Автор: Хазен А.М.
Теги: физика физико-математическая литература метод моделей серия мир знаний
Год: 1979
Текст
знании
A M ХАЗЕН
Поле, волны, частицы
и их модели
МИР ЗНАНИЙ
А. М. ХАЗЕН
Поле, волны, частицы
и их модели
Книга для внеклассного чтения
8—10 классы
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979
Scan ЛАW
ББК 22.313
Х15
АЛЕКСАНДР МОИСЕЕВИЧ ХАЗЕН
ПОЛЕ, ВОЛНЫ, ЧАСТИЦЫ
И ИХ МОДЕЛИ
Редактор Г. Р. Лисенкер
Художественный редактор
В. М. Прокофьев
Технический редактор
М. М. Широкова
Корректор А. Б, Маркович
ИБ № 3366
Сдано в набор 13.10.78. Подписано к печати
06.08.79. 84х108‘/з2. Бумага типограф. № 1. Обыкн.
новая гарн. Высокая печать. Условн. печ. л.
5,88+0,1 вкл. Уч.-изд. л. 5,74+0,09 вкл. Заказ
Кв 1634. Тираж 100 000 экз. Цена 15 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательст-
во «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьи-
ной рощи, 41
Полиграфкомбинат им. Я. Коласа Государст-
венного комитета Белорусской ССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
220005 Минск, Красная, 23.
Хазен А. М.
X 15 Поле, волны, частицы и их модели: Кн. для вне-
классного чтения. 8—10 кл.— М.: Просвещение,
1979.—112 с., ил.— (Мир знаний).
В книге рассказывается о фундаментальных объектах современ-
ной физической науки — полях, волнах, частицах, об использовании
метода моделей при описании этих объектов. Основное внимание уде-
ляется выявлению глубоких взаимосвязей между образами, которые на
первый взгляд противостоят друг другу.
X 7q 282—79 4306021100
luu\vO)—/У
ББК 22.313
537
© Издательство «просвещение», 1у/у г.
Способность ясно видеть взаимосвя-
зи принадлежит к самым прекрас-
ным ощущениям в жизни.
А. Эйнштейн
(Из письма к М. Борну)
11/1" ир знаний как очень старый замок, который новые
владельцы все достраивают и расширяют. Рядом со
старинными филигранными залами с изящной отделкой
возникают огромные павильоны из стекла и бетона, а под
ними остается множество старых переходов, тоннелей.
Оказывается, что новый водопровод подключен к старым
каналам, а замшелый, полный летучих мышей ход ведет к
заброшенным, но прекрасным залам.
Старожилы хорошо знают замок и часто поражают этим
новых обитателей, которые иногда вышагивают километры
по коридорам, хотя перейти из зала в зал можно коротким
путем через старые двери, если заглянуть за портьеру или,
в крайнем случае, отодвинуть шкаф.
Все в этом замке интересно, одни залы сразу поражают
множеством эффектов, другие требуют длительного изуче-
ния, пока будет постигнута их красота. О каждом предмете
можно писать много, хотя уже и написано немало.
Но есть в удивительном дворце науки нечто главное,
основное, что определяет всю его прелесть и красоту. По-
пытаться рассказать об этом, по возможности не выходя за
пределы проблем, связанных с электромагнитным полем и
заряженными частицами, взаимодействующими с полем,—
цель этой книги,
3
Глава 1.
МИР ЗНАНИИ — ЭТО МОДЕЛИ
§ 1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?
Г* игрушечными моделями различных машин знакомы
все. Многие слышали и об инженерных моделях. При
разработке самолетов, автомобилей, гидроэлектростанций
и других устройств сначала изучают их свойства на моде-
лях. Модель изготавливается из металла, дерева, камня и
воспроизводит устройство сооружения или машины в
уменьшенных или увеличенных размерах. Еще большую
роль играют модели в построении фундаментальных науч-
ных теорий, в объяснении основных процессов и явлений
окружающего нас мира. Но в этом случае модели носят
существенно иной характер. Они основаны на введении аб-
страктных понятий и определений, создаются «на бумаге»
и служат много дольше и гораздо более широкому кругу
задач, чем инженерные модели.
Например, изучаемая в школе геометрия Евклида есть
модель, описывающая окружающее нас пространство. Ре-
альным объектам в пространстве сопоставлены идеализи-
рованные понятия, отражающие только определенные
свойства этих объектов. Геометрическая точка, не имею-
щая ни толщины, ни ширины,— приближенное описание и
точки на бумаге, и кола, вбитого в землю для разметки по-
ля, и всего земного шара в космическом пространстве.
Геометрию Евклида как модель характеризуют такие
исходные понятия, как точка, прямая, плоскость и т. д. 1
Аксиомы наделяют эти понятия определенными свойства-
ми. Процесс доказательства теорем служит проверкой того,
что содержащиеся в них утверждения не противоречат при-
нятым определениям и аксиомам, т. е. не выходят за рам-
ки данной модели.
4
Геометрических точек, линий, поверхностей в природе
не существует, но к ним привыкают настолько, что реаль-
ные понятия, связанные с наличием у природных объектов
конечных размеров, более удивительны, чем абстрактные
представления, лежащие в основе модели Евклида. Тем бо-
лее выпадает из поля зрения, что основа геометрии Евкли-
да — независимость окружающего нас пространства от
происходящих в нем процессов и явлений — это лишь не-
которое приближение к действительности.
В обыденной жизни и во многих научных и технических
приложениях даже странно подвергать сомнению представ-
ление о существовании такого незыблемого пространства.
В действительности это не так, само пространство может
изменяться под действием находящихся в нем тел, как
грунт проминается под тяжестью стоящего на нем дома.
И для геометрии Евклида как научной модели указанное
выше ограничение является наиболее фундаментальным и
общим.
Модель трехмерного пространства Евклида работает
исключительно эффективно в широчайшем круге задач. Се-
годняшняя модель окружающего нас пространства более
сложна. Это четырехмерное пространство — время теории
относительности Эйнштейна, где четвертое измерение (вре-
мя) неразрывно связано с тремя измерениями простран^
ства. В ней нет уже той незыблемости, которая характери-
зует пространство евклидовой геометрии. Вблизи больших
масс (Солнце, звезды) пространство искривляется: объек-
ты и процессы в пространстве влияют на его геометрию.
Четырехмерное пространство — время — это эффективная
модель, которую широко используют, например, при реше-
нии вопросов о строении и развитии вселенной.
Другим примером научной модели является механика
Ньютона. Одно из основных понятий механики Ньютона —
понятие материальной точки. Масса материальной точки
определяется произведением плотности на объем модели-
руемого реального тела. Согласно, механике Ньютона дви-
жение тел не влияет на свойства пространства. Важнейшая
аксиома этой модели состоит в том, что изменение импуль-
са \(mv) тела пропорционально импульсу силы F-\t.
Частным случаем этого утверждения, формулируемым в
качестве независимой аксиомы, является закон инерции:
всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя
или равномерного прямолинейного движения, пока и по-
5
скольку оно не понуждается силами изменить это состоя-
ние. Еще одной, третьей аксиомой является утверждение,
согласно которому действию всегда есть равное и противо-
положное противодействие. Наконец, аксиомами механики
Ньютона являются еще два утверждения: 1) масса тейа
есть одновременно и мера его инертности, и мера взаимно-
го тяготения тел; 2) гравитационное взаимодействие пере-
дается через «пустое» пространство мгновенно. Понятие
пустота в механике Ньютона обозначает отсутствие других
материальных (обладающих массой) тел, заполняющих
пространство между взаимодействующими телами.
Механика точечных масс используется всей современ-
ной наукой. Наиболее точно она описывает движение пла-
нет. Очень хорошо соответствует механике точечных масс
решение задач вакуумной электроники.
Механика Ньютона позволяет описывать движение га-
зов и жидкостей, а также процессы при деформации твер-
дых тел. В этих случаях рассматривается непрерывная
среда. Но предельным переходом к бесконечно малому
объему среды решения задач оказываются приведенными
к обобщениям механики материальной точки.
Рассмотренные две фундаментальные модели опреде-
ляют основные свойства таких не сводимых к дру-
гим понятиям природных сущностей, как простран-
ство, масса, время.
В науке используются также модели частного характе-
ра. Примером такой модели является понятие идеальной,
несжимаемой жидкости (приближенно принимают, что
объем жидкости не зависит от давления, а внутреннее тре-
ние отсутствует). В природе таких сред вообще не бывает.
Поэтому многие эффекты, полученные в рамках этой моде-
ли, качественно отличаются от реальных явлений. Так,
тело любой формы при движении в идеальной жидкости не
должно испытывать сопротивления, в то время как даже
при исчезающе малой вязкости сопротивление реальной
среды движению тел плохо обтекаемой формы может быть
очень большим. И тем не менее модель идеальной несжи-
маемой жидкости дала науке множество ценных результа-
тов и продолжает эффективно использоваться и сегодня.
Почему необходимы модели, почему их использование
так эффективно? Дело в том, что любой процесс в природе
в той или иной мере зависит от очень большого числа фак^
торов.
6
Но нужно ли все без исключения факторы учитывать
при решении любой задачи? Конечно, нет! Модель и позво-
ляет выделить из всего многообразия причин и следствий
круг тех основных вопросов, которые наиболее важны в
данной задаче. Чтобы, например, описать поведение шаров
на биллиардном столе, нет надобности знать положение
Луны и Солнца. Можно даже не интересоваться сопротив-
лением воздуха. Абсолютно твердые тела, движущиеся по
абсолютно гладкому столу, да еще в безвоздушном про-
странстве — вот исходные допущения для достаточно точ-
ного описания игры в биллиард.
Модели создаются для того, чтобы выявить в данной
задаче причинно-следственные связи между определяющи-
ми переменными, что тем легче сделать, чем меньше число
переменных.
Но решения, полученные на основе тех или иных фун-
даментальных или частных моделей, справедливы не все-
гда, а только в определенных рамках, обусловленных
исходными предположениями.
В связи с этим нередко допускают ошибки, забывая на
определенном этапе о границах применимости созданных
моделей.
Развитие той области науки, для которой были созданы
эффективные методы приближенного описания, приводит к
возможности решения новых задач. Но при этом ранее от-
брошенные как второстепенные подробности часто стано-
вятся существенными. Тогда возникает необходимость пе-
ресмотреть исходные положения модели, усовершенство-
вать модель, сделать ее менее грубой. Так, для механики
Ньютона сейчас четко выявлены границы, в которых она
достаточно точно описывает процессы природы. Это — дви-
жение макроскопических тел с малыми скоростями, дале-
кими от скорости света. Для описания же движения тел со
скоростями, близкими к скорости света, создана более точ-
ная модель — релятивистская механика.
Но иногда развитие науки показывает, что исходные
положения старой модели вообще были ошибочны. Замена
такой модели новой сопровождается обычно очень серьез-
ной борьбой. Так, например, было с заменой системы Пто-
лемея системой Коперника и с заменой флогистонной тео-
рии теплоты молекулярно-кинетической теорией.
И насколько же серьезна была ломка старых представ-
лений при переходе к новым моделям, если еще и сейчас,
7
спустя более 400 лет, бесспорная победа современной на-
уки, исключившей возможность выбора той или иной при-
вилегированной системы координат, иногда может всерьез
восприниматься как оправдание церковников, осудивших
Коперника.
Теплотехника избегает упоминаний о флогистоне. Од-
нако все расчетные методы для определения передачи теп-
лоты в инженерных устройствах несут в себе следы фло-
гистонного подхода.
Теория флогистона и механика Ньютона являются при-
мерами двух моделей с принципиально различными судь-
бами. Теория флогистона — явная ошибка, тупик в разви-
тии науки; от нее остались отдельные практические
результаты и наглядные аналогии, справедливые в силу
формальной общности математического аппарата для при-
ближенного описания процессов.
Но о механике Ньютона нельзя сказать, что она была
или является сейчас ошибочной. Она имеет ограниченную
область применимости, но все современное развитие науки
в той или иной мере связано с уточнением и развитием
положений этой модели. Тем не менее в прошлом были (и
в то время обоснованно) моменты, когда критика ньюто-
новской механики звучала весьма непримиримо.
Следующая за механикой Ньютона фундаментальная
модель — это электродинамика Максвелла. Ее внедрение в
науку произошло гораздо быстрее и менее драматично, чем
внедрение теории тепловых процессов и тем более чем
гелиоцентрической системы мира. В свою очередь элек-
тродинамика Максвелла вызвала появление новых фунда-
ментальных моделей, обобщающих ньютоновскую ме-
ханику и электродинамику, представления о тяготении;
это — частная и общая теории относительности Эйн-
штейна.
Можно утверждать, что в основе последней лежат весь-
ма элементарные и на первый взгляд наивные вопросы,
которые, однако, долгое время никто не задавал в силу
весьма сложных психологических причин, всегда участвую-
щих в оценке фундаментальных основ существующих мо-
делей. Почему необходимо считать, что геометрия Евклида
есть единственно возможное описание окружающего нас
пространства? Почему в закон тяготения Ньютона и в за-
коны движения тел входит в точности одна и та же вели-
чина — масса? Если на тело будет достаточно долго дей-
8
ствовать постоянная сила, то, как это следует из второго
закона Ньютона
A (mv) *=F • Д/,
оно может приобрести сколь угодно большую скорость.
Как это согласуется с тем, что скорость света в пустоте
есть максимально возможная скорость любого движения
материального объекта в природе? Что собой представляет
пустое пространство? Как передается на расстояние сило-
вое взаимодействие тел? Ньютон сам задавал себе подоб-
ные вопросы. Как отметил впоследствии А. Эйнштейн,
«Ньютон сам лучше знал слабые места своих умственных
построений, чем поколения, наследовавшие ему».
Ньютон провел множество точных опытов, исследуя ко-
лебания маятников одинаковой массы и одинаковых раз-
меров, но из разных материалов для того, чтобы убедиться,
что масса в законе тяготения и в законах движения пред-
ставляет собой одну и ту же физическую величину. Ньютон
понимал, что взаимодействие тел за счет тяготения не мо-
жет передаваться мгновенно через «пустое» пространство.
Он писал: «Что тяготение должно быть врожденным, при-
сущим и необходимым свойством материи, так что одно
тело может взаимодействовать с другим на расстоянии, че-
рез пустоту, без участия чего-то постороннего, при посред-
стве чего и через что их действие и сила могли бы переда-
ваться от одного тела к другому,— это мне кажется столь
большим абсурдом, что я не представляю себе, чтобы кто-
либо, владеющий способностью компетентно мыслить в об-
ласти вопросов философского характера, мог к этому
прийти».
И именно в том и заключается величие Ньютона, что он
сумел сознательно отбросить возникшие у него вопросы и
сформулировать некоторые исходные аксиомы, создать
модель, в рамках которой, хотя и заведомо неточно, но
исчерпывающе, им были найдены ответы для широкого
круга задач.
Заявляя, что он гипотез не изобретает, Ньютон на са-
мом деле ввел гипотезы, но не схоластические, а представ-
ляющие собой широкие обобщения экспериментальных
фактов.
«Сказать, что каждый род вещей наделен особым скры-
тым качеством, при помощи которого он действует и про-
изводит явные эффекты,— значит ничего не сказать. Но
вывести два или три общих основания движения из явле-
9
ний и после этого изложить, каким образом свойства и
действия всех телесных вещей вытекают из этих явных на-
чал, было бы очень важным шагом в науке, хотя причины
этих основ и не были еще открыты. Поэтому я, не сомне-
ваясь, предлагаю принципы движения..., имеющие весьма
общее значение, и оставляю причины их для дальнейшего
исследования»,— писал Ньютон (курсив мой.— А. X.).
Основой для создания модели является эксперимент.
Но любая, модель — это сложное следствие конкретных
экспериментов.
В своей модели электромагнитных процессов Максвелл
ввел ток смещения и наделил его способностью создавать
магнитное поле. Но Максвелл не имел к этому прямых
экспериментальных оснований. Измерение магнитного поля
тока смещения было произведено существенно позже. И то,
что свет — это электромагнитные волны, явилось следстви-
ем, а не экспериментальной основой уравнений Максвелла.
И тем не менее в основе модели Максвелла прежде всего
лежал широкий крут экспериментальных данных, обобще-
ние которых и позволило ввести новые понятия, предска-
зать результаты будущих экспериментов.
До сих пор остается невыясненным полностью вопрос
о том, знал ли Эйнштейн об отрицательных результатах
проведенных Майкельсоном опытов по изучению зависимо-
сти скорости света от вращения Земли вокруг своей оси
и ее обращения вокруг Солнца. Но правильно, что во всех
учебниках физики эти опыты описываются как основа и
исходная предпосылка специальной теории относительно-
сти; без них невозможна была бы оценка значимости пред-
положений Эйнштейна.
Возможность эффективного и точного описания процес-
сов природы на базе механики Ньютона, электродинамики
Максвелла и их обобщений в теории относительности по-
служила основой для создания новой модели физической
картины мира. Еще не стали привычными положения элек-
тродинамики Максвелла, которая ввела в науку новый
материальный объект — электромагнитное поле и новые,
немеханические, формы движения материи, как появилась
необходимость в новой модели — квантовой теории. Несо-
ответствие расчетов, выполненных по теории Максвелла,
эксперименту,— вот побудительная причина появления
этой новой модели. Экспериментальные данные об излуче-
нии света нагретым телом послужили основанием для вы*
10
вода Максом Планком формулы, описывающей закономер-
ности излучения нагретого тела, и введения им представ-
ления о квантовании энергии. Основные положения кван-
товой теории сегодня не нуждаются в защите, так же как
вГ положения классических теорий — электродинамики
Максвелла и теории относительности Эйнштейна, исходя-
щих из предположений о непрерывности, бесконечной де-
лимости всех процессов и явлений на все более и более
мелкие части. Не только эксперимент, но и работа много-
численных промышленных устройств является проверкой и
подтверждением классической и квантовой теорий.
Изменение многих величин совершенно точно удовле-
творяет требованию непрерывности, отсутствия скачков,
лежащему в основе классической физики. Другие величи-
ны в процессах атомных масштабов меняются в простран-
стве и во времени всегда только маленькими скачками, но
для тел больших размеров и для больших отрезков времени
их можно рассматривать как непрерывные. В настоящее
время уже хорошо известны границы применимости клас-
сической и квантовой моделей. Известно также, как и где
они переходят друг в друга.
Одна из причин современного бурного развития техни-
ки, лежащая в области самой науки,— это наличие фунда-
ментальных моделей, на основе которых можно создавать
промышленные устройства не путем проб и ошибок, а на
основе точного расчета. На протяжении столетий множе-
ство смельчаков отдали жизнь, пока взлетел в результате
удачной конструкторской находки первый самолет. Но
только после того, как Н. Е. Жуковский выяснил, почему
и как возникает подъемная сила крыла, была за короткое
время создана современная авиация.
Сегодня даже в очень крупных вопросах науки психо-
логические, субъективные ограничения оказываются соиз-
меримыми с объективными трудностями. Пример этому —
лазеры. Лазеры могли бы быть созданы еще в 1917 г., если
бы кто-либо задался целью проверить непосредственным
экспериментом статью Эйнштейна, в которой он дает
объяснение, почему корпускулярные свойства света могут
быть объединены с его волновыми свойствами.
Но существуют области науки, в которых фундамен-
тальных моделей пока нет, они создаются лишь в наше
время. Это — теория элементарных частиц и внутриядер-
ных взаимодействий.
11
§ 2. МАТЕМАТИКА — ЯЗЫК МОДЕЛИ
Сформулировать, какие величины являются основными
для данной задачи, а какие — второстепенными, опреде-
лить свойства этих величин — это еще мало для того, чтд^ы
можно было пользоваться соответствующей научной мо-
делью в практических задачах. Необходим эффективный
способ записи взаимосвязей между определяющими вели-
чинами, операций с ними, полученных практических резуль-
татов. Такой способ дает математика, отдельные области
которой возникли и развились как язык, на котором «гово-
рит» та или иная фундаментальная или частная модель.
Наука возникла в самые ранние периоды становления
человеческого общества, и уже очень давно дала порази-
тельные результаты. Разве не удивительно, что в Древнем
Вавилоне, в глубине тысячелетий, единицу длины опреде-
ляли исключительно фундаментальным с нашей современ-
ной точки зрения способом — как длину маятника, совер-
шающего одно полное качание за определенное время. Во-
первых, вспомните, что период колебаний математического
маятника не зависит от его массы, а определяется только
ускорением свободного падения и длиной. Во-вторых, разве
Ньютон не проверял самым тщательным образом с помощью
маятника идентичность инертной и тяжелой массы. В-тре-
тьих, может быть, читатель знает, что в общей теории отно-
сительности пространство и время связаны между собой
фундаментальными зависимостями. Несерьезно считать,
что теория относительности была известна в Древнем Ва-
вилоне или что космические пришельцы проникли к жре-
цам храмов и установлением единицы длины передали по-
томкам сигналы о своем посещении Земли. Определение
единицы длины в Древнем Вавилоне свидетельствует о
высокой наблюдательности, умении обобщать факты,
уважении к объективному характеру окружающего нас
мира.
Основные представления атомной теории строения
вещества были развиты еще в Древней Греции Демокри-
том. Причем эти представления были достаточно правиль-
ны. Ведь Демокрит не просто считал, что существуют не-
делимые атомы — кирпичики мироздания, но приписывал
атомам различную форму: круглых шаров — в жидкостях,
правильных многогранников с «крючками» на гранях (для
их сцепления) — в твердых телах. Смысл этих «крючков»
12
в наше время получил истолкование в квантовой теории
строения твердых тел.
Но языком науки в то время были стихи. Основным
аппаратом — логические рассуждения. И хотя в более
поздней римской поэме Лукреция Кара «О природе вещей»
содержится множество важнейших идей, используемых и
в современной физике, понимание описанных в этой поэме
явлений было в то время недостаточно глубоким.
В средние века за абсолютную истину принимались
весьма противоречивые сочинения Аристотеля. Средне-
вековье сопровождалось упадком науки и культуры. Но
наука не оказалась уничтоженной. Несмотря на потерян-
ное в значительной мере наследие прошлых цивилизаций,
в науку в это время вошли количественные методы.
На смену языку стихов для описания природы в науку
пришел язык чисел. А схоластические дискуссии о догма-
тах веры подготовили почву для введения абстрактных
понятий и формирования того, что теперь называется мо-
делью, хотя никогда/такой цели эти дискуссии не ставили
и, наоборот, направлены были против развития науки.
Основой развития науки стала математика. Появилась
возможность, выбрав на основе эксперимента основные
определяющие переменные, получить все остальные ре-
зультаты из количественных соотношений и логики. На
закате эпохи Возрождения Галилей и Ньютон сформули-
ровали обобщенные результаты опыта на языке мате-
матики.
Как у разных народов существуют свои языки, так
каждой фундаментальной или частной научной модели со-
ответствует тот или иной раздел математики (те или иные
классы функций и правила действия над ними).
Источником всех математических построений в конеч-
ном счете является эксперимент; и это обеспечило их соот-
ветствие физическим законам, -характерным для соответ-
ствующих групп физических явлений.
Поэтому, как писал Генрих Герц, «...невозможно изба-
виться от ощущения, что эти математические формулы су-
ществуют независимо от нас и живут собственной разум-
ной жизнью, что они умнее нас и умнее даже их создате-
лей, что мы извлекаем из этих формул даже больше того,
что было в них заложено сначала».
Французский математик Жан Батист Фурье пришел к
очень интересному выводу: любую периодическую функ-
13
цию можно представить как сумму бесконечно большого
числа гармонических функций (синус и косинус), периоды
которых представляют собой последовательно уменьшаю-
щиеся доли периода рассматриваемой периодической функ-
ции, а распределение амплитуд зависит от характера этой
функции. Это замечательное математическое открытие ока-
залось отражением физической реальности. Любой перио-
дический процесс может рассматриваться как одновремен-
ное проявление ряда элементарных синусоидальных и
косинусоидальных процессов. Вспомните изумительные
эффекты цветных диапозитивов на обратимой пленке или
фотографии в журнале «Огонек». Ведь это — практическое
применение разложения и синтеза Фурье.
Линейчатые спектры излучения газов или паров и ра-
дуга (непрерывный спектр излучения горячего Солнца)
представляют собой зависимость квадрата амплитуды ко-
лебаний (именно это воспринимает глаз человека, когда
речь идет о яркости того или иного объекта) от их частоты,
т. е. являются разложением излучения на гармонические
составляющие.
Спектры периодических процессов всегда дискретны.
Спектры же непериодических процессов непрерывны. А вот
еще один пример соответствия математического аппарата
реальным физическим процессам. Оказывается, что из-
вестная простая тригонометрическая формула
sin a sin 0 = — [cos (а — 0) — cos (а 0)]
2
не только полезна при тригонометрических преобразова-
ниях, но и отражает процесс образования спектра моду-
лированного сигнала в радиотехнике.
Пусть сигнал низкой (звуковой) частоты Q имеет вид
Ф (t) = a sin Qt,
а сигнал высокой (несущей) частоты —
f (t) =В sin ©о/.
Тогда модулированный сигнал будет иметь вид:
F (t) = (В + a sin Qt) sin со0/ = В sin со0/ +
+ a sin Q/ sin со0/,
где а^В.
Применяя формулу произведения синусов, получаем,
что модулированный сигнал будет содержать гармониче-
14
ские составляющие, частоты которых равны сумме и раз-
ности звуковой и несущей частот:
F (t) = В sin<o0/ + -2- cos (®о — Q)t---— cos (юо + Й) t.
z z
Если модулирующий сигнал низкой частоты представ-
ляет собой сложную периодическую функцию, то модули-
рованный сигнал будет содержать вместо двух боковых
частот два боковых спектра.
Наряду с понятием функции в фундаменте современной
математики лежат обобщения, связанные с понятиями пре-
дела последовательности и предела функции. Механика
изучает движение тел, описываемое такими величинами,
как перемещение, скорость, ускорение. Легко вычислить
скорость для равномерного движения, как отношение пере-
мещения As к интервалу времени Д£, в течение которого
это перемещение произошло:
м
Аналогично, ускорение в равноускоренном движении опре-
деляется как отношение приращения скорости Ду к про-
межутку времени Д£:
Но даже в самых простых практических задачах дви-
жение обычно происходит с переменной скоростью и, как
правило, далеко не равноускоренно. Поэтому скорость и
ускорение определяются как пределы приведенных отно-
шений при неограниченном уменьшении интервала време-
ни. Такой подход лежит в основе дифференциального
исчисления.
Обратная задача состоит в нахождении пройденного
пути по известной скорости. Для равномерного движения
ответ элементарен.
Обобщение на случай произвольного закона изменения
скорости производится так. Разобьем время движения на
столь короткие промежутки, чтобы в пределах каждого из
них можно было скорость приближенно считать постоян-
ной. Тогда путь, проходимый за каждый промежуток вре-
мени, вычисляется как произведение скорости на время.
А полный путь будет найден путем суммирования. Этот
принцип лежит в основе интегрального исчисления.
15
Таким образом, такие математические методы, как диф-
ференциальное и интегральное исчисление, возникли как
обобщения эксперимента, но далее они развивались само-
стоятельно на основе законов логики, проверяющей соот-
ветствие каждого шага определениям и аксиомам.
Квантовая механика оперирует уже не с непрерывными
функциями, подобными скорости и ускорению тела, а с
дискретными числами. И поэтому аппарат дифференциаль-
ного и интегрального исчисления во многих задачах кван-
товой механики пришлось заменить операциями с таблица-
ми дискретных, не переходящих непрерывно одно в дру-
гое чисел. Это — аппарат матричного исчисления. Но в
математике он не был новым. Ряд задач, например, таких,
как задача о колебаниях струн, где также существуют дис-
кретные частоты, уже требовал такого описания процессов,
и оно было создано существенно раньше квантовой меха-
ники.
В основе матричного исчисления лежат понятия, кото-
рыми в школьном курсе алгебры пользуются при решении
линейных уравнений (определители). Оказалось, что мат-
ричная форма основных соотношений квантовой механики
в значительной степени связана с тем, что эти соотноше-
ния являются решением некоторых, иногда явно не запи-
санных уравнений движения.
Исходные предпосылки древних атомистов о форме ато-
мов твердых тел (микроскопические многогранники) ока-
зались ведущими и в сегодняшней квантовой механике.
Для описания многогранников-кристаллов в свое время
была разработана особая математическая теория — теория
групп. В ней на языке математики формулируются особен-
ности симметрии, характерные для всевозможных форм
кристаллов. Соответствующие математические теоремы
выражают свойства чисел, описывающие симметрию кри-
сталлов. Исключительная эффективность использования
теории групп в квантовой механике объясняется возмож-
ностью распространить соображения, относящиеся к види-
мой, макроскопической симметрии, на атомные и даже вну-
триядерные явления.
Электронные вычислительные машины также исполь-
зуют дискретные числа. Математика теперь развивается в
область описания дискретных процессов.
Приведенный обзор иллюстрирует, что исходные по-
ложения математики (определения и аксиомы) — это обоб-
16
щение экспериментов и практических задач; все остальное
в математике носит характер логических построений. Но
ведь именно такой характер носит построение моде-
лей. В этом одна из основных причин поразительной эф-
фективности, которой обладает математика в описа-
нии явлений природы и процессов, используемых в тех-
нике.
Каждый из разделов математики представляет собой
более или менее общую модель определенной группы явле-
ний и процессов. Любые построения, выводы, решения и
доказательства в рамках каждого из разделов математики
в силу этого имеют определенный физический смысл.
Правда, бывают (хотя и редко) такие случаи, когда дан-
ному формальному решению может и не соответствовать
реальная задача.
Поскольку математика содержит в основе своих
абстрактных методов объективные опытные факты, внут-
реннюю логику взаимосвязи величин, общие ограничения,
обусловленные свойствами окружающего пространства,
законами сохранения и другими фундаментальными прин-
ципами, то правильно проведенные математические преоб-
разования и решения гарантируют последовательность,
связность и обоснованность результатов. Эксперименталь-
ная проверка математических построений уже не требует
скрупулезного выяснения соответствия опыту каждого из
элементов хода решения задач; достаточно лишь проверить
результат. Совпадение результатов вычислений с данными
опыта говорит о том, что использованная модель и соот-
ветствующий ей математический аппарат адекватен дан-
ной задаче. Несоответствие же решения опытным данным
показывает, что в исходных положениях решения задачи,
в выборе модели допущена ошибка. Тогда надо либо испра-
вить модель, либо усовершенствовать вместе с моделью и
сам аппарат вычислений.
Если тот или иной ученый говорит, что его результат
верен потому, что получились простые формулы, то это не
лишено смысла. В первичной основе математического вы-
вода тех или иных формул лежит опыт, и потому «краси-
вые» результаты обозначают, что примененный математи-
ческий аппарат используется в той области, где он
эффективен. Но изящные результаты теоретических иссле-
дований никогда не исключают необходимости их экспе-
риментальной проверки.
17
Когда математический аппарат не основан на фунда-
ментальных положениях модели, а взят произвольно из со-
ображений «красивости», то не всегда и эксперимент мо-
жет стать объективным судьей. Ведь система Птолемея
соответствовала наблюдениям, но исходными положениями
в ее построении были не объективные законы природы, а
принцип исключительности сферы, идея преимущественно-
го права этого принципа на участие в описании явлений
природы. И когда Иоганн Кеплер искал действительные
орбиты движения планет, он долго не мог избавиться от
идеи «красивости» метода птолемеевых сфер. Поэтому
соображения «математической красивости» хотя и допу-
стимый, но очень опасный критерий.
Принятие «красивости» результата в качестве критерия
истинности относится к области интуиции. Интуитивные
соображения, хотя и играют в науке существенную роль,
не могут заменить научной обоснованности. При наличии
законченного математического аппарата, отвечающего дан-
ной модели, интуитивные соображения могут уводить в
сторону, мешать решению задач.
При всей абстрактности математика предельно объек-
тивна, и при всей самостоятельности — исключительно за-
висима от практики.
§ 3. «ПАЛАТА МЕР И ВЕСОВ» МОДЕЛИ
Оказалось, что выбор системы единиц измерения яе
может быть произвольным; он непосредственно связан со
структурой той модели, которая принимается в качестве
основы для описания процессов природы. Пока эти модели
носили частный характер и не были связаны органически
между собой, системы единиц в разных областях науки
могли быть различными. Так, механика имела еще совсем
недавно свою систему единиц, электростатика — свою,
электромагнетизм и электротехника — свою. Когда взаимо-
связь электрических, магнитных, механических, оптиче-
ских, тепловых процессов была установлена, разнобой в си-
стемах единиц стал существенным тормозом как в разви-
тии науки, так и в развитии техники.
В основе современного построения системы единиц,
правда, пока еще с оговорками, лежит следующий прин-
цип: независимые единицы измерения устанавливаются
только для первичных сущностей, лежащих в основе моде-
18
ли. Для остальных величин единицы измерения устанав-
ливаются через математические соотношения, связываю-
щие эти величины с первичными сущностями.
В механике достаточно трех независимых единиц изме-
рения. Электрические процессы связаны со своей специфи-
ческой первичной сущностью — электрическим зарядом, и
единица его измерения должна быть определена независи-
мым образом.
Для модели, описывающей механические и электриче-
ские процессы одновременно, необходимо задать четыре
независимых величины в качестве основы системы единиц
измерения.
Обязательно ли в качестве единицы измерения выби-
рать именно количество, соответствующее той величине,
которая в модели задана как первичная сущность? Вообще
говоря, нет, поскольку в самом выборе первичной сущности
есть известная свобода. Важно лишь, чтобы число незави-
симых величин, принятых как основание для системы из-
мерений, не было меньше числа величин, определенных
как первичные сущности.
Выбор, построение и использование системы единиц
связаны с серьезными трудностями. В науке и технике
используются процессы самых разных масштабов. Атом-
ная физика оперирует с расстояниями порядка 10~13 см,
а астрономия — с расстояниями до 4* 109 световых лет; рас-
стояние между космической ракетой и Землей в 100 млн. км
сегодня измеряют с точностью до 1 м. Электрические заря-
ды, с которыми приходится иметь дело в электронных
устройствах, меньше 1СН2 Кл, а при выплавке алюминия
ежесекундно через ванны для электролиза проходят тыся-
чи кулон. В большинстве технических устройств теперь
используются одновременно и механические, и тепловые, и
электрические, и магнитные процессы; соответствующие им
величины необходимо рассчитывать, измерять.
Первой системой единиц, объединившей в рамках еди-
ной модели электрические, тепловые и механические про-
цессы, была симметричная гауссова система единиц.
В ней три независимых величины: единица дли-
ны — сантиметр, единица массы — грамм, единица време-
ни — секунда и дополнительная постоянная — скорость
света в пустоте, которая входит в качестве множителя во
многие формулы, связанные с электромагнитными процес-
сами. Гауссова симметричная система единиц и сейчас
19
почти, как правило, применяется в научных исследова-
ниях, но в технике она неудобна, так как малы масштабы
длины и массы. При использовании этой системы единиц
в формулы входят множители, пропорциональные скорости
света.
Несколько позже была предложена система единиц
Джорджи, в которой основными единицами были метр, ки-
лограмм массы, секунда и ампер.
После многолетней дискуссии развитие техники заста-
вило признать, что система единиц Джорджи наиболее
удачно отвечает требованиям технических задач и вместе
с тем относительно удобна для научных исследований. Она
легла в основу принятой сейчас Международной системы
единиц измерения (СИ). Эта система единиц по принци-
пам построения аналогична системе Джорджи. В системе
СИ остались и некоторые элементы непоследовательности
в отношении выбора основных единиц. Наряду с метром,
килограммом массы, секундой и ампером в системе СИ
приняты в качестве исходных, независимых еще три еди-
ницы, которые в принципе могут быть введены как произ-
водные единицы от перечисленных четырех,— это единица
температуры — кельвин, единица силы света — кандела и
единица количества вещества — моль. При общих тео-
ретических исследованиях, не связанных с измерениями,
можно было бы ограничиться использованием только пер-
вых четырех независимых величин. С точки же зрения точ-
ной количественной обработки результатов измерений или
создания технических устройств наличием в системе СИ
трех дополнительных единиц-эталонов пренебрегать
нельзя.
Исходя из первичных сущностей фундаментальных мо-
делей в качестве четвертой независимой единицы можно
было бы выбрать кулон. Но измерять количество электри-
чества с высокой степенью точности и создать эталон за-
ряда гораздо труднее, нежели создать эталон тока. Поэ-
тому в качестве четвертой независимой единицы принят
ампер.
Система единиц измерения определяет не только значе-
ния величин, но и форму записи основных уравнений.
В механике с этим сталкиваться не приходится, а при опи-
сании электромагнитных процессов приходится постоянно
следить за тем, в какой системе единиц записаны исход-
ные уравнения.
Глава 2.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. ИСТОКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПОЛЕЙ
*D самых разнообразных областях науки и техники ока-
зывается необходимой и эффективной частная модель,
описывающая поведение растяжимых неразрывных линий,
не пересекающихся между собой, не касающихся друг дру-
га и начинающихся или оканчивающихся на некоторых по-
верхностях-источниках или в бесконечности.
Откуда появляются такие линии, можно рассмотреть на
примере традиционной арифметической задачи о бассейне
с двумя трубами, по которым столько-то жидкости втекает
и столько-то вытекает, и надо определить время, в течение
которого наполнится или опорожнится бассейн. А нас бу-
дет интересовать, как течет жидкость в бассейне от одной
трубы к другой. При решении этой задачи неявно предпо-
лагаются выполненными некоторые условия.
Предполагается, во-первых, что объем жидкости в си-
стеме остается неизменным: нет испарения с поверхности
бассейна, нет утечек через стенки и дно. В действительно-
сти жидкость, конечно, испаряется, но мало. Но в модели
вместо слова «мало» появляется категорическое утвержде-
ние «нет».
Во-вторых, жидкость может сжиматься, и, подсчитывая
количество втекающей в бассейн жидкости, надо было бы
учитывать и ту ее часть, которая войдет дополнительно в
бассейн за счет сжатия. Но известно, что вода сжимается
относительно мало по сравнению, например, с воздухом.
Опять вместо «мало» появляется категорическое «нет».
Жидкость принимается абсолютно несжимаемой. В допол-
нение к этим двум предположениям в рассматриваемой
вадаче надо ввести еще одно: трения в жидкости нет, т. е.
21
оно так мало, что им можно пренебречь. Предполагается
также, что геометрические размеры бассейна и труб из-
вестны.
Обозначим объем жидкости, втекающей в бассейн за 1 с,
через д, а площадь сечения трубы через S. Тогда очевид^
но, что скорость D на выходе из трубы может быть найде-
на так:
D= -2-.
s
Эта скорость направлена по оси трубы (рис. 1). Скорость
во всех точках данного сечения трубы одинакова (ведь тре-
ния нет). Можно разбить выходное сечение на участки
равной площади и в центре каждого участка нарисовать
вектор скорости. Он остается одним и тем же как по моду-
лю, так и по направлению для всех площадок. Поток жид-
кости в единицу времени через каждую такую площадку
равен произведению скорости на площадь:
Qt =
. Поток q жидкости через все поперечное сечение равен
сумме элементарных потоков:
Q = А*
Обобщая понятие потока жидкости на любые величины,
зависящие от вектора и некоторой площади, можно назвать
потоком вектора сумму произведений, образованных так
же, как в рассмотренном примере. В общем случае вектор,
поток которого необходимо определить, может быть на-
правлен не перпендикулярно к рассматриваемой площадке.
Тогда следует брать составляющую вектора вдоль пер-
пендикуляра к рассматриваемой площадке. Если площадка
не плоская, то за положительное направление принимается
направление в сторону выпуклости.
Таким образом, поток вектора есть произведение проек-
ции вектора на перпендику-
Рис. 1
ляр к рассматриваемой пло-
щадке, обращенный в сторону
ее выпуклости, на площадь.
При этом перпендикуляр к
площадке — это перпендику-
ляр к касательной плоскости
в точке приложения вектора.
22
Если поместить тонкие трубки в центрах выделенных
площадок и выпускать из них подкрашенные в разные цве-
та жидкости, можно будет наблюдать цветные струйки.
Это — линии тока жидкости. Они и есть те самые нераз-
рывные линии, с которых начинается этот параграф.
Теперь мысленно окружим пространство вокруг выход-
ного отверстия трубы замкнутой поверхностью. Совершен-
но очевидно, что поток жидкости через выходное отверстие
трубы и через рассматриваемую поверхность всегда дол-
жен быть один и тот же. Поверхность, охватывающая тру-
бу, может быть произвольной формы. Во всех случаях по-
ток жидкости через нее, т. е. сумма произведений нормаль-
ной составляющей скорости жидкости на площади
участков поверхности, есть объем жидкости, вытекшей из
трубы.
Эти простые рассуждения оказываются очень важными
и достойными обобщения: поток вектора через любую зам-
кнутую поверхность равен сумме потоков источников,
охваченных этой поверхностью. Естественно, что средства-
ми элементарной математики поток вектора можно вычис-
лить только для некоторых поверхностей, на которых ско-
рость во всех точках одинакова по модулю и направлению.
С помощью аппарата дифференциального и интеграль-
ного исчисления можно проводить расчеты для любых по-
верхностей, для любых величин и направлений вектора
скорости.
Связь производительности источника и потока жидко-
сти через охватывающую его поверхность справедлива для
любых задач, когда можно пользоваться неразрывными ли-
ниями. В математике эта связь носит название теоремы
Остроградского — Гаусса.
Кстати, поверхность, для которой вычисляется поток
вектора скорости течения жидкости, может охватывать не
только воду, но и стенки бассейна и частично проходить в
воздухе. Тогда на некоторых участках этой поверхности по-
ток вектора будет равен нулю, но общий результат не
изменится.
Вода, втекая в трубку или вытекая из нее, может за-
кручиваться, образовывать воронку. Теорема Остроград-
ского — Гаусса не позволяет определить, закручено течение
воды или нет. Поэтому вводят еще понятие циркуляции
вектора. Уже само название говорит, что речь идет именно
о величине, относящейся к закрутке потока.
23
Пусть при вытекании воды из ванны возникло враще-
ние, которое можно заметить по образовавшейся воронке.
Мысленно проведем окружность вокруг центра трубы.
Определим скорость движения жидкости вдоль этой окруж-
ности, например, кинув в воду щепочку. Вектор скорости»•
частиц воды имеет составляющую, направленную по каса-
тельной к рассматриваемой окружности. Циркуляция век-
тора скорости есть произведение этой составляющей скоро-
сти на длину окружности. Но воронка в ванне не стоит
точно над серединой отверстия, она может смещаться в
разные стороны. Тогда на окружности скорость в различ-
ных точках будет различна и по модулю и по направле-
нию. Для вычисления циркуляции в этом случае разбива-
ют окружность на малые участки, находят проекцию ско-
рости на направление касательной к окружности и для
каждого участка суммируют произведения Vi • AZ/.
Интересно, что в случае неразрывных линий тока цир-
куляция вектора по любой кривой, охватывающей источ-
ник, одна и та же. В частном случае она может быть равна
нулю.
Циркуляция вектора подчиняется специальной теоре-
ме — теореме Стокса.
Введенные представления носят довольно общий харак-
тер. Они применимы во всех случаях, когда можно выде-
лить некоторые линии, которые не прерываются, не пересе-
каются, всегда начинаются на источнике и оканчиваются
на стоке (а может быть, и идут из бесконечности в беско-
нечность).
Рассмотрим теперь задачу, которая никакого отноше-
ния к течению жидкости не имеет, но в ней присутствуют
неразрывные линии. Пусть однородную резиновую пленку
натянули на рамку и надави-
ли на нее плоским торцом
стержня произвольной фор-
мы, как показано на рисун-
ке 2. Начертим на поверхно-
сти пленки линии максималь-
ной крутизны скатов. Они
оказываются удивительно по-
хожими на линии тока жид-
кости: не пересекаются друг
с другом, не касаются друг
Рис. 2 друга, начинаются и оканчи-»
24
ваются на рамке и стержне. Можно начертить на пленке
и линии равной высоты, как это делают на географических
картах.
Возьмем легкий шарик массой тп, такой, что прогибом
мембраны под его весом можно пренебречь. Мысленно за-
ставим его совершить замкнутый путь по склону «горы»
вокруг вершины — стержня. Работа, которую совершит
сила тяжести при перемещении шарика на малом участке^
1—2, определится формулой '
А = Fr cos Fr,
где F cos Fr — проекция силы тяжести на направление пе-
ремещения.
Сумма таких элементарных работ на всех участках
замкнутой траектории будет циркуляцией вектора силы
тяжести. Но работа силы тяжести при перемещении тела
по замкнутому контуру равна нулю. Значит, циркуляция в
этом примере равна нулю.
В этих задачах прослеживается аналогия с тем, что
происходит в электрическом поле. Ведь силовые линии
электрического поля не пересекаются между собой, не ка-
саются друг друга, начинаются и оканчиваются на поверх-
ности заряженных тел или в бесконечности. И работа элек-
трического поля при перемещении заряженного тела по
замкнутому контуру, не пересекающему границ заряжен-
ных тел, не зависит от выбора контура и равна нулю.
Каждую точку пространства для такого так называемо-
го потенциального поля характеризует густота силовых
линий (какой бы природы они не были) и соответствую-
щее значение работы поля при перемещении из данной
точки пространства в бесконечность некоторого пробного
тела — потенциал данной точки поля. Для потенциального
поля справедливы два важных свойства. Первое йз них —
принцип суперпозиции, состоящий в том, что действие
группы источников, создающих потенциальное поле (сто-
ков и истоков жидкости, заданных высот прогибов мембра-
ны, заданных электрических зарядов) может быть найдено
последовательным векторным суммированием изменений,
создаваемых отдельно каждым из источников поля.
Второе важное свойство носит название принципа мак-
симума для потенциального поля — максимум или мини-
мум потенциала может достигаться только на поверхности
25
источников поля или в бесконечности. Иначе этот прин-
цип, в частности для электрических процессов, формулиру-
ется так: никакая система электрических зарядов не может
находиться в состоянии устойчивого равновесия под дей-
ствием одних электростатических сил.
Для большинства задач механики понятие поля — это
только математическая абстракция, эффективный аппарат
описания процессов. Но, как будет видно из содержания
следующего параграфа, в случае электромагнитных явле-
ний поле представляет собой материальный объект, при-
родную реальность. Это — электромагнитное поле.
§ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Почти столетие понадобилось для того, чтобы попытки
установить количественную закономерность для электро-
статического взаимодействия увенчались успехом. В 1785 г.
Шарль Кулон экспериментально нашел закон, носящий
теперь его имя. После этого результаты посыпались как из
рога изобилия и привели к созданию в 1855—1875 гг.
Джеймсом Максвеллом знаменитых уравнений, о которых
равнодушно не мог отозваться ни один из ученых уже спу-
стя десять — двадцать лет после того, как они были опубли-
кованы. Людвиг Больцман, создатель молекулярно-кине-
тической теории газов, по поводу уравнений Максвелла
сказал: «Тот был бог, кто написал эти строки».
Среди экспериментаторов, работавших в области элек-
трических и магнитных явлений, выделился глубиной
исследований, широтой мысли при истолковании результа-
тов опыта английский физик Майкл Фарадей. Он применил
к объяснению электрических и магнитных явлений сило-
вые линии, касательные к которым в каждой точке совпа-
дают с вектором силы, действующей на пробный элемент
в этой точке пространства. Понятие силовых линий яви-
лось обобщением экспериментального факта, связанного с
ориентацией легких пробковых крошек в электрическом
поле и железных опилок в магнитном поле. Такие рисунки
имеются в любом учебнике физики. В предыдущем пара-
графе было показано, что линии, подобные силовым
линиям электрического и магнитного полей, встречаются
при течении жидкости, деформации твердых тел, движении
в поле силы тяжести и пр. Методы решения этих механи-
ческих задач с успехом использовались в электромагнетиз-
ме. Однако до Максвелла рассматривались в основном сами
26
заряды и действующие на них силы. Пространство же, в
котором находились заряженные тела, оставалось вне поля
зрения ученых. Силовые линии поля рассматривались как
условная, чисто математическая картина. Хотя еще Нью-
тон не очень верил в «дальнодействие», физики более позд-
него времени отнеслись к «дальнодействию» менее кри-
тично.
В этих условиях Максвелл попытался создать исчер-
пывающее описание электромагнитных процессов. Вот как
описывает сам Максвелл в одной из своих первых работ
(1855 г.) цель и путь, по которому он шел: «Фарадей
своим мысленным оком видел силовые линии, пронизываю-
щие все пространство. Там, где математики видели центры
напряжения сил дальнодействия, Фарадей видел промежу-
точный агент. Где они не видели ничего, кроме расстоя-
ния, удовлетворялись тем, что находили закон распределе-
ния сил, дальнодействующих на электрические флюиды,
Фарадей искал сущность реальных явлений, протекающих
в среде. Когда я изложил идеи Фарадея (как я их понял)
в математической форме, то обнаружил, что оба метода в
общем приводят к одним и тем же результатам, но что
многие методы, открытые математиками, могут быть зна-
чительно лучше выражены способом Фарадея». Начатую
работу Максвелл доводил и совершенствовал в течение два-
дцати лет. «
По существу, уравнения Максвелла содержат всего два
новых штриха по сравнению с тем, что было известно до
него: это представление о возникновении магнитного поля
при изменениях электрического поля и запись соотноше-
ний электромагнетизма в дифференциальной форме, т. е.
для бесконечно малых областей пространства. Но именно
эти два штриха создали новую модель окружающего нас
мира, включающую в себя электромагнитные процессы. Со-
здание этой модели есть вклад Максвелла в науку, сопо-
ставимый лишь с тем вкладом, который сделал Ньютон.
Рассмотрим одну из возможных трактовок основных
положений теории электромагнетизма Максвелла.
Электрический заряд является простейшей сущностью,
не сводимой к другим, более простым понятиям. В окрест-
ности электрически заряженного тела возникает мате-
риальный объект — электромагнитное поле. Существенно,
что возникновение электромагнитного поля не связано с
наличием вокруг заряда атомов, молекул или других
27
частиц вещества. В частных случаях, когда рассматрива-
ются только неподвижные или только движущиеся заряды,
электромагнитное поле может описываться либо как элек-
трическое, либо как магнитное поле.
С математической точки зрения наличие поля означа-
ет, что каждой точке пространства может быть сопоставле-
на некоторая векторная величина, зависящая от коорди-
нат точки. Но электромагнитное поле — материальный
объект, который обладает энергией, инерцией и тяготе-
нием.
Определяющими переменными математической модели,
которая описывает электромагнитное йоле, являются четы-
ре векторные величины, зависящие от координат точек
пространства. Две из них связаны с силами, которые дей-
ствуют на неподвижный или движущийся электрический
заряд (они могут быть непосредственно изменены в экспе-
рименте): это вектор напряженности электрического поля
Е (единица измерения — ) и вектор магнитной
индукции В (единица измерения — ^л^м/с Вектор на-
пряженности электрического поля Е характеризует сило-
вое действие поля на неподвижный заряд, а вектор магнит-
ной индукции В — на движущийся, что и нашло отраже-
ние в единицах измерений.
Векторы Е и В зависят от координат точек простран-
ства, поэтому картина силовых линий электрического и
магнитного поля так эффективно и наглядно описывает эти
поля. Картина силовых линий и заданные векторы Е и В
в любой точке пространства позволяют полностью рассчи-
тать взаимодействие неподвижных или движущихся заря-
женных тел с электромагнитным полем.
Используя пробные заряды мысленно или в экспери-
менте, можно найти распределение силовых линий, а зна-
чит, и векторов Е и В, в пространстве. Но как определить
характеристики электрического и магнитного полей, имея
сведения только о тех телах, которые участвуют в созда-
нии поля?
Для ответа на этот вопрос используется вторая пара
определяющих переменных — вектор электростатической
индукции D и вектор напряженности магнитного поля Н*
28
Переменные D и Н характеризуют интенсивность
источников поля. Это видно из названий единиц этих вели-
чин. Электростатическая индукция D выражается в куло-
нах на квадратный метр (Кл/м2); эта величина показы-
вает, какой заряд «размазан» на единице поверхности тела.
Наименование единицы напряженности Н магнитного
Кл-м/с
поля------^2----указывает на то, что образование магнит-
ного поля определяется скоростью движения заряда.
В теории электромагнетизма Максвелла можно выде-
лить четыре аксиомы.
Первая из них утверждает, что вектор D может быть
связан с линиями, аналогичными линиям напряженности
электрического поля.
Как известно, линии напряженности электрического
поля в «пустоте» никогда не пересекаются, не могут быть
касательными друг к другу; они начинаются или оканчи-
ваются либо в бесконечности, либо на поверхности заря-
женных тел. Это свойство линий напряженности может
быть получено как следствие закона Кулона. Действитель-
но, касательная в каждой точке линии напряженности дол-
жна давать направление силы, действующей на заряжен-
ное пробное тело. Если бы эти линии пересекались, то в
одной точке на пробное тело действовали бы две силы. Их
равнодействующая не совпадала бы по направлению ни с
одной из слагаемых сил. А это приводит к противоречию с
определением линии напряженности. Однако для линий
электростатической индукции, касательные к которым в
каждой точке совпадают по направлению с вектором Z>,
таких построений провести нельзя, так как этот вектор не
связан с силами. Именно поэтому и возникает необходи-
мость в постулировании свойств линий индукции электри-
ческого поля.
Первая аксиома может быть сформулирована следую-
щим образом: линии, касательные к которым в каждой
точке совпадают с направлением вектора D электростати-
ческой индукции,— непрерывные кривые, не пересекаю-
щиеся и не касающиеся друг друга; они начинаются или
оканчиваются либо на заряженных телах, либо в бесконеч-
ности.
В терминах математического аппарата, используемого
для описания поля, первая аксиома утверждает, что поток
29
вектора электростатической индукции через любую
замкнутую поверхность равен сумме электрических заря-
дов, охватываемых этой поверхностью:
Вторая аксиома электродинамики Максвелла касается
характера силовых линий индукции магнитного поля В;
она утверждает, что эти линии всегда замкнутые кривые.
На языке математики это равносильно утверждению, что
поток вектора магнитной индукции через любую замкну-
тую поверхность равен нулю:
i
Третья аксиома является обобщением эксперименталь-
но установленного закона электромагнитной индукции и
формулируется так: изменение потока магнитной индукции
через поверхность, стягиваемую произвольным контуром,
вызывает появление в этом контуре электродвижущей си-
лы, равной циркуляции вектора напряженности индуциро-
ванного электрического поля вдоль контура. Значение этой
Д5
ЭДС связано со скоростью---изменения магнит-
i
ной индукции соотношением:
эд.д/. = —
i 1 1 м ’
где Ц — длины участка контура, S — площадь поверхности,
стягиваемой контуром, В — нормальная к поверхности со-
ставляющая вектора магнитной индукции, At — промежу-
ток времени, за который происходит изменение магнитного
потока на величину АВ • S.
Четвертая аксиома устанавливает связь между электри-
ческими процессами и возникновением магнитного поля.
В основе и этой аксиомы лежат экспериментальные
данные: закон Ампера, связывающий источник магнитного
поля (движущиеся заряды, образующие электрический
ток) с вектором напряженности магнитного поля. Экспери-
ментально установленный закон Ампера можно сформули-
ровать следующим образом: циркуляция вектора напря-
женности магнитного поля вдоль любого замкнутого
контура равна сумме токов, пересекающих поверхность,
стягиваемую этим контуром (рис. 3).
30
Четвертая аксиома теории
Максвелла не просто повто-
ряет этот экспериментальный
закон, а существенно обобща-
ет его. И это обобщение явля-
ется одним из самых серьез-
ных отличий теории Максвел-
ла от того, что было в науке
до него.
Если присоединить про-
водник к полюсам батареи,
потечет ток в замкнутой це-
пи. Но вот проводник под-
ключается к батарее, а в его
середине есть разрыв. Что произойдет в момент подключе-
ния батареи? До включения избыточных зарядов противо-
положных знаков на концах проводника не было. Батарея
совершит работу, создаст избыток зарядов одного знака на
одном «берегу» разрыва и другого знака — на другом.
В промежутке между проводниками возникает электриче-
ское поле, характеризуемое определенным значением
электростатической индукции D. На создание этого поля
батарея совершит определенную работу (если потерь
в проводниках нет) . В момент, когда течет ток, создающий
избыток зарядов на «берегах» и электрическое поле в про-
межутке между ними, можно применить к контурам, охва-
тывающим проводник, закон Ампера. Будем мысленно
смещать замкнутый кольцевой контур (рис. 4) вдоль про-
водника к зазору, каждый раз '(также мысленно) подклю-
чая батарею к разряженным проводникам.
Рассмотрим контур ABCD. В нем участок АВ является
дугой контура, заведомо охватывающего проводник, а уча-
сток DC — дугой такого же контура, но охватывающего
зазор. В силу закона Ампера циркуляция вектора напря-
женности магнитного поля по
такому контуру должна рав-
няться нулю, так как контур
не пронизывают токи. Но на?
участке АВ вектор напряжен-
ности магнитного поля Н
нигде не равен нулю, так
как в силу симметрии на-
Рис. 4
пряженность магнитного по-
31
ля равномерно распределена вдоль первого контура, а на
участке CD напряженность магнитного поля должна
равняться нулю. Но тогда возникает противоречие: контур
ABCD токов не охватывает, а циркуляция в нем не равна
нулю.
Суть дела поясняет четвертая аксиома теории Максвел-
ла. Эта аксиома формулируется так: циркуляция вектора
напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого
контура равна сумме токов, пересекающих контур, вклю-
чая так называемые токи смещения. Ток смещения счита-
ется равным изменению за единицу времени потока век-
тора электростатической индукции через поверхность, стя-
гиваемую контуром:
I 1 1 i J At
Добавление к закону Ампера токов смещения исключи-
тельно существенно.
Вопрос о замкнутых и незамкнутых электрических то-
ках возникал задолго до Максвелла. Ведь конденсатор —
это разорванный проводник с «берегами». И ток, необходи-
мый для зарядки конденсатора, течет в некоторых слу-
чаях целые секунды или даже минуты. Чувствительный
амперметр смог бы показать силу тока в «разорванной»
цепи во время зарядки конденсатора.
Введение понятия электростатической индукции D и
обобщение свойства электрического тока создавать магнит-
ное поле на процессы, при которых происходит изменение
потока вектора D через заданную поверхность, и привели
к представлению о «незамкнутом токе» — токе смещения,
который, как и ток проводимости, также создает магнитное
поле.
Пять лет понадобилось Максвеллу для того, чтобы вве-
сти в свою теорию электромагнетизма этот решающий
штрих — эквивалентность как источника магнитного поля
обычного электрического тока проводимости и тока сме-
щения (изменение потока вектора электростатической ин-
дукции внутри контура, на котором рассматривается воз-
никающее магнитное поле).
Рассуждения Максвелла основывались на косвенных
экспериментах. Прямые эксперименты по обнаружению
магнитного поля, вызванного изменением вектора электро’!
32
статической индукции D, были выполнены существенно
позже.
Математическая запись этих четырех аксиом — это и
есть знаменитые уравнения Максвелла в так называемой
интегральной форме. Они относятся к суммарным эффек-
там для поверхностей и контуров. Основные, известные до
Максвелла, экспериментальные законы электромагнетизма,
как видно из предыдущего, также носили интеграль-
ный характер, в частности, и потому, что приборами
удобно измерять суммарные значения величин.
Второй важнейший вклад Максвелла в науку заключа-
ется в том, что он записал эти четыре уравнения (аксио-
мы) в дифференциальной форме, т. е. для бесконечно ма-
лых участков пространства и бесконечно малых промежут-
ков времени. В такой форме эти уравнения болео
приспособлены для решения всевозможных задач.
Уравнения Максвелла не сразу были оценены достойно
современниками. Правда, это продолжалось всего около
десяти лет.
Максвелл прожил всего 48 лет. Полученные им научные
результаты органически вошли в фундамент научно-тех-
нической революции нашего времени. Уравнения Максвел-
ла представляют собой весьма точную математическую
модель всего электромагнетизма.
До Максвелла механическая форма движения материи
считалась универсальной. Бесплодные усилия многих уче-
ных были направлены на то, чтобы вписать электромагне-
тизм в механическую форму движения. Сам Максвелл не-
мало времени потратил на то, чтобы создать механическую
модель той среды, которую описывали его уравнения. Еще
в двадцатых-тридцатых годах нашего века не прекраща-
лись попытки некоторых философов отрицать электромаг-
нитное поле как материальный объект.
Сейчас уже этого вопроса нет. Более того, стало ясно,
что первопричиной многих механических явлений является
электромагнитное поле. Например, соударение тел и возни-
кающие при этом механические силы в конечном счете
объясняются электрическими взаимодействиями.
«Теория электрического поля Фарадея — Максвелла
представляет, очевидно, наиболее глубокое превращение,
которое основание физики претерпело со времен Ньюто-
на...» (А. Эйнштейн).
2 Зак. 1634
33
Кроме величин Е, D, В. Н, которые описывают электро*
магнитное поле, в уравнения Максвелла входят заряд д,
сила тока I и время t. Всего величин семь, а уравнений
лишь четыре. Для решения же практических задач необ-
ходимо иметь столько уравнений, сколько имеется неиз-
вестных. Таким образом, приведенные четыре уравнения
Максвелла не образуют полной системы. В этих уравнениях
нет сведений о той среде, в которой создается электромаг-
нитное поле.
Как записать связь между Е и D, В и Я? Для вакуума
эта связь записывается в виде следующих двух дополни-
тельных уравнений (аксиом):
D = e0E, В = ц0Н,
где постоянные е0 и Цо соответственно электрическая
и магнитная постоянные. При этом выполняется условие
1
С ----,
V еоР,о
где с= 2,9979 • 108 м/с~3 • 108 м/с — скорость света в ва-
кууме.
Если электромагнитное поле создается в веществе, то
для ряда частных случаев связь между D и £*, В и Н может
быть записана приближенно в линейной форме:
D = ее0£ и В = цц0Я,
где е и ц — соответственно относительные диэлектриче-
ская и магнитная проницаемости среды.
Однако во многих практически важных случаях е и ц
являются функциями напряженностей электрического
и магнитного полей:
D = z(E)z0E, В = ц(Н)ц0Н.
Эти уравнения не могут быть получены только на основе
теории Максвелла. Зависимости е = е(2?) и ц = ц(Я)
могут быть найдены экспериментально или теоретически,
но с привлечением других разделов физики.
Но и с учетом указанных выше двух дополнительных
уравнений при наличии свободных зарядов, которые мо-
гут двигаться под действием сил поля, система уравнений
Максвелла еще оказывается неполной. Ее замыкание мож-
но провести двумя путями: а) записать непосредственно
уравнения движения заряженных частиц в полях, б) осред-
34
нить и обобщить уравнения движения, записав дополни-
тельное соотношение, известное как закон Ома.
Чтобы находить силы, действующие на заряд, надо
воспользоваться еще двумя формулами. Сила, с которой
электрическое поле действует на заряд 7, определяется
формулой
F3 = qE.
Сила, с которой на движущуюся заряженную частицу
действует магнитное поле, может быть вычислена по фор-
муле
FM = qvB sinvB,
где q — заряд частицы, v — модуль вектора скорости ее
движения, В — модуль вектора магнитной индукции. vB —
угол между направлениями векторов v и В. Направление
силы FM задается правилом буравчика: если буравчик вра-
щать в направлении от вектора скорости и к вектору маг-
нитной индукции В, то поступательное движение буравчи-
ка укажет направление силы FM.
В общем случае сила, действующая на заряженное
тело — сила Лоренца — записывается в виде
F = qE + qv х В.
Здесь знак « X » обозначает особый вид умножения векторов
v и В. Произведение иХВ есть вектор, модуль которого
равен vB sin vB\ направление этого вектора таково, что
с его конца поворот вектора v в сторону вектора В виден
против часовой стрелки.
Именно сила Лоренца является причиной появления
электрического тока в проводниках, подключенных к бата-
рее, или в генераторах с вращающимся якорем.
На рисунке 5, а показано движение заряженной части-
цы под действием электрического компонента силы Лорен-
ца, а на рисунке 5, б — движение заряженной частицы под
действием магнитного компонента.
В тех случаях, когда необходимо выяснить особенности
поведения отдельных заряженных частиц или их групп,
2*
35
Рис. 5
дополняют систему уравнений Максвелла механическими
уравнениями движения тел.
В металлах содержится ~ 1022 электронов в каждом ку-
бическом сантиметре. Это почти столько же, сколько звезд
во всей вселенной. Проследить за движением в электриче-
ском поле каждого из электронов, конечно, невозможно.
Но, используя законы движения частиц в электрическом
поле, можно приближенно оценить общий результат.
В этом случае последним уравнением, замыкающим
описание электромагнитных процессов, обычно служит
закон Ома — связь разности потенциалов на участке не-
которой среды с силой тока, текущей по этому участку.
Глава 3.
ВОЛНЫ
§ 1. ВОЛНА — СВЯЗЬ УСКОРЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
И ВО ВРЕМЕНИ
ТЭозьмите в руку конец длинной, свободно провиса-
ющей веревки и медленно немного поднимите руку.
Уже на расстоянии вдоль веревки, в три-четыре раза боль-
шем высоты подъема конца веревки, заметить изменение
положения веревки практически невозможно. Но если рез-
ко, т. е. с ускорением, сместить вверх и вниз руку, то вдоль
веревки побежит изгиб — волна и до самого конца веревки
высота этого изгиба будет почти неизменна. Можно про-
следить, как возбужденная волна многократно пройдет от
одного конца веревки к другому, постепенно уменьшая
свою амплитуду.
Допустим, что конец веревки колеблется по синусои-
дальному закону, а противоположный конец так далеко,
что отраженные волны можно не рассматривать: они еще
не успели вернуться. Тогда форма участка веревки в неко-
торый момент времени как функция координаты вдоль ве-
ревки будет соответствовать синусоиде 1 на рисунке 6.
В следующий момент времени картина изменится: синусо-
ида сдвинется по фазе на ф и т. д. Последующие состояния
волны в пространстве и времени изображены синусоидами
2, 3, 4,... на том же рисунке. Пунктирная прямая, соединя-
ющая в координатах х и t точки с одинаковой фазой, ха-
рактеризует скорость распространения волны, равную тан-
генсу угла наклона этой прямой к оси Ot.
При волновом процессе каждый из элементов объема
среды совершает колебания относительно положения рав-
новесия. Колебания неразрывно связаны с ускорением во
времени. Но для волн характерно и наличие еще одного
«ускорения», зависящего от координат точек среды. В учеб-
37
никах физики, объясняя, что такое волна, воспроизводят
опыт, при котором множество маятников соединены между
собой пружинами, которые имитируют взаимодействия
между «маятниками» в веществе. Если бы все маятники
двигались без ускорения, друг относительно друга, то пру-
жины не деформировались бы и не было бы сил связи меж-
ду маятниками. Волновой процесс, связанный с передачей
движения и энергии в пространстве, не смог бы распростра-
няться. Ускорение элементов объема среды является клю-
чевым фактором для образования волны.
Уравнение связи ускорения элементов среды во време-
ни и вдоль пространственной координаты полностью опи-
сывает все свойства и особенности волнового процесса.
Это — так называемое волновое уравнение. В него входит
постоянная, своя для каждой среды, равная скорости рас-
пространения волны.
Любое твердое тело с точки зрения механики полно-
стью характеризуют упругость и плотность.
Как правило, когда говорят о волнах в той или иной
среде, то обычно автоматически подразумевают, не огова-
ривая дополнительно, что речь идет о процессах в идеаль-
ных условиях, когда нет потерь, когда упругие характерис-
38
тики материала постоянны, т. е. деформации линейно зави-
сят от механического напряжения. Когда эти условия не
выполняются, то делаются специальные оговорки. Трение
приводит к затуханию волн. Нелинейность процессов при
распространении волн приводит к образованию специфиче-
ских волн, примером которых является морской прибой,
когда гребни волн опрокидываются. В механике газов такие
волны называются ударными, в твердом теле — пластиче-
скими.
При отсутствии трения и малых колебаниях частиц
среды можно для многих задач выделить параметры среды,
от которых полностью зависит скорость распространения
волны. В частности, для твердого тела в этих условиях
можно характеризовать среду именно модулем упруго-
сти Е и плотностью р. Но из этих двух величин можно об-
разовать только одну комбинацию, для которой наименова-
1/ Е
ние единиц соответствует скорости, это выражение у —.
Действительно,
•1/"н7мг == 2L.
V кг/м3 с
Следовательно, величина
есть скорость распространения продольной волны (звука)
в твердом теле.
В случае электромагнитных волн наименование скорос-
ти имеет величина
1
Действительно,
с —— '—•
1/ 88орРо
1
м
с
К л2 Н*м2
Н*м2 Кл2-ма/с2
Значит, приведенная формула выражает скорость элек-
тромагнитных волн, в частности скорость света, в любой
среде. Для вакуума
с =— .
“]/ 80р,0
1
39
Это универсальная физическая постоянная — в природе
не существует движений, связанных с переносом массы
или энергии, которые бы происходили со скоростями,
бблыпими, чем эта фундаментальная величина.
Почему на основе уравнений Максвелла удалось пред-
сказать возможность существования электромагнитных
волн?
Дело в том, что после соответствующих преобразований
эти уравнения приводятся к виду, в котором они связыва-
ют ускорения изменения, например, напряженности элек-
трического поля в пространстве и во времени, причем эта
связь линейная. Коэффициент пропорциональности в урав-
1
нении связи этих ускорений равен с = ---г Зна-
V Ес Но
чит, эта величина есть скорость света в вакууме. По ана-
логии, величина
Т/ееорро
должна выражать скорость света в данной среде.
Волны бывают продольные и поперечные.
Продольной волной является звук в воздухе, жидкости
или в твердом теле. Вдоль направления распространения
волны изменяются по синусоидальному закону размеры
элементов среды и давление в среде.
При поперечных волнах параметры среды изменяются
в направлении, перпендикулярном направлению распро-
странения волны. Электромагнитные волны также являют-
ся поперечными. Векторы напряженности электрического
поля и магнитной индукции лежат в плоскости, перпенди-
кулярной к направлению распространения волны.
Поместите в какой-либо точке электрически заряженное
тело и попробуйте на сколько-нибудь значительном рас-
стоянии обнаружить вызванное этим телом электростати-
ческое поле — ничего не выйдет. Напряженность электри-
ческого поля точечного заряда убывает обратно пропор-
ционально квадрату расстояния от него, т. е. очень быстро.
Напряженность поля электрического диполя убывает с
расстоянием еще быстрее — как куб расстояния от диполя.
Но вот достаточно заставить заряды колебаться относи-
тельно середины диполя по синусоидальному закону, т. е.
с ускорением, как характер процессов в пространстве су-
щественно изменится: напряженность поля будет убывать
40
е расстоянием гораздо медленнее — обратно пропорцио-
нально лишь первой степени расстояния. А если с по-
мощью множества диполей реализовать на практике при-
близительно плоскую волну, то убывания напряженности
с расстоянием почти совсем не будет. Электрическое поле
на любом расстоянии будет таким же, как и у источника
волн. Конечно, практически реализовать плоскую волну
не так-то просто, но можно найти ряд решений, позволяю-
щих приблизиться к такому случаю.
Именно поэтому волны и оказались в центре внимания
науки. Мы воспринимаем свет и звук на больших расстоя-
ниях от источников. Тысячи и миллионы световых лет
отделяют нас от звезд. И мы их все же видим.
§ 2. ДИПОЛЬНЫЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ ВОЛН
Наиболее общим процессом, приводящим к возникно-
вению в пространстве электромагнитных волн, являются
колебания двух точечных зарядов противоположных зна-
ков (электрический диполь) относительно середины рас-
стояния между ними.
Пусть заряды электрического диполя колеблются по
синусоидальному закону так, что положительный и отрица-
тельный заряды все время меняются местами. Картина ли-
ний напряженности электрического поля диполя всем из-
вестна. Через четверть периода колебания окажется, что
самого источника поля нет — оба заряда находятся в одной
точке и суммарный заряд равен нулю. Но линии напряжен-
ности электрического поля остались. Теперь они замкну-
тые кривые. Далее полярность диполя изменяется на про-
тивоположную: возникают новые линии напряженности.
Тем временем прежние уже замкнутые линии успевают пе-
реместиться дальше от диполя.
Вокруг излучающего диполя есть две принципиально
различные области. Вблизи него на расстоянии порядка
длины волны максимумы электрического и магнитного
полей чередуются во времени, как это следует из закона
электромагнитной индукции. Но вне этой, так называемой
ближней, зоны излучателя максимумы электрического и
магнитного полей достигаются одновременно. Это важная
особенность электромагнитной волны.
Возьмем два одинаковых стержня, разделенные изоля-
тором. Подключим их к генератору переменного напряжо-
41
вия нужной частоты. Заряды стержней, их потенциалы,
картина силовых линий вокруг них будет близка к кар-
тине силовых линий поля диполя с точечными за-
рядами.
Именно таким образом и выполняются антенны боль-
шинства радиостанций. Естественно, что в случаях, когда
к антеннам предъявляют специфические требования, их
конфигурация изменяется. Но в основе всех антенн лежит
один и тот же принцип: соблюдение определенных соотно-
шений между размерами антенн и длиной волны. Разные
виды антенн — это различные формы реализации диполь-
ного излучателя. Могут быть антенны, в которых пер-
вичным является не электрическое поле диполя, а маг-
нитное поле витка. Но это не меняет сущности
процессов.
Впервые излучение электромагнитных волн осущест-
вил именно на дипольном излучателе из двух стержней
немецкий физик Генрих Герц. Волновые свойства элек-
тромагнитного поля оказались наиболее существенным,
доступным наблюдению эффектом в теории электромагне-
тизма Максвелла.
| 3. МЕХАНИЧЕСКАЯ ИНЕРЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
В силу многочисленных традиций и характера повсе-
дневного опыта понятие материального объекта в нашем
сознании прежде всего ассоциируется с телом, имеющим
массу. В терминах механики Ньютона масса связана с
двумя характерными явлениями: инерцией и всемирным
тяготением.
Уже только сам факт существования электромагнитных
волн в вакууме заставляет считать, что электромагнитное
поле не есть чисто математическая абстракция, как поле
скоростей жидкости или поле механических напряжений
в твердом теле, а является определенным материальным
объектом.
Никакого носителя электромагнитных волн, отлично-
го от того, что характеризуется векторами Е и D, В и Н,
нет. Электромагнитное поле и есть та среда, в которой
распространяются электромагнитные волны. Но сущест-
венным признаком материальной среды является наличие
массы. Применимо ли это понятие к электромагнитному
полю?
42
Чтобы ответить на этот вопрос, надо было проверить,
обладает ли электромагнитное поле механическим импуль-
сом.
Эксперимент показал, что электромагнитное поле обла-
дает импульсом. Это было подтверждено на рубеже нашего
века опытами известного русского ученого П. Н. Лебедева
по обнаружению светового давления.
Следовательно, электромагнитное поле обладает'меха-
нической инертностью, инертной массой. Не вдаваясь в
подробности, отметим, что уже в наши дни убедительно
показано в эксперименте, что свет (электромагнитное по-
ле) обладает также свойством тяготения. Значит, электро-
магнитному полю присущи те же два основных признака
материальности, что и веществу,— инертность и тяго-
тение.
Сегодня остается незыблемым постулат о том, что ско-
рость света в вакууме есть предельно возможная скорость
движения любого объекта, распространения любого про-
цесса, связанного с переносом массы или энергии. Этот
постулат применяется к гравитационному взаимодейст-
вию и к внутриядерным специфическим взаимодействиям.
То, что предельная скорость распространения возму-
щений для всех известных сегодня взаимодействий через
вакуум одинакова, не может быть случайным совпадени-
ем. Естественно думать, что все эти взаимодействия свя-
заны между собой и имеют нечто общее в своей природе.
Обращает на себя внимание также то, что открытый
А. Эйнштейном закон взаимосвязи массы и энергиич
Е = тс2
применим не только к веществу, но и к электромагнитному
полю.
Эквивалентность массы и энергии для частиц вещества
отнюдь не какой-то редкий, исключительный эффект.
Обычная кинетическая энергия движения частиц в неко-
торых случаях настолько сильно изменяет массу, что во
многих реальных устройствах этот эффект следует учи-
тывать при инженерных расчетах. К таким устройствам
относятся ускорители элементарных частиц. Раз энергия
эквивалентна массе, то по мере разгона частицы в ускори-
теле и увеличения ее кинетической энергии растет и масса
частицы, ее инертность.
43
Энергия, приобретенная частицей с зарядом q после
прохождения ею ускоряющего промежутка с разностью
потенциалов U последовательно п раз, вычисляется по фор-
муле
WH = nqU.
В покое заряженная частица имеет массу /По, и этой
массе'должна быть эквивалентна энергия Жо = игос2. Оче-
видно, что полная энергия частицы Wn является суммой
энергии, соответствующей массе покоя частицы Wo =
т0с2, и энергии WK — nqU1 приобретенной при ускорении
за счет многократного прохождения разности потенциалов:
жп = ж0 + жк.
Этой суммарной энергии эквивалентна некоторая масса:
= Wn = т°с2 + nqU
с2 с2
Именно эта масса и характеризует полную инертность
частицы и может использоваться во всех формулах меха-
ники Ньютона. Поправки к массе частицы будут очень
малы, пока скорость не превысит примерно 0,8 с. Их мож-
но не учитывать даже при скоростях движения космиче-
ских ракет или спутников. Но при исследованиях и расче-
тах движения элементарных частиц в ускорителях необ-
ходимость учета таких поправок возникает весьма часто.
§ 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ — РЕЗУЛЬТАТ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДОВ
Одна из фундаментальных макроскопических основ
электромагнетизма сводится к утверждению, что значение
электрического заряда является неизменным, не зависимым
от того, движется заряд относительно наблюдателя или нет.
Напомним, что согласно теории относительности Эйнштей-
на такие величины, как масса, длина, время, изменяются,
если сопоставлять их значения, измеренные неподвижным
или движущимся вместе с ними наблюдателями. Поэтому
первая аксиома максвелловской теории электромагнетиз-
ма, согласно которой линии индукции электрического поля
начинаются или кончаются только на заряженных телах
или в бесконечности, по существу сводящаяся к принци-
пу неизменности заряда,— одна из наиболее фундамен-
тальных основ электромагнитных явлений.
44
Магнитное поле в макроскопической электродинамике
ящщется следствием относительного движения зарядов,
т. е. магнетизм — релятивистский эффект. Рассмотрим
этот вопрос подробнее.
Пусть расстояние между телами, когда оно измеряется
наблюдателем, движущимся вместе с ними, равно Iq. Тогда
согласно теории относительности для неподвижного на-
блюдателя расстояние I между этими телами определяет-
ся формулой
V2
Величина I зависит от отношения — квадрата
скорости движения тела к квадрату скорости света в ва-
кууме.
Рассмотрим две цепочки движущихся равномерно, па-
раллельно друг другу с одинаковой скоростью точечных
зарядов q (см. рис. I на цветной вклейке). (Такие цепочки
зарядов можно мысленно представить себе как два потока
электронов.) Для определенности будем считать, что зна-
ки зарядов в обеих цепочках одинаковы. В системе коор-
динат, движущейся вместе с зарядами, между ними оди-
наковые расстояния и погонная плотность ро заряда в це-
почках определяется формулой
где п — число зарядов на длине /о. Напряженность Eq
электрического поля этих зарядов на расстоянии г от це-
почки можно вычислить, используя первое уравнение
Максвелла:
^Di' =
Учитывая, что в вакууме справедливо условие D = &qE
имеем: .
i i
Величины Ei могут быть измерены наблюдателем, дви-
жущимся вместе с зарядами. Для вычисления Ei применим
это уравнение к поверхности в виде кругового цилиндра,
ось которого совпадает с осью одной из цепочек зарядов.
Пусть крышки цилиндра перпендикулярны оси. Тогда при
45
вычислении потока индукции электрического поля надо
рассматривать лишь цилиндрическую поверхность, пло-
щадь которой
So = 2arl0,
где г — радиус цилиндра, 1о — его высота. Учитывая, что
заряд внутри этого цилиндра равен ng, получаем:
в„= 1
80 2wl0
Наблюдатель, движущийся вместе с зарядами, обнару-
жит, что на длину Zo второй цепочки зарядов будет дейст-
вовать сила отталкивания:
ГЭ0=п^0 = ±^1.
Eq 2 ЛГ Iq
Пусть теперь подобные наблюдения проводит непо-
движный наблюдатель, который видит цепочки зарядов
движущимися относительно него. Расстояние между сами-
ми цепочками для него остается неизменным, равным г,
так как оно измеряется в плоскости, перпендикулярной
направлению движения, но расстояние между зарядами
в каждой из цепочек согласно теории относительности для
него сократится в
bQ f '
раз. Поэтому погонная плотность зарядов окажется боль-
шей:
р =
nq
При этом, естественно, будут большими и напряжен-
ность электрического поля
g 1 nq
бо
2яНоу 1-4
и сила, с которой это поле действует на заряды участка
второй цепочки длиной /о,
р _ _________(”?)2
8° 2w70 / 1 _ ±1)
46
Сила электростатического отталкивания зарядов уве-
личилась на
V2
\р ____ р Р ._______ 1 (ОД)2 с2
ДД - Д - до _
с2
Между тем общая сила электромагнитного взаимодей-
ствия цепочек зарядов не должна зависеть от выбора си-
стемы координат. Кажущееся противоречие устраняется,
если учесть, что поступательное движение электрических
зарядов есть электрический ток и поэтому имеет место еще
и магнитное взаимодействие. Покажем, что для неподвиж-
ного наблюдателя сила магнитного взаимодействия в точ-
ности равна вычисленному выше избытку силы электро-
статического взаимодействия, но направлена противопо-
ложно ей.
По определению сила тока равна заряду, проходящему
в единицу времени через рассматриваемое сечение. В на-
шем случае сила тока для неподвижного наблюдателя
равна
j___ nqv
Найдем напряженность Н магнитного поля. Рассмотрим
линию напряженности магнитного поля, имеющую форму
окружности с центром на первой цепочке зарядов. Вели-
чина Н в силу симметрии должна быть постоянной вдоль
этой окружности, и циркуляция вектора Н равна произве-
дению модудя этого вектора на длину окружности: 2лгЯ.
Но циркуляция вектора Н равна полному току, который
пронизывает поверхность, стягиваемую выбранной окруж-
ностью:
2лгЯ = I
Следовательно,
Н =
nqv
47
Поскольку индукция и напряженность магнитного поля в
пустоте связаны соотношением В = роЯ, то ьд
Я = Но
nqv
Вектор В, как и вектор Я, направлен по касательной к вы-
бранной окружности. Но направления В и v перпендику-
лярны между собой.
Найдем теперь силу, с которой магнитное поле, создан-
ное движущимися зарядами первой цепочки, действует на
участок 1о второй цепочки. Так как заряд на участке Zo
nq
равен г то для силы магнитного взаимодействия
можно записать формулу:
nq
1--^-
с2
ДГЭ
V2
е0 2лН0 J__ у2
с2
Вычислим
отношение
1 (пд)2
D (nq)2u2
= ---------~г------г
2wl0 1— —
\ с2
(«7) М
Но-------V--------Г
2лН0 (1 - —
\ °2
=1.
F
Л м
Оно оказывается равным 1, если учесть, что ” ~сг.
ЕоРо
Это значит, что А/?э=/гм.
Но векторы AF9 и Fm направлены в противоположные
стороны. Следовательно, полная сила электромагнитного
взаимодействия в неподвижной системе координат остает-
ся такой же, как в подвижной системе.
На основе изложенного можно утверждать, что элек-
трические и магнитные эффекты не только всегда взаимо-
связаны между собой уравнениями Максвелла, но и что
сам факт существования магнитного взаимодействия есть
следствие фундаментального закона постоянства электри-
ческого заряда и релятивистских законов изменения длин
и промежутков времени при переходе от одной системы
координат к другой.
48
Взаимодействие магнитного поля с движущимися заря-
дами — электрическим током — широко используется в
технике. Мощные электрические двигатели прокатных
станов и электровозов работают на основе этого взаимо-
действия. А ведь магнитное действие есть релятивистский
эффект. И тут выясняется весьма неожиданный и, каза-
лось бы, парадоксальный факт. Средняя эквивалентная
скорость движения электронов в металлических проводни-
ках составляет всего доли миллиметра в секунду, в то вре-
мя как скорость света огромна — 3-108 м/с. Релятивист-
ский эффект возникновения магнитного поля зависит от
квадрата отношения этих скоростей, т. е. от величины ис-
ключительно малой. И такие, казалось бы, ничтожные ре-
лятивистские поправки могут быть причиной возникнове-
ния сил, разгоняющих железнодорожный состав массой в
несколько тысяч тонн до скорости в сотню километров в
час. Вот на что способна эта, казалось бы, незначительная
релятивистская поправка!
Школьные опыты по электростатике, в которых элек-
трические силы едва перемещают бумажные гильзы
или мелкие пробковые крошки, иногда оставляют ошибоч-
ное представление, будто электрические силы малы по
сравнению с магнитными. Насколько же велики электри-
ческие силы Fqq, если весьма незначительная релятивист-
ская поправка AF3 = FM лежит в основе работы всех совре-
менных электросиловых промышленных установок!
Р эо
Действительно, оценим отношение
г м
Fso = 1 с2 = /_с_ у Л _
Fm ЕоЦо *>2 \ у / \ с2 / *>2
Так как при обычных для технических устройств плот-
ностях тока средняя скорость направленного движения
электронов в проводах составляет величину порядка
10“4 м/с, то убеждаемся, что электрические силы действи-
тельно в огромное число раз больше магнитных:
/ io82L \2
Fso / с у_______ 1^1 ------------- ) — 1024<
49
И тем не менее единственное заметное проявление
электростатических сил в проводниках — это сам факт
возникновения электрического тока при подключении про-
водника к источнику разности потенциалов.
Внутри проводников именно в силу очень больших
электростатических сил поддерживается равенство между
отрицательным зарядом свободных электронов и положи-
тельным зарядом ионизированных атомов кристаллической
решетки. Нарушения этого равновесия могут быть очень
незначительными. Именно они являются причиной тока в
проводниках. Но образует электрический ток в проводни-
ке движение всего суммарного заряда электронов в объе-
ме проводника. Этот заряд очень велик. В 1 см3 он состав-
ляет величину порядка 106 Кл. Не удивительно поэтому,
что магнитные силы вне проводника, будучи лишь ничтож-
ной релятивистской поправкой к значениям электростати-
ческих сил взаимодействия, в этих условиях оказываются
единственным заметным силовым проявлением электри-
ческих процессов в проводнике.
То, что в опытах по электростатике сила взаимодейст-
вия между заряженными телами мала, объясняется тем,
что в этих опытах мы имеем дело с весьма небольшими
избыточными зарядами на поверхностях тел.
Глава 4.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ПОЛЯ
§ 1. ЗАКОН ОМА
V равнение Масквелла — фундамент огромной области
v знаний. А закон Ома в том виде, как он был получен
экспериментально около ста лет назад и как он и теперь
записывается в школьном учебнике:
это всего навсего приближенное соотношение. Оно спра-
ведливо, главным образом, для металлических проводни-
ков, да и то только со многими оговорками и ограниченной
точностью. Например, для металлической нити накалива-
ния обычной электрической лампы линейный закон Ома
несправедлив. Нить находится в разреженном газе. Отвод
тепла от нее мал. По мере роста силы тока через нить
увеличивается и ее температура в значительно большей
степени, чем в обычных проводниках. С ростом же темпе-
ратуры электрические свойства металла меняются, посто-»
янная /?, называемая электрическим сопротивлением, не-
прерывно увеличивается. Поэтому зависимость между си-
лой тока и напряжением перестает быть линейной.
Линейная форма записи закона Ома несправедлива и
для большинства устройств электроники — электровакуум-
ных ламп, полупроводниковых приборов и др. При про-
текании электрического тока в газе или жидкости в ряде
случаев сила тока и напряжение связаны между собой
сложными функциональными зависимостями. Эти зависи-
мости называют обобщенным законом Ома.
51
Рис. 7
Для вывода зависимости между напряжением и силой
тока в среде мысленно выделяют куб со сторонами в еди-
ницу длины, помещенный в однородное электрическое поле
(рис. 7). Разность потенциалов на противоположных гра-
нях этого куба численно равна напряженности электриче-
ского поля. Сила тока, текущего через такой куб, представ-
ляет собой плотность электрического тока в среде.
Далее выясняют, какие электрически заряженные час-
тицы могут двигаться под действием сил электрического
поля и стать носителями тока. Например, в газе электри-
ческий ток может течь только тогда, когда возникает
ионизация. Молекулы газа под действием ряда причин мо-
гут терять один или несколько электронов. Электрон об-
ладает массой тпе=9,1 • 10“31 кг и отрицательным зарядом
де=1,6*10"19 Кл. Ионы имеют положительный заряд и мас-
су, определяемую их атомной массой. Электроны и ионы
являются носителями тока в газе.
Сила, действующая на частицу-носитель тока, определя-
ется формулой
F=qE.
Зная массу носителя тока, можно найти его ускорение:
а затем и скорость движения как функцию времени:
v = at 4- v0 = — t + v0.
m
52
Скорость движения носителя тока можно выразить и
через пройденный путь:
v = т/ + Vo
V т
либо через разность потенциалов U между начальной и ко-
нечной точками траектории:
у = т/+ v0.
У т
Для простоты вышеприведенные формулы записаны
для однородного электрического поля только потому, что
не используется аппарат высшей математики. Но послед-
няя формула справедлива и для неоднородного поля.
В образовании электрического тока участвуют огром-
ные количества электронов и ионов. Когда сила тока цавна
1 А, через поперечное сечение металлического проводника
за 1 с проходит заряд в 1 Кл. Это — огромное количество
электронов, порядка 1019.
Проследить за движением каждого из носителей тока
невозможно, поэтому вводят средние характеристики, т. е.
принимают приближенно, что результат реальных движе-
ний носителей тока может быть заменен результатом их
идеализированного одинакового движения. Хотя и все элек-
троны, и все ионы имеют начальные хаотические скорости,
связанные с тепловым движением, направления этих ско-
ростей равномерно распределены в пространстве и их
вклад в направленное движение носителей тока под дейст-
вием электрического поля равен нулю.
Но даже средний электрон или средний ион, двигаясь
в газе, жидкости, твердом теле, должен сталкиваться с
атомами или молекулами, другими электронами или иона-
ми. В межзвездном пространстве и то на 1 см3 приходится
примерно 1 атом, а при самом глубоком вакууме, достижи-
мом в земных условиях, в 1 см3 содержится 108 атомов.
В газах при давлении, не превышающем нормальное, кон-
центрация молекул составляет от 108 до 1019. В металлах
концентрация атомов, с которыми могут сталкиваться элек-
троны, порядка 1022 на 1 см3. Поэтому траектория «средне-
го» электрона представляет собой сложную ломаную ли-
нию. Изломы этой траектории связаны с соударениями.
В промежутке между соударениями электрон набирает ско-
рость в соответствии с законами равноускоренного движе-
ния, а после соударения все начинается снова (ведь
53
хаотическая составляющая скорости электронов не входит
в формулы, а выпадает при осреднении).
Поэтому средний электрон нужно наделить еще и сред-
ней длиной свободного пробега X между соударениями или
эквивалентной характеристикой — средним временем сво-
бодного пробега т. Операции со средними величинами ана-
логичны тем, которые используются в молекулярно-кине-
тической теории газов, только численные значения Хит
для заряженных частиц в большинстве случаев находятся
по специальным формулам.
При выводе обобщенного закона Ома на основе рас-
смотрения микроскопического поведения носителей тока
определение X или т — одна из важных и трудных задач.
Очень часто при ее решении на помощь привлекают экс-
перимент, так же как и для определения вида носителей
тока и их концентрации.
Поскольку скорость р, приобретенная носителем тока
на средней длине свободного пробега, зависит еще и от
напряженности электрического поля, то для удобства вво-
дят дополнительную характеристику — подвижность Ь но-
сителей тока. Эта величина измеряется скоростью, кото-
рую приобретают носители тока при движении в поле с
единичной напряженностью. Подвижность может быть как
постоянной, так и функцией напряженности поля — Ь =
= Ъ(Е). Например, в металлах подвижность электронов
при заданной температуре постоянна и составляет доли
миллиметров в секунду. Если бы модель электрического
тока в виде жидкости была наблюдаемой глазом, то из
конца проводника, подключенного к батарее от карманно-
го фонарика, вытекала бы «электронная жидкость» со ско-
ростью почти такой, с какой выдавливают пасту из тюбика
на зубную щетку. Разные носители тока — электроны и
ионы — имеют различную подвижность.
Величины, относящиеся к каждому виду носителей то-
ка, обозначим индексом /: их заряды концентрации
п}(Е) и средние их подвижности Ъ\(Е). Тогда закон Ома
для рассматриваемого кубика примет вид:
i = (Е) bj (Е) Е.
I ' V
Учитывая, что 1= — и L =——, получим:
1 = 8[2д^(Е)Ь}(Е)]-^-.
I 1
54
Эта формула будет линейным законом только в том слу-
чае, когда концентрации nj носителей тока и их подвиж-
ности bj — постоянные величины, не зависящие от напря-
женности поля. На строгую линейность можно рассчиты-
вать только в частных случаях.
Можно выделить несколько классов сред, принципиально
различных с точки зрения протекания в них электрическо-
го тока.
В металлах носители тока — электроны — присутствуют
всегда, вне зависимости от того, подключен ли металличе-
ский проводник к источнику напряжения или нет. Их
концентрация постоянная и практически не зависит от
внешних условий. Именно поэтому металлы подчиняются
линейному закону Ома. Правда, изменение теплового дви-
жения атомов вещества приводит к некоторому изменению
длины среднего свободного пробега электронов, а значит,
и их подвижности. Этим объясняется зависимость электри-
ческого сопротивления от температуры.
На электрическое сопротивление металлов влияют так-
же, хотя и незначительно, механические напряжения
растяжения или сжатия. Это происходит вследствие изме-
нения расстояния между атомами и, следовательно, по-
движности электронов. Эта зависимость используется на
практике для определения напряжений растяжения или
сжатия по изменению электрического сопротивления. Так
называемые проволочные тензометры сопротивления на-
столько же распространены, как термометры, термопа-
ры и пр.
Другим классом сред, в которых концентрация носите-
лей тока практически не зависит от напряженности элек-
трического поля, являются электролиты. В них молекулы
растворенного вещества распадаются на положительно и
отрицательно заряженные ионы. Концентрация ионов и их
Подвижность очень мало зависят от внешнего электриче-
ского поля. Тем не менее линейная связь между током и
напряжением для электрической цепи, содержащей учас-
ток в виде электролита, в большинстве случаев не имеет
места. Причина в том, что ионы, достигающие электро-
да, не просто отдают свой заряд в цепь, но и участвуют в
химических реакциях.
В ионизированном газе отклонения от линейного ха-
рактера закона Ома весьма существенны. В отсутствие
внешнего электрического поля большинство газов — хо-
55
рошие изоляторы. Только в ряде частных случаев неболь*
шая концентрация носителей тока, вызванная ионизацией
иод действием различных факторов, не связанных с элек*
трическим полем, требует учета.
В большинстве же случаев приходится иметь дело в
ионизацией молекул газа при столкновениях с ними элек*
тронов, получивших значительную кинетическую энергию
под действием электрического поля на длине свободного
пробега. Чем больше напряженность ноля и длина свобод-
ного пробега, тем больше вероятность того, что электрон
при столкновении с нейтральной молекулой вызовет иони-
зацию.
При этом один электрон может произвести ионизацию
нескольких молекул. Возникает лавинообразный процесс
увеличения концентрации носителей тока.
В технических устройствах, действующих на этом прин-
ципе, часто приходится применять специальные пусковые
схемы для того, чтобы создать начальную концентрацию
электронов, а для того чтобы остановить лавину на задан-
ном уровне тока, электрическая цепь таких устройств все-
гда содержит дополнительные сопротивления: при опреде-
ленных токах дальнейший рост лавины становится невоз-
можным. Большая часть напряжения источника падает
на дополнительном сопротивлении, а на самом приборе
напряжение уменьшается, и лавина дальше расти не
может.
В твердых диэлектриках, так же как и в воздухе, при
малых электрических напряжениях нет значительного чис-
ла носителей тока. Поэтому их электрическое сопротивле-
ние велико. Но при очень больших напряжениях и в них
возможно образование лавины,— это называется пробой
диэлектрика.
Среди твердых тел существует класс веществ, в кото-
рых концентрация носителей тока также может сильно
зависеть от напряженности электрического поля и других
условий,— это полупроводники.
Если к проводнику приложено внешнее магнитное поле,
а длина свободного пробега носителей тока велика, то воз-
никает множество интересных особенностей в законе Ома.
Опять рассмотрим куб, выделенный в объеме такой
среды. Пусть разность потенциалов приложена перпенди-
кулярно направлению внешнего магнитного поля. В элект-
рическом поле на средней длине свободного пробега за-
56
ряженная частица приобретает среднюю скорость. Но
при движении в магнитном поле, перпендикулярно его
линиям индукции, на частицу со стороны магнитного по-
ля действует сила
FM = qv х В.
При этом возникает и составляющая скорости носителей
тока в направлении, перпендикулярном вектору индукции
магнитного поля. Эта составляющая скорости заставит
носители тока попадать на грани куба, перпендикулярные
тем, к которым приложена разность потенциалов. Закон
Ома приобрел совершенно новый смысл. Разность потен-
циалов, приложенная к проводнику, находящемуся в маг-
нитном поле, вызывает электрический ток в цепи, связан-
ной с другими электродами. Это — эффект Холла. В метал-
лах он мал, так как длины свободного пробега малы.
В газах, электролитах, полупроводниках он больше. В ва-
кууме он может быть настолько большим, что магнитное
поле используется для создания наиболее совершенных
изоляторов. Ведь даже в вакууме всегда может найтись
небольшое количество электронов. Но если перпендику-
лярно прямой, соединяющей электроды, приложить силь-
ное магнитное поле, то вакуумный промежуток станет
идеальным изолятором — электроны будут уводиться маг-
нитным полем вбок, на стенки.
§ 2. ГЕНЕРАТОРЫ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
Все процессы, связанные с потенциальным полем, обла-
дают следующим важным свойством: максимум или мини-
мум потенциала может достигаться только на поверхности
заряженных тел или в бесконечности. Иначе это свойство
можно изложить так: никакая система электрических за-
рядов не может находиться в устойчивом равновесии под
действием только электрических сил. Самопроизвольно не
может возникнуть разделение разноименных зарядов, а
если такое разделение уже есть, то с течением времени
при отсутствии каких-либо других сил, кроме электриче-
ских, оно исчезнет.
Любой источник электроэнергии создает на одной из сво-
их клемм избыток заряда одного знака, а на другой — их
недостаток, т. е. избыток зарядов противоположного знака.
В силу сформулированного выше свойства электрического
57
поля источники электроэнергии не могут быть реализованы
только за счет электромагнитных процессов. Обязатель-
ным условием образования разноименных зарядов на полю-
сах источника электроэнергии является наличие процессов
неэлектрической природы.
Какие именно так называемые сторонние силы будут
совершать работу по разделению зарядов противополож-
ных знаков — неважно. В технике сегодня используются
для этого практически все возможные процессы. В гальва-
нических элементах — это химические реакции, в резуль-
тате которых цинковый электрод расходуется, вступая в
реакцию; пропорционально расходу цинка батарея отдает
электрический ток. В электромеханических генераторах
на электростанции — это механическая работа, совершае-
мая при вращении ротора; с помощью магнитного поля на
основе явления электромагнитной индукции образуется
ЭДС, приводящая в движение электроны в цепи, на полю-
сах генератора возникает разность потенциалов. В солнеч-
ных батареях космических кораблей — это энергия излуче-
ния Солнца, передаваемая электронам внутри твердых
тел — полупроводников, в результате чего в них возникает
разделение зарядов и разность потенциалов на клеммах.
В атомных батареях — это кинетическая энергия электро-
нов или протонов, возникающих в процессах ядерных рас-
падов. В термоэлектрогенераторах — это различие харак-
теристик теплового движения внутри разных металлов или
полупроводников, находящихся в электрическом контакте
при разных температурах.
Но во всех без исключения случаях направленное дви-
жение электронов или ионов в генераторах электроэнер-
гии возникает за счет процессов неэлектрической природы.
Когда же в результате этих процессов на клеммах источ-
ника электрического напряжения возникла разность по-
тенциалов, процессы во внешней цепи, подключенной к
генератору электроэнергии, происходят в строгом соответ-
ствии с законами электромагнетизма.
ЭДС источника, главным образом, определяется приро-
дой того неэлектрического процесса, который лежит в ос-
нове работы данного устройства. ЭДС гальванических
элементов составляет всего несколько вольт; она строго
постоянна для тех или иных веществ, из которых изготов-
лены электроды. ЭДС электромеханических генераторов
зависит от скорости вращения ротора, индукции магнитно-
58
го поля и суммарной длины проводов обмотки якоря;
она достигает десятков тысяч вольт. В солнечных батареях
и термоэлектрогенераторах ЭДС малы. Для солнечной ба-
тареи существует определенный неизменный верхний по-
рог возможной ЭДС, для термоэлектрогенераторов этот
порог зависит от разности температур между горячим и
холодным спаями.
Вторым важным параметром генератора электроэнер-
гии является его внутреннее сопротивление. Однако этот
параметр далеко не обязательно связан с потерями энергии
при движении носителей тока внутри генератора.
В случае гальванического элемента природа внутрен-
него сопротивления в значительно большей степени связа-
на с ограничениями, имеющимися для химических процес-
сов на относительно малых поверхностях электродов, на
которых происходят реакции, чем собственно с «трением»
и другими потерями. А вот в электромеханических гене-
раторах сказываются именно процессы, связанные с «тре-
нием» при движении электронов внутри металлических
проводников.
Но и здесь существенны неэлектрические ограничения.
При большой отбираемой мощности двигатель, вращаю-
щий ротор генератора, уже не может обеспечить необхо-
димую скорость вращения. Из-за этого падает индуциро-
ванная ЭДС, что эквивалентно возникновению некоторого
внутреннего сопротивления, не связанного с потерями
энергии в самих проводниках.
§ 3. МАТЕРИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Максвелл избегал раскрытия механизма влияния ве-
щества на электрическое и магнитное поле.
Детальное описание механизма участия вещества в
электромагнитных процессах связано с именем датского
ученого Г. А. Лоренца, основополагающая работа которого
«Теория электронов» вышла в 1907 г. и обеспечила ее ав-
тору всемирное признание.
Свойства вещества в конечном счете определяются мик-*
роскопическими свойствами составляющих его атомов. Во
времена Максвелла—Лоренца это был интуитивный посту-
лат, основанный на экспериментальных данных. В наше
время известно, каким именно образом атомные, кванто-
59
вые законы управляют процессами объединения атомов и
молекул в газ, жидкость или твердое тело. Можно матема-
тически показать, как возникает определенная электриче-
ская несимметрия атомов, молекул или даже макро-
скопических объемов вещества, приводящая к тому, что
положительный и отрицательный электрические заряды
оказываются смещенными друг относительно друга, обра-
зуя подобие макроскопического диполя. Из расчетов и
прямых экспериментов следует, что реальная атомная или
молекулярная система может быть заменена приближенной
моделью электрического диполя, имеющего длину d. Элек-
трические заряды на концах диполя по порядку величины
сопоставимы с зарядом электрона, а длина d диполя — с
размерами молекулы. Эта модель связанных зарядов-ди-
полей позволяет решить широкий круг задач о поведении
вещества в электромагнитном поле. Практически во всех
средах образуются диполи, или, как говорят физики, про-
исходит поляризация сред. Но можно выделить два класса
сред. В средах одного класса диполи существуют независи-
мо от наличия внешнего электрического поля и процесс
поляризации связан с поворотом, изменением ориентации
диполей. В средах другого класса симметрия атомной си-
стемы приводит к практически однородному распределению
заряда атома в молекуле; только внешнее электрическое
поле «раздвигает» заряды — создает диполи и поляри-
зацию.
Рассмотрим, в каком случае для данной среды, нахо-
дящейся в постоянном электрическом поле, определяющи-
ми являются процессы поляризации связанных зарядов-
диполей и в каком — протекание электрического тока,
вызываемого движением свободных зарядов. Даже са-
мые лучшие изоляторы имеют конечное электрическое
сопротивление и содержат определенное количество сво-
бодных носителей тока. Когда речь идет о поведении ди-
электрика в постоянном электрическом поле, то исчерпы-
вающей характеристикой является удельное электрическое
сопротивление среды р или обратная величина — проводи-
гг — 1 т.
мость среды а Если отношение проводимости сре-
ды а к самой большой проводимости ом тех элементов
устройства, которые в данной задаче считаются проводни-
ками электричества, удовлетворяет неравенству —
60
то говорят об, отсутствии свободных носителей тока в
ср^де.
Для того чтобы понять, каким образом микроскопиче-
ские свойства диполей приводят к появлению макроскопи-
ческой характеристики — диэлектрической проницаемости
вещества, рассмотрим плоский конденсатор, заполненный
диэлектриком. Проводимость пластин конденсатора много
больше проводимости диэлектрика. Поэтому можно счи-
тать, что в диэлектрике свободных зарядов нет.
Если конденсатор зарядить, то диполи диэлектрика под
действием сил электрического поля сориентируются так,
что их оси будут перпендикулярны пластинам конденса-
тора. Происходит ли такой поворот диполей на самом деле?
В жидкостях молекулы действительно поворачиваются в
электрическом поле. В твердых телах кусочки вещества не
вращаются, но изменения в молекулярной системе, созда-
ваемые электрическим полем, можно видеть непосредствен-
но глазом или с помощью микроскопа. Есть, конечно, и
такие вещества, в которых внешние проявления поворота
диполей обнаруживаются только косвенным образом.
Согласно теории Максвелла, суммарный поток вектора
электрической индукции через любую замкнутую поверх-
ность равен сумме зарядов внутри этой поверхности. За-
ключим мысленно участок конденсатора в параллелепи-
пед, две грани которого параллельны пластинам конден-
сатора, а четыре другие вырезают из вещества и пластин
некоторый объем. В силу симметрии ясно, что суммарный
поток вектора электростатической индукции через боковые
грани равен нулю. Но и через грани, параллельные пласти-
нам, он также равен нулю, поскольку заряды на обеих
пластинах одинаковы по модулю и противоположны по
знакам, а в среде существуют всегда только связанные по-
ложительные и отрицательные заряды.
Но может быть в нашем мысленном опыте оказались
разрезанными какие-либо диполи? Тогда внутри выделен-
ного объема могли бы остаться избыточные заряды. Надо
отметить, что в мысленном эксперименте, учитывая, что
поверхность в уравнениях Максвелла может быть совер-
шенно произвольной, всегда можно построить эту поверх-
ность таким образом, чтобы она «огибала» молекулы, не
разрезая их на части. Вместо идеальной плоскости, обра-
зующей стороны параллелепипедов, получится некоторое
«шероховатое» образование. С таким, даже мысленным
61
объектом работать трудно. Поэтому лучше себе предста-
вить, что молекулы, которые могут оказаться разрезанны-
ми, при построении параллелепипеда чуть-чуть «отодви-
гаются» внутрь и вовне параллелепипеда. Так как в веще-
стве молекул очень много, то в среднем это не изменит
количества зарядов внутри параллелепипеда.
Начнем перемещать верхнюю грань параллелепипеда
внутрь конденсатора. В некоторый момент она выйдет из
верхней пластины конденсатора. Поскольку эта поверх-
ность не разрезает диполей, то непосредственно после ее
выхода за пределы верхней пластины внутри параллелепи-
педа останутся заряды одного знака, находящиеся на ниж-
ней пластине, и равные между собой количества положи-
тельных и отрицательных зарядов, связанных с диполями
внутри вещества. Через грани параллелепипеда, параллель-
ные пластинам конденсатора, появится поток вектора D
электрической индукции, равный ,
DS = q,
где S — площадь верхней грани параллелепипеда, a q —
сумма зарядов на нижней пластине конденсатора.
Где бы внутри конденсатора ни находилась верхняя
грань параллелепипеда, этот поток вектора будет оставать-
ся неизменным, так как вещество имеет только связанные
заряды и алгебраическая сумма зарядов внутри паралле-
лепипеда остается постоянной. Опыт с перемещением пла-
стины позволил определить вектор электрической индук-
ции внутри конденсатора при заданных зарядах на его
пластинах.
Если еще найти напряженность Е поля внутри конден-
D
сатора, то отношение даст относительную диэлек-
трическую проницаемость среды е. Вектор Е измеряется
силой, действующей на пробный заряд. Электрические по-
ля создаются как зарядами на пластинах, так и зарядами
диполей вещества. Общая напряженность может быть най-
дена как сумма напряженности электрических полей в
вакууме, создаваемых зарядами на пластинах конденса-
тора и зарядами диполей, образующих диэлектрик. Воз-
можность такого суммирования вытекает из принципа
суперпозиции. Согласно этому принципу можно вместо
всего множества случайным образом расположенных в
пространстве диполей, ориентированных электрическим
62
полем, рассматривать только одну цепочку таких дипо-
ле£^ Будем перемещать пробный заряд от верхней плас-
тины конденсатора к нижней и вычислять совершенную
при этом работу. В электрическом поле неподвижных за-
рядов работа не зависит от траектории перемещения проб-
ного заряда, а определяется только начальной и конечной
точками траектории.. Поэтому можно перемещать проб-
ный заряд по такой траектории, которая проходит
вдоль силовых линий и по эквипотенциальным по-
верхностям, причем между диполями вещества проб-
ный заряд движется по направлению поля, а между заря-
дами диполей — против поля. При этом совершаются ра-
боты разных знаков. Какая из работ будет больше по
модулю? Ответ естествен: электрические силы, удержи-
вающие заряды в диполе, всегда больше сил связи диполей
между собой, иначе структура вещества, ответственная за
значение диэлектрической проницаемости, будет опреде-
ляться отдельными атомами, а не диполями. Следователь-
но, работа перемещения пробного заряда в поле диполя
больше (по модулю) работы в поле между диполями.
Отношение работы U по перемещению пробного заряда
в поле диполей, образующих вещество внутри конденсато-
ра, к расстоянию г между пластинами есть напряженность
поля Е* =----внутри конденсатора, вызванная веществом.
Направление вектора этой напряженности противополож-
но направлению напряженности поля Е, которая существо-
вала бы между пластинами при отсутствии вещества в
конденсаторе. Результирующая напряженность равна
Ер — Е — Ел.
Это значит, что при внесении диэлектрика в конденсатор
с неизменными зарядами на пластинах напряженность
уменьшается. Зная дополнительную напряженность поля
Ед, вызванную веществом, можно определить макроскопи-
ческую характеристику вещества — относительную ди-
электрическую проницаемость:
D D
8 =------------ = -----.
Со (Е ^д) б01?р
Эта величина всегда больше единицы, так как ЕР^.Е.
Заметим, что при постоянной разности потенциалов на
63
пластинах конденсатора возможен приток зарядов к ним
от источника, поддерживающего заданную разность потен-
циалов. В этом случае напряженность поля внутри кон-
денсатора будет неизменной, независимо от того, запол-
нен конденсатор веществом или нет. Но индукция поля
при внесении диэлектрика возрастает.
Таким образом, рассмотрение электрического поля в
веществе как суммы внешнего и внутреннего (созданного
элементами вещества) полей позволяет получить макро-
скопическую электрическую характеристику вещества —
относительную диэлектрическую проницаемость е.
Рассмотрение участия вещества в электрических процес-
сах на основе модели элементарных диполей позволяет
сделать ряд важных выводов.
Во-первых, как было видно выше, в случае постоянных
полей относительная диэлектрическая проницаемость ве-
щества всегда больше единицы (е^1), так как в электро-
статическом поле возможна только одна ориентация ди-
полей.
Во-вторых, поскольку атомы и молекулы вещества участ-
вуют в тепловом движении, то модель поворачиваемых
полем диполей может быть справедливой только до тех пор,
пока можно пренебрегать тепловым движением, которое
препятствует возникновению упорядоченной ориентации.
Поэтому диэлектрическая проницаемость практически
всех веществ в той или иной мере должна зависеть от тем-
пературы; с ростом температуры она уменьшается.
В-третьих, так как диполи в модели вещества образу-
ются на основе реальных атомов или молекул, обладающих
определенной массой, то при очень быстрых изменениях
поля микроскопические диполи не успеют «повернуться»,
и поэтому диэлектрическая проницаемость твердых или
жидких диэлектриков в переменном во времени поле мо-
жет быть различной на разных частотах.
§ 4. КОГДА В ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ПОЛЕ СРЕДА —
ПРОВОДНИК И КОГДА — ДИЭЛЕКТРИК
Выясним, в каком случае среда может считаться про-
водником и в каком — диэлектриком в отношении высоко-
частотного электромагнитного поля.
Рассмотрим единицу объема среды, в которой возбуж-
дено электромагнитное поле частотой со. Как известно,
64
Рис. I. К вопросу о релятивистской природе магнитного
взаимодействия.
Рис. II. Гелий - неоновый газовый лазер.
Рис. III. Радиотелескоп.
энергия электрического поля в единице объема среды опре>
деляется формулой
Средняя же мощность потерь на джоулево тепло в единице
объема, как следует из законов Ома и Джоуля-Ленца,
равна
Е2 о£2
Zp 2
Это энергия, выделяющаяся в
За один период колебаний в
ляется энергия, равная
Wqi =
Свойства среды в отношении
сят от отношения
WE
WQT
Если
ее0о)
2ло
единице объема среды за 1с.
единице объема среды выде-
поЕ2
высокочастотного поля зави-
ееосо
2ла
»ъ
то среда ведет себя как диэлектрик. Если же
2ло 44 9
то среда обнаруживает свойства проводника. В ней энер-
гия высокочастотных колебаний быстро (за несколько
периодов колебаний) переходит в тепло, и поэтому распро-
странение электромагнитных волн в такой среде невоз-
можно.
Проводимость и диэлектрическая проницаемость среды
зависят от частоты колебаний.
Чем выше частота, тем больше сказывается инертность
диполей. Они за время, сравнимое с периодом, не успева-
ют повернуться и сориентироваться по направлению поля.
Это значит, что поляризация диэлектрика будет незна-
чительной и, следовательно, малой будет диэлектрическая
проницаемость. Что же касается проводимости, то с рос-
том частоты она тоже меняется. При большой частоте
электроны за один период не успевают значительно сме-
3 Зак. 1634
65
ститься. Поэтому они будут меньше сталкиваться с молеку-
лами среды, и потери на нагрев уменьшатся.
Мы оценивали возможность распространения в среде
электромагнитных волн только с точки зрения потерь энер-
гии. Но при высокой проводимости среды потери могут
быть малыми, а распространение волн тем не менее ока-
жется затрудненным. Дело в том, что в хороших провод-
никах решающим фактором становятся индуцированные
токи, ослабляющие магнитное поле в волне. Потери при
этом могут быть очень малыми, но электромагнитное поле
вытесняется из объема проводника к его поверхности. Но
тем не менее при детальном количественном расчете ока-
зывается возможным подобрать такие диапазоны частот
электромагнитных колебаний, при которых распростране-
ние электромагнитных волн на большие расстояния воз-
можно в средах, обычно считающихся непригодными для
радиосвязи. Например, с помощью электромагнитных волн,
частота которых лежит на границе звукового диапазона
(сверхдлинные радиоволны), можно поддерживать радио-
связь с подводными лодками, находящимися в глубинах
морей и океанов.
§ 5. ДИПОЛИ В ИОНИЗИРОВАННОМ ГАЗЕ
До сих пор рассматривались модели сред, согласно ко-
торым свободные заряды были ответственны за возникно-
вение электрического тока, а связанные заряды — за воз-
никновение у вещества отличной от единицы диэлектри-
ческой проницаемости. А могут ли свободные заряды
влиять на диэлектрическую проницаемость вещества?
Есть много сред, в которых имеются свободные заряды:
металлы, плазма, полупроводники и др. Электрические
свойства этих сред описываются на основе модели элек-
тронного газа.
Ионизированный газ, существующий в атмосферах звезд,
в верхних слоях атмосферы, в различных технических
устройствах, также содержит свободные электроны. Оказы-
вается, что во всех этих средах свободные носители заряда
изменяют диэлектрическую проницаемость вещества, но
только в переменном электромагнитном поле.
Но диэлектрическая проницаемость вещества ведь свя-
зана с наличием и ориентацией диполей. Как же могут
свободные носители зарядов образовывать такие диполи?
66
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим среду, об-
разованную положительно заряженными ионами и свобод-
ными электронами, т. е. подобную существующей в ионо-
сфере (предполагается, что количество нейтральных моле-
кул относительно мало).
Электроны и ионы в ионизированном газе равномерно
распределены в пространстве и движутся хаотически. Меж-
ду положительными ионами и электронами действует сила
кулоновского притяжения. Могут ли самопроизвольно или
под действием внешних причин в таком ионизированном
газе возникать области преимущественной концентрации
положительного и отрицательного зарядов, необходимые
для образования диполей?
Для выяснения этого вопроса проведем следующий мыс-
ленный эксперимент. Выделим в объеме ионизированного
газа некоторые сферы разных радиусов г. Будем раздви-
гать заряды внутри этих сфер так, чтобы положительный
заряд ионов весь собрался в центре сферы, а отрицатель-
ный заряд электронов — в некоторой точке на поверхно-
сти сферы. При этом образуется электрический диполь с
разноименными зарядами дм—q. Этот заряд зависит от чис-
ла п заряженных частиц в единице объема ионизированно-
го газа и объема У=4/зЛг3 рассматриваемой сферы:
Сила кулоновского взаимодействия между зарядами
такого диполя будет:
а2 р2п2 .
р = q ~ —- г4.
4ле0г2 е0
По мере увеличения радиуса сферы эта сила растет
очень быстро — пропорционально четвертой степени ради-
уса сферы. Отсюда следует, что в реальных условиях на-
рушение однородности распределения зарядов в ионизи-
рованном газе возможно только в очень маленьких
объемах. Но теперь необходимо количественно оценить,
какой объем и, соответственно, какой радиус можно счи-
тать маленьким. Это зависит от скорости движения час-
mv2
тиц в газе и их кинетической энергии •
Сопоставим кинетическую энергию частицы, участвую-
щей в тепловом движении газа, с работой по перемещению
частицы в процессе образования электрического диполя.
з*
67
Оценим порядок значения этой работы:
N
Здесь N — число частиц одного знака в объеме сферы:
Л7 — — лг3п.
3
Следовательно,
или, учитывая выражение для силы F, имеем:
л е2пг2
А--------.
е0
Затраченная на перемещение одной частицы работа равна
ее потенциальной энергии в составе образовавшегося при
разделении зарядов диполя. Пока эта энергия равна или
меньше приходящейся на одну частицу осредненной кине-
тической энергии хаотического теплового движения, нару-
шение однородности распределения положительных и от-
рицательных зарядов возможно. В противном случае
разделение зарядов окажется невозможным.
Поскольку кинетическая энергия частицы, участвую-
щей в тепловом движении, по порядку величины равна кТ
(где к — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная темпе-
ратура газа), то для оценки предельного значения г, при
котором возможно разделение зарядов, следует исходить
из соотношения
кТ.
ео
Отсюда:
Г = iZ gofeyi -
V е2п
Итак, в ионизированном газе возможно разделение заря-
дов и, следовательно, образование диполей в микрооблас-
тях, размеры которых не превосходят полученного зна-
чения г (это значение называется дебаевским радиусом,
по имени известного физика П. Дебая, и часто обознача-
ется rd).
Предположение, что число нейтральных частиц в среде
мало, означает, что средняя длина свободного пробега за-
ряженной частицы до столкновения с нейтральной больше
68
дебаевского радиуса. При этом условии столкновения с
нейтральными молекулами будут малосущественными по
сравнению с электрическим взаимодействием. Оценим те-
перь время То, за которое заряженная частица, участвую-
щая в тепловом движении, пробегает дебаевский радиус.
Так как осредненная тепловая скорость частиц имеет
порядок величины
г т
ТО _____
то = = -|Л -
V Г в2П
Эта величина не зависит от температуры газа и остает-
ся постоянной при изменениях дебаевского радиуса за
счет изменений температуры.
Частота внешнего электромагнитного поля, равная по
1
порядку величины —, называется ленгмюровскои или,
плазменной частотой. Она равна
г е0/п
и играет очень большую роль в механизме распростране-
ния электромагнитных волн.
Дело в том, что при совпадении частоты электромагнит-
ного поля с ленгмюровской частотой имеют место резонанс-
ные явления. В частности, электрическое поле колеблю-
щихся зарядов направлено противоположно внешнему
полю, из-за чего эти поля взаимно гасят друг друга. Прак-
тически это выражается в том, что электромагнитная волна
не проникает в среду, а отражается от нее. Именно поэто-
му металлы отражают видимый свет, но относительно про-
зрачны для рентгеновских лучей или гамма-излучения;
именно поэтому возможна дальняя радиосвязь на корот-
ких волнах за счет их отражения от ионосферы.
§ 6. ВЕЩЕСТВО В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Происхождение относительной магнитной проницаемо-
сти вещества также связано с возникновением в нем эле-
ментарных диполей — теперь уже магнитных. Это пред-
ставление восходит еще к гипотезе Ампера о существовании
в веществе замкнутых молекулярных токов. Каждый такой
69
круговой ток эквивалентен магнитному диполю. Гипотеза
Ампера была вскрыта в виде конкретного механизма, свя-
занного с поведением электронов в атоме.
Элементарный носитель электрического заряда — элек-
трон можно считать «неделимой» частицей, подобной ато-
мам древних греков. Но если неделимая частица, не име-
ющая частей, т. е. не имеющая метки на своей поверхности,
и вращается, то ее вращение обнаружить нельзя. Однако
электрон все же проявляет свойства, присущие вращаю-
щемуся телу. Поэтому ему приписывают характеристику,
условно связываемую с вращением и имеющую смысл
вращательного момента. Эту характеристику электрона
называют спином.
С понятием спина связаны магнитные свойства электро-
на. Он подобен маленькому постоянному магнитику, и ему
приписывают определенный магнитный момент.
Магнитные моменты электронов существуют независи-
мо от наличия внешних магнитных полей. Последние толь-
ко вызывают лишь их ориентацию и изменение магнитных
свойств вещества. В тех случаях, когда этот эффект связан
с отдельными электронами в атоме или молекуле, возрас-
тание магнитной проницаемости по отношению к единице
мало. Эти вещества называются парамагнетиками.
В широком классе переходных металлов таблицы Мен-
делеева особенности атомных систем приводят к тому, что
в атоме спины многих электронов могут одновременно
ориентироваться в одном направлении вне зависимости от
внешнего поля. Взаимодействие таких атомов приводит к
тому, что даже макроскопические объемы вещества полу-
чают свойства магнитов. Такие вещества называются фер-
ромагнетиками; они имеют очень большую относительную
магнитную проницаемость — порядка 104—106. Это обу-
словлено тем, что намагниченные области внутри вещества
ориентируются внешним магнитным полем и усиливают
его. У некоторых ферромагнитных веществ специфические
процессы внутреннего трения препятствуют возвращению
ориентированных внешним полем областей в хаотическое
состояние — возникают свойства постоянных магнитов. Для
тех веществ, у которых в силу особенностей строения ато-
мов магнитные моменты спинов электронов направлены
взаимно противоположно и число электронов четное, реша-
ющими для магнитных свойств являются индуцированные
магнитные моменты. Относительная магнитная проницае-
70
мость для них меньше единицы. Такие вещества называ-
ются диамагнетиками. К ним относятся медь, цинк,
серебро и др.
Магнитные свойства вещества, так же как и диэлек-
трические, существенно зависят от температуры, разру-
шающей упорядоченную ориентацию магнитных моментов
внешним магнитным полем.
В магнетиках, так же как и в диэлектриках, возможны
разнообразные резонансные эффекты при взаимодействии
магнитных моментов атомов и молекул с переменным маг-
нитным полем.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ
Рассмотренные свойства электромагнитного поля опи-
сываются на основе ряда частных и фундаментальных мо-
делей. Основной из них является математическое описание
электромагнитного поля уравнениями Максвелла.
Свойства среды характеризуются величинами а, е, во,
р, рю, для нахождения которых используются частные упро-
щения и предположения, основанные на результатах дру-
гих областей науки. В таком виде теория Максвелла ис-
пользуется до наших дней. Она является основой более
узких моделей, используемых инженерными науками, на-
пример электротехникой, радиотехникой и физической
электроникой и др. В каждой из этих областей имеется
множество задач, требующих дополнительных приближе-
ний, построения сугубо частных моделей.
К началу нашего века чувствовалась необходимость
объединить в деталях свойства вещества и взаимодейству-
ющего с ним поля. Взаимодействие вещества и электромаг-
нитного поля — вот тот узловой фундаментальный вопрос,
с которым наука пришла к началу нашего века. Отражение
и преломление волн, разложение света на спектральные
составляющие и многое другое, связанное с взаимодействи-
ем излучения и вещества при «малых» амплитудах колеба-
ний, достаточно успешно было описано на основе выше-
приведенных моделей вещества. Но процессы при «боль-
ших» амплитудах колебаний, когда вещество, будучи
нагретым, начинает испускать свет (электромагнитные
волны), оставались необследованными. Именно отсюда
возникли истоки совершенно новой модели взаимодейст-
вий — основы сегодняшней квантовой физики.
71
Г лава 5.
ВОЛНЫ - КВАНТЫ
§ 1. КАК ЗАКОН ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА ВВЕЛ
В НАУКУ ПОНЯТИЕ О КВАНТАХ ИЗЛУЧЕНИЯ
V равнения Максвелла показывают, что свет — это элек-
тромагнитные волны. Нагретое вещество светится.
Тела имеют разный цвет в зависимости от температуры.
Можно предположить, что характеристики излучения ве-
щества каким-то образом связаны с колебательными эле-
ментами внутри него, подобными диполям Герца — осцил-
ляторам. Эти осцилляторы излучают электромагнитные
волны. Но на рубеже нашего века не было эксперимен-
тальных данных, которые позволили бы уточнить строение
этих «атомных» осцилляторов. Между тем теоретическое
описание взаимодействия излучения и вещества должно
было опираться на экспериментальные данные хотя бы о
суммарных, макроскопических эффектах. Любая новая
модель прямо или косвенно всегда связана именно с новы-
ми экспериментальными фактами.
Весьма полная информация об испускании света веще-
ством содержится в спектре излучения — зависимости ин-
тенсивности света от частоты. Такую зависимость можно
получить, если направить излучение в специальный при-
бор — спектрограф. Излучение нагретых твердых тел имеет
непрерывный спектр: каждой точке оси частот соответству-
ет свое значение интенсивности колебаний. Спектр можно
изобразить в виде трехмерного графика (рис. 8). По осям
координат отложены частота колебаний, температура тела
и интенсивность излучения, пропорциональная плотности
энергии электрического поля в единице объема.
Свечение нагретых твердых тел, вообще говоря, не за-
висит от рода вещества, и его цвет определяется температу-
рой. Из рисунка видно, что с ростом температуры макси-
72
мум интенсивности излучения линейно смещается в область
больших частот. Соответственно и цвет свечения от темно-
красного переходит к голубому. Независимость распреде-
ления интенсивности излучения от рода нагретого вещест-
ва особенно четко обнаруживается в эксперименте, если
исследовать излучение, выходящее через маленькое отвер-
стие из полого тела. Такая полость с отверстием получила
название абсолютно черного тела, так как попадающие в
нее извне лучи света полностью поглощаются стенками
при многократном отражении. Значение такой модели аб-
солютно черного тела для изучения законов излучения све-
та веществом связано с тем фактом, что ее спектр излуче-
ния не зависит от свойств материала стенок. Это открывало
возможности, отвлекаясь от неизвестных особенностей
устройства атомов, установить общие для всех веществ
характеристики излучения света.
Экспериментальные данные об излучении черного тела
были получены в конце прошлого века только для отдель-
ных областей частот. Но отсутствовали эксперименталь-
ные данные в области низких частот — инфракрасных волн.
Если бы задача об излучении черного тела могла быть ре-
шена только на основе классической теории Максвелла, то
отсутствие части экспериментальных данных не помешало
бы получить правильный результат. Но природа уготовила
ученым в этой области необходимость пересмотра исход-
73
ных положений теории Максвелла. А без эксперименталь-
ных данных, конечно, никаких новых предложений ввести
было невозможно.
19 октября 1900 г. на заседании Немецкого физическо-
го общества докладывались последние, наиболее точные
данные о спектре излучения черного тела в интервале низ-
ких частот. Эти данные были переданы за два дня до за-
седания немецкому физику Максу Планку, специализиро-
вавшемуся в области термодинамики и длительное время
занимавшемуся вопросами излучения абсолютно черного
тела. И вот уже на указанном заседании Макс Планк запи-
сал следующую формулу для излучения абсолютно черного
тела:
w =
е — 1
Здесь энергия W как функция длины волны излучения К
зависит еще от двух постоянных С\ и С 2. Такие интерполя-
ционные формулы часто появляются в науке для описания
экспериментальных данных. Их суть состоит в том, что
подбирается удобная функция, более или менее удовле-
творительно совпадающая с экспериментальными точ-
ками.
Вот что об этом пишет сам Планк в своем докладе, про-
читанном уже много позже, при присуждении ему Нобе-
левской премии за введение в науку понятия о квантах
излучения: «Таким образом была найдена новая формула
излучения, которая довольно хорошо согласовывалась с
опытами до последнего времени... Но если бы даже формула
излучения оказалась совершенно точной, то она имела бы
ограниченное значение, исключительно как удачно подо-
бранное интерполяционное выражение. Поэтому я со дня
установления этой формулы поставил себе задачей сооб-
щить ей реальное физическое значение... После нескольких
недель наиболее напряженной за всю мою жизнь работы
потемки прояснились, и передо мною забрезжил свет но-
вых идей».
Значение формулы Планка в современной науке и вы-
текающие из нее следствия настолько важны, что пред-
ставление об исходных предпосылках ее вывода необходи-
мо любому, кто впоследствии хочет считать себя технически
грамотным специалистом или творческим работником в
любой области.
74
Основное допущение Планка сводится к тому, что от-
ветственными за излучение света веществом должны быть
некоторые осцилляторы внутри вещества, подобные дипо-
лям Герца. Планк показывает, что свойства излучения и
осцилляторов подобны. Поэтому исследование свойств из-
лучения можно производить на основе анализа свойств
осцилляторов внутри вещества. Планк упоминает, что эти
осцилляторы должны быть каким-то образом связаны с
тогда еще неизвестным строением атомов. Но ника-
кой конкретизации этой связи Планк не проводит. Его ин-
тересуют наиболее общие, универсальные законы.
Исходным положением для Планка было следующее:
два тела с различной температурой, изолированные от все-
го окружения, но свободно обменивающиеся излучением
между собой, в конце концов придут к тепловому равно-
весию — у них установится одинаковая температура.
Характерная особенность математического аппарата,
которым пользовался Планк при выводе формулы излуче-
ния абсолютно черного тела, состояла в использовании ме-
тодов молекулярно-кинетической теории газов. Но эти
методы существенно связаны со случайным характером
движения молекул, а электромагнитные волны всегда одно-
значно определяются начальными условиями в силу урав-
нений Максвелла. В связи с этим Планк обратил внимание
на две особенности излучения. Во-первых, в природе не
существует точно монохроматического излучения, описы-
ваемого математической точкой на оси частот его спектра.
В любой сколько угодно малой реальной части спектра
имеется очень много частот излучения, подобно тому как
имеется очень много атомов в единице объема газа. Во-вто-
рых, один осциллятор излучает волну, подобную изобра-
женной на рисунке 6, т. е. волну с точно определенной
фазой. Но большое число излучателей в веществе неизбеж-
но должно испускать не связанные между собой отрезки
волн со случайными начальными фазами. Именно эти две
особенности, впервые подчеркнутые Планком, и явились
основанием для применения к излучению методов молеку-
лярно-кинетической теории газов.
Планк поставил себе целью найти зависимость средней
интенсивности (энергии) излучения от его частоты и тем-
пературы тела.
В молекулярно-кинетической теории газов подобные
зависимости известны (рис. 9). Это зависимость числа
75
частиц п с определенной кинетической энергией WK от тем-
пературы газа Т. Но основное отличие частиц газа состоит
в том, что каждому значению непрерывно изменяющегося
аргумента — средней скорости частиц — однозначно соот-
ветствует некоторая кинетическая энергия; в случае же
излучения каждому значению непрерывно изменяющегося
аргумента — частоты излучения — по классической теории
соответствует бесконечно большое количество значений
амплитуд колебаний (энергия не является однозначной
функцией частоты).
В связи с этим Планк вынужден был сделать новое пред-
положение: подобно тому как для молекул энергия зави-
сит от непрерывно изменяющегося аргумента — скорости
и постоянной массы молекулы, энергия элементарного ос-
циллятора в веществе также зависит от непрерывно меня-
ющегося аргумента — частоты v и некоторой универсаль-
ной постоянной, которую Планк в своих последующих ра-
ботах обозначает через fe. Как писал Планк, «...энергия
излучения с самого начала должна пребывать в определен-
ных количествах (квантах). Это было чисто формальное
предположение, и я первоначально не думал много об
этом, памятуя лишь о том, что я при всех обстоятельст-
вах, любой ценой должен добиться положительного резуль-
тата».
76
Прежняя интерполяционная формула наполнилась фи-
зическим содержанием и приобрела следующий вид:
W(v) = av’-^------.
ekT — i
Распределение энергии W(v) по частоте v зависит от
кванта энергии hv (где h — постоянная Планка).
Приведенное выше высказывание Планка показывает,
что объективность ученого требовала от него проверки
оправданности использованного им формального подхода.
Но ведь формула Планка появилась на основе эксперимен-
та, и одна из возможностей проверки исходных предполо-
жений состояла в определении величин постоянных h и к.
Вот что пишет об этом Планк: «Каждая из них имеет само-
стоятельное физическое значение, и вычисление их на ос-
нове закона излучения (черного тела) позволяет решить
вопрос о том, является ли все рассуждение лишь искусст-
венным вычислительным приемом или же оно имеет реаль-
ный физический смысл».
Именно Планк, определив на основе эксперименталь-
ных данных по излучению черного тела две новые посто-
янные — h и /с, смог найти значения числа Авогадро, за-
ряда электрона, массы атомов.
Формула Планка дает пример того, как в рамках ста-
рых моделей, заведомо неверных в новых областях при-
менения, за счет большой работы, экспериментальных
данных, интуиции появляются понятия, определяющие
возникновение новой модели. Планк не собирался ломать
старую модель Максвелла. «Коротко и сжато я могу все
это назвать актом отчаяния. Потому, что по природе я
миролюбив и не расположен к рискованным приключени-
ям. Но я тогда уже шесть лет (с 1894 г.) бился над про-
блемой равновесия между излучением и материей, не до-
стигнув никакого успеха; я знал, что эта проблема имеет
фундаментальное значение для физики, и я знал формулу,
которая воспроизводит распределение энергии в нормаль-
ном спектре; теоретическое объяснение должно быть най-
дено любой ценой, и никакая цена не была бы слишком
высокой».
Таким образом, исходя из представления о том, что в
веществе существуют некоторые осцилляторы, подобные
диполям Герца, исходя из аппарата электромагнетизма
77
Максвелла и термодинамики, Планк установил, что для
теоретического описания экспериментально полученных
спектров излучения абсолютно черного тела необходимо
предположить, что вопреки всему, что было известно ра-
нее, частота и энергия колебаний связаны между собой
W
некоторой постоянной = h ; причем эта связь уни-
версальна, так как спектр излучения черного тела не за-
висит от рода образующего его вещества. Именно поэтому
формула Планка обратила внимание всех ученых на во-
прос о необходимости пересмотра существовавших пред-
ставлений об электромагнитном поле, когда оно действует
в пространственных и временных масштабах, сопостави-
мых с атомными масштабами.
- Имеет ли постоянная Планка какие-то аналогии в мире
макроскопических процессов? Да, имеет! Мост от обычных
макроскопических маятников к их атомным аналогам пе-
рекидывает работа Пауля Эренфеста.
§ 2. МАЯТНИК ЭРЕНФЕСТА
Рассмотрим колебания математического маятника
(рис. 10) с длиной подвеса Z, массой груза т и начальной
угловой амплитудой колебаний ао. Если ограничиться ма-
лыми колебаниями, то с доста-
точной точностью можно при-
нять, что
sin а ~ а.
Верхний конец нити маятника
перекинут через блок и длина
подвеса груза медленно умень-
шается за счет силы F, прило-
женной к концу нити. При этом
соответственно возрастает ча-
стота его колебаний v, равная
v= — 1/jL,
2л V I
где g — ускорение свободного
падения. «Медленно» в данном
случае означает, что заметное
Рис. 10 изменение частоты маятника
78
происходит за много периодов его колебаний. Принимаем,
что потерь в системе нет.
Можно показать, что отношение приращения частоты
Av к начальной частоте v выражается так:
Av 1 AZ
~ ГТ’
Но при уменьшении длины нити сила F совершает рабо-
ту, которая равна изменению энергии системы:
Д = Д1У = —F-AZ.
Согласно второму закону Ньютона, записанному для
груза маятника:
г, mv2
г — mg cos а = —-—,
или
F = mg cos а 4-—.
Поскольку
л п • a а л а2
cosa =1 — 2 sma — & 1-----,
2 2
то формула для силы принимает вид:
F = mg----—mga.2 + —.
Сила F в процессе колебаний маятника не остается
постоянной. Поэтому для вычисления работы за большое
число периодов колебаний необходимо найти осреднен-
ное значение этой силы/7. Используя среднеквадратич-
ные величины переменных
получаем:
1 2
тг 1 о , тип
Из закона сохранения энергии следует, что
пгрл о
О =
V
79
где индекс «О» обозначает максимальное значение в про-
цессе колебаний.
Тогда получим окончательно:
"n- . 1 2
F = mg + — mgao .
4
Работа силы F при укорочении подвеса маятника на Д/
равна:
А = — F'&l = — mg*\l-------- zngao • А/.
4
Первый член этой суммы выражает увеличение потенци-
альной энергии системы в результате ее подъема в поле
силы тяжести.
Второй же член представляет собой изменение энергии
колебаний маятника AWK:
ДЖК =------- mgal • Д/.
Поскольку полная энергия колебательного движения маят-
ника в произвольный момент времени равна
относительное изменение энергии колебательного дви-
жения маятника выразится так:
ДЖк _____1_ _Д£
WK ~ 2 I
Следовательно.
Ду = ДЖк
V Wk ’
или
Wk __ ДРГк
v Av
Это возможно только в том случае, если
Wk
-----------------------— const.
V
Колебательная энергия маятника при медленном из-
менении длины подвеса остается пропорциональной часто-
те колебаний:
WK = v* const.
Рассмотренный пример показывает, что появление не-
которой постоянной в формуле связи между энергией и
частотой колебаний у Планка не является неожиданным,
80
а имеет макроскопические аналоги. Но для обычного маят-
ника эта постоянная зависит от параметров маятника и
начальной амплитуды колебаний, а в формуле связи между
энергией кванта и частотой колебаний
W = hv
соответствующая постоянная является универсальной.
Это — постоянная Планка h.
В природе возможны два принципиально различных
типа процессов. Если согласованно, «медленно» меняются
параметры колебательной системы, аналогично тому, как
это происходит при уменьшении длины нити подвеса в
обычном маятнике, то изменения частоты и энергии коле-
баний могут быть сколь угодно плавными, непрерывными.
Изменения же энергии колебаний при постоянной частоте
колебаний («быстрые» процессы) могут происходить
только скачками, значения которых кратны постоян-
ной Планка. Однако для макроскопических условий в
связи с малостью постоянной Планка (fe = 6,6-10~34 Дж-с)
эти скачки не будут замечены и изменения энергии будут
приближенно восприниматься как непрерывное.
Рассмотренный пример с маятником содержит и еще
одну важную особенность. Пусть длина маятника сначала
равна Z, а затем Z + AZ, и в обоих случаях груз мацтника от-
клоняют до одной и той же вертикальной прямой. Про-
стыми геометрическими построениями можно определить
разность потенциальной энергии маятника ДЖ в этих двух
положениях. Значения ДЖ для различных пар значений
(Z и Z-f-AZ) оказываются пропорциональными ДЖК для
тех же длин маятника. Но это значит, что изменение энер-
гии при медленном изменении длины нити подвеса маят-
ника соответствует постоянной амплитуде колебаний.
В связи с этим фундаментальная постоянная в форму-
ле связи частоты и энергии колебаний, введенная Планком,
приобретает наглядную интерпретацию: для «атомных
маятников» существует единственная постоянная «ампли-
туда» колебаний. Но именно в этом и был физический
смысл введения Планком квантов энергии при выводе за-
кона излучения абсолютно черного тела.
Связь между макроскопическими «медленными» коле-
бательными процессами и квантовыми закономерностями
впервые была рассмотрена в 1914 г. известным физиком
Паулем Эренфестом.
4 Зак. 1634
81
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИСКРЕТНОСТЬ
Почему формула Планка для распределения интенсив-
ности излучения в спектре абсолютно черного тела оказа-
лась в начале XX в. в центре внимания науки?
Ответ на этот вопрос содержится в специфике разви-
тия науки на рубеже нашего века. К этому времени успе-
хи методов описания процессов природы на основе
механики Ньютона и электродинамики Максвелла были
настолько значительными, что многим эти модели яв-
лений материального мира стали казаться абсолютной
истиной, а не просто приближенным описанием при-
роды.
Но в это же время интенсивно развивалась еще одна
фундаментальная физическая модель — атомно-молеку-
лярная теория строения вещества.
Атомизм на рубеже нашего века существенно отличал-
ся от атомизма древнегреческих натурфилософов, которым
атомы представлялись абсолютно неделимыми и для оди-
наковых веществ неразличимыми. В период развития мо-
лекулярно-кинетической теории газов атомы заведомо
имели внутреннюю структуру. Экспериментальные иссле-
дования излучения света нагретыми газами и парами по-
казывали наличие строго специфического расположения
спектральных линий для разных веществ, т. е. для различ-
ных атомов. Эта индивидуальность спектров не оставляла
сомнений в том, что дальнейшие исследования позволят
выявить особенности строения атомов.
Совсем иначе обстояло дело с излучением. Теория элек-
тромагнитных волн переживала период триумфа. Пред-
ставление о свете как электромагнитной волне позволило
объяснить практически все особенности его распростра-
нения.
Введение порций энергии — квантов — можно было
рассматривать как возврат к старым ньютоновским кор-
пускулярным представлениям о свете. Это казалось всем,
в том числе и Планку, весьма невероятным. Планк еще
мог допустить, что вещество, состоящее из атомов, имею-
щих внутреннюю структуру, может проявлять дискретные
свойства при взаимодействии с непрерывной электромаг-
нитной волной. Но к возможности существования отдель-
ных квантов света вне излучающих тел он относился всю
жизнь критически.
82
Ведь именно Макс Планк, родоначальник квантовой
теории, рекомендуя Эйнштейна для избрания академиком,
сказал: «То, что он иногда бьет мимо цели, как например
в связи с гипотезой световых квантов, не может быть по-
ставлено ему в минус». Эти слова относятся к предположе-
нию Эйнштейна о том, что свет вне излучающего тела мо-
жет рассматриваться как поток отдельных квантов.
Соображение, примирившее Планка с квантовой гипо-
тезой, состояло в том, что при выводе им формулы излу-
чения абсолютно черного тела можно было рассматривать
не само излучение, а осцилляторы в веществе. Возмож-
ность же дробления энергии, связанного с веществом, в
период становления атомизма была не слишком удиви-
тельной.
В связи с этим уместно вспомнить, почему Ньютон, ко-
торый лучше многих своих современников понимал осо-
бенности волновых процессов и эффективность объясне-
ния с их помощью световых явлений, выдвинул и отстоял
корпускулярную гипотезу о природе света. Ньютону были
известны следующие экспериментальные факты:
1. Свет распространяется в межпланетном простран-
стве. Если свет — это волны, то межпланетное простран-
ство должно быть заполнено какой-то средой. Но планеты,
как следует из астрономических наблюдений, при своем
движении не испытывают сопротивления.
2. Если свет — волна, то он должен огибать, подобно
звуку, препятствия. Этого Ньютон установить не смог.
Планета, проходя перед звездой, закрывает ее полностью.
3. Свет обладает поляризацией, характерной только
для поперечных волн. Но в те времена рассматривались
только продольные волны, подобные звуковым.
Был и еще один экспериментальный факт: в тонком
зазоре между выпуклым стеклом и стеклянной пластиной
наблюдались светлые и темные кольца (кольца Ньютона).
Это явление наиболее полно можно было объяснить лишь
на основе волновых представлений.
Таким образом как в случае предположения о корпус-
кулярной природе света, так и в случае его волнового опи-
сания возникают противоречия с экспериментом. Ньютон
отстаивал корпускулярную гипотезу потому, что смог
разрешить противоречия и объяснить одновременно явле-
ние поляризации света и образование выше упомянутых
колец на основе корпускулярных представлений.
4*
83
Если свет связан с какими-то частицами, то можно
представить их удлиненными, подобными иглам. Они дви-
жутся, оставаясь перпендикулярными направлению рас-»
пространения. Так можно объяснить поляризацию. В ноль-»
зу такого представления говорило и то, что свет при от-
ражении от поверхности при определенных малых углах
падения становится поляризованным. Именно так и долж-
ны вести себя иглы при упругом ударе под малым углом
о поверхность. Иглы, которые падают на поверхность
«плашмя», так и отражаются; остальные должны кувыр-
каться и поэтому рассеиваться или в конце концов ори-
ентироваться также «плашмя». При больших углах паде-
ния такая ориентация затруднена.
Но как быть с интерференцией света? Можно предпо-
ложить, что волновые особенности при взаимодействии
корпускул в узком зазоре между стеклами связаны с упру-
гими волнами в самом веществе. Когда корпускулы ударя-
ют по стеклу, в нем распространяются упругие волны. При
этом меняется наклон участков поверхности стекол. При
отражении корпускул от деформированной поверхности
они в одних точках ложатся гуще, в других — реже. Это и
приводит к появлению интерференционных колец.
Можно ли упрекнуть Ньютона за то, что он был сто-
ронником корпускулярной теории, если в рамках создан-
ной им же самим модели окружающей нас природы, он
настолько, казалось бы, убедительно объяснял все свойства
света! Следует, однако, заметить, что количественного рас-
чета, относящегося к образованию интерференционных
колец за счет волн в твердом теле, Ньютон не смог при-
вести.
Планк же стремился сохранить неприкосновенной вол-
новую природу света вне излучающих тел и подобно Нью-
тону мог для этого привлечь на помощь процессы в веще-
стве. Ведь при выводе закона излучения черного тела он
исходил из самых общих соображений, не конкретизируя
модель строения вещества. А это всегда оставляло надежду,
что после выяснения структуры атомов вещества можно
будет объяснить дискретность излучения именно свойства-
ми атомов.
Можно ли упрекнуть Планка за то, что он всегда наде-
ялся объяснить дискретность излучения только свойст-
вами атомов? Нет. Природа оказалась более сложной, чем
это представлялось и Ньютону и Планку.
§ 4. БОРОВСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА И ИЗЛУЧЕНИЕ
Свет, падающий на поверхность металлов, выбивает из
нее электроны. Это — явление фотоэффекта. Количествен-
ные и качественные особенности фотоэффекта в рамках
волновых представлений были необъяснимы. Свет, взаи-
модействуя с веществом и освобождая с его поверхности
электроны, вел себя как поток неких частиц. В 1905 г.
Эйнштейн дал объяснение фотоэффекту, предположив,
что электромагнитная волна есть сумма отдельных кван-
тов. Правда, оставалось непонятным, как происходит сум-
мирование квантов излучения в непрерывную волну.
В 1911 г. Э. Резерфорд прямыми экспериментами уточ-
няет структуру атома, выявив в нем сосредоточенное поло-
жительно заряженное ядро. При этом стало ясно, что ядро
должно быть окружено оболочкой из электронов. Ведь
атомы в целом нейтральны. Ученым очень хотелось видеть
в атоме аналогию с планетной системой. Тем более, что
кулоновские силы электрического взаимодействия ядра и
электронов ведут себя так же, как и силы тяготения,— они
обратно пропорциональны квадрату расстояния от ядра.
Но электроны существенно отличаются от планет не толь-
ко размерами: они имеют электрический заряд.
В проекции на плоскость, перпендикулярную плос-
кости орбиты,— это типичный диполь-излучатель Герца.
Поэтому электроны согласно классической электроди-
намике должны непрерывно терять энергию и изменять
свою орбиту, а значит, и частоту обращения. Излучаемые
атомными диполями волны также должны бы менять свою
частоту. Спектр этого излучения должен быть непрерыв-
ным, а не состоять из отдельных линий. Сами же электро-
ны должны весьма быстро падать на ядро.
Но атом ведет себя как долгоживущая, устойчивая
система. Ведь все окружающие нас тела состоят из атомов.
Нигде в экспериментах по определению спектров слабо
взаимодействующих между собой атомов не наблюдалось
никаких явлений, которые можно бы трактовать как ре-
зультат плавного, непрерывного изменения орбит электро-
нов, связанных с их торможением за счет излучения за-
тухающих электромагнитных волн.
Движение электронов по орбитам очень хорошо опи-
сывается классической механикой. Но излучения света,
связанного с колебаниями эквивалентного диполя Герца
85
при вращении электрона по орбите, почему-то не происхо-
дит. В чем же дело?
Нильс Бор, двадцативосьмилетний ученый, в 1913 г«
нашел в себе уверенность и убежденность связать с непо-
нятной «порцией» — квантом энергии Trv, фигурирующим
в законе Планка, некое новое начало, создав известную
планетарную модель атома.
Бор не был первым, кто предложил планетарную струк-
туру атома, и не им впервые была использована постоян-
ная Планка при описании атома. Но только Бор первый
сформулировал фундаментальные положения, раскрываю-
щие связь между строением атома и излучением света
веществом.
Приведем оригинальные формулировки Бора, которы-
ми он вводит свои новые начала в науку об атоме:
«1. Динамическое равновесие системы в стационарных
состояниях можно рассматривать с помощью обычной ме-
ханики, тогда как переход системы из одного стационар-
ного состояния в другое нельзя трактовать на этой основе.
2. Указанный переход сопровождается испусканием
монохроматического излучения, для которого соотношение
между частотой и количеством выделенной энергии имен-
но такое, какое дает теория Планка... Второе допущение
находится в явном противоречии с общепринятым пони-
манием электродинамики, но представляется необходимым
для объяснения экспериментально установленных фактов».
Первое из допущений Бора сводится к тому, что элек-
трон в атоме обращается в строгом соответствии с закона-
ми механики Ньютона, в которых сила тяготения замене-
на кулоновской силой взаимодействия между положитель-
но заряженным ядром и электронами. И хотя такое
обращение электронов эквивалентно колебаниям зарядов в
диполе Герца и должно сопровождаться излучением, во
втором постулате утверждается, что излучения нет. Посту-
латы Бора, таким образом, содержат противоречие. Элек-
трон у Бора продолжает сохранять свойства электрически
заряженной материальной точки, характерной для меха-
ники Ньютона, но наделяется особенностями, несовмести-
мыми с механикой материальной точки и классической
электродинамикой. «Невероятным» в постулатах Бора явля-
ется не сам факт, ранее не встречавшегося в науке харак-
тера процесса излучения электрона (атомная частица не
есть материальная точка механики Ньютона, а потому
86
может иметь свои, особенные свойства), а то, что такой
необычный способ излучения приписывается обычному,
хорошо известному объекту — материальной точке. Теперь
электрон в атоме уже не представляют себе как материаль-
ную точку. Но найденные Бором на основе его постулатов
закономерности излучения света атомами сохранились и
в более полных и последовательных моделях атома, появив-
шихся в науке через десятилетие после работы Бора.
И в планетарной модели атома Бора, и в последующих
уточненных моделях «вращающийся на некоторой орбите»
электрон, получая энергию извне, переходит с основного
энергетического уровня Wa на более высокий энергетиче-
ский уровень в с энергией We. Потом электрон может скач-
ком вернуться на основной уровень и излучить при этом
квант энергии hvae=We—Wa.
Частота этого излучения voe в силу постулированных
Бором свойств остается неизменной в процессе излучения
кванта, так что механизм излучения атома существенно
отличается от механизма излучения диполя Герца. В ре-
зультате отдельных актов излучения возбужденными ато-
мами, описываемыми моделью Бора, должна получиться
не непрерывная волна, а набор отдельных отрезков элек-
тромагнитных волн.
Решающего противоречия в этом нет. Ведь еще Планк
исходил из предположений о случайном характере частот
и фаз в отдельных актах излучения. Но все-таки в ряде
случаев из этих отдельных отрезков волн должна сформи-
роваться непрерывная электромагнитная волна. А как это
может произойти, Бор не знал. Но тем не менее было
понятно, что новые свойства атомов как излучателей
электромагнитных волн не должны опровергать теорию
Максвелла там, где она уже хорошо себя зарекомендо-
вала.
Итак, важнейшим стал вопрос, как именно возможно
формирование непрерывной электромагнитной волны в
результате отдельных актов излучения, происходящих в
соответствии с постулатами Бора при скачкообразных пе-
реходах электронов в атомах веществ.
Заметим еще, что разности энергий We— Wa соответ-
ствует строго постоянная частота излучения vae, изобра-
жаемая на оси частот спектра математической точкой,
в то время как любой периодический процесс, имеющий
начало и конец, должен занимать на оси частот своего
87
спектра некоторый интервал. Это противоречие привело
к весьма существенным уточнениям представлений об из-
лучении, о которых будет рассказано в конце этой книги*
§ 5. УСЛОВИЯ СИНФАЗНОГО СУММИРОВАНИЯ
ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ, ИЗЛУЧАЕМЫХ
РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ РАДИОАНТЕННАМИ
Как бы сегодня ни представляли себе световой квант,
какие бы подробности о его структуре и поведении сегодня
ни были бы открыты, возможности объединить в первом
приближении концепции дискретности и непрерывности
света могли быть связаны только с представлением о кван-
те света как о некотором отрезке волн с определенной
фазой колебаний, определенной длительностью во време-
ни и протяженностью в пространстве. Важно лишь, чтобы
эта упрощенная модель правильно использовалась. В свя-
зи с этим рассмотрим некоторые особенности поведения
макроскопических отрезков волн, излучаемых обычными
радиоантеннами.
Графики на рисунке 6 иллюстрируют в координатах
«расстояние — время» характерную особенность волны —
закономерную связь фаз колебаний в пространстве и во
времени. Волна является, в частности, когерентной, если
для любых двух точек пространства разность фаз колеба-
ний остается неизменной во времени. Волновой процесс,
изображенный на рисунке 6, соответствует тому случаю,
когда в начале координат находится непрерывно излучаю-
щий источник волн постоянной частоты и амплитуды —
антенна, соединенная с генератором колебаний.
Теперь мысленно реализуем следующую схему. Гене-
ратор, питающий антенну, работает непрерывно, но между
ним и излучателем находится ключ, то отключающий, то
подключающий антенну. При этом в пространстве будут
распространяться отрезки волн. В любой точке простран-
ства будут выдерживаться определенные фазовые соотно-
шения между колебаниями в отрезках волн и в самом гене-
раторе.
Можно поместить в разных точках пространства на од-
ной прямой еще несколько подобных антенн, подключаемых
с помощью соединительных линий к тому же генератору.
Подбором длины кабеля можно всегда добиться того, чтобы
излучаемые соответствующей антенной волны имели фазу
88
колебаний, совпадающую с фазой волны, проходящей мимо
этих антенн от первой антенны. Для выполнения такой
схемы необходимо рассчитать и изготовить соответствую-
щие соединительные линии, выключатели, антенны. Все
это в настоящее время можно осуществить и это исполь-
зуется на практике. Поэтому в нашем мысленном экспери-
менте нет ничего нереального.
Будем подключать генератор поочередно к разным ан-
теннам и так, чтобы в любой момент времени излучала
одна из них. Тогда на больших расстояниях от сконструи-
рованной системы электромагнитная волна будет неотли-
чима от той, которая была бы в случае некоторого одного
эквивалентного излучателя. При строгой согласованности
фаз излучателей совершенно безразлично, была ли в на-
чале одна непрерывная электромагнитная волна или она
возникла путем суммирования волн от разных переклю-
чаемых излучателей.
Если излучатели, пусть даже совершенно строго по-
стоянной частоты, питающиеся от одного генератора, вклю-
чаются в случайных областях пространства без согла-
сования подводящей линии, то когерентной волны не
получится. Если бы каждая антенна питалась от своего
автономного генератора, то ввиду неизбежности некото-
рого различия в частоте колебаний, вырабатываемых раз-
ными генераторами, разность фаз колебаний в антеннах
со временем накапливалась бы и суммарная электромаг-
нитная волна также не оказалась бы когерентной.
В нагретых телах, излучающих свет, «антеннами» яв-
ляются отдельные атомы. Место каждого из излучающих
атомов и начальная фаза колебаний в акте излучения ме-
няются случайным образом. Поэтому вне излучающего
тела когерентная волна, казалось бы, образоваться не мо-
жет. Но известно, что с помощью обычной электрической
лампы накаливания можно проводить опыты, в которых
будут наблюдаться интерференционные явления, что воз-
можно лишь для когерентных волн.
Заметим, что для успешного проведения таких опытов
надо выделить малый участок поверхности нити лампы.
Но как бы ни был мал такой участок, он все-таки содер-
жит огромное количество отдельных атомов, и возможность
возникновения интерференционной картины требует вы-
полнения некоторых дополнительных условий — должен
быть определенный механизм, обеспечивающий «синфаз-
89
ное» суммирование отдельных квантов излучения хотя бы
от малых, но все же макроскопических участков поверх-
ности излучающего тела. Это значит, что возбужденные
атомы вещества должны обладать универсальными свой-
ствами, реализующими управление актами излучения та-
ким образом, чтобы «соединительные линии» между «ато-
мами-радиопередатчиками» были всегда согласованы с
местом атомов в излучающем теле, а частоты излучения
всех «атомов-радиопередатчиков» были строго одинако-
выми.
Чтобы была возможность применить к световому из-
лучению тел классическую электродинамику Максвелла,
дискретность при актах излучения света веществом долж-
на сочетаться с образованием непрерывной электромаг-
нитной волны вне излучающего свет тела в результате
суммирования квантов.
§ 6. ПОВТОРНЫЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ
ПЛАНКА ЭЙНШТЕЙНОМ
Задача сочетания теории Максвелла с квантовым ха-
рактером излучения была решена А. Эйнштейном в про-
цессе выполненного им повторного вывода формулы План-
ка. Исходным положением и в этом выводе было равнове-
сие излучения и вещества при заданной температуре. Но
Эйнштейн в отличие от Планка использует конкретные
особенности атомных осцилляторов, описываемых воров-
ской моделью атома.
При выводе формулы Планка Эйнштейн исходил из не-
которых предпосылок.
Пусть имеются два тела, свободно обменивающиеся
излучением и изолированные от внешней среды, например
два облака газа, помещенные в космическом вакууме.
Электроны в атомах этих газов, находясь в стационарных
состояниях на основных энергетических уровнях, не излу-
чают света. Допустим, что на одно из этих тел падает
электромагнитная волна с частотой v. При взаимодейст-
вии волны и атомов газа произойдет поглощение квантов,
имеющих энергию fev, и переход электронов из основного
в возбужденное состояние. Но за счет поглощения энер-
гии температура тела должна повышаться. Увеличение
температуры тела пропорционально интенсивности пада-
ющего на него излучения, т. е. количеству падающих на
90
тело квантов. Обозначим энергию, соответствующую основ-
ному уровню электронов в атоме, через Wa, а энергию
некоторого возбужденного уровня через We. Если извест-
на интенсивность падающего излучения, пропорциональ-
ная квадрату напряженности электрического поля в волне,
то определена и энергия W электрического поля в волне в
единице объема. Тогда число N квантов в единице объе-
кт
ма можно считать равным Можно предположить,
что для каждой пары уровней айв (основного и возбуж-
денного) существует некоторая постоянная Вав, определяю-
щая связь поглощенной энергии Wa=Wae с частотой
vae, числом квантов излучения в единице объема Nae и
числом па невозбужденных атомов с электронами на уров-
не Wa. Для связи поглощенной энергии с этими парамет-
рами естественно задать пропорциональную зависимость:
= BaeNав^а.
Основанием к выбору такого закона является линейный
характер роста температуры тела, облучаемого светом. Но
понятие температуры тела связано с энергией хаотическо-
го теплового движения образующих его атомов или моле-
кул. Как именно процессы в электронных оболочках ато-
мов приводят к изменению энергии их движения как це-
лого, пока не рассматривается.
Возбужденные на уровень в атомы должны когда-ни-
будь в силу постулированных Бором скачков-переходов
вернуться обратно в основное состояние а, излучив при
этом тот же квант света:
hvae= We — Wa.
Допустим, что этот процесс носит совершенно случай-
ный, спонтанный характер и зависит (подобно распаду
радиоактивных атомов) только от свойств самих атомов —
их энергетических уровней а и в. Но при таком предполо-
жении одно тело со своими индивидуальными свойствами
энергетических уровней, которые можно характеризовать
вероятностью Ава спонтанного перехода, сопровождающего-
ся актом излучения, будет отдавать энергию с одной посто-
янной скоростью; другое тело, из другого вещества, с дру-
гими атомами и другой вероятностью Ав'а' спонтанного пе-
рехода — с другой скоростью. Но отсюда следовало бы, что
91
тепловое равновесие между телами из различного материа-
ла установиться не может. Тело, у которого вероятность
спонтанных переходов электронов в атомах больше, будет
неограниченно остывать. А тело, у которого эта вероят-
ность меньше, будет неограниченно нагреваться. Это про-
тиворечит тому известному факту, что любые два тела,
могущие свободно обмениваться энергией, например за
счет излучения, всегда в конце концов принимают одинако-
вую температуру.
Можно будет надеяться, что это противоречие исчез-
нет, если предположить, что наряду со спонтанными пере-
ходами из возбужденного состояния в в основное состоя-
ние а существуют и такие (их называют индуцированны-
ми) переходы, которые зависят от концентрации Nae
квантов излучения с частотой
__ We-Wa
*ав-----------
Л
в окрестности возбужденного атома.
Таким образом, существуют два самостоятельных меха-
низма излучения света возбужденными атомами. Первый
из них связан с излучением энергии, определяемым посто-
янной Ава, характеризующей свойства атомных уровней,
и концентрацией пв возбужденных атомов, т. е. произве-
дением АваПв- Второй механизм излучения также связан
со свойствами атомных уровней (постоянная Вва = Вав} и
концентрацией пв возбужденных атомов; но в этом случае
существенна еще и концентрация Nae квантов с частотой
Vae в окрестности возбужденного атома. Этот механизм из-
лучения характеризуется произведением BeaNaene.
Чем больше температура тела, тем больше в нем воз-
бужденных атомов. Следовательно, больше будет и актов
излучения в результате спонтанных переходов. Но кванты
спонтанных переходов увеличивают число Nae квантов в
единице объема, а значит и количество индуцированных
переходов. При этом увеличиваются потери энергии более
нагретым телом.
Применив далее методы молекулярно-кинетической те-
ории газов, Эйнштейн из описанных выше предположений
несложными выкладками получил формулу Планка для
излучения абсолютно черного тела.
Представления о кванте света сегодня намного слож-
нее, чем на начальных стадиях становления теории взаи-
92
модействия излучения и вещества, но наглядные волновые
аналогии для описания кванта весьма полезны и в насто-
ящее время.
Остается еще выяснить вопрос о том, каким образом
процессы поглощения и излучения света атомами при
переходах электронов в атомах с одного энергетического
уровня на другой способны изменить температуру газа,
т. е. скорости теплового движения атомов.
Электромагнитная волна обладает механическим им-
пульсом. Поэтому излучение атомом кванта света должно
сопровождаться механической отдачей как при выстреле
пули из ружья. Если бы излучение обладало сферической
симметрией, то отдачи не могло бы быть, так как силы по
различным направлениям уравновешивались бы. Но излу-
чение ведь изменяет температуру газа, т. е. тепловое дви-
жение всего атома как целого. Значит, должна существо-
вать направленность излучаемых квантов.
В газах хаотическое тепловое движение устанавлива-
ется в результате столкновений атомов и молекул между
собой. Но в космическом пространстве, например, на один
кубический сантиметр приходится всего один атом во-
дорода. Столкновений между атомами практически нет.
Атомы могут взаимодействовать друг с другом только в
результате обмена излучением. Тем не менее в поведении
такого разреженного газа нельзя обнаружить отклонения
от законов, вытекающих из молекулярно-кинетической
теории.
В связи с этим Эйнштейн постулировал новое важное
свойство квантовых переходов электрона из возбужденно-
го состояния в основное. Суть этого предположения Эйн-
штейна состоит в следующем. Если вблизи возбужденного
атома пролетает квант излучения, энергия которого равна
энергии возбужденного атома, то происходит вынужден-
ный индуцированный переход электрона на более низкий
квантовый уровень, сопровождающийся излучением кван-
та. При этом направление распространения нового кванта
и фаза соответствующих колебаний будут в точности та-
кими же, как у кванта, вызвавшего излучение. Если вбли-
зи возбужденного атома пролетают одновременно два кван-
та, то всегда лишь один из них может вызвать индуциро-
ванное излучение.
Направления распространения квантов, излученных
спонтанно, случайны.
93
Таким образом характеристики теплового движения
атома, а значит, и температуру газа оказалось возмож-
ным связать с процессами в электронных оболочках
атомов.
Эти предположения позволили Эйнштейну показать,
что известные законы молекулярно-кинетической теории
газов верны и тогда, когда атомы вещества не сталкива-
ются друг с другом, а взаимодействуют лишь за счет из-
лучения.
Из этой работы Эйнштейна следует, что наличие про-
цесса индуцированного излучения обусловливает законен
мерное объединение отдельных квантовых актов излуче-
ния в непрерывную электромагнитную волну. Постулиро-
ванные Бором квантовые законы излучения света атомами
не противоречат возможности рассмотрения света как
электромагнитной волны на основе теории Максвелла. При
взаимодействии же излучения и вещества, например при
фотоэффекте, отдельные кванты действуют независимо.
В конце своей работы Эйнштейн пишет: «Слабость те-
ории заключается... в том, что время и направление эле-
ментарного процесса спонтанного излучения предоставля-
ются «случаю». Это замечание Эйнштейна чрезвычайно
важно. Действительно, вероятностные законы применимы
лишь к множеству объектов. Но акт спонтанного излуче-
ния относится каждый раз к одному электрону в атоме.
Вот в чем противоречие, вот в чем «слабость теории», де-
лающая, как говорит Эйнштейн, «почти неизбежным со-
здание подлинно квантовой теории излучения». Если счи-
тать «подлинно квантовой теорией» такие фундаменталь-
ные модели, которые могут объяснить акт спонтанного
излучения на основе внутренней структуры электрона, то
такой теории пока еще в науке нет.
§ 7. О НЕКОТОРЫХ ПРАКТИЧЕСКИХ СЛЕДСТВИЯХ
ЗАКОНОВ ИНДУЦИРОВАННОГО И СПОНТАННОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ
Свойства индуцированного излучения позволяют объяс-
нить возможность образования на поверхности тел макро-
скопических областей, излучающих когерентные волны, в
силу чего оказывается возможным получить интерферен-
ционную картину от обычных источников света.
Дело в том, что излучение должно выйти из объема на-
гретой среды наружу.
94
Когда излучающей средой является слой газа большой
толщины, как, например, на солнце, или когда речь идет
о нагретых твердых телах, где концентрации атомов огром-
ны, излучение глубинных атомов перед тем, как выйти на
поверхность тела, должно пройти мимо очень большого
числа возбужденных атомов. При этом лавинообразно на-
растает количество «синфазных» квантов индуцированного
излучения, образующих когерентную электромагнитную
волну. Немного расходящейся лавиной это излучение
устремляется к поверхности.
Продолжая рассмотрение модели кванта как отрезка
электромагнитной волны, можно оценить время, в течение
которого происходит постулированный Бором переход в
атоме. Частота света порядка 1013 Гц, а число периодов,
соответствующее одному кванту, можно себе представить
величиной порядка 105. Это значит, что «время излучения»
одного кванта около 10~8 с. За это время свет может прой-
ти приблизительно 3 м. В пределах участка тела, захва-
ченного лавиной выходящих за поверхность квантов, мо-
жет выдерживаться (по крайней мере, в течение 10”8 с)
постоянная фаза колебаний. Поэтому на малом, но макро-
скопическом участке поверхности нагретого тела оказы-
вается небольшое количество пятен когерентного излуче-
ния, и время их существования хотя и мало, но также яв-
ляется макроскопическим. Поэтому вне нагретого тела
некоторое время можно рассматривать излучение как пре-
имущественно когерентное. Со временем участки когерент-
ного излучения на поверхности меняются; изменяется
и соотношение фаз. Но свет уже успел пройти расстоя-
ние, достаточное для наблюдения интерференционной
картины.
И действительно, в интерференционных экспериментах
с обычными лампами накаливания когерентность излуче-
ния сохраняется в пределах нескольких метров.
Отметим еще одну особенность реальных, например
газоразрядных, источников света. Пока газ разрежен, его
излучение состоит из отдельных спектральных линий. Ес-
ли давление газа повысить или увеличить толщину слоя
излучающего газа, то дискретные линии сливаются в не-
прерывный спектр. Например, приходящее к нам излуче-
ние Солнца формируется в весьма разреженном, но тол-
стом слое газа солнечной короны и имеет непрерывный
спектр.
95
Это объясняется так. По мере распространения квантов
света из глубины солнечной короны в возбужденных ато-
мах идет лавинообразный процесс индуцированных пере-
ходов. Плотность потока квантов излучения растет. Но то-
гда оказываются существенными процессы поглощения.
Ведь постоянная Вва индуцированного перехода и посто-
янная Вав поглощения света атомами равны между собой,
и поглощение тем больше, чем больше количество квантов
и атомов вещества. По мере распространения излучения в
веществе в максимуме узкой спектральной линии, соответ-
ствующей заданной паре уровней айв, роль поглощения
настолько возрастает, что максимум линии «проваливает-
ся». В результате различных причин (например, соударе-
ния атомов) энергетические уровни айв несколько изме-
няются. Наряду с квантами, частота которых соответствует
максимуму дискретной спектральной линии, появляются и
кванты, частоты которых отличны. Таких квантов мало, и
их роль, пока слой газа тонкий, мала. Но когда поглоще-
ние запирает выход излучения в максимуме спектральной
линии, а общая интенсивность излучения продолжает рас-
ти, то выходящее из тела излучение содержит все больше
и больше таких квантов, которые соответствуют возму-
щенным уровням, образующим как бы «боковые крылья»
спектральной линии. В пределе, при бесконечно большой
толщине слоя газа, все максимумы спектральных линий
проваливаются в точности до уровня планковской кривой,
а все «крылья» заполняют спектральные интервалы час-
тот между дискретными линиями, поднимаясь до уровня
планковской кривой. Следовательно, по мере роста плот-
ности среды или толщины излучающего слоя линейчатые
спектры сначала искажаются, а потом вообще переходят
в непрерывный спектр излучения черного тела.
Здесь, кстати, необходимо отметить, что объединение
отдельных актов излучения в макроскопические отрезки
волн, всегда в той или иной мере существующее в реаль-
ных излучателях, не противоречит допущению о полном
беспорядке в частотах и начальных фазах колебаний, ле-
жащему в основе вывода Планком формулы излучения
абсолютно черного тела. Атомный беспорядок заменяется
лишь беспорядком в частотах и начальных фазах излуче-
ния макроскопических участков.
Абстрактные рассуждения Эйнштейна, искавшего пути
объединения концепций непрерывности и дискретности
96
при излучении и распространении света, уже в наше вре-
мя стали основой создания практических устройств — ла-
зеров, позволяющих получать когерентное световое излу-
чение. Лазеры сейчас работают в любых диапазонах длин
волн — от ультрафиолетовых до инфракрасных и радио-
волн. Лазер — это инженерное устройство, в котором «пят-
но когерентного излучения» на поверхности источника
электромагнитных волн занимает всю его излучающую
часть.
Поэтому излучение лазера существенно отличается от
излучения обычного нагретого тела. Равновесным тепло-
вым излучением (при любой его интенсивности, при лю-
бой мощности излучателя) нельзя нагреть другое тело до
температуры, большей температуры излучателя. А лазер,
излучение которого лишено беспорядка в фазах, не подчи-
няется ограничениям термодинамики. Его излучением мож-
но нагреть любое тело до наперед заданной, сколь угодно
высокой температуры, хотя сам лазер может оставаться
при комнатной температуре.
В лазере среда, излучающая свет, как правило, весьма
прозрачна, а ее «непрозрачность», необходимая для уси-
ления эффекта индуцированного излучения и образования
единой когерентной электромагнитной волны, осуществля-
ется искусственно. Для этого па его концах устанавливают
зеркала, возвращающие часть излучения обратно в рабо-
чее тело. Эффективный возврат излучения реализуется
только для очень узкого спектрального диапазона. Излу-
чение лазеров может быть почти идеально монохромати-
ческим.
Глава 6.
ВОЛНЫ - ЧАСТИЦЫ, ЧАСТИЦЫ - волны
§ 1. ТРЕТИЙ ПУТЬ ВЫВОДА ЗАКОНА ИЗЛУЧЕНИЯ
АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
ГТ ри выводе формулы излучения абсолютно черного те-
ла Планк ввел в физику понятие кванта энергии,
исходя из модели излучающего тела, основанной на клас-
сических представлениях об излучающих осцилляторах.
Другим путем ту же формулу получил Эйнштейн. Но и
вывод Эйнштейна опирался на классическую электроди-
намику Максвелла (квант все еще представлялся волно-
вым пакетом).
Восемь лет спустя после этой работы Эйнштейна в
1924 г. индийский ученый Бозе реализует третий
путь вывода формулы Планка, и кванты приобретают спе-
цифические свойства, характеризующие их как частицы,
почти подобные корпускулам Ньютона. Но не может физи-
ческая материальная частица быть точным подобием ма-
териальной точки механики Ньютона, хотя бы потому, что
в механике Ньютона понятие материальной точки являет-
ся абстракцией.
Бозе следовал логической линии, вытекающей из ре-
зультатов Планка и Эйнштейна.
Квант излучения характеризуется энергией
W = Av.
Этой энергии может быть сопоставлена масса
W hv
т =----==-----.
с2 с2
А массе, связанной с квантом излучения, соответству-
ет механический импульс
98
Но энергия, масса и импульс — это характеристики мате-
риальной частицы. Вполне логично вообще отвлечься от
волнового описания кванта излучения и рассматривать его
как частицу, обладающую указанными выше характерис-
тиками. Правда, возникает вопрос: как определить поло-
жение этой частицы в пространстве?
Если исходить из модели кванта как волнового пакета,
то ему необходимо приписать в пространстве определен-
ную протяженность и, следовательно, определенное время
излучения. Но в таком случае, как определить эти пара-
метры и что считать координатой кванта?
Обратим внимание на то, что синусоидальная функция
времени /(£)=sin2nv£— это математическая абстракция,
которая никогда не реализуется в природных процессах.
Нет в природе такого процесса, который бы характеризо-
вался аргументом в виде математической точки на оси
частот своего спектра. Любой реальный процесс имеет на-
чало и конец. Реальный колебательный процесс всегда опи-
сывается функцией вида:
f(t) = A (t) sin 2nvt,
где функция времени A (t) — закон включения и выклю-
чения процесса. Но, как говорилось в первой главе, любую
периодическую функцию можно представить в виде сум-
мы синусоид и косинусоид с дискретным набором значений
частот, а любой непериодический процесс — суммой сину-
соид и косинусоид с непрерывно изменяющимися частота-
ми. Отрезок гармонической функции имеет спектр, зани-
мающий некоторый интервал частот Av. Математически
можно показать, что этот интервал частот связан с дли-
тельностью At процесса соотношением
At • Av 1.
Значит, любой реальный колебательный процесс имеет
спектр, занимающий интервал частот Av. Чем больше дли-
тельность этого процесса, тем меньший интервал частот
Av он занимает. Таким образом, существует неопределен-
ность частоты реального процесса. Эта неопределенность
является принципиальной, не зависящей от конкретных
условий реализации периодического процесса.
Излучение света атомом при переходе электронов из
возбужденного в основное состояние, конечно, также име-
99
ет начало и конец. Поэтому указанная выше неопределен-
ность должна быть справедливой и для атомных процессов.
Из неопределенности частоты колебаний вытекает так-
же и неопределенность энергии кванта. Действительно,
умножив правую и левую части приведенного выше соот-
ношения неопределенности для колебательных процессов
на постоянную Планка, получим:
Л,
или
где ДИ7 — неопределенность энергии кванта. Последнее
соотношение можно записать так:
AW А.
------ Д/ • с hi
с
где с — скорость света. Но
ДЖ л
----= Др
с
есть неопределенность импульса кванта, а
At* с = Д/
есть длина волнового пакета, описывающего квант из вол-
новых представлений. А эта длина представляет собой
неопределенность координаты Дя, определяющей положе-
ние кванта, например, вдоль оси х:
Арх • Дя hi
где Др» — неопределенность составляющей импульса вдоль
оси х.
И в общем случае произвольного направления импуль-
са по отношению к координатным осям имеем:
Дрх • Apz-&х>Ay*
Последняя формула играет исключительно важную
роль во всех атомных процессах и носит название соотно-
шения неопределенности Гейзенберга.
Соотношение неопределенности всегда вызывало мно-
жество обсуждений. Очень трудно бывает преодолеть пси-
хологические барьеры и отказаться от уже ставших при-
вычными абстракций, от существовавших ранее моделей.
100
Следствием соотношения неопределенности Гейзенбер-
га является то, что, описывая поведение квантов излуче-
ния — фотонов, нельзя абсолютно точно, как в механике
Ньютона, задать одновременно координату и импульс час-
тицы-фотона. Но это не значит, что для такой частицы
исчезают возможности количественного исследования ее
поведения. Поскольку произведение &Ру- &Pz- АуХ
X&z ограничено величиной Л3, то «механическое» поведе-
ние частицы можно характеризовать объемом, который она
занимает в шестимерном пространстве, координатами ко-
торого являются три обычные координаты х, у, z и три про-
екции импульса рх, Ру, Рг- Шестимерное пространство —
это, конечно, математическая абстракция.
Таким образом, квант излучения в работе Бозе стал
частицей, но не материальной точкой механики Ньютона.
Вторая особенность фотонов состоит в том, что в силу
законов индуцированного излучения увеличение числа фо-
тонов в единице объема шестимерного пространства ока-
зывается тем большим, чем больше их там уже содержа-
лось.
Применяя к частицам-фотонам, обладающим сформу-
лированными выше свойствами, методы молекулярно-ки-
нетической теории газов, Бозе получил уже известную
нам формулу Планка для излучения абсолютно черного
тела.
Это явилось убедительным подтверждением правомер-
ности рассмотрения кванта излучения как частицы. Но
это не корпускула Ньютона и не материальная точка клас-
сической механики. Одновременная возможность описа-
ния свойств кванта излучения и в терминах частиц, и в
терминах волн многим кажется необычной, удиви-
тельной.
Но было бы более удивительным, если бы у качественно
нового объекта — фотона — не было бы отличий от обыч-
ных макротел. Например, массой фотон обладает, но он
всегда движется со скоростью света. В отличие от обычных
макротел фотон «проницаем»: в некотором объеме шести-
мерного пространства фотонов может содержаться неогра-
ниченное количество.
Развитие науки самым существенным образом связано
с заменой «очевидных» утверждений приближенными мо-
делями, описываемыми адекватным языком математики.
Так, известно, что механика Аристотеля, в которой счита-
101
лось, что тело движется только до тех пор, пока к нему
приложена сила (телега движется, пока ее тянет лошадь),
была заменена механикой Ньютона, в которой сила слу-
жит не причиной движения, а лишь причиной изменения
движения тел (ускорения).
Сейчас новые научные понятия вводят не в виде сло-
весных формулировок, апеллирующих к интуиции, к жи-
тейским, привычным представлениям, а в виде математи-
ческих построений, основанных на эксперименте. Если в
области механики Ньютона, электродинамики Масквелла
точные математические формулировки стали настолько
привычными, что вытеснили из обихода интуитивные пред-
ставления, то в области квантовой теории это еще не про-
изошло. Поэтому квант света — фотон — адекватно опи-
сывается только в рамках современного формализма кван-
товой теории.
§ 2. ЧАСТИЦЫ — ВОЛНЫ
Если фотон — объект, существенно проявляющий
волновые свойства, может быть описан в рамках терми-
нов, характерных для частиц, то почему не попытаться
частицы, например электрон, интуитивно ассоциирующие-
ся с твердыми телами, описать в терминах волн?
Для любого тела можно построить такую цепочку рас-
суждений. Массе тела т всегда соответствует энергия
W=mc2. Каждой порции энергии соответствует частота
W тс2
V = --- = ---
h h
некоторого колебательного процесса.
Не уточняя природу колебательного процесса, связан-
ного с частицей, естественно сопоставить последней неко-
торую волну.
Тогда и электрон, и атом в целом, и молекулу, как и
любое тело, состоящее из них, можно описывать не только
в рамках понятий механики твердых частиц, но и в рам-
ках волновых понятий. В этом суть исходных посылок,
принятых французским физиком Луи де Бройлем для опи-
сания электрона в модели атома Бора.
Зная массу электрона, можно на основе приведенной
выше цепочки рассуждений найти частоту колебаний, со-
ответствующую этой массе, и связать с электроном неко-
102
вторую волну. Распространяться эти волны должны по
таким законам, чтобы неподвижный и движущийся вместе
с электроном наблюдатели могли согласовать результаты
своих измерений на основе релятивистских формул.
Исходя из этого, можно попытаться связать параметры
волны, соответствующей электрону, с параметрами стацио-
нарных орбит в атоме Бора. Логично предположить, что
на стационарной орбите укладывается целое число длин
волн, т. е. что стационарные орбиты отвечают некоторо-
му резонансному состоянию для введенных де Бройлем
волн.
Де Бройль в результате количественных расчетов по-
лучил именно те же самые формулы и числа, которые ра-
нее были получены Бором!
Это означает, что исходные посылки де Бройля, каки-
ми бы они ни казались удивительными, соответствуют экс-
периментальным фактам. Электрон в планетарной модели
атома Бора, хотя и нагляден, но противоречив. Будучи
аналогом материальной точки механики Ньютона, он об-
ладает свойствами, полностью противоречащими такому
пониманию частицы. Электрон в модели де Бройля —
принципиально новый объект, отличный от макроскопиче-
ских тел.
Не будет ошибки по отношению к истории науки, если
сказать, что исходные интуитивные соображения де Брой-
ля были связаны с попыткой найти в веществе нечто по-
добное электромагнитным волнам, какой-то реальный ко-
лебательный процесс. Но вышло сложнее: волны де Бройля,
описывающие электрон в атоме,— это отнюдь не электро-
магнитные волны или какое-то их подобие, а лишь способ
описания экспериментальных фактов, безупречно работаю-
щий при количественном исследовании разнообразнейших
процессов природы, позволяющий удивительно эффективно
предсказывать неизвестные ранее явления. Электромагнит-
ное поле — некоторая материальная субстанция, а волны
де Бройля не связаны с какой-либо средой, в которой эти
волны распространялись бы.
Дальнейшая судьба идей Бозе и де Бройля существен-
но связана с именем Эйнштейна. Послушаем теперь, что
говорил сам де Бройль о созданной им волновой механике
(как длительное время называли теорию де Бройля):
«В конце войны 1914—1918 гг., будучи пропитан идеями
Эйнштейна, я начал размышлять над проблемой волн и
103
корпускул... В течение лета 1923 г. мне пришла мысль,
что сосуществование волн и корпускул, открытое Эйнштей-
ном для света, должно также иметь место для всех частиц
материи. Из этой идеи я извлек основные принципы вол-
новой механики и опубликовал их в докладах Академии в
сентябре 1923 г. и более подробно в моей докторской дис-
сертации 1924 г. ... В это время Эйнштейн, ничего не знав-
ший о моих исследованиях, ознакомился со знаменитой
работой индийского физика Бозе... Эйнштейн предпринял
дальнейшую ее разработку в заметках, представленных
Академии наук в Берлине. В этот момент он, через Поля
Ланжевена, ознакомился с рукописью моей докторской
диссертации. С первого взгляда он в ней распознал естест-
венное обобщение своих идей о сосуществовании волн и
корпускул... Эрвин Шредингер узнал о моей теории из
этих заметок Эйнштейна, и это побудило его написать в
1926 г. свои знаменитые мемуары о волновой меха-
нике».
Гипотетические волны де Бройля получили новую
жизнь, когда волновые свойства частиц были обнаружены
в эксперименте. Оказалось, что в опытах с пучками час-
тиц наблюдается дифракция, полностью подобная дифрак-
ции света. По совету Эйнштейна вопросом о волнах де
Бройля занимался известный физик-теоретик XX в. Макс
Борн. Как пишет Борн, в это время «...по удивительному
совпадению пришло письмо от американского физика Де-
виссона, содержавшее описание непонятных ему резуль-
татов, наблюдавшихся при отражении электронов от
металлической пластинки... Мы пришли к мысли, что стран-
ные максимумы на кривых Девиссона могут быть объясне-
ны дифракцией электронных материальных волн на кри-
сталлической решетке: грубый расчет по формуле де Брой-
ля дал правильные по порядку величины значения длины
волны». Работа одного из учеников Бора дала полное объ-
яснение опытов Девиссона и явилась первым подтвержде-
нием волновой механики де Бройля.
«Позднее я,— говорит Борн,— указал на связь между
частицами и волнами, которая является сегодня практи-
чески общепризнанной: волны описывают распределение
вероятности нахождения частицы. Но здесь не место об-
суждать эту ситуацию более подробно».
В 1927 г. Девиссон окончательно экспериментально
показал, что электроны действительно дают дифракцион-
104
ные картины, соответствующие волнам де Бройля. Позже
это же было подтверждено и в отношении таких частиц,
как атомы и молекулы.
Эрвин Шредингер получил уравнения, играющие огром-
ную роль во всей современной науке. Он записал для волн
де Бройля уравнения, исходя из известных методов обыч-
ной механики и оптики. Полученные им уравнения при-
менительно к электромагнитным волнам описывают стоя-
чие волны в неоднородной среде. В этом случае переменная
в уравнениях Шредингера — это напряженность электри-
ческого поля. Но волны де Бройля отнюдь не простое по-
добие электромагнитных волн. И физический смысл пере-
менной, относительно которой записаны уравнения Шре-
дингера для волн де Бройля, оставался неясным.
Выяснение природы этой переменной Шредингер не
считал обязательным, подобно тому как Планк при рас-
смотрении осцилляторов в твердом теле не уточнил их
конкретной реализации. Шредингер писал: «Я не считаю
возможным до тех пор, пока не будут успешно рассчита-
ны новым способом более сложные задачи, подробнее рас-
сматривать истолкование введенного колебательного про-
цесса».
Истолкование переменной в уравнении Шредингера
дал Макс Борн, предположив, что она описывает распре-
деление вероятности нахождения частицы в данной точке
пространства.
Хотя с тех пор, как были написаны приведенные вы-
ше слова Шредингера и Максом Борном было дано истол-
кование смысла переменной в уравнениях Шредингера,
прошло более пятидесяти лет, предположение Борна и
сегодня остается справедливым. Однако было бы непра-
вильным считать, что для колебательного процесса де
Бройля — Шредингера дано окончательное истолкование.
Понятия пространства, силы, движения изучаются в раз-
деле механики школьного курса физики практически в
тех же самых формулировках, которые были введены еще
Галилеем и Ньютоном.
Длительная работа большого числа ученых по изуче-
нию электрических и магнитных процессов расширила на-
ши представления о силах и движении. Этот этап в раз-
витии науки завершило описание Масквеллом электромаг-
нитных явлений. Понятие пространства было развито и
обобщено в теории относительности Эйнштейна, а свойства
105
вещества были подробно исследованы и описаны в кванто-
вой теории атомных частиц.
Наука об атомном микромире включила в себя и элек-
тродинамику, и теорию относительности, и новые кванто-
вые постулаты — ее называют релятивистской квантовой
электродинамикой. Это весьма стройная, последовательная
и красивая область науки, достигшая высокого совершен-
ства и находящаяся на этапе своего завершения как мо-
дель окружающего нас материального мира, основанная
на постулатах. Эффективность описания процессов на
основе релятивистской квантовой электродинамики пора-
зительна. Атом водорода может быть рассчитан с точно-
стью до шести (!) десятичных знаков, а процессы в его
электронных оболочках экспериментально исследованы с
точностью до двенадцати десятичных знаков.
Окружающее нас разнообразие явлений, процессов и
технических устройств полностью и достаточно точно опи-
сывается частными моделями, начала которых имеют свое
исчерпывающее обоснование в квантовой теории. Совре-
менная химия в существенной степени может считаться
разделом квантовой теории. А химия — это новые материа-
лы, сплавы, процессы. Биология и раскрытие тайн гене-
тики — это опять-таки проявление эффектов квантовой
теории. Особенности всего живого оказались результатом
сложных, но уверенно раскрываемых процессов на моле-
кулярном уровне, описываемых квантовой моделью атомов
и молекул. На фоне всего этого весьма скромно выгля-
дят фактический беспрецедентные в истории техники до-
стижения полупроводниковой и оптической (квантовой)
электроники.
Но спираль развития науки, быстрее и быстрее совер-
шающая свои обороты, все время возвращается к анализу
тех начал, причины которых были оставлены для дальней-
ших исследований еще Галилеем и Ньютоном.
Ньютон на уровне точности экспериментальных иссле-
дований того времени проверял идентичность массы как
меры инертности и массы как меры тяготения. И сегодня
этот вопрос остается в поле внимания экспериментаторов.
В наш век телевизоров, атомных электростанций, космиче-
ских ракет и вычислительных машин может показаться,
что все уже ясно и понятно и, достаточно только выучить
известное, и вопросов не останется. В действительности все
и так, и не так. Еще долгие годы уже разработанные мо-
106
дели природы будут источником успехов техники. Несом-
ненно, что и фундаментальное знание основ процессов
природы еще сможет развиваться дальше на основе суще-
ствующих моделей. Но это не значит, что развитие науки
достигло предела.
§ 3. ПОЧТИ СБЫВШАЯСЯ «МЕЧТА» ПЛАНКА
И опять об атоме Бора. Не только школьнику, но и
серьезному ученому все-таки остается непонятным, как
происходит излучение атомом электромагнитной волны.
Боровских орбит электронов уже нет в современной науке,
и испускание света теперь считается результатом перехода
между двумя энергетическими уровняМй состояния элек-
трона как «облака вероятности» в атоме. Но, когда речь
идет об излучении электромагнитной волны, можно почти
всегда найти ту или иную форму обобщения или видоиз-
менения классического диполя-излучателя Герца. А про-
цесс излучения атомом не сводится к аналогу диполя Гер-
ца. Но действитёльно ли это так?
Планк упорно искал возможность обосновать такие ис-
ходные предположения, при которых все квантовые за-
кономерности излучения были бы связаны с веществом,
а электромагнитная волна в пространстве оставалась бы
непрерывной. Сегодня ясно, что на уровне развития нау-
ки того времени Планк этого сделать не мог. Но после
того, как электрон перестал рассматриваться как .матери-
альная точка, появилась возможность реализовать «мечту»
Планка и действительно сохранить в «пустом» простран-
стве непрерывную электромагнитную волну, а излучение
света, атомами объяснить на основе обычных диполей Гер-
ца, связав почти все квантовые свойства излучения с дис-
кретной, атомной структурой вещества.
Все дело в том, что формирование новой теории посте-
пенно сужает круг ее исходных постулатов. Хотя при
этом никогда и не происходит полного возврата к тем
представлениям, ломка которых и создала новую теорию.
Сегодня имеется возможность реализовать модель опре-
деленной области квантовых явлений, в которой электро-
магнитные волны можно считать непрерывными, некван-
тованными. Это вытекает из того, что электрон в современ-
ной физике — принципиально новый реальный объект
(«размазанное облако», описывающее вероятность нахож-
107
депия электрона в окрестности ядра атома). Это облако
все время меняется, как говорят физики — флюктуирует.
И излучение света отдельным атомом есть результат вза-
имно связанных флюктуационных процессов во многих
атомах. При этом группу атомов можно рассматривать
как аналог классического диполя Герца. А это значит,
что, во-первых, появляется возможность объяснить в клас-
сических терминах излучение света возбужденным ато-
мом и, во-вторых, обойтись в широком круге задач
без предположений о квантовании электромагнитной
волны.
Область, лежащая на стыке классической оптики и кван-
товой теории, сегодня имеет в науке и технике важное
практическое значение. Лазеры, голография и разнообраз-
ные другие устройства все более входят в промышленность.
Но именно этой области наиболее полно соответствует
такая модель, в которой излучение непрерывно, а вещест-
во обладает квантовыми свойствами. Поэтому на стыке
этих двух разделов физики использование радиотехниче-
ских терминов для описания многих особенностей кванто-
вых процессов вполне обосновано.
В частности, как можно понять в терминах волн мгно-
венное взаимодействие излучения и вещества при фотоэф-
фекте? Здесь также можно воспользоваться радиотехниче-
ской аналогией. В силу соотношения неопределенности при
взаимодействии отрезка волны с веществом можно счи-
тать заданным только произведение времени взаимодей-
ствия на ширину спектрального интервала излучения. Чем
меньше время взаимодействия, тем шире соответствующий
спектральный интервал. Именно так в рамках волновых
представлений можно трактовать мгновенность процессов
при фотоэффекте. Короткий импульс с широким спектром
«мгновенно» вырывает электрон из вещества. А вот в ла-
зерах время взаимодействия больше, и поэтому спектраль-
ный интервал существенно уже.
Но нельзя думать, что кванты излучения — это только
выдумка, исторический курьез. Спонтанное излучение опи-
сать на основе волновых представлений не удается. Кван-
тование электромагнитного поля, понятие о фотоне оста-
ются фундаментальными. Но свойства фотона, его особен-
ности, области использования сегодня подвергаются
множеству уточнений, которые еще десять-двадцать лет
назад не были известны.
§ 4. АТОМИЗМ ДЕМОКРИТА СЕГОДНЯ
Известно, что древнегреческие натурфилософы считали
все вещества состоящими из некоторых неделимых час-
тиц — атомов. Логические основы их атомизма весьма фун-
даментальны и даже с современной точки зрения заслужи-
вают самого внимательного анализа.
Во времена Демокрита считалось, что все процессы и
явления природы происходят в некотором внешнем по от-
ношению к ним геометрическом пространстве Евклида.
Ученым древности был известен предельный переход к бес-
конечно малому (в математическом смысле) объекту.
Поэтому и тогда было понятно, что если во внешнем по от-
ношению к телам и явлениям пространстве рассмотреть
некоторое тело и мысленно разбивать его на все более мел-
кие части, то в пределе окажется, что «элементарной со-
ставляющей тела», находящегося в «пустоте» (геометриче-
ском пространстве), окажется нематериальный объект —
математическая точка. Но не может материальный объект
состоять из нематериальных математических точек.
Критерий материальности природы, которым руковод-
ствовались в своих логических построениях древнегрече-
ские философы, заставлял их выдвинуть альтернативу па-
радоксу, возникающему при бесконечном мысленном дроб-
лении вещества. Это атомизм строения тел. Во внешнем
по отношению к телам и явлениям пространстве вещество
должно состоять из некоторых неделимых мелких частей.
И атомы тогда считались конечным пределом деления
вещества. Они представлялись как неделимые, неразличи-
мые частицы.
В реальной, повседневной жизни человек часто встре-
чается с предметами, которые для чего неразличимы: пес-
чинки в горсти, кирпичи в стене, шарики от подшипника.
Конечно, при желании и терпении в каждой группе этих
объектов можно отличить един от другого. Но обычно нет
необходимости это делать. Интуитивные представления о
неразличимых частицах ассоциируются у нас именно с эти-
ми случаями.
Однако одно дело, если невозможно различить частицы
между собой, другое дело, если мы не хотим тратить на это
время. *
Действительными «атомами», удовлетворяющими всем
требованиям логики атомизма древних, являются, напри-
109
мер, электроны и фотоны. Они действительно неразличимы,
не имеют «частей», т. е. таких «самостоятельных деталей»,
которые можно было бы вынуть из них и этим образовать
«метку».
§ 5. ВОПРОСЫ, НА КОТОРЫЕ ПОКА НЕТ ОТВЕТОВ
В глубокой древности в представлении людей плоская
земля плавала в океане на трех китах. Потом ее стали пред-
ставлять шаром в центре вселенной. Гений и смелость Ни-
колая Коперника поместили ее на орбиту вокруг Солнца.
А Кеплер и Ньютон математически точно водрузили весь
этот совершенно новый мир на декартову систему коорди-
нат, которую они мысленно помещали в безбрежном евкли-
довом пространстве — в «пустоте».
Не обошлось без дискуссий. И среди спорщиков, заслу-
живающих уважения потомков, были, с одной стороны
Ньютон, с другой — Лейбниц. Ньютон считал простран-
ство некоторой независимой от предметов и явлений суб-
станцией, а Лейбниц придерживался противоположной
точки зрения — сами предметы и явления образуют то, что
называется пространством.
Позиция Ньютона при современном ему развитии нау-
ки была единственно плодотворной и достаточно обосно-
ванной. Однако и Лейбниц интуитивно исходил из правиль-
ных посылок: он считал, что независящее от предметов и
явлений пространство не может существовать в качестве
объективной реальности; но весомых аргументов у Лейб-
ница в пользу своей точки зрения в то время не могло
быть.
Эйнштейн критически осмыслил отправные позиции
Ньютона, и идея независимого пространства потерпела
поражение. В теории относительности Эйнштейна трех-
мерное пространство оказалось дополненным четвертым
измерением — временем.
Сегодня понятие пространства неразрывно связано с
тяготением.
Атомизм Демокрита возник из необходимости утвер-
дить материальность окружающих нас тел, если они суще-
ствует в независимом от них пространстве. По современ-
ным представлениям электромагнитное поле существует
в пространстве, образованном гравитацией. В точном со-
110
ответствии с логикой древних атомистов, но на основе
строгих математических построений и экспериментальных
данных современная наука пришла к представлению о не-
делимых и неразличимых элементарных частицах — элек-
тронах, фотонах и др.
Но если электромагнетизм и гравитация в пространст-
венных и временных масштабах, соответствующих элемен-
тарным частицам, взаимосвязаны, а не просто существуют
одно на фоне другого, то на уровне структуры элементар-
ных частиц предельный переход к бесконечно малому объ-
ему не создает тех противоречий, как у древних фило-
софов.
Может быть, на уровне внутренней структуры элемен-
тарных частиц ученых ждет некая непрерывная среда?
Ответа на этот вопрос нет. Но исследования в теории эле-
ментарных частиц по существу ведут к постановке задачи
о непрерывной среде внутри элементарных частиц. Заме-
тим, что эта среда, конечно, не может быть неизменной и
однородной. В противном случае элементарные частицы
были бы лишены конкретных свойств. Решение проблем,
связанных с пространством в микромире, возможно, под-
скажет истолкование физического смысла волн де Бройля,
лежащих в основе современной науки.
«Почему, несмотря на то что в сравнительно молодом
возрасте я,— говорит Эйнштейн,— с восхищением воспри-
нял гениальное открытие де Бройлем внутренней связи
между дискретными квантовыми состояниями и резонанс-
ными состояниями (для волн, связанных с массой), я все
же непрестанно предпринимал попытки найти другой путь,
следуя по которому можно было дать иной метод решения
загадки квантов или, по крайней мере, способствовать
подготовке такого решения. В основе этих попыток лежит
чувство глубокой неудовлетворенности принципиального
характера...»
Эйнштейн, выпестовавший основные понятия кванто-
вой теории — кванты в «пустом» пространстве, волны-час-
тицы Бозе, «волны материи» де Бройля, практически не
участвовал в дальнейшем бурном и эффективном развитии
квантовой теории и, наоборот, по мнению многих, стал
противником квантовой теории.
Наиболее эмоционально говорит об этом Р. Оппенгей-
мер — один из создателей атомной бомбы: «Он употребил
эти годы на попытки доказать, что в квантовой теории
111
имеются несообразности. Никто не сумел бы более ловко
придумать неожиданные и хитроумные примеры. Но вот
оказалось, что нет несообразностей. Во многих случаях для
их решения было бы достаточно обратиться к прежним
работам самого Эйнштейна. Когда он убедился после мно-
гих попыток в бесполезности своих усилий, ему осталось
лишь сказать, что квантовая теория ему не нравится... Он
боролся героически и ожесточенно против Бора, боролся
против теории, отцом которой был он сам, но которую не-
навидел. Это не первый случай в истории науки».
Да, не первый и, наверное, не последний, ибо все-таки
остается справедливым утверждение, что создатели тео-
рий «...лучше знают слабые места своих умственных по-
строений, чем поколения, наследующие им...» В развитии
науки его всегда интересовал вопрос об основополагающих
предположениях фундаментальных моделей. Естественно,
что детализация описания микромира на основе квантовых
постулатов менее интересовала Эйнштейна, чем дальней-
шее исследование их самих.
Эйнштейн в своих последних статьях напоминает о
том, что все-таки необходимо будет вернуться к исходным
постулатам квантовой теории на основе знаний и экспери-
ментальных фактов, которые появились в процессе разви-
тия квантовой теории.
Возникшие сегодня трудности в дальнейшем развитии
фундаментальных моделей природы имеют объективные
причины. Ведь речь идет о совершенно новых понятиях.
История науки убедительно показывает, что наиболее зна-
чительные достижения человечества возникли как сложное
обобщение экспериментальных данных. Пока еще объяс-
нение экспериментальных данных проводится в рамках
старого аппарата квантовой теории и теории полей. Экспе-
рименты же приносят данные о новых спектрах, отвечаю-
щих возбужденным состояниям на уровне внутренней
структуры элементарных частиц. Эти данные системати-
зируются, постепенно обобщаются, и со временем неизбеж-
но должны будут появиться новые, более общие теории.
И завершим эту книгу еще одним «вопросом без отве-
та» известного советского ученого — академика В. Л. Гинз-
бурга: «Кто следующий принесет в физику великие сози-
дательные идеи и построит новую фундаментальную тео-
рию? Может быть, он уже ищет эти новые пути? Или ходит
в школу? А быть может, он еще не родился?»
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1.
МИР ЗНАНИИ - ЭТО МОДЕЛИ
§ 1. Что такое модель? (4) § 2. Математика — язык модели (12)
§ 3. «Палата мер и весов» модели (18)
Глава 2.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Истоки математического описания полей (21) § 2. Электромагнит-
ное поле (26)
Глава 3.
ВОЛНЫ
§ 1. Волны — связь ускорений в пространстве и во времени (37)
§ 2. Дипольный излучатель волн (41) § 3. Механическая инерция
электромагнитного поля (42) § 4. Магнитное поле — результат движе-
ния зарядов (44)
Глава 4.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ПОЛЯ
§ 1. Закон Ома (51) § 2. Генераторы электроэнергии (57) § 3. Мате-
риальное уравнение для электрических процессов (59) § 4. Когда
в высокочастотном поле среда — проводник и когда — диэлектрик (64)
§ 5. Диполи в ионизированном газе (66) § 6. Вещество в магнитном
поле (69) § 7. Некоторые выводы (71)
Глава 5.
ВОЛНЫ - КВАНТЫ
§ 1. Как закон излучения абсолютно черного тела ввел в науку понятие
о квантах излучения (72) § 2. Маятник Эренфеста (78) § 3. Непре-
рывность и дискретность (82) § 4. Боровская модель атома и излу-
чение (85) § 5. Условия синфазного суммирования волновых пакетов,
излучаемых распределенными в пространстве радиоантеннами (88)
§ 6. Повторный вывод формулы Планка Эйнштейном (90) § 7. О неко-
торых практических следствиях законов индуцированного и спонтанно-
го излучения (94)
Глава 6.
ВОЛНЫ - ЧАСТИЦЫ. ЧАСТИЦЫ - ВОЛНЫ
§ 1. Третий путь вывода закона излучения абсолютно черного тела (98)
§ 2. Частицы — волны (102) § 3. Почти сбывшаяся «мечта» План-
ка (107) § 4. Атомизм Демокрита сегодня (109) § 5. Вопросы, на
которые пока нет ответов (110)
15 коп.