Л.С.ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ
В ТРЕХ ТОМАХ

Л.С.ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ
Том I
топология
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Том II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
Том III
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Редакционная коллегия
Д. В. АНОСОВ, Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ (ответственный редактор),
Е. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВИКОВ, М. М. ПОСТНИКОВ, И. Р. ШАФАРЕВИЧ
Составитель Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ

Л.С.ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУЛЫ
ТОМ III
НЕПРЕРЫВНЫЕ
ГРУППЫ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 8

Моей жене а другу
Александре Игнатьевне
Понтрягжой
посвящаю
Л. Понтрягин

ОТ РЕДАКЦИИ
Настоящее трехтомное издание избранных математических трудов
Льва Семеновича Понтрягина осуществляется Главной редакцией физико-
математической литературы издательства «Наука» на основании
постановления президиума АН СССР.
В первый том включены основные работы Л. С. Понтрягина по топологии
и топологической алгебре.
Первый цикл топологических работ Л. С. Понтрягина относится к теории
размерности и топологическим теоремам двойственности и завершился
открытием общей топологической теоремы двойственности для замкнутых
множеств и построением теории характеров локально компактных
коммутативных групп.
Создание общей теории характеров знаменовало начало топологической
алгебры как самостоятельной науки, приведшей к построению гармонического
анализа, и оказало глубокое влияние на все алгебро-топологическое мышление
30-х годов.
Второй большой цикл топологических работ Л. С, Понтрягина — его
исследования по гомотопической топологии. Они завершились открытием
характеристических классов, определивших последующее развитие гладкой
топологии.
Кроме этих двух больших работ, следует особо отметить его две
классические работы — о топологических телах и о группах гомологии матричных
групп Ли, также включенные в первый том.
Первый том содержит также обзор научных трудов Л. С. Понтрягина,
написанный Д. В. Аносовым, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и М. М.
Постниковым, и краткий обзор самого Льва Семеновича своих работ по топологии
и топологической алгебре, написанный им в 1984 г. Кроме того, в первый том
включены основные даты жизни и деятельности Л. С. Понтрягина и
хронологический указатель его трудов.
Второй том содержит работы Л. С. Понтрягина по динамическим
системам, обыкновенным дифференциальным уравнениям, теории операторов,
оптимальному управлению и дифференциальным играм. Особое внимание
уделено его работам по оптимизации, в которых сформулирован знаменитый
«принцип максимума Понтрягина» — центральный результат современной
математической теории управления.
Настоящий третий том является перепечаткой первого издания
классической монографии Л. С. Понтрягина «Непрерывные группы». Эта
замечательная книга, формировавшая мировоззрение многих поколений
математиков во всем мире, сохранила удивительную актуальность даже в наши дни,
спустя полвека после ее опубликования.
Статьи в первых двух томах расположены в хронологическом порядке.
Подготовка всех трех томов была осуществлена Р. В. Гамкрелидзе.

ВВЕДЕНИЕ
Первоначально понятие непрерывной, или, что то же самое,
топологической группы возникло в математике в связи с
рассмотрением групп непрерывных преобразований. Группа непрерывных
преобразований, например геометрических, сама естественным
образом представляет собой топологическое многообразие. В
дальнейшем оказалось, что для трактовки большей части возникающих
здесь проблем нет надобности рассматривать группу как группу
преобразований, достаточно изучать лишь группу саму по себе,
помня, однако, что в ней установлены соотношения предельного
перехода. Таким образом, возникло новое математическое понятие:
топологическая группа.
С точки зрения чисто логической топологическая группа
представляет собой простое соединение двух основных математических
понятий: группы и топологического пространства. Поэтому
аксиоматика понятия топологической группы крайне естественна.
Рассматривая группы, мы изучаем в наиболее чистом виде
алгебраическую операцию умножения. Точно так же, рассматривая
топологические пространства, мы в столь же чистом виде изучаем
операцию предельного перехода. Так как обе эти операции
принадлежат к числу основных математических операций, то они
весьма часто объединяются. Топологическая группа и
представляет собой то понятие, в котором объединены и тесно связаны
между собой обе указанные операции. В конструктивном
отношении аксиоматика топологических групп не представляет собой
ничего интересного, так как в основном лишь повторяет
аксиоматику абстрактных групп. Таковы же и первые шаги теории
топологических групп: они не содержат почти ничего
специфического. Изложению этой почти тривиальной части теории
посвящается третья глава настоящей книги. В первой и второй главах
собраны те сведения из теории групп и абстрактной топологии,
которые используются на протяжении дальнейших глав.
После того как аксиоматика топологической группы построена
и дана общая теория, возникает более интересная задача: дать
конструктивное исследование нового абстрактного понятия, т. е.
привести его в связь со старыми более конкретными понятиями.
На этом пути освещаются с новой общей точки зрения старые
конкретные понятия и в то же время конкретизируется новое
абстрактное понятие. Здесь основную роль играет теория
линейных представлений, данная в четвертой главе настоящей книги.

8
ВВЕДЕНИЕ
Благодаря этой теории удается детально изучить структуру
компактных и коммутативных топологических групп, что сделано
в седьмой и пятой главах.
К числу конкретных понятий теории топологических групп
относится понятие группы Ли. Первоначально теория
топологических групп и возникла в форме теории групп Ли. Как обычно
в теориях сравнительно давнего происхождения, в теории групп
Ли остались нерешенными некоторые вопросы принципиального
характера. Решению этих принципиальных вопросов посвящается
шестая глава настоящей книги. Там же дается подготовительный
материал для главы седьмой, так как компактные топологические
группы изучаются при помощи приведения их в связь с группами Ли.
Более детально исследуются группы Ли в девятой главе. Там
даются основы теории групп Ли, а также формулируются без
доказательства некоторые основные результаты, доказательство
которых слишком сложно. В восьмой главе дается понятие
универсальной накрывающей группы. Оно устанавливает связь между
локальными свойствами топологической группы и ее свойствами
в целом.
Почти каждый параграф книги заканчивается примерами,
характер которых весьма разнообразен. С одной стороны, здесь
имеются почти тривиальные иллюстрации теоретического материала,
с другой же стороны, часто дается краткое изложение доказательств
некоторых теорем, имеющих вполне самостоятельное значение.
Книгу не обязательно читать всю подряд. Схема зависимости
глав приведена на стр. 8.
Книга рассчитана на читателя с весьма скромной
математической подготовкой. В основном предполагается знание лишь
самого элементарного математического материала типа
аналитической геометрии, теории матриц, теории обыкновенных
дифференциальных уравйений и т. п. Кроме указанных элементарных
сведений в книге используются еще следующие менее элементарные:
1) Теория интегральных уравнений—для четвертой главы. В
качестве пособия можно рекомендовать книгу Ловитта «Линейные
интегральные уравнения» (ГТТИ, 1933).
2) Теория уравнений с частными производными, а именно
условия разрешимости уравнений в полных дифференциалах—для
девятой главы. В качестве пособия можно рекомендовать книгу
Ш. Ж. де ла Валле-Пуссена «Курс анализа бесконечно малых»,
т. 2, гл. VIII, § 5 и 6 (ГТТИ, 1933).
Все указанные здесь сведения перед их применением точно
формулируются в виде теорем, приводимых без доказательства.
К книге прилагается список литературы. Ссылки на литера-
ТУРУ будут даваться указанием номера по этому списку,
помещаемого в квадратных скобках.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
В основу изложения книги кладется понятие множества,
которое предполагается известным (см. [12]). Здесь я привожу
некоторые обозначения, связанные с понятием множества и
элементарными операциями над множествами.
A) Запись a g M означает, что элемент а принадлежит
множеству М. В случае если множество М конечно или счетно, мы
иногда будем задавать его простым перечислением входящих в него
элементов. В символах это записывается так: М = {а1у ..., ani .. .}.
Написанное означает, что множество М составлено из элементов
B) Запись M = N означает, что множества М и N совпадают.
C) Запись MaN или NziM означает, что каждый элемент
множества М входит во множество N, т. е. что множество М
составляет часть множества N. Здесь не исключена возможность
и совпадения обоих множеств.
D) Через М Г) N обозначается пересечение множеств М и N,
т. е. множество, составленное из всех элементов, одновременно
принадлежащих множествам М и N.
E) Через М \/ N обозначается сумма множеств М и N, т. е.
множество, составленное из всех элементов, принадлежащих по
крайней мере одному из множеств М и N.
F) Через М — N обозначается разность между множеством М
и множеством N, т. е. множество, составленное из всех элементов,
входящих в М, но не входящих в N. Таким образом, операция
вычитания возможна здесь всегда, независимо от того, является
ли множество N частью множества М или нет. Если MczN, то
в результате вычитания получается пустое множество, т. е.
множество, не содержащее элементов.
G) Пусть М и N—два множества. Допустим, что каждому
элементу х множества М поставлен в соответствие один
определенный элемент y = f(x) множества N. Тогда мы будем говорить,
что имеется отображение f множества М в множество N. Элемент
у называется образом элемента х при отображении/, а элемент х
— прообразом или одним из прообразов элемента у.

10
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Говорят, что / есть отображение множества М на множество N,
если каждый элемент Ь множества N имеет хоть один прообраз а
при отображении /, т. е. b = f(a).
Если А есть подмножество множества М, т. е. АаМ, то через
f(A) мы будем обозначать множество всех таких элементов изМ,
которые являются образами элементов, принадлежащих А\ f(A)
будем называть образом множества А. Если ВczN9 то через f~1(B)
мы будем обозначать множество всех таких элементов из М,
которые переходят в В при отображении /; множество f~x (В) будем
называть полным прообразом множества В при отображении /.
Отображение / множества М на множество N называется
взаимно однозначным, если каждый элемент множества N имеет
лишь один прообраз при отображении /. Если / есть взаимно
однозначное отображение, то уравнение у = f(x) можно разрешить
относительно х, т. е. определить однозначно х, зная элемент у,
и мы имеем х = /~1(у). Отображение /_1 называется обратным
по отношению к отображению /.
СХЕМА ЗАВИСИМОСТИ ГЛАВ
1 Ж
\/
Ж
/|\
ж ш ш
|\|\|
ж ж ж

ГЛАВА ПЕРВАЯ
АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Теория абстрактных групп изучает алгебраическую операцию
в ее наиболее чистом виде: элементы, составляющие группу,
рассматриваются лишь с точки зрения операции, установленной
в группе, все остальные возможные свойства этих элементов
оставляются в стороне.
Настоящая глава посвящается изложению основных понятий
теории абстрактных групп.
§ 1. Понятие группы
Определение 1. Множество G элементов называется группой,
если выполнены следующие условия, называемые аксиомами группы:
1) В G установлена операция, ставящая в соответствие каждой
паре элементов а, Ь из G некоторый элемент с из G. Операция
эта по большей части называется произведением, и результат ее
обозначается через ab, c — ab. (Произведение аЬ может зависеть
от порядка сомножителей а и b: ab, вообще говоря, не равно Ьа.)
2) Ассоциативность: для всяких трех элементов а, Ь, с из G
выполнено соотношение (ab)c = a(bc).
3) В G имеется правая единица, общая для всех элементов
группы, т. е. такой элемент е, что ае — а для всякого элементам
из G.
4) Для всякого элемента а из G существует правый обратный
элемент, т. е. такой элемент а'1, что аа~г = е.
Множество элементов группы G может быть как конечным,
так и бесконечным. Если множество G конечно, то сама группа
называется конечной, а число элементов множества G называется
порядком группы G. В противоположном случае группа G
называется бесконечной.
Если сверх указанных четырех аксиом в группе выполнено
еще условие коммутативности, т. е. для всяких двух элементов а
и Ь из G
ab~baf
(1)

12
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
то группа называется коммутативной или абелевой. Для
коммутативных групп вместо мультипликативных обозначений часто
употребляются аддитивные, т. е. вместо произведения аЬ пишется
сумма а + 6; в соответствии с этим групповая операция называется
не умножением, а сложением. В этом случае единица е группы
называется нулем и обозначается через 0, а элемент а"1,
обратный к элементу а, называется противоположным и обозначается
через —а.
A) В силу аксиомы 2) (ab)c = a(bc); таким образом, этот
элемент можно обозначить просто через abc. Точно так же, если
имеется произведение четырех элементов, например ((ab)c)d, то
оно обозначается просто через abed и, как легко видеть, не
зависит от расстановки скобок. То же самое правило имеет место
и для произвольного числа сомножителей.
B) Правая единица е группы является также и левой едини-
цей, т. е. еа = а для всякого элемента а. Правый обратный
элемент а'1 к элементу а является также и левым обратным, т. е.
а"га = е. Элемент, обратный к элементу а"1, совпадает с а, (а""1)~1=а.
Докажем утверждение В). Из аксиом 3) и 4) следует, что
а"1аа^1^=а"1\ умножая обе части этого соотношения справа на
правый обратный элемент к элементу а""1, получаем а~га = е,
т. е. правый обратный элемент является одновременно и левым
обратным; сверх того, элемент, обратный к яг1, есть а. Далее,
имеем еа = аа~га = ае = а, т. е. правая единица одновременно
является и левой.
C) В группе G каждое из уравнений
ах = Ь (2)
и
уа = Ь (3)
относительно неизвестных х и у имеет решение, и притом
единственное. Из этого, в частности, следует единственность единицы
и единственность обратного элемента, ибо е является решением
уравнения ах = а, а элемент а"1—решением уравнения ах = е.
Для доказательства разрешимости уравнений (2) и (3)
достаточно указать, что элемент аггЬ является решением уравнения (2),
а элемент Ьа"1—решением уравнения (3). Очевидно, далее, что
указанные решения являются единственными, ибо, умножая
уравнение (2) слева на а"1, получаем х — а" 16, точно так же, умножая
уравнение (3) справа на а"1, получаем у = Ьа~~г.
D) После того как доказана единственность единицы и обратного
элемента (см. С)), естественно ввести обычные для элементарной
алгебры обозначения. Если т—натуральное число, то ат+1
определим индуктивно, положив ат+1 = ата, считая, что а1 = а.
Отрицательную степень определим, положив а~т — (а~~х)т. а0 определим,
положив а° = е. Если р и q—два целых числа, то нетрудно по-

§ 1. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
13
казать, что выполнены обычные правила: a*W = a^+0, (а*,)(* = ам.
При аддитивных обозначениях вместо ап пишут па.
Е) Если для элемента а группы существует такое натуральное
число /п, что ат — е, то мы скажем, что элемент а имеет конечный
порядок, в противоположном случае будем приписывать элементу а
порядок бесконечность или нуль или же назовем элемент а
свободным. Если элемент а имеет конечный порядок, то числовое
значение этого порядка определим как минимальное натуральное
число л, для которого аг — е. Оказывается, что если при целом п
ап = е, то число п делится на г.
Для доказательства этого утверждения разделим п на л, т. е.
представим п в форме n = pr+q, где q есть остаток при делении,
причем
0<?<г. (4)
Тогда имеем e = an = apr+q = (arya(i~a(i. Таким образом, a{* = ei
и, следовательно, в силу неравенства (4) q = 0, т. е. п делится на г.
Пример 1. Пусть М — некоторое множество. Будем называть
преобразованием множества М всякое взаимно однозначное
отображение множества М самого на себя. Если s есть некоторое
преобразование множества М, то это значит, что каждому элементу а
из М поставлен в соответствие некоторый определенный элемент s (a)
из М, причем в каждый элемент из М переходит таким образом
один и только один элемент из М. Результат преобразования s,
примененного к элементу а, обозначается также через sa, s(a) = sa.
Совокупность G всех преобразований множества М
естественным образом составляет группу. Пусть s и t—два
преобразования М, их произведение r = st определим условием r(a) = s(t(a))
для всякого элемента а из М. Легко видеть, что определенное
таким образом г является взаимно однозначным отображением М
самого на себя.
Установленный таким образом закон перемножения
преобразований удовлетворяет аксиоме ассоциативности: (rs)t — r{st).
Для доказательства применим обе части равенства к
произвольному элементу а из М:
(rs)t(a) = (rs)(t(a)) = r(s(t(a))),
r(st)(a) = r(st(a)) = r(s(t(a)))9
т. е. в обоих случаях мы имеем один и тот же результат.
Единицей группы G преобразований множества М является
тождественное преобразование, т. е. такое преобразование еу
которое каждый элемент а из М переводит сам в себя: е (а)=а. Обратным
для преобразования s является такое преобразование s_1, которое
всякий элемент sa множества М переводит в а; так как
преобразование s является взаимно однозначным отображением, то всякий
элемент из М может быть представлен в форме s(a) и,
следовательно, преобразование s""1 определено для всех элементов из М,

14
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Таким обрдзом, все групповые аксиомы в группе
преобразований выполнены.
Пусть теперь Я—некоторая совокупность преобразований
множества М, причем Я, вообще говоря, уже не содержит всех
преобразований М. Я составляет группу в силу того же закона
перемножения, который имеет место в G, если наряду со всякими
двумя преобразованиями из Я в Я входит и их произведение
и если наряду со всяким преобразованием из Я в Я входит также
и обратное к нему преобразование.
Пример 2. Пусть G — совокупность всех /г-строчных
квадратных матриц |s/||, составленных из действительных чисел, с
детерминантом, отличным от нуля. Определим как произведение двух'
матриц || s}|| и Щ\ матрицу ||г}||, где
Определенную таким образом группу G можно рассматривать
как группу всех линейных преобразований n-мерного евклидова
пространства Rny сохраняющих неподвижной некоторую точку о.
Примем точку о за начало координат и пусть а—некоторая
точка из Rn с координатами a1, i = 1, . .., п. Обозначим через s(a)
п
точку с координатами Ы = 2 4^fe» i = 1, .. •, п. Полученное
таким образом отображение s пространства Rn самого на себя
является взаимно однозначным. Действительно, если
рассматривать последние соотношения как систему уравнений относительно
чисел ak, то эта система однозначно разрешима, так как
детерминант | 4 | Ф 0.
Легко видеть, что если s и t суть два преобразования
пространства Rn, определяемые матрицами ||s}|| и \\Ц\\, то
произведение st = r определяется матрицей ||г}||, являющейся произведением
матриц ||sl}|| и \\tj\\. По доказанному в примере 1 в совокупности
преобразований выполнена аксиома ассоциативности. Таким
образом, ассоциативность имеет место также и в рассматриваемой
совокупности матриц.
Единицей в группе матриц служит единичная матрица (|б}'(|,
fi'=l, 6} —0 при ЬФ\* Для того чтобы найти матрицу ||^|,
обратную матрице ||s}||, достаточно разрешить систему уравнений
п
2 sjU/ = fi/. Так как детерминант |sf,|^0, то эта система урав-
k= 1
нений разрешима.
§ 2. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа
В дальнейшем нам часто придется рассматривать различные
подмножества группы и некоторые операции над ними. Здесь мы
введем обозначения для этих операций.

§ 2. ПОДГРУППА. НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ФАКТОРГРУППА 15
A) Если А и В—два подмножества группы G, то через АВ
обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида ху,
где х£А, у£В. Через А'1 обозначим подмножество,
составленное из всех элементов вида лг1, где х£А. При натуральном т
подмножество Ат+1 определим индуктивно, положив Ат+1 = АтА.
Подмножество А~т определим, положив А~т — (А-г)т.
Подмножество А0 определим, положив А°={е}. Пользуясь
установленными обозначениями, можно составить произведение
произвольного числа подмножеств, возведенных в произвольные целые
степени. В дальнейшем мы иногда не будем делать различия между
множеством, содержащим один элемент, и самим этим элементом,
поэтому для нас имеет теперь смысл обозначение АЬ, где ЛсС,
Ь gG. Отметим, что, если А непусто,
AG = GA=Gy (1)
G^ = G, (2)
Ае = еА=А. (3)
При аддитивных обозначениях вместо А В будем писать А + В,
а вместо Ап будем писать пА.
Имея некоторую группу G, мы можем, исходя из нее,
конструировать новые группы. Простейший способ такого конструирования
дается следующим определением.
Определение 2. Множество Я элементов некоторой группы G
называется подгруппой или делителем группы G, если Я
составляет группу в силу того же закона перемножения, какой имеет
место в G.
B) Для того чтобы подмножество Я группы G было
подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено одно из
двух следующих условий:
a) Наряду со всякими двумя элементами а и Ь в Я должен
входить также элемент аЬ~г. Пользуясь обозначениями замечания А),
это условие можно записать в виде
НН-гс:Н. (4)
b) Наряду со всякими двумя элементами а и Ъ в Я должны
также входить элементы аЬ и а"1. Пользуясь обозначениями
замечания А), это условие можно записать в виде
Н*аН (5)
и
Н-^аН. (6)
Необходимость указанных условий очевидна, докажем их
достаточность. Если а£Н, то в силу условия а) имеем аа~г = е£Н.
Так как, далее, е^Я и а£Я, то в силу условия а) имеем еа"1^
= а"1 6 Н- Если а и Ь суть два элемента из Я, то по
доказанному Ь~1^Н и, следовательно, в силу условия а) имеем ab =

16
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
= а(6~1)~1^Я. Таким образом, при выполнении условия а)
Я оказывается подгруппой. Вполне аналогично доказывается и
достаточность условия Ь).
Каждая группа естественным образом содержит в качестве
своей подгруппы множество, состоящее из всех целых степеней
какого-либо ее элемента. Fpynna, состоящая исключительно из
степеней некоторого ее элемента, называется циклической.
Бесконечные циклические группы называются свободными: все их
элементы (за исключением, конечно, единицы)—свободные (см. § 1, Е)).
При конструировании новых понятий современная математика
пользуется принципом эквивалентности, который формулируется
следующим определением:
C) Говорят, что в некотором множестве М установлен признак
эквивалентности, если о каждых двух его элементах аи Ь можно
сказать, эквивалентны они или нет, в знаках: а—>Ъ или а^°Ь,
причем выполнены следующие условия:
a) рефлексивность: а~а\
b) симметрия: если а~Ь9 то Ъ~а\
c) транзитивность: если а~Ъ и Ь~с, то а~с.
При выполнении указанных условий признак эквивалентности,
установленный в М, автоматически разбивает М на классы
эквивалентных между собой элементов.
Применим теперь этот общий принцип эквивалентности к
группам.
D) Пусть G—некоторая группа и Я—ее подгруппа. Если а
и Ъ суть два элемента из G, то будем считать, что а ~Ь тогда,
и только тогда, когда а6*~1^Я. Оказывается, что установленный
таким образом во множестве G признак эквивалентности
удовлетворяет всем условиям определения С) и, следовательно, G
распадается на классы эквивалентных между собой элементов.
Каждый из получаемых классов называется правым классом смежности
группы G по подгруппе Я. Оказывается, далее, что если Л есть
некоторый правый класс смежности по подгруппе Я и а£А, то
А = На (см. А)), при этом каждое подмножество вида НЬ является
правым классом смежности. Так как Н = Не, то сама подгруппа Я
является одним из классов смежности.
Покажем, прежде всего, что данный в D) признак
эквивалентности удовлетворяет условиям определения С).
Действительно, а~а, так как аа"г = е^Н. Если а~Ъ, то
аЬ~~х£Н, но тогда и (ab"1)'1 = Ьа"1 £ Я, т. е. b ~ а. Если а~Ъ
и Ь ~ с, то ab'1 £ Я и be'1 £ Я, следовательно, ас"1 = ab^bc"1 £ Я,
т. е. а~с. Таким образом, все три условия выполнены.
Покажем, далее, что если А — некоторый класс смежности по
подгруппе Я и а 6 Л, то Л = На. Действительно, пусть хgЛ,
тогда ха~г£Н и, следовательно, х^На. Если у £На, то уа~х^Н
и, следовательно, уgЛ.

§ 2. ПОДГРУППА. НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ФАКТОРГРУП ПА 17
Покажем, наконец, что всякое множество НЬ есть класс
смежности. Действительно, элемент Ь принадлежит одному из классов
смежности, например В, следовательно, по только что
доказанному В = НЬ.
Итак, утверждение D) доказано.
E) Наряду с введенным в D) признаком эквивалентности можно
ввести другой вполне аналогичный, считая, что а ~ Ъ тогда и только
тогда, когда a~xb£H. Получаемые таким образом классы
называются левыми классами смежности по подгруппе Я. Точно так
же, как и в D), доказывается, что каждый левый класс
смежности представим в форме аН и, обратно, каждое подмножество
вида ЬН является левым классом смежности.
Поставим теперь вопрос, при каких условиях правые и левые
классы смежности группы G по подгруппе Я совпадают. Если А
есть одновременно правый и левый класс смежности для Я, то
А = На = аН, где а£А. Если всякий правый класс смежности
одновременно является и левым, то мы имеем На=аН при
всяком agG. Умножая последнее соотношение слева на а-1,
получаем а~гНа = Н. Подгруппы, обладающие указанным свойством,
выделяются следующим определением.
Определение 3. Подгруппа N группы G называется
инвариантной подгруппой или нормальным делителем группы G, если при
всяком n(£N и всяком a£G имеем a^na^N, или, что то же,
a^NaaN при всяком a£G.
Если N есть нормальный делитель, т. е. a^NaczN при всяком
а £ G, то a~xNa = N при всяком a g G. Действительно, пусть а=Ь~1,
тогда ЬЫЬ~гс:Ы, умножая это соотношение слева на б"1 и справа
на Ь, получаем Nczb~'1Nb; но Ь—произвольный элемент из G,
поскольку а был произвольным, таким образом, b~xNb = N при
произвольном b £ G. Последнее соотношение можно выразить в форме
Nb = bN. (7)
F) Для того чтобы правое и левое разбиения на классы
смежности по подгруппе N совпадали, необходимо и достаточно, чтобы N
была инвариантной подгруппой.
Необходимость этого условия была доказана выше. Докажем
его достаточность. Если А есть правый класс смежности для N,
то A = Na; но Na = aN (см. (7)) и, следовательно, А есть левый
класс смежности.
Следующее определение дает второй способ конструирования
групп, исходя из заданной группы G.
Определение 4. Пусть N—нормальный делитель группы G.
Пусть, далее, А и В — классы смежности для N, A = Nay B = Nb.
Составим произведение АВ (см. А)); имеем AB=NaNb=NNab=Nab,
т. е. произведение АВ также есть класс смежности для N. Таким
образом, в множестве классов смежности установлен закон
перемножения, и он, как будет сейчас показано, удовлетворяет груп-

18
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
повым аксиомам. Получаемая указанным способом группа классов
смежности называется факторгруппой группы G по нормальному
делителю N и обозначается через G/N.
Покажем, что в G/N выполнены аксиомы 2), 3) и 4)
определения 1. Ассоциативность очевидна, так как она имеет место в G.
Единицей группы G/N является N. Действительно, если aN есть
какой-либо класс смежности, то (aN) N = aN. Элементом, обратным
для Na, является a~xN'. Действительно, (Na)(a~1N) = N.
G) Во всякой группе G имеется по крайней мере два
нормальных делителя, именно, подгруппа, содержащая только один
элемент— единицу, и подгруппа, совпадающая с G. Если в G не
имеется иных нормальных делителей, отличных от этих двух
тривиальных, то G называется простой группой.
Пример 3. Пусть G—группа всех преобразований
некоторого множества М (см. пример 1). Пусть, далее, а—некоторый
элемент из М. Обозначим через Я совокупность всех
преобразований, сохраняющих а на месте. Легко видеть, что Я составляет
подгруппу группы G.
Если М содержит более двух элементов, то Я не есть
нормальный делитель G. Прежде всего, НфС Действительно, пусть
Ь^М, причем Ьфа. Определим тогда преобразование t условиями
t(a) = by t(b) = a и для всякого хфау хфЬу t(x) = x. Пусть,
далее, Ь'—элемент из М, отличный от а и Ь\ таковой существует,
так как М по предположению содержит более двух элементов.
Определим преобразование s условиями s(b) = b', s(b') = b, для
всех осгальных элементов будем считать s тождественным
преобразованием. Тогда s(a) = ay т. е. s£H. Рассмотрим теперь t~1st(a)\
имеем t~1st(a) = t~1s(b)=t~1(b') = b'y таким образом, t~xst не
есть элемент из Я.
Пример 4. Пусть G— группа матриц, данная в примере 2.
Множество Я всех ортогональных матриц (см. ниже) составляет
подгруппу группы G. Рассмотрим некоторую матрицу s = ||s}||.
Матрица £ = ||f}||, определяемая условием t[—s), называется
транспонированной матрицей s и обозначается через s*, t = s*.
Матрица s называется ортогональной, если ss* = || 6}|| = е. Очевидно, что
единичная матрица 16}|| = е является ортогональной.
Таким образом, eg Я. Если s есть ортогональная матрица, то
s-i = s*, так как ss* = e. Покажем, что матрица s* также
ортогональная. Транспонированная матрица s* есть s, т. е. s** = s.
Таким образом, s*s** = s*s. Но так как 8* = 8~г, то s*s** = e, т. е.
s'i^s*—ортогональная матрица. Следовательно, наряду со всяким
элементом s в Я входит и s"1.
Пусть теперь s и t—две матрицы. Нетрудно видеть, что (st)*=
= t*s*. Если s и t ортогональны, то мы имеем (st) (s£)* = s^*s*=e,
т. е. матрица st также ортогональна. Следовательно, наряду с двумя
матрицами s и t в Я входит и их произведение st. Таким обра-

§3. ИЗОМОРФИЗМ. АВТОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 19
зом, Я есть подгруппа группы G. Легко показать, что Я не есть
инвариантная подгруппа группы G.
Пример 5. Пусть G— группа матриц, данная в примере 2.
Обозначим через Я множество всех матриц из G, детерминант
которых равен единице. Так как при перемножении матриц
детерминанты перемножаются, то нетрудно видеть, что Я есть
нормальный делитель группы G.
§ 3. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм
В начале настоящей главы было указано, что абстрактная
теория групп изучает группу лишь с точки зрения установленной
в этой группе операции. Это положение отчетливо выражается
следующим определением.
Определение 5. Отображение / группы G на группу G'
называется изоморфным или изоморфизмом, если оно:
1) взаимно однозначно и
2) сохраняет операцию умножения, т. е. / (ху) — / (х) f (у) для
всяких двух элементов х, у из G.
Легко видеть, что если отображение / изоморфно, то обратное
ему отображение также является изоморфным.
Две группы G и G' называются изоморфными, если существует
изоморфное отображение одной группы на другую.
Если две группы G и G' изоморфны, то с точки зрения
абстрактной теории групп они одинаковы. Точнее говоря, абстрактная
теория групп изучает лишь те свойства и понятия, которые не
меняются при изоморфных преобразованиях.
A) Можно рассматривать изоморфные отображения группы G
самой на себя. Такие изоморфные отображения называются
автоморфизмами группы G. Всякий автоморфизм группы G ввиду его
взаимной однозначности является преобразованием группы G как
множества (см. пример 1). Таким образом, два автоморфизма
можно перемножать, и получающееся в качестве их произведения
преобразование группы G также является автоморфизмом G. Легко
видеть, далее, что тождественное преобразование является
автоморфизмом и что обратное преобразование к некоторому
автоморфизму также есть автоморфизм. Таким образом, множество всех
автоморфизмов группы G составляет группу.
B) Пусть а—некоторый фиксированный элемент группы G.
Определим, исходя из него, автоморфизм fa группы G, положив
fa{x) = axa~1 (1)
при всяком x(tG. Получаемый таким образом автоморфизм
называется внутренним. Множество всех внутренних автоморфизмов
группы G образует подгруппу группы всех автоморфизмов, причем
alb lab*
(2)

20 ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Покажем, что соотношение (1) действительно дает автоморфизм.
Прежде всего, для отображения fa существует обратное/д1,
определяемое равенством
n^fa-u (3)
В самом деле, fa (/a-i {х))=а (а"гха) а~г^=х. Таким образом,
отображение fa взаимно однозначно. Далее,
fa (ху) = ахуа"1 = аха'1 ауа~г = fa (x) fa (у).
Для доказательства того, что совокупность внутренних
автоморфизмов образует группу, остается доказать соотношение (2)
(см. § 2, В)). Мы имеем
fa (ft (*)) = а фхЬ-*) а"1 = (об) х (об)"1 = fab (x).
Более слабую связь, чем изоморфное отображение,
устанавливает между двумя группами так называемое гомоморфное
отображение.
Определение 6. Отображение g группы G в группу G*
называется гомоморфным или гомоморфизмом, если оно сохраняет
операцию умножения, т. е.
g(xy) = g(x)g(y) (4)
для всяких двух элементов х и у из G. Множество всех
элементов группы G, отображающихся в единицу группы G* при
гомоморфизме g, называется ядром гомоморфизма g.
Если g" есть гомоморфизм группы G в группу G*, то
g(e) = *, (5)
т. е. единица е группы G переходит в единицу е* группы G*;
сверх того,
g(x-l) = (g(x))-> (6)
при произвольном x£G. Действительно, g(x)g(e) = g(xe) = g(x).
Таким образом, g(e) = e*. Далее, g(x)g(x~1) = g(xx~~*) = g(e) = e*,
а это значит, что g (х'1) --=- (g(^))-1.
Следующая теорема дает связь между гомоморфными и
изоморфными отображениями.
Теорема 1. Пусть группа G гомоморфно отображена на
группу G* при помощи гомоморфизма g и N—ядро гомоморфизма g.
Тогда N есть нормальный делитель группы G и G* изоморфна
группе G/N (см. определение 4).
Более полно: Если г* есть некоторый элемент группы G*,
а X—множество всех элементов группы G, переходящих в х* при
гомоморфизме g, то X есть класс смежности по подгруппе N,
т. е. X£G/N. Получаемое таким образом взаимно однозначное

§3. ИЗОМОРФИЗМ. АВТОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 21
соответствие между элементами групп G/N и G* осуществляет
изоморфизм этих групп. Этот изоморфизм мы будем называть
естественным в отличие от других возможных изоморфизмов
между теми же группами.
Доказательство. Покажем, что N есть группа. Если x£Ny
y£N, то это значит, что g(x) = e*, g(y) = e*. Тогда g(xy) =
= g(x)g (У)= е*е* = е*> т- е- xy^N. Далее, если х £ N, то g (x)=е*,
но тогда (см. (6)) g(x~1) = (g(x))~1=-e*~1 = e*J т. е. x^^N. Таким
образом (см. § 2, В)), N есть подгруппа группы G.
Покажем, что N есть инвариантная подгруппа группы G. Пусть
x£N и a£G, тогдаg(a^xxa)=g(a"1)g(x)g(a)=(g(a))*1 e*g(a)=e*,
т. е. a~1xa£N.
Пусть теперь а*—некоторый элемент из G* и А — совокупность
всех элементов из G, отображающихся в а* при гомоморфизме g.
Если а и а'—два элемента из Л, то
g(а'а-1) = g (a') g (a"1) = g (a') (g (а))"1 = aV1 = e\
таким образом, a'a~1(tNJ т. е. а и а' принадлежат к одному
классу смежности по N. Обратно, если х принадлежит к тому же
классу смежности, что и а, т.е. если xa^^N, то g(x)a*~1 =
= g(x)g(a~1) = g(xa~l) = e*, т.е. g(x) = a*. Таким образом, А
составляет полный класс смежности для N, и мы имеем взаимно
однозначное соответствие между классами смежности по Af, с одной
стороны, и элементами из G*—с другой. Именно: каждому
элементу а* из G* соответствует класс смежности, составленный из
всех элементов, отображающихся в а* при гомоморфизме g. Но
каждый класс смежности является элементом группы G/N (см.
определение 4), следовательно, каждому элементу A^G/N ставится
в соответствие элемент f(A) = a*£G*, причем
/—взаимнооднозначное отображение. Покажем, что / есть изоморфное
отображение. Пусть А и В—два элемента из G/N и ag Л, Ь$В. Положим
g(a) = a*, g{b) = b*, тогда f(A) = a*, f(B) = b*. Далее, ab^AB,
следовательно,
f(AB) = g(ab) = a*b* = f(A)f(B)
и условия изоморфизма выполнены. Таким образом, G* и G/N
изоморфны.
Следующее предложение стоит в тесной связи с теоремой 1.
С) Пусть G—некоторая группа и JV—ее нормальный делитель.
Построим отображение g группы G на группу G/N, поставив
в соответствие каждому элементу х £ G тот элемент g (х) = X £ G/N,
который в качестве класса смежности содержит х, х£Х.
Получаемое таким образом отображение группы G на группу G/N
оказывается гомоморфным. Мы будем называть его естественным
гомоморфизмом группы на ее факторгруппу в отличие от других
возможных здесь гомоморфизмов.

22
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Пусть а и Ь—два элемента из G. Положим а £ A g G/N9 b$B£
G.G/N, тогда по определению
g(a) = A9 (7)
g(b) = B. (8)
С другой стороны, ab^AB и, следовательно,
g(ab) = AB. (9)
Сопоставляя соотношения (7), (8) и (9), получаем g(ab) = g (a) g(b),
а это и означает, что g есть гомоморфизм.
D) Отметим, что если гомоморфизм g имеет своим ядром
единицу, N = {e}, то g есть изоморфизм. Действительно, тогда в
каждый элемент из G* отображается только один элемент из G, так
как каждый класс смежности содержит лишь один элемент.
E) Если гомоморфизм g отображает группу G в G*, а не на G*,
то множество всех элементов из G*, являющихся образами
элементов из G, составляет подгруппу группы G*.
Обозначим указанное множество через Я*. Если х* и у* суть
два элемента из Я*, то х* = g (х), y* = g (у) и тогда х*у*~1 =
= g(xy~1), т. е. ху_1бЯ*. Таким образом (см. § 2, В)), Я* есть
подгруппа группы G*.
F) Пусть g—некоторый гомоморфизм группы G на группу G*.
Если Я—некоторая подгруппа группы G, то g (Я) есть подгруппа
группы G*. Если Я—нормальный делитель группы G, то g(H)
есть нормальный делитель группы G*.
Тот факт, что й"(Я) есть подгруппа, следует из предложения Е),
ибо g есть гомоморфизм группы Я в группу G*. Разберем случай,
когда Я—нормальный делитель. Пусть x*£G*, тогда существует
такой х £ G, что g (x)=x*. Мы имеем х~гНха Я, откуда r^g (Я) #•=
= g(x"1Hx)czg(Я). Таким образом, £(Я) есть нормальный
делитель группы G*.
G) Пусть g—некоторый гомоморфизм группы G в группу G*.
Через g"1 (Я*) обозначим множество всех элементов группы G,
переходящих в H*aG* при гомоморфизме g. Если Я*—подгруппа
группы G*, то g~1(H*) — подгруппа группы G. Если
Я*—нормальный делитель группы G*, то g~* (H*) — нормальный делитель
группы G.
Пусть Я*—подгруппа nag g_1 (Я*), 6 g g""1 (Я*). Тогда g (a6_1)=
"=g (я) (g (ь))"г € Я*, т. е. ab'1 £ g"1 (Я*). Следовательно (см. § 2, В)),
g~1(H*) есть подгруппа. Пусть Я*—нормальный делитель и
а£ц-г(Н% x£G. Тогда g (х^ах) = (g (x))-1 g (a) g (х) £ Н; т. е.
х~гах € g"1 (Я*). Следовательно, g~*(H*) есть нормальный
делитель группы G.
Н) Нетрудно видеть, что если g есть гомоморфизм группы G
в группу G*, а g*—гомоморфизм группы G* в группу G**, то
отображение h(x) = g*(g(x)) является гомоморфизмом группы G
в группу G**.

§4. ЦЕНТР. КОММУТАНТ
23
Пример 6. Пусть G—аддитивная группа всех
действительных чисел и G'— мультипликативная группа всех положительных
действительных чисел. Группы G и G' изоморфны. Построим
изоморфное отображение /, ставящее каждому элементу x£G в
соответствие элемент f(x)^G\ положив f(x) = ex. Легко видеть, что
отображение / взаимно однозначно, но оно и изоморфно, так как
f(x+y) = f(x)f(y).
Пример 7. Пусть G—группа матриц, данная в примере 2,
и G*—мультипликативная группа всех действительных чисел,
отличных от нуля. Дадим гомоморфное отображение g группы G
на G*. Если s есть матрица из G, то положим g-(s) = |s|, где \s\
обозначает детерминант матрицы s. Тогда мы имеем g (st) = | st | =
= |s||£|. Сверх того, в G имеются матрицы с любым
детерминантом, отличным от нуля. Таким образом, g есть гомоморфное
отображение группы G на G*. Так как единицей группы G* является
число 1, то ядром гомоморфизма g служит совокупность всех матриц
с детерминантом, равным единице,
§ 4. Центр. Коммутант
В настоящем параграфе исследуется вопрос о зависимости
произведения от порядка сомножителей.
A) Два элемента а и Ь группы G называются
перестановочными, если их произведение не зависит от
порядка-сомножителей, ab = ba.
Определение 7. Элемент z группы G называется центральным,
если он перестановочен со всяким элементом группы G, т. е. если
zx = xz для всякого xgG, или, что то же, x"1zx = z. Множество Z
всех центральных элементов группы G называется центром
группы G.
Покажем, что центр Z является подгруппой группы G.
Действительно, если z и z'—элементы из Z, то для всякого x$G
имеем xzz' = zxzr = zz'x, т. е. zz'^Z. Возведем, далее, обе части
соотношения xz = zx в степень —1; имеем z~1x~~1 = x~1z~1, и,
заменяя х'1 через у, получаем z~1y = yz~1; но так как
х—произвольный элемент, то у—тоже произвольный элемент, т. е. z~1$Z.
Таким образом, Z—подгруппа группы G.
B) Каждая подгруппа Я группы Z является нормальным
делителем группы G. Действительно, если h £ Я, то ftgZ и,
следовательно, x~1hx=h£H при всяком x£G. В частности, сам центр
является нормальным делителем. Подгруппы группы Z называются
центральными нормальными делителями.
C) Для того чтобы выяснить вопрос, являются ли элементы а
и Ь перестановочными, достаточно составить произведение^ (te)_1=
= аЪа~^Ь~х\ если оно равно единице, то а и Ь—перестановочны,
если же нет, то не перестановочны. Произведение аЪа~^Ъ~х
называется коммутатором элементов а, Ь.

24
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Определение 8. Составим множество Q всех элементов группы G,
представимых в форме qt ... qm} где каждый qt есть коммутатор
каких-либо двух элементов группы G. Множество Q называется
коммутантом группы G.
Покажем, что коммутант Q группы G есть нормальный
делитель этой группы.
Пусть х и у—элементы из Q, x = qx ... qmJ y = q[ ... q'n, где
множители, стоящие в правых частях, суть коммутаторы. Тогда
хУ—Ч1"-ЯтЯ1---Яп> следовательно, xy£Q. Если q есть
коммутатор, то q = aba"1b~1 и q~1 = bab~1a~~1, т. е. q"1 также
коммутатор. Таким образом, x~1 = q^l1 ... ^Г1 принадлежит Q. Итак, Q
есть подгруппа группы G. Если q = aba~~1b~1, то с~^с =
= (c~1ac)(c'1bc)(c~'1ac)''1(c''1bc)''1. Таким образом, с-1^ есть
коммутатор. Если x = q± ... qm, то сгхс = {с"^хс) ... (с~^тс)9
следовательно, с-1лг £ Q при всяком c£G и всяком Jt£Q, что
и требовалось доказать.
D) Факторгруппа G/Q группы G по ее коммутанту Q
коммутативна; сверх того, Q есть наименьший нормальный делитель
группы G, обладающий этим свойством, т. е. если G/N
коммутативна, то QaN.
Пусть А и В — классы смежности по Q. Составим
произведение АВА~1В~1. Это произведение содержит коммутатор, именно
aba"1b"1y где а$А, Ь£В. Так как, кроме того, АВА^В'1 есть
класс смежности, то ABA~1B~1 = Q (см. определение 4). Таким
образом, если трактовать А и В как элементы группы G/Q, то
ABA~~XB~X есть единица этой группы, т. е. А и В перестановочны
в G/Q и G/Q—коммутативная группа.
Пусть N—такой нормальный делитель группы G, что N 2>Q.
Тогда N не может содержать всех коммутаторов группы G, так
как в противном случае N содержал бы все произведения
коммутаторов и, следовательно, содержал бы Q. Пусть а и b—два
элемента из G такие, что aba~^b~x не есть элемент из N. Обозначим
через А и В те два класса смежности по подгруппе N, которые
содержат а и Ь\ так как aba^b'1 не входит в N, то АВА~гВ~г
как элемент группы G/N не есть единица, т. е. А и В не
перестановочны в G/N. Таким образом, группа G/N некоммутативна.
E) Пусть N—нормальный делитель группы G и Q—коммутант N.
Тогда Q есть нормальный делитель группы G.
Очевидно, что Q есть подгруппа группы G. Пусть q—коммутатор
элементов N, q = aba~1b~1, где a£N, b£N. Тогда при всяком
c£G имеем c~1qc = (c~1ac)(c~1bc)(ca~1ac)~1(c-1bc)~19 а так как N —
нормальный делитель G, то c^ac^N, c^bc^N, т. е. c~~xqc есть
коммутатор элементов из N. Таким образом, Q—нормальный
делитель группы G.
Определение 9. Пусть G—некоторая группа. Составим ряд ее
подгрупп Ql9 ..., Qi3 ..., где Q± есть коммутант группы G, а
Q.+1 есть коммутант группы Q/e Все Ql являются нормальными

§5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДГРУПП 25
делителями группы G (см. Е)). Если построенный ряд содержит
подгруппу, состоящую из одной только единицы группы G, то
группа G называется разрешимой.
Понятия центра и коммутанта играют важную роль в теории
непрерывных групп.
Пример 8. Пусть G—группа матриц, данная в примере 2.
Обозначим через Z множество всех таких диагональных матриц
из G, что стоящие по диагонали элементы каждой данной
матрицы все равны между собой. Легко видеть, что Z является
центральным нормальным делителем группы G. Можно было бы
без труда показать, что Z есть центр группы G. Обозначим, далее,
через Q нормальный делитель группы G, составленный из всех
матриц с детерминантом, равным единице (см. пример 5). Так
как G/Q, как нетрудно видеть, — коммутативная группа (см.
пример 7), то коммутант группы G входит в группу Q (см. D)).
Можно было бы показать, что Q есть коммутант группы G.
§ 5. Пересечение и произведение подгрупп.
Прямое произведение
Понятие прямого произведения играет существенную роль в
теории групп: разлагая группу в прямое произведение, мы тем
самым сводим ее изучение к изучению групп более простых; с другой
стороны, составляя прямое произведение заданных групп, мы
получаем метод конструирования новых групп.
Докажем некоторые свойства пересечений и произведений
подгрупп данной группы.
A) Пусть М — некоторое множество подгрупп группы GnD —
пересечение всех подгрупп, входящих в М, тогда D есть подгруппа
группы G. Если все подгруппы из М суть нормальные делители G,
то D—также нормальный делитель G.
Действительно, пусть а и Ь—элементы из D. Если
Я—произвольная подгруппа из М, то я 6 Я, Ь$Н и, следовательно,
аЬ~г£Н. Таким образом, ab"1 принадлежит любой подгруппе
из М, т. е ab~x^D. Следовательно (см. § 2, В)), D есть
подгруппа группы G. Если теперь все элементы из М суть нормальные
делители группы G, то при произвольном x£G имеем х^гах^Н,
но так как Я—произвольная подгруппа из М, то. x^ax^D.
B) Пусть R—некоторое множество элементов группы G.
Обозначим через М множество всех таких подгрупп группы G,
каждая из которых содержит R. Пересечение всех подгрупп
множества М является минимальной подгруппой группы G, содержащей
множество R. Аналогично определяется минимальный нормальный
делитель группы G, содержащий множество R.
C) Если Я—подгруппа и N — нормальный делитель группы G,
то пересечение Н()N = D групп Я и N есть нормальный
делитель группы Я.

26
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
По ранее доказанному (см. A)) D есть группа и, следовательно,
является подгруппой группы Я. Пусть h g Я, п g D, тогда h~xnh g Я,
так как все сомножители принадлежат Я; но h~xnh^N', так как
ngiV, a iV — нормальный делитель. Таким образом, h'^nh^D,
следовательно, D—нормальный делитель группы Я.
D) Пусть Я—подгруппа и N— нормальный делитель группы G,
тогда произведение HN = NH (см. определение 3) есть подгруппа
группы G, если же Я—нормальный делитель G, то и
HN—нормальный делитель G.
Если а и Ь—элементы из ЯЛ/", то a^hn, b = h'n\ где huh'
принадлежат Я, а п и /г' принадлежат N. Тогда ab~1 = hnn'~1h'~1~
= hh'~1(hnn'~1h'~1)', но так как N — нормальный делитель, то
h'nn'-1h'-1 = n"€N и ab-1 = (hhf-1)nf,^HN. Таким образом
(см. § 2, В)), HN есть подгруппа группы G.
Если теперь Я—нормальный делитель и a = hn, то при любом
xgG имеем ^"1Аис=(^"1А^)(^~1/г^)ёЯЛ^, т. е. HN есть
нормальный делитель группы G.
E) Если N±, ..., Л^—нормальные делители группы G, то из
доказанного в D) путем индукции непосредственно следует, что
произведение Nt ... Nk также есть нормальный делитель группы G.
Теорема 2. Пусть Я—подгруппа и N—нормальный делитель
группы G. Положим D = H ON, Р = HN. Тогда факторгруппа H/D
изоморфна факторгруппе P/N.
Доказательство. Пусть А — некоторый элемент из H/D,
A = Da, где а£Н. Положим А' = Na. А' есть элемент из P/N.
Так как DaN, то АаА'. Таким образом, каждый элемент из
H/D входит в некоторый элемент изР/Af, и притом только в один.
Пусть, далее, В' = bN = Nb, где b£H. Тогда В = Db есть элемент
группы H/D и ВаВ'. Таким образом, в каждый элемент группы
P/N входит по крайней мере один элемент группы Я/D; докажем,
что только один. Пусть А и В—два элемента из H/D, входящие
в один и тот же элемент С из P/N. Мы имеем АВ~1аС'С'~~1 = N,
сверх того, АВ~1аН, следовательно, AB~1aD, т. е. А = В. Этим
установлено взаимно однозначное соответствие между элементами
групп HID и P/N.
Покажем, что построенное соответствие между элементами групп
H/D и P/N является изоморфным. Пусть А и В—два элемента
из H/D, А' и В' — соответствующие им элементы из группы P/N,
т. е. АаА', ВаВ'. Тогда АВаА'В', следовательно, элементу АВ
группы H/D соответствует элемент А'В' группы P/N, и мы имеем
изоморфизм этих групп.
Перейдем теперь к более специальному виду произведения
подгрупп, именно к прямому произведению.
Определение 10. Пусть Я и К—два нормальных делителя
группы G. Говорят, что G распадается в прямое произведение Я
и К, если HK=G и Н(]К={е}.
F) Покажем, что если G распадается в прямое произведение

§5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДГРУПП 27
[юдгрупп Я и К, то каждый элемент из Я перестановочен с
каждым элементом из К и каждый элемент из G однозначно
представляется в форме АА, где А £Я, Agi<C.
Пусть A g Я, Ag/C. Рассмотрим коммутатор hkh~1k~1 = q. Так
как А"—нормальный делитель, то ААА-1£/( и, следовательно,
q = (hkh~1)k~1£K. С другой стороны, так как и Я—нормальный
делитель, то kh"1k^1^H и q = h(kh~1k~1)^H. Таким образом,
</ = £, т. е. АА = АА.
Пусть xgG. Так как G = HK, то x=hk, где А^Я, А^Л".
Допустим, что одновременно x=h'k\ где А'^Я, k'^K. Тогда
АА = А'А\ Умножая это равенство слева на А-1 и справа на А'-1,
получаем kk'~1 = h~1h'. Но левая часть этого равенства
принадлежит К, а правая Я, следовательно, kk'~1 = h~1h' = е, т. е.
ft = ft'f А = А'.
В определении 10 исходным элементом была группа G. Примем
теперь противоположную точку зрения и сконструируем G из
групп Н и К.
Определение 10'. Пусть Я и ТС—две заданные группы.
Составим множество G всех пар (A, А), где А£Я, Ag^C- Определим
произведение двух пар (A, ft) и (А', А') как пару (АА', kkr).
В силу этого закона перемножения G является группой. Группа G
называется прямым произведением групп Н и К.
Ассоциативность в группе G очевидна, так как она имеет
место в группах Я и К- Единицей группы G является пара (е, £'),
где е есть единица группы Я, а е'—единица группы /О
Элементом, обратным для пары (А, А), служит пара (А-1, А"1).
Следующие два предложения G) и Н) устанавливают связь
между определениями 10 и 10'.
G) Пусть G распадается в прямое произведение своих
нормальных делителей Я и К (см. определение 10). Обозначим через
Я' некоторую группу, изоморфную группе Я, и через К' — группу,
изоморфную группе К, и составим прямое произведение G' групп
Я' и К' (см. определение 10'). Тогда группа G' изоморфна
группе G.
Действительно, пусть /—изоморфное отображение группы Я'
на группу Я, a g—изоморфное отображение группы К' на
группу К. Изоморфное отображение Л группы G' на группу G
определится соотношением А((А\ k')) = f(h')g(k').
Н) Пусть группа G составлена как прямое произведение групп
Я и К (см. определение 10'). Обозначим через Я' множество
всех элементов группы G вида (А, в'), а через /С' — множество
всех элементов группы G вида (е, А). Тогда Я' и К' суть
нормальные делители группы G и G распадается в прямое
произведение групп Я' и К'\ сверх того, группа Я' изоморфна группе Я,
а группа К' изоморфна группе К,
Покажем, что Я' есть нормальный делитель. Если (А, е') и
(А', е') суть два элемента множества Я', то (A, e'){h\ е')~г =

28
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
= (hh'~1i e')£H' и, следовательно, Я' есть подгруппа. Если,
далее, (а, Ь) есть произвольный элемент из G, то (а, б)-1 (/г, е') =
= (a~1ha, e)£H' и, следовательно, Я' есть нормальный делитель.
Точно так же доказывается, что К' есть нормальный делитель.
Пересечение групп Я' и /С' содержит лишь единицу, ибо если
(Л, е') = (е, &), то ft = e, k = e. Произведение групп Я' и К'
совпадает с G, ибо всякий элемент (Л, fe) £ G может быть представлен
в форме (Л, k) = (h, e'){e, k). Далее, если каждому элементу
h £ Я поставить в соответствие элемент (Л, е') £ Я, то мы получаем
изоморфизм между группами Я и Я'. Так же доказывается и
изоморфизм групп К и К'-
I) Пусть G распадается в прямое произведение своих
нормальных делителей Я и Л\ Тогда группа Я изоморфна факторгруппе G//C.
Утверждение I) доказывается путем непосредственного
применения теоремы 2. Действительно, Hf)K={e} и HK = G и,
следовательно, Н/{е} изоморфна G/K-
Приведенное здесь определение прямого произведения
тривиальным образом переносится на произвольное конечное число
сомножителей. В дальнейшем нам, однако, придется иметь дело
также со счетным числом сомножителей и во избежание
недоразумений я здесь на этом несколько остановлюсь.
Определение 10*. Пусть G—некоторая группа и М — счетная
система ее нормальных делителей, М = {Glf ..., Gn, ...}. Говорят,
что группа G распадается в прямое произведение множества М
ее подгрупп, если выполнены следующие условия:
1) Минимальный нормальный делитель группы G (см. В)),
содержащий все подгруппы множества М, совпадает с G.
2) Обозначим через Нп минимальный нормальный делитель
группы G (см. В)), содержащий все подгруппы множества М за
исключением лишь подгруппы Gtl\ тогда пересечение всех подгрупп
Нп, /1=1, 2, ..., содержит лишь единицу е группы G.
А*) Группа G распадается в прямое произведение двух своих
подгрупп Gn и Нп (см. определения 10* и 10).
Произведение GnHn есть нормальный делитель группы G
(см. D)), который, как легко видеть, содержит все подгруппы Gh
поэтому согласно условию 1) определения 10* GnHn = G.
Обозначим через G'n пересечение всех групп Hk, k=\, 2, ..., за
исключением лишь группы Нп. Очевидно, GnaG'n. Из условия 2)
определения 10* следует, что пересечение G'n[\Hn = {e}, таким образом,
и пересечение Gn[)Hn= {е}. Итак, G распадается в прямое
произведение групп Gn и Нп.
В*) При 1Ф1 каждый элемент группы G( перестановочен с
каждым элементом группы Gy. Далее, каждый элемент x£G
однозначно представим в форме произведения х=х±.. ,хп, где
Xi£Gh i= 1, ..., /г, а п—достаточно большое число, подобранное
для данного х.

§5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДГРУПП 29
Так как GjCiHj, то перестановочность элементов групп G/ и
Gj следует из А*) (см. F)). Заметим, далее, что множество G'
всех произведений вида х = хг.. .хп, где x(^Gh f=l, ..., п,
л=1, 2, ..., является нормальным делителем группы G, причем
каждая группа Gk входит в G'. Таким образом, в силу условия 1)
определения 10* G' = G и, следовательно, всякий элемент x£G
представим в форме указанного произведения. Единственность
такого разложения в произведение, легко следует из F) и А*).
Определение 10*'. Пусть М — некоторое счетное множество
групп, M = {G19 ..., G„, ...}• Из групп множества М мы
сконструируем новую группу G, которую будем называть прямым
произведением групп множества М. Элементом группы G будем
считать всякую последовательность х={х19 ..., хп, ...}, где
xn£Gn, /i=l, 2, ..., причем лишь конечное число элементов
этой последовательности отлично от единиц. Произведение двух
последовательностей х и у = {у19 ..., уп, ...} определим как
последовательность ху= {х^у1У . - •, хпуп, ...}.
Нетрудно видеть, что получаемая таким образом группа G не
зависит от способа нумерации групп множества М. Единицей
группы G является е={е19 ..., еп9 ...}, где еп есть единица
группы Gn, п=1, 2, ... Обратным для элемента х является
элемент х~х= {xjf1, ..., х^1, ...}. Нетрудно проверить, что все
групповые аксиомы в множестве G выполнены.
Без труда устанавливается эквивалентность определений 10*
и 10*' в том же смысле, как это было сделано выше для
определений 10 и 10' (см. G) и Н)). Ввиду полной тривиальности
этих обобщений останавливаться на них я не буду.
Пример 9. Пусть G—счетная коммутативная группа, все
элементы которой имеют своим порядком простое число /?, за
исключением, конечно, единицы. Нетрудно показать, что группа G
распадается в прямое произведение счетного числа циклических
подгрупп порядка /?, т. е. подгрупп вида Н = {е9 а, а2, . .., а^""1},
где аР = е.
Пример 10. Пусть G—группа матриц, данная в примере 2.
Совокупность G' всех матриц с положительным детерминантом
составляет подгруппу группы G. Разложим G' в прямое
произведение.
Обозначим через Z совокупность всех диагональных матриц
из G' таких, что диагональные члены каждой данной матрицы
все равны между собой и положительны. Через Q обозначим
совокупность всех матриц с детерминантом, равным единице. Легко
видеть, что Z и Q суть нормальные делители G. G' распадается
в прямое произведение Z и Q. Действительно, пересечение Z и Q
содержит только единичную матрицу, а всякая матрица из G'
может быть представлена как произведение матрицы из Z на
матрицу из Q.

30
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
§ 6. Коммутативные группы
В настоящем параграфе излагается доказательство основной
теоремы теории коммутативных групп (см. F)). Результат этот
будет использован лишь в пятой главе и для понимания других
частей книги не нужен.
Здесь будут рассматриваться только коммутативные группы и
для них мы будем употреблять аддитивные обозначения.
A) Конечная система gl9 ..., gk элементов группы G называется
линейно независимой, если из соотношения
<hgi+ ■•-+flAff* = 0f
где а1У ..., ак—целые числа, следует
Бесконечная система элементов группы G называется линейно
независимой, если каждая ее конечная подсистема линейно
независима. Рангом группы G называется максимальное число
содержащихся в ней линейно независимых элементов. Очевидно, линейно
независимая система не может содержать элементов конечного
порядка.
B) Конечная или бесконечная система
gu •■•> g„. ■■■ (1)
элементов группы G называется системой образующих этой группы,
если каждый элемент g£G представим в форме
g = <hgi + •--+<**£*. (2)
гдеях, ..., ак—целые числа. Если система (1) образующих группы G
линейно независима, то представление (2) каждого элемента g,
как легко видеть, единственно.
C) Пусть G—группа, допускающая конечную систему
gi.---.ff* (3)
линейно независимых образующих. Тогда каждая подгруппа Н
группы G также допускает конечную систему линейно
независимых образующих, причем число их не превосходит числа к.
Доказательство будем вести индуктивно. Для k = 0
утверждение наше очевидно, так как G в этом случае содержит лишь нуль
и Н совпадает с G. Допустим, что утверждение доказано для
k = m и докажем его для k = m+ 1.
Итак, пусть k = m+ 1. Обозначим через G' подгруппу группы G
с образующими g19 ..., gm и через Н'—пересечение Н с G',
Н' = Н Г\С. В силу предположения индукции подгруппа #'
группы G' допускает конечную систему линейно независимых

§ 6. КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ
31
образующих
Ai, •••> hn, (4)
причем п^т. Пусть теперь
h = а&г + ...+ amgm + am+1gm+1
— произвольный элемент группы Я'. По условию линейной
независимости число ат+1 определено здесь однозначно элементом h.
Если при всяком выборе элемента h число ат+1 равно нулю, то
ЯсгС, т. е. Н = Н' и, следовательно, для Я уже имеется система
линейно независимых образующих (4). Допустим, что для
некоторых элементов h£H число ат+1 отлично от нуля. Тогда
существуют и такие элементы Л, для которых число ат+1 положительно,
ибо наряду с Л в группу Я входит и элемент —h. Обозначим
теперь через hn+1 один определенный элемент, для которого число
ат+1 достигает своего наименьшего положительного значения а'т+1У
hn+i = a[gx + ... + amgm + a'm+1gm+1,
и покажем, что при каждом h£H число ат+1 делится на ат+1.
Число ат+1 представим в форме ат+1-=Ьп+1а^+1+ г, где Ьп+1 и
г—целые и 0<г< а'т+1. Тогда
h—bn+1hn+1 = (a1—6„+1ai)ffi+ ••■ + (ат~ bn+ia'm)gm+ rgm+1
есть элемент группы Я, для которого число ат+1 имеет значение г.
Так как О ^ г < а^+1, а д^+1 есть наименьшее возможное
положительное значение числа am+li то г = 0. Таким образом, ат+1
делится на ат+1 и элемент h—bn+1hn+1 принадлежит G', т. е.
принадлежит Я', следовательно, мы имеем
h—bn+1hn+1=b1h1+ ... +&А
(см. (4)) и, значит,
h = b1h1+ ... +bnhn + bn + 1hn+1.
Итак, система ftlf ..., ft,z, ft,z+1 есть система образующих
подгруппы Я. Линейная независимость этой системы непосредственно
следует из линейной независимости системы (4) и определения
элемента hn+1.
Нижеследующее предложение D) послужит для нас основой
доказательства теоремы F).
D) Пусть а = [10^11—целочисленная матрица, число строк
которой равно /?, а число столбцов равно q. Тогда существуют две
целочисленные квадратные матрицы s и t порядков р и q с
детерминантами, по модулю равными единице, такие, что матрица
b = \bu\ = sat (см. пример 2) имеет так называемый канонический
вид, т. е. удовлетворяет следующим условиям: а) при 1Ф\ bty = 0;
б) число bi+ly i+l делится на число Ьи\ с) числа Ьн неотрицательны.

32
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
Для доказательства введем так называемые элементарные
операции над некоторой целочисленной матрицей х. Операция 1
заключается в умножении какой-либо строки матрицы х на —1;
операция 2 заключается в перемене местами двух каких-либо
строк матрицы х\ операция 3 заключается в прибавлении к
некоторой строке матрицы х целочисленного кратного некоторой
другой ее строки. Аналогично определяются операции Г, 2' и 3',
относящиеся уже не к строкам, а к столбцам матрицы х. Легко
видеть, что каждая из операций 1, 2, 3 может быть осуществлена
путем умножения матрицы х слева на квадратную целочисленную
матрицу, детерминант которой по модулю равен единице.
Аналогично каждая из операций Г, 2', 3' осуществляется путем
умножения матрицы х справа на квадратную целочисленную матрицу,
детерминант которой по модулю равен единице. Таким образом,
для доказательства утверждения D) нам достаточно показать, что
матрицу а можно привести к каноническому виду путем
последовательного применения к ней элементарных операций.
Покажем, что если в матрице л: = || л:£у || элемент х1г является
делителем всех элементов первой строки и первого столбца, то
путем последовательного применения к х ряда элементарных
операций матрицу х можно преобразовать в матрицу y = jy[T.\\
такую, что Уп^Хц, а все остальные элементы матрицы у,
находящиеся в первом столбце и первой строке, равны нулю.
Так как хп по условию делится на х119 то полагаем хп =■ — гх11у
где г—целое. Прибавляя к £-й строке матрицы х первую,
умноженную на л, получим новую матрицу, у которой на £-м месте
первого столбца стоит нуль. Применяя эту операцию к каждой
строке, начиная со второй, а затем аналогичную операции к
каждому столбцу, начиная со второго, мы достигнем требуемого
результата.
Обозначим теперь для краткости через (х) минимум
положительных модулей элементов матрицы х и покажем, что если не
всякий элемент матрицы х делится на (х), то матрицу х можно
элементарными операциями преобразовать в матрицу у такую,
что (у) < (*).
Легко видеть, что путем перемены порядка строк и столбцов
матрицы х, а также перемены знака у строки матрицу х можно
привести к виду, удовлетворяющему условию (х) = хг1. Если теперь
в первом столбце матрицы х имеется элемент х119 не делящийся
на лгп, то положим ха = — гхг1 + п, где 0 < п < х1г. Прибавляя
к 1-й строке матрицы х ее первую строку, умноженную на г,
получим новую матрицу у, для которой (у)^п< (х). Если теперь
все элементы первого столбца матрицы х делятся на х11У но не
все элементы первой строки делятся на хг1, то мы можем применить
аналогичную операцию и. получить опять матрицу у,
удовлетворяющую условию (у) < (х). Если же все элементы первого столбца
и первой строки матрицы х делятся на х11У то эту матрицу можно

§6. КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ
33
привести к такому виду, что в первом ее столбце и первой строке
будет отличен от нуля лишь элемент х1±. Если теперь в
полученной матрице имеется элемент Хф не делящийся на ^п, то
прибавим к первой строке £-ю, и мы вновь получим матрицу, у которой
не все элементы первой строки делятся на хг1, т. е. к этой
матрице применимы прежние рассуждения.
Из только что доказанного вытекает, что с помощью
элементарных операций матрицу х можно перевести в матрицу г такую,
что каждый ее элемент делится на (z). Действительно, если не
каждый элемент матрицы х делится на (х), то, как мы доказали,
можно элементарными операциями перевести матрицу х в
матрицу у такую, что (у) < (х). Так как мы имеем здесь дело лишь
с целыми числами, то указанное снижение числа (х) возможно
производить только конечное число раз и потому после
конечного числа шагов наш процесс закончится приведением матрицы
к желательному виду.
Итак, путем применения элементарных операций можно
привести матрицу х к такому виду, что каждый элемент ее будет
делиться на (х). Далее, также при помощи элементарных операций
можно достичь того, чтобы х1г= (х), а все остальные элементы
матрицы х, расположенные в первом столбце и первой строке,
были равны нулю, при этом делимость всех элементов матрицы
на (х) не нарушится. Полученный таким образом вид матрицы х
назовем полу каноническим. Обозначим через х' матрицу,
получаемую из матрицы х путем вычеркивания первого столбца и
первой строки. Каждый элемент матрицы х' делится на хг1.
Приводя матрицу х' вновь к полуканоническому виду и продолжая
этот процесс дальше, мы приведем матрицу х уже к
каноническому виду.
Таким образом, доказательство предложения D) закончено.
Е) Пусть X—группа, допускающая конечную систему линейно
независимых образующих, и Y—ее подгруппа. Тогда в X можно
выбрать такую систему х[, ..., xq линейно независимых
образующих, что элементы
d^i ..., drxr, r < q,
составляют систему образующих группы Y, причем dt > О,
i= 1, ..., г, и di+1 делится на dh i= 1, .. ., г— 1.
Пусть
хи ..., xq (5)
— некоторая система линейно независимых образующих группы X, а
Ун ■ • • > УР (6)
—произвольная система линейно независимых образующих группы Y
(см. С)). Тогда мы имеем следующие соотношения:
yi = ailx1+ ... +aigxqi i= 1, ..., р, (7)

34
ГЛ. I. АБСТРАКТНЫЕ ГРУППЫ
где ||а,у|| = а есть целочисленная матрица. Обозначим, далее, через
s==fsfczll и ^=1^11 Две целочисленные квадратные матрицы
порядков р и д, детерминанты которых по модулю равны единице.
Пользуясь этими матрицами, введем в группах X и Y новые
системы образующих
Хи . . . , Хду (о)
У1 • ■ ■, Ур (9)
при посредстве соотношений
xf = tflx[+ ... ±t/gXg, /=1, ...,?, (10)
y'k^s^-Y ... +sft^, ft=l, ..., p. (И)
Соотношения эти действительно могут служить для введения
новых систем образующих в группах X и Y, так как матрицы I
и s имеют детерминанты, по модулю равные единице, т. е.
соотношения (10) и (11) разрешимы соответственно относительно
элементов (8) и (6), причем эти последние выражаются в виде
линейных форм элементов (5) и (9) с целочисленными
коэффициентами. Для новых систем образующих вместо соотношений (7)
получаем
р q q
Ук = 2 2 2 4flifalX\ = a'klX'l + ■ • • + a'kqXq, k = 1, . . . , /7,
t=l / = i / = i
где ||a£Z||==a' есть целочисленная матрица, причем a' = sat.
Подбирая матрицы и ( таким образом, чтобы матрица а' имела
канонический вид (см. D)), мы тем самым приходим к новой системе
образующих х'и ..., Хд группы G, осуществляющей утверждение-Е).
F) Группа G, допускающая конечную систему образующих,
распадается в прямую сумму циклических подгрупп
иг,...,ит; Vlt...,Va,
где Uh *'=1, ..., m, есть свободная циклическая группа, a VJy
/=1, ..., п,— циклическая группа конечного порядка ту>1,
причем т/+1 делится на т,-, /=1, ..., п—1 (см. § 2, В)). Если
группа G допускает конечную систему линейно независимых
образующих, то слагаемые конечного порядка отсутствуют.
Пусть gfi, ...,g"^—некоторая конечная система образующих
группы G. Обозначим через X множество всех линейных форм вида
х = а1х1 + ... -\-aqxq (12)
с целочисленными коэффициентами а1У ..., aq относительно
переменных х19 ..., хд. В X естественно определяется операция
сложения так, что X становится группой, допускающей систему
x±i ..., Хд линейно независимых образующих. Каждому элементу
xgX(cM. (12)) поставим в соответствие элемент f(x)=a1g1+...+aggg
группы G. Отображение /, очевидно, является гомоморфизмом

§ 6. КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ
35
группы X на группу G. Ядро гомоморфизма / обозначим через Y.
Выберем теперь в X систему
Х1у . . . , Хд (13)
линейно независимых образующих, сконструированную в
предложении Е). Положим g't = f(x't), i = 1, ..., q. Тогда g'l9 ..., gq есть
система образующих группы G. Образующие эти удовлетворяют
следующим соотношениям:
di£i = Of . .., drg'r = 0
(см. Е)). С другой стороны, если имеет место соотношение
b1g[+ ... +bggg = Oy
то bt делится на d( при 1=1, ..., г и равно нулю при t = r-f-l,...
..., q. Действительно, положим
Х'=Ь±Х[+ . . . +bqX'q,
тогда /(*') = О и, следовательно, x'^Y, т.е. числа bu...9bq
удовлетворяют указанным соотношениям, ибо система образующих
(13) линейно независима и d±x'19 ..., drxr составляют систему
образующих группы Y. Пусть теперь dly ..., ds—те числа системы
dl9 ..., dr, которые равны единице. Обозначим числа ds+l9 ..., dr
через Tlf ..., тя. Далее, положим g's+j = Vj, /= 1, ..., /г, g'r+i=>uh
i=l, ..., q — r = m. Подгруппу группы G с образующей и,-
обозначим через Uh а подгруппу с образующей Vj обозначим через Vf.
Легко видеть, что сконструированные таким образом подгруппы
осуществляют разложение группы G в прямую сумму. Если G
допускает конечную систему линейно независимых образующих,
то каждая ее подгруппа также обладает этим свойством (см. С))
и потому G не имеет элементов конечного порядка. Таким образом,
в этом случае полученное разложение в прямую сумму не
содержит слагаемых конечного порядка.
Таким образом, теорема F) полностью доказана.
В заключение отметим еще, что полученное нами разложение
группы G в прямую сумму является единственным с точностью до
изоморфизма, т. е. что число т и система чисел т1э ..., %п
являются инвариантами группы G. Так как, однако, этот факт нам
в дальнейшем не потребуется, то мы не будем останавливаться
здесь на его доказательстве.

ГЛАВА ВТОРАЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Подобно тому как теория групп исследует алгебраическую
операцию умножения в ее наиболее чистом виде, так и
абстрактная топология ставит своей целью изучение операции
предельного перехода, отвлекаясь при этом от всех посторонних свойств
рассматриваемых элементов. Если группу можно понимать как
обобщение понятия действительных чисел, то и топологическое
пространство следует трактовать как обобщение тех же самых
действительных чисел. Только в первом случае обобщается
операция умножения, во втором же—операция предельного' перехода,
или, что то же самое,— понятие предельной точки.
Если задано какое-либо множество М действительных чисел,
то о каждом действительном числе можно сказать, что оно либо
является предельным для множества М, либо нет. В терминах
предельных точек можно формулировать условие сходимости
последовательности действительных чисел и вообще все понятия,
связанные с предельным переходом. Именно понятие предельной
точки и кладется в основу построения топологического
пространства. Однако оказывается рациональным аксиоматизировать не
непосредственно понятие предельной точки, но вполне
эквивалентное ему понятие замыкания. Присоединяя к данному множеству М
все предельные для него числа, получим так называемое
замыкание М множества М. М составлено из всех чисел, входящих в М,
и всех чисел, предельных для М. Таким образом, зная, что такое
предельная точка, мы уже знаем, что такое замыкание. Обратно,
в терминах замыкания можно формулировать понятие предельной
точки. Если точка а не принадлежит множеству М, то а тогда
и только тогда является предельной точкой для М, если а£М.
Однако в случае когда а£Му этого критерия недостаточно, так
как а может быть изолированной точкой множества М. Но если а,
входя в множество М, одновременно является предельной точкой
для М, то тогда а будет предельной и для множества М — а, т. е.
а^М — а; это условие является и достаточным; более того, оно
применимо и тогда, когда а не принадлежит М, ибо в этом случае

§ 7. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА 37
М = М — а. Итак, окончательно, а есть предельная точка для М
тогда и только тогда, когда а^М-^а,
Аксиоматизируя понятие замыкания, мы приходим к понятию
топологического пространства.
§ 7. Понятие топологического пространства
Определение И. Множество R элементов какого-либо рода
называется топологическим пространством, если:
1) каждому множеству М элементов пространства R
поставлено в соответствие множество Му называемое замыканием
множества М\
2) если М содержит лишь один элемент а, то М = М, или,
что то же, а^а\
3) если М и N суть два множества элементов пространства R,
то Af\/iV = AfvJV,T.e. замыкание суммы равно сумме замыканий;
4)М=М, т.е. дважды примененная операция замыкания
дает тот же результат, что и операция замыкания, примененная
один раз.
Элементы топологического пространства называются его
точками. Точка а пространства R называется предельной для
множества М элементов из R, если а£М~а.
A) Покажем, что МаМ.
Действительно, пусть я£Л4,тогда м = М\/а. Взяв замыкание
от обеих__частей равенства, получаем М =- М\/а = М\/а=М\/а,
т.е. а §М. Следовательно, МаМ.
B) Если MaN, то MaN.
Действительно, Л^==Л4\/Л/'1__Замыкая обе части равенства,
получаем N = M\/N, т. е. NzdM.
Определение 12. Множество F элементов топологического
пространства R называется замкнутым, если F = F. Множество G
элементов из R называется открытым или областью, если R — G
есть замкнутое множество.
Как видно из определения 12, замкнутые множества и области
являются дополнениями друг для друга в пространстве R. Поэтому
каждому утверждению относительно замкнутых множеств
соответствует некоторое утверждение относительно областей. Это
замечание мы примем во внимание при доказательстве нижеследующих
простых предложений.
C) Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое
множество.
Действительно, если Е и F суть два замкнутых множества, то
E\JF = EVF = E\/F,

38
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
следовательно, E\/F замкнуто. Путем индукции утверждение
переносится и на произвольное конечное число слагаемых.
Соответственным предложением для областей является
следующее:
D) Пересечение любого конечного числа областей есть область.
Доказательство этого предложения вполне тривиально, и в
дальнейшем подобные доказательства будут опускаться, но один раз
провести его стоит. Пусть G и Н—две области из R. Тогда
E — R — G и F = R-^-H суть замкнутые множества. Пересечение
G[)H есть дополнение к E\fF, т.е. G[)H=R — {E\/F). Но E\/F —
замкнутое множество (см. С)) и, следовательно, G[\H—область.
E) Пусть 2— некоторая система замкнутых множеств из
пространства R и D—пересечение всех множеств, входящих в 2.
Тогда D — замкнутое множество.
Действительно, пусть F—некоторое множество системы2. Тогда
DczF и, следовательно, DaF = F. Так как F — произвольный
элемент системы 2, то DczD. Но DdD (cm. А)), следовательно,
Соответственное предложение для областей есть следующее:
F) Сумма произвольного множества областей есть область.
G) Отметим, что если отвлечься от тривиального случая, когда
пространство R содержит лишь одну точку, то во всяком
пространстве R имеются два замкнутых множества: само R и пустое
множество, поэтому во всяком пространстве R имеется и два
открытых множества: само R и пустое множество.
Действительно, замыкание всякого подмножества из R входит
в R и, следовательно, RczR, а из этого и из предложение А)
следует R = R, т.е. R замкнуто. Далее, если R содержит две
различные точки а и Ьу то пустое множество как пересечение
множеств, содержащих по одной точке а и 6, замкнуто (см. Е)).
Пример 11. Пусть R — некоторое бесконечное множество.
Определим в R операцию замыкания следующими условиями: Если
М есть конечное подмножество из R, то положим М=М. Если М
есть бесконечное подмножество из R, то положим М^ R. Легко
проверить, что определенная здесь операция замыкания
удовлетворяет условиям определения 11.
Пример 12. Пусть R—некоторое множество; определим в нем
операцию замыкания, положив М = М для всякого подмножества
М из R. Легко видеть, что в силу этой операции замыкания R
становится топологическим пространством, ибо, как легко
проверить, условия 2), 3), 4) определения 11 выполнены. Всякое
подмножество пространства R замкнуто. Определенное так
пространство R будем называть дискретным.

§8. ОКРЕСТНОСТИ
39
§ 8. Окрестности
В настоящем параграфе будет дан способ задания
топологического пространства не при помощи операции замыкания, а при
помощи окрестностей. Этот способ весьма важен и часто кладется
в основу аксиоматического построения понятия топологического
пространства.
Согласно определению 11 для задания топологического
пространства R следует поставить в соответствие каждому
подмножеству М множества R его замыкание М. Оказывается, однако,
что нет необходимости задавать замыкание каждого множества,
достаточно задать лишь замкнутые множества, и тогда замыкание
всякого множества из R определится однозначно. Оправданием
этого утверждения является следующее предложение.
А) Пусть М—некоторое множество из R и 2— совокупность
всех замкнутых множеств из R, содержащих М. Обозначим через D
пересечение всех множеств из 2, тогда M = D. Иначе говоря, М
есть минимальное замкнутое множество, содержащее М.
Так как М = М, то М есть замкнутое множество. Сверх того,
MzdM и, следовательно, М£2, т.е. DczM. Далее, Dz>M, но
так как D есть пересечение замкнутых множеств, то D = DzdM.
Следовательно, D = M.
Для того чтобы задать все замкнутые множества
пространства R, достаточно задать все области пространства R, ибо всякое
замкнутое множество является дополнением к некоторой области,
и всякое дополнение к области есть замкнутое множество. Таким
образом, для задания пространства R достаточно задать все
области из R. Пользуясь тем обстоятельством, что сумма
произвольного множества областей есть также область, мы приходим к
дальнейшему упрощению.
Определение 13. Система 2 областей пространства R
называется базисом R, если всякая не пустая область из R может
быть получена как сумма некоторого множества областей,
входящих в 2. Базис 2 пространства R иначе называется полной
системой окрестностей пространства R, а каждая область системы 2 —
окрестностью всякой точки, содержащейся в этой области.
Простейшим примером базиса пространства R является
совокупность всех областей из R.
Зная базис пространства R, мы тем самым знаем все области R,
а следовательно, замыкание в R определено однозначно. Таким
образом, для задания пространства R достаточно указать
некоторый его базис.
Как видно из определения 13, понятие окрестности не
определяется целиком установленной в R операцией замыкания, но
зависит также от выбора базиса 2. Таким образом, всюду в даль-

40
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
нейшем, говоря об окрестностях, будем иметь в виду, что выбран
некоторый определенный базис 2.
B) Для того чтобы система областей 2 была базисом
пространства R, необходимо и достаточно, чтобы для всякой области G
и элемента а, принадлежащего G, нашлась некоторая область U
системы 2 такая, что a^UczG.
Если 2 есть базис R, то существует такая система 2' областей
из 2, что G есть сумма всех областей, входящих в 2'. Тогда
найдется такая область /У 6 2', что a£U. Так как G получена
как сумма некоторого множества областей, в которое входит и /У,
то UczG.
Допустим теперь, что формулированное выше условие
выполнено для 2, и пусть G — произвольная область из R. Тогда для
всякого x£G найдется такая область f/^gS, что x^UxaG. Сумма
всех областей Ux при произвольном xgG, очевидно, равна G и,
следовательно, 2 есть базис пространства R.
По аналогии с критерием В) дадим следующее определение.
В') Система 2' окрестностей точки а называется базисом в точке а
или полной системой окрестностей точки а, если для каждой
области G, содержащей точку а, найдется такая окрестность /У £2',
что UczG. Из В) непосредственно следует, что если 2 есть базис
всего пространства, то совокупность всех областей системы 2,
содержащих точку а, составляет базис в точке а.
Как уже отмечалось выше, задание полной системы
окрестностей в пространстве R дает возможность однозначно определить
операцию замыкания в этом пространстве. Покажем конкретно,
как совершается указанный переход от окрестностей к операции
замыкания.
C) Пусть а — некоторая точка и М—некоторое множество из Rm
а тогда, и только тогда, входит в М, когда всякая окрестность U
точки а содержит точку, принадлежащую М. Под окрестностями
точки а здесь следует понимать элементы базиса в точке а (см. В')).
В самом деле, допустим, что а не входит в М. Тогда R—M
есть область, содержащая а, и, следовательно, существует область
/У£2' такая, что attUczR — M (см. В')). Таким образом,
существует окрестность U точки а, не пересекающаяся сМ. Если, далее,
V есть окрестность точки а, не пересекающаяся с М, то М cz R — V=F,
причем F—замкнутое множество, так как V—область. Тогда
MczF = Fy т. е. М не содержит а. Итак, для того чтобы М не
содержало а, необходимо и достаточно, чтобы а имела окрестность,
не пересекающуюся с М. Но это утверждение равносильно
утверждению С).
D) Если 2 есть полная система окрестностей топологического
пространства R (см. определение 13), то выполнены следующие
условия.

§8. ОКРЕСТНОСТИ
41
a) Для всяких двух различных точек а и b пространства R
найдется окрестность £/ £ 2 точки а, не содержащая точку Ъ.
b) Для всяких двух окрестностей V £ 2 и V £ 2 точки a g /?
найдется такая окрестность 1^£2 той же точки, что WaUf)V.
Для доказательства условия а) отметим, что R~b есть область
и, следовательно, в силу замечания В) существует окрестность U
точки а, содержащаяся в R -1- й. Для доказательства условия Ь)
применим то же замечание В) к области U Г) V, содержащей точку а.
Условия а) и Ь) предыдущего замечания важны тем, что они
в свою очередь могут быть приняты за аксиомы окрестностей
топологического пространства. Более полно эта мысль выражается
теоремой 3, которая одновременно является обращением
предложений С) и D), вместе взятых.
Теорема 3. Пусть R—некоторое множество и 2—некоторая
система его подмножеств, для которой выполнены следующие
условия:
a) Для всяких двух различных точек а и Ь из R найдется
такое множество U системы 2, что a£U, но b не содержится в U.
b) Для всяких двух множеств U и V системы 2, содержащих
точку a£R, найдется такое множество W системы 2, что
a^WaUnV.
Определим теперь в R операцию замыкания произвольного
множества MaR, считая, что а£М, тогда и только тогда, когда
всякое подмножество системы 2, содержащее а, пересекается с М.
Тогда определенная так операция замыкания удовлетворяет
условиям определения 11 и, следовательно, R является
топологическим пространством. При этом исходная система 2 представляет
собой полную систему окрестностей полученного пространства R.
Доказательство. Условие 1) определения 11 выполнено
в R, так как операция замыкания определена. Переходим к
доказательству выполнения условий 2), 3) и 4); при этом мы будем
называть множество f/g2 окрестностью точки a£R, если aaU.
Пусть М содержит только одну точку_а. Так как всякая
окрестность точки а содержит а, то а£М. Пусть теперь b —
точка из R, отличная от а. Тогда по условию а) теоремы
существует окрестность U точки 6, не содержащая а, следовательно,
b не принадлежит М. Таким образом, М=--а и условие 2)
определения 11 выполнено.
Пусть М и N—два подмножества из R. Если a^M\/N', то это
значит, что всякая окрестность U точки а пересекается или с М, или
с Ny но тогда U пересекается и_с М V N, т. е. a£M\jN. Если
теперь а не принадлежит М \/ N, то это значит, что существуют
окрестности U и V точки а такие, что U не пересекается с М,
а V—с' N. По условию Ь) теоремы существует окрестность W
точки а, содержащаяся в пересечении U П V. W не пересекается

42
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
с М У N и, следовательно, а не входит в М V N. Таким
образом, М V N = M V N и условие 3) определения 11 выполнено.
Раньше чем перейти к доказательству выполнения условия 4)
определения 11, заметим, что при введенной в теореме 3 операции
замыкания имеем NaN. Действительно, если x£N, то всякая
окрестность точки х пересекается с N> ибо она содержит х.
Таким образом, x_£N, т. е. NaN.
Пусть а£М; это значит, что всякая окрестность U точки а
пересекается с М, т. е. существует точка Ь такая, что b£U> b£M\
но тогда U есть окрестность точки 6, а так как Ь£М, то U
пересекается с М. Таким образом, произвольная окрестность U
точки а пересекается с М, т. е. а£М и, следовательно, МаМ.
С другой стороны, по вышедоказанному МаМ. Таким образом,
получаем М = М, т. е. условие 4) определения 11 выполнено.
Покажем теперь, что 2 есть полная система окрестностей
пространства R. Докажем, прежде всего, что всякое множество
[/£2 есть область в пространстве R. Для этого достаточно
доказать, что F= R — U замкнуто. Если точка х не принадлежит F,
то х g U и, следовательно, окрестность U точки х не пересекается с/7.
Таким образом, х не принадлежит к F, поэтому F = F и,
следовательно, U есть область. Если теперь G— произвольная область
из R и agG, то R — G = E замкнуто и не содержит а.
Следовательно, существует окрестность W точки а, не пересекающаяся с F.
Таким образом, при произвольной области G и точке a£G
существует окрестность W £ 2 такая, что а £ WaG, т. е. 2 есть базис R
(см. В)).
Итак, теорема 3 полностью доказана.
E) Теорема 3 позволяет задавать топологическое пространство R
не при помощи операции замыкания, а при помощи указания
системы 2 подмножеств пространства R, удовлетворяющей
условиям а) и Ь) теоремы 3. При заданной системе 2 операция
замыкания в R определяется способом, указанным в теореме 3, а сама
система 2 называется определяющей системой окрестностей
пространства R.
Если пространство R задано с помощью определяющей системы
окрестностей, то операция замыкания в R определяется однозначно.
Обратное, однако, неверно: если R задано операцией замыкания,
то определяющая система окрестностей не устанавливается
однозначно. Поэтому возникает вопрос, при каких условиях две
различные системы определяющих окрестностей, заданные в одном
и том же множестве R, приводят к одной и той же операции
замыкания.
F) Две определяющие системы окрестностей 2 и 2' называются
эквивалентными у если они приводят к одной и той же операции

§8. ОКРЕСТНОСТИ
43
замыкания в R. Для того чтобы две системы 2 и 2'
определяющих окрестностей в пространстве R были эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки а и ее окрестности
[/£2 нашлась такая окрестность /У'^2' точки а, что U'aU, и,
обратно, для всякой окрестности V'£2' точки а нашлась такая
окрестность Vg2 той же точки, что VaV.
Необходимость этого условия очевидна. Действительно, так
как U есть область, содержащая а, а 2'—базис R> то
существует £/'g2' такая, что а £ U'aU. Так же доказывается и
существование V для заданной V. Если теперь условие эквивалентности
для 2 и 2' выполнено, то 2 и 2' приводят к одной и той же
операции замыкания. Допустим, что a g М, где замыкание построено
исходя из 2. Пусть V'— произвольная окрестность точки а,
взятая из системы 2'. Существует по условию эквивалентности такая
окрестность Vg2 точки а, что VaV; но V пересекается с УИ,
следовательно, и V пересекается с М. Так как V есть
произвольная окрестность точки а из системы 2', то а£М', где
операция замыкания определена исходя из системы 2'.
Формулируем теперь в терминах окрестностей необходимое и
достаточное условие того, чтобы подмножество G пространства R
было областью. Условие это следующее:
G) Подмножество G пространства R тогда и только тогда
является областью, когда для всякой точки agG имеется
окрестность U точки а, содержащаяся в G.
Необходимость этого условия следует непосредственно из того,
что определяющая система окрестностей есть базис пространства R.
Если теперь G удовлетворяет высказанному условию, то докажем,
что R^-G = F есть замкнутое множество. Пусть а не
принадлежит F, тогда a £ G и, следовательно, существует окрестность U
точки а, не пересекающаяся с F. Таким образом, а не
принадлежит F, следовательно, F замкнуто.
Укажем еще в терминах окрестностей условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы точка а была предельной для
множества М. Условие это формулируется следующим образом:
Н) Для того чтобы точка а была предельной для множества М,
необходимо, чтобы каждая окрестность точки а содержала
бесконечное множество точек из М, и достаточно, чтобы каждая
окрестность точки а содержала хоть одну точку из М, отличную
от а.
Действительно, допустим, что a g M — а, и предположим, что
некоторая окрестность U точки а содержит лишь конечную
систему N точек множества М — а. Тогда U — N есть область,
содержащая а, и, следовательно, существует окрестность V точки а,
входящая в U — N, т. е. окрестность V не пересекается с
множеством М -=- а, что невозможно, так как a g M -=- а. Если, обратно,
каждая окрестность точки а содержит точку из М, отличную от а,

44
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
то это значит, что каждая окрестность точки а пересекается сМ~а,
т.е. а^М — а и, следовательно, а есть предельная точка для УИ.
Пример 13. Пусть Rn есть д-мерное евклидово пространство.
Каждая точка из Rn определяется своими п декартовыми
координатами. Рассмотрим последовательность точек xk, k=\, 2, ...
Координаты точки xk обозначим через х{, i= 1, ..., /г. Говорят,
что последовательность xk сходится к точке х с координатами х1,
если lim х1к = х1 при всяком i. Пусть М—множество точек из Rn.
k-> со
Говорят, что х есть предельная точка для множества М> если
в М существует последовательность точек, отличных от х,
сходящаяся к х. Определим как замыкание М множества М
совокупность всех точек, либо принадлежащих к М, либо являющихся
предельными для М. Легко видеть, что определенная таким
образом операция замыкания удовлетворяет всем требованиям
определения 11. Таким образом Rn становится топологическим
пространством.
Так как Rn есть евклидово пространство, то в нем определено
расстояние между каждыми двумя точками. Множество всех точек
из Rny расстояние которых от некоторой фиксированной точки а
меньше, чем заданное число г, называется шаром с центром а
и радиусом г. Легко видеть, что всякий шар есть область в Rn.
Нетрудно показать, что множество всех шаров образует базис Rn.
Точно так же и множество всех шаров с рациональными центрами
и рациональными радиусами образует базис Rn.
Пример 14. В настоящем параграфе был указан способ
задания операции замыкания при помощи окрестностей. Другим
весьма важным способом задания той же операции является задание
при помощи метрики; правда, при помощи метрики возможно задать
операцию замыкания не во всяком топологическом пространстве,
поэтому выделяется весьма важный класс метризуемых
топологических пространств.
Множество R элементов некоторого рода называется
метрическим пространством, если каждой паре его точек х, у
поставлено в соответствие их расстояние, т. е. неотрицательное
действительное число р(х, */), удовлетворяющее следующим условиям:
а) Р(*> #) = 0 тогда и только тогда, когда х = у\ Ь) р(х, у) =
= р(у> х)\ с) р(х, у) + р(у, z)>p(*, г).
В метрическом пространстве естественно вводится операция
замыкания, удовлетворяющая условиям определения 11, так что
метрическое пространство превращается в топологическое. Пусть
М—некоторое подмножество и а—некоторая точка метрического
пространства R. Будем называть расстоянием точки а до
множества М нижнюю грань р(а, М) чисел р(а, х) при х£М.
Замыкание М множества М определяется как совокупность всех точек,
расстояние от которых до М равно нулю. Топологическое
пространство, операция замыкания в котором может быть определена

§ 9. ГОМЕОМОРФИЗМ. НЕПРЕРЫВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 45
указанным образом с помощью некоторой метрики, называется
метризуемым.
Шаром с центром в а и радиусом 8 > 0 в метрическом
пространстве R называется множество всех точек, отстоящих от точки а
на расстояние, меньшее 8. Легко видеть, что всякий шар в R
есть область и что множество всех шаров образует базис
топологического пространства R.
Основными примерами метрических пространств являются
евклидовы пространства конечных размерностей (см. пример 13) и их
бесконечномерное обобщение—так называемое гильбертово
пространство Я.
Элементами пространства Я являются все последовательности
х= {х1у ...,#„, ...} действительных чисел, для которых сходится
ряд *?+...+#;[+... Расстояние в Я определяется соотношением
р(*. у) = Уг(^-У1)2+"- + ^п-УпГ+ -"
§ 9. Гомеоморфизм. Непрерывное отображение
С точки зрения абстрактной топологии два топологических
пространства с одинаково устроенными операциями замыкания
являются одинаковыми, или, пользуясь принятой терминологией,
гомеоморфными. Более точно это выражается следующим
определением.
Определение 14. Отображение f топологического пространства R
на топологическое пространство R' называется гомеоморфным или
топологическим, если оно
1) взаимно однозначно и
2) сохраняет операцию замыкания, т. е. для всякого MczR
имеем f(M) = f(M).
Легко видеть, что если отображение / гомеоморфно, то
обратное ему отображение f"1 также гомеоморфно.
Два топологических пространства R и R' называются
гомеоморфными, если одно из них можно гомеоморфно отобразить на
другое.
Понятие гомеоморфизма для топологических пространств
является аналогом понятия изоморфизма для групп. Топологическими
свойствами топологического пространства мы считаем лишь те,
которые не меняются при гомеоморфных отображениях. Из
определения 14 явствует, что топологическими свойствами являются
те и только те, которые выражаются в терминах замыканий. Таким
образом, свойство некоторого множества быть областью или
замкнутым является топологическим, напротив, свойство быть
окрестностью не является топологическим, так как одна и та же область
может входить в один базис пространства и не входить в другой.
Ввиду неинвариантности понятия окрестности всякий раз,
формулируя какое-либо определение в терминах окрестностей, мы должны

46
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
убеждаться в топологической инвариантности этого определения.
Для того чтобы убедиться в инвариантности определения,
достаточно показать, что при замене одной системы окрестностей на
эквивалентную ей (см. § 8, F)) это определение остается неизменным.
Связь между двумя пространствами, более слабую, чем гомео-
морфное отображение, дает отображение непрерывное. Если гомео-
морфное отображение является аналогом изоморфного, то
непрерывное служит аналогом гомоморфного.
Определение 15. Отображениеg топологического пространства R
в топологическое пространство R' называется непрерывным, если
для всякого MaR выполнено соотношение
g(M)djJM).
А) Покажем, что если отображение g взаимно однозначно и
взаимно непрерывно, т. е. непрерывны оба отображения g и g-"1,
то оно является гомеоморфным.
Так как отображение g непрерывно, то g(M)ag(M).
Обозначая множество g(M) через М' и применяя отображение g--1,
получаем отсюда g~1(M)ag~1(M'). Но так как отображение g"1
непрерывно, то g~1{M,)dg~1(Mr). Последние два соотношения
вместе дают g~1(M') = g~1(M'), т. е. отображение g'1 является
гомеоморфным, ибо вследствие произвольности множества М
множество М' также произвольно. Так как g'1 есть гомеоморфное
отображение, то и g также гомеоморфно.
Формулируем теперь условие непрерывности отображения
в терминах окрестностей. Формулировка эта весьма важна, так
как, по существу, именно нижеприводимое условие употребляется
практически как определение непрерывности отображения.
Теорема 4. Для того чтобы отображение g пространства R
в пространство R' было непрерывно, необходимо и достаточно
выполнение следующего условия: для каждой точки a£R и каждой
окрестности U' точки а'' = g{a)£R' существует такая
окрестность U точки а, что g(U)aU'.
Доказательство. Допустим, что отображение g
непрерывно, и пусть U'— произвольная окрестность точки a' = g(a).
Положим F'' = #'—[/' и обозначим через F полный прообраз
множества F' при отображении g, F = g~1(F'). Тогда F не
содержит точки а.
Далее, ввиду непрерывности отображения g имеем g (F) cz
ag(F) = F' = F\ ибо F' замкнуто. Таким образом, FaF, т. е. F
замкнуто и, следовательно, существует окрестность U точки а,
не пересекающаяся cf, а это значит, что g(U)aU'. Итак,
необходимость формулированного условия доказана. Докажем его
достаточность. Допустим, что это условие выполнено, и пусть
M^R, Покажем, что если а£Му то a' — g(а) €g(M), Пусть £/' —

§9. ГОМЕОМОРФИЗМ. НЕПРЕРЫВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 47
произвольная окрестность точки а'\ тогда по условию существует
такая окрестность U точки а, что g(U)aU'. Так как agM, то
U пересекается с М, но тогда V пересекается с g(M), т. е.
a'€g(M). Итак, g(M)czg(M).
Дадим еще два весьма важных условия, необходимых и
достаточных для непрерывности отображения.
Теорема 5. Для того чтобы отображение g пространства R
в пространство R' было непрерывным, необходимо и достаточно
выполнение одного из двух следующих условий:
1) Если F' есть замкнутое множество из R', то полный
прообраз F множества F' при отображении g есть замкнутое
множество в R.
2) Если G' есть область из R', то полный прообраз G
множества G' при отображении g есШь область в R.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что условия 1)
и 2) эквивалентны. Пусть F' и G'—два непересекающихся
множества в R', сумма которых равна R\ Обозначим через F и G
полные прообразы множества F' и G' при отображении g.
Очевидно, что F и G не пересекаются, а сумма их равна R. Допустим
теперь, что условие 1) выполнено и G' — произвольная область
из R'. Тогда Fr—замкнутое множество (см. определение 12) и
в силу условия 1) F—также замкнутое, следовательно, G — область.
Таким образом, из 1) следует 2). Тот факт, что и из 2) следует 1),
доказывается совершенно аналогично.
Докажем теперь необходимость условия 2). Пусть G' —
произвольная область из R' и G — полный прообраз G'. Пусть а —
произвольная точка из G и a' =g(a). Так как G' — область, то
существует окрестность U' точки а', целиком содержащаяся в G'
(см. § 8, G)). В силу теоремы 4 тогда существует такая
окрестность U точки а, что g(U)dU'\ но так как U'czG' и G есть
полный прообраз G', то UczG. Таким образом, G — область
(см. § 8, G)).
Докажем, наконец, достаточность условия 2). Пусть а —
произвольная точка из R, a' = g(a) и V — произвольная окрестность
точки а!\ Так как U' — область в R', то в силу условия 2)
полный прообраз G множества U' при отображении g есть область в R
и, следовательно, существует окрестность U точки а, целиком
содержащаяся в G (см. § 8, G)). Таким образом, g (U) a U' и
отображение g в силу теоремы 4 непрерывно.
В) Нетрудно видеть, что если g есть непрерывное
отображение пространства R в пространство R\ a g' — непрерывное
отображение пространства R' в пространство R", то отображение
h (х) = g' (g (x)) есть также непрерывное отображение
пространства/? в пространство R".

48
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 10. Подпространство
Если проводить аналогию между понятиями второй и первой
глав, то гомеоморфизм и непрерывное отображение являются
аналогами изоморфизма и гомоморфного отображения. Перейдем
теперь к построению аналога подгруппы.
Определение 16. Пусть R—топологическое пространство и /?*—
некоторое подмножество из R. В R* можно естественным образом
внести топологию, индуцируемую топологией пространства R, так,
что множество/?* станет само топологическим
пространством—подпространством пространства R. Возникающие таким образом в R*
понятия замыкания,замкнутого множества, области и другие
называются относительными. Относительная операция замыкания М*
множества М в пространстве R* определяется следующим образом:
Таким образом, условие 1) определения Ив/?* выполнено.
Докажем, что выполнены также условия 2), 3) и 4) того же
определения.
Если М содержит лишь один элемент а, то M* = M()R* =
= Mf\R* = M. Таким образом, условие 2) выполнено.
Пусть М и N—два множества из R*. Тогда
(М V N)*=r(M у N) f)R* = (M\jN)f)R*=(Mn R*)V(N П R*) =
т. е. условие 3) выполнено.
Переходя к доказательству выполнения условия 4), заметим,
что в силу самой конструкции операции замыкания в R* имеем
всегда NczN*. Действительно, N* = N f] R*z)N f] R* = N. Далее,
мы имеем M[\R*aM, т. е. (М П R*)aM, и, следовательно,
* __
М* - М* П R* = (М Г) R*) Г) R*aM f)R* = M*.
* *
Но так как по только что доказанному М*аМ*, то М* = М*,
т. е. и условие 4) выполнено.
Установим теперь некоторые элементарные свойства понятия
подпространства.
А) Пусть R*—некоторое подпространство пространства R (см.
определение 16). Если F есть замкнутое множество в R, то Е —
= F(]R* есть относительно замкнутое множество в R* и, обратно,
всякое относительно замкнутое множество Е из R* может быть
получено как пересечение некоторого замкнутого множества F из
Re R*.
В самом деле, пусть F—замкнутое множество из R и E=F П /?*.
Тогда Е cz F и Е a~F = F. Пересекая обе части последнего
соотношения с /?*, получаем Е П R* cz F П R*, т. е. Е* cz E; но так как

§10. ПОДПРОСТРАНСТВО
49
всегда Е cz £*, то Е*~Е и, следовательно, Е есть относительно
замкнутое множество из R*.
Пусть теперь, обратно, Е есть относительно замкнутое
множество из R*. Это значит, что E=^E*^E[}R*y т. е. Е есть
пересечение замкнутого множества Е с R*.
B) Пусть R*—некоторое подпространство пространства R.
Если G—некоторая область из R, то H=^G[)R* есть
относительная область из R*. Обратно, каждая относительная область Я
из R* может быть получена как пересечение некоторой области G
из R с #*
Пусть G — произвольная область из R. Тогда F = R — G есть
замкнутое множество. Положим H=-Gf]R* и E = F [\R*. Легко
видеть, что Н = R* — Е\ но по ранее доказанному (см. А)) Е
есть относительно замкнутое множество, следовательно, Я есть
относительная область.
Если, обратно, Я есть относительная область, то E = R*-^H
есть относительно замкнутое множество и, следовательно, E=F П R*>
где F—замкнутое в R (см. А)). Тогда G = R-=-F есть область и
H---GDR:
C) Пусть R—топологическое пространство, R* — его
подпространство и 2 — некоторый базис R. Обозначим через 2*
совокупность всех множеств вида G'[\R*, гдеС£2. Тогда 2* составляет
базис R*. Аналогичное предложение имеет место и для базиса
в точке.
Действительно, так как все элементы из 2 суть области, то
по ранее доказанному (см. В)) 2* составлена из относительных
областей. Докажем, что каждая относительная область Я из R*
может быть получена как сумма областей, принадлежащих
системе 2*. По ранее доказанному (см. В)) H=Gf)R*9 где G есть
некоторая область. Так как 2—базис R, то G может быть
получена как сумма некоторой системы Д областей, принадлежащих 2.
Обозначим через Д* совокупность всех множеств вида G' П R*9 где
G'gA. Тогда Д* с: 2* и Я есть сумма всех множеств,
входящих в Д*.
D) Пусть R*—подпространство пространства R. Каждой точке
x£R* поставим в соответствие точку f(x) = x£R- Тогда
отображение / есть непрерывное отображение пространства R* в
пространство R.
Для доказательства воспользуемся условием 1) теоремы 5 и
замечанием А). Если F есть некоторое подмножество
пространства R, то легко видеть, что полный прообраз множества F при
отображении / есть F П R*- При замкнутом F множество F П R*
замкнуто в R* и, следовательно, отображение / непрерывно.
E) Пусть g есть непрерывное отображение пространства R
в пространство R'. Допустим, что g(R) cz R* cz R'. R* как
подмножество пространства R' само является топологическим прост-

50
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ранством. Оказывается, что g есть непрерывное отображение
пространства R в пространство R*.
Для доказательства достаточно заметить, что если FaR', то
полный прообраз множества F при отображении g совпадает
с полным прообразом Ff)R* при том же самом отображении, и
затем применить это замечание к случаю, когда F замкнуто.
Предложения D) и Е) показывают, что определение 16 дано,
как говорят, правильно. Действительно, если бы мы поставили
перед собой задачу дать топологию в подпространстве, то
стремились бы дать ее так, чтобы предложения D) и Е) имели место.
Интересно отметить, что с этой точки зрения топология в
подпространстве определяется однозначно: если потребовать, чтобы
предложения D) и Е) были выполнены, то придем к определению 16.
Пример 15. Пусть R—совокупность всех действительных
чисел. R можно трактовать как множество всех точек числовой
прямой. Определим в R операцию замыкания, как это сделано
в примере 13 (для случая п=\). Пусть R*—подпространство
пространства R, составленное из всех чисел у таких, что —1 <
<#< + !• Покажем, что R и R* гомеоморфны. Положим у =
= х л_ -х • В силу этого соотношения каждой точке х числовой
прямой R ставится в соответствие точка интервала R*, причем
соответствие это взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Пример 16. Пусть R — плоскость с естественной для нее
топологией (см. пример 13). Обозначим через R* подпространство
пространства Ry составленное из всех точек единичной
окружности, т. е. из всех точек (х, у), удовлетворяющих соотношению
х2 + у2= 1. Через R** обозначим множество всех точек оси абсцисс,
для которых абсцисса ср удовлетворяет соотношению 0^ф<2я.
Дадим непрерывное и взаимно однозначное отображение
пространства R** на пространство R* с помощью соотношения x^coscp,
у = sin ф. Непрерывность и взаимную однозначность этого
отображения проверить нетрудно. Интересным является тот факт, что
отображение это не является взаимно непрерывным, т. е.
обратное отображение пространства R* на пространство R** не является
непрерывным. Действительно, отображение это терпит разрыв
в точке с координатами 1, 0.
§11. Связность
В этом и двух следующих параграфах будут указаны
некоторые дополнительные ограничения, которые мы в дальнейшем будем
налагать на общие топологические пространства. К числу этих
ограничительных условий принадлежит условие связности, не
играющее, впрочем, особо важной роли.
А) Топологическое пространство R называется связным, если
его нельзя разбить на сумму двух непустых непересекающихся

§ п. связность
51
замкнутых множеств А и В. Очевидно, что то же самое
определение можно выразить в другой форме: топологическое
пространство R называется связным, если его нельзя разбить на сумму
двух непустых непересекающихся областей А и В.
Применяя это определение к подпространству, мы получим
понятие связного множества; именно: множество М точек
пространства R называется связным, если оно, рассматриваемое как
подпространство (см. определение 16), связно.
Определение связности множества целесообразнее, впрочем,
формулировать в следующей более непосредственной форме.
B) Подмножество М пространства R называется связным, если
его нельзя разбить на сумму двух непересекающихся непустых
множеств А и В таких, что (A ft В) ft M пусто. Если M = R, то
очевидно, что определение это совпадает с определением А).
C) Пусть А—некоторая совокупность связных подмножеств
пространства R (см. В)) таких, что все они имеют общую точку а.
Тогда сумма М всех множеств, входящих в А, связна.
Допустим, что М несвязно. Тогда М можно разбить на сумму
двух непересекающихся непустых множеств А и В таких, что
(A ft В) ft M пусто. Пусть а£А, Ь—некоторая точка из В и Р —
множество системы А, содержащее точку Ь. Положим A' — AftP,
B' = Bf)P. Тогда А и В' суть два непересекающихся непустых
множества, на сумму которых распадается Р. Далее, А' а А,
В' cz В (см. § 7, В)) и Р cz M. Мы имеем, следовательно,
(А' ft В') ft Р cz (А ft В) ft Му но так как правая часть этого
соотношения по предположению пуста, то и левая пуста. Таким образом,
Р оказывается несвязным, что противоречит предположению.
D) Пусть а—некоторая точка топологического пространства R.
Тогда в R существует максимальное связное подмножество К>
содержащее точку а. Максимальность множества К заключается
в том, что каждое связное подмножество пространства R,
содержащее точку а, входит в К. Множество К всегда замкнуто и
называется компонентой точки а в пространстве R.
Действительно, пусть А—совокупность всех связных
подмножеств пространства R, содержащих точку а. Сумма К всех
множеств, входящих в А, связна в силу замечания С) и по самой
конструкции является максимальным связным множеством,
содержащим точку а. Покажем, что множество К замкнуто. Для этого
достаточно показать,, что К связно, ибо тогда в силу
максимальности множества К мы будем иметь К cz К и, следовательно,
К = К (см. § 7, А)). Допустим, что К несвязно; тогда К
распадается на сумму двух непересекающихся непустых множеств А
и В таких, что А [)В ft К пусто. Положим А'= А П К, В'=?В[)К-
Допустим, что а^А\ и покажем, что В' пусто. Действительно,
если бы В' было непусто, то оказалось бы, что К распадается

52
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
в сумму двух непересекающихся непустых множеств А' и В'
таких, что А'[\В'{\К пусто, ибо последнее пересечение входит
в А[\В[\Ку которое по предположению пусто, и, таким образом,
мы пришли бы к противоречию со связностью множества /С. Итак,
В' пусто. Но это значит, что KczA и, следовательно,
пересечение А ПВ[)К => Кг\ВГ\К = К_Г\ Bid К Г) 5 непусто, ибо
множество В непустое и входит в К.
Е) Если имеется непрерывное отображение g связного
топологического пространства R на некоторое пространство R', то
пространство R' также связно.
Допустим противоположное. Тогда пространство R' можно
разбить на два непересекающихся замкнутых непустых
подмножества Е' и F'. Прообразы Е и F этих подмножеств в R также
замкнуты (см. теорему 5) и, очевидно, в сумме дают R\
следовательно, пространство R оказывается разбитым на сумму двух
непересекающихся непустых замкнутых множеств, что
противоречит предположению о его связности.
§ 12. Регулярность. Вторая аксиома счетности
В этом параграфе будут разобраны весьма важные
ограничительные условия, именно регулярность и вторая аксиома
счетности, которые мы в дальнейшем будем налагать на
рассматриваемые топологические пространства. Первая аксиома счетности нами
впоследствии употребляться не будет, но для полноты я
формулирую ее здесь.
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет
первой аксиоме счетности, если каждая его точка допускает счетный
базис.
Определение 17. Топологическое пространство R называется
регулярным, если для всякой окрестности U любой его точки а
найдется такая окрестность V той же точки, что V czU.
Нетрудно доказать инвариантность этого определения (см.
§ 8, F)). Пусть 2 и 2'—две полные системы окрестностей
пространства R (см. определение 13). Допустим, что для системы
окрестностей 2 регулярность имеет место, и докажем регулярность
системы 2'. Пусть U' 62' — некоторая окрестность точки а. В силу
эквивалентности 2 и 2' (см. § 8, F)) существует такая
окрестность /У £2 точки а, что U cz U'. Так как 2 регулярна, то
существует окрестность Fg2 точки а такая, что V cz U. Далее, опять
на основании эквивалентности 2 и 2' найдется окрестность V g 2'
точки а такая, что У с V, и мы имеем V cz V cz U с U\ т. е. 2'
регулярна.
В дальнейшем доказательства такого типа будут пропускаться
ввиду их тривиальности.

§ 12. РЕГУЛЯРНОСТЬ. ВТОРАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ 53
A) В регулярном пространстве R для всяких двух различных
точек а и а' можно найти окрестности V и V\ замыкания
которых не пересекаются.
Пусть U—окрестность точки а, не содержащая точку а'
(см. § 8, D)). В силу регулярности существует окрестность V
точки а такая, что V a U. Область R — V содержит а', и потому
существует окрестность U' точки а', входящая в R-t-V. В силу
регулярности существует теперь такая окрестность V точки а',
что V cz U'. Очевидно что V и V не пересекаются.
Определение 18. Говорят, что топологическое пространство R
удовлетворяет второй аксиоме счетности, если в нем существует
базис, содержащий не более счетного числа областей (см.
определение 13).
B) Если топологическое пространство R регулярно или
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то всякое его
подпространство R* регулярно или соответственно удовлетворяет второй
аксиоме счетности (см. определение 16).
Допустим, что R удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Пусть 2— счетный базис пространства R. Базис 2* пространства
R*, соответствующий базису 2 (см. § 10, С)), также счетен и,
следовательно, R* удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Допустим, что R регулярно. Пусть U* = Uf\R*—некоторая
окрестность точки а в пространстве R*, причем U есть окрестность этой
точки в R. В силу регулярности пространства R существует такая
окрестность V точки а в R, что VczU. Положим V* = V [)R*.
Тогда V*= (VThR*) П R*'c: Vcz U/V* cz R* и, следовательно, V*cz/7*,
т. е. пространство R* регулярно.
Ниже в этом параграфе будут рассматриваться лишь
регулярные топологические пространства, удовлетворяющие второй аксиоме
счетности, хотя некоторые из приводимых предложений
справедливы и в более общем случае. Для краткости введем следующее
обозначение.
C) Регулярное топологическое пространство, удовлетворяющее
второй аксиоме счетности, мы будем называть S-пространством.
D) В S-пространстве R для всякой точки а существует базис,
составленный из областей
Wlt ...,Wn, ... (1)
таких, что
Wn+1czW„, я=1, 2, ... (2)
Пусть 2 — некоторый счетный базис пространства R.
Обозначим через U±> ..., Un, ... те области системы 2, которые
содержат точку а, и через Vn-—пересечение всех областей Ult ..., Un.
Нетрудно видеть, что области
Vif ..., Vn, ... (3)

54
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
составляют базис в точке а, причем Vn+1 cV„, л=1, 2, ...
Действительно, если G— некоторая область, содержащая точку а, то
существует такой номер /?, что Up cz G, но тогда и Vp cz G.
Выберем теперь из последовательности (3) последовательность (1)
Wg = Vn9 i=\, 2, ..., удовлетворяющую условию (2). Для этого
положим W1 = V1 и допустим, что область Wt уже__ выбрана •
В силу регулярности существует такой номер nt-\-k, что Vn.+kczVn.-
Мы положим Wi+1 = Vn.+k] тем самым последовательность (1)
индуктивно определена.
Введем теперь понятие сходящейся последовательности точек.
Это понятие можно ввести в произвольном топологическом
пространстве, но во всей своей общности оно не является ценным.
Мы будем употреблять его лишь для S-пространств.
E) Говорят, что последовательность
аг, •.., ап, ... (4)
точек S-пространства R сходится к точке а этого пространства,
если всякая окрестность U точки а содержит все точки
последовательности (4), начиная с некоторого номера. В частности, все
точки последовательности (4) могут совпадать с одной и той же
точкой Ь, и тогда а = Ь.
F) Если в S-пространстве R последовательность (4) сходится
к я, то множество N точек этой последовательности не может
иметь предельной точки а' Фа. Далее, последовательность (4) не
может сходиться к точке а' Ф а.
Действительно, пусть V и V—непересекающиеся окрестности
точек а и а' (см. А)). Так как последовательность (4) сходится
к а, то все ее точки за исключением лишь конечного числа
принадлежат V и, следовательно, а не может быть предельной
точкой для N. Точно так же показываем, что последовательность (4)
не может сходиться к а'.
G) Пусть R — некоторое S-пространство и М с R. Точка a£R
тогда и только тогда принадлежит М, когда в М существует
последовательность точек, сходящихся к а.
Действительно, если в М существует последовательность,
сходящаяся к а, то каждая окрестность точки а пересекается с М
и, следовательно, а£М (см. § 8, С)). Если, обратно, а$М9 то
построим для а базис (1), удовлетворяющий условию (2). Так как
каждая окрестность Wn точки а пересекается с М (см. § 8, С)),
то существует точка an£Wny принадлежащая М. Легко видеть,
что полученная последовательность а±, ..., ап, ... сходится к а.
Н) Пусть R—топологическое пространство, удовлетворяющее
второй аксиоме счетности, М — некоторое его подмножество и
Q — система областей, сумма которых содержит М. Тогда из
системы Q можно выбрать самое большее счетную систему й'

§ 13. КОМПАКТНОСТЬ
55
областей, сумма которых также содержит /W. Коротко говорят,
что из произвольного покрытия Q можно выбрать счетное
покрытие Q'.
Пусть 2 — некоторый счетный базис пространства R.
Обозначим через 2' = {Uly ..., Un, ...} совокупность всех областей из
2 таких, что каждая содержится по крайней мере в одной из
областей системы Q. Всякая область G системы Q может быть
представлена как сумма некоторой системы 2G областей системы 2.
Но так как всякая из областей системы 2G содержится в G, то
2G cz 2'. Таким образом, каждая область из Q может быть
представлена как сумма областей из 2'. Ввиду того что система й
покрывает М, система 2' обладает тем же свойством. Обозначим
через Gn некоторую область системы Q, содержащую область Un.
Система Q/ = {01> ..., Gni ...} покрывает множество М. Таким
образом, из произвольного покрытия Q мы выделили (самое
большее) счетное покрытие Q'.
Пример 17. Пусть R—топологическое пространство,
определенное в примере 12. Так как полную систему 2 окрестностей
в R можно задать так, что каждая область из 2 содержат лишь
одну точку, то регулярность очевидна. Напротив, если R
содержит несчетное число точек, то вторая аксиома счетности в R не
выполнена, так как всякий базис пространства R неизбежно
должен содержать все области, содержащие по одной точке.
Пример 18. Пусть R—топологическое пространство,
определенное в примере 11. Всякая непустая область G из R
получается путем выкидывания из R конечного множества N, G=R-:-N.
Из этого непосредственно следует, что R удовлетворяет второй
аксиоме счетности тогда и только тогда, когда число точек в R
не более чем счетно. R регулярно только тогда, когда оно
содержит лишь конечное число точек. Действительно, пусть
а—некоторая точка и U—ее окрестность. Пусть V—некоторая другая
окрестность точки а. Если R содержит бесконечное число точек,
то У= R и, следовательно, V с U лишь когда U = R\ но, конечно,
всякая точка а допускает окрестность (/, отличную от R.
§ 13. Компактность
Здесь будет рассмотрено весьма важное ограничительное
условие— компактность, которое мы в дальнейшем будем налагать на
рассматриваемое топологическое пространство. Следует отметить,
что компактность сама по себе в большинстве случаев не является
достаточным ограничением, и потому мы будем рассматривать,
главным образом, компактные S-пространства (см. § 12, С)).
Наряду с компактностью весьма важную роль играет также
локальная компактность.
Определение 19. Подмножество М топологического
пространства R называется компактным, если каждое бесконечное под-

56 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множество N с= М имеет в М по меньшей мере одну предельную
точку. Топологическое пространство R называется компактным,
если само множество R компактно. Топологическое пространство R
называется локально компактным, если каждая его точка имеет
окрестность, замыкание которой компактно.
A) Замкнутое подмножество М компактного топологического
пространства R компактно. В частности, следовательно, всякое
компактное пространство является одновременно и локально
компактным.
Действительно, всякое бесконечное подмножество N cz M имеет
в R предельную точку, ибо R компактно; но так как М замкнуто,
то эта предельная точка принадлежит УИ.
B) В S-пространстве всякое компактное подмножество М
замкнуто.
Допустим противоположное. Тогда существует точка а,
содержащаяся в М, но не входящая в М. Согласно § 12, G), в М
имеется последовательность
аи ..., ап, ..., (1)
сходящаяся к а. В (1) должно содержаться бесконечное
множество различных точек, ибо в противном случае все точки
последовательности (1) за исключением лишь конечного числа должны
были бы совпадать с а, между тем как а не принадлежит М.
Таким образом, (1) есть бесконечное множество и как таковое
должно иметь в М предельную точку; но единственной его
предельной точкой является а (см. § 12, F)). Таким образом, а£М,
что противоречит первоначальному допущению.
Теорема 6. Пусть
Fl9 ...,/>,,... (2)
— последовательность компактных непустых подмножеств
некоторого S-пространства R такая, что Fn+1aFn9 n=^\, 2, ...
Тогда пересечение F всех множеств последовательности (2) непусто
и компактно.
Доказательство. Если последовательность (2) начиная
с некоторого номера / стабилизируется, т. е. Fn = Fn+1 при/z^f,
то F = Fit a Ft по предположению не пусто. Если стабилизации
не происходит, то из последовательности (2) можно выбрать
подпоследовательность
Ег, ...,£„, ... (3)
такую, что Еп+1ФЕп, причем, конечно, Еп+1с:Еп, п=1, 2, ...
Пусть an^En-L- Еп+1. Все точки ап, п = 1, 2, ..., различны между
собой, и потому множество Мп = {ап, ап+1, ...} бесконечно.
Заметим, что предельные точки для множеств М( и М;- совпадают,
ибо множества эти отличаются лишь конечным числом точек;
поэтому обозначим совокупность точек, предельных для Mh че-

§ 13. КОМПАКТНОСТЬ
57
рез N. Множество N не пусто, так как Е( компактно. Далее,
NaEh ибо MiczEh a Eh будучи компактным, замкнуто (см. В)).
Таким образом, NczF и, следовательно, F непусто. Как
пересечение замкнутых множеств последовательности (2) F замкнуто, но,
будучи подмножеством компактного множества Flt множество F
также компактно (см. А)).
Как следствие теоремы 6 выведем следующее предложение.
С) Если G—некоторая область, содержащая пересечение F
множеств последовательности (2) (см. теорему 6), то существует
такой номер k, что при n^k имеем Fnc:G.
Положим Еп = Fn-1-G и покажем, что Еп компактно.
Действительно, множества R — G и Fn замкнуты (см. В)), а следовательно,
и их пересечение Еп замкнуто. Но будучи замкнутым
подмножеством компактного пространства Frn множество Еп должно быть
компактным (см. А)). Мы имеем En+1aEni /i=l, 2, ... Если
все множества последовательности
Ех, .-., Ея9 ... (4)
начиная с некоторого номера пусты, то утверждение С) уже
доказано, если же все множества последовательности (4) непусты, то
пересечение их Е также непусто (см. теорему 6). Легко видеть,
что E^F-^G, но по предположению FczG и, следовательно,
Е пусто, т. е. мы пришли к противоречию.
Теорема 7. Пусть R—некоторое S-пространство, М—его
компактное подмножество и Q—система областей, сумма которых
содержит М. Тогда из системы Q можно выбрать конечную
систему областей, сумма которых также содержит М. Коротко
говорят, что из произвольного покрытия Q можно выбрать
конечное покрытие.
Доказательство. Из покрытия Q выделим счетное покрытие
G' = {Glf ..., 0аш ...}
(см. § 12, Н)). Положим Hn = Gx\/ GaV--. V Gn и Fn = M — Hn.
Тогда Fn+1aFn и Fn компактно, n=l, 2, ... (см. В), А)). Если
начиная с некоторого номера k все множества последовательности
Р» ..-, Fn, ... (5)
становятся пустыми, то HkzDM и, следовательно, конечная
система Gj, ..., Gk областей из Q покрывает М, т. е. теорема уже
доказана. Если же все множества последовательности (5) непусты,
то пересечение их в силу теоремы 6 также непусто, а это значит,
что в М имеется точка, не принадлежащая ни к одной области
системы Q', что противоречит тому условию, что Q'—покрытие
множества Af.
Теорема 8. Пусть f—непрерывное отображение компактного
пространства R на пространство R'. Тогда R' также компактно.

58
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Если, кроме того, отображение f взаимно однозначно, a R' есть
S-пространство, то f будет топологическим отображением.
Доказательство. Если R' некомпактно, то в R' существует
бесконечное подмножество ЛГ, не имеющее в нем предельной точки.
Покажем, что это невозможно. Выберем для каждой точки х'
множества N' такую точку х из R, что f(x) = x'. Совокупность всех
таким образом полученных точек х обозначим через N. N есть
бесконечное множество и имеет в R предельную точку а, так как
R компактно. Покажем, что а' = / (а) есть предельная точка
множества N'. Пусть U' — произвольная окрестность точки а1 и U—
окрестность а, для которой / (f/)c=:f/'; такая окрестность
существует, ибо f(x) непрерывно (см. теорему 4). Так как а есть
предельная точка множества N, то в U существуют две различные
точки р и q из N. Точки f(p) и f (q) различны и обе
принадлежат U'. Таким образом, по крайней мере одна из этих точек
отлична от а и принадлежит одновременно {]' и N', следовательно,
а' есть предельная точка множества N', т. е. мы пришли к
противоречию.
Пусть теперь отображение f(x) взаимно однозначно, a R' есть
S-пространство; покажем, что тогда обратное к нему отображение
/-1 (х') также непрерывно. Для этого достаточно показать, что
если F есть некоторое замкнутое подмножество R, то полный его
прообраз F' при отображении f"1 (xf) также замкнут (см. теорему 5).
Так как f(x) взаимно однозначно, то F' = f(F). Но F как
замкнутое подмножество компактного пространства компактно. Мы имеем,
таким образом, непрерывное отображение компактного
пространства F на пространство F' и, следовательно, по вышедоказанному
F' компактно. Но как таковое оно и замкнуто в R' (см. В)).
D) Если
а19 ..., ап, ... (6)
есть некоторая последовательность точек компактного S-простран-
ства R, то из нее можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность.
Пусть N—множество всех точек, входящих в
последовательность (6). Если множество N конечно, то в последовательности (6)
существует бесконечное множество точек, совпадающих с одной
и той же точкой а. Точки последовательности (6), совпадающие
с а, образуют тогда подпоследовательность, сходящуюся к а.
Допустим теперь, что N бесконечно, тогда N имеет
предельную точку айв силу замечания G) § 12 существует
последовательность точек из N, сходящаяся к а. Она и образует искомую
сходящуюся подпоследовательность.
При многих построениях сходящихся последовательностей в
математике употребляется так называемый диагональный процесс.
Здесь он будет изложен в форме следующей теоремы.

§ 14. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
59
Теорема 9. Пусть R1, ..., R*, ... —последовательность
компактных S-пространств. Пусть, далее, а1п, /z=l, 2, ..., /=1,
2, . . ., —система точек таких, что а\ g R1'. Тогда можно выбрать
такую возрастающую последовательность п (1), п (2), ..., п (k), ...
натуральных чисел, что при фиксированном i каждая
последовательность асп0), а£(2), •.., а1п(к), ... сходится в пространстве R1'.
Доказательство. Так как пространство R1 компактно,
то в силу замечания D) существует возрастающая
последовательность
/1(1, 1), /1(1, 2), ..., л(1, k), ... (7)
натуральных чисел такая, что последовательность a\a,k), k=l>
2, ..., сходится в R1. Так как пространство R2 компактно, то
из последовательности (7) можно выбрать подпоследовательность
п(2, 1), п(2, 2), ..., п(2, &), ... натуральных чисел такую, что
последовательность точек ali2tk), k=\, 2, ..., сходится в R2.
Продолжая этот процесс выбора, мы построим возрастающие
последовательности Д' = {n(i, 1), n(i, 2), ..., n(i, k), ...}
натуральных чисел такие, что последовательность точек
4<;,*» ft=l, 2, .... (8)
сходится в /?', t= 1, 2, ..., причем последовательность Д/+1
является подпоследовательностью последовательности А1". Положим
теперь n(k) = n(k, k) и А={п(\), /г(2), ..., n(k), ...}. Если
в последовательности Д откинуть первые i—1 членов, то
полученная последовательность будет подпоследовательностью
последовательности А1', а так как последовательность (8) точек сходится,
то и последовательность a£(&>, k=l, 2, ..., также сходится. Таким
образом, искомая возрастающая последовательность натуральных
чисел построена.
Пример 19. Пусть R — евклидово пространство с
естественной для него топологией (см. пример 13). Легко видеть, что R
регулярно и в нем выполнена вторая аксиома счетности. R не
компактно, так как в нем существует бесконечная
последовательность точек, не имеющая предельной точки. Однако всякое
замкнутое ограниченное подмножество пространства R компактно.
И обратно, всякое компактное подмножество из R является
замкнутым ограниченным множеством.
§ 14. Непрерывные функции
В дальнейшем весьма важную роль будут играть непрерывные
функции, заданные на топологическом пространстве. Для этих
функций без труда доказываются обычные предложения анализа
о непрерывных функциях (см. ниже А), В)). Основной целью
настоящего параграфа является доказательство весьма важной и
нетривиальной леммы Урысона.

60
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 20. Говорят, что на топологическом
пространстве R задана действительная числовая функция f(x), если
каждому элементу x£R поставлено в соответствие действительное
число f(x). Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если
для всякого положительного числа г существует такая
окрестность U точки а, что при x£U имеем \f{x)— /(#))< г. Функция
f(x) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке х
пространства R.
Это определение выражает в точности тот факт, что функция
f (x) дает непрерывное отображение топологического пространства R
в пространство действительных чисел (см. определение 15).
A) Пусть f(x) — непрерывная числовая функция, заданная на
связном топологическом пространстве (см. § 10, А)). Если
функция f(x) принимает значения а и 6, то она принимает и всякое
промежуточное значение с, а < с < Ъ.
Действительно, если бы мы предположили противоположное,
то оказалось бы, что непрерывная функция f{x) дает отображение
связного топологического пространства R на несвязное множество
действительных чисел, что невозможно (см. § 11, Е)).
B) Действительная непрерывная числовая функция f(x),
заданная на компактном топологическом пространстве R (см.
определение 19), ограничена и достигает своих максимума и
минимума.
Обозначим через R' множество всех значений, принимаемых
функцией f(x), R' = f(R). Множество R' в качестве совокупности
действительных чисел является топологическим пространством.
Так как R компактно, то в силу теоремы 8 пространство R' также
компактно. Как компактное множество действительных чисел, R'.
должно быть замкнуто и ограничено и, следовательно, функция
f(x) ограничена. Далее, обозначим через s и t нижнюю и
верхнюю грани множества R'. Так как R' ограничено и замкнуто,
то s и t принадлежат R' и, следовательно, функция f(x)
достигает своих максимума и минимума.
Предложения А) и В) выясняют вопрос о том, какие именно
предположения используются при доказательстве известных теорем
анализа о непрерывных функциях.
Лемма Урысона. Пусть R — компактное регулярное
топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетно-
сти (см. определения 17, 18, 19), а Е и F—два его не
пересекающихся замкнутых подмножества. Тогда существует непрерывная
функция f (х)у заданная на R, такая, что 0^f(x) ^ 1 при всяком
x£R, f(x) = 0 при всяком х£Е и f (х) = 1 при всяком x£F.
Идея доказательства этой леммы заключается в следующем.
Каждой двоичной дроби г, 0 < г < 1, ставится в соответствие
область Gr пространства R такая, что EaGr и Gr не пересекается
с F\ сверх того, Gr'C:Gr», если г' < г". После построения такой

§ 14. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
61
системы областей построение функции выполняется уже без
затруднений.
Доказательство. Покажем прежде всего, что если А и В
суть два непересекающихся замкнутых подмножества из R, то
существует область G такая, что AczG и G не пересекается с В.
Пусть х—произвольная точка из Л. R — B есть область,
содержащая х\ в силу регулярности R существует такая
окрестность Ux точки х, что UxczR~B, т. е. Ux не пересекается с 5.
Когда х пробегает все множество Л, система областей Ux
покрывает А. Как замкнутое подмножество компактного пространства А
компактно (см. § 13, А)). На основании теоремы 7 из покрытия
множества А областями Uх можно выбрать конечное покрытие
[/х, ..., Uk. Сумма G = Ui\/... V U^ содержит Л, и G не
пересекается с В, так как G^ Ut\/ ... \fUh, a Ut не пересекается с В
при всяком i.
Построим в R конечную систему 2„ областей Gr, тде г есть
рациональное число, представимое в форме ~ , </ = 1, 2, ..., 2п—1,
обладающую следующими свойствами: a) EaGn Gr не
пересекается с F; Ь) при г' < г" Gr>czGr».
Построение будем вести индуктивно по /г, причем 2,/+1 будет
получаться путем расширения 2„.
2j должно содержать лишь одну область G1/2. Для
построения G1/2 положим А=Е, B = F, тогда по ранее доказанному
существует область G такая, что AczG и G не пересекается с В.
Положим Gi/a^G. Условие а) для 2Х выполнено, условие же Ь)
пока бессодержательно.
Допустим, что 2И уже построена, и построим 2W+1. Пусть
г = '2?гтт> если Я четно, д = 2/7, то r = J^ и тогда имеем Grg2n,
так что Gr уже построена. Пусть теперь q = 2/7+1; положим
s = ^ и f = р~7п - Здесь следует различать три случая: 1) s>0,
£ < 1; в этом случае Gs и Gt уже построены и мы положим Л = G5,
В = R~Gt. А и В суть замкнутые непересекающиеся множества,
так как GsczGt. 2) s = 0; тогда Gt существует и мы положим А=Е,
В = R ~Gt. А и В суть замкнутые не пересекающиеся множества,
так как EaGt. 3) / = 1; тогда Gs существует и мы положим
A = GS, B = F. А и В суть замкнутые непересекающиеся
множества, так как Gs и F не пересекаются. По вышедоказанному_ во
всех трех случаях существует область G такая, что AczG и G не
пересекается с В. Положим Gr = G. Таким образом, система
областей 2л+1 построена.
Покажем, что для построенной таким образом системы 2„+1
условие а) выполнено. В случае 1) имеем EczGsczGry GrczGtcz

62
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
aR~F, таким образом, EczGr и Gr не пересекается с F. В
случае 2) EaGr и GraGtc:R -^ F, таким образом, EaGr и Gr не
пересекается с F. Наконец, в случае 3) EaGsc:Gr и GraR~F,
таким образом, EaGr и Gr не пересекается с F. Итак, условие а)
выполнено.
Перейдем теперь к условию Ь). Пусть г' < г", причем г'=
= 27ГПГ» г"=:2^+т- Если д' и q" четны, то Gr> и Gr принадлежат
2Л и, следовательно, по предложению индукции Gr'C:Gr>. Пусть
q' = 2/?', g" = 2р" + 1. Положим s = ?-. Тогда г' ^ s и мы имеем
Gr>aGsciGr», т. е. GraGr». Если <7' = 2//+1, q" = 2p", то
положим * = ^Г'- Тогда £<г" и мы имеем Gr>czGtc:Gr», т. е. G,- с
c:Gr». Если q' = 2p'+ 1, <7"=2/?"+1, то положим s = -^-. Тогда
г' < s и по ранее доказанному мы имеем G^c:G5czGr, т. е.
GfCiGr». Таким образом, условие Ь) также выполнено.
Пусть теперь 2' — совокупность всех областей, входящих во
все системы 2„, п= 1, 2, ... Пополним 2' еще областью Gt = i?.
Таким образом, пополненную систему обозначим через 2". 2"
содержит все области Gn где г—произвольная положительная
двоичная дробь, не превосходящая единицы, причем EaGr и Gr
не пересекается с F, за исключением лишь того случая, когда
г=1; сверх того, Gr'CiGr» при г' < г".
Пусть х—произвольная точка из 7?. Обозначим через f(x)
нижнюю грань значений всех чисел г, для которых х£(Зг.
Полученная таким образом функция f (x) удовлетворяет условиям леммы.
Действительно, если х£Е, Tox£Gr при всяком г, а так как
нижняя грань значений всех г есть нуль, то /(х) = 0. Если x£F, то
x£Gr лишь при условии г=1 и, следовательно, f(x)=\. Далее,
так как г принимает лишь положительные значения, не
превосходящие единицы, то при всех значениях х О ^ / (х) ^ 1. Докажем
теперь непрерывность f(x) для произвольной точки х = а из R.
Пусть е—произвольное положительное число. Предположим
сперва, что /(а) = 0. Пусть г—положительная двоичная дробь,
меньшая 8. Тогда a£Gr. Обозначим через U такую окрестность
точки а, что UaGr. Тогда для всякого x£U имеем /(х)<г<8,
ибо х g Gr, но так как / (х) ^ 0, то | / (х) — f(a) | < г. Пусть теперь
/(а)>0 и г, s, ^—три положительные двоичные дроби, не
превосходящие единицы, такие, 4Tof(a) — 8 < г < s < f(a)</</(«)+8.
Очевидно, что а не принадлежит Gs, и так как г < s, то а не
принадлежит и Gr; кроме того, а ё G^. Таким образом, а
принадлежит области Gt — Gr. Обозначим через U окрестность точки а
такую, что UciGf-^G^ При всяком x£U мы имеем r^f(x)^t

§ 15. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
63
и, следовательно, \f(x)—/(а)|<е. Таким образом, функция f (х)
непрерывна.
Заметим, что при конструировании f (х) компактность R была
использована лишь в первом пункте доказательства.
Пример 20. Дадим здесь в качестве примера краткое
изложение доказательства теоремы метризации Урысона.
В связи с примером 14 возникает естественный вопрос: при
каких условиях топологическое пространство R метризуемо?
Оказывается, что компактное топологическое пространство R метризуемо
тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй
аксиоме счетности. Здесь мы наметим доказательство лишь
следующего предложения.
Компактное регулярное топологическое пространство R,
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, метризуемо.
Пусть 2 — некоторый счетный базис пространства R.
Обозначим через (Un, Vn), n=l, 2, ..., совокупность всех таких пар
областей системы 2, что Un и Vn не пересекаются. Положим
E = Un, F = Vn и обозначим через fn(x) непрерывную функцию,
построенную в лемме Урысона для множеств Е и F. Каждой точке
x£R поставим в соответствие последовательность чисел хп =
= — fn(x)> n=l, 2, ... Поставим теперь в соответствие каждой
точке x£R точку g(x) = {x±i ...,#„, ...} гильбертова
пространства (см. пример 14). Оказывается, что получаемое таким образом
отображение g пространства R в гильбертово пространство
непрерывно и взаимно однозначно. Таким образом, в силу теоремы 8
пространство R оказывается гомеоморфно отображенным на
подпространство R' гильбертова пространства и, следовательно, R
гомеоморфно метрическому пространству R'.
§ 15. Топологическое произведение
Некоторые аналогии между теорией топологических пространств
и теорией групп были уже отмечены раньше. Наиболее ярким
проявлением такой аналогии служит понятие топологического
произведения, которое является как бы полным повторением
понятия прямого произведения групп.
Определение 21. Пусть R и S—два топологических
пространства. Построим, исходя из них, новое топологическое
пространство 7\ называемое топологическим произведением пространств R
и S, T=R-S. Точкой пространства Т будем называть всякую
пару точек (х, у), где x£R, y&S. Топологию в Т зададим исходя
из определения топологического пространства при помощи
окрестностей. Пусть MczR и NaS. Определим как произведение
множеств М и N множество P = M-N, составленное из всех пар
(х, у), где х£М, y£N\ M-NczR-S. Если теперь 2 есть базис R,

64 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
а 2'— базис 5, то определим базис 2" пространства Т как
совокупность всех множеств вида W — U-V, где /7^2, 1/£2\
Топологическое пространство Т задано определяющей системой
окрестностей 2" (см. § 8, Е)). Нам нужно показать теперь, что
для системы 2" выполнены условия теоремы 3.
Пусть (х, у) и (х\ у')—две различные точки из Т. Тогда или
хфх' или уфу'* Допустим, что хфх\ Пусть U—окрестность
точки х, не содержащая х', и V—произвольная окрестность у.
Произведение U-V дает окрестность точки (х, у), не содержащую
(х\ у'). Таким образом, условие а) теоремы 3 выполнено.
Пусть U-V и U'-V—две окрестности точки (х> у) в
пространстве 7\ Обозначим через U" такую окрестность точки ху что
U"ciU [\ U\ а через V—такую окрестность точки у, что VaVП V.
Тогда окрестность U"-V" точки (х, у) удовлетворяет соотношению
U'-V'ciU-Vf) U'-V и, следовательно, условие Ь) теоремы 3 также
выполнено.
Легко показать, что приведенное здесь определение
топологического произведения является топологически инвариантным, т. е.
при замене систем 2 и 2' им эквивалентными система 2" также
заменяется ей эквивалентной (см. § 8, F)).
A) Если G есть область пространства R и Н—область
пространства S, то произведение G-H есть область пространства Т.
Действительно, пусть (х, у) — некоторая точка из G-#, тогда
*€G, у£Н и существуют окрестности U и V точек х и у такие,
что UaG, VczH, но тогда U-V есть окрестность точки (х, у),
входящая в G-H, следовательно, GH есть область (см. § 8, G)).
B) Если Е и F суть два замкнутых множества пространств R
и S, то произведение E-F есть замкнутое множество в Т.
Пусть G = R — E и H — S — F. Нетрудно видеть, что E-F =
= R-S —(G-S\/R-H). Но GS и R-Н как произведения областей
суть области и, следовательно, E-F замкнуто в R-S.
C) Если в R и S выполнена вторая аксиома счетности, то она
имеет место ив Т. Утверждение это непосредственно следует из
самой конструкции базиса для Т.
D) Если R и S регулярны, то их произведение Т также
регулярно.
Пусть (х, у) — некоторая точка в Г и U-V—некоторая ее
окрестность из системы 2". Так как R и S регулярны, то
существуют такие окрестности V и V точек х и у, что U'czU, VaV.
Тогда U'-V'aU'-VaU-V. U'-V как произведение даух_
замкнутых множеств замкнуто в Т и, следовательно, U'-VaU'-V
и TFT'aU.V.
E) Если R и S—компактные регулярные топологические
пространства, в которых выполнена вторая аксиома счетности, то
произведение их Т компактно.

§ 15. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
65
Пусть М —некоторое бесконечное множество из Т. Покажем,
что М имеет предельную точку в 7\ Без ограничения общности
можно считать, что М счетно, так как если бы М было несчетно,
то мы доказали бы существование предельной точки для
некоторого его счетного подмножества. Занумеруем все точки из М, М =
= {с19 • • •, сп, .. .}, и положимсп = (ап, Ьп). Так как R компактно,
регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из
последовательности а19 ..., ап, ... можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность апо ..., ап., ... (см. § 13, D)). Пусть эта
последовательность сходится к точке а. Так как S компактно, регулярно
и удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из
последовательности ЬП1, ..., Ьл , ... можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Пусть эта сходящаяся подпоследовательность сходится
к точке Ь. Тогда нетрудно видеть, что точка с — (а, Ь) есть
предельная для множества М.
F) Если R и S локально компактны, регулярны и
удовлетворяют второй аксиоме счетности, то их произведение Т также
локально компактно.
Пусть с= (я, Ь) — некоторая точка из 7\ Так как R и S локально
компактны, то существуют такие окрестности U и V точек а и ^
что U и V компактны. По доказанному ранее произведение U- V
компактно и замкнуто, следовательно, U-VaU-V и, будучи
замкнутым подмножеством компактного множества U-V> U-V
компактно. Таким образом, произведение И-V является такой
окрестностью точки с, замыкание которой компактно, и, значит, Т
локально компактно.
Заметим, что без труда можно определить и произведение
любого конечного числа топологических пространств.
Понятие топологического произведения целесообразно
использовать для рассмотрения функций многих переменных.
G) Пусть R и S—два топологических пространства. Говорят,
что задана действительная числовая функция / (х, у) двух
переменных x£R и y£S, если каждой паре x£R, y£S поставлено
в соответствие действительное число f (х, у). Функция f (х, у)
называется непрерывной при х = а, у = Ь, если для каждого
положительного 8 существуют такие окрестности U и V точек а и Ь,
что при х б U, y£V имеем | / (я, y)—f (я, Ь) | < е. Функция f (x, у)
называется непрерывной, если она непрерывна для каждой пары
значений x = a£Ry y = b£S.
Обозначим теперь через Т топологическое произведение
пространств R и S. Функцию f(x, у) двух переменных x£R и y£S
можно трактовать как функцию f (z) одного переменного z= (x, #) € 7\
f(z) = f(x, у). Обратно, функцию f(z) одного переменного z =
= (ху у)£Т можно трактовать как функцию / (х, у) двух
переменных x£R и ygS, f(x, y) = f(z). Непосредственно
устанавливается, что непрерывной функции / (х, у) соответствует непрерыв-

66
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ная функция f (z) и, обратно, непрерывной функции f (z)
соответствует непрерывная функция f (х> у).
Если пространства R и S совпадают, то мы приходим к
понятию функции двух переменных, принадлежащих одному и тому
же пространству.
Таким образом, используя топологическое произведение, мы
сводим понятие непрерывности для функций многих переменных
к понятию непрерывности для функций одного переменного.
Пример 21. Разберем здесь понятие топологического
произведения счетной системы компактных регулярных топологических
пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.
Пусть R±, ..., Rni ... — счетная последовательность
компактных регулярных топологических пространств, удовлетворяющих
второй аксиоме счетности. Определим их топологическое
произведение. За точку х произведения Т примем всякую счетную
последовательность х= {х1У ..., хп, ...}, где хп £ Rn9 n= 1, 2, ...
Произвольную окрестность U в Т определим исходя из некоторой
конечной системы окрестностей Ul3 ..., Uk, где U^R^ i=l, ..., k.
Именно, будем считать, что x£U, если X;£Uh i=l, ..., k.
Нетрудно показать, что для определенной здесь системы
окрестностей пространства Т выполнены условия теоремы 3.
Без труда доказывается, что определенное так произведение Г
регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Доказательство компактности пространства Т проводится при помощи
диагонального процесса (см. теорему 9).
Пример 22. Нетрудно видеть, что топологическое
произведение двух евклидовых пространств Rm и Rn размерностей тип
гомеоморфно евклидову пространству размерности т + п.
Самый координатный метод является как бы конкретным
применением понятия топологического произведения. Плоскость
рассматривается как произведение двух прямых, пространство—как
произведение трех прямых, и т. д.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
С логической точки зрения понятие топологической группы
возникает как простое соединение понятий абстрактной группы
и топологического пространства. В одном и том же множестве G
задаются одновременно операции группового перемножения и
топологического замыкания. Операции эти, однако, не независимы,
а связаны условием непрерывности: групповые операции,
имеющиеся в G, должны быть непрерывны в топологическом
пространстве G. Ввиду такого определения понятие топологической группы
на первых шагах своего развития не имеет почти ничего
специфического. Основные соотношения, имеющиеся для абстрактных
групп и топологических пространств, более или менее
непосредственно переносятся на топологические группы. Так появляются
здесь подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа и пр.
Возникают, конечно, некоторые специфические обстоятельства, но они
сравнительно поверхностны. Изложению этих весьма общих и мало
специфических свойств топологических групп и посвящается
настоящая глава. Более глубокое изучение топологических групп будет
дано позже.
Исторически понятие топологической группы возникло в связи
с рассмотрением групп непрерывных преобразований. Если какое-
либо непрерывное многообразие, например евклидово пространство,
подвергается группе непрерывных преобразований, то в самой этой
группе естественным образом возникают предельные соотношения.
Она превращается в топологическую группу. Таким образом,
первоначально топологическая группа трактовалась как группа
непрерывных преобразований. Развитие этой области показало, однако,
что наиболее интересные из изучаемых свойств не связаны с тем
обстоятельством, что рассматриваемая группа есть группа
преобразований, а опираются лишь на предельные соотношения,
имеющиеся в самой группе. Именно поэтому целесообразно дать сперва
теорию топологических групп, не трактуя их как группы
преобразований, и лишь затем в качестве приложения указать связь
с непрерывными преобразованиями.

68
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 16. Понятие топологической группы
Здесь будет дано определение топологической группы и будут
указаны ее простейшие свойства.
Определение 22. Множество G элементов некоторого рода
называется топологической группой, если:
1) G есть абстрактная группа (см. определение 1).
2) G есть топологическое пространство (см. определение 11).
3) Групповые операции, имеющиеся в G, непрерывны в
топологическом пространстве G. Более полно требование это
формулируется так (см. определение 13 и § 2, А)):
a) Если а и Ь суть два элемента множества G, то для всякой
окрестности W элемента аЬ найдутся такие окрестности U и V
элементов а и Ь, что UVaW.
b) Если а есть некоторый элемент множества G, то для всякой
окрестности V элемента а"1 найдется такая окрестность U
элемента а, что U^aV.
Нетрудно видеть, что условия а) и Ь) могут быть заменены
одним условием:
c) Если а и b суть два элемента множества G, то для всякой
окрестности W элемента аЬ~г найдутся такие окрестности U и V
элементов а и 6, что UV~1c:W.
Топологическую инвариантность этого определения, т. е.
независимость условия 3) от выбора определяющей системы
окрестностей, показать нетрудно (см. § 8, F)).
Установим теперь некоторые весьма элементарные свойства
топологических групп.
A) Пусть а1з ..., ап — некоторая конечная система элементов
топологической группы G, а^ .. • d£ = с—некоторое
произведение их степеней, причем могут встречаться как положительные,
так и отрицательные степени, и W—произвольная окрестность
элемента с\ тогда существуют такие окрестности Ul9 ..., Уп
элементов а±, ..., ап1 что Uri ... UfaW, причем если ai = aJ-, то Ui
можно принять равным Оу, и то же для большего числа равных
элементов.
Утверждение это доказывается путем последовательного
применения условия 3) определения 22 и пользования при этом
условием Ь) замечания D) § 8.
B) Положим f(x) = xa, f'(x) = ax, Ц)(х) = х~11 где
а—фиксированный элемент группы G, а х—переменный элемент этой группы.
Тогда каждая из функций / (х), /' (х) и <р (х) дает топологическое
отображение пространства G самого на себя (см. определение 14).
Мы докажем это только для f (х). Прежде всего, отображение
f(x) взаимно однозначно. Действительно, для всякого элемента у'
найдется такой элемент х\ и притом только один, что у' = х'а.
Далее, отображение f (х) непрерывно. Действительно, если у'=х'а
и W есть некоторая окрестность элемента у\ то согласно уело-

§ 16. ПОНЯТИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
69
вию 3) определения 22 существуют такие окрестности U и V
элементов х' и а, что UVaW\ но a£V и, следовательно, UaaW,
т. е. f{U)aW, что и означает непрерывность отображения f (х)
(см. теорему 4). Непрерывность обратного отображения /_1 (у)=уа~1
доказывается так же.
C) Пусть F—замкнутое множество, U—область, Р —
произвольное множество и а — некоторый элемент топологической группы G.
Тогда Fa, aF, F~x суть замкнутые множества; UP, PU, U~x суть
области (см. § 2, А)).
Утверждение это непосредственно вытекает из В).
Действительно, отображение / (х) = ха есть отображение топологическое
и, следовательно, замкнутое множество F переходит в замкнутое
же множество f(F)=-Fa. Точно так же показываем, что
множество Uа есть область, но тогда UP есть сумма областей и,
следовательно, также область.
D) Топологическое пространство G однородно. Это значит, что
для любых двух элементов р и q группы G найдется такое
топологическое преобразование f (х) пространства G самого на себя,
которое переводит р в q.
Для доказательства достаточно положить a = p~xq, и тогда
определенное в В) топологическое преобразование f (х)
удовлетворяет условию / (р) = q.
E) Из однородности топологического пространства G следует,
что его локальные свойства достаточно проверять и утверждать
лишь для одного элемента. Например, для того чтобы убедиться
в том, что пространство G локально компактно, достаточно
показать, что единица е допускает окрестность U', замыкание которой U
компактно. Точно так же можно проверить и регулярность. Далее,
если единица е допускает окрестность, содержащую лишь е, то
и всякий другой элемент группы G также имеет окрестность,
состоящую из одного элемента.
F) Топологическое пространство G топологической группы G
регулярно (см. определение 17).
Согласно замечанию Е) регулярность пространства G
достаточно доказать, рассматривая лишь окрестности единицы е. Пусть
U — некоторая окрестность е. Так как ее~г=^е, то согласно А)
существует окрестность V единицы такая, что VV^aU. Покажем,
что VaU. Пусть р—некоторая точка из V. Тогда всякая
окрестность точки р пересекается с V (см. § 8, С)). Согласно
замечанию С) pV есть окрестность р и, следовательно, в V существует
такая точка Ь, что pb = a£V, но тогда p=-ab~x £ VV^aU, а это
и значит, что VaU.
G) Если G есть топологическая группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности, а Р и Q—два ее компактных
подмножества, то произведение их PQ компактно (см. определения 18 и 19,
а также § 2, А)).

70
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пусть си ..., спУ ... — некоторая бесконечная
последовательность элементов множества PQ. Каждый элемент сп можно
представить в форме cn = anbni an£P, bn£Q. Так как G удовлетворяет
второй аксиоме счетности и согласно замечанию F) регулярна, то
из последовательности ах, ..., ап, ... можно выбрать
подпоследовательность аП1, ..., апг ..., сходящуюся к некоторому элементу
а£Р (см. § 13, D)). Последовательность bnii ..., bn., ... имеет
в Q предельную точку Ь. Нетрудно видеть, что тогда
последовательность сПо ..., сп., ... имеет предельную точку ab. Доказательство
этого опирается на условие 3) определения 22.
§ 17. Система окрестностей единицы
Из рассмотрений предыдущего параграфа явствует, что
условие 3) определения 22 устанавливает теснейшую связь между
алгебраическими и топологическими операциями в топологической
группе G. Благодаря этому оказывается, в частности, что если
алгебра в G уже задана, то для задания там топологии нет
надобности указывать базис всего пространства G (см. определение 13),
а достаточно указать лишь полную систему окрестностей единицы
(см. § 8, В')). Простейшую иллюстрацию этого факта дают так
называемые дискретные группы.
A) Топологическая группа G называется дискретной, если она
не содержит предельных элементов, т. е. если каждый ее элемент
допускает окрестность, содержащую лишь одну точку. В силу
замечания Е) § 16 топологическая группа G тогда и только тогда
дискретна, когда ее единица является изолированным элементом
группы.
Легко видеть, что, какова бы ни была абстрактная группа G,
в нее всегда можно внести топологию так, чтобы G стала
дискретной группой. Из этого следует, что теория дискретных групп
совпадает по существу с теорией абстрактных групп.
Вопрос о том, как топология в группе G определяется полной
системой окрестностей единицы и как можно в абстрактной группе
устанавливать топологию, в общем случае решается
нижеследующим замечанием С) и теоремой 10. Однако прежде чем перейти
к этим предложениям, мы введем один важный топологический
термин.
B) Подмножество М топологического пространства R
называется всюду плотным в R, если замыкание М множества М
совпадает с R, M = R. Ясно, что М тогда и только тогда
является всюду плотным в R, когда всякая область из R
пересекается с М.
C) Пусть G—топологическая группа, 2*—некоторая полная
система окрестностей ее единицы е и М—некоторое множество,
всюду плотное в G. Тогда совокупность 2 всех множеств вида Ux>

§ 17. СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ ЕДИНИЦЫ
71
где £/€2*, х£М, образует полную систему окрестностей
пространства G, а система 2* удовлетворяет следующим пяти условиям:
a) элементом, общим для всех множеств системы 2*, является
лишь е;
b) пересечение всяких двух множеств системы 2* содержит
некоторое третье множество системы 2*;
c) для всякого множества U системы 2* найдется такое
множество V той же системы, что W"1(z.U\
d) для всякого множества U системы 2* и элемента а £ U найдется
такое множество V системы 2*, что VaczU;
e) если U есть некоторое множество системы 2* и
а—произвольный элемент группы G, то существует такое множество V
системы 2*, что a^Vaal).
Докажем предложение С). Согласно замечанию С) § 16
множества системы 2 суть области пространства G. Покажем, что
система 2 есть базис пространства G. Пусть W — некоторая область
пространства G и a£W. Тогда Wa"1 есть область, содержащая
единицу, и, следовательно, существует согласно замечанию А)
§ 16 такая окрестность U единицы е({/£2*), что UU^aWa'1.
Так как множество М всюду плотно в G, то аМ~г также всюду
плотно в G и, следовательно, существует элемент d, одновременно
входящий в U и аМ~г. Заметим, что тогда d'^a^M. Из этого
следует, что [/d^a^S. С другой стороны, Ud^aaW.
Действительно, мы имеем UU"1dWa"1. Так как d£U, то получаем
Ud^aWa"1; но это значит, что Ud^aaW. Далее, так как d£ U,
то e^Ud"1 и, следовательно, a^Ud^a. Таким образом, условие
полноты системы 2 доказано (см. § 8, В)).
Что касается пяти условий а), ..., е), то условия а) и Ь)
выполнены во всяком топологическом пространстве (см. § 8, D)),
условия же с), d) и^е) непосредственно вытекают из замечания А)
§ 16.
Теорема 10. Пусть G—абстрактная группа и 2*—некоторая
система подмножеств множества G, удовлетворяющая пяти
условиям замечания С). Тогда в множество G можно внести
топологию, и притом единственным способом, так что при этом
групповые операции, имеющиеся в G, будут непрерывны в этой
топологии и система 2* будет полной системой окрестностей
единицы. Иначе это можно формулировать, сказав, что
абстрактная группа G допускает одну и только одну топологи-
зацию, при которой система 2* есть полная система окрестностей
единицы.
Доказательство. Если группа G допускает топо логизацию,
при которой 2* есть полная система окрестностей единицы, то
согласно замечанию С) полная система окрестностей
топологического пространства G может быть составлена из всех множеств
вида Ux, где /У £ 2*, х g G. Обозначим через 2 совокупность всех
множеств этого вида и покажем, что, во-первых, 2 удовлетворяет

72
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
условиям теоремы 3 и, во-вторых, групповые операции, имеющиеся
в G, непрерывны в получаемой таким образом топологии.
Пусть а и Ь—два различных элемента группы G. Так как
пересечение всех множеств системы 2* содержит лишь е, то
существует /7g2* такая, что ЪсГх не принадлежит U\ но тогда Ua не
содержит Ь. Таким образом, условие а) теоремы 3 выполнено.
Для доказательства выполнения условия Ь) заметим прежде
всего, что если b£Ua, где /У £2*, то существует Kg 2* такая,
что VbczUa. Действительно, bar1 £ U и согласно условию d)
существует Vg2* такая, что Vba^cU; но тогда VbaUa.
Пусть теперь Ua и Vb суть две окрестности точки с, т. е.
с £ Ua, c£Vb, /У £ 2*, V £ 2*. По только что сделанному замечанию
существуют такие U'62* и У £2*, что U'caUa и УссУб. Так
как согласно условию Ь) существует W £ 2*, содержащаяся в
пересечении V и V, то WcaUa, WcaVb. Но Wc есть окрестность с
и, следовательно, условие Ь) теоремы 3 также выполнено.
Покажем теперь, что операции группы G непрерывны в
получаемой топологии.
Пусть с = аЬ~г и Wc'— некоторая окрестность точки с. По
ранее доказанному тогда существует Wg2* такая, что WcaW'c'.
Согласно условию с) существует /У £ 2* такая, что UU^1czW. Далее,
согласно условию е) существует V£2* такая, что ab~1Vba~~1aU.
Но тогда ab~1V~1c:U~1ab-'1 и, следовательно,
Ua (Vb)-1 = Uab-W-1 с UU^ab'1 cz Wab-1 =- Гсс ГV.
Таким образом, условие 3) определения 22 выполнено.
Итак, абстрактная группа G с внесенной в нее при помощи
системы окрестностей 2 топологией является топологической,
группой.
Покажем теперь, что 2* есть базис в точке е (см. § 8, В')).
Пусть W — произвольная область пространства G, содержащая е.
Так как 2 есть базис пространства G, то существует такая
окрестность Ua£li точки е, что UaaW (см. § 8, В)). Из e£Ua
получаем а"1 б U и, следовательно, в силу условия d) существует
V£2* такая, что Va~xaU, т. е. Fczf/aciW, а так как е£У, то
это значит, что 2* есть базис в точке е.
Покажем теперь, что если в группе G задана какая-либо топо-
логизация Т, при которой система 2* может быть принята за
полную систему окрестностей единицы е, то эта топологизация Т
совпадает с топологизацией, построенной при помощи системы 2.
Для этого достаточно доказать, что система 2 может быть
принята за полную систему окрестностей в топологизации Т.
Согласно предположению 2* есть полная система
окрестностей е в топологизации Т, следовательно, все множества системы 2*
суть области в топологизации 7\ Тогда и все множества системы 2
также суть области (см. С) § 16). Пусть теперь W—некоторая
область в топологизации 7\ содержащая а, тогда Wa"1 содержите

§ 18. ПОДГРУППА. НОРМАЛЬНЫ Й ДЕЛИТЕЛЬ. ФАКТОРГРУППА 73
и согласно замечанию С) § 16 также есть область. Так как 2*
есть полная система окрестностей единицы, то в 2* существует
область U такая, что UczWa"1, но тогда UaaW. Таким образом,
система 2 дает полную систему окрестностей при топологизации Т
(см. § 8, В)).
Пример 23. Пусть G—аддитивная группа целых чисел.
Внесем в G ряд различных топологизации.
Пусть р—некоторое простое число. Обозначим через Uk
множество всех целых чисел, делящихся на pk. За полную систему 2*
окрестностей нуля примем совокупность всех множеств Uk, k= 1,2,...
Нетрудно проверить, что все условия, налагаемые в теореме 10
на систему 2*, выполнены. Проверим только с). Если a£Uk
и b£Uk, то а—b£Uk. Таким образом, условие с) осуществляется
здесь особенно простым образом.
Легко теперь видеть, что топологизации, получаемые
указанным способом для двух различных простых чисел р и //, различны.
Действительно, последовательность /?, /?2, .. ., pk, ... сходится
к нулю в первой топологизации, но не сходится к нулю во второй.
Пример 24. Множество векторов r-мерного евклидова
пространства образует аддитивную группу. В примере 13 в
пространство этих векторов была внесена топология. Нетрудно
проверить, что операция сложения векторов непрерывна в
определенной таким образом топологии. Мы получаем, следовательно,
топологическую группу векторов r-мерного пространства, или /--мерную
векторную группу.
Пример 25. Пусть G—множество всех квадратных матриц
порядка п с детерминантом, отличным от нуля. В примере 2 в G
была определена операция умножения. Зададим теперь в G
топологию. Обозначим через Ф^, множество всех матриц из G, элементы
которых по модулю не превосходят -т-. Через Uk обозначим
множество всех матриц из G вида е+а, где е—единичная матрица,
а а£Фк. Через 2* обозначим совокупность всех множеств Uk,
k= l, 2, ... Нетрудно видеть, что система 2* удовлетворяет всем
требованиям теоремы 10. Таким образом, в G внесена топология.
§18. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа
В этом параграфе дается распространение на топологические
группы тех понятий, которые были даны в § 2 для абстрактных
групп.
Определение 23. Пусть G—топологическая группа. Некоторое
множество Н ее элементов называется подгруппой топологической
группы G, если а) Н есть подгруппа абстрактной группы G (см.
определение 2), Ъ) Н есть замкнутое подмножество
топологического пространства G (см. определение 12). Подгруппа N
топологической группы G называется ее нормальным делителем, если N

74
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
есть нормальный делитель абстрактной группы G (см.
определение 3).
Таким образом, тот факт, что G есть не абстрактная, а
топологическая группа, налагает на Я и N лишь одно дополнительное
условие топологической замкнутости.
A) Пусть Я—некоторое подмножество топологической группы G,
являющееся подгруппой абстрактной группы G. Тогда Я есть
топологическая группа в силу той топологии, которая возникает в Я
как в подпространстве пространства G (см. определение 16). В
частности, подгруппа Я топологической группы G есть также
топологическая группа.
Для доказательства этого утверждения достаточно показать,
что групповые операции, имеющиеся в Я, непрерывны в
топологическом пространстве Я. Пусть а и Ь—два элемента множества Я
и аЬ~г = с. Всякая окрестность W элемента с в пространстве Я
может быть получена как пересечение некоторой окрестности W
элемента с, взятой в пространстве G, с Я: W = Н П W (см. § 10, В)).
Так как G—топологическая группа, то существуют такие
окрестности U и V элементов а и Ь, что UV^czW. V = Н f]U и V'=H П V
суть относительные окрестности элементов а и Ь в пространстве Я.
Мы имеем UfV,~1czW, но, сверх того, U'V'~1c:HJ таким образом,
UfV/"1dW,y т. е. условие 3) определения 22 для группы Я
выполнено.
B) Пусть G—топологическая группа и Я—ее подгруппа. Если G
компактна или локально компактна, то и Я соответственно
компактна или локально компактна (см. определение 19).
Если G компактна, то Я, будучи замкнутым подмножеством G,
также компактна (см. § 13, А)). Если G локально компактна и
а£Н, то существует окрестность U элемента а в G такая, что
замыкание ее U компактно. Пересечение H[)U=^U' есть
относительная окрестность элемента а в пространстве Я. Так как Я
замкнута в G, то U'czH и, следовательно Ur = U' [\H= U'. Далее,
U'aU, и потому U' компактно как замкнутое подмножество
компактного множества. Таким образом, Я локально компактна.
В § 2 было установлено понятие классов смежности
абстрактной группы G по подгруппе Я. В случае абстрактных групп
множество классов смежности по какой-нибудь подгруппе не
представляет собой образования, сколько-нибудь интересного для нас.
Если, напротив, мы имеем дело с топологической группой, то
здесь совокупность классов смежности естественным образом
составляет топологическое пространство, играющее существенную
роль.
Определение 24. Пусть G—топологическая группа и Я—ее
подгруппа. Обозначим через G/H совокупность всех правых классов
смежности группы G по подгруппе Я (см. § 2, D)). В множество
G/H мы внесем топологию следующим образом.

§ 18. ПОДГРУППА. НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ФАКТОРГРУППА 75
Пусть 2— некоторая полная система окрестностей
пространства G (см. определение 13). Пусть, далее, £/£2. Обозначим тогда
через U* множество всех классов смежности вида Нх, где x£U.
Совокупность всех множеств вида {/*, где U—произвольный
элемент системы 2, примем за полную систему 2* окрестностей
пространства G/H. Получаемое таким образом топологическое
пространство G/H будем называть пространством правых классов
смежности топологической группы G по подгруппе Я. Аналогично
определим и пространство левых классов смежности, в качестве
обозначения для него оставим G/H. В тех случаях, когда не будет
опасности недоразумения, мы не будем делать различия между
пространствами левых и правых классов смежности.
Нетрудно показать, что данное здесь определение топологии
в пространстве G/H инвариантно, т. е. не зависит от выбора
системы 2 (см. § 8, F)).
Покажем теперь, что система 2* удовлетворяет условиям
теоремы 3.
Пусть А и В—два различных класса смежности и а$А. Так
как В = НЬ—замкнутое множество (см. § 16, С)) и а не
принадлежит В, то существует такая окрестность U элемента а, которая
не пересекается с В. Тогда множество U* всех классов смежности
вида Нх, где x£U, составляет окрестность класса А, не
содержащую В. Таким образом, условие а) теоремы 3 выполнено.
Пусть теперь U* и V*—две окрестности некоторого класса
смежности А и а£А. U* есть множество всех классов вида Нх,
где x$U, £/£2; V* также составлено из всех классов вида Ну,
где y^V, Vg2. HU и HV суть области в G, содержащие а (см.
§ 16, С)); таким образом, существует окрестность W элемента а,
содержащая в обеих областях HU и HV. Обозначим через W*
множество всех классов смежности вида Hz, где z g W. Легко
видеть, что W* есть окрестность класса А, содержащаяся в
пересечении U* П V*. Таким образом, условие Ь) теоремы 3 также
выполнено.
С) Отображение / топологического пространства R в
топологическое пространство R' будем называть открытым, если всякая
область U пространства R переходит при отображении f в
область: / (U) есть область. Отображение f является открытым тогда
и только тогда, когда для всякой точки а£ R и ее окрестности V
существует такая окрестность V точки f(a)=a', что V'af(V).
Действительно, если отображение / открытое, то существование
требуемой окрестности V очевидно, ибо f(V) есть область,
содержащая точку а'. Допустим теперь, что предложение о
существовании окрестности V' выполнено для всякой точки а и ее
окрестности V. Пусть U—некоторая область пространства R. Покажем,
что f(U) есть область. Пусть a'£f(U), тогда a' = f(a), где a£U.
Обозначим через V некоторую окрестность точки а, содержащуюся
в U; такая окрестность существует, так как U есть область. Тогда

76
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
по предположению существует окрестность V точки а' такая, что
V'czf(V). Так как VaU, то f(V)cf(U) и, следовательно, Vaf(U).
Но отсюда следует, что f(U)—область (см. § 8, G)).
Теорема 11. Пусть G— топологическая группа, Н—ее подгруппа
и G/H—пространство классов смежности (см. определение 24).
Каждому элементу х пространства G поставим в соответствие
элемент X = f(x) пространства G/H, причем f(x) определим как
класс смежности, содержащий элемент х. Получаемое таким
образом отображение f топологического пространства G на
пространство G/H является непрерывным открытым отображением.
Это отображение мы будем называть естественным
отображением пространства G на пространство G/H.
Доказательство. Предположим для определенности, что
G/H есть пространство правых классов смежности. Пусть a£G и
А=На, так что f(a) = A. Пусть, далее, U*—некоторая
окрестность элемента А пространства G/H. U* составлена из всех
классов вида Нх, где x£U, a U есть некоторая окрестность в
пространстве G. HU есть область в G, содержащая элемент а (см.
§ 16, С)), следовательно, существует окрестность V элемента а,
содержащаяся в HU. Легко видеть, что f(V)aU*. Таким образом
отображение / непрерывно (см. теорему 4).
Пусть a£G и A =Ha-=f(a). Обозначим через U некоторую
окрестность элемента а. Множество всех классов вида Нх, где
x£U, составляет окрестность U* элемента А. Мы имеем / (U) = £/*,
следовательно, U*af(U). Таким образом, отображение / открытое
(см. С)).
Особенно важен случай, когда подгруппа Я есть нормальный
делитель. Здесь мы имеем следующее определение:
Определение 25. Пусть G—топологическая группа и N—ее
нормальный делитель. Множество G/N классов смежности, согласно
определению 4, есть абстрактная группа, и точно так же множество
G/N, согласно определению 24, есть топологическое пространство.
Ниже будет показано, что групповые операции, имеющиеся в G/N,
непрерывны в топологическом пространстве G/N. Таким образом
G/N есть топологическая группа. Она называется факторгруппой
топологической группы G по нормальному делителю N.
Докажем непрерывность групповых операций в G/N.
Пусть А и В—два элемента из G/N, С = АВ~1 и
W*—некоторая окрестность элемента С. W* составлена из всех классов
смежности вида Nz, где z£W и W — некоторая окрестность в G.
Так как C£W*, то существует такой элемент eg W, что C^-Nc.
Пусть Ъ—произвольный элемент из В и a = cb, тогда а£ А. В силу
непрерывности групповых операций в G существуют такие
окрестности U и V элементов а и Ъ, что UV"1czW. Обозначим через U*
окрестность элемента А, составленную из всех классов смежности
вида Nx, где x$U, и через У*—окрестность элемента В, состав-

§ 18. ПОДГРУППА. НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ. ФАКТОРГРУППА 77
ленную из всех классов смежности вида Ny, где у g V. Мы имеем
Nx(Ny)"1 = Nxy-1N-1^NN-1xy-1 = Nxy-1eW\
Таким образом, (7*У*_1с1^*, т. е. условие 3) определения 22
выполнено и групповые операции непрерывны в G/N.
D) Пусть G—топологическая группа и G/N—некоторая ее
факторгруппа. Если G удовлетворяет второй аксиоме счетности,
то G/N также ей удовлетворяет (см. определение 18).
Доказательство этого предложения непосредственно следует из
определений 24 и 25.
E) Если топологическая группа G компактна или локально
компактна, то и всякая ее факторгруппа G/N соответственно
компактна или локально компактна.
В случае компактности G утверждение следует непосредственно
из теорем 8 и 11. Допустим теперь, что G локально компактна.
Тогда существует окрестность U единицы е такая, что замыкание ее
U компактно. Пусть /—естественное отображение пространства G
на пространство G/N (см. теорему 11). Так как / есть открытое
отображение (см. С)), то f(U) = U* есть область в G/N. Так как
f непрерывно, то f(U) компактно (см. теорему 8). Далее, N£U*
и в силу регулярности G/N (см. § 16; F)) существует
окрестность V* элемента N такая, что V*aU*c:f(U). V* как замкнутое
подмножество компактного множества f(U) компактно.
Следовательно, в силу замечания Е) § 16 пространство G/N локально
компактно.
F) Пусть G—топологическая группа, удовлетворяющая второй
аксиоме счетности. Если ее нормальный делитель N и
факторгруппа G/N = G* одновременно компактны, то группа G сама
компактна.
Пусть аг, ..., ап, ... —некоторая последовательность
элементов группы G. Покажем, что из нее можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность. Обозначим через f естественное
отображение группы G на группу G* (см. теорему 11). Положим a*n = f(an).
Так как группа G* компактна, то из последовательности а\, ...
..., а*п, ..., можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к
некоторому элементу а*. Для того чтобы не менять обозначений,
мы просто будем считать, что последовательность aj, .. ., а*, ...
сама сходится к а*.
Обозначим через Ul9 ...,£/„, ... некоторую убывающую
последовательность окрестностей единицы е группы G, образующую
базис в е. Положим U*n = f(Un), тогда последовательность Щ, ...
.. ., {/*, ... — также убывающая и образует полную систему
окрестностей единицы е* группы G*. Заменяя последовательность
#!,..., а„, ... вновь некоторой ее подпоследовательностью, мы
можем добиться того, чтобы ^a*_1g[/^, n=l, 2, ... Некоторый
прообраз точки а* в группе G обозначим через а', а некоторый

78
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
прообраз точки а^а*'1 в окрестности Uп—через Ьп. Далее,
положим а'п = Ьпа'. Тогда последовательность ai ..., ап, ... сходится
к а', причем f{a'n) = f(an), n = 1, 2, ...
Положим теперь сп = апа^\ Тогда последовательность с19 ...
..., сп, ... принадлежит Л/", и потому и знее можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность. Для того чтобы не менять
обозначений, мы вновь будем считать, что последовательность аг, ...
..., ап, ... заменена такой подпоследовательностью, для которой
с±, ..., сп, ... уже сходится. Так как последовательности а'х, ...
..., а'п, ... и с19 ..., сп, ... сходятся, то последовательность
0i =^ cxai, ..., ап = сХ. • • •
также сходится. Таким образом, заменяя несколько раз
последовательность аг, ..., ап, ... ее подпоследовательностями, мы
пришли, наконец, к сходящейся последовательности. Тем самым
компактность группы G доказана.
G) Во всякой топологической группе G имеется два
нормальных делителя. Это — подгруппа {е}, содержащая лишь один
элементе, и вся группа G. В отличие от терминологии, установленной
в теории абстрактных групп (см. § 2, G)), простой
топологическая группа G называется только тогда, когда всякий ее
нормальный делитель или дискретен или совпадает с G (см. § 17, А)).
Вообще, дискретные нормальные делители играют в теории
топологических групп особую роль.
Сделаем в заключение еще одно замечание.
Н) Пусть G—топологическая группа и Я—подгруппа или
соответственно нормальный делитель абстрактной группы G. Тогда
Я есть подгруппа или соответственно нормальный делитель
топологической группы G.
Допустим, что а£Н, b£H, и покажем, что аЬ"г^Н. Пусть
W—некоторая окрестность элемента аЬ~г. Тогда существуют такие
окрестности U и V элементов а и 6, что UV^aW. Так как ag#,
и Ь g Я, то существуют элементы х и у из Я такие, что х g U,
y£V, но тогда ху~г^Н и одновременно xy^^W. Таким образом,
произвольная окрестность W элемента ab'1 пересекается с Я, и,
следовательно, аЬ"г^Н. Итак, Я есть подгруппа абстрактной
группы G. Но так как Я замкнуто в пространстве G, то Я есть
подгруппа и топологической группы G.
Пусть теперь Я—нормальный делитель абстрактной группы G,
а£Н и cgG. Пусть, далее V—произвольная окрестность
элемента с~гас. Тогда существует такая окрестность U элемента а,
что c^UcaV. Так как а£Я, то существует элемент х из Я,
принадлежащий U. Далее, с~гхс£Н и c~1xc^iV9 т.е. произвольная
окрестность V элемента с~хас пересекается с Я и, следовательно,

§ 19. ИЗОМОРФИЗМ. АВТОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 79
с"1ас^Н. Таким образом, Я есть нормальный делитель
топологической группы G.
Пример 26. Пусть G—аддитивная группа всех
действительных чисел. То же множество G всех действительных чисел
является топологическим пространством. Нетрудно проверить, что
мы имеем здесь дело с топологической группой G.
Выясним, какие подгруппы допускает группа G. Пусть Я—
некоторая подгруппа группы G. Если Я содержит элементы,
отличные от нуля, то в Я существует положительное число d. Если
d может быть выбрано произвольно малым, то кратные его
произвольно плотно заполняют G и в силу замкнутости Я мы
получаем H = G. Таким образом, если HefiG, то в Я имеется
наименьшее положительное число Л. Нетрудно показать, что Я в этом
случае составлена из всех кратных числа А, следовательно, Я есть
дискретная подгруппа группы G. Таким образом, G есть простая
топологическая группа (хотя и не является простой абстрактной
группой).
Типичным примером дискретной подгруппы N группы G
является множество всех целых чисел. Факторгруппа GIN гомео-
морфна окружности. Нетрудно проверить, что G/N также есть
простая группа.
Пример 27. Пусть G—г-мерная векторная группа (см.
пример 24). Выберем в G некоторые координаты и обозначим через N
множество всех элементов с целочисленными координатами.
Нетрудно видеть, что N есть дискретный нормальный делитель
группы G. Факторгруппа G/N компактна.
§ 19. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм
В этом параграфе дается распространение на топологические
группы тех понятий и соотношений, которые были установлены
в § 3 для абстрактных групп.
С точки зрения нашей теории две топологические группы
являются одинаковыми, если они обладают одинаковыми то по лого-
алгебраическим строением. Более полно эта мысль выражается
следующим определением.
Определение 26. Отображение / топологической группы G на
топологическую группу G' называется изоморфным, если 1) f
является изоморфным отображением абстрактной группы G на
абстрактную группу G' (см. определение 5); 2) / является гомео-
морфным отображением топологического пространства G на
топологическое пространство G' (см. определение 14). Две топологические
группы называются изоморфными, если одну из них можно
изоморфно отобразить на другую.
Ниже на примерах будет показано, что две топологические
группы могут быть изоморфны как абстрактные группы, но не
изоморфны как топологические.

80
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
A) Изоморфное отображение топологической группы G самое
на себя называется автоморфизмом группы G. Подобно тому как
в § 3, множество всех автоморфизмов топологической группы G
образует группу, однако, группу абстрактную. Вопрос о внесении
топологии в группу автоморфизмов топологической группы здесь
рассматриваться не будет.
Определение 27. Отображение g топологической группы G в
топологическую группу G* называется гомоморфным, если 1) g
является гомоморфным отображением абстрактной группы G в
абстрактную группу G* (см. определение 5); 2) g является
непрерывным отображением топологического пространства G в
топологическое пространство G* (см. определение 15). Гомоморфное
отображение g топологической группы G в топологическую группу
G* называется открытым, если g есть открытое отображение
топологического пространства G в топологическое пространство G* (см.
§ 18, Q).
Различие между открытыми и неоткрытыми гомоморфизмами
в теории топологических групп является весьма существенным.
Именно открытый гомоморфизм является естественным обобщением
понятия гомоморфизма, данного для абстрактных групп, на группы
топологические.
B) Пусть G и G*—две топологические группы, a
g—гомоморфное отображение абстрактной группы G в абстрактную группу G*.
Для того чтобы отображение g было непрерывным или
соответственно открытым, достаточно, чтобы оно было таковым лишь
в единице е группы G, т. е. достаточно, чтобы было выполнено
условие а) или соответственно условие Ь):
a) для всякой окрестности U* единицы е* группы G*
существует такая окрестность U единицы е, что g(U)aU*;
b) для всякой окрестности V единицы е существует такая
окрестность У* единицы е*, что g(V)z>V*.
Допустим, что условие а) выполнено. Пусть agG, g(a)=a*
и U*—произвольная окрестность элемента а*. Тогда и*а*~г есть
окрестность единицы е* и, следовательно, по условию а)
существует такая окрестность U' единицы е, что g(U')c:U*a*-1. U = U'a
есть окрестность элемента а, и мы имеем g(U)=g(U')g(a)cz
с£/*а*-1я*= и*а Таким образом, отображение g непрерывно. Вполне
аналогично из условия Ь) выводится, что отображение g является
открытым.
C) Пусть G—топологическая группа, N—ее нормальный
делитель и G/N—факторгруппа. Поставим в соответствие каждому
элементу x£G тот класс смежности X по делителю N, который
содержит х, х^Х, g(x) = X. Тогда отображение g топологической
группы G на топологическую группу G/N является открытым
гомоморфным отображением. Это отображение мы будем называть
естественным, голоморфным отображением группы G на группу G/N.

§ 19. ИЗОМОРФИЗМ. АВТОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 81
Действительно, в § 3 было показано, что g является
гомоморфным отображением абстрактной группы G на абстрактную
группу G/N (см. § 3, С)). В § 18 было показано, что g есть
открытое непрерывное отображение топологического пространства G
на топологическое пространство G/N (см. теорему 11). Таким
образом, согласно определению 27, g есть открытое гомоморфное
отображение топологической группы G на топологическую
группу G/N.
Обратной к утверждению С) является следующая теорема.
Теорема 12. Пусть G и G*— две топологические группы и g —
открытое гомоморфное отображение группы G на G* с ядром
гомоморфизма N. Тогда N есть нормальный делитель группы G
и топологическая группа G* изоморфна топологической группе
G/N. Устанавливаемый здесь изоморфизм между группами G* и
G/N совпадает с установленным в теореме 1. Его мы будем
называть естественным.
Доказательство. Согласно теореме 1 N есть нормальный
делитель абстрактной группы G. Далее, так как N является
полным прообразом одного элемента е* при непрерывном
отображении g, то согласно теореме 5 N есть замкнутое подмножество
топологического пространства G. Таким образом, N есть
нормальный делитель топологической группы G.
Пусть х*'—некоторый элемент группы G* и X—совокупность
всех элементов группы G, переходящих в х* при отображении g.
В теореме 1 было показано, что X есть класс смежности группы G
по делителю N. Положим f(x*) = X\ как было показано в
теореме 1, / является изоморфным отображением абстрактной
группы G* на абстрактную группу G/N. Покажем, что / есть гомео-
морфное отображение пространства G* на пространство G/N. Для
этого достаточно доказать взаимную непрерывность отображения /,
так как взаимная однозначность его уже следует из изоморфности
для абстрактных групп.
Пусть a*czG* и }(а*) = А. Обозначим через U* некоторую
окрестность элемента А в пространстве G/N. Согласно
определению 24 U* составлена из всех классов смежности вида Nx, где
#б£/, причем U есть некоторая фиксированная окрестность из
пространства G. Пусть а—такой элемент из U, что A = Na. Так
как отображение g открытое, то существует такая окрестность V*
элемента а*, что g (£/)=>F*, ибо g (a) = а*. Отсюда непосредственно
следует, что f(V*)cU*. Действительно, пусть x*gV*. Тогда
существует такой элемент х g U, что g(x)=x*. Следовательно, f(x*) =
= Nx£U*. Таким образом, отображение / непрерывно.
Обозначим через /-1 отображение, обратное к /. Пусть А =
= Na^G/N и (~г(А) = а*. Пусть, далее, U* — некоторая
окрестность элемента а*. Так как отображение g непрерывно, то
существует такая окрестность V элемента а, что g(V)c:U*, ибо g(a)^- a*.
Обозначим через V* окрестность элемента Л, составленную из всех

82
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
классов смежности вида Nx, где x^V. Так как g(V)c:U*\ то
f-1(V*)czU*. Таким образом, отображение f'1 непрерывно.
Итак мы видим, что отображение / изоморфно для
абстрактных групп и взаимно непрерывно для топологических пространств.
Таким образом / есть изоморфное отображение топологической
группы G* на топологическую группу G/N.
Следует отметить, что если бы отображение g не было
открытым, то возможно было бы доказать лишь непрерывность
отображения f"1, но не непрерывность /.
Оказывается, однако, что если ограничиться рассмотрением
лишь локально компактных групп со второй аксиомой счетности,
то для них всякий гомоморфизм будет открытым.
Теорема 13. Пусть G и G*—две локально компактные
топологические группы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности.
Гомоморфное отображение g группы G на группу G* всегда
является открытым.
Доказательство. Пусть W—некоторая область
пространства G. Покажем, что g(W) содержит область.
Так как топологическое пространство G локально компактно
и регулярно (см. § 16, F)), то существует такая область V, что
замыкание ее V компактно и VaW. Множество всех областей вида
Vx покрывает все пространство G, а так как пространство G
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из этого покрытия
можно выбрать счетное (см. § 12, Н)). Таким образом, существует
счетная последовательность точек ап, /z=l, 2, ..., такая, что
система областей Vani n=l, 2,__..., покрывает пространство G.
Положим g(Van) = Fn. Так как Van компактно, то Fn также
компактно (см. теорему 8). Так как G* регулярно и удовлетворяет
второй системе счетности, то Fn замкнуто (см. § 13, В)). Система
множества Fn, п= 1, 2, ..., покрывает пространство G*.
Покажем, что среди множеств Fn имеется хоть одно,
содержащее область. Допустим противоположное. Пусть V*—некоторая
область из G* такая, что замыкание ее V* компактно. Так как F±
не содержит области, то существует точка &i€V*, не
принадлежащая i7!^Существует, далее, такая окрестность Уг точки Ьи что
V1czV* и V± не пересекает Flm В области V1 мы точно так же
найдем точку Ь2, не принадлежащую F^ а затем окрестность V2
такую, что VzaV1 и 72 не пересекает F2. Продолжая этот процесс
дальше, мы построим последовательность областей Уи> п= 1, 2, ...,
такую, что Vn+1aVny Vn компактно и не пересекает Fn. Согласно
теореме 6 пересечение всех множеств Vn, n=l, 2, ..., непусто,
т. е. существует точка 6, не принадлежащая ни одному из
множеств Fn. Это последнее, однако, невозможно, так как система Fn,
п=\, 2, ..., покрывает пространство G*. Таким образом, одно
из множеств Fn, например Fk, содержит область; но тогда и мно-

§ 19. ИЗОМОРФИЗМ. АВТОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 83
жество gjy) = Fk gicik1) также содержит область (см. § 16, С)).
Так как VaW', то g(W) содержит область.
Пусть теперь U—некоторая окрестность единицы e£G. Тогда
существует такая окрестность W единицы, что WW~1cU
(см. § 16, А)). По только что доказанному g(W) содержит
некоторую область W*. Пусть q$W* и р—такая точка из W, что
g(p)—4- Wp'1 есть окрестность точки £, содержащаяся в U.
Действительно, так как р£ W, то Wp~1aWW~1c:U. Далее, W*q"1
есть окрестность единицы е* £ G*. Так как g* (W) z> W, то g (Wp'1) z>
z>W*q~1\ но отсюда следует, что g(U)z>W*q~1. Таким образом,
отображение g—открытое (см. В)).
D) Отметим, что если открытое гомоморфное отображение g
топологической группы G на топологическую группу G* имеет
ядро, содержащее лишь единицу, то отображение это является
изоморфным.
Действительно, при этих условиях гомоморфизм g является
взаимно однозначным и совпадает с естественным изоморфизмом
группы G/N и G*, построенным в теореме 12.
E) Пусть G и G*—две топологические группы, a f—открытое
Гомоморфное отображение группы G на группу G* с ядром N'.
Тогда существует взаимно однозначное соответствие между
подгруппами группы G* и подгруппами группы G, содержащими
ядро N'. Соответствие это устанавливается следующим образом:
если N* есть подгруппа группы G*, то соответствующая ей
подгруппа N группы G определяется как полный прообраз N = f'1 (N*)
группы N* при отображении /; если N есть подгруппа группы G,
содержащая Л/Л то соответствующая ей подгруппа N* определяется
как образ N*=-f(N) группы iV при отображении /.
Установленные таким образом два соответствия оказываются взаимно
обратными. Далее, нормальные делители соответствуют друг другу.
Сверх того, если N и N*—два соответствующих друг другу
нормальных делителя, то факторгруппы G/N и G*/N* изоморфны.
Разберем сперва переход от N* к N.
Как полный прообраз замкнутого множества N*, множество N
также замкнуто и содержит ЛГ. Далее, N есть подгруппа
абстрактной группы G (см. § 3, G)). Таким образом, N есть подгруппа
топологической группы G. Если теперь N*—нормальный делитель,
группы G*, то обозначим через g естественное гомоморфное
отображение группы G* на группу G*/N* = G**. Тогда H(x) = g(f(x))
есть открытое гомоморфное отображение группы G на группу G**
с ядром гомоморфизма N. Таким образом, в силу теоремы 12, Af
есть нормальный делитель группы G, а факторгруппы G/N и
G*/N* изоморфны между собой.
Рассмотрим теперь переход от N к N*, r&eN* = f(N) и Nz>N'.
Покажем прежде всего, что полный прообраз множества N* в
группе G при отображении / совпадает с N. Действительно, если

84
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
/ (а) £ N*, то существует такой элемент Ь £ N, что f(a) = f (b); тогда
f(ab~1) = e*y т. е. ab~1^NfczN или a£Nb=-N. Но из этого
следует, что /(G—N) = G*—N*, а так как отображение / является
открытым и G—N есть область, то G*—N*—также область, т. е.
N* замкнуто в G*. Тот факт, что N* есть подгруппа или
соответственно нормальный делитель абстрактной группы G*,
устанавливается непосредственно (см. § 3, F)).
Пример 28. Пусть G—аддитивная группа действительных
чисел с дискретной топологией и G* — аддитивная группа
действительных чисел с ее естественной топологией. Поставим в
соответствие каждому действительному числу x£G то же самое
действительное число x*^G*, g(x) = x*. Очевидно, что отображение g
есть гомоморфное отображение группы G на группу G*.
Алгебраически g даже изоморфно. Однако g не есть открытое
отображение и потому не является изоморфизмом для топологических
групп G и G*. Действительно, каждый элемент х группы G
составляет область, однако соответствующий ему элемент х* отнюдь
не составляет собой области. Невыполнение теоремы 13
объясняется здесь тем, что группа G не удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
Пример 29. Пусть G—плоскость, взятая в определенных
декартовых координатах. Ее точки, или, что то же, векторы,
образуют аддитивную топологическую группу. Пусть, далее, Я—
прямая, взятая в плоскости G и проходящая через начало
координат. Угловой коэффициент этой прямой обозначим через а.
Я, очевидно, представляет собой подгруппу топологической
группы G. Обозначим, далее, через N совокупность всех точек
плоскости G, обладающих целочисленными координатами. N также
есть подгруппа группы G. Положим G* = G/N и обозначим через g
естественное гомоморфное отображение группы G на G* (см. С)).
При гомоморфизме g подгруппа Я переходит в некоторое
множество Я*. Я* есть подгруппа абстрактной группы G* (см. § 3, F)),
однако Я* может и не быть замкнутым подмножеством
топологического пространства G*. Если а—рациональное число, то
нетрудно убедиться в том, что Я*—замкнутое множество; именно:
в этом случае Я* представляет собой замкнутую кривую,
проходящую в G*. Если же а иррационально, то Я* образует всюду
плотное множество в G*.
Чтобы дать полное доказательство этого факта, сошлемся на
результат, изложенный в примере 51. Легко видеть, что если а
иррационально, то существует такое число Р, что Р и а$ линейно
независимы, т. е. из соотношения р$+ qa$ = г, где /?, q и г —
целые, следует p = q = г = 0. Обозначим теперь через а элемент
группы G с координатами р и оф, а через А — подгруппу с
образующей а. Тогда ЛсЯ; сверх того, из результата, изложенного
в примере 51, следует, что g(A) всюду плотно в G*. Таким
образом, и Я* также всюду плотно в G*.

§20. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДГРУПП 85
Мы видим, что в случае иррационального а Я* отнюдь не
замкнуто. Таким образом, Я* не является подгруппой
топологической группы G*, но тем не менее является топологической
группой (см. § 18, А)). При отображении g топологическая
группа Я отображается на топологическую группу Я* гомоморфно,
однако гомоморфизм этот не открытый. Алгебраически
отображение g группы Я на группу Я* является даже изоморфизмом.
Нетрудно проверить, что Я*, хотя и удовлетворяет второй аксиоме
счетности (см. § 12, В)), не является локально компактной. Этим
и объясняется невыполнение в этом случае теоремы 13.
Абстрактные группы Я и Я* изоморфны, но топологические группы Я
и Я* не изоморфны. Они даже не гомеоморфны, так как одна из
них локально компактна, а другая не является локально
компактной.
§ 20. Пересечение и произведение подгрупп.
Прямое произведение
В этом параграфе дается распространение на топологические
группы тех понятий и результатов, которые были установлены
в § 5 для абстрактных групп.
A) Пусть G—топологическая группа и М — некоторое
множество ее подгрупп. Обозначим через D пересечение всех
подгрупп, входящих в М. Тогда D есть подгруппа группы G. Если
же все входящие в М подгруппы суть нормальные делители
группы G, то D — также нормальный делитель этой группы.
В § 5 было показано, что D есть подгруппа или соответственно
нормальный делитель абстрактной группы G (см. § 5, А)). В § 7
было показано, что пересечение произвольного числа замкнутых
подмножеств топологического пространства есть замкнутое
подмножество этого пространства (см. § 7, Е)). Таким образом, D
есть подгруппа или соответственно нормальный делитель
топологической группы G.
B) Пусть Л— произвольное множество элементов
топологической группы G. Тогда существует единственная минимальная
подгруппа группы G, содержащая множество Л. Точно так же
существует единственный минимальный нормальный делитель
группы G, содержащий множество Л.
Обозначим через М множество всех подгрупп группы G,
содержащих Л. Пересечение D всех подгрупп, входящих в М,
согласно замечанию А) есть подгруппа топологической группы G.
Очевидно, D есть минимальная подгруппа, содержащая Л. Точно
таким же образом доказательство проводится и для минимального
нормального делителя группы G, содержащего множество Л.
C) Если Я есть подгруппа и N—нормальный делитель
топологической группы G, то пересечение H[\N = D есть нормальный
делитель топологической группы Я (см. § 18, А)).

86
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В § 5 было показано, что D есть нормальный делитель
абстрактной группы Я (см. § 5, С)). В то же время D есть
замкнутое подмножество пространства G, а следовательно, и
пространства Я (см. § 10, А)). Таким образом, D есть нормальный
делитель топологической группы Я.
D) Пусть Я—подгруппа и N — нормальный делитель
топологической группы G. Допустим, что произведение HN есть
замкнутое подмножество топологического пространства G. Тогда
HN = NH есть подгруппа топологической группы G. Если, кроме
того, Я есть нормальный делитель топологической группы G, то
и HN есть ее нормальный делитель. Очевидно, что для
компактной топологической группы G, удовлетворяющей второй аксиоме
счетности, условие замкнутости множества HN всегда выполнено.
Отметим, что если группа G удовлетворяет второй аксиоме
счетности, то для замкнутости множества HN достаточно
компактности одной из групп Я и N.
В § 5 было показано, что HN есть подгруппа или
соответственно нормальный делитель абстрактной группы G (см. § 5, D)).
Так как на HN налагается еще требование замкнутости, то она
является подгруппой или соответственно нормальным делителем
топологической группы G. Покажем теперь, что если G
удовлетворяет второй аксиоме счетности, а одна из групп Я и N,
например Я, компактна, то множество HN замкнуто. Пусть с19 ...
..., сп> ...—некоторая последовательность элементов из HN,
сходящаяся к с. Мы имеем сп = апЬп, где ап £ Я, Ьп £ Я, п = 1, 2, ...
Так как Я компактна, то из последовательности а19 ..., ап, ...
можно выбрать подпоследовательность ani, ..., ап., .. .,
сходящуюся к некоторому элементу а £ Я. Далее, из сходимости последо.-
вательностей сп, ..., сп., ... и я , ..., ап., ... мы заключаем,
что последовательность ЬЛ1, . .., ЬП(, ... также сходится, и притом
к элементу а~гс, принадлежащему Л/", ибо N замкнуто. Таким
образом, c = a(a~1c)(tHN и замкнутость множества HN доказана.
E) Если N±, ..., Nk суть нормальные делители топологической
группы G, а произведение их Р = Nt.. ,NU замкнуто в G, то Р
есть нормальный делитель топологической группы G.
В § 5 было указано, что Р есть нормальный делитель
абстрактной группы G (см. § 5, Е)); так как, сверх того, Р замкнута
в G, то утверждение Е) доказано.
Теорема 14. Пусть Н-—подгруппа uN—нормальный делитель
локально компактной топологической группы G, удовлетворяющей
второй аксиоме счетности. Допустим, что произведение HN = P
есть замкнутое подмножество топологического пространства G,
и обозначим через D пересечение H[)N. Тогда факторгруппа H/D
изоморфна факторгруппе P/N (см. С), D)).
Доказательство. При доказательстве теоремы 2 было
показано, что каждый элемент X группы H/D содержится в одном

§20. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДГРУПП 87
определенном элементе X' группы P/N. Положим f(X)=~-X'. Если
X = Dxy где х € Я, то X' = Nx. Как было показано при
доказательстве теоремы 2, отображение f абстрактной группы H/D на
абстрактную группу P/N является изоморфным. Покажем, что /
есть вместе с тем взаимно непрерывное отображение пространств H/D
на пространство P/N.
Пусть U'*—некоторая окрестность элемента А' в
пространстве P/N. Согласно определению 24 U'* составлена из всех
классов смежности вида Nx, где x£U', причем U' есть некоторая
определенная окрестность в пространстве Р. Произведение NU'
есть область в Р, содержащая А'. Поэтому пересечение Я П (NU') = U
есть область в Я (см. § 10, В)), содержащая A = f~1(A')9 ибо
А а А'. Обозначим через U* окрестность элемента А, составленную
из всех классов смежности вида Dx, где x£U. Теперь очевидно,
что если X £ U*, то f (X) £ U'*. Следовательно, отображение /
непрерывно.
Таким образом, отображение f является алгебраически
изоморфным и топологически непрерывным, следовательно, / есть
гомоморфное отображение топологической группы H/D на
топологическую группу P/N. Отсюда на основании теоремы 13
заключаем, что f есть открытое отображение. Следовательно, в силу
замечания D) § 19 / есть изоморфизм. Применимость здесь
теоремы 13 основана на том, что группы Р и Я локально компактны
и удовлетворяют второй аксиоме счетности (см. § 18, В) и § 12, В)),
а потому также группы P/N и H/D локально компактны и
удовлетворяют второй аксиоме счетности (см. § 18, Е) и D)).
Следует отметить, что для общих топологических групп, как
это будет показано на примере, теорема 14 неверна.
Определение 28. Пусть К и N—два нормальных делителя
топологической группы G. Говорят, что группа G распадается в
прямое произведение своих подгрупп К и N> если KN = G и
KnN={e}.
Определение 28'. Пусть К и N—две топологические группы.
Обозначим через G множество всех пар вида (х, у), где х£К,
y^N. G есть абстрактная группа, являющаяся прямым
произведением абстрактных групп К я N (см. определение 10'). Точно
так же G есть топологическое пространство, являющееся
топологическим произведением пространств К и N (см. определение 21).
Построенная таким образом топологическая группа G называется
прямым произведением топологических групп К и N.
Определение это очевидным образом можно распространить на
произвольное конечное число топологических групп.
Покажем, что определение 28' действительно задает
топологическую группу. Для этого достаточно показать, что групповые
операции, имеющиеся в абстрактной группе G, непрерывны в
топологическом пространстве G. Пусть а=(а', а") и &=(&', Ь") —
два элемента из G. Положим с = аЬ~г= (а'6'~\ a"b"~1) = (c'i с")

88
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
и обозначим через W некоторую окрестность элемента с в
пространстве G. Согласно определению 21, W составлена из всех пар
вида (z', z"), где z'£W\ z"£W", причем W есть некоторая
окрестность элемента с' пространства /С, a W"—некоторая
окрестность элемента с" пространства N, cr^W\ c"£W". В силу
непрерывности операций в группах К и N существуют такие
окрестности U', V, £/", V" соответственно элементов а\ b\ a", b",
что U,Vf~1c:Wfi U"V/,~1czW,\ Обозначим через U множество всех
пар (х\ х") таких, что х'€ £/', х"^U", и через V множество всех
пар (у\ у) таких, что y'£V, y"£V". Очевидно, U и V суть
такие окрестности элементов а и Ь, что UV~1c:W. Таким образом,
G действительно есть топологическая группа.
На топологические группы автоматически распространяются
предложения F) и Н) § 5.
Для полного установления эквивалентности определений 28 и
28' остается еще доказать следующее предложение, неверное,
впрочем, для общих топологических групп.
F) Пусть G—локально компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Допустим, что G
распадается в прямое произведение своих подгрупп К и N.
Обозначим через К топологическую группу, изоморфную К, и через
N' — топологическую группу, изоморфную N. Пусть G'— прямое
произведение групп К' и N'. Тогда топологические группы G и
G' изоморфны.
Пусть /—изоморфное отображение топологической группы К'
на топологическую группу К и g—такое же отображение N' на N.
Каждой паре (х, у) £ G' поставим в соответствие элемент h ((x, у)) =
= f(x)g(y) группы G. В § 5 было указано, что Л есть изоморфное
отображение абстрактной группы G' на абстрактную группу G
(см. § 5, G)). Покажем, что h есть непрерывное отображение
пространства G' на пространство G.
Пусть W — некоторая окрестность элемента c=--ab^G, где
я€^С> b£N. Существуют такие окрестности U* и V* элементов
а и Ь в пространстве G, что U*V*aW. Положим U = K[)U*,
V = N п V*. Тогда U и V суть окрестности элементов а и b в
пространствах К и N (см. § 10, С)). Положим, далее, а' = /"1(а)>
b' = ~g~1(b). Тогда существуют такие окрестности Ur и V
элементов а' и Ъ\ что f(U')c:U, g(V')czV. Обозначим через W
окрестность элемента (#', ft'), составленную из всех пар (х, у), где
*€£Л y(zV. Очевидно, h(W')czW. Таким образом, отображение h
непрерывно.
Так как отображение h алгебраически изоморфно и
топологически непрерывно, то согласно теореме 13 оно является открытым,
а потому в силу замечания D) § 19 h есть изоморфизм.
Применимость здесь теоремы 13 основана на том, что группы К и N
локально компактны и удовлетворяют второй аксиоме счетности
(см. § 18, В) и § 12, В)), а потому группа G' также л окал ьно ком-

§21. БЕСКОНЕЧНОЕ ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
89
пактна и удовлетворяет второй аксиоме счетности (см. § 15, F), С));
напомним, что пространство топологической группы всегда
регулярно (см. § 16, F)).
G) Пусть G—локально компактная топологическая группа со
второй аксиомой счетности. Допустим, что G распадается в прямое
произведение своих подгрупп К я N. Тогда К изоморфна
факторгруппе G/N.
Доказательство этого предложения непосредственно следует из
теоремы 14.
Пример 30. Пусть G—плоскость, взятая в некоторых
декартовых координатах. Точки ее образуют аддитивную
топологическую группу. Обозначим через N прямую с угловым
коэффициентом а и через Н—множество всех точек с целочисленными
координатами. Н и N суть нормальные делители группы G.
Обозначим, далее, через Р произведение HN, т. е. множество всех
элементов вида ft-f я, где h£H, п£Н. Если а—рациональное
число, то Р замкнуто в G, если же а иррационально, то Р не
замкнуто и не локально компактно.
Остановимся на случае иррационального а. Р, хотя и не
является подгруппой топологической группы G, все же составляет
топологическую группу (см. § 18, А)). Пересечение D = HftN
содержит лишь нуль. Очевидно, однако, что группы H/D и P/N
не изоморфны, так как первая дискретна, а вторая — не дискретна.
Отметим, далее, что группа Р распадается в прямую сумму своих
подгрупп Я и N, но предложения F) и G) здесь не имеют места.
§ 21. Бесконечное прямое произведение
В теории топологических групп особую роль играет
бесконечное прямое произведение, конструкция которого ввиду
возможности предельного перехода отличается от аналогичной
конструкции в теории абстрактных групп.
Определение 29. Пусть G — компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, и М — некоторое
счетное множество нормальных делителей группы G, M = {Gl9 ...
.. ., G„, . . .}. Говорят, что группа G распадается в прямое
произведение множества М ее подгрупп, если выполнены следующие
условия:
1) Минимальный нормальный делитель группы G (см. § 20, В)),
содержащий все подгруппы множества М, совпадает с G.
2) Обозначим через Нп минимальный нормальный делитель
группы G, содержащий все подгруппы множества М за
исключением подгруппы Gn\ тогда пересечение всех групп Нп, п= 1, 2, . ..,
содержит лишь единицу е группы G.
А) Группа G распадается в прямое произведение двух своих
подгрупп Gn и Нп (см. определения 29 и 28).
Произведение GnIin компактно (см. § 15, Е)) и, следовательно,

90
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
замкнуто в G (см. § 13, В)). Таким образом, GnHn есть
нормальный делитель группы G (см. § 20, D)). Далее, GnHn содержит
все подгруппы множества М, и, следовательно, по условию 1)
G Hn = G. Обозначим, далее, через G'n пересечение всех групп Н1п
k=U 2, ..., за исключением группы Нп. Очевидно, GnczG'n. Из
условия 2) определения 29 следует, что пересечение G'nf)Hn = {e}.
Таким образом, и пересечение Gnf]Hn = {e}. Итак, G распадается
в прямое произведение групп Gn и Нп.
В) При i ф j каждый элемент группы G,. перестановочен с
каждым элементом группы Gy. Пусть хи ..., хп, ...—произвольная
последовательность элементов группы G такая, что x^G^
i= 1, 2, ... Тогда бесконечное произведение хг ... хп ... сходится,
и всякий элемент группы G однозначно представим в форме такого
произведения.
Так как Gt cz Hfi то перестановочность элементов группы Gi
и G,- следует из А) (см. § 5, F)).
Положим ут = *!... хт и покажем, что последовательность ymi
m=l, 2, ..., сходится. Так как пересечение всех множеств Нп
содержит лишь единицу, то для всякой окрестности V единицы
существует такой номер t, что пересечение Н± П ... П Ht cz V
(см. § 13, С)). Отсюда следует, что при р> t, q > t имеем уяУрх^ V.
Так как G компактна, то последовательность ут, /п=1,2, ...,
имеет по крайней мере одну предельную точку х\ допустим, что
существует другая предельная точка х' той же
последовательности. Обозначим через U и U' такие окрестности точек х и х\
замыкания которых не пересекаются (см. § 12, А)). Тогда U'U'1
есть компактное множество, не содержащее единицы, и,
следовательно, существует окрестность V единицы такая, что V не
пересекается с U'U*1. Так как х и х' являются предельными точками
для последовательности ут, т=1, 2, ..., то существуют такие
номера р > t и q> t> что yp£U, yq£U'\ но тогда у$рх не
содержится в V, в противоречие с тем, что было показано выше.
Итак, х = хг.
Заметим, что бесконечное произведение хг ... хп ..., в котором
xk = ey принадлежит Hk.
Пусть теперь х—произвольный элемент группы G. Так как
G распадается в прямое произведение подгрупп Gn и Нп, то
x = xnzn1 где xn£Gny zn£Hn (см. § 5, F)). Составим бесконечное
произведение хг ... хп ... =х' и покажем, что х = хг. Мы имеем
х'х~1 = х1.. .хп.. .x^Zn1 cz Нп\ но так как номер п здесь
произволен, то х'х~х принадлежит пересечению всех Нп и, согласно
условию 2) определения 29, мы получаем х'х~1 = е.
Допустим теперь, что один и тот же элемент х представим
двумя способами в виде бесконечного произведения
рассматриваемого вида. Тогда мы имеем
X = Х-± . . . Хп . . . = Х-±. . . Хп. . .,

§21. БЕСКОНЕЧНОЕ ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
91
откуда получаем
Хп \Х±. . . Хп... ) (Хг . . . Хп) Хп = Хп Хп.
Но левая часть последнего равенства принадлежит HnJ а правая
принадлежит Gn, таким образом, х'п~1хп = е, т. е. хп = х'п при
всяком я.
Определение 29'. Пусть М — некоторое счетное множество
компактных топологических групп, удовлетворяющих второй
аксиоме счетности, М = {Gx, ..., Gn, ...}. Из групп множества М
мы сконструируем новую топологическую группу G, также
компактную и удовлетворяющую второй аксиоме счетности, которую
будем называть прямым произведением групп, входящих в
множество М. Элементом множества G будем считать всякую
последовательность
X = \Х^ . . ., Хпу . . . |,
где Я/бО/» 1=1, 2, ... Произведение двух элементов х и у
группы G, у = {у1У ..., упУ ...}, определяется формулой
Окрестности в пространстве G определим следующим образом:
Пусть Ul9 ..., Ur—произвольная конечная последовательность
окрестностей пространств Gl9 ..., Gr. Тогда окрестность U в
пространстве G составится из всех элементов х={х±, ..., хп> ...}
таких, что *,-££/;, /—1, ..., г. Совокупность всех множеств
типа U дает полную систему окрестностей пространства G.
Нетрудно видеть, что получаемая таким образом группа G
не зависит от способа нумерации групп множества М.
Единицей группы G является е= {е19 ..., еп, ...}, где е{ есть
единица группы Gi9 i=l, 2, ... Обратным для элемента
х — {^1, • • • > #л> • • • /
является элемент х~х = {л:^1, ..., яй1, • • •}• Нетрудно проверить,
что все групповые аксиомы в множестве G выполнены.
Покажем, что полная система окрестностей, данная
определением 29', удовлетворяет условиям теоремы 3. Пусть х и у—два
различных элемента из G. Так как хфу, то существует такой
номер k, что хкФук. Пусть U'k—окрестность элемента хк> не
содержащая элемента ук. Определим окрестность U элемента х,
положив {/1=G1, ..., Uk_1 = Gk_1, Uk—U'k. Очевидно, что U не
содержит элемента у.
Пусть теперь U и V—две окрестности элемента х. Пусть U
определяется системой окрестностей U19 ..., Ur и V—системой
окрестностей Vl9 ..., Vs. Если г < s, то положим Ur+1 = Gr+l9...
..., US=GS. Существует окрестность W{ элемента х(>
содержащаяся в пересечении Ut-[)Vi9 i=l, ..., s. Тогда окрестность W

92
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
элемента х, определяемая последовательностью окрестностей
U^lf ..., Ws, очевидно, обладает свойством W cz U(]V.
Условие непрерывности групповых операций в G проверяется
вполне аналогично тому, как это делалось в параграфе 20 для
прямого произведения двух топологических групп.
Тот факт, что в пространстве G выполнена вторая аксиома
счетности, следует непосредственно из конструкции полной системы
окрестностей в G, так как указана лишь счетная система
окрестностей.
Покажем, что пространство G компактно. Пусть хк =
= {xlk, ..., xnk, ...}, k= 1, 2, ...,— некоторая
последовательность элементов пространства G. Для выбора из этой
последовательности сходящейся подпоследовательности воспользуемся
диагональным процессом. В силу теоремы 9 существует такая
возрастающая последовательность й(1), .. ., k(i), ... натуральных
чисел, что последовательность хпШ), i=\, 2, ..., элементов
группы Gn сходится в G„ к элементу уп. Нетрудно видеть, что
элемент у={уг, ..., уп, ...} является предельным для
последовательности xkU)i i=l, 2, .. ., в группе G. Действительно, если
U есть произвольная окрестность элемента у, определяемая
системой окрестностей Ul9 .. ., Ur, то, начиная с некоторого номера /
(т.е. для t>/), мы имеем xnkii)£Un, п= 1, ..., г, т.е. xk{i)£U
при i > у. Таким образом, из произвольной последовательности
мы выбрали сходящуюся подпоследовательность, и, следовательно,
G компактно.
С) Пусть М — некоторое счетное множество компактных
топологических групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
М= {Gl9 ..., Gn, . ..} и G—прямое произведение групп, входящих'
в М (см. определение 29'). Обозначим через G'k множество всех
таких элементов x={xlt ..., хп, ...}, что при 1фк xi = ei, где
е{ есть единица группы G,. Тогда каждое множество G'k есть
нормальный делитель группы G, и G распадается в прямое
произведение подгрупп G'k, k= I, 2, ...
Пусть х= {хи ..., хп, . . .} — произвольный элемент группы G.
Положим ym={xl9 ..., xmi em+1, em+21 ...}. Легко видеть, что
последовательность ymi т=\, 2, ..., сходится к х, ибо всякая
окрестность элемента х содержит все элементы ут, начиная с
некоторого номера.
Обозначим через H'k множество всех элементов х =
= {х19 ..., хп, . ..} таких, что xk = eh. H'k можно рассматривать
как прямое произведение всех групп множества М за
исключением лишь одной группы Gk, вместо которой взята группа {ek}.
Таким образом, H'k компактна и как подмножество пространства G
замкнута. Непосредственно проверяется, что H'k есть нормальный
делитель группы G и G^aHk при 1фк. Нетрудно видеть, далее,
что H'k есть минимальный нормальный делитель, содержащий все
группы G'n за исключением группы G'k. Действительно, такой

§21. БЕСКОНЕЧНОЕ ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
93
минимальный нормальный делитель должен содержать все
произведения вида Gi . . . G'm, куда не входит лишь G'k, а в силу
замкнутости туда должны войти и все предельные элементы,
т. е. на основании замечания, сделанного в начале доказательства,
все элементы, принадлежащие H'k. Нетрудно видеть, что
пересечение всех подгрупп Н'п содержит лишь единицу группы G.
Непосредственно проверяется, что G'k есть нормальный
делитель группы G, и совершенно аналогично тому, как это было
сделано для H'k, мы убеждаемся в том, что минимальный
нормальный делитель, содержащий все подгруппы G'n, совпадает с G.
D) Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Допустим, что G распадается
в прямое произведение некоторого счетного множества М своих
подгрупп, Af^jGi, ..., G„, ...}. Пусть G'k — группа, изоморфная
группе Gky k=ly 2, ... Обозначим через G' прямое произведение
групп Gi, . . ., G'n, ... Тогда группы G' и G изоморфны.
Доказательства этого факта я здесь не привожу ввиду того,
что оно вполне сходно с доказательством аналогичного факта,
данным в предыдущем параграфе (см. § 20, F)).
Пример 31. Пусть М — некоторое счетное множество
абстрактных конечных групп. Каждую группу из М будем мыслить
как топологическую группу с дискретной топологией. Тогда все
группы множества М компактны и удовлетворяют второй аксиоме
счетности. Прямое произведение всех групп множества М
обозначим через G. Группа G компактна и удовлетворяет второй аксиоме
счетности, в то же время за исключением тривиальных случаев G
содержит бесконечное множество элементов. Таким образом,
G имеет не дискретную топологию. Мы имеем здесь способ
конструирования топологически нетривиальных групп из групп
абстрактных. Однако, как будет показано дальше (см. пример 33),
этим способом возможно получить лишь топологические группы
весьма специального вида, именно нульмерные, да и то не все.
Пример 32. Подобно тому как это было сделано в
определении 29', можно определить прямое произведение несчетного
множества М групп. Группы множества М будем обозначать
через Ga, где а есть индекс, принадлежащий некоторому, вообще
говоря, несчетному множеству. Каждый элемент х прямого
произведения G определяется как множество элементов ха9 где ха £ Ga,
причем взято по одному элементу из каждой группы множества М.
Элементы ха назовем координатами элемента х. Произведение
двух элементов х и у из G определим так же, как раньше, т. е.
положим (ху)а=--хауа. Для задания некоторой окрестности в G
укажем произвольную конечную систему индексов а1э ..., аг
и систему окрестностей i/ai, . .., Uar в пространствах Gai, ..., Gar,
определяя соответственную окрестность U пространства G как
множество всех таких элементов х, что ха. €£/«., i=l, •.., г.

94
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Рассмотрим в G множество Я всех элементов х, имеющих лишь
счетное множество координат, отличных от единицы. Нетрудно
показать, что Я компактно и составляет группу. В то же время
замыкание множества Я совпадает с G. Отсюда, однако, не
следует заключать, что H = G. Это было бы верно, если бы G
удовлетворяла второй аксиоме счетности. Но если группы множества М
нетривиальны, именно, каждая содержит больше одного элемента,
и если мощность множества М выше счетной, то в этом случае
Я явным образом отлична от G. Отсюда мы заключаем, что G не
удовлетворяет второй аксиоме счетности. Следует также особо
отметить, что Я, будучи компактным множеством, не является
замкнутым подмножеством пространства G.
Для построенной здесь группы G выполнено следующее
интересное условие, называемое бикомпактностью: из всякого
покрытия пространства G областями можно выделить конечное покрытие.
Обстоятельство это доказывается, однако, не легко и на нем мы
останавливаться не будем. Заметим только, что бикомпактность
есть условие более стеснительное, чем компактность, но в случае
выполнения второй аксиомы счетности понятия компактности
и бикомпактности совпадают.
§ 22. Связные и нульмерные группы
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые специально
топологические свойства топологических групп, не имеющие
никакого аналога в теории абстрактных групп.
A) Пусть G—некоторая топологическая группа и
iV—компонента единицы е в топологическом пространстве G (см. § 11, D)).'
Тогда N есть нормальный делитель группы G.
Пусть а и b—два элемента из N. Так как N связно, то и
множество aN'1 также связно (см. § 16, В)). Сверх того, aN~x
содержит е. Таким образом, aN~x cz N и мы имеем ab~x^N, т.е.
N есть подгруппа абстрактной группы G. Ввиду того что N
замкнуто в G (см. § 11, D)), N является подгруппой и топологической
группы G. Если теперь х—произвольный момент из G, то x~xNx
есть связное множество, содержащее единицу е, и, следовательно,
x~xNx a N; таким образом, N есть нормальный делитель
топологической группы G.
B) Если пространство топологической группы G связно, то
компонента единицы группы G совпадает с G, и сама группа
называется связной. Если, напротив, компонента единицы группы G
содержит лишь единицу, то группа G называется нульмерной.
C) Пусть G—топологическая группа и N— компонента
единицы в G. Тогда факторгруппа G/N = G* нульмерна.
Пусть /—естественное гомоморфное отображение группы G
на группу G* (см. § 19, С)). Отображение / есть открытое
гомоморфное отображение группы G на группу G*. Обозначим через Р*

§22. СВЯЗНЫЕ И НУЛЬМЕРНЫЕ ГРУППЫ
95
компоненту единицы группы G* и через Р— полный прообраз
множества Р* при отображении /, f~1(P*) = P. Покажем, что
отображение / пространства Р на пространство Р* является
открытым. Пусть U—некоторая область пространства Р. Тогда
существует такая область V пространства G, что U = P[\V
(см. § Ю, В)). Легко видеть, что f(U) = P*(]f(V). Но так как
f есть открытое отображение группы G на группу G*, то / (V) есть
область в G* и, следовательно, f(U) есть область в пространстве Р*.
Допустим теперь, что G* не нульмерна и что, следовательно,
Р* содержит элементы, отличные от единицы. Тогда N есть
правильная часть множества Р и, следовательно, Р несвязно. Таким
образом, Р распадается на два непересекающихся множества А
и В, каждое из которых не пусто и является областью в
пространстве Р (см. §11, А)). Нетрудно видеть, что если а£А, то
Nacz Л, так как если бы Na пересекалось еще с В, то оно
распалось бы на два непересекающихся замкнутых множества, тогда
как на самом деле Na связно одновременно с АЛ Из этого
следует, что множества f (А) и f (В) не пересекаются. Но эти
множества являются открытыми в пространстве Р*. Таким образом,
Р* распалось на два непересекающихся подмножества, являющихся
областями в пространстве Р*, что невозможно, так как Р* связно.
Остановимся теперь несколько на свойствах связных групп.
Теорема 15. Связная топологическая группа G порождается
любой окрестностью U единицы. Утверждение это имеет тот
смысл, что G совпадает с суммой всех множеств вида Un,
п= 1, 2, ..., или, что то же самое, что каждый элемент из G
может быть представлен как конечное произведение элементов,
принадлежащих U.
Доказательство. Пусть V есть сумма всех множеств
вида Un. Так как все множества вида Un суть области (см. § 16, С)),
то и У есть область. Покажем, что V есть вместе с тем замкнутое
множество. Допустим, что а входит в замыкание множества V,
a£V. aU~x есть окрестность элемента а и, следовательно,
пересекается с V, т. е. существует элемент b$V такой, что b^aU"1.
Так как b£V, то существует такой номер т, что b£Um и,
следовательно, Ь=иг, ..., ит, где u^U, i=l, ..., т. Так как
b^aU'1, то Ь=-аи^+1, где um+1$U. Мы имеем таким образом
а=иг ... итит+1, причем U;£U, /=1, ..., т, т+1.
Следовательно, a(tUm+1a V, т. е. V замкнуто. Пусть теперь W = G — V.
Так?как V замкнуто и область, то W также замкнуто и область.
Но если бы W было непусто, то G распалась бы на сумму двух
непересекающихся замкнутых множеств, что, однако, противоречит
предположению связности группы G. Такими образом, G^V.
D) Центром Z топологической группы G будем называть
совокупность всех центральных элементов абстрактной группы G
(см. определение 7). Z является нормальным делителем тополо-

96
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
гической группы G. Всякая подгруппа N группы Z также является
нормальным делителем группы G и называется центральным
нормальным делителем.
В § 4 было показано, что Z есть нормальный делитель
абстрактной группы G. Покажем, что Z замкнута в G. Пусть a£Z.
Допустим, что существует такой элемент xgG, что а' = х~хахфа.
Так как пространство G регулярно (см. § 16, F)), то существуют
непересекающиеся окрестности U и V элементов а и а' (см. § 12, А)).
Положим V = Z[)U. Легко видеть, что a£V; но тогда а' = х~гах£
^x^Vx^x'Wx-^V (см. § 16, В)). Однако это невозможно, так
как окрестность U' не пересекается с V. Таким образом, х~хах = а
и agZ, т. е. Z = Z.
Если N есть подгруппа группы Z, то, будучи замкнутой в Z,
группа N замкнута и в G (см. § 10, А)). А так как N есть
нормальный делитель абстрактной группы G (см. § 4, В)), то N есть
нормальный делитель и топологической группы G.
Теорема 16. Всякий дискретный нормальный делитель N
связной топологической группы G является центральным
нормальным делителем этой группы (см. § 17, А)).
Доказательство. Так как N—дискретная группа, то для
всякого ее элемента а найдется окрестность У, не содержащая
никаких элементов группы N за исключением самого элемента а.
Так как е~1ае=^а, то существует такая окрестность U единицы,
что и~гаи с V (см. § 16, А)). Пусть теперь u£U\ тогда и~хаи$У\
но так как N—нормальный делитель группы G, то и~гаи£Ы
и, следовательно, и~1аи = а. Если теперь х—произвольный элемент
из G, то согласно теореме 15 х=их... ип, где и,- g U, i = 1, ..., п.
Будучи перестановочным с каждым элементом и{, элемент а
перестановочен и с элементом х, т. е. х~хах = а. Таким образом,
N принадлежит центру Z группы G и теорема 16 доказана.
Теорема 16 весьма существенна, так как она облегчает
нахождение дискретных нормальных делителей связной топологической
группы. Дискретные нормальные делители играют в теории
топологических групп важную роль.
Перейдем теперь к рассмотрению нульмерных групп. Мы
ограничимся при этом локально компактными группами,
удовлетворяющими второй аксиоме счетности.
Теорема 17. Пусть G—локально компактная нульмерная
топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности.
Если U есть некоторая окрестность единицы группы G, то
существует такая подгруппа Н группы G, что HaU и Н есть
область в G. Так как Н—область, то пространство G/H
дискретно (см. определение 24).
Доказательство. Пусть V19 ..., Vn, .-..—такой базис
в единице е (см. § 8, В')), что Vn+1aVn1 п ■= 1, 2, ... (см. § 12, D)).
Пусть М — некоторое компактное подмножество пространства G,

§22. СВЯЗНЫЕ И НУЛЬМЕРНЫЕ ГРУППЫ 97
содержащее единицу е. Мы будем говорить, что точку а^М
можно соединить с е по множеству М цепочкой порядка п, если
существует последовательность at = e, а2У ..., ak = a точек из М
такая, что aTlai+i<£Vn> *=1> •••» k—1. Обозначим через Мп
совокупность всех таких точек, которые можно соединить с е по
множеству М цепочками порядка п. Легко видеть, что каждую
точку а£Мп можно соединить с е по самому множеству Мп
цепочкой порядка п. Сверх того, Мп+1аМп. Покажем, что
множество Мп компактно и является относительной областью в
пространстве М (см. § 10, В)). Пусть а£Мп. Тогда пересечение
aVn П М целиком лежит в Мп и является относительной
окрестностью точки а в пространстве М. Следовательно, Мп есть
относительная область в пространстве М. Пусть а—точка из М, не
принадлежащая Мп. Тогда aV^1, как легко видеть, не может
пересекаться с Мп, следовательно, Мп замкнуто и потому компактно
(см. § 13, А)).
Обозначим через М* пересечение всех множеств Мп, п=1,
2, ..., и покажем, что М* связно. Из этого будет следовать,
<до М* содержит лишь одну точку е, ибо по предположению
группа G нульмерна.
Допустим, что М* можно разбить на сумму двух непустых
непересекающихся замкнутых множеств А и В, е£А. Множество
А~гВ компактно и не содержит единицы, поэтому существует
столь большой номер г, что V'^V'1 не пересекается с А~гВ.
Покажем теперь, что если b£B, то Ь нельзя соединить с е по
множеству M*Vr цепочкой порядка г. Прежде всего, ясно, что
множества AVr и BVr не пересекаются, поэтому если соединяющая
цепочка существует, то в ней имеются две соседние точки р и q
такие, что p^AVn q£BVr и, значит p~xq£V^A^BV^ Так как
вместе с тем p~xq^Vr, то отсюда непосредственно следует, что
VfVr1 пересекается с А~ХВ. Таким образом, мы пришли к
противоречию и, следовательно, невозможно соединить точку bee
по множеству M*Vr цепочкой порядка г и тем более цепочкой
порядка s^r. Пусть теперь s^r—столь большой номер, что
MsaM*Vr (см. § 13, С)). Пусть Ь^В. Так как b£Ms> то b можно
соединить с е цепочкой порядка s по множеству Ms, но это
противоречит только что доказанному, ибо MsaM*Vr.
Итак, пересечение всех множеств Мп> /z = l, 2, ..., связно
и значит содержит лишь е.
Пусть теперь U—заданная окрестность единицы е. Без
ограничения общности можно предположить, что замыкание ее U
компактно. Применим теперь описанную конструкцию к
множеству M = U. Пусть V—такая окрестность единицы, что V2aU.
Так как пересечение всех Мп9 п=^ 1, 2, ..., содержит лишь
единицу, то существует столь большой номер t, что MtaV (см.
§ 13, С)). Так как Mt есть относительная область пространства U,

98
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
то существует такая область W пространства G, что Mt=U[}W
(см. § 10, В)). Мы имеем, далее, Mt=Tl Г) WczVc:V2czU\
пересекая обе части включения с W, получаем U [\W all [\W\ но,
с другой стороны, U n Wa V П W, следовательно, Mt = U n Wy
т. е. Mt как пересечение двух областей U и W есть область
пространства G. Легко видеть, далее, что всякая точка а^М]
может быть соединена с единицей по множеству М\ цепочкой
порядка t, а так как M2taU, то M2taMt. Из этого следует, что
при всяком натуральном числе т имеем MfczMty и, значит, для
всякого a£Mt будет и am£Mt. Так как Mt компактно, то
последовательность а, а2, ..., ату ... имеет в Mt предельную точку,
из чего следует, что для произвольной окрестности Vn единицы
существуют такие натуральные числа /пи т! > /л, для которых
ат'(am)~1 = am'-m = aknc:Vn. Обозначим через Ь предельную точку
последовательности akn~x, n= 1, 2, ...; для нее имеем ab~
= limakn = e и b£Mt. Таким образом, для всякого элемента
/г->со
a^Mt существует элемент b£Mfi ему обратный, и, следовательно,
M^aMf. В силу замечания В) § 2 Mt есть подгруппа
абстрактной группы G. Итак, H = MtaU есть компактная открытая
подгруппа топологической группы G.
Е) Пусть G—компактная нульмерная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Если U есть
некоторая окрестность единицы группы G, то в G существует
нормальный делитель N такой, что NaU, причем N есть область в G.
Так как факторгруппа G/N одновременно дискретна и компактна,
то она конечна.
Пусть Н—подгруппа группы G, построенная в теореме 17.
Обозначим через N пересечение всех подгрупп вида х~1Нх, где
х—произвольный элемент из G. Согласно замечанию А) § 20
N есть подгруппа группы G; но нетрудно видеть, что N есть и
нормальный делитель G. Покажем, что N есть область в G. Для
этого покажем прежде всего, что N содержит некоторую
окрестность единицы. Если бы N не содержало никакой окрестности
единицы, то существовала бы последовательность ah f =- 1,2, ...,
элементов, не принадлежащих к N, сходящаяся к единице е.
Так как a^G-^-N, то ai = Xi'1bixi, где Ь^д — Н, 1=1, 2, ...
Так как G компактна, то без ограничения общности мы можем
предположить, что последовательности xt и bi9 i= 1, 2, ...,
сходятся соответственно к некоторым элементам х и Ь. Так как Н
есть область, то 6gG~#; сверх того, мы имеем х~гЬх = е или,
что то же, Ь = е, но это невозможно, так как b£G~H и е£Н.
Таким образом, существует окрестность V единицы е,
принадлежащая целиком к N. Так как N — группа, то при любом n£N
мы имеем VnczN и, следовательно, наряду с каждой точкой п

§ 22. СВЯЗНЫЕ И НУЛЬМЕРНЫЕ ГРУППЫ
99
подгруппа N содержит также и ее окрестность Vn, т. е. N есть
область.
F) Отметим, что если топологическая группа G нульмерна, то
она не содержит связного подмножества, отличного от отдельного
элемента.
Действительно, если F есть некоторое связное подмножество
группы G, содержащее два различных элемента а и 6, то
компонента единицы е должна содержать множество Fa'1, т. е. элемент
Ъа~хфе входит в компоненту единицы и, следовательно, G не
нульмерна.
Нижеследующее тривиальное предложение G) является
обращением теоремы 17:
G) Если во всякой окрестности U единицы топологической
группы G содержится открытая подгруппа Я группы G, то G
нульмерна.
Группа G распадается в сумму двух непересекающихся
областей Я и G — Я. Таким образом, компонента единицы группы G,
будучи связной, должна входить в Я и, следовательно, в U, но
так как U есть произвольная окрестность единицы, то
компонента единицы группы G содержит лишь единицу.
Пример 33. Рассмотрим данное в примере 31 прямое
произведение G счетного числа конечных групп Gw, n=\, 2, ...
Обозначим через Ck множество всех элементов х = {х1У ...,#„, ...}
таких, что xt- = ei9 i= 1, ..., k. Нетрудно видеть, что Ck есть
нормальный делитель группы G и факторгруппа G/Ck изоморфна
прямому произведению групп G1? ..., Gk. Таким образом,
нормальный делитель Ck представляет собой область в G, ибо факторгруппа
G/Ck конечна. Отметим, далее, что для всякой окрестности U
единицы группы G найдется такой номер т, что CmaU. Из этого
нетрудно вывести, что компонента единицы группы G содержит
лишь единицу (см. G)). Таким образом, G есть нульмерная группа.
Пример 34. Пусть G — аддитивная группа действительных
чисел. G есть топологическая группа. Обозначим через Я
множество всех рациональных чисел. Я, очевидно, есть подгруппа
абстрактной группы G, и потому Я представляет собой
топологическую группу (см. § 18, А)). Очевидно, что компонента нуля
группы Я содержит лишь нуль. Таким образом, Я—нульмерная
группа. Следует, однако, отметить, что какова бы ни была
окрестность U нуля группы Я, вся группа Я порождается этой
окрестностью (см. теорему 15). Таким образом, не только связные
группы обладают свойством, формулированным в теореме 15.
Отсюда мы заключаем, что в G не существует открытой подгруппы,
содержащейся в U. Таким образом, теорема 17 не имеет места
для общих нульмерных групп. Группа Я удовлетворяет второй
аксиоме счетности, но не локально компактна.

100
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 23. Локальные свойства. Локальный изоморфизм
Специфическими для топологических групп являются так
называемые локальные свойства — те свойства топологических групп,
которые определяются поведением группы вблизи единицы.
Локальный изоморфизм есть важнейшее относящееся сюда понятие.
Определение 30. Две топологические группы G и G'
называются локально изоморфными, если существуют такие
окрестности U и U' их единиц е и е' и такое гомеоморфное отображение
/ окрестности U на окрестность U\ что: а) если элементы ху у
и ху принадлежат /У, то /(xy) = f (х) f(y)\ b) если элементы х\
у' и х'у' принадлежат U\ то f~1{x'y') — f"1 (xf) f"1 (yr).
A) Отметим, что из выполнения формулированных условий
следует выполнение условий с) f(e) = e' и d) если элементы х и
х'1 принадлежат U, то f(x~~1) = (fix))'1.
Действительно, элементы е, е и ее = е принадлежат U и,
следователь но, / (е) = / (е) f (е), откуда следует, что / (е) ?= е'. Далее,
если х и х~г принадлежат U, то, так как xx~~1 = e£U, мы
получаем e' = f(e) = f(x)f(x~i), т. е. f (х'Ч^ (f (х))~\
B) Отметим, что из условия а) определения 30 следует
условие Ь). Точнее говоря: если существуют окрестности U и U'>
удовлетворяющие условию а), то найдутся окрестности V и V,
удовлетворяющие сбоим условиям а) и Ь).
Пусть V—такая окрестность единицы, что V2aU. Тогда мы
положим V' = f(V). Легко видеть, что для окрестностей V и V
выполнено условие а). Проверим выполнение условия Ь). Пусть
элементы х\ у' и х'у' принадлежат V. Положим x=f"1(x')y
y = f~1(y'). Так как х и у принадлежат V, то ху£U и,
следовательно, f(xy) = f(x)f(y) = x'y'; отсюда получаем /-1 (х'у') = ху =
= f~1(x')f~1(y'), т. е. условие Ь) выполнено.
C) Пусть G—топологическая группа и N—дискретный
нормальный делитель группы G. Тогда группы G и G/N^G'
локально изоморфны.
Пусть /— естественнее гомоморфное отображение группы G
на группу G' (см. § 19, С)). Обозначим через W окрестность
единицы группы G, не содержащую элементов группы N> исключая
единицы. Пусть, далее, (/—такая окрестность единицы в G, что
UU~~1czW. Положим f(U) = U'. Нетрудно видеть, что
отображение f взаимно однозначно на областях U и £/'. Действительно,
допустим, что два элемента хи//, принадлежащие U, переводятся
в один и тот же элемент отображением /. Тогда xy~1£N, но,
сверх того, ху~1£ W и, следовательно, ху~г = е или х = у.
Отображение / есть открытое и непрерывное (см. § 19, С)) и, значит,
на U—также взаимно непрерывное. Условие а) определения 30
для отображения / выполнено, так как / есть отображение
гомоморфное. Поэтому и условие Ь), согласно замечанию В), также
выполнено, следовательно, группы G и G' локально изоморфны.

§ 23. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА. ЛОКАЛЬНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ Ю1
Предложение С) дает способ конструирования групп, локально
изоморфных с данной. Следующая теорема показывает, что способ
этот является весьма общим.
Теорема 18. Пусть G и G' — две связные локально изоморфные
топологические группы. Тогда существует группа Я такая, что
G изоморфна факторгруппе H/N и G' изоморфна факторгруппе
HjN\ где N и N' суть дискретные нормальные делители группы Н.
При доказательстве мы будем пользоваться лишь тем
свойством групп G и G', вытекающим из их связности, что обе они
порождаются произвольными окрестностями своих единиц (см.
теорему 15).
Доказательство. Пусть U и U'—те окрестности единиц
групп G и G', для которых выполнены условия определения 30,
и /—соответственное отображение. Обозначим через К прямое
произведение групп G и G' (см. определение 28'). Пусть
V—множество всех элементов группы /С, представимых в форме (х, f(x))y
где x£U. Для того чтобы не усложнять рассмотрений,
предположим, что окрестность U обладает симметрией, т.е. U~X = U.
Обозначим, далее, через Я сумму всех множеств вида Vn, n =
= 1, 2,... Иначе Я можно определить как совокупность всех
элементов группы К, представимых в форме конечных
произведений элементов, принадлежащих V. Множество Я очевидным
образом представляет собой подгруппу абстрактной группы /С, но
может быть незамкнутым множеством в топологическом
пространстве /С. Тем не менее, согласно замечанию А) § 18, Я
естественным образом является топологической группой. Мы, однако, введем
в Я топологию иным способом.
Пусть Ua—некоторая полная система окрестностей единицы
группы G, где а—индекс, пробегающий, вообще говоря,
несчетное множество. Без ограничения общности можно предположить,
что UaaU при произвольном а. Положим U'a = f(Ua) и
обозначим через Va множество всех элементов группы К вида (у, f(y))>
где y£Ua. Согласно замечанию С) § 17 для системы
окрестностей Ua выполнены условия теоремы 10. То же самое имеет место
и для окрестностей системы U'a. Отсюда мы непосредственно
заключаем, что система множеств Va удовлетворяет требованиям
теоремы 10 в отношении абстрактной группы Я. Мы теперь
примем систему множеств Va за полную систему окрестностей
единицы топологической группы Я (см. теорему 10).
Каждому элементу г = (х, х') £ К поставим в соответствие
элемент x£G, g(z) = x. Легко видеть, что g есть гомоморфное
отображение абстрактной группы К на абстрактную группу G. Отсюда
следует, что g является также гомоморфным отображением
абстрактной группы Я на некоторую подгруппу G* абстрактной
группы G. Покажем, что G* = G. Действительно, g(V) = U, таким
образом, UaG*, но так как G порождается всякой окрестностью
единицы, то мы получаем GczG*.

102
ГЛ, III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Покажем, что g есть открытое гомоморфное отображение
топологической группы Я на топологическую группу G. Из
соотношения g (Va) = Ua непосредственно следует, что отображение g
является непрерывным и открытым в единице. Отсюда
заключаем, что g есть открытое непрерывное отображение (см. § 19, В)).
Таким образом, согласно теореме 12 группа G изоморфна
факторгруппе H/N, где N есть ядро гомоморфизма g. Покажем,
что N есть дискретный нормальный делитель группы Я. Для
этого достаточно показать, что существует окрестность единицы
группы Я, не содержащая никаких элементов группы N кроме
единицы. Такому условию удовлетворяет любая окрестность
системы Va, так как отображение g на множестве Va взаимно
однозначно.
Точно так же мы покажем, что группа G' изоморфна
факторгруппе H/N', где N' есть дискретный нормальный делитель
топологической группы Я. Таким образом, теорема доказана.
Утверждение теоремы 18 будет развито и углублено в восьмой
главе, правда, для групп весьма специального вида. Там будет
найдена соответственная группа Я для целого класса всех
локально изоморфных между собой групп. Такой результат
позволяет весьма резко расчленить все изучение топологической группы
на изучение локальное и изучение в целом.
Локальными свойствами топологических групп мы будем
называть те, которые имеют место одновременно для всех локально
изоморфных групп. Следует отметить, что локальное поведение
группы весьма сильно отражается на поведении группы в целом
и потому изучение локальных свойств весьма важно.
Так как при изучении локальных свойств топологической
группы G нас интересует поведение группы G лишь в
произвольной окрестности U ее единицы, то естественно возникает
вопрос, нельзя ли изучать U как самостоятельное понятие,
отвлекаясь от того, что группа G существует в целом. Именно
такая постановка вопроса имеет место в классической теории
групп Ли (см. шестую и девятую главы). Там изучается нечто,
оказывающееся позднее окрестностью единицы полной
топологической группы Ли. Здесь я даю точное определение
соответствующего логического понятия. Все нижеследующее содержание
настоящего параграфа нужно лишь для понимания шестой,
седьмой и девятой глав.
D) Топологическое пространство G называется локальной
группой, если для некоторых пар а, ft элементов множества G
определено произведение ab£ G, причем выполнены следующие условия:
a) Если определены произведения ab, (ab)c, be, a {be), то имеет
место равенство (ab)c = a(bc).
b) Если определено произведение aft, то существуют такие
окрестности U' и V элементов а и ft, что при а' £ U\ b' £ V
произведение а'Ь' определено. Далее, закон перемножения для

§ 23. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА. ЛОКАЛЬНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ ЮЗ
пары а, Ь непрерывен, т. е. для каждой окрестности W
произведения аЬ существуют такие окрестности U и V элементов а и 6,
для которых имеет место соотношение UVaW.
c) В G существует элемент е, играющий особую роль и
называемый единицей. Он обладает следующим свойством: если a£Gr
то произведение ае определено и ае = а.
d) Если для пары а, Ь произведение определено и ab = e, то
говорят, что Ь есть правый обратный элемент для а, Ь = а'1. Если
для а существует правый обратный элемент аг1, то имеется такая
окрестность U' элемента а, что для каждого а' £ U' существует
правый обратный элемент а'-1. Далее, для всякой окрестности V
элемента а~г существует окрестность U элемента а такая, что
U^czV.
E) Если G есть локальная группа и п—некоторое
натуральное число, то в G существует столь малая окрестность U
единицы е, что для каждого элемента a£U существует обратный а-1
в G и для каждых п элементов alt .. ., ап окрестности U
определено произведение (.. -((ага^аъ)... ап) = Ь, не зависящее от
расстановки скобок, так что имеет смысл запись Ь = аг ... ап.
Из условия с) следует, что произведение ее определено и ее = е.
Отсюда из условий Ь) и d) непосредственно вытекает
существование такой окрестности W единицы е, что при а £ W существует
обратный элемент дг1 и при a£W, b£W определено
произведение ab. Далее, из условия непрерывности следует существование
такой окрестности У, что V2c:W. Для V, как легко видеть, уже
осуществляется требование Е) при п=--3. Продолжая
конструкцию дальше, мы получим и требуемую окрестность U для
произвольного натурального я.
F) Если G есть локальная группа, то существуют такие
окрестности единицы U и VczU, что выполнены следующие условия:
a) При а б U произведение еа определено и еа = а.
b) При a£U существует такой элемент а"1, что произведения
аа'1 и а~1а определены, причем аа~1=-а~~1а = е.
c) Если элементы а и Ь принадлежат У, то уравнения ах = Ь
и уа = Ь разрешимы в области /У, и там каждое из них имеет
единственное решение.
Утверждение F) доказывается совершенно так же, как
утверждения В) и С) § 1. При этом нужно лишь выбрать столь малые
окрестности U и V, чтобы все проводимые в § 1 выкладки были
возможны. Существование столь малых окрестностей U и V
обеспечивается предложением Е).
G) Пусть G—локальная группа. Всякую окрестность U
единицы е группы G будем называть частью локальной группы G.
Всякая часть U локальной группы G сама является локальной
группой в силу тех операций, которые имеются в G. Именно,
мы будем считать, что произведение аЬ определено в U, если оно
определено в G и принадлежит U.

104
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Н) Пусть G и С—две локальные группы, a U и (/' — их
части. Говорят, что f есть локальное изоморфное отображение
группы G на группу G', если / есть топологическое отображение
части U на часть U'f причем выполнены нижеследующие
условия. Если произведение аЬ определено в U, то произведение
f{a)f(b) определено в U' и / (ab) = f (a) f (b). Далее, единица при
отображении / переходит в единицу. Наконец, для отображения
/~\ обратного к /, выполнены те же условия, что и для самого /.
Если для локальных групп G и G' существует локальное
изоморфное отображение одной группы на другую, то говорят, что
группы G и G' локально изоморфны.
Два локальных изоморфных отображения / и /' группы G на
группу G' называются эквивалентными, если они совпадают на
некоторой части группы G. В дальнейшем мы будем изучать
локальные изоморфизмы лишь с точностью до эквивалентности.
Очевидно, что определение 30 является частным случаем
определения Н), когда локальные группы G и G' являются полными
группами.
Подлинным объектом изучения оказывается не сама локальная
группа, т. е. не все ее свойства, но лишь те, которые не меняются
при локально изоморфных преобразованиях. Таким образом,
важными для нас оказываются лишь те конструкции в локальных
группах, которые являются инвариантными при локально
изоморфных преобразованиях.
Здесь возникает одна проблема, связанная с понятием
локальной группы. Не будет ли каждая локальная группа локально
изоморфна некоторой топологической группе? Проблема эта
решена положительно только для групп Ли и притом с
применением весьма сложного специального аппарата (см. § 54).
Перейдем теперь к определению дальнейших основных понятий:
подгруппы, нормального делителя, факторгруппы и гомоморфного
отображения для локальных групп.
1) Пусть G — локальная группа и Я—некоторое ее
подмножество, содержащее е. В силу определения 16, Я есть
топологическое пространство. Далее, будем считать, что для пары а, Ъ
элементов из Я определено произведение ab, если оно определено
в G и принадлежит Я. Если так определенные в Я
топологические и алгебраические операции удовлетворяют требованиям
определения D), то Я само есть локальная группа. Если сверх
того существует такая окрестность U единицы G, в которой
пересечение 1)[\Н замкнуто, то Я называется подгруппой локальной
группы G. Локальная подгруппа N локальной группы G
называется нормальным делителем, если существует такая окрестность V
единицы е в G, что при x£V, y£V()H имеем х~1ух^Н.
Две подгруппы Я и Я' локальной группы G называются
эквивалентными, если они имеют общую часть (см. G)), т. е. в
некоторой окрестности единицы совпадают. Легко видеть, что класс

§ 23. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА. ЛОКАЛЬНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ Ю5
эквивалентных между собой подгрупп локальной группы G
инвариантен при локально изоморфных преобразованиях. Именно такой
класс и будет служить подлинным объектом нашего изучения,
т. е. мы будем интересоваться структурой подгруппы.лишь с
точностью до замены ее любой эквивалентной подгруппой.
J) Пусть G—локальная группа и N—ее нормальный делитель.
Построим факторгруппу G* = G/N. Для этого выберем
окрестность U единицы в G, малость которой будет определяться
дальнейшими построениями. Множество U разобьем на классы
смежности по подгруппе N, относя элементы х и у из U к одному
классу, если xy~1£N. При достаточно малой U все аксиомы
эквивалентности (см. § 2, С)) будут выполнены. Далее, каждый
класс смежности X будет представляться в форме Х = U [\ (Nx),
где х—произвольный элемент из X. И обратно, каждое множество
вида Uf](Nx)y где x£U, будет представлять собой класс
смежности. Далее, существует столь малая окрестность V единицы
в G, что если X и Y суть два класса смежности, пересекающиеся
с V, то U(](XY) = Z вновь есть класс смежности. Если Z опять
пересекается с V, то мы будем считать, что определено
произведение XY = Z. Через G* мы обозначим множество всех классов
смежности, пересекающихся в V. Топология в G* вводится
естественным образом, аналогично тому, как это было сделано в
определении 24. В силу установленных операций множество G*
оказывается локальной группой и называется факторгруппой.
Ясно, что группа G/N = G* не определяется однозначно
задание локальной группы G и ее нормального делителя N, а зависит
еще от выбора окрестностей U и V; однако нетрудно видеть, что
все получающиеся факторгруппы G/N локально изоморфны между
собой, так что интересующие нас свойства факторгруппы G/N
определены однозначно. Точно так же при замене нормального
делителя N эквивалентным ему N' мы получим факторгруппу G/N\
локально изоморфную факторгруппе G/N.
К) Пусть G и G*—две локальные группы, a U и U*—их
части. Скажем, что / есть локальное гомоморфное отображение
группы G на G*, если / есть открытое непрерывное отображение
части U на часть U*9 удовлетворяющее нижеследующим условиям.
Если произведение аЬ определено в U, то произведение f(a)f(b)
определено в U* и f(ab) = f(a)f(b). Сверх того, единица при
отображении / переходит в единицу.
Множество Af элементов, переходящих в единицу при
отображении /, называется ядром гомоморфизма f и оказывается
нормальным делителем локальной группы G. .Без труда доказывается
далее, что группа G* локально изоморфна факторгруппе G/N.
Два локальных гомоморфных отображения / и /' группы G
на группу G* называются эквивалентными, если они совпадают
на некоторой части группы G. В дальнейшем мы будем изучать
локальные гомоморфизмы лишь с точностью до эквивалентности.

106
ГЛ. III. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
L) Говорят, что локальная группа G распадается в прямое
произведение своих нормальных делителей Я и К, если
существуют части X, Y и Z локальных групп Я, К и G такие, что
каждый элемент x£Z единственным и непрерывным образом
разлагается в произведение ху, гдех^Х, y£Y. Непрерывность
означает, что элементы х и у, однозначно определенные из
соотношения z = xy, являются непрерывными функциями элемента z.
Очевидно, что задание локальных групп Я и К с точностью
до локального изоморфизма определяет локальную группу G
также с точностью до локального изоморфизма. Эта конструкция
группы G по группам Я и К проводится точно так же, как в § 15.
Итак, мы перенесли все основные понятия и соотношения
с топологических групп на группы локальные.
Введем здесь еще одно, хотя и весьма специальное, но все же
важное понятие.
М) Пусть G—локальная группа. Будем говорить, что в G
имеется однопараметрическая подгруппа g(t), \t\^.a, если в G
задан элемент g(t), непрерывно зависящий от действительного
параметра t и определенный для всех значений t, не
превосходящих по модулю числа а, причем выполнены следующие условия:
g(0) = e, и если |s|^a, |£|^а, |s + £|^a, то произведение
g (s) g (0 определено и g (s) g (t) = g (s + t). Очевидно, что если G
есть топологическая группа, то однопараметрическую
подгруппу g(t) можно продолжить для сколь угодно больших
значений числа а, пользуясь при этом соотношением g(s)g(t) =
= g (s + t) как определяющим.
Пример 35. Пусть G — аддитивная топологическая группа
действительных чисел и N— подгруппа всех целых чисел. Согласно
предложению С), группы G и G/N локально изоморфны. Очевидно,
однако, что группы эти не изоморфны, так как первая из них
не компактна, а вторая — компактна. Здесь мы имеем простейший
пример локально изоморфных групп. Более сложные примеры
будут даны позже.
Пример 36. Пусть G7—аддитивная топологическая группа
векторов /г-мерного евклидова пространства, взятая в определенных
декартовых координатах. Обозначим через (лг подгруппу группы G",
порожденную первыми k координатными осями, а через Nk —
совокупность всех векторов пространства G*, обладающих
целочисленными координатами. Nk есть дискретная подгруппа
группы G1, и потому факторгруппа Gn/Nk = Gk локально изоморфна
группе Gn (см. С)). Таким образом, все группы Gg, k = 0, I, ..., п,
локально изоморфны между собой, однако никакие две из этих
групп не изоморфны и даже не гомеоморфны между собой.
Группа G" компактна, все остальные — не компактны. Группа Gn0
изоморфна группе Gn.
Оказывается, что всякая связная группа G, локально
изоморфная группе G7, изоморфна одной из групп G£.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ
ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
В предыдущей главе была дана общая теория топологических
групп. В ней рассматривались понятия и соотношения наиболее
общего вида. Дальнейшая задача заключается в более глубоком
конструктивном изучении топологических групп. Желательно
привести общие топологические группы в связь с объектами более
конкретными, легче допускающими непосредственное изучение.
Таковыми являются, например, группы матриц и группы Ли
(о последних см. гл. VI и IX). Такого рода приведение в связь
позволяет свести вопросы, относящиеся к топологическим группам,
к соответственным вопросам относительно объектов более
элементарных. Сверх того удается сконструировать топологические
группы весьма общего вида из топологических групп вполне
конкретных. Основным методом на указанном пути является метод
линейных представлений.
Говорят, что топологическая группа G линейно представлена,
если имеется некоторый гомоморфизм £ группы G в какую-либо
топологическую группу матриц.
Очевидно, однако, что всякая группа допускает тривиальное
линейное представление, при котором все элементы группы
переходят в единицу группы матриц. Такое тривиальное
представление, конечно, ничего не может дать для изучения группы. Поэтому
возникает вопрос о существовании для данной группы
нетривиальных линейных представлений, или даже более того—вопрос
о существовании полной системы линейных представлений.
Говорят, что группа G допускает полную систему линейных
представлений, если для каждого элемента g группы G,
отличного от единицы, существует такое линейное представление
группы G, при котором g не переходит в единичную матрицу.
Вопрос о существовании полной системы линейных
представлений для любой локально компактной топологической группы
со второй аксиомой счетности до сих пор не разрешен. От его
решения зависит решение центральных проблем теории
топологических групп. Однако удается построить полную систему линей-

108 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
ных представлений для всякой компактной топологической группы
со второй аксиомой счетности. Изложению этой конструкции и
посвящается настоящая глава. Приложения будут даны в пятой
и седьмой главах.
Первым шагом конструкции является установление на группе
инвариантной меры, или, что то же, инвариантного
интегрирования. Говоря не вполне точно, каждому множеству М элементов
группы G приписывается в качестве его меры некоторое
неотрицательное число, причем выполнено условие инвариантности, т. е.
мера множества М равна мере множества Ма для произвольного
элемента а группы G. Имея в группе G инвариантную меру,
можно установить в ней инвариантное интегрирование.
Первоначально инвариантная мера на любой локально компактной группе
со второй аксиомой счетности была сконструирована Хааром
(см. [11]). Несколько позже Нейман (см. [22]) непосредственно
установил инвариантное интегрирование на компактных группах
со второй аксиомой счетности. Конструкция Неймана значительно
проще, а так как в дальнейшем инвариантное интегрирование
употребляется лишь для компактных групп, то здесь я использую
работу Неймана.
Еще до построения инвариантного интегрирования на общих
компактных топологических группах оно было использовано
Петером и Вейлем (см. [24]) для конструкции полной системы
линейных представлений компактных групп Ли, для которых
инвариантное интегрирование устанавливается весьма просто.
Петер и Вейль рассмотрели для своих целей некоторое
интегральное уравнение на группе; при этом они существенным образом
использовали компактность группы. В результате работы Хаара
их построение автоматически переносится на компактные
топологические группы. Распространить же его на группы локально
компактные не удается.
§ 24. Непрерывные функции на топологической группе
Множество элементов топологической группы G образует
топологическое пространство; поэтому можно говорить о непрерывных
функциях, заданных на G (см. определение 20). Однако то
обстоятельство, что G есть группа, позволяет формулировать определение
непрерывности несколько иначе, а главное—ввести понятие
равномерно непрерывной функции.
А) Пусть G—топологическая группа и М — некоторое
множество ее элементов. Числовая функция f(x), заданная на
пространстве М*(см. определение 16), тогда и только тогда непрерывна
в точке а£М (см. определение 20), когда для всякого
положительного числа г найдется такая окрестность V единицы, что при
х£М, ха~г^У имеем \f(x) — f(a)|<8.

§24. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЕ Ю9
Покажем достаточность формулированного здесь условия. Если
xa^tzV, то x(tVa = U, таким образом, x^Uf]M и,
следовательно, при x£UC\M имеем \f(x) — /(а)|<е, а так как U(]M
есть окрестность точки а в пространстве М% то условие
определения 20 выполнено. Покажем теперь необходимость
формулированного здесь условия. Допустим, что функция f (х) непрерывна
в точке а (см. определение 20), тогда для положительного числа 8
существует окрестность Ur точки а в пространстве М такая, что
при x£U' имеем \f(x)—f(a)\ < г. Далее, существует такая
окрестность U точки а в пространстве G, что U' = U()M
(см. § 10, С)). Теперь, Ua~1 = V есть окрестность единицы в G,
причем если ха~г^Уу х£М> то x£U' и, следовательно,
j / (х) — f (а) | < &. Таким образом, данное здесь условие необходимо.
B) Пусть М — некоторое подмножество топологической группы G
и f(x)—числовая функция, заданная на М. Функция f (х)
называется равномерно непрерывной, если для всякого
положительного е существует такая окрестность V единицы, что при xy^^V,
х£М, у£М имеем \f(x)—/(#)|<8. Наряду с указанным
определением равномерной непрерывности можно ввести другое,
вполне аналогичное. Функция f(x) называется равномерно
непрерывной, если для каждого положительного 8 существует такая
окрестность V единицы в пространстве G, что при х~ху^ V имеем
!/(*)—f(y)\ < 8- Приводимые здесь два определения равномерной
непрерывности, вообще говоря, не эквивалентны, однако во всех
важных для нас случаях они оказываются эквивалентными (см. С)).
Очевидно, что равномерно непрерывная функция является и
непрерывной.
Оказывается, что в некоторых случаях из простой
непрерывности функции можно сделать заключение о ее равномерной
непрерывности.
C) Пусть G—топологическая группа, удовлетворяющая второй
аксиоме счетности, и М—ее компактное подмножество.
Непрерывная функция/(х), заданная на М, автоматически оказывается
равномерно непрерывной в обоих смыслах (см. В)).
Пусть 8—произвольное положительное число. Так как f(x)
непрерывна, то для каждой точки а£М найдется такая
окрестность Va единицы группы G, что если ха"х^Уа, х£М, то
\f(x)—f(#)|< у* Обозначим через Wa такую окрестность
единицы, что W'l a Va. Очевидно, система всех областей вида Waay
где а—произвольный элемент из М, покрывает все множество М.
Согласно теореме 7 из этого покрытия можно выбрать конечное.
Таким образом, существует конечная система аг, . .., ап элементов
множества М такая, что система областей Waai3 i=l, ...,я,
покрывает М. Обозначим через V пересечение всех областей
системы Wa.- Тогда Уесть окрестность единицы в G. Покажем, что

ПО ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
еслиху~г€ V, х£М, у£ М, то \f(x) — f (у) | < г. Этим равномерная
непрерывность f(x) будет доказана. Так как система Wa.ai
покрывает М, то существует такой номер k, что ya^GiWa. и, таким
образом, [ / (у)—/ (ак) | < у • Далее, мы имеем ха^1 = ху^уа^1£
^VWa>tczW2akczVak9 так что и |/(*) — f(ah)\<\. Объединяя
оба неравенства, получаем [f(x) — /(*/)(< е.
Наряду с понятием равномерно непрерывной функции
существенную роль играет понятие равномерно непрерывного семейства
или множества функций.
D) Пусть М — некоторое подмножество топологической группы G.
Множество А функций, заданных на М, называется равномерно
непрерывным, если для всякого положительного числа г
существует такая окрестность V единицы группы G, что при ху~г g V\
х^М, у£М имеем \f(x) — /(#)|<£ для всякой функции /
множества А. Очевидно, что все функции равномерно непрерывного
семейства сами равномерно непрерывны.
Напомним теперь понятие равномерно сходящейся
последовательности функций.
E) Говорят, что последовательность fn(x), я= 1, 2, ...,
функций, заданных на топологическом пространстве М, равномерно
сходится к функции f(x), заданной там же, если для всякого
положительного числа s существует такое целое число т, что при
п > т имеем \f(x)—/п(д:)|<8 при произвольном х£М.
Точно так же, как в классическом анализе, доказывается
необходимый и достаточный признак равномерной сходимости Коши,
утверждающий следующее:
F) Последовательность fn(x), я= 1, 2, . .., функций, заданных
на топологическом пространстве М, равномерно сходится, если
для всякого положительного числа 8 существует столь большое
число т, что при р> т, g > т имеем | fp \х)—/ (х) | < е при
всяком х£М.
G) Если последовательность непрерывных функций равномерно
сходится, то предел ее есть функция непрерывная. Утверждение
это доказывается так же, как в классическом анализе.
Докажем теперь следующую важную теорему.
Теорема 19. Пусть G—топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, и М—ее компактное
подмножество. Обозначим через А некоторое равномерно непрерывное
семейство функций, заданных на М (см. D)), для которого еще
выполнено условие ограниченности, т. е. существуют два
действительных числа I и Г такие, что / ^ / (х)^.Г для произвольной
функции f(x) семейства А и произвольного х£М. Тогда из всякой
последовательности А' = {Д (х), ..., fn (х), ...} функций
семейства А можно выбрать равномерно сходящуюся
подпоследовательность (см. Е)).

§24. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЕ \Ц
Доказательство. Отметим прежде всего, что в М
существует счетное всюду плотное множество N (см. § 17, В)).
Действительно, так как G удовлетворяет второй аксиоме счетности, то
и в М существует счетный базис. Взяв по одной точке из всякой
области этого базиса, мы получим счетное множество N, всюду
плотное в М. Занумеруем теперь точки множества N, положив
N = {aly ..., ah ...}, и рассмотрим систему /„(я*)> я=1, 2, ...,
i=l, 2, ..., действительных чисел. Все они лежат на сегменте
числовой прямой, заключенном между числами / и /', поэтому
здесь можно применить теорему 9. Таким образом, существует
возрастающая последовательность /г(1), п(2), ..., n(k), ...
натуральных чисел такая, что последовательность чисел /„<£)(#/),
й=--1, 2, ..., сходится при каждом фиксированном /. Положим
in ш (x) = ek (x)> k=l, 2, ... Последовательность Д"= {g1 (х), . . .
• •> gn(x)> • • •} обладает тем свойством, что она сходится в
каждой точке a^N. Покажем, что последовательность А" равномерно
сходится на М.
Пусть г—произвольное положительное число. Так как
семейство А равномерно непрерывно, то существует такая окрестность V
.единицы группы G, что если ху~г £V, х£ М, у £ М, то
о
\ёп(х)—£п(у)\<~т ПРИ произвольном п. Так как множество N
всюду плотно в М, то система областей Vak, k— 1, 2, ...,
покрывает М. В силу теоремы 7 из этого покрытия можно выбрать
конечное покрытие, т. е. существует конечная система точек
a,k = bj, /= 1, ..., ft, такая, что система областей Vbfi /= 1, ..., ft,
покрывает G. Так как точка Ь}- принадлежит Л/", то
последовательность чисел gn{bf), Уг=1, 2, ..., сходится и, следовательно,
существует столь большое число rtij, что при р > т;-, q > my- имеем
\gp Ф;)—gq iPj) I < 4" • Обозначим через т' наибольшее из чисел mh
/ = 1, ..., ft. Тогда при p>m\q>m' имеем \gp {bj)—gq (bj) \ < -|
для /=1, ..., ft. Пусть теперь х — произвольная точка из М.
Так как система областей Vbf, /=1, ..., ft, покрывает М, то
найдется такая точка bi9 что xbf1^^» и, следовательно,
I gP (x)—gP (Ь{) |< -J . I £„ (*) —£< Фд |<f Соединяя вместе
полученные неравенства, получаем |g>(#)—gq(x)\<£- Таким
образом, признак F) равномерной сходимости выполняется для
последовательности А" и последовательность эта равномерно
сходится.
Сделаем еще одно замечание о непрерывных функциях.
Н) Пусть М—компактное топологическое пространство и f (х)—
заданная на нем непрерывная функция (см. определение 20).
Минимум функции f(x) обозначим через K(f(x)), а максимум —
через L(f(x)) (см. § 14, В)). Число S(f(x)) = L(f(x))—K(f(x))

112 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
называется колебанием функции f(x). Если, далее,
последовательность fn{x), п=1у 2, ..., непрерывных функций равномерно
сходится к функции / (х) (см. Е)), то имеют место следующие
легко проверяемые соотношения:
пШп К (/„ (*)) = K(f (х)), яШп L (/„ (х)) = L (/ (х)),
Km S (/„(*)) = S (/(*))•
/2 -> СО
Пример 37. Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Рассмотрим
множество R всех непрерывных функций на G. В множестве R
естественным образом можно ввести расстояние. Именно,
расстояние между двумя непрерывными функциями f (х) и g(x),
заданными на G, т. е. между двумя элементами из R, мы определим
как максимум \f(x)—g(x)\. Нетрудно показать, что R есть
метрическое пространство (см. пример 14). Прежде всего,
максимум \f(x)—g(x)\ равен нулю тогда и только тогда, когда
f\x)=g{x). Далее, если f(x), g(x) и h(x) суть три непрерывные
функции, заданные на G, то мы имеем | f (х) — h(x) \ ^.\f (х)—g{x)\+
+ \g(x)—h(x)\, откуда аксиома треугольника в R
непосредственно следует.
В терминах метрического пространства R легко
формулировать условия равномерной сходихмости последовательности
функций fn(x), n=l, 2, ..., к функции f(x). Сходимость эта имеет
место тогда и только тогда, когда последовательность fn(x)y
/г= 1, 2, ..., сходится к f(x) в смысле метрики, заданной
в пространстве R.
Пусть А—некоторое ограниченное равномерно непрерывное
семейство функций, заданных на G. Тогда AaR. Смысл
теоремы 19 заключается в том, что замыкание А множества А в
пространстве R компактно.
Пример 38. Если G есть аддитивная топологическая группа
действительных чисел, а М — замкнутый отрезок на числовой
прямой, то приведенные в этом параграфе предложения
превращаются в хорошо известные предложения классического анализа.
§ 25. Инвариантное интегрирование
Настоящий параграф посвящен изложению работы Неймана>
в которой дается построение инвариантного интегрирования на
компактной топологической группе со второй аксиомой счетности.
Определение 31. Говорят, что на компактной топологической
группе G установлено инвариантное интегрирование, если
выполнены следующие условия:
1) каждой действительной непрерывной функции f(x),
заданной на G (см. определение 20), поставлено в соответствие дейст-

§ 25. ИНВАРИ АНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
11$
вительное число, символически обозначаемое через j f(x)dx и
называемое интегралом функции f(x) по группе G;
2) если а—действительное число, то ^ а/ (х) dx = а \ f (x) dxr
т. е. при интегрировании постоянный множитель выносится за
знак интеграла;
3) если f(x) и g(x)—две непрерывные функции, то
S (/(*) + g(x))dx=lf (x)dx+lg(x)dx;
4) если f(x) всюду неотрицательна, то }f(x)dx^0\
5) если f(x)=l при всяком х, то ^ f(x)dx= 1;
6) если функция /(х) всюду неотрицательна и не равна
тождественно нулю, то ^ / (х) dx > 0;
7) если а—произвольный элемент из G, то
^ f(xa)dx^ j f(x)dx\
8) если а—произвольный элемент из G, то
j f(ax)dx= } f(x)dx\
9) $/(Od^ J/(*)d*.
Первые шесть пунктов выражают требования, естественные
для всякого понятия интеграла, последние же три выражают
специальное групповое свойство инвариантности.
Заметим, что в силу условий 2), 3), 4) возможно
интегрирование неравенств и интегрирование абсолютной величины, именно^
если f{x)^g(x), то мы имеем
]f{x)dx^ \g{x)dx, \\f(x)dx\^\\f{x)\dx.
Действительно, g(x)—f(x)^0 и в силу условия 4) получаем
j (g" (х) — f(x))dx^0, а в силу условий 2) и 3) это соотношение
принимает вид j g (x) dx— j / (х) dx ^ 0, т. е.
\ f(x)dx ^.^ g (x) dx.
Далее, —\f(x) \ ^f(x) ^\f(x) I и> в силу только что
установленной возможности интегрирования неравенств, получаем
— ) I / (х) | dx ^ ^ / (х) dx ^ ^ | / (х) | dx, а это можно переписать так:.
\lf(x)dx\^\\f(x)\dx.

114 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Теорема 20. На всякой компактной топологической группе G,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности, возможно
установить инвариантное интегрирование (см. определение 31), и
притом единственным способом. Если, далее, на G определен каким-
либо образом интеграл, удовлетворяющий условиям 1)—5) и 7),
то остальные условия 6), 8) и 9) оказываются выполненными для
него автоматически.
Доказательство теоремы 20 не просто и распадается на ряд
последовательных шагов. Мы дадим их в форме предварительных
-замечаний и лишь заключительную часть озаглавим как
доказательство теоремы.
Всюду в дальнейшем через G будет обозначаться компактная
топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме счет-
ности.
A) Пусть G—топологическая группа, f(x) — непрерывная
функция, заданная на G, и А = {а19 ..., ат) — конечная система
элементов группы G. Введем следующее обозначение:
М(А, /(*)) = £!№. (1)
1=1
Функция М (Л, f(x)) непрерывна; она кладется в основу
построения на G инвариантного интегрирования. Для нее выполнены
следующие легко проверяемые соотношения (по поводу
обозначений см. § 24, Н)):
К(М(А, f(x)))^K(f(x))9 (2)
L(M(A9 f(x)))>L(f(x))9 (3)
S(M(A9 /(*)))<S(/(*)). (4)
Далее, если А и В—две конечные системы элементов из G, то
М(А, М(В9 f(x))) = M(AB, f(x)). (5)
B) Если f(x)—отличная от константы непрерывная функция,
заданная на G, то в G существует такая конечная система А
элементов, что
S(M(A9 /(*)))< S (/(*)) (6)
{см. А)).
Пусть k—минимум и / — максимум функции f(x). Так как
f(x) непрерывна и k < /, то существует область UczG такая, что
для всех x£U выполняется неравенство f(x)^.h<l. Множество
всех областей вида Ua'1 покрывает группу G и потому, согласно
теореме 7, существует конечная система А = {а19 ..., ат)
элементов из G такая, что система областей Uaj1, i=l, ..., m,
докрывает G. Покажем, что функция М (A, f(x)) имеет
максимум, не превосходящий ■ ~~ ' < /. Действительно, при вся-

§25. ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
115*
ком х f{xal)^zl, i = 1, ..., т\ но, каков бы ни был х, всегда
найдется такой номер /, что x^Vaj1, т. е. xa;^U и,
следовательно, f(xa,j)^h. Так как теперь минимум функции М (Л, f(x))
не меньше k (см. (2)), то соотношение (6) доказано.
С) Пусть f(x) — непрерывная функция, заданная на группе G.
Будем называть правым средним функции f(x) каждое
действительное число /?, обладающее следующим свойством: для всякого
положительного 8 существует такая конечная система А
элементов группы G, что
\М(А, f(x))-p\<e. (7)
Покажем, что непрерывная функция f(x), заданная на G, имеет
по крайней мере одно правое среднее.
Обозначим через А совокупность всех функций вида М (А, / (л:)),
где f(x)—заданная фиксированная функция, а А — произвольная
конечная система элементов из G. Из соотношений (2) и (3)
следует, что семейство А ограничено. Покажем, что оно равномерно
непрерывно (см. § 24, D)).
Будучи непрерывной, функция f(x) является и равномерно
непрерывной (см. § 24, С)), поэтому для каждого
положительного г найдется такая окрестность V единицы, что при ху"1 £ V
будет | /(х)—/ (у) | < е. Но если ху~г £ V, то и (ха{) (уа^)'1 =
= xy~1£V. Следовательно, также \f{xa() — /(z/#/)|<s. Суммируя
это неравенство по i от единицы до т и деля результат на /п,
получаем |М(Л, f (х)) — М(Л, /Q/))|<8. Последнее неравенство
справедливо при xy~x£V и при произвольной системе Л. Таким
образом, семейство А равномерно непрерывно.
Обозначим через s нижнюю грань всех чисел S(M(A, f(x)))>
т. е. нижнюю грань колебаний всех функций, входящих в А.
Тогда существует последовательность
/iW. •••> /»(*). ••• (8>
функций, входящих в А, такая, что
Mm S (/„(*)) = *•
гг-> со
Так как семейство А ограничено и равномерно непрерывно, то
в силу теоремы 19 из последовательности (8) можно выбрать
равномерно сходящуюся подпоследовательность
gi(x), ..., gn(x), ..., (9)
предел которой мы обозначим через g(x). Мы имеем S(g(x)) = &
(см. § 24, Н)). Покажем, что функция g(x) есть константа, или,
что то же, что s=--0.
Допустим, что g(x) — не константа. Тогда, согласно
замечанию В), существует такая конечная система А элементов

316 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
группы G, что
S(M(A9 g(x))) = s'<s. (10)
g с'
Положим 8 = —^—. Так как последовательность (9) равномерно
сходится к g(x), то существует номер fe, для которого
\g(x)—gk{x)\<&- Заменяя в последнем неравенстве х через xah
суммируя полученное неравенство по i от единицы до т деля
результат на /п, получаем
\М(А, g(x))-M(A, 8к(х))\<г. (11)
Из неравенств (10) и (И) непосредственно следует, чп
S(M(A, £„(*)))< s' + 2e<s.
В силу соотношения (5) функция М(А, gk(x)) принадлежит
семейству А, и, следовательно, мы пришли к противоречию, так
как нижняя грань колебаний всех функций, входящих в А, по
предположению равна s.
Итак, функция g(x) есть константа: g(x) = p.
Так как последовательность (9) равномерно сходится к g(x) = p,
то для всякого положительного г существует такой номер п} что
\ёг{х)—Р|<8- Но gn(x)$A и, следовательно, для всякого
положительного s существует такая конечная система А элементов
яз G, для которой выполнено неравенство (7).
D) По аналогии с А) введем новую функцию, положив
М'(В, /(*)) = £ IM, (12)
где
В = {Ьи ..., Ьп}.
Непосредственно проверяется, что
М(А, М'(В, f(x))) = M'(B, M(A, /(*))). (13)
E) По аналогии с С) введем левое среднее. Действительное
число q будем называть левым средним непрерывной функции
f(x), заданной на G, если оно обладает следующим свойством:
для всякого положительного 8 существует такая конечная
система В элементов группы G, что
\М'(В, f(x))-q\<E. (14)
Покажем, что для каждой непрерывной функции, заданной на G,
существует по крайней мере одно левое среднее. Для этого в
множестве G элементов топологической группы G сохраним
топологию, но введем по-новому операцию перемножения;
получаемую таким образом новую топологическую группу обозначим
через G\ Именно, мы определим произведение axb в группе G',

§25. ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
117
полагая axb = ba, где Ьа есть произведение в группе G.
Нетрудно проверить, что таким способом возникает некоторая
топологическая группа G'. Нетрудно видеть, далее, что правое среднее
для группы G' является левым средним для группы G; но так
как существование правого среднего уже доказано, то мы тем
•самым получаем и существование левого среднего.
F) Для каждой непрерывной функции f(x), заданной на G,
существуют только одно правое среднее и только одно левое
среднее, причем оба эти средние совпадают между собой.
Получаемое таким образом единственное среднее называется средним
•функции f(x) и обозначается через M(f(x)).
Пусть р — некоторое правое среднее функции f(x), a
q—какое-либо левое среднее той же функции. Тогда выполнены
соотношения (7) и (14). Подставляя в соотношение (7) вместо х
элемент Ь;-хг суммируя по / от единицы до п и деля результат на п,
получаем
\М'(В, М(А, f(x)))-p\<*. (15)
Подставляя в соотношение (14) вместо х элемент xah суммируя
по i от единицы до т и деля результат на /п, получаем
\М(А, М'(В, f(x)))-q\<B. (16)
Из неравенств (15) и (16) и соотношения (13) получаем \р—q\ < 2e.
Так как это последнее соотношение справедливо при
произвольном положительном г, то p = q. Таким образом, каждое правое
среднее равно каждому левому среднему и утверждение F) тем
самым доказано.
G) Пусть f(x) и g(x)—две непрерывные функции, заданные
на группе G. Тогда
М (/ (х) + g (х)) = M(f (x)) + M(g (x)) (17)
(см. F)).
Покажем прежде всего, что
M(M(B,f(x))) = M(f(x)). (18)
Пусть
M(f(x)) = p. (19)
Тогда р есть левое среднее для f(x), и для произвольного
положительного 8 существует такая конечная система С элементов
группы G, что
|М'(С, /(*))-/> |< е.
Заменяя в последнем соотношении х через xhj, суммируя по / от
единицы до п и деля результат на я, получаем
\М(В, М'(С, f(x)))-p\<B.

118 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Это последнее неравенство в силу соотношения (13) получает вид.
\М'(С, М(В, f(x)))-p\<s.
Таким образом, р есть левое среднее и для М (5, /(*)), и,
следовательно, соотношение (18) выполнено.
Пусть теперь
M(g(x)) = q. (20>
Тогда q есть правое среднее для g(x) и, следовательно, при
произвольном положительном г существует такая конечная система
В элементов группы G, что
\М(В, g(x))—q\<s.
Из этого неравенства следует
\М(А\ М(ВУ g(x)))-q\<s9
где А'— произвольная конечная система элементов. На основании*
формулы (5) получаем
\М(А'В9 g(x))-q\<e. (21)
В силу соотношений (18) и (19) р есть правое среднее для
М(5, /(*)), т. е. существует такая конечная система А
элементов группы G, что
\М(А, М(В, f(x)))—p\<s,
а это в силу соотношения (5) можно иначе переписать в виде
\М(АВ, f(x))-p\<s. (22)
Соотношения (21) и (22) при А'= А дают
\М(АВ, f(x) + g(x))-(p + q)\<2*.
Таким образом, p + q есть правое среднее для суммы f(x) + g(x)
и тем самым соотношение (17) доказано.
Н) Пусть f(x) — непрерывная функция, заданная на G и а —
произвольный элемент группы G. Тогда
M(f(xa)) = M(f(x)), (23)
M(f(ax)) = M(f(x)). (24)
Заметим прежде всего, что
УИ(Л, f(xa)) = M(Aa, f(x))
(см. (1)). Из этого соотношения непосредственно следует, что
правые средние для функций f(xa) и f(x) совпадают, вследствие
чего равенство (23) оказывается выполненным. Совершенно
аналогично, путем использования левого среднего, доказывается и
соотношение (24).

§25. ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Ц9
1) Пусть f(x)— неотрицательная непрерывная функция,
заданная на G, причем f(x) не равна тождественно нулю. Тогда
АГ (/(*)) >0. (25)
Легко видеть, что существует такая область UczG, что при
jt£ U имеем f(x) > h > 0. Множество всех областей вида /Уог1
покрывает группу G, и в силу теоремы 7 из этого покрытия
можно выбрать конечное, т. е. существует конечная система
элементов А = {аи ..., ат} такая, что система областей f/af1, / =
= 1, ..., m, покрывает G. При всяком х имеем /(х)^0, но,
каков бы ни был х, найдется такой номер k, что х £ Ua^1, т. е.
xak£U и, следовательно, f(xak)>h. Таким образом,
M(A,f(x))>±, т.е. M{f(x)) = M(M(A, f(x)))>±
(см. (1) и (18)).
Доказательство теоремы 20. Определим интеграл
f(x)dx для всякой непрерывной функции, заданной на группе G,
положив
\f(x)dx = M(f{x)) (26)
(см. F)). Таким образом, условие 1) определения 31 выполнено.
Выполнение условий 2), 4) и 5) определения 31 доказывается
весьма просто. Выполнение условий 3), 6), 7) и 8) следует из
доказанных выше предложений G), I) и Н).
Покажем теперь, что если определен каким-либо способом
интеграл \ f(x)dx, удовлетворяющий условиям 1)—5) и 7)
определения 31, то
l*f(x)dx = M(f(x)). (27)
Пусть р—правое среднее функции f(x). Тогда имеем
\М(АУ f(x))-p\<e.
Неравенство это можно интегрировать в силу выполнения для
рассматриваемого интеграла условий 2), 3) и 4) определения 31.
Мы имеем, таким образом, в силу условий 2)—5) и 7)
| 5*М(Л, f(x))dx—p\ = \l*f(x)dx—p\^e. (28)
Так как неравенство (28) справедливо при любом положительном
в, то из него следует соотношение (27).
Таким образом, единственность интеграла, удовлетворяющего
условиям 1)—5) и 7) определения 31, установлена.
Нам осталось еще показать, что выполнено условие 9)
определения 31. Для этого определим на G интеграл \ f(x)dx,

120 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
ПОЛОЖИВ
l*f(x)dx^-M(f(x-1)). (29)
Нетрудно проверить, что для определенного таким образом
интеграла выполнены все условия 1)—5) и 7) определения 31.
Проверим лишь выполнение условия 7). Мы имеем
^*f(xa)dx = M(f(x-^ = M(f((a-1x)-1)) = M(f(x~1))=l*f(x)dx
(см. (24)). В силу доказанной ранее единственности получаем
М (f (х~г)) = М (/(х)), чем доказательство теоремы 20 и
завершается.
В дальнейшем нам придется пользоваться интегрированием
не только по одному переменному, но и по двум. Здесь
необходимо доказать независимость результата от порядка
интегрирования.
J) Пусть G и Я—две компактные топологические группы,
удовлетворяющие второй аксиоме счетности, и f(x, у)—
непрерывная функция двух переменных x(tG и у^Н (см. § 15, G))*
При фиксированном у функция f(x, у) является непрерывной
функцией х, поэтому можно составить и нтеграл ^ / (х, y)dx = g (у)
(см. определение 31 и теорему 20). Тогда g(y) есть непрерывная
функция, заданная на группе Я.
Пусть Р — прямое произведение топологических групп G и Я
(см. определение 28'). Тогда функцию f(xy у) можно трактовать
как непрерывную функцию f(z) одного переменного z = (x> y)^Pr
заданную на Р (см. § 15, G)). Так как группа Р компактна и
удовлетворяет второй аксиоме счетности (см. § 15, Е) и С)), то-
функция f(z), будучи непрерывной, является и равномерно
непрерывной (см. § 24, С)). Таким образом, для заданного
положительного г существует такая окрестность W единицы группы
Ру что при z'r1^ имеем \f{zr) — /(z)|<e. Окрестность W
составлена как множество всех пар (х, у) таких, что x£U, y€.V,
где U и V суть окрестности единиц в группах G и Я (см.
определение 21). Таким образом, если лг'лг1^^/, у'у~г£У> то
[ / (*'» У')—/ (х> У) I < 8- В частности, при у'у'1 € V имеем
l/C*, у')—f(x> у)\<г- Отсюда получаем
\g(y')-g(y)\<$\f(x> y')-f(** У)№<*>
т- е- g(y) есть равномерно непрерывная функция.
Теорема 21. Пусть G u H—две компактные топологические
группы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, и f (x, у) —
непрерывная функция двух переменных x£G и у£Н (см. § 15, G)).
Тогда мы имеем следующее соотношение:
5(J/(*. y)dx)dy=\(\f{xi y)dy)dx=\\f{x, y)dxdy

§25. ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
121
{см. определение 31 и теорему 20). Вторичное интегрирование в
первой и второй частях этого соотношения имеет смысл, так
как функции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны (см. J)).
Последнюю же часть следует рассматривать как определяемую
.этим соотношением.
Доказательство. Пусть Р — прямое произведение групп G
и Н (см. определение 28'). Тогда Р компактно и удовлетворяет
второй аксиоме счетности (см. § 15, Е), С)). Функцию f(x, у)
можно трактовать как непрерывную функцию f(z) одного
переменного z = (я, у)£Р, f(z)=f(x, у) (см. § 15, G)). При
фиксированном у }(х, у) есть непрерывная функция, заданная на G, и
мы можем определить ^ / (х, у) dx. Интеграл этот как функция у
непрерывен на Я (см. J)) и, следовательно, можно определить
j (j f(x> y)dx) dy. Покажем, что полученный таким образом
интеграл совпадает с )f(z) dz. Для этого положим ^ / (z) dz =
= j ( \ f (Х} У^ dx) dy- Нетрудно видеть, что определенный так
интеграл J f(z)dz удовлетворяет всем условиям определения 31.
Проверим лишь выполнение условия 7). Пусть с£Р, причем
с = (а, Ь), где a£G, &€#; тогда
[* f(zc)dz=\ (lf(xa, yb)dx)dy=\(K\f{x, yb)dx)dy =
= $($/(*. y)dx)dy=\*f(z)dz.
Таким образом в силу единственности инвариантного
интегрирования (см. теорему 20) j \)f(x, y)dx) dy=\^f (z)dz.
Точно так же доказывается, что J \)f(x, у)dy) dx = } f (z)dz.
Таким образом, двойной интеграл не зависит от порядка
интегрирования, и теорема 21 доказана.
Если группа Н совпадает с группой G, то функция f(x, у)
есть непрерывная функция двух переменных, заданная на G. Этот
случай является наиболее существенным.
Пример 39. Если группа G конечна, то интеграл заданной
на ней функции определяется просто как среднее арифметическое
значений, принимаемых этой функцией на элементах группы.
Пример 40. Пусть G*—аддитивная топологическая группа
действительных чисел и ср (#*)— непрерывная периодическая
функция с периодом 1, заданная на G*, ф (х* + 1) = ср(л*). Обозначим
через N подгруппу группы G*, составленную из всех целых
чисел. Функция ср (х*) благодаря своей периодичности принимает
одинаковые значения на всех элементах каждого класса
смежности группы G* по подгруппе N. Таким образом, функции <р(г*),
заданной на G*, соответствует непрерывная функция /(х), заданная

122 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
на факторгруппе G*/N = G. И обратно, каждая непрерывная
функция f(x), заданная на G, может быть так получена. Так как
группа G компактна, то на ней существует интеграл ^ f(x)dx,
удовлетворяющий условиям определения 31. Нетрудно видеть, что
1
/ (х) dx — ^ ф (х*) dx*, где в правой части стоит обычный интеграл
о
по действительному переменному.
§ 26. Системы функций и интегральные уравнения на группе
Пользуясь интегрированием по группе (см. предыдущий
параграф), можно установить на ней ряд понятий и соотношений
обычного анализа. Этому и посвящен настоящий параграф.
Через G в дальнейшем будет обозначаться компактная
топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности.
Все рассматриваемые на G функции будут предполагаться
непрерывными. Мы допустим здесь, что рассматриваемые функции
могут принимать не только действительные, но и комплексные
значения. Через х мы будем обозначать величину, комплексно
сопряженную с х.
A) Две функции ф(х) и ty{x), заданные на G, называются
ортогональными, если
[ cp(x)^)(x)dx=0. (1)
Легко видеть, что из соотношения (1) следует также
) 4>(x)ty(x)dx=0.
Таким образом, соотношение ортогональности симметрично.
Множество А функций, заданных на G, называется ортогональной
системой, если каждые две различные функции, принадлежащие
множеству А, ортогональны между собой. Ортогональная система
А называется нормальной, если для всякой функции ф(х)€Д
имеет место соотношение
l<p(x)<p(x)dx=l. (2)
B) Пусть
A = {<Pi(*)> •■•. Ф,-(*). •••} (3>
— некоторая счетная или конечная нормальная ортогональная
система функций, заданных на G. Пусть g(x) — некоторая
функция, заданная на G; положим
hi=$g(x)vi(x)dx. (4)

§26. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
Числа A/t г=: 1, 2, . .., называются коэффициентами Фурье
функции g(x) по системе (3). Для них имеет место следующее
неравенство:
SM, <$£(*)£(*) Же. (5)
i = 1
Для доказательства неравенства (5) составим конечную сумму
п
gn (х) = 2 й/Ф/М и рассмотрим интеграл
i = 1
S fe (*)—г« W) te (*) —en (*)) ^=a.
Так как под знаком интеграла стоит произведение двух комплексно
«сопряженных величин, т. е. величина действительная и
неотрицательная, то a ^ 0. Непосредственное вычисление показывает, что
g(x)g(x)dx—% hihg. (6)
t = i
Но так как a ^ 0, то из (6) непосредственно следует неравенство (5).
С) Ортогональная нормальная система (3) называется полной,
если для всякой функции g(x) вместо неравенства (5) имеет место
равенство
GO
2 htHi=lg{x)g(x)dx. (7)
t = i J
Если рассматриваемая ортогональная система А не является
нормальной, то ее мэжно пронормировать, положив Ф* (*) = тгг Ф/(*) >
где р/=+ у ) ф; (х) ф,- (х) dx. Получаемая таким образом новая
ортогональная система функций ф£(я), 1 = 1, 2, ..., уже
нормирована, и если она полна, то и исходная ортогональная система
А называется полной.
D) Некоторое множество Q функций, заданных на G,
называется равномерно полной системой, если для всякой функции
g(x), заданной на G, и всякого положительного числа 8 найдется
п
такая конечная линейная форма g*(x)= 2 Я/Ф/(*)» где Ф,-(л:)€Я,
t = i
i==l, ..., ft, а коэффициенты az-, t=l, ...,.«, суть постоянные
числа, что | g- (я) —g*(x)\<&.
E) Пусть
A={9iW. «... Ф/(*), •••}
— некоторая ортогональная система функций, заданных на G.
Если система А является равнэмернэ полной (см. D)), то она
есть вместе с тем полная ортогональная система функций (см. С)).

124 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
При доказательстве для простоты предположим, что система Д
нормирована.
Пусть g(x)— некоторая функция, заданная на G. Коэффициенты
Фурье этой функции относительно системы А обозначим через hh
i=\, 2, .. . Пусть, далее, п—некоторое фиксированное
натуральное число и аг, ..., ап—произвольные числа. Положим
п
g*(*) = 2 Я/Ф/М-
Поставим теперь вопрос, при каких значениях чисел а19 ..., ап
достигает минимума выражение
У = S (g (x)-g> (х)) (i (х) -£• (x)) dx.
Непосредственное вычисление дает
_ п __ __ п __
y=\g(x)g (х) dx~ 2 (АА- + hflt) + 2 <*fii-
J i = 1 i - 1
Производя простое алгебраическое преобразование, получаем
_ п _ п _ _
4=[g(x)g (*) dx~ 2 М/ + 2 (^—а() {hi—a,).
Эта формула показывает, что 7 достигает своего минимума у'
при ai = hh i=l, ..., п. При этом
t = i
Заметим теперь, что благодаря равномерной полноте системы
А для всякого положительного г можно подобрать такое
натуральное п и такие числа а19 . . ., апУ что \g(x)—g*(x)\ < г, а это
значит, что при указанном подборе у < г2. Следовательно, и
минимальное значение 7' числа у не превосходит г2, т. е. мы имеем
j g» g (*) ^— .2 M/ <£2-
Из последнего неравенства в соединении с неравенством (5)
следует равенство (7).
F) Если
&={<Pi(x), -.., ф,-(*), •••}
— система ортогональных функций, заданных на G, не
содержащая тождественного нуля, то все ее функции линейно независимы.
Допустим, что существует некоторая линейная зависимость
п
2 ^/Ф/ (х) = 0. Умножая это равенство на ф^ (х) и интегрируя,

§26. СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125>
получаем Ьк j cpft (х) q>k (x)dx = 0. Но так как под знаком интеграла
стоит неотрицательная функция, не обращающаяся тождественно'
в нуль, то интеграл положителен и, следовательно, 6^ = 0 при
всяком значении k.
Теорема 22. Пусть А— некоторая ортогональная система
функций, заданных на компактной топологической группе G,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности. Тогда мощность'
множества А не превосходит счетной.
Доказательство. Выкинем из системы А функцию,
тождественно равную нулю, если таковая в ней имеется, а остальные
функции пронормируем. Полученную таким образом нормальную
ортогональную систему обозначим через Q и докажем, что
мощность ее не превосходит счетной.
Пусть 2 — некоторый счетный базис топологического
пространства G. Назовем отмеченной всякую пару областей ([/, V),
взятых из 2, если VczU. Множество всех отмеченных пар областей
счетно и потому их можно занумеровать. Пусть (Un, Vn)y
n=l, 2, ...,—множество всех отмеченных пар. В силу леммы
Урысона (см. § 14) на G существует непрерывная функция gn(x),
обладающая следующими свойствами: 0 ^ gn (л:)<1, gn (x) = 0 при
x€G—Un, gn(x)=l при x$Vn.
Покажем, что для каждой функции ср (х) £ Q имеется такой
номер т, что ^ gm (х) ф (х) dx Ф 0. Действительно, так как ф (х)>
непрерывна и не равна тождественно нулю, то существует такая
область W, на которой действительная или мнимая часть
функции (р(х) сохраняет знак. Пусть теперь т—такой номер, что
Umc:W. Легко видеть, что тогда ) gm(x)<p(x)dx=£0 (см.
определение 31, 6)).
Обозначим теперь через Q^ множество всех таких функций
•ф(л) системы Q, что
| jg»(*)*Md*|>-p
где &—натуральное число. Так как в каждой конечной подсистеме-
системы QJ*} применимо неравенство (5), то число функций системы
Q{f} не превосходит числа k2 j gn (x)gn(x) dx. Таким образом,
множество Q}f) конечно. С другой стороны, для каждой функции
Ф (х) £ Q существует по доказанному выше такой номер т> что-
8т (х) Ф (х) dxz£0, а следовательно, существует столь большое
число k, что ф (х) 6 Qj£\ Таким образом, Q есть счетная сумма
конечных множеств Q<f\ k= 1, 2, .. ., п= 1, 2, ..., и теорема 22
доказана.
В теории линейных представлений компактных топологических
групп основную роль играет рассмотрение некоторого интеграль-

126 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
лого уравнения на группе. Поэтому здесь уместно напомнить те
результаты теории интегральных уравнений, которые будут нужны
в дальнейшем.
G) Пусть k(x, у)—действительная непрерывная функция двух
переменных, заданная на G (см. § 15, G)), удовлетворяющая
условию симметрии
k(x, y) = k(y, х). (8)
Рассмотрим интегральное уравнение
q>{x) = 'k[k{x, y)q>{y)dy, (9)
где X—некоторый действительный параметр, а ц>(х)— искомая
непрерывная действительная функция. Те значения параметра X,
для которых существуют отличные от тождественного нуля
решения уравнения (9), называются собственными значениями этого
уравнения, а соответственные решения—собственными функциями,
принадлежащими данному собственному значению.
Н) Пусть X'— некоторое собственное значение уравнения (9)
и А—совокупность всех собственных функций, принадлежащих
этому собственному значению. Тогда А есть линейная система
функций, т.е. наряду со всякими двумя функциями ср(х) и г|)(*)>
входящими в А, в А входят и функции ау(х) +bty(x), где а и & —
произвольные действительные числа. Далее, в А существует
конечный ортогональный базис, т. е. такая конечная ортогональная
нормальная система функций
<Pi(*). •••> Ф„М. ••-. (Ю)
что всякая другая функция из А линейно выражается через
функции системы (10).
Тот факт, что система А линейна, проверяется непосредственно.
Покажем, что число линейно независимых функций системы А
не может превосходить некоторого целого фиксированного числа,
зависящего от ядра k(x, у) и собственного значения X'. Пусть
тр((х)9 i=*l, ..., /л, (11)
— некоторая система линейно независимых функций из А. Без
ограничения общности можно предположить, что система (И)
ортогональна и нормальна, так как в противном случае с помощью
линейного преобразования ее можно было бы заменить такой
•системой, не меняя числа входящих в нее функций. Положим
т
k* (х, у) = X -j(T Ф/ (*) Ь (У)
1=1
.и рассмотрим
6=5S(ft(*f y)—k*(x, y)fdxdy

§27. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ 127"
(см. теорему 21). Мы имеем 6^0. Непосредственное вычисление
показывает, что
а отсюда мы заключаем, что
m<V2$ \(k(x, y))2dxdy.
Таким образом, в А существует конечная максимальная система
линейно независимых функций, а из нее путем линейного
преобразования можно получить ортогональную нормальную систему,
удовлетворяющую условиям предложения Н).
Следующий важный факт из теории интегральных уравнений,
мы приводим здесь, без доказательства.
1) Пусть g (х) = ^ k (х, у) f (у) йу, тогда функцию g (х) можно-
представить в виде равномерно сходящегося ряда функций
g(*) = <Pi(*)+ ••■ +Ф«(*)+ •• .
где Фи (*)» я = 1» 2, ..., суть собственные функции уравнения (9)х).
Пример 41. Пусть G={al9 ...,an} — конечная группа.
Определим на ней функцию Ф/(х), положив <р£(а;)=пЬц9 где
6|7= 1, а при 1Ф\ б£у = 0. Нетрудно проверить, что система <p,(#),.
г=1, . ..,я, есть полная нормальная ортогональная система
функций на группе G.
Пример 42. Пусть G*—аддитивная топологическая группа
действительных чисел, N— подгруппа всех целых чисел, a G =
= G*/N—факторгруппа. В примере 40 уже было отмечено, что
всякую функцию ф(дс), заданную на G, можно трактовать как
периодическую функцию действительного переменного с периодом
1, и обратно. Пусть <pn(x) = e2ninx—функция действительного
переменного х, где е есть основание натуральных логарифмов, i =
=V—1, а п—целое. Функция ц>п(х) имеет период 1, и,
следовательно, ее можно рассматривать как заданную на G.
Непосредственно устанавливается, что система ф„(д:), л = 0, ±1, ±2, ...,
есть нормальная ортогональная система функций, заданных на G.
Полнота этой системы следует из известной теоремы анализа.
Здесь она будет доказана позже (см. пример 47).
§ 27. Предварительные сведения о матрицах
Здесь я напомню ряд элементарных предложений из теории
матриц и изложу сверх того доказательство леммы Шура, которая
играет весьма важную роль в теории линейных представлений.
г) Доказательство этого предложения см. в книге Ловитт, Линейные-
интегральные уравнения, с. 136, Следствие II.

128 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
A) Пусть R— r-мерное векторное пространство и /—его
линейное преобразование. Требование линейности преобразования /
выражается в форме
f(ouc+fty) = *f(x) + M(y), (1)
где х и у суть два вектора пространства R, а а и
р—действительные или комплексные числа, смотря по тому, рассматривается
ли действительное или комплексное векторное пространство R.
Выберем в R некоторые координаты и обозначим через х19 ...
..., хг координаты вектора х, а через /х(л:), ..., fr(x) —
координаты вектора f(x). Тогда имеют место соотношения
fi{x)=^dijXj, (2)
где коэффициенты di} не зависят от выбранного вектора х, а
определяются преобразованием /. Таким образом, при фиксированных
координатах пространства R имеется взаимно однозначное
соответствие между линейными преобразованиями этого пространства
и квадратными матрицами порядка г:
f-+\du\ = d. (3)
Если преобразование / — невырождающееся, то детерминант
матрицы \\dif-\ не равен нулю, и обратно. Произведению двух
преобразований соответствует произведение соответственных матриц
(см. пример 2), и преобразованию /-1, обратному к /,
соответствует матрица, обратная к матрице ||d//||. Преобразование /
допускает обратное тогда и только тогда, когда детерминант
соответственной матрицы ||d,y|| не равен нулю.
Совокупность всех линейных преобразований или матриц с
детерминантами, отличными от нуля, образует группу по умножению.
Группа эта естественным образом становится топологической, если
за произвольную окрестность в ней принять совокупность всех
таких матриц ||%||, что \хи—а,у|<г, где ||а,7|| есть матрица
с рациональными элементами, а г—рациональное положительное
число. Таким образом, топологическая группа матриц
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
B) Заменим координаты в R некоторыми другими и
предположим, что новые и старые координаты одного и того же вектора
связаны соотношениями
г
*i= 2 *i/*/. (4)
где матрица |£zy||=£ имеет не обращающийся в нуль детерминант.
При этих новых координатах преобразованию / будет
соответствовать некоторая новая матрица ||d-/|| = d', причем
d' = tdt-\ (5)

§27. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ 129
Говорят, что матрица d переходит в матрицу d' с помощью
трансформации матрицей t. Таким образом, инвариантными свойствами
преобразования / являются те и только те, которые принадлежат
одновременно всем матрицам, связанным соотношением (5).
Примером такого свойства является след s(d) матрицы d,
s(d) = iidw (6)
ибо s(d')=s(d). Таким образом, можно говорить о следе
преобразования /, s(f) = s(d). Если а и Ь суть две матрицы, то след их
произведения не зависит от порядка сомножителей:
s(ab) = s(ba). (7)
С) Пусть линейное преобразование / пространства R оставляет
инвариантным некоторое векторное подпространство S
размерности s, f(S)aS, причем 0 < s < г. Выберем координаты в
пространстве R таким образом, чтобы первые s осей лежали в
подпространстве S. Тогда матрица d, соответствующая преобразованию /,
получает вид
где а и с символически обозначают некоторые квадратные
матрицы, соответственно порядков s и г—s, Ь—некоторую
прямоугольную матрицу, а 0—прямоугольную матрицу, составленную из
нулей. Пусть d*—матрица, полученная транспонированием из
матрицы d (см. пример 4), тогда преобразование /*,
соответствующее матрице d*y оставляет инвариантным подпространство,
порожденное г — s последними координатными осями, и
размерность г—s этого подпространства также отлична от нуля и г.
Не следует думать, что преобразования / и /• связаны между
собой инвариантно, связь их случайна, она зависит от выбора
координат.
D) Пусть А—некоторое множество линейных преобразований
г-мерного векторного пространства R. Множество А называется
приводимым, если существует подпространство S пространства R
размерности s, 0 < s < г, остающееся инвариантным при всех
преобразованиях множества Д. Если условие приводимости не
выполнено, то множество А называется неприводимым. Обозначим
через 2 множество всех матриц, соответствующих преобразованиям
множества А при некоторых определенных координатах.
Множество 2 матриц называется приводимым или неприводимым,
смотря по тому, будет ли приводимым или неприводимым
множество преобразований А.
Покажем, что если множество 2 матриц приводимо, то и
множество 2* транспонированных матриц также приводимо.

130 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Согласно замечанию С) существует такая постоянная матрица t,
что все матрицы t^Zt"1 имеют специальный вид (8), т.е. если
#£2, т0 txt~x = x' имеет вид (8). Матрица х'* ввиду замечания
С) оставляет инвариантным некоторое подпространство S'
пространства R. Протранспонируем соотношение txt~1 = x' и разрешим
его относительно х*. Мы получаем ^~гхН* = х'*, x*=t*x'*t*~~1.
Так как матрица х'* оставляет инвариантным подпространство S',
то матрица х* также оставляет инвариантным некоторое
подпространство S", и, следовательно, семейство 2* матриц х* приводимо.
Докажем теперь следующее важное предложение,
принадлежащее И. Шуру.
Лемма Шура. Пусть 2—некоторое неприводимое множество
квадратных матриц порядка т, Q—некоторое также
неприводимое множество квадратных матриц порядка п и
а—прямоугольная матрица, число строк которой равно т, а число столбцов
равно п. Допустим, что имеет место соотношение
2a = aQ, (9)
т.е. для всякой матрицы и £2 найдется такая матрица ugQ,
что
ua = av, (10)
и обратно, для всякой матрицы v' £ Q найдется такая матрица
a'g2, что
u'a = av'.
При этих условиях возможны лишь два различных случая: либо
все элементы матрицы а равны нулю, либо т = п, и квадратная
матрица а имеет детерминант, отличный от нуля.
Доказательство. Пусть R— векторное пространство
размерности т, взятое в определенных координатах. Тогда матрицы
множества 2 могут быть истолкованы как линейные преобразования
пространства R. Пусть, далее, a = [|a/;||, и обозначим через ak вектор
пространства R с координатами alk, ..., amk. Таким образом,
координаты вектора ak суть элементы k-vo столбца матрицы а.
Обозначим через S линейное подпространство пространства R,
порожденное векторами alt ..., ап, и покажем, что
подпространство S остается инвариантным при всех преобразованиях
множества 2.
Пусть и = ||м£у||—некоторая матрица множества 2 и и = |и/7|| —
такая матрица множества Q, что ua = av. Применяя
преобразование и к вектору а;?, мы получим некоторый вектор bk с коорди-
т
натами bik = 2 uijajk> *=1> ■••> tn. Определяя соответственный
п
член правой части равенства ua = av, мы получаем bik= 2 anvjk>
t = l, ..., т. Таким образом, координаты вектора bk линейно

§27. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ 131
выражаются через координаты векторов аг, ..., ап, а это и
значит, что bk£S. Следовательно, все преобразования множества 2
оставляют инвариантным пространство S.
Так как множество 2 неприводимо, то размерность
пространства S должна быть равна нулю или т. В первом случае все
векторы aky порождающие пространство S, обращаются в нуль,
т. е. все элементы матрицы а равны нулю. Во втором случае
среди векторов системы аг, ..., ап имеется ровно т линейно
независимых, а это значит, что среди столбцов матрицы а имеется
т линейно независимых. Из этого уже следует, что
п^т. (11)
Обозначим теперь через 2* множество матриц, получаемых
транспонированием из матриц множества 2, и через Q* —
аналогичное множество матриц, получаемое из Q. Согласно замечанию
D), множества 2* и Q* неприводимы. Через а* обозначим
матрицу, получаемую транспонированием из матрицы а. Транспонируя
соотношение (9), получаем Q*a* = a*2*. Применяя к этому
соотношению те же рассуждения, что и к соотношению (9), мы
убедимся в том, что имеются две возможности: либо все элементы
матрицы а* равны нулю, либо в матрице а* существует п
линейно независимых столбцов. Первое предположение уже было
разобрано. Во втором же случае в матрице а имеется п линейно
независимых строк, т. е. п <: т. Последнее в соединении с ранее
полученным неравенством (11) означает, что матрица а квадратная
и детерминант ее не равен нулю. Таким образом лемма Шура
доказана.
В качестве непосредственного следствия леммы Шура докажем
следующее предложение:
E) Пусть Q—некоторое неприводимое множество квадратных
матриц порядка г и Ь—некоторая квадратная матрица также
порядка г у перестановочная со всеми матрицами множества й.
Тогда матрица Ь имеет вид Ре, где р—некоторое комплексное
число, а е—единичная матрица.
Для доказательства введем в рассмотрение матрицу а = Ь—Ре,
где р—комплексное число, выбранное так, что детерминант
матрицы а равен нулю. Так как матрица Ь перестановочна со всеми
матрицами множества Q, то и матрица а обладает тем же
свойством. Мы имеем, таким образом, соотношение Qa = aQ. На
основании леммы заключаем из этого соотношения, что все элементы
матрицы а равны нулю, ибо детерминант матрицы а равен нулю
по условию. Таким образом, Ъ=- |3е.
F) Пусть Q—неприводимая система матриц, всякие две
матрицы которой перестановочны между собой. Тогда матрицы
множества Q все первого порядка.
На основании предложения Е) мы заключаем, что все матрицы
множества Q имеют вид Ре, где Р—число, а е—единичная матрица.

132 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Но множество матриц такого вида может быть неприводимым
лишь тогда, когда все матрицы имеют порядок 1.
Остановимся теперь несколько на свойствах специальных,
именно, унитарных матриц.
G) Пусть R—комплексное векторное пространство размерности
г и х—некоторый вектор с координатами х1У ..., хг.
Рассмотрим эрмитову форму
г
ф(*)= 2 */*/■ (12)
t=i
Пусть d = \\d£j\\—некоторая матрица и /—соответствующее ей
преобразование пространства R. Матрица d называется унитарной,
если преобразование / сохраняет инвариантной эрмитову форму
(12), т.е. ф(/(х)) = ф(х) при всяком векторе х. Непосредственные
вычисления показывают, что для того чтобы матрица d была
унитарной, необходимо и достаточно, чтобы имели место
следующие соотношения:
г
2 <М* = fy* («*/=!. 6//=0 при 1ф})ш (13)
Обозначим через d* матрицу, получаемую из d транспонированием.
Тогда соотношение (13) можно записать в форме
d*d = e, (14)
где е—единичная матрица. Таким образом, матрица d унитарна
тогда и только тогда, когда
d~1 = d\ (15)
Это последнее соотношение можно записать в форме
dd* = e, (16)
или, иначе,
i;^=8/ft. (i7)
Соотношения (13) — (17) все эквивалентны между собой и означают
унитарность матрицы d. Если матрица d действительная, то
унитарность ее означает ортогональность (см. пример 4). Отметим,
что унитарная матрица сохраняет инвариантной не только эрми-
г
тову форму (12), но и билинейную форму -ф(х, у)= 2 xi\)v гДе У
есть вектор с координатами у19 ..., уг. Именно, мы имеем
^(/W» f(y)) = ty(x> У)- Если билинейная форма я]з(л:, у) двух
векторов обращается в нуль, то эти векторы называются
ортогональными. Если преобразование / унитарно, то из
ортогональности векторов хи у следует ортогональность векторов f(x) и f(y).

§ 27. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТРИЦАХ
133
Н) Пусть R— комплексное векторное пространство размерности
г и х—вектор с координатами х19 ..., хг. Рассмотрим эрмитову
форму
г г
ф'(*)= 2 2 я//*/*/. (18)
где коэффициенты a{j удовлетворяют соотношениям симметрии
аи = а.{. (19)
Форма (18) принимает лишь действительные значения.
Предположим, что она положительно определенная, т. е. всегда
положительна, если хфО. Пусть f—некоторое преобразование
пространства R, оставляющее инвариантной эрмитову форму (18), т.е.
ф' (/(*))="ф' (*)• Через d' = |djy|| обозначим соответственную
матрицу, /—>d\ Как известно, преобразованием координат
пространства R положительно определенную эрмитову форму (18) можно
привести к виду (12). В этих новых координатах преобразованию
/ будет соответствовать некоторая матрица d = ||d/y-||. Таким
образом, d = t~xd't, причем d есть уже унитарная матрица.
I) Пусть R — комплексное векторное пространство размерности
г и /—некоторое его унитарное преобразование с матрицей d =
= [|d/;.||. Допустим, что преобразование / оставляет
инвариантным некоторое подпространство S размерности s, 0 < s < г.
Обозначим через S' подпространство, составленное из всех
векторов, ортогональных к каждому вектору пространства S. Тогда
размерность пространства S' равна г—s. Выберем унитарные
координаты в пространстве R таким образом, чтобы первые s осей
лежали в подпространстве S, а остальные—в S'. В этих новых
координатах преобразованию / соответствует матрица d', имеющая
специальный вид:
и II а 01
d=\ob\
при этом df = tdt~1, где t — унитарная матрица; а и Ь—также
унитарные матрицы.
J) Из самого определения унитарной матрицы следует, что
произведение двух унитарных матриц есть матрица также
унитарная и матрица, обратная к унитарной, унитарна. Таким образом,
множество всех унитарных матриц порядка г образует группу G
по умножению. Группа эта как подгруппа топологической
группы всех матриц с детерминантом, отличным от нуля, является
топологической (см. А)). Так как все элементы унитарной матрицы
в силу соотношения (13) по модулю не превосходят единицы, то
группа G компактна. Нетрудно показать, что G удовлетворяет
второй аксиоме счетности (см. А) и § 12, В)). Множество всех
ортогональных матриц порядка г составляет подгруппу группы G.

134 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
§ 28. Соотношения ортогональности
Так же как и в § 26, через G здесь будет обозначаться
компактная топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме
счетности. Далее, через х будем обозначать величину, комплексно
сопряженную с х.
Определение 32. Гомоморфное отображение g топологической
группы G в топологическую группу матриц (см. § 27, А))
называется линейным представлением топологической группы G. Таким
образом каждому элементу x£G соответствует матрица g(x),
элементы которой мы будем обозначать через gtj (x), g (х) = \\gtj (x) ||.
Порядок матриц g(x) называется степенью представления g.
Два линейных представления g и h группы G одинаковой
степени называются эквивалентными, если существует такая
постоянная (не зависящая от х) матрица t, что
h(x) = t-*g(x)t (1)
при всяком х g G.
Если g есть линейное представление топологической группы G,
g(x) = lgij(x)l, то функции gij{x) непрерывны, ибо речь идет
здесь о гомоморфном отображении топологической группы в
топологическую, т. е. о непрерывном отображении. Обратно, если
имеется гомоморфное отображение g абстрактной группы G
в абстрактную группу матриц, g(x)=\gij(x)\, и функции gi/(x)
непрерывны на топологической группе G, то g есть гомоморфное
отображение топологической группы G в топологическую группу
матриц, т. е. g есть линейное представление топологической
группы G.
Теорема 23. Если g есть некоторое линейное представление
компактной группы G, то существует эквивалентное ему пред-
ставление g', все матрицы которого унитарны (см. § 27, G)).
Таким образом для всякого линейного представления существует
эквивалентное ему унитарное.
Доказательство. Пусть г—степень представления g.
Обозначим через R r-мерное комплексное векторное пространство,
взятое в определенных координатах. Положим
ф(")=2«||и/1 (2)
где и — вектор пространства R с координатами и19 . .., иг. Каждой
матрице g{x) соответствует некоторое линейное преобразование
пространства R\ преобразование это мы обозначим через gx.
Подставим в эрмитову форму (2) вместо вектора и вектор gx(u).
Мы получим
г
Ф (£*("))= 2 £//(*)£/*(*)"/"*• (3)
(£,/,*) = !

§28. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
135
Получаемая таким образом новая эрмитова форма, как легко
видеть, удовлетворяет условию симметрии (19) § 27 и является
положительно определенной (см. § 27, Н)). Составим теперь новую
эрмитову форму:
<P'(u) = l<P(gx(u))dx- (4)
ф'(а)—также положительно определенная форма. Покажем, что
форма эта инвариантна при замене вектора и вектором gy (и).
Для этого в равенстве (4) заменим вектор и вектором gy{u)>
заметив предварительно, что gx{gy(u)) = gxy(u), ибо g есть
гомоморфное отображение. В силу инвариантности интегрирования (см.
определение 31,7)) мы получаем
ф' (ёу (")) = S Ф (ёху (и)) dx=\<p (gx (и)) dx=<p'(u).
Как уже отмечалось (см. § 27, Н)), преобразованием координат
в R форму ф'(а) можно привести к виду (12) § 27. В этих новых
координатах каждому преобразованию gx будет соответствовать
матрица g' (х) = \\ g'tI (х) [|, причем gf (x) = t~lg(x)t9 где /—матрица
преобразования координат. Все матрицы g'(х) уже унитарны,
и, таким образом, теорема доказана.
Определение 33. Характером % (х) линейного представления g
группы G называется след матрицы g(x) (см. § 27, В)). Таким
образом, характер представления есть числовая функция, заданная
на группе G, именно, %(x) = s(g(x)). Очевидно, что два
эквивалентных представления имеют равные характеры, ибо следы
матриц g(x) и t"1g(x)t равны. Характер представления обладает
свойством инвариантности, именно:
%(а-1ха) = %{х), (5)
где а—произвольный элемент из G. Действительно,
%(a-1xa) = s{g(a-1xa)) = s((g(a))-1g(x)g(a)) = s(g(x)) = %(x).
А) Пусть g—некоторое приводимое представление группы G.
В силу теоремы 23 и замечания I) § 27 мы можем утверждать,
что существует такая матрица t, что матрицы h (x) = t~xg (x) t имеют
специальный вид
где g' (x) и g" {x) суть унитарные матрицы. Мы скажем, что
представление g распалось в два представления g' и g". Если
представления g' и g" опять приводимы, то их можно подвергнуть
дальнейшему расщеплению. Таким образом, всякое представление g
распадается в конечную систему неприводимых представлений
gl9 ...,gn- Если обозначить через %(х) характер
представления g и через %i(x) — характер представления gh то имеет место

136 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
очевидное равенство
x(*) = Xi(*) + ■ •• + х»(*)-
Теорема 24. Пусть g и h—два различных унитарных
неприводимых неэквивалентных представления группы G, g(x) = \gu{x)\,
h (x) = || hy (х) ||. Через % (х) и %' (х) обозначим характеры
представлений g и h. Тогда имеют место следующие соотношения
ортогональности:
lgi/(x)hkl(x)dx = 09 (6)
SxWx/W^=o. (7)
Доказательство. Пусть т—степень представления g
и п—степень представления h. Обозначим через Ь произвольную
постоянную матрицу, число строк которой равно т, а число
столбцов равно п. Положим a(x) = g(x)bh(x~~1). Пусть, далее, а =
= \а(х) dx. Нетрудно видеть, что g(у) ah (у"1) = а. Действительно,
g(y)ah(y-1)=\g(y)g(x)bh(x-1)h(y^1)dx^lg(yx)bh((yx)-1)dx==a
(см. определение 31,8)). Мы имеем, таким образом, g(x) a = ah (x).
В силу леммы Шура (см. § 27) возможны два случая. Если
предположить, что т = п и детерминант матрицы а не равен нулю,
то получаем h(x) = a~1g(x)a, т. е. представления g и h
эквивалентны, что противоречит предположению. Таким образом,
матрица а составлена из нулей и мы имеем
) g (x) bh (х~г) dx = a = 0.
Выберем матрицу b специальным образом, именно, предположим,
что ее элемент, стоящий в /-й строке и 1-м столбце, есть единица,
а все остальные элементы—нули. Тогда, принимая во внимание
соотношение (15) § 27, получаем
\gi/(x)hkl(x)dx = 0.
Соотношение (7) для характеров %(х) и %' (х) следует
непосредственно из (6), так как % (х) и %' (х) выражаются соответственно
через gu{x) и hjj(x).
Теорема 25. Пусть g—некоторое унитарное неприводимое
представление группы G, степени г, g (х) = || g;j (x) |.
Обозначим через %(х) характер представления g:
*(*)== 2 £«(*)■ (8)
Тогда имеют место следующие соотношения ортогональности:
§gi/(x)gij(x)dx = ±r; (9)

§28. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ 137
далее, если [фк или \Ф1, то
Sffiy(*)£«(*)d*=o. (Ю)
Наконец,
JxMx (*)<** =1. (П)
Доказательство. Обозначим через Ь = \Ьи\ квадратную
постоянную матрицу порядка л Положим a(x) = g(x)bg(x~1)> a =
= \ а (х) dx. Нетрудно видеть, что матрица а обладает следующим
свойством инвариантности:
g(y)ag(y^) = a. (12)
Действительно,
g(y)<*g(y~1)=\g(y)g(x)bg(x-1)g(y-l)dx =
= lg(yx)bg{(yx)-1)dx = a
(см. определение 31, 8)). Из соотношения (12) следует, 4Tog(x)a~
-=ag{x) при произвольном х. Отсюда на основании замечания Е)
§ 27 мы заключаем, что матрица а имеет вид ае\ где
е'—единичная матрица, а а—комплексное число, зависящее от матрицы Ь.
Таким образом,
lg(x)bg(x~1)dx = ae'. (13)
Определим число а. Для этого возьмем след от обеих частей
соотношения (13). Мы имеем
s(lg(x)bg(x'1)dx) = \s(g(x)bg(x'1))dx=\ %bjjdx = s(b)
(см. § 27, В)). Но след правой части соотношения (13) равен ал
Таким образом, a = — s(b).
Выберем теперь матрицу b специальным образом. Именно,
предположим, что только ее элемент, стоящий в /-й строке и 1-м столбце,
отличен от нуля, именно, равен единице. Тогда s (b) = 6^.
Принимая во внимание формулу (15) § 27, мы при условиях получаем
из соотношения (13)
I gij (x) Ън (х) dx = ± 8ik8fl. (14)
Но последнее соотношение эквивалентно соотношениям (9) и (10).
Из него же вытекает и соотношение (И). Таким образом, теорема
доказана.
Остановимся теперь более подробно на характерах
представлений.

138 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
В) Обозначим через А множество характеров всех
неэквивалентных между собой неприводимых представлений группы G. Из
соотношений (7) и (11) следует, что А есть нормальная
ортогональная система функций, заданных на G. Таким образом, А
содержит не более счетного числа функций (см. теорему 22), и мы
можем положить
A={Xi(*). •■■> ЭС»(*). ■•.}■
Пусть теперь g—произвольное представление группы G и % (х)—
ее характер. Согласно замечанию А) представление g распадается
в систему неприводимых представлений, и мы имеем
п
%(х) = 2го/Х«(*). (15)
где /л,- есть целое неотрицательное число, обозначающее кратность,
с какой неприводимое представление gh обладающее характером
%i(x), входит в представление g. Умножая соотношение (15) на
%k (x) и интегрируя, получаем
Щ = 1%(х)Хк(х)<Ьс-
Таким образом, число тк является коэффициентом Фурье
функции %(х) по системе А. Это значит, что числа mk определены
однозначно функцией х(х). Таким образом, характер %(х)
представления g определяет его однозначно с точностью до
эквивалентности.
Умножим соотношение (15) на сопряженное ему и
проинтегрируем, тогда мы получим
%rt=l%(x)%(x)dx. (16)
Последнее соотношение дает нам критерий неприводимости
представления g", именно, представление g неприводимо тогда и только
тогда, когда характер его %(х) удовлетворяет условию
\%(x)x(x)dx=L (17)
Если представление g приводимо, то
l%(x)%(x)dx> 1.
Теорема 26. Если группа G коммутативна, то все ее
неприводимые представления имеют степень 1. В этом случае
неприводимое представление g совпадает с его характером %(х), g(x) =
= IIX (х) It ибо матрица g (x) при этих условиях есть просто
число.
Доказательство непосредственно следует из замечания F) § 27.

§29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 139
Пример 43. Пусть G и Н—две компактные топологические
группы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности. Обозначим
через F их прямое произведение. Каждый элемент z £ F
представляет собой пару (х, у), гдеx£G, у£Н. Пустьg—некоторое
неприводимое представление группы G степени т и h—неприводимое
представление группы Н степени л, g (х) = || g£J (x) ||, h (у) = \\ hkl (у) ||.
Исходя из представлений g и h групп G и Я, построим
некоторое представление / группы F, также неприводимое. Для этого
введем в рассмотрение парный индекс (/, &), где первый элемент
пары принимает значения 1, ..., /п, а второй—значения 1, ..., п.
Можно, конечно, занумеровать все пары (i, k) числами 1, ..., тп,
однако этим мы явно пользоваться не будем. Введем теперь в
рассмотрение новую квадратную матрицу / (z) = || /(/i k) {/чП (z) ||
порядка mn, положив fu,k)(j\i)(z) = gi/(x)hki(y)> где'* = (л;, у).
Нетрудно проверить, что матрица /(z) дает нам представление
группы F. Покажем, что представление это неприводимо. Для этого
вычислим характер %(z) представления /, обозначив через %'(х)
и %" (у) характеры представлений g и h. Непосредственные
вычисления показывают, что %{*) = %' (х) %"(у), где z = (x, у). Применим
.к характеру %(z) критерий неприводимости (17). Мы имеем
lx(z)x(z)dz = ^x,(x)xv(y)?(x)x№(y)dxdy=l
(см. доказательство теоремы 21). Таким образом, представление /
неприводимо. В следующем параграфе будет показано, что все
неприводимые представления группы F могут быть получены
подобной конструкцией, конечно, с точностью до эквивалентности (см.
пример 45).
Пример 44. Пусть G—топологическая группа, рассмотренная
в примерах 40 и 42, а уп(х), п = 0, ±1, ±2, ...—система
функций, определенная на ней в примере 42, ф„ (х) = ет1пх. Рассмотрим
матрицу первого порядка gn (*) = (<ря (х)\. gn есть линейное
представление группы G первой степени; более того, представление^
является унитарным. Характером представления gn служит
функция ф„ (х). Так как функция ц>п(х), п = 0, ±1, ±2, ..., образуют
полную ортогональную систему на G, то никаких других линейных
неприводимых представлений группы G кроме построенных
представлений gn не существует, ибо в противном случае полную
систему ортогональных функций можно было бы пополнить еще одной
функцией, ортогональной ко всем прежним, что невозможно.
§ 29. Полнота системы неприводимых представлений
В настоящем параграфе будет дано изложение результатов
Петера и Вейля о полноте системы функций, возникающих из
неприводимых представлений. Приводимое здесь доказательство
(см. [29]) отличается от первоначального тем, что при доказатель-

140 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
стве полноты системы не используется ее ортогональность, чем
достигается большое упрощение.
Здесь, так же как и в предыдущем параграфе, через G
обозначается компактная топологическая группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности. Все рассматриваемые функции непрерывны.
Теорема 27. Из каждого класса неприводимых эквивалентных
между собой представлений группы G выберем по одному
унитарному представителю. Согласно замечанию В) § 28 таких пред-
ставителей будет лишь счетное число, поэтому занумеруем их,
обозначив через
g{1\ .... g{n\ .-., (1)
ёш(х) = \ШЧх)1
Обозначим через А совокупность всех функций gffi (x), возникающих
из представлений системы (1). Тогда система А является равно-
мерно полной системой функций на G (см. § 26, D)), и,
следовательно, в силу соотношений (6), (9) и (10) теорем 24 и 25
система А является полной ортогональной системой функций на G
(см. § 26, Е)).
Доказательство. Пусть k(z)—действительная
непрерывная функция, заданная на G, удовлетворяющая условию симметрии
k(z-*-) = k(z). (2)
Рассмотрим интегральное уравнение
y(x) = X^k(x-1y)y(y)dy. (3)
Из соотношения (2) вытекает, что ядро уравнения (3) симметрично:
k(x"1y) = k{y'1x).
Обозначим через А' совокупность всех собственных функций всех
уравнений вида (3) (см. § 26, G)) и докажем, что система
функций А' является равномерно полной системой на G.
Пусть f(x) — произвольная непрерывная функция, заданная
на G. Функция f(x), будучи непрерывной, является равномерно
непрерывной (см. § 24, С)), т. е. для всякого положительного s
существует такая окрестность U единицы е группы G, что при
x~1y(~U имеем
\f(x)-f(y)\<h (4)
причем U'1 = U. Пусть V—такая окрестность единицы е, чтоУ cz U.
Согласно лемме Урысона (см. § 14) существует такая непрерывная
функция q(z), что 0<</(z)^l при всяком 2 gG, q(z)=^0 при
z£G — U и q(z)=l при z£V. Положим k' (z) = a (q (z) + <7(z-1)),
где а—действительное положительное число, выбранное так, что
k' (z) dz = 1. Функция k' (z) отлична от нуля лишь при z£U

§29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 141
и удовлетворяет условию симметрии (2). Положим
f'(x)=\k'(x-*y)f(y)dy.
Благодаря специальному выбору функции ft' (z) и неравенству (4)
мы имеем
i/(*)-п*) к !• (5)
Действительно,
|П*)-/(*)| = |$*'(^
Согласно замечанию I) § 26 функцию /' (х) можно разложить
в равномерно сходящийся ряд
П^ = Ф1(*)+---+ФИ (*)+■•-.
где функции фДх), i= 1, 2, ..., суть собственные функции
уравнения
Ф (*) = X J ft' (х^у) ф (у) dy. (6)
Существует, таким образом, столь большое число я, что функция
/"(*)= 2 ф,(*) (7)
1=1
удовлетворяет неравенству
1П*)-П*)1<1- (8)
Соединяя неравенства (5) и (8), получаем
|/(а:)—/"(лг)|<е. (9)
Так как уравнение (6) имеет вид (3), то все функции Ф/(*), i =
= 1, ..., п, принадлежат системе А'. Но г произвольно мало,
поэтому из (9) и (7) следует равномерная полнота системы А'.
Обозначим теперь через А" множество всех функций g£/{x)9
возникающих при всевозможных представлениях g", g (x) = \\g{/ (х) ||,
группы G и покажем, что система функций А" является равномерно
полной на G.
Для доказательства этого утверждения достаточно показать,
что всякая функция системы А' выражается в виде конечной
линейной формы относительно функций системы А" с постоянными
коэффициентами, ибо равномерная полнота системы А' уже
доказана.
Пусть ф' (х) — некоторая функция системы А', т. е.
удовлетворяет уравнению (3) при некотором выборе ядра ft (z). Пусть А/—
то собственное значение параметра Я, которому принадлежит

142 ТЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
собственная функция ф' (х). Обозначим через
<Pi(*). •••> Ф„М (Ю)
полную ортогональную систему решений уравнения (3),
принадлежащих данному собственному значению X' (см. § 26, Н)). Тогда
ф' (х) выражается линейно через функции системы (10) и нам
достаточно показать, что все функции системы (10) линейно
выражаются через функции системы А".
Если функция (р(х) является решением уравнения (3), то
и функция ф (ах) также является решением уравнения (3) при
том же собственном значении Я. Действительно, так как х в
уравнении (3) является произвольным переменным, то его можно
заменить через ах, в то же время благодаря инвариантности
интегрирования у можно заменить через ау9 и мы получаем
Ф (ах) = X j k (x^a'1 ay) ф (ay) dy = X\^k (х~гу) ф (ay) dy.
Таким образом, функции
(Рг(ах), ..., уп{ах) (11)
являются решениями уравнения (3) при собственном значении X'
и, следовательно, линейно выражаются через функции системы (10).
Мы имеем, таким образом,
л
Ф/(я*)=2£//(я)ф/(*)- (12)
Кроме того, система (11) ортогональна, ибо
J Ф,- (ах) фу (ах) dx = j ср{ (х) фу (л:) dx = 6,7.
Таким образом, функции системы (И) линейно независимы
и через них могут быть линейно выражены функции системы (10).
Следовательно, матрица f g{/ (х) || = g (x) имеет обратную. Более
того, можно было бы показать, что матрица g(x) ортогональна,
но это для нас не важно. Покажем, что функции g;/(x)
непрерывны. Действительно, умножая соотношения (12) наф*(х) и
интегрируя, получаем
gik(a)=lVi(<*x)4>k(x)dx
(см. § 25, J)). Вычислим, далее, g(ab). Мы имеем из
соотношения (12)
п
Ф/ (obx) = 2 ёи №) фу (х). (13)
/=i
Далее, из того же соотношения (12) получаем
п п
Ф;(abx) = 2 Sik(a) Фй(Ьх) = 2 £/*(«)S»% Ф/(*)• (14)

§29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
143
Сравнивая коэффициенты в правых частях равенств (13) и (14),
получаем
п
gIf(ab) = %gik(a)gk/(b)f
6=i
что в матричной форме записывается так:
g(ab) = g(a)g(b). (15)
Из соотношения (15) и непрерывности функций gty(x) мы видим,
что g(x) дает нам линейное представление группы G. Таким
образом, все функции
gab) (16)
принадлежат системе А".
Заменим теперь в равенстве (12) д: единицей е. Мы получим
п
ф/(в)= 2г,у(а)Ф/(«)-
Но это означает, что функции системы (10) линейно выражаются
через функции системы (16), принадлежащие системе А". Тем самым
доказано, что система А" является равномерно полной.
Все функции системы А входят в систему A", A cz А". Покажем
теперь, что всякая функция системы А" линейно выражается через
функции системы А. Этим самым будет показано, что система А
является равномерно полной, так как равномерная полнота
системы А" уже доказана.
Пусть р(х)— произвольная функция системы А". Тогда
существует такое представление g группы G, g (х) = || gi;- (x) J, что р(х)
является одной из функций
Согласно замечанию А) § 28 существует такая постоянная
матрица t, что
g(x) = t-4i(x)t, (18)
причем матрица h(x) имеет специальный вид:
|a№ о ... о
о g*(x) ... о
А(х) =
где
Si(x),
i=l,
gn(x)
П,
(19)
дают неприводимые унитарные представления группы G. При
специальном выборе матрицы t можно достичь того, чтобы все
представления системы (19) принадлежали системе (1), ибо в
системе (1) найдется неприводимое представление, эквивалентное

144 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
любому неприводимому представлению. Если теперь
предположить, что представления (19) принадлежат системе (1), то
соотношение (18) показывает, что все функции (17) выражаются
линейно через функции системы А. В частности, это имеет место и
для функции р (х). Таким образом, равномерная полнота системы
А доказана.
Следующее предложение, играющее исключительно важную
роль для изучения компактных топологических групп, является
непосредственным следствием теоремы 27.
Теорема 28. Из каждого класса неприводимых эквивалентных
между собой представлений группы G выберем по одному
представителю и обозначим их через
g{1\ .-., g{n\ ... (20)
Тогда для всякого элемента a£G, отличного от единицы е,
существует такое представление g{m) из системы (20), что g{m) (a)
не есть единичная матрица.
Доказательство. Так как афе, то в силу леммы Уры-
сона (см. § 14) существует такая непрерывная функция f (х),
заданная на G, что f(a)^f(e). Если бы, в противоречие с
утверждением теоремы, для всякого представления g{n) системы (20)
имело место равенство g{n) (а) =-- g{n) (е), то для всех функций
системы А (см. теорему 27) мы имели бы равенство glf (a) = gi/j) (е),
но тогда линейными формами функций системы А невозможно
было бы аппроксимировать функцию f(x), ибо f(a)^f(e). Таким
образом, теорема 28 доказана.
Перейдем теперь к рассмотрению системы характеров.
Теорема 29. Пусть
^HxiM> ■■-. х«(*). ■••}
— совокупность всех характеров неприводимых представлений
группы G. Мы будем говорить, что функция f{x), заданная на
G, инвариантна, если при произвольном a£G имеет место
равенство
/(а"*а) = /(*). (21)
Согласно соотношению (5) § 28 функции системы Q инвариантны.
Утверждение теоремы заключается в том, что система Q
является равномерно полной в отношении всех инвариантных функций,
заданных на G. Это значит, что для всякой инвариантной функции
f(x), заданной на G, и всякого положительного г найдется такая
п
линейная форма f (х) = 2 cilt (х) с постоянными коэффициента-
ми, что
I/М-/'<*)!<«■

§29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 145
Доказательство. Пусть G—некоторое неприводимое
представление группы G, степени г, g (х) = J gif (х) |. Допустим, что
функция
Р(х)= 2 b/igi/(x) (22)
инвариантна, и покажем, что тогда
р(х)=а%(х), (23)
где %{х) есть характер представления g, a a—число.
Действительно, по предположению
г
р[рг*ха)= 2 b/igi/(a'1xa) =
= 2, fy/fifo (а-1) g« (*) Su И = Р (*)• (24)
Так как функции g{j{x) все линейно независимы (см. теорему 25
и § 26, F)), то соответственные коэффициенты в (22) и (24) должны
быть равны, и мы имеем
2 SiMbjigikia'1).
В матричной форме это последнее равенство записывается так:
b = g(^)bg(a~1)i где & = ||^//1» или, что то же, так: g(a)b = bg(a).
На основании замечания Е) § 27 заключаем отсюда, что матрица Ъ
имеет вид ае\ где е'— единичная матрица, а а—число. Но тогда
равенство (22) принимает вид (23).
Пусть теперь q{x) — некоторая инвариантная функция,
заданная на G, выражающаяся в виде конечной линейной формы
функций системы А (см. теорему 27). Сумму q(x) можно разбить
п
на ряд частичных сумм р((х), q(x)= 2 Piix)> гАе каждая сумма
Pt(x) уже имеет вид (22), т. е. составлена из функций,
относящихся к одному неприводимому представлению, gU). Из
инвариантности функции q(x) следует, что и всякая функция р{(х) также
инвариантна. Действительно, pi(a~1xa) как функция х
выражается линейно через функции ё$(х), относящиеся к
представлению gU) (см. равенство (24)), а из этого на основании линейной
независимости функций системы А следует, что равенство
п п
2 pi{a-1xa)= 2 Pi(x)
i= 1 i= 1
должно осуществляться почленно, т.е. р^а'На)^- р((х), /=1,...
•.., п. Из ранее доказанного равенства (23) мы получаем, таким

146 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
образом, Pi(x) = ai%i(x)y т. е.
?(*)=2а/Х/(*)- (25)
t= 1
Пусть, наконец f(x)— произвольная инвариантная функция,
заданная на G. Согласно теореме 27 существует такая конечная
линейная форма /' (х) функций системы А, что
!/(*)-/'(*)К в, (26)
где s—наперед заданное положительное число. Из неравенства
(26) следует
| J / (а^ха) da —If (a^xa) da\<s. (27)
Но в силу инвариантности функции f(x) имеем ^ f(a~1xa)da =
= f(x). Положим ^ f (a"1xa) da = q{x). Тогда неравенство (27)
примет вид
\f(x)-q(x)\<s.
Так как функция f (х) есть конечная линейная форма функций
системы А, то и /' {сггха) как функция х имеет тот же вид,
следовательно, функция q(x) есть конечная линейная форма
функций системы А. Нетрудно видеть, кроме того, что в силу
инвариантности интегрирования (см. определение 31, 7)) функция g (x)
инвариантна. Из ранее доказанного соотношения (25) следует, что
/м-2ад/М
q(x) = 2 aili (x)- Таким образом,
i= 1
рема доказана.
А) Пусть
G={Xi(*). •••> Х«(*). •■•}
< г и тео-
— совокупность всех характеров неприводимых представлений
группы G и f(x)—некоторая инвариантная функция, заданная
на G. Обозначим через ht коэффициенты Фурье функции f(x) по
системе Q,
Тогда имеет место равенство
2 hfii^[f(x)J(x)dx.
t= i J
Доказательство основывается на теореме 29 и проводится
совершенно аналогично доказательству замечаний Е) § 26.
Подобно тому как из теоремы 27 следует теорема 28, так и
из теоремы 29 непосредственно вытекает нижеследующая
теорема 30, которая впрочем не важна для нас.

§29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 147
Теорема 30. Пусть а и Ь—два несопряженных элемента
группы G, т. е. такие, что не существует элемента c(£G, для
которого Ъ = с~хас. Тогда имеется такой характер %(х)
неприводимого представления группы G, что %(а)Ф%Ф).
Доказательство. Нетрудно видеть, что множество В всех
элементов, сопряженных с 6, компактно. Таким образом, в силу
леммы Урысона (см. § 14) существует неотрицательная функция
Да:), обращающаяся в нуль на В и отличная от нуля в а.
Нетрудно видеть, далее, что функция Ц> (х) = \ f {y^xy) dy
инвариантна, причем ср(&)=---0, ф(а)Ф0. В силу теоремы 29 функцию
ф(х) можно равномерно аппроксимировать линейными формами
функций системы Q (см. А)), и, следовательно, в Q существует
функция, принимающая различные значения в точках а и 6.
Пример 45. Закончим разбор примера 43. Пусть
Q'HxH*). ■■■. хН*). ■••}
— совокупность всех характеров неприводимых представлений
группы G и
0" = {3Ci"(iO, •••- Гп(у), •••}
— совокупность всех характеров неприводимых представлений
группы Я. Обозначим, далее, через Q совокупность всех
функций %i/(z) = %'i(x)%i(y), где г = (х, у). По доказанному в
примере 43 все функции системы Q являются характерами
неприводимых представлений группы F. Покажем теперь, что система Q
содержит все характеры неприводимых представлений группы F.
Пусть f(z) = f(x, у) — некоторая инвариантная функция,
заданная на F. Определим коэффициенты Фурье этой функции
относительно системы Q, положив
fu = J / (г) Х/у W dz = S \f (х, у) xl (x) x7 (У) dx dy (28)
(см. доказательство теоремы 21). Функция f(x, у) при
фиксированном х является инвариантной функцией, заданной на Я.
Определим ее коэффициенты Фурье относительно системы Q", положив
f;(x)=lf(x, y)%Hy)dy.
На основании замечания А) мы имеем
JS //W/>) =lf(x, у)7(х, У)dy. (29)
Ряд, стоящий в левой части равенства (29), составлен из
положительных непрерывных функций и сходится к непрерывной
функции, таким образом, на основании известной теоремы анализа
он сходится равномерно и его можно почленно интегрировать.

148 ГЛ. IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Мы имеем
00
.2 S // WЬ(x)dx=\\f (*. У)7(*> У)dxdy. (30)
Легко видеть, что функция fj(x), заданная на G, непрерывна и
инвариантна. Определяя ее коэффициенты Фурье по системе Q',
мы получаем
Но на основании замечания А) мы имеем
$//(*) £ (*)<fr=j^/v7v. (31)
Объединяя равенства (30) и (31), получаем
2 fjfu = И / (*. У) / (*• y)dxdy=lf (z) J (г) dz. (32)
Допустим теперь, что какой-либо характер %(z)
неприводимого представления группы F не входит в систему Q. Тогда
коэффициенты Фурье функции % (z) по системе Q все равны нулю
(см. теорему 24), но, с другой стороны, согласно теореме 25,
%(z)%(z)dz=l. Тем самым мы приходим к противоречию с
равенством (32) для функции f(z) = %(z).
Таким образом, конструкция, приведенная в примере 43, дает
возможность получить все неприводимые представления прямого
произведения F, исходя из неприводимых представлений прямых
сомножителей G и Н.
Пример 46. Дадим приложение теории линейных
представлений к теории почти периодических функций.
Непрерывная комплексная функция f(t) действительного
переменного t, —оо < t <oo, называется почти периодической, если
семейство Н всех функций вида f(t + a), где а—произвольное
действительное число, компактно, т. е. из всякой
последовательности /(£ + ах), ..., f(t-\-an), ... можно выбрать равномерно
сходящуюся подпоследовательность.
Простейшим примером почти периодических функций являются
периодические функции вида еш, где %—произвольное
действительное число, a i=-V—1. Множество всех функций вида еш
обозначим через А. Мы покажем, что система А является
равномерно полной в множестве всех почти периодических функций
(см. § 26, D)). Предложение это является основной теоремой
теории почти периодических функций.
Исходя из определенной почти периодической функции f(t),
обозначим через G множество всех функций, получаемых
равномерным предельным переходом из функций семейства Я. Множе-

§ 29. ПОЛНОТА СИСТЕМЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 149
ство G компактно в смысле равномерной сходимости и является
компактным топологическим пространством со второй аксиомой
счетности. Множество Я всюду плотно в G. В множестве Я
определим операцию сложения, именно, если x' = f{t-\- а) и х" =
= /(£ + #") суть два элемента множества Я, то сумму их х'' + х"
определим как функцию f(t + a' + a"), также принадлежащую
семейству Я. Операция сложения, заданная таким способом
в множестве Я, однозначным образом по непрерывности
распространяется на все элементы множества G. Таким образом,
множество G становится компактной коммутативной топологической
группой со второй аксиомой счетности. К группе G применима,
следовательно, вся теория линейных представлений.
Пусть
g{1\ ..., g{n\ ... (33)
— совокупность всех неприводимых представлений группы G.
Так как, согласно теореме 26, все неприводимые представления
группы G имеют степень 1, то g{n) есть просто гомоморфное
отображение группы G в мультипликативную группу К
комплексных чисел, по модулю равных единице. Таким образом, g{n) (x)
есть комплексное число, по модулю равное единице, причем
g{n)(x+y) = g{n)(x)g{n)(y). (34)
Пусть теперь х принадлежит подмножеству Я; тогда х есть
функция вида f(t-\-a) и, таким образом, зависит от параметрам.
Мы выразим это, положив х=-х(а). При этом согласно
определению сложения в Я имеем х(а') Л-х{а") = х(аг + а"). Нетрудно
видеть также, что х (а) как элемент пространства G есть
непрерывная функция параметра я. Посмотрим теперь, что
представляет собой g{n)(x(a)). Мы имеем
g<»> (х (а' + а")) = g™ (х (a')) g™ (x {а")).
Таким образом, если рассматривать g{n) (x (а)) как функцию
параметра я, то g{n)(x(a)) дает гомоморфное отображение
аддитивной группы действительных чисел в группу К- Отсюда мы
непосредственно заключаем, что g{n) (x (a)) =---eiXna, ибо всякий
гомоморфизм указанного вида выражается в такой форме (см. § 32, Н)).
Каждому элементу х(а)^Н поставим в соответствие число
Г {х)у равное /(а). Таким образом, на Я определена функция
f (х). Функцию эту по непрерывности можно распространить на
всю группу G, причем получаемая таким образом функция f (x)>
заданная на G, непрерывна.
Согласно теореме 27 функцию f (x) можно равномерно
аппроксимировать конечными линейными формами функций (33). Если
рассмотреть эту аппроксимацию лишь на множестве Я, то она
дает аппроксимацию функции f (а) линейными формами функций
g{n) (x (a)) = eiXna, n=\, 2, ... Следовательно, система А является
равномерно полной в множестве всех почти периодических функций.

ГЛАВА ПЯТАЯ
КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Настоящая глава посвящается детальному изучению локально
компактных топологических коммутативных групп,
удовлетворяющих второй аксиоме счетности. Все возникающие здесь вопросы
решаются до конца или, по крайней мере, сводятся к вопросам,
относящимся к абстрактным коммутативным группам.
Основным методом исследования в настоящей главе является
построение группы характеров (см. определение 34). Каждой
локально компактной топологической коммутативной группе G,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности, ставится в
соответствие также локально компактная топологическая коммутативная
группа X, удовлетворяющая второй аксиоме счетности,
называемая группой характеров группы G. Установленное таким образом
соотношение между группами G и X оказывается симметричным.
Оно позволяет свести любой вопрос, касающийся одной группы,
к соответственному вопросу относительно другой.
Оказывается, что если группа G компактна, то ее группа'
характеров X дискретна, и обратно (см. § 17, А)). Таким
образом, изучение компактных коммутативных групп целиком сводится
к изучению дискретных, или, что то же самое, абстрактных.
Структура групп локально компактных также выясняется весьма
полно.
Главные результаты, излагаемые здесь, существенным образом
опираются на теорию линейных представлений Петера и Вейля.
Уже в предыдущей главе было указано (см. теорему 26), что
всякое неприводимое представление коммутативной группы G есть
представление первой степени, т. е. по существу совпадает с
характером представления. Оказывается теперь, что совокупность
всех характеров группы G естественно образует новую группу X,
которая и называется группой характеров группы G. Остановимся
на этом несколько подробнее. Пусть g(x)—унитарное
неприводимое представление группы G. Так как оно первой степени, то
мы можем просто считать, что g(x) есть комплексное число, по
модулю равное единице. Иначе говоря, g(x) следует трактовать
как гомоморфное отображение группы G в мультипликативную

§ 30. ГРУППА ХАРАКТЕРОВ
151
группу комплексных чисел, по модулю равных единице. Если
g(x) и h (х)—два таких отображения, то / (х) = g (x) h (х) также
является отображением этого вида. Именно таким способом
определяется операция умножения в группе характеров.
В основном результаты этой главы принадлежат мне (см. [27],
[28], [25]). Ряд важных обобщений и усовершенствований,
полученных Кампеном (см. [13], [15]), также учтен здесь.
Все рассматриваемые в этой главе топологические группы
коммутативны, локально компактны и удовлетворяют второй аксиоме
счетности. Эти условия всегда будут предполагаться здесь
выполненными, хотя и не всегда будут специально оговариваться.
Так как все рассматриваемые группы коммутативны, то
обозначения для них принимаются аддитивные. Ввиду этого
мультипликативная группа комплексных чисел, по модулю равных
единице, будет заменена здесь изоморфной ей аддитивной
группой К, полное определение которой дано в начале § 30. Так как
группа эта будет играть во всем изложении основную роль, то
обозначение К будет закреплено за ней на протяжении всей
главы.
§ 30. Группа характеров
Здесь в первую очередь будет построена группа характеров
(см. определение 34), а затем дано доказательство ее простейших
основных свойств (см. теорему 31).
А) Пусть D—аддитивная топологическая группа
действительных чисел и N—подгруппа всех целых чисел. Через К мы
обозначим факторгруппу D/N (см. определение 25). Нетрудно
видеть, что К есть компактная коммутативная топологическая
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Так как
группа К происходит из группы действительных чисел, то ее
элементы мы будем иногда трактовать как действительные числа,
определенные с точностью до целочисленных слагаемых. Если,
в частности, ограничиться рассмотрением некоторой достаточно
малой окрестности U нуля группы К, то каждому ее элементу
можно однозначно и непрерывно приписать определенное числовое
значение, приняв за числовое значение элемента a g U то
наименьшее по модулю действительное число, из которого элемент а
произошел.
Определение 34. Пусть G—локально компактная
коммутативная топологическая группа, удовлетворяющая второй аксиоме
счетности. Каждое гомоморфное отображение группы G в группу
К (см. А)) будем называть характером группы G. Множество
всех характеров группы G обозначим через X. В множестве X
естественным образом вводятся операция сложения и
топологические соотношения. Получаемая таким образом коммутативная
топологическая группа X называется группой характеров группы G.

152 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пусть а и Р—два элемента из X. Сумму их
Y = a + p (1)
определим следующим образом:
Если х £ G, то положим
у(х) = а(х) + $(х). (2)
Мы имеем
у(х + у) = а(х+у) + $(х+у) = а(х) + а(у) + $(х) + $(у) =
- =У(х) + у(у)>
Таким образом, у есть гомоморфизм группы G в группу К и,
следовательно, у£Х. Непрерывность отображения у прямо
следует из непрерывности отображений аир. Нулем группы X
является тот гомоморфизм группы G в группу К, который
переводит каждый элемент группы G в нуль группы К-
Противоположный гомоморфизму а гомоморфизм а = — а определяется
соотношением а! (х) = —а (х).
Для внесения топологии в группу X воспользуемся
теоремой 10, т. е. зададим полную систему 2* окрестностей нуля группы X.
Произвольную окрестность V системы 2* мы зададим исходя из
произвольной окрестности U нуля группы К и произвольного
компактного множества F из группы G, именно, как
совокупность всех а £ X таких, что
a{F)aU. (3)
Нетрудно проверить, что получаемая таким образом система
окрестностей 2* удовлетворяет условиям теоремы 10 и что,
следовательно, X становится топологической группой.
Сделаем здесь одно предварительное замечание.
В) Существует такая окрестность U нуля группы К, что
каковы бы ни были топологическая группа G и ее характер а, из
соотношения
a(G)c:U (4)
следует
а=0. (5)
Определим U как множество всех элементов а£К,
удовлетворяющих неравенствам —у^ < а < ^ (см. А)). Допустим, что
существует такой элемент xgG, что
а{х)фЪ. (6)
Непосредственно видно, что тогда существует целое число п
такое, что элемент па (х) = а (пх) уже не принадлежит U. Таким
образом соотношения (4) и (6) противоречат друг другу и,
следовательно, из соотношения (4) вытекает соотношение (5).

§30. ГРУППА ХАРАКТЕРОВ
153
Теорема 31. Группа характеров X группы G {см.
определение 34) всегда локально компактна и удовлетворяет второй
аксиоме счетности. Если группа G дискретна, то группа X
компактна. Если группа G компактна, то группа X дискретна
(см. § 17, А)).
Доказательство. Мы разобьем доказательство на четыре
части.
а) X удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Покажем прежде всего, что в X существует счетная полная
система окрестностей нуля.
Пусть
U,, ..., Um, ... (!)
— счетная полная система окрестностей нуля группы К и
Wlt ...,Wn, ... (8)
— счетная полная система окрестностей группы G такая, что
замыкание Wп каждой области системы (8) компактно. Обозначим
.через V^ окрестность системы 2* (см. определение_34),
определяемую окрестностью Um и компактным множеством W\VW2V • • •
. .. \/Wп. Множество всех окрестностей I/J*, т= 1, 2, ..., п= 1,
2, ..., является счетным. Покажем, что оно составляет базис
в нуле (см. § 8, В')). Пусть V—произвольная окрестность нуля
группы X, задаваемая окрестностью U нуля группы К и
компактным множеством F из группы G (см. определение 34). Тогда
существует столь большое число /я, что UmaU. Так как, далее,
система (8) покрывает F, то в силу теоремы 7 существует столь
большой номер пу что FaW-^W^y. . . \/Wn. Легко видеть, что
V^czV (см. 3)). Таким образом, существует счетная полная система
окрестностей нуля группы X.
Для доказательства того, что в X выполнена вторая аксиома
счетности, теперь достаточно показать, что в X имеется счетное
всюду плотное множество М (см. § 17, В)). Приступим к
построению этого множества М.
Пусть Г—счетная полная система окрестностей в К, а А —
счетная полная система окрестностей в G такая, что если В£Д,
то В компактно. Пусть, далее,
Аг Аг (9)
— некоторая конечная последовательность элементов системы Г, а
Blt .... Вг (10)
— конечная последовательность элементов системы А. Исходя из
последовательностей (9) и (10), определим множество С
элементов группы X, составленное из всех у£Х таких, что y(Bk)aAk,
&=1, ..., г. Множеств типа С имеется лишь счетное число.

154 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Из каждого непустого множества типа С выберем по одному
элементу и полученное множество обозначим через М.
Множество М счетно. Покажем, что оно всюду плотно в X.
Пусть а—произвольный элемент из X и V—произвольная
окрестность нуля группы X, заданная окрестностью U нуля
группы К и компактным множеством F из G (см. (3)). Покажем,
что существует элемент Р(;А{ такой, что Р—a£V. Этим и будет
доказано, что М всюду плотно в X.
Для всякого x£F существует такая окрестность АХ£Т
элемента а(х), что
Ax-AxczU (11)
(см. § 2, А)). Обозначим, далее, через Bx£i\ такую окрестность
элемента x£Ff что
"(Вх)сАх. (12)
Система всех областей Вх, x^F, покрывает F, и, следовательно,
согласно теореме 7 из этого покрытия можно выбрать конечное
покрытие. Таким образом, существует конечная система х±, ..., хг
элементов из F такая, что система областей ВХх> ..., Вх
покрывает F. Последовательности
АХх* •••> Ахг (13)
5*.., . .., fiv
(14)
точно так же как последовательности (9) и (10), определяют
некоторое множество С типа С, причем а£С. Так как agC, то С
непусто и, следовательно, существует элемент р множества С,
принадлежащий М. Покажем, что Р—a = 8£V. Для этого
достаточно показать, что 8(F)aUf т. е. что при y$F имеем PQ/) —
— a(y)£U. Но для всякого y£F существует такой номер ft, что
У$Вхк и, следовательно, а(у)£АХк (см. (12)). С другой стороны,
так как Р£С, то &(у)£АХ}г и, следовательно, в силу (11)
получаем Р(#)—a(y)£U.
Итак, доказано, что X удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Ь) X локально компактна.
Пусть W—некоторая окрестность нуля в группе G, замыкание
которой W компактно. Обозначим через U интервал —уд < а < уд
в группе К\ U есть окрестность нуля в К. Окрестность V нуля
группы X определим как множество всех таких элементов а,
для которых
~a(W)aU (15)
(см. (3)). Покажем, что V имеет компактное замыкание V.

§ 30. ГРУППА ХАРАКТЕРОВ
155
Для доказательства компактности V покажем, что всякая
последовательность
«1, .--, ал, ••• (16)
элементов множества V имеет в X предельный элемент. Именно,
мы покажем, что из последовательности (16) можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность.
Элементы окрестности U будем рассматривать как числа,
заключенные между —jq и +То (см' ^' Тогда каждый элемент a^V
определяет функцию а(х), заданную на W, принимающую число-
1 п
вые значения, по модулю не превосходящие-^. С этой точки
зрения множество V есть ограниченное семейство непрерывных
числовых функций, заданных на W. Покажем, что семейство это
равномерно непрерывно (см. § 24, D)).
Пусть s—произвольное положительное число и I > 10 — столь
большое целое положительное число, что
г>у. (17)
Обозначим через W такую окрестность нуля группы G, что если
z$W\ то
kz^W, k=l, ..., /. (18)
Допустим, что существует два таких элемента х и у множества W
и такой элемент а б У, для которых выполнены следующие
соотношения:
х—y = zeW, (19)
\а(х)-а(у)\ = \а(г)\>гу (20)
и приведем это предположение к противоречию. Для этого
рассмотрим элементы
a (fez), &=1, ..., /. (21)
С одной стороны, из соотношений (19), (18) и (15) следует, что
ka(z) = a(kz)€U, k=l, ...,/. (22)
С другой же стороны, из неравенств (20) и (17) вытекает, что для
1 2
некоторого k = k' имеем tq < | fe'a (z) | < jq и, следовательно,
элемент a(k'z) не может принадлежать U. Полученное противоречие
показывает, что для всякого положительного 8 найдется такая
окрестность W нуля группы G, что если х£ W, у£ W и х—у £ W,
то \а(х)—а(#)|<£ при всяком a£V. Это и означает, что
семейство V равномерно непрерывно.
Так как семейство V равномерно непрерывно и все элементы
последовательности (16) принадлежат V, то из этой последова-

156 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
тельности можно выбрать равномерно сходящуюся на W
подпоследовательность
Pi, -.., Р„, ••• (23)
Предел этой последовательности обозначим через р. Р есть
непрерывная функция, заданная на W, причем значения ее не
превосходят по модулю tq . Таким образом, определено непрерывное
отображение р множества W в U. Равномерную сходимость
последовательности (23) можно теперь формулировать так: для всякой
окрестности U" нуля группы К существует столь большое целое
число я', что при п>п' и x£W имеем
Р М-Р» (*)€</*. (24)
Множество всех областей вида g+ W, где g"gG, покрывает G,
следовательно, существует такая счетная последовательность
ffi> • • •. ff«. • • • (25)
элементов группы G, что совокупность всех областей вида
gm+W, m=l, 2, ..., (26)
покрывает G (см. § 12, Н)). Выберем теперь такую
подпоследовательность
Yi, •••. V», ••• (27)
последовательности (23), что для всякого т существует
HiTiv„teJ = TteJ. (28)
Так как группа К компактна, то, пользуясь диагональным
процессом (см. теорему 9), этот выбор можно осуществить.
Покажем, что для всякого элемента g(tG существует
Hm V„(ff) = Vfe) (29)
П-> 00
и отображение y(g) есть гомоморфное отображение группы G
в группу К.
Заметим прежде всего, что на множестве W
последовательность (27), будучи подпоследовательностью последовательности (23),
сходится равномерно (см. (24)) и имеет своим пределом
отображение р. Теперь, всякий элемент g^G может быть представлен
в форме g=:gm + x, где x^Wy ибо последовательность
областей (26) покрывает G. Мы имеем, таким образом,
Mm Y» (g) = Km yn (gm) + lim yn (x) = v fej + Р (*) = Y (g). (30)
/г-»-ао /г->оо гг-> со
Далее, если g и h суть два произвольных элемента из G, то мы

§ 30. ГРУППА ХАРАКТЕРОВ
157
имеем
y(g + h)= Hm уп(g+h)= lira уп(g) + Ит yn(h) = y(g) + у(h).
/1->00 tt-> CO «->■(»
Таким образом, у есть гомоморфное отображение абстрактной
группы G в абстрактную группу К. Нетрудно также видеть, что
отображение у непрерывно (см. § 19, В)) и, значит, является
элементом группы X.
Покажем теперь, что последовательность гомоморфизмов (27)
сходится к гомоморфизму у в смысле топологии, установленной
в X (см. определение 34).
Положим Vn = Y«—Y- Нам достаточно показать, что всякая
окрестность V нуля группы X содержит все элементы
последовательности
Vi. •••> Yn, •••> (31)
за исключением лишь конечного числа. Допустим, что
окрестность V задается компактным множеством F'czG и окрестностью U'
нуля группы К (см. определение 34). Пусть U"—такая окрест-
йость нуля группы К, что
U"+U"aU'. (32)
Так как система областей (26) покрывает группу G, то можно
выбрать конечную подсистему
gm+Wt m=l, .,., г, (33)
областей системы (26), покрывающую компактное множество F'
(см. теорему 7). Из соотношения (28) следует, что lim y'n(gm) = 0.
Поэтому существует столь большое п", что при п > п" имеем
tifejet/". m=lf ..., г. (34)
Далее, из соотношения (24) следует, что при /г > п' имеем
Уп(Щаи\ (35)
Из соотношений (34), (35) и (32) следует, что если п> п'у п> /г",
то y'n(F')aU'. Таким образом, при п>п\ п>п" имеем y'n£V'.
Значит последовательность (31) сходится к нулю в смысле
топологии в группе X, а потому последовательность (27) сходится к у.
Из того факта, что всякая последовательность элементов
множества V имеет__в X предельную точку, непосредственно следует,
что множество V компактно. Таким образом, локальная
компактность группы X доказана.
с) Если G дискретна, то X компактна.
В случае дискретной группы G за окрестность W нуля в G
(см. Ь)) можно принять множество, содержащее лишь нуль группы G.

158 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Тогда окрестность V группы X будет составлена из всех
элементов группы X (см. 15)), а так как по ранее доказанному (см. Ь))
V компактна, то значит X компактна.
d) Если G компактна, то X дискретна.
При компактности группы G за окрестность W ее нуля можно
принять само множество G (см. Ь)). Тогда условие (15) в силу
замечания В) будет означать, что V содержит лишь нуль группы X
и, следовательно, группа X дискретна.
Итак, теорема 31 полностью доказана.
Теорема 31 показывает в первую очередь, что применяя
операцию образования группы характеров к локально компактной
коммутативной группе, удовлетворяющей второй аксиоме счет-
ности, мы получаем группу, удовлетворяющую тем же условиям.
Таким образом, множество L всех локально компактных
коммутативных групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
образует класс, замкнутый по отношению к следующим операциям:
образование подгруппы, образование факторгруппы, образование
группы характеров.
Обозначим через С множество всех коммутативных компактных
групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности, и через D —
множество всех счетных коммутативных дискретных групп. Каждый
из классов С и D замкнут по отношению к операциям
образования подгруппы и факторгруппы, однако операция образования
группы характеров дает переход из одного класса в другой. Таким
образом, в теории характеров классы С и D противопоставляются
друг другу. С этой точки зрения изучение сразу всего класса L
представляется более естественным и экономным, так как не
приходится различать отдельных случаев, что неизбежно при
трактовке классов С и D. Следует, однако, отметить, что главные
приложения теории характеров получаются для классов С и D.
§ 31. Основные соотношения теории характеров
Здесь будет дана в первую очередь формулировка основной
теоремы 32 теории характеров. Доказательство этой теоремы весьма
сложно, оно опирается на результаты Петера и Вейля и на тонкие
теоретикогрупповые рассмотрения. Все это постепенно будет
развертываться в дальнейших параграфах. Здесь же как прямое
следствие теоремы 32 будет сформулирована и вторая основная
теорема 33 теории характеров.
В конце прошлого параграфа уже отмечалось, что класс L
всех локально компактных коммутативных групп,
удовлетворяющих второй аксиоме счетности, замкнут по отношению к операциям
образования подгруппы, образования факторгруппы и образования
группы характеров. Настоящий параграф посвящается выяснению
связей между этими тремя операциями. Правда, ввиду того, что
теорема 32 в этом параграфе не доказана, главные ее следствия,

§31. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ 159
а именно теоремы 33 и 35, также остаются пока недоказанными;
но зато все связи формулированы в одном месте.
**Ц А) Пусть X — группа характеров группы G (см. определение 34).
Тогда каждый элемент g группы G представляет собой
естественным образом некоторый определенный характер группы X. Именно,
если а£Х, то g(a) определяется равенством
£(«) = «&); 0)
здесь a (g) определено в силу того, что а есть характер группы G9
Для доказательства того, что определенное равенством (1)
отображение g группы X в группу К действительно есть характер
группы X, рассмотрим прежде всего два элемента аир группы X.
Сумма этих элементов у = а + Р определена равенством (2) § 30.
Мы имеем
g(y) = y(g) = *(g) + V{g) = g(*) + g®).
Таким образом, g есть гомоморфное отображение абстрактной
группы X в абстрактную группу К. Для того чтобы доказать
непрерывность гомоморфизма g, достаточно показать, что для
всякой окрестности U нуля группы К найдется окрестность V нуля
группы X такая, что g(V)aU (см. § 19, В)). Нужную
окрестность V группы X определим, исходя из окрестности U нуля
группы К и компактного множества FaG, содержащего лишь
точку g. Тогда, согласно определению 34, элемент а£Х
принадлежит окрестности V при условии, что a (g) £ /У, но это значит,
что g(a)£(/, т. е. g(V)aU.
Значение замечания А) определяется следующей теоремой:
Теорема 32. Пусть X — группа характеров группы G (см.
определение 34). Согласно замечанию А) каждый элемент g группы G
представляет собой характер группы X. Таким образом, G есть
множество характеров группы X. Оказывается, что множество G
характеров вместе с его первоначально заданной топологией и
алгеброй представляет собой группу характеров группы X.
Доказательство этой теоремы будет дано ниже (см. § 35). Здесь
мы сделаем лишь некоторые предварительные замечания к
доказательству теоремы 32.
В) Пусть X — группа характеров группы G и G' — группа
характеров группы X. Согласно замечанию А) каждый элемент
x£G представляет некоторый определенный характер группы X.
Для избежания путаницы обозначим этот характер не просто
через х, а через x' = q>(x). Оказывается тогда, что <р есть гомо
морфное отображение топологической группы G в топологическую
группу G'.
Покажем прежде всего, что ф есть гомоморфное отображение
абстрактной группы G в абстрактную группу G'. Пусть х и у —
два элемента из G и положим z = x + у. Положим, далее, х' = <р(х),

160 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
У' — Ф (#)> z' = <р (z). Если а £ X, то мы имеем
г' (а) =* а (г) = а (*) + а (у) = х' (а) + #' (а).
Таким образом, ф(х+г/) = ф(х) + ф(у).
Покажем теперь, что <р есть непрерывное отображение
пространства G в пространство G'. Для этого достаточно доказать, что
какова бы ни была окрестность V нуля группы G', найдется
такая окрестность V нуля группы G, что
ФООсУ (2)
(см. § 19, В)).
Допустим, что окрестность V определяется компактным
множеством FcX и окрестностью U' нуля группы К (см.
определение 34). Тогда свойство (2) окрестности V можно формулировать
так:
если a^F' и x£V, то a(x)£U'. (3)
Построим окрестность V, обладающую этим свойством. Так как а
есть непрерывное отображение, то существует такая окрестность Va
нуля группы G, что
a(Va)<=U', (4)
причем Va компактно. Пусть теперь Ua—такая окрестность нуля
группы К у что
a(Va) + Uac:U: (5)
Зададим, далее, окрестность Wa нуля группы X, исходя из
компактного множества VaaG и окрестности Ua нуля группы /С.
Положим
W'a = a+Wa. (6)
W'a есть окрестность элемента а в группе X, обладающая
следующим свойством: если $£Wa и #€^а> т0
Р &)€*/'. (7)
Но когда а пробегает все множество /*", система окрестностей (6)
покрывает это множество. Выберем из этого покрытия конечное
покрытие W'at, ..., W'an (см. теорему 7). Пересечение всех
областей Va,., i=l, ..., /г, обозначим через V. Из соотношения (7)
следует, что если рgjP' к y£V> то P(y)g/7'. Таким образом,
окрестность V нуля группы G, обладающая нужным свойством (3),
найдена, и следовательно, отображение ф непрерывно.
С) Пусть X — группа характеров группы G. Для доказательства
теоремы 32 достаточно доказать следующие два предложения:
а) Для всякого элемента xgG, отличного от нуля, существует
такой элемент a g X, что а (х) Ф 0.

§31. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ 161
Ь) Всякий характер х' группы X может быть осуществлен
при помощи некоторого элемента х группы G (см. А)).
Доказательство утверждения С) непосредственно следует из
утверждения В). Действительно, если выполнено условие а), то
отображение ф (см. В)) имеет своим ядром нуль. Далее, если
выполнено условие Ь), то отображение ср есть отображение группы G
на всю группу G'. В силу обоих этих обстоятельств отображение ф
есть изоморфное отображение топологической группы G на
топологическую группу G' (см. теорему 13 и § 19, D)).
Значение теоремы 32 заключается в первую очередь в том, что
она позволяет рассматривать каждую компактную группу G как
группу характеров дискретной группы X (см. теорему 31).
Рассмотрение же дискретной группы X по существу сводится к
рассмотрению абстрактной группы X (см. § 17, А)) со счетным числом
элементов, ибо в силу теоремы 31 дискретная группа X
удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Теорема 32 устанавливает полную симметрию во
взаимоотношениях группы G и X: каждая из этих групп есть группа
характеров для другой. Дальнейшее развитие двойственности между
группами G и X дается теоремой 33. Эта теорема позволяет
установить взаимно однозначное соответствие между подгруппами
групп G и X. Однако теореме 33 необходимо предпослать
следующее определение:
Определение 35. Пусть X — группа характеров группы G
(см. определение 34) и Н—некоторая подгруппа группы G.
Обозначим через (X, Н) множество всех таких элементов а£Х, для
которых <х(х) = 0 при всяком х£ Н„ Множество (X, Н) называется
аннулятором группы Н в группе X и представляет собой
подгруппу группы X.
Пусть, далее, ф — подгруппа группы X. Обозначим через (G, Ф)
множество всех таких элементов х 6 G, для которых а (х) = 0 при
всяком a g Ф. Множество (G, Ф) называется аннулятором группы Ф
в группе G и является подгруппой группы G.
Тот факт, что множества (X, Я) и (G, Ф) являются
подгруппами топологических групп X и G, доказывается
непосредственно, и потому я не останавливаюсь здесь на его
доказательстве.
Теорема 33. Пусть X — группа характеров группы G (см.
определение 34) и Н—подгруппа группы G. Положим Ф = (Х, Н) и
H' = (Gf Ф) (см. определение 35). Тогда Н' = Н.
Доказательство теоремы 33 будет дано ниже (см. § 35). Здесь
мы сделаем лишь одно предварительное замечание.
D) При обозначениях теоремы 33 имеем H'zdH.
Действительно, если х^Я и а^Ф, то в силу определения 35
имеем a(x) = 0. С другой стороны, Н' определено как
совокупность всех таких элементов х, для которых a(x) = 0. Таким
образом, H'zdH.

162 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Теорема 34. Пусть X—группа характеров группы G (см.
определение 34) и Я—подгруппа группы G. Положим Ф=(Х, Н)
(см. определение 35). Тогда факторгруппа G* = G/H имеет своей
группой характеров группу Ф. Более полно: каждый элемент а £ ф
естественно является некоторым характером группы G*. Именно,
если х* g G*, то а (х*) определяется равенством
а(х*) = а(х), (8)
где х есть произвольный элемент класса смежности х*> причем а (х*)
не зависит от случайности выбора элемента х из этого класса.
Тогда оказывается, что множество Ф характеров вместе с его
первоначальной алгеброй и топологией представляет собой группу
характеров группы G*.
Доказательство. Прежде всего, ясно, что отображение а
группы G* в группу К равенством (8) определено. Действительно,
пусть х и х'—два элемента класса смежности х* и а£Ф. Тогда
а (х)—а (х') = О, ибо а (х—х') £ а (Я), а всякий гомоморфизм а £ Ф
переводит в нуль всю группу Я. Следовательно, а (х) = а(х').
Покажем теперь, что определенное таким образом
отображение а группы G* в группу К есть гомоморфное отображение.
Если х* и у*—два элемента группы G* и х£х*, у£у*, то сумма
2* = х* + у* определяется как класс смежности, содержащий элемент
z=:x+y. Мы имеем, таким образом,
a (z*) =a(z) = a(x) + a (у) = а (х*) + а (у*).
Следовательно, а есть гомоморфное отображение абстрактной
группы G* в абстрактную группу К. Покажем, что а есть
непрерывное отображение группы G* в группу К. Пусть U—некоторая
окрестность нуля группы К. Тогда существует такая окрестность V
нуля группы G, что a(V)aU. Обозначим через V* совокупность
всех классов смежности вида v + Я, где v £ V. V* есть окрестность
нуля группы G*. Очевидно, что а(У*)с:/7, ибо а(Я) = 0. Таким
образом, отображение а группы G* непрерывно и, значит, является
гомоморфным отображением топологической группы G* в
топологическую группу К.
Обозначим группу характеров группы G* через Ф'. По ранее
доказанному каждый элемент а £ Ф представляет собой некоторый
характер группы G*; характер этот мы обозначим теперь не через а,
а через
а' = Ф(а), (9)
и покажем, что -ф есть изоморфное отображение группы Ф на
группу Ф'.
Обозначим через / естественное гомоморфное отображение
группы G на группу G* (см. § 19, С)). Тогда соотношение (9)
эквивалентно соотношению
оф) = а'(/(*)),
(10)

§31. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ 163
где х—произвольный элемент из G. Если теперь а'—
произвольный элемент из Ф', то соотношение (10) определяет элемента^Ф
такой, что г|)(а) = а\ Таким образом, отображение г|) есть
отображение на всю группу Ф\ Далее, соотношение (10) позволяет
по каждому элементу а' определить соответственный элемент а,
так что отображение г|) взаимно однозначно и можно
рассматривать обратное ему отображение я])-1. Покажем, что отображение я);-1
есть изоморфное. Пусть а' и р'—два произвольных элемента из Ф'
и у' = а' + р\ Положим, далее, a = ifr1 (a'), p = -ф-1(|3'), y = '*P"'1(y')-
Тогда мы имеем
y(x)^y'(f(x)) = a'(f(x)) + F(f(x)) = a(x) + $(x).
Таким образом, гр-1 (сх' + р') = гр-1 (сх') + -ф-1 (|3') и, следовательно,
отображение if-1 есть изоморфное отображение абстрактной
группы Ф' на абстрактную группу Ф. Остается показать, что if-1
непрерывно. Пусть V—произвольная окрестность нуля группы X.
Допустим, что V задана компактным множеством FczG и
окрестностью U нуля группы Л'(см. определение 34). Положим / (F) = F*
и зададим окрестность V нуля группы Ф' компактным множеством
F*aG* (см. теорему 8) и окрестностью V. Очевидно, что тогда
ГЧПсУ. О1)
ибо если a'£V', то a(F) = a'(f (F)) = a'{F*)cU. Соотношение (11)
показывает, что отображение г))-1 непрерывно (см. § 19, В)).
Следовательно, i|) есть изоморфное отображение (см. теорему 13 и
§ 19, D)).
Итак, теорема 34 доказана.
Е) Пусть X — группа характеров группы G и Я—подгруппа
группы G. Положим Ф=(Х, Я). Если для факторгруппы G* = G/H
и группы Ф выполнена теорема 32 (см. теорему 34), то теорема 33
справедлива, т. е. Н' = Н, где H' = (G, Ф).
В силу теоремы 34 группа G* имеет своей группой характеров
группу Ф. Так как по предположению для этих групп выполнена
теорема 32, то G* в свою очередь есть группа характеров группы Ф.
Допустим, что существует элемент х, входящий в Я', но не
входящий в Я. Через х* обозначим тот элемент группы G*, который
как класс смежности содержит элемент х. Так как х не входит
в Я, то х*=ф0. В силу самого построения Я' составлена из всех
элементов, переводимых в нуль всеми характерами из Ф, поэтому
х переводится в нуль всяким характером из Ф. Из этого следует,
что и элемент х* переводится в нуль всяким характером из Ф,
т. е. а (х*) = 0 при всяком а б Ф. С другой стороны, х* есть
ненулевой характер группы Ф, так как х*=ф0, и следовательно,
существует такой элемент р^Ф, что jc*(p)^=0. Но **(p) = p(jc*), и
мы пришли, таким образом, к противоречию. Следовательно,
Н'аН, но в силу D) имеем Я'зЯи значит Я' = #.

164 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Теорема 35. Пусть G— топологическая группа, Я—подгруппа
группы G, у—некоторый элемент группы G, не входящий в Я,
и р*—некоторый характер группы Я. Тогда существует такой
характер а группы G, что а(у)Ф§ и а(х) = $*(х) при
произвольном х£Н. Характер а является, таким образом,
продолжением характера р*.
Теорема 35, так же как и теорема 33, является прямым
следствием теоремы 32. Здесь мы укажем путь сведения теоремы 35
к теореме 32.
F) Если теорема 32 верна, то теорема 35 также верна.
Пусть X — группа характеров группы G. Положим Ф = (Х,Я)
и Х*=Х/Ф. Так как по предположению теорема 32 верна, то
в силу замечания Е) Н= (G, Ф). В силу теоремы 32 G есть группа
характеров группы X, и следовательно, на основании теоремы 34
мы можем утверждать, что Я есть группа характеров группы X*,
и обратно, X* есть группа характеров группы Я.
Так как р* есть характер группы Я, то р*£Х*. Обозначим
через Р какой-либо элемент класса смежности р*. Тогда Р (х) = р* (х)
при х£Н, Если теперь $(у)фО, то утверждение наше доказано.
Пусть р (у) = 0. Так как у не входит в Я, то существует такой
элемент убФ, что у(у)ф0. Положим a = p + Y- Тогда а(у) =
= Р(#Н - У(у) = У(у) Ф0- В то же время а(х) = $(х) при х б Я,
ибо у (х) = 0, так как у £ Ф.
§ 32. Простейшие примеры и предварительные сведения
Здесь будут рассмотрены группы характеров простейших групп.
Для них будет установлена справедливость теоремы 32. Это послу?
жит нам не только конкретным примером, но и основой для
доказательства теоремы 32 в ее общем виде.
Прежде всего установим некоторые свойства группы К
(см. § 30, А)).
А) Всякая подгруппа N группы К либо совпадает с К, либо
конечна и имеет порядок г, г = 1, 2, ... В этом последнем
случае все элементы группы iV выражаются в виде
ff /7=0, 1, .... Г-1 (1)
(см. § 30, А)). Таким образом, N есть циклическая группа с
образующей — . Когда iV конечна, то ее можно охарактеризовать как
составленную из всех элементов группы К, имеющих конечные
порядки, которые являются делителями числа г.
Допустим, что группа iV бесконечна. Тогда в К существует
элемент, предельный для подмножества N, и следовательно, в N
существуют два элемента а и 6, произвольно близкие друг к другу.
Разность с = а—Ъ произвольно близка к нулю, а ее кратные пс,

§ 32. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ И ПРЕДВАРИТЕЛЬН ЫЕ СВЕДЕНИЯ 165
я=1, 2, ..., принадлежа N, произвольно плотно заполняют
группу К. Так как N есть замкнутое в К множество, то,
следовательно, N = К.
Разберем теперь случай конечной группы N порядка г. Если
a £ N, то га = О, а это значит, что элемент а в числовом виде
представляется в форме —. Очевидно, что всякий элемент вида
— может быть записан в виде —, где 0 ^/?</*. Совокупность
всех элементов —, /7 = 0, 1, ..., л— 1, образует группу порядка г;
отсюда мы заключаем, что N и составлена из всех элементов
вида (1), ибо элементы, не представимые в форме (1), не могут
войти в группу N, а элементов вида (1) имеется ровно г.
В) Существуют лишь два автоморфизма группы К, один
тождественный: а(х) = х, и другой, р, для которого $(х) =— х.
Пусть у— произвольный автоморфизм группы Л\ Единственный
элемент порядка 2 группы К есть у (см. А)), поэтому у ( — ) = у.
Далее, в К существуют лишь два элемента порядка 4, именно-
11 / 1 \ 1 / 1 \
и —_; поэтому возможны два случая: у(~|= — и 7(т)~
= — -j. Эти случаи осуществляются соответственно
автоморфизмами а и р. Покажем, что других автоморфизмов не существует.
Рассмотрим случай У[-т)=-г- Элемент -g- может при автомор-
13 5 7
физме у перейти лишь в элементы "§"» "о"» "о"» у > но так как
автоморфизм у есть непрерывное отображение, то он сохраняет
циклический порядок на К, и зная, что
v<o)-o, v(4H. т(±Н- т(|).
_3_
4'
мы заключаем, что y("q~) = ir- Продолжая такие же
рассмотрения дальше, мы убедимся, что у (^ ) =-^г- Умножая последнее
равенство на произвольное положительное целое число m < 2п,
получаем Ч\^)=-£г- Из непрерывности автоморфизма у и
последнего соотношения заключаем, что у есть тождественный
автоморфизм. Точно так же разбирается и случай 71 т)= — "Т;
именно, тогда v = P-
С) Всякий гомоморфизм а группы К самое в себя выражается
в форме а(х) = тх, где m есть некоторое целое число,
характеризующее гомоморфизм а, а = аш. Если ат и ап суть два
гомоморфизма группы К в К, т. е. два характера, то а^ + а^а^^

166 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пусть N—ядро гомоморфизма а. Согласно замечанию А) N
либо совпадает с К> либо конечно и характеризуется
положительным числом г. Если N-=K, то мы имеем случай а (х) = 0-х.
Допустим, что N конечно. Тогда факторгруппа K' = KlN, как
легко видеть, изоморфна группе /С. Теперь речь идет о том, каким
образом К' можно изоморфно отобразить на /С, ибо на подгруппу
группы К группу К' изоморфно отобразить нельзя. В силу
замечания В) существуют лишь два изоморфных отображения группы
К' на К, и они соответствуют двум различным случаям: а(х) = гх
и а (х) = — гх. Таким образом, утверждение С) доказано.
D) Пусть G—бесконечная циклическая группа, т. е. группа,
изоморфная аддитивной группе целых чисел. Тогда всякий
характер а группы G задается соотношением a(ng) = na, где
g—образующая группы G, а а—произвольный элемент группы К. Элемент
а определяет характер а, а = ад. Сумма двух характеров
определяется по формуле аа + аь = аа+ь.
Утверждение D) очевидно.
E) Пусть G—конечная циклическая группа порядка г. Тогда
всякий характер а группы G определяется соотношением a(ng) =
~Пу> где g—образующая группы G, а ~—элемент группы К,
.записанный в числовой форме. Характер а определяется
элементом -2-, а^а^. Сумма двух характеров определяется по формуле
г г г
Утверждение Е) непосредственно следует из замечания А).
F) Пусть G—дискретная бесконечная циклическая группа
и X — группа характеров группы G. Тогда X изоморфна группе'
К и теорема 32 для пары G, X выполнена.
Утверждение это непосредственно следует из замечаний D)
и С).
G) Пусть G—конечная циклическая группа и X — группа ее
характеров. Тогда X изоморфна G и теорема 32 выполнена для
лары G, X.
Утверждение это непосредственно следует из замечания Е).
Н) Пусть G—топологическая аддитивная группа всех
действительных чисел. Тогда всякий характер а группы G выражается
в форме a(x) — dx, где х—произвольный элемент группы G,
d—действительное число, определяющее характер a, a = arf, и
правая часть берется с точностью до целочисленного слагаемого.
Сумма двух характеров группы G определяется формулой
Пусть N—ядро гомоморфизма а. Если A^ = G, то мы имеем
■случай а(х) = 0-х. Если iV не совпадает с G, то нетрудно видеть,
•что в N существует наименьшее положительное число t и N есть
^бесконечная циклическая группа с образующей t. Тогда группа

§ 32. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 167
/\' = G/N изоморфна группе К и речь идет о том, чтобы группу
К' изоморфно отобразить на Л\ Согласно замечанию В)
существуют лишь две такие возможности, и мы имеем здесь два случая:
а (х) = -гх и а(*) = —-fXu Таким образом, утверждение Н)
доказано.
1) Пусть G—топологическая аддитивная группа всех
действительных чисел и X — группа характеров группы G. Тогда X
изоморфна G и теорема 32 выполнена для пары G, X.
Утверждение это непосредственно следует из замечания Н).
Следующее предложение позволяет построить группы
характеров и доказать теоремы 32 для более широкого класса групп:
Теорема 36. Пусть
Glf ..., Gr (2>
— конечная система топологических групп. Обозначим через Хг
группу характеров группы Gz. Пусть, далее, G—прямая сумма,
групп системы (2) и X — прямая сумма групп
Xlf ..., Хг. (3)
Тогда X естественным образом является группой характеров
группы G. Более полно: если х=(х19 ..., хг)—элемент группы G
и а=(а19 ..., аг)—элемент группы X, то характер а группы-
G определяется соотношением
а (х) = а1(х1)+ ...+ аг (хг). (4>
Далее, если для групп системы (2) выполнена теорема 32, то и.
для группы G она также выполнена.
Доказательство. Очевидно, прежде всего, что
соотношение (4) действительно дает характер группы G. Пусть, далее,
а—произвольный характер группы G. Так как группы системьг
(2) можно рассматривать как подгруппы группы G, то характер-
ос' определен и для группы Gz, точнее говоря, характеру а'
соответствует определенный характер а- группы G{. Нетрудно теперь-
проверить, что а' = (о^, ..., а'г). Таким образом, множество X
действительно содержит все характеры группы G. Точно так же
нетрудно проверить, что X есть группа характеров группы G.
Пусть теперь х' — произвольный характер группы X. Точно
так же, как и выше, ему соответствует определенный характер*
х\ группы X,-. Так как по предположению теорема 32 верна для
пары G£, Xh то x'i^Gi- Таким образом, в G существует элемент
(х[, ..., x'r)=xf. Нетрудно проверить, что x'=x"£G.
Таким образом, теорема 36 полностью доказана.
J) Если дискретная группа G допускает конечную систему
образующих (см. § 6, В)) и X есть группа характеров группы G,
то теорема 32 выполнена для пары G, X. Группу X мы будем
называть обобщенной торовидной группой.

168 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Утверждение это непосредственно следует из предложения F)
§ 6, теоремы 36 и замечаний G), F).
К) Пусть G—дискретная группа, допускающая конечную
систему линейно независимых образующих (см. § 6, А), В)), и
X — группа характеров группы G. Тогда X распадается в
прямую сумму конечного числа групп, изоморфных группе К, на
основании чего мы будем называть группу X торовидной
группой. Обобщенная торовидная группа (см. J)) распадается в
прямую сумму торовидной группы и конечной группы.
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из
предложения F) § 6, теоремы 36 и замечаний G), F).
L) Пусть G—аддитивная топологическая группа векторов
и X — группа характеров группы G. Тогда X изоморфна группе
G и для пары G, X выполнена теорема 32.
Так как векторная группа G распадается в прямую сумму
групп, изоморфных группе действительных чисел, то
утверждение L) непосредственно следует из теоремы 36 и замечания 1).
Сделаем теперь два предварительных замечания общего
характера.
Лемма. Пусть G—топологическая группа и Я—такая ее под-
.группа, что факторгруппа G/H дискретна. Пусть, далее, Р—
некоторый характер группы Н и g—элемент группы G, не
принадлежащий подгруппе Н. Тогда характер р можно
распространить в некоторый характер а всей группы G так, что при этом
а (g) Ф 0- Таким образом, наша лемма утверждает справедливость
теоремы 35 для случая, когда факторгруппа G/H дискретна.
Доказательство. Так как факторгруппа G/H дискретна, то
•существует лишь счетное число классов смежности группы G по
подгруппе Я. Выберем из каждого класса смежности по одному
элементу и обозначим их через
ffi. •••> g„. •••> (5)
причем будем считать, что gx = g. Обозначим, далее, через Нп
минимальную подгруппу группы G, содержащую подгруппу Я
и конечную систему элементов g±, . .., gn, и через Я0—саму
подгруппу Я. Построим теперь индуктивно последовательность
характеров
Ро = Р, Plf ♦.., Рл> .... (6)
где Р/1+1 есть характер группы Нп+1 и является продолжением
.характера р„. После того как построение последовательности (6)
будет проведено, лемма окажется доказанной: характер а мы
определим, положив а = $п на группе Нп. Так как всякий
элемент группы G входит в одну из групп Ял, то а будет
определен на всей группе G. Непрерывность гомоморфизма а будет
обеспечена тем, что на Я он совпадает с р, а так как Я содержит
.окрестность нуля группы G, то из непрерывности р следует и

§ 32. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 169
непрерывность а (см. § 19, В)). Таким образом, нужно будет еще
проследить лишь за тем, чтобы a (g) Ф 0.
Допустим, что гомоморфизм р„ уже построен, и построим
гомоморфизм р„+1. При построении следует различать три случая:
a) Если элемент gn+1£Hn, то Нп+1 = Нп, и тогда мы положим
Pn + l^P*-
b) Если никакое кратное элемента gn+1 не входит в подгруппу-
Ял, то каждый элемент х£ Нп+1 представляется однозначно в форме-
х = у + mgn+^ где у£Нп, а т есть целое число. Тогда мы
положим
P« + i(*)=P„(0)+"WI.
где а есть произвольный элемент группы К. В случае п = 0 мы
предположим еще, что а Ф 0, чтобы рх (g) не обращалось в нуль.
Если x = y + mgn + l и х' = у'' + m'gn+1 суть два произвольных
элемента группы Hn+li то мы имеем
= р„ (у) + та + р„ (у') + /п'а = p„+i (*) + ря+1 (*').
Таким образом, р„+г есть характер группы Нп+1.
c) Пусть теперь существует такое целое число г>1, что
rgn+i€.Hn. Допустим, что г есть наименьшее число,
удовлетворяющее этому условию. Тогда каждый элемент х группы Нп+1.
однозначно записывается в форме x = y + mgn+1, где у£Нп, а-
т—целое неотрицательное число, меньшее г. Пусть теперь а —
такой элемент из А', что ra = fin(rgn+1). Элемент а,
удовлетворяющий этому условию, всегда найдется и даже не один. Поэтому
при я=-0 мы можем предположить, что афО. Характер P„+L
определим теперь соотношением
P«+iW = P»(y) + ^fl-
Пусть x = yJrmgn+1 и х' = yr + m'gn+1—два произвольных
элемента группы Нп+1. Обозначим через / число, равное нулю, если
/n + m'<r, и равное единице, если т+ т! ^г, так что
0^:т + т'— jr < г. Мы имеем тогда
Ря+1 (х + х') = Р„ {у + у1 + jrgn+1) -f (m + m' —/r) a =
= P» (У) + P* (У') + /Ря (^«+i) + ma + m'a—jra =
= $n(y) + ma + $n(y') + m'a = $n+i(x) + $n+1(x').
Таким образом, рд+1 есть характер группы Яи+1.
Итак, лемма доказана.
Следствием этой леммы является следующее предложение:
М) Пусть X — группа характеров группы G и Я—такая
подгруппа группы G, что G/Я дискретна. Положим Ф = (Х, Я)
(см. определение 35). Тогда Я имеет своей группой характеров,
группу Х*=Х/Ф. Более полно это означает следующее.

170 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Если а и а' суть два элемента * группы X, принадлежащие
одному и тому же классу смежности по подгруппе Ф, то
характеры а и а' совпадают на Я; таким образом, каждый элемент
группы X* можно рассматривать как некоторый характер группы
Я, и X* как множество этих характеров вместе с его
первоначальной топологией и алгеброй представляет собой группу
характеров группы Я.
Обозначим через X** группу характеров группы Я. Каждый
характер а группы G определяет на подгруппе Я некоторый
характер г|э(а). Тривиальным образом проверяется, что
отображение -ф есть гомоморфное отображение абстрактной группы X
в абстрактную группу X*'. Нетрудно также убедиться в том, что
отображение г|э непрерывно. Несколько вольно мы можем
выразить это, сказав, что гомоморфизмы, близкие на G, будут близки
и на Я. Из того, что каждый характер группы Я может быть
продолжен в некоторый характер группы G (см. выше лемму),
следует, что отображение г|э есть отображение на всю группу
X* . Далее, характер а£ X обращается в нуль на группе Я тогда
и только тогда, когда а£Ф. Следовательно, ядро гомоморфизма
г|; есть Ф. В силу теорем 13 и 12 группа X*' изоморфна Х/Ф и,
таким образом, утверждение М) доказано.
Пример 47. Пусть G—компактная коммутативная
топологическая группа. Если g(x) есть некоторое линейное
представление первой степени группы G (см. определение 32), то будем
рассматривать g(x) не как матрицу первого порядка, а просто
как число. Число это, как легко видеть, по модулю равно
единице. Положим а (х) = n ^ • - Тогда а(х) есть действительное.
число, определенное с точностью до целочисленного слагаемого,
и следовательно, а(х) можно трактовать как элемент группы К
{см. § 30, А)). Нетрудно проверить, что а (х) есть характер группы G
{см. определение 34). Обратно, если Р(х) есть некоторый
характер группы G, то h(x)—e2ni^^ есть линейное представление
первой степени группы G.
Пусть G = K. Тогда gn (x) = e2ninx есть линейное представление
группы G=^K (см. пример 44), а соответствующий характер
ап (х) = П oni = пх' Множество ап (л), п = 0, ± 1, ± 2, ...,
.содержит все характеры группы К (см. С)), а потому
соответственное множество gn(x), n = 0, ±1, ±2, ..., дает полную
.систему линейных неприводимых представлений группы К- Таким
.образом, в силу теоремы 27 система функций gn (x), п=^0, ±1,
±2, ..., является полной ортогональной системой. И обратно,
из теоремы анализа о полноте этой системы функций следует
предложение С).

§33. КОМПАКТНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ
171
§ 33. Компактные и дискретные группы
Здесь для компактных и дискретных групп будут доказаны
те утверждения § 31, которые там были лишь формулированы-
По существу речь идет, конечно, только о теореме 32, так как:
теоремы 33 и 35 являются ее следствиями. Далее будет дана1
теорема 38, не имеющая аналога для общих локально компактных:
групп. В виде приложения результатов этого параграфа будут:
разобраны примеры 48 и 49, не лишенные общего значения.
А) Пусть G—дискретная группа и X — группа ее характеров;^
Тогда для пары G, X выполнена теорема 32. (Напомним, что
здесь группа X компактна в силу теоремы 31.)
Для доказательства воспользуемся замечанием С) § 31. Пусть
gi> • • • f ёп> • • • — совокупность всех элементов группы G.
Обозначим через Нп минимальную подгруппу группы G, содержащую
элементы
gi> •••> gn- (!)
Тогда группа Нп допускает конечную систему образующих,,
именно, систему (1). Далее, последовательность
#!, ..., Яя1 ... (2)
подгрупп — неубывающая и исчерпывает всю группу G, т. е.
всякий элемент x£G содержится в одном из членов
последовательности (2). Положим ФЛ=(Х, Нп) (см. определение 35). Так как
последовательность (2) не убывает, то последовательность
Фх, ..-, Фя, -.- (3)
не возрастает: Фп+1сФп, /г=1, 2, ... Так как, кроме того,
последовательность (2) охватывает всю группу G, то пересечение
всех элементов последовательности (3) содержит лишь нуль
группы X. Из этого мы заключаем, что для всякой окрестности V
нуля группы X найдется столь большой номер т, что
Ф-<=К (4)
(см. § 13, С)).
Покажем, что условие Ь) замечания С) § 31 здесь выполнено.
Пусть х—некоторый характер группы X и U—окрестность нуля
группы К, рассмотренная в замечании В) § 30. Обозначим через:
V такую окрестность нуля группы X, что x(V)aU. Из
соотношения (4) следует, что x(Om)cU; но в силу замечания В) § 30
мы заключаем отсюда, что л:(Ф,я) = 0. Таким образом, характер лг
группы X можно рассматривать как характер факторгруппы?
Х* = Х/ФЛ (см. теорему 34). В силу замечания М) § 32 группа
Н^ имеет своей группой характеров группу X*; но так как*
группа Нт допускает конечную систему образующих, то согласно
замечанию J) § 32 Нт есть в свою очередь группа характеров
группы X*. Таким образом, характер х группы X* содержится

172 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
среди элементов группы Нт, х£Нт, а это значит, что х как
характер группы X входит в группу G.
Покажем теперь, что и условие а) замечания С) § 31 здесь
выполнено. Пусть g—произвольный элемент группы G,
отличный от нуля. Обозначим через р нулевой характер нулевой
подгруппы группы G. Условия леммы § 32 здесь осуществлены и,
следовательно, существует такой характер а группы G, что
<*(£)^0.
Таким образом в силу замечания С) § 31 утверждение А)
доказано.
В} Для дискретной группы G теорема 33 выполнена.
Утверждение это является прямым следствием замечания Е)
§ 31 и предложения А).
Л ля того чтобы доказать теорему 32, в случае когда G есть
компактная группа, формулируем в терминах настоящей главы
тот единственный результат теории линейных представлений,
который нам вообще в этой главе понадобится.
C) Если G — компактная группа и а—ее элемент, отличный
от нуля, то существует такой характер а группы G, что а(а)Ф0.
В силу теоремы 28 существует такое неприводимое линейное
представление g группы G, что g(a) не есть единичная матрица.
В силу теоремы 26 неприводимое представление g имеет степень 1,
и следовательно, g(x) представляет собой унитарную матрицу
первого порядка. Мы будем рассматривать g(x) просто как
комплексное число, равное по модулю единице. Положим а (х) =
= п/ • • Тогда а (х) есть элемент группы /С, и так как g есть
линейное представление, то а есть характер группы G. Так как
£(а)ф1, то а (а) ФО.
D) Если G—компактная группа и X — группа ее характеров,
то для пары G, X выполнена теорема 32. (Напомним, что здесь
группа X дискретна в силу теоремы 31.)
При доказательстве будем опираться на замечание В) § 31.
Пусть G'— группа характеров группы X. В силу теоремы 31
группа G' компактна. Далее, в силу замечания В) § 31
существует естественное гомоморфное отображение ф группы G в
группу G'. Покажем, что отображение это изоморфно. В силу
замечания С) для всякого элемента a^G, отличного от нуля,
существует такой характер agX, что а(а)фО. Но это значит, что
характер ф (а) группы X не переводит элемент а в нуль,
следовательно, (р(а)Ф0. Таким образом, отображение ф есть
изоморфное отображение группы G на подгруппу ф (G) группы G',
ибо множество ф (G), будучи компактным, будет и замкнутым в
*G\ Мы будем считать просто, что изоморфизмом ф группа G
уложена в группу G', y(G) = G.
Покажем теперь, что G = G'. Допустим противоположное.
Тогда существует элемент &, входящий в G', но не входящий в G.

§33. КОМПАКТНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ
173
Факторгруппу G'/G обозначим через G*, а класс смежности,
содержащий элемент Ь, — через Ь*. Так как Ь не входит в G, то
Ь*фО. Следовательно, в силу замечания С) существует такой
характер а группы G*, что а(Ь*)фО. Характер факторгруппы G*
можно рассматривать как характер группы G' (см. теорему 34),
причем a (G) = 0. По построению G' есть группа характеров
группы X; но в силу предложения А) X есть в свою очередь
группа характеров группы G'. Таким образом, а£Х. Однако
характер а группы G' переводит всю группу G в нуль; так как
группа X первоначально была определена как группа характеров
группы G, то, значит, а есть нулевой элемент группы X; но
тогда a (&*) = 0. Таким образом, мы пришли к противоречию.
Следовательно, G' = G и утверждение D) доказано.
Е) Для компактной группы G выполнена теорема 33.
Утверждение это непосредственно следует из замечания Е)
§ 31 и предложения D).
Теорема 37. В случае, когда группа G компактна или
дискретна, все утверждения § 31 выполнены.
Доказательство. Утверждения теорем 32 и 33 доказаны
в А), В), D), Е). Что касается теоремы 35, то она тоже
выполнена, так как если группа G компактна или дискретна, то в
процессе доказательства этой теоремы встречаются лишь
компактные и дискретные группы (см. § 31, F)).
На этом можно было бы закончить рассмотрение компактных
и дискретных групп, однако для них имеется одно важное
предложение, не получающее, к сожалению, аналога в общем случае.
Определение 36. Пусть G—дискретная группа и X —
компактная группа. Мы будем говорить, что группы G и X образуют
пару, если установлен закон перемножения элементов группы G
с элементами группы X, именно, каждой паре элементов xgG,
igX поставлен в соответствие элемент а£К, называемый
произведением элементов х и £: хЕ> = \х = а£К. При этом должны быть
выполнены два условия дистрибутивности и условие
непрерывности произведения. Условия дистрибутивности имеют следующий
вид: (х + х) % = xl + x'£n *(§ + £') = *£ + *£'• Условие
непрерывности таково: если lim £„ = £, где £„6Х, /г=1, 2, ...,и £gX,
Л-> сю
то lim х%п = х%у где х—произвольный элемент из G.
Пусть Н—подгруппа группы G. Аннулятором (X, Я) мы
назовем множество всех таких элементов 1 группы X, что х% = 0
при всяком х£Н. Точно так же введем и аннулятор (G, Ф), где
Ф есть подгруппа группы X. Нетрудно показать, что аннуля-
торы суть подгруппы.
Если для пары G, X выполнены условия
(G, Х) = {0}, (X, G)={0},
то эту пару будем называть ортогональной.

174 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
F) Если G и X образуют пару, то каждый элемент xgG,
естественно, представляет собой некоторый характер группы X. Для
того чтобы определить характер х, достаточно положить х(Е)~х\,
где правая часть определена, так как G и X образуют пару
(см. определение 36). Точно так же и каждый элемент \ группы
X является характером группы G.
Следующая теорема, весьма удобная для приложений,
является простым следствием теории характеров:
Теорема 38. Если G и X образуют ортогональную пару, то
каждая из этих групп является группой характеров для другой.
Доказательство. Пусть G' — группа характеров группы X.
Так как X компактна, то G' дискретна (см. теорему 31).
Согласно замечанию F) каждый элемент х £ G представляет собой
характер группы X; характер этот мы обозначим теперь через
х' = ф(х). Пользуясь теми же соображениями, что и при
доказательстве замечания В) § 31, легко показать, что отображение ф
группы G в группу G' является гомоморфным. Доказательство
здесь чрезвычайно упрощается тем, что обе группы G и G'
дискретны, и следовательно, все топологические рассмотрения
отпадают. Нетрудно видеть, далее, что отображение ф изоморфно.
Действительно, пусть а—произвольный элемент группы G,
отличный от нуля. Так как группы G и X ортогональны, то
существует такой элемент agX, что аафО, а это значит, что
характер ф(а) — не нулевой. Таким образом, ф есть изоморфное
отображение группы G на подгруппу G" группы G'. В силу
ортогональности тлы имеем (X, G")={0}. Но так как G' есть группа
характеров группы X, то в силу теорем 32 и 33 (см. теорему 37)
получаем G"=(G', {0}) = G'. Таким образом, G"=G' и группа G
есть группа характеров группы X. Отсюда на основании
теоремы 32 (см. теорему 37) мы заключаем, что и группа X есть
группа характеров группы G.
Таким образом, теорема 38 доказана.
Доказательство аналогичной теоремы в общем случае локально
компактных групп не удается потому, что невозможно
утверждать, что G" есть подгруппа группы G', ибо подмножество G"
может быть незамкнуто в G'. Пример 50 (см. ниже) показывает,
что теорема 38 действительно неверна в общем случае.
В приводимых ниже примерах 48 и 49 будет показано, каким
образом топологические свойства группы X характеров
дискретной группы G связаны с алгебраическими свойствами группы G.
Пример 48. Пусть G—дискретная группа и X — группа ее
характеров. Покажем, что X тогда и только тогда связна, когда
группа G не имеет элементов конечного порядка.
Допустим, что в G имеется элемент а конечного порядка
г > 1. Через Я обозначим циклическую подгруппу группы G с
образующей а. Группа Я конечна, и порядок ее равен г.
Положим Ф=(Х, Я). Тогда в силу теоремы 33 (см. теорему 37) имеем

§33. КОМПАКТНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ ГРУППЫ
175
#-=(G, Ф). Далее, в силу теоремы 32 (см. теорему 37) группа G
есть группа характеров группы X. Из этого на основании
теоремы 34 заключаем, что группа Х/Ф имеет своей группой
характеров группу Я, но тогда и группа Х/Ф есть группа характеров
группы Я. В силу замечания G) § 32 заключаем, что группа
Х/Ф имеет конечный порядок г. Таким образом, группу X
можно непрерывно отобразить на конечное множество Х/Ф,
содержащее больше одного элемента. Но это значит, что X не
связна.
Допустим теперь, что X не связна, и обозначим через X'
компоненту нуля группы X (см. § 22, А)). Тогда факторгруппа
Х/Х' = Х* нульмерна (см. § 22, С)). Выделим в X* весьма малую
открытую подгруппу Ф* (см. теорему 17); тогда Х*/Ф* есть
конечная группа (см. § 22, Е)). Прообраз группы Ф* в группе X
при естественном гомоморфном отображении обозначим через Ф.
Тогда Х/Ф также конечна и содержит больше одного элемента.
Положим H=(G, Ф). Тогда Я есть группа характеров группы
Х/Ф, и следовательно, Я есть конечная подгруппа группы G,
т. е. G содержит элементы конечного порядка.
Пример 49. Пусть G—дискретная группа и X — группа ее
характеров. Покажем, что размерность группы X равна рангу
группы G (см. определение 40 и § 6, А)).
Допустим, что ранг группы G конечен и равен г. Покажем,
что тогда размерность группы X не превосходит г. Пусть Нп,
/г = 1, 2, ..., — возрастающая последовательность подгрупп
группы G, охватывающая всю группу G, причем каждая группа этой
последовательности допускает конечную систему образующих.
Положим Ф„ = (Х, Нп). Тогда группой характеров группы Нп
является группа Х* = Х/Ф„. Так как Нп допускает конечную
систему образующих, то X* есть обобщенная торовидная группа
(см. § 32, J)), и непосредственно видно, что размерность группы
X* равна рангу группы Нп\ но очевидно, что ранг группы Нп
не превосходит г. Так как группа Ф„ по своему построению
произвольно мала, то из предыдущего легко вывести, что
размерность самой группы X не превосходит числа г (см. § 44, F)).
Для оценки размерности группы X снизу рассмотрим
компоненту нуля X' группы X. Положим Я = (й, X'). Из тех же
рассмотрений, что и в примере 48, легко следует, что Я
составлена из всех элементов группы G, имеющих конечный порядок.
Таким образом, группа G* = G/H уже не имеет элементов
конечного порядка и ранг ее равен рангу группы G. Сверх того, группа
характеров группы G* есть X'. Покажем, что размерность
группы X' не меньше ранга группы G*. Этим все рассмотрение будет
закончено.
Пусть
■#1» • • • > «£/?»
(5)

176 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
— полная система линейно независимых элементов группы G*.
Тогда каждый элемент х группы G* линейно выражается через
элементы системы (5) с рациональными коэффициентами (так как
в G* нет элементов конечного порядка, то деление в G* всегда
однозначно, хотя и не всегда возможно). Пусть
dlf ..., dn, ... (6)
—конечная система действительных чисел. Исходя из системы (6),
п
определим характер а группы G*. Пусть л: =--2 rixi> тогда поло-
п
жим а (х) = 2 гАп гДе правая часть рассматривается как элемент
группы К, т. е. редуцируется по модулю 1. Характер а, таким
образом, определен. Он зависит от п действительных параметров,
и следовательно, размерность группы X' не меньше п (см. § 44, В), С)).
Но п есть произвольное число, не превосходящее числа
элементов последовательности (5), т. е. п—произвольное число, не
превосходящее ранга группы G*. Таким образом, размерность
группы X' не меньше ранга группы G*, а следовательно, размерность
группы X не меньше ранга группы G. В соединении с
доказанным выше получаем, что размерность группы X равна рангу
группы G.
Пример 50. Пусть G—дискретная группа с двумя линейно
независимыми образующими а и Ь. Через D обозначим
аддитивную топологическую группу действительных чисел. Определим
закон перемножения элементов группы G с элементами группы D
(см. определение 36), исходя из двух действительных чисел а и.
Р, отношение которых -g- иррационально. Именно, произведение
элемента x = ma-\-nb^G с элементом d£D определим, положив
xd=dma + dn$, где правая часть рассматривается как элемент
группы К, т. е. редуцируется по модулю 1. Легко видеть, что
определенный таким образом закон перемножения удовлетворяет
условиям дистрибутивности и любым естественным требованиям
непрерывности. Далее, группы G и D ортогональны в смысле
определения 36. Действительно, xd = d (та + п$) может быть равно
нулю (mod 1) для всех dgD, лишь если х=0\ далее, если dg
£ (Д G), то мы имеем da=0, rfp = 0 (конечно, здесь
подразумеваются сравнения по модулю 1, так что в обычном числовом
смысле эти равенства должны быть переписаны так: da^m,
dp = л, где т и п—целые числа); но это невозможно, если d^=0,
ибо отношение -g- по предположению иррационально.
Однако очевидно, что ни одна из групп G и D не есть группа
характеров для другой. Таким образом, теорема 38 для общих
локально компактных групп неверна.

§ 34. ПРЯМАЯ СУММА ДЛЯ ГРУППЫ И ЕЕ ГРУППЫ ХАРАКТЕРОВ 177
Пример 51. Пусть а1? ..., аг—конечная система линейно
независимых иррациональных чисел, т. е. такая, что сумма
п1а1+ ... +пгап где коэффициенты—целые, может быть целым
числом, лишь если все коэффициенты обращаются в нуль.
Покажем, что каковы бы ни были положительное число г и система
действительных чисел du ..., dn всегда найдутся система целых
чисел п19 ..., пг и целое число т такие, что
\mat—dt—/z/]<s, f=l, ..., г.
Это предложение представляет собой элементарную теорему
теории аппроксимаций действительных чисел целочисленными
кратными иррациональных. Мы ее докажем, пользуясь
результатами теории характеров. Это доказательство представляет тот
интерес, что первоначальное изложение теории характеров [28]
опиралось на формулированную теорему теории иррациональных
чисел.
Пусть G—дискретная группа с г линейно независимыми
образующими а19 . .., аг. Каждому целому числу т поставим в
соответствие характер Р/л группы G следующим образом. Если
х = пгаг + ... + пгап то положим р„ (х) =■ т (ща-^ + ... + пгаг)9 где
правая часть рассматривается как элемент группы К, т. е.
редуцируется по модулю 1. Легко видеть, что $m + fin = $m+n- Таким
образом, множество А всех характеров вида $т образует группу.
Обозначим через X группу характеров группы G. Тогда А есть
подгруппа абстрактной группы X. Обозначим через Ф замыкание
множества А в X. Легко видеть, что если pOT(x) = Q при всяком
т, то х = 0\ это следует из линейной независимости чисел ос,..
Отсюда мы заключаем, что (G, Ф) = {0}, а из этого на основании
теоремы 33 получаем равенство Ф=Х. Таким образом,
множество А всюду плотно в X, т. е. всякий характер р группы G
можно приблизить с произвольной точностью характерами вида
Рт. Из этого последнего предложения утверждение доказываемой
теоремы следует непосредственно. Действительно, если dl9 ..., dr —
заданные числа, то определим характер р группы G, положив
P(0/) = d/, £=1, ..., г, где правая часть понимается как
элемент группы /С. Аппроксимируя характер р характерами pOT, мы
получаем нужные нам соотношения.
§ 34. Прямая сумма для группы и ее группы характеров
Установленная в предыдущем параграфе связь между группой
G и ее группой характеров X для случая, когда G компактна
или дискретна, позволяет поставить в соответствие каждому
разложению в прямую сумму группы G некоторое определенное
разложение в прямую сумму группы X (см. определения 10* и 29).
Вопрос этот трактовался уже в теореме 36, но там был
рассмотрен лишь случай конечного числа слагаемых, здесь же мы будем

178 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
рассматривать одновременно как случай конечного, так и случай
бесконечного числа слагаемых; но зато придется ограничиться
лишь компактными и дискретными группами.
А) Пусть G—компактная или дискретная группа, X — группа
ее характеров, а М — некоторое множество подгрупп группы G.
Обозначим через Q совокупность всех подгрупп группы X вида
(X, Я), где Н £М. Обозначим, далее, через L минимальную
подгруппу группы G, содержащую все группы множества М, и через
Т—пересечение всех подгрупп множества Q. Тогда мы имеем
ЧГ=(Х, L), (1)
или, что то же,
L=(G, ¥). (2)
Из теоремы 33 (см. теорему 37) следует, что М составлено
яз всех групп вида (G, Ф), где OgQ. Положим
T' = (Xf Ц, (3)
L' = {G, ¥). (4)
При всякой Н£М имеем HczL и потому (X, H)zd(X, L) = W, т. е.
¥=)¥'. (5)
Далее, при всякой Ф£ Q имеем CDidY, а потому (G, CD)c:(G, ¥), т. е.
La U. (6)
В силу теоремы 33 имеем ЧГ=(Х, L'), а так как LaV, то
(X, L):d(X, L'), т. е. ^F'zd"1?. Последнее соотношение вместе с
соотношением (5) дает W = ¥. Таким образом утверждение А)
доказано.
Теорема 39. Пусть G—компактная или дискретная группа и X—
группа ее характеров. Допустим ,nmoG распадается в прямую сумму
счетной или конечной системы своих подгрупп Н±, . .., Нп, ...
Тогда существует одно и только одно разложение группы X
в прямую сумму подгрупп Фх, ..., Ф„, .. ., удовлетворяющее
следующим условиям:
a) При 1Ф] имеем
Ф,с(Х, Н}), (7)
или, что то же самое,
Hfa(G, Ф,). (8)
b) Группы Hi и Ф,- образуют ортогональную пару в силу
того закона перемножения, который имеется для групп G и X
{см. определение 36). Таким образом, группы Н( и Ф,. являются
группами характеров одна для другой (см. теорему 38).
Доказательство. Обозначим через Lk минимальную под-
Группу группы G, содержащую все подгруппы Н( за исключением

§ 34. ПРЯМАЯ СУММА ДЛЯ ГРУППЫ И ЕЕ ГРУППЫ ХАРАКТЕРОВ 179
лишь Hk. Далее, через Hk обозначим пересечение всех подгрупп L-t
за исключением лишь Lk. Непосредственно видно, что ЯjCzff',.
Покажем, что Н( = Щ.
Так как по условию (см. определения 10* и 29) пересечение
всех подгрупп L{ содержит лишь нуль, то пересечение Щг\Ь{
также содержит лишь нуль. Так как G распадается в прямую
сумму групп #,. и L£ (см. § 5, А*) и § 21, А)), то Ht+Lt.= G,
и следовательно, H't + L—G. Таким образом G распадается
в прямую сумму групп HI и L;. Допустим, что существует
элемент 2 g Н\, не входящий в Н{. Тогда z = х + у, где х £ Hh у £ L{,
ибо G распадается в прямую сумму подгрупп Н£ и L,.. Далее, мы
имеем х£Щ9 y£Li9 и, сверх того, z = z+0, где z<£Hi9 OgL,-.
Таким образом, если смотреть на G как на прямую сумму
групп Щ и Li9 то мы имеем два разложения элемента z: z = z + 0=
=х + у, следовательно, z = x> т. е. z^H(.
Итак, #;■ = #,..
Положим теперь Ф£. = (Х, L{), ЧГ1-=(Х, Я,). Из теоремы 37,
только что доказанного и предложения А) следует, что Wk есть
минимальная подгруппа, содержащая все подгруппы Ф,. за
исключением лишь ФкУ и что Ф^ есть пересечение всех
подгрупп Чг/ за исключением лишь Ч^. Так как минимальная
подгруппа, содержащая все группы Я,., совпадает с G, то
пересечение всех подгрупп y¥i содержит лишь нуль (см. А)). Далее, так
как пересечение всех подгрупп Lt- содержит лишь нуль, то
минимальная подгруппа, содержащая все подгруппы Ф,., совпадает с X.
Таким образом, X распадается в прямую сумму подгрупп
<Di, .... Фя, ...
Соотношения (7) и (8) очевидны. Покажем, что Н{ и Ф,-
образуют ортогональную пару. Пусть х£Н{, хфО, тогда имеется
элемент у^Х такой, что у(х)ф0. Положим Y = a+Р> где а^Ф,,
(3g¥z-. Так как ЧГ1. = (Х, Яг), то р(х) = 0, и следовательно, а(х)=
= у(х)ф0. Мы получаем, таким образом, (Я,., Ф/) = {0}. Ввиду
полной симметрии соотношений вполне аналогично доказывается,
что (Ф£., Я,) = {0}. Таким образом, группы Н{ и Ф,- действительно
ортогональны.
Допустим теперь, что существует другое разложение группы X
в прямую сумму, а именно подгрупп Ф^, ..., Ф^, ...,
удовлетворяющее условию а), т. е. такое, что при i Ф j имеем Ф^а (X, Яу).
Из этого соотношения следует, что Ф^-сЧ^ при гФ], т. е. Ф^сФ,-.
Обозначим через Ч^ минимальную подгруппу, содержащую все
подгруппы Ф>- за исключением лишь Ф£. Тогда ¥•<=:¥;. Так как
Ф^ + ^ = Х, то Ф-Ч-^г^Х. Так как пересечение Ф^-ПЧ^
содержит лишь нуль, то пересечение Ф;« П ¥,• содержит также лишь
нуль. Таким образом G распадается в прямую сумму подгрупп Ф-
и ¥.. Здесь мы имеем совершенно то же самое положение вещей,
что и рассмотренное в начале доказательства настоящей теоремы.
Как там было показано, что Н'£ = Н;, так и здесь совершенно

180 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
так же можно показать, что Ф^Ф.. Этим единственность
разложения группы X в прямую сумму, удовлетворяющую условию а),
доказана.
Итак теорема 39 доказана полностью.
Теорема 39 показывает, что изучение вопроса о разложении
в прямую сумму группы X вполне эквивалентно изучению вопроса
о разложении в прямую сумму группы G.
Главный интерес и значение теоремы 39 заключается в том,
что проблема разложения в прямую сумму компактной
коммутативной топологической группы сводится к проблеме разложения
в прямую сумму дискретной коммутативной группы.
§ 35. Локально компактные группы
В предыдущем параграфе было доказано, что всякая
компактная коммутативная группа является группой характеров
дискретной группы. Таким образом, дан метод конструкции общей
компактной коммутативной группы и изучение ее сведено к изучению
дискретной группы. Теперь перед нами стоит задача доказать
теорему 32 для групп локально компактных. Однако для этого
прежде всего придется весьма детально исследовать структуру
локально компактных коммутативных групп и уже на этой основе
перейти к доказательству теоремы 32. Лемма 1 (см. ниже)
позволяет свести все изучение локально компактной коммутативной
группы к уже проведенному изучению групп компактных.
Оказывается, что в основном общая локально компактная
коммутативная группа отличается от компактной лишь векторным прямым
слагаемым (см. теорему 41 и замечание Е)).
Лемма 1. Пусть G—локально компактная коммутативная
связная, но не компактная группа. Тогда в G существует
дискретная подгруппа D, допускающая конечную систему линейно
независимых образующих (си. §6, В)), такая, что факторгруппа G/D
компактна.
Для доказательства леммы 1 докажем предварительно
следующую лемму:
Лемма 2. Пусть G—связная коммутативная локально
компактная, но не компактная группа, и U—симметричная
окрестность нуля группы G, — U = U, замыкание которой U компактно.
Тогда в границе U' = U—U области U существует такой
элемент d, что из соотношения nd£U, где п—целое число, следует,
что п = 0. Таким образом, элемент d порождает дискретную
бесконечную циклическую подгруппу топологической группы G.
Доказательство. Положим UX=U и определим Un+1
индуктивно, положив
Ua+1 = Un + U. (1)
Так как U—область, то и Un—также область (см. § 16, С)).

§35 ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
181
Легко видеть, что
Ur + U, = Ur+s (2)
и
Ur+Ut=Ur+i. (3)
Так как U компактно, то Un также компактно (см. § 16, G)).
Положим
U'n = Un-Un. (4)
Так как Un компактно, то \]пф0, и ввиду связности G мы
заключаем, что U'n непусто.
Покажем, что
Ur + Us = Ur+s. (5)
Действительно, пусть a£Ur и b£Us. Так как Ь есть предельный
элемент для Us, то существует произвольно малый элемент с
такой, что Ь—с£ Us (произвольная малость понимается в том смысле,
.что с можно выбрать в произвольной окрестности нуля). Так
как с произвольно мал, то мы можем предположить, что а + с £ Ur>
ибо Ur есть область. Тогда мы имеем
a + b=(a + c) + (b—c)£Ur+s
(см. (2)). Таким образом, Ur+UsaUr+s. Обратное включение
очевидно.
Построим теперь бесконечную последовательность
dl3 ..., dn, ... (6)
элементов множества U такую, что
d±+...+dn^U9n (7)
при всяком п. Так как U'n непусто, то существует элемент сп g U'n.
В силу соотношения (3) элемент сп можно представить в форме
on = dUn+ ...+dntn, (8)
ГД& di%n£U, i=l, ..., п. Покажем, что при / < п имеем
g = dUn+...+df,n€U}. (9)
Действительно, пусть h = cn—g. Очевидно, g^U/9 h^Un_/-i но
так как g+ h = cn£U'n, то в силу соотношения (5) мы получаем
ё € Uj. Так как U компактно, то, пользуясь диагональным
процессом (см. теорему 9), можно выбрать такую последовательность
целых чисел пг, ..., nk, ..., что
lim ditnb = di (10)

182 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
существует при любом L Покажем, что
di+ ..-+d/€£/; (11>
при любом /. Действительно,
rfx + ... + dj = Iim {dlt „+...+ dh nh)
(cm. (10)), но так как сумма, стоящая под знаком предела в
последнем равенстве, принадлежит V] (см. (9)), то и левая часть
принадлежит Uj, ибо U) замкнуто. Таким образом,
последовательность (6) построена.
Покажем теперь, что для произвольной системы
ти .. ., тг (12;
различных натуральных чисел
a = dmi+ ...+dmr€U'r. (13)
Пусть п — натуральное число, превышающее все числа системы (12).
Тогда сумму
c=dx+ .-.+dn (14)
можно представить в виде с^ал-d. Очевидно, b£Un_n a^Ur.
Так как, сверх того, a + b£U'r (см. (7)), то a^Urr (см. (5)).
Пусть теперь d—какая-нибудь предельная точка
последовательности (6). Покажем, что
rd£U'r (15)
при любом целом положительном г.
Пусть V—произвольная окрестность элемента rd. Обозначим'
через W такую окрестность элемента d, что
rWaV. (16)
Так как элемент d является предельным для последовательности
(6), то в окрестности W существует система элементов dmi, . .., dmry
индексы у которых все различны. Из соотношения (13) следует,
что
a = dnil + ...+dmr€U'r. (17)
Таким образом, произвольная окрестность V элемента rd
пересекается с £/;, ибо a£V (см. (16) и (17)). Но множество U'r
замкнуто, поэтому rd£U'r.
Так как U'r не пересекается с U ни при каком значении г,
то элемент rd ни при каком целом положительном г не может
принадлежать U (см. (15)). Тогда в силу симметричности
окрестности U никакой вообще элемент nd с целым п не принадлежит £/,
за исключением лишь случая, когда п = 0.
Итак, лемма 2 доказана.

§35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
183
Доказательство леммы 1. Пусть U—симметричная
окрестность нуля группы G, — U = U> замыкание которой U
компактно. Будем индуктивно строить систему
Ar = {als . . ., аг] (18)
элементов группы G, удовлетворяющую следующим условиям:
a) Линейная форма 11^+ ...+пгаг с целочисленными
коэффициентами принадлежит U лишь при условии ni = 0i i= 1, ..., г.
b) at£U\ i=l, ..., г.
Обозначим через Dr множество всех линейных форм
/1^!+ ... +пгаг (19)
с целочисленными коэффициентами и покажем, что если система (18)
удовлетворяет условиям а) и Ь), то множество Dr есть дискретная
подгруппа группы G с системой линейно независимых
образующих (18). Прежде всего, ясно, что множество Dr есть подгруппа
абстрактной группы G. Далее, из условия а) следует, что если
^i«i + .. • + nrar = 0, то п—О, t=l, ..., г, а это значит, что
система (18) есть линейно независимая система образующих
группы Dr. Так как в окрестность U входит лишь нулевой элемент
группы Dn то группа Dr замкнута в топологическом
пространстве G и является дискретной подгруппой группы G.
Заметим, что в силу леммы 2 система элементов (18),
удовлетворяющих условиям а) и Ь), существует при г=\. Допустим,
что система (18) уже построена для r=s, и покажем, что
возможны два случая: 1) Факторгруппа G/Ds компактна; в этом
случае лемма 1 уже доказана. 2) Систему (18), заданную при r = s,
можно расширить до системы с г = s + 1 присоединением одного
элемента.
Допустим, что случай 1) не имеет места, т. е. факторгруппа
G* = G/DS не компактна. Пусть f—естественное гомоморфное
отображение группы G на группу G* (см. § 19, С)). В силу самого
построения окрестностей в факторгруппе G* (см. определение 24)
f(U) = U* есть окрестность нуля группы G*. Так как U
симметрична, то U* также симметрична, —U* = U*. Так как
U*af(U), (20)
то U* компактно. Покажем, что
U'*af(lJ'). (21)
Действительно, U*czf (U)\/ f(U') (см. (20)). Вычитая из обеих
частей этого включения множество U* = f(U), получаем U'*af(U').
Применим теперь к группе G* и ее окрестности U* лемму 2.
Пусть d*—такой элемент из /7*, что
из nd*£U* следует п = 0.
(22)

184 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Обозначим через as+1 такой элемент из U\ что f(as+1) = d*. Элемент
этот существует в силу соотношения (21). Нетрудно видеть теперь,
что система аг, ...,я5, as+1 удовлетворяет условиям а) и Ь).
Выполнение условия Ь) очевидно, так как as+1£ U'. Допустим теперь,
что
а = пгаг + ... + пsas + ns+1as+1 £ /У. (23)
Тогда f(a) = ns+1d*£U*, и следовательно, в силу (22) ns+1= 0.
Таким образом, линейная форма (23) принимает вид а = пхаг + ...
...+nsas. Но если теперь а£(/, то я,= 0, 1 = 1, ..., s, ибо
для системы As условие а) выполнено по предположению.
Таким образом, мы получили возможность индуктивно
расширять систему Дг каждый раз, когда группа G/Dn не компактна.
Но неограниченное такое расширение невозможно, ибо U'
компактно, а из условия а), в частности, следует, что разность at—а;,
где i=£j> не может принадлежать (/.
Итак, лемма 1 доказана.
Теорема 40. Пусть G—локально компактная группа, G'—
компонента нуля группы G (см. § 22, А)) и U—некоторая
окрестность нуля группы G. Если факторгруппа G/G' компактна, то
существует такая компактная подгруппа QczU группы G, что
факторгруппа G/Q распадается в прямую сумму торовидной
группы Т (см. § 32, К)), векторной группы А и конечной группы С.
Для доказательства теоремы 40 докажем предварительно
нижеследующие предложения А) и В).
А) Пусть G—локально компактная коммутативная связная
группа и D—ее дискретная подгруппа, допускающая конечную
систему линейно независимых образующих. Если факторгруппа G/D.
есть торовидная группа Г*, то группа G распадается в прямую
сумму векторной группы А и торовидной группы Т.
Группа Т* как торовидная распадается в прямую сумму
конечного числа г групп, изоморфных К (см. § 32. К)). Таким
образом, Т* можно рассматривать как факторгруппу A*/N', где А*
есть векторная группа размерности г, а N составлена из всех
векторов группы Л* с целочисленными координатами. Естественное
гомоморфное отображение группы Л* на Т* обозначим через /.
Точно так же естественное гомоморфное отображение группы G
на Т* обозначим через g\ Так как группы D и N дискретны, то
в малых окрестностях нулей отображения / и g взаимно
однозначны, следовательно, определено и однозначно отображение
g'1(f(x)) = h(x) (24)
окрестности U нуля группы А* на окрестность V нуля группы G.
Отображение h осуществляет локальный изоморфизм групп А* и G
(см. определение 30).
Продолжим теперь локальный изоморфизм h группы А* на
группу G в гомоморфизм W всей группы Л* на всю груп-

§ 35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
185
пу G. Пусть х—произвольный элемент группы Л*;
существует столь большое целое число /г, что — £ U; тогда мы
положим W (х) = nh ( — ). Нетрудно видеть, что этим соотношением
отображение W определено однозначно и представляет собой
гомоморфное отображение группы Л* на группу G. Далее, из
соотношения (24) следует, что
f(x) = g(h'(x)). (25)
Обозначим через N' ядро гомоморфизма ft'. Из соотношения (25)
следует, что N'aN. Далее, нетрудно видеть, что факторгруппа N/N'
изоморфна группе D. Из того, что факторгруппа N/N' не имеет
элементов конечного порядка (см. § 6, А)), следует, что систему
линейно независимых образующих
а19 ..., asy as+1, ..., ar (26)
группы N можно выбрать так, чтобы а19 . . ., as составили систему
образующих группы N'. Действительно, в силу замечания Е)
§ 6 в N можно выбрать систему линейно независимых
образующих (26) так, чтобы системой образующих группы N'
служили элементы dxa19 . .., dsas, где d{ > 0, i = 1, ..., s, и di+1
делится на dit i= 1, ..., s—1. Но нетрудно видеть, что если
факторгруппа не имеет элементов конечного порядка, то все dt
должны быть равны единице. Векторы системы (26) можно выбрать
за базис векторного пространства Л*. Пользуясь таким выбором
базиса, нетрудно усмотреть, что факторгруппа A*/N' = G
распадается в прямую сумму s групп, изоморфных группе К, и г—s
групп, изоморфных аддитивной группе действительных чисел.
Таким образом, G распадается в прямую сумму s-мерной
торовидной группы Т и (г—s)-MepHofi векторной группы Л, и
утверждение А) доказано.
В) Пусть G—локально компактная коммутативная группа,
G' — компонента нуля группы G и D—дискретная подгруппа
группы G', допускающая конечную систему линейно независимых
образующих. Если факторгруппа G/D есть обобщенная торовидная
группа, то группа G распадается в прямую сумму векторной
группы Л и обобщенной торовидной группы Т (см. § 32, J)).
Нетрудно видеть, что G'/D есть компонента нуля группы G/D;
а так как группа G/D есть обобщенная торовидная, то G'/D есть
торовидная группа (см. § 33, К)), и следовательно, группа G'
распадается согласно А) в прямую сумму векторной подгруппы Л
и торовидной подгруппы Т'.
Так как группа G/G\ как без труда вытекает из только что
сказанного, конечна, то ее можно разложить в прямую сумму
конечного числа конечных циклических групп Zlt .. ., Zk (см.
§ 6, F)). Образующую группы Z,- обозначим через z|, а некоторый

1£6 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
элемент из класса смежности г\ обозначим через z{. Если rt —
порядок группы Zh то r^-gG'. Тогда в группе G' существует
такой элемент xh что rixi = rizh ибо в группе G', являющейся
прямой суммой векторной и торовидной групп, всегда возможно
деление. Положим z\ = z{—xt. Тогда г^ = 0. Подгруппа С группы
G с образующими z'u . . ., z'k, как легко видеть, конечна, и
группа G распадается в прямую сумму подгрупп С и С; а так как
G' распадается в прямую сумму 4 и Г', то в силу замечания К)
§ 32 утверждение В) доказано.
Доказательство теоремы 40. Пусть D—дискретная
подгруппа группы G', допускающая конечную систему линейно
независимых образующих, такая, что факторгруппа G'/D компактна
(см. лемму 1). Так как факторгруппа G/G' по предположению
компактна и факторгруппа G'/D тоже компактна, то и
факторгруппа G/D = G* компактна (см. § 18, F)). Обозначим через /
естественное гомоморфное отображение группы G на группу G*.
Так как подгруппа D дискретна, то существует столь малая
симметричная окрестность V нуля группы G, что окрестность 4V
содержит лишь нулевой элемент группы D. Относительно V мы
предположим еще, что V компактно и входит в /У.
В силу теоремы 37 компактная группа G* есть группа
характеров некоторой дискретной группы X. Пусть Я1э ..., НпУ ...—
возрастающая последовательность 'подгрупп группы X,
охватывающая всю группу X, причем каждая группа Нп допускает
конечную систему образующих. Положим Q*n = (G*, Hn). Легко
видеть, что при достаточно большом номере т имеем Q*mcif (V)
(подробнее см. в доказательстве замечания А) § 33). Тогда
факторгруппа G*/Q^, будучи группой характеров группы Нт9
является обобщенной торовидной группой _(см. § 32, J)). Обозначим
через Q полный прообраз группы Q*m в V при отображении /.
Оказывается, что Q есть компактная подгруппа группы G,
пересечение которой с D содержит лишь нуль. Докажем только, что Q
есть подгруппа; остальное очевидно. Пусть а и Ь—два элемента
из Q, тогда f(a—b) = f(a) — f{b)(tQ*m, и существует,
следовательно, такой элемент cgQ, что f(c) = f(a—6), т. е. f (а—Ь—с)=^09
или, что то же, а—Ь—cgD. Так как, сверх того, а—Ь—c£3Va4V,
то а—Ь—с = 0, т. е. а—Ь = с£Q. Таким образом, Q есть группа.
Заметим, что полный прообраз группы Q*m в группе G при
отображении / есть D + Q. Таким образом, факторгруппа G/(D 4- Q)
изоморфна факторгруппе G*/Q*m (см. § 19, Е)). Факторгруппу G/Q
обозначим через Я, а образ группы D + Q в группе Я при
соответствующем гомоморфизме—через Е. Тогда факторгруппа Н/Е
изоморфна факторгруппе G/(D + Q) (см. § 19, Е)). Так как, да-,
лее, D n Q содержит лишь нуль, то Е изоморфна D (см. теорему 14),
Итак, группа Я содержит дискретную подгруппу £,
допускающую конечную систему линейно независимых образующих, такую,

35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
187
что факторгруппа Н/Е, изоморфная факторгруппе G*/Q*m, есть
обобщенная торовидная группа. Таким образом, в силу В)
группа Я распадается в прямую сумму векторной группы А и
обобщенной торовидной группы Т'. Итак, в силу замечания К) § 32
теорема 40 доказана.
C) Пусть G—локально компактная коммутативная группа
и G'— компонента нуля группы G. Если факторгруппа G/Gf
компактна, то в G существует компактная подгруппа Z такая, что
факторгруппа G/Z есть векторная группа. Подгруппа Z есть
максимальная компактная подгруппа группы G в том смысле, что
всякая другая компактная подгруппа Z' группы G содержится
в Z. Таким образом, подгруппа Z определена однозначно.
Пусть Q—такая компактная подгруппа группы G, что
факторгруппа G/Q = G* распадается в прямую сумму векторной
подгруппы А и обобщенной торовидной подгруппы Т (см. теорему 40).
Обозначим через Z полный прообраз группы Т в группе G. Так
как группы Т и Q компактны, то подгруппа Z также компактна
(см. § 18, F)). Далее, факторгруппы G/Z и G*/T изоморфны (см.
§ 19, Е)). Но так как факторгруппа G*/T, очевидно, изоморфна
векторной группе А (см. теорему 14), то и факторгруппа G/Z
изоморфна векторной группе Л, и для подгруппы Z первый пункт
утверждения С) доказан.
Пусть теперь Z' — произвольная компактная подгруппа
группы G. При гомоморфизме G на G/Z группа Z' переходит в
некоторую компактную подгруппу векторной группы А. Но
векторная группа содержит лишь одну компактную подгруппу, а именно
нулевую. Таким образом, при гомоморфизме G на G/Z подгруппа
Z' переходит в нулевую группу, и следовательно, Z'czZ. Тем
самым для подгруппы Z доказан и второй пункт утверждения С).
D) Если локально компактная коммутативная группа G
допускает компактную подгруппу Z такую, что факторгруппа G/Z=G*
есть связная группа, то группа G удовлетворяет условиям
замечания С), т. е. факторгруппа G/G\ где G' есть компонента нуля
группы G, компактна.
Положим H=G' + Z. Так как Z компактна, то Я есть
подгруппа группы G (см. § 20, D)). Покажем, что Н = G. Для этого
мы установим, что G/H содержит лишь нуль. Положим G/G^G**,
а образ группы Я в G** обозначим через Я**. Тогда группы G/H
и G**/H** изоморфны (см. § 19, Е)). Далее, группа G** нульмерна
(см. § 22, С)). Но тогда и группа G**/H** нульмерна.
Действительно, в группе G** существует произвольно малая открытая
компактная подгруппа Q** (см. теорему 17). Образ группы Q** в
группе G**/H** также является произвольно малой открытой
компактной подгруппой и потому G**/H** нульмерна (см. § 22, G)).
Таким образом, группа G/H нульмерна. С другой стороны, группа
G/H изоморфна некоторой факторгруппе группы G/Z (см. § 19, Е)),
но так как последняя связна, то и всякая ее факторгруппа связ-

188 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
на (см. § 11, Е)), т. е. G/H связна. Будучи нульмерной связной
группой, G/H содержит лишь нуль. Следовательно, H = G.
Таким образом, факторгруппа G/G' изоморфна факторгруппе
Z/Zr, где Z' есть пересечение G' [\Z (см. теорему 14); а так как
Z компактна, то и G/G' компактна (см. § 18, Е)).
На основании замечания С), естественно, возникает
правильная догадка, формулируемая следующей теоремой, которая играет
здесь основную роль:
Теорема 41. Пусть G —локально компактная коммутативная
группа и G'—компонента нуля группы G. Если факторгруппа
G/G' компактна, то группа G распадается в прямую сумму
компактной подгруппы Z и векторной подгруппы А. Здесь компакт-
пая подгруппа Z определена однозначно, а векторная подгруппа А
случайна, но ее размерность, разумеется, определяется группой G.
Доказательство. Пусть Z—максимальная компактная
подгруппа группы G (см. С)). Обозначим через
Ul9 ...,!/„, ... (27)
убывающую последовательность окрестностей нуля группы G
такую, что замыкание Un каждой окрестности Un компактно и
пересечение всех Un содержит лишь нуль группы G. Будем теперь
индуктивно строить последовательность подгрупп
G0 = G, Glf ..., Gn, ..., (28)
удовлетворяющую следующим условиям: a) Gn+1aGn; b)
пересечение Z[)GnaUn', с) групповая сумма Z-f GW = G; d) группы Gn
удовлетворяют условию замечания С).
Первый член последовательности (28) есть группа G;
предположим, что все группы до Gn уже построены, и построим Gn+1.
В силу теоремы 40 существует такая компактная подгруппа
QnczUn+1 группы Gn, что факторгруппа GjQn распадается
впрямую сумму векторной группы Ап и обобщенной торовидной
группы Тп. Прообраз группы Тп в группе Gn обозначим через Zn, a
прообраз группы Ап — через Gw+1. Очевидно, что Gn+1/Qn
изоморфна Ап, т. е. связна, и, значит, в силу замечания D) группа Gn+1
удовлетворяет условиям замечания С). Таким образом, для группы
Gn+1 выполнено требование d). Далее, мы имеем
G„+1nZ„ = Q„, (29)
и так как, очевидно, Gn+1 + Zn = Gn, то в силу теоремы 14 Gn/Zn
изоморфна векторной группе Л„. Следовательно, Zn есть
максимальная компактная подгруппа группы Gn (см. С)). Тогда
пересечение G„+1nZ, будучи компактной подгруппой группы Gn,
принадлежит Zn, и следовательно,
G^nZcG^nZ^cQ^c:^
(30)

§35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
189
(см. (29)). Таким образом, требование Ь) для группы Gn+1
выполнено. В силу предположения индукции G = Gn + Z; но Gn = Gn+1+Zn,
таким образом,
G = G„+i + Z„ + Z=Gn+1 + Z, (31)
ибо Z„, будучи компактной подгруппой группы G, должна
входить в Z (см. С)). Таким образом, группа Gn+1 удовлетворяет
также условию с). Так как условие а) выполнено автоматически,
то индукция проведена и мы можем предполагать существующей
всю последовательность (28).
Обозначим теперь через А пересечение всех подгрупп (28) и
покажем, что G распадается в прямую сумму подгруппы Z и
подгруппы А (см. определение 28).
Из условия Ь) следует, что пересечение Z и А содержит лишь
нуль. Покажем, что Z-j-A=G. Действительно, пусть
х—произвольный элемент группы G. Тогда в силу условия с) х = гп+ап,
где zw£Z, an£Gn. Так как группа Z компактна, то из
последовательности элементов гп можно выбрать подпоследовательность,
сходящуюся к некоторому элементу 2gZ. Тогда соответственная
подпоследовательность элементов ап будет сходиться к элементу
х—z = а, и мы имеем x = z+a. Так как все множества Gn
замкнуты, то а£Л. Таким образом, G^Z-f-Л и все требования
определения 28 выполнены.
Но подгруппа А изоморфна факторгруппе G/Z, а так как
эта последняя есть векторная группа, то и Л есть векторная
группа.
Таким образом, теорема 41 доказана.
Теорема 41 полностью вскрывает структуру локально
компактных групп некоторого весьма широкого класса. Следующее
замечание показывает, в каком отношении этот класс стоит к общим
локально компактным группам.
Е) Пусть G—произвольная локально компактная
коммутативная группа. Тогда в G существует подгруппа Я,
удовлетворяющая следующим условиям: а) факторгруппа G/H дискретна;
Ь) факторгруппа #/#', где Я'— компонента нуля группы Я,
компактна; таким образом, группа Я удовлетворяет условиям
теоремы 41.
Обозначим через G' компоненту нуля группы G. Тогда
факторгруппа G/Gf = G* нульмерна (см. § 22, С)). В силу теоремы 17
в G* существует компактная открытая подгруппа Я*. Прообраз
подгруппы Я* в группе G обозначим через Я. Тогда факторгруппа
G/H изоморфна факторгруппе G*/H* (см. § 19, Е)), а так как
последняя дискретна, то и G/H дискретна. Далее, так как
факторгруппа G/H дискретна, то компонента нуля Я' группы Я
совпадает с компонентой нуля группы G и Н/Н' изоморфна Я*; но
последняя по условию компактна. Таким образом, утверждение
Е) доказано.

190 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы теории
характеров для общих локально компактных групп. Для этого
предварительно докажем следующее:
F) Пусть G—произвольная локально компактная
коммутативная группа. Тогда в G существует расширяющаяся
последовательность подгрупп
#1, .... Ня9 ..., (32)
охватывающая всю группу G, удовлетворяющая следующим
условиям: а) факторгруппа G/Hn дискретна, Ь) каждая группа Нп
распадается в прямую сумму векторной группы Ап> компактной
группы Zn и дискретной группы Dn\ при этом можно
предположить даже, что дискретная группа Dn допускает конечную систему
линейно независимых образующих.
Пусть Я—подгруппа группы G, сконструированная в
замечании Е). Так как факторгруппа G* = G/H дискретна, то в ней
существует расширяющаяся последовательность подгрупп
#i, ..., #*, ..., (33)
охватывающая всю группу G*, причем каждая группа Нп
допускает конечную систему образующих. Прообраз группы Н*п в группе
G обозначим через Нп и покажем, что Нп распадается указанным
образом в прямую сумму трех слагаемых. Тот факт, что
факторгруппа G/Hn дискретна, очевиден, так как НаНп и G/H дискретна.
Группа Я* распадается в прямую сумму конечной группы G*n
и группы D*, допускающей конечную систему линейно
независимых образующих а{, ..., а*г (см. § 6, F)). Прообраз группы С* в
группе G обозначим через Сп. Тогда факторгруппа Сп/Н изоморф:
на группе С*п и, следовательно, конечна. Поэтому группа Сп
удовлетворяет условиям теоремы 41, ибо группа Я им удовлетворяет.
Таким образом группа Сп распадается в прямую сумму векторной
группы Ап и компактной группы Zw. Обозначим теперь через at
один из прообразов элемента а} в группе G, /= 1, ...,/*.
Подгруппу абстрактной группы G с образующими аг, ..., аг
обозначим через Dn. Нетрудно видеть, что Dn есть дискретная подгруппа
группы G и Нп распадается в прямую сумму групп Gn и Dn. Так
как по только что доказанному группа Сп распадается в прямую
сумму групп А„ и Zni то утверждение F) доказано.
Доказательство теоремы 32. Доказательство будет
опираться на замечание С) § 31. Пусть
#1, .... Ня, ... (34)
— последовательность подгрупп группы G, сконструированная в
предложении F). Обозначим через Хп группу характеров группы Ял.
Так как группа Нп разлагается в прямую сумму трех групп,
для каждой из которых теорема 32 уже доказана (см. § 32, J),L)
и § 33, D)), то в силу теоремы 36 группа Нп есть группа харак-

§ 35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
191
теров группы Х„. Поэтому всякий не нулевой элемент х € Нп
представляет собой не нулевой характер группы Х„, т. е. существует
элемент р£Хл такой, что
*(Р) = Р(*)¥=0. (35)
Покажем, что условие а) замечания С) § 31 выполнено для
группы G. Пусть х—некоторый элемент группы G, отличный от
нуля. Так как последовательность (34) охватывает всю группу G,
то существует такой номер /г, что х£Нп. В силу соотношения
(35) существует такой характер Р группы Нп, что р(х)=^=0. Так
как факторгруппа G/Hn дискретна, то характер р можно
продолжить в характер а всей группы G (см. лемму § 32), и
следовательно, мы имеем а (х) Ф 0.
Покажем, что условие Ь) замечания С) § 31 также выполнено
для группы G. Пусть X — группа характеров группы G. Положим
Ф„ = (Х, Нп) (см. определение 35). В силу теоремы 34 группа
G/Hn имеет своей группой характеров группу Ф„, а так как G/Hn
дискретна, то группа Ф„ компактна (см. теорему 31). Так как
последовательность (34) возрастающая, то последовательность
Ф* .... Фя, ... (36)
— убывающая; при этом, так как последовательность (34)
охватывает всю группу G, то пересечение всех групп
последовательности (36) содержит лишь нуль группы X. Из этого следует, что
для всякой окрестности V нуля группы X найдется столь
большой номер т, что
ФтаУ. (37)
Пусть теперь х—произвольный характер группы X и
U—окрестность нуля группы К, о которой говорится в замечании В)
§ 30. Пусть, далее, V—такая окрестность нуля группы X, что
x(V)aU. Мы имеем тогда x(Q)m)czU (см. (37)), и следовательно,.
*(Ф|я)= {0} (см. § 30, В)). В силу этого характер х группы X
можно рассматривать как характер факторгруппы Х/Ф/л (см.
теорему 34). В силу замечания М) § 32 факторгруппа Х/Ф^ есть
группа характеров группы #,Л, т. е. Хт = Х/Фт. По ранее
отмеченному Нт есть в свою очередь группа характеров группы Х/л,
и следовательно, x^Hmi а это значит, что х как характер группы
X входит в группу G.
Таким образом, в силу замечания С) § 31 теорема 32 доказана.
Доказательство теоремы 33. Так как теорема 32
доказана теперь для всех локально компактных групп, то теорема
33 следует из нее на основании замечания Е) § 31.
Доказательство теоремы 35. Так как теорема 32
доказана теперь для всех локально компактных групп, то теорема
35 следует из нее на основании замечания F) § 31.

192 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Итак, все результаты теории характеров, формулированные в
§31, доказаны для общих локально компактных коммутативных
групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности.
Теперь возникает естественный вопрос: чем объясняется
исключительная роль группы К в изложенной теории и не является
ли выбор ее случайным. Нижеследующее предложение дает ответ
на этот вопрос.
G) Пусть Q—некоторая локально компактная коммутативная
группа. Обозначим через К естественно определенную группу всех
гомоморфизмов группы К в группу Q. Через К обозначим группу
всех гомоморфизмов группы К в группу Q. Оказывается, что
группы К и К тогда и только тогда изоморфны, когда группа Q
изоморфна группе К- Таким образом, группа К является
единственной, которую можно положить в основу теории характеров
так, чтобы при этом выполнялась основная теорема 32.
Переходим к доказательству. Если К содержит только нуль,
то К также содержит лишь нуль, что противоречит
предположению об изоморфности групп К и К- Таким образом, существует
не нулевой гомоморфизм а группы К в группу G. При
гомоморфизме а группа К отображается на некоторую подгруппу К'
группы Q. Так как гомоморфизм а не нулевой, то К' изоморфна К
(см. § 32А)), хотя сам гомоморфизма и не обязательно должен
быть изоморфизмом. Итак, Q содержит подгруппу К , изоморфную
группе К.
Обозначим через Р максимальную компактную подгруппу ком.-
поненты нуля группы Q (см. § 35, С)). Тогда К'аР. Докажем,
что Р разлагается в прямую сумму подгруппы К' и некоторой
подгруппы Z/.
Обозначим через G группу характеров группы Р и положим
#=(G, К'). Тогда G/H есть группа характеров группы К', т. е.
G/H есть свободная циклическая группа (см. § 32, F)). Через г
обозначим один из прообразов образующей группы G/H в
группе G, а через Z—свободную циклическую подгруппу группы G с
образующей z. Легко видеть, что G распадается в прямую сумму
подгрупп Z и Я. Положим L' = (P,Z). Тогда Р распадается в
прямую сумму подгрупп К' и U (см. теоремы 37 и 39). Каждый
гомоморфизм р группы К в группу Q переводит К в Р, р(К)аР,
а так как группа Р распадается в прямую сумму подгрупп К' и
Z/, то группа К всех гомоморфизмов распадается в прямую сумму
подгрупп А и В, где А составлена из всех гомоморфизмов груп^
пы К в группу К'у а В — из всех гомоморфизмов группы К в
группу Z/. Таким образом А есть свободная циклическая группа;
природа группы В для нас не интересна.

§ 35. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ
193
Так как группа К распадается в прямую сумму своих
подгрупп Л и В, то группа К всех гомоморфизмов группы К в
группу Q распадается в прямую сумму подгрупп С и D, где С
изоморфна группе всех гомоморфизмов группы А в группу Q, a D
изоморфна группе всех гомоморфизмов группы В в группу Q.
Так как А есть свободная циклическая группа, то группа
всех гомоморфизмов группы А в группу Q, очевидно, изоморфна
самой группе О^Итак, группа С изоморфна группе Q.
Но группа К по предположению изоморфна группе /С, поэтому
Q изоморфна некоторой подгруппе группы К. Так как, сверх того,
Q содержит подгруппу К', изоморфную /С, то отсюда
непосредственно следует, что группа Q изоморфна группе К.
Итак, предложение G) доказано.
Предложение G) показывает, что группа К действительно
является исключительной и единственно пригодной для
исполнения принадлежащей ей роли. Эта роль группы К объясняется
тем ее характеристическим свойством, что всякая ее факторгруппа
либо содержит только нуль, либо изоморфна самой группе К.
Тем же свойством обладают еще конечные группы простых
порядков, но они как конечные не могут быть использованы для
построения теории характеров.
Пример 52. Пусть G—локально компактная группа и X —
группа ее характеров. В силу теоремы 41 компонента нуля G'
группы G распадается в прямую сумму векторной группы А и
компактной группы. Точно так же компонента нуля X' группы X
разлагается в прямую сумму векторной группы П и компактной
группы. Положим Н = (G, П). Пользуясь теоремами 32 и 33, можно
показать, что G распадается в прямую сумму подгрупп Я и Л,
причем группа Н имеет компактную компоненту нуля. Таким
образом, всякая локально компактная группа G распадается в
прямую сумму векторной подгруппы А и подгруппы Н с
компактной компонентой нуля.
Доказательство этого предложения предоставляется
читателю.
Будем называть теперь компактным элементом группы G такой
ее элемент, совокупность всех кратных которого содержится в
компактном подмножестве группы G. Оказывается, что
совокупность всех компактных элементов группы G составляет группу
(G, X') = Z, при этом факторгруппа G/Z уже не содержит
компактных элементов и распадается в прямую сумму векторной
группы и дискретной группы, не имеющей элементов конечного
порядка.
Если группа G нульмерна, то группа ее характеров содержит
лишь компактные элементы. Наоборот, если группа G содержит
лишь компактные элементы, то группа ее характеров нульмерна.
Доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

194 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
§ 36. Локально связные коммутативные группы
Здесь мы займемся исследованием локально компактных
коммутативных групп, удовлетворяющих весьма специальному
топологическому требованию локальной связности. Это позволит нам,
в частности, уяснить полнее локальную структуру общих локально
компактных коммутативных групп. Изучение локально связных
групп имеет еще тот интерес, что оно позволяет решить для
коммутативных групп так называемую пятую проблему Гильберта —
проблему установления структуры таких топологических групп,
у которых имеется окрестность, гомеоморфная области евклидова
пространства. Требование, высказанное в такой форме, крайне
трудно учесть применительно к топологическим группам и потому
его разумно заменить другим, более слабым, а именно
требованием локальной связности.
A) Топологическое пространство R называется локально связным >
если для всякой точки a g R и ее окрестности U существует такая
окрестность V той же точки, что прия^У найдется связное
множество Set/, содержащее точки а и х.
Топологическая группа называется локально связной, если
локально связно ее топологическое пространство.
Очевидно, что всякая область евклидова пространства
удовлетворяет требованию локальной связности.
B) Пусть G и G*—два топологических пространства, а / —
открытое непрерывное отображение пространства G на
пространство G* (см. § 18, С). Если пространство G локально связно, то
G* также локально связно.
Пусть а*—некоторая точка из G*, a U*—ее окрестность.
Обозначим через а такую точку из G, что f(a) = a*y а через U—та-'
кую ее окрестность, что f(U)aU*. Пусть, далее, У—такая
окрестность точки а, что если х (Е У, то существует связное множество
Set/, содержащее точки а и х. Положим V*=f(V); так как
отображение /—открытое, то У*—область в G*. Для каждой точки
Х*£У* найдется точка x£V такая, что f(x) = x*. Если теперь
SczU—связное множество, содержащее а и х> то S* = f(S)aU*
есть связное множество (см. § И, Е)), содержащее а* и х*. Таким
образом, G* локально связно.
Займемся прежде всего исследованием локальной
топологической структуры некоторых групп специального вида.
C) Пусть G—дискретная коммутативная группа конечного
ранга г (см. § 6, А)), не имеющая элементов конечного порядка,
и X—группа характеров группы G. Тогда существует окрестность
У нуля группы X, гомеоморфная топологическому произведению
пространств Е и Ф (см. определение 21), где £ есть внутренность
r-мерного куба, а для Ф возможны два случая: а) Ф содержит
лишь одну точку, и тогда группа G допускает конечную систему
линейно независимых образующих; Ь) Ф есть бесконечная ком-

§ 36. ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ 195
пактная нульмерная группа, и тогда группа G не имеет конечной
системы образующих.
Пусть
а19 ..., аг (1)
— система г линейно независимых элементов группы G. Исследуем
окрестность V нуля группы X, определенную компактным
множеством F, составленным из точек системы (1), и окрестностью U
нуля группы К (см. определение 34), состоящей из всех
элементов а группы /С, удовлетворяющих неравенству | а | < у (см.
§ 30, А)).
Каждый элемент х группы G единственным образом
представим в форме
x^s^-l-... +sran (2)
где sit f=l, ..., г, суть рациональные числа. Пусть
dlt ..., dr (3)
— система действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам
|d,l<T' i=L ■•-. г. (4)
Каждой системе чисел (3) поставим в соответствие характер
a (dlf ..., dr) = а (5)
группы G. Если xgG определяется соотношением (2), то а
определим, положив
а (х) = s±dL + ... + Sjdr,
где правая часть понимается как элемент группы /С, т. е.
редуцируется по модулю 1 (см. § 30, А)). Множество всех характеров
вида (5) обозначим через Е\ очевидно, что оно гомеоморфно
внутренности л-мерного куба. В силу неравенств (4) EaV'. Однако
обратное соотношение имеет место лишь в исключительных случаях.
Обозначим через Я подгруппу группы G, порожденную
элементами системы (1). Положим Ф' = (Х, Я), тогда Ф'сУ. Пусть
теперь у—произвольный характер из множества V и y(ai) = di9
/=1, ..., г, тогда |d/|<-j, ибо y£V; здесь dt мы
рассматриваем просто как действительное число. Положим а =^ a (d19 ..., dr)
(см. (5)), тогда P = v—а£Ф', ибо характеры уиа совпадают на
подгруппе Я. Таким образом, каждый элемент у g V представим
в форме v = a + P, где ag£\ Р^Ф'. Нетрудно видеть, что
представление это однозначно. Таким образом, окрестность V
распадается как бы в прямую сумму множества Е и подгруппы Ф'. Из
этого следует, что V гомеоморфна топологическому произведению
множества Е и множества Ф'.

196 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Выясним теперь строение множества Ф'. В силу теоремы 34
Ф' есть группа характеров группы G* = G/H. Если группа G*
конечна, то Ф' содержит лишь конечное число элементов. Тогда
Е есть область в V, и потому Е есть окрестность нуля группы X.
Мы имеем здесь случай а). Так как Н имеет конечную систему
образующих, то из конечности группы G* следует, что G также
допускает конечную систему образующих, а так как G вместе с тем
не имеет элементов конечного порядка, то она допускает
конечную систему линейно независимых образующих (см. § 6, F)). Если
группа G* бесконечна, то обозначим через Щ, ..., #*, ...
бесконечную возрастающую последовательность конечных подгрупп
группы G*, сумма которых совпадает с G*. Такого рода
последовательность в G* существует, так как каждый элемент группы G*,
как легко видеть, имеет конечный порядок. Положим Ф^ = (Ф\ #£).
Тогда пересечение всех групп убывающей последовательности
Фх, ..., Ф^, ... содержит лишь нуль и, следовательно, среди групп
этой последовательности имеются произвольно малые. С другой
стороны, факторгруппа Ф'/Ф«, являясь группой характеров группы
Н*п, конечна. Таким образом группа Ф' допускает произвольно
малую открытую подгруппу и, следовательно, Ф' нульмерна (см.
§ 22, G)). В то же время группа Ф' бесконечна, ибо G*
бесконечна. Здесь мы имеем случай Ь). Группа G не допускает конечной
системы образующих, ибо если бы в G существовала конечная
система образующих, то таковая имелась бы также и для
факторгруппы G*, но тогда G* была бы конечна, ибо все ее элементы
имеют конечный порядок.
Итак, утверждение С) доказано.
D) Пусть G—дискретная коммутативная группа конечного
ранга г (см. § 6, А)), не имеющая элементов конечного порядка*.
Группа характеров X группы G локально связна тогда в только
тогда, когда группа G допускает конечную систему линейно
независимых образующих.
Доказательство утверждения D) непосредственно следует из
замечания С). Случай а) дает локально связную группу, в случае
же Ь) локальная связность, очевидно, невозможна, так как
каждая окрестность V расщепляется в отдельные слои, накопляющиеся
друг к другу.
Для перехода к случаю бесконечного ранга докажем
следующее предложение:
E) Пусть G—дискретная группа, не имеющая элементов
конечного порядка. Если каждая возрастающая цепочка Н19 ..., #„, ...
подгрупп постоянного конечного ранга г стабилизируется на
конечном шаге, то группа G распадается в прямую сумму конечного
или бесконечного числа бесконечных циклических подгрупп.
Для доказательства будем индуктивно строить
последовательность
G0, G19 ..., Gr, ... (6)

§ 36. ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ 197
подгрупп группы G, охватывающую всю группу G, такую, что
для нее будут выполнены следующие условия: а) подгруппа Gr
есть максимальная подгруппа группы G, имеющая ранг г\ это
понимается в том смысле, что всякая подгруппа Я ранга г,
содержащая Gr, совпадает с Gr; b) подгруппа Gr допускает
конечную систему линейно независимых образующих
а19 ..., аг\ (7)
с) система линейно независимых образующих группы Gr+1
получается присоединением к системе (7) одного элемента аг+1.
Занумеруем множество всех элементов группы G, обозначив их
через
gi> •••» gn> ••• (7')
Построение последовательности (6) будем вести индуктивно. За G0
примем подгруппу, содержащую лишь нуль. Допустим, что
подгруппа Gr уже построена. Если ранг группы G есть г, то в силу
условия a) G = Gr, и следовательно, G допускает конечную систему
линейно независимых образующих (см. Ь)), т. е. распадается в
прямую сумму конечного числа циклических бесконечных подгрупп
(см. § 6, F)). Если же ранг группы G больше л, то в ряде (7')
существуют элементы, не принадлежащие Gr; первый из таких
элементов обозначим через хг. Присоединяя к группе Gr элемент хп
мы получим содержащую Gr подгруппу Яй с конечным числом
образующих, ранг которой равен г+ 1. Если Ях не есть
максимальная группа ранга г+1, то к Я2 можно присоединить
некоторый элемент группы G таким образом, что полученная группа Я2
будет больше Яь но сохранит ранг г+ 1. Продолжая этот процесс
дальше, мы получим возрастающую последовательность подгрупп
ранга г+ 1, каждая из которых допускает конечную систему
образующих. Последовательность эта после конечного числа шагов
стабилизируется на некоторой максимальной группе ранга г+ 1
с конечным числом образующих. Ее мы обозначим через G,+1. Пусть
(7)—система линейно независимых образующих группы Gr.
Покажем, что систему образующих группы Gr+1 можно получить путем
присоединения к системе (7) одного элемента. Положим G* = Gr+1/Gr.
Группа G* допускает конечную систему образующих, ибо такую
систему допускает группа Gr+1. Далее, в G* не имеется элементов
конечного порядка. Действительно, если Я* есть подгруппа группы
G*, составленная из всех элементов конечного порядка, то
обозначим через Я полный прообраз подгруппы Я* в группе Gr+1. Тогда,
как нетрудно видеть, Я есть группа ранга г, содержащая группу
Gr, и следовательно, в силу условия а) Н = Gn а это значит, что.
Я* содержит лишь нуль. Таким образом, G*, будучи, как нетрудно
видеть, группой ранга 1, является бесконечной циклической
группой с некоторой образующей а* (см. § 6, F)). Один из прообразов
элемента а* в группе Gr+1 обозначим через аг4г1. Легко видеть,

198 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
что система аг, ..., ап аг+1 есть система линейно независимых
образующих группы Gr+1.
Таким образом индукция проведена.
Если построение последовательности (6) оборвется на конечном
шаге, то по ранее отмеченному группа G распадается в конечную
прямую сумму бесконечных циклических подгрупп. Если же
последовательность (6) будет развертываться неограниченно, то
обозначим через
а19 ..., аг, ... (8)
нарастающую последовательность линейно независимых
образующих групп последовательности (6) (см. Ь), с)). Тогда система (8)
дает бесконечную систему линейно независимых образующих
группы G. Если обозначим через А{ бесконечную циклическую
подгруппу с образующей аь то нетрудно видеть, что G распадается
в прямую сумму подгрупп А19 ..., Ап ...
Итак, утверждение Е) доказано.
Теорема 42. Компактная локально связная и связная
коммутативная группа X распадается в прямую сумму конечного или
счетного числа подгрупп, изоморфных группе К (см. § 30, А)).
Доказательство. Пусть G—группа характеров группы X,
тогда в силу теоремы 32 X есть группа характеров группы G,
причем G дискретна (см. теорему 31). Так как группа X связна,
то группа G не имеет элементов конечного порядка (см. пример 48).
Допустим, что группа G не удовлетворяет условиям замечания Е),
т. е. в G существует неограниченно расширяющаяся
последовательность подгрупп
Ни .... Нп, ... (9)
конечного постоянного ранга г. Обозначим через Я минимальную
подгруппу, содержащую все подгруппы Нп. Так как
последовательность (9) — неограниченно расширяющаяся, то группа Я не
допускает конечной системы образующих. Положим Ф = (Х, Я).
Тогда Х* = Х/Ф есть группа характеров группы Я (см. § 32, М)).
Из локальной связности группы X непосредственно следует
локальная связность факторгруппы X* (см. В)). Но тогда в силу
замечания D) группы Я допускает конечную систему образующих,
и следовательно, мы пришли к противоречию. Поэтому группа G
удовлетворяет условиям замечания Е) и распадается в прямую
сумму конечного или бесконечного числа свободных циклических
групп. Для группы X это означает распадение в прямую сумму
конечного или бесконечного числа подгрупп, изоморфных группе К
(см. теорему 39 и § 32, F).
Итак, теорема 42 доказана.
Теорема 42 легко обобщается на случай несвязных групп.
F) Компактная локально связная коммутативная группа X
распадается в прямую сумму конечного или бесконечного числа
групп, изоморфных группе К, и конечной группы.

§36. ЛОКАЛЬНО СВЯЗНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ ГРУППЫ 199
Обозначим через X' компоненту нуля группы X. Из
локальной связности группы X непосредственно следует локальная
связность групп X' и Х/Х' (см. В)). Группа Х/Х' нульмерна и
компактна, а потому, будучи локально связной, она должна быть
конечной. Действительно, если бы Х/Х' была бесконечна, то нуль
в ней был бы предельным элементом, т. е. в любой близости от
нуля существовал бы некоторый элемент а. Но нуль и а нельзя
было бы включить в связное множество ввиду нульмерности
группы; таким образом, исходя из предположения о бесконечности
группы Х/Х', мы приходим к противоречию с предположением
локальной связности. Группа X' связна и в силу теоремы 42
распадается в прямую сумму конечного или счетного числа групп,
изоморфных К- Из того, что X' имеет такую простую структуру,
а факторгруппа Х/Х' конечна, легко следует, что X распадается
в прямую сумму группы X' и конечной группы.
Теорема 43. Локально компактная, локально связная и связная
коммутативная группа G распадается в прямую сумму конечного
числа групп, изоморфных аддитивной группе действительных чисел,
и конечного или счетного числа групп, изоморфных группе К (см.
§ 30, А)).
Доказательство. В силу теоремы 41 группа G распадается
в прямую сумму векторной группы А и компактной группы Z.
Так как G связна, то Z также связна (см. § 11, Е)). Далее, так
как G локально связна, то ее факторгруппа G/A = Z также
локально связна (см. В)). Следовательно, в силу теоремы 42 Z
распадается в прямую сумму счетного или конечного числа групп,
изоморфных К. Векторная группа А в свою очередь распадается
в прямую сумму конечного числа групп, изоморфных группе
действительных чисел. Таким образом, теорема 43 доказана.
Теорема 44. Если связная локально компактная
коммутативная группа G допускает окрестность нуля, гомеоморфную
области евклидова пространства, то она распадается в прямую сумму
конечного числа групп, изоморфных группе действительных чисел,
и конечного числа групп, изоморфных группе К (см. § 30, А)).
Доказательство. Из того, что G допускает окрестность
нуля, гомеоморфную области евклидова пространства, следует, что
G локально связна и значит удовлетворяет условиям теоремы 43.
Однако бесконечного числа прямых слагаемых, изоморфных группе
К, здесь не может быть, так как тогда группа G имела бы
бесконечную размерность. Таким образом, теорема доказана.
Пример 53. Пусть G' — аддитивная дискретная группа
рациональных чисел и G—некоторая ее подгруппа, отличная от
нулевой. Очевидно, что G не имеет элементов конечного порядка
и ранг ее равен единице. Таким образом, группа характеров X
группы G связна и имеет размерность 1 (см. примеры 48 и 49).
Нетрудно видеть, что всякая компактная связная группа
размерности 1 получается как группа характеров группы G с G''.

200 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Если группа G имеет конечную систему образующих, то она есть
бесконечная циклическая группа. Таким образом, если группа X
локально связна, то она изоморфна группе К (см. D) и § 32, F)).
Группы X рассмотренного здесь вида подробно исследовал ван-
Данциг [8]. Он назвал их соленоидальными группами.
Существовало предположение, что всякая конечномерная
связная компактная группа распадается в прямую сумму соленоидаль-
ных групп, однако это предположение оказалось неверным. Именно:
существует уже двумерная связная компактная группа, вообще
не разлагающаяся в прямую сумму. Построение этого примера
производится путем построения дискретной группы G ранга 2 без
элементов конечного порядка, не разлагающейся в прямую сумму.
Тогда группа характеров группы G дает искомый пример
топологической компактной группы (см. [28]).
§ 37. Топологизированные алгебраические тела
Наряду с топологическими группами естественно
рассматривать и другие топологизированные алгебраические образования.
В математике мы постоянно встречаемся с подобными
образованиями: достаточно указать тело действительных чисел и тело
комплексных чисел. Тела эти отнюдь не являются образованиями
чисто алгебраическими, предельные соотношения играют в них
такую же важную роль, как и операции сложения и умножения.
Вопрос о структуре топологизированных алгебраических тел
представляется мне интересным в первую очередь потому, что решение
его позволяет уяснить роль действительных и комплексных чисел,
а ведь их значение в математике исключительно. Чем же они,
выделены из других аналогичных образований? Действительные и
комплексные числа возникают в математике на пути чисто
конструктивном. Желательно теперь дать их дедуктивное определение
и тем показать, что их исключительная роль не объясняется
исторической случайностью, а с необходимостью вытекает из самых
общих соображений.
Проведенное уже изучение топологических групп делает
решение поставленной задачи почти тривиальным.
Определение 37. Множество К называется алгебраическим телом
или просто телом1), если в К установлены две операции —
сложение и умножение, удовлетворяющие следующим условиям:
По сложению множество К образует коммутативную группу;
нуль этой группы называется нулем тела К. По умножению
совокупность всех элементов множества К без нуля образует группу,
вообще говоря, не коммутативную; единица этой группы
называется единицей тела /С. По определению произведение нуля и
г) Иногда наряду с термином тело в алгебраической литературе употребляют
кже термин поле.

§37. ТОПОЛОГИЗИРОВАННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 201
любого элемента тела считается равным нулю. Операции
сложения и умножения связаны условиями дистрибутивности:
х(у + г) = ху+хг, (y+z)x = yx + zx.
Тело К называется топологическим, если множество К есть
топологическое пространство и алгебраические операции, имеющиеся
в К, непрерывны в топологическом пространстве /С.
Общеизвестными примерами топологических тел служат тела
действительных и комплексных чисел с их естественной
топологией и обычными операциями сложения и умножения. Оба эти
тела коммутативны. Пример некоммутативного топологического
тела дают кватернионы
А) Обозначим через К2 множество всех линейных форм вида
a + bi + cj + dk = x, (1)
где а, Ьу с, d суть действительные числа, a i, /, k—пока еще не
определенные символы. В множестве К2 естественно определяется
сложение как сложение линейных форм. Определим в множестве К2
операцию умножения. Мы заранее будем считать ее
дистрибутивной и ассоциативной, действительные же числа будем перемножать
обычным образом и будем предполагать, что они перестановочны
со всякими величинами. При таких условиях для задания правил
умножения достаточно определить произведения кватернионных
единиц i, /, k. Мы положим
ij = — ji = k, jk = — kj = i9 ki = — ik = j. ) K
Топология в множество К2 вносится естественно, и получающееся
таким образом топологическое тело называется телом
кватернионов, а его элементы—кватернионами.
Модулем кватерниона х (см. (1)) называется неотрицательное
действительное число
|*|= +Va2 + b2 + c2 + d2. (3)
Непосредственные вычисления показывают, что если х и у суть
два кватерниона, то
Uy\ = \x\\y\, (4)
\* + У\<\х\ + \У\- (5)
Обратный для кватерниона х кватернион х"1 определяется
соотношением
х"1 = | х |"2 (a—bi—cj—dk). (6)
Таким образом, каждый кватернион с модулем, отличным от нуля,
имеет обратный, а модуль, равный нулю, имеет лишь кватернион
нуль.
Более подробно входить в свойства кватернионов нам не нужно.

202 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Изоморфизм топологических тел определяется естественным
образом. Два топологических тела К' к К называются
изоморфными, если существует гомеоморфное отображение тела К на тело
К', при котором операции сложения и умножения сохраняются.
Теорема 45. Пусть К—локально компактное связное
топологическое тело со второй аксиомой счетности. Тогда К изоморфно
одному из трех топологическик тел D, К и К2, где D есть тело
действительных чисел, Кг—тело комплексных чисел и К2—тело
кватернионов.
Доказательству этой теоремы мы предпошлем нижеследующее
замечание:
В) Топологическое тело /С, удовлетворяющее условиям
теоремы 45, содержит подтело Д изоморфное телу действительных
чисел, причем каждый элемент из D перестановочен со всяким
элементом из К- Далее, в К существует конечная система
элементов х19 ..., хг такая, что всякий элемент х тела К
единственным образом представим в форме х = а0 + а1х1+ ... +arxri где
a^D, i = 0, 1, ..., г.
Покажем прежде всего, что тело К не может быть
компактным. К содержит по крайней мере два элемента: нуль и единицу.
Поэтому, будучи связным, тело К должно иметь нуль предельным
элементом. Пусть у19 ...,#„, ... —последовательность элементов
тела К у отличных от нуля, сходящаяся к нулю. Тогда
последовательность обратных элементов г/£"\ ..., z/„\ ..., как легко
видеть, не может иметь предельного элемента. Таким образом, тело К
некомпактно.
Так как К по сложению есть коммутативная группа, то в силу
теоремы 41 группа эта разлагается в прямую сумму векторной
группы А и компактной группы Z. Пусть а—элемент подгруппы
А, отличный от нуля. Тогда последовательность
а, 2а, ..., па, ... (7)
целочисленных кратных элемента а не имеет предельных точек в К-
Пусть, далее, z—произвольный элемент подгруппы Z, отличный
от нуля. Последовательность
z, 2zt . ..# nz9 ... (8)
целочисленных кратных элемента z имеет предельные точки в /С,
ибо Z компактна. Однако последовательность (8) получается из
последовательности (7) путем умножения на элемент a-1z, и
следовательно, в силу непрерывности операции умножения
последовательности (7) и (8) должны одновременно иметь или не иметь
предельные элементы. Таким образом, предположение, что в обеих
подгруппах А и Z имеются элементы, отличные от нуля, привело
нас к противоречию, и, значит, одна из подгрупп должна
содержать лишь нуль. А так как К некомпактно, то Z содержит лишь
нуль и К совпадает с А.

§37. ТОПОЛОГИЗИРОВАННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 203
Таким образом, К как аддитивная группа изоморфна
векторной группе. Будем мыслить К просто как аддитивную векторную
группу.
В векторном пространстве К определено произведение ах
каждого вектора х на любое действительное число а. Обозначим через е
единицу тела К и покажем, что
(bx)(ae) = (ab)x, (9)
(ae)(bx) = (ab)x9 (10)
где а и Ъ—действительные числа, а х£К.
Соотношение (10) очевидно в случае, когда а = п есть целое
положительное число, ибо тогда пе = е+ ... +еи соотношение (10)
следует из дистрибутивности умножения в К. Если
п—отрицательное целое число, полагая п' = —п, мы легко докажем
соотношение (10) для а=^п. При целом пфО мы имеем, таким
образом, (пе)(—е) = е, т. е (пё)~~1 = ~е. Далее, для целого пфО
мы имеем (nb)x=(ne)(bx). Умножая обе части этого соотношения
слева на (пё)"1, получаем ( — е) (ribx) = (— пЬ \ х. Полагая nb = c>
получаем ( —е) (ex) = ( — с )х. .Таким образом, соотношение (10)
доказано для а = —. Пусть теперь т и п > 0—целые числа,
тогда в силу уже доказанного — е=(тё)(—е). Умножая это
соотношение на Ьх, получаем ( — е) (Ьх) = (те)( — е) (Ьх) =
= (те) ( — x) = ( — b)x. Таким образом, соотношение (10)
доказано для случая, когда а есть рациональное число. На случай
произвольного действительного числа а соотношение (10)
распространяется в силу непрерывности операции умножения в К-
Соотношение (9) доказывается таким же способом.
Обозначим теперь через D множество всех элементов тела К,
представимых в форме de, где d—действительное число, а
е—единица тела К. Если а и Ь—два действительных числа, то из свойств
векторного пространства К вытекает, что ae-\-be = (e + b)e. Кроме
того, из соотношения (10) следует, что (ae)(be) = (ab)e. Это
показывает, что множество D есть тело, изоморфное телу
действительных чисел. Соотношения (9) и (10) в совокупности показывают,
что каждый элемент множества D перестановочен со всяким
элементом тела К-
Выберем, далее, в К полную систему линейно независимых
векторов, включив в нее вектор е. Пусть е, х19 ..., хг—эта
система. Тогда каждый элемент х векторного пространства К
единственным образом записывается в форме x = b0e + b1x1+ ... +brxn
где bi9 i = 0, 1, ..., г, суть действительные числа; но на основании

204 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
соотношения (10) тот же элемент х можно записать в виде
х = а0 + агхг + ... + агхп
где 0,-6A i= 1, ..., г.
Таким образом, утверждение В) доказано.
Фробениус доказал, что всякое тело того вида, к которому мы
привели К, изоморфно одному из трех тел D, /Ct, K<>. Таким
образом, теорема 45 следует из результата Фробениуса.
Доказательство этого результата мы сейчас изложим.
Доказательство теоремы 45. Тело D, построенное в
замечании В), мы здесь просто отождествим с телом
действительных чисел.
a) Если K = D, то утверждение теоремы 45 уже выполнено
для рассматриваемого тела /С.
b) Обозначим теперь через / множество всех таких элементов
z$K, для которых выполнены условия z2gD, z2^0, и покажем,
что каждый элемент х$К однозначно разлагается в сумму
x = d+z, где dgD, zg/. (11)
Рассмотрим последовательность
1, л, Х-у • • •, X у ■ • \ /
степеней элемента х. Так как в силу замечания В) тело К
представляет собой конечномерное векторное пространство, то элементы
последовательности (12) линейно зависимы относительно тела D
действительных чисел. Поэтому существует полином f(y) с
действительными коэффициентами относительно неизвестного у,
обращающийся в нуль при замене неизвестного у элементом х, f(x)=0..
Полином / (у) мы можем предположить неприводимым, а известно,
что неприводимый в области действительных коэффициентов
полином имеет степень 1 или 2. Если f(y) = y—d, то x = d£Dy и
разложение (11) установлено, именно, z = 0. Пусть теперь f(y) =
— y2Jr РУ + q. Простым алгебраическим преобразованием полином
f{y) приводится к виду f(y) = (y—d)2 + c2. Положим х—d = Zy
тогда zg/, и следовательно, x = d + z.
Таким образом, разложение (11) установлено. Допустим, что
одновременно имеем x=d'+z', где d' (ЕД zr g/. Тогда z'—z+d—d'.
Возводя это равенство в квадрат, получаем z'2 = z2 + (d—d')2 +
+ 2(d—d')z, откуда непосредственно следует, что (d—d')z есть
действительное число. Но это возможно лишь в двух случаях:
когда d—d' = 0, либо z = 0. В том и другом случае
единственность разложения (11) получается уже легко.
c) Покажем теперь, что / есть линейное подмножество
элементов из К, т. е.
ax+by^Iy (13)
если x£l, y£l, а а и Ъ суть действительные числа.

§ 37. ТОПОЛОГИЗИРОВАННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 205
Разберем сперва случай, когда элементы х, у, 1 линейно
зависимы относительно тела D действительных чисел, т. е. когда
существуют такие действительные числа а, р, у, не равные
одновременно нулю, что ах = ру + V- Легко видеть, что элементы ах и pz/
принадлежат /, поэтому в силу единственности разложения (11)
7 = 0. Таким образом, у = -^х и элемент ах + by приобретает вид
{a+bjfjx, откуда включение (13) следует непосредственно.
Будем теперь предполагать, что элемент ах + by может
принадлежать D лишь при условии а = 0, Ь = 0. Положим
ax+by = d'+z', (14)
где d'^D, z'£l (см. (11)). Здесь элементы d' и z' зависят от
выбора действительных чисел а и b; z' обращается в нуль лишь
тогда, когда а = 6 = 0. Нужно доказать, что d' = 0 при
произвольном выборе чисел а и Ь. Положим
ху + yx = d+z (15)
(см. (11)). Возводя в квадрат обе части равенства (14), получаем
d'2 + г'2 + 2d'г' = а2х2 + b2y2 + ab (ху + ух) =
= а2х2 + Ь2у2 + abd + abz. (16)
Ввиду единственности разложения (11) из соотношения (16)
следует, что
2d'z' = abz. (17)
Допустим, что d' не равно нулю хотя бы для одной системы
значений а, Ь. Тогда равенство (17) [показывает, что 2=^=0, а это
значит в свою очередь, что й'=й=0, если только аЬфО, ибо z не
зависит от выбора чисел а и Ь. Мы имеем, таким образом,
*' = -ЗГ*. (18)
причем равенство это имеет смысл всегда, когда аЬф$.
Следовательно,
ax + by = -^rz + d\ (19)
Так как z не зависит.от чисел а и b и равенство (19) имеет смысл
всегда, когда аЬфО, то из соотношения (19) можно получить два
независимых уравнения, связывающих элементы х9 у и г. Тогда,
исключая из них г, получим соотношение а'х+Ь'у = с\ что
противоречит исходному предположению. Таким образом, мы пришли
к противоречию, допустив, что для некоторых чисел а и b число d'
отлично от нуля. Это значит, что d' = 0, и таким образом
линейность множества / доказана.
d) Пусть теперь / и /—два таких элемента из К, что£2 = —1,
]2 = —1, k = ij£l. Покажем, что тогда элементы i, /, k линейно

206 ГЛ. V. КОММУТАТИВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
независимы относительно тела D и образуют систему кватернион-
ных единиц, т. е. удовлетворяют соотношениям (2).
Так как ij £ I, то ij можно представить в форме al, где а £ D
и 12=—1. Мы имеем (ij) (ji) = i(—1)*=1. Таким образом, ji=(al)~~\
Элемент (а/)~\ как легко проверить, равен—а""1/, следовательно,
ji= — агЧ. Так как / есть линейное множество, а элементы i и /
принадлежат /, то i + / 61- Таким образом, (i + /)2 = Р + /2 + ij + ji
есть действительное число, а это значит, что и ij + ji есть
действительное число. Отсюда вытекает, что (а )l£D, т. е. а2=1,
и следовательно, для k = aJ выполнено условие k2 = —1. Мы имеем,
таким образом,
/* = —1. /* = — 1, &=— 1. (20)
Возводя в степень —1 обе части равенства
ij = k9 (21)
получаем j~1i~1 = k~1t или, что то же (см. (20)), ji = — k.
Умножая соотношения (21) слева на —f, получаем / = — ik. Остальные
соотношения системы (2) получаются совершенно так же. Допустим
теперь, что имеет место соотношение
bi + cj + dk=0 (22)
с действительными коэффициентами. Умножая соотношение (22)
слева на k, получаем bj = ci + d. Но в силу единственности
разложения (11) имеем d=0, а это значит, что bij-=—с, что в силу
условия (ij)2 = —1 возможно лишь тогда, когда Ь = с=0. Таким
образом, линейная независимость элементов /, /, k доказана.
e) Допустим теперь, что КфО, но в множестве / всякие два
элемента линейно зависимы относительно тела D. Тогда тело К
изоморфно телу Кг комплексных чисел. Действительно, выберем
в / такой элемент i, что t2 = —1. Так как всякие два элемента
множества / линейно зависимы, то в силу разложения (11) всякий
элемент из К можно, и притом единственным образом,
представить в форме а + Ыу где а.и b суть действительные числа, а это
значит, что К изоморфно телу комплексных чисел.
f) Допустим, далее, что / содержит два элемента х и у, линейно
независимые относительно тела D, и покажем, что тогда К
содержит подтело К2, изоморфное телу кватернионов.
Положим xy = z + d, где z£/, d£D (см. (11)). Тогда можно
подобрать такое действительное число а, что ах2 = — d, и для
этого а мы будем иметь x(y + ax)=-z. Так как х и у линейно
независимы, то х=Ф0 и у' = у + ахфО; при этом у' £/, ибо
множество / линейное (см. с)). Нормируя х и у' = у + ах
действительными множителями, мы получим такие элементы t и /, что i2=—1,
/2 = — 1, ij = k£l. Тогда элементы I, /, k линейно независимы
и удовлетворяют соотношениям кватернионных единиц (см. d))»

§37. ТОПОЛОГИЗИРОВАННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 207
Легко видеть, что множество всех линейных форм вида а + Ы-\-
+ cj + dk образует подтело К2 тела К, изоморфное телу
кватернионов.
g) Допустим, наконец, что тело К содержит подтело К2
кватернионов, и покажем, что тогда К = К2-
Пусть i, /, k—кватернионные единицы тела /С2. Если в теле К
существуют элементы, не входящие в К2, то найдется
элемент г£/, линейно независимый от единиц i, /, k. Положим
iz — d1Jrz1, jz = d2 + z2i kz = d3 + z3 (см. (11)). Положим, далее,
/ = a (z + d±i + d2j + dsk),
где а есть действительное число. Тогда в силу линейности
множества / (см. с)) il£l, jl£l, kl£l. Далее, так как / есть
линейная система и г линейно независим от единиц i, /, ky то можно
выбрать число а таким образом, чтобы 12 = —1. Тогда элементы
/, /, И образуют систему кватернионных единиц (см. с)). В
частности, И = — И, (il)2 =—1- То же самое справедливо и для
элементов /, k, и мы получаем соотношения
(й)»=(//)»=(*оя=—1, а=—и, //=—//, ki=—tk. (23)
Из соотношений (23) вытекает, что, с одной стороны,
(И) k = {— li) k = l(— ik) = lj, (24)
а с другой стороны,
(it) k = i {Ik) = i (— kl) I = jl. (25)
Равенства (23), (24) и (25) дают 2/7=^0, что противоречит
соотношению (//)2 = —1. Таким образом, предположив, что КфК2,
мы пришли к противоречию.
Итак, теорема 45 доказана.
Пример 54. Пусть К—тело рациональных чисел. Внесем
в К топологию, но не совсем обычным образом, а именно, мы
зададим систему окрестностей нуля тела К так: каждое
рациональное число г£К представим в форме pk—, где р есть простое
число, фиксированное для данного построения, а т и п суть
целые числа, не делящиеся на р\ при этом число k может быть
как положительным, так и отрицательным или нулем.
Окрестность Us нуля в теле К определим как совокупность всех чисел г,
для которых k ;>8, где s—целое положительное число. Таким
образом, элемент г считается тем более близким к нулю, чем
лучше он делится на /?. Полученное таким образом топологическое
тело К не будет локально компактным, но его можно дополнить до
локально компактного, принимая за новые элементы
последовательности элементов тела К, примерно так, как это делается при
введении действительных чисел. Это расширенное локально
компактное тело К называется телом р-адических чисел. Оно не связно#

ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИх)
До сих пор при рассмотрении топологических групп мы нала
гали на них только требования весьма общего характера,
формулируемые в терминах абстрактной алгебры и абстрактной
топологии. Понятие группы Ли уже в самом своем определении содержит
условие аналитичности или, по крайней мере, дифференцируемости
некоторых функций, а именно функций, дающих операцию
перемножения элементов группы (см. определение 38). Благодаря этому
при изучении групп Ли можно использовать аппарат анализа
в весьма широкой степени, включая теорию интегрирования
дифференциальных уравнений. В силу таких возможностей группы
Ли допускают очень глубокое исследование, сводящее в конечном
счете все их изучение к вопросам элементарно алгебраическим,
хотя и весьма тонким. Эти элементарно алгебраические вопросы
представляют собой по существу некоторые специальные вопросы
теории матриц. Только после такого сведения начинается
действительно тонкая и глубокая теория групп Ли. Однако не этими
вопросами мы будем заниматься в настоящей главе.
Обычно в теориях сравнительно давнего происхождения
вопрос о дифференцируемости или аналитичности рассматриваемых
функций не подвергается сколько-нибудь строгому обсуждению.
Все возникающие в процессе рассмотрения функции просто
предполагаются дифференцируемыми или аналитическими, смотря по
надобности. В этом, однако, есть некоторый дефект. Одно дело
предположить, что некоторые определенные функции, упомянутые
в определении объекта, суть функции дифференцируемые. Совсем
другое дело заранее считать дифференцируемыми все функции,
могущие встретиться в процессе исследования этого объекта. Ведь
природа этих функций еще не совсем известна, их даже нельзя
перечислить заранее, и может случиться, что вопрос совершенно
естественный приведет к появлению недифференцируемых функций.
Именно так не совсем благополучно обстоит дело в классической
теории Ли. Допустим, например, что мы рассматриваем некоторую
г) См. замечание к главе шестой на с. 235.

ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
209
группу Ли G. Ниоткуда не следует a priori, что всякая подгруппа
группы G есть также группа Ли, а между тем потребность в
рассмотрении подгрупп несомненно может встретиться. Совершенно
аналогично обстоит дело и с факторгруппами. Может встретиться
также надобность в рассмотрении автоморфизмов группы Ли. Могут
ли они быть выражены при помощи дифференцируемых функций?
Разрешению всех этих предварительных вопросов и посвящается
настоящая глава. Исходя из предположения о дифференцируемости
или аналитичности некоторых определенных функций, мы покажем,
что ряд функций, естественным образом возникающих в процессе
исследования, также обладает свойством дифференцируемости или
соответственно аналитичности. В действительности, при изучении
групп Ли можно было бы ограничиться только предположением
дифференцируемости, так как, исходя из этого, удается свести все
дело к функциям аналитическим, не сужая при этом класса объектов
исследования. Здесь, однако, мы вынуждены вести двойное
рассмотрение, предполагая отдельно или дифференцируемость или
аналитичность, так как соответственное доказательство сведения
к аналитическим функциям выходит из рамок настоящей главы.
Ограничиться же случаем дифференцируемых функций нельзя, так
как тогда результаты следующей главы будут неполны.
Результаты настоящей главы в первую очередь рассчитаны на
то, чтобы дать подготовительный материал для главы седьмой.
В главе седьмой будет показано, что изучение компактных
топологических групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
сводится к изучению групп Ли. Там же определение компактной группы
Ли будет формулировано в общих терминах, без употребления
понятия дифференцируемости.
Ввиду наличия значительных вычислений, с которыми придется
столкнуться как в настоящей главе, так и в главе девятой, я в
обеих этих главах буду пользоваться тензорными обозначениями,
не предполагая, впрочем, знания тензорного исчисления. Речь идет
здесь лишь о том, чтобы не пользоваться при суммировании
знаком 2- Общеизвестное принятое правило заключается в том, что
индексы пишутся не только снизу, но и сверху, при этом, если
написан одночлен, в котором один и тот же индекс, например, U
встречается дважды, один раз наверху, а другой раз внизу, то
одночлен этот обозначает сумму по индексу i, когда i пробегает
все возможные для него значения. Если, таким же образом, в
написанном одночлене встречается не один парный индекс, а несколько,
то под этим одночленом понимается соответствующая кратная сумма.
г
Например, под одночленом а.Ь1' понимают сумму 2 afiia> одночлен
t=i
c\jaJ понимается как двойная сумма 22^/яу- Перебрасывать ин-
i J
дексы сверху вниз и обратно не разрешается; таким образом, каж-

210
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
дая система чисел имеет определенным образом расставленные
индексы. Распределение индексов, конечно, должно быть
произведено некоторым целесообразным способом. В частности,
координаты точек и компоненты векторов обозначаются буквами с
индексами наверху, причем буквы берутся те же самые, что и для
обозначения самих точек или векторов. Например, координаты точки х
обозначаются через х1, х2, ..., хг. Индексы наверху мы не будем
писать в скобках для отличия их от степеней; напротив, при
возведении буквы в степень мы будем писать эту букву в скобках,
например (а)п будет означать п-ю степень буквы а. Впрочем,
степени почти не будут встречаться в наших рассмотрениях. Через б)
мы будем обозначать число, равное единице при /==/ и равное
нулю при 1ф\.
§ 38. Группа Ли
Классическая теория Ли в первую очередь занимается
изучением локальных групп, поэтому здесь в качестве основного будет
дано определение именно локальной группы Ли, применимое
впрочем и к полной группе.
Определение 38. Локальная группа G (см. § 23, D)) называется
локальной группой Ли, если выполнены следующие условия:
1) В G можно ввести координаты. Это значит, что существует
топологическое отображение ср некоторой окрестности U единицы
группы G на область V координатного евклидова пространства S,
при котором единица переходит в начало координат. Таким
образом, каждой точке х £ U соответствует система действительных чисел
являющихся координатами точки ср (x) £ S. Числа эти мы будем
называть теперь координатами точки х £ U. При этом единица
получает координаты, равные нулю. Далее, каждой системе чи-
сел (1), если числа эти по модулю достаточно малы, соответствует
определенная точка х £ U, имеющая своими координатами эти числа.
Размерность г пространства S называется размерностью группы G.
Пусть теперь W—столь малая окрестность единицы группы G,
что для всяких двух элементов х и у из W определено
произведение ху и, сверх того, ху £ U. Тогда мы имеем
xy = z = f(x, у). (2)
Так как точки х, у и z все принадлежат [/, то они имеют
координаты и в координатной форме соотношение (2) переписывается так:
*'= /'(*. y)-f4x\ •..> *г; у\ ..•> У), (3)
где функции /', стоящие в правых частях, суть непрерывные
однозначные функции, определенные для всех достаточно малых

§ 38. ГРУППА ЛИ
211
значений аргументов. Так как, далее, хе = х, еу = у, то мы имеем
f(x\ ..., *'; 0, ..., 0) = *', № ..., 0; у\ ...,уг) = У1. (4)
2) В G можно ввести дифференцируемые координаты. Более
точно: при некотором выборе окрестности U и отображении q>
функции /', стоящие в правых частях равенств (3), имеют все
третьи производные, и притом эти производные непрерывны.
Из соотношений (4) непосредственно следует
ыы> при х=у==е' (5)
где |б}|| есть единичная матрица.
3) В G можно ввести аналитические координаты. Это значит,
что при некотором выборе окрестности U и отображения ф
функции, стоящие в правых частях равенств (3), оказываются
аналитическими.
Полная топологическая группа G называется группой Ли, если
она удовлетворяет второй аксиоме счетности и является
локальной группой Ли, т. е. в некоторой окрестности ее единицы можно
ввести надлежащим образом координаты.
Легко видеть, что группа Ли всегда локально компактна.
Очевидно, что условие 2) является прямым следствием
условия 3). В этой главе мы будем различать аналитические группы
Ли, т. е. удовлетворяющие условию 3), и дифференцируемые\
т. е. удовлетворяющие условию 2). В главе IX будет показано,
что во всякой дифференцируемой группе Ли можно ввести
аналитические координаты. Таким образом, вводимое здесь различие
является временным и несущественным.
Здесь уместно будет формулировать одну важную проблему,
а именно так называемую пятую проблему Гильберта. Проблема
эта заключается в вопросе: не является ли условие 3) следствием
условия 1)? Она решена положительно для компактных и д,ля
коммутативных групп (см. теоремы 57 и 44). Для общего случая
она остается открытой.
Все исследование группы Ли G построено на использовании
дифференцируемых координат, которые в ней можно ввести.
Изучаются не свойства самой группы G, а свойства системы
уравнений (3), выражающих закон перемножения в G. Конечно,
при этом следует изучать лишь такие свойства этой системы,
которые не зависят от выбора координат в G и выражают,
следовательно, свойства самой группы G. Прежде всего, ясно, что
наряду с некоторой определенной системой D дифференцируемых
координат, установленных в G, в ней можно рассматривать целую
серию [D] координатных систем, получающихся из D путем
дифференцируемых преобразований (см. А)). Мы должны, таким
образом, в первую очередь озаботиться тем, чтобы изучать лишь те
свойства системы уравнений (3), которые имеют место одновре-

212
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
менно во всех координатах совокупности [Д]. Так как здесь речь
идет о нахождении инвариантов системы (3) при
дифференцируемых преобразованиях координат, то никаких" особых затруднений
в этом пункте не возникает. Далее следует выяснить вопрос, не
существует ли в G некоторая дифференцируемая система
координат D' такая, что дифференцируемый переход от системы D к
системе D' невозможен. Ниже будет показано, что такой системы
не существует (см. § 40) и что, следовательно, весь вопрос об
отыскании свойств групп G сводится к отысканию таких свойств
системы (3), которые не меняются при дифференцируемых
преобразованиях координат.
Напомним здесь определение дифференцируемого или
соответственно аналитического преобразования координат.
A) Пусть G— локальная группа Ли и D—некоторая
определенная дифференцируемая или аналитическая система
координат в G (см. определение 38). Координаты произвольной точки х
в системе D обозначим, как обычно, через х1. Пусть
ф'* (Х) =; ф'" (X1, . . ., Х% i = 1, . . ., Г, (6)
— система трижды непрерывно дифференцируемых или
ственно аналитических функций такая, что
Ф'(е) = ф'(0, ..., ОНО.
Положим
и допустим, что детерминант матрицы \\р}\\ отличен от нуля;
Тогда систему уравнений
хП = ч>цХ19 ..., х') (9)
можно трактовать как вводящую в G новую систему координат,
именно за новые координаты точки х мы можем принять числа хц.
Легко видеть, что если исходные координаты D были
дифференцируемыми или аналитическими, а преобразование
(9)—дифференцируемым или соответственно аналитическим, то вновь
полученные координаты D' будут дифференцируемыми или соответ-
ственн© аналитическими.
B) Пусть G—некоторая локальная группа Ли и
D—некоторая система дифференцируемых координат, заданная в G. Будем
говорить, что в G задана кривая x(t), |£|<a, если имеется
элемент x(t), непрерывно зависящий от действительного параметра t,
такой, что х (0) = е. О кривой х (t) будем говорить, что она имеет
касательную в системе координат Д если существуют производные
соответ-
(7)
(8)
dx{ (0)
dt
(10)

§ 38. ГРУППА ЛИ
213
Числа а1 будем считать компонентами вектора а, касательного к
кривой x(t). Конечно, речь идет здесь о касательном векторе в
точке £ = 0, но так как иные касательные векторы
рассматриваться не будут, то слова «в точке £ = 0» мы всюду опускаем.
Если от системы координат D перейти к новой системе
координат D' при помощи соотношений (9), то в новых координатах
вектор а получит новые компоненты а'1, выражаемые через
старые соотношениями
а'[=.р)а! (11)
(см. (8)).
В силу проведенного здесь построения с локальной группой Ли
ассоциируется векторное пространство R, составленное из всех
векторов, касательных к кривым в G. Связь между G и R
первоначально задается при помощи некоторой определенной системы
координат D. Однако каждому преобразованию (9) координат
в G ставится в соответствие определенное преобразование (11)
координат в R, и тем самым связь между G и R делается
инвариантной относительно дифференцируемого преобразования
координат в G. Нетрудно проверить, что если кривые x(t) и y(t)
имеют соответственно касательные векторы а и 6, то кривая
г (t) = х (t) у (f) имеет касательный вектор с = а + b (см. (5)). Таким
образом, сложение векторов в R приобретает инвариантный смысл.
Отметим здесь еще, что размерность векторного пространства
R равна размерности группы G.
С) Если G и G' суть две дифференцируемые или
аналитические локальные группы Ли, то и их прямое произведение Я
есть дифференцируемая или соответственно аналитическая
локальная группа Ли.
Пусть D и D'—дифференцируемые или соответственно
аналитические координаты в группах G и G\ Если х1,
...,хг—координаты точки x£G, а х'1, ..., x's—координаты точки x'£G'y то
за координаты пары (х, х') £ Н примем х\ ..., хг, х'1, ..., x's.
Если операция перемножения в группах G и G' в координатной
форме записывается соотношениями
г* = Р(х\ ..., хг; у\ ..., у% (12)
zV = /'/(*'if ..., х'*; у'\ ..., у'% (13)
то в группе Н закон перемножения записывается соотношения и
(12) и (13), взятыми вместе. Таким образом, утверждение С)
доказано.
Пример 55. Пусть G—множество всех квадратных матриц
порядка п с детерминантом, отличным от нуля. В силу
замечания А) § 27 G есть топологическая группа. Покажем, что G есть
аналитическая группа Ли. Для этого введем в G координаты
следующим образом.

214
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
Произвольную матрицу x£G мы представим в форме
е + \\х}1 (14)
где е есть единичная матрица, и элементы матрицы ||х}|| примем
за координаты матрицы х. Полученное таким образом
отображение ф всей группы G на область евклидова пространства 5
размерности п2 переводит единицу в начало координат.
Соотношение (3) приобретает для G следующий алгебраический вид:
Zj = xj + y} + 4yj- (15)
Таким образом, G есть аналитическая группа Ли.
§ 39. Однопараметрические подгруппы
В изучении групп Ли важную роль играют
однопараметрические подгруппы (см. § 23, М)). Эти подгруппы инвариантно
связаны с группой Ли, т. е. не зависят от выбора координат в
ней, и позволяют ввести в группе особо естественные координаты.
А) Как уже отмечалось (см. § 23, М)), однопараметрической
подгруппой группы G называется кривая g (t), \ t | ^ а (см. § 38, В)),
удовлетворяющая условию
g(s)s(t) = g(s+t). (1)
Две однопараметрические подгруппы g(t) и h(t) группы G будем
считать совпадающими, если для достаточно малых значений
параметра / имеет место равенство g(t) = h(t). Очевидно, что
при этом условии обе подгруппы действительно совпадают для
всех тех значений /, для которых они обе определены (см. (1)).
Если теперь G есть локальная группа Ли и D—некоторые
дифференцируемые координаты в G, то однопараметрическая
подгруппа g (/) называется дифференцируемой в координатах Д если
кривая g(t) имеет в этих координатах касательный вектор а
(см. § 38, В)). Вектор а будем называть направляющим вектором
подгруппы g(t).
Займемся теперь вопросом о существовании
однопараметрической подгруппы с даннымг направляющим вектором а. Для того
чтобы полно формулировать соответствующую теорему, введем
вспомогательные функции
v){x) = v){x\ ..., xr) = -^jfi(x\ ..., х", 0, ..., 0) (2)
(см. § 38, (3)).
Теорема 46. Пусть G—некоторая локальная группа Ли и
D—некоторая дифференцируемая система координат^
установленная в G. Тогда всякая однопараметрическая подгруппа g (t),
обладающая в координатах D направляющим вектором а, удовлетворяет

§ 39. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
215
в этих координатах системе уравнений
^ = 1(8 WW (3)
(см. (2)) при начальных условиях
£'(0) = (0). (4)
Обратно, решение системы (3) при начальных условиях (4)
определяет однопараметрическую подгруппу g(t), обладающую
направляющим вектором а. Ввиду существования и единственности
решения системы (3) при начальных условиях (4) в группе G
существует одна и только одна однопараметрическая подгруппа g (t)
с направляющим вектором а.
Доказательство. Пусть g(t) —однопараметрическая
подгруппа с направляющим вектором а. Покажем, что тогда
координаты g1'(t) ее элемента удовлетворяют системе уравнений (3)
при начальных условиях (4).
Вычислим
s->0 s
Из соотношения (1) настоящего параграфа и соотношений (3)
и (4) § 38 мы имеем
g''(t + s) = fi(g(t)y g(s))=gi(t) + Vii(g(t))gy(S) + ^S.
Из этого равенства непосредственно получаем
g,-,+S)_g40=t)Hg(0)gy)+e,.
где е1" —> 0 при s —*• 0. Из этого следует, что производная g{' (t)
существует и функции g* (t) удовлетворяют системе (3). Так как
g(0) = e> то gi(0) = 0, и это дает нам начальные условия (4).
Из того, что функции g1' (t) удовлетворяют системе (3), следует
единственность группы g(t) с направляющим вектором а, ибо
решение системы уравнений (3) единственно при заданных
начальных условиях (4). Из той же системы (3) следует, что
функции g* (t) трижды непрерывно дифференцируемы, если система
координат D дифференцируемая, и аналитичны, если система
координат D аналитическая.
Перейдем теперь к доказательству существования однопарамет-
рической подгруппы g(t), обладающей направляющим вектором а.
Мы предположим для этого, что функции g* (t) удовлетворяют
системе (3) с начальными значениями (4), и покажем, что тогда
точка g(t) с координатами gl (t) описывает однопараметрическую
подгруппу с направляющим вектором а.
Отметим прежде всего, что из соотношений (5) § 38 следует,
что 8J ' = а1', т. е. кривая g(t) имеет касательный вектор а.

216 ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
Таким образом, нам остается показать, что g(t) есть однопара-
метрическая подгруппа.
Положим
g4U u) = g(t)g(u) (5)
и обозначим через g*1' (t, и) координаты точки g*(t, и). Оценим
разность
£""('. и)— g'(t+u) = eiu; (6)
именно: покажем, что г{ стремится к нулю одновременно с и.
Мы имеем
£*<(', u) = fHg(t), g{u)).
Отсюда на основании соотношения (2) получаем
g" (t, и) = g* (t) + v) (g (/)) du + elu, (7)
где ei —■>■ 0 одновременно с и. С другой стороны, из соотношения
(3) имеем
g* (t+u) = £< (/) + v) (g (/)) of и + eiu, (8)
где e£3 —> 0 одновременно с и. Из соотношений (7) и (8) и следует
наше утверждение относительно г[.
Покажем теперь, что функции g*1' (s, /) удовлетворяют системе
уравнений
dJ£L£Jl=vj{g.(s, t))aj (9)
при начальных значениях
g*i(s, 0) = g*(s). (10)
Начальные условия (10) непосредственно следуют из
равенства (5). Вычислим 8 ' :*' '. Мы имеем
g*(s, t+u) = fHg(s), g(t + u)).
Отсюда, принимая во внимание соотношение (6), получаем
где е| —^ 0 при и —► 0. Из этого на основании ассоциативности
умножения находим
Это соотношение в силу равенства (2) можно переписать так:
g4(s, t+u) = g*i(sf t) + v)(g*(s, t))afu+ei(u)t (1.1)
где 8t _^ о при i/ —► 0. А из этого равенства непосредственно
следует равенство (9).

§39. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
217
Но, с другой стороны, функции gl'(s + t) очевидным образом
удовлетворяют системе уравнений
д*Рй = '№('+*»°' (12)
при начальных значениях
gi(s + 0) = gi(s)1 (13)
ибо уравнения (12) совпадают с уравнениями (3).
Таким образом, g*1' (s, /) и g'is + t) как функции аргумента t
удовлетворяют одной и той же системе уравнений (9), (12) с теми
же самыми начальными значениями (10), (13). Отсюда в силу
единственности решения этой системы мы заключаем, что g*1' (s, t)=
=g"4s+0> a это значит, что g (s)g(t) = g(s+1) (см. (5)), т. е.
g(t) есть однопараметрическая подгруппа. Таким образом,
теорема 46 полностью доказана.
B) Пусть G—локальная группа Ли. Дифференцируемая система D
координат, установленная в окрестности U единицы группы G,
называется канонической первого рода, если всякая система ли-
йейных уравнений g!(t) = al't, |£|^а, в координатах D дает
однопараметрическую подгруппу g(t), \t\^.a. Здесь а* —
произвольные константы, а а—положительное число, удовлетворяющее
лишь тому условию, что при |£|^а в U имеется точка с
координатами аЧ.
Легко видеть, что линейное преобразование канонических
координат первого рода (см. § 38, А)) приводит вновь к
каноническим координатам первого рода.
C) Пусть G—локальная группа Ли, D—установленные в G
канонические координаты первого рода и U—область
существования координат D. Всякая дифференцируемая в координатах D
однопараметрическая подгруппа g(t), [t\^.a, заданная в G и
удовлетворяющая условию g(t)^U при |^|^а, может быть в
координатах D задана уравнениями
g'(t) = a4, И<а, (14)
где а? суть координаты направляющего вектора а подгруппы g(t).
Обозначим через g*(t) точку с координатами аЧ. Обозначим,
далее, через М множество всех таких положительных чисел Р <! а,
что при \t\ ^Р точка g*(t) существует. Если Р£М, то в силу
определения В) кривая g"*(0, |^|^P, есть однопараметрическая
подгруппа. Так как направляющий вектор подгруппы g* (t),
очевидно, равен а, то в силу теоремы 46 мы имеем g(t)=g*(t) при
достаточно малых значениях параметра t\ но тогда эти однопа-
раметрические подгруппы совпадают во всей области их
существования (см. А)), т. е. g{t) = g*(t) при |£|<р. Обозначим
через у верхнюю грань всех чисел множества М. Так как при
|/|<Y имеем g*(t)—g(t), а при |£| = v имеем g(t)£Uy то при

218
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
111 = у точка с координатами al't существует и совпадает с точкой
g(t). Если теперь у < а, то, очевидно, существует положительное
е такое, что y + s<<x и точка g*(t) определена для всех ty по
модулю не превосходящих у+гу т. е. у + е£М. Таким образом,
если у < а, то у не может быть верхней гранью всех чисел
множества М, и следовательно, v^ot- Итак, g(t) = g*(t) при |/|^а,
т. е. соотношения (14) справедливы.
Теорема 47*). Пусть D—некоторая дифференцируемая или
аналитическая система координат в локальной группе Ли G.
Тогда существует такая каноническая система координат D'
первого рода, переход от которой к системе D дифференцируем
или соответственно аналитичен, причем матрица ||/?}|],
соответствующая переходу от координат D' к координатам D (см. § 38, А)),
есть единичная матрица.
Доказательство. Пустьg(t)—однопараметрическаягруппа,
дифференцируемая в координатах D и имеющая направляющий
вектор а (см. теорему 46). Выразим явно зависимость однопара-
метрической подгруппы g(t) от вектора а, положив
g(t) = g(a, f). (15)
Координаты точки g(t) в системе D обозначим через g* (t), a
координаты вектора а—через а1'. Мы можем написать
£'(*) =*«'(*. 0 = «'(fl1. •••> я"* О- (16)
Рассмотрим функцию g(oct), где а—действительное число.
Точка g (at) как функция параметра / описывает однопарамет-
рическую подгруппу, так как
g (as) g (at) = g(as + at) = g(a(s+ t)).
Направляющий вектор однопараметрической подгруппы g(at), как
легко видеть, есть аа. Действительно,
dg! (at) dg* (at) , , л
* \ } = * v.. ; a = aal при / = 0.
dt d (at) v
Так как согласно теореме 46 в G существует лишь одна
однопараметрическая подгруппа с направляющим вектором аа, то мы
имеем
g (a, at) = g(aa9 t). (17)
Иначе это можно записать так:
g'(a, at) = g'(aa, t) (18)
*) В приведенной здесь формулировке теорема неверна. Ее ^правильная
формулировка и доказательство, а также все последующие (незначительные)
изменения, вызванные этим исправлением, см. в третьем издании настоящей
книги (М.: Наука, 1973).— Примеч. ред.

§39. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
219
или
g*(a\ ..., оГ\ at) = gi(aa\ ..., aar\ t). (19)
Заметим, что функции (16) являются дифференцируемыми или
соответственно аналитическими функциями всех аргументов.
Утверждение это следует непосредственно из того факта, что они
служат решением системы уравнений (3).
Введем теперь в рассмотрение функции
Ы (а) = К1 (а\ ..., ar) = g{ (а1, ..., аг\ 1). (20)
Покажем, что они определены для всех достаточно малых
значений аргументов. Действительно, в силу известной теоремы теории
дифференциальных уравнений существуют столь малые
положительные числа 8 и б, что при | ak | < 8 решение системы (3)
определено для 111 < б. Более полно: функции g1' (я1, ..., ar\ t) как
решения системы (3) определены и дифференцируемы или
соответственно аналогичны при |а*|<8, |£|<б. Но тогда для
функций (20) в силу равенств (19) это означает, что они определены
при | ак | < еб.
Функции (20) удовлетворяют условию
А'(0, ..., 0) = 0. (21)
Действительно,
W(0a\ ..., 0аг)=^(а\ ..., аг\ 0-1)=*0.
Займемся теперь вычислением производных функций (20) при
аргументах, обращающихся в нуль. Очевидно, при вычислении
—rA'(0, . .., 0) все аргументы кроме одного а/ можно заранее
положить равным нулю. Придадим поэтому вектору а
специальное значение а1 считая, что у вектора а' все координаты равны
нулю, за исключением /-й координаты, которая имеет значение 1.
Вычислим теперь производную -rrtiia't). Согласно формулам (20)
и (19) мы имеем Ы{a't) = g1'(a', t). Таким образом, —rrh}(a't) =
= ~ЗГ^*(а'' ')' Полагая в последнем равенстве £ = 0, мы получим
в качестве производной -gj-£'(#'» 0) *-ю координату
направляющего вектора а' подгруппы g{a\ t)\ в силу формулы (3) и
специального выбора вектора а! мы имеем, таким образом,
^Л'(0. -•♦, 0) = 6J. (22)
Для введения координат D* в группе G рассмотрим систему
уравнений
х1 = К{х9\ ..., х9г) (23)

220
ГЛ, VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
относительно неизвестных х'к. При х1' = 0 система (23) имеет
решение x'k = 0 (см. равенства (21)). Далее, якобиан системы (23)
равен единице при аргументах, равных нулю (см. равенства (22)).
Следовательно, система (23) разрешима однозначно и непрерывно
вблизи значений аргументов, равных нулю, и значит может
служить для введения новых координат х'к для точки х, имевшей
в системе D координаты хг (см. § 38, А)). Получаемую таким
образом новую систему координат обозначим через D'.
Рассмотрим в группе G некоторую кривую g*{t), задаваемую
в координатах D' линейным образом:
g*l'(t) = al't. (24)
Посмотрим, какой вид будет иметь эта кривая в координатах D.
Для этого подставим в уравнения (23) вместо x'k выражение dkt.
Мы получаем
х1 = к£(аЧ, ..., art) = gl'(a\ ..., ar\ t)
(см. (20) и (19)). Но это показывает, что рассматриваемая
кривая g*(t) есть однопараметрическая подгруппа. Таким образом,
всякая кривая, задаваемая в координатах D' равенствами (24),
дает однопараметрическую подгруппу, и, следовательно, координаты
U суть канонические первого рода (см. Б)).
Так как функции (16)—дифференцируемые или соответственно
аналитические, то функции (20) обладают тем же свойством, и
следовательно, переход от координат U к координатам D
дифференцируем или соответственно аналитичен.
Итак, теорема 47 доказана.
Нижеследующая теорема 48 показывает, что каждая
однопараметрическая подгруппа является дифференцируемой в любой
дифференцируемой системе координат. Таким образом, теоремой 48
делается первый шаг в направлении доказательства
дифференцируемое™ некоторых функций, заранее не предполагаемой.
Теорема 48. Если D—некоторые дифференцируемые
координаты в локальной группе Ли G, то всякая однопараметрическая
подгруппа g(t) группы G дифференцируема в координатах D.
Доказательство. Так как согласно теореме 47 от
координат D можно дифференцируемым образом перейти к каноническим
координатам первого рода, то без ограничения общности мы
можем предположить, что координаты D сами являются i анониче-
скими первого рода.
Обозначим через V ту окрестность единицы е группы G, в
которой определены координаты D. Обозначим, далее, через Ua
множество всех элементов из V, координаты которых
удовлетворяют соотношениям
|*'|<«- (25>
Очевидно, существует такое положительное число е, что при
а = е всякой системе чисел я*, удовлетворяющих неравенствам (25),

§39. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 221
соответствует некоторая точка из V. Положим Ue = U. Далее,
существует такое положительное число б, что произведение
каждых двух элементов из /Уб определено (см. § 23, Е)) и
U% d U. (26)
Мы положим Ub=U'.
Пусть V—столь малое положительное число, что
g(t)£U' при |*|<*'. (27)
Координаты точки g(t) в системе D обозначим через g1'(t)-
Пусть, далее, п—некоторое целое положительное число. Мы
положим
*.= -M4V С»)
Вектор с координатами а}п обозначим через ап, однопараметриче-
скую подгруппу с направляющим вектором ап (см. теорему 46)
обозначим через gn(t) и координаты точки gn(t) обозначим через
gn(t). Так как координаты D—канонические, то
в№ = аХ- (29)
Следует помнить, что уравнения (29) имеют смысл лишь при
достаточно малых значениях параметра t, а именно до тех пор,
пока кривая gn (t) проходит в области V (см. С)), в которой
установлены координаты D. Кривая gn (t) может покинуть область V
и вновь вернуться в нее, тогда точка gn (t) вновь получит
координаты, однако они уже не будут определяться уравнениями (29).
Займемся теперь выяснением вопроса, при каких значениях
параметра t уравнения (29) имеют смысл. Мы покажем, что они
имеют смысл для всех значений t, для которых 111 <! /'.
Так как при 11 \ ^ V g (t) б Uf, то g f — )(zU', и следовательно,
g1' (— J < S. Отсюда непосредственно следует, что \a^t\ < S при
\t\^— (см. (28)). Таким образом, при |£|<— имеем
gnWZU* (30)
и уравнения (29) имеют смысл для этих значений параметра. Из
равенств (28) и (29) получаем gU—j=gr'f — j, и следовательно,
Пусть теперь т—некоторое положительное целое число, не
превосходящее п. Возводя равенство (31) в степень /я, получаем
Zt') = s№\ (32)

222
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
где левая часть существует в силу существования правой.
Рассмотрим, далее, некоторое положительное число t9 не
превосходящее /'. Число это может быть представлено в форме / = — t' + s,
где т^п и 0^s< —. Из равенства (1) следует тогда, что
Согласно (27) gi^A^U', г в силу (30) имеем gn(s)£U\
следовательно, gn (t) £ U'U' с U. Таким образом, при 111 < V
имеем gn (t)£U и уравнения (29) имеют смысл для всех t c\t\^t'.
Полагая в равенстве (32) т = п, получаем gn(t') = g (f).
Записывая это равенство в координатной форме, что по доказанному
возможно, получаем u'nt' = gl(t'). Таким образом а\ не зависит от
числа /г, следовательно, и группа gn (t) также не зависит от
числа /г. Поэтому мы обозначим ее через g*{t). Равенство (32)
перепишется теперь в виде
*-(f;'H(T<'> <33>
где тип, #г<я,— произвольные целые положительные числа.
Так как элементы групп g*(t) и g(t) являются непрерывными
функциями параметра t, то из равенства (33) заключаем, что
g*(t)==g(t)> а это значит, что группа g(t) совпадает с
дифференцируемой группой g*(t). Таким образом, теорема 48
доказана.
Теорему 48 можно считать первой теоремой инвариантности%
Она показывает, что всякая однопараметрическая подгруппа имеет
направляющий вектор в любых дифференцируемых координатах
§ 40. Теорема инвариантности
Здесь будет показано, что если в группе Ли G имеются две.
дифференцируемые системы координат, что они связаны между
собой дифференцируемым преобразованием. Значение этого
предложения уже было разъяснено в § 38. Оно подводит базу под
координатное изучение групп Ли. В самом деле, изучая закон
перемножения в группе координатным образом, мы в действительности
изучаем свойства системы уравнений (3) § 38. Для того чтобы
получить свойства самой группы, мы должны искать те свойства
этой системы, которые остаются инвариантными при
преобразовании координат. И вот теорема 49 (см. ниже) показывает, что
достаточно рассматривать лишь дифференцируемые
преобразования координат.
Для доказательства теоремы 49 мы введем канонические
координаты второго рода (см. А)).

§40. ТЕОРЕМА ИНВАРИАНТНОСТИ
223
Заметим здесь, что размерность г группы Ли G была
определена при помощи координат (см. определение 38), и,
следовательно, если не опираться на топологическую теорему
инвариантности числа измерений, то мы не можем еще утверждать, что
размерность есть инвариант группы G. Поэтому здесь мы будем
пока говорить о размерности группы G в данных координатах.
Напомним еще, что размерность группы G в координатах D равна
размерности векторного пространства R, ассоциированного с
группой G при помощи координат D (см. § 38, В)).
Теперь перейдем к конструированию координат второго рода.
А) Пусть G—локальная группа Ли и D—некоторые
дифференцируемые или аналитические координаты, установленные в G,
причем размерность группы G в этих координатах равна г. Будем
говорить, что некоторые однопараметрические подгруппы группы G
линейно независимы в координатах D, если их направляющие
векторы линейно независимы в системе D. Выберем в G систему
из г линейно независимых в координатах D однопараметриче-
ских подгрупп
ыо> •••> ело. m<«. (i)
Рассмотрим точки
g(t\ ..., t') = gi(n ... gr(n |**|<P<«. (2)
существующие при малых значениях р.
Оказывается, что если р выбрано достаточно малым, то точки
вида (2) составляют некоторую окрестность U единицы в группе G,
причем каждая точка из U единственным образом представляется
в форме (2), т. е. сама определяет числа tk. Таким образом,
принимая за координаты точки g (t1, ..., tr)£U числа tk, мы тем
самым вводим в G некоторую новую систему координат D',
называемую канонической второго рода.
Оказывается, далее, что возможен дифференцируемый или
соответственно аналитический переход от D к D\ в зависимости от
того, была ли первоначальная система координат D
дифференцируемой или аналитической.
Для доказательства утверждения А) обозначим через gi(t)
координаты точки gk(t) в системе D, через g* (t1, ..., tr) —
координаты точки g (t\ ..., tr) в системе D и, наконец, через а\ —
координаты направляющего векторя ak группы gk(t), также в
системе D.
Переход от системы D' к системе D дается соотношениями
x* = g*(t\ ..., i% (3)
где х1 суть координаты точки х в системе Д a tk—координаты
той же точки в системе D'. Для доказательства предложения А)
покажем, что система (3) удовлетворяет условиям
определения А) § 38.

224
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ •
Система (3) является дифференцируемой или соответственно
аналитической. Это следует непосредственно из теоремы 46.
Так как gk (0) = е, то g (0, ..., 0) = е и, следовательно,
g'(0, ..., 0) = 0.
Вычислим теперь производную ■gp-ff'C1» ■■■» 'О ПРИ
аргументах, обращающихся в нуль. При этом вычислении все аргументы
кроме одного tk можно заранее положить равными нулю и уже
затем находить производную. Поэтому мы имеем
wre'V1* .->П = |-£Ш = 4 при v=t = o.
Таким образом, якобиан системы (3) равен детерминанту матрицы
ЦяЛ, который не обращается в нуль в силу линейной
независимости выбранной системы подгрупп (1).
Итак, в малой окрестности единицы система уравнений (3)
разрешима, и утверждение А), таким образом, доказано.
Перед тем как перейти к теореме 49, сделаем еще одно
предварительное замечание.
Б) Пусть О—некоторая локальная группа Ли, D и D'—две
дифференцируемые системы координат, заданные в ней, a R и R'—
векторные пространства, ассоциированные с G при помощи
координатных систем D и D' (см. § 38, В)). Пусть g(t) — некоторая
однопараметрическая подгруппа из G; обозначим через а и а' ее
направляющие векторы в координатах D и D' (см. теорему 48),
a(zR, a'£R\ Получаемое таким образом взаимно однозначное
соответствие ат±а! между пространствами R и R' оказывается и
и взаимно непрерывным. В силу этого в множестве всех одно«-
параметрических подгрупп группы G естественно вводится
топология, не зависящая от выбора координат, причем близость
подгрупп определяется как близость их направляющих векторов
в какой-либо дифференцируемой системе координат.
В силу теоремы 47 мы без ограничения общности можем
считать системы D и D' каноническими первого рода. Для
доказательства непрерывности отображения а—>а! вблизи некоторого
определенного вектора а выберем столь малое положительное
число т, что определены точка с координатами а'х в системе D
и точка с координатами а'1х в системе D', причем обе эти точки
совпадают с точкой g(x) (см. § 39, В), С)). Малым изменениям
вектора а соответствует теперь, очевидно, малое изменение точки
g-(t), малым же изменениям точки g(x) соответствуют малые
изменения ее координат а'1'х, т. е. малые изменения вектора а'.
Итак, отображение а —► а1 непрерывно. Так же доказывается и
непрерывность отображения а'—+а.
Теорема 49. Пусть D u D'—две системы координат в
локальной группе Ли G. Мы предположим, что обе они одновременно
дифференцируемые или аналитические. Обозначим, далее, через г

§ 40. ТЕОРЕМА ИНВАРИАНТНОСТИ
225
размерность G в координатах D и через s-размерность G в
координатах D'. Тогда r = s и возможен дифференцируемый или со-
ответственно аналитический переход от координат D к
координатам D' (см § 38, А)), /л. е. переход от системы D к
системе D' дается соотношениями
х'' = Ф<>\ ..., хг), (4)
где в правых частях стоят дифференцируемые или соответственно
аналитические функции и якобиан системы (4) не обращается
в нуль при аргументах, равных нулю.
Доказательство. Предположим, что r^s. Выберем, так
же как и в А), систему г линейно независимых в координатах D
однопараметрических подгрупп
gl(t), ..., gr(t). (5)
В координатах D' эти подгруппы имеют направляющие векторы
(см. теорему 48), однако совсем не очевидно, что однопараметри-
ческие подгруппы (5) будут линейно независимы и в
координатах D'. Но небольшим изменением этих подгрупп (см. В)) можно
сделать их линейно независимыми в координатах D', ибо s^r;
при этом малом изменении линейная независимость подгрупп (5)
в координатах D не утеряется, ибо изменение произвольно мало.
Таким образом, мы можем принять, что подгруппы (5) линейно
независимы одновременно в координатах D и D'. Если теперь
s > /\ то дополним систему (5) однопараметрическими
подгруппами gr+1(t), ..., gs(t) так, чтобы новая система
ftW. •••- er(t), gr+iV), ...,g,(t) (5')
была линейно независима в координатах D'.
Системы (5) и (5') однопараметрических подгрупп можно теперь
положить в основу построения канонических координатных
систем D* и D'* второго рода. Пусть
t'\ ..., t'+, t'r+1, ..., t's (6)
— система произвольно малых чисел. Если эти числа достаточно
малы, то существует точка х, координаты которой в системе D'*
суть числа системы (6). Точно так же, если числа системы (6)
достаточно малы, то для точки х определены и координаты в
системе D*; обозначим их через
V tr
Мы имеем теперь
= gi(n---gr(t'r)gr+At'r+1)---gs(t'*).
Если трактовать это равенство с точки зрения координатной
системы £)'*, то оно означает, что точка х имеет в этой координат-

226
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
ной системе, с одной стороны, координаты t1, ..., tr, ..., 0, ..., О,
а с другой стороны—координаты /'\ ..., t'r, t'r+1, ..., t's, что
возможно лишь при условии t'r+1= ... =/'•* = (). Эти последние
равенства противоречат, однако, предположению, что числа
системы (6) — произвольные, хотя и достаточно малые. Итак,
предположение, что s> г, привело нас к противоречию. Таким
образом, s = r и системы (5) и (5') однопараметрических подгрупп
совпадают, а это значит, что координатные системы D* и D'*
также совпадают.
В силу предложения А) возможен дифференцируемый или
соответственно аналитический переход от системы D к системе D*.
Точно так же возможен дифференцируемый или соответственно
аналитический переход от системы D' к системе D'*. Так как по
доказанному D* = D'*, то мы видим, что и от системы D к
системе D' возможен дифференцируемый или соответственно
аналитический переход.
Итак, теорема 49 доказана.
Пример 56. Пусть G—коммутативная группа Ли. Введем
в G канонические координаты второго рода. Элемент с
координатами /' обозначим через git1, ..., tr). Нетрудно видеть, что
произведение двух элементов выражается по формуле
g(s\ ..., sr)g(t\ ..., tn^g^+t1, .... sr+f).
Это показывает, что коммутативная группа G локально изоморфна
с группой векторов (см. определение 30).
§ 41. Подгруппа и факторгруппа
В этом параграфе будет показано, что всякая подгруппа Н группы
Ли G также есть группа Ли и что при этом Н является
дифференцируемым многообразием в многообразии G. Далее будет
показано, что всякая факторгруппа G* группы Ли G также есть
группа Ли и что при этом естественное гомоморфное отображение
группы G на группу G* дается дифференцируемыми функциями.
Таким образом, здесь будет установлено, что при рассмотрении
подгрупп и факторгрупп можно ограничиться употреблением
дифференцируемых функций.
Теорема 50. Подгруппа Н (см. § 23, 1)) локальной группы Ли G
есть также локальная группа Ли, причем Н есть
дифференцируемая или соответственно аналитическая группа Ли в
зависимости от того, является ли группа G дифференцируемой или
аналитической. Обозначим, далее, через D и Е какие-либо системы
координат в группах G и Н. Относительно D и Е мы будем
предполагать^ что они одновременно дифференцируемы или ана-
литичны. Пусть у1, ..., ys—координаты некоторой точки у € Я
в системе Е их1, ..., хг—координаты той же точки в системе-D,

§41. ПОДГРУППА И ФАКТОРГРУППА 227
Тогда мы имеем
х1 = ф'(у\ ..., у*), i-1, ..., г, (1)
где в правых частях соотношений (1) стоят дифференцируемые
или соответственно аналитические функции. Положим, далее,
gli = -^jV(0, .... 0). (2)
Тогда ранг матрицы \\qj\\ равен s, т. е., в частности, s^r.
Кратко теорему 50 можно формулировать, сказав, что
подгруппа локальной группы Ли G также является локальной
группой Ли и представляет собой дифференцируемое или
соответственно аналитическое подмногообразие многообразия G.
Доказательство. Пусть D'—канонические координаты
первого рода, установленные в G (см. §.39, В)), иУ—область их
существования. Размерность группы G обозначим через г.
Координаты точки- x£V в системе D' обозначим через х'. Через Ua
обозначим множество всех точек х, для которых выполнено
неравенство
х1х1+ ... +хгхг <а2,
где а—положительное число. Существует столь малое
положительное число р, что каковы бы ни были числа у1,
удовлетворяющие неравенству у1у1-\~ •. • +угуг^Р2, существует точка у£V
с координатами у1'. Существует, далее, столь малое
положительное число Y^P* чт0 произведение любых г+ 1 элементов из Uy
определено, я если элементы эти принадлежат Я, то
произведение их также принадлежит Я (см. § 23, Е)). Наконец, существует
столь малое положительное число 6^ у, что множество Uq(}H
замкнуто в £/б. Все эти условия малости будут использованы
в дальнейшем без особых оговоров. Для того чтобы не вводить
лишних осложнений в вычислениях, мы можем предположить, что
ё равно единице, ибо подобным преобразованием координат можно
надлежащим образом изменить масштаб.
Пусть 6g иг—элемент из Я, координаты которого в системе D'
обозначим через Ь1'. Положим Vbxbx + ... + brbr = p и покажем»
что если т есть натуральное число, удовлетворяющее неравенству
тр < 1, то элемент (Ь)т имеет координаты mb1' и принадлежит Я,
(Ь)т£Н при /пр<1. (3)
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу g (t), \ t \ ^ — »
координаты направляющего вектора которой суть числа Ь(. Тогда
мы имеем £'(*) = 6*7, |i|^~ (см. § 39, С)). Таким образом, 6=
=g"(l). Пусть р—натуральное число, не превосходящее т\
возводя в степень р соотношение b = g(l), получаем (by = g(p), т.е.

228
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
координаты элемента (by суть числа pb1'; этот элемент существует,
ибо р меньше —. Покажем, что элементы Ь, (б)2, .. ., (Ь)т все
принадлежат Я. Поведем доказательство индуктивно. Пусть р +
+ 1^#г, так что (b)p^Ul9 и предположим, что (Ьу^Н. Тогда
произведение Ъ ф) р определено и принадлежит Я, ибо оба
множителя принадлежат одновременно U± и Я. Таким образом,
действительно (Ь)р+1^Н.
В случае если единица е группы G является изолированным
элементом группы Я, теорема 50 очевидным образом выполняется,
именно s=-0, и соотношения (1) получают вид х1' = 0.
Сделаем теперь следующее индуктивное предположение.
Допустим, что для некоторого целого k существует система однопара-
метрических подгрупп
&(*). •••> Sk(t), (4)
обладающая такими свойствами: 1) элемент gj(t) принадлежит Я
при |/|^1, /=1, ..., k\ 2) направляющие векторы аг, ..., ak
подгрупп системы (4) являются единичными ортогональными
векторами в системе координат D'; если обозначить координаты
вектора ау через а), то это значит, что
г
2 а1Р4 = Ьрр. (5)
1 = 1
Очевидно, k^r.
Мы начинаем индукцию с fe = 0. Допустим, что предположение
индукции выполнено для данного k. Через Hk обозначим
множество всех элементов вида
g(t\ ..., t*) = g1(tl)...gk(t% \V\<U 1=1 •-., *- (6)
При k=0 положим Hk={e}. Множество Hk целиком содержится
в Я, ибо каждый элемент g;(tJ) входит в Я и иг по
предположению, и k^r. Докажем теперь, что возможны два взаимно
исключающих друг друга случая: а) множество Hk содержит
некоторую окрестность единицы группы Я;
Ь) систему подгрупп (4) можно расширить, присоединив еще
одну подгруппу, так что при этом индуктивные предположения
будут выполнены для расширенной системы.
Обозначим через Lk множество всех элементов из Ux.
координаты которых х1, ..., хг удовлетворяют линейным соотношениям
2ф' = 0, /=1, ..., k. (7)
i = i
При k = 0 положим Lk=U1. Обозначим, далее, через
g(t\ .-., tk\ х) (8)

§41. ПОДГРУППА И ФАКТОРГРУППА 229
элемент g-(/\ ..., &)х~г9 где х^иг. Множество всех элементов
вида (8) при фиксированном х и |/Л<1, /=1, ..., fe, есть
Hkx~\
Исследуем теперь пересечение множеств Lk и Нкх~г в
зависимости от элемента х при х, близком к е.
Для проведения этого исследования обозначим через gl (/\ ...
..., tk\ x) координаты элемента (8). Чтобы найти пересечение
множеств Lk и Я^лт1, достаточно решить относительно параметров
t1, ..., tk систему уравнений
г
2 afe' (t\ ...,**; х) = 0, »= 1, ..., k. (9)
1 = 1
При х = е система эта имеет очевидное решение ^ = 0, р= 1, ...
..., k. Для полного выяснения вопроса о решении системы (9)
вычислим якобиан этой системы при tp = 0, р=1, ..., k, x=e.
При этих условиях мы имеем
-tfg'P, ...,t*\x) = ^$(t) = a\ при * = 0. (10)
Таким образом, при ^ = 0, р=1, ..., &, л; = е
t= 1 i= i
(см. (10) и (5)). Итак, при х, близком к е, существует одно
и только одно решение системы (9), близкое к начальному и
непрерывно зависящее от х. Это значит, что при ху достаточно близком
к е, существует одна и только одна точка пересечения множеств
Lk и Нкх~г, близкая к £, и эта точка <р(х) непрерывно зависит
от х, причем у(е) = е.
Допустим теперь, что предположение а) не выполнено. Тогда
существует последовательность
Ьи Ьл% ..., Ьп, ... (11)
элементов группы Я, сходящаяся к единице е, такая, что ее
элементы не принадлежат множеству Hk. Положим сп = уфп).
Так как функция ф (х) непрерывна и ф (е) = е, то
последовательность
сходится к е. Все точки этой последовательности принадлежат Lki
ибо ф (х) £ Lk. Далее, все они принадлежат и Я. Действительно,
сп£НкЪ-^аНь ибо b'^-^U^ Отметим еще то важное
обстоятельство, что ни один из элементов последовательности (12) не
обращается в е. Именно: если мы допустим, что сп = е, то получаем
е^Нфп1, но тогда bn£Hk, что противоречит предположению.

230
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
В основу дальнейшего построения будут положены
последовательность (12) и следующие только что установленные ее свойства:
cn$Lki сп€#, спфе, limcn = e. (13)
Координаты точки сп последовательности (12) обозначим через
4- (14)
Положим, далее,
Р« = К"44+ ••.+<%. (15)
Точку с координатами
обозначим через ап. Нетрудно видеть, что точка ап лежит на
пересечении множества Lk и границы окрестности U19 поэтому
существует точка а, предельная для последовательности
а[, с&, ..., а'ПУ ..., (17)
причем а также лежит на пересечении множества Lk и границы
окрестности Ux. Обозначим через alk+1 координаты точки а в
системе D'. Координаты эти удовлетворяют системе уравнений (7),
ибо a£Lk. Сверх того,
al+ial+i + • • • + ak+iak+i= 1»
так как а принадлежит границе окрестности U.
Рассмотрим однопараметрическую подгруппу g"fe+i(0>
определяемую соотношениями g£+1 (t) = a^+1t, \t\^ 1. Направляющий
вектор этой подгруппы имеет координаты <4+1, и следовательно,
если присоединить подгруппу gk+i(t) к системе (4), то
индуктивное предположение 2) для расширенной системы будет выполнено.
Нетрудно также видеть, что подгруппа gk+1 (t) удовлетворяет
и индуктивному предположению 1). Действительно, точка сп£Н
имеет координаты р„д# (см. (16)). Отсюда следует, что точка
(сп)т£Н и имеет координаты трпа'п\ если трп < 1 (см. (3)). Пусть
теперь /—действительное число, удовлетворяющее неравенствам
0<£^1. Так как последовательность (17) имеет предельной
точкой а и limprt^0 (см. (13)), то можно подобрать такие целые
/2-х»
положительные числа тип, что трп < 1 и \tai+1—трпапс\ < §,
где 8—наперед заданное положительное число. Таким образом,
точка gk+1(t) является предельной для точек вида (cn)m£U1[)Hf
а так как U1[\H замкнуто в Ul9 то gk+i(t)£H.
Таким образом, мы показали, что имеет место либо случай а),
либо случай Ь).

§41. ПОДГРУППА И ФАКТОРГРУППА
231
Изложенное индуктивное построение позволяет расширять
систему (4), начиная с k = 0, до некоторой системы
8i(t), •••» gs(t)> гДе & = s</*, (18)
причем для окончательной системы (18) уже выполнено условие а).
Направляющие векторы а19 ..., as системы (18) линейно
независимы в силу условия ортогональности (5). Если s< г, то
дополним систему (18) до полной линейно независимой системы
&(')■ ..- gs(t), gs+i(t)> ■--. grit)- (19)
Согласно замечанию А) § 40 систему (19) можно положить в основу
введения в G канонических координат D* второго рода.
Для системы (18) выполнено условие а), и следовательно,
существует такая окрестность W единицы в группе Я, что W a Hs.
Так как множество всех областей вида Ua составляет полную
систему окрестностей единицы в G, то существует столь малое
положительное а', что пересечение Я П Ua' целиком содержится
в W и, следовательно, в Hs. Кроме того, можно предположить а'
столь малым, чтобы в окрестности U^ были определены
координаты D*. Если теперь у есть точка из Я, принадлежащая Ua',
то координаты ее в системе D* суть числа t1, ..., ts, 0, ..., 0.
Тогда мы примем числа t1, ..., ts за координаты точки у в
группе Я. Таким образом, получается координатная система Е* в
группе Я. Легко видеть, что полученные так координаты Е* в группе Я
являются дифференцируемыми или аналитическими в зависимости
от того, были ли координаты D* дифференцируемыми или
аналитическими. Очевидно, что для систем D* и Е* соотношение (1)
выполнено и приобретает особо простой вид:
х1 = у1, х* = у\ ...,xs = ys, **+1 = 0, .••, хг=0. (20)
Если теперь D—некоторая исходная дифференцируемая
система координат в G, то в силу теоремы 49 возможен
дифференцируемый переход от нее к системе D*, если же система. D является
аналитической, то в силу замечания А) § 40 переход от D к D*
будет аналитическим. По тем же соображениям переход от
некоторой системы Е координат в Я к Е* будет дифференцируемым
или соответственно аналитическим. Комбинируя надлежащим
образом переходы от одних систем координат к другим, мы из
формул (20) получим формулы (1), также удовлетворяющие
требованиям теоремы 50.
Итак, теорема 50 полностью доказана.
Теорема 51. Пусть G—некоторая локальная группа Ли
размерности г и Я—факторгруппа группы G (см. § 23, J)). Тогда Я
также есть локальная группа Ли, дифференцируемая или
аналитическая в зависимости от того, является ли G дифференцируемой или
аналитической. Обозначим, далее, через % естественное, локальное
гомоморфное отображение группы О на группу Я (см. § 23, К)),

232
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
а через D и Е—координатные системы в группах G и Н, которые
мы будем считать одновременно дифференцируемыми или
аналитическими. Тогда при помощи координат D и Е гомоморфизм %
выражается так:
y! = yj(x\ ..., х% /=1, ,.., s, (21)
где функции, стоящие в правых частях,—дифференцируемые или,
соответственно, аналитические. Положим
$=-щ-Х' (0, .-., 0), (22)
тогда ранг матрицы \\г{\\ равен s, т.е., в частности, s^.r; при
этом ядро гомоморфизма % имеет размерность г—s.
Доказательство. Обозначим черезN ядро гомоморфизма%.
В силу теоремы 50 N есть локальная группа Ли. Допустим, что
размерность группы N равна г—s, и обозначим через
gs+iV), .-., gr(t) (23)
систему из г—s линейно независимых однопараметрических
подгрупп группы N (см. § 40, А)). В силу теоремы 50 подгруппы (23)
линейно независимы и в группе G; таким образом, систему (23)
можно дополнить до системы
ft W. ■■-. г,(0. s,+i(9. .--. Ы0 (24)
так, чтобы новая система была составлена из линейно
независимых в G подгрупп.
Систему (24) однопараметрических подгрупп положим в основу
построения канонической координатной системы D* второго рода
в G (см. § 40, Д)).
Обозначим через К множество всех элементов группы G для
которых обращаются в нуль последние г—s координат в системе
D*. Легко видеть, что тогда каждый элемент х £ G, достаточно
близкий к единице, единственным образом разлагается в
произведение
х = uv, (25)
где u£K,v£ N. Далее, два элемента x=uv и х' = u'v', достаточно
близких к единице, тогда и только тогда принадлежат одному
классу смежности по N, когда и = и'. Действительно, если и=и\
то мы имеем х~гх' =v~1vf £ N. Обратно, если х и х' принадлежат
одному классу смежности, то х' = xw, где w£N, и, следовательно,
x' = uvw, где и£К, uw£N, т.е. в силу единственности
разложения (25) получаем и' = н. Это замечание показывает, что все
элементы, принадлежащие к одному и тому же классу смежности X
по подгруппе N, имеют одинаковые s первых координат. Эти s
первых координат мы и примем за координаты класса смежности
X. Полученную в Н систему координат обозначим через Е*.

§41. ПОДГРУППА И ФАКТОРГРУППА
233
Пусть X и X'—два класса смежности, а /\ ...,/* и t'1, ...
..., t's—их координаты в системе Е*. Обозначим через х элемент
с координатами
t\ ..., t*9 0, ..., О (26)
в системе D*, а через х'—элемент с координатами
Г\ ..., *'*, 0, .... О (27)
в той же системе. Тогда х £Х, *'£Х'. Через
Г1, ..., Г5 (28)
обозначим первые s координат произведения хх' = х" в системе D*.
Тогда координаты класса смежности X" = ХХ' в системе Е* будут
равны числам (28). Так как числа (28) получаются из чисел (26)
и (27) путем применения тех операций, которыми получается
произведение в системе координат D*, то координаты Е* являются
дифференцируемыми или аналитическими в зависимости от того,
являются ли дифференцируемыми или аналитическими координаты D*.
Итак, Я есть группа Ли.
В координатах D* и Е* соотношения (21) приобретают вид
t = x\ ..., ys = xs. (29)
Непосредственно ясно, что эти соотношения удовлетворяют
условиям, формулированным в теореме 51. Переходя от координат D*
и Е* к произвольным координатам D и Е, мы убедимся, что
теорема 51 верна и для них, пользуясь для этого теоремой 49
и замечанием А) § 40,— так же, как это было сделано при
доказательстве теоремы 50.
Итак, теорема 51 полностью доказана.
Теоремы 49, 50 и 51 показывают, что отныне при изучении
групп Ли мы можем ограничиться рассмотрением
дифференцируемых функций.
Приведем здесь одно весьма важное следствие теоремы 50.
А) Пусть G—множество всех комплексных квадратных матриц
порядка п с детерминантами, отличными от нуля. В силу
замечания А) § 27 G есть топологическая группа. Оказывается, что G
есть аналитическая группа Ли. Таким образом, в силу теоремы 50
всякая подгруппа группы G также есть аналитическая группа Ли.
Для введения координат в группе G матрицу x£G представим
в форме
х = е+№ + 1хЦ1 (30)
где е—единичная матрица, i = V—1, а х{ и х}/—действительные
числа. Числа эти примем за координаты матрицы х. Таким
образом, G имеет размерность 2п2. Если х9 у и z суть три матрицы

234
ГЛ. VI. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ ЛИ
и z = xy, то в координатной форме соотношение это имеет вид
4 = 4 + #£ + «-«*, ^^xjj+yji + x^ + x^. (31)
Так как эти соотношения имеют аналитический вид, то группа
есть аналитическая группа Ли.
§ 42. Дополнительные замечания о канонических координатах
Если пользоваться каноническими координатами первого рода
(см. § 39, В)), то соотношения, указанные в теоремах 49, 50 и 51,
получают весьма простой, а именно линейный вид. Для
доказательства этого докажем одно предварительное утверждение.
A) Пусть имеется дифференцируемая функция
f{z\ ..., z*), (1)
определенная вблизи аргументов, обращающихся в нуль, такая,
что
f(0, ..., 0) = 0. (2)
Допустим, далее, что функция (1) обладает свойством
однородности. Именно: положив zl' = c(t9 i= 1, ..., k, где с1, ..., ck суть
произвольные константы, a t—параметр, мы получаем линейную
функцию
f{c4, ..., ckt) = ct (3)
параметра t. Оказывается, что при этих условиях функция (1)
линейна, т. е.
f(z\ ..., z*) = Plzi+...+pkz\
где р19 ..., pk—константы.
Пусть с1, ..., ск—система произвольных, но достаточно малых
чисел. Тогда соотношение (3) имеет смысл при t=l, и мы имеем
c = f(c\ ..., с*). (4)
Дифференцируя соотношение (3) по / и полагая затем £ = 0,
получаем
c = Sif(0' •••• °>с'- (5)
t=l
Так как в соотношениях (4) и (5) числа с1, ..., ck произвольны
и лишь достаточно малы, то мы видим, что (1) есть линейная
функция.
B) Если теперь считать рассматриваемые в теоремах 49; 50 и 51
системы координат каноническими первого рода, то соотношения
|(4) § 40 и (1) и (21) § 41 получанэт линейный- вид, а именно

§42. ЗАМЕЧАНИЯ О КАНОНИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 235
превращаются соответственно в
x4 = pjx*9 (6)
x'i = qjyJ, (7)
у* = г[х*. (8)
Доказательство утверждения В) непосредственно следует из
замечания А). В правых частях соотношений (4) § 40 и (1) и (21)
§ 41 подставим координаты точки, описывающей однопараметри-
ческую подгруппу. Так как все рассматриваемые координаты
являются каноническими первого рода, то все аргументы и
функции станут линейными функциями параметра t, и мы сможем
применить замечание А).
Замечание к главе шестой
Если при ознакомлении с группами Ли читатель хочет
ограничиться лишь классической постановкой задачи и не желает
вникать в те принципиальные вопросы, о которых говорится во
введении к шестой главе, то ему нет надобности читать эту главу
полностью. Достаточно прочесть лишь § 38, 39 и 42, при этом
можно опустить еще теорему 48.
В классической теории под группой Ли G понимают такую
локальную группу, в которой введены определенные
дифференцируемые координаты D (см. определение 38). Под свойствами
группы G понимают тогда такие свойства системы уравнений (3) § 38,
которые не меняются при дифференцируемых преобразованиях
координат D (см. § 38, А)). Далее, подгруппой Н группы G
называется лишь такая подгруппа, которая определяется
соотношениями (1) §41, т.е. теорема 50 превращается в определение.
Точно так же и гомоморфизмом % группы G называется лишь
такой гомоморфизм, который определяется соотношениями (21)
§ 41, т.е. теорема 51 превращается в определение.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
Объектом исследования классической теории непрерывных групп
являются группы Ли (см. определение 38). Группы эти
исследованы весьма детально и потому целесообразно привести общие
топологические группы в связь с группами Ли. Оказывается, что
возможно путем некоторого предельного перехода сконструировать
всякую компактную топологическую группу со второй аксиомой
счетности из компактных групп Ли (см. теорему 54). Таким
образом, фактически вопросы, относящиеся к топологической группе
весьма общего типа, сводятся к соответственным вопросам о
группах Ли. В частности, удается выделить компактные группы Ли
из общих топологических групп путем наложения требований
общего характера (см. теоремы 56 и 57). Все эти результаты
целиком опираются на теорему 28 четвертой главы. Так как для
групп локально компактных никакого аналога теореме 28 до сих пор
не установлено, то методы, применяемые к компактным группам,
не удается распространить на группы локально компактные и
основные проблемы для этих групп остаются открытыми.
Задача выделения групп Ли из топологических групп более
общего вида была формулирована Гильбертом.
Модернизируя несколько постановку вопроса, но не меняя ее
по существу, проблему эту можно формулировать следующим
образом:
Назовем топологическую группу G параметрической, если
существует окрестность U единицы группы G, гомеоморфная /г-мер-
ному евклидову пространству. Это значит, что в окрестности U
можно ввести координаты или параметры. Проблема заключается
в том, чтобы доказать, что всякая параметрическая группа есть
группа Ли.
Нейман (см. [21]) решил эту проблему положительно для
случая компактных групп, пользуясь теоремой 28. Для
коммутативных групп положительное решение проблемы было дано мною
(см. теорему 44).

§43. АППРОКСИМАЦИЯ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ ГРУППАМИ ЛИ 237
На основе теоремы 28 после Неймана были получены
результаты, весьма полно вскрывающие структуру компактных
топологических групп и содержащие, в частности, решение проблемы
Гильберта (см. [26], [14], [16]). Изложению этих результатов
и посвящается настоящая глава.
§ 43. Аппроксимация компактной группы группами Ли
Здесь на основе теоремы 28 будут установлены некоторые
связи между компактной топологической группой,
удовлетворяющей второй аксиоме счетности, и группами Ли, в частности, будет
доказана теорема 54, позволяющая сконструировать всякую
компактную группу из групп Ли.
Теорема 52. Пусть Qn — топологическая группа всех унитарных
матриц порядка п (см. § 27, J)). Обозначим через Q прямое
произведение всех групп Qlf Q2, ..., Qn, ... (см. определение 29').
Q есть компактная топологическая группа, удовлетворяющая
второй аксиоме счетности. Утверждение теоремы состоит в том,
что Q является универсальной группой для всех компактных
топологических групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
т. е. что всякая такая топологическая группа G изоморфна
некоторой подгруппе группы Q.
Доказательство. Пусть ga\ g{2\ ..., g(k\ ...—полная
система унитарных представлений группы G, указанная в
теореме 28. Обозначим через рн степень представления gm и подберем
такую возрастающую последовательность натуральных чисел
нг, я2, ..., nk, ..., что pk^.nk, k=l, 2, ... Благодаря
последнему неравенству мы можем считать, что совокупность всех
унитарных матриц порядка pk является подгруппой группы Оя , и
рассматривать поэтому гомоморфизм g{k) как гомоморфизм группы G
в группу Qnk. Согласно определению 29' каждый элемент из Q
представляет собой последовательность х—{хи х2, ..., хп, ...}
такую, что xn£Qn, /z=l, 2, ... Поставим теперь каждому
элементу y£G в соответствие элемент f (y)=x£Q, определяемый
следующими соотношениями: xnk = g{U) (y)y k=\, 2, ...; если же
п—натуральное число, не входящее в последовательность nk, то
хп есть единица группы Q„. Непосредственно видно, что полученное
таким образом отображение / есть гомоморфное отображение
группы G в группу Q. Покажем, что / есть изоморфное
отображение группы G на некоторую подгруппу G' группы Q'.
Пусть уФе—некоторый элемент группы G. Тогда в силу
теоремы 28 существует номер k такой, что gik) (у) Ф еП}г, и
следовательно, в силу только что проведенной конструкции отображения /,
/ (у) не есть единица группы Q. Таким образом, отображение /
есть отображение взаимно однозначное. Так как оно, кроме того,
непрерывно, то / (G) = G' есть компактное, а следовательно, и замк-

238 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
нутое подмножество пространства Q (см. теорему 8 и §. 13, В)).
Так как G', вместе с тем,— абстрактная группа, то теорема 52
доказана.
Дадим еще одно непосредственное следствие теоремы 28.
Теорема 53. Пусть G—компактная топологическая группа*
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, и U—некоторая
окрестность единицы в G. Тогда существует нормальный делитель
NaU группы G такой, что факторгруппа G/N есть группа Ли.
Можно утверждать даже несколько больше, именно, что в G
существует убывающая последовательность Nl9 N2, ..., Nn, ...
нормальных делителей такая, что пересечение всех их содержит
лишь единицу, а факторгруппа G/Nn при произвольном п есть
группа Ли {см. определение 38).
Доказательство. Обозначим через Ф„ нормальный
делитель группы Q (см. теорему 52), определенный как произведение
групп йх, .. ., Qn, а через ¥„ — нормальный делитель группы Qr
определенный как произведение групп Qn+U ^w+2» • • • Легко
видеть, что Q есть прямое произведение групп Ф„ и ¥„ и группа Ф„
изоморфна факторгруппе &№п (см. § 20, G)). Группа Ф„ есть
группа Ли как прямое произведение конечного числа групп Ли
(см. § 38, С) и § 41, А)). Таким образом, Й/Ч^ есть группа Ли.
Отметим еще, что пересечение всех групп ¥„, п= 1, 2, ...,
содержит лишь единицу.
В силу теоремы 52 мы можем считать, что G есть подгруппа
группы Q. Обозначим через Nn пересечение Gf]Wn. Nn есть
нормальный делитель группы G (см. § 20, С)). При гомоморфизме hn
группы Q на группу &/¥„ подгруппа G переходит в подгруппу Gn
группы £2/¥и, а так как группа Й/Ч^ есть группа Ли, то и ее
подгруппа Gn также есть группа Ли (см. теорему 50). Но Gn, очевидно,
изоморфна G/Nn. Так как, сверх того, пересечение всех групп хРп
содержит лишь единицу, то и пересечение всех групп Nnr
/г=1, 2, ..., содержит только единицу.
Таким образом, рассматриваемые группы Nп удовлетворяют
утверждению теоремы. Тем самым теорема 53 доказана.
Определение 39. Пусть
Glf G2, ..., Gn, ... (1)
— последовательность компактных топологических групп,
удовлетворяющих второй аксиоме счетности, и gn—гомоморфизм
группы Gn+1 на группу Gn, п—\, 2, ... Исходя из
последовательностей (1) и
ft. £v ••■>?„, • • •, (2)
сконструируем компактную топологическую группу G,
удовлетворяющую второй аксиоме счетности, которую будем называть
пределом последовательности (1), взятой с гомоморфизмами (2).

§43. АППРОКСИМАЦИЯ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ ГРУППАМИ ЛИ 239
Фундаментальной последовательностью будем называть такую
последовательность
Х = [Xlt Х21 • • •, Хпл • • • /» (о)
что
xn£Gn9 л=1, 2, ..., (4)
и
Xn = gn(xn+i)> ^=1, 2, ... (5)
Множество всех фундаментальных последовательностей обозначим
через G и введем в G естественным образом топологию и
алгебраическую операцию перемножения.
Произведение ху двух фундаментальных последовательностей
х={х1У х2, ...,*„, ...} и у—{уи у2, ..., уп, ...} определим,
положив
ху={х1уи х2у2, ..., хпупУ ...}.
Топологию в G зададим с помощью окрестностей.
Произвольную окрестность U в G определим, исходя из произвольной
конечной системы окрестностей U19 ..., Un, где U( есть окрестность
к группе G/, 1=1, ..., п. Тогда £/ состоит из всех
последовательностей (3), для которых x£^Ui9 f=l, ..., /г.
Покажем, что таким образом действительно получается
компактная топологическая группа G, удовлетворяющая второй аксиоме
счетности.
Обозначим через Q прямое произведение всех групп
последовательности (1). Тогда каждая фундаментальная
последовательность есть элемент группы Q. Таким образом, G есть подмножество
из Q, GczQ. Легко видеть, что алгебра и топология, заданные
в G, непосредственно совпадают с алгеброй и топологией,
индуцируемыми в G из Q. Покажем, что G есть подгруппа группы Q.
Действительно, элемент
дг= [х1у х.гу ..., хп, ...} (о)
группы Q тогда, и только тогда, принадлежит множеству G,
когда для последовательности (6) выполнены условия (5).
Непосредственно видно, что каждое отдельное условие xn = ga(xn+1)
выделяет подгруппу Рп, совокупность же всех условий (5) выделяет
пересечение всех подгрупп Рп, п= 1, 2, ...., т. е. также подгруппу
{см. § 20, А)). Таким образом, G есть компактная топологическая
группа, удовлетворяющая второй аксиоме счетности (см.
определение 29' и §. 17, В)). Легко видеть, что предел
последовательности (1) не меняется при отбрасывании произвольного.конечного
числа первых ее членов. i <
А). Пусть G—.предел последовательности групп (1) с
гомоморфизмами (2). Каждому элементу x^G (см.. (3)) поставим в
соответствие элемент hn (x) = xn£,Gn. Тогда hn есть гомоморфное ртобра-

240 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
жение группы G на группу G„, причем hn(x)=gn{hn+1(x)). Ядро
гомоморфизма hn обозначим через N„. Тогда Nn+1c:Nn и
пересечение всех групп Nly N2, ..., Nn, ... содержит лишь единицу
группы G.
Утверждение А) проверяется непосредственно.
Введенная в определении 39 конструкция в первую очередь
оправдывается следующей теоремой:
Теорема 54. Каждая компактная топологическая группа G',
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, изоморфна пределу
некоторой последовательности компактных групп Ли {см.
определения 38, 39).
Доказательство. Пусть -N1} N2, ...,Nn,
...—убывающая последовательность нормальных делителей группы G',
рассмотренная в теореме 53. Положим Gn — G'/Nn и обозначим через hn
естественное гомоморфное отображение группы G' на группу Gn.
Так как Nn+1czNn, то, как легко видеть, существует одно и только
одно гомоморфное отображение gn группы Gn+1 на группу Gn
такое, что
h„(x') = gtt(ha+1(x')). (7)
Последовательность групп Gl9 G2, ..., Gn, ... вместе с
гомоморфизмами gly g2, ..., gnJ ... имеет пределом некоторую группу G.
Покажем, что G' изоморфна G. Для этого поставим в соответствие
каждому элементу х' £ G' элемент
/(*')={М*'). М*'). ■••> hn(x')9 ...} = {x1, х2У ..., хп, ...} = х
(8)
и покажем, что отображение / есть изоморфное отображение
группы G' на группу G.
В силу соотношения (7) последовательность (8) есть
фундаментальная, и потому f(x') действительно является элементом группы G.
Непосредственно проверяется далее, что / есть гомоморфное
отображение группы G' в группу G. Покажем, что / есть отображение
на всю группу G.
Пусть а= {а19 а2> ..., ап, ... —произвольный элемент группы G.
Обозначим через Ап множество всех элементов группы G',
переходящих в ап при гомоморфизме Л... Так как hn есть отображение
группы G' на всю группу GnJ то Ап не пусто. Очевидно также,
что Ап компактно. Далее, в силу соотношения (7) мы имеем
An+1czAn. Таким образом, пересечение всех Ап, п=\, 2, ...,
не пусто (см. теорему 6), т. е. содержит по крайней мере один
элемент а', и мы имеем hn (а') = ап, п = 1, 2, ..., так что / (а') = а.
Таким образом, / есть отображение на всю группу G.
Покажем, что / есть изоморфное отображение.
Если / (х') есть единица, то это значит, что hn (x) есть единица
группы Gn и, следовательно, х' £Nn> n= 1, 2, ... Так как
пересечение всех Nn, л=1, 2, ..., содержит лишь единицу, то ядро

§ 44. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 241
гомоморфизма / содержит лишь единицу и, следовательно,
гомоморфизм f есть изоморфизм (см. теорему 13 и § 19, D)).
Так как все группы вл суть группы Ли (см. теорему 53), то
теорема 54 доказана.
Пример 57. Пусть D—аддитивная топологическая группа
действительных чисел и N—подгруппа всех целых чисел. Положим
f( = D/N и обозначим через Gw, /i=l, 2, ..., последовательность
групп, изоморфных К: Gn = fn(K), где /„ есть изоморфное
отображение; тогда существует обратное отображение /й\ также
изоморфное. Определим теперь гомоморфизм gn группы Gn+1 на
группу Gn, положив g„(x) = fn(sjnli(x)), где x£Gn+l9 a sn —
произвольное натуральное число, определяющее гомомофизм gn.
Последовательность групп G19 G2, ..., Grt, ... вместе с
гомоморфизмами gr1f g"2, ..., gn9 ... порождает некоторую предельную
группу G (см. определение 39). Группа G зависит от выбора
чисел sn, /г=1, 2, ... Если эти числа, начиная с некоторого
номера, все равны единице, то G изоморфна К, в противном же
случае группа G имеет весьма сложную структуру. Структура
эта будет более ясна после прочтения следующих параграфов.
Отметим еще, что полученное здесь множество всевозможных
групп G при различных выборах чисел sn совпадает с множеством
всех групп X, данных в примере 53.
Пример 58. Пусть
Glf G2, . •., G„, ... (9)
— последовательность конечных групп и gu g"2, ..., gn, . ..—
некоторая последовательность гомоморфизмов, где gn есть
гомоморфизм группы Gn+1 на группу Grt. Тогда предел
последовательности (9) (см. определение 39) является нульмерной группой.
Действительно, пусть Nn—нормальный делитель группы G,
определенный в замечании А). Тогда факторгруппа G/Nn конечна,
следовательно, множество, состоящее из одной ее единицы, есть
область, а потому Nn как полный прообраз этой области в группе G
есть область в G. Так как в силу замечания А) существует
произвольно малая подгруппа типа Nn, то группа G нульмерна
(см. § 22, G)).
Обратно, каждая нульмерная компактная топологическая группа
может быть получена как предел последовательности конечных
групп (см. § 22, Е)).
§ 44. Вспомогательные топологические понятия
В этом параграфе будут даны два вспомогательных
топологических понятия: размерность и локальная связность. Они будут
использованы в ближайшем параграфе для наложения
дополнительных ограничений на общие топологические группы.

242 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
A) Пусть R—компактное регулярное топологическое
пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности (см.
определение 19, 17, 18). Будем говорить, что имеется конечное
покрытие Q пространства R областями, если имеется конечная
система Q = {Ul9 ..., Un} областей, сумма которых содержит /?.
Аналогично будем говорить, что имеется конечное покрытие А
пространства R замкнутыми множествами, если имеется
конечная система A = {FU ..., Fm} замкнутых множеств, сумма
которых содержит R. Если для каждого F,-£A имеется такая область
Uf£Q. что F;c:Uj, то будем говорить, что А вложено в Q
и записывать это так: А (с Q. Говорят, что покрытие А имеет
кратность k, если в системе А существует k множеств, имеющих
общую точку, но не существует больше чем k множеств, имеющих
общую точку.
Пользуясь введенной терминологией, дадим определение
размерности пространства.
Определение 40. Компактное регулярное пространство R имеет
конечную размерность г, если выполнены следующие два условия:
1) Каково бы ни было конечное покрытие Q пространства R
областями, всегда существует такое конечное покрытие
пространства R замкнутыми множествами, что А (с Q и кратность
покрытия А не превосходит г+ 1 (см. А)).
2) Существует такое конечное покрытие Q пространства R
областями, что, каково бы ни было вложенное в Q конечное
покрытие А пространства R замкнутыми множествами, кратность
этого покрытия больше г.
В случае, если не существует числа г, обладающего указанными
свойствами, говорят, что размерность пространства R равна
бесконечности.
Введенное определение размерности оправдывается в первую
очередь нижеследующим предложением В), доказательства
которого я здесь не привожу в виду его сложности.
B) Если R есть куб /г-мерного евклидова пространства, то
размерность пространства R (см. определение 40) равна п
{см. [2], [3]).
Я приведу здесь без доказательства еще одно свойство
размерности.
C) Если пространство R разлагается в сумму конечного числа
замкнутых подмножеств Rl9 ..., Rki то размерность пространства R
равна максимуму размерностей пространства R{} i=l, ..., k.
В случае, когда речь идет о размерности пространства
топологической группы, определение-размерности можно формулировать
в терминах, более удобных для употребления.
D) Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, и V—некоторая окрестность
единицы группы G. Будем говорить, что конечное покрытие А=?
= {Ft, ..., Fm} пространства G замкнутыми множествами есть

§ 44. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 243
V-покрытие, если F^^czV, 1=1, ..., /л. Оказывается, что
размерность г пространства G определяется следующими условиями:
a) Для всякой окрестности V единицы группы G существует
конечное У-покрытие пространства G замкнутыми множествами,
кратность которого не превосходит г + 1.
b) Существует такая окрестность У единицы группы G, что
всякое, конечное У-покрытие пространства G замкнутыми
множествами имеет кратность большую, чем г.
В случае, если конечного числа г, удовлетворяющего
условиям а) и Ь), не существует, размерность пространства G
оказывается бесконечной.
Докажем утверждение D).
Допустим, что размерность пространства G равна г, и покажем,
что для всякой окрестности У единицы существует У-покрытие
кратности, не превосходящей г+1.
Пусть W—такая окрестность единицы, что WW~1czV.
Множество всех областей Wx, где x£G, покрывает группу G, и в силу
теоремы 7 из этого покрытия можно выбрать конечное покрытие
Q = {Wa1, ..., Wan}. Так как размерность пространства G по
предположению равна г, то существует конечное покрытие А =
= {Fu ..., Fm} пространства G замкнутыми множествами такое,
что А (с Q и что кратность его не превосходит г+1. Так как
каждое F{ содержится в некоторой области Wcij, то F/i?f1c:
aWW^aV. Таким образом, А есть У-покрытие кратности, не
превосходящей г+1.
Допустим теперь, что размерность пространства G равна г,
причем г может быть и бесконечностью, и покажем, что для
всякого конечного s^r существует такая окрестность У единицы,
что всякое У-покрытие пространства G имеет кратность, большую,
чем s. Случай s<r интересен здесь лишь при г=оо.
Пусть Q = {I/lt ..., Un}—конечное покрытие пространства G
областями такое, что всякое покрытие А, вложенное в Q, имеет
кратность большую, чем s (см. определение 40). Для всякой
точки х б G существует такой номер А, что х £ Uk. Обозначим
через Vx такую окрестность точки х, что Vxc:Uk. Из покрытия
пространства G областями Vx выберем конечное покрытие
vXl, ..., vxp. d>
Покрытие (1) обладает тем свойством, что для каждой области У*,
существует область Uj такая, что Vx.c:Uj. Положим Ej — G-^Vу-.
Множество EjVx1 есть компактное множество, не содержащее
единицы, и потому существует окрестность единицы У, не
пересекающаяся ни с одним из множеств EJVx.1. Допустим теперь, что
существует конечное У-покрытие А = {F^ ..., Fm} замкнутыми

244 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
множествами, кратность которого равна s, к покажем, что это
невозможно; именно, мы покажем, что Д (Е Q.
Так как (1) составляет покрытие пространства G, то для
каждого Fk существует такой номер i, что Fk и Vx. пересекаются.
Легко видеть, что тогда Fk не может пересекаться с £}, ибо
BjVx.1 не пересекается с V, a FkFklaV. Таким образом, FkaUj,
т. е. Д (с Q, и следовательно, по предположению кратность
покрытия Д больше 8.
Итак, утверждение D) полностью доказано.
E) Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Если группа G нульмерна
(см. § 22, В)), то она имеет размерность нуль (см. определение 40),
и обратно, если группа G имеет размерность нуль, то она
нульмерна.
Пусть V—произвольная окрестность единицы группы G. Если
группа G нульмерна, то существует такой открытый нормальный
делитель N, что NaV (см. § 22, Е)). Обозначим через
А» ..-. Ая (2)
классы смежности группы G по нормальному делителю N\ в силу
замечания Е) § 22 их — конечное множество. Легко видеть, что
система множеств (2) образует конечное V-покрытие пространства G
замкнутыми множествами, причем покрытие это имеет кратность 1.
Таким образом, размерность пространства G равна нулю.
Пусть теперь, обратно, G имеет размерность нуль. Допустим,
что в G имеется связное замкнутое множество S, содержащее
единицу е и элемент афе, и покажем, что это невозможно.
Пусть V—окрестность единицы группы G, не содержащая
элемента а. Так как размерность пространства G равна нулю, то
существует конечное V-покрытие Д пространства G замкнутыми
непересекающимися множествами. Обозначим через F то
множество системы Д, которое содержит е, и через Е—сумму всех
остальных множеств этой системы. Положим А = S (]F, B= Sf\E.
Легко видеть, что множества Л и В не пусты и не пересекаются,
в то же время они замкнуты. Таким образом, S несвязно и мы
пришли к противоречию.
Итак, утверждение Е) доказано.
F) Пусть G — компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности, имеющая размерность г<^оо.
Пусть, далее, s — конечное число, не превосходящее г. Тогда
существует такая окрестность U единицы, что если нормальный
делитель N группы G содержится в /7, то факторгруппа G/N имеет
размерность не меньше s.
Обозначим через V такую окрестность единицы группы G, что
всякое конечное У-покрытие пространства G замкнутыми
множествами имеет кратность больше s. Пусть, дал» , U—такая окрест-

§ 45. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 245
яость единицы группы G, что U2aV. Допустим, что N —
нормальный делитель группы G, содержащийся в U, NczU, и положим
G/N = G'. Через g обозначим естественное гомоморфное
отображение группы G на группу G'. Положим g(U) = U'. Легко видеть,
что полный прообраз g""1(f//) множества U' при отображении g
содержится в V9 g,-1(<7/)c=V.
Допустим, что группа G' имеет размерность, не
превосходящую s—1, и покажем, что это невозможно.
Пусть &' = {F[, ..., F'm}— конечное (/'-покрытие
пространства G' замкнутыми множествами, кратность которого не
превосходит s (см. D)). Полный прообраз множества F't в G обозначим
через F{. Легко видеть, что Д = {F19 ..., Fm) есть конечное V-no-
крытие пространства G замкнутыми множествами, причем порядок
его равен порядку покрытия А'. Но это противоречит нашему
исходному предположению относительно V.
Итак, предложение F) доказано.
G) Пусть G—компактная группа Ли размерности г (см.
определение 38). Тогда размерность группы G в смысле определения 40
также равна г.
Так как G в смысле определения 38 имеет размерность л, то
существует окрестность U единицы группы G такая, что U гомео-
морфно /--мерному кубу. Всю группу G, как легко видеть, можно
представить как сумму конечного числа подмножеств вида Ux.
Таким образом, в силу замечаний В) и С) размерность
пространства G в смысле определения 40 равна г.
Определение 41. Пусть R — компактное регулярное
топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности.
Пространство R называется локально связным, если для всякой
его точки а и ее окрестности U имеется такая окрестность VaU
точки а, что для каждого x£V существует в U связное
множество, содержащее а и х.
Н)'Легко видеть, что компактная группа Ли локально связна.
§ 45. Компактные топологические группы
конечной размерности
В этом параграфе будет дано исследование компактных
топологических групп, удовлетворяющих второй аксиоме счетности,
имеющих конечную размерность. На основе этого исследования
будет решена положительно пятая проблема Гильберта для
компактных групп (см. теорему 57).
А) Пусть G и Н—две группы Ли (см. определение 38) и / —
гомоморфное отображение группы Н на группу G. Пусть, далее,
х(t) \i\ 'а, однопараметрическая подгруппа, заданная в G (см.
§ 39 А)). Тогда в Я существует однопараметрическая подгруппа
y(t) '/| 'а, такая что f(y(t)) x(t) при \t\ С а.

246 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
Для доказательства введем в окрестностях единиц групп G
и Н канонические1 координаты первого рода (см. § 39> В)). Тогда
вблизи единицы отображение / в выбранных координатах будет
выражаться в линейной форме (см. § 42, В)). Из этого
непосредственно видно, что в Я имеется определенная для малых
значений параметра однопараметрическая подгруппа у' (t) такая, что,
/Ч#'W) = *(0- Продолжая эту подгруппу для значений параметра
|£|<а, мы получим искомую группу y(t), |/|^а.
В) Пусть G—топологическая группа, являющаяся пределом
последовательности <31э G2, ..., Gn, ... компактных групп Ли
с гомоморфизмами gx, g2, ..., gn, ... (см. определение 39). Пусть*
далее, x1(t), |/|^a,— некоторая однопараметрическая подгруппа,
заданная в Gx, и h± — гомоморфное отображение группы G на
группу Glf введенное в замечании А) § 43. Тогда в G существует
такая однопараметрическая подгруппа x(t), |/|^a, что
h1(x(t)) = x1(t) при |/|<а. (1)
В силу замечания А) в G2 существует такая
однопараметрическая подгруппа x2(l), |/|^а, что g1(x2(t)) = x1(t) при |/|^а.
Продолжая этот процесс построения, мы получаем бесконечную
последовательность однопараметрических подгрупп x±(t), x2(t), ...
..., хп (t), ..., где хп (t), | /1 ^ а, есть однопараметрическая
подгруппа группы G„, причем gA(xn+1(t))=--xn(t) при |*|<а, л = 1,
2, ... Положим x(t) = {x1(t)i x2(t), ...,xn(t), ....} (см.
определение 39). Тогда x(t) есть элемент группы G, зависящий от
параметра t и определенный для значений t> не превосходящих по
модулю а. Легко видеть, что х(() есть однопараметрическая
подгруппа в G, удовлетворяющая условию (1).
Теорема 55. Пусть G—компактная топологическая группа
конечной размерности г, удовлетворяющая второй аксиоме счет-
ности. Тогда в G существует локальная подгруппа Ли L
размерности г (см. определение 38 и § 23, I)) и нульмерный
нормальный делитель Z (см. § 22, В)) такие, что U = LZ составляет
окрестность единицы в G, причем U распадается в прямое
произведение локальной подгруппы L и нормального делителя Z (см.
§ 23, L)). В случае, если группа G связна, Z является центральным
нормальным делителем группы G (см. § 22, D)).
Более полно: Каждый элемент u£U единственным и
непрерывным образом разлагается в произведение
u = lz, где l$L, z£Z, (2)
причем lz = zl. Непрерывность разложения (2) означает, что
элементы 1=1 (и) и z = z(u), однозначно определенные из
соотношения (2), являются непрерывными функциями элемента и.
Доказательство. В силу теоремы 54 мы можем считать,
что есть предел последовательности компактных групп Ли
Glf G2, ..., Gw, .. . (3)

§ 45. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
247
с гомоморфизмами
g»g» •■-. gn, •-■ (4)
В группе Gx введем канонические координаты D второго рода
{см. § 40, А)), положив в основу их построения однопараметри-
ческие подгруппы
x't(t), ...,x'a(t)9 |*|<а.
Обозначим через Lp множество всех точек вида
*'=*;(fl).-•*;('*). |/*|<р, fe=i,..., s, p<a.
Мы будем считать а столь малым положительным числом, чтобы
L'a было областью существования координат D. Пусть
ht—гомоморфное отображение группы G на группу Glf введенное в
замечании А) § 43. Тогда в силу замечания В) в G существует одно-
параметрическая подгруппа xf (t), 111 ^ а, такая, что ht (xt (t))=x\(t)
при|£|^Са, i=l, ...,s. Через L$ обозначим множество всех
элементов вида
х = хг(Р)...х,(Р), |**|<P, ft=l, .--, s, p<a.
Очевидно, А1(а;) = а:/. Покажем, что отображение AL является
топологическим на множестве La.
Каждому элементу*' однозначно соответствует элемент л:. Таким
образом, отображение hx множества La на множество L'a имеет
однозначное обратное отображение, и потому само отображение
Ах является взаимно однозначным на множестве La. Далее, при
j3<a имеем L$c:Lay и ввиду компактности Lp отображение А1э
будучи непрерывным и взаимно однозначным, является
топологическим на Lp (см. теорему 8), а это означает .топологичность и на
всем La.
Мы видим, таким образом, что G содержит s-мерный куб Lp,
и потому размерность группы G не меньше s (см. § 44, С)). Таким
образом, s ^ г. Так как в последовательности (3) можно откинуть
произвольное число первых ее членов, не меняя предела G, то
мы видим, что размерность каждой из групп последовательности (3)
не превосходит г.
Покажем, что размерность каждой из групп (3), начиная с
некоторого номера, равна г.
Существует такая окрестность V единицы группы G, что если
JVczV есть нормальный делитель группы G, то. G/N имеет
размерность, не меньшую чем г (см. § 44, F)). Согласно замечанию А)
§ 43 группа Gn изоморфна факторгруппе G/Nn, где Nn+lc:Nn и
группы Nt, N2, ..., Nn>, ... в пересечении имеют лишь единицу.
Таким образом, начиная с некоторого номера, мы имеем NncV,
т. е. размерность группы Gn не меньше чем г. Итак, начиная
с некоторого номера размерность групп последовательности (3)
раэна г.

248 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
Теперь мы можем считать, что все группы последовательности
(3) имеют размерность г, ибо откидывание конечного числа
начальных членов этой последовательности не изменяет предела G.
В частности, локальная группа Ли Lp имеет размерность г, s=r.
Обозначим через Z ядро гомоморфизма кг и покажем, что Z
есть нульмерная группа, причем если G связна, то Z
принадлежит центру.
Обозначим через Z2 совокупность всех элементов группы G2,
переходящих в единицу при гомоморфизме glf через
Z3—совокупность всех элементов, переходящих в Z2 при гомоморфизме g2, и
вообще через Zn+1—Совокупность всех элементов, переходящих
в Zn при гомоморфизме gn. Так как размерность всех групп (3)
равна г, a Z„, очевидно, есть ядро гомоморфизма группы Gn на
группу Gl9 осуществляемого через посредство гомоморфизмов
ёп-п ■••)& gi» т0 %п имеет размерность нуль (см. теорему 51),
и следовательно, все группы Zn конечны, как компактные группы
Ли (см. теорему 50) размерности нуль. Отметим, далее, что Zn
есть нормальный делитель группы Gn (см. теорему 12), и
следовательно, Zn принадлежит центру, если Gn связна (см. теорему 16).
Но если G связна, то и Gn связна, ибо Gn есть гомоморфный
образ группы G (см. § 43, А)). Таким образом Zn принадлежит
центру, если G связно. Нетрудно видеть, далее, что группы Z2,
Z3, ..., ZnJ ... с гомоморфизмами g2, g3J ..., gni ... имеют своим
пределом группу Z, и следовательно, Z нульмерна (см. пример 58);
в случае же связной группы G, Z принадлежит центру, ибо, как
нетрудно проверить, предел последовательности центральных
нормальных делителей является также центральным нормальным
делителем.
Обозначим через U$ полный прообраз окрестности L$ при го-'
моморфизме hx. Тогда 0$ есть окрестность единицы в G. Покажем,
что £/р = LqZ, причем каждый элемент u^U^ однозначно
разлается в произведение
u = lz, где /glp, z£Z. (5)
Если u^Up, то hiMZL'fi и, следовательно, существует такой
элемент /£Lp, что кг(и) = hx(/). Тогда мы имеем hl(l~1u) = e, т. е.
l~1u = z^Z. Таким образом, u=lz. Если, сверх того, и — 1'г\
причем V£Ь$, z'£Z, то h1(u) = h1(l) = h1(l'), и следовательно,
/ = /', ибо отображение hx взаимно однозначно на Lp. Итак, V = 1,
z' = z и единственность разложения (5) доказана.
Покажем теперь, что разложение (5) непрерывно, т. е. что
элементы 1 = 1 (и) и z = z(u), однозначно определенные из
соотношения (5), являются непрерывными функциями элемента и.
При р < а мы имеем U$c:Ua> и потому разложение (5) является
однозначным# для всех элементов множества i/р. Таким образом,
множество и$ представляет собой взаимно однозначный и непре-

§45. КОМПАКТНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
249
рывный образ топологического произведения пространств Lp и Z
(см. определение 21): А так как это топологическое произведение
является компактным (см. § 15, Е)), то £/р просто гомерморфно
топологическому произведению пространств L$ и Z (см. теорему 8).
Таким образом, непрерывность разложения (5) доказана.
Подажем, далее, что при у достаточно малом LV = L есть
локальная группа Ли, a h±—изоморфное отображение локальной
группы Ли Ly на локальную группу L'y.
Ввиду того что отображение hx—гомеоморфное и гомоморфное
на Lp, теперь достаточно выбрать v^P так» чтобы при a£Ly,
b^Lyy ab£Uy иметь ab£Ly. Пусть у столь мало, что L\czU$.
Тогда функция z (и) определена на L\. Так как e(L?J)£Z связно
и содержит единицу, a Z нульмерна, то z(Ly) = {e}9 т.е. ab£Ly.
Покажем, наконец, что каждый элемент группы Z
перестановочен с каждым элементом локальной группы Ly.
Пусть z£Z. Нам нужно показать, что lzl~1 = z при /gLv.
Будем непрерывно перемещать / внутри Ly к единице. Так как
Z—нормальный делитель, то Ы"1 все время принадлежит Z и,
следовательно, описывает в Z непрерывную кривую. Ввиду того
что Z нульмерно, мы и получаем lzl~1-=z.
Итак, теорема 55 полностью доказана.
Теорема 56. Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Если G локально
связна (см. определение 41) и обладает конечной размерностью, то
она есть группа Ли.
Доказательство. Пусть U—окрестность единицы,
указанная в теореме 55. Если Z есть конечная группа, то L есть
окрестность в G, и так как L есть локальная группа Ли, то и G
есть группа Ли. Покажем, что если группа Z бесконечна, то G
не локально связна.
Допустим, что G локально связна; тогда существует такая
окрестность Vс U единицы е группы G, что если х£ V, то имеется
связное множество Salt, содержащее точки х и е. Так как Z по
предположению бесконечна и является вместе с тем компактной,
то существует точка x£Z[\V, отличная от единицы. Пусть SczU —
связное множество, содержащее точки х и е. Каждой точке u—lz £ S,
где ZgL, z$Z, поставим в соответствие точку z = z(u).
Отображение z(u) непрерывно, и потому множество z(S) есть связное
множество, содержащее точки е и х, но это невозможно, так как Z
нульмерна, a z(S)czZ и хфе.
Итак, теорема 56 доказана.
Как следствие теоремы 56 докажем следующее предложение:
Теорема 57. Пусть G—компактная топологическая группа,
удовлетворяющая второй аксиоме счетности. Если существует
окрестность V единицы группы G, гомеоморфная евклидову про-
странству, то G есть группа Ли.

250 ГЛ. VII. СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП
Доказательство. Из того, что окрестность V гомеоморфна
евклидову пространству, следует непосредственно, что G обладает
конечной размерностью и локально связна. Таким образом, G есть
в силу теоремы 56 группа Ли.
Пример 59. Пусть G—связная компактная топологическая
группа конечной размерности, удовлетворяющая второй аксиоме
счетности, и L—локальная группа Ли, указанная в теореме 55.
Обозначим через G' множество всех элементов из G', представи-
мых в форме конечных произведений элементов, входящих в L.
Тогда G' есть подгруппа абстрактной группы G. Нетрудно видеть,
что G' есть гомоморфный образ некоторой группы Ли G*, т. е.
G' = /(G*), где / есть отображение взаимно однозначное, но
непрерывное лишь в одну сторону. Далее, оказывается, что G' есть
множество, всюду плотное в G.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
В этой главе будут изложены результаты Шрейера (см. [31],
[32]), .относящиеся к изучению связи в целом между локально
изоморфными группами (см. определение 30). Однажды мы уже
останавливались на этом вопросе (см. теорему 18). Здесь, одцако,
мы получим более глубокие . результаты, сузив зато класс
рассматриваемых групп. Будет показано, что из совокупности всех
групп, локально изоморфных данной группе G, естественно
выделяется одна группа G*, называемая универсальной накрывающей
группой, причем всякая локально изоморфная с G* группа
получается как факторгруппа G*/N, где N есть дискретный
нормальный, < делитель группы G*. Построение универсальной накрывающей
группы опирается на конструкцию, применимую не только к
топологическим группам, но и к гораздо более широкому классу
топологических пространств. При построении универсальной
накрывающей группы мы встретимся с важным топологическим
понятием, именно, понятием фундаментальной группы, которое
принадлежит Пуанкаре.
Не следует думать, что результаты Шрейера окончательно
сводят изучение топологической группы к ее локальному
изучению. Результаты эти лишь дают способ построить все группы,
локально изоморфные данной. Изучение же свойств этой одной
данной группы еще отнюдь не сводится к изучению ее локальных
свойств.' С этим обстоятельством нам придется столкнуться в
следующей главе.
Следует отметить, что результаты этой главы принадлежат
Шрейеру лишь в том смысле, что он точно формулировал их и
привел в порядок. Понятия, которые мы будем разбирать здесь,
употреблялись также независимо от Шрейера, например, Вейлем
(см. [35]).
§ 46. Фундаментальная группа. Накрывающее пространство
Здесь мы остановимся на некоторых чисто топологических
понятиях, которые ввиду их общности целесообразно рассмотреть
не только применительно к топологическим группам.

252 гл. viii. локально изоморфные группы
A) Говорят, что в топологическом пространстве R имеется путь
или кривая U если задана непрерывная функция /(/)
действительного параметра t, O^t^.1, ставящая каждому числу ty
0^/^ 1, в соответствие определенную точку /(/) пространства R*
Точка /(0) называется началом пути/, а точка /(1) — его концом.
Путь / соединяет точку /(0) с точкой /(1) в пространстве R.
Путь / называется нулевым или единичным, если функция /(/)
имеет постоянное значение. Пусть /_1, противоположный или
обратный к данному пути /, задается функцией /(1 — t) параметра t*
Если заданы два пути k и / функциями f(t) и g(t), причем конец
первого пути совпадает с началом второго, /(l) = g(0), то можно
определить произведение kl путей k и /. Именно: произведение kl
определяется функцией h(t), которая задается так: при О^^^-^-
имеем h(t) = f(2t), при у</<1 имеем h(t)=g(2t—l). Путь /
называется замкнутым, если его начало и конец совпадают.
Не следует думать, что совокупность путей, заданных в
пространстве R, образует группу. Прежде всего, перемножение не
всегда возможно. Далее, произведение не удовлетворяет условию
ассоциативности, а произведение пути / на обратный путь 1~г не
есть единичный путь. Кроме того, произведение пути / на
единичный путь не есть путь /, а представляет собой уже нечто
новое. В силу всех этих обстоятельств, да и по существу дела,
пути сами по себе мало будут занимать нас. Важными для нас
окажутся классы эквивалентных или гомотопных между собой
путей. Некоторые совокупности этих классов уже составят группу,,
именно, фундаментальную группу.
B) Два пути k и /, имеющиеся в пространстве R, называются
гомотопными или эквивалентными, в обозначениях: k ~ /, если
существует непрерывная деформация пути k, не смещающая его-
концов и переводящая путь k в путь I. Более полно это
определение выражается следующим образом.
Пусть f(t) и g{t)—те функции, которыми заданы пути fen/.
Пути k и I называются эквивалентными, если существует
функция ф (s, t), непрерывно зависящая от пары действительных
параметров s и /, 0^/^11, O^s^l, такая, что ф (0, /) = /(/),
Ф(1. t) = g(t), Ф(5, 0) = f (0) = g(0), Ф(5, 1) = /(1) = £(1).
Замкнутый путь I называют гомотопным или эквивалентным
нулю, 1~0, если путь / гомотопен нулевому пути.
Нетрудно видеть, что для введенного здесь понятия
эквивалентности путей имеют место рефлексивность: 1~1\ симметрия:
если k~l, то t~k; транзитивность: если k~~Л и 1~т, то k~m.
Нетрудно также видеть, что если k~k' и l~V', причем
произведение kl определено, то произведение k'V также определено и
k'V' ~kl\
а)

§ 46. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫВАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО 253
кроме того,
k'^k''1. (Г)
C) Пусть k—произвольный путь и I—единичный путь такой,
что произведение kl определено. Тогда kl~k.
Утверждение это непосредственно очевидно, но я все же
проведу его формальное доказательство.
Пусть f(t)—функция, задающая путь k. Определим тогда
функцию (p(s, /) следующим образом.
При 0 ^ / ^ ——^ положим ф (s, t) = f( утг ) > ПРИ "Т~ ^' ^ *
положим q>(s, t)=.f(l). Легко проверить, что функция 9(s, t)
определяет непрерывную деформацию пути kl в путь k (см. В)).
Таким образом, kl~k.
D) Пусть k, I и т—такие три пути, что определены
произведения kl и 1т. Тогда (kl) m~k(lm).
Докажем это утверждение. Пусть /(/), g(t) nh(t)—функции,
определяющие пути k, I и т. Тогда функцию ф (s, /)
определим так:
ПрИ 0^/^—j-? ПОЛОЖИМ ф(5, 0 = /(т4Г
ПрИ —^ ^ ^ =^-"Т"- ПОЛОЖИМ y(S, t) = g(At—1—S),
при
2+s
^ t ^ 1 положим ф (s, t) = h f 1 —4 ^—^
Легко проверить, что функция ф (s, t) осуществляет непрерывную
деформацию пути (Ы)т в путь k(lm).
Е) Пусть k и I—два такие пути, что существует
произведение kl'1 и путь kl'1—замкнутый. Тогда соотношения
k~l (2)
и
kl^-O (3>
следуют одно из другого.
Покажем, что из (2) следует (3). Прежде всего, так как k~ly
то в силу (1) kl'1—II'1 и нам достаточно показать, что //-1~0.
Пусть g(t)—функция, определяющая путь I. Функцию q>(s, г)
определим так: при 0<!£^у положим y(s, t) = g(2t(l— s)), при
Y^/<1 положим <p(s, t) = g (2(1— /)(1 — s)). Легко проверить,
что функция y(s, t) осуществляет деформацию пути И'1 в
единичный путь.
Допустим теперь, что имеет место соотношение (3). Это
значит, что существует функция гр (s, t), осуществляющая
деформацию пути kl'1 в единичный путь. Обозначим через /(/) функцию,
задающую кривую k. Тогда при О^/^у имеем г|)(0, t) = f(2t}

254
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
и при y^^^l имеем я|;(0, t) = g(2—2t), далее,
*(s, 0) = ф(1, t) = $(s, 1) = /(0) = £(0).
Дадим геометрическое толкование написанным соотношениям.
Будем рассматривать в плоскости s, £ квадрат Q, определяемый
неравенствами O^s^l, 0^/^l. Функция if (s, /) дает
непрерывное отображение этого квадрата в рассматриваемое
пространство R. При этом отображении, как явствует из написанных
соотношений, три стороны квадрата Q переходят в одну точку
f(0) = g (0), именно стороны
(0, 0)-(1, 0); (1, 0)-(1, 1); (1, 1)-(0, 1).
Оставшаяся сторона (0, 0) — (0, 1) переходит в кривую &/"1 или,
более детально, отрезок (0, 0) — (0, -=•) переходит в fe, а отрезок
(0, 1) — ( 0, -j j переходит в /. Геометрически очевидно, что внутри
квадрата Q можно отрезок (0, 0) — I 0, у) перевести непрерывной
деформацией в отрезок (0, 1) — ( 0, у) так, чтобы вершина (О, у)
оставалась неподвижной, а вершина (0, 0) перемещалась по
сторонам квадрата, отображающимся в точку /(0)=^ g(0). Ясно, что
если отобразить эту деформацию при помощи функции -ф (s, t)
в R, то мы получим деформацию пути k в путь L
Таким образом, предложение Е) доказано.
F) В этой главе мы будем называть топологическое пространг
ство R связным, если всякие две его точки можно соединить
кривой (см. А)).
Определение 42. Пусть R—связное топологическое
пространство (см. F)) и р—некоторая его точка. Обозначим через Р
совокупность всех замкнутых путей, проходящих в i? и
начинающихся в р. Множество Р разобьем на классы, относя в каждый
класс все эквивалентные между собой пути (см. В)). Множество
получаемых таким образом классов путей обозначим через G и
определим в нем групповую операцию умножения следующим
образом. Пусть А и В—два элемента множества G. Обозначим
через а некоторый путь из класса А и через b—некоторый путь
из класса В. Пути а и Ь можно перемножить (см. А)), так как
они начинаются и кончаются в точке р. Положим с = ab. Через С
обозначим тот класс путей, который содержит с. Из (1) следует,
что класс С определен классами А и В однозначно. Определим
произведение АВ, положив АВ = С. Получаемая таким образом
группа G не зависит от выбора точки /?, является
топологическим инвариантом пространства R и называется фундаментальной
группой этого пространства.

§ 46. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫВАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО 25&
Нетрудно видеть, что определенная таким образом в G
операция перемножения удовлетворяет требованиям определения 1.
Ассоциативность имеет место в силу D). Единицей группы G
является тот класс, который составлен из всех путей множества Р,
гомотопных нулю (см. С)). Наконец, если Л есть некоторый
элемент множества G, то А"1 определяется как класс, составленный
из всех путей, обратных к путям класса А (см. (Г) и Е)).
Покажем теперь, что фундаментальная группа G пространства
R не зависит от выбора точки /?. Пусть /?' — некоторая другая
точка и G'—фундаментальная группа, построенная исходя из
точки рг таким же образом, как G построена исходя из точки р.
Покажем, что G' и G изоморфны.
Пусть / — некоторый путь, ведущий из точки р' в точку р\
такой путь существует, ибо R по предположению связно (см. F)).
Пусть А — произвольный элемент группы G и а—некоторый путь
из класса А. Положим a' = lal~1 и класс, содержащий путь а\
обозначим через Л'. Из (1) и (Г) следует, что класс А'
однозначно определяется классом Л, т. е. не зависит от случайности
выбора пути а (конечно, при условии, что путь / считается
фиксированным). Положим Л'=-ф(Л) и покажем, что ф есть
изоморфное отображение группы G на группу G'. Прежде всего покажем,
что отображение Ф взаимно однозначно. Для этого рассмотрим
путь 1~га'1. Нетрудно видеть, что путь l~1a'l = l"1lal~1l
гомотопен пути а (см. С), Е), (1), (Г)). Таким образом, класс Л в свою
очередь однозначно определяется классом Л', и следовательно,
отображение ф взаимно однозначно. Ввиду полной симметрии
в этом рассмотрении ролей групп G и G' отображение ф есть
отображение на всю группу G'. Так же легко устанавливается
и сохранение операции перемножения при отображении ф.
Действительно, пусть Л и В—два элемента множества G,
а—некоторый путь из класса Л и Ь—некоторый путь из класса В.
Положим а' = /а/~\ &'=./Ь/-\ c=-ab. Из С), Е) и (1) следует, что
пути а'Ь' и Ы~х эквивалентны, а это значит, что ф(ЛБ) =
= ф(Л)ф(В). Таким образом изоморфизм групп G и G' доказан.
Следует отметить, что построенное нами изоморфное
отображение ф зависит от случайности выбора пути /. Таким образом,
Ф не является естественно единственным образом определенным
отображением. В частности, если точки р и р' совпадают, то
можно провести рассмотренное выше построение, взяв за путь /
некоторый замкнутый путь, начинающийся и кончающийся
в точке р. Тогда полученный изоморфизм ф будет автоморфизмом
группы G и, как нетрудно проверить, ф будет внутренним
автоморфизмом (см. § 3, В)).
G) Связное пространство R называется односвязным, если его
фундаментальная группа содержит лишь единицу. Требование это
выражает тот факт, что каждый замкнутый путь, заданный в R>
гомотопен нулю.

256
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
Н) Пространство R называется локально односвязным, если
для каждой его точки р и ее окрестность U существует
окрестность VaU той же точки р такая, что любая замкнутая кривая,
начинающаяся ври проходящая в V, гомотопна нулю в U.
I) В этой главе мы будем называть пространство R локально
связным, если для каждой его точки р и ее окрестности U
существует окрестность VaU той же точки р такая, что при x£V в U
имеется кривая, соединяющая точки р и х.
Нетрудно проверить, что из высказанного здесь требования
локальной связности и условия связности в смысле определения
А) § 11 следует связность в смысле определения F). Этим фактом
мы здесь, однако, пользоваться не будем.
Определение 43. Пусть R— связное, локально связное,
локально односвязное пространство и р—некоторая его точка
(см. F), I), H)). Обозначим через Q множество всех путей
пространства R, начинающихся в р. Множество Q разобьем на классы,
относя к каждому классу совокупность всех эквивалентных между
собой путей. Полученное таким образом множество классов путей
обозначим через S. Отметим, что имеется естественное
отображение ф множества S на пространство R. Именно: если A^S, то
все пути, принадлежащие классу Л, оканчиваются в одной и
той же точке а, и мы положим а = ц> (Л). Установим теперь
топологию в множестве S. Произвольную окрестность U*
топологического пространства S зададим исходя из некоторой окрестности U
пространства jR и некоторого пути / £ Q, конец которого
принадлежит U. Пусть х—произвольный путь из (/, начало которого
совпадает с концом пути /. Положим у = 1х и обозначим через Y
совокупность всех путей, эквивалентных пути у. Через U*
обозначим множество всех классов Y, получающихся при
произвольном выборе пути х из U. Нетрудно видеть, что множество U*
не изменится, если путь / заменить путем /'£Л, где A£U*.
Совокупность всех окрестностей вида U*, получаемых при
произвольном выборе окрестности U и пути /, образует по определению
полную систему 2* окрестностей пространства 5. Пространство S
называется накрывающим для пространства R, или, более точно,
универсальным накрывающим для R.
Покажем, что построенная в определении 43 полная система 2*
окрестностей пространства S удовлетворяет требованиям теоремы 3
и что, следовательно, S есть действительно топологическое
пространство.
Пусть Л и В—две различные точки пространства S.
Покажем, что существует окрестность U* точки Л, не содержащая
точку В. Разберем два различных случая: а) Пусть ф(Л)^ф(В).
Зададим тогда окрестность U* исходя из некоторой окрестности U
точки ф(Л), не содержащей точку ф(В), и некоторого пути/£Л.
Легко видеть, что при таком выборе U множество ф(£/*) не
содержит точки ф(5), и следовательно, U* не содержит В. Ь) Пусть

§ 46. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫВАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО 257
ф(Л) = ф(5) = а. Так как R локально односвязно, то существует
такая окрестность U точки а, что всякий замкнутый путь,
начинающийся в а и проходящий в U, гомотопен нулю в
пространстве R. Зададим теперь окрестность U* исходя из окрестности
UczR и некоторого пути l£A. Допустим, что B£U*. Это
значит, что в U имеется путь х, начинающийся в а, такой, что
lx G В, но тогда конец пути 1х совпадает с точкой а, т. е. путь х
замкнут. В силу построения окрестности U путь х гомотопен
нулю в R, и следовательно, 1х~1, т. е. А = В, что противоречит
неравенству АфВ.
Пусть теперь U* и V*—две окрестности некоторой точки
А б S. Покажем, что существует окрестность W* точки А,
содержащаяся в пересечении U* П V*. Допустим, что окрестности U* и
V* заданы окрестностями U и V пространства R. За путь I,
определяющий обе окрестности U* и V*, можно принять путь
1£А, ибо A^U*, A^V*. Так как конец пути / лежит в
пересечении окрестностей U и V, то существует такая окрестность W
конца пути I, что WcU[)V. Зададим окрестность W*
окрестностью W и путем I. Тогда легко видеть, что W*aU*[)V*.
Итак, S есть топологическое пространство.
Теорема 58. Естественное отображение ср накрывающего
пространства S на пространство R (см. определение 43) есть
непрерывное открытое отображение (см. определение 15 и § 18, С)).
Кроме того, отображение ф есть локально гомеоморфное
отображение, т. е. для всякой точки A£S имеется такая окрестность
U*, что ф на окрестности U* есть отображение гомеоморфное
(см. определение 14).
Доказательство. Установим непрерывность
отображения ф. Пусть A£S и ф(Л) = а. Обозначим через U
произвольную окрестность точки а. Зададим окрестность U* точки А
окрестностью U и путем l£A. Очевидно, что (p(U*)aU. Таким
образом, отображение ф непрерывно.
Докажем, что ф есть открытое отображение. Пусть А —
некоторая точка пространства S и U*—ее окрестность. Допустим, что
U* задается окрестностью U и путем l£A. Так как пространство
R по предположению локально связно, то существует
окрестность V точки а = ц(А) такая, что при x£V имеется путь,
проходящий в U, начало которого совпадает с а, а конец—с х. Из
такого выбора окрестности V непосредственно следует, что
<p(U*)z>V. Таким образом ф есть открытое отображение.
Покажем, что отображение <р локально гомеоморфно. Пусть
А £ S и ф (А) = а. Так как пространство R локально односвязно,
то существует такая окрестность U точки а, что всякий
замкнутый путь, начинающийся в а и проходящий в U, гомотопен нулю
в пространстве R. Зададим теперь окрестность U* точки А исходя
из окрестности U и некоторого пути I £ А. Покажем, что
отображение ф взаимно однозначно на множестве U*. Допустим, что

258
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
существуют две различные точки Y и V множества U* такие, что
<р(У) = ф(У). Это значит, что в U имеются два пути х и *',
начинающиеся в а, такие, что lx£Y и lx'£Y't причем концы
этих путей совпадают. Тогда путь х'х"1 есть замкнутый путь,
начинающийся в а и проходящий в U, поэтому он гомотопен
нулю в R и значит 1х~1х* (см. Е) и (1)). Но из последнего
соотношения вытекает, что Y=Y'. Таким образом, мы пришли
к противоречию, и, следовательно, отображение <р взаимно
однозначно на U*. Так как отображение ср по ранее доказанному
непрерывно и открытое, то из его взаимной однозначности на U*
следует и его гомеоморфность на U*.
Итак, теорема 58 полностью доказана.
В процессе доказательства теоремы 58 мы использовали
локальную связность и локальную односвязность пространства R.
Связность пространства R используется в том, что отображение ср
есть отображение на все пространство R.
J) Пусть I—кривая в пространстве R с фиксированным
началом р, зависящая от одного или нескольких параметров,
например, 1 = 1 (s). Обозначим через F (s) тот элемент накрывающего
пространства S (см. определение 43), который как класс кривых
содержит кривую l(s). Если кривая l(s) непрерывно зависит от
параметра s, то элемент F (s) также непрерывно зависит от s
в пространстве S.
Пусть f(s, t)—та функция, которая при фиксированном s
определяет кривую l(s). Точка f(s, 1) есть конец кривой l(s) и
непрерывно зависит от параметра s. Пусть а—некоторое
значение параметра s и U*—некоторая окрестность точки F (а). Можно
считать, что окрестность U* задана некоторой окрестностью U a R
и кривой 1(a). Пусть е—столь малое положительное число, что
при \s—сг|<е имеем /(s, l)£U. Покажем, что тогда при
|а'—tf|<e мы будем иметь F(cr')£{/*. Введем в рассмотрение
кривую k(s), непрерывно зависящую от параметра s и заданную
следующей функцией параметра t: f(s+(o'—s) t, 1). Легко
видеть, что начало кривой k(s) совпадает с концом кривой l(s),
поэтому определено произведение l(s) k (s) — m(s). Кривая т (s)
непрерывно зависит от параметра s и имеет неподвижные концы,
поэтому m(d)~m(o'). Далее, k(a') есть нулевой путь, и
потому /n(ar')~Z(cr'). Таким образом, т(в)~1 (а'). Но k(a) есть
путь, проходящий в U. Следовательно, F(a')£U*. Таким
образом, элемент F (s) непрерывно зависит от параметра s.
Случай нескольких параметров разбирается совершенно
аналогично.
К) Накрывающее пространство S пространства R (см.
определение 43) связно, локально связно и локально односвязно.
В силу теоремы 58 пространства R и S локально гомеоморф-
ны, поэтому все локальные свойства пространства R
автоматически имеют место и для пространства S.

§ 46. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА. НАКРЫВАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО 259
Покажем, что S связно. Пусть A^S и Р—та точка
пространства S, которая как класс путей содержит нулевой путь. Для
доказательства связности пространства S достаточно показать,
что точку А можно соединить кривой с точкой Р9 ибо А —
произвольная точка, а Р—фиксированная. Пусть /£Л и f(t)—та
функция, которая задает путь I. Рассмотрим семейство путей,
зависящее от параметра s, определяемое функцией f(st). При
каждом фиксированном s, O^s^l, функция эта дает
определенный путь l(s) в пространстве R причем I (0)6 Р, a l(l) = l£A.
Обозначим через A (s) тот класс путей, который содержит путь
I (s). A (s) есть точка пространства S, непрерывно зависящая от
параметра s (см. J)). Таким образом, A (s) определяет в
пространстве S некоторый путь, который связывает точку Р с точкой А.
Следующая теорема выражает основное свойство
универсального накрывающего пространства.
Теорема 59. Универсальное накрывающее пространство S то-
пологического пространства R (см. определение 43) всегда одно-
связно (см. G)).
Доказательство. Обозначим через Р тот элемент
пространства S, который как класс путей содержит нулевой путь.
Покажем, что замкнутая кривая L в пространстве S,
начинающаяся в точке Р, гомотопна нулю в S.
Пусть F(t)—функция, задающая кривую L. Положим f(t) =
= Ф (£(/)), где ф есть естественное отображение пространства S
на пространство R (см. определение 43). Функция f(st) при
фиксированном 5, O^s^l, определяет некоторый путь t(s),
начинающийся в р (см. определение 43) и непрерывно зависящий
от s. Обозначим через r (s) тот элемент пространства S,
который как класс путей содержит путь l(s), и покажем, что
F'(s) = F(s). (6)
Легко видеть прежде всего, что
<f(F'(s)) = <f{F(s)). (7)
Заметим, далее, что при s = 0 равенство (6) очевидно. Если
теперь равенство (6) имеет место для всех s < tf, то оно
справедливо и для s = a> ибо F' (s) и F (s) суть непрерывные функции
параметра s (см. J)). Далее, если равенство (6) имеет место для
s = g, то при достаточно малом h оно имеет место также и при
s = o+h. Действительно, пусть U*—та окрестность точки
F' (o) = F(g), на которой отображение ф взаимно однозначно (см.
теорему 58). При достаточно малом h имеем F'(a+h)^U*9
F(o+h)£U*. Но в силу взаимной однозначности отображения ф
и равенства (7) должно быть F' (<r + h) = F(o+ Л). Таким
образом равенство (6) имеет место для всех значений s, O^s^l.
Так как кривая L замкнута, то F(l) = P, и следовательно
(см. (6)), /(1) есть кривая, гомотопная нулю. Пусть y(s, t) —

260
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
функция, осуществляющая гомотопию нулю кривой /(1) (см. В)).
Функция cp(s, xt) при фиксированных s и т определяет
некоторую кривую / (s, т), непрерывно зависящую от параметров s их.
Обозначим через Ф(я, т) тот элемент пространства S, который
как класс путей содержит кривую /(s, т). Точка 0(s, т)
непрерывно зависит от параметров s и т (см. J)). Нетрудно видеть, что
функция (P(s, t) осуществляет гомотопию нулю кривой L.
Итак, теорема 59 доказана.
Теорема 60. Пусть R u S—два связных топологических
пространства {см. ¥)). Через Т обозначим их топологическое про-
изведение (см. определение 21). Тогда пространство Т связно
и его фундаментальная группа изоморфна прямому произведению
фундаментальных групп пространств R и S (см. определение 10').
Таким образом, в частности, топологическое произведение двух
односвязных топологических пространств (см. G)) односвязно.
Доказательство. Выберем в пространствах R и S по одной
фиксированной точке: р g R, q£S. Тогда (/?, q) £ Т есть
определенная точка из Т. Пусть k—некоторый путь в пространстве Ry
начинающийся в р и определяемый функцией/(/), а I—некоторый
путь в пространстве S, начинающийся в q и определяемый
функцией g(t). Тогда функция (f(t),g(t)) определит в пространстве Т
некоторый путь, который мы обозначим через (fe, /). Путь (&, I)
начинается в точке (р, q) и кончается в точке (/(1), g"(l)). Так
как в силу связности пространств R и S концы путей k и / могут
быть выбраны произвольно, то конец пути (&, /) также может
быть выбран произвольно, и мы видим, что точка (/?, q) может
быть связана путем с произвольной точкой пространства Т. Таким
образом Т связно.
Очевидно, что всякий путь m пространства 7\ начинающийся
в (/7, д), может быть представлен в форме пары (k, l). Нетрудно,
далее, проверить, что если k' ~ k, V ~ /, то имеем (k', V) ~ (k, I).
Точно так же, и обратно, если (k\ Г) ~ (k, l), то имеем k' ~ fe,
/' ~ I. Далее, если пути k и I замкнуты, то путь (k, l) также
замкнут, и обратно. Наконец, если пути fe, /, k\ V замкнуты, то
произведение (fe, l)(k\ Г) равно (kk\ IV).
В силу всего сказанного каждый элемент фундаментальной
группы пространства Т однозначно представляется в виде пары
элементов фундаментальных групп пространств R и S, причем
выполнены все требования определения 10'. Таким образом,
теорема 60 доказана.
§ 47. Универсальная накрывающая группа
В этом параграфе будут изложены собственно результаты
Шрейера. Основная идея их получения заключается в том, что
для топологической группы строится накрывающее пространство,
причем оно естественно оказывается топологической группой. По-

§47. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ ГРУППА 261
лученная таким образом группа называется универсальной
накрывающей для исходной группы.
Ввиду того что построения настоящего параграфа целиком
опираются на результаты предыдущего, мы вынуждены здесь
ограничиться рассмотрением лишь таких групп, которые удовлетворяют
следующим топологическим условиям:
А) Все рассматриваемые в этом параграфе топологические
группы связны, локально связны и локально односвязны (см.
§ 46, F), I), Н)).
Нетрудно проверить, что группы Ли (см. определение 38),
связные в обычном смысле (см. § 11, А)), удовлетворяют всем
высказанным требованиям. Таким образом, результаты этой главы
применимы к связным группам Ли.
Теорема 61. Для топологической группы G существует такая
локально изоморфная ей (см. определение 30) односвязная (см.
§ 46, G)) топологическая группа G*, что группа G изоморфна
факторгруппе G*/N, где N есть дискретный нормальный делитель
группы G*, а фундаментальная группа пространства G (см.
определение 42) изоморфна группе N. (Здесь предполагается, что для
группы G выполнены условия А) и оказывается, что группа G*
также удовлетворяет условиям А).)
Доказательство. Построим универсальное накрывающее
пространство G* для топологического пространства G, взяв за
основную точку р единицу е группы G (см. определение 43). G*,
таким образом, есть топологическое пространство,
удовлетворяющее условиям А) (см. § 46, К)), причем имеется естественное
отображение ф пространства G* на пространство G, являющееся
непрерывным открытым отображением (см. теорему 58).
Установим теперь в G* групповую операцию перемножения.
Пусть А и В—какие-либо два элемента множества G*.
Обозначим через k некоторый путь из класса А и через I — некоторый
путь из класса В. Оба пути k и I начинаются в единице е группы G;
концы этих путей обозначим через а и Ь. Тогда
<р(Л) = а, ф(£) = с/.
Пусть g(t)—функция, задающая путь / (см. § 46, А)). Функция
ag(t) определяет некоторый новый путь, который мы обозначим
естественно через al (здесь произведение ag(t) берется в смысле
групповой операции, имеющейся в G). Нетрудно видеть, что
если 1~1\ то и а1~аГ. (1)
Пути k и al можно перемножить, ибо конец первого совпадает
с началом второго. Обозначим через G тот класс путей, который
содержит путь т = k (at). Элемент С определяется однозначно
классами А и 5, т. е. не зависит от выбора путей k и I из классов А
и В (см. (1) и § 46 (1)). Произведение АВ определим положив
АВ = С. Отметим здесь, что конец путей из С есть aby и

262
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
следовательно,
Ф(Л5) = Ф(Л)Ф(В). (2)
Покажем, что установленная в G* операция перемножения
удовлетворяет групповым аксиомам. Для доказательства
ассоциативности воспользуемся тем очевидным фактом, что если k' и /' —
два пути из G, которые можно перемножить, и а! £ G, то
a'{k'l') = {a'k'){a'l'). (3)
Пусть теперь А, В и С—три элемента из G*. Обозначим через k>
I и т три пути, выбранные соответственно из классов А, В к С.
Концы этих путей обозначим через а, Ь и с. По установленному
правилу произведение А (ВС) определяется как класс, содержащий
путь
k(a(l(bm))) = n,
произведение же (АВ)С—как класс, содержащий путь
(k(alj) (abm) = nf.
Но на основании равенства (3) мы имеем
n = k((al)(abm)).
Следовательно, п ~ п' (см. § 46, D)), и умножение в G*
ассоциативно. Единицей группы G* является класс Е, содержащий все
пути, гомотопные нулю. Для нахождения элемента Л~\ обратного
к элементу Л, обозначим через / некоторый путь из класса А
и через а—конец этого пути. Класс, содержащий путь а"1/-1,
обозначим через В. Нетрудно видеть, что АВ = Е. Действительно,
в силу правила умножения АВ определяется как класс,
содержащий путь [(аа'Н"1), Но этот путь гомотопен нулю (см. § 46, Е)).
Таким образом, А"1 = В и обратный элемент в G* всегда
существует. Итак, все групповые аксиомы в G* выполнены.
Покажем, что групповые операции, имеющиеся в G*, непрерывны
в топологическом пространстве G* и что, следовательно, G* есть
топологическая группа.
Пусть А и В—два элемента из G* и С = АВ. Обозначим через
W* некоторую окрестность элемента С. Выберем из классов А и В
по одному пути k и /, концы которых обозначим через а и Ь.
Тогда т = k(al)£C. Можно считать, что окрестность W* задана
некоторой окрестностью W с: G и путем т (см. определение 43).
Мы имеем ab£W, поэтому существуют такие окрестности U и V
элементов а и 6, что
UV с W. (4)
Окрестность U* элемента А определим исходя из окрестности U
и пути k. Точно так же окрестность V* элемента В определим
исходя из окрестности V и пути /. Произвольный элемент А'
окрестности U* определяется как класс, содержащий путь kx, где

<47. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ ГРУППА 263
х—произвольный путь, начинающийся в а и проходящий в U.
Пусть f (t)—функция, задающая путь х. При фиксированном s,
O^s^l, функция f(st) определяет путь x(s). Положим &(s) =
= kx(s). Путь k (s) непрерывно меняется при изменении параметра s,
причем k(0) = k, k(\) = kx. Вполне аналогичное построение
произведем для окрестности V и получающийся там переменный путь
обозначим через /(s), причем /(0) = /, а путь /(1) определяет
произвольный наперед заданный элемент В' окрестности V*. Конец
пути k(s) обозначим через a(s) и положим m(s) = k(s) (a(s)l(s)).
Мы имеем т (0) £ АВ, т(\) £ А В'. Нам нужно доказать, что А 'В' £
£ W, а для этого достаточно показать, что путь т(1) гомотопен
пути m(0)z, где г есть путь, проходящий в W. Обозначим через
c(s) конец переменного пути m(s). Точка c(s) при 0<s^ 1
описывает некоторый путь, целиком проходящий в W (см. (4)),
который мы и обозначим через г. Без труда устанавливается, что m (1) ~
~ /я(0) г. Таким образом, А'В1 £ W*, и следовательно, U*V* с: W*,
а это значит, что операция перемножения непрерывна. Точно так
же доказывается и непрерывность операции взятия обратного
элемента. Таким образом G* есть топологическая группа.
Как уже отмечалось, ф есть открытое непрерывное отображение
топологического пространства G* на топологическое пространство G.
Из соотношения (2) следует, что отображение это есть
гомоморфное открытое отображение топологической группы G* на
топологическую группу G. Обозначим через N ядро гомоморфизма ср.
Так как ср есть локально гомеоморфное отображение (см. теорему 58),
то существует такая окрестность U* единицы группы G*, которая
отображается взаимно однозначно, а это означает, что N есть
дискретный нормальный делитель группы G*. В силу теоремы 12
группа G изоморфна фактор-группе G*/N.
Остановимся более подробно на множестве N. Если А £ N, то
Ф (А) = е и, следовательно, все пути из класса А замкнуты.
Обратно, если все пути из класса А замкнуты, то ф (А) = е и А £ N.
Таким образом, N составлено из всех классов' замкнутых путей,
т. е. iV как множество совпадает с фундаментальной группой
топологического пространства G (см. определение 42). Нетрудно
видеть, далее, что если А и В суть два класса замкнутых путей,
начинающихся в е, то правило умножения, которое установлено
для элементов А и В группы G*, просто совпадает с правилом
перемножения, которое имеет место для элементов А и В
фундаментальной группы. Таким образом, группа N совпадает с
фундаментальной группой пространства G.
Итак, теорема 61 доказана.
Из теоремы 61 непосредственно вытекает следующий весьма
интересный результат.
Теорема 62. Если G есть топологическая группа,
удовлетворяющая условиям А), то фундаментальная группа топологического
пространства G (см. определение 42) коммутативна.

264
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
Доказательство. Согласно теореме 61 фундаментальная
группа топологического пространства G изоморфна дискретному
нормальному делителю N связной топологической группы G*. Так
как G* связна, то в силу теоремы 16 нормальный делитель N этой
группы коммутативен. Таким образом, и фундаментальная группа
пространства G коммутативна.
Ввиду некоторых дальнейших приложений мы формулируем
здесь нижеследующую теорему 63 в форме более общей, чем это
необходимо для целей настоящей главы. Именно, мы не
ограничимся рассмотрением локальных изоморфизмов и введем понятие
локального гомоморфизма.
В) Пусть G' и G—две топологические группы и U—некоторая
окрестность единицы группы G. Допустим, что имеется
непрерывное отображение / множества U в пространство G' такое, что при
x(z.U, ykU> xy£U имеем /(xy) = f (x)f (у). Тогда мы будем
говорить, что / есть локальный гомоморфизм группы G в группу G'.
Если / есть открытое отображение U на некоторую окрестность
единицы группы G', то мы скажем, что / есть локальный
гомоморфизм группы G на группу G'. В случае если / есть гомеоморф-
ное отображение на некоторую окрестность единицы группы G',
мы получаем наше старое понятие локального изоморфизма.
Следующая теорема играет весьма важную роль.
Теорема 63. Пусть G'u G—две связные топологические группы,
причем G локально связна и односвязна (см. § 46, G) и J));
относительно G' мы, вообще говоря, не предполагаем, что для нее
выполнены условия А)). Пусть, далее, f—некоторый локальный
гомоморфизм группы G в группу G' (см. В)). Тогда возможно
продолжить локальный гомоморфизм f в гомоморфизм ф всей
группы G в группу G', и притом единственным образом-, продол-
жение гомоморфизма f понимается здесь в том смысле, что f
и ф совпадают на некоторой окрестности Wall единицы группы G,
где U есть та окрестность, на которой определен локальный
гомоморфизм f. Если f есть локальный гомоморфизм группы G
на группу G', то ф есть гомоморфизм группы G на группу G'.
Если f есть локальный изоморфизм, то гомоморфизм ф является
открытым. Если группа G' односвязна и удовлетворяет условиям
A), a f есть локальный изоморфизм, то гомоморфизм ф является
изоморфизмом.
Доказательство. Покажем прежде всего, что если ф есть
гомоморфное отображение абстрактной группы G в абстрактную
группу G', причем ф представляет собой продолжение локального
гомоморфизма f, то ф есть гомоморфное отображение
топологической группы G в топологическую группу G'. Действительно,
в окрестности W функции / и ф совпадают, а так как функция /
непрерывна, то функция ф непрерывна всюду (см. § 19, В)).
Если f есть локальное гомоморфное отображение группы G
на С, то продолжение ф есть гомоморфизм группы G на всю

§47. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ ГРУППА 265
группу G'. Действительно, в этом случае f (W) содержит
некоторую окрестность единицы, а так как связная группа G'
порождается всякой окрестностью ее единицы (см. теорему 15), то всякий
элемент x'£G' представим в форме х' = ц>(х).
Если / является локальным изоморфизмом, то продолжение
его ф есть открытый гомоморфизм. Действительно, в этом случае
отображение / является гомеоморфным, и следовательно, в
окрестности единицы отображение ф открытое, а потому оно открытое
и всюду (см. § 19, В)).
Покажем, что продолжение локального гомоморфизма / в
гомоморфизм ф возможно лишь единственным образом. Допустим, что
существуют два продолжения ф и ф'. Пусть х—произвольный
элемент из G и W—та окрестность единицы группы G, на которой
Ф и ф' совпадают с f. Так как G связна, то в силу теоремы 15
всякий элемент х представим в форме х = а1.. .а„, где а^ W, i =
= 1, ..., /г. Таким образом, мы имеем
Ф (*)=*/ (fli).../ (ап), фг (*) = /(аг).../(ап)
и
ф(*) = ф'М-
Приступим теперь к построению гомоморфизма ф.
Пусть /—некоторая кривая в G, начинающаяся в единице е
группы G. Функцию, определяющую эту кривую, обозначим через
g(t). Для кривой / построим соответствующую ей однозначно
определенную кривую V в пространстве G' такую, что функция g' (t)>
определяющая эту кривую, удовлетворяет следующим условиям:
а) ё' (0) = е'» гДе е' — единица группы G'; Ь) существует столь
малое положительное число г, что при \t±—£2|^8
teW^meu и (g'(^))-1g'(y=/((gr(^))-1gr(4)).
Покажем прежде всего, что если кривая V существует, то
условиями а) и Ь) она определена однозначно. Начало кривой Г
определено условием а). Далее, если кривая /' определена однозначно
для всех значений t < т, то она определена и для t = r в силу
непрерывности функций g(t) и g' (t). Наконец, если функция g'(t)
определена для t = x9 то она определена и для всех if,
удовлетворяющих неравенству t—т < г. Действительно, в силу условия Ь)
ё' (0 = ё' (т) f ((ё (х))~1ё (*))■ Тем самым кривая V определена
однозначно для всех значений t.
Покажем теперь, что кривая V существует. Пусть V—такая
окрестность единицы группы G, что V~XV cz U. Существует столь
большое положительное целое п, что при \t±—^1^ — имеем
(ё {ti))"1 ё (h) ^ У- Положим 8 = — и допустим, что функция g'(t)
уже определена для всех значений t^rrn, причем для всех этих
значений выполнены условия а) и Ь). Покажем, что тогда ее можно

266
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЙ ГРУППЫ
продолжить дальше. Пусть ft—положительное число, не
превосходящее е. Тогда определим g"'(me + ft), положив
g' (me + h) = g' (me) f ((g (me))-1 g (me + ft)). (5)
Покажем, что условие b) продолжает быть выполненным для так
продолженной функции g' (t). Пусть ft'—число, не превосходящее
по модулю е. Мы имеем
g' (me + ft') = g' (me) / ((g (me))"1 g (me + ft'))- (6)
Если ft' положительно, то соотношение это вытекает из (5), если
же ft' отрицательно, то оно верно в силу предположения
индукции. Таким образом,
(g'(mE + h))-1g'(tm + h') = f((g(me + h))-1g(me + h'))
и условие Ь) выполнено. Для начала индукции при т = 0
достаточно положить g'(0) = e\ Тогда условие а) будет выполнено.
Следовательно, индукция проведена, и кривая V построена.
Пусть теперь tx и t2—два таких числа, что 0^<l<f2^l,
^2—fi^e. Если кривая I подвергается какой-либо непрерывной
деформации, изменяющей лишь ее точки, находящиеся на
интервале tx < t < t2, то очевидно, что соответствующая ей кривая V
изменяется также лишь на том же интервале. Действительно,
проведенное выше построение кривой /' для значений t<^.tx опирается
лишь на поведение кривой I при £^ tx. Далее, для t= t2 функция
g' (t) определится условием b) по значению функции g' (£х);
дальнейшее же развертывание кривой / проводится с учетом лишь
значения g' (t2). Подобную деформацию кривой I назовем малой
деформацией. Мы показали сейчас, что при малой деформации
кривой / соответственная ей кривая /' также подвергается малой
деформации и, в частности, не меняет своего конца.
Нетрудно показать, что любая деформация кривой /, не
меняющая ее концов, может быть получена путем ряда повторных
малых деформаций. Таким образом, если мы подвергаем кривую /
произвольной непрерывной деформации, сохраняющей ее концы,
то соответственная кривая V также претерпевает непрерывную
деформацию, не меняющую ее концов.
Пусть теперь х—произвольная точка из G и /—некоторая
кривая, соединяющая единицу е с точкой х. Пусть V — кривая,
соответствующая кривой I, и х' — конец кривой /'. Покажем, что
точка х' определяется точкой х и не зависит от выбора кривой /.
Действительно, пусть k—другая кривая, соединяющая есх. Так
как G односвязна, то кривые k и / гомотопны и, следовательно,
возможно непрерывной деформацией перевести кривую / в
кривую k. По ранее доказанному в течение этого процесса
соответствующая кривая в G' не изменит своего конца, таким образом,
точка х' определится как кривой /, так и кривой k. Итак, мы
имеем право положить х' = <р(х).

§47. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ ГРУППА 267
Покажем теперь, что существует окрестность WczU единицы
группы G, на которой 9 = f. Пусть V—такая окрестность
единицы группы G, что V^VcU; определим WczV как такую
окрестность единицы группы G, для всякой точки х которой
существует кривая IczV, соединяющая ее с е (такая окрестность W
существует в силу локальной связности группы G). Пусть g(t)—
параметрическая запись кривой IczV. Легко видеть, что кривая Г,
определяемая в параметрической форме условием g' (t) = f(g(t)),
удовлетворяет условию Ь) нашего построения. Действительно, так
как g(t)czV, то (§-(^))"1сУ"1с:/7 и для любых tx и t2(g(ti))~1X
XgitJaV-WaU; следовательно, f((g(tj)-1g(tj) = f((g(t1)-1x
X/fe(«) = (/(er(f1)))-1/(fir(y) = fef('i))"1fir'(«- Таким образом,
конец кривой V есть f(x)9 где х—конец кривой U т. е. ф(х) =
= f(x) при x£W.
Покажем, что отображение ф есть гомоморфное отображение
абстрактной группы G в абстрактную группу G\
Пусть а и Ь—две произвольные точки из G. Через k и /
обозначим кривые, идущие от е соответственно к точкам а и 6.
Кривые, соответствующие кривым k и /, обозначим через k' и Г, а
их концы—через а' и Ь'. Очевидно, что кривая k(al)=m идет
от единицы е к точке аЪ. Аналогично кривая k' {a'V) = m! идет
от ё к а'Ь'. Нетрудно проверить, что кривая т' соответствует
кривой /п. Таким образом, в силу построения отображения ф мы
имеем ф (ab) = а'Ь', но это значит, что ф (ab) = ц>(а)у (Ь), т. е.
отображение ф гомоморфное.
Теперь нам осталось рассмотреть лишь случай, когда G' есть
односвязная группа, удовлетворяющая условиям А), а
/—локальный изоморфизм. Если окрестность U выбрана достаточно малой,
то отображение /-1 осуществляет локальный изоморфизм групп
G' и G. Так как G' предполагается теперь односвязной и
удовлетворяющей условиям А), то по доказанному локальный
изоморфизм /_1 можно продолжить в открытый гомоморфизм г|)
группы G' на группу G. Отображение 1|э (<р (#)) = х (*) есть
гомоморфное открытое отображение группы G самое на себя. В
достаточно малой окрестности единицы группы G отображение %(х)
совпадает с отображением f-1^ (х)) = х. Таким образом, % есть
продолжение тождественного локального автоморфизма группы G.
В силу доказанной единственности продолжения отображения %
есть тождественное отображение группы G самое на себя, а это
значит, что отображения ф и -ф взаимно обратны. Таким
образом, ф имеет однозначное обратное отображение, и следовательно,
<р есть изоморфное отображение.
Итак, теорема 63 полностью доказана.
Теорема 64. Пусть G'—некоторая односвязная
топологическая группа, удовлетворяющая условиям А), и N—дискретный
нормальный делитель группы G'. Тогда фундаментальная группа
топологического пространства G'/N' = G изоморфна группе N'.

268
ГЛ. VIII. ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ
Доказательство. Обозначим через Ф естественное
гомоморфное отображение топологической группы G' на
топологическую группу G. Так как Nr—дискретный нормальный делитель,
то на достаточно малой окрестности единицы группы G'
отображение ф> осуществляет локальный изоморфизм групп G и G'
(см. § 23, С)). Пусть, далее, G*—та односвязная группа, которая
была построена в теореме 61 для группы G, и N—такой ее
дискретный нормальный делитель, что G изоморфна G*/N.
Естественное гомоморфное отображение группы G* на группу G
обозначим через ф. Отображение ф в малой окрестности единицы
осуществляет локальный изоморфизм групп G и G*, поэтому
отображение ф^СФ (*)) = /(*) определено и осуществляет
локальный изоморфизм групп G' и G*. В силу того что обе группы G'
и G* односвязны, локальный изоморфизм f продолжается в
изоморфизм х группы G' на группу G* (см. теорему 63). Далее,
отображение ф(х) локально совпадаете ф (%(*)), и следовательно,
'Ф (х) = Ф (% М) в силу единственности продолжения локального
изоморфизма. Таким образом, при изоморфизме % нормальный
делитель N' переходит в нормальный делитель Л/", т. е. N' и Лт суть
изоморфные группы. В силу теоремы 61 фундаментальная группа
пространства G изоморфна группе N, следовательно, она
изоморфна и группе N'. Таким образом, теорема 64 доказана.
Доказанные здесь теоремы позволяют сформулировать
следующее определение:
Определение 44. Пусть А — множество всех топологических
групп, удовлетворяющих условиям А), локально изоморфных
некоторой такой группе. В силу теоремы 61 среди групп множества А
существует по крайней мере одна односвязная группа, которую мы
обозначим через G*. Из теоремы 63 следует, что с точностью до
изоморфизма в множестве А имеется лишь одна односвязная группа.
Таким образом, группа G* определена множеством А однозначно.
Она называется универсальной накрывающей группой для всех
групп множества А.
Из теоремы 61 следует, что всякая группа G множества А
представима в форме G*/N, где N—некоторый дискретный
нормальный делитель группы G*. В силу теоремы 16 N есть
центральный нормальный делитель группы G*. Теорема 64
показывает, что N изоморфен фундаментальной группе пространства G.
Таким образом, для получения всех групп множества А
достаточно знать все центральные дискретные подгруппы группы'G*.
Нужно, следовательно, изучить полностью все дискретные
подгруппы центра Z группы G*, что ввиду его коммутативности не
представляет большой трудности.
Пример 60. Пусть G* — r-мерная векторная группа и JV —
ее подгруппа, составленная из всех векторов, координаты которых
целочисленны. Факторгруппа G*/N = G есть торовидная /--мерная
группа. Нетрудно видеть, что группа G* односвязна и потому

§47. УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАКРЫВАЮЩАЯ ГРУППА 269
является универсальной накрывающей для группы G. Подгруппа N>
рассматриваемая как абстрактная группа, есть коммутативная
группа с г линейно независимыми образующими. Таковой,
следовательно, является и фундаментальная группа л-мерного тора G.
В следующей главе, где мы будем иметь большое количество
примеров топологических групп, будут даны более сложные и
интересные примеры универсальных накрывающих групп.
Пример 61. Укажем здесь на одно интересное обобщение
теоремы 64. Пусть G—некоторая односвязная группа,
удовлетворяющая условиям А), и Я—некоторая дискретная подгруппа
группы G (не обязательно нормальный делитель). Тогда
фундаментальная группа пространства G/H=-R (см. определение 24)
изоморфна группе Я.
Доказательство этого предложения проводится следующим
образом. Обозначим через ф естественное отображение
пространства G на пространство R и положим ф(е) = /?, где е—единица
группы G. Пусть I — некоторая кривая, ведущая из е в какую-
нибудь точку h^H. Образ l' = cp(l) кривой I в пространстве R
представляет собой замкнутую кривую. Доказывается, что,
обратно, всякая замкнутая кривая Г, начинающаяся в /7,
получается как образ некоторой кривой / с началом в е и концом в Я.
Доказывается, далее, что кривая /' гомотопна нулю тогда и только
тогда, когда кривая / замкнута. Таким образом, уже установлено
взаимно однозначное соответствие между элементами
фундаментальной группы пространства R и элементами группы Я.
Изоморфизм доказывается без труда.
В следующей главе будет дан пример односвязной группы G,
удовлетворяющей условиям А), имеющей некоммутативную
дискретную подгруппу Я (см. пример 71). Таким образом,
фундаментальная группа топологического пространства, вообще говоря,
некоммутативна. Этим обстоятельством и объясняется интерес
теоремы 62.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Понятие группы Ли было определено в шестой главе. Там же
были установлены простейшие свойства групп Ли. Здесь на основе
результатов шестой главы1) группы Ли будут изучены более
детально. Каждой группе Ли будет поставлен в соответствие более
элементарный алгебраический объект, именно инфинитезимальная
группа. Далее будет показано, что локальное изучение группы Ли
целиком сводится к изучению ее инфинитезимальной группы.
Это и составит основное содержание настоящей главы. Будут также
рассмотрены некоторые примыкающие сюда понятия и намечены
дальнейшие пути развития теории. Более глубокие результаты
Киллинга, Картана (см. [5]) и Вейля (см. [35]) здесь изложены
не будут, некоторые из них будут лишь формулированы.
Результаты эти основаны на изучении свойств инфинитезимальной группы
и представляют собой далеко идущую теорию. Наиболее
важным результатом этой теории является полная классификация
простых групп Ли. Классификация эта требует, однако, столь
громоздких и сложных рассмотрений, что останавливаться на ней
здесь невозможно. Более полное, чем здесь, изложение теории
групп Ли читатель найдет в выходящей в скором времени книге
Н. Г. Чеботарева «Теория групп Ли».
В шестой главе было показано, что при изучении группы Ли
можно ограничиться рассмотрением трижды дифференцируемых
функций нескольких переменных. Таким образом, здесь мы сможем
полностью использовать аппарат дифференциального исчисления
и теории дифференциальных уравнений. Это и составит основной
метод исследования в настоящей главе. Ввиду значительных
вычислений, с которыми нам придется столкнуться, я буду
пользоваться здесь, так же как и в шестой главе, тензорными
обозначениями.
*■) См. замечание к главе шестой на с. 235.

§48. СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГРУППА 271
§ 48. Структурные константы. Инфинитезимальная группа
Здесь будут введены структурные константы группы Ли. Они
образуют тензор, т. е. при преобразовании координат в группе Ли
преобразуются как компоненты тензора. Инфинитезимальная
группа представляет собой инвариантный относительно выбора
системы координат эквивалент совокупности структурных констант.
Здесь будут установлены основные соотношения между
структурными константами и соответствующие им соотношения в инфини-
тезимальной группе.
Основной метод настоящего параграфа заключается в
разложении рассматриваемых функций в ряды Тейлора с точностью
до членов второго, а иногда третьего порядка. Изучение
получающихся здесь коэффициентов и приведет нас к структурным
константам, а также соотношениям между ними. Можно было бы,
конечно, все это провести в терминах производных, как это
обычно делается, но пользование рядами Тейлора представляется
мне более целесообразным.
A) Остаточные члены рядов не будут выписываться подробно.
Мы просто будем обозначать их через 8 с различными индексами,
порядок же малости каждого г будет специально оговариваться.
Если 8 зависит от аргументов хи ..., хп, то мы будем говорить,
что 8 относительно этих аргументов имеет порядок малости q+l,
если —£-, где р — У^+ ...+■*£, стремится к нулю одновременно
с р.
B) В дальнейшем мы будем обозначать координаты точки или
вектора той же буквой, что и сами точку или вектор, но с
индексами наверху. Это избавит нас от необходимости каждый раз
заново вводить обозначения.
Определение 45. Пусть G—некоторая г-мерная локальная
группа Ли и D—некоторая дифференцируемая система координат
в ней (см. определение 38). Если х и у—два элемента группы G,
достаточно близких к единице е, то произведение f = xy=f(xfy)
также достаточно близко кеи закон перемножения можно записать
в координатной форме, пользуясь системой D. Мы имеем
/*=И*. </) = №, -.-, *г; у\ -■■• уП- (1)
Так как координаты единицы все равны нулю, то мы получаем
следующие соотношения:
Р(х, е) = р(х\ ..., *'; 0, ..., 0) = **, (2)
f (*, У) = Р(0, -.., 0; у\ .... у*) = У*. (3)
Так как функции f1' по условию трижды непрерывно
дифференцируемы, то их можно разложить в ряды Тейлора до членов
третьего порядка. Вследствие соотношений (2) и (3) эти
разложения имеют несколько специальный вид, который нетрудно

272
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
обнаружить, именно, мы имеем
/' = х? + У1 + а^у* + gfoxWy* + h\klxtyky* + ^ (4)
где г[ есть величина четвертого порядка малости относительно
координат точек х и у. Числа
$к = <*1к—4/ (5)
называются структурными константами группы G в
координатах D. Структурные константы удовлетворяют очевидному
соотношению
<&=—4/- (6)
Соотношение (4) показывает, что группа Ли в первом
приближении коммутативна и изоморфна r-мерной векторной группе.
Однако уже второе приближение дает уклонение от
коммутативности. Нетрудно показать, впрочем, что даже коммутативная
группа в некоторых координатах может иметь в разложении (4)
отличные от нуля члены второго порядка. Но в случае
коммутативной группы G мы, очевидно, имеем a)k = akj, поэтому для
коммутативной группы структурные константы равны нулю. Это
обстоятельство и является первым наводящим указанием на то,
что структурные константы являются весьма существенными для
группы Ли. Позднее будет доказано, что структурные константы
целиком определяют локальную структуру группы Ли, чем и
объясняется их название.
Дадим теперь другое определение структурных констант,
дальше вскрывающее их смысл.
С) Пусть х и у—два элемента группы G. Рассмотрим
коммутатор q (см. § 4, С)) элементов х и у
q==xyx-iy-i = q(Xi уу (7)
Оказывается, что в координатной форме соотношение (7)
записывается так:
<7' = cfc*V + ei (8)
(см. (5)), где г\ есть величина третьего порядка малости
относительно координат точек х и у. Соотношение (8) может служить
новым определением структурных констант. Из соотношений (4),
(5) и (8) вытекает непосредственно, что
<? (х> У) = /' (х* У) - /' (У. х) + е{, (9)
где ej также имеет третий порядок малости.
Для доказательства соотношения (8) вычислим прежде всего
в координатной форме элемент z', обратный к z, zz' = e.
Пользуясь соотношением (4), получаем
г'* = — z1'+ a)kzJ'zk + е{.
(10)

§48. СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГРУППА 273
Если теперь z* = xy и z=-yxy то из (4), (7), (5) и (10) получаем
q = z*z' и
ql'=(xl' + yc + ajkXfyk) +
+ (-х''-yi-aijxjy + a)k(xJ + у') (xk + у*)) —
—a\k (xt + yf) (х* + у*) + е{ = tfjkxfyk + ej.
Таким образом, соотношение (8) доказано.
Теорема 65. Структурные константы группы Ли G (см.
определение 45) удовлетворяют следующим соотношениям:
*?/=-<#, (11)
c?sCik + c%cski + cpksch = 0. (12)
Соотношение (12) находится в тесной связи с ассоциативностью
умножения в группе G.
Доказательство. Соотношение (11) было уже указано
{см. (6)). Для доказательства соотношения (12) достаточно
выразить в координатной форме закон ассоциативности умножения
в G. Положим
u = yz, v = xy, w = xu, w' = vz
и запишем в координатной форме равенство w = w'. Пользуясь
соотношением (4) и проводя все вычисления с точностью до
членов третьего порядка, получаем
wp = xp + [у? + zp + afkyJ'zk + gpiky<yfzk + hpjky{zfzk) +
+ apsxl {ys + zs + а%у&) + g&x'V (y* + zk) +
+ hfitf? & + zf) (y* + z*) + eg,
w'p = (xp + yP + cGixfyt + gPijkxixJyk + hpikxly!y*) +
+ zp + apk (xs + ys+ atjxtyf) z* + gpijk (xi + y*) + (*/ + у J) z* +
+ h?Jk(xf + y')zfz* + s%9
где eg и eg имеют четвертый порядок малости.
Сравнение членов первого порядка в полученных выражениях
для wp и w'p дает
хр + (ур + zP) = (хр + уР) + zp.
Сравнение членов второго порядка дает
tfky'z* + a?sxl'ys + afsx*'zs = aH^yf + apskxszk + aPkyszK
Таким образом, равенство членов первого и второго порядков
выполняется тождественно.
Перейдем теперь к сравнению членов третьего порядка. При
этом мы ограничимся лишь сравнением тех членов, которые
одновременно зависят от координат всех трех точек х, у и г; для них

274
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
равенство должно выполняться отдельно. Впрочем, остальные
члены третьего порядка оказываются равными тождественно,
однако это для нас не имеет значения. Итак, получаем
apbxfa)kytz* + hfjkx{ (у'г* + у*г*) = с&Аих*у*г* + gpm (х*у*+х*у*) г*.
Сравнивая коэффициенты в последнем соотношении, получаем
apisa)k— арка8ц = — h?ik — hpk} + gfjk + gPik- (13)
Исключим теперь из последнего соотношения члены, стоящие
в правой части. Для этого переставим в нем всеми возможными
способами индексы /, /, k. Получаемые таким образом шесть
соотношений распадаются на четные и нечетные, в зависимости
от четности или нечетности соответственной перестановки
индексов. Сложим все шесть соотношений, взяв четные со знаком плюс,
а нечетные—со знаком минус. Получаемое в результате
сложения соотношение (а) имеет в правой части нуль, а в левой —
двенадцать членов. Если теперь в соотношении (12) заменить
структурные константы их выражениями из соотношения (5), то
мы получим соотношение (Ь), которое также содержит в левой
части двенадцать членов, а в правой—нуль. Нетрудно сообразить,
исходя из общего характера членов, что соотношения (а) и (Ь)
совпадают. Таким образом, соотношение (12) является следствием
соотношений (13) и (5).
Итак, теорема 65 доказана.
Перейдем к построению инфинитезимальной группы.
Определение 46. Пусть R—r-мерное векторное пространство,
в котором дополнительно установлена некоторая операция
композиции векторов: каждой паре векторов а и Ъ ставится в
соответствие вектор с=[а, 6], называемый коммутатором векторов
а и Ь. При этом операция коммутирования удовлетворяет
следующим условиям:
\аа + а'а\ 6] = а [а, &] + а'[а', Ь] (14)
(а и а'—действительные числа), далее,
[a, b] + [b, a] = 0 (15)
[а, [6, с]] + [6, [с, а]]+[с, [а, Ь]] = 0. (16)
Векторное пространство R с таким образом установленной в нем
операцией коммутирования будем называть инфинитезимальной
группой.
Ввиду линейности операции коммутирования (см. (14), (15))
в координатной форме она запишется так (см. В)):
С' = [а, ьу = ст,№ЬЬ. (17)
Числа c*jl называются структурными константами
инфинитезимальной группы R в данной системе координат. Из соотношений

§ 48. СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГРУППА 275
(15) и (16) вытекают следующие соотношения для структурных
констант инфинитезимальной группы R:
c]L = -c& (18)
<t№i + ctf<ft + dig($f = 0. (19)
Легко видеть, что если, обратно, числа tfi удовлетворяют
соотношениям (18) и (19), то, определив операцию коммутирования
соотношениями (17), мы получим некоторую инфинитезимальную
группу. Таким образом, рассмотрение структурных констант £*£,
удовлетворяющих соотношениям (18) и (19), вполне эквивалентно
рассмотрению инфинитезимальной группы R.
Теорема 66. Пусть G— г-мерная локальная группа Ли. В силу
замечания В) § 38 каждой дифференцируемой кривой x(t),
заданной в G, соответствует касательный вектор а. Таким образом,
с группой G ставится в связь r-мерное векторное пространство
R. Установим в R операцию коммутирования (см. определение 46),
исходя из свойств группы G. Пусть а и Ъ—два вектора из R, а
x(t) и y(t)—две кривые, для которых векторы а и Ъ являются
касательными. Положим
g(t) = x(t)y(t)(x(t))-*(y(t))-K (20)
q(t) определяет кривую в G. Введем на этой кривой новый
параметр s, положив t = V~s . Получаемая таким образом кривая
Я{Vs)' определенная для неотрицательных значений параметра
s, имеет касательный вектор с, который определяется
векторами а и Ь. Мы определим коммутатор [а, 6], положив [а, Ь\ = с.
Установленная таким образом в пространстве R операция
коммутирования удовлетворяет условиям (14), (15) и (16). Полученная
инфинитезимальная группа R называется инфинитезимальной
группой группы Ли G. Структурные константы группы R w
инфинитезимальной группы R в соответственных координатах
совпадают (см. определения 45 и 46).
Доказательство. Для доказательства введем в G
некоторые дифференцируемые координаты и вычислим вектор с в
координатной форме. Легко видеть, что c'' = lim^A . В силу соот-
ношения (8) мы имеем
с' = lim -L {c)kxJ (t)y*(t) + si (*)) = c)kaW
(&i(t) имеет третий порядок малости по отношению к t). Таким
образом, получаем
с! = [а, by = c!jkaJbk.
Следовательно, структурные константы инфинитезимальной
группы R совпадают со структурными константами группы Ли G.

276
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Так как структурные константы группы G удовлетворяют
соотношениям (11) и (12), то коммутирование в R удовлетворяет
условиям (14), (15) и (16), т. е. R действительно есть инфинитези-
мальная группа.
D) Для того чтобы калькулятивно наиболее быстро получить
операцию коммутирования в инфинитезимальной группе R группы
Ли G, можно поступить следующим образом. Пусть
q*f (*, у) = q*1' (х\ ..., хг\ у\ ..., у')
есть сумма всех членов второго порядка в разложении для
разности f*(x9 у)—р{у> х) (см. (1)). Тогда вектор с=[а, Ь] в
координатной' форме запишется так:
с£ = Г*(а\ ..., аГ\ Ь\ ..., Ы). (21)
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из
соотношения (9)
Роль инфинитезимальных групп объясняется тем, что каждой
инфинитезимальной группе однозначно соответствует некоторая
локальная группа Ли. Доказательству этого факта будут
посвящены дальнейшие параграфы. Вопрос о том, соответствует ли
каждой инфинитезимальной группе R некоторая полная группа
Ли, представляется более сложным, но также решается
положительно. Конечно, здесь уже не может идти речь об
однозначности. Одной и той же группе R может соответствовать несколько
не изоморфных полных групп Ли, однако все эти группы Ли
локально изоморфны и вопрос об их связи между собой
решается результатами Шрейера (см. восьмую главу).
Пример 62. Пусть R—трехмерное векторное пространство,
в котором обычным способом определено векторное произведение:
каждой паре векторов а и Ъ соответствует их векторное
произведение [а, Ь]. Если теперь принять за коммутатор двух
векторов а и & их векторное произведение [а, &], то в силу известных
правил векторного исчисления здесь будут выполнены условия
определения 46. Таким образом, мы получаем инфинитезималь-
ную группу R. Можно показать, что этой инфинитезимальной
группе соответствует в качестве группы Ли группа вращений
трехмерного евклидова пространства вокруг неподвижной точки.
Пример 63. Пусть G—мультипликативная группа всех
квадратных матриц порядка п, детерминант которых отличен от нуля.
Для того чтобы ввести в группу G координаты, как это
надлежит сделать в группе Ли, каждую матрицу x£G представим в
форме х = е + х*, где е—единичная матрица. Тогда элементы
матрицы г*, которые мы обозначим через xf, можно принять за
координаты элемента х. Размерность группы G таким образом есть
л2. При этих обозначениях соотношение (4) запишется для группы
G так:
fj = xj + yj + 4yf. (22)

§48. СТРУКТУРНЫЕ КОНСТАНТЫ. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГРУППА 277
Обозначим через R инфинитезимальную группу группы G.
За элементы векторного пространства R можно принять
совокупность всех квадратных матриц порядка п с обычным матричным
сложением и умножением на действительное число. Если а и Ь—
две матрицы из множества R, то на основании замечания D) и
соотношения (22) коммутатор определяется так:
с\ = \а, bfi^aibf-biaf, (23)
т. е.
с = [а, b] = ab—Ьа\ (24)
Инфинитезимальная группа R, таким образом получаемая,
называется инфинитезимальной группой группы всех квадратных
матриц порядка п.
Для того чтобы осмыслить элементы множества R как
касательные векторы к кривым, проходящим в G, рассмотрим
некоторую кривую в G: x(t) = e + x*(t). Координаты точки x(t) суть
элементы xj(t) матрицы x*(t). Координаты вектора а,
касательного к рассматриваемой кривой, суть числа aj= *^, Таким
образом, элемент а £ R естественно представляется в виде
матрицы я = |И|-
Матричную группу G можно трактовать как группу линейных
преобразований /г-мерного векторного пространства S. При такой
трактовке каждый элемент x£G представляет собой
преобразование х(и), ставящее каждому вектору u£S ъ соответствие другой
вектор x(u)gS, причем выполнено условие линейности, т. е.
х (аи + $v) = ах (и) + fix (v),
где а и Р—действительные числа, а и и v — векторы из S.
Произведение f двух преобразований х и у определяется как
преобразование f (и) = х(у(и)).
Инфинитезимальную группу R группы G можно составить
теперь из всех линейных отображений пространства S самого в
себя. Если а и Ь суть два элемента из R, то сумма их d
определяется соотношением d(u)=a(u)+b(u), а умножение элемента
а на действительное число а—соотношением (аа)(и)==аа(и).
В силу соотношения (24) коммутатор с = [а, Ь] определяется
равенством
с (и) = а (6 (и))—Ь (а (и)), (25)
т. е.
[a, b] = ab—ba. (26)
Разобранный здесь пример матричной группы играет большую
роль в теории групп Ли.

278
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
§ 49. Подгруппа. Факторгруппа. Гомоморфное отображение
В предыдущем параграфе каждой группе Ли G была
поставлена в соответствие ее инфинитезимальная группа R. Здесь мы
сконструируем те инфинитезимальные понятия, которые
соответствуют подгруппе, нормальному делителю, факторгруппе и
гомоморфному отображению группы G.
А) Пусть R—некоторая инфинитезимальная группа (см.
определение 46). Множество S векторов пространства R мы будем
называть инфинитезимальной подгруппой группы R, если
выполнены следующие условия: а) множество S есть линейное
подпространство пространства R, т. е. наряду с каждыми двумя
векторами а и Ь из 5 в S входит также и вектор аа + рб, где а и р —
любые действительные числа; Ь) если а и Ъ—два вектора из S,
то вектор [а, Ь] также принадлежит S. Инфинитезимальная
подгруппа «S инфинитезимальной группы R называется нормальным
делителем, если с) при a£R, b£S имеем [a, b] gS.
Инфинитезимальная подгруппа S называется центральной, если d) при
a£R, b^S имеем [а, й] = 0.
Следующая теорема оправдывает введенную в А) терминологию:
Теорема 67. Пусть G—некоторая локальная группа Ли, R —
ее инфинитезимальная группа и Я—некоторая подгруппа группы
G» Множество всех векторов, которые являются касательными к
кривым, проходящим на Я (см. § 38, В)), обозначим через S.
Тогда S есть~ подгруппа инфинитезимальной группы R. Мы будем
говорить, что подгруппе Я соответствует подгруппа S, и
обозначим это так: Н —+ S. Если Я есть нормальный делитель
группы G, то S есть нормальный делитель группы R. Если Я есть
центральный нормальный делитель группы G, то S есть
центральный нормальный делитель группы R.
Доказательство. В силу теоремы 50 Я есть
дифференцируемое подмногообразие многообразия G, поэтому S есть
линейное подпространство пространства R. Таким образом, условие
а) определения А) выполнено. Докажем, что выполнено также
условие Ь). Пусть а и Ь—два вектора из S, a x(t) и y(t)—те
кривые из Я, для которых векторы а и Ь являются
касательными. Для нахождения вектора с = [а, Ь] рассмотрим кривую q (t) =
= x(t) у (t) (x(t))"1 (у (t))'1 (см. теорему 66). Кривая эта также
лежит в Я, ибо Я есть группа. Следовательно, и кривая q (|/"s )
лежит в Я. Таким образом, вектор с, касательный к кривой
q(Vs*)> принадлежит S, и мы имеем [a, b]£S.
Докажем соотношение с) определения А) в случае, когда Я
есть нормальный делитель группы G. Пусть a£R и 6gS. Через
x(t) обозначим какую-нибудь кривую из G с касательным
вектором а, а через y(t) — какую-нибудь кривую из Я с
касательным вектором Ь. Элемент х (t) у (t) (x (t))"1 принадлежит Я, ибо Я
есть нормальный делитель, поэтому элемент q(t) = x(t) y(t)X

§49. ПОДГРУППА. ФАКТОРГРУППА. ГОМОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 279
Х(л:(0)~1(У(0)~1 также принадлежит Я. Следовательно, кривая
qiV^s) проходит в Я и касательный к ней вектор с = [а, Ь]
принадлежит S.
Для разбора случая, когда Я есть центральный нормальный
делитель, продолжим наши рассуждения, относящиеся к
нормальному делителю. В этом случае кривая q(t), как легко видеть,
вырождается в точку е, и потому касательный вектор с есть
нулевой вектор.
Таким образом, теорема 67 доказана.
B) Пусть R—некоторая инфинитезимальная группа и S—ее
нормальный делитель (см. А)). Разобьем векторную группу R на
классы смежности по подгруппе S. Получаемое таким образом
множество R* классов смежности в свою очередь образует
векторное пространство. В пространстве R* естественным образом
вводится операция коммутирования (см. определение 46). Пусть
А и В—два класса смежности. Пусть, далее, а£А и b£B.
Положим с=[а, Ь]. Покажем, что класс смежности С, содержащий
элемент с, не зависит от выбора элементов а и Ь, а определяется
классами А и В. Для доказательства возьмем произвольный
элемент а'^Л и покажем, что с' = [a', b] g С. Действительно, с'—с =
= [а', Ь]—[а, Ь] = [а'—a, b]^S (см. А), с)). Таким образом,
c'gC Коммутатор [А, В] элементов А и В определим, положив
[А, 5] = С. Так как операция коммутирования в R удовлетворяет
условиям (14), (15), (16) § 48, то нетрудно показать, что те же
условия выполнены и в R*. Таким образом, R* есть
инфинитезимальная группа; R* называется факторгруппой инфинитезималь-
ной группы R по ее нормальному делителю S, в обозначениях:
R*=*R/S.
C) Пусть R и R'—две инфинитезимальные группы и
g—отображение R на /?'. Отображение g называется гомоморфным, если
выполнены слудующие условия: а) отображение g линейно, т. е.
при произвольных действительных числах аир имеем
g(aa + f>b)=*ag(a)+$g(b), где a£R, b£R;
Ь) g([a, fr])=[g"0z), g(fy], где a£R, b£R. Множество S всех
элементов из R, переходящих в нуль группы R' при отображении
g, называется ядром гомоморфизма g. Гомоморфное отображение
называется изоморфным, если оно взаимно однозначно.
Инфинитезимальные группы R и R' называются изоморфными, если
существует изоморфное отображение одной группы на другую.
D) Пусть R и R'—две инфинитезимальные группы,
g—гомоморфное отображение R на R' и S—ядро гомоморфизма g.
Обозначим через S множество всех элементов группы R,
отображающихся в нуль группы R' при гомоморфизме g. Тогда S есть
нормальный делитель инфинитезимальной группы R и
факторгруппа R/S изоморфна группе R' (см. А), В), С)).

280
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Так как g есть линейное отображение пространства R на
пространство R', то S есть линейное подпространство пространства
R. Пусть a£Ry b£S. Тогда
*([*. b]) = [g(a), g(b)] = [g(a), 0] = 0.
Таким образом, [a, b] gS, т. е. S есть нормальный делитель инфи-
нитезимальной группы R.
Пусть теперь а' — некоторый элемент из R'. Обозначим через
А множество всех элементов из R, переходящих в а' при
отображении g. Так как g есть гомоморфное отображение векторной
группы R на векторную группу R', то из общих теорем о
гомоморфизме групп следует, что А есть класс смежности по S. Таким
образом, имеется уже взаимно однозначное соответствие между
элементами факторгруппы R/S и элементами группы R'.
Доказательство того, что это соответствие дает изоморфизм инфинитези-
мальных групп R/S и R\ тривиально.
Следующая теорема оправдывает введенные нами понятия.
Теорема 68. Пусть G и G'—две локальные группы Ли и f—
локальное гомоморфное отображение группы G на группу G'.
Обозначим через R и Rr инфинитезимальные группы групп G и
G'. Пусть a£R и x(t)—некоторая кривая изб, имеющая вектор
а касательным, f(x(t)) дает кривую в С, касательный вектор к
которой мы обозначим через а'. Тогда вектор а' определяется
вектором а, т. е. не зависит от выбора кривой х (t) (лишь бы
она имела касательный вектор а), так что мы можем положить
a'=g(a). При этом g есть гомоморфное отображение инфини-
тезимальной группы R на инфинитезимальную группу R'.
Таким образом, каждому гомоморфизму f группы G на G'
естественно соответствует гомоморфизм g их инфинитезималь-
ных групп, f—+g. Обозначим через N ядро гомоморфизма f и
через S—ядро гомоморфизма g. Тогда подгруппе N группы G
соответствует подгруппа S инфинитезимальной группы R, N —> S
(см. теорему 67).
Доказательство. В силу теоремы 51 отображение / может
быть выражено при помощи дифференциальных функций. Отсюда
легко следует, что данное в формулировке теоремы отображение
g определено однозначно и является линейным отображением
пространства R на пространство R'. Пусть теперь x(t) и y(t)—две
кривые в G, а а и Ь—касательные к ним векторы. Положим
q(t)=x(t)y(t)(x(t))-4y(t))-K
Тогда вектор с = \а, Ь] является касательным к кривой g(Vs)
(см. теорему 66). Векторы a' = g(a) и b' = g(b) являются
касательными к кривым х' (f) = f(x(t)) и у' (t) = f(y(t)). Для
определения вектора с' = [а', Ь'] рассмотрим кривую
q'(t) = x'(t)y'(t)(x>(t))-*(y'(t))-\

§ 49. ПОДГРУППА. ФАКТОРГРУППА. ГОМОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 281
Так как отображение / гомоморфно, то q' (]/s ) = / (q (l/T)).
Таким образом, g(c) = c' и гомоморфность отображения g доказана.
Обозначим через S' ту инфинитезимальную подгруппу,
которая соответствует подгруппе N (см. теорему 67). Так как всякая
проходящая на N кривая при гомоморфизме f переходит в точку
е\ то S'aS. Равенство S'czS следует из подсчета размерностей.
Таким образом, теорема 68 доказана.
Е) Пусть G, G', G"—три локальные группы Ли, a R, R\ R" —
их инфинитезимальные группы. Допустим, что заданы локальные
гомоморфизмы /' и f группы G на группу G' и группы G' на
группу G". Соответственные гомоморфизмы инфинитезимальных
групп обозначим через g' и g'\ f ~> g\ f"—>-g" (см. теорему 68).
Положим / (х) = f" (/' (х)), g (a) =g" (g' (а)). Тогда гомоморфизму /
соответствует гомоморфизм g", т. е. f—+g.
Доказательство утверждения Е) непосредственно следует из
самого определения соответствия, данного в теореме 68. Если
x(t)— некоторая кривая из G с касательным вектором я, то
кривая f'(x(t)) имеет касательным вектор gf'(a), поэтому кривая
f"(f'(x(t))) имеет касательным вектор g"(g'(fl)), т.е. кривая
f(x(t)) имеет касательным вектор g(a), и, следовательно, f—+g.
Теоремы 67 и 68 показывают, что каждому понятию или
соотношению для групп Ли естественно и однозначно соответствует
некоторое понятие или соотношение для инфинитезимальных групп.
Обратному переходу от инфинитезимальных групп к группам Ли
будут посвящены дальнейшие параграфы.
Нетрудно было бы ввести понятие прямого произведения для
инфинитезимальных групп и показать, что распадению в прямое
произведение локальной группы Ли соответствует распадение в
прямое произведение ее инфинитезимальной группы. Однако ввиду
полной тривиальности этого построения я не буду на нем
останавливаться.
Пример 64. Продолжим разбор примера 62. Нетрудно
показать, что в инфинитезимальной группе R примера 62 не имеется
никаких подгрупп, кроме одномерных, причем всякое одномерное
линейное подпространство инфинитезимальной группы есть ее
подгруппа. Предположим, в самом деле, что R допускает двумерную
подгруппу S. Тогда в S имеются два линейно независимых
вектора а и 6. Вектор [а, &] = с, являющийся векторным
произведением векторов а и Ъ, будет отличен от нуля и перпендикулярен
к плоскости S. Таким образом, с не может содержаться в S.
Точно так же легко убедиться в том, что группа R—простая,
т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей.
Пример 65. Продолжим разбор примера 63. Именно:
выделим в группе G примера 63 некоторые интересные подгруппы и
посмотрим, какие подгруппы в инфинитезимальной группе R им
соответствуют.

282
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Пусть Я—подгруппа, составленная из всех матриц,
детерминант которых равен единице. Рассмотрим произвольную кривую
*(/), проходящую в Я. Детерминант матрицы x(t) равен
единице. Нетрудно видеть, что в координатной форме он имеет вид
1+ 4(0+87 (0» гАе 87 (0 есть величина второго порядка малости
относительно L (Здесь, как обычно, по индексу i подразумевается
произведенным суммирование.) Так как детерминант этот должен
быть равен единице, то мы видим, что —др- = 0. Таким образом,
вектор а, касательный к кривой x(t), удовлетворяет условию,
которое в координатной форме записывается так:
я$ = 0, (1)
т. е. след матрицы а равен нулю. Обозначим через А ту
подгруппу группы R, которая соответствует подгруппе Я (см.
теорему 67). Всякая матрица из А удовлетворяет условию (1).
Обратное также верно и вытекает из того, что размерность Я равна
п2—1, следовательно, и размерность А также равна п2—1 и,
значит, А должна содержать все матрицы, удовлетворяющие
условию (1).
Пусть теперь К—подгруппа всех ортогональных матриц
(см. пример 4) и В—соответствующая ей подгруппа инфинитези-
мальной группы R. При рассмотрении ортогональных матриц
удобнее оба индекса при элементе матрицы писать внизу. Пусть
x(t)— некоторая кривая, проходящая в К. Тогда в координатной
форме кривая x(t) удовлетворяет следующему условию:
п
S«7 + % (0 + Xfl (t) + 2 Xtk (t) Xjk (t) = 6„.
Беря производную по t от обеих частей этого равенства, мы для
касательного вектора а к кривой x(t) получаем условие
aif + a/f=0. (2)
Таким образом, Ъ составлена из всех кососимметрических матриц.
§ 50. Условия интегрируемости
При построении группы Ли по структурным константам
используется один элементарный результат теории дифференциальных
уравнений в частных производных. Мы приведем здесь этот
результат без доказательства, а также сделаем те выводы из него,
которые нужны для дальнейшего.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^=фН/1, ..., f"; х\ .... *о = фНЛ х), ]
t=l, ..., п, /=1, .... г, }

§50. УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ 283
где / обозначает точку с координатами /\ ..., fn, х—точку с
координатами х1, ..., хг; функции ф}(/, х) определены и дважды
дифференцируемы или даже аналитичны в области значения / g U,
x$V, где U и V суть области в соответствующих координатных
пространствах, наконец, переменные х1, ..., хг суть независимые,
а /\ ..., /"—их искомые функции. Требуется найти функцию
f(x) или в координатной форме систему функций
fi(x) = fi(xL, ..., xr), t=l, -.., п,
таким образом, чтобы уравнения (1) удовлетворялись
тождественно относительно независимых переменных х1, ..., хг.
Естественной постановкой задачи при решении системы (1)
является следующая:
Заданы начальные значения х0 g V, /0 g U. Требуется найти
такое решение f(x), чтобы
/(*о) = /о. (2)
•причем функция f (х) должна быть дифференцируема и
определена для значений аргумента х, близких к х0. Оказывается, что
имеет место следующий результат.
Теорема 69. Для того чтобы система (1) имела решение при
произвольных начальных значениях х0 £ V, /0 g U, необходимо, чтобы
тождественно выполнялось соотношение
^4^фП/,х) + %^-%^-ф?(/^)-%^=о (3)
для всех значений x£V, f g £/. С другой стороны, если
соотношение (3) имеет место для всех значений x£V, f £U, то при
произвольных начальных значениях х0 £ V, f0 g U имеется решение f (x)
и притом только одно.
Выразим явно зависимость решения f(x) от его начальных
значений: f(x)-=f(x, /0, х0). Пусть U' и V' — две области с
компактными замыканиями U' и V такие, что U'czU и V'aV.
Тогда можно найти столь малое положительное число г, что при
/о€£Л Xo£V и \х£-—х1\<г, i=l, ..., г, решение f(x, f0, x0)
существует и трижды дифференцируемо (или даже
соответственно аналитично) по всем аргументам х, /0, х0.
Соотношение (3) называется условием интегрируемости
системы (1).
Здесь я приведу лишь доказательство необходимости условия
(З)1).
х) Доказательство достаточности см. в книге: Ш. Ж- дела Балле
Пуссен. Курс анализа бесконечно малых, т. 2, гл. VIII, § 5 и 6, ГТТИ 1933.

284 ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Предположим, что существует решение f(x) системы (1) при
произвольных начальных значениях х0 g V, f0 g U. Подставим
решение f(x) в систему (1) и продифференцируем полученное
тождество; мы получим
а2/' _ dgfj (Л х) df* , аФ} (Л х) __ аФ}: (/, х) „а п гч , drfif.x) ш
дх/дхк " а/* а»»+ a*» а/^~ ф*('' ' а*» "w
т а2/' а2/'* ,оч
Так как —j—=——-, то соотношение (3) выполнено при
дх^дхЬ ЪхЧх!
При х = х0 имеем f(xQ)=f0, и потому соотношение (3) имеет
место при х = х0, f = f0. Так как по предположению начальные
значения можно задать произвольно, то равенство (3) имеет место
при произвольных x^V, f£U. Таким образом, необходимость
условия (3) доказана.
В дальнейшем нам придется иметь дело не непосредственно с
/1Ч • . . df*
системой вида (1), а с такой системой, где произвольные —Ц- не
dxJ
выражены явно. Поэтому мы выпишем условия интегрируемости
нужной нам системы уравнений в наиболее желательной для нас
форме.
А) Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
4(/)|^ = t>H*)> '=1* -...Л /=1. .•../". (5)
где v)(z) = vj(z1, ..., zr) суть функции, определенные й дважды
дифференцируемые в области г £ U, причем детерминант матрицы
|| и)-(z) || не обращается в нуль в этой области. Система (5) легко
приводится к виду (1), и условия интегрируемости для нее имеют
вид
Ц^-Ч*--^®*®' (б)
где с)ь—некоторые константы. Систему (5) можно переписать в
следующем симметричном виде:
vj(f)dfy = vii(x)dxf, (7)
где др есть полный дифференциал функции р (х), а
дх*—дифференциал независимого переменного хК
Для вывода соотношения (6) введем матрицу || и\ (z) ||, обратную
матрице ||i>/(z)|; она существует, ибо детерминант матрицы fuj(z)||
по предположению не обращается в нуль в области U. Мы имеем
^ (г) of (2)^=14(2) ну (г) = 6}, (8)
где || 6} ||—единичная матрица. Дифференцируя соотношение (8),

§51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 285
получаем
ди? (z) dvla (z)
v'a(z)^l+-^-uf(z) = 0. (9)
Умножая соотношение (5) на u?(f) и суммируя по ё, получаем,
меняя обозначения индексов,
5-=«&(/)«?(*>• (Ю)
Таким образом система (5) приведена к виду (1) и к ней можно
применить теорему 69. В силу этой теоремы условие
интегрируемости для системы (10) имеет вид
-ЩТ- иу (/) vl (х) v\ (х) + 4 (У) —j
duUf) am v/ ч 3/ \ /,а ^M л /их
Умножая соотношение (11) на а£(/) и суммируя по *\ получаем
.на основании соотношений (9) и (8)
— -дрГ- "з (/) "v (/) $ (*) ^ (*) + —£J- +
, ^? (f) t /гч а/А V/ ч 3/ ч dvPi№ л
+ ""a/*- u* W uy W Vk W u/ W S*- = °'
Умножая последнее соотношение на иЦх)и%(х) и суммируя по /
и fe, получаем
Последнее соотношение должно быть выполнено тождественно.
Так как переменные х и f в нем разделены, то каждая его часть
есть константа. Таким образом, имеем
dz<* dzfi
и?(г)и?(г) = сЬ-
Умножая последнее соотношение на v) (z) v{ (z) и суммируя по s
и t, мы получаем соотношение (6). Идя обратным путем, мы
получим из соотношения (6) соотношение (11).
§ 51. Построение группы Ли по структурным константам
Здесь будет дано построение локальной группы Ли по
структурным константам. Построение это будет вестись в координатах,
именно, будут разыскиваться функции fl (х, у)> выражающие
координаты элемента f=xy = f(x, у) через координаты элементов х и

286
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
у (см. определение 45). Само собой разумеется, что структурные
константы сами еще не могут определить функций /' (х, у), так
как возможны преобразования координат, не меняющие
структурных констант, но меняющие эти функции. Поэтому для
построения необходимо выбрать какие-либо специальные координаты,
например канонические первого или второго рода. Возможен и
тот и другой путь. Здесь мы используем канонические
координаты первого рода.
Построение локальной группы Ли проводится в два шага.
Первый шаг заключается во введении некоторых вспомогательных
функций, которые определяют однозначно функции /' (х, у) и сами
определяются этими последними. Вспомогательные функции
удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям, содержащим
структурные константы. Второй шаг заключается в интеграции
этих уравнений, причем здесь уже необходимо воспользоваться
каноническими координатами, так как лишь в них структурные
константы однозначно определяют вспомогательные функции.
А) Пусть G—некоторая локальная группа Ли. Положим
f = xy = f(x9 У)- С1)
В координатной форме то же соотношение запишется так:
/' = f (х, у) = /<• (х\ ..., х'\ у\ ..., уг). (2)
Введем теперь вспомогательные функции. Через х+8х
символически обозначим элемент с координатами х1 + 6х<, i = 1, ..., г,
где х*, i=;l; ..., г, суть координаты некоторого элемента х9 а
6*', 1=1, ..., л, (3)
— малые приращения.
Положим р = (х+ 8х) х~г и разложим координаты элемента р
в ряды Тейлора по.приращениям (3). Мы имеем
pi = vf(x)8xJ+sl (4)
где г£ имеет второй порядок малости относительно приращений
(3), a vij(x)=vj(x1i ..., хг) — некоторые функции элемента х. При
введенных обозначениях имеют место следующие соотношения:
ь){ё) = Щ, (5)
где |[ 6} |[—единичная матрица, а е—единица группы G. Далее,
Mf)^j=v)(x). (6)
Таким образом, f(x, у) как функция х (при постоянном у)
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (6) с очевидным
начальным условием
f(e, y) = y. (7)

§51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 287
Наконец, функции v)(x) удовлетворяют следующей системе
уравнений:
Н (*) dvj (х)
Ъх! дх*
■Cia^(x)v!(x)i (8)
где c)k суть структурные константы группы G. Стоит отметить,
что соотношение (8) есть не что иное, как условие
интегрируемости системы (6) (см. § 50, А)).
Отметим еще, что, пользуясь вспомогательными функциями
vlj(x), можно в простой форме записать уравнение однопараметри-
ческой подгруппы, именно, если x(t) есть некоторая однопара-
метрическая подгруппа группы G с направляющим вектором а,
то имеет место следующее соотношение:
a( = v)(x(t))*ip-. (9)
Соотношение (5) очевидно.
Для доказательства соотношения (6) дадим в соотношении (1)
приращения координатам элемента х, тогда координаты элемента
f также получат некоторые приращения, и мы имеем
f+6f=(x+8x)y.
Из этого соотношения и соотношения (1) следует
(f + 8fl Г1 = (* + в*) У {хуГ1 = (х+ их) х-К
Это последнее соотношение мы можем записать в координатной
форме, пользуясь соотношением (4), следующим образом:
»i(/) 6/* = tij (jc) fix/+ e|, (10)
где е| имеет второй порядок малости относительно приращений (3).
Разложим функции в/* в ряды Тейлора по приращениям (3).
Мы имеем
8f*.= J^fi*' + eJf (И)
где е£ имеет второй порядок малости. Из соотношений (10) и (11)
следует
vm^rbxf = v}(x)8xf+el
Сравнивая коэффициенты в последнем соотношении, получаем
соотношение (6).
Для доказательства соотношения (8) заметим, что если х0 и f0
суть два элемента, близкие к единице, то существует элемент у0
такой, что f0 = x0y0. Таким образом, система (6) имеет решение
при произвольных начальных значениях х0 и jF0, достаточно
близких к е. Следовательно, в силу теоремы 69 для системы (6) вы-

288 гл. ix. структура групп ли
полнено условие интегрируемости. В силу замечания А) § 50 это
условие интегрируемости имеет вид
dv%(x) dvj{x) ~ a о
—^ ^j- = 4^/ (х) v% (х), (12)
где cjk—некоторые константы. Нам остается показать, что эти
константы суть структурные константы группы G. При х = е
соотношение (6) дает
Дифференцируя последнее соотношение, получаем
ду*
При у = е это дает
dvUy) ^(и) , т« (е, у)
~ду~* Ы+Va(y) dxidy* "U-
^»+i£^l.a (is)
Отсюда и из соотношения (4) § 48 следует, что ^ ^ = —a)k. Таким
образом, при х = е соотношение (12) получает вид
a}k—aif = cjb
т. е. c)k суть структурные константы группы G (см. § 48, (5)).
Для доказательства соотношения (9) дадим параметру t малое
приращение 8t. Тогда мы имеем
д:(^ + 6/)(д:(0)~1 = а:(60,
таким образом,
х1 (60 *= v) {х (t)) (x* (t + &t)—xf (t)) + г[.
Деля обе части последнего равенства на 8t и переходя к пределу
при 8t -> 0, получаем соотношение (9).
Итак, утверждение А) полностью доказано.
Следующая теорема дает обращение утверждения А).
Теорема 70. Пусть U—некоторая область r-мерного
евклидова пространства, содержащая начало координат е. Допустим, что
в области U заданы дважды дифференцируемые функции
*>?(*) = *>?№, ..., хг)
такие, что детерминант матрицы | v)1 (x) \\ не обращается в нуль
в области U и выполнены следующие условия:
o?'(«0 = fy (14)

§ 51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 289
где с)^—некоторые константы. Составам систему
дифференциальных уравнений
#(fl-g=*;'(*)• (is)
Соотношение (15) есть условие интегрируемости системы (16)
(см. § 50, А)), и потому в силу теоремы 69 существует такая
окрестность G начала координат еу что при всяких xQ£G, f0 £ G
имеется решение f(x, f0, x0) с начальными значениями х0 и fQ9
причем решение это существует для всех x£G. Положим f (х, у) =
= /(*> у, е). Таким образом,
f(e, У) = У. (17)
Определим теперь закон перемножения двух точек х и */, положив
f = xy = f(Xi у). (18)
Тогда в силу этого закона перемножения G есть локальная
группа Ли, причем вспомогательные функции vj(x) группы G (см. А))
совпадают с заданными функциями v)l(x), а структурные
константы djk группы G совпадают с константами с%
i*M =*/'(*). (19)
4k = c#. (20)
Доказательство. Докажем прежде всего ассоциативность
определенного нами умножения. Из соотношения (17) следует, что
f (е, е) = е. Ввиду непрерывности функции / (х, у) мы можем таким
образом выбрать столь малую окрестность V точки е, что при
x£V, y£V будем иметь f(x, y)£G. Пусть x£V, y$V, z£V.
Положим u = f(x, у), v = f(y, z)y w = f(u,z), w* = f(x, v) и
покажем, что w=w*. Этим ассоциативность будет доказана.
При доказательстве будем считать элементы у к z
фиксированными, а х—переменным. В силу самого определения функции
/ функция w*(x) есть решение системы (16) при начальном
условии w*(e)=v. Покажем, что и w(x) есть решение той же системы
(16) при том же начальном условии w(e) — v. В силу
единственности решения системы (16) ,(см. теорему 69) мы получим тогда
равенство w*(x)=^w(x).
При х=е имеем и = у, т. е. w = f(y, z) = v. Таким образом,
начальные условия для функций w(x) и w*(x) совпадают.
Для доказательства того, что w(x) есть решение системы (16),
введем матрицу ||м/£(*)||» обратную матрице Jv)l(x)\. При этих
обозначениях система (16) перепишется так:

290
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Далее,- мы имеем
Таким образом, w(x) есть решение системы (21), и
ассоциативность доказана.
Единицей в G является элемент е. Действительно, f = x
является, как это непосредственно видно, решением системы (16) при
начальном условии / (ё) = е. Таким образом, в силу единственности
решения f(xie)^=x9 т. е. хе = х.
Для нахождения обратного элемента следует решить
относительно у систему уравнений
f'(x,y) = 0. (22)
При х = е система эта имеет очевидное решение у = е. Далее, из
соотношения (17) непосредственно следует, что якобиан системы
(22) при х = у = е равен единице. Таким образом, система (22)
разрешима при х, близких к е, и существование обратного
элемента доказано.
Так как по доказанному G есть локальная группа Ли, то в
силу замечания А) функция / (х, у) удовлетворяет системе (6).
Но в то же время она удовлетворяет системе (16). Из этого
непосредственно следует, что vi.(z) = v*ji(z)y ибо, положив в системах
(6) и (16) х = е, мы получаем способ вычисления функций vi(z) и
VY(Z) через f{x,y) (см. (5), и (14)). В силу равенства (19)
константы в уравнениях (8) и (15) должны совпадать, т. е. с^к = с*^щ
Итак* теорема 70 доказана.
Первый шаг построения. группы Ли закончен. Переходим ко
второму. Здесь задача заключается в решении системы (8), т. е.
в нахождении вспомогательных функций vl.(x) по структурным
константам. Самый вид системы (8) показывает, что решение при
начальных условиях (5) не определено однозначно. Как это уже
отмечалось, необходимо специализировать каким-либо способом
выбор координат; тогда функции vl. (x) будут связаны
дополнительными соотношениями, что и позволит решить задачу
однозначно. В качестве специальных координат для указанной цели
мы выберем канонические координаты первого рода (см. § 39, В)).
Задачу решения системы (8) в канонических координатах
удается свести к интеграции системы обыкновенных дифференциальных
уравнений. Прием, применяемый здесь, довольно обычен.
Функции V1. (х) отыскиваются не сразу во всей окрестности единицы, а
вдоль некоторой кривой, именно, вдоль однопараметрической
подгруппы. Если g(t) есть некоторая однопараметрическая подгруппа,
то ввиду каноничности координат мы имеем g1'(f)==a'f. Функции
v) (S (?)) при фиксированной подгруппе g (t) зависят уже от одного

§51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 291
параметра t. Оказывается, что функции tvl.(g(t)), как функции
параметра t, удовлетворяют некоторой системе обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами; таким образом, их нахождение сводится к применению
элементарной теоремы существования, и проблема оказывается
полностью решенной*
Дадим одно характеристическое свойство канонической системы
координат первого рода.
B) Пусть D—некоторая система координат в локальной
группе Ли G. Для того чтобы система D была канонической первого
рода, необходимо и достаточно, чтобы вспомогательные функции
vl.(x), взятые в системе D (см. А)), удовлетворяли следующему
соотношению:
v)(x)xt = x1'. (23)
Допустим, что координаты D—канонические первого рода.
Пусть g(t)—однопараметрическая подгруппа группы D с
направляющим вектором а (см. § 39, А)). Ввиду каноничности координат
D мы имеем g"'(0=^7. Используя соотношение (9), получаем
viJ(at)a^ = ai. (24)
Это соотношение при а = х, t=l переходит в соотношение (23).
Допустим теперь, что соотношение (23) выполнено. Пусть g(t)—
некоторая однопараметрическая подгруппа с направляющим
вектором а. Вследствие соотношения (9) имеем
f}fe(*))^ = a'. (25)
В силу соотношения (23) система (25) удовлетворяется при gl'(t) =
= a*t. Таким образом, ввиду единственности решения, системы (25)
мы имеем д*У) = аЧ9 т. е. система координат D—каноническая
первого рода.
C) Пусть G—локальная группа Ли и D—некоторая заданная
в ней каноническая система координат первого рода. Пусть,
далее, vl. (x) = v\ (*\ ...,а;г) — вспомогательные функции (см. А)),
заданные в системе D. Положим
w) (0 = w) (*, а) - Ц (аЧ, ..., eft) = tv) (at), (26)
где а—фиксированный вектор, a at символически обозначает
элемент с координатами аН\ это обозначение-не обычно, но в
канонических координатах первого рода оно естественно. Тогда
имеют место следующие соотношения:
v)(x) = wi.(lJx)i (27)
w*(Q9a)'=0, (28)
dw\ (t)

292 ГЛ. IX СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Таким образом, функции w^t, а), как функции параметра t,
являются решениями системы (29) с начальными условиями (28).
Найдя функции хаЛ (t, а), мы затем из соотношения (27) сможем
определить и нужные нам функции v* (х). Этим будет показано,
что в канонических координатах первого рода вспомогательные
функции vl. (х) однозначно определяются структурными
константами c)k.
Соотношения (27) и (28) очевидны.
Докажем соотношение (29). Дифференцируя соотношение (23),
получаем
**-^г+°/М=б/- (3°)
Умножая соотношение (8) на xk и суммируя по k> получаем
dIh^L xn_dIi^l xk ^ cirf* (X) ф до xk = _ cfvorf до (31)
dxJ дх* ар ' * ' а0 / w V /
(см. (23) и § 48, (6)). Из соотношений (30) и (31) следует
&>!• (х)
^x* + v){x) = V! + c^!{x).
Заменяя в последнем соотношении х на at, получаем
dvi (at)
-lLI ta* + v) (at) = 8} + c^fef (a*). (32)
Левая часть последнего соотношения, как легко проверить, есть
производная от функции w\ (t, a) no L Таким образом,
соотношение (32) переписывается в виде (29), чем соотношение (29) и
доказано.
Следующая теорема дает обращение утверждения С).
Теорема 71. Пусть c*.(k—система констант, удовлетворяющих
следующим соотношениям:
cit = -<%' (33)
да + да + сй<# = 0. (34)
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dufit
-± = Ц + с%Ыр, (35)
где а—некоторый постоянный вектор, a w*-{—неизвестные
функции параметра t. Система (35)—линейная с постоянными
коэффициентами, и потому решение ее существует для всех значений
t, —оо < *<оо. Обозначим через wf(t, а) решение системы (35)

§51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 293
с начальным условием
of(0, а) = 0. (36)
Положим, далее,
v*-i(x) = w*-i(l,x). (37)
Тогда функции v}l(x) удовлетворяют соотношениям (14) и (J5),
где е—начало координат. Кроме того, выполнены соотношения
иУ(х)х' = х£. (38)
Доказательство. Для установления соотношения (14)
следует решить систему (35) при а = е. Очевидно, что это решение
есть w]i(f) = SfJt9 т. е. itf'(«) = *} (см. (37)).
Соотношения (15) и (38) доказываются с помощью применения
одного и того же приема. Для выяснения его мы сперва
разберем более простой случай соотношения (38).
Положим
hi{t) = w)i{t,a)af—tai. (39)
Мы докажем, что А<(£) = 0. Тогда соотношение А'(1) = 0 и даст
нам соотношение (38). Прежде всего, очевидно, что
А'(0) = 0. (40)
Вычислим теперь производную функции Az'(/). Принимая во
внимание соотношения (35) и (33), мы получаем
^ = (6f + c£rftop(*. a))a/-a' =
= c'J^f (t, a) ai=c^a* (wf (t, a) a'—iff).
Таким образом, функция h'(t) удовлетворяет системе линейных
однородных уравнений
Tt=c^hi- (41)
При начальном условии А'(0) = 0 система (41) имеет очевидное
решение A1" (t) = 0, следовательно, в силу единственности решения
системы (41) мы получаем Az'(£) = 0 (см. (40)).
Для доказательства соотношения (15) положим
hik W = Щ^-Щ^-^Г ('• а>w? ('•а> (42>
и покажем, что ft^(f) = 0. Тогда А^(1) = 0 и даст нам
соотношение (15).
dw*J (0, а) л
Так как хяАЧО, а) = 0, то —'- =^0 и, следовательно,
у да*
А/*(0) = 0. (43)

294 гл. ix. структура групп ли
Займемся теперь вычислением производной от функции hhk(t).
Дифференцируя соотношение (35), получаем
* , = с>? (/, а) + с**аа k V ; . (44)
dtdaf & к ' аР daJ к '
Используя соотношения (35) и (44), получаем
Ж » * Т«Г daj "*tri v«r дак
Приводя в последнем соотношении подобные члены и пользуясь
соотношениями (33) и (34), получаем
At аР V /W Ля* V6 / * J ар /Л
Таким образом, функция ft' (t) является решением системы
уравнений
d3b = c*ta«ht (45)
с начальным условием (43). Но при этом начальном условии
система (45) имеет очевидное решение Цк = 0, и ввиду
единственности решения мы" получаем Н1.к(1) = 0.
Итак, теорема 71 доказана.
Нами закончен второй шаг построения локальной группы Ли
по структурным константам. Дадим теперь весь путь построения
в окончательном виде.
Теорема 72. Пусть dk—константы, удовлетворяющие
соотношениям (11) и (12) § 48. Рассмотрим систему уравнений
^ = 6^ + 4^. (46)
где а—постоянный вектор, a wh—неизвестные функции
параметра t. Через w\ (t, а) обозначим решение системы (46) при
начальном условии
w)(0, a) = 0. (47)
Положим
vij(x) = wij{\J х). (48)
Так как система (46)—линейная с постоянными коэффициентами,
то решение определено для произвольного вектора а при
произвольном значении параметра t, поэтому функции v^ (х) определены
для произвольных значений координат точки ху т. £■ на всем

§51. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ ПО СТРУКТУРНЫМ КОНСТАНТАМ 295
евклидовом пространстве. Рассмотрим, далее, систему уравнений
в частных производных
Условия интегрируемости этой системы уравнений выполнены, и
так как в начале координат е матрица || vi (x) || обращается в
единичную, то имеется столь малая окрестность G начала
координат е, что при x£G, y£G существует решение f(x,y) системы
(49), удовлетворяющее начальному условию
f(e,y) = y. (50)
Произведение двух точек х и у из G определим, положив
xy = f(x9y). (51)
В силу такого закона перемножения G есть локальная группа
Ли, взятая в канонических координатах первого рода, причем
структурные константы группы G в этих координатах
совпадают с наперед заданными числами cL. Если, далее, G* есть
произвольная локальная группа Ли, взятая в канонических
координатах первого рода, причем ее структурные константы суть те
же самые числа cL то функция f* (х, у), определяющая закон
перемножения в G*, в ее координатной форме совпадает с
полученной выше функцией f(x, у).
Таким образом, доказаны существование и единственность
группы Ли. Следует отметить еще, что полученная описанным
путем функция / (х, у) есть аналитическая функция, ибо системы
уравнений, которые приходится интегрировать, являются
аналитическими. Таким образом, всякая группа Ли допускает
аналитические координаты.
Доказательство теоремы 72 непосредственно следует из
утверждений А), В), С) и теорем 70 и 71.
Формулируем теперь полученный результат в терминах инфи-
нитезимальных групп.
Теорема 73. Пусть R—произвольная инфинитезимальная группа
(см. определение 46). Тогда существует локальная группа Ли G
такая, что инфинитезимальная группа группы G изоморфна
группе R (см. теорему 66). Пусть, далее, G uGf—две локальные
группы Ли, a R и R'—их инфинШпезимальнью группы. Допустим, что
существует изоморфное отображение g группы R на группу R'.
Тогда имеется одно и только одно с точностью до
эквивалентности локальное изоморфное отображение h локальной группы G
на локальную группу Ли G' (см. § 23, К)) такое, что,
соответствующее ему отображение группы R на группу R' (см.
теорему 68) совпадает с заданным отображением g.

296
ГЛ. IX, СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Доказательство. Для построения группы G по ее инфини-
тезимальной группе R достаточно взять группу R в
координатной форме. Так как структурные константы группы R
удовлетворяют соотношениям (11) и (12) § 48, то по ним в силу
теоремы 72 можно построить локальную группу Ли G.
В группах R и R' выберем координатные системы,
соответствующие друг другу при отображении g. Тогда структурные
константы групп R ъ R' будут совпадать.
Взяв в группах G и G' соответственные канонические
координаты первого рода, мы получим в них некоторые функции / (х, у)
и f (х, у), дающие закон перемножения, причем функции эти
ввиду совпадения структурных констант будут совпадать (см.
теорему 72). Таким образом, поставив каждой точке x£G в
соответствие ту точку х1 (EG', Которая имеет координаты, равные
координатам точки х, мы получим нужное изоморфное
отображение А. Единственность отображения h следует из того, что всякий
автоморфизм группы G' записывается в канонических
координатах в виде линейного преобразования (см. § 42, В)). Таким
образом, нетождественному автоморфизму группы G' соответствует
нетождественный автоморфизм группы R'.
Итак, теорема 73 доказана.
Теорема 73 показывает, что изучение локальной группы Ли
полностью сводится к изучению ее инфинитезимальной группы.
Следует отметить, что указанный путь построения группы Ли
по ее инфинитезимальной группе имеет преимущественно
принципиальное значение. Практически удобнее для данной
инфинитезимальной группы подобрать группу Ли исходя из косвенных
соображений, и воспользоваться теоремой 73 лишь как теоремой
единственности.
Пример 66. Выясним структуру двумерной группы Ли.
Пусть R—двумерная инфинитезимальная группа, а р и q—два
линейно независимых вектора из R. Положим [/?, ^] = г. Нетрудно
проверить, что для двух произвольных векторов а и Ь из R имеем
[а, Ь]=аг, где а—некоторое число. Далее будем различать два
случая: г = 0 и г^О. Если г = 0, то коммутатор двух любых
векторов из R равен нулю, и группа R коммутативна. Если гфО,
то найдется вектор t такой, что [г, /] = /". За базис векторного
пространства R примем векторы г и t. Тогда структурные
константы получают значения ci2=l, с?2 = 0. Таким образом,
существуют лишь две неизоморфные двумерные инфинитезимальные группы.
Если группа R коммутативна, то соответствующая ей группа
Ли G тоже коммутативна.
Если группа R не коммутативна, то соответствующую ей
группу G зададим следующими соотношениями:
/* = я1 + уге~х\ /2 = х2 + у2.

§52. ПОСТРОЕНИЕ ПОДГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМА 297
Множество всех элементов группы G, для которых вторая
координата обращается в нуль, образует нормальный делитель
группы G. Соответствующий этому нормальному делителю группы G
нормальный делитель группы R составлен из всех векторов аг,
где а— произвольное число.
§ 52. Построение подгруппы и гомоморфизма
В предыдущем параграфе была установлена полная адэкват-
ность понятий локальной группы Ли G и ее инфинитезимальной
группы R. Здесь мы детализируем эту адэкватность, установив
взаимно однозначное соответствие между подгруппами,
нормальными делителями и факторгруппами групп G n R. Переход от
группы G к группе R уже был нами проделан (см. § 49). Здесь
мы проделаем обратный переход. Следует отметить, что все
рассмотрения настоящего параграфа будут носить по существу
локальный характер.
Теорема 74. Пусть G—локальная группа Ли, R—ее инфини-
тезимальная группа и S—подгруппа группы R. Тогда
существует одна и только одна с точностью до эквивалентности
подгруппа Н группы G {см. § 23,1)) такая, что соответствующая
ей подгруппа в R (см. теорему 67) есть S. Мы будем говорить,
что подгруппы Н и S соответствуют друг другу, и писать
Доказательство. Пусть г и s—размерности пространств
R и S. Выберем в R такие координаты, чтобы вектор а тогда и
только тогда принадлежал подпространству S, когда его
координаты удовлетворяют соотношениям
as+1=0, ..., а' = 0. (1)
В G введем соответственные канонические координаты первого
рода. Эти координаты в R и G мы закрепим на время всего
доказательства. Если подгруппа Н существует, то в выбранных
координатах она определяется системой линейных уравнений
(см. § 42, В)). Так как подгруппе Н должна соответствовать
подгруппа S, то Я должна определяться уравнениями
^-ы=0, ..., хг=0, (2)
т. е. точка х будет принадлежать подгруппе И тогда и только
тогда, когда ее координаты удовлетворяют соотношениям (2).
Итак, единственность подгруппы Н доказана. Перейдем к
доказательству ее существования.
Обозначим через Н множество всех точек из G, координаты
которых удовлетворяют условиям (2), и покажем, что Н есть
подгруппа группы G. Для этого достаточно показать, что если
х£Н, у£Н, то ху^Н и л:~1^Я. Доказательство будет вестись
путем непосредственного вычисления в выбранных координатах

298
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
функции f(x, у), определяющей закон перемножения в G
(см. §48,(1))-
Пусть c)k—структурные константы группы G, или, что то же
самое, — группы R. В силу того что соотношениями (1)
определяется подгруппа, структурные константы удовлетворяют
следующим соотношениям:
если / > s, /^s, &^s, то cjk = 0. (3)
Для того чтобы при всех дальнейших вычислениях не
указывать всякий раз, какие значения может принимать тот или другой
индекс, условимся писать у индекса штрих ('), если индекс этот
принимает лишь значения 1, ..., s, и два штриха ("), если
индекс принимает лишь значения s+1, ..., г. При этих
обозначениях соотношение (3) получает вид
#А' = 0. (4)
Точно так же, если точка (соотв. вектор) принадлежит Я
(соотв. 5), то будем писать обозначающую ее (его) букву со штрихом.
Займемся теперь решением системы уравнений (46) § 51 при
а = а' £S. Для этого разобьем ее на две следующие независимые
системы:
*£--в}.+в^ч. (5)
dt
dw),
~~Tt
= 6}.+4(^4- (6)
Для решения системы (5) находим предварительно решение
системы
awi' **' , f a' *6' {п\
-^ = б/-+саГааш/ . (7)
Легко видеть, что тогда благодаря условию (4) система (5)
удовлетворяется, если положить
До/'' = до/'*', (8)
о£ = 0. (9)
В силу единственности решения системы (46) § 51 мы, таким
образом, получаем результат
о£(*. а') = 0. (10)
Из этого непосредственно следует, что
vUx')=0 (11)
{см. § 51, (48)).
Заметим, что получаемые из (8) функции и}' (х') являются
вспомогательными функциями некоторой группы Ли, инфинитези-

§52. ПОСТРОЕНИЕ ПОДГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМА 299
мальыая группа которой есть группа S. Действительно, мы имеем
vr (х')= Щ''{h *')» где функцииш/*'(f, а') получены путем
интеграции системы (7), константы же с^', входящие в эту систему,
суть структурные константы группы S.
Перейдем теперь к решению системы (49) § 51. Нас интересуют
лишь функции f(x\ у')у именно: желательно показать, что
tv\x\ У') = ®> ибо этим будет показано, что f(x\ y')£H. Так как
при постоянном у' функция /(#', у') зависит лишь от
переменных xl\ i'=l, ..., s, то для нахождения ее достаточно решить
систему
vi(f)j?r = vUx'). (12)
Для решения этой системы решаем предварительно систему
v£(n^=vr№ (13)
при начальных условиях fH'(е, у') = у1'. Система (13) разрешима,
ибо входящие в нее функции fl/'(z0 являются, как мы видели,
вспомогательными функциями некоторой группы Ли. Легко
видеть теперь, что система (12) благодаря условию (11)
удовлетворяется при /''(*', у') = Г*'(х', у'), fl"{x\ #') = 0. В силу
единственности решения системы (12) мы получаем ожидаемый
результат /'"(*', у') = 0. Таким образом, x'y' = fr £#.
Для доказательства того, что (х')"1сЯ, достаточно заметить,
что в канонических координатах первого рода элемент х"1 имеет
координаты —xl\ t=l, ..., г. Это легко следует из
рассмотрения однопараметрических подгрупп. Таким образом (xr)~1=z'£ Н.
Итак, теорема 74 доказана.
Прежде чем перейти к разбору нормальных делителей, дадим
важное понятие присоединенной группы, которое послужит
основой доказательства теоремы 75.
А) Пусть G—локальная группа Ли, взятая в канонических
координатах первого рода. Каждому элементу x£G естественно
соответствует внутренний автоморфизм ах группы G, именно:
если z £ G, то
ax(z) = xzx"1. (14)
Ввиду каноничности координат в координатной форме
соотношение (14) переписывается так:
ax(z) = pj(x)zJ (15)
(см. § 42, В)). Нетрудно видеть, что р]{ху) = р{{х)р)(у). Таким
образом мы имеем гомоморфное отображение g группы G на группу
Ли Р матриц; каждому элементу x£G ставится в соответствие
матрица \\pj(x)\\ = g(x). Группа Р матриц называется присоеди-

300 ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
ненной группой группы G. Отображение g есть теперь
гомоморфное отображение группы G на ее присоединенную группу Р,
причем ядром гомоморфизма g", как легко видеть, служит центр
группы G. Группу Р матриц естественно истолковывать также
как некоторую группу автоморфизмов инфинитезимальной группы R
группы Ли G.
Для непосредственного вычисления функций pj (x) по
структурным константам c)k заменим х через ta, где ta обозначает точку
с координатами ta1, причем а—постоянный вектор, a t—параметр.
Тогда имеют место следующие соотношения:
J^L^c^a-pfita). (16)
Таким образом, принимая во внимание очевидное начальное
условие
р){Щ = Щ, (17)
мы можем определить функции р){х), интегрируя систему (16).
Для доказательства соотношения (16) будем искать функции
р) (х) вдоль некоторой однопараметрической подгруппы х (t) с
направляющим вектором а. В силу каноничности координат х* (t) =
— ta1'. Далее, мы имеем
ax(z) = xzx~1z'~1z = q(x9 z)z.
Последнее соотношение в координатной форме записывается так:
4(г) = г* + с!^сЛ* + е{9 (18)
где е£ имеет третий порядок малости относительно t и координат
элемента z (см. § 48, (4), (8)). Сравнивая соотношения (15) и (18),
получаем
p)W = 8j + <ijtaa + ej(t), (19)
где sj(t) имеет второй порядок малости относительно t. Так как
x(f)—однопараметрическая группа, то мы имеем
\\pW+bt)a)\\.\p){ta)\-^\p)(bta)\\. (20)
Из соотношений (19) и (20) следует, что
Р) ((t + SO a)-p) {ta) = с^Ыа«р*{ta) + s£ (S^ p*{ta).
Но из последнего соотношения непосредственно следует (16).
В) Укажем здесь один вывод из соотношения (16), который,
впрочем, нами не будет использован. В силу замечания А)
имеется гомоморфное отображение g группы G на ее присоединенную
группу Р. Так как Р можно рассматривать как группу линейных
преобразований пространства R, то элементы инфинитезимальной
группы Т группы Ли Р могут быть трактованы как линейные
преобразования пространства R (см. пример 63). Гомоморфизму g

§ 52. ПОСТРОЕНИЕ ПОДГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМА 301
соответствует гомоморфизм h инфинитезимальной группы R на
инфинитезимальную группу Т (см. теорему 68). Таким образом,
каждому элементу а £ R соответствует линейное отображение
fa = h{a) пространства R самого в себя. Из (16) легко следует,
что отображение fa определяется соотношением
А» = [«,«], (21)
где u£R. Множество всех отображений вида (21) образует
инфинитезимальную группу Т отображений векторного пространства R
самого в себя. Инфинитезимальная группа Т называется
инфинитезимальной присоединенной группой группы R или группы G.
Теорема 75. Пусть G— локальная группа Ли, Я—ее
подгруппа, R — инфинитезимальная группа группы G и S—подгруппа
группы R, соответствующая подгруппе Я, Н —+ S (см.
теорему 67). Если S есть нормальный делитель группы R, то Я
есть нормальный делитель группы G. Если S есть центральный
нормальный делитель группы R, то Н есть центральный
нормальный делитель группы G.
Доказательство. Пусть г и s—размерности групп G и Я.
'Введем в G такие канонические координаты первого рода, чтобы Я
определялась соотношениями
**+1 = 0, ..., хг=0. (22)
Тогда в соответственных координатах в R подгруппа S будет
определяться соотношениями
as+1 = 0, ..., аг = 0. (23)
Подобно тому как при доказательстве теоремы 74 будем
отмечать штрихом (') индексы, принимающие значения 1, ..., s, и
двумя штрихами (")—индексы, принимающие значения s+1, ...
..., г. Элементы, входящие в Я, будем отмечать штрихом.
Для доказательства теоремы нам следует выяснить вопрос
о том, как реагируют элементы подгруппы Я на внутренние
автоморфизмы группы G. Для этого достаточно вычислить
матрицу ||/?/(#)||» пользуясь методом, указанным в А).
В силу специального выбора координат в G и того, что S
есть нормальный делитель группы R, структурные константы
c)k удовлетворяют соотношениям
4 = 0. (24)
Интегрируя систему (16), разобьем ее на две независимые:
cL^p^(ta), (25)
&асРР*г№- (26)
dp), (ta)
dt
dp^jta)
dt

302
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Для интеграции системы (25) решаем предварительно систему
dp*-}' (ta) f, *ft,
at =cW^PiP (to). (27)
Легко видеть, что благодаря условию (24) система (25)
удовлетворяется тогда при Py(ta) = p*}' (ta), /?y'(fa) = 0. Таким образом,
мы получаем результат
fi(x) = 0. (28)
В случае если 5 есть центральный нормальный делитель,
мы вместо соотношения (24) имеем с)к> = 0. Тогда система (25)
имеет решение р)> (ta) = 8)> и, следовательно,
Р*Г (*) = $: (29)
Из соотношения (28) следует, что ax(z')£H (см. (14), 15)),
т. е. Н есть нормальный делитель. Из соотношения (29) следует*
что ax(z')=^z' (см. (14), (15)), т. е. Н есть центральный
нормальный делитель.
Таким образом теорема 75 доказана.
Перейдем к рассмотрению гомоморфизмов.
Теорема 76. Пусть G и G'—две локальные группы Ли, a R
и R'— их инфинитезимальные группы. Пусть далее h—некоторое
гомоморфное отображение группы R на группу R'. Тогда
существует одно и только одно с точностью до эквивалентности
локальное гомоморфное отображение f группы G на группу G'
(см. § 23, К)) такое, что соответствующее ему гомоморфное
отображение группы R на группу R' есть заданное отображе-
ние h (см. теорему 68). Мы будем говорить, что отображения
f и h соответствуют друг другу и писать f^lh.
Доказательство. Пусть S—ядро гомоморфизма Л. В силу
теорем 74 и 75 нормальному делителю S группы R соответствует
нормальный делитель N группы G, N^±S. Положим G* = G/N
и обозначим через /* естественное гомоморфное отображение
группы G на G*. Через R* обозначим инфинитезимальную группу
группы G*, а через h*—тот гомоморфизм группы R на группу R*,
который соответствует гомоморфизму /* (см. теорему 68). Тогда
ядром гомоморфизма h* будет служить S, ибо ядро гомоморфизма /*
есть N и N^ztS (см. теорему 74).
При гомоморфизме h* в каждый элемент а* £ R* переходит
некоторый класс смежности А группы R по подгруппе S. При
гомоморфизме h класс смежности А переходит в некоторый
элемент a'£R'. Положим a\—h' (а*). Нетрудно видеть, что ti есть
изоморфное отображение группы R* на группу R', причем
выполнено условие
h(a)=^h'(h*(a)), (30)

§ 52. ПОСТРОЕНИЕ ПОДГРУППЫ И ГОМОМОРФИЗМА 303
где а—произвольный элемент из R. В силу теоремы 73
существует однозначно определенное изоморфное отображение /'
группы G* на G' такое, что соответствующее ему отображение группы R*
на группу R' есть A', f'—>h'. Положим
f (*) = /'(И*))- (31)
Так как /•—►А*, /'—*А', то в силу соотношений (30) и (31)
получаем
/—А (32)
(см. § 49, Е)).
Если бы существовали два различных гомоморфизма / и /",
удовлетворяющих условию (32), то, ввиду того что ядра обоих
гомоморфизмов / и /" совпадают, мы получили бы некоторый
нетождественный автоморфизм группы G', причем соответствующий ему
автоморфизм группы R' был бы тождественным, но это
невозможно в силу теоремы 73.
Таким образом, теорема 76 доказана.
Следующие примеры показывают, что рассмотрения
настоящего параграфа носят действительно существенно локальный
характер.
Пример 67. Пусть G2 — двумерная торовидная группа.
Каждый элемент х группы G2 определяется парой действительных
чисел х1, х2, причем числа эти определены с точностью до
целочисленных слагаемых. Произведение двух элементов xy = f
определяется соотношениями f1 = x1-j-y1i f2 = x2 + у2, причем
равенства эти понимаются как сравнения по модулю 1. G2 есть группа
Ли, заданная в целом; ее инфинитезимальную группу обозначим
через R2. Рассмотрим в G2 локальную однопараметрическую
подгруппу x(f), определяемую соотношениями x1(t) = a1ti x2(t) = a2t,
где отношение — иррационально. Локальной подгруппе {x(t)}~
=Н соответствует подгруппа S инфинитезимальной группы R2.
Покажем, что подгруппе S не соответствует никакой полной
подгруппы в G2. Допустим, что такая подгруппа Я* нашлась. Так
как в окрестности единицы подгруппа Я* однозначно определена
подгруппой S, то в ней подгруппы Я* и Я должны совпадать.
Но из полноты группы Я* мы легко заключаем, что группа Я*
должна содержать все элементы x(t), x1(t) = a1ti x2(t) = aHy при
произвольном t. Из того, что отношение — иррационально, мы
легко заключаем, что группа Я* составляет множество всюду
плотное в G2, а так как Я* должна в то же время быть
одномерной и замкнутой в G2, то мы приходим к противоречию.
Следует отметить, что группа G2 не односвязна, и если бы мы
стали проводить все построение для универсальной накрывающей
группы G2 (см. определение 44), то все прошло бы благополучно.
В следующем примере мы покажем, что и в случае односвязной

304
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
группы Ли не существует взаимно однозначного соответствия
между полными подгруппами группы Ли и подгруппами ее инфи-
нитезимальной группы.
Пример 68. Пусть G—группа всех вращений
четырехмерного евклидова пространства Е вокруг точки О, или, что то же
самое, группа всех ортогональных матриц четвертого порядка,
детерминант каждой из которых равен +1- Если и£Е, то
вращение ф £ G переводит точку и в точку ср (и) = v £ Е. Рассмотрим
совокупность всех таких вращений ф, которые определяются
соотношениями
v1 — cos (s1) и1 + sin (s1) и2, v2 = — sin (s1) и1 + cos (s1) и2,
v3 = cos (s2) a3 + sin (s2) и4, i>4 = — sin (s2) u3 + cos (s2) a4.
Нетрудно видеть, что указанное множество вращений при
произвольных s1 и s2 образует двумерную подгруппу G2 группы
G, причем группа G2 есть торовидная группа (см. пример 67).
Таким образом, в подгруппе G2 осуществляются все те
неприятности, которые были указаны в примере 67. Правда, группа G
не является односвязной, однако фундаментальная группа
многообразия G имеет второй порядок и потому переход к
универсальной накрывающей группе не может ничего исправить.
В дальнейшем мы покажем, что для нормальных делителей
дело обстоит более благополучно.
§ 53. Комплексные группы Ли. Классификация
Из теорем 72 и 49 следует, что в каждой группе Ли G можно
ввести аналитические координаты и притом единственным
образом, с точностью до аналитического преобразования. До сих пор
мы всегда считали, что координаты элементов группы G суть
действительные числа, однако, ввиду того что функции,
определяющие закон перемножения (см. § 48, (1)), могут быть выбраны
аналитическими, формулы, дающие закон перемножения в
координатной форме, сохраняют смысл также при комплексных
значениях координат. Таким образом, локальную группу Ли G можно
расширить, дополнив ее элементами с комплексными
координатами. В множестве G полученных указанным образом
комплексных элементов по-прежнему определен закон перемножения и
для него выполнены все основные требования. Очевидно, что G
является локальной группой Ли в обычном смысле, ибо в 5
можно ввести обыкновенные действительные координаты, приняв
за них действительные части и коэффициенты при мнимых частях
прежних комплексных координат. G мы будем называть
комплексной группой Ли или комплексной формой действительной
группы Ли G. Ввиду единственности (с точностью до
аналитического преобразования) выбора аналитических координат в группе

§53. КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. КЛАССИФИКАЦИЯ 305
G группа G определяется группой G однозначно, конечно, только
в локальном смысле, но о другом мы сейчас и не говорим.
Понятие комплексной локальной группы Ли можно ввести и
непосредственно, не исходя ни из какой действительной группы
Ли. Для этого достаточно считать, что соотношения (1) § 48
являются аналитическими и входящие туда параметры принимают
комплексные значения. При этом может оказаться, конечно, что
комплексная группа и не порождается никакой действительной.
На комплексные группы Ли распространяются автоматически все
определения и соотношения предыдущих параграфов. Вводятся
понятия структурных констант и инфинитезимальной группы,
только все это делается в комплексной, а не в действительной
области. В частности, устанавливается полное соответствие между
комплексными локальными группами Ли и их комплексными ин-
финитезимальными группами.
Смысл всего изложенного построения заключается в том, что
при детальном изучении инфинитезимальных групп приходится
решать алгебраические уравнения, таким образом, введение
комплексных чисел является вполне естественным. Можно было бы,
конечно, идти обходным путем и пользоваться лишь
действительными числами, но разумнее ввести понятие комплексной
группы.
В то время как действительная группа всегда имеет
комплексную форму, и притом только одну, комплексная группа
может либо вовсе не иметь действительной формы, либо же иметь
несколько действительных форм. Таким образом, желая
применить результаты, полученные для комплексных групп, к группам
действительным, мы всегда должны решать дополнительно вопрос
о том, какие действительные формы имеет данная комплексная
группа. Особенно актуальным становится этот вопрос при
классификации групп. Допустим, что нам удалось классифицировать
тот или иной вид комплексных групп. Для того чтобы получить
отсюда классификацию действительных групп соответственного
вида, необходимо выделить у каждой комплексной группы все
ее действительные формы. Операция эта оказывается весьма не
простой.
Перейдем теперь к выделению некоторых важных типов групп.
При этом мы будем действовать в терминах инфинитезимальных
групп, помня, что имеется полное соответствие между ними и
локальными группами Ли.
A) Комплексная или действительная инфинитезимальная группа
R называется коммутативной, если при a£R, b£R мы имеем
всегда [а, 6] = 0 (см. определение 46).
B) Пусть R—комплексная или действительная
инфинитезимальная группа. Обозначим через R± минимальное линейное
подпространство (комплексное или соответственно действительное)

306
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
векторного пространства R, содержащее все элементы вида
[а, й], (1)
где a£R, b£R. RL называется коммутантом группы R и
является ее нормальным делителем. Факторгруппа R/Rx
коммутативна, и нормальный делитель Rx может быть охарактеризован
как минимальный, обладающий этим свойством, именно, если S
есть нормальный делитель группы R такой, что R/S
коммутативна, то R±c:S. Таким образом здесь мы просто переносим
понятие коммутанта с абстрактных групп на группы Ли.
Для доказательства того, что коммутант R± есть нормальный
делитель, достаточно отметить, что коммутатор произвольного
вектора c£R с вектором вида (1) есть также вектор вида (1),
ибо [с, [а, &]] = [с, d], где d=[a, b]. Коммутативность группы
R/R± непосредственно следует из определения факторгруппы
(см. § 49, В)). Докажем свойство минимальности. Если R/S
коммутативна, то это значит, что при произвольных a£R, b£R
имеем [a, b]£S (см. § 49, В)). Таким образом, R±czS.
C) Пусть R0 — комплексная или действительная инфинитези-
мальная группа. Построим последовательность групп
А0» A*i, • • • , R{, • • • , (2)
где Ri+1 определяется как коммутант группы R£ (см. В)).
Очевидно, что если в ряде (2) два члена равны, то и все следующие
совпадают с ними. Далее, если два члена ряда (2) не равны, то
размерности их отличаются по крайней мере на единицу. Таким
образом ввиду конечности размерности группы R0 ряд (2)
должен с некоторого момента стабилизироваться. Если эта
стабилизация наступает на нулевой подгруппе (т. е. подгруппе группы
R0, содержащей только нуль), то группа R0 называется
разрешимой. Определение это вполне аналогично соответственному
определению из теории абстрактных групп (см. определение 9).
Последовательность (2) мы будем называть рядом коммутантов
группы R0.
D) Комплексная или действительная инфинитезимальная
группа R называется полупростой, если она не имеет разрешимых
нормальных делителей, отличных от нуля.
Перейдем теперь к доказательству некоторых элементарных
предложений о разрешимых и полупростых инфинитезимальных
группах.
Отметим прежде всего, что ряд уже доказанных в первой
главе предложений из теории абстрактных групп без труда
распространяется на инфинитезимальные группы.
E) Пусть R — комплексная или действительная
инфинитезимальная группа, a S и Т—две ее подгруппы. Пересечением
подгрупп S и Т будем называть пересечение множеств S и 7\
Суммой или, иначе, произведением групп S и Т будем называть

§ 53. КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. КЛАССИФИКАЦИЯ 307
множество S+T, составленное из всех элементов вида а + b, где
#£S, b£T. При этих обозначениях все предложения и
определения теории абстрактных групп, данные в § 5,
распространяются на инфинитезимальные группы. Здесь мы напомним только
понятие прямого произведения.
Об инфинитезимальной группе R говорят, что она
распадается в прямую сумму или, иначе, прямое произведение своих
нормальных делителей S и Г, если пересечение S[)T содержит
лишь нуль, а сумма S+T равна R. Ясно, что, так же как и
для абстрактных групп, группу R с точностью до изоморфизма
можно сконструировать, зная группы S и Т (см. § 5, F)).
F) Для того чтобы комплексная или действительная инфини-
тезимальная группа R была разрешима, достаточно, чтобы в R
существовала последовательность подгрупп
#о = R, R'i, Ri • • • » Ri> • • • > R'n — {0} (3)
такая, что R'i+1 есть нормальный делитель группы R't и
факторгруппа R'i/R'i+1 коммутативна, t = 0, 1, ..., п—1.
Доказательство утверждения F) будем вести индуктивно по
числу п+ 1 элементов последовательности (3). Обозначим через
Rv коммутант группы R\ так как R/Ri коммутативна, то R±c:Ri
(см: В)). Отсюда явствует, что при п=\ утверждение верно.
Обозначим теперь через SJ пересечение R1(]Ri+u t = 0f l, ...
..., п—1. Нетрудно видеть, что ряд So, Si, ..., S^_x обладает
в отношении группы R1 = S'0 свойствами ряда (3). Но число его
членов на единицу меньше, чем в (3). Таким образом, по
предположению индукции R± есть разрешимая группа, но из этого в
силу определения разрешимости (см. С)) следует разрешимость и
группы R.
G) Если комплексная или действительная инфинитезимальная
группа R разрешима, то ее подгруппы и факторгруппы также
разрешимы.
Пусть S—некоторая подгруппа группы R и
R0 = R, Rlt ..., Rn= {0}
— ряд коммутантов группы R (см. С)). Обозначим через S't
пересечение Sf]Ri- Нетрудно видеть, что тогда ряд подгрупп
S0 = S, Si ...,S; = {0}
удовлетворяет условиям замечания F), и следовательно,
подгруппа S разрешима. Пусть теперь R*—факторгруппа группы R.
Обозначим через R't образ подгруппы R; в группе R*. Нетрудно
видеть, что тогда ряд подгрупп
ао — R*j Ru • • • > R'n
удовлетворяет требованиям замечания F), и следовательно,
факторгруппа R* разрешима.

308
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Н) Если R—комплексная или действительная инфинитези-
мальная группа и S—такой ее разрешимый нормальный
делитель, что факторгруппа R/S разрешима, то R— разрешимая
группа.
Обозначим через
До*, ЯГ, .... Rl={0}
ряд коммутантов группы R/S и через R'c—прообраз группы R} в
группе R. Через
Rk = S9 R'k+» ..-, R'n={0}
обозначим ряд коммутантов группы S. Тогда ряд
АО" A, Ai, . . ., Rk = S9 Rk+li ■••»АЛ={0},
как легко видеть, удовлетворяет условиям замечания F), и
следовательно, R есть разрешимая группа.
Теорема 77. Пусть R—комплексная или действительная ин-
финитезимальная группа. Тогда в R существует максимальный
разрешимый нормальный делитель S, т. е. разрешимый
нормальный делитель S, обладающий тем свойством, что всякий другой
разрешимый нормальный делитель S' группы R содержится в S.
Далее, S может быть охарактеризован как такой разрешимый
нормальный делитель группы R, факторгруппа R/S по которому
является полупростой.
Доказательство. Пусть S—такой разрешимый
нормальный делитель группы R, что он уже не содержится ни в каком
другом ее разрешимом нормальном делителе. Покажем, что для
S выполнено свойство максимальности, указанное в
формулировке теоремы. Пусть S'—произвольный разрешимый нормальный
делитель группы R. Положим S" = S + S' (см. Е)). Тогда S" есть
нормальный делитель группы R. Покажем, что группа S"
разрешима. Для этого обозначим через D пересечение S'()S. В силу
теоремы 2 (см. Е)) S"/S изоморфна S'/D. Последняя группа
разрешима в силу предложения G). Таким образом, в силу
предложения Н) группа 5" разрешима. Если теперь S' не содержится
в S, то S" есть разрешимый нормальный делитель, содержащий
S и больший, чем S, что противоречит предположению. Таким
образом, необходимо S'czS.
Покажем теперь, что R/S есть полупростая группа. Допустим
противоположное. Тогда существует разрешимый нормальный
делитель Т* группы R/S, отличный от нуля. Через Т обозначим
полный прообраз группы Т* в группе R. Тогда факторгруппа
T/S изоморфна Т*у и следовательно, в силу Н) Т есть
разрешимый нормальный делитель группы R. Но если Т*—ненулевой
нормальный делитель группы R/S, то Т больше S, и мы
приходим к противоречию с определением группы S.
Допустим теперь, что S' есть разрешимый нормальный
делитель группы Д, обладающий тем свойством, что R/S' есть полу-

§ 53. КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. КЛАССИФИКАЦИЯ 309
простая группа, и покажем, что тогда S' = S. Действительно,
если S'=7^S, что S' есть правильная часть S, и следовательно,
факторгруппа R/S' содержит не нулевой разрешимый
нормальный делитель S/S' (см. G)).
Итак, теорема 77 доказана.
Все доказанные здесь до сих пор предложения являются
простым повторением соответственных теорем из теории абстрактных
групп. Теорема 77 показывает, что в некотором весьма слабом
смысле изучение общих инфинитезимальных групп приводится к
изучению полупростых и разрешимых групп. Существует, однако,
одно весьма важное усиление теоремы 77, справедливое лишь для
групп Ли. Это усиление я привожу здесь без доказательства
ввиду того, что доказательство его весьма сложно (см. [18] и [36]).
Теорема 78. Пусть R—произвольная комплексная инфините-
зимальная группа и S—ее максимальный разрешимый нормальный
делитель. Тогда в R существует полупростая подгруппа Т
такая, что
S+T = R, S[\T={0}
(см. Е)). Таким образом, R как бы распадается в прямую сумму
нормального делителя S и подгруппы Т. Настоящее распадение
в прямую сумму получилось бы, если бы подгруппа Т была
нормальным делителем.
Теорема 78 показывает, что знание разрешимых и
полупростых групп действительно дает весьма много для изучения общих
групп.
Установим теперь некоторые связи между действительными
инфинитезимальными группами и их комплексными формами.
1) Пусть R—некоторая действительная инфинитезимальная
группа и R— ее комплексная форма. Тогда RaR, и каждый
вектор с из R однозначно представим в форме с = а + Ы, где а
и Ь суть векторы из R, a i = V—1. Таким образом, возможно
ввести понятие комплексной сопряженности элементов группы R,
именно, элементы с = а + Ы и с = а—Ы будем считать комплексно
сопряженными; далее, если М есть некоторое множество
элементов из R, то через М обозначим множество всех элементов,
комплексно сопряженных с элементами из М, и будем говорить, что
множества М и М комплексно сопряжены. Нетрудно видеть, что
если S есть подгруппа или нормальный делитель группы R, то
S также есть подгруппа или соответственно нормальный
делитель группы R.
J) Пусть R—действительная инфинитезимальная группа и
R—ее комплексная форма. Тогда группы R и R являются
одновременно разрешимыми или неразрешимыми.

310
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Обозначим через
RQ = R, Rl3 ..., Rh ... (4)
ряд коммутантов группы R (см. С)). Через R{ обозначим
совокупность всех векторов группы R, представимых в виде а + Ы,
где a^Rh b£R{. Нетрудно видеть, что последовательность
R0 = R, Rly ...,Riy ... (5)
образует ряд коммутантов группы #. Утверждение J)
непосредственно следует из связи между рядами (4) и (5).
К) Пусть /?—действительная инфинитезимальная группа и
R — ее комплексная форма. Через S обозначим максимальный
разрешимый нормальный делитель группы R и через S—его
комплексную форму. Тогда § есть максимальный разрешимый
нормальный делитель группы R. Мы видим таким образом, что
группы R к *R одновременно являются полупростыми или не
полупростыми.
Для доказательства утверждения К) обозначим через Т
максимальный нормальный делитель группы R (см. теорему 77).
Из 1) следует, что Т также есть разрешимый нормальный
делитель группы R, и потому ТаТ. Таким образом, очевидно,
Т = Т. (6)
Обозначим, далее, через U множество всех действительных
векторов из Ту т. е. таких векторов с, что с = с. Если а+Ы£Т,
где а и Ь суть действительные векторы, то из (6) явствует, что
а£Т и b£T, т. е. a£U и b£U. Таким образом, Т совпадает с
комплексной формой группы U, T = U, и в силу J) мы
заключаем, что U есть разрешимый нормальный делитель группы R.
Таким образом,
UcS. (7)
С другой стороны, S есть разрешимый нормальный делитель
группы R, и потому
SaT = U. (8)
Из соотношений (7) и (8) мы видим, что U = S = T.
L) Комплексная или действительная инфинитезимальная
группа R называется простой, если она не имеет нормального
делителя, отличного от нулевого и от всей группы R.
Следует отметить, что имеется одна простая группа, не
являющаяся полупростой. Это — одномерная инфинитезимальная
группа. Очевидно, что она простая; но она — не полупростая, так

§ 53. КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. КЛАССИФИКАЦИЯ 311
как является разрешимой группой. Все остальные простые
группы, как легко видеть, являются и полупростыми.
Следует отметить еще, что если действительная
группа—простая, то ее комплексная форма—не обязательно простая группа
(см. пример 72).
Дальнейшее исследование инфинитезимальных групп
посвящено их классификации. Разрешимые группы до сих пор не
поддаются классификации, однако имеется полная классификация
групп полупростых. Классификация эта проводится с помощью
весьма сложного аппарата и здесь нет возможности привести
результаты с полными доказательствами, поэтому я ограничусь
лишь изложением самих результатов.
Следующая теорема сводит классификацию полупростых групп
к классификации простых.
Теорема 79. Если R есть комплексная или действительная
полупростая группа, то она распадается в прямое произведение
простых некоммутативных групп.
Теорему эту я привожу без доказательства (см. [5]).
Для того чтобы наиболее отчетливым образом изложить
результаты классификации полупростых групп, я приведу здесь,
тоже без доказательства, следующие две теоремы Вейля (см. [35]).
Теорема 80. Если G есть действительная компактная полу-
простая группа Ли, то всякая группа G', локально изоморфная
группе G, также компактна.
Таким образом, свойство быть компактной для полупростой
группы Ли является локальным свойством и зависит,
следовательно, лишь от инфинитезимальной группы R группы G.
Поэтому мы будем называть компактной и саму инфинитезимальную
группу R.
Теорема 81. Всякая комплексная полупростая инфинитези-
мальная группа Т допускает действительную компактную
форму R {см. теорему 80), и притом только одну, с точностью до
изоморфизма.
Методы, применяемые при классификации полупростых
инфинитезимальных групп, позволяют в первую очередь дать
классификацию комплексных групп. Теорема 81 показывает, однако,
что существует взаимно однозначное соответствие между
комплексными полупростыми группами и их компактными
действительными формами (см. теорему 80). Таким образом,
классификация комплексных полупростых групп автоматически дает
классификацию компактных действительных полупростых групп.
Для классификации же остальных действительных полупростых
групп необходимо дальнейшее изучение действительных форм
комплексных групп (см. [17]). Отметим еще, что если простая
действительная группа компактна, то ее комплексная форма
проста. Таким образом, в силу теоремы 81 для задания полной
классификации полупростых комплексных групп достаточно дать

312
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
полную классификацию компактных простых групп Ли с
точностью до локального изоморфизма. Классификация эта дается
следующей теоремой, которая подобно предыдущим приводится
без доказательства (см. [5]).
Теорема 82. Компактные некоммутативные простые группы
Ли с точностью до локального изоморфизма классифицируются
следующим образом. Имеется пять изолированно стоящих групп,
размерности которых суть 14, 52, 78, 133, 248. (В более
детальное рассмотрение этих групп я здесь не вхожу.)
Кроме указанных пяти групп имеются четыре бесконечных
серии групп
Ап, Вп, Сп (п=1, 2, ...), Dn (/i = 3, 4, ...);
Группа Ап составлена из всех унитарных унимодулярных
матриц порядка л+1. Таким образом, каждый элемент а£Ап
представляет собой матрицу а = \\а^\\, элементы которой суть
комплексные числа, удовлетворяющие соотношениям
л+1 _
/г=1
детерминант матрицы ||#,у|| равен +1.
Группа Вп составлена из всех ортогональных матриц порядка
2п + 1 с положительным детерминантом. Таким образом,
каждый элемент b£Bn есть матрица & = ||Ь,у||, элементы которой
суть действительные числа, удовлетворяющие соотношениям
2/2+1
2 bikbJk= 6l7;
fc=i
детерминант матрицы |6/у-|| равен + 1.
Группа Сп составлена из всех унитарных матриц порядка 2п,
оставляющих инвариантной билинейную форму
2п 2п
t=l/=l
где коэффициенты f{/- имеют следующие значения:
112 == /21~*» /34~ /43~*> ■■■! /2ra-li2/2= /2я, 2/г-1~*>
все же остальные //;- равны нулю. Таким образом, каждый
элемент с£Сп есть матрица с =1с;7-\\, элементы которой суть
комплексные числа, удовлетворяющие соотношениям
2л _ 2л 2п
4ACilfjk— ^ф 2и 2j fijCikCjl = fkl>
k=\ i=1/=1
детерминант матрицы Цс^-Ц равен +1.

§53. КОМПЛЕКСНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. КЛАССИФИКАЦИЯ 313
Группа Dn составлена из всех ортогональных матриц
порядка 2п с положительным детерминантом. Таким образом,
каждый элемент d£Dn есть матрица d = ||dtJ||, элементы которой
суть действительные числа, удовлетворяющие соотношениям
2л
2 dikdJk=bu\
детерминант матрицы ||df-y(| равен +1.
Первоначально классификация комплексных полупростых групп
была дана Киллингом, но его доказательство оказалось неполным.
Оно было исправлено Картаном (см. [5]). Позднее ван-дер-Варден
(см. [34]) на основе результатов Вейля (см. [35]) дал новое, более
геометрическое и изящное доказательство.
Отметим здесь, что группы Ап и Сп являются односвязными,
группы же Вп и Dn имеют фундаментальную группу второго
порядка (см. § 46, G) и определение 42).
Пример 69. Пусть К—тело кватернионов (см. §37, А)).
Рбозначим через G множество всех кватернионов, по модулю
равных единице. Множество G, как легко видеть, составляет
группу по умножению. Так как G есть сфера в пространстве К,
то пространство G является трехмерной сферой и, следовательно,
односвязно. Центр группы G, как легко видеть, составлен из двух
кватернионов +1 и —1; обозначим его через/. Таким образом,
каждая группа, локально изоморфная группе G, изоморфна или самой
группе G, или же факторгруппе G/Z (см. определение 44).
Пусть R—трехмерное подпространство пространства /С,
составленное из всех кватернионов вида ai + bj + ck. Легко видеть, что
если x£R и g"€G, то gxg'^^^R, причем модули кватернионов х
и gxg'1 равны между собой. Таким образом каждому
кватерниону g^G ставится в соответствие вращение ср^ пространства R,
переводящее вектор х в вектор 4>g(x) = gxg~1. Нетрудно видеть, что
таким образом получаются все вращения пространства R, причем
вращение ф^ является тождественным тогда, и только тогда, когда
g=±l, т. е. ggZ. Мы видим, следовательно, что группа
вращений трехмерного евклидова пространства R изоморфна группе G/Z.
Группа G/Z входит в классификацию теоремы 82 под
обозначением Вх.
Пример 70. Пусть К—тело кватернионов и G—подгруппа
кватернионов, по модулю равных единице (см. пример 69).
Каждой паре кватернионов (g, К), g £ G, h £ G поставим в соответствие
вращение yg,h пространства К, переводящее всякий вектор х£К
в вектор Ф^йМ==?^"1, Нетрудно проверить, что таким образом
получаются* все вращения пространства К, причем тождественное
вращение <pgt h соответствует лишь парам (1, 1) (—1, —1). Из этого
мы видим, что группа /, вращений четырехмерного пространства К
локально изоморфна прямому произведению двух групп, изоморф-

314
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
ных группе G. Таким образом, группа L локально распадается
в прямое произведение двух простых групп и является только
полупростой, но не простой.
Пример 71. Пусть G—группа кватернионов, по модулю
равных единице (см. пример 69). Обозначим через Н конечную
подгруппу восьмого порядка группы G, составленную из единиц:
±1, =Ы\ ±/, ±k (см. § 37, А)). Пространство классов
смежности G/H (см. определение 24) имеет своей фундаментальной
группой группу Н (см. пример 61). Таким образом, G/H есть
трехмерное многообразие с некоммутативной фундаментальной
группой Я.
Пример 72. Пусть Rn —n-мерное иекторное пространство.
Обозначим через G£ группу всех линейных преобразований
пространства R, оставляющих инвариантной невырождающуюся
квадратичную форму tyk{x), имеющую в своем каноническом виде п—k
положительных квадратов и k отрицательных. Нетрудно видеть,
что Gk есть действительная группа Ли. Совершенно очевидно,
что комплексные формы всех групп G£, k= О, 1, ..., д, изоморфны
между собой, ибо в комплексной форме различие между
квадратичными формами ^к{х) &=-0, 1, ..., я, стирается. В
действительной же форме группы G£ и G? локально изоморфны лишь
тогда, когда k\-l=-n. В этом случае они, конечно, и просто
изоморфны. Вполне очевидно различие между группами G{? и GJ:
группа GJ компактна, а группа GJ некомпактна.
Стоит отметить, что группа G\ в ее действительной форме
является простой, между тем как группа Go, как мы видели
(см. пример 70), локально распадается в прямое произведение. Таким*
образом, комплексная форма простой действительной группы G\
является не простой, а лишь полупростой.
Остановимся еще на группе G\. Назовем лучом в пространстве 7?з
совокупность всех векторов вида ах, где x£Rs, a
a—произвольное действительное число. Множество всех лучей пространства R3
образует, как известно, проективный пучок или проективную
плоскость Р. Уравнение ^1(х)=^0 высекает на плоскости Р
некоторое действительное коническое сечение V. Таким образом,
каждому преобразованию группы G? соответствует некоторое
проективное преобразование плоскости Р, оставляющее неизменным
коническое сечение V. Следовательно, группа G\ локально
изоморфна группе преобразований проективной плоскости Р при
неизменной кривой V. Эта последняя группа, как известно,
изоморфна группе движений неевклидовой плоскости, а также группе
дробнолинейных преобразований прямой.
Отметим, что с точностью до локального изоморфизма имеются
лишь две трехмерные простые группы Ли: Go и G?, причем первая
из них компактна, а вторая не компактно. Комплексные формы
групп GI и GI локально изоморфны.

§54. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ
315
Двумерных простых групп Ли вовсе нет (см. пример 67).
Отметим еще тот очевидный факт, что в классификацию
теоремы 82 группа G20n+1 входит под обозначением ВпУ а группа Gln—
под обозначением Dn.
§ 54. Построение группы Ли в целом
Здесь будет дано построение полной группы Ли по ее
структурным константам. Построение это, правда, опирается на
недоказанную в настоящей книге теорему 78, но так как теорема 78
носит чисто локальный характер, то все же оно представляет
интерес. Независимо от теоремы 78 построение будет проведено
для групп, лишенных центра, и для групп разрешимых.
Следует заранее указать, что некоторые детали
нижеследующих доказательств будут проведены без полной тщательности и
педантизма. Дело в том, что в локальной группе (см. § 23, D))
операция перемножения определена не для каждой пары
элементов, поэтому ряд проводимых ниже конструкций имеет смысл не
для самих исходных локальных групп, но лишь для некоторых
достаточно малых их частей (см. § 23, G)). Если бы при
указанных обстоятельствах каждый раз тщательно производить выбор
надлежащей части и вводить для нее новое обозначение, то это
привело бы нас к значительному загромождению текста мало
существенными подробностями, поэтому я позволил себе иногда
говорить о самой локальной группе там, где следовало бы
говорить лишь о некоторой ее части.
А) Если локальная группа Ли G' не имеет центра, то
некоторая ее часть может быть включена в полную группу Ли G.
Для доказательства рассмотрим локальную присоединенную
группу Ли Р' группы G' (см. § 52, А)). Так как G' не имеет
центра, то отображение g группы G' на группу Р' является
изоморфным на некоторой части группы G'. Обозначим через
Ult ..., U„ ... (1)
полную систему окрестностей единицы группы Р\ Обозначим,
далее, через Р множество всех конечных произведений матриц,
входящих в Р\ Множество Р, как легко видеть, образует
абстрактную группу по умножению. В группу Р внесем топологию, приняв
за полную систему окрестностей единицы систему (1). Нетрудно
проверить, что система (1) в группе Р удовлетворяет условиям
теоремы 10 и потому Р является теперь топологической группой,
причем Р' содержится в Р как некоторая окрестность единицы.
Таким образом, локальная группа Р' включена в полную группу Р,
а так как С и Р' локально изоморфны, то утверждение А) до*
казано.
Лемма. Пусть G'—локальная группа Ли. Допустим, что в G'
имеются нормальный делитель N' и подгруппа #', обладающие

316
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
тем свойством, что пересечение N' П Я' содержит лишь единицу,
а произведение N'H' совпадает с G', причем каждый элемент
g'£G' однозначно представим в форме g' = n'hr, где n'£N',
h' g Я'. Допустим, далее, что локальную группу N' можно
включить в полную связную односвязную группу N, а локальную
группу Я'—в полную связную односвязную группу Я {см. § 46, F), G)).
Составим топологическое произведение G пространств N и Н,
т. е. множество всех пар (п, К), где n£N, h£H (см.
определение 21). Тогда в пространстве G можно определить закон
перемножения точек таким образом, что G станет топологической
группой, причем будет выполнено следующее условие: если каждому
элементу g' = n'h' £ G' поставить в соответствие пару (п!, h') g G,
то мы получим гомеоморфное отображение % локальной группы
Ли G' на некоторую окрестность единицы группы G, являющееся
изоморфным на некоторой части группы G'. Таким образом,
G есть полная связная односвязная группа Ли, содержащая
некоторую часть группы G' как свою локальную группу.
Доказательство. Рассмотрим внутренний автоморфизм <p'g,
группы G', определяемый соотношением <pg, (x) = g'xg'"1. Так как
N' есть нормальный делитель группы G', то автоморфизм qv
группы G' является одновременно автоморфизмом группы N .
В силу теоремы 63 автоморфизм ср^, группы N' однозначно
распространяется в автоморфизм cpg, полной группы N. Таким образом,
каждому элементу h'£H' соответствует определенный
автоморфизм фЛ, группы N.
Обозначим через К' множество всех таких элементов группы Я',
которым соответствуют тождественные автоморфизмы группы N.
Тогда множество V автоморфизмов вида фЛ, образует локальную
группу Ли, изоморфную факторгруппе Н'/К'. Обозначим через
Wl9 ..., Wn, ... (2)
полную систему окрестностей единицы группы L'. Далее,
обозначим через L множество всех конечных произведений
автоморфизмов, входящих в V. Тогда L есть абстрактная группа. Внесем
в группу L топологию, приняв за полную систему окрестностей
единицы систему (2). Нетрудно проверить, что система (2)
удовлетворяет условиям теоремы 10 и потому L есть группа Ли,
содержащая U в качестве своей локальной группы.
По ранее установленному каждому элементу h' g Я'
соответствует автоморфизм фл, £ //. Таким образом, имеется локальное
гомоморфное отображение я|/ локальной группы Я' на локальную
группу U. В силу теоремы 63 гомоморфизм г|/ можно
единственным образом распространить в гомоморфизм ф полной группы Я
на полную группу L. Таким образом, каждому элементу h£H
соответствует определенный автоморфизм ц>н^^{Н) группы N.
Определим теперь произведение двух пар (п19 h±) и (п2, h2)

§54. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ 317
множества G, положив
(nlf ht)(nv h1^ = {n1ffhl(n2)9 hji2). (3)
Нетрудно проверить, что в силу этого закона перемножения
пространство G становится топологической группой.
Установим прежде всего, что G есть абстрактная группа. Мы
имеем
((/zlf fti)(rta, A2))(/z3, h3)=-(n1cphl(n2)} Ц2)(л3, A3) =
=- (n^h, (n2) yhlhz (/г3), АЛЛ3),
(«i, ^i)((«a, Аа)(«з, h3))^(nu кг){пгщл(пъ\ h2h3)=^
=- («i9At («2) ФМ, fas). AiMs)-
Таким образом, требование ассоциативности выполнено. Единицей
группы G является пара (еп, е1г), где еп есть единица группы N,
а £л— единица группы Я. Парой, обратной к (/г, А), является
(ф/1-*(я-1), А-1). Действительно (см. (3)),
(я, Л)(ф/1-1(я_1), А"1) = (лфлл-*(л""1), АА"1)^^, еА).
Таким образом, в силу закона перемножения (3) множество G
является абстрактной группой.
Покажем, что закон умножения (3) непрерывен в
топологическом пространстве G. Для этого покажем прежде всего, что
элемент фл (п) £ /V является непрерывной функцией пары элементов
п £ N и А £ Я. Обозначим через U и V такие окрестности единиц
в группах N' и Я', что VUV^aN'. Очевидно, что при n£U,
AgV функция фл(я) непрерывна, ибо тогда Фл(я) = hnh'1. Пусть
теперь AgV, a n — произвольный фиксированный элемент из N.
Так как N связна, то п = пг.. .пн, где п££ Uy i = 1, ..., А (см.
теорему 15). Тогда
Фл(л) = Фа(л1)-..Фа(л*)-
Так как по доказанному фл(/г,) есть непрерывная функция
элемента А, то и последнее произведение является непрерывной
функцией элемента А, ибо закон перемножения в группе N
непрерывен. Пусть, далее, h£V и п—произвольный переменный элемент
из N. Тогда мы можем считать, что п = -п*п', где п* фиксирован,
а п' £U. Мы имеем срЛ (п) = фЛ (/г*) срЛ (/г'), и следовательно, в силу
уже доказанного функция фл(я) непрерывна при h£V, n£N.
Пусть теперь h£H и я£М — произвольные переменные элементы,
тогда мы можем считать, что А — А*А\ где А* фиксирован, а А' € V.
Мы имеем ФЛ(я) = фл* (фА'(я)). Здесь фл'(я) по доказанному есть
непрерывная функция пары элементов А' и п. Далее, щ* (п) есть
непрерывная функция элемента п. Таким образом, фЛ (п) есть
непрерывная функция пары элементов кип.
Из доказанного вытекает, что пгщх (п2) есть непрерывная
функция элементов nl9 hx и п2. Точно так же АХА2 является непре-

318
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
рывной функцией элементов hx и h2. Таким образом, закон
перемножения (3) удовлетворяет требованию непрерывности, и G есть
топологическая группа.
Установим теперь изоморфность отображения % на некоторой
части локальной группы G'. Пусть g± = nxhx и g2 = n2h2—два
элемента из группы G'. Тогда имеем
gi£a = nxhxn2h2 = njiitiji^hjib = (п&ь (п2)) (Л А).
Если теперь перемножить соответственные пары (nl9 h±) и (п2, h2)
в группе G, то в силу закона перемножения (3) мы получим
('ЧФлД/га), hxh2). Гомеоморфность отображения % очевидна.
Итак, лемма доказана.
Отметим, что доказанная лемма справедлива как для
действительных, так и для комплексных групп Ли (см. § 53).
Применим теперь лемму для построения в целом разрешимой
группы Ли.
Теорема 83. Пусть R—разрешимая инфинитезимальная группа
(см. § 53, С)). Тогда существует полная связная односвязная
группа Ли G, инфинитезимальная группа которой изоморфна
заданной группе R. Группа G гомеоморфна евклидову
пространству, т. е. в ней можно ввести декартовы координаты х1, .. ., хг.
При этом среди всех возможных декартовых координат
существуют координаты, обладающие следующими свойствами: 1) Закон
перемножения выражается в них аналитическими функциями,
определенными во всей группе G. 2) Обозначим через gt{t) точку,
все координаты которой равны нулю за исключением лишь 1-й,
которая равна t. Тогда g{ (t) есть однопараметрическая подгруппа
группы G, а координатами точки gxit1).. .gr{tr) служат числа
/1, ..., tr. Обозначим, далее, через Н{ совокупность всех точек
вида g1{t1).. -gift). Тогда Н{ является подгруппой группы G и
нормальным делителем группы H'i+1.
Доказательство. В разрешимой инфинитезимальной
группе R нетрудно построить возрастающую последовательность
подгрупп
о1э ..., Sr = R,
где группа Sz имеет размерность i и является нормальным
делителем группы Si+l. Пусть G'—локальная группа Ли с
инфинитезимальной группой R (см. теорему 73). Подгруппе S,-
соответствует в G' подгруппа HI (см. теорему 74). Группа S± является
однопараметрической и для нее утверждение теоремы 83 очевидно.
Допустим, что утверждение доказано для группы S,-. Выберем
тогда в группе H'i+1 некоторую локальную однопараметрическую
подгруппу {gi+1(t)} = Kl+1, не лежащую в Щ. Тогда ЩК1+1 = Щ+19
а пересечение #• П К1+1 содержит лишь единицу; в то же время HI
есть нормальный делитель группы H'i+1 (см. теорему 75). Таким
образом, мы находимся в условиях применимости леммы настоя-

§ 54. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ЛИ В ЦЕЛОМ
319
щего параграфа, ибо группа Hi уже построена в целом, а группа K'i+li
будучи однопараметрической, также может быть включена в
полную группу Ki+1={g[+1(t)}. Итак, всякий элемент полной
группы Я/+1 представим теперь в форме пары (h{, gi+1(t)), где
hfltH;. Этим самым индукция проведена, и теорема 83 доказана.
Что касается аналитичности закона перемножения, то она
непосредственно следует из того обстоятельства, что всякий
автоморфизм группы #,-, порождаемый элементом gi+1(t), выражается
в аналитической форме.
Отметим, что теорема 83 справедлива как для действительной,
так и для комплексной группы R.
Теорема 84. Пусть R— произвольная инфинитезимальная
группа. Тогда существует полная группа Ли G,
инфинитезимальная группа которой изоморфна заданной группе R. (Заметим, что
доказательство этой теоремы опирается на недоказанную в
настоящей книге теорему 78.)
Доказательство. Так как теорема 78 формулирована для
комплексных групп, то проведем сперва доказательство для
комплексной инфинитезимальной группы R, которая совпадает с R,
если R комплексная, и является комплексной формой группы R,
если R действительная.
Пусть G'—локальная группа Ли с инфинитезимальной
группой R (см. теорему 73). В силу теоремы 78 группа R содержит
разрешимый нормальный делитель S и полупростую группу f
такие, что пересечение Sf\f содержит лишь нуль, а сумма S+f
совпадает со всей группой R. Пусть N' и Н'—те подгруппы
группы G', которые соответствуют подгруппам 5 и f (см.
теорему 74). Тогда N' есть нормальный делитель группы G', причем
пересечение N' П Н' содержит лишь единицу, а произведение N'H'
совпадает с G'. Группа N' как разрешимая может быть включена
в полную связную односвязную группу N (cm. теорему 83).
Группа Н' как полупростая не содержит центра и потому может
быть включена в некоторую полную связную группу Н* (см. А)).
Взяв универсальную накрывающую для этой полной группы
(см. § 47), мы получим односвязную связную группу Я,
содержащую группу И как свою локальную. Таким образом мы
находимся в условиях применимости леммы настоящего параграфа,
т. е. локальную группу Ли (У можно включить в полную группу G,
причем G, как легко видеть, односвязна.
Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда R есть
комплексная форма действительной группы R. Тогда G' является
комплексной формой той действительной локальной группы Ли G',
инфинитезимальная группа которой совпадает с R. Каждому эле-

320
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
менту х g G' поставим в соответствие комплексно сопряженный
ему элемент х=г|/ (х). Легко видеть, что отображение г|э' является
локальным автоморфизмом построенной выше топологической
группы G, а так как группа G односвязна, то автоморфизм этот
можно распространить в автоморфизм -ф полной группы G (см.
теорему 63). Обозначим теперь через G множество всех элементов
группы G, не меняющихся при автоморфизме i|), т. е. таких, что
ty(x) = x. Очевидно, что множество G является подгруппой
топологической группы G. В окрестности G' множество G, как легко
видеть, совпадает с G', так как там лишь действительные
элементы совпадают со своими сопряженными. Таким образом,
окрестность единицы группы G совпадает с локальной группой G\
Следовательно, локальная группа G' включена в полную группу G.
Стоит отметить, что теперь в группе G установлено понятие
сопряженности элементов, именно: мы можем считать элементы
х и ty(x) комплексно сопряженными. Таким образом, мы теперь
с полным правом можем сказать, что группа G является
комплексной формой действительной группы G, между тем как раньше
понятие комплексной формы имело смысл лишь для локальных
групп Ли, ибо оно было определено координатным способом.
Следует, однако, помнить? что полученная нами полная
действительная группа G отнюдь не может считаться наперед заданной.
Известно лишь, что G есть действительная группа Ли с заданной
инфинитезимальной группой R. Комплексная группа G определена
вполне однозначно, так как она связна и односвязна, тем самым
и группа G также определена однозначно. Однако если нам задана
какая-то полная действительная группа Ли G, то вопрос о том,
что представляет собой ее комплексная форма в целом, является
неопределенным.
Теорема 85. Пусть G—полная связная односвязная группа Ли
и N'—ее локальный нормальный делитель. Тогда некоторую
часть группы N' можно включить в полный нормальный
делитель N группы G. (Следует отметить, что для локальной
подгруппы Н' группы G, не являющейся нормальным делителем,
аналогичная теорема несправедлива (см. пример 68).)
Доказательство. Пусть G' — некоторая малая окрестность
единицы группы G. Тогда G' является локальной группой Ли и
N' есть ее нормальный делитель. Факторгруппа G'/N' = K' (см.
§ 23, J)) есть локальная группа Ли и потому может быть
включена в полную связную односвязную группу Ли К (см. теорему 84).
Естественное гомоморфное отображение /' группы G' на группу К'
является локальным гомоморфизмом группы G на группу К, и так
как группа G односвязна, то гомоморфизм /' можно
распространить в гомоморфизм / всей группы G на всю группу К (см.
теорему 63). Ядро гомоморфизма / обозначим через N. Нетрудно

§ 55. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
321
видеть, что N является продолжением некоторой части локальной
группы N'.
Неизвестно, справедлива ли теорема 85 в случае, если группа G
не односвязна, и является ли полученный в теореме 85
нормальный делитель N односвязным. Связность нормального делителя N
легко следует из предположенной односвязности группы К.
Пример 73. Прием, использованный для доказательства
леммы настоящего параграфа, может быть употреблен для
построения примеров групп Ли.
Пусть N—r-мерное евклидово пространство, которое мы
одновременно рассматриваем как группу по сложению векторов. Пусть,
далее, Н—группа всех вращений пространства N. Таким
образом, каждому элементу х £ Н поставлено в соответствие вращение ср^
евклидова пространства N. Вращение цх является автоморфизмом
группы N. Составим теперь группу G как множество всех пар
вида (п, ft), где n^N, ft£#. Закон перемножения определим,
положив
(пи AiH/ia, 1г2) = (п1щ1(п2)у hxh2).
Нетрудно показать, что G является группой Ли, причем N есть
ее нормальный делитель, а Н—подгруппа.
Используя тот же прием, можно включить каждую группу
Ли N в некоторую группу G таким образом, чтобы всякий
автоморфизм N осуществлялся при помощи некоторого внутреннего
автоморфизма всей группы G.
§ 55. Компактные группы Ли
Компактные группы Ли имеют значительно более простую
локальную структуру, чем общие группы Ли. Простота эта
объясняется возможностью инвариантного интегрирования по
компактной группе. Инвариантное интегрирование, правда, возможно и по
некомпактной группе Ли, но там полный объем всей группы
бесконечен, между тем как для компактной группы он конечен.
Инвариантное интегрирование по группе Ли весьма легко
установить непосредственно, однако я позволю себе сослаться здесь
на результаты четвертой главы. Там было установлено
инвариантное интегрирование по любой компактной группе и на основе
этого интегрирования доказана теорема 23. Если оставаться в
действительной области, то теорема эта в применении к группам Ли
может быть формулирована так:
А) Пусть дано линейное представление g компактной группы
Ли G, т. е. каждому элементу x£G поставлена в соответствие
квадратная матрица g(x) = \\gi;(x)\\ так, что отображение g группы G
в мультипликативную группу матриц есть отображение
гомоморфное. Тогда существует такая постоянная не зависящая от х
матрица /л, что все матрицы mg (x) m"1 являются ортогональными.

322
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Это есть единственный результат главы IV, которым нам здесь
придется воспользоваться.
В) Пусть R— инфинитезимальная группа компактной группы
Ли G. Тогда всякий нормальный делитель S группы R является
одновременно и прямым сомножителем, т. е. для нормального
делителя S существует такой нормальный делитель 7\ что
пересечение S(]T содержит лишь нуль, а сумма S+T совпадает с R.
Важно отметить, что и всякий нормальный делитель R' группы R
обладает формулированным свойством, т. е. любой нормальный
делитель S' группы Rf является прямым сомножителем для
группы R'.
Для доказательства рассмотрим полную присоединенную
группу Р группы G (см. § 52, А)). Гомоморфное отображение g
группы G на группу Р дает нам линейное представление группы G.
В силу предложения А) можно произвести в G такое линейное
преобразование координат, что все матрицы jpi (x)\\ = g(x) окажутся
уже ортогональными. Выберем в R соответственные координаты
и будем рассматривать матрицы |/?У как линейные
преобразования векторного пространства R. Ввиду того что S есть
нормальный делитель группы R, линейное пространство S остается
инвариантным при всех преобразованиях матрицами IIpj.(jc)||. Так как
матрицы эти ортогональны, то линейное подпространство Т,
ортогональное к S, также инвариантно при всех преобразованиях
матрицами |р}-(*)||- Предположим теперь, что координаты в R
выбраны таким образом, что первые s осей лежат в S, а
остальные г—s осей — в Т. При таком выборе координат каждая
матрица ||/7у(*)|| распадается на две квадратные матрицы порядков s
иг—s. Из этого обстоятельства мы можем сделать некоторые
выводы о поведении структурных констант, пользуясь
уравнением (16) § 52. Ввиду произвольности вектора а мы заключаем,
что при k > s и /^s константа cL обращается в нуль, а это
значит, что при b g Т и произвольном векторе a g R имеем [a, b] g 7\
т. е. Т есть нормальный делитель.
Пусть теперь R' есть нормальный делитель группы R, a S' —
нормальный делитель группы R'. По доказанному выше R'
является прямым сомножителем для группы R, и потому S' есть
нормальный делитель самой группы R. Таким образом S' является
прямым сомножителем всей группы R, т. е. существует
нормальный делитель Т группы R такой, что пересечение S' П Т содержит
лишь нуль, а сумма S' + T совпадает с R. Обозначим через 7"
пересечение ToR'- Нетрудно видеть, что группа R' распадается
в прямое произведение групп S' и 7".
Итак, утверждение В) доказано.
Теорема 86. Пусть R — инфинитезимальная группа
компактной группы Ли G. Тогда R распадается в прямое произведение

§55. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
323
конечного числа некоммутативных простых групп Slf ..., Sk
и своего центра S0. Это распадение является единственным,
т. е. подгруппы
S0, S19 ..., Sk (1)
определены однозначно.
Доказательство. Если группа R не простая, то в силу
предложения В) она распадается в прямое произведение двух
нормальных делителей S и Т. Если и эти группы оказываются
не простыми, то процесс разложения можно продолжить до тех
пор, пока мы не придем к неразложимым сомножителям.
Некоммутативные сомножители обозначим через Slt . .., Sk. Прямое
произведение одномерных коммутативных сомножителей образует,
как легко видеть, центр S0 группы R.
Перейдем теперь к доказательству единственности указанного
разложения. Допустим, что наряду с первым рассмотренным
разложением имеется второе:
То, Tlt .... Tt, (2)
и покажем, что между группами разложений (1) и (2) имеется
взаимно однозначное соответствие, причем соответственные группы
просто совпадают, так что разложения (1) и (2) не отличаются
друг от друга.
Прежде всего, ясно, что T0 = S0i так как каждая из этих
подгрупп является центром группы R.
Пусть a£R, тогда мы имеем
а = Фо (а) + q>i (а) + ... + ср, (я), (3)
где фу (a) £ Ту, j = О, 1, ..., /. Пусть, далее, Ъ{ g Sh i > 1. Так
как группа Sh i^l, некоммутативна и не имеет центра, то
существует такой элемент a£R, что [bit а]фО. Из этого в силу
соотношения (3) мы заключаем, что существует такой номер /,
что c=[bi$ <Р/(а)]Ф0. Но тогда элемент с одновременно входит
в S; и Т;: Таким образом, группы S{ и Т;- имеют общий
отличный от нуля элемент, и ввиду того что пересечение двух
нормальных делителей есть тоже нормальный делитель, пересечение групп
S; и Tj есть нормальный делитель группы R. Но группа Si
простая, таким образом, Stc:T;: Отсюда следует прежде всего,
что ]'фОу ибо Т0 есть центр. Далее, так как теперь Ту есть
простая группа, то S( = Tf. Итак, мы доказали, что каждый
нормальный делитель Sh /^1, совпадает с одним из нормальных
делителей Tj, /^1. Очевидно, что при этом два различных
нормальных делителя S,- и St-> не могут совпадать с одним и тем же
нормальным делителем Tj. Таким образом, каждому нормальному
делителю S{ соответствует свой определенный совпадающий с ним
нормальный делитель Tj. Ясно, что соответствие это исчерпывает
все нормальные делители Ту, ибо в противном случае прямое

324
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
произведение всех нормальных делителей (1) не исчерпывало бы
группы R.
Таким образом, теорема 86 доказана.
Сделаем теперь один простой вывод из предложения В) и
теоремы 86.
С) Компактная связная группа Ли G тогда и только тогда
является полупростой (см. § 53, D)), когда центр ее дискретен.
Пусть R— инфинитезимальная группа группы G. В силу
самого определения группа G является полупростой тогда и только
тогда, когда R полупростая. Если G имеет не дискретный центр,
то R имеет центр, отличный от нуля, и следовательно, R — не
полупростая группа. Допустим, обратно, что R — не полупростая.
Тогда существует разрешимый нормальный делитель S группы R.
В силу В) имеется такой нормальный делитель Т группы R, что
R есть прямое произведение групп S и Т. Так как S разрешима,
то коммутант S' группы S отличен от S и, следовательно, S
распадается в силу В) в прямое произведение групп S' и S". Так
как факторгруппа S/S' коммутативна (см. § 53, В)), то S"
коммутативна. Разлагая группы S',S" и 7* дальше вплоть до простых
сомножителей, мы придем к разложению группы R, содержащему
коммутативный сомножитель, происшедший из S". Этот
сомножитель в силу теоремы 86 должен войти в центр группы JR. Таким
образом, группа R имеет центр S0, отличный от нуля.
Обозначим теперь через Z'Q локальную подгруппу группы G,
соответствующую подгруппе S0 (см. теорему 74). Тогда Z'Q есть
центральный локальный нормальный делитель группы G.
Множество всех конечных произведений элементов, входящих в Zq,
обозначим через Z0. Очевидно, что Z0 есть центральный
нормальный делитель абстрактной группы G. Замыкание Z0 множества Z0
в пространстве G является центральным нормальным делителем
группы Ли G (см. § 22, D)). Таким образом, G имеет не
дискретный центр.
На основе полученных результатов мы можем весьма полно
выяснить структуру компактной группы Ли в целом, правда, при
этом нам придется воспользоваться недоказанной в настоящей
книге теоремой Вейля (см. теорему 80).
Теорема 87. Каждая связная компактная группа Ли может
быть получена по следующему способу. Пусть
Hv .... Я* (4)
— конечная система компактных связных односвязных
некоммутативных простых групп Ли и
К, Кг (5)
— конечная система одномерных компактных связных групп Ли,
Составим прямое произведение G* всех групп систем (4) и (5).
Возьмем некоторый конечный нормальный делитель N группы G*

§55. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
325
и составам факторгруппу G*/N=G. Множество всех получаемых
указанным способом компактных групп G совпадает с множеством
всех компактных связных групп Ли. (Следует отметить тот
очевидный факт, что каждая из групп К/ изоморфна
факторгруппе D/C, где D—аддитивная группа действительных чисел,
а С—подгруппа целых чисел.)
Доказательство. Пусть G— произвольная компактная
связная группа Ли и R — ее инфинитезимальная группа. В силу
теоремы 86 группа R распадается в прямое произведение простых
нормальных делителей Slf . . ., Sk и своего центра S0. Пусть Н\ —
та локальная подгруппа группы G, которая соответствует
подгруппе S; (см. теорему 74). Обозначим через Я0 множество всех
конечных произведений элементов, входящих в H'Q\ тогда Я0,
очевидно, является центральным нормальным делителем абстрактной
группы G. Покажем, что Я0 есть замкнутое множество в
пространстве G и, следовательно, является центральным нормальным
делителем топологической группы G. Рассмотрим замыкание Я0
множества Я0 в пространстве G. Нетрудно видеть, что Я0 есть
центральная подгруппа группы G. Так как все центральные
элементы, находящиеся вблизи единицы, уже включены в Яо, то
вблизи единицы Я0 совпадает с Н'0. Допустим теперь, что какая-
либо точка z£H0 не принадлежит Я0. Тогда zH'Q составляет
окрестность этой точки в Я0, и следовательно, существует такой
элемент у £ Я0, что у £ zH'0. Но в таком случае z £ уЩ'1, т. е. z £ Я0.
Таким образом, Н0 = Н0, и, следовательно, Я0 замкнуто в G.
Обозначим теперь через Я' локальную подгруппу группы G,
являющуюся прямым произведением всех локальных групп
Н'1У ..., H'k. Отметим, что Я' не имеет центра. Очевидно, далее,
что факторгруппа G/H0 компактна и локально изоморфна с Я';
таким образом, G/Яо является компактной полупростой группой
(см. С)). Следовательно, полная связная односвязная группа Ли Я,
содержащая локальную группу • Я' в качестве одной из своих
окрестностей единицы, является компактной (см. теорему 80).
Обозначим через Нh i^U полную связную односвязную группу Ли,
содержащую локальную группу Щ в качестве одной из своих
окрестностей единицы. Легко видеть, что прямое произведение Я*
всех групп Н1У ..., Hk односвязно (см. теорему 60) и локально
изоморфно группе Я. Таким образом, группа Я* изоморфна
группе Я (см. теорему 63), т. е. группа Я разлагается в прямое
произведение компактных простых односвязных групп Ли.
Так как Я' является локальной группой для полной группы Я,
то имеется естественный локальный * изоморфизм q/ группы Я
в группу G. Он может быть распространен в гомоморфизм ф всей
группы Я в группу G (см. теорему 63). Образуем теперь прямое
произведете G* групп Я и Я0, Каждый элемент g* k G* пред-

326
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
ставляет собой пару g-*=(ft, ft0), где /z£#, h0£H0. Поставим
в соответствие паре g*=(/t, h^) элемент я|) (g*) = ф (h) h0. Нетрудно
видеть, что отображение есть гомоморфное отображение группы G*
на группу G, причем в окрестности единицы оно является даже
изоморфным. Таким образом G изоморфна факторгруппе G*/N,
где N есть дискретный нормальный делитель группы G*.
Группа #0 является связной коммутативной группой Ли. Нам
осталось доказать, что она распадается в прямое произведение
одномерных групп Ли Кг, ..., Kt\ это делается в нижеследующем
предложении D); здесь, впрочем, можно было бы также сослаться
на теорему 44 из пятой главы.
С доказательством предложения D) будет завершено
доказательство теоремы 87.
D) Пусть G—связная коммутативная группа Ли. Тогда G
распадается в прямое произведение нескольких подгрупп,
изоморфных группе D, и нескольких подгрупп, изоморфных группе /С,
где D есть аддитивная топологическая группа действительных
чисел, а К—ее факторгруппа по подгруппе целых чисел.
Если G компактна, то прямые сомножители, изоморфные D,
отсутствуют.
Пусть R— r-мерная векторная группа. Очевидно, что R одно-
связна, а так как, сверх того, группы G и R локально изоморфны
(см. пример 56), то R есть универсальная накрывающая для G
(см. определение 44). Таким образом, группа G изоморфна
факторгруппе R/N, где N—дискретная подгруппа группы R (см.
теорему 61). Итак, дело сводится к исследованию дискретной
подгруппы N векторной группы R.
Покажем, что в N имеется система из s<r элементов
х1у ..., xs, (о)
линейно независимых в векторном пространстве R, такая, что
каждый элемент из N представляется в форме
ВД+...+ я А, (7)
где а1У ..., as суть целые числа.
Построение системы (6) будем вести индуктивно. Мы
предположим, что в N имеется система
01. •-•> Ун (8)
линейно независимых векторов, обладающая следующим свойством.
Если обозначим через Pk множество всех элементов из R, пред-
ставимых в форме
dtyi+ ... +dkyk, 0<rf/<l,/=l, ..., ft, (9)
где du ..., dk суть действительные числа, то всякий элемент
из Рк, принадлежащий N, будет представляться в форме (9) с цело-

§55. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ
327
численными коэффициентами. Это значит, что лишь вершины
параллелепипеда Рк принадлежат N.
Мы покажем сейчас, что для системы (8) возможны два
случая: а) система (8) уже является системой (6); Ь) систему (8)
можно расширить присоединением одного элемента из N так, что
предположение индукции выполняется для расширенной системы.
Обозначим через Rk множество всех элементов из R, пред-
ставимых в форме
где dl9 ..., dk суть произвольные действительные числа, а через
Nk—множество всех элементов из N, представимых в форме
а1у1+ .-.+акук, (И)
где аи ..., ак суть произвольные целые числа. Покажем прежде
всего, что Nk = N f)Rk. Действительно, всякий элемент х из Rk
представляется в форме х = х' + х", где х' £ Pki x" £ Nk. Если
теперь x£N, то х—х? = х' также принадлежит N; но х'
одновременно принадлежит и Рк\ таким образом, х' представим
в форме (9) с целочисленными коэффициентами. Но х", со своей
стороны, представим в форме (11) с целочисленными
коэффициентами; поэтому x£Nk. Таким образом, Nk = Nf) Rk. Если NaRk, то
мы получаем N = Nk, т. е. имеем случай а). Пусть N не
содержится в Rk. Введем в R некоторую евклидову метрику. Так как
Рк компактно, а подгруппа N дискретна, то очевидно, что в
множестве N—Rk не может быть элементов, произвольно близких
к множеству Pk\ поэтому расстояние р между множествами N — Rk
и Pk положительно. Покажем, что расстояние между множествами
N — Rk и Rk также равно р. Допустим противоположное, т. е. что
существуют элементы z£N—Rk и x£Rk, расстояние между
которыми меньше р. Мы имеем х = х' + х", где х' £Pk, x"£Nk. Тогда
расстояние между элементами г—х"£N—Rk и х'£Рк также
меньше р, что невозможно. Обозначим через ук+1 какой-либо
элемент из N—RkJ расстояние которого от Rk равно р. Нетрудно
видеть, что система
Ун • • •» Ук> Ук+i
вновь удовлетворяет предположению индукции, т. е. мы имеем
случай Ь).
Для начала индукции при k = 0 достаточно положить N0 =
= R0 = P0 = {0}.
Так как размерность пространства R конечна, то расширение
системы (8) не может продолжаться неограниченно и мы должны
в конце концов прийти к случаю а). Таким образом, система (6)
существует.
Дополним теперь систему (6) векторами до полной линейно
независимой системы х1з ..., xsi xs+ly ..., хг и примем векторы

328
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
этой системы за базис векторного пространства R. В полученных
так координатах подгруппа N получает специальный вид, из
которого разложение группы G в указанное выше прямое
произведение следует непосредственно.
Пример 74. Пользуясь недоказанной в настоящей книге
теоремой Вейля (см. теорему 80) и результатами настоящего
параграфа, я дам здесь полный анализ структуры связной компактной
группы конечной размерности (см. § 45).
Всякая связная компактная топологическая группа G
конечной размерности, удовлетворяющая второй аксиоме счетности,
может быть получена следующим образом. Пусть Я—некоторая
связная односвязная компактная полупростая группа Ли и Я0—
связная компактная коммутативная группа конечной размерности.
Составим прямое произведение G* групп Я и Я0. Образуем затем
факторгруппу G*/N = G, где N—конечный нормальный делитель
группы G*. Оказывается, что при подходящем выборе групп Я
и Я0, а также нормального делителя N, указанным способом
может быть получена любая наперед заданная группа G.
Сравнивая это предложение с теоремой 87, мы видим, что для
случая компактных групп все отличие в структуре общей
топологической группы от структуры группы Ли сводится к
коммутативному множителю Я0, который, как это было выяснено в пятой
главе, может иметь весьма сложную теоретико-множественную
структуру.
Для доказательства высказанного утверждения воспользуемся
теоремой 55. В силу этой теоремы некоторая окрестность U
единицы группы G распадается в прямое произведение локальной
группы Ли V и нульмерного центрального нормального
делителя Z; при этом множество всех конечных произведений
элементов, входящих в Z/, является всюду плотным в G. При образовании
факторгруппы G/Z мы получаем компактную группу Ли, причем
группа U отображается при этом изоморфно на некоторую
окрестность единицы группы G/Z. Таким образом локальная группа
Ли V распадается в прямое произведение локальной полупростой
группы Я' и центра Н'0. Односвязная полная группа Я,
содержащая Я' в качестве окрестности единицы, является компактной.
Так же как и при доказательстве теоремы 87, обозначим через ф'
локальный изоморфизм группы Я в G. Нетрудно видеть, что
изоморфизм q/ может быть продолжен в гомоморфизм ф всей
группы Я в группу G. Обозначим, далее, через Щ множество всех
конечных произведений элементов, входящих в H'0i и через Я0—
замыкание множества Щ в пространстве G. Пусть G* — прямое
произведение групп Я и Я0. Каждому элементу g* = (h, h0) £ G*
поставим в соответствие элемент г|з (g*) = ф (h) h0 £ G. Нетрудно
видеть, что if> есть гомоморфное отображение группы G* на группу G,
причем ядро' гомоморфизма ty конечно.

§56. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
329
§ 56. Группы преобразований
Как уже отмечалось, понятие группы Ли возникло
первоначально при рассмотрении групп непрерывных преобразований.
Здесь мы изложим основные результаты теории групп непрерывных
преобразований сперва в их классической, т. е. локальной форме,
а затем несколько остановимся и на рассмотрении в целом.
При локальном рассмотрении, обычном для классического
изложения, все рассматриваемые функции бывают по большей части
определены не для всех рассматриваемых значений переменных,
а каждый раз в той или другой области. Поэтому аккуратное
изложение потребовало бы ряда оговорок, указывающих каждый
раз область существования функций. Мы этих оговорок делать
не будем, имея в виду, что всякий раз нетрудно сообразить, для
какой именно достаточно малой области та или другая функция
определена.
Определение 47. Пусть G—r-мерная локальная группа Ли
и Г — некоторая область л-мерного евклидова пространства.
Допустим, что каждому элементу х 6 G поставлено в соответствие
преобразование ф^ области Г, относящее элементу ££Г некоторый
элемент т]£Г,
*| = ф*(Б) = ф(5, *)• (О
Мы будем говорить, что G есть группа преобразований
многообразия Г, если выполнены следующие условия:
a) Ф*(Ф,(£)) = Ф*У№). (2)
т. е. произведению элементов соответствует произведение
преобразований. Отсюда, в частности, следует, что единице е соответствует
тождественное преобразование ц)е,
фЛБНЕ- (3)
b) Два преобразования ер,, и уу совпадают только тогда, когда
х = у. Иначе это условие можно формулировать, потребовав, чтобы
преобразование ф^ было тождественным лишь при условии, что
х есть единица е группы G.
c) Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что в
координатной форме ф (£, х) есть достаточное число раз
дифференцируемая функция координат точки £ и элемента х.
В координатной форме соотношение (1) получает вид
т)' = ф£(?) = <р' (£, х) = Ф' (6\ . .., g»; х\ .. ., *'),
1 = 1, ..., п. (4)
А) Пусть G—группа преобразований многообразия Г и х (t) —
некоторая кривая в G с направляющим вектором а (см. § 38, В)).
Точка ф(5, x(t)) при фиксированном £ описывает некоторую
кривую в многообразии Г. Касательный вектор к кривой ф(£, x(t))

330 гл. ix. структура групп ли
в точке t=0 не зависит от самой кривой x{t), а определяется
лишь вектором а, поэтому мы обозначим этот касательный вектор
через ij)(i, а). В координатной форме вектор ij)(g, а)
выражается так:
V (Е, а) = А£(?)аа = ^(g\ ...,g»)аа, (5)
где
Xj(g) = ftE^jO при ,= в (6)
(см. (4)). Функция т| = ф (g, х) как функция элемента х при
фиксированном £ определяется из следующей системы
дифференциальных уравнений (см. (6)):
£- = ^(т)КМ. (7)
где vf(x) суть вспомогательные функции группы G (см. § 51, А)).
Условие интегрируемости системы (7) (см. теорему 69) имеет вид
яЙ(п)-^?(ч)=^(л). (8)
где с% суть структурные константы группы G.
Докажем соотношение (5). Дифференцируя по t
соотношение (4), где положено x = x(t), получаем
dg>'(£. x(t)) = d<pi(l, x)dx<*
dt dx* dt '
При £=-0 последнее соотношение дает соотношение (5).
Для доказательства соотношения (7) введем, как в § 51 (см.
§ 51, А)), элемент р = (х + 8х)х"1. Мы имеем тогда
cp(g, *+6*) = ф(т), р)
(см. (1) и (2)). Переходя от конечных приращений к
производным, мы и получаем соотношение (7) (см. § 51, А)).
В силу теоремы 69 условие интегрируемости системы (7)
имеет вид
. (dvb, dv6k(x)\
дх* дх>'
Пользуясь соотношением (8) § 51, мы можем переписать
последнее соотношение в форме
'^^(n)-^^(n)-Ai(4)4.)e!tW«B(*) = o. О)

§56. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
331
Так как детерминант матрицы ||u/J(x)| отличен от нуля, то
нетрудно видеть, что соотношения (8/ и (9) эквивалентны.
В) Пусть G—группа непрерывных преобразований
многообразия Г и R— инфинитезимальная группа группы G. В А) мы
поставили в соответствие каждому вектору а £ R векторное поле
г|э(£, а), заданное на многообразии Г. Таким образом, имеется
семейство Р векторных полей вида i|)(£, а), заданных на Г. Из
соотношения (5) следует непосредственно, что если а и Р суть
действительные числа, то
ф(£, аа+$Ь)= «Ф(5, <0 + Ж5. *)■ (Ю)
Таким образом, наряду с двумя векторными полями Я£Р, ji^P
в семейство Р входит и векторное поле aX + Pjj,. Это означает,
что по сложению семейство Р является векторным пространством.
Определим в семействе Р коммутатор двух его элементов Я = К (£)
И [Х= |Jl (g), ПОЛОЖИВ
l>(D. f^)]' = ^^)-^0^). (П)
Тогда оказывается, что имеет место соотношение
Й>(£,а), Ф(5, 6)] = Ф(Е, [а, &]). (12)
Соотношение (12) показывает, что если A,gP, jigP, то и [Я, ja]£P.
Таким образом, в Р определена операция коммутирования. Из
соотношений (10) и (12) следует непосредственно, что при
переходе от вектора а £ R к векторному полю я|) (£, а) £ Р сохраняются
операции сложения, умножения на действительное число и
коммутирования. Это показывает, что операция коммутирования,
установленная в Р, удовлетворяет требованиям определения 46
и что отображение if, ставящее вектору а £ R в соответствие поле
■ф(£| я)£Р> есть гомоморфное отображение инфинитезимальной
группы /? на инфинитезимальную группу Р. Оказывается, более
того, что г|) есть не только гомоморфное, но даже изоморфное
отображение. Инфинитезимальную группу Р будем называть
инфинитезимальной группой преобразований многообразия Г.
Соотношение (10), как уже было указано, непосредственно
следует из соотношения (5). Для доказательства соотношения (12)
умножим обе части соотношения (8) на а;Ък и просуммируем по
/ и k. Получаемое таким образом соотношение в силу (5) дает
соотношение (12).
Для доказательства изоморфности отображения г|? достаточно
показать, что размерность векторного пространства Р равна
размерности г пространства R. Обозначим через kk(l) векторное поле
с компонентами Я|(£), •••> Щ®- Векторные поля
%к{% Л=1, ..., г, (13)
образуют базис пространства Р (см. (5)). Таким образом, нам
достаточно показать, что векторные поля (13) линейно независимы,

332
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
т. е. их линейная форма с постоянными коэффициентами
обращается в нуль лишь при условии, что сами коэффициенты равны
нулю.
Рассмотрим в G некоторую однопараметрическую подгруппу
x(t) с направляющим вектором а. Подставим в соотношение (7)
х (t) вместо х, умножим полученное соотношение на v y и
просуммируем по /. Мы получим
dj = А£ (Л) Щ (* (0) d4P = ^ (Ч) «а (14)
(см. § 51, (9)). Если теперь предположить, что векторные поля
системы (13) линейно зависимы, то существует такой вектор афЪ,
что правая часть соотношения (14) обращается тождественно в нуль.
Это показывает, что т) = ф(£, x(t)) есть константа, т. е. ч] = £>.
Таким образом, элементу x(t), отличному от единицы,
соответствует тождественное преобразование, что невозможно (см.
определение 47).
Итак, утверждение В) полностью доказано.
Обращением предложений А) и В) служит следующая теорема.
Теорема 88. Пусть Г—п-мерная область евклидова
пространства. Допустим, что на Г задано r-мерное линейное семейство Р
векторных полей. Линейность семейства Р означает, что наряду
с двумя векторными полями Я (I) £ Р и u (I) £ Р в Р входит также
и поле схЯ (^) + pjji (g), где а и Р—действительные числа. Введем
в Р операцию коммутирования, положив
[Я(|), цфу-^цтф—МЦтф. (15)
Допустим, что наряду с двумя векторными полями Я и \i в Р
входит такоюе векторное поле [Я, \х]. При этих условиях мы
будем говорить, что на Г задана инфинитезимальная группа Р
преобразований. Оказывается, что существует одна и только
одна локальная группа Ли G непрерывных преобразований
многообразия Г (см. А)) такая, что соответствующая ей
инфинитезимальная группа преобразований (см. С)) совпадает с наперед
заданной инфинитезимальной группой Р.
Доказательство. Отметим прежде всего, что если Я, \i, v
суть три векторных поля, то имеют место соотношения
[Я, 1х] + [ц, Я] = 0, (16)
[Я, fri, v]] + Qi, [v, X]] + [v, [Я, ri] = 0. (17)
Соотношения эти доказываются непосредственными вычислениями
на основе определяющего соотношения (15).
Выберем теперь в Р г линейно независимых векторных полей
^(£)> k=\, ..., г; такая система существует и образует базис
семейства Р, ибо размерность этого семейства по предположению

§56. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
333
равна г. Таким образом, мы имеем
CMS). М9] = 4ЧЕ), (18)
где c)k суть константы, причем для них в силу соотношений (16)
и (17) выполнены обычные для структурных констант
соотношения (см. § 48, (11), (12)). По структурным константам c)k построим
локальную группу Ли G (см. теорему 72) и обозначим ее
вспомогательные функции через v) (х).
Рассмотрим теперь систему уравнений
|£=Я&(т)Ж*) (19)
относительно неизвестной функции ч) элемента х. Систему такого
вида мы уже рассматривали (см. (7)) и видели, что условие
интегрируемости для нее имеет вид (8). Но соотношение (18) есть
лишь другая форма записи соотношения (8). Таким образом,
система (19) интегрируема. Обозначим через ф(£, х) решение
системы (19), удовлетворяющее начальному условию
Ф (£,*) = £■ (20)
Таким образом, каждому элементу х £ G мы поставили в
соответствие преобразование ф^ многообразия Г, переводящее точку £ £ Г
в точку л = Ф* (£) ^ Ф (£» *)€Г. Покажем, что здесь выполнены
условия а) и Ь) определения 47.
Пусть х и у—два элемента из G; у мы будем считать
постоянным, а х—переменным. Положим
f = xy, т) = ф(6,#), £* = ф(т), х), £ = ф(Е, /).
Для доказательства выполнения условия а) нам достаточно
показать, что £* = £. Для этого мы поступим нашим обычным
способом, а именно покажем, что функции £* и £ элемента х
удовлетворяют одной и той же системе дифференциальных уравнений
с теми же самыми начальными условиями £* = £ = т] при х — е.
Мы имеем
|£ = *£«*) о? (*) (21)
(см. (19)). Обозначим через |И/(*)|| матрицу, обратную к матрице
|| и} (я) ||. Тогда соотношение (6) § 51 преобразуется в
|£-ир(/)«?(*). (22)
Из соотношений (22) получаем
ЪГ-^г-Т&^Ы (/)«? (/)«? С») = U (0 <? (*)• (23)

334
ГЛ. 1^. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
Но системы (21) и (23) совпадают. Таким образом, в силу
единственности решения системы, удовлетворяющего заданным
начальным условиям, получаем £*==£> и тем самым выполнение
условия а) доказано.
Для доказательства выполнения условия Ь) допустим, что оно
не выполнено. Тогда существует нормальный делитель N
группы G, всем элементам которого соответствуют тождественные
преобразования многообразия Г. Из этого мы заключаем, что
существует однопараметрическая подгруппа x(t)> элементам которой
соответствуют тождественные преобразования многообразия Г,
причем направляющий вектор а подгруппы x(f) отличен от нуля.
Подставляя в соотношение (19) x(t) вместо х, умножая
получение (X)
ное соотношение на —■^-L и суммируя по /, получаем
d4 = А& (Л) Щ (х (0) -^г1 = К ft) «а (24)
(см. § 51, (9)). Но ввиду того что по предположению r\(t) есть
постоянная точка £, левая часть соотношения (24) обращается
в нуль, и потому получаем тождество
Таким образом векторные поля A^(£), k= l, ..., г, оказываются
линейно зависимыми, что противоречит предположению.
Выполненность условия с) очевидна, ибо функция ср(£, х)
получается в результате интеграции системы уравнений.
Итак, теорема 88 доказана.
Остановимся теперь на одном специальном типе групп
преобразований, именно, на транзитивных группах.
С) Пусть G—группа преобразований многообразия Г. Группа
G называется транзитивной, если для всяких двух точек р и q
многообразия Г найдется такой элемент х группы G, что (px(p) = q.
(Здесь следует не забывать, что ввиду локальности всего
рассмотрения элемент х может существовать лишь для точек р и q,
достаточно близких между собой.) Пусть а—некоторая
фиксированная точка многообразия Г. Обозначим через Кр совокупность
всех таких элементов x£Gy что ух(а) = р. Тогда оказывается, что
Н = Ка есть подгруппа группы G, а Кр—левый класс смежности
группы G по подгруппе Я. При этом подгруппа Я не содержит
нормальных делителей группы G, отличных от единицы. Если К
есть некоторый левый класс смежности группы G по подгруппе Я,
то при х£К, у£К имеем Ф*(а) = Фу(а). Таким образом ух(а)
есть определенная точка q£T, зависящая от класса К,
содержащего х, но не от самого элемента х, т. е. К = Кд. Таким
образом, установлено взаимно однозначное соответствие между
точками многообразия Г и левыми классами смежности группы G по

§56. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
335
подгруппе Я. Если, далее,
Ф,(Р) = <7. (25)
то
хКр = Кд. (26)
Таким образом, зная группу G и ее подгруппу Я, мы можем
получить многообразие Г в качестве многообразия классов
смежности и определить в этом многообразии преобразования с
помощью соотношений (25) и (26).
Если независимо от многообразия Г задана некоторая
локальная группа Ли G и ее подгруппа Я, не содержащая нормальных
делителей группы G, отличных от единицы, то, пользуясь
намеченным путем, мы можем сконструировать многообразие Г и
определить в нем естественным образом транзитивную группу
преобразований G. Многообразие Г мы определим как множество левых
классов смежности группы G по подгруппе Я, а преобразования
<рх определим соотношением ух(К) = хК> где К6Г.
Изложенное показывает, что рассмотрение транзитивной
группы преобразований вполне эквивалентно рассмотрению локальной
группы Ли G и ее подгруппы Я, не содержащей нормальных
делителей группы G, отличных от единицы. Поскольку речь идет
лишь о локальном рассмотрении, группа G и ее подгруппа Я
могут быть заданы инфинитезимальной группой R и ее
подгруппой S. Итак, локальное изучение транзитивной группы
преобразований приводится к изучению элементарного алгебраического
объекта: инфинитезимальной группы R вместе с ее подгруппой S,
не содержащей нормальных делителей группы R, отличных от
нуля.
В частности, для классификации транзитивных групп
преобразований достаточно проклассифицировать все пары R, S.
Я не привожу здесь доказательства утверждения С), так как
доказательство это не представляет трудностей.
D) Пусть G—транзитивная группа преобразований
многообразия Г (см. определение 47 и С)). Тогда в G и Г можно ввести
аналитические координаты, т. е. такие, в которых функции (4)
являются аналитическими функциями всех своих аргументов.
Для доказательства утверждения D) будем интерпретировать
точки многообразия Г как левые классы смежности группы G по
подгруппе Я (см. С)). Введем, прежде всего, в G канонические
координаты второго рода (см. § 40, А)), положив в основу их
однопараметрические подгруппы hk(t), k=l, ..., г. Подгруппы
эти выберем таким образом, чтобы hn+1(i), . . ., hr(t) лежали в Я,
причем произведение их исчерпывало Я. Всякий элемент z £ G
записывается теперь в форме z = h± (t1) ... hn (tn) hn+1 (tn+1) ...
.. . hr(tr). Если зафиксировать координаты f1, .. ., t", остальным
же координатам tn+1, ..., tr придавать произвольные значения,

336
ГЛ. IX. СТРУКТУРА ГРУПП ЛИ
то элемент z будет описывать некоторый левый класс смежности К-
Мы примем за координаты этого класса смежности К числа
/\ .. ., /". Так как точки многообразия Г интерпретируются нами
как классы смежности, то этим установлены определенные
координаты в многообразии Г. Пусть
х = Нг (х1) .. . hr (xr)
— произвольный элемент группы G и
Z = hiai)...hnan)fin+l(s"+1).-.hr(sr)
— произвольный класс смежности. Для определения класса
смежности Фд.(£) = т) составим произведение
л = ф*(Е) = ф(Е, *) = *£ =
= h1(x1) -.. МяОМР) . ■ • hnan)hn+1(sn+1) -. • Л,И =
= Л1(ч1)...Ля(т|")Ая+1(/я+1).-.Аг СО-
При заданных л: и £ класс смежности фх(£) = т| также задан, и
следовательно, г]'' = ф''(£, #), /=1, ..., /г, т. е. tj1' не зависит от
произвольных координат sn+1, ..., sr. Ввиду того что
канонические координаты второго рода являются аналитическими (см.
теорему 72 и § 40, А)), функции ф£'(5, х) суть аналитические
функции. Таким образом утверждение D) доказано.
До сих пор мы занимались исключительно локальным
рассмотрением группы преобразований. Понятие группы
преобразований в целом определяется вполне естественным образом
аналогично тому, как это было сделано в определении 47; не следует
только предполагать, что многообразие Г есть область евклидова
пространства. Соображения, изложенные в замечании С), целиком
переносятся на группы преобразований в целом, именно: мы имеем
следующее предложение:
Е) Пусть G—некоторая полная группа Ли и Я—некоторая
ее подгруппа, не содержащая нормальных делителей группы G,
отличных от единицы. Множество левых классов смежности
группы G по подгруппе Я естественно образует многообразие Г.
Поставим теперь каждому элементу x£G в соответствие
преобразование ф^ многообразия Г, положив <рх(К)=хК, где К 6 Г. В силу
этой конструкции мы получаем транзитивную группу G
преобразований многообразия Г. Нетрудно показать, что всякая
транзитивная группа Ли преобразований может быть получена таким
способом. Таким образом изучение полной транзитивной группы
Ли преобразований приводится к изучению пары G, Я.
Теперь возникает следующий принципиальный вопрос: всегда
ли можно заданную локальную группу преобразований
распространить в полную группу преобразований? Оказывается, что это
возможно не всегда. Здесь я привожу противоречащий пример.

§56. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 337
Пример 75. В примере 68 были построены полная односвяз-
ная группа Ли G и ее одномерная локальная подгруппа Я,
причем Я не содержалась ни в какой одномерной полной подгруппе
группы G. Из теоремы 85 следует, что Я не есть нормальный
делитель группы G и, будучи одномерной, не содержит такового.
Пусть G'— некоторая окрестность единицы в G. Тогда локальная
группа Ли G' вместе с ее подгруппой Я определяют некоторую
локальную транзитивную группу преобразований (см. С)). Однако
распространить эту группу преобразований в полную невозможно,
так как Я нельзя включить в полную одномерную подгруппу
группы G.
Математический институт им. 5. А. Стеклова
Академии наук СССР

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А до И. О представлении конечных непрерывных групп с помощью
линейных подстановок. Известия Ф.М.О., Казань, т. 7, стр. 3—43, 1934/35.
2. Александров П. Очерк основных понятий топологии. ОНТИ,
Москва, 1936.
3. Alexandroff P. und Hopf H. Topologie, Bd. I, Berlin, J. Springer
1936.
4. Bochner S. and Neumann J. Almost periodic functions in groups,
II. Trans, of Am. Math. Soc. T. 37, № 1, стр; 21—60, 1935.
5. С a r t a n E. Sur la structure des groupes de transformations finis et con-
tinus. These, Paris, 1894.
6. С a r t a n E. Groupes simples clos et ouverts et geometrie riemannienne.
J. Math, pures et appl., T. 8, cmp. 1—33, 1929.
7. Car tan E. La theorie des groupes finis et continus et l'Analysis Situs.
Mem. Sci. Math., fasc. XLII, 1930.
8. Dantzig D., van. Uber topologisch homogene Kontinua. Fund. Math.,
T. 14, стр. 102—125, 1930.
9. Dantzig D., van. Zur topologischen Algebra, I. Math. Ann., T. 107,
С 587—626, 1932.
10. Dantzig D., van. Zur topologischen Algebra, П. Сотр. Math., T. 2,
№ 2. С 201—223, 1935.
11. Haar A. Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen.
Ann. of Math., T. 34, C. 147—169, 1933.
12. Hausdorff F. Grundzuge der Mangenlehre. 1914.
13. К am pen E., van. Locally compact Abelian groups. Proc. of Nat. Ac.
of Sc. U.S.A., T. 20, № 7, стр. 434—436, 1934.
14. Kampen E., van. The structure of a compact connected group. Am.
Journ. of Math., T. 57, стр. 301—308, 1935.
15. Kampen E., van. Locally bicompact Abelian groups and their character
groups. Ann. of Math., T. 36, № 2. Стр. 448—463, 1935.
16. Kampen E., van. Note on a theorem of Pontrjagin. Am. Journ. of
Math., T. 58, № 1, стр. 177—180, 1936.
17. Lardy P. Sur la determination des structures reelles de groupes simples,
finis et continus, au moyen des isomorphics involutives. Comm. Math.
Heivet., T. 8, Стр. 189—234, 1935/36.
18. Levi E. Sulla struttura dei gruppi finiti e continui. Atti Accad. Torino,
T. 40, стр. 3—17, 1905.
19. Lie S. und En gel F. Theorie der Transformationsgruppen. Leipzig,
Teubner, T. 1, 2, 3.
20. Mark off A. Uber endlich-dimensionale Vektorraume. Ann. of Math.
T. 36, № 2. стр. 464—506, 1935.
21. Neumann J. Die Einfuehrung analytischer Parameter in topologischen
Gruppen. Ann. of Math., T. 34, стр. 170—190, 1933.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
339
22. Neumann J. Zum Haarschen Mass in topologischen Gruppen. Сотр.
Math. T. 1, № 1, стр. 106—114, 1934. Русский перевод см. в «Успехах
математических наук», вып. 2, стр. 168—176. ОНТИ, Москва 1936.
23. Neumann J. Almost periodic functions in a group, I. Trans, of Amer.
Math. Soc. T. 36, стр. 445—492, 1934.
24. Peter F. und Weyl H. Die Vollstandigkeit der primitiven Darstellun-
gen einer geschlossen kontinuierlichen Gruppe. Ann., T. 97, стр. 737—755, 1927.
Русский перевод см. в «Успехах математических наук», вып. 2,
стр. 144—160, ОНТИ, Москва 1936.
25. Pontrjagin L. Uber stetige algebraische Korper. Ann. of Math., т. 33,
стр. 163—174, 1932.
26. Pontrjagin L. Sur les groupe s topologiques compacts et le cinquieme
probleme de M. Hubert. С R. Paris, T. 198, стр. 238—240, 1934.
27. Pontrjagin L. Sur les groupes abeliens continus. C. R. Paris, T. 198,
стр. 328—330, 1934.
28. Pontrjagin L. The theory of topological commutative groups. Ann. of
Math., T. 35, стр. 361—388, 1934. Русский перевод см. в «Успехах
математических наук», вып. 2, стр. 177—195, ОНТИ, Москва 1936.
29. Pontrjagin L. Linear representations of compact topological groups.
Математический сборник (нов. сер.), том 1 (43), № 3 стр. 267—271, 1936.
30. П о н т р я г и н Л. Структура непрерывных групп, обзорный доклад. Труды
Второго Всесоюзного математического съезда, т. I, стр. 237—257, Изд.
Акад. наук СССР, Москва, 1934.
31. Schreier О. Abstracte kontinuierliche Gruppen. Hamburg. Abh. Math.
Sem. T. 4, стр. 15—32, 1925.
32. S с h r e f e г О. Die Verwandschaft stetiger Gruppen im grossen. Hamburg.
Abh. Math. Sem. T. 5, стр. 233—244, 1926.
33. Waerden В., van der. Moderne Algebra, т. I, II. Имеется русский
перевод: Ван-дер-Варден. Современная алгебра, ч. I и II.
34. Waerden В., van der. Die Klassification der ieinfachen Lieschen
Gruppen. Math. Ztschr., T. 37, стр. 446—462, 1933. Русский перевод см.
в «Успехах математических наук», вып. 4, стр. 258—274. ОНТИ, Москва
1937.
35. Weyl H. Theorie der Darstellung kontinuiertlicher halbeinfacher Gruppen
durch lineare Transformationen; I, Math. Ztschr., T. 23, стр. 271—304,
1924; II, III, T. 24, стр. 328—395, 1925. Русский перевод (неполный) см.
в «Успехах математических наук», вып. 4, стр. 201—246, ОНТИ, Москва
1937.
36. Whitehead Т. Н. С. On the decomposition of an infinitesimal group.
Proc. Cambr. Philos. Soc, T. 32, стр. 229—237, 1936.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 7
Обозначения . . . . " 9
Глава I. Абстрактные группы 11
§ 1. Понятие группы 11
Опр. 1. Прим. 1—2.
§ 2. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа 14
Опр. 2—4. Прим. 3—5
§ 3. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм 19
Опр. 5—6. Теор. 1 Прим. 6—7.
§ 4. Центр. Коммутант 23
Опр. 7—9. Прим. 8.
§ 5. Пересечение и произведение подгрупп. Прямое произведение 25
Опр. 10—10', Теор. 2 Прим. 9—10.
10*—10*'.
§ 6. Коммутативные группы 30
Глава П. Топологические пространства 36
§ 7. Понятие топологического пространства 37
Опр. 11—12. Прим. 11—12.
§ 8. Окрестности 39
Опр. 13. Теор. 3. Прим. 13—14.
§ 9. Гомеоморфизм. Непрерывное отображение 45
Опр. 14—15. Теор. 4—5.
§ 10. Подпространство 48
Опр. 16. Прим. 15—16.
§ 11. Связность 50
§ 12. Регулярность. Вторая аксиома счетности 52
Опр. 17—18. Прим. 17—18.
§ 13. Компактность 55
Опр. 19. Теор. 6—9. Прим. 19.
§ 14. Непрерывные функции 59
Опр. 20. Прим. 20.
§ 15. Топологическое произведение 63
Опр. 21. Прим. 21—22.
Глава III. Топологические группы 67
§ 16. Понятие топологической группы 68
Опр. 22.
§ 17. Система окрестностей единицы 70
Теор. 10. Прим. 23—25.
§ 18. Подгруппа. Нормальный делитель. Факторгруппа 73
Опр. 23—25. Теор. 11. Прим. 26—27.
§ 19. Изоморфизм. Автоморфизм. Гомоморфизм 79
Опр. 26—27. Теор. 12—13. Прим. 28—29.

СОДЕРЖАНИЕ
341
§ 20. Пересечение и произведение подгрупп. Прямое произведение 85
Опр. 28—28'. Теор. 14. Прим. 30.
§ 21. Бесконечное прямое произведение 89
Опр. 29—29' Прим. 31—32.
§ 22. Связные и нульмерные группы 94
Теор. 15—17. Прим. 33—34.
§ 23. Локальные свойства. Локальный изоморфизм 100
Опр. 30. Теор. 18. Прим. 35—36.
Глава IV. Линейные представления компактных топологических групп
§ 24. Непрерывные функции на топологической группе 107
Теор. 19. Прим. 37—38.
§ 25. Инвариантное интегрирование 108
Опр. 31. Теор. 20—21 Прим. 39—40.
§ 26. Системы функций и интегральные уравнения на группе . . . 122
Теор. 22 Прим. 41—42.
§ 27. Предварительные сведения о матрицах 127
§ 28. Соотношения ортогональности 134
Опр. 32—33. Теор. 23—26. Прим. 43—44.
§ 29. Полнота системы неприводимых представлений 139
Теор. 27—30. Прим. 45—46.
Глава V. Коммутативные топологические группы 150
§ 30. Группа характеров 151
Опр. 34. Теор. 31.
§ 31. Основные соотношения теории характеров 158
Опр. 35. Теор. 32—35.
§ 32. Простейшие примеры и предварительные сведения 164
Теор. 36. Прим. 47. •
§ 33. Компактные и дискретные группы 171
Опр. 36. Теор. 37—38. Прим. 48—51.
§ 34. Прямая сумма для группы и ее группы характеров 177
Теор. 39.
§ 35. Локально компактные группы 180
Теор. 40—41. Прим. 52.
§ 36. Локально связные коммутативные группы 194
Теор. 42—44. Прим. 53.
§ 37. Топологизированные алгебраические тела 200
Опр. 37. Теор. 45. Прим. 54.
Глава VI. Понятие группы Ли 208
§ 38. Группа Ли # 210
Опр. 38. Прим. 55.
§ 39. Однопараметрические подгруппы . # t 214
Теор. 46—48.
§ 40. Теорема инвариантности 222
Теор. 49. Прим. 56.
§ 41. Подгруппа и факторгруппа 226
Теор. 50—51.
§ 42. Дополнительные замечания о канонических координатах . . . 234
Глава VII. Структура компактных топологических групп 235
§ 43. Аппроксимация компактной группы группами Ли 237
Опр. 39. Теор. 52—54. Прим. 57—58.
§ 44. Вспомогательные топологические понятия 241
Опр. 40—41.
§ 45. Компактные топологические группы конечной размерности . . 245
Теор. 55—57. Прим. 59.

342
СОДЕРЖАНИЕ
Глава VIII. Локально изоморфные группы 251
§ 46. Фундаментальная группа. Накрывающее пространство .... 251
Опр. 42—43. Теор. 58—60.
§ 47. Универсальная накрывающая группа 260
Опр. 44. Теор. 61—64. Прим. 60—61.
Глава IX. Структура групп Ли 270
§ 48. Структурные константы. Инфинитезимальная группа 271
Опр. 45—46. Теор. 65—66. Прим. 62—63.
§ 49. Подгруппа. Факторгруппа. Гомоморфное отображение .... 278
Теор. 67—68. Прим. 64—65.
§ 50. Условия интегрируемости 282
Теор. 69.
§ 51. Построение группы Ли по структурным константам 285
Теор. 70—73. Прим. 66.
§ 52. Построение подгруппы и гомоморфизма 297
Теор. 74—76. Прим. 67—68.
§ 53. Комплексные группы Ли. Классификация 304
Теор. 77—82. Прим. 69—72.
§ 54. Построение группы Ли в целом 315
Теор. 83—85. Прим. 73.
§ 55. Компактные группы Ли 321
Теор. 86—87. Прим. 74.
§ 56. Группы преобразований . 329
Опр. 47. Теор. 88. Прим. 75.
Список литературы 338

ББК 22.144
П56
УДК 515.14
Научное издание
Понтрягин Лев Семенович
ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ
Том III
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор В. В. Абгарян
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректоры О. М. Березина, М. Н. Дронова
ИБ № 32540
Сдано в набор 05.10.87. Подписано к печати 12.07.88.
Формат 60X90/16. Бумага кн. журн. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 21,55. Усл. кр.-отт. 21,81. Уч.-
изд. л. 22,43. Тираж 4250 экз. Заказ № 1732. Цена 3 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени МПО «Первая Образцовая типография»
имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 113054 Москва М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой типографии издательства «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. Заказ 1909
п 1702030000—157
11 ^^___ 40-SS
053(02)-88 4и 00
© Издательство «Наука».
ISBN 5-02-014411-8 (Т. III) Главная редакция
v / физико-математической литературы.
tqdm рг лп Л1 Q7£/l К С приложением вступительной статьи
lODlN O-UZ-UIO/O^-O редакционной коллегии, 1988

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВИТСЯ К ПЕЧАТИ В 1988 году:
ПОНТРЯГИН Л. С. Принцип максимума в оптимальном
управлении.—3 л., 30 к. (КБ-5-28—88)
В небольшой по объему книге дано четкое и очень ясное
изложение основного результата теории оптимального управления,
известного в литературе под названием принципа максимума
Понтрягина. Кроме того, изложены основные применения этого
принципа к линейным оптимальным системам.
Для широкого круга читателей — математиков и инженеров,
изучающих оптимальное управление или использующих принцип
максимума в своей практической деятельности.
Заказы на данную книгу принимают без ограничения все
магазины Книготорга и Академкниги, распространяющие физико-
математическую литературу.

Л.С.ПОНТРЯГИН
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ

3 p. 90 к.
Leo Ponfriagin, member of the USSR
Academy of sciences is an outstanding
Soviet mathematician. His fundamental
research has noticeably contributed to a
number of major fields of mathematics,
both theoretical and applied. His finding
have determined the development of
algebraic topology and topological algebra. His
theory of optimal control makes up one of
the most important branches of
contemporary applied mathematics.
The present edition of his selected works
comprises three volumes:
Volume I
TOPOLOGY
TOPOLOGICAL ALGEBRA
Volume II
DIFFERENTIAL EQUATIONS
THEORY OF OPERATORS
OPTIMAL CONTROL
DIFFERENTIAL GAMES
Volume III
CONTINUOUS GROUPS
Л.С.ПОНТРЯГИН
Научное творчество выдающегося
советского математика академика Льва
Семеновича Понтрягина оставило
глубокий след во многих центральных
областях современной математики, как
чистой, так и прикладной. Его
фундаментальные исследования оказали
определяющее влияние на развитие
алгебраической топологии и топологической
алгебры, а созданная им математическая
теория оптимального управления
принадлежит к числу актуальных
направлений прикладной математики наших дней.
Настоящее издание избранных
математических трудов Л. С. Понтрягина
содержит три тома:
Том I
топология
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Т о м II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ
Том III
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
ИЗБРАННЫЕ
НАУЧНЫЕ
ТРУДЫ