Частицы, источники, поля. Том 1 - Швингер Ю.

Автор: Швингер Ю.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика
Год: 1973
Похожие
Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная
Элементарные частицы. Диалоги физика и математика
Нейтрино - призрачная частица атома
Библиотечка Квант 67. Драма идей в познании природы. Частицы поля заряды
Текст
                    Ю. Швингер
ЧАСТИЦЫ I ИСТОЧНИКИ I ПОЛЯ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО КАНД. ФИЗ.-МАТ. НАУК А. И. НАУМОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. А. М. БРОДСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1973

Julian Schwinger
Harvard University
PARTICLES,
SOURCES,
and
FIELDS
Addison-Wesley Publishing Company
Reading, Massachusetts. Menlo Park, Califor
Don Mills, Ontario.
1970

УДК 539.12+530.145
Кпига написана выдающимся физиком-теоретиком 10. Швингером, кото-
который излагает в ней свой подход к теории элементарных частиц. Она написана
с большим педагогическим мастерством и может служить «ведением в общий
курс теории элементарных частиц и квантовой теории поля
Книга рассчитана на физиков-теоретиков, а также студентов ii аспирантов,
специализирующихся в области теоретической физики.
Редакция литературы по физике
0232-062
041@1)-73

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Нет, очевидно, никакой необходимости ни сколько-нибудь подроб-
подробно разбирать важность проблем, рассматриваемых в книге, кото-
которая предлагается вниманию читателей в русском переводе, ни
специально представлять ее автора. Всем интересующимся физи-
физикой хорошо известно принципиальное значение теории реляти-
релятивистских полей и элементарных, или, как некоторым больше теперь
нравится, фундаментальных, частиц. Автор книги — лауреат Нобе-
Нобелевской премии Ю. Швингер — один из наиболее популярных
современных физиков-теоретиков. Работы Ю. Швингера в области
квантовой электродинамики наряду с работами Р. Фейнмана
привели к наиболее успешным количественным результатам из
числа тех, которыми может похвастаться (и которые может при-
привести в свое оправдание) релятивистская квантовая теория поля.
Уже сказанного достаточно для того, чтобы мотивировать интерес
к монографии по теории элементарных частиц, написанной
Ю. Швингером. Прежде всего интересна его личная реакция на
современное, явно неудовлетворительное состояние теории, кото-
которая значительно отстает от быстро развивающегося эксперимента.
Эта реакция очень четко формулируется в следующем высказыва-
высказывании Швингера, которое может служить хорошим эпиграфом ко
всей книге: «...разочарование в операторной теории поля с ее
математической непоследовательностью и слишком опосредство-
опосредствованной связью с физикой, недовольство чрезмерно математиче-
математическим и умозрительпым характером более, как считается, близкой
к физике теории ^-матрицы, недовольство притязаниями алгебры
токов на роль не просто нттзкоэнергетической феноменологии,
а некой фундаментальной схемы».
Из приведенной весьма неутешительной характеристики наи-
наиболее широко разрабатываемых сейчас направлений теории, кото-
которым посвящаются ежегодно тысячи публикаций, вытекает сле-
следующее естественное заключение. Необходимо прежде всего вновь
пересмотреть и четко сформулировать те результаты, которые
непосредственно следуют из общих физических принципов, таких,
как релятивистская инвариантность, причинность, соответствие
с нерелятивистской квантовой механикой. Такое заключение
нельзя назвать оригинальным: им мотивируется также развитие
аксиоматической теории поля и той же теории ^-матрицы. Осо-
Особенностью предлагаемого Швингером подхода, которому посвя-
посвящена данная монография, является попытка реализовать указан-
указанную программу п рамках теории источников. Основное преиму-
преимущество такой теории состоит, как считает Швингер, в сохранении
связи с пространственно-временным описанием, теряющейся в том
случае, если начальные и конечные состояния характеризуют

6 I ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
только импульсными переменными. При этом источник, сопо-
сопоставляемый определенным частицам, есть некая абстракция,
позволяющая учесть то обстоятельство, что рождение и уничтоже-
уничтожение частиц происходит в ограниченных областях координатного
и импульсного пространств. Вне областей уничтожения и рожде-
рождения частицы фактически характеризуются квантовыми числами
неприводимых представлений группы Пуанкаре. С учетом допол-
дополнительных соображений равноправности всех точек пространства-
времени и причинности удается получить некоторые общие огра-
ограничения на источники, не зависящие от их конкретной природы.
Такие ограничения, сводящиеся к равенству нулю некоторых
дивергенций источников, естественным образом интерпретируются
как законы сохранения, например электрического заряда или
энергии-импульса. В число вторичных, выводимых из исходных
положений заключений входит также условие унитарности в отли-
отличие от аналитической теории ^-матрицы, где расширенное условие
унитарности вводится в качестве первичного динамического прин-
принципа. В данном отношении, так же как и в стремлении к деталь-
детальному пространственно-временному описанию, теория источников
Швингера сближается с квантовой теорией поля. Швингер как бы
с особой гордостью несколько раз повторяет, что он нигде не
обращается к постулатам об аналитичности.
В то же время ограничения, накладываемые на источники,
не определяют полностью динамику взаимодействия. Так же как
и теория ^-матрицы без дополнительных постулатов об аналити-
аналитических свойствах, теория источников сохраняет определенные
черты полуфеноменологической схемы, которая может быть
в дальнейшем усовершенствована путем включения дополнитель-
дополнительных динамических принципов. Таким образом, теория источников
занимает промежуточное положение между теорией квантованных
полей и теорией «^-матрицы.
Следует подчеркнуть, что далеко не все в излагаемой Швин-
гером теории носит оригинальный характер. Кинематическая
классификация и характеристика частиц по представлениям
группы Пуанкаре с записью ковариантных уравнений, включаю-
включающих дополнительные условия, неоднократно подробно рассма-
рассматривалась ранее х), в том числе и самим Швингером, в рамках
обычной теории поля. Многие приведенные выводы были полу-
получены в так называемой теории калибровочных (или компенси-
компенсирующих) полей и при доказательстве теоремы о связи спина со
статистикой. Сопоставление статическому взаимодействию опре-
определенных частиц восходит еще к периоду зарождения квантовой
1) См., например, Н. Н. Боголюбов, А. А. Логунов, И. Т. Тодоров, Основы
аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; У. Така-
hashi, An Introduction to Field Quantization, New York, 1969.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 7
теории поля. Приведенные замечания необходимы потому, что
сложная и находящаяся сейчас на критическом этапе история
теории элементарных частиц в книге Швингера, которая предла-
предлагается им в качестве учебного руководства, вообще не затраги-
затрагивается. Почти единственная явная литературная ссылка дана
в своеобразной форме диалога с воображаемым читателем, кото-
который задает автору вопрос: не совпадают ли в определенных пунк-
пунктах его рассуждения с содержанием работ Фейнмана? В преди-
предисловии Швингер аргументирует отказ от исторических коммен-
комментариев тем, что постоянные ссылки на аппграт, который в данной
книге не используется, отвлекал бы внимание читателя. Такую
аргументацию можно понять, но с ней трудно согласиться, так как
критический разбор различных теорий позволил бы глубже
понять объективно существующие трудности.
Из-за отсутствия литературных ссылок очень трудно выделить
тот оригинальный вклад в теорию, который внес Швингер при
написании данной монографии. Несомненно только, что этот
вклад весьма значителен. Помимо мотивировки самого общего
подхода к теории источников и отдельных разбросанных по всей
книге интересных и часто глубоких замечаний можно указать,
например, на широкое эффективное использование так назы-
называемого постулата об евклидовости и на своеобразное рассмотре-
рассмотрение гравитационных эффектов.
В заключение можно выразить убеждение, что книга Швингера
несомненно вызовет интерес у широкого круга читателей.
В процессе перевода были исправлены замеченные опечатки.
А. М. Бродский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга — учебник, но она представляет собой и оригинальный
научный труд. В ней отражена сугубо личная реакция автора
на кризис в физике частиц высоких энергий: разочарование
в операторной теории поля с ее математической непоследователь-
непоследовательностью и слишком опосредствованной связью с физикой, недоволь-
недовольство чрезмерно математическим и умозрительным характером
более, как считается, близкой к физике теории 5-матрицы, недо-
недовольство притязаниями алгебры токов на роль не просто низко-
низкоэнергетической феноменологии, а некой фундаментальной схемы.
Результатом явились точка зрения и аппарат, в которых
главный упор делается на единство физики частиц высоких энер-
энергий с электродинамикой, теорией гравитации и теорией много-
многочастичных коллективных явлений. Концепция физического источ-
источника, лежащая в основе такого построения, ведет свое математи-
математическое происхождение от операторной теории поля. Но лишь
весной 1966 г., когда я читал лекции для аспирантов в Гарвард-
Гарвардском университете, я вдруг понял, каким образом можно очистить
понятие феноменологического источника от операторной суб-
субструктуры и взять за основу совершенно независимого построения
с гораздо более тесной связью с экспериментом.
Реконструкция электродинамики шла быстро — летом того же
года в Калифорнийском университете и при повторении гарвард-
гарвардского курса, который^ однако, на этот раз был полностью посвя-
посвящен новому подходу. Чрезвычайно успешное применение нового
подхода при анализе явлений пионной физики (зимой 1966—
1967 гг.) убедило по крайней мере меня самого в его огромных
преимуществах — математической простоте и прозрачности кон-

0 I ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
цепций. Отсутствие должной оценки со стороны других физиков
было удручающим, но объяснимым. Изменить такое положение
могло лишь подробное изложение идей и методов теории источ-
источников, и к концу лета 1968 г. я начал писать данную книгу.
Как учебник, она рассчитана на любого студента, знакомого
с нерелятивистской квантовой механикой и желающего изучить
релятивистскую квантовую механику. По моему мнению, чрезвы-
чрезвычайно важно, чтобы студент познакомился с освободительными
идеями теории источников раньше, чем одна из господствующих
ныне теорий деформирует его взгляды дг лее предела упругости.
В предисловии к своей монографии по теории ^-матрицы один
-автор говорит о желательности определенной невинности студента
по отношению к операторной теории поля г). Я откликаюсь на
этот грустный призыв, но расширяю сферу невинности, так чтобы
в нее входила и теория ^-матрицы.
При написании книги я не старался давать по ходу изложения,
как обычно принято, исторические комментарии со ссылками
на то, кто, что и когда сделал первым. Может быть, я стал слишком
чувствителен к тем искажениям, которые неизбежны, когда
упрощенно приписывают идеи и методы определенным лицам.
Но имеется и более веская причина. Хотя общая критика суще-
существующих взглядов и необходима при обосновании излагаемой
точки зрения, все же, если бы развитие нового подхода сопровожда-
сопровождалось постоянными ссылками на аппарат, который предполагается
1) По-видимому, имеется в виду следующее высказывание Дж. Чью:
«...опыт работы с теорией поля в лагранжевой формулировке может даже,
наоборот, затруднить попытку изучения теории ^-матрицы» \G. F. Chew,
The analytic S-matrix, New York, 1966 (см. перевод: Дж. Чью, Аналитиче-
Аналитическая теория ^-матрицы, изд-во «Мир», 1968)].— Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА I 11
устаревшим, это слишком рассеивало бы внимание. Специалист
приходит с готовым мнением о том, что уже было сделано раньше.
Для студента же важно лишь то, что для него ново, и я надеюсь,
что из страниц этой книги он почерпнет много полезного для себя-
Книга никогда не была бы завершена (я поставил мировой
рекорд по количеству незаконченных первых глав), если бы моя
жена не проявила столько чуткости и терпения.
Ю. Швипгер
БЕЛМОНТ, ШТ. МАССАЧУСЕТС
ОКТЯБРЬ 1969

Глава 1 | ЧАСТИЦЫ
Понятие частицы подверглось коренным изменениям и обобщениям
в процессе исторического развития, которое привело от атома
к атомному ядру, а затем к субъядерным явлениям. Это развитие
сопровождалось также переходом от существенно нерелятивист-
нерелятивистских явлений к ультрарелятивистской области. Интересно выяс-
выяснить, как много кинематических характеристик частиц вытекает
уже из структуры постулируемой нами группы относительности,
состоящей из всех преобразований перехода между эквивалент-
эквивалентными координатными системами. В качестве подготовительного
этапа этого анализа мы рассмотрим сначала некоторые свойства
квантовомеханических унитарных преобразований.
§ 1 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Квантовая механика является символической формой выражения
закономерностей процесса микроскопического измерения. Состоя-
Состояния, или ситуации с оптимальной информацией, представляются
векторами в комплексном пространстве (левыми ( | и правыми
векторами | )), а физические характеристики — линейными эрми-
эрмитовыми операторами, действующими в этом пространстве, А \ )
и ( \А. Свобода в физическом описании соответствует произволу
в выборе математического представления — переход от одного
представления к другому осуществляется унитарным оператором.
Последние определяются с использованием операции эрмитова
сопряжения \:
и*и = ии* = 1, A.1)
или
U^^U-K A.2)
Преобразуем все векторы и операторы по формулам:
П-<|?Ш-0"Ч>, х^и-^хи. A.3)
Тогда все численные соотношения и соотношения сопряжения
между векторами и операторами не изменятся. Действительно,
&\Щ-(а'\Ъ'), (^\X\F) = (a'\X\b'), A.4)
а соотношение сопряжения
(e'| = |eV A.5)
переходит в следующее:
(?7=(а'|СЬ,(?7-1|а')^ = пУ; A.6)

14 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
равенство
Х* = 1Г+Х*и A.7)
показывает, что эрмитов оператор А отображается в эрмитов же
оператор А.
Полный набор состояний {а' | образует базис, или координат-
координатную систему. Произвольный вектор | ) задается своими компо-
компонентами (а' | ), вычисленными в этом базисе. В результате уни-
унитарного преобразования получается другой базис
(V\ = {a'\U, A.8)
в котором данный вектор будет иметь новый набор комнонент
(V\ )= (a'\ U | ). A.9)
Эти величины можно иначе рассматривать как компоненты нового
вектора U \ ), вычисленные в исходном базисе. Аналогичное соот-
соотношение имеет место и для матричных элементов операторов:
(ar\X\a7') = {a'\UXU-1\a"). A.10)
Два последовательных преобразования бависа
(a'\)^i(ar\Ul\)^l(a'\UtUi\) A.11)
можно совершить в один прием, подействовав оператором U2UX,
порядок сомножителей в котором отражает последовательность
преобразований. Противоположной последовательности преобра-
преобразований отвечает оператор U JJ-i. По определению, сравнение двух
операторов осуществляется таким унитарным оператором, кото-
который необходим, чтобы перевести вторую последовательность
в первую *):
и[ти^и2 = и2и,. A.12)
Этот оператор равен:
ff [12] = UJJJJ^U;' = tf f2ij. A.13)
Инфинитезимальное унитарное преобразование есть преобра-
преобразование из бесконечно малой окрестности единицы. Оно записы-
записывается так:
U = 1 + iG, W = U-1 = 1 - iG, A.14)
где G — инфинитезимальный эрмитов оператор. Сравнивая два
таких преобразования, получаем
В теории групп такой оператор называется коммутатором элементов
i1 и U^,1-— Прим. ред.

§ 1. УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ I 15
где оператор
G[12]=-G[2i] = 4[G11G2] A.16)
вводит коммутатор операторов G± и G2. Действие инфинитезималь-
ного унитарного преобразования на оператор описывается фор-
формулой
UXU~X = X + 6Х, A.17)
где
6X = |[X,G]; A.18)
соотношение A.17) эквивалентно равенству
X = U-1XU = X-8X. A.19)
Записывая ?/[i2]X?/fi2] двумя разными способами:
iX + 8ll2]X = U2UlU2iUiiXUiU2UilLy2i, A.20)
мы получаем
6[12]Х = бзбД — б^Х. A.21)
Будучи записанным через двойные коммутаторы:
[X, id, G2]] = [[X, G,], G2] - [[X, G2], GJ, A.22)
это соотношение называется тождеством Якоби.
Рассмотрим теперь группу унитарных преобразований с п веще-
вещественными непрерывными параметрами Ха (а — 1, . . ., п). всю
совокупность которых мы будем обозначать символом X. Если
U (^.1,2) — типичные операторы группы, то требуется, чтобы
выполнялось равенство
U (Я,) U (h) = U (Яо), A.23)
где
Яа = Ха (ки Хг) A.24)
— параметры какого-то другого элемента группы. Для унитар-
унитарных операторов существование обратного и единичного операторов
обеспечено по определению. Инфинитезимальные преобразования
из группы с параметрами 8Ка строятся из п конечных эрмитовых
операторов Ga:
G=j]6XaGa, A.25)
a=l
называемых генераторами группы. Ничто не мешает переопреде-
переопределить генераторы посредством вещественных несингулярных линей-
линейных преобразований с соответствующим переопределением пара-
параметров. Подвергнув оператор инфинитезимального преобразова-

If) I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
ния U FЯ) произвольному унитарному преобразованию из груп-
группы, мы должны получить некоторое другое инфинитезимальное
преобразование. Это утверждение выражается равенством
77 /^ \~*1 f~^ ТТ (\ \ ^^ /\ \ /*"* /Л О??Ч
О _| О ,
где числа иаЬ (Я) вещественны. Используя матричные обозначе-
обозначения в n-мерном пространстве параметров, предыдущее равенство
можно записать в виде
С/(Я)-Ч??7(Я) = u(X)G. A.27)
Действие унитарных преобразований можно представить также
другим способом:
ТТ 1\\/~* ТТ I'\\~1 \^ г1 Л fL \ {\ О5Э\
a
ИЛИ
U (Я) GU (Я) = G й (Я). A.29)
Два введенных набора матриц связаны соотношением
и = {ит)-\ A.30)
где Т означает операцию транспонирования. Заметим, что,
поскольку матрицы и вещественны, для них транспонирование
эквивалентно эрмитову сопряжению.
Соответствие, установленное между унитарным оператором
U (Я) и матрицами и (Я), й (Я), сохраняется и при умножении:
U {h)-1 U (Яг) GU (Я2) U (h) = U (Я,) [и (Я2) G] U (Я4) =
= и (Я2) и (Я,) G, A.31)
U (Я2) U (Я4) GU (Ki)-1 U (Яг) = U (Я2) [Gu (Х$\ U (Яг) =
= Gu (Я2) и (Я,). A.32)
Так как единичный оператор соответствует единичной матрице,
мы имеем
где
^--й-вГ. A-34)
Это дает
[G, Gb] = ftG = -G^. A.35)
Вводя для мнимых элементов матрицы gj, обозначение
(gb)ac = gabc, d-Щ

§ 1. УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ I 17
мы получаем коммутационные соотношения для генераторов груп-
группы в явном виде:
[Ga, Gb\ - 2 gabcGc- A.37)
с
Между прочим, отсюда видно, что
gabc = Sb ас A-38)
Ввиду мультипликативного соответствия между U (к) и и (X)
[или и (X)] матрицы ga \ga] удовлетворяют тем же коммутационным
соотношениям:
[ga, gb\=Hi gabcgc- A-39)
с
Последние представляют собой систему квадратичных ограниче-
ограничений, которым должны удовлетворять числа gabC> называемые
структурными константами группы:
2 [galdgdce + gbcdgdae + gcadgdbe] = 0. A.40)
d
Ото циклическое соотношение сразу же следует и из тождества
Якоби, записанного в циклической форме:
\[Gtl, Gh], Ge) + [[Gb, Gc], Ga] + UGe, Ga], Gb) = 0. A.41)
Структурные константы задают композиционные свойства бес-
бесконечно малых параметров. Пусть б[12]Ха — параметры инфините-
зимального преобразования, связывающего два произведения пре-
преобразований с параметрами 8^а и 62Jla, которые производятся
в противоположном порядке. Согласно коммутационным соот-
соотношениям для генераторов группы, эти параметры задаются
равенством
8[12]^с= — 6[2i]^c=2 бЛАЛь у gW. A-42)
ab
При дальнейшем анализе мы будем рассматривать композицион-
композиционные свойства группы с геометрической точки зрения. Необходимо
четко представлять себе, что соответствующая унитарная группа
может и не быть точным образом исходной геометрической группы.
Это — следствие произвола, свойственного любому квантовомеха-
ническому описанию, в силу которого все состояния можно снаб-
снабдить общим фазовым множителем, т. е. подвергнуть унитарному
преобразованию, которое геперировано единичным оператором.
Рассмотрим в качестве, примера коммутативную (абелеву) группу
трансляций в пространстве двух измерений. Пусть бх^ и 8х2 —
параметры двух независимых инфинитезимальных смещений, а р^
и р2 — соответствующие эрмитовы операторы смещений; тогда
G = piSxi 4- ?>2б#2- A-43)
2-0670

18
ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Из нечувствительности результата последовательных смещений
к порядку, в котором они производятся, должна следовать комму-
коммутативность операторов pt и р2. Однако в действительности от
коммутатора требуется только то, чтобы он генерировал унитарное
преобразование, не приводящее ни к каким физическим след-
следствиям. Поэтому при соответствующей нормировке операторов
смещений будем иметь
y[A,Pj] = l. A.44)
При этом действие унитарного преобразования U (бх) на опера-
операторы ри 2 сводится к преобразованию
6p, = -!-[Pi,G] = 6;r,t 6p,=4[p,,G]=-6a:i, A.45)
откуда видно, что операторы смещений служат также операторами
координат:
«i = — Рг = q, z2 = pi 3= р. A.46)
В приведенном примере нетрудно узнать свойства фазового про-
пространства переменных q, p, связанного с одной квантовой сте-
степенью свободы. Трансляции в этом двумерном пространстве описы-
описываются трехпараметрической унитарной группой, имеющей сле-
следующий явный вид:
G = Р8д - q8p + 6ф1. A.47)
Соответствие между унитарными операторами U (к) и конеч-
конечными матрицами и (К), й (X) вовсе не предполагает унитарности
последних. [Заметим, что если и (X) — унитарные матрицы, или
вещественные ортогональные матрицы, то и (к) = й (К); тогда
ga будут эрмитовыми, или мнимыми антисимметричными, матри-
матрицами, причем ga — ga.] Так как структуру матриц g можно изме-
изменять, изменяя базис из генераторов в пространстве параметров,
полезно было бы иметь инвариантный критерий, позволяющий
судить о возможности выбора эрмитовых матриц g или унитарных
матриц и (К). Если набор п генераторов G заменить их линейно
независимыми комбинациями KG, то матрицы g подвергнутся
тому же самому линейному преобразованию, а кроме того, еще
и преобразованию подобия, порождаемому несингулярной матри-
матрицей Я. Поскольку след произведения матриц не меняется при
преобразовании подобия, мы рассмотрим вещественную квадра-
квадратичную форму
2 XaSv(gagb)xb = Sp( 2 XagaY, A-48)
ab a
которая должна быть положительно-определенной, если матрицы
ga можно представить. в виде линейно-независимых эрмитовых

§ 1. УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 19
матриц. Если это свойство отсутствует, то такие эрмитовы матри-
матрицы g и унитарные матрицы и (X) не существуют. Именно так
обстоит дело с генераторами q, p, 1 в примере, который мы только
что рассмотрели. В этом случае квадратичная форма тождествен-
тождественно равна нулю, так как единичному оператору отвечает нулевая
матрица, а у матриц, связанных с д и р, отличны от нуля лишь
по одному недиагональному элементу, причем такому, что все
произведения матрицы обращаются в нуль. Положительная опре-
определенность вещественной симметричной матрицы
УаЪ = SP (gagb) A.49)
не только необходима, но и достаточна для эквивалентности ga
набору линейно-независимых эрмитовых матриц. Так как эле-
мепты матрицы у не меняются при преобразовании подобия
и(Х)-^аи(К) = ^иаЬ(Х)§ь, A.50)
ь
мы имеем
у = и (X) уи (Х)т. A.51)
Вещественную, симметричную, полоиштельно-определенную матри-
матрицу у всегда можно представить в виде квадрата некоторой
другой матрицы с такими же свойствами; мы обозначим ее через
уЧг. Тогда
[у-Чщ (X) уЩ [у-г1ги (X) y1/21t = 1, A.52)
откуда становится ясной структура преобразования подобия,
которое приводит к унитарным (ортогональным) матрицам и (X)
и к эрмитовым (антисимметричным) матрицам g. В новом базисе
матрица у кратна единичной.
Предположим, что операторы Ga допускают реализацию в виде
конечномерных линейно-независимых эрмитовых матриц. Это
означает существование вещественной симметричной положитель-
положительно-определенной матрицы
Yib = Sp (GaGb). A.53)
Неизменность этих величин при унитарных преобразованиях опе-
операторов снова приводит к равенству
у' = и (X) у'и (?0т, A-54)
означающему, что в качестве матриц и (X) можно взять унитарные
матрицы. Если исключить не представляющую интереса воз-
возможность, когда группа содержит в качестве сомножителя неко-
некоторую абелеву группу, то соответствующие эрмитовы матрицы ga
будут линейно-независимыми. Они служат примером конечномер-
конечномерной реализации операторов Gay тогда как и {X) дают конечномер-
2*

20 ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
ную унитарную реализацию операторов U {%). Наоборот, если
матрица уаЪ не является положительно-определенной, то никакая
конечномерная унитарная (эрмитова) реализация операторов
U (X) [Ga] невозможна. Наличие конечномерной реализации груп-
группы означает, что найдется такое конечное число состояний, кото-
которые при всех операциях группы преобразуются только друг через
друга. В общем случае действие унитарного оператора на состоя-
состояние приводит к новому состоянию, причем при повторном его
применении процесс порождения дополнительных состояний про-
продолжается дальше. При этом число состояний будет конечным,
если повторное применение групповых операций в конце концов
перестает порождать новые операторы, т. е. когда пространство
параметров группы является замкнутым. Наиболее известным
примером различия между замкнутым и открытым групповыми
многообразиями является различие между вращениями и транс-
трансляциями.
Если матрицы ga эрмитовы, то структурные константы gabc
антисимметричны по а и с, а также но а и &, что означает также
антисимметрию по & и с. Такая полная антисимметрия возможна
только при п ^> 3. В случае п = 3 мнимые структурные кон-
константы соответствующей нормировкой всегда приводятся к виду
gabc = 1?аЬс, A-55)
где еаьс — полностью антисимметричный символ, фиксированный
условием 8i?3 = +1- Возникающие при этом групповые комму-
коммутационные соотношения
[(?!, б2] = iG3, [G2, G3] = iGu [Ga, Gil = iG2, A.56)
или
[Ga, Gb] = i 2 eabcGc, A.57)
с
хорошо известны из теории трехмерного углового момента и из
теории изоспина. Трехмерные матрицы g удовлетворяют таким же
коммутационным соотношениям, а матрица у кратна единичной.
§ 2. ГАЛИЛЕЕВСКЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
Пространственно-временные координаты появляются в квантовой
механике в качестве некоторой абстракции, служащей для
описания роли макроскопических измерительных приборов. Все
экспериментальные данные подтверждают эквивалентность двух
координатных систем, которые отличаются одна от другой нача-
началом пространственных координат, началом отсчета времени,
направлением пространственных осей или наличием постоянной
относительной скорости. Совокупность соответствующих преобра-

§ 2. ГАЛИЛЕЕВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ 21
зований образует группу относительности или, точнее, подгруппу
тех ее преобразований, которые непрерывным образом связаны
с единицей. Когда все частицы движутся медленно (их скорость
мала по сравнению со скоростью света), временная координата
имеет абсолютный смысл и изменяется лишь при сдвиге начала
ее отсчета. Это и есть галилеевская относительность. Она харак-
характеризуется инфинитезимальными координатными преобразова-
преобразованиями г, t-*-r, t, где
7=г — б г, 7=t — 8t, B.1)
бг = бе + бю X г + 8\-t. B.2)
Заметим, что при таком соглашении о знаках, скажем, под бе
понимается сдвиг начала пространственной системы координат,
относительно которой рассматривается данная точка. Если же
на бг сдвигается сама эта точка, то ее новое положение относи-
относительно фиксированной системы координат будет задаваться векто-
вектором г + бг. Композиционные свойства рассматриваемой 10-пара-
метрической группы определяются путем сравнения результата
последовательности преобразований
= _ _ = _ xt)
г = г — б2г, t = t — 82t
с результатом последовательности тех же преобразований, произ-
произведенных в противоположном порядке. Совершая последова-
последовательно инфинитезимальные преобразования 1, 2, I, 2 или
преобразования I, 2, 1, 2, получаем:
б[12]Г == б[12]Е + 8[12]М X Г + 6[12]V-f,
6[i2]* = 0, B.4)
где
6[i2]8 = 6i(o X 628 — 62<о X 6ie -|- 6iV-62* — 62v-6i*,
б[12]@ = 6l&> X 62@, B.5)
6[12]V = 6,@ X 62V — 62ft» X 6iV.
Инфинитезимальное унитарное преобразование U = 1 -f- iG,
порождаемое инфинитезимальным координатным преобразованием,
задается формулой
[6eP+6«>J + 6N6*#] + 6l B.6)
В дальнейшем квантовая единица действия Н — 1,0545-Ю"87 эрг-с
будет заменяться единицей, что соответствует выбору атомных
единиц измерения. Генераторы Р и J обычно называют операто-
операторами импульса и углового момента, а Н — оператором энергии

22 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
или гамильтонианом. Генераторы, отвечающие бесконечно малым
изменениям скорости, ранее не имели особого названия. Но в наш
ракетный век преобразования, соответствующие конечной скоро-
скорости, стали именовать «бустами». Поэтому оператор N следовало бы,
может быть, называть «бустером» 1). Мы должны теперь устано-
установить композиционные свойства группы для нового скалярного
параметра бф. Общий вид билинейной формы 6[12]ф = —6[2i]Cp
следующий:
6[12]ф = К Fift>-628 — бгйо-б^) + L Fi(o-62v — 62(o*6iv) 4-
4- М F!8.62v - 62е-6,у), B.7)
где К, L, М — некоторые константы. Применяя тождество Якоби
к трем совокупностям инфинитезимальных преобразований, полу-
получаем:
К [6[i2]ft>-63e — 63o)-6[i2]8 4- цикл, перест.] -|-
4- L [6[i2]«*63v — 63ft»-6[12]V 4- цикл, перест.] 4-
4- М [6[i2]8-63v — 638-6[12]V 4- цикл, перест.] = 0. B.8)
Легко убедиться в том, что множитель при М тождественно равен
нулю, но коэффициенты при Кш L в нуль не обращаются. Поэтому
должны равняться нулю сами К и L, и мы приходим к следующему
простому выражению:
б[12]ф = М FiE'62V — 628-6!V). B.9)
Не в качестве доказательства справедливости выражения B.9),
а лишь как некоторое наводящее соображение к нему, обратим
внимание на то, что величина 6e-8v есть скаляр, тогда как 6ю-бе
и 6ft»-6v — псевдоскаляры.
Полный набор коммутационных соотношений для генераторов
имеет вид
ГЛм Jl\ = WklmJm, [Ph, JJ = itklmPra' \Nh, Ji\ = UhlmNm,
[Pk, P,\ = 0, \Nh, NJ = 0, [Pk, Nt] = i6hlM B.10)
и
[Pk, H] = 0, [Jh, H] = 0, [Nh, H] - -iPk, B.11)
где принято правило суммирования по повторяющимся индексам,
в рассматриваемом случае по индексу т, пробегающему значе-
значения 1, 2, 3.
х) В тексте использованы (как это стало уже почти традиционным и науч-
научной литературе) английские слова «boost» и «booster». Они употребляются
пе только в ракетной технике, как можно подумать на основании слов авто-
автора. Их значение приводится в англо-русских словарях. В ракетной же тех-
технике бустер — ракетный ускоритель, стартовый двигатель, а буст — тяга
такого двигателя.— Прим. ред.

§ 2. ГАЛПЛЕЕВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
23
Коммутатор двух генераторов можно интерпретировать, при-
причем двумя разными способами, как результат действия инфините-
аимального унитарного преобразования на оператор:
e[12)C = l[G1, 6,1 = 6,6,=-6,<?,. B.12)
Коммутаторы, в которые входит оператор углового момента,
можно записать, например, в виде
$Ш3 = — [J, J • бю] — 8а> X J,
B.13)
этим устанавливается изменение вектора при бесконечно мало.и
вращении. Соотношение же
[H J6(o]0 B.14)
характеризует Н как скаляр по отношению к вращениям. В слу-
случае же когда в коммутаторы входит оператор импульса, т. е. когда
изменение физических величин обусловлено трансляцией, имеем
6eP = -i[P, P.6e] = 0, B.15)
6eN = y[N, Р-бв] = —Л/бе
и
8еН^~~\Н, Р-6е]-0. B.16)
Характер изменения углового момента при трансляциях нахо-
находится в соответствии с тем, что последний является моментом
вектора импульса, и указывает на существование векторного
оператора положения R со свойством
¦j [R, Р-бе] = бе, B.17)
ИЛИ
Шк, Pi\ = tiki- B-18)
Следовательно, мы можем написать
J = R х Р + S, B.19)

24 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
где S — трансляционно-инвариантный вклад в угловой момент,
т. е. внутренний угловой момент, или спин. Такая конструкция
обеспечивает правильный характер изменения оператора Р при
вращениях. Правильно будет изменяться при вращениях и опера-
оператор R, если его компоненты коммутируют друг с другом и если
S коммутирует с R и с Р. Чтобы получить правильное поведение
самого оператора S относительно вращений, необходимо, чтобы
его компоненты удовлетворяли коммутационным соотношениям
для компонент углового момента, которые можно записать также
в виде
S х S = iS. B.20)
Характер изменения оператора N при трансляциях указывает
на то, что его можно отождествить с —MR, добавив к этому
оператору трансляционно-инвариантный член. Так как движению
с постоянной скоростью отвечает линейно-возрастающая со вре-
временем трансляция, то
N=Pi-.?R. B.21)
При таком построении операторы J, Р, N удовлетворяют всем
необходимым коммутационным соотношениям друг с другом.
Если | ) есть динамически возможное состояние, a U — пре-
преобразование из группы относительности, то U | ) будет также
динамически возможпьш состоянием, так как вектор U | ) имеет
те же самые компоненты, что и вектор | ) при переходе к преобра-
преобразованному базису. Это означает, что генераторы группы относи-
относительности являются интегралами движения. Это следует также
из коммутационных соотношений, в которые входит //, если
учесть, что R, P, S не зависят явно от t:
-f--1 [Р, II] = 0, -g- = 4 [J, Я] = 0, B.22)
тогда как
B-23)
Конечно, в случае изолированной динамической системы Н не
зависит явно от t. Факт сохранения N можно записать также в виде
5p_;lfj|L = o, B.24)
откуда ясно, что параметр М следует отождествить с постоянной
массой системы. Вектор положения R описывает движение
с постоянной скоростью:

§ 2. ГАЛИЛЕЕВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ I 25
Структура оператора // до некоторой степени определяется раз-
различными законами сохранения. Заметим, что
и
Следствием этих соотношений является равенство
5 B.28)
которое дает нам разбиение Н на энергию движения системы
как целого и на внутреннюю энергию. Выражение для последней
обычно содержит внутренние динамические переменные, комму-
коммутирующие с R и Р; эти переменные входят в гамильтониан Яцнутр
таким образом, что он оказывается инвариантным относительно
вращений, генерируемых внутренним угловым моментом S.
Элементарная частица представляет собой систему без вну-
внутренней энергии или по крайней мере систему, внутренняя энергия
которой при рассматриваемых ограничениях на физические усло-
условия эффективно никак не проявляется. Рассмотрим п элементар-
элементарных частиц, каждая из которых описывается, как и выше, пере-
переменными г„, ра, su и .массой тп, где а — 1, . . ., п. Операторы,
связанные с различными частицами, коммутируют. Генераторы
кинематических преобразований системы как целого будут тогда
аддитивными:
р= S *.
а=1
J = S (г„ X р„ -f- sfl)-RxP| S, B.29)
N= S (Ро*-»пвго) = Р«
где
B.31)
Операторы полной системы обладают всеми необходимыми свой-
свойствами. Заметим, что введенные здесь внутренние переменные не

26 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
являются линейно-независимыми:
2>Mro-R) = 0, 2(р«-ТГР)=°. B-32)
а а
о чем говорит также и коммутационное соотношение
¦i[(re-R)ft, (рь—^P)j = 6ftlFob—9-). B.33)
Если разные частицы динамически-независимы, то оператор энер-
энергии тоже аддитивеи. В более общем случае, когда рассматриваются
взаимодействующие системы,
Л=Ъ-?; + У = ш + Ит. B.34)
а
где внутренняя энергия системы равна:
I+V; B.35)
У — скалярная функция внутренних координат ro — R,
ра — (mJM)V и sa, которая может зависеть также и от некото-
некоторых других переменных.
Если не считать весьма специальных случаев, то число рас-
рассматриваемых частиц не может быть динамической переменной.
Пусть имеется несколько разных сортов частиц с массами та.
Тогда
М=2иЛ, B-36)
а.
где Na — число частиц сорта а. Так как между массами различ-
различных частиц, вообще говоря, не существует никаких рациональных
соотношений, постоянство М означает постоянство Na для каж-
каждого сорта частиц. Исключение имеет место для нестабильных
частиц, например для а-постабильных атомных ядер (кинетические
энергии а-частиц могут быть достаточно малыми, так что нереля-
нерелятивистский характер движения нарушаться здесь не будет). При
;)том масса нестабильного ядра оказывается чрезвычайно близкой
к сумме .масс а-частицы и образовавшегося ядра.
Основываясь на общей характеристике взаимодействующих
систем, мы можем получить простое описание поведения частицы,
на которую влияет контролируемое макроскопическое окруже-
окружение. Так как в основе измерения характеристик свободных частиц
лежит классическая теория таких взаимодействий, возникает
необходимость в некотором критерии самосогласованности. Разо-
Разобьем гамильтониан системы частиц на две части: гамильтониан Нр,

ГАЛИЛЕЕВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
27
включающий все члены, которые содержат переменные данной
частицы, и гамильтониан Н_р, включающий все прочие члены,
описывающие систему, которая получается, если из исходной
удалить интересующую нас частицу. Ради простоты будем счи-
считать, что Нр содержит лишь члены взаимодействия, линейные
по скорости и по спину, а билинейные члены и члены, описываю-
описывающие спин-орбитальную связь, мы в него включать не будем.
Несмотря на то что взаимодействие не обязательно является
электромагнитным, мы будем использовать обозначения, подобные
принятым в случае такого взаимодействия:
Е-.еА(г, *) —s-F(r, t). B.37)
Подразумевается, что произведение некоммутирующих опера-
операторов р и А (г, ?) симметризовано с тем, чтобы оно было эрмито-
эрмитовым. Явная зависимость от времени появилась здесь в качестве
эффективной замены истинной зависимости от переменных внеш-
внешней системы; это ясно из равенства
,0,Я_р]. B.38)
Уравнения движения имеют вид
и
dt с
где
Е=— Уф-1^-, H=VXA. B.41)
При выводе второго уравнения мы отбросили коммутаторы типа
{{elс) А, ец>]. Это отбрасывание обосновывается не тем, что мы
рассматриваем классическое приближение, а тем, что мы прене-
пренебрегаем обратной динамической реакцией частицы на внешнюю
систему. Приведем также коммутационное соотношение
v v v — /—— HYr Л О А9\
Собственно электромагнетизм мы получим, приравнивая F вели-
величине, кратной Н:

28
ГЛАВА i. ЧАСТИЦЫ
что даст нам внутренний магнитный дипольный момент частицы:
V-g-^в. B.44)
Аналогичный этой характеристике электрический дипольный
момент не был обнаружен. Одно из значений гиромагнитного
отношения g играет особую роль. В однородном магнитном поле
векторы скорости и спина прецессируют вокруг направления
этого поля, причем скорости обеих прецессий совпадают при
g = 2. Экспериментально измеренные гиромагнитные отношения
чрезвычайно близки к значению g = 2 (лишь чуть-чуть превышая
его) в случае электрона B-1,001160) и мюона B-1,001166); для
других же частиц они весьма сильно отличаются от этой величины.
В дальнейшем нас будет интересовать движение бесспиновой
заряженной частицы в магнитном поле, создаваемом закреплен-
закрепленным магнитным зарядом. Пусть начало системы координат совме-
совмещено с этим зарядом, так что
Н = ^ B.45)
(теперь через g будет обозначаться величина магнитного заряда
в гауссовой системе единиц). Нашу систему характеризует урав-
уравнение движения
(произведение считается симметризованным), дополненное ком-
коммутационными соотношениями
[г,„ (mv),] = i8kl B.47)
и
vx v-i-Jj-^-. B.48)
Как это следует из тождества Якоби
= ^t*2^ B-49)
равенство B.48) не будет внутренне противоречивым лишь в том
случае, когда частица все время остается на некотором удалении
от магнитного заряда, т. е. при г> 0. Уравнение моментов,
записанное через симметризованное произведение, имеет вид
B.50)
Однако, так как зависимость гамильтониана от импульса не
сильнее квадратичной, используя симметризованное произведе-

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ | 29
ние, можно написать:
-^Г-=|[/(г), H] = V/(r).-^- = v.V/(r), B.51)
и тем самым мы получаем сохраняющийся вектор углового момента
3 = гхт\ — ^--. B.52)
с г v '
Как нетрудно убедиться, он является генератором вращений,
откуда вытокает одно важное следствие. Рассмотрим координат-
координатную волновую функцию { rt\ ), описывающую состояние частицы,
и повернем систему координат вокруг оси, задаваемой вектором г.
Инфинитезимальное вращение будет задаваться вектором
6ш = -?-6ср, B.53)
и соответствующий ему генератор равен просто
fiio.Jr-,—??-6ф. B.54)
Следовательно, в результате конечного вращения волновая функ-
функция изменится по закону
(rt| }-+-e-'l<-eit>'c№(rt\ ) B.55)
и обычное требование ее однозначности или двузначности при
повороте па 2л радиан означает, что величина eglc равна либо
целому, либо полуцелому числу.
Конечно, мы далеко не полно рассмотрели вопрос о магнитном
заряде и о возможности его существования. Но вскоре мы в связи
с самыми различными физическими проблемами вновь встретимся
со специальной системой операторов, фигурирующих в соотноше-
соотношениях B.47), B.48) и B.52).
% 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
Учет конечной величины спорости света с приводит к отказу от
абсолютного характера одновременности. В этом случае соот-
соответствующее ипфинитезимальное преобразование заменяется на
6rf = 6e° + -^-6v.r, C.1)
где бе° — смещение пачала отсчета переменной ct. В дальнейшем
вся совокупность пространственно-временных координат будет
обозначаться через зР = ct, г, где х° — —х0 ~ ct, а х* — xk =rh.
Инфинитезимальные координатные преобразования из эйнштей-
эйнштейновской группы относительности имеют вид
xv--=xv — &xv, 8xv = 6ev + 6(ii'xvx[1, C.2)

30 I ГЛАВА i. ЧАСТИЦЫ
где
Шесть независимых параметров этого четырехмерного вращения
связаны с бес» и 6v соотношениями
1
OU>ki = 8&;т5©т, бсйп/, ="—-бУь. C.4)
Композиционные свойства 10-параметрической группы описываются
равенствами
C.5)
В оператор G, который определяет унитарное преобразование,
порожденное инфинитезимальным координатным преобразова-
преобразованием, генераторы входят следующим образом:
Их соответствие с галилеевскими генераторами устанавливается
соотношениями
[ C.7)
= Я + Мс\ C.8)
Вскоре мы выясним необходимость сдвига начала отсчета энергии
при переходе от релятивистской области к нерелятивистской
(чтобы для галилеевского и эйнштейновского случаев получались
общепринятые обозначения). По поводу композиционного свой-
свойства скалярного параметра бф интересно отметить, что в четырех-
четырехмерном пространстве Минковского из векторов 6^2 е** и тензоров
Sj,2 ft» невозможно образовать ни одной билинейной скалярной
формы б[12]ф = —б[21]Ф- В соответствии с этим
= 0 C.9)
и полный набор коммутационных соотношений для генераторов
имеет вид
(ЗЛО)
— \Jfiv,
,iv — метрический тензор:
?wv: Яоо = —1. goh = 0, f>hl = 6ft?. C.11)

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ | 31
Коммутационные соотношения можно записать также в виде
/ C.12)
указывающем характер изменения векторов и тензоров при инфи-
нитезимальных лоренцевских вращениях (которые включают трех-
трехмерные вращения и движения с постоянными скоростями), и в виде
C.13)
задающем изменение этих операторов при трансляциях. Будучи
записанными в трехмерных обозначениях, все эти коммутаторы,
за двумя исключениями:
i-
C.14)
имеют галилеевский вид. При переходе к случаю галилеевской
относительности опускают оператор J/c2 и пренебрегают гамиль-
гамильтонианом Н по сравнению с Мсг, в результате чего оператор Р0/с
заменяется числом М. Далее мы будем пользоваться атомной,
системой единиц, в которой с = 1.
Коммутациопные соотношения C.10) для всех десяти генера-
генераторов могут, очевидно, иметь реализацию
/*| )=0, №\ ) = 0, C.15)
в которой выражается факт полной инвариантности бесструктур-
бесструктурного вакуумного состояния. Любое другое состояние представ-
представляет собой некоторое возбуждение системы, характеризуемое
неравенством Ра > 0. Скаляр, образованный из трансляционно-
инвариантпого вектора Р^,
М2 = — Р»Ри C.16)
Инвариантен относительно всех преобразований из группы Лорен-
Ча (мы рассматриваем лишь такие преобразования, которые непре-
непрерывным образом связаны с единицей, т. е. собственную орто-
хРонную группу Лоренца). В зависимости от того, положительна,
Равна нулю или отрицательна величина М2, четырехмерный
вектор pv будет времени-подобным, изотропным или простран-
ственно-подобным. Если импульс времени-подобен, то неравенство
> 0 C.17)

32 ! ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
инвариантно. В случае М = 0 неравенство
Р° = +|Р|>0
р
= +|Р|>0 C.18)
также не меняется при преобразованиях Лоренца. Если же век-
вектор пространственно-подобен, то выбором системы координат
знак его временной компоненты можно сделать любым. Таким
образом, случай М2 < 0 никакого интереса для физики не пред-
представляет. Неотрицательная величина (Ма)*/2 есть масса системы.
Другим трансляционно-инвариантным объектом является
псевдовектор
H^VtvPv = PvVn\ C.19)
где величина
V"v = -g-ei*vK*/Kjt C.20)
представляет собой тензор, дуальный тензору J^v, т. е. построен-
построенный из Jw и полностью антисимметричного тензора, определяю-
определяющегося условием
е0123 = +1_ C.21)
Указанное свойство инвариантности вытекает из закона измене-
изменения /№V при трансляциях и из антисимметрии тензора eflvH^:
~ [W», Ра8еа] = 6^к>-бе,ЛР„ = 0. C.22)
Отметим также, что
P^W» = 0. C.23)
Скаляр
W* = W^W» > 0 C.24)
инвариантен относительно всех преобразований Лоренца. Как
и должно быть, вектор W&, являясь вектором, ортогональным
к Рч, не может быть времени-подобным. Коммутационные соот-
соотношения для компонент вектора W^ имеют вид
¦J-[W\ WV] = *(W]XPV-WVP!1). C.25)
Поведение физических величин при пространственных трансля-
трансляциях, иллюстрируемое равенствами
y[J, P.6e] = 6sxP, 4-[N, Р.бе]= — 6гР\ C.26)
опять-таки указывает на существование оператора положения R,
который удовлетворяет соотношению
•J-1R, Р.ве] = ве, C.27)

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ 33
или
j[Rh, Pi) = 6hl. C.28)
(Не следует, однако, торопиться и вводить оператор времени,
сопряженный с оператором Р°,— это противоречило бы физиче-
физической природе энергетического спектра.) Одна из возможных форм
операторов J и N, в которой отсутствуют дополнительные транс-
ляционно-инвариантные величины, такова:
J = R X Р, N = Рх° - P°R. C.29)
Операторы R и Р° не коммутируют:
и поэтому под P°R в равенствах C.29) понимается симметризо-
ванное произведение. Если положить
R X R = 0, C.31)
то все рассматриваемые операторы будут правильно вести себя
при операциях пространственного вращения. Другой характер-
характерный для эйнштейновской относительности коммутатор записывает-
записывается в данном случае так:
Ш X N = R X Р. C.32)
Чтобы выполнялось это коммутационное соотношение, нам не
нужно ничего более делать, так как
i [P°Rk, P«Rt\ = RuPi - RlPh. C.33)
Простота этого результата, получающегося несмотря на наличие
симметризованных произведений, связана с тем, что коммутаторы
R с функциями от Р не дают никаких других коммутаторов и поэто-
поэтому в процессе эрмитовой симметризации обязательно исчезают.
В подобной ситуации информация об операторе энергии, которую
можно получить из закона сохранения N, т. е. из равенства
^o- = ^F' C-34)
уже содержится в соотношении Р° = (Р2 -f- M2I/*.
Добавим теперь внутренний угловой момент:
J = R XP+S. C.35)
По самой своей природе оператор S обязан коммутировать с R
и Р, а его компоненты должны удовлетворять коммутационным
соотношениям, свойственным угловому моменту. Чтобы в комму-
3-0670

34 ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
таторе Ш X N возникло спиновое слагаемое:
Ш X N = R XP+S, C.36)
кооператору N также необходимо добавить некоторый дополни-
дополнительный член. Соответствующее выражение для N имеет вид
N = Рх° - P°R + a(P°) S X Р. C.37)
Раскрывая коммутатор N X N, получаем
- iP°R х [a (S х Р)] - i [a (S х Р)] X P°R + аН (S х Р) X (S х Р) =
^ X (S X Р) + 2P°aS-a2[P2S-P X (S х Р)]. C.38)
Нужный нам результат получится в том случае, если
-^- + ^ = 0, 2P°a-P2a2=l, C.39)
или
!(! ) (i)s = ^. C.40)
Из этих уравнений мы заключаем, что
а(Р°) = (Р» + М)~\ C.41)
так как выбор другого знака приводит к величине (Ро — М)'1,
которая сингулярна в точке Р = 0, Р° = М. Итак, мы приходим
к следующим окончательным выражениям:
J = RxP+S,
которые показывают, между прочим, что оператор S2 является
лоренцевским инвариантом. Следует отметить, что и наоборот,
операторы со свойствами, установленными для R и S> можно
построить из лоренцевских генераторов (х° = 0):
л (оЛд)
vv J+N х р'
откуда становится очевидной особая роль случая М = 0.
Компоненты псевдовектора W^ таковы:
W° =P- J, W = P°J — Р X N, C.44)
или

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ I 35
Последнее соотношение можно переписать также в виде
C.46)
Инварианты связаны друг с другом равенством
W* = MaSa. C.47)
Все изложенное выше относится, вообще говоря, к случаю М2 > 0.
Рассмотрим теперь предел Мг -*¦ 0 при фиксированном Sa. Возни-
Возникающему при этом соотношению
W = P-^ C.48)
можно придать ковариантную форму
И"* = МЛ C.49)
где
— лоренцевский инвариант. Эта величина представляет собой
компоненту спина вдоль направления движения, т. е. спираль-
ность частицы. Инвариантность спиральности приводит к тому,
что физическая система должна иметь лишь одно значение этой
величины; если же для взаимодействий в рассматриваемой системе
имеет смысл пространственная четность, то псевдоскаляр X может
принимать два значения ±s. Примером последнему может служить
фотон, имеющий s = 1, тогда как в случае нейтрино, для которого
s = V2, значения X = -\-s и X = —s соответствуют уже суще-
существенно различным частицам. Если смысл имеет только одно
значение спиральности или даже если при s ^> 1 реализуются оба
значения X = s и X = —s, то существуют не все 2s + 1 состояния,
различающиеся спиновым магнитным квантовым числом. В соот-
соответствии с этим оператор S в пределе М —*- 0 становится неопре-
неопределенным (не считая двух исключений), и в такой ситуации следует
перейти к новым переменным.
Чтобы избавиться от S, введем новый оператор положения
C.51)
такой, что
Тогда
C.53)
3*

36 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
и, чтобы окончательно убедиться в том, что в подобную схему
явно входит только X, приведем коммутатор
^й!-^. C.54)
В результате мы получаем ту систему операторов, о которой
говорили, когда речь шла о магнитном заряде. Соответствие уста-
устанавливается формулами
R-^mv, P-*-> — r, 7,++^L, C.55)
причем требование г > О здесь выполняется благодаря лоренц-
инвариантности энергии, Р° > 0. Отсутствие некоторых опреде-
определенных значений спиральности становится теперь очевидным
следствием некоммутативности компонент R. Эта внутренняя
нелокальность, присущая безмассовым частицам, описывается
соотношением неопределенностей
| фт, C.56)
или в случае состояния, для которого в какой-то степени опре-
определено направление импульса
Последнее соотношение говорит о том, что, грубо говоря, масштаб
пространственной протяженности задается средней длиной волны.
Заметим попутно, что при подстановке явных выражений опера-
операторов J и N в формулы для MR и MS последние, так же как
и AfR, обращаются в нуль.
В только что рассматривавшемся случае W2 = 0, но логически
возможен и другой случай. Считая, что Я, = P«SAP° имеет одно
из допустимых конечных значений, устремим Sa к бесконечности
при М2 -*- 0 с тем, чтобы получить предел
MS -»- Т. C.58)
Из свойств S вытекают следующие соотношения для этих опера-
операторов:
Т.Р = 0, ТхТ = 0, j[K, Т] = Тх-|о" C-59)
[к, Т] = 0. C.60)
Инварианту
Т2 = W% C.61)

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ | 37
можно приписать любое положительное значение. При действии
компонент Т величина X изменяется на ±1, причем этот процесс
можно продолжать беспредельно. Имеем далее
W0 = ХР°, W = XV +Т. C.62)
Коммутационные соотношения между компонентами W*, которые
при Т = 0 удовлетворялись тривиальным образом, теперь тре-
требуют, чтобы выполнялись равенства
[ЯР° Т] = ТхР, у(ЯР + Т)х(МЧ-Т) = Р°Т, C.63)
и для Т они действительно выполняются. Мы по-прежнему будем
пользоваться вектором положения
A=R—^ji-SxP C.64)
и его свойствами
^ C.65)
но теперь нужна осторожность, так как при М—>-0 мы имеем
-jjyl^-SxP—^-SxP->--^-TxP. C.66)
Это дает
л* тьт т» л ппп А гр ч, Tj /О Д7\
1 X г. ^о.ш;
Мы получаем теперь равенство
фТхР, C.68)
являющееся аналогом соотношения МS ->- Т; кроме того, R2 -*¦ оо
при М ->- 0 (однако Л/R = 0). Коммутационные соотношения
i'N X N = J, несмотря на включение слагаемого Т, по-прежнему
удовлетворяются, так как
^R = 0. C-69)
В это равенство входит коммутатор
Щ C.70)
который используется также при проверке того, что J порождает
вращения вектора Т. Весьма существенно, что X уже не является
лоренцевским инвариантом:
-ft*. N] = -?r. C.71)

38 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Это обстоятельство совместно с неограниченностью спектра X,
пробегающего все целые или все полуцелые числа, указывает
на существование таких физически достижимых состояний, для
которых величина (ДЙJ сколь угодно велика.
Мы примем для безмассовых частиц следующий принцип:
частица с нулевой массой не может быть полностью локализована,
но возможна некоторая конечная степень ее локализации. Из этого
принципа вытекает ряд согласующихся с реальностью следствий.
Во-первых, не существует бесспиновой частицы с нулевой массой,
так как для ее описания подходил бы коммутативный вектор
положения R. По той же причине исключаются и безмассовые
частицы с s = 172, для которых имеет смысл пространственная
четность. Кроме того, следует отбросить и всю совокупность
только что упоминавшихся систем с W2 > 0, так как для них
возможны состояния со сколь угодно большой степенью делокали-
зации. Все известные или с большой вероятностью существующие
безмассовые частицы допускают простое описание —¦ их спины
даются формулой s = 2°, где а = —1, 0, +1-
В релятивистской механике понятие элементарной частицы
сохраняет тот смысл, что при заданных физических условиях
возбуждения оказывается возможным приписать массе, спину
и другим инвариантным характеристикам физической системы
некоторые строго определенные значения. Для совокупности
п невзаимодействующих частиц лоренцевские генераторы всей
системы в целом задаются в следующей аддитивной форме:
Р= S Pa, P°= S rf. '= 2 К X Ра + 8„),
а=1 а=1 а=1
C.72)
N=2 (РаД° —/>аГа+ рО+Па Sa X Ра) •
1
Чтобы получить операторы R и S для полной системы, следует
исходить из конструкции C.43); их построение на основе априор-
априорного определения представляется маловероятным. Чтобы убедить-
убедиться в этом, рассмотрим, например, выражение
р- C.73)
К вопросу о взаимодействии частиц мы подойдем путем реля-
релятивистского обобщения нерелятивистских соотношений для части-

§ 3. ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ I 39
цы, движущейся в макроскопическом окружении. Чтобы кова-
ковариантность проявлялась в более явном виде, введем производную
по собственному времени
dF _ 1 Г F (р0J ! 4 р° dF П 1А\
где подразумевается, что последнее слагаемое, как обычно, симме-
тризовано. Таким образом, для одной изолированной частицы
имеем
ds ds
C.76)
Если ограничиться случаем однородного электромагнитного поля,
то ковариантно-обобщенные уравнения B.39) и B.40) будут
иметь вид
C.77)
Ограничения
^^ ^ C.78)
совместимы с уравнениями движения, по крайней мере с точностью
до линейных по напряженности поля членов; сюда входят только
коммутационные соотношения для свободной частицы.
Почему мы не начали с общей теории взаимодействующих
частиц, описываемых переменными го, ро, sa (a = 1, . . ., ri),
и не перешли затем к рассмотрению движения одной частицы
под действием других, как это делалось в нерелятивистском
случае? По той простой причине, что никакой общей теории такого
рода не существует. Не говоря уже о колоссальных алгебраиче-
алгебраических трудностях при установлении релятивистских условий,
которые накладываются на члены взаимодействия (малые откло-
отклонения от нерелятивистского поведения проблемы не создают),
такая попытка терпит провал из-за несостоятельности предположе-
предположения о существовании фиксированного числа частиц. Релятивист-
Релятивистская и нерелятивистская энергии могут быть связаны соотно-
соотношением
C.79)

40 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
В нерелятивистском пределе, когда изменения энергии Н малы
по сравнению с каждой массой та, закон сохранения Р° требует^
вообще говоря, сохранения каждой величины Na, а тем самым
и сохранения Н. Но если кинетическая энергия и энергия взаимо-
взаимодействия, входящие в Н, становятся сравнимыми с отдельными
значениями масс та, то мы уже не можем говорить, что величи-
величины Na остаются постоянными. Характерной особенностью реля-
релятивистской динамики частиц является как раз то, что частицы
могут рождаться и уничтожаться в процессе столкновений при
высоких энергиях.
§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ
Таким образом, теория утверждает, а эксперимент с несомнен-
несомненностью подтверждает, что понятие частицы как неизменного
объекта теряет свой смысл, когда взаимодействие приобретает
резко выраженный релятивистский характер. Реакцией на такое
положение были две крайние точки зрения. Обе они соответ-
соответствуют отказу от детального пространственно-временного описа-
описания, основанного на представлении о частицах, поскольку первая
настаивает на возможности детального пространственно-времен-
пространственно-временного описания, но на основе понятия, более фундаментального,
нежели понятие частицы, а вторая отвергает возможность деталь-
детального пространственно-временного описания, отрицая наличие
каких-либо понятий, более фундаментальных, нежели понятие
частицы. Ниже мы кратко изложим обо точки зрения.
1. Носителями физических свойств, более фундаментальными,
чем частицы, являются элементы объема самого трехмерного
пространства. Поскольку скорость передачи сигнала всегда огра-
ограничена скоростью света, неперекрывающиеся объемы, рассматри-
рассматриваемые в один и тот же момент времени, физически независимы,
и потому их вклады в полную энергию и импульс аддитивны.
Производя очевидный предельный переход, напишем:
), D.1)
где Г00 (х) и ТОк (х) — некоторые функции динамических пере-
переменных в момент времени х°, которые отражают физическую
ситуацию в бесконечно малой окрестности точки х. Динамические
переменные, будучи операторными функциями пространственных
и временной координат, образуют операторные поля, так что
подход, о котором идет речь, можно назвать операторной теорией
поля. Принятая система обозначений такова, что описание можно
сделать явно ковариантным, отождествив элемент объема (dx)
с временной компонентой ориентированного элемента площади
плоской пространственно-подобной поверхности четырехмерного

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 41
пространства. Тогда получим
do^T^ (х), D.2)
причем эти интегралы благодаря сохранению Pv не зависят от
выбора поверхности а. Записывая равную нулю разность двух
таких интегралов в виде эквивалентного ей объемного интеграла,
О- ( J - j ) daj^=: j {dx)dj»\ D.3)
01 02
мы придем к следующему достаточному локальному условию:
dv.T»v(x) = O. D.4)
Сохранение шести остальных лоренцевских генераторов, которые
рассматриваются как моменты импульсов,
lT'AV — xvT^), D.5)
будет гарантировано при условии, что
Тт (х) = Г» {х). D.6)
В трехмерной форме записи эти операторы выглядят следующим
образом:
j*
ыт хг xm ^
При инфинитезимальном преобразовании Лоренца тензор натя-
натяжений Т^у (х) изменяется как и всякий тонзор:
Т^ (х) - Т^ (х) + faf*T« v(x) + ба^Г" я (х) =
= Tilv(x)-8xxdlTllv(x). D.8)
К новой системе операторов
Т^(х)=Т^(х)-8Т^(х) D.9)
можно перейти посредством соответствующего унитарного пре-
преобразования, откуда вытекают коммутационные соотношения
D.10)

42 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Интегрируя их по некоторой пространственно-подобной поверх-
поверхности, учитывая установленные выше свойства величины Tw
и используя интеграционную теорему для системы, замкнутой
в пространственно-подобных направлениях,
) f (х) = 0, D.11)
мы воспроизведем все коммутаторы для десяти лоренцевских
генераторов.
В коммутаторах квантовой механики находит свое выражение
взаимосвязь процессов измерения двух рассматриваемых характе-
характеристик системы. Поэтому в силу физической независимости объе-
объемов, разделенных пространственно-подобным интервалом, должно
выполняться условие
[Juv (х), Т*ь (х')] = 0 при (х - х'У > 0. D.12)
Если система координат выбрана таким образом, что х° = х0',
то в выражение для подобного рода коммутаторов, справедливое
во всей области изменения переменных, должна входить функция
б (х — х') или конечное число ее производных. Плотности энергии
и импульса, которые являются компонентами тензора T^v,
используемого при построении лоренцевских генераторов, удовле-
удовлетворяют следующим одновременным коммутационным соотно-
соотношениям:
~[Т00(х), Т™(х')]= -(ГЬ(х)+Т<>Ъ(х'))дк8(х-х') +
+ dmdnd'pd'q (/™. Pi (x) 8 (х- х')),
\[Tuh{x), Too(x')]=—Too{x)dh8(x — x') —
— Thl(x')dl8(x-x') +
¦f dnd'pd'q (g*™> pi(x) 8 (x- x')), DЛЗ)
Члены, содержащие две или более производные, не дают никакого
вклада при интегрировании, необходимом для построения лорен-
лоренцевских генераторов. Мы указали лишь минимальное число необ-
необходимых производных; к более общему случаю можно перейти,
обобщив соответствующим образом /, g и h. Все эти три функции
симметричны по отдельным индексам внутри их пар так, что,

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ I 43
например,
¦jmn, pg__yntn, vq — fmn, qp^ D.14)
но из них функции / и h антисимметричны по парам индексов,
например,
fmn, pq _ fw, mn D.15)
Выполняется также равенство
— dofmn>pq (x) = gmn- и (z) — #р«- шп (х). D.16)
Можно привести простой пример системы, для которой не возни-
возникает пи одного дополнительного члена с производными. Будем
исходить иу выражений для плотностей энергии и импульса, соот-
соответствующих классическому электромагнитному полю:
Г°°=1(Е2 + Н2), Г°й = (ЕхН)й. D.17)
Если считать, что оператор плотности импульса записан в виде
симметризованного произведения, то, чтобы получить для комму-
коммутатора плотности энергии выражение
1[ГОО(Ж), T°°(x'))=-(T^(x) + T^(x'))dk8(x-x'), D.18)
достаточно постулировать следующие коммутационные соот-
соотношения:
[Ек (х), Е1 (х')] = [Я* (х), Hi (x')\ = О,
±[Ен(х), Я, (*')]= -гк1тдт8(х-х'). D-19)
При доказательстве этого следует воспользоваться формальным
свойством дельта-функции
(Eh (x) - Ek (x')) (Ht (х) - Я, (*')) дт8 (х - х') = 0. D.20)
Коммутаторы для компонент плотности импульса также не будут
содержать членов с высшими производными, но, чтобы получить
для них такого рода выражения, нужно потребовать выполнения
условий
V-E(z)=0, V.H(s)=0, D.21)
совместимых с коммутационными соотношениями. В этом случае
необходимую форму будут иметь и коммутаторы плотности энергии
с плотностями импульса, причем для компонент тензора натяже-
натяжений Thi мы получим обычные выражения, в частности
Thk = Г°°. D.22)
Хотя мы исходили из положений классической физики, подоб-
подобный анализ представляет собой независимый способ проверки

44 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
утверждений, касающихся поведения лоренц-инвариантной кван-
квантованной системы. Все остальные ее свойства можно установить
исходя из структуры лоренцевских генераторов. Из Р° выводятся
уравнения движения для операторов поля, которые оказываются
однородными уравнениями Максвелла. Напряженности поля будут
вести себя при преобразованиях Лоренца так же, как и анти-
антисимметричный тензор Fllv. Для примера рассмотрим коммутатор
[Ек(х),
= 1 (х*д' + х'д°) Ек (х) [Ек (х), J (dx') (х1' - х1) Too {х'^. D.23)
Поскольку
-x')^m(a;'). D-24>
мы получим, что при инфинитезимальном преобразовании
6Е (х) = —6v(z°V + хд0) Е (х) — 6v X Н (х). D.25)
Остановимся кратко на более близких к реальности случаях,
когда электромагнитное поле взаимодействует с другими динами-
динамическими переменными. Если нам необходимо сохранить геометри-
геометрические трансформационные свойства величины Р^ч, то дополни-
дополнительные члены в Т00 должны быть такими, чтобы они не сказыва-
сказывались на только что проведенных выкладках. Тем самым из комму-
коммутатора [Е^ (х), Г00 (а;')] исключаются всякие дополнительные члены
с первой производной дельта-функции, и мы приходим к следую-
следующему общему выражению:
-x')). D.26)
Теперь уже дивергенция вектора Е не обязана обращаться в нуль,
и, записывая
V-E=A D.27)
мы будем иметь
~[}°(х), Tm(x')]=-jk(x')dk8(x-x')-hdkd'id'mx
х(фй'гт(ж)б(х-х'))- D.28)
Среди следствий из этих соотношений (которые получаются путем
интегрирования последних по переменной х') отметим неоднород-
неоднородные уравнения Максвелла, правая часть которых _/•* == (/°, j)
отождествляется с вектором электрического тока, локальный
закон сохранен!я заряда
д^ (х) = 0 D.29)

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 45
и закон изменения /¦* при преобразованиях Лоренца, соответ-
соответствующий тому, что эта величина является четыре-вектором.
Существуют взаимодействующие системы, для которых в ком-
коммутаторе для плотности энергии не возникают слишком сингу-
сингулярные члены, но при этом приходится накладывать строгие
ограничения на выбор динамических переменных. По сути дела
допустимыми оказываются лишь скалярное, векторное и простое
спинорное поля. Проблематичной здесь является непротиворечи-
непротиворечивость гипотезы операторного поля, согласно которой придается
определенный смысл, хотя и в несколько идеализированной форме,
физическим характеристикам четко очерченного геометрического
объема. Чтобы исследовать этот вопрос, усредним плотность
энергии в заданный момент времени с помощью двух различных
весовых функций:
D.30)
и построим коммутатор
. т*\ - - J (d*)T°h (*) fa 00 3*р» 00 -
+ J (dx) Г"' щ (х) dmdnVi (x) dpdqv2 (х). D.31)
Он является основой принципа неопределенности, содержащего
утверждение о точности, с которой в данном состоянии величинам
7*1 и Tz можно приписать какие-то значения. Рассмотрим сначала
случай, когда из-за своей антисимметрии по двум наборам индек-
индексов функция fmn>pq в выражение для коммутатора не входит.
Пусть Ti ж Т2 — две величины, из которых складывается полный
оператор энергии, так что
р, (х) + v2 (х) = 1. D.32)
Поскольку производные функций vi и v2 различаются только
знаком, мы получим просто
4 [7* т^
4
х). D.33)
Выберем теперь в качестве v± (x) единичную ступенчатую функ-
функцию, определяющую полубесконечную область, отделенную от
остального объема [дополнительного к первому и описываемого
функцией v2 (x)] некоторой поверхностью. Обозначив через dS эле-
элемент площади с нормалью, направленной в сторону первого
объема, получим
^. D.34)

46 I ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Мы получили правильное выражение для скорости изменения
энергии в каждом отдельном объеме, обусловленного потоком
энергии через общую поверхность. Если считать, что сначала
области, определяемые функциями иг и v2, разделены некоторым
объемом, а в результате некоторого предельного перехода они
приводятся в контакт, то в правой части мы получим нуль. Если же
первоначально эти объемы перекрываются, выходя за предпола-
предполагаемую границу, а затем общая часть объема стремится к нулю,
то предельное значение правой части окажется вдвое больше
полученного выше. Таким образом, другой способ расчета —
взять среднее этих двух предельных значений. Выбирая другие
весовые функции
Vi (х) = v (х), v2 (x) = xhv (x), D.35)
получаем
+ 2 J (dx) Г "Р (х)дт dnv(х) dpv(x). D.36)
Если v (х) — единичная ступенчатая функция, определяющая
четко очерченный конечный объем, то оператор Т^ будет иметь
смысл энергии, заключенной в этом объеме, а Т2 — ее первого
момента. Но в таком случае приписать какой-либо смысл произ-
произведению dm dnv dpv не удается, что подвергает серьезному сомне-
сомнению состоятельность всякой операторной теории поля, для кото-
которой /mn.P' (x) Ф 0. Это ставит в привилегированное положение
тот ограниченный класс фундаментальных полевых переменных,
для которых /mn.P2 обращается в нуль.
Значимость этого результата лишь в малой мере ослабляется
следующим свойством физической системы с ненулевым fmn,PQ;
функция
gmn, pq (д.) — gpq, mn (x) D.37)
не может равняться нулю, а поэтому нельзя одновременно задать
с любой конечной степенью точности полную энергию и компо-
компоненту полного импульса, связанные с резко очерченным объемом.
[Термин физическая система напоминает нам о том, что вакуумное
состояние со всеми присущими ему свойствами должно согласо-
согласоваться с предполагаемыми характеристиками системы. В частно-
частности, вакуумному состоянию | ) инвариантным образом приписы-
приписываются нулевые энергия и импульс, откуда вытекают требования
= 0, (Г0") = 0 D.38)
B*>=0. D.39)

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 47
К компонентам тензора Т^ можно добавлять произвольные кон-
константы, но, как явствует из структуры коммутатора [TDh (х),
Т00 (х1)], произвол ограничивается тем, что мы можем добавлять
к Tw лишь тензор, кратный тензору g^v. Таким образом, нетри-
нетривиальным будет требование
((Г»+±-Ткк)) = 0. D.40)
В примере с электромагнитным полем, когда Tf,h = Г00, в силу
положительной определенности оператора Г00 = г/2 (Е2 + Н2)
требованию i/3(T00) = 0 удовлетворить невозможно; поэтому сво-
свободное электромагнитное поле не является физической системой.
Можно по крайней мере думать, что свойствами вакуума ограни-
ограничивается круг возможных динамических переменных и их взаимо-
взаимодействий и это выделяет наш реальный мир.
Рассмотрим коммутатор функционала плотности энергии
Т= \ (dx) v (х) Т00 (х) D.41)
его первой производной
д0Т = - J (dx) v (x) dkT™ (х). D.42)
Для него получается следующее значение вакуумного среднего:
([id0TtT]) = J (dx) 6hdmv (х) <^"ь Щ dpdqv (x) = 2 (ТР°Т). D.43)
В этом выражении мы узнаем математическое ожидание для энер-
энергии в отличном от вакуума состоянии Т | ). Поскольку оно обяза-
обязательно положительно, числа (gmn^i) образуют положительно-
определенную матрицу, но нет никакой гарантии, что эти числа
являются ограниченными. Однако из приведенных рассуждений
ясно, что любое утверждение относительно плотности импульса
есть утверждение и относительно производной по времени от плот-
плотности энергии, а такого рода дополнительное динамическое усло-
вве может быть не обязательным для самосогласованности теории.
В операторной теории поля понятие частицы — производное
динамическое понятие. Эта теория претендует на построение иэ
нескольких фундаментальных полевых переменных сравнительно
большого числа стабильных или квазистабильных возбужде-
возбуждений — частиц. Пусть % (х) — алгебраическая комбинация фунда-
фундаментальных полевых переменных, сконструированная таким обра-
образом, чтобы закон ее изменения при преобразованиях Лоренца был
достаточно простым. Это означает, что при х = 0 закон преобра-
преобразования при вращениях должен соответствовать наличию опре-
определенного внутреннего углового момента, или спина, а закон
преобразования при трансляциях должен определяться зависимо-

48 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
стью от координат х
(АЛА)
Используя конечный унитарный оператор, соотношение D.44)
можно представить в виде
X(x) = e~iPxxeiPx, D.45)
где Рх — Р^Хц, а % — значение, взятое в начале координат.
Состояние х (х) I ) получается из вакуумного состояния посред-
посредством некоторого локализованного возбуждения. Чтобы изучить
это возбуждение в корпускулярном аспекте, исследуем характе-
характеристики его распространения в пространстве-времени, рассма-
рассматривая корреляцию с аналогичным возбуждением, локализован-
локализованным в другой точке:
(Х(х) %{*')) = (xeip(*-"'h). D.46)
Унитарный оператор, описывающий сдвиг из х' в х, можно выра-
выразить через его собственные значения и соответствующие ему
неотрицательные эрмитовы проекционные операторы
} = J
J 15§ (р), D.47)
где
dp = dp0 dpt dp2 dp3. D.48)
Те значения р^, которые дают вклад в интеграл, т. е. для которых
F (р) Ф 0, должны удовлетворять физическим спектральным
условиям
-р2 = М2 > 0, р° > 0. D.49)
При заданном трехмерном импульсе d (р0J = dM2, так что
Дифференциал dtop задает инвариантную меру на гиперповерх-
гиперповерхности — рг — Мг импульсного пространства. В результате получаем
(X (х) х (*')> = j dM* сЬреЫ*-*У (р), D.51)
где
(p)l> D-52)
— вещественная неотрицательная функция. Состояние % | ) выде-
выделяет из F (р) подпространство со свойствами углового момента,
определяемыми поведением % при вращениях, а неравенство
f (р) -ф 0 при —р2 = М% свидетельствует о существовании воз-
возбуждения с соответствующими этим свойствам физическими
характеристиками. Единственно для простоты мы рассмотрим

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 49
только случай скалярного поля %, когда величина / (р) зависит
лишь от скаляра —рг.
Для функции / (р) = / (М2) возможны три качественно разных
варианта.
а. В спектре имеется некоторое изолированное значение массы
М ~ т: f (М2) = /б {М* - т2), f > 0. D.53)
При заданном пространственном импульсе зависимость от времени
полевой корреляционной функции будет определяться одной
фиксированной частотой р° = 4- (р2 -f- ™2I/2- Такое возбуждение
соответствует стабильной частице. Заметим, что если % (х) удовле-
удовлетворяет дифференпиальному уравнению конечного порядка
Ф (-а2) % (х) = 0, D.54)
то мы получим
Ф (Ма) / (М2) = 0, D.55)
и / (М2) будет целиком состоять из дельта-функций.
б. У функции / (М2) на гладком фоне имеется резко выражен-
выраженный максимум с центром в точке М = т и с массовой шириной
Г <С т- При фиксированном импульсе зависимость от времени,
связанная с этим участком массового спектра, дается формулой
(it = хо _ хо')
[ dM2 ехр [ — ip° (M) t] f (M2) ж
« ехр ( — ipot) j dMa ехр [ - i (-^-) (М2- те2)] / (М2), D.56)
где р° — энергия, соответствующая массе т. Благодаря деструк-
деструктивной интерференции через время
D.57)
амплитуда этих колебаний будет существенно меньше своего
начального значения. Этот случай соответствует нестабильной
частице, распадающейся на несколько других частиц с собственным
временем жизни порядка 1/Г.
в. Функция / (М2) — гладкая. В этой части спектра мы имеем
несколько частиц, не объединяющихся в одну нестабильную
частицу.
Из корреляционной функции можно извлечь некоторые сведе-
сведения о полевых одновременных коммутационных соотношениях.
Так, например,
{[%(х), х (*')]> = 0,
4-0670
(U доХ (х), х (*')]) = б (х - х') j сШ2/ (М2), D.58)

50 ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
где
8 (х - х') = ( diop2p° exp [ф-(х - х')]. D.59)
Если поле % (х) — фундаментальная динамическая переменная,
то его одновременные коммутационные соотношения носят кине-
кинематический характер. Скалярному полю отвечают коммутацион-
коммутационные соотношения
h (*). % (*'Л = °> J fi до1 (*), 1 (х')\ = 6 (х - х')( D.60)
а из второго из них вытекает следующее правило сумм:
J dMzf(M2) = 1. D.61)
Теперь представим себе, что связь поля % (х) со всеми другими
полями разорвана, так что оно удовлетворяет линейному диффе-
дифференциальному уравнению, которое дает / (М*) = 8 {Мг — яг*).
Предположим далее, что после восстановления физических связей
по-прежнему существует некоторая стабильная частица. За счет
взаимодействия ее масса будет претерпевать сдвиг т0 -*- т,
а в функцию / (Ма) наряду с дискретным массовым членом
/б (М2 — т%) войдут многочастичные вклады. Тем самым правило
сумм приводит к требованию / < 1. Если нас не интересуют дета-
детали конкретного возбуждения, порождающего частицу, и мы
стремимся к описанию лишь самой физической чэстицы, то можно
отбросить вклад непрерывного распределения масс в величину
(% Iх) % (х))» подогнав соответствующим образом масштаб корре-
корреляционной функции, т. е. опустив множитель /. Это пример
общей процедуры, которая позволяет перенести внимание с фунда-
фундаментальных полевых динамических переменных на вторичные
образования — наблюдающиеся частицы. Такэя процедура назы-
называется перенормировкой.
Более сложные полевые корреляционные функции дают инфор-
информацию о взаимодействии частиц. Рассмотрим, например, функцию
<Ха (*) ХЬ (*') Хе (*") X* (*")>, D.62)
где различные поля представляют собой алгебраические комбина-
комбинации фундаментальных динамических переменных, содержащих
в своем спектре возбуждения частицы а, Ъ, с и d. Чтобы можно
было говорить о конкретной реакции с + J-vo-f i (здесь не
рассматриваются такие характеристики, как электрический заряд,
которые вносят различие между частицами и античастицами),
следует соответствующим образом выбрать области, к которым
отнесены координаты. Точки х я х' расположены в далеком буду-
будущем по отношению к точкам ж" и х"', а точка х отделена от точ-
точки х', так же, как точка х" от точки х'", большим простран-
пространственным расстоянием. При таких условиях перенормировки,
выделяющие физические частицы, можно делать независимо,

i 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ 51
и получающаяся в результате функция характеристик частиц
будет давать амплитуду физической реакции. Вспомним теперь,
что в квантовой механике все динамические переменные есте-
естественным образом распадаются на два класса, один из которых
характеризуется свойством коммутативности, а другой — свой-
свойством антикоммутативности переменных, относящихся к разным
степеням свободы и рассматриваемых в заданный момент времени.
В операторной теории поля роль таких степеней свободы играют
как раз точки, разделенные пространственно-подобными интер-
интервалами. Если пространственное расстояние между точками х и х
столь велико, что детали сложной структуры частиц можно не
учитывать, то
Ха (X) %Ъ (*') = ( - l)"""* Ъ (*') Ха (*), D.63)
где па и пь — числа антикоммутирующих фундаментальных поле-
полевых переменных, из которых строятся операторы %а (х) и %ь (хг).
Существенно лишь, четны или нечетны эти числа, а знаковый
множитель всегда, кроме случая, когда оба числа па и пь нечетны,
равен +1. Если частицы а и & относятся к одному и тому же типу,
то в зависимости от того, четно или нечетно число антикоммути-
антикоммутирующих фундаментальных переменных, полевые операторы, свя-
связанные с парой пространственно-разделенных точек, будут ком-
коммутировать или антикоммутировать. В соответствии с этим двух-
двухчастичное состояние, полученное путем перенормировки из
1 (х) % (х')\ >, будет либо симметричным, либо антисимметричным
по переменным, описывающим частицы, что соответствует части-
частицам, подчиняющимся статистике Бозе — Эйнштейна, и частицам,
подчиняющимся статистике Ферми — Дирака. Те же зависящие
от типа статистики характеристики входят и в аналогичные реак-
реакции, отличающиеся от рассматриваемой лишь тем, что в них неко-
некоторые из начальных и конечных частиц поменялись местами.
Например, амплитуду реакции b-{-d-+a-\-c можно найти,
пользуясь полевой корреляционной функцией
<Х« (*) Хе (О Хь&О &*(**)>¦ D.64)
Если две упомянутые корреляционные функции известны во всей
объединенной пространственно-временной области их определе-
определения, то они известны и в тех участках этой области, в которых
точки х' и ж" разделены пространственно-подобными интервалами.
Но здесь в зависимости от типа статистики частиц Ъ и с эти функ-
функции либо равны, либо различаются знаком. Таким образом, одна
из них есть результат пространственно-временной экстраполяции,
или продолжение, другой; вытекающие отсюда соотношения между
амплитудами разных реакций называют обычно кроссинг-соот-
нотениями.
В операторной теории поля динамика выступает в явном виде.
4*

52 ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Она находит свое выражение в нелинейной структуре полевых
уравнений, которым удовлетворяют фундаментальные динамиче-
динамические переменные. Такие уравнения в свою очередь приводят
к уравнениям, связывающим различные полевые корреляционные
функции и в принципе позволяющим определить эти функции.
На практике возможны два совершенно разных случая. В первом
из них взаимодействие достаточно слабое, так что интересующие
нас частицы появляются в спектре возбуждения самих фунда-
фундаментальных переменных. Так обстоит дело, как принято считать,
в квантовой электродинамике, где частицы — это фотон и элек-
электрон (или мюон). Уравнения, которым удовлетворяют полевые
корреляционные функции, можно решать методами теории воз-
возмущений или методом итераций, основанными на малой величине
характерной для этой теории константы связи а = 1/137,04.
Результаты можно представлять двояко — либо па стадии непе-
ренормированных полей, либо на уровне перенормированных
частиц. Полевой вариант содержит расходящиеся интегралы,
тогда как результаты перенормированной теории конечны и исклю-
исключительно хорошо согласуются с экспериментом. Довольно быстрая
сходимость перенормированных выражений означает, что экспе-
эксперименты не прощупывают область очень высоких импульсов или
же очень малых расстояний. Имеющиеся данные не позволяют
судить, верна ли лежащая в основе операторной теории поля
гипотеза о пригодности основных ее понятий для описания явле-
явлений на сколь угодно малых расстояниях. Эта гипотеза входит
в неперенормированные, т.е. в полевые, результаты, но означает
ли отсутствие смысла у получающихся выражений несостоятель-
несостоятельность гипотезы или всего лишь неадэкватность применяемых
при расчетах методов теории возмущений, в настоящее время не
известно. Не исключено, что в вопросе о физическом смысле сколь
угодно малых элементов объема операторная теория поля излишне
догматична. Может быть, при очень больших импульсах вступают
в силу совершенно новые закономерности, не затрагивающие уже
достигнутых практических успехов.
Со вторым случаем мы имеем дело в физике сильных взаимо-
взаимодействий. Здесь гипотеза о том, что целые семейства частиц пред-
представляют собой динамическое проявление нескольких фундамен-
фундаментальных полевых переменных, не допускает такой возможности,
чтобы спектр возбуждения последних по отдельности содержал
известные частицы. Они должны порождаться комбинациями
основных переменных. Не зная истинной полной динамики фунда-
фундаментальных динамических переменных и не располагая методами
расчета, которые позволяли бы выводить следствия из этой дина-
динамики, если бы она была известна, мы можем лишь умозрительно
гадать о сложной полевой структуре известных частиц. Подобные
умозрительные догадки вплетаются в более близкие задачи, воз-

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 53
никающие на феноменологическом уровне. А нельзя ли отделить
феноменологию частиц от предположений о их структуре?
2. Если первичной структурой является частица, то в обла-
областях интенсивного взаимодействия, где нарушается характерная
аддитивность вкладов независимых частиц, какое бы то ни было
детальное описание становится невозможным. Единственное, что
мы можем делать, это сопоставлять состояние невзаимодействую-
невзаимодействующих частиц после столкновения с состоянием какого-то другого
числа невзаимодействующих частиц до их столкновения. В опе-
операторной теории возникающие при этом связи поля служат пред-
предметом вычислений. В рассматриваемом же подходе такие связи
представляют собой нечто фундаментальное, и, постулируя их
свойства, мы приходим к полной формулировке динамики частиц.
Написав
<f\=U\S, D-65)
где ('и/ — символы начального (initial) и конечного (final) состоя-
состояний, мы введем преобразование от одного полного набора невзаи-
невзаимодействующих частиц к другому аналогичному набору. Следова-
Следовательно, оператор S унитарен:
S*S = SS* = 1- D-66)
Этот оператор неизменно называют ^-матрицей, или матрицей рас-
рассеяния, возможно, потому, что мы в состоянии иметь дело всего
лишь с некоторой малой совокупностью матричных элементов.
Эти матричные элементы входят в выражение для амплитуды
вероятности:
{/ | х' > = (i\S\ i'>. D.67)
Квадрат модуля \{i \ S \ i')\z интерпретируется как вероятность
перехода Г ->¦ i за бесконечный промежуток времени. Отвращение
ко всякому подобию детального описания развития во времени
заставляет ограничить класс наблюдающихся частиц лишь ста-
стабильными частицами. Точно так же отвергаются и какие бы то
ни было ссылки на пространственное описание, и для характери-
характеристики состояний допускаются наряду со спинами и другими вели-
величинами подобного рода только импульсы.
В том случае, когда частицы не взаимодействуют, S — единич-
единичный оператор. Поэтому более интересен не оператор S, а оператор
S — 1, условие унитарности для которого имеет вид
(S - 1) + (S - 1)* + (S - l)t (S - 1) = 0. D.68)
Учитывая, что при столкновении должны сохраняться полные
энергия и импульс, напишем:
(Ри ¦¦¦, Pn\s — i\p[, ..., />;-> =
= BЛ)*8B A*-S Pa)t(Pl, .-., Рп\Т\Р[, ..., Рп'). D.69)
a=l a=I

54 | ГЛАВА 1. ЧАСТИЦЫ
Это соотношение служит определением матрицы переходов Т.
В нем явно указаны только импульсы, причем дельта-функция
четырехмерна:
S(P—P') = s(Po—p'o)&(Pi — Pi)b(P2 — р'2)Ь(Рз — Pi)- D-70)
В итоге условие унитарности принимает вид нелинейного соотно-
соотношения, связывающего матричные элементы оператора i (Т — Т*)
с произведениями матричных элементов операторов Г* и Т. Ве-
Вероятности переходов должны иметь лоренц-инвариантный смысл,
и поэтому утверждается, что матричные элементы оператора S,
а значит, и оператора Т, обязаны быть инвариантными функциями
своих переменных. Это условие выглядит особенно просто, если
все частицы бесспиновые, так как тогда оно сводится к требова-
требованию, чтобы матричные элементы оператора Т были функциями
только независимых скаляров (возможность появления псевдоска-
псевдоскаляров мы не рассматриваем), которые можно образовать иэ N =
= п + п' импульсов, удовлетворяющих массовым соотношениям
—Ра = iriu- Число такого рода скалярных комбинаций равно
"&N — 10, где вычитаемое соответствует числу параметров, опреде-
определяющих преобразования Лоренца. Таким образом, в двухчастич-
двухчастичных реакциях, когда N = 2 + 2, имеются лишь две независимые
переменные, которые соответствуют энергии и углу рассеяния
в системе центра масс.
Конструктивным принципом в теории ^-матрицы является
постулат аналитичности. Предполагается, что амплитуды физиче-
физических реакций как функции скалярных переменных являются гра-
граничными значениями некоторых аналитических функций соответ-
соответствующих комплексных переменных. Поскольку аналитические
функции однозначно характеризуются типом и положением своих
сингулярностей, определив последние, мы получим всю физику,
которая может содержаться в теории ^-матрицы. В этой связи при-
приведем высказывания некоторых энтузиастов: «Одним из наиболее
замечательных открытий в физике элементарных частиц явилось
открытие существования комплексной плоскости»; «...теория функ-
функций комплексных переменных играет роль не просто математиче-
математического аппарата, а фундаментального метода описания природы,
неотделимого от физики...». С точки зрения аналитических функ-
функций различие между матричными элементами операторов Т и Т*
сводится к различию между граничными значениями единой ана-
аналитической функции, которые получаются при подходе к вещест-
вещественным осям рассматриваемых комплексных переменных с проти-
противоположных сторон. Условие унитарности вносит свой вклад
в определение сингулярностей матрицы переходов тем, что из него
вытекают утверждения относительно скачков, возникающих при
указанной процедуре. Но, кроме того, сфера действия условия
унитарности расширяется постулатом аналитичности, который

§ 4. КРИТИКА ТЕОРИЙ ЧАСТИЦ | 55
вводит в рассмотрение так называемые перекрестные реакции.
Превращение некоторой начальной (падающей) частицы в конеч-
конечную (рассеянную) частицу формально описывается, как об этом
можно судить по вкладу в суммарный баланс энергии-импульса,
подстановкой р»- ->¦ —р&. Она должна достигаться путем анали-
аналитического продолжения, и поэтому условия унитарности для раз-
различных реакций, связанных кроссинг-соотношениями, будут
давать информацию о сингулярностях единой аналитической функ-
функции в различных областях изменения ее комплексных переменных.
Достаточна ли информация такого рода? «^-матрица — это лоренц-
инвариантная аналитическая функция своих импульсных перемен-
переменных, которая обладает лишь сингулярностями, диктуемыми усло-
условием унитарности».
В теории ^-матрицы никаких явных утверждений, касающих-
касающихся динамики, не содержится. И возможность рассматривать неко-
некоторые частицы в качестве фундаментальных, а другие, вторичные,
частицы в качестве связанных состояний отвергается как неприем-
неприемлемая, ибо тогда в понятие частицы были бы внесены элементы
структуры, различение элементарных и составных частиц. Но
именно чтобы исключить возможность такого рода различе-
различения, и было высказано предположение о том, что независимо
от вида частиц, используемых для построения составных объектов,
полный спектр частиц всегда должен быть одним и тем же. Такой
взгляд на динамическую самосогласованность обычно именуется
гипотезой бутстрепа (или «зашнуровки»).
Анализ, проведенный в §§ 1—3, указывает на излишнюю дог-
догматичность теории ^-матрицы в том отношении, что она отвергает
какие бы то ни было ссылки на микроскопическое пространствен-
пространственно-временное описание. Хотим мы это осознавать или не хотим,
но структура самой группы Лоренца придает смысл понятиям
пространственной локализуемости и развития во времени вне
областей интенсивного взаимодействия. В само понятие столкно-
столкновения входит мера причинного соотношения в пространстве-вре-
пространстве-времени, а допустимость хотя бы ограниченного микроскопического
пространственно-временного описания делает маловероятным, что-
чтобы причинность существовала только на макроскопическом уров-
уровне. Широко принято считать, что в основе абстрактного математи-
математического утверждения об аналитичности должно лежать интуитив-
интуитивное физическое представление о причинности в пространстве-вре-
пространстве-времени. Но нельзя ли ввести причинность в явном виде и использо-
использовать ее как конструктивный принцип, а тем самым низвести ана-
аналитичность на роль вторичного, выводимого утверждения? Что же
касается основной гипотезы теории ^-матрицы о том, что частица
есть первичная, неразложимая на составные части сущность, то
мы еще раз спрашиваем: нельзя ли отделить феноменологию частиц
от предположений об их структуре?

Глава 2
ИСТОЧНИКИ
Критические замечания, высказанные выше, послужат нам от-
отправным пунктом для построения новой теории частиц. Это феноме-
феноменологическая теория, которая должна описывать наблюдающиеся
частицы независимо от того, стабильные они или нестабильные.
Никаких предположений о внутренней структуре частиц в ней
не делается, но при этом оставлен открытым путь к построению
какой-то более фундаментальной теории. Не изобретается ника-
никакого абстрактного определения частицы; вместо этого теория поль-
пользуется символическими идеализациями тех реальных процедур,
благодаря которым понятие частицы приобретает физический
смысл. Поэтому теория прочно стоит на почве пространства-вре-
пространства-времени, т. е. ее арена — та самая, на которой экспериментатор опе-
оперирует со своими приборами; однако вопрос о пределе возможно-
возможностей микроскопического пространственно-временного описания
оставляется открытым — его должен решить эксперимент. В соот-
соответствии с этим никакая операторная теория поля не исполь-
используется. Дополнительное описание в импульсном пространстве
играет важную роль, но не исключается, что его возможности
могут быть ограниченными, причем мы не апеллируем к анали-
аналитичности по импульсным переменным. Новая теория строится
на двух принципах, подсказываемых интуицией,— принципах,
причинности и равноправности всех точек в пространстве-времени.
Результатом построения оказывается теория, занимающая проме-
промежуточное положение между операторной теорией поля и теорией
S-матрицы. Отвергая догмы той и другой, она благодаря этому
становится более простой и более наглядной, так что вполне
может претендовать на место прежних теорий.
Понятие «частицы» в связи с новыми и новыми эксперимен-
экспериментальными открытиями все время расширялось в сторону все более-
короткоживущих возбуждений со все большей энергией — от ста-
стабильных электрона и протона к долгоживущему нейтрону, к бы-
быстро распадающимся частицам я и А, к чрезвычайно нестабиль-
нестабильным частицам р и N*. Теперь стало нормой, что для того, чтобы
изучить частицу, ее сначала нужно создать. В общем это спра-
справедливо и для стабильных частиц с очень высокой энергией, соз-
создаваемых в ускорителях. Акты подобного рождения частиц можно
рассматривать как столкновения. Суть столкновения в том, что
в конечной и до некоторой степени контролируемой пространст-
пространственно-временной области другие частицы объединяются, чтобы
передать данной частице те свойства, без которых она не может
существовать и которые однозначно ее характеризуют. Экспери-
Экспериментаторы считают (это входит в их символ веры), что новому резо-
резонансу нельзя давать полного статуса частицы до тех пор, пока он

58 ] ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
не будот обнаружен с одними и теми же характеристиками в ряде
разных реакций. Таким образом, раз частице определяется столк-
столкновениями, в которых она рождается, детали конкретной реакции
не имеют существенного значения и роль других частиц, участ-
участвующих в столкновении, можно идеализировать, считая, что они
просто обеспечивают необходимый баланс физических характери-
характеристик — составляют источник интересующей нас частицы. При та-
такой идеализации остается лишь задание пространственно-времен-
пространственно-временной области, в которой действует источник и которая количест-
количественно характеризуется некой функцией S (х), и задание способно-
способности источника порождать различные импульсы, которая характе-
характеризуется другой функцией — S (р). Эти две функции источника
не могут быть независимыми, поскольку в них должна находить
отражение квантовомеханическая дополнительность этих описа-
описаний — чем больше деталей содержится в одном из них, тем менее
детальным должно быть другое.
Пока мы говорили лишь о рождении частиц, но не менее важ-
важное значение имеет и их детектирование. Оно всегда производится
путем преобразования характеристик частицы в какие-то другие,
более подходящие формы. В общем частица в процессе ее детекти-
детектирования уничтожается. Здесь мы тоже имеем столкновения и их
контролируемые пространственно-временные условия, с которы-
которыми связаны в принципе те же самые механизмы, что и при порож-
порождении частицы. Радиоприемник неизбежно излучает, а п-мезон,
порождаемый при столкновении нуклонов, захватывается ядрами.
Долгоживущие частицы могут распадаться, и их можно детекти-
детектировать по распаду за счет механизма, слишком слабого, чтобы его
можно было использовать как механизм порождения этих частиц,
но экспериментатор всегда вправе отказаться от такой возможно-
возможности — ведь нейтрон обычно регистрируют не по его ^-распаду.
Процессы столкновений, используемые для детектирования части-
частицы, можно идеализированно представлять себе как стоки, кото-
которым передаются характеристики частиц и которые в известном
смысле допускают в какой-то степени пространственно-временное
и импульсное описание. Но стоки и источники — это, очевидно,
лишь разные стороны одного и того же идеализированного пред-
представления, и мы объединим их под общим названием «источник».
Теперь перейдем к количественным характеристикам понятия
источника и начнем с простого случая стабильных бесспиновых
частиц.
§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК
Элементарные акты, которые рассматриваются как результат
действия источников,— это рождение одиночной частицы там, где
раньше ничего не было, и уничтожение такой одиночной частицы.

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК | 59
Поскольку мы абстрагируемся от присутствия в реальных столк-
столкновениях каких-то других частиц, описывая их источником,
состояния, которые входят в соответствующие квантовоыеханиче-
ские амплитуды Aр|0_)к и (O+Ilp}^, таковы: | 0_) — вакуум-
вакуумное состояние до действия источника К; | 0+ )— вакуумное состоя-
состояние после действия источника (стока) К; AР [ и |1Р) — одноча-
стичные состояния с импульсом, лежащим в элементе объема (dp).
Эти дискретные обозначения связаны с символикой, при которой
импульсные состояния задаются непрерывными переменными,
следующим образом:
A.1)
Отдельные акты рождения и уничтожения не разлагаются на со-
составные процессы; по определению, источник характеризует весь
процесс в целом, что находит свое выражение в записи
@+\р)* ~ (р°)*"Ка (р) {'>
(мы допускаем, что здесь может появиться некоторый переменный
множитель). Мы временно ввели индексы ежа, которые служат
для того, чтобы различать, испускает ли источник или поглощает.
Термин «слабый источник» означает, что наши определения относят-
относятся к случаю, когда амплитуды вероятностей, соответствующие
рождению и уничтожению сразу нескольких частиц, сравнитель-
сравнительно малы. Теперь мы займемся уточнением этих определений.
Состояния (р | и | р) относятся к определенному моменту вре-
времени, или, в более ковариантной формулировке, к определенной
пространственно-подобной поверхности. Если начало отсчета про-
пространственно-временной системы координат сместить на XIх, то
соответствующие состояния будут получаться в результате уни-
унитарного преобразования
(р\ = (р\ eipv-*v- = е^х (р|, \р) = е-iplXjc»| р) = \ р) е~^х. A.3)
Поскольку зти состояния играют в новой системе координат ана-
аналогичную роль, они соответствуют пространственно-подобной
поверхности, смещенной на Х^ в исходной системе координат.
Так как вакуумные состояния инвариантны, для амплитуд вероят-
вероятностей (р | 0_)к и ф+\р}к существенно лишь взаимное положе-
положение пространственно-подобной поверхности и источников. Смеще-
Смещению поверхности на X11 эквивалентно смещение источника на —Х^.
Это находит свое выражение в замене К ->¦ К, где
К{х)=К(х+Х), A.4)
ИЛИ
К{х) = К(х), х» = х»-Х». A.5)

60 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Далее, соответственно сказанному выше
), A.6)
откуда явствует, что связь между дополнительными координат-
координатным и импульсным описаниями задается преобразованием Фурье:
Ке{р)=-- \ {йх)е-^*К0{х),
, A-7)
Ка(р)*= (dx)e*xKa(x).
Начало отсчета пространственно-временных координат, входящих
в эти экспоненты, лежит на пространственно-подобной поверхно-
поверхности, но, как правило, мы не будем указывать этого в явном виде.
Посмотрим далее, как ведет себя источник при однородных
преобразованиях Лоренца. Закон изменения одночастичннх
состояний при инфинитезимальных преобразованиях такого рода
дается равенствами
б (р\ = i (р I (бш-J + 6v-N), м оч
б \р) = -i (бю-J + 6vN) \p), ( }
где, согласно соотношению C.29) из гл. 1,
J = г х р, N = — (p0I/* r (р0I/*. A.9)
В выражении для N мы положили х° — 0, что соответствует спе-
специальному выбору начала отсчета времени, и использовали сим-
метризованную форму записи произведения г и р°. Оператор коор-
координаты в импульсном описании имеет вид
<p|r = *-iL<p|, r|P>=-i-iL-|p>, (l.lO)
и поэтому
[|^]1/(р|, A.11)
причем аналогичную формулу можно написать для {р0I^ |р).
Наличие здесь квадратного корня позволяет переписать это соот-
соотношение в виде
8Ке(р)=[ -6© ¦-? X P + oVpO-jL] Ке(р), A.12)
и то же самое относится к Ка (р). Отсюда вытекает следующий
закон изменения функций Ке (х) и Ка (х) при инфинитезималь-
инфинитезимальных преобразованиях:
8К (х) = [бют X V + 6v- (r^o + z°V)] К (х) =
= e*»avir (ж), A.13)

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК | 61
где
д A.14)
Этот результат в форме
К{х) = К{х + бх), A.15)
или
К(х) = К(х), 1р*=х» — вх», A.16)
будучи объединенным с законом изменения при трансляциях,
говорит о том, что при преобразованиях из группы Лоренца функ-
функции источника бесспиновых частиц К (х) ведут себя как скаляр-
скалярные функции.
Весьма существенно, что если в качестве К (х) взять вещест-
вещественную функцию, то этот выбор будет иметь лоренц-инвариантный
смысл в противоположность нерелятивистскому случаю, переход
к которому осуществляется заменами N -v — тт и р° ->¦ рг/2тп.
Рассматривая для простоты только преобразования, соответствую-
соответствующие движению с постоянной скоростью, получаем
ljKc(p) A-17)
я
8Ке (г, t) = 6v (—jmr + Я) Ке (г, t). A.18)
Отсюда вытекает следующий закон изменения при конечных
преобразованиях:
= ехр [ — jmvr + ymv2<]^(r+ xt, t), A.19)
или
Ke{v, <) = exp[-i (mv.i-±-mv4)]Ke(T, t),
Теперь очевидно, что вещественный излучающий или поглощаю-
поглощающий источник не имеет галилеевски-инвариантного смысла. Заме-
Заметим, что, преобразуя соотношение A.19), мы воспользовались
простым частным случаем формулы р = — id/dq:
(9-*)], A.21)
Чтобы установить точную связь между излучательной и погло-
щательной способностями источника, достаточно воспользоваться
ортогональностью вакуумного и одночастичных состояний до дей-
действия на них источников совместно с условием полноты всевоз-

62 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
ножных конечных состояний частиц. В результате получим
O=(O.\lp) = {O-\O+f{O+\lpf+'2(O-\lp.f(iI,\lp)K+...t A-22)
р'
где при условии слабости источника всеми дополнительными чле-
членами можно пренебречь. Кроме того, для сомножителей
<о+|1р>* и <о_|1р,)*= (V |0->к*
достаточно воспользоваться значениями, которые получаются
в отсутствие источников, а именно
К = 0: <0_|0+) = <0+|0_>* = 1, A.23)
что отражает инвариантность вакуумного состояния, и
К = 0: <1,»|1р> = врр.. A.24)
Здесь следует учесть лишь фазовые множители, которые служат
исключительно для того, чтобы в получающемся соотношении
<0+|1р>*=-<1р| С)** A.25)
оба одночастичных состояния относились к одной и той же про-
пространственно-подобной поверхности. Соотношение между амплиту-
амплитудами вероятностей рождения и уничтожения можно представить
также в виде
*<0+|1р)*=[*Aр|0.)*Г. A.26)
Таким образом, с точностью до произвольных фаз функции источ-
источников Ке {х) и Ка (х) комплексно сопряжены друг другу. Самое
простое — это выбрать вещественную функцию
Ке (х) = Ка (х) = К (х), A.27)
с чего мы и начнем. Объединяя теперь все результаты, введем
следующие явные определения:
<1р|0_>*=**р, <0+|1р)* = ;Я*, A.28)
где
Kp = (dapf*K(p), dco^-^-JL- A.29)
и
K(p)=^(dx)e-i'*K(x), K(p)*=K(-p). A.30)
Основным инструментом экспериментатора является пучок
частиц. Очень слабый пучок бесспиновых частиц допускает следую-
следующее причинное описание. Начнем с вакуумного состояния. Пусть
затем включается слабый источник Кч (х), занимающий конечную
пространственно-временную область. В большинстве случаев

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК 03
эффект его действия будет нулевым, чему соответствует амплитуда
вероятности <0+ | 0_ )-ка —' 1, и лишь изредка он будет порождать
одну частицу соответственно амплитуде AР | 0_)к2. После пре-
прекращения действия излучающего источника возникшее вакуумное
или одночастичное состояние остается неизменным до тех пор,
пока мы не вступим в пространственно-временную область погло-
поглощающего источника К\ (х). Детектирование одиночной частицы
этим источником описывается амплитудой <0+ | lp)Kl, и тем
самым мы возвращаемся к вакуумному состоянию. Полный про-
процесс описывается амплитудой
@+ | 0-fl+Ki = <0+10_)Kl @+10_)Ка +
+ 2<0+|1Р>*'<1р|0->*2+..., A.31)
v
где индексы у вакуумных состояний, отражающие причинную
последовательность событий, относятся к указанным тут же источ-
источникам. Каждая из вакуумных амплитуд имеет вид
<0+ |0_>* = 1+/(*), /@)=0. A.32)
Подставив явные выражения для амплитуд вероятностей рожде-
рождения и уничтожения одной частицы, получим
О + / (Кг) +
+ i j (da;) {dx') Ki (x) [i [ da>pe'K*-*')] K2 (x'), A.33)
где знак приближенного равенства соответствует ограничению
слабым источником. В этом случае функции К^ (х) и К2 (х) являют-
являются отдельными частями полного источника, для которого
К (х) = Kt (x) + К2 (х). A.34)
При едином описании составные части источника не должны отли-
отличаться ничем, кроме как указанием на занимаемые ими простран-
пространственно-временные области. Тем самым утверждается равно-
равноправность точек пространства-времени, которая означает, что
@+ | 0_)к зависит только от К, а явное воплощение находит
в том, что эта амплитуда обладает билинейной структурой по Ki
и К-2.. Таким образом, можно написать
)A+(x — x')K{x'). A.35)
Трансляционно-инвариантную функцию А+ (х — х), являющуюся
ядром квадратичной формы, без потери общности можно выбрать
симметричной:
А+ (х - х') = А+ (х' - х). A.36)

64 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Тогда, взяв два эквивалентных вклада типа KyKi, мы придем
к следующей структуре функции А+ для причинно-упорядоченной
пары точек:
\ '\ A.37)
[Напомним, что р^ — вектор энергии-импульса и поэтому р° =
= (ра -J- т2I Х] Из сказанного о функции Д+ (х — х) мы заклю-
заключаем, что
(x — x') = i [ (кйреЫх'-хК A.38)
Может показаться, что подобной структурой Д+ (х — х') обла-
обладает лишь для причинно-упорядоченных, т. е. связанных време-
ни-подобными интервалами, точек х и х . Но в действительности
приведенными выше выражениями эта функция определяется
во всем пространстве. Единственная возможная трудность в том,
что для точек х и х , разделенных пространственно-подобными
интервалами, когда причинность не имеет инвариантного смысла,
могут получаться разные значения в зависимости от выбора
системы координат. Но этого не происходит. Поскольку dcop
и е±*р(*-ж') — инвариантные структуры, без всякого ущерба
можно ограничиться выбором системы координат, для которой
х° = х0', а на выражении
±'(х — x')--=i \ йшле±;Р(х-х') A.39)
неопределенность знака не сказывается, так как интеграл зависит
только от (х — х')а = (х — х')ъ. В результате выражение A.35)
уже не будет содержать никаких указаний о начальном причин-
причинном упорядочении источников, и эта структура оказывается при-
пригодной для их произвольного расположения. Правда, такая про-
пространственно-временная экстраполяция должна удовлетворять
жесткому критерию. Теперь мы в состоянии вычислить вероятность
того, что, несмотря на вмешательство источника, вакуумное
состояние останется неизменны.м. Она равна
Re-^A+(x — х')К(х'), A.40)
где во всей области изменения переменных
Re ~ Af (x — :r') = Re f йсорег«ж-х'), A.41)
причем символ вещественной части можно опустить, поскольку
вещественность диктуется симметричностью квадратичной формы.
В силу вероятностных соображений должно также выполняться

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК | 05
соотношение
|@+|0.)к|2«1-2!Aр]0->к|2. A.42)
р
Никаких трудностей здесь не возникает, ибо
J (da;) (dx-)K (х) [ J Лоре«*-*'>] К (х1) =
Казалось бы, функцию Д+ (х — х') можно определенным обра-
образом изменять, сохраняя при этом все ее необходимые физические
свойства. Действительно, добавим к Д+. (х — х) некоторую веще-
вещественную функцию, отличную от нуля лишь тогда, когда вектор
(х — ;г')м пространственно-подобен. Она не будет давать вклада
ни в причинный обмен частицами между источниками, ни в вероят-
вероятность того, что вакуумное состояние останется неизменным.
Но возможность такого видоизменения исключается в силу пред-
предположения о равноправности точек пространства-времени, не допу-
допускающего существования особых взаимосвязей между источни-
источниками. Заметим, что этому предположению можно придать более
точную, хотя и довольно абстрактную форму, рассматривая четы-
четырехмерное евклидово пространство, которое связано с простран-
пространством Минковского комплексным преобразованием
х4 = ix°. A.44)
В евклидовом пространстве нет никакого аналога различию меж-
между времени-подобными и пространственно-подобными интервала-
интервалами, свойственному пространству Минковского. В соответствии
с этим определенные пространственно-временные структуры мож-
можно исключить, лишь предположив, что при отображении простран-
пространства Минковского на евклидово пространство инвариантная ваку-
вакуумная амплитуда, описывающая полный физический процесс,
сохраняет как свой смысл, так и инвариантность. Это утвержде-
утверждение будем называть евклидовым постулатом.
Евклидов постулат будет представляться вполне естественным,
если отметить, что функция А* (х — х') обладает всеми необходи-
необходимыми свойствами; оказывается, что существует связанная с ней
евклидово-инвариантная функция АЕ (х — х'), которая опреде-
определена почти во всем пространстве (при х Ф- х'). Ее можно получить
из интегрального представления
А+ (а: - х') = i j d©p exp [ip-(x - х') - /р° | х° - х*'\] A.45)
5-0670

66 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
путем подстановки
; ] т-о r°' I —> I г. г' \ (i &ft\
требующей, чтобы упорядоченная пара вещественных чисел х°, х°г
отображалась в какую-то упорядоченную пару вещественных
чисел х4, х'4. Определяя функцию АЕ (х — х'), мы отбросим мно-
множитель i:
— a+(x — x)-*AE(x~~x), (lAi)
и в результате получим
АЕ(х — х')= \ 2jf 3 „ 0 ехр [ф'(х — х') — f>° | ж4 — х\\]. A.48)
Используя интегральное соотношение
_}_е-Р°1*4-ж;| __ f dp4
2ро } 2я
— ОО
представим эту функцию в форме, в которой евклидова инва-
инвариантность выступает в явном виде:
— dp{ ... dp4) A.50)
где обозначения, не различающие контравариантные и ковариант-
ные компоненты, подчеркивают евклидовость этой структуры.
Выяснив, что АЕ (х — х') — евклидово-инвариантная функция,
зависящая лишь от
мы можем вернуться к формуле A.45) и, выбрав евклидову систему
координат, получить вещественное положительное выражение
ОО
1С 1/
т
которое является одной из разновидностей однопараметрических
интегральных представлений. Прямым следствием из него будут
два предельных соотношения:
Е(Х X IZi 4jt2fl2 »
/9»\Vl (L53>
Укажем также на простое неравенство

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК I 67
которое еще лучше представить в форме
тЕ и .,
J
J.
поскольку при этом воспроизводятся правильные предельные
соотношения. Связь между описаниями в пространстве Минков-
Минковского и в евклидовом пространстве можно установить, приравни-
приравнивая интенсивности источника, связанные с соответствующими эле-
элементами объема
(dx) К (х)-+ (dx)EKE (я), A.56)
(dx)E = dxl . . . dxk,
и сохраняя при этом вещественность функции источника. В ре-
результате получим
<0+|0_)*+ 1-4- j l(dx)(dx')K(x)A{x-x')K(x')]E, A.57)
где правая часть представляет собой число, меньшее единицы.
Можно совершить также и обратный переход от евклидова опи-
описания к физической вакуумной амплитуде, для чего следует про-
произвести комплексные подстановки
ж4-*¦ ix°, Pk~^-— Ф°> A.58)
если только понимать их как предел комплексных вращений
при стремлении угла поворота к л/2 снизу:
ехр [ — i (~—е)] р0, е-
A.59)
Такая осторожность необходима потому, что у выражений, кото-
которые возникают при переходе к пространству Минковского, имеют-
имеются сингулярности: сингулярность в координатном пространстве
на световом конусе (х — х'J = 0 или сингулярность в импульс-
импульсном пространстве на массовой поверхности частицы рг -j- т2 = 0.
Итак, получаем
A.60)
= (я-*'I1 (*-*% +te,
где величина е, несмотря на изменения ее масштаба, по-прежнему
сохраняет смысл некоторого параметра, стремящегося к нулю
со стороны положительных значений. В результате для
Д+ (х — х') получается следующее четырехмерное представление:
Idp е!'Р(х-ж')
BяL Рг + т*-ге е->-0' dP = dPo---dp3, A.61)
5*

68 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
где
х — ге 8-*+0
A.C2)
а Р — символ главного значения интеграла в смысле Коши.
Метод контурного интегрирования дает
dp0
2я
е
-i(p2-fm2)V2 \х'-х"
A.63)
и мы вновь приходим к функции A.45). Предельное выражение
для нее в координатном пространстве имеет вид
Ill \(Х — X ) | <^ J .
A.64)
Приведем асимптотические выражения для этой функции при
больших пространственно-подобных интервалах 1(х — х'J]1^ =
= R > 0 и при больших времени-подобных интервалах
[— (х — х'J]1'2 = Т > 0 (они связаны друг с другом подстанов-
кой R -^ iT):
A.65)
Рассмотрим теперь более общий случай, когда К (х) — ком-
комплексная функция. В этом случае функции, описывающие излу-
чательную и поглощательную способность источника, комплексно
сопряжены друг другу. Если все сказанное выше дополнить лишь
этим обстоятельством, то одночастичный член полной вакуумной
амплитуды примет вид
i С (At) (dx') К* (х) [ i J й(оре«ж-»'>] Кг {х'). A.66)
Правда, это, очевидно, неполное выражение, поскольку слагае-
слагаемое, содержащее источник, предполагается линейным по
К (х) - К, (х) + К2 (х) A.67)
и линейным по
К* (х) = К* (х) + К% (х), A-68)
а для этого нужно, чтобы в него давал вклад также причинный
член
i f (dx) {dx') Kx \x') [i j сйоре*Р(ж'-*>] КЦх), A.69)

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК | 69
соответствующий испусканию и последующему поглощению
частицы какого-то другого сорта. Какова масса этой частицы?
Если бы две массы были неодинаковы, то структура новой функции
Д+ (а: — х'), которая входит в вакуумную амплитуду
<0+ |0_>* =
= 1 + i j (dx) (d*1) K* (x) A+ {x - x) К (х), A.70)
по-прежнему определялась бы соотношениями A.37) и A.38), но
в эти два причинных выражения входили бы разные массы. В та-
таком случае мы не могли бы уже говорить, что для функции
Д+ (х — х') возможна лишь однозначная экстраполяция в про-
пространственно-подобные области. Именно в силу принципа равно-
равноправности всех точек пространства-времени массы двух частиц,
которые отождествляются с частицей и античастицей, должны
быть одинаковы. Тот же самый вывод следует из евклидова посту-
постулата: поскольку нет какого-либо инвариантного критерия, кото-
который позволял бы провести различие между областями х4 — х\ >
>0их4 — z't <C 0, возможен лишь один массовый параметр.
В свете сказанного определения, устанавливающие связь
источников с амплитудами вероятностей рождения и уничтоже-
уничтожения, следует расширить:
Aр±|0_)к = ^р±, @+|1р±)к=г^±, A.71)
где знаки ± относятся к частице и античастице, а
Здесь необходима осторожность, поскольку имеется различие
между
K*(p)=[(dx)e-ipxK*(x) A.73)
и
Я (/>)• = [ j {dx) e~ipxK (ж)]* = К* (- р). A.74)
Соответственно этому мы имеем
Kl+ = {de>pI!lK*{-p), tf;_ = (da>pI/8 Я (-/>). A-75)
Таким образом, испускание и поглощение в соответствии с балан-
балансом энергии-импульса различаются знаком переменной р в фурье-
образе, а частице и античастице соответствуют символы К и К*.
Именно, источник К описывает порождение частицы и уничтоже-
уничтожение античастицы, а источник К*, наоборот,— порождение анти-
античастицы и уничтожение частицы.
По аналогии с тем, как источники увеличивают или умень-
уменьшают запас энергии системы, мы можем представлять себе, что

70 j ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
К увеличивает, а К* уменьшает некоторую величину, которая
должна принимать противоположные значения для частицы
и античастицы. Как нам известно, этим свойством обладает элек-
электрический заряд, и мы приходим к выводу, что частица и анти-
античастица всегда различаются некоторой зарядово-подобной харак-
характеристикой. Все сказанное находит свое формальное выражение
в инвариантности вакуумной амплитуды относительно фазовых
преобразований комплексных источников:
Если рассмотреть закон изменения амплитуд вероятностей
<1Р± | 0_)к при таких фазовых преобразованиях, дополненных
преобразованием смещения источника как целого на Х^, то мы
получим
р± Iи-/ уе *е \1Р±|и-/ 1 (>-•'')
откуда становятся ясными механические и «зарядовые» характе-
характеристики одночастичных состояний.
Можно также заменить комплексный источник К (х) двумя
вещественными источниками К^ и К 2 :
К(х) = ф= [K(i) (х) - iK{2) (х)], К* (х) = ф= [Kw (x) + iKl2) (о:)].
A.78)
Тогда
@+|0_>к« 1 + y f (dx)(dx')K{l)(x)A+(x — x')K(l)(x')-\-
+ 4 j (dx) (dx') K{2) (x) Д+Ос-а:') К{2) (x') =
= (U+1 U_) \\)+1 U_) . (I.I a)
Теперь мы имеем два независимых источника вместе с соответст-
соответствующими им частицами. Но равенство масс (и спинов) этих частиц
означает, что разбиение на два источника можно произвести бес-
бесчисленным множеством способов, которые соответствуют фазовым
преобразованиям комплексных источников, выступающим теперь
в качестве двумерных евклидовых вращений:
Kw (х) ->- cos ф К{1) (х) + sin ф KlZ) (x),
КB) № ->- — Sin ф /Sf(l) (х) + COS ф КB) (х).
Эти соотношения можно переписать также в матричных обозначе-
обозначениях:
К Йч-еВД К (х), A.81)

§ 1. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СЛАБЫЙ ИСТОЧНИК | 71
где
A.82)
Эта мнимая и антисимметричная матрица отождествляется с мат-
матрицей заряда. Ее собственные значения равны +1 и —1, а соответ-
соответствующие собственные векторы — комплексные источники К (х)
и К* (х). Вещественные источники
ДГA) (х) = Л~АК (х) + К* (х)}, К&) (х) = ±ц [К (х) - К* (х)]
A.84)
не порождают одночастичных состояний с определенным зарядом.
Они связаны с другим свойством зарядовой симметрии — при вза-
взаимной замене положительного и отрицательного зарядов состоя-
состояния переходят сами в себя или изменяют свой знак. В матричных
обозначениях это преобразование записывается так:
К (х) -у rqK (x), A.85)
где вещественная матрица
Гд=(Г1 ,1 A.86)
4 \0 — 1/ '
обладает свойством
rqg = - grq. A.87)
Для этой операции обращения знака заряда часто используется
символ С.
В двухкомпонентных матричных обозначениях вакуумная
амплитуда формально выглядит точно так же, как и в случае одно-
одного вещественного источника:
@+|0_>к=1 + у J (dz)(dx')K(x)b+{x — x')K(x'). A.88)
Это справедливо и для ее евклидова аналога
<0+|0_)K-vl-y J l(dx)(dz')К(х)А(х-х')К(х')]Е, A.89)
который может быть записан также через комплексные источники:
<0J0_>*-»-l— \ [(dx)(dx')K*(x)A(x — x')K(x')]E. A.90)

72 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Совокупность всех евклидовых преобразований распадается
на две связные компоненты, соответствующие собственным и не-
несобственным преобразованиям. В противоположность этому пол-
полная группа Лоренца содержит четыре связные компоненты, что
обусловлено разрывным характером причинного различия между
областями х° > 0 и х° <С 0. Таким образом, наличие более широ-
широкой группы инвариантности, которая вводится евклидовым посту-
постулатом, дает возможность выполнить некоторые из разрывных пре-
преобразований Лоренца посредством непрерывных евклидовых пре-
преобразований. Наиболее важным примером такого рода служит
собственное преобразование
Яц = — Яц, A.91)
которое в пространстве Минковского является преобразованием
обращения времени. Формальная инвариантность вакуумной
амплитуды относительно преобразования
К(х)^К(—х) A.92)
есть прямое следствие симметрии
А* (*-*') = А+(-* + *'). A-93)
но общим основанием для этой инвариантности служит именно
евклидов постулат. При изменении знака временной координаты
причинная последовательность источников меняется на обратную,
а рождение заменяется уничтожением, и наоборот. Это явствует
из преобразования источника в импульсной форме
К(р)^К(-р), A.94)
откуда
КР^К*_, КР_^К$+, A.95)
т. е.
Такое преобразование, состоящее из обращения времени (Т)
и пространственного отражения (Р), которое приводит также к за-
замене частицы на античастицу и наоборот, часто называют ТСР-
преобразованием, но можно встретиться и с любой другой пере-
перестановкой из этих трех символов.
§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК
В пучке, с которым имеет дело экспериментатор, в каждый момент
времени: содержится множество частиц, которые можно считать
невзаимодействующими, так как они разделены пространствен-
пространственными расстояниями, большими по сравнению с микроскопиче-
микроскопическим радиусом взаимодействия. В принципе пучок заряженных

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 73
частиц представляет в этом отношении некоторое исключение, но
практически, выбирая соответствующим образом плотность пучка,
возмущения, вносимые дальнодействием, можно сделать достаточ-
достаточно малыми. При теоретическом описании такой ситуации мы вос-
воспользуемся направленностью действия источников как одним
из аспектов дополнительности К (х)- и К (/^-представлений.
Источник, который размазан в пространстве и обладает подходя-
подходящей когерентностью (если пользоваться терминологией теории
антенн), может создавать пучок с высокой степенью направлен-
направленности, и если должна обеспечиваться эффективная связь с детек-
детектирующим источником, то возможные положения последнего будут
резко ограничены. Мы мысленно рассматриваем некоторое про-
произвольное число таких пар слабых источников направленного
испускания и поглощения, действующих один рядом с другим
при пренебрежимо слабой перекрестной связи между ними. Если
для всех пар источников приближенно принять одинаковый при-
причинный порядок, то мы получим, что в некоторый промежуток вре-
времени .между областями испускания и поглощения существует
произвольное число частиц, которые не взаимодействуют друг
с другом, поскольку пространственные расстояния между ними
велики.
Рассмотрим сначала вещественные источники и обозначим
через Ка (х) (а = 1, 2, . . .) отдельные слабые источники,
соответствующие одному изолированному процессу испускания
и поглощения. Физическая независимость всевозможных актов
такого рода, которая обеспечивается нашим выбором источников,,
находит свое выражение в том, что для получения вакуумной
амплитуды, описывающей полную систему, нужно просто пере-
перемножить отдельные амплитуды вероятностей:
@ь|0-)я'=П[1+! ( (dx)(dx')Ka(x)A,(x-x')Ka(x')j. B.1)
а
Все источники Ка (х), вместе взятые, составляют полный источник
*(*)»= 2 #,(*). B.2)
и
Принцип равноправности точек пространства-времени не допу-
допускает каких бы то ни было специфических различий между отдель-
отдельными компонентами источника К (х). Короче говоря, вакуумная
амплитуда долита зависеть только от К (х). Это обеспечивается,
если предположить, что
а ф 0: j (dx) (dxr) Ка (х) А+ (х - *') Ке (х') = 0, B.3)
т. е. что связь между разными областями одночастичного обмена
отсутствует. Тогда, поскольку отдельные источники являются

74 1 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
слабыми,
а
= ехр [2 -J { (dx) (dx1) Ка (х) А+ (х-х') Ка (х')] -
а
- ехр [ 2 y j (<**> (Ас') Ка (х) Д+ (ж - х') Ке (х')], B.4)
В
а, В
ИЛИ
4 j {dx)(dx')K(x)A+(x~x')K(x')]. B.5)
То же Cti-vioe выражение пригодно и для двухкомпонентных веще-
вещественных источников, а в случае комплексных источников оно
лринимает вид ^
<0+|0_> =
= ехр \i J (dx) (dx') К* (х) А+ (.г - х') К [х')\. B.6)
Мы будем считать, что эти экспоненциальные выражения для
вакуумной амплитуды описывают любую систему источников
произвольной интенсивности, единственное требование к кото-
которым — чтобы между частицами отсутствовало эффективное взаи-
взаимодействие. Для проверки правильности этого утверждения рас-
рассмотрим простую причинную структуру
К (х) = К, (х) + К2 (х), B.7)
где мы по-прежнему принимаем, что Kt соответствует физическим
процессам, протекающим после того, как закончились аналогич-
аналогичные процессы, описываемые функцией К2- Для случая веществен-
вещественных источников имеем
Xexp[t J (dx)(dxf) Kt{x) ^(x~zr) K2(x')^ @+\0.f2, B.8)
где в соответствии с причинным расположением источников
= t j (dx){dx')Ki{x)\i J da»pe1«*-»')]^2(«') = 2 iK\piK2p. B.9)
v
Причинная упорядоченность позволяет нам также разбить полный
процесс на первоначальный акт многочастичного испускания,
описываемый амплитудой вероятности ({гс}[0_)к2 и на после-

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 75
дующий акт поглощения, которому соответствует амплитуда
@+ | {n})Ki (здесь символом {п} обозначена совокупность физи-
физических характеристик, которыми различаются всевозможные
и-частичные состояния). В результате возникает следующее при-
причинное разбиение вакуумной амплитуды:
<0+10_>к = 5] <0+ | {n})Kt ({п} \ 0_)К2. B.10)
{п)
Чтобы получить из этой формулы явное выражение для ваку-
вакуумной амплитуды
@+|0.}1С=.@+|0->К|ехр [^ iKtpiK№] (O+IO.)*2, B.11)
р
достаточно обратиться к разложению экспоненциальной функции
ехр
B 12)
BЛ2)
Это позволяет нам провести необходимое отождествление членов
разложения:
+|{Я})'-<О+|О_)'П
р [Р>
B.13)
где многочастичное состояние описывается набором целых чисел
{пр}. Очевидно, что числа пр следует интерпретировать как числа
заполнения, связанные с соответствующими характеристиками
частиц. Это подтверждается и законом изменения многочастичных
состояний при трансляции источника К {х) -*- К (х + -Ю, кото-
который дает
^ф+\{п})ке-"х. B.14)
Полученное таким образом выражение для полной энергии-
импульса
Р»% B.15)
указывает на аддитивность вкладов частиц, присутствующих
в рассматриваемом состоянии.
Амплитуды вероятностей должны удовлетворять следующему
условию полноты:
2 I <{п) 10_>* |2 = | @+10.)к |»ехр IS I Кр |2] = 1: B.16)

76 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
и действительно,
-S|^p|«]. B.17)
р
Отметим, что вакуумная амплитуда использовалась выше двояким
образом. Из анализа причинной упорядоченности следует, что
относительные многочастичные амплитуды имеют вид
Ji^Uni^, B.18)
а из условия полноты многочастичных состояний вытекает, что
Ц^- = ехр[;?|Яр|21- С2-19)
Следовательно, вакуумную амплитуду можно брать непосредст-
непосредственно в качестве амплитуды вероятности, не вступая при этом
ни в какие противоречия.
Обобщение на случай пары вещественных источников или
эквивалентного ему комплексного источника не составляет ника-
никакого труда. Для этого нужно суммирование по импульсам в раз-
разложении B.12) дополнить суммированием по двум сортам частиц
и результаты представить в виде соотношений, аналогичных сле-
следующему:
^о-ГП^Н^' B'20)
где q — ±1 — зарядовый индекс, различающий частицу и анти-
античастицу. При комбинированном преобразовании трансляции
источника и сдвига фазы эти состояния изменяются по закону
({«} 0_)К-> в'вФе*™ <{„} | о_)к, <0+1 {п})к-+ <0+1 {п})к (.-«ОФе-н*,
B.21)
где величины
<?=S»p,9. ^=3^^" B-22)
Р, 9 Р, 9
показывают нам, какова структура многочастичного состояния
{и} с точки зрения его полных заряда и энергии-импульса.

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 77
Состояния отдельных частиц можно описывать не только
посредством импульсных переменных. Для этой цели можно
использовать и угловой момент. Переход к соответствующим
обозначениям производится путем преобразования
Кр = 2 (dQ)Va Ylm (р) КрПт, B.23)
I, ж
где
[ Ш^]1/2 J Yfm (x
Г1 J (ds)
| p | = [(pOJ _ ma]i/I> B.24)
a j; и У;т — обычные символы, принятые для обозначения сфе-
сферических бесселевых функций и сферических гармоник. Непре-
Непрерывная ориентация вектора импульса, или, точнее, плотное мно-
множество дискретных значений внутри бесконечно малых телесных
углов dQ, заменяется теперь дискретным набором квантовых чисел
углового момента
I = 0, 1, 2, . . ., т = I, I — 1, . . ., — I. B.25)
Таким образом,
2jiCipff2p= Zj ^1Vj™'V2,)<7mj B.26)
р p°l m
и, чтобы получить описание этих новых многочастичных состоя-
состояний, достаточно изменить индексы в соотношениях B.13). Обобще-
Обобщение на случай комплексного источника оказывается столь же про-
простым. В силу того, что зависимость величины Yim (x) от азимуталь-
азимутального угла имеет вид ехр (тир), поворот источника
К (. . ., Ф) -* К (. . ., Ф + а) B.27)
приводит к замене
КрЧт^е1^КрЧт, B.28)
и производимое при этом преобразование
({п}\0-)к-+е™«{{п}H_)к B.29)
показывает, что полное магнитное квантовое число многочастич-
многочастичного состояния дается равенством
М= 2 Пцптпг. B.30)
Р°, I, m
Теперь ГСР-соотношение между испусканием и поглощением
в случае вещественных источников принимает вид
*рч«~(-1Г *?,!,-«. B.31)
В случае же комплексных источников его следует дополнить обра-
обращением знака заряда.

78 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Возможно также и аксиальное описание, переход к которому
осуществляется посредством разложения
? Ш «1пчр*р*-« B-32>
т= —оо
где
КР+р_т ¦¦- ± (dP+ dp_)'Vm j (cte)enp^-+p^Jm (f Pl 11x± |) е-™рад.
B.33)
Здесь приняты следующие обозначения:
Р±^Р°±Рз, х± = ±(х0±х3), |р±| = (/>+/>--m2)V\ B.34)
а х_[_ — проекция радиуса-вектора на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную третьей оси, и ср — азимутальный угол, соответствующий
этой оси. Теперь ГСР-преобразование имеет вид
Обмен причинно-упорядоченных источников частицами можно
естественным образом описывать также на пространственно-вре-
пространственно-временном языке. Непосредственное разложение в степенной ряд
дает
ехр [г j (dx) (dxr) Ki (z) A+ (x - x) Кг (ж'
_n V;nf (dxl)...(dxn)(dx'1)... (dx'n)^
X Ki (xi) ... Ki (xn) [perm(n) A+ (x, — x])] K2 (x\) . . . K2 (x'n), B.36)
где величина
perm(n) A+ {xi — x'j)= 2Д+ (^i ~ x'i%) • • ¦ А*(жп — x)n) B.37)
(суммирование по всем п\ перестановкам) есть так называемый
«перманент», т. е. определитель без знаков минус. Здесь наряду
с эффективными источниками я-частичного испускания и поглоще-
поглощения явным образом выделена функция, соответствующая распро-
распространению п невзаимодействующих частиц. Она симметризована
по пространственно-временным координатам, и совместно с отсут-
отсутствием ограничений на числа заполнения пр = 0, 1, 2, ... это
отвечает тому, что мы имеем дело с частицами, подчиняющимися
статистике Бозе ¦— Эйнштейна.
Все известные нам свойства этой статистики выявляются так-
также, когда мы ставим вопрос, чему равны амплитуды вероятностей

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК I 79
общего вида {{п} | {п}')к. Ответить на него, значит сказать,
каким образом влияют на эффективность испускания и поглоще-
поглощения частиц источником уже имеющиеся частицы. Рассмотрим сле-
следующую причинно-упорядоченную структуру. Пусть сначала дей-
действует сильный источник К2 (х), порождающий частицы, затем
на эти частицы оказывает воздействие зондирующий источник
Ко (х) и, наконец, частицы поглощаются детектирующим источ-
источником Ki (x):
К (х) = Ki (х) + Ко (х) + К2 (х). B.38)
Ограничиваясь случаем вещественных источников, напишем
(dx)(dx')Ki(x)A+(x-x')Ko(x') +
+\0.)Ko. B.39)
Причинную последовательность можно иначе выразить соотно-
соотношением
@+10_)к = [2 @+1 {n})Kl (M10_)К2] ехр [2 AК*1р1КОр+шиК2р)} х
х<о+|о_)*°= 2 @+|и>^(И+1К}-)Ко(К}|0-)Х2, B.40)
{п), {п'>
из которого можно получить необходимые нам амплитуды вероят-
вероятностей, относящиеся к зондирующему источнику Kq. Рассмотрим
сначала слабый зондирующий источник и в соответствии с этим
оставил! лишь члены, линейные по Ко. Тогда, поскольку
iKp {{п}\ 0_)* = (пр + 1)V2 {{„ + 1р}| 0_)к, B.41)
Ф+\{п})к iK* - @+\{п + 1р))к (пр
что сразу же указывает на мономиальность этих амплитуд вероят-
вероятностей, мы получаем
({п + 1Р}+ |{п}_>к » (пр + 1)'/2 1КР, B.42)
<{n-U+IM->K«K)l/a'tf?-
Эти равенства служат обобщением исходных определений A.28)
при сохранении условия слабости источника. В частности, выра-
выражение для вероятности испускания еще одной частицы
|<{п + 1р}+|<гс}_>*|* = (пр + 1)\КР |а B.43)
указывает на наличие дополнительного вынужденного испускания,
характерного для статистики Бозе — Эйнштейна.
Чтобы получить некоторое предварительное представление
о структуре амплитуд переходов общего вида, построим амплитуду
вероятности ({п+}\{п_})к, в которую входят одинаковые

80 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
начальная и конечная конфигурации и которая в этом смысле
служит обобщением вакуумной амплитуды. Чтобы выделить эту
амплитуду, в разложении следует оставить лишь члены с одина-
одинаковыми степенями К\р и К2р:
...]. B.44)
v v
Здесь можно добиться весьма полезного упрощения, если заме-
заметить, что при достаточно малом da>p высшие члены данного разло-
разложения пренебрежимо малы. При этом рассматривается только за-
зависимость от зондирующего источника:
Кор
Заметил также, что для каждой отдельно взятой импульсной ячей-
ячейки справедливы независимые соотношения
Ъ @+\{n})KliKtPiK2p({n}\0_)K^^ @+\{n})Kinp{{n}\0J)KK B.45)
Тогда для интересующих нас процессов
exp VZ{iK\PiKOp + iKtPiK2pj\ -+ \\ [1 + iK*apnpiKOp] =
Р V
= ехр [ 2 iK*OpnpiKOp], B.46)
р
и мы приходим к выводу, что
[-i-j (dx)(dx')K(x)A{nH(x-x')K(x')], B.47)
p?zp [e'«*-*'>-fe-W*-*')]. B.48)
Последнее слагаемое мы представили в такой форме с тем, чтобы
сохранить симметрию по а; и х . Причинные функции имеют
следующий вид:
х°>х0':
Д{п)+(г-*') = ' J <fop[(Bp+l)e«**-*'>+Bpe-*rt*-*'>],
х°<х<": B.49)
Заметим, что в случае К = 0 амплитуда вероятности {{п}+ \{п_})к
сводится к единице. Это означает, что начальное и конечное много-
многочастичные состояния относятся к одной и той же времени- или
пространственно-подобной поверхности, как и должно быть, коль
скоро зондирующий источник в значительной мере локализован.

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК 81
При отыскании амплитуд вероятностей с несовпадающими
начальным и конечным состояниями мы не будем возвращаться
к общей конструкции B.40), а воспользуемся непосредственно
величиной {{п}±\{п}_)к, обращаясь с ней примерно так же,
как с вакуумной амплитудой. Итак, рассмотрим нричинно-упоря-
доченную пару источников
К (х) = К, (х) + Кг (х), B.50)
для которой имеем
X
exp [ i j {dx) (dx') Ki (x) Д{пН (x-x) K2 (x')] ({n}+ \ {n}.f2 =
Связь между отдельными компонентами источника устанавли-
устанавливается теперь соотношением
ехр [г j (dx)(dx')Ki(x)A{n)+(x-x')K2(x')] =
= ехр [2 №>(»„ + 4) iK2p^\iKipnpiKtP}] -
v
= П t1 + ^fp(«p-l- ViK2p-{-iKlpnpiKlP+ ...]. B.52)
Здесь отдельные члены, отвечающие определенному импульсу,
описывают разные процессы: когда число частиц не изменяется или
испускается одна дополнительная частица, или поглощается
исходная частица. При достаточно малом d<ap члены высших сте-
степеней, которые описывают более сложные процессы с участием
нескольких частиц, пренебрежимо малы. Например, вероятность
испускания двух частиц с импульсом, лежащим в интервале d(op,
пропорциональна (JcopJ. Однако это упрощение, представляюще-
представляющееся внешне совершенно безобидным, требует все же определенных
комментариев. Если пространственные интервалы чрезвычайно
велики, то благодаря наличию экспоненты е*Р'х все выражения
будут крайне чувствительными к изменениям импульса р и вели-
величину ddtp уже нельзя будет рассматривать просто как бесконечно
малую. Чтобы это было яснее с точки зрения физики, вспомним,
что мы имеем дело с пучком частиц, взаимодействующих с зонди-
зондирующим источником. Указанное выше приближение будет закон-
законным в том случае, когда этот источник находится в глубине пуч-
пучка, где наверняка нет существенной зависимости от его положе-
положения, По оно не будет справедливым, если зондирующий источник
расположен вне границ пучка или вблизи них. Все это должно
6-0670

82 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
напомнить нам, что за любым импульсным описанием кроется рас-
рассмотрение причинной последовательности в пространстве-времени.
С учетом сказанного найдем теперь, пользуясь соотношени-
соотношением B.52), амплитуды вероятностей тех процессов, в которых рож-
рождается или уничтожается одна частица. Результат таков:
где произведения берутся по всевозможным испускаемым (е) или
поглощаемым (а) частицам. Поскольку dcop — бесконечно малая
величина, можно считать, что различие между амплитудами
({п + 1Р}+ \{п + 1р}-)к и {{д}+ |{и}_)х пренебрежимо мало,
и тогда два приведенных равенства будут эквивалентными.
Теперь мы можем провести проверку на основе двух разных спо-
способов использования амплитуд вероятностей. Из условия полноты
конечных или начальных состояний мы заключаем, что
] B.54)
р
тогда как прямые вычисления дают
B.55)
и
Re-j- A{n)+ {x - х) = Re j dap Bnp +1) е*р(*-*'). B.56)
Таким образом, проверка говорит об отсутствии противоречий.
Обобщить сказанное на случай комплексных источников и за-
заряженных частиц очень просто — достаточно кроме импульса р
ввести зарядовый индекс q. Отметим лишь одно обстоятельство.
При построении амплитуды вероятности ({п}+ \{п}^)к у нас,
так же как в формуле B.46), появляется множитель
ехр[2 iK*pqnpqiKopq] B.57)
р. я.
и в результате
^(dx)(dx')K*(x)A{n}+(x-x')K(x')\. B.58)

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 83
Теперь, однако, функция распространения А{П}+(х—х') имеет
следующий смысл:
B.59)
и она больше уже не обязана быть симметричной по х и х'.
По-прежнему имеет место ГСР-симметрия, в которой преобразо-
преобразование х11 —*- — х11 сочетается с обращением знака заряда
пр+ — пр.. B.60)
В явном виде причинная структура функции распространения
дается выражениями
х° > х0':
i f da)p[(rcp++l)e^x-*'>+rcp_e-iP(*-'O],
х°<х0': B.61)
Заметим, что эта функция будет симметричной по а: и х', если при
всех импульсах падающий пучок нейтрален, т. е. при пр+ = ир_.
Только в этом случае можно ввести вещественные источники К^
и /Г<2) и связать с ними два независимых типа частиц.
Мы видели, каким образом принцип причинности и принцип
равноправности точек пространства-времени выступают в качестве
конструктивных принципов. Кроме того, выше проверялось физи-
физическое требование полноты, или унитарности; оно не является
независимым принципом.
Сейчас мы исследуем эту связь более подробно, но сначала
вернемся к вакуумной амплитуде для вещественных источников
и рассмотрим комплексно-сопряженную ей величину
<0+|0_)к*-@_|0+)к =
= ехр[-4" j (dx)(dx')K(x)A-(x-x')K(x')~]% B.62)
где
А_ (х - х') = А+ (х — х')*. B.63)
Чтобы получить единое представление для функции распростра-
распространения Д±) введем положительно- и отрицательно-частотные функ-
функции Д(±):
А'+)(х-х')= j *Dpe**(*-*'>, Д<-> (х~х')= \ Двре-(»(*-*'),
B.64)
6*

84 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
определенные всюду и связанные друг с другом соотношениями
Д<-' (х — х') = Д(+) {х' — х) = А<+> (х — х1)*. B.65)
Тогда наши две функции распространения будут записываться
так:
x°>x0': Ш+>{х-х'),
z°<x°': i*->(x-x');
{ х°>х0': -Ш~>{х-х'), l '
А.{х-х ) = | хо<хо'. —Ш»(х — х').
Заметим, что во всей рассматриваемой области выполняется соот-
соотношение
А+ {х - х') - А_ (х - х') = i [А<+> (х - х) + AM (x - х')\.
B.67)
Интеграл по импульсам
А_ (х - х') =
= - i j d(a,, exp [ip.(x - x') + г>° | ж0 - x0' |], B.68)
полученный из интеграла A.45) путем комплексного сопряжения,
дает ту же евклидову функцию, что и раньше,
А_ (х — х') _». ДЕ (ж — х'), B.69)
при подстановке
— i |з° — з0'|-Ч*4— з;|. B.70)
Тогда мы будем иметь евклидово выражение
^ , B.71)
совпадающее с тем, которое получается из амплитуды @+ | 0_>к
в результате обобщения равенства A.57) на случай сильного источ-
источника. Евклидов аналог вакуумной амплитуды представляет собой
вещественное число, лежащее в интервале от 0 до 1. Чтобы вер-
вернуться к вакуумной амплитуде {0_ | 0+ }к, достаточно произве-
произвести подстановку
х4-+ ехр [ —? Dг — е) ]х°, рц ->- ехр \ 4- i (^- — s) J Ро,
е-^4-0, B.72)
что, кстати, приводит к следующему инвариантному представ-
представлению:
А (х г')- [ dp ^'^
Д_(а; a:)-j BяL p2_^m^i

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 85
Из существования единого евклидова описания вытекает еще
одна связь между вакуумными амплитудами, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными друг другу. Рассматривая евклидово представление
в качестве некоторого промежуточного этапа, мы будем иметь
exp \ i (-5- — е) ] х° -*- хл -*¦ exp I — г (~—е.) 1 х°:
г ./яA""^|)а!0"*"A + 1в)р'/я VI B'74)
ехр — i (—. е 1 \ Ро -*- Pi -*~ ехР 1 ("о— е I I Ро'
A + ie) р0 ->- — A — ге) р0,
в результате чего получаем
&+(х-х')^-А.(х-х'), @+|0_>к->-<0_|0+)к. B.75)
Непосредственно в этом убедиться можно, заметив, что
ра — ге ->¦ р2 + ге, ж2 + ге -> а;2 — ге, 8 ->- + 0, B.76)
где масштаб для е, как и всегда в таких случаях, соответствую-
соответствующим образом изменен. Следует вспомнить также, что при указан-
указанном преобразовании характер упорядоченности переменных не из-
изменяется. Следовательно, пределы интегрирования останутся
прежними и
j dp _> - j dp, j dx -*¦ - j dx, B.77)
между тем как
| x° — ж0' | -> - | x° - x0' I, B.78)
что несколько иначе подтверждает указанные выше преобразо-
преобразования.
Теперь, пользуясь причинной структурой теории, мы приведем
полный вывод условия унитарности. Конечно, он будет сделан
для физической системы весьма частного вида, но совершенно
ясно, что такого рода вывод носит общий характер. Будет удобней
изменить индексы, отражающие причинную упорядоченность,
и обозначить ЙГ, и К2 через /?<_> и К(+). (Нам могут возразить, что
знаки ± несут и другую смысловую нагрузку, но, как мы увидим,
все полностью согласуется с обозначениями Д±.) Пусть Т — мо-
момент времени, расположенный между пространственно-времен-
пространственно-временными областями, которые определяются двумя компонентами
источника. Для интервала х° > Т введем новую временную коор-
координату, совершив отражение относительно Т:
X — 1 — 1 —X , D. IV)

86 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
а затем преобразуем этот промежуток времени так, как только
что говорилось:
х0 - Т ->• е~1л (Т - ?). B.80)
Непосредственным результатом такого преобразования будет за-
замена х° на х°; момент х° наступает настолько раньше Т, насколько
исходный момент времени наступает позже Т. До указанного
преобразования вакуумная амплитуда имеет следующую струк-
структуру:
<0+ | 0_)* = exp [-L j (da;) (da:') if(_, (x) A+ (x-x') KM (x') +
+ ±- \ (dx)(dx')K(+)(x)A+(x-x')KM(x') +
+ i Udx) {dx') Kt->(z) *Д<+> (ж-х') Kl+)(x')j , B.81)
где появление последнего слагаемого свидетельствует о причин-
причинной упорядоченности. Когда совершается преобразование, квадра-
квадратичный по К(+) член по-прежнему не будет ведать, что будет тво-
твориться потом, квадратичный по ЛГ(_, член трансформируется из-
известным образом (А+ -> — А_), не затрагивая других слагаемых,
а у последнего члена появляется лишь знак минус благодаря
замене
f dx -> - f dx, B.82)
обусловленной наличием множителя е~1я, который не компенси-
компенсируется отражением (чтобы при таком преобразовании сохраня-
сохранялась положительность меры, необходимо переставить пределы
интегрирования). В результате получаем следующее выражение:
<0+|0_}K-^exp[--i- j (da:) (da:') *(->(*) A-(*-*')*<->(*') +
+ 4- J (dx) (dx') Kl+y (x) A+ {x-x') K{+) (a:') +
+ j (dx)(dx'){-i)Kl.Ax)^*>(x-xf) iKt+) (x')] , B.83)
в~которое не входит Т — произвольный момент времени после
прекращения действия обоих источников. Физический смысл этой
комбинации становится ясным из разложения
exp [ j (dx) {dx') (- i) К(-> (х) ДЛ (x-x') Ki+) (*')] =
= 11 Zj
vV,
v np=o

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 87
ибо, пользуясь тем, что
({n}|0_)** = «L|{n}>K, B.85)
мы получим
@_ | 0+)К<-' ехр [ j {dx) (dx') (-i) JT(_, (x) Д<+> (х- х') iK{+) (ж1)] X
X <0+10_}К<+) = 2 @-1М)*'-1 ({»} 10_>*(+> = @.10_>*(-" *<+). B.86)
Как явствует из обозначений, мы получаем, что система разви-
развивается во времени из начального вакуумного состояния под дей-
действием источника Ki+) {x), а затем возвращается в то же началь-
начальное состояние при наличии источника Ki_) (х). Не следует думать,
конечно, что сама физическая система движется вспять во време-
времени,— обррщается причинная последовательность сравниваемых
состояний. Если оба источника одинаковы, то мы должны вер-
вернуться к исходному состоянию, т. е. равенство
?<_> (х) = Км (х) = К (х) B.87)
означает, что выполняется условие полноты, или унитарности:
*к2 *к=1. B.88)
Соответственно экспоненциальной форме выражения B.83) оно
выполняется при условии
i [Д+ {х- х) - А. {х — х')\ + А<+) (х — х) + Д'-> (х — х) = 0, B.89)
где последние слагаемые представлены в такой форме, которая
обеспечивает необходимую симметрию по х и х'. Мы узнаем в этом
равенстве тонадество B.67).
Полную формулировку условия унитарности мы получим,
рассматривая порождение источниками К{±) произвольных много-
многочастичных состояний. Запишем
К(+) = К + К2, Kt_,=K + К*, B.90)
где действие источников К2 и Kv предшествует действию источ-
источника К, и введем соответствующее причинное разложение:
<{n}[0_>*<+>= S (Ш{п"}-)К({П"}\О-)К\
к {П"} к B-91)
@-IW) (-'=S{0-IK»K2'{K}-|M+>K.
{п'У
Нам нужно убедиться, что в соотношении B.86) источник К{х)
в действительности исчезает, а остается лишь
<0_ 10_>К2>> К2 = S @_ | {n'}fz' ({»'} 10_)К2, B.92)

88 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
поскольку это и означает условие унитарности, отвечающее
действию источника К:
2 ({»'}-1 {n}+f ({п}+1 К}.)К = б ({*'}, {п}). B.93)
Помимо уже использовавшегося соотношения B.89), для этого
следует потребовать, чтобы выполнялось равенство
J {dx) (dx) I- iK (x) A_ (x - x') Kr (xr) +
+ iK (x) Д+ (x - x') Kz (x') +
+ К (x) A<-> (a; - x') Kv {x') + K(x) A<+> {x-x') K2 (x1) I = 0. B.94)
Но при рассматриваемых причинных связях Д_ -»- — iA<~) и А+-»-
->- iA<+>, чем и завершается наша проверка.
Амплитуда вероятности @_ | 0_ )/^(-:>- к<+> пригодна и для
прямого вычисления различных математических ожиданий. Пусть,
например,
if,-, (i) = К (х), К{+) (х) =К(х+Х). B.95)
Тогда вместо соотношения B.88), соответствующего случаю X =
— 0, мы получим
2 @-1 {п))ке^ {{п} 10_}к = (e^^)f. B.96)
п
Эта величина представляет собой математическое ожидание eiPX
для состояний, порождаемых из вакуума действием источника К.
Поскольку смысл имеет лишь относительный сдвиг двух источни-
источников, мы имеем
[( (dx)(dx')K(x){bi+>(x — х' + Х) —
B.97)
Рассматривая инфинитезиыальные смещения, мы получаем соот-
соотношение
>*>?= \

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 89
или, при очевидном отождествлении отдельных членов, равенство
{пр)$=\Кр\\ B.99)
Полное же число частиц есть
N=^np. B.100)
V
Таким образом, учитывая B.17), мы приходим к выводу, что сред-
среднее значение полного числа порождаемых частиц и вероятность
вакуумного перехода связаны простым соотношением
<0+
|2 = ехр [-
B.101)
Анализ флуктуации упрощается, если написать (всевозможные
индексы здесь опущены):
= exp[j
= ехр [ 2 (eipX - 1 - ipX) | Кр |2] .
B.102)
Простейший пример — соотношение
<(/>- (Р))» (Р- (P))v) = (PvPJ-iP») (Pv> =
B.103)
которое также можно интерпретировать как равенство
(прщ,>) — (np)(v> ^ SP7J.{«p). B.104)
Одним из следствий формулы B.104) является равенство
<ЛР>- <^>2= (ЛГ>. B.105)
Сведения о полном числе частиц можно получить и непосред-
непосредственно, рассматривая источники
К{_, (х) = К(х), Км (х) = ХК (х). B.106)

90 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
В соответствии со структурой амплитуд относительных вероятно-
вероятностей мы будем иметь
2 <0.| {«}>**,* ({га} |0_>к =
{п>
--= ехр [(Я,— 1) ( (dx) (da;') К (х) Д<+> {х — х') К (я;')] . B.107)
Дифференцируя по К и полагая Я = 1, получаем
(N)f = \ (dx) (dx') К (х) Д<+> (х-х1) К (х1) = 2 I #р I2- B-108)
р
Коэффициент при %N в сумме B.107) представляет собой вероят-
вероятность испускания N частиц без их дальнейшего детектирования.
Сравнение со степенным рядом для экспоненты дает нам
P(N, O)* = -^p-e-<*>. • B.109)
Известно, что для этого распределения Пуассона характерна как
раз флуктуационная формула B.105). Все прочие характеристики
такого рода получаются из равенства
<А,ж>=ехр [(А,- 1) (N)] B.110)
путем его дифференцирования по %:
(N (N - 1) ... (N — v + 1)> = (N)". B.111)
Чтобы обобщить все сказанное на случай амплитуды
({n}-\{n}-)Kiu К<+)» следует лишь ввести функцию Д{П}+ (ж — х')
и связанные с ней функции
А{п}_ (х — х') = А- (х — х') — i [ d(opnp [е4Р(*-*'> + е-Ы*-*')],
А%(х-х')= j do)p[(i»p+l)e*t*-"') + i»pe-'P<«-«')], B.112)
A({rl}(x — x')= j сгй)р[«ре^(»-«') + (Ир+1)е-^(ж-«')].
Причинные соотношения между этими функциями остаются таки-
такими же, как и в случае вакуумных амплитуд, хотя, скажем, функ-
функция Д{п} (х — х') содержит уже не только положительные частоты.
Чтобы получить математические ожидания, нужно учесть, что
при трансляции К (х)->¦ К (х-\-X) амплитуда {{гс'}+|{ге}_)к
приобретает множитель
ехр U (Р {п'}- Р {п}) XI, B.113)
поскольку теперь в преобразовании участвует как начальное, так
и конечное состояние. Для примера приведем следующие два ре-

§ 2. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О, СИЛЬНЫЙ ИСТОЧНИК | 91
зультата:
/(„' „ \\К—\1Г 12 /О \АА\
(п'рп'р'} — {пр) (rip'} = 8рр' {(rip — np)>Brep + l). B.115)
Точно так же рассматривается случай комплексных источни-
источников и заряженных частиц. Для вакуумной амплитуды, описываю-
описывающей замкнутый во времени цикл, получим выражение
@. | 0_)К<-'' К(+) = ехр [ - i \ (dx) (dx') fff_, (ж) Д_ (ж — ж') АГ(_, (ж') +
+ i j (dx)(dx')KU)(x)b+(x-x')Kw(x') +
+ j (dx) (dx') *?_, (x) Д<+> (ж-ж') Л:(+) (ж') +
+ j (&r) (tto') ЛГ(_, (ж) Д(+) (х-х1) Kf+) (ж')] , B.116)
которое в случае /Г< _,(ж) = К(+) (х) сводится к единице. Выбрав
источники в виде
с вещественным X, мы будем иметь
= ехр | j (da:) (^') Z* (ж) [Яе^Д»*» (ж—ж' + Х)-Д'+> (ж—ж')] if (ж)' +
+ \ (dx) (dx')К (х) [Ae-i(PA(+> (х-х'+Х)- Д(+) (х- ж')] #* (ж')
= ехр [2(^оте^-1)|ЛГР(,|2]. B.118)
р, г
Можно также ввести полное число положительно и отрицательно
заряженных частиц
\ N. = \-(N-Q) B.119)
и переписать формулу для математического ожидания в виде
<>Д+Я,'Ь'")? = ехр [2
р
В соответствии с этим
-1)|#р-|2]- B-120)
(#_>^=Sl^-|2. B.121)

92 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
между тем как отдельные вероятности таковы:
P(N+N-, О)к=Щ^-Щ^е-<"\ B.122)
Упрощенная формула, несущая информацию только об электри-
электрическом заряде, имеет вид
(e«tt)K = ехр [(е*Р- 1) (N+) + (е~Ъ—1) (Лг_)], B.123)
откуда мы получаем следующие выражения для отдельных
вероятностей:
(^L)A/)Q-<^>. B.124)
(Здесь использовано обычное разложение функции Бесселя в ряд.)
Вводя функцию распространения B.59) и другие связанные с ней
функции, мы обобщим формулу B.116) на случай амплитуды
вероятности ({«}_ | {п}_)й"<-)-к'<+).
§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН
Прежде чем рассматривать частицы с произвольным спином, мы
остановимся на элементарном анализе некоторых конкретных
примеров, чрезвычайно важных с физической точки зрения.
В экспоненциальной форме вакуумной амплитуды, установленной
в случае бесспиновых частиц, выражается физическая возмож-
возможность любого числа независимых актов одночастичного испуска-
испускания и поглощения. Такие пространственно-временные свойства
не связаны со значением спина частицы. Он может оказывать
влияние лишь на детали, касающиеся структуры источника. Совер-
Совершенно ясно, что если частицы со спином 0 описываются скаляр-
скалярным источником, то частицам с единичным и более высокими спи-
спинами должны отвечать источники, преобразующиеся как векторы
или как тензоры различных рангов. Очевидно, что на роль источ-
источника, описывающего частицы с единичным сиином, может претен-
претендовать векторный источник, который мы будем обозначать через
•Л* {х). Правда, здесь возможны возражения. У такого источника
четыре компоненты, тогда как с тремя спиновыми состояниями,
возможными в случае частицы непулевой массы, следовало бы
ассоциировать три независимых источника. Это означает, оче-
очевидно, что Jv- {х) представляет собой некоторую смесь источника
частиц с единичным спином и источника бесспиновых частиц,—
такая ситуация соответствует тому, что путем дифференцирова-
дифференцирования мы можем образовать скалярную функцию d^Jv- {x). Имеется
и другое серьезное возражение, физического характера. Если
ограничиться лишь заменой вещественного скалярного источника

§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН | 93
на вещественный векторный источник /i* (ж):
(O+\O-)J = exp[-^^(dx)(dx')Jil(x)A+(x-x')Jil(x')] , C.1)
то мы получим
| <0+1 (L)J |г = ехр [ - j du>pJ» (р)* Л, (р) ] , C.2)
и нет никакой гарантии, что эта вероятность будет меньше еди-
единицы, поскольку величина
» (р) = I J (р) I2 - 1/° (Р) I2 C-3)
может иметь любой знак.
Оба возражения отпадают, если для частицы с массой т Ф- О
принять следующую инвариантную структуру:
<0+1 0_)J = ехр [4" j (dx) (dxf) (/" (х) А+ (х-х) /^ (х') +
При вычислении вероятности вакуумного перехода нам теперь
встретится величина
J» (р)- h (р) + ^г р^ (р)* PvJv (p) =
= J* (Р)* [^v +-^r P^Pv J Г (р). C.5)
Поскольку она представляет собой инвариантную комбинацию,
для выяснения ее свойств можно воспользоваться удобной в дан-
данном случае системой покоя, отвечающей времени-подобному век-
вектору р^, в которой
рк = 0, р° = т. C.6)
В этой системе отсчета компоненты симметричного тензора, вхо-
входящего в выражение C.5), имеют следующие значения:
{О при (.1 = v =— О,
О при \i = k, v = 0, C.7)
bit! при |i — /с, V--1.
В результате мы получаем просто | J |2. Эта величина положитель-
положительна и содержит три независимые компоненты источника, при пре-
преобразованиях пространственного вращения выражающиеся только
друг через друга, что соответствует единичному спину.

94 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Заметим, что величина A/т)р^ есть единичный времени-подоб-
ный вектор, который можно дополнить тремя ортогональными
пространственно-подобными векторами е?ь удовлетворяющими
условиям
Р^рх = 0, е?* ewX' = 8U-. C.8}
Это позволит записать метрический тензор в диадном виде:
^=--^р^+2«- (з.9>
Симметрия тензора g^v свидетельствует о том, что комплексное
сопряжение трех векторов е$х порождает некоторое унитарное
преобразование на этом множестве. Если ввести величину
то для вероятности вакуумного перехода мы получим
р, к
Рассмотрим теперь причинно-упорядоченную пару источников
/* (*) = /? (*) + /&(*). C.12)
Для нее
@+ | 0)J = @+1 0_)Jl exp [ J duviA (p)* (g]W + m-*PvLpv) tJl (p)] X
X @+1О^)'2 = <0+10_>Jl exp [ ^ iJtpxUzpx] <0+10_>Ja. C.13)
p, i.
Это обычное выражение приводит нас к следующим формулам
для многочастичных состояний:
где npj, = 0, 1, 2, . . ., что снова указывает на статистику Бозе —
Эйнштейна. Таким образом, два разных способа использования
вакуумной амплитуды дают одинаковые результаты.
Единичные пространственно-подобные векторы е^ можно
выбрать вещественными. Условие ортогональности
Р-е„х = рЧх C.15)

§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН 95
говорит о том, что импульс р играет роль вектора, задающего
некоторое выделенное направление, от которого ведется отсчет.
Если вектор ерХ перпендикулярен вектору р то его временная ком-
компонента ёр% равна нулю. Пусть ер) — один из таких единичных
вещественных векторов:
р-ер1 = 0, (ер1)а == 1, е°р1 = 0. C.16)
Тогда другим таким вектором будет вектор:
ерз = -|^хер1, (ер2J=1, е°р2 = 0, C.17)
а вводя еще вектор
_^_Р_ о _ |р| п 18»
мы получаем их полный набор. Попутно заметим, что
При рассмотрении углового момента возникает необходимость
в выборе комплексных векторов. Когда совершается инфинитези-
мальное однородное преобразование Лоренца
ч, C.20)
вектор J11 (х) изменяется по закону
Jll(x) = Jll(x) + 8(^vJv(x), C.21)
или
б/* (я) = ficBiwarjA/*1 (*) + tofivjy (x). C.22)
Для трехмерных вращений отсюда получаем
6J (а;) = бш-х х V J (х) - б© X J (х), C.23)
б/° (х) = бсо-х X V J0 (х),
или в эквивалентной записи
6J(p) = 6co.PX^-J(p)-6coxJ(p),
I C.24)
Рассмотрим теперь поворот вокруг оси, направленной по импуль-
импульсу, когда

96 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Одночастичное состояние со спиральностьто К, для которого
Ь C.26)
мы имеем в том случае, если
-ekx-iJj—OeJx. C.27)
Нулевой спиралыгости соответствует ректор е, параллельный р,
и поэтому мы введем для вр3 новое обозначение:
а р0 Р .о IPl /о ояч
Спиральные состояния с "к=±\ соответствуют комплексным
комбинациям
р'+
которые выбраны таким образом, чтобы соотношение
+1
_e*^x6© = i S Fo)-S)u.ej*r C.30)
приводило к стандартным матричным элементам оператора еди-
единичного спина.
Источники и состояния частиц можно классифицировать
по значениям полного углового момента. Для этого мы сначала,
как и в случае нулевого спина, введем разложение
2 ()()] C.31)
I, m
где
(Щ1V J РI• | х |) Г?т (х) Jv (*). C.32)
Для временной компоненты J0, являющейся по отношению к трех-
трехмерным вращениям скалярной функцией, больше ничего делать
не нужно. Но единичному спину отвечают три компоненты векто-
вектора J, которые нужно соответствующим образом объединить с орби-
орбитальным моментом, чтобы получить состояния с определенными зна-
значениями полного момента. Это достигается путем введения сле-
следующей ортонормированной системы векторов, заменяющей набор
скалярных сферических гармоник:
i, m i, m
"b (/ (/ 4- 1)Г'/2 jjr X ЬУМ (Р) JP°]m2 +
+ 1J Y> ^ (^JP-^ + 7Г JP*i
C.33)

§ 3. ЧАСТИЦЫ^СО СПИНОМ 1, ФОТОН I 97
где
L = *?xp. C.34)
Символ т, используемый в качестве индекса для обозначения
магнитного квантового числа, не следует путать с символом иг,
выступающим в его обычной роли массы частицы. Введенные нами
величины удовлетворяют равенству
= ^J I
l,m j, m
)*(JVin3^^^)]. C.35)
Отметим также соотношение
2^ (p) (i-Jp-.-^-^"-.) - 2^-(p) (^^мз-^-
l,m },m
C.36)
Объединяя все эти вклады, мы и получаем требуемый результат:
C-37)
2
где индексом Я, — 1, 2, 3 различаются три возбуждения с кванто-
квантовыми числами полного момента /, т.
Можно найти и явные выражения для этих источников. Поль-
Пользуясь, например, свойством ортогональности векторов, мы полу-
получаем формулу
(ll^p j | (p), C.38)
которую можно преобразовать к виду
x|)nB(x)(/(/+l))-1/iL.J(a:),
C.39)
где теперь
L = xx-fv- C.40)
(К сожалению, при сохранении двух общепринятых систем обозна-
обозначений у нас возникают комбинации вида jj.) Отметим, кстати, что
такого рода источник в случае / = 0 обращается в нуль. Совер-
Совершенно аналогично
C.41)
M f I " '
7-0670

98 [ ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
и этот источник также обращается в нуль при / = 0. Наконец,
Из приведенных выражений явствует, что источники с индексами
Я. = 1, 2 зависят только от величины J (х), которая входит в виде
комбинации V х J W, тогда как для источника третьего типа
возможна следующая эквивалентная замена:
— (iv.j(^)-4^ow)->--V"W + 4^oD C-43)
При обобщениях типа тех, которые проводились для частиц
нулевого спина,— на случаи заряженных частиц, многочастичных
начальных и конечных состояний, циклического развития по вре-
времени — никаких затруднений не возникает, а ход рассуждений
оказывается настолько похожим, что его можно не воспроизво-
воспроизводить. Вместо этого мы обратимся к одному важному специально-
специальному случаю, а именно к пределу нулевой массы (фотона).
Из равенства C.4) ясно, что если величина d^J^ (х) не равна
нулю, то предела нулевой массы не существует. Можно было бы
написать
d^J» (х) = тК (х) C.44)
и считать К (х) в пределе т -*• 0 источником безмассовых частиц
с нулевым спином. Но последние были бы совершенно не связаны
с фотонным источником, а поскольку частицы с м = 0 и s = 0
экспериментально не обнаружены, мы будем рассматривать толь-
только фотоны, считая, что источник описывается следующим обра-
образом:
[^^\ C.45)
(х) = 0.
Здесь символ D+ указывает на то, что мы имеем дело с частицами
нулевой массы.
Понятие источника частиц того или иного сорта есть результат
обобщения наших представлений о реальных процессах рождения
и уничтожения таких частиц. В нем соединены общие черты всех
подобных процессов, а специфические особенности каждого из них
отброшены. Всякое общее требование к источнику, обусловлен-
обусловленное конкретной природой частицы, должно относиться ко всем
процессам и потому имеет смысл некоторого физического закона.
Рассматривая фотон и исходя из равенства нулю его массы, мы
пришли к выводу, что векторный источник должен удовлетворять
определенным требованиям: его дивергенция должна равняться

§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН I 99
нулю. Такое требование есть локальная формулировка закона
сохранения некоторой величины. Относительно природы этой
сохраняющейся физической величины не может быть никаких
сомнений: это электрический заряд.
Исходя из разных способов описания состояния безмассовых
частиц, можно убедиться в том, что у них пропадает одна степень
возбуждения. Так, например, если в равенстве C.19) принять, что
т —>- 0, то при условии
PilJ» (p) = 0 C.46)
мы придем к выводу, что
JP3 = 0, C.47)
а два оставшихся источника Jp\,i соответствуют двум поперечным
линейным поляризациям, которыми могут обладать фотоны. Если
пользоваться индексом спиральности, то мы будем иметь эквива-
эквивалентное равенство
/Рв=0, C.48)
а источники Jp,±i будут соответствовать двум круговым поляри-
поляризациям. Обращаясь теперь к состояниям с определенным угловым
моментом, из соотношения C.43) совершенно аналогично полу-
получаем
/pojm3 = 0. C.49)
Поскольку момент / = 0 не входит в источники двух других ти-
типов, это равенство эквивалентно утверждению об отсутствии
нулевой спиральности.
К выводу о существовании двух состояний поляризации (или
двух спиральных состояний) мы пришли путем предельного пере-
перехода, отправляясь от частиц с конечной массой и единичным спи-
спином. Получим теперь этот результат непосредственным путем,
используя описание фотонного источника C.45). Причинная после-
последовательность пары источников
C.50)
означает, что
<0+10.)' = @+1 0_)Jl ехр [ J dupiJ4{p)* ^ Л (р)] <0+10_)Ji. C.51)
Диадное представление тензора g^, даваемое формулой C.9),
здесь не годится, поскольку р& теперь изотропный вектор:
рг = 0. C.52)
Введем вектор р*\ полученный из вектора pv- обращением направ-
направления движения фотона:
Р° = Р°, Ph = - р\ Р2 = 0. C.53)
7*

100 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Тогда р* -\- р» будет времени-подобным, а р" — р& — простран-
пространственно-подобным вектором. Их можно дополнить двумя ортого-
ортогональными единичными пространственно-подобными векторами е^:
0 C.54)
и получить следующее диадное представление:
) у, а у,
г
РР
1==
2рр 2рр ^
@.55)
Учитывая теперь, что фотонный источник должен удовлетворять
условиям
р)*=О, C.56)
мы получаем искомое соотношение
= \
S C.57)
Р.А.
которое описывает обмен частицами. Из условий C.54) следует
также, что временные компоненты двух векторов е^ равны нулю,
а их пространственные части перпендикулярны импульсу р. Тем
самым мы приходим к замкнутому описанию двух поперечных
возбуждений, возможных для фотонов.
Ранее было установлено, что понятие безмассовой частицы
с определенной спиральностью инвариантно относительно собст-
собственных ортохронных преобразований Лоренца. Желательно было
бы сделать так, чтобы это свойство спиральных состояний фотона
стало более очевидным. Кроме того, хотелось бы также понять,
почему у нас оказалось, что спиральные состояния появляются
парами, хотя о пространственном отражении явно нигде не упо-
упоминалось. Заметим сначала, что требование сохранения, предъяв-
предъявляемое к источнику Jv- (x), будет удовлетворяться тождественно,
если
/и Or) = dvM^ (x), C.58)
где
Afnv (х) = _ м^ (х). C.59)
Введем также понятие тензора, дуального данному антисимметрич-
антисимметричному тензору:
±{x), C.60)

§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН [ 101
где е1* — полностью антисимметричный тензор, нормирован-
нормированный условием
еот = _!_!. C.61)
Операция дуализации обладает свойством
**Mnv (х) = _ Afiiv (ж). C.62)
Используя дуальный тензор, напишем
J» (х) = дуМЧ\ (х) + дуМ»\ (х), C.63)
где величины
М1\ (я) = у (МMV (я) + РМ^ (х)) C.64)
таковы, что
*М»±\ {х) = ± iMlX {x). C.65)
Последнее равенство указывает на существование у каждого из
этих объектов лишь трех независимых компонент, например:
Ml+\ = iM°+\, М1\=—1МО.\. C.66)
Эти компоненты, конечно, комплексны, причем
МЧ\(х) = МЧ\(х)*. C.67)
Если речь идет о непрерывных преобразованиях систем коорди-
координат, то разложение C.63), которое мы напишем в виде
/»(х) = 1»+1(х) + Лф), C.68)
будет иметь инвариантный смысл. В трехмерных обозначениях
J±1 (х) = V х М±1 (х) ± id0M±1 (x) C.69)
J±i (Р) = t'P X М±1 (р) ± p°M±i (p). C.70)
Учитывая соотношение C.27), получаем, что эффективность испу-
испускания этими источниками фотонов со спиральностью К измеряет-
измеряется величиной (р° = | р |):
= P°(X±l)eJx.M±1(p). C.71)
Таким образом, из того, что спиральность X фигурирует здесь
в комбинации с числами ±1, следует, что индексы ±1 У компонент
источников действительно относятся к единственным значениям
спиральности испускаемых или поглощаемых ими фотонов.
Почему же нельзя, отбросив, скажем, источники /^1 (х), полу-
получить теорию, в которой фигурировали бы только фотоны с поло-

102 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
. жительной спиральностью? По той же причине, по которой невоз-
невозможна теория, содержащая только положительно заряженные
частицы,— в ней нарушался бы принцип равноправности всех
точек пространства-времени. Чтобы подробней в этом разобрать-
разобраться, рассмотрим вклад в вакуумную амплитуду от испускания и по-
последующего поглощения фотона с положительной спиральностью,
т. е. величину
i J (da:) (dx')J4i (х)\ [i j &ареЫ*-*'>] g^J\i (x')a, C.72)
где для большей ясности мы вынесли причинные индексы 1, 2.
Появление здесь тензора g(lv является вполне оправданным, так
как в силу равенства C.71) суммирование по двум эквивалентным
векторам поляризации приводит к соответствующим членам с по-
положительной спиральностью. Полнгя связь источников должна
быть линейной по
/v+i (х) = Лц{хI + Г+1{х)л C.73)
и линейной по
Г+1(хУ = ^+1(х)Х + ^+1(х)Ь C.74)
Казалось бы, вывод о существовании другой связи, в которую
входят /^ (дг'^ и ji^ (x)%, не является строго обязательным, так
как мы можем ввести в рассмотрение пространственно-временную
экстраполяцию выражения C.72), дополненного множителем
{ 1 при х°>х°\
У](х°-х°')=1 п „ „, C.75)
IV I 0 при х°<х° , v ;
назначение которого состоит в том, чтобы исключить такую после-
последовательность источников, при которой J^1 и .1^1 поменялись бы
своими причинными ролями. Эта ступенчатая функция действи-
действительно имеет инвариантный смысл, когда хм х' разделены времени-
подобным или нулевым интервалом, но в случае пространственно-
подобных интервалов она не инвариантна и ее введением нарушал-
нарушался бы принцип равноправности всех точек пространства-времени.
Выходит, мы не можем избавиться от присутствия дополнитель-
дополнительного члена с причинной связью
4r) (dx1) Г+1 (z')i [i j *»„<*•(*-*] g^i {x')t C.76)
и при условии однозначности пространственно-временной экстра-
экстраполяции частицы, описываемые этим членом, также должны обла-
обладать нулевой массой. Такие античастицы — это фотоны с отрица-
отрицательной спиральностью:
/?!(*)* =-Г-!(*). <3'77)

§ 3. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1, ФОТОН I 103
и дополнительный член можно переписать в виде
* J {dx){dx')Jltl{x)i[i J d©pe'p(«-*')]^vyl,(a:'M. C-78)
Кроме того, аналогичные комбинации, содержащие J+*, /^.j и
J4*i, Jv+i, равны нулю, так как при суммировании по векторам
поляризации будет обращаться в нуль какой-то один из множи-
множителей. В результате мы возвращаемся к вещественному источнику
1{х), C.79)
фигурирующему в комбинации
i J (dx) ^х')^{х), [i J Лвре*Р<*-')] g>/v (x'J, C.80)
которая в качестве члена, отвечающего причинному обмену ча-
частицами, входит в выражение
у J (da;)(dj;')/|1(a:)Z?+(a;-a;')/M(j;'). C.81)
Из сказанного следует, что источники
*J%(x) = iJll+i(x), *j4l(*)=~iJ-i{x) C-82)
эквивалентным образом описывают процессы испускания и погло-
поглощения фотонов. Такой новый источник можно представить в виде
х). C.83)
На характер преобразования указывает также соотношение
f^-Jip), C.84)
из которого становится ясным, что при таком переходе векторы
поляризации поворачиваются на угол л/2 вокруг оси, совпадаю-
совпадающей с направлением движения фотона. Если угол поворота равен
<р, то преобразование принимает вид
Jv- (х) ->¦ J» (x) cos ф + */д (я) sin ф. C.85)
При замене J& на *J* источники с определенными значениями
момента подвергаются столь же простому преобразованию. Заме-
Заметим сначала, что
J (х) = V X М (х) + д0 *М (х) ->¦
->¦ V х М (х) - ф° *М (х), C.86)
где последняя подстановка имеет тот смысл, что она не изменяет
значений интегралов, которыми определяются величины Jp°jm%.

104 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Подобным же образом имеем
J-V XJ (х) =V X*M(x)+j
-+Vx*M{x)+ip°M(x), C.87)
где произведена замена —V2 -*• р2 = (р0K, не изменяющая инте-
интегралов, и учтено равенство L -V =0. При подстановке /•* —>¦ *«Л1,
которая эквивалентна преобразованию М ->• *М, *М ->- — М, вы-
выписанные векторные комбинации переходят друг в друга, так что
два источника будут преобразовываться по закону
JpOjmi ->- Jp0jm2, JpOjw.2 ~*~ — Jp°jml• C.88)
Более общая подстановка C.85) приводит к повороту
Jpojml cos Ф + Jpoimi sin ф,
т • т (o.oJ)
— J pojmi. Sm ф + J p«jm2 COS ф.
Источники, которые входят в общее выражение для вакуумной
амплитуды C.45), записанное через пространственно-временные
переменные, вовсе не обязательно должны испускать и поглощать
фотоны — если они меняются во времени слишком медленно, то
такие процессы оказываются невозможными. Таким образом, суще-
существует единое физическое описание процессов столкновения,
при которых высвобождается энергия, достаточная для порожде-
порождения частицы, и аналогичных им процессов, которые, однако, отли-
отличаются тем, что в них выделяется недостаточное количество энер-
энергии. Подобное единство в каком-то смысле противоположных про-
процессов обеспечивается как раз принципом равноправности всех
точек пространства-времени. Чтобы показать, какую физическую
информацию можно получить таким путем, рассмотрим фотонные
источники, чрезвычайно медленно меняющиеся во времени. Для
этого напишем
{dx){dx')Jll(x)D+(x — x')Jll{x') =
°dtJll(x, xo + ^)D+(x-x', т)/д (x', x°-%) -
C.90)
где, как следует из A.45),
[K C.91)
Из этого выражения видно, что масштаб ощутимых изменений
переменной т задается величиной | х — х' |. Если за промежутки
времени, соответствующие характерным размерам мгновенного

§ з. частицы со спином 1, фотон | 105-
распределения:, источники изменяются мало, то можно пренебречь
зависимостью величины Jv (x, х° ± т/2) от т и провести интегри-
интегрирование по этой переменной:
7 , п . , ч 1 1 ? , л sin р<> | х — х' | 1 1
-00 О
C.92)
Это приводит к следующему выражению для вакуумной ампли-
амплитуды:
<0+10_)J = ехр [ - i j dx°E (x0)} . C.93)
где
Е&)= -4 j wc^^^.^toix-^i^^'^' C-94>
Таким образом, мы видим, что этой амплитудой определяется
суммарное изменение фазы состояния с меняющейся во времени
энергией Е (х°). Когда установится стационарный режим, ему
будет соответствовать энергия
- 1 Г
- 2" J
> 4я|х-х'| ' (
а это не что иное, как законы Кулона и Ампера для взаимодейст-
взаимодействий зарядов и токов. Мы видим, каким образом на основе принци-
принципа равноправности всех точек пространства-времени устанавли-
устанавливается логическая связь между свойствами фотонов и характери-
характеристиками квазистационарных распределений заряда.
Здесь имеется одна тонкость, которую не следует упускать
из виду. Дело в том, что невозможно создать совершенно произ-
произвольное статическое распределение заряда. Если источники лока-
локализованы в конечной области пространства, то локальный закон
сохранения d^Jv- = 0 будет означать сохранение полного заряда
Q = \ da^ (x). C.96)
Поскольку в начальном вакуумном состоянии полный заряд равен
нулю, он будет оставаться таким и во все последующие моменты
времени. Мы можем представить себе, что сначала имеются два
взаимно компенсирующихся распределения положительных
и отрицательных зарядов, движущихся отдельно и независимо
одно от другого, а затем рекомбинирующих. Но ввести распреде-
распределение заряда в некоторую пустую область пространства можно
и другим способом. Для этого нужно представлять себе более
четко, чем обычно, что физическое описание относится лишь
к той конечной пространственно-временной области, которая
контролируется экспериментатором. Начальное и конечное ваку-

106 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
умные состояния соотносятся с некоторой ограниченной трехмер-
трехмерной областью, а вне ее стен жизнь идет своим чередом. Таким
образом, мы приходим к выводу, что произвольное распределение
заряда в интересующей нас области может создаваться за счет его
втекания через ограничивающую ее поверхность и что это распре-
распределение заряда может в конце концов рассосаться за счет его выте-
вытекания через границу.
§ 4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 2, ГРАВИТОН
Следующим по сложности после скалярного и векторного источ-
источников является вещественный симметричный тензорный источник
Т^ (х) = fw (х). D.1)
У него десять компонент, но среди них 3 -f- 1 компонент вектор-
векторного источника 5(trltv (х) и один скалярный источник
Т (х) = gvL4n* (x). D.2)
Если их исключить, то оставшаяся мультиплетность будет равна
пяти; она соответствует частицам со спином 2, имеющим отличную
от нуля массу т. Чтобы сделать это, мы воспользуемся своим опы-
опытом, приобретенным в случае частиц с единичным спином, и сразу
напишем необходимое с физической точки зрения выражение для
вероятности вакуумного перехода:
| <0+10_>т|2 = ехр [ - j dwpT** (р)%„ (р) gvX (p) Т* (р)] , D.3)
где
? ^ ^ О, rt№v(P) = 3 D.4)
Т»4 (р) = Т»* (р) - -I- ЛРа (Р) Тра (р), D.5)
причем
^v(p)r|lv(p) = 0. _ D.6)
В системе покоя, соответствующей импульсу /3м-, тензор g^v (p)
будет проектором на трехмерное пространство [см. C.7)]. Поэтому
вклад в выражение D.3) дадут только шесть компонент источника
Tki, причем в силу соотношения D.6) сумма диагональных эле-
элементов этого тензора равна нулю. Таким образом, мультиплет-
мультиплетность здесь равна пяти, т. е. как раз соответствует спину 2.
Выражение, входящее в D.3), можно переписать и в другом
виде:
Т^ (p)*~gvM (P) ~g-*x (Р) Ткх (р) = Т^ (р)* IV, Kfc (p) Г% (р), D.7)

§ 4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 2, ГРАВИТОН J 107
где
л _ л
IV., у.% (р) --• у \ёт (Р) gvi (p) + gv* (p)glix (P)] — -j g\iv (P) gy.x (P) • D-8)
Этот тензор имеет, в частности, следующие свойства:
^П^.«х(р) = 0, «"*'c«rv»-n|iV.MX(p) = 5 D.9)
П^,х,(р)ПиЯ-ра(р) = П^,ра(р). D.10)
Тензор ПЦГ1р(,(р) построен из проекционных матриц, откуда
следует диадное представление
где пять симметричных тензоров e^l удовлетворяют условиям:
Р^-0, gw?I = 0, ^Г^Р?/ = ^г- D.12)
Введем теперь источники определенных состояний.
Ты={а<*р)ЧчТт^{р)- D-13)
Если в диаде, построенной из векторов, использовать спи-
спиральные состояния:
4I = (-l)^;,-x, D.14)
g(P) 2
А.=— 1
то мы получим
№^»(P)-S;4:C D.15)
где величины
D.16)
удовлетворяют соотношению
2()^Г <,l O. D.17)
л.
Тогда спиральные состояния сиина 2 будут такими:
UV UV U V
= /2 е^10 = -^|- (е/%1^0 + ^о^±1), D.18)
б 1в i + 2

108 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Полное выражение для вакуумной амплитуды, приводящей
к вероятности D.3), имеет вид
@+ | 0_> = exp UW(T)], D.19)
где
^г д^Т^ (х) А+ (х - х') д'мд'ь Т^(х') -
D.20)
Чтобы это выражение сохраняло свой смысл и в пределе при
m ->- 0, нужно положить
D.21)
где /•* (х) и Т (х) — независимые источники частиц с m = 0. Такая
линейная комбинация двух скалярных источников К (х) и Т (х)
выбрана с тем, чтобы исключить всякую связь между ними. Это
становится очевидным, если учесть, что в процессе предельного
перехода
W
(Т) -»-1 j (dx) (dxr) [П* (X) D+ (x-xr) T^ (x')~
+ K(x)D+(x-x')K(x')\, D.22)
где
д„,1У» (х) = 0, d^J» (x) = 0. D.23)
Таким образом, мы приходим к инвариантному разложению, в ко-
котором пять спиральных состояний, свойственных частице с конеч-
конечной массой и спином 2, в пределе при m —>- 0 распадаются на три

§ 4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 2, ГРАВИТОН I
109
группы со значениями спиральностей ±2, ±1, 0.
Мы будем считать, что безмассовая частица со спиральностями
±2 — это гравитон. Для него
= ± j (dx)(dx')
д^(х) = 0. D.24)
Мы будем рассматривать гравитоны, исходя из этих соотношений.
Из причинной последовательности источников
Т^(х) = Т^(х) + Т^(х) D,25)
следует обычное свойство факторизуемости вакуумной ампли-
амплитуды:
@+1 0_>т = @+10_}т« ехр [ j d<*piT>r (p)*
@+|0_>Гг, D.26)
где каждая компонента источника удовлетворяет условию
Р*Т»* (р) = 0. D.27)
Комбинируя это требование к источнику с диадным представле-
представлением C.55), мы приходим к выводу, что можно сделать следующую
эквивалентную замену:
i-tewgva+'gvpgiw-giwgpo) _ ^ e&.egj'. D.28)
где тензоры, входящие в правую часть, записываются через спи-
спиральные состояния с Я.= ±1 как
^'^-б-и- 2 epVPv, -и) ¦ D.29)
Фигурирующие здесь три независимых тензора имеют вид
е^+1,_!«0 D.30)
и
<&v±2 = <C±i>±i = 4Ui4.±b D.31)
и тем самым они описывают два спиральных состояния гравитона.
Гравитон экспериментально пока еще не обнаружен. Тем
не менее мы примем эту частицу со всеми предполагаемыми ее
свойствами в качестве отправного пункта при построении теории
гравитационных явлений в полной аналогии с тем, как фотон с его

110 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
характеристиками служит основой теории электромагнитных
явлений. Хотя данные, свидетельствующие о существовании гра-
гравитона, носят косвенный характер, они выглядят весьма убеди-
убедительно. Чтобы уяснить себе положение дел, представим себе такую
картину: «Законы квантовой механики и теории относительности
твердо установлены, но о взаимодействии электрических зарядов
нам известно лишь то, что относится к случаю квазистатических
условий. Два физика, Макс Стоун и Ихиро Идо, указывают, что
все сведения о таком взаимодействии можно получить, основы-
основываясь на принципах теории источников, из постулата о существо-
существовании некой частицы. Они утверждают, что эта частица когда-
нибудь будет открыта. Другие физики не согласны с этим предпо-
предположением, считая его ничем не обоснованным. Вопрос остается
открытым.»
Постулируя существование гравитона, мы прежде всего при-
приходим к условию d^Tw (х) = 0, которому должен удовлетворять,
источник и которое, как и в случае фотона, указывает на наличие
некоторого общего физического закона. Это закон сохранения
вектора
j w (x). D.32>
= j
Уже из самих обозначений явствует, что в качестве такой вектор-
векторной величины мы можем взять только энергию-импульс. В отли-
отличие от фотонных источников, для интенсивности которых имеется"
единственный масштаб, связанный с представлением об электри-
электрическом заряде, при рассмотрении гравитационных источников:
возникает независимый масштаб, связанный с механическим смыс-
смыслом тензора T^v. Чтобы установить связь между двумя характе-
характеристиками, введем эмпирический множитель, записав
Г?и = х]/17Гх. D.33).
Кроме того, в противоположность электрическому заряду энергия
(или масса) по самой своей сути является положительной величи-
величиной. Поэтому, если сначала система находилась в вакуумном
состоянии, то распределение гравитационных источников в инте-
интересующей нас области может устанавливаться лишь за счет пере-
переноса энергии и импульса через поверхность, ограничивающую эту
область. Рассматривая медленно меняющееся распределение гра-
гравитационных источников, для энергии в полной аналогии с фор-
формулой C.94) получаем выражение
Е^У- —ш J (*0(<**') \T>1V(X> *°) 7I=ft7Vv(x'' *">-
—ir(x, х°) ' Г (ж', а")], D.34)

§ 4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 2, ГРАВИТОН | 111
где интенсивность гравитационных источников измеряется в меха-
механических единицах.
Ниже, в астрономических приложениях, мы будем рассматри-
рассматривать взаимодействие двух тел, размеры одного из которых (Солн-
(Солнца) таковы, что его можно заменить материальной точкой, при-
причем оно характеризуется одной-единственной компонентой источ-
источника Т00 (х), такой, что
J (dx) Т00 (х) = М. D.35)
Энергия взаимодействия между Солнцем, находящимся в начале
координат, и пробным телом с распределением источников
t^y (x, х°) равна:
Евз(х°)= -^М \ (d*) ^[2t™(x, x°) + t(x, x0)], D.36)
где
2t00 + t = f° + thk. D.37)
Если движущееся без деформаций тело имеет импульс р*1, то
D.38>
где с — некоторая инвариантная характеристика распределения
массы. Для покоящегося тела с массой пг, размерами которого
можно пренебречь по сравнению с расстоянием от начала коорди-
координат R, мы получаем
Эта величина совпадает с ньютоновской потенциальной энергией
взаимного притяжения двух масс, причем
~ = G^ 6,67.10-» см3/г-с2=--= D.40)
-=A,62.1(Г33 см)а.
Вторая строка в этом равенстве отвечает выбору атомной системы
единиц, в которой h = с — 1.
Выведем теперь путем элементарных рассуждений четыре
экспериментально наблюдающихся эффекта, которые рассматри-
рассматриваются как подтверждение эйнштейновского обобщения ньютонов-
ньютоновской теории.
1. Если атом с массой тп медленно движется в окрестности тела
с массой М, то полная энергия этого атома будет равна m —
— (GM/R) пг. Таким образом, энергия, высвобождающаяся в про-
процессе его внутренних превращений, уменьшается в 1 — (GMIR) раз.
А это есть не что иное, как гравитационное красное смещение.
2. Пусть пробным телом будет световой пучок. Для него t =
= арг = 0, и поэтому энергия взаимодействия с Солнцем пре-

112 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
вышает соответствующее ньютоновское значение (которое полу-
получается при замене массы полной энергией) в 2 раза. В результате
увеличится и угол отклонения светового луча по сравнению
с его ньютоновским значением, что также вытекает из теории Эйн-
Эйнштейна. Чтобы убедиться в этом путем прямого вычисления, срав-
сравним приобретаемый пучком поперечный импульс с его продоль-
продольным импульсом, считая, что луч проходит на расстоянии р от Солн-
Солнца. Угол отклонения будет равен
—L) f dZ Xl - —• D.41)
3. Из-за того же самого взаимодействия скорость света умень-
уменьшается в 1—2 (GMIR) раз, так как энергия фотона равна
| р | A—2GM/R), а скорость получается ее дифференцированием
по р. Этот эффект обнаружили, измеряя время запаздывания ра-
радиосигналов, отраженных от внутренних планет солнечной систе-
системы. Рассмотрим наиболее благоприятное расположение планеты
относительно визирной линии, проведенной от Земли и проходя-
проходящей на расстоянии р от Солнца. Тогда дополнительное время
запаздывания отраженного сигнала должно быть равным
D.42)
где ze — расстояние от наиболее близкой к Солнцу точки до Зем-
Земли, a zp — до рассматриваемой планеты. Оказалось, что коэффи-
коэффициент в дифференциальном соотношении
хорошо согласуется с экспериментом.
4. Наиболее тонкая и интересная проверка эйнштейновской
теории основана, конечно, на прецессии перигелиев планетных
орбит. Рассмотрим сначала поправку к ньютоновской потенциаль-
потенциальной энергии
= —. D.44)
обусловленную движением планеты. При малых скоростях, т. е.
при
Т = ^<т, D.45)

§ 4. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 2, ГРАВИТОН | 113
мы имеем
(n \ 2 271
где
j (dx) Син(х) = т + Т. D.47)
Эти эффекты приводят к тому, что ньютоновская потенциальная
энергия заменяется величиной
+ Z.)«y (l + iLj. D.4S)
Кроме того, нужно учесть примерно того же порядка реляти-
релятивистскую поправку к кинетической энергии:
№ + ту«—тжТ—?-. D.49)
И наконец, имеется вклад в плотность энергии /00, связанный
с гравитационным взаимодействием планеты с Солнцем. Его
нельзя приписать какой-то определенной массе, он распределен
во всем пространстве так, что его можно вычислить с достаточной
точностью по формуле для напряженности ньютоновского поля
D-50)
Плотность энергии взаимодействия пропорциональна произведе-
произведению этих слагаемых и равна
в чем можно убедиться путем интегрирования:
4л J v ' l|x| |x—R|
~ in J \aX> |x| V |x-R| ~ R '
GMm
Энергия взаимодействия массы М с этим распределением массы
равна:
-в*J<*ощ
|x-R
~ 4я
Собирая все дополнительные члены взаимодействия, получаем
Ч71 У2 V2
8—0870

114 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Это выражение можно упростить, воспользовавшись нереляти-
нерелятивистской формулой для энергии Е — Т + V, которая позволяет
исключить Т, выразив его через V. Дополнительное слагаемое,
пропорциональное V, не приводит к прецессии перигелия — оно
лишь несколько изменяет размеры орбиты. Существенную поправ-
поправку к ньютоновскому потенциалу дает член с F2, которым и обуслов-
обусловлена прецессия перигелия. Получающаяся в результате эффектив-
эффективная потенциальная энергия равна
V-^-. D.55)
Итак, мы можем написать следующее уравнение орбиты:
-з-т + и= r«--j , D.5о)
dip* ' L\ du m v '
где
u=±., D.57)
a Li — угловой момент, приходящийся на единицу массы пла-
планеты (его часто обозначают через h). Здесь мы имеем
D.58)
du \ m
и поэтому
Отсюда видно, что самым существенным отклонением от ньюто-
ньютоновских соотношений будет уменьшение углового масштаба в
1—ЪСгМъ1Ь\ раз, которое приводит к тому, что угол между двумя
последовательными прохождениями перигелия будет больше 2я.
Этот угол прецессии перигелия равен
ДФ = 6пв2МЧЦ, D.60)
что в точности совпадает с результатом Эйнштейна. [Он выразил
этот угол через большую полуось а, период Т и эксцентриситет е.
Связь устанавливается соотношением
§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ
В случае частиц с единичным спином естественно было заменить
скалярный источник бесспиновых частиц векторным, а в случае
частиц со спином 2 — тензорным источником. Закон изменения
векторного источника, например, при инфинитезимальном одно-

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 115
родном преобразовании Лоренца дается формулой C.22), которую
мы напишем в виде
E-1)
Здесь орбитальный и спиновый моменты взяты в четырехмерном
виде. Это частный случай общего линейного эакона изменения
многокомпонентного объекта
S (х) = L (!) S (х), E.2)
при неоднородном преобразовании Лоренца
\ \\ guk. E.3)
Элементы соответствующего многокомпонентного источника всегда
можно выбрать вещественными, причем благодаря вещественности
матрицы преобразования L (I) это свойство носит инвариант-
инвариантный характер. В соответствии с законом композиции двух после-
последовательно выполняемых преобразований Лоренца
^ = ZA>-sA xv = Z2V*-e2\ E.4)
который имеет вид
И*=A1к)\х*—(*1* + 11**2*), (hh)\ = ltW>., E.5)
мы получим
f? & E.6)
1 (х) = L (Z.) L (h) S(x) = L (hh) S (x). E.7)
Именно в этом смысле конечные матрицы L (Z) образуют матрич
ное представление однородной группы Лоренца.
Для инфинитезимальных преобразований
1% = $ + <!<, ficD^sr-—вацц E,8)
можно написать
L(Z)=l + l6(onvv, E.9)
и мы приходим к выводу, что матрицы sftv = —sV(l, мнимые при
вещественном L (I), удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям, в которых находит свое выражение закон композиции для
элементов шестипараметрическои однородной группы [ср. с соот-

116 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
ношениями C.10) из гл. 1]:
y[snv> sKa,] — gnxSv), — gntS^ + gvxs^x — g^SvK. E.10)
В полном виде закон изменения S (х) при инфинитезимальных
преобразованиях Лоренца записывается следующим образом:
(x). E.11)
Сравнивая это выражение с E.1), мы получаем в качестве примера
четырехрядные мнимые спиновые матрицы s^:
Отсюда видно, в частности, что
1о=-г, E.13)
т. е. матрицы shi антисимметричны, а следовательно, эрмитовы,
тогда как матрицы sOh симметричны и антиэрмитовы. Невозмож-
Невозможность выбрать все матрицы sMV эрмитовыми предопределена зара-
заранее, ибо, как показывает анализ, проведенный в гл. 1, § 1, незамк-
незамкнутостью многообразия группы Лоренца исключается существова-
существование кг кой бы то ни было конечномерной реализации данной груп-
группы. Этот запрет не распространяется на связанную с ней евклидо-
евклидову группу, и действительно, соответствие {хк = ix°)
= — ishi, (SnV)oft = - i EцГLА1 (SnV)ft0 = I 'v)ft4 E.14)
E.15)
приводит к евклидовым спиновым матрицам
(v)
которые все мнимы, антисимметричны и эрмитовы.
Такого рода реализация лоренцевских генераторов дифферен-
дифференциальными операторами и матрицами резко отличается от опера-
операторных выражений C.42) и C.72) из гл. 1, так как в последние
вместо конечных антиэрмитовых матриц sok входят эрмитовы
операторы, являющиеся функциями импульса. Возникает вопрос,
каким образом согласовать между собой эти совершенно различ-
различные структуры. Должно существовать некоторое связывающее
их преобразование, которое сохраняло бы коммутационные соот-
соотношения, но нарушало эрмитовость, т. е. было бы неунитарным.
Требуемый ответ подсказывается следующим преобразованием,

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 117
которое соответствует медленно движущейся частице (р° ~ т):
= — тг±[т, p-s]—2^" [[г, P-s], p-s] +
или
—s-sxp, E.16)
да — mr ± is. E-17)
Здесь мы видим, каким образом за счет введения антизрмитовых
операторов можно исключить зависимость от импульса. Аналогич-
Аналогичное преобразование для произвольного импульса имеет следую-
следующий вид:
= —rp°±ss, E.18)
где
shG = J-B-L , chO=—. E.19)
Проверка этого утверждения сильно упростится, если рассматри-
рассматривать компоненту, параллельную вектору р, и компоненту, пер-
перпендикулярную ему. В первом случае мы получим дифферен-
дифференциальное уравнение
определяющее 0, а во втором — соотношение
E.21)
которое описывает поведение вектора s при «вращении», задавае-
задаваемом углом 9. Попутно отметим, что если частица имеет импульс р,
направленный вдоль третьей оси, то переход к системе покоя
этой частицы осуществляется путем преобразования
х* = х3 ch0 — х° sh9,
30 = _хъ gh0 + хо ch0 E 22)
Появление dzis^ в роли
nh = s\ E.23)

118 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
имеет очень простое объяснение. Коммутационные соотношения
для sliv упрощаются, если ввести линейные комбинации вида
*з" = y (Sl2 + **Sl2) ~ Т (Sl2 + is°s^
! , E-24)
sm = -^ (s12 — i*su) = -g- (s12 — is03)
а величины, получающиеся из них путем циклической переста-
перестановки. Все четырехмерные коммутационные соотношения содер-
содержатся в трехмерных коммутационных соотношениях для двух
независимых угловых моментов:
8«> х sa) = Jsa), s(8) x s(S) = is(S) E.25)
И наоборот, мы можем построить величины (si2 = s3, ...)
, n = i(sA)-s<2>), E.26)
причем, если для s<lj 2> использовать обычные эрмитовы матричные
представления, то матрицы s будут эрмитовыми, а матрицы п —
антизрмитовыми. В соотношении E.18) мы сталкиваемся с частным
случаем, когда или s<2> = 0, или s'1) = 0. В более общем случае,
соответствующем равенствам E.18), следует считать, что спин s
возникает как результат сложения каких-то других спинов.
Поскольку его часто бывает удобнее строить из еще более элемен-
элементарных спинов, мы сформулируем следующую общую теорему.
Обозначим через Яа любые коммутирующие объекты, удовлетво-
удовлетворяющие условиям
*А=1, E.27)
а через
o E.28)
— суперпозицию независимых спинов; тогда
s х р) в= _тро + i 2 KaSa, E.29)
a
где
В(р) = ехр[-е(Щ).2 W]. E.30)
a
Чтобы доказать это утверждение, нужно, как и раньше, восполь-
воспользоваться соотношениями
X р] ¦ E-31)
Ясно, что матрицы общего вида
V V
^ sa, n = i ^ Xasa E.32)
a=l a=i

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ I 119
удовлетворяют всем необходимым коммутационным соотношениям,
в том числе и такому:
п X n = -is. E.33)
Заметим, что антиэрмитовость п сохраняется при использовании
в качестве Ха наряду с числами ±1 также и эрмитовых матриц.
Мы не излагаем здесь полностью процедуру симметризации
по г и р°, так как она совершенно аналогична соответствующей
процедуре в случае нулевого спина. Закон изменения состояния
{р\ при инфинитезимальном преобразовании Лоренца теперь
выглядит следующим образом:
р0I/2(р|^ E-34)
где спиновые операторы заменены спиновыми матрицами, что нахо-
находит свое выражение в записи
(p|s =в(р|, E.35)
причем матрицы действуют на невыписанные индексы вектора
состояния (р\. После подстановки
(p°)lh(p\0-)s ~B(p)S(p), E.36)
в которой следует еще уточнить численные множители, мы
получим
[^(?J)(? )](p). E.37)
Записывая
S{p)=\{dx)e-l'«S'JLx), E.38)
будем иметь
Щ(х) = J- 6аР» (х^ду - zv5n + *v)s (x)' E-39)
где s^v — матрицы, определяемые формулами E.32). Аналогич-
Аналогичная конструкция для @+ | p)s имеет вид [см. формулу A.25)]
(p°Yh <0+ | р )s - S (р)* В (р), E.40)
что предполагает эрмитовость В (р). При инфинитезимальных пре-
преобразованиях Лоренца величина S (х)* будет вести себя так же,
как и S (х), но с заменой матриц з^ч на — s*v. Как уже упомина-
упоминалось выше, вещественность величины S (х) приводит к необходи-
необходимости использования матричных представлений с мнимыми s^y.

120 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Компактные обозначения, применяемые в формуле E.36),
могут завуалировать одно существенное обстоятельство. Описывая
частицу с определенным значением спина, мы прибегаем к кон-
конструкциям типа E.26), но при этом ее приходится рассматривать
как часть некоторой более широкой системы. Поэтому перед про-
произведением В (р) S (р) должен стоять какой-то множитель, кото-
который выделял бы явным образом интересующие нас состояния.
Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию и в то же время привести
простой пример связи между рассматриваемым здесь матричным
подходом и описанными ранее методами, положим
в<1.*> = 4-оA-а'. E.41)
При сложении двух спинов V2 получается либо s = 1, либо s = 0.
Если мы хотим рассматривать частицы с единичным спином,
то их следует выделить из этой более широкой системы. Хорошо
известно, что спиновые функции триплета s = 1 можно записать
как
Х±,
1A ± а,)
или в другом варианте, сохраняющем вещественность и симметрию
этих функций, как
X», (а<!)а<2))* = — S-Vi<a<8> | a2o-ej | a'1)), E.43)
где
Три определенных таким образом пространственных вектора обра-
образуют ортонормированную систему, т. е.
ej-ea» = 6ju». E.45)
Приведем также выражение для синглетной функции:
Хо(ста'аB))*= — i2~1/2(o<2>|ff2|aA>). E.46)
При этом мы исходим из антисимметрии матрицы Паули ст2, тогда
как выражения E.43) основываются на симметрии трех произве-
произведений a2ak. Все эти свойства симметрии можно записать также
в виде
— ahT — a2aka2. E.47)
Соответствующее разложение четырехкомпонентного источника
на синглетную и триплетные функции удобно представить в форме
1<2'), .E-48)

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 121
где
<т0 = -а0 = 1. E.49)
Исследуем теперь выражение для источника частиц с единич-
единичным спином
/рх = -* (dcopI/. yXB (p) S (р), E.50)
в котором предусмотрены все необходимые множители. Применяя
последовательно матричную символику, получаем:
(da)p)-l/2 Jp^-j Sp [a-etb (p) o»J» (p) b (p)] = ейГ/д (p), E.51)
где
[^Ej E.52)
Прежде всего заметим, что величины
SV^flb(P)^b(p)] ^Sp[^b(p)aetb(p)] E.53)
удовлетворяют равенствам
О, E.54).
так как
( ?^)]2 E.55)
Sp ah = 0. E.56)
Рассмотрим далее выражение
epfcwji' = у SP ^ba' е^> Т Sp (о°" е*'6)' E-57)
в котором вид второго сомножителя диктуется эрмитовостыо
матриц Ъ (р) и Оц. Четыре матрицы 2~1^аи играют роль орто-
нормированного базиса в пространстве квадратных матриц вто-
второго порядка, о чем свидетельствует тождество
(Sp ет^Х) (Sp сГцУ) = (Sp аХ) ¦ (Sp aY) - (Sp X) (Sp У) =
= del(X-Y)-det(X + Y). E.58)
Мультипликативные свойства определителей и равенство
det Ь (р) = 1, E.59)
вытекающие из E.56), позволяют исключить Ъ (р) из выраже-
выражения E.57), и в результате мы получаем
S (ajax.) = блг. E.60>

122 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Рассмотрим, наконец, сумму
2 i
я,
= 1 Sp (a^fc2) -i- Sp (avb2) +1 [Sp (a^ov) — (Sp <&) (Sp av)]. E.61)
Учитывая, что
± ^-, E.62)
| - (Sp en) (Sp av)] = ^v, E.63)
будем иметь
2 eK « ^v + -jp- P^v = i^ (p). E.64)
я.
Итак, мы снова приходим ко всем ковариантным свойствам трех
векторов поляризации, отвечающих единичному спину. Если
в формуле E.44) отождествить третью ось с направлением вектора
импульса р, то явные выражения, получаемые из E.53), будут
в точности совпадать с векторами C.28) и C.29), нумеруемыми
спиральными индексами. Заметим, что если вместо триплетных
взять синглетную функцию, то мы получим величину
18Р:к&(р)*).Мр)= —йгрЧЛр), E-65)
т. е. такую скалярную комбинацию, которой и следовало
ожидать.
В качестве основы аналогичного анализа в случае произволь
ного целого спина рассмотрим следующие комбинации спинов:
п п
sA> = 2 i a«>« sl2) = S ia"'- <5-66)
a=l a=l
где каждая из|] матриц действует на соответствующий индекс
источника
"о<1>,..1 a<i)aB)...,"o<2) {р)> E.07)
Поскольку все матрицы a?>2> (a = 1, . . ., тг) выступают на
совершенно равной основе, мы наложим непротиворечивое усло-
условие симметрии, потребовав, чтобы величина E.67) не изменялась
при любой перестановке индексов, при которой а?' и а™ рас-
рассматриваются в качестве некоторого единого комплекса. Таким
¦образом, при п = 2 мы будем иметь
E.68)

§ 5 ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 123
Проще всего заменить каждый парный индекс Ов'оо'» прини-
принимающий четыре значения, одним четырехмерным векторным индек-
индексом ]ла так, как подробно говорилось в случае единичного спина.
В результате мы придем к эквивалентному источнику
SM...nn(p), E-69)
не меняющемуся при перестановках индексов а.
Тензор ранга п в том виде, как он введен здесь, описывает
систему, более широкую, чем частицы с определенным значением
спина. Необходимая редукция частично обеспечивается наличием
в соотношении
E.70)
(величина, стоящая справа, вычислена в системе покоя импульса
pi*), выражающем связь между источниками, проекционных мно-
множителей g^v (p), сопоставляемых каждому векторному индексу.
Число независимых компонент у симметричного трехмерного тен-
тензора Shl,..bni равное 1/ъ (п -j- I) (n -f 2), согласуется с числом
состояний, свойственных симметричному набору п единичных
спинов. Полное спиновое квантовое число лежит в пределах от
s = п, принимая значения s = п — 2, п — 4, . . ., до 1 или до 0
в зависимости от того, четно или нечетно п\ при этом
Случай, когда при сложении двух единичных спинов получается
спин 0, соответствует тому, что берется след по паре индексов,
как в тензоре Skhhs...hn- Чтобы исключить такую возможность,
оставив тем самым лишь значение спина s = п, следует образо-
образовать тензор 5ft,...ftn, любой след которого равен нулю. Вычитая
соответствующее число ограничений, мы получаем, что число
независимых компонент равно:
¦ *.(л + 1)(п + 2)-4(д-1)д = 2в + 1, E.71)
как этого и следовало ожидать для спина s = п.
Результат последовательного вычитания следов можно пред-
представить в следующей симметричной форме:
(a;2J Skhh.h'hi.. _hnxhl ...xhn+..., E.72)
где x2 = (xkJ и требуется, чтобы выполнялось условие
~hn = 0- E.73)

124 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Благодаря полной симметрии тензора это условие обеспечивает
обращение в нуль следа по любой паре индексов. Таким обраэом,
мы приходим к хорошо известной задаче. Как это следует из
равенства E.73), полином степени п, определяемый формулой
E.72), является решением уравнения Лапласа. Если положить
х2 равным единице, то он будет сферической гармоникой степе-
степени п. Чтобы найти коэффициенты спт, достаточно рассмотреть
случай, когда отлична от нуля единственная компонента ?3з...з =
= 1. Положив х* = 1, х3 = ц, мы получим полином
\in+cniy,n-*+..., E.74)
который должен быть пропорциональным полиному Лежандра
Рп (fi). Следовательно,
. 1
_ (_i)m B«-2w)l п\ п] ._ _..
Спт— т1 Bm)! (п—т)\ {п—2т)\ ' (О.Ю)
В произвольной системе отсчета можно написать
.. . E.76)
Тем самым мы обобщили конструкцию B.45), отвечающую случаю
\х = 2, и получили симметричные тензоры ранга п, удовлетво-
удовлетворяющие условию
^^ E.77)
если только считать, что при использовании такого рода тензоров
в действительности следует выделять их трехмерные части,
т. е. совершать переход E.70).
Теперь связь между источниками можно представить в другой
форме:
= S^--^(p)*Utll..illn,Vl...yn(p)S?---v'l(p). E.78)
Проекционный тензор П дается равенством
х^ ... а^Пд,... дд, Vi.. .„„ (р) у^ ... tf>* =
= (x-y)n + cnl(x-x)(x.y)n-*(y.y)+ . . .=
= [(x'x)(yy)]n'2^f-Pn(li), E.79)
где, например,
х-У=>х»1»Лр)Г E.80)
и
и= х'у х, . E.81)

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 125
для сферических гармоник м
l.. .„„, Vl.. .vn (р) у* ... у* =
В силу теоремы сложения для сферических гармоник мы приходим
к факторизации вида
S УпФ)УпЛУ)\ E.82)
=-п
хотя здесь и входят символы У„»,, обозначающие сферические
функции в четырехмерном пространстве. Отсюда мы заключаем,
что имеет место следующее диадное представление:
1=-п
в котором
"(п!)а 4я
Сферические функции используются здесь в несколько символи-
символическом смысле. Их можно исключить, введя производящую
функцию
~
v-я)" / 4я \!/а -^ Т++ ?"
-^r=l2T+l) 2i [(л + ЯI(л-)]
ике
E.86)
где в двухкомпонентной матричной символике
v
Вводя для простоты сокращенное обозначение
t+ I- , E.87)
при произвольном п получим
S *»лE)ел • #д%, • • • хт^BVav^)n; E.88)
в частности, при га = 1
1
^^a^e^^^v-x. E.89)
Таким образом, мы можем строить векторы поляризации для
* спина п из векторов поляризации для единичного спиаа:
2 *а (I) ^i- •'*%, •.. *Цп = I S *ш F) «VJn. E.90)
Лп 1

126 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Отсюда сразу же следуют уже известные нам соотношения D.18)
для случая п = 2. Нетрудно убедиться, что 2ге -)- 1 тензоров
поляризации образуют ортонормированную систему. Для этого
нужно взять одно из таких выражений и умножить его на комп-
комплексно-сопряженное другому, заменив в последнем х^ на д/дх^.
Это дает
A t Л
откуда
Ц1...Цп_ X /г QO4
еРХ eWi.. .WnPX'—"АЛЛ ^и.Зй^
Итак, источник, испускающий частицу, которая находится
в определенном состоянии рХ, имеет вид
Полное описание процессов многочастичного испускания и погло-
поглощения частиц, подчиняющихся статистике Возе — Эйнштейна,
дает нам вакуумная амплитуда
@+ |0_>s = exp UW(S)]. E.94)
Чтобы написать W (S) в максимально компактной форме, вос-
воспользуемся четырехмерным представлением A.61) функции
Д+ (х — х')\ в результате получим
w/m_i f dP cut... ил/ _\ 1Ч...ДВ, vi-..Ул W ovt...vn/ ч
E.95)
Тензор П (р) сохраняет свою алгебраическую структуру E.79)
и является четным по р полиномом степени In. Примером записи
функции W (S)" через переменные координатного пространства
служат равенства C.4) и D.20), отвечающие случаям п = 1
и п = 2. Все обобщения, о которых говорилось ранее в связи
с конкретными примерами, могут быть проведены и в случае
произвольного целого спина.
Мы ни разу не упоминали о четности, как о независимой харак-
характеристике состояний частиц. Это объясняется тем, что состояния
частиц, которые мы строили, автоматически приобретали опре-
определенную четность. Геометрическая операция обращения направ-
направлений трех пространственных осей координат представляется
унитарным оператором Rs. На операторы г, р, s отдельной частицы
он действует по закону
R71tHs=— г, #7V?*= — P. Rt^Rs — a. E.96)

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ | 127
Преобразованному одночастичному состоянию
<ТР|= {ip\Ba E.97)
соответствует пространственный импульс —р. Поэтому оно может
быть собственным вектором оператора Rs, т. е. состоянием с опре-
определенной четностью, только при р = 0. Как и в случае непрерыв-
непрерывных преобразований Лоренца, амплитуда вероятности AР | 0 )*
устанавливает связь между описанием состояния частицы и харак-
характеристиками источника. Преобразованному состоянию частицы
соответствует преобразованный источник; в данном случае пре-
преобразование источника, иллюстрирующее общий линейный закон
изменения E.2), имеет вид
S (я) =ijS(x),
хо = аД Xh = _Хкш E 98)
Если источники выбраны вещественными, то и матрица отраже-
отражения rs должна быть вещественной. Результатом ее действия на
спиновые индексы будет геометрическое преобразование
rl1sr6==s, r^nrs= — n, E.99)
или, как это следует из формулы E.26),
r71s<1'r5 = sB', r71s<2)rs = s'1). E.100)
Если не считать возможности появления дополнительного знака
минус, совместимой с простым геометрическим свойством
г*=1, E.101)
то действие матрицы rs на 5'ат_-оша<2).,.0<а) будет сводиться
к замене Оа1' на oj?', и наоборот. При перестановке единственной
пары спиновых индексов синглетная и триплетные комбинации
ведут себя противоположным образом — это соответствует тому,
что при пространственном отражении временная и простран-
пространственные компоненты четырехмерного вектора также будут вести
себя противоположным образом. В этом, поскольку у нас остается
свобода в выборе общего знака в законе изменения рассматри-
рассматриваемой величины при отражении, выражается различие между
вектором и псевдовектором (аксиальным вектором). Поведение
тензора 5^,...,^ определяется числом его векторных индексов,
а также общим множителем ±1. Понятие четности относится
к системе покоя, где остаются лишь компоненты S)n...hn' которые
меняются при пространственном отражении как единое целое.
В случае истинного вектора четность будет равна (—1)™. Это
приводит к последовательности частиц с целыми спинами и с чере-
чередующимися значениями четности, имеющей вид 0+, 1~, 2+, ... •
Другая последовательность будет такова: 0", 1+, 2~, ... .

128 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Хотя мы уже говорили обо всех известных или гипотетических
безмассовых частицах с целым спином, мы, тем не менее, рассмот-
рассмотрим все безмассовые частицы с целым спином с единой точки
зрения. Как и выше в конкретных примерах, ясно, что в форму-
формуле E.95) невозможно совершить предельный переход т -*¦ 0, если
только при т = 0 не выполняется условие
Дц5""""йв(р) = 0, V'-->tln(z) = 0. E.102)
Если бы мы совершали предельный переход так, как только что
было показано, то нам пришлось бы разложить 2/г + 1 спиновых
состояний на пары спиральных состояний с % = ±п, ± (п — 1), ...
• • ., ±1 и на состояние с % = 0. Но на этот раз мы сразу выделим
состояния с Я, = ±п. В инвариантной форме такая связь источни-
источников записывается следующим образом:
^'•••^(^^....^^..^'•••""(Р), E.103)
где структура проекционного тензора П определяется равенством
m(xx){xy)**(yy)+..., E.104)
в котором фигурируют обычные четырехмерные произведения,
образованные из векторов х^ и у^. Если, подобно тому, как это
делается в^равенстве E.79), каким-то способом ввести вектор pw,
то в силу ограничения E.102), накладываемого на источник,
он не будет давать никакого вклада. Воспользуемся теперь этим
обстоятельством и заменим тензор П другим тензором, экви-
эквивалентным ему с точки зрения выражения E.103). Для этого
сделаем следующую подстановку:
„ E.105)
рр
(и аналогично для yw), где р*1 — произвольный изотропный век-
вектор с р° > 0, такой, что рр ф 0. Отсутствие каких бы то ни было
изменений при условии pvxv = 0 гарантирует, что в интересую-
интересующих нас приложениях оба рассматриваемых выражения будут
эквивалентными друг другу. В новом варианте тензор П будет
определяться равенством
X^ . . . X^llp.^ . .цп, Vl.. ,vn\p, p) У . • • У —
= (х-у)п + йп1{х-х)(х-уу*(уу)+.... E.106)
где, например,
{p,p)xv, E.107)

§ 5. ЧАСТИЦЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЦЕЛЫМ СПИНОМ I 129
E-108)
рр
Если рассматривается обмен безмассовой частицей, то р^ будет
также изотропным вектором и g^ (p, р) будет проектировать
на подпространство, ортогональное к />** и pv-.
P^v(P,P) = 0, 'р^(Р,Р) = 0. E.109)
В системе покоя времени-подобного вектора р* -f- p^ у орто-
ортогонального ему вектора pw — р^ имеются лишь пространственные
компоненты, которые вдвое больше компонент импульса частицы,
и мы приходим к выводу, что подпространством, выделяемым
тензором g^,,, будет двумерная евклидова плоскость, перпенди-
перпендикулярная импульсу частицы.
Если в выражение E.103), описывающее связь между источни-
источниками, должны входить только спиральности Я, = ±п, то тензор П
нужно взять таким, чтобы он был неприводимым по отношению
к образованию следов в двумерном евклидовом пространстве:
^«••(р, P)rV..lln,Vl..iVn(P, F) = 0. E.110)
Это эквивалентно утверждению, что величина E.106) как функ-
функция переменных х vs. у, характеризующих положение точки пло-
плоскости, является однородным решением уравнения Лапласа
с показателем однородности п. Соответствующие двумерные гар-
гармонические функции имеют вид
(^)'Тп(р), E.111)
где
,л = Хшу =coscp, E.112)
а Тп (ц) — полином Чебышева:
Тп (\i) = cos (n arccos ц) = cos mp. E.113)
Взяв явное выражение для коэффициентов этого полинома,
получим
в частности, при п > 2
йщ=— \п. E.115)
Значение —V«i получаемое в случае п = 2, согласуется с выраже-
выражением D.24).
9-0670

130 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Тождество
cosn9 = y[ein(P'e-in(P2_[_e-invlein<p2]j ф = ф,_ ф2) E.116)
дает нам соответствующую теорему сложения. Она означает, что
имеет место следующее диадное представление:
n»-*..*,...*(p|j)e 2 «Й-""*"'8, E.117)
Х=±п
где
= (у*-z
E.118)
Фазы выбраны таким образом, чтобы при га=1 соотношением
ep,±i^=D^^I/ae1±1e±i4) E.119)
воспроизводились базисные орты C.29). Итак, мы имеем
вр.1±^й%1 • ¦ ¦ %„=[*?. ±i*jjn E-120)
и следующее явное выражение:
еР, ±п — вр, ±1 • • • йр, ±i, ^0.1^1^
которое является обобщением равенств D.31), соответствующих
случаю п — 2.
Формула, описывающая пространственно-временную струк-
структуру источника безмассовых частиц со спиральностью 3, имеет вид
j (d)(d')[s^v (x)D+(x-x')SXtlv(x')-
] E.122)
где
5,У"» = 0 E.123)
и
^(^) = ^v^wv(x). E.124)
Обычная материя не имеет никаких физических характеристик,
которые можно было бы отождествить с величинами, описывае-
описываемыми локальным законом сохранения E.123), и это справедливо
при любом п ;> 3. То, что невозможно построить соответствующие
источники, вполне согласуется с тем фактом, что такие частицы
не обнаружены экспериментально. Но не следует исключать
полностью возможность того, что при каких-то условиях, недо-
недостижимых в настоящее время, мы все же когда-нибудь столкнемся
с такого рода величинами и связанными с ними частицами.

S 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/2, СТАТИСТИКА ФЕРМИ - ДИРАКА I 131
§ 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ V2l СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА
Возможны два простых описания частиц со спином V2 по типу
равенств E.26), а именно:
*o, sB) = 0;
4
F.1)
Они переходят одно в другое при отражении пространственных
координат, а поэтому удобнее более симметричная схема, охва-
охватывающая обе эти возможности. Кроме того, комплексные источ-
источники, на которые действуют квадратные матрицы Паули второго
порядка, удобнее заменить эквивалентными им вещественными
источниками. Короче говоря, для описания частиц со спином 1/г
выгодно взять четыре вещественных источника. Символ о мы
будем использовать теперь в других целях, и поэтому исходные
квадратные матрицы второго порядка будем обозначать через т^,
а другой независимый их набор — через x'h- Вещественные анти-
антисимметричные матрицы та можно построить из ixh, заменяя
всякий появляющийся в них множитель I алгебраически экви-
эквивалентной ему вещественной антисимметричной матрицей i%'2.
Таким образом,
причем это действительно вещественные антисимметричные квад-
квадратные матрицы четвертого порядка. У них сохраняются алгебраи-
алгебраические свойства спиновых матриц:
-^-{сгА, cr;} = 6ft:, iGiia2ia3 = l, F.3)
и мы положим
** = 4"<fc- F.4)
Первоначально в роли nk выступают матрицы /Я^/гТц, где
Я, теперь некоторая квадратная матрица второго порядка, которая
коммутирует с xh и имеет собственные значения ±1. После пре-
преобразования тй -*¦ oh возникают три, и только три, матрицы,,
которые можно было бы взять в качестве Л:
ip1 = iT2T'j ip2 = i%'2> ip3 = JT2T3. F.5)
Они аналогичны матрицам iak, отличаясь от них перестановкой т
и т'. Оба набора содержат по три антикоммутирующие матрицы,
которые коммутируют друг с другом. Шесть антисимметричных
матриц ah, ph и десять симметричных матриц 1, akpi образуют
базис в пространстве всех квадратных матриц четвертого порядка.

132 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Поскольку три матрицы pk совершенно равноправны, мы произ-
произвольным образом отождествим Я с р2 и напишем
«а = -2" iah, F.6)
где множители
а*. = Рго-й F.7)
представляют собой вещественные симметричные матрицы. Они
обладают следующими алгебраическими свойствами:
2~ {а4, аг} — 6ftI, [ай, -^ or, J = ieklmam, a X а = 2ia, F.8)
последнее из которых имеет вид соотношения E.33). Так как про-
пространственное отражение заменяет п на —п, не затрагивая s,
ему соответствует матрица, коммутирующая сои антикоммути-
рующая с р2. Такими свойствами обладают только матрицы р,
и р3. Мы возьмем последнюю из них, умножив эту антисимметрич-
антисимметричную матрицу на i с тем, чтобы получить вещественную матрицу
пространственного отражения
г. = Фз, F-9)
обладающую свойством
rl = -1. F.10)
Другие функции матрицы пространственного отражения ста-
становятся ясными из рассмотрения вещественной матрицы, соответ-
соответствующей инфинитезимальному преобразованию Лоренца [см. фор-
формулу E.9)]:
? 1 +
~ 8ft^%v = l + i6a>--|-a — бу-^ а. F.11)
Учитывая свойства симметрии матриц, мы получим, что транс-
транспозиция приводит к следующему результату:
-o-6v.^-o, F.12)
тогда как
L-1=l-i8(d.^ra + 8v-~a. F.13)
Используя rs, можно написать
LT = uL-*rl\ F.14)
или
LTrsL = rs. F.15)
Справедливость этого утверждения для конечных преобразований
из собственной ортохроннои группы вытекает из закона компози-

$ в. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ V». СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 133
ции двух последовательно осуществляемых преобразований:
^Lt = blrsL2 = г.. F.16)
Соотношение F.15) сохраняет свою силу и для преобразования
пространственного отражения, поскольку в равенстве
if г, = 1 F.17)
объединяются антисимметрия матрицы rs и ее свойство F.10).
Соотношение F.15), в которое входит матрица га, свидетельствует
о том, что она играет фундаментальную роль, выступая в каче-
качестве метрической величины. Она является аналогом метрического
тензора в равенстве
= ?„ь F.18)
или, в матричных обозначениях,
= gt F.19)
так как тензор (±) g, приписывающий противоположные знаки
временной и пространственным компонентам, тоже является
матрицей пространственного отражения для векторов.
Посмотрим теперь на матрицы инфинитезимального преобра-
преобразования F.11) и F.12) с точки зрения их действия на веществен-
вещественные симметричные матрицы ak и на
а° = 1. F.20)
Имеют место равенства
LTaL=a— боха- Sva°, LTa?>L = af>— 6v.a, F.21)
которые можно объединить, написав
LTa»L = (б? + 6оД) av. F.22)
Это не что иное, как закон изменения вектора при инфинитези-
мальном однородном преобразовании Лоренца. Повторное при-
применение таких преобразований приводит к следующему закону
изменения при конечном преобразовании:
LVl = Z»V\ F.23)
Он справедлив и для несобственного преобразования простран-
пространственного отражения, порождаемого матрицей L = rs. Заметим,
что симметрия а^ и антисимметрия rs, так же как и их веществен-
вещественность, сохраняются при преобразованиях Лоренца.
Рассмотрим теперь связь между источниками, соответствую-
соответствующую одночастичному обмену, когда отдельные акты испускания
и поглощения описываются выражениями E.36) и E.40),

134 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
в которых
Как это явствует из существования трех матриц ph, коммутирую-
коммутирующих с а, рамки такого подхода оказываются слишком широкими
для описания частицы со спином 1/2. Следует исключить две из
четырех компонент, вставив между двумя сомножителями В (р),
которые связаны с индивидуальными процессами, некоторую
не зависящую от спина проекционную матрицу. В действитель-
действительности три матрицы pft дают только два возможных варианта
в зависимости от того, коммутирует или антикоммутирует исполь-
используемая матрица р с а. В первом случае мы имеем
F-25>
а вторую ситуацию иллюстрирует равенство
= ^" [Р° — а' Р + Рз] 2^ I Рз Р
F.26)
Источники частиц со спином г/2 будем обозначать через г\ (х),
т] (р) или, для большей ясности,— через т]? (х), г\^ (р). При про-
пространственно-временной экстраполяции связи источников мы при-
придем к двум разным выражениям:
-~ ^(dx){dz')i\(x)(i + pt)a^^-dlA+{x-x')i\(x>) F.27)
-а» 1- д„.]А+(х-х'I\(х'), F.28)
где, как мы уже несколько раз в этом убеждались, использование
функции распространения Д+ (х — а:') диктуется требованием
равноправности точек пространства-времени, или евклидовым
постулатом. Приведенные нами выражения представляют собой
частные случаи квадратичной формы
J (Ас
(х, х')

§ 6. ЧАСТИЦЫ GO СПИНОМ "/г. СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 135
Функция Кц' (х, х'), будучи неприводимым ядром квадратичной
формы, при транспозиции индексов ? и ?', а также переменных х
и х' должна вести себя как некое единое целое. В первом случае,
которому соответствует выражение F.27), это требование не
выполняется, так как 1 и р2 при транспозиции ведут себя противо-
противоположным образом. Поэтому проекционный множитель 1 + Рг
не годится, ибо вклад в квадратичную форму будет давать только
одно из слагаемых. Второе ядро при транспозиции действительно
ведет себя как единое целое:
F.30)
Оно антисимметрично!
Можно было бы попытаться, вводя в рассмотрение частицы
и античастицы, превратить это ядро в симметричную величину,
яе нарушая при этом описания спина. При такой процедуре необ-
необходимо снабдить источник дополнительным индексом, принимаю-
принимающим два значения, что позволило бы ввести в ядро антисимме-
антисимметричную зарядовую матрицу д. Возникающее при этом ядро
будет симметричным, но знак его может быть любым, так как
при зарядовом сопряжении д переходит в —д. Этот вывод прямо
противоречит физическому требованию к вероятности вакуумного
перехода
F.31)
которое означает, что мнимая часть квадратичной формы должна
быть положительной. Таким образом, в случае спина х/2 неиз-
неизбежно возникает совершенно новая ситуация. Вместо того чтобы
пытаться модифицировать характер симметрии |ядра, подгоняя
«го под алгебраические свойства источника, нам следует согласо-
согласовать алгебраические свойства источника с антисимметрией ядра.
Сравнивая два эквивалентных выражения F.29) со свойством
антисимметрии
Kw {х\ х) = -ЛГК. (х, х'), F.32)
мы придем не к парадоксу, а к тождеству, если
Щ' W) Tfc (X) = -TJ; (х) Т|;. (х). F.33)
Таким образом, при описании спина */а мы вынуждены отказаться
от обычных числовых коммутативных источников со статистикой
Бозе — Эйнштейна и ввести источники нового типа и некоторую
новую статистику. Вскоре будет показано, что это статистика
¦Ферми — Дирака.
Проведенный анализ свойств симметрии облегчался тем, что
использовались матрицы с определенной симметрией — симме-
симметричные а" и антисимметричная р3. Однако при дальнейшем рас-

136 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
смотрении более существенными будут единообразие алгебраиче-
алгебраических свойств и поведение при преобразовавиях Лоренца. С точки
зрения алгебры весьма неудобно иметь дело с антикоммутирую-
щими матрицами ak, которые коммутируют с а0; в то же время
закон изменения а*1 при преобразовании Лоренца, имеющий вид
ЬтаРЬ, не является преобразованием подобия, а произведения
а"^ не обладают тензорными трансформационными свойствами.
Чтобы устранить последний недостаток, нужно заменить LT на
L'1. Этого можно добиться, воспользовавшись соотношением
F.14), которое приводит к новой форме закона преобразования
векторов:
L-i{r?a»)L=l\{r?a?). F.34)
Удобно ввести новые матрицы
y» = ir:1a», F.35)
для которых
Ь~1у^Ь = 1\уч, F.36)
а также
L-1y>YL = l\l\yV, F-37)
и так далее. Алгебраическое свойство г\ = —1 и равенство а0 = 1
дают нам
(у0J = 1 F.38)
rs = iy°, F.39)
откуда следует также, что
Y0 = Рз- F.40)
Матрицы у не обладают единой симметрией. Из определения F.35)
вытекает, что
Y^T=—ta^rl1, F.41)
или
у»т=—гау»г?. F.42)
Это равенство еще раз подтверждает антисимметрию матрицы у9,
которая коммутирует cr, = iy°, и показывает, что матрицы у^ —
симметричные антиэрмитовы матрицы, так как они антикомму-
тируют с матрицей пространственного отражения:
{Т°,Т*> = 0. F.43)
Для yh получаются следующие алгебраические соотношения:
¦j {?&> У') = — ~2 {aft> а(} = — бАг. F.44)

§ 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ •/„ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 137
Всевозможные свойства матриц у^, которые содержатся в равен-
равенствах F.38), F.43) и F.44), можно свести воедино, написав
¦y(Vn. Yv}=—guv (
В соответствии с тем, что
L-1 y №, Yv) L = - l\l\g*K *» - guv. (
это унифицированное алгебраическое утверждение инвариантна
относительно преобразований Лоренца.
Матрицы у позволяют также представить в единой форме
величины
5ду = "у °Vv (
Представим сначала a = A/ii)axa в виде
оы = 4" Iе"» а'1 = ТIV*. У'] F-48>
и затем учтем, что
a? = iaft=iY<>Vfe. F.49)
Эти матрицы можно представить в виде единой величины
tf»v = if[Yn. Yv]. F.50)
которая преобразуется как антисимметричный тензор:
Ц+&»Ь = 1\Г)<&. F.51)
Свойства симметрии мнимых матриц а^ определяются соотно-
соотношением
F.52)
из которого следует, что матрицы aht антисимметричны и эрми-
эрмитовы, а матрицы crOft симметричны и антиэрмитовы.
Процесс перемножения различных у-матриц обрывается на
Уь = WtV, F-53)
ИЛИ (\1 ф V ф Y. ф к)
ylbfVyKyK = EHVKXy5. F.54)
Эта матрица вещественна, а поскольку
У1 = г. (т^ YV°) Г? = ГшЪК1 = - Yi, F-55)
то она антиэрмитова. Каждая из матриц у^ антикоммутирует с у&:
{У„, Уь} = 0; F.56)

138 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
кроме того,
У1 = -1. F-57)
Матрицу 75 можно факторизовать и другими способами:
Y5 = o-oia23 == сго2сгз1 = о-оз^12» F.58)
или
сто* = УьОк = oyys, F«59)
что приводит, в частности, к следующей идентификации:
t'Ys = Рг. F.60)
Закон изменения 75 ПРИ преобразованиях Лоренца вытекает
из соотношения F.54):
L-iy&L = 1\1\1\1\г^у5 = (det I) у6, F.61)
откуда видно, что у5 — псевдоскаляр. Эта матрица инвариантна
относительно собственных преобразований (det I = +1) и меняет
свой знак при несобственных преобразованиях, или отражениях
(det I = —1). Последнее свойство является непосредственным
следствием антикоммутативности у0 и у5, о чем, в частности, сви-
свидетельствует соотношение F.55). Отметим также, что i'vuV5 —
псевдовектор (аксиальный вектор):
Ь'ЧГуцЬ = (det I) ZWys. F<62)
Компоненты произведения jY'Tb получаются путем перемножения
четырьмя возможными способами трех различных ^-матриц.
Соответственно своему поведению при преобразованиях Лорен-
Лоренца 16 независимых элементов описываемой алгебры Клиффэрда —
Дирака распадаются на пять классов:
75, F-63)
число членов в которых таково: l-f4 + 6 + 4-fl =16. Тесно
связанной с предыдущей, но отличающейся от нее является груп-
группировка по свойствам симметрии. Конструкция
an = уу, F.64)
наводит на мысль рассмотреть произведения 7°Г, где Г означает
любой из классов F.63). Мы имеем
(у»Г)т = -тту° = -vWr,, F.65)
и наличие разного рода соотношений эквивалентности между
транспозицией и пространственным отражением указывает на
то, что эти матрицы обладают какой-то определенной симметрией.
И действительно, среди шестнадцати матриц
Y0 A 7 °r HVYs У в) F-66)

§ 6. ЧАСТИЦЫ GO СПИНОМ »/п СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 139
содержится 4 4- 6 = 10 симметричных матриц 7°7д> Y°ouv
и 1 + 4 + 1=6 антисимметричных матриц у0, y°iyilyi, y°Y5-
Все они эрмитовы.
При построении вакуумной амплитуды для произвольного
четырехкомпонентного спинорного источника частиц со спи-
спином г/г мы будем исходить из выражения F.28), заменив входя-
входящие в него р3 и а11 соответствующими у-матрицами:
W(n) = -§- \ (dx)(dx')r\(x)y°G+(x-x')r\(xr),
где
G+(x-x')= (m-y»± д») Ь+{х-х'), F.68)
а источники — антикоммутирующие вещественные объекты»
(Лс (*). ЛС (*'» = 0, F.69)
представляюшие собой элементы грассмановой (внешней) алгебры.
Проанализируем теперь причинно-упорядоченную пару источ-
источников
т] (х) = Tit (х) + г]2 (х). F.70)
Важно отметить, что четные комбинации антикоммутирующих
источников коммутируют друг с другом и что два слагаемых,
в которые входят t]j и tj2, равны, поскольку антикоммутативность
источников компенсируется антисимметрией ядра. В соответствии
с этим мы получим:
<0+10-)" = <0+10.L1 ехр [ i J (dx) (dxr) % (х) y°G+ x
X(x-x')r\2(x')]{0+\0J)™, F.71)
где
x°>xf>': С+(х — х) = 1\<к)регР<-х-х">(т — ур), F.72)
и поэтому
i \{dx){dx')r\l(x)Y>G+{x-x')r\t{x') =
= j dapiib(p)*?>{m-yp)ii\t(p). F.73)
Матричный множитель в этом выражении в точности совпа-
совпадает с величиной F.26), записанной в новых обозначениях:
V0 (т—ур) = ту0 + р°—у°\ - р =
= ехр [ - 1-^fIL J „(! + ,., ехр [ ^fl] ; F.74)

140 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
напомним, что здесь
? F.75)
Используя любую пару ортонормированных собственных векто-
векторов i;b
fv*. = »ь, фу = бы, F.76)
для проекционной матрицы г12 A + Y0) можно написать следую-
следующее диадное представление:
я.
Для проверки мультиплетности достаточно взять след обеих
частей этого матричного равенства:
¦bSp 1 = 2=21, F.78)
я.
где учтено, что след матрицы у" равен нулю (вследствие ее анти-
антисимметрии). Отметим, что имеет место и более общее утверждение:
Spym= —l-Spv.lYu, Y5} = 0. F.79)
При конкретном выборе в качестве v^ можно взять собственные
векторы одной из компонент а, скажем, матрицы os:
o3va = crva, a = ±1. F.80)
Потребуем также, чтобы при действии на эти собственные векторы
стандартными комбинациями спиновых операторов они переходи-
переходили один в другой:
(o- + io-)y (aia)vv.. F.81)
Остальные соотношения, являющиеся следствием мнимости
используемых матриц у0 ж о, а именно
^v*±1 F.82)
будут удовлетворяться, если положить
F.83)
Поскольку i$ — собственный вектор матрицы y°> принадлежа-
принадлежащий собственному значению —1, имеют место соответствующие
соотношения ортогональности:
0. F.84)

S 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 7„ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 141
Подставив в равенство F.74) величину Vafl + Y0)» выражен-
выраженную через собственные векторы, мы получим
Т°!(ю — ур) = 2щ S y°upau$oV°, F.85)
о
где
u,a = «p[4-eip»-?LU0,
L |p| J F.86)
здесь учтены антикоммутативность произведения уоу с матри-
матрицей 7° и то обстоятельство, что уст — собственный вектор матри-
матрицы у°. Те же свойства используются и при проверке условия
ортонормированности этих векторов, которое имеет вид
U%ay°Upa' = V%V a' = &оо ¦ • F.87)
Далее, в соответствии с F.59),
Y°Y = i'Y5<J. F.88)
Комбинируя это равенство с соотношениями для гиперболиче-
гиперболических функций, которые дают
мы получаем
х/2 , / рО — пг \V2
:hJ^- F-90)
Отсюда видно, что, когда мы определяем уа, за выделенное направ-
направление спина весьма удобно выбрать направление вектора р.
Тогда величину <ьр/| р | можно заменить собственным значе-
значением а, которое будет спиральным индексом. Если воспользовать-
воспользоваться соотношением F.83), то рассматриваемые векторы примут совсем
простой вид
-.-(¦^V+t^P"- <•••«)
Их связь с комплексно-сопряженными величинами устанавлива-
устанавливается равенством
ы?, -a = ioybupa. F.92)
Объединяя соотношение F.85), переписанное в виде
-Ы^ = 2"^"^Т°' F-93)

142 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
е условиями ортонормированности F.87), мы придем к выводу,
что эта неэрмитова матрица обладает алгебраическим свойством
проекционного оператора:
Это эквивалентно равенству
(т - ур) (т + ур) = 0, F.95)
в справедливости которого можно убедиться и непосредственно,
так как
(УРJ = \ {Vu, Yv} РV = - Р2 = т\ F.96)
Кроме того, мы видим, что ира и и$ау° удовлетворяют уравнениям
(ур + т) Upa = 0, и%у« (ур + т)^0. F.97)
Возвращаясь к связи источников F.73), напишем
i J (dx)(dx')y]l(x)y°G+(x-x')r\2(x') =
= 2т j dap ^ Щ (p)* ?0"ра«рс70^2 (р) = 2 i4*Pai^Pa, F.98)
a pa
где
F.99)
непротиворечивость этих двух определений вытекает из эрмито-
вости матрицы у0. Они служат точными определениями источников
одночастичного испускания и поглощения, которые строятся из
различных сомножителей. Так, например, В (р) входит в у°ира.
В системе покоя частицы величина ира сводится к va, которая
является собственным вектором матрицы у°, а значит, и матрицы
пространственного отражения rs = iy°. Таким образом, одно-
частичные состояния обладают вполне определенной, хотя и мни-
мнимой, четностью. Кстати, мы не задумывались над этим вопросом,
когда при построении rs и проекционного множителя */2 A + Рз)
использовали одну и ту же матрицу р3. Теперь становится ясным,
что этот проекционный множитель заодно выделяет и состояния
с определенной четностью, в соответствии с чем и должна опреде-
определяться матрица отражения.
Источники частиц г\ра и t]*a, являющиеся линейными функ-
функциями t]j (x), также будут антикоммутативными:
{Лрвэ Vo'} = {Лр<т, inj'<j'} = {i1*a. Tl*'<,'} = 0; F.100)

I 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ "/i. СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА I 143
в частности,
(ЛраJ = 0, (T,^J = 0. F.101)
Воспользовавшись коммутативностью четных функций от источ-
источников, напишем
ехр [2 iTi?pait]2pa] = Д exp (niip<jiT]2j,0) =
pa
= П 2 Т^\ №ро*\*ро)Прв- F.102)
pa pa
Это выражение имеет точно такой же вид, как и в случае статисти-
статистики Бозе — Эйнштейна, но теперь степенной ряд содержит только
два члена. Действительно, поменяв местами два сомножителя,
мы увидим, что
(щХраЩ^о? = ЩХра^граЩХрогЦгро = — ("llpoJ (Щ2роJ — 0, F.103)
и все разложение будет обрываться на члене с пра = 1. Таким
образом, максимальное значение величин, очевидным образом
отождествляемых с числами заполнения частиц, равно единице.
Это ограничение составляет содержание Принципа Запрета, харак-
характерного для статистики Ферми — Дирака.
Причинная упорядоченность источников находит свое выраже-
выражение в следующем причинном разложении вакуумной амплитуды:
<0+10.)" = 2 <0+1 {п})*1 ({п} 10_>Т1г. F.104)
{п}
В каждом слагаемом выражения, описывающего связь источни-
источников, все сомножители действительно можно расположить в нужном
нам порядке, но при этом следует внимательно следить за числом
возникающих знаков минус. Все упрощает следующий прием,,
который мы проиллюстрируем на примере двухчастичных состоя-
состояний, обозначаемых символами а и Ъ:
%b). F.105)
t I
Всякий раз, когда источники смещаются на четное число сомно-
сомножителей, никаких знаков минус не возникает. В результате
мы придем к такому разбиению на множители, в котором излу-
излучающие источники перемножаются в определенном порядке
и читать их нужно слева направо, тогда как поглощающие источ-
источники стоят в том же самом порядке, но читать их следует справа
налево. Оно будет совпадать с приведенным выше выражением

144 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
общего вида, если для многочастичных состояний положить
Zt r, F-106)
)"=<о+|О->пП №)*».
где \\т — символ произведения, под знаком которого сомножители
располагаются в порядке, обратном по сравнению с [], а для
нумерации бесконечного счетного множества состояний частиц
можно воспользоваться любой стандартной последовательностью.
Как и в случае статистики Бозе — Эйнштейна, интерпретация
чисел пра как чисел заполнения частиц подтверждается законом
изменения' при трансляции источника, т. е. при преобразовании
г\ (х) ->• ц (ж + X), которзя дает
{{п}| О.L -> е**({п} 10_>\ <0+1 {п})*1 -> <0+1 {п})* е-**, F.107)
где
^=S»poP«i, F.Ш)
pa
что указывает на аддитивность вкладов от различных имеющихся
частиц.
Требование полноты многочастичных состояний можно сфор-
сформулировать разными способами: либо как
2 @- | {п})*1 {{п} 10->ч - @_ 10.) = 1, F.109)
где
<0- I. {»}>п =«»} I 0_>ч», F.110)
либо как
S +1 {}>
{«¦}
где
(М |0+>л =<0+ | {и})ч*. F.112)
Записывая эти соотношения, мы старались быть более аккурат-
аккуратными, чем в случае статистики Бозе — Эйнштейна, так как теперь
приходится иметь дело с функциями антикоммутирующих пере-
переменных. Но в случае вакуумной амплитуды, являющейся четной
функцией, никаких предосторожностей не требуется, и мы сфор-
сформулируем два условия полноты в виде
1Ч <о+1 о->ч !а S Щ<WH* Щ (ъо№,
{п} ра
ра

§ 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ V», СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 145
где скомпенсировавшиеся множители г и —i опущены. Сравнение
этих двух соотношений подсказывает нам правило комплексного
сопряжения источников Ферми — Дирака, которое оказывается
внутренне непротиворечивым: комплексное сопряжение обращает
также порядок следования сомножителей, что иллюстрируется
примером
F-. 114)
В таком случае мы придем к единой формулировке условия
полноты:
! @+ | 0_> Г = S [[Г №)"Н [П
<n> pa ра
= 2 П№аТ1РаЛ-= П 2
{"} VO РО «рд
ра
ИЛИ
F.115)
| @+|| О-I1 Г = ехр [2 rfoTba]; F.116)
по существу эта выкладка обратна процедуре факторизации, при-
применяемой при анализе причинного разложения.
Мы должны подтвердить этот вывод из условия полноты непо-
непосредственным расчетом величины | @+ | 0_ >"п |а. Важно уяснить
себе, что правило комплексного сопряжения источников Фер-
Ферми — Дирака приводит к мнимости произведения двух веще-
вещественных источников:
(Tit (*) Т1С. (*'))• = Т]С. (*') r]t (x) = -Tfe (х) Лс. (х'). F 117)
Следовательно, произведение т] (ж) 7°т) (х') вещественно, так как
Y° — мнимая матрица. Это другой аспект сопоставления стати-
статистики спину. Поскольку матрицы A/t) Vм- вещественны, един-
единственной комплексной величиной в W будет А+ (х — х')
и поэтому
2lmW= Г (dx)(dx')r\(x)y° (т—у^- d^Re -?- A+(x — x')i\(x').
F.118)
Тогда соотношение
Re^-A+(o: — х') = Т\е f dtOpe^»-»') F.119)
10-0670

146 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
будет давать
2ImW = Re \ d(apr\( — р)у<>(т — ур)г\(р) =
= Re 2m j dap ^ Л (р)* ираи$ауо4 (р) =
о
= Re2i1P0Tlp,. F.120)
pa
Символ Re здесь излишен, так как имеет место равенство
(Ч$оЧра)* = Tlpo Лро, F. 121)
существенной основой которого служит правило комплексного
сопряжения. Полученный результат
| @+1 О.I112 = ехр [ - 2 1)*роЧРо] F.122)
ра
и подтверждает условие полноты.
Евклидов постулат мы ввели в качестве наиболее четкой фор-
формулировки принципа равноправности всех точек пространства-
времени. Если интерпретировать его таким образом, что в рамках
евклидова описания не может существовать никаких указаний на
исходное пространство Минковского, то для частиц со спином
х/г этот постулат будет приводить к новым интересным выводам.
При евклидовом описании частиц с целым спином все ссылки
на пространство Минковского действительно исчезают, но в слу-
случае спина V2 возникает новая ситуация. Когда речь шла, напри-
например, о частицах с единичным спином, мы видели, что в результате
преобразования, связанного с заменой /4 = г/°, эрмитовы веще-
вещественные симметричные матрицы s^4 = isoh превращаются в эрми-
эрмитовы мнимые антисимметричные матрицы, объединяясь тем самым
с ski. Заметим, что в это преобразование входит квадратный корень
из матрицы пространственного отражения или из матрицы, проти-
противоположной ей по знаку. Чтобы проделать то же самое с веще-
вещественными симметричными матрицами aki = Y°yfe и в результате
объединить их с мнимыми антисимметричными матрицами o-^i =
= f'YfeYb мы должны отыскать подходящее унитарное преобразо-
преобразование, коммутирующее с этими последними матрицами. Унитарная
матрица может иметь только следующий вид:
ехр[«р(у<\ iySi тотв)]. F.123)
Но все такие матрицы вещественны, и поэтому они не могут изме-
изменить вещественность ahi. Таким образом, если мы посмотрим
на вещественность или на симметрию матриц a^v (|л, v = 1, ...
. . ., 4), у нас не останется никаких сомнений относительно того,

§ 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ »/«> СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА I 147
какая из евклидовых осей соответствует временной оси простран-
пространства Минковского. Это нарушение евклидова постулата.
Мы уже указывали, что симметрию матриц можно обратить,
не затрагивая при этом их пространственно-временного характе-
характера, если воспользоваться независимой антисимметричной матрицей
/О — i\
( 0) , F.124,
которая действует на дополнительный индекс источника, при-
принимающий два значения. Тогда мы сможем построить комплекс-
комплексную унитарную матрицу, умножив вещественную матрицу отра-
отражения г, = iy° на мнимую матрицу q и извлекая затем по анало-
аналогии со случаем единичного спина квадратный корень. Такое пре-
преобразование имеет вид
F.125)
и действительно, все величины
вЫЕ = iqtk F.126)
оказываются мнимыми антисимметричными матрицами. Переход
от пространства Минковского к евклидову пространству для
источников соответствует преобразованию
etuc/Wev'-Oti (а,) (dx) -»¦ т| (а:) (dx) |E. F.127)
Если применить это преобразование к вакуумной амплитуде,
то возникнет следующая матрица (заметим, что матрица qy° сим-
симметрична):
^ F.128)
где остальные компоненты
F.129)
равны (у4 = г у0):
о* = Y°Y*i ° * = 3Y°- F.130)
Все они являются вещественными симметричными матрицами,
удовлетворяющими соотношениям
-п-{ай, av} —о,д,? (b.lol)
и
10*

148 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
В результате для вакуумной амплитуды частиц со спином Т12
в евклидовом представлении мы получим выражение
@+10_>" -»- ехр [ — \ j (dx) (dx) r\ (x) (qm—a^) A (x—x') r\ (z')]B .
F.133)
которое вещественно, если используются вещественные евклидовы
источники.
Таким образом, из евклидова постулата вытекает наличие
у каждой частицы со спином 112 некоторой зарядово-подобной
характеристики, что полностью согласуется со всей совокупно-
совокупностью экспериментальных данных. Хотя безмассовые нейтрино
требуют специального рассмотрения, общий вывод, следующий
из экспериментальных данных, таков, что у всех фермионов
(частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака), в том
числе и электрически нейтральных, имеются двойники в виде
соответствующих им античастиц, тогда как ни одному из элек-
электрически нейтральных бозонов (частиц, подчиняющихся статисти-
статистике Бозе — Эйнштейна) такая дублетность не свойственна 1).
Объявляя va и ира собственными векторами зарядовой матрицы
с собственными значениями д, мы приписываем состояниям частиц
со спином х/2 дополнительный зарядовый индекс q = ±1.
Поскольку зарядовая матрица мнима, при комплексном сопряже-
сопряжении q переходит в —q и приводившиеся ранее формулы соответ-
соответствующим образом модифицируются; в частности,
ы?, _Oi -q=ioyBupaq F.134)
и
_ I pO-j-m \V2 I рО — т у/г „ ,„ .„,-.
\ dtVfb J \ ditYh J
Источники частиц теперь будут определяться соотношениями
г)род = Bт dcopI/» upaqу°г\ (р), x\%aq = Bт dcopI^ ч\ (р)* y°upaq.
F.136)
Проведенный нами анализ евклидова постулата подводит нас
те рассмотрению ГСР-преобразования. Посредством евклидовой
группы, связанной с группой Лоренца, мы можем выполнить
преобразование
х»=-х» F.137)
•) Не считая ^"-мезона (и его резопансов), который, правда, по отношению
к слабым взаимодействиям ведет себя как некоторая суперпозиция соответ-
соответствующей частицы и античастицы, различающихся гиперзарядом.— Прим.
ред.

§ 6. ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/„ СТАТИСТИКА ФЕРМИ — ДИРАКА | 149
в виде
ЛЙ = г*т)(*), F.138)
где матрица
rst _ e(iit/2)ai2g(in/2)O34 = е<»я/2)о8зеAя/2)О14 _ e(in/2)o3»e(in/2)o24== _ jy5
F.139)
описывает эквивалентные вращения на угол п в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях. Эта матрица антисимметричная,
мнимая и удовлетворяет требованию
i4 = 1. F.140)
Инвариантность вакуумной амплитуды сразу же следует из
соотношения
iytf> (m- y»4- (~д»)) (- Ы А+ (~ *+ *') =
= то(та_г^_^)д+(Л_ж'). F.141)
Правда, в силу мнимости rat это достигается за счет того, что
вещественный источник г\ заменяется мнимым т). Если мы будем
настаивать на вещественности tj, взяв для этого преобразование
ч(г)=УбЛ(*). F-142)
то W перейдет в —W. Изменение знака можно скомпенсировать,
изменив порядок перемножения всех источников на обратный,
ибо порядок сомножителей соответствует причинной последова-
последовательности событий.
При подстановке
г\ (р) -+ УМ (-р) F.143)
отдельные излучающие и поглощающие источники преобразуются
следующим образом:
T)Poq -> Bm <top)lh Upgo-fy^ (— P) =
= {2mdapyfi\(p*)Y>Up, .„, _,(-to), F.144)
или
Лрод -+¦ — i^p. -о, -,; F.145)
точно так же
Т]5а? -»¦ Щр, -а, -,- F.146)
В результате мы получаем следующее соответствие между процес-
процессами многочастичного испускания и поглощения:
ехр ( —~ ^ пр^а) @+1 {п'}L,
F.147)
ехр (¦? 2 ) <{'} I ОL

150 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
где
rtpaq = nPt _0, _g, F.148)
а преобразование источников, представляющее собой часть всего
jTCP-преобразования, будет обеспечивать необходимое обращение
порядка сомножителей.
§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ Ч2, НЕЙТРИНО
Прежде чем говорить о квантовых числах углового момента как
характеристиках состояний частиц, мы рассмотрим вопрос о сло-
сложении орбитального момента со спином 1/2. Состояния с кванто-
квантовыми числами полного момента / = I ± г1% выделяются из под-
подпространства состояний с орбитальным квантовым числом I эрми-
эрмитовыми проекционными операторами
1+т±(т+ь-а)
Они удовлетворяют равенствам
. = 6,yAfу, ^ Ми = 1 G.2)
з
и имеют след, согласующийся с мультиплетностью:
Sp Ми = 2} + 1. G.3)
Введем ортонормированные спин-угловые функции х)
y1/2 , G.4)
которые в явном виде записываются следующим образом:
l — j g-:
9; ) ^)
1 G.5)
2 /
2/ + 2
Здесь также существует оператор, переводящий эти две функции
одна в другую:
Z Z G.6)
J) Они называются также сферическими функциями со спином, спинорпыми
шаровыми фупкциями или шаровыми спинорами.— Прим. ред.

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ 1/2. НЕЙТРИНО 151
где п — единичный вектор, которым определяются угловые пере-
переменные сферических гармоник. При доказательстве этого равен-
равенства используются следующие свойства оператора о-n: он ком-
коммутирует с вектором полного момента, но изменяет орбитальный
момент на единицу; он не нарушает ортонормированности спин-
угловых функций, так как его квадрат равен единице. Это говорит
о том, что левая и правая части G.6) совпадают с точностью до
фазового множителя, который не может зависеть от т. В таком
случае достаточно взять вектор п параллельным третьей оси
и положить т = 11ч. Единственная остающаяся при этом гармо-
гармоника
выделит состояния v+, что и доказывает равенство G.6).
Из соотношений F.73) и F.74) следует, что выражение, описы-
описывающее связь между источниками, которая обусловлена одно-
частичным обменом, имеет вид (причинные индексы для простоты
опущены)
J *орй1 (р)* ехр [ - -1 Oiyb -^Р] 2л» 4 A + У°) X
X ехр [-±0.7»-^-] Л (Р). G-7)
В качестве предварительного шага введем преобразование
(p)r]polm, G.8)
(а:) G.9)
lm
где величина
имеет и неуказанный здесь индекс, соответствующий индексу
многокомпонентного источника х\ (х). Проекционная матрица
Х1г A + у0) выделяет часть этих компонент, а матрица 1/2 A +
+ Y°) *Y5 = iy^lz A — Y°) осуществляет их дополнительный
отбор. Чтобы отразить эту процедуру, мы будем снабжать вели-
величины t]p'im дополнительными значками плюс и минус. Оставшиеся
спиновые компоненты, объединяясь с Y[m (p), дают нам спин-
угловые функции, которые вводятся равенством
2 да/. Ylm (p) r!±p»;m = 2 да* z^iiiP'Hm, G.Ю)
lm Ijm
где считается, что различие между орбитальным магнитным кван-
квантовым числом т, принимающим целые значения, и полным маг-
магнитным квантовым числом т, являющимся полуцелым, должно
быть ясным из контекста. В выражение G.7) входит комбинация

152 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
(/ и т фиксированы)
C0S Т Э
p?jJ G.11)
и комплексно-сопряженная ей величина; здесь
Т= 2/ - Z G.12)
указывает на то изменение орбитального момента, которое обу-
обусловлено действием оператора о«р/| р |. Используя ортонорми-
рованность функций Z;jm в подпространстве, на которое проек-
проектирует матрица Х12 A + у0), мы для величины G.7) окончатель-
окончательно получаем выражение
2 ЩЧЩЧт, G-13)
Zj
p'ljm
где
причем здесь еще не указан зарядовый индекс.
Если скомбинировать различные преобразования, то эти одно-
частичные источники будут выглядеть следующим образом:
— j (dx) %'ljmg(x)* y°1\ (x), G.15)
где
G.16)
причем функции Zi)mq, как и в выражениях G.5), строятся из
собственных векторов vaq, а сферические гармоники зависят
от углов, задаваемых единичным вектором в координатном про-
пространстве. Сравнивая G.13) и G.15) с левой частью F.73),
получаем
х°>х0': G+(x-x') = i 2 %4jmq(x)^ljmq(x')*y\ G.17)
pQljmq
а антисимметрия матрицы y°G(x—х') позволяет также написать
••' G(^)S)Y0- G-18)
В отличие от состояний общего вида, задаваемых импульсом,
состояниям с квантовыми числами углового момента можно при-

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ 7», НЕЙТРИНО 153
писать пространственную четность. Закон изменения источников
частиц
Ti (х°, х) -»- iy°r\ (Л —х) G.19)
приводит к следующим трансформационным свойствам:
yVum, (А -^ = (-1)' $рЧ1т9 №, *)• G.20)
Это равенство вытекает из однородности сферических гармоник
Ylm (-х) = (-1)' Ylm (x) G.21)
и из того, что функции Zlimq являются собственными векторами
матрицы у0 с собственным значением +1. Хотя функциям iy$~ijmq
и соответствует собственное значение —1 матрицы у0, это изме-
изменение знака компенсируется множителем (—1)' = — (—1)'.
В результате мы получаем
G.22)
так что пространственная четность имеет вид произведения двух
сомножителей — внутренней четности i и переменной орбиталь-
орбитальной четности (—1)'. Поскольку в г|>ро^тд входят оба орбитальных
момента I ж I, индекс I у этой функции нужно понимать в том
смысле, что четность равна (—1)'. В случае спина 1/2 два состояния
с одинаковыми /, т можно различить по (противоположным) зна-
значениям их четности. Согласно формуле B.24), в случае бесспино-
бесспиновых частиц четность также представляется в виде произведения
орбитальной четности (—1)г и внутренней четности, равной +1
для скалярного источника и ¦—1 для псевдоскалярного источ-
источника. Но здесь было бы излишним указывать четность в качестве
индекса, так как состояния полностью определяются квантовыми
числами углового момента. В случае же частиц с единичным спи-
спином четности недостаточно для идентификации всех трех состоя-
состояний с заданными квантовыми числами полного момента. Кроме
множителя, соответствующего внутренней четности и равного —1
для вектора и -\-i для аксиального вектора, состояние C.39)
характеризуется орбитальной четностью (—IK', которая отвечает
значению I = /, тогда как два состояния C.41) и C.42) характе-
характеризуются орбитальной четностью — (—1)J, общей для всех значе-
значений I = / ± 1. Но у безмассового фотона имеется только два типа
состояний с заданным значением квантового числа полного момен-
момента 7^-1. Состояние фотона, порождаемое источником /p»>mi,
имеет четность — (—IK, а состояние, порождаемое источником
Jp'imz,— четность (—IK. Источник первого вида обычно назы-
называют магнитным, а второго — электрическим мультипольным
моментом.
Прежде чем переходить к исследованию действия ТСР-пре-
образования на состояния с заданными квантовыми числами

154 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
углового момента, мы рассмотрим свойства вещественности функ-
функций t|v>;;-m<? (x)- Заметим, что
ZTJmq=(-l)u'+m iygi, j, -m. -q, G.23)
где использовано свойство сферических гармоник
Ylm = {-\)mYu.m G.24)
и закон изменения vaq при комплексном сопряжении [т. е. соот-
соотношение F.134) при р° = т]. При переходе к величине комплекс-
комплексно-сопряженной функции typoijmq дополнительный знак минус,
возникающий из-за наличия множителя, можно скомпенсировать
посредством пространственно-временного отражения х^ -*¦ —ж11:
%4jmq (-*)* = (-l)'+i+m iy&p'.b ,,-пь-д (х). G.25)
Связь между двумя причинными представлениями G+ (х — х'),
устанавливаемая этим соотношением, находит свое выражение
в свойстве инвариантности
Y°G+ (х - х') = -iyby°G+ (-х + х') iys, G.26)
совпадающем с F.141). Произведя в формуле G.15) подстановку
G.27)
x) =
G.28)
, -,. G.29)
Этим полностью устанавливается соответствие между актами
одночастичного испускания и поглощения. Для многочастичных
процессов оно выглядит аналогичным образом, причем изменение
порядка сомножителей оказывается одной из сторон ГСР-пре-
образования.
Пространственно-временное описание процессов многочастич-
многочастичного обмена между источниками будет даваться следующим раз-
разложением в степенной ряд:
мы получим
а затем
^Ip'ljmq —*¦
Vipoijmq-
э
(х) -*¦ Ysiq
lx)typ'ijmq
-1)'+'+»тй
i( — l)l+j
1 (—x),
i ~.\*
к ¦*'/
+m Лр»,
exp I i \ (йж)(?^ж')т11(жO°С+(ж —ж')'П2(ж')Т
-: + 2j l ^Г м x
n=l
X тц (a:n) ... % (an) [det('n~, y°G+ (Xi - x'j)] т]2 {х\)\.. .% (x'n), G.30)
где считается, что дискретные индексы источников и функций
распространения объединены с явно выписанными пространствен-

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ V», НЕЙТРИНО | 155
но-временными координатами. В противоположность «перманен-
«перманенту» B.37), в симметрии которого находит свое выражение комму-
коммутативность источников Бозе — Эйнштейна, антисимметричный
определитель
det(n)Y«G+(s,—а$) = 2 &h...}ny°G+(x1-x'ji)...fG+(xn-Xjn)
G.31)
(сумма берется по всем п\ перестановкам) выражает антикомму-
антикоммутативность источников Ферми — Дирака. Мы видим здесь про-
простую и необходимую связь между свойствами симметрии, которыми
характеризуются два типа статистики, и элементарными алгебраи-
алгебраическими свойствами, которыми различаются два вида источников.
Соответствующим образом симметризованные произведения отдель-
отдельных функций распространения дают нам пространственно-времен-
пространственно-временное описание системы многих невзаимодействующих частиц.
Теперь остановимся на тех обобщениях, к которым приводит
замена конечных вакуумных состояний многочастичными состоя-
состояниями. Рассмотрим для этого причинно-упорядоченные излучаю-
излучающий источник тJ, зондирующий источник г]0 и детектирующий
источник т) 1:
г, (х) = тн (х) + гH (х) + гJ (х). G.32)
Вакуумная амплитуда записывается в виде
<0+1 О,I1 = <0+ | О-L'"*11 exp [i j (da:) (dxr) щ (x) y°G+ (x-x') r\0 (xr) +
(dx)(dx')mo(x)fG+(x-x')r\i(x')]@+\0Jin =
X exp [ 2 i^iriflor + i«l*r?r]2r] @+ | О-I10, G.33)
г
где через г обозначена любая совокупность одночастичных индек-
индексов, скажем род. Причинное разложение для этой вакуумной
амплитуды записывается в виде
откуда можно получить подробную информацию о действии зонди-
зондирующего источника. Чтобы описать слабый зондирующий источ-
источник, мы должны интерпретировать произведение щт({п} | CL}^.
Если одночастичное состояние типа г уже занято, т. е. пт = 1,
то мы получим нуль, так как (т]гJ = 0. Это не что иное, как прин-

156 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
цип запрета, не позволяющий переводить еще одну частицу в уже
занятое состояние. В противоположном случав имеем
пт = 0: ЩЛ{п) | 0_>ч = (-1)п<' ({и + 1,} | 0„>ч, G.35)
где п<г — число занятых' состояний, предшествующих г при
их стандартном расположении; оно равно числу множителей
({п} | 0_)i, описывающих источники, через которые нужно про-
пронести ir\r, чтобы поставить его на свое собственное место. Ана-
Аналогично
и, = 0: <0+ |{и}>ч it|? = @+ \{п + 1Р»ч (-If*", G.36)
и для слабого источника мы получаем следующие результаты:
щ = 0: <{в + 1Г}+ | {»}_>ч « (_1)п<' щг, _ Ч7.
пт = 1: {{п - 1Г}+ | {«}_)ч « (-1)^г щ*. U-d/)
Чтобы построить амплитуду вероятности ({п}+{п}_>ч, нужно
в разложении G.33) оставить лишь члены с одинаковыми степеня-
степенями г)?, и т]2Г:
ехр [2 iTifriT]or + гЦогЩгг] -»- П I1 + "lir*%r«lSrir)a.]- G-38)
В противоположность случаю статистики Бозе — Эйнштейна ряд
будет обрываться на этом произведении. Обратившись к форму-
формулам G.35) и G.36), мы увидим, что
S <0+1 {п}) Шц„ {{п} | О.I12 = 2 @+1 {в}I1» в, {{/г} | (LI12, G.39)
{> {>
где наличие множителя пг свидетельствует о том. что слагаемое
с пт = 0 отсутствует. Теперь можно произвести следующую
эффективную замену:
ехр [2 («l*riTior+ STi
П Г1 + iriornriTiorl = ехр [S ЩОгпМг]. G.40)
г г
При любом способе описания состояний линейную связь между
т] (х) и излучающими и поглощающими источниками можно пред-
представить в форме
т|г = J (dx) tr (*)• ?°т) (х), т$ = J (dz) t) (*) v4r (*)• G.41)
Так, например,
У роя (*) = Bn» d«)p)I/2 upageipA:; G.42)
другой пример дает нам соотношение G.16). Соответствующее
выражение для функции распространения имеет вид, аналогичный

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ «/». НЕЙТРИНО [ 157
виду формул G.17) и G.18):
х°>х0': G+(x-z') = i^jyr(z)b(x')*V0,
' G-43)
xo<z<": G+(*-*')=-
г
Теперь мы получаем
({п}+\{п}.)* = вхр [4- j (dx)(dz')r\(x)yOG{n)+(x-z')T)(x')}, G.44)
где
G{n)+ (х-х)-G+ (x-x')~i S пт X
г
X №г(х)Цг(х')*-Цт(х)*уг(х')]у0. G.45)
Структурой второго члена обеспечивается антисимметричность
•y°G{n}+ (а; — х'). Явный вид причинной функции таков:
х°>х0': 1%[A — пг)М
Г
х°<х°': -» 2 IMv(*IV (*')*
Сравнение с B.49) указывает на важную роль статистики: стати-
статистика Бозе — Эйнштейна стимулирует, а статистика Ферми —
Дирака подавляет испускание еще одной частицы.
Вернемся теперь к вакуумной амплитуде G.33) и заметим,
что в общем случае имеет место соотношение
ехр [2 ЩЬЩот+Щог^А = П I1 + Щ*и1Шт+Щ*тЩ2г] X
г г
xnil + ftfr^orWThr]. G.47)
г
Подставив его в G.33), получим
<о+1 о,O1 = 2 <о+1 {и}) ({«}+1М-Г х
{71}
X П [1 + *Л!гвг + *18гйЬг] (HIO.I1'. G.48)
г
Типичный член произведения П в формуле G.48)~имеет вид
г
ГГ (ЩЬ)П (in») ГГ (»Tl8r) П («Лег), G.49)
в « а а
где мы выделили две совокупности состояний с индексами а и е,
поскольку отдельные сомножители, описывающие состояния,
линейны по т]2г и по г\*г. Если неисчезагощий член должен приво-

158 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
дить к формуле G.48), то необходимо, чтобы выполнялись равен-
равенства па = пе = 0. Тогда состояниями типа а (поглощение) будут
такие состояния, которые заняты в начале процесса, т. е.
П (irk) <{»} 10_>ч = [\ (-1 )П<Г ({п + 1в> 10_Д G.50)
а а
и свободны в конце его, а состояниями типа е (испускание) —
такие состояния, которые оказываются занятыми в конце процесса,
<0+1 {п}I1 [Г И?) = <0+1 {п + 1в}>" П (- 1)П<% G.51)
е е
но были свободными в начале его. В результате мы приходим
к соотношению
= ({п}+1 {«}_)" П [(- 1)П<Г ЩА W [(- 1)П<Г "!?]. G.52)
которое представляет собой обобщенное соотношение G.37).
Для проверки полноты многочастичных состояний в рамках
такого общего рассмотрения умножим G.52) слева на комплексно-
сопряженную величину и представим результат в форме, восста-
восстанавливающей {п} в правах произвольного начального состояния:
па = 1, пе = 0:
<{п}_ | {п+ 1,- W ({п+ \е-10}+1 {п}.)" =
= | <М+1 {И}.L12 [] (Л?т]г) П (ЛгЛ?). G.53)
е а
Сумма по всем конечным состояниям записывается в виде
ЯгТЬ-tl?)] =
ехр [^ A-2пг) Т1*лг1, G.54)
г
где учтена антикоммутативность источников. Но согласно форму-
формулам G.44) и G.45),
({п}+\{п}_)ч =<0+| 0_)я ехр 12 пггрч,], G.55)
и поэтому, используя аналог равенства F.122), соответствующий
произвольному способу описания состояний, а именно
| <0+1 0_>ч |* = ехр [- 2 Т1?т)г], G.56)

§ 7. ЕЩЕ ГАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ •/«. НЕЙТРИНО [ 159
мы получаем
|<{п}+|{п}_>ч|« =>р [_ 2 A - 2пг) 4?.%]. G.57)
г
Этим и доказывается, что левая часть равенства G.54) равна еди-
единице. Чтобы получить равенство G.56), исходя непосредственно
из выражения G.43) для функции распространения, заметим,
что каждая из ее составляющих удовлетворяет соотношению
Re fG+ (х - х') = Re f 2 Y4- (*) 4>г (*')* V0. G-58)
которое справедливо при всех х — х'. Но величина ir\ (х) ч\ (х')
вещественна, и поэтому, как и предполагалось,
| @+10.)" |2 » ехр [ - Re 2 J (dx) (dx') П (х) /tr (х) ^ (*')* Y°4 (*')] =
G.59)
В случае частиц со спином Х12 унитарность можно свести
к причинности, следуя той же схеме, что и в случае бесспиновых
частиц. Рассмотрим систему, которая выходит из начального
вакуумного состояния под действием источника щ+)(х), а затем
снова возвращается в начальное состояние под действием источ-
источника т](_) (я). Процесс эволюции системы определяется функцией
распространения А+ (х — ж'), и в качестве аналога формулы B.83)
мы получаем
@. pLI4'Л(+) = ехр [ —i- j (dx) (dx') Ч(_, (*) y° G_ (*_*') ti(_, (x')+
+ L j (dx)\(dx') ti(+) (x) /G+ (*-*') Ti(+) (*') +
+ j (dx) (dx') ti(_, (x) V°G(+) (x- x') ti(+) (x')] , G.60>
где
(x—x')-- (щ_тд1ад) Аш(х-х').
Приведем некоторые соотношения для этих матричных функций:
G. (х - х') =G+(x — х1)*, б<-) (х - х') = G(+) (x - х1)*,
G.62),
(x' - x)F = v°G(-) {х - х')

160 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
И
G+(x-x')=[x0
<^х . .- V-- * „
х°~>х°': iGi~) (х а:')
[х°<х0': -iG^(x-x').
При произвольном способе задания одночастичных состояний имеем
/i Фг !¦*¦)
G<"> (*-*')= -^^(а:)*^ (а:')?0. G.64)
г
Кроме того, различные функции связаны тождеством
I [G+ (х - х') - GJ(x - х')\ + G(+) (х - х') + GO (a: - х')=0.
G.65)
Согласно причинному разло?кению
<0_ | О-I11"'' Л(+> = S @-1 {п}I1'-' ({п} 10_Л+', G.66)
для проверки полноты, или унитарности, достаточно убедиться
в том, что при совпадающих источниках т](_, (х) и т](+) (х) вели-
величина G.60) становится равной единице. Но это как раз и состав-
составляет содержание тождества G.65), если его скомбинировать
с третьим соотношением G.62). Чтобы обобщить сказанное на
амплитуду {{и}_ | {«}_)Т1(-)'11<+>, нужно заменить G+ (х — х')
функцией G{n}+ (ж— х'). Для нее сохраняются все те же самые
соотношения, но основываются они на новых определениях:
&V {х - х) = 2 [A - пг) Ът (х) Ь (х1)* + Mv (*)* i|v {x')\ Y°,
G.67)
Как и в случае нулевого спина, в ходе общего доказательства
условия унитарности для порождения произвольных начальных
и конечных состояний используются источники т](±). Чтобы пол-
полностью исключить всякие указания на действующий затем источ-
источник г] (х), необходимы дополнительные соотношения
j
J (dx) (dx') х] (х) у0 UG+ (х - х') + G<+> (х - х')] щ + )(х') = О,
(dx) (dx') t) (x) y° [- iG. (x - x') + G<-> (x - *'I 4.-) №) = 0,
G.68)

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ ]/г, НЕЙТРИНО 161
которые действительно оказываются справедливыми при рассма-
рассматриваемых причинных связях.
При первоначальном рассмотрении частиц со спином 1/2 заря-
зарядовая характеристика, существование которой диктуется евкли-
евклидовым постулатом, никакой роли не играет. Но тогда возникает
вопрос, не может ли быть других частиц со спином 1/2, при описа-
описании которых зарядовая матрица появлялась бы сразу же в явном
виде. Мы здесь примем без доказательства, что при движении
частицы от испускающего к поглощающему источнику ее зарядо-
зарядовая характеристика остается неизменной. Тогда функция рас-
распространения может зависеть от зарядовой матрицы q, но матрица
зарядового сопряжения rq входить в нее не должна. Общий вид
такой функции распространения следующий:
г 1
+ (x — x') = у0 I mi + т2уь — ay* — dp,—
+{х-х'), G.69)
где отсутствуют лишь матрицы о^ч = —avll. Поскольку матрицы
у0 и y°Y5 антисимметричны, а матрицы у0^ симметричны, их
нельзя умножать на антисимметричную матрицу q, но она нужна
для того, чтобы обратить антисимметрию матриц y^^iy^. Приве-
Приведенное нами выражение следует согласовать со схемой одночастич-
ных функций, описываемой соотношениями G.63) и G.64), так
как она связана только с определенной комбинацией единичных
актов испускания и поглощения. Важное значение имеет свойство
положительности
J (dx) (dx') ф (х)* v°G<+> {x — x')(f (х) =
>0, G.70)
где <р (х) — произвольная комплексная числовая функция. При-
Применительно к G.69) оно эквивалентно требованию положительно-
положительности эрмитовой матрицы
Y° [mi + m2Y5 — аур — аЩуъур] > 0 G.71)
при любом значении импульса частицы р&, откуда, в частности,
следует вещественность констант mi, т^, а и X. В системе покоя
частицы с массой т > 0 это условие принимает вид
та -\- ma"kiqy5 -\- m^y° -\- /rc2Y°Y5 ^- 0- G.72)
Три матрицы iqy5, y°, Y°Y5 антикоммутируют друг с другом,
и квадрат каждой из них равен единице, откуда вытекают следую-
11-0670

162 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
щие числовые неравенства:
та + [(maiy + т\ + т\\Ч* > 0. G.73)
Сделав вывод о положительности константы а, мы сверх того
отметим, что проекционная матрица будет получаться в том слу-
случае, когда неравенства превращаются в равенства, в соответ-
соответствии с чем
т2а2 A - А2) = т\ + т\. G.74)
На всем открытом интервале А,2 < 1 константу а моншо норми-
нормировать условием
а2A - Л") = 1, G.75)
откуда следует, что
тп* + т\ = ?п2. G.76)
Эти соотношения можно представить в виде
а = ch0, а% = sh8; то, = т cos ф, тг — т sin ф.
Тогда нетрудно убедиться, что
X [v° (m — 7Д у^) А+(а; —z'jleVaOimeVa'PV». G.78)
В силу антисимметрии матрицы уъ и симметрии матрицы qy5 эти
матричные множители всегда можно включить в две функции
источника, которые входят в W. Таким образом, хотя в самом
начале у нас и появились матрицы q и уъ, после соответствующего
переопределения источника они исчезают, и мы вновь приходим
к функциям F.67) и F.68).
Осталось еще рассмотреть случай
А,2 = 1, тг = т2 = 0. G.79)
Если теперь положить
а = 4. G-80)
то мы получим
G.81)
Первый вариант записи говорит о том, что мы возвращаемся
к функции F.27), причем возражение, связанное с антисимме-
антисимметрией матрицы р2 = гу5, снимается здесь благодаря наличию

§ 7. ЕЩЕ РАЗ О ЧАСТИЦАХ СО СПИНОМ >/«, НЕЙТРИНО I 163
дополнительной антисимметричной матрицы q. Второй вариант
соответствует стандартному выражению для y°G+, так как сим-
симметричные матричные множители можно включить в источники.
Но эти множители представляют собой сингулярные проекцион-
проекционные матрицы, и поэтому к новым источникам предъявляется тре-
требование, чтобы выполнялось равенство
A - 1Цуь) т| (х) = 0. G.82)
Наличие такого требования свидетельствует о существовании
какой-то универсальной характеристики, относящейся ко всем
реальным механизмам, с которыми связаны процессы рождения
или уничтожения данной частицы. Вопрос о том, могут ли меха-
механизмы взаимодействия частиц, несущих спин 1/г, удовлетворять
указанному требованию, можно рассматривать здесь только для
одного особого класса таких частиц — нейтрино.
Экспериментально наблюдается лишь один тип взаимодействия
нейтрино, а именно процессы, в которых эти частицы рождаются
совместно с заряженным лептоном (электроном или мюоном).
Нейтрино, связанное с электроном, отличается от нейтрино,
связанного с мюоном. Массы нейтрино малы по сравнению с мас-
массами соответствующих им лоптонов, но неизвестно, равны ли они
нулю в том же смысле, что и массы фотона и гравитона, обратные
величины масс которых должны превышать чрезвычайно большие
макроскопические расстояния. Оба нейтрино обладают одним-
единственным значением спиральности, которое определяется
только электрическим зарядом соответствующего лептона и меняет
свой знак при изменении знака этого заряда. Естественной схемой,
в рамках которой описываются эти свойства, может служить
только что рассмотренная схема для частиц со спином x/z. (Эта
схема предложена по существу уже задолго до эксперименталь-
экспериментального обнаружения двух нейтрино, так что их существование было
предсказано теоретически.) Во избежание путаницы с электриче-
электрическим зарядом мы будем обозначать зарядовую характеристику
нейтрино через I и называть ее лептонным зарядом. Двум возмож-
возможным корням уравнения А,2 = 1 соответствуют два типа частиц,
которые различаются проекционным множителем
(l±«) G.83)
Если рассматривается нейтрино с импульсом р&, то второй из
матричных множителей, фигурирующих в формуле G.81), при-
принимает вид
= Ро =F ZlPlf^-, G-84)
где мы воспользовались тем, что благодаря наличию матрицы
G.83) величины гу5 и ±Z почти эквивалентны. Когда энергия
11*

164 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
нейтрино велика по сравнению с массой, которая не обязана ни
равняться нулю, ни быть одинаковой для двух сортов этих частиц,
будет выделяться одно-единственное значение спиральности:
f^-+*. G-85)
В силу закона сохранения лептонного заряда электрически заря-
заряженный лептон, соответствующий данному нейтрино, должен
нести лептонный заряд, противоположный лептонному заряду
нейтрино:
I + 4аряж. лепт = 0- G.86)
Примем теперь естественную гипотезу, что одна из функций
лептонного заряда состоит в том, чтобы различать два лептона
с обычным электрическим зарядом q:
4аряж. лепт = +?• G.87)
Из этой гипотезы вытекает (экспериментально установленная)
эквивалентность между спиральностью нейтрино и электрическим
зарядом соответствующего ему лептона:
ТРТ-*-*- G-88>
Для полноты найдем функции источников определенных ней-
нейтринных состояний при упрощающем предположении, что масса
нейтрино равна нулю. Воспользуемся диадным представлением
т({+ау>)Н*"-1ж)= 2 «>*'«?''. G-89)
где
u*ltUpl. = 8l4. G.90)
и
Ир1 = ир.-1. G.91)
Эти собственные векторы удовлетворяют также уравнениям
" <792>
Источники нейтрино первого типа имеют вид
т\р1 = BР°(к>р)У>14п](р), v?l = Bp<>da>1>I/>r](p)*uJ,l, G.93)
а источники второго типа получаются из них путем отражения:
G.94)

§ 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ | 165
где гг — вещественная симметричная матрица обращения знака
лептонного заряда. При подстановке
г] (Р) -> УьП (-Р), G-95)
соответствующей ГСР-преобразованию, источники G.93), описы-
описывающие испускание нейтрино и поглощение антинейтрино, пере-
переходят друг в друга:
В случае нейтрино другого типа появляется дополнительный знак
минус.
Остановимся, наконец, кратко на евклидовом представлении
вакуумной амплитуды, которая отвечает функции распростране-
распространения G.81) (с заменой Kq на ±Z). Оно имеет вид
]Е G.97)
где матрица
а5 = с^агазси G.98)
дополняет совокупность вещественных симметричных антикомму-
тирующих матриц с квадратами, равными единице. В отличие
от того, что мы имели в пространстве Минковского, матрица Za5
антисимметрична и антикоммутирует с матрицами ац. Появление
здесь мнимой матрицы I означает, что взятые по отдельности
евклидовы выражения не будут вещественными. Но если массы
двух нейтрино одинаковы (равны нулю?), то при комплексном
сопряжении евклидовы функции распространения переходят одна
в другую. Тогда можно считать, что два нейтринных источника
являются проекциями одного общего источника и полная евклидо-
евклидова вакуумная амплитуда будет вещественной, причем в G.97)
множитель г/2 A ± Za5) входить не будет.
§ 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ
В случае частиц со спином 3/2 можно описание единичного спина
с помощью четырехмерных векторов скомбинировать с описанием
спина */2 посредством четырехкомпонентных спиноров. Возникаю-
Возникающий при этом спин-векторный источник г\? (х) имеет 16 компо-
компонент, не считая дополнительных компонент, связанных с зарядом.
Выделение интересующей нас подсистемы из этой более широкой
системы частично осуществляется проекционными матрицами,
которые соответствуют ее составным элементам: gJlv (p) для
спина 1 и т — ур для спина */2. Если связь источников, отве-

166 ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
чающую одночастичному обмену, рассматривать в системе покоя
частицы, то в результате этой процедуры мы получим эффектив-
эффективный источник */2 A + Y0) Ль» который имеет шесть компонент.
Окончательное выделение четырех компонент, свойственных спи-
спину 3/г, осуществляется проекционной матрицей G.1) при 1 — 1,
j = 3/2. Через трехкомпонентные векторы и двухкомпонентные
спиноры она записывается как
аа (8.1)
То, что эта матрица является проекционным оператором, экви-
эквивалентно равенствам
он (M,lt)hl = (MVi)hl ог = 0, (8.2)
а правильность выбранного конкретного выражения для нее
подтверждается вычислением следа по индексам шестимерного
пространства. Получающаяся в результате связь источников
в системе покоя имеет вид
где величины
4t = i]ii-|(Ji1(ijiii (8.4)
удовлетворяют соотношению
Ofttih-O, (8.5)
откуда сразу видно, что спин xlz из составной системы исключен.
Переход к произвольной системе отсчета облегчается, если
написать
(8.6)
так что прямым обобщением выражения (8.3) (с точностью до
множителя 2т) будет выражение
] v (p)- (8-7)
Второе слагаемое несколько упростится, если учесть следующую
цепочку равенств:
(т — ур) g»K (p) yKiybgvK (p) уЧу5 =
= in« (P) Y^iYs (т — УР) gvx(p) yxiyb =
= - i"nx (Р) У* (т + ур) ivX (Р) ух =

§ 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ | 167
Первое преобразование представляет собой другую форму записи
коммутативности 1 + y° с ak, второе основано на свойствах iy5,
а в третьем мы воспользовались наличием множителя т -J- ур
и подставили т вместо ур. Возможна и другая форма записи,
при которой Yn + A/иг) Рц заменяется на — (i/m) а^%р%. Полу-
Получающееся в результате выражение для вакуумной амплитуды
<0+|0_>л = exp UW(x\)], (8.9)
записанное для краткости в четырехмерном импульсном про-
пространстве, будет задаваться равенством
X [(т-ур) (fov-^г-) +| (Yi. + ?) <» + W) X
Ядро этой квадратичной формы антисимметрично по отношению
к транспозиции матричных и векторных индексов, дополненной
подстановкой р* -*¦ —р*, откуда вытекает соответствующее тре-
требование антикоммутативности источников Ферми —¦ Дирака.
Чтобы записать в явном виде источники испускания и погло-
поглощения частиц, в частности те из них, которые отвечают четырем
спиральным состояниям с заданным импульсом, рассмотрим при-
причинно-упорядоченную пару источников и исследуем член в iW,
описывающий их связь:
irft (р)* y° [(т-ур) 2
21 ееЬ^У(тур) 2 iY&e] Щ() (8-11)
где мы снова вернулись к форме записи (8.7) и воспользовались
представлением тензора g^^ (p) в виде диады. Вводя диадное
спинорное представление и для величины (т — ур)/2т, получаем
выражение
2 «"*°Р?! — у
(8.12)
*=-з/а
позволяющее идентифицировать четыре собственных вектора WpX.
(X = 3/2, . . ., — 3/2). Чтобы написать их в явном виде, восполь-

168 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
зуемся равенством
= (ст 2к) A W + У*^) "р. в-я
которое следует понимать в том смысле, что значения спинорного
индекса ограничены условием о = ±1. Эту формулу легко про-
проверить, переходя к системе покоя, где ее левая часть переходит
в e*'Ova. Если
* = е*р [ - у °*Y5 fpf j ЬуЛ • а ехр [ - { Bty, ffi], (8.14)
то, согласно F.86), она будет справедлива и в произвольной
системе отсчета. Но нетрудно убедиться, что это соотношение
фактически совпадает с E.53), если в последнем заменить матри-
матрицы а алгебраически эквивалентным им набором матриц iy6a.
Собственные векторы с определенными значениями спираль-
ности имеют вид
ир, 3/2 — ep,+t uv+i
и представляют собой обычные комбинации состояний с угло-
угловыми моментами 1 и 1/2- Они удовлетворяют условиям ортонор-
мированности
вц" (8.16)
В результате мы приходим к следующему определению источ-
источников:
x, (8.17)
причем эти величины можно снабдить и зарядовым индексом. Учи-
Учитывая поведение составных элементов при операции комплексного
сопряжения, получаем соотношение
ul%x = {-lf*+xiybuvpX. (8.18)
Поэтому подстановка
Лц (Р) -* Ystf (-P), (8.19)
соответствующая ТСР-преобразованию, будет приводить к замене
'ЛЧ 3/S (8.20)

§ 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ 169
в эти соотношения можно обычным способом ввести и зарядовый
индекс.
Анализ безмассовых частиц со спином 3/2 в основных своих
чертах следует схеме, развитой для случая единичного спина.
Если написать
д№г\» (х) = ту] (х), (8.21)
то окажется, что в пределе при т -*- О значения спиральности
±3/г не будут связаны с ее значениями ±Х12, которые соответ-
соответствуют источнику частиц со спином */г, имеющему вид т] (х) —
— (г/2) у vt)v (х). Безмассовые частицы со спиральностями ±3/г
описываются функцией
j^^) ^ix'), (8.22)
где
(х) = 0. (8.23)
В случае причинно-упорядоченной пары источников в iW войдет
следующее выражение, описывающее их связь:
1гЩ{р). (8.24)
Тензор g^ можно всюду заменить двумя слагаемыми диады,
соответствующими значениям спиральности ± 1:
g»v-+ 2 *,Vrt. (8-25)
так как
=0. (8.26)
Воспользуемся также соотношением
j^ ^ u^uto., (8.27)
где
(Ш~~а') ^' = (^5 + а')^а' = 0, (8.28)
и алгебраическими свойствами
(^f) (8-29)

170 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
В результате (8.24) заменится выражением
j Ав^тЦ? (р)* 2р» [ ^ ерЪРг» Т С1 + **) «rttvuft»] Щ (Р), (8.30)
в котором множитель 1/2A + ^°:) выделяет только состояния
со значениями спиральности ± 3/2. Две функции одночастичных
состояний имеют вид
и1 =eP,±i wp±> (8.31)
а соответствующие им источники определяются равенствами
(8.32)
Как и при анализе нейтрино со спином г/2, можно провести допол-
дополнительное разложение, в результате которого спиральность будет
однозначным образом связана с зарядом.
Прежде чем обобщать этот подход на любые частицы со спином
s = п -\- г/г (п = 1, 2, . . .), вернемся к выражению для спиновой
проекции в системе покоя
*G4 (8-33)
и заметим, что
rift = -g °p Пйр,гдадт1;, (8.34)
где величина
-j Sftp6,9 (8.35)
представляет собой проекционный тензор, определяемый в общем
случае равенством E.79), который вычислен в системе покоя
и соответствует значению п = 2. Свойства этого тензора тако-
таковы, что
о 9
0V4h = 5" ffftffpnfcp.'g°Vnj = -j Hbh.iqOqni = 0. (8.36)
Этот анализ, проводимый в системе покоя, обобщается путем
введения симметричных спин-тензорных источников
a1Ifchг i(V4' • •'«• (8.37)
,.. .kn =
Хотя и так очевидно, что следы т^...^ равны нулю, это свойство
можно рассматривать как следствие соотношения
<V%...*n = 0, (8.38)

§ 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ 171
ибо
О = ahiohii\nlhika.. .*„ = rift's.. ,ha- (8.39)
Поскольку здесь мы имеем дело с двухкомпонентными спинорами,
легко видеть, что число независимых компонент равно
т. е. оно соответствует значению спина s = n -f- г1г- Численный
множитель, входящий в (8.37), можно получить исходя из того,
что при замене т];,...г„ на щ^.Лп это определение должно превра-
превращаться в тождество. В таком случае проекционный тензор сводит-
сводится к симметризованной единичной матрице, соответствующей
п -f- 1 индексам. Все компоненты этого тензора можно разбить
на два класса — компоненты, для которых р = дя число которых
равно п], и остальные компоненты с р ~ I,-, q = к-,, число которых
равно п (п\). Первые из них умножаются на (орJ = 3, а вторые
на 2, так как
Opdg = 2б,р — GqOp (8.41)
и сгг^т]г1...гп = 0. Следовательно,
(8-42)
в полном соответствии с (8.37). В то же время нетрудно убедиться,
что след проекционной матрицы, действующей в пространстве п
трехкомпонентных векторов и двухкомпонентных спиноров, равен,
как это и должно быть, 2 (п -f- V2) + 1:
IJr , (8.43)
так как след проекционной матрицы, соответствующей п -\- i
трехмерным векторным индексам, равен 2 (п -f- I) -f- I-
Частицу со спином s = n -f- х/г можно описывать симметричным
спин-тензорным источником T|^1-|in (ж). Функция W следующим
образом выражается через переменные четырехмерного импульс-
импульсного пространства:
»(Й. (8-44)

172 I глава 2. источники
Но это выражение нельзя принимать так, как оно есть: прежде
чем осуществлять пространственно-временную экстраполяцию,
воплощенную в четырехмерной форме записи, необходимо про-
провести алгебраические упрощения. В исходную комбинацию, опи-
описывающую причинную связь, входит проекционная матрица
(т -f- yp)!2m, которая выделяет состояния с ур = т, позволяя
тем самым исключить два импульса, фигурирующих в выражении
у*рк (т 4- УР) РьУх- Таким образом, степень матричного поли-
полинома по р, входящего в (8.44), равна In -f- I = 2s. Эту ситуацию
иллюстрирует функция (8.10), которая отвечает случаю п = 1,
s = 3/2.
Взяв для описания причинно-упорядоченной пары источников
прямое обобщение функции (8.44) и вводя диадные представления
для спинорной и тензорной проекционных матриц, мы придем
к спин-тензорной диаде
(8.45)
где в соответствии со свойствами этой конструкции
* ett- (8.46)
Нетрудно выделить член с максимальным значением спираль-
ности X — s:
который входит в правую часть равенства (8.45) с коэффициентом
Другие спиральные функции очень легко получить из выписан-
выписанной функции путем вращения, используя для этого алгебраи-
алгебраическую конструкцию
s п
где функции г^ (%) определяются формулой E.87), в которой
п нужно заменить на s. В частности, таким способом сразу же
воспроизводятся результаты (8.15) для случая s = 3/2. Источники
спиральных состояний этих частиц, подчиняющихся статистике
Ферми — Дирака, имеют вид
vl-"viUi0n. (п)
¦¦¦ */"' (8.50)

J 8. ЧАСТИЦЫ С ПОЛУЦЕЛЫМ СПИНОМ I 173
В заключение этого параграфа рассмотрим безмассовые части-
частицы со значениями спиральности ± (п -\- 1/2) (хотя такие частицы
неизвестны). Представляется довольно очевидным, что необходи-
необходимое требование к спин-тензорному источнику
S|lItii'i---M(a;) = 0 (8.51)
должно сопровождаться появлением соответствующего проек-
проекционного тензора, определяемого равенством E.104), и действи-
действительно, общее выражение записывается в виде
W = ~ J {dx) (dx')if«-• ••"• (х) Y°Ya ( -Yx у Зя) D+(x-x')x
x4-nMl...iiB«.v,...v»»Y|VnVl—Vn(^')- (8.52)
В случае п = 1, когда
1 1
Пца-vP = у (?nv?ctP + ^nflgvct) — у ?nagv|5> (8.53)
как нетрудно убедиться, таким способом воспроизводится функ-
функция (8.22), хотя не следует забывать и о существовании эквива-
эквивалентного выражения
(8.54)
Из (8.52) следует, что член в iW, описывающий связь причинно-
упорядоченной пары источников, имеет вид
(8.55)
где мы ввели новый проекционный тензор, определяемый равен-
равенством E.106), что вполне оправданно, так как имеют место соот-
соотношения
pvit|v....vn (р) = о, (Yp)« = 0. (8.56)
Используя диадное представление E.117) совместно с конструк-
конструкцией E.121), мы приведем матрицу, входящую в (8.55), к виду
у 2 е&п ¦ ^7a^±iY°VPYP^±ie^ -Ч (8.57)
±
(тензорные индексы здесь для ясности подняты), где, как это сле-
следует из (8.29) и (8.27),
4" V<,±iY°YPYpejr±1 = - Т ?««?. ±iTp^*±1Y° (- УР) =
(l + o')upa.u$a>. (8.58)

174 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Множитель V2 (I ± о') переплетает спиральность, отвечающую
спину г/2, с другими ее значениями, и в результате мы приходим
к следующему обобщению конструкции (8.31) на случай s =
= п + */2:
ul±s = e7,±nnur>±, (8.59)
с соответствующими ему определениями источников
Х ±s. ^ = B^*BpI/l"px""VSiTv....vn(P). {860)
§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ
Те методы, которым мы следовали при описании частиц с различ-
различными спинами, основаны на элементарных свойствах углового
момента. Спин s = п (п = 2, 3, . . .) можно построить из п еди-
единичных спинов, а чтобы получить последовательность s = n -\- 1/2
(га = 1, 2, . . .), достаточно добавить один-единственный спин г/2.
Но все эти спины можно построить и комбинируя достаточное
число раз (четное для целого спина, нечетное для полуцелого)
фундаментальную систему со спином 1/2. В соответствии с этим
мы заменим тензор (мультивектор), описывающий результат сло-
сложения единичных спинов, а также связанный с ним спин-тензор
универсальным мультиспинором, который соответствует компо-
композиции некоторого числа составляющих со спинами 1/2. Мульти-
спинорный источник мы обозначим через «Sg,,,,^ (ж), но индексы
у него часто будем опускать. Все элементарные спины совершенно
равноправны, и поэтому к мультиспинору можно предъявить
дополнительные требования симметрии, наиболее важным из
которых является условие полной симметрии:
где at . . . а„ — произвольная перестановка чисел 1 . . . п.
Мультиспинор описывает более широкую систему, чем нам
необходимо, и поэтому нужно ввести проекционные матрицы даже
в простейшем случае п = 1, s = xlz- В самом деле, достаточно
подействовать такой проекционной матрицей, отвечающей спи-
спину г/2, на каждый спинорный индекс, и в результате мы выделим
необходимую физическую систему со спином s:
s = 1 п. (9.2)
В системе покоя частицы с конечной массой проекционной матри-
матрицей будет
П у A + VV (9-3)

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ II ТИПОВ СТАТИСТИКИ I 175
где а — спинорный индекс, на который действует соответствую-
соответствующая матрица. Это действие состоит в том, что область изменения
каждого спинорного индекса сводится к двум числам. Симметрич-
Симметричная функция п индексов, каждый из которых принимает два зна-
значения, имеет число независимых компонент, равное
п + 1 = 25 + 1, (9.4)
как это и предполагалось. Таким способом получаются следующие
значения спинов:
п = 1, 2, 3, . . ., или s = V2, 1, 3/2, . . ., (9.5)
и здесь отсутствует лишь значение s — 0. Чтобы получить его,
достаточно положить п = 2 и взять антисимметричный спинор
Яьь (*) = -8ьь (*)• (9-6>
Антисимметричная функция двух индексов, каждый из которых
принимает фактически два значения, имеет только одну независи-
независимую компоненту.
Все сказанное находит свое выражение в вакуумной амплитуде
<0+|0_>s =exp[»W(S)], (9.7)
где в переменных четырехмерного импульсного пространства
w
а=1
Ядро этой квадратичной формы обладает определенной симме-
симметрией относительно транспозиции матриц, рассматриваемой совме-
совместно с подстановкой р^ —v —р^:
[\ [у°(т+ур)]та = (-1)п П ly°(m-yp)]a. (9.9)
а=1 а=1
Следовательно, если алгебраические свойства источника отражают
свойства симметрии ядра, то мы должны иметь
п четное, s целое: IS (x), S (х1)] = 0, статистика Бозе —
Эйнштейна
(9.10)
п нечетное, s полуцелое: {S (x), S (х')} = 0, статистика Ферми-
Дирака.
Это — общее утверждение относительно связи спина со статисти-
статистикой. Но доказательство можно будет считать законченным лишь
после того, как мы покажем, что любая попытка обращения ука-
указанных естественных связей приводит к нарушению условия
полноты многочастичных состояний.

176 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Рассмотрим причинно-упорядоченную пару источников
S (х) = Si (х) + S2 (x), (9.11)
для которой
<0+| 0_)s = <0+|0.)Slexp [ J dwpiS1 (p)* Д №{т-УР))М(р)] X
a
X<0+|0_>Sa. (9.12)
Используя для каждого спинорного индекса равенство F.93),
мы получаем матрицу
П 1^{т-ур)]а = {2т)п П
i i
П ^{ур) {) П S
a=i a=i a
которую, вообще говоря, следует спроектировать на пространство
симметричных спиноров. Рассматривая для определенности спи-
спиральные спиновые функции, мы увидим, что максимальное зна-
значение спиральности, входящее в (9.13), а именно % = 1/2 п, описы-
описывается функцией
«ps= П («Р+)а, (9-14)
а=1
а весь набор в целом порождается конструкцией
a)«. (9.15)
В частном случав антисимметричного спинора с п = 2 единствен-
единственным собственным вектором будет
Условие ортонормированности спиральных функций, записывае-
записываемое в виде
jnKr = Su', (9-17)
представляется с помощью (9.15) в форме
2№Щ
XV а. К=-з
Если ввести обозначения
SpX = (Bm)n d«pI/2 г/^ Щ У°а] S (р),

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 177
то равенство (9.12) примет вид
<0+10_}s = <0+10_}Sl exp [2 iSUiS2px] @+10.)82 =
(9.20)
где мы воспользовались коммутативностью четных функций
источников для любого типа статистики. Причинное разложение
@+10_)s = 2 @+1 W)Si (W i O-f2 (9-21)
приводит к следующим выражениям:
SCr _. [llJ -пУ )
порядок сомножителей в одном из этих произведений обратен
порядку в другом. Два типа статистики различаются только пред-
предполагаемыми для них алгебраическими свойствами источников:
статистика Бозе — Эйнштейна: [Spl, Sp>x>] = 0,
статистика Ферми — Дирака: {Spl, SP'k'}=0. (9.23)
В частности, алгебраическое свойство
статистика Ферыи — Дирака: Sp}_ = 0 (9.24)
приводит к характерному для статистики Ферми — Дирака огра-
ограничению nvX =0, 1.
Два условия полноты
2<0-"|>}>S<WI0->S=l. S@+l{«}>s(M|0+)s=l (9.25)
{п) {п}
теперь переходят в равенства
12-0670

178 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Если вещественный источник S (х) удовлетворяет соотношению
(S (х) S (*'))¦ = S (xr) S (х), (9.28)
то равенства (9.26) и (9.27) тождественны друг другу. В таком
случае остается единственное условие полноты, которое записы-
записывается в виде
ко 10 г41-
|@+10-н ^Щ^^ЯПт^Н
sri^f^[24 (9.29)
{п} рА Pi
Для непосредственного вычисления величины |{0+|0_)s|3
вернемся к (9.8) и заметим, что комплексное сопряжение перево-
переводит S (р) в S (—р) и наоборот, обращая при этом порядок следо-
следования сомножителей. Поэтому, учитывая также эрмитовость
каждой матрицы у0 (т — ур), получаем
\S(-p) ft ly°(m-yp)]aS(p)]*^S(-p) П [y°(rn-yp)\aS(P).
a—l a=l
(9.30)
Это свойство вещественности дает
X П 17° ("I - ур)]а S (р) Im p2 + ^_.ej , (9.31)
а
где соотношение
p2-]-m2=0, pl)>0
Р2+1П2=О, pO<0'
(9.32)
которое следует понимать в смысле утверждения относительно
соответствующих интегралов, свидетельствует о наличии ограни-
ограничивающего условия р° = + (р2 + тпгI/2- При подстановке р^ -*¦
-v —р^, при которой подынтегральное выражение в (9.31) не
меняется, эти два слагаемых переходят одно в другое. Поэтому,
обозначив через р* физический импульс, для которого р° i> 0,
мы получим (все эти выкладки проделываются в импульсном
пространстве — они полностью эквивалентны неоднократно про-
проводившимся вычислениям с использованием пространственно-вре-

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 179
менных переменных):
| <0+10_>s |2 = ехр [ - J da>pS (р)* Д [V0 (т ~ УР)]* & (р)] ¦=
а
] (9-33)
что согласуется с условием полноты.
Выясним теперь, каким образом изменится этот результат,
если изменить естественную связь спина со статистикой тем, что
ввести в (9.8) антисимметричную матрицу
/О -i\
*= (, 0) , (9-34)
действующую на независимый индекс и потому не нарушающую
полученной ранее классификации по спину. Многочастичные
состояния определяются из рассмотрения причинно-упорядочен-
причинно-упорядоченной пары источников точно так же, как и раньше; единственное
отличие состоит в том, что спиральные векторы ир^ теперь следует
заменить на ир^ч, где q —- ±1. Чтобы получить окончательные
выражения, достаточно в (9.22) произвести подстановку
Spx-t-eWW-uSpb,, Sk^WW-uShg, (9.35)
где произведение дополнительных постоянных фазовых множите-
множителей равно q. Однако в процессе непосредственной проверки усло-
условия полноты эти постоянные фазовые множители, а также множи-
множители i пропадают, и в результате мы приходим в точности к соот-
соотношению (9.29) с дополнительным индексом q:
| <0+10_)s Г = ехр Г 2 S'uSvXq\ ¦ (9.36)
Если же обратиться к самой вакуумной амплитуде, то мы увидим,
что свойство вещественности (9.30) сохранится и при наличии
матрицы q, причем эта матрица останется в (9.33), и мы получим
| <0+ | 0_)s |2 = ехр [-SS^qSpb,]. (9.37)
Это соотношение находится в явном противоречии с (9.36), чем
и завершается общее доказательство теоремы о связи спина со
статистикой.
При каждом значении спина ГСТ-преобразование определяет-
определяется как подстановка
[U](~p), (9.38)
12»

180 | ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
дополненная обращением порядка перемножения всех источников.
Действие этой подстановки на W сводится к тому, что каждая
матрица у° дает при ^-преобразовании знак минус, в результате
чего функция W умножается на (—1)п. Обращение порядка
сомножителей в зависимости от типа статистики либо не изме-
изменяет W, либо приводит к появлению дополнительного знака минус.
Благодаря связи спина со статистикой функция W (а следова-
следовательно, и вакуумная амплитуда) инвариантна относительно пол-
полного ГСР-преобразования.
Чтобы выяснить, каким образом изменяются при ГСР-преобра-
зовании отдельные излучающие и поглощающие источники, заме-
заметим прежде всего, что обобщением правила комплексного сопря-
сопряжения F.92), отвечающего спину Х12, является вытекающее из
мультипликативной структуры ирХ соотношение
«P.-x = e*«^nYe«Jupx. (9.39)
В таком случае мы будем иметь
Яр*-><?-***$?, _х, S^->e*^Sp,_b (9.40)
куда известным нам способом можно добавить и зарядовый индекс.
Соответствующее преобразование для многочастичных состояний
имеет^вид
n'}\0J)S, (9.41)
где
п^Яр.-х/ (9-42)
Мы проанализировали некоторые проблемы, касающиеся еди-
единого описания частиц, при котором конкретная природа рассма-
рассматриваемой системы неявным образом определяется заданием зна-
значения п, т. е. числа индексов у мультиспинора. Но если рассма-
рассматривать мультиспинорные источники с точки зрения евклидова
постулата, то станет ясным, что между двумя типами статистики,
или между частицами с целым и полуцелым спином, имеется
фундаментальное различие. При евклидовом преобразовании
р-1$ (р) -v S (р)Е, (9.43)
где р — некоторая матрица, которую следует еще определить,
ядро квадратичной формы (9.8) заменяется на
Рт Г П У*] Р Й
1 а=1 J а=1

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 181
Матрицы у0, отражающие индефинитность метрики Минковского,
следует исключить из преобразования, осуществляющего переход
к евклидову представлению. В случае четного п этого можно
добиться, выбрав симметричную матрицу
для которой
Рг[П*Й]р = 1. (9-46)
тогда как все матрицы
г п
Р УкаР— 11 гр гУЛа» Р У4аР — 1Уа {"•^¦')
Lp=l J
вещественные и антисимметричные и удовлетворяют соотношению
y{Vn.Yv}=-e>«, (9.48)
где преобразованные матрицы мы по-прежнему обозначаем через уц.
Комбинируя эти свойства с преобразованием интегралов по им-
импульсам
dp
l J "B50*""*" J
мы придем к соответствию
s — целое:
а=1
X -
Преобразование (9.46) оказалось возможным потому, что
левая часть этого равенства представляет собой симметричную
матрицу. При нечетном п эта матрица будет антисимметричной.
Поскольку последняя должна приводить к евклидовой метрике,
она обязана быть инвариантной относительно евклидовых пре-
преобразований, совпадая поэтому по сути дела с зарядовой матри-
матрицей q. Таким образом, евклидов постулат требует, чтобы каждая
частица с полуцелым спином обладала некоторой зарядово-подоб-
ной характеристикой. Если использовать (9.45) в том же виде
и при нечетном п, то мы получим ртр = i, так что исключить
матрицы у0 в этом случае не удалось бы. Если п нечетно, то матри-

182 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
цу р можно определить следующим образом:
и теперь
[ГЫ = ?. (9-52)
Преобразованные матрицы у^:
Г п 
P^TfeaP = g П Vp MYfea, pY4aP = iYa (9.53)
— это по-прежнему вещественные антисимметричные матрицы,
которые удовлетворяют алгебраическим соотношениям (9.48).
Таким образом, при нечетном п вакуумная амплитуда в евклидо-
евклидовом представлении имеет вид
s— полуцелое:
. (9-54)
Например, при п — 1 матрицы у^, получаемые путем преобразо-
преобразования (9.53), связаны с вещественными симметричными матрица-
матрицами а^, которые определяются равенством F.129), соотношением
<V = — '97 и- (9-55)
Преобразование пространственного отражения определяется
в общем случае как
S (х) = rsS (х), х° = х\ xk = -xh, (9.56)
где
rs = (±) П (iy°a). (9.57)
a=l
Эта вещественная матрица обладает, в частности, свойствами
rf = (-l)nrs, r| = ( —I)", (9.58)
которыми различаются целый и полуцелый спины; кроме того,
для любого спина справедливо равенство
rjr3 = 1. (9.59)

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 183
Единый выбор матриц, при котором в системе покоя у0' = +1,
приводит к определенным значениям четности, равным (±) in
и вещественным в случае целого спина. Два варианта, возможные
при п — 2 (симметричный и антисимметричный спиноры), соот-
соответствуют значениям спина и четности, равным 0~ и 1~ или 0+ и 1+
в зависимости от того, какой знак выбран в формуле (9.57). Во всех
остальных случаях, где всегда используются симметричные спи-
спиноры, частицы целого спина распадаются на два класса, соответ-
соответствующие значениям четности (±) (—l)s.
Для безмассовых частиц никакой системы покоя не существует.
В этом случае ядро квадратичной формы (9.12), описывающей при-
причинно-упорядоченную пару источников, принимает вид
п <-№>.=<2р»>" п Ж1-^)!- (9-60)
а=1 а—1
Теперь состояния частицы задаются собственными значениями
отдельных спиральных матриц о-р/|р | и связанных с ними
матриц у5. Чтобы получить систематическую классификацию
почти всех спиральностей, используя симметричные спинорные
источники, достаточно определить собственное значение каждой
матрицы iy5, а тем самым и каждой отдельной спиральной матрицы.
Для этого введем симметричную вещественную проекционную
матрицу
nv5 = 4" ^ + ^aii?52) • • • ~2 (! + iTs.n-iiVsn)- (9-61)
Тогда мы будем иметь
^)]Пт.= 2 «рЛ (9-62)
а=1
где
K%uvv = su'- (9.63)
В том, что у нас действительно остается только два спиральных
состояния, можно убедиться, вычислив след левой части (9.62);
при этом можно пользоваться полным 4п-мерным пространством
мультиспиноров, и в результате мы будем иметь
4n-i —=2
2П 2п~1
Среди всех спиральностей, получаемых таким способом (К =
= ±г1г, ±1, ±3/г, • • ¦), отсутствует только значение к = 0.

184 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
Чтобы получить его, можно положить п = 2, заменить проек-
проекционный множитель у5 на 1/2 A — t'Vsi'Ysz) и использовать анти-
антисимметричный спинор. Излучающие и поглощающие источники
определяются следующим образом:
Хотя все сказанное справедливо не только при четных, но
и при нечетных п, во втором случае, когда X полуцелое, обяза-
обязательно должна существовать характеристика типа заряда,
а потому необходимо продолжить классификацию и установить
связь спиральности со значением заряда. Для этого заменим
матрицу (9.61) симметричной вещественной проекционной матрицей
<х=1
где возможен выбор того или иного знака, общего для всех мно-
множителей. При заданном значении q след полной проекционной
матрицы теперь будет равен
* 2" 2n ~
Существуют только два состояния, различающихся индексом
q = ±1, причем их спиральность равна:
*.= №)?-g-i», (9.66)
где знак выбирается соответственно знаку, выбранному в форму-
формуле (9.65). В том и другом случае
в= 2
а=1 9'=±1
Все сказанное нами здесь носит менее общий характер, нежели
рассуждения, проведенные ранее в случае нейтрино при п = 1,
так как здесь мы предполагали, что масса равна нулю, а там
этого не требовалось.
В заключение параграфа мы исследуем связь между мульти-
спинорным и тензорным подходами к описанию частиц с целым
спином, ограничиваясь простейшим случаем спинора второго ранга
«Sj^j. Последний удобнее рассматривать как матрицу, в соответ-

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 185
ствии с чем мы перепишем функцию W в виде
= Т J
X
JL,e = 4 J w5^ (~p) lt" (w~«Йы&м (p) x
-W-YP) x
Антисимметричную и симметричную матрицы всегда можно пред-
представить в виде
2Sa (р) = ад (р) + JV5/S2 (р) + YsYV^ (Р),' ,Q „.
< (У./U)
2SS (р) = у V^ (Р) +1 а"*/^ (Р) -
причем каждая из входящих в эти выражения отдельных матриц
вещественна. Отметим следующее полезное алгебраическое преоб-
преобразование:
- p)T y°S (p) Y0} +
т Sp {5 (- р)г то [Тр, 5 (р) То]} +
4 °]>, (9.71)
где для двух противоположных типов симметрии
[ТР. $а (Р) Y°] =
ITP. 5.(P)T°I= ^
(9.72)
Весь расчет сводится к вычислению следов матриц, получаемых
при перемножении линейных комбинаций матриц Дирака. Эти
16 матриц ортогональны, если произведение понимается в смысле
взятия следа. В зависимости от того, эрмитовы или антиэрмитовы
соответствующие матрицы, их нормы имеют разные знаки, которые
определяются пространственно-временной метрикой. Таким обра-
образом, матрицы Yd обладают следующими алгебраическими свой-
свойствами:
4" SP YnYv = 4- SP YnYaYvYs = — #nv> (9-73)
тогда как
(9.74)

186 I ГЛАВА 2. ИСТОЧНИКИ
В результате мы получаем
Sp [(т + ур) Sa (-p) у0 (т - ур) Sa (p) у°\ =
= - (р2 + ш») [5, (-р) St (p) + S2 (-p) S2 (р) +
+ S» (-р) 5Д (рI + А" (-р) А (р), (9-75)
где
К (х) = f2[mS2 (х) + 3„№ (ж)], (9.76)
а также
Sp [(-т. - ур) Ss (-р) у0 (т - ур) S (р)] =
= - (р2 + т2) [№ (-р) 5Д (р) + 1 ^ (_р) 5jiv (p)] +
+ /№ (-Р) /ц (Р) + ^ Рц^ (-Р) Pv/V (P), (9.77)
причем в этом равенстве
/v (ж) = /2 (mSv (x) + 3„5^ (а;)). (9.78)
Величины К и / и являются искомыми источниками частиц
со спином 0 и 1. Но кроме них имеются и дополнительные члены,
из-за которых вакуумная амплитуда приобретает множитель
типа
ехр [- i \ (dx) S (x) S (х)}, (9.79)
где через S обозначены Si7 52, ?„., 5ц?- ^то — эквивалентный
способ описания. Действительно, дополнительный фазовый мно-
множитель не изменяет вероятности вакуумного перехода и не дает
вклада в выражение, описывающее причинно-упорядоченную пару
источников. Кроме того, его наличие не сказывается и на доступ-
доступных наблюдению эффектах, связанных с энергией, соответствую-
соответствующей квазистатическому распределению источников, поскольку
все они представляют собой эффекты относительного смещения
двух разделенных в пространстве-времени частей системы. Физи-
Физические эффекты, обусловленные наличием таких членов (пере-
(перекрытием источников), могут появиться лишь при дальнейшем
развитии и конкретизации общей теории источников.
При т = 0 следует выделить частицы с единичной спирально-
стью, вводя для этого проекционную матрицу IIV5. В матричных
обозначениях ее действие на спинор второго ранга сводится к пре-
преобразованию
nVs S (p) -v i [S (р) - iyb Sip) iy6]. (9.80)

§ 9. ЕДИНОЕ ОПИСАНИЕ ВСЕХ СПИНОВ И ТИПОВ СТАТИСТИКИ | 187
Первое слагаемое в симметричном спиноре (9.70) коммутирует,
а второе антикоммутирует с матрицей уь. Проекционная матрица
оставляет только последнее из них, а член с 5^ (р) в результате
ее действия обращается в нуль. Тогда дивергенция векторного
источника /v (x), как это следует из (9.78), становится тожде-
тождественно равной нулю, и мы вновь приходим к описанию фотона.
Просто положить в формуле (9.78) т ->- 0 было бы недостаточно,
поскольку необходимо также условие A/m) dvP -*- 0. Как мы
уже отмечали, антисимметричный спинор следует также снаб-
снабдить проекционным множителем из матриц у5, который будет
отличаться от (9.80) соотношением знаков двух слагаемых.
В результате в Sa останутся только члены, коммутирующие с уь,
а таковым в (9.70) будет единственное слагаемое, отвечающее
вкладу аксиального вектора. Но теперь достаточно положить
т = 0 в эффективном источнике (9.76). Таким образом, источник
безмассовых частиц со спином 0 принимает вид дивергенции
некоторого вектора, что является, по-видимому, специфической
особенностью спиноров второго ранга.

Глава 3 ПОЛЯ
1 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О
Источники вводятся для того, чтобы можно было идеализированно
описывать процессы порождения и детектирования частиц. Но все
это необходимо не само по себе, а для изучения свойств частиц
в интервале между теми областями, в которых протекают началь-
начальный акт порождения и конечный акт детектирования частицы.
Поэтому нужно иметь какую-то удобную характеристику интен-
интенсивности возбуждения, создаваемого в области, удаленной от его
источников. Естественный способ получить такого рода характе-
характеристику — исследовать воздействие, которое испытывает зонди-
зондирующий (или пробный) источник, помещенный в интересующую
нас область. Поэтому мы, описывая частицы со спином 0 веще-
вещественными скалярными источниками соответственно формуле
W (К) = ± j (dx) (dx') К (х) А+ (х - х') К (*'), A.1)
рассмотрим эффект включения дополнительного слабого источ-
источника 6К (х). Он дается выражением
8W (К) = \ (dx) 6К (х) ф (х), A.2)
Ф (х) = j (dx') A+ (х - х') К (х1). A.3)
Такую комбинацию источника с функцией распространения,
характеризующую воздействие уже имеющихся источников на
слабый пробный источник, мы назовем полем источников. Точно
так же поле определяется для частиц любого вида:
8W (S) = J (dx) 8S (х) х (х). A.4)
Функция распространения Д+ (х — х') определяется равен-
равенствами
i Г
'"' + J P ' (<\ К\
х<Сх0': А+(х—x') = i \ d&pelv(x'~x^,
или, что то же самое, интегралом по четырехмерному импульсу
Мх-х')
где
J
Как мы сейчас увидим, она удовлетворяет простому неоднород-
неоднородному дифференциальному уравнению. Это проще всего показать,

190 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
исходя из выражения A.6): при действии дифференциального-
оператора —д2 + т% на экспоненту exp [ip (х — х')\ возникает
множитель рг + m2i сокращающийся со знаменателем, и в резуль-
результате остается четырехмерная дельта-функция
:'\ A.7)
•s \—-/
или
(_32 + m?) Д+ (x - x') = 6 (x - x'). A.8)
Можно также исходить из выражений A.5) и написать
х ф х'\ (—За + та) А+ (х - х') = 0, A.9)
поскольку в этих интегралах р2 -f- т2 = 0; в то же время скачок
производной по времени при х° = х0', равный
хо _ хо' _|_ о »
30Д+(х—а;') ' = I do)p2p°exp [tp. (х — х')] —б(х — х'),
A.10)
эквивалентен наличию четырехмерной дельта-функции в урав-
уравнении A.8).
Из дифференциального уравнения, которому удовлетворяет
функция Д+ (х — х'), видно, что она является функцией Грина
для дифференциального оператора —З2 -f- m2. Она представляет
собой частное решение, содержащее при х° > х0' только положи-
положительные частоты (еЧр°ж\ р° > 0), а при х° <С х0' — только отри-
отрицательные частоты (eip°x°). Это граничное условие проще всего
получить, рассматривая соответствующую евклидову функцию
Грина. Она удовлетворяет дифференциальнвму уравнению
I- (дд)а + тЦ АЕ (х - х') = 6Е(х- х'), A.11>
') ^ (dx) 8 (х - х')\Е, A.12)
х') ^ЬЕ{х- х'), A.13)
вновь приводит к соответствию
j A+ (х - х') ** АЕ (х - х'). A.14)
В противоположность тому, что мы имеем в пространстве Минков-
ского, два фундаментальных решения евклидова дифференциаль-
дифференциального уравнения резко различаются своим асимптотическим пове-
поведением ~e±mR. Таким образом, требование ограниченности при
х Ф х' будет однозначно отбирать только одно решение.
где
или
соотношение
(dx)
(xt = ix°)
б
1
i
(X-
б (х

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 0 191
Последнее получается автоматически, если искать решение урав-
уравнения C.11) в виде интеграла Фурье
•-* '>-!¦&¦???¦ <1л5>
а функция А+ (х — х) восстанавливается из него изложенными
ранее методами. Можно также накладывать граничные условия
непосредственно на дифференциальное уравнение, которое описы-
описывает поле произвольного источника:
(_д2 + т2) ф (х) = К (х). A.16)
При исследовании амплитуды {0_|0_)к(->- к<- + ) замкнутого
во времени цикла, исходящего из вакуумного начального состоя-
состояния, возникают другие типы полей и функций Грина. Эта амплиту-
амплитуда определяется функцией
= -i j (dx) {dx') K(+) (x) Ax (x-xr) Kw (xr) -
W
+ j (dx) (dx') AV) (x) (- 0 A(+) (x-x')Ki+) (x1). A.17)
Ее изменение при включении пробного источника таково:
8W = j (dx) 8К+ (х) Ф(+) (х) - j (dx) &K(-> (x) ф(_, (х), A.18)
где знак минус у второго слагаемого служит нам напоминанием
того, что этот член описывает необходимое развитие системы
вспять во времени. Два поля, появившихся здесь, имеют вид
ф(+) (х) = j (dx') A+ (x - х') Ki+y (x1) -
- i ( (da;') Д(-) (х - х') А",-, (х), A.19)
Ф(_, (а;) = J (dx') Д_ (х - х') А-(_) (а;') +
+ i J (da;') А( + ) (х - х') Kl + ) (хг).
Исследуем эти поля в частном случае, когда
Jf(-, (x) = К1+} (х) = К (х). A.20)
Тогда мы будем иметь
ф(+) (х) = j (dx') [Д+ (х —х') — iA(-) (x — х')\ К (х1), A.21)
Ф(_, (х) = j (da;') [Д_ (х - а;') + Ш + ) (х - х')] К (а;'),

192 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и, воспользовавшись соотношениями
х°~>х°'' г'Д(~'(я: х')
в которых
Д(+) (х - x') = Д(-) (а;' - x) = \dapeiv^-x'), A.24)
мы увидим, что
ф(_) (х) = ф( + ) (ж) = фзап (я:), A.25)
где
Фзап (*) = J (<fc#) Азап (* - а:') * (х) A.26)
и
Азап (^ - х') = А+ (а; - а:') - гД<~) (ж - х') = А_(х - х') +
+ гД(+> (х — х') =
= Г ж0 > z0': »Д( + ) (а; - х') - «Д(-) (а; - х'),
\х°<х0': 0. A.27)
Последнее выражение свидетельствует о том, что это — за-
запаздывающая функция Грина. Она вещественна, поскольку при
комплексном сопряжении Д(+> переходит в Д(~) и наоборот. Три
функции Грина Д+, Д_, Дмп соответствуют одному и тому же
неоднородному дифференциальному уравнению, так как Д(±)
являются решениями однородного уравнения
(_#2 + т>) д(±) (д. _ х>) = 0) (L28)
и, следовательно,
(_9а + т2) фзап (Х) = ^ (Х). A.29)
Запаздывающее поле произвольного источника можно найти,
решив зто уравнение с граничным условием, согласно которому
до начала действия источников поле равно нулю. Интересно, что
для получения этого классического граничного условия требуется
рассматривать систему, развивающуюся по замкнутой во времени
траектории. Заметим кстати, что при условиях A.20) bW принима-
принимает вид
8W - J (dx) {6Z(+) (a;) - 6tf(_, Or)} Фзап (г), A.30)
напоминая нам, что W = 0 при А',-, (х) = Ki+) (x) и что это
свойство сохраняется, если действие пробного источника не нару-
нарушает равенства источников К<±) (х).

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ О I 193
Обращаясь к общему случаю, которому соответствуют поля
A.19), мы увидим, что они подчиняются дифференциальным урав-
уравнениям
\—° Т~ т ) Ф(+) \х) — л<+> Wi ,й „..
A.31)
решения которых характеризуются следующими граничными усло-
условиями: до начала действия каких бы то ни было источников
ф(+) (х) содержит только отрицательные частоты, а ф<_, (х) —
только положительные частоты; после прекращения действия всех
источников ф(+) (х) и ф(_, (х) становятся равными. Начальные
граничные условия станут очевидными, если написать
Ф(+, (х) = j (dx') Д+ (х - х') [К1+) (х') - Км (х) +
-4- f (dr'\ А (г — г') К (х — х')
Ф(_, (х) = j {dx') Д_ (х - х') [К„ (х') - Я(+) (х')] +
, (х - *') К(+) (х!).
+ j {dx')
Заметив далее, что
д (Т х'ч_|_л (Т Т'\ л (т -г'\-1-Л (т г'\ (\ ЯЯ^
t-*-(- V / ~Г V / — ^-*зйп\л у i^ опер \™ Ji у ± t*ju j
где
Допер {х-х') = Д+ (x-x')~iAw (х-х') = Д_ (х-х') + гД(-> (х- х') =
( х°>х<>': О
мы получим
ф
^(^-Ф,.,^)^ J {dx')^onep(x-x')[Kw{x')-Kl.){x% A.35)
откуда становится очевидным конечное граничное условие.
При замене вакуумного состояния произвольным многочастич-
многочастичным состоянием возникают новые поля и функции Грина. Вместо
того чтобы использовать какое-то конкретное многочастичное
состояние, мы рассмотрим некоторую их параметризованную
смесь вида
S {}|{}р({})Р[р()] A.36)
{п}
13-0670

194 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где
е({}) ^р
Р {п}
а Рд — произвольный времени-подобный вектор с р0 > 0. Вспо-
Вспоминая анализ амплитуды ({w}+ | {и}_)к, в частности соотноше-
соотношение B.46) из гл. 2, мы увидим, что она линейна по каждому из
чисел заполнения пр, которые в формуле A.36) заменяются просто
средними значениями
) = тс=Щ1п [2 еР (SPp) J
A.38)
В соответствии с этим мы будем иметь
We(K) = ± ^ (dx){dx')K{x)\t(x-x')K(xl), A.39)
где
Др(х — x') = A+(z — x') + i j dojp^pJple'^-^O + e-^*-*')]. A.40)
Разложив функцию exp [iW$ (K)\ в ряд A.36), мы сможем восста-
восстановить отдельные амплитуды ({п}+ |{«}_}к. Поле
ф„ (х) = j (dxr) Ар (а; - х') К (х'), A.41)
определяющееся равенством
6W<3 (A!) = J (dx) ёК {х) Фр {х), A.42)
подчиняется тому же самому дифференциальному уравнению
(-02 + т2) фе (а;) =^C-), A.43)
так как Ар (х — х') представляет собой еще одну функцию Грина
дифференциального оператора —д2 + тг.
Чтобы установить граничные условия, характеризующие эту
функцию Грина, напишем ее в виде
где функции

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 0 | 195
связаны друг с другом соотношением
А^(х-х') = А^(х'-х). A-46)
Заметив, что
(лР>3 + 1=вйР(Пр>р, A.47)
мы увидим, что имеют место следующие формальные связи:
А$>(х-х') = Ар(х-т'- if). А^(х-х')-А^(х-х' + ф).
A.48)
Все эти равенства можно объединить, если ввести функцию
'-x—jifl)t A.49)
которая вещественна. По аналогии с преобразованием перехода
от евклидова представления к представлению, использующему
пространство Минковского, удобно осуществить экстраполяцию,
вводя вещественное времени-подобное смещение
где
Х°>0. A.51)
Для ограниченной во времени области, задаваемой неравенствами
О < х° - х0' < Х° A.52)
или неравенствами
—Х° < х° — х0' < 0, A.53)
которые можно объединить, написав
| хо _ я*' | <Х°, A.54)
соотношения A.48) превратятся в утверждения относительно
функции распространения
Др (х — х') = Ар (х — х), A.55)
а именно
Др {х — х') = Де (х — х' ± X). A.56)
Таким образом, граничным условием для этих функций является
требование периодичности.

196 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Если мы желаем убедиться в том, что условие периодичности
действительно приводит к требуемому решению дифференциально-
дифференциального уравнения для функций Грина, то для этого удобнее перейти
к системе покоя времени-подобного вектора Хд, вводя обозначение
Х° ~ Т, и удовлетворить условию периодичности по х°, используя
разложение в ряд Фурье по этой переменной и сохраняя в то же
время для пространственных координат интеграл Фурье. В резуль-
результате для функции Грина мы получим следующее выражение:
Т 2л
П---00
Ряд Фурье в этом выражении не представляет собой ничего
необычного:
Т СЛ (рОJ_Bлп,/ГJ
71- - - СО
A.58)
2рО e(i/2)p»T_g-(i/2)p«r
Если теперь произвести в системе покоя подстановку
Г->-*Ро, A-59)
обратную подстановке A.50), и перейти затем к произвольной
системе отсчета, мы действительно придем к функции Др (х — х').
Те же результаты можно получить и прямо из дифференциального
уравнения для щ (х), накладывая на его решение граничное усло-
условие периодичности
<рр (х) =щ(х±Х). A.60)
Чтобы распространить все сказанное на функцию
• ,*«+,)], A.61)
описывающую замкнутый во времени цикл, следует ввести в рас-
рассмотрение аналог функции A;n>- (х — х')'-
х°>х0': —ib.p(x — x'),
_х.у A-62)
Обозначение, принятое здесь для этой функции, основано на сле-
следующем формальном свойстве усредненных чисел заполнения:
A.63)

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 0 | 197
откуда следует, что
А%(х-х')= -Ajf'Or-a:'), AL-p(x-x') = -Aj,+>(x-x').
A.64)
Необходимое нам обобщение равенства A.17) имеет вид
, Км) = \ j (dx)(dx')K(i)(x)Af(x-x')Kl+)(x')-
-~ j (dx) (dx')K^ (x) Д-р(х-х') ЛГС_, (х1) +
+ j (dx)(dx')K^(x)(-i)A^(x-x')Kl+t(x').
A.65)
Поля, определяющиеся формулой
6Wfi (ffMi Km) = j (rfx) 8KW (x) фРс+) (х) -
— j (dx) 6ЛГ(_, (ж) VP(_, (a:), A.66)
даются выражениями
dx')Ap(x-x')^(+)(x')-i j (dx'JAjT'^-^'JA'c-)^').
A.E7)
В частном случае, когда
iST,., (x) = К{ + ) (х) =К(х), A.68)
эти поля принимают вид
ФР(-) 0*0 = фР<+> (х) = фзап {х), A.69)
так как ни в одно из причинных соотношений между функ-
функциями А величина р не входит; например, согласно фор-
формуле A.45),
А(р+) (х — х') — Ар"» (х- х) = Д(+) (ж — «') - Д«-> (х - х'). A-70)
Отказываясь от ограничения A.68), по тем же причинам мы
получим
*) —ФЗ<->(*)= J (dx) Аопер(х- х')[Км(х')- К^(х')}.
A.71)

198 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Можно также написать
(x-x')-A^ (х-х')][Кш(х')-К^{х')} A.72)
или эквивалентное этому выражение, содержащее функции Д<~).
При выводе этих результатов непосредственно из дифферен-
дифференциальных уравнений
(—<92 + та) фР( + ) (х) = К1 + ) {х),
{-д* + т2) Фрм (х) = Я(_, (х) ^ ' '
следует потребовать, чтобы после прекращения действия источни-
источников эти две функции совпадали. До начала действия каких бы
то ни было источников два поля связаны между собой соотноше-
соотношением
Фэ,_, (х + Х) = фр(+) (х), A.74)
которое представляет собой разновидность условия периодич-
периодичности.
Некоторые из полученных результатов после соответствующего
обобщения определения поля будут сохранять свой формальный
вид и при рассмотрении заряженных частиц, если последние опи-
описывать парой вещественных источников. В случае же многочастич-
многочастичных начальных и конечных состояний гораздо удобнее пользо-
пользоваться комплексными источниками, и поэтому мы подробнее оста-
остановимся на таком варианте. Исходя из вакуумной амплитуды
W (К) = \ (dx) (dxr) К* (х) А+ (х - х') К (х1)
и вводя зондирующие источники, мы придем к следующему опре-
определению двух полей:
8W {К) = f (dx) [8К* (х) ф (х) + 8К (х) Ф* (х)]. A.76)
Эти поля таковы:
<p(z) - \ {dx') A+ (х-х')К(х'),
¦ A.77)
Ф* (х) - j (da:') A+ (х - х') К* (х').
Здесь звездочка не означает, что два поля связаны друг с другом
операцией комплексного сопряжения. Правда, она имеет такой
смысл в отношении дифференциальных уравнений, которым они
подчиняются:
(_а« + т») ф (х) = К (ж), (-da + m2) Ф* (х) = К* (х), A.78)

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СЦИ1ЮМ 0 199
но решать оба уравнения нужно при одних и тех же траничных
условиях: поля должны содержать волны, расходящиеся во вре-
времени, что означает присутствие только положительных частот
после прекращения действия источников и только отрицательных
частот до начала их действия.
Исследуем структуру этих полей в двух асимптотических по
времени областях. Если поля вычисляются в некоторый момент
времени после прекращепия действия источников, то условие
причинности будет находить свое выражение в замене А+ (х — х')
на iA<+) {х — х'). Таким образом (х > К означает причинную
упорядоченность), в соответствии с определениями A.77) имеем:
х>К: y(x) = i [ (dx')H Жо,,^*-
=2(^I/2>ipx*A'*H' с1-79)
х>К: <р*(х) = » С (dx')\j «tope**»-
В другом случае, когда поля вычисляются до начала действия
источников, Д+ (х—х) заменяется па iAl"> (х — х):
х<К: Ф (х) = i \ (dx) [ f ^r*-1')] к (xr) =
x<K: tf*(x) = i j (da;') | \
K*
Первый случай соответствует процессу испускания, а второй —
процессу поглощения частицы. При этом каждому отдельному
акту испускания сопоставляется поле (diOpI^ eipx, а акту погло-
поглощения — поле (dWpY^e~ipx. В соответствии с интерпретацией
комплексных источников эти поля дают нам частицы с определен-
определенным знаком заряда. В зависимости от причинной последователь-
последовательности поле ф (х) описывает испускаемые положительно заряженные
частицы или поглощаемые отрицательно заряженные частицы,
а поле ф* (х) — испускаемые отрицательно заряженные частицы
или поглощаемые положительно заряженные частицы.

200 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Для вакуумной амплитуды замкнутого во времени цикла имеем;
<0_ | 0-)к<- ' *<+> = exp [iW (#<_„ Км)],
W(K,.b ЛГ(+))= J (dx)(dx')Kl)(x)A+(x-x')Kw(x')-
- J (Ае) (Аг#) К*_, (х) Д_ (х-х1) #<_, (х') -
-i j (dx)(dx')K*_y(x)A^(x-x')K(+)(x')-
Поля определяются формулой
8W (i?(->, iiC(+))= I (da;) [бЛ"*+) (х) ф(+) (х) + бй"(+) (ж) ф*+, (а;) —
Они имеют следующий вид:
(х)= Г(Аг')А+(х-х')^(+,(х')-
фс_, (*)- j (At') A_(x-i')iirl-)(a:') +
+ i \(dx')A»>(x-x')K+(z'),
J A.85)
Ф?_, (x) = j (dx') A_ (x - x) ЙГГ_) (x') +
Отсюда видно, что поля, ранее определявшиеся формулами A.19),
здесь удваиваются, но проведенный там анализ сохраняет свою
силу, причем его нужно дополнить подстановками К-^-К*,
(р —v ф*. В частности, если имеют место равенства
KUx) = Kt+) (x) = К (х) A.86)
и, следовательно, аналогичные равенства для комплексно-сопря-
комплексно-сопряженных источников, то мы получим
ф(-) (х) = ф<+, (х) = фзап(я), A.87)
ф*_, (X) = ф?+) (х) = ф^ап (X). A.88)

§ 1. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 0 | 201
Теперь два запаздывающих поля комплексно-сопряжены друг
с другом, так как функция Азап (х — х') вещественна. Смысл
этого в том, что всякое малое отклонение функции W (#,_,, Ki+1)
от нуля вещественно:
8W (?<_„ К1+)) =
= j (dx) [(б**, (х) - 8К1, (х)) Фзап (х) + EЙГ(+, (х) - A.89)
- б*,., (X)) ф*ап (х)] = 8W (К., К+)*.
Это утверждение представляет собой частный случай соотношения
UW (?<_„ Kl+})]* = iW (Kl+i, К^), A.90)
которое прямо следует из интерпретации вакуумной амплитуды
для замкнутого во времени цикла, соответствующей формуле
B.86) из гл. 2.
При замене вакуумного состояния общим многочастичным
состоянием мы можем, как и в формуле A.36), ввести параметри-
параметризацию, взяв весовую функцию
PaV ({«}) = С ехр [ — 2j («? + РцР1*) «pj,
^ щ A.91)
2j PaP ({»}) = 1-
{n}
Как и ранее, найдем усредненные числа заполнения
\ \ 1 /
а согласно равенству B.59) и гл. 2, функция А+ (я — х) перейдет
в функцию
йр[{пр+)а9№-*'Н (»р->вре-*р(*-*')]. A.93)
Еще раз отметим, что эта функция не симметрична п»хих',но она
будет симметричной, если дополнительно заменять положительные
заряды отрицательными и наоборот. Последняя перестановка
соответствует преобразованию одного из параметров, а именно
a —>¦ —а, и поэтому
Aae(z— ж') = Д_вр(а:' —х). A.94)
Функции Дд^ (х — х), определяемые, как и обычно, формулой

202 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
имеют вид:
д(_, х_ , _ , " Р+ iHx_xt) ых я,) A-96)
причем
-^)- A-97)
Кроме того, из равенств
следуют соотношения
-х' + ф).
Соответственно этому условие периодичности модифицируется
следующим образом:
Дар {х—х') = еаЛа|3 (х — х' — Х) = е-аЛа(з (х-х +Х). (L 100)
Хотя мы и не будем останавливаться на этом подробно, но гранич-
граничное условие для функции распространения Дар (х — х') совместно
с дифференциальным уравнением, которому она удовлетворяет,
приводят как раз к исходной функции.
Замене функции А+ (х — х') многочастичной функцией
ДаЗ Кх — х) эквивалентна замена
Д_ (х-х1) -»- АаР (х' - х)* - А_а,_3 (х - х'). A.101)
Для функции, описывающей замкнутый во времени цикл, т. е.
комбинацию вида
Stf/O-K»}-)*'-" Ku)pali({n}) = exv[iWaz{K^, Ki+))], A.102)
{п}
имеем
^, К1+)) = j (dx) (dx') К*( + ) (х) АаР (х-х') Ki+i (х1)-
- [ {dx) (dx') KX-) (х) А_а,_р (х-х') #(_, (х) -
-i j (
Заметим, что если бы мы пожелали записать последнее слагаемое
другим способом, воспользовавшись функцией А<+), то, согласно

§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1/г | 203
соотношению A.97), необходимо было бы заменить а на —а.
Поля, определяемые тем же способом, что и в A.83), теперь будут
иметь вид
A.104)
аРм(г)= j (dx')Aat>(x — x')Ki+){x') —
— i \{dx')^){x-x')K{.,{x'),
-i j (dz')bljM*-x')K*-)(z')
фаР(-) (x) — j (dx>) Д-а,-[3 (¦* - x') ^<-> (¦*') Jlr
+ i j (ds')
Структура этих полей такова же, как и в приведенных выше фор-
формулах A.67), но теперь все функции А несут дополнительный
индекс а или —а, причем при подстановке К -*- К*, ср ->- ср* эти
индексы переходят один в другой. Если снабдить индексом а
поля, то можно будет применять соотношения A.69) и A.71),
а также соотношения, получающиеся из них при подстановке
К -> К*, ф -> ф*. Индекс а можно ввести и во все члены, фигури-
фигурирующие в равенстве A.72), но при переходе к источникам и полям
со звездочкой его пуяшо в функции А„+е (х — х') заменить на —а.
Заметим, наконец, что граничные условия для полей, которые
следует наложить на дифференциальные уравнения, имеют вид
?)- A.106)
§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ V2
Для рассматриваемой системы вакуумная амплитуда равна
(Л) = 4 j (dx) (dx1) л (х) ?С+(х-х') ц (х'), B.1)
где
G+ (х - х') =(m-v^^)A+(.- x'). B.2)
Отметим сразу же, что из алгебраических свойств матриц уц

204 I глава з. поля
следует равенство
(Y1* у ди + т) G+ (х — х) = (~д& + т*) д+ (х — х>) =
= 8 (х — х), B.3)
т. е. функция G+ (х — х') является функцией Грина для диффе-
дифференциального оператора, содержащего матрицы Дирака. В соот-
соответствии со структурой функции Д+ (х — х') эта функция Грина
удовлетворяет граничным условиям, требующим, чтобы она со-
содержала только расходящиеся во времени волны. Здесь мы опре-
определим поле следующим образом:
8W (у\) = j (dx) 8ч\ (х) /гр (х) = j (dx) o|j (x) у*Ьц (х). B.4)
Введение антисимметричной матрицы у0 компенсирует антикомму-
антикоммутативность пробного источника 8г\ (х) с полем г); (х), которое строит-
строится из полностью антикоммутирующих источников т] (х):
у (х) = j (dx') G+ (х - х') т) (х1) B.5)
и поэтому имеет такую же алгебраическую природу. Полезно
отметить также, что
¦ф (х) Y° = j (dx') t] (xr) y°G+ (x' — x); B.6)
это равенство прямо следует из определения или из свойства
антисимметрии
[/G+ (х' - х)]т = -/G+ (Я - х'). B.7)
Решение дифференциального уравнения B.3) для функции
Грина записывается в виде двух эквивалентных интегралов по
четырехмерному импульсу
dp /Pt»-*')
Bл)* ур-тгп — is
e-y+0
Bя)* p2 + m2_je e e-*+o' У f
причем е в двух этих выражениях имеет разный масштаб. Но мож-
можно также построить функцию Грина из решений однородного
уравнения Дирака:
G+(x-x')= n ; К У B.9)
+ v ' х°<Сх°: iG^ (х х)
где [см. формулы G.43) из гл. 2]
Gw(x-x')= '

§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ >/i | 205
&-\х-х')= J <top(m f-vp)«-*«*-'>= B.10)
pug
причем [см. формулу G.42) из гл. 2]
1/2„раде^. B.11)
Зарядовый индекс появился здесь потому, что заряд является
общей характеристикой всех частиц со спином 1/2. Неоднородный
член дифференциального уравнения B.3) эквивалентен скачку
по временной переменной:
x'\ Qt-i (x x'\i 0 = § (x x') B 12)
Интегралы по импульсам в формуле B.10) удовлетворяют этому
требованию; кроме того, оно находит свое выражение в равенстве
^1 г I / \ I / '\# J I / \* I / 'М f\ / '\ lO \ Q\
paq
которое представляет собой формулировку условия полноты для
волновых функций с положительными и отрицательными часто-
частотами yppaq (х) И typgq (х)*.
Поле в причинных областях — после прекращения действия
источника и до начала его действия — вычисляется следующим
образом:
paq
Г Г
л<1\: 4>(s)-J (dx')[-i
paq
paq
где [см. формулу G.41) из гл. 2]
х)= - j (dx)%aq(x)y°r\(x). B.15)

200 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Как прямо следует из соотношения B.6), выражение для поля при
х <l T] можно представить также в форме
x<r\: ^(x)y°^\
род
= 2^*^Vg(x)*7°. B.16)
paq
Поле, соответствующее времени после прекращения действия
источника, описывает испущенные ранее частицы, связывая волно-
волновую функцию typaq (x) с отдельным актом испускания; поле же,
соответствующее времени до начала действия источника, описыва-
описывает поглощающиеся впоследствии частицы, связывая волновую
функцию typaq (х)* с отдельным актом поглощения.
Отметим, что частицы с положительным и отрицательным заря-
зарядами допускают у нас единую трактовку. Это обусловлено тем,
что мы использовали вещественные источники, а задача выбора
того или иного значения заряда перекладывалась на многокомпо-
многокомпонентные функции ирад или i\>pag (x). Здесь, в противоположность
случаю нулевого спина, такой подход вполне естествен, так как
уже само описание спина 1/г требует наличия четырехкомпонент-
ной величины ира. Но можно также пойти по другому пути —
заранее отбирать то или иное значение заряда, используя ком-
комплексные источники. Построим из пары четырехкомпонентных
вещественных источников t)(i,(x) и т)B)(х) величины
) — lib) (х)), л (ж)* = -Аг- (Т1A) (а;) + ?ti<2) (я)).
Ц (ж) = —у=- (Ti(i) (х) — lib) (х)), л (ж) = Аг
B.17)
Тогда вакуумная амплитуда будет даваться функцией
W (г,) - j (dx) (dx1) л (х) G+ (x - х') т, (х'), B.18)
где мы ввели обозначение
Ч(х)=4 (х)* f, B.19)
а поля будут определяться формулой
8W (т)) = j (dx) Щ(х) У(х)+У (х) 6т, (х)]. B.20)
Эти поля таковы:
ф (аг) = ( {dx') G+ (х - х) т) (х1),
i B-21)
ф (х) - j (dx') t| (xf) G+ (x' - x).

§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ '/г | 207
Они удовлетворяют дифференциальным уравнениям
_ B-22)
во втором из которых введено обозначение
ip(a:)aj=—9^A) B.23)
и использовано то обстоятельство, что функция
G+ (x-x')= (т + у{ д)А+(х - х') B.24)
удовлетворяет уравнению
G г(х' - х) [у у5т + т) = [т + у\ д) {т-у~ д) \+(х-х') =
-Ь(х-х'). B.25)
Теперь в соответствии с новыми обозначениями напишем
2 (*ЙР„(а:'). B-26)
)
где
-ij>xup(S, B.27)
B.28)
В таком случае мы должны также написать
С"» (х- х') - у0 [S ^Ра (ж) ^ра (ж'I Т°, B.29)
что снова приводит к свойству B.7). Поля, вычисленные в двух
причинных областях, имеют вид
pa
ра
B.30)
ра
pa
где
_ = j (dx) т[(а;) 7°Фра(ж), B.31)

208 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и
Г B-32)
где
т)*ра+ =-- J (Ar) n (х) %а {х), т]*,- = j (dx) т) (ж) у°^а (ж). B.33)
Детальные характеристики источников частиц вытекают из прове-
проведенного ранее анализа, если ф (х) идентифицировать с проекциями
восьмикомпонентного поля на подпространство положительного,
а \р (х) у0 — на подпространство отрицательного зарядов. Разу-
Разумеется, оперировать с полями \jj (x) и \\> (х) — общепринятый и са-
самый привычный способ применения уравнения Дирака. Но асим-
асимметрия выражений B.30) и B.32), которой они отличаются от
выражений B.14), служит, по нашему мнению, достаточным осно-
основанием для того, чтобы в общем случае пользоваться вещественны-
вещественными источниками и многокомпонентными полями, определяемыми
в пространстве заряда и спина, а не парами комплексных источни-
источников и связанными с ними полями.
Вакуумная амплитуда для замкнутого во времени цикла
@+ j 0_>ч«->- ч«+> = exp \iW (Т1(.,, л,+))J B.34)
дается функцией [см. формулу G.60) из гл. 2]
W (г!(_„ т](+,) - i j (dx) (dx1) [т,(+) (x) y°G+ (x - x') ц{+) (х1) -
- tolL.} (x) у°&+) (x - x') r\t+i (x')-
- fT|(+) (x) /G(-) (x - x') T)U, (x1)]. B.35)
Поля, определяемые равенством
B-36)

§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ Чг 209
имеют вид
Фс+) (*) = j (dx') G+ (х - х') т)<+> (хг) -
-i j (dx')G(-) (x - х') т)(_, (х'), B.37)
Фс-> И = J №О С- (ж - ж') т](_, (ж') +
+ г f (da') G(+) (ж - х') т)(+1 (а;').
В соответствии с тем, что [см. формулу G.65) из гл. 2]
i \G+ (x - ж') - G. (ж - ж')] + G(+) (z - ж') +
+ Gi") (ж — х7) = 0, B.38)
функция GL (ж — ж') удовлетворяет тому же неоднородному диф-
дифференциальному уравнению, что и G+ (ж — х'), а поэтому введен-
введенные поля будут удовлетворять дифференциальным уравнениям
(V ~ " + т) "ф< + ) (з1) — п< + ) (.г),
Эти решения можно записать и по-другому:
B-40)
+ i j (it') G«+> (x - x') [Лж (a;') - т)(_, (ж')],
тогда как
W^-HV.W- j (^^Соиер^-ж')^,^')-^-,^')]- B-41)
Введенные здесь функции являются вещественными функциями
Грина:
G3aa(x- x')^ G+{x-х')-i&-> (х-x')=G_ (х-х1)
х°>х°': iG^(x-x')-iG"{x-x').
= ж» <*<>': 0 B'42)
14-0670

210 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
И
x°>x°': 0
Из этих выражений явствует, что до начала действия источников
функция i|)(+) (x) содержит только отрицательные частоты,
а функция a|)(_, (x) — только положительные частоты и что после
прекращения действия источников гр<+) (х) = г|7(_) (х). Эти утвер-
утверждения представляют собой граничные условия, которыми следует
дополнить дифференциальные уравнения B.39). Кстати, из фор-
формул A.27) и A.34) сразу видно, что запаздывающую и опережаю-
опережающую функции Грина можно представить также в виде
^ — ж')= {т — Yy- #) Азап, опер(я — х')- B.44)
Очевидно, что в частном случае, когда
Ti(_, (х) = л(+) (х) =г\(х), B.45)
мы будем иметь
г|з(_> (х) = г|)(+) (ж) = г|>зап W, B.46)
где поле
J ) G3an (x - х') т, (*') B.47)
= J
является вещественным решением дифференциального уравнения
G i 5 + т) фзап (*) =т, (ж), B.48)
равным нулю до начала действия источника. Функция PF при
малых отклонениях источников от их значений, удовлетворяющих
условию C.45), имеет вид
8W = j (dx) [бг)(+) (ж) - 8гц-, (х)} 7Чзап (ж). B.49)
Если смесь многочастичных амплитуд, параметризованную
согласно A.91), применить к системе частиц, подчиняющихся ста-
статистике Ферми — Дирака, когда npq = 0, 1, то усредненные числа
заполнения будут таковы:

§ 2. ПОНЯТИЕ ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ '/г ] 211
Обратившись к формуле G.45) из гл. 2, мы увидим, что в этом
случае G+(x — х) заменится функцией
-i И(пМ)Л»1^ра9(х)^1т{хУ-^рая(х)'%а9(х')]^ B-51)
peg
причем эта функция Грина входит в величину
W.3A)=4 J (dx)(dx')r](x)v°GaSi(x-x')r](x'), B.52)
определяя тем самым комбинацию
2 ({«}+1 {л}_>4 раЭ ({«» = exp [iWe3 (т))]. B.53)
Для простоты мы не вводили никаких параметров, которые раз-
различали бы всевозможные спиновые Состояния. Функции, опре-
определяющиеся равенством
имеют следующий явный вид:
ро?
ж)* г|)рСТд {х')\ 7°,
paq
+ A — (npq)afi) \ppoq (х)* -фрад (х)] у°,
причем имеет место соотношение
[y°Gl4(x'-x)]T= -yoG^(x-x'), B.56)
которым выражается необходимая антисимметрия y°Ga$ (х — х')
относительно одновременной перестановки пространственно-вре-
пространственно-временных координат и всех дискретных индексов. Соотношение
^-(n]iq)^ = ^+^(npq)ali B.57)
означает, что
GU (х-х) = - е°«су (х-х' - ф),
B58)
где символом q обозначается теперь антисимметричная зарядовая
матрица. Соответствующее свойство для функции Грина имеет вид
=--—e-avGaSi(x-x'-X). B.59)
14*

212 | ГЛАВА 8. ПОЛЯ
Если параметр а положить равным нулю или вообще включить
в функцию Ga$ путем переопределения ее координатной зависимо-
зависимости, то граничное условие, накладываемое на Ga& (x — х'), будет
сводиться к изменению знака при смещении координат на Xм-;
это свойство можно было бы назвать антипериодичностью. По
поводу обобщения этих результатов на замкнутый во времени
цикл мы ограничимся замечанием, что многочастичным аналогом
CL (х — х') является функция G_a, _p (х — х'). Это утверждение
эквивалентно соотношениям
B.60)
причём они вытекают из следующего равенства для средних чисел
заполнения:
<Пр,)_а,_Р=1— (Прд)аЦ. B.61)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА
Спин 1. Согласно формуле C.4) из гл. 2, частицы с единич-
единичным спином и массой т Ф 0 описываются функцией
C.1)
Рассматривая пробный источник, мы введем векторное поле:
bW (J) = j (dx) б/* (х) Ф|1 (*), C.2)
и представим его в виде
фД:г)= J {dx') ^{x-x')J^x')-^d^{dx')^{x-x')dvr{x').
C.3)
Дивергенция векторного поля такова:
, C.4)
причем получающееся таким образом скалярное поле обращается
в нуль вне области, занятой источником. Дифференциальное
уравнение, вытекающее из равенства C.3),
X
(ж) C.5)

§ 3. НЕКОТОРЫЙ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА I 213
можно, пользуясь соотношением C.4), представить также в форме
(_5а + т«) ф(х (а;) + 5ii5v9v (*) = J{1 {x). C.6)
В другой записи это дифференциальное уравнение для поля имеет
вид
dv№v (х) + /nV («) = ^ (х), C.7)
где
Если дифференциальные уравнения, связывающие векторное
поле с его источником, дополнить соответствующими граничными
условиями, то эти уравнения в свою очередь будут определять
салю это поле. Взяв дивергенцию от обеих частей векторного урав-
уравнения, мы вновь придем к соотношению C.4), а тем самым и к урав-
уравнению C.5). Решение последнего с граничньш условием, требую-
требующим, чтобы существовала только расходящаяся во времени волна,
представляет собой не что иное, как поле C.3), из которого мы
исходили. В прямой аналогии со случаем нулевого спина в этом
и во всех прочих примерах систем, подчиняющихся статистике
Бозе — Эйнштейна, можно также пользоваться самыми разно-
разнообразными граничными условиями.
Спин 2. Частицы с конечной массой и спином 2 описываются
функцией [см. формулу D.20) из гл. 2]
W (Т) = 1 J (dx) (dx1) [ T*v (х) А+ (х-х') 7Vv (*') Ь
—?dft.dy.T^ (х)А+(х—х)дкдкТ (х ) —
()] C.9)
где
T{x)^g^T^{x). C.10)
Симметричное тензорное поле, определяемое равенством
\х)<ьЛ*), C.11)
имеет вид
-^гд» J (^') Д+ (х-х') дг Tkv (x')~

214 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
i^9V J (dx')A+(x-x')d'^TKX(x')-
X j (^')А+(ж-Ж')(Г(^')-^5;^Гх(ж')). C.12)
Дивергенция этого тензорного поля является вектором
d^A^) = ^d^T^{x)-~dv [г(;г) + А5)АГ*(ж)], C.13)
обращающимся в нуль в свободных от источников областях. Это
утверждение справедливо и для скалярного поля
Ф (*) = ^Ф'"' (х) = - 3^- [Т (х) + А дкд%ТкХ (х)], C.14)
а также для комбинации
д^{х)-д^{х) = ±-гд»Т^{х)- C.15)
Дифференциальное уравнение, вытекающее из C.12), имеет
вид
(_ д* + п?) qvv (ж) = 7VV (ж) - А [д^Пу (ж) + flv^r^ (x)] +
C.16)
Заменив векторную и скалярную комбинации источников экви-
эквивалентными им величинами, построенными из поля, мы придем
к следующему дифференциальному уравнению:
(— д2 + m2) q>nV (ж) + <?ц<?*фяд, (ж) + 0v34ia (х) ~ 5^^5vф (ж) —
- ^v [(-дг + тг) Ф (ж) + дкдк^ (ж)] = ?VV (ж).
C.17)
Используя далее информацию, которая получается, если взять
след обеих частей этого уравнения:
(_92 + т2)фИ + 5Аф^(а;)=-1[Г(;г) + т2ф(ж)], C.18)
его можно будет представить в форме
(_ & + т2) «fcv (х) + 9„с> Vv (*) + дудЧр^х (х) -
- а^Ф (х) + frv -^ ф (*) = Г^ (ж) - у ^Г (ж). C.19)

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА I 215
Это дифференциальное уравнение можно записать еще в двух
вариантах:
8^Ч> (*)] =
\ C.20)
где
C.21)
a:) + у
= Г^(*)-4-ги»Г(*), C.22)
где
Hllvx(x) = Hvllx(x) = dv,(pv^.(x) + dv(pll7,(x) — d7,(pllV{x),
#дЛ*Ндцф(г).
Наоборот, дифференциальное уравнение для поля, дополненное
граничным условием, согласно которому должны существовать
только расходящиеся во времени волны, имеет единственное реше-
решение, задаваемое формулой C.12).
В случае спина 2 оказывается еще вполне возможным устано-
установить в явном виде пространственно-временную связь между полем
и источником, но при более высоких значениях спина эта процеду-
процедура будет чрезвычайно громоздкой. Она до некоторой степени
упрощается, если перейти в четырехмерное импульсное простран-
пространство, что мы и проиллюстрируем для начала на примере спина 2.
Общее выражение E.95) из гл. 2 в этом случае принимает вид
inx (р) ()ii
>
C.24)
где
*(p) ? + C.25)
Этот тензор обладает, в частности, свойствами
(p) i\ (p) = guv (p) p2^m2 i

216 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Поле, определяемое равенством
ш (г> -= j $г* 8T*V <- р) «^ (рь C-27)
будет иметь вид
4W (Р) = р» + ^_<е [ IVh (р) ?vx (Р) -4"i,v (Р) fta (Р) ] Z"* (Р). C-28)
Получаемые из него вектораое и скалярное поля даются форму-
формулами:
р*ч»Ар)~-^[р«ьир)—?Р*вМр)\т*-{р) C.29)
и
Тогда алгебраическая комбинация
(р2 + /п2) ф^ (р) — РцР*фь> (р) = t^ux.?v\ (P) - у ^v^x (p) ] ГКЛ (р),
C.31)
ее след
(ра + т2)Ф(р)-р"р1Фхг(р)=-т^(р)Г'Л(р) C.32)
и дополнительная комбинация
РуР^Фй* (Р) — РиРуФ (р) = gW ^ PvPxT"'1 (p) C.33)
приведут непосредственно к уравнению
(р2 + /и2) фр,у (р) — РцР*Фхл> (р) — PvP^nfc (Р) + РиРуФ (Р) —
-Я* [(р2 + я*а) ф (Р)-р*Р*Ч*х Ш - ГЦу (Р), C.34)
представляющему собой уравнение C.17), записанное в импульс-
импульсном пространстве.
Спин 3. В примерах частиц со спинами 0, 1 и 2, исходя из
конструкции, задаваемой в общем случае равенством E.95) из
гл. 2, мы получали поля, удовлетворяющие дифференциальным
уравнениям второго порядка, в правую часть которых входил
только сам источник. При более высоких значениях спина дело
обстоит уже иначе — здесь не удается полностью исключить про-
производные от функции источника. Но и в этом случае можно добить-
добиться упрощения, если воспользоваться произволом в определении
функции W, который позволяет добавлять к ней вещественные
слагаемые в виде произведения разных источников, взятых в одной
и той же точке пространства-времени. Как уже указывалось в § 9

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА 2J7
гл. 2, такого рода контактные члены не дают никакого вклада
ни в вероятность вакуумного перехода, ни в связь причинно-
упорядоченных источников. Вопрос о необходимости их введения
в том или ином конкретном случае можно решить только на осно-
основании дополнительных соображений относительно структуры поле-
ных уравнений. Если нам желательно сохранить форму неодно-
неоднородного уравнения поля, которую мы теперь считаем стандартной,
то для этого также необходимо ввести определенные вспомогатель-
вспомогательные поля, исчезающие вне тех областей, где расположены источ-
источники.
Все сказанное мы поясним на примере спина 3, а для простоты
сначала рассмотрим случай безмассовых частиц. В случае спинов 1
и 2 мы этого не делали, потому что столь важные с физической
точки зрения примеры заслуживают отдельного подробного иссле-
исследования. Отметим, однако, что соответствующие полевые уравне-
уравнения можно получить, просто положив в уравнениях C.6) и C.19)
т = 0. Кроме того, необходимые с физической точки зрения тре-
требования к источникам, а именно требования равенства нулю их
дивергенций, являются алгебраическими следствиями уравнений
поля, в чем можно убедиться, переходя в формулах C.4) и C.15)
к пределу т = 0. Но об этом мы подробнее поговорим позднее.
Безмассовым частицам со спином 3 соответствует функция [см. фор-
формулу E.122) из гл. 2]
C.35)
где
Sk(p) = Sxy.v(p), C.36)
а симметричный тензор третьего ранга должен удовлетворять
условию
PvSl]lv(p) = 0. C.37)
Последнее означает, что поле, определяемое равенством
(р), C.38)
= J
задается теперь неоднозначно, так как любой дополнительный
член в нем, содержащий в качестве множителей рл, рц или pv,
в силу требования к источнику C.37) не будет давать вклада
в величину C.38). Следовательно, общее выражение для поля
имеет вид
(Р) = JTZfe [S*W (P) — |- (ftivS* (P) -Г gvxS» (p) + ?AllSv (p)] +
Vv (Р) + РцЪх (Р) + /VP?..u (p), C.39)

218 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где присутствие членов, получающихся один из другого путем
циклических перестановок индексов, диктуется требованием пол-
полной симметрии тензора (fx^v Новый симметричный тензор (p^v (p)
определяется требованием, предъявляемым к источнику. Чтобы
воспользоваться последним, заметим сначала, что
Ф*(Р)= tP*vv(р) = ~р2~Ш (~т) S*№ + РЮ(р) + 2^4>w(P).
C.40)
где
ф (Р) = 9Vv(p). C-41)
Умножив затем выражение C.39) на рх, мы получим как раз ком-
комбинацию вида V2 (фх, —РкЧ>), так что в результате будем иметь
(P^ + P<f^ + Р^Ф- C.42)
—2"
Чтобы вывести уравнение для ф (р), скомбинируем равенства
PWW = Зр»р|»РГФ^. C-43)
Р Vpvq^v = Р^ц^фя^ - Р2^Ф>. + (Р2J Ф C.44)
и получим
(Р2J Ф = Л*Фь-1- Px^P^^v. C.45)
Далее, в импульсном пространстве полевое уравнение, которо-
которому удовлетворяет функция (p^^v (p)> имеет вид
4 . C.46)
Выражение для ф (р), соответствующее уравнению C.45), можно
получить прямо из уравнения C.46), умножив его на p^p^pv.
Может показаться, что мы не достигли намеченной цели и не выве-
вывели полевых дифференциальных уравнений второго порядка, так
как ф дифференцируется трижды и зто скалярное поле удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению четвертого порядка. Но
в уравнение входит только комбинация полей вида
^5Ф(р), C.47)
поскольку
Р\Р*' (PvPixPv) —PuPv (PxP2) = 0. C.48)
Комбинация C.47) есть вполне допустимое переопределение поля
Фа,м^ (р), а это означает, что можно исключить ф (р) путем такого
преобразования.

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА | 219
Таким образом, нашей окончательной системой полевых уравне-
уравнений будет система C.46) с ср = 0, или, в эквивалентной записи,
C.49)
где многоточием обозначены слагаемые, которые получаются из
приведенных членов путем циклической перестановки индексов.
Алгебраическим следствием этого уравнения оказывается соот-
соотношение
Px5^v(p) = g|4?i-^5x(p), C.50)
которое не противоречит требованию, чтобы дивергенция источ-
источника была равна нулю, но столь же хорошо выполняется и в про-
противном случае.
Рассмотрим теперь частицу с конечной массой и спином 3.
Сначала будем ее описывать, как и раньше, функцией E.95) из
гл. 2:
где в соответствии с формулой E.79) из гл. 2, в которой мы поло-
положим с31 = —8/5,
— -5" Iga.n?vv'?rn' + ffnvgxx'l'n'v' + g'vJ.giin'i'v'X'], C.52)
причем раньше необходимая симметризация по индексам A/, \i', v'
правой части этого равенства в явном виде не проводилась. Этот
тензор обладает, в частности, свойствами
5
и
(^vv'e'A.'n' 4- Pvev.vg\i'v' -'- Pv^nn'I'v'X')] C.53)
Для поля, определяемого равенством
= j -^гв^^^-^ф^Ср), C.55)

220 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
получаем
4>*v (P) = р2 ^_Ы Пццу. * w (P) S™* (р). C.56)
Присутствие в этом выражении симметричной функции источника
приводит к необходимости симметризации по индексам X', |.i', v'.
Чтобы не проводить эту процедуру в явном виде и для индексов
X, \i, v, мы введем вспомогательный симметричный тензор
и напишем для поля
4- m2) Ф,1П, - s^v [7i^
vv. ]
C,57)
Аналогично этому имеем
2 РкР» PvPv -
?VM'V'. C.59)
По аналогии с левой частью уравнения C.46) (при <р = 0)
образуем комбинацию
5" ^vl'U'l'n'v 5-
Кроме того, что здесь появляются многочисленные производные,
действующие на источник, коэффициент при S^ не совпадает по
своему значению с соответствующим коэффициентом в уравнении
C.46). Это можно исправить, рассматривая также величину
pwpv

§ з. некоторый: другие значения спина I 221
поскольку тогда
J
D ^), C.62)
где
«•2 (p) = 4 ( Pvyv> - 4 pv^-v) S^' (p). C.63)
Кроме того, из уравнения для ср?_ получаем
(ра -f 2яг2) 2 (р) - tft^cp, (p) = -pi5x (p). C.64)
Если C.62) рассматривать как дифференциальное уравнение, то
оно будет содержать третьи производные вспомогательного ска-
скалярного поля 2. Взяв в качестве соответствующего вспомогатель-
вспомогательного поля градиент скалярного поля, мы понизим порядок этих
производных до второго, и тогда дифференциальное уравнение
второго порядка, которому удовлетворяет векторное поле, будет
содержать вторые производные функции источника.
Это и служит основанием для того, чтобы добавить к функции
W определенный член, описывающий специфическую контактную
связь:
- C-65>
Он приводит к появлению у поля дополнительного слагаемого
*S* -
C.66)
вклад которого в полевое уравнение таков:
-г-
Г (t ^ ) ] , C.67)
где
[
[t

222 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Добавив эти члены к правой части уравнения C.62), мы исключим,
третьи производные Б, заменив их первыми производными Ф.
Кроме того, возникает и дополнительный вклад в C.64), который"
можно добавить к левой части этого уравнения; он имеет вид.
C.69>
Если заменить в этом уравнении 2 на Ф, то все члены с источника-
источниками исчезнут. Таким образом, мы выполнили то, что намечали,,
и получили пару дифференциальных уравнений:
(— дг + т?) cp*nv + дхд1'ц>1'^ + ... — д,Афл — • • • +
4n A+ • • ¦)Ф = SX]1V — -4-{guvS}. + ...)»¦
) Ф(х) = 4гтд х«рЬ (*). C.70>
Заметим, что в пределе при т —*• 0 скалярное поле в действитель-
действительности исчезает и мы вновь приходим к уравнению C.46). Если
систему уравнений C.70) дополнить граничными условиями, тре-
требующими, чтобы существовала только расходящаяся во времени,
волна, то ее единственным решением будет поле (fi^, определяе-
определяемое выражением C.56).
Спин s/2. Согласно формуле (8.10) из гл. 2, такая система описы-
описывается функцией
= -r J -щгЧЧ-
+ Т p
C-71)
Следовательно, поле, определяющееся равенством
т ^) = J -Щ1Г влд(- Р) У°% (Р). C-72>
будет иметь вид
% (Р) = р2 + т2_г-е [(т - VP) F
^)]p). C-73)
Из него можно образовать два поля:
] )v C-74)

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА | 223
И
Y4v = -^[pv-4(»*Yv + />v)]riv, C.75)
которые дают следующие линейные комбинации:
р»%+уру»%=-^ /viv C.76)
и
-р»% + (т-ур)у»% = --^(myv + Pv) rf. C.77)
Используя любое из тождеств
= (myil — pVi)(m-yp),
Р)
мы придем к уравнению
j]?, C.79)
из которого сразу же получим
(ур + т) %- р^Ь-УиР^ + Уи^-ур) УЧ\ = V C.80)
Так же как полевое уравнение для частиц со спином х/2, это—диффе-
это—дифференциальное уравнение первого порядка (точнее, его эквивалент,
записанный в импульсном пространстве) с источником в правой
части. Решением этого уравнения с граничным условием, тре-
требующим, чтобы существовала только расходящаяся во времени
волна, будет поле, даваемое формулой C.73). Переходя в равен-
равенстве C.76) к пределу при т -> 0, мы увидим, что необходимое для
безмассовых частиц требование к источнику
ад* (р) = о C.81)
является алгебраическим следствием полевого уравнения, соот-
соответствующего случаю т = 0. Уравнение C.80) можно написать
в очень компактной форме. Действительно, учитывая коммута-
коммутативность матрицы уц с матрицей т — ур и соотношения
—PvYm. = ~ -j [°Vvt yP], C.82)
мы получаем
4}tv = Tlii. C.83)
Имея перед собой примеры спинов 2, 3 и 3/2, нетрудно убедить-
убедиться, что возможно такое простое алгебраическое переопределение

224 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
источников, при котором общая структура полевых уравнений
сохраняется, но в функцию W вводятся новые или модифицируют-
модифицируются уже имеющиеся контактные члены. Так, например, рассмотрим
преобразование
Т^ (х) = Г^ (х) - ае», Г (х), C.84)
которое можно обратить, написав
TlA^^T^W-rj^-g^Tix). C.85)
При подстановке этого нового определения в выражение для
W (Г), скажем C.24), дополнительные слагаемые с g^v дадут
только вклады контактного вида. Мы получим
^rT' (-p)x
Г(р), C.86)
где W (Т1) — функция того же вида, что и W (Т). Отсюда следует,
что поле, определяемое равенствами
бИ/ (Г) = J W6T"V < - Р) ^ ^ - J -^г ЪТ'»" (-р) Ф^ (р),
C.87)
будет преобразовываться по закону
или
ф^-Ь5"^45^ф'- C.89)
Так как поле и источник преобразуются по линейному закону,
причем это преобразование является локальным в пространстве-
времени, дифференциальное уравнение сохранит свою общую
форму, но коэффициенты его станут другими. Так, например,
в случае а = 1/г, когда
1 1
фцу — -j ?мл-Ф> фц„ --= q^v — -j g,lvq> C.90)
и аналогичные соотношения выполняются для источников, диффе-
дифференциальное уравнение принимает вид
(т2- 52) Ф^ + д»д\Ь + д?д\и-± fev Bm2- д*) Ф' =.-: Т^. C.91)
В случае безмассовых частиц из этого дифференциального урав-
уравнения будет следовать равенство нулю дивергенции, но уже не

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА | 225
самого источника 7^v, а комбинации
T'^-^g^T'^T^. C.92)
В отношении спина 3 мы ограничимся замечанием, что источ-
источник и поле переопределяются следующим образом:
. (о^Уо)
v)-
При такой замене общая структура полевых уравнений сохра-
сохраняется, а контактные члены изменяются, но полностью устранить
их не удается. Как мы видим, дифференциальные уравнения второ-
второго порядка, не содержащие производных источника, получить
в отсутствие контактных членов невозможно.
Возвращаясь к спину 3/2, заметим, что линейное преобразова-
преобразование источника
C.94)
приводит к следующим контактным членам:
W (л) = W (т)') + -^ j -^ [Т]'Д (- р) fyrfrf* (p) +
+ Ptf» (~ Р) V°Vvn'v (Р)] + -gis- j -^Г Л'" (- Р) Т°Т^ X
X [7/)а2 + »гаBа— 1)] VvTl'v(P)- C-95)
Преобразование для поля, вытекающее из равенств
,(/'). C.96)
можно написать в виде
1V = ^m. + «YhYv^v C.97)
или
П'ц = 'Фц+4A-а)ТЛ?^. C-98)
где
a-jEs- C.99)
В результате такого преобразования полевое уравнение C.80)
переходит в уравнение
(VP + m)Vix—a(/>nVv4>v+YhPvi|\,) + Ym.ip-'m—а"ур)уч^=г\», C.100)
где
а' = За (а - 1) + 1, а" = 4" C«2 - 2а + 1). C.101)
Li
15 — 0G70

226 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Заметим, что возможны только два случая, когда
a^a'^a»f C.102)
а именно
а = 1, а = 0; « = у > о = 1. C.103)
В первом из них мы приходим к первоначальному уравнению поля,
а во втором — к уравнению
(ур+т) tfc--g- (jvyv4>v + YnPv«W + 4Vw (m~VP) ГФ; = V (З.Ю4)
При другом простом выборе параметров
а = 0, а = ~ C.105)
мы получим
(ур + т) 4v + у V(l Bто - yp) Vv^ = Л^ C-106)
При т?г = 0 из полевых уравнений следует равенство нулю дивер-
дивергенции величины, получаемой путем преобразования исходной
функции источника.
Спин 5/г. Здесь тоже самый простой способ выяснить структу-
структуру полевого уравнения — начать со случая безмассовых частиц.
Общая формула (8.52) из гл. 2 в рассматриваемом частном случае
дает
—2~ VT (~P) Y°Yu (-VP) V^v (/») - j Л (-Р) Y0 (-
C.107)
где
ii(p) = ^v^v(P^ C-Ю8)
и
PiST(p) = 0. C.109)
В силу требования C.109), предъявляемого к источнику, поле
неоднозначно определяется равенством
= J -^г бл^ (-р) %v (p). C.110)

§ 3. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СПИНА I 227
Оно имеет следующий общий вид:
[ V"l—j Ym{( -УР) V^tliv —^ Vv (- YP) Y4a -
( )i()] + ^ + P^ (З.Ш)
где спин-вектор я^ следует определять, исходя из требования
к источнику. Мы не будем подробно останавливаться на выводе
полевого уравнения, ограничившись лишь замечанием, что здесь,
как и в случае спина 3, появляются высшие производные, которые,
однако, можно устранить путем допустимого переопределения
поля
^+^. C.112)
Окончательно полевое уравнение принимает следующий вид:
h'v 4->vYv4Vv + YvPv'lW) —
+ YvYPY'4nv )'+ fovY^y^ii'v +
y Pu — fiTuvYP) ¦* = Tlnv C.113)
Алгебраическое следствие этого уравнения
f{vvfy'%v=0 C-114)
не противоречит требованию, предъявляемому к источнику, но
последнее из него не следует.
Руководствуясь тем, что было сказано в § 8 гл. 2, мы придем
к следующей функции, описывающей частицы с конечной массой
и спином 5/2:
X [(»» —
+ 4 (vw + ^Pii) (m + Yrf (тм'-Ь^Г^') Fw]ti^'(p)- C.115)
Укажем здесь также те дополнительные контактные члены, кото-
которые необходимы, чтобы привести полевые уравнения к дифферен-
дифференциальным уравнениям первого порядка, не содержащим произ-
производных источника. Они получаются из функции
1Ш J Т^
Т {УР ~ 5т) Vu'Pv^'*' (Р) +
15»

228 I глава з. поля
+
^(p). C.116)
Полевые уравнения иуеют вид
(УР +'т) %v — (iW'Vv + YuP^n'v + /M>V'1W + YvPv4itv) +
+ Уч(т — УР) V'^IVv + 7v (m — yp) yv'%v> +
\ — g^ (VP + ™)\ $—
C.117)
и при тя -> 0 сводятся к уравнениям C.113). Читатель может сам
убедиться в справедливости полевых уравнений C.117), решив
их совместно с граничным условием, требующим, чтобы существо-
существовала только расходящаяся во времени волна, и получив при
этом поле ipnv соответствующее функциям C.115) и C.116),
а также следующее выражение для вспомогательного поля:
(р) + т (УР - п) Y^vtr (р) +
C.118)
§¦ 4. МУЛЬТИСПИНОРНЫЕ ПОЛЯ
Мультиспинорное описание дает нам единый подход ко всем
значениям спина, при котором образцом полевых уравнений слу-
служит дифференциальное уравнение первого порядка, отвечающее
спину 1/2. Но при этом во всех случаях, кроме случая спина г/2,
необходимо вводить контактные члены. Рассмотрим для примера
описание единичного спина посредством симметричного спинора
второго ранга, входящего в функцию
D.1)
Здесь уже введен соответствующий контактный член, причем нор-
нормировка источника отличается от той, которая использовалась
в формуле (9.8) из гл. 2; это различие в общем случае описывается
соотношением
1/(n1) D.2)

§ 4. МУЛЬТИСПИНОРНЬШ ПОЛЯ I 229
Поле определяется равенством
J
откуда
Замечая далее, что
™) -ф (р) = ^ ["I — ТгР + т + yip] r\ (р),
т)Ц(р) =Л-[т — у1р + т + у2р] т] (р),
и складывая эти равенства, получаем
] (Р) = Л
Будучи записанным в координатном пространстве, это соотноше-
соотношение представляет собой полевое дифференциальное уравнение
первого порядка:
[т (vf + т?) т д» + т\ * <*> = ^ (z)- D-7)
Другое следствие равенств D.5), а именно
(р) = ^ (iff - ^) Р^Л (Р). D-8)
также содержится в уравнении D.6), в чем нетрудно убедиться,
умножив его на у^р — у2р и воспользовавшись тем, что
D-9)
Это последнее простое алгебраическое свойство дает элемен-
элементарный и всегда пригодный способ проверки наших выкладок.
Для собственных значений это соотношение принимает вид yip =
= ±7гР> что представляет собой инвариантную форму записи
двух возможных случаев у\ — ±у" в системе покоя, причем,
выбирая знак плюс, мы выделяем для описания частицы соответ-
соответствующее подпространство. Соответственно этому, если положить
УгР — YiP B уравнении D.6), то оно примет вид уравнения Дирака
для спина Ч2, тогда как, выбрав у2р = —у%р, мы фактически
исключим производные по координатам и получим поле, обра-
обращающееся в нуль вне области, занятой источниками. Теперь струк-
структура функции D.1) становится более ясной, так как при у2р = уф
мы придем к выражению
("-TipJ = т — ЪР ^2™ j (A iO\

230 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
оправдывающему появление контактного члена и изменение норми-
нормировки, необходимых для того, чтобы получить уравнение D.6).
Эффективность подобного подхода становится еще более оче-
очевидной, если обратиться к мультиспинору ранга 3. Положив
У1Р ~ УгР = УзР> мы получим конструкцию вида
которая говорит о том, что соответствующим отправным пунк-
пунктом будет
--— f dp n(
Эта функция приводит к полю
, D-13)
которое определяется равенством
Для 7ар возможны только два общих случая — либо все эти
величины равны, либо одна противоположна по знаку двум дру-
другим. В первом случае мы будем иметь
= УгР = УзР-
D-15)
а во втором получим, например,
УгР = — УзР-
Как нетрудно убедиться непосредственной проверкой, все эти
уравнения можно объединить, написав
Заметим, что формулу для поля D.16) можно представить также
в виде не ограниченного никаким дополнительным условием

§ 4. МУЛЬТИСПИНОГНЫЕ ПОЛЯ I 231
уравнения
Если затем ввести поля типа
D-19)
антисимметричные по соответствующим парам индексов, то мы
придем к системе дифференциальных уравнений первого порядка:
D.20)
причем последнее из них эквивалентно трем уравнениям, полу-
получающимся одно из другого в результате циклической перестановки
индексов.
Полезно также исключить три вспомогательных поля, пред-
представив полевое уравнение в форме
где многоточием обозначены два аналогичных выражения, полу-
получающихся из выписанного при циклической перестановке. Что-
Чтобы убедиться в том, что одно это уравнение позволяет реконструи-
реконструировать исходное поле, достаточно рассмотреть два частных случая:
)^ = ц ,4
-Р= -узР: [4 *Р+™-Т-т^Ы* = ТЬ
которые действительно содержат результаты, приведенные в фор-
формулах D.15) и D.16). Уравнение D.21) можно записать и по-дру-
по-другому, заметив, что
—Ya^H (/я—i Vip) 4-(YiJ>—?sJ>)- D.23)
В результате мы придем к дифференциальному уравнению вто
рого порядка
D.24)

232 I глава з. поля
или, иначе,
{DJ}]D2). D-25)
Последнее уже можно сравнивать с дифференциальным уравне-
уравнением второго порядка для единичного спина:
D2 )}](j2 ) Л, D.26)
и для спина Уг
(р« + и») яр = (т - ур) т]. D.27)
Анализ мультиспинора четвертого ранга мы начнем с алгебраи-
алгебраического тождества
№D.28)
Но теперь при более общей интерпретации величины (у^J возни-
возникает некоторая неоднозначность, так как не ясно, следует ли
считать эту величину равной —р2 или V6 2 УаРУРР- На самом
деле мы будем пользоваться вполне определенной линейной комби-
комбинацией этих величин, выбирая ее таким образом, чтобы в выраже-
выражении для яр степени импульсов были минимальными. Исходя из
этих соображений, положим
+4 2 V.P7PP] Л- D.29)
Для уар возможны следующие соотношения:
У1Р = ЧгР = УзР = У1Р-
[2] = 4. D.30)
D.31)
D.32)

4. МУЛЬТИСПИНОРНЫЕ ПОЛЯ 233
Выбрав соответствующие функции"в виде D.29), мы добились того,
что выражение для поля в случае D.31) стало более простым —
в него не входит член с р2, который мог бы, вообще говоря,
и появиться. Все эти три полевых уравнения можно объединить,
написав
2 (Т<Т-Р-
К единому описанию можно прийти и другим способом, взяв
уравнение
D-34>
(ytP—ViP)
и его очевидные обобщения на случаи любого иного расположе-
расположения индексов. Используя определения антисимметричных функ-
функций типа
(VP — У*Р) Л,
D.35)
)
4^5-
можно будет записать следующую систему дифференциальных
уравнений первого порядка:
т 2 У*Р + т]
Р) —
= 0, D.36)
[23]
—YsP) %i4],
последние два из которых являются представителями целой
совокупности аналогичных им уравнений.
Исключая вспомогательные поля, мы получим одно-единствен-
одно-единственное (многокомпонентное) полевое уравнение
+т
1 \'<
2 (Y1P-Y4P))
2m
¦+
v*v\2
D.37)

234 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где^многоточием обозначена сумма слагаемых типа приведенного
здесь по всем парам индексов. Различные возможные варианты
иллюстрируются следующими примерами:
У1Р = У2Р => ЪР = —
D.38)
которые вновь приводят к выражениям для поля D.30) — D.32).
В другой форме записи уравнение имеет вид
, D-39)
где последнее суммирование распространяется на все различные
неповторяющиеся пары индексов: а < р, а' < р', а ф а', Р Ф-
ф Р'. Это уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению
четвертого порядка.
Обращаясь к мультиспинорам пятого ранга, отметим прежде
всего, что
2 — te YlP +
D.40)
Возникающая здесь неоднозначность устраняется тем, что поле
выбирается в виде
VaP — 4" 2 YaPYaPYvP] Л- D.41)

§ 4. МУЛЬТИСПИНОРНЫЕ ПОЛЯ | 235
При этом возможны следующие случаи:
D.42)
/A
В общем случае справедливо равенство
D.45)
где в сумму не следует включать члены с повторяющимися
парами индексов, а также равенство
^l ) X
] D.46)
где суммирование, обозначенное символом 5] » распространяется
на все значения индексов, отличные от а и р.
Вспомогательные поля
T 2' (t(v«'p-yp-p)J1x
а'<В'
D.47)

236 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и, например,
приводят к полевым уравнениям
D-49)
Чтобы замкнуть систему, нам необходимо дифференциальное
уравнение для функций iftaW [<*'&']» связывающее их с т|?[ар]. Имеем
X
D.50)
тогда как
4"
(l +-27^ Р2) Т (Т2Р-ТзР) X
7бР)Л- D.51)
и, поскольку 1/25 =/= 1/27, прямой связи нет. Но возникает мысль
ввести другой набор вспомогательных полей, например поля
Х[23][45] = A2таJ YiP -2" (YaP - УзР) -г (Y4P- YsP) Л, D.52)
которые удовлетворяют уравнению
(ViP — 5m) X[ap] [a'B'] + YiP^IafS] [a'P'] = 0 D.53)
и позволяют^написать
(YiP + 5m) ^[ap] [a'»'] + -gf YlPfrafS] [«'»'] —
T^«'P-VB'P)fepj = O. D.54)
Полная система дифференциальных уравнений второго порядка
дается формулами D.49), D.53) и D.54). Вспомогательные поля
можно исключить, получив тем самым для г|з одно-единственное
уравнение, представимое в различпых эквивалентных формах,
но все они слишком громоздки, так что приводить их не имеет
никакого смысла.

§ 4. МУЛЬТИСШШОРНЫЕ ПОЛЯ | 237
Эту методику можно распространить и на спиноры более высо-
высокого ранга. Не останавливаясь подробно на решении этой общей
проблемы, мы ограничимся лишь тем, что включим уже получен-
полученные результаты в рамки более широкой схемы, соответствующей
мультиспинору ранга п. Обобщая формулы D.6), D.20), D.36)
и D.49), мы придем к следующим двум первым уравнениям систе-
системы:
y (TaP- YPP) %«ю = Л,
D.55)
п 1 , , п — 2 1
x(y«p2 4
а'<0'
откуда следует, что
Ylp=...=Ynp: т
yiP= ...=.yn_iP= — YnV: D.56)
1 /, я —2 1 \
ib =— 1 ¦— Ylp) T].
Далее мы получим уравнения
-^4Г «J Ч>[аИ [«'
1 (п — 1)(ге — 4J v'
 („_2K ZJ Та"Р"/[аВ] [о'р#] ~
(п — 3) ге4 1 , \ i i г. it
Уа"Р ~ Т=4 т] ХГаВ] [«'1Л + 2 Т«-Р%«Ц] [а'П + ... - 0,
где невыписанные слагаемые отвечают трем разным парам индек-
индексов. Эта система уравнений обладает следующим свойством:
ytp = ... = 7„_2р = — yn-iP = —упр:
( + ^=f -Vp2)n, D.58)
которое сохраняется даже при п = 3.
Полностью симметричный мультиспинор ранга п = 1, 2, 3, . . .
описывает частицы со спином s = 1/2и = 1/2, 1, 3/г, .... Кате
уже указывалось, пополнить этот перечень значением s = 0
можно, рассмотрев случай и = 2 и заменив симметричный спинор
антисимметричным. Все уравнения, соответствующие п = 2, при-
пригодны и при измененном типе симметрии. Впрочем, это замечание

238 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
носит совершенно общий характер. В той системе уравнений,
о которой речь шла выше, операторы, действующие на поля, пол-
полностью симметричны по спинорным индексам. Поэтому поле 1|)
будет приобретать все те свойства симметрии, которыми обладает
источник Т]. Наиболее существенные особенности описания части-
частицы в системе покоя проявляются в подпространстве, соответ-
соответствующем выбору у^ = . . . = yh. Следовательно, значение спина
частицы будет определяться симметрией, общей для источника
и поля. В случае полной симметрии спин равен s = ^l^n; если же
имеет место антисимметрия по одной паре индексов и полная
симметрия по всем остальным индексам, то он будет равен s =
— х/г (п — 2) = г/2 п — 1 и т. д. Поэтому, выбрав соответствующим
образом симметрию, мы можем применять уравнения для спинора
третьего ранга к спинам s = 3/2 или l/z, уравнения для спинора
четвертого ранга к спинам s = 2, 1, 0 и т. д.
§ 5. ДЕЙСТВИЕ
В символической форме все сказанное выше можно сформули-
сформулировать следующим образом:
W = | J SyGS, E.1)
8W = J 8Sy% = j %y6S, E.2)
1 = GS, E.3)
F% = S. E.4)
Это означает, что мы исходим из квадратичного по источникам
выражения для W, в котором наличие матриц у отражает характер
метрики, и определяем поля, рассматривая бесконечно малый
пробный источник. В таком случае нелокальная по пространствен-
пространственно-временным переменным связь между полем и источником,
задаваемая оператором G, превращается в локальную дифферен-
дифференциальную связь, осуществляемую оператором F. Функцию W
можно записать и по-другому:
W = y J SVX- = T J ОТ5' E>5)
или
W = у j %yFx = y j F%y%. E.6)
Особенно важное значение имеет линейная комбинация
W = j ( SyX - 1 %yFxj . E.7)
До сих пор поле % было некой производной величиной, чем-то
вроде удобпого сокращенного обозначения для произведения GS.

§ 5. ДЕЙСТВИЕ | 239
Теперь же оно становится в некотором роде независимой величи-
величиной. В самом деле, забудем на время про всякие связи между %
и S и будем варьировать эти величины в E.7) независимо друг
от друга. Тогда мы получим
+ J ®™S ~ 6^х)- E-8)
Но 8W = 1 6Syx, и поэтому добавочный член должен обращать-
обращаться в нуль, что действительно имеет место, поскольку F% = S.
Это означает, что если выражение E.7) рассматривать как функ-
функционал от 1 при фиксированном S, то его первая вариация будет
равна нулю; иными словами, этот функционал стационарен при
той единственной конфигурации поля, к которой приводят поле-
полевые уравнения совместно с наложенными на них граничными
условиями. Это придает величине W характер действия, из кото-
которого, пользуясь принципом стационарного действия, можно полу-
получить полевые уравнения. Теперь мы проиллюстрируем все сказан-
сказанное примерами разных значений спина.
Спин 0. Полевое уравнение имеет вид
(_«?г + mg) y(x) =K (х), E.9)
и выражение для действия E.7) записывается так:
W = j (dx) [ К (х) фМ-1<р (х) (-0» + т*) Ф (х) ] . E.10)
Его можно представить в более симметричной форме, содержащей
только первые производные. При интегрировании по частям ника-
никаких дополнительных поверхностных интегралов не возникает,
в чем проще всего убедиться, перейдя к евклидову представлению.
Здесь на больших расстояниях от источника поля убывают по
экспоненциальному закону, поскольку таким свойством обладает
функция АЕ (х — х') при т Ф 0. Даже в случае безмассовых
частиц зависимость вида (х — х')~* оказывается достаточно силь-
сильной для того, чтобы вклады интегралов по бесконечно удаленным
поверхностям обращались в нуль. В соответствии с этим мы напи-
напишем
W = j (dx) [К (х) <p(x) + Z (Ф (х))), E.11)
где зависящую от поля величину
%{у{х))=-\[д\р{х)д^>{х)+т?(ч>(х)У\ E.12)
можно назвать функцией Лагранжа системы.

240 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Отметим, что полевое уравнение можно представить также
в виде системы уравнений первого порядка:
<?цф (х) — фц (х) = К^ (х), —д^ (х) + те2ф (а:) = К (х).
E.13)
Исключив векторное поле фи, мы получим дифференциальное
уравнение второго порядка
(-д* + т*) Ф (х) = К (х) - д»К» (х), E.14)
содержащее тот же самый эффективный скалярный источник,
с которым мы уже встречались в формуле (9.76) из гл. 2. Соответ-
Соответствующее выражение для действия имеет вид
W = J (dx) [К (х) Ф (х) + К» (х) ФA (х) + Х{у (х), Ф^ (х))],
E.15)
где
^ E.16)
Если первое из уравнений E.13) рассматривать как определение,
то фц уже не будет независимым полем, и мы вновь вернемся
к выражению E.11) для действия, но в него войдет также эффек-
эффективный скалярный источник, фигурирующий в E.14), и дополни-
дополнительный контактный член — \ (dx) A/г) К^К^.
Спин 1. Из полевого уравнения
( _ д* + mi) фц (Ж) + 9(i5v9v (a;) = j№ (x) E.17)
мы получаем действие
W = j (dx) [/w (х) ФA (х) + X (ФA (х))) E.18)
с функцией Лагранжа
%= -{[i^V-^^v-^ + m^]. E-19)
При этом мы воспользовались формулами
J (dx) Ф»1 (- д*) Фд = J (dor) а*ф^Фв E.20)
и
f (^) фМ^Э'ф, = - j (dx) aV^qv E.21)
Но последнюю из них можно было бы заменить формулой
(dx) ф>* W = - J (dor) a^i»avq>»» E-22)

§ 5. ДЕЙСТВИЕ | 241
в результате чего мы получили бы другую функцию Лагранжа:
X = -у [SV3^ _(d^J + mV<Pj- E.23)
Таким образом, то, что мы ограничиваемся первыми производны-
производными, еще не гарантирует однозначности функции Лагранжа. Вообще
говоря, две функции Лагранжа, соответствующие одной и той же
системе, связаны одна с другой соотношением вида
Х^Хъ + дХ, E.24)
так как локальный член, имеющий вид дивергенции, не дает вкла-
вклада в действие, получаемое путем интегрирования. В нашем случае
выражение E.23) перейдет в E.19), если положить
E.25)
Система уравнений первого порядка имеет вид
/Ч^ф^/. E.26)
Эти уравнения вытекают из действия
W J (dx) fj^+^M^G^ + X^, G^)] E.27)
с функцией Лагранжа
4 (i^) E-28)
Рассматривая первое из уравнений E.26) как определение
величины GMV, мы снова получим действие E.18) с эффективным
векторным источником /^ -(- д^М^, аналогичным источни-
источнику (9.78) из гл. 2, и с дополнительным контактным членом
— \ {dx) V4 M^M^v
Спин 2. Полевые уравнения имеют вид
7'(iV, E.29)
и одной из возможных функций Лагранжа в действии
W = J (dx) [Г^фцу + X] E.30)
будет функция
^х,, E.31)
X = — у
16-0670

242 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
причем последнее слагаемое можно заменить величиной
V E.32)
или какой-то линейной комбинацией обеих величин.
Дифференциальные уравнения первого порядка можно полу-
получить двумя разными способами, которые дают две разные системы
уравнений. Одна из них связана с действием
= j (dx)
j [ ^ ] E.33)
где
i
у Ь E.34)
поля Ki^v и Сд.^ антисимметричны по к и v и
Gx = CAv*. E.35)
В этом случае полевые уравнения имеют вид
1 1
E.36)
где левая часть подразумевается симметризованной по ц и v, a
дхЧцу — ^фХц, — Gx^v = ^imv E.37)
Эффективный источник в последнем уравнении
E.oo)
указывает нам, какую нужно произвести перегруппировку членов,
чтобы прийти к уравнениям в форме E.37), отправляясь от урав-
уравнений, которые вытекают из принципа стационарного действия.
В связи с E.36) полезно отметить также, что
uc^Vv = j (dx) (r^-i- g^T) ((p^—i- M) • E.39)
Если смотреть на G^v как на производную величину, то мы полу-
получим функцию Лагранжа, равную среднему арифметическому двух
выражений, соответствующих формулам E.31) и E.32). Роль
источника в таком действии будет играть величина Т^ -\- д^К^х,
где подразумевается симметризация по \i и v, и будет существо-
существовать дополнительный контактный член.

§ 5. ДЕЙСТВИЕ I 243
Вторая система дифференциальных уравнений получается из
действия
W= j (dx) [Тт<р^ + Ь^Н^ + Х], E.40)
где
х = я^Чф^ - #v54v+4 (я" - %
] E.41)
поле Н^х симметрично по \i и v и
xH = Hjk, Hk = Hx\. E.42)
Полевые уравнения будут вида
"дХН^к - dvH^ -f- m2 ( T(iV + \ gllvcp) = T»v - -i- ^vf E.43)
с симметризованной по [г и v левой частью (в частности, с сим-
метризованным 5ГЯЦ) и
ЗцФял> + ^фхм. — ^яфцг — Я^lvл = i^x, E.44)
где
— у (gkvW 4- g^M^v) 4- у (^лц vL + g\n VL — ^v XL). E.45)
Если считать равенство E.44) определением величины Я^я,
то функция Лагранжа превратится в функцию Лагранжа, содер-
содержащую слагаемое E.32). Эффективный источник будет вида
^ E.46)
с дополнительными контактными членами.
Спин 3. Мы уже видели, что для функции Лагранжа можно
выбирать разные выражения. Но в этом довольно сложном случае
мы ограничимся только одним. Действие имеет вид
E.47)
где
v— _!
х> — 2
E.48)
16*

244 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
причем вспомогательную функцию Ф следует варьировать в прин-
принципе стационарного действия независимым образом.
Спин i/z. Здесь достаточно сказать лишь несколько слов.
Полевое уравнение
(у" у дц + т) ф (х) = т) (х) E.49)
вытекает из действия
W = j (dx) [т, (х) V4 to + % fo (*))J E-50)
с функцией Лагранжа
На первый взгляд, здесь допускается произвол, поскольку про-
производную можно перенести с правого поля на левое, изменив при
этом знак. Но в действительности при этом ничто не меняется:
Ч> (*) VV д^](х) = -д^ (х) yV* (*), E-52)
так как матрицы y0?" симметричны, а -ф (х) антикоммутирует
с д^г]) (а;).
Спин 3/2. Уравнения для спин-векторного поля имеют вид
Им соответствует действие
|^={(&)[^Yofc + ^] E.54)
с функцией Лагранжа
х - —г {*?г [тх т 5л + да] ^ - W т ^v*tv -
-Y^T ^]vv^v}. E.55)
Второе и третье слагаемые обеспечивают в явном виде симметрию
по действию оператора дифференцирования направо и налево:
-^ipyoyv^^vyoy^u- E.56)
Для первого и последнего слагаемых E.55) это обеспечивается
автоматически.

§ 5. ДЕЙСТВИЕ | 245
Спин 5/г- В случае симметричного спин-тензорного поля г^
действие имеет следующий вид:
W= j (dx)[^yo%v + Xh E.57)
где
Х=-~ -jV VY°
^ ir«of vfcJ_3fc — 3m] T. E.58)
Применяя принцип стационарного действия, вспомогательный
спинор W следует варьировать независимо.
Спины 0, 4/2, 1, 3/г, 2, 5/2, .... Здесь мы имеем в виду описа-
описание разных спинов посредством мультиспиноров. Так, например,
в случае спинов 0 или 1 применимы следующие действие и функция
Лагранжа:
l ri 1 1 E-59>
Wyl Ц(У? + У$) Т ^ + тJ ^
Не следует забывать, что эти спиноры четного ранга являются
коммутирующими величинами (статистика Бозе — Эйнштейна)
соответственно симметрии матрицы у°у° и антисимметрии матриц
Y1Y2 (fi + Тг1)- В качестве основы для принципа действия можно
принять также дифференциальное уравнение второго порядка
D.26). Напишем его в виде
E.60)
a
где
a
Затем построим действие
\>-\-X],
E.62)
= ~т Г. -д^У°УЛ 2 тй 4- 2

246 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где множитель l/2m введен для того, чтобы можно было непосред-
непосредственно сравнивать два выражения для действия; в других случа-
случаях его можно включить в общий масштабный множитель поля
и источника. Из формул E.62) вытекает другое выражение для W:
= i J (dx) л (х) ТЭДР (х)- -^ J (dx) т) (х) тЭДл (*)¦ E.63)
Отсюда видно, что оба действия различаются только контактным
членом. Он компенсирует тот контактный член, который был
добавлен в формуле D.1). Такого же рода замечание можно сде-
сделать, основываясь на коммутативности симметричной матрицы
'Y5i'Y52 с матрицами ylyl, а также с матрицами (vVOa- Если
с помощью проекционных матриц 1/2 A ± JY51JY52) разложить
1|з и ? на компоненты, то выражение для действия E.62) разобьется
на две совершенно независимые части. Тогда можно будет поль-
пользоваться принципом действия в редуцированной форме, имея
дело лишь с одной из этих компонент поля и с соответствующим
ей источником. Чтобы сохранить масштаб для источников и полей,
такое действие следует умножить на два. В том, что в результате
всего этого изменяются только контактные члены, легко убедиться,
написав
W = Т ^ J
+ у 2 Ya7"^
= | j {dx) г\Уу^--^ j (dx) tiyJyS A + ^51JY52) Л. E.64)
Между прочим, аналогичным образом можно описывать
и спин г/2, рассматривая дифференциальное уравнение второго
порядка
(_92 + /п2) гр (ж) = g И, g (ж) = Гт - Y^ 1 5 J т) (ж) E.65)
и действие
w®^4^\{dx)[? {х) ^ ^}+^ ^ (х))] •
J E.66)
2

§ 5. ДЕЙСТВИЕ | 247
И снова мы видим, что функция
m - ^ т
= 1 J (<2л) т| (я) учр (я:) — ^ j (dx)^Hv°4W E-67)
отличается от исходного действия только контактным членом.
Предположим далее, что в E.66) вводится одна из удвоенных
проекционных матриц
E-68)
причем так, что всюду она стоит справа от у0. Тогда, поскольку
, E-69)
поле и источник будут проектироваться на одно и то же подпро-
подпространство. Новое действие будет иметь вид
=4 I {dx)r](x)y^(x)-^ ^ (dx)y](x)f(i + iy,L(x), E.70)
откуда видно, что изменился лишь контактный член, а описывает-
описывается та же самая физическая система. На вопросе о том, дает ли
какие-либо практические преимущества такое описание спина г1г
уравнением второго порядка, мы здесь не будем останавливаться,
а ограничимся только одним замечанием. Контактный член в фор-
формуле E.70), содержащий матрицу уб! есть мнимая величина (матри-
(матрица Y°ry5 антисимметричн? и вещественна), и чтобы полностью
сохранить физическую эквивалентность двух способов описания,
его следует вычесть из действия второго порядка. Поскольку такое
вычитаемое представляет собой контактный член, выраженный
через источник т], а не через ?, уравнения второго порядка нельзя
рассматривать как фундаментальный способ описания частиц со
спином г/2-
Спинам V2 или 3/2 соответствует действие
W = \ (dx) [т|уф + Х\, E.71)

248 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где
у =
и
d3^]%E.73)
Помимо 1]з в это выражение входят три вспомогательные функции
%23]j • • •» которые варьируются в принципе действия независи-
независимым образом. В формулировке, включающей производные второго
порядка,
E.74)
где
S=[m—з-Цтйу^]1!- E.75)
В этом случае мы будем иметь
ot<P
причем последнее слагаемое можно представить также в виде
[см. формулу D.19)]
9m j {dx) 2 %«иУФ[аР]. E-77)
а>р
Этот член — контактного вида, так как 1|3[аз] можно включить
в источник. Кроме того, если в формуле E.74) все матрицы у умно-
умножить справа на одну из проекционных матриц 1 ± П (Й^а» т<>
при этом изменятся только контактные члены. Такое описание
с использованием производных второго порядка физически экви-
эквивалентно описанию посредством уравнений первого порядка.

§ 5. ДЕЙСТВИЕ | 249
Мы не будем останавливаться на спинорах четвертого и пятого-
рангов, а сразу сформулируем принцип действия для спиноров
ранга п. Соответствующая неполная функция Лагранжа, написан-
написанная без симметризации производных, которая используется,
например, в формуле E.73), имеет вид
П(п — 1) 1 V Г * V *
ntn — 1)
(re_l)8(ra_2K(re-4) 1 ^
X [^=4 2 'V«' T ^ + ^=4
. (я —1K(«—4K хд ,
+ ^ T|3lW ?'P'
(„_lK(n_4K
^ иа(п-З)
i 2' VS4 d»~?im] ХС«Я [«'»'] + • • . • E.78)
Суммирование здесь следует проводить только по парам неповто-
неповторяющихся индексов.
Интересно было бы выявить связь между мультиспинорной
формулировкой действия и формулировкой, в которой используют-
используются тензоры или спин-тензоры. Мы ограничимся тем, что рассмотрим
мультиспиноры только низшего (второго) ранга. Спиноры второго
ранга нам будет удобнее представлять в виде матриц. В таких
обозначениях существенные для дальнейшего комбинации записы-
записываются как
^Y0]), E-79)
в соответствии с чем действие E.59) переписывается в виде
W = | (dx) Sp ( - tiy^V + { ^Y° 4 ^ tY11. *V] + T ^^Y4rY°) •
E.80)

250 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Симметричные спиноры, описывающие поле и источник единичного
спина, даются общими выражениями
E.81)
которые в несколько иных обозначениях уже появлялись раньше
[см. вторую строку формулы (9.70) из гл. 2]. Раскрывая коммута-
коммутаторы и вычисляя следы методом, изложенным в § 9, гл. 2, мы сра-
сразу же получаем:
= { (dx)
E-82)
•С точностью до симметризации по действию операторов дифферен-
дифференцирования на векторное и тензорное поля эти функции совпадают
с функциями E.27) и E.28), порождающими уравнения первого
порядка. Аналогично этому антисимметричные спиноры, которые
описывают нулевой спин, представляются в виде
2т- Ч*у = iyby\ - -i- y^yV 83
и иы получаем действие
1 1 11 E-84)
X = - у ф^ф + у фЗ|гф«» + у Ф^ц - у »»V,
фактически совпадающее с действием E.15), E.16).
Из матричной формы записи
iymiy^ -»- —iYo^t'Ye E-85)
видно, что слагаемое в матрице ч|з, которое коммутирует (или анти-
коммутирует) с iys, является собственным вектором матрицы
гу51*'Т52 с собственным значением —1 (или +1). В выражениях
E.81) и E.83) представлены оба эти собственные значения. Если
взять действие вида E.62), приводящее к уравнению второго
порядка, то вполне допустимо пользоваться отдельными проекция-
проекциями поля и источника. В случае спина 1 и 0 примером могут слу-
служить соотношения
, E.86)
E.87)

§ 5. ДЕЙСТВИЕ I 251
тде под ? понимаются соответствующие проекции величины E.61).
Тогда действие E.62) примет вид
> Vl +
Vl + у »»ЧтЧV) . E-88)
где добавлен множитель 2 и подразумевается, что поля и источники
редуцированы. Вычислив следы матриц, мы для действия сразу же
получим приводившиеся выше формулы E.18), E.19) и E.11),
E.12) с эффективными векторным и скалярным источниками,
фигурирующими в равенствах E.86), E.87). Можно также взять
и другие проекции, и тогда действие, отвечающее спинам 1 и О,
будет записываться в виде
w =
и
W = ( (dx) [К«V + JL(д^)* + у Ф^Фи] • E-90)
Здесь эффективные источники имеют вид
Мы закончим этот параграф замечаниями разного рода. Прежде
всего напомним, что хотя соответствующие примеры здесь и не
приводились, имеется возможность переопределения источников
и полей путем некоторых их линейных преобразований, изме-
изменяющих структуру полевых уравнений, а следовательно, и функ-
функций Лагранжа. Далее отметим, что весь наш анализ относился
к вакуумной амплитуде @+|0_)s. Если исходить из других
функций преобразования, то это найдет свое отражение в гранич-
граничных условиях в принципе действия. Рассмотрим для определенно-
определенности функцию преобразования @_| 0_)s-> s+, описывающую
замкнутый по времени цикл. В этом случае действие распадается
на два сходных слагаемых, имеющих противоположные знаки
и связанных с двумя разными направлениями развития во времени:
W E_, S+) = j ( S+yX+ -|
- j (
5_YX_ - 1 г-УП-) • E-91)
Граничные условия здесь требуют, чтобы до начала действия источ-
источников поле х+ содержало только отрицательные частоты, а поле
Х- — только положительные частоты и чтобы после выключения
источников поля х+ и Х- были равны друг другу. Из последнего

252 1 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
условия вытекает следующий результат. Хотя можно считать,
что интегрирование в формуле E.91) проводится по всему про-
пространству-времени, вклады от областей, более поздних по отноше-
отношению к действию источников, полностью взаимно уничтожаются.
Поэтому область интегрирования можно сделать полубесконечной,
ограничив ее произвольной пространственно-подобной поверх-
поверхностью, в будущем по отношению к которой все пространство сво-
свободно от источников. Наше последнее замечание касается связи
между функциями Лагранжа для частиц с конечной и нулевой
массой.
Как известно, совокупность состояний частицы со спином s
распадается при т -*¦ 0 на состояния с разными значениями спи-
ральности: ±s, ± (s — 1), . • • • Поэтому описание всех безмассо-
безмассовых частиц со спиральностями <;s, различающимися на целые
числа, должно содержаться в описании частицы с конечной массой
и спином s. Об этом кратко говорилось в главе, посвященной источ-
источникам. Здесь же мы хотим проследить соответствующее разложе-
разложение для поля на примере двух важных частных случаев. Зададим
векторное поле и источник частиц с единичным спином и массой т
равенствами
дд„/» = тК, E.92)
последнее из которых представляет собой соотношение C.44) из
гл. 2. Тогда действие E.18), E.19) примет вид
= j (At) [
^] E.93)
В пределе при т -*¦ 0 это действие распадается на две части. Одна
из них имеет вид
W(J)= J
E.94)
и, как об этом более подробно будет говориться позднее, описывает
фотон, а другая равна
W (К) = \ (dx) [#ф — у д^фд^ф] E.95)
и соответствует безмассовой частице с нулевым спином (спираль-
ностью). Заметим, что происхождение функции Лагранжа для
бесспиновой частицы целиком связано с массовым членом исход-
исходной функции Лагранжа и, если в E.19) просто положить т — О,
то мы ее проглядели бы.

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД I 253
Другой пример — спин 2, для которого мы напишем тензорное
поле и его источник в виде
<Piw = V — у=^ (дцАч + дуАц) + yg ("^2 aiA<P + «W4>) « E-96)
и
^ (Уф) E.97)
где два последних равенства представляют собой соотношения
D.21) из гл. 2. Эти величины обладают тем свойством, что
J (dx) Г%= J {dx) [ТО^ + ^Л + Яф] • E-98)
Подставив E.96) в действие E.30) и E.31) и перейдя к пределу
при m -»- 0, мы получим три независимых члена. Два из них вновь
приводят к выражениям для действия в случае единичной E.94)
и нулевой E.95) спиральности, а третий имеет вид
dtt2^v = 0. E.99)
Это выражение позднее мы также рассмотрим подробнее и увидим,
что оно представляет собой действие (или одно из действий) для
гравитационного поля. На этот раз, как видно из соотношения
(dx) [~~
J ( ) ^^-^^) (д^-д^А»), E.100)
происхождение фотонной функции Лагранжа целиком обязано
массовому члену частицы со спином 2, но в действие для скалярно-
скалярного поля дают вклад обе части исходной функции Лагранжа. Таким
образом, открывается интересная возможность объединить дей-
действия для безмассовых частиц с разными спиральностями, связав
их с одним выражением для действия частицы с конечной массой.
Кроме того, между различными спинами существуют такие соотно-
соотношения, которые позволяют прийти к общему во всех случаях
описанию заданной спиральности.
§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД
Вакуумная амплитуда @+|0_)s не изменяется при трансляциях
или вращениях источников как целого; в случае заряженных частиц
.она остается неизменной при едином фазовом преобразовании

254 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
источников. Физическую информацию получают, рассматривая
относительное преобразование разных частей распределения источ-
источника. Относительная трансляция дает информацию об энергии-
импульсе, относительное вращение — об угловом моменте, а отно-
относительное смещение фазы несет сведения о заряде. Если распреде-
распределение источника состоит из причинно-упорядоченных неперекры-
неперекрывающихся частей, рассматриваемых в качестве его составных
элементов, то мы получим сведения об интегральных физических
характеристиках — о полной энергии и о полном заряде. На сле-
следующем этапе рассматриваются преобразования, произвольным
образом меняющиеся в пространстве-времени и поэтому снабжаю-
снабжающие нас более локализованными данными о различных физических
величинах. Поля служат инструментом для передачи этой инфор-
информации.
Для иллюстрации рассмотрим бесспиновые заряженные части-
частицы с массой т, описываемые действием
W = j (dx) [К (х) Ф (х) + X], X = - у 1д»ц> д^ + теVI.
F.1)
где К (х) и ф (х) будут теперь двухкомпонентными объектами
в соответствующем евклидовом зарядовом пространстве. Инва-
Инвариантность относительно постоянного фазового преобразования
источника
К (х) = е^К (х), F.2)
вытекает из существования компенсирующего преобразования по-
поля
Ф (х) = е^Ф {х), F.3)
так как все евклидовы произведения в формуле F.1) не меняются
при общем вращении. Пусть теперь а становится произвольной
функцией точки. Для простоты мы рассмотрим инфинитезимальное
фазовое преобразование, обобщив преобразование F.2) следующим
образом:
8К (х) = —ig6a (x) К (х). F.4)
Соответствующая вариация действия равна:
8W = j {dx) ф {х) ЬК {х) = j (Ac) q> (x) iqK (x) ба (х). F.5)
Но мы опять можем ввести компенсирующее преобразование поля
бф (х) = iqSa (x) ф (х), F.6)
при котором Ку и ф2 остаются неизменными, а инвариантность W
нарушается только из-за пространственно-временных производ-
производных, которые теперь действуют на ба (х):
б @цФ (*)) = »9*и (х) <Эцф (х) + ig-ф (х) д^ба (х). F.7)

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД | 255
Таким образом, этот метод расчета дает
№ = - С (dx) j» (х) д»8а (х), F.8)
где
;<* (х) = 9^ф (х) iqy (х). F.9)
Проводя интегрирование по частям и сравнивая результаты, полу-
полученные двумя разными способами, мы будем иметь
V (*) = Ф (*) «7* (*)• F.Ю)
В справедливости этого равенства можно убедиться и непосред-
непосредственно, используя полевые уравнения. Если его правая часть
обращается в нуль, что справедливо в областях, свободных от
источников, то мы придем к локальной формулировке некоторого
закона сохранения. Диагонализуя зарядовую матрицу q и вводя:
комплексные источники, мы для действия получим
W = С (dx) [K*q> + Ку* — 5Шр* д^ - т\*<р], F.11)
а для )» будем иметь
/n = i (^Ф*ф - Ф* 3»»ф), dyj» = i (ф*ЛГ - К*<р), F.12)
где
1 1
Г F-13>
( + )
Ф = -у|- (фA) — *ФB))> Ф* =
причем следует напомнить, что ф* не является величиной, ком-
комплексно-сопряженной с ф. Совершенно аналогичные выводы спра-
справедливы в случае действия, отвечающего замкнутому во времени
вакуумному циклу; при этом у 8W появляются соответствующие
алгебраические знаки, которые указывают на направление хода
времени.
Используя изложенную нами более общую схему, мы теперь
заново исследуем причинно-упорядоченную пару источников К =
= Ki + К2, считая, что фаза у К2 изменяется на постоянную
величину, а фаза у Кг остается фиксированной. Как мы знаем,
для рассматриваемого инфинитезимального преобразования
@+1 о_>* = 2 @+1 W>Kl <W I о-)*2 -*¦
-+ 2 <0+ | {n})Ki [I + i6aQ] ({n} | 0_>Ка, F.14)
где
) = 2 qnm, F.15)

256 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
или
к = ida 2 <01 {n}fl Q ({п} 10>Ка
б <0+10_)к = ida 2 <0+1 {n}fl Q ({п} 10_>Ка. F.16)
Это средневзвешенное значение заряда похоже на его математиче-
математическое ожидание. И действительно, эти две величины совпадают, если
мы рассматриваем функцию для замкнутого во времени цикла,
«мещая фазу у К{+), а затем отождествляя оба источника с К:
б <0_ 10_>*(-'' *<+) = ;8а 2 @- ] W)K Q {{п} | O.f =
? F.17)
эта величина будет совпадать, например, с левой частью форму-
формулы B.123) из гл. 2, если последнюю написать для инфинитезималь-
ного преобразования. Чтобы применить к такому причинному
расположению источников соотношение F.8), разделим К^ и К2
некоторой пространственно-подобной поверхностью, которая во
всех остальных отношениях произвольна, и положим 8а (х) рав-
равным нулю в будущем этой поверхности и равным константе б a
в ее прошлом. Из-за наличия производной ступенчатой функции
—дцба (х) все интегрирование сведется к интегрированию по
поверхности, и мы получим
= MW = ь8а \ dorf»(х), F.18)
что приводит к следующему отождествлению:
2 «м-
При описании замкнутого во времени цикла все интегрирования
проводятся по полубесконечной области, ограниченной некоторой
пространственно-подобной поверхностью, расположенной в буду-
будущем по отношению к действию источников. В таком случае, пола-
полагая ба_ (х) = 0, ба+ (х) = 8а, получаем
8W = — j (dx) j» {х) д^ (х) + J (dx) jv- (х) д»8<х_ (х) =
= Sa ( do»]», F.20)
что приводит к следующему отождествлению:
= ((?)f. F.21)
Б последнем случае величина у*1 (х) строится из вещественных
или взаимно-сопряженных запаздывающих полей и является веще-
вещественной функцией.

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД I 257
Очевидно, что величина j» (x) дает нам пространственно-вре-
пространственно-временное описание распределения и движения заряда — она пред-
представляет собой вектор потока заряда, шит вектор тока. Вычислим
ее для одночастичного состояния. Обращаясь к формулам A.79) —
A.81), мы увидим, что в области, расположенной между излу-
излучающим источником К2 и поглощающим источником Ki, поля,
соответствующие положительно заряженной частице с импульсом
р, имеют вид
Ф(а;) = (йсорI/2^^?р+
, ' }
и если имеется только такое возбуждение, то
/Д (х) = 2рД cte>p (iK%+) (Ш2р+). F.23)
Входящие сюда в качестве сомножителей источники соответствуют
актам испускания в поглощения [см. соотношение F.19)]; ток,
связанный с самой частицей, равен 2р>* dwp. Мы можем проверить
зтот результат, убедившись, что полный заряд равен единице.
Сначала подчеркнем, что постоянный ток — это некоторая идеали-
идеализация, которая допустима во внутренней области пучка, но теряет
свою силу вблизи его границ. Разумеется, импульс нельзя задать
с произвольной степенью точности, как в формуле F.22); можно
лишь говорить, что он лежит в некоторой ячейке малых, но конеч-
конечных размеров, имеющей инвариантную меру Асор. Таким образом,
чтобы обеспечить правильное описание, нужно произвести замену
e**'- —tjjr J diope^. F.24)
Чтобы найти полный заряд, можно проинтегрировать плотность
заряда 7° (х) по всему пространству в фиксированный момент
времени:
—55J J *Ыйр'Жр-Р')-=1- F.25)
Дир
Точно так же для отрицательна заряженной частицы
if*(x) = {dmp)lheipxiK2p., v(x)~(da>pI'*e-i*4Ktp-, F.26)
и «
/¦Ч*)=-2р^Ж»,№Р_)(«Г2р_), F.27)
причем тем же способом легко убедиться в том, что полный заряд
частицы равен —1. Запаздывающие поля, возникающие при опи-
17-0670

258 I глава з. поля
сании замкнутого во времени цикла, которые связаны с определен-
определенным значением импульса и с положительным или отрицательным
зарядом, даются равенствами [см. формулы A.84)]
Ф (ж) = (Жо„I/8 eip4Kp+, F.28)
и
(p*(x) = {dd)pI/2eivxiKp_, F.29)
а также комплексно-сопряженными им выражениями. В этом слу-
случае вещественные токи имеют вид
Каждая такая величина, равная произведению тока одной частицы
на среднее число частиц данного типа, испущенных источником,
представляют собой вклад в математическое ожидание тока, при-
приписываемый определенным импульсу и заряду. Заметим, что, рас-
рассматривая одно-единственное значение импульса, мы не должны
забывать про интерференционные члены, которые появляются
в этих квадратичных по полю выражениях при наличии несколь-
нескольких частиц с разными импульсами. Подобные интерференционные
члены исчезают в ходе пространственных интегрирований, необхо-
необходимых при вычислении полного заряда.
Уравнения несохранения F.10) и F.12) устанавливают связь
между частицами и зарядами, наблюдающимися после действия
источника, и интенсивностью источника. Рассмотрим их в физи-
физических условиях замкнутого во времени цикла, полагая К{^ =
= К{+) = К. Проводя интегрирование по области, занятой источ-
источником, получаем
{Q)f = \ dovjt^i f (dx){<f%aiK—Я*фзаП), F.31)
где поверхностный интеграл берется по произвольной простран-
пространственно-подобной поверхности, расположенной в будущем по
отношению к области, занятой источником. На любой поверхности,
предшествующей во времени действию источника, запаздывающие
поля и ток равны нулю. Переписав правую часть последнего
равенства в явном виде, будем иметь
xr). F.32)
Но, согласно соотношениям A.27) и A.34),
-J [Азап (х — х) — Азап {х' — х)] - -j- [Дзап (х— х') — Допер (х — х')] =
F.33)

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД I 259
и мы приходим к результату
dwp [ | К (р) |2 -1 К* (р) |2] =
p+|a-|#p-|2], F.34)
(Q)f = J
который и следовало ожидать.
Мы еще не говорили о неоднозначности вектора тока, опре-
определяемого в общем случае равенством F.8). К заданному вектору
р (х) можно добавить произвольное выражение вида dvm.v-v (х),
где mf-v — антисимметричный тензор, ибо
- j (dx) dvm»v (х) д»8а (х) = J (dx) д^т»» {х) ба (х) = 0. F.35)
Дополнительное слагаемое в плотности заряда, равное V-п (х),
где nk — m°h, приводит к тому, что к заряду, связанному с трех-
трехмерным объемом, добавляется интеграл по двумерной поверхности:
S'B(x). F.36)
Следовательно, полный заряд системы не изменяется, а также не
приписывается никакого вектора потока однородному распределе-
распределению, поскольку он фиксируется на основе тех же соображений,
что и полный заряд. Почему же нельзя игнорировать эту неодно-
неоднозначность и просто брать то выражение для тока, которое есте-
естественным образом связано с функцией Лагранжа? Потому что
разные функции Лагранжа могут давать разные токи. Для иллю-
иллюстрации рассмотрим пример единичного спина.
Функция Лагранжа второго порядка E.19) дает выражения
fW=CVW-^VW)»W, F 37)
а функция Лагранжа первого порядка E.28) —выражения
(x) ' ^
В отсутствие источника М^ч эти выражения для тока эквивалент-
эквивалентны. Но если взять функцию Лагранжа E.23), то мы получим
— <ЭV) *3
где величина (p/gr(pv действительно представляет собой антисим-
антисимметричный тензор. Последнее выражение для тока оказывается
несколько более простым, так как вне области, занятой источни-
17*

260 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
ками, величина <9v(pv обращается в нуль и полный заряд можно
вычислять как
f d<r,j>= С do^V^qv F-40)
Применим это выражение к области, расположенной между двумя
причинно-разделенными источниками /J1 и J%, в которой поля
[см. формулу C.3I таковы:
= i J
t j (dx')[ j dto,e-W*-*')(^v+-is-p|4pv)]yr(*')= F.41)
Свойства собственных векторов
и условие нордшровки
^>Р„ = 1 F.43)
гарантируют, что вклад в j» от определенного состояния частицы
будет равен
* xq). F.44)
Очевидно, что выражение для потока 2pv d(op, приходящегося
на одну частицу, обладает универсальной применимостью. Как
мы уже упоминали, оно фиксируется условием нормировки, точ-
точным выражением которого является процедура, описанная при
выводе равенства F.25).
Можно подумать, что неоднозначность в выражениях для тока
свойственна функциям Лагранжа второго порядка, в которых
по-разному расставляются входящие в них две производные,
и что она не возникала бы, если бы брались функции Лагранжа
первого порядка. Чтобы рассеять эту иллюзию, достаточно рас-
рассмотреть заряженные частицы со спином 2, для которых имеются
две разные конструкции первого порядка. Из функции Лагранжа
E.34) мы получим
), F-45)
причем последнее выражение применимо в области, не занятой
источниками; в то же.время: E.41) дает
]*¦ = — H^Hqy^ + Htfq^* — -i- (Hl — KH) iq<?->-
F-46)

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД | 261
Применив метод фазовых преобразований к действию C.50)
и C.51) для спина 1/2, мы получим ток
^ (х) = | Ч> (х) yV^ И F-47)
вместе с соотношением
0J» (х) = op (x) y°iqi\ (x), F.48)
которое следует и из полевых уравнений. Поле в интервале между
причинно-разделенными источниками t)i и тJ равно [см. форму-
формулы B.14)]
•Ф(Я) = 2 №Paq{z)i4\2paq + tyPoq{x)*i4lpoqb F-49)
pcrg
напомним, что здесь
(ж) = Bт *орI/2 wpoBeipx, ^5Q
Вклад в ток /•*, обязанный одночастичному состоянию, равен
j» (х) = q%aq (x)* yoyNppaq (х) (Щ*род) (ИЬроя), (б-51)
что приводит к следующему значению потока, приходящегося
на одну частицу:
typoq (*)* У°У^рид (*) = 2m ^Сйри*од7°7Д"ра« = %Р* <^р- F-52)
К этому результату, который и следовало ожидать, приводит
соотношение
uporfyvupo^-^, F.53)
вывод которого основан на использовании условия нормировки
F.50) [см. также уравнения F.97) из гл. 2]:
0 = u*0,v° {УР + т, у»} ирод = - 2р* + 2nu4oqyoy»upaq. F.54)
Вместо того, чтобы при вычислении зарядов интегрировать
по поверхности вектор j^, можно также рассматривать объемные
интегралы от d^jv- по области, занятой источником тJ- Поле,
связанное с этим источником, при таком расчете не дает никакого
вклада:
j (dx) (dx1) т]2 И iqfG+ (x - х') ТJ (х') = 0, F.55)
так как из-за наличия антисимметричной матрицы q соответствие
между антикоммутативностью источников и антисимметрией ядра

262 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
y°G+ (x — х') нарушается. Следовательно,
* = J (dx) [ 2 W (*)* «Л W
peg'
= У, (mtpaq) q (ir\?,paq), F.56)
paq
откуда видно, что заряды, приписываемые одночастичным состоя-
состояниям, равны д = ±1. Хотя и такая интерпретация довольно ясна,
может быть, будет полезным рассмотреть вопрос более формально,
основываясь на аналоге соотношения F.19):
+10.)* = ^ <0+1 {я»111 Q ({п} | О.I. F.57)
Чтобы проанализировать его левую часть
2 <0+ | МГ f j tftV*] {{»} | О.Г, F.58)
достаточно заметить, что
па = \\ О,
lOI12 ( >
и в результате для значений заряда мы получим
Q (W) = 2 Wpw про<1 = °» *• F.60)
род
род
Как уже подчеркивалось, произвол в выборе вектора потока
заряда связан не с возможностью добавления к нему любого члена
вида dvm)x'v, а с тем, что данную физическую систему можно описы-
описывать разными функциями Лагранжа. Это справедливо также и для
спина */2. Ток, получаемый из E.73), равен:
Вне области расположения источников вспомогательные поля
%аР] обращаются в^нуль и
^ = O. F.62)
Соответствующее выражение для спинора третьего ранга записы-
записывается как
(WYHiS. ^tl. F.63)

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ; ЗАРЯД I 263
Оно антисимметрично по ?4 и ?2) причем уравнение F.62), при-
принимающее теперь вид
m
T? д vv<9 W F 641
Ь1Ц2 (Л I v * \ /
где для третьего спинорного индекса мы вернулись к матричным
обозначениям, удовлетворяется, так как
г=0- F-65)
Ток, получаемый из первого слагаемого F.61) в результате
подстановки в него выражения F.63), равен:
Используя тождество
О = ?vV? [vv -f dv+ m]
1
j i i i f v.\ i ч
F.67)
мы представим его в виде
jV = -!r-xPxPyixqW-\-dvmi14, F.68)
где
F-69)
Единственный член, в который не входят^производные по коорди-
координатам,— зто слагаемое с стц?. Аналогичным образом можно срав-
сравнить и разные способы описания частиц со спинами 3/2> blzi • • •,
но соответствующие выкладки здесь оказываются более сложными.
Метод переменных фазовых преобразований мы применяли
для более детального описания среднего распределения заряда.
Столь же подробную информацию он дает и о флуктуациях заряда.
Для иллюстрации мы рассмотрим бесспиновые частицы, ограни-
ограничиваясь исследованием простейших флуктуационных характери-
характеристик. Возьмем вакуумную амплитуду для замкнутого во времени

264 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
цикла с источниками
Кт(х) = е**>К(х), Км(х)=*К{х), F.70)
которая равна:
<0_ | О.)*'"'-К<+) = S @-1 {п»к в«г- <{и) 10->к, F.71)
или
exp [iW (AV,, Kw)} = {e^)f. . F.72)
Инфинитезимальное изменение фазовой постоянной а дает
dW (" , .„ (QeiQa) .„ „оч
Это соотношение при а = 0 мы уже рассматривали. Дифферен-
Дифференцируя его один раз и полагая затем а = 0, получаем
(О*) ~ (О)г ~ [ dcJH , F.74)
где
представляет собой вектор потока флуктуации заряда.
При вычислении этого вектора для одного из полей ф(+>
в выражении
мы положим а = 0, в результате чего оно превратится в фзап (х).
Используя для другого поля формулу A.19), соответствующую
вакуумному начальному состоянию, получаем
где
Ф (х) = j (&') Д+ (х - х') К (х'). F.78)
Исходя из этих полей, мы будем иметь
(*) = Фзап (X) 1 д»<? (X) - ф (х) 1 й^фзап («), F.79)
где использовано свойство заряда
д2 = 1. F.80)
Полезно разложить ц> (х) на вещественную и мнимую части:
Ф (х) = фн (ж) + »ф7 (ж), F.81)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ 265
где в соответствии с соотношением
-х') F.82)
вещественная компонента равна
Фн(*) = 4 1<Рзап И +'<Ропер (*)]• F.83)
В F.79) входит функция фзап (ж), а при этих условиях опере-
опережающее поле обращается в нуль. Но вклады в ф от г/2 ф3ап сокра-
сокращаются, и у нас остается вещественное выражение
/флукт (*) = Ф*ш (X) д»<р! (х) - ф, (X) ^ф8ал (х), F.84)
в котором
[ ±). F.85)
Так как последняя функция есть решение однородного полевого
уравнения, мы получим
• F-86>
Флуктуацию полного заряда можно вычислить, проводя интег-
интегрирование по источнику:
= J №) Ф/
-x')K{x') = ^i\KM\i. F.87)
Последняя величина представляет собой среднее значение полного
числа частиц, испущенных источником, и зта флуктуационная
формула
((Q-(Q)Y)f=(N++N-)f F.88)
содержится в более общем утверждении B.123) из гл. 2. Величина
/флукт является фактически вектором потока частиц.
§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ;
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Действие для бесспиновых частиц инвариантно относительно
трансляции источника как целого:
JC (х) - К (х + X). G.1)
В формуле F.1) это находит свое выражение в существовании
компенсирующего преобразования поля
Ф (х) = Ф (х + X). G.2)

266
ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Для инфинитезимальных преобразований мы будем иметь
8К (х) = 8Х4 8ЧК (х), бф (х) = 8JC dvq> (х). G.3)
Мы предлагаем следующим образом обобщить эти выражения
на случай, когда 8Х* — произвольная функция точки, обозна-
обозначаемая через 8х? (х):
8К (х) = дх [8х* (х) К (x)]t бф (х) = 8х* (х) dvq> (x). G.4)
Различие между ними необходимо для того, чтобы сохранить
инвариантность члена с источником относительно компенсирую-
компенсирующих изменений источника и поля:
8К. Ф j {dx) К (х) ф {х) = j {dx) {ydv [8xvK] + dvy8xvK} =
= j (dx) dv [q>8a?>K] = 0. G.5)
Изменение функции Лагранжа при преобразовании G.4) таково:
ЪХ = 8x*dvZ — д»уд*<рд„.дху; G.6)
при трансляции источника как целого в этом выражении появлял-
появлялся бы только первый член. Это изменение можно представить
в следующей эквивалентной форме:
где
Приведем
8X = dv(8xvX) — t
(¦*» {х) = <ЭИф (х) д*у {х) + gMV.
также соотношение
мд^&Ху,
S[«p (*)] = *"» (я).
G.7)
G.8)
G.9)
где при написании последнего равенства мы воспользовались
полевым уравнением. Изменение действия, порождаемое вариаци-
вариацией источника G.4), можно представить по-разному — как
6W (К) = j (Ас) 8К (х) ф (х) = - J (Ас) К (х) бф (х) =
= — f (dx) К (х) dvy (x) 8xv (x) G.10)
ъ как
8W (К) = — J (da:) ^v (ж) ^6a:v (s). G.11)
Из сравнения этих двух выражений вытекает равенство

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ I 267
в справедливости которого можно убедиться и прямым путем.
Когда правая часть равна нулю, что действительно имеет место
в областях, не содержащих источников, это равенство представля-
представляет собой локальную формулировку некоторого векторного закона
сохранения.
Если рассматривается причинно-упорядоченная пара источни-
источников К = Ki + К2, то инфинитезпмальное смещение источника Кг
как целого будет приводить к преобразованию
-+ 2 @+1 {n})Ki [1 + tUPPv] ({n} 10_>*2, G.13)
где
**({»» = 2 ЯЛ*. G-14)
pq
которое можно написать в виде
*К2. G.15)
Аналогично атому в случае замкнутого во времени цикла смеще-
смещение К1+) и его последующее отождествление с #<_, = К дает
6 @. | О.)''"'' Км = ibX»2@-1 {n})*Pv {{п} 10_>? = ibXHP»)*. G.16)
Чтобы сравнить G.15) с G.11), разделим К^ и К2 пространственно-
подобной поверхностью и возьмем такую вариацию 8xv, которая
обращается в нуль в будущем этой поверхности и равна постоян-
постоянной величине 8XV в ее прошлом. В результате получим
WW, G.17)
что приводит к следующей идентификации:
>KipVf>|0->K2. G.18)
@+|0.)к V ;
Аналогом этого соотношения для замкнутого во времени цикла
будет равенство
где тензор i**v (x), который строится из вещественных запаздываю-
запаздывающих полей, также веществен.
Распределение и течение энергии и импульса описывается
величиной Vю (х). Она представляет собой вектор потока энергии-
импульса, или тензор натяжений. Вычислим его для состояния
одной частицы, считая ее для простоты нейтральной. В области
между причинно-разделенными источниками поле, связанное

268 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
с частицей импульса р, таково:
Ф (х) = (dapI/2 eipxiK2p + (da>p)y* e-ipxiKtP. G.20)
Если рассматривается только это возбуждение, то
*¦« (х) = 2р»р* dap (iK*lp) (iK2p)-
-dcop (p»p* + «« [e~2ipx (ВДЧ *21р* (МГяр)«]; G.21)
этот тензор удовлетворяет закону сохранения д^Р14 = 0. Во всех
случаях усреднения по времени или по пространству, когда мас-
масштаб задается соответствующими компонентами вектора р^, осцил-
осциллирующими членами в формуле G.21) можно пренебречь. В первое
слагаемое входят сомножители, которые можно было предвидеть
заранее: источники iK2p и iK*v, описывающие акты испускания
и поглощения, множитель 2р* dcap, соответствующий потоку части-
частицы, и вектор энергии-импульса pv, служащий мерой переносимой
величины. Аналогичный анализ с использованием запаздывающих
полей дает:.
Фзап (х) = (da>p)Vi eipxiKp - (da>pI/2 е~^хШ*, G.22)
^v (x) = 2p»pv ddip | Kp |2 + do)p (p^pv + mVv) X
X [e~2ipx (K*py + e*»*(KpJ}. G.23)
В том, что все интерференционные члены при интегрировании
исчезают, можно убедиться, рассматривая, например, причинно-
упорядоченную пару источников и используя уравнение G.12);
в результате получим:
dx)A:s(xKv<p(x), G.24)
где в области, занятой излучающим источником К%,
Ф(х)= ( (dx')A+(x-x')Kz(x') + i \ (с1х')Ы->(х-х')К1(х'). G.25)
Первое слагаемое в этом поле, связанное с самим источником К2,
вклада не дает:
j (dx) [dx') K2 (x) dvA+ (x - х') К2 (х1) = 0, G.26)
так как градиент симметричной функцииД+ (х — х') является анти-
антисимметричной функцией. В соответствии с этим, производя* незна-
незначительную перегруппировку членов, мы получаем
y»* = j (dx) (dx) iKi (x) y <3vA<+> (x — x) iK2 (x1) =
= 2 (itfb)P*(**,„). G.27)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ | 269
Отсюда видно, что физической величиной, переносимой между
областями, в которых происходят начальный акт испускания
и конечный акт поглощения, является импульс pv. Следует отме-
отметить также, что имеет место равенство
= @+\{n4-lp})Ki(np+l)({n+\p}\0J)K\ G.28)
показывающее, как с помощью G.18) можно получить энергию-
импульс в общем случае (для нейтральных частиц):
^V(M)=SPV«P- G-29)
V
Аналогом соотношения G.27), возникающим при описании замкну-
замкнутого во времени цикла, будет математическое ожидание
Пользуясь методами, изложенными при рассмотрении заряда,
можно получить и величины, характеризующие пространственно-
временную локализацию флуктуации энергии-импульса, но здесь
мы не будем входить в детали этой проблемы.
Бесспиновые частицы можно опьсывать и иным способом,
исходя из действия E.15), в котором фигурируют скалярные
и векторные поля и источники. Дифференцируя вариацию поля
G.4), мы придем к равенству
б (дд<р) = 8*v 5V (д^) + Evq>) д^х\ G.31)
которое моделирует закон изменения векторных полей при зави-
зависящих от координат смещениях:
8срд (х) = 6*v (x) 3vqv (х) + <pv (x) В^ЬзУ (х). G.32)
Соответствующая вариация источника определяется из условия
сохранения инвариантности интеграла \ (dx) ^дфц и имеет вид
8ЯД (х) = dv {6zv (х) К» (х)] - 1С (х) dv8x» (ж). G.33)
Заметим, что для вращений системы как целого, когда
дцбху = —д^Ьхц = So)nv, G.34)
различие между двумя этими выражениями пропадает. Функция
Лагранжа
+ 1(ф^Фн,-те2ф2) G.35)

270 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
изменяется на величину
ЬХ — 6xvv + (pV фффф) ^
= dv(8xvX)-t^dllbxv, G.36)
где
fHV = фИ^ф + qJVg^ _ ф^ф* + ?HV# = JVH, G.37)
и в результате
№=—\ (dx) рчдрбхч. G.38)
Кроме того, мы имеем соотношение
д„р* = - #<3> + (д„.К») ф^ + /Гц EM9V - a», G.39)
которое можно написать и в других формах, если воспользоваться
полевыми уравнениями. Единственный зависящий от поля член
в правой части можно представить в виде произведения —dvq>
на эффективный источник К — д^К?. В отсутствие векторного
источника К^ оба варианта для тензора натяжений совпадают.
Функции Лагранжа E.19) и E.28) для частиц с единичным
спином содержат векторные поля и их производные, которые вхо-
входят в виде ротора. Используя последние в качестве модели анти-
антисимметричного тензорного поля GMV и дифференцируя G.32)т
мы придем к выводу, что
6<?nV (а) = 8х>- (х) д&^ (х) + Сь, (х) д^Ьх*- (х) + G^ (х) д?х>- (х).
G.40)
Если ввести источники тензорного поля, то их бесконечно малая
вариация будет равна
6MMV = дх (бхЬМ^—М^дх&Р — М^дхбх*. G.41)
Но сначала рассмотрим функцию Лагранжа
X=-^-GliVGllv-~m2^(pll, GVv = <ypv-0^, G.42)
которая дает
= <3V (8xvZ) — t^d,fixv G.43)
и
№ (J) = — J (da:) t^dffixy. G.44)
Здесь
^'"'. G-45)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ | 271
И МЫ ВИДИМ, ЧТО
t = G^G^ + »n Vqv + ЬХ = — m Vqv G.46)
Непосредственное вычисление воздействия вариации источника
дает
= J (^)б/цср^ 6J* = dvFa*J») — fd?x», G.47)
а сравнивая это выражение с предыдущим, мы получим
Лф*. G-48>
или
^¦^-raV + ^V), G.49)
где последнее слагаемое не дает вклада в объемные интегралы,
через которые выражаются полные энергия и импульс, испущен-
испущенные источником.
Другая возможная функция Лагранжа, а именно E.23), отли-
отличается от E.19) дивергенцией векторе [формулы E.24) и E.25)],
что остается справедливым и для вариаций 8%. Такие дополни-
дополнительные члены не дают вклада в 8W. Заметим, однако, что соотно-
соотношение
= J (Ас) дф^ (х) djlzv + J (dx) /^v (а-) дф^Ьху, G.50)
последнее слагаемое в правой части которого обращается в нуль
в силу требования
fM"(x)=-f№(x), G.51)
приводит к тому, что в определении тензора натяжений будет
допускаться некоторый произвол, связанный с возможностью
выбора комбинации
{x). G.52)
Но этот произвол устраняется, если мы продолжаем настаивать
на требовании, которое до сих пор удовлетворялось автоматиче-
автоматически, а именно на требовании симметрии тензора #*v. Для сохране-
сохранения в G.52) свойства симметрии без обращения к дифференциаль-
дифференциальным тождествам мы потребуем, чтобы выполнялось условие
/*"(*)-/**¦*(*). G.53)
Но тогда, комбинируя G.51) и G.53), мы будем иметь
.^jkw __ о. G.54)

272 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Физические предпосылки требования симметрии тензора натяже-
натяжений будут рассмотрены ниже, когда речь пойдет об угловом
моменте.
Обращаясь теперь к функции Лагранжа
l4--g-mVqfc, G.55)
заметим, что она дает тензор натяжений
\ C V — 3 V) -
G.56)
который удовлетворяет соотношению
^V"v = J* (з V - ^ V)+(V) <pv -
- y Mto ^GW + д*^ +<dVG™) - {dXMKil) GP". G.57)
Тем не менее по-прежнему
t = 2GW Eцфг - 5гфд) - G^G^ + |»"ф1Чрц + 4# = - т2ф»*фц. G.58)
¦Согласно полевым уравнениям
<3цф„ — 5„фц = GnV + M"^v, G.59)
мы имеем
дх (G^v + Д/^v) + 5Д (Gv^ + Mvx) + 5V (^G + Мы) ;= О,
G.60)
и все члены в правой части G.57), в которые входит поле, можно
выразить через эффективный векторный источник /ц + dvMilv.
Если положить Мцу = 0, то оба варианта для тензора натяжений
¦будут совпадать.
Возникает еще один вопрос, связанный с однозначностью.
Обобщение на случай произвольных смещений лучше всего свя-
связывать с вращениями системы как целого, записывая G.32) в виде
8ФA = 6^5^-1-^ ± (^8яу-дДгц) G.61)
•с соответствующей вариацией векторного источника, равной
8Jil = dv(8x''Jil) + Jv^(dvlbxv — dv8xll). . G.62)
В действительности различие между вариациями поля и источника
полностью исчезает, если мы примем
8 ^ (d^-d^xii)- G-63)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ | 273
Встает вопрос, как указанный произвол в выборе индуцируемых
смещениями вариаций сказывается на определении тензора натя-
натяжений, вводимого в общем случае посредством равенства
8W = — I (dx) tfivdil6xv G.64)
и однозначно фиксируемого, как можно предполагать, требованием
симметрии. Разные выражения для вариации бф^ различаются
слагаемыми, пропорциональными тензору
j (d^bxv + dv6xj, G.65)
которые обращаются в нуль в случае трансляций и вращений
системы как целого. Этот тензор представляет собой меру растя-
растяжений, обусловленных смещениями, и из него можно построить
скалярную характеристику д^Ьх11. Как следствие симметрии тен-
тензора натяжений в G.64) входит именно такой тензор растяжений.
Для определенности рассмотрим влияние дополнительной вариа-
вариации поля
брастфц — ¦— фу тр (du8xv + дуОХц) G.66)
2
на действие E.18), E.19). Так как вариация
^ ху) G.67)
содержит вторые производные смещений координат, для того, что-
чтобы получить выражение типа G.64), необходимо выполнить инте-
интегрирование по частям. При этом войдут вторые производные
полей, и чтобы их исключить, придется обратиться к полевым
уравнениям. Первоначальный выбор вариаций поля позволял
нам обходиться без полевых уравнений. Вариации, включающие
растяжения, можно рассматривать в едином комплексе, вводя
их в принцип стационарного действия:
= - j (^/"брастфц- G-68)
ся —
G.69)
Отсюда видно, что тензор натяжений при этом изменяется
к нему добавляется слагаемое
18-0670

274 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Такой дополнительный член необходим и для того, чтобы получен-
полученное выражение согласовалось с выражением для вариации дей-
действия, получающимся при прямом вычислении:
браст W (/) = j (dx) браст /V, браст J» = /„ 1 @%*- + 3*6^).
G.70)
Таким образом, мы видим, что тензоры натяжений действительно
допускают некоторый произвол: мы можем по-разному выбирать
закон изменения полей при координатных смещениях общего вида,
но соответствующие дополнительные члены отличны от нуля
только в области действия источников. Вне источников, где тензо-
тензором натяжений определяются потоки энергии и импульса, прави-
правила, сформулированные для его вычисления, по-видимому, фикси-
фиксируют этот тензор совершенно однозначно.
Преобразования, основанные на использовании полевых урав-
уравнений, также позволяют по-разному выбирать вариации поля.
Рассмотрим, например, случай спина 0, взяв вариацию
G.71)
которая дает
ЬХ = ЬяРд^Х — a'Wufav — .1
^ y]dvS;ev, G.72)
или
8X = дч [8х*%-~ (flV) дфх^-№д»Ьхч, G.73)
где тензор натяжений равен:
fi« = э^ф+?¦«[! 2-i-02(,pa)]. G<74)
Согласно полевому уравнению,
-|а2(Ф2) = |^+|^Ф, G.75)
и мы возвращаемся к первоначальному тензору натяжений с до-
дополнительным слагаемым, которое обращается в нуль вне источ-
источников. Если же исходить непосредственно из выражения G.74),
то мы получим
t = a V+2^ °2 to2)»»V9" B) G76)
Используя уравнения поля, мы увидим, что в области вне источ-
источников эта величина совпадает в результатом [7.91.

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ II ПОТОКИ I 275
В рассмотренном примере мы снова сталкиваемся с проблемой
однозначности. Преобразование, связывающее G.72) с G.73),
можно написать и по-другому:
-|- aV (q>2) 9u&ev.
G.77)
При этом тензор натяжений изменяется на величину
Mv G-78)
Заметим, что такой симметричный вклад в тензор натяжений имеет
дивергенцию, тождественно равную нулю:
О. G.79)
Более того, в силу теоремы D.11) из гл. 1,
( Жтц (W-g^d2) cp2 = J (dc,^ — dovd»)<3 V = 0, G.80)
так что он не дает никакого вклада ни в полные энергию и импульс,
ни в угловой момент. Рассматриваемый добавочный член можно
представить в виде G.52), выбрав
f№ = -tf[gWv+'gtodv- — 2g»4&](p*. G.81)
Отметим, что это выражение симметрично по \i и v, но не обладает
свойством антисимметрии G.51). Чтобы обратилось в нуль послед-
последнее слагаемое в G.50), теперь приходится прибегать к дифферен-
дифференциальному тождеству
<W^v = 0- G-82}
к которому сводится здесь G.79). Таким образом, характерной
особенностью правил вычисления является исключение тех сла-
слагаемых в тензоре натяжений, которые заставляют обращаться
к дифференциальным тождествам. Теперь мы покажем, что с тен-
тензорами натяжений дело обстоит почти так же, как с векторами
потока заряда. Каждый вектор /•* можно заменить на j* -\- д^т^4
с произвольным антисимметричным тензором m^v. При заданной
функции Лагранжа можно договориться исключать подобные
дополнительные слагаемые в токе. Но существование для одной
и той же системы разных функций Лагранжа, приводящих к выра-
выражениям для тока, которые различаются слагаемыми вида dvm^v,
показывает, что рассматриваемый произвол исключить не удается.
Произвол в выборе симметричного тензора натяжений находит
свое выражение в возможности замены t*v (x) величиной
(х), G.83)-
18*-

276 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где
причем условие симметрии
G,85)
дает
д^дхт^'^^0. G.86)
Из этого условия следует также, что
я о. G.87)
Ниже мы увидим, что введение дополнительного члена не приводит
к изменению и полного углового момента. Простому примеру G.78)
отвечает
„^.а = ^MVgK». _ | gwgd». _ |. g*»g^ 1 ф». G.88)
Как и при рассмотрении токов, к постановке важной проблемы
однозначности в случае спина 2 приводит существование двух
разных систем полевых уравнений первого порядка.
Выражение G.40) для вариации тензора совместимо как с сим-
симметрией, так и с антисимметрией тензора. В соответствии с этим
симметричному тензорному полю частиц со спином 2 можно сопо-
сопоставить при смещениях вариацию
хК G.89)
Важную роль играют две комбинации производных этого тензора,
которые входят в формулы E.37) и E.44). Для первой, антисим-
антисимметричной, kom6i нации мы получаем
fix*, G.90)
а для второй, симметричной, имеем
+ HiiVxd)i,8x'>lJr2(fH,xdlldv8xK. G.91)
Заметим, что сюда входят вторые производные смещений коорди-
координат. Рассмотрим сначала выражение для действия E.33), в котором
для упрощения мы положим тензорный источник третьего ранга
равным нулю, так что
G.92)
f^Tnv — Ф2)- G.93)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ ] 277
Инфинитезимэльные смещения координат приводят к выражению
8Х = dv (8aPZ) - t^'d^xv - F^d^dx^, G.94)
где
M 2т2ф^Ф^я _ 2т2ФФ^ + g^X G.95)
и
f A-UV =. С^И«фух _ ^фцу _}. g^g!>((pxv. G.96)
Чтобы выделить тензор натяжений, воспользуемся тождеством
-I- l(^v-^vx) бл (9,6xv + 9V6^). G.97)
Интегрирование по частям вариации действия показывает, что
Zuv = ^v _ дк [р№ + F^4-F»4\m, G.98)
где символ ((j,v) означает симметризацию по индексам pv. Соглас-
Согласно равенствам
8W (Т) = J (dx) fir^Vv = - j (Ac) r^&Puv, G.99)
получающийся тензор натяжений должен удовлетворять соотно-
соотношению
д„р™ = - Т^д\^ + 2дх (Т\у^) = TkiiHUv + 2(dxT\) Ф^, G.100)
Если ограничиться рассмотрением областей вне источников,
то все выражения примут более простой вид, так как векторные
и скалярные комбинации поля обращаются при этом в нуль, и
1
+ g^X-dx[G^(f\ + G^(p\-G^4,\]^. G.101)
Дальнейшее упрощение достигается путем использования уравне-
уравнений поля
-dxG^ = m\liy, 5,G^v = 0. G.102)
Так, соотношение
^ ^^ G.103)

278 ГЛАВА 3. НОЛЯ
дает
-г g^X - дх [G^W-G^WWv» G.104)
откуда мы получаем
*с=—mVvq>nv G.105)
Рассматривая другое выражение для действия, а именно
E.40), мы сразу воспользуемся условиями отсутствия источников
и опустим в функции Лагранжа все скалярные и векторные поля.
Это вполне оправданно, поскольку все подобные поля входят
в лагранжиан в виде пары сомножителей, один из которых обеспе-
обеспечивает равенство нулю соответствующего члена и после инфините-
зимального смещения координат. В таком случае, положив
Hiiv}. = dll<pvk + dv(pll}.—d}(fiiv, G.106)
мы получим
? = y#^tf^-!mVV(bv G.Ю7)
и
W,, G.108)
где мы воспользовались также полевым уравнением
5яЯ^ + т2ф|*у = 0. G.109)
Сравнение двух выражений для тензора натяжений подтверждает,
что действительно
где тензор
+ Y
удовлетворяет всем необходимым требованиям симметрии. К этому
результату можно прийти более коротким путем, рассматривая

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ 279
непосредственно разность функций Лагранжа
Относительно изменений источника и поля, обусловленных
смещениями, мы заметим следующее. Возможность включения
дополнительных членов, которые содержат общий тензор растяже-
растяжений G.65), существенно зависит от спина, если мы стремимся не
вводить при этом дополнительных производных по координатам.
Матрицы, которые действуют на объекты, несущие спин s, в общем
случае строятся из тензоров ранга 2s и менее. Для того чтобы
возникла необходимость в тензоре второго ранга, требуется
по крайней мере единичный спин, а в случае спинов 0 и г/2 при-
пригодна только скалярная свертка тензора растяжений. Нулевому
спину соответствует вариация G.71). Рассмотрим теперь случай
спина 1/2. Обращаясь к формуле E.11) из гл. 2, которая описывает
изменение произвольного источника при преобразованиях коорди-
координат, или, что то же самое, при трансляциях и вращениях источника
как целого, мы прьдем в случае источника -ц (х) частиц со спином
1/2 к следующему обобщению:
6т) (х) = dv [Ьх" (х) ц (х)] + ^- а^г\ (х) djbxv (x). G.113)
Спиновый член содержит только комбинацию д^8х^ — дч8х^.
Единственный симметричный тензор, который можно построить из
матриц,— это произведение grWV на единичную матрицу. Так же,
как и в случае изменения скалярного источника, определяемого
равенством G.4), здесь входит характерный член с 9V6^V. Соот-
Соответствующая вариация поля, построенная так, чтобы интеграл
(dx) r\y°\\) оставался неизменным, имеет вид
6i|j (x) = 8xv (x) dvi|5 (х) -\- -г cTM-v-ф (xj djbxy (х). G.114)
Функция Лагранжа для спина V2
изменяется при вариации G.114) следующим образом:
8Х - 8x*dv% -f -i- труоуяд^д^х* - у ^7° у fV, у oiw j ^я
Но ввиду симметрии вторых производных остается только комби-
комбинация матриц вида
G.117)

280 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и поскольку y°yv- являются симметричными матрицами, последнее
слагаемое в 8Х обращается в нуль. Далее,
и мы получаем
6Z = d4(te>Z) — iwdtfixv, G.119)
где
t^^t^ = ~^°-j[y^^-dv+yv^d^+g^X. G.120)
Соответствующий скаляр таков:
*=-туфГ°Ф—§-4y4. G.121)
ибо из уравнения поля следует, что
2=-4-tAl=-4*lYV G.122)
Кроме того, для дивергенции тензора натяжений мы получаем
формулу
W = - tiv°34 + { д„ (т°о^), G-123)
в справедливости которой можно убедиться прямым путем. Рас-
Рассмотрение различных членов в ЬХ отчетливо показывает, как из
скалярности функции Лагранжа вытекает сокращение комбина-
комбинаций, отвечающих вращениям, в результате чего остается только
слагаемое, отвечающее растяжениям, и получается симметричный
тензор натяжений.
В области между двумя причинно-упорядоченными источника-
источниками r\i и т]2 поле частицы с определенными импульсом, спином
и зарядом имеет вид [см. формулу F.49)]
¦^{x) = ^paq(x) ir\2pa4 + TJppaq{x)* Щ*рад. G.124)
Согласно формуле F.53), соответствующий вклад в тензор натя-
натяжений будет равен
G.125)
Здесь, как и следовало ожидать, фигурирует поток энергии-
импульса, приходящийся на одну частицу.
При описании частиц со спинами 0 и 1 посредством спиноров
второго ранга естественно поступать так же, как в случае спина 1/2,

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ 281
и записыветь вариацию поля, индуцируемую смещением, в виде
При этом функция Лагранжа
будет изменяться точно так же, как и в случае спина 1/2, не считая
члена с dxdu6xv, поскольку теперь (у = ??Тг)
4 w 4 S <vS«v
ьх = 6.rav<s5+4- w 4" S <v
^ (tf ^v+tf a?v) ^^6 G-128>
Тождество G.97) приводит к симметричному тензору натяжений
л. ^^^ _5, [ ^ 1 (Tjlorxv + Yjxffxv) ф j^ , G.129)
к которому можно добавить нулевые члены, содержащие у
Такое добавление полезно для перехода к матричной записи G.129):
у 5Я Sp ^ [iv^, i|>ty°L a^v] (|iV), G.130)
где двойной коммутатор можно заменить двойным антикоммутато-
антикоммутатором, не изменяя при этом значения последнего слагаемого.
Связь между этим и полученным ранее выражениями для тен-
тензора натяжения мы исследуем на примере пулевого спина. Подста-
Подставив матричное поле E.83), находим
l. (<pWp-<pdVWr ^ [х +
где соответствующая функция Лагрэнжа E.84) заменена функцией
Лагранжа E.16) с добавлением необходимых слагаемых, имеющих
вид дивергенции. Нетрудно видеть, что производные от векторного
поля сокращаются и в результате получается выражение
(ФД^Ф + <PVA>) + {?VX G.132)
которое в областях, где нет векторных источников, согласуется
с выражениями G.8) и G.37).

282 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Обобщение вариации поля G.126) на произвольный мульти-
спинор имеет вид
) д^бху. G.133)
а=1
Аналогичная формула применима также для различных вспомо-
вспомогательных полей я|)[ар]) ty[ai,] [а'р']> .... В отсутствие источни-
источников все вспомогательные поля обращаются в нуль, причем это
справедливо и при произвольных смещениях, так как в закон
преобразования G.133) входят только рассматриваемые поля.
В соответствии с этим вклад будет давать только первый член
функции Лагранжа E.78), и в результате мы получим тензор
натяжений, который является непосредственным обобщением
G.129), но для случая X = 0, отвечающего отсутствию источников:
G.134)
Рассмотрим более подробно случай п = 3, используя спинор,
антисимметричный по паре индексов, что дает нам другой возмож-
возможный способ описания спина 1/2. Выкладки, подобные выполненным
при вычислении тока, приводят к следующему результату:
<BV = 'Sv-fi(/3v-^!)l1lrv"'F + -f^«, G.135)
где величина
представляет собой тензор натяжений для простого спинорного
уравнения (уравнения Дирака) в отсутствие источников. Допол-
Дополнительные члены можно представить в виде G.83) при
-г 12m2 \_S tn -r g in —2 '# Ld ~tS *n ~r-g tD -r g tD ) j •
G.137)
Относительное вращение источников позволяет получить
информацию об угловом моменте. Поэтому рассмотрим смещение
Ьх*=--8ю^{х)хх, 8collv(.x)= — 6o)v^(x) G.138)
и соответствующее ему растяжение
co^v (x) -f- xldv8a>4i (x). G.139)

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТН ОСТИ И ПОТОКИ I 283
Если тензор бсояу (#) не зависит от координат, описывая тем самым
вращение системы как целого, то величина G.139) обращается,
конечно, в нуль. Получающаяся вариация действия такова:
8W = - j (dx) t^djbx,. = - у ( {dx) /^v (д.) 3jl&Biiv (x), G.140)
где
j>-i>» = xH>-v — xv№. G.141)
Другой способ найти вариацию действия — рассмотреть непосред-
непосредственно реакцию источника. Для единообразия в трактовке разных
значений спина мы воспользуемся мультиспинорным описанием,
при котором
fiW=- f {dx)8f)yty = — С (da;) т]у&ф =
= - { (Ac) iiv [ 6^v^4-x ( S CT«V) ^6*v] • G.142)
Сравнивая выражения, полученные двумя разными способами,
мы видим, что
Выражение G.143) означает, что выполняется уравнение для
дивергенции тензора натяжений
так как
a^/M*v = ^5^v _ a;va^M_i_ fuv _ fvu. G.145)
Именно в этом пункте важную роль играет требование симметрии,
предъявляемое к тензору натяжений. Величина /i'iv, которая
строится просто из первых моментов тензора натяжений, сохра-
сохраняется в областях вне источников. Тензор /M*v, который является
аналогом тензора t^v, отвечающим вращениям, определяет, оче-
очевидно, распределение и поток углового момента в областях вне
источников.
Как и прежде, представим себе, что весь источник гJ, как одно
целое, вращается относительно причинно-связанного с ним источ-
источника %. Разделим эти источники некоторой пространственно-
подобной поверхностью и положим бсо^ (х) равным нулю в буду-
будущем и постоянной величине в прошлом по отношению к этой
поверхности. В результате получим
б^ = -1&»ду \ daxj№. G.146)

284 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Аналогичное соотношение имеет место и для замкнутого во време-
времени цикла, когда мы приходим к более простой физической интер-
интерпретации, связанной с математическим ожиданием
jdo-^v=(OS. G.147)
Пользуясь формулой G.143), интегрирование по поверхности
можно заменить интегрированием по объему:
) >. G-148)
Здесь мы видим сумму орбитального и спинового угловых момен-
моментов. Эквивалентный результат в другой формулировке для вектор-
векторного источника и поля частиц единичного спина записывается
в виде [см. формулу G.49)]
= - \ (Ac) [/*(^av-«vaB)?x+/V-^V]- G-149)
Покажем теперь, что на величине полного углового момента
произвол в выборе тензора натяжений действительно никак не
сказывается. Переопределению
№-+^ + дадцт^-а* G.150)
отвечает замена
G.151)
Так же как и при выводе формулы G.87), нетрудно убедиться, что
дополнительное слагаемое со вторыми производными не дает
вклада в \ dajj^: Дпя этого достаточно только свойства цикли-
циклической симметрии G.85). Из последнего вытекает также антисим-
антисимметрия по X и а:
] = (), G.152)
откуда следует, что поверхностный интеграл от последнего слагае-
слагаемого в формуле G.151) равен нулю.
Ранее уже вводились состояния частиц со спинами 0, V2 и 1,
характеризуемые не импульсом, а квантовыми числами трехмер-
трехмерного углового момента. Их анализ весьма сходен с тем, что гово-
говорилось о заряде и энергии-импульсе, и поэтому здесь мы не будем
входить в соответствующие детали.
Может показаться, что в отличие от трансляций и вращений
системы как целого, представляющих несомненный физический
интерес, преобразования растяжения служат только приемом,

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ И ПОТОКИ 285
который помогает найти выражения для потоков энергии-импуль-
энергии-импульса. Но существует подмножество таких преобразований, которое
в частном случае безмассовых частиц играет более реальную роль.
Мы имеем в виду группу изотропных растяжений, для которых
выполняются условия
д^бхч (z) + <9v6xw (х) = guv&z (x). G.153)
Эти требования оказываются весьма жесткими. Укажем прежде
всего на скалярное равенство
dv8x* = 26а. G.154)
Далее, взяв дивергенцию обеих частей равенства G.153), будем
иметь
дЧх^ = —а^ба, G.155)
а повторив эту операцию, получим
<528а (х) = 0. G.156)
Еще более сильное ограничение получается в результате действия
на G.153) оператором дг:
д»д№(*) =0. G.157)
Таким образом, ба (х) может быть только линейной функцией
координат:
ба (х) = 26а + 466V^. G.158)
Соответствующее выражение для 8х^ после отделения инфини-
тезимальных трансляций и вращений сводится к квадратичной
форме вида
8х* = &ах>1 ]-8bvBx»xv — g»vx2). G.159)
Вместе с трансляциями и вращениями эти преобразования
образуют 15-параметрическую группу. По своей структуре она
совпадает с группой вращений в пространстве 4 -\- 2 измерений
в том же смысле, в каком однородная группа Лоренца является
группой вращений в пространстве 3 + 1 измерений. Проще всего
обнаружить это, если ввести однородные координаты
^-^, G-160)
заданные в пятимерном пространстве, представляющем собой
«сферу» нулевого радиуса
У2 + У\ - У1 = 0. G.161)
В этом случае десятипараметрическая группа пространственно-
временных трансляций и вращений выступает в качестве подгруп-
подгруппы однородных преобразований на сфере нулевого радиуса,

28G I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
оставляющих инвариантной сумму г/5 + Уъ:
6yv=-6evUfc+ 2/6) + &fl^, бй= -бг/6= -6evj/v. G.162)
Однопараметрические ба-преобразования, отвечающие равномер-
равномерным изменениям масштаба в пространстве-времени, представляют
собой «вращения»:
Ьуь = -Ьау6, 8у6 = -6ау5, 8у» = 0, G.163)
а преобразования, задаваемые параметрами 6&v, оставляют неиз-
неизменной разность уъ — г/е:
8y5 = 8y0^-8byy\ 6-j/v = 6^(j/5-z/6). G-164)
Квадратичная форма G.101) допускает также отражения и в том
числе преобразование уъ ->¦ —у5, которому отвечает изменение
координат
х» = — > ——t— = ^r(yt + ya), G.165)
эквивалентное инверсии относительно начала координат
*»->¦?• G.166)
Последовательность двух таких инверсий, первой относительно
начала координат, а второй относительно точки с координатами
6frv, сводится к инфинитезимальному преобразованию G.159)
с 8а = 0.
Изотропные растяжения называют конформными преобразо-
преобразованиями. Их физический смысл выявляется из рассмотрения той
части изменения функции Лагранжа при смещениях, которая
дается равенством
-t»v±(dVt6z4 + d48xv)= -±t6a(x), G.167)
позволяющим исключить скаляр t из числа существенных величин.
На примерах спинов 0, 1/2, 1 и 2 можно убедиться, что скаляр tt
вычисленный в области вне источников в пределе m ->- 0, либо
равен нулю, либо имеет вид второй производной от величины,
соответствующей произволу в выборе тензора натяжений:
t = dKdkn^. G.168)
Поскольку указанные выше примеры охватывают все случаи,
интересные с физической точки зрения, общее доказательство
было бы здесь излишней роскошью. Но его общая схема совершен-
совершенно ясна. Когда величина ilm становится равной бесконечности,
действие перестает содержать какую-либо единицу длины. Если

§ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ II ПОТОКИ | 287
равномерно изменять масштаб^всех координат,
1р = А,-1^, G.169)
то выражение для действия можно сохранить неизменным за счет
соответствующего масштабного преобразования источников и по-
полей. При условии, что используется минимальное число полей,
это преобразование будет определяться числом дифференцирова-
дифференцирований в функции Лагранжа. Например, в случае спинов 0 и V2
Ф (ж) = A-ф {he), ^{х) = Х3/Ц> {he). G.170)
Рассматриваемые в инфинитезимальной форме, эти законы мас-
масштабного преобразования будут приводить к определенным вели-
величинам, кратным dv8xv, примером чему служит выражение G.71)
для скалярного поля. Инвариантность действия, проявляющаяся
в локальных свойствах функции Лагранжа, требует, чтобы скаляр
t всюду обращался в нуль или, в более общем случае, чтобы он
равнялся дивергенции некоторого вектора. Как нетрудно убедить-
убедиться на простых примерах, этот вектор строится из градиента,
и при подходящем выборе вариаций поля утверждением, справед-
справедливым в общем случае, будет как раз равенство G.168). Далее,
так как вторые производные вариации 8а {х) общего вида G.158)
равны нулю, то
дк (га^ба — ба д}п^), G.171)
и действие оказывается инвариантным относительно всей 15-пара-
метрической группы, включающей в себя конформные преобразо-
преобразования.
Как и ранее, инвариантность действия означает наличие
сохраняющихся физических величин с соответствующими им
пространственно-временными распределениями и потоками. При
этом поступают так же, как и обычно: константы да и 6bv заменя-
заменяют произвольными функциями координат. Будем для простоты
считать, что t = 0. Если в действительности нужно брать выраже-
выражение G.168), то в различных потоках возникнут дополнительные
члены, но к существенным изменениям это не приведет. Изменение
действия при обобщенных конформных преобразованиях имеет вид
\ dll8a(x)-c^(x)dlfiby(x)], G.172)
где
cii = Znva.v) c^ = t\{2xxxv — g>-vx2). G.173)
Тензор cvy не симметричен:
cnv_cvn= _2xij^v, G.174)

288 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
а получаемый из него скаляр таков:
G.175)
В областях вне источников локальные законы сохранения имеют
вид
<V^ = 0, д„.с^ = О. G.176)
Рассматривая замкнутый во времени цикл, мы придем к сле-
следующим сохраняющимся интегральным величинам:
v=(Cv). G.177)
Вопрос о физическом содержании такого рода законов сохранения
мы рассмотрим в связи с наиболее известной безмассовой частицей.
8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД
Хотя уже неоднократно говорилось о пределе т -*- 0 для частиц
с единичным спином, имеет смысл провести независимый анализ
поля, соответствующего безмассовой частице со спиральностью,
равной единице, т. е. фотону. Мы будем исходить из выраже-
выражения C.45) из гл. 2, написав его в виде
(х-х')\Г?(х'), (8.1)
Определяя поле А ц (х) с номощыо пробного источника 6/** (х)
посредством формулы
6W (/) = J (dx) &/* (*) Лц (*), (8.2)
необходимо учитывать требование, которое предъявляется к источ-
источнику:
д^М^-О. (8.3)
Таким образом, сравнивая выражение (8.2) с выражением
= J (dx)(dx'NJll(x)D+(x-x')Jll(x'), (8.4)
нельзя просто приравнивать коэффициенты при б/д (х). На самом
деле их разность представляет собой некоторую произвольную
величину, интеграл от которой в силу требования (8.3) обращается
в нуль. Этот обращающийся в нуль интеграл имеет следующий
общий вид:
- f (dx) \ (x) dffiJ11 (x) = 0, (8.5)

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД 289
и поэтому
А» (х) = j (dx') D+ (x - х') J№ {x') + д»% (х). (8.6)
Зависимость А ц (х) от произвольной скалярной функции X (х)
можно выделить, взяв дивергенцию обеих частей равенства (8.6).
Это дает
дчА* (х) = дг% (ж), (8.7)
так что, действуя на (8.6) дифференциальным оператором —д2,
мы придем к дифференциальному уравнению второго порядка
-дЧ^ (х) + з„ д^ (х) = /„ (х). (8.8)
Это уравнение совпадает с уравнением C.6) при т = 0. Посколь-
Поскольку в этом дифференциальном уравнении поля остается произвол
в выборе К (х), оно не должно изменяться при преобразовании вида
All(x)-^All(x) + dtlK(x), (8.9)
которое известно под названием калибровочного преобразования.
Такую калибровочную инвариантность можно сделать явной,
переписав половое уравнение в эквивалентной форме [см. форму-
формулы C.7) и C.8)]
dvF^(x) = J^(x), (8.10)
dllAv(x) — dvAll(x)=^Fllv(.x), (8.11)
поскольку добавление градиентного члена к вектору не изменяет
ротора этого вектора. Из полевых уравнений вытекает также ра-
равенство нулю дивергенции вектора «/^, так как благодаря анти-
антисимметрии F1™ мы имеем
dilJ^ = dlldvF^=s0. (8.12)
То, что FIIV представляет собой ротор некоторого вектора, находит
свое выражение еще в одной форме записи дифференциальных
уравнений:
д>/^ (х) + д^ук (х) + dvFX]X (x) = 0. (8.13)
Тензор, дуальный тензору Fllv, определяется равенством [см. фор-
формулу C.60) из гл. 2]
•juv^eiivK*/^ (814)
где полностью антисимметричный тензор четвертого ранга норми-
нормирован условием
eom = +и (8Л5)
Используя дуальный тензор, дифференциальные уравнения (8.13)
можно написать в виде
dv*F^ (x) = 0. (8.16)
19-0070

290 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Уравнения (8.10) и (8.16) — это уравнения Максвелла для тензора
напряженности электромагнитного поля F^. Напомним связь
компонент этого тензора с электрическим и магнитным полями:
Eh = F°hi Hk^-^ZhlmFim-,
1 (8-17)
H*F\ E j*F
Другие возможные выражения для действия таковы:
(8.18)
dx)F^FVuV. (8.19)
Действие для электромагнитного поля, соответствующее получен-
полученному ранее выражению E.94), имеет вид
], (8.20)
причем функция Лагранжа
^=-^-^^^ = |(Е2-Н2). (8.21)
Эта функция Лагранжа явно калибровочно-инвариантна, а вслед-
вследствие дифференциального закона сохранения для вектора 7м"
таковым будет и действие. На этот раз мы пришли к инвариант-
инвариантности действия, исходя из закона сохранения.
При отыскании выражений для вариаций источника и поля
естественно придерживаться закона сохранения вектора J11 и
калибровочной инвариантности тензора F^y. Закон преобразо-
преобразования векторного источника G.33) и G.47) обладает требуемыми
свойствами, так как из равенства
б (дц/к.) = dv {ёх* d^Jv) (8.22)
следует, что д^/м все время будет оставаться равным нулю;
в соответствующее тензорное преобразование G.40)
6Ftlv = б^З^у + /\А6а* - FvOdvbx% (8.23)
входят только калибровочно-инвариантные величины. Кроме того,
закон преобразования векторного поля
б^„ = 6а*Мц + Avdfia? = д^ (Av8xv) - F^aP, (8.24)
обязанный своим происхождением трансформационным свойствам
градиента скалярной функции, сохраняет свой вид при калибро-
калибровочном преобразовании. Непосредственное вычисление вариации

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД I 291
действия дает
№ (/) = ( {dx) б/М„ = - j (dx) J» бЛц =
bx", (8.25)
тогда как изменение функции Лагранжа имеет вид
ЬХ = ЬаУдчХ - FMFldvfrxv =
= dv(bxvX)-t^dvbxv, (8.26)
где
t* v = J^n = /4i>.^ _ gruv ^ F^Ftti. (8.27)
и
« = 0. (8.28)
Сравнивая два результата, полученных разными способами, будем
иметь
. (8.29)
Приведем, кроме того, в явном виде некоторые из компонент тен-
тензора натяжений:
Z°° = 1 (Е2 + IF), *»fc = (EX H)k. (8.30)
Перейдем теперь непосредственно к конформным законам
сохранения. Умножив (8.29) на xv, получим (t = 0)
(8.31)
и аналогично
V ,.Bа&с*- g^a;2) = C^ х) B^xv - ^v^) = a^nv. (8.32)
Соответствующие интегральные законы сохранения чрезвычайно
похожи на закон сохранения величины
j dx)a:V0, (8.33)
которая, будучи явной функцией времени, показывает, каким
образом движется некая характеристика системы; в данном приме-
примере последняя представляет собой центр распределения энергии.
Наиболее категорическое утверждение такого рода, содержащееся
в факте конформной инвариантности, дает нам величина
= \
(8.34)
19*

292 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
(dx)xH00 = (x0J j (dx)too + 2x0 j (dx)c°- \ (dx)c00. (8.35)
или
Таким образом, величина хг, усредненная с весовым множителем,
равным плотности энергии, изменяется во времени но квадратич-
квадратичному закону, причем коэффициент при (ж0J равен единице. Что
это означает для частиц, которые несут энергию, совершенно оче-
очевидно — фотоны движутся со скоростью света. Коэффициент при х°
и постоянный член дают нам информацию о начальной корреляции
между положением и скоростью и о начальном значении средней
величины х2. Такое истолкование интеграла \ (dx) c° согласуется
с его записью через импульсное распределение:
\ (dx) с0 = С (dx) t°bxh - х° \ (dx) t00. (8.36)
Тензор напряженности поля Fnv и векторный потенциал А ^
входят на равных основаниях в принцип действия
W= j (dx) [/M, + ^M^Fllv + X(A, F)] , (8.37)
где функция Лагранжа
X = _ 1 fnv {dllAv _ dvAfi) + _L F»vF]xv (8.38)
обладает явной калибровочной инвариантностью. В этом случае
полевые уравнения записываются в виде
d4Fw = J», dpAv-dvA^F^ + M^, (8.39)
или
dvF^v = J>x, dv*Fw = *Jt>; (8.40)
где
*Jv= —dv*Mw, 3„*/м = 0, (8.41)
a *jj/nv — тензор, дуальный тензору M^v. Тензор натяжений
симметр1 чен:
^nv = (зм* — дЫ*) Fv>. + F»K (д^А^ — дЬА») — F^-F^k -f- g^X (8.42)
и удовлетворяет соотношению
dvt»v = (J* + дКМ^) Fw + 'lyMw + • VAT»". (8.43)
Положив M^v = 0 и отождествив тензор напряженности поля
с ротором векторного потенциала, мы вернемся к сформулирован-
сформулированным выше результатам.

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД I 293
Раз функция фотонного источника Jv- (х) в соответствии с пер-
первой системой уравнений Максвелла (8.40) интерпретируется как
электрический ток, то не является ли вектор */м (х), определен-
определенный в формулах (8.41), магнитным током? Ответ на этот вопрос
отрицательный. Правда, такая интерпретация согласуется с тем,
что полное значение наблюдающегося магнитного заряда равно
нулю:
С de^*J»= —If (dc^v—da^yM^-^d, (8.44)
если только M^v обладает определенной пространственной лока-
лизуемостью, содержащейся в понятии источника. Но это вряд ли
можно считать решающим доводом. Важно то, что путем переопре-
переопределения напряженности поля магнитный ток можно превратить
в эквивалентный электрический ток. Действительно, уравнения
(8.40) и (8.41) можно представить также в виде
dv(F^ + Mw) = J» + dvMw, dv*(Fw + M»v) = Q. (8.45)
В таком виде они содержат эффективный электрический ток, уже
появлявшийся в соотношении (8.43). Но за этой приоткрывшейся
было на короткое время возможностью встает фундаментальная
проблема существования реального магнитного заряда, распре-
распределенного и движущегося по законам, которые п явной или неяв-
неявной форме отличаются от (8.41).
Чтобы исследовать этот вопрос, мы вернемся к самому нача-
началу — к понятию источника. Можно ли провести различие между
двумя фотонными источниками принципиально разного типа?
При этом источники обоих типов должны быть тесно связанными
между собой, так как структура уравнений Максвелла не изме-
изменяется в результате подстановки
*,/•*-> — /д, *Fiiv _>_Jpnv) (8.46)
или, в более общем случае, в результате соответствующего пре-
преобразования с произвольным углом а:
Jv. _>. Jn cos а + * J* sin a, Fw ->• />v cos а + *^v sin a,
*J» ->- — J* sin a -J- *J* cos a, *F^ -*— F»*v sin a + *F^> cos a. ' " '
Повторное применение операции дуализации к тензору напряжен-
напряженности поля дает
**Fiiv = _/vv. (8.48)
Все это напоминает то. что говорилось в § 3 гл. 2. Там мы видели,
что при повороте всех векторов поляризации фотона на угол л/2,
который приводит к замене исходного набора векторов поляриза-

294 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
ции ерХ набором векторов (р° = | р |)
^ (8.49)
никаких существенных изменений не происходит. Поэтому можно
думать, что искомые различие и связь между двумя типами источ-
источников будут налицо в том случае, если способность одного из них
испускать данный фотон с квантовыми числами рХ описывается
вектором ер\, а другого — вектором *е]Л. Это находит свое выра-
выражение в записи
JPx = (dfflp)Vi [epi • J (p) + *epl • * J (p)]. (8.50)
(Чтобы меньше было звездочек, мы пользуемся здесь вещественны-
вещественными векторами поляризации.) Тогда эквивалентность двух способов
описания, связанных преобразованием источников (8.47), будет
отвечать возможности поворота обоих наборов векторов поляриза-
поляризации на один и тот же угол а.
Рассмотрим опять причинно-упорядоченные пары источников,
но теперь будем считать, что они имеют компоненты J^, *Jv и /?,
*J$. Связь между испускающим и поглощающим источниками,
которая осуществляется отдельным фотоном, описывается выра-
выражением
(8.51)
Эквивалентность обоих наборов векторов поляризации находит
свое выражение в диадном соотношении
22 (8.52)
и соответствующие слагаемые в (8.51) уже известным способом
можно представить в инвариантной форме. Ио как связаны менаду
собой разные типы источников? Прежде всего заметим, что сумми-
суммирование в выражении
(8.53)
можно распространить на три единичных вектора, параллельных
р, вводя тем самым единичную диаду
P* = jo X • С8-54)
= - 2

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД | 295
Связь, примером которой служит выражение
внешне выглядит как трехмерная. Тем не менее при рассматривае-
рассматриваемых физических условиях она представляет собой лоренцевский
скаляр, в чем можно убедиться путем непосредственной проверки.
Но выгоднее записывать это слагаемое в явно ковариантной форме.
Мы начнем с замечания, что (причинные индексы опущены)
_ Р) /v (p) ipK*jK (p)f (8.55)
где /v (р) имеет только временную компоненту, причем
Ф°/о (Р) = 1. (8.56)
Решающим моментом здесь является то, что четырехмерная форма
-записи (8.55) остается справедливой и при любом векторе /v (р),
удовлетворяющем условию
ipvfv (Р) = 1, (8-57)
«ели учесть, что в случае рассматриваемых причинных связей
для вектора энергии-импульса фотона имеет место равенство
ра = 0. (8.58)
Столь же существенными, но безотносительно к причинной упоря-
упорядоченности являются законы сохранения для токов:
PvJv(p) = Q, ^v*,/v(p) = 0. (8.59)
На этих законах сохранения основано следующее тождество, спра-
справедливое при произвольном р&;
(-p)X*J(p).^r-J^f(p).J(-p)x*J(p). (8.60)
Второй из двух членов, фигурирующих в правой части этого тож-
тождества, обращается в нуль, когда pv является импульсом фотона,
удовлетворяющим равенству (8.58), а первый не зависит от кон-
конкретного выбора вектора /v (p), на который наложено ограниче-
ограничение (8.57). Фактически подобные рассуждения можно рассматри-
рассматривать как доказательство ковариантности при заданной причинной
упорядоченности, но оно требует некоторых пояснений. Класс
функций, удовлетворяющих условию (8.57), дается равенством

296 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где nv — произвольный постоянный вектор. Если вектор nv
направлен вдоль оси времени, то мы приходим к случаю (8.56).
Такая характеристика fv (p) не ковариантна; хотя после преобра-
преобразования Лоренца вектор пу и останется времени-подобным векто-
вектором, он приобретет ненулевые пространственные компоненты.
Именно здесь и сказывается произвол в выборе nv, ибо времени-
подобный вектор всегда можно заменить вектором, у которого
отлична от нуля только временная компонента. Благодаря такой
связи между выбором вектора nv и выбором координатной системы
мы и приходим к равноправности всех систем координат, а тем
самым и к ковариантности.
Условие (8.57) следующим образом записывается через про-
пространственно-временные переменные:
dvf» (х - х) = б (х — х'). (8.62)
Если функция р (х — х'), как и в формуле (8.61), пропорциональ-
пропорциональна постоянному вектору nv, т. е.
/v (х — х') = пУ/ (х — х'), (8.63)
то мы имеем для нее обыкновенное дифференциальное уравнение:
(пд) f(x — x')=8(x — x'). (8.64)
В случае, соответствующем равенству (8.56), когда только п° -ф- О,
получим
dof (х — х') = б (х° — х0') б (х - х'). (8.65)
Решение этого уравнения не единственно. Два разных решения,
соответствующих запаздывающим и опережающим граничным
условиям, имеют вид
/° (х — х') = б (х - х') [т] {х° — хй>), —r\ {z°r — х°)], (8.66)
где величина
представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда (заглавной
греческой букве х\ в латинском алфавите отвечает Н, так же как
заглавной букве б отвечает буква D). Вектор пУ можно выбрать
по-другому, направив его, скажем, вдоль третьей пространствен-
пространственной оси. В этом случае
сУз (х - х) = б (х° - х'о) б (Xi - х[) б (х2 - х'2) 6 (х3 - х'а),
(8.68)
и два разных решения таковы:
/3 (х — х') = б (х° — х0') б (ж, — х\) б (х2 - х'2) X
X [т, (х, - х'3), -ц (x's - х3)). (8.69)

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД I 297
Отметим, в частности, линейную комбинацию, представляющую
собой полусумму этих решений:
/s (х - х') = б ( хй - х0') б (х± - х[) б (х2 - 4) 4 е (^з - х'г)
(8.70)
где
е (х3 - х'3) = -е (х'3 - х3) = (;Гз > ЖГ *' (8.71)
В более общем случае дифференциального уравнения (8.62) можно
наложить требование симметрии
—р> (х' — х) = /v (х — х'). (8.72)
Для пространственно-временной экстраполяции выражений,
описывающих связи причинно-упорядоченных источников, мы
воспользуемся четырехмерной заменой (8.55). Если взять одну
из функций /v типа (8.66), то в нашей схеме появится дополнитель-
дополнительный причинный элемент, совершенно произвольный и никак не
связанный с физической стороной дела. В противоположность
этому функция типа (8.69) не обладает такой зависимостью от
времени, и произвол в ее задании ограничивается лишь тем, что
фиксируются некоторые направления в пространстве. Поскольку
главным принципом у нас является причинность, нам незачем
пользоваться функциями, подобными тем, которые фигурируют
в формуле (8.66). Не связывая себя конкретными примерами (8.69)
и (8.70), мы все-таки будем считать, 4To/v (x ~ х') имеет простран-
пространственно-подобное направление и что эта векторная функция
локализована во времени-подобной по отношению к нему коорди-
координатной области.
Искомая пространственно-временная экстраполяция дается ра-
равенством
<0+|0_У *J = exp UW (J •/)], (8.73)
где
1 j {dx){dx'yj»(x)D+(x-x'yJVk(x')
+ [ (dx)(dx')(dx")e»™>-Jv(x)D+(x-x')fv(x'-x")d**Jx(x"). (8.74)
При проверке правильности описания этим выражением исходной
причинной упорядоченности у нас возникают фурье-преобразова-
ния
j (da') (dx") e-*"*7v (x1 - х") д"к *Jk {х") = U (P) iP« *J>. (P) (8-75)

298 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и
j (da;') (dx") e*»7v (x'-x») d'^*Jk (x") = -/v(-p) »p* '-M-p), (8.76)
встречающиеся в процессе восстановления двух последних слагае-
слагаемых (8.51). Эти слагаемые переходят одно в другое при подста-
подстановке
J*(P)-+'J*{P), *J» (P) -+ -** (Р)- (8-77)
Чтобы проверить наличие указанного свойства симметрии у W,
удобно перейти к четырехмерным импульсным переменным:
+ е^^Л (- Р) U (P) ip* *Jx (P)] • (8.78)
Действие на последнее слагаемое подстановки (8.77), скомбини-
скомбинированной с Рц ->- —Ру, vl [L **-*¦ X, сводится к замене
„ (-р) U (Р) i-Рк *J% {p)-*&™*-Jv (-Р) ( - 1) /v (-P) IP* *Jl (P),
(8.79)
и условие инвариантности требует, чтобы выполнялось равенство
-/v (-P) = /v (P). (8.80)
Правда, при наличии причинной уиорядоченрюсти функция /v (p)
входит только в комбинации ipvfv (p) = 1, и это дополнительное
свойство симметрии не является обязательным. Но если потребо-
потребовать, чтобы связь между двумя типами источников сохранялась
и в общем случае, то условие (8.80), совпадающее с (8.72), накла-
накладывать необходимо. Из этого следует, что W (/ */) сохраняет свой
вид при общем преобразовании источников (8.47).
Два типа пробных источников определяют два типа полей:
6W (J */) = j (da;) [6/** (а;) А» (х) -f б */д (а;) *А» (х)], (8.81)
где
д^8^(х) = 0, 5ц б V11 (ж) = 0. (8.82)
Имеется также двоякого рода независимый калибровочный про-
произвол, допускаемый в выражениях для поля:
+ j (da:') (dx) D+ (x-x') /v {x'-x") *[^VV (z')-d"v V, (x")] -f-

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАРЯД 299
)= ( (dx')D+(x-x')*J (x1)- <8-83)
J
- j (dx') (dx") D+ (x - x) p (x' — x") *[<9B/V (x") - d"vJ* (x")\ +
где для построения дуальных тензоров используется символ
Отметим еще тождество [представляющее собой, по сути дела,
уравнение (8.13I
уУх = 0. (8.84)
В соответствии с этим
д!1А>1(х) = д2Х(х), д1*А»(х) = д**\(х), (8.85)
и в результате мы получаем
= '*{*)+ \ (dx')r>(x-x')'[d?Jv(x')-d?J»(x%
v (8-86)
x) + dd*Av{x)
Заметим также, что, например,
j {dx') /v (х-х') *[д'„/ч (х1) - dWvi (х1)] =
= -3v j (da:') *[/^ (я-л:') /v (a:')-/v (*-*') /^ (я')], (8.87)
причем в последнем выражении мы поменяли местами индексы к
и v. Два калибровочно-инвариантных поля
F^y (х) — дуАу (х) — dvAy, (x) 4-
4- ${йх'У[и{х-х')'Ъ(х')-Ь(х-х'УЫх%
•^v (я) = 5^ *AV (х) - 6V Мд (х) - (8'88)
- J (dx') *[/u (ж- *') /v (ж') -/v (ж-ж') /д (а')]
удовлетворяют уравнениям
. (S.89)

300 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Но рассматривать их как уравнения Максвелла общего вида, со-
содержащие электрический и магнитный токи, можно лишь в том
случае, если тензор *Fm (x) дуален тензору F*4 (х).
Чтобы убедиться в этой дуальности прямым путем, нужно
вычислить роторы двух векторных потенциалов А ^ (х). *Ап (х)
и сравнить получающиеся выражения с формулой (8.88). Учиты-
Учитывая еще одно тождество, справедливое для любого антисимметрич-
антисимметричного тензора G^,
д„ *GvK + dv *GXil + дк 'G^ = - e^daG™, (8.90)
мы получаем
<V*v (х)-д^(х)- J (da;') D+ (x- x') [d'ViJv (x')~d'J,i (*')] =
= - j (dx') (dx") D+ (x - x') P- (x' -x") dl *[dl*Jv {x")-^^^ (Xй)]-
- j (dx')(dz")D+(x-x') f*(x' -х")е^(-д'*)Т {x*) (8.91)
и аналогичное выражение, в которое входит *А j( (x). Используя
затем дифференциальные уравнения
д№{х' — х") = 8(х' — хя), -дЮ+{х-х') = Ъ{х-х'), (8.92)
будем иметь
-WAzl-diJ^x))],
•F,» (x) - j (dx')D^ {x-x) [d'v*Jv (x')-dv *J^ (xr) +
откуда сразу видно необходимое дуальное соотношение. Заметим,
что в калибровочно-инвариантиые напряженности поля не входит
также и произвольный вектор /v. Очевидно, что эти тензоры удов-
удовлетворяют уравнениям Максвелла. Справедливо и обратное ут-
утверждение: решениями уравнений Максвелла с граничным усло-
условием, требующим, чтобы содержались только расходящиеся во
времени волны, являются как раз тензоры напряженности (8.93).
Чтобы убедиться в атом, воспользуемся тол;деством (8.90) в форме
= (v>.k *J" (8.94)
и применим его к выражению
Vv-Vn=^ [VvH-dv/4j, (8.95)
в результате чего получим
-9%v= Vv-5v/u -VuVv-^v*^). (8.96)

§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, МАГНИТНЫЙ ЗАГЯД I 301
Искомым решением будет тензор напряженности (8.93), а также
дуальный ему тензор.
Если но считать произвола, допускаемого калибровочными
преобразованиями, то два векторных потенциала можно выразить
через напряженности поля. Сначала отметим, что фурье-образ
величины
а^х)= Г {dz')(dx")r(x--x')*(fil(x'-x")*Jv(x")-
-f^x'-x-yJ^x")) (8.97)
имеет вид
Ч (р) - Р (Р) *1/д (Р) *Jv (р) - U (Р) */№ (р)] =--
= W-/v (р) /* (Р) •/* (Р) - 0. (8.98)
Следовательно, величина а^ (х) равна нулю и формула C.88) дает
')^ J (ая')/"(*-*'HдЛ(я')-3;Л(а;'I =
А^{х), (8.99)
если воспользоваться еще и дифференциальным уравнением для
величины /v (х — х'). Таким образом,
» № = - J (<**') /V {.x-x') F^ (xr) + д»Х (х),
г v (8.100)
к(х)=\ {dx')f{x-~x')Av{x'), '
причем при калибровочном преобразовании А д (х) функция К (х)
излшняется так, что эти соотношения сохраняются. Между прочим,
мы вовсе не предполагаем, что функции X (х) в равенствах (8.83)
и (8.100) одинаковы. Мы их обозначаем одинаково потому, что они
обе выражают произвол, допустимый в выборе векторного потен-
потенциала. Вводя компенсирующее калибровочное преобразование,
функцию X (х) в формуле (8.100) всегда можно обратить в нуль.
В результате мы придем к некоторой частной калибровке, при
которой
^-x')F^(x') (8.101)
и
^(dx')f{x — x')Ay(x') = Q. (8.102)
Точно так же
j -x')F^(x'), (8.103)
v(x') = 0, (8.104)

302 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и ыы видим, что калибровочные условия (8.102), (8.104) не являют-
являются независимыми утверждениями, а диктуются структурой выра-
выражений (8.101) и (8.103).
§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ
Прежде чем переходить к рассмотрению различных выражений
для действия, приведем некоторые интегральные тождества, осно-
основанные на использовании полевых уравнений. Так, из уравнений
Максвелла (8.89) следует, что
С {dx)J»A»= \ (dx)^
1 (9-1)
а уравнения (8.88) дают
j (dx) 4 **" (d»Av - ЙЛ) = J (dx) ~ F^F»V + j (dx) Vх *An,
j (da;) i- *F»4 (^ Mv- 9V M№) - (9.2)
= j (da;) -1 *^V^v +
При выводе последних соотношений используется следующее
свойство дуальных величин:
М% = 4 e!iv*HA = ^v *5^; (9.3)
из него вытекает также, что
•^•F^-F^Fv,. (9.4)
Квадратичное выражение для W (/ */) можно представить в виде
W = 4r^(dx)(J]1A)L + *J>1*A)L) (9.5)
или в других эквивалентных формах, например,
W= j {dx) [j»Atl + *J!l*Ail-±-Ftlv(dVLAv-dvAil) +
Jr-LF^F^], (9.6)
W= ^(dx)[j»A» + *J»<A№-
\ ± J(9.7)

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ | 303
Последние выражения обладают свойствами действия, но нуж-
нужно учитывать, какие из величин выбираются в качество независи-
независимых полевых переменных. Так, например, в формуле (9.6) поля А ^
и F^, варьируются независимым образом, а через *А ц обозначен
функционал от тензора напряженности ноля, определяющийся
формулой (8.103):
М „ (х) = - j (da;') /v (x - х') *F^ (x1). (9.8)
Чтобы убедиться в этом, достаточно выполнить описанные выше
операции, в результате чего будем иметь
(9.9)
Перейдя в последнем уравнении к дуальным величинам и проведя
дифференцирование, мы получим вторую пару уравнений Максвел-
Максвелла
d4*F»v(x) = *J»{x). (9.10)
Потенциал А ц (х) строится с помощью формул (8.99) и (8.100).
Действие (9.7) используется аналогичным образом; при этом *А^
и *FuV считаются независимыми полями, а А ^ рассматривается
как функционал от */^, определяющийся равенством (8.101):
Л„ (х) = j (dx') /v (x - х') **^v (а;'). (9.11)
Асимметрия, связанная с использованием в качестве независимых
полей либо А ц, либо *А ^, устраняется, если взять третье выраже-
выражение для действия
W = j (dx) (dx') \ - f {х-х') (Г (х) F^ (x') + •/* (х) *F»V (x1)) -
- 4" djv (x-xr) (FilK (x) Fv x (x') + *F»X (x) *FV ,(x'))\. (9.12)
В это выражение, которое явно инвариантно относительно пре-
преобразований поворота (8.47), в качестве независимых переменных
входят напряженности поля. Уравнение, вытекающее из принципа
стационарного действия, можно представить в виде
Г (р) kv (р) - Г (р) Kil (Р) + *[/д (Р) *kv (p) - f (р) *к» (р)\ = о,
(9.13)

304 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
если для более компактной записи перейти к импульсным перемен-
переменным и ввести обозначения
). (9.14)
Умножив (9.13) на /^ (р), будем иметь
f (p) U (p) Kv (p) = f (р) U (р) К» (Р). (9.15)
Далее, учитывая равенство нулю дивергенции К* (x)t
PvRv (p) = 0, (9.16)
мы сначала получаем
/д (Р) К» (р) = 0, (9.17)
а затем
Kv (p) = 0. (9.18)
При этом мы воспользовались тем, что величина р- (р) /ц (р)
положительна соответственно выбору пР и, значит, ifv- (p) в форму-
формуле (8.61) в виде пространственно-подобного вектора. Точно так же
уравнение, дуальное уравнению (9.13), дает
*K.v (p) = 0. (9.19)
Следовательно, обе пары уравнений Максвелла получаются из
действия (9.12) симметричным образом.
Тут, наконец, необычайно вдумчивый читатель, которого мы
назовем Гарольдом, уже не может больше сдержаться, и происхо-
происходит следующий диалог.
Гарольд. В предыдущем параграфе вы показали, что кажущий-
кажущийся магнитный заряд, входящий в формулу (8.41), можно исклю-
исключить. При этом вы мельком упомянули, что в дальнейшем появится
магнитный ток другого типа. Но принцип действия (9.6) и полевые
уравнения (9.9) совпадают по форме с формулами (8.37) и (8.39),
если положить
= J
Iи(х-х')Ч1(х')-и(х-х'у^(х')], (9.20)
и действительно
- dv *Af*v (x) = Vм (х). (9.21)
Как же вы можете говорить, что теперь имеете дело с истинным
магнитным зарядом?
Швингер. Не нужно понимать меня неправильно, дорогой
Сагрсдо, ...простите, Гарольд. Функция (9.20), по сути дела,
отличается от функции источника (8.41), так как у нее нет той

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ I 305
степени локализуемое™, которая свойственна источникам. Рас-
Рассмотрим для примера частный случай функции /v {х — х'), у кото-
которой имеется только одна пространственная компонента
/з (х - х') = б (х° - х0') б (xt - х[) б (х2 - x't) т) (х3 - х3)
(9.22)
и которой отвечает ненулевая компонента тензора
оо
*М03 (х) = j ds *J° (х°, хи хг, х3 - s). (9.23)
В отличие от распределения магнитного заряда */° (а:), ограни-
ограниченного в пространстве, величина *М03 (х) перестает зависеть
от Хз после того, как мы минуем распределение заряда, двигаясь
в положительном направлении третьей оси. Ее соответствующее
предельное значение таково:
*мп
(х) -> J dx'3 *J° (x°, xu х2, х'а), (9.24)
и поверхностный интеграл стремится к величине
- f dxt dx2 *М° 3(х) -> j (dx) *J° (x), (9.25)
которая вовсе необязательно равна нулю. Это противоречит нуле-
нулевому значению интеграла (8.44), полученному исходя из про-
пространственной локализуемости *M]1V (x). Если бы мы взяли нечет-
нечетную функцию /** вида (8.70), то явное выражение для *М03 (х)
изменилось бы, но значение поверхностного интеграла, опреде-
определяющего полный магнитный заряд, оставалось бы тем же самым.
Таким образом, переход от фиктивного магнитного заряда к реаль-
реальному осуществляется путем выбора класса функций /** со специаль-
специальными свойствами. Но тогда возникает принципиальная трудность,
связанная с тем, что детальное описание оказывается как бы зави-
зависящим от произвола в выборе функции /»*, для которого нет ника-
никаких физических оснований. Попытаемся устранить эту серьезную
трудность.
Подставим в выражение (8.81), представляющее собой диффе-
дифференциальную формулировку зависимости W от функций источни-
источников, те значения bJ* (x) и б *./> (х), которые отвечают произволь-
произвольным смещениям, зависящим от координат:
= dv (б** (х) /д (х)) - Г (х) dv6x» (х) =
= -dv [dxv- (х) Г (х) - 6х" (х) J» (х)], (9.26)
б Vх (х) =-dv [6х* (х) *Г (х) - 6*v (x) V11 (х)]. (9.27)
20-0670

306 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Условия сохранения (8.82) выполняются при этом тождественно.
Такая подстановка дает
8W = j (dx) [8х^ (<V*v - дуА„) + 6xv V11 (^ Mv - <?v MJ] =
) [6ж W^ + 6^ •/"• *^v] +
) (dx') {*[8ж^ (ж) /v (x)-8xv (x) J" (x)] /„ (ж—ж') */v (x')-
(x) *JV (x)-8xv (x) *J'1 (x)] /^ (ж- ж') Jv (x1)}. (9.28)
Два этих интеграла можно переписать и по-другому:
8W= - j (dx) f~F^FV k-^.gwF"*Fafi] d^xv-
- j {dx) {dx') b^va [6^ (x) - бЖ|1 (ж')] /v (ж- а-') /и (ж) */л (ж')-
(9.29)
Из приведенных нами выражений вытекают два элементарных
утверждения относительно их явной зависимости от /"•. Если
электрический и магнитный токи пропорциональны друг другу
с некоторым универсальным коэффициентом, то член с fr обра-
обращается в нуль, как это и должно быть, поскольку такой случай
отвечает преобразованию поворота чисто электрического заряда.
Когда электрические токи причинно-упорядочены по отношению
к магнитным токам, член с /** также обращается в нуль, поскольку
мы ограничила класс функций /** условием, чтобы они представля-
представляли собой пространственно-подобные векторы, связывающие точки,
которые разделены пространственно-подобными интервалами.
Проблема с противоречащей физике зависимостью от /** возни-
возникает в том случае, когда электрический и магнитный заряды
сосуществуют с неодинаковыми пространственно-временными рас-
распределениями. Для большей ясности выберем функцию /•* (х — х')
в виде (8.70), т. е. в виде пространственного вектора фиксирован-
фиксированного направления с прямой, на которой он лежит, в качестве носи-
носителя (области отличных от нуля значений). Вклад в bW дают те
точки в распределениях двух источников, которые могут быть
соединены указанной прямой. При непрерывном изменении на-
направления прямой величины 8W и W будут также изменяться,
причем непрерывным образом, что исключает возможность какой-
либо физической интерпретации W. Хороним ли мы тем самым
магнитный заряд? Нет. Мы здесь не учли одной тонкости. Дело
в том, что физический смысл имеет не само действие W, а величи-
величина exp [iW\. Если при непрерывном изменении направления
вектора /»* действие W также изменяется, но скачками — на целые
кратные 2я, то экспонента будет оставаться неизменной и матема-
математический произвол в выборе /№ не приведет ни к каким физическим

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ | 307
последствиям. Конечно, это невозможно, если источники, как
считалось ранее, представляют собой объекты, распределенные
непрерывным образом. Вместо этого они должны иметь зернистую
структуру, отвечающую таким значениям интегралов с fr, которые
отличались бы друг от друга на конечные величины в зависимости
от того, проходит или не проходит прямая /•* через ядра этой
структуры. Но поскольку величина интеграла определяется также
произведением электрического и магнитного зарядов, это произве-
произведение не может быть произвольным, а должно принимать дискрет-
дискретные значения. Таким образом, мы приходим к удивительным
выводам — заряд должен быть полностью локализованным
и квантованным по величине. Следует подчеркнуть широкий
характер такого рода выводов. Мы сталкиваемся здесь с требова-
требованиями к структуре фотонных источников, вытекающими из усло-
условия непротиворечивости теории электрического и магнитного
зарядов. Мы вводим источники, идеализируя реальные физические
процессы так, чтобы были отброшены их конкретные особенности,
но сохранялись все общие закономерности. Вскрывая же фунда-
фундаментальные требования, предъявляемые к источникам, мы выявля-
выявляем общие законы природы. Таков был ход рассуждений, когда
равенство нулю дивергенции векторного фотонного источника,
вытекающее из равенства нулю массы фотона, мы интерпретирова-
интерпретировали как некий общий закон сохранения, а именно как закон сохра-
сохранения электрического заряда.
Электрический и магнитный токи связаны с характеристиками
движения точечных зарядов следующими соотношениями:
сю
а ~\ (9.30)
j
(вместо *е пользуются также символами вроде g, но здесь мы хотим
подчеркнуть симметрию .между электрическими и магнитными
величинами). Причинный характер движения точек находит свое
выражение в неравенствах
--Щ&^х), .*$«-> о. (9.31)
ds ds ds v '
Вследствие того что на границах области интегрирования точка
х^ (s) бесконечно удалена от ж^, выполняется равенство
— J
в(в_х(,)) = о.
(9.32)
20*

308 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Оно означает, что законы сохранения выполняются для каждой
частицы по отдельности. Само собой напрашивающееся отожде-
отождествление еа и *еа с зарядами отдельных движущихся точечных
частиц согласуется с вычислением полных зарядов по формуле
*)Ь[х — х (*)) = 2 «а, (9-33)
где интегрирование проводится по всей четырехмерной области »
причем величина &т„ dx^ (s) играет роль элемента объема.
Однако мы не можем просто подставить приведенные выраже-
выражения в действие W (/ */). Последнее было взято для непрерывно
распределенных источников, и его нельзя применять для совокуп-
совокупности точечных зарядов без пересмотра вопроса о том, имеет ли
величина W физический смысл. Но можно в качестве некоторого
промежуточного этапа всего рассмотрения модифицировать полу-
полученные ранее результаты таким образом, чтобы, сохраняя описа-
описание непрерывно распределенных источников, мы могли бы мате-
математически последовательно трактовать и точечные заряды. Для
этого введем сколь угодно малый пространственно-подобный век-
вектор Яд и построим промежуточное выражение для действия
W (а) = j (dx) [ J11 (х) Л„ (х ± X) + */* {х) *А»(х±Х) —
-\ F^ (х) (д^Ач (х±%)- д^ (х ± к)) +
(9.34)
где символ ±Х означает полусумму соответствующих величин
с № и —л>*. Это действие остается стационарным при вариациях
поля относительно решений уравнений Максвелла:
№ (X) --= j (dx) &A» (х ± X) [J* (х) - 3VJ*V (x)] -
- j {dx) -j- SF^ (x ± X) \d»Av (x) - d^ (x) - F^ {x) +
---O, (9-35)
где мы воспользовались возможностью такого смещения коорди-
координат, при котором zhA,11 переходит из одного полевого сомножителя
в другой. При вычислении W {X) мы будем пользоваться выраже-
выражением
W (X) = -1 j (dx) [/•* (х) А» (х±Х) + */•* (ж) *А„ (х ± X)]. (9.36)
Подставив в него токи точечных зарядов, получим
^№={2 w«*w+SWa(*•)• (9-37)
a=f=b a

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ | 309
где величина
= (еаеь+ *еа*еь)^ dsds'
+ (ea*eb-*eaeb) J
xdJv(x-Xb(s'))
симметрична по а и Ь, а
WO(X)= 4- (eS + *e?) f dads'^-^^D+(xa(s) - xa(s') ± X).
J (9.39)
Математическая проблема существования, для решения кото-
которой и введена конструкция с Я, сосредоточена в Wа (/.). В окрестно-
окрестности s — s' ~ 0 функция D+ была бы сингулярной, если бы мы
не добавили к ее аргументу пространственно-подобный вектор №.
Но это относится только к вещественной части
Re D+ (х - х') = ^ б \{х - *')*] (9-4°)
[см. формулу A.64) из гл. 2], а не к ее мнимой части
ImZ>+ (я — х') = Re j dfflpeiP<x-x'). (9.41)
Таким образом, если частицы движутся без скачков, то величина
(9.42)
будет естественным образом обрезаться на высоких частотах,
и к пределу при № -*¦ 0 можно переходить прямо в формуле (9.42).
Анализируя выражение
wa (X) = Re Wa {I) =
-Ti^T^'K-W-^Wim (9.43)
при достаточно малом № и при s, близком к s', вполне можно огра-
ограничиться рассмотрением равномерного движения. Для простоты
возьмем систему покоя и отождествим п пей ds с dx°a, выбрав одно-

310 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
временно в качестве №¦ некоторый трехмерный вектор. Тогда
при s — s' = а получим
2 2 °°
и>0(А,)«—"""giT" \dsa
J dsa.
(9.44)
Имеет ли величина wa (к) какой-либо физический смысл?
Нет, не имеет. Она связана с отдельным точечным зарядом, или
частицей. Поскольку движение частиц, составляющих источник,
считается заданным, они идеализированно рассматриваются как
чрезвычайно массивные частицы, на которые не влияют вызывае-
вызываемые ими эффекты. Прежде чем говорить о взаимодействии таких
частиц, необходимо сначала остановиться на их индивидуальных
механических характеристиках. Они вытекают из выражений для
тензоров натяжений и их значений для одночастичных состояний:
tw = 2 dwpp^p*.
Как уже указывалось, это упрощенное выражение пригодно во
внутренней области пучка, где можно пренебречь разбросом
в значениях импульса и соответствующей ему конечной простран-
пространственной протяженностью. Чтобы учесть теперь эти обстоятельства
отождествим /?"• с градиентом фазовой функции a (x) и введем
весовую функцию, зависящую от координат:
tw (ж) = р (х) д*а (х) д*а (х); (9.45)
при этом массовое ограничение
д*а д^а + те2 = 0 (9.46)
напоминает нам о том, что d^a имеет смысл импульса. Заметим,
что
p у dv (д*ад».а) (9.-47)
и поэтому локальные законы сохранения механических величин
выполняются, если сохраняется поток частиц:
du (р д*а) = 0. (9.48)
Такая интерпретация определяет также значение интеграла
( <2<т„р д^а = 1. (9.49)

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ I 311
В рамках рассматриваемой схемы, когда движение считается
заданпьтм, вполне логично принять, что
г=4г J
(9.50)
И действительно, закон сохранения при этом удовлетворяется:
оо
= J ds-±-d(x-x{s))^0, (9.51)
— оо
а кроме того,
f do^p^a = { (dx)dx°(s)8(x — x(s))=\. (9.52)
Перенося эти результаты на связь между действием и тензором
натяжений:
8W = - j (dx) t^d^xy, (9.53)
не следует забывать о том, каков смысл величины 8xv (x). Она
возникла у нас как обобщенное смещение всего источника в целом,
соответствующее смещению некоторой опорной поверхности и, сле-
следовательно, происходящее в противоположном направлении. По-
Поэтому при переходе к движению точечных частит!, нужно поставить
дополнительный знак минус:
ds^HM2{s). (9.54)
Далее, необходимо обобщить отождествление ds с dx° в системе
покоя на случай инвариантного определения собственного времени
-{dsJ = dx" dxv. (9.55)
Отсюда для варьируемого движения получаем
—dsb ds = dxv d8xx, (9.56)
и (9.54) переходит в равенство
8W - -тЬ \ ds, (9.57)

312 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
давая нам следующее выражение для действия отдельной частицы
с номером а, которая движется заданным образом:
= -та j
dsa. (9.58)
Учитывая феноменологическую направленность теории источ-
источников, можно сделать следующий вывод. Физические параметры,
введенные при каких-то ограниченных физических условиях, не
изменяют своего смысла р при рассмотрении более широкого клас-
класса явлений. Массовый параметр та определяется по реакции
частицы на слабые, медленно меняющиеся заданные силы, напри-
например в экспериментах по отклонению пучка. Когда рассматриваются
электромагнитные взаимодействия нескольких частиц, этот пара-
параметр считается тем же самым, так как он уже был фиксирован
(нормирован) экспериментально. Таким образом, одночастичный
член (9.44) не нужно добавлять к (9.58), изменяя тем самым зна-
значение та. Мы говорим вовсе не о том, чтобы приписать какой-то
части полной массы электромагнитное происхождение. Речь идет
о согласии между разными уровнями динамического описания,
которые встречаются в ходе развития теории. Заданные силы, вве-
введенные на самом элементарном уровне, на следующем этапе при-
приписываются движению частиц, но ни на одном из этих уровней
о структуре отдельной частицы не говорится ни слова, и феноме-
феноменологический параметр та в обоих случаях должен быть одинако-
одинаковым. Из сказанного следует, что вещественные члены wa (X),
которые не дают вклада ни в вероятность вакуумного перехода,
ни в связи между источниками, следует просто вычеркнуть. Тогда
действие, соответствующее фотонным источникам в случае точеч-
точечных зарядов, будет иметь вид
-2>аМЬ (9-59)
Посмотрим вновь, какое влияние оказывает смещение источни-
источников, представив его теперь в виде движения точечных зарядов.
Мы воспользуемся выражением (9.28), но с учетом сдвига аргу-
аргументов на А, и появления знака минус, обусловленного переходом
от 8zv (x) к 8х* (s):
С dx%(s)
8W =•¦ У, \ ds 8Xa (s) -, \SaF\n,v \Ха \S) ± Я) + *еа*Г^ (ха (s)±A)] —
^—I j as
а
— 51 (^а*^ь — *еаеь) \ ds ds' \8ха (s) —2 бжа (s) —^ I х
j / / \ / '\ i i \ Q'&bv \ ) ^ ^ j> /я i >/ч рЛ1

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ I 313
Антисимметричным произведением двух векторных смещений опре-
определяется двумерный элемент площади:
ba?dxl-8xlda?-=da?v, (9.61)
а антисимметричное произведение трех смещений дает трехмерный
элемент объема или эквивалентный ему ориентированный элемент
поверхности для координат х% — х§:
doSb- (9.62)
Соответствующее представление выражения (9.60)
а
— ^ {еа*еь — *еаеь) J йо^ь/№(ж„—хь ± Я,) —
об
| (9.63)
больше уже не связано с инфинитезимальными смещениями —
интегрирование здесь распространяется на геометрические обла-
области, определяемые начальными и копечными траекториями частиц.
Если трехмерные поверхности, которые входят в (9.63), зада-
заданы, то мы можем все отдельные интегралы с /** обратить в нуль,
выбрав соответствующим образом носитель функции fr, вовсе
необязанный быть прямой линией. При любом другом выборе /^,
который приводит к отличным от нуля значениям одного или
большего числа интегралов, эти значения должны быть целыми
кратными 2я. Рассмотрим пару частиц а и Ь, для которых трех-
трехмерная поверхность <т, определяющаяся координатами х$ —
сдвигается на ±№. Обозначив эти поверхности через а (
мы напишем условие, гарантирующее физическую однозначность,
в виде равенства
(ea*eb—*eaeb)\[ J + j ]da^(x) = 2nn, (9.64)
о(Я) а(-Х)
где п — целое число. Чтобы в процессе предельного перехода
Я,11 —>¦ 0 не возникало никаких нефизических элементов, мы потре-
потребуем, чтобы это условие выполнялось почти при всех значениях №.
Масштаб f^ фиксируется дифференциальным уравнением (8.62)
или эквивалентным ему интегральным соотноптением
\doj»(x)=i, (9.65)

314 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
относящимся к любой поверхности, которая охватывает начало
координат. Дискретность, требуемая условием (9.64), означает,
что на всякой поверхности такого рода носитель функции /I1
может иметь лишь конечное число точек. При этом благодаря
свойству симметрии (8.72)
-fH-x) = J»(z) (9.66)
такое число должно быть четным, т. е. равным 2v. Мы можем пред-
представлять себе ситуацию таким образом, что из начала координат
протянуто соответствующее число нитей, каждой из которых сопо-
сопоставляется ее изображение относительно начала координат. Обо-
Обозначим вклад в поверхностный интеграл (9.65), отвечающий от-
отдельной точке а (а — 1, . . ., 2v). через га, так что
2v
2гв-1. (9.67)
а=1
Основным при условии (9.64) будет случай, когда а (X), например,
содержит единственную точку а, а на поверхности а (—К) не лежит
ни одной точки из носителя f*3-. Тогда
(еа *еь - *eaeb) |re= 2лпа, (9.68)
а всякая другая возможность получается путем сложения подоб-
подобных выражений. В частности, суммирование по всем а = 1, ...
. . ., 2v дает
1 2v
у (еа *еь - *еаеь) = 2л ? па, (9.69)
или, указывая в явном виде, что точки носителя входят парами
с равными значениями га и па,
2.v v
2 па = 2 ? па=:2паЬ, (9.70)
а=1 а=1
мы получим следующее условие квантования заряда:
¦^(еа*еь-еь*еа) = 2паЬ. (9.71)
Заметим, что весовые множители га представляют собой рацио-
рациональные дроби:
Если псе 2v точек эквивалентны, то ra — i/Bv), и целое число
паЪ будет кратным v. Простейшая возможность v — 1 иллюстри-
иллюстрируется функцией /i1, определяемой формулой (8.70).

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЦАРНДА, НОРМИРОВКА МАССЫ I 315
Произвол в величине 8W нам удалось исключить, исходя из
того, что в действительности смысл имеет только величина
ехр [/ТУ], и теперь соотношение (9.63) можно написать в следую-
следующем эквивалентном виде:
=2 \ т da«v №v ^ ± я)+*е°*^ <*«± ?-)] -
U>0- <9-73>
Правда, может показаться, что здесь возникает еще одна проблема.
Хотя мы и сохранили символ 8W, он уже не соответствует изме-
изменению величины W, и встает вопрос об однозначности. Предста-
Представим себе, что траектории непрерывно деформируются так, что
в конечном итоге восстанавливают свою начальную конфигура-
конфигурацию, описывая тем самым поверхность, охватывающую некоторый
трехмерный объем. В качестве ковариантного обобщения трехмер-
трехмерного соотношения
(9-74)
мы имеем
и аналогично
A г с
^da^*jr _ datldvF^= - da^JK (9.76)
Следовательно, по завершении всего цикла суммарное изменение
W будет таким:
(9.77)
где через аа (±А.) обозначен трехмерный объем, соответствующий
частице аи смещенный на пространственно-подобные векторы +Я.11.
Интегралы в равенстве (9.77) дают ялектрический и магнитный
заряды в разных объемах. Здесь самое важное значение имеет
случай, когда частица b лежит, например, внутри объема аа (К),
но вне аа (—К). Возникающий при этом вклад в AW равен величи-
величине V2 (еа *еъ — *еаеь), которая, согласно (9.69), кратна 2я. Такой
результат, подтверждающий однозначность экспоненты, совершен-
совершенно неизбежен; интересно било лишь выяснить, каким образом
к подобному результату приводит условие квантования заряда.
Квантование заряда, которое диктуется существованием маг-
магнитного заряда, наиболее удовлетворительным образом объясняет

316 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
одну из самых поразительных эмпирических закономерностей
в природе. Несмотря на чрезвычайно широкий диапазон значений
всех других характеристик, которыми обладают частицы, эле-
элементарная порция чисто электрического заряда универсальна.
Ее мерой служит постоянная тонкой структуры
а = ~Ы = 137,036 • (
Если считать, что минимальный магнитный заряд *е0 соответствует
наименьшему целому числу в соотношении (9.71), то это соотноше-
соотношение примет вид
±е*ео = 2, (9.79)
откуда
*а0 = ^1=4.137,036. (9.80)
Эта величина, эквивалентная электрическому заряду 2vl37e,
чрезвычайно велика. Правда, может показаться, хотя бы на
первый взгляд, что такая резкая асимметрия фиктивна, поскольку
путем поворота (8.47) мы вправе переопределить все электрические
и магнитные заряды:
е'а = еа cos a -f- *еа sin а, *е'а = —еа sin а + *еа cos а- (9.81)
Конечно, у этого вращения в двумерном зарядовом пространстве
имеются инварианты, в частности величины
el + *el, еа *еъ - *еаеь, (9.82)
которые с геометрической точки зрения соответствуют длинам
и углам между двумерными векторами. Кроме того, существенную
роль играет неравенство
(еа *еь - Ч^J< (el + *е\) (еь + *е%). (9.83)
Рассмотрим следующее инвариантное утверждение. Для всех
известных частиц величина (el -f- *е1)/4к мала по сравнению
с единицей. Сравнивая в таком случае неравенство (9.83) с услови-
условием квантования заряда (9.71), мы увидим, что все целые числа
Паь должны равняться пулю. Соответствующие точки с коорди-
координатами еа, *еа ложатся на одну-единственную прямую, которая
благодаря этому приобретает некий абсолютный смысл. Эту пря-
прямую условно принимают за ось чисто электрического заряда.
Полная редукция прямой к совокупности эквидистантно располо-
расположенных точек требует, чтобы существовал другой класс частиц,
для каждой из которых величина (е% + *е?IАп намного превыша-
превышала бы единицу. В этом случае наличие абсолютной зарядовой
прямой необязательно, хотя, если целые числа в условии кванто-

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОРМИРОВКА МАССЫ | 317
вания заряда принимают только какие-то средние значения,
зарядовые точки будут скапливаться вблизи некоторой прямой,
которую удобно принять за ось чисто магнитного заряда.
Итак, мы пришли к двум типам заряженных частиц, для одного
из которых характерны сравнительно слабые, а для другого —
сравнительно интенсивные силы. Этот вывод весьма примечателен,
ибо он согласуется с экспериментально наблюдающимся различием
между лептонами и адронами. Конечно, адроны — мезоны и барио-
ны — не имеют магнитного заряда и их взаимодействия не столь
интенсивны, как взаимодействие, описываемое зарядом (9.80).
Их следует рассматривать как нейтральные в магнитном отноше-
отношении образования из частиц, несущих и электрический и магнит-
магнитный заряды. При этом наблюдающиеся сильные взаимодействия
адронов возникают как некоторые остаточные явления, обуслов-
обусловленные гораздо более интенсивными магнитными силами. При
такой интерпретации ясно, почему до сих пор не удалось экспе-
экспериментально обнаружить свободные магнитные заряды. Важно
то, что нейтральное в магнитном отношении образование выступа-
выступает в виде обычной электрически заряженной частицы. Если у нас
имеется совокупность частиц с зарядами еа и *еа, удовлетворяющи-
удовлетворяющими условиям
то, сравнивая их с эталонной частицей, заряды которой равны
е0 и *е0, мы получаем
ИЛИ
±е'*ео = 2п. (9.86)
Это и есть требуемое соотношение для заряда:
е' = пе. (9.87)
Итак, мы автоматически получаем, что нейтральное в магнит-
магнитном отношении образование обладает обычными электрическими
свойствами. Этот вывод приводит к тому, что отдельные электри-
электрические заряды частиц, несущих заряды обоих типов,— дуально-
заряженных частиц — могут принимать необычные значения.
Мы делаем специальное предположение, согласно которому ду-
дуально-заряженная частица обладает минимальным магнитным
зарядом *е0 и соответствующим электрическим зарядом е0 ф. 0
[величина е0 в (9.85) к этому значению никакого отношения не

318 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
имела]. Сопоставляя любой другой набор дуальных зарядов е'о
и *е'о с элементарной единицей чисто электрического заряда,
мы получаем, что величина *е'д кратна *е0:
*е'о = т *е0, (9.88)
а применяя условие квантования к паре частиц с дуальными
зарядами, будем иметь
1 {е'а *е0 - *е'ое0) = i (е'о - те0) *е0 = 2п, (9.89)
или
е'о = те0 -f пе, т, п = 0, ±1, .... (9.90)
Отсюда видно, что е0 и е выступают в качество независимых эле-
элементов двумерной решетки, которая дает все возможные значения
электрического заряда. Так как т служит мерой магнитного
заряда (в единицах *е0). мы вновь приходим к выводу, что для
нейтрального в магнитном отношении образования роль единицы
заряда играет только величина е. Кроме того, при заданном значе-
значении магнитного заряда разности значений электрического заряда
кратны е.
От электрически заряженных частиц и дуально-заряженных
частиц естественно перейти к чисто магнитным частицам. Согласно
равенству (9.88), элементарная единица чисто магнитного заряда
должна быть кратной минимальному магнитному заряду. Запишем
эту конкретную связь, введя некоторое целое число N:
*e = N*e0. (9.91)
Аналогом равенства (9.79), связывающего элементарную единицу
чисто электрического заряда с минимальным магнитным зарядом,
является следующее соотношение между элементарной единицей
чисто магнитного заряда и минимальным электрическим зарядом:
1 е *е = 2. (9.92)
Из него сразу же следует, что
е - Ne0. (9.93)
Из всех наших предположений, которые находят свое обоснование
в симметрии между электрическим и магнитным зарядами, мы
заключаем, что составляющие заряда дуально-заряженной части-
частицы равны одной и той же доле UN элементарных единиц чисто
электрического и чисто магнитного зарядов. Какие же значения
2, 3, ... целого числа N встречаются в природе?
Прежде чем отвечать на этот вопрос, мы должны сделать
небольшое отступление и остановиться на вопросе о связи между

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЗАРЯДА, НОГМИРОВКА МАССЫ | 319
типами статистики для составных частиц и для составляющих их
элементов. Суммарный спиновый момент составной частицы, по-
построенный из нечетного числа частиц с полуцелым спином (стати-
(статистика Ферми — Дирака), будет также нолуцслым, и такая состав-
составная частица подчиняется статистике Ферми — Дирака. Если
число составляющих элементов с полуцелыми спинами четно,
то построенная из них частица будет обладать целым спином,
подчиняясь статистике Бозе — Эйнштейна. Все происходит так,
словно частица Ферми — Дирака несет знак минус, а частица
Бозе — Эйнштейна — знак плюс и знаки перемножаются, опре-
определяя в итоге тип статистики для составного образования. И это
пе просто мнемоническое правило, ибо знаками плюс и минус опре-
определяются алгебраические свойства источников, которые, перемно-
жаясь, дают эффективный источник составной системы. Далее,
как уже упоминалось, существуют две разновидности адронов —
мезоны, подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна, и барио-
ны, подчиняющиеся статистике Ферми — Дирака. Раз мы считаем,
что оба типа адронов следует строить в виде нейтральных в магнит-
магнитном отношении образований из дуально-заряженных частиц,
последние не могут быть все частицами Бозе — Эйнштейна. Про-
Простейшее предположение заключается в том, что все они частицы
Ферми — Дирака: четное число таких составляющих элементов
дает частицу Бозе — Эйнштейна, а нечетное — частицу Ферми —
Дирака.
Могут ли дуально-заряженные частицы обладать лишь одним
значением магнитного заряда? Заметим, что в соответствии с суще-
существованием электрических зарядов разного знака магнитные заря-
заряды должны принимать также оба знака. В итоге мы приходим
к понятию античастицы. При этом, чтобы сохранить структуру
двух пар уравнений Максвелла, содержащих общий тензор напря-
напряженности поля, это понятие следует связывать с зарядами обоих
типов. Если магнитный заряд может принимать только значения
AA/V) *е и —AA/V) *е, то получить нейтральное образование можно
только путем их объединения, причем такого рода пары дуально-
заряжоиных частиц Ферми — Дирака будут частицами Бозе —
Эйнштейна; но построить тем же способом барионы не удается.
Следовательно, заряд должен принимать но крайней мере два
разных значения. В соответствии с магнитным аналогом конструк-
конструкции (9.90), отвечающей электрической решетке, магнитные заряды
дуально-заряженных частиц с одним и тем же электрическим заря-
зарядом должны различаться на величины, кратные элементарной
единице чисто магнитного заряда *е. При описании дуально-заря-
дуально-заряженных частиц представляется вполне целесообразным считать,
что их заряды по величине меньше элементарных единиц соответ-
соответствующих чистых зарядов. При этом условии допустимыми ока-
оказываются только два значения магнитного заряда, которые при

320 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
обычном выборе знаков равны — {1/N) *е и [(N — \IЩ *е. Воз-
Возможные значения электрического заряда полностью аналогичны:
— A/N) е и [(N — i)IN\ e. С любым из магнитных зарядов можно
связать любой из электрических зарядов, что дает нам четыре
дуально-заряженные комбинации.
Как и раньше, заданный магнитный заряд можно нейтрализо-
нейтрализовать, комбинируя его с магнитным зарядом противоположного
знака, в результате чего получится мезон. Но теперь существует
и другая возможность, связанная с тем, что магнитный заряд
[(./V — 1)МП *е можно скомпенсировать N — 1 магнитными заря-
зарядами — (ilN) *e. В итоге мы приходим к образованию из N частиц
Ферми — Дирака, и если нам нужно получить барион, подчи-
подчиняющийся также статистике Ферми — Дирака, то число N, кото-
которое может принимать значения 2, 3, . . ., следует взять нечетным.
Простейший возможный вариант, который мы и примем, отвечает
случаю -Л/ = 3. Таким образом, барионы рассматриваются как
образования из трех составных элементов, несущих магнитные
заряды (в единицах *е) 2/3) —У3 и —У3. Заметим попутно, что
из равенства *е = 3*е0 следует
*а = ^1= 36-137,036. (9.94)
Остается невыясненным, относятся ли два магнитных заряда —У3
к двум одинаковым частицам или же они отвечают двун разным
частицам с одинаковыми значениями магнитного заряда. По этому
поводу мы можем высказать лишь следующее замечание, никак
не связанное с существованием античастиц. В первом случае
магнитный заряд, усредненный по всем дуально-заряженным части-
частицам, будет отличен от нуля, тогда как во втором случае, гда муль-
типлетность заряда —V3 вдвое больше мультиплетности заряда
2/з! соответствующее среднее значение будет равно нулю. Мы
выбираем более симметричную возможность, распространяя ее
и на электрический заряд. Таким образом, говорим ли мы об
электрическом заряде, измеряемом в единицах е, или о магнитном
заряде, измеряемом в единицах *е, в любом случае он принимает
три значения: 2/3, —У3, —Уз- Соответствующие девять возможных
вариантов естественно рассматривать как разные состояния неко-
некоторой фундаментальной дуально-заряженной частицы. Чтобы под-
подчеркнуть исконную двойственность этой частицы относительно
заряда, мы назовем ее дионом.
» *|Хотя гипотетическое представление о магнитном заряде как об
основе описания поведения адронов находится еще в первоначаль-
первоначальной стадии своего развития, мы и так уже забежали слишком
далеко вперед с точки зрения возможностей ее проверки. Это
связано, в частности, с тем, что мы пока совершенно не касались
феноменологического анализа свойств адронов. Нам следует отка-

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 321
заться от такого рода опрометчивых чисто умозрительных построе-
построений и перейти к изучению динамики обычных электрически заря-
заряженных частиц. Но тут вмешивается Гарольд.
Гарольд. Вы чрезвычайно убедительно говорили о том, на-
насколько важно избегать каких-либо умозрительных предположе-
предположений относительно структуры частиц, но тем не менее тут вы зани-
занимаетесь довольно смелыми спекуляциями как раз такого рода.
Нет ли здесь противоречия?
Швингер. Цель феноменологической схемы в конечном счете
состоит в том, чтобы установить связь с лежащей в ее основе фун-
фундаментальной теорией. Я предостерегал от смешивания феномено-
феноменологической схемы с фундаментальной теорией. Систематизация
и теоретическое осмысление экспериментальных данных не должны
основываться на каких-либо явных предположениях относи-
относительно структуры. Но совершенно независимо от такого подхода
мы вправе выдвигать умозрительные гипотезы в поисках связи
с феноменологической схемой. Логическое разделение двух ука-
указанных фаз в развитии теории должно способствовать более
быстрому достижению конечной цели.
§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
И МОДЕЛИ ИСТОЧНИКОВ
Консервативный характер фотонного электрического источника
/** (х) устанавливает образец для всех таких источников, пред-
представляемых вектором электрического тока, отвечающим какому-то
конкретному типу частиц. Уже рассмотренные электрические токи
для различных значений спина не удовлетворяют этому требова-
требованию, так как они сохраняются только в областях вне источников.
Рассмотрим снова случай бесспиновых частиц, но несколько
иначе, основываясь на выражении для действия
X = - «р^ф + у cp^tfv - у "г V •
Напишем соотношения для инфинитезимальных, зависящих от
координат фазовых преобразований источников
8K(x) = ieq8a{x)K{x), 6А>(х) ¦¦= ieq8а (х) К»{х) A0.2)
и компенсирующих преобразований полей
, 8^(х)=-- ieq 8а (х) у* (х). A0.3)
21-0070

322 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Прямой расчет дает
ieqK(x)+^{x)ieqKil(x)]8x{x), A0.4)
тогда как косвенным путем мы приходим к величине
&W=—\(dz)j»(z)dlx&a(x), A0.5)
где
. A0.6)
Из сравнения двух приведенных выражений следует, что
drf» (х) = Ф (х) ieqK{x) + ср» (х) ieq K^ (х). A0.7)
Заметим, что вместо использовавшейся раньше матрицы q мы
всюду пишем eq; это делается для того, чтобы заряд был выражен
через физическую единицу е.
Несохранение ;> в области источников означает лишь то, что
физическое описание начинается с момента рождения частицы,
несущей заряд, а предшествующее существование если не самой
частицы, то этого заряда, в источнике игнорируется. Нам нужно
как-то учесть то обстоятельство, что заряд только передается,
а не рождается. Как будет видно из дальнейшего, для этого тре-
требуется ввести электромагнитную модель источников, которая
упрощена до такой степени, что в ней остается только условие
сохранения заряда, но все-таки содержатся некоторые элементы
произвола. Один из способов получить сохраняющийся электри-
электрический ток — отбросить его несохраняющуюся часть. В то же
время в областях, причинно не связанных с актами испускания
и поглощения, т. е. в областях, где ток сохраняется, выражение
для него должно оставаться по сути дела прежним. Для этого
достаточно построить величину
]соч>(х) = }»(*) - J (dx')f*(x-x')d'vr(x'), A0.8)
причем уравнением
dj»(x—x')**6(x — x') A0.9)
определяется уже ставший привычным класс функций. Если носи-
носитель f* (х — х') сводится к пространственно-подобным интерва-
интервалам, то вычитаемое в формуле A0.8) обращается в нуль в любой
момент времени, причинно не связанный с источниками. Для
того чтобы сохранить единообразие в трактовке j» (х) и /•* (х),
свяжем сохраняющийся вектор, обозначаемый теперь через

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ | 323
(#)> с произвольной векторной функцией J* (х) равенством
J&t? = J»(x)- j (dx')f»{x-x')d'vJv(x'). A0.10)
В выражении для действия векторный потенциал А* (х) следует
умножать на полный ток. Производя перегруппировку членов,
можно написать
\ {dx) [J?oxp (x) + /?>хр (х)] А» (х) =
= J (dx) [/»(*)+ ;»(*)] <(*), (Ю.И)
где
< (a:) = 4i (*)-** j (dx')f>(x-x')A4(x') A0.12)
и где ради удобства мы наложили требование симметрии
-1»{x'-x) = f»(x~x'), A0.13)
которое в данном случае никакого явного физического смысла
не имеет. Заметим, что переход от А^ (х) к Ац (х) представляет
собой калибровочное преобразование, обладающее тем свойством,
что новый векторный потенциал удовлетворяет условию
j (dx') f> (х - х') Al (х') = 0. A0.14)
Этим условием новый векторный потенциал определяется одно-
однозначно. Действительно, произведя калибровочное преобразование
общего вида
All(x)=All(x) + д„к (х) A0.15)
и потребовав, чтобы потенциал А^ (х) удовлзтворял равенству
A0.14), мы получим
0 = J (dx') f» (x - х')А„ (х') + Я, (х), A0.16)
что дает векторный потенциал A0.12).
Если рассматриваются частицы двух разных типов, не взаимо-
взаимодействующие друг с другом, то вакуумные амплитуды будут
перемножаться, а действия складываться. Таким образом, для
невзаимодействующих фотонов и бесспиновьтх частиц
- \
A0.17)
Взаимодействие между фотонами и заряженными частицами вво-
вводится путем замены /с^Хр полным током. Мы будем называть такое
21*

324 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
взаимодействие примитивным, поскольку указанная процедура не
приводит к окончательной формулировке всех взаимодействий,
а соответствует некоторой ее первоначальной элементарной стадии,
которую включают в собя и дополняют последующие, все более
и более сложные уровни описания. Смысл утверждения, что при-
примитивное взаимодействие представляет собой первый из этапов
динамического описания, будет уточнен несколько позже. Выра-
Выражение для действия на этой первой стадии имеет вид
W - j (dx)
A0.18)
где мы включили в функцию Лагранжа следующий член взаимо-
взаимодействия:
;"|Д. f *>* Л а (ф\ ¦—¦ (Т\№ I ф"\ 7 РП€Г\ Iт\ А ( jv\ МП i Ql
Хотя в функцию Лагранжа входит здесь векторный потенциал со
специальной калибровкой, тем не менее она представляет собой
калибровочно-инвариантную комбинацию, которая не меняется
при совместном калибровочном и фазовом преобразовании
.. -г _*. .. г -w.. . т A0.20)
Этот результат есть следствие замены производной д^ц> с законом
преобразования
калибровочно-ковариантной комбинацией
(дц — ieqAy, (х)) ф (х) -*- е^М (д^ — ieqA^ (х)) ф (х). A0.22)
Полевые уравнения, которые получаются из принципа ста-
стационарного действия путем варьирования ф1* и ф. имеют вид
E^ — ieqA]i) ф — Фц = ^ц> —(9ц — ieqA]x) фм- + т-2Ф = ^, A0.23)
где калибровочно-ковариантная комбинация осталась нетронутой,
так как изменение знака у производной при интегрировании
по частям компенсируется антисимметрией зарядовой матрицы q.
При варьировании А^ мы не должны нарушать калибровочного
условия, наложенного на векторный потенциал:
((rlr'\ ^И (т v'\ Л Л^ Iт'Л П liC\ ОЛ\
(ах ) 1^ (•*¦ л, ) и/1ц {л ) — и. \lU.^4t)

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ | 325
Таким образом, из равенства
^Ив^-О A0-25)
в действительности следует, что
(x)-dvF™(x)= j (dx')fHx-x')y{x'), A0.26)
где функция у (%) произвольна, пока речь идет о принципе дей-
действия. Но взяв дивергенцию обеих мастей последнего соотношения,
мы получим
W)+^(*HY(z) A0.27)
и в результате придем к уравнениям Максвелла
д^ (х) = J^v (х) 4-;1U (*)¦ (Ю.28)
Чтобы установить связь между использованием функции
f* (х — х'), которая задает специальную калибровку, и концепци-
концепцией электромагнитных моделей источников, произведем фазовое
преобразование полей ф и ц>*, не прибегая при этом к калибровоч-
калибровочному преобразованию:
ф(а;)-*е-1е9л<*>ср(;г), фИ^-^-е-^'Л^ф^а:). A0.29)
Здесь
А(х)= \ {dx')^(x-x')A,,(x'), (Ю.ЗО)
а А{1 (х) — векторный потенциал в произвольной калибровке.
Это преобразование приводит к результатам двоякого рода. Оно
заменяет А^ в X на
A'li(x) + dVLA{x) = Ail{x), A0.31)
что представляет собой калибровочное преобразование, обратное
преобразованию A0.12). Кроме того, если перенести нескомпенси-
рованный фазовый множитель на источники, то они перейдут в
KA(x) = eieiMx)K(x), К?{х) = е*члюка(х). A0.32)
Введя произвольный векторный потенциал А ^ (х), мы вернемся
к использованию Jc0XV (x). Но дополнительный индекс в дальней-
дальнейшем будем опускать, поскольку из контекста всегда можно уста-
установить, является ли /|Х (х) произвольным вектором, когда для
векторного потенциала выбрана определенная калибровка, или
же он является сохраняющимся вектором, когда векторный
потенциал допускает калибровочные преобразования. Новое выра-

326 1 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
жение для действия имеет вид
А»)]. (Ю.ЗЗ)
Теперь калибровочной инвариантности функции Лагранжа соот-
соответствует и калибровочная инвариантность всех слагаемых с источ-
источниками, так как преобразование А ^ —>- А ц -)- д^Х приводит к под-
подстановкам
Л (х) -> Л (х) + К (х) A0.34)
и
ЯА(г)->е1вв«*>ЯА(а:), КА{х)->-е^Ш)Кл{х). A0.35)
В то время как полевые уравнения для заряженных частиц,
получаемые из действия A0.33), по-прежнему задаются формулами
A0.23) с источниками КА и Кд, уравнения для электромагнитного
поля приобретают несколько иной вид. В отличие от случая,
когда рассматривается действие A0.18), величина ЬА ^ теперь
произвольна и источники заряженных частиц являются функцио-
функционалами векторного потенциала. Из последнего обстоятельства
следует, что
8А Г (da:) <р (а:) КА (х) = \ (dx) ц> (х) ieqKA (х) 6Л (х) =
= - j (da;) (dx')8All(x)^(x-x')^(x')ieqKA{xl). A0.36)
Таким образом, теперь мы получаем
(x')\. A0.37)
Поскольку
dyjv. (х) = ф (г) ieqKA (х) + ^ (х) ieqKA(x), A0.38)
мы приходим в точности к уравнениям Максвелла A0.28), но на
этот раз представлен в явном виде вклад в электрический ток,
связанный непосредственно с источником заряженных частиц.
Рассмотрим следующую задачу с воображаемым источником.
Точечный заряд е движется равномерно с четыре-вектором скоро-
скорости пР, удовлетворяющим условию
= —1, A0.39)
до'тех пор, пока в некоторой фиксированной точке, которую мы
примем за начало координат, он не прекратит своего существова-
существования. Нужно выяснить, как описываются фотоны, испущенные или

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ I 327
поглощенные при этом акте. Вектор тока, равный
о
/ц(я) = еи^ Г dsb{x-ns), A0.40)
— оо
не будет сохраняться — он удовлетворяет уравнению
о
д^(х)=—е \ ds-^b{x — ns)= — е8(х). A0.41)
— оо
Таким образом,
A0.42)
причем эта функция /^ времени-подобна:
о
/n(z)=— «и f dsb(x — ns) A0.43)
— оо
и в импульсном представлении равна [см. формулу (8.61)]:
и
iJ»(p)=—nH f dse-*"™ = -^-, pn^=0. A0.44)
— оо
Вспомним, каким образом описываются испускание и поглощение
произвольного числа частиц, в данном случае фотонов, заданным
распределением источников Jv- (x). Множитель в вакуумной ампли-
амплитуде, связывающий /м с испускающим источником /^ и детекти-
детектирующим источником /•?, имеет вид
exp [i j (dz) {dx') Л (x) D+ (x - x') /д (х) +
+ i j (dx)(dx')Jlx(x)D+(x-x')Jw(xr)'] =
= exp [i j (dx)J>l(x)Alx(x)\ , A0.45)
где в A u (x) входит поле, отвечающее источнику /?• и начальным
фотонам, и поле, аналогичным образом связанное с конечными
фотонами. Благодаря причинной упорядоченности источников
потенциал Avl{x) в формуле A0.45) во всех представляющих
интерес точках является решением свободных уравнений Максвел-
Максвелла, которые в импульсном пространстве записываются в виде
PZA ц (Р) - PvPvA" (Р) = 0. A0.46)
Подставив ток A0.42) в формулу A0.45), получим
ехр [ - ie j (da;) /^ {x) A» {x)'\ =
] A0-47)

328 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Заметим, однако, что
Отсюда видно, что с точки зрения вычисления величины A0.47)
времени-подобная функция /Iх эквивалентна пространствешю-по-
добному вектору
$i? 0. A0.49)
Последняя функция также нечетна по р, но на нее не наклады-
накладывается никаких ограничений в отличие от вектора A0.44), отра-
отражающего асимметрию функции координат, которая определяется
равенством A0.43). Мы видим, что величина A0.47) в точности
равна экспоненциальному множителю, связанному с актом испус-
испускания отдельной заряженной частицы, например в равенстве
j {dx') ф (а:') КА [х') =
= j (da:') Ф (х') ехр [ -ieq j (dx) p (x - х') А„ [х')\ К (х'),
A0.50)
где х' играет роль начальной точки, в которой заряд eq исчезает
в источнике, появляясь на интересующей нас частице.
Отдельные члены семейства функций р1, фигурирующих в фор-
формуле A0.49), отличаются один от другого только выбором времени-
подобного единичного вектора п*1, который в модели источников
описывает движение заряда. Если система координат выбрана
так, что вектор п^ направлен вдоль оси времени, то /¦"¦ (р) будет
иметь только пространственные компоненты, не зависящие от р°:
if (?) = -?-, A0.51)
откуда
t(x)=—V2}(x)8(a*), A0.52)
причем функция
удовлетворяет уравнению
— Vaa>(x) = 6(x). A0.54)
Функцию /ц мои;но выбрать так, чтобы не приходилось прибегать
к постороннему единичному вектору, строя его из соответствующих
физических параметров. Для этого нужно несколько обобщить

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛККТРОМАГНИТНЫК ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ j 329
структуру/^, включив в нее алгебраические функции от производ-
производных, действующих на источник К (х). Замена, которую необходи-
необходимо произвести при этом в формуле A0.50), и ее смысл становятся
ясными из соотношения
ехр Г — ieq \ (dx) /•* (х — х , — idK) А^ (х) ! К (х) =
= $ ¦щг*р*'ехр\ -ieq ^ (dx)f»{x-x't P)All(x)\K(P). A0.55)
Если К (Р) описывает испускание или поглощение частиц, то
с точностью до скалярного множителя величину п^- можно заме-
заменить времени-подобным вектором Pv-, и в результате получим
причем последнее выражение аналогично выражению A0.44);
с точки зрения расчета процессов, происходящих с фотонами,
оно эквивалентно предыдущему.
Случай бесспиновых частиц оказывается особенно простым.
Физическая система без собственного углового момента в своей
системе покоя может обладать только скалярными характеристи-
характеристиками. Поэтому при рассмотрении электромагнитных явлений
допустимым оказывается только монопольный момент — заряд,
а все мультипольные моменты запрещены. Вообще частица со
спином s в своей системе покоя может обладать мультмпольными
моментами, .максимальный порядок которых равен 2s. Так, частица
со спином li2 может иметь произвольные дипольные моменты,
частица с единичным спином может иметь произвольные диполь-
дипольные и квадрупольные моменты и т. д. В случае спина 1/2 достаточ-
достаточно общее выражение для тока имеет вид
X (% [ у Ф (ж) 7°о^-дф (a:) j. A0.57)
Коэффициент при слагаемом типа dvm^v мы представили в такой
форме, предвидя, что величина g окажется гиромагнитным отно-
отношением, т. е. отношением магнитного момента, выраженного
в единицах +е/2т, к спиновому угловому моменту [формула B.44)
из гл. 1]. Это станет более ясным, если воспользоваться тожде-
тождеством F.67), применимым в областях вне источников, п переписать
формулу A0.57) в виде
е 1 Г \ о 1 '
A0.58)

330 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Магнитный момент системы определяется равенством
ц = 1 j (dx) x X j, A0.59)
которое в данном случае переходит в выражение
-<r"U, A0.60)
откуда сразу видно, какую роль играют орбитальный момент,
спиновый момент и g-фактор. В число дипольных моментов, кото-
которыми может обладать частица со спином V2, входит электрический
дипольный момент. Поэтому ко второму слагаемому в A0.57)
следовало бы добавить аналогичное выражение с произвольным
коэффициентом, содержащее дуальный тензор спина
•aiiv^^eiivx^^^Qnv^. A0.61)
Однако никакой характеристики такого рода пока обнаружено
не было. Поскольку дивергенция второго члена в токе тождествен-
тождественно равна нулю, мы по-прежнему имеем [здесь введен дополнитель-
дополнительный множитель е, которого не было в формуле F.48)]
д^ {х) = ф (ж) y°ieqr) (х). A0.62)
Ток A0.57) входит в следующее выражение для действия
аналогичное действию A0.18):
W = j (dx) [J»Ai+Tr№ + % (ф, 4I.
X (ф, Л) = - \ F^F^v - y № IT* (- ^и ~ в?Л) + т] Ф +
^°^#. (Ю.63)
Здесь не представлен член, соответствующий электрическому
дипольному взаимодействию,— он подобен последнему слагаемому,
но с заменой одного из антисимметричных тензоров дуальной ему
величиной. Функция Лагранжа инвариантна относительно кали-
калибровочного преобразования
А „ (ж) -> А „ (ж) + 5ЦЛ (ж), ij> (ж) -> в*^*> ф (ж). A0.64)
Как и в случае нулевого спина, воспользовавшись этим свойством,
можно не связывать себя выбором определенной калибровки,
введя электромагнитную модель для источника частиц:
](х). A0.6Л)

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ I 331
Из действия A0.63) вытекают полевые уравнения
s-l) X
), A0.66)
а также уравнения Максвелла, содержащие соответствующие
сохраняющиеся токи.
Появление калибровочно-ковариантной производной д^ —
— ieqAp в действиях A0.18) и A0.63) представляет собой совер-
совершенно общий факт. В нем находит свое выражение тождествен-
тождественность двух способов, которыми были введены электрические токи.
При первом из них рассматривается реакция системы на инфините-
зимальное фазовое преобразование, зависящее от координат. Для
поля х (х) общего вида имеем
8Х (х) = ieqb a(x) х(х), A0.67)
что приводит к изменению действия
8W = — ( (dx) j» (х) Й^ба (а:), A0.68)
причем множитель е, фигурирующий в формуле A0.67), задает
соответствующий электромагнитный масштаб для тока. Такое
кинематическое определение не единственное возможное. При
динамическом определении электрический ток имитирует функции
фотонного источника. В частности, требуется, чтобы изменение
действия при вариации поля ЬА^ — д^дХ имело вид
8W = \ (dx) (/м + /д) д^бХ. A0.69)
Таким образом, тождественность двух понятий диктуется требова-
требованием инвариантности действия относительно единого калибровоч-
но-фазового преобразования г) с
6а (яг) = 6Я, (яг). A0.70)
Для группы калибровочных преобразований, в целом по своей
структуре абелепой, это достигается путем замены производных,
действующих на поля заряженных частиц, калибровочно-кова-
риантными производными. В возможности же независимого вклю-
включения дополнительных калибровочно-инвариантных членов, кото-
которые входят, например, в формулу A0.63), отражается произвол,
допускаемый при кинематическом определении тока. Принято
считать, что в электромагнитной связи, получаемой при использо-
й) Обычно его называют калибровочным преобразованием второго рода.—
Прим. ред.

332 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
вании калибровочно-ковариантной подстановки, есть нечто особен-
особенно простое и естественное, и это действительно так. Но не следует
забывать, что при данном значении спина возможны разные спосо-
способы описания, и, следуя одной и той же методике, мы будем полу-
получать разные электромагнитные характеристики. Так, например,
описание спина х/2 посредством спинора третьего ранга, основан-
основанное на функции Лагранжа E.73) с калибровочно-ковариантными
производными, приводит с точностью до множителя е к току F.61),
причем соответствующее значение g, которое входит в формулы
F.68) и F.69), равно 2/3. Если из того чрезвычайно интересного
факта, что для электрона и мгоона выполняется почти точное ра-
равенство tlig х 1, можно сделать какой-то недвусмысленный вывод,
то это вывод о том, что для описания таких частиц больше всего
подходит простое спинорноо уравнение Дирака.
Чтобы проиллюстрировать, как путем прямого использования
калибровочно-инвариантной функции Лагранжа вводятся прими-
примитивные электромагнитные взаимодействия, мы рассмотрим заря-
заряженные частицы с единичным спином. Такая функция Лагранжа,
получаемая в результате обобщения формулы E.28), имеет вид
X = _ 1
A0.71)
где мы пользуемся сокращенным обозначением ковариантной
производной
. A0.72)
Заметим, что мы образовали два члена, каждый из которых сам
по себе калибровочно-инвариантен. Ниже будет установлена
связь произвольных коэффициентов а и Ь с магнитным моментом
и с электрическим квадрупольным моментом. Мы не рассматриваем
два дополнительных члена взаимодействия, получаемых путем
замены тензора F*lv дуальным ему тензором. Они описывали бы
электрический диполышй и магнитный квадрупольный моменты.
Полевые уравнения для частицы, которые следуют из принципа
действия, имеют вид
/VPv- A-4V -Gnv--^(Fll>jeqG\,~FvlieqG\)== Л/,,,
V —<d
a вектор электрического тока в областях вне источников дается
выражением
A0.74)

§ 10. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ I 333
Если нас интересуют внутренние электромагнитные характери-
характеристики частицы, а не те ее свойства, которые обусловлены воздей-
воздействием электромагнитного поля, то можно упростить выражение
для тока A0.74), пользуясь полевыми уравнениями для свободной
частицы:
v ~ <?v<P(l = G,1V, dvG^ + m\» = 0, даф = 0, A0.75)
последнее из которых играет важную роль, хотя и не является
независимым. Это дает
р - d»q>4eq(?v 4- -^ д* (O^ieq(fv) -
- A - а 4 Ъ) dv ((fHeq(fv) + -^ дгду (qWegqjv) _
* A0.76)
Отсюда следует, что член взаимодействия с электромагнитным
потенциалом в областях, где нет никаких источников, имеет вид
(da;)
_ (l _ а + Ь) 4
A0.77)
Кроме того, как показывает тождество
4- 5^ (qAieg^pv), A0.78)
производную напряженности поля в формуле A0.77) следует сим-
метризовать по индексам Лил?.
В случае медленно движущейся частицы с зарядом ±е доми-
доминируют три компоненты поля <рй, которые удобно объединить
в вектор <р. Вектор 8 со спиновыми матрицами в качестве компо-
компонент определяется вращением
n *s<p = ш X <р. A0.79)
Пользуясь спиновыми матрицами, представим выражение A0.77),
соответствующее рассматриваемому случаю, в виде
j (dx) A^ -> j (da;) [ - (± е) А°2т (ф1фз) + A - а 4- Ъ) (± е) х
X Н.(ф1«р2) + -^г (± е) VE : 2т(ф138ф2)] , A0.80)

334 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где симметризована диада VE 1), а также выделены члены, которые
описывают частицу, распространяющуюся в причинно-упорядо-
причинно-упорядоченной системе. При нормировке, задаваемой связью скалярного
потенциала А0 с зарядом ±е, линейной связью вектора спина
с магнитным полем будет определяться величина
g = 1 _ а + Ь, A0.81)
а квадратичный по спину член будет давать квадрупольный момент,
выраженный в единицах ±е/та2:
Q = 26. A0.82)
К отдельным результатам, полученным для значений g при
использовании только калибровочно-ковариантной производной
(s — 1/г> S = 2, г/3; s = 1, g = 1), можно прийти на основе едино-
единообразного рассмотрения мультисшшорной функции Лагранжа
общего вида E.78). Эта функция Лагранжа приводит к следующе-
следующему выражению для тока в пространстве, где нет источников
и полей:
(^)>(x). A0.83)
а
При указанных условиях
(??-7р^ = 0 A0.84)
и все вспомогательные поля обращаются в нуль, откуда следует
система полевых уравнений
У=0* а=1' •¦•'"• A0>85)
Поэтому в каждом из п слагаемых, которые входят в формулу
A0.83), можно произвести перегруппировку членов, использо-
использовавшуюся в случае спина г/2, в результате чего получим
^ (*>=i?r т [*{х) yq т
] A0>86)
Так как вектор спипа частицы равен
Va : cd = у {-— а} + <гг ^j с;^,- Яриле. ред.

§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ 335
для величины g отсюда сразу же получаем
*-А, A0.88)
а все остальные мультипольныо моменты равны нулю. Заметим,
что фактическое значение спина входит только через неравенство
s < nil и поэтому
gs=~<l, A0.89)
где знак равенства относится к полностью симметричным спино-
спинорам. Кстати, очень похожая единообразная трактовка применима
и ко всем полям, которые образованы из спинора и симметричного
тензора и которые используются для описания полуцелых значе-
значений спина. Как можно видеть на примерах функций Лагранжа
E.55) и E.58), калибровочно-ковариантное электромагнитное
взаимодействие приводит к вектору тока, который в пространстве,
где нет источников и полей, имеет вид
7* (х) - е | riVi- ¦' (*) Y'V'MW .. (х). A0.90)
Та же самая перегруппировка членов, которая применялась в слу-
случае спина 1/2, дополненная проектированием а на полный спин,
и учет того обстоятельства, что а3, например, при s3 = s равно
единице, сразу же дают
gs = 1. A0.91)
§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ
Дополнительным к принципу равноправности всех точек про-
пространства-времени может служить принцип равноправности всех
явлений, которые различаются только фигурирующими в них
значениями энергии и импульса. Понятие источника было введено
у нас на основе идеализированного представления о процессах
столкновений, в которых переносится строго определенное коли-
количество энергии-импульса (или инвариантной величины — массы),
необходимое для порождения данной частицы. Но те же самые
законы физики действуют и в том случае, когда переносится мень-
меньшая или, наоборот, большая масса. Давным-давно, в § 3 гл. 2,
мы воспользовались экстраполяцией на квазистатические распре-
распределения источников, не способные испускать частицы, для уста-
установления связи свойств фотонов с законами Кулона — Ампера,
которые описывают взаимодействия зарядов и токов. Возможно,
что, занимаясь хорошо известными уравнениями Максвелла,
мы могли и забыть об исходных логических основаниях необходи-

336 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
мости такого рода контакта. Теперь же, рассматривая электриче-
электрические токи, связанные с действием источников заряженных частиц,
мы будем двигаться в противоположном направлении. С физиче-
физической точки зрения дело обстоит довольно просто. При рождении
заряженной частицы соответствующий заряд обычно переносится
от каких-то других частиц, которые движутся иначе. Ускоренные
заряды излучают. Следовательно, если не контролировать строго
баланс энергии-импульса, то заряженные частицы должны с отлич-
отличной от нуля вероятностью сопровождаться фотонами. Если бы мы
придерживались слишком узкой точки зрения на понятие источни-
источника и не распространили бы его на такие акты многочастичного
испускания, то мы потеряли бы связь между динамическими аспек-
аспектами заряда и его кинематическими аспектами.
Испускание или поглощение фотонов не есть локализованный
процесс. Фотон, сопутствующий рождению заряженной частицы,
нельзя приписать ни действию этого заряда, ни действию зарядов
в источнике — своим происхождением он обязан обоим эффектам
сразу. Это находит свое выражение п том, что электрический ток
имеет вид суммы вкладов частиц и источника. Было бы полезно
подробнее остановиться на такого рода явлениях. Сначала мы
вычислим амплитуду вероятности испускания одного фотона
с импульсом № и поляризацией Я, сопутствующего рождению
одной бесспиновой частицы с импульсом р^ и зарядом +е. При
вычислении этой амплитуды вероятности мы можем пользоваться
примитивным взаимодействием в силу тех физических соображе-
соображений, что между актами рождения и детектирования частица и фотон
распространяются без взаимодействия. В соответствии с этим целе-
целесообразно рассмотреть случай, когда две указанные частицы по-
порождаются независимыми источниками. Этот случай характери-
характеризуется тем членом вакуумной амплитуды
в который входят один испускающий и один поглощающий источ-
источники каждого типа (здесь мы полагаем К^ = 0):
<о+1 o_>JK=1 -!-... + * J (d%) да J4 (I) d+ (s- V) Jtv. (Г) x
X i J {dx) {dx') К, {x) A + {x - x) К 2 (*') + . .., A1.2)
или
@+10_>JK = 1 + • ¦ ¦ + i [ (d&) At (g) J2il {I) i X
X

§ ii. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ | 337
Чтобы было удобнее различать два типа частиц, мы здесь вместо
?ц пользуемся обозначением х^-. (Надеемся также, что читатель
позволит нам называть заряженную частицу просто частицей.)
При использовании примитивного взаимодействия частицы по-
прежнему останутся свободными, но независимые источники J\ (?)
и К2 {х) заменятся комбинированным источником /? (?) К2 (х) |Эфф,
смысл которого и выясняется ниже.
Если мы ограничиваемся одним только действием источника,
детектирующего фотоны, то достаточно рассмотреть величину
I) Л®. A1-4)
или
поскольку зондирующий источник б/*1 можно отождествить
с /у-. Так как поле А^ (?) следует вычислять при J ^ (?) = О,
с точностью до несущественного сейчас калибровочного члена
оно будет даваться равенством
М!-Б'O«р(?')- A1.6)
Интересующему нас процессу отвечает выражение, которое описы-
описывает причинную связь трех источников: /{*, К1 и К2- Излучающий
источник К2 служит для того, чтобы инжектировать в систему
импульс Р* в виде импульсов двух частиц:
(Ц.7)
где
—p» = m», А:2 = 0. (J1.8)
Таким образом,
—pa = m2 _ 2pk > m2, A1.9)
поскольку
[±%] A1.10)
Понятие источника в данном случае приходится расширить, и мы
будем называть его «обобщоннымисточником», с тем чтобы отличить
характер его действия от характера действия источника Ki4
который детектирует частицу, поглощая массу т. Последний же
источник, выполняющий только свои первоначальные функции,
будет у нас «простым источником». Далее, ток в формуле A1.6)
представляет собой квадратичный функционал от источника частиц
и поэтому содержит член j^ (|), билинейный по К\ и К2. Он дает
множитель в правой части равенства A1.5), который уже-содержит
°. 2-0670

338 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
три необходимых нам источника. Все прочие члены соответствуют
процессам, отличным от процесса, который нас интересует и кото-
который описывается величиной
Необходимое выражение для тока, которое получается из
формул A0.37) и A0.6) при К ц = 0, имеет вид
(I) = дцф! (I) ieq<?2 (I) - Ф1 A)
- j да/и (&-&') «pi (?')*?*.(?')¦ A1-12)
Здесь мы опустили еще один возможный член, содержащий
K-i (I) Щфг (i')i что отвечает причинной упорядоченности. Поле
ф2 (х) связано со своим источником уравнением
(-02 + тг) ф2 (х) = к2 (х), A1.13)
или, в импульсном пространстве,
4^2(P). A1.14)
Неравенство Рг-\~ тг Ф 0 [формула A1.9)] означает, что поле
Фг (х) не обладает характеристиками, описывающими его распро-
распространение, а локализовано в окрестности источника К2 {х). Таким
образом, поле q>2 (x) не перекрывается с достаточно удаленным
детектирующим источником Kt (x), что отвечает предположению
о причинной упорядоченности системы. Чтобы распространить
понятие обычной частицы на случай, когда соотношение между
энергией и импульсом не согласуется с рождением какой-то «реаль-
«реальной» частицы, вводят термин «виртуальная частица». Тогда содер-
содержание соотношений A1.11) и A1.12) сформулируется следующим
образом: обобщенный источник может испустить виртуальную
частицу, которая быстро превращается (распадается) в реальную
частицу и в реальный фотон. Другими словами, этот источник
за один акт может испустить сразу обе конечные частицы, хотя
фотон и частица появляются в разных точках.
Точный смысл этих высказываний становится ясным, если
сравнить соотношения A1.11) и A1.12) с уравнением A1-3)
и написать
Uzv. (I) Кг (х) Цф = — дц [б (х— 1) ieq<p2 (x)] —
x), A1.15)
где первые производные берутся по координатам зР. В импульсном
пространстве эта величина записывается в следующем эквивалент-

§ it. обобщенные источники, мягкие фотоны I 339
ном виде:
где учтено также равенство A1.14). В такой форме легко убедиться
в том, что имеет место закон сохранения
0, A1.17)
справедливый при р2 + т? = 0 и произвольном к2:
кр + кР i_
1
Ситуация существенно упрощается, когда рассматриваются
«мягкие» фотоны, т. е. фотоны, энергия и импульс которых пре-
пренебрежимо малы по сравнению с соответствующими характери-
характеристиками частицы. В этом случае соотношение A1.16) можно пред-
представить в виде
iJt* (А) К2 (р) |эфФ да [—--5-J eqK, (р), A1.19)
где для функции /ц (к) подставлено выражение A0.44). Интерпре-
Интерпретация здесь очевидна. С точки зрения мягкого фотона заряд eq
мгновенно переходит из состояния равномерного движения со
скоростью п.ц в состояние равномерного движения со скоростью
pjm. Такой процесс описывается излучающим фотонным источ-
источником
представляющим собой образ сохраняющегося векторного тока
со 0
^ (x — ns). A1.21)
Обратим внимание на то, что два вклада, один из которых связан
с источником частиц, а другой с частицей, объединяются в некото-
некоторый эквивалентный фотонный источник. Это может служить иллю-
иллюстрацией самосогласованности, требование которой предъявляется
к понятию источника. Источник вводят путем идеализации реаль-
реальных динамических процессов. При определенных ограничениях
динамическая теория, воздвигаемая на таком основании, должна
оправдывать свои исходные предпосылки. Так, например, ока-
оказывается, что простое описание фотонного источника применимо
и к реальным системам, для которых реакция, отвечающая про-
процессу испускания или поглощения, пренебрежимо мала, и в этом
выводе нет для нас ничего неожиданного.
22*

340 | ГЛАВА X НОЛЯ
Нам нужно выяснить также физический смысл ковариантной
функции /р,, определяемой формулой A0.56), которую теперь
мы представим в виде
^^P)-^W^^' (И-22)
где последнее выражение относится к мягким фотонам. В этом
случае эффективный фотонный источник обращается в нуль;
скорость заряда не изменяется, и он не излучает. Такой вывод
весьма естествен для моделей источников, в которых испущенная
частица определяет скорость заряда в источнике, подавляя при
этом сопутствующее излучение. Однако подобное подавление
свойственно не только мягким фотонам. Если подставить в A1.16)
точное выражение для if^ (к, Р), то мы получим (к2 = 0):
(к) К% (р) |зфф = [ —щ ^— J едК2 (Р) =
В амплитуду вероятности испускания двух частиц с квантовыми
числами kk и pq, помимо величины A1.23), должны входить допол-
дополнительные множители (d<j}hY^2 и (йюрI/2, а также множители,
выделяющие в явном виде заряд ±е и поляризацию фотона к.
Последняя процедура осуществляется путем скалярного умноже-
умножения источника на вектор поляризации е^, а
Существует и другая проблема, которую можно проиллюстри-
проиллюстрировать на примере эффективного источника (ll.lfi). Модели источ-
источника частиц, задаваемой функцией fv- (к), эквивалентна модель,
в которой электрические характеристики приписываются только
частице, а для векторного потенциала выбирается специальная
калибровка
/м(ЛL(*) = 0 A1.25)
[см. формулу A0.14)]. Векторный потенциал, описывающий испу-
испущенный фотон, пропорционален вектору поляризации е^, и поэто-
поэтому калибровочное условие A1.25) приводит к требованию
U(k)eh = O, A1.26)
дополняющему требование A1.24). Таким образом, выбрав функ-
функцию /A {к) в виде A0.49), мы получим условие
4 O, A1.27)

§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ | 341
которое в соответствующей системе координат переходит в равен-
равенство е\% = 0. Итак, мы приходим к следующему весьма существен-
существенному заключению. Если умножить A1.16) на один из векторов
поляризации, то член, соответствующий излучению от источника,
обратится в нуль, как и должно быть.
До сих пор рассматривалось только однофотонное испускание,
но это необязательно, во всяком случае когда речь идет о мягких
фотонах. Так как по-прежнему имеется только один источник,
детектирующий частицы, мы изменим тактику и рассмотрим вели-
величину ,
8KW = (dx) 5K (х) ф (х) A1.28)
или J
8К <0+10_)JK = i [ (dx) 8K (х) ф (х) @+10.)JK, (И .29)
где ЬК (х) -> Ki (x) и величина ф (х) связана с источником К2 (х)
полевыми уравнениями
— (d^—ieqA^ (х)) ср^ (х) + т\ (х) = К* (х), ^i щ
Eц — ieA^ (х)) Ф (х) = ф,1 (х).
Исключив фц, мы получим дифференциальное уравнение второго
порядка
[ _ (^ _ ieqA» (х)) {д„ - ieqA^ (х)) + гп2] ф (х) -=
\ъ(х). A1.31)
Поскольку в формуле A.1.29) уже представлены оба источника
частиц, класс процессов, который мы хотим выделить, будет опре-
определяться амплитудой
@+10Ук =...+*{ (dx) ^ (х) Фл. (х) @+10_)J< + ..., A1.32)
где обозначения выбраны так, чтобы подчеркнуть зависимость
поля частиц ф2 (х) от векторного потенциала А^ (?), который
описывает испущенные фотоны и поле детектирующего их источни-
источника Ц (I).
Мы начнем с того, что получим этим новым способом уже изве-
известные нам результаты, соответствующие однофотонному испуска-
испусканию. Для этого нужно выделить часть ф^1 (х), линейную по век-
векторному потенциалу. Если упростить полевое уравнение A1.31),
взяв вместо него
2) фЛ {х) = Ка_ {х) + | Q» [eqAii {х) ф2 {х)] +
+ eqA» (х) -1 &>щ (х) + ieq j (d\) f (x - ?) A» (\) K2 (x), A1.33)

342 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
то в нем останется как раз необходимая информация. К результа-
результату, соответствующему A1.32), мы придем путем умножения этого
полевого уравнения на <pj (х) с последующим интегрированием:
(l)j12ll(l). A1.34)
Первое слагаемое в правой части описывает безызлучательное
испускание частицы, а второе воспроизводит результат A1.11).
В разложении <pf (x) по степеням А* (|) и-й член описывает
гс-фотонные процессы испускания. Если мы условимся рассматри-
рассматривать только мягкие фотоны, то все такие процессы можно будет
охватить одной компактной формулой, которая, как мы теперь
можем ожидать, должна быть эквивалентной описанию на основе
фотонного источника.
Формальное решение дифференциального уравнения A1.31)
имеет вид
qtf (х) = J {dx') Д? (x, x') exp [leq j (dg) f (x' -1) A» (?)] K, (*'),
A1.35)
где функция Грина А^ (х, х') удовлетворяет уравнению
[_@ _ ieqA (x))* + m2] Д^ (a:, x') = S (x — x'). A1.36)
Введем преобразование
X
[ j ]f (x, x'), A1.37)
в котором контуром интегрирования служит прямая линия,
соединяющая точки х ж х' тл параметризованная следующим обра-
образом:
l+hLh 1. A1.38)
Это преобразование индуцирует калибровочное преобразование
векторного потенциала А^, заменяя его на
^dlvA4{l), A1.39)
х'
и приводит к новому уравнению для функции Грина:
х') = б{х-х'). A1.40)

§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ | 343
Тождество
A1.41)
дает калибровочно-инвариантное представление
(х-х'УF^A). (И.42)
1
Этот векторный потенциал имеет еще два важных свойства.
В областях, удаленных от электромагнитного источника /v(l),
1
\{^)\ A1.43)
кроме того, во всех точках
(x-x'fA'll(x)^0. A1.44)
Следовательно, если бы мы начали строить Д+ (х, х') в виде
разложения в ряд по степеням векторного потенциала А'^,, опи-
описывающего поле фотонов вдали от детектирующего их источника,
то первые члены этого ряда определялись бы уравнением
A1.45)
Но функция А+ (х — х'), будучи инвариантной, зависит только
от (х — х')г, и поэтому градиент этой функции пропорционален
вектору (х — х')&. Таким образом, мы приходим к выводу, что
А^' (х, х') не содержит члена, линейного по А'^.
Еще больше можно сказать, если поле считается однородным,
что соответствует мягким фотонам, импульсы которых пренебре-
пренебрежимо малы. В этом случае
А'Ах)=~{Р»Ах-х')\ A1.46)
откуда следует трансляционная инвариантность функции Грина:
А?(х,х') = А*(х-х'). A1.47)

344 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
При этом дифференциальное уравнение A1.36) переходит в урав-
уравнение
[' _ 5" + та + ieq i F»v {x»dv- x^) -1 eWJ^] Af (ж) = S (x),
A1.48)
где
nv = V*"*v. (И-49)
Линейный по напряженности поля член обладает структурой
оператора углового момента, что гарантирует его коммутативность
с д%; кроме того, он коммутирует и с квадратичной по координатам
комбинацией:
yj v = O, A1.50)
так как тензор
FU^F^F^Fxv A1.51)
антисимметричен по индексам ц и v. Все это, а также инвариант-
инвариантность S (х) по отношению к вращениям, показывает, что диффе-
дифференциальное уравнение A1.48) можно упростить, приведя его
к виду
[ ^^* х). A1.52)
Мы не будем останавливаться на решении данного уравнения —
достаточно знать, что Д?' (х — х') — четная функция напряжен-
ностей поля. Действительно, тогда в равенстве (.11.37) можно пре-
пренебречь ее зависимостью от поля, так как в отличие от векторных
потенциалов напряженности поля содержат в качестве дополни-
дополнительного множителя импульс фотона.
Вводя все эти упрощения, возникающие при рассмотрении
мягких фотонов, мы придем к соотношению
х
\ (dx) {dx') Ki (x) A+ (x-x1) exp [ieq ( j d^A^ (I) +
X'
-Ь j (<*&)/*(*'-E)Л(D) ]*2(*').
Входящее сюда интегрирование вдоль прямой линии начинается
в точке х' и проводится в направлении, задаваемом вектором
(х — x')v-, до точки, которую можно считать расположенной

§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ I 345
в бесконечности, так как процессы испускания фотонов локализо-
локализованы вблизи обобщенного источника К2. В соответствии с этим
х
ехр [ ieq ( j ff?A» (g) + j (dg) f (x' -I) A» (?)) ] -
[ j^)r©^(l)J, A1.54)
где
00 0
J»(l)-=eq f ds^-6 (E—ж'—^-я) 4-eg f ds/г^б (g-x'-ras) A1.55)
0 —oo
— величина, отличающаяся от величины A1.21) лишь тем, что
в ней явным образом фигурирует промежуточная точка х . Но счи-
считать, что эти две величины действительно чем-то различаются,
было бы неверно — в формуле A1.21) молчаливо предполагается,
что указанная точка служит началом координат, так как измене-
изменение х в пределах источника К2 не имеет значения, когда рассмат-
рассматриваются мягкие фотоны. В результате, как мы и ожидали, про-
процессы многочастичного испускания мягких фотонов оказывается
возможным описывать некоторым источником. Заметим, что эффек-
эффективный фотонный источник определяет амплитуды вероятностей
испускания дополнительных фотонов, отнесенные к амплитуде
вероятности безызлучательного процесса, к которому приводит К2,
когда он действует в качестве простого источника, испускающего
частицы.
Теперь можно перейти к рассмотрению характерных особенно-
особенностей, свойственных мягким фотонам. Непрерывно уменьшая энер-
энергию, которая сообщается мягкому фотону в заданной эксперимен-
экспериментальной установке, мы в конце концов придем к тому, что будем
не в состоянии решить, был ли испущен фотон. В какой-то степени
дополнительным к этому является следующее утверждение, относя-
относящееся к пространственно-временному представлению. При увели-
увеличении длины волны мы в конце концов оказываед1ся не в состоянии
выделить процесс испускания мягкого фотона, так как существен-
существенную роль начинает играть характер расположения окружающего
вещества. Таким образом, в этой ситуации необходимо знать под-
подробнее, чем обычно, условия эксперимента. В наиболее яркой фор-
форме это обстоятельство проявляется, когда мы пользуемся фотон-
фотонным источником A1.55) для вычисления среднего числа фотонов,
испущенных вместе с данпой частицей, которое равно
= \
A1.56)

346 I глава з. поля
Чтобы выяснить суть дела, достаточно рассмотреть медленно
движущуюся частицу, для которой
pfi>»m+ y mv2» p = mv, |v|<l, A1.57)
выбрав при этом систему координат, где вектор пУ- имеет только
временную компоненту п° = 1. В таком случае компоненты вектор-
векторной комбинации, входящей в формулу A1.56), приближенно будут
такими:
«о 1 Г. 1
~_J_v.Jl
Написав
р/с rafe ко \_ 1 —\ ч„,.„., _, ... ...
dk da ikodJtpt A1.59)
Bл)*
где dQ— телесный угол, в котором распространяется фотон, мы
получим
1 f dfto f dQ г , / k \2] 2a . f » ,л* rc\\
С математической точки зрения этот интеграл по энергии фотона
не существует, так как он расходится и на верхнем и на нижнем
пределах. Но, очевидно, существуют какие-то физические ограни-
ограничения сверху и снизу. Так, когда достигается энергия, при которой
фотон перестает быть мягким, формула A1.60) оказывается непри-
неприменимой. Нижний же предел соответствует минимальной энергии
фотона, которую можно детектировать экспериментально. Одно
время математическая расходимость при нулевой энергии понима-
понималась буквально, и такого рода явление, свойственное мягким
фотонам, получило название «инфракрасной катастрофы». Но на
соответствующей шкале катастроф она оценивается весьма низко.
Найдем разницу в значении (ЛО, возникающую в зависимости
от того, имеет ли фотон длину волны видимого света ~10~5 см
или длину волны, сравнимую с номинальным радиусом Вселенной
~10as см. Поскольку va <C 1, для этой разницы имеем
A<7V><-|Mnl0ss~0,l! A1.61)
Если радиус Вселенной заменить типичным лабораторным
масштабом, то рассматриваемая величина снизится до ~10~а.
Для иллюстрации анализа отличных от нуля значений спина
мы рассмотрим случай спина */2, используя функцию Лагранжа

§ 11. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОТОНЫ I 347
A0.63). При этом ток C.11) заменяется током
tf, (I) = e*i A) ?V<Th (D + -ш A8 ~ ! ) dv N>i A) /<^#2 (I)] -
- j (Ac) f E - ж) ti (*) Y°ie?Ti2 (*), A1.62)
причем решением уравнения
(у^д + т)^{х) = г\г(х) A1.63)
в импульсном пространстве является функция
Сравнение с процессом обмена одной свободной частицей и одним
свободным фотоном, которому отвечает амплитуда вероятности
<0+10_/4 = 1 + ... + i J (dl) A» A) Jw (I) i j (Ac) ф, (x) 7°Л2 (x)+ ...,
A1.65)
дает нам эффективный двухчастичный источник, описывающий
испускание частиц обобщенным источником:
1*2 (I) Лг (ж) |эфф = б (ж —
Его эквивалентом в импульсном пространстве будет величина
V? (*) Л. (Р) 1в«Ф =
Взяв последнее выражение, заметив, что
iV* (*) Л2 (Р) |эфф=
и написав
получим, что
X
(P),
(И
A1
A1
(И
.67)
.68)
.69)
.70)

348 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
или
^J»(?)i[lt{x)\^=-[y»±-±r + m]b(l-x)egfti(x). (И.71)
Однако при использовании этого равенства следует иметь в виду
равенство A1.65), в котором поле tpi (x) отвечает частицам, нахо-
находящимся вдали от детектирующего их источника. Поэтому, как
и требуется, действие дифференциального оператора Дирака
в A1.71) будет давать нуль. Можно поступить и иначе — взять
выражение A1.70) и учесть, что
Ч>| («) = 2 ivlipaq Bm До,I/! е-1ряи^ч, A1.72)
paq
где
"W (YP + "О = 0- A1-73)
Поскольку для упрощения A1.67) пригодны оба сомножителя,
входящие в формулу A1.65), мы приведем также аналог разложе-
разложения A1.72), соответствующий фотонам:
где
^ = 0. A1-75)
Далее все основывается на алгебраическом тождестве
Y*1 (т — уР) -= y*1 (т — ур) — у^ук —
= 2р>* -).- a^vj/cv _(_ [(ур + от) v^-b И, A1.76)
в котором оба слагаемых в квадратнглх скобках в нашем случае
можно отбросить. Аналогично
— o*vikvyk = Di*tk + kP)yk=[kPyk], A1.77)
так как к2 = 0, и
a^vikv (от — ур) = 2ma^ikv — Ikpyv- + 2p^Y^ —
-[(yp + m]a^ikv], A1.78)
где также в квадратные скобки заключены члены, не дающие
вкладов. В результате мы будем иметь
Здесь можно также произвести подстановку
? YftY^^4 L^Vp

§ И. ОБОБЩЕННЫЕ ИСТОЧНИКИ, МЯГКИЕ ФОрОНЫ I 349
«снованную на равенстве
ту» — р» + а»Чрч = [(ур + т)у»]. A1.81)
Очевидно, что в пределе мягких фотонов существует эффективный
фотонный источник, совпадающий с тем, с которым мы уже встре-
встречались в случае нулевого спина. Того же следует ожидать и при
любом другом значении спина. Эффекты, обусловленные действием
последовательных мультипольньтх моментов, содержат возрастаю-
возрастающие степени импульса фотона, и поэтому в случае достаточно
мягких фотонов всеми ими можно пренебречь по сравнению с излу-
излучением, которое обязано ускорению заряда. Но при специальном
выборе функции /<* (к), исключающем это излучение, испускание
фотонов теперь уже не будет подавляться полностью, так как
в формуле A1.79) останутся зависящие от спина эффекты, связан-
связанные с магнитными дипольными моментами:, причем никаким под-
подбором величины g обратить оба слагаемых в нуль не удается.
Мы проиллюстрировали понятие обобщенного источника в слу-
случае процессов испускания. Весь анализ можно полностью повто-
повторить и в том случае, когда действие обобщенного источника сво-
сводится к поглощению частицы и фотона. Но такие прямые и обрат-
обратные процессы связаны также ГСР-преобразованием, о котором
мы давно уже не говорили. Преобразование координат
жц = -Ж|1, A1.82)
¦основанное на рассмотрении евклидова представления, приводит
к следующему закону преобразования источников и полей:
^И=-;иD 4ц (ж) = —Ац(х),
F».v(x) — Fiiyi(x),
а для спина V2 — к закону
^(х) = уьу\(х), №) = уМх)- A1.84)
Зависящий от поля источник
^ (х) = exp lieq J (dg) f»(x-QA^ (?)] tj (x) A1.85)
будет обладать теми же трансформационными свойствами, что
и г\ (х), если
-рЧ-х) = f» (х). A1.86)
Наконец-то у нас появился какой-то физический базис под требо-
требованием симметрии, которое до сих пор выдвигалось из соображе-
соображений удобства. Чисто электромагнитная часть действия сохраняет

350 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
свою форму при указанном преобразовании:
(dx) [J»(x)A»(x)—{f^(x)F^(x)] =
^\»\^\ A1.87)
тогда как вклад от частиц, с учетом и члена взаимодействия,
изменяет свой знак на обратный:
j (dx) {У (х) уу (х) —\- ф (a:) f [у» (- ^ - «?4* (х)) + т -
(И.88)
Но полное ГСР-преобразование подразумевает также обращение
порядка всех сомножителей. Антикоммутативность источников-
и полей, которые отвечают спину V2, т. е. частицам, подчиняющим-
подчиняющимся статистике Ферми — Дирака, приводит к дополнительному знаку
минус, необходимому для того, чтобы обеспечить предполагаемую
инвариантность действия относительно ГСР-преобразования.
Названное преобразование обращает причинную последова-
последовательность, заменяя при этом процессы испускания процессами
поглощения, и наоборот. Применив преобразование к источнику
A1.66), мы сразу же увидим, что его структура в целом сохранится
и достаточно лишь заменить причинные индексы. То же самое
относится, конечно, и к источнику A1.67), написанному в импульс-
импульсном представлении, за исключением того, что мы следуем устано-
установившемуся порядку и при описании процессов поглощения произ-
производим замену знаков у всех импульсов, которая автоматически
обеспечивается рассматриваемым преобразованием. Соответствую-
Соответствующие утверждения, которые были продемонстрированы на примере
спина У2, справедливы и в самом общем случае.
§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ, ЭФФЕКТИВНЫЕ
СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ
Рассматривавшееся в § 10 примитивное взаимодействие приводит
к системе зацепляющихся полевых уравнений. Так, например,
в случае фотона и заряженной частицы со спином V2 она имеет вид
[у (-id-eqA(х)) + т]Ц(х) = У]А(х),
- дгА* (х) + д» дА (х) = /ц (х) +~ ф (х) y<>y»eq\<$ (x) -
— j (dx')f(x-x')^(x')-fieqy\A(x'), A2.1)

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 351
где для простоты мы ограничились случаем xl2g = 1. В силу нели-
нелинейности такой системы поля, выраженные через источники,
будут иметь вид бесконечных двойных степенных рядов. Такую же
структуру будет иметь и действие, если исключить поля и пред-
представить W в виде функционала источников. Последовательные
члены Wnv соответствующего ряда, содержащие п источников
частиц и v источников фотонов, описывают все более и более слож-
сложные процессы. Таким образом, признается, что подобные процессы
имеют место, но их окончательное описание на этом первом уровне
теории не дается. Это и составляет суть скелетной схемы взаимо-
взаимодействий. На последующих этапах развития динамической теории
дается более полное описание процессов, уже представленных
в скелетной форме, и выявляются некоторые дополнительные
процессы. В данном параграфе мы намерены рассмотреть про-
простейшие члены в скелетной схеме взаимодействий, доведя при
этом анализ до такой степени, чтобы установить, к каким экспе-
экспериментально наблюдающимся эффектам они приводят.
Поля можно исключить двумя асимметричными способами.
Первый из них — ввести формальное решение полевых уравнений
для частицы:
[у( — id — eqA{x)) + m]Gi(x, х') = Ь(х — х'), A2.2)
которое дает следующее выражение для укороченного действия:
+ 4" j (dx)(dx')^(x)y»Gt(x, x')r\A(x'). A2.3)
Требование стационарности по отношению к вариациям величины
А^ вновь приводит к уравнениям Максвелла A2.1), в которых
1|з (х) дается равенством A2.2), т. е. к уравнениям для векторного
потенциала, в высшей степени нелинейным. Но величину А д
можно исключить из источников, выбрав специальную калибровку
потенциалов А^.
Второй способ следует особенно рекомендовать в том случае,
когда мы пользуемся другой возможностью и исключаем векторный
потенциал, заменяя его величиной
• {x), A2.4)
где
75,хр(*)=Лж)- 5(Лс')Л*-*')^/*(*'). A2.5)

352 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
а из калибровочного условия следует, что функция X {х) имеет вид
К (х) =¦¦ - [ (dx') (dx") /ц (х - х') D+ {х - х") X
X[^{x") + j^{x")\. A2.fi)
Этот потенциал можно представить и в другой форме (теперь
J*— произвольный вектор):
АЪ(х)- j (dx')D{{x-x\v[Jv{x')-\-Г {*')], A2.7)
где величина
D{ (k)»v = [g^ - ikJK (к)] g"W + (к) [gXv - fx (к) ikv] =
= [ffnv - t'Vv №) - /ц (^ ikv - k^kj*- (k) f% {k)\ Xj
X D+ {k) A2.8)
есть функция Грина уравнений Максвелла второго порядка,
которая удовлетворяет калибровочному условию
f» (к) Df+ (%v = 0 A2.9)
и которая для простоты записана в импульсном пространстве.
Второе укороченное выражение для действия можно написать
в виде
W = I №Х) [V* - IT W (- *Yd -Ь m) t|) j -f
i- j {dx) {dx') [Г {x)+j^v {x)] X
:')l A2.10)
или же в эквивалентной форме, с использованием несохраняющих-
ся токов и функции Df+ {х — х') ^v. Нелинейное полевое уравнение
для ij), получающееся из этого действия, совпадает с уравнением
A2.1), если в последнем А^ заменить величиной A2.4) или A2.7).
Какой из двух асимметричных способов более удобен, зависит
от интересующего нас процесса. Допустим, например, что никаких
фотонов нет. Тогда можно положить в формуле A2.10) Jv- = 0
и исследовать нелинейности, свойственные полю частиц. Если
причинные связи таковы, что взаимодействия происходят вдали
от источников, испускающих и детектирующих частицы (такие
условия характерны для экспериментов по рассеянию), то в токе
7сохр можно отбросить член с р1, причинно связанный с источни-
источником. Член взаимодействия в формуле A2.10) содержит четыре
поля частицы, а следовательно, по крайней мере четыре сомножи-
сомножителя с источниками. Когда мы рассматриваем процессы типа
рассеяния частицы на частице, в которых участвуют только четыре

§ 12. СККЛЕТНАП СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 353
источника, стационарность действия позволяет нам отождествить
¦ф с полем невзаимодействующих частиц:
ф (х) = Г (dx1) G+ (х - х') t) (х1). A2.11)
Действительно, при этом опускаются следующие члены разложе-
разложения более полного решения эффективного полевого уравнения
(— iyd + т) 1|з (х) — eqy*ty (х) f (dx') D+ (х — х) х
X \ if (*') 7°Т^9ф (х') = Ti (х), A2.12)
которые по крайней мере кубичны по источнику. Поскольку же
эффекты первого порядка, связанные с изменением поля, обра-
обращаются в нуль в силу стационарности действия, остаточный член
в выражении для W будет содержать источник не менее чем
в тестой степени. Таким образом, мы определили
Wn ----- ~ j (dx) (dx') /д (х) D+ (х - х') /ц (х1), A2.13)
f (х) - ~Ц (х) Y>y»eq$ (x), A2.14)
где
причем ф (х) — это ноле, даваемое формулой A2.11). Аналогичные
результаты получим и при любом другом значении спина. Так,
например, для бесспиновых частиц
/и (х) = id»q>(x)eqip (x), A2.15)
а
Ф (х) = f {dx') А+ (х - х') К (х'). A2.16)
Процессы, в которые вовлекаются только два источника частиц,
но произвольное число источников фотонов, удобнее всего описы-
описывать действием A2.3). Принцип стационарного действия позволяет
отождествить А^ с полем фотонного источника /ц, опустив при
этом ток j^, который по крайней мере квадратичен по источникам
частиц и изменяет те члены в W, которые содержат не менее четы-
четырех источников частиц. Таким образом, вся совокупность членов
WZv! содержащихся в скелетном взаимодействии, дается равенст-
равенством
\Уг... =4" j (dx) (dx') т| (х) tG't (x, x') t) {х'), A2.17)
причем
А*{х)-= [ (dx')D+(x-x')Jv-(xl). A2.18)
Символ векторного потенциала у источника частиц мы опустили,
так как подразумевается, что действие A2.7) будет применяться
23 — 0670

354 I глава з. поля
к процессам, в которых т| (х) выступает в качестве простого источ-
источника частиц, т. е. что все взаимодействия частиц с фотонами про-
происходят вдали ото всех источников. Чтобы получить отдельные
члены W2V, мы должны разложить G+ (х, х') в ряд по степеням Ли
и выделить члены, содержащие v векторных потенциалов. Для
этого можно переписать уравнение A2.2) для функции Грина
в виде
{—yid + m) Gt (х, х') = б (х - х') + eqyA (x) G+ (х, х'). A2.19)
Решив ого формально, мы получим интегральное уравнение
Gi(x, x') = G+(x-x') + ^ (dl)G+(x-l)eqyA(l)Gi{l, x'). A2.20)
Степенной ряд, который мы хотим построить, можно теперь полу-
получить из этого уравнения путем итераций. Но подобные выкладки
сильно упрощаются, если ввести матричные обозначения, в кото-
которых координаты х и х объединяли бы дискретные спинорные
и зарядовые индексы и представлялись в виде непрерывных
индексов, нумерующих строки и столбцы. Таким образом, мы
переписываем A2.20) в форме
Gi = G+ + G+eqyAGi, A2.21)
записывая формальное решение этого матричного уравнения
в виде
Gi = A - G+eq-fA)-1 G+. A2.22)
Итак, в компактной формулировке искомое разложение выглядит
следующим образом:
? {
v=o
¦=Gi. + G+eqyAG+ + G^eqyAG+eqyAG^-{- .... A2.23)
Теперь мы можем вернуться к выражению A2.17) и написать
один за другим все члены W2V. Проделав это, мы обнаружим, что
каждый источник частиц умножается на функцию распростране-
распространения G+, в результате чего возникает поле \|> A2.11):
W2i = \ j (dx) ф (х) y°eqyA (x) Мр (х),
WM = ~ j {dx) {dx1) ф {х) yOeqyA {x) G+{x-x')x
XeqyA{x')^{x'), A2.24)
Wn = -i- j (dx) {dx') (dx") ф (x) y*eqyA (x) G+ (x - x') X
X eqyA (x') G+ (x' - x") eqyA (x") ^> (x").

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 1 355
Аналогом действия A2.17) для спина 0 будет действие
W2.. .=4" j (dx) (dx') К (х) &i(x, х')К(х'), A2.25)
причем дифференциальное уравнение A1.36) для функции Грина
будет иметь вид
(-д2 + тп?)ЬА{х, х') = 8(х — х') +
+ ±6»[едА»(х)??(х, x')) + eqAi,(x)-±d[lAi(x, х')-
-e"Ail(x)All(x)A-Ux, x'). A2.26)
Эквивалентное ему интегральное уравнение имеет следующий
символический вид:
Д^ = Д+ + А+ [eg (РА + Ар) - е*АЦ Д^; A2.27)
его формальным решением будет функция
Д* = {1 - А+ [eg (рА + Ар) - А!»])-1 А+ =
- А+ + Д+ [eg (рА -}- Ар) - е2АЦ Д+ +
+ А+ [eg (рА + Ар) — еаЛ2] Д+ [eg (рА + Ар) —
- е*А*] А+ + . . . . A2.28)
Возрастающие степени величины А^ записываются здесь не столь
изящно, как в случае спина V2. Первые два члена последователь-
последовательности W2V имеют вид
w^i = 4 J (dx) ф (х) w № (х)+А (х) р1 ф (х) .
p\b+(x-x')x A2.29)
X eq [PA (xr) + А {х') р] Ф (х') - i- j (Ас) Ф (*) е2Аа (ж)ф(я),
где мы сочли целесообразным сохранить символ р, введя обозна-
обозначение
Р» = -1д». A2.30)
Отметим, что выполняется равенство
рА (х) - А (х)р = —i d^A» (ж). A2.31)
Оно означает, что если четырехмерная дивергенция векторного
потенциала обращается в нуль, как это происходит в случае A2.18),
то о порядке следования сомножителей можно особенно не забо-
заботиться. О потенциалах, обладающих таким свойством, говорят,
что они удовлетворяют калибровочному условию Лоренца.
23*

356 гллвл з. поля
Все изложенное было подготовкой к тому, чтобы прямо приме-
применить скелетную схему взаимодействий при анализе процессов
рассеяния. Поэтому установим в общем виде связь между источ-
источниками и вероятностями переходов, которые характеризуют
эффекты взаимодействия частиц. Причинные условия таковы.
Действие испускающих источников, относящихся, вообще говоря,
к разным типам частиц, приводит к образованию некоторого
многочастичного состояния, в котором взаимодействие между
частицами отсутствует, так как в начальной стадии процесса они
удалены друг от друга. По прошествии достаточно большого
промежутка времени некоторые из этих частиц сближаются,
взаимодействуют, а затем вновь расходятся и вместе с другими
свободными частицами в конечном итоге поглощаются детекти-
детектирующими источниками. В такой ситуации причинное разложение
имеет вид
o+|o_)Si:S2= 2
{
A2.32)
где отдельные амплитуды вероятностей {{п} | {«'}) описывают
переходы, обусловленные взаимодействиями между частицами,
а амплитуды
A2.33)
¦описывают многочастичные состояния в отсутствие взаимодей-
взаимодействия. Последние задаются числами частиц во всевозможных
одночастичных состояниях, причем произведения распространяют-
распространяются на все различные типы частиц, которые могут подчиняться
любой из двух возможных статистик. Рассматриваемую в качестве
производящей функции для амплитуд вероятностей величину
A2.32) удобнее представить в форме
_>S
02.34)
v
так как в этом случае члены с различными степенями испускаю-
испускающих и детектирующих источников позволяют провести непосред-
непосредственное отождествление начальных и конечных состояний.
Вакуумная амплитуда вероятности определяется действием
W (S) - -1 j SyGS + W (S),
A2.35)

§ 1l>. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ПЗЛИМОДЕЙСТНИЙ 357
где мы особо выделили в символической форме записи квпдратич-
ную структуру, отве11;1ннц\ и) нсв.шимпдет-гнующим частицам.
В это выражение входят все рисщатривасиые типы частиц, так
что S jicim.iмуется в ь иич-тве некоторого суисристочпй.ка. Исклю-
Исключив ии обеич частей равенства A2.34) нлш'шны, относящиеся
к невзаимодействующим частицам, мы получим
exp(i
- <12-36>
где
W (Su S2) = W {St + So) — W E.) - W (S2). A2.37)
Множитель ехр [/ ^ SiyGS2\ описывает обмен невзаимодействую-
невзаимодействующими частицами, а высшими степенями в разложении экспоненты
е.хр U"W] определяется вероятность процессов, при которых
в отдельных областях пространства-времени независимым образом
все конфигурации взаимодействующих частиц повторяются. Таким
образом, неприводимые процессы взаимодействия, т. е. процессы,
которые не содержат дополнительных невзаимодействующих
частиц и которые не могут быть разложены на несвязанные про-
процессы, полностью определяются величиной
. A2.38)
Из свойств инвариантности действия вытекают правила отбора
для вероятностей переходов. Так. например, трансляции системы
как целого или постоянные фазовые преобразования, не изме-
изменяющие величины W (Su 52), должны оставлять неизменной
и правую часть A2.38). Произведения испускающих и поглощаю-
поглощающих источников приобретают постоянные фазы с противополож-
противоположными знаками, которые в рассматриваемых примерах отвечают
импульсу и заряду. Если эти постоянные фазы не компенсируют
друг друга, то отдельные вероятности переходов должны обра-
обращаться в нуль, в чем находит свое выражение необходимое сохра-
сохранение импульса или заряда в процессах взаимодействия. Множи-

358 I глава з. поля
тель, к которому приводит сохранение импульса, т. е. соотношение
2 *a#f = S ПаРЙ, A2.39)
а а
а а
будет возникать в результате пространственно-временного инте-
интегрирования по области взаимодействия. Мы выделим ого в явном
виде и напишем
<{n}|{»'»nenP=[ J (dx)exp (i ^ {п'а-па)Рах] i ({п}\Т\{п'}), A2.40)
определяя тем самым элементы матрицы перехода Т. Входящий
сюда интеграл не равен четырехмерной дельта-функции, так как
область интегрирования не бесконечна. В самом деле, нужно
вспомнить, что, приписывая здесь отдельным импульсам строго
определенные значения, мы прибегаем к некоторой идеализации,
которая вполне приемлема внутри пучка частиц, но теряет свою
силу вблизи его границ. В области, где начальный пучок перекры-
перекрывается с конечным (т. е. в причинно-определенной области взаимо-
взаимодействия), равенство A2.40) применимо, и, ограничиваясь интегри-
интегрированием только по конечному объему этой области, мы прибли-
приближенно учитываем особенности реальной ситуации. Физический
смысл имеет вероятность, и нас фактически интересует величина
I f (dx)ex-) \i У (п — п ) }2 =
I J [ ZJ \ а J
= \ (dx) (dx') exp Г i 2 (п'а — па) Pa (z— x')l =
= J (dX) (dl)exp [i 2 ("a- na)Pal], A2.41)
где
Xй = -~ (x» + x»'), ^ = z» ¦¦-xv- . A2.42)
Интеграл по % можно теперь отождествить с дельта-функцией,
а интеграл по X с точностью, с которой фиксируется граничный
слой, равен полному объему взаимодействия V. То, что вероят-
вероятность перехода пропорциональна объему четырехмерной области
взаимодействия, указывает на важную роль соответствующего
коэффициента пропорциональности, который равен вероятности
перехода, отнесенной к единице четырехмерного объема, или же
вероятности перехода в единицу времени в единичном трехмерном
объеме. Эта величина равна
= Bл)* S [2 (па - па) ра] \({п} \Т\{п')) |2, A2.43)

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ | 359
что может служить основанием для физической интерпретации
матрицы перехода.
Переходя к конкретным скелетным взаимодействиям, мы нач-
начнем с бесспиновых частиц, описываемых формулами A2.13),
A2.15) и A2.16). Поле ср (х) нужно брать в области взаимодей-
взаимодействия, которая в смысле причинной последовательности лежит
между испускающим источником if2 (х) и детектирующим источ-
источником Ki (х). Полное поле представляет собой суперпозицию
отдельных полей, связанных с этими источниками:
Ф (х) = Ф1 (х) + ф2 (х), A2.44)
где
Ф1 (*) = i \ (dx1) A("} (х - х') К, (а-'),
{ A2.45)
1f2(x) = i \ {dx') A(+) (х- х) К2 (х'):
причем выбор той или иной конкретной модификации функции
Д+ (х — х) определяется причинными связями. Мы будем иссле-
исследовать процесс, в котором принимают участие два испускающих
источника и два поглощающих. Поэтому, рассматривая величи-
величину A2.13) с током
ft (x) — id\i (x) eq((i (x) + id>lip2 (x) eqqi2 (x) + idlxipi(x)eq(p2 (x) —
— cpt (x) eqid»q2 (x) = ft, (x) + ft (x) + ft (x), A2.46)
мы должны оставить только те вклады, которые имеют требуемый
набор причинных индексов. Такими членами оказываются
И7 40 ->"!" \ №Х) (dX>^ 3* № D+ (X — X') У121Х (X) +
(dx) (dx') ft, (x) D+ (x-x') j22ll (x1), A2.47)
а все прочие комбинации содержат либо слишком много, либо
слишком мало индексов, соответствующих испусканию или детек-
детектированию.
Ранее в случае заряженных бесспиновых частиц мы имели
дело с комплексными источниками. Но, как показал опыт, напри-
например в случае спина V2, удобнее сохранять вещественные мульти-
спинорные источники и брать для определенных значений заряда
соответствующие комплексные проекции. Далее мы будем счи-
считать, что
Kpq^(d(apI^a^K(p), A2.48)

360 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где два комплексных собственных вектора зарядовой матрицы
имеют вид
a*+ = ~=-{i, —i), а!--Ц-A, i). A2.49)
Эти векторы обладают свойствами ортонормированности
п*п , — Л , (\ 9 tifl\
И ПОЛНОТЫ
^agct*-=l, A2.51)
а что касается их связи с зарядовой матрице
/0 — s\
. 0), A2.52)
то они удовлетворяют соотношениям
Действие операции комплексного сопря">кения дается 2)авенством
aj==a_(,. A2.54)
Пользуясь введенными обозначениями, мы представим поля A2.45)
в виде
т A2.55)
Фа (я) -¦- S () ^
где
Фот (х) - (d(Bp)Vi авв«р* A2.50)
— иоле, отвечающее определенной частице с квантовыми числа-
числами pq, которая порождается источником K2pq, а затем входит
в область взаимодействия. Точно так же срр7 (х)* представляет
собой поле частицы с квантовыми числами pq, которая покидает
область взаимодействия, а затем поглощается источником К*рц.
Существенное значение имеет зарядовая структура различных
парциальных токов, образующих полный ток A2.46). Так, напри-
например, в токе у^, (х) зарядовый множитель, соответствующий двум
падающим частицам с зарядами q и у", равен
a^ct,- = «V 9°V = i"^-q\ q"- A2.57)
Как мы видим, он обращается в нуль, если не выполняется равен-
равенство q -\- q" — 0, т. с. в область взаимодействия вносится только
нулевой заряд. Такое же требование к зарядам противоположных

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 361
знаков предъявляется и в случае /ft (or). Если же рассматривается
/^ (,г), то зарядовый множитель, соответствующий заряду q",
входящему в область взаимодействия, и заряду (/', покидающему
ее, равен
=q"8q;tr. A2.58)
Отсюда следует равенство величин q и q", которое означает, что
в области взаимодействия не может накапливаться никакого
заряда. Сформулированные положения отвечают разным способам,
которыми может выполняться требование сохранения заряда
в процессах рассеяния. Второе слагаемое в формуле A2.47) не дает
вклада в рассеяние частиц с одноименными зарядами, и мы сначала
исследуем именно этот процесс.
Выражение для тока /^2 (х) имеет вид
где можно узнать ток eq2pv- dw}1, приходящийся на одну частицу,
которая не меняет состояния своего движения. Оставляя только
вклады от падающих частиц с одним и тем же зарядом, получаем
W*> =-- у е'2 2 iKb^Kb{q («top, *»pJ *% ^)'/2 (Pi г Рг) (pi r pD X
X [ j (dx) (dx') eHp>-pi)xDr (x-x1) e1("i-P^'J iK2l,i4iK-2ly2q, A2.60)
где наличие сомножителя
(dx) (dx') eHp^^xD+ (x-x') ei(pi~pi)x' -
= . 4 .- ( (da;) ei("a+"i-Pi-Pi>* A2.61)
(Pi — P2J J v ; v 7
показывает, что в рассматриваемое выражение входит фотонная
функция распространения D+ (к) = (А;2) в импульсном пред-
представлении, а также интеграл по пространственно-временным пере-
переменным, который с необходимостью приводит к сохранению энер-
энергии-импульса. Выделяя искомый матричный элемент Т. мы должны
учитывать то обстоятельство, что каждое из произведений источ-
источников iK-ip^iKop-q и iKXp^iK^p-q, отвечающее определенной па-
паре — в первом случае падающих, а во втором — рассеянных
частиц,— можно записать двумя способами, которые соответству-
соответствуют симметрии этих произведений по р2, р'.г и ри р\. Таким обра-
образом, матричный элемент перехода будет обладать свойствами сим-
симметрии, характерными для статистики Бозе — Эйнштейна. Этот

362 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
матричный элемент имеет вид
A2.02)
Он явным образом симметричен по р2 и р'2, а также обладает необ-
необходимой симметрией по р4 и р[, так как из сохранения полного
импульса следует, что
J>i —Pi=—(Pi —Pi). Pi —Pi= —(Pi —Pi)- A2.63)
Экспериментальной мерой эффективности данного акта рассея-
рассеяния, наблюдаемого в экспериментах по рассеянию, служит пло-
площадь, или эффективное сечение. При обычных условиях, когда
мишень неподвижна, оно характеризует интенсивность рассматри-
рассматриваемого процесса в единицу времени в единичном пространствен-
пространственном объеме, отнесенную к потоку падающих частиц и к плотности
рассеивателей. Множителями, соответствующими начальным ча-
частицам, мы можем распорядиться так, чтобы придать им общую
форму, которая позволяла бы применять понятие эффективного
сечения не только к неподвижным мишеням, но и к сталкивающим-
сталкивающимся пучкам. Обозначим через Sa,b векторы потоков частиц для двух
таких пучков. Инвариантная характеристика относительного
потока подсказывается тем требовапием, что эта величина должна
обращаться в нуль, когда векторы пропорциональны друг другу,
а скорости одинаковы. Такое определение имеет вид
F=[(sasbJ-S^]1-'2, A2.64)
что дает нам вещественную положительную величину, так как
векторы потоков времени-подобны. Выразив ее через плотность
частиц s° и скорость частиц v = s/s°, мы придем к следующему
определению потока:
= sS*g l(va - vbJ - (vn x vfc)8]V«. A2.65)
Если один из пучков представляет собой неподвижную мишень
(vb =0), то эта величина сводится к произведению падающего
потока на плотность частиц в мишени:
F = | sa | si A2.66)

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 363
Поскольку поток частиц, связанный с отдельной частицей,
которая заключена в малой импульсной ячейке, равен
sn = 2рм. d(x>p, A2.67)
мы будем применять A2.64) в форме
Ь -~= d(x>a dcob4 КраРь) — m^mlP/s, A2.68)
куда воигли массы частиц. Можно пользоваться и другими форма-
формами записи, в частности выражением, в которое входит полная
масса М, являющаяся инвариантной характеристикой полного
импульса:
АР = _(Ра + Pby = ml -\. m\ - 2раРъ. A2.69)
Соответствующее определение имеет вид
F = d<aa dab2 \Мг — (ma + m&JlL/2 \M% — (ma — mbJY'K
A2.70)
Отношение вероятности перехода в единичном объеме Гсм. форму-
формулу A2.43)] к инвариантному потоку A2.70) называется дифферен-
дифференциальным сечением. Оно называется дифференциальным потому,
что импульсы конечных частиц лежат в малых интервалах, огра-
ограниченных законом сохранения импульса. Проводя интегрирование
по таким дифференциальным элементам, мы будем получать все-
всевозможные дифференциальные сечения, отвечающие все меньшей
точности в задании динамических переменных. В конце концов мы
придем к полному сечению, хотя оно может и не существовать,
если чрезвычайно малые отклонения входят с непропорционально
большим весом. Мы будем обозначать все дифференциальные сече-
сечения одним символом da, а их точный смысл можно будет опреде-
определить по дифференциалам.
Сохранение энергии в двухчастичных процессах фиксирует
энергии рассеянных частиц, оставляя свободными только два
параметра, которые в системе с нулевым полным импульсом
задают направление той прямой, вдоль которой движутся обе
частицы. В добавление ко всему сказанному мы можем провести
интегрирование по распределениям тех переменных, которые
принимают строго определенные значения. Возьмем какую-нибудь
пару частиц и вычислим интеграл
to,, da>b BяL S (ра + ръ — Р) =
где вторая форма записи относится к системе покоя Р^~--0,
в которой Р°-М. Модуль вектора относительного импульса
р = Ра=_Рь A2.72)

364 I глава з. поля
дается выражением
11 [М*
A2.73)
При выполнении интегрирования по энергии, в процессе кото-
которого отбирается это значение, нужно учитывать, что
(dpe) = (dp) = | р |2 d | p | dQ =- | p | ^ d (p» -u pi) dQ, A2.74)
где dQ — элемент телесного угла для относительного импульса,
и мы сразу же получаем
dbia d(i>b BлL S (ра + Рь — Р)^=
В результате носителем дифференциальных характеристик стано-
становятся углы, задающие направление относительного импульса.
Заметим, что в интеграл по конечным состояниям A2.75) и в выра-
выражение для падающего потока A2.70) входят одинаковые кинемати-
кинематические множители, имеющие вид квадратных корней из некоторых
выражений, содержащих массы. В случае чисто упругих процессов,
когда начальные и конечные частицы оказываются одинаковыми,
эти довольно сложные множители будут сокращаться.
Матричный элемент перехода A2.62) можно непосредственно
подставить в определение эффективного сечения. Для соответ-
соответствующего процесса мы сразу же получаем
da = \ dwP[ dtop, BлL S (p, -f р[ — р2 — р'2) ^ руГ X
X DяаJ Г^' + ^^^д ! "р? i <Р| 'рг) (Pi :-PzI2 /|2 76)
и
Ло _ _1_ а2 Г (р\ -'<-Pz) {pj-'-Pj) L (P[-r pj) (Pi-Pz) 12
d,l ~~ 4 il/2 [ (Pl_p2J ' (P! —pj)a J ~~
^~Г ! —ЬИ-1]2" A2.77)
П2 -ТГ- COS'2 — /
5» 2 Г W8.__9m3
В последнем выражении величина 6 — угол отклонения, а полная
эквивалентность углов 0 и я — 6 выражает неразличимость
частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Чтобы
перейти к системе покоя, достаточно заметить, что в ней каждая
из четырех энергий частиц равна r/2M, в результате чего мы полу-
получаем, например,
(Pi f Рг) (pi -I- Ра) _ 2^2 ~ 4'»2 1 _ 2 Л/2~ 2"'2 1 -1 A2 78)
(Pi-лJ (Р1-р2) ' -4/и* s.iJ_e_

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ | 365
Особый интерес представляют пределы очень высоких и очень
низких энергий:
М у 2т:
do а2 / 1 , 1
A2.79)
М ~ 2т:
do 1 а2 / 1 , 1
¦Н
¦^ cos^-^-
Заметим, что при малых углах рассеяния последнее выражение
переходит в резерфордовское дифференциальное сечение рассея-
рассеяния различимых частиц:
где величина
-iu.i>2 = Af-2w A2.81)
представляет собой кинетическую энергию частиц.
Когда рассеиваются частицы с зарядами противоположных
знаков, их можно различить по значениям заряда. В результате
аналог величины A2.60), в котором источники заменяются величи-
величинами 1К*Р qiK*P'^q и iK%v qiKzy-q, будет давать член только
одного типа. Кроме того, возникнет дополнительный знак минус.
Конечно, благодаря комбинированной симметрии pt «-»- р[,
Р'2 *-*¦ Рг> 1 "*" —Ч каждый процесс будет входить дважды, но
теперь вступает в игру второе слагаемое выражения A2.47) при
X (Лвр d<up*)lhe-i^+>"i)\
1 A2.82)
где каждый ток вносит в данный процесс два одинаковых вкла-
вклада, соответствующих свойствам симметрии относительно подста-
подстановок Pi+-+р'„ q~*-—q и р2-^>* р'2, д—>- — 7- Отсюда следует, что

366 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
матричный элемент перехода дается выражением
Отметим, что между матричными элементами A2.62) и A2.83)
имеется простая связь — они переходят один в другой при любой
из подстановок
Pi — -Рг, Р{ — -Pi A2.84)
Соответствия такого тина между различными переходами полу-
получили название перекрестных соотношений. За объяснением их
происхождения далеко ходить не нужно. Процессы испускания
и поглощения объединены в поле ср (х). Формальная подстановка
р^ ->¦ —р>* переводит один в другой физические эффекты, иденти-
идентифицирующие акты испускания и поглощения. При этом соответ-
соответствующим образом изменяются и отдельные поля <ppq (х), которые
дают нам количественное описание:
Фрд (*) — фр-д (*)*. A2.85)
Если задать матричный элемент перехода для одного процесса
то в результате указанной подстановки возникнет другой матрич-
матричный элемент, в котором начальная частица с квантовыми числа-
числами р, q заменяется конечной частицей с квантовыми числами р,
—д, или наоборот. Само собой разумеется, если мы по-прежнему
хотим рассматривать процесс рассеяния, то указанную операцию
нужно проделать как на входе, так и на выходе реакции. В случае
когда присутствуют частицы с зарядами противоположных знаков,
результатом может оказаться симметрия данного матричного
элемента, примером которой служит инвариантность выражения
A2.83) относительно любой из подстановок
Pi — -Pi, P\ — ~Рг. A2.86)
Заметим, что здесь мы рассматриваем отдельные преобразования,
вся совокупность которых представляет собой ГСР-операцшо.
Сомножитель, заключенный в формуле A2.83) в квадратные
скобки, имеет следующий вид:
о M*-2m* I m
2e
Li
2 +
Г М2 —2m3 / 1 , 1 \ ,"
[_ ^sm~2 cos2-2/ -
( }

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 367
Как при высоких, так и при низких энергиях последним членом
Dто2АМа) cos 9 можно пренебречь по сравнению с остальными.
Это приводит к простой связи между эффективными сечениями
для разноименных и одноименных зарядов, которая становится
точной в обеих асимптотических областях на шкале масс и с удов-
удовлетворительной точностью выполняется в промежуточной области:
Рассеяние фотонов на бесспиновых заряженных частицах
вместе с другими процессами содержится п действии A2.29).
Мы хотим выделить тот вклад, который получается, если написать,
как и в формуле A2.44),
Ф (х) = ф1 (х) + ф2 (х) A2.89)
и фотонный аналог этого разложения
А*(х) = А*(х) + А*(х), A2.90)
где
A»(x) = i\ (dxr) g^D" (x - х') Jiv (*'),
I A2-91)
а затем оставить члепы, содержащие по одному испускающему
источнику фотонов и частиц и по одному детектирующему источ-
источнику фотонов и частиц. Эти члены имеют вид
Wn-i- [ (dx) (dx') ф1 (х) \eq2pAt (х) А+ (х-х') eq2pA2 (x') +
+ eq2pAz (х) Л+ (х — х) eq2pAi (ж'I ф2 (а;') —
— [ (dx) ф! (х) 2е% (х) А2 (х) ф2 (х), A2.92)
где мы воспользовались тем упрощением, которое дает лоренцев-
ская калибровка для векторного потенциала. Напомним, что
Из двух последних слагаемых, не содержащих векторов поляриза-
поляризации, одно обращается в нуль, так как дивергенция источника
равна нулю, а второе можно исключить путем калибровочного

368 | ГЛАНА 3. ПОЛЯ
преобразования, так как в координатном пространстве оно имеет
вид градиента некоторого скаляра. Таким образом, в этом спе-
специальном классе калибровок мы можем написать
А» (х) ----- 2 iAkxAtx {xf, А» (Ж) - 2 4& {х) ij2hl, A2.94)
и ft»,
где
1/i, A2.95)
причем такие калибровки являются лоренцевскими, поскольку
1/ ix = 0. A2.96)
Соберем теперь все коэффициенты при Мк&^Щм и iJhik2iKPM
(здесь мы опускаем у источников причинные индексы, так как они
в избытке содержатся в других переменных). Возникающие
в результате интегралы по пространству-времени даютфурье-обра-
зы, которые соответствуют описанию процессов рассеяния с по-
помощью импульсных переменных. Примером может служить инте-
интеграл
f (dx) (dx') e-i»ixpile-ihPA+(x-x')eih*t'pveipS' =
-^\ A2.97)
(Pi — ^iJ -\-"i
где учтено также то обстоятельство, что дифференциальные опера-
операторы pv- и pv действуют непосредственно на собственные функции
импульса. Для матричного элемента перехода получается сле-
следующее выражение:
A,1Ч1Л1, | Т | lh2xalP2,) - {dah cbV{ dco,2 fop/!* le^V^el^, A2.98)
причем
где мы воспользовались упрощениями, к которым приводят кине-
кинематические соотношения:
l+m* + kl]^2plkl-2piku
-2plk2^-2pik2.
Кинематика имеет и другие аспекты. Полный импульс равен
Р = Pi + h - р2 + к2, A2.101)
а следовательно,
y(M2-w2), A2.102)

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 369
тогда как
_ Pik2 = - p2kt = ~ (М2 - т2) + ktk2. A2.103)
Инвариантные выражения для энергий частиц в системе центра
масс, т. е. в системе покоя импульса Рд, имеют вид
Кроме того, вводя угол рассеяния 8 в системе центра масс, мы
будем иметь
<12-105)
г
L
cos
9J •
Отметим также, что матричный элемент перехода A2.98) и A2.99)
обладает перекрестной симметрией. Поскольку знак заряда q
несуществен, имеет место инвариантность, в частности величины
F^v, относительно подстановки
Pi — -p2. A2.107)
При этом решающую роль играет равенство ktpi с к2р2 и к^р2
с k2pt. Что касается фотонов, то использование линейных поля-
поляризаций с вещественными векторами поляризации влечет пре-
преобразование
»» &~А&{х); A2.108)
и поэтому матричный элемент перехода должен быть инвариант-
инвариантным относительно подстановки
fcj *¦ -ft2, Xt *¦ Я,2. A2.109)
При такой подстановке индексы ц и v у тензора FMV меняются
местами, что и доказывает требуемую инвариантность.
Тензор F^,v обладает также следующими важными свойствами:
Atf^v = (Рз - Pi - *i)v = -А», М
^v^ = (Pi - P2 - А2)№ = —*lS-
Они приводят к необходимому сохранению эффективных источни-
источников испускания конечного фотона и поглощения падающего фото-
фотона:
ftXv^fcrti = - fc»v«**i = 0' <W^ = - rfSiftiii = 0- A2.1 И)
24-0670

370 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Далее, пользуясь выражением A2.93), в вероятности перехода
можно провести суммирование по обеим поляризациям рассеянно-
рассеянного фотона:
= eZ.2V\V^elx*- A2-112)
Если пучок падающих фотонов не поляризован, т. е. если оба
значения поляризации входят с равными вероятностями, то
с помощью равенства A2.93) можно провести и необходимое
усреднение:
1 V i J** 1/ ^ 12
Y 2 KhX'V^tal
D) |-2), A2.113)
так как
A2.114)
После несложных алгебраических выкладок получим
A2.115)
Подчеркнем еще раз сравнительно простой вид кинематических
множителей в сечении упругого рассеяния, даже для частиц
с неравными массами. Отношение интеграла A2.75) к инвариантно-
инвариантному потоку A2.70) дает множитель
iefwr> A2.И6)
которым определяется единица измерения дифференциального
сечения рассеяния. Учитывая сказанное, а также равенство 2еа =
= 8яа, мы сразу же получим
- cos 0
A2.117)
da_^_a?_l_ i, ,
+
где произведение pik2 выражено через угол рассеяния в системе
центра масс. Дифференциальное и полное сечения в пределах
высоких и низких энергий имеют вид
A2.118)
;
два последних выражения дают томсоновские сечения.
da а2 i и I 2 т 8л

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ 371
Из сохранения эффективных источников испускания конечного
фотона и поглощения начального фотона следует калибровочная
инвариантность вероятностей переходов. Это позволяет нам ис-
использовать любые упрощения, к которым может привести тот или
иной специальный выбор калибровки. Проблема калибровки
в связи с векторами поляризации е&, содержится неявным образом
в выборе вектора к^, который в некоторой системе координат
имеет пространственные компоненты, отличающиеся от простран-
пространственных компонент вектора к*1 только знаком. Если ввести еди-
единичный времени-подобный вектор п^, то его можно будет пред-
представить в виде
р_^ — (йд + 2п»пк), A2.119)
причем векторы поляризации удовлетворяют двум условиям орто-
ортогональности:
Via = 0, n^K = 0. A2.120)
Всеми этими свойствами обладает сумма
к
Обращаясь теперь к формулам A2.98) и A2.99), мы увидим, что
отождествление п^ либо с р^/т, либо с р$/т приводит к опре-
определенному упрощению:
<*.,tV5U = - е&А*лг A2.122)
Путем прямой проверки нетрудно убедиться, что для суммирова-
суммирования и усреднения по значениям поляризации этот способ дает
те же самые результаты. Применяя A2.121) к конечным фотонам,
мы получим
а затем
1 V" - 1 4-
1 V"
у 2л
Если положить п = pjm или р2/т и учесть соотношение
ktkz = pjti — pfa, A2.125)
то мы снова придем к формулам A2.113) и A2.115).
Калибровки, о которых говорилось выше, особенно выгодны
в том случае, когда в начале или в конце процесса частица покоит-
покоится. Вектор п можно выбрать и по-другому — в виде Р/М, а это
24*

372 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
самое удобное в системе центра масс. Во всех этих примерах
система координат выбирается так, чтобы вектор пР был направлен
вдоль оси времени. Рассмотрим поляризационную зависимость
сечения рассеяния, перейдя к системе центра масс. Траектории
падающей и рассеянной частиц определяют некоторую плоскость.
Возьмем сначала векторы линейной поляризации, которые либо
перпендикулярны этой плоскости, либо лежат в ней под углом
к импульсу соответствующего фотона. Информацию о дифферен-
дифференциальных сечениях для разных случаев поляризации можно
получить из формул A2.98) и A2.99), которые упрощаются при
соответствующем выборе некоторых векторов. В частности,
в системе центра масс имеет место соотношение
О = Pl + kt = p2 + k2, A2.126)
которое дает
IX* e'kkrC
Если один вектор поляризации лежит в плоскости рассеяния,
а другой перпендикулярен ей, то эффективное сечение обращается
в нуль. Если оба вектора перпендикулярны плоскости рассеяния,
то
а если они оба лежат в плоскости рассеяния, то
do \ а2 Г Af2 — m2 .
SlI
M2 —m2 , . -,2
5 + COS0 п^
A2.129)
Среднее этих двух сечений, соответствующее первоначально непо-
ляризованному пучку, совпадает с выражением A2.117), что
придает данному выражению более ясный физический смысл.
Отметим, что фотоны, рассеиваемые на угол, который определяет-
определяется уравнением
' A2.130)
будут полностью поляризованы в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном плоскости рассеяния.
Дифференциальные сечения, соответствующие круговой поля-
поляризации, или спиральным состояниям, можно найти, исходя из
результатов, полученных в случае линейной поляризации. Векто-
Векторы круговой поляризации представляют собой линейные комбина-
комбинации векторов, которые параллельны и перпендикулярны плоско-

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 373
сти рассеяния и сдвинуты по фазе один относительно другого
на я/2 [см. формулу C.29) из гл. 2]. Поскольку вылетающий
фотон описывается комплексно-сопряженным вектором поляри-
поляризации, амплитуда вероятности процесса, в начале и в конце кото*
рого спиральности одинаковы, равна полусумме двух амплитуд
с линейными поляризациями, а амплитуда вероятности процесса
с противоположными спиральностями равна их полуразности.
Следовательно, дифференциальные сечения для процессов, в кото-
которых спиральность не изменяется и в которых она меняет свой
знак, таковы:
О
__ а2 COj Т
неизм~"Ж /_..„ О , т2 __..„ 9\2
/ , 0 , m2 . . 9 \ 2 '
соз2т+-ж31ПЧ
in4
в ,
Смысл появляющихся здесь геометрических множителей cos4 F/2)
и sin4 F/2) нам известен. Пусть угловой момент равен единице,
а его магнитное квантовое число относительно заданного направ-
направления равно -|-1. Тогда указанные множители будут давать нам
вероятности того, что при измерении относительно направления,
составляющего с исходным угол 6, для магнитных квантовых
чисел получатся значения -j-1 и —1. Кроме того, имеется и дина-
динамический весовой множитель, который при низких энергиях,
когда М « т, равен единице, а при очень высоких энергиях
подавляет процесс с изменением спиральности. Полное диффе-
дифференциальное сечение, не зависящее от начального значения спи-
спиральности, равно сумме парциальных сечений A2.131):
е . / т \4 е
Оно совпадает с сечением A2.117). При угле рассеяния, опре-
определяемом уравнением
tg| = ^, A2.133)
два парциальных сечения равны друг другу, что приводит к нуле-
нулевому среднему значению углового момента в направлении рас-
рассеянного фотона. Конечно, этот угол совпадает с углом, определяе-
определяемым уравнением A2.130) и отвечающим случаю, когда рассеянный
фотон линейно-поляризован.

374 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
В действии Wz2 учитываются и другие процессы с участием
двух частиц и двух фотонов. Если выделить члены с двумя источ-
источниками испускания частиц и двумя источниками детектирования
фотонов, то это будет означать, что мы рассматриваем аннигиля-
аннигиляцию частицы и античастицы в два фотона; два источника испуска-
испускания фотонов вместе с двумя источниками детектирования частиц
приводят к обратному процессу — рождению пары частица —
античастица при столкновении двух фотонов. Последний процесс,
например, описывается величиной
W22->j \ {dx)(dx')yi{x)eq2pA2(x)A+(x—x')eq2pA2(x')(p1(x') —
- j (dx) ф1 (х) е* [А2 (х)]2 ф1 (х), A2.134)
и, выделяя коэффициенты при iKpiqiK$-_q и iJbz\jJb"k'i мы
получаем
i ^ ^ ^, A2.135)
где
PlliPiv PivPjy,
Заметим, что матричный элемент явным образом симметричен
относительно подстановки к^к-2 *^~ к'3к'%. Кроме того, если вос-
воспользоваться кинематическими соотношениями
A2137)
где 0 — угол между относительными импульсами частицы и фото-
фотона, то мы увидим, что он симметричен и относительно подстановки
piq ->-»- р\ —q. ITojxor рассматриваемой реакции лежит при М =
= 2т. Его положение определяется квадратным корнем в форму-
формуле A2.137), который равен модулю импульса в системе центра
масс, так как энергии всех частиц и фотонов имеют значение 1/2М.
При использовании вещественных векторов поляризации матрич-
матричный элемент A2.135) и A2.136) можно получить из матричного
элемента A2.98) и A2.99) путем перекрестного преобразования
ft->-Pi. kiXi-^ — к'Х- A2.138)
Так как теперь конечные частицы отличаются от начальных,
в дифференциальное сечение входит в явном виде отношение
кинематических множителей, представляющих собой квадратные
корни из определенных выражений. Мы напишем это сечение для

§ 12. СКЕЛЕТНАЯ СХЕМА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ I 375
разных случаев поляризации, используя сначала линейную поля-
поляризацию в направлении, параллельном или перпендикулярном
плоскости реакции:
х2 / , 4m2 \ 1/2
lda_\ _ аи (, 4ти \ J/2
\dii in~ М* \Х
Л si
±М2— \-г-Мг — тЛ cos*в
2
¦ —1
(iW2 \
(A2.139)
когда два вектора поляризации взаимно перпендикулярны, эффек-
эффективное сечение обращается в нуль. Если только энергия превы-
превышает пороговое значение по крайней мере в У~2 раз, т. е. если
Мг > 8/7ia, то найдется такой угол, при котором дифференциальное
сечение для параллельных поляризаций обращается в нуль; этот
угол определяется уравнением
^1. A2.140)
Сечение, соответствующее неполяризованным фотонам, которое
получается путем усреднения по четырем возможностям, имеет вид
do _ 1л N i+[1)
Л1 ) 2
Вблизи порога и при высоких энергиях оно дается формулами
ЛТ п da a
dQ 4л
ЛГ»2т: ^-=т^=-
'" ' A2.142)
В рассматриваемом случае амплитуды переходов для фотонов,
поляризованных по кругу, также представляют собой простые
линейные комбинации амплитуд, соответствующих линейной поля-
поляризации. В системе центра масс фотоны разлетаются в противо-
противоположные стороны. Поэтому, если их спиральности, например,
одинаковы, то у них будут противоположные проекции углового
момента на направление общей прямой, вдоль которой они дви-
движутся. Отсюда следует, что амплитуда перехода в случае одина-
одинаковых спиральностей равна полусумме двух амплитуд, отвечаю-
отвечающих линейной поляризации, а в случае противоположных спи-

376 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
ральностеи она равна их полуразности:
a2 /. 4m2
do
du __#>i ^ _х
A2.143)
do а2 / . 4/га2 \'
Таким образом, вблизи порога доминирует реакция с одинаковыми
спиральностями, а при очень высоких энергиях — реакция
с противоположными спиральностями. Сечения этих реакций
одинаковы при
' >8т2, A2.144)
что представляет собой другую форму записи условия A2.140).
Заметим, что геометрические множители 1 и C/8) sin4 9 также свя-
связаны с угловым моментом. Первый из них говорит об эквивалент-
эквивалентности всех направлений в состоянии с нулевым угловым моментом.
Второй же соответствует квантовому числу углового момента,
равному 2, и дает вероятность, связывающую магнитное квантовое
число ±2 относительно одного направления с нулевым магнитным
квантовым числом относительно другого направления, которое
составляет с исходным угол 9.
Матричный элемент перехода для обратного процесса, т. е.
для аннигиляции частицы и античастицы в два фотона, имеет
тот же вид A2.135) и A2.136), но с обращением причинных индек-
индексов и с подстановкой комплексно-сопряженных векторов поляри-
поляризации. Так как конечные и начальные частицы меняются теперь
ролями, кинематический множитель, имеющий вид квадратного
корня, заменяется обратной ему величиной, а все остальное
остается тем же самым. Снабдив сечения спиральными индексами
конечных фотонов, будем иметь:
do
4 та2 \ - V»
da
_ «2 1л ^2\
, ,' М2 \ М2 / VI М2 \ 1
[i+^-ijsi^e]
= ^_/ 4^4
/ л/2 Л2 ,1О A2.145)
,. (-7—о- — 1) sn*6
-'/г \ 4т2 /
(:&-•)-"]'
И в этом случае соотношение спиральностей фотонов изменяется
при переходе от низких к высоким энергиям. При аннигиляции
медленных частиц (М ж 1т) нет относительного углового момента,
уносимого фотонами, и у движущихся в противоположные сторо-
стороны фотонов преобладают равные спиральности. При очень высоких

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ '/« I 377
энергиях фотоны несут максимальную проекцию углового момента
на общее направление их движения. Тем не менее оба дифферен-
дифференциальных сечения изотропны, а полные сечения имеют вид
*i lib v
сх-4я-^ A2Л46>
To что сечение обратно пропорционально скорости v при v <^ 1Т
означает лишь, что скорость протекания процесса аннигиляции
в единичном объеме пропорциональна произведению плотностей
пучков. При вычислении полного сечения для реакций, в которых
конечное состояние содержит две тождественные частицы (в рас-
рассматриваемом процессе аннигиляции таковыми являются фотоны,
подчиняющиеся статистике Бозе — Эйнштейна), нужна осторож-
осторожность. При раздельном суммировании по конечным состояниям
обеих частиц, которое в данном случае представляет собой сумми-
суммирование по спиральностям и интегрирование по всем направлени-
направлениям движения, каждое физически различное состояние частиц
учитывается дважды. В выражениях для сечений A2.146) мы учли
это обстоятельство.
§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ У2
Сначала мы рассмотрим рассеяние частиц со спином г12, несущих
одноименные заряды. Как и в случае спина 0, соответствующая
часть действия W^, в которой мы не будем указывать конкретные
значения зарядов, имеет вид
Wm -+ ~ j (dx) (dx') /й, (х) D+ (x - х') /lw (x1) +
(dx) (dx') /ft (x) D+ (x-x')/22ll (*'), [A3.1)
но частицам с одинаковыми зарядами отвечает только первое
слагаемое при
/ft (*) = *i (*) УУефЬ (*)• A3-2)
Поля с причинными индексами имеют вид
= Bт dUpI/* upageipx. A3.4)

378 ( ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Для W40 получается следующее выражение, аналогичное
выражению A2.60):
w*° = те* S Ъщя^ BтТ («Ч <Н; <Н ^I/2 х
X [ j (dx) (dx') eilpz-pi)xD+ (x-x1) е«р'*-р?х'] ЩР^чЩрГ^ A3.5)
Общий для всех спиноров индекс q здесь опущен. Заметим также,
что мы изменили первоначальный порядок расположения анти-
коммутирующих источников, не внеся при этом никаких знаков
минус:
i^if^p^qiv&ppirbFZ • A3 •6)
При определении матричного элемента перехода будем исходить
из того, что порядок источников такой же, как и в формуле A3.5).
Но следует, конечно, учитывать, что в силу антисимметрии отно-
относительно перестановки piO\ ¦*-* р[а\, свойственной статистике
Ферми — Дирака, каждое конкретное произведение детектирую-
детектирующих источников входит в сумму дважды в виде слагаемых с про-
противоположными знаками. То же самое относится к испускающим
источникам и перестановке р2о ¦*-*¦ р'2<*'2- Таким образом, тре-
требуемый матричный элемент, который обладает свойствами анти-
антисимметрии, характерными для состояний Ферми — Дирака, имеет
вид
ia;, IT | lp^lpjaji) = BтеJ (dwPi dcop, d«P2 Лор,) x
. а Г (»WOy<t|<W (ц?^хУ°У|*нрм) К^»ик<5,) (ц%„;т°уццРа<г Л
хе L (Р1-Р2)* (Pi-pi? -Г
A3.7)
Даже когда нас не интересуют конкретные значения спина
в начальном и в конечном состояниях, по-видимому, самый про-
простой способ найти общие выражения для дифференциальных
сечений — это вычислить их для всевозможных случаев задания
спиральностей. Такой подход подсказывается уже анализом поля-
поляризации фотонов, проведенным в предыдущем параграфе. Там
ряд результатов явился прямым следствием анализа разных спи-
спиральностей (или линейных поляризаций), а чтобы прийти к ним
путем суммирований и усреднений по поляризациям, требовалось
прибегать к определенным алгебраическим преобразованиям. Осо-
Особенно заметным такого рода упрощение было в случае рассеяния
фотонов с высокими энергиями, где спиральность стремится оста-

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ V» I 379
ваться неизменной. Такая же тенденция проявляется и в рас-
рассматриваемом процессе, который естественно назвать электрон-
электронным рассеянием. Общее выражение для спинора ира
дает нам формула F.90) из гл. 2:
U
где va — собственные векторы у0 с собственным значением -{-I.
Если их выбрать так, чтобы они были и собственными векторами
оператора сг • р/1 р j, отождествив а со спиральностью, то мы
получим
Г / ро-|-т\ 1/г 1/
=1\Чг)
»°
где последнее выражение относится к высокоэнергетическому
пределу, в котором спиральность становится связанной с собствен-
собственным значением матрицы iyb. В системе центра масс, где энергии
всех частиц равны t/2M, в высокоэнергетическом пределе имеет
место равенство
("VUW v* ^
^^a2, A3.10)
так как у iy5 нет диагональных матричных элементов в подпро-
подпространстве у0' = + 1; кроме того, пользуясь соотношением
V°Y = iyfl, A3.11)
цолучаем
v* С
^ )wSl«n;a2. A3.12)
Мы видим, что величина (uPlOl y^ иР2П2) обращается в нуль при
о± = —0*2- Спиральность в этих произведениях не изменяется
при высоких энергиях из-за того, что у°у^ коммутирует с у5.
При условии Oj = а2, о[ = а'2 мы получим, что произведение,
входящее в первое слагаемое выражения A3.7), равно
^ач)]. A3.13)
Полнота совокупности четырех матриц 1, о выражается основным
тождеством E,58) из гл. 2. Если в качестве произвольных матриц

380 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
X и Y взять соответствующие диадные произведения, то из этого
тождества будет следовать равенство
= -2 [(v*aiv02) (^yej)- (w>ol) (^a2)]- A3.14)
Эта величина антисимметрична по индексам <х2 и СТ2 и по индексам
at и о^. Но обозначения здесь требуют осторожности. Хотя мы
и написали, скажем, va2, не нужно забывать, что сюда неявным,
образом входит и направление импульса р2, на которое проекти-
проектируется спин, давая компоненту <х2. То, о чем мы только что гово-
говорили, как об антисимметрии по <х2 и а'2, представляет собой, соб-
собственно говоря, антисимметрию по Р2<з% и р'го2. Комбинация C.14)
не обращается в нуль, когда спиральности ст2 и ^ одинаковы-
Сначала мы рассмотрим случай равных начальных спираль-
ностей. Тогда в формулу A3.13) войдет именно комбинация, давае-
даваемая тождеством A3.14), и в силу только что упомянутой анти-
антисимметрии два слагаемых, фигурирующих в формуле A3.7),
объединятся в один член с множителем
1 11 / 1 1
2
Для вычисления произведений спиноров в C.14) мы возьмем
в качестве выделенного направления, т. е. оси z, направление
векторов р2 = —Pj и опишем выбор равных спиральностей, или
противоположных проекций спина на это направление, стандарт-
стандартными двухкомпонентными спинорами
/0\
^j A3.16)
Спиноры у,,, и I»;,, связаны точно так же, но с направлением векто-
векторов р! = —р|, которое повернуто на угол 9 вокруг, например,,
оси у, что записывается так:
е_\
A3.17)
есту
= (-sinT, cosY) ,
v*> = v*_e 2
В результате получаем
(Vo'tVo2) (v*-Vo-) — (^а,Уст') (v*'Va ) = COS2 -2" + sin2 -g" " 1 • A3.18)
Если рассматривать эту величину как комбинацию матричных
элементов, то она представляет собой определитель унимодуляр-
ной матрицы вращения. Так как в матричном элементе всевозмож-

I 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ V, | 381
ные множители 2т и М сокращаются, а остается только 2е2,
мы сразу же будем иметь
В случае противоположных начальных спиральиостей комби-
комбинация, входящая в C.13), с точностью до знака минус равна
»„;) + (luoW • К'<*^) = 2 «у,,;) (р^). A3.20)
Двум вкладам в матричный элемент A3.7) теперь отвечают разные
конечные состояния, которые не интерферируют в дифференциаль-
дифференциальных сечениях. Спиральные индексы связаны равенствами o"i = сг2>
<а\ — а'2 = —а2 и ffi = ^2 = —СТ2, ст| = ст2- Другими словами,
•единичной проекции углового момепта на первоначальное направ-
направление движения может соответствовать любое из магнитных кван-
квантовых чисел +1 или — 1. определяемых по отношению к общему
направлению, которое задастся рассеянными частицами. Переходя
•аккуратно от спиральностей к проекциям спина на два соответ-
соответствующих направления и опуская множитель 2, для множителей,
которые дает величина A3.20) в двух разных случаях, получаем:
— 0*2, а\ = а'г:
О^е2 y+)(z>Je2 y+)=cos2
A3.21)
Дифференциальное сечение, равное сумме неинтерферирующих
вкладов, имеет вид
а?
02=-02
cos4—
е
sin4— cos4— j
A3.22)
Тригонометрический множитель в квадратных скобках можно
написать также в виде
0
— 2V-2 =
\ 2
A3.23)

382 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Дифференциальное сечение, соответствующее первоначально непо^
ляризованным электронам (достаточно иметь один неполяризован-
ный пучок), равно полусумме сечений A3.19) и A3.22), A3.23),
вычисленных в более частных случаях. Оно имеет вид
da к2 / 1 L_ Л2
. „ е > „ е ~Ч
sin»-5- cos2—
и обладает двумя замечательными особенностями. Это сечение
представляет собой полный квадрат, как будто вклад в него дает
один-единственный процесс; кроме того, оно совпадает с дифферен-
дифференциальным сечением A2.79), описывающим рассеяние частиц со
спином 0 при высоких энергиях.
Столь любопытная эквивалентность разных значений спина
имеет место только в области очень высоких энергий, что яснее
всего видно в случае рассеяния частиц с низкими энергиями
(М я* 2т). В этом случае спиноры ира сводятся do существу
к собственным векторам vo с у0' = +1. Теперь, вместо того чтобы
характеризовать состояния спиральностями, удобнее пользоваться'
проекциями всех спинов на некоторое общее направление в про-
пространстве. Действительно, при таком выборе
«0, A3.25)
и поэтому отдельные процессы рассеяния протекают без изменения
магнитного квантового числа. В указанном низкоэнергетическом
пределе спин и орбитальное движение динамически независимы
в противоположность случаю чрезвычайно высоких энергий, где
они связаны самым тесным образом. Когда начальные, а значит
и конечные, магнитные квантовые числа одинаковы, вклады дают
оба слагаемых в формуле A3.7), причем эти вклады различаются
лишь знаками. В случае противоположных начальных магнитных
квантовых чисел эффективным оказывается либо только первое,
либо только второе слагаемое в зависимости от того, какие проти-
противоположные магнитные квантовые числа приписываются конечно-
конечному состоянию. Поэтому усредненное по спину дифференциальное
сечение будет равно
1 1
A3.26)
Последняя форма записи соответствует усреднению по трем сим-
симметричным по спину состояниям, которые антисимметричны по

I 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ >/« I 383
пространственным координатам, и по одному антисимметричному
по спину состоянию, которое симметрично по пространственным
координатам. Этот результат, отвечающий статистике Ферми —
Дирака, конечно, отличается от выражения для сечения A2.79),
в которое входят только симметричные комбинации пространствен-
пространственных переменных.
Состояпия, классифицируемые по значениям полного спина
частиц, оказываются полезными и при высоких энергиях, если
только магнитные квантовые числа для начальных и конечных
частиц относить к разным направлениям в соответствии с тем, что
в этом случае будет изменяться направление движения. Состояния
с единичным угловым моментом и магнитными квантовыми числа-
числами, равными по модулю единице, и здесь совершенно не связаны
с состоянием, магнитное квантовое число которого равно нулю.
Это напоминает нам случай частицы с единичным спином, масса
которой равна нулю (в данном случае она практически обращается
в нуль в высокоэнергетическом пределе). Как мы уже сказали,
переходы из начального состояния с единичным магнитным кванто-
квантовым числом происходят только в такие конечные состояпия, маг-
магнитные квантовые числа которых равны ±1. Фактически весовые
множители cos* F/2) и sin4 (9/2) в формуле A3.22) равны как раз
вероятностям для единичного углового момента, которые связы-
связывают магнитное квантовое число -fl относительно начального
направления с магнитными квантовыми числами -j-1 и —1 отно-
относительно конечного направления. При рассмотрении фотонов эти
множители появлялись в сечениях A2.13.1). Состояние единичного
спина с нулевым магнитным квантовым числом представляет собой
симметричную комбинацию двух возможных состояний с одина-
одинаковыми спиральностями а = о' = ±1. Состояние нулевого спина
является соответствующей антисимметричной комбинацией. Так
как в отдельных актах рассеяния спиральности сохраняются,
а обращение знака всех спиральностей не приводит ни к каким
эффектам, переходы между состояниями с разными спинами
происходить не будут, и поэтому выражение для дифференциаль-
дифференциального сечения A3.19) применимо к любому спиновому состоянию
с нулевым магнитным квантовым числом.
Если классифицировать состояния по значениям спиральности,
то для получения сечений рассеяния при произвольных энергиях
потребуется затратить не так уж много усилий. Теперь, как видно
из общего выражения

384 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
спиральность в процессе рассеяния будет уже изменяться. Однако
векторная структура
(Kiaiiy5aupta2) = (-Ц- - 1I/2 \ (o-i + cr2) vZpvv, A3.28)
по-прежнему требует, чтобы спиральности были равны. Теперь мы
просто выпишем относительные вклады всевозможных процес-
процессов — в усредненное по спину дифференциальное сечение эти
вклады входят аддитивным образом. Они классифицируются по
начальным и конечным магнитным квантовым числам, отнесенным
к соответствующим направлениям, и по тому, изменилась или нет
спиральность:
М* J\ / 1
0 -v 0, нет:
0-н^О, да:
0-»-±1, да:
1,
9
008 т
. е
sin -=-
е ^ „ е
-=- COS2 —
-1
sin
A3.29)
cos •
1 -v 1, оба случая:
l->-—1, оба случая:
М*
C0S
i_\
2 )
sin2-y
cos2-^-
В случае двух последних процессов константа —112 представляет
собой вклад, связанный с изменением спиральности. Складывая
все эти величины и вводя соответствующий множитель, мы полу-
получаем
da a2
A3.30)
Сечение A3.30) соответствует интерполяции между высокоэнерге-
высокоэнергетическим A3.24) и низкоэнергетическим A3.26) выражениями.
Оно напоминает результат A2.77), полученный в случае нулевого
спина, но все же отличается от него всюду, кроме области высо-
высоких энергий.

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ V, I 385
В случае электрон-позитронного рассеяния мы вернемся
к выражению A3.1) и рассмотрим оба его слагаемых с токами
= 2
2 (-
A3.32)
где уже собраны два одинаковых вклада, отвечающих конкретной
паре противоположно заряженных частиц. Матричный элемент
перехода, определяющийся коэффициентом при
^rfai-^^ion^W^pJai-,' A3.33)
равен
Г ' piO\ • ' P20S Pl^l ^ Р%О2* ¦
I — ¦— "— ¦ ¦ -4—
Перекрестное соотношение между этим матричным элементом
и матричным элементом для рассеяния одноименных зарядов и на
этот раз следует из того, что процессы испускания и поглощения
объединены в поле г|) (х). Такая унификация находит свое выраже-
выражение в формальных подстановках
Т12раз *-*¦ ЧЪ-o-q, typoq (ж) ++ ^.а-д{х). A3.35)
Произведя в формуле A3.7) подстановки
Pi~+-P[, "^«"^-"riai-e. Wp?ai,^%Ja'2-g. С13'36)
мы получим A3.34), но с дополнительным знаком минус. Он возни-
возникает из-за перегруппировки, необходимой для того, чтобы прийти
к стандартному порядку перемножения источников A3.33). Так
как два источника, отвечающих заряду —q, должны поменяться
местами, мы имеем
Kwi^x^-i A3-37)
(множитель t* здесь опущен).
25 — 0670

386 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
е
и*р-о-<, = ioyaUpaq, A3.38)
Для единообразия трактовки обоих слагаемых в выражении
A3.34) мы воспользуемся соотношением F.134) из гл. 2
которое дает
A3.39)
где спаренные теперь зарядовые индексы опущены. Действие
дополнительного множителя у5 иллюстрируется равенствами
* • / М2 Л \1/г 1 / ' Ч * А
ja: JLv*_a2ov -, A3-4°)
(T2=(T2: «-„.a^j.
Первое из них основывается на том, что в системе центра масс
частицы движутся в противоположные стороны. Здесь возникает
непримеримое противоречие, поскольку численный множитель
требует, чтобы спиральности —Ог и а"г были одинаковы, а произ-
произведение спиноров требует, чтобы были одинаковы магнитные
квантовые числа, т. е. чтобы спиральности —а2 и а'3 имели проти-
противоположные значения. Ситуация здесь аналогична случаю частицы
со спином 1, где в системе покоя временная компонента векторного
поля обращается в нуль.
Как видно из выражений A3.40), при высоких энергиях
в столкновениях с одинаковыми начальными спиральностями
доминирует первое слагаемое A3.34), которое отличается от своего
аналога в рассеянии одноименных зарядов только знаком; следо-
следовательно [см. формулу A3.19)],
В важнейшем случае, когда a2=—а'г, Oj——а\, для A3.39)
в области высоких энергий получаем
причем мы воспользовались формулой A3.20) и первым равенством
A3.40). Первое слагаемое в A3.34) дает вклад только в процесс

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ ¦/« | 387
с О) = а2, и, вспоминая, что
(Р! + Рд2 = ~М\ A3.43)
мы будем иметь
2
A3.44)
Среднее значение сечений A3.41) и A3.44), представляющее
собой дифференциальное сечение для неполяризованных частиц,
равно
da a2 . Г
Оно также совпадает с дифференциальным сечением для спина О
в области высоких энергий. Как и в формуле A2.88), связь высоко-
высокоэнергетического электрон-позитронного рассеяния с высокоэнер-
высокоэнергетическим электрон-электронным рассеянием обеспечивается про-
простым множителем cos4 F/2).
Поскольку знаменатели в формуле A3.34) несоразмерны в обла-
области низких энергий, при М <~ 2т достаточно велико только первое
слагаемое и
da ~ 16 (М-2т)* sin4_0_ ' {i-
Общую формулу, объединяющую оба предельных выражения для
сечений A3.45) и A3.46), можно получить, как и в случае электрон-
электронного рассеяния, рассматривая все спиральные переходы,
возможные при промежуточных энергиях. Но перекрестные соот-
соотношения делают это необязательным. Соотношения между отдель-
отдельными амплитудами переходов применимы и к суммам квадратов
модулей этих амплитуд по спиральностям. Таким образом, исходя
из результатов для электрон-электронного рассеяния, приведен-
приведенных в A3.30), можно найти искомое выражение для элоктрон-
позитронного рассеяния. Перекрестное преобразование р\ ¦*-* —р'2
означает подстановку
, A3.47)
или, если записать эту подстановку через параметры М и 6,
4m2)cos2-|-^ — M*t A3,48).
25*

388 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
тогда как величина
4Osm2-^- A3.49)
остается неизменной. В качестве простого примера применения
такой процедуры произведем подстановки в высокоэнергетическом
пределе электрон-электронного рассеяния:
Л/2 , Л/2
Mi Sill2 Z- Л/2 COS2 ~
sin? — cos2—-
Связь между двумя дифференциальными сечениями рассеяния при
высоких энергиях стала теперь совершенно прозрачной.
Произведя подстановки A3.48) в общей формуле A3.30) для
дифференциального сечения электрон-электронного рассеяния
в случае неполяризованных пучков, мы получим соответствующее
дифференциальное сечение электрон-позитронного рассеяния (ки-
(кинематический множитель 1/Ма, конечно, не участвует в этих
преобразованиях):
da _ «2 /-г 2/тг21 2 8 / 1 1
dQ +C0S (
A3.51)
Первый член, заключенный в квадратные скобки, совпадает
с дифференциальным сечением рассеяния противоположно заря-
заряженных частиц со спином 0, хотя он и написан в несколько иной
форме, выявляющей характер его низкоэнергетического и высоко-
высокоэнергетического поведения. Упомянутое сечение для спина 0 было
выписано лишь в неявной форме, в виде величины A2.87), полови-
половина которой и равна выражению в квадратных скобках в форму-
формуле A3.51). Двумя дополнительными слагаемыми, в A3.51) можно
пренебречь по сравнению с другими членами как при низких,
так и при высоких энергиях, но в промежуточной области они
могут оказаться весьма значительными.
Для иллюстрации рассеяния заряженных частиц разных типов
мы рассмотрим также взаимодействие между частицей со спином О
и частицей со спином г/2. Соответствующий вектор электрического
тока равен сумме токов, отвечающих каждому типу частиц, и член

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ V. 389
взаимодействия в \?ы имеет вид
)jil(x) iZM*-a:')M*')cn.u«o. A3.52)
СПИН ^
Матричный элемент перехода можно написать сразу же:
pg1
= 2т (d©Pi dcop, cfoP2 dcoy,) /2 e2gg' (pi_p22>2 . A3.53)
где все величины со штрихами относятся к частице со спином 0.
Точно так же т и т' будут массы частиц со спинами 112 и 0. Если
ввести полный импульс
» A3.54)
то можно добиться некоторого упрощения, так как
У(Р:+Р'2) = 2уР-УР1-УР2 A3-55)
и поэтому
"*.(JiV0V (P\ + Р'г) «P2<J2 = 2«*i<tiY° (УР + т) «Р2<т2 =
= -2u*Piai(M-my0)uV2a2, A3.56)
причем последнее выражение написано в системе центра масс.
Подставив спиральную конструкцию A3.9), получим
"р.ч/А (Р[ + Р'г) uPiai =
= _2 [(M-m)-^^ + (W + m)-^^oW]<^2, A3.57)
и из кинематики рассматриваемого процесса следует, что энергия
электрона и модуль вектора импульса, которые остаются неизмен-
неизменными при столкновении в системе центра масс, даются выраже-
выражениями
Р — ом '
A3.58)
1/1/
В области высоких энергий, где массы отдельных частиц пренебре-
пренебрежимо малы, спиральность электрона сохраняется в процессе рас-
рассеяния:
а, = сг2: 2mu*tlJiy0y (р[ + р'2) иР2О2 = — 2М2 cos -^, A3.59)
и
cos2 —
М>т,т': -?=A360)
sin4T

390 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
В области низких энергий, если спин электрона отнесен к фикси-
фиксированному направлению и магнитное квантовое число в процессе
рассеяния не изменяется, то
лт i da I а2 1 ..„д..
Мхтп + пг: ~лТ~1Тд7 тт* к~- A3.61)
oQ lb Ш—то — пгJ . . 9 N '
sin4 -j-
Общее выражение для сечения, просуммированного по конеч-
конечным спинам и усредненного по начальным спинам (впрочем,
последнее здесь необязательно), имеет вид
da a2
тТп X
rffi [Л/* — {т — т')Ц2 \М* —
X
A3.62)
sm*
Интересно рассмотреть два предельных случая, в которых масса
одной из частиц становится очень большой не только по сравнению
с массой, но и с полной энергией второй частицы. Если такую
большую массу обозначить через пг', то удобнее ввести
М-т'-^ро, ~г^0, A3.63)
так что энергия электрона в системе центра масс будет совпадать
с его энергией в системе координат, в которой тяжелая частица
покоится. Предельпый переход дает:
спин 1/2:
da — 1 ' Г Р° I2 / " в
7F
ЫП „
Р°>т: -г
ро^т: i-
. , е '
sin4-=-
2 A3.64)
sin*-=-
Аналогичное предельное выражение для случая, в котором очень
тяжелой является частица со спином г/2, имеет тот же вид, что

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ »/» | 391
и A3.64), но без тригонометрического множителя в числителе:
n da 1 . Г рО
спин 0: ж=ха LЩ
-12
v ~т- 16
!_
16 (Ро_гоJ е '
v ' sin4 -z-
излишний теперь штрих у т здесь опущен. Оба дифференциальных
сечения отождествляются с движущейся частицей, а очень мас-
массивная частица действует лишь в качестве неподвижного заряда.
Возможность применения формализма источников при этих усло-
условиях мы рассмотрим в следующем параграфе.
Но сначала мы исследуем некоторые процессы с участием фото-
фотонов и частиц со спином V2, описывающиеся выражением A2.24)
для W22- Электрон-позитронная аннигиляция в два фотона харак-
характеризуется величиной
W2i ->- \ \ (dx) {dx') a|J (x) yOeqyAt (x) X
X G+ (х- х') eqyAt (xr) i\>2 (xr), A3.66)
и коэффициенты при iJ*ixMt'lX'1i%'2(J^qi'r\P2aiq Дают
= 2m (dtofcl dcofti dcoP2 dcop.I/2 x
X
Симметрия Бозе — Эйнштейна по /ГД1, /cJXj очевидна, а в антисим-
антисимметрии Ферми — Дирака по PiO2q, р'2а'2 — q можно убедиться
(напомним, что уТ = ¦—7°Тй70)> пользуясь кинематическими соот-
соотношениями
Как мы увидим, динамический множитель в формуле A3.67)
удобнее записывать в виде

392 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
внтра ма<
-2р^( = ^ М [M-(M2-4m2I/2cos9],
В системе центра масс энергии всех электронов и фотонов равны
, A3.70)
— 2p2k[ = -f M [M+(M2—Ыгуг cos 0].
Особенно простым оказывается случай аннигиляции медленно
движущихся частиц, в котором формула A3.69) принимает вид
W]«1. A3.71)
Эта величина, умноженная на 2те, сводится к y°\ = iybo;
-?-o'vta> [a-e*, о.е*]а.ку0 = 2е21а'бао-е*хе*--^-, A3.72)
где ненужные теперь причинные индексы отброшены. Здесь но
равны нулю только члены с четным числом множителей уь, и мы
воспользовались тем обстоятельством, что вектор е X е' должен
быть параллельным к. Равенство спиральностей указывает на то,
что магнитные квантовые числа принимают противоположные
значения, причем имеет место антисимметрия, задаваемая множи-
множителем а'.. Поэтому в случае медленно движущихся частиц двух-
фотонная аннигиляция свойственна только синглетному состоянию
с нулевым полным спином. Соответствующее двухфотонное состоя-
состояние с нулевым угловым моментом, т. е. линейная комбинация двух
состояний с равными спиральностями, определяется векторами
перпендикулярной поляризации двух фотонов. Если вспомнить,
что
М-2т = \то\ „«1: (l -ijL)-1/2 = A, A3.73)
то для дифференциального сечения на единичный телесный угол
для заданной пары перпендикулярно поляризованных фотонов,
когда частицы находятся в синглетном состоянии, мы получим
(а?/т2) A/v). Чтобы вычислить полное сечение аннигиляции для
неполяризованных частиц, следует ввести следующие дополни-
дополнительные множители: 2 — по числу поляризаций, свойственных
одному фотону, так как поляризация другого фиксирована требо-
требованием перпендикулярности; г1 ^ — статистический вес синглетного
состояния; 2л —¦ полный телесный угол, в который может выле-
вылететь любой из фотонов, причем мы приняли во внимание, что
конечные состояния не следует учитывать дважды. Это дает сечение
v<i: <* = л-54' A3-74>

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ '/г 393
составляющее половину от аналогичного сечения аннигиляции
частиц со спином 0.
Интересно отметить, что если рассматривается то же самое
низкоэнергетическое столкновение, то матричный элемент перехо-
перехода A3.72) можно получить непосредственно из эффективного члена
взаимодействия
^2эфф = -?г J (dx) уф (я) YVM*) (-{) *^v(;r)*Vv(z), A3.75)
где
(^))Р^(х) = Е(х).Н(х). A3.76)
В его пространственно-временной локальности, противоположной
нелокальности выражения A3.66), находят свое специфическое
отражение те предельные по энергии условия, которые препят-
препятствуют какому бы то ни было более детальному пространственно-
временному описанию процесса.
При вычислении величины A3.69) в области высоких энергий
массой т в числителях можно пренебречь. Как мы увидим ниже,
такая процедура оправдана, если исключить очень малые углы,
отвечающие рассеянию вперед и назад:
sin9>-^. A3.77)
Поскольку возникающая при этом матрица коммутирует с у5,
спиральности будут сохраняться (—о'2 = а?) и аннигиляция про-
происходит только в состояниях с единичным магнитным квантовым
числом. Здесь следует быть осторожным и не путать последнее
утверждение, относящееся к спинорам и -0> и Mp2<i23i со свойства-
свойствами спиноров и*'_а- и Мр2а2, У которых магнитные квантовые числа
противоположны, так как спиральности —а'г и а2 равны. При
высоких энергиях величина A3.69), записанная в упрощенных
обозначениях и умноженная на 2т/е2, равна (—о' = а)
«in 2—
е К
В качестве выделенного направления для спина, т. е. в качестве
оси z, удобно использовать импульс фотона к. Тогда ортогональ-
ортогональные спиноры, описывающие состояния частиц с магнитными кван-
квантовыми числами ±^2 относительно направления р, можно пред-
представить в виде
в , .8
va = v+ cos -j + у_ sin ^»
V-a'= — y*Sin у + У* COS у.

394 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Векторы поляризации фотона входят в комбинациях
<ье* =о.е'_* = —7=-(аг* — iay),
\ A3.80)
а-е! = а-е;* = -^=- (а* + itrB),
которые повышают и понижают магнитные квантовые числа
частицы на единицу:
1 1
-к- (ах + ias) у_ = v+, у! у (о\т — icr,,) = у*,
4 ! A3.81)
у (сг.т — iCy) у+ = у_, vjy (стж ¦+- ioy) = v*,
причем все прочие комбинации равны нулю. Это позволяет
сразу же написать значения A3.78) для любого выбора спираль-
ностей фотона. Так, например, при Х=—У = -\-1 мы будем
иметь
*,= —Я/=+1:
4(етН2с1гт' A3-82)
и точно так же
<13'83>
тогда как при одинаковых спиральностях, X ~ К' = ±1, полу-
получаются нулевые результаты. Как и в случае спина 0, аннигиля-
ционные фотоны в области высоких энергий несут только макси-
максимальную проекцию углового момента (±2) на направление своего
движения. И в этом случае геометрические множители A3.82)
и A3.83), входящие в вероятности переходов в виде sin2 0 cos4 (9/2)
и sina 9 sin4 (9/2), допускают элементарную интерпретацию. Они
представляют собой вероятности для спина 2, которые связывают
магнитное квантовое число +1 относительно заданного направле-
направления с магнитными квантовыми числами -\-2 и —2 относительно
другого направления, составляющего с исходным угол 0. В случае
спина 0 в амплитуду перехода вместе с геометрическим множите-
множителем sin 0 входит также множитель l/sina 0, что приводит к изотроп-
изотропному дифференциальному сечению. Теперь, однако, усредненное

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ «/» I 395
по спину дифференциальное сечение имеет вид
0 . Л 0
da_ _ 1 _а2_
причем это изменение в характере углового распределения пол-
полностью обусловлено тем, что магнитное квантовое число начально-
начального состояния стало равным не нулю, а единице.
Именно сингулярность полученного дифференциального сече-
сечения при 0 = 0 и 0 = я приводит к тому, что нарушается его
универсальная справедливость для всех углов в области высоких
энергий. Это ложные сингулярности, и связаны они с несостоятель-
несостоятельностью высокоэнергетического приближения
Л I Л
1—A
A щ-1
т) cosO-+2sin2y ,
•> О
-
1 + A щ-1 cos 6 ->- 2 cos-
при углах 8 = 0 в первом случае и 0 = л во втором. Достаточ-
Достаточное уточнение приближения обеспечивают подстановки
V2 „ . 0 ,
A3.86)
Можно пользоваться также их произведением
откуда становится ясным происхождение требования A3.77),
предъявляемого к углам. Могло бы показаться, что достаточно
заменить A3.84) выражением
4 A388)
приводящим к полному сечению аннигиляции
и этот результат будет правильным. Но так кажется лишь с перво-
первого взгляда.
Если улучшенный вариант A3.86) подставить в знаменатели
слагаемых в формуле A3.78), а тем самым и в формулах A3.82)

396 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и A3.83), то мы получим сечение
2 sin* 9 (l— 4-si
A3.90)
которое не совпадает с сечением A3.88). В действительности мы
кое-что опустили, и это кое-что — вклад членов с т в A3.69),
которыми нельзя пренебрегать при sin 8 <--¦ т/М. Указанные
члены антикоммутируют с ys, так что спиральность меняет свое
значение на противоположное или выполняется равенство а'г = а2г
и в результате существенными оказываются только начальные
состояния с нулевым магнитным квантовым числом. Соответствую-
Соответствующий вклад в выражение A3.69), умноженный на 2т/еа, равен
Поскольку в области высоких энергий этот механизм несуществен
во всех случаях, кроме случая малых значений sin 6, нам не
нужно проводить различие между направлениями векторов dip
и ±к. Спиноры можно выбрать в виде
va = v+1 v^r = vl A3.92)
и учесть, что могут испускаться только фотоны с одинаковой спи-
ральностью:
М . „ 6 , п& '
о , A3.93)
Это дает следующую прибавку к усредненному по спину диф-
дифференциальному сечению:
-1_2?_ /J?M2 г 1 • 1
2 Л/2 \м )
Добавив ее к сечению A3.90), мы в результате получим выраже-
выражение A3.88). Заметим, что дифференциальное сечение испускания
вперед и назад обязано своим происхождением исключительно

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ »/г | 397
этому последнему процессу. Величина такого сечения V2 {аг1т2),
отнесенная к единице телесного угла, отличается только множите-
множителем 2 от результата расчета в низкоэнергетическом пределе, если
заменить кинематический множитель 2/v его значением в области
высоких энергий, равным единице [см. формулу A3.73)].
При вычислении величины A3.69) в общем случае мы встретим
мало такого, с чем бы уже не сталкивались в случае высоких
энергий, если не считать часто появляющегося теперь параметра
Подставив в формулу A3.69) спиральную конструкцию спиноров
A3.9) и умножив полученное выражение на 2то/е2, мы будем иметь
2 / а' —а 2т а+а'
¦ля \ о I ля о 1 -^
•(р — k)a-e* a-e*ff(p
1-х cos 0 1 rxcos9
2го а-\-в' s г ff.e'*ff-e* , <r-e*<r-e'*
М " 2 "-° Ll-xcosO
Перечислим теперь различные возможные варианты:
.8 . о 4
cos^-rrsmBx-
<r.e*<r-e'* I .... (U..
2 °ил 1-x2cos29 '
А.=-*,'=—1: A3.97)
. „ 9 . „ 4
sin''-^- sm Ox -; 5—отг i
2 1-х2cos20 '
Л = Л
\=v
4го
= +1:
Am ..
м \а
= -1:
4m {
М ^
sin2 9
1-х2 cos5
«л
г е '
1
я2 cos2 0
1
; 1-х2 cos2 9 '
A3.98)
Единственный переход, который не рассматривался при анализе
случая высоких энергий, — это переход с начальным магнитным
квантовым числом, равным нулю, и с конечными магнитными кван-
квантовыми числами, равными ±2. Он, как можно было сказать зара-

398 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
нее, характеризуется геометрическим множителем sin2 9. Для
дифференциального сечения в случае неполяризованных частиц
немедленно получается следующее выражение:
x Sln 0B~sm 0) +
1 . A3.99)
Л A
Здесь сразу же видны вклады тех процессов, которые только
и протекают при sin 8 = 0,— процессов, отвечающих нулевым
начальному и конечному магнитным квантовым числам:
-g-(Sine = 0) = i^r(i+x2). A3.Ю0)
Это также те единственные процессы, которые сохраняют свое
значение при низких энергиях. Именно из-за множителя 1 + к2
сечение возрастает вдвое при переходе от низких энергий (и = 0)
к высоким энергиям (к — 1). Дифференциальное сечение можно
представить и в другой форме:
da а2 Г 2 B-х2) . 2A-к2J -1 /1
СШ " Mhl I \— X2COS2 6 A-Х2 COS2 вJ J' \
При высоких энергиях последним членом можно пренебречь,
и мы вновь получаем A3.88). Полное сечение аннигиляции
имеет вид
[4й ] A3Л02>
и при соответствующих условиях оно сводится к предельным выра-
выражениям A3.74) и A3.89).
Если вместо кинематического множителя к'1 взять множитель
х, то то же самое выражение A3.101) для дифференциального
сечения будет применимо и к обратному процессу порождения
электрона и позитрона при столкновении двух фотонов. Множите-
Множители, связанные с суммированием по конечным и с усреднением
по начальным поляризациям, остаются прежними, так как у обеих
частиц — электрона и фотона — по две возможные поляризации.
Правда, при вычислении полного сечения возникает некоторое
различие, поскольку электрон и позитрон — это разные частицы
и в качестве полного телесного угла следует брать 4я. В результа-
результате мы получаем следующее выражение для полного сечения рожде-
рождения пары:
4^
Г
2
A3.103)

§ 13. ПРОЦЕССЫ С УЧАСТИЕМ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ »/, 399
Дифференциальное сечение для электрон-фотонного рассеяния
можно получить из дифференциального сечения электрон-пози-
тронной аннигиляции путем перекрестных подстановок
Рш ~* — Ри К -*- ~к2- A3.104).
Соответствующие преобразования параметров Ми 6 определяются
комбинациями
— 2p2ki = ^- A — х cos 8) -»- — 2р2Л1 =
^^f^1" " " ' A3.Ю5)
— 2ргк\ = -у- A + к cos в) -+• 2р2/са = — (М2 — та2),
откуда получаем
'"' ^-sin»| A3.106)
и
A — х2 cos2 6) -^-4 [М2 ctg2 -j + m? j. A3.107)
В пределе высоких энергий эти преобразования упрощаются:
М2-+- М* sin2 -| , М2 sin21- -»- М2 cos2 -| ,
->--7lf2. A3.108)
Применяя их в первом варианте записи A3.84) (кинематический
множитель 1/М2 остается неизменным), будем иметь
?q(Цг i\ A3-109>
М2 sin2 |- i I Z Z I
Каков здесь смысл знака минус?
Рассмотрим отдельные матричные элементы переходов, которые
кратны ctg (8/2) и tg @/2). При подстановках A3.108) они превра-
превращаются из вещественных величин в мнимые. Так как вероятности
определяются квадратами модулей матричных элементов, допол-
дополнительные множители i не приведут ни к каким изменениям,
но если перекрестные подстановки применить непосредственно
к дифференциальному сечению, то появится фиктивный множи-
множитель г2 = —1. Это относится к любым перекрестным подстанов-
подстановкам, затрагивающим одну частицу со спином х/2, в чем можно
убедиться с помощью метода, которым мы еще не пользовались:
если вычислять суммы вероятностей переходов по поляризациям

400 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
на основе свойства полноты спиноров
= mjjp . A3.110)
Перекрестная подстановка для спиноров, и,ю «-* а*_а, которую
можно произвести путем комплексного сопряжения условия
A3.110) с добавлением знака минус, дает
тогда как формальная замена величины р в формуле A3.110)
на —р приводит к противоположному по знаку результату. При
переходе от электрон-электронного рассеяния к электрон-позит-
ронному этого не было, так как там производились две подстанов-
подстановки, отвечающие спину 1/2.
Следовательно, в высокоэнергетическом пределе дифференци-
дифференциальное сечение электрон-фотонного рассеяния для неполяризован-
ных частиц имеет вид
da 1 а2 / 1 . ,6
+ cos2 т
Й " 2 if» | cos2 в
где два слагаемых соответствуют столкновениям, происходящим
при одинаковых и при противоположных значениях спирально-
стей; спиральности электрона и фотона сохраняются в процессе
рассеяния. Кажущаяся сингулярность при 9 = я будет устранена,
если использовать A3.88) и правило соответствия при высоких
энергиях
M2sin29->4M2ctg2|-. A3.113)
Результат можно представить в виде
da la2/ I
а соответствующее полное сечение равно
а2 /, М* 1 \ ..„ .._.
A ) A3.115)
Чтобы получить дифференциальное сечение электрон-фотонного
рассеяния при произвольных энергиях, произведем в формуле
A3.101) соответствующие подстановки и отбросим кинематиче-
кинематический множитель 1/я, поскольку теперь начальные и конечные

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССКИВАТЕЛИ 401
частицы одинаковы. Это сразу же дает
da I a''
или, в другом виде,
da _ 1 а2
4го2
A3.116)
1 + I cos2
¦ a H
cos T
. .8 „ е
sin*-=-cosa -к-
. A3.117)
Последний член не дает вклада ни при высоких энергиях, где
мы возвращаемся к формуле A3.114), ни при низких энергиях,
где получается томсоновское сечение
da — а2 1 /
dQ m2 2
М к т\
)). A3.118)
Полное сечение электрон-фотонного рассеяния имеет вид
4т2
2JW*
~Ш2
8я «2 A3Л19)
За *
§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ
Фотонным источникам, которые входят во взаимодействия И^1>
И^22, ... со все возрастающими степенями, можно придавать
также обобщенный смысл, так чтобы они идеализированным
образом описывали заряженные частицы. Как мы уже говорили
ранее, при таком упрощенном подходе частица считается настоль-
настолько массивной, что на нее не оказывают никакого влияния другие
участвующие в рассеянии частицы. Рассмотрим в таком случае
точечный заряд величины Ze, покоящийся в начале координат:
/° (х) = Ze8(x), 3 (х) = 0, A4.1)
26—0670

402 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
для которого потенциалы равны
Взяв для начала бесспиновые частицы и взаимодействие W21t
для процесса рассеяния мы будем иметь
Wn -> { (dx) Ф| (х) 2eqA° (x) (- id0) Ф2 (х) =
= % iKU (dcoPl dcoP2I/2 (- 2eqpl) [ J (dx) e*v-Pi)*A° (x)] гА:Р2?,
A4.3)
где
f (da;) ^(Р2-Р1)*Л° (x) = f dx°ei(pi"pSKrt f (dx)
Когда мы имеем дело с неподвижным рассеивателем, всякие ссыл-
ссылки на закон сохранения импульса теряют свою силу, но энергия
по-прежнему сохраняется. Выражение для матрицы перехода
будет представлять собой соответствующим образом упрощенный
вариант общего выражения A2.40), содержащий в качестве мно-
множителя только интеграл по времени. Точно так же выражение
A2.43), в правую часть которого будет входить единственный
множитель 2л и одна дельта-функция, приводящая к сохранению
энергии, вырождается в выражение для вероятности перехода
в единицу времени. В таком случае матрица перехода для рас-
рассматриваемого процесса будет равна
что дает следующее выражение для вероятности перехода в еди-
единицу времени:
do>Pido>Pt2n8(pl-pl) [ (^°jg ]2. A4.6)
Дифференциальное сечение рассеяния в элемент телесного угла
получается делением на поток падающих частиц 2|p|dcop2
и интегрированием по конечной энергии р] = р° = р°, которая
принимает вполне определенные значения:
-P0) = -^\ v\dQ. A4.7)
В результате мы сразу же получаем
*—

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 403
ИЛИ
Если не считать того, что теперь в качестве заряда непод-
неподвижного рассеивателя берется Ze, то этот результат полностью
согласуется с формулой A3.65).
В случае спина V2 мы исходим из действия
WZi -> j (da:) % (х) (- eq) A0 (х) % (х) =
X
X [ j (dar) e<(Pi-w)M° (x) ] щРгоМ, A4.10)
откуда получаем матричный элемент
^ ] , A4.11)
так что вероятность перехода в единицу времени оказывается
равной
{р\ - pi) [ (р2^J ]21 uSlOlUj№ |2. A4.12)
Используя спиральные состояния, будем иметь
2m
ро е
= СТ2: "Г- COS -5- ,
в A4.13)
i
причем множитель о\ во второй строке последнего равенства
воспроизводит знаки, фигурирующие в формулах A3.17). При
любом выборе о"г суммирование по o"i дает дифференциальное
сечение
совпадающее с сечением A3.64). Из выражения A4.13) совершенно
ясно, что при высоких энергиях сохраняется спиральность электро-
электрона, а при низких энергиях остается неизменной ориентация его
спина в пространстве.
Если действие W2i описывает рассеяние на неподвижном
заряде, то чему тогда соответствуют величины W22, W23, • • •?
26*

404 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Возьмем, например,
Wa = i. e2 С (dar) (d*') ф (г) Л° (х) G+(*-*') уМ° (x')a|;(.r'). A4.15)
Распространяющимся частицам отвечает только поле г|з (x),
и поэтому W22 описывает также процесс рассеяния электрона,
что относится и ко всем остальным величинам W2v- Таким обра-
образом, разложение по степеням статического потенциала А0 теперь
уже не соответствует все более и более сложным процессам,
а дает последовательные приближения к полной трактовке дви-
движения частицы в кулоновском поле точечного источника. Скелет-
Скелетная схема взаимодействий становится здесь более содержатель-
содержательной, указывая при этом на один из аспектов динамической схемы,
который обычно теряется на первом динамическом уровне, а имен-
именно на возможность неограниченного повторения какого-то кон-
конкретного механизма взаимодействия.
Поскольку вклад в процесс рассеяния дают все степени А0,
было бы желательным не прибегать к такого рода степенному раз-
разложению, а иметь дело прямо с соответствующей функцией Гри-
Грина А^ (х, х) или Gf (x, х'). К сожалению, наше умение решать
уравнения для функций Грина в сколько-нибудь замкнутой форме
в интересном с физической точки зрения случае точечного источ-
источника и кулоновского потенциала ограничивается нерелятивист-
нерелятивистским пределом. В этом пункте существует простая связь с диффе-
дифференциальным уравнением A1.36) для А^, которое в нашем случае
можно представить в трехмерной форме
[—V" + (рУ — т* — 2р°едА° (к) + А4° (хJ] X
X А* (хх'р0) = б (х - х'), A4.16)
если учесть трансляционную инвариантность по времени и ввести
.соответствующий фурье-образ
со
= \
A4.17)
Чтобы перейти к нерелятивистскому пределу, следует переопре-
переопределить энергию:
(р<>)« _ тг _^ 2тЕ, р° -> т A4.18)
и пренебречь членом, квадратичным по скалярному потенциалу.
Именно последнее приводит к существенному различию между
релятивистским и нерелятивистским случаями, которые в осталь-
остальных отношениях связаны прямой и обратной подстановкой A4.18).
Так, например, исходя из нерелятивистского выражения для
дифференциального сечения и производя в нем подстановку, обрат-

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ I 405
ную подстановке A4.18), мы получаем сечение
Zal) Za L P«)*-m* J
совпадающее с выражением A4.9). Более того, этот результат
строго следует из формулы A4.16) с вычеркнутым членом {А0J,
так как нерелятивистское решение обладает тем особым свойством,
что все высшие степени А0 (или Z) приводят только к фазовому
множителю, который исчезает при вычислении амплитуды вероят-
вероятности. Таким образом, первое существенное отклонение от выра-
выражения A4.9) обусловлено последним, квадратичным членом в вели-
величине И^22> даваемой формулой A2.29). С ним связано следующее
изменение матрицы перехода:
S AР|, | Т | 1РМ> = (dfflpi <foP2I/2 {Zaf j (dx) exp [i (p2- Pl)-x] -^,
A4.20)
где
Поправка к матричному элементу определяется подстановкой
~,——п—>-т-^—w-(l-4-KZag I*-»*' ), A4.22)
(Pi — P2J (Pi —P2J \ 4 * p° I' K '
в результате которой дифференциальное сечение рассеяния частиц
со спином 0 становится равным
da 1 „, ,Г о» ]2 1 г / m2 \V2 8 т
о"= Т (ро\2_та2 о" 1 —я ^а? A ш) sm т ¦
A4.23)
Множитель Zq указывает на то, что поправка уменьшает сечение
в случае одноименно заряженных частиц и увеличивает его в слу-
случае рассеяния разноименных зарядов. Учтя только один раз влия-
влияние квадратичного члена во взаимодействии и опустив фазовые
множители, описывающие эффекты многократных линейных вза-
взаимодействий, мы получили только первый член степенного разло-
разложения по Zaq, входящего в виде сомножителя. При появлении
этого первого члена должен также войти по крайней мере один
множитель, отвечающий скорости частицы, так как рассматривае-
рассматриваемая поправка носит релятивистский характер.

406 I глава з. поля
В случае рассеяния частиц со спином 1-/2 ход рассуждений
оказывается несколько менее прямым, так как в выражении
A4.15) для Wzz объединены и искомая релятивистская поправка
и многократное эффективное нерелятивистское взаимодействие.
Взяв величину W2z в том виде, в котором она выписана, мы при-
придем к следующей модификации матрицы перехода:
'б' <1Р1„1в | Т11ИОИ) = 2т (daP1 <Н2I/2 (Zaf u*lO1 x
A4.24)
где, проинтегрировав по времени, мы ввели фурье-образ элек-
электронной функции Грина
оо
G+(x-x\ /?°)у° = f
— OO
_ f
x', x°-
BЯK е
В нерелятивистском пределе у0 -> 1 матрица у°у = fy5a прене-
пренебрежимо мала, р"->-т и (р°)г—тг-+2тЕ. Это указывает нам
структуру тех членов, которые следует считать уже включенными
в фазовый множитель. Наличие 2т в нерелятивистском выражении
для функции Грина означает, что релятивистским аналогом этой
величины является величина 2р°. В самом деле, складывая почлен-
почленно равенства
w?<nY()(m-Y0P0 + Y'P1)"<i = 0. ., 26.
мы получаем замену, которую нужно произвести в спиновом
матричном элементе, фигурирующем п формуле A4.24):
to + fc) A4-27)
Поэтому истинная поправка, которую дает формула A4.24),
такова:
б AР1в1,| Т11ла„) = 2m (dcopl dcoP2I/2 (AnZaJ и^УьО-Уир^ A4.28)
(см., однако, ниже), где
P ^(Pi + Рг) л
2г I/ оо
dp 1
BЯK (p1_pJ
Симметрия этого интеграла по р4 и р2 свидетельствует о том,
что вектор V совпадает по направлению с вектором pi -+ Р25

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК Р \ССЕИВАТЕЛИ I 407
и поэтому мы напишем
где
с Г dp 1
О = I = Го 5* X
х . т ^
A4.31)
Прежде чем рассматривать этот интеграл, заметим, что если
использовать спиральные состояния, то
,•., &-(Vl + Рг)
41 р | cos2 —
_ 1
. — °V е »
cosy A4.32)
.= -а„: 0.
Отсюда следует, что поправка связана только с переходами, при
которых спиральность не изменяется. Далее, последнее слагаемое
в формуле A4.31), с постоянным множителем V2 (pi — Р2J, можно
отождествить с изменением фазы при переходах, при которых
сохраняется спиральность. Другими словами, в используемом
нами приближении это слагаемое, будучи мнимым, не будет интер-
интерферировать с основным вкладом в матрицу рассеяния и им можно
пренебречь, так же как и мнимыми частями других членов. Осталь-
Остальные вещественные слагаемые в S, которые только и существенны
с точки зрения модификации сечения, — это интеграл
J J
Bя)Я (Pi-pJ (р-р2J J к л' 4я|х| 4я|х,
11 11
-in..*
е -
8 |Pl-p2| 16|
и два равных интеграла вида
Ref _^Р * {_-
nBJ BЯ)» p2+m2_(p0J_ie |p_p2|2-
С е*|Р2| |х | \
= Re j (dx) ,_, ^-г—ге-'Р2-х =
A4.33)
4я | х | 4л ! х i
""/|""-') ,= } A4.34)

408 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Здесь оказалось целесообразным вернуться к координатному
пространству, и, кроме того, мы воспользовались следующим трех-
трехмерным интегралом по импульсным переменным:
"'I
A4.35)
J BяK р2 + то2 — (р0J — ie. 4л | х |
Модифицированную амплитуду перехода в случае рассеяния
без изменения спиральности получим путем подстановки
C0S 2 1 [ 6 п „ <л т2 \Уг
1 | 6 л
7TLCOST—г-
A4.36)
cos —
а соответствующее дифференциальное сечение для неполяризо-
ванных частиц имеет вид
do 1 Г" р° П2 1 Г пб /m\2.r>8
dQ 4 L (p°)a — nfi_} 9 L 2, \ P° I 2
— nZaq (i pW) /2sin у A"~sin'2")]' A4.37)
В этом результате, а также в выражении для пространственного
интеграла A4.33) мы обнаруживаем некоторый механизм, общий
для спина 0 и спина 1/2. Поправочный член с sin3 @/2) специфичен
для спина 1/2- Другая форма записи последнего сомножителя
в A4.37), который заключен в квадратные скобки, подчеркивает
тесную связь поправочного члена с переходами без изменения
спиральности:
oss "+ " sin2^-. A4.38)
Прежде чем переходить к дальнейшему, мы найдем выраже-
выражение для мнимой части S, которая не играет роли при вычисле-
вычислении эффективного сечения. Заметив, что
1
будем иметь
= -4r[(P°K-^2J~14 A4.40)

§ 14 ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ 409
где
Г dQ (m-n).(n»-n)
") 4 (J(J
4я
представляет собой интеграл от вектора п по единичной сфере.
Единичные векторы Пь п2 задают направления импульсов р4, р2.
Интеграл можно написать в виде
0
n
2 J
4я
где 1/2(n1 + n2) и 1/2{щ — п2) — взаимно перпендикулярные век-
векторы с длинами cos F/2) и sin F/2). Вводя соответствующие им
сферические координаты, получаем
1 о,
1 f 1 , f i
-1 о
cos
о / е
т Г3 т-
-j) — A
6
C0S
—ncos-j) — A —
9
C0S У"
1 —ucos^-
в
cos— — ц
s.nT
A4-43>
Таким образом, полное выражение для S имеет вид
in — sin —
В комплексном характере матрицы S находит свое выражение
наличие относительного сдвига фаз между переходами с измене-
изменением и без изменения спиральности. Физический смысл этого
лучше всего анализировать, отказавшись от представления о спи-
спиральности. Не предрешая пока выбор спиноров va, представим
матрицу перехода в виде
1 Т | lD,o,n) = 2m (dahj, й<лъЛ11г X
где
^f + tga-щхщ
A4.46).
A4.47)

410 I глава з поля
При вычислении полного дифференциального сечения в случав
произвольного начального спина возникает величина
2 I v%iMvm |2 = у*2(/*— ig*a.xii х п2) (/+ igo-щ х n2) vOi =
= | f\t + \g\i sin2 6 + i(f*g-g*f) (a. niXn,)ai. A4.48)
В соответствии с этим, если fig — комплексное число, то у нас
будет явная зависимость от начального спина при условии, что его
математическое ожидание в направлении, перпендикулярном
плоскости рассеяния, не равно нулю. Состояние с определенной
спиральностыо не обладает таким свойством — для этого требует-
требуется линейная комбинация спиральных состояний.
Обратным по отношению к зависимости дифференциального
сечения от начального спина является возникновение поляризации
у рассеянных частиц в случае первоначально неполяризованного
пучка. При заданном угле рассеяния среднее значение конечного
«пина равно
где v — единичный вектор нормали к плоскости рассеяния:
п, х n2 = sin 8v, A4.50)
В частных случаях, соответствующих / = dzig sin 8, поляризация
оказывается полной: р = ±1. Заметим, что через тот же самый
параметр поляризации выражается и относительная зависимость
дифференциального сечения от начального спина:
l+p(o.v>. A4.52)
Данный эффект можно наблюдать в экспериментах по двойному
рассеянию, когда в первом акте рассеяния частицы поляризуются,
а во втором акте детектируется их поляризация. Обозначив эти
акты рассеяния через а и Ъ и подставив поляризацию, обусловлен-
обусловленную первым отклонением, в сечение второго рассеяния, мы полу-
получим относительный множитель
1 + РаРь^а'П- A4-53)
Таким образом, отличие от нуля как ра, так и ръ экспериментально
устанавливается по зависимости конечной интенсивности от отно-
относительной ориентации двух плоскостей рассеяния. В частности,
можно взять две тождественные с геометрической точки зрения
плоскости, но сравнивать при этом отклонения, отвечающие раз-
разным случаям их ориентации: vn = ±Vj,- Отпошение интенсивно-
стей для отклонений при одинаковой и при противоположной

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВЛТЕЛИ j 4И
ориентациях плоскостей будет равно
\±?-Рь. A4.54)
1—РаРЬ V
Если отдельные акты рассеяния тождественны, т. е. ра — рь,
то это отношение больше единицы. Последующее отклонение,
отвечающее одинаковой ориентации плоскостей, будет оставаться
предпочтительным и при произвольном выборе отдельных углов
рассеяния, если, как в рассматриваемом случае, параметр поляри-
поляризации при всех углах имеет определенный знак:
tgal
i/2 в 2 , 1 ... _„.
Перейдем теперь к примерам из класса явлений, в которых
принимают участие как простой, так и обобщенный фотонные
источники. Существуют такие взаимодействия заряженных частиц
с неподвижными зарядами, при которых испускаются или погло-
поглощаются фотоны. Простейшие примеры подобного рода дает нам
действие W22- Сюда относится однофотонное испускание при
рассеянии в кулоновском поле и рождение пары фотоном при его
прохождении через кулоновское поле. Соответствующая часть W2z
в случае частицы со спином 0, испускающей фотон в процессе
столкновения с массивной частицей, заряд которой равен Ze,
имеет вид
WZ2 -»- j (dx) (dxr) q>, (x) [2eqpA1 (x) A+ (x — x') 2eqpAz (x') +
+ 2eqpAz (x) Д+ (x — x') 2eqpAi (x')] ф2 (xr) —
- j (dx) ф1 (х) 2в»Л, (x) Az (x) ф2 (х), A4.56)
где A\ (x) — векторный потенциал, соответствующий заряду Ze.
Взяв для него выражение A4.2), для матричного элемента пере-
перехода получим
1/^2p2J 2eet:uV^n\ A4.57)
где
^ bPi kin 8v-4 ( '
и и»1 — единичный времени-подобный вектор, который в системе
покоя заряда Ze имеет единственную компоненту п° = 1. Закон
со xj) я нения энергии принимает вид
Р? + К - Р°2 = - (Pi + h - Pt) n = 0. A4.59)

412 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Он используется при проверке сохранения эффективного источника
испускания фотонов, ибо ему отвечает алгебраическое соотношение
ЦУ^ = (pt-Pi — ki)n = 0. A4.60)
Рассмотрим сначала упрощения, возникающие в случае мягких
фотонов, когда импульс фотона к пренебрежимо мал по сравнению
с р! — р2 и р° та р°2. В таком приближении
Эта величина, как и следовало ожидать, представляет собой про-
произведение матричного элемента перехода для рассеяния в куло-
новском поле на амплитуду вероятности испускания фотона
источником, описывающим мгновенный переход заряда eq из
состояния со скоростью Pz/m в состояние со скоростью pjm.
Для дальнейшего заметим, однако, что полное пренебрежение
механическими характеристиками фотона при достаточно низких
частотах вполне оправданно при конечных углах отклонения
частицы, но когда угол отклонения очень мал, требуется более
аккуратный анализ.
Со случаем мягких фотонов тесно связан, хотя и не тождествен
ему, низкоэнергетический или нерелятивистский предел. Здесь
импульс излучаемого фотона пренебрежимо мал, но его энергия
может составлять любую долю начальной кинетической энергии.
Пользуясь калибровкой е?,х, = 0, матричный элемент можно
упростить, записав его в виде
A4.63)
так что дифференциальное сечение при заданной поляризации,
заданных направлениях испускания и заданной энергии фотона
будет равно
^\^±^^ A4.64)
(лишние индексы опущены). Выполнив сначала суммирование
по поляризациям, а затем интегрирование по направлениям
испускания фотона, мы приведем сечение к виду

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 413
а еще одно интегрирование по всем углам рассеяния частицы
даст нам сечение для распределения фотонов по энергиям:
ы + IpiI а4Ш
Интересно также найти дифференциальное сечение на единицу
телесного угла, которое получается интегрированием по всем
энергиям фотона — от минимальной детектируемой энергии й&И1,
до максимальной энергии, определяемой начальной кинетической
энергией Т = \>\12т. Оно равно
da __ 8 Z2a3 Г 2xdx х A4.67)
~Ш~Ил |р2|2 J 1 — х* 1 —2в 2'
где
i „ i i i.n . l ;.
A4.68)
Интеграл можно взять и в общем виде, для чего проще всего раз-
разложить знаменатель на множители 1 — х, 1 + х, 1 — xeie, 1 —
— хечв, но мы ограничимся тем, что приведем его значение при
fcU «Г. A4.69)
Именно:
da 8 Za.3 _J П 4Г ,_ nw_ в cos 9
.-(„-ejtgl-^j-in-VI.
cos3 -^- sin -^- J
A4.70)
Но это выражение неприменимо при сколь угодно малых углах.
В противоположность его явной сингулярности при 9 = 0 точное
выражение A4.67) в этом случае дает
da 4 Z2a3 1 ,л, пл\
(9°)^ A471)
Выражение A4.70) применимо лишь при 9 > Щюш.1Т. Но нужно
дать читателю еще одно предостережение. Как и в случае безызлу-
чательного рассеяния, действие W22 соответствует только первым
из бесконечного ряда процессов, которые дают вклад в испускание
фотона при отклонении частицы в кулоновском поле. Однако
в отличие от упругого рассеяния в кулоновском поле теперь такие
дополнительные процессы изменяют эффективное сечение, в осо-
особенности при малых энергиях и больших Z. Подробно останавли-
останавливаться на этом вопросе мы здесь не будем.
Возвращаясь к матричному элементу перехода A4.57), приве-
приведем следующее выражение для дифференциального сечения, кото-
которое по-прежнему отвечает детализированному описанию распре-

414 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
деления по энергиям:
jf1S A4.72)
где сумма по поляризациям испущенного фотона равна
|2 = -Р- -?&- (А + h -Pif -
(
A4.73)
Возможен и другой, инвариантный, способ записи дифферен-
дифференциального сечения:
| р21 da = j d(arl dcoftl -^- Bя)* б (Pl + ft, - p2 - й,) X
X -ig^- 2Z^ Dяа)з | ejf* V^ |2, A4.74)
хотя мы и не позаботились ввести инвариантный аналог начально-
начального импульса частицы. Наличие четырехмерной дельта-функции
свидетельствует о том, что
h = Pi + h — р2, A4.75)
причем в системе покоя вектора г№, которая и является системой
координат, представляющей интерес с физической точки зрения,
выполняются равенства
8(пк2) = 8(р° + к]-р1), ^(fc+ki-p,)8, A4.76)
так что мы вновь приходим к формуле A4.72). Правда, выраже-
выражение A4.74) носит в какой-то мере эвристический характер, так как
рассматриваемые процессы сходны с рассеянием фотона и частицы.
Конечно, падающие фотоны относятся к виртуальным частицам,
поскольку к\ > 0. Тем не менее такая точка зрения при высоких
энергиях дает ряд практических преимуществ. Выбрав подходя-
подходящую систему координат, можно выразить главный вклад в диффе-
дифференциальное сечение через характеристики реальных фотонов.
Будем считать, что в физической системе координат падающая
частица движется вдоль оси z со скоростью v « -fl> так что
р\ = ут, p2z = ymv, у = A - у2)/* > 1. A4.77)
Теперь представим себе систему координат, в которой частица
первоначально покоится, а заряд Ze движется вдоль оси z со
скоростью —v. В такой системе координат вектор п^ имеет компо-
компоненты [@,x,y,z)]
п» = у A, 0, 0, -»). A4.78)

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕЛ ВЛТЕЛИ | 415
Требование пк2 = 0, согласно которому в физической, связанной
с Z, системе координат поле имеет статический характер, записы-
записывается в системе покоя частицы в виде равенства
й» + vh = 0 A4.79)
и, следовательно,
У=^, A4.80)
где
к\ = к\х + к\у. A4.81)
Таким образом, может показаться, что при условиях, когда
1-*2 = ^г<1, О4-82)
а к\ достаточно мало, виртуальные фотоны можно аппроксимиро-
аппроксимировать реальными фотонами.
Однако здесь имеется одна очевидная трудность. Вектор г№
играет роль вектора поляризации падающего фотона, и для него,
действительно, пк2 = 0. Но, по-видимому, вектор поляризации
реального фотона можно выбрать так, что у него не будет времен-
временной компоненты или компоненты вдоль направления распростра-
распространения, роль которого в нашем случае играет отрицательное на-
направление оси z. Иначе говоря, можно предусмотреть такое кали-
калибровочное преобразование
п»->пи-^А?, A4.83)
в результате которого временная компонента в системе покоя
частицы будет нулевой. В таком случае z-компонента (продольная
компонента) нового вектора будет равна
т=^г<1? A4>84)
и, если выполняется условие
If»!' A4'85)
то преобразованный вектор будет практически совпадать с произве-
произведением —укт/Ц на поперечный единичный вектор кт/кт, который
играет роль вектора поляризации падающего фотона. Правда,
все зависит от величины дополнительного слагаемого, которое
вводится преобразованием A4.83) и пропорционально
^ -e*klUk2. A4.86)
Далее,
^ ^ A4.87)
и, следовательно,
« (%р %^) i A4-88),

416 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Это свидетельствует о том, что подстановка реальных фотонов
вместо виртуальных будет оправданной в том случае, если соот-
соответствующие верхние пределы расположены при Щ » кт. Этот
верхний предел мы найдем, сравнив (в калибровке ekikiPi = 0)
в системе покоя частицы значения
.JE2L\.
кт I
A4.89)
У %/UPl 1
k% kiPi 2
7-2 I
2m
ykT
k° '
A4
A4
.90)
.91)
а именно:
hj< ^ m.
Мы будем говорить только о дифференциальном сечении, опре-
определяющем энергетический спектр испущенных фотонов в системе
координат, связанной с Z. Поскольку далее мы будем все время
иметь дело с двумя разными системами координат, движущимися
одна относительно другой со скоростью, практически равной
скорости света, нам придется ввести новые обозначения. Энергию
фотона в Z-системе мы обозначим через
К= —пкх = у (к\ + vku) « 7^?A — совв), A4.92)
где 0 — угол рассеяния фотона в системе частиц. Кинематика
процесса рассеяния фотона в такой системе, вытекающая из
равенства
0 = (/>2 + &2 — к^)г-\-тпг= —2пг (/с* — к\)-\- 2к\к\(\ — cos 6), A4.93)
описывается соотношением
Отсюда получаются следующие формулы, содержащие энергии
частицы в Z-системе:
E2 = ym, Ei = E2—K A4.95)
и энергию фотона К:
К
.*—3.A-совв). A4.97)

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 417
Последняя из них показывает, что значения энергии падающего
фотона fejj, при которых порождается рассеянный фотон с энерги-
энергией К, ограничиваются неравенством
к°2>~т^-. A498)
Кроме того, нам пригодится дифференциальное соотношение
JpL-^L^iLginede. A4.99)
Дифференциальное сечение для рассеяния фотона и частицы,
рассматриваемое в системе покоя падающей частицы, имеет вид
4 A4.100)
где множитель в знаменателе возникает от деления на произведе-
произведение потока фотонов и плотности частиц, т. е. на величину
2/с° do)fc 2m dap . Суммирование и усреднение по поляризациям
дает выражение
A4.101)
которое следует также из формулы A2.124) при п — pzlm. Инте-
Интегрирование по конечным импульсам можно выполнить с помощью
кинематического соотношения
В результате мы приходим к сечению
-(l+cos2e), A4.103)
которое можно получить также, преобразуя выражение A2.117)
для дифференциального сечения в системе центра масс. Мы будем
пользоваться этим дифференциальным сечением в форме
A4.104)
которую ему можно придать, учитывая соотношения A4.96),
A4.97) и A4.99).
Вклад реальных фотонов в дифференциальное сечение A4.74)
таков:
| р, I «to |реальн - fcioZ» j -Ц1 *Ш- y*JL. lmk\ da], A4.105)
27—0670

418 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
или, учитывая, что
= n dhfdkn dkl, A4.106)
= ^- J -ЩГ (^T + (k^ ~lt И*!**] A4.107)
Если мы изменим масштаб энергии падающих фотонов, написав
К-—Щ-Х, A4.108)
так что х будет изменяться в интервале от 1 до оо, то сечение
примет вид
X
Согласно неравенству A4.85), нижний предел интегрирования
не может быть равным нулю, а должен составлять некоторую
долю от
1
4
большую, чем 1/у2, скажем, \1у; но, распространяя интегрирование
до нуля, мы вносим при этом совершенно незначительную погреш-
погрешность. При условии
^ К
указанный интеграл равен:
и в таком случае
16 Z2«3 Et dK
В неравенстве A4.91) неявно содержится неравенство кмакс ^ т,
которое означает, что при более высоких значениях поперечного
импульса нет существенного взаимодействия. Рассмотрим этот
вопрос подробнее.

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ 419
Почти правильный результат можно быстро получить, приняв
для простоты, что &макс не зависит от К. В таком случае достаточно
сравнить A4.112) с дифференциальным сечением, соответствующим
мягким фотонам. Мы будем рассматривать все время физическую
систему координат, связанную с Z. Сумма по поляризациям в диф-
дифференциальном сечении, получаемом из формулы A4.61), равна
(Pi . Рг \
V kiPl kip2 I
kiPihPz ' v
В этом выражении содержится одно-единственное указание на
направление испущенного фотона, и мы проинтегрируем его по
всем телесным углам. Если отбросить множитель 1/К%, то интеграл
будет иметь вид
j dQk f •
EjE2-\ pt 1 [ p21 cos 9 "I
^P n.n.Wff*-n.n \ I '
(?2-n-p2J
A4.114)
где теперь n — единичный вектор в направлении распространения
фотона, причем то, что энергия велика, и упрощения, возникаю-
возникающие в случае мягких фотонов, здесь еще не учтены. Прежде всего
заметим, что
1
in ,
J (?-n.p)« -_J
Чтобы проинтегрировать слагаемое, содержащее два знаменателя,
воспользуемся равенством (Et » Е2 = Е)
Е —
1 1 __ 1 / 1 i \ _
Р!-п Е — p2n ~~ pi-n — p2n \ ? —pi-n Е — р2п ) ~~
— Р2-п—2~
в справедливости которого можно убедиться путем непосредст-
непосредственной проверки. Тогда мы будем иметь
I — v \2
-*2Ц . A4.117)
™2 + |p|s
Конечно, это выражение можно проинтегрировать и по v, по выгод-
выгоднее оставить его в таком виде.
27*

420 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
В случае мягких фотонов дифференциальное сечение имеет вид
sin9 dK .
причем его нужно еще проинтегрировать по углам отклонения 6.
Но теперь мы должны вспомнить о данном ранее предостережении:
при очень малых углах приближение мягких фотонов следует
несколько уточнить. В противоположность сингулярности выра-
выражения A4.118) при 8=0 минимальное значение, которое может
принимать величина (pt + ki — р2)а в случае рассеяния и испуска-
испускания вперед, равно
)\ ¦ A4Л19)
Более точной была бы замена (р4 — р2J на
|J, A4.120)
в которой мы узнаем характерную комбинацию, входящую в фор-
формулу A4.109). Ио в такого рода уточнениях нет необходимости.
Они нужны, когда рассматривают реальные фотоны. Нам же
достаточно учесть, что приближение мягких фотонов применимо
только при углах, удовлетворяющих условию
при котором выражением A4.118) можно пользоваться без всяких
лоправок. Введем переменную
и проведем интегрирование от взятой с запасом верхней гра-
границы области реальных фотонов /сМакс <С mi т- е- от
«/мин = »«1. A4.123)
Это дает
оо
A4.124)
"мин
1

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 421
Взяв интеграл по у, будем иметь
оо 1
1
1Ц-у2 4
и в результате
16 Z2a3 d/f /, т. 13 \ ... . 0А.
(ln+) A4.126)
Рассматривая вклад реальных фотонов A4.112) в приближении
мягких фотонов Ei ¦x E2 w складывая его с A4.126), мы увидим,
что члены с In (т/кмакс) -\- 13/12 взаимно уничтожаются и в общем
случае
j [ln (^)j A4Л27>
В правильности полученного результата мы убедимся, вычислив
еще раз сечение для виртуальных фотонов, не прибегая при этом
к приближению мягких фотонов.
Но тут вмешивается Гарольд.
Гарольд. Я не забыл о том, что вы решили опускать всякие
исторические ссылки, но использованный вами прием объединения
знаменателей путем введения параметров вынуждает меня задать
один исторический вопрос. Метод параметризации для объединения
произведения знаменателей в один-единственный знаменатель
в литературе неизменно приписывают Фейнману. Но ведь подоб-
подобная методика в близкой экспоненциальной форме, с обычной целью
замены интегралов по пространству-времени инвариантными инте-
интегралами по параметрам была применена вами раньше, а элемен-
элементарное тождество A4.116), позволяющее объединить два знамена-
знаменателя, появилось в совершенно явном виде в вашей работе, опубли-
опубликованной в том же выпуске журнала, что и работа Фейнмана.
Не так ли?
Швингер. Да.
В физической системе координат при высоких энергиях фотоны
излучаются в основном в направлении, близком к направлению
вперед, или продольному направлению. Мы отразим это обстоя-
обстоятельство, вводя разложение на продольную и поперечную компо-
компоненты, иллюстрируемое инвариантными комбинациями
A4.128)

422 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
которые записываются через поперечный импульс
к2Г = к1Т + р1Т, A4.129)
сообщаемый неподвижным зарядом, в виде
-kiPt = {jLD2, -k^^-^-Db A4.130)
где
A4.131)
Вклад виртуальных фотонов в дифференциальное сечение, к ко-
которому приводят выражения A4.72) и A4.73), таков:
Z2«3 Ei dK I К \2 f
Используя соответствующие трансляции переменных, будем иметь
а объединив знаменатели с помощью параметра v, получим
i-ir—• A4лз4)
Вводя затем переменную
мы придем к выражению
j
A4..36)
Оно действительно отличается от выражения A4.124) только мно-
множителем EJE2, который необходим для того, чтобы при сложении
с общим вкладом реальных фотонов A4.112) получить сечение
A4.127).

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 423
В случае частиц со спином V2 для подобного анализа требуется
прежде всего явное выражение для электрон-фотонного сечения
в системе покоя падающего электрона. Его можно получить,
преобразовав сечение A3.117), записанное в системе центре масс,
но некоторый интерес представляет и непосредственный вывод.
Матричный элемент перехода имеет вид
faI/ X
A4.137)
где используются чисто пространственные векторы поляризации
и упрощенные обозначения. Матричный множитель, заключенный
в квадратные скобки, приводится к виду
^Г 2^ A4.138)
где при переходе к последней форме записи мы учли то обстоятель-
обстоятельство, что и2 — собственный вектор матрицы у0 с собственным
значением +1) и ввели обозначения пЬ2 для единичных векторов
в направлениях распространения фотонов. Если для простоты
рассматривать вещественные векторы поляризации, то матричный
элемент перехода будет иметь вид
— еге2 +
~\. A4.139)
Опустив слагаемое с уь и спиноры, мы получим соответствующее
выражение для спина 0. Суммирование вероятности перехода
по конечным спинам можно провести с помощью формулы A3.110),
что дает спинорный множитель
2, A4.140)
где (как следует из кинематики процесса столкновения)
Pl = k2-kb р\ = тмк1-к1. A4.141)
Раскрывая произведение матриц, можно опустить все члены,
•содержащие множитель Ys, так как иг — собственный вектор
матрицы у0, или множитель а, так как в последнем находит свое

424 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
выражение усреднение по всем начальным спинам. Тогда пре-
предельно простые выкладки дадут нам следующее выражение для
величины A4.140):
(е, -е2J + -&Z*l [1 _ cos 9 (е,•
+ e1-e2nI-e2n3.e1 —CiXea-n^ x e2-n2], A4.142)
где
n! • n2 = cos G. A4.143)
Если привлечь тождество
X е2) X щ] ¦ 1(е± X е2) X п2] =
= (в! х е2)а cos 6 — et X е2 • n^i x e2 • n2 =
eu A4.144)
то явная зависимость второго члена от векторов поляризации
исчезнет и мы получим выражение
4-(f + -|—2), A4.145)
которое заменит величину (е4 • е2J в сечении для частиц со спи-
спином 0. После суммирования и усреднения по поляризациям фото-
фотонов вместо формулы A4.103) мы для дифференциального сечения
будем иметь
-g-(|-J-|-[||-4-||— l + cos«e]. A4.146)
При вычислении сечения испускания фотонов мы восполь-
воспользуемся этим выражением в форме, аналогичной результату
A4.104) для спина 0:
[f ^ (^n A4.147)
где учтено второе из соотношений A4.96). Соответствующая
модификация выражений A4.109) и A4.111) такова:
1 dK f
2 K J
2 4- 2 1 v
dK Г / Ei E2

§ 14. ИСТОЧНИКИ КАК РАССЕИВАТЕЛИ | 42&
Вклад виртуальных фотонов, к которому приводит W22, имеет
при высоких энергиях следующий вид:
(dp1T)
3
_i!?3 dK m* f
- п3—к~~ще; j
где
'^yo-y°m~UP:7ki) V-et, A4.150),
причем его следует просуммировать по поляризациям фотона и по-
конечному спину электрона, а также усреднить по начальному
спину. Как и в случае фотон-электронного рассеяния при малых
углах, существенное значение имеют переходы с изменением
спиральности электрона. Вычисления целесообразно проводить
изложенными выше методами, используя спиральные состояния
фотонов, выбирая в качестве выделенного направления направле-
направление испущенного фотона и выражая спиральные состояния электро-
электрона через соответствующие матрицы вращения. Здесь мы приведем
только результаты, которые классифицируются по изменению-
спиральности:
1 Х-\ I * „м 12 о #1 Ej + El I К
2 **
Я.1СГ1СГ2
Х L D\ ~Ж + D*D2 J '
к 2 A4.151>
В случае мягких фотонов спиральность практически не меняется,
и мы снова получаем выражение, отвечающее спину 0. Инте-
Интеграл, соответствующий изменению спиральности, имеет несколько'
другой вид:
ОО 1 1 Ой
dy 1 — v2
A4.152),

426 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Отдельные сечения таковы:
сохр и ч * \ч Ех I 6 \ Амия 12 /
A4.153)
ВИрт
измен
складывая их, получаем
A4.154)
Объединив этот вклад виртуальных фотонов с вкладом реальных
¦фотонов A4.148), мы получим в области высоких энергий сле-
следующее окончательное выражение для дифференциального сече-
сечения, отвечающего испусканию фотона электроном, который откло-
отклоняется кулоновским полем:
Процесс превращения фотона в пару противоположно заря-
заряженных частиц в присутствии неподвижного заряда связан с толь-
только что рассмотренной реакцией перекрестными преобразованиями,
которые имеют вид
ki -»» -кг, рг -> -Pi- A4.156)
Чтобы восстановить квадрат модуля матричного элемента перехо-
перехода , мы возьмем известное дифференциальное сечение для испуска-
испускания фотона, йо"испуск, отвечающее определенным спинам и поляри-
поляризациям, и образуем величину
р21 do)P2 = damnyCKEl dE2 ^~ , A4.157)
где второе выражение соответствует высоким энергиям, подчерки-
подчеркивая, кроме того, что нас интересуют только энергетические харак-
характеристики частиц. При перекрестном преобразовании кинема-
кинематический множитель dwPldwidaP2 переходит в dcDPlda>p<dcDft2.
Дифференциальное сечение, отвечающее пучку падающих фотонов,
нужно разделить на 2К dcoft2 (К = &?), и поэтому с точностью
до фиктивного знака минус, сопутствующего этой формальной
подстановке в случае частиц со спином V2, мы имеем
2 dE2 -*¦ Лоа0гл0ШК* dK. A4.158)
Если используются сечения, включающие суммирования по конеч-
конечным и усреднения по начальным спиральным состояниям, то для

§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ I 427
различных весовых множителей следует ввести соответствующие
поправки. В случае частиц со спином */2 в рассматриваемых реак-
реакциях с участием одной начальной и двух конечных частиц эти
поправки не требуются, так как и электрон и фотон обладают
двумя спиральными состояниями. Но в случае частиц со спином О
сечение испускания фотона, просуммированное по его поляриза-
поляризациям, будет содержать дополнительный множитель 2 по сравнению
с сечением поглощения фотона, в котором его поляризации усред-
усредняются. В результате получаются следующие выражения для
сечений рождения пары:
п , 8 Z2«3 ЕЕ" dE' I, 2EE' 1 \
спин 0: ^^-^- — —(ln -^ ,
2 A4.159)
2
спин V2: dcJ = 4-^ Р х
2EE'
Здесь ненужные причинные индексы опущены, а кроме того мы
опустили и зарядовые индексы, так как разбиение энергии фотона
на два слагаемых,
К = Е+Е', A4.160)
не зависит от способа сопоставления им определенных зарядов.
§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ
Пользуясь для описания заряженных частиц с конечной массой
обобщенными фотонными источниками, мы до такой степени выхо-
выходим за пределы скелетной схемы взаимодействий, что сталкиваемся
с частицами нового типа. Это некий идеализированный вариант
составных систем. Поскольку самым известным примером такого
рода служат атомы водорода, эти образования будут именоваться
JT-частицами.
Сначала мы рассмотрим статическое распределение источников
/•* (х) и соответствующий ему векторный потенциал А^ (х)
в некоторой удобной калибровке. Инвариантность функций Грина,
например функции Д+, относительно сдвигов во времени находит
свое выражение в представлении
j ?°'>A+(x, x\ p°), A5,1)
— оо
где
[- (р° - eqA° (х)J + (-iV - eqA (x)J + m2 - is] X
X Д+ (х, х\ р°) = 6 (х — *')• A5.2)

428 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Симметрия Бозе — Эйнштейна, свойственная этой функции Грина,
которая отвечает нулевому спину, выступает в форме
А+ (х', х, -РУ = Д+ (х, х', р°), A5.3)
где зарядовые индексы подвергаются матричному транспонирова-
транспонированию. Построить функцию Грина помогают собственные функции,
т. е. решения однородного уравнения для функции Грина. Они
нумеруются значениями энергии и заряда, дополненными други-
другими квантовыми числами, которые обычно связывают с угловым
моментом. Однородное уравнение и комплексно-сопряженное ему
уравнение имеют вид
[- (р°' - ед'А° (х)J + (-iT - eg'А (х))« + тЦ Фр.,в,о. (х) -О
[_(ро' _ eq'Ао (х))« +
+ (IV - eq'A (x)J + т*\ <pp.Va,(*)* = 0. A5.4)
Заметим, что при совместном обращении знаков у р0' и q' выраже-
выражения для двух дифференциальных операторов переходят одно
в другое. Следовательно, собственные функции можно выбрать
так, что
Фр°'д'а' (*)* = ф-р»'д'а'*(х), A5.5)
где а'* отвечает соответствующей совокупности квантовых чисел.
Если в а' входит, например, магнитное квантовое число, то а'*
относится к магнитному квантовому числу с обратным знаком.
Собственные функции можно выбрать таким способом, чтобы а'*
и а' совпадали. Хотя такой выбор не всегда оказывается удобным
в конкретных задачах, он упрощает общий анализ. В тех случаях,
когда это не оговорено особо, мы будем подразумевать, что р0' —
положительная величина.
Из уравнений A5.4) следует также формальное интеграль-
интегральное соотношение
(p»' - po") \ (dx) qy VB, (x)* (p»' + po* - 2eg'4° (x)) ФР°"Га" (x) = 0,
A5.6)
которое служит составной частью условия ортонормированности
\ (dx) <J>p.Va' (X)* (рО' + рО" _ 2^'Л° (X)) фр.»в»а» (X) == бр.'д'а-, p.-Va«.
A5.7)
В отсутствие статического источника таким свойством обладают
известные собственные функции, связанные с малыми импульсны-
импульсными ячейками:
^с^Р-*, A5.8)
что следует из ортонормированности ос9 и из уточненного условия
пространственной нормировки F.24) и F.25). Входящий сюда

§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ | 429
вектор импульса р играет роль квантовых чисел а, определяя
также значение энергии. Существует аналог соотношения A5.6),
при выводе которого однородное уравнение для срро"д»а» (х) заме-
заменяется неоднородным уравнением для функции Грина:
(Р°'-Р°) j (dxL,po,q,a.(x)*(Po'+p0-2eq'A°(x))Ai_(x, *'.?>) =
= qVVa-(x')*. A5.9)
Достаточно близко от определенного собственного значения энер-
энергии р°', которое, как мы предполагаем, отделено неким, хотя
и небольшим, интервалом от всех других собственных значений,
основной вклад в функцию Грина будут давать соответствующие
р0' собственные функции, и поэтому из уравнения A5.9) следует
соотношение
^7
q'a'
Точно так же вблизи — р0', как следует из формулы A5.3), мы
имеем соотношение
q'a'
Представление для функции Грина, справедливое в окрестности
любого участка физического энергетического спектра или соответ-
соответствующих ему отрицательных значений энергии, дается формулой
Л+(х х' р«)= У УA)(х'''
^+(х, х , IT) ZJ
p°'q'a'
фр.у
в которой мы показали также, как следует понимать параметр
е -*- -|-0, чтобы удовлетворить граничному условию по времени:
в случае положительных (отрицательных) отрезков времени функ-
функция Грина должна содержать положительные (отрицательные)
частоты. В этом можно убедиться непосредственной проверкой:
7 rfpo е-*р°<*0-*0'> f x°>x°': iAfiix0 — х0'),
) 2я p°' — p°—iS'~\x°<:x0': 0;
A5.13)
dpO e-iP4x0-x<>') ^ f х°>Х°': 0,
где
A^V (ж° — х°') = AjTo1' (хо' — х°) = е~гР°'<-х0-х0'\ A5.14)

430 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Если в формулу A5.12) подставить собственные функции A5.8),
то мы вновь придем к известному выражению для функции рас-
распространения свободных частиц. Позволяя теперь величине р0'
принимать как положительные, так и отрицательные значения,
мы сможем представить функцию Грина в более компактной форме:
А+(х, %', ро)= 2 qVw(x)V'(P°)<P-P»'-!'a'(x')» A5.15)
(±)р«'9'о'
где знаки (±) указывают на то, что мы расширили смысл р0', а
Функцию s (р°')> которой определяется алгебраический знак
величины р0', не следует путать с бесконечно малым параметром е.
Функцию A5.16) можно выразить и иначе:
A5.17)
причем масштаб для е —*- -J-0 здесь изменен. Вариант выраже-
выражения A5.15), содержащий зависимость от времени, имеет вид
М*. *')= 2 фр°'д'а'(х)ДР°'(я°-г0')ф-Р°'-з'а'(х'), A5.18)
(±)p0'g'a'
где
Дро< (ж° — ж0') = Д-рО' (Ж0' — Ж") =
= Т) (Ж° — Ж0') Т] (рО') гД<+} (зО _ а;0') +
В данном параграфе нас будет интересовать только тот участок
энергетического спектра, который не может принадлежать сво-
свободной частице: | р0' | < т. Такие состояния могут существовать,
будучи локализованными в окрестности источника, если между
частицей и источником имеется сила притяжения, достаточно
интенсивная и с достаточно большим радиусом действия. В хорошо
известном случае дальнодействующего кулоновского взаимодей-
взаимодействия между зарядами противоположных знаков не требуется
никакой минимальной интенсивности, причем существует неогра-
неограниченное число такого рода связанных состояний. Это //-частицы.
Встает вопрос: каковы же источники испускания и поглощения
//-частиц?
Подставив функцию Грина E.18) в выражение
W = \ \ (dx)(dx')K(x)A+(x, x')K(x'), A5.20)
описывающее связь источника, получим
(±)pO'q'a'
A5.21)

$ 15. Я-ЧАСТИЦЫ | 431
Зависящие от времени величины
ф_ро¦_,,„. (х) К {ХХ°) = К_ро _8<а' (я0)* A5.22)
= j
и являются источниками определенной //-частицы с квантовыми
числами р0', q', причем а' играет роль дополнительного индекса,
аналогичного спину. То, что эти источники зависят только от
времени, свидетельствует о неподвижности очень тяжелых Я-ча-
стиц. Повторное действие источников может породить любое про-
произвольное число частиц, находящихся в связанных состояниях.
Поскольку взаимодействия между частицами никак не учитывают-
учитываются, мы будем иметь дело лишь со свойствами одной-единственной
частицы, связанной с источником и образующей Я-частицу. Тем
не менее желательно убедиться, что в такой многочастичной
задаче с упрощенной динамикой удовлетворяются требования
сохранения вероятности.
Рассматривая обычным способом причинно-упорядоченную па-
пару испускающего и поглощающего источников, мы придем к раз-
разложению
<0+|0_>K=<0+|0_>Klexp[ 2 ^tpoVH'i/f27)ova](O+|O_}K2, A5.23)
p'Oq'a'
где
j = к*_ ра _в#о#> A524)
причем из-за наличия причинной упорядоченности суммирование
по энергиям в формуле A5.23) проводится только по физическим
(положительным) значениям. Многочастичные состояния, полу-
получаемые путем причинного разложения вакуумной амплитуды,
выражаются обычным образом через произведения источников,
и из нормировки вероятности будет вытекать, что
|@+|0_)х|2 = ехр[- 2 I *>,'<.'!¦]• A5.25)
pO'q'a'
При непосредственной проверке этого применяется соотношение
-гАрО'(жо-жо')+[-гА-Ро'(а;0-а;0'I* = Ар+о'(а;0 — х0'). A5.26)
В случае частиц со спином V2 фурье-образ функции Грина,
определяющийся формулой
G+ (х, х')= J -g-e-W-*0'>s+ (х, х', ро), A5.27)
—оо
обнаруживает антисимметрию, соответствующую статистике Фер-
Ферми — Дирака
+ (x', х, -pa)V = -y°G+ (x, x', р% A5.28)

432 I глава з. поля
и удовлетворяет уравнению
[_?о (ро _ eqAo (x)) + Y.(_/V — eqA (х)) + m — iel X
X G+ (х, х', р°) = 8 (х - х'). A5.29)
¦Собственные функции определяются из однородных уравнений
'1-/ (Р0' ~ eq'AO (x)) +
+ у •(-** - е?'А (х)) + ^1 ^ро'д'о' (х) = °.
tpo'g'a' (X)* 7° [-7° (р0' - ег'Л° (X)) +
+ у .(-Я? - eq'A (x)) + т] = 0, A5.30)
где
X (х)*г = - VX (x). A5.31)
Два этих уравнения взаимосвязаны благодаря эрмитовости матриц
Y^- В то же время, учитывая мнимость матриц у^, мы придем
к соотношению для собственных функций, которое при подходя-
подходящем выборе параметра а' имеет вид
^IV>Va'(*)* =ili>-P0>-q'a (x). A5.32)
Собственные функции нормируются в соответствии с интегральным
соотношением
dx) ^poVa.(x)* ^pO'Y'o" (X) = V'g'a', pO»q»a". A5.33)
Учитывая еще одно интегральное соотношение
(ро' -ро) j (dx) v,?,a, (x)* G+ (x, x', po) = Vw (х')* ^ A5.34)
и комбинируя его с требованием симметрии A5.28), мы прихо-
приходим к следующему представлению для функции Грина (р°'>0):
G+(x, х', Ро)= V Г
W-WW;
или, в более компактной форме,
G+(x, x', Po)= S Wa'(s)
где
Зависимость функции Грина от времени такова:
G+(*. «')= 2 V'9'a'WGP»'(^O-^O')^-po'-9'a'(x'O°,
(d=)po'g'a'
A5.38)

§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ I 433
где
— Tl(^o'-a;0)Ti( —pO')iADo'(^0-^0')' A5.39)
Зависящие от времени источники //-частиц определяются как
Ve'a' = J (dx) V'e'a' (х)* Т°Л (х*о) = - »|-ро'-в'о' (*°)*. A5.40)
причем
W = у
(±)po'q'a'
A5.41)
В случае причинно-упорядоченной пары источников вакуумная
амплитуда равна
[ 2 а']<0+|0_)ч., A5.42)
где мы ввели
Про'д-а' = j dx° е*Р°'*° Ve'o' (Я°) = - Л* ро-д'а'. A5.43)
Из полноты многочастичных состояний, которые обычным обра-
образом выражаются через произведения источников, вытекает, что
(Р0' > 0)
[- 2 4>«'«'Ve'a'] • A5-44)
Непосредственное вычисление на основе формулы A5.41) с при-
применением соотношения
A5.45)
дает
|<0+|0-)Ч|« = ехр[—i 2 e(P
(±)pi>'g'o'
= ехр[— 2 flpO'g'a'TlpO'e'o'] , A5.46)
po'g'a'
так как в соответствии со статистикой Ферми — Дирака
— ff-pQ'-q'a-ri-pO'-q-a' — — TlpQ'g'o'TlpO'g'a' = 'HpO'g'o'lipii'ij'o'- A5.47)
Добавим теперь к статическому источнику, описывающему мас-
массивную заряженную частицу, простой фотонный источник. Члены
28-0670

434 I глава з. поля
действия W, содержащие один такой фотонный источник, будут
описывать процессы, при которых происходят переходы между
различными //-частицами с испусканием или поглощением одного
фотона. Взяв два фотонных источника, мы опишем переходы
с испусканием или поглощением двух фотонов, а также процессы
рассеяния фотона, которые сопровождаются или не сопровождают-
сопровождаются переходом между //-частицами, и так далее. Электромагнитные
процессы удобнее характеризовать таким образом, чтобы все
взаимодействия относились непосредственно к заряженным части-
частицам, а для этого электромагнитная модель источника частиц
заменяется калибровочным условием для векторного потенциала.
Напомним в этой связи формулу A0.49), дающую пространственно-
подобный вектор
Статическим источником определяется система координат, в кото-
которой вектор п^ можно выбрать так, чтобы он имел только времен-
временную компоненту. Тогда у вектора fu (к) будут только простран-
пространственные компоненты, пропорциональные вектору к, и калибро-
калибровочное условие примет вид
к -А (к) =0, V -А (х) = 0. A5.49)
Такая калибровка называется радиационной, поскольку свой-
свойство поперечности по отношению к вектору импульса характерно
для векторов поляризации, отвечающих фотонам. Ее называют
также кулоновской калибровкой, хотя такое название менее удач-
удачно. Как с наибольшей очевидностью явствует из дифференциаль-
дифференциальных уравнений Максвелла второго порядка в трехмерной форме
(х) = J° (х) + 60V А (х),
-д*А (х) + *^. А (х) = J (х) - VdoA0 (x),
скалярный потенциал Л° (х) в радиационной калибровке равен
мгновенному значению кулоновского потенциала распределения
зарядов:
VA (х) = 0: А0 (х) = f (dx') 3 (х — х') /° (х'х°). A5.51)
Обратное же утверждение не верно. Если потребовать, чтобы
потенциал А0 (х) совпадал с мгновенным значением кулоновского
потенциала, для чего, собственно, и требуется в основном кулонов-
ская калибровка, то мы придем к выводу о равенстве нулю произ-
производной по времени от V .А (х). При этом никаких ограничений на
произвольную статическую составляющую векторного потенциала
А (х) не накладывается.

§ 15. Н-ЧАСТИЦы | 435
Статический потенциал А* (х) берется именно в радиационной
калибровке. Векторный потенциал А (х) можно использовать для
описания поля ядерных магнитных дипольных моментов, приво-
приводящего к сверхтонкой структуре //-частиц. Но в дальнейшем все
внимание будет сосредоточено на статической плотности заряда
и на ее скалярном потенциале. Тем самым мы избегаем всякой
путаницы с обозначениями потенциалов, связанных с простыми
фотонными источниками. Последние нужны нам лишь в областях,
удаленных от испускающих или детектирующих источников, где
они сводятся к векторному потенциалу А (х). Он связан со своими
источниками уравнениями
-д*А (х) = Зт (х), V . А (х) = V • ]т (х) = 0, A5.52)
где величина
Зт (х) = J (ж) — V д0 ( {dxl) =25 (х — х') /° (х'х°) A5.53)
представляет собой поперечную, или соленоидальную, часть J (х),
и действительно
V • Jr (х) = V • J (х) + d0J° (x) = 0. A5.54)
Решением уравнений A5.52) в областях, которые с точки зрения
причинной упорядоченности расположены между испускающим
и детектирующим источниками, является, конечно, потенциал
2 (*Л A5-55)
() 2
при
AkX(x) = (da>hybekKethx, T.Ahi(«) = 0. A5.56)
В дальнейшем мы будем отличать функцию А+ (х, х'), содер-
содержащую статический скалярный потенциал А0 (х), от А^ (х, х').
Последняя описывает также эффекты, связанные с векторным
потенциалом А (х), который отвечает фотонам. Дифференциальное
уравнение для функции Грина А^ (х, х') может быть представлено
в форме (р = —iV)
[—(i дп - eqA° (х))а - Vs + тг - ге] Д? {х, х') =
= 6{х — х') + Beqp-A (x) — е2А (гJ) Д? (х, х'). A5.57)
С помощью функции Грина Д+ (х, х') его можно переписать в виде
интегрального уравнения
j +(х, xi)[2eqprX(xi) —
x, x'), A5.58)
которое можно решать методом итераций. Соответствующий анализ
полностью аналогичен анализу уравнения A3.27). Как и прежде,
28*

436 ГЛАВА . 3. ПОЛЯ
последовательные члены взаимодействия W^, W22, • • • наиболее
компактно выражаются через поля частиц
ф (Х) = f (dxr) Д+ {х, х') К (х'). A5.59)
Так, например,
Wu = \- J № <Р (*> 2eqp А <*> "Р W' A5'6°)
PF22 = i j (Ac) (Arf) ф (xJeqp.A(x) A+(x, x') 2eqp'.A(xr) Ф («')-
i- j (das) ф (а:)е2А (а;J ф (а:) A5.61)
и т. д.
Поле частиц <p(x) связано с источниками .//-частиц соотно-
соотношением
Ф(а:)= ^ Фр»'з'«'(х) J<b*'APo'(s°-:^')*P°'e'«'(*>')• A5.62)
(±)p»'g'af
В момент времени, промежуточный с точки зрения причинной
упорядоченности между действием испускающего и поглощающего
источников, оно переходит (р0' > 0) в соотношение
ф(х, х°)= 2 [q>P»'q'a'(x)e-iPo'xOiK2po'q'a' +
рО'д'а'
+ iK^q^o^a. (X)* е«Р"'-]. A5.63)
Следовательно, матричный элемент перехода для процесса, в кото-
котором //-частица с квантовыми числами р°"а" превращается в Н-
частицу с квантовыми числами р°'а' (зарядовые индексы здесь
опущены, так как со статическим источником может быть связана
частица лишь одного знака заряда, скажем, q) и при этом испу-
испускается фотон к%, равен
lkK | Т | 1ро»а"> = (Л»*I/» 2eq' X
X \ (йх)фро-а'(х)*рфр()
A5.64)
Вероятность перехода в единицу времени имеет вид
a. (х) р-егье-«<Чфро-а-(х) |2- A5.65)
Так как энергия фотона точно определяется законом сохранения:
р°" > рО': й0 = /)°" - р0>, A5.66)

§ 15. Н-ЧАСТИЦЫ I 437
рассматривать распределение по энергиям не нужно. Кроме
того, мы выполним суммирование по поляризациям и интегри-
интегрирование по всем направлениям испущенного фотона, ограничи-
ограничиваясь при этом для иллюстрации нерелятивистским случаем.
В этом пределе импульсом фотона, но не его энергией, можно
пренебречь, причем благодаря условию нормировки A5.7) собствен-
собственные функции частицы связаны с нерелятивистскими волновыми
функциями if>?'a< (x), которые нормированы обычным способом,
соотношением
±,(х). A5.67)
Приняв для матричного элемента обычные обозначения, в резуль-
результате получим
2 j (dx) Фро-a- (х)* р-е!,е-*-*срр0„в. (х) « е^- (Е'а' I -?- Е"а"^ .
A5.68)
Так как в качестве векторов поляризации выступают только два
из трех ортонормированных единичных векторов, суммирование
по поляризациям и интегрирование по направлениям испускания
дает следующее выражение для вероятности перехода в единицу
времени:
4 ак° | ( Е'п'
iVa'«-pO-0. = 4" ак° | ( Е'п
= 4 «(к0K1 (Е'а' | х | Е"а") |2, A5.69)
где учтена также связь между матрицами скорости частицы
и ее радиуса-вектора. Эта величина представляет собой вероят-
вероятность спонтанного испускания фотона, отнесенную к единице
времени, при переходе между заданными состояниями /7-частицы,
и, следовательно,— это коэффициент Эйнштейна А. Менее конкре-
конкретизированный коэффициент А, отвечающий только энергии, полу-
получается путем суммирования по а' и усреднения по а".
Когда фотон падает на /7-частицу, находящуюся в состоянии
р°"а", переход в состояние р°'а' может происходить при условии
к0 = р°' — р*". A5.70)
Матричный элемент перехода равен
<1рО'0< | Л V-
A5.71)
(d<aky/*eq'ekK-

438 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
что приводит к следующей вероятности перехода в единицу вре-
времени:
2лб (?" — Е" — к°) da>h4na (&0J | е • (Е'а | х | Е"а") |2. A5.72)
После интегрирования по строго определенным значениям энергии
фотона ее можно будет представить в виде коэффициента Эйнштей-
Эйнштейна 2?, связывающего вероятность перехода в единицу времени
с плотностью энергии фотонов, отнесенной к единичному углу
и к единичному интервалу частот: к0 Bк° dm^/dk0). Усреднение
по поляризации падающего фотона и по направлениям движения
дает нерелятивистское выражение
В **Л „ I /С"л' I „ I 1Р"п"\ 12 /Л К 7Ч\
Простое выражение для отношения
л i ю\л
^¦ = l^- (l0-74)
для заданной пары /7-частиц напоминает нам о том, что с точностью
до кинематических множителей, содержащихся в определениях,
вероятности переходов с испусканием и с поглощением одного
фотона переводятся одна в другую фотонным перекрестным пре-
преобразованием № ->¦ —к*. Если определения относятся к отдель-
отдельным фотонам с заданной поляризацией, то скорости испускания
и поглощения будут равны. Кроме того, как было установлено
ранее в более простом случае зондирующего источника, если
в начале имеется п фотонов с соответствующей частотой, то ско-
скорость поглощения умножается на п, а скорость испускания —
на п -\- 1. Последняя относится к комбинации процессов вынуж-
вынужденного и спонтанного испускания.
В случае частиц со спином 112 нужно исходить из дифферен-
дифференциального уравнения для функции Грина
= 8(x-x') + eqy-A(x)GA(x, x') A5.75)
и эквивалентного ему интегрального уравнения
A5.76)
Члены фотонного взаимодействия, которые записываются через
поле частиц
i|> (x) = j (dx1) G+ (x, x') х\ (х1), A5.77)

§ 15. Н-ЧАСТИЦЫ I 439
имеют вид [см. формулу A2.24)]
1 р
1 J A5-78)
^22 - j ] (^) (dx) x|) (^) v°e?Y -A (x) G+ (x, x') y-A(x') Ц (xr),
и т. д. Поле частиц можно выразить через источники Я-частиц:
и в момент времени, промежуточный с точки зрения причинной
упорядоченности между действием испускающего и действием
поглощающего источников, оно записывается как
*(• ) 02 /[4>д()
+ itiTPoro.i|Jpore.(x)*e'P0'*0]. A5.80)
Матричный элелюнт перехода для однофотонного испускания
таков:
11„о-вг.) - (da>A)V* eq' X
X j (йх)фро.в'(х)*Т°?'е31Ав-*к-*1|Зрв-в'(х). A5-81)
Комбинируя дифференциальные уравнения для собственных функ-
функций так, как делалось в формуле F.67), получим интегральное
тождество
0= j ()%()y[y ()+
i (^) ]'a»(x). A5.82)
В нерелятивистском пределе, в котором функции 1|}ро'а' (х) являют-
являются приближенными собственными векторами матрицы у0, послед-
последним членом, содержащим матрицу у°у = t'V5a> можно пренебречь
по сравнению с другими слагаемыми. Было бы непоследователь-
непоследовательным оставлять вклад а -к X в*, заменяя при этом единицей экспо-
экспоненту e~ikx в слагаемом, в котором она умножается на р-е*.
Учитывая следующий член разложения, будем иметь
+ 2от xp xe' (lo.od)
и мы узнаем здесь орбитальный вклад в магнитный момент, кото-
который добавляется к спиновому магнитному моменту в соответствии

440 [ ГЛАВА 3. ПОЛЯ
со случаем g = 2. Если пренебречь этим магнитным дипольным
излучением, а также родственным ему электрическим квадруполь-
ным излучением, которое описывается другим членом в правой
части равенства A5.83), то останется только излучение электри-
электрического дипольного момента eq'x. Это излучение связано с уско-
ускоренным движением зарядов и не зависит от спина. В итоге, учиты-
учитывая упрощения, которые возникают, если оставить только первые
два члена в формуле A5.82), и заменяя собственные функции,
отвечающие спину г/2, нерелятивистскими волновыми функциями,
нормированными согласно формуле A5.33), мы будем иметь
A5.84)
Это выражение совпадает с соответствующим предельным выра-
выражением A5.68) для спина 0. Аналогичные формулы, связанные
с данными фотонным перекрестным преобразованием, применимы
и к процессу поглощения.
Действие W22 мы будем рассматривать только в связи с рас-
рассеянием фотонов. Используя выражение A5.61), отвечающее спи-
спину 0, подставим причинное разложение полей
ф = ф1 + фг. А = At -f- A2 A5.85)
и выделим интересующие нас члены:
i(x)^(x, x'Jeqp'-A2(x') +
(x, x'Jeqp'.A1(x')]q2(x')-
— f (dx) ф, (x) 2e2At (х)-Аг (х) ф2 (х). A5.86)
Общее выражение для матричного элемента перехода имеет вид
(WWil^|lpo-e-lft!!x,) = (da)h1da)ft3I/»2e8eitlx1-V-efc2X,, A5.87)
где компоненты диады V таковы:
Vkt= ^{dx)(dx')q>po-a'(x)*[Pke-ik'-*2A+(x, x', p<" + k\) pie'k«-*' +
, х', p0'-K)p'he-iki'x-]ypo»a->(x')-
х)*бд/е^-к1)Хфр0„а„ (Х). A5.88)
Символами А+ здесь обозначены фурье-образы А+ (х, х', р°)
функции Грина, причем величине р° приписывается одно из зна-
значений
pOf-ft» = p°'-C A5.89)

§ 15. Н-ЧАСТИЦЫ I 441
Для простоты мы рассмотрим только нерелятивистский предел,
в котором импульсы фотонов пренебрежимо малы; столь же малы
и члены в Д+ (х, х', р°) со знаменателями р0' -f- p° « 2т, в про-
противоположность членам со знаменателями р0' — р° = Е' — Е.
Это дает при несколько упрощенных обозначениях
<УРМ 1 Е"а") ,
E-E"-kl ~~
Еа
(Е'а' | ez-p/w 1 Ea)(Ea\cf-p/m \ Е"а")
"> +
—— е*-е2бЕ'О', Е'аг- A5.90)
Если ограничиться рассмотрением упругого рассеяния (?" = Е",
К = К — ^0)> То в результате мы получим дифференциальное
сечение для отклонения фотона в телесный угол dQ:
da _„а| V Г <Е'а' 1 е*-Р-/т I Еа} (Еа \ e2.p/m ] Е'а") ,
~Ж~а \2j[ Ё-E'-kD Г
Еа
. (Е'а' | е2-р/та | Еа) (Еа | ef-р/та 1 Е'а") п
A5.91)
из которого менее детализированные сечения получаются сумми-
суммированием по а' и усреднением по а", суммированием по Х,4 и усред-
усреднением по kz и интегрированием но всем телесным углам.
При энергиях фотона, больших по сравнению с энергиями
связи Я-частиц, в выражении A5.91) остается только последний
член, с а' — а", и мы приходим к томсоновскому сечению, которое
описывает рассеяние фотонов низких энергий (по релятивистской
шкале) на свободной частице с зарядом ±е и массой т. Еще одна
предельная связь с томсоновским рассеянием возникает при очень
низких частотах, малых по сравнению с разностями энергий
различных Я-частиц. Если на определенной Я-частице претерпе-
претерпевает упругое рассеяние фотон с частотой, практически равной
нулю, то динамические связи с другими частицами проявляться
не будут и рассеяние должно описываться формулой Томсона,
соответствующей заряду и массе Я-частицы. Так как мы рас-
рассматриваем идеализированный случай, приписывая последней
массе бесконечное значение, в пределе к0 ->- 0 сечение упругого
рассеяния должно обращаться в нуль. Отсюда вытекает набор
соотношений, известных под названием правил сумм, которые
можно представить по-разному. Прямым следствием формулы
A5.91) является соотношение
т
Еа
2 ~E=W {{Е'а> IР* 1Еа) &а I й IЕ>а"
+ {Е'а' | Pl | Еа) {Еа | рк\ Е'а")] = 6»Л.в-, A5.92)

442 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
которое иначе записывается в виде
т 2 (Е - Е') [(Е'а' J хк \ Еа) (Еа | хх \ Е'а") +
Еа
+ (Е'а' | xi | Еа) (Еа \ xh \ Е'а")] = 6к{бв.о.. A5.93)
Имеется и третья, промежуточная форма, получаемая путем заме-
замены лишь половины сомножителей, отвечающих матричным эле-
элементам импульса, соответствующими матричными элементами ко-
координаты:
(Е'а' \Ph\Ea)^ -да (E - Е') (Е'а' \ xh \ Еа),
(Еа | рк | Е'а") = im (Е - ?") (Еа \ xk \ Е'а"). ( '
Она имеет вид
- i 2 [(Е'а' | хк | Еа) (Еа \ Pl | Е'а") -
Еа
- (Е'а' \ pi \ Еа) (Еа \ xk \ Е'а")] = 8fti6a-a., A5.95)
и показывает нам, каково математическое происхождение правил
сумм: они представляют собой матричные элементы коммутацион-
коммутационного соотношения
f[sft, Л] = вы. A5-96)
Элементарное происхождение правил сумм не умаляет их
значения как условий непротиворечивости феноменологического
описания составных систем на основе понятия частицы. Это осо-
особенно ясно, если отказаться от идеализированного случая беско-
бесконечной массы и получить необходимый результат, соответствую-
соответствующий заряду (Z — 1) е и массе М /7-частицы, рассматриваемой
как составная система из двух частиц с зарядами и массами —е, т
(электрон) и Ze, M — т (ядро). Амплитуда рассеяния, фигури-
фигурирующая в формуле A5.91), описывает процесс, при котором
электрон поглощает падающий фотон и испускает рассеянный
фотон. Теперь же к этому следует добавить процесс, при котором
в такого рода актах поглощения и рассеяния участвует только
одно ядро, и процессы, в которых участвуют обе частицы. Правда,
мы не рассматривали самый общий случай, но модификации,
необходимые в данном случае, совершенно очевидны. Члены
с произведениями матриц в формуле A5.91) описывают два после-
последовательных взаимодействия с электрическим током, в который
теперь будут давать вклады обе частицы:
_е (JL\ ^ _е ( Рзл\ J-i*-»-- ( —!-_ *_\ р, A5.97)
где величина
Р = Рэл = -рад A5.98)

§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ I 443
представляет собой относительный импульс в системе центра
масс. Кроме того, имеется вклад, которому отвечает однократное
рассеяние на каждой отдельной частице,— он учитывается путем
подстановки
m m M—m v '
Преобразовав произведение матриц, мы увидим, что отношение
относительного импульса к относительной скорости теперь будет
равно приведенной массе m {M — ш)!М. Если отбросить множи-
множитель ег, то мы получим, что для реальной //-частицы в пределе
при i°->0 с точностью до произведения векторов поляризации
амплитуда, входящая в формулу A5.91), заменится величиной
М I \ m ' М — m I m М — m M
в полном соответствии с тем, что требуется при феноменологичес-
феноменологическом описании //-частицы.
Введем указанные реалистические модификации в форму-
формулу A5.91), сохранив при этом величину к0 призвольной. Если
воспользоваться правилом сумм A5.92), а также еще одним пра-
правилом сумм, выражающим равенство нулю коммутатора [х^, х{\,
то сечение можно будет переписать в виде
da _„г /ы)\2 V Г<?/Д' 1е* d I Еа) <Еа 1 е2-d 1 Е'а") ,
-2q- -а \К) Zl[ E-E'-ko r
Еа
{Е'а'}ег-й\Еа)(Еа\е^й\Е'а"
"Г Е—E' + kO
-(Z~1J e?.eA'o»|2. A5.101)
Здесь —ей — внутренний электрический дипольный момент систе-
системы, в котором все векторы положений отнесены к радиусу-вектору
центра масс:
? т)хпл]. A5.102)
Таким образом, имеет место равенство
-ed= -е(хЭп-
' <15Л03)
связывающее d с вектором относительного положения
х = Хэл — Хнд- A5.104)
В такой форме выявляется низкочастотное поведение, характерное
для Я-частицы. В то же время разбиение на отдельные составляю-

444 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
щие при высоких частотах обеспечивается правилами сумм,
которые дают здесь комбинацию
(Z-lJ И Г. G ,. т -12 1_ Z*
М т(М-т) L ~Г1 ' М J ~ m М — т '
A5.105)
Здесь складываются амплитуды отдельных процессов рассеяния
на двух частицах, а не их сечения, поскольку при таком упрощен-
упрощенном подходе пренебрегают импульсом фотона, а следовательно,
считают, что длина волны фотона велика по сравнению с расстоя-
расстоянием между частицами. От подобного ограничения легко избавить-
избавиться, добавив множитель с относительной фазой, в результате чего
с ростом частоты когерентность между двумя амплитудами рас-
рассеяния будет исчезать.
Сечение A5.101) можно получить и прямым путем, применив
другую калибровку, специально выбранную для режима больших
длин волн. Если внутри //-частицы электрическое поле фотонов
однородно, а процессами, связанными с магнитным полем, пре-
пренебрегаем, то потенциалы можно взять в виде
А0 (х, х°) = -х -Е (R, х°), А (х, х°) = 0, A5.106)
где
Е (R, ifi) = 2 (сЫ1/2 ik° [eu exp (ik • R - ik°x°) iJahK —
-t/We^exp(-ik.R + iA;V)]. A5.107)
Скалярный потенциал связан с плотностью заряда:
l)eR]. A5.108)
— J
Переходы между разными //-частицами возбуждаются слагаемым
с внутренним дипольным моментом, и этот вклад в процесс рас-
рассеяния фотона воспроизводит сумму, фигурирующую в формуле
A5.101). Внешний дипольный момент (Z — 1) eR воздействует
только на движение данной /7-частицы. Амплитуда рассеяния,
к которой он приводит, дается диагональным матричным элемен-
элементом оператора
e
Ret.R]+
¦ег-
Pet.R]. A5.109)

§ 15. Я-ЧАСТИЦЫ | 445
При переходе к системе покоя, т. е. к состоянию с нулевым
импульсом, это выражение сводится к виду
-fc!?-i[e!.R, е2.Р]= —?=!>1е1.е„ A5.110)
на чем и заканчивается вывод формулы A5.101), так как эффекты,
обусловленные дипольными моментами различных типов, друг
с другом никак не связаны.
Аналогом выражения A5.86) для частицы со спином */г будет
величина
Vi (x) G+ (x, x°) eqy • A2 (x) +
-\-eqy-Ai(x)G+(x, x')eqy-Ai{x')]r^i{x'), A5.111)
а диада, заменяющая A5.88), имеет компоненты
„ i с ,..,,. . . ., „ , ,
vki = -ir \ («х)(ах )^pO'o« (x) Y°iYfce '"х"+(х» х , р° +«J)X
A5.112)
И в этом случае мы рассмотрим только нерелятивистский предел.
Но на этот раз уже нельзя пренебрегать в функции Грина членами
со знаменателями р0' + р° « 2т. Нам придется сформулировать
в явном виде условия полноты собственных функций. Для этого
можно сравнить выражение для функции Грипа G+ (x, х', р°)
в пределе высоких энергий
Hm [-y°P°G+(x, х\ р°I = б(х-х') A5.113)
pO-j-txj
с ее представлением A5.35), что дает
S 'a' (X) i'po'q'a' (х')* +%0'q'a> (х)* У\>рО'д'а' (х')] -= б (х — х').
po'q'a'
A5.114)
Мы воспользуемся этим соотношением, представив функцию Грина
в виде
__!___+__J__j_
и перейдя затем к нерелятивистскому приближению р0' -\- р° &
да 2??г. Поправка к (р0' — р0) пренебрежимо мала. Но послед-

446 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
ний член в формуле A5.115) становится при этом равным
— Bт) у°Ь (х — х') и дает добавку к 2Vhi
po-а- (х) « — -^ 8kl8E-a', в-о-,
A5.116)
которая представляет собой томсоновский член. Учитывая, что
в нерелятивистском пределе y°Y и V^m эквивалентны, мы для всего
выражения в целом получим результат A5.90), отвечающий спи-
спину 0, как этого и следовало ожидать. Все окажется еще проще,
если воспользоваться калибровкой A5.106). В этом случае ника-
никакие матрицы не появятся и в нерелятивистском пределе собствен-
собственные функции можно будет прямо заменять волновыми функциями,
причем пренебрежение членом с 1/2т в функции Грина здесь
вполне оправданно. В результате мы сразу же получим формулу
A5.101) (но, конечно, без слагаемого с ИМ, так как заряд Ze
мы описываем методом источников).
Теперь мы уже имеем перед собой ряд простых физических
примеров, в которых обнаруживаются все недостатки скелетного
описания взаимодействий фотонов. Так, спонтанное испускание
описывается как процесс, протекающий с постоянной скоростью,
даже если первоначальный запас .ff-частиц истощится со временем.
Предсказывается, что в условиях точного «резонанса», когда
к° -{- Е' = Е, сечение рассеяния фотонов обращается в бесконеч-
бесконечность, а это совершенно неприемлемо с физической точки зрения.
В следующем параграфе мы выясним, какие же существенные
явления опускаются при скелетном описании, и устраним указан-
указанные недостатки.
§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН
Хотя одним из мотивов при построении теории источников была
именно потребность в столь же естественном описании нестабиль-
нестабильных частиц, как и стабильных, с нестабильными частицами мы
впервые встречаемся лишь при рассмотрении /Г-частиц. Различие
между стабильными и нестабильными частицами есть вопрос
выбора шкалы времени. Если взять достаточно малый интервал
времени, то механизм, обусловливающий нестабильность частицы,
сказываться не будет и можно будет считать частицы стабильными
при условии, конечно, что выбранный интервал времени достаточ-
достаточно велик, чтобы можно было точно определить характерные свой-
свойства частицы. В противном случае одночастичное описание ника-
никакого смысла не имеет. Примеры стабильных и нестабильных частиц
нам дают /Г-частицы. Частица с минимальной энергией стабильна.
Частицы с более высокими значениями энергии способны испу-
испускать один или большее число фотонов, превращаясь при этом

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 447
в конце концов в свою абсолютно стабильную разновидность.
Первоначальное описание /Г-частиц предполагает их стабильность,
и оно применимо на ограниченном участке временной шкалы. При
очень же длительных интервалах времени это описание становится
непригодным, так как, согласно такого рода схеме, слабьте источ-
источники 1Г-частиц испускают и поглощают одиночные Я-частицы,
которые распространяются между этими актами без всяких изме-
изменений. По, если взять достаточно большой промежуток времени,
то нестабильная .ff-частица превратится в другую .//-частицу
и фотон. Эти две частицы способны также рекомбинировать, снова
образуя одну Я-частицу. Таким образом, описание связи между
слабыми причинно-упорядоченными источниками .//-частиц, кото-
которое не учитывает реального существования двух или большего
числа частиц, распространяющихся между этими источниками,
с физической точки зрения является неполным. В данном парагра-
параграфе нас будет занимать именно учет такого рода процессов много-
многочастичного обмена и анализ некоторых его физических следствий.
Первая задача состоит в том, чтобы найти эффективные источ-
источники испускания и поглощения /Г-частицы и фотона. Это анало-
аналогично анализу, проведенному в § 11. Невзаимодействующие фотон
и /Г-частица описываются амплитудой (используется при.мер спи-
спина 0)
f (?) d+ a~f) jtVL (Г) x
X i j (dx) {dx') Kt (x) Д+ (x, x') K2 (xf) + . .. =
= 1+...+» j №)А»®1г,A) j (dx)<pl(x)Ka{x)+... .
A6.1)
Сравнение с членом вакуумной амплитуды, фигурирующим в фор-
формуле A5.60) и описывающим однофотонное испускание, дает
Я2A)К2(х)\эфф = б (х - |) 2е?Рф2 (х), A6.2)
причем точно такое же выражение, но с соответствующими при-
причинными индексами, применимо и к поглощению фотона и .//-части-
.//-частицы. Поскольку этот эффективный источник должен быть умножен
на векторный потенциал в радиационной калибровке, его вид
упрощается по сравнению с выражением A1.15). Заменив в форму-
формуле A6.1) величины J* (|) К± (х) и /2tl (?') К2 (х1) такими эффектив-
эффективными комбинациями, мы получим описание причинной связи
между источниками /Г-частиц, которая осуществляется путем
обмена /Г-частицей и фотоном, причем физические условия таковы,
что взаимодействие отсутствует. Но, чтобы это описание согласо-
согласовалось с использованием радиационной калибровки, .мы должны
сначала изменить тензор, связывающий векторные фотонные

448 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
источники, когда рассматривается обмен определенным фотоном:
S &) A6.3)
л
Сумма векторов поляризации представляет собой пространствен-
пространственную диаду
2^ = 1-15M. A6-4)
которая выделяет поперечные части перемножающихся токов.
Таким образом, член вакуумной амплитуды, описывающий связь,
имеет вид
J {dx){dx')<p1(xJeqpTD+(z-x')A+(x, x').2eqp'T<p2(x'). A6.5)
Для того чтобы можно было осуществлять необходимый
контроль, нужно знать, какова причинная упорядоченность.
Как видно из формул A6.2) и A6.5), распределение источников
двухчастичного испускания и поглощения характеризуется поля-
полями ф2 (х1) и ф! (х). Пусть испускающий источник /7-частиц дает
как раз столько энергии, сколько необходимо для порождения
частицы, способной спонтанно перейти в другие //"-частицы
с испусканием фотона. Скорость такого процесса постоянна на
протяжении всей последующей истории частицы, т. е. он не лока-
локализован во времени. Следовательно, чтобы осуществить причинный
(или временной) контроль над актом двухчастичного испускания
и последующего поглощения, мы должны пользоваться источни-
источниками /Г-частиц, понимаемыми в обобщенном смысле. В таком слу-
случае источники испускают и поглощают виртуальные //-частицы,
которые не могут существовать вдали от своих источников, а пото-
потому превращаются в реальный фотон и реальную //-частицу или
порождаются ими вблизи этих источников. Именно это обстоятель-
обстоятельство и дает нам возможность оказывать воздействие там, где (или
когда) происходят указанные акты. Математически все сказанное
выражается следующей формулой для поля:
(±)pO'q'a'
A6.6)
Если источники Kpo'q'a' (Р°) обращаются в нуль при Р° = ра',
то у этого поля не будет никаких характеристик, которые описы-
описывали бы его распространение. Как указано в приведенной выше
формуле, мы будем пользоваться символом Р° для обозначения
энергии, которая инжектируется обобщенным источником /Г-час-
тиц, затем превращается в реальную /7-частицу и реальный фотон

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧПЫЙ ОБМЕН I 449
и в конечном итоге поглощается обобщенным детектирующим
источником //-частиц.
Пользуясь обобщенными источниками, мы можем быть уверены
в том, что носители полей ф1 и ср2 будут причинно-упорядоченны-
причинно-упорядоченными. Это позволяет брать в формуле A6.5) каузальные выражения
для функций распространения:
х°>х0': D+(x-x')k+(x,x') =
== i» J dak ^ е*"хфр«>-«'а' (x) rW+Mw-^^^, (x')* e-lk.x't
+pO'q'o'
A6.7)
куда входят, как это указано, только положительные значения р0'.
В результате член вакуумной амплитуды, описывающий связь,
принимает вид
- 2 5
(ро')
(±)po'a' -oo
(±)P°"a"
X
где величины
1 pO'a', pO"a" (* ) ~ ¦* pO"a", po'
= 2я ^ j d(l)feS (Р° + ^°-Р*) [ J (йх)Фро-а- W*2е?'рге*-'фро„(х)] х
—рОп
X [ j (dx') <|>„ (х')* е-*^'2ед'ргФРо"„» (х') J A6.9)
являются элементами положительной эрмитовой матрицы.
Дополнительную связь между источниками //-частиц мож-
можно выразить, модифицировав функцию распространения
Ajio' (я0 — ¦г°'): которая теперь становится матрицей, определяемой
в общем случае равенством
, » (ж0 X0') К и - (x0')
A6.10)
в котором
Испускающий и поглощающий источники входят в член вакуум-
вакуумной амплитуды A6.8) в комбинации
LJ JLJ р«/]
--= i j dx° dx°'Ki-vo-a' {x°) [ie-iP4x<>-xn] A'2,,u»a» (a;0'). A6.12)
2Э-0Н7О

450 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
В среднем сомножителе мы узнаем функцию распространения
APS (х° — х°'), вычисленную при причинном условии х° > хй'.
Пространственно-временная экстраполяция приведенного выра-
выражения осуществляется с учетом свойства симметрии A6.11).
Достаточно определить Vpo-a',p<t"a"{P0) Для отрицательных зна-
значений Р°:
Г-ро-о», _р0'а' (—Р°) = ГрЭ'а^рСа" (Р°), A6.13)
и тогда требование симметрии будет удовлетворяться, если поло-
положить
15Г po^lo гр«'«'. p»"»" (p°) ^"-po Ap> (ж°-*"')• A6-14)
Если эта функция распространения должна иметь смысл в случае
произвольных источников, то следует также снять эффективные
ограничения на Р°. Исключив окрестности значений р0' и р°",
интеграл по Р° можно определить таким образом, что при этой
будет имитироваться первоначальное рассмотрение обобщенных
источников. Если перейти к пределу при сколь угодно малой
ширине исключаемых интервалов, выбрав их симметричными отно-
относительно указанных значений, то при специальном условии в слу-
у
чае р°' — р°", а именно
.15)
результат будет соответствовать использованию главного значе-
значения сингулярного интеграла по Р°. В противоположность другим
способам вычисления, при которых сингулярным интегралам
сопоставляются комплексные значения, изложенный способ дает
то преимущество, что при этом сохраняется весьма существен-
существенная связь комплексных чисел с функцией распространения
Ар„ (х° - х0').
Чтобы, так сказать, апробировать указанные экстраполяции,
посмотрим, каким образом модифицируется простая функция
распространения при р°'а' = р°"а" в случае, когда х° > х0',
ра' > 0:
- JApo-a-, ро-а' (Х° - X0') = е-*РП«о-*0') _
- J ^V«',,v(n dSor-fo^w) e-^°-*°\ A6.16)
Интересный с физической точки зрения режим устанавливается
по прошествии промежутка времени, на котором укладывается
много периодов: р0' (х° — х0') ^> 1. В таком случае основной вклад
в интеграл дает ближайшая окрестность сингулярной точки
р° = р0', и его можно упростить, заменив Г (Р°) величиной
Уро'а- = Гри<а,,рО'а<(Р0') > 0. A6.17)

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН 451
Вычислим главное значение интеграла:
g p \ dF e ±(r0_ r0'\ p-ip0'(X0-xO')
— OO
В результате получим выражение
A6.20)
в котором амплитуда оказывается убывающей во времени,
а переменная временная фаза остается прежней. Это согласуется
с феноменологической точкой зрения теории источников. Энергии,
которые были точно определены на протяжении конечных интерва-
интервалов времени 7р»'О' (х° — х°') <С ^> не меняют своих значений при
расширении временной шкалы. Здесь нас не интересует вопрос
о том, как меняются теоретические представления о характере
энергетического спектра при переходе на другой уровень дина-
динамического описания. Мы считаем, что числа р0' заданы, а теорией
или экспериментом — это не имеет значения.
Единичное значение квадрата модуля экспоненты
ехр [—/р0' (х° — х°')] соответствует тому, что стабильную частицу
по истечении любого промежутка времени мы с достоверностью
обнаруживаем в одном и том же энергетическом состоянии. Квад-
Квадрат амплитудного множителя в формуле A6.20) описывает изме-
изменяющуюся вероятность того, что нестабильная /Г-частица
(Уро'а' > 0) будет еще существовать по истечении времени
х° — х0' = Р.
(^fJ A6.21)
Сначала эта вероятность уменьшается со скоростью, соответствую-
соответствующей величине уро'а'- Но при больших значениях времени это
оказывается неприемлемым. Согласно формуле A6.21), вероят-
вероятность того, что /Г-частица продолжает существовать, достигает
нуля за конечное время, а затем начинает возрастать и в конце
концов становится больше единицы. Очевидно, что физическая
область применимости формулы для вероятности ограничивается
малыми значениями уР0'О' ?¦
В нашей физической схеме до сих пор не учтено следующее
обстоятельство. Мы исходим из обобщенного источника /Г-частиц,
испускающего виртуальную .ff-частицу, которая быстро превра-
превращается в реальную .ff-частицу и реальный фотон. Такое положение
29*

452 J глава з. поля
сохраняется до тех пор, пока обе частицы не достигнут окрестности
обобщенного детектирующего источника, где они рекомбинируют,
образуя виртуальную /7-частицу, которая поглощается. Но, если
взять достаточно большой промежуток времени, то рекомбинация
с образованием виртуальной //-частицы может произойти вдали
от детектирующих источников, причем это возбуждение снова
быстро распадается на реальные частицы. Цикл может повториться
множество раз, пока виртуальная //-частица в конце концов не
поглотится детектирующим источником. Другими словами, поля,
которые входят в величину A6,5), описывающую связь, порождают-
порождаются не только непосредственно в источниках, но и косвенным обра-
образом, при помощи других эффективных источников, связанных
с виртуальными //-частицами, которые образуются вдали от
источников в процессе распространения реальных частиц.
Содержание последней фразы находит свое количественное
выражение в следующем интегральном уравнении для поля
7>0"а"
A6.22)
где П — матричная функция, описывающая механизм последнего
цикла превращения виртуальной //-частицы в реальные //-частицу
и фотон, а затем вновь в виртуальную //-частицу (не обязательно
ту же самую), поглощаемую зондирующим источником, который
используется для определения поля. Поле возбуждения, которое
входит в интегральное выражение, суммирует эффекты действия
исходного источника возбуждения и бесконечной последователь-
последовательности указанных обратимых превращений. Поэтому оно включает
в себя всю совокупность квантовых чисел р°'а', т. е. оказывается
тем самым полем, которое мы строим. Такой подход аналогичен
анализу многократного рассеяния, при котором исходят из послед-
последнего столкновения. Если бы приведенное интегральное уравнение
решалось итерациями, то мы фактически рассматривали бы все
более и более сложные комбинации с повторением одного и того же
основного процесса. В таком случае сравнение с известным описа-
описанием одной такой операции позволяет определить матрицу П.
Сравнение упростится, если написать
J)O"u"

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ II МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 453
где модифицированная функция распространения подчиняется
интегральному уравнению
АрО'а', ро-'а" (х° - X0') = бр,.„., ро«а»Аро< (х° - X0') +
~ J * 2 P i V a , pxai i 2 ,01, P и 2
1 ' A6.24)
Отождествление формулы A6.14) с первыми двумя членами итера-
итерационного решения уравнения A6.24) дает
dPQ е(ро') г ,/H е(Ро") а. /поч /ifi 2<V>
2^ ро' ро р " > р га" \ ¦' по" ро ро V" / ^°-^«/
(здесь используются фурье-образы функций распространения).
Соответствующую форму интегрального уравнения A6.24) можно
представить в виде
И
Хотя приведенные нами уравнения носят весьма общий харак-
характер, мы получим только приближенное решение, пригодное при
обычных условиях, соответствующих частному случаю
¦р /ро\ Л Г /ро\ (ар. 97\
В такого рода соотношениях находит свое выражение инвариант-
инвариантность замкнутых систем относительно вращений, когда а' отожде-
отождествляются с квантовыми числами углового момента. В соотноше-
соотношении A6.27) рассматриваются только равные энергии, так как все
внимание мы сконцентрируем к тому же на доминирующих эле-
элементах матрицы распространения:
Дро-а', Р«"«» (Р°) « 8рО<ро»8а'а»Ар0' (р«). A6.28)
В результате мы получаем упрощенное уравнение
^' A6-29)
форма которого согласуется со свойством симметрии
А.ро- (-р°) = Др., (р°). A6.30)

454 I глава з. поля
Эта симметрия сохраняется при замене произведения е(р°')е(Р°)
единицей (а такая замена находит свое оправдание в том, что
основное значение имеют вклады при Р° ~р0'). Может показаться,
что вывод о том, что интеграл представляет интерес только при
р° ~ р°\ противоречит наличию множителя (р0> — р0J, который
как раз при этих условиях быстро обращается в нуль.
Чтобы выяснить, какая из тенденций преобладает, аппрокси-
аппроксимируем Гро' (Р°) величиной
1> (р<") = Г_р0. (-/»•') = vPo- > 0 A6.31)
и рассмотрим интеграл
f dP0 * 1/1 1 \ 1632,
где в соответствии с равенством [формула A.62) из гл. 2]
= P- + ni8(x) A6.33)
X— Щ
используется комплексный аналог главного значения интегралов.
Интеграл вычисляется путем замыкания контура на бесконечности
в любой полуплоскости, в какой это удобно, и в результате мы
получаем
Мнимое слагаемое в формуле A6.34) можно получить и более
прямым путем, представив выражение A6.32) в виде
1 • e(pQ)
l
2я ро—ро ро,—ро 1 2 V—/
— оо
Таким образом, выражение, фигурирующее в формуле A6.29),
равно
^4^
=—~ie(p«')ypo>. A6.36)
Множитель (р°' — р0)* действительно подавляет вещественную
часть интеграла, но к его мнимой части это не относится.
Если урс Ф- 0, то конечное мнимое слагаемое будет сохранять
знак бесконечно малой мнимой величины — ip°'e, и поэтому послед-
последняя оказывается излишней в получающемся приближенном урав-

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 455
нении:
[р<"-1 is (р°') Ypo--р°] V (р°) = е (/')• A6.37)
Из него вытекает следующая зависимость от времени:
х° > я0': ч (р0') i ехр [ - ip0' (а;0— ж0')] X
X ехр [ — у Vpo- (ж0 — .г0') ] ,
г°<ж°': 4\{-po')iexv[-ipo'(xO-x°')]X
согласующаяся с симметрией
А.рО.{х°' — х1>) = 'КрО'(хо-х0'). A6.39)
Зависящий от времени комплексный фазовый множитель по-преж-
по-прежнему дает энергию р0' > 0, но переменная амплитуда 1 — 1/27Pof
{г = ж0 — х°'> 0) теперь заменяется величиной ехр (—xUyv»' t).
Это очень хорошо, ибо получающаяся отсюда вероятность
ехр (—ypo>t) нигде не превышает единицы, монотонно убывая
до нуля при возрастании времени. Экспоненциальная функция
обобщает линейный спад вероятности за малые промежутки вре-
времени. Согласно приближенному равенству
e-vff+A(>«(l —yAi)e-V, A6.40)
где у At <^ 1, теперь он будет почти линейным не только в началь-
начальный момент, но и в любые более поздние моменты времени. В фор-
формуле A6.9) можно перейти к нерелятивистскому приближению,
и мы получим простое выражение для у_ро' [см. формулу A5.65)]:
уро'= 2 АЕа+-Е'а'. A6.41)
Конечно, эта формула не ограничивается нерелятивистским пре-
пределом, ибо в ней начальная скорость убывания вероятности того,
что частица продолжает существовать, приравнивается соответ-
соответствующей скорости, с которой происходят переходы в //-частицы
с более низкими энергиями.
Интересно убедиться в справедливости такого баланса вероят-
вероятностей в произвольные моменты времени. Рассмотрим сначала
самый элементарный случай
Yii = ^i-ii, A6.42)

456 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
когда нестабильная //-частица II может излучать фотон только
с превращением в стабильную //-частицу с минимальной энергией,
нумеруемую индексом I. Вероятность того, что //-частица II еще
существует по прошествии времени t после ее рождения, равна
ехр (—Vn^)<l- Компенсируется ли такая потеря вероятности
вероятностью существования //-частицы I с сопутствующим ей
фотоном? Чтобы вычислить последнюю вероятность, нам нужно
распространить формулу A5.60) для W2\ на новый случай неста-
нестабильных частиц. С точки зрения //-частиц эта формула описывает
две стадии испускания и поглощения. Начальная //-частица после
своего рождения распространяется до того момента, пока не
испустится фотон, после чего она прекращает существование.
В этот .момент рождается конечная //-частица, которая в конечном
итоге детектируется. Очевидно, что для описания таких путе-
путешествий между актами испускания и поглощения мы должны
пользоваться модифицированной функцией распространения. Ис-
Источники вводятся для описания тех общих особенностей, которые
присущи всем механизмам испускания и поглощения определенно7
го типа, и соответствующая функция распространения обладает
универсальной применимостью. Отдельные реальные механизмы
будут также иметь и некоторые специфические черты, которые
нуждаются в дополнительной характеристике. Этот вопрос мы
разберем позднее. В рассматриваемом же случае, по сути дела
нерелятивистском, при описании механизма трансмутации //-ча-
//-частицы и испускания фотона никаких существенных поправок не
требуется, и нам, как мы увидим, вполне достаточно того, что
мы введем модифицированные функции распространения.
В соответствии со сказанным мы будем по-прежнему пользо-
пользоваться формулой A5.60), но изменим смысл поля, взяв для него
выражение A6.23), и примем приближение A6.28). В рассматрива-
рассматриваемом случае каузальное поле //-частиц ф2 (х), которое входит
в действие
W2i -+ j (dx) ф1 (х) 2едР -А, (х) ф2 (х), A6.43)
дается формулой [мы используем нерелятивистское приближе-
приближение A5.67), но для энергии сохраняе.м релятивистскую шкалу]
ехр [ - i(т + Еи) (х°-х0') —
A6.44)

§ 1й. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 457
Момент t2 служит началом отсчета, расположенным в пределах
источника /foil (х°г), в соответствии с чем определение испускающе-
испускающего источника //-частиц оказывается таким:
A6.45)
Пользоваться не произвольно выбранным началом отсчета,
а расположенным во внутренней области источника можно всегда,
и это может оказаться полезным при отыскании механических
характеристик состояний. При описании же нестабильных частиц
такой выбор начала обязателен.
Связь источников испускания и поглощения для определенной
//-частицы имеет вид
i Г dx° dxO'Ki (х0)* А (х° - х0') К2 (х0') =
— i(m + E)(x° — х°')~~у(х° — ж0')] х
-ti)-\y(ti-tu)']iKt, A6.46)
где (для иллюстрации рассматривается частица II)
К\п =-- j dx°KiU {x0)* exp [ - i {m -f Ea) (xn - tt) - у Yn {*° -/,)],
A6.47)
a tx —• начало отсчета времени, расположенное внутри источника
Кх (х°). Факторизация A6.46) четко показывает, что весь процесс
разделяется на три стадии — испускание, распространение в тече-
течение промежутка времени t — ti — t2 и поглощение. Конечно,
при максимальных значениях величин х° — tt ж t2 — х0', которые
соответствуют смещениям в пределах источников, должно быть
допустимым рассматривать нестабильные частицы как стабильные
на протяжении коротких отрезков времени. Поэтому распадные
множители в определениях источников //-частиц A6.45) и A6.47)
можно опустить, и эти источники будут играть такую же роль,
как и в случае стабильных частиц. Таким образом, при подобном
подходе ослабление связи A6.46) при увеличении промежутка
времени между действием источников, обусловленное нестабиль-
нестабильностью частицы, связывается исключительно с процессом распро-
распространения.
Такого же рода описание используется и для частицы I, даже
если Yi — 0, и амплитуда вероятности, получаемая из A6.43),

458 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
равна
II)
X
X \ dx° exp [—i (m + Ei) (^ — a:0)] exp [ — ik0 (tt — x0)
X
A6.48)
Теперь в характеристики состояний входят явным образом началь-
начальный и конечный моменты времени, хотя существенна только их
разность t = ti — t2', чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
мы взяли ty за начало отсчета времени для фотонного поля. Вы-
Вычислив интеграл по времени, получим
ехр
A6.49)
и вероятность перехода, просуммированная по поляризациям
фотона и по направлениям испускания, но еще дифференциальная
по энергии фотона, принимает вид
A6.50)
где
и, конечно,
A6.51)
A6.52)
Полная вероятность получается интегрированием по №. Чтобы
вывести для нее приближенное выражение в предположении
слабой нестабильности (уц <^ &i,ii), заменим W&^n единицей
и вычислим интеграл
J^
7
взяв при этом его значение в момент t = 0. В результате мы для
вероятности обнаружить ,/7-частицу I по истечении времени t
получим как раз требуемое значение
1 —
A6.54)

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МПОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 459
Кроме того, вычислив величину A6.50) в момент времени уп t~^> 1,
когда уже наверняка произошел излучательный переход, мы при-
придем к формуле для спектрального распределения испущенного
фотона. Результат
соответствует хорошо известному лоренцевскому контуру, причем
постоянная распада уа, обратная величина времени жизни, отож-
отождествляется с полушириной спектральной линии.
Такова форма спектральной линии, испускаемой при превра-
превращении в стабильную tf-частицу. Но что если конечная /f-частица
также нестабильна? Рассмотрим теперь третью /У-частицу III,
которая может распадаться только на частицу II с последующим
переходом последней в стабильную разновидность I. В этом случае
испускаются два фотона и для описания процесса следует взять
действие W^z- В соответствующей амплитуде вероятности имеются
два аналогичных члена, которые связаны друг с другом симметри-
симметрией Бозе — Эйнштейна, свойственной фотонам. Но, если не считать
особого случая А?(ц да Аи.ш» существенным будет только один
из этих членов в зависимости от того, частота какого из фотонов
ближе к kitn при примерном совпадении другой частоты с Aii.m*
Таким образом, достаточно рассматривать фотоны как частицы,
различимые по их частотам, учитывая лишь один из упомянутых
членов. Амплитуда вероятности для всего процесса в целом дается
выражением
ll\ /il
X
X J dx°dx0'exv[-i(m + Ег)^ — х0)] ехр [-ifc0^ — x°)]X
X exp [ - i (m 4- En) (x° — Xй')—у Yn (ж0- ж0')] Л (*°-*0') X
X exp [-ik°r (ti-x01)} exp [-i (m+Elu) (x0' -tt)~j Yin (^'-'2)],
A6.56)
где временные функции распространения описывают во всех
подробностях последовательные причинные акты развивающейся
драмы. Записывая это выражение, мы действовали так, словно
Я-частицы типов II и III охарактеризованы однозначным образом,
хотя в действительности необходимо ввести дополнительные индек-
индексы йц и йщ. Можно учесть и такого рода детали, но при физических

460 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
условиях A6.27) они не будут сказываться на окончательных
результатах. Интегрирование по времени х° у нас уже проводи-
проводилось, и теперь нужно только заменить нижний предел t<i на ж0'.
Следовательно, интеграл по вре.мени, входящий в качестве множи-
множителя п формулу A6.56), равен
dx°' e =^ X
x e-»o.(«I_ID.)e-»C»+Biii)t*e»*)-Tvin<*l"-'Di A6<57)
При последующем интегрировании не возникает никаких затрудне-
затруднений, но тем не менее дальнейшие выкладки мы будем проводить
при столь больших временах t (ynt ^> 1, Yni^ ^> 1)> при которых
процесс каскадного распада уже завершился. Из двух экспонент,
содержащих Ei и Ец, вклад будет давать только первая, так что
мы имеем
Отсюда вытекает следующее выражение для вероятности перехода,
описывающей только спектральное распределение фотонов:
^о ILL 1 ^д,о' 1Ш \ .
A6.59)
Последовательные акты испускания не являются независимы-
независимыми. Спектральное распределение по А;0' определяет не энергия E[i,
а энергия А;0 -)- Ei фотона и частицы, на которые распадается П.
Если проинтегрировать по &0', то в результате мы получим в точ-
точности выражение A6.55). Это означает, что в результате распада
77-частицы III в какой-то момент времени с достоверностью была
порождена //-частица II, после чего применимо все изложенное
выше. Ответ на вопрос о спектральном распределении фотонов,
излучаемых при переходе между нестабильными Я-частицами,
мы получим после интегрирования по А;0. Полезно представить
такой интеграл в виде (Е = к0 -f- E\)
1 1
dk0' \ dE dE' 2L__ б (к»'+Е-Е')
J (?-?ii)"H-(TYii)
.
A6.60)

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН | 461
Он описывает излучательный переход с сохранением энергии
между двумя энергетическими распределениями лоренцевской
формы с ширинами -уп и 7ш- Элементарные выкладки с примене-
применением методов интегрирования по контуру показывают, что полу-
получающееся спектральное распределение имеет также лоренцевскуго
форму
с шириной, равной сумме ширин отдельных Я-частиц. Этот вывод
становится особенно прозрачным, если заметить, что двойной
интеграл по энергиям A6.60) эквивалентен однократному интегра-
интегралу по времени
dk°' { ^-
A6.62)
Трудно было бы не догадаться, что должен существовать какой-то
другой, прямой путь вывода этой формулы. Мы не удивимся, если
такой путь будет состоять в том, чтобы рассматривать замкнутый
во времени цикл.
Но сначала проведем аналогичный анализ для рассеяния
фотонов, который позволит убедиться в том, что при япиолг учете
нестабильности tf-частиц сечение при точном резонансе не будет
принимать нефизического бесконечного значения. Мы рассмотрим
упругое рассеяние фотонов на стабильной //-частице. В таком
случае достаточно ввести модифицированные функции распростра-
распространения /f-частиц в диаду A5.88), которая будет использоваться
только в нерелятивистском пределе и при калибровке A5.106).
Существенное изменение состоит в том, что в A5.101) (мы отбрасы-
отбрасываем член с ИМ) производится подстановка
Е - (Ег + fc°) -> Е -1 Ц\ (/?! + ft») - (Я: + ft»), A6.63)
хотя величина Е — (Ег — к0) остается неизменной. Чтобы ра-
разобраться в этом вопросе, нам нужно нечто более общее, чем урав-
уравнение A6.37), в которое входит лишь значение Г,H' (Р°) в точке
Р° = р°'. Возвращаясь к уравнению A6.29), будем действовать
так же, как в формуле A6.35), но сохраняя при этом Г;,о' (Р°).
В результате мы получим выражение
ч2 [dPQ
' J 2я
in) — /
^J I р«), A6.64)

462 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
показывающее, какой общий вид имеет мнимое слагаемое. Такое
различие излишне вблизи резонанса (р° ~ р0', или Е\ -\- к0 ~ ?¦),
но вдали от резонансных условий оно оказывается необходимым.
В противном случае мы должны были бы добавить, и это было бы
неправильным, мнимый член к Е — (Ег — к0), тогда как
ТЕ (Ег - к0) = 0, A6.65)
поскольку при полной энергии, меньшей Е\, испускания фотонов
не может быть.
В случае
к0 + Ei да Ег : к0 да Щ, п A6.66)
//-частица II становится сильно возбужденной. При этих условиях
главный вклад в дифференциальное сечение A5.101) таков:
A6.67)
d | II д><11 a |ea-d 1
*!,n-fc0—l
Чтобы заменить это дифференциальное сечение при заданных
значениях поляризации полным сечением, его нужно просуммиро-
просуммировать по конечным поляризациям и направлениям и усреднить по
начальной поляризации (и направлению). Вспомнив равенство
2 A6.68)
А.
а также условие ортогональности A6,27), мы получим
A6.69)
7ктЛ71
(*i,ii> (fe9_feoi пJ+(| v
где gn — мультиплетность частицы II, т. е. число разных значе-
значений, которые может принимать параметр пц. Вид сечения при
точном резонансе
характерен для любого процесса резонансного рассеяния. Основ-
Основным резонансным сечением является 4яА2, у нас 4я/(&1, цJ,—
оно умножается на число резонансных состояний gu и делится на
мультиплетность начальных частиц. Последняя равна как раз
двум, соответственно двум поляризациям фотона, так как мы
считаем, что Я-частица I у нас одна-единственная.
Выполним теперь обещание и выведем еще раз, прямым путем,
выражение A6.62). Мы даже обобщим это выражение так, что оно
будет справедливым для любой пары нестабильных Я-частиц,
которые способны распадаться в последовательности, отличной

§ 1С. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ II МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН I 463
от последовательности III —*• II -*- I. Более общая задача форму-
формулируется следующим образом. Примерно в нулевой момент време-
времени рождается нестабильная /У-частица III. Она может распадаться
на определенную нестабильную /У-частицу II, а также и другими
способами, причем вторичные нестабильные частицы будут про-
продолжать этот каскад до тех пор, пока не возникнет стабильная
частица I. Какова дифференциальная вероятность обнаружить
фотон с частотой к0 ~ fefi, пь безотносительно к прочим фотонам
с другой частотой, которые также испускаются при таком процес-
процессе? При заданной поляризации такая вероятность дается выражением
причем считается, что промежуток времени достаточно велик
и вероятность успевает принять свое конечное значение. Введем
два дополнительных множителя: множитель iJ%\, амплитуду
вероятности детектирования фотона кХ, и комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженную ей амплитуду —Них- Это дает величину, которую можно пред-
представить в виде
X <li {в}+1 li {n + ЫУ (li {п + ihi}+11П1_). A6.72)
В этом выражении мы видим два последовательных этапа замкну-
замкнутого во времени цикла, на которых действуют два аналогичных
фотонных источника — один на участке с прямым направлением
времени, а другой на участке с обратным направлением. Таким
образом, нас теперь будет интересовать обобщение W22 на случай
замкнутого во времени цикла.
Чтобы непротиворечивым образом использовать нереляти-
нерелятивистское описание, мы должны из частот в функции распростране-
распространения A6.38) вычесть т. В результате положительные частоты при
х° > хй' сведутся к нерелятивистским энергиям, а отрицательные
при х° <Z х0' будут принимать значения, равные приблизительно
—2т. Последние дают пренебрежимо малые вклады в интегралы
по времени, и поэтому нерелятивистским пределом соотношения
A6.38) будет соотношение
AE,(t-t') = ir\(t-t')exp[-iE'(t-t')-±-yE-(t-t')'}. A6.73)
При использовании калибровки A5.106) и A5.107) выражение
для iW22 в упрощенных матричных обозначениях принимает вид
iW^ = ie2 \dtdli dt2dt'K* (t) ir\ (t-t{) exp [ —i? (t—t^—y^—t^ J X
X x.E ft) iii (h — ti) cxp [ - iE (ti-12)- i у (tt- tt) ]x.E (t2) x
. A6.74)

464 I глава з. поля
По прохождении момента времени t2 мы переходим к замкнутому
во времени циклу. Время t\ лежит теперь на обратном участке
цикла, который наступает заведомо «позднее» времени t2, и поэто-
поэтому величина т] (^ — t2) заменяется единицей. Кроме того, время t
наступает «после» времени tu и величину г) (t — tt) следует заме-
заменить величиной ц (ii — t). Поскольку и t и tt лежат на участке,
на котором время движется вспять, никаких изменений знака
у интеграла не возникает. Надлежащая трактовка членов с у
фиксируется физической необходимостью сохранить затухание,
т. е- ослабление связи при возрастании промежутка времени. Все
это приводит к подстановке
-iE(f-^—i-Y(ft_f)Jx
X x-E^exp [-1Е{^-1г)-± y|*i-*2| ] x-E(*2) ц (*« — *') x
{t'). A6.75)
Поскольку источники //-частиц действуют в моменты времени,
близкие к t — 0, мы имеем
f dt'eiEl'+xi* ч*'К (Г) ж [ dt'eiEt'K (f) = К,
с с A6.76)
\ dtK*^)^1^1'^^ \ dtK*(l)e-iEt = K*,
и кооффициент при (— iK*n)(iKjii) будет давать нам искомую
величину, описывающую замкнутый во времени цикл, в виде
(IIIJIIL) м' <+)-е2 [ dtidt2exp Г iEmU — -J-Yrn^i "I X
X х- Е (tt) | Ш) exp [ - iEmt2~Y Vmh]. A6.77)
Мы должны еще выделить из E(t2) коэффициент при iJ*}, а из
Е(^) — при — iJk\. Согласно формуле A5.107), первый из них
равен
(cto,fI/2 (— ik°) e*6ift0<2, A6.78)
а чтобы получить соответствующий коэффициент для обратного
во времени участка, нужно произвести комплексное сопряжение
и заменить t2 на tt. Поскольку условием k° « Afi, ш выделяется
вклад от конкретной Я-частицы И, искомая вероятность в том

§ 1С НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН | 465
виде, как она получается из формулы A6.77), равна
ег dcoh {к°п, шJ 2 | (II о | х-е* | III) |a X
X J dtidt2exv[iEn(t2 — h) — ^Уи\^ — к\] X
A6.79)
Если отбросить dk°/2n, то множитель перед двойным интегралом
по времени, просуммированный по поляризациям, будет коэффи-
коэффициентом А для распада III -*- II. С целью большей унификации
обозначений мы теперь для него будем использовать символ уи, ш-
Чтобы упростить интегралы по времени, введем новые переменные:
время
t=*t2- к, A6.80)
которое изменяется в пределах от —оо до оо, и время ?<, меньшее
из двух времен, которое изменяется от 0 до оо. Тогда после пре-
преобразований
h + h = 2«< + UI A6.81)
и
J J
0 -оо
A6.82)
мы приведем искомую вероятность к виду
X exp [ikH] exp [ — lEUIt — yYinU lj- A6.83)
Если частица III может излучать только с переходом в частицу II,
то 7и, ш = ?пь и мы вновь приходим к формуле A6.62). В более
общем случае в соответствии с формулой
с ^eHko-k^m)t^b^ A6.84)
— оо
вероятность испускания любой частоты из окрестности /сд, щ
будет равна (yh, iii/Yih) <1 1> в чем находит свое выражение кон-
конкуренция между рассматриваемым переходом и всеми прочими
превращениями, которые может претерпевать частица III. Сумма
таких составляющих по всем типам распадов частицы III равна
единице.
30—0070

466 j ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Распространив W22 на замкнутый во времени цикл, мы полу-
получим прямым путем выражение A6.69) для сечения резонансного
рассеяния, или, лучше, его обобщение на случай, когда частица II
становится //-частицей, которая может распадаться по каналам,
отличным от превращения в стабильную частицу I. При этом о
становится соответствующим полным сечением. Фотон падает
на частицу I, а в конечном итоге мы снова обнаруживаем частицу I
вместе с одним или большим числом фотонов. Полная вероятность
такого рода явлений при заданном времени взаимодействия равна
S | <ii {»>+1 iiifcO Iя—S <Mftx-iiiM+><iiW+|iiW>- A6-85)
{") {n}
Когда начальные частицы создаются соответствующими источни-
источниками, по два на каждый их тип, эта вероятность превращается
в вакуумную амплитуду замкнутого во времени цикла, описывае-
описываемую величиной iWz2. Необходимый результат получается из
выражения A6.77), если заменить частицу III стабильной части-
частицей I и вместо выражения A6.78) взять поле падающих фотонов:
dwh<?2 (/с0)
оо
\ dti dt2 exp [iE^] /i | x-e* exp [ik°h\ x
X exp [ —iE(ti — t2)—-y\ti~-h\ x-eexp [ — ik°t2] \ l\ X
X exp [ — iEit2], A6.86)
или .
ОО
1 V I dtidt2exp[ — i(Ei-\-k° — En)(t2 — ti)] X
II a 0
A6.87)
Подынтегральное выражение зависит только от временной пере-
переменной t = t2 — tu а интегрированием по t^ определяется дли-
длительность взаимодействия. Полное сечение равно вероятности
перехода в единицу времени, деленной на поток фотонов 2к° da>h.
Заметив, что
y , A6.88)
мы для главного вклада в сечение при к° л; kit ц получим
оо
" i, п | <Йехр[—? (A:0—kljU)t—-y

§ 16. НЕСТАБИЛЬНОСТЬ И МНОГОЧАСТИЧНЫЙ ОБМЕН J 467
При Yi, ii == Yii мы снова приходим к формуле A6.69). Очевидно,
что дополнительный множитель -yi, п/Vn < 1 отвечает тому, что
теперь меньше шансов возбудить частицу II непосредственно
из частицы I. Это обратная сторона того обстоятельства, что
вероятность прийти к частице I при распаде непосредственно из
частицы II меньше единицы. С этой точки зрения сечение упругого
рассеяния должно получаться из полного сечения путем умноже-
умножения последнего на дополнительный множитель yiyn/yn- И дей-
действительно, если величину A6.68) интерпретировать в общем слу-
случае как парциальную ширину Vi.n, то из формулы A6.67) будет
следовать именно такой результат:
AЬ.УО)
Проведенный выше анализ был бы неполным, если не упомя-
упомянуть о дополнительном члене действия W22, который должен суще-
существовать в силу перекрестной симметрии фотонов. Он получается
обращением знака величины к0. Этот член заведомо нерезонансный.
Но гораздо важнее то, что начальная энергия будет входить в ком-
комбинации Е\ — к°, а потому значение, которое следует приписать
константе затухания //-частицы II, равно, как и в формуле A6.65),
не Yii, а нулю. В таком случае возникающий интеграл по времени
будет давать б (Af, ц -)- /с0) =0.
Все рассуждения в данном параграфе проводились на примере
бесспиновых частиц, которые связывались, образуя //-частицы.
Аналогичный анализ для частиц со спином 172 проводится совер-
совершенно так же, лишь с добавлением или вычеркиванием иногда
множителей е (р°), например, что соответствует другому типу
статистики. Нерелятивистские результаты идентичны.
Исходя из факта естественной нестабильности .ff-частиц, мы
пришли к необходимости, кроме одночастичного распространения,
рассмотреть и многочастичный обмен. Из принципа же равноправ-
равноправности всех точек пространства-времени дополнительно следует,
что связи, установленные путем исследования реальных процессов,
сохраняют свой смысл и применительно к виртуальным процессам.
Это говорит о том, что многочастичный обмен имеет важное значе-
значение даже в том случае, когда энергия недостаточна для порожде-
порождения нескольких реальных частиц. Поэтому следующий этап в раз-
развитии динамической теории состоит в систематическом обобщении
всех одночастичных обменов на процессы обмена с участием двух
частиц и в том числе на бесконечное их повторение. Но прежде
чем приступать к выполнению столь солидной программы, мы
остановимся на гравитационном варианте таких понятий, как
примитивные взаимодействия и калибровочная инвариантность.
30*

468 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
У нас еще не проводился независимый анализ поля, отвечающего
безмассопым частицам со спиральпостью ±2. Будем исходить
из выражения для действия D.24) из гл. 2, но в соответствии
с равенством D.33) из гл. 2 пользоваться для измерения Т^
механическими единицами, так что
х) D+(x- х') Т^ (х')-
dj^ {x) = 0. A7.1)
Симметричное тензорное поле к^ч (х) определяется формулой
8W (Т) = J (da;) 6Л" (х) Л„„ (x), A7.2)
причем источник должен удовлетворять требованию
д„,8Т** (х) == 0. A7.3)
Поэтому в определении величины h^v (x) допускается некоторый
произвол, как явствует из выражения
VW = " j (dx')D+(x-x')[Tilv(x')-±gllvT(x')] +
+ д^(х) + д^(х). A7.4)
Свертывая индексы у тензора, получаем
h (х) = gitvk^ (х) =
= -к ^ (dx')D+(x-x')T(x') + 2dl?»(x), A7.5)
и, следовательно,
^Wv (х) — j g^h (x) —
A7.6)
Вводя требование к источнику через дивергенцию этого уравне-
уравнения, мы выделим те аспекты поля h^^ (x), которые связаны с про-
произвольным вектором ?ц (х):
] d*&{x). A7.7)
Обращаясь к формуле A7.4), придем к уравнению
(x) = к [7VV{x)—jg^T (ж)] ,
A7.8)

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 469
которое представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка для поля:
(х) + д^дЧ^ (х) + dvd4h0. (x) - d^h (x) =
] A7.9)
Уравнение в такой форме получится также, если в формуле C.19)
положить т = 0.
Свертывая индексы в формуле A7.9) или преобразуя уравне-
уравнение A7.5) в дифференциальное уравнение, получаем
— d2h(x) + dlldvh^(x) = — 1хГ (х); A7.9а)
откуда следует другая форма дифференциальных уравнений поля:
-д%^ (х) + d(i Whv (ж) -ь dxdh^ (x) - a» dji (x) -
- IVv [-^% № + д* дк№ (х)] = %Т^ (х); A7.10)
она совпадает с формулой C.17), если положить в последней
m = 0. Структура левой части этого уравнения такова, что ее
дивергенция тождественно равна нулю. Равенство нулю дивер-
дивергенции тензорного источника теперь выступает как алгебраическое
следствие полевых уравнений. Поскольку в приведенных нами
полевых уравнениях все же сохраняется произвол, связанный
с вектором |н (х), на них не будет сказываться переопределение
поля вида
V (х) -» ^v (*) + dulv (x) + dv|w (x), A7.11)
которое представляет собой гравитационное калибровочное пре-
преобразование.
Если ввести определение, аналогичное формуле C.23),
ruvfc (х) = rviU (х) = 3wAvX (ж) + 3vAwfc И - Й^А^ (х), A7.12)
то с учетом его следствия
Гц(*) =I\w* (*) =dtlh(x) A7.13)
мы придем к полевым уравнениям первого порядка [формула
C.22) при m = 0]:
9^llvX(x)-dvVll(x) = K[Tllv(x)-^-gllvT(x)]. A7.14)
Калибровочная инвариантность левой части уравнения A7.14)
означает не просто инвариантность Гду5и а ее следует понимать
в смысле неизменности этого выражения относительно преобразо-
преобразований
I\v* (х) -к rwwX (a) f 2 5Д 3W|X (г) A7.15)
Гд (х) -к Гд (*) + 2 5W 3^»- (х). A7.16)

470 J ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Заметим, однако, что в эти законы изменения при калибровочных
преобразованиях не входят первые производные функций ^ (х).
Если ввести определения
) A7.17)
и
со (х) = м , *¦ (х) — д h (х) — d^h , (х) (П 18}
то мы получим еще одну систему дифференциальных уравнений
первого порядка [формулы C.20) и C.21) при т = 0]:
A7.19)
При калибровочных преобразованиях введенные поля меняются
следующим образом:
Wufcv (x) -> co(t^v (x) + дк [д^ (х) - д^ (х)] A7.20)
и
ш w (*) -»- w Л1) + З^Л.^ (ж) - 521Д (ж). A7.21)
Заметим, что дивергенция векторного поля йв (х) калибровочно-
инвариантна. Сравнение выражения для дивергенции, вытекающе-
вытекающего из равенства A7.18), с формулой A7.9а) показывает, что
д^а» (х) =-jxT (x). A7.22)
Это равенство представляет собой также свертку выражения
A7.19), так как
Но, проделывая аналогичную процедуру с выражением A7.14),
мы приходим к новому векторному полю
ХГ (х) = TvvA, (х) = 2dvhVb {x) - дф (х), A7.24)
для которого
Г, (х) - ХГ (*) = 2со, (х). A7.25)
Это равенство — свертка тензорного соотношения
Г /г\ Г. (r\ — 9fll (r\ 1\1 Ofi\
Оно вытекает также из еще одного соотношения между двумя
тензорами третьего ранга:
(х) + dvh^ (x). {П.21)
Последовательные этапы, необходимые при получении выра-
выражения для действия, которое приводит к полевым уравнениям

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 471
первого порядка A7.12) и A7.14), таковы:
1 С \ I* / .... 1
W — — (rlr\T^vh — — \ tfir\ I T^ -
A J •* i! J \ ^
2х J \
АУ. J
где в последней форме записи учтено соотношение
1 '¦"*¦¦"'' ч ¦ "?-vu' )]; A7.29)
его свертка
I] A7.30)
и формула A7.13). Действие имеет вид
где
nX{h, Г)= — [h^—^-g^h\ (d'-I^va,—а»Гц) —
Если не считать дивергентного слагаемого, то эта функция Лагран-
Лагранжа является аналогом выражения E.41), взятого при m = 0.
В отличие от уравнения E.40) здесь мы для простоты не включаем
источник тензорного поля третьего ранга. Требование стационар-
стационарности относительно варьирования по h^v или hPv — 172g'tivA. вновь
приводит к уравнению A7.14), а варьирование по ГдуХ после
перегруппировок, указанных в формуле E.45), дает уравнение
A7.12). Функция Лагранжа калибровочно-неинвариантна:
) Г„], A7.33)
но действие инвариантно. Если мы отказываемся от ГцуХ как
независимых переменных и считаем, что они определяются форму-
формулой A7.12), то соответствующей функцией Лагранжа будет функ-
функция
1
Если представить ее в виде квадратичной функции первых произ-
производных величины h^v (x), то эта функция Лагранжа будет отли-
отличаться от функции E.99) только последним слагаемым:
М^ A7.35)

472 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
чем иллюстрируется возможность произвольно добавлять дивер-
дивергентные члены. Это уже отмечалось в формулах E.31) и E.32).
К тем же результатам можно прийти, основываясь на диффе-
дифференциальных уравнениях первого порядка A7.17) и A7.19)
и исходя из действия
= i J
j (d)(^^co»®) A7.36)
где при переходе ко второй форме производятся подстановки
—wllv^^^ = 0)(lvXMV^==<B>.iiva);iv(i. A7.37)
Функция Лагранжа приобретает вид
%%{h, со) = - (h^ — ~ g»vh} EXv*-<W> + 4 K^co^-gAoO.
A7.38)
С точностью до дивергентных членов она совпадает с функцией
E.34), взятой при т = 0. И здесь источник, связанный с тензором
третьего ранга, использоваться не будет. Варьирование по №х —
— ЧтЁ^Ь. вновь приводит к формуле A7.19), а варьирование по
wxnv после перегруппировок, указанных в формуле E.38), дает
соотношение A7.17). Функция Лагранжа A7.38) при калибровоч-
калибровочных преобразованиях изменяется следующим образом:
+ dv [(d»l* + <9v|i* - g^dx^) со J, A7.39)
что гарантирует инвариантность действия. Если ca^v рассматри-
рассматриваются не как независимые переменные, а как величины, опре-
определяемые равенством A7.17), то в качестве функции Лагранжа
можно взять функцию
i A7.40)
Это квадратичная функция первых производных йцл, (х), которая
получается путем усреднения двух альтернативных форм выра-
выражения A7.35):
¦лХ (h) = — j {d^h^dji^ — d>-hdkh) —
{d^Whto + ^ft^AAv). A7.41)
Тензору натяжений t*v (x) мы дали кинематическое определе-
определение (неоднозначное), рассматривая инфинитезимальные деформа-
деформации координат:
= - f (dx) V (х) d^xv (x). A7.42)

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 473
Динамическое определение он приобретает в том случае, если
имитирует функции гравитационного источника Т^' (х). Мы при-
придем к нему, если в законе изменения выражения для действия
при инфинитезимальных калибровочных преобразованиях к T
добавим №v:
= J (<1хIТ^(х)±1^(х)]2д^(х). A7.43)
Два этих понятия отождествляются требованием инвариантности
действия относительно единого калибровочно-координатного
преобразования
26?v (x) = bxv (x). A7.44)
Таким образом, инфинитезимальные координатные преобразова-
преобразования индуцируют инфинитезимальные калибровочные преобразо-
преобразования
6^nv (х) = у [d^bxv (х) + дфху, (х)],
6TllvX{x) = dlldv6xx(x) A7.45)
6cV.v (ж) = у дх [d,,8xv (x) — dv8x» {x)]. A7.46)
и
Использование в действии в качестве множителя при h^v
полного тензора натяжений Т^ -j- ^v означает введение прими-
примитивного взаимодействия. Тензор ^v необходимо несколько моди-
модифицировать, ибо он не сохраняется внутри источников частиц,
а также нужно ввести гравитационную модель источника частиц.
Но мы отложим этот вопрос на дальнейшее и продолжим построе-
построение схемы, следуя как можно ближе образцу электромагнетизма,
пока не достигнем той стадии, на которой начнет сказываться
существенное различие между двумя этими совершенно различны-
различными физическими системами. Рассмотрим случай бесспиновых ча-
частиц, взяв для тензора натяжений простейшее выражение G.8):
2(q>) ?(ф)
Как и в электромагнитном] аналоге, член t^^^, описывающий
связь между полями, будет объединяться с функцией Лагранжа
частиц, что дает
При анализе электромагнитного поля, который был проще бла-
благодаря несколько иному виду функции Лагранжа, на этой стадии
у нас появилась калибровочно-ковариантная производная

474 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
д^—iegA ^ и была установлена инвариантность относительно полной
абелевой группы калибровочных преобразований. Чтобы прийти
к сходной ситуации в случае гравитационного поля, одной лишь
подстановки ieqA ц -¦- h^ д* оказывается недостаточным, так как
здесь имеется гравитационная связь, в которую не входят про-
производные. Но гораздо более существенно то, что скрывается под
заменой одной матрицы eq четырьмя дифференциальными опера-
операторами (IIi) ду. Как это видно из равенства
16,^ (х) д№, 52х« (х) dv] = FiX» (х) д„,6гхЬ (х) - Ь2х» (х) д^х* (х)) 5Х,
A7.49)
группа общих координатных преобразований является неабеле-
вой, и поэтому распространение инвариантности относительно
инфинитезимальных преобразований на всю группу в целом
¦составляет нетривиальную проблему.
Полезно будет выяснить, как же обстоит дело с инвариант-
инвариантностью относительно инфинитезимальных координатных преобра-
преобразований. Преобразования, соответствующие равенству
х» = х» — 6х» (х), A7.50)
описывают скалярный характер поля частиц,
ФЙ=Ф (х), A7-51)
и дают индуцированное калибровочное преобразование поля
гравитонов
V (х) = V (x) + -j [d^xv (x) + dv8x» (x)], A7.52)
в том числе и преобразование
h(x) = h(x) + d]Xbx»(x). A7.53)
Инвариантность массового члена в действии формулируется
в виде равенства
J (Ах) A + Цх)) Ф (хJ= J (dx) A + h (х)) ф (xf =
Й)A + Л(г))ф(^)«, A7.54)
и это равенство выполняется, если
{dx) A + А (х)) = (dx) (I + h(x)). A7.55)
При инфинитезимальном преобразовании A7.50) закон преобра-
преобразования элементов объема имеет вид
)], A7.56)

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 475
и поэтому требуется, чтобы выполнялось соотношение
1 -)- h (х) = [1 - д^х» (х)] U + h (x) + д»6х» (х)], A7.57)
или
h(x) = А (х) — h (x) д^х* (х). A7.58)
Это может означать лишь одно — величина h (x) должна принимать
очень малые значения, что позволяет пренебрегать членом h djixv
как величиной второго порядка малости.
Точно так же обстоит дело с квадратичным по производным
членом. Прежде всего отметим приближенное равенство
¦дцф \g»* A + h) — 2/iM dvq> « A + h) 0„ф {g^ - 2h^) dvq>,
A7.59)
благодаря которому выделяется множитель 1 -|- А, компенси-
компенсирующий изменение величины dx при преобразованиях A7.50).
Далее, величина
g^{x) = g^-2hllv(x) A7.60)
должна преобразовываться так, чтобы давать скалярную комбина-
комбинацию:
\9 Й ?" («) а„ф (х) = д^ (х) g»" (x) dvq> (x), A7.61)
откуда
-g»v&) = g^{x)dKx»d^. A7.62)
Этим соотношением тензор g^v (x) характеризуется как контра-
вариантный тензор второго ранга относительно общих координат-
координатных преобразований. При инфинитезимальных преобразованиях
указанный закон изменения принимает вид
6giiv (а.) = 6аА (Х) dxgi»» (x) - g* (x) дк8х» (х) - g^ (х) дкЪх* (х),
A7.63)
что как раз сводится к первому из равенств A7.45), если в правой
части пренебречь величинами второго порядка малости, заменив
g»v (x) на g*v.
Тензор g^v {x), обратный тензору ^v {x),
g^ (x) Slv И = С A7.64)
обладает трансформационными свойствами ковариантного тензора
второго ранга:
?nv Й = g*x (x) д^х* 3vxK A7.65)
Отсюда вытекает, что определитель
g (х) = det giiv (x) A7.66)
изменяется по закону
\^)]2 A7.67)

476 ] ГЛАВА 3. ПОЛЯ
и, следовательно,
[-g{x)I/t(^) = [-g{x)]lf'(dx). A7.68)
Логично рассматривать равенство A7.68) как обобщенное равен-
равенство A7.55), ибо в приближении слабого поля, к которому отно-
относится последнее, мы имеем
8»? (x) « guv + 2V (х) A7.69)
l-g (x)?f « 1 + h (x). A7.70)
Следовательно, чтобы обеспечить инвариантность действия отно-
относительно произвольных координатных преобразований, функцию
Лагранжа A7.48), соответствующую слабым гравитационным по-
полям, нужно заменить функцией Лагранжа
2(Ф (*), 8 (*)) = -1 - 8 (*I1/Я у 15мФ (*) ^ И 5v9 (х) + т\ {х?\.
A7.71)
Теперь мы должны обобщить гравитационную функцию Лаг-
Лагранжа
кХ(К Г)= -^-^^к)(дхГ^-д^) +
+ у^(Г^и-Г^Г^), A7.72)
которая соответствует случаю слабого поля и совпадает с функци-
функцией A7.32), если все тензоры третьего ранга в этой формуле выра-
выразить через
IVv^r^lV A7.73)
В разности h^v — 1fz g^vh мы узнаем ту часть соответствующего
выражения, которая получается при его вычислении в приближе-
приближении слабого поля:
±\\] A7.74)
Появляющееся здесь лишнее постоянное слагаемое можно вклю-
включить в выражение A7.72), так как оно изменяет функцию Лаграц-
жа на дивергенцию. Тогда обобщение на случай сильного поля
оказывается совершенно очевидным:
2хХ (g (х), Г (х)) = l-g (s)]V. guv {x) R^ {x)t A7.75)
где
¦йцу = daJnv — дуТуй. + rVvr*K — ГциГ^я,- A7.76)
Такая функция Лагранжа будет действительно давать инвариант-
инвариантное действие, если величина g^R^^ является скаляром относи-
относительно произвольных координатных преобразований. Необходи-

§ 17. ГГАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ I 477
мый для этого закон преобразования величины R^y (х) как кова-
риантного тензора должен следовать из закона преобразования
трехзначкового символа rj;v (х). Последний должен быть похожим
на закон преобразования тензора третьего ранга, но полностью
совпадать с ним не может, поскольку преобразование A7.45)
в приближении слабого поля содержит вторые производные по
координатам. Соответствующее обобщение дается формулой
r"jlv (х) дкх>- = Г?ст (х) д^хР ~dvx° + 3|i3va*. A7.77)
Этот закон преобразования позволяет определить ковариантную
производную по координатам от контравариантных векторов
первого ранга:
VVFW (х) = (dv+ Tv (x))%VK (x) = dvV» (x) + Г& (х) V% (x). A7.78)
Все рассуждения упрощаются, если воспользоваться матричной
символикой, и тогда получаем
[Vn.Vvlx^iW^, A7.79)
где величины
Л,гЛ= дЛ-д^ + Т^Т^-Т^Г^ A7.80)
действительно образуют тензор четвертого ранга, который анти-
антисимметричен по и. и v. Теперь становится ясным тензорный харак-
характер величины
^v = flfcvV A7.81)
Понятие ковариантной производной, совпадающей в случае
скаляров с обычной производной, распространяется на ковариант-
ные векторы первого ранга, если потребовать выполнения равен-
равенства
dv iy^Vi) = (VvFltl) Fg + Vilx (VvTS), A7.82)
откуда
VvF^cU^-FJ^,. A7.83)
На произвольные тензоры его можно распространить путем
обобщения правила дифференцирования произведений. Для при-
примера укажем, что 6ГЦЛ, (х), т. е. произвольное бесконечно малое
изменение величины F^v (x), в действительности преобразуется
как тензор и
-Vv6r»A. A7.84)
Ковариантная производная g (x) определяется с помощью
¦формулы дифференцирования определителя:
= g (x) gw (x) v^v (x) =
= g (x) g^ (x) [dxg>lv (х) - 2gilX (x) T?v (я:I =
(x) - 2g (x) rjv (x), A7.85)

478 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
или
V* l-g {x)W* = дх l-g (iIV« - [-g (x)]W T>Z (x). A7.86)
Простым следствием этого равенства оказывается формула для
дивергенции:
Vx l(-g («))V» F* (*)] = <?„ [(-* {x))V* V* (x)l A7.87)
Полуденные нами соотношения используются, когда мы при-
применяем принцип стационарного действия к вариациям величи-
величины ГдУ, входящей в выражение для X (g, Г). Приравняв нулю
коэффициент при 6Pjiv в выражении для 6W, будем иметь [через
g*v здесь обозначено g^v (x)\:
V, [(-g)V« gw] - dl VHl(-ffI/s *М = 0, A7.88)
откуда
V^ [(-g)V* g^\ = 0. A7.89)
Из равенства A7.89) последовательно получаем равенство нулю-
ковариантных производных величин g (ж), g*v (x) и g^^ (x). По-
Последнее утверждение
0 = V^nv (ж) = dxgw (х) - gKV (ar) Г^ (ж) - g-ди (ж) T?v (ж) A7.90)
приводит к явному выражению
r?v (ж) = g** (ж) у [S^vx(ж) + 3vgnx (г) -^nv («)], A7.91)
которое представляет собой выражение A7.12), обобщенное на
случай сильного поля. Вариант уравнений A7.90), соответствую-
соответствующий случаю слабого поля, мы имеем в формуле A7.29). Как в
этом можно убедиться непосредственной проверкой, из равенства
нулю ковариантной производной величины g (x) вытекает, соглас-
согласно формуле A7.86), соотношение
Пу (х) = дх In l-g (х)]У\ A7.92)
обобщающее соотношение A7.13). Оно гарантирует, что величина
i?nV, определяющаяся равенством A7.76), будет симметричным
тензором.
Варьирование по g^v (x) в чисто гравитационном вкладе
в действие дает
6g С (dx) X (g (х), Г (ar)) = -I" J (dx) I - g(x)]lh 6g*v (Ж) G,v (x),
A7.93)
где
±R, R^g^Rfy, A7.94)
причем мы воспользовались свойством определителя

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ I 479
Тензор G^v удовлетворяет определенному дифференциальному
тождеству, которое следует из инвариантности гравитационного
члена действия относительно координатных преобразований.
Прежде всего укажем закон бесконечно малого изменения #ц„ (х),
аналогичный соотношению A7.63^:
= V^ (gKV8x") + Vv (gpfiaP), A7.96)
который обобщает калибровочное преобразование A7.45) в случае
слабого поля. Написав равенство
WG^-bg^»4, A7.97)
где
A7.98)
мы, исходя из инвариантности действия, заключаем, что
V|1G|iV(s)=0. A7.99)
Варьированием по gw (x) той части действия, в которой содер-
содержится материя, определяется тензор t^ {x) — обобщенный тензор
натяжений:
6g j (dx) X (Ф, g) = -1 j (da;) (- gf2 bg^v. A7.100)
Из формы функции Лагранжа A7.71) явствует, что
Отметим также равенство, обобщающее равенство G.9) в областях
вне источников:
[ 1 J ] A7.102)
Если обратиться к свойству стационарности при варьировании
величины ф, то, как и прежде, инвариантность рассматриваемого
члена действия относительно координатных преобразований будет
приводить к дифференциальному соотношению
V^>t*(z) = 0. A7.103)
Этот обобщенный локальный закон сохранения можно представить
и в другой форме:
A7.104)
Полевые уравнения, получаемые путем варьирования полного
действия
W = j (Ас) [3 (Ф, g) + X (g, Г)] A7.105)

480 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
по g*y, имеют вид
Gv.v (x) = x^v (x), A7.106)
или
Л»* (х) = и [^v (х) - ||^v (i) t (x)}. A7.107)
Это уравнения Эйнштейна для гравитационного поля. Условие
A7.103) для дивергенции тензора натяжений возникает и здесь —
теперь как тождество, диктуемое структурой уравнений гравита-
гравитационного поля.
Частицы со спином 0, рассматривавгпиеся в качестве модели
гравитирующей материи, сравнительно просто заменить частицами
с каким-то другим целочисленным спином. Весьма специальный,
но интересный пример такого рода — фотоны. Функцию Лагранжа
X = - 1 F^ (д»Ау - 3,Лц) + -J- F^F^ A7-108)
можно сразу же обобщить так, чтобы она была инвариантной
относительно произвольных координатных преобразований и в то
же время сохраняла свою электромагнитную калибровочную
инвариантность:
A7.109)
В точках, где нет электромагнитных источников, соответствующие
этому полевые уравнения имеют вид
*Vv <*) = <§> (х) gvK (x) F* (х) =
= d^Av (x) — dvAu (x) =
= VliAv(x)-VvAli(x) A7.110)
и
dA(-g(x)I/2F»v(x)} = [-g(x)]l/*VvF>iV(z) = 0. (ПЛИ)
Тензор натяжений, который получается путем варьирования
функции Лагранжа A7.109) по glxv (x), дается выражением
t^{x)=F^{x)rx(x)-g^(x)^FKt-{x)FKX(x), A7.112)
где все контравариантные и ковариантные индексы связываются
друг с другом посредством тензора ?ду (х). Небесполезно вывести
уравнения другим способом, переопределяя Fw так, чтобы это
поле включало множитель (—gI/2. В результате мы придем
к функции Лагранжа
F^id^dA^ + ^F^i-g)'1^ gtlXgvxFK\ A7.113)
в которой тензор glxv входит только в последнее слагаемое. В итоге
снова получается тензор натяжений A7.112), причем в соответ-

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 481
ствии с изменением смысла F^v он делится на (—g). Однако теперь
мы можем очень просто усмотреть одно дополнительное обстоя-
обстоятельство. Комбинация (—g)'1?* g^gvx представляет собой одно-
однородную функцию нулевой степени по компонентам g^ (х),
и поэтому функция Лагранжа A7.113) инвариантна относительно
преобразования
gm (х) -+¦ X (х) g»v (х) A7.114)
при произвольном К (х). Это означает, что при бесконечно малом
отклонении величины Я (х) от единицы
бх j (dx) X = у j i.dx) (-gI'* t^gtlv8K = 0, A7.115)
или
t (x) = gv» (x) P* (x) = 0, A7.116)
а это равенство действительно выполняется. Очевидно, что теперь
мы имеем дело с обобщением конформных преобразований, которые
первоначально вводились путем рассмотрения изотропных растя-
растяжений [см. формулу G.153I. Попутно заметим, что хотя другое
выражение для функции Лагранжа, а именно A7.113), позволило
нам выявить конформную инвариантность, можно также пользо-
пользоваться и функцией Лагранжа A7.109). При этом, чтобы обеспечить
инвариантность функции X, нужно скомбинировать конформное
ореобразование A7.114) с полевыми преобразованиями
№ (х) -> к (х)-* Fw (аг), А ц (х) -> А„ (х). A7.117)
Как уже указывалось ранее в связи с формулой G.168), при
проверке на конформную инвариантность следует учитывать
кинематический произвол в определении тензора натяжений.
Произвол можно отнести и на счет динамики, применяя процедуру,
родственную той, которая использовалась при рассмотрении
электромагнитного поля [см. формулу A0.63)]. Обращаясь к слу-
случаю слабого гравитационного поля, посмотрим, можно ли любой
наперед заданный тензор натяжений #*v заменить тензором [фор-
[формулы G.83) - G.85)]
t*v+ drfrfiP*»»*', A7.118)
где тензор m^4^ симметричен по ц. и v и по и и К, а также
удовлетворяет условию
mnv.x*,_|_mxvtA,M.-}_ma,v,n>«==o. A7.119)
Добавка к члену функции Лагранжа с t™ равна
A7.120)
где величина
#,ma==<VjAtv + dvdx4i—дКдф^— <VAa A7.121)
i/2 31-0670

482 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
получается в силу свойства цикличности A7.119):
A7.122)
Кроме того, из формулы A7.122) следует равенство
(mnv.«x_m>A,nv)dK0a,fe11v = (), A7.123)
в котором содержится требование симметрии тензора mnv.xa,
по двум парам индексов; мы его уже получали в различных
частных случаях [формулы G.88), G.111), G.137)].
У четырехзначкового объекта .R^vA. много свойств симметрии.
Он антисимметричен по \i и х и по v и Я, а кроме того, симметричен
по двум парам — )ix и vA.. Сумма трех членов с циклическими
перестановками, не затрагивающими один индекс, равна нулю.
Как подсказывают сами обозначения, И^юх — это соответствую-
соответствующий слабому полю вариант тензора, который получается из тензо-
тензора A7.80):
-gPAKxTlv-KxKv) A7.124)
и который также обладает всеми указанными свойствами симмет-
симметрии.
Из всего изложенного мы заключаем, что возможные добавоч-
добавочные члены в функции Лагранжа материи имеют вид
- y [ - g (х)Г1/2 **»•"*¦ (х) Д^ (аг), A7.125)
где m"v'A — тензор, соответствующий полю материи и грави-
гравитационному полю, который имеет указанные ранее свойства
симметрии. Приведем в качестве иллюстрации выражение для
этого тензора в случае спина 0, которое получается путем обобще-
обобщения выражения G.88):
= [>v {х) g^ (х) -1- g» (х) gi* (х) -1 g*» (х) g*» (х) J 1 Ф (х)К
A7.126)
Для определенности мы положили соответствующий коэффициент
равным 1/6, с тем чтобы новый тензор натяжений, имеющий
в отсутствие гравитационного поля вид
^ (д <рд<р + m V) — "ё" E^^5vф2 — g^д\2),
A7.127

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 483
обладал свойством
t = -m?tf A7.128)
и обращался в нуль при т = 0. Если в формулу A7.125) подста-
подставить выражение A7.126), то там появится комбинация
= R A7-129)
и модифицированная функция Лагранжа в случае спина 0 будет
такой:
-jR) Ф2]. A7.130)
Интересно убедиться в том, что рассматриваемая система при
т = 0 конформно-инвариантна в смысле преобразования A7.114),
дополненного соответствующим законом изменения ф (х). Сразу же
видно, что если К (х) — константа, то таким законом изменения
может служить преобразование
Ф (х) -+¦ [1 (х)]/2 ф (х). A7.131)
Чтобы завершить проверку, достаточно рассмотреть 8К (х) —
бесконечно малую вариацию величины X (х) в окрестности едини-
единицы. В таком случае
t4, A7.132)
где при вычислении комбинации
(-Л^°Д^ = дк [(-g^g^brU-dv K-tfI"*"^] A7.133)
следует учитывать, что
6
. A7.134)
Входящие сюда величины таковы:
6Г?К = S [5„ In (-gy/*] = 2д^% A7.135)
и
gWlt^-gwd^X, A7.136)
что дает
A7.137)
гарантируя тем самым инвариантность действия при т = 0 отно-
относительно группы конформных преобразований.
Тут меня прерывает вопросом Гарольд.
Гарольд. Вы так много уделяете внимания конформным пре-
преобразованиям в связи с тем, что принято называть общей теорией
относительности, что я начинаю подозревать, не намереваетесь ли
31*

484 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Вы переложить на язык теории источников некоторые последние
попытки расширить рамки общей теории относительности. Я имею
в виду, в частности, идеи Йордана и Бранса — Дике, а также
аналогичные попытки Дике доказать наличие расхождения между
остаточной прецессией перигелия Меркурия и выводами теории
Эйнштейна. Гипотеза Бранса — Дике основывается на принципе
Маха, который, хотя и выглядит весьма заманчиво, все же лишен
непосредственного физического содержания. Можно ли указать
какие-нибудь возможности модифицировать эйнштейновскую тео-
теорию, исходя из несколько более содержательных физических
предпосылок?
Швингер. Это действительно входит в мои намерения.
Начнем с вопроса, можно ли путем некоторого обобщения
теории сделать конформную инвариантность точным свойством
симметрии. Несомненно, массовый член в формуле A7.130) можно
умножить на а (жJ, где а (х) — некоторое новое скалярное поле,,
которое изменяется при конформных преобразованиях по закону
а (х) -+ [X (х)\-У* о (х). A7.138)
Кроме того, можно было бы скомпенсировать также изменение-
гравитационной функции Лагранжа A7.75) при конформном пре-
преобразовании, умножив ее на а (хJ, по крайней мере при постоян-
постоянной функции К (х), оставляющей R^ неизменным. Наконец,
если заметить, что произведение (—gI/* Raz есть часть конформно-
инвариантной функции Лагранжа A7.130) (при т = 0 и <р —*- о),
то обобщение на произвольные К (х), приводящее к полной кон-
конформной инвариантности, становится совершенно очевидным:
X (g, а, Ф) = ± (_ gf* [Да* + бЗцад
( !)J A7.139)
где тензор R = g^R^ выражается через тензор g^v и его про-
производные по тем же формулам, что и раньше. Может показаться,
что мы ввели новую безмассовую частицу со спином 0, описывае-
описываемую скалярным полем а (х). Но это не совсем так. Если положить,
в случае слабого поля
а (х) « 1 + х (*), A7.140)
то главные по % члены в функции Лагранжа будут равны
A7.141).
Член с производными % имеет верный знак. Кроме того, согласно-
формуле A7.107), источник поля %, пропорциональный R + xt,.
равен нулю. Все это свидетельствует о том, что поле % не описыва-

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 485
ет физического возбуждения. Его можно оттрансформировать,
введя конформное преобразование с коэффициентом [X (ж)]1/2,
равным а (х), которое будет сводить последнюю функцию к 1.
Тем не менее конформно-инвариантная схема оказывается
полезной, указывая нам некое новое направление. Как мы уже
видели в физике частиц высоких энергий, природа не всегда
следует тому, что нам по нашему неведению хотелось бы считать
самой симметричной и самой гармоничной возможностью. Может
быть, формальная инвариантность относительно конформных пре-
преобразований нарушается, причем таким образом, что безмассовая
частица с нулевым спином действительно существует. Несмотря
на принцип нелокальности для безмассовых частиц, исходя из
экспериментальных данных нельзя будет оспаривать наличие такой
частицы, если она взаимодействует с веществом гораздо слабее,
чем гравитон. Чтобы учесть эту гипотезу, мы должны включить
в функцию Лагранжа дополнительный вклад, который в итоге
приводил бы к обращению знака члена с производными а и при-
приписывал бы ему произвольный коэффициент. Но этого недостаточ-
недостаточно, ибо поле а все еще не будет иметь источника,— необходимо
разрушить комбинацию R -\- v.t. Это можно сделать как угодно,
но практические возможности иллюстрируются следующими двумя
элементарными альтернативами: либо выбрасывается множитель
аг при т2, либо выбрасывается множитель а2 при В.. В первом
случае мы получаем некий вариант теории Бранса — Дике. Во
втором мы приходим к тем же самым практическим выводам, но
все оказывается несколько проще. Рассмотрим второй случай.
Модифицированная функция Лагранжа имеет вид
Т, <т, ср) = Ц [ \ ]
1/ [ ( 4 ) ] A7.142)
4- R) ф2
где a — новая эмпирическая константа (a > 0). Множитель 1 +
-f- a введен для того, чтобы сохранить первоначальный физический
смысл к. Эта функция Лагранжа приводит к следующим полевым
уравнениям:
" ^ A7.143)
fl] = -^tt A7.144)
где ?nv — полный тензор натяжений, который получается сложе-
сложением вклада материи с тензором натяжений поля о:
h = W + {дада
2 1-4-a A7.145)

486 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Вид уравнений (.17.143) — A7.145) не зависит от модели, исполь-
используемой для материи, при условии, что часть функции Лагранжа,
отвечающая материи, сделана конформно-инвариантной благодаря
локальному введению ноля а, откуда вытекают соотношения
6л j {dx)Xm- j (dx) [±(_gI'«*IIl6>,-^i. a8k\=0 A7.146)
и
<r^2? = (-^I/1*- A7-147)
Полевое уравнение A7.144) сначала появляется в виде
-(-?)~V4 [(-^V^vcr^i-jq^ tm±, A7.148)
а затем его переписывают в форме A7.144), исключив tm. Его мож-
можно вывести и прямым путем, применив принцип действия к изме-
изменению неинвариантной функции Лагранжа при конформном пре-
преобразовании:
= 0, A7.149)
что дает
— (— #)~1/2дц[( — gfl2 g^dvO] = —aR— . "* t. A7.150)
Самый быстрый способ извлечь практические следствия из
модифицированной теории — обратиться к методам теории источ-
источников, изложенным в гл. 2, § 4 и дополненным теперь членом,
который отвечает частицам со спином 0. Источники частиц со
спином (спиральностыо) 2 и 0 нормируются как
J_
2 i т
1 + а,
причем второй из них относится к полю г/2 (аа — 1). Это дает
... i. т (х) D+ (х - х') Т (z1) -hi aT (х) D+ (х-х) Т <х')] , A7.151)
z <* j
и выражение для энергии взаимодействия с неподвижным телом
массы М, заменяющее выражения D.36) и D.37) из гл. 2, будет
иметь вид
у [• 1 Р 1 СС 1
•^взаим \"^ ) ~~~ о^ ¦*'-' I 1"^/ | „. i ^ I х j х i j ~, j ~ t^j^ix, х i |.
' оя j4 '|X|i^ l-j-a 'j
A7.152)
При условии thh <^ t00 снова получается ньютоновская потен-
потенциальная энергия вместе с гравитационным красным смещением.

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ I 487
Для света, когда thh = t°°, отклонение луча и замедление скорости
уменьшаются в .1/A -j- а) раз. При расчете прецессии перигелия
поправочный множитель 1 + BТ/т) у кинетической энергии
теперь заменяется множителем 1 + [A — а)/A + а)] BТ/т), что
дает
?? A7Л53)
и прецессия перигелия уменьшается в A — 1/3а)/A -|- а) Раз-
Поправочные коэффициенты обычно представляют в следующей
форме:
л а
световые явления: 1—г——,
4 а С1754)
прецессия перигелия: 1—т тт—¦
Когда писалась эта книга, измерения показывали, что запаздыва-
запаздывание радиолокационного сигнала, отраженного от Венеры, составля-
составляет 0,9 ± 0,2 от величины, предсказываемой тензорной (эйнштей-
(эйнштейновской) теорией. Это значит, что параметр а лежит в пределах
0,1 ± 0,2. Утверждалось также, что 8% прецессии перигелия
Меркурия можно приписать квадрупольному моменту солнечной
массы, а остальные 92% относились на счет скалярно-тензорной
модификации теории Эйнштейна, что дает
а = 0,06. A7.155)
До тех пор, пока не будет независимым путем доказано наличие
квадрупольного момента у Солнца (может быть, в результате
дальнейших наблюдений за движением астероида Икаруса), при-
приходится считать, что вопрос о существовании слабо взаимодей-
взаимодействующей безмассовой частицы со спином 0 остается открытым.
Теперь, когда мы построили скалярно-тензорную теорию гра-
гравитации, не обращаясь к принципу Маха, целесообразно, по-види-
по-видимому, сказать несколько слов об этой космологической гипотезе.
С точки зрения теории источников она весьма естественна, ибо
утверждает, что разложением
SVv (*) ~ S»v + 2/^v (х), а (х) да 1 + % (х) A7.156)
устанавливается связь между полями поблизости от источников —
2/jp.v (х), % (х) — и полями на очень больших расстояниях от
источников — ?ц„, 1. Чтобы извлечь качественные выводы из
такой идеи, не пользуясь приближением слабого поля во всем
космологическом пространстве, мы рассмотрим усредненный слу-
случай, когда единственные масштабы для полей и источников задают-
задаются «массой Вселенной» М и «радиусом Вселенной» В. Это находит

488 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
свое выражение в соотношениях
(J) (?)
М I х \ ,., М I х \ A7-157)
где все функции Vnv> s> 1ци и t по порядку величины в логариф-
логарифмическом масштабе равны единице. В таком случае, выделив в раз-
разных частях двух полевых уравнений A7.143) и A7.144) только
скалярные множители, мы получим
1 и М 1 ах, М ..
A
Отсюда вытекают следующие выводы:
а ~ 1, A7.159)
что на логарифмической шкале согласуется со значением а =
= 0,6 -Ю-1, и
^~1. A7.160)
Последний результат соответствует хорошо известной эмпириче-
эмпирической связи между общепринятыми порядками величин: R ~
~ 102S см, М ~ 1051 г ~ 1091 см и гравитационной постоянной
и ~ 104 см3 [формула D.40) из гл. 2]. Если смотреть на это
соотношение как на характерное для принципа Маха, то в рамках
теории источников нельзя будет говорить, что при введении ска-
скалярного поля ситуация качественно изменяется, ибо соотношение
A7.160) может найти место и в чисто тензорной теории.
Предположение о том, что величина а существенно ограничи-
ограничивается совместным решением двух полевых уравнений, не под-
подтверждается полностью исследованием самой элементарной моде-
модели. Для ее описания мы (впервые) воспользуемся геометрическим
языком, охарактеризовав пространство как однородное и изотроп-
изотропное и считая при этом трехмерное подпространство плоским. Это
одна из моделей Фридмана:
-gilv dx» dx* = dfi — S (tJ (dxh)\ A7.161)
Чтобы согласовать зависимость скалярного поля с чисто временной
зависимостью тензорного поля, примем, что оно также является
функцией только времени — a (t). Если считать, что тензор натя-
натяжений материи имеет лишь энергетическую компоненту t00 =
= рте,'то из полевых уравнений будет следовать, что
?2 _ 1 '2
A7Л62>
2 * -J-" ^""

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 489
где точка означает дифференцирование по времени. Мы ограни-
ограничимся выбором частного решения
ln-L, pm = 0, A7.163)
где момент времени Т относится к нашей эре, а
tQ = Te-i3/aI'\ A7.164)
Это решение описывает плотность материи, пренебрежимо малую
по сравнению с плотностью энергии поля а, которая в момент
времени Т дается выражением
где Н — хаббловская константа расширения:
В результате мы приходим к частному случаю соотношения
A7.160) при R ~ Т и М ~ рТ3. Если считать, что параметр а
весьма мал по сравнению с единицей, то общепринятое значение
Н ~ 2,4-К)-18 с будет давать р ~ 1,0-108 г/см3. По всей види-
видимости, упрощение рт = 0, принятое в рассматриваемой модели,
означает, что плотность материи по крайней мере на порядок
меньше полученного значения р, а это не согласуется с эмпириче-
эмпирическими данными. Ощутимая зависимость от а имеет место только
в момент времени t0, начиная с которого законы физики становятся
качественно сходными с господствующими ныне законами в том
смысле, что a (t) > 0 при t > t0. Основываясь на том, что эти
законы выполнялись на протяжении значительной доли времени
существования Вселенной, можно оценить соответствующий верх-
верхний предел величины а. Номинальное значение а = 0,06 дает
г0 ~ Ю-3 т.
Та легкость, с которой нам удалось добиться общей коорди-
координатной инвариантности функций Лагранжа, отвечающих целым
спинам, с помощью надлежащим образом введенного тензора
guv (#)> не распространяется на частицы с полуцелым спином.
Чтобы установить характер различия, мы будем следовать изло-
изложенной ранее методике слабого поля, взяв для спина х/2 функцию
Лагранжа
#(Ч>)=-уЧ>7°[У|^+"ф A7.167)
и тензор натяжений G.120)
*i« =4*7°у [> 4 5v + Vv| *¦»] 1H-*i«2. A7.168)
32-0670

490 I ГЛАВА 3. ПОЛЯ
что дает
A7.169)
В это выражение входит не
gw(x)~g»v~2hllv(x), A7.170)
а нечто, напоминающее квадратный корень из этой комбинации:
(ri—b''k(z))- A7.171)
Однако необходимые обобщения могут быть выполнены, если
мы будем отличать векторный индекс у gw — №v (x), который
связан с производной по координатам dv, от векторного индекса,
связанного с матрицами -уц- Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
мы впредь для локальной системы координат Минковского, кото-
которая сохраняется для описания спина, будем пользоваться латин-
латинскими буквами. Учитывая такое различие в обозначениях, напи-
напишем обобщенное выражение A7.171) в форме
g™ (х) = е^ (х) gabe^ (x) = e^ (x) t% (x), A7.172)
которая сохраняется при общих координатных преобразованиях,
если
ёЦ(х) = е1(х)д^. A7.173)
Имеет место независимая инвариантность относительно локаль-
локальных преобразований Лоренца:
~eVM{x)^lab{x)e^{x), A7.174)
где
lac{x)gablbd{x) = gcd. A7.175)
Вводя определение
е»а (х) = *»• (х) е- (х), A7.176)
мы из соотношения A7.172) заключаем, что
е^ (х) eva (x) = 8? A7.177)
и
guv (х) = el (x) gabebv (х) = е% (х) eva (x). A7.178)
Рассматривая первую форму последнего выражения как матрич-
матричное произведение, получим следующее соотношение для опреде-
определителей:
-g (x) = [det внв (хI2, A7.179)
или
= det g|ie (a;) = е (х). A7.180)

посредством которого вводится fjj (х). Инфинитезимальное локаль-
локальное преобразование Лоренца имеет вид
§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ I 491
Промежуточное выражение для функции Лагранжа, получаемое
путем указанного обобщения формулы A7.169), имеет вид
X Сф. е) = -е (х)^^(х) y°[feva (x) ± dv + m] г|> (х). A7.181)
Соответствующее действие будет заведомо инвариатным относи-
относительно произвольных координатных преобразований, если поле
г[з (х) преобразуется как скаляр, т. е.
ф (i) =ip (х). A7.182)
Но мы потребуем также инвариатности относительно произволь-
произвольных локальных преобразований Лоренца; с этой точки зрения
выражение A7.181) неприемлемо.
Чтобы выяснить физический смысл последнего требования,
рассмотрим закон изменения действия, отвечающего материи,
при варьировании величин е% (х):
8е j (dx) X (i|>, e) = - j (dx) e (x) 6e{J (x) % (x), A7.183)
о вводится tp (x). Инфинитезимальное локаль-
Лоренца имеет вид
8е%(х) = 8ааЬ (х) е»ь (х), A7.184)
причем
бйаЬ (х) = -8шЬо (х). A7.185)
Тем самым инвариантность относительно произвольных преобра-
преобразований этого типа требует, чтобы выполнялось равенство
tba (х) = е& (х) % (х) = tab (x), A7.186)
которое приводит также к свойству симметрии
*nv (х) = ецо (х) evb (x) ta*> (х) = «v|i (x). A7.187)
Тензор, от которого требуется, чтобы он был симметричным,
в действительности является тензором натяжений материи. Это
следует из выражения
Ье^Ъ = Segeva^v==i.§ (egeva) ^ A7.188)
которое воспроизводит определение тензора натяжений G.100):
б, j (dx) X = 8gj (dx) X = - у j (dx) (- g)Vi 8g»4^. A7.189)
Функция ij) (x) при локальном преобразовании Лоренца A7.174)
изменяется по закону
$(х) =L (I (x)) ф (х), A7.190)
где
Lr oL o Li b A7.191)
32*

492 ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Локальная инвариантность функции Лагранжа A7.181) нарушает-
нарушается именно в результате действия производных по координатам
на L (I (х)). Координатное смещение индуцирует инфинитезималь-
ное преобразование Лоренца и соответствующее ему преобразова-
преобразование поля:
I'ь (х + dx) = l\ (*) [fig + <Ьсь (*)],
L (I (х -[-dx)) = L (Z (х)) [l -J-l i йсоаь (x) у aab] , A7Л92)
где
d(oab = — daba = lcodlcbj A7.193)
и, следовательно,
L-1 d»L = i Ц°ад»1сЪааЬ. A7.194)
Для компенсации этого эффекта производная по координатам
в функции Лагранжа заменяется на
д» - \ та»ъва\ A7.195)
где fi)aiib (x) — величина, которая при общих преобразованиях
координат ведет себя как ковариантный вектор, а при локальных
преобразованиях Лоренца изменяется таким образом, что выпол-
выполняется соотношение
= d»-\ mailboa\ A7.196)
Требующийся для этого закон преобразования имеет вид
©в'мь-^'о 1Ь'ь = ы<щъ + 1сад»1съ. A7.197)
Фундаментальный смешанный тензор определяется коммута-
коммутатором
J-fto«,,b(a:)a*bf dv—jtoevd{x)&*]=±iRtyab(x)&lb. A7.198)
Он дается выражением
— Л nvob = dptoavb — д^йа»Ъ — <»ац0СйсуЬ + COavcCUCM,b A7.199)
и носит характер антисимметричного тензора второго ранга по
отношению к общим координатным преобразованиям и антисим-
антисимметричного тензора второго ранга по отношению к локальным
преобразованиям Лоренца. Скаляр относительно преобразований
обоих типов определяется формулой
ем» (д.) evb (д.) д^оЬ (ж) = R (Ж) A7.200)
и служит основой для построения гравитационной функции
Лагранжа:
1-лХ (е, со) = eeWe^R^ab- A7.201)

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 493
В пределе слабого поля, когда всякое лингвистическое различив
между индексами стирается и
<?"«»(*) «?"»-А"" (ж), A7.202)
эта функция Лагранжа с точностью до дивергентного члена сво-
сводится к выражению A7.38).
Применяя принцип стационарного действия к вариациям йаць
в X (е, <в), получаем
dv [e (e^aevb — е»ье"а)] — coavc [e (e»cevb — e<*bevc)] —
— a\c[e(e^aevc — е*г-е™)] = 0. A7.203)
Если ввести величину
А1»= -Qb\, A7.204)
которая не является тензором, а также величины
&аьс = е^ьО»с, ааЬс = egfi)Oflc, A7.205)
то мы сможем переписать зто уравнение в форме
®аЪс + ©асЬ ~ С0саЬ + gbcK ~ gabK = 0, A7.206)
где
К = е-1 dv (eel) - ®аъЬ = -(U/ + йаЬь),
причем здесь использована формула дифференцирования опре-
определителя:
dve = e&° dytfa. A7.208)
Свертывая уравнение A7.206) по индексам Ъ и с, мы получаем
у Ха разные множители, откуда следует, что
К = 0, A7.209)
и уравнение A7.206) приводится к виду
&abc = «cab — «>асЪ, A7.210)
откуда мы снова приходим к равенству Ка = 0. Решение послед-
последнего уравнения
©abc = 4" IQcab + ®Ъса - «abel A7.211)
представляет собой выражение A7.17), обобщенное на случай
сильного поля.
Другой характеристике слабого поля [см. формулу A7.27)]
соответствует обобщенная величина
ТаЬс (X) = <*аЪс (х) - evc (х) eg (х) 3^а (х) = ТЪас (х), A7.212)
в симметрии которой находит свое выражение соотношение A7.210).
Дополнительное определение
rjiv = ^4rotce^ = r^ A7.213)

494 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
позволяет нам представить формулу A7.212) в виде
Й МО. A7.214)
Умножив это уравнение на е»а и осуществив симметризацию по \л
и v, мы исключим член с (оакъ и получим
0. A7.215)
Это соотношение есть утверждение о равенстве нулю ковариантной
производной тензора g&v, и, следовательно, величины r?v пред-
представляют собой величины A7.91), называемые обычно символами
Кристоффеля. После этого становится совершенно очевидным, что
два объекта, определяющиеся формулами A7.124) и A7.199),
¦связаны равенством
M A7.216)
тде в правильности алгебраического знака можно убедиться,
перейдя к пределу слабого поля. Таким образом, гравитационные
•функции Лагранжа X (g, Г) и X (е, со) тождественны.
Возвращаясь к функции Лагранжа A7.181), отвечающей спи-
спилу 1/2, подставим в нее обобщенную производную по координа-
координатам A7.195), в результате чего получим
) ] >. A7.217)
Заметим, что здесь полной антикоммутативностью поля выделяет-
выделяется антисимметричная часть матриц -у0?*0*0- Этим исключаются
члены с а = Ъ или а = с, которые пропорциональны симметрич-
симметричным матрицам Y°Ya* ^ таком случае, поскольку
афЪ, с: yaebc = zabcdiydy5, A7.218)
мы можем представить функцию Лагранжа в виде
^(t, e)=-ey^[va^4-3v + *coaiY<xV5 + w]t, A7.219)
где
•<B" = ^eebcd(oebc. A7.220)
Обозначение X (гр, е) можно было бы расшифровать как
X (ty, e, со). Если добавить такую структуру к гравитационной
функции Лагранжа A7.201), в которой независимыми переменны-
переменными служат е? и coavbi то зависимость X (я|з, е, <о) от ©ovb приведет
к появлению дополнительного члена в формуле A7.203), который
будет нарушать свойство симметрии A7.212). Такова естественная
формулировка теории. Но мы исключительно из соображений
простоты предпочтем рассматривать <лаьс как величины, опреде-
определяющиеся формулой A7.211) и потому не подлежащие переопре-

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 495
делению из-за появления соаЬс в функции Лагранжа материи. Что-
Чтобы прямо получить тензор натяжений t^, рассмотрим вариацию
частного вида
6^, A7.221)
которая согласуется с построением gw из е? и дает
б, \ {dx)Z(y, е)= - j (dx)e6effl = -у j (dx) (-g
A7.222)
Несложные выкладки показывают, что
8*<od = -8g™| eetedeua<obvc, A7.223)
и поэтому
hv = у WYa
| l^^, A7.224)
где первые два члена можно объединить, если снова ввести спинор-
ную ковариантную производную A7.195).
Скаляр, получающийся из этого тензора, таков:
t = — m-i- ij)v4 + Зе-1^. A7.225)
Его можно упростить, используя полевое уравнение, вытекающее
из функции Лагранжа. Но все, что здесь нам требуется, можно
получить и прямым путем, применяя принцип действия к полевым
вариациям частного вида:
&ф (х) = — \ 6Я (х) Ц> (х). A7.226)
При этом изменение члена в действии, отвечающего материи,
дается выражением
8* j (dx) X (ф, е) - —|J (dx) ХЬ% (х), A7.227)
так как благодаря симметрии матриц уйуа никакие вклады, содер-
содержащие ЗрбЯ, не возникают. В результате мы приходим к выводу,
что функция Лагранжа обращается в нуль (в точках, где нет источ-
источников частиц) и поэтому
t = —m i tyY A7.228)
Последнее соображение тесно связано с тем, что путем введения
скалярного поля a (x) можно построить конформно-инвариантную
функцию Лагранжа материи.

496 | ГЛАВА 3. ПОЛЯ
Конформные преобразования тетрады векторных полей е% (х)
имеют вид
-,<» /• ~.\ ^_ г 1 (т-М1/2 ра Iт\ (\Ч 99Q4
или в случае инфинитезимальных преобразований
Отсюда,
ниях
с
с
и
в
частности,
1
следует,
81(ЙаЪС +
б *соа =
что
= —
при к
а
-81*
A7.230)
бе = 28Хе. A7.231)
конформных преобразова-
- elgab) dv8K A7.232)
соа. A7.233)
Характер изменения функции ч|з (х) при конформных преобразова-
преобразованиях уже указан в формуле A7.226). Он таков, что для получения
конформно-инвариантной функции Лагранжа достаточно заменить
в формуле A7.219) т на та. Пользуясь затем зависимостью
X (ч|з. е, а) от а, мы с учетом формулы A7.147) сразу же получим
для скаляра t выражение A7.228), но с заменой т на та.
Не будем поддаваться искушению и распространять проведен-
проведенный нами анализ на произвольные мультиспинорные поля. Вместо
этого обратимся к проблеме гравитационной модели источников,
частиц и гравитонов, которую мы все откладывали и откладывали.
Стоило бы задуматься над тем, как нам удалось зайти так далеко
без исследования этого вопроса. Дело в том, что арена, на которой
разыгрываются гравитационные явления, ограничивается в основ-
основном астрономическими объектами, которые не поддаются нашему
экспериментальному контролю. Поэтому источники, которые
идеализированно выражают способность экспериментатора изме-
изменять изучаемую физическую ситуацию по своему усмотрению,
не дают здесь видимой пользы. Концепция гравитационного источ-
источника уже выполнила свое первоначальное предназначение, послу-
послужив моделью, на основе которой была воздвигнута координатно-
инвариантная динамическая теория. Тем не менее следует сделать
некоторые замечания, хотя, как ясно из сказанного выше, мы
можем ограничиться тем, что рассмотрим источники частиц и гра-
гравитонов лишь в условиях слабого гравитационного поля, господ-
господствующих в наземных экспериментах. Последующий краткий ана-
анализ не обязан быть применимым к экспериментам, которые про-
проводятся на космическом корабле, обращающемся по орбите малого
диаметра вокруг быстро вращающейся нейтронной звезды.
Первый вопрос, который мы затронем, уже возникал ранее
в случае источников заряженных частиц. Обобщенный закон

I 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 497
сохранения тензора натяжений [формулы A7.103) и A7.104)]
будет нарушаться внутри источников частиц, если не учесть пред-
предшествующего существования энергии и импульса, передаваемых
испущенным частицам. Но проблема гравитонного источника
не имеет электромагнитной аналогии. Фотоны электрически
нейтральны, тогда как гравитоны несут энергию и импульс, кото-
которые также должны только передаваться, а не рождаться в источ-
источнике. Чтобы обеспечить правильный закон изменения источников
заряженных частиц при калибровочных преобразованиях, мы
вводили явную зависимость от А ц. Точно так же и в данном слу-
случае на проблему источника можно смотреть как на поиски такой
явной зависимости от g^, которая обеспечивала бы правильный
закон изменения всевозможных источников при общих координат-
координатных преобразованиях.
Простейшим примером служит скалярный источник К (х),
который входит в действие в комбинации
J (Ac) l-g (x)]V* К (х) Ф (х). A7.234)
Мы должны заменить х& таким функционалом х^ (х, g) от g^v,
для которого при общем координатном преобразовании выполня-
выполнялось бы соотношение
х» (г, g) = а* (х, g), A7.235)
ибо тогда равенство
= J (А7) I - g(x)I/2 К (х (x~,
= ](dx)[-g(x)]1/*K(x(x, g))<p(x) A7.236)
будет свидетельствовать о наличии требуемой динамической экви-
эквивалентности полей g^v (х), ф (х) и ^ (х), ф (х). В приближении
слабого поля напишем
а?(х, g) = x»+Xlx(h), A7.237)
где в силу свойства инвариантности A7.235), сформулированного
для инфинитезимальных преобразований {xv- = зР — 8х^), должно
выполняться условие
6Хи (h) = 8x». A7.238)
Это условие должно быть следствием калибровочного преобра-
преобразования A7.45). Решение имеет вид
Х% (k) = j (Ac') {dx") Г ix-J) f (х'-х") 1%, (х") =
= 2 J (dx')U(x-xr)h4X(x1)-^ J (AO(AOx
Xf (z~ *')№-*") V0O> A7.239)

498 ! ГЛАВА 3. ПОЛЯ
где f- (х — х') — одна из функций известного нам класса, удов-
удовлетворяющая уравнению
x — x') = 8 (х- х'). A7.240)
Получаемый теперь тензор натяжений материи, который мы для
простоты напишем в отсутствие гравитационного поля, будет
сохраряющейся величиной:
Схр (X) = Г (х) + g^K (X) ф (X) -
+ J (dx') (dx") f (x-x') f (x' - x") d%" [q> (x) d"kK (x'%
A7.241)
где tw — тензор G.8), удовлетворяющий уравнению
dtl(tllv + g^K(f) = (fdvK. A7.242)
Возможность испускания гравитонов непосредственно источни-
источниками материи становится ясной, если координатно-инвариантное
выражение для члена с источником A7.234) написать в случае
одногравитонного излучения в виде
(dx) A + h) ф (К + Хд (ft) д^К). A7.243)
Если считать, что детектирующие источники гравитонов не пере-
перекрываются с носителем К, то можно будет воспользоваться урав-
уравнениями A7.13) и A7.14) для слабого гравитационного поля
в отсутствие источников, в результате чего получим
\ {x") = h(x). A7.244)
Это позволяет представить выражение A7.243) в виде
tl4,]. A7.245)
Можно было бы также, наоборот, исходить из последнего выра-
выражения, в котором дополнительный член служит для того, чтобы
скомпенсировать изменение ф (х) при инфинитезимальных коорди-
координатных преобразованиях. Аналогичный анализ можно провести
и для любого другого типа источников и полей материи, исследуя
при этом их трансформационные свойства.
, Выражение для той части действия, в которую входит грави-
гравитонный источник, в случае слабого поля имеет вид
j (dx) ПУ (х) V (х) -+ j |
= 0, A7.247)

§ 17. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ | 499
причем правая часть соотношения A7.246) получается путем
добавления константы. Нам нужно выразить то физическое свой-
свойство, что излучение дополнительного гравитона может сопутство-
сопутствовать как действию источника материи, так и действию источника
гравитонов. Математическая задача состоит в том, чтобы с точ-
точностью до градиентных членов (калибровочных преобразований),
которые не дают вклада в выражение A7.246), скомпенсировать
изменение g^v (х) при инфинитезимальных координатных преобра-
преобразованиях. Если равенство, выполняющееся с точностью до гра-
градиентных членов, обозначать символом ~, то изменение величины
g^v при инфинитезимальных координатных преобразованиях,
определяемое формулой A7.96), будет даваться формулой
A7.248)
Далее, применив соотношение A7.45) для слабого поля, получим
= -б [д„Х%Хх], A7.249)
что и дает нам искомое обобщение выражения A7.246):
i- j (dx)nv[gllv + 2TlvXx + dilX>'dvXk}. A7.250)
Источник T^v (x), получаемый теперь путем варьирования по
g^ (x), имеет вид
- J (dx1) [f (x - x') tv (x') + fv(x- x') xw (x1)] +
+ j (dx')(dx")f{x-x')r(x'-x")d№{x"), A7.251)
где
^ = (T^-dad^Xx)Tf. A7.252)
Тензор Tv* благодаря своей зависимости от гравитационного
поля, имеющей требуемую точность, действительно изменяется
при инфинитезимальных координатных преобразованиях надле-
надлежащим образом, удовлетворяя при этом дивергентному соотноше-
соотношению A7.104). Отметим, наконец, что, как и в случае фотонов,
можно избежать рассмотрения дополнительного излучения источ-
источниками, принимая некоторую эквивалентную калибровку. Грави-
Гравитационное условие калибровки, обеспечивающее обращение в
в нуль членов с Хх, имеет вид
f (dxr) /^ {х - х') <v (xr) = 0. A7.253)
Книга заканчивается кратким диалогом между Гарольдом и
и автором.

500 I глава з. поля
Гарольд. Неужели это уже конец книги? Ведь Вы ее только-
только начали! Осталось множество дополнительных проблем,
и я хотел бы посмотреть, как их исследовать на основе теории
источников. И потом подумайте, как Вы обрадуете рецензентов,
которые любят перечислять все не включенные в книгу вопросы,
а не говорить о том, что она действительно содержит.
Швингер. Совершенно верно. Но мы дошли до той точки,
с которой начинается переход на следующий динамический уро-
уровень. А поскольку книга получилась уже довольно толстой,
причем в ней представлены, хотя вряд ли полностью развиты
и применены, многие из идей теории источников, мне кажется,,
что лучше всего положить ее перед читателями как первый том
некой серии. Надеюсь, что следующий том будет подготовлен
своевременно, чтобы удовлетворить возросшие потребности в более
всеобъемлющей Теории Источников.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА 9
Глава 1. ЧАСТИЦЫ 13
§ 1. Унитарные преобразования 13
§ 2. Галилеевская относительность 20
§ 3. Эйнштейновская относительность 29
$ 4. Критика теорий частиц 40
Глава 2. ИСТОЧНИКИ 57
§ 1. Частицы со спином 0, слабый источник 58
§ 2. Частицы со спином 0, сильный источник 72
§ 3. Частицы со спином 1, фотон 92
§ 4. Частицы со спином 2, гравитон 106
§ 5. Частицы с произвольным целым спином 114
§ 6. Частицы со спином Vj, статистика Ферми — Дирака 131
§ 7. Еще раз о частицах со спином У2, нейтрино 150
§ 8. Частицы с полуцелым спином 165
§ 9. Единое описание всех спинов и типов статистики 174
Глава 3. ПОЛЯ 189
§ 1. Понятие поля, частицы со спином 0 189
| 2. Понятие поля, частицы со спином V2 203
§ 3. Некоторые другие значения спина 212

502 I ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Мультиспинорные поля 228
§ 5. Действие 238
§ 6. Преобразования инвариантности и потоки; заряд 253
§ 7. Преобразования инвариантности и потоки; механические характе-
характеристики 265
§ 8. Электромагнитное попе, магнитный заряд 288
§ 9. Квантование заряда, нормировка массы 302
§ 10. Примитивные электромагнитные взаимодействия и модели источ-
источников 321
§ 11. Обобщенные источники, мягкие фотоны 335
§ 12. Скелетная схема взаимодействий, эффективные сечения рассея-
рассеяния 350
§ 13. Процессы с участием частиц со спином V2 377
§ 14. Источники как рассеиватели 401
§ 15. tf-частицы 427
§ 16. Нестабильность и многочастичный обмен 440
§ 17. Гравитационное поле 468

ю. швингер | Частицы, источники, поля
Редактор Е. С. КУРАНСКИЙ. Художник С. А, БЫЧКОВ, Художественный редактор
А. Г. АНТОНОВА. Технический редактор Е. Д. КУЗНЕЦОВА. Корректор И, С. СО-
СОКОЛОВА.
Сдано в набор 28/VIII 1972 г. Подпио«ао к печати 29/ХП 1972 г. Бумага М 1
60x90Vie=15,75 бум. л. 31,5 печ. л., Уч.-взд. л. 29,15
Изд. N5 2/6385. Цена 2 р. 37 к. Зак. 0670.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». Москва, 1-й рижский пер», 2
Ордена Трудового Красного знамени Московская типография МД7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома» при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и княжной торговли. Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9