — произвольный трансцендентный над К элемент поля F, то
[F:K(z)] <oo, [E:L(x)] < оо и
[Я :*(*)! = [?:F] ¦ [F:^)] = [Я:Ь(*)] ¦ [L(*):Z(*)].
в) Для всякого трансцендентного над К элемента ieF выполняется
неравенство
[?{.*):*(*)] = [?:«].
g 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
г) Следующие предложения эквивалентны между собой:
313
2)
3)
[Е : F] < ос
2И: 2Р1 < ,
(Указание. Воспользовавтись результатами предыдущих пунктов,
доказать, что 1) ¦**¦ 3) и 1) <ф- 2).)
д) Следующие предложения оквивалептпы между собой:
1) поле L алгебраично над К,
2) поле Е алгебраично над F,
3) поле 2L алгебраично над 2у.
е) Если Е — конечное расширение поля F и degP, degV — степени про-
простых дивизоров Р, у (равные степеням 2^ над К и 2 над L соответствен-
соответственно), то имеет место соотношение
[L: К] '
ж) Для каждого простого дивизора Р поля F существует по меньшей
мере один простой дивизор поля Е, лежащий пад Р, и число таких простых
дивизоров поля Е конечно.
(Указание. Пусть g — род поля F и С — класс дивизора (g + 1)Р
в группе Cl(F). Используя теорему Римана — Роха, показать, что в С су-
существует по мепьшей морс один положительный дивизор Q. Вывести отсю-
отсюда, что
где [z] e Div (F) — главный дивизор некоторого трансцендентного над К
элемента х е F, и что главный дивизор (х) поля Е имеет вид
где г ^ 1, «( — положительные целые числа, $t — различные простые диви-
дивизоры поля Е и q — знаменатель элемента х в поле Е. Показать, что }>i,..., рг
исчерпывают все простые дивизоры поля ?, лежащие над Р.)
з) Имеет место равенство
[В: F] = J\ e,f.
(Указание. Рассмотреть ялемент ief ла предыдущего пункта и
воспользоваться тем, что степень дивизора нулей элемента х равна
[F:K(x)j, а степень дивизора пулей того же элемента, рассмотренного в
поле Е, равна [Е : L(x)\. Кроме того, воспользоваться результатом п. б).)
3. Пусть Е — конечное расширение поля F и Е, — подполе всех сепара-
белъных элементов поля Е над F (минимальные многочлены которых над
полем F не имеют кратных корней). Степень [Е, : F] называется сепарабелъ-
ной степенью поля Е поля F и обозначается [Е : F],. Поле Е является чнс-<
то несепарабельным расширением поля Е, и степень [Е: Fs] называется
несепарабелъной степенью поля Е над F (обозначение : [Е : F]n).
Пусть EIL — конечное расширение поля алгебраических функций F/K
и пусть 1) — простой дивизор ноля B/L, лежащий над простым дивизором Р
поля F/K. Степени
и Г2 *
1 V

314
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
называется соответственно сепарабелъными и несепарабелъными степенями
простого дивизора р относительно Р. Обозначим их /„ и /в . Простой ди-
виаор f называется сепарабельным, песепарабельным или чисто песепара-
белъным в соответствии с тем, будет ли число /„ равно 1, больше 1 или
равно fr
Пусть E/L и E'/L' — два. конечных расширения поля алгебраических
функций FJK и а — изоморфизм полей К и К\ отображающий L na U и ос-
оставляющий неподвижным поле F. Для каждого простого дивизора р поля Е
с порядковой функцией v определим простой дивизор af поля Е', положив
для всех х е Е'. Легко видеть, что сопоставление ip <-> ар задает взаимно
однозначное соответствие между простыми дивизорами р поля Е и просты-
простыми дивизорами р' поля Е''.
Доказать справедливость следующих утнерждепий:
а) Пусть F/K a E/L cz E'jT/ — башня полей алгебраических функций,
\Е': F] < оо и р' — простой дивизор поля Е', лежащий над простым дивизо-
дивизором ]р поля Е, который лежит над простым дивизором Р поля F. Если е ,,
f , — индекс ветвления и степень простого дивизора р' относительно Р',
ев" Л)'—индекс ветвления и степень того же простого дивизора относи-
относительно р и е , f — индекс ветвления и степень простого дивизора р относи-
относительно Р, то справедливы соотношения
()) Если а — указапный выше изоморфизм конечных расширений E/L
и E'/L' поля алгебраических функций FJK, то имеют место равенства е =
в) Пусть E/L — конечное нормальное расширение поля алгебраических
функций FfK, G — группа Галуа этого расширения и р — простой дивизор
поля Е, лежащий над простым дивизором Р поля F. Тогда каждый простой
дивизор поля Е, лежащий над Р, имеет вид о() для некоторого а е G.
(Указание. Пусть Pi,,..., fr — все простые дивизоры поля Е, лежа-
лежащие пад Р и р = Pi. Найти такой элемент х^Е, для которого *-\,0*0>0,
v (х) = 0 при 2 ^ i sg г, я показать, что у,, (noraiE/Fx') > 0 (см. [70d,
5]). Вывести отсюда, что vp(normE/Fx) > 0, а затем, что
> 0 для каждого i = 2, 3, ..., г. Используя последние
v
гл. VIII,
v (погт
неравенства, показать, что для каждого i = 2, 3, ..., г существует такой ав-
автоморфизм а; е G, что Pi = Ojp.)
4. Пусть EjL — нормальное расширение поля F/К с группой Галуа G.
Если р — простой дивизор поля Е, то подгруппа D$ группы G, состоящая из
тех элементов oeG, для которых ар = р, называется группой разложения
простого дивизора р.
Поле •? является (см. ниже п. в)) нормальным расширением поля 2Р.
Каждый элемент сг^ группы Галуа G этого расширения индуцируется не-
некоторым элементом а группы D . Подгруппа / элемептов сг е D , для ко-
которых индуцированный автоморфизм а е G тривиален на S , называ-
называется группой инерции простого дивизора р.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКБИВАЛЕПТ
315
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Число простых дивизоров поля Е, лежащих над Р, равно индексу
(G: БЛ подгруппы D в груине G.
б) Для любого автоморфизма а ей имеет место равенство
в) Поле SB является нормальным расширением поля 2р и каждый эле-
элемент группы Галуа G этого расширения индуцируется некоторым элемен-'
том а группы D ,
(Указание. Пусть fu ¦ ¦ •> Рг—все простые дивизоры поля Е, лежа-
лежащие пад Р и р = Pi. Показать, что для каждого элемента х е 2 можно
найти такой представитель х кольца о , для которого v {х) > 0 при всех
i = 2, 3, ..., г. Показать, далее, что редукция по mod p минимального мно->
гочлена .j
йлемента х над F является многочленом над 2р вида
а<= р
при некотором целом N ^ 0. Вывести отсюда, что 2 — нормальное расши-
расширение поля 2р и что а е G индуциронатт автоморфизмом а е D . Для до-
доказательства того факта, что все автоморфизмы поля 2 над 2р исчерпывав
ются автоморфизмами а , применить те же рассуждения к примитивному
элементу я„ поля 5L (порождающему поле 2 над 2р).)
г) Имеет место изоморфизм
д) Справедливы соотношения
(С: 1) = [
= r(Z)?: 1),
5*. Пусть Ё/L — конечное расширение поля алгебраических функций от
одной переменной F/K,
— произвольный дивизор поля F и е — индекс ветвления простого

316 ГЛ, VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
дивизора р поля Е, лежащего над Р. Дивизор
поля Е называется конормой дивизора А. Положим
d{A) = degED) = deg (cqtifie A).
Пусть Е' — наименьшее нормальное расширение поля F, содержащее Е,
и V — алгебраическое замыкание поля L в Е'. Тогда E'jL' — поле алгебраи-
алгебраических функций с полем констант V'. Пусть G' — группа Галуа поля Е'
над F и Н' — ее подгруппа, оставляющая неподвижным иоле Е. Пусть
G'JH' — множество левых классов смежности группы G' по подгруппе И'.
Если
IP
— произвольный дивизор поля Е, то дивизор
Fn = [E:F]n S °'а
а'е«7П'
поля F называется нормой дивизора а (легко видеть, что это определение
не зависит от выбора представителя о' е G' класса а').
Установить справедливость следующих утверждений:
а) Отображение
con: Div (F) ->• Div (E),
ставящее в соответствие- каждому дивизору ^sDiv(F) дивизор сопр/к^,
является вложением группы Div(f) в группу Div(?) и задает гомоморфизм
группы Cl {F) в группу G1 (?).
б) Для каждого дивизора А поля F справедливо соотношение
d{A) =
IE: F]
[L: К]
deg A.
(Указание. Доказать сначала, что для любых двух простых дивизо-
дивизоров Р и Q поля F выполняется соотношение
degP
d(Q)
Для этого предположить, что
d(P) d(Q)
deg P^ degQ
и выбрать затем положительные целые т, п и t таким образом, чтобы вы-
выполнялись неравенства
d(P)/degP < т/п < d«?)/deg<?,
ueg(ntP — mtQ) >2g — l
z
d(ntP—mtQ) <0,
где g — род поля F, Воспользовавшись теоремой Римана — Роха вывести
отсюда, что существует такой главный дивизор [х] поля F, для которого
® (И) > 0, и прийти к противоречию.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
317
Используя полученный результат, установить, что
d(A) = X deg A
для всякого дивизора А е Div (F), и затем, воспользовавшись результатом
п. е) задачи 2, показать, что к = [В : F]/[L : К].)
в) Сопоставление а >-* normE/F а задает гомоморфизм
norm; Div (?) ->- Div [F)
группы Div(E) в группу Div(F).
г) Если ? — простой дивизор поля Е, лежащий над простым дивизором
Р поля F, то
д) Если х е Е, то
;r) = [normE/F.r].
е) Если А 65 Div(F), то
погше/гА = [Е : F] ¦ А.
6*. Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Если EJL — чисто носепарабельное алгебраическое расширение поля
F/K характеристики р > 0, то имеется ровно один простой дивизор )р по-
поля Е, лежащий над данным простым дивизором Р поля F, и Р = pnf при
некотором неотрицательном целом п.
б) Если E\L — поле алгебраических функций, сепарабельное над F/K
и такое, что Е = FL, то в поле Е нет разветвленных или несепарабельных
над F простых дивизоров.
(Указание. Пусть )р — разветвленный (несепарабельный) над F про-
простой дивизор поля Е. Найти такой элемент ieE, для которого v^{x) = l,
и показать, что х лежит в некотором нормальном расширении Е' =
= F@i, ..., 9m) поля F, где 9;е?. Пусть р' —простой дивизор поля Е'cz
с: й, над которым лежит у. Показать, что V разветвлен (несепарабелен) над
F и что существует нетривиальный автоморфизм ое/, поля Е' над F,
для которого
при всех i = 1, 2, ..., т. Вывести отсюда, что 6; = оО* и прийти к про-
противоречию.)
в) Если E\L — сепарабелыгое алгебраическое расширение поля F/K, то
имеется лишь конечное число простых дивизоров поля Е, разветвленных
или песепарабельных над F.
(Указание. Доказать утверждение сначала для конечных расшире-
расширений поля F/K, затем для конечных сепарабольных расширений и, наконец,
для общего случая.
Пусть у — разветвленный или несепарабельный над F простой дивизор
конечного расширения Галуа Е поля F. Рассмотреть примитивный эле-
элемент х поля Е над F и автоморфизм ае/ такой, что ах ф х. Показать, что
либо v {х — ох)>0, либо v (х~1—(ах)~1)>0, и что имеется лишь ко-
конечное число простых дивизоров ip поля Е, для которых выполняется каж-
каждое из укапанных неравенств. Для случая конечного сепарабельного расши-
расширения Е поля F рассмотреть наименьшее нормальное расширение поля F,
содержащее Е.
В общем случае воспользоваться тем, что поле EJL является конечным
сепарабельным расширением композита FL, и затем результатом п. б).)

318
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
7* (Дойринг [46Ь, §36]). Пусть К' — расширение поля констант К
поля алгебраических функций F и FK' — композит полей F и К'.
Установить справедливость следующих утверждений:
а) Существует единственное с точностью до /'-изоморфизма поле ал-
алгебраических функций ?/L, являющееся расширением поли FIK и обладаю-
обладающее свойствами:
1) поле К' ДГ-изоморфно некоторому подполю L' поля L;
2) Е = FL'.
(Указание. Пусть {ж,} —базис трансцендентности поля К' над К,
{у:} — множество алгебраически независимых алементов над F, находящих-
находящихся во взаимно однозначном соответствии с элементами 1,-еЙ — алгебраиче-
алгебраическое замыкание поля F({j/i}). Показать, что изоморфизм X: K(xi) ->-K(yi)t
тривиальный па К, может быть расширен до изоморфизма поля К' на не-
некоторое подполе L' поля Q, и что Я содержит композит Е = FL' по-
полей F и L'.
Пусть L — алгебраическое замыкание доля L' в Е и х — трансцендент-
трансцендентный над К элемент лоля F. Показать, что х трансцендентен над 2/, и выве-
вывести отсюда, что [Е ;L'{x)] sg [F : К(х)] < оо и [X : L'\ < оо.
Для доказательства того факта, что поле EjL определяется свойствами
1) и 2) однозначно с точностью до F-изоморфизма, показать сначала, что до-
достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда U — конечно порожден-
порожденное расширение поля К,
Пусть L' = K(z], ..., zm) —часто трансцепдентное распгирение поля К.
Показать, что в этом случае требуемый F-изоморфизм определяется зада-
заданием образов элементов л, ..., zm. Для этого воспользоваться следующим
результатом: если поле А алгебраически замкнуто в поле В и если элемен-
элементы 2|, ..., zm влгебрпически независимы над й, то поле A{z\, ,.., zm) алгеб-
алгебраически замкнуто в B(z\, ..., zm). Вывести отсюда, что L = K(zi, ..., zm).
Пусть I/ = К(ви ¦ ¦ ¦, 6т) —конечное расширение поля К. В этом слу-
случае доказательство единственности поля E/L с точностью до /"-изоморфизма
провести индукцией по числу т^О порождающих элементов 0l, ..., 0™
поля ?,').
б) Поле констант L построенного в пункте а) расширения EjL поля
FJK является чисто несепарабельным конечным расширением поля U.
(Указание. Воспользоваться рассуждениями предыдущего пункта.
В случае, когда V — чисто трансцендентное расширение поля К, утвержде-
утверждение очевидно, В случае, когда L' = К(8j, ..., 0m)—конечное расширение
поля К, воспользоваться индукцией по числу т ^ 0 порождающих элемен-
элементов 8i, ..., 0m поля L'.)
в) Существует поле алгебраических функций F/K и расширение К' по-
поля К, для которых поле констант L компояита FL' отлично от L'.
{Указание. Рассмотреть поле к характеристики р > 0, поле К =
= &(и, v), где и, v — алгебраически независимые над к элементы и поле
F = К(х, у), где х, у удовлетворяют уравнению ур = uxp + v. Установить,
что К является полем констант для F. Взять затем L' — K(v1/P) и показать,
что поле Е = FL' содержит элемент (у — v1/p)z~1 = uUl>. Вывести отсюда,
что L = К(и1<р, у'/*) и что [L : L'] = р.)
8*. Пусть В и С — расширения поля А. Назовем поля В в С линейно
(алгебраически) разделенными над Л, если всякое конечное множество
элементов из В, линейно (алгебраически) независимых над А, линейно (ал-
(алгебраически) независимы и над С.
Доказать справедливость следующих утверждений.
а) Если А, В, С — подполя некоторого поля и С — конечное расширение
степени п поля А, то композит ВС является алгебраическим расширением
поля В степени не выше п. Если же поля В и С линейно разделены пад А,
то [ВС : В] = п.
б) Если поля В ж С линейно разделены над А, то они алгебраически
разделены над А.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
319
в) Бели В — чисто трансцендентное расширение поля А и поля В, С
алгебраически разделены над А, то В и С линейно разделены над А.
г) Если А алгебраически замкнуто в поле В и С = А (а) — алгебраиче-
алгебраическое расширение поля А, то поля В ж С линейно разделены над А.
д) Если AcCcfl и В ¦^>А — подполя некоторого поля, то В и D ли-
линейно разделены над А тогда и только тогда, когда В, С линейно разделены
над А и ВС, D линейно разделены над С.
е) Пусть К' — расширение поля К и Е = EIL = FL' — соответствующее
ему расширение поля алгебраических функций FIK. Пусть, далее, L" — про-
произвольное подполе ноля L' и Lo — иоле копстант расширения Е' = FL". Тог-
Тогда, если поля F и L линейно разделены над К, то для любого трансцендент-
трансцендентного над К элемента ieF имеет место равенство
[?':?«(*)] = [*":*(*)]-
(Указание. Воспользоваться результатами п. а), в) и д).)
ж) В обозначениях предыдущего пункта следующие предложения экви-
эквивалентны между собой:
1) поля F и L линейно разделены над К;
2) для каждого конечно порожденного над К подполя L" поля L' поле
констант L3 поля И' = FL" совпадает с L".
(Указание. Воспользоваться результатом предыдущего пункта.)
з) Если в обозначениях п. е) поля F и L линейно разделены над К, то
для каждого подполя L" поля V поле констант Lo поля Е' == FL" совпа-
совпадает с L".
и) Если в обозначениях п. е) хотя бы одно из полей F или L" сепара-
бельно порождено над К (является сепарабельным алгебраическим расши-
расширением чисто трансцендентного расширения К(хи • ¦., хт) поля К), то
L = U.
(Указание. Ввиду результатов предыдущего пункта и предыдущей
задачи можно считать, что V — конечное расширение ноля К. Показать, что
в этом случае L является сепарабельным расширением поля 7/, и сравнить
полученный результат с результатом предыдущей задачи о том, что поле L
чисто несепарабельно над V.)
9*. Пусть К' — расширение поля К и Е = EjL = FL' — соответствующее
ему расширение поля алгебраических функций F/К.
Установить справедливость следующих утверждений:
а) Если рациональное число Я таково, что
для всех А
d(A) =k
Div [F), то
pT, teZ, т>0,
.-1
если
если char K= 0.
Равенство К = I имеет место тогда и только тогда, когда поля F и L линей-
линейно разделены пад К.
(Указание. Пусть х — трансцендентный над К элемент поля F и А —
знаменатель главного дивизора [х]. Используя равенства degA =
= [F: К{х)] и d(A) = [Е :Ь(х)], показать, что % = 1 -<=>- d(A) = &egA<*-
^ [E;L(x)] = [F:K(x)]. Показать, далее, что \Е: L(x)] = [F:K{x)] в
том и только в том случае, если иоля F и L линейно разделевы над К.
В случае характеристики р = 0 воспользоваться сепарабельностью F
пад К и результатом п. д) предыдущей задачи.
В случае характеристики р > 0 рассмотреть наибольшее сепарабелыш_е
расширение h's поля К(х), содержащееся в F, и поле Е, = F,U. Поля F,
и V линейно разделены над К и тогда

320
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛН — МАЛЕРА
Показать, что FJF, — чисто несенарабельное расширение степени р№, ц > 0,
? что J? = FL' — несепарабельиое расширение степени р, 0 ^ v ^ щ поля
Е, = FJJ, Вывести отсюда, что
и воспользоваться тем, что L — чисто несепарабельное расширение поля L'.}
б) Если Е = FL', где I/ — сепарабельно порожденное расширение поля
констант К поля алгебраических функций F/K, и если V — простой дивизор
поля Е, лежащий над простым дивизором Р поля F, то 2 = SpZ/.
(Указание. Рассмотреть вначале случаи, когда V — чисто трансцен-
трансцендентное расширение и когда U — конечное расширение поля К.)
10* (Д о й р и п г [46Ь, § 38]). Пусть W — расширение поля К и E/L =
= FfJ — соответствующее ему расширение поля алгебраических функ-
функций F/K. Обозначим g> род поля F и gE — род поля Е. Пусть А — некоторый
дивизор поля F и
F(A) = {xeF|x = 0 (modЛ)}
линейное векторное пространство пад К. Аналогичным образом определим
линейное векторное пространство Е(А) над L и положим
lT{A)=timxF(A), lE(A) =
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Если поля F и L линейно разделены над К, то gE •¦
го дивизора А поля F имеет место неравенство
: gF и для каждо-
(Указание. Второе утверждение следует из включения F(A) czE(A).
Для доказательства первого утверждения рассмотреть дивизор — А, для ко-
которого d(—A)>2gE — 2, deg(—A)>2gp-—2 и воспользоваться теоремой
Римана — Роха.)
б) Если поле L' сепарабельпо порождено над if, то gE — gF и для лю-
любого дивизора А е Div(F) базис пространства F(A) является также бази-
базисом пространства Е(А).
(Указание. Рассмотреть сначала случай чисто трансцендентного рас-
расширения L = U = К{х) поля К и показать, что в этом случае каждый эле-
элемент у^Е(А) представляется в виде многочлена от i с коэффициентами
из F(A). Используя линейную разделенность полей F и L, вывести отсюда,
что lE(A) = lF(A).
В случае когда L = L' = К{а)—конечное сопарабельпое расширение
поля К, показать, что каждый элемент у^Е(А) можно представить в виде
у = а0
F,
где п — степень а над К или над F. Затем рассмотреть наименьшее нормаль-
нормальное расширение поля Е над К и доказать, что щ eF(J4). Вывести отсюда,
что 1Е(А) = ЩА).
Наконец, выбрав дивизор —А таким, что d(—A)>2gs — 2 и deg(—Л)>
> 2gF — 2, установить справедливость равенства gE = gF.)
11*. Пусть F — K(t) — поле алгебраических функций рода g = 0 и
Pi, ..., Рг — все исключительные простые дивизоры этого поля. Назовем
элемент iefc *K исключительным, если его знаменатель не содержит не-
нестандартные простые дивизоры поля *К. Исключительные элементы об-
образуют подкольцо R поля F, содержащее поле К. Согласно теореме 4 сте-
степень дивизора
A
не превосходит 2.
§ 1. НЕСТАНДАРТНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТ
321
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) если deg^4 = 0, то R = К;
б) если deg^4 = 1, то можно выбрать порождающий элемент t поля
FJK таким образом, что R = K[t];
в) если deg А = 2 и г = 2, то порождающий элемент ( поля F/K мож-
можно выбрать таким образом, что Н = K[t, (-'];
г) если deg А = 2 и г = 1, то порождающий элемент t поля FJK можно-
выбрать таким образом, что R = K[f~l, tf~l], где /(i)_^= t2 — а — неприводи-
неприводимый в кольце K[t] многочлен. Далее, если К' = К(~]/а) — квадратичное рас-
расширение поля К и о; "l/a >-* — ~]/a — нетривиальный автоморфизм поля К'
над К, то кольцо R совпадает с неподвижным относительно о подкольцои
кольца Д' = K'[t', t'-1], где
t' =
i-Уа'
д) каждый из случаев а) — г) реализуется на некотором подполе F ро-
рода g = 0 полл *К,
(Указание. Достаточно в каждом из указанных случаев построить-
подходящий элемент t поля F = K(t).
Пусть и — отличный от пуля элемент поля К, не являющийся корнем
, из 1, и (j = uv, где v — бесконечио большой влемент из *1М. Показать, что
U— нестандартный элемент и что случай в) реализуется на поле Fa — K(t2).
Пусть, далее,
*—1
*—1
Показать, что случаи а) и 6} реализуются на полях Fo = K(t0) и Ft = .K(fi)
соответственно. Пусть, наконец,
и ™ у а
и' = ^у=-
и —у а
— отличный от нуля элемент поля К' = КЦа), не являющийся корнем
из 1; с — нетривиальный автоморфизм лоля К' над К и *с — его продолже-
продолжение на поле *К' над *К, так что, если *2= и'
то *at'2 = t'2
. Показать, что
является элементом поля *К и что случай г) реализуется на поле F$ =
= K(h).)
12. Пусть X — кривая рода g = 0, определенная над полем К уравне-
уравнением f (х, у) = 0. Предположим, что кривая X исключительна в том смыслет
что для нее не выполняется утверждение теоремы Зигеля — Малера. Тог-
Тогда на X имеется нестандартная точка (ж, у) с квазицелыми в *К координа-
координатами относительно конечного множества S простых дивизоров поля К. Ста-
Стало быть, х и у являются исключительными элементами поля F = К(х, у) с
*К
Используя результаты предыдущей задачи, дать следующую классифи-
классификацию Зигеля исключительных кривых рода 0:
а) если deg.4 = 1, то х = r\(t), у = 0((), где г\, 9 —многочлены и*
кольца K[t];
б) если deg А = 2 и г = 2, то х = r\(t), у = 8(i), где т), 6 — конечные-
ряды Лорана с коэффициентами из К;
21 с. А. Степанов

322
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
в) если deg Л =2иг = 1, toi = t](('), у = 6(t'), где т], 0 —конечные
ряды Лорана с коэффициентами из поля К' = К~\/а, удовлетворяющие усло-
условиям т| (('} = ат| ((""*¦), 9 (<') = а9 (г'—1). Здесь о — нетривиальный автомор-
автоморфизм поля К' над К и ^т], а6 — конечные ряды Лорана, получающиеся из
Г|, В применением а к их коэффициентам;
г) указанная в п. а) — в) параметризация не только необходима, но и
достаточна для того, чтобы кривая X была исключительной.
§ 2. Доказательство теоремы Зигеля — Малера
1. Гиперэллиптический случай. Пусть А — исключительный
дивизор поля F, Покажем, что если род g поля F положителен,
то А = 0. Для этого, применяя теорему 4 из § 1 к подходящему
неразветвленному расширению поля F в *К, усилим получен-
полученное нами неравенство
2d *? 2g + 2
deg A
и докажем, что
deg .4 < 1.
Пусть Е — такое расширение поля F, что
K<=F<=Ec *K.
Предположим, что степень [Е : F] поля Е над F конечна. Тог-
Тогда Е — поле алгебраических функций от одной переменной с
полем констапт К.
Лемма 1. Функциональный простой дивизор Р поля F
исключителен в том и только в том случае, если таковым явля-
является каждый функциональный простой дивизор Q поля Е, ле-
лежащий над Р.
Доказательство. Пусть Р исключительный простой
дивизор поля. F. По определению он индуцирован некоторым
стандартным простым дивизором $ е *V. ?сли Q — простой ди-
дивизор поля Е, лежащий над Р, то всякий простой дивизор ТР s * V,
индуцирующий Q, индуцирует также и Р. Следовательно, р —
стандартный дивизор и, значит, Q — исключительный простой
дивизор поля Е.
Обратно, пусть каждый простой дивизор поля Е, лежащий
над Р, исключителен. Всякий простой дивизор р е *F, индуци-
индуцирующий Р, индуцирует также и некоторый простой дивизор Q
ноля Е, лежащий над Р. Следовательно, ? — стандартный простой
дивизор и, значит, Р — исключительный дивизор поля F. Лем-
Лемма доказана.
Пусть Qi, ..., Q, — все функциональные простые дивизоры
поля Е, лежащие над исключительными простыми дивизорами
Pi, ..., Рг, являющимися компонентами дивизора
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
323
Из леммы 1 следует, что каждый простой дивизор Q{ является
исключительным. Если А рассматривается как дивизор поля Е,
то он имеет вид
A =e,^i +... + esQs,
где et — индекс ветвления простого дивизора Qt над полем F.
Предположим теперь, что Е — неразветвленное расширение
поля F. Тогда А = Q\ + .. . + Q, и, значит, А является исклю-
исключительным дивизором поля Е. Другими словами, дивизор А ос-
остается исключительным в неразветвленном расширении Е поля
F. В таком случае, если degE А — степень дивизора А е Div (E) и
dE = min [Е: К{х)\
же в
— минимальная степень поля Е, чо в соответствии с теоремой
4 из § 1
A < 2dE.
Кроме того, имеет место (см. задачу 5 предыдущего параграфа)
соотношение
= [E :F]degFA
и, в результате, приходим к следующему утверждению.
Следствие. Пусть Е — неразветвленное расширение по-
поля F. Тогда каждый исключительный дивизор А поля F оста-
остается исключительным в поле Е и для степени deg А дивизора
А е Div(^) имеет место оценка
2dw
Отсюда выводим, что если только
{Hi : f \ .> Zoe, (t)
то deg А = 0 и, следовательно, ^4 = 0.
Таким образом, задача свелась к построению неразветвленных
расширений Е поля F в *К достаточно высокой степени [Е : F],
Такое построение вполне элементарно в случае dF = 2, т. е.
в случае, когда поле F является квадратичным расширением по-
поля рациональных функций К(х). Остановимся здесь на рассмот-
рассмотрении именно этого частного случая. Общий случай будет ра-
разобран ниже.
Сделаем предварительно несколько замечаний. Если К' — ко-
конечное расширение поля К, то поле F' = FK' является нодполем
нестандартного расширения *К' = *КК'. Таким о^рпзом, имеется
цепочка вложений
Kr<=F'<= *K'.
Исключительный дивизор
21*

324
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
поля F остается исключительным в поле F' и степень дивизора
A ^Div(F) не изменяется при его рассмотрении как элемента
группы Y)iv(F'). Кроме того, поля F и F' имеют (см. задачу 10
предыдущего параграфа) один и тот же род g. Из этих замеча-
замечаний -следует, что, чтобы установить отсутствие исключительных
дивизоров в группе Div(F), достаточно установить их отсутст-
отсутствие в группе Div (/*"). Поэтому в дальнейшем вместо поля F
можно использовать поле F' = FK', полученное из исходного
поля F расширением его поля констант К.
Пусть F — квадратичное расширение поля К(х), Тогда су-
существует такой порождающий элемент у поля F над К(х), что
y2 = f{x), где / е К[х\ — многочлен без кратных корней. Если
степень многочлена / равна т, то род g поля F вычисляется
{см. задачу 12 из § 3 гл. IV) по формулам
' (т — 1)/2, если т = 2к — 1,
[ (т — 2)/2, если т = 2к.
Поскольку по предположению g > 0, то т > 3. При т — 3 или
т = 4 мы имеем дело с эллиптическим, а при т > 5 с гипер-
гиперэллиптическим полем F.
Расширяя, в случае необходимости, поле констант К поля F,
можем считать, что многочлен f(x) имеет в поле К по мень-
меньшей мере два корня а и Ъ, так! что
где g{x) — многочлен из кольца К[х] степени т — 2. Пусть
Ра — функциональный простой дивизор, в котором х — а имеет
ноль. Тогда из уравнения
y* = (x~-a)(x-b)g(x)
следует, что Ра является двойным нулем элемента х — а
{vpa (х — а) = 2) и что в поле F элемент х — а не имеет других
нулей. Другими словами, простой дивизор Ра разветвлен пад
полем К{х). Отсюда следует, что главный дивизор элемента
х — а имеет вид
[х-а] = 2Рп - Р»,
где Роо — полюс элемента х. Алалогичным образом
причем, поскольку аФ Ь, то Ра?*Рь. Следовательно, элемент
х — я
z =
— Ь
имеет главный дивизор
делящийся на 2.
B)
О);
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
325
Лемма 2. Существует такая ненулевая константа с<^К,
для которой Усг е *К.
Доказательство. Рассмотрим Ра и Рь как дивизоры
о о
группы 5). Тогда (г) = 2Ра — 2Ръ- Так как отображение
<т: Div (F) ->¦ К равно пулю па главных дивизорах, получаем,
О О 'С
что 0 = а BРа— 2РЬ) = 2а (Ра — Рь). Далее, поскольку группа R
вполне упорядочена, то она не имеет кручения и, следовательно,
о
Таким образом, дивизор Ра — Рь группы 3) имеет нулевой раз-
размер, и тогда из теоремы 2 из § 3 гл. VI следует, что он являет-
является главным дивизором этой группы. Это означает, что существует
такой элемент t е *К, что (t)=Pa — Рь- В таком случае
и, стало быть, ввиду той же теоремы 2, t2 = cz для некоторого
элемента се К. Лемма доказана.
Из соотношения B) следует, что K{x) — K{z) = K{cz). От-
Отсюда, учитывая, что t = Tfcz, получаем
K(z)<=K(t) и [K(t):K(x)] = 2.
С другой стороны, [F: К(х)] = 2. Если допустим, что t<=F, то
получим равенство F = K(t) и придем в противоречие с пред-
предположением о том, что род g поля F больше нуля. Следова-
Следовательно, (— квадратичная иррациональность над F и, если поло-
положить E = F(t), то [E:F] = 2. Тем самым нами построено не-
некоторое квадратичное расширение Еа*К поля F. Покажем, что
оно не разветвлено над F. В самом деле, поле Е порождено
над F элементом t = Тез и, в таком случае, каждый простой ди-
дивизор поля F, который разветвляется в Е, входит в главный
дивизор [сг] = [г] с нечетной кратностью. Но из равенства C)
видно, что всякий простой дивизор, входящий в [z], имс>»т
кратность 2 и, значит, каждый простой дивизор поля F но pn:i-
вотвлен в Е.
В построении перазветвленного расширения К ноли F мы
использовали то обстоятельство, что F квадратичное расширение
поля К{х). Точно такая же ситуация воииикиот и для поля Е,
Действительно, E = F(t) = K(x, у, t)~°K(y, t) и j/Je^(j)c
c^K(l). Следовательно, Е представляет собой квадратичное рас-
расширение поля K(t) и можно применить ту же конструкцик»
к полю Е.

326
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРЛ
Итерируя указанный процесс, на га-м шаге получаем нераз-
ветвленпое расширение Еп сг *К поля F такое, что
[Еп: F) =
и dEn = 2.
При и = 3 приходим к справедливости неравенства A) и, тем.
самым, к справедливости утверждения о том, что группа
Div(F) не содержит исключительных простых дивизоров. От-
Отсюда заключаем, что теорема В справедлива для эллиптических
и гиперэллиптических полей.
2. Общий случай кривых рода g^l. Перейдем к рассмот-
рассмотрению общего случая поля алгебраических функций F рода
g > 0. Как и в п. 1, нашей целью будет построение неразвет-
вленного расширения Е a *K поля F достаточно высокой сте-
степени [E:F].
Пусть п — стандартное положительное целое число. Осно-
Основой для дальнейших конструкций служит следующий результат.
Лемма 3. Пусть Т — такой функциональный дивизор поля
F, для которого пТ — главный дивизор этого поля. Тогда сущест-
о
вует элемент t <= *К такой, что Т — (t) и t" ^ F. Расширение F(t)
не разветвлено над полем F.
Доказательство. По условию леммы существует элемепт
«е? такой, что пТ = [и]. Рассмотрим дивизор Т как элемент
о о о о
группы 5). Тогда пТ = (и), и поскольку отображение а: &> ->- 5?
равно нулю на главных дивизорах, то для размера а(пТ) диви-
дивизора пТ выполняется соотношение сг (пТ) = по (Т) = 0. Отсюда,
ввиду того, что группа 0? не имеет кручения, получаем соотно-
о
шение о(Т)=0. Из теоремы 2 из § 3 гл. VI следует, что всякий
о
дивизор группы ?), имеющий нулевой размер, является главным
о
дивизором. В таком случае Т = (t) для некоторого ie *K и, зна-
значит, (и)=пТ = \1). Отсюда заключаем, что t" = си при некото-
некотором с е К, Следовательно, t является корнем п-й степени над
полем F.
Если функциональный простой дивизор Р поля F не содер-
содержится в главном дивизоре [и] = [си], то Р не разветвлен в поле
E = F(t). Это следует из того факта, что многочлен zn — си, кор-
корнем которого является элемент t, имеет дискриминант ±п{си)п~1,
не делящийся на Р. С другой стороны, если Р содержится в [и],
то имеет место равенство vP(u) = nvP(T). В таком случае, если
х — элемент поля F, для которого vP(x)—vP(T), и если и' =
= их~", то Р не входит в главный дивизор [и']. Кроме того,
элемент t' = tx~l порождает поле Е над F и удовлетворяет со-
соотношению t'n = си'. Поэтому, если мы заменим в предыдущих
рассуждениях t на t' и и на w', то получим, что Р не развет-
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
327
влен в Е. Стало быть, Е — неразветвленное расширение поля F
и лемма, тем самым, доказана.
Для каждого стандартного целого п 5= 1 обозначим Cln^)
ядро отображения
и назовем С1П(^) группой классов дивизоров порядка п. Заме-
Заметим, что в условиях предыдущей леммы дивизор Т является
представителем некоторого класса из Cln (F). Рассмотрим все
о
корпи п-й степени t^*K такие, что (t) = Т для некоторого
функционального дивизора T^Div(F), представляющего неко-
некоторый класс группы С1Я(^). Ясно, что такие элементы t обра-
образуют мультипликативую группу Wn, содержащую все ненулевые
элементы поля F. Если мы сопоставим каждому элементу t e WT.
класс соответствующего ему дивизора Т sDiv(F), то получим
гомоморфизм
который, ввиду леммы 3, сюръективен. Ядром этого гомомор-
гомоморфизма является мультипликативная группа F* поля F и, следо-
следовательно, имеет место изоморфизм:
Поле F(Wn) является неразветвленным расширением поля F,
так как оно порождается неразветвленными расширениями F(t),
t^ Wп. Если поле К содержит все корни п-п степени из 1, то из
теории Куммера (см. [70d, гл. VIII, § 8]) следует, что поле
F(Wn), порожденное корнями и-й степени, является абелевым
расширением показателя п поля F. Кроме того, из той же теории
следует, что степень [F(Wn):F] равна порядку факторгруппы
WJF*. Отсюда, ввиду конечности группы Cl« (F), получаем соот-
соотношение
[F(Wn):F]>=\Cln(F)\,
где 1С1„(^)| —порядок группы Glni(F).
Предполагая снова, что К содержат все корни ге-й степени
из 1, покажем, что поле ~F(Wn)^*K является максимальным не-
разветвлепным абелевым расширением показателя п поля F.
Согласно теории Куммера, каждое такое расширение порожда-
порождается корнями п-й степени. Следовательно, достаточно показать,
что всякий корень ге-й степени из произвольного элемента и но-
ноля F содержится в Wn.
Пусть te*K — корень п-й степени над F и пусть миле /'{/)
не разветвлено над F. Положим tn=*u&F, Тик к»к /''(/) —нераз-
—неразветвленное расширение поля F, то имеем, что fj.(u) = O(modra)
для каждого функционального простого дивизора Р поля F. Сле-
Следовательно, главный дивизор [и] делится на п в И

328
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Div (F): [и] = пТ для некоторого Te=Div(F). Это означает, что Т
является представителем некоторого класса из группы Gln(F) и
О О , . О
что пТ = (и) = (? ). В таком случае Т = (t) и, стало быть, t e Wn.
Таким образом, нами установлен следующий результат.
Следствие 1. Пусть поле К содержит все корни п-й сте-
степени из 1. Тогда все корни п-й степени t ^ *К над F из лем-
леммы 3 порождают в *К максимальное неразветвленное абелево
расширение показателя п поля F. Степень этого максимального
расширения равна порядку группы Cln (F).
Пусть К' — алгебраическое расширение поля К и F' = FK' —
соответствующее ему расширение поля F. Включение F c= F'
естественным образом индуцирует инъективное отображение
Cl(F)-»-Q(по-
Cl(F)-»-Q(последовательно, можно рассматривать Gl(F) как подгруппу груп-
группы Cl{F'), и тогда Cln{F) = Cl{F)nCln(F'). Возьмем теперь в
качестве К! алгебраическое замыкание поля К, В этом случае
имеем (см. задачу 4)
и, стало быть,
|Cln(F)Kn4
Если выполняется равенство ICln(F) I = n2g, то все классы ди-
дивизоров порядка п называются рациональными над К. При этом
все корни п-й степени из 1 лежат в К. Таким образом, спра-
справедлив следующий результат.
Следствие 2. Пусть все классы дивизоров порядка п по-
поля F рациональны над К. Если Еп — максимальное неразвет-
неразветвленное абелево расширение показателя п поля F в поле *К, то
[Ея : F] = rf*.
Если К' — конечное расширение поля К и Еп — его макси-
мальпое перазветвленное абелево расширение показателя п в
*К', то легко видеть, что Еп = ЕпК'.
Чтобы определить Еп в общем случае, без предположения о
рациональности классов дивизоров порядка п, введем понятие
полуабелева расширения. Пусть Е — конечное расширение по-
поля F в *К. Оно называется полуабелевым расширением показа-
показателя п поля F, если существует такое конечное расширение К'
поля К, для которого Е' = ЕК' является абелевым расширени-
расширением показателя п поля F' = FK'. Если Е не разветвлено над F,
то Е' не разветвлено над К' и, стало быть, ввиду следствия 1
леммы 3,
[E:F] = \Е' ¦ F']< !С1П(Г) i =? п2*.
Последнее соотношение выполняется для всякого расширения Е
поля F, обладающего свойствами:
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
329
1) Е содержится в *К\
2) Е не разветвлено над F;
3) Е является полуабелевым расширением показателя к
поля F.
Каждое из этих свойств сохраняется при переходе к компо-
композиту и поэтому существует максимальное расширение поля F
с указанными свойствами. Пусть Еп — такое максимальное рас-
расширение, Имеем
\Eu'.F\<n* D)
и, если классы дивизоров порядка п поля F рациональны над
К, то это расширение Еп совпадает с расширением Еп из след-
следствия 2 леммы 3. В частности, в этом случае
Покажем, что последнее равенство имеет место в общем случае.
Теорема 1. Пусть Еп — максимальное неразветвлениое по-
луабелево расширение показателя п поля F
в *К. Тогда
Доказательство. Пусть К'—такое
конечное расширение Галуа поля К1 что
все классы дивизоров порядка п поля F ра-
рациональны над К'. Рассмотрим расширение
F'—FK', которое вложепо в поле *А",
и обозначим Е„ максимальное неразвет-
вленное абелево расширение показателя п
поля F' в *К'. Имеем [е'п: F'] =пи. Кро-
Кроме того, из определения Еп следует, что
каждый автоморфизм поля *К', отобра-
отображающий F' на себя, отображает поле Еп
па себя.
Пусть G — группа Галуа поля К' над
К. Каждый автоморфизм группы G имеет
стандартное расширение на поле *К' и,
следовательно, можно рассматривать G как группу Галуа поля
*К' над *К. Группа G отображает F' = FK' на себя и тогда она
отображает Еп также на себя. Поэтому G индуцирует группу
автоморфизмов поля Еп- Обозначим Е неподвижное поле этой
группы (подполе поля Еп). Оно обладает следующими свой-
свойствами (см. рис. 4):
1) Е содержится в *К.
В самом деле, так как *К — неподвижное поле группы G в
поле *К\ то Е = *К П Е'п.
Рис. 4

330
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
2) Е не разветвлено над F,
Действительно, Еп — неразветвленное расширение поля F';
F' — неразветвленное расширение поля F и, так как Ее: Ёп, то
Е — неразветвлешгое расширение поля F.
3) Справедливо равенство Еп = ЕК'.
Справедливость указанного равенства следует из теории Га-
луа, так как каждый нетривиальный автоморфизм ноля К' опре-
определяет нетривиальный автоморфизм поля ЕК'. Поскольку Еп —
абелево расширение показателя п поля F', отсюда следует, что
Е — полуабелево расширение показателя п поля F,
Из свойств 1)—3) поля Е следует, что Е<=Е„. В таком слу-
случае, ввиду D)
[Е : F\< [Еч : F] < пЧ
С другой стороны, из свойства 3) выводим, что
[Е: F] = [ЕК': FK'} = [е'п: F'] = n2g.
Отсюда заключаем, что Е„ — Е и что [Еп : F] = п2в. Теорема до-
доказана.
Теорема 1 устанавливает существование в *К неразветвлен-
ного расширения Еп поля F произвольно большой степени п2г.
Для доказательства теоремы В необходимо оценить теперь ин-
инвариант
dn = dEn = min [En: K{x)\
0CE
поля Е„. Положим, как и прежде, dF = d. Справедливо следую-
следующее утверждение.
Лемма 4. Имеет место неравенство
dn < g3dn2e-2.
Доказательство леммы 4, данное Зигелем [54d], основано
на аналитической теории тета-функций. Так как эта теория не
рассматривается в данной книге, мы изложим доказательство
леммы 4 в виде задач (см. ниже задачи 1—4). В доказатель-
доказательстве теоремы Зигеля— Малера, предложенном Ленгом (см. [70h,
гл. 8, § 8]) вместо тета-функций использован якобиан кривой
X. Алгебраическое доказательство леммы 4, основанное на не-
неравенстве Кастельпуово ¦— Севери и справедливое в любой ха-
характеристике р, дано Рокеттом [106Ь].
Докажем теперь теорему В в общем случае. Из теоремы 1
и из леммы 4 имеем
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Отсюда, взяв п достаточно большим, получаем неравенство
из которого (как было показано выше) следует, что группа
Div(F) не содержит исключительных дивизоров. Теорема В до»
казана.
Задачи
1*. Пусть R — компактная связная риманова поверхность над расши-
реппой комплексной плоскостью С (см. [1J4, гл. 1, 5, 10; 128]). Если ( —
локальный (униформизирующий) параметр точки РеЛ и <о = qpdf •— диф-
дифференциал, определенный в окрестности точки Р, то ю пазывается голо-
голоморфным или мероморфным в точке Р соответственно тому будет ли тако-
таковой функция ф = ф (t) для каждого локального параметра t. Дифференци-
Дифференциал ш на Я называется дифференциалом первого, второго или третьего рода
в соответствии с тем, будет ли он голоморфным всюду на й, мероморфным
вайи имеющим нулевые вычеты в каждом полюсе или же мероморфным
на й и имеющим полюса порядка не выше 1.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Если "[ — замкнутая кривая на й и со — дифференциал первого или
второго рода, то значение интеграла 1 со зависит только от класса гомоло-
у
гий кривой f. Это значение пазывается периодом дифференциала со относи-
относительно Y-
б) Риманова поверхность й гомеоморфпа сфере с g ручками при неко-
некотором g ^ 0 и ее первая группа гомологии Н1 (R, Z) является абелевой
группой с 2g образующими.
в) Если со — мероморфный дифференциал на й, то он имеет лишь ко-
конечное число полюсов Pi, ..., Рг и справедливо равенство
г
г) Каждая непостоянная мероморфная функция ф на римавовой по-
поверхности R принимает любое значение csC одно и то же число раз (зто
число называется валентностью функции q>).
д) Если <р и т|з — непостоянные мероморфные функции на Я валентно-
валентности тип соответственно, то существует такой неприводимый многочлен
/еС[г, у] степени ^п по х и ^т по у, что /(<р, я|>) = 0.
(Указание. Пусть комплексное число с отлично от нулей и полюсов
функции if>, и пусть Pi, ..., Р„ — все точки поверхности R, в которых if = с.
Показать, что для каждого целого г ^ 0 дифференциал со — ф ^_с имеет
в каждой точке Pt простой полюс с вычетом <рг(Р<) и что его вычеты во
всех других полюсах являются рациональными функциями от с. Вывести
отсюда, что суммы
являются рациональными функциями от с и что твковыми нвлиютви
ментарные симметрические функции от ф(/'|), ..., q (Рп).)

332
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
е) Мероморфные функции на Л пороясдают конечное расширение поля
рациональных функция С {х).
ж) Всякая компактная связная риманова поверхность Л конформно эк-
эквивалентна неособой алгебраической кривой, определенной Над полем С.
(Указание. Воспользоваться результатом п. д) и установить сущест-
существование взаимно однозначного и конформного отображения Л на риманову
поверхность алгебраической функции у = у(х), удовлетворяющей уравне-
уравнению /(ж, у) = 0 (см. [114, гл. 10, п. 9]).)
2*. Пусть Л — компактная связная риманова поверхность. Свободную
абелеву группу, порожденную точками поверхности Л, назовем группой ди-
дивизоров на Л и обозначим ее Div(ff). Если 1\, ..., Рп и Qt, ..., Qn — нули и
полюса мероморфной на R функции <р, то дивизор
назовем дивизором функции ц> или главным дивизором. Аналогичным об-
образом определяется дивизор (о>) отличного от нуля дифференциала ш на Л.
Задание дивизора (<р) определяет мероморфную функцию <р на R с точ-
точностью до постоянного множителя. Дивизоры функций ф образуют подгруп-
подгруппу P(R) главных дивизоров группы Div(fl). Факторгруппа С1(Л) =
= ~Div(R)/P(R) называется группой классов дивизоров на Л. Каждый класс
группы С1(Л) состоит из линейно эквивалентных между собой дивизоров.
Дивизор
называется положительным (символическая запись 4^0), если а< ^0 для
всех i. Целое число
2*
называется степенью deg А дивизора А.
Дивизоры степени О образуют подгруппу Б1уо(Л) группы Div(fl), со-
содержащую в себе группу P(R). Факторгруппа С1°(Л) = Div° (R)IP(R) лазы-
вается группой классов дивизоров степени 0.
Пусть Л a S — две компактные связные римановы поверхности. Отобра-
Отображение /: R-*-S называется голоморфным, если для каждой точки Ре Л и
любого локального параметра т в точке f(P) e S функция т о / голоморфна
в Р. Точка Р е Л называется точкой ветвления индекса е для /, если функ-
функция т»/-То/(Р) имеет в точно Р нуль порядка е > 1. Степень п дивизо-
дивизора f~'(Q) не зависит от выбора точки &е5 (при условии, что точка ветвле-
ветвления f~l(Q) берется с кратностью, равной ее порядку ветвления) и называ-
называется степенью отображения {.
Обозначим L(—-4) векторное пространство над полем С, состоящее ия
мероморфных на Л функций ср, таких, что (ср) + А ^ 0, и положим / (— А) =
= dinij. L (— А). Пусть W — класс дивизоров отличных от нуля дифферен-
дифференциалов ю на римановой поверхности Л. Класс W называется каноническим
классом, и его элементы — каноническими дивизорами.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Теорема Рим а на — Роха. Существует целое число g^Q, за-
зависящее лишь от Л и, называемое родом римановой поверхности Л, такое,
что
Ц-А) =deeA-g + l + l(A- (со))
для каждого дивизора Ле Div(fl) и для любого канонического дивизора (о)).
б) Для каждого (со) е W справедливы соотношения deg (со) = 2g — 2 и
l(-M) =g.
в) Дифференциалы первого рода образуют С -векторное пространство
размерности g.
г) Если deg A > 2g — 2, то I (—A) = deg А — g + I,
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
333
д) Пусть Л и S — две компактныо связные римавовы поверхности ро-
родов g(R) и g{S) соответственпо. Если /: Л -»- S — непостоянное голоморфное
отображение Л на 5 степени п и Pi, ..., Рг—все точки ветвления, то
где ei —индекс ветвления точки Pi.
е) Пусть ф — непостоянная мероморфная функция валентности л на ри-
римановой поверхности Л рода g и Р\, ..., Рг — все точки ветвления атой
функции. Тогда
2 (,)
1=1
где ei — индекс ветвления точки Р,.
ж) Если первая группа гомологии H1(R, Z) имеет 2g образующих, то
род римаиовой поверхности Л равен g.
а) Если триангуляция римановой поверхности Л рода g содержит п
вершин, m ребер и г граней, то
2g — 2 = m — п — г.
(Указание. См. [114, гл. 5; 70е, гл. II].)
3*. Пусть Q — векторное над полем С пространство дифференциалов
первого рода на компактной связной римановой поверхности Л рода g > 0.
Ввиду результата п. а) задачи 1 спаривание
{со, у) -» j i
индуцирует отображение
Q X П1 (Л, I) -+ С,
которое С-линейно по первому аргументу и аддитивно по второму. Поэтому
это отображение индуцирует каноиический гомоморфизм
IIх (Л, 2) -+ Q* = Horn (Q, С).
Образ Л этого гомоморфизма является абелевой группой (группой перио-
периодов) с k ^ 2g образующими. Пусть Ра — фиксированная и Р — произвольная
точки поверхности Л. Тогда дуге РцР соответствует элемент ю i-» \ о) груп-
К
пы Q*. Изменение дуги PqP, соединяющей P<j и Р, приводит к изменению
Р
интеграла I со на некоторый элемент группы Л, Поэтому точке Р соответ-
К
ствует некоторый элемент факторгруппы Q*/A (называемой якобианом, ри-
римановой поверхности Л), По аддитивности это соответствие можно расши-
расширить до гомоморфизма
и: T)iv(R) ->Q*/A.
Если теперь ограничить этот гомоморфизм на группу дивизоров .Div°(/?)
степени 0, то он не будет зависеть от выбора точки Ро.

334
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
Пусть у±1 •¦¦) Vy' У^ ¦¦¦' Vg— система замкнутых кривых на R, состав-
составляющая канонический базис группы Я.± (R, 2) {кривая f« пересекается
лишь с Ч| в единственной точке и ориентация кривых у* и 7{ положитель-
положительна по направлению от if к yt). Разреоав риманову поверхность R по кри-
кривым v4, у4, получаем ее представление в виде многоугольника Л* с ig сто-
сторонами
yv Vi- ~VV ~VV .... Ч8, Vg, ~Ye. -V
Если Mi, ..., a>s — базис пространства дифференциалов первого рода на R,
то интегралы
«= f
П
называются периодами дифференциалов fl>i, ..., а>е.
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) Пусть Ро — фиксированная внутренняя точка и Р — произвольная
точка многоугольника R*. Если со — любой дифференциал первого рода на
R*, то интеграл
р
f(P)=\
представляет собой однозначную голоморфную функцию на R*.
(Указание. Показать, что интеграл от а по любому замкнутому пу-
пути в R* равен нулю.)
б) Для любых двух дифференциалов км, ш2 первого рода на R их пе-
периоды
aij=jcoj п «,•,¦= faj
П
связаны билинейным соотношением Римана
g
2
g
2 (aiiai2-^iai2)=o-
i
(Указание. Воспользовавшись тем, что О] обладает на R* неопреде-
неопределенным интегралом /ь представляющим собой однозначную голоморфную
¦функцию, показать, что интеграл от дифференциала первого рода ш* =
= /ito2 по границе ^ многоугольника R* равен нулю. Затем, воспользовав-
воспользовавшись тем, что каждой точке разреза fi соответствуют две точки границы f,
которые соединены путем, гомологичным у[, показать, что значения функ-
функции /] в этих двух точках различаются па а{1. Принимая во внимание ориен-
ориентацию сторон многоугольника R*, вывести отсюда, что
Vi
+ J <о* = - a'it j ш2 = -
-Vi
в что
Vi
<о„ — a,-
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
335
Суммируя ати равенства по { = 1, 2, ..., g, получить билинейное соотноше-
соотношение Римана.)
в) Группа периодов Л является решеткой в Q* ранга 2g (свободной абе-
левой группой с 2g образующими, которые порождают Q*, рассматриваемое
как действительное векторное пространство).
(Указание. Установить, что векторы периодов
al = (aii' •••' aig)' ai=(aii- •¦•'aig)' 1<г<^>
базисных элементов <аи ш^. пространства Q порождают решетку Л.)
г) Теорема Абеля. Ядром гомоморфизма
и: Div°(i?)->-fi*/A
служит группа P{R) главных дивизоров римановой поверхности R.
(Указание. Показать сначала, что дивийор любой иероморфной на R
функции t содержится в ядре рассматриваемого гомоморфизма. Для этого
выбрать представление поверхности в виде многоугольника Л*, гданица
которого 1 не содержит ни нулей, ни полюсов функции *, и рассмотреть го-
голоморфный па f дифференциал м = dt/t, а также вектор
f(P) =
где
U (р) = f
— однозначные голоморфные на R* функции. Пусть
3=1
— дивизор функции J. Показать, что
Затем, воспользовавшись теоремой Коши о вычетах, а также рассуждения-
рассуждениями п. б), показать, что
g
у
где
f /со = 2я V-1 2 Resp. (/ш) = 2л ~|/-1 2 aj/ (^;) = 2 ("iai ~" Biai)'
Для доказательства обратного утверждения установить индукцией по г J» 2
и с помощью теоремы Римана — Роха, что для каждого дивизора
-Vi
Vi

336
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
степени 0 существует такой дифференциал третьего рода со, что Resp.(<D) =
= а- для всех / = 1,2, ..., г. Показать затем, что дифференциал со может
быть выбран таким образом, что, кроме того,
<в = 2л ~[/—l
to = 2л "|/—1
где п^, щ — некоторые целые числа.
Вывести отсюда, что А является дивизором некоторой мероморфной на R
функции t См. также [70е, гл. III, § 2; 33, т. 1, гл. 2, § 2 и 114, гл. 10, п. 7].)
д) Теорема Я к о б и. Гомоморфизм
и:
является эпиморфизмом.
(Указание. Дивизор A^DW(R) называется неспециалъным, если
1(А— («)) =0 для любого канонического дивизора (ш). Доказать, что су-
существует g различных точек <?i, ..., Qg, для которых дивизор
неспециален. Пусть *,¦ — локальный параметр в точке Qt и
зис иространства ii. Показать, что определитель
..., wg — ба-
баотличен от нуля и вывести отсюда, что отображение
'Pi Pi
< (? У \
i=1 \Qi Qi I
определяет аналитический изоморфизм произведения Vt X ¦ ¦ • X Vg достаточ-
достаточно малых дисков Vi, ..., Ve с центрами в точках Qi, ..., Qg с некоторой
окрестностью нуля пространства Q*. Показать, далее, что сюръективность
отображения и достаточно установить для некоторой окрестности нуля в Q*.
См. также [70е, гл. III, § 3; 33, т. 1, гл. 2, § 2; 114, гл. 10, п. 8 и 128, гл. II,
§ 21].)
е) Факторгруппа Й*/А является 2^-мериым вещественным тором.
(Указание. Рассмотреть Q* как ^-мерное комплексное пространство
С*. Установить, что каждый комплексный вектор (zi, ..., zg) сравним по
mod Л с вектором, длина которого ограничена абсолютной константой, и вос-
воспользоваться затем результатом п. в).)
ж) Если А = Р, + . .. + Рг — Qt — - ¦ • — Qt — дивизор степени 0 на R и
<0[, ..., toj— базис пространства й, то сопоставление
и: A i
(modЛ)
задает изоморфизм группы классов дивизоров С1°(Д) степени 0 на Q*/\.
з) Если Ро — фиксированная точка римановой поверхности R, А =
= Pi + ... + Pg — дивизор на R степени g ж a>i, ..., u>g — баше пространст-
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
337
ва Й, то соответствие
и; А*
g Pi g Pi \
2 [ «r ---i 2 f °>g)
=ii>0 j=>p. j
взаимно однозначно тогда и только тогда, когда дивизор А песпециален.
4*. Пусть Л компактная связная риманова поверхность рода ?>0 и
Q — векторное над полем С пространство дифференциалов первого ро-
рода на R. Пусть, далее, Wi, ..., шг — базис пространства Q, Ро — фиксирован-
фиксированная точка римановой поиерхности R, А = Pi + ... + Ps — дивизор степени
g иа R и
и:
S Pi
2 Г
— отображение дивизора А в ?3*/Л. Числа
g
называются абелевы.чи. координатами, дивизора А.
Пусть К — конечное расширение поля рациональных чисел Q. Дивизор
А = Р, + ... + Pg
называется К-рациопалъным, если все рациональные симметрические функ-
функции от координат точек Pi, ..., Pg с коэффициентами из Q являются эле-
элементами поля К. Классическая теорема сложения точек на R утверждает,
что если Ра суть Х-рациональная точка и А, В — положительные Иррацио-
Иррациональные дивизоры степени g, то существует такой положительный if-рацио-
нальный дивизор С степени gt определяющий единственный класс дивизо-
дивизоров, что
ui{A) + ui{B)=u1{C) (modA), lsS/sSf.
Указанная операция сложения, которая может быть переписана в виде
А + В = С,
превращает множество положительных .К-рациональных дивизоров степе-
степени g в абелеву группу Diy^{R). В соответствии с теоремой Морделла~
Вейля [89Ь, 23а] эта группа имеет конечное число образующих (см. также
[70h, гл. 6]).
Пусть ui, ..., ug и vi, ..., vs — абелевы координаты дивизоров А =
= Р\ + ... + Pg и В = <?i + ... + Qg соответственно. Если
g
fj = 2
i
Z,
/ ^ g,
— элементы решетки Л, то выражения
Щ— Vi + Xi, . . ., Ug—Vg + Xg
аадают в общем виде абелевы координаты дивизора А — В. Далее, если
п > 1 — целое число, то ге2* векторов
(и — v + т, и — v + т g
22 с. А. Степанов

338
ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
не сравнимы между собой по mod Л. Отсюда следует, что каждый дивизор
А = gP порождает п2г дивизоров
таких, что
и(А)=пи(А')+и(В) (modA).
Пусть X с: С х с — алгебраическая кривая рода g, определенная над
полем К уравнением f(x, у) = 0. Отождествим ее с римановой поверхностью
R рода g, а поле рациональных функций F на X — с полем мероморфных
на R функций. Если (п, g) = 1, то множество Еп всех симметрических функ-
функций от коордипат точек Р'г, ..., Pg e R является полем рациональных функ-
функций на соответствующей кривой У и, более того, леразветвлепным абелевым
расширением поля F степени n2g. Риманова поверхность Rn поля Еп пред-
представляет собой полистное накрытие поверхности R. Дивизоры
такие, что пА' = 0 (modA) называются дивизорами порядка п на Rn- Если
Ро — алгебраическая точка, то такие дивизоры имеют алгебраические ко-
координаты.
Используя билинейные соотношения Римана
(«ijKift— aij«ift) = O, /фк.
2
можно выбрать каноническую систему разрезов yv yit ll^i^g, римано-
вой поверхности R таким образом, чтобы выполнялись соотношения
/ _ , _ ( 1, если i = /,
aij=ajV aij— jo, если гф],
и чтобы мнимая часть квадратичной формы
была положительна для каяздого ненулевого целочисленного набора
\хх, ..., xg) = (nu ..., ng). Пусть
jf; exp
nv..., rij=-«
— тета-фунщия Римана. При выполнении указанных условий она является
отличпои от нуля цолой функцией комплексных переменных zi} ..., zt, удов-
удовлетворяющей функциональным уравнениям
6B-1-а,) =6B), lsgj^^,
и
в (z + otj) = exp {- л У-1 Bzt + а-;) | в (z), 1 < j < ,.
Доказать справедливость следующих результатов Зигеля [54d]:
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ "ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
339
а) Если целое число п > 1 достаточно велико и точка Ро выбрана подхо-
подходящим образом, то для всех точек Рей, за исключением их конечного
числа, и для каждого множества периодов {ть ..., xg} существует единствен-
единственный дивизор А' = Р^-т ... -\- P'g с абелевыми координатами
~vg~\ Ts
где (щ, ..., щ) = u{gP).
(Указание. Пусть т= (ti, xg)—произвольный вектор периодов
и Q — любая точка поверхности R. Доказать, что существует лишь конеч-
конечное число точек Р ей, для которых функция
/ (Р. П = 9
равна тождественно нулю по переменной Р' е R. Для этого предположить,
что таких точек Р имеется бесконечно много, и, воспользовавшись регуляр-
регулярностью функции / по переменной Р, вывести отсюда, что 'f{P, P') ^0. По-
Показать далее,- что при надлежащем изменении точки Р на R и при надле-
надлежащем выборе целого п > 1 аргумент
аи (Р) -1-Х
функции / может быть сделан как угодно близким к произвольной точке
г = Bi, ..., zg). После этого прийти к противоречию с тем, что функция
6(г — и{Р')) не равна тождественно нулю.
Воспользоваться, наконец,- следующим результатом Римана:
если при некотором Q e R функция
не равна тождественно нулю по переменной Р', то она имеет на R ровно g
нулей Р'г, ..., Pg, которые при подходящем В = <?i + . .. + Qg e Div (Д)
однозначно определяются соотношением
g м _ _
(mod A)
gu\
~и(В)
(см. также [33, т. 1, гл. 2, § 71.)
б) Если ф(Р) — мероморфная на R функция валентности d и А'=
= Р^ + ... -f- Pg — дивизор на Rn, определенный в предыдущем пункте,
то функция
есть элемент поля Еп валентности не выше g
(У к а з а н и е. ' Представить риманову поверхность Rn в виде много-
многоугольника i?*, состоящим из n2s экаемпляров многоугольника R*, а функ-
функцию Ф(Р) —в виде
где Pi, ..., Pd — нули и Qi, ...,
22*
— полюса функции ф(Р). Показать, что

340 ГЛ. VII. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ — МАЛЕРА
число нулей функции
внутри многоугольника Ип равно интегралу
взятому в положительном направлении по границе Гп многоугольника Д*.
Воспользовавшись функциональныл1и уравнениями
0 (f
л У^1 (тг
установить, что стороны yit —у{ многоугольника Rn не дают никакого
вклада в рассматриваемый интеграл, в то время как каждые п2 экземпля-
ров сторон -ji, —"({ дают вклад ~-п. Учитывая, что для каждого i = 1, 2, ...
..., g граница Г„ многоугольника Л* содержит в точности п2* экземпляров
1i, ~"ti, вывести отсюда, что число нулей функции
е
внутри Rn равно г3га2*-2.)
в) ПустьSj, Hi — координаты точек Pv l^.i^g, определенных в п. а).
Тогда при выбранных подходящим образом параметрах fi, h, аи п2, Ь\, bSr
С\, С2 функции
порождают поле Еп и связаны между собой над полем К неприводимым
уравнением fn(x, у) = 0 степени не выше dg3n2e~2, где d — минимальная сте-
степень поля F над К(х).
(Указание. Выбрать параметры U, h, a%, а2, bh b$, cu c2 таким об-
образом, чтобы валентности функций
были равны d, и воспользоваться результатами предыдущего пункта и п. д)
задачи 1.)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
Основным недостатком теоремы Зигеля — Малера является ее
неэффективность. Чтобы лучше понять возникающие в этом
вопросе трудности, полезно рассмотреть общую ситуацию, касаю-
касающуюся эффективного определения решений произвольно взятого
диофантова уравнения. Здесь мы ограничимся лишь кратким
обзором возникающих при этом проблем, отсылая читателя за
подробностями к книгам [32Ь], [40а], [50с], [80], [81с, d],
[113с] и к статье [41].
В 1900 г. на Международном математическом конгрессе в
Париже Д. Гильберт выделил 23 проблемы, решение которых
представляло по его мнению особый интерес для дальнейшего
развития математики. В их число вошла 10-я проблема, касаю-
касающаяся вопроса о разрешимости диофантовых уравнений. Эта
проблема может быть сформулирована в следующем виде. Пусть
P(t, х\, ..., хп) — многочлен из кольца ?[t, xv ...,xn]. Требу-
Требуется построить алгоритм, позволяющий определить, будет ли
каждое из уравнений
P(t, xu ..., *„) = 0, * = 0, 1, 2, ...,
иметь решение (xv ..., хп) е Z" или нет.
Многочисленные безуспешные попытки установить суще-
существование такого алгоритма навели в конце концов на мысль,
что 10-я проблема Гильберта алгоритмически не разрешима.
Заметим сразу же, что вопрос об алгоритмической неразре-
неразрешимости той или иной проблемы с необходимостью приводит к
задаче о точном определении понятия алгоритма. Впервые по-
подозрения о существовании алгоритмически неразрешимых про-
проблем зародились в связи с принципиальными трудностями, воз-
возникшими при реализации программы Гильберта по обоснованию
математики и, в частности, при решении его Entscheidungspro-
Ыет. Эта проблема, алгоритмическая неразрешимость которой
впервые была установлена Чёрчем {1936 г.) и Тьюрингом
A937 г.), состоит в том, чтобы для произвольного конечного
множества высказываний Т и любого высказывания ср логики
первого порядка определить, будет ли ср выводимо из Т на осно-
основе некоторой естественной системы аксиом и в соответствии о
определенными правилами вывода. Entscheidungsproblem была
провозглашена Гильбертом самой фундаментальной проблемой
математической логики, так как процедура ее решения могли,

342
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
по мнению Гильберта, привести к возможности алгоритмического
решения всех математических задач. Последующее развитие ма-
математической логики разрушило эти надежды.
1. Неформальная вычислимость. Целью данного пункта явля-
является формализация процесса вычисления специального класса
функций, определенных на наборах неотрицательных целых чи-
чисел и принимающих неотрицательные целые значения.
Пусть N —множество неотрицательных целых чисел и IN" —
прямое произведение п экземпляров множества ИМ- Частичной
числовой функцией называется пара (/, D{f)), состоящая из ото-
отображения /: 1N"->IN и его области определения D(f). Множе-
Множество всех таких функций имеет мощность континуума, и из это-
этого огромного количества мы хотим выбрать счетное число функ-
функций, которые являются вычислимыми.
Начнем с интуитивного описания понятия вычислимости.
Назовем и-местную частичную числовую функцию / эффективно
(алгоритмически) вычислимой, если существует эффективная
процедура (алгоритм), которая правильно вычисляет /. Эффек-
Эффективная процедура должна удовлетворять следующим критериям:
1) для этой процедуры должны иметься точные инструкции
(программа) конечной длины. Эти инструкции пе должны пред-
предполагать никакой изобретательности или даже понимапия со сто-
стороны человека или машины, которые следуют этим инструкциям.
Исполнение инструкций должно состоять только в аккуратном
следовании указаниям;
2) если задан упорядоченный пабор х = (хи ..., хп) из D(f),
то после конечного числа дискретных шагов процедура вычис-
вычисления должна закончиться, выда& значение f(x);
3) если задан упорядоченный набор x = (xi, ..., хп), не при-
принадлежащий D(f), то процедура вычисления f(x) продолжается
неограниченно.
Несмотря на то что нами дано лишь приблизительное опи-
описание, а не точное определение алгоритма, уже на этом нефор-
неформальном уровне можно развить почти всю теорию эффективно
вычислимых функций. Отметим, что при этом не налагается
никаких ограничений на величину аргументов, на время вычис-
вычисления f(x) при x^D(f) и на объем памяти.
Таким образом, класс эффективно вычислимых функций —
это класс частичных числовых функций, которые могут быть
вычислены в идеале, когда • снимаются все практические огра-
ограничения.
2. Машины Тьюринга. Отметим сразу же одно весьма суще-
существенное обстоятельство. Совокупность эффективных процедур,
удовлетворяющих критериям 1)—3)", очень обширна и мало обо-
обозрима. Напротив, совокупность эффективно вычислимых функ-
функций при всевозможных истолкованиях эффективных процедур,
удовлетворяющих критериям 1)—3), оказывается одной и той
ДЕСЯТАЯ" ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
343
же, причем легко описываемой в обычных математических терг
минах. Учитывая это обстоятельство, Пост и Тьюринг почти одно-
одновременно ввели в рассмотрение довольно узкие классы абстракт-
абстрактных машин, на которых оказалось возможным реализовать веб
эффективные процедуры, которые когда-либо встречались в мате-
математике. Машины, описанные Постом и Тьюрингом, различались
весьма незначительно, и в Дальнейшем стали называться маши-
пами Тьюринга.
Машина Тьюринга представляет собой абстрактное устрой-
устройство, состоящее из потенциально бесконечной в обе стороны
ленты, разделенной на ячейки управляющего устройства с ко-
конечным множеством состояний Q = {qu ..., qs} и считывающей
головки. Работа машины Тьюринга происходит следующим обра-
образом. В каждый дискретный момент времени головка обозревает
одну вполне определенную ячейку и в зависимости от записан-
записанного в ней символа о,- из алфавита А = {0, 1} и от текущего
внутреннего состояния q^ управляющего устройства головка впи-
вписывает в обозреваемую ячейку новый символ из А, сдвигаясь
после этого на одну ячейку влево или вправо, либо оставаясь на
месте, а управляющее устройство переходит в новое состояние qK.
Работу машины можно описать тремя частичными функциями
F: AXQ-+A, G-.AXQ-+Q, Я: AXQ-ML, S, R),
где L, S и R обозначают соответственно сдвиг головки влево,
отсутствие движения и сдвиг вправо, или же в виде программы,
состоящей из команд
)
Основным кодом набора (xv . .., хп) е IN называется запись
на ленте вида
...01 ... 101 ... 10... 01 ... 10.. ..
Частичная числовая функция f(x\, .,., хл) с областью определен
ния й(/) называется вычислимой (по Тьюрингу), если суще-
существует такая машина Тьюринга Т, что:
1) при ее применении к основному коду для набора
¦{х\, ..., xn)<^D(f) машина Т выдает после копечного числа ша-
шагов код числа j{x\, ..., хп) и останавливается;
2) при ее применении к основному коду для набора
(хи ..., xn)^D(f) машина Т не останавливается.
Класс вычислимых функций обозначим Р„.
3. Наетично рекурсивные функции. Перейдем к математиче-
математическому описанию класса числовых функций, представляющих
собой адекватную формализацию класса, Рв.
Суперпозицией частичных функций / = (/„ ... fm): N™ —>- N
и g: IMm-»- М называется функция-и = g" /: JMn->--N, задаваемая

344
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
345
в виде
h(xh ..., xn) = g(fi(xu ..., хп), ..., fm{x\, ..., хп))
и имеющая область определения
D(h) = {x^№\x^D(f), f(x)e=D(g)}.
Операция примитивной рекурсии заключается в сопоставле-
сопоставлении паре частичных функций g: f\T-»-N и h: Nn+Z->N ча-
частичной функции /: IN™ x->-IN, задаваемой схемой:
f(x±, . ..,хп, 0) = g(xv ..., хп),
f{xv ...,хп, у + 1) =h(xs, . ..,хп, у, f(xv ..., хп, у)).
Область определения D(f) функции / также описывается ре-
рекурсивно
(хи --., хп, 0)eO(/)+*.{j,, ..., xn)^D(g);
{хи ..., ж», у+1)-е/)(/)<*-(хь ..., хп, lf)eD(/) и
(zi, ..., аг„, у, /(жь ..., in, y))<sD(h).
Операция минимизации ц ставит в соответствие частичной
функции g: INn->-IN частичную функцию /: Mn->N, задавае-
задаваемую следующим образом:
/(xv ...,xn) = iiy(g(xv ..., лг„_1; у) = хп) =
= min{y е М | g(xv .... ^n_l7 i/) = хп)},
и (Zj, ..., ar^-i, z)e D(f) для всех г<|у}.
Своеобразие области определения диктуется процессом машин-
машинного перебора при нахождении решения уравнения g(xi, ...
..., xn~i, у) = хп.
Множество всех частичных числовых функций, которые мож-
можно получить из системы простейших функций:
O(z)ss0, S(x)^x+l, Inn{xv ...,xn) = xm;
при помощи операций суперпозиции, примитивной рекурсии и
мипимизации, называется классом частично рекурсивных функ-
функций и обозначается Рчр.
Теорема 1 (Клини). Имеет место соотношение
4. Тезис Черча. Возникает естественный вопрос, а именно,
не существует ли некоторая другая формализация понятия
алгоритма, которая может вывести за пределы класса Рчр.
Фундаментальным открытием теории вычислимости явилось
то, что на поставленный вопрос нужно дать отрицательный ответ.
Соответствующая гипотеза впервые была выдвинута и аргумен-
аргументирована Чёрчем. В настоящее время эта гипотеза — тезис Чёрча
принимается почти всеми скорее как экспериментально установ-
установленный закон, характеризующий математические способности
человека и дающий единственную и окончательную формализа-
формализацию понятия алгоритма.
Тезис Чёрча. Класс эффективно вычислимых функций
совпадает с классом всех частично рекурсивных функций.
Разъясним теперь практическую значимость тезиса Чёрча
для математики. Наибольший интерес представляют следующие
его аспекты.
Тезис Чёрча как определение алгоритмиче-
алгоритмической неразрешимости.
Введем сначала некоторые новые понятия. Характеристиче-
Характеристической функцией множества A с IN a называется функция
уА: M"->IN такая, что
0, если х е А,
1, если хф А.
г"астичной характеристической функцией множества А называ-
называется функция
^, ( 0, если iei,
У (х) = {
hA ' \ не определена, если х ф А.
Множество A cz Nn . называется разрешимым (рекурсивным),
если его характеристическая функция %А эффективно вычисли-
вычислима (частично рекурсивна). В противном случае множество А
называется неразрешимым.
Аналогичным образом определяются характеристическая (ча-
(частичная характеристическая) функция предиката R и рекурсив-
рекурсивный предикат.
Пусть имеется счетная последовательность математических
задач Pi,P2, ..., каждая из которых имеет ответ «да» или «нет».
Предположим, что эта последовательность допускает задание в
виде некоторого n-местного предиката R с: IN . Это означает,
что существует взаимно однозначное кодирование померов и
условий задач Pt наборами {хх, ..., ж„) е IN", при котором R
истинен на (х\, ..., х„) в том и только том случае, когда соот-
соответствующая набору (х\, ,.., хп) задача Pt имеет ответ «да».
Такая последовательность Р = {PJ называется массовой про-
проблемой.
Массовая проблема Р называется алгоритмически разреши-
разрешимой, если соответствующий ей предикат R рекурсивен, и илги-
ритмически неразрешимой в противном случае.
Одним из наиболее известных примеров алгоритмически ий-
разрешимой массовой проблемы, к которой евпдитгн И" 1\\щн-

346
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ству всё остальные известные к настоящему времени нераз-
неразрешимые проблемы, является проблема остановки машины
Тьюринга.
Теорема 2. Не существует' алгоритма, который по данной
машине Тьюринга Т и по данному a;eN позволяет определить,
остановится ли со временем машина Т, начав работать с левой
единицы основного кода числа х.
Тезис Чёрча как эвристический принцип.
1 Эффективная вычислимость многих частичных числовых
функций интуитивно яспа из определенных неформальных рас-
рассмотрений. К таким функциям относится, папример, функция
h{n), задающая в-й десятичный знак числа е, или же функция
р(п), задающая п-е простое число. Тезис Чёрча позволяет раз-
разбить процесс исследования таких фупкций на два этапа: 1) отыс-
отыскание неформального решения с использованием любых интуи-
интуитивных алгоритмов; 2) последующая формализация.
5. Рекурсивно перечислимые множества. Рассмотрим теперь
множества (предикаты), являющиеся рекурсивными лишь на-
наполовину.
Множество ЛсМ" называется рекурсивно перечислимым,
если существует такая частично рекурсивная фупкция f[x\, ...
..., хп), что A=D(f). Предикат Д(х\, ,.., хп) назовем рекур-
рекурсивно перечислимым, если рекурсивно перечислимо множество
наборов (xv ,,.,а;„)е1\1л, на котором R истинен.
. Легко видеть, что множество А с: IN" рекурсивно перечис-
перечислимо (предикат R рекурсивно перечислим) тогда и только тогда,
когда частичная характеристическая функция множества А (пре-
(предиката R) частично рекурсивна.
Из отрицательного решения проблемы остановки маши-
машины Тьюринга легко вытекает справедливость следующего
утверждения.
Теорема 3. Существуют рекурсивно перечислимые^ но не
рекурсивные множества {предикаты).
6. Диофантовы множества и предикаты. Нетрудно видеть, что
для установления алгоритмической неразрешимости 10-й про-
проблемы Гильберта достаточно ограничиться рассмотрением реше-
решений (х[, ..., х„) полиномиальных уравнений Р(Х[, .,., ж„) = 0 с
компонентами из IN.
Предикат R{x\, ..., хп), определенный на наборах
(xlt ..., #n).elN, называется диофантовым, если существует мно-
мноPZfe ] й
гочлен
xn, уг, ..-,Ут] такой, что
Множество А наборов (xv ,,.,^)еМ" называется диофанто-
диофантовым, если диофантовым является «-местный предикат, истинный
на (xh ..., хп)^А и ложный на остальных наборах (хи ..., хп).
ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
, 347
'*
Из определения диофантова предиката и из тезиса Чёрча
следует справедливость следующего факта.
Теорема 4. Каждый диофантов предикат рекурсивно пе-
перечислим.
Если бы 10-я проблема Гильберта решалась положительно,
то каждое диофантово множество было бы рекурсивным. Поэто-
Поэтому для отрицательного решения этой проблемы достаточно по-
показать, что существуют перелсурсивные диофантовы множества.
Решение этой задачи было дано совместными усилиями М. Де-
виса, X. Патнема, Дж. Робинсон и Ю. В. Матиясевича.
Теорема 5. Класс диофантовых предикатов совпадает с
классом рекурсивно перечислимых предикатов и класс диофан-
диофантовых множеств совпадает с классом рекурсивно перечислимых
множеств.
7. Положительные аспекты отрицательного решения десятой
проблемы Гильберта. Используя результат теоремы 5, легко
установить существование диофантова уравнения P(t, x, у\, ...
..., ут) — 0, которое универсально в том смысле, что, полагая
получаем последовательность ЫЛ всех рекурсивно перечисли-
перечислимых подмножеств множества IN.
Ю. В. Матиясевич установил существование универсального
многочлена P(t, x, у\, ..., ут) с т — 9. Степень этого многочлена
по оценке Дж. Джоунза имеет порядок 1,6 • 1045. Отсюда следу-
следует, что 10-я проблема Гильберта заведомо не разрешима для
диофантовых уравнений с 9 и более неизвестными. Точный ми-
минимум для т неизвестен, хотя ввиду наших предыдущих рас-
рассмотрений чрезвычайно интересен.
Каждое диофантово множество A cz IN может быть представ-
представлено как множество неотрицательных значений некоторого мно-
многочлена. В частности, таким свойством обладает множество про-
простых чисел, цредставимое многочленом степени 25 от 26 пере-
переменных, последовательность
.п
Л <)Ъ 433 „п-
1, i. , О , . . ., П , . . .,
множество неполных частных чисел у 2, е, л и т. д. (заметим,
что для У 2 до сих пор не известно, конечно это множество
или нет).
Из отрицательного решения 10-й проблемы Гильберта легко
следует неразрешимость Entscheidungsproblem Гильберта. Более
того, поскольку введенная Геделем теория нумераций в прин-
принципе сводит синтаксис формальных языков к арифметике, то в
некотором смысле «почти вся математика» сводится к теории
диофантовых уравнений (см. [81d, гл. 4]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айерлэнд, Роузен (Ireland К., Rosen M.)
Классическое введение в современную теорию чисел.— М.: Мир, 1987.
2. А к с, Кочен (Ах J., Kochen S.)
I — Diophantine problems over local fields ff Amer. J. Math.— 1965.—
V, 87.— P. 605—630; II — A complete set of axioms for p-adic number
theory / Amer. J. Math.— 1965.— V. 87.— P. 631—648; III — Decidable
fields / Ann. Math.— 1966.— V. 83.— P. 437—456.
3. А л ад об Н. С.
О распределении квадратичных вычетов и квадратичных невычетов
простого числа р в ряду 1, 2, ..., р — 1 ff Мат, сб.— 1896,— Т, 18,
вып. 1,— С. 01—75.
4. А р а к в л о в С. КХ
a) Теория пересечений дивизоров на арифметической поверхности /
Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1974,—Т. 38, № 6.—С. 1179—1192.
b) Theory of intersection in the arithmetic surface ff Proc. Intern. Con-
Congress of Math.— Vancouver.— 1974.— P. 405—408.
5. Артин Е. (Artin E.)
a) Quadratische Korper im Gebiete der hohern Kongruenzen, I. II II
Math. Zeitschr.— 1924.— Bd 19,— S. 153—246.
b) Uber die Zerlegung definite Funktionen in Quadrate ff Hamb. Abh —
1927.—V. 5-S. 100-115.
(Collected papers of Emil Artin.— Reading, Mass.; London: Addison-
Wesley, 1965.—P. 273—288).
6. A p т и н M. (Artin M.)
Grothendieck topologies / Harvard Math. Dept, Lecture Notes.— 1962.
7. Артин M., Гротендик, Вердье (Artin M., Grothendiok A.,
Verdier J. L.)
Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas ff Lecture Notes in
Math.—Heidelberg: Springer-Verlag, 1972—1973 —V. 269, 270, 305.
8. Атья, Макдональд (Atiyah M. F., Macdonald I. G.)
Введение в коммутативную алгебру.— М.: Мир, 1972.
9. Б а ш м а к о в а И. Г.
Диофант и диофантовы уравнения.— М.: Наука, 1972.
10. Б е й к в р (Baker A.)
a) Linear form in the logarithms of algebraic numbers / Mathemati-
ka—1966 —V. 13.—P. 204—216; 1967 — V. 14 —P 102—107 220—
228; 1968.— V. 15.— P. 204-216.
b) Simultaneous rational approximations to certain algebraic numbers ff
Proc. Cambr. Philos. Soc— 1967,— V. 63.—P. 693—702.
c) Contributions to the theory of Diophantine equations. II. The Diophan-
Diophantine equation t/2 = x% + к ff Phil. Trans. Roy. Soe. London.— Ser A —
1967—1968.- V. 263, № 1139.— P. 193-208.
d) Bounds for the solutions of the hyperelliptic equation ff Proc Cambr.
Philos. Soc— 1969.— V. 65.— P. 439—444.
e) Transcendental number theory—London: New York: Cambr Univ
Press. 1975.
11. Бейкеp, Коутес (Baker A., Coates J.)
Integer points on curves of genus 1 /Proc. Cambr. Philos. Soc— 1970.—
12. Белл, Сломсон fB#ll J. L., Slomson A. B.)
Models and Ultraprodttcts,—Amsterdam: North-Holland, 1969.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
349
13. Берджесс (Burgess D. A.)
The distribution of quadratic residues and non-residues ff Mathemati-
¦ " 1Q6—112.
Proc. Roy. Soc. London.— Ser. A.— 1962.—
ka- 1957 — V. 4.- P.
14. Берч (Birch B. J.)
Forms in many variables
V 265 — P 245—264
15 Берч, С у и н н е р т о н - Д а й е р (Birch В., Swinnerton-Dayer H. P. F.)
Notes on elliptic curves. II ff I. reine und angew. Math,—1965.—
Bd 218.- S. 79-108.
16 Бомбьери (Bombieri E.)
a) On exponential sums in finite fields ff Amer. J. Math.— 1966.— V. 88,
И i-P 71—105; перевод: / Математика: Сб. пер.—М.: Мир,
1968,— Т. 12 : 2- С) 58—87. , ¦
b) Counting points on curves over finite fields (d apres S. A. Stepanov),—
Sem. Bourhaki.— 1973 — № 403.— P. 1—8.
c) Hilbert's 8th problem: An analogue ff Proc. Symp. Pure Math.—
1976.— V. 28, p. 1.— P. 269—274.
17 Бомбьери. Дэвенпорт (Bombieri E., Davenport H.)
On two problems of Mordell / Amer. J. Math— 1966.— V. 88, № 1 —
P. 61—70; перевод: ff Математика: Сб. пер.—М.: Мир, 1968.—Т. 12 : 2.—
С. 49—57.
18 Бомбьери, Шмидт (Bombieri Е„ Schmidt W. М.)
On Thue's euqation // Invent. Math,— 1987,— V. 88, № It—P. 69—81.
19. Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р.
Теория чисел.— М.: Наука, 1985.
20. Боуз, Чоула (Bose R. С, Cbowla S.)
Theorems in the additive theory of numbers / Comment. Math. Ilelv.—
1962.— V. 37.— P. 141—147.
21. Б у р б а к и Н. (Bourbaki N.)
Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы.— М.: Наука,
1965.
22. В а р н и н г (Warning E.)
Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley / Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg.— 1935.— Bd 11 — S. 76-83.
23. В е й л ь A. (Weil A.)
a) L'arithmetique sur les courbes algebriques ff Ada Math.— 1929.—
T. 52 — P. 281—315.
b) Sur un theoreme de Mordell ff Bull. Sci. Math. B).— 1930.—T. 54 —
P. 182-191. , ,
c) Foundations of Algebraic Geometry.— New York: Amer. Math. Soc.
Colloquium Publ., 1946,— № 29; revised and enlarged edition 1962.
d) Sur les courbes algebriques et les varietes qui s'en deduisent.— Paris:
Hermann, 1948.— (Actualites de Sciences Industrielles. № 1041).
e) On some exponential sums / Proc. Nat. Acad. Sci. USA.— 1948.—
V. 34,— P. 204—207.
f) Varietes Abeliennes et Courbes Algebriques.— Paris: Hermann, 1948.
g) Number of solutions of equations in finite fields ff Bull. Amer. Math.
Soc— 1949.— V. 55 — P. 497—508.
h) Number theory.— Boston; Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1983.
24. Вейль Г. (Weyl H.)
Алгебраическая теория чисел.— M.: ИЛ, 1947.
25. В е н к о в Б. А.
Элементарная теория чисел.— М.; Л.: ОНТИ, 1937.
26. Виноградов А. И., Л и н н и к KU В.
Гиперэллиптические кривые и наименьший простой квадратичный
вычет // ДАН СССР- 1966,-Т. 168, № 2,—С. 259-261.
27. Виноградов И. М.
а) Избранные труды.— М., Л.: Изд-во АН СССР, 1951

350
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
351
b) К вопросу о верхней границе для G(n) Ц Изв. АН СССР. Сер,
1959.— Т. 23, Л° 5 — С. 637—642.
c) Метод тригонометрических сумм в теории чисел.— М.: Наука, 1971.
d) Основы теории чисел.— М.: Наука, 1972.
28. Вон (Vaughan R. С.)
Метод Харди — Литтлвуда.— М.: Мир, 1985.
29. Вороной Г. Ф.
О целых алгебраических числах, зависящих от корпя уравнения
третьей степени // Собр. соч.— Киев: — Изд-во АН УССР, 1952.— Т. 1.—
С. 25—195.
30. Гаусс (Gauss С. F.)
a) Disquisitiones Arithmeticae.— Leipzig: Verlag Fischer, 1801.
b) Werke.— Gottingcn: Koniglische Gesellschaft der Wisscnshaft, 1863—
1933, Bd X, Teil. 1.— C, 571.
c) Труды по теории чисел.— M.: Изд-во АН СССР, 1959.
31. Ге л ьфон д А. О.
a) Аппроксимация алгебраических иррациональностсй и их логариф-
логарифмов II Вестн, МГУ. Сер 1, Математика, механика.— 1948,—Т. 9.—
С. 3—25.
b) Трансцендентные и алгебраические числа.— М.: Гостехиздат, 1952.
32. Г и л ь б е р т (Hilbert D.)
a.) Uber die vollen Invariantensysteme // Malh. Ann.— 1893.— Bd -52.—
S. 313—373.
b) Mathematische Probleme / Nachr. Acad. Wiss. Gottingen, Math.—
Phys. KL—1900.— S. 253—297; перевод: Проблемы Гильберта.—
M.: Наука, 1969.
33. Гриффите, Харрис (Griffiths Ph., Harris J.)
Принципы алгебраической геометрии,— М.: Мир, 1982.— Т. 1, 2.
34. Гросс, 3 а г ь е (Gross В. h., Zagier D. В.)
Heegner points and derivatives of i-serics / Invent. Math.— 1986.—
V. 84, № 2.— P. 223—320.
35. Гротендик (Grothendieck A.)
a) The cohomology theory of abstract algebraic varieties / Proc. Intern.
Congress of Math.—Edinburgh.—1958.—P. 103—118; перевод: Меж-
Международный математический конгресс в Эдинбурге.— М.: Физматгиз,
1962,—С. 116—137.
b) Formule de Lcfschetz et ralionalitc des fonctions L / Seminaire Bour-
baki.— 1965.— № 279.
36. Грюневальд, Циммерт (Grunewald F. J., Zimmert R.)
TJber oinige rationale elliptische Kurvon mit freiem Rang ^ 8 / I. rei-
ne und angew. Math.— 1977.— Bd 296.— S. 100—107.
37. Гун та (Gupta R.)
Fields of division points of elliptic curves related to Coates-Wilos.—
Ph. D. Thesis.- M. I. T., 1983.
38. Гурвиц (Hurwitz A.)
Uber ternare diophantische Gleidhung dritten Grades / Vierteljahr-
schrift d. Naturf. Ges. Zurich— 1917.— Bd 62.— S. 207—229.
39. Д в о р к (Dwork В,)
a) On the rationality of the zeta function of an algebraic variety //
Amer. J. Math.— I960 — V. 82.— P. 631—648; перевод; / Математи-
Математика. Сб., пер.— М,: Мир, 1961.—Т. 5 : В.—С. 55—72.
b) On the zeta function of a hypersurfaee II Publ. Math. I. H. E. S.—
1962.— V. 12.— P. 5-68.
c) On the zeta function of a hypersurfaee. II / Ann. of Math. Ser. 2,—
1964.- V. 80— Pj.227-299.
40. Д евис (Davis M.)
a) Computability and Unsolvability.—New York: McGraw-Hill, 1958.
f
If
b) Прикладной нестандартный анализ.— M.: Мир, 1980.
41. Девис М., Матиясевич Ю. В., Робинсон Дж. (Davis M.,
Matijascvic Yu., Robinson J.)
Hilbert's tenth problem. Diophantine equations: positive aspects of a ne-
negative solution Ij Proc. Symp. Pure Math.- 1976,- V. 28.- P. 323-378.
42. Делинь (Deligne P.)
a) La conjecture de Weil. I / Publ. Math. I. H. E. S.— 1974 —V. 43.—
P. 273—307; перевод: / УМН.— 1976.— T, 30, вып. 5A35).—С. 159—
190.
b) La conjecture de Weil. II Ц Publ. Math. I. H. E. S.— 1980.— V. 52.—
P. 137—252.
c) Cohomologie Etale / Lecture Notes in Math.— Heidelberg: Springer-
Verlag, 1977 — V. 569.
43. Д е л о н е Б. Н., Ф а, д д е е в Д. К.
Теория иррациональностей третьей степени // Тр. МИАН СССР.—
1940.—Т. П.—С. 1—340.
44. Диксон (Dickson L. Е.)
History of the theory of numbers. I. Divisibility and primality; II, Dio-
Diophantine analysis; III. Quadratic and higher forms.—New York: Chel-
Chelsea Publ., 1966.
45. Диофант Александрийский
Арифметика и книга о многоугольных числах.— М.: Наука, 1974.
46. Д о й р и н г (Deuring M.)
a) The zeta functions of algebraic curves and varieties / J. Indian
Math. Soc. (N. S.).—1956.— V. 20.-P. 89—101.
b) Lectures on the Theory of Algebraic Functions of one variable //
Lecture Not. Math.—1973.— №. 314. Berlin; New York: Springer-
Verlag.
47. Дубровин Б. А., Новиков СП., Фоменко А. Т.
Современная геометрия. Методы теории гомологии.— М.: Наука, 1984.
48. Дэвенпорт (Davenport H.)
a) On the distribution of quadratic residues (mod p) Ц J. London Math.
Soc- 1931,- V. 6.- P. 49—54.
b) On the distribution Z-th power residues (mod p). II / J. London Math.
Soc— 1932,— V. 7— P. 117—121.
c) On the distribution of quadratic residues (mod/») / J. London Math.
Soc— 1933— V. 8— P. 46—52.
d) On some infinite series involving arithmetical functions. II Ц Quart.
J. Math. Oxford. Ser. 8.—1937.—V. 32 —P. 313—320.
e) Note on a result of Siegel // Acta Arithm.— 1937,— V. 2.— P. 262-265.
f) Мультипликативная теория чисел.— M.: Наука, 1971.
49. Дэвеппорт, Эрдеш (Davenport H., Erdos P.)
The distribution of quadratic and higher residues // Publ. Math., Dobro-
cen.— 1952 — V. 2.— P. 252—265.
50. Ершов Ю. Л.
a) Об элементарных теориях максимальных нпрмнпмншшых nojioit.
II, III /I Алгебра и логика.— 1966.— Т. 5, JV: 1.— С. 8-40; 1967.— Т. 6,
№ 3.— С. 33—39.
b) Об элементарных теориях максимальных полей Ц ДАН СССР.—
1965,— Т. 165, № 1 — С. 24—26.
c) Теория нумераций.— М.: Наука, 1977.
51. Ершов Ю.Л., Палютин Е. А.
Математическая логика.—М.: Наука, 1987.
52. Зарисски, й, Самюэль (Zariski О., Samuel P.)
Коммутативная алгебра.— М.: ИЛ, 1963.
53. Зархин Ю. Г,
а) Изогений абелевых многообразий над полями конечной характери-
характеристики // Мат. сб.— 1974,— Т. 95, № 3.— С. 461—470.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
b) Эндоморфизмы абелевых многообразий над полями конечной ха-
характеристики- / Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1975.— Т. 39, № 2,—
С. 272--277.
54. Зигеяь (Siegel С, L.)
a) Approximation algebraischer Zahlen / Math. Zeitschr.— 1921.—
Bd 10 — S. 173—213.
b) Uber Naherungswerte algebraischer Zahlen / Math. Ann,— 1921.—
Bd 84,— S. 80—89.
c) The integer solutions of the equation y2 = axn + bxn~l + ... + ft / J.
London Malh. Soc— 1926.— V. 1.— P. 66—68.
d) Uber einige Anwendungen Diophantiseher Approximationen / Abhandl.
Prenss Acad. Wiss. Phys — Math, Kl.— 1929.— Bd 1 — S. 41—69;
то же: / Ges, Abhandl.—Berlin; New York: Springer-Verlag, 1966,—
Bd 1 — S. 209—266.
e) Zur Theorie der quadratischen Formen / Nachr. Akad. Wiss., Got-
tingen.— 1972,— S. 21—46; то же: // Ges. Abhandl.— Berlin; New-
York: Springer-Verlag.— 1966.— Bd 4,— S. 224—249.
55. Их ара (Ihara Y.)
a) Hecke polynomials as congruence zeta functions in elliptic modular
case / Ann. of Math. Ser. 2.— 1967 — V. 85 — P. 267—295.
b) On congruence monodromy problems I. II // Lect. Notes; Univ. of
Tokyo, 1968—1969; перевод: / Математика: Сб. пщ>.— М.: Мир,
1970 —Т. 14:3.—С. 40—48; Т. 14:4— С. 48—77; Т. 14 : 5.—С. 62—
101; 1972.—Т. 16:3.—С. 54—96; Т. 16:4—С. 50—71; Т. 16:5.—
С. 42—104. i
56- К а р а ц у б а А. А.
Суммы характеров и первообрайные корни в конечных полях / ДАН
СССР.—1968.—Т. 180, № 6 —С. 1287—1289.
57. Карлиц (Carlitz L.)
Kloosterman sums and finite field extensions / Acta Arithm — 1969.—
V, 16, № 2.- P. 179—193.
58. Карлиц, У ч и я м a (Carlitz L., Uchiyama S.)
Bounds for exponential sums // Dube Math. J.— 1957,— V. 24.— P. 179—
193.
59. К а с с е л с (Cassels J. W., S.)
a) Введение в теорию диофантовых приближений,— М.: ИЛ, 1961.
b) Введение в геометрию чисел.— М.: Мир, 1965^
c) Diophantine equations with special reference to elliptic curves //
J. London Math. Soc— 1966,— V. 41.— P. 193—291; перевод- // Ма-
Математика: Сб. пер.— М.: Мир, 1968.—Т. 12 : 1.— С. 113—160; Т. 12 : 2 —
С. 3-48.
60. К а т ц (Katz N. М.)
a) Travaux de Dwork / Seminaire Bourbaki,—1971—1972.—V. 24.—
P. 167—200; Lecture Notes in Math,— Berlin: Springer, 1973.— V. 317;
перевод: // Математика: Сб. пер,—М.: Мир, 1974.—Т 18:6.—
С. 3-19.
b) An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for va-
varieties over finite fields // Proc. Symp. Pure Math.—1976.—V. 28.
p. \.~ P. 275-305.
c) Sommes exponentielles / Asterisque-79. Soc. Math, de France.— Pa-
Paris, 1980.
61. К о б л и ц (Koblttz N.)
^-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции.— М.: Мир,
1982.
62. К о л ы в а г и н В. А.
а) Конечность ЕЩ и Ш(Е, Q) для подкласса кривых Вейля / Изв
АН СССР. Сер. мат.—1988.—Т. 52, № 3.—С. 522—540.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
353
Ь) О группах Морделла — Вейля и Шафаревича — Тейта для эллипти-
эллиптических кривых Вейля И Изв. АН СССР. Сер. мат.—1988,—Т. 52,
№ 6.—С. 1154—1180.
63. Коробов Н. М.
Оценка суммы символов Лежандра.— ДАН СССР.— 1971.— Т. 196, Л» 4.—
С. 764—767.
64. Коутес (Coates J.)
An effective /)-adic analogue of a theorem of Thue. I; II, The greatest
prime factor of a binary form; III. The Diophantine equatio»
yt = 2?-\.\k /I Acta Arithmetica.—1969.—V. 15 —P. 279—305; 1970.—
V. 16.— P. 399—412, 425—435.
65. Коутес, Уайлс (Coates J., Wiles A.)
On the conjecture of Birch and Swinnerton — Dyer / Invent, Math.—
1977.- V. 39, JV° 3 — P. 223—251.
66. Куга, Шимура (Kuga M., Schimura G.)
On the zeta function of a fibre variety whose fibres are abelian varie-
varieties / Ann. of Math. Ser. 2.— 1965.— V. 82— P. 478—539; перевод: /
Математика. С5. пер,— М.:' Мир, 1969.—Т. 11:5.—С. 21—87.
67. Л а г р а н ж (Lagrange I. L.)
Demonstration d'un theoreme d'arithmetique Ц Oeuvres de Lagrange.—
Paris: Ganthier-Villars, 1896.— T. 3,— P. 189.
68. Левек (Le Veque W. J.)
a) Topics in Number Theory.— Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1956.—
V. 1, 2.
b) Rational points on curves of genus greater than 1 // J. reine unct
angew. Math— 1961.— Bd 206— S. 45—52.
69. Лейбниц (Leibniz С W.)
Избранные отрывки из математических сочинений / УМН.— 1948.—
Т. 2, вып. 1B3).-С. 165-204.
70. Ленг (Lang S.)
a) Abelian varieties.—New York: Interscience Publishers, Inc., 1959.
b) Integral points on curves / Publ. Math. I. H. Б. S.— I960,—
P. 27—43.
c) Beport on diophantine approximations / Bull. Soc Math. France.—
1965.-T. 93.-P. 117-192.
d) Алгебра.—М.: Мир, 1968.
e) Введение в алгебраические и абелевы функции.— М.: Мир, 1976^
f) Elliptic Curves and Diophantine Analysis.— Berlin; New York:
Springer-Verlag, 1978.
g) Эллиптические функции.— М,: Наука, 1984,
h) Основы диофантовой геометрии.— М.: Мир, 1986.
71. Ленг, Be иль (Lang S., Weil А.)
Number of points of varieties in finite fields / Amer. J. Math.— 1954.—
V. 76, №4.-P. 819-827.
72. Лид л, Нидеррейтер (LidI R.,1 Hiederreiter H.)
Конечные поля. I; П.— М.: Мир, 1988.
73. Л и н н и к Ю. В.
a) Большое решето.—ДАН СССР.—1941.—Т. 30, Ш 4.—С. 290—292г
см. также: Ц Избранные труды: Теория чисел. Эргодический метод
и ^-функции.— М.; Л.: Наука, 1979.— С. 293—296.
b) Замечание о наименьшем квадратичном невычете / ДАН СССР.—
1942,—Т. 30, N° 4—5,— С. 131—132; см. также: Ц Избранные труды:
Теория чисел. Эргодический метод и i-функции.— М.; Л,: Наука,
1979.- С. 296-297,
- с) On the least prime in an arithmetic progession. I. The basic th*O>
rem / Мат. сб.— 1944 — Т. 15, № 2.— С. 139—178; II. The Dwlnf —
Heilbronn phenomenon // Мат, сб.— 1944.— T, 15, J* Ъг- G, 147~Ш(
23 С. А. Степанов

354
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
см. также: / Избранные труды: Теория чисел. Эргодический метод
и ?-функции—М.; Л.: Наука, 1979.—С. 336—399.
74. Л и н н и к Ю. В., Р е н ь и А,
О некоторых гипотезах ?сории характеров Дирихле // Изв. АН СССР.
Сер. мат.— Д947.— Т. 11.—С. 539—546; см. также: Лин ник Ю. В.
Избранные труды: Теория чисел, i-функции и дисперсионный метод.—
М.; Л.: Наука, 1980.-С. 30-37.
75. Л и у в и л л ь (Liouville J.)
Sur des classes tres etendues de quantites dont la valeur n'est ni algebri-
que, ni meme reducible a des irrationneles algebriques / G. R. Acad.
Sci. Paris.—1844.—T. 18,—P. 883—885, 910—911.
76. Лось (Los J.)
Quelques remarques, theoreme et problems sur les classes definisabio
d'algebres / Mathematical linterpretation of Formal System.— Amster-
Amsterdam: North-Holland, 1955 — P. 98—113.
77. M азур (Mazur B.)
a) Rational points on modular curves / Lecture Notes in Math.— Ber-
Berlin: Springer, 1977.— V. 601.
b) Modular curves and Eisenstein ideal / Publ. Math. I. H. E. S.—
1977.— V. 47.— P. 33—186'.
c) Rational isogenies of prime degree // Invent. Math.— 1978.— V. 2.—
P, 129-162.
d) Modular Curves and Arithmetic // Proc. Intern. Congr. of Math.—
Warszawa.— 1983.— V. 1.—P. 185—211.
e) Arithmetic on curves // Bull. Amer. Math. Soc— 1986.— V. 14, № 2.—
P. 207—259.
78. M а й с р с о п (Myerson G.)
The distribution of rational points on varieties defined over a finite
field // Mathematika—1981 —V. 28, № 2.—P. 153—159.
79. Малер (Mahler K.)
a) Uber die raticmalen Punkte auf Kurven von Geschleeht Eins / J. rei-
nc und angew. Math,— 1934.— Bd 170.— S. 168—178.
b) A remark on Siegel's theorem on algebraic curves // Malhematika.—
1955.—V. 2 — P. 116—127.
c) Lectures on diophantine approximation.— Notre Dame: Notre Dame
Univ. Press,— 1961.
80. Мальцев А. И.
Алгоритмы и рекурсивные функции.— М. Наука, 1986.
81. Мании К). И.
a) О сравнениях третьей степени по простому модулю / Изв. АН СССР.
Сер. мат.—1956.—Т. 20, № 5.—С. 673—678.
b) A course in mathematical logic.— New York; Springer-Verlag, 1977.
c) Доказуемое и недоказуемое.— M.: Сов. радио, 1979.
d) Вычислимое и новычислимое.— М,: Соц. радио, 1980.
82. М а т и я с е в и ч Ю. В.
a) Диофантовость перечислимых множеств / ДАН СССР.—1970.—
Т 191 «N* 2 С 279 282
b) Диофантовы множества '// УМН.—1972,—Т. 27, вып. 5.—С. 185—
222.
83. М а т т у к А„ Т е й т Д ж. • (Matluck A., Tate I. Т.)
On the inequality of Castelnuovo — Severi / Abhandl. Math. Sem. Univ.
Hamburg— 1958.— Bd 22 — P. 295—299; перевод: / Математика: Сб.
пер.— М.: Мир, I960.— Tj 4 : 2.— С. 25-29.
84. М а ц у м у р a (Matsumura H.)
Commutative Algebra.— New York: W. A. Benjamin Co., 1970.
85. M © с т p (Mestre J— F.)
Formules explicites et minorations de conducteurs de varietes algebri-
algebriques / Compositio Math,— 1986.— V. 58, № 2.— P. 209—232.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
355
86. Милн (Milne J.^S.)
a) The Tate — Safarevic group of a constant nlwlinn variety // Invent.
Math.— 1968,— V. 6 — P. 91—105.
b) Этальные когомологии.— M.: Мир, 1983.
87. М и т ь к и н Д. А.
Об элементарном доказательстве оценки А. Ben ли дли рпциональных
тригонометрических сумм с простым знаменателем, / Инн. иузов. Ма-
Математика.— 1986,— Т. 6.—С. 14—17.
88. Монтгомери (Montgomery H. L.)
Мультипликативная теория чисел.— М.: Мир, 1974.
89. М о р д е л л (Mordell L. J.)
a) Indeterminate equations of the third and fourth degrees / Quart. J. Pu-
Pure and Appl. Math.—1914—V. 45.-P. 170-186.
b) On the rational solutions of the indeterminate equations of llm 3rd
and 4th degrees / Proc. Cambr. Phil. Soc—1922.—V. 21.—P. 179—
192.
c) On a sum analogous to a Gauss's sum / Quart}. J. Math.— 1932.—
V. 1.— P. 161—167.
d) The number of solutions of some congruences in two variables jf
Math. Zeitschr.— 1933.— Bd 37.— P. 193—209.
e) On some arithmetical results in the geometry of numbers / Composi-
Compositio Math,— 1934— V. 1— P. 248—253.
f) A chapter in the theory of numbers.— Cambr.: Univ. Press, 1947.
g) The infinity of rational solutions of y2 = xb + к j/ J. London Math.
Soc— 1966.— V. 41.— P. 523—525.
h) On the magnitude of the integer solutions of the equation ax2 -f- by1 +
+ a2 = 0 / J. Number Theory.— 1968.— V. 1.— P. 1—3.
i) Diophantine equations.— London; New York: Academic Press, I960.
90. H a r e л л ь (Nagell Т.)
Solution de quelques problems dans la theorie arithmetique des cubi-
ques planes du premier genre / Vid. Akad, Skrifter Oslo.— 1035,— V. 1.
91. Нероя (Neron A.)
Problemes arithmetiques et geometriques rattaches a la notion de rnng
d'une courbe algebriques dans un corps // Bull. Soc. Math. France,—
1952.— T. 80.— P. 101—166.
92. II и с н е в и ч Л. Б.
О числе точек алгебраического многообразия в простом копечпом по-
поле / ДАН СССР.— 1954,— Т. 99, № 1 — С, 17—20.
93. Новиков П. С.
a) Об алгоритмической неразрешимости проблемы то?кдества слоп в
теории групп / Тр. МИА.Н СССР.—1955,—Т. М~С. 1--144.
b) Элементы математической логики.— М.: Наука, 1973.
94. Огг (Ogg А. Р.)
Diophantine equations and modular forms /I Bull. Amer. Math. Soc.—
1975,— V. 81.- P. 14-27.
95. П а р ш и н А, Н»
a) Алгебраические кривые над функциональными полями. I // Изв_
АН СССР. Сер. мат. 1968.—Т. 32, № 5.—С. 1191—1219.
b) Quelques conjectures de finitude en Geometrie Diophantine // Actes
;' Congr. Intern. Math.—1970.—T. 1.—P. 467—471.
c) Модулярные соответствия, высоты и изогении абелевых многообра-
многообразий / Тр. МИАН СССР.—1973.—Т. 122.—С. 211—236.
96. П е р е л ь м у т е р Г. И.
a) О некоторых суммах о характерами / УМН.— 1963,—Т. 18, вып. 2.—
С. 145—149.
b) Оценка суммы вдоль алгебраической кривой / MiT. «Мв?ни ¦
1969.— Т. 5.— С. 373—380.
23*

356
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
c) Оценка многократной суммы с символом Лежандра / Мат. замет-
заметки.- 1975.—Т. 18, J* 3 —С. 421—427.
d) Оценка многократной суммы с символом Лежандра для многочлена
нечетной степени // Мат. заметки.— 1976.— Т. 20, № 6.— С. 815—
824.
97. Полна (Polya G.)
a) Uber die Vertetlung' der quadratiscben Reste und Nichtreste / Nachr.
Akad. Wiss. Go'ttingen. Math.—Phys. Ю.—1918.—S. 21—29.
b) Zur arithmctischen Untersuchung der Polynome // Math. Zeilschr.—
1918.—Bd 1 —S. 143—148.
98. Постников А. Г.
Эргодичсскио вопросы теории сравнений и теории диофантовых при-
приближений // Тр. МИАН СССР.—1966.—Т. 82.-С. 3-112.
99. Постникова Л. П.
Тригонометрические суммы и теория сравнений по простому модулю.—
М. Изд-во МГПИ им. В. И. Ленина, 1973.
100. Пуанкаре (Poincare H.)
Oeuvres de Henri Poincare. Т. 2.— Paris: Gauthier-Villars, 1916.
101. Раджвад (Rajwade A. R.)
Arithmetic on curves with complex multiplication by У—2 // Proc. Cambr.
Phil. Sac— 1968 — V. 64.— P. 659—672.
102. Риду (Ridout D.)
The n-adic generalization of the Tlsue — Siegel — Roth theorem // Mathe-
matika.- 1958.- V. 5.- P, 40-48.
103. Риордан (Riordan J.)
Введение в комбинаторный анализ.— М.: ИЛ, 1963.
104. Робинсон (Robinson A.)
a) On ordered fields and definite functions / Math. Ann.—1955.—
V. 130— P. 257—271.
h) Non-standard analysis // Proc. Roy. Acad. Amsterdam* Ser. A.—
1961 — v. 64.— P. 432—440.
c) Non-Standard Analysis.—Amsterdam: North-Holland, 1966. (Study
in Logic and the Foundations of Math.)
d) Nonstandard theory of Dedekind rings // Indaq. Math.—1967.—
V. 29,- P. 444-452.
105. Робинсон А., Рокстт P. (Robinson A., Roquette P.)
On the finileness theorem of Siegel and Mahler concerning Diophantine
equations / J. Number Theory.— 1975 — V. 7 — P. 121—176.
106. P о к е т т (Roquette P.)
a) Arithmetischer Beweis der Riemannschen Vermutung in Kongruenz-
funktionenkorpefn beliebigen Geschlechts // J. reine und angew.
Malh.— 1953.— Bd 191- S. 199-252.
b) On the division fields of an algebraic function field of one variable.
An estimate for their degree of irrationality // Houston J. Math.—
1976 — V. 2, № 2 — P. 251—287.
107. Pot (Roth K. F.)
Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika.— 1955.—
V. 2.— P. 102—168.
108. Рубин (Rubin K.)
a) Congruences for special values of L-iunctions of elliptic curves with
complex multiplication // Invent. Math— 1983.— V. 71.— P. 339—364.
h) Tate — Schafarevich groups and L-functions of elliptic curves with
complex multiplication / Invent. Math.—1987.—V. 89, JVa 3.—
P. 527-560.
1ОЭ. Салье (Salie.)
Uber den kleinsten positiven quadratischen Nichlrest nach einer Prim-
zahl / Math. Nachr.— 1949— Bd 3— S. 7—8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
357
110. Cepp (Serre J. P.)
a) Sur la topologie des varietes algebriques en caracteristique p // Symp.
Intern. Topol. Algebr. Mexico.— 1958.— P. 24^53.
b) Rationalite des fonctions ? des varietes algebriques (d'apres
B. Dwork) I/ Seminaire Bourbaki.— I960.— T. 198.
c) Алгебраические группы и поля классов.— М.: Мир, 1968.
d) Majoration de sommes exponentielles Ц J. Arithm. de Caen,— 1976.—-
P. 111—126; Asterisque 41—42, Paris; Soc. Math. France, 1977.
111. Си льверман (Silverman J. H.)
a) Representation of integers by binary forms and the rank of the Mor-
dell —Weil group / Invent. Math.—1983.—V. 74—P. 218—292.
b) The arithmetic of elliptic curves.— New York: Springer-Verlag,—
1986.
112. Сколем (Skolem Т.)
a) Einige Satze uber p-adische Potenzreiben mit Anwendung auf gewis-
se exponentielle Gleihungen / Math. Ann.— 1935.— Bd 111.— S 399—
424.
b) Diophantische Gleichungen.— Berlin: Springer, 1938.— (Ergebniss
d. Math u. Ihrer Grenzgebiete. Bd 5).
113. Справочная книга по математической логике/Под ред. Дж. Барвайса
a) Теория моделей.— М.: Наука, 1982.
b) Теория множеств.— М.: Наука, 1982.
c) Теория рекурсий,— М,; Наука, 1982.
d) Теория доказательств и конструктивная математика.— М: Наука,
1983.
114. Спрингер (Springer G.)
Введение в теорию римановых поверхностей.— М.: ИЛ, 1960.
115. Спринджук В. Г.
a) Гиперэллиптическое диофантово уравнение и числа классов идеа-
идеалов / Acta Arithm— 1976.— V. 30, JVs 1.— P. 95—108.
b) Арифметическая структура целочисленных многочленов и числа
классов идеалов / Тр. МИАН СССР— 1977.— Т. 143.— С. 152—
174.
c) Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных — М:
Наука, 1982.
116. Старк (Stark H.)
a) On the Riemann hypothesis in hyperelliptic function fields // Proc
Symp. Pure Math.— 1973.— V. 24,— P. 285—302.
b) Effective estimates of solutions of some Diophantine equations II
Acta Arithm.— 1973.— V. 24, № 3,— P. 251—259.
c) The Coates —Wiles theorem revisited. Number theory related to Fer-
mat's last theorem jj Progres in Mathematics. Boston; Basel; Stuttgart-
Birkhauser, 1982,— V. 26— P. 349—362. "
117. Степанове. A.
a) Аппроксимация алгебраического числа алгебраическими числами
специального вида Ц Вестн. МГУ. Сер, 1, Математика, механика —
1967.—№ 6.—С. 78—86.
b) О числе точек гиперэллиптической кривой над простым конечным
полем II Изв. АН СССР. Сер. мат.—1969,—Т. 33, № 5.—С 1171—
1181,
c) Elementary method in the theory of congruences for a prime modu-
modulus /I Acta Arithm.— 1970.— V. 17.— P. 231—247.
d) Об оценке рациональных тригонометрических сумм с простым зна-
знаменателем / Тр. МИАН СССР.—1971.—Т. 112 —С 346—371
e) An elementary proof of the Hasse —Weil theorem for hyperelllntie
curves I/ J. Number Theory.—1972.—V. 4, № 2.—P. 118—141
С / И
I/ J er Theory.1972.
f) Сравнения с двумя неизвестными
, 41
Изв. АН СССР, Сер, Kit

358
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
g) Конструктивный метод в теории уравнений над конечными поля-
полями / Тр. МИАН СССР.—1973 —Т. 132.—С. 237—246.
h) Рациональные точки алгебраических кривых над конечными: поля-
полями // Актуальные проблемы аналитической теории чисел.— Минск:
Наука и техника, 1974 — С. 223—243.
i) Elementary method in the theory of equations over finite fields /
Proc. Intern. Congress of Math.—Vancouver, 1974.—P. 383—391.
j) Уравнения над конечными полями / Мат. заметки.—1977.— Т. 21,
№ 2 — С. 271—279.
к) Об оценках спиау неполных сумм характеров от многочленов //
Тр. МИАН СССР.—1977,—Т. 143—С. 175—177.
1) Диофантовы уравнения / Тр. МИАН СССР—1984.—Т. 168.—
С, 31-45.
118. С т о р, В о л о х (Stohr К. О., Voloch J. F.)
Weierstrass points and curves over finite fields II Proc. London Math.
Soc. C).—1986.—V. 52.-P. 1—19.
110. Суиннертон-Дайер (Swinnerton-Dyer H. P. F.)
a) Пртшенение вычисления я теории полей классов.— Алгебраическая
теории чисел/Под род. Дж. Касселса, А. Фрёлиха.— М.: Мир:
1969,- С. 417-432.
b) Analytic theory of abelian varieties.— London; New York: Cambr.
Univ. Press, 1974.
120. Тейт (Tate J.)
a) Алгебраические классы когомологий Ц УМН.— 1965.— Т 20,
вып. 6.— С. 27—40.
b) Endomorphisms of abelian varieties over finite fields / Invent.
Math.— 1966.— V. 2— P. 134—144; перевод: // Математика: Сб.
пер.— М.: Мир.— Т. 12 : 6.— С. 31—40.
c) The arithmetic of elliptic curves II Invent. Math.— 1974.— V. 23^—
P. 179-206.
121. Тейхмюллер (Teichmuller O.)
Differentialrechung bei Charakteristik p II J. rcine und angew. Math,—
1936— Bd 175.— S. 89^99.
122. T у э (Thue A.)
Uber Anniihfinmgswerte algebraischer Zahlen II J. reine und angew.
Math — 1909,— Bd 135.— S. 284—305.
123. У а й т м е п (WhiLeman A. L.)
Cyclotomy and Jacobsthal sums / Amer. J. Math.— 1952.— V. 84.—
P. 89—99.
124. Успенский В. А.
Что такое нестандартный анализ? — М.: Наука, 1987.
125. Фалтингс (Faltings G.)
Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern / Invent.
Math— 1983.— V. 73, № 3 — P. 349—366
126. Ф е й с (Faith C.)
Алгебра: кольца, модули и категории,—М.: Мир, 1977,—Т 1;
^979 Т 2
127. Фельдман Н. И.
a) Оценка неполной линейной формы от некоторых алгебраических
чисел II Мат. заметки.— 1970,— Т. 7, № 5,— С. 569—580.
b) Эффективное степенное усиление теоремы Лиувилля / Изв
АН СССР. Сер. мат.— 1971.— Т. 35, № 5.— С. 973—990.
c) Effective bounds of the solutions of certain Diophantine equations /f
J. Austral. Math. Soc. Ser. A,—1979.—V. 28, № 2—P 129—135
d) Приближения алгебраических чисел.— М.: Изд-ло МГУ, 1981. '
e) Седьмая проблема Гильберта.— М: Изд-во МГУ, 1982
128. Форстер (Forsler О.)
Римановы поверхности.— М.: Мир, 1980.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Miilli.-Pb;
271 276.
129. Фрид, Джарден (Fried M. D., Jarden M.)
Field Arithmetic—Berlin; Heidelberg; New York: вргпщн Voilug, 1986.
(Ergebniss d. Math. u. Ihrer Grenzegcbietc, 3 Folge. Hd II)
130. ФридлендерВ. P.
О наименьших степенных невычетах / ДАН СССР, ИИ',! Г. ОС—
С. 351—352.
131. Харди (Hardy G. II.)
Collected papers of G, II. Hardy (including joint paper» wllli J K. l-ilt-
lewood and others).—Oxford: Clarendon Press, 1966.—V. 1.
132. Хартсхорн (Hartshorne R.)
Алгебраическая геометрия,.— М.: Мир, 1981.
133. Хае се (Hasse H.)
a) Theorie der hiiheren Differentiable in einem algebraischen Funl<lloni4i-
korper mit voilkommem KonsLantenkorper bei beliebiger tiharnkti'-
ristik / J. reine und angew. Math.— 1936,— Bd 175.— S. 50—54,
b) Zur Theorie der abstrakten elliptisehen Funktionenkorper I—111 //
J, reino und angow, Math,— 1936.— Bd 175.— S. 55—63; Oil KH;
193—208.
c) Лекции по теории чисел.— M.:, ИЛ, 1953.
d) La conjecture de Riemann para cuerpos de Functiones sobro сип-роз
do constantes finitos.— Madrid: Univ. Madrid Publ. Fac. Cicada,
1957.
134. Хсрглотц (Herglotz G.)
Zur letzten Eintragung im Gausschen Tagebuch Ц Ber.
KI —Leipzig: Sachsischen Akad. Wiss, 1921.—Bd 73.— S.
135. Хиэ-Браун (Heath-Brown D. R.)
Format's last theorem for «almost all» exponents
Soc— 1985.— V. 17, pt. 1, № 64 — P. 15—16.
136. Холл (Hall M.)
Теория групп.— М.: ИЛ, 1962.
137. X о л ьц е р (Holzer L.)
Minimal solutions of diophantine equations /
V. 11 —P. 238—244.
138. X о п ф (Hopf H.)
Uber die Verteilung quadratischer Resle /
Bd 32,— S. 222—231.
139. Хуа Ло-ген (Hua Loo-Keng)
Метод тригонометрических сумм и его применения п теории чисбД,—
М.: Мир, 1964.
140. Цейтен (Zeuthen II. G.)
История математики в древности и в средние века.— М.: ГОНТИ, 1ЭЗв,
141. Циммер (Zimmer H. G.)
Computational Problems, Methods and Results in Algebraic Numb»
Theory I/ Lecture Notes in Math.— V. 262.— Berlin; Heidelberg; New
York: Springer-Verlag, 1972; перевод: / Математика: Сб. пер — М.: Мир.
1976.- Т. 2.- С. 221—298.
142. Ч а н д р а с е кх ар ан (Chandrasekharan К.)
a) Введение в аналитическую теорию чисел.— М.: Мир, 11171,
b) Арифметические функции.— М.; Наука, 1975.
143. Ч е б ы ш е в П. Л.
Теория сравнений.— G.-Питербург: Обществ, польза, 1879.
144. ШафаревичИ. Р.
a) Поля алгебраических чисел / Proc. Intern. Congress of Mutli.—
Stockholm, 1962 —P. 163—176.
b) Основы алгебраической геометрии,— М.: Неука, ЮНЙ.
145. Ш е в а л л е (Chevalley С.)
a) Demonstration d'unp hypnlhdiie ilu R АгИи / ЛЫмпнН M*Hi Hutu
Univ. Hamburg, 1935. - Hill 1. S 7.1 7П
Bull, London
Can, J, Malli.— I
Math. Zoilsclir.— 1980.—

360
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ъ) Введение в теорию алгебраических функций от одной переменной.—
М.: Физматгиз, 1959.
146. Шмндт (Schmidt W. М.)
a) Simultaneous approximation to algebraic numbers by rationale / Acta
Math.- 1970.- V. 125 — P. 189—201.
b) Linear forms with algebraic coefficients. I // J. Number Theory.—
1971.—V. 3.—P. 253—277.
c) Linearformen mit algebraischen Koeffizienten. II // Math. Ann.—
1971.— Bd 191.— S. 1-20.
d) Approximation to algebraic numbers / L'Enseignement Math.— 1971.—
T. 17, № 3-4.- P. 187—253.
e) Norm form equations // Ann. Math.—1972,—V. 96.—P. 526—551.
f) Zur Methode von Stepanov // Acta Arithm.— 1973.— Bd 24, № 4,—
S. 347—368.
g) A lower bound for the number of solutions of equations over finite
fields / J. Number Theory.— 174.— V. 6.— P. 448—480.
h) Equations over finite fields. An elementary approach / Lecture No-
Notes in Malh. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1976.—
V. 536.
i) Диофантовы приближения.— M.: Мир,. 1983.
i) The density of integer points on homogeneous varieties // Acta Math.—
1985.^ V. 154, № 3-4.— P. 243-296.
147. Шори, Тайдеман (Shorey Т. N., Tijdoman R.)
Exponential Diophantine Equations.— Cambridge; New York: Cambr.
Univ. Press, 1986.
148. Штикельбергер (Stickelberger L.)
Ober eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraiecher Zahlkor-
per / Verhandl. Ersten Intern. Math. Kongress, Zurich, 1897.— S. 182—
193.
149. Эвертс (Evertse J.—H.)
Upper bounds for the number of solutions of diophantine equations /
Math. Centrum Amsterdam.— 1983,— P. 173—196.
150. Э й x л ё р (Eichler M.)
a) Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.— Berlin: Springer-Ver-
Springer-Verlag, 1952.
b) Einfuhrung in die Theorie der algebraischen Zahlen und Funktionen.—
Basel; Stuttgart: Birkbauser, 1963.
151. Эллиот (Elliott P. D. T. A.)
a) Some notes on k-th power residues // Acta Arithm,— 1967—1968.—
V. 14—P. 153—162.
b) The distribution of primitive roots / Can. J. Math.— 1969.— V. 21,—
P. 822^-841.
152. Энкени (Ankeny N. С.)
The least quadratic non-residues / Ann. of Math.— 1952.— V. 55.—
P. 65—72.
153. Эрдёш (Erdos P.)
Remarks on number theory. I / Mat. Lapok—1961—V. 12.—P. 10—17.
154. Якоб ст а ль (Jakobsthal E.)
Uber die Darstellung der Primzahlen der Form An + 1 als Summe zweier
Quadrate / J. reine und angew. Math.— 1907.— Bd 132.— S. 238^-245.
155. Ясумото (Yasumoto M.)
Hilbert irreducibility sequences and nonstandard arithmetic / J. Number
Theory.— 1987.— V. 26.— P. 274—285.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелевы координаты дивизора 337
Автоморфизм Фробениуса 31, 184
Адсль 182
Аксиома Архимеда 240
Алгебраическая система 249
Алгебраически разделенные расширения
318
Алгебраическое замыкание 31
Алгоритм Евклида 25
Арифметика 249
Аффинная плоскости 101
Бесконечно близкие элементы 266
Билинейные соотношения Рима на 334
Бирационально изоморфные квазипроек-
тивные многообразия 140
кривые 113
— над подполем 113
Большое решето 83
Bs -последовательность S4
Валентность мероморфной функции 331
Верхняя грань 265
наименьшая 265
Взаимно однозначное отображение 344
— простые многочлены 24
Внутренние объекты 261
Выражение 250
Высказывание 251
Высота алгебраического числа 234
— многочлена 234
— простого идеала 142
— Хассо 303
Вычет дифференциальной формы 181
— по модулю 14
¦ — биквадратичный 17
¦ — квадратичный 17
кубический 17
¦ — степенной 17
— формального степенного ряда 180
Галактика 243
Гиперповерхность П2
Гиперпроиаводная 62
Гипотеза Артина 98
— Боуза — Чоулы 95
— Вейля 205
— Виноградова 69
— Морделла 226
— Огга 122
— Рамануджана 210
— Римана для дзета-функции А. Вей-
Вейля 206
Глобальная дзета-функция эллиптиче-
эллиптической кривой 123
— L-функция эллиптической кривой 123
График отображения 145
Группа главных дивизоров 159, 276, 332
внутренних дивизоров 277
— двойственная 38
— дивизоров 276, 332
на алгебраической кривой 155
' нулевой степени 155
— дивизорных порядков значимости 278
¦— единиц 2М6
— инерции простого дивизора ЗН
— классов внутренних дивизоров 277
Группа классов дивизоров 161, 276, 332
— нулевой степени 161, 332
• — по модулю 204
порядка 1127
размера нуль 278
функциональных дивизоров 295
—• нулевой степени 295
— (-адических когомологий 2С7
— Морделла — Лейля 122
— разложения простого дивизора 314
— рациональных дивизоров степени
нуль 189
• классов дивизоров 188
нулевой степени 189
• точек на эллиптической кривой 122
— периодов 333
— функциональных дивизоров 295
— нулевой степени 295
— характеров 38, 39
Декартово произведение семейства мно-
множеств 245
Дзета-функция алгебраической кривой
192
Вейля 205
кольца F~[x] 26
— —¦ неособого проективного многооб»
разия 204
¦ поля Fp (x, Y~f) 97
Дивизор бесконечно малый 278
— внутренний 270
— главный 159, 276, 332
— дифференциала 176
— канонический 332
— конечный 278
— К-рациональный 186, 337
— линейно эквивалентный нулю 159
— на алгебраической кривой 155
— неспециальный 33G
— нулей 15Я
— положительный 155, 332
•— полюсов 159
— порядка 338
— простой 269
арифметический 293
эффективный 296, 304
— — архимедов 2G9
— вещественный 269, 271
внутренний 270
— комплексный 269, 271
неархимедов 269, 285
—, — — внутренний 270 . ¦
неразветвлениый 312
несепарабельный 314
нестандартный 272
разветвленный 312
рациональный 187
сепарабельный 314
стандартный 271
функциональный 293
¦ — индуцированный 296
исключительный ,104
чисто насепарабвлышй щ
— рациональный (МП
Й \Щ
НулвЯНЙ ITBtlPH
— фуннцин I5H, Щ
- фуиициинильнмя 1Щ
- tti'Mjiiii'Hitu it,имя Mi4

362
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дивизор функциональный степени нуль
295
Дизъюнкция 244
Дискриминант многочлена 35
Дифференциал 331
— второго рода 331
— голоморфный 331
— мероморфный 331
¦— многочлена 143
— на алгебраической кривой 171
¦— первого рода 175, 331
— рациональной функции 143
— сравнимый с нулем [71
— третьего рода 331
— целый 175
Дифференциальная форма 172, 180
— регулярная в точке 182
Дифференцирование поля 179
— тривиальное 179
на подполе 179
Длина алгебраического числа 234
— многочлена 234
Допустимый набор 139
Замкнутое подмножество аффинного
пространства 131
проективного пространства 137
Замыкание аффинного алгебраического
множества 131
Звездно конечное множество 270
произведение 271
Значение рациональной функции 135
— терма 253
Идеал аффинного алгебраического мно-
множества 130
— — определяющий 130
— максимальный 132
— нормирования 148
¦— однородный 137
— проективного алгебраического мно-
множества 137
— — определяющий 137
— простой \'Л2
— радикальный 131
Изоморфизм аффинных алгебраических
множеств 134
— квазипроективных многообразий 140
Изоморфные алгебраические множества
134
— квазипроективные многообразия 140
Импликация 244
Имя элемента 249, 253
Инварианты эллиптической кривой 125
Индекс ветвления 214
конечного отображения 182
• простого дивизора 290, 300, 312
расширения 286
Индексированное семейство 245
Индивиды 243
— нестандартные 248
— стандартные 248
Интерпретация 251
Каноническая система норм 290
Канонический базис 334
Квадратичный закон взаимности 24
Квазикапоничеокая система норм 290
Квантор 249
— ограниченный 254
Класс вычетов по модулю 13, 25
— вычислимых функций 343
— дивизоров 161
канонический 177, 332
рациональный 188
¦ порядка п 328
— — степени нуль 161
¦— частично рекурсивных функций 344
Классификация Зигеля 321
Кольцо аделей 182
— векторов Витта 215
— координатное 133
— локальное точки 141
~- нормирования 148, 162, 285
— регулярное 142
— формальных степенных рядов 215
— целых р-адических чисел 163
¦— частных относительно мультиплика-
мультипликативно замкнутого множества 135
Комплексное умножение 127
Композит полей 289
Компонента дивизора 187, 304
Кондуктор 204
Коника 145
Конорма дивизора 300, 316
Конъюнкция 244
Координатные функции 151
Координаты точки I'M
нормированный 186
Крив.ая абсолютно неприводимая 11J
— аффинная 101
— — плоская 101, 182
— исключительная 321
— неприводимая 102
— определенная над подполем 101
¦— проективная 146
плоская 182
— рациональная 102
— Ферма 108, 226
— эллиптическая 115
с комплексным умножением 127
Критерий Эйлера 17
Лемма Виноградова 88
— Дпвенпорта — Эрдеша 71
Линейно разделенные расширения 205.
318
— эквивалентные дивизоры 161, 332
Логические связки 249
Локализация кольца 135
Локальная дзета-функция эллиптической
кривой 123
— fj-функция эллиптической кривой 123
Локальное кольцо точки 141
Локальный параметр идеала 163
• поля формальных степенных ря-
рядов 180
Луч по модулю 204
Ь-функция Артина 42
Машина Тьюринга 343, 344
Мера индексного множества, порожден-
порожденная ультрафильтром 246
Метод бесконечного спуска Ферма 110
¦ - кратных сумм 98
— Сколема 229
— Туэ 229
Минимальная степень поля над подпо-
подполем 310
Многообразие абсолютное 205
— алгебраическое 132
аффинное 132
неособое 141
• в точке 140
проективное 137
— Грассмана 213
¦— квазипроективное 13Я ¦,
неособое 143
в точке 143
особое 138
¦— линейное 213
— определенное над подполем 184
— проективное 137
— рациональное 145
Многочлен абсолютно неприводимый 53
— минимальный 233
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
363
Многочлен неприводимый 24
— Эйзенштейна 214
Множество алгебраическое 130
аффинное 130
проективное 137
— диофантово 346
— внешнее 242, 259
— внутреннее 242, 259
— индексное 245
— индивидов 246
— неразрешимое 345
— определимое 254
— разрвшимое 345
— рекурсивно перечислимое 346
— транзитивное 246
Множество-степень 243
Модель 252
— нестандартная 254
Монада действительного числа 242
Мультипликативно замкнутое множест-
множество 135
Накрытие 182
— Галуа 219
— сепарабельное 1S2
Наибольший общий делитель дивизоров
' — многочленов 24
Наименьшее общее кратное дивизоров
155, 278
Наименьший неотрицательный вычет 14
Невычет степени п 17
Неособая точка многообразия 141, 144
пространства Spec A 146
Неприводимое топологическое простран-
пространство 132
Неприводимые компоненты алгебраиче-
алгебраического множестиа 144
алгебраической кривой 102
неравенство Гёльдера 73
— Лиувилля 233
— Туэ 228
Несократимое разложение замкнутого
множества 144
Несравнимые по модулю числа 13
Нестандартный анализ 241
— объект 2E2
— элемент поля 292
Норма абсолютная 41
— архимедова 269, 284
простого дивизора 270
— векторного пространства 287
— дивизора 316
V-адвческая 277
— дискретная 284
— многочлена 26
— неархимедова 284
простого дивизора 269, 270
— относительная 41
— р-адическап 162, 103, 269
— поля 284
— простого дивизора 270, 286
— тривиальная 284
— элемента конечного поля 41
Нормирование 147, 162
— архимедово 269
— дискретное 163. 284
•— каноническое 150
— неархимедово 269
— р-адическое 162
— поля 147, 162
— тривиальное 162
Нуль многочлена 130
¦ проективный 1 Ив
— однородного идеала проективный 137
— рациональной функции 155
Область определения отноин-иии ?Лк
рационального отображении 1119
рациональной функции l.i.'i, I.'IH
Обобщение теоремы Лиуаилдм J;ii
Туз 337
Образ множества 244
Объединение семейства mikdhim'tm 1'4Г>
Окрестность точки 131
Операция минимизации 344
— примитивной рекурсии S44
— суперпозиции 343
Основной код набора 343
Определение множества 254
Открытое подмножество аффинного щш-
сТранства 131
проективного пространства 1.47
Отношение 244, 245
— направленное 256
Отображение взаимно однозначное 244
— голоморфное 332
— конечное 182
неразветвленное в точке 183
сепарабельное 182
— множеств 244
— разветвленное в точке 183
— рациональное ИЗ, 139
регулярное в точке 139
— регулярное 133, 139, 140
— Фробениуса 134
Отрицание 244
Первообразный корень 15
Пересечение семейства множеств 245
Период дифференциала 331, 334
Поверхность 132
Понятие поля Fp в характеристику ИОЛ*
215
Подстановка Фробениуса 220
Показатель характера 40
— числа по модулю 34
Поле архимедово 26i
— вычетов 15, 214, 286, 312
— гипердействительных чисел 241
— конечное 26
простое 15
— неархимедово 265
— р-адических чисел 163
— полное 265, 285
— разложения дивизора 309
— рациональных функций на аффинном
многообразии 134
— — квазипроективном многооб-
многообразии 139
кривой 149
— — проективном многообразии
138
— сепарабельно порожденное над под-
подполем 319
— упорядоченное 265
— формальных степенных рядов 164, ISO
Полная система вычетов 14
допустимых наборов 139
"Полюс рациональной функции 155
Порядковая функция 284
архимедова 270
— V -адическая 269, 270, 294
Порядок значимости гипердействитель-
гипердействительного числа 274
дивизора ?78
— нуля 155
— полюса 155
— характера 40
— элемента в конечном поле 28
. поле формальных степенных ря-
рядов 181!
Последовательность 245
— Коши 162

364
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Последовательность фундаментальная
162
Предикат 244
— диофавтов 346
— рекурсивный 345
— рекурсивно перечислимый 346
Представитель Тейхмюллера 215
Приведенная система вычетов 14
Приведенные классы вычетов 14
Примитивный элемент поля 315
Принцип выделения внешних множеств
254
— Лейбница 242
— нестандартного расширения 260
— для бинарных отношений 262
— множеств 263
— — направленных бинарных от-
отношений 2в2
— перманентности 255, 260
Продолжение дифференцирования 179
— нормы 287
Произведение замкнутых множеств 145
— идеалов 144
Простое подполе 179
Простой спектр кольца 144
Пространство аффинное п-мерное 130
— дифференциалов 172 \
— дифференциальных форм 180
— касательное 143, 144, 146
— проективное п-мерное 136
— Spec A 144
Равные по модулю многочлены 15
Радикал идеала 131
Размер дивизора 278
Размерность алгебраического многообра-
многообразия 140
— коммутативного кольца 142
— топологического пространства 140
Ранг группы Морделла — Вейля 122
— эллиптической кривой 122
Распределение Вейля 167
главное 168
Расширение вполне разветвленное 214
¦— неразвегвленное 214, 311)
максимальное 2?5
— нестандартное 241, 260
— полуабелево показателя п 328
— сепарабольно порожденное 319
Рациональная функция на аффинном
многообразии 134
квазипроективном многообразии
проективном многообразии 138
Регулярное отображение аффинных мно-
многообразий Ш
— — квазипроективных многообразий
139
Результант 35
Решение сравнения 14, 18
Род алгебраической кривой 167
Свободная переменная 251
Свойство 245
Сепарабельный элемент поля 313
Символ константный 249
— Лежандра 17, 63
— предикатный 249
т-местный 249
— равенства 249
— функциональный 249
— — т-местный 249
— Якоби 24
Свойство 245
След абсолютный 41
— относительный 41
Соотношение Дэвенпорта — Хассе 49
Сравнение алгебраическое 15
Сравнение алгебраическое двучленное 1в
— по двойному модулю 25
простому модулю 15
Сравнимые по модулю многочлены 25
— распределения 168
— — — функции 156
— — — — на множестве 156
— числа 15
Стандартный объект 261
•— элемент поля 292
Степень алгебраического числа 233
— голоморфного отображения 332
— дивизора 155, 332
— конечного отображения 182
— локальная 290
— неприводимой плоской кривой 103
— несепарабельная 313
— поля вычетов 214, 286
— — несепарабельная 313
— — сепарабельная 313
— простого дивизора 187, 294, 312, 313
— несепарабельная 314
— сепарабельная 314
— сепарабельная 3!Л
— функционального дивизора 295
Стропа однородных координат 130
Сумма Гаусса 21. 47
квадратичная 22
• нормированная 23
— идеало'в 144
— Клостермана 49
обобщенная 207 ^
•— тригонометрическая 49, 99
Вейля 49
• — кратная 208
— характеров 54
— Якобсталя 20
Суперструктура 246
Тезис Гильберта 253
— Чёрча 346
Теняорное произнедение колец 288
Теорема Абеля 335
— Берджесса 74
— Варнинга 20
— Вейерштрасса 183
— Вильсона 18, 33
— Виноградова о наименьшем квадра-
квадратичном невычете 69
— Виноградова — Полна 67
— Вороного — Штикельбергера 36
— Гаусса 15, 112
— Гильберта 90 32
о нулях 131, 133
— однородная 145
— Дедекинда 267
— Дирихле о приближениях 111
— Зигеля — Малера 232, 292
— Клини 344
•— компактности Мальцева 241, 262
— Лагранжа 16, 28, 104, 111
— Лсиенгейма — Сколема 266
— Лежандра 12, 106
— Линника о наименьшем квадратичном
невычете 91
— Лиувилля 233
— Лося 255
— Морделла 117, 120
— Нагелля 122
— направленности 256
— об аппроксимации 151
— о внутренних множествах 259
вычетах 182
дифференциалах 175
пространстве дифференциалов 174
— — распределениях 168
сложении точек на римановой по-
поверхности 337
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
aim
Теорема Островского 285
— Полна 238
— Римана 167, 339
— Римана —Роха 169, 172, 178, 189, 332
— Туэ 23В
— Tva — Яигеля — Рота 307
— Шевалле 20
— Ферма малая 15, 28
— Эйлера ill
— — о сложении эллиптических интег-
интегралов 129
• — сравнениях 15
— Якоби 336
Терм 250
— замкнутый 250
Тип разложения многочлена 43
Тождество Фибоначчи НО
— Эйлера 110
Топология Зарисского аффинного прост-
пространства 131
— — проективного пространства 137
простого спектра кольца 144
Точка аффинного пространства 130
— аффинной плоскости 101
— ветвления 332
— — конечного отображения 183
— замкнутая 144
— квазицелая 232
if-рациональная 232
— конечного порядка эллиптической
кривой 122
— неособая 141, 144, 146
— нестандартная 292
— общая кривой 293
— обыкновенная двойная 109
— особая 143
— плоской кривой 101
— проективного пространства 136
— рациональная 101, 184
— спектра 144
регулярная 146
Тета-функция Римана 338
Ультрапроиэведение 243
Ультрафильтр 245
— тривиальный 245
Универсум 247
— нестандартный 247, 248
*- стандартный 247
Униформизирующий параметр идеала
163
¦ нормирования 148
точки 150
Уравнение Артина — Шрейера 51
— гиперэллиптическое 51, 231
— Пелля И 2
— суцерэллиптическое 51, 230
— Туэ 229
— Туэ — Малера 230
— эллиптическое 51
Фильтр 245
Формула атомная 250
— Гурвица для рода g(X) 183
— обращения Мёбиуса 36
— первого порядка 250
Функция 244
— алгоритмически вычислимая 342
Функция арифметическая 3d
мультипликативная 18
— Вейерштрасса эллиптическая Ш
— вычислимая по Тьюрингу U43
-— координатная 151
— Мангольдта 80
— Мёбиуса 36
— на алгебраическом множестве 1ЯЗ
— п-местная 244
¦ — от и аргументов 244
— рациональная 134
над подполем 185
регулярная в точке 135, 138
на алгебраическом множестве 132
— характеристическая множества 345
— •— — частичная 345
предиката 345
— частичная 345
— частичная числовая 342
— частично рекурсивная 344
— Чебышева 80
— Эйлера 14
— эффективно вычислимая 342
Функциональное уравнение для дзета-
функции кривой 197
— Вейля 206
Характер аддитивный 41
индуцированный 42
—. конечного поля 40
— конечной абелевой группы 37
— мультипликативный 40
— — индуцированный 41
— по модулю 204
примитивный 204
— тривиальный 41)
Характеристика полп 29
— Эйлера — Пуанкаре 206
Число Бетти 206
— гипердействительное 268
— гипернатуральное 242
— квазицелое 230
— р-адическое 163
целое 163
— целое алгебраическое 233
бесконечное 258
Эквивалентные дивизоры 282
— нормирования 162
— нормы 284, 287
— точки аффинного пространвЯ» 1,1A
проективной кривой 18в
— фундаментальные последомтяльнппп
162
Элемент А-целый 308
— бесконечно малый 266
— бесконечный 258, 266
— исключительный 3^0
— конечный 258. 2«в
— нестандартный 248, 202
— стандартный 248, 282
Элементарно эквивалентные
ские системы 252
Язык 249
Якобиан 333

SA, STEPANOV '
ARITHMETKOF ALGEBRAIC CURVES
Monograph
Mer.Nauka, Main Editorial Board
for Litalire од Physics and Mathematics,
1991
Readership: Research in the number theory, algebraic geometry
and mathematicalliijic; undergraduates and students.
The book: This is a systematic presentation of the modern state,
basic concepts and methods of the theory of diophantine
equations.
Main attention is Ionised on the consideration of the case of
equations in tworaiables.
The monograph щ serve as an introduction to the theory of
equations over Mb and number fields, arithmetic theory of
algebraic curves iinonstandard arithmetic.
Contents: Equations «тег finite fields. Distribution of quadratic
residues and nonnrfues. Algebraic functions and Riemann —
Roch theorem, tonal points on algebraic curves. Integral
points on curves ml nonstandard arithmetic.
The author: Professor Sergei Stepanov. D. Sc. (Phys. & Math,I,
Winner of the USSR State Prize, Steklov Institute of Mathema-
Mathematics, USSR Academjof Sciences.
S. A. STEPANOV
ARITHMETIC OF ALGEBRAIC CURVES
The book contains a detailed exposition of the theory of Diophanti-
Diophantine equations in two variables over finite and arbitrary number fields.
CONTENTS
Preface ,,,... 5
Introduction 7
Chapter I. Equation over finite Fields 12
§ 1, Congruences 12
1. Preliminaries A3). 2. Congruences relative a prime modu-
module A5). 3. Algebraic congruences A5). Exercises A8).
§ 2. Congruences relative a double module and finite fields . . 24
1. The ring Fv[x] B4). 2. The number of irreducible in Fv[x]
polynomials of the degree n B6). 3. Algebraic structure or fi-
finite fields B8). 4. Automorphisms of the finite field Fq B9).
5. The uniqueness of the field Fq C3). Exercises C3).
§ 3. i-functions of Artin 37
1. Characters of finite abelian groups C7). 2, Characters of the
finite field F4 D0). 3. The generating function of Artin D1),
Exercises D7).
§ 4. Superelliptic equation and equation of Artin — Schreier . . 51
1. Superelliptic equation and character sums E1). 2. The nom-
bor of /^-rational points of the curve f(x, у) = О E3). 3. The
estimate of character sums with polynomials E6). Exercises E8).
Chapter II. The distribution of quadratic residues and nonresidues 67
§ 1. Results of Vinogradov and Burgess 07
1. The Vinogradov — Polya theorem F7), 2. Conjectures of Vi-
nogradov F9). 3. The Burgess theorem G1). Exercises G7).
§ 2. Tie Targe sieve and its application to the least quadratic non-
• residue problem .¦ > . ........... 82
1, The large sieve (82). 2. Bxeptional prime numbers (87). 3. The
Lihnik theorem (87). Exorcises'(92).
Historical commentary on ciiapters I and II 96
Chapter III. Rational points on algebraic curves 101
§ 1. Rational curves 101
1. Plane algebraic curves A01). 2. Parametrizetion of curves
A02). 3. Algebraic curves of degree 2 A04). 4. Algebraic cur-
curves of degree ^3 A08), Exercises A09).
§ 2. Elliptic curves A3
1. Birational isomorphism of curves A13). 2. The addition ol
points on elliptic curves A15). 3. The .Mordell theorem A17),
" 4. The rank of elliptic curve A22). Exercises A25).