/
Автор: Немков В.С. Демидович В.Б.
Теги: электротехника электроэнергетика теплотехника индукция промышленное оборудование
ISBN: 5-283-04409-2
Год: 1988
Текст
В.С.Немков
ВБ Демидович
ТЕОРИЯ
И РАСЧЕТ
УСТРОЙСТВ
ИНДУКЦИОННОГО
НАГРЕВА
В. С. Немков
В. Б. Демидович
ТЕОРИЯ
И РАСЧЕТ
УСТРОЙСТВ
ИНДУКЦИОННОГО
НАГРЕВА
Ленинград
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
Ленинградское отделение
1988
ББК 31.292
Н50
УДК 621.365.5
Рецензент В. Н. Иванов
Немков В. С., Демидович В. Б.
Теория и расчет устройств индукционного нагрева.— Л.:
Н50 Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1988.— 280 с.; ил.
ISBN 5-283-04409-2
Изложена теория индукционного нагрева, методы расчета и ре-
комендации по проектированию устройств индукционного иагрева
(УИН). Особое внимание уделено расчету электромагнитных парамет-
ров, вопросам разработки комбинированных моделей и использования
их при оптимизации режимов и конструкций УИН. Результаты тео-
ретических исследований доведены до практических рекомендаций
по проектированию устройств различных типов.
Для инженерно-технических работников, занятых исследованием,
проектированием и эксплуатацией устройств индукционного иагрева,
может быть полезна студентам вузов.
н 2302050000—140
051(01)—88
197—88
ББК 31.292
Производственное издание
НЕМКОВ ВАЛЕНТИН СЕРГЕЕВИЧ
ДЕМИДОВИЧ ВИКТОР БОЛЕСЛАВОВИЧ
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ УСТРОЙСТВ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Редактор Ю. В. Долгополова
Художник переплета Г. В. Смирнов
Художественный редактор Т. Ю. Теплицкая
Технический редактор А. Г. Рябкина
Корректор Н. Б. Чухутина
ИБ № 1772
Сдано в набор 21.03.88. Подписано в печать 18.08.88. М-33893. Формат 60Х901/1б- Бумага
типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 17,5. Усл.
кр.-отт. 17,5. Уч.-изд. л. 20,32. Тираж 8000 экз. Заказ № 776. Цена 1 р. 50 к.
Энергоатомиздат, Ленинградское отделение. 191065 Ленинград, Д-65, Марсово поле, 1.
Ленинградская типография № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной
торговли. 191126, Ленинград, Социалистическая ул., 14.
ISBN 5-283-04409-2
© Энергоатомиздат, 1988
ВВЕДЕНИЕ
Индукционный нагрев получил широкое распространение в про-
мышленности и научных исследованиях, от получения и обработки
полупроводниковых материалов до нагрева слитков цветных и чер-
ных металлов под прессование и прокатку; сфера его применения
постоянно расширяется. Развиваются новые технологические про-
цессы, такие как импульсная высокоскоростная термообработка,
высокотемпературный нагрев, плавка оксидов и других непровод-
никовых материалов в холодных тиглях, нагрев крупногабарит-
ных слитков под пластическую деформацию на промышленной
и пониженной частотах.
С другой стороны, в областях традиционного применения индук-
ционного метода (поверхностная закалка, сквозной нагрев загото-
вок в кузнечном производстве, индукционная плавка в тигельных
и канальных печах) также происходят существенные перемены.
Повышаются уровни мощностей, требования к механизации и авто-
матизации установок, к точности поддержания режима и экономич-
ности процессов. Особенно сложные требования выдвигает вклю-
чение индукционных нагревателей в состав гибких автоматизиро-
ванных производственных систем, когда изменение в определенных
пределах сортамента нагреваемых изделий и режима их нагрева
является нормальным условием эксплуатации оборудования.
Применение индукционного нагрева и перспективы его разви-
тия в условиях интенсификации производства обусловлены рядом
постоянно действующих причин:
высоким качеством нагрева вследствие быстроты процесса, от-
сутствием загрязнений, достижимостью любых температур, воз-
можностью использования различных атмосфер и вакуума и т. д.;
существует ряд процессов, реализация которых без индукционного
нагрева практически невозможна;
гибкостью и высокой точностью управления из-за малой инер-
ционности процесса, возможностью точного дозирования энергии,
наличием нескольких каналов управления;
сбережением материальных, трудовых и во многих случаях энер-
гетических ресурсов за счет уменьшения потерь материала в про-
цессе нагрева, повышения качества продукции, увеличения произ-
водительности (изменение структуры топливно-энергетического
1*
3
баланса делает электроэнергию наиболее перспективным энергоно-
сителем для промышленного нагрева; энергетический кризис в раз-
витых капиталистических странах это подтвердил);
уменьшением вредных воздействий на окружающую среду и
улучшением условий труда обслуживающего персонала.
Однако «. . . преимущества метода могут быть в полной мере
использованы лишь в том случае, если имеется точное представле-
ние о тех зависимостях, которым подчиняется метод не только в це-
лом, но и в отдельных его частях». Эти слова В. П. Вологдина,
написанные в 1947 г. fl], полностью сохранили свою актуальность
сегодня. С развитием техники индукционного нагрева, широким
использованием вычислительных машин и методов математиче-
ского моделирования роль теории не только не снизилась, а нао-
борот, возросла, приобретя новый смысл.
Уменьшилась роль приводимых в литературе отдельных мето-
дик и частных количественных зависимостей, которые во многих
случаях легче получить непосредственно на ЭВМ, чем найти в спра-
вочной литературе, но зато возросло значение качественных связей,
знание которых необходимо для правильной постановки задачи,
определения каналов управления процессом нагрева, поиска оп-
тимальной конструкции.
Высокие требования к теории возникают при разработке систем
автоматизированного проектирования (САПР) устройств индук-
ционного нагрева и систем автоматического управления ими.
Появляются технологические процессы, в которых необходимо
учитывать не только тепловое, но и силовое воздействие электро-
магнитного поля. Проектирование многих новых установок не ук-
ладывается в разработанные методики и трафареты, а требует глу-
бокого знания физических явлений в индукционных системах, ме-
тодов их исследования и расчета. Ряд рекомендаций по проектиро-
ванию индукционных устройств, полученных 20—30 лет назад, не
отвечает новым условиям и требует тщательного пересмотра в со-
ответствии с современным состоянием техники и требованиями к ка-
честву нагрева и степени автоматизации установок.
Несмотря на выход ряда работ, посвященных различным видам
индукционного нагрева, плавки и сварки [2, 3, 4], в настоящее
время отсутствуют книги с достаточно полным изложением основ
индукционного нагрева, описанием закономерностей процессов,
протекающих в индукционных устройствах, и методов их ра-
счета. Предлагаемая книга должна частично восполнить образовав-
шийся пробел. Авторы не ставили своей задачей создание справоч-
ника по применению, проектированию или расчету индукционных
устройств. Основная задача книги — дать физическое и математи-
ческое описание явлений, происходящих при индукционном нагреве,
показать основные методы расчета и эффективность их применения
в том или ином случае.
Естественно, что в одной книге не представляется возможным
рассмотреть в достаточном объеме все типы индукционных устройств
4
и происходящие в них явления. Плавильные устройства, отличаю-
щиеся рядом особенностей, не включены в книгу, которая посвящена
нагревательным устройствам. При их рассмотрении основное вни-
мание уделено электромагнитным процессам.
Электромагнитные (ЭМ) поля описываются в квазистационар-
ном приближении, которое хороню выполняется во всех устройствах
индукционного нагрева, причем рассматриваются в основном уста-
новившиеся синусоидальные процессы. Переходные ЭМ-процессы
занимают малую часть времени нагрева, и их необходимо учиты-
вать только в некоторых специальных случаях, например при рас-
чете перенапряжений и сверхтоков в цепях питания.
Несинусоидальный характер ЭМ-параметров, вызванный не-
линейностью свойств нагреваемого тела или характеристик источ-
ника питания, мало влияет на энергетические параметры и при рас-
смотрении электротепловых процессов может не учитываться. Гар-
монический состав токов и напряжений может, однако, служить
источником информации о ходе процесса, например о распределе-
нии температуры в нагреваемом теле. Такая информация необхо-
дима также при проектировании полупроводниковых преобразо-
вателей и регуляторов.
Поставленные задачи определили структуру книги, которая
состоит из семи глав. В главах 1—4 дано общее описание физиче-
ских явлений, протекающих в устройствах индукционного нагрева,
изложены основные методы их расчета и приведены количественные
характеристики электромагнитных процессов в сравнительно про-
стых системах. Полученные зависимости имеют важное значение
не только для понимания физических процессов в реальных, более
сложных, устройствах. Они образуют базу, пользуясь которой
часто удается свести сложную задачу к ряду простых с достаточ-
ной для практики точностью.
В главе 5 рассмотрены электромагнитные процессы в достаточно
сложных индукционных системах, для которых дан анализ харак-
терных зависимостей параметров устройства от его геометрии,
свойств нагреваемых тел и частоты тока.
Наконец, в главах 6—7 приведено описание методологических
основ численного моделирования индукционных нагревателей и при-
менения моделей для их проектирования и оптимизации.
Вопросы конструирования устройств индукционного нагрева,
технологии их изготовления и эксплуатации составляют предмет
самостоятельного рассмотрения и в книге почти не отражены.
Материал книги в значительной степени основан на работах
авторов, выполненных в лаборатории высокочастотной электро-
техники ЛЭТИ имени В. И. Ульянова (Ленина) при уча-
стии проф. А. Е. Слухоцкого и ряда сотрудников, аспирантов и сту-
дентов. Авторы выражают всем им свою глубокую признательность.
Отзывы о книге, замечания и пожелания просьба присылать
по адресу: 191065, Ленинград, Марсово поле, 1, Ленинградское
отделение Энергоатомиздата.
б
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В УСТРОЙСТВАХ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
1.1. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УСТРОЙСТВ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Мысль об использовании токов, наводимых в проводящем теле
пронизывающим его переменным магнитным потоком, для нагрева
изделий относится к начальному периоду развития электротех-
ники. Ряд основополагающих исследований по теории вихревых
токов содержится в работах Фуко, Хевисайда, Томсона, Герца,
Лодыгина и других выдающихся ученых [5]. Индукционные токи
предлагалось использовать для плавки и нагрева металлов в раз-
личных технологических процессах. Однако широкое промышлен-
ное применение метод получил за последние 50 лет благодаря ра-
ботам В. П. Вологдина, Е. Нортрупа (Е. Northrup) и других уче-
ных, прежде всего советских: Г. И. Бабата [6], М. Г. Лозинского
[7], Н. М. Родигина [8], А. Е. Слухоцкого [9], А. А. Фогеля,
Г. А. Разоренова, К- 3. Шепеляковского, А. В. Донского.
Вихревые токи создаются в проводящем теле, помещенном в маг-
нитное поле, если хотя бы часть замкнутых контуров, которые
можно выделить в объеме этого тела, пронизывается изменяющимся
во времени магнитным потоком. Мгновенное значение ЭДС е, воз-
никающей в контуре, охватывающем поток Ф, равно
е= — d<D/dt. (1.1)
Под действием этой ЭДС возникает ток i, вызывающий нагрев
тела в соответствии с законом Джоуля—Ленца.
Вихревые токи создают собственные магнитные поля (поля ре-
акции), которые, складываясь со сторонним полем (полем возбуж-
дения), образуют результирующее поле, изменение которого и
должно учитываться в (1.1). Одновременно вихревые токи, взаимо-
действуя друг с другом и с исходным полем, создают электродина-
мические усилия (ЭДУ), приводящие при наличии соответствую-
щих степеней свободы к перемещению тел или их вибрации.
Изменение магнитного потока, пронизывающего тело, может
быть вызвано двумя причинами: перемещением тела относительно
поля возбуждения и изменением этого поля во времени при не-
подвижном теле. Соответствующие механизмы возникновения ин-
дуцированных вихревых токов можно назвать индукцией движе-
ния и трансформаторной индукцией. Возможны оба механизма об-
разования вихревых токов. Тогда связь между напряженностью Е
6
вихревого электромагнитного поля, индукцией В и скоростью дви-
жения v данного объема относительно магнитного поля будет
rotE=—dB/d/ + rot(v х В), (1.2)
где v X В — векторное произведение v и В.
Вихревые токи за счет индукции движения возникают, напри-
мер, в электромагнитных тормозах, широко используемых в элек-
троприводах. Известны основанные на этом принципе устройства
для натяжения быстро движущейся ленты. Натяжение создается
за счет взаимодействия вихревых токов в ленте с создающим их
полем постоянных магнитов, расположенных над лентой. Для про-
мышленного нагрева индукция движения почти не используется
из-за необходимости в больших скоростях вращения нагреваемого
тела или источника поля при значительных крутящих моментах,
из-за неравномерности нагрева и т. п. Имеется опыт успешного
применения индукции движения для нагрева тел простой формы,
например дисков [10]. Неподвижный диск помещается в поле по-
стоянных магнитов или электромагнитов, приводимых во вращение
электродвигателем. Отпадает необходимость в конденсаторной ба-
тарее и преобразователе частоты; устройство имеет хороший КПД.
Теория процессов нагрева за счет индукции движения в настоящей
книге не рассматривается.
Устройства индукционного нагрева, основанные на изменении
поля возбуждения во времени, не имеют вращающихся частей и со-
стоят в общем случае из нагреваемого тела, индуктирующей об-
мотки, тепловой изоляции, магнитопроводов, конструктивных и до-
полнительных элементов, служащих для крепления и перемещения
изделия, подачи охлаждающей воды, обеспечения требуемого рас-
пределения температурного поля, создания защитной атмосферы
и т. д.
Устройства индукционного нагрева, обеспечивающие проведе-
ние технологического процесса, являются частью всей индукцион-
ной установки, в которую входят также источник питания (тран-
сформатор промышленной частоты, машинный или тиристорный
преобразователь средней частоты или ламповый генератор), схема
питания и согласования (токопроводы, конденсаторы, согласую-
щие трансформаторы, регуляторы), система контроля и управле-
ния.
Для дальнейшего изложения целесообразно выделить понятие
электромагнитной системы, в которой электрическая энергия из
цепей питания преобразуется в энергию электромагнитного поля
и затем в тепловую энергию.
Под электромагнитной системой (ЭМС) индукционного нагрева
понимается совокупность нагреваемых тел, индукционных обмоток
и магнитопроводов, действием которых определяется результирую-
щее электромагнитное поле. В систему могут входить также допол-
нительные элементы, влияющие на конфигурацию поля, а в неко-
7
торых случаях — еще и сопротивления внешних цепей, если они
влияют на распределение токов в индуктирующих обмотках.
Классификация индукционных устройств может проводиться
по назначению, частотному диапазону, геометрической форме си-
стемы и режиму работы.
Индукционный нагрев является одним из наиболее сложных
электротермических процессов и в строгой постановке требует рас-
смотрения взаимосвязанных явлений разной физической природы
(рис. 1.1). Основными процессами являются электромагнитные
и тепловые, причем тепловые процессы включают в себя процессы
теплопередачи внутри нагреваемого тела и внешнего теплообмена,
в том числе теплообмена с охлаждающей средой при термообработке.
В результате нагрева и структурных превращений возникают
внутренние термические и структурные напряжения. Они могут
вызывать трещины в процессе нагрева или снижение прочностных
свойств термообработанных деталей. В ходе нагрева происходят
преднамеренно создаваемые или сопутствующие физико-химические
процессы. К первым относятся процессы химико-термической об-
работки, гомогенизации, снятия напряжений и т. д. Ко вторым
относятся процессы роста зерна, поверхностного обезуглерожива-
ния, окисления и т. п.
Электродинамические силы создают вибрации, приводящие к по-
вреждению электрической и тепловой изоляции, нарушению це-
лостности паяных соединений, шуму.
Если нагреваемый материал находится в жидком состоянии или
в виде ионизированного газа (плазмы), то под действием электро-
динамических усилий возникают газо- и гидродинамические явле-
ния, которые могут оказать существенное влияние на технологи-
ческий процесс.
Пластическая деформация может осуществляться как в процессе
индукционного нагрева (индукционная гибка труб), так и в виде
отдельных технологических операций (прессование, штамповка,
прокатка), однако их эффективность сильно зависит от качества
Рис. 1.1. Взаимосвязь физических процессов в индукционных устройствах
8
нагрева, и целесообразно их совместное рассмотрение и оптимиза-
ция с тепловыми процессами при индукционном нагреве.
В настоящее время проводятся активные работы по совместному
исследованию двух или нескольких процессов методами математи-
ческого моделирования с целью оптимизации конструкций и ре-
жимов работы индукционных устройств. Наиболее распространен-
ными являются электротепловые модели, которым в настоящей
работе будет уделено основное внимание.
По назначению индукционные устройства можно разделить на
плавильные, нагревательные и специальные [2].
Плавильные устройства обладают рядом особенностей, связан-
ных с наличием материала в жидкой фазе. Существенную роль в них
играет движение расплава под действием электродинамических
и конвективных сил, что приводит к выравниванию температур-
ного поля за счет теплопереноса, изменению формы расплава и дру-
гим специфическим эффектам [4, 111. Требования к расчету и про-
ектированию плавильных устройств существенно отличаются от
требований к нагревательным устройствам и в данной книге не
рассматриваются. Однако значительная часть методов электромаг-
нитных расчетов может быть применена и к плавильным устройст-
вам при известной конфигурации расплава.
Нагревательные устройства служат для прямого или косвенного
нагрева материалов в твердом, жидком или газообразном состоянии.
При прямом индукционном нагреве теплота выделяется за счет
поглощения энергии электромагнитного поля непосредственно на-
греваемым (рабочим) телом. При косвенном нагреве теплота выде-
ляется в промежуточном нагревателе, от которого передается на-
греваемым телам.
К устройствам прямого нагрева относится подавляющее боль-
шинство нагревателей металлических изделий под термическую
обработку (поверхностную и объемную закалку, отжиг, отпуск)
и пластическую деформацию (прокатку, штамповку, прессование,
волочение, гибку и т. п.). Для них характерна передача больших
удельных мощностей, создание требуемого, часто неравномерного,
температурного поля, малая тепловая инерция, достижимость
практически любых температур. Эти качества и определяют в ос-
новном преимущества индукционного нагрева перед другими спо-
собами.
В устройствах косвенного нагрева температуры и удельные мощ-
ности ограничены теплоотдачей от промежуточного нагревателя
и его жаростойкостью и обычно невелики. Однако с помощью этих
устройств можно получать высокую равномерность нагрева (ин-
дукционные термостаты), нагревать непроводящие материалы, по-
лучать высокие энергетические показатели процесса (КПД и ко-
эффициент мощности). К этому типу относится довольно многочис-
ленная группа устройств для обогрева технологического оборудо-
вания: химических реакторов, трубопроводов, экструдеров и т. д.
9
Задачи проектирования устройств прямого и косвенного нагрева
существенно различаются. При прямом нагреве материал, форма
и размеры нагреваемых тел заданы и, как правило, не могут быть
изменены. Проектирование таких устройств сводится к синтезу
конструкции индукторов и режима нагрева. При косвенном нагреве
существует возможность выбора конструкции и материала проме-
жуточного нагревателя, что расширяет возможности проектирова-
ния. Так, при температуре нагрева ниже точки Кюри и использо-
вании двухслойных материалов возможно создание индукционных
устройств с коэффициентом мощности более 0,8, что позволяет
отказаться от компенсирующих конденсаторов.
Существуют индукционные устройства, в которых часть энергии
выделяется в самом нагреваемом теле, а часть передается в виде
теплоты от промежуточного нагревателя. Примером могут служить
печи с полупрозрачным тиглем или экраном.
К специальным можно отнести устройства для сварки и пайки
[2, 3, 13], индукционные плазмотроны, устройства для магнитной
импульсной обработки, литья в электромагнитный кристаллизатор
и т. п. Для них характерно многообразие параметров процесса и
воздействий электромагнитного поля. Так, при сварке и пайке часть
материалов находится в жидкой фазе; во всех перечисленных слу-
чаях, кроме термического действия поля, существенную роль иг-
рают электродинамические силы. Теория и расчет специальных
устройств, базируясь на общих положениях теории индукционного
нагрева, должны быть дополнены разделами, учитывающими их
специфику.
По частоте индукционные установки делятся на три группы.
Установки промышленной частоты используются для нагрева
крупногабаритных изделий под пластическую деформацию и тер-
мообработку, для низкотемпературного нагрева изделий и обогрева
технологического оборудования [2, 8, 14]. Последнее время про-
является интерес к нагреву на пониженной частоте.
Установки средней частоты (150—10 000 Гц) составляют основ-
ной объем индукционного оборудования. Они применяются для
нагрева под пластическую деформацию, поверхностную и объемную
термообработку, пайку, сварку и т. п. [2, 9, 15].
Установки радиочастоты применяются для закалки изделий
небольших размеров, пайки, сварки, создания индукционной
плазмы и т. д. Частоты составляют 66, 440, реже 1760 кГц
Г2, 15, 16]. Иногда используются установки двухчастотного на-
грева. С точки зрения описания процесса нагрева частота является
величиной относительной, однако для каждого частотного диапа-
зона имеются свои особенности конструкции и режима работы,
что следует учитывать при расчетах.
Геометрическая форма всей индукционной системы определяется
геометрией нагреваемых тел, индуцирующих обмоток и их взаим-
ным расположением.
Индукционному нагреву подвергаются тела самой различной
10
формы, а иногда и их совокупности с различной степенью электри-
ческого контакта между телами. Основными конфигурациями можно
считать плоские и цилиндрические тела, прямоугольные призмы
и шары. Тела более сложной конфигурации с той или иной точ-
ностью можно заменить комбинацией этих форм.
Для сквозного нагрева, например под пластическую деформа-
цию, характерен нагрев всего изделия или его значительной части.
При поверхностной закалке часто используется нагрев небольшой
части тела (локальный или зональный нагрев).
Наиболее часто нагреву подвергаются цилиндрические тела, как
сплошные, так и полые. Нагрев цилиндров и длинных призм может
осуществляться в продольном или поперечном магнитном поле.
В первом случае вектор напряженности магнитного поля паралле-
лен продольной оси тела, а во втором — перпендикулярен ей.
Каждый из способов имеет свои достоинства и недостатки, однако
следует отметить, что пространственная размерность электромаг-
нитного и теплового полей при поперечном нагреве на единицу
выше, чем при продольном, а конфигурация полей сложнее. На
практике встречаются также комбинации продольного и попереч-
ного нагрева, например в щелевом индукторе [2].
В большинстве случаев как для сквозного, так и для поверх-
ностного нагрева используются охватывающие индукторы, ци-
линдрические или овальные, имеющие высокие энергетические
показатели. Второй базовой конструкцией являются плоские ин-
дукторы, которые можно отнести к трем основным типам: плоская
спираль, прямоугольная рамка, плоскость которой параллельна
нагреваемой поверхности, и рамка, расположенная перпендику-
лярно ей [2]. Плоские индукторы имеют более низкие исходные
энергетические показатели (КПД и cos <р), и их целесообразно
снабжать магнитопроводом.
Многочисленные варианты индукторов для различных техноло-
гических операций могут быть представлены в виде композиции
рассмотренных конструкций.
Особым случаем является нагрев полых цилиндров стержневым
индуктором. В полость нагреваемого тела вставляется токоведущий
стержень, ток которого через разъемное соединение возвращается
по шине, проложенной снаружи. Индуцированный ток проходит
по внутренней стороне изделия и возвращается по наружной. Такие
индукторы редко используются в устройствах прямого нагрева
из-за разъема, однако успешно применяются в неразъемном
варианте для обогрева контейнеров прессов, пресс-форм и другого
технологического оборудования.
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Вих-
ревые токи в нагреваемом теле всегда замкнуты, поэтому равно-
мерно нагреть неподвижным индуктором незамкнутую область не-
возможно. Обеспечивая нагрев данной зоны, необходимо учитывать
неизбежность иногда ненужного, а порой вредного нагрева зон
замыкания вихревых токов. Этого недостатка лишен так называе-
11
мый полуиндукционный нагрев, при котором ток подводится к из-
делию через контакты [7], а его путь по нагреваемому телу форми-
руется за счет обратного проводника, выполняющего роль индук-
тирующего провода. Однако наличие сильноточных контактов ог-
раничивает этот способ нагрева, который используется лишь
в устройствах для высокочастотной сварки и в некоторых других
технологических процессах.
При одной и той же конфигурации индукционной системы воз-
можны различные варианты исполнения обмотки индуктора. Она
может быть одно- или многовитковой, а иногда и многослойной из
проводов различного сечения. Исполнение обмотки может сущест-
венно влиять на методику расчета, на качество нагрева и технико-
экономические показатели устройства.
В ряде случаев отдельные индукторы или секции одного и того
же индуктора располагаются близко друг к другу, так что появ-
ляется заметная магнитная связь между ними. Такие индукторы
надо рассматривать как единую электромагнитную систему. Боль-
шое значение при этом приобретает схема включения отдельных
секций или индукторов. Так, на промышленной частоте возможно
создание устройств для нагрева в пульсирующем, бегущем поле
или при совместном действии бегущего и пульсирующего полей
[2, 17, 18].
По режиму работы индукционные устройства принято делить
на непрерывные, полунепрерывные (методические) и периодиче-
ские. В первом случае нагреваемое изделие перемещается через
зону нагрева непрерывно, во втором — дискретно, в третьем —
все изделия одновременно сменяются в конце цикла. Периодические
нагреватели обычно работают в повторяющемся неустановившемся
режиме из-за изменения свойств нагреваемого тела. У непрерыв-
ных нагревателей различают установившиеся и переходные ре-
жимы, причем последние определяются способом пуска. Изменение
режима происходит как за счет изменения свойств нагреваемого
тела, так и из-за перемещения его в индукторе. У полунепрерыв-
ных нагревателей существуют как установившиеся циклические,
так и разнообразные переходные режимы. Характерные постоян-
ные времени этих переходных режимов лежат в пределах от еди-
ниц до сотен секунд в зависимости от типа устройства. Такие ре-
жимы не следует смешивать с чисто электрическими переходными
режимами при включении или изменении напряжения питания.
Электрические переходные режимы длятся несколько (до 10) пе-
риодов питающего напряжения, что составляет десятые и даже со-
тые доли секунды. Учет этих режимов необходим для анализа
условий работы полупроводниковых приборов и конденсато-
ров в схеме питания; на режим нагрева они влияния не оказы-
вают.
Большинство установок индукционного нагрева имеет системы
автоматической стабилизации или регулирования режима по ка-
кому-либо параметру, обеспечивающие в установившемся режиме
12
повторяемость нагрева или изменения температуры (мощности) по
определенному закону.
Отдельной задачей является обеспечение качества переходного
процесса (режимы пуска или повторного пуска).
У нагревателей периодического действия обычно стабилизи-
руется напряжение на индукторе или источнике питания. Реже ис-
пользуется стабилизация мощности или ее регулирование по спе-
циальной программе. Если источником питания является ламповый
генератор или тиристорный преобразователь, то управление может
осуществляться как по напряжению, так и по частоте.
Изменение управляющего воздействия (напряжения, частоты)
во времени приводит к изменению мощности одновременно во всех
частях нагревателя. Перераспределение ее в пространстве, напри-
мер при изменении длины нагреваемого тела, может достигаться
за счет средств пространственного управления. Ими могут служить
автономно-управляемые секции индуктора, короткозамкнутые
кольца, дополнительные магнитопроводы, подключение индуктора
к источнику по автотрансформаторной схеме с изменением компен-
сирующей емкости и т. д.
Наиболее общим является обеспечение совместных требований
изменения мощности во времени и перераспределения в простран-
стве (пространственно-временное управление).
У нагревателей непрерывного или полунепрерывного действия
полная мощность в установившемся режиме при фиксированном
напряжении не меняется или изменяется мало, однако ее распреде-
ление по длине может быть различным как из-за различия свойств
нагреваемого тела на разных участках индуктора (естественное
изменение), так и вследствие принудительного перераспределения
интенсивности поля. Наиболее часто используются режимы уско-
ренного (скоростного) нагрева, обеспечивающие быстрый рост тем-
пературы поверхности с последующим ее поддержанием на уровне,
близком к конечному [2, 15, 19], что сокращает длительность на-
грева в 2—2,5 раза по сравнению с обычным нагревом.
Выбор конструкции нагревателя, установившегося режима его
работы, определение способов и средств обеспечения оптимальных
переходных режимов являются сложными взаимосвязанными за-
дачами проектирования. Для их решения все чаще используются
методы математического моделирования на ЭВМ. Наиболее эффек-
тивно задачи проектирования решаются с помощью систем автома-
тизированного проектирования (САПР) индукционных нагрева-
телей.
1.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В УСТРОЙСТВАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Сложность электромагнитных процессов в УИН определяется
следующими факторами:
1. Электромагнитные поля распределены в многосвязной си-
стеме, содержащей проводящие и непроводящие, магнитные и не-
13
магнитные среды. В общем случае поля пространственно трех-
мерны.
2. Электрофизические свойства материалов могут зависеть от
интенсивности поля (для ферромагнетиков) и от времени вследствие
нагрева или перемещения тел. Часто необходимо совместное реше-
ние нелинейных электромагнитной и тепловой задач.
_ 3. Размеры проводящих тел соизмеримы с длиной волны в их
материале.
4. Внешние воздействия (токи и напряжения), прикладываемые
к обмоткам (входам ЭМС), часто зависят от параметров самой си-
стемы. Если система линейна, то возможен расчет при поочередной
подаче произвольных (например, единичных) воздействий на входы
системы с последующим определением параметров эквивалентного
ей многополюсника и решением цепной задачи. Для нелинейной
ЭМС необходимо совместное решение уравнений ЭМ-поля и урав-
нений схемы питания, включая источник.
Компактное описание и расчет ЭМ-процессов в общем виде не
представляется возможным, и требуется ряд допущений, коррект-
ность которых зависит от конкретной электромагнитной системы.
Допущениями, достаточно общими для всех устройств, являются
следующие:
1. Поле принимается квазисташюнарным. Под этим понимается
отсутствие запаздывания электромагнитной волны в воздухе (но не
в металле). В иной формулировке длина ЭМ-волны в воздухе много
больше максимального геометрического размера системы (напри-
мер, длины провода индуктора). Это допущение позволяет пре-
небречь токами смещения по сравнению с токами в проводниках.
2. Расчет установившихся ЭМ-процессов можно проводить для
величин, меняющихся по гармоническому закону. При этом ошибка
в определении интегральных и распределенных энергетических
параметров невелика. Это позволяет широко использовать симво-
лический метод для расчета ЭМ-полей в нелинейных ферромагнит-
ных средах.
3. Потери на гистерезис при нагреве ферромагнитных тел много
меньше, чем на вихревые токи. Поэтому можно считать зависи-
мость ц (Н) однозначной, а саму проницаемость — действительной
величиной.
4. Потери на гистерезис и вихревые токи в магнитопроводе не
оказывают заметного влияния на ЭМ-поле вне его, и их можно учи-
тывать отдельно при расчете теплового режима магнитопровода.
Частные допущения, зависящие от вида ЭМ-системы, будут вво-
диться по ходу изложения. Для эффективного расчета УИН необ-
ходимо ясное представление о физических процессах, происходя-
щих в них.
Широко распространено описание ЭМ-системы на основе замены
ее системой индуктивно связанных контуров, обладающее просто-
той и наглядностью. Пусть в многовитковый цилиндрический ин-
дуктор помещен тонкостенный полый цилиндр (рис. 1.2, а).
14
Рис. 1.2. Индукционная система (а) и ее схема замещения в виде двух
связанных цепей (б)
Магнитное поле, создаваемое током обмотки, проходит парал-
лельно по воздушному зазору, металлу трубы и ее полости и затем
замыкается по пространству вне индуктора. Магнитный поток,
сцепленный с загрузкой, индуцирует в ней вихревой ток i2, под
действием которого в стенке выделяется активная мощность.
Картина силовых линий магнитного поля носит качественный
характер, так как напряженности поля в разных точках не совпа-
дают по фазе и в течение периода тока картина мгновенных значе-
ний сильно меняется. Можно считать, что приводимые линии со-
ответствуют усредненным значениям напряженности.
Заменяя обмотку индуктора и цилиндр тонкими соленоидами
с индуктивностями L, и L2, получаем два индуктивно связанных
контура (рис. 1.2, б). Чтобы учесть потери энергии в трубе, вторич-
ную обмотку замыкаем на ее собственное активное сопротивление
г2С. Так как ток i2 по толщине тонкостенного цилиндра распреде-
лен почти равномерно, в качестве г2С следует взять сопротивление,
вычисленное для кругового постоянного тока.
В рассматриваемом случае такая схема замещения в виде воз-
душного трансформатора обеспечивает правильность расчета на-
пряженностей поля, токов и мощностей. Однако в более общем
случае ее применение требует дополнительных условий или вообще
невозможно. Если цилиндрическая система содержит массивное
немагнитное тело, то ток в нем распределен неравномерно и замена
его одним контуром неприемлема. Выходом является разбиение
(дискретизация) такого тела по радиусу и длине на кольцевые эле-
менты, являющиеся трубками тока, в пределах которых плотность
тока примерно постоянна. На этом приеме основан интегральный
метод расчета цилиндрических и плоских систем с немагнитными
телами (глава 2). Для массивных тел более сложной формы (напри-
мер, призм) заранее выделить трубки вихревого тока уже нельзя
15
и схема рис. 1.2,6 дает лишь качественное описание процесса.
Если же в ЭМ-системе содержатся ферромагнитные тела, то такая
схема замещения не может использоваться, так как в ней не учи-
тываются токи намагниченности. Кроме того, схема не позволяет
объяснить механизм передачи электромагнитной энергии от источ-
ника к нагреваемому телу.
Полное описание электромагнитного процесса можно дать лишь
на основе распространения ЭМ-энергии в системе и ее Проникно-
вения в проводящие тела.
Для квазистационарных электромагнитных полей уравнения
Максвелла имеют вид [20]
rotH = J = yE; (1.3)
. с в ан zi
dt dt v
divB = 0; (1.5)
div D = div (ee0E) = q0. (1.6)
Здесь H, В, E и D — векторы напряженности и индукции маг-
нитного и электрического поля; у —- удельная электрическая про-
водимость; р. и е — относительные магнитная и электрическая про-
ницаемости; р0 и е0 — магнитная и электрическая постоянные;
qn — объемная плотность электрических зарядов; J — вектор плот-
ности тока.
В индукционных системах заряды находятся только в объеме
проводящих тел и на их поверхности в виде слоев с плотностью о,
причем проекция D4 электрической индукции на нормаль к поверх-
ности связана с о зависимостью
O„=D-ne=o, (1.7)
где D-ne— скалярное произведение вектора D и единичного век-
тора внешней нормали пе.
Из (1.5) следует, что магнитное поле В везде соленоидальное
(div = 0), а в проводящих областях — также и вихревое (rot =/= 0);
причем источниками его являются токи проводимости.
Электрическое поле имеет вихревую составляющую Ев, созда-
ваемую изменяющимся магнитным полем (1.4), и потенциальную Еп
(безвихревую, rot Еп = 0), создаваемую электрическими зарядами:
Е=ЕВ+ЕП. (1.8)
В соответствии с математической теорией поля для магнитного
поля во всех областях может быть введен векторный магнитный
потенциал А, такой, что
В = rot А,
(1.9)
причем div А = 0.
16
Для вихревой составляющей электрического поля в области без
зарядов можно ввести векторный электрический потенциал Аэ,
однако его обычно не используют, определяя Ев через потенциал А.
Из (1.4) следует простая связь Ев с магнитным потенциалом А,
особенно удобная для гармонических полей:
Ев= — dMdt. (1.10)
Составляющая Еп может быть представлена в виде градиента
скалярного потенциала и:
Еп=—grad и. (1-И)
В областях без токов для магнитного поля также можно ввести
скалярный магнитный потенциал им, такой, что
Н=—graduM. (1-12)
Использование потенциалов позволяет в ряде случаев уменьшить
размерность задачи или перейти от векторных величин к скаляр-
ным [20, 21 ].
Потенциалы связаны с соответствующими источниками (J или а)
интегральными выражениями:
А = _Р£о_ С ; (1.13)
4л J R v '
v
1 С odS
и =--------\--------,
4лее0 J R
s
(1.14)
где R — модуль вектора R, соединяющего точку наблюдения
с точкой источника.
Напряженности магнитного и электрического полей также свя-
заны с источниками интегральными соотношениями:
Н= -M-J х R dV; (1.15)
4л J R3 V '
V
Е = ЕВ+ЕП=----f — —-|--------i—(1.16)
4л J dt R 4nee0 J R8
V S
Интегрирование проводится по объемам и поверхностям всех
проводников, несущих токи и заряды. Как интегральные, так и диф-
ференциальные формы связи параметров ЭМ-поля широко исполь-
зуются в численных и аналитических расчетах.
В дифференциальной форме возможно совместное решение урав-
нений (1.3—1.6), однако часто выгоднее решать одно уравнение,
но уже второго порядка. Из (1.3) и (1.4) получаем
r0t(yr°tH)= (1.17)
rot(J-rotE)^-Yp0^-. (1.18)
17
Эти уравнения справедливы для любой проводящей среды, в том
числе неоднородной по р и у. Если свойства материала в рассмат-
риваемой области постоянны, то уравнения упрощаются. Из век-
торной алгебры известно, что
rot rot С = grad div С—v2C, (1-19)
где v2C — векторный лапласиан С [22].
В кусочно-однородной среде div Н = —!— div В = 0, поэтому
рро
V2 Н—- рроу-^- = О. (1.20)
ОТ
Векторный потенциал А подчиняется такому же уравнению.
Так как div J = 0, то в проводнике с постоянной электропро-
водностью уравнение для Е будет таким же:
V2 Е—рроТ —т—= °- (1.21)
dt
Эти уравнения относятся к параболическому типу и являются
векторными аналогами уравнения теплопроводности (диффузии).
Если рассматриваемый вектор имеет только одну пространственную
составляющую (например, по оси х, т. е. А = AxeJ, то получается
скалярное уравнение для Ах, полностью соответствующее уравне-
нию теплопроводности в среде без внутренних источников:
V2Ax-ppoy^ = O. (1.22)
at
Общность уравнений для проникновения электромагнитного
поля в проводящую среду и для теплового поля позволяет решения,
известные для одного поля, применить к другому (см. § 1.4).
В непроводящих областях (воздушные зазоры, расслоенные
магнитопроводы) все векторы поля подчиняются уравнению Лап-
ласа:
V®H = 0; V2EB = 0; V2En = 0; V2A = 0. (1.23)
Уравнение (1.21) целесообразно преобразовать, выделив в нем
составляющую Ев. Так как rot Еп = 0, то из (1.3) и (1.4) следует
для проводящей среды с у = const:
„2СВ. ЙЕВ <5ЕП /1 ПА
V2 Е — рроу —— = рроу ———; (1.24)
от от
V2E" = o. (1.25)
В уравнении (1.24) для Ев член, содержащий Еп, можно рас-
сматривать как стороннее воздействие и принять Еп = Ест. В ряде
простых систем Еп в проводниках не зависит от Ев и ее можно счи-
тать известной величиной. Эта напряженность может быть найдена
по уравнению (1.25), соответствующему протеканию по проводнику
постоянного тока.
18
В общем случае Еп зависит от распределения поля во всей си-
стеме и, строго говоря, не может считаться сторонней величиной.
Напряженность Еп и соответствующие электрические заряды рас-
пределяются по длине проводников (индуктирующего провода и за-
грузки) таким образом, что нормальная составляющая плотности
тока Jn на их поверхностях равна нулю. При этом полный ток i
в любом сечении S проводника будет постоянен. При этом из (1.8)
следует
/=(' ?EdS = f у (Еп + Ев) dS = const,
s s
Интегрируя (1.8) по длине ТПр токопровода обмотки, получим
j* EdL= f E"dL+ J EBdL = u14-e1,
^np Lnp ^np Lnp
где ur — приложенное к индуктору напряжение, а ег — ЭДС, на-
водимая в обмотке индуктора магнитным полем.
Таким образом, напряженности Еп и Ев в токопроводах вызы-
вают ток при соблюдении условия J„ = 0, а в воздушных зазорах
обеспечивают передачу электромагнитной энергии от источника
к местам ее поглощения.
Рассмотрим в качестве примера простейший длинный одновит-
ковый индуктор (рис. 1.3). Устройство осесимметрично за исключе-
нием особого участка подвода шин. Магнитное поле в системе имеет
только одну, аксиальную, составляющую Н2 = Н, постоянную
в пределах зазора. Токи ix и /2 азимутальны, а плотности их зави-
сят только от радиуса R (рис. 1.3, а). Так как Ев не имеет радиаль-
ной составляющей, то и Еп в токопроводе имеет только азимуталь-
ную составляющую, равную
Еп = ефЕф = ^Ui/(2nR) = Ест.
В нагреваемом теле Е%> = 0 и 12 вызывается только вихревой
напряженностью ЕВ = ЕФ.
Рис. 1.3. Электромагнитные процессы в одновнтковом цилиндрическом
индукторе
Штриховые линии — линии напряженности электрического поля в зазоре
19
Поле Еп в зазоре носит двухмерный характер (см. штриховые
линии на рис. 1.3), причем нормальная составляющая Е„' создается
зарядами на поверхностях индуктора и загрузки (рис. 1.3, б).
Плотность потока мощности в зазоре определяется вектором
Пойнтинга
S0=ExH (1.26)
и убывает по мере удаления вдоль зазора в обе стороны от места
подвода шин за счет ее поглощения нагреваемым телом и индукто-
ром. При этом нормальная составляющая Еп = Е„ обусловли-
вает азимутальный компонент S0(J), а тангенциальная напряжен-
ность Ez = Еф — радиальный компонент S0R (рис. 1.3, а). Удель-
ные поверхностные мощности, поглощаемые проводом (S01) и за-
грузкой (S02), постоянны по периметрам этих тел и равны
S01 = E/1H=(E^ + E^t)H; So2=EIH. (1.27)
Если индуктор не длинный, то часть энергии распространяется
и за пределами зазора в окружающем пространстве, вызывая токи
на обратной стороне провода и создавая в нем дополнительные по-
тери.
В многовитковом цилиндрическом индукторе конечной длины
напряженность Еу уже на постоянна по длине намотки, а поле Е
образуется не только между нагреваемым телом и обмоткой, но и
между ее витками, и является трехмерным. Обычно картину поля
сводят к двухмерной, разделяя обмотку на отдельные витки с по-
стоянной по их длине напряженностью Е/1} = Ujl(2.nRj). Напря-
женность Е^. можно считать сторонней, а витковые напряжения tij
определять в процессе расчета из условия i1 — const при заданном
напряжении ия на индукторе.
В качестве иллюстрации того, что поверхностные заряды могут
не только вноситься в систему из источника, но и создаваться ин-
дуцированным вихревым полем, возьмем длинный цилиндр с ра-
диальным разрезом, помещенный в однородное поле Но (рис. 1.4).
Потенциальное электрическое поле источника здесь отсутствует,
однако в зоне разреза создаются наведенные электрические заряды
с плотностью о. Эти заряды вызывают искривление пути вихревого
тока /-2 вокруг разреза. Во внешней области (в воздухе) они создают
потенциальное электрическое поле, линии напряженности которого
начинаются на зарядах о+ и кончаются на а-. Однако и здесь можно
избежать совместного расчета электрического и магнитного полей,
формулируя задачу как краевую относительно Н в металле (1.20)
при известном значении функции на границе, Нг = //0.
В сугубо трехмерных задачах такое разделение уже не пред-
ставляется возможным.
Наличие в системе электрических полей двоякой природы на-
кладывает особенности на измерение напряжения на ее элементах.
20
Рнс. 1.4. Электромагнит-
ное поле в цилиндре
с разрезом
Рис. 1.5. К измерению на-
пряжения на индукторе
Пусть необходимо измерить напряжение на входе индуктора (точки
о и б на рис. 1.5). Показано три варианта расположения проводов
вольтметра, подключенного к этим точкам.
В первом случае (контур /) измеряется истинное напряжение иъ
подводимое от источника. Если провода проложены вдоль какой-
либо токовой нити индуктора, то вольтметр будет измерять только
активную составляющую падения напряжения на этой нити (кон-
тур 2)
\Uj = Uj -|- В/ — 2npRjJ j,
т. е. величину, значительно меньшую ur.
В частности, если контур 2 проложен внутри трубки индуктора,
толщина стенки которой значительно больше глубины проникно-
вения тока б [см. (1.36)], то Jj = 0 и показание вольтметра равно
нулю несмотря на то, что концы проводов подключены к точкам а
и б, потенциалы которых отличаются на их. Если же измеритель-
ный контур 2, проведенный внутри трубки, замкнуть накоротко
через зазор аб без подключения к этим точкам, то вольтметр пока-
жет полное напряжение ии как и в случае контура 1.
Расположение измерительных проводов по контуру 3 приводит
к измерению некоторого промежуточного напряжения, зависящего
от охваченного ими потока.
Охватывая замкнутым измерительным контуром 4 только на-
греваемое тело, получаем ЭДС е.2, наведенную на его поверхности.
В более общем случае, например при измерении напряжений на
элементах плоского индуктора или многофазного токопровода, когда
точки подключения измерительных проводов отстоят далеко друг
от друга, учет их расположения требует особого внимания.
21
В теории индукционного нагрева наиболее важны установив-
шиеся гармонические поля, для которых эффективен символиче-
ский метод расчета [22]. Примем, что произвольный пространст-
венный вектор С является составляющей более общего пространст-
венно-временного вектора Cme'at, введенного на основе следующих
преобразований:
С = C,n cos (о/ 4- а) = Ст Re е< = Re [Cm eiaelb3t] —
= Re[Cme/“'].
Здесь а — начальная фаза величины С; <о = 2л/ — круговая
частота; / = V —1 — мнимая единица.
Величина Ст = С„е/“ является комплексной амплитудой век-
тора С, множитель eiat — единичный временной вектор, вращаю-
щийся в комплексной временной плоскости с угловой скоростью w.
Переход от гармонических к вращающимся величинам позволяет
заменить операцию дифференцирования по времени умножением
на /<в и исключить временную зависимость из уравнений. Вместо
(1.20), (1.24) для комплексных амплитуд получаем векторные урав-
нения Гельмгольца
V2Hm—/<орроуНт = 0; (1-28)
V2Em = 0, V2Em—/wppoyEm =/юрроуЁ^,. (1-29)
В непроводящих областях им соответствуют уравнения
V2Hm = 0; V2Em = 0; у2Ё"=0. (1.30)
Решение уравнений (1.28) — (1.30) при соответствующих гра-
ничных условиях позволяет рассчитать все характеристики элек-
тромагнитных полей в установившемся режиме.
Граничные условия (ГУ) I рода заключаются в задании исход-
ной функции на границе расчетной области (например, напряжен-
ности магнитного поля).
В ГУ II рода задана производная функции по нормали к поверх-
ности. Нулевые ГУ II рода соблюдаются, например, на плоскостях
и осях четной симметрии.
Большое значение имеют ГУ III рода, являющиеся комбина-
цией ГУ I и II рода. К ним относятся импедансные ГУ, связываю-
щие тангенциальные напряженности электрического и магнитного
поля на поверхности:
Etnt — i Z0//mi, 0-31)
где Zo — сопротивление единичного квадрата на поверхности тела.
Сопротивление единичного квадрата, равное Zo = r0 + jx0,
можно однозначно определить как величину, связывающую поток
50п электромагнитной мощности сквозь единицу поверхности тела
22
в данной точке с квадратом тангенциальной составляющей напря-
женности магнитного поля Hmt. Можно показать, что поток
Son = Son*1 — х Нт<) П,
где So„ — нормальная к поверхности составляющая вектора Пойн-
тинга; п — принятая нормаль; Н—сопряженная с Н комплексная
величина.
Тогда сопротивление Zo будет определяться выражением
4 = -^ = -^-(Ёт<хНт/)п,
из которого следует (1.31).
Если So„ и п имеют одинаковое направление, то SOn>0 и в
(1.31) следует принять знак плюс, в противном случае — минус.
Иногда сопротивление Zo может быть задано в явном виде (на-
пример, при сильном поверхностном эффекте). В общем случае его
можно найти в процессе расчета поля внутри тела.
Покажем, что выражение (1.31) можно рассматривать как ГУ
III рода для магнитного потенциала А. Для проводника, к кото-
рому приложено стороннее напряжение, имеем
Emt = —i<i>Am + Ёт.
Из (1.4) получаем для плоскопараллельного поля —
-------—дАт . Тогда равенство (1.31) приобретает вид ГУ III рода:
go дп
= (1.32)
go дп
Часто используются также условия сопряжения полей на гра-
нице двух сред. Они сводятся к равенству тангенциальных напря-
женностей Е и И и нормальных индукций В и D по обе стороны
границы, не содержащей поверхностных зарядов и токов:
—Вп1 — Вп2\ Dnl = Dn2, (1.33)
а также к непрерывности скалярного и и векторного А потенциалов
поля.
Условия для Еп, Нп, Bt и D, легко получаются из (1.33) при
использовании зависимостей
Ь = ее0Е; В = рр0//.
Полный расчет электромагнитного поля даже в простых индук-
ционных устройствах в общем виде очень громоздок. Поэтому нужно
стремиться к корректным упрощениям, используя особенности
ЭМ-процессов в конкретных типах систем.
Фундаментальное значение в теории индукционного нагрева
имеют электромагнитные процессы, происходящие при проникно-
вении плоской волны в проводящее полупространство.
23
Используя дифференциальные уравнения (1.28), (1.29) для Нт
и Ет, рассмотрим распределение одномерного поля в плоской одно-
родной проводящей среде. Комплексная амплитуда напряженности
электрического поля описывается в этом случае скалярным одно-
мерным уравнением
-^- = /<o(ipoTEm. (1.34)
Его общее решение имеет вид
Ёт^С1е-ахА-С2еах, (1.35)
где а — (I 4- /)/6 — постоянная распространения волны; 6 — глу-
бина проникновения тока,
б= д/_L_ = . (1.36)
С учетом граничных условий (х ~ 0, Ёт = Ет; х сю, Ет ->0)
получаем
Ёт = Етее~ах = Emie-x,6e-ix/6. (1.37)
Мгновенные значения напряженности будут
Е (х, t) = Re (Ёте'“') = cos (at—x/fi). (1.38)
Напряженность магнитного поля, связанная с Е уравнением
(1.4), меняется по аналогичным законам:
= (1.39)
<о|Що dx <2
И (х, t) = cos (at —x/6 -— л/4), (1-40)
где Hme— — комплексная амплитуда напряженности
магнитного поля на поверхности.
Таким образом, в любой точке пространства Н отстает по фазе
от Е на угол л/4. Это означает, что активная и реактивная мощно-
сти в плоском однородном теле равны друг другу.
Отношение Ёт к Нт, равное сопротивлению единичного квад-
рата Zo, не зависит от координаты х:
Z0=(\ + j)p/8 (1.41)
и представляет собой в данном случае волновое сопротивление
среды Zc = ра.
Распределения Е (х) для различных моментов времени, отли-
чающихся на Т/8, где Т — период колебаний, показаны на рис. 1.6.
Из формулы (1.38) и кривых рис. 1.6 следует, что Е меняется с рас-
стоянием по затухающей косинусоиде, причем интервал между точ-
ками изменения знака, равный половине длины волны X в металле,
будет лб, откуда Л, = 2л6. Огибающими семейства кривых рис. 1.6
24
Рис. 1.6. Распределение напряженности электрического поля в бесконечном
плоском теле в разные моменты времени
являются экспоненты ± ехр (— х/6). В любой фиксированной точке
Е меняется во времени по гармоническому закону с амплитудой
Ет = Е^-^, (1.42)
т. е. при изменении расстояния на б амплитуда уменьшается в
е — 2,73 раза, а фаза — на один радиан. Фазовая скорость волны,
соответствующая условию a>t—х/Ь — const, равна v$ = соб.
Кривые рнс. 1.6 являются универсальными для Е, J и Н (с уче-
том запаздывания Н на л/4), что соблюдается только для плоской
волны в однородной полубесконечной среде.
Картина распределения Е (х) и Н (х) в пространстве для t = О
приведена на рис. 1.7. Существуют участки, в данном случае
л/4—л/2, 5л/4—-Зл/2 и т. д., где напряженности Е и Н имеют раз-
ные знаки. Вектор Пойнтинга, описывающий перенос электро-
магнитной энергии, принимает здесь отрицательные значения, т. е.
направлен к поверхности, а не в глубь металла. Для произвольного
момента времени t плотность потока мощности
S.-W- т]' <1ЛЗ)
25
Рис. 1.7. Распределение напряженности электрического и магнитного поля
в плоском теле в момент t = О
Из (1.43) следует, что при любых х на периоде Т имеются два
интервала времени длительностью по Т/8, в течение которых 50
отрицательна. Таким образом, три четверти периода мощность
поступает в тело, а одну четверть — возвращается обратно. В то
же время удельная объемная мощность всегда положительна и ме-
няется по закону
W (х, t) = уЕ2 = уЕтев^16 COS2 (tot—х/б),
а ее среднее во времени значение
w (х) = —g-2*/6 = wt£-~2x/6. (1-44)
На расстоянии б удельная объемная мощность составляет всего
13,5 % ее значения на поверхности.
Из (1.43) средняя плотность потока мощности, равная удельной
поверхностной активной мощности р0, составляет
50ср (х) = Ро (х) = е~2х/б = = р0ее-2^, (1.45)
4 О
где рОе — значение р(> на поверхности (х = 0).
Мощность, выделяющаяся в слое б, равна разности плотностей
потока на поверхности и на глубине б:
Лроб = Рое -р06 = (1 -еа) « 0,865р0е, (1.46)
02
т. е. 86,5 % мощности выделяется в слое б, а только 13,5 % — за
26
его пределами. Это дает основание в приближенных расчетах счи-
тать, что практически вся мощность сосредоточена в поверхност-
ном слое б.
Так как по закону полного тока напряженность Нте на поверх-
ности массивного тела равна линейной плотности (настилу) тока
Гт = то из (1.45) получается, что поглощаемую мощность Р
можно определить, если считать, что весь ток равномерно распре-
делен в слое 6:
_ рП1 I* рП _ гГт
62 6Z 2 2
(1-47)
Здесь П — периметр тела (длина линии тока); / — ширина
полосы тока; г — активное сопротивление тела.
Такой метод, использующий при вычислении активного сопро-
тивления формулу для постоянного тока, широко применяется при
расчете устройств с ярко выраженным поверхностным эффектом.
Как уже отмечалось, индукционные устройства являются си-
стемами с распределенными параметрами, а как элементы схем
питания — многополюсниками, в простейшем случае двухполюс-
никами. Считая все электромагнитные величины гармоническими,
используем символический метод и под I), I, Н и Е будем в даль-
нейшем понимать комплексные действующие значения, если не
оговорено иное.
Двухполюсную систему принято представлять в виде последо-
вательной или параллельной эквивалентной схемы из элементов
гъ Г2, хи и /?!, Т?2 и Хи соответственно.
Активные сопротивления гг и /?, определяют мощность потерь
в индукторе
АР, = /fr, = {/?//?„ (1.48)
а г'г и Т?2, называемые вносимыми или приведенными к индуктору
сопротивлениями нагреваемого тела, определяют активную мощ-
ность в нем
Р2=/?Г2=г/|/Д2. (1.49)
Реактивные сопротивления х„ и Хв учитывают реактивную мощ-
ность во всей системе
Q = = Z7f/XM. (1.50)
Параллельная схема чаще используется для плавильных, а по-
следовательная — для нагревательных индукторов. Связь между
их параметрами определяется формулами
7?1 — Zh/Гь /?2 — ^и/^*2, Хи — ZB/xB,
где
z2K = (n + r\)2+xi = [(1/Я, + 1/Д2)2 + Хй2]~'. .
(1-51)
27
Сопротивления эквивалентных схем, являющиеся интеграль-
ными параметрами ЭМ-системы, отражают ее свойства как потре-
бителя энергии только при одной частоте. Все они являются слож-
ными функциями частоты [23]. Это необходимо учитывать, в част-
ности, при несинусоидальных воздействиях и в переходных
режимах. Для линейных устройств могут быть построены более
сложные схемы замещения с частотно-независимыми в опреде-
ленном диапазоне частот параметрами [24].
Индуктор с автотрансформаторным включением (рис. 1.8) можно
представить в виде четырехполюсника, эквивалентные параметры
и коэффициенты которого в линейном варианте легко найти из
частных режимов, например, XX и КЗ вторичной цепи, т. е. при
С -> 0 и С -> оо. Представление индукторов в виде четырех- или
многополюсников является эффективным приемом, упрощающим
расчет сложных систем. Для нелинейных систем параметры экви-
валентных схем также нелинейны.
Существует группа методов расчета индукторов, основанных на
построении промежуточных, более сложных схем замещения. Их
элементами являются сопротивления, отражающие отдельные
участки распределенной системы. Эти сопротивления можно счи-
тать коэффициентами, связывающими активные и реактивные мощ-
ности, реально существующие в частях системы, с квадратом соз-
дающих их токов или напряжений.
Беря в качестве // ток индуктора, получаем вносимые в индук-
тор сопротивления. Если мощности Р2 и Q2 в нагреваемом теле раз-
делить на квадрат тока в нем, получаем собственные сопротивления
г2с и х2с тела. Иногда собственное активное сопротивление совпа-
дает с сопротивлением постоянному току, например для тонко-
стенного цилиндра (см. рис. 1.2). Однако чаще они являются чисто
расчетными величинами, не имеющими физического обоснования.
Так, для сплошного цилиндра при уменьшении частоты г2С стре-
мятся к постоянному значению, а х2с — к бесконечности.
Очень важное значение имеют сопротивления участков системы,
отнесенные к магнитодвижущим силам, действующим на их длине.
Например, разделив мощности в объеме, занятом цилиндром (см.
рис. 1.2), на квадрат модуля МДС Fe надлине /, получим
Z2 = г2 + /ха = S2/| Fe |2 = SI Fl (1.52)
Рис. 1.8. Схема автотрансформаторного включения индуктора (а) и ее
представление в виде четырехполюсника (6)
28
где
Z2
Ft=fHedl. (1.53)
б
Если взять на поверхности тела единичный квадрат, то прихо"
дящаяся на него мощность, определяемая вектором Пойнтинга»
равна
S0=EexH<1 (1.54)
где Не — сопряженная с Не величина.
Так как для единичного квадрата Fe = Не, то его сопротивле-
ние будет
Zo - = ЁеН!Н2е = Ёе1Не,
что соответствует (1.31).
Сопротивление единичного квадрата нагреваемого тела всегда
можно записать в виде
Z0 = -e-(G + /Q), (1.55)
с
где G и Q — коэффициенты, зависящие от геометрии системы, от-
носительных размеров тела и способа возбуждения поля.
Для тела, находящегося в однородном на длине /2 магнитном
поле, полное сопротивление
Z2 = Z0n2/l2, (1.56)
где П2 — периметр поверхностной токовой нити. Сопротивления Zo
и Z2 широко используются при аналитическом и численном расчете
индукционных систем методом магнитных схем замещения.
Если Fe = /2, что соблюдается, например, при внесении иде-
ального магнитопровода в полый цилиндр или при толщине его
стенки, превышающей две глубины проникновения тока, то
Z2 — Z2C.
Если овальный или цилиндрический индуктор, состоящий из
Wr витков, имеет большую длину, то Ёе = /,№, и сопротивление
Z2 равно вносимому: Z2 = Z2 — r2 + jx'2.
В реальных системах токи и напряженности поля распределены
по длине и периметру тел неравномерно. Для описания этих рас-
пределений вводят понятия поверхностного и кольцевого эффектов,
а также эффектов близости и вытеснения тока магнитопроводом.
Эти эффекты, достаточно подробно рассматриваемые в литера-
туре [1, 9, 25], легко объясняются законами распространения
электромагнитной энергии вдоль направляющей линии — индук-
тирующего провода — и поглощения ее проводящими телами. По-
верхностный эффект уже рассмотрен для однородного массивного
плоского тела. Кольцевым эффектом называется явление концен-
29
трации переменного тока на вогнутой стороне изогнутого провод-
ника. Объясняется оно тем, что напряженность магнитного поля
в этом месте больше, чем на выпуклой стороне, а значит, больше
плотность поглощаемой электромагнитной энергии и плотность
тока.
Эффект близости заключается в стягивании вихревого тока де-
тали под индуктор и в концентрации тока индуктора на поверхно-
сти провода, обращенной к детали (рис. 1.9, а). Аналогичное яв-
ление наблюдается в близко расположенных шинах с токами раз-
ного направления.
Эффект вытеснения тока в проводнике, помещенном в паз П-об-
разного магнитопровода (рис. 1.9, б), широко используется в ин-
дукционном нагреве для концентрации поля в более узкой полосе
и повышения энергетических параметров коротких индукторов.
Представляется полезным введение в теорию индукционного
нагрева понятия «краевые эффекты». Под ними понимается иска-
жение электромагнитного поля и распределения источников теп-
лоты в зоне концов нагреваемого тела (краевой эффект детали)
или обмотки (краевой эффект индуктора). Сюда же относится иска-
жение поля в зоне резкого изменения свойств нагреваемого тела,
например на стыке ферромагнитной и немагнитной заготовок.
Краевые эффекты индуктора и детали во многом определяют ка-
чество нагрева и энергетические характеристики устройства. Рас-
смотрим в качестве примера распределение относительной мощно-
сти по длине полубесконечного немагнитного цилиндра, помещен-
ного в многовитковый индуктор (рис. 1.10). Настил мощности Р'
отнесен к его значению в средней (регулярной) части Lc (зона рав-
номерного распределения). В зоне конца обмотки кривая Р' спа-
дает, причем, как будет показано далее, мощность в торцевой пло-
скости индуктора (точка а) в 4 раза меньше, чем в зоне Lc. Наобо-
рот, возле торца цилиндра происходит рост Р’, увеличивающийся
с возрастанием частоты. Характер распределения Р' можно объяс-
нить с помощью картины магнитного поля (рис. 1.10, а). Более
подробно краевые эффекты индуктора, цилиндрических и прямо-
угольных тел будут рассмотрены в главах 3—-5.
Рис. 1.9. Распределение тока в индуцирующем проводе и нагреваемом теле
без магнитопровода (а) и с магнитопроводом (б)
30
Рис. 1.10. Эскиз системы к
описанию краевых эффектов
(с) и соответствующее рас-
пределение мощности по
длине загрузки (б)
Методы расчета электромагнитных полей систем индукционного
нагрева весьма разнообразны, и их рассмотрению посвящена
глава 2.
1.3. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСИЛИЯ В УИН
Взаимодействие магнитного поля, создаваемого индуцирующей
катушкой, с токами в витках самой катушки, с вихревыми токами
в загрузке и с магнитопроводом вызывает электродинамические
усилия (ЭДУ), распределенные в объемах тел системы. Эти усилия
вызывают вибрацию элементов устройства и перемещение нагре-
ваемых тел. В некоторых случаях наблюдается даже выброс немаг-
нитных слитков из индуктора. В несимметричных системах для
индукционной термообработки возможны дополнительные дефор-
мации деталей под действием ЭДУ. При нагреве крупногабаритных
тел, например алюминиевых листов и слябов, вибрация и вызы-
ваемый ею повышенный шум являются серьезными препятствиями
для внедрения индукционного метода нагрева. Однако ЭДУ при
индукционном нагреве изучены слабо, а имеющиеся работы [26—30 ]
посвящены в основном средним во времени силам, вызывающим
статическую деформацию или перемещение тел. Переменные со-
ставляющие, определяющие вибрацию и шум, почти не рассмот-
рены.
В основе механизма образования ЭДУ лежат взаимодействия
магнитных полей с током и с магнитными массами.
Возможно несколько эквивалентных по получаемым резуль-
татам описаний (моделей) ЭДУ.
Первая модель основана на взаимодействии тока с магнитным
полем. Рассмотрим сначала систему, не содержащую магнитных
масс. Объемная плотность fv силы равна векторному произведению
плотности тока J и индукции магнитного поля В [22]:
fv = JxB. (1.57)
31
Полная сила fv, действующая на тело, определяется интегриро-
ванием fv по объему V:
f=jfvdV. (1.58)
v
Для проводника с равномерной плотностью тока сила, прихо-
дящаяся на единицу его длины, определяется средней по сечению
индукцией Вср:
f = ixBcp. (1.59)
Часто ток можно считать распределенным по поверхности в виде
слоя с настилом i'. При этом поверхностная плотность силы
f0=i'x В',
где В' — среднее из значений В по обеим сторонам токового слоя.
Магнитное поле создается токами обмоток и других элементов
системы.
Выражая В через силы токов источников, получаем силу взаи-
модействия тела А с телом С в виде
Ьс£ ХПп (1.60)
i€A j£C
где fy — сила, с которой элемент тока di/ действует на элемент diit
находящийся от него на расстоянии
fy = podi, X (сНгх Ry)/(/?y-4n). (1-61)
Направление Ri;- берется от элемента i к /. Для произвольных
токовых элементов fy =/= — f;i, т. е. действие не равно противо-
действию. Однако для тел, образующих замкнутые контуры токов,
всегда fAC — — Возможна иная формула для fy (формула
Ампера), обеспечивающая выполнение условия fy = — f/t и даю-
щая ту же результирующую силу для полных контуров [31 ].
Приведенные выражения можно использовать и для расчета сил,
действующих на магнитные материалы, если ввести поверхностные
и объемные токи намагниченности в материале.
Вторая модель возникновения ЭДУ основана на предложенном
Максвеллом представлении о натяжениях, действующих вдоль си-
ловых линий поля, и об их боковом распоре [31]. Плотности сил
натяжения и давления (распора) одинаковы и равны ри0//2/2. Эти
представления можно формально применить к любым телам, в том
числе непроводящим немагнитным. Для них силы давления и на-
тяжения всегда уравновешивают друг друга в любом объеме и ре-
зультирующая сила равна нулю. Проводящие и магнитные тела
деформируют поле, вызывая результирующую силу. При таком
подходе сила, действующая на тело, полностью определяется полем
у его поверхности. Сила, действующая на единицу поверхности,
может быть выражена через тензор натяжения Т [31 ]:
f0 = Tn = ррдН(Нп)--р.ро№ п, (1-62)
где р. — проницаемость среды вне тела, п — внешняя нормаль.
32
Полная сила определяется интегрированием fn по поверхности:
f = j fodS. (1.63)
s
Если тело окружено немагнитной средой, а напряженность поля
имеет только касательную к поверхности составляющую, что ха-
рактерно для сильного поверхностного эффекта, то
f0==_J^Ln; f=_±Lf//^S.
2 2 s
(1.64)
Для магнитопровода с большой проницаемостью можно считать
линии Н везде нормальными к его поверхности, и полная сила
будет
f = -^JXdS.
2 s
(1.65)
Распределение сил по объему проводящего ферромагнитного
тела носит весьма сложный характер. Наиболее распространенной
является формула [311
fv = JxB----^-gradp- J x B + — grad—. (1.66)
2 2p0 p
Первый член учитывает взаимодействие токов проводимости
с магнитной индукцией, второй — втягивание неоднородных маг-
нитных масс в зону более сильного поля.
Возможны и другие формулы для расчета сил, дающие такие
же результирующие воздействия, но разное их распределение по
объему тел [31 [. В частности, в расчетах электромагнитных полей
часто производится замена магнитных тел (проводящих и непрово-
дящих) совокупностью вторичных источников поля (эквивалент-
ных токов или магнитных зарядов [20, 32 [). Взаимодействие этих
токов и зарядов с внешним полем также позволяет найти полную
силу, действующую на тело, однако ее распределение по объему
или по поверхности может быть различным в зависимости от вида
введенных вторичных источников.
Третья модель позволяет найти результирующую силу, дейст-
вующую на тело или на его участок, из энергетических соображе-
ний. Пусть необходимо найти среднюю силу, действующую на ци-
линдрический слиток, помещенный в индуктор асимметрично по
его длине. Из расчета или эксперимента можно определить входные
параметры индуктора, в частности его реактивную мощность Q
и эквивалентную индуктивность L. Смещая слиток вдоль оси г
системы, находим зависимость L от положения слитка и производ-
ную L по г. Средняя во времени сила будет
F /2 dL 1 dQ
2 дг 2со дг
(1-67)
2 Заказ № 776
33
При вычислении производной от Q ток индуктора должен оста-
ваться неизменным. Смещая какую-либо часть системы (например,
виток обмотки), легко найти силу, действующую на этот участок.
Такой способ расчета сил наиболее прост и удобен для однофазных
индукторов при определении средней во времени силы. Использо-
вание его для нахождения переменной составляющей или для рас-
чета сил в многофазных индукторах связано со значительными труд-
ностями. В практических расчетах сил часто удобно использовать
правило, что сумма сил, действующих на все элементы индукцион-
ной системы, равна нулю. Например, чтобы найти силу, действую-
щую на частично ферромагнитный диск, можно определить равную
ей по величине и противоположную по направлению силу, дейст-
вующую на индуктор, создающий поле 130].
Если ток и индукция магнитного поля меняются во времени, то,
используя первые два из описанных способов, можно определить
мгновенные значения сил. Наибольший интерес представляет слу-
чай гармонического изменения тока и индукции.
Пусть i — /mcos ((at + а), В — Bmcos ((at + (3), а—Р = у.
Мгновенное значение силы будет
f = Fm cos уф- Fm cos (а 4- P) cos 2<oZ—Fm sin (а + P) sin 2co£, (1.68)
где Fw = y(ImxBm)—амплитуда переменной составляющей
силы (рис. 1.11).
Из формулы (1.68) и иллюстрирующего ее рисунка видно, что
сила имеет изменяющуюся с двойной частотой переменную состав-
ляющую с амплитудой Fm и постоянную составляющую F =
= Fmcos у. Максимальное и минимальное значения силы: FmaX =
= Fm (cos у + 1); FmIn = Fm (cos у—1).
Таким образом, сила не меняет знака во времени только при
cos у — ± 1, т. е. когда ток и магнитное поле в фазе (у = 0) или
противофазе (у = л). Тогда F = Fm = Fmax/2. Этот случай харак-
терен для однофазных индукторов с высокой добротностью (индук-
Рис. 1.11. К расчету электродинамических усилий в индукционных
устройствах
34
торы незагруженные или с немагнитной загрузкой при сильном
поверхностном эффекте).
При нагреве ферромагнитных тел токи и индукция магнитного
поля несинусоиДальны. При этом в частотном спектре силы появ-
ляются составляющие, соответствующие сумме и разности частот
гармоник тока и индукции. В частности, может появиться сила с ос-
новной частотой /.
В практических расчетах наиболее важно найти пространствен-
ные составляющие средней силы, действующей на элемент системы,
и амплитуды ее переменной составляющей при синусоидальном
изменении электромагнитных параметров. Пусть рассматриваемый
проводник состоит из N механически связанных круговых конту-
ров тока. Применяя символический метод, можно показать, что
средние значения проекций сил на оси z и R осесимметричной си-
стемы в расчете на единицу длины проводника определяются фор-
мулой
м w
2FZ = - £ Re (/тВ,п«)ь 27> = Z Re (1.69)
fe=i fe=i
а амплитуда переменной аксиальной силы Fmz — формулой
г N пр г N "I2
4FL = £ Re (jmBmR)k + Z Im (jmBmR)k . (1.70)
Lt=i J Lfc=i J
Амплитуда радиальной силы FmR определяется аналогично при
замене BmR на Втг.
В более общем случае непрерывной среды токи заменяются плот-
ностью тока, а суммы — интегралами по соответствующей пло-
щади.
Приведенное описание методов расчета сил позволяет найти
силы, действующие на тела, если вычислены распределения тока
и индукции по объемам тел. Качественный характер распределения
сил можно найти даже без расчета электромагнитных параметров
по ориентировочной картине магнитного поля. На рис. 1.12, а
приведен эскиз индукционной системы «немагнитная пластина —
токопровод с магнитопроводом» и примерная картина линий напря-
женности магнитного поля Н. На башмаки магнитопровода дейст-
вуют силы /м/2, втягивающие их в зону более сильного поля.
Сила /п, действующая на токопровод, обусловлена давлением поля
на его поверхность и направлена навстречу /м. Так как напряжен-
ности поля у поверхности токопровода и у башмака магнитопровода
не совпадают по фазе, то результирующая сила /м—/п, равная
силе /2, действующей на пластину, на каком-то отрезке периода
может менять свой знак. Силу /2 можно также определить через
давление и натяжение силовых линий на поверхностях пластины.
Напряженность поля под пластиной отстает по фазе от напряжен-
ности на ее верхней стороне, что служит объяснением знакопере-
менности /2 при таком способе ее определения. Примерное распре-
2* 35
Рис. 1.12. Картина магнитного поля при нагреве пластины индуктором
С магнитопроводом (а) и распределение средней силы, действующей на
немагнитную (б) и ферромагнитную (в) пластину
деление средней во времени плотности силы Е02 по ширине пластины
показано на рис. 1.12, б.
Если пластина ферромагнитная, то сила FM может быть больше,
чем Еп- Тогда индуктор и пластина будут притягиваться друг к
другу. Изменится и характер распределения силы Е02 (рис. 1.12, в).
В зоне под индуцирующим проводом нормальные составляющие
напряженности Н отсутствуют, поэтому здесь будут только силы
давления магнитного поля, отталкивающие пластину от индук-
тора. Под башмаками магнитопровода напряженность магнитного
поля имеет большую нормальную составляющую, вызывающую
притяжение пластины. Суммарная средняя сила Г2 может быть
как притягивающей, так и отталкивающей в зависимости от соче-
тания частоты, геометрических размеров системы, электрофизиче-
ских свойств пластины [30].
Амплитуда переменной силы FOm распределена по ширине пла-
стины примерно так же, как Е02. Таким образом, силы, приложен-
ные к пластине, будут вызывать не только ее поступательные, но
и изгибные колебания.
Некоторые характерные зависимости сил от параметров системы
будут рассмотрены в главе 5.
1.4. ТЕПЛОВЫЕ ПОЛЯ
Основной особенностью индукционного нагрева является вы-
деление теплоты в самих нагреваемых телах. Это позволяет пере-
давать в них большие мощности, получать высокие термические
КПД за счет выделения теплоты только в требуемых частях объе-
мов, в ряде случаев получать температурные распределения, не-
достижимые при других способах нагрева (например, с обратным
теплоперепадом, когда внутренние слои нагреваются до темпера-
туры большей, чем максимальная температура поверхности за
весь период нагрева). Малые тепловыделения в окружающую среду
улучшают условия труда персонала и облегчают работу устройств
36
перемещения нагреваемых тел и других конструктивных элемен-
тов.
Температурное поле в твердом теле описывается уравнением
тепло проводности [331
div (Xgrad Т)—су + w = 0, (1-71)
где X, с — теплопроводность и удельная теплоемкость; у — плот-
ность материала; w — объемная плотность источников теплоты,
зависящая от координаты рассматриваемой точки и от времени t.
При X = const получаем обычное уравнение Фурье для не-
подвижного тела
V2T----L_^L + J_№ = o, (1.72)
a dt К
где V27’ — оператор Лапласа от температуры; а = А/(су) — тем-
пературопроводность.
Для полного описания процесса нагрева необходимо задать крае-
вые условия (начальные и граничные). Начальные условия харак-
теризуют распределение температуры по объему тела в начале про-
цесса. Чаще всего начальная температура может считаться постоян-
ной, однако в ряде случаев (нагрев в многосекционном нагревателе,
подогрев заготовок после пламенной печи или установки непре-
рывной разливки и т. п.) она может иметь сложное распределение
по объему.
Граничные условия (ГУ) для уравнения (1.71) можно отнести
к одному из четырех типов.
ГУ I рода, когда задана температура Тт во всех точках Л4Г по-
верхности тела в функции времени, встречаются в нагревателях
ускоренного действия, при термостатировании заготовок в индук-
торе, при программируемом режиме нагрева под термообработку:
Tr = f(Mr, 0.
В ГУ II рода задана производная температуры по нормали к по-
верхности, пропорциональная тепловой удельной поверхностной
мощности Арот:
(-—) = = (1.73)
\ иП /г А
Нулевые ГУ II рода (дТ/дп — 0) задаются на осях и плоскостях
четной симметрии, а также на поверхностях хорошо теплоизолиро-
ванных тел. Ненулевые, обычно нелинейные, ГУ описывают тепло-
обмен с внешней средой.
К ГУ III рода относится теплообмен в соответствии с законом
Ньютона
(1.74)
V дп /г Л
37
где Тс — температура окружающей среды; а — коэффициент тепло-
отдачи.
Считая а функцией координаты и температуры в определенных
пространственных и температурных интервалах, любой реаль-
ный закон теплообмена можно аппроксимировать формулой
(1-74).
ГУ IV рода описывают температурное поле на поверхности кон-
такта тел, когда температуры и тепловые потоки справа и слева
от границы одинаковы:
тг1=тг2; *1(44 =-444 • (1-75)
\ дп /п \ дп /га
Уравнение (1.71) с соответствующими ГУ полностью описывает
температурное поле. Сложность решения задачи определяется:
1) многомерностью поля, в общем случае трехмерного;
2) нелинейностью коэффициентов 1, с и а, являющихся слож-
ными функциями температуры; особенно сложен учет свойств в зоне
фазовых превращений (точка Кюри стали, точка плавления мате-
риала), когда свойства сильно меняются в узком диапазоне темпе-
ратур; помимо сильного изменения X в этом диапазоне необходим
учет теплоты структурных превращений;
3) в случае фазовых превращений неизвестностью положения гра-
ницы раздела фаз, которую требуется находить в процессе рас-
чета (задача Стефана);
4) нелинейностью граничных условий, особенно при высоко-
температурном нагреве, когда преобладают тепловые потери за
счет излучения.
Несмотря на отмеченную общность уравнений для электромаг-
нитного и теплового полей, между ними существует значительная
разница. С одной стороны, тепловое поле описывается скалярным
уравнением относительно одной переменной Т, а область, в кото-
рой определяется поле, обычно составляет только часть простран-
ства, в котором существует электромагнитное поле. Это упрощает
задачу. С другой стороны, наличие внутренних источников и не-
стационарность температурных полей усложняют решение по срав-
нению с электромагнитной задачей.
Сложно распределенные внутренние источники, большие гра-
диенты температур и связанные с этим сильные нелинейности за-
ставляют искать эффективные пути расчета температурных полей,
учитывающие специфику задачи. Для расчета используются ана-
литические и численные методы, чаще всего в дифференциальной
постановке.
В качестве примера аналитического расчета, общего для тепло-
вого и электромагнитного полей, рассмотрим распределение тем-
пературы в плоском однородном теле при периодическом измене-
нии температуры на его поверхности. Эта задача представляет зна-
чительный теоретический и практический интерес, так как в таком
38
тепловом режиме работают футеровки периодических нагревателей,
контейнеры прессов, штампы и т. д.
Считая, что в массивном плоском теле внутренние источники
теплоты отсутствуют, а его свойства постоянны, из (1.72) получаем
уравнение, аналогичное уравнению (1.22) для электромагнитной
волны,
д2Т 1 дТ
дх2 a dt
Пусть температура поверхности изменяется с периодом т по
закону
Те=Т(0, 0=Tcpe+Tmecos-^-.
т
В установившемся режиме температура в любой точке будет
иметь постоянную во времени составляющую Тср и переменную
составляющую, меняющуюся по такому же закону, что и напря-
женности электромагнитного поля, проникающего в неограничен-
ное тело (см. рис. 1.6):
Т (х, 0 = Тср (х) + 7'mee-x/6Tcos (2л//т—х/бт),
где 6Т—глубина проникновения тепловой волны, бт = ^ат/л.
Фазовая скорость тепловой волны
Пф = бт-2л/т — 2д/ла/т.
Значения бт и Оф приведены в табл. 1.1 для стали (а = 0,1 см2/с)
и шамота при Т = 800 °C (а = 0,0055 см2/с) для различных перио-
дов.
Таблица 1.1. Глубина проникновения н фазовая
скорость тепловой волны
Период, с Сталь Шамот
6Т, см Оф, см/с бт, см Оф, см/с
10 0,56 0,35 0,13 0,082
100 1,77 0,11 0,42 0,026
1000 5,6 0,035 1,3 0,0082
При температуре поверхности, периодически меняющейся по
произвольному закону, решение может быть получено путем на-
ложения полей для отдельных временных гармоник.
Большое значение для анализа и синтеза индукционных уст-
ройств имеют базовые аналитические решения тепловых задач,
полученные для тел простой геометрической формы с постоянными
теплофизическими свойствами. Такие решения получены для по-
лубесконечного плоского тела, пластины, цилиндра (пространст-
венно-одномерные задачи) и длинного тела прямоугольного сече-
ния (двухмерная задача). Задачи различаются по геометрии нагре-
ваемого тела, распределению внутренних источников теплоты, ха-
рактеру изменения их во времени и по условиям теплоотдачи с по-
верхности. Основными режимами нагрева являются режимы с по-
стоянством источников во времени и с постоянством температуры
на поверхности.
Распределение температуры в плоском полуограниченном теле
рассмотрим сначала при постоянстве температуры поверхности Те
и отсутствии внутренних источников теплоты. Это условие соблю-
дается при жидкостном охлаждении поверхности равномерно на-
гретого тела или приближенно при ускоренном нагреве тела по-
верхностными источниками. Температура на расстоянии х от по-
верхности тела при его нагреве от нулевой начальной температуры
будет [2, 91
Ф(ы)], (1.76)
где и = х/(2 'yat}—относительная координата.
Здесь предполагается, что температура поверхности скачком
изменяется от нуля до Те. Удельная мощность р0, обеспечивающая
постоянство Те, должна меняться во времени по закону
pQ^’KTfJ^/nat. (1-77)
В начальный период времени (t 0) мощность стремится к бес-
конечности, поэтому на практике нагрев ведут с максимальной
допустимой или целесообразной мощностью до заданной Те, после
чего р0 изменяют по требуемому закону.
При расчете охлаждения массивного плоского тела, нагретого
до исходной температуры То, при постоянной температуре поверх-
ности Те вместо (1.76) следует использовать формулу
Т-Те=(Т0^-Те)Ф(и). (1.78)
Более важен для индукционного нагрева режим с заданной
удельной мощностью. Если источники теплоты постоянны во вре-
мени и равномерно распределены в слое 0 Ок, то температура
на расстоянии х от поверхности [1, 2, 91
р+ 1)2[f (и+Ик)_1]_(р_1)2[/7 (ы_Мк)__е]}>
4л
(1.79)
где р, и, ик, е — безразмерные параметры, определяемые выраже-
ниями
u — x/(2^/at)\ ик=хк/(2^аГ)‘, ₽ = и/ик — х/хк;
8=1 при Х>Хк и 8 =—1 при Х<Хк.
40
функция
77(2)=(1+-^-)ф(2)+-^ф1(2)’
__2
где Ф (2) = 2/-Vл f exp (—a2) da—интеграл вероятности (ошибок);
о
фг(г) = (2/^л )ехр(—z2)-—первая производная интеграла вероят-
ности (функция Гаусса).
Частный случай сильного поверхностного эффекта или нагрева
внешним источником при постоянной мощности получается из
(1.79) при хк -+ 0. Тогда
Т = 1], (1.80)
X
где Fx = 11/(2м)| Фх (и) + Ф (и).
Температура поверхности при этом будет изменяться по закону,
определяемому из (1.80) предельным переходом х->0:
Г, = 2р0 Jot . (1.81)
Таким образом, функции Фи Фх и содержащие их функции F
и f х описывают распределение температуры при нагреве и охлаж-
дении плоского неограниченного тела с постоянными свойствами
как при постоянстве Те, так и при постоянстве мощности.
Функции F (z) и Fx (z) нечетные. Их значения при г >0 приве-
дены в приложениях работ [1, 2, 9].
Дополнительно следует отметить решение 13], полученное
Дрейфусом при постоянных во времени источниках теплоты, рас-
пределенных по экспоненте (1.44).
Распределение температуры в телах ограниченного сечения
также рассмотрим сначала при 7'е — const и отсутствии внутрен-
них источников теплоты.
Как для пластины, нагреваемой с одной стороны, так и для
цилиндра решение можно записать в общем виде [1, 2, 9]
T = TJ1 + S(P, Fo)J, (1.82)
где S — функции распределения температуры, определяемые беско-
нечными рядами; р и Fo— относительная координата и критерий
Фурье (относительное время), равные:
для пластины толщиной £)2
P = x/Z?2, Ро = а//Ог;
для цилиндра радиусом Т?2
р=1^Я/Т?2, Fo = af/7?i.
Формулы для функций S приведены в 12]. Если пластина на-
гревается с двух сторон, то формула сохраняется, но под величиной
D2 следует понимать половину реальной толщины пластины.
41
Тепловое поле при охлаждении пластины или цилиндра от рав-
номерно распределенной температуры То при постоянном значении
Те легко получить из (1.82) в виде
Т-Те = (Те- То) S (р, Fo). (1.83)
Нагрев пластины и цилиндра при постоянстве мощности внут-
ренних источников теплоты во времени описывается формулой
[2, 9, 34]
Т = [Fo + S (а, р, Fo)], (1.84)
Л
где £>2 — толщина пластины или диаметр цилиндра; Р и Fo — те
же, что и в (1.82); а — безразмерный параметр, характеризующий
распределение мощности по сечению.
Значения S-функций для постоянной удельной мощности от-
личаются от S-функций в (1.82) и имеют простой физический смысл.
Легко видеть, что первое слагаемое в (1.84) определяет повышение
средней температуры тела (его теплосодержания), а S-функция
описывает отклонение температуры в данной точке от средней.
Следовательно, интеграл от S-функции по сечению тела (пластины,
цилиндра) всегда равен нулю, что облегчает построение кривых
и может служить для контроля точности вычислений.
Важно также отметить, что при сравнительно большом времени
нагрева (Fo > 0,3) S-функция перестает зависеть от времени и ре-
жим становится квазистационарным, т. е. нагрев всех точек сече-
ния происходит с одинаковой скоростью, а теплоперепады не ме-
няются в ходе процесса.
Формулы и таблицы для S-функций приведены в [2, 34] для
трех случаев распределения источников теплоты:
а = ах — убывающее по параболическому закону распределе-
ние источников от поверхности до глубины Xj, что характерно для
электромагнитного поля в ферромагнитной среде;
а = а2 — равномерное распределение источников в поверх-
ностном слое, что характерно для двухслойной немагнитно-магнит-
ной среды (см. главу 3);
а = а8 — реальное распределение электромагнитной мощности
потерь в однородной пластине или цилиндре.
Как отмечалось ранее, формулы сохраняются при нагреве пла-
стины с двух сторон, если вместо ее толщины D2 взять D2!2.
В частном случае поверхностных или заданных внешних источ-
ников теплоты параметры а в (1.84) принимают свои предельные
значения (для пластины 04 —0, а2-> 0, а3->-оо; для цилиндра
а1->- 1, а2-> 1> аз_> °°)> a получающиеся функции S («пред, Р,
Fo) = So (р, Fo) могут использоваться для расчета изменения
температурного поля под влиянием внешнего теплообмена (тепло-
вых потерь) соответственно в пластине и в цилиндре.
42
Так, при индукционном нагреве однородного цилиндра с мощ-
ностью р0 при плотности тепловых потерь Ар0 температурное поле
определяется выражением
Т = -%- [(Ро-Лро) Fo + p0S (as, р, Fob ApoSo (р, Fo)]. (1.85)
Л
Формулы (1.79), (1.80) и (1.84) можно записать в следующем
виде:
T = kpoq(a, р, Fo) = fep0<p, (1.86)
где k = £>г/Х — размерный коэффициент; <р (а, р, Fo) — безраз-
мерная функция, которую можно назвать переходной характери-
стикой при воздействии на нагреваемое тело постоянной удельной
мощности ро = 1.
Если мощность изменяется во времени, то температурное поле
можно найти с помощью интеграла наложения [34]:
t
Т (t) — kp0 (0) <p (/) -F k f ро (т) ф (t—т) dt, (1-87)
о
где ро = др0 (t)/dt — производная р0 по времени; т — вспомога-
тельная временная переменная.
Формула (1.87) упрощается, если использовать ступенчатую
аппроксимацию изменения мощности. Тогда
N
T = k£ (Роп—Ро, п-1) Ф tn^), (1.88)
n=l
где п — номер ступени изменения мощности рОп, причем р00 = 0,
а начало первой ступени соответствует t = t0.
Аналитические расчеты позволяют исследовать распределение
температур в телах, определять влияние тех или иных параметров,
оптимизировать режим нагрева при линейной постановке задачи.
Расчет нелинейных систем, в том числе с изменяющимся во времени
распределением источников, возможен путем кусочной линеариза-
ции задачи на определенных температурных интервалах.
Кроме рассмотренных одномерных случаев имеется ряд полезных
пространственно-двумерных аналитических решений [34].
При нагреве ферромагнитных материалов до температуры, зна-
чительно превышающей точку Кюри, обычно достаточно трех ин-
тервалов линейности, соответствующих начальной, средней и ко-
нечной стадии нагрева («холодный», «промежуточный», «горячий»
режимы нагрева стали).
В холодном режиме все тело считается ферромагнитным с при-
мерно постоянной температурой. В горячем режиме все тело или
по крайней мере его основная часть принимается немагнитной с по-
стоянными свойствами, характерными для стали при температуре
выше точки Кюри. В промежуточном (или нескольких промежуточ-
ных) режиме одна часть материала немагнитна, а другая ферро-
магнитна (двухслойная среда). Если ЭМ-поле не полностью зату-
43
хает в наружном слое, то наблюдается отражение волны от границы
раздела сред, приводящее к сильному изменению ЭМ-параметров
системы и к перераспределению источников теплоты по глубине.
В каждом из трех характерных режимов распределение темпера-
туры в цилиндрических и плоских телах в одномерной постановке
может быть рассчитано с помощью приведенных выше S-функций
при а = аъ а2, а3.
При сквозном нагреве под пластическую деформацию горячий
режим занимает большую (до 70 %) часть времени нагрева, поэ-
тому конечное распределение температуры определяется почти пол-
ностью этим режимом, имеющим обычно квазистационарный ха-
рактер. Точность расчета такого режима, характеризующегося
почти постоянными свойствами материала, достаточно высока,
если правильно учитываются тепловые потери.
р. При нагреве под закалку нагрев обычно заканчивается на про-
межуточном режиме, являющемся нестационарным, при сильно
нелинейных свойствах материала, и точность аналитических рас-
четов снижается, а в многомерных случаях такие методы становятся
практически непригодными.
Численные методы дают возможность достаточно точно учиты-
вать все нелинейности и непостоянство внешних воздействий (изме-
нение подводимой мощности или напряженности магнитного поля),
позволяют моделировать весь процесс нагрева.
В сильно нелинейных режимах возможны специфические эф-
фекты взаимодействия электромагнитных и тепловых полей, при-
водящие к пространственно-периодическому изменению темпера-
туры при однородных начальных условиях и монотонном харак-
тере внешнего воздействия. Примером такого режима является
так называемый «полосатый нагрев», хорошо описанный в работах
[6, 7]. Он заключается в том, что на поверхности ферромагнитного
тела, помещенного в однородное магнитное поле, при температурах,
близких к точке Кюри, могут возникнуть периодические изменения
температуры в виде ярко светящихся и темных полос. По мере
перехода новых участков тела в немагнитное квазилинейное состоя-
ние полосы исчезают. Моделирование такого неустойчивого режима
представляет особые трудности и до настоящего времени не выпол-
нялось.
Так как создание температурных полей определенной конфигу-
рации является основной целью проектирования устройств индук-
ционного нагрева, рассмотрим некоторые характерные особенности
распределения температур. Прежде всего при индукционном на-
греве максимальная температура создается не на поверхности тела,
а на некоторой глубине, в зоне источников теплоты. Это следует
из того, что тепловой поток направлен с поверхности тела в окру-
жающую среду и производная Т по внутренней нормали на границе
всегда отрицательна, см. (1.73). Лишь в случае идеальной тепло-
изоляции (дТ1дп)г 0. При нагреве под закалку влияние тепло-
вых потерь невелико и поверхностную температуру можно считать
44
равной максимальной. Распределение температуры в конце нагрева
цилиндрического образца под закалку при поверхностных и глу-
бинных источниках показано на рис. 1.13 (кривые 1 и 2). Граница
полученного после охлаждения закаленного слоя хк по полумартен-
ситной структуре для большинства марок сталей соответствует
примерно 750 °C, что близко к температуре магнитных превраще-
ний Тк (715—760 °C). Поэтому можно считать, что за пределами
слоя хк материал в конце нагрева находится в магнитном состоя-
нии. Благоприятное распределение удельной мощности источников,
- которая для цилиндрических тел может расти с глубиной (кривая 3),
обеспечивает быстроту процесса и меньшие энергозатраты по срав-
нению с внешним нагревом. При очень малом времени нагрева
кривая температуры примерно соответствует распределению источ-
ников по объему тела, что используется иногда для их определения.
При сквозном нагреве сплошных тел значительную роль играет
процесс теплопроводности, поэтому времена нагрева резко возра-
стают, а удельные мощности уменьшаются. Возрастает влияние
тепловых потерь на формирование температурного поля. Харак-
терные распределения температуры по сечению немагнитного ци-
. линдра в процессе нагрева (кривые 1, 2, 3) и в конце его (кривая 4),
а также в стационарном режиме термостатирования (кривая 5)
при постоянстве температур на поверхности Те показаны на
рис. 1.14. На поверхности находится локальный или глобальный
минимум температуры, а на оси — глобальный или локальный
минимум или же максимум (при термостатировании). Характерное
для горячего режима распределение источников теплоты иллюстри-
руется кривой 6.
Из кривых рис. 1.14 следует, что индукционный метод, давая
более быстрый нагрев по сравнению с поверхностным, не обеспечи-
вает полной управляемости процессом по каналу «мощность источ-
ников — время» в смысле достижения полностью равномерного
температурного поля. Лишь увеличение частоты, т. е. Переход
к внешнему нагреву, или улучшение теплоизоляции позволит по-
высить предельную достижимую точность нагрева. Обычно пре-
дельная достижимая неравномерность меньше технологически до-
пустимой и неполнота управляемости не накладывает ограничений
на режим нагрева, однако существуют случаи, когда это условие
не соблюдается.
Рассмотрим подробнее тепловые потери при индукционном на-
греве. Они складываются из потерь за счет конвекции, излучения
и контакта с другими телами. Удельная мощность конвективных
потерь зависит от температуры тела, его геометрии, состояния по-
верхности, скорости воздуха и других факторов. Для горизонталь-
ного расположения цилиндра в воздухе удельные потери на сво-
бодную конвекцию можно вычислять по формуле (Вт/м2)
Др0к = 2,56(7е—П)1’25, (1.89)
где Те — температура поверхности тела.
45
Рис. 1.13. Распределение температу-
ры при нагреве цилиндра под закал-
ку внешними источниками (/) и
глубинными источниками (2), плот-
ность которых соответствует кри-
вой 3
Рис. 1.14. Распределение температу-
ры по радиусу цилиндра в процессе
нагрева (кривые 1—4) и термостати-
рования (5) при распределении источ-
ников теплоты по кривой 6
Удельные тепловые потери с поверхности тела 1 при лучистом
теплообмене с охватывающим его телом 2
= Спр Г(Л + 273)4—(Т2 + 273)4]. (1.90)
Коэффициент спр, учитывающий взаимное облучение, для кон-
центрических поверхностей равен
(1.91)
где сл = 5,7-10-8 Вт/(м2-К4) — коэффициент лучеиспускания аб-
солютно черного тела; и е2— коэффициенты черноты тел;
и S2 —• площади их поверхности.
Для плоских поверхностей или цилиндров с малым зазором
(•^г ~ ^2)
„ _ £ле1е2
tnp- —- —— -
F'l ~1” ^2-
Другой предельный случай соответствует излучению в свобод-
ное пространство (S2-> оо)
СПр = Сл®1-
В более сложных случаях, когда температуры и свойства взаимо-
действующих тел не одинаковы, для определения тепловых потерь
необходимо решение внешней тепловой задачи на основе закона
Ламберта [16].
При индукционном нагреве сплошных тел обычно достаточно
использовать три приведенных выше случая лучистого обмена.
46
Коэффициенты черноты сильно зависят от материала, состояния
поверхности и температуры [16]. Для наиболее часто встречаю-
щихся окисленных материалов — стали и меди е = 0,8, а для теп-
лоизоляционных материалов, керамических и волокнистых, е =
= 0,8 4-0,95.
Если нагреваемое тело окружено тепловой изоляцией, то тепло-
вые потери зависят не только от ее качества (теплового сопротив-
ления 7?т), но и от режима нагрева. В нестационарном режиме
необходимо учитывать теплоемкость футеровки, решая для нее
уравнение теплопроводности. При этом возможны случаи, когда
в начале нагрева температура футеровки Тф больше Те и тепловые
потери отрицательны, т. е. теплота передается от футеровки к за-
грузке. Расчет таких режимов требует совместного решения внеш-
ней и внутренней по отношению к нагреваемому изделию задач
и практически реализуем только численными методами. В важном
случае стационарной теплопередачи через футеровку расчет потерь
с поверхности заготовки может быть выполнен в общем виде.
Удельные тепловые потери, отнесенные к площади боковой
поверхности нагреваемого цилиндра,
Арот = (Тфе-Тф^)8ф.ъ , (1 92)
/?TS₽
где Тф. в, £<],. в — температура и площадь внутренней поверхности
футеровки; Тфе 50 °C — температура внешней поверхности фу-
теровки; 7?т — ее тепловое сопротивление.
Для футеровки, состоящей из двух слоев материала с теплопро-
водностью и Аф2 и диаметрами £)ф. в, Оф. с, Офе, имеем
(L93)
2 \ Лф1 Лф2 Ь?ф2 /
Если тепловым сопротивлением воздушного зазора можно пре-
небречь, то, полагая Тф в « Те, можно сразу найти потери по
(1-92)
В противном случае следует предварительно найти Тф. в согласно
выражению [34]
ГФ.В = 4-"т№£в-з)
ZK 2(Ят + 2)
где Нг = Т* е/[с11рНт(Т^У], а индекс К означает, что температура
взята по шкале Кельвина; Т? = Tt + 273.
Полное моделирование процесса индукционного нагрева тре-
бует совместного решения ЭМ-задачи для всей системы, внутренней
электротепловой задачи и задачи внешнего теплообмена. Проекти-
рование индукционных устройств требует выбора типа устройства
(структурный синтез), определения параметров конструкции на-
гревателя (параметрический синтез), а также оптимизации режима
47
нагрева (синтез пространственно-временного управления). Для ре-
шения этих задач необходимо знание характера ЭМ- и тепловых
процессов и средств их количественного описания (моделирования).
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ УСТРОЙСТВ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
2.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА
Выбор метода расчета и анализа (исследования) электромаг-
нитных параметров индукционных устройств зависит от вида ЭМ-
системы, задачи исследования, имеющихся технических средств
и программного обеспечения, квалификации исследователя. Можно
выделить три основные задачи: предварительный расчет на стадии
выбора варианта устройства; полный расчет проектируемого или
эксплуатируемого устройства с целью оптимизации рабочих пара-
метров; исследование устройств определенного типа с целью вы-
яснения закономерностей электромагнитных процессов и получе-
ния рекомендаций по использованию таких ЭМ-систем.
Наиболее эффективно эти цели достигаются с помощью автома-
тизированных систем проектирования (САПР) и научных исследо-
ваний (АСНИ). Однако построение таких систем требует больших
материальных, временных и интеллектуальных затрат и в настоя-
щее время не может охватить всех видов индукционных систем,
встречающихся на практике. Построение САПР эффективно для
устройств серийного выпуска, например кузнечных индукционных
нагревателей, при больших предоставляемых пользователю возмож-
ностях (развитая база данных, наличие систем оптимизации и под-
готовки текстовой и графической документации и т. д.). В САПР,
как правило, должны использоваться комбинированные модели ин-
дукционных устройств, охватывающие электромагнитные, тепло-
вые, а иногда и иные процессы.
Для АСНИ, рассчитанных на решение широкого круга вопро-
сов, необходимо развитое программное обеспечение, позволяющее
квалифицированному исследователю моделировать работу уст-
ройств различных типов с высокой точностью.
Основными требованиями к АСНИ являются их универсальность
и хороший уровень адекватности моделей реальным устройствам
и процессам.
В самостоятельную группу следует выделить методы анализа
и расчета, которые должны использоваться в системах микропро-
48
цессорного управления индукционными устройствами. Эти методы
должны быть достаточно просты, чтобы расчет можно было прово-
дить в реальном или опережающем масштабе времени с целью оп-
ределения стратегии управления в условиях ограниченных вычис-
лительных ресурсов.
Многообразие методов расчета и анализа можно представить
в виде схемы (рис. 2.1). Схема не охватывает всех методов, а тем
более их варианты. Она включает в себя наиболее распространен-
ные методы расчета одно- и двухмерных электромагнитных систем.
Многие методы используются также для расчета тепловых полей
наряду со специфическими для этой области методами. Каждый
метод имеет свои достоинства и недостатки, значение которых ме-
няется в зависимости от конкретной ситуации, что затрудняет
общий анализ.
Методы схем замещения для двумерных (и трехмерных) систем
очень просты, однако позволяют определять только интегральные
параметры, (токи, сопротивления, мощности), имеют ограничен-
ную область применения и недостаточную точность, что затрудняет
их использование для параметрической оптимизации.
Аналитические методы при реализации их на ЭВМ обладают
высокой точностью, быстродействием, компактностью ввода исход-
ных данных, однако имеют жесткие ограничения по областям при-
менения. Они используются обычно для расчета геометрически
простых систем или отдельных частей сложных систем, причем,
как правило, в линейной постановке.
Численные методы позволяют выполнять расчет при любой гео-
метрии системы и физических свойствах тел, однако их практиче-
ская реализация связана с ограничениями по объему памяти, бы-
стродействию, точности расчета из-за методических и вычисли-
тельных погрешностей. С усложнением системы быстро возрастают
трудности ее описания, подготовки и ввода информации.
Рис. 2.1. Методы расчета и исследования индукционных устройств
49
Аналоговые методы моделирования в различных вариантах об-
ладают наглядностью, высоким быстродействием, позволяют мо-
делировать стационарные, нестационарные, линейные и нелиней-
ные процессы.
Однако каждая конкретная модель имеет узкую область при-
менения. Часто недостаточна точность выходных данных, пред-
ставляющих собой аналоговые сигналы, значительные технические
трудности возникают при учете нелинейностей, особенно меняю-
щихся в пространстве и времени.
Моделирование на непрерывных средах осуществляется в элек-
тролитической ванне или на электропроводной бумаге. Электроли-
тическая ванна широко использовалась для анализа внешних элек-
тромагнитных полей в начальный период разработки теории индук-
ционного нагрева [6, 7]. Метод позволяет исследовать трехмерные
поля, сравнительно прост в реализации и нагляден. Недостатком
является невозможность исследовать поля при слабом поверхност-
ном эффекте, низкая точность определения активных мощностей,
сложность моделирования многовитковых индукторов. В настоя-
щее время этот способ моделирования в технике индукционного
нагрева почти не используется.
Моделирование на фольге или электропроводной бумаге с по-
мощью электроинтеграторов ЭГДА может использоваться для
исследования двухмерных полей, как потенциальных, так и вихре-
вых (35, 36]. Основные недостатки здесь те же, что и у электроли-
тической ванны. На точность измерений влияет также неоднород-
ность бумаги и сильная зависимость ее удельного сопротивления
от влажности воздуха.
Сеточные модели используются для решения краевых задач,
описываемых двух- или даже трехмерными уравнениями Лапласа,
Гельмгольца или Фурье. Модели содержат плоскую или объемную
сетку из сопротивлений, имитирующую непрерывную среду, блоки
задания граничных и начальных условий, блоки измерений. В за-
висимости от вида решаемой задачи сетки могут состоять из рези-
сторов, в том числе нелинейных (варисторов), комбинации резисто-
ров и конденсаторов (7?С-сетки) или резисторов и катушек индук-
тивности (АД-сетки) 137, 38]. Модели обладают большим быстро-
действием, высокой стабильностью, что делает их перспективными
в качестве прогнозирующих моделей в системах автоматического
управления индукционными нагревателями. Однако при их реали-
зации возникают значительные сложности в задании граничных
условий и внутренних источников и в учете нелинейных свойств
моделируемого объекта.
Аналоговые вычислительные машины удобны для изучения не-
стационарных тепловых и электромагнитных процессов малой про-
странственной размерности, обычно одномерных, или моделирова-
ния процессов в устройствах с сосредоточенными параметрами
(нулевая размерность). Для квазистационарных электромагнитных
задач моделирование на АВМ практически не используется.
50
Физическое моделирование является одним из основных методов
исследования индукционных устройств, несмотря на широкое ис-
пользование математического моделирования. Эксперименты на
физических моделях и натурных устройствах применяются для
проверки адекватности математических моделей реальным объек-
там, нахождения или уточнения физических свойств нагреваемых
материалов, определения влияния принятых допущений, а также
явлений, не учтенных при моделировании, решения вопросов тех-
нологического и конструктивного характера. Наконец, сущест-
вует большое число устройств, в основном пространственно трех-
мерных, для которых отсутствуют эффективные методы расчета.
Недостатками физического моделирования являются во многих
случаях большая стоимость и трудоемкость, невысокая точность
измерения ряда параметров при общей достоверности процесса,
ограниченная наблюдаемость. Например, отсутствуют методы пря-
мого измерения плотности потока электромагнитной мощности
и объемной плотности источников теплоты. Температурное поле
может быть измерено лишь в ограниченном числе точек, в основном
поверхностных.
Возможности физического моделирования резко возрастают
при использовании математического аппарата теории подобия и тео-
рии планирования эксперимента, позволяющих распространить по-
лученные результаты на совокупность полностью или частично
подобных объектов, сократить число экспериментов при сохране-
нии достоверности данных, что особенно важно в многопараметри-
ческих процессах.
Физическое моделирование, методы схем замещения, аналити-
ческие и численные методы более подробно рассматриваются в по-
следующих параграфах данной главы.
Основными тенденциями в области анализа и расчета индук-
ционных систем являются развитие численных методов и расшире-
ние области их применения в связи с прогрессом вычислительной
техники, а также создание эффективных комбинированных методов
расчета (численно-численных, численно-аналитических) [39, 40].
2.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
В СИСТЕМАХ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
ПРЯМОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ПОЛЕЙ
Аналитические методы имеют очень большое значение в теории
индукционного нагрева, в особенности при изучении одномерных
и пространственно-периодических двухмерных полей. Одномер-
ные поля существуют только в плоских и цилиндрических телах
и могут служить также основой для описания электромагнитных
полей в реальных многомерных индукционных устройствах. Их
51
значение усиливается тем обстоятельством, что нагреваемые тела,
особенно немагнитные с сильным поверхностным эффектом, обычно
деформируют первоначально неоднородное поле, приближая его
к одномерному в самом теле и в окружающем пространстве у их
поверхности.
Одномерное поле в однородном плоском теле описывается урав-
нением (1.34), общее решение которого имеет вид (1.35). Обычно на
поверхности задается напряженность магнитного поля Н; тогда
взаимосвязанные распределения Е и И в плоском теле определяются
выражениями
Н= Сге~ау+ С2еау-
Ё = —pdH/dy = Zc —С2еау),
(2-1)
где Zc = pa = (1 + /) р/б — волновое сопротивление среды.
Постоянные Сх и С2 находятся из граничных условий конкрет-
ной задачи.
Выражения (2.1) представляют собой сумму прямой волны, за-
тухающей с ростом у, и обратной волны, амплитуда и фаза которой
возрастают с увеличением у. Для тела большой толщины, много
большей глубины проникновения, С2 = 0 и (2.1) превращается
в решение (1.37) для полупространства.
Часто вместо (2.1) используется представление распределений
Е и Н в виде суммы гиперболических функций:
И = Вх ch ay -|- В2 sh ау\
Ё = —Zc (Bj sh ay 4- B2 ch ay).
(2-2)
Такая форма удобнее для описания полей, обладающих симмет-
рией относительно начала координат. При четной симметрии для Е
(индукционный нагрев пластины) В.2 = 0, при нечетной (уединенная
шина с током) Bt = 0.
Зависимости модулей экспоненциальных и гиперболических
функций комплексного аргумента z = (1 + /) у/6 = z^j показаны
на рис. 2.2. Более подробное рассмотрение одномерных и двухмер-
ных полей в плоских телах приведено в главе 3.
Одномерное поле в плоском ферромагнитном теле. Если среда
ферромагнитна, то напряженности Е и Н будут несинусоидальны,
а магнитная проницаемость зависит не только от Е1, но и от коорди-
наты и времени: р = f (И (у, /)).
Точный расчет электромагнитного поля с учетом этой зависимо-
сти возможен только численными методами [41, 42 J. Однако в прак-
тически важном для индукционного нагрева случае массивного
ферромагнитного тела с сильным магнитным полем на поверхности
эффективное аналитическое решение получено Л. Р. Нейманом
[2, 9, 43]. Метод основан на ряде допущений:
52
Рис. 2.2. Зависимости модулей гиперболичес-
ких и экспоненциальных функций комплекс-
ного аргумента z = z -yjj от г
1) расчет выполняется для первых
гармоник напряженности и индукции
магнитного поля, что позволяет изба-
виться от их зависимости от времени;
2) зависимость р от Н заменяется
зависимостью р от координаты, что со-
ответствует замене нелинейной среды не-
однородной;
3) предполагается, что магнитная
проницаемость определяется по ампли-
тудам первых гармоник индукции и на-
пряженности поля, однако с достаточ-
ной точностью ее можно находить из
основной кривой намагничивания по действующим значениям этих
величин [9, 43]:
4) основная кривая намагничивания заменяется параболой вида
В = СН'!п,
(2-3)
откуда р = С/7(1-”)/п = СНа, где а — показатель параболы,
зависящий от материала и степени насыщения.
Для большинства сталей п укладывается в диапазон 4—20.
Для усредненной кривой намагничивания углеродистых сталей
можно принять п « 9,4; тогда а — — 0,894 и
р = 8130 tf-o.894, (2.4)
где Н выражена в А/см.
Формула (2.4) дает погрешность менее 5 % по сравнению с таб-
личными значениями [9 ] в широком диапазоне напряженности Н =
= 40 -г-4000 А/см и соответствующей ей проницаемости р =
= 300 -т-5.
В результате расчета, который изложен в работах [2, 9], рас-
пределение электромагнитного поля получено в явном виде. Анализ
показал, что плотность тока убывает от поверхности линейно до
глубины г/1 яа 1,5 6е, где — глубина проникновения, вычислен-
ная при значении магнитной проницаемости ре на поверхности.
За пределами этого слоя электромагнитное поле практически от-
сутствует. Напряженность И меняется по толщине слоя по пара-
боле.
Сопротивление единичного квадрата
z0 = (А (п)+/Л (n)i = Hr (°+(25)
Ое be
где и f о — коэффициенты, зависящие от п [2, 9 ]; G и Q — введен-
53
ные ранее общие обозначения коэффициентов сопротивления на-
греваемых тел.
При п = 9,4 = 1,32; /2 = 0,98. Часто принимается более
грубая, ступенчатая, зависимость В от Н, соответствующая п -> оо
и а -> 1. При этом = 1,37; /2 = 0,97. Аналитическая зависимость
коэффициентов G и Q от а дается формулой (3.54).
Экспериментальная проверка, а в последнее время и численные
решения, учитывающие реальное изменение В и Я во времени, по-
казали, что формулы Неймана дают хорошее приближение как по
уровню, так и по распределению мощностей и напряженностей
поля. Потери на гистерезис при индукционном нагреве много
меньше, чем от вихревых токов, и их можно не учитывать, за ис-
ключением специальных случаев, например нагрева порошковых
материалов.
Одномерные поля в цилиндрическом теле возникают в двух слу-
чаях: 1) при индукционном нагреве тела в продольном магнитном
поле (Н = Яег; Е = Ёе(р); 2) при использовании цилиндрического
тела в качестве токопровода (Ё = Ёег; Н = //еф).
В обоих случаях напряженности Е и Н, а также потенциал А
зависят только от одной координаты /?, подчиняясь для однородной
среды уравнению
+ = (2.6)
dR2 ' R dR \ 62 )
Если вектор А направлен по оси г, то п = 0, а если по коорди-
нате <р, то п = 1.
Уравнение (2.6) можно рассматривать как обыкновенное урав-
нение Бесселя порядка п от комплексного аргумента
tn = y]—j
Решением уравнения является любая линейная комбинация
функций Бесселя Jn —j ), Неймана Nn (т-у/—/)или Ханкеля
{Нп} и Нп}) того же аргумента.
Выбор вида решения определяется геометрией системы (сплош-
ной или полый цилиндр, цилиндрическая полость в массивном
теле). Однако удобнее считать (2.6) модифицированным уравнением
Бесселя от аргумента myjj, общее решение которого может быть
принято для любой цилиндрической системы в виде
Л = СЛ(т7Г) + С2А„(т7Г), (2.7)
где 1п — модифицированная функция Бесселя; Кп — модифици-
рованная функция Ханкеля (функция Макдональда) порядка п.
Вещественные и мнимые части этих функций от переменной m.'xjj
являются функциями Томсона (Кельвина) от аргумента т (при
п = 0) или выражаются через их производные (при п = 1):
l0(jn-y/j) = ber mA-j bei m; Ko (m = ker m j kei m;
54
Рис. 2.3. Зависимости модулей модифицирован-
ных цилиндрических функций комплексного ар-
гумента т л]j от т
I-L^m-yJj ) = V7 (ber т+ j bei tn)-
КДтДГГ —^(»<er'm+/kei’/n) .
V/
Функции Томсона имеют колебатель-
ный характер с быстрым ростом амплиту-
ды колебаний для ber т и bei т и ее быст-
рым затуханием для ker tn и kei т. Однако
модули 1п (т -уД) и Кп {tn -уД) зависят от
т монотонно (рис. 2.3).
Учитывая характер функций можно
утверждать, что моди-
фицированные функции Бесселя 1п(тД1) описывают распределе-
ние напряженности поля при падении цилиндрической волны на
поверхность сплошного цилиндра. Для вектора, направленного
по оси z,
Аг — Ае10 (т-уД)/10(теДТ)-
(2-8)
При ориентации вектора А по координате ф вместо /0 следует
взять 1г.
Аналогично функции Кп(т-уД) и Ktitn^j) описывают акси-
альный и азимутальный векторы электромагнитной волны, рас-
пространяющейся в массивном теле из цилиндрической полости
в нем.
Для цилиндрического слоя сохраняются оба члена формулы
(2.7), а постоянные С\ и С2 определяются, как и для плоского тела,
из граничных условий. Основные закономерности распределения
электромагнитных параметров в цилиндрических телах приведены
в главе 4.
Базовые решения для одномерных полей широко используются
при отыскании аналитических решений для более сложных двух-
мерных полей.
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Рассмотрим двухмерное уравнение Гельмгольца для потенциала
А, имеющего одну составляющую по оси z и зависящего от коор-
динат х и у:
^4- + -й- = «2^- (2-9)
dr2 ду2 ' '
55
Метод разделения переменных основан на представлении реше-
ния в виде произведения функций, каждая из которых зависит
только от одной переменной:
A = X(x)Y(y).
Подставляя (2.10) в (2.9), получаем
(2.10)
= (2Л1) X дх* Y дуг 4
Уравнение переменной: (2.11) можно разделить на два уравнения одной ——— X2; (2.12) X dx2 ' ’
(2.13)
1 <FY «2 , а .
--------= X2 4- сса = р2,
Y dy*
где % — постоянная разделения.
Решением (2.12) является
X — Cqx-\-C"0 при Х = 0;
X = C\cos Хх -р sin Хх при X =/= 0.
Соответствующее решение для (2.13) будет
Y = Doe~ay + Doeay при X=0;
Y = D'Ke-py+D"Kepy при Х=#0. .
(2-14)
(2.15)
Вместо экспоненциальных функций можно взять гиперболиче-
ские того же аргумента.
Решение (2.9) можно представить как сумму частных решений
вида (2.10) для всех X
А = (ах + СЭ (D^ay + D’oeay) +
Е (Р\ё~ру-у D)fi~py} (а cos Хх + Ci sin Хх). (2.16)
Если в (2.16) поменять местами х и у, то полученное выражение
также будет решением (2.9) и его следует добавить к (2.16) для
нахождения общего решения поставленной задачи.
Решение уравнения Лапласа получается из (2.16) при а = 0
с учетом того, что решение для X = 0 в (2.15) следует взять в виде
У = Ро</ +Не-
постоянные разделения и неизвестные коэффициенты необхо-
димо определять из граничных условий, что представляет наиболее
сложную часть решения. Так как (2.16) можно рассматривать как
разложение функции А (х, у) в ряд Фурье по оси х, то граничные
условия также следует представить в виде рядов Фурье по соот-
56
Рис. 2.4. Эскиз многосекцйон-
иого плоского индуктора для
иагрева двухслойного тела
ветствующим координатам,
которые должны совпадать
с границами области опре-
деления А.
Рассмотрим индукци-
онную систему, состоя-
щую из массивного двух-
слойного тела и многосекционного индуктора, снабженного
внешним магнитопроводом. Магнитопровод считаем идеальным
(р, -> оо, р -> оо), что для незамкнутых конструкций не приводит
обычно к заметным ошибкам. Токи в обмотках соседних секций
принимаем взаимно противоположного направления (рис. 2.4).
Если число секций велико, то поле в такой системе является перио-
дическим по координате х. Практически это условие выполняется
с достаточной точностью уже при числе секций, равном двум. Ин-
дукторы такого типа широко используются для поперечного на-
грева лент и пластин, нагрева плоских изделий под закалку и для
других целей.
Если длина индуктора в направлении оси г много больше шага
секций /, то поле является двухмерным и его удобно характеризо-
вать векторным потенциалом А, имеющим одну составляющую-
Потенциал подчиняется уравнению
\f!Ai = aiAi,
(2-17)
где в области 1 (t = 1) аг = 0, а в областях 2 и 3 а равна а2 и а3
соответственно.
Граничные условия:
1) х=±//2, Л = 0;
2) у — h, А1 — А2, НХ1 = Нх2\
3) У = Л+ d, А2 = А3, Нх2 — Нх3\
4) у = 0, Нх = 0 при а/2 <|х|<//2;
Нх— Но при |х| < а/2.
(2-18)
Последнее условие соответствует допущению, что напряжен-
ность Нх равна настилу тока Но ~ IW/a на поверхности обмотки.
Это допущение полностью правомерно, если обмотка представляет
собой бесконечно тонкий токовый слой на поверхности гладкого
магнитопровода. В реальных конструкциях, когда обмотка уложена
в паз магнитопровода, оно не является строгим.
57
(2.19)
В принятой системе координат потенциал А является четной
периодической функцией х, поэтому решение уравнения (2.17)
можно взять в виде
А х = У, (F\ sh Аг/Х + F2 ch Арх) cos Ах;
х
>42=£(lVishp2</2 + lV2 chp2t/2) cosAx;
Аз = У М ехр (—р3рз) cos Ах,
х
где А = лп/l, что обеспечивает требуемые граничные условия при
х = ± 1/2, если п — 1, 3, 5, . . . ; р{= ^А2 + cxf; рх, у2, у3 —
локальные ординаты для каждого из слоев; у1 = у, у2 = у—h,
Уз = y—h—d.
Введение локальных координат не только упрощает
ние неизвестных коэффициентов и форму записи, но и
избежать разности близких величин при расчетах.
Определим составляющие Нх. Так как
определе-
позволяет
РРо ду
то
Нх1 = —У А (У7! ch Арх + F2 sh Арх) cos Ах;
Ио х
Нх2 = —У р2 (А\ ch р2р2+sh Р2Р2) cos Ax;
P2P0 X
/7x3 -----— X p3M exp (—p3ps) cos Ax.
1’зРо X
(2.20)
Разложим в ряд Фурье напряженность Нх на границе у — 0:
(2.21)
4Н0
Сравнивая
//лХ (x, 0) = -j- sin cos Ax.
x
(2.21) и (2.20), получаем
p _ 4/Zopo sin (Ад/2) _
1 I V
коэффициенты определяются из граничных
(2.22)
Остальные
2 и 3 в (2.18), приводящих к системе уравнений
—F2 ch Мг+ N2 — F± sh Ah;
-F2shU+^1-^- = F1chU;
|Х2Л
Nr sh p2d + ch p2d?—M = 0;
Ni ch p2d-| N2 sh p2d+M = 0.
условий
(2.23)
РаР-з
58
При известных коэффициентах легко найти распределение на-
пряженности поля, плотности тока и объемной мощности в системе.
Сопротивление одной секции, приходящееся на единицу ее длины,
можно найти, используя соотношения:
U1 = /н-Зх = / (и + Г2 + /хи) = //и, (2.24)
где гг — активное сопротивление обмотки; Эг — ЭДС, наводимая
в ее витках; хи — индуктивное сопротивление секции индуктора;
Эг = °f Ёх (х, 0) dx = ' f Л cos Kxdx. (2.25)
a b a b
Для вычисления сопротивления достаточно знать только коэффи-
циент
р р k ^а1 th th ~Ь th Pifi -р feax th ХЛ -р 1 2g\
P12 th Mi th p2d -p th p2d -p ^13 th X/i -p 1
где
/?12 = ^21* — t*2~ ; &23 — &32 — ; kis = /?31 = /?12^23-
Pa РзЦа
Выражение (2.26) можно записать, введя безразмерный множи-
тель Ф, в виде
F2=— ЛФ. (2.27)
Тогда из (2.24) и (2.25) получаем
со
Z„ = г1 + 8^^2/2 у _2_ Sin2 . (2.28)
л3аа L и3 2/ 7
П=1
Ряд (2.28) сходится достаточно быстро, и для расчетов обычно
достаточно 5—6 членов.
Из (2.26) и (2.27) можно получить несколько важных частных
случаев:
1) для пустого индуктора h -> оо ф = 1;
2) при одностороннем нагреве пластины р3 = X и р3 = 1, от-
куда k хз = ksl = 1;
3) поперечный нагрев пластины толщиной 2d получается при
зеркальном отражении системы относительно плоскости у = h + d;
для этого достаточно принять р3 -> оо, откуда
fea3 = fci3->oo, ф = feaithMthp2d-p i
fe21 th p2d -p th M
(2.29)
4) при нагреве пластины толщиной 2d в локально-продольном
поле у зеркальных отражений направления токов нужно поменять
59
на обратные; это эквивалентно замене среды 3 сверхпроводником,
для которого можно принять ц3 -► 0; тогда
* 1 th P%d 4“ th X/v
km -> OO, ft,. —> ОО, Ф = -----------.
Ala th ХА th p2d -j- 1
(2.30)
Еще более общий случай нагрева двухслойной пластины двумя
индукторами, расположенными на произвольном расстоянии от
пластины, рассмотрен в работе [44 J. Индукторы могут быть сме-
щены относительно друг друга по оси х и подключаться последова-
тельно, параллельно или независимо один от другого к источникам
тока или напряжения. Полезно отметить, что в случае пустого ин-
дуктора векторный потенциал принимает вид
Ап = £ Fi (sh \у—ch Ку) cos Хх = —£ exp (—Xz/) cos Хх (2.31)
х х
и его можно считать потенциалом поля возбуждения Л®. Потен-
циал А ( в случае произвольной нагрузки можно представить в виде
суммы потенциального поля возбуждения (2.31) и поля реакции А\:
A = A + Ai. (2.32)
где
А = £ ЕХЛФ ch Хг/cos Хх; ДФ=1—Ф.
х
Тогда сопротивление секции индуктора будет
— t\ Ч- Ух* Ч- Пг—(2.33)
здесь х± — индуктивное сопротивление секции пустого индуктора;
Ах — изменение реактивного сопротивления, обусловленное на-
грузкой.
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
ДЛЯ РАСЧЕТА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
Аналитический расчет цилиндрических систем методом разделе-
ния переменных имеет большое значение для исследования крае-
вых эффектов в индукторе, влияния магнитопровода для проекти-
рования конкретных систем, а также для проверки результатов
численных методов. Разработаны достаточно эффективные алго-
ритмы расчета единичных и многосекционных индукторов с перио-
дическим полем. Существенными ограничениями, определяющими
область применения метода, являются- требования большой (теоре-
тически бесконечной) длины загрузки, постоянства ее свойств по
длине и кусочного постоянства по радиусу, а также возможности
представления обмоток в виде тонких токовых слоев с заданным
токораспределением.
60
Рис. 2.5. Эскиз многосекционного ци-
линдрического индуктора с магнито-
проводом для нагрева двухслойного
цилиндра
Рассмотрим цилиндрическую
систему равноотстоящих друг от
друга секций индуктора с синфаз-
ными токами, внешнего кольце-
вого магнитопровода с бесконеч-
ной проницаемостью и двухслой-
ной цилиндрической загрузки (рис.
2.5).
В отличие от предыдущего случая здесь расстояние 21 между
центрами секций (шаг секций) является периодом поля, а не полу-
периодом. Условия на границах слоя и на поверхности магнито-
провода такие же, как для плоской системы. Однако при z = ± I
потенциал не равен нулю, а достигает минимума, что соответствует
отсутствию радиальной составляющей напряженности магнитного
поля в этих плоскостях. Кроме того, Rf =/= Rr и ток индуктора,
возбуждающий поле, не входит естественным образом в граничные
условия. В задачах такого типа векторный потенциал в области 3
следует представить в виде суммы потенциалов поля возбуждения
и поля реакции.
Общее решение уравнения Гельмгольца в цилиндрических ко-
ординатах с учетом периодичности поля будет [45]
At — Cq Ji (aiR) + GojKi (aiR)~\~
+ X [СпЛ (PiR)+ C'niKi (p,R)]cos Xz, (2.34)
n
где C’ni и C'ni — коэффициенты пространственных гармоник (n = О,
1,2,...) для области i (i = 1, 2, 3); X = лп/l — постоянная раз-
деления (пространственная частота); рг = д/х2 + а2.
Для воздушного пространства (г = 3) р3 = X, а первые два
члена в (2.34), соответствующие нулевой гармонике, необходимо
заменить суммой C0:iR + С'03/R.
Потенциал поля возбуждения при R Ri
2/
Если R >Rb
Поле реакции
^з = —-+Z H„/1(^«)K1(XR1)cosXz, (2.35)
2R1 п— 1
. ,, 2цоЯ1№7 sin (Ха/2)
> U п--
ла п
то в (2.35) нужно поменять местами R и Rj.
в области 3 ищем в виде
оо
лр =ЛРз+ £ [F1/1(XR) + FaK1(XR)l COS Xz. (2.36)
n=l
61
Учитывая характер изменения функций /х и Ki (см. рис. 2.3),
можно заключить, что и F2 являются коэффициентами поля
реакции магнитопровода и загрузки. Если магнитопровод отсутст-
вует, то Ft = 0.
Векторный потенциал в областях 7 и 2 можно записать в виде
= У, t/„7U71(p1/?)cosXz;
п=0
оо
(N1A (р2Я) + (р2/?)] cos Xz
n=0
Граничные условия на поверхности магнитопровода (7? = 7?/)
и загрузки (7? = 7?в, R = Re) позволяют однозначно определить
коэффициенты F, N и М при п > 1.
Для нулевой гармоники (п = 0) решение не может быть полу-
чено предельным переходом п -> 0 и должно быть найдено отдельно.
Нулевая гармоника представляет собой потенциал одномерного
поля, соответствующего нагреву цилиндра в однородном поле с на-
пряженностью Не = IWa/(2l). Так как внешний магнитопровод при
п = 0 не влияет на электромагнитные процессы, то достаточно
рассчитать поле только в области R < Rt и определить коэффи-
циент Fo нулевой гармоники. Для расчета такой системы можно
использовать формулы перехода через цилиндрический слой, при-
веденные в.главе 4.
Приведенный алгоритм можно преобразовать для расчета на-
грева полого двухслойного цилиндра внутренними индукторами,
в том числе с магнитопроводом в их полости [45].
При известных коэффициентах гармоник легко найти все рас-
пределенные и сосредоточенные параметры системы: плотности тока
и мощности, напряженности поля, коэффициент передачи мощности
сквозь наружный слой. Наибольший интерес представляет сопро-
тивление индуктора, которое можно найти по формуле (2.24), за-
писав вместо (2.25)
а/2
Э1 = / с A3{Ri<z}dz (2.38)
а о
Получаем
{ею
~ (I + А>)+Z 1А W (МА)+
21 п*а п=1
+ F2Kr (МА) + FlI1 (МА)] sin^ }, (2.39)
где. х10 — индуктивное сопротивление пустого индуктора без учета
краевого эффекта и влияния соседних секций.
Хотя полученные решения относятся к системе с равноотстоя-
щими друг от друга согласно включенными секциями, с их помощью
62
(2.37)
Рис. 2.6. Эпюры токов возбуж-
дения при согласном вклю-
чении индукторов (а и б) и ре-
зультирующий эпюр для
встречного включения (в)
можно исследовать различ-
ные цилиндрические ин-
дукционные устройства.
Прежде всего легко полу-
чить решение для встречно
включенных индукторов. Из рис. 2.6 непосредственно следует, что
знакопеременные токораспределения с шагом 2/ можно выразить че-
рез токораспределен и я одного знака с шагом 21 и 41. Соответственно
взаимосвязаны и сопротивления индукторов при встречном (ZB)
и согласном (Zc) включении:
ZB = 2Z"— Zc,
(2.40)
где Zc' и Zc — сопротивления индуктора при периодах 41 и 21 со-
ответственно.
С возрастанием I индукторы становятся одиночными. При этом
ряды вида (2.35) и (2.39) не сходятся при I -+ со и необходимо их
преобразование в интегралы [46]. Однако практически точные ре-
зультаты можно получить с помощью рядов при выборе такого
шага /, при котором магнитная связь между обмотками становится
пренебрежимо малой.
На практике часто встречается система из двух или более коак-
сиальных индукторов различной длины с общей длинной загрузкой
и магнитопроводом, когда взаимодействием между индукторами
пренебречь нельзя. Расчет такой системы возможен аналитическим
методом даже при разных радиусах и произвольном питании индук-
торов. Два индуктора А и В можно рассматривать как четырех-
полюсник с напряжениями U А и Св и токами 1А и!в; связь между
этими индукторами определяется матричным уравнением
%АА %АВ
%ВА %ВВ
А
(2.41)
в
в
Здесь ZAA и ZBB — сопротивления уединенных индукторов А
и 5; ZAB — ZBA — сопротивления, обусловленные их взаимной
индукцией. Сопротивление ZAB равно ЭДС, наведенной в одной
из обмоток, принятой за разомкнутую, единичным током, проходя-
щим по второму индуктору. ЭДС определяется по формуле (2.38)
при подстановке в нее соответствующих параметров индукторов.
Когда матрица сопротивлений известна, легко найти токи ин-
дукторов и затем распределенные параметры полей каждого из них.
Описанный способ расчета может применяться также к группам
63
последовательно соединенных секций, например для двухфазных
многосекционных индукторов.
Одним из недостатков метода разделения переменных является
громоздкость формул для вычисления неизвестных коэффициентов
гармоник при большом числе слоев. Особенно это проявляется для
цилиндрических систем, причем здесь необходимо с большой точ-
ностью вычислять цилиндрические функции комплексного аргу-
мента, что представляет определенные трудности даже при исполь-
зовании современных ЭВМ.
Значительного упрощения можно достигнуть, используя импе-
дансные граничные условия. При строгой постановке задачи со-
противления единичного квадрата Zo меняются по длине загрузки
даже при постоянных ее свойствах, и необходимо совместное реше-
ние уравнений поля для внутренней (в загрузке) и внешней обла-
стей. Импедансные граничные условия могут служить для сшива-
ния решений при использовании различных методов.
Аналитический метод значительно упрощается, если считать Zo
постоянным по длине и равным его значению для бесконечной си-
стемы. Справедливость этого допущения тем выше, чем длиннее
индуктор и сильнее поверхностный эффект в загрузке. Слабое
влияние краевого эффекта индуктора на сопротивление Zo подтвер-
ждено также большим объемом аналитических и численных расчетов.
Задание сопротивления Z() на поверхности загрузки приводит
для внешней задачи к граничному условию III рода относительно
потенциала
dR k Zo ' R )
(2.42)
Тогда расчет поля в области 3 (см. рис. 2.5) сводится к решению
уравнения Лапласа с граничными условиями II (при R — Rf и при
г = ± /) и III (при R = Re) рода. Источники поля задаются с по-
мощью поля возбуждения (2.35). Расчет постоянных Ft и F2 су-
щественно упрощается, и, что особенно важно, цилиндрические
функции должны определяться только для действительного аргу-
мента.
К методу разделения переменных близок метод интегральных
преобразований. Так, полученные в этом параграфе решения мо-
гут рассматриваться как результат косинус-преобразования Фурье
на конечном интервале. Решение для одиночного индуктора можно
получить путем преобразования Фурье на бесконечном интервале.
Распределение поля по радиальной координате можно найти с по-
мощью преобразования Ханкеля на конечном или бесконечном ин-
тервале. Методом интегральных преобразований решен ряд задач,
относящихся к теории индукционного нагрева и индукционной
дефектоскопии [47]. К ним относятся, кроме рассмотренных слу-
чаев двухслойного цилиндра в поле внешних и внутренних индук-
торов, цилиндрический виток или соленоид над проводящим полу-
64
пространством, провод или система проводов, параллельных про-
водящему плоскому телу или оси цилиндрического тела, и др.
В качестве примера аналитического решения уравнения Гельм-
гольца в сложной области можно указать работу [48]. В ней рас-
смотрено распределение вихревых токов в некруговом цилиндре
с секторным основанием. Решение получено в виде ряда по синусам
азимутального угла. Частным случаем задачи является цилиндр
с узким радиальным разрезом.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
К этой группе отнесены как специфические методы (для
частных случаев индукционных систем), так и достаточно общие
методы, по тем или иным причинам мало используемые в этой
области.
Метод зеркальных отображений широко используется в электро-
статике и магнитостатике. Основан на том, что действие плоской
полубесконечной среды на электромагнитное поле системы токов
можно заменить действием зеркально отраженных относительно
поверхности этой среды системы токов [38, 49]. Если магнитная
проницаемость среды pf бесконечно велика, то отражения должны
иметь тот же знак, а если среда может считаться сверхпроводящей,
что эквивалентно pf = 0, то знаки меняются на противоположные.
В общем случае постоянной конечной проницаемости р; поле в воз-
духе сохранится постоянным, если в точку зеркального отражения
реального тока i поместить ток
r = i р'-1 .
W+ 1
Зеркальные отображения возможны и для некоторых сложных
границ среды. Например, для провода с током, находящегося между
двумя сверхпроводящими телами с параллельными плоскостями,
отображения первого порядка необходимо отразить относительно
поверхности второго тела и т. д. В результате получается поле
бесконечного ряда знакопеременных токов, эквивалентное иско-
мому. Конечное число отображений (2N—1) получается для про-
водника, помещенного между двумя плоскостями, пересекающимися
под углом <р = л/7У.
Применительно к индукционным устройствам метод зеркальных
отображений эффективен для учета влияния магнитопроводов и не-
магнитных тел с сильным поверхностным эффектом, когда можно
считать тело непроницаемым для магнитного потока и принять
Pf = 0. В такой постановке расчет дает только индуктивное сопро-
тивление системы. Активную мощность в проводнике можно найти,
рассчитав тангенциальную напряженность магнитного поля Ht
на его поверхности, по формуле
Р = J rfdS. (2. 44)
о s
3
Заказ № 776
65
Расчет индуктора S достаточно точен при конечной глубине
проникновения, если реальную поверхность тела заменить экви-
дистантной, отстоящей от нее на расстояние 6/2. Имеются попытки
учесть вихревые токи с помощью эквивалентного коэффициента
отражения электромагнитного поля от поверхности [38].
Нужно отметить, что метод зеркальных отображений токов
возможен только для плоскопараллельных полей при плоских или
круговых границах расчетной области, причем в последнем случае
необходимо ввести два отображения [49]. Если цилиндр сверхпро-
водящий, то один отраженный ток нужно поместить на его оси, а
другой, встречный по направлению,— в инверсной точке (рис. 2.7),
отвечающей условию R' = R2eIRG.
Метод конформных отображений (преобразований) применяется
для расчета плоскопараллельных полей, подчиняющихся уравне-
нию Лапласа, при значительно более сложных границах. Однако
приемлемое по сложности решение получается только в том случае,
если границы эквипотенциальны или являются силовыми линиями
искомого поля. Для систем индукционного нагрева это означает,
что граница должна быть составлена из плоскостей симметрии,
проводников с ярко выраженным поверхностным эффектом (pf -> 0)
и идеальных магнитопроводов (р/->оо).
Метод заключается в том, что вводится комплексный потенциал
поля w, который записывается как функция точки комплексной
области г:
w=u + jv = f(z) = f(x+jy), (2.45)
где и — потенциал поля; v — функция потока.
Условия и = const и v = const определяют эквипотенциали
и силовые линии поля в плоскости z.
Для определения зависимости (2.45), соответствующей заданным
граничным условиям, область z преобразуется в другую, с более
простыми границами, решение для которых известно. Основная
трудность заключается в нахождении уравнения преобразования
или последовательности преобразований. Для областей с прямо-
линейными границами преобразование осуществляется с помощью
интеграла Кристофеля—Шварца [38, 49].
Методом конформных преобразований изучены, например, элек-
тромагнитные поля систем высокочастотной сварки труб при раз-
личной форме и расположении
I свариваемых кромок и магнито-
~~I \ проводов [3].
/ i \' Недостатками метода, кроме
* U \ упомянутых выше ограничений,
Рис. 2.7. К расчету поля методом
зеркальных отображений
66
является сложность решений, содержащих обычно интегралы, не
берущиеся в явном виде и требующие численного расчета на ЭВМ,
а также наличие особенностей решения в точках излома границы.
В этих точках плотность тока стремится к бесконечности, хотя
мощность, определяемая интегралом (2.44), сохраняет конечное
значение. В результате расчета получаем индуктивность системы
и достоверное распределение мощности вдоль границы за исключе-
нием окрестностей особых точек, где требуется оценка погрешности,
связанной с допущением полной непроницаемости проводников
для магнитного потока.
Для полей в проводящих средах метод конформных преобразо-
ваний неприемлем, так как уравнение Гельмгольца при преобразо-
вании координат также изменяется.
Типичной задачей, требующей решения двухмерного уравнения
Гельмгольца в прямоугольной области, является индукционный
нагрев длинного параллелепипеда. Эта задача решалась несколь-
кими специальными методами, так как обычный метод Фурье не
дает приемлемого решения из-за неоднородных условий на всех
границах области.
Метод Гринберга [50] использован в работе [51] для определе-
ния напряженности магнитного поля, имеющей одну составляющую
и принимающей заданное значение Не на границах области
(— d/2 С у d/2, — Ы2 С х С Ь/2) (см. рис. 3.11). В соответст-
вии с этим методом решение ищется в виде разложения функции
в тригонометрический ряд по одной из координат. При выборе
начала координат в центре сечения разложение имеет вид
со
Н(х, у) = £ Сп (х) cos у, (2.46)
п=1, з,... а
где С„ (х) — неизвестная функция от х.
Ряд не удовлетворяет условиям на границе у = ± d/2, однако
при соответствующем выборе Сп (х) может дать правильное реше-
ние во всей области, кроме указанной границы. Путем подстановки
(2.46) в исходное уравнение после ряда преобразований с учетом
граничных условий при х = ± Ь/2 для напряженности магнит-
ного поля получено выражение [51 ], имеющие в принятых нами ко-
ординатах вид
_(L.= j _ 8/ у /___________________])(п-1)/2 sin &ny/d) А _ chpdx х
Не зФ2 n=l, з,... np2d \ ch pdb/2 )'
(2-47)
В формулу (2.47) переменные x и у входят несимметрично, что
связано с особенностями метода решения. Аналогичная запись по-
3*
67
лучается при замене х на у и b на d. При известной напряженности
магнитного поля составляющие плотности тока и напряженности
электрического поля определяются путем дифференцирования (2.47)
в соответствии с первым уравнением Максвелла. Исследование поля
приведено в § 3.5.
Метод Галеркина, относящийся к группе приближенных вариа-
ционных методов [38], использован для решения рассмотренной
выше задачи в работе [52].
Решение ищется в виде
т
= У)Ф(У). (2.48)
П=1
Идея метода заключается в том, что решение (2.48) должно да-
вать нулевое значение функционала:
f L(H)q>(y)dy=0,
о
где L — оператор исходного уравнения; I — размер области по
координате у.
Решение, полученное в [52], содержит только один член суммы,
т. е. является первым приближением, однако дает удовлетворитель-
ную точность расчета источников теплоты для большинства прак-
тических случаев.
Почти все аналитические методы расчета многомерных полей
предполагают линейность и кусочную однородность среды. В по-
следнее время разработана группа аппроксимационных методов
итерационной линеаризации (АМИЛ), основанная на замене не-
линейной среды неоднородной, причем в ходе итерационного про-
цесса аппроксимация свойств постоянно уточняется. Описание ме-
тода и его связь с другими методами приведены в работе [53].
2.3. МЕТОДЫ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
МЕТОД ЦЕПНЫХ СХЕМ
Метод используется для расчета электромагнитных полей вну-
три проводящих тел и является полуаналитическим, так как пред-
ставляет собой аппроксимацию непрерывных распределений пара-
метров многозвенной цепью определенной структуры. Рассмотрим
сначала случай цилиндрической круговой или овальной оболочки,
толщина которой по всему периметру значительно меньше глубины
проникновения. В полости оболочки может находиться тело или
совокупность тел Tt, сопротивление которых известно (рис. 2.8).
Оболочка имеет большую длину, а внешнее продольное магнитное
поле однородно (Не — const).
68
Рис. 2.8. К расчету парамет-
ров загрузки с тонкостенной
оболочкой
Будем считать, что весь ток оболочки Is сосредоточен в тонком
слое по среднему периметру fls. Тогда баланс ЭДС для контура FIS
может быть описан выражением [54]
3S = lsrs = (Н'-Нв) rs = Дв (ZB + /xSB), (2.49)
где rs — сопротивление оболочки постоянному току; xsB — индук-
тивное ее сопротивление, обусловленное зазором между перимет-
ром /Е и внутренним периметром Лв; ZB — сопротивление полости
с учетом находящихся в ней тел.
Из (2.49) получаем сопротивление всей системы, отнесенное
к внешнему периметру оболочки Пе,
Ze = — + jxse = + ixse, (2.50)
Не £s + rs
где Zs = ZB + jxSB, a xSe — индуктивное сопротивление слоя обо-
лочки между средним и внешним периметрами.
Напряженность магнитного поля при переходе через слой из-
меняется по формуле
Л*_=1 . (2.51)
нв г*
Формулы (2.50), (2.51) могут использоваться в качестве рекур-
рентных при расчете многослойной конструкции, а также толстых
оболочек при разбиении их на более тонкие слои. Она справедлива
для оболочек любой формы, когда другие методы малоэффективны.
Для толстых оболочек, разделенных на слои, применение ре-
куррентных формул эквивалентно расчету цепной схемы, звенья
которой имеют Т-образную структуру (рис. 2.9). Схема может также
использоваться для аналогового моделирования полей в круговых
и овальных цилиндрических оболочках. Расчет может выполняться
при заданных напряженностях поля на концах цепи, что соответст-
вует нагреву оболочки двумя индукторами, но наиболее интересен
случай, когда конец цепочки замкнут на известное сопротив-
ление ZB1. Если расчет начинается от оси цилиндра (сплошной ци-
линдр), то ZB1 = 0, а при введении в полость идеального магнито-
провода ZB1->oo. Особенностью метода является то, что расчет
ведется от внутреннего слоя, для которого необходимо задаться
напряженностью Нп. Полученная на внешней поверхности послед-
69
1
2
Рис. 2.9. Структура цепи при расчете одномерного поля методом цепных
схем
него слоя напряженность может не совпасть с заданной. Для ли-
нейной системы это не играет роли, а для нелинейной требует ите-
рационного цикла по НВ{. Если исследуется поведение системы
в широком диапазоне воздействий Не, то свободный конец траекто-
рии расчетной напряженности не является существенным недо-
статком.
Рассмотрим применение метода к цилиндрической ферромаг-
нитной оболочке. Задаемся напряженностью Йв1 в полости и на-
ходим магнитную проницаемость pBi и глубину проникновения 6в1
на внутренней поверхности оболочки (7? = RBi) (рис. 2.10). Выде-
ляем кольцо толщиной 8бъ где в 1, и считаем, что на толщине
= 8^1 удельное сопротивление постоянно и равно его среднему
значению рг По формулам (2.50) и (2.51) рассчитаем выходное
сопротивление Zel, напряженность поля Не1 и магнитную проницае-
мость ре1, зависящую от Не1. Сопротивление xsBi следует вычислять
при р = fiBi, a xsel — при ц = fie, так как напряженность ноля
и связанная с ней проницаемость р скачком изменяются при
R = Rsl. Дальнейший расчет проводится аналогично путем перену-
мерации (Ze2 = Zel, Нв2 = Не1 и рв2 = цс1). Если удельное элек-
трическое сопротивление постоянно, а кривая намагничивания мо-
жет быть задана формулой (2.3) или (2.4), то процесс легко алго-
ритмизируется. Исключая из формул Н, получаем одну рекуррент-
ную формулу для произвольного слоя
Неп
где х„ = ——
Нвп
Zen = -^-+ixsnHn,
^sn .
> Xsn —
rsn Овп
(2.52)
Опыт расчетов позволяет рекомендовать 8 < 0,25.
Описанный метод использовался для анализа одномерных по-
лей в ферромагнитных и в частично ферромагнитных телах. Он
особенно удобен на предварительной стадии проектирования си-
стем индукционного обогрева, когда за счет изменения толщины
и свойств слоев можно получить высокие энергетические показа-
тели устройства. Метод, близкий к рассмотренному, может исполь-
70
Рис. 2.10. К расчету параметров ферромагнитно-
го цилиндра методом цепных схем
зеваться для расчета оболочек с сильно
переменной толщиной стенки [541 при
представлении оболочки в виде четырехпо-
люсника (см. § 4.4).
Метод цепных схем в случае плоской
волны в ферромагнитной среде с р = const
позволяет непосредственно получить
формулу (2.5), найденную Л. Р. Нейма-
ном, без каких-либо допущений о характе-
ре пространственного распределения р кро-
ме того, что в зоне затухания поля пока-
затель параболы а в (2.3) сохраняется по-
стоянным.
Если принять, что сопротивление единичного квадрата опреде-
ляется формулой (2.5) при G и Q, не зависящих от р, а следова-
тельно, и от координаты, то из (2.52) следует
ZOe~jxt^=
(2.53)
Для принятых условий из (2.52) следует также, что магнитная
проницаемость при переходе через слой меняется в х“ раз, а
7 _ 7„ „а/2
Тогда, переходя в (2.53) к предельному случаю очень тонкого
слоя и разделяя вещественную и мнимую части, находим
G= V2 (1 + cz/2)—0,25 (2 + а/2)-°-5;
Q = G(l + a/2)0-5.
(2.54)
Эти формулы полностью совпадают с выражениями, получен-
ными Нейманом [9], при замене а на (1—п)/п.
Опыт расчетов показал, что G и Q становятся постоянными и
близкими к значениям (2.54), если магнитная проницаемость изме-
няется по толщине ферромагнитного тела не менее чем в 5 раз. При
выполнении этого условия тело уже можно считать массивным.
МЕТОД СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
Метод расчета, основанный на замене индуктора и загрузки
двумя или несколькими взаимосвязанными контурами (см. рис. 1.2),
довольно широко используется на практике, однако часто без до-
71
статочных оснований. Входное сопротивление индуктора по схеме
двух связанных контуров (см. рис. 1.2, б)
х2
ZH = Г1 + /хц 4--—— > (2.55)
г2 + 1Х22
где xllt х22, х12 — сопротивления самоиндукции и взаимной ин-
дукции контуров I и 2\ гъ г2 — активные сопротивления контуров.
Как отмечено в § 1.2, в качестве сопротивления г2 следует брать
собственное сопротивление загрузки г2С. Замена реальной системы
двумя связанными контурами справедлива только при следующих
условиях: 1) индуктор представляет собой тонкую многовитковую
или одновитковую спираль с равномерным распределением тока по
ее длине; 2) загрузка представляет собой немагнитный полый ци-
линдр с толщиной стенки, значительно меньшей его радиуса и глу-
бины проникновения тока; распределение тока по высоте также
должно быть равномерным.
При этих условиях определение сопротивлений, входящих в
(2.55), не представляет труда [55]. Наилучшие результаты дает
замена загрузки тонким соленоидом с радиусом, равным среднему
радиусу стенки.
Другим случаем, допускающим расчет по (2.55), является си-
стема с ярко выраженным поверхностным эффектом в загрузке.
Загрузку следует заменять соленоидом по эквивалентному пери-
метру, отстоящему от наружного на 6/2. В качестве х22 принимается
сопротивление пустого тонкостенного соленоида, а не внутреннее
реактивное сопротивление тела.
В остальных случаях метод в приведенном простейшем виде не
должен применяться. Выбор того или иного размера контура, за-
меняющего загрузку, и введение поправок при вычислении сопро-
тивлений г2, х22 и х12 могут дать удовлетворительные результаты
в частных случаях, но не могут ликвидировать полностью недо-
статки метода.
Для немагнитных тел, геометрия которых позволяет выделить
токовые нити, можно использовать разбиение загрузки по сече-
нию и по длине на элементы, для каждого из которых выполняются
указанные выше условия. В результате получается система N свя-
занных контуров, взаимодействие которых описывается системой
алгебраических уравнений (см. § 2.6). В такой постановке метод
целесообразно рассматривать как численный.
Для ферромагнитных тел принципиальным препятствием к при-
менению метода является то, что он не учитывает токи намагничен-
ности в загрузке. При формальном подходе получаются не только
большие количественные ошибки, но и качественно неверные ре-
зультаты. Так, индуктивное сопротивление индуктора, определяе-
мое по (2.55), всегда меньше х1Ъ в то время как при ферромагнит-
ной загрузке оно может быть существенно больше хп. Имеются
попытки учесть влияние магнитной проницаемости р2 на сопротив-
72
ление индуктора, увеличивая диаметр его обмотки [14J, однако
этот способ не является решением проблемы.
Учет произвольных свойств загрузки можно осуществить с по-
мощью обобщенного метода связанных контуров. В этом методе
рассчитывается связь тока индуктора не с распределенными токами
проводимости и намагниченности в загрузке, а с эквивалентным
током на ее поверхности. Единственным ограничением при этом
является достаточная равномерность распределения напряжен-
ности магнитного поля по длине расчетного участка загрузки. Вход-
ное сопротивление индуктора [56 ]
7 I /у I Х’2 + lX12N2lWlZ*
Z„ = + Mtt Н----------------, (2.5b)
1Х22 Z2^22
где Ne22 и Л721 — коэффициенты магнитодвижущих сил (МДС),
создаваемых на поверхности загрузки ее собственным эквивалент-
ным током и током индуктора (см. стр. 264); Z2 — сопротивление
загрузки, отнесенное к МДС на ее поверхности, см. (1.52); сопро-
тивления х22 и х12 вычисляются для одновиткового соленоида с
размерами наружной поверхности загрузки.
Увеличение числа контуров загрузки, снимающее требование
постоянства напряженности поля по длине, приводит к численному
методу, описание которого дано на стр. 89.
МЕТОД МАГНИТНЫХ СХЕМ ЗАМЕЩЕНИЯ
Расчет индукционных устройств на основе магнитных схем за-
мещения получил широкое распространение 12, 57—59] и в на-
стоящее время является основным инженерным методом при про-
ектировании индукторов. Сущность метода заключается в том, что
все пространство, по которому проходит магнитный поток, разби-
вается на участки; магнитные сопротивления их отыскиваются
затем аналитическими или иными способами. От метода магнитных
схем замещения возможен переход к графическим или графоана-
литическим методам, широко применяемым при расчете магнитных
цепей электромеханических устройств [38]. Будем рассматривать
только нагреватели без замкнутой магнитной цепи. Нагреватели
трансформаторного типа требуют отдельного рассмотрения.
Примем, что магнитное поле однородно по всей длине нагревае-
мого тела или его расчетного участка Г2, находящегося внутри ин-
дуктора (рис. 2.11), что позволяет найти магнитное Zmi и соответст-
вующее ему электрическое сопротивление загрузки как отрезка
бесконечно длинной системы. При известном сопротивлении Zm2
магнитную схему замещения можно рассматривать как четырех-
полюсник, преобразующий Zm2 во входное магнитное сопротивле-
ние индуктора. Возьмем П-образную схему замещения четырех-
полюсника (рис. 2.12), которая соответствует следующей физиче-
ской картине.
73
Рис. 2.11. Картина магнитного поля индуктора с немагнитной загрузкой
(а) и разделение потоков в системе (б)
---------условная граничная линия
Полный поток индуктора Фи, создаваемый обмоткой, разде-
ляется на поток Ф51, не зависящий от загрузки, и поток Фн =
= Ф«2 + Ф2М, проходящий по нагреваемому телу (Ф2М) и по при-
легающей к нему части зазора (Ф52) и затем замыкающийся через
область Ve (см. рис. 2.11) с магнитным сопротивлением Rme.
Магнитные сопротивления /?msl и T?ms2 относятся к участкам
зазора, по которым проходят потоки Ф51 и <f>s2.
Магнитной схеме замещения соответствует дуальная электри-
ческая схема (рис. 2.13). Сопротивления загрузки Z = г2 + /х2М,
зазоров xs и пути обратного замыкания хе приведены к числу вит-
ков индуктора IV1 и связаны с магнитными сопротивлениями со-
отношением
Дополнительное сопротивление Хд, не связанное с магнитной
схемой замещения, учитывает активное сопротивление обмотки гг
и сопротивление элементов (шин, последовательных конденсато-
ров), которые могут быть включены в цепь на участке до источника
питания с известным напряжением UH. Внутреннее реактивное
сопротивление обмотки х1м проще и точнее вычислять не отдельно,
а как часть сопротивления зазора, беря вместо реального радиуса
эквивалентный /?1э, равный среднему радиусу токонесущего слоя:
/?1э = ± 6/2 при < df, 1
Дп = Ri ± dJ2 при > dv )
где d1 — толщина проводника или его токонесущей стенки.
Знак минус берется для внутренних индукторов, плюс — для
внешних. Расчет для многослойных индукторов далее рассмат-
ривается отдельно.
74
Рис. 2.12. Магнитная схема замеще-
ния индуктора
Рис. 2.13. Электрическая схема за-
мещения индуктора
Полученная схема замещения носит общий характер и по внеш-
нему виду соответствует схеме для двух индуктивно связанных
контуров. Принципиальным отличием является, однако, то, что
новая схема связывает не токи двух контуров, а ток индуктора
с магнитодвижущей силой С2 на поверхности загрузки.
Прямое использование схемы рис. 2.13 для расчета индукторов
затруднено из-за практической невозможности, за исключением
указанного далее случая обмотки в пазу магнитопровода, разде-
лить потоки Ф81 и Ф,2. Обширная проверка на основе эксперимен-
тальных, аналитических и численных методов показала, что луч-
шие результаты получаются, если считать, что весь поток в зазоре
вместе с Ф2М замыкается в виде одного потока через пространство Ve.
Этому способу расчета, получившему название расчета по
общему потоку, соответствует схема рис. 2.13 при х$2 = xs
и xsl = 0.
Сопротивление индуктора здесь будет
/ х2 + г2
Zh = 4 + Г2 h jxH = 2д 4 r2c 4 jc I Хк Н------------
\ Хе
(2.58)
где хе = Хам 4 хс — реактивное сопротивление зазора и загрузки;
хе — сопротивление обратного замыкания; с — коэффициент при-
ведения параметров загрузки к индуктору;
(2.59)
Активное сопротивление гг вычисляется обычно из условия рав-
номерного распределения тока по одной стороне токопровода об-
мотки:
2лр17?1э1Г2
hf>ig
(2.60)
где g — коэффициент заполнения обмотки медью по длине.
75
Сопротивление xs вычисляется для отрезка Г2
copoSs№f сорол — /?|) W?
(2-61)
Наибольшую сложность представляет выбор сопротивления хе,
обеспечивающего минимальную погрешность расчета. Если сопро-
тивления Z2 и xs вычисляются одинаково для устройств различного
вида, то определение хе зависит от вида системы.
Для внешних индукторов будем считать, что картина внешнего
магнитного поля (участок Ve на рис. 2.11) при внесении загрузки
изменяется мало. Тогда хе можно найти по картине поля пустого
индуктора. Сопротивление пустого индуктора х} в соответствии со
схемой рис. 2.13 при xsl = 0 вычисляется как сопротивление па-
раллельного соединения хе и сопротивления части пустого индук-
тора, вычисленного для отрезка Г2 бесконечно длинной системы.
При этом
хе=Х1------±, (2.62)
11 ~
где KL — поправочный коэффициент индуктивности в формуле
Х1=------------Kl-
11
(2.63)
Для цилиндрических индукторов с тонкой обмоткой KL с по-
грешностью менее 3 % определяется формулой
2,3
1Z ______________________
L 2,3 + £>i3/Zi ’
(2.64)
где £>1Э = 2Ri3 —эквивалентный диаметр.
Зависимость KL от DVHX представлена кривой 5 на рис. 2.14.
Во многих индукционных устройствах, особенно в закалочных
индукторах с малым числом витков, параметры заметно зависят от
радиальной высоты t токопровода обмотки. Этот фактор легко
учесть, если KL определять по кривым 6—9 рис. 2.14 в зависимости
от Dvlli и t/D^. Кривые получены численным методом интеграль-
ных уравнений. Нужно отметить, что кривая 6, так же как и 5,
относится к тонкой обмотке (/->-0), однако обмотка принята не-
проницаемой для магнитного поля (непроницаемый лист), что при-
водит к снижению /<£.
Методика расчета сохраняется для индукторов с прямоугольной
или иной формой окна обмотки при соответствующем расчете со-
противлений Z2, xs, хг и выборе коэффициента /<£. Для обмотки
прямоугольной формы KL зависит от отношения высоты окна
к его ширине и к длине обмотки Д (рис. 2.15).
Для многослойных индукторов без магнитопровода хорошие ре-
зультаты дает замена их обмоток однослойными по эквивалентному
диаметру D13 (или периметру П1Э). Многослойные индукторы
76
Ip] op 0,6 1,0 0,6 0,2 0/1
Рис. 2.14. Поправочные коэффици-
енты индуктивности цилиндрическо-
го соленоида с магнитопроводом(кри-
вые 1—4), без магнитопровода (кри-
вая 5) и одновиткового индуктора
при высокой частоте (кривые 6 —9)
l—4 — Df/Di^l; 1,1; 1,2; 1,5; 5—f=0;
6 — t -> 0 (непроницаемый лист); 7—9 —
t/D, = 0,05; 0,25; 0,6
Рис. 2.15. Поправочный коэффици-.
ент индуктивности соленоида с пря-
моугольным окном
обычно используются при частоте 50 Гц или в нижнем диапазоне
средних частот (/ = 500 Гц). Обязательным условием их эффектив-
ной работы (см. § 5.7) является малая толщина токопровода [2, 60].
При этом каждый слой можно заменить тонким соленоидом по
среднему диаметру токонесущего слоя. Обозначим расчетные диа-
метры слоев £>1Р, . . . , DnP, а их числа витков Wlt 1Г2, . . . , Wn,
причем номера отсчитываются от внутреннего слоя.
Эквивалентный диаметр D13 соленоида с суммарным числом
витков Й7Э определим из условия равенства индуктивностей пустого
многослойного индуктора и эквивалентной обмотки. Из равенства
соответствующих магнитных энергий получаем
D2l3Wl= D\pW2+ Dip (Гэ—1)2+ . . . + D2apW2n. (2.65)
В частном случае многослойного индуктора с большим числом
плотно расположенных слоев с одинаковым числом витков
£>13 = £>1-f-2/3d2, где d2—общая толщина намотки.
Дальнейший расчет выполняется как для однослойного индук-
тора. Активное сопротивление обмотки должно рассчитываться
с учетом реальных сечений токопроводов [2, 60].
Для внутренних индукторов без магнитопровода методика со-
храняется, однако имеются особенности в расчете сопротивлений хе
и гг. Поскольку нагреваемое тело помещается во внешнюю область
индуктора, исходное магнитное сопротивление которой мало, то
77
можно считать, что сопротивление хе равно полному сопротивле-
нию пустого индуктора хе = хг. Сопротивление хг вычисляется по
(2.63) с использованием кривых рис. 2.14. Активное сопротивление
для реальной обмотки из массивных витков будет меньше в 1,5—2
раза, чем определенное по формуле (2.60), из-за протекания тока
по всем сторонам витков, прежде всего по внутренней. Хорошие
результаты дает формула [58]
г = / /?ц +1 г2 + *и
661g у R11 /
где — внутренний радиус обмотки.
Внутренние индукторы с магнитопроводом можно рассчитывать
как плоские, разворачивая их по средней линии зазора.
Для внешних индукторов с магнитопроводом возможны два слу-
чая. К первому относятся нагревательные и плавильные индук-
торы с магнитопроводами, не имеющими полюсов (башмаков). Та-
кие «гладкие» магнитопроводы исполняются обычно в виде несколь-
ких (до 10) пакетов длиной If, выступающих за пределы обмотки
(/f>/i). Методика расчета — прежняя при определении по
соответствующим кривым рис. 2.14. Кривые рассчитаны аналити-
чески при условии If и равномерном размещении пакетов не-
насыщенной стали (pj оо) по окружности диаметром Df. Опыты
показали, что пакетное исполнение магнитопровода снижает /Q
всего на 2—5 % даже при двух пакетах. Экспериментальная кри-
вая KL для Df = 1,07 Dx при If = /х + 0,3 D± практически совпа-
дает с кривой 3, а при 1Г == — с кривой 4 на рис. 2-14. Предель-
ному случаю Df -> оо соответствует KL для тонкого соленоида без
магнитопровода (коэффициент Нагаоки), кривая 5.
Во втором случае, характерном для многих нагревательных и за-
калочных индукторов, магнитопровод имеет П-образную форму
(рис. 2.16). Обмотка, расположенная в пазу, может иметь один или
несколько слоев. Электромагнитные процессы в пазу мало связаны
с процессами в остальном пространстве системы, и целесообразно
использовать полную схему замещения, считая xsl внутренним ин-
дуктивным сопротивлением обмотки в пазу, a xS2— сопротивле-
нием остальной части системы, xS2 = xs. Границей раздела полей
является поверхность с диаметром, равным внутреннему диаметру
Df полюсов магнитопровода. Параметры индуктора вне паза рас-
считываются по обычной методике общего потока, причем вместо
длины обмотки I следует брать ширину паза /п. Коэффициент KL
определяется по рис. 2.14 при Df = Dx и lf Ширина полюса сп,
как показал анализ, слабо влияет на результаты расчета. Подробнее
этот вопрос рассмотрен далее для плоских индукторов.
Успешное применение метода общего потока для индукторов
рассмотренных типов привело к созданию частных методик для
других индукционных устройств. Разработана методика расчета
индукторов с неоднородной по длине загрузкой и равномерным на-
78
Рис. 2.16. Эскиз цилиндрического
индуктора с П-образным магни-
топроводом
стилом тока по длине обмо-
тки. Хотя в зоне сильного
изменения свойств загрузки
напряженность Не может за-
метно меняться, в целом по
длине индуктора в первом приближении ее можно считать
постоянной. Определив г2 и х2М по формуле (1.52) для всего индук-
тора и умножив их на квадрат числа его витков, можно затем вы-
полнить расчет методом общего потока [2, 58].
Большой интерес представляет разработка методики расчета
индукторов для нагрева плоских тел. Такая методика нужна также
для расчета коротких цилиндрических индукторов большого диа-
метра, для которых обычный расчет по общему потоку приводит
к значительным погрешностям.
При расчете плоских индукторов необходимо учитывать, что
индуктирующий провод не всегда образует замкнутое окно, в ко-
торое помещается нагреваемое тело. Овальные и щелевые индук-
торы, применяемые для нагрева плоских тел [2, 9], можно рассчи-
тывать как указано выше. У индукторов, витки которых не охва-
тывают нагреваемое тело, расчет затруднен неопределенностью
сопротивления хе. Основным элементом индукторов такого типа
является токопровод или несколько проводов над нагреваемой
поверхностью с токами одного направления.
Если индуктирующий провод снабжен П-образным магнито-
проводом, то может быть использован метод рабочего по-
тока [2, 9], основанный на отнесении всего индуктивного со-
противления xs к сопротивлению xsl в неразветвленной части схемы
(см. рис. 2.13) и на определении сопротивления хе из условия рав-
номерности потока Ф2М под полюсом магнитопровода. Этот метод
дает хорошие результаты при ферромагнитной загрузке, однако
при больших зазорах его точность быстро падает. Не соблюдаются
и предельные переходы при увеличении частоты (/ -> оо) или ши-
рины полюса магнитопровода (с0 —оо), так как расчетный коэффи-
циент приведения с в этих случаях стремится к единице, что не
соответствует действительности.
Для плоского индуктора без магнитопровода метод рабочего по-
тока не может быть применен из-за неопределенности хе.
/Метод общего потока можно распространить на плоские индук-
торы, если воспользоваться искусственным приемом [59]. Примем
что весь ток в загрузке сосредоточен в полосе шириной а, равной
ширине паза сп (рис. 2.17).
Будем считать также, что сопротивление хе изменится мало,
если влияние на него реальной загрузки учесть с помощью допол-
79
Рис. 2.17. К расчету плоского
индуктора с магнитопроводом
ajH 0,2 0,6 1,0 0,6 0,2 H/a.
Рис. 2.18. Поправочный коэффици-
ент индуктивности шинопровода с
внешним магнитопроводом /(кривые
/—3) и без магнитопровода (кривые
4—8)
1 — тонкая обмотка при с0 > 0,15 Н; 2,
3 — массивный проводник при со~О,15Л/;
0,02 И; 4— / = 0; 5 — t 0 (непроница-
емый лист); 6—8 — t/u = 0,25; 0,5: 1,0
нительного зазора Aft, за пределы которого магнитное поле не рас-
пространяется. Ряд расчетов показал, что Aft лучше всего брать
таким, чтобы дополнительное индуктивное сопротивление Ах* было
равно сопротивлению загрузки х2М:
д хо
соро О)ро
(2.66)
Для однородного нагреваемого тела Aft = иг6/2.
Принятое допущение позволяет определить хе. Заменим при
вычислении хе загрузку сверхпроводящей плоскостью, отстоящей
от индуктора на расстояние ft9 = ft + Aft. Такая система может
рассматриваться как половина шинопровода с расстоянием Н = 2ft3
между шинами, снабженными наружным магнитопроводом. Вторая
половина шинопровода получается как зеркальное отображение
индуктора относительно сверхпроводящей плоскости.
Применяя к шинопроводу расчет по методу общего потока, по-
лучаем
= KL t (2,67)
2а,, \-KL V
где Kl — поправочный коэффициент индуктивности шинопровода.
Коэффициент Kl приведен на рис. 2.18 в зависимости от а/Н
и с0/Н.
80
Приведенные данные показывают, что Kl мало зависит от ши-
рины полюса с0. Так, при с0 — 0,02 Н и с0 -> со коэффициент Kl
отличается менее чем на 10 %, а при с0 >0,15 И вообще не зави-
сит от с0. При этом считается, что магнитная проницаемость стали
очень велика. Если магнитопровод насыщен, что часто наблюдается
у закалочных индукторов, то магнитное сопротивление пути по-
тока по стали можно учесть, определив по кривой намагничивания
ее магнитную проницаемость y.f. Для этого в электрической схеме
замещения параллельно хе следует включить сопротивление, рав-
ное в расчете на единицу длины системы
Хе = П f,
где nf — средний путь магнитного потока по магнитопроводу.
Аналогично можно учесть насыщение магнитопроводов круговых
и овальных цилиндрических индукторов.
Дальнейший расчет по методу полного потока проводится без
изменений.
Для плоских индукторов без магнитопровода методика расчета
такая же, как в предыдущем случае. Коэффициенты Kl приведены
на рис. 2.18 в функции расстояния Н, ширины проводника а и вы-
соты его t. Введение эквивалентного зазора /гэ позволяет также
уточнить активное сопротивление провода на единицу длины
(2.68)
г __ Pi к
Г1 — 7~ Лг1>
GOj
где Kri = f (t/a, Н/а) — коэффициент, учитывающий распределе-
ние тока по периметру провода (рис. 2.19).
Кривые для Kl и Kri соответствуют ярко выраженному поверх-
ностному эффекту в проводе, однако ими можно пользоваться и для
полого проводника с толщиной стенки соизмеримой с 6*, если
только а > 66j и t > 66 j. При этом в (2.68) следует вместо 6j взять
dlf если бД-Сбр
Из рис. 2.19 следует, что при реальных размерах сечения про-
вода гг может быть в 2—3 раза меньше чем при расчете для проте-
кания тока по одной стороне (Kr — 1)-
Анализ результатов показал, что расчетные сопротивления гх
и хи хорошо согласуются с опытными данными, а К оказывается
заниженным, причем тем больше, чем меньше а и чем больше за-
зор h и размер t. Это объясняется тем, что в индукционных систе-
мах без магнитопровода ток не концентрируется под индуктором,
а растекается в зоне, ширина которой зависит от h и t. Ширина
зоны растекания, приходящаяся на одну сторону, равна примерно
h3 -р t. Считая спадание тока в этих зонах линейным, получаем,
что сопротивление г'2, рассчитанное по общему потоку, следует уве-
личить в Кр раз:
- 1’5а
Г2 = Г2Лп = Г 2---------------
1,5а -р h3 -р1
81
Рис. 2.19. Поправочный коэффици-
ент активного сопротивления
Проверка метода общего по-
тока выполнялась в течение ря-
да лет путем сравнения получен-
ных результатов с данными опы-
тов и расчетов аналитическими
и численными методами. В ка-
честве загрузки использовались
цилиндрические и прямоуголь-
ные тела с различной степенью
поверхностного эффекта, как не-
магнитные, так и (частично или полностью) ферромагнитные, а так-
же совокупности тел (пучки цилиндров, пакеты пластин). Рас-
сматривались внутренние и внешние магнитопроводы, однослойные
и многослойные, с магнитопроводом и без него. Проверка показа-
ла, что во всех случаях метод дает достоверные результаты.
В большинстве случаев, используемых на практике, погреш-
ность в расчете г2 не превышает 10—15 %, а индуктивного сопро-
тивления не превышает 5—7 %. При наличии внешнего магнито-
провода погрешность уменьшается. Погрешность возрастает при
уменьшении длины индуктора, увеличении магнитной проницае-
мости загрузки, если она выступает за края обмотки (/2>/i).
Широкое применение метода определяется тем, что он дает пра-
вильные предельные переходы при изменении длины, диаметра,
свойств загрузки, а также частоты. Так, при сильном увеличении
частоты (/ -> оо) коэффициент приведения с остается конечным,
стремясь к значению спред = x2/(xs + хе)2, определяемому только
геометрией системы.
Недостатком метода является низкая для ряда целей, напри-
мер для параметрической оптимизации конструкции, точность.
Метод не учитывает влияния краевых эффектов загрузки и индук-
тора на распределение мощности. Не учитывается также положе-
ние загрузки внутри индуктора (если /2<G)-
Несмотря на эти недостатки, метод общего потока можно счи-
тать основным методом приближенного расчета индукторов позво-
ляющим на начальной стадии проектирования выбрать кон-
струкцию нагревателя и оценить его параметры. Хорошие резуль-
таты дает метод общего потока при расчете сложных, в том числе
трехмерных, индукционных систем.
2.4. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
РАСЧЕТ УСТРОЙСТВ С НЕМАГНИТНОЙ ЗАГРУЗКОЙ
Все численные методы расчета электромагнитных полей можно
отнести к двум различным постановкам задачи. Первая основана
на описании электромагнитного поля дифференциальными уравне-
82
ниями Максвелла (1.3) —(1.4) или уравнениями второго порядка
(1.17), (1.18) с соответствующими граничными условиями. В ходе
расчета учитывается взаимодействие только близлежащих микро-
объемов. Такая постановка соответствует теории близкодействия,
описывающей распространение электромагнитной волны от точки
к точке, ее преломление и отражение на границах сред. На этом
подходе основаны методы конечных разностей (МКР) и конечных
элементов (МКЭ).
Вторая постановка задачи основана на теории дальнодействия
и заключается в том, что поле в любой точке определяется как сумма
полей, создаваемых всеми источниками, первичными и вторичными.
Первичными являются сторонние источники (токи, заряды), вно-
симые в систему. Вторичные источники определяют поле реакции
тел, составляющих систему, на поле первичных источников. При
этом все тела заменяются распределенными в их объеме источни-
ками, взаимодействие между которыми определяется в вакууме.
Потенциалы и напряженности поля связаны с источниками интег-
ральными формулами (1.13) — (1.16), поэтому метод вторичных
источников приводит к интегральным уравнениям и может быть
назван также методом интегральных уравнений.
Интегральные методы удобны для расчета квазистационарных
систем, в которых можно пренебречь запаздыванием сигнала. Все
индукционные устройства этому условию подчиняются.
Важным достоинством метода является то, что расчет произво-
дится только для областей, занятых вторичными источниками.
Рассмотрим цилиндрическую индукционную систему, состоя-
щую из немагнитной загрузки А и двухвиткового индуктора В,
распределение тока в котором известно (рис. 2.20). Естественными
вторичными источниками здесь являются круговые токи проводи-
мости загрузки, плотность которых заранее неизвестна. Выделим
трубки тока Р, Q и Т с малыми сечениями ASP, ASC, ASr. ЭДС 3QP
и плотность тока JQP, создаваемые в элементе Q током элемента Р,
связаны соотношением
9qP — 2jiRqPq J qP = •—jajMQpj PASP, (2.69)
где MqP — взаимная индуктивность колец Q и P.
Чтобы учесть воздействие на элемент Q всех токов, надо проин-
тегрировать (2.69) по сечению обмотки SB с известными токами и по
сечению загрузки 5Л. Получаем интегральное уравнение Фред-
гольма II рода относительно плотности тока jQ, справедливое для
всех элементов загрузки,
2лДфРр<7ф--|-/ц>,f MqpJPdSp= —/со f Alq/’jpdSp. (2.70)
SB
Ядро уравнения M'qP обладает слабой особенностью логарифми"
ческого типа, так как при Р -> Q, M'qP се In rQP —> оо. Эта осо'
бенность является интегрируемой и не меняет свойств уравнения’
83
Рис. 2.20. К расчету индуктора с нема-
гнитной загрузкой методом вторичных
источников
хотя затрудняет его решение [32].
Разработан ряд методов решения
(2.70) [2, 32, 61]. Заменив в (2.70)
распределенные токи сосредото-
ченными токами 1q и 1р в цент-
рах элементов, получаем про-
стейший вариант расчета [61 ]. Он пригоден только при квадратных
сечениях элементов Р и Q, что приводит к системам алгебраических
уравнений высокого порядка. В [32] предложено разбивать про-
водящие тела на тонкие слои вдоль периметра сечения. Неизвест-
ная плотность тока каждого слоя кусочно аппроксимируется по-
линомами второй степени относительно координаты. Получается
система алгебраических уравнений для плотностей тока в узловых
точках. Метод сложен в реализации и малоудобен для индукцион-
ных устройств с многовитковыми обмотками. Хорошо зарекомен-
довал себя метод, основанный на полном осреднении ядра [2, 56].
Будем считать Q, Р и Т элементами с конечными сечениями, раз-
меры которых ограничены лишь условием постоянства плотности
тока. При этом плотность тока Jq в любой точке элемента Q под-
чиняется уравнению
2л^оро7л-[-У. Jр f MqpdSp=—У, j г f Mqi-dSp.
рел asp тев a'st
(2-71)
В уравнении (2.71) ядро осреднено по сечениям источников
ASP и ASr. Суммирование проводится по всем индексам Р, включая
Р = Q. Уравнение (2.71) целесообразно преобразовать, проинтег-
рировав его по сечению ASQ:
2jt/?qPqJq ASq + /со /р [ f MqpdSpdSn =
P£A ASq ASp
= —/со E Jt f f MQTdSjdSQ. (2.72)
тев asq a'Sj.
Деля (2.72) на площадь сечения ASq и переходя к токам Iq и 1 р,
получаем
+ 2L MqPIp =—Е MqtIt' (2.73)
рел тев
где ге — активное сопротивление кольца Q; MqP и Mqt — взаим-
ные индуктивности объемных колец Q и Р, Q и Т с равномерным
распределением тока в них.
84
Рис. 2.21. Индукционная система с немагнитной загрузкой н сложным
включением обмоток
Полное осреднение позволяет избавиться от особенностей ядра
jMqp, повышает устойчивость решения, дает возможность резко
увеличить размеры сечений элементов и снизить их число. Для об-
мотки с равномерным распределением тока можно вообще взять
один элемент Т. Это особенно удобно для многовитковых обмоток,
которые с небольшой погрешностью часто можно заменить тонкими
соленоидами. Кроме упрощения расчета это дает возможность легко
учитывать внешние соединения обмоток (рис. 2.21).
Обычно для индукторов известны не токи обмоток, а напряже-
ния, поэтому, считая токи 1В неизвестными, перенесем их в левую
часть уравнения, а систему (2.73) распространим также на обмотки
(Q £ В). Получим систему
2L XqpIp—Uq, (2-74)
Р£А, в
где Zo = г0 и UQ = 0, если Q(^A, и ZQ = ZB, UQ — UB, если
Сопротивление ZB учитывает как активное сопротивление об-
мотки гв, так и дополнительные сопротивления (Zfl3 или хД2 на
рис. 2.21). Система (2.74) выражает второй закон Кирхгофа для
индуктивно связанных контуров.
Достоинствами записи (2.74) являются также физическая на-
глядность и симметрия системы (xqP = xPQ), облегчающая расчет.
Дополнительные возможности метода появляются при введении
понятия цепи. Цепь — это совокупность последовательно соеди-
ненных обмоток, а также дополнительных элементов, включенных
между обмотками и источником с известным напряжением. Цепи
являются элементами массива В обмоток. Сопротивление взаимной
индукции элемента п загрузки с цепью k, содержащей N обмоток,
будет
N
xnk — xnt. (2.75)
85
Индуктивное сопротивление цепи k учитывает бинарные взаи-
модействия всех входящих в нее обмоток:
N N t
Ех« + 2 £ £x/s. (2.76)
<=1 /=1 S=1
Направление намотки соленоидов в (2.77) учитывается автома-
тически путем присвоения знака плюс или минус числу витков W.
Введение цепей позволяет легко рассчитывать индукционные си-
стемы с достаточно сложным включением обмоток (см. рис. 2.21).
Уравнение (2.74) удобно представить в матричном виде
(2.77)
где ZBB — квадратная матрица взаимодействия элементов (цепей)
массива обмоток; ZAA — аналогичная матрица для массива эле-
ментов Л; ZAB = ZBA — прямоугольные матрицы взаимодейст-
вия элементов массивов А и В; Iв, IA, Uв — векторы-столбцы
токов и приложенных напряжений.
Матрицы ZBB и ZAA содержат активные сопротивления на
главной диагонали, а все остальные члены матриц являются чисто
мнимыми.
Уравнение (2.77) использовано в ряде программ расчета индук-
ционных систем [2, 56, 62]. Специализированные программы пред-
назначены для расчета потерь в многовитковых обмотках с учетом
режима работы витков (последовательно соединенные, разомкну-
тые, короткозамкнутые) [63, 64]. При этом в (2.77) появляются
дополнительные уравнения связи, учитывающие соединение вит-
ков. Имеются программы для расчета многоконтурных индукторов,
у которых описание схем соединения обмоток не сводится к цепям
с известным напряжением на них. Простейшим примером является
индуктор, часть обмотки которого шунтирована емкостью.
РАСЧЕТ УСТРОЙСТВ С ФЕРРОМАГНИТНЫМИ ТЕЛАМИ
Индукционные системы часто содержат частично или полностью
ферромагнитные нагреваемые тела и магнитопроводы, требующие
введения источников, связанных с намагниченностью материала.
Для проводящих ферромагнитных тел необходимо ввести три вида
вторичных источников: объемные токи проводимости с плот-
ностью J, объемные токи намагниченности с плотностью JK и по-
верхностные токи намагниченности с линейной плотностью
У магнитопроводов токи проводимости отсутствуют. Если считать,
что магнитная проницаемость магнитопровода кусочно-постоянна
(это допущение мало сказывается на характере поля в остальном
пространстве), то достаточно ввести только поверхностные токи
намагниченности.
86
Замена ферромагнитной среды вторичными источниками не по-
зволяет сохранить оба вектора В и Н в ее объеме. Потребовав со-
хранения поля индукции во всем пространстве, получим для объем-
ной плотности тока [32, 56]
Jf = р J + JH == рJ + [grad р х В]/(рр0). (2.78)
Таким образом, ток проводимости нужно увеличить в р раз и до-
бавить ток намагниченности, определяемый градиентом р.
Поверхностные токи намагниченности должны обеспечить ска-
чок в Pg/pi раз тангенциальной составляющей В при переходе че-
рез границу из среды с проницаемостью ре в среду с прони-
цаемостью рр
Гв - — [В, х п], (2.79)
По Р£ + Ре
где п — нормаль к границе в сторону первой среды, Bz — среднее
значение тангенциальных составляющих вектора В по обе стороны
границы.
Расчет поля при таких сложных источниках затруднен, даже
если не учитывать зависимости р от времени. Положение ослож-
няется тем, что токи проводимости и объемные токи намагничен-
ности оказывают противоположное действие на магнитный поток.
Токи намагниченности его усиливают, а токи проводимости — ос-
лабляют. В результате магнитный поток определяется через раз-
ность близких величин.
Для проводящих магнитных тел поверхностный эффект обычно
сильно выражен и распределение В и по нормали к поверхности
можно найти аналитически [43] вне зависимости от распределения
поля вдоль периметра тела. Разделяя нагреваемое тело на диски
и задаваясь значениями тангенциальной составляющей Hie или
Ete на их боковой поверхности, можно выразить через них все
вторичные источники и составить систему уравнений для опреде-
ления Hte [65]. Сложность такого подхода заключается в вычисле-
нии взаимодействия всех вторичных источников дисков, т. е., в ко-
нечном счете, коэффициентов системы уравнений.
Импедансные граничные условия позволяют решить задачу
более просто и эффективно. Импедансные граничные условия
позволяют не рассматривать поле внутри тела. В то же время поле
в окружающем пространстве, а следовательно, и на поверхности
тела сохраняется прежним. Сохраняется и распределение мощности
по его поверхности, определяемое вектором Пойнтинга. Импеданс-
ные граничные условия при строгой постановке должны быть за-
даны для всей поверхности тела, а значения импеданса на ней оп-
ределяются распределением поля внутри тела. Возможны два спо-
соба вычисления сопротивлений Zo на поверхности. Первый путь,
полностью справедливый при сильном поверхностном эффекте,
состоит в аналитическом решении одномерной задачи. Однако
его можно использовать и при неярко выраженном поверхностном
эффекте, если градиент плотности тока вдоль оси значительно
87
меньше, чем по радиусу. В этом случае метод становится прибли-
женным. Второй путь — поочередное решение внешней и внутрен-
ней задачи с их сшиванием на границе с помощью импедансных
условий — относится к комбинированным методам расчета и бу-
дет рассмотрен далее.
Присвоим телам с импедансными граничными условиями обо-
значение N, а для магнитопроводов с кусочно-постоянной прони-
цаемостью — обозначение F. Тогда в общем случае индукционная
система может состоять из объектов четырех типов: А, В, F и N
(рис. 2.22). Такое обозначение облегчает описание системы, состав-
ление алгоритмов расчета и ввод исходных данных.
Введем на поверхности тела Af вторичные источники в виде
простого слоя тока с плотностью I'n. Так как сопротивление Zo
задано на всей поверхности, то соблюдается соотношение для лю-
бой ее точки Q
EQ-ZOQHtQ = 0. (2.80)
Выразив Eq и HtQ через неизвестные токи I’N и известные токи
индуктора с помощью соотношений типа (1.15) и (1.16), после под-
становки в (2.80) получаем интегральное уравнение Фредгольма II
рода относительно Fq. Однако опыт расчетов показал, что и в этом
случае целесообразно использовать метод полного осреднения
ядра интегрального уравнения, расчетное соотношение для кото-
рого можно получить из физических соображений.
Разделим поверхность тела N на кольцевые элементы с кусочно-
постоянными напряженностями Hte и Е. Тогда для элемента Q
вместо (2.80) можно написать
3c-ZQFe<=0, (2.81)
где 3q и Fqc — ЭДС и тангенциальная составляющая МДС у по-
верхности, Zq — сопротивление кольцевого элемента, ZQ =
~ ’ 2 л 7? q! Iq .
Рис. 2.22. Индукционная система с магнитно-немагнитной загрузкой и
магнитопроводом
88
Выразим 9q и FQe через токи элементов всей системы:
9q = /22 xQpi р", (2.82)
F Qe— — ^N^pipWp. (2.83)
р
Здесь NqP — безразмерный коэффициент, связывающий МДС на
участке Q с током элемента Р. Коэффициент NQP является анало-
гом взаимной индуктивности MQP. Из уравнений (2.81) — (2.83)
получаем
Z(jxQp-ZQNQpWp) iP= 0. (2.84)
р
Число витков WP — 1 за исключением обмоток (Р£В). Система
уравнений (2.74), (2.84) образует составленную методом полного
осреднения математическую модель индукционного устройства,
содержащего тела типа А, В и N.
Решив полученную систему, находим токи всех элементов.
Чтобы определить мощности в элементах тела N, следует вычис-
лить Fqc по формуле (2.83); тогда
•Sq = Pq }Qq — FqcZq. (2.85)
Учет магнитопровода можно выполнить аналогично. Условием
для определения поверхностных токов является обеспечение скачка
тангенциальной составляющей индукции при переходе через гра-
ницу сред
Iq — F QC(ppi—РСгУНОг ~ FqJGq' (2.86)
Если внешняя среда — воздух, то
рг=1, /0 = FQe(pQ-l). (2.87)
Из (2.86) и (2.83) получаем
<r</Q-E^₽^₽ = O. (2.88)
р
Полная система уравнений для устройства по рис. 2.22 состоит
из уравнений (2.74), (2.84) и (2.88):
Q£B, A ZqIо-|- j^XQpi'P — Uq",
QE-У > S(/Xqp—ZqNqPWP) IP — 0; (2.89)
Q6F, oQiQ-^NQpWpIp = 0.
Суммирование производится по всем элементам, включая цепи
индуктора и сами элементы Q.
89
Систему уравнений (2.89) можно рассматривать как обобщение
метода индуктивно связанных контуров для устройств, содержа-
щих ферромагнитные тела и немагнитные тела с произвольной
степенью поверхностного эффекта. В частном случае однообмоточ-
ного индуктора и одного элемента на поверхности нагреваемого
тела N из первых двух уравнений (2.89) легко получить формулу
(2.56).
РАСЧЕТ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Уравнения, полученные для цилиндрических индукционных
устройств, можно применить к плоскопараллельным устройствам
с нечетной плоскостной симметрией при соответствующей замене
формул для расчета сопротивлений и магнитодвижущих сил.
Если плоская система не обладает симметрией, то заранее не-
возможно выделить замкнутые трубки тока, для которых состав-
ляются уравнения. Практический расчет такого устройства можно
выполнить путем введения его отражения относительно некоторой
плоскости, расстояние до которой подбирается в процессе счета
таким, чтобы оно не сказывалось на результатах расчета. Целесо-
образно, однако, составить методику непосредственного расчета
плоскопараллельных систем общего вида. Пусть индукционное
устройство состоит из нагреваемого тела А и двух тел В' и В",
образующих контур индуктора В (рис. 2.23).
Разделим сечения всех тел на элементы с примерно постоянной
плотностью тока и запишем для них уравнение (2.74), учитывая,
что ZQ = rQ, под rQ и XqP понимаются сопротивления, приходя-
щиеся на единицу длины, a UQ — кусочно-постоянное напряже-
ние на элементах, измеренное относительно некоторого провода,
взятого в качестве измерительного (Uq=Ub' для Q£B'; (Jq =
— 0в" для Q£B" hUq = UA для (?£Л).
В рассмотренном случае уравнение (2.74) обладает двумя не-
достатками: во-первых, Xqp стремится к бесконечности даже при
Q =0= Р, а во-вторых, напряжения UQ заранее неизвестны. Эти не-
достатки можно ликвидировать, если ввести условия замкнутости
(нейтральности) токов
Z /о = 0 и £/Q = 0, где В = В'1)В".
Q£A QgB
Выделим среди элементов, принадлежащих индуктору и за-
грузке, базовые элементы b (Ь^В) и а тогда
ib= - X — L iQ\ Q^a, b. (2.90)
4 Q£A
Разделим систему (2.74) на две подсистемы, соответствующие
индуктору (Q£B) и загрузке (Q £ А). В каждой из подсистем урав-
90
Рис. 2.23. Плоскопараллельная
индукционная система с немаг-
нитной загрузкой
нения для базовых элементов
вычтем из остальных уравне-
ний с учетом (2.90).
Новая система уравнений
для Q(~B имеет вид
В'
rQ^Q~hrb Up + j XXQb,Pbip +
P£B Р£В
~ь / 2L хоь, pb ’iр — йq bi
Р£А
(2.91)
где XqC'PC = xqP—xQc — xPc + xcc — конечная величина, пред-
ставляющая собой сопротивление взаимной индукции двухпровод-
ных линий, состоящих из элементов Q, с и Р, с. Под с понимается
любой из элементов а и Ь. Напряжение L/Q—Ub равно нулю, если
Q и b принадлежат одному проводу, и UK, если разным проводам.
Для элементов загрузки индексы а и b меняются местами, а правая
часть всегда равна нулю.
Значения сопротивлений xQc>pc определяются по формуле
xQc, Рс
мМо |п SqcSpc
gQPgcc
где gqo gpc, gQP, gCc — средние геометрические расстояния пло-
щадей элементов друг от друга и от самих себя (gcc)-
В матричном виде (2.91) имеет вид
гв 0 । . хвв хВА
- о Г А . . ХАВ ХАА -
i в
iA
Ов
0
(2.92)
аналогичный (2.77), с учетом того, что под хвв, хВА, хАА пони-
маются матрицы сопротивлений двухпроводных линий элементов
индукторов и нагреваемого тела в комбинациях индуктор — индук-
тор, индуктор—загрузка, загрузка — загрузка; йв—кусочно-
постоянный вектор-столбец напряжений на проводах индуктора,
отсчитываемых относительно провода, на котором взят базовый
элемент; г'А и г'в — матрицы, равные сумме диагональных матриц
гА или гв и заполненных матриц [ra 1 или [гь ] с постоянными чле-
нами, равными га или гь:
г'а = га+ [гоj; г'в = гв + [гь].
В общем случае нескольких индуцирующих проводов или изо-
лированных нагреваемых тел порядок системы (2.92) равен К—Ki,
где К. — полное число элементов; 7G — число базовых элементов,
91
равное числу условий нейтральности токов (числу подобластей
с уравновешенными токами).
В результате решения системы (2.92) определяем токи всех
элементов, кроме базовых, которые находятся по (2.90). При из-
вестных токах легко определить ток индуктора /и, его сопротивле-
ние и распределение мощности в телах.
Методику расчета с учетом приведенных особенностей можно рас-
пространить на плоскопараллельные устройства, содержащие маг-
нитопроводы и ферромагнитные тела [66].
РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА
Для реализации метода необходимы рекомендации по разбие-
нию тел на элементы, алгоритмы расчета взаимной индуктивности А4
и намагничивающих (магнитодвижущих) сил N, а также эффектив-
ные алгоритмы решения систем уравнений высокого порядка с ком-
плексными членами.
Так как матрица системы расчетных уравнений (2.89) является
заполненной, а расчет входящих в нее величин требует обращения
к специальным подпрограммам, необходимо стремиться к уменьше-
нию порядка системы. В настоящее время можно считать, что число
элементов, определяющее порядок системы уравнений, не должен
превышать 150—200. Обычно этого удается достичь за счет соот-
ветствующего разбиения (дискретизации) тел. Для тел типа N и F
число элементов обычно невелико, так как элементы поверхност-
ные.
Для немагнитных тел с сильным поверхностным эффектом,
(те > 5) также достаточно ввести один слой элементов по среднему
периметру токонесущего слоя. При несильном поверхностном эф-
фекте разбиение должно быть объемным. Теоретическую оценку
влияния размера элементов на точность расчета получить трудно,
поэтому основные правила дискретизации получены опытным пу-
тем. Анализ показал, что характер разбиения значительно больше
влияет на активную мощность, чем на реактивную. Погрешность
составляет менее 3 %, если плотности тока или напряженности Не
у соседних элементов отличаются не более чем в два раза. В местах
с большой неоднородностью поля размеры элементов должны быть
минимальны. При произвольной степени поверхностного эффекта
полная толщина разбиваемого слоя должна составлять (2,5—3) 6.
Погрешность в расчете активной мощности не превышает 1 %, если
толщина d3 расчетных элементов равна 0,2 6. Это означает, что при
полной глубине разбиения 3 б и постоянном d = 0,2 б необходимо
взять 15 слоев, что резко снижает допустимое число элементов по
длине. Шаг d рекомендуется брать переменным. Погрешность не
превышает 2 %, если для внешнего слоя взять d — 0,3 6, а для
последующих увеличивать d по геометрической прогрессии со зна-
менателем g = 1,2. При полной глубине 2,8 б потребуется 7 слоев,
92
причем толщина последнего слоя составит dmax = 0,6 6. Увеличи-
вая допустимую погрешность до 5 %, число слоев можно умень-
шить до 5. Если поверхностный эффект выражен несильно (те <3),
разбиение можно выполнять по всему сечению при числе элемен-
тов, не большем 7, и равномерном или переменном (g = 1,2)
шаге.
В программах, реализующих метод, предусмотрено автомати-
ческое разбиение тел на элементы по длине тела (для одного слоя),
по сечению или по периметру по управляющей информации, вво-
димой пользователем.
В сложных системах участки, не представляющие большого
интереса, могут быть разбиты более крупно. Здесь целесообразен
метод блочных итераций, при котором участки с грубым разбиением
на следующем шаге дробятся мельче. Токи остальных участков
при этом считаются равными токам на предыдущем шаге. Этот ме-
тод использован, например, при расчете потерь в многовитковых
индукторах [671.
При расчете ферромагнитных тел распределение магнитной про-
ницаемости це на их поверхности, а значит, и сопротивления за-
ранее неизвестно и необходимо введение итераций. Численные
эксперименты показали, что даже при простых итерациях, когда
значение ре берется с предыдущего шага в соответствии с най-
денным Hte, процесс сходится за 3—4 итерации при практически
любых начальных значениях i.ie. Вычисление взаимных индуктив-
ностей занимает до 50% всего времени расчета, его быстротой и точ-
ностью в основном определяется эффективность программы. Методы
расчета индуктивностей приводятся во многих работах, например
в [681, однако в своем большинстве они не ориентированы на ЭВМ.
В то же время при расчете цилиндрических систем не удается
обойтись каким-либо одним методом для всех видов сечений и вза-
имных расположений контуров. Поэтому обычно используется не-
сколько состыкованных методов расчета. Наиболее трудоемок рас-
чет взаимной индуктивности массивных контуров [69], поэтому
следует стремиться заменять их тонкими соленоидами. При рас-
чете многовитковых индукторов длина элементов I обычно больше
толщины d и элементы можно рассматривать как соленоиды с ак-
сиальной намоткой, что упрощает расчет. При разбиении тел по
периметру элементы заменяются радиальными или аксиальными
соленоидами в зависимости от соотношения Ind. Расчет их взаим-
ной индуктивности производится по нескольким приближенным
формулам, состыкованным в трехмерном пространстве относитель-
ных размеров [70], или аналитическим методом (см. приложе-
ние 1).
Рассмотрим подробнее свойства коэффициентов N и методы их
расчета. Примем, что направление обхода тел F и N соответствует
рис. 2.24, т. е. является согласным по отношению к напряженно-
сти Н, которая создавалась бы токами IF и IN, направленными по
координате еф. Коэффициент Nqp [см. (2.83) ] равен МДС, созда-
93
Рис. 2.24. Эскиз к расчету коэффици-
ентов N для цилиндрической системы
ваемой единичным током элемента
Р и поверхности элемента Q, т. е.
N =_^₽_==
Q IpWp
—/CQ. (2.93)
IpWp iq
Свойства коэффициентов N:
______________ 1) при Q Ф P коэффициенты
~ NqP заключены в пределах ± 1
и не меняются при переходе с одной стороны элемента Q на дру-
гую;
2) при Q = Р коэффициент NQQ заключен в пределах от 0 до
1 и при переходе через поверхность элемента Q меняется скачком
на ± 1;
3) для двух компланарных элементов (3 и 4 на рис. 2.24)
N^p = 0 при Q Ф Р, a Nqq = 0,5;
4) коэффициенты NQP в общем случае не обладают симметрией
(Nqp =/= Nро);
5) взаимные коэффициенты смежных элементов одного радиуса
(например, 1 и 2) можно выразить через собственные коэффициенты
трех соленоидов:
21pNqP — (/q + lp)Nss—^q^qq—IpNppt (2.94)
где у /Vss индекс S относится к соленоиду длиной lQ 4- 1Р\ анало-
гичным свойством обладают взаимные индуктивности;
6) для элементов одного радиуса выполняется условие IqNpq =
— lpN(jp.
Указанные свойства позволяют заметно облегчить расчет NqP,
который можно выполнить тремя способами. Универсальным яв-
ляется непосредственное интегрирование напряженности магнит-
ного поля, см. (2.93).
Второй способ основан на связи коэффициентов N и М. Если
соленоид-приемник Q сместить на малое расстояние AnQ по нормали
к его поверхности, то потокосцепление W0P изменится на величину
ДТ^р, пропорциональную FQP. С другой стороны, ДТ^р = &МцР1Р.
Тогда получаем
7V ---------1Я-------(2.95)
Способ прост и удобен, так как не требует никаких специальных
процедур, кроме вычисления коэффициентов М, и без того необ-
ходимых при расчете.
94
При вычислении NQQ (Q = Р) следует взять не dL^ldriQ, а
lim —Мцр , причем производная берется по внешней к поверхно-
P-+Q dnp
сти тела нормали.
Третий способ расчета NqP является аналитическим. Для двух
коаксиальных соленоидов коэффициенты NQP получены как сумма
четырех торцевых функций, зависящих от радиусов соленоидов
и аксиального расстояния между ними [71, 72]. Торцевые функции
вычисляются с помощью эллиптических интегралов I, II и Ill рода.
Способ удобен тем, что одновременно с N могут вычисляться взаим-
ные индуктивности (см. приложение 1).
Коэффициенты Nqq зависят только от двух переменных: отно-
сительной длины а = Iq/(2RCp) и угла <р наклона намотки к оси z.
Для <р = 0 получена приближенная формула, дающая значения A^q
на внутренней поверхности соленоида с погрешностью, меньшей
2 % во всем диапазоне изменения а:
.л 1,32а 4-0,5
оо —---------------
w 1,32а 4-1,0
(2.96)
Решение сформированной системы уравнений (2.77) или (2.89)
можно выполнить несколькими способами. Для системы (2.77),
матрица Z которой содержит комплексные члены только на диа-
гонали, эффективно разделение уравнений на вещественную и мни-
мую части [62].
Запишем (2.77) в виде
(г+/X) (Л + /Л) = (Ur+ iUx). (2.97)
Так как матрица г — диагональная, то решение (2.97) удобно
выполнять относительно 1Х.
(г 4- xr-1x) Ix = U г—xr~rUK.
Затем определяется
(2.98)
Формирование и решение системы (2.77) выполняется с учетом
симметрии матрицы, что резко сокращает объем памяти и время
счета. Если рассчитываемое устройство обладает геометрической
симметрией относительно плоскости z = 0, это также может быть
учтено, что снизит число неизвестных в два раза, хотя число опреде-
ляемых взаимных индуктивностей останется прежним.
Матрица системы (2.89) симметрией не обладает и должна рас-
сматриваться как заполненная комплексная матрица общего вида.
Решение системы выполняется методом Гаусса или итерационными
методами. Использование итерационных методов предпочтительно
при ферромагнитной загрузке, когда итерации все равно необхо-
димы для учета зависимости рй = f (//е).
Нужно отметить, что система (2.89) может быть приведена к сим-
метричному виду, если из нее исключить токи намагниченности
95
магнитопровода, а эквивалентные токи тела N выразить через МДС
FQe в соответствии с (2.83). Если дополнительно в (2.89) массивы
элементов А и В объединить в массив С (С = X (J В), то получится
простая запись
Г 7^
^сс
. jXNC
]XcN
%N + jXNN
IС
- ^Ne
(2.99)
где индекс N относится к элементам тела N, а индекс f показывает,
что сопротивления самоиндукции и взаимной индукции элементов
массивов С и М вычисляются не в вакууме, а при наличии реального
магнитопровода с проницаемостью щ и идеального магнитопровода
(р оо), имеющего форму тела N [56]. В соответствии с принци-
пом взаимности матрицы xfNC и xfcN являются транспонированными.
Достоинством такой записи, кроме симметрии матрицы сопро-
тивлений в (2.99), является то, что комплексные члены, учитываю-
щие сопротивление элементов тела N, находятся только на главной
диагонали. При моделировании процесса нагрева во времени до-
статочно наиболее трудоемкую часть электрического расчета —
формирование матрицы — выполнить один раз, так как матрицы
xwc и xcn определяются только геометрией системы. В процессе
нагрева необходимо лишь корректировать сопротивления ZN диа-
гональных членов.
2.5. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ
Решение полной задачи расчета электромагнитного поля в ин-
дукционной системе методом конечных разностей (МКР) и методом
конечных элементов (МКЭ) наталкивается на ряд трудностей. Глав-
ными из них являются:
1) необходимость во многих случаях учета внешних цепей пи-
тания с сосредоточенными элементами типа индуктивности, емко-
сти, активного сопротивления;
2) сложная конструкция индукторов, в том числе с многосекцион-
ными, многослойными, многофазными обмотками;
3) эвристический подход к выбору границ области расчета элек-
тромагнитного поля, влияющий на точность получаемых решений.
Поэтому этот класс методов наиболее эффективен при расчете
простых по структуре индукционных систем [74, 75] или при рас-
чете поля в замкнутых ограниченных областях. Наибольшее рас-
пространение при решении дифференциальных уравнений в част-
ных производных, когда аналитические методы расчета неприем-
лемы, получили методы дискретизации МКР и МКЭ. МКЭ первона-
чально использовался только при решении задач строительной
96
механики, где введение конечных элементов было физически оправ-
данно и позволило дать методу простую инженерную интерпрета-
цию. В дальнейшем усилиями математиков была показана возмож-
ность использования МКЭ для решения широкого класса уравнений
в частных производных, в том числе и уравнений электродина-
мики [77, 78]. Первые работы в этой области появились в конце
60-х годов, а многочисленные публикации 70-х — начала 80-х го-
дов обобщены в [20, 73]. Энергичная пропаганда метода и качест-
венное программное обеспечение сделали МКЭ чрезвычайно попу-
лярным в ряде стран. Это привело к тому, что не развивались дру-
гие методы, которые при решении некоторых задач оказываются
эффективнее МКЭ [76].
При использовании МКЭ расчетная область разбивается на ко-
нечное число подобластей, называемых конечными элементами.
Для двухмерных задач наиболее часто в качестве конечных элемен-
тов используются треугольники и четырехугольники, для трехмер-
ных — тетраэдры и параллелепипеды. В пределах каждого конеч-
ного элемента вводятся аппроксимирующие однотипные функции,
которые равны нулю всюду, кроме как в соответствующем элементе
и непосредственно примыкающих к нему подобластях. Для на-
хождения значений функций в узлах прилегающих друг к другу
элементов составляется система алгебраических уравнений либо
методом Ритца, основанным на минимизации функционала, выби-
раемого в соответствии с физическим смыслом задачи, либо мето-
дом Галеркина, в котором минимизируются ошибки решения за-
дачи с помощью приближенной модели. Матрица коэффициентов
системы линейных алгебраических уравнений является сильно раз-
реженной матрицей ленточной структуры, в которой ненулевые
элементы располагаются параллельно главной диагонали. Ши-
рина ленты зависит от способа нумерации узлов. Рациональная ну-
мерация позволяет добиться минимальной ширины ленты и повы-
сить эффективность решения системы уравнений. МКЭ стимули-
ровал развитие специальных методов решения систем с сильно
разреженными матрицами [79, 80].
В целом МКЭ очень эффективен при решении многих задач рас-
чета электромагнитного поля, особенно в областях с криволиней-
ными границами. Однако применение МКЭ требует развитых про-
граммных средств ввода исходных данных, генерации и оптималь-
ной нумерации узлов конечных элементов, организации наглядного
вывода результатов и их обработки. При расчете поля в областях
с простой границей МКЭ не имеет преимуществ перед методом ко-
нечных разностей. Поэтому в дальнейшем, где это особо не огова-
ривается, численное решение дифференциальных уравнений в ча-
стных производных осуществляется МКР.
Существо метода конечных разностей заключается в следующем.
В рассматриваемой пространственно-временной области вместо
функции непрерывного аргумента вводится ее разностный аналог,
определенный в конечном числе точек сетки, покрывающей область.
4 Заказ № 776
97
Дифференциальные операторы заменяются соответствующими ал-
гебраическими конечно-разностными выражениями. В итоге исход-
ное дифференциальное уравнение и краевые условия аппроксими-
руются системой разностных уравнений, или, как говорят, разност-
ной схемой. Решив систему алгебраических уравнений, получим
приближенное значение искомой функции в узлах сетки.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
ПРИ РАСЧЕТЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛЕЙ
Рассмотрим более подробно технику применения МКР при ре-
шении некоторых задач расчета электромагнитного поля.
Исследование процесса проникновения электромагнитного поля
в плоскую проводящую среду приводит к необходимости решения
нестационарных пространственно-одномерных уравнений относи-
тельно напряженности электрического Е или магнитного Н поля:
— (2.100)
дх \ ццо дх ) р dt
д ( дН \ дН
-т-(р НИРо—• (2.101)
дх \ дх ) dt
(2.102)
(2.103)
Отметим, что при расчете проникновения электромагнитной
волны в ферромагнитную среду предпочтительно уравнение (2.101).
Это объясняется тем, что магнитная проницаемость р зависит от Н
и при решении (2.100) на всех промежуточных этапах необходимо
дополнительно вычислять и Н. Предположим вначале, что среда
линейная, т. е. р = const и u. = const. Тогда уравнение (2.101)
примет вид, аналогичный уравнению (1.20):
дЧ1 дН
дхг dt
Будем рассматривать поле в ограниченной области / со следую-
щими граничными условиями:
77(0, 0=Яе(О; Н(1, 0 = 0.
Начальные условия
Н(х, О) = Н0(х). (2.104)
Таким образом, решение ищется в двухмерной области G =
= [0 < х < I] X [0 < t < 7]. Введем в G равномерную прямо-
угольную сетку, образованную пересечением линий xt = iEx, i =
= 0, 1,2, ... Л и 4 = k\t, k = 0, 1,2, .... К (рис. 2.25). Ве-
личины Дх и Et являются шагами сетки по переменным х и t. В дан-
ном случае они связаны с числом шагов N по координате х и К
по координате t соотношениями Дх = UN\ Et = TIK. Искомое
значение напряженности магнитного поля в узлах сетки будем обо-
значать Н* = Н (хь tk). Следующий шаг решения задачи связан
с аппроксимацией на сетке дифференциального уравнения (2.102)
98
Рис. 2.25. Конечно-разностная сетка
и краевых условий (2.103), (2.104).
Поскольку граничные условия (2.103)
первого рода, то они аппроксими-
руются точно, /Уо= Де(4); Hn = 0;
k=0, 1, 2, . . . , К- Начальные усло-
вия тоже аппроксимируются точно,
Н° = Н„ (xf), i=l, 2, . . . , N. Для
конечно-разностной аппроксимации частных производных восполь-
зуемся формулой Тейлора
Н (х,, W = Н (Xi, tk) + М ч
Ot xi’
(2.105)
где 0 — некоторое число, 0 С 0 1.
Это выражение может быть переписано в виде
дН _ Н (Xi, /fe+i) — Н (xt, tk)
dt xi- &t
AZ d2H
2 dt2 xt- tk+Mt
(2.106)
и позволяет получить для первой производной так называемую
аппроксимацию разностью вперед, или правой разностью,
dH _ Н^-Н*
dt i, k AZ
(2.107)
Погрешность аппроксимации задается выражением
А/ д2Н
2 dt2 i, fe+e ’
(2.108)
а так как е пропорциональна Д/, то погрешность равна 0 (А/), а
порядок аппроксимации по Д^ равен 1.
Для получения разностной аппроксимации второй частной про-
изводной по х также воспользуемся разложением в ряд Тейлора:
rj z I A U I , . . А дН д2Н I
Й(х,+ Лх. 4)-Я(х„ 4)+Дх— + ij+
Дх- а-я I . (2.109)
6 дх» xi<tk' 24 дх* М-е.Дх, tk’
u, a z \ и i t \ a dH \ txx2 d2H I
Hix,—Дх, tk) = H(Xi, tk)—bx----- +-----------—
v v дх 2 дх2 |xf. tk
Ax» dPH | 1 Ax* d*H \
6 dx» | xr. tk 24 dx* | xi+eaAj:’ *к’
O<0X<1; 0^®?<l, (2.110)
99
Сложив (2.109) и (2.110), получаем аппроксимирующее выраже-
ние для второй производной
_ Я*+,-2Я* + Я*_,
дхг i, k Ах2
(2.1П)
Погрешность аппроксимации при этом имеет порядок 0 (Ах2).
Таким образом аппроксимация первой производной связывает
значение функций как минимум в двух узлах сетки, а второй произ-
водной — в трех. Соответственно локальная аппроксимация диффе-
ренциального уравнения (2.102) осуществляется на шаблоне, со-
держащем не менее четырех узлов. Под шаблоном будем понимать
конфигурацию узлов сетки, используемую для составления разност-
ной схемы. Для одной и той же задачи можно составить несколько
разностных схем. Например, для (2.102), (2.103), (2.104) при ис-
пользовании шаблона на рис. 2.26, а система разностных уравнений
будет иметь вид
Я?+1-Я* _ р Я*+1-2Я* + Я*_,
А/ рро Ах2
i= 1, 2, ... , N—V, /? = 0, 1, 2, ... , К—1;
а при использовании шаблона на рис. 2.26, б
Н*+' -Hkt р Я^1 — 2Я^+’ + я£+/
А< рро Ах2
i=l, 2, . . . , N — 1; k = 0, 1, 2, ... , К—1;
Разностная схема (2.112) получила название явной, так как
значение функции Щ+1 на каждом последующем временном слое
определяется через известные значения НЬ на предыдущем слое
явным образом по формуле
ЯН' = ^ + о(^+1-2ЯН^+1);
а) ‘ S). t
ъ-1 i ъ+1
-------е---------*+/ •-------------- K+f
•-------1--------• А ----------1-------Л
г-1 I 1+1
Рис. 2.26. Шаблоны для составления разностной схемы: а — явной,
б — неявной
100
i = 1, 2, . . . , /V — 1; /г = 0, 1, 2, . . . , К — 1, (2.114)
гдесг=-------------безразмерный параметр задачи.
Дх2 рро
Цикл изменения k является внешним по отношению к циклу
изменения i. Ограничением в применении этой чрезвычайно простой
и ясной схемы является ее условная устойчивость. Под устойчи-
востью понимается свойство разностной схемы, приводящее к умень-
шению, или по крайней мере ненакоплению, ошибки, связанной
с погрешностью задания краевых условий и с неизбежными при
вычислениях ошибками округления. Явная схема (2.112) устой-
чива при о < 0,5 [81]. Это означает, что если расчет проводится
с шагом по времени At, превышающим критический шаг
А Дх2рро 1 Дх2
~ — тг- *
2р ы о2
то погрешность решения растет и обычно происходит переполнение
разрядной сетки ЭВМ. Оценим величину А/Кр Для синусоидальной
электромагнитной волны с круговой частотой со. Для обеспечения
необходимой точности расчета на глубине проникновения волны 6
должно быть взято не менее десяти шагов по пространству Ах.
С учетом этого А^кр = 10-2/со. Отсюда для выполнения условия
устойчивости расчета по явной схеме число шагов по времени за
период T/AtKp должно быть больше 2л.-102« 630. Из условия
требуемой точности шаг по времени At может быть значительно
больше А/кр. Поэтому представляют большой интерес разностные
схемы, обладающие абсолютной устойчивостью. К ним относится
неявная схема (2.113). Из (2.113) видно, что, имея значения функ-
ции на предыдущем временном слое, мы не можем по явным фор-
мулам определить значения //*+' на следующем временном слое.
Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений
—(1 + о) = —Я*;
i = 1, 2, 3, ... , W —1. (2.115)
В матричной форме она может быть записана как
“-(По) о 0 ...
о -(1 + 0) о ... 0
0 о -(1 + 0) . . . X
0 ... о — (1 + о) о
... 0 о _(1 + а)_
Ю1
- #*+'
Hk+l
Hk+l
" N—2
Hk+l
_ N—1 _
~Ик—аНк
^N-2
' HkN-\ °^N
(2.116)
Матрица системы (2.116) является трехдиагональной. Для ре-
шения таких систем разработана специальная модификация метода
исключения Гаусса —метод прогонки [81].
Перепишем систему (2.115) в общем виде
AiHi_1—CiHi + BtHi^ —Ff, i=l, 2.............N— 1.
(2.117)
Для нашего случая At = Bt = о; Ct = 1 + о; Ft = Нк.
Решение ищется в виде
Hi = ai+1Hi+1 + f>i+i, i = N—\, TV—2......2, 1, 0.
(2.118)
где а/+1 и р,+1 — коэффициенты, которые необходимо определить.
Подставляя выражение = щН, + р; в (2.117) и сравни-
вая полученное тождество с (2.118), находим выражение для аг+1
и ₽ж:
а<+1 = —~л------J i=l, 2, ..., М-1; (2.119)
Pi+1 = ; i=l, 2, . . . , М—1. (2.120)
С[ — Aia.i
Для начала расчета коэффициентов по формулам (2.119) и
(2.120) необходимо знать коэффициенты аг и рг Они определяются
из граничного условия при i = 0. В нашем случае = 0, Pj = Не.
Аналогично из граничных условий при i — N (HN = 0) находятся
значения HN для счета по (2.118). Таким образом, решение системы
(2.117) осуществляется в два этапа. Вначала рассчитываются про-
гоночные коэффициенты а,+1 и pi+1 по (2.119) и (2.120) («прямая
прогонка»), а затем по (2.118) находятся значения функции Ht
(«обратная прогонка»). Затраты времени для расчета одного вре-
менного шага по неявной схеме оказываются больше, чем по явной.
Однако возможность во много раз увеличить шаг по времени в не-
явной схеме делает ее во многих случаях в целом эффективнее яв-
ной схемы. При решении нелинейного уравнения (2.101) МКР мы
приходим к необходимости решения на каждом временном шаге
102
нелинейной сиетемы алгебраических уравнений, которую в общем
случае удобно записать в виде
ф(ф)ф=Е. (2.121)
Здесь <р — вектор-столбец значений неизвестной функции, на-
пример в (2.116); F — вектор-столбец правых частей; Ф — мат-
рица, аналогичная (2.116), но с нелинейными коэффициентами.
Искомое решение может быть получено различными методами
[82—84]. Ограничимся рассмотрением одного из простейших —
метода простых итераций. Если исходить из некоторого начального
приближения ф = <р0 и вычислить матрицу Ф (ф0) = Фо, то уточ-
ненное значение для ф может быть получено как ф! = Фо’1Е. Этот
процесс продолжается по правилу.
= (2-122)
до тех пор, пока разность ф, и ф;._г не станет достаточно мала.
РАСЧЕТ КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ МКР
При расчете двухмерного электромагнитного поля задачу целе-
сообразно формулировать относительно того компонента поля, ко-
торый имеет только одну пространственную составляющую. Так,
в осесимметричных индукционных системах, в которых возбуждаю-
щий ток имеет только азимутальную составляющую, векторный
магнитный потенциал А и напряженность электрического поля Е
также имеют одну пространственную составляющую — азимуталь-
ную. Например, распределение напряженности электрического
поля (действующее значение) в немагнитном цилиндре радиусом Rм
и длиной zN (рис. 2.27) при синусоидальном возбуждающем поле
описывается уравнением
д2Ё д2Ё
dz2 + dR2
1 дЁ
R dR
Считаем, что по периметру рас-
четной области заданы граничные
условия I рода
£(0, Я)=М₽); Ё(г. RM)=h(zY,
Ё(гы, R) = f3(RY, E(z, 0) = 0.
(2.124)
Рис. 2.27. Пространственно-двухмер-
ная конечно-разностная сетка
= /орроуЁ.
(2.123)
103
Уравнение (2.123) представляет собой уравнение эллиптиче-
ского типа относительно комплексной неизвестной. Для эффектив-
ного численного решения его целесообразно перейти от комплекс-
ных чисел к вещественным. Подстановкой Е = и + jv сведем урав-
нение (2.123) к системе двух дифференциальных уравнений относи-
тельно вещественных переменных
д2и д2и I ди и । I i 71 o-
дг2 Н dR2 R dR R2 -+- pu
d2v d*v , 1 dv о
dz2 г dR2 “г R dR R2 ^.1.11 —
(2.125)
где р = сорроу.
В прямоугольной области со сторонами zN и RM введем равно-
мерную по каждой координате пространственную сетку
со = со2 х соя = {(t’Az, mA/?), i = 0, 1, 2, . . . , N;
т = 0, 1, 2, . . . , М; kz=zNlN', А/? = Rm/M}.
Заменяя дифференциальные операторы разностными, получим
следующую разностную задачу Дирихле:
Дг^1-т4_Лд1С(-т 1 4“ №im
D2
A2t',m + ------~ —
pt/jm О,
г = 1, 2, . . . , N—1; m= 1, 2, . . . , М—1;
(7?m); wOm = 1тЛ(Ят); uiM = Re f2 (zf);
= Im fg (Zf), U — Re f3 (/?m), Im /=з (/?m),
*ло = О; »io=o>
(2.126)
где
^гУйп
Vi+i, m 2yt-m -|- yi—i, m .
Az2
Vi, m+1 — ^Him 4* Hi, m—1 , 1 У1, m-H Vi, m—1
&R2 Rim 2&R
Далее, если индекс в уравнении фиксирован, его не пишем.
Решение системы алгебраических уравнений (2.126) возможно мно-
гими методами, как прямыми, так и итерационными [79—81, 84,
85]. Строгий выбор наиболее эффективного метода расчета
невозможен: во-первых, из-за многообразия критериев, по которым
происходит сравнение методов (надежность, быстродействие, объем
памяти и т. д.), во-вторых, из-за многообразия систем алгебраиче-
ских уравнений, к которым сводится расчет электромагнитного
поля. Для решения (2.126) использовались разнообразные методы.
!04
Предпочтительными оказались так называемый а—Р-итерацион-
ный алгоритм [86, 87] и классический метод переменных направ-
лений [81 ]. Метод переменных направлений применительно к (2.126)
может быть записан следующим образом:
и/+1/2__ы/ ы/'+1/2 ~
-------------= Л2щ+1/2 + ЛЯ1Д-------—- + ру'+1/2;
В2
^+'/2-< = Л^+1/2 + ------ рЩ+1/2;
Т, В
(2.127)
ы/+1 — Ы7+1/2 и’+1 ~ ,,, v ’
= Л21Д+1/2 + ЛкЩ+‘ -р
т2------------------------------------В2
иН-1—l/-t-l/2 ,’4-1/9 I Л >4-1 С',+1 ~ ,’4-1
-------------= Л2и'+1/2+Лкгх+1----------_ pii//+1
Т2 В2
где j = 0, 1,2,... при произвольных начальных данных. Здесь
/ — номер итерации, j + 1/2 — номер промежуточной итерации,
тх и т2 — итерационные параметры, подлежащие выбору из усло-
вия минимума числа итераций.
Переход от / к (/ + 1)-й итерации достигается последователь-
ным применением метода матричной прогонки вдоль строк и вдоль
столбцов для уравнений относительно вектора-столбца W= | U I:
I v j
вдоль строк
Л .Ж+/2—С.Ж+'/2— BtWi+\/2 = — Fi, (2.128)
где
вдоль столбцов
А’ Г/+1, — С* №'+> + В* Wi+l, = —F* (/+1/2), (2.129)
т т—1 т т ' т m-pi ’ ' '
где
F*(/+i/2) = Ц7/+1/2-Р Т2Лг1Г'+1/2;
^2 Q
А* = т Л/?2 2/?тД/? Q Т2 Т2
Л/?2 2Rm&R
105
в
bR2 2RmbR
О
о
bR2 2RnlbR
—T2P-
2T2 T2 ; |
bR2 + R2 +
' ' m
Решение задачи матричной прогонкой ищется в виде, аналогич-
ном (2.118),
Г,- = аг+1^.+1+р.+1; i = N— 1, N—2, .... 1, 0, (2.130)
только здесь аг+1 — квадратная матрица прогоночных коэффици-
ентов; рг+1—вектор-столбец коэффициентов.
Сначала по рекуррентным формулам (формулам прямой про-
гонки) находятся а и [3:
ai+1 = (Ci—Aiai)-1 Bt, а1==0; i=l, 2....2V—1;
₽г+1 = (С,—Ааа-ЧЛ + ЛРг); ₽1 = №0; *=1, 2, . . . , ЛГ-1.
Затем по (2.130) находятся значения вектора W (обратная про-
гонка). Аналогично осуществляется прогонка по столбцам (те же
формулы с заменой индекса i на т).
2.6. ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПОДОБИЕ ПРИ ФИЗИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Физическое моделирование позволяет получить наиболее до-
стоверную информацию о натурном объекте. Оно основано на из-
менении масштаба физических свойств материалов, геометрических
размеров системы или параметров, характеризующих режим на-
грева, при сохранении физической сущности процессов, протекаю-
щих в модели и оригинале. Физическое моделирование дает воз-
можность проводить исследования при меньших размерах устрой-
ства, что уменьшает их стоимость, сроки выполнения работы, по-
зволяет обойтись без уникального оборудования и осуществить
режимы, недостижимые в натурном объекте. Это особенно важно
при проектировании крупных нагревателей на частоте 50 Гц. С дру-
гой стороны, иногда целесообразно создавать увеличенные модели,
в которых процессы нагрева протекают медленнее и расширяются
возможности их изучения и регистрации параметров. Для соответ-
ствия процессов в модели и оригинале и определения масштабов ве-
личин должен соблюдаться ряд условий, определяемых теорией
подобия [88].
В зависимости от целей исследования может требоваться полное
моделирование работы устройства, некоторых процессов (напри-
106
мер, только тепловых или электромагнитных) или процессов в ча-
сти устройства. Для каждого из процессов существует своя система
безразмерных показателей (критериев подобия), составленных из
величин одинаковой природы (симплексы) или различной природы
(комплексы).
Тепловые процессы в твердом теле подобны, если соблюдаются
следующие условия:
1) модель подобна оригиналу как по размерам, так и по отно-
сительному распределению теплофизических свойств;
2) сохраняется относительное распределение источников теп-
лоты по объему или поверхности тела;
3) сохраняются неизменными критерии Кирпичева (Ki), Био
(Bi) и Фурье (Fo) в соответствующих точках модели и оригинала:
Ki=^o£; Bi = -^; Fo = —, (2.131)
лТ0 Л L2
где L — характеристический размер тела; Tlt — характеристиче-
ская температура, выбираемая произвольно; она может быть, на-
пример, равна заданной конечной температуре. Остальные физи-
ческие величины, входящие в (2.131), определены в § 1.3. Их абсо-
лютные значения у модели и оригинала могут быть различны.
Критерий Кирпичева представляет собой безразмерную мощ-
ность, а критерий Био — безразмерный коэффициент теплоотдачи.
При равенстве указанных критериев в соответствующие моменты
времени, определяемые условием Fo = idem, поля относительных
температур 6 у модели и оригинала будут одинаковы
0 = (Т—Тнач)/Т0, (2.132)
где Тнач — начальная температура в рассматриваемой точке.
Введение системы критериев соответствует записи уравнения
теплопроводности (1.72) и граничных условий (1.74) в безразмерном
виде [34]
V0—-5- + Ki = 0 (2.133)
д го
при граничных условиях
Bi0 —----(2.134)
д (niL) '
Температурное поле внутри тела связано с внешней тепловой
задачей через критерий Bi, зависящий от коэффициента теплоот-
дачи а, а с электромагнитным полем — через критерий Ki, харак-
теризующий внутренние источники теплоты.
Для подобия электромагнитных полей необходимо соблюдение
геометрического подобия, одинакового распределения свойств ц и у
тел и источников поля (токов обмоток или приложенных к ним на-
107
пряжений), а также относительных размеров тел, определяемых их
отношением к глубине проникновения тока. Для цилиндра это без-
размерный радиус
т = R -у/2 /6 — R ^сорроТ •
В линейных системах, у которых свойства тел и коэффициент
теплоотдачи не зависят от напряженности поля и температуры,
возможно полное моделирование электротепловых процессов с из-
менением линейных размеров, свойств, уровней напряженностей
и температур [88]. В реальных устройствах всегда имеются не-
линейности, ограничивающие возможности полного моделирова-
ния. Наиболее существенными нелинейностями являются зависи-
мость тепловых потерь за счет излучения от температуры, а для
ферромагнитных тел — еще и зависимости р = f (И, Т) и теплоем-
кости от температуры в области точки Кюри.
Рассмотрим наиболее сложный случай моделирования нагрева
ферромагнитных тел. Из-за сильных нелинейностей моделирование
обычно проводится с сохранением уровня температур и марки ма-
териала такими же, как у реального объекта. Пусть модель в k раз
меньше оригинала (LM = L/k). При тех же материалах тел, состав-
ляющих индукционную систему, ее масса уменьшится в k3 раз.
Для сохранения прежних относительных размеров тел частоту тока
следует увеличить в k2 раз. Заданная степень насыщения магнит-
ных масс достигается сохранением напряженности магнитного поля
прежней (Н = idem). Из первого уравнения Максвелла следует,
что при этом напряженность электрического поля и плотность тока
увеличатся в k раз, а ЭДС и витковые напряжения останутся преж-
ними (U' — idem). Удельные объемные мощности увеличатся в k2
раз, поверхностные — в k раз, а полные мощности уменьшатся
в k раз. Время нагрева уменьшится в k2 раз, что следует из условия
Fo = idem. По закону полного тока токи в элементах системы
уменьшатся в k раз. Число витков при заданном напряжении
({/ — idem) сохранится постоянным IF = U/U'.
Сопротивление индуктора увеличится в k раз, а КПД и cos <р
сохранятся неизменными. Электродинамические силы изменятся
по следующему правилу: объемные — увеличатся в k раз, удельные
поверхностные — останутся прежними, полные — уменьшатся в k2
раз.
Наибольшие сложности возникают с обеспечением неизменности
критерия Био. Действительно, из Bi = idem следует, что коэффи-
циент а должен быть увеличен в k раз. Если тепловые потери опре-
деляются только тепловой изоляцией, то вследствие изменения
в k раз ее толщины а также увеличивается в k раз. Однако потери
конвекцией и излучением этому правилу не подчиняются. Если
термический КПД высок и тепловые потери мало влияют на ход
процесса, то изменением Bi можно пренебречь. В противном случае
можно рекомендовать обдув поверхности воздухом и зачернение
108
поверхности, увеличивающее потери излучением (88]. Последняя
мера эффективна только при чистой поверхности тела оригинала
(нагрев в вакууме или защитной атмосфере).
При полном моделировании можно получить также дополни-
тельную информацию, например, о работе системы охлаждения,
вибрациях, внутренних напряжениях. Так, расход воды на модели
при том же перепаде температур должен быть в k раз меньше, а
скорость воды в ветвях — в k раз больше. При этом критерий
Рейнольдса, определяющий характер движения жидкости, оста-
нется неизменным. Давление воды в ветвях должно быть увели-
чено в А2 раз, что не всегда удается осуществить. Однако, изгото-
вив модель с большим числом ветвей, легко пересчитать систему
охлаждения на реальный объект.
Рассмотренный метод полного моделирования широко исполь-
зуется на практике. Нужно заметить, что при моделировании воз-
можны погрешности, связанные не только с трудностью сохране-
ния неизменным критерия Bi, но и со специфическими свойствами
материала. Так, для ферромагнетика при сильном изменении ча-
стоты (/ы > f) могут сказаться дефекты поверхностного слоя, маг-
нитная проницаемость и удельная электрическая проводимость
которого отличны от характеристик основной массы вследствие
наклепа при обработке или из-за физико-химических процессов.
При той же абсолютной толщине слоя его относительный размер
у модели и оригинала различен. Ограниченная прокаливаемость
стали может воспрепятствовать моделированию структурных пре-
вращений при термообработке.
Иногда достаточно моделировать часть процессов, протекающих
в устройстве, какой-либо временной интервал нагрева или процессы
на ограниченном участке. При этом часть ограничений снимается.
Возможно моделирование при неполном соблюдении критериев,
например при несоответствии частоты f требуемой частоте. Влияние
этих отклонений на результат моделирования обычно можно оце-
нить, исходя из физических соображений и простых одномерных
приближений.
Измерения при исследовании систем индукционного нагрева
связаны с трудностями принципиального и технического харак-
тера. К первым относится невозможность прямого измерения ос-
новных распределенных в пространстве параметров: плотности
потока электромагнитной мощности и удельной объемной мощности.
Большие технические трудности возникают при изучении распреде-
ления напряженности электрического поля и связанной с ней плот-
ности тока, а также температуры в объеме тела.
Измерение температуры на поверхности тел может осущест-
вляться бесконтактными методами (оптические, радиационные и цве-
товые пирометры), а также контактными методами — с помощью
подвижных или неподвижных (приваренных или зачеканенных)
термопар. Внутри твердых тел температура может определяться
только в отдельных точках с помощью термопар.
109
Напряженность электрического поля и плотность тока в цилин-
дрических системах определяют по ЭДС Эк, наводимой в измери-
тельной катушке, намотанной на поверхность тела:
^=рЛ = 5к/(2яТ?гГк),
где WK — число витков измерительной катушки.
Катушка может быть размещена и внутри тела, однако при из-
готовлении составной модели нагреваемого тела следует следить
за тем, чтобы поверхности раздела не пересекали линий плотности
тока; для цилиндрических систем это легко осуществить.
В плоскопараллельных или более сложных трехмерных системах
составляющие плотности тока Jе и напряженности Ее можно полу-
чить, измеряя' падение напряжения Ai7K на участке Д£к поверх-
ности тела:
£«=РЛ = ЛДк/Л1к.
Измерительные провода должны иметь диаметр, много меньший
глубины проникновения тока в материал тела, и быть плотно при-
жатыми к его поверхности. От точки соединения до прибора подво-
дящие провода должны быть перевиты. Этот метод можно исполь-
зовать также для изучения объемного распределения плотности
тока, если твердое тело заменить жидкой моделью, выполненной,
например, из ртути или расплава легкоплавкого материала. Кроме
технических трудностей измерения здесь следует учитывать воз-
можность изменения формы жидкого тела под действием электро-
магнитного поля.
Напряженность магнитного поля в воздушных зазорах легко
измерить с помощью датчиков Холла или индукционных зондов
(измерительных катушек). Сигнал индукционного зонда, равный
производной потокосцепления катушки, зависит от частоты и на-
личия высших гармоник у напряженности поля, поэтому для из-
мерения должен использоваться прибор с интегрирующим звеном,
например микротесламетр Г-79. Распределение напряженности маг-
нитного поля дает полезную, но косвенную информацию о распре-
делении мощности в системе и о качестве нагрева.
Распределение мощности по длине нагреваемого тела можно
получить раздельным калориметрированием его частей [108]. Од-
нако разделение тела на части без нарушения путей индуктирован-
ного в нем тока возможно только в простейших цилиндрических
и некоторых плоскопараллельных системах. О распределении мощ-
ности можно судить также по начальной скорости роста темпера-
туры в различных точках тела при включении нагрева. Точность
измерения при этом невысока, и результаты носят в основном ка-
чественный характер.
Распределение мощности потерь в обмотке водоохлаждаемого
индуктора можно получить раздельным калориметрированием вит-
ков или их частей. При этом нужно создать условия, уменьшаю-
щие передачу теплоты от одной водоохлаждаемой ветви к другой.
110
Важно отметить, что электромагнитная мощность, связанная с ка-
кой-либо частью обмотки и определяемая произведением тока, на-
пряжения и косинуса угла их фазового сдвига, не равна мощности
потерь в этой части обмотки и находящейся под ней части нагре-
ваемого тела. Особенно сильно это различие в многофазных уст-
ройствах, когда наблюдается перенос мощности из одной части си-
стемы в другую (см. главу 5).
Измерение электромагнитных мощностей в элементах индук-
ционных устройств затрудняется низким коэффициентом мощности,
а в ряде случаев — трудностью получения сигнала, пропорциональ-
ного току. Для измерения тока наряду с измерительными трансфор-
маторами тока широко используется магнитный пояс (пояс Ро-
говского), сигнал которого пропорционален производной тока,
охваченного поясом.
При измерениях необходимо учитывать возможность воздейст-
вия сильных внешних электромагнитных полей индукционных
устройств на измерительные приборы.
Технические средства, методология измерений, обработка ре-
зультата и оценка погрешностей требуют специального рассмотре-
ния.
Ограниченные возможности экспериментальных исследований
и получения информации о ходе процесса в производственных ус-
ловиях делают особенно важной разработку математических мо-
делей устройств.
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Планирование экспериментов позволяет упорядочить проведе-
ние опытов, представить их результаты в простой форме и оценить
погрешность, связанную с неточностью опытов и с принятым видом
записи (модели). В последнее время идеи планирования эксперимен-
тов стали использоваться также с целью получения аппроксимаций
простого вида для результатов расчета по сложным моделям (мето-
дам). Этот прием, называемый планированием расчетов, отличается
от планирования экспериментов тем, что расчеты одним и тем же
методом дают в каждой точке повторяющийся результат, т. е. от-
сутствуют случайные ошибки, неизбежные при опытах.
Пусть необходимо исследовать зависимость какого-либо сосре-
доточенного параметра У устройства (например, его КПД) от не-
зависимых переменных (факторов) х, которыми могут быть кон-
структивные параметры, частота, мощность и т. п.:
У = К(х1, х2, . . . , хк). (2.135)
Вид функции F теоретически может быть любым, поскольку
объект рассматривается как черный ящик, параметры которого
определяются по реакции (отклику) Y на тестовые воздействия
совокупностей факторов. Однако практически знание характера F
111
чрезвычайно полезно, так как помогает выбрать порядок плана
и диапазон изменения факторов.
При одном факторе (/С = 1) зависимость (2.135) можно полу-
чить в виде кривой при небольшом числе опытов или расчетов и пла-
нирование смысла не имеет. Несложно представление результатов
в виде таблиц или графиков и при К = 2. Пользование графиками
потребует однократной интерполяции, а таблицами — двукрат-
ной. С увеличением К число опытов быстро растет, и при А > 3
целесообразно планирование экспериментов. Зависимость отклика
Y от факторов ищется в виде полинома порядка п от К переменных.
Простейшим является полином первого порядка (n = 1); при этом
поверхность отклика представляет собой плоскость в многомерном
пространстве факторов. Адекватность модели первого порядка
обеспечивается только для простейших видов зависимости (2.135),
близких к линейным по каждому фактору. Чаще используются
полиномы второго порядка (п = 2), позволяющие описать более
сложные зависимости, в том числе имеющие один экстремум. Для
п — 2
к к. к к
Y X Ч-Ч+ X + X Е CuXiXt- (2.136)
i=l i=l i=l 1=1
Коэффициенты cit Сц, ctl определяют меру чувствительности Y
к факторам и их сочетаниям. По этим коэффициентам можно су-
дить о значимости каждого фактора и об их совместном влиянии
на Y. При учете погрешностей опытов коэффициенты с назы-
ваются коэффициентами регрессии, так как определяют наиболее
вероятное положение поверхности отклика. Сама зависимость
(2.136) называется уравнением регрессии.
Теория планирования экспериментов показывает, какое число
уровней варьирования переменных целесообразно использовать,
какие сочетания переменных следует задавать для получения ин-
формации, достаточной для определения коэффициентов (2.136)
и для выяснения адекватности полученной модели [89, 90 [.
Полученная зависимость (2.136) удобна для анализа поведения
объекта в заданном диапазоне изменения факторов, и в особенно-
сти для проектирования объекта, в связи с чем (2.136) иногда на-
зывают уравнением проектирования [12, 90].
Методы планирования для получения зависимостей вида (2.136)
использовать не обязательно. Например, они могут быть найдены
по результатам неупорядоченных опытов методом наименьших квад-
ратов. Однако при той же адекватности для этого обычно требуется
значительно большее число опытов.
Следует отметить, что планирование экспериментов является
достаточно мощным, но формализованным аппаратом, слабо учиты-
вающим структуру исследуемого объекта. Поэтому всегда нужно пом-
нить о возможности иного описания объекта—в виде простых струк-
тур типа схем замещения, более полно учитывающих физическую
112
сущность процесса. Параметры такой модели могут определяться по
данным экспериментов, однако независимые переменные (факторы)
будут входить в них в неявном виде.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ПЛОСКИХ ТЕЛАХ
3.1. ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Одномерные и двухмерные плоскопараллельные системы УИН.
Рассмотрим одномерные электромагнитные поля в плоских телах
и некоторые двухмерные плоскопараллельные поля, образующиеся
при помещении длинных проводящих тел в первоначально одно-
родное магнитное поле. Для этих случаев можно получить в конеч-
ном виде ряд зависимостей, облегчающих исследование и проекти-
рование индукционных устройств.
Одномерными часто можно считать электромагнитные поля в пло-
ских проводниках обмоток индукторов, в том числе многослойных,
поля при индукционном нагреве пластин и многослойных сред (см.
рис. 2.4 и 2.17).
Двухмерные плоские поля можно свести к следующим случаям,
для которых применимы разные методы исследования:
1) плоское одно- или многослойное тело в пространственно-пе-
риодическом магнитном поле;
2) тело конечного сечения, например прямоугольного, в про-
дольном одномерном магнитном или электрическом поле;
3) тело конечного сечения в поперечном однородном или неод-
нородном магнитном поле;
4) проводник с током в поперечном магнитном поле.
В первом случае при кусочно-постоянных линейных свойствах
тела целесообразен метод разделения переменных для внешней
и внутренней (внутри тела) областей (см. стр. 55).
Во втором случае достаточно решение только внутренней за-
дачи методом Гринберга (в линейной постановке), методом конеч-
ных разностей или конечных элементов при граничных условиях
I рода.
Третий и четвертый случаи наиболее сложны, так как требуют
совместного расчета поля во внешней или внутренней областях.
Точный аналитический расчет возможен только в простейших слу-
чаях, например при нагреве цилиндра во внешнем однородном поле
(см. § 4.6) или в поле системы тонких продольных проводов. В об-
щем случае применимы численные интегральные или дифференци-
альные методы.
113
К совокупности двухмерных плоскопараллельных полей можно
свести общий случай проводника с током, помещенного в стороннее
магнитное поле, имеющее продольную и поперечную составляющие
напряженности.
Принцип наложения при расчете мощностей. Для облегчения
анализа полей можно использовать принцип наложения. Хотя на-
ложение полностью справедливо только для напряженностей и по-
тенциалов, известен ряд случаев, когда его применение возможно
и для мощностей:
1) сумма мощностей, создаваемых отдельными временными гар-
мониками поля, равна мощности от суммарного поля;
2) сумма мощностей, создаваемых токами, у которых векторы
плотности взаимно ортогональны в пространстве или во времени,
равна результирующей мощности;
3) при расчете поля методом разделения переменных сумма мощ-
ностей отдельных пространственных гармоник, взаимно ортого-
нальных на поверхности проводника, равна полной мощности.
Докажем еще одно положение, особенно важное для вычисле-
ния потерь в проводниках, находящихся в стороннем магнитном
поле.
Пусть прямолинейный проводник с током /с, находящийся в
первоначально однородном магнитном поле с составляющими Нх,
Ну и Нг, имеет сечение, симметричное относительно локальных
координат х и у (рис. 3.1). Докажем, что мощность, выделяющаяся
в проводнике, равна сумме мощностей от тока 7С и от вихревых то-
ков, вызванных составляющими Нх, Ну и Нг.
Мощность от составляющей Нг может быть добавлена к осталь-
ным мощностям в соответствии с п. 2. Компоненты плотности тока
от 1С, Нх и Ну обозначим через jc, Jx и j«. Все они направлены
по оси z и могут складываться алгебраически. Выделим в сечении
четыре симметричных элемента 1—4 площадью AS. Плотности тока
в них (без учета J2 от составляющей Я2) равны
Л = + j*+ jw, j2 = Jc + Jx~jy\
= ji = jc—jx+jy. (3.1)
Суммарная мощность от этих токов в элементах 1—4, приходя-
щаяся на единицу длины, составляет
= Е pAS Z J.J.. (3.2)
1=1 f=l
Подставляя (3.1) в (3.2), получаем
= 4pAS ((Jz)2 + (Jx)2 + m.
114
Рис. 3.1. К расчету потерь в провод-
нике симметричного сечения
Полная мощность на единицу
длины будет
др=АРг+рЛ(Л2+(Л)а+
S
+(^)2J = ЛРс+ &РХ+ ЬРу+
(3.3)
что и требовалось доказать.
Принцип наложения для мощностей в рассмотренных случаях
соблюдается при любой степени поверхностного эффекта. Требова-
ние однородности исходного поля также может быть ослаблено.
Достаточно только симметрии этого поля относительно осей х и у.
Рассмотренные правила расчета мощностей могут сильно облегчить
расчет потерь в обмотках индукторов, когда витки с током нахо-
дятся в сильном магнитном поле соседних витков, слоев или сек-
ций. Если поверхностный эффект в витках выражен несильно, то
потери от поперечного магнитного поля можно легко найти по при-
ближенным формулам, используя механические моменты инерции
сечения относительно осей х и у (см. § 4.6).
Распределение сопротивления единичного квадрата в одномер-
ном плоском поле. Так как Е и Н могут быть найдены в любой точке
тела, то сопротивление Zo, равное их отношению, можно считать
функцией координат при заданных размерах и свойствах тела и
способе возбуждения поля.
Уравнение для Zo можно получить методом цепных схем,
ходя от слоев конечной толщины к бесконечно тонким, или
средственно из уравнений Максвелла.
Пусть плоская электромагнитная волна с компонентами
= Йхех и Е = Егег распространяется в глубь плоского тела
оси у. Так как вектор Пойнтинга совпадает с осью у, то условие
(1.31) запишется в виде
пере-
непо-
Н =
вдоль
Ez=Z0Hx.
Продифференцируем это выражение по у.
dEz у dHx ( dZB
—-—— Zo —-----1- Hx —-— .
dy dy dy
Из уравнений Максвелла (1.3) и (1.4) следует
дНх р дЁг f,
ду ду
Подставляя эти зависимости в предыдущее уравнение, получаем
дифференциальное уравнение, связывающее скорость изменения
115
сопротивления единичного квадрата с его значением Zo и с волно-
вым сопротивлением среды Zc в данной точке,
p^Z2 + Z2=0 (34)
Уравнение (3.4) относится к нелинейным дифференциальным
уравнениям Риккати комплексного аргумента.
Если направление оси поменять на обратное, что соответствует
направлению оси у навстречу вектору Пойнтинга, то уравнение
(3.4) примет вид
p-^- + Z^=0. (3.5)
При выводе (3.4) и (3.5) не накладывалось никаких ограничений
на распределения свойств р и у вдоль оси у кроме того, что они яв-
ляются дифференцируемыми функциями у. Поэтому эти уравнения
могут использоваться и для неоднородных сред, в том числе нели-
нейных ферромагнитных.
Уравнения (3.4) и (3.5) имеют несколько решений, вид которых
зависит от распределения свойств по у и от условий на одной из
границ рассматриваемой области. Непосредственной подстановкой
в (3.5) легко убедиться, что его решениями при р = const являются,
например,
Z0 = Zc = const; Z0 = Zcthat/ и Zo = Zccthay.
Первое из решений соответствует плоской волне в однородной
бесконечной среде (см. § 1.2), второе и третье — сопротивлению
единичного квадрата однородной пластины в продольном магнитном
и электрическом поле, как будет показано ниже. Эти же выраже-
ния, но с заменой знака на противоположный, являются решениями
уравнения (3.4).
Уравнения Риккати относительно Zo облегчают анализ и синтез
индукционных устройств и особенно полезны при создании систем
индукционного обогрева, в которых размеры и свойства нагревае-
мых тел в определенных пределах можно изменять, обеспечивая
оптимальные энергетические показатели.
Рассмотрим некоторые общие закономерности, непосредственно
следующие из уравнения (3.5). Разделим (3.5) на вещественную и
мнимую части, учитывая, что Zo = r0 + jx0:
ау
(3.6)
Р-^-+2«Л-^ =°-
Здесь 2С = р д/2/6 — модуль волнового сопротивления среды
в данной точке.
116
Из (3.5) и (3.6) можно сделать несколько важных выводов:
1) в стационарных точках Zo, т. е. в точках, где производная
Zo по координате равна нулю, это сопротивление всегда равно вол-
новому сопротивлению среды Zc;
2) в стационарных точках г0 необходимо и достаточно соблюде-
ние условия г0 = х0, а фаза сопротивления Zo равна л/4;
3) в стационарных точках х0 существует соотношение хого =
= г2/2 = р2/б2;
4) если в какой-либо точке х„ > г0, то г0 возрастает с коорди-
натой у и наоборот.
В области с постоянными свойствами рир закономерности 1—4
справедливы и для коэффициентов G и Q в формуле (1.55).
3.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ДВУХСЛОЙНОЙ СРЕДЕ
Двухслойная среда часто встречается в устройствах индукцион-
ного нагрева. Она может быть создана искусственно (биметалличе-
ские изделия) или образуется в результате потери магнитных
свойств поверхностным слоем стального изделия. Рассмотрим элек-
тромагнитное поле в плоском слое (рис. 3.2). Для слоя обычно ста-
вятся два вида граничных условий. В первом заданы напряженно-
сти магнитного или электрического поля на обеих границах слоя.
Этот случай, характерный для плоского проводника с током или
для индукционного нагрева пластины, рассматривается в § 3.4.
Второй вид граничных условий состоит в задании Е или Н на од-
ной поверхности и условий сопряжения или значения импеданса —
на другой. Пусть на границе сред известно сопротивление Z02, оп-
ределяемое свойствами второй среды. Возьмем для напряженно-
стей форму записи (2.1), считая, что пода и Zo понимаются эти ве-
личины для первой среды. Тогда с учетом граничных условий можно
получить формулы для распределений Е и Н:
И еа'у'— Ке-а'у'
Не ~ ea'd'~ Ke-a'd' ’
Е ______
Не ~Plttl
(3-7)
где у' = dv—у, а К — коэффициент отражения волны на границе
раздела сред;
Д' __ ^02 Zel
Zm -f- Zci
(3.8)
Из (3.7) следует, что Н и Ё определяются наложением двух волн,
прямой и обратной, причем для напряженностей магнитного и элек-
трического полей отраженная волна имеет противоположные знаки.
117
Рис. 3.2. Эскиз двухслойного плоского
тела
Коэффициент К. в общем случае
является комплексным. Комплекс-
ность исчезает, если фаза Z02 равна
л/4. Например, если вторая среда од-
нородная со свойствами р2 и р2, то
При р2р2 = PjPj К = 0 и отражение отсутствует.
Предельные случаи К = — 1 и = + 1 рассматриваются в по-
следующих параграфах при изучении электромагнитных явлений
в пластине, находящейся в продольном магнитном и электрическом
нолях.
Напряженность Йк на границе слоев связана с Не соотношением
(3.10)
Сопротивление единичного квадрата в точке у' = —у равно
7 7 е^' + Ке~а'«'
еа1у'_К-а,у'
(З.И)
Сопротивление
У' =
Zo, на поверхности соответствует (3.11) при
7 7 е^ + Ке-^
eaidi_^_aidi
(3-12)
Выражение (3.11) является еще одним решением уравнения
(3.5). Формулы (3.10) и (3.12) можно рассматривать как рекуррент-
ные и использовать для расчета параметров любого многослойного
тела при условии одностороннего проникновения волны.
Разделив (3.12) на вещественную и мнимую части, запишем со-
противление на поверхности в принятом нами виде
ZOe = —(G +/Q),
01
(3.13)
где G и Q являются функциями и К,-
Рассмотрим характерные распределения плотности тока и на-
пряженности магнитного поля в двухслойной кусочно-однородной
среде (рис. 3.3, а, б). Если pj = р2, a p2>pj, то плотность тока
J и Е в первом слое убывают медленнее, & Н — быстрее, чем по
экспоненте, характерной для однородной среды (рис. 3.3, а). Если
118
Рис. 3.3. Распределение плотности тока и напряженности магнитного поля
в двухслойной среде: а — Pi = Ра’, Ра = б — Pi = 4р2, р2 = рр,
в — двухслойная среда при нагреве стального изделия
p2<Pi. а р2 = Рп то, наоборот, Н меняется медленнее, а £ и
J — быстрее, чем по экспоненте (рис. 3.3, б). Однако на границе
сред J скачком изменяется в рх/р2 раз и плотность тока в поверх-
ностных слоях второй среды может быть больше, чем на поверхно-
сти первой (у = 0). Удельная объемная мощность также может
быть больше, чем на поверхности. Такое положение может встре-
титься, например, при нагреве биметаллических гильз с наружным
слоем из материала с большим удельным сопротивлением.
В двухслойных средах, образующихся при нагреве стальных
изделий, присутствуют оба эффекта. Однако изменение р происхо-
дит плавно в соответствии с зависимостью р (Т). Рост р от единицы
до некоторого значения рк также не является скачкообразным,
поэтому говорить о двуслойности можно только условно. Харак-
терные распределения J и Н для этого случая приведены на
рис. 3.3, в. Достаточно точно они могут быть получены только чис-
ленными методами на ЭВМ. Однако в приближенных расчетах
можно принять, что pj = р2, а р меняется скачком от щ = 1 до
рк при температуре Кюри, равной для углеродистых сталей при-
мерно 750 °C. Значения рк определяются в функции Нк без учета
температурной зависимости р = f (Т). Обычно принимается также,
что вторая среда является однородной с р2 = рк = const. Тогда
коэффициент К становится вещественным. Методика расчета для
этого случая приведена в [2, 9]. Она дает хорошие результаты при
d1/61>0,2, что почти всегда соблюдается при поверхностной за-
калке. Однако в ряде случаев, например при нагреве ферромагнит-
ных тел с немагнитным покрытием, неучет переменности р2 может
дать заметную погрешность и необходим расчет по полной формуле
(3.12). Эффективен также метод цепных схем, из которого при
di/6i< 0,2 можно получить простое соотношение
Zog= +Mos> (3.14)
Zo2 т rOS
где ros = Pi/dy, х0» = pjdi/Sf.
119
Зависимость рк от Нк, а следовательно, от Не легко учесть с по-
мощью формулы (2.4) и соотношения
HJHK= | 1 +Z02/r0s|.
Для наиболее распространенного случая поверхностной закалки
(Pi ~ Рг> Иг = var) рассчитаны кривые зависимости коэффициен-
тов G и Q от d1/^1 и Не (рис. 3.4). Кривые G и Q для очень малых
толщин (dx/6j -*• 0) соответствуют условиям G — 1,32 -y/pR> Q =
= 0,98 VpK, так как в нормирующем выражении (3.13) бх вычис-
ляется для немагнитного слоя (рх = 1). С увеличением dx до 0,3 бх
G и Q быстро уменьшаются, особенно при малых напряженностях
Не, когда рк велико и коэффициент отражения К близок к единице.
При Н <_ 100 А/см можно считать К = 1, если d/б > 0,3; тогда
lim G = q>'; lim Q = ij/, (3.15)
где tp' (d/б) и ф' (d/б) — коэффици-
енты для плоского проводника с то-
ком при одностороннем проникнове-
нии волны (см. рис. 3.6).
Для сравнительно большой тол-
щины немагнитного слоя (dx>0,56x)
Цк велико при всех реальных напря-
женностях магнитного поля, соотно-
шения (3.15) всегда соблюдаются и
коэффициенты G и Q не зависят от Не
(рис. 3.4, а, в).
Нанесение немагнитных покрытий
на массивное ферромагнитное тело
приводит к снижению г0, однако при
этом резко возрастает коэффициент
Рис. 3.4. Коэффициенты активного (а) и реактивного (б, в) сопротивлений
для двухслойного стального тела
120
мощности и уменьшается число конденсаторов, необходимое для
компенсации реактивной мощности.
Если индукционная система относительно короткая, то несмотря
на уменьшение активного сопротивления загрузки г2 вносимое в ин-
дуктор сопротивление гг. а следовательно, и КПД нагревателя
могут увеличиваться благодаря росту коэффициента приведения
параметров. Это обстоятельство позволяет рекомендовать нанесе-
ние тонких немагнитных покрытий, в том числе медных, на поверх-
ности обогреваемых аппаратов, особенно при частоте тока 50 Гц.
Эффективность покрытий увеличивается, если стенка аппарата
тонкая, так как при этом резко снижается насыщение стали. В этом
случае покрытие может увеличивать активное сопротивление г2
и КПД нагревателя. Толщина покрытий должна выбираться в ре-
зультате технико-экономического анализа.
3.3. ИНДУКЦИОННЫЙ НАГРЕВ ПЛАСТИНЫ
В ПРОДОЛЬНОМ ПОЛЕ
Распределение поля в однородной пластине толщиной d можно
получить непосредственно из (2.2). Если поместить начало коорди-
нат в середину пластины, то вследствие четной симметрии для Н
и нечетной для Е можно сразу записать
Н = Не chay ; £ = Ёе —sh(xy- = ZcHe shcty . (3.16)
ch ad/2 sh adl2 ch ad/2
Эти выражения можно получить также из (3.7) при dv = d/2
и К = — 1.
Распределение напряженностей магнитного и электрического
поля (плотности тока) показаны на рис. 3.5. Они представляют
собой нормированные участки зависимостей модулей sh а.у и ch а.у
(см. рис. 2.2). Предельное распределение плотности тока при по-
нижении частоты (d/б < 1,5)—линейное, а соответствующее рас-
пределение объемной мощности — параболическое. С увеличением
частоты распределения Е и Н становятся экспоненциальными.
Сопротивление единичного квадрата
Zo = Zc th ad/2 = -£- (G + /Q), (3.17)
6
а полное сопротивление пластины, отнесенное к магнитодвижущей
силе у ее поверхности, составляет
Z2 = Z0^- = -^-(G+/Q), (3.18)
а ао
где b — ширина пластины (вдоль линий тока), а — длина пластины
(вдоль линий И).
121
Рис. 3.5. Распределение на-
пряженностей магнитного и
электрического полей при ин-
дукционном нагреве однород-
ной пластины
Рис. 3.6. Коэффициенты активного и
реактивного сопротивлений для ин-
дукционного нагрева пластины (G и
Q) и для плоской шины с током при
одностороннем (<р' и ф') и двухсто-
роннем (<р и ф) проникновении тока
Графики коэффициентов G и Q приведены на рис. 3.6. При
d/б < 1,5 соблюдаются приближенные соотношения
(3.19)
Зависимость G (d/б) имеет максимум при d/б = л, равный 1,12,
которому соответствует наибольший КПД при нагреве широкой
пластины в длинном индукторе. Оптимальная частота
fopt=-^> (3.20)
а расширенный диапазон рекомендуемых частот соответствует от-
носительной толщине 2 < d/8 < 4. С уменьшением длины индук-
тора частоту следует увеличивать [2, 9].
Параметры ферромагнитной пластины определялись методом
цепных схем и методом конечных разностей. В результате расчетов
показано, что в сильных магнитных полях G и Q практически не
зависят от р и их можно считать функциями двух переменных:
d/Se и показателя параболы кривой намагничивания а (см. стр. 53).
Здесь 6е — глубина проникновения, вычисленная при р = рг на
поверхности. На рис. 3.7 приведены кривые G и Q для немагнитной
пластины и ферромагнитной с а = — 0,894. При малой толщине
пластины (d < 1,56) влияние изменения р по толщине отсутствует,
а при d >3 6 G и Q уже не зависят от толщины и равны коэффициен-
там, полученным Нейманом для пол у бесконечной среды.
122
Рис. 3.7. Коэффициенты активного и
реактивного сопротивлений при ин-
дукционном нагреве ферромагнитной
пластины с постоянной (штриховые
линии) и переменной (сплошные ли-
нии) магнитной проницаемостью
Рис. 3.8. Зависимости удельной мощ-
ности и коэффициента мощности
ферромагнитной ленты (--------) и
ленты с покрытием (------) от на-
пряженности магнитного поля
Параметры стальной ленты с немагнитным покрытием зависят
уже от четырех переменных и в общем виде не нормированы. В ка-
честве примера на рис. 3.8 показаны зависимости удельной активной
мощности и коэффициента мощности от напряженности магнитного
поля для стальной ленты толщиной 1,8 мм с латунным покрытием
0,1 мм на сторону и без покрытия. Частота тока 2400 Гц [91 ].
С увеличением напряженности поля лента без покрытия быстро
насыщается и cos <р падает, хотя активная мощность продолжает
слабо расти. Активная мощность в плакированной ленте сначала
ниже, чем в ленте без покрытия, а при Н > Н' > 160 А/см — нао-
борот. Легко заметить, что если нагрев вести при Н, несколько
большем 160 А/см, то можно получить условия, когда изменение
толщины покрытия будет мало сказываться на температуре ленты.
Нужно отметить также, что в плакированной ленте основная мощ-
ность выделяется в покрытии, а стальная часть играет роль магнито-
провода.
3.4. ПЛОСКИЙ ПРОВОДНИК с током
В СТОРОННЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Рассмотрим одномерное поле в плоском проводнике, на поверх-
ностях которого заданы напряженности Нх и Н2 (рис. 3.9). Если
= Н2, это случай индукционного нагрева пластины, если же
Н 2 = — то — уединенный проводник с током или средний
проводник в шинопроводе из трех шин.
Из условия симметрии для уединенного проводника с током
записываем
Н __ shay . р_ р ch ay _ 7 /у ch ay
Hc sh ad/2 ’ C ch ad/2 sh ad/2
(3-21)
где HQ == H} = — H 2 = /72, а /' — настил тока в шине.
123
Рис. 3.9. Проводник с током в стороннем магнит-
ном поле
Выражения (3.21) можно получить также
из (3.7) при К = 1 и dA = d/2. Распределе-
ния Н и Е (или J) здесь такие же, как на
рис. 3.5, если на нем поменять Е и Н мес-
тами.
Сопротивление единичного квадрата
Zo = Zc cth = 4 (<р р /ф). (3.22)
2 о
Коэффициенты ф и ip введены для токопровода взамен коэффи-
циентов G и Q для индукционно нагреваемых тел.
Полное внутреннее сопротивление шины будет
Z“ = тт to + to) = + /К). (3.23)
2ао 2ad
Коэффициенты kr и kx показывают зависимость сопротивления
от частоты при фиксированной толщине d [2], а ф и ф — от тол-
щины при заданной частоте.
Коэффициенты ф и ф приведены иа рис. 3.6 в зависимости от
d/f>. При d/6<2 соблюдаются приближенные формулы <р « 26/d,
ф«^/(3б), соответствующие равномерному распределению тока
по толщине проводника. Активное сопротивление имеет минимум
при d/t) = л, примерно на 8 % меньший сопротивления очень тол-
стой шины.
Рассматриваемая задача является дуальной по отношению к ин-
дукционному нагреву пластины. Это обеспечивает взаимосвязь как
распределений Е и EI, так и сопротивлений. Из (3.17), (3.18), (3.22)
и (3.23) следуют соотношения
Zn,Z2 = Z2; (<p + /ф) (G + /Q) = 2/. (3.24)
Плоский проводник с односторонним проникновением волны
встречается в индукционных системах еще чаще, чем рассмотрен-
ный выше случай двустороннего проникновения (уединенная шина).
Это плоские проводники однослойной длинной обмотки, крайние
шины многополосного шинопровода. Сюда же относятся проводя-
щие слои на поверхности магнитопровода с большой проницае-
мостью, стенки труб большого радиуса, особенно при наличии маг-
нитопровода в полости. Одностороннее проникновение волны в про-
водник соответствует Нх = 0, Я2 = /'/2 (рис. 3.9). Этот случай
не требует специального рассмотрения, так как полностью сво-
дится к половине уединенного плоского проводника. Распределе-
124
нияЕ и Н соответствуют рис. 3.5 при замене d/2 на d и перемене
мест Е и Н. Сопротивление проводника
(3.25)
Коэффициенты <р' и ф' показаны иа рис. 3.6.
Общий случай проводника с током в продольном магнитном поле
можно свести к совокупности рассмотренных выше случаев уединен-
ного плоского проводника и индукционного нагрева пластины.
Действительно, систему на рис. 3.9 можно представить как нало-
жение уединенной шины с током Г = Иг—Н2 = 2НС и индукцион-
ного нагрева пластины в поле Не:
Я,=0,5(Ях-|-Я2);
Нс = ^{Нх—Нг). (3.26)
Распределение напряженностей Е и И и плотности тока легко
получить с помощью формул (3.16), (3.21) и (3.26). Использование
графиков рис. 3.5 неприемлемо, так как сложение должно выпол-
няться с учетом фазы.
Наибольший интерес представляет активная мощность Ер0
в проводнике. В соответствии с правилами сложения мощностей
(см. стр. 114) можно сразу написать для проводника единичной
длины и ширины
Лр.=П -% Ч (f)+° (f) “ n Т <ЗЭТ|
где 6Г — коэффициент активного сопротивления, учитывающий
размеры провода и влияние стороннего магнитного поля Не. Его
можно представить в виде
6, = 0,5 [ф+(202—1)G],
(3.28)
где
Н* + Н22 H2t+H22
/'« |Я1-Нг\2
Коэффициент Р2 характеризует соотношение стороннего маг-
нитного поля и поля от собственного тока /', протекающего по
проводнику, а следовательно, и соотношение потерь, создаваемых
наведенными вихревыми токами и собственным током.
Потери в проводнике можно выразить также через потери в
шине с односторонним проникновением волны и в индукционно
нагреваемой пластине. Тогда
(3.29)
125
Полная активная мощность в проводнике длиной b и шириной а
кР = а&Дро = I2 -^7- ©г = (3.30)
ао
Реактивная мощность в проводнике вычисляется аналогично,
при замене гр' на ф' и G на Q.
Формулы (3.26) — (3.29) справедливы при любом соотноше-
нии Нг и Н2. В частном случае длинной многослойной обмотки
(или проводов в пазу магнитопровода) с одинаковым настилом тока
в слоях получается хорошо известная формула
er=(p'+2i (i—i)G, (3.31)
где i — номер слоя проводников, считая снаружи паза.
Формулы (3.27) — (3.29) позволяют изучить влияние на потери
толщины проводника или частоты при всех условиях его работы.
Минимальное значение р2, равное 0,5, соответствует уединенной
шине. При этом 0Г = 0,5 ср (d/б). При р2 = 1 получаем односто-
роннее проникновение поля в шину и О, = ср' (d/б). В реальном
двухпроводном шинопроводе 0,5 <р2 < 1,0, причем с увеличением
зазора между шинами р2 уменьшается. Нужно отметить, что здесь
рассматривается одномерное описание электромагнитных процессов
в плоских телах, без учета неравномерности распределения тока
по ширине проводников.
Для длинной обмотки с одинаковым настилом тока в слоях по-
лучаем р2 = 2i (i—1) + 1 и 0, определяется формулой (3.31). Так,
для слоев i = 1, 2, 3, 4, . . . получаем Р2 = 1; 5; 13; 25; . . .
Характерные зависимости 0г от толщины проводника и р2 при-
ведены на рис. 3.10. Значению р2 = 0,5 (уединенный проводник)
соответствует слабый минимум 0Г при d = лб. При р2 > 1 появ-
ляется минимум 0г, возрастающий с ростом Р2 и смещающийся
также фиксированный максимум
при d = этб, равный 0Г= 1,09 Р2.
Оптимальная толщина про-
водника и соответствующий ко-
эффициент потерь будут
ег min = 1,12 7Ур5=т=—.
3«opt
(3.32)
Рис. 3.10. Зависимость коэффициен-
та потерь 0Г плоского проводника
от его толщины
126
При толщине, меньшей оптимальной, потери быстро возрастают,
а активное сопротивление проводника становится равным сопро-
тивлению постоянному току. В предельном случае толстого про-
водника (d > 4 6) 6 -> Р2. Таким образом, потери в многослойных
обмотках из прямоугольных проводов сильно зависят от их тол-
щины. При оптимальной толщине проводов общие потери могут
быть меньше, чем в однослойной обмотке с той же намагничиваю-
щей силой, а при неоптимальной могут значительно превосходить
их [60, 92 , 93] (см. также § 5.7).
Вопрос о потерях в многослойных обмотках из водоохлаждае-
мых полых проводников требует отдельного рассмотрения (см.
§ 4.6, 5.7).
3.5. ДЛИННЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД В ПРОДОЛЬНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Распределение электромагнитного поля и источников теплоты
в призме произвольного сечения в настоящее время исследовано
слабо. Некоторые данные по распределению поля вблизи вершины
поперечного сечения массивного тела, полученные Г. А. Разоре-
новым, приведены в [1 ]. Показано, что в области угла при вершине,
меньшего л, магнитное поле убывает с глубиной значительно мед-
леннее, чем в плоской волне. Так, для углов <р = л/2, л/4 и л/8
напряженность Н уменьшается в е раз при расстояниях по биссек-
трисе, равных соответственно 2,44 6; 4,3 6 и 8,7 6. Плотность тока J,
равная нулю в вершине угла, сначала растет вдоль биссектрисы,
затем, достигнув максимума, положение которого зависит от <р,
убывает по кривой, близкой к экспоненте. В этой же работе при-
ведено распределение J и Н по сечению прямоугольного паралле-
лепипеда со стороной, равной глубине проникновения тока (слабый
поверхностный эффект).
Последующие исследования [51, 52] относились только к прямо-
угольному параллелепипеду, по большей части из однородного
материала. Используя метод Г. А. Гринберга [50], В. А. Пейсахо-
вич получил выражения для напряженностей поля (2.47), распре-
деления источников теплоты и полных мощностей при произволь-
ном соотношении сторон сечения b X d и глубины проникновения 6
[51 ]. Если начало координат расположено в центре сечения
(рис. 3.11), то составляющие напряженности электрического поля
равны
оо
Ёх = jHe -*Р- V <-1),п~1)/2 cos х-
! nPb ch pbJ_ b
n=l. 3,... 2
(3.33a)
127
У
Рис. 3.11. Линии напряженности электрического поля (плотности тока)
в поперечном сечеини параллелепипеда при слабом (вверху) и сильном
(внизу) поверхностном эффекте
Е,—cos-g-y, (3.336)
”S’ / , <
n—1,3....
2 ( ПЛ X2 2/ 2 / nn \2 , 2j
где Pd = ( — ) + —; Pb = [~— 1 +—-
\ d J o2 \ b ) o2
Характер распределения E и соответственно плотности тока J
в сечении для слабого (d/б » 2,0) и сравнительно сильного (d/б « 6)
поверхностного эффекта показан на рис. 3.11. Уже качественный
анализ распределения тока позволяет выявить ряд специфических
особенностей нагрева тел прямоугольного сечения. Прежде всего
плотность тока в вершине угла (на ребре тела) при любой конечной
частоте равна нулю, что в сочетании с повышенной ролью тепло-
отдачи в угловой зоне приводит к образованию локального или
глобального минимума температуры в этой точке. Далее, максимум
плотности тока находится на поверхности, в середине широкой
стороны. Если поверхностный эффект выражен сильно, то плот-
ность тока почти одинакова по всему периметру за исключением
зоны углов шириной (1,0—1,5) б с пониженными значениями J.
Несмотря на это, зона углов и вся зона узких боковых сторон бу-
дет перегреваться по сравнению с центральной зоной из-за мень-
шего сечения тела, приходящегося на единицу периметра. Дейст-
вительно, в среднюю часть тела теплота поступает только с двух
широких сторон, а в боковые зоны — с трех сторон, что приводит
к их перегреву.
Если же поверхностный эффект слабый (d/б <2), то линии
плотности тока через толщу металла возвращаются обратно, не до-
ходя до боковой стороны на значительное расстояние. Область ос-
лабления J охватывает всю зону боковых сторон, что приводит
к ее недогреву в целом. При этом в угловой точке может наблю-
128
даться наименьшая по всему сечению температура (глобальный ми-
нимум). Приведенные соображения о распределении температуры
относятся к сквозному нагреву тела при сравнительно малых мощ-
ностях, когда температурное поле определяется в основном тепло-
передачей .
При быстром нагреве температурное поле в большей степени
определяется локальным распределением источников теплоты, их
плотность легко получить по известным значениям Ех и Еу-.
w==_l_(f2+ £2)_ (3.34)
Распределение объемной мощности удобно представить в виде
семейства кривых равной плотности (эквиденс). Примеры таких
кривых, данные на рис. 3.12, хорошо иллюстрируют приведенный
выше анализ влияния частоты на распределение температуры по
ширине тела прямоугольного сечения.
Полные активная и реактивная мощности на единицу длины
тела определяются с помощью теоремы Пойнтинга
S = $EeHedl = H2e
оо
П~\, 3, .
th d
th Pb~
n2Pb
ihpd —
______2
n2pd
(3.35)
а соответствующие сопротивления, записанные в стандартной форме,
будут
^2 — ^2 4“ Мда —
^-2p(b+-^ (G + JQ),
О
(3.36)
где G и Q—коэффициенты,
являющиеся функциями
двух переменных: d/б и b/d.
Значения этих коэффициен-
тов (рис. 3.13) вычислены
Рис. 3.12. Линии равной плот-
ности мощности в однородном
теле прямоугольного сечения
при слабом и сильном повер-
хностном эффекте
129
5 Заказ .V. 776
a)
Рис. 3.13. Коэффициенты активного («) и реактивного (б) сопротивлений
при индукционном нагреве однородного тела прямоугольного сечения
на ЭВМ, что определило некоторое отличие их от данных, приведен-
ных в работе [51 ], где они были найдены вручную при недостаточ-
ном числе членов. Предельная кривая для b/d — 1, соответствую-
щая квадратному сечению, качественно похожа на кривую для
сплошного цилиндра. Вторая предельная кривая (b/d оо) соот-
ветствует индукционному нагреву широкой пластины.
В практических расчетах удобно использовать приближенные
формулы, полученные на основе допущения о плоской волне и спра-
ведливые с погрешностью менее 5 % для d/б > 5:
G « 1-------—--------
1 + b/d d
(3.37)
Встречаются рекомендации рассчитывать Z2 путем сложения
сопротивлений для отрезков двух пластин толщиной соответст-
венно d и b [16], однако такой способ дает большие погрешности
в сторону завышения, особенно при малых d/8 и b/d.
В призме из ферромагнитного материала поверхностный эффект
обычно сильно выражен и ее сопротивления могут быть рассчитаны
по формулам для плоской волны в среде с переменной р.
G^ 1,32 fl-----—-----М; Q«0,98. (3.38)
k l + b/d d J'
130
В среде с переменной проницаемостью эти формулы дают по-
грешность менее 6 % уже начиная с d/6e > 3.
Однако встречаются случаи относительно слабого поверхност-
ного эффекта, когда необходим учет распределения поля по всему
сечению, например при нагреве прямоугольных прутков и полос
на промышленной частоте.
Коэффициенты активного и реактивного сопротивлений для тела
прямоугольного сечения из материала с переменной магнитной про-
ницаемостью приведены на рис. 3.14. Кривые получены в резуль-
тате решения нелинейной внутренней двухмерной задачи конечно-
разностным методом *. На том же рисунке даны кривые для пре-
дельных случаев квадрата и широкой пластины при р = const.
Все расчеты выполнялись при условии сильного внешнего поля
(Не Икр), поэтому магнитная проницаемость на поверхности
входит только в 6е, не являясь самостоятельным параметром.
Пока поверхностный эффект выражен слабо (d/6e < 2 для квад-
рата и d/6e С 1,5 для пластины), переменность р практически не
сказывается. При dlbe> 2изменение р по сечению приводит к об-
щему росту коэффициента G и сильному сокращению ширины мак-
симумов Q и особенно G. Этим обстоятельством объясняется большая
Рис. 3.14. Коэффициенты активного (а) и реактивного (б) сопротивлений
при индукционном нагреве ферромагнитного тела прямоугольного сечения
Расчет выполнен каид. техн, наук В. И. Рудневым.
5*
131
Максимум коэффициента G, наблюдающийся у пластины при
d/6e х 2,5, быстро убывает с уменьшением bid и уже при b/d = 4
практически отсутствует.
Кривые рис. 3.13 и 3.14 позволяют рассчитать сопротивление
тела прямоугольного сечения в «горячем» (р = 1) и полностью
ферромагнитном состояниях, если неравномерность температуры
не сказывается существенно на и и р. В промежуточном режиме,
когда часть сечения потеряла магнитные свойства, электромагнит-
ное поле имеет очень сложную пространственно-двухмерную струк-
туру. Современные методы расчета полей на ЭВМ позволяют рас-
считать параметры нагреваемого тела и в этом случае, однако изо-
бразить их в виде обобщенных графиков не представляется воз-
можным.
3.6. краевые эффекты
ПРИ НАГРЕВЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Пусть параллелепипед помещен в первоначально однородное
магнитное поле Не, ориентированное по оси z, направленной вдоль
большего ребра а. Если размеры b и а значительно больше d, то
электромагнитное поле можно рассматривать как поле в бесконеч-
ной пластине, на которое накладывается продольный (при z =
= ± а/2) и поперечный (при х — ± Ь/2) краевой эффект, вызван-
ный конечными размерами тела. Оба эффекта в такой постановке
определяются одним входным параметром d/б и имеют пространст-
венно-двухмерный характер. Исключение составляют только зоны
трехгранных углов, где поле трехмерное.
Распределение по осям х и z мощности Р', приходящейся на
единицу площади большой грани, показано на рис. 3.15 для d/б =4
(сплошные линии) и d/б = 1 (штриховые линии). Мощность отне-
сена к ее значению Р'с в середине большой грани. Так как краевые
эффекты оказывают существенное влияние на энергетические па-
раметры системы, и особенно на формирование температурного
поля, рассмотрим их подробнее.
Поперечный краевой эффект будем характери-
зовать распределением мощности Р' по координате х и интеграль-
ным параметром kb, определяющим изменение активной мощно-
сти, поглощаемой телом, по сравнению с мощностью в соответствую-
щей полосе бесконечно широкой пластины. Мощность Р' легко
получить интегрированием удельной объемной мощности по тол-
щине d:
P'(x) = fuy(x, y)dy. (3.39)
d
В средней части соблюдается условие
P; = 2poc=2^-£-G(Ay
где рос — удельная поверхностная мощность в средней части.
132
Рис. 3.15. Распределение мощности по
ширине и длине прямоугольного парал-
лелепипеда при его нагреве в первона-
чально однородном магнитном поле
Рис. 3.16. Распределение мощ-
ности по ширине тела прямо-
угольного сечения при различ-
ной степени поверхностного
эффекта
В зоне краевого эффекта мощность поступает в тело с трех сто-
рон и простая связь между Р' и рп отсутствует.
Зависимости Р'1Р'С = f (x'/d), где х' — расстояние от края
призмы, приведены на рис. 3.16 для различной степени поверхност-
ного эффекта. При d/8 С 1 вид кривой не зависит от частоты. С уве-
личением частоты мощность у края (х' = 0) возрастает и характер
кривых меняется. При d/8 > 10 зависимости становятся монотон-
ными, резко падающими от максимума до единицы в приграничном
слое толщиной (2—2,5) 6. Следует выделить кривую d/8 = 3, для
которой провал мощности при х' — (0,1—0,7) d компенсируется
избытком ее у поверхности. Такое распределение будем называть
равномерным в большом, понимая под этим термином равенство
средних объемных мощностей в характеристических макрообъемах.
Для рассматриваемого случая характеристическим объемом яв-
ляется полоса шириной d, в которой укладываются все возмущения,
вызванные краевым эффектом. Очевидно, что без внешнего тепло-
обмена условие равномерности в большом обеспечит наиболее быст-
рый и равномерный по сечению нагрев, причем время нагрева бу-
дет определяться только толщиной тела d и соответствующим ей
критерием Фурье Fo = atld2.
Если условие равномерности тепловыделения в большом не бу-
дет соблюдаться, то выравнивание температуры в теплоизолиро-
ванном теле будет происходить за счет теплопроводности не только
по толщине, но и по ширине Ь, что при b d приведет к резкому
росту времени нагрева.
Так как ширина зоны краевого эффекта с достаточной точностью
не превышает d, можно считать, что распределение Р' в боковых
133
зонах не будет зависеть от ширины тела уже при bid > 2. В про-
тивном случае зоны краевых эффектов будут накладываться друг
на друга, что приведет к изменению вида кривых Р', а время на-
грева будет меньше, чем для широкой пластины толщиной d.
Исследования показали, что распределение Р' по ширине фер-
ромагнитного тела почти такое же, как для немагнитной, а для
слабого поверхностного эффекта (d/6e<2) совпадение является
полным. Однако условие равномерности в большом несколько
смещается и соответствует d/be = 2,7. Интегральный коэффициент
краевого эффекта kb можно выразить через полную мощность Р2,
приходящуюся на единицу длины, и поверхностную мощность Р'с\
Р2~Р'сЬ __ 2ЛРк
dp'c dp'c
(3.40)
где ДРК — мощность, обусловленная краевым эффектом, приходя-
щаяся на одну боковую грань; нормирующий множитель d/2 введен
для безразмерное™ коэффициента kb.
Выражая Р2 и Р'с через коэффициенты активных сопротивлений
параллелепипеда G (b/d, d/b) и широкой пластины G (d/b), полу-
чаем
kb = G(G(d/^} (т+ *) ~Т • (3'41)
G (d/о) \ а / а
Строго говоря, kb имеет смысл коэффициента поперечного крае-
вого эффекта только при b >• 2 d, причем в этом случае он не должен
зависеть от Ь. Однако формально его можно ввести при любых b/d.
Расчеты показали, что независимость kb от b/d сохраняется с вы-
сокой точностью при всех размерах сечений (b/d > 1), что позво-
ляет представить его в виде одной кривой kb = / (d/b) (рис. 3.17).
В случае низкой частоты (d/b<z 1) kb постоянен и равен —0,63
[941. В точке d/b = 3, соответствующей равномерному в большом
тепловыделению, kb = 0. В предельном случае d/b-+ оо, kb-+ 1,
причем при d/b > 5 кривая хорошо аппроксимируется выражением
kb = 1 — 2,65 b/d.
С помощью коэффициента kb легко оценить характер нагрева
призмы по ширине при любом термическом КПД т]т. Пусть плот-
ность потока тепловых потерь рот постоянна по всему периметру.
Тогда дополнительные тепловые потери с одной боковой грани,
приходящиеся на единицу длины тела, будут
APT=p0Td. (3.42)
Если дополнительная мощность ДРК, обусловленная краевым
эффектом, равна мощности потерь Д.РТ, то условие равномерности
в большом будет выполняться и при тепловых потерях. Тогда из
134
Рис. 3.17. Коэффициент поперечного кра-
евого эффекта тела прямоугольного се-
чения
(3.40) и (3.42) можно получить усло-
вие компенсации тепловых потерь в
виде
/?ь=2р?т = 1_Т1т (343)
Р.
При известном цт можно выбрать
kb и частоту, обеспечивающую рав-
номерность нагрева. В частном случае термостатирования,
т]т = 0 и kb = 1, что соблюдается при очень большой частоте. Тогда
источники теплоты будут поверхностными и распределенными по
периметру с плотностью рот. В реальных случаях сквозного нагрева
стальных изделий цт ~ 0,8, поэтому оптимальное значение
d/b та 3,6. Так как диапазон значений d/b — 3 4-4 соответствует
при b >6 d максимуму G (b/d, d/b), то нагрев при этом будет
не только наиболее быстрым, но и энергетически эффектив-
ным.
В длинных индукционных системах напряженность поля Не
постоянна по периметру поперечного сечения тела и перераспреде-
лить источники теплоты можно только за счет изменения частоты.
В относительно коротких системах появляется дополнительная
возможность изменения Не по периметру за счет средств пространст-
венного управления (см. § 5.5).
Продольный краевой эффект в прямоуголь-
ном параллелепипеде за исключением зоны трехгранных углов со-
ответствует краевому эффекту широкой пластины. Его можно ха-
рактеризовать распределением мощности Р' (z) и интегральным
коэффициентом kh находя его по той же формуле (3.40), что и kb,
но под АРК при этом следует понимать изменение мощности, выз-
ванное продольным краевым эффектом.
Распределение мощности по длине и зависимость (d/b) ана-
логичны соответствующим зависимостям для цилиндра (см. § 4.7),
отличаясь от них только количественно. Распределение мощности
и характер нагрева определяются не только относительной толщи-
ной тела d/b, но и положением торцевой грани тела относительно
края индуктора. За счет наложения краевых эффектов индуктора
и заготовки можно получить различные зависимости Р' (z). Общее
число независимых переменных при этом увеличивается от одного
до четырех и табулирование по всем переменным становится гро-
моздким. Подробнее наложение краевых эффектов индуктора и за-
грузки рассматривается далее для цилиндрических систем (см.
§ 5.3).
135
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
4.1. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрим общий случай цилиндрического слоя в продольном
магнитном поле при известных значениях напряженности магнит-
ного поля на внешней и внутренней поверхности слоя. Такие за-
дачи возникают как при нагреве многослойного цилиндра одним ин-
дуктором, так и при нагреве полого цилиндра двумя индукторами
(внешним и внутренним). Пусть направления напряженностей Н
и Е соответствуют рис. 4.1. Тогда напряженность магнитного поля
будет подчиняться уравнению (2.7) при п = 0, а электрического
поля — при п = 1. Определив из граничных условий произволь-
ные постоянные С\ и С2, после несложных преобразований полу-
чаем
*^*РР (sb, з)Фрр (Sg, з)
Фрр (SB> 3g) Фрр (Зв, Sg)
(4-1)
£ 2 Г2У Фр1 (Sb, S) Фр1 (Sg, з) ~|
L Фрр (Зв. 3g) Фрр (SB, Sg) J
Здесь s, 8в и — значения R при R = R, Rn и Re со-
ответственно.
Функции Фоо> Ф01 и третья функция Ф1Х, имеющие фундамен-
тальное значение при расчете полей в цилиндрических телах, равны
Фоо(х, у) = Ко(х)1о(уУ~ 1о(х)Ко(уУ,
Фо1 (х, У) = Ко (х) Л (у) +10 (х)Кх(у); (4.2)
Фхх (х, У) = Кх(х) А(у)-/х(х)Кх (у).
Функции Ф обладают следующими свойствами:
Фщ>(х, У)=—Фоо(У. х); Фц(х, у)= — Фхх (У, х);
Ф0о(х, х) = Фц(х, х) = 0; Ф01(х, х)=1/х; (4.3)
Фо1(х, у)—Фц(х, у)Ф00(х. у)=1/(/ху).
Найдем напряженности электрического поля на границах слоя
Фр1 (вв> // -J- Ф<>1 $в) о
Фрр (sb, se) Фро (5в» se)
Фр1 ($в> Sg) । Фр1 (^e> SB)
Фрр (sb> se) ФрР («В, Sc)
(4-4)
136
Рис. 4.1. Эскиз полого цилиндра в продоль-
ном магнитном поле
Систему (4.4) можно рассматривать
как Z-форму уравнений четырехполюс-
ника [22], проводя аналогию между
токами и напряжениями, с одной сто-
роны, и напряженностями магнитного
и электрического поля — с другой.
Аналогия выявляется более полно, если
(4.4) записать для ЭДС Эе и Эв на границах слоя. Учитывая,
что Ф01 (х, х) = 1/х, получаем
Зе 5еФрЗ (sb> Sg) ^у 1^у
2лр Фрр (SB, Sg) Фрр («в. Sg)
Эв 1^y । $вФр1 (Sg, sB)
2лр Фрр (sB, Sg) Фро (sB, Sg)
(4.5)
В системе (4.5) коэффициенты при недиагональных членах равны
по величине и противоположны по знаку, что и должно соблюдаться
у обратимого четырехполюсника при рассмотрении его как переда-
точного звена [22].
Если изменить направление Нв на обратное, что будет соответст-
вовать передаче энергии в слой от двух источников, то коэффици-
енты недиагональных членов будут одинаковы. Замена проводя-
щего слоя четырехполюсником является эффективным приемом при
исследовании различных устройств.
Вводя сокращенные обозначения, перепишем (4.5) в общем виде
-5e=-Vgg//g+VeB(-//B);
—Эв = VBeHe+VB. в (—Нв). (4.6)
Здесь Vee и 14. в — входные, a VeB = VBg — V — взаимные со-
противления четырехполюсника:
V= • Vgg = SgOor(Sb, Se)V; VB.B = SBO01(Sg, SB)V.
фрр (sB, Sg)
Эти сопротивления приобретают простой физический смысл в ча-
стных задачах. Для полого цилиндра с идеальным магнитопроводом
в его полости Йв = 0 и Vee представляет собой входное сопротив-
ление этой системы. Аналогично 14. в — сопротивление цилиндри-
ческого слоя при падении волны на его внутреннюю поверхность,
так как при этом Не = 0.
137
Системы уравнений (4.4—4.6), описывающие цилиндрический
слой в виде двухполюсника, позволяют сразу получить решения
задачи при любом виде граничных условий для электромагнитных
величин. Рассмотрим случай заданного сопротивления на внут-
ренней границе и напряженностей Нв или Не на одной из границ.
Для практики наиболее важен случай нагрева многослойного
цилиндра одним внешним индуктором. Пусть внутри цилиндриче-
ского слоя находится произвольное тело или группа тел (например,
пучок цилиндров) с известным сопротивлением ZT. Общее сопротив-
ление этих тел и воздушных зазоров в полости обозначим ZB. Учи-
тывая, что на внутренней стороне слоя соблюдается соотношение
Эв = — ZbHb, находим связь между сопротивлениями Ze на входе
и ZB на выходе и между соответствующими напряженностями маг-
нитного поля:
ZP=----— = Vee------------Не^=Нв Vb b + Zb . (4.7)
Не Ув. в 4- Zb V
Если переход осуществляется снаружи внутрь, то индексы е
и «в» меняются местами.
Коэффициент передачи мощности, характеризующий экрани-
рующие свойства слоя,
Рв ReZB V 2
т]р= ---=-------- ---------- .
Ре ReZe Vb.b + Zb
Выражая сопротивления V через Ф-функции, получаем
2 _____Фц ($в, $е) КвФо1 (sB, se) (4 8)
Ф«1 (se, sb) — КвФоо (se> sb)
где Кв — коэффициент, характеризующий отражение электромаг-
нитной волны на внутренней поверхности слоя, Кв = Zb/(2jiKbZc)-
Напряженности магнитного и электрического полей в любой точке
слоя можно найти по формулам, аналогичным (3.7) для плоской
волны:
Н Ф©1 (s, Sb) — КвФоо (s, Sb)
Не Фог (se> sb) — КвФоо (Se, SB)
E _____Фи (sb. s) -}- КВФО1 (sB, s) g)
Hg Ф01 (s₽, sB) КвФоо (Spj sB)
Используя приведенные формулы в качестве рекуррентных,
можно рассчитать систему из любого числа слоев с постоянными
свойствами, начиная расчет с внутреннего слоя.
Представление слоя в виде передаточного звена, характеризую-
щегося матрицей сопротивлений, можно применить и для некруго-
вых цилиндрических оболочек, прямоугольных труб, контейнеров
138
и т. п. Оболочка может иметь переменную по периметру сечения
толщину. Методика расчета приведена в работе [54].
В предельном случае тонкой оболочки можно перейти к простым
соотношениям, аналогичным полученным ранее (см. § 2.3) методом
цепных схем.
Рассмотренные методы расчета малопригодны для анализа за-
висимости сопротивления Z от радиуса в общем виде. Поскольку Z
в любой точке сечения i однозначно определяется выражением
Zf = — 23\.RiEJНь то можно, как и в случае Е и Н, говорить о
распределении Z по толщине стенки. Это распределение можно по-
лучить в общем виде, как это сделано ранее для плоской волны,
из дифференциального уравнения для Z.
Переписав (1.4) с учетом (1.41) в виде
rotz Ё = — = —ZliUp,
R dR
после подстановки выражений
Ё=—Zo//= — ZH и 2 л R dH dR £ Z£
P 2л£р
получим
di Р dR ± — 2nR -2nRZc = 0. (4.Ю)
Эта зависимость, относящаяся к уравнениям типа Риккати,
дает возможность сделать ряд важных выводов. Выделим вещест-
венную и мнимую части уравнения:
dx 2гх л п 2 г, ,.
р----Н------—2nRzc = 0. (4.12)
dR 2nR v ’
От аналогичных уравнений для плоской волны уравнения (4.11),
(4.12) отличаются множителем \/R и R у второго и третьего членов.
Из приведенных уравнений следует:
1) в стационарных точках зависимости активного сопротивле-
ния от радиуса соблюдается необходимое и достаточное условие
г = х. Однако в отличие от плоской волны для сопротивлений еди-
ничного квадрата г0 и х0 это правило не выполняется;
2) строгое постоянство сопротивления Z возможно только при
бесконечном радиусе (плоская волна), причем тогда выполняется
равенство Zo — Zc, т. е. сопротивление единичного квадрата равно
волновому;
3) если х>г, то с увеличением радиуса активное сопротивле-
ние г возрастает и наоборот;
4) в стационарных точках зависимости х = f (R) соблюдается
у/гоХо = zj^2 = р/б.
139
Условия 3 и 4 здесь такие же, как для плоской волны.
Приведенные закономерности справедливы для любых цилин-
дрических устройств, в том числе с переменными и нелинейными
свойствами. В последнем случае под Zc следует понимать его зна-
чение, вычисленное для р и ц в данной точке.
Перейдем к более подробному рассмотрению электромагнитных
процессов в практически важных системах для индукционного на-
грева цилиндрических тел.
4.2. СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР И ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ
В МАССИВНОМ ТЕЛЕ
Для сплошного однородного цилиндра в продольном магнитном
поле решение можно получить из формул (4.8), (4.9) для цилин-
дрической оболочки, полагая sB = 0 и Кв = 0, однако нагляднее
найти его непосредственно из выражения (2.7), определяя посто-
янные С\ и С2 из граничных условий.
Так как при т —> О Ко (т д/j') -> 00, то для сплошного ци-
линдра следует принять С2 = 0 и записать
Z/ = C1/o(mVD, Ё = — ).
Обычно известна напряженность поля Не на поверхности ци-
линдра (т = те). Тогда Сх= [/0(/пед//)]-1 и векторы напряжен-
ностей поля в произвольной точке равны
Н = ezHJ0 (tn д/Т)/! о VDI
— ефЁс71(тд/Г)/Л(тед/Г)- (4-13)
Таким образом, функция /0 (т д/j) описывает распределение Н
при индукционном нагреве сплошного цилиндра, a I х(т д/j )—
распределение Ё или плотности тока j.
Используя кривые рис. 2.3, легко найти распределения Н и Ё
в цилиндре при любой степени поверхностного эффекта. Действи-
тельно, задаваясь те = var и каждый раз нормируя участок кри-
вой т < те относительно значений те и 1п (те), получим семей-
ства кривых, обычно приводимые в литературе [2, 9].
Если поверхностный эффект выражен слабо (те <1), то
10 (т д/j’) « 1, а Д (тд//) «т д///2 = 7? д/2//(2б). Напряжен-
ность магнитного поля по сечению постоянна, а Е и J
меняются пропорционально т. Плотность источников теплоты,
пропорциональная J2, распределена по сечению по параболе.
Если частота высокая и лг>6, то справедливо асимптотическое
выражение
/0 (т V/ ) ~ Л (т V/ ) « е"1 /V2лт vr
140
и напряженности Н и Ё убывают от поверхности цилиндра вглубь
примерно по экспоненциальному закону, как для плоского тела:
HlHe = ^Jmelm е^т т^' •
Ё/Не= —Z^ylmjm е'™ . (4-14)
Множитель \lmjm учитывает влияние цилиндричности.
Плотность потока мощности определяется вектором Пойнтинга
на поверхности
So= Ёе X Не= —eR//eZc/j )//0 (те лД}.
Знак минус показывает, что вектор So направлен внутрь ци-
линдра, в сторону убывания R. Сопротивления единичного квад-
рата находим из условия 50 = Z0H2e, откуда
4 = -J- (G + /Q) = ZJ. (tne уД)Ц0 (те уД). (4.15)
О
Значение Zo можно получить также путем деления Ее на (— Не).
Коэффициенты G и Q приведены на рис. 4.2 при т = те. Для
низкой частоты (щ<1) соблюдаются соотношения G т«/(8д/2)>
Q .
При сравнительно сильном поверхностном эффекте удобно ис-
пользовать приближенные выражения для G и Q, полученные на
основе формулы для плоской волны. Формулы для яркого поверх-
ностного эффекта, как показывает большое число расчетов, могут
быть применены и при соизмеримых линейных размерах и глубине
проникновения, если при вычислении активного сопротивления
вместо внешнего периметра использовать эквивалентный. Для ре-
активного сопротивления поправку вводить не нужно.
Это положение справедливо
для сплошных тел не только
круглого, но и более сложного
сечения. Эквивалентный пери-
метр представляет собой линию,
эквидистантную наружному кон-
туру и отстоящую от него на
расстояние 6/2.
Рис. 4.2. Коэффициенты активного и
реактивного сопротивлений для
сплошного цилиндра (сплошные ли-
нии) и для цилиндрической полости
(штриховые линии)
141
Для сплошного цилиндра погрешность менее 6 % обеспечи-
вается уже при те > 3, если принять
1
Q«l.
1
(4-16)
Из кривых рис. 4.2 следует, что резкий рост вносимого в индук-
тор сопротивления с частотой происходит вплоть до т = 3, после
чего скорость роста снижается. Одновременно при т >• 3 начинает
существенно увеличиваться неравномерность распределения плот-
ности тока, что приводит к увеличению времени нагрева. Поэтому
оптимальным диапазоном частот при сквозном нагреве цилиндров
обычно считается следующий [2,9, 15] : 2,5 < mt < 4,0. Нижнюю
границу диапазона нарушать не следует из-за сильного падения
КПД- Верхняя граница менее критична, и при выходе за нее элек-
трический КПД индуктора даже несколько повысится, однако воз-
растает время нагрева, а общий КПД из-за снижения КПД источ-
ника питания и термического КПД сохраняется примерно постоян-
ным. В каждом конкретном случае для выбора оптимальной ча-
стоты должен быть выполнен технико-экономический анализ.
Для цилиндрической полости в массивном теле будем считать
известной аксиальную напряженность магнитного поля Нв на ее
поверхности. Так как напряженности должны уменьшаться при
увеличении радиуса, то решения для Е и Н следует взять в виде
Н/Нв — j )1К0 (тъ -\ПУ,
Ё/Нв = ZCKX (m VF)/K0 (mB Vf).
(4-17)
Таким образом, функции /Со и Ki описывают уходящую в беско-
нечность затухающую цилиндрическую электромагнитную волну
(см. рис. 2.3). Напряженности Ё и И при малых т убывают с рас-
стоянием от поверхности значительно быстрее, чем при нагреве
сплошного цилиндра, когда затухание поля в металле частично
компенсируется эффектом концентрации волны из-за цилиндрич-
ности тела.
Для т > 6 можно принять
К„ (т V/) ~ д/ я
V 2л/пУ/
e-mV/
и считать изменения Е и Н по радиусу близкими к экспоненциаль-
ным:
Ж = е-(И“Мв)
£/Йв = 2сд/тв/т е .
142
Вектор плотности потока мощности здесь направлен в сторону
возрастания Z?
Sq = Ёв X Нв = BZcKi (шв л/j )/KQ (шв д/j) —
Определяя Zo через отношение Е и Н, следует брать перед
дробью знак плюс, Zo = ЁВ1НВ = -Ё- (G + jQ)- Коэффициенты G и Q
о
приведены на рис. 4.2 для т = тв. При тв >• 1,5, т. е. во-
всем практически интересном диапазоне, можно пользоваться приб-
лиженными формулами
о«1+—Q«l. (4.18)
тв V2
Полное сопротивление тела, приходящееся на единицу его
длины, составляет
Z2 = 2л/?в (G + /Q) = д/2 (G + /Q), (4.19)
О
Следует отметить, что даже при большой длине индукционной
системы сопротивление Z2 не будет вносимым в индуктор сопротив-
лением нагреваемого тела и необходимо привести его к току индук-
тора, используя связь /и с напряженностью Нв на поверхности
полости. Приведение легко осуществить по методу общего потока
(см. стр. 73).
4.3. ПОЛЫЙ ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Нагрев полого цилиндра изнутри. Будем считать, что задана
напряженность Нв на внутренней поверхности цилиндра. Для
очень длинной индукционной системы напряженность Не на наруж-
ной поверхности цилиндра равна нулю при любой конечной тол-
щине стенки независимо от того, будет ли снаружи магнитопровод
или нет.
Из (4.1) при Йе = 0 получаем
н Фрр (s, se) Кр (s) I о (se) — Zp (s) Kg (se)
Нв Фрр («в, s«) Ko (sB) Zp (sc) — Zo (sB) Ko (se)
(4.20)
Ё Фр1 (se, s) ______Kp (se) (s) ~b Zp (Sg) Ki (s)
Нв Фоо (sb» (sb) I о (se) — (sb) Ko (se)
Здесь учтено, что Фоо (х, у) = — Фоо (у, х).
Таким образом, функция Фоо описывает распределение напря-
женности магнитного поля, являющейся аксиальным компонентом
поля, а функция Ф01 — распределение напряженности электриче-
ского поля, направленной по азимутальной координате.
143
Если частота низкая (R^/2/8 < 1), то можно принять /0 (s) «1,
li (s) « s/2, Ко (х) « — In s, Ki (x) « 1/s. Тогда вместо (4.20)
можно написать
-^-«1п-^-:1п-^-; (4.21)
йв R Ав Ёв R ’
т. е. Н меняется по логарифмическому, а Е — по гиперболическому
закону.
С повышением частоты зависимости (4.20) стремятся к экспо-
ненциальным зависимостям, как для волны, распространяющейся
из полости в массивное тело.
Сопротивление единичного квадрата на внутренней поверхно-
сти
Zo = = Zc = _Е_ (G+/Q).
Н в ®oo se) о
Коэффициенты G и Q приведены на рис. 4.3 для различных тв
в функции относительной толщины стенки Дт = (/?е—RB)-\/2/8 =
= d V2/6- Значения Q практически не зависят от тв и возрастают
почти пропорционально толщине стенки вплоть до Ат = 2,5, по-
сле чего можно принять Q = 1. Кривые G подобны графику G или
(рг для плоской стенки (тв -> оо), но идут несколько выше из-за
влияния кривизны.
При небольшой толщине стенки (Am < 1) справедливы формулы
п V2 1 /-> V2 л
G « —-— -р ---—; Q ж —— Ат.
тв -у/2 3
Если в формуле для G пренебречь вторым членом, то получим
сопротивление стенки постоянному току, что и должно следовать
из физических соображений.
При большой толщине стенки (Ат>3) тело можно считать мас-
сивным и пользоваться графиками рис. 4.2. Здесь также следует
помнить, что сопротивление Zo приведено к МДС на внутренней
поверхности цилиндра, а не к току индуктора.
Полый цилиндр с идеальным магнитопроводом. Рассмотрим слу-
чай, когда в полости цилиндра находится идеальный магнитопро-
вод (р->оо, ц -> оо), а нагрев производится внешним индукто-
ром. Напряженность магнитного поля Нв будет равна нулю, поэ-
тому из (4.1) сразу следует
Ё Фор ($в» S) Ар ($в) /р (s) — К (SB) Eq (s)
Ее Фрр ($В> Sf) Кд (Sg) Ig (Se) ----------------- Ig (Sg) Kg (Sp)
(4.22)
Ё __________g Фр1 (sB, $) ______________Ap (Sb) /1 (s) -|- /q (sb) Ki (s)
Ее Фрр (SB. Sp) Ap (sB) /p (Sp) — Ig (sB) Ko (sp)
144
Рис. 4.3. Коэффициенты со-
противлений для полого цилин-
дра, нагреваемого изнутри
(штриховые линии), и для по-
лого цилиндра с идеальным
магнитопроводом, нагреваемо-
го снаружи (сплошные линии)
Эти формулы можно так-
же получить из (4.20),
поменяв местами индексы
«в» и е и знак перед Zc на
противоположный.
Сопротивление единич-
ного квадрата
Zo =
Ёе g Фо1 (5в> se)
Не Фоо (sb» se)
~(G+jQ)-
Значения коэффициентов G и Q приведены на рис. 4.3, из кото-
рого следует, что Q зависит практически только от толщины ци-
линдра, а не от его радиуса и равно Q для полого цилиндра, нагре-
ваемого изнутри.
В случае малой толщины стенки (Ат < 1) удобны приближен-
ные формулы
G«-^-----------Q«-^-Am.
те^1 3
Если в формуле для G пренебречь вторым членом, то G « 6/с!,
что соответствует собственному сопротивлению стенки на постоян-
ном токе.
Большой интерес представляет распределение плотности тока
по стенке цилиндра. На внутренней стороне (т = тв) она опреде-
ляется формулой
jв ~ £"в 1 Ф<п (sB, sb) 1 1
Н е рНе Р фоо (•Sb, sf) Rb ®oo (sb> --e)
Плотность тока в произвольной точке
j _ Ё _ Фи (sB, s)
Je Ёе Ф01 («в, «Л
В зависимости от значений sB и se плотность тока может дости-
гать максимума как на внешней, так и на внутренней поверхности
(рис. 4.4). В частности, при низкой частоте (Ат. с 1) распределе-
ние J стремится к предельному гиперболическому, а Н — к лога-
рифмическому:
Ёе Je R Не ^в
145
Рис. 4.4. Распределение напряженности
магнитного поля и плотности тока по
толщине стенки цилиндра с идеальным
магнитопроводом в его полости
В этом случае магнитный по-
ток в стенке много меньше, чем
в сердечнике, и наводимая ЭДС
почти не зависит от расстояния
от рассматриваемой точки до оси.
Следовательно, напряженность
электрического поля и плотность
тока будут обратно пропорцио-
плотность мощности — его квадрату.
нальны радиусу, а объемная
Таким образом, при нагреве полого цилиндра с магнитопроводом
внешним индуктором интенсивность нагрева внутренних слоев мо-
жет быть выше, чем наружных.
Полый цилиндр с реальным магнитопроводом в полости. Пусть
в полости цилиндра, имеющего проницаемость стенки рс — const,
находится непроводящая среда с конечной проницаемостью р.в, но
с малыми потерями. Значение рв может колебаться в широких
пределах в зависимости от коэффициента заполнения полости
магнитопроводом и степени его насыщения. Если магнитная прони-
цаемость магнитопровода Цф, то рв = (рф — 1) А’ф Ч 1.
Предельные случаи представляет собой полый цилиндр с иде-
альным магнитопроводом (рв оо) и без магнитопровода (рв = 1).
Рассматриваемая задача важна как сама по себе, так и для понима-
ния процессов при нагреве двухслойного цилиндра, например под
поверхностную закалку. Несмотря на важность этого вопроса,
в литературе он отражен слабо [8, 11].
Электрические параметры удобнее всего найти по формулам
(4.9), подставляя в них
__ ZB ._______ рв1?в л/2/ рв/пв j _______ рв»в
В 2nRBZc — 26 2 — 2
В зависимости от трех переменных (тв, те и рв/рс) распределе-
ния J, Н и ZQ могут иметь различный вид. Однако анализ приве-
денных формул в общем виде громоздок, поэтому воспользуемся
общими соображениями о распределении Е и Н. Из второго урав-
нения Максвелла следует
(423>
где Zo — сопротивление единичного квадрата в данной точке.
Пользуясь (4.23), можно определить зависимости J — f (R)
и wB = f (R). На внутренней поверхности стенки (R = RB) сопро-
146
тивление Zo известно: ZQ = Z0B = /<орвро7?в/2, поэтому в зоне
R = Re + е, где е 6, соблюдается условие
—-^- = — pH'L — 1) = — . (4.24)
£ dR R V цв JR
Решение этого уравнения имеет вид Ё/Ёв = (R/RB)V.
Если труба немагнитная (рс = 1) и не имеет магнитопровода
(рв — 1), то v = 1 и напряженность Е и плотность тока J у внут-
ренней поверхности меняются с радиусом линейно. При рв оо
производная будет такой же по значению и обратной по знаку
(у — — 1), т. е. получаем гиперболическую зависимость от R.
Наконец, при рв = 2 производная равна нулю и плотность тока
в зоне RB + £ постоянна. Если радиус RB велик (RB > б), то про-
изводная стремится к нулю при любых цв (случай плоской волны).
Рассмотрим в качестве примера * электромагнитные параметры
немагнитного полого цилиндра с внутренним радиусом RB = 3 см,
в полости которого находится непроводящая среда с проницае-
мостью рв = 1; 2; 4; 10; 20; 100. Удельное сопротивление материала
цилиндра р = КГ4 Ом-см, частота 50 Гц. Глубина проникновения
б = 7,11 см.
Так как внутренний радиус мал (RB <б), то распределения г
и х сильно зависят от рв (рис. 4.5). Для рв = I распределение г
и х примерно такое же, как в сплошном цилиндре (монотонно ра-
стущее).
Рис. 4.5. Зависимости сопротивлений г и х полого цилиндра с магнитопрово-
дом в полости при различной его магнитной проницаемости р,в от внешнего
радиуса R
Расчет выполнен к. т. н. А. В. Бамунэром.
147
Рис. 4.6. Распределение отно-
сительной объемной мощности
по радиусу полого цилиндра
с магнитопроводом
Распределение удель-
ной объемной мощности
ш’, нормированной отно-
сительно w (7? = 15 см),
показано на рис. 4.6. При
рв = 2 характер кривых в
основном сохраняется, но,
как и следует ожидать,
при R — Дв производная
w' по R равна нулю.
При рв = 4 г и х рас-
тут монотонно (см. рис.
4.5), но у кривых G и Q
появляются участки, на которых эти величины практически
постоянны. Объемная мощность остается почти постоянной в ши-
роком диапазоне толщин (d = 4 4-7 см), т. е. при этих толщинах
нагрев стенки будет равномерным.
При рв = 10 на кривой г (R) появляется слабый максимум,
который почти равен минимуму, и существует участок (5,5 см < R <С
< 8,5 см), на котором г « х » const.
При дальнейшем увеличении рв максимумы г возрастают и
сдвигаются в сторону меньших R. Одновременно снижается мини-
мум х. В точках экстремума г всегда соблюдается условие г = х.
Это условие не соблюдается для коэффициентов G и Q из-за сильной
кривизны цилиндра. Распределение w' при рв > 10 имеет ярко
выраженный падающий участок, на котором наблюдается перегрев
внутренних слоев, тем больший, чем выше цв. Однако при Р = 9 см
w' почти не зависит от рв- Если взять наружный радиус Re —
— 9 см, то отношение wdwe может меняться в широких пределах,
от 0,11 до 4,1, при изменении рв от 1 до 100. Рассмотренные зако-
номерности могут оказаться полезными при создании индукцион-
ных устройств различного назначения.
Полый цилиндр без магнитопровода во внешнем магнитном поле.
Распределения Ё, Н и Zo по стенке цилиндра описываются выраже-
ниями (4.9), если в них принять Лв = V7/2. В предельном слу-
чае низкой частоты (/ = f j) Н постоянна по сечению, a J меняется
линейно (рис. 4.7). При высокой частоте (f = /Д распределения
близки к экспоненциальным.
Графики и таблицы для коэффициентов сопротивлений содер-
жатся в различной форме в ряде работ [2, 8, 9, 11, 15, 16]. Для
принятой нами формы записи коэффициенты G и Q приведены на
рис. 4.8 в функции относительной толщины стенки Am. Дадим фи-
148
Рис. 4.7. Распределение напряженности
магнитного поля и плотности тока по тол-
щине стенки полого цилиндра без магни-
топровода
зическое толкование кривым G =
= f (Дщ). Возьмем случай сравни-
тельно большого внутреннего ради-
уса (тв « 5), когда максимум G яс-
но выражен. При малой толщине
(Дт < 0,1) собственное активное со-
противление стенки велико и инду-
цированные в ней токи мало вли-
яют на напряженность Нв и,
следовательно, на магнитный по-
ток Фв в полости. Поэтому в каждом слое стенки наводит-
ся почти одинаковая ЭДС и с увеличением ее толщины мощ-
ность, а следовательно, и G возрастают линейно. Затем начинает
сказываться размагничивающее влияние наведенных токов, Нв и Фв
уменьшаются, что ведет к замедлению роста G, а начиная с некото-
рого значения Дт, и к его падению. Одновременно увеличивается
роль потока в стенке, полость перестает заметно влиять на электри-
ческие параметры и G стремится к единице. Небольшой минимум G,
обычно наблюдаемый при d — лб/2 (Дт х 2,2), объясняется фа-
зовыми соотношениями, как и при одностороннем проникновении
Рис. 4.8. Зависимости коэффициентов активного (G) и реактивного (Q)
сопротивлений полого цилиндра от его радиуса и толщины стенки
149
волны в пластину. Приведенными кривыми неудобно пользоваться
при больших те и сравнительно малых Дт. Хорошие результаты
дают полуэмпирические формулы [2]
G = V2-^”cpAOT-; , (4.25)
4 + m2Am2 3 4 _|_ mBmCpAm2
где тср = 0,5 (тв + те).
Они обеспечивают погрешность менее 5 % уже при те 3, если
Дт < 1,2. Чем меньше толщина стенки и больше радиус, тем точ-
ность выше.
Оптимальные частота и толщина стенки. Так как приближенные
формулы обеспечивают достаточную точность в области максимума
G, их удобно использовать для определения оптимальных условий
нагрева. В качестве критерия оптимальности принимаем максимум
электрического КПД.
Пусть частота постоянна, а толщина стенки меняется. Такая
ситуация характерна для конструирования индукционных систем
для обогрева оборудования, а также для выбора номенклатуры из-
делий, которые целесообразно нагревать при заданной частоте.
Считая, что с изменением толщины стенки отношение радиуса трубы
те к радиусу индуктора сохраняется, получаем условие максимума
КПД dG/d (Дт) = 0, откуда
тсрДт » 2 и Дт = те—Д'ml—4 = у ml + 4 -—тв. (4.26)
Из этих выражений следует, что при те С 2 максимум G от-
сутствует, что подтверждается расчетом по точным формулам. Опти-
мальная толщина стенки соответствует условию Rcpd « 62. Макси-
мальное значение G при этом примерно равно тср/4.
Пусть теперь размеры трубы постоянны, а частота выбирается
из условия максимума КПД. Беря производную G по частоте, по-
лучаем
тсрДт л; 2 д /3 •
(4-27)
Таким образом значение тсрДт, соответствующее максимуму
КПД при изменении частоты, в д/3 раз больше, чем при изменении
толщины стенки.
Из (4.27) оптимальная частота для нагрева длинных полых ци-
линдров
fopt (4.28)
где R и d — в см, р — в Ом-см.
При сокращении длины индукционной системы частота, соот-
ветствующая максимуму КПД, возрастает [2, 46].
150
4.4. ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
В ПРОДОЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Сплошной ферромагнитный цилиндр. Электромагнитное поле
в сплошном цилиндре (RB = 0) с постоянным р полностью опреде-
ляется его относительным радиусом т0 = Re (где 6() — глу-
бина проникновения при р = 1), действующим значением напря-
женности Н в какой-либо точке и зависимостью р = f (Н). Если
вместо Н задана магнитная проницаемость р, то может потребо-
ваться дополнительное указание, к какой ветви кривой р — / (/7)
она относится. Как и при нагреве плоских тел, возможны три ха-
рактерных случая:
1. Не<.Нкр, магнитная проницаемость увеличивается от центра
к поверхности. Этот случай слабого поля не характерен для индук-
ционного нагрева, кроме того, его анализ в общем виде затруднен
из-за большого разброса зависимости р = / (Н) на начальном
участке не только от одной марки стали к другой, но и от партии
к партии.
2. /7В > /7кр, магнитная проницаемость падает с ростом R во
всех точках цилиндра. Как показали расчеты, в этом случае г
всегда меньше х и не наблюдается переход к характерному для
плоской волны в массивном ферромагнитном теле соотношению
г >х. Это можно объяснить тем, что принятое допущение Нв <//кр
соблюдается лишь при небольших относительных радиусах (те <. 3).
(Величины те и /тг0 связаны соотношением те = т0 д/рг.)
3. Нв <С Нкр <_ Не, магнитная проницаемость проходит макси-
мум при R <Re. В этом случае те > 3 и соблюдается условие
г<> > хе- Теоретически зависимости ге и хе = f (те) определяются
всеми участками кривой намагничивания, соответствующими
Н <.Не, что усложняет их табулирование. Однако при индукцион-
ном нагреве обычно соблюдается соотношение Не > 5 Нкр и сопро-
тивления г и х определяются в основном внешней частью цилиндра,
где наблюдается падающая зависимость р от Н. Тогда, как показало
большое число расчетов, G и Q не зависят от абсолютного значе-
ния рс в широком его диапазоне (для углеродистых сталей
4 < ре < 100), а определяются только те и а — показателем пара-
болы, аппроксимирующей зависимость р = f (Н).
Зависимости G и Q от те приведены на рис. 4.9 для трех слу-
чаев: постоянной магнитной проницаемости, переменной с а =
= — 0,894 (усредненная кривая намагничивания углеродистых
сталей) и а — — 1 (предельный случай постоянной магнитной ин-
дукции в зоне Н >0).
При те С 1,5 все три кривые совпадают, что свидетельствует
о малом изменении р по сечению. При те > 3 соблюдаются прибли-
женные формулы
<4Ж>
151
Рис. 4.9. Зависимости коэффициен-
тов активного и реактивного сопро-
тивления ферромагнитного цилиндра
от его относительного радиуса
----- а — 0 (ц — const);---а =
= — 0,894 (усредненная кривая намагни-
чивания); -----------------— а = — 1,0 (В = const)
где /1 и /2 — коэффициенты для
ферромагнитной среды в плоской
волне (2.5), (2.54).
Выбор частоты для нагрева
ферромагнитных цилиндров (на-
пример, прутков и проволоки под
термообработку) можно произво-
дить из условия те 2,8, так как при те < 2,8 G быстро падает, а
Q сначала даже возрастает, что приводит к падению КПД и cos q?.
Принимая а = — 0,894, находим следующие соотношения, свя-
зывающие радиус цилиндра, частоту тока и допустимую поверх-
ностную плотность мощности:
/?ет1п=325р°0'?88р0’356Г()’644;
U = 8 • 103ДГ 1,55ро,653ро4'*7; (4.30)
„ 1 П 1П-9г>3,47 —1,24г2,24
Ротах— 1,9-10 /\е Р /
Здесь радиусы, частота, удельное сопротивление и мощность
выражены соответственно в сантиметрах, герцах, Ом-см и Вт/см2.
При проектировании установок для индукционного нагрева
прутков в зависимости от постановки задачи используется одна
из этих формул.
Полый ферромагнитный цилиндр. Минимальное число незави-
симых переменных, от которых зависят г и х полого цилиндра с
р = const, равно трем (тв, те, р). Если принять, как и для сплош-
ного цилиндра, что Не>5 Нкр, то для полого цилиндра с перемен-
ной проницаемостью стенки число переменных останется равным
трем (тов, тОе, рг или те, &те, ре, где Дте = (тОе—тов) д/рГ).
Значения г и х и соответствующих им коэффициентов G и Q
рассчитаны при С = 8130 и а = — 0,894 на ЭВМ как методом цеп-
ных схем, так и конечно-разностным методом. В результате полу-
чены зависимости электромагнитных параметров ферромагнитных
полых цилиндров от Дтс при постоянных значениях относитель-
ного внешнего радиуса в диапазоне те = 1 4-100 и фиксированных
значениях ре = 6; 10; 15; 20; 40; 100. Кривые коэффициентов G
и Q для ре = 10, приведенные на рис. 4.10*, показывают, что эти
зависимости имеют сложный вид, сочетающий в себе свойства ха-
рактеристик немагнитного полого цилиндра (при больших те и ма-
* Для остальных значений ре графики приведены в приложении 2.
152
Рис. 4.10. Зависимости коэффициентов активного (G) и реактивного (Q)
сопротивлений от размеров ферромагнитного полого цилиндра
лых Ате) и ферромагнитного цилиндра (при больших &те). Анализ
массива кривых для ре = 6 4-100, что охватывает практически
весь диапазон условий индукционного нагрева, показал, что при
> 1,5 коэффициенты G и Q мало зависят от ре и во всех слу-
чаях можно пользоваться данными рис. 4.10. При те < 2,5 кри-
вые G ~ f (&те) не имеют максимумов и слабо зависят от ре, осо-
бенно при больших Ате. Действительно, концы всех кривых со-
ответствуют условию Ате = те, т. е. сплошному цилиндру, для
которого G и Q вообще не зависят от ре. При > 3 у кривых G
и Q наблюдаются максимумы, которые с ростом те сдвигаются
в сторону меньших толщин. Однако при те < 10 максимумы G
не превышают 1,4 при всех значениях рс, больших или равных 6.
Значительные максимумы G, характерные для немагнитных
труб, наблюдаются лишь при те>>3ре. При этом максимумы умень-
шаются с ростом ре, а положение их отвечает условию текте «2ц,,
характерному для немагнитной трубы.
Сравнение зависимостей сопротивлений полого цилиндра от
толщины стенки при постоянной магнитной проницаемости (р = 8),
переменной проницаемости с = 8 и при немагнитном материале
с тем же удельным сопротивлением р = 6-10_6 Ом-см дано на
рис. 4.11. Внутренний радиус трубы сохраняется постоянным и
равным 49,8 см, частота тока f = 50 Гц. При малых значениях d
(d < 0,3 см) сопротивления немагнитной трубы и труб с постоян-
153
Рис. 4.11. Зависимости активного
и реактивного сопротивления,
приходящегося на 1 см длины тру-
бы, от толщины ее стенки при раз-
личных магнитных проницаемостях
материала
------И = const = 8;-ц. = var
при ие = 8;---------— Ц - 1
Рис. 4.12. Распределение эле-
ктромагнитных параметров по
толщине стенки трубы с пере-
менной магнитной проницае-
мостью
ной и переменной проницаемостью одинаковы. С увеличением d
активные сопротивления проходят точки максимума, в которых
соблюдается условие г = х, и затем стремятся к своим асимптотам.
При р = var асимптотами г и х являются прямые, соответствующие
выражениям (4.29). Значения, близкие к асимптотическим, дости-
гаются уже при d = 2 см, что соответствует Ате «1,6 вместо
Атс = 3 для сплошного цилиндра. Различие объясняется сильным
влиянием кривизны в случае сплошного цилиндра.
Для р = 8 асимптотические значения, соответствующие G =
= Q = 1, достигаются при d = 3,2 см, т. е. при Ат « 2,3.
Максимумы г наблюдаются примерно при одной и той же тол-
щине d = 0,7 см. Следует отметить, что наибольшее г соответствует
трубе с переменной магнитной проницаемостью, однако относи-
тельное его значение по сравнению с сопротивлением для стенки
большой толщины много меньше, чем у немагнитной трубы.
Распределение параметров по толщине трубы для d — 0,9 см
и ре = 8 приведено на рис. 4.12. При этих условиях магнитная
проницаемость на внутренней стенке равна рв = 15. Плотность
тока меняется приблизительно по прямой, а напряженность маг-
нитного поля — по параболе, что характерно для ферромагнитной
среды с переменной проницаемостью.
Параметры двухслойных цилиндров из-за большого числа пе-
ременных в общем виде рассмотреть трудно. Однако обычно тол-
154
щина наружного слоя значительно меньше радиуса и можно ис-
пользовать данные для двухслойной плоской среды или выполнить
расчет методом цепных схем или конечных разностей.
4.5. ПАРАМЕТРЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТОКОПРОВОДОВ
И СТЕРЖНЕВЫХ ИНДУКТОРОВ
Цилиндрические токопроводы широко используются в технике
индукционного нагрева для канализации энергии. Применяются
как коаксиальные линии, так и двухпроводные, из двух близко
расположенных проводников. Часто встречаются одиночные про-
водники.
Стержневые индукторы, используемые для нагрева отверстий
небольшого диаметра, по конструкции также аналогичны коакси-
альному фидеру.
Одиночный цилиндрический токопровод. Электромагнитное поле
в таком токопроводе подчиняется, как и при индукционном нагреве
цилиндра, выражению (2.7), однако напряженность магнитного
поля, направленная по координате <р, описывается цилиндриче-
скими функциями первого порядка, а плотность тока и напряжен-
ность электрического поля — функциями нулевого порядка:
Н = еч>ВД(з)//1(8г);
(4-31)
Ё = е2ВД(«)/Ш)-
Напряженность Не на поверхности в соответствии с законом
полного тока связана с током I провода формулой Не = 7/(2л/?с).
Распределение напряженности поля по сечению токопровода
полностью совпадает с распределением для случая индукционного
нагрева цилиндра в продольном поле, однако Е и И меняются ме-
стами. Сохраняются и асимптотические выражения для слабого
(те < 1) и сильного (те>6) поверхностного эффекта с учетом ука-
занной взаимной замены Е и Н (см. § 4.1). Сопротивление единич-
ного квадрата на поверхности токопровода
Zo = Ёе/Не = (р/б) (ф + /ф) = ZCIO (5е)/1г (зе). (4.32)
Сравнивая (4.32) с (4.15), легко получить связь между коэффи-
циентами <р, ф и G, Q для цилиндра в продольном магнитном поле:
(ф + /Ф)(С+/<2) = 2/. (4.33)
Полное сопротивление токопровода длиной L записывается в двух
формах:
Z = Zo —— = —еЦ- (ф + /ф); (4.34)
2яЦе 2л/?е6
z = г„. г(kr + jkx) = -£±- (kr + jkx), (4.35)
лЯ*
где гп. т — сопротивление провода постоянному току.
1S5
Первая форма удобнее при сильном поверхностном эффекте,
вторая — при слабом. Коэффициенты сопротивлений приведены на
рис. 4.13. Из него следует, что активное сопротивление проводника
можно считать равным сопротивлению постоянному току при те^ 2.
При те > 4 поверхностный эффект уже сильно выражен и можно
использовать приближенные формулы
fer = mc^- + 0,27; ср те^2— ф = 1.
4 4 V2 — 1
(4.36)
Выражения для <р и ф в (4.36) соответствуют правилу, указан-
ному ранее для индукционного нагрева цилиндров: при использо-
вании формул плоской волны активное сопротивление следует вы-
числять по эквивалентному периметру тела, отстоящему от поверх-
ности на половину глубины проникновения; реактивное сопротив-
ление вычисляется по периметру поверхности.
Полый цилиндрический проводник может служить самостоя-
тельным токопроводом или является частью коаксиального токо-
провода (рис. 4.14). Для внутреннего проводника граничными ус-
ловиями являются отсутствие магнитного поля в его полости
(Нв = 0) и известная напряженность Не на внешней его поверхно-
сти. Используя эти условия для определения неизвестных постоян-
ных в выражениях, описывающих распределение Е и Н,
Н = еф[С1/1(«ИС8Ш
Ё = e2Zc [С]/о (s)—С2К0 (s)],
Рис. 4.13. Коэффициенты активного
и реактивного сопротивления ци-
линдрического токопровода
Рис. 4.14. Эскиз коаксиального то-
копровода
156
получаем следующие формулы:
R Фц (S, Sp) . £ ? Фо1 (S, $в) 37)
Не Фц (s₽, SB) Не Фп (se. SE)
Таким образом, функции Фц и Ф01 описывают распределение
Н и Е в полом цилиндрическом токопроводе. Сопротивление единич-
ного квадрата
Zo = —Zc , (4.38)
Фи (se, sB)
а полное сопротивление токопровода определяется формулой (4.34)
при найденном значении Zo.
В практических расчетах можно использовать приближенную
формулу для плоской волны
z=Iф/ + Н4) 44 ’ (4-39)
где /?э — эквивалентный радиус цилиндра:
Кэ = Re—Ъ/2 для d > 6;
R3 = Re—d/2 для 6. (4.40)
Коэффициенты q/ и ф' определяются по кривым рис. 3.6 для
одностороннего проникновения поля в пластину. В случае d < 6
можно использовать также формулы для слабого поверхностного
эффекта
_____ _ Р£ .
I — «пт — ------- , ~ •
2л/?э4 6л/?э
(4-41)
Коаксиальный токопровод. Электромагнитные параметры на-
ружного проводника можно найти так же, как и внутреннего, если
заменить в формулах (4.37) и (4.38) индекс е на «в» и наоборот, а также
поменять знаки в формулах для Е и Zo на обратный, что учитывает
противоположное направление напряженности Ев по сравнению
с Ёе во внутреннем проводнике. Возможность указанной замены
следует из соответствия граничных условий, так как напряжен-
ность Н'е во внешнем пространстве коаксиального токопровода равна
нулю. Напряженность Н'в создается внутренним проводником и
равна
я;=//(2л7?;)=яг7?е/т?;.
(4.42)
Сопротивление внешнего проводника большой толщины
(Re—Rb >2 6) определяется формулой для массивного тела с по-
лостью в нем:
L Kq (^в)
С 2лЯв Ki (sB) 2лЯв6
(ф + ГФ).
(4.43)
157
В практических расчетах для наружного проводника обычно
можно использовать приближенные формулы (4.39), (4.40) с заме-
ной Re на /?,’ и изменением минуса на плюс в (4.40).
Полное сопротивление коаксиального токопровода
Zk. п = ZB, п "ф Z„. п -ф jxs, (4.44)
где ZB. п И Zh. п — сопротивления наружного и внутреннего про-
водников; xs — индуктивное сопротивление зазора;
xs=-^^inA-.
2л Re
Распределение модулей Н и J показано на рис. 4.14, причем
модуль плотности тока в наружном проводнике отложен в проти-
воположную сторону. В случае сильного поверхностного эффекта
распределения Н, J и Е приближаются к экспоненциальным.
Расчет стержневого индуктора. Если нагреваемое тело доста-
точно толстое (R'e—R'B > 4 б), то электромагнитное поле, проникая
в деталь из полости, затухает, не достигая наружной поверхности.
Индуцированный ток /2 равен току индуктора I, и расчет внутрен-
ней части индуктора полностью соответствует расчету коаксиаль-
ного токопровода. При ферромагнитной детали магнитная прони-
цаемость у поверхности определяется по напряженности Нв (4.42).
Чтобы получить сопротивление всей индукционной системы,
к сопротивлению внутренней части нужно прибавить сопротивле-
ния обратного токопровода, внешней части детали и зазора между
ними. Эти сопротивления зависят от конструкции обратного про-
вода. В простейшем случае цилиндрического обратного провода,
охватывающего деталь, внешняя часть индуктора также представ-
ляет собой коаксиальную линию.
Если стенка детали не может считаться толстой, то необходимо
учесть взаимодействие электромагнитных полей, проникающих
в деталь изнутри и снаружи.
Сопротивление двухпроводной линии из цилиндрических про-
водников радиусом Re, расстояние между осями которых h, при
сильном поверхностном эффекте можно получить из [55], введя
эквивалентный радиус R3 = Re—b/2:
Z— 2r-\- jx= —---------------[- j arch —— . (4.45)
nR36 r~9—“Г n 2/?э
4.6. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ТЕЛА В ПОПЕРЕЧНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Сплошной цилиндр в поперечном поле. Рассмотрим сплошной
цилиндр, помещенный в первоначально однородное бесконечное
магнитное поле с напряженностью Но. Цилиндр может представлять
собой нагреваемое тело или элемент конструкции индукционного
158
Рис. 4.15. Сплошной цилиндр в поперечном
магнитном поле
устройства. При внесении цилиндра по-
ле искажается, причем при р. = 1 (рис.
4.15, справа) линии Н стремятся обо-
гнуть цилиндр, а при р >> 1 — втяги-
ваются в него, поэтому в крайних то-
чках сечения М' и М напряженности
неодинаковы (Нм >Н0 > Нм). Элек-
тромагнитное поле является двухмер-
ным, и его можно рассчитать методом
разделения переменных [95]. Для опре-
деления мощности, поглощаемой цилин-
дром, достаточно знать напряженности
Ё и на его поверхности. В работе [95] для них получены сле-
дующие формулы, справедливые при постоянной магнитной про-
ницаемости:
Ё = /<оро7?в/7о (1 — IF) sin <p;
Дф = Д0(1 + Й7)мпф; (4.46)
уу/ ; Vo fe) — (Р + D Д (*е)
se/ofe) + (p — 1) hfe)
где, как и ранее, se = meV/ = Re'yj2j /Ь.
Напряженность на боковой линии
Нм g s<^ ° (Se) — fe)
Wo seI0 fe) + (p — 1) Ii fe)
В предельном случае p -> оо Нм -> 0, а при р = 1 и $е оо
(сильный поверхностный эффект) Нм — 2Н0.
Активную мощность, выделяющуюся в цилиндре, легко опреде-
лить как вещественную часть потока вектора Пойнтинга сквозь его
поверхность
л/2
Р = 4LRe f ЁНЛ<Р = H&nReL 4 G, (4.47)
о о
где
в = Im W — 2л]2 /7141 х
х_______________ber mt ber'me + bei те bei'mc__________
[(р — 1) ber 'те — те bei me]2 + [(р — 1) bei ’те + те ber те\2
Формула (4.48) по своей структуре совпадает с формулой для
цилиндра в продольном магнитном поле. Более того, для немагнит-
ного цилиндра в поперечном поле G точно в два раза больше, чем
в продольном. Это обстоятельство удобно использовать при рас-
159
чете. В общем случае зависимость G = f (т, р) имеет сложный
характер. С увеличением р при постоянстве Но и т мощность Р
и соответственно коэффициент G сначала увеличивается из-за втя-
гивания магнитного потока в цилиндр, затем падает из-за сниже-
ния на поверхности и стремится к нулю при неограниченном
росте р. Таким образом, нагрев ферромагнитных цилиндров в по-
перечном поле может оказаться менее эффективным, чем в продоль-
ном [96]. Сравнительный анализ этих способов нагрева услож-
няется тем, что в реальных условиях магнитная проницаемость
непостоянна по периметру и для этого случая точное аналитическое
решение отсутствует. Активное сопротивление цилиндра г2, отне-
сенное к напряженности поля на поверхности, для поперечного
нагрева, строго говоря, не может быть введено-из-за непостоянства
Н у поверхности цилиндра. Если отнести мощность Р2 к магнито-
движущей силе исходного поля на расстоянии, равном диаметру
цилиндра, то получим
г2 = —— = - pL G.
(2H0Re)2 2л7?е6
Другой особенностью поперечного нагрева является то, что из-
менение реактивной мощности при внесении цилиндра в поле про-
исходит не только в занимаемом им объеме, но и в близлежащей
части окружающего пространства. Поэтому данные по реактивной
мощности в цилиндре здесь не приводятся.
Третьей особенностью является то, что при нагреве пучка ци-
линдров в поперечном поле электромагнитные процессы в них не
могут рассматриваться независимо друг от друга, что было бы спра-
ведливо для продольного поля. Если цилиндры расположены плотно
в один ряд, образуя слой, параллельный Но, то при р = 1 мощность
в одном цилиндре будет меньше, чем при его одиночном расположе-
нии. Наоборот, при р 1 мощность больше, чем в одиночном ци-
линдре. Такой ряд цилиндров можно заменить плоской плитой
с той же площадью сечения, что дает хорошее приближение по мощ-
ности. Электромагнитные параметры индуктора с конечным числом
длинных немагнитных цилиндров, расположенных в один ряд
с произвольным шагом, рассчитаны в работе [97] численным ме-
тодом.
Другой важный случай нагрева совокупности цилиндров в по-
перечном поле соответствует слою цилиндров, расположенному
перпендикулярно напряженности магнитного поля Нп. Он встре-
чается при нагреве ряда цилиндров в зазоре между полюсами магни-
топровода индуктора трансформаторного типа. Аналогичная кар-
тина наблюдается при пересечении витков обмотки поперечным маг-
нитным полем. Для ярковыраженного поверхностного эффекта в не-
магнитных цилиндрах решение может быть получено из работы
Баттерворта (Butterworth) [98], в которых он рассматривал по-
тери в витках цилиндрической катушки при высокой частоте.
160
В реальных устройствах индукционного нагрева цилиндров
всегда имеются концевые зоны, в которых ток переходит с одной
половины сечения на другую. Электромагнитное поле в этих зонах
трехмерно. Публикации по расчету такого краевого эффекта от-
сутствуют, а экспериментальные данные немногочисленны. Крае-
вые эффекты могут приводить к сильной неравномерности темпера-
туры по длине цилиндров. Для управления качеством нагрева
концевых зон может быть использован ряд мер, например, введе-
ние локальных магнитопроводов, ослабляющих поле в этой зоне
[99].
Проводник в поперечном поле при слабом поверхностном эффекте.
В устройствах индукционного нагрева часто встречаются конструк-
тивные элементы (направляющие, крепежные детали и т. д.) в виде
сплошных и полых цилиндрических тел как круглого, так и не-
круглого сечения. Если поверхностный эффект в таких телах вы-
ражен несильно, то потери от вихревых токов, вызванных попереч-
ным магнитным полем, легко найти по приближенным аналитиче-
ским формулам. Пусть полый цилиндр некругового сечения, сим-
метричного относительно осей х и у, находится в поперечном поле
с напряженностью Но = НОх, направленном по оси х. Считая в
первом приближении, что напряженность стороннего поля постоянна
по сечению проводника, находим, что напряженность вихре-
вого электрического поля для точки М (х, у) сечения будет
Ё = ]'ацоНОху, (4.49)
а удельная объемная мощность в этой точке
wM = уЕ2 = 4pt/2//ox/64.
Полная мощность от вихревого тока
Рх = -^- Е20х J y2dxdy = Jx, (4.50)
о4 So 6*
где Jx — момент инерции сечения проводника относительно оси х;
So — площадь сечения.
Формула (4.50) дает завышенную мощность, так как не учиты-
вает размагничивающего действия наведенных токов на поле вну-
три" проводника. Во втором приближении будем считать, что вих-
ревые токи создаются не полем НОх, а скорректированным полем,
напряженность Нх которого уже не будет постоянна по сечению,
что не позволяет получить точное решение за исключением несколь*
ких простейших случаев. Нижнюю оценку мощности дает формула,
учитывающая размагничивающее действие токов, полученных в
первом приближении:
Р = .4рЬН&х (i + , (4.51)
х 6* V а26< )
где Мх — статический момент сечения относительно оси х\ а —
размер проводника по оси х.
6 Заказ № 776
161
Лучшие результаты получаются, если в формулу (4.51) ввести
поправочный коэффициент k — 0,5 4-0,7; тогда
4P/7gx4L / kM2x у1
б4 \ ~ а2б‘ J
(4-52)
Для прямоугольной трубки с размерами а X b и толщиной
стенки d момент инерции, статический момент и площадь сечения So
будут
JJC = -^-(a&3—af}3); Mx=-~(ab2—«Р2); S0 = ab—схр,
где а — а — 2d', Р = b—2d — внутренние размеры трубки.
Для круглой трубки с радиусами 7?в и Re
Мх = ~ (R3e—Rl); £0 = л(^-Я2в).
4 о
Для эллипса с полуосями а и b
Jх= — Mx — — ab2; S0~nab.
4 3
Формула (4.52) дает удовлетворительную точность, если размер
сечения b по оси у удовлетворяет условию b <2 6 или для полого
проводника (Ь—d) d < б2.
Если напряженность внешнего поля не направлена по оси х
или у сечения проводника, то мощность Р можно найти в виде суммы
мощностей от составляющих НОх и НОу. Если, кроме того, по про-
воднику протекает собственный ток /с, то вследствие положения,
доказанного в § 3.1, активная мощность в нем может быть представ-
лена в виде
i=x, V
(4.53)
4.7. КРАЕВЫЕ ЭФФЕКТЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
При нагреве цилиндрических тел обычно возникают продольные
краевые эффекты. Поперечные эффекты появляются лишь при на-
греве цилиндров в поперечном магнитном поле: между полюсами
магнитопровода, в овальном и частично в щелевом индукторах.
В реальных индукционных системах продольные эффекты ин-
дуктора и нагреваемого цилиндра, как правило, накладываются
друг на друга, что затрудняет их анализ в общем виде из-за боль-
шого числа переменных. Так, даже в простом случае немагнитного
однородного цилиндра конечной длины, помещенного в индуктор
без магнитопровода, минимальное число нормированных перемен-
ных равно пяти (относительный радиус цилиндра те, радиус ин-
дуктора /?!, их длины /2 и G» сдвиг центра детали по отношению
162
к индуктору z0 или заглубление ее торца в индуктор о). Нагрева-
тельные индукторы имеют обычно достаточно большую длину,
чтобы эффекты, создаваемые одним концом системы, не сказывались
на поле другого конца. Тогда число переменных будет на два меньше
и в рассматриваемом примере составит три. Такие системы рассмат-
риваются для типовых случаев в главе 5. Однако большой объем
информации о распределении поля, важной для проектирования
индукционных устройств, можно получить путем изучения изоли-
рованных краевых эффектов индуктора или детали. Краевые эф-
фекты только индуктора проявляются при нагреве длинного ци-
линдра, краевые эффекты детали — при ее нагреве в первоначально
однородном поле большого объема. Электромагнитные поля в зоне
краевого эффекта цилиндра являются двухмерными, причем из-за
сложности сшивания решений для внешней (воздух) и внутренней
(проводящий цилиндр) областей аналитические методы здесь прак-
тически непригодны и исследование выполнялось численными ме-
тодами .
Краевой эффект сплошного немагнитного цилиндра. Исследова-
ние проводилось методом численного эксперимента с использова-
нием интегрального метода с полным осреднением ядра для устрой-
ства, изображенного на рис. 1.10. Чтобы исключить влияние крае-
вого эффекта индуктора, его радиус Pj и заглубление о взяты много
большими Re (Ri = 2,5 7?е; о = 5 Re), что позволяет считать ис-
ходное поле однородным.
Краевой эффект в сплошном цилиндре определяется только од-
ной переменной те и может быть изучен и протабулирован в общем
виде. В качестве выходных характеристик можно выбрать ряд рас-
пределенных и сосредоточенных величин. Распределенными в двух-
мерном пространстве (R, г) являются напряженности магнитного
и электрического полей, плотность тока и объемная мощность, рас-
пределенными в одномерном пространстве (R ~ Re, z) являются
поверхностные плотности тока Je и мощности рОе, а также настил
полной мощности Р'. Распределения pOf и Р’ неидентичны, так как
в зоне торца цилиндра существует аксиальный компонент вектора
Пойнтинга, обеспечивающий перенос мощности вдоль оси z.
В качестве сосредоточенных параметров целесообразно выбрать
поверхностную плотность тока JK и настил мощности Р’к у края
цилиндра, отнесенные к их значениям в средней регулярной части
цилиндра и Р’с. Эти отношения обозначим kj и k'p. Дополнитель-
ным сосредоточенным параметром является коэффициент kh ха-
рактеризующий полную дополнительную мощность, или дефицит
мощности АРК, обусловленный краевым эффектом. Поместив на-
чало координат в торце цилиндра (см. рис. 1.10), для АРК можно
написать:
2с
АРК = f Р (z)dz—Pczc, (4.54)
о
6*
163
где zc — координата точки, в которой поле можно считать регуляр-
ным.
Нормировав АРК относительно значения Р'с, получаем величину
А/э, характеризующую эквивалентное удлинение или укорачива-
ние цилиндра, которое в условиях Р’ = const — Р'с обеспечивало
бы нужное значение АРК:
А/э = ДРк/Рс.
Коэффициент
(4.55)
= Ms!Re
(4.56)
На рис. 4.16 показано распределение модуля напряженности
электрического поля вдоль образующей цилиндра и за его преде-
лами (z<0) при различной степени поверхностного эффекта
(те С 22). Радиус цилиндра 5 см, удельное сопротивление
10~8 Ом-см. При те < 3 краевой эффект выражен слабо (Е^/Е^ =
= JJJc = kj — 1,25). С увеличением те напряженность в зоне
торца и особенно за его пределами возрастает, причем при z -> —оо
напряженность стремится к напряженности исходного поля, а
EJE^ -> me/2. Ширина «зоны тени», на которую распространяется
возмущение поля от цилиндра, составляет примерно 1,5 Re, а ши-
рина зоны краевого эффекта 1К в самом цилиндре не превышает
0,5 Re и уменьшается при росте частоты.
Распределение поверхностной плотности тока, характеризуе-
мое коэффициентом приведено на рис. 4.17 в функции z/6.
Рис. 4.17. Распределение поверхностной
плотности тока вдоль цилиндра
Рис. 4.16. Влияние краевого
эффекта цилиндра иа распре-
деление напряженности элек-
трического поля вдоль его по-
верхности
164
Относительная ширина зоны краевого эффекта, отнесенная к 6,
увеличивается, однако значение ее в долях радиуса уменьшается,
как указывалось ранее, с ростом z/6.
Важно отметить, что искажение поля у конца цилиндра приво-
дит не только к росту J в зоне торца, но и к изменению распределе-
ния тока по радиусу (рис. 4.18). При слабом поверхностном эффекте
(те < 3) распределения в регулярной зоне (z ->- оо) и в зоне торца
почти одинаковы (кривые 1, 2). С ростом частоты распределение J
у торца более равномерно, чем в регулярной зоне (кривые 3, 4),
что эквивалентно увеличению глубины проникновения. Настил
мощности для немагнитного цилиндра возрастает в зоне торца тем
сильнее, чем больше частота (рис. 4.19). Энергетический коэффи-
циент kt для сплошного цилиндра соответствует кривой 6 = 0 на
рис. 4.20, построенной для полых немагнитных цилиндров. Кривая
показывает, что при те < 2 дополнительная мощность мала и источ-
ники теплоты распределены по длине цилиндра равномерно. В диа-
пазоне те = 2,5 4-4, характерном для сквозного индукционного
нагрева, происходит резкий рост kh который при тс>6 замед-
ляется.
Зависимость kt — f (те, о) позволяет однозначно выбрать оп-
тимальную частоту или заглубление при заданной частоте, обеспе-
чивающие равномерное в большом распределение температуры по
длине цилиндра (см. § 5.2).
Для этого необходимо приравнять дополнительную мощность
краевого эффекта АРК к мощности тепловых потерь с торца АРТ,
равной
АРТ== nR2ep0T, (4.57)
где Дот —удельная мощность потерь с торцевой плоскости.
Учитывая (4.55, 4.56), получаем
__ 1 Рот . х
2 Рос 2
(4.58)
где рос — удельная мощность, передаваемая в цилиндр в регулярной
(средней) зоне.
Значения рос и рот определяются в процессе теплового расчета.
Если удельные потери с торца и с боковой поверхности одинаковы,
а площадь торцевой поверхности много меньше, чем боковой, то
х « 1—т]т, где цт — термический КПД. Тогда
= т]т)/2. (4.59)
Так, при т]т = 0,7 и нагреве цилиндра в однородном поле
(о -> оо) требуемое значение kb равное 0,2, обеспечивается при
те = 2 4-2,5. Если тс>2,5, то перегрев торцевой зоны можно
ликвидировать за счет краевого эффекта индуктора, выбрав соот-
ветствующее значение о.
Краевой эффект полого немагнитного цилиндра определяется
двумя независимыми переменными: относительным радиусом те
165
Рис. 4.18. Распределение плот-
ности тока по радиусу цилин-
дра
1 — те = 3; z = 0,25 6; 2 — те —
— 3; z-> оо; 3 — те=7-, г — 0,25;
4 — те = 7; z->oo
Рис. 4.19. Распределение иастила
мощности по длине цилиндра
и внутренним радиусом тв или отношением радиусов 6 = тв/те.
Исследование, выполненное численным методом [100], показало,
что качественно характер краевого эффекта у полых цилиндров
такой же, как у сплошных. На рис. 4.20 показана зависимость ко-
эффициента kt от те при фиксированных значениях 0, что соот-
ветствует изменению частоты при нагреве заданных цилиндров. Из
кривых следует, что при одинаковых те краевой эффект сначала
Рис. 4.20. Зависимость коэф-
фициента kt полого цилиндра
от его относительного радиуса
при изменении частоты
Рис. 4.21. Зависимость коэффици-
ента ki полого цилиндра от относи-
тельной толщины стенки 0
166
выражен тем слабее, чем тоньше стенка (больше 6). При росте ча-
стоты kt для полых цилиндров возрастает быстрее, чем для сплош-
ных, и в зависимостях kt (т) имеется локальный максимум. При
сильном поверхностном эффекте все зависимости приближаются
к кривой для сплошного цилиндра.
Если при заданных частоте и наружном радиусе изменять тол-
щину стенки, то коэффициент kt будет меняться по кривым рис. 4.21.
При /пг>»3 ki монотонно возрастает с увеличением толщины стенки
d (6 -> 0). При те >3 наблюдается максимум kt, соответствующий
толщине стенки, равной глубине проникновения (d = 6). Макси-
мум тем выше, чем больше частота.
Таким образом, при нагреве труб краевой эффект может прояв-
ляться значительно сильнее, чем для сплошных цилиндров, если
толщина стенки близка к глубине проникновения. Однако при оп-
тимальных по условиям КПД частотах, см. (4.28), краевой эффект
выражен слабо (штриховая линия на рис. 4.21). Оптимальный вы-
бор частоты и заглубления конца трубы в нагревателе периодиче-
ского действия должен производиться исходя из условия высокого
КПД с учетом равномерности нагрева по длине, определяемой ус-
ловием (4.59).
Краевой эффект ферромагнитного цилиндра. Магнитная прони-
цаемость ферромагнитного цилиндра непостоянна по длине, по-
этому в качестве определяющих параметров примем относительный
радиус тОе, вычисленный при р. = 1, и поверхностную магнитную
проницаемость в регулярной зоне реС, зависящую от напряжен-
ности исходного поля Не. Эти два параметра и связанный с ними
относительный радиус
^=^0» Vpec (4.60)
полностью определяют электромагнитные процессы в цилиндре-
Распределения мощности Р' и магнитной проницаемости рг,
а также коэффициент kt получены в зависимости от тОе и реС мето-
дом численного моделирования. Расчеты выполнялись методом ин-
тегральных уравнений с постановкой импедансных граничных ус-
ловий на поверхности цилиндра 1101]. Сопротивления элементов,
на которые разделялся цилиндр, вычислялись аналитически по
формулам для плоской волны (4.29), или при слабом поверхност-
ном эффекте, методом конечных разностей. Все расчеты проводи-
лись для усредненной кривой намагничивания углеродистой стали
с использованием зависимости (2.4).
Краевой эффект ферромагнитного тела формируется двумя про-
тиводействующими факторами: размагничивающим влиянием вих-
ревых токов проводимости, вытесняющих магнитное поле из ци-
линдра, и подмагничивающим влиянием поверхностных и объемных
токов намагниченности. Первый фактор приводит к росту мощности
в торцевой зоне цилиндра, второй — к ее уменьшению.
В отличие от немагнитных цилиндров концы ферромагнитных
цилиндров в однородном поле могут как перегреваться, так и не-
167
догреваться. При отсутствии тепловых потерь этим условиям со-
ответствуют >0 и kt < 0. Для каждого из значений реС сущест-
вует такое значение т(1е, при котором kt = 0 и дополнительная
мощность краевого эффекта равна нулю (рис. 4.22).
Значения тОе и реС> реализующие это условие, связаны простой
зависимостью, полученной путем обработки результатов расчетов
рес= mi/2,25. (4.61)
Для относительного радиуса теС выражение (4.61) переходит
в прямую пропорциональную зависимость
теС= 1,5реС. (4.62)
Таким образом, равномерный нагрев ферромагнитного цилиндра
по длине в однородном поле обеспечивается при значительно боль-
ших частотах, чем это требуется из условия высокого КПД. Равно-
мерность следует понимать в большом, так как факторы, форми-
рующие краевой эффект, не полностью компенсируются по длине
цилиндра и распределение Р' (г) имеет сложный вид (рис. 4.23).
Если больше оптимального значения, определенного с учетом
тепловых потерь, то дополнительное выравнивание температуры
возможно за счет выбора заглубления и. В противном случае то-
рец будет недогрет при сколь угодно большом заглублении и необ-
Рис. 4.22. Зависимость коэффициента
ki ферромагнитного цилиндра от его
относительного радиуса и магнитной
проницаемости в регулярной зоне
Рис. 4.23. Распределение на-
стила мощности по длине фер-
ромагнитного цилиндра при
тое = 8
168
ходимы иные средства пространственного управления электромаг-
нитным полем, такие как сгущение витков индуктора, автотранс-
форматорное включение обмотки, внешние магнитопроводы.
Краевой эффект полого немагнитного цилиндра с магнитопро-
водом сочетает в себе черты краевых эффектов немагнитного и фер-
ромагнитного цилиндров. Число переменных при длине внутрен-
него магнитопровода, равной длине цилиндра, равно трем (те,
тъ, рв) и может быть сокращено до двух, если магнитную прони-
цаемость сердечника можно принять очень большой (рв -> оо).
При небольших толщинах стенки преобладает краевой эффект
сердечника и мощность в торцевой зоне оказывается меньшей, чем
в регулярной зоне. С повышением частоты или толщины стенки
краевой эффект становится таким же, как для немагнитного ци-
линдра. Некоторые количественные данные по краевому эффекту
цилиндра с внутренним магнитопроводом приведены в работе [102].
Полый цилиндр с магнитопроводом представляет интерес как
самостоятельно, так и в качестве модели двухслойного цилиндра,
образующегося при потере магнитных свойств у стальной заго-
товки. В этом случае появляется дополнительный канал управле-
ния распределением мощности по длине полого цилиндра за счет
изменения положения сердечника относительно торца трубы.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ
ИНДУКТОР—ЗАГРУЗКА
5.1. краевой эффект цилиндрического ИНДУКТОРА
Распределение поля у края индуктора во многом определяет
качество нагрева, взаимное влияние соседних секций, распределе-
ние потерь в витках обмотки, нагрев конструктивных элементов
узла индуктора. Оно имеет довольно сложный характер даже у
пустого индуктора, зависящий от отношения длины обмотки 1г
к ее среднему диаметру Z)lcp, от сечения токопровода, зазора между
витками и от степени поверхностного эффекта в проводниках.
Можно выделить два крайних случая: 1) многовитковая обмотка
со слабым поверхностным эффектом в витках или большим зазором
между ними; 2) одновитковый индуктор или многовитковый с ма-
лым зазором между витками и сильным поверхностным эффектом
в них.
В первом случае, к которому можно отнести все индукторы про-
мышленной частоты и часть индукторов средней частоты, магнит-
ный поток свободно пересекает обмотку и уменьшается к краю, во
169
втором — обмотка непроницаема для магнитного потока, и он
остается постоянным по длине индуктора.
Рассмотрим распределение магнитного поля у поверхности мно-
говитковой обмотки пустого индуктора. На рис. 5.1 показано рас-
пределение Нг у внутренней и наружной поверхностей обмотки
и напряженности HR при R = /?1ср- Длина индуктора принята
большой (/х =5Z)lcp), а настил тока в нем Г — равным единице,
что позволяет считать напряженности нормированными относи-
тельно НгС внутри бесконечного соленоида. В средней части ин-
дуктора (z < Z) 1ср) поле примерно такое же, как в длинной системе
(Нг1 « 1, Нг0 «О, HR^ 0).
В зоне торцевой плоскости (z=57?lcp) напряженности изме-
няются по сложным зависимостям, которые можно назвать торце-
выми функциями. Очевидно, что торцевые функции не зависят от
длины обмотки и определяются только конструкцией витков и ра-
диусом, для которого находится соответствующая напряженность.
Аналогичные торцевые функции можно ввести для напряженности
индуцированного электрического поля.
Для описания торцевых функций осевую координату z удобно
заменить на z', отсчитываемую от торца обмотки. Примем за по-
ложительное направление z' внутрь обмотки. Характер торцевых
функций зависит от рассматриваемой величины и радиуса. Для
бесконечно тонкой обмотки (токовый слой) при г' = 0и7?=Д1 И R
стремится к бесконечности. При конечных размерах витков и во
всех случаях при R #= 7?1ср функции распределения являются не-
прерывными и гладкими функциями z'.
Рассмотрим электромагнитное поле в зоне стыка двух длинных
соленоидов: основного (/) и дополнительного (2) с одинаковыми
настилами токов (рис. 5.2). Так как суммарное поле двух соленои-
дов соответствует полю бесконечного соленоида, то с учетом сим-
метрии можно сделать следующие выводы относительно распреде-
лений поля в зоне торца:
Рис. 5.2. Напряженности магнит-
ного поля в зоне стыка основно-
го (/) и дополнительного (2) соле-
ноидов
Рис. 5.1. Распределение напряжен-
ности магнитного поля у поверх-
ности обмотки длинного многовит-
кового индуктора
170
1) аксиальная составляющая напряженности магнитного поля
у торца длинного соленоида описывается выражениями
Нг= 1' \gHz(z’, Е) | 0,5| при Е</+;
Hz = l'gHz(z', R) при R>Rv (5.1)
где gHz (z', R) — торцевая функция, нечетная относительно z';
2) радиальная составляющая Нр описывается функцией
gHR (z', R), четной относительно z' = 0;
3) напряженность индуцированного электрического поля при
любом радиусе описывается выражением
E — Ec\gE(z', 7?)+ 0,5], (5.2)
где Ес — напряженность для бесконечно длинного соленоида;
gE (z', R) — нечетная функция z'.
Эти положения полностью сохраняются для индуктора с длин-
ной линейной загрузкой, причем окно индуктора может быть не
только цилиндрическим, но и прямоугольным или овальным. Из
1 и 3 следует, что в торцевой плоскости напряженность магнитного
поля Нг (для R <ZRi), электрического поля и плотности тока в за-
грузке при любом радиусе ровно в два раза меньше, чем в регу-
лярной части индуктора. Удельная объемная мощность и настил
мощности в загрузке в зоне торца в четыре раза меньше, чем в ре-
гулярной зоне. Крайний виток обмотки охватывается в два раза
меньшим потоком, чем средние витки, поэтому напряжение на нем
также в два раза ниже, если не учитывать падения на активном
сопротивлении провода, которое обычно много меньше, чем наве-
денная ЭДС. Такой же закономерности подчиняется радиальная
составляющая электродинамической силы, действующей на витки.
Важно отметить, что сопротивление единичного квадрата длинной
загрузки в торцевой плоскости индуктора такое же, как для одно-
мерного поля, что подтверждает правомерность расчета таких си-
стем при постановке импедансных граничных условий.
Торцевые функции позволяют уменьшить размерность зависи-
мостей Н, Е и J от параметров индукционной системы и по одной
функции g (z’, R) находить распределение этих величин при любой
длине индуктора. Критерием длины, индуктора является отношение
длины обмотки к ее диаметру или эквивалентному зазору h3
(см. стр. 80).
Если длина индуктора больше пяти диаметров или десяти экви-
валентных зазоров +, то его можно считать длинным. При этом
краевые эффекты не накладываются друг на друга, а поле в средней
части такое же, как и в отрезке бесконечно длинной системы. В про-
тивном случае поле в системе получается путем наложения торце-
вых функций друг на друга.
Напряженность поля тонкого соленоида длиной Z х с учетом сим-
метрии функций g всегда можно представить в виде
U = I'[gu(z')— gu(?'— Ml, (5.3)
где U — любая из величин, Нг, Hr или Е.
171
Рис. 5.3. Торцевые функции для ра-
счета аксиальной составляющей на-
пряженности магнитного поля соле-
ноида
Рис. 5.4. Торцевые функции для
расчета радиальной составляющей
напряженности магнитного поля
Значения функции gHz и gHR приведены на рис. 5.3, 5.4. Поль-
зуясь этими кривыми, можно найти не только напряженность Н
соленоида в любой точке пространства, но и магнитодвижущую силу
на каком-либо отрезке, а следовательно, и коэффициент N (см.
стр. 263).
Можно считать, что торцевые функции отражают действие обоб-
щенных источников поля соленоида, совмещенных с его крайними
витками. Аналогичные источники можно ввести для дисковой ка-
тушки на ее внутреннем и внешнем радиусах и для цилиндрической
катушки с прямоугольным сечением обмотки и заданным токорас-
пределением (источники размещаются в четырех угловых точках).
Простейшим обобщенным источником является виток с током. Каж-
дый тип обобщенных источников имеет свои торцевые функции,
с помощью которых можно определить напряженности электриче-
ского и магнитного полей, а также индуктивности и электродина-
мические усилия витков, соленоидов и катушек [103]. Торцевые
функции можно записать в аналитической форме с помощью эл-
липтических интегралов, сферических или цилиндрических функ-
ций (см. приложение 1).
Использование обобщенных источников позволяет заменить
взаимодействие распределенных токов попарным взаимодействием
небольшого числа сосредоточенных величин.
Однако для загруженных индукторов применение обобщенных
источников для количественного анализа не дает заметного выиг-
172
рыша, так как функции gv являются комплексными и зависят от
большого числа переменных, что затрудняет их табулирование.
Характер распределения напряженностей поля аналогичен приве-
денным данным для пустого индуктора.
Краевой эффект массивного одновиткового индуктора можно
исследовать численным методом. В частном случае сильного поверх-
ностного эффекта в токопроводе и в загрузке, пренебрегая кривиз-
ной поля в зазоре, можно получить достаточно общий результат
методом конформных отображений. Тангенциальная составляю-
щая Н и плотность тока в длинной загрузке у края индуктора до-
стигает 78 % значений их в регулярной зоне, а удельная мощность
уменьшается почти в два раза. Плотность тока в угловых точках
сечения витка при этом стремится к бесконечности. При конечной
глубине проникновения общий характер распределения плотности
тока на поверхности витка и загрузки соответствует рис. 1.9, а.
Расчеты численным методом показали, что приведенные значения
плотности мощности и тока в загрузке у края длинного массивного
индуктора хорошо соблюдаются и при неярко выраженном поверх-
ностном эффекте как для плоских, так и для цилиндрических си-
стем.
Если нагреваемое изделие ферромагнитное, то поверхностная
плотность тока и удельная мощность у края индуктора спадают
медленнее, чем в случае немагнитных тел, из-за увеличения магнит-
ной проницаемости в зоне более слабого магнитного поля. Однако
качественный характер зависимостей сохраняется.
На распределение поля у края индуктора оказывает также влия-
ние внешний магнитопровод. Если магнитопровод не имеет пазов
(гладкий магнитопровод), а его длина значительно больше длины
обмотки, то характер распределения поля у торцов индуктора бу-
дет таким же, как без магнитопровода, однако зона краевого эф-
фекта сузится. На рис. 5.5 показаны характерные распределения
относительной поверхностной плотности тока у края длинной тон-
кой обмотки для трех случаев: без внешнего магнитопровода (7), с
длинным магнитопроводом без полюсов (2) и для магнитопровода
с полюсами (<?). В последнем случае распределение Je наиболее
близко к ступенчатому, а плотность тока в торцевой плоскости пре-
вышает половину JeC в регулярной зоне. Распределение становится
прямоугольным лишь при одно-
временном уменьшении до нуля за-
зора полюс—загрузка и глубины
проникновения тока в ее мате-
Рис. 5.5. Распределение плотности то-
ка на поверхности цилиндра у края
длинного индуктора
1 — без магнитопроводз; 2 — с магнитопро-
водом без полюсов; 3 — с магннтопроводом
с полюсами
риал. Ширина с0 полюса (см. рис. 2.16), как показали расчеты и
эксперименты, мало влияет на характер распределения и на ин-
тегральные параметры индуктора, если полюс не сильно насыщен.
5.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИНДУКТОРА
С ДЛИННОЙ ЗАГРУЗКОЙ
Электромагнитные системы, рассматриваемые в этом параграфе,
отличаются тем, что длина нагреваемого тела принимается большей,
чем длина индуктора или совокупности индуктивно связанных
секций нагревателя. Поэтому распределение электромагнитного
поля и интегральные параметры определяются лишь краевыми эф-
фектами индукторов и внешних магнитопроводов. Если загрузка
ферромагнитная, то дополнительное влияние на электромагнитные
параметры оказывает непостоянство р по ее длине. Цилиндрические
индукторы с длинной загрузкой часто встречаются на практике
при нагреве изделий под поверхностную закалку или гибку (приме-
няются чаще одновитковые индукторы), а также при нагреве под
объемную термообработку, резку или пластическую деформацию
(обычно используются многовитковые индукторы). Многовитковые
индукторы могут быть односекционными или многосекционными;
параметры их рассматриваются в следующем параграфе.
При проектировании индукторов представляют интерес зависи-
мости их энергетических показателей (КПД, сопротивление, ко-
эффициент мощности) и распределение мощности вдоль загрузки
от длины обмотки, зазора, частоты и других параметров.
Одновитковые индукторы обычно применяются при малых за-
зорах и сильном поверхностном эффекте в загрузке, поэтому их
можно рассматривать как плоские (проводник над проводящей пло-
скостью), развертывая систему по среднему радиусу зазора. Для
цилиндрических одновитковых индукторов ограничимся показан-
ными на рис. 5.6 распределениями настила тока по поверхности
загрузки и по половине периметра /7Х токопровода. Радиальная
высота t проводника равна 0,45 его ширины а. Отношение диамет-
ров загрузки и индуктора Dt/D1 = 0,9. Поверхностный эффект
сильно выражен. Ток I г одинаков для пусгого и нагруженного ин-
дуктора. Настил тока в загрузке спадает монотонно, причем у края
токопровода (2ИП1 = 0,34) Г равно 0,78 настила тока при I = 0,
как уже отмечалось в §5.1.
Распределение тока в индуцирующем проводе существенно за-
висит от нагрузки (кривые 1 и 5). У пустого индуктора по стороне,
обращенной к загрузке, протекает примерно 45 % тока у загру-
женного — 62 %. Приближенный расчет таких конструкций можно
выполнить методом общего потока, а уточненный — численными
методами.
Обмотки нагревательных индукторов при расчете поля в за-
грузке можно считать тонкими, что позволяет использовать ана-
литический метод разделения переменных (см. § 2.3). Для индукто-
174
Рис. 5.6. Распределение тока
по поверхности загрузки (2)
и по половине периметра П1
одновиткового цилиндрическо-
го индуктора: пустого (3) и
загруженного (/)
ров с периодическим полем
решение получается в ви-
де суммы решений для от-
дельных гармоник, а для
одиночного индуктора —
в виде несобственных ин-
тегралов. Так как сопро-
тивление индуктора при
этом определяется как от-
ношение ЭДС, наведенной
полем системы в витках ин-
дуктора, к его току, то метод носит также название метода наве-
денных ЭДС.
Полученные решения протабулированы в широком диапазоне
переменных для сплошного и полого цилиндров [104]. Для не-
магнитной трубы с произвольной толщиной стенки число независи-
мых переменных равно четырем, для сплошного цилиндра — трем,
что потребовало большого числа графиков. Рассмотрим характер-
ные зависимости вносимого сопротивления цилиндра Гг и индуктив-
ного сопротивления системы от длины индуктора и поверхностного
эффекта в загрузке.
Сопротивление индуктора в соответствии с методом наведенных
ЭДС записывается в виде
2и = Г1+Г2-Ь/(Х1^Дх) = Г1-|-Г2+ /(*1 —*20^1#), (5.4)
где хг — сопротивление пустого индуктора; — число его вит-
ков; х20 — сопротивление пустого соленоида радиусом R2 и дли-
ной 1г\ Н — коэффициент вносимого реактивного сопротивления.
Вносимое активное сопротивление г2 легко привести к виду,
принятому в настоящей работе для тел в однородном магнитном
поле:
. 2nR2ep2w'[ >
Г2 = ----—-------G ,
(5-5)
/1^2
где G' — коэффициент, учитывающий как степень поверхностного
эффекта в цилиндре, так и геометрические размеры системы — от-
носительную длину обмотки liID1 и отношение радиусов индуктора
и загрузки RJR^. Учитывая связь г2 и г2 [см. формулу (2.58)1,
получаем G' — Gc, где G — коэффициент активного сопротивления
цилиндра в однородном поле (см. главу 4); с — коэффициент при-
ведения параметров.
175
Аналогично реактивное сопротивление системы можно привести
к виду
2 2лр2/?2е№'?
Хц = *!—+----------------------—- Q , (5.6)
/102
где Q' — (1—Н) mJ у/Ч — коэффициент приведенного реактивного
сопротивления цилиндра.
Активное сопротивление гг многовиткового однослойного ин-
дуктора в первом приближении можно найти по формуле
_ Р1Я1Э1У1<рг 2p!n/?13 wfa,
Г1~ Wig ~ Kkg
где 771Э — эквивалентный периметр витка обмотки; <рг — коэффи-
циент, учитывающий толщину стенки провода (см. § 3.4); g — ко-
эффициент заполнения.
Тогда электрический КПД можно определить по формуле
(5-7)
14=1+(5.8)
V Р2Р2 RzG g
т. е. С учитывает влияние частоты и длины индуктора на КПД.
Значения С приведены на рис. 5.7 для полого цилиндра с от-
ношением радиусов 0 = RwJR^ = 0,85 в зависимости от относи-
тельного радиуса т (или относительной частоты) и длины индук-
тора IJR1Э. Отношение радиусов тонкого индуктора и загрузки
RiJRze = 1.25-
Кривая при IJR13 °° соответствует изменению активного
сопротивления трубы с ростом частоты без учета конечной длины
индуктора. Уменьшение длины индуктора мало сказывается на G',
а следовательно, на КПД устройства вплоть до 5/?1Э. Для
коротких индукторов (IJR13 < 1,2) влияние длины резко усили-
вается. При этом максимум С уменьшается и несколько сдвигается
в сторону более высоких частот. При малых зазорах между индук-
тором и загрузкой уменьшение IJR^ снижает G' меньше, чем при
больших. Рассмотренная зависимость характерна для индукцион-
ного нагрева длинных однородных тел, в том числе ферромагнитных
и многослойных.
Таким образом, увеличение длины индуктора повышает КПД,
однако при этом возрастают тепловые потери от нагреваемого тела
и уменьшается термический КПД, особенно при высокотемператур-
ном нагреве. Это необходимо учитывать при проектировании, на-
пример, нагревателей для труб, когда теплоперепад по толщине
стенки не ограничивает времени нагрева. Длина нагревателя и тол-
щина теплоизоляции здесь должны выбираться по минимуму за-
трат, включая потери в конденсаторах, в результате решения
оптимизационной задачи. Если длина индуктора задана или не мо-
жет быть меньше определенной из условия ограничения на перепад
температуры по сечению, то должна решаться задача с ограниче-
176
Рис. 5.7. Коэффициент активного сопротивления длинной немагнитной трубы
в индукторе конечной длины (7?,/7?2е = 1,25; 6 = /?2В//?2г = 0,85)
нием на длину снизу или вообще однопараметровая оптимизацион-
ная задача. Пример аналитического решения такой задачи дан
в работе [105], где исследовано влияние толщины тепловой изоля-
ции индуктора для нагрева слитков из алюминиевых и медных спла-
вов на энергетические параметры устройства и в конечном счете на
эксплуатационные затраты. Даже такая упрощенная постановка
задачи позволяет сделать ряд полезных выводов. В частности, по-
казано, что при нагреве алюминиевых слитков, когда удельные
тепловые потери невелики, общий КПД нагревателя тем выше,
чем тоньше тепловая изоляция, и ее наличие должно определяться
только требованиями тепловой защиты электрической изоляции
обмотки. Более сложный случай выбора толщины тепловой изо-
ляции при нагреве стальных заготовок рассматривается в § 7.4.
5.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
СЕКЦИОНИРОВАННЫХ ИНДУКТОРОВ
ОДНОФАЗНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ИНДУКТОРЫ
Секционированные индукторы часто встречаются в технике ин-
дукционного нагрева. К ним относятся: 1) индукторы для нагрева
плоских тел в поперечном поле или для одностороннего нагрева
(см. рис. 2.4); 2) охватывающие индукторы с разделением на сек-
ции для размещения в промежутках между ними транспортных
177
средств; 3) индукторы, разделенные на секции для требуемого рас-
пределения мощности по длине загрузки за счет схемы включения
или различия их параметров; 4) индукторы с питанием секций от
различных источников или разных фаз промышленной сети; 5) ин-
дукторы с автотрансформаторным подключением или шунтирова-
нием части обмотки емкостью.
В электромагнитном отношении секционированными будем счи-
тать индукторы только при наличии заметной индуктивной связи
между соседними секциями. В противном случае каждую из сек-
ций индуктора можно рассматривать как независимый самостоя-
тельный индуктор.
Специфическими вопросами для секционированных индукторов
являются распределение мощности по длине загрузки между сек-
циями и перераспределение мощности между ними, особенно силь-
ное при нагреве ферромагнитных тел в трехфазных индукторах.
Рассмотрим систему, состоящую из длинного цилиндра, в об-
щем случае многослойного, и ряда секций индуктора, расположен-
ных с постоянным шагом (см. рис. 2.5).
Число переменных, описывающих систему, велико, поэтому
ограничимся рассмотрением наиболее характерных зависимостей
на ряде примеров.
С помощью аналитического метода (см. стр. 61) рассчитаны па-
раметры секционированных индукторов, в том числе с общим внеш-
ним магнитопроводом при различном зазоре s между краями сек-
ций. Загрузкой являлись сплошные и полые немагнитные, а также
ферромагнитные (ц = const) и двухслойные цилиндры [45, 1061.
Влияние зазора s на активное и реактивное сопротивления
одной секции индуктора показано на рис. 5.8 для следующих дан-
ных: длина обмотки = 10 см; диаметр DA = 2/?j = 10 см; число
витков 50; частота тока 2075 Гц. Загрузка — магнитный цилиндр
с проницаемостью материала ц2 — const = 50, удельным электри-
ческим сопротивлением р2 = 6-10-6 Ом-см и диаметром D.2 =
= 6,25 см. Активное сопротивление обмоткн, выполненной из круг-
лого провода, г1 = 3-10~3 Ом. Приведенные данные проверены
дополнительно численным методом, давшим практически совпа-
дающие результаты, и могут служить в качестве тестовых при от-
ладке программ и методик расчета.
Внешний магнитопровод с переменным радиусом Rf считается
идеальным. Предельный случай s = 0 при согласном включении
обмоток соответствует отрезку бесконечно длинной системы. При
s > 4секции можно считать уединенными индукторами. Взаим-
ное влияние секций без магнитопровода наблюдается при доста-
точно больших расстояниях (s с 2Di = 4^х). Введение магнито-
провода сокращает это расстояние до sw 0,8 = 1,6 R± (при
Rf = 1,05 7?,)-
Кривые позволяют не только оценить влияние зазора и магни-
топровода на сопротивление секций, но и определить сопротивле-
ние взаимной индукции ZM = гм + jxM.
178
Рис. 5.8. Зависимость сопротивле-
ний одной секции индуктора от за-
зора s между краями обмоток при
их согласном (с) и встречном (в)
включении (сплошные линии — хи,
штриховые — ги)
Рис. 5.9. Изменение активной и
реактивной мощностей при раз-
двигании секций индуктора
Обозначим сопротивления уединенных секций и секций при со-
гласном и встречном включении соответственно индексами «у»,
«с» и «в». Тогда, учитывая влияние на данную секцию не только
двух соседних секций, но и секций через одну, получаем
гс = Гу+2гм + 2г'м;
(б.Э)
гв = Гу—2гм + 2г"м,
где г'м и г'м — активные составляющие сопротивления связи ZM
данной секции с соседней и следующей за ней секциями.
Формула реактивного сопротивления аналогична. Сопротивле-
ния связи равны
Гм = 0,5(гс—гв); Хм = 0,5(хс—лв). (5.10)
С изменением зазора s сопротивление ZM меняется не только по
модулю, но и по фазе. Подробный анализ показал, что при некото-
рых видах системы (двухслойная загрузка, внешний магнитопро-
вод) и сочетаниях параметров хм может оказаться отрицательной
величиной.
Зная сопротивления уединенной секции и связи, можно опреде-
лить сопротивление индуктора из двух секций при их произвольном
включении, рассматривая систему как четырехполюсник (глава 2).
Интересно проследить, как меняются активная и реактивная
мощности индуктора при раздвигании секций. На рис. 5.9 приве-
дены мощности, отнесенные к их значениям при s = 0 для рассмот-
179
ренных выше размеров секций. Магнитопровод отсутствует. За-
грузкой является магнитный (кривые /), немагнитный (2) и двух-
слойный (<?) цилиндр.
Раздвигание секций приводит к сильному монотонному росту
реактивной мощности (в 1,4—1,7 раза) при довольно небольшом
изменении Р, что существенно для проектирования нагревателей.
Например, при нагреве магнитной загрузки целесообразно брать
s < 1,5 R j, т. е. не заходить за точку максимума Р. Сравнительно
небольшое изменение Р при переходе ots = 0ks->oo (менее 18 %)
подтверждает вывод о слабом влиянии сопротивления обратного
замыкания хе на активную мощность индуктора, вытекающий из
анализа схемы замещения по общему потоку.
Распределение поля и мощности по длине загрузки можно найти
с помощью торцевых функций. Не приводя количественных данных,
отметим лишь, что удельная мощность между секциями мала уже
при расстоянии s, равном одному-двум эквивалентным зазорам hs
(см. стр. 80).
ПАРАМЕТРЫ ТРЕХФАЗНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ИНДУКТОРОВ
При проектировании мощных индукционных нагревателей про-
мышленной частоты их целесообразно выполнять трехфазными для
разнесения потребляемой мощности по фазам. В нагревателях не-
прерывного действия распределение мощности по длине загрузки,
в том числе провалы мощности в зазоре между секциями, не влияют
на качество нагрева и секции можно разнести достаточно далеко,
чтобы исключить их взаимное влияние. В нагревателях полуне-
прерывного и периодического действия, а также при индукционном
обогреве технологического оборудования необходимо решать две
задачи: равномерности выделения мощности по длине загрузки
и равномерности ее распределения по фазам.
Неравномерность распределения мощности, потребляемой от
сети секциями индуктора, подключенными к различным фазам,
связана не только с различием их сопротивлений из-за разных тем-
ператур и свойств соответствующих частей загрузки, но и главным
образом из-за взаимного влияния секций. Как показано для одно-
фазных индукторов, соседние секции могут заметно влиять на со-
противление данной секции, однако при одинаковых или встречных
токах потребляемая ими активная мощность Р мало зависит от со-
противления связи ZM.
Если фазы токов в двух соседних секциях различны, то наблю-
дается их специфическое взаимное влияние, называемое переносом
мощности. При этом активная и реактивная мощности секций, как
будет показано далее, различны даже при одинаковых их собствен-
ных сопротивлениях, причем в секции с отстающим по фазе током
потребляемая от сети активная мощность меньше, а реактивная —
больше, чем в соседней. Различие в реактивной мощности может
быть скомпенсировано конденсаторами. Различие же в активной
180
мощности приводит к неравномерности загрузки фаз сети, перекосу
напряжений и дополнительным потерям в питающем трансформа-
торе.
В то же время мощности в участках загрузки в каждой из сек-
ций при изменении фазового сдвига токов практически не меняются,
так как зависят от модуля токов соответствующих секций. С ростом
осевого зазора между секциями перенос мощности уменьшается,
однако неравномерность распределения ее по длине загрузки уве-
личивается из-за провалов мощности в зонах зазоров.
Основной задачей является обычно обеспечение качества на-
грева, что заставляет располагать секции с минимальным осевым
зазором.
Провал мощности зависит от фазового сдвига токов в соседних
секциях, зазора s, длины обмоток, вида загрузки и магнитопровода.
Пусть длина секции больше двух длин зон краевых эффектов.
Тогда при зазоре s = 0 ранее сформулированное правило (§ 5.1)
позволяет очень просто находить плотность тока JT и удельную
мощность в загрузке в зоне стыка индуктора с произвольными на-
стилами тока и даже радиусами:
jT-0,5(jcl+/e2), (5.11)
где JC1, JC2 — плотности тока в средней части индукторов 1 и 2.
В частности, для многофазных индукторов с секциями, токи
в которых равны и сдвинуты на угол а, получаем jT = Jceos (а/2).
Удельная мощность у стыка в cos2 (а/2) раз отличается от мощ-
ности в регулярных зонах. Так, при фазовом сдвиге 120° (прямое
следование фаз) удельная мощность в зоне стыка составляет всего
25 % своего регулярного значения, а при а = 60° («перевернутая»
фаза) — 75 %. Провал мощности резко увеличивается, если между
обмотками имеется зазор.
Нужно учитывать, что минимум настила мощности несколько
сдвинут от середины зазора s в сторону секции с опережающим
током из-за того, что торцевые функции g/. имеют комплексный ха-
рактер и фаза плотности тока Jе меняется с расстоянием от торца.
Если получаемое распределение мощности не обеспечивает тре-
буемого качества нагрева, то используются два способа. При пер-
вом вводятся средства пространственного управления нагревом
(например, путем сгущения витков или введения второго слоя в
зону стыка). Способ обеспечивает равномерность нагрева в большом,
но при этом увеличивается сопротивление связи между секциями.
Второй способ заключается в установке магнитопроводов с воз-
можно более узкими полюсами между секциями. Мощность под по-
люсами уменьшается еще сильнее (практически до нуля при а =
= 120°), однако провал очень узок и недогретая зона прогревается
за счет теплопроводности. При этом связь между секциями мала.
Хорошие результаты дает комбинация способов.
181
Рассмотрим перенос мощности из одной фазы в другую. Пусть
токи 1А и Iв двух одинаковых секций равны по модулю и сдвинуты
по фазе на угол а:
/д = /; /в=/ле~/а= / (coscx—/since). (5.12)
Обозначив сопротивления уединенных секций Zy, получим
с учетом сопротивления связи ZM
ZB, A = Zy+ZM (cosa ± /sina) = Zy +
4- rM cos a xM sin a -|- j (xM cos a ± rM sin a). (5.13)
Верхние знаки относятся к секции В, нижние — к А.
Если угол а отличается от лп (п — целое число), то сопротив-
ления секций различны. Активное сопротивление у секции А с опе-
режающим током будет больше, чем у секции В, на 2xwsina, а
реактивное сопротивление — меньше на 2rM sin а.
Суммарное сопротивление секций
ZA4-ZB = 2Zy-|-2ZMcosa. (5.14)
Так как модули токов приняты одинаковыми, то активные и ре-
активные мощности, подводимые к секциям от источника, будут
пропорциональны соответствующим сопротивлениям. Различие в ре-
активных мощностях можно скомпенсировать конденсаторами, но
активные токи будут различны, что приведет к неравномерной за-
грузке фаз. Возможны случаи, например при а — 90°, когда
гу + rM cos а « xMsin а. Тогда при полной компенсации реактив-
ных мощностей секция В может потреблять небольшую активную
мощность из сети, не потреблять мощности (секцию с компенсирую-
щей емкостью можно от сети отключить) или даже возвращать мощ-
ность в сеть. Однако нагрев загрузки в секции В будет примерно
таким же, как в секции А.
Полученные формулы и выводы легко распространить на случай
трех секций, подключенных к фазам А, В и С источника тока. Бу-
дем считать, что секция С не оказывает электромагнитного влияния
на секцию А, что обычно соблюдается при расположении секций
в одну линию друг за другом. Тогда на секции А и С будет влиять
только секция В, а на секцию В — обе соседние. Попарное влия-
ние секций легко определить по формуле (5.13). При прямом следо-
вании фаз секция А с фазой тока аА — 0 будет потреблять из сети
максимальную мощность, а секция С с ас = — 240° — минималь-
ную. Перемена начала и конца обмотки средней фазы (переворот
фазы В) приведет к изменению угла ав с — 120° на + 60°. Ток сек-
ции С будет опережающим по отношению к току секции В на 60°,
так же как В по отношению к А. Максимальная мощность будет
потребляться от сети секцией С, минимальная — секцией А. Со-
противления всех секций увеличатся по сравнению с нормальным
182
включением фаз, однако активная мощность, переносимая из од-
ной секции в другую, останется прежней:
\Рц = Рхм sin а = Рхм V3/2. (5.15)
На практике обычно заданную трехфазную систему составляют
не токи секций, а напряжения. Токи секций при этом не равны
по модулю, вследствие чего нагрев элементов загрузки в разных
секциях будет различен. Анализ этого случая более сложен, а при
нелинейной загрузке возможен только при использовании числен-
ных методов.
В качестве примера на рис. 5.10 приведено распределение мощ-
ности по длине ферромагнитного цилиндра диаметром 12 см, поме-
щенного в трехфазный индуктор. Длина секций 50 см, зазор между
ними 2 см, обмотка состоит из 60 витков, уложенных в два слоя со
средними диаметрами 18 и 21 см. Напряжение питания 220 В, ча-
стота 50 Гц. Расчет выполнен методом интегральных уравнений
с постановкой импедансных граничных условий при фазовых сдви-
гах напряжений секций а = 0; 60 и 120°.
Электрические параметры индуктора приведены в табл. 5.1.
При параллельном подключении секций к одной фазе КПД и ко-
эффициент мощности максимальны, а мощность распределена по
длине загрузки почти без провалов (рис. 5.10, кривая а). Ток сред-
ней секции минимален, что приводит к некоторому снижению удель-
ной мощности в загрузке этой секции.
Прямое следование фаз со сдвигом а = 120° (рис. 5.10, кривая б)
дает резкое снижение мощности в зоне стыка секций. Мощность,
потребляемая от сети, максимальна у секции 1, является опережаю-
щей и отличается от мощности секции 3 в 1,53 раза. Несмотря на
это, удельные мощности, передаваемые в загрузку, под секциями 1
и 3 почти одинаковы. Максимальная удельная мощность будет под
средней секцией 2. Снижается КПД и особенно коэффициент мощ-
ности .
Рис. 5,10. Распределение мощности по длине ферромагнитного цилиндра,
помещенного в трехфазный индуктор
183
Таблица 5.1. Электрические параметры трехфазного индуктора
при различных схемах включения секций
Номер сек- ции Фаза напря- жения, ... 0 Ток секции, А Мощность потерь, кВт Мощность от сети Полезная мощность, кВт КПД COS ф
актив- ная, кВт реак- тивная, квар
1 0 1590 19,3 208 284
2 0 1440 15,9 200 248 561 0,91 0,61
3 0 1590 19,3 208 284
1 0 1960 29,3 266 345
2 —120 2055 32,1 226 394 579 0,87 0,52
3 —240 1790 24,3 174 355
1 0 1610 19,8 177 310
2 60 1595 19,4 205 288 569 0,90 0,58
3 120 1755 23,5 250 298
Подключение секций с переворотом напряжения секции 2
(а = 60°) приводит к результатам, близким к приведенным
в табл. 5.1 для синфазного включения как по энергетическим пока-
зателям, так и по распределению мощности (кривая в на рис. 5.10).
Однако неравномерность загрузки фаз сохраняется значительной.
Следует отметить, что, несмотря на различие мощностей, по-
требляемых секциями от сети при разных схемах подключения, и на
сложный характер распределения рп, полные активные мощности,
выделяющиеся в загрузке в целом и под отдельными секциями, со-
храняются почти постоянными (рис. 5.10).
5.4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ИНДУКТОРОВ
С ЗАГРУЗКОЙ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Термин «загрузка конечной длины» означает, что краевой эффект
загрузки влияет на распределение электромагнитного поля в си-
стеме и на интегральные параметры индуктора. Рассмотрим сов-
местное действие краевых эффектов цилиндрической загрузки и ин-
дуктора на распределение мощности в нагреваемом теле. Пусть
конец полубесконечного цилиндра нагревается в длинном индук-
торе (см. рис. 1.10, а). Если торец загрузки находится внутри ин-
дуктора, заглубление о считается положительным. Распределение
электромагнитного поля при немагнитной однородной загрузке
будет определяться тремя нормированными параметрами: относи-
тельным радиусом цилиндра те, относительным заглублением c/R1
и отношением радиусов RXIR2, что позволяет выполнить достаточно
полный анализ системы [107].
184
На рис. 5.11 показано распределение мощности по длине ци-
линдра для различных заглублений о. Поскольку поверхностный
эффект выражен сильно (те = 10), то краевой эффект цилиндра
почти компенсирует краевой эффект индуктора уже при о » 0 и
распределение Р' близко к равномерному. С увеличением о крае-
вой эффект загрузки становится преобладающим и прио>2/?2
соответствует однородному исходному полю.
Зависимости интегрального энергетического коэффициента kt
от o/Pi и те приведены на рис. 5.12. Эти кривые, как и предыду-
щие, соответствуют отношению R r/R 2 = 1,5. Как показали расчеты,
соотношение радиусов слабо влияет на приведенные закономер-
ности и их можно использовать для выбора оптимального заглуб-
ления, при котором достигается равномерность нагрева в большом
(см. § 4.7). Однако из-за различного пространственного распределе-
ния дополнительной мощности краевого эффекта и компенсируемой
мощности тепловых потерь с торца полная равномерность темпера-
туры не может быть получена. Оценка предельной достижимой
точности нагрева при различных условиях теплоотдачи приводится
в § 7.2 по результатам численного решения на ЭВМ оптимизацион-
ной электротепловой задачи.
Если нагреваемое тело ферромагнитное, то краевые эффекты
загрузки и индуктора могут усиливать друг друга. В этом случае
равномерный по длине нагрев за счет увеличения заглубления обес-
печить нельзя и необходимы иные способы перераспределения мощ-
ности. Так, при нагреве толстостенной трубы (Р2 =11,5 см; d2 =
= 6 см) под отпуск на частоте 50 Гц сильный недогрев конца на-
блюдается при любых заглублениях (рис. 5.13, а). Только добавоч-
ная обмотка, размещенная поверх основной, в сочетании с соот-
Рис. 5.12. Зависимость коэффициента
ki от заглубления о и относительного
радиуса цилиндра те
Рис. 5.11. Распределение мо-
щности по длине цилиндриче-
ской загрузки при различных
заглублениях
185
Рис. 5.13. Распределение мощности по длине ферромагнитной трубы при
различных ее заглублениях в однослойный (а) и двухслойный (б) индуктор
ветствующим заглублением (рис. 5.13, б) позволяет получить при-
емлемое распределение мощности.
В реальных устройствах сильное искажение электромагнитного
ноля возникает не только у торцов индуктора и нагреваемого тела,
но и в месте резкого изменения свойств, например в зоне стыка маг-
нитной и немагнитной заготовок. Пусть для простоты в нагрева-
теле полунепрерывного действия находятся две заготовки, одна
из которых ферромагнитна, а другая потеряла магнитные свойства
на глубине, большей 2 6. Примерная картина силовых линий маг-
нитного поля показана на рис. 5.14. Если заготовки достаточно
длинные, то напряженности Не у поверхности заготовок примерно
одинаковы и равны настилу тока индуктора. При этом магнитные
потоки в заготовках могут сильно отличаться, поэтому часть маг-
нитного потока ферромагнитного цилиндра выходит наружу в зоне
стыка и замыкается, охватывая только часть витков индуктора.
Распределения аксиальной напряженности магнитного поля и
удельной поверхностной мощности по длине комбинированной за-
грузки показаны на рис. 5.15. Данные получены численным методом
интегральных уравнений и подтверждены результатами экспери-
ментов с раздельным калориметрированием элементов заготовок
[108]. Заготовки помещались в среднюю часть длинного индуктора,
Рис. 5.14. Картина магнитного поля индуктора с комбинированной загрузкой
186
Рис. 5.15. Распределение удельной мощности и тангенциальной составляющей
магнитного поля по длине магнитного и немагнитного цилиндров
чтобы не сказывался его краевой эффект. В крайних частях за-
грузки наблюдаются обычные краевые эффекты немагнитного и маг-
нитного цилиндров. Напряженности поля в средних частях заго-
товок равны друг другу, что свидетельствует о наличии регулярных
зон. В области стыка напряженность поля Не и мощность рОе у по-
верхности немагнитного цилиндра сильно возрастают, а у магнит-
ного — падают.
Помимо теоретического интереса описываемые распределения
представляют существенный практический интерес. Их надо учи-
тывать при создании нагревателей с малым числом (п = 2 -т-3)
дискретно перемещаемых заготовок и высокими требованиями к рав-
номерности нагрева. Кроме того, на основе рассмотренных явлений
легко объяснить действие таких средств управления электромаг-
нитным полем, как торцевые проводящие и магнитные экраны.
Очень важен вопрос о равномерности нагрева концов заготовок
в проходных непрерывных нагревателях. Нагрев концевых участ-
ков определяется не только меняющимся по мере перемещения за-
готовки наложением друг на друга краевых эффектов индуктора
и цилиндра, но и характером изменения тока индуктора. Примем
для простоты, что ток постоянен. Тогда распределение поверхност-
ной плотности тока по длине
заготовки для разных моментов
ее движения будет соответство-
вать рис. 5.16. Очевидно, что
в этом случае, соответствую-
щем сильному поверхностному
эффекту в цилиндре, конец
Рис. 5.16. Распределение поверхно-
стной плотности тока по длине ци-
линдра по мере его перемещения в
индукторе (а} «т? < . . . < <т?)
187
его будет перегрет или даже оплавлен. Попытки изменять
напряжение на индукторе или выбирать момент его включе-
ния приводят обычно к тому, что при нормальных температурах
концевой зоны и регулярной части заготовки между ними появ-
ляется зона недогрева. Наиболее эффективным средством обеспе-
чения качественного нагрева является выбор оптимальной частоты
тока. Вопрос исследован еще недостаточно, что не позволяет дать
количественные рекомендации.
5.5. СРЕДСТВА ПРОСТРАНСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ НАГРЕВОМ
ВИДЫ СРЕДСТВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ
Из приведенных выше материалов следует, что обеспечение тре-
буемого качества нагрева, чаще всего равномерного, представляет
собой достаточно сложную задачу даже для тел простой формы, на-
пример цилиндра. Поэтому обычно на основе имеющихся прото-
типов, теоретических соображений и расчетов, а иногда и просто
методом проб и ошибок приходится подбирать конструкцию нагре-
вателя и режим его работы, обеспечивающие требуемые показатели
процесса.
Выбор параметров нагревателя и алгоритма изменения подво-
димой к нему мощности или напряжения можно рассматривать как
управление процессом нагрева. Теория оптимального управления
системами с распределенными параметрами [109, ПО] определяет
обычно только изменение во времени управляющих сигналов (мощ-
ностей или напряжений) с целью достижения наилучшего в неко-
тором смысле (например, по быстродействию) процесса. В простран-
ственно двухмерных и трехмерных задачах управление во времени
должно выполняться для системы, в которой источники и стоки
теплоты распределены по некоторому оптимальному закону, что
достигается пространственным управлением тепловым и электро-
магнитным полем.
Если средства обеспечения требуемого распределения полей
целенаправленно изменяются в процессе нагрева, то можно гово-
рить о пространственно-временном управлении. Такое управление
особенно важно при частом изменении характеристик нагреваемых
тел (например, длины, электрофизических свойств) или режимов
нагрева (необходимость в термостатировании при остановке линии
и т. д.).
Средства пространственного управления нагревом могут дейст-
вовать на тепловое или на электромагнитное поле. К средствам
воздействия на тепловое поле можно отнести передачу теплоты в
часть нагреваемого тела от внешнего источника и изменение коэффи-
циента теплоотдачи за счет обдува поверхности, установки тепло-
вых экранов или тепловой изоляции. Воздействие на тепловое поле
эффективно при малых интенсивностях нагрева, например при
термостатировании изделий или обогреве больших поверхностей.
188
Средства, воздействующие на электромагнитное поле, можно
разделить на схемные и конструктивные.
К схемным будем относить: секционирование обмоток и выбор
определенной схемы их включения; автотрансформаторное включе-
ние обмоток; шунтирование части витков емкостями или индуктив-
ностями; введение автономно-управляемых секций (обмоток) с пи-
танием от источника той же или иной частоты.
К конструктивным средствам относятся: изменение заглубле-
ния, шага намотки витков, зазора обмотка—загрузка, длины об-
мотки или ширины индуктирующего провода; введение магнито-
проводов, в том числе локальных магнитных экранов; введение
электромагнитных (токопроводящих) экранов; использование над-
ставок и ложных слитков.
Отдельно следует отметить роль частоты как средства управле-
ния качеством нагрева. Она особенно сказывается при нагреве тел
с прямоугольной или более сложной формой сечения. Возможны вы-
бор одной оптимальной частоты, изменение частоты в процессе на-
грева, использование двух или нескольких частот.
Рассмотрим подробнее одно из средств пространственного уп-
равления.
АВТОТРАНСФОРМАТОРНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ
ОБМОТОК
Автотрансформаторное включение обмоток (см. рис. 1.8, а)
является эффективным средством, обеспечивающим перераспреде-
ление мощности по длине нагревателя. Одновременно изменяется
и входное сопротивление индуктора, а следовательно, потребляе-
мая им мощность.
Как уже говорилось, возможны две схемы автотрансформатор-
ного включения: односторонняя и двухсторонняя (рис. 1.8). Рас-
смотрим более простую, одностороннюю, схему для индуктора с не-
магнитной загрузкой. Расчет распределения поля и сосредоточен-
ных параметров такого индуктора легко выполнить методом ин-
тегральных уравнений (см. § 2.4).
Можно показать, что в большинстве реальных случаев при авто-
трансформаторной схеме существуют два значения емкости, при
которых входной коэффициент мощности равен единице, т. е. на-
блюдаются два резонанса. Первый из них, соответствующий мень-
шему сопротивлению емкости хп, будем называть последователь-
ным, так как он соответствует малому входному сопротивлению,
а второй — параллельным.
Обычно на практике, например при подключении нагревателя
кузнечных заготовок к схеме централизованного питания или к ти-
ристорному преобразователю с низковольтным выходом, исполь-
зуется настройка на параллельный резонанс. При параллельном
резонансе токи в генераторной (/х) и емкостной (/2) ветвях близки
по модулю и имеют одинаковое пространственное направление.
189
Распределение поля в системе примерно такое же, как у односек-
ционного индуктора с напряжением
(7„=t71(U71+r2)/^1> (5.16)
где Ult — генераторное напряжение и число витков генератор-
ной секции.
Изменяя точку подключения генератора к индуктору, легко
менять потребляемую мощность при постоянном напряжении пи-
тания. Емкость при этом оставляется постоянной. Минимальная
мощность Pmin будет при подключении источника ко всем виткам
индуктора. В общем случае примерно соблюдается равенство
Pw/Pmin «(Wi + W2f/Wl (5.17)
Большой интерес представляют изменения хд при постоянных
и W2. Для лабораторного макета, состоящего из многовитковой
обмотки (£>х = 8,8 см; = 1Г2 = ПО, f = 1000 Гц) и загрузки
из нержавеющей стали (Z)2 = 6,8 см; /2 = = 28 см), рассмот-
рим распределение поверхностной плотности тока (рис. 5.17) по
длине нагреваемого цилиндра при различных хл. Сопротивление
хд = 3,8 Ом соответствует параллельному резонансу в индукторе.
Увеличение хд до 5,5 Ом (кривые 4, 5) приводит к уменьшению
тока в емкостной ветви и падению мощности в левой части загрузки.
Предельным случаем является хд —оо, когда нагрев цилиндра
осуществляется одной генераторной частью индуктора (кривая 6).
Снижение хд до значений, меньших 3,8 Ом, приводит сначала
к росту тока в емкостной части обмотки (кривая 1) вплоть до /2 =
— 2,6 при хд = 1,8 Ом, а затем к его быстрому падению. Ток 1 х
становится индуктивным, т. е. создает магнитное поле, встречное
по отношению к полю генераторной части обмотки. Предельный
случай хд = 0 соответствует короткому замыканию выводов ин-
дуктора и встречно-параллельному включению секций (кривая 6).
Интересно отметить, что при постоянстве напряжения источ-
ника и изменении С все кривые Je проходят через одну и ту же
точку S, находящуюся под генераторной частью обмотки. Су-
ществование такой точки можно подтвердить теоретическим ана-
лизом.
Соотношение модулей токов в ветвях индуктора и полное со-
противление индуктора ги, приведенное к генераторным зажимам,
показано на рис. 5.18. Там же приведена кривая эквивалентного
сопротивления системы R3 при компенсации реактивной мощности
индуктора дополнительной емкостью Сг на генераторной стороне.
Емкость Сг позволяет отделить требование настройки потребителя
энергии в резонанс от требования нужного распределения мощно-
сти в загрузке. Точками К2 и на рисунке отмечены параллельный
и последовательный резонансы.
190
Рис. 5.17. Расчетные и эксперимен-
тальные (штриховые линии) распре-
деления поверхностной плотности то-
ка по длине загрузки при автотранс-
форматорном включении обмотки
индуктора для различных сопроти-
влений хд конденсаторной батареи
Кривые 1—5 соответствуют хд = 3.0; 0,0:
3,8; 4,5 и 5,5 Ом; кривая 6 — хр^°°
Рис. 5.18. Зависимости отношения
модулей токов, полного сопротив-
ления индуктора £и и эквивалент-
ного сопротивления контура
от Хд
Энергетические параметры (т] и cos <р) приведены на рис. 5.19.
Здесь же показана зависимость коэффициента кратности напряже-
ния на емкости хд
Ли = Пс/П1, (5.18)
где иг — напряжение генератора.
Выбирая различные диапазоны изменения хд, можно получать
разные распределения мощности по длине загрузки, от близкого
к равномерному, до резко неравномерного, характерного для уско-
ренного нагрева, или регулировать общую мощность (что важно,
например, для нагревателя непрерывного действия) при высоком
электрическом КПД.
Например, для взятого случая изменение хд от 3 до 4,5 Ом по-
зволяет при постоянном напряжении источника уменьшить мощ-
ность нагревателя в два раза при почти неизменном КПД и изме-
нении напряжения на конденсаторах в 1,35 раза. Существенно,
что большей мощности нагревателя в этом диапазоне лд соответст-
вует большее kv.
С помощью автотрансформаторного включения можно также
компенсировать краевые эффекты индуктора и провалы мощности
в зоне стыка фаз [111 ]. Однако при неправильном выборе емкости
191
Рис. 5.19. Зависимости энергетических
параметров индуктора и кратности
напряжения на конденсаторах от их
сопротивления при автотрансформатор-
ном включении обмотки
в автотрансформаторной схеме мо-
гут возникнуть аварийные режи-
мы, связанные с большими на-
пряжениями на конденсаторах и
токами в емкостной ветви. Из
приведенного анализа следует,
что автотрансформаторное вклю-
чение представляет собой перспек-
тивное средство регулирования мощности и ее пространственного
перер аспределени я.
Результаты, близкие к приведенным, дает шунтирование части
обмотки, например ее половины, емкостью, При изменении емкости
возможно как регулирование полной мощности, так и перераспре-
деление ее по длине загрузки. Более общим случаем является
«двухконтурная» схема, в которой параллельно каждой из половин
обмотки подключена своя емкость. Переключая конденсаторы из
одного контура в другой, возможно перераспределять мощность
по длине при постоянстве или малом изменении cos <р.
5.6. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ В СИСТЕМЕ
ИНДУКТОР—ЗАГРУЗКА
Как отмечалось в главе 1, в некоторых случаях электродинами-
ческие силы могут существенно влиять на работу индукционных
устройств. Они приводят к выталкиванию немагнитных тел из
зоны сильного поля индуктора, к втягиванию в нее магнитных тел,
к вибрации витков. Наблюдается сильное воздействие на жидкий
металл, если технологический процесс производится с расплавле-
нием всей загрузки или ее части (пайка, высокочастотная сварка,
наплавка).
Рассмотрим постоянную составляющую силы, действующей на
цилиндрический немагнитный слиток при его перемещении в ин-
дукторе. Пусть слиток длиной 41 см и диаметром 22 см из мате-
риала с высокой проводимостью (медь) помещен в индуктор длиной
129 см и диаметром 31 см. Число витков индуктора 91, частота
50 Гц. Обозначим Az расстояние между центрами индуктора и
слитка. Зависимость силы, действующей на слиток, от Az легко
определить по формуле (1.67), вычисляя реактивную мощность ин-
дуктора Q для разных положений слитка методом интегральных
уравнений (см. § 2.4).
На рис. 5.20 показаны указанные зависимости для трех случаев:
ток индуктора постоянен и равен 1500 А, индуктор без магнито-
192
Рис. 5.20. Зависимость силы,
действующей на немагнитный
слиток, от его положения в ин-
дукторе
провода (кривая /); то же, но
индуктор с внешним магнито-
проводом (кривая 2); индук-
тор без магнитопровода, на-
пряжение на нем постоянно
и равно 233 В, что соответст-
вует току 1500 А при Az = 0
(центральное положение слит-
ка, кривая 3).
Характер зависимостей легко
объяснить с помощью картины
магнитного поля (см. рис. 1.10) и представления о давлении поля
на поверхность немагнитного проводника, см. формулу (1.64).
Так как аксиальная составляющая силы определяется радиальной
напряженностью магнитного поля, то при сильном поверхностном
эффекте можно считать, что суммарная сила F создается как раз-
ность сил давления поля на торцы цилиндра. При малых Az давле-
ния почти одинаковы, особенно при наличии магнитопровода,
когда поле внутри индуктора более равномерно.
Резкий рост силы F соответствует выходу одного торца загрузки
за пределы индуктора. Уменьшение F наблюдается при выходе
второго торца загрузки из индуктора.
Если при перемещении загрузки поддерживать постоянным не
ток, а напряжение па. индукторе, то сила уменьшается из-за сни-
жения тока. Эксперименты, выполненные на специальном стенде,
полностью подтвердили результаты расчетов [29].
Для ферромагнитных заготовок наряду с силами выталкивания
существуют силы втягивания, обусловленные взаимодействием маг-
нитных масс (или токов намагниченности) с магнитным полем ин-
дуктора. Обычно преобладают силы втягивания, особенно при ча-
стоте 50 Гц.
Кроме аксиальных сил существуют радиальные силы отталки-
вания и притяжения. При коаксиальном расположении цилиндри-
ческой загрузки, а также при очень большой длине системы, когда
поле в индукторе однородно, суммарная сила равна нулю. При
конечной длине системы сила, действующая на эксцентрично рас-
положенное немагнитное тело, стремится вернуть его в централь-
ное положение. Для магнитных тел обычно преобладают силы при-
тяжения, прижимающие загрузку к виткам обмотки. Расчет силы
притяжения сложен из-за трехмерности вызывающего ее поля.
Электродинамические усилия действуют не только на нагревае-
мые тела, но и на магнитопроводы, витки обмоток, элементы кон-
струкции. Если на поверхности стального тела имеется окалина,
то ее частицы, обладающие ферромагнитными свойствами, могут
7 Заказ № 776
193
притягиваться к виткам и способствовать пробоям вследствие по-
вреждения изоляции. Для обмоткиурадиальную (а в случае пло-
ского индуктора — нормальную к поверхности обмотки) силу
можно выразить через разность давлений Fo, действующих на нее
со стороны поля в зазоре и с внешней стороны. Если индуктор до-
статочно длинный, то напряженность внешнего поля мала и можно
считать давление на обмотку
Е0 = р0Д2/2. (5.19)
Считая поле в зазоре однородным, давление Fo легко связать
с удельной мощностью р0, передаваемой в загрузку, и с коэффици-
ентом ее активного сопротивления G:
= (5.20)
Если поверхностный эффект в загрузке сильно выражен, то для
однородной среды G = 1 и от частоты не зависит. Тогда давление
Fo при заданной мощности рп меняется с частотой по закону
Р __ Ц(ФРо Ро
2р ~ VF
(5-21)
Значения коэффициента kF, равного отношению Ео к р0, при-
ведены в табл. 5.2. Из нее следует, что давления достигают боль-
Таблица 5.2. Значение коэффициента kF для плоского
бесконечного тела, Н/кВт
Материал Температура, °C Удельное сопротивле- ние, Ом-см kp при частотах, Гц
50 1000 2500 10 000
Медь 20 2-10-6 314 71 44 22
Алюминий 20 3-10-° 256 58 36 18
Алюминий 400 8-10-6 157 35 22 11
Сталь 800 ю-4 44 10 6 3
ших значений, особенно при нагреве алюминия и меди на частоте
50 Гц. Для рассматриваемых условий амплитуду переменной силы
можно считать равной ее постоянной составляющей. Под действием
этих сил обмотка индуктора и присоединенные к ней массы вибри-
руют относительно положения статической деформации. Ампли-
туды колебаний могут быть найдены путем решения механической
задачи. В цилиндрических индукторах, обладающих большой же-
сткостью, вибрации невелики и создаваемый ими шум обычно укла-
дывается в санитарные нормы. Для индукторов поперечного поля
или овальных индукторов вибрация и шум могут выходить за до-
пустимые пределы и должны учитываться при разработке обору-
194
дования. Пример расчета вибраций и шума, создаваемого индукто-
ром для нагрева алюминиевых слябов на частоте 50 Гц, приведен
в работе [26].
Если витки обмотки не соединены жесткими механическими свя-
зями в единое тело, то необходимо учитывать силы, действующие
на отдельные витки. Для индукторов промышленной частоты, когда
поверхностный эффект в витках выражен несильно, расчет сил
удобно выполнять численно-аналитическим методом. Сначала ме-
тодом интегральных уравнений рассчитываются все токи системы,
включая токи намагниченности ферромагнитных тел. Затем опре-
деляются средние напряженности Нг и Н R в местах расположения
витков, для которых находятся силы. Наконец определяются силы
по формулам (1.69).
Характер распределения сил, действующих на витки пустого
однослойного соленоида, легко представить по соответствующей
картине магнитного поля (см. рис. 5.1). Радиальная сила FR, опре-
деляемая разностью давлений, создаваемых аксиальными напря-
женностями поля Нг1 и Нгп, уменьшается в зоне краевого эффекта
индуктора. Аксиальная сила Fz, наоборот, достигает у края мак-
симума, сжимая витки индуктора.
Распределение сил резко усложняется при внесении в индуктор
загрузки, особенно комбинированной магнитно-немагнитной. В зоне
стыка заготовок часть магнитного потока выходит из индуктора,
пересекая витки (см. рис. 5.14). Аксиальная составляющая Нг
в зазоре также сильно меняется по длине.
В качестве предельного случая распределения средних во вре-
мени сил, действующих на витки, рассмотрим индуктор из 30 вит-
ков с длиной 51 см и внутренним диаметром 23 см. Внутрь индук-
тора помещены два симметрично расположенных цилиндра диамет-
Рис. 5.21. Распределение аксиальной Fz и полной Fj сил, действующих
на единицу длины витков индуктора при комбинированной немагнитно-
магнитной загрузке
7*
195
ром 17,5 см и длиной 20 см. Один цилиндр алюминиевый, другой —
стальной. Расположение цилиндров соответствует рис. 5.14. Ча-
стота 50 Гц.
Эпюры аксиальной F? и полной сил представлены на
рис. 5.21. В качестве положительного направления Fz принято
направление от левого торца индуктора к правому. Кроме обычных
распределений силы Fz в концевых зонах индуктора, сжимающей
витки, имеется всплеск силы в зоне стыка заготовок (витки 10—20).
Площадь эпюра Fz не равна нулю, вследствие чего существует сум-
марная аксиальная сила, стремящаяся сдвинуть обмотку вправо.
Эта сила равна сумме аксиальных сил, действующих на заготовки.
На характер распределения полной силы влияют также радиаль-
ные силы Fr Эти силы максимальны в зоне немагнитной заготовки,
где напряженность Нг примерно в два раза выше, чем в зоне маг-
нитной заготовки.
Для переменных составляющих сил необходим также учет их
фазы, так как напряженность магнитного поля меняется вдоль оси г
не только по амплитуде, но и по фазе. Особенно сильно это прояв-
ляется в зоне стыка секций трехфазного индуктора. Введение внеш-
него магнитопровода увеличивает напряженность FfR в зоне края
обмотки, что ведет к росту силы Fz, сжимающей витки.
5.7. ПОТЕРИ В ОБМОТКАХ ИНДУКТОРОВ
Исследование потерь в обмотках индукторов имеет чрезвычайно
важное значение в теории индукционного нагрева, так как они яв-
ляются основным фактором, определяющим КПД процесса. При на-
греве стали выше точки Кюри потери в обмотках составляют
15—20 % общей мощности, а при нагреве слитков из алюминиевых
и медных сплавов достигают 50—60 % подводимой мощности.
Рассмотрим кратко основные зависимости потерь в обмотках
от конструкции токопроводов, геометрии системы, частоты тока
и свойств нагреваемых тел.
На радиочастотах обмотки индукторов обычно состоят из не-
большого числа (1—5) витков медной трубки, охлаждаемой водой.
Поверхностный эффект в витках сильно выражен, и активное со-
противление t\ зависит от распределения тока по периметру токо-
провода, которое, в свою очередь, зависит от распределения поля
во всей системе [1121.
Для простых одно-двухвитковых конструкций сопротивление
токопровода можно найти по формуле (2.68) с помощью поправоч-
ного коэффициента krl. В более сложных случаях сопротивление
с высокой точностью можно определить расчетом на ЭВМ [64, 113 J.
На средних частотах используются индукторы как с малым
числом витков (1—5), что характерно для нагрева под закалку,
пайку и другие технологии, так и многовитковые конструкции,
подключаемые без трансформатора к источнику питания. Однако
почти всегда обмотки делаются однослойными [114] из-за сильного
196
увеличения потерь во внутренних слоях, так как радиальный раз-
мер токопровода всегда значительно больше глубины проникнове-
ния тока 6г в медь из-за водяного охлаждения. Но толщина
стенки трубки соизмерима с 6lt и ее нужно учитывать при расчете.
Оптимальной является толщина (см)
dt=^12^111^. (5.22
При распределение тока по периметру примерно такое
же, как при сильном поверхностном эффекте (<Уг 6J, и при рас-
чете потерь можно использовать формулы и результаты для высо-
кой частоты, вводя множитель <p' (см. рис. 3.6), учитываю-
щий конечную толщину стенки трубки.
У миоговитковых индукторов обычно можно выделить регуляр-
ную зону, в которой нормальная к поверхности обмотки составляю-
щая напряженности магнитного поля мала, и краевые зоны, где
тангенциальные и нормальные напряженности соизмеримы (см.
рис. 5.1). Потерн в регулярной зоне при сильном поверхностном
эффекте изучены достаточно полно [113, 115]. Каждому коэффи-
циенту заполнения обмотки g соответствует своя оптимальная форма
токопровода, эллиптическая при малых g и приближающаяся к пря-
моугольной при 1. Однако зависимость гг от формы сечения
довольно слабая и при всех практических значениях g (g>0,7)
оптимальным токопроводом можно считать обычно используемую
прямоугольную трубку с закругленными краями. Тогда влияние
коэффициента заполнения на гг можно учитывать множителем g-0-5.
Обычно используемый множитель g-1 дает небольшое повышение гг.
При приближении к краю обмотки индукторов высокой и средней
частоты потери сначала уменьшаются из-за снижения тангенциаль-
ной составляющей напряженности магнитного поля, а затем уве-
личиваются из-за потерь от радиальной составляющей. Конкрет-
ный вид распределения потерь зависит от коэффициента заполне-
ния обмотки g, формы токопровода, наличия магнитопровода и за-
грузки. При уменьшении длины обмотки потери в проводниках
средней части обмотки снижаются и кривая распределения потерь
становится монотонно растущей к краю. Однако возрастает доля
дополнительных потерь в крайних витках, и в первом приближе-
нии можно считать, что полные потери мало отличаются от вычис-
ленных для регулярной части. При этом следует иметь в виду, что
потери в крайних витках могут быть в 2—3 раза больше, чем j
средних.
Наибольшим разнообразием конструкций отличаются обмотки
индукторов промышленной частоты. У слабонагруженных индук-
торов, применяемых, например, для обогрева оборудования, ис-
пользуют многослойные обмотки из сплошных проводников прямо-
угольного сечения с теплостойкой изоляцией. Охлаждение воздуш-
ное, естественное или принудительное. Потери в регулярной части
таких обмоток можно рассчитать аналитически [93], используя
методику расчета потерь для проводника в стороннем магнитном
197
поле (см. § 3.4). Если настил тока в слоях одинаков (последова-
тельное включение витков равной ширины) и толщина проводников
одинакова по слоям, то ее оптимальное значение
diopt = 1,326/7^, (5.23)
где N — число слоев.
Активное сопротивление обмотки
N^/N, (5.24)
6ZO1 GOj 'У g
где а — ширина витка; L — длина намотки проводника в одном
слое.
По сравнению с лучшей однослойной обмоткой из проводника
толщиной л 6 ^2 потери в многослойной обмотке с той же намагни-
чивающей силой будут в УN раз меньше, что позволяет создавать
многослойные индукторы с высоким КПД [92, 93).
Изготовление обмотки с переменной по слоям толщиной, опре-
деляемой по формуле (3.32), позволяет снизить потери еще на
12—15 %.
Одним из недостатков многослойной обмотки является перегрев
внутренних слоев как из-за худшей теплоотдачи, так и из-за боль-
ших потерь в них. Разгрузить внутренние слои можно за счет пе-
ременной ширины проводников по слоям (а — var), увеличиваю-
щейся от наружного слоя к внутреннему. Если при изменении а
толщина d2 выбирается оптимальной для каждого слоя, то общие
потери дополнительно снижаются на 3—5 %.
Приведенные данные относятся к обмоткам, диаметр слоев ко-
торых примерно одинаков. Обычно же диаметр возрастает с уве-
личением числа слоев, что снижает эффективность многослойных
обмоток.
Расчеты показывают, что при разности диаметров соседних слоев
0,2 Dr (О х — средний диаметр внутреннего слоя) сопротивление
обмотки возрастает по сравнению с рассчитанным по (5.24) в 1,2;
1,3; 1,4 и 1,6 раза для N = 2; 3; 4; 5 соответственно. В этом случае
увеличение числа слоев свыше четырех становится нецелесообраз-
ным. В многослойных обмотках с водяным охлаждением потери
возрастают из-за дополнительных потерь от вихревых токов во
внутренних слоях. Так как на промышленной частоте поверхност-
ный эффект в токопроводе обмотки обычно выражен слабо, потери
в витках можно рассчитать, пользуясь приближенной методикой
§ 4.6. В качестве примера на рис. 5.22 приведен коэффициент по-
терь 6Г для внутреннего слоя трехслойной обмотки в зависимости
от толщины стенки трубки. Ширина проводника а = 2 см, шаг
намотки с = 2,4 см.
При увеличении радиальной высоты канала охлаждения т оп-
тимальная толщина стенки уменьшается, а минимальные потери
возрастают. Так, при т = 0,5 см минимальные потери соответствуют
198
Рис. 5.22. Зависимость коэффициен-
та потерь для внутреннего слоя
трехслойной обмотки 6Z от толщины
стенки трубки и высоты канала
охлаждения т
d1 = 0,2 -т-0,25 см и на 40 %
превышают потери в сплошном
проводнике толщиной dr —
0,7 см.
Опыт расчетов показывает,
что при высоте окна т = 0,5 см,
минимальной с точки зрения
надежности охлаждения техни-
ческой водой, потери в двух-
трехслойной обмотке не могут
быть заметно ниже, чем в оптимальной однослойной, что ограни-
чивает эффективность таких конструкций.
Обеспечить интенсивное охлаждение проводника без увеличе-
ния потерь можно при изготовлении камеры охлаждения из не-
проводящего материала или металла с высоким удельным сопро-
тивлением. Получаемый во втором случае биметаллический провод-
ник должен состоять из медной шины оптимальной толщины и при-
паянной к ней тонкостенной трубки из нержавеющей стали, мель-
хиора или другого материала.
Распределение потерь по длине многослойной обмотки представ-
ляет интерес как для нахождения полных потерь в реальных ин-
дукторах конечной длины, так и для проектирования системы ох-
лаждения. Для этой цели создана специализированная программа
расчета, основанная на комбинированном методе. Сначала числен-
ным методом (см. § 2.4) рассчитываются все токи сложной индук-
ционной системы, содержащей обмотки, нагреваемые тела и магни-
топроводы. При расчете реальные многовитковые обмотки заме-
няются тонкими соленоидами с активным сопротивлением rt (i —
номер итерации). Затем определяются напряженности Нг и HR
в сечениях проводов и по формуле (4.53) вычисляются потери в вит-
ках обмотки. Полученные активные сопротивления rt используются
на новом шаге итераций до сходимости процесса (1—2 итерации).
Исследование, выполненное А. К. Северяниным в широком диа-
пазоне конструкций и размеров систем, показало, что дополнитель-
ные потери в крайних зонах не оказывают существенного влияния
на сопротивление обмоток по сравнению с сопротивлением, вычис-
ленным для отрезка бесконечно длинной системы. Однако распреде-
ление потерь может быть резко неравномерным.
Характерные зависимости активного сопротивления л, прихо-
дящегося на единицу длины провода, для витков трехслойного
двухсекционного индуктора показаны на рис. 5.23. Расчет выпол-
нен для немагнитной (сплошные линии) и магнитной (штриховые
199
Рис. 5.23. Распределение сопротивления по виткам двухсекционного индук-
тора (п) с немагнитной (сплошные линии) и магнитной (штриховые линии)
загрузкой
Фазовый сдвиг напряжений 120°
линии) загрузки, длина которой на 10 см короче длины индуктора.
Фазовый сдвиг напряжений секций, снабженных общим внешним
магнитопроводом, равен 120°. Внутренний диаметр обмотки 23,2 см;
диаметр загрузки 17,5 см. Длины секций, расположенных вплот-
ную, равны 51 см. Сечение токопровода 1,2 X 1,5 X 0,3 см; ча-
стота тока 50 Гц.
Потери во внутреннем слое (кривые 1) значительно выше, чем
в среднем и наружном слоях (кривые 2 и 3). Распределение потерь
по длине обмоток сильно зависит от вида загрузки. При немагнит-
ной загрузке преобладают потери от аксиальной составляющей
Н, поэтому потери во внутреннем слое уменьшаются к краю. Зона
краевого эффекта составляет 5—6 витков. В зоне витков 10—20 по-
тери такие же, как в отрезке бесконечной системы.
При магнитной загрузке зоны краевых эффектов наклады-
ваются друг на друга, регулярные части обмоток отсутствуют и по-
тери в средних частях меньше, чем при немагнитной загрузке.
В концевых зонах наблюдается резкий рост потерь из-за сильных
потерь от радиального поля. Однако и в этой сложной индукцион-
ной системе суммарные активные сопротивления обмоток мало от-
личаются от сопротивлений, вычисленных без учета краевых эф-
фектов. Это обстоятельство сильно упрощает расчет полных потерь
в многовитковых индукторах, позволяя использовать простые ана-
литические методы.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА
в.1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ЦИФРОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Устройства индукционного нагрева (УИН), как это было пока-
зано в главе 1, являются сложными техническими объектами, в ко-
торых протекают физические процессы различной природы. В об-
щем случае математическое описание таких объектов представляет
собой систему детерминированных нелинейных дифференциальных
и интегральных уравнений, записанных для многомерных и много-
связных областей. Если не вводить существенных упрощений в по-
становку задачи, то решение указанной системы уравнений, а зна-
чит, и количественное описание изучаемого объекта практически
может быть получено только численными методами. Программа,
реализующая на ЭВМ решение существенных для данного УИН
уравнений, представляет собой его цифровую модель — современ-
ную форму математической модели. Соответственно под цифровым
моделированием будем понимать способ приближенного описания
наиболее существенных характеристик объекта или процесса, осу-
ществляемый при широком привлечении численных методов и
ЭВМ.
Цифровое моделирование представляет собой наиболее эффек-
тивный способ исследования и оптимизации устройств индукцион-
ного нагрева. Степень разработки математических моделей, круг
решаемых с их помощью проблем характеризует в известном смысле
уровень развития теории индукционного нагрева. Важно отметить,
что при цифровом моделировании необходимо соблюдать компро-
мисс между сложностью и точностью модели. Это приводит практи-
чески всегда к итерационному процессу построения модели, начи-
ная от простейших моделей, дающих порой только качественное
представление об объекте, с постепенным усложнением до модели
с требуемым уровнем информативности и точности.
Методом математического моделирования решается широкий
круг задач теории индукционного нагрева.
В первую очередь это анализ и исследование УИН. При реше-
нии такой задачи обычно заданы конструкция, режим работы,
тепло- и электрофизические свойства всех элементов системы.
В результате моделирования определяются необходимые для ана-
лиза распределенные и сосредоточенные характеристики УИН.
К сосредоточенным относятся, например, параметры, характери-
зующие устройство как нагрузку для источника питания: входные
сопротивления индукторов, активные и реактивные мощности, ко-
эффициент полезного действия, коэффициент мощности и т. д.
201
К распределенным характеристикам относятся электромагнит-
ные, температурные и другие физические поля, существенные при
исследовании данного УИН.
Анализ устройства на модели позволяет определить его работо-
способность, качественные показатели, в том числе эффективность
технологического процесса, некоторые параметры, характеризую-
щие условия работы обслуживающего персонала (например, уро-
вень шума и напряженность внешнего поля, создаваемые УИН
на рабочих местах). В процессе анализа выявляются способы улуч-
шения работы устройства.
На начальной стадии моделирования часто нет полного объема
информации о свойствах материалов УИН, а в некоторых случаях
нет полной уверенности, что заложенные в модель уравнения точно
отражают физику процесса. В этом случае используется термин
«мягкое моделирование» [116] для обозначения моделирования
в условиях неполной надежности исходной информации. Результаты
мягкого моделирования носят качественный характер, но и не-
редко представляют большую ценность, так как позволяют выявить
влияние тех или иных факторов на показатели устройства и техно-
логического процесса. Обычно анализ новых, мало исследованных
технологических процессов начинается с мягкого моделирования.
По мере изучения технологического процесса и накопления инфор-
мации мягкое моделирование переходит в жесткое: когда уточнены
механизмы процессов, структура модели и с достаточно высокой
точностью определены свойства.
Переход от мягкого моделирования к жесткому часто сопровож-
дается решением задачи идентификации, структурной или пара-
метрической. В первом случае по результатам экспериментов уточ-
няется математическое описание процессов, во втором — только
коэффициенты, входящие в уравнения. Следует отметить, что в тех
случаях, когда предъявляются особые требования к быстродейст-
вию модели, например при включении ее в систему автоматического
управления, структура модели УИН может быть уже не связана
с решением фундаментальных физических уравнений, а представ-
ляет собой аппроксимирующие выражения, например, в виде по-
линомов. Идентификация такой модели может быть осуществлена
не только с использованием экспериментальных данных, но и пу-
тем их получения на «точной» модели.
Преимущества метода математического моделирования наиболее
ярко проявляются при решении задач оптимизации конструкции
и режима работы УИН. Критериями оптимизации могут служить:
показатели качества формирования температурного поля загрузки,
энергозатраты, производительность и т. д. При оптимизации кон-
струкции и режимов работы УИН важно выделить только те па- ,
раметры, которые существенно влияют на функцию качества. От
выбора метода оптимизации, согласованной точности расчета кри-
терия оптимизации и метода оптимизации сильно зависит надеж-
ность и эффективность нахождения оптимального варианта кон-
20?
струкции и режима УИН. Для успешного решения указанных
задач требуется разработка эффективных численных методов, ка-
чественная реализация их в виде программных средств, обеспече-
ние диалогового общения пользователя с ЭВМ, автоматизация ру-
тинных операций, максимальное использование интеллектуальных
возможностей исследователей и их опыта.
Такая технология исследований с широким применением циф-
ровых моделей и ЭВМ получила название вычислительного экспе-
римента [117—120]. В сущности, по цели и этапам вычислительный
эксперимент мало отличается от натурного. В обоих случаях су-
щественное значение имеет подготовка к эксперименту. Для вы-
числительного эксперимента — это выбор физического приближе-
ния и математическая формулировка задачи, разработка методов
и алгоритмов решения задачи, наконец, реализация их в виде про-
граммных средств на ЭВМ. Для натурного эксперимента подгото-
вительный период заключается в реализации макета, разработке
системы диагностики с датчиками различных физических величин;
обеспечении материальных и энергоресурсов. На этапе вычисли-
тельного эксперимента вместо макета используется вычислитель-
ная система. Этапы обработки и анализа результатов еще более
схожи. Отличаются они только объемом и качеством информации.
И в этом вычислительный эксперимент имеет преимущество пе-
ред натурным. В вычислительном эксперименте объем получаемой
информации не ограничивается числом датчиков и их быстродейст-
вием для быстропротекающих процессов. Оказываются возмож-
ными вычислительные эксперименты в очень широком диапазоне
конструктивных параметров и режимов работы устройств, включая
аварийные. Изменение физических свойств материалов, геометри-
ческих размеров позволяет просмотреть всю возможную номенкла-
туру изделий. Вычислительный эксперимент дает возможность в чи-
стом виде выделить влияние отдельных физических факторов на
процесс. Важной особенностью вычислительного эксперимента яв-
ляется повторяемость результатов, отсутствие случайной ошибки,
связанной с действием неучтенных факторов. В целом вычислитель-
ный эксперимент резко повышает производительность труда и от-
дачу исследователей и проектировщиков, сокращает материальные,
трудовые и энергозатраты за счет сокращения натурных экспери-
ментов, дает реальную основу для оптимизации конструкций и ре-
жимов работы установок.
Все вышесказанное ни в коей мере не снижает роли натурного
эксперимента. Всегда следует помнить, что любая математическая
или цифровая модель дает лишь приближенные результаты, а сте-
пень приближения к истинным значениям всякий раз нужно до-
казывать. С сокращением объема экспериментальных исследований
возрастает их ценность.
Ниже общие вопросы моделирования УИН иллюстрируются
конкретными примерами.
203
6.2. ПРИНЦИПЫ РАЗРАБОТКИ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ
ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ УИН
В любом технологическом процессе в устройствах индукцион-
ного нагрева превалирующую роль играют электромагнитные и теп-
ловые явления. Поэтому наиболее важны так называемые электро-
тепловые модели, т. е. модели, основанные на численном решении
уравнений электромагнетизма и температуропроводности'. Такие
модели учитывают взаимное влияние электромагнитного и темпе-
ратурного полей в процессе нагрева и дают исчерпывающую харак-
теристику индукционного устройства с точки зрения потребления
энергии от внешнего источника питания и выделения ее в загрузке.
Они позволяют также рассчитать температурное поле в системе на
разных этапах технологического процесса. Первые электротепло-
вые модели индукционных нагревателей, основанные на численном
решении двухмерных уравнений электромагнитного и температур-
ного поля, были разработаны в 70-е годы [121—124]. Они были
реализованы в виде отдельных программ, в которых учитывались
особенности работы нагревателей различных типов и их структура.
При разработке комбинированных моделей (в частности, элек-
тротепловых) целесообразно использовать модульный принцип. Это
предполагает создание специализированной библиотеки стандарт-
ных подпрограмм для решения задач индукционного нагрева. На
базе этой библиотеки можно легко конструировать модели, учиты-
вающие те или иные особенности технологического процесса, раз-
личные режимы нагрева, возможность нагрева других материалов.
Первые разработанные электротепловые модели содержали от-
дельные блоки электрического и теплового расчета (рис. 6.1). При
различных пространственных дискретизациях области или различ-
ных методах расчета для передачи массива внутренних источников
теплоты из блока электрического расчета в блок теплового необ-
ходим блок интерполяции. Структуру нагревателя и режим его
работы определяет информационно-логический блок. Он же управ-
ляет вводом и выводом информации, а в случае необходимости оп-
тимизации конструкции или режима работы индукционной системы
содержит алгоритм оптимизации.
Рис. 6.1. Общая функциенальная схема электротепловых моделей
индукциенных нагревателей
204
Связь электромагнитного поля в системе с температурным по-
лем обусловлена зависимостью удельного сопротивления и магнит-
ной проницаемости от температуры. Наиболее естественный алго-
ритм расчета электротепловых процессов в модели при известном
начальном распределении температур заключается в следующем:
1. Исходя из температурного поля загрузки находится удель-
ное сопротивление и магнитная проницаемость каждого элемента
дискретизации области загрузки.
2. Проводится расчет электромагнитного поля.
3. В интерполяционном блоке происходит формирование мас-
сива внутренних источников теплоты для .решения тепловой за-
дачи из массива, найденного после решения электрической задачи.
Если элементы дискретизации в обеих задачах одинаковы, то мас-
сивы их внутренних источников теплоты совпадают.
4. Находится температурное поле на следующем временном
слое, определяемом шагом по времени т.
5. Если критерии окончания процесса нагрева не удовлетво-
рены, то происходит переход к п. 1.
Выбор шага по времени т определяется требуемой точностью
расчета. В то же время при фиксированном т точность определения
температурного поля зависит от свойств схемы решения и от того,
насколько сильно изменились внутренние источники теплоты за
время т. Если источники меняются слабо, то на выбор шага по вре-
мени влияние оказывает только первый фактор.
В этом случае пересчет электрической задачи, т. е. коррекция
внутренних источников теплоты, может оказаться целесообразным
через несколько шагов по времени. Такой подход оказался эффек-
тивным при расчете нагрева заготовок из алюминия и его сплавов
[123]. Требуемая точность расчета конечного температурного поля
достигалась всего лишь при 3—4 пересчетах электрической задачи.
С другой стороны, при сильной нелинейности электрофизических
свойств шаг по времени т определяется главным образом вторым
фактором. Это характерно, например, для расчета нагрева ферро-
магнитной стали в «холодной» и «промежуточной» стадии [9]. Труд-
ности усугубляются еще тем, что на различных стадиях нагрева
изменение источников за один и тот же интервал времени сильно
различается. Повысить точность расчета можно, организуя итера-
ционный процесс на каждом временном шаге с коррекцией внутрен-
них источников теплоты. Особенно удобно это осуществить, если
используются одинаковые методы расчета электромагнитного и тем-
пературного поля. При одинаковой пространственной дискретиза-
ции области расчет электромагнитного и температурного поля на
каждом временном шаге может быть реализован в компактной
форме в одном блоке. В качестве примера рассмотрим одномерную
электротепловую модель индукционного нагрева цилиндра.
6.3. ОДНОМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ МОДЕЛЬ
Процесс индукционного нагрева длинного цилиндра в продоль-
ном магнитном поле описывается системой одномерных нелинейных
дифференциальных уравнений электромагнитного поля и тепло-
проводности
(6.1)
дТ
Cv dt
дН А . £.
—J = j(op.pon;
(6-2)
где // — комплексная напряженность магнитного поля; Т — тем-
пература; w — удельная объемная мощность внутренних источ-
ая 2
ников теплоты, w= р ------ ; р — удельное сопротивление; р.—
относительная магнитная проницаемость; ц0 — магнитная прони-
цаемость вакуума; <о — круговая частота; со — объемная тепло-
емкость; X — теплопроводность.
Граничные условия определяются режимом нагрева и условиями
теплообмена. Потребуем, чтобы модель позволяла реализовать три
режима нагрева: 1) режим тока, в котором задающей величиной
режима нагрева во времени является ток индуктора; 2) режим на-
пряжения, в котором напряжение на индукторе является задающей
величиной; 3) режим мощности, в котором задана удельная мощ-
ность на поверхности заготовки.
В первом случае задание тока в индукторе 7Н означает для от-
резка а бесконечно длинной системы задание напряженности маг-
нитного поля на поверхности загрузки, которая по закону полного
тока связана с 7И выражением Не = IKW/a, где W — число витков
индуктора на отрезке а (рис. 6.2). Таким образом, для Н на поверх-
ности в этом случае имеем граничное условие I рода
H(Re)=He. (6.3)
Для режима напряжения граничное условие на поверхности
загрузки имеет вид
(Г1 + ]Х1Ы + jxs) Н (Re) + 2лД2р -А- Н (Ре) = йх, (6.4)
oR
где и х1м — внутреннее активное и реактивное сопротивление
индуктора единичной длины; xs — реактивное сопротивление за-
зора между индуктором и загрузкой единичной длины; и} — вит-
ковое напряжение индуктора.
Режим мощности может быть сведен к граничным условиям
(6.3) или (6.4) путем нахождения соответствующих значений Не
или Wj, обеспечивающих требуемую удельную мощность на поверх-
ности загрузки р0.
206
Рис. 6.2. Схема одномерной индукцион-
ной системы
1 — индуктор; 2 — футеровка; 3 — загрузка
На внутренней поверхности
цилиндра граничное условие для
уравнения (6.1) имеет вид
р-4-Я(/?в) = /<оцо^в//в/2.
dR
Для сплошного цилиндра /?в = 0 и —— H(RB) — 0. Начальные
9R
и граничные условия для уравнения теплопроводности (6.2) запи-
сываются так:
T(R, 0) — TK(R);
-1 — 7 (Re, t) = bp0-, K — T(RB,
dR dR
где TH (R) — начальное распределение температуры; Др0 и Дрх —
удельная мощность тепловых потерь с наружной боковой поверх-
ности и с внутренней.
При свободном теплообмене учитываются тепловые потери из-
лучением и конвекцией
Др0 = ео(74—7^) + а(7—7С), (6.5)
где е — коэффициент черноты; а — постоянная Стефана—Больц-
мана; а — коэффициент теплообмена; Тс — температура окружаю-
щей среды; здесь Т и 7С — в градусах Кельвина; наличие футе-
ровки учитывается по методике, изложенной в § 1.4.
Систему уравнений (6.1) и (6.2) целесообразно решать, предва-
рительно представив комплексную величину И в виде Н = и + jv,
где и п v — соответственно вещественная и мнимая составляющие
напряженности магнитного поля. Тогда получаем систему трех
вещественных уравнений относительно и, v, Т
1 д ( п ди \
1 д ( D dv \
Со JL. _ J_ м 2LA=р +pq2i.
° dt R dR \ dR J l\ dR J \ dR J ]
(6-6)
Краевые условия для (6.6) принимают вид
—— и (RB)= — top0RBv/(2p);
dR
207
v (RB) = iopoRBu/(2p);
_1_^Г(/?в) = дР1.
oR
Для режима тока и = и,, v = ve.
Для режима напряжения
г^и (/?2)—х2ми (Я2) + 2лД2р (Д2) = ui,
oR
х^и (Ri) + Г1О (R2) + 2л7?2р---(Rz)= 0;
х2м — Я1м 4~ xs; —X —— (R2) — Др0; Т (R, 0) — Тн.
Введем сетку Qhx= <ahx <лх, где <ah~{Rt = Rt-i + ht; i =
= 1, 2, .... R; Ro = Rb) — пространственная неравномерная сетка;
wt= U/ = f/-i + TP /= 1. 2, . . . . M; Zo = 0} — временная неравно-
мерная сетка.
Неявная итерационно-разностная схема, построенная по прин-
ципу консервативности, имеет в матричной записи вид
А^{±\ — CiW?' Д BiW1^ = - Я (6.7)
где
U;
vt
L rt J
dul
0
_ о
о
. о
0 о - —kt 0 -
aHi 0 ; c,= 0
0 aTt - . 0 0 cTl -
0 0 - - 0 -
bnt 0 0 9
0 bn - - gi -
Pi + Pf-I Z 1 0.5 \ .
hi + hi+i \ h{ Ri )’
Pl + Pi-i / 1 0.5 \,
hi+h{+! \ hi+i Rt )’
— V-ni Д but’, ki — йЭРоРч. C-pi — U-pi 4* 4—;
T/
&=р«(«;2+^2)+—т‘ь
Значения aTi и bTi вычисляются так же, как и ан» и bvt, но с за-
меной р на X.
Производные и\ и находятся или по конечно-разностным фор-
мулам или, для повышения точности, после интерполяции функ-
ций ин v сплайнами третьего порядка. Коэффициенты определяются
208
исходя из значения W на предыдущей итерации, т. е. используется
метод простых итераций. Решение системы (6.7) на каждой итера-
ции осуществляется методом матричной прогонки [125].
В соответствии с этим методом расчет проводится в два этапа.
На первом этапе осуществляется расчет прогоночных матриц
GJ+i=[Ci—i=l, 2, . . . , ЛГ-1;
0!+1=[С{-ЛА1“1И{Сг + Гг]. i = 1, 2, . . . , М-1 (6.8)
(прямая прогонка), на втором этапе искомые компоненты матрицы
Wi определяются по рекуррентному выражению
№{ = Gi+iU7J+1 + Q{+1, i = N—1, N—2.2, 1, 0 (6.9)
(обратная прогонка).
Основной недостаток метода матричной прогонки связан с не-
обходимостью на каждом шаге расчета прогоночных матриц (6.8)
обращать матрицу [Сг—Л,0г], что в общем случае приводит к очень
большому объему вычислений. В данной задаче, учитывая специ-
фику матрицы [Ci—A{GJ — матрицы третьего порядка (из девяти
коэффициентов четыре равны нулю), удается преодолеть этот не-
достаток, записывая коэффициенты обратных матриц в явном виде.
Для начала расчета по формулам (6.8) необходимо знать коэффи-
циенты матриц Gx и которые определяются из граничных ус-
ловий при R = RB- Начиная вычисления по формуле (6.9), необ-
ходимо знать WN. Коэффициенты WN определяются из граничных
условий при R = Re, которые' в общем случае могут быть записаны
как
AnWn^CnWn = -Fn. (6.10)
Подставляя в (6.10) выражение (6.9), записанное для i = N—1,
получаем
Wn = (Cn-AnGn)-\(Fn + AM. (6.11)
В зависимости от режима нагрева граничные условия на по-
верхности загрузки разные, поэтому структура и значения коэффи-
циентов матриц AN, Cn, Fn также различаются.
Аналогично задача ставится для расчета индукционного на-
грева длинной пластины в продольном магнитном поле. Универ-
сальная программа расчета нагрева пластины и цилиндра реализо-
вана на языке «фортран» ЭВМ ЕС и СМ.
Проведено сравнение влияния шага по времени т на точность
расчета температурного поля при нагреве стали по алгоритму сов-
местного решения уравнений электромагнетизма и теплопровод-
ности (6.6), изложенному выше (способ 1), и по алгоритму пооче-
редного решения этих уравнений (способ 2). В табл. 6.1 представ-
лены значения температуры на поверхности Тп и в центре Тц ци-
линдрической заготовки диаметром 5 см при нагреве ее в течение
32 с на частоте 2400 Гц в режиме стабилизации тока с напряжен-
ностью магнитного поля на поверхности 1000 А/см. За точное ре-
209
шение принимались совпадающие значения температур, посчитан-
ные обоими способами с шагом т = 0,1 с. Видно, что способ 1 обес-
печивает высокую точность расчета даже при большом шаге по
времени, в то время как способ поочередного решения уравнений
электромагнетизма и теплопроводности дает большую ошибку,
особенно по температурному перепаду ДТ. На рис. 6.3 представ-
лены теплофизические свойства стали марки 40, которые использо-
вались при расчетах.
Таблица 6.1. Влияние шага по времени на точность
расчета температурного поля
Способ решения Температура, °C, при т, равном
8 с 4 с 0,1 с
^Е ЕГ Е-ч 1 с К с и ЕГ ь, 1 Е ^Е ^ЕГ ЕГ 1 Е II <5
Первый Относительная погрешность, % 849,5 —3,3 526,1 —3,2 323,4 —3,5 865,7 —1,5 534,2 —1,7 331,5 —1,0 878,7 0 543,7 0 335,0 0
Второй Относительная погрешность, % 937,6 6,7 496,1 —8,8 441,5 31,8 920,1 4,7 516,4 —5,0 403,7 20,5 878,7 0 543,7 0 335,0 0
Рис. 6.3. Зависимость теплопроводности X, объемной теплоемкости cv,
удельного сопротивления р стали марки 40 от температуры [126]
210
Рис. 6.4. Зависимость удельной поверхностной мощности р, напряженности
•магнитного поля И, температуры поверхности Тп и центра 7Ц от времени
нагрева в режиме стабилизации напряжения индуктора
Зависимость магнитной проницаемости от напряженности маг-
нитного поля и температуры аппроксимировалась выражением
Рис. 6.5. Изменение удельной объемной мощности внутренних источников
теплоты по радиусу
211
Динамика изменения во времени некоторых параметров индук-
ционного устройства при нагреве стальной заготовки диаметром
5 см на частоте 2400 Гц в режиме стабилизации напряжения (на-
пряжение на одновитковом индукторе UL = 7,9 В) отражена на
рис. 6.4. Диаметр индуктора 8 см, учитывались тепловые потери
излучением, коэффициент черноты стали брался равным 0,8. Из
рис. 6.4 видно, что максимум удельной мощности достигается в мо-
мент, когда температура на поверхности заготовки превышает тем-
пературу точки Кюри (750 °C). Далее удельная мощность падает
по закону, близкому к линейному, до тех пор, пока вся заготовка
не потеряет магнитные свойства и не наступит «горячий» режим.
На рис. 6.5 показана динамика внутренних источников теплоты
для этого же варианта. Характерными особенностями в данном слу-
чае являются резкое перераспределение источников теплоты в про-
цессе нагрева и то обстоятельство, что максимум внутренних ис-
точников теплоты в «промежуточном» режиме находится на границе
немагнитного и ферромагнитного слоя, пока толщина немагнитного
слоя не превысит 1—1,5 глубины проникновения в «горячую» сталь.
6.4. ДВУХМЕРНАЯ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ МОДЕЛЬ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ТЕЛ
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Процесс индукционного нагрева проводящих тел прямоуголь-
ного сечения в двухмерной постановке сводится к решению квази-
стационарного нелинейного дифференциального уравнения в част-
ных производных относительно напряженности магнитного поля
д ( дн\ д ( дй\ . а
— I Р ~~ 1 + ~ I Р 1 = (6.13)
дх \ дх / ду \ ду /
и нестационарного уравнения теплопроводности
дТ д дТ \ д f. дТ\ .
—=—р-г~) + -т-р —) + «>• (6.14)
dt дх \ дх J ду \ ду J
Предполагая симметрию распределения электромагнитного и
температурного поля по прямоугольному сечению, будем рассмат-
ривать четвертую часть тела (рис. 6.6). Краевые условия при этом
записываются следующим образом:
дН _ дН
ду у=о дх
Н \у=<Ц2 = Н |х=Ь/2 = Йе(Х, у)',
дТ _ дТ I = 0.
ду у=о дх |х=о
(6.15)
дх \х=Ы2 ду |.
= АРо(Т).
\у=<!/2
212
связывают поле температур с электромагнитным полем.
Если в процессе нагрева внутренние источники теплоты претер-
певают существенные изменения, что характерно, например, при
нагреве ферромагнитной стали до температуры выше точки Кюри,
то раздельное решение с высокой точностью уравнений (6.13) и
(6.14) не гарантирует приемлемой точности моделирования всего
процесса. Поэтому, как и в одномерном случае, для повышения
точности при достаточно больших шагах по времени используется
алгоритм совместного решения уравнений (6.13) и (6.14).
Введя подстановку Н = и + jv, уравнение (6.13) относительно
комплексной неизвестной преобразуем в систему двух уравнений
относительно скалярных переменных
(6.17)
где ц = ®рр0.
Решение (6.17) и (6.14) целесообразно осуществлять методом
конечных разностей. Введем неравномерную сетку
- (х«€[0, Ы2], i= 1, 2, . . . , 7V;
(Oft = <
Ь^[0, d/2], m=i, 2.........М.
Заменяя дифференциальные операторы их разностными анало-
гами, переходим от системы дифференциальных уравнений к си-
стеме сеточных уравнений вида
Лхх (ри) + (ри) + Н» = 0;
Лхх (рп) + (ри)—ри = 0;
CpAz (Т)—Л.хх (кТ)—Л.уу (XT) = w (u,v),
(6.18)
213
где Az (Т) = (Tk+'— Tfc)/T3; k — индекс временного слоя; т3 —
временной шаг решения тепловой задачи;
Л„ (р«)=-' [ р, - р, -а^-1;
Л L Л«+1 hi J
Йг = 0,5 (й£ 4-/1^!); йг = х/+1—х,; р = <орр0;
+ -
Рг = 0.5 (рг + pi+i); рг = 0,5 (рг + pi_j).
Запись разностных операторов Лад (pu), Axx (pv), Лда (pv),
Axx (^T), Ayy (XT) аналогична записи Axx (pu). Для решения си-
стемы (6.18) воспользуемся итерационной схемой переменных на-
правлений [81 ].
Результирующая совместная система сеточных уравнений имеет
ВИД
—--------= Лхх (pui+^) + Am (ри‘) + pv/+>/=;
Т1
VI+1/2 — V1 = ^/+1/2)+ (ру/)_^ы/+1/2 .
Т2
Ti+'/2-Tk = ахх (XTi+'K) + Ауу (ХТ*)+wf-
Тз
“/+1 —-—1/2- = Ахх (рЩ+1/2) + Лу[/ (pu/4-l) 4 рц/+>;
tl
ц/+1~И+1/2- = Ахх (PV/+1/2) 4- (рц/+1) — рЫ/+1;
Ti+1--Ti+- = Ахх (XTi+W) + Aw (XTi+') + Wi,
тз
(6.19)
где / — номер итерации; / + 1/2 — номер промежуточной итера-
ции; тг, т2 — итерационные параметры; k — номер временного
слоя. После того как итерации сойдутся, 7V+1 определяет значение
температуры на (k + 1)-м слое.
Система уравнений (6.19) замыкается разностными аналогами
соответствующих краевых условий, и решение ее осуществляется
и
v
Т
методом матричной прогонки относительно вектора W =
по ко-
ординатам х и у.
При прогонке по координате х решается система вида
= — F{, (6.20)
214
где i = 1, 2, ... , N—1,
А - Т1Р1 0 0 т2р< 0 0 R.— + TlPi 0 + Т2Р1
0
tiihi J I flihi+i
0 0 hihi _ 0 (
t^I 1 — PiTj 0
G= TgdH- 1 0 >
0 0 xsg + Cvi
О
О
tiihi+i
При прогонке по координате у матричное уравнение имеет ана-
логичный вид.
Указанная модель явилась базовой при исследовании электро-
тепловых процессов индукционного нагрева тел прямоугольного
сечения [127, 128]. При расчете нагрева немагнитных тел со слабой
215
Рис. 6.7. Динамика температурного поля в наиболее характерных зонах
при индукционном нагреве ферромагнитного сляба (f, — 50 Гц, Не =
= 2000 А/см)
зависимостью удельного сопротивления материала от температуры,
когда внутренние источники теплоты мало меняются в процессе
нагрева, целесообразно для сокращения времени счета корректи-
ровать мощность внутренних источников не на каждом временном
шаге расчета температурного поля, а через несколько шагов. Для
этого предусмотрено «отключение» при решении уравнений электро-
магнитного поля (6.18). Следует также иметь в виду, что в начале
расчета при задании «плохого» начального распределения электро-
магнитного поля процесс может медленно сходиться или даже рас-
ходиться из-за чувствительности температурного поля на промежу-
точных итерациях к еще не установившимся значениям мощности
внутренних источников теплоты. На рис. 6.7 показана динамика
температурного поля при индукционном нагреве ферромагнитного
сляба в продольном магнитном поле на частоте 50 Гц в наиболее
характерных зонах загрузки, т. е. на обеих гранях и линиях сим-
метрии сляба. На рис. 6.8 показано изменение температур в харак-
терных точках сляба со временем нагрева. Видно, что температура
в зоне угла, пока сляб не потерял
магнитные свойства, опережает
температуру в других зонах. С
потерей магнитных свойств рост
температуры в угловой точке рез-
ко замедляется, главным образом
из-за сильного перераспределения
источников теплоты.
Рис. 6.8. Изменение температуры в ха-
рактерных точках нагреваемого сляба
216
6.5. ДВУХМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ
НЕМАГНИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ
В промышленности получил широкое распространение индук-
ционный нагрев цилиндрических заготовок из алюминия, меди,
титана, циркония и других материалов перед обработкой давле-
нием. Наиболее часто используются индукционные нагреватели
периодического и непрерывного действия с дискретным перемеще-
нием заготовок. Для расчета и анализа работы таких устройств
разработаны электротепловые модели, реализованные на ЭВМ,
[122—124].
В результате электрического расчета при заданном напряже-
нии и частоте источника питания определяются следующие электри-
ческие параметры: коэффициент полезного действия, активные и ре-
активные мощности в системе, коэффициент мощности, токи в це-
пях индукторов, двухмерное распределение внутренних источни-
ков теплоты в загрузке. Электрический расчет в данных моделях
реализует вариант метода интегральных уравнений с осреднением
ядра интегрального уравнения (см. главу 2). Это позволяет эффек-
тивно производить электрический расчет индукционных нагревате-
лей независимо от выраженности поверхностного эффекта в загрузке
с многослойными, секционированными, многофазными индукто-
рами, с обычным и автотрансформаторным включением обмоток.
Предусмотрен также учет влияния на электромагнитные параметры
индукционной системы таких элементов, как медные водоохлаждае-
мые кольца, электромагнитные экраны и другие проводящие не-
магнитные тела, в которых можно выделить осесимметричные ли-
нии тока. Тепловой расчет заключается в определении двухмерного
температурного поля в загрузке в процессе нагрева при определен-
ных граничных условиях на поверхности загрузки, которые за-
даются или исходя из свободного теплообмена с окружающей сре-
дой (конвекцией, излучением) или с учетом футеровки. Одновре-
менно находятся как общие тепловые потери, так и потери с отдель-
ных поверхностей загрузки.
Тепловой расчет основан на решении уравнения теплопровод-
ности
cv (Т) (мТ) +4г (ЦТ) R + w,
dt дг \ дг J R dR \ dR )
(6.21)
где Т — температура; t — время; z — осевая координата; R —
радиальная координата; cv — объемная теплоемкость; X — тепло-
проводность; w — внутренние источники теплоты, которые нахо-
дятся в результате решения электрической задачи.
Для полного математического описания процесса нагрева за-
готовок необходима постановка соответствующих начальных и гра-
ничных условий. Запишем в общем случае граничные условия,
217
учитывающие теплообмен с окружающей средой излучением и кон-
векцией
1 £- L=°'57е т‘>+“ <-т-~+Л/|- (6-22)
где е — коэффициент черноты; а — коэффициент теплоотдачи;
Лр0 — удельная поверхностная мощность.
В качестве начальных условий наиболее часто используется
равномерное распределение температуры по объему загрузки, рав-
ное температуре окружающей среды Тс. Решение уравнений (6.21)
и (6.22) осуществляется методом конечных разностей. При индук-
ционном нагреве металлов источники теплоты распределяются не-
равномерно как по длине, так и по радиусу заготовки. Для более
точного учета источников теплоты целесообразно в зоне их концен-
трации пространственную сетку сгущать, т. е. использовать не-
равномерную сетку. Неравномерная сетка у поверхности заготовки
позволяет также повысить точность задания граничных условий.
Введем сетку йАт=юА х где ыА = (z,€ [0, Zq]; Rm£ IRO, Re]-,
t=l, 2, . . . , N; m = 1, 2, . . . , M\ — пространственно
неравномерная сетка, a cot={// = /x; j = 0, 1, 2, . . . , j0} —
временная равномерная сетка с шагом т. Дифференциальные опе-
раторы, содержащие производные по координатам z и R, аппрокси-
мируются соответственно разностными операторами ЛгТ и Л.КТ:
ЛгТ = — — 1; (6.23)
cvt fy L hl+l hi J
Л«Т= -!------L- (7?m+1-0.5/zm+1) Tm+1 -T™_
cvtn Km ft tn |_ ftm+1
-km(Rm-0,5hm) . (6.24)
hm J
fi, = 0,5(fti+14- fy); hm = 0,5 hm)-,
=o,5(Xj+1+M; А^о,5(Хг+Vi);
= 0,5 (Xm+14- Xm); = 0,5 (Xm + A.m_x).
Напишем двухслойную схему с весовым коэффициентом о:
т'+1~т1 = Л2 (оГ +1 + (1 - о) Т>] + А* [оТ^1 + (1 - а) Т1] +
4—— (оау,+14- (1 4- о) и/р
cv
(6.25)
Будем рассматривать простейшие двухслойные схемы; при
сг ~ 0 получим явную схему, при о = 1 — чисто неявную схему.
Решение по явной схеме получить очень просто. Температуру в уз-
лах пространственной сетки на каждом последующем временном
218
шаге j + 1 можно найти, зная температуру на предыдущем шаге j,
по выражению
Г +1 = Г + т + AzTi + -у- (6.26)
при использовании начальных и граничных условий. Число арифме-
тических действий при переходе с одного временного слоя на дру-
гой пропорционально числу узлов пространственной сетки. Недо-
статок явной схемы заключается в том, что она устойчива только
при определенных т, а именно
т < 0,25/z2min/%ax, (6.27)
где Лт1П — наименьший шаг пространственной сетки; атах — мак-
симальная температуропроводность.
Неявная схема [уравнение (6.25) при о = 1 1
Ti+1~Tl- = AiT^1 + A2r+1 + — w'+i (6.28)
T cv
устойчива при любом шаге по времени. Однако решение задачи по
этой схеме сводится к решению на каждом временном шаге системы
линейных уравнений с порядком, который определяется числом
узлов пространственной сетки.
Основная сложность, препятствующая применению схемы (6.28),
связана с необходимостью многократно решать такие системы урав-
нений, а все известные методы решения требуют затрат большого
числа арифметических действий. В условиях жесткого ограничения
на быстродействие и оперативную память ЭВМ начиная с середины
50-х годов был предложен ряд экономичных схем, сочетающих луч-
шие качества явных и неявных схем [129—132]. Эти схемы безу-
словно устойчивы при любых т и h, и затраты на вычисления по
ним пропорциональны числу узлов сетки.
Локально-одномерная схема (ЛОС). Эта схема получила теоре-
тическое обоснование в работах А. А. Самарского [81, 1301. Суть
ее заключается в том, что уравнение (6.28) расщепляется на два
более простых уравнения
(6.29)
(6.30)
Значения и w2 должны удовлетворять соотношению w =
— Wj + w2. Будем полагать = w2 = 0,5 w. К уравнениям
(6.29) и (6.30) надо добавить начальные и разностные граничные
условия.
Решение проводится следующим образом. Сначала вдоль строк
гп = 0, 1, . . . , Л1 решаются одномерные уравнения (6.29) по на-
правлению z. Полученное при этом температурное поле исполь-
219
зуется как начальное для решения одномерных уравнений (6.30)
по направлению 7? при i = 0, 1, .... /V. И так на каждом времен-
ном шаге. Физически это можно интерпретировать как получение
температурного поля на (/ 4- 1)-м шаге в результате двух процес-
сов: распространения теплоты на каждом временном шаге сначала
только вдоль оси, а затем только вдоль радиуса. Локально-одно-
мерная схема безусловно устойчива, и ее порядок аппроксимации
0(т+|^|).
Используя выражения (6.23) и (6.24) для разностных операто-
ров Л] и Л2, уравнения (6.29) и (6.30) можно свести к виду (2.117)
и решить методом прогонки.
Схема переменных направлений. Эту схему называют также
схемой Писмена—Речфорда по имени авторов, предложивших ее
[131 ]. Суть ее, как и других экономичных схем, заключается в рас-
щеплении исходного уравнения на два более простых
Ti+i/2 — Т>
0,5т
Ti'+i — Т>+1/2
0,5т
Л1П+1/2+ даГ + J_ wi- (6.31)
Су
Л1Г+‘/2 + Л2Г+1 + —и/. (6.32)
cv
Решение на каждом временном шаге происходит в два этапа. Сна-
чала с шагом 0,5 т решаются уравнения (6.31), неявные по направ-
лению г и явные по направлению R. Полученное промежуточное
решение Т1+ХГ2 дает начальные значения для решения уравнений
(6.32), явных по г и неявных по R. Поскольку в отличие от
локально-одномерной схемы здесь используется информация о по-
ведении температурного поля на предыдущем полушаге, то схема
переменных направлений имеет повышенный порядок аппрокси-
мации по т 0 (т2 + | h21). Сравнение показывает, что схема перемен-
ных направлений обеспечивает требуемую точность расчета конеч-
ного температурного поля при меньшем числе шагов по времени.
Выигрыш по времени счета не столь значителен по сравнению с ло-
кально-одномерной схемой из-за больших, чем у последней, затрат
машинного времени на каждый временной шаг. Целесообразно
различные способы численного решения уравнения теплопроводно-
сти с внутренними источниками оформлять в виде стандартных под-
программ с унифицированным входом и выходом. Это позволяет
легко их вписывать в общую структуру цифровых моделей индук-
ционных нагревателей.
Модель индукционного нагревателя периодического действия
включает в себя расчет нагрева заготовки от начальной темпера-
туры до требуемой конечной и расчет температурного поля в про-
цессе транспортировки ее к деформирующему оборудованию. Про-
грамма расчета нагревателя периодического действия содержит
четыре основных блока, помеченных цифрами на рис. 6.9. В блоке 1
производится первичная обработка исходных данных, в том числе
формирование пространственной сетки тепловой задачи, аппрокси-
220
Рис. 6.9. Программа расчета индукционного нагревателя периодического
действия
мация таблично заданных тепло- и электрофизических свойств,
зависящих от температуры, установление эквивалентных гранич-
ных условий для тепловой задачи, учитывающих наличие
футеровки, разбиение загрузки на элементы для электрической
задачи. В блоке 2 производится расчет электрических параметров
системы и распределения источников теплоты. Формирование мас-
сива внутренних источников теплоты в узлах пространственной
сетки загрузки осуществляется в блоке 3 исходя из информации,
полученной после решения электрической задачи. Там же проис-
ходит задание соответствующих граничных условий для тепловой
задачи, причем на торцах и поверхности заготовки условия тепло-
обмена могут быть заданы разными. Плотность тока, найденная
в элементах загрузки в результате решения электрической за-
дачи, аппроксимируется по радиусу в сечениях загрузки, совпа-
дающих с центрами элементов. Это используется при нахождении
массива внутренних источников теплоты в узлах пространствен-
ной сетки загрузки. В блоке 4 производится расчет температурного
221
поля в заготовке, как с внутренними источниками теплоты, так и без
них в процессе транспортировки. Кроме того, в этом блоке опреде-
ляется мощность тепловых потерь с различных поверхностей за-
готовки. Необходимый режим работы блоков задается набором со-
ответствующих программных ключей при обращении к подпрограм-
мам.
Вывод информации осуществляется в краткой форме или в под-
робной в зависимости от значения программного ключа, которое
вводится в начале решения задачи. Информация о распределении
полей источников и температуры выводится в виде массивов чисел
или в графической форме.
В программе после каждого шага по времени при решении теп-
ловой задачи предусмотрена проверка радиальных температурных
перепадов. Если максимальный перепад превышает заданную ве-
личину, определяемую из условия ограничения термонапряжений,
то происходит уменьшение мощности нагрева (увеличение числа
витков индуктора или снижение напряжения на индукторе) и рас-
чет осуществляется заново.
Для того чтобы учесть изменение электрических характеристик
индукционной системы и мощности внутренних источников теплоты
в процессе нагрева, температурный диапазон от начальной темпе-
ратуры Тк до конечной Тк целесообразно разбить на р интервалов,
в пределах которых электромагнитные параметры системы счи-
таются неизменными. После каждого шага по времени в тепловой
задаче происходит проверка, не превысила ли температура на по-
верхности в средней части по длине заготовки Тк верхнего предела
температурного интервала Тс. Если нет, то тепловая задача ре-
шается далее с прежними внутренними источниками теплоты,
в противном случае происходит их пересчет. Для повышения точ-
ности электрический расчет производится исходя из некоторого
среднего по времени температурного поля в следующем интервале,
которое заранее неизвестно, но в первом приближении может быть
определено как температурное поле в конце предыдущего интер-
вала, просуммированное во всех узлах пространственной сетки за-
готовки с величиной 0,5 АТ = 0,5 (Тк—Тк)'р. Очевидно, что такое
допущение будет тем справедливее, чем ближе режим нагрева к
квазистационарному.
В качестве примера рассмотрим нагрев титановых заготовок
диаметром 0,5 м и длиной 1 м в индукторе с внутренним диамет-
ром 0,64 м и длиной 1,4 м на частоте 50 Гц. Число витков индуктора
56, напряжение 380 В, футеровка выполнена из жаропрочного бе-
тона с толщиной 0,04 м. На рис. 6.10 показано распределение тем-
пературы в характерных зонах заготовки в различные моменты вре-
мени, а на рис. 6.11 представлены энергетические характеристики
нагревателя.
В отличие от установок периодического действия в индукцион-
ных нагревателях непрерывного действия заготовки перемещаются
в процессе нагрева и попадают в зоны с различными условиями
222
Рис. 6.10. Динамика температурного поля в наиболее характерных зонах
при индукционном нагреве цилиндрической заготовки из титана
теплообмена и различным распределением источников теплоты. При
разработке моделей указанных устройств принципиально возможны
два подхода.
Первый, более общий, заключается в том, что моделируется ра-
бота индукционной установки, начиная с загрузки и кончая выхо-
дом на установившийся, ритмичный режим работы. Другой подход
основан на первоначальном предположении о распределении тем-
0,8
0,6
1000 -
04 - 40
О 1000 2000 3000 4000 5000 с
Рис. 6.11. Энергетические характеристики индукционного нагревателя
223
пературных полей по длине столба заготовок в установившемся
режиме. Согласно этому распределению температуры решается
электрическая задача и находится распределение внутренних источ-
ников теплоты в любом положении заготовки в нагревателе. Далее
рассчитывается температурное поле заготовки последовательно
в каждом из ее положений в нагревателе, начиная с загрузки за-
готовки (обычно с начальным равномерным распределением темпе-
ратурного поля) и кончая выдачей ее из нагревателя и транспорти-
ровкой к деформирующему оборудованию.
В процессе решения запоминается распределение температуры
по длине заготовок и сравнивается с первоначально заданным.
Если расхождение превышает заданную погрешность, то происхо-
дит пересчет электрической задачи уже исходя из полученного рас-
пределения температуры и тепловой расчет повторяется.
На рис. 6.12 представлена структура программы расчета уста-
новившегося режима непрерывного нагревателя с дискретным пе-
реталкиванием заготовок. В этой программе используются те же
основные блоки, что и в программе расчета индукционного нагрева-
теля периодического действия. Начальное распределение темпера-
туры по длине столба немагнитных заготовок Т (г) при дискретном
переталкивании целесообразно задавать в виде ступенчатой функ-
ции, а ступени определяются начальной (Тн) и конечной (Тк) тем-
пературами нагрева и числом заготовок N-.
\T = (TK—TK)/N. (6.33)
В блоке 2 исходя из этого распределения температуры решается
электрическая задача. В дальнейшем происходит расчет темпера-
турного поля заготовки в процессе нагрева и перемещения ее в на-
гревателе. Положение заготовки в нагревателе определяется ин-
дексом ns. Для каждого значения индекса берутся соответствующие
внутренние источники теплоты и граничные условия на поверх-
ностях заготовки. Для заготовки на выходе из индуктора
(ns = N) проверяется соответствие температуры на поверх-
ности (средней либо в какой-нибудь точке, например, в сред-
нем сечении) требуемой конечной температуре Тк. В случае если
полученная в результате расчета температура отличается от ко-
нечной температуры нагрева больше чем на заданную величину,
то в программе предусматривается два варианта дальнейшего рас-
чета: первый — с изменением времени нагрева заготовки, второй —
с изменением мощности нагревателя.
Рассмотрим нагрев крупногабаритных алюминиевых заготовок
в трехфазном индукционном нагревателе. При оптимальном за-
глублении заготовок в индукторах на распределение температур-
ного поля по длине заготовок влияет фазовый сдвиг напряжений
на соседних секциях и соотношение длин заготовок и секций индук-
торов. На рис. 6.13 показаны результаты расчета нагрева в одном
индукционном нагревателе различного числа заготовок (соответст-
венно различной длины) при сохранении постоянным общего вре-
224
Рис. 6.12. Программа расчета индукционного нагревателя непрерывного
действия с дискретным переталкиванием заготовок
мени нагрева. При трех заготовках в нагревателе (длина каждой
/2 — 1 м) время нагрева между переталкиванием составляет 5 мин
20 с. При четырех заготовках (/2 = 0,75 м) время нагрева между
переталкиваниями составляет 4 мин. В обоих случаях время пере-
талкивания 1 мин. На рис. 6.13 показано распределение темпера-
туры на поверхности перед переталкиванием для трех заготовок
(сплошные линии) и для четырех заготовок (штриховые линии).
Распределение температуры показано при различных схемах пи-
тания секций. В наиболее неблагоприятном случае, когда фазовый
сдвиг напряжения на двух соседних секциях составляет 120° (кри-
вые 2), перепады температуры по длине заготовки на выходе могут
составлять 70 °C. При фазовом сдвиге напряжений на соседних
секциях 60° перепады температуры меньше (кривые /), но все равно
достигают недопустимой величины 40 °C. Следует отметить, что
х/^8 Заказ № 776
225
100 । t । । । । । । । [ ] । । । ^
0 Ofi 0,8 1,2 1,6 2,0 2ft 2,8 м
Рис. 6.13. К расчету трехфазного индукционного нагревателя
это происходит при самом неблагоприятном расположении загото-
вок в нагревателе, когда длина заготовок близка к длине секций
и распределение источников теплоты по длине в процессе всего вре-
мени нагрева имеет один и тот же характер, что препятствует вы-
равниванию температуры за счет теплопроводности. При более
рациональном соотношении длин секций и заготовок (/2 = 0,75 /и)
как это видно из рис. 6.13, удается получить равномерность на-
грева выходной заготовки в пределах десяти градусов даже при
фазовом сдвиге 120°.
6.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННЫХ МЕТОДОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ПРИ ПОСТРОЕНИИ
ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ МОДЕЛЕЙ УИН
При моделировании устройств индукционного нагрева с сильно
неоднородной и нелинейной загрузкой применение метода инте-
гральных уравнений к расчету поля внутренних источников теплоты
226
становится затруднительным. Это относится прежде всего к таким
устройствам, как индукционные плазмотроны, индукционные на-
греватели ферромагнитных заготовок, устройства для плавки окси-
дов в холодных тиглях и т. д. Для удовлетворительного описания
в этом случае поля внутренних источников теплоты загрузку не-
обходимо разбивать на большое число элементов дискретизации,
порядка сотен. Матрица системы алгебраических уравнений, полу-
чаемая при дискретизации интегрального уравнения, является
плотно заполненной, и время решения системы резко растет с уве-
личением ее порядка. Альтернативные варианты расчета электро-
магнитного поля по методу конечных разностей или конечных эле-
ментов лишены этого недостатка, но им присущи собственные не-
достатки, связанные с трудностями задания граничных условий
для исследуемой области, с определением входных параметров си-
стемы при сложной схеме включения индукторов и т. д. [133].
Из анализа методов численного расчета электромагнитных па-
раметров индукционных систем (см. главу 2) можно предположить,
что наиболее эффективным и экономичным способом расчета
будет комбинированный метод, при котором расчет входных пара-
метров индукторов (внешняя задача) производится на базе метода
интегральных уравнений, а расчет распределения электромагнит-
ного и температурного поля в загрузке (внутренняя задача) — на
базе метода конечных разностей [39, 133].
Пусть индукционная система состоит из нескольких массивных
витков, сечения которых образуют область В, из внешнего магни-
топровода М с проницаемостью и и загрузки Р (рис. 6.14). Окружим
область Р поверхностью G, на которой будем осуществлять стыковку
внешней и внутренней задач. В большинстве случаев в качестве G
целесообразно брать поверхность загрузки. Однако при сложной
ее форме или при подвижной, заранее неизвестной границе (на-
пример, для индукционного плазменного факела или расплава в ин-
дукционной печи) поверхность G лучше взять простой формы с
учетом того, что загрузка всегда должна находиться внутри нее.
Витки индуктора и поверхность магнитопровода разобьем на
кольцевые элементы, совокупность которых образует массив С.
В соответствии с методом вторичных источников [32] расчет поля
во внешней области можно проводить отдельно, заменяя загрузку
совокупностью пространственно рас-
пределенных источников 1Р, в ка-
честве которых для индукционных
устройств можно взять токи про-
водимости, а также поверхност-
ные и объемные токи намагничен-
ности.
Рис. 6.14. К расчету электромагнитного
поля в индукционной системе
1 /г8
227
Если вторичные источники 7Р' известны, то можно найти рас-
пределение тока проводимости в витках индуктора и поверхностных
токов намагниченности iM на поверхности М, решив систему урав-
нений
i С r j t xuj k = 3iPф- Й,; (6.34)
kec
-------lNitik=FiP. (6.35)
H — 1 kec
Здесь rt и Ui — активное сопротивление кольцевого элемента i
и напряжение на нем; xik — сопротивление взаимной индукции
элементов i и k\ Nik — коэффициент, определяющий магнитодви-
жущую силу Fik на поверхности элемента i, созданную током Д;
9iP и FiP — ЭДС и МДС для элемента I, созданные всеми источ-
никами ip.
Решение задачи может быть получено в соответствии со следую-
щим алгоритмом:
1. Задается начальное (например, нулевое) распределение то-
ков iP в загрузке.
2. Решается система уравнений (6.34), (6.35), в результате
чего находятся токи /с = /bU^m-
3. На границе G вычисляются значения Ё от токов 1С и 7Р:
Ёс~ EClC-\- ЁСР. (6.36)
4. Методом конечных разностей рассчитывается поле и затем —
вторичные источники в загрузке.
5. Повторяется расчет по пп. 2—4.
Критерии сходимости, определяющие окончание расчета, мо-
гут быть сформулированы по установлении токов I в, /Р или на-
пряженностей поля на поверхности G. Нужно отметить, что при
итерациях в системе уравнения (6.34), (6.35) меняются только пра-
вые части, что упрощает расчет.
Предлагаемый способ расчета представляет собой вариант ме-
тода блочных итераций, при котором для нахождения поля в раз-
ных областях используются различные методики. Сходимость ме-
тода зависит от связи между элементами внешней и внутренней
областей, и она тем выше, чем слабее эта связь. Практическая реа-
лизация метода при расчете индукционных плазмотронов показала,
что процесс сходится за 3—5 итераций [87].
Для проводящей полностью или частично ферромагнитной за-
грузки получаются сложные вторичные источники [56], сосредо-
точенные обычно в сравнительно тонком слое, причем действия то-
ков проводимости и токов намагниченности направлены навстречу
друг другу. Вычисление этих токов и создаваемых ими величин ЭсР
и FiP усложняет программу и снижает ее эффективность. В этом
228
случае целесообразно сшивание внешней и внутренней задач при
постановке импедансных граничных условий (ИГУ). Принципи-
альным отличием такого подхода является то, что вторичные источ-
ники внутри Р не определяются, а вместо них на поверхности G
вводятся фиктивные токи /с, действие которых на внешнее поле
заменяет влияние загрузки. Токи 10 можно определить, если из-
вестно сопротивление единичного квадрата (импеданс) во всех точ-
ках поверхности G
Zoi = EJHti = (VRt + jVXt), i^G. (6.37)
oet-
Величины Zoi или и VXt находятся непосредственно из
решения внутренней задачи (6.1) и (6.2) конечно-разностным ме-
тодом. Для нахождения токов 1а применяется система уравнений
(2.84).
С использованием импедансных граничных условий для сшива-
ния внешней и внутренней задачи разработана программа электри-
ческого и теплового расчета стационарного режима работы индук-
ционного нагревателя непрерывного действия с цилиндрической
магнитной и немагнитной загрузкой. Предусматривается расчет
секционированных нагревателей с дискретным и непрерывным
перемещением заготовок. Работа программы осуществляется по
следующему алгоритму:
1. Вводятся исходные данные и задается начальное распреде-
ление температуры по длине загрузки, исходя из которого форми-
руются начальные значения массивов коэффициентов VR и VX.
2. Решается внешняя электрическая задача с импедансными
граничными условиями.
3. Для каждого элемен-
та загрузки решается
внутренняя электротепло-
вая задача при напряжен-
ности магнитного поля
на поверхности, получен-
ной из решения внешней
электрической задачи. При
этом температурное поле
Рис.6.15. Распределение удель-
ной мощности р0, напря-
женности магнитного поля Н,
температуры поверхности Tv,
центра 7ц, внутренней поверх-
ности футеровки Тф вдоль
столба заготовок в кузнечном
индукционном нагревателе
8 Заказ № 776
229
первой заготовки используется в качестве начального для вто-
рой и т. д.
4. Корректируются массивы коэффициентов VR и VX.
5. Полученное температурное поле сравнивается с предыду-
щим, Если расхождение больше заданного, то осуществляется пе-
реход к п. 2.
6. По достижении требуемой точности производится оконча-
тельная обработка и вывод результатов.
В качестве примера на рис. 6.15 представлены результаты рас-
чета распределенных параметров кузнечного индукционного на-
гревателя мерных стальных заготовок длиной 12 см и диаметром
6 см. В индукторе длиной 118 см одновременно находятся 9 загото-
вок. Темп переталкивания обеспечивает производительность 1,2 т/ч.
Внутренний диаметр индуктора по меди 12 см, футеровка выпол-
нена из жаропрочного бетона толщиной 2 см, число витков 72, на-
пряжение питания 800 В, частота 1000 Гц. Полная активная мощ-
ность непосредственно перед переталкиванием 362 кВт, электри-
ческий КПД 0,75, полный КПД 0,71, коэффициент мощности 0,2.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ
ПРИ ОПТИМИЗАЦИИ УИН
7.1. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ИНДУКЦИОННЫМИ НАГРЕВАТЕЛЯМИ
Индукционные нагревательные устройства с позиций теории
оптимального управления относят к объектам с распределенными
параметрами. Процесс нагрева заготовок описывается нелинейным
уравнением теплопроводности (1.71) при граничных условиях
(1.74). В общем случае управляющими воздействиями являются
пространственно распределенные внутренние источники теплоты
w(x, t), входящие в уравнение (1.71). При заданных электро- и
теплофизических свойствах материала заготовки распределение
и мощность внутренних источников теплоты определяются многими
факторами, в том числе конструктивными параметрами индукцион-
ного нагревателя, электрической схемой его включения, напряже-
нием на индукторе при заданном числе его витков, частотой тока.
Отсюда видна тесная связь задачи управления индукционными
нагревателями с задачей их конструирования и проектирования.
Более того, конструирование технического устройства можно рас-
сматривать как определенный этап в решении общей задачи управ-
ления технологическим процессом с целью достижения его макси-
230
мальной эффективности [134, 135]. Это требует совместного проек-
тирования как технических устройств, обеспечивающих техноло-
гический процесс, так и системы управления ими. В настоящее
время указанный подход еще не получил широкого распростране-
ния. Объясняется это сложностью проблемы и тем, что математи-
ческие модели и методы решения задач конструирования и управ-
ления не имеют общей методологической основы. Цифровое
моделирование создает основу как для конструирования и проекти-
рования индукционных нагревательных устройств, так и для управ-
ления ими уже в технологическом процессе нагрева.
Последняя задача является традиционной при оптимизации
управления системами с распределенными параметрами. При ин-
дукционном нагреве заготовок обычно считается, что конструкция
и электрическая схема включения нагревательного устройства не-
изменны в процессе нагрева. Поэтому возможности управления
ограничиваются здесь небольшим числом факторов, которые можно
легко изменять и контролировать во времени. На практике мощ-
ность внутренних источников теплоты регулируется напряжением
на индукторе, что и обусловливает в дальнейшем выбор этого на-
пряжения в качестве управляющего воздействия.
На управляющее воздействие U (0 на отрезке О <Z t < t0 накла-
дывается ограничение вида
0<П(0^СЛпах. (7-1)
Во время процесса t0 также должны выполняться условия ог-
раничения максимальной температуры в объеме заготовки
Tmax(xU)cTorp, /00, /0] (7.2)
и ограничения градиента температурного поля по объему заготовки,
которое определяется по максимуму допустимых растягивающих
термонапряжений. Температурные перепады зависят от мощности
и обычно при максимальном управляющем воздействии не дости-
гают критических значений. Поэтому существенным в большинстве
случаев является лишь ограничение (7.2).
При оптимизации управления индукционным нагревателем наи-
более часто ставятся следующие задачи:
1. Задача быстродействия. Требуется найти управление Uopt (/),
обеспечивающее нагрев заготовки до заданной конечной темпера-
туры Тк с заданной абсолютной погрешностью е по всему его объему
в минимальное возможное время t — tmin при условиях (7.1) и
(7.2).
2. Задача наилучшего приближения. Требуется найти управ-
ление Z7opt (t), обеспечивающее за фиксированное время t0 нагрев
заготовки с погрешностью, не превышающей максимальную воз-
можную погрешность е* при условиях (7.1) и (7.2).
3. Задача на минимум расхода энергии. Требуется найти управ-
ление Uopt (t), обеспечивающее нагрев заготовки до заданной ко-
8*
231
нечной температуры с заданной погрешностью е при условиях (7.1)
и (7.2) и минимальном возможном расходе энергии
г
Q= \ U (I) l(t) cos фdt, (7.3)
b
где I — ток в индукторе; cos ф — коэффициент мощности индук-
тора; f — время процесса, которое может быть либо задано, либо
неизвестно заранее.
Наиболее общие вопросы оптимального управления системами
с распределенными параметрами рассмотрены в работах [109,
136—140] и др. Показано, что оптимальная программа изменения
t/opt (0 во времени представляет собой релейную функцию с I
интервалами постоянства, принимающую на каждом интервале по-
очередно крайние значения, если ограничения на возможные из-
менения U (/) имеют вид (7.1) и если не учитываются ограничения
(7.2) или они просто не достигаются в ходе процесса, т. е. оптималь-
ная программа управления напряжением на индукционном нагре-
вателе представляет собой последовательность этапов «включить—
выключить» (рис. 7.1). При учете технологических ограничений,
например на максимум температуры, в процессе нагрева на протя-
жении первого интервала напряжение поддерживается на макси-
мальном уровне U (t) = С'щах до некоторого момента времени
t — tnp, при котором достигается допустимый предел температуры
в какой-либо точке объема заготовки, а затем U (t) определяется
из условия стабилизации температуры в «горячей» точке на пре-
дельном допустимом уровне вплоть до окончания первого интер-
вала (рис. 7.2).
Таким образом, решение задачи оптимального управления сво-
дится к определению числа интервалов постоянства i и их продол-
жительности .
В работе [141] решалась первая задача (задача быстродействия)
поисковыми методами на ЭВМ с использованием одномерной не-
линейной модели индукционного нагрева. Априорно задавалось
число интервалов управления I, и в i-мерном евклидовом прост-
ранстве производился поиск продолжительности интервалов т7,
/ = 1, 2, . . . , I. Поиск разбивался на два этапа. На первом этапе
основной целью было достижение гиперповерхности максимального
отклонения температуры от требуемой в пространстве т7, опреде-
ляемого величиной 8. На втором этапе происходило движение по
гиперповерхности с целью минимизации суммарного времени про-
цесса
Ряд существенных особенностей оптимального управления ин-
дукционным нагревом на базе линейной одномерной модели уста-
новлен Э. Я- Рапопортом. В [142—144] предложен метод решения
задачи быстродействия, базирующийся на сформулированном и до-
казанном в этих работах существенном свойстве распределения
232
Рис. 7.1. Вид оптимальной программы
управления индукционным нагревате-
лем
Рис. 7.2. Вид оптимальной про-
граммы двухинтервального упра-
вления при наличии ограничений
температурного поля Т (/?) цилиндра, согласно которому число
точек координатной оси, называемых далее предельными, для ко-
торых выполняется равенство
J = max|T(/?, Zmin)—Тк1,
(7-4)
R С1°. Kd.
должно быть не менее числа i интервалов постоянства оптимального
управления t/opt (О релейной формы, если е > e£>in , или
должно быть минимум на единицу больше t, если е = e<j>in. Зна-
чения eJ® минимальных достижимых погрешностей равномерного
приближения в классе релейных управлений Ut (t) с i интервалами
постоянства составляют убывающий с ростом i ряд неравенств
Ггп|п ^> • • • Emin— ®inf*
(7.5)
где einf — предельная возможная погрешность нагрева для рас-
сматриваемого объекта при фиксированной частоте тока и заданных
тепловых потерях, отличных от нуля. .
Если температура окружающей среды меньше требуемой конеч-
ной температуры загрузки, что выполняется практически всегда,
то 8inf >0 [145], т. е. достижение идеального равномерного тем-
пературного поля при индукционном нагреве невозможно. При за-
данном е число интервалов постоянства 67opt (0 равно I, если
е^’>Е >emin » откуда t определяется местом е в ряде (7.5). При
известном числе интервалов i нахождение длительностей Дт, m =
233
= 1, 2, . . . , i, сводится к решению системы уравнений относи-
тельно температуры в предельных точках
|ТР(/?П/, А(1))-Тк|-е; /?„,£{£<>, Кэ1, - • Кэг}\ (7.6)
arP(j?9ft, А(й) =0 j=l,2,...,s; /?= 1, 2, ... , г; r<s;
dR
s=i, если > е > е<£> ; s = s+L если е = е<£>
где 7Р (/?, Д<о) соответствует результирующему распределению
температурного поля, полученного под действием £/oPt (О с i ин-
тервалами постоянства, определяемыми вектором длительностей
А<» = (Д<0, ДШ, . . . , д(0).
Анализ показал, что одномерная модель процесса индукцион-
ного нагрева дает только качественную картину параметров опти-
мальной программы управления. Поэтому в дальнейшем будем рас-
сматривать задачу оптимального управления пространственно мно-
гомерным температурным полем. Особенно это важно, когда тре-
буемая точность нагрева е сравнима с температурными перепадами
по длине заготовки. В случае индукционного нагрева цилиндра
конечной длины задача сводится к оптимальному управлению двух-
мерным температурным полем. Принципиально эту задачу можно
решать поисковыми методами, аналогично [141]. Однако объем
вычислений становится настолько большим, что затрудняет реа-
лизацию метода даже на современных ЭВМ. Поэтому более перспек-
тивной оказалась попытка распространения результатов работ
[142, 143] на двухмерный процесс индукционного нагрева цилинд-
ров [146, 147].
Пусть требуется найти оптимальную программу i/opt (0 из-
менения во времени ограниченного по модулю управляющего воз-
действия U (I) £ [0, Йп>ах], t £ [0, f0], обеспечивающую равно-
мерный нагрев цилиндрической загрузки конечной длины до тем-
пературы Тк с заданной точностью е по всему объему загрузки за
минимальное возможное время ^min = t0 при известных теплофи-
зических, электромагнитных и геометрических характеристиках
осесимметричной системы индуктор—металл.
Будем считать решенной на основе разработанных цифровых
моделей задачу идентификации объекта управления, т. е. задачу
вычисления температурного поля по исходным данным при любой
известной программе U (/). Можно показать, что £7OPt (0 имеет
вид релейной функции, попеременно принимающей свои граничные
значения, начиная с £/тах на первом интервале. При этом мини-
мальные достижимые неравномерности нагрева е<ч в классе ре-
лейных управлений (7{ (0 с i интервалами постоянства составляют
убывающий с ростом i ряд неравенств (7.5). При уточненном опи-
сании объекта управления якобиан основной системы уравнений,
234
фиксирующей предельную допустимую температуру в конце оп-
тимального процесса для предельных точек по объему загрузки
Тк ± 0,5 е, остается отличным от нуля при всех е, больших или
равных минимальной возможной неравномерности еиц. Отсюда
получаем, что для конфигурации результирующего распределения
температуры сохраняется основное свойство, установленное в 1142,
143] и заключающееся в том, что общее число предельных точек
этого распределения должно быть не менее числа интервалов i,
если е > е^.п, либо больше I минимум на единицу, если е = е®1п.
Характерной особенностью индукционного нагрева цилиндров яв-
ляется то, что Sint достигается во многих случаях уже при числе
интервалов управления i = 2, реже при i = 3, 4.
Рассмотрим более подробно случай s £ (е„\п> е^п). Считая,
что качественный характер температурного поля в конце оптималь-
ного процесса соответствует для всех поперечных сечений цилиндра
базовой одномерной модели при всех е £ (emin’ emin)> будем иметь,
что i = 2; следовательно, требуется найти длительности первого
Др и второго др интервалов £7opt (/), а также величину epin,
если е = . Используя результаты [142, 143], получим при
е = epin следующую расчетную систему уравнений, фиксирую-
щую предельный уровень конечной температуры в трех предельных
точках по объему заготовки:
Тр(0, z„ др, др)-Тк=-0,5ер1п;
Тп(7?г, z2, Др, др)-Тк=-0,5ер1п;
7р(/?э, z3, Др, ДР)-Тк = 0,5еп;
агр(/?э, г3,др, д<2>) 0
dR
(7-7)
где Тр (R, z, Др, Др)—температурное поле в конце оптималь-
ного процесса, однозначным образом определяющееся радиальной R
и аксиальной г координатами, а также длительностью интерва-
лов Др и Др. Здесь предполагается, что минимальная результи-
рующая температура достигается в центре R = 0 и на поверхности
R = Re цилиндра, а максимальная — в некоторой внутренней
точке, для которой =0. Однако для реальной модели
объекта предельные точки с радиальными координатами R — 0,
R = Re, R = R3 могут лежать в различных поперечных сечениях
с неизвестными априори осевыми координатами соответственно
2р, z2, zs. В зависимости от характера теплообмена на торцах ци-
линдра и от распределения источников теплоты по его длине се-
чения z — zlt z = z2 и z = z3 могут быть либо внутренними
235
(и тогда для их определения можно использовать дополнительные
условия
dTn(zk, R , д!2), л!2))
—* 4 1 =0, kQ [1, 2, 3], (7.8)
dz
в точках с соответствующей радиальной координатой RQ, где
Rq £ [0, если k Q [1, 2] и Rq = R3, если k = 3); либо тор-
цевыми, т. е. Zk £ {0, ^2j- Описанные условия определения zlf
z2, г3 замыкают систему уравнений (7.7), позволяя решить ее от-
носительно всех неизвестных. Аналогично, если фиксируется за-
данное значение е в пределах epin >e>epin вместо (7.7) получим
расчетную систему вида
Тр(0, г., Др, Д<2))—Тк= — 0,5е;
Tp(R3, гу Др, Д<2))—Тк = 0,5е; (7 9)
атр(7?э, г3, А<2>, Др) о
dR
отличающуюся от (7.7) отсутствием предельной точки при R = Re.
В данном случае специфика оптимального управления двухмер-
ным температурным полем заключается в том, что соотношения
(7.7) и (7.9) не являются достаточным условием оптимальности па-
раметров нагрева. Возможна ситуация, когда величина е = epin
в (7.7) не будет предельной возможной погрешностью нагрева в дан-
ных конкретных условиях. Это будет иметь место, если темпера-
тура в какой-либо угловой точке для температурного поля, соот-
ветствующего параметрам решения (7.7), не является минимальной
температурой на поверхности заготовки. В этом случае можно по-
высить точность нагрева за счет выравнивания температуры по осе-
вой координате. Тогда вместо предельной точки на оси заготовки
необходимо рассматривать в качестве предельной угловую точку
с наименьшей температурой и система соотношений, фиксирую-
щая предельный уровень конечной температуры в трех точках,
будет иметь вид
Т(^, г0, Др, Д(2))-Тк=-0,5^>п;
7р(^, г2, Др, A<2))^-TK=-0,5Epin;
7р(/?э, г3, Др, Др)-Тк=0,5^>п;
^р(/?3, г3, Др, др) Q
dR
(7.Ю)
где г0 £ {0, /2) — координата торца заготовки, где находится уг-
ловая точка с меньшей температурой. Остальные обозначения —
те же, что и для (7.7).
236
Если минимальная температура на поверхности заготовки для
конечного распределения температурного поля находится в угло-
вой точке, что бывает часто на практике, то найденные из (7.7) зна-
чения параметров являются оптимальными и соответствующая им
величина е0 = e<2,jn не может быть уменьшена. При фиксированной
величине е, если е > е0, то параметры оптимального процесса по-
прежнему находятся из системы соотношений (7.9). Если жее*<
< е <е0, где е* = e®in, найденная решением системы (7.10), то
оптимальные параметры процесса получим после решения системы
соотношений следующего вида:
*,• Лр. А?)-Тк=о,5«;
T,(R,. Ч- М2’. лР)-Гк=0,5г; (7 Н)
атр(я,. гг, Ар. Др) о
dR
Отличие системы (7.11) от (7.9) заключается в том, что вместо
предельной точки на оси заготовки рассматривается предельная
точка на ее поверхности.
При постановке задачи оптимального управления конечное рас-
пределение температурного поля загрузки обычно фиксируется на
выходе из нагревателя. Однако за время Атр транспортирования
загрузки от нагревателя к деформирующему оборудованию и дру-
гих вспомогательных операций температурное поле к моменту
начала деформации может сильно исказиться и уже не будет удов-
летворять требованиям, вытекающим из технологии. Поэтому бо-
лее правильно во многих случаях ставить соответствующую за-
дачу оптимального управления индукционным нагревателем так,
чтобы требуемое температурное поле устанавливалось непосредст-
венно перед началом деформации металла. При этом, очевидно,
сохранится релейная форма оптимального управления, но число
интервалов постоянства будет четным, а минимальная продолжи-
тельность последнего интервала будет ограничена временем Атр.
Аналогично тому, как было сделано для задачи оптимального уп-
равления нагревателем без учета времени транспортировки, может
быть получена расчетная система уравнений, фиксирующая ко-
нечную температуру в двух предельных точках:
T(Rf, zv А<2>, А Т =—0,5е<?> ;
р \ 'е 2’ I ’ тр/ к ’ min’
тр(/?э, г3, др, ATp)-TK=0,5e^)in;
сЛ-р(7?э, г3, Л<2>, ЛТР) 0
dR
Если оптимальный второй интервал больше или равен времени
транспортирования А<2> > Атр, то в качестве расчетных систем
237
можно взять системы, аналогичные (7.7) и (7.10) в зависимости от
вышеуказанных дополнительных условий. Таким образом, для
6 € temin> emin 1 и Др Дтр система соотношений будет совпа-
дать с (7.9) или (7.11), а в случае Др < Дтр для нахождения А*2)
надо использовать выражение
Тр(7?е, г2, Д<2>, Дтр)^Тк=-0,5в. (7.13)
7.2. АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА НАГРЕВА
И ДЛИНЫ ИНДУКТОРА НАГРЕВАТЕЛЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК
Использование цифровой модели процесса индукционного на-
грева заготовки позволяет модифицировать и несколько упростить
расчетные соотношения путем неявного исключения координат
предельных точек. Действительно, поскольку требуемым условиям
должны удовлетворять температуры в любой точке заготовки, ко-
ординаты предельных точек выступают лишь в качестве промежу-
точных неизвестных и могут быть легко определены из конечного
результирующего температурного поля. В этих условиях выраже-
ния (7.7) — (7.13) могут быть записаны в компактной форме в виде
системы функциональных соотношений относительно неизвестных.
Например, уравнения (7.7) и (7.8) будут иметь вид
А2)-7’к=-0.580;
^'п(Др Д2)-7К=-О,5во;
(7-14)
7'tnax(Ai, Д2)— Тк— О,5ео
гда ео = из (7-7); т$1п (Д1Э Д2) = Тр (0, Др, Др) и
T’min (Д1> А2) = Тр (Re, z2, Др, Др) — наименьшие значения
температуры в конце процесса с оптимальными параметрами Дх
и Д2 соответственно на оси и на поверхности заготовки; 7’тах(Д1,
Д2) = Тр (R3, z3, Др, Д<2>) — наибольшая температура в конце
процесса. Последние три температуры при любых значениях пара-
метров программы управления находятся путем просмотра массива
температур в узлах пространственной сетки заготовки на цифро-
вой модели.
Аналогично можно записать соответствующие выражения для
(7.9) — (7.13):
7ШДр А2)-Тк=-0,5в; 1
Д2)—Тк = 0,5е; J
W А2)-7к=^-0,5в’;
T’min(Ai» Д2)—71к = —0,5е*;
Т’тах(Д1, Д2)—Тк = 0,5е*;
(7. 15)
(7.16)
238
^>п(ДР д2)-^к=-0.5е; |
Лпах^г» Д2)—Тк = 0,5е; /
^>п(Др ДР)-^=-0.5е’*]
Ттах(Д1, Дтр)—Тк=0,5е**; /
ПЛ?п(ДР ^-^=-0,56, (7.19)
где — температура в угловой точке с меньшей температурой;
В** = е®.п из (7.12).
Из-за отсутствия аналитического описания температурного поля
в зависимости от параметров программы управления удобно свести
отыскание последних к поиску в пространстве их длительностей
экстремума некоторого функционала, глобальный минимум кото-
рого, равный нулю, достигается на искомом решении. Для уравне-
ний (7.14) — (7.19) могут быть составлены, например, такие функ-
ционалы:
А = Гтах(^ М+^Л'р У-2ткр+[ттах(/р у +
+ ПЭД- У^]2; (7.20)
Л = гап('р + /2)-7к-0,5вр;
(7-21)
Л=[7’гаах(/р Q+TLW, 4)-2TK]2+[Tmax(/p /2) +
+ Wp y-2TKf; (7.22)
НШ М-Тк+0,5ер+[Ттах(/р /2)—7к—0,5е]2;
(7.23)
Л==[ГМ> \p)-Tmax(*P дТр)-27к]2; (7.24)
'б = [ВДг Дтр)~Тк+ 0.5е]2. (7.25)
Характерное для поведения функционала (7.20) распределение
линий уровня показано на рис. 7.3. Построения были сделаны при
решении задачи оптимального управления без ограничений при
нагреве на промышленной частоте заготовки из сплава Д1 диамет-
ром 0,48 м и длиной 1 м до температуры 460 °C в индукторе длиной
1,08 м при симметричном расположении заготовки в индукторе.
Для простоты условия теплообмена на обоих интервалах были при-
няты одинаковыми.
На рис. 7.4 для этой же системы показано поведение максималь-
ного отклонения температуры по объему заготовки от требуемой
конечной в пространстве изменения переменных и
J0 = max|T(7?, г, tlt tz)—TK\, R, z£V, tlt t^G. (7.26)
Для функционала (7.26) характерны изломы, которые делят
пространство G на три области. Анализ показывает, что функцио-
239
Рис. 7.3. Линии уровня функциона-
ла J в плоскости параметров и t2
Рис. 7.4. Линии уровня функциона-
ла Jо в плоскости параметров tv и /2
нал (7.26) определяется отклонением от конечной температуры Тк
в области А наименьшей температуры на оси заготовки
'o’” = lrSn—г«|- t^A-, (7.27)
в области В — наименьшей температуры на ее поверхности
= t^B (7.28)
и в области С — максимальной температуры по объему заготовки
•'Р=|’'„.х-т,|, („ 1^С. (7.29)
Изломы функционала (7.26) можно объяснить различными усло-
виями теплообмена точек 7^п, 7]^, Ттах- В точке минимума
функционала (7.26) значения выражений (7.27), (7.28) и (7.29)
тождественно равны и определяют минимальное возможное в дан-
ной системе отклонение температурного поля заготовки от требуе-
мого конечного. Следует отметить также, что функционал (7.20)
имеет минимум при тех же значениях и t2, что и функционал
(7.26). Ярко выраженные овраги вдоль оси /2 на рис. 7.3 и 7.4 ука-
зывают на необходимость тщательной выдержки первого интервала.
Непосредственное применение для минимизации функционалов
(7.20) — (7.25) известных методов математического программиро-
вания, требующих многократного обращения к модели объекта для
вычисления промежуточных значений J в ходе поиска оптимального
240
решения, оказывается неэффективным при высокой сложности мо-
дели из-за большого объема вычислений. Задача может быть решена
значительно экономичней и эффективней при сохранении той же
точности, если учесть некоторые особенности описываемого про-
цесса. Так, используя информацию о температурном поле заготовки,
можно значительно сократить размеры области G, в которой сле-
дует проводить поиск оптимальных значений Aj и А2. Например,
оптимальный первый интервал А, будет больше значения t\, на-
чиная с которого максимальная температура в объеме нагреваемого
тела Ттах превысит конечную температуру Тк, и при всех реальных
уровнях потерь меньше величины t\', которая фиксирует переход
наименьшей температуры Т^п через Тк. Аналогично для А2
верхней границей будет значение /2. начиная с которого Ттах ста-
нет меньше Тк. Вторая особенность процесса, которую можно ис-
пользовать при построении алгоритма, заключается в том, что
характер выравнивания температурного поля заготовки главным
образом зависит от температурных градиентов поля и в значительно
более слабой степени от общего уровня температуры.
Это позволяет построить следующую итерационную процедуру:
1. На интервале [t\, ti ] проводится аппроксимация значений
T'max, T'min’ ^rnin’ например, полиномами m-й степени от-
носительно t методом наименьших квадратов.
2. Моделируется выравнивание температурного поля в течение
интервала времени fa. В качестве начального используется темпе-
ратурное поле для любого значения t° из интервала Hi, t'i ]. По-
лученные при выравнивании температур временные зависимости
Ттах, ^п’ ^min’ аппроксимируются также полиномами.
На последующих j итерациях t\ корректируется согласно п. 3.
Таким образом, на каждом шаге по мере продвижения к оптимуму
происходит уточнение аппроксимации характерных температур
на втором интервале.
3. Полученные выражения аппроксимирующих полиномов ис-
пользуются для минимизации соответствующего функционала.
Если вычисленные значения и t'2 на /-Й итерации отличаются
от предыдущих Z{-1 и t^~1 больше чем на заданную величину Е,
то происходит переход к п. 2.
Поскольку обращение к модели и построение аппроксимирую-
щих выражений занимает значительно больше времени, чем поиск
минимума функционалов, то главным критерием выбора метода
минимизации является его надежность.
Учет ограничений на максимальную температуру в загрузке
проводится обычным способом путем снижения напряжения на ин-
дукторе на первом интервале с целью стабилизации Ттах на уровне
ограничения. При численном решении задачи на каждом временном
шаге, начиная с момента выхода на ограничения, напряжение на
индукторе подбирается таким, чтобы в фиксированных точках
временной оси максимальная температура Тт^ в объеме загрузки
241
отличалась от температуры ограничения Тогр не более чем на
наперед заданное число г. Алгоритм поиска соответствующих на-
пряжений состоит из двух этапов. На первом этапе, если
Утах > Тогр, то напряжение уменьшается с фиксированным шагом
до тех пор, пока Ттах не станет меньше температуры ограничения.
Таким'образом определится интервал напряжений, в котором на-
ходится искомая величина. Затем по методу секущих уточняется
окончательное напряжение на индукторе.
На основе вышеописанного итерационного алгоритма миними-
зации функционалов (7.20) — (7.25) разработана программа для
решения задачи оптимального управления индукционным нагре-
вателем периодического действия с цилиндрической загрузкой
с учетом и без учета ограничений на максимальную температуру
в заготовке. В результате работы программы определяется:
1. Предельная достижимая точность нагрева е* заготовок при
двухинтервальном управлении.
2. Если Атр>А2, то находится предельная достижимая точ-
ность нагрева с учетом фиксированного времени транспортировки.
3. Оптимальные параметры программы управления при задан-
ной точности нагрева е, если е >е*.
Расчеты показали быструю сходимость указанного итерацион-
ного процесса. В большинстве случаев решение достигается макси-
мум за три итерации. В качестве примера рассмотрим влияние
заглубления заготовки в индукторе на параметры оптимальной
двухинтервальной программы управления. Загрузкой является
цилиндрическая заготовка из алюминиевого сплава Д1 диаметром
0,48 м и длиной /2 = 1 м. Нагрев осуществляется до конечной тем-
пературы Тк= 460°Сна частоте 50 Гц в индукторе с диаметром
0,56 м. Число витков индуктора составляет 50, напряжение пита-
ния 380 В. Для учета различного заглубления о заготовки в ин-
дукторе длина индуктора бралась при расчетах разной. При
симметричном расположении индуктора и загрузки о = (Д—/2)/2.
Коэффициент теплоотдачи на первом интервале принимался равным
20 Вт/(м2-К), а на втором 40 Вт/(м2-К).
На рис. 7.5 показана зависимость максимальной достижимой
точности нагрева е* от заглубления заготовки в индукторе о с уче-
том и без учета ограничений на максимальную температуру (соот-
ветственно кривые 1 и 2). Ограничение на максимальную темпера-
туру составляет 500 °C. На том же рисунке штриховыми линиями
нанесены значения е* при фиксированном времени транспорти-
ровки (Атр = 180 с), если Атр > Д2.
Анализ кривых показывает, что все они имеют минимум, кото-
рый фиксирует оптимальное заглубление заготовки в индукторе
в каждом конкретном случае. При этом оптимальному заглубле-
нию соответствует минимальное время оптимального процесса. Раз-
личие оптимальных заглублений для разных кривых в данном слу-
чае сравнительно невелико. Как видно из рис. 7.5, учет фиксиро-
ванного времени транспортировки при Дтр>Д2 приводит к сме-
242
Рис. 7.5. Зависимость макси-
мальной достижимой точности
нагрева от заглубления заго-
товки в индукторе
1 — с учетом ограничения (7.2),
2 — без учета
щению минимума в сторо-
ну большего заглубления.
Заметно также, что при
этом уменьшается точность
формирования конечного
температурного поля, ко-
торая может быть достиг-
нута в данной системе.
Например, максимальная
возможная точность фор-
мирования температурного
поля при фиксации вре-
мени транспортировки и
учете ограничения на температуру не превышает 14,4 °C даже при
оптимальном заглублении. В то же время, если не накладывать
ограничения на время транспортировки, то можно достичь точности
формирования конечного температурного поля заготовки около
10 °C. Точки слияния а и б штриховых и сплошных линий на рис. 7.5
дают значения о, при которых время транспортировки равно
времени второго интервала в оптимальной программе управ-
ления.
Из рис. 7.5 ясно, что одной и той же допустимой предельной
точности нагрева е* можно достичь при различном заглублении
заготовки в индукторе. Анализ показал, что с увеличением заглуб-
ления, когда торец заготовки перегревается по сравнению с общей
массой металла и, естественно, увеличивается е*, время оптималь-
ного процесса резко растет. Поэтому, несмотря на то, что кривые
на рис. 7.5 в области больших заглублений более пологие, т. е. ме-
нее критичны к заглублению, с точки зрения сокращения времени
процесса можно рекомендовать работать с меньшими заглубле-
ниями.
При разработке индукционного нагревателя периодического
действия может быть поставлена и решена совместная задача опти-
мального проектирования и управления [148].
Из конструктивных параметров индуктора на формирование тем-
пературного поля заготовки наиболее сильно влияет заглубление ее
в индукторе о. Поэтому естественно оставить задачу нахождения
такого заглубления о, которое наравне с параметрами релейной
оптимальной программы изменения напряжения на индукторе обес-
печит наибольшую точность нагрева заготовки е*, т. е. требуется
определить о и {7Opt (/) с учетом ограничений на всем времени про-
цесса t0 на напряжение 0 С U (I) < Птах и на максимальную
243
температуру в объеме заготовки Ттях (R, z, t) < 70гр, чтобы обес-
печить min/, где 7 = max | 7(7?, z, t0)—7К|.
Для решения оптимальной задачи используется метод сведения
ее к решению соответствующей системы уравнений, фиксирующей
предельное отклонение температур от требуемой конечной в опреде-
ленных точках объема заготовки. При двухинтервальном управле-
ний такая система соотношений имеет следующий вид:
Т^(о, t„ М—7 =— 0,58е;
min \ ’ Г 2/ к ’ ’
П?.п(°’ *р М-^=-0,58*;
*Р У-^к=-0.5г’;
7тах(О, /2) —Тк = 0,58*,
где 7тах (о, /ь /2) — максимальная температура в объеме заго-
товки; 7^(0, tlt t2) — температура в угловой точке заготовки;
7<^> (°’ ^2) — температура на поверхности в среднем сечении
заготовки; 7^jn (о, tlt t2) — минимальная температура на оси
заготовки.
Решение данной системы уравнений позволяет определить оп-
тимальное заглубление заготовки в индукторе о, а значит, и длину
индуктора Д при известной длине заготовки /2 (/t = /2 + 2о),
длительность двух интервалов управления tr и /2, минимальную
достижимую погрешность в данной системе 8*. Удобно решение
(7.30) свести к минимизации соответствующего функционала, ко-
торый может быть записан в виде
Jio=[Tmax(°’ ty *2)+^(°’ У-2^]2 +
+ Гтах(*. *р y+7ffin(o, tv tv /2) +
+ ^S’n(o, tv t2)-ZTJ. (7.31)
Для минимизации функционала (7.31) целесообразно использо-
вать итерационный алгоритм с аналитической аппроксимацией
функционалов на каждой итерации, изложенный выше. Для этого
представим поиск минимума J10 как последовательность этапов
одномерной минимизации по о, на каждом из которых происходит
минимизация (7.31) по параметрам tx и /2 с использованием выше-
упомянутого алгоритма, т. е.
min Jlo = min (min J10). (7.32)
Если время транспортировки заготовки Дтр>Д2, где Д2 —
второй интервал оптимальной программы управления, определен-
ный при минимизации функционала (7.31), то расчетная система
244
соотношений, фиксирующая оптимальные параметры, имеет вид
(о, tlt Дтр)_7\ = —0,5е*;
(о, 4, Атр)—Тк = —0,5е*;
7max(o, tit Дтр)—7к = 0,5е*.
(7.33)
Соотношения (7.33) выполняются при тех значениях оптимизи-
руемых параметров, при которых равен нулю следующий функцио-
нал:
75о = [Т}^п (<5 til Лтр) к 7’max (o', tY, Дтр)—’27к] ф-
+ [Л (о, Дтр) + Ттах (о, 4, Дтр)-2ГК]2- (7.34)
В соответствии с вышеизложенным алгоритм решения совмест-
ной задачи оптимального проектирования и управления в условиях
периодического индукционного нагрева таков:
1. Находятся параметры программы управления, оптимальная
длина индуктора, предельная возможная точность нагрева слитка
в этой системе путем минимизации функционала (7.31).
2. Если заданное время транспортировки больше найденного
второго интервала, все искомые параметры уточняются путем ми-
нимизации функционала (7.34).
3. Если требуемая точность нагрева оказывается меньше пре-
дельной возможной, то решается задача быстродействия при фик-
сированной оптимальной длине индуктора путем минимизации
функционала (7.22) или (7.23), а в случае Дтр >Д2 — путем мини-
мизации функционала (7.24) или (7.25).
Таким образом, в результате решения задачи определяются:
оптимальная длина индуктора; предельная достижимая точность
нагрева; параметры оптимальной программы управления, обеспе-
чивающей требуемую точность нагрева за минимальное воз-
можное время.
Разработана программа расчета на ЭВМ, которая позволяет
решить указанную задачу с использованием цифровой модели ин-
дукционного нагревателя периодического действия с учетом не-
линейности тепло- и электрофизических свойств загрузки и нели-
нейных условий теплообмена.
Чтобы получить достаточно общие результаты, в частности для
исследования зависимости предельной достижимой точности на-
грева от условий теплообмена и распределения источников теплоты,
рассмотрим линейную задачу [149].
Безразмерное линейное уравнение теплопроводности, описы-
вающее распределение температуры в цилиндре конечной длины,
имеет вид
об
ат
1 ае
р <5р
а2е , а2е
ар2 1 а/2
PolE (т, р, /),
(7.35)
245
т__р
где 0 =-------”---относительная температура; Ты и Тк —со"
'к — Т’н
ответственно начальная и конечная температура нагрева; т =
= at/R^ — безразмерное время; р = RJRe — относительная осе-
вая координата; Ро = -------------безразмерная средняя удельная
• (Т’к — Т н)
мощность; W = PJV — средняя удельная объемная мощность;
IP (т, р, /)—безразмерная функция распределения внутренних
источников теплоты.
v 59
1 раничные условия на всех поверхностях цилиндра --------=
дп
— —Bi 6, где Bi = аТ?2/Х— критерий Био, на оси цилиндра
50 ли
--- = 0. Начальное распределение температуры равномерное,
дп
е = о.
Аналитическое решение уравнения (7.35) затруднено из-за слож-
ного характера распределения функции W (т, р, /), которая за-
висит от геометрии индукционной системы, частоты тока, электро-
физических свойств материала загрузки. Поэтому задача опти-
мального управления для линейного цилиндра конечной длины
решалась также численным методом с помощью цифровой модели.
Если рассматривать нагрев цилиндра конечной длины в одно-
родном магнитном поле, то W зависит только от параметра т2 =
= 7ВД где 6 — глубина проникновения тока, т. е. от выра-
женности поверхностного эффекта. Проведенные расчеты показали,
что на предельную достижимую точность нагрева (ф = 6тах — 0т1п)
слабо влияет длина зоны равномерного распределения источников
теплоты в средней части цилиндра. А это означает, что для цилинд-
ров с длиной, превышающей диаметр, величина ф не зависит от
длины цилиндра. Таким образом удается построить зависимость ф
от параметра т2 в широком диапазоне изменения критерия Bi
(рис. 7.6). Изменение мощности нагрева (Ро) оказывает слабое воз-
действие на ф, особенно при небольшом уровне тепловых потерь
(Bi). При небольших т2 резко снижается достижимая равномер-
ность нагрева. Это объясняется тем, что распределение внутрен-
них источников теплоты по длине становится почти равномерным
и дополнительные тепловые потери с торцов заготовки не удается
скомпенсировать за счет краевого эффекта цилиндра. Детальный
анализ показал, что на величину ф характер распределения источ-
ников теплоты по радиусу оказывает пренебрежимо малое влияние
по сравнению с распределением источников по длине. Поэтому
графики рис. 7.6 могут быть перестроены относительно парамет-
ров Ki (см. главу 5) или Кр [107], характеризующих неравномер-
ность распределения источников теплоты по длине заготовки и од-
нозначно связанных с параметрами т2 при нагреве цилиндра в од-
нородном поле. Значения коэффициентов, характеризующих такое
распределение источников теплоты, которое обеспечивает высокое
246
Рис. 7.7. Зависимость пре-
дельной достижимой точно-
сти нагрева от коэффициен-
та Ki, характеризующего
распределение источников
теплоты по длине заготовки
Рис. 7.6. Зависимость предельной достижи-
мой точности нагрева цилиндрической заго-
товки в однородном электромагнитном поле
от выраженности поверхностного эффекта
качество нагрева заготовок из различных материалов при различ-
ных условиях теплообмена, находятся в области, лежащей правее
штрихпунктирной линии на рис. 7.7. Рекомендуется работать при
таких значениях параметра Kh которые лежат вблизи штрихпунк-
тирной линии. При этом обеспечивается минимальное время про-
цесса. Для найденных значений коэффициента Ki можно опреде-
лить по графикам рис. 4.20 или [107] геометрические размеры ин-
дукционной системы и частоту тока, обусловливающие требуемое
распределение источников теплоты по длине загрузки.
7.3. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ
Под оптимальным проектированием обычно понимают процесс
принятия наилучших (оптимальных) в некотором смысле решений,
что осуществляется обычно с помощью ЭВМ [150—153]. При этом
предполагается наличие формализованных критериев оптимиза-
ции и математических моделей проектируемых устройств. Наибо-
247
лее общим критерием оптимизации является технико-экономиче-
ский критерий эффективности функционирования всей проекти-
руемой системы. Обобщенный критерий в большинстве случаев
включает в себя ряд частных критериев, поэтому задача оптималь-
ного проектирования является задачей многокритериальной опти-
мизации. Частные критерии обычно отражают процессы различной
физической природы, протекающие в системе, и являются несоиз-
меримыми. Поэтому разработка формализованного обобщенного
критерия и соответствующей обобщенной модели является чрезвы-
чайно сложной задачей и требует объединения усилий различных
специалистов. На этой стадии эффективно использовать интерак-
тивный режим работы путем диалогового взаимодействия человека
с ЭВМ. Важно среди частных критериев выделить наиболее сущест-
венные. В этом случае можно, проводя последовательно по степени
их значимости оптимизацию и используя, например, метод после-
довательных уступок [1541, найти значения параметров проекти-
руемой системы, которые удовлетворяли бы всем частным кри-
териям. Другой подход позволяет значительно упростить решение
задачи. Он заключается в том, что выбирается единственный пре-
валирующий критерий, по которому производится оптимизация,
а остальные конкурирующие показатели превращаются в ограни-
чения: Ki С [KJ, где 1Кг]—заданное наихудшее значение кри-
терия Ki [155]. В дальнейшем при решении задач оптимального
проектирования будем опираться в основном на этот подход.
При индукционном нагреве металлов в качестве важнейших
используются критерии, отражающие качество нагрева, произво-
дительность, энергетические показатели. Рассмотрим вначале оп-
тимизацию конструктивных параметров индукционных установок
по критерию обеспечения максимального приближения темпера-
турного поля заготовок к требуемому. В технологической линии
обработки цилиндрических заготовок из алюминиевых сплавов
«индукционная печь — пресс» наиболее слабым звеном с точки
зрения производительности является пресс. Как было показано
в работе [156] и других, скорость прессования может быть значи-
тельно увеличена за счет создания градиента температуры по длине
заготовки. Поэтому задача проектирования установок, позволяю-
щих нагревать заготовки с заранее заданным распределением
температуры по длине, является актуальной. Индукционные нагрева-
тельные устройства в силу их специфических особенностей наибо-
лее перспективны для формирования температурных полей со слож-
ными законами распределения, в частности для градиентного на-
грева заготовок.
На распределение температуры по длине заготовок при индук-
ционном нагреве оказывают существенное влияние различные фак-
торы конструктивного и схемного характера и значительно
меньше — режим нагрева. Радиальные же перепады температур
главным образом определяются мощностью на поверхности заго-
товки, ее распределением по радиусу, условиями теплоотдачи и
248
в слабой степени зависят от конструктивных параметров. Это ука-
зывает на то, что при градиентном нагреве вопросы оптимизации
режима нагрева отходят на второй план, особенно для заготовок
с небольшим диаметром или полых. При заданном режиме работы
индукционного нагревателя желательно получить наилучшее при-
ближение конечного температурного поля к требуемому.
Решение задачи выбора оптимальных в этом смысле конструк-
тивных параметров установки может быть сделано при использо-
вании цифровых моделей индукционных нагревателей, основанных
на совместном решении электромагнитной и тепловой задач в двух-
мерных областях.
Будем рассматривать непрерывный индукционный нагреватель
с дискретным переталкиванием заготовок (рис. 7.8). Одновременно
в нагревателе находятся N заготовок. Пусть требуется нагреть
их так, чтобы перед началом прессования заготовки имели пере-
пады температуры по длине ДТ^, распределенные по линейному
закону.
Наиболее просто градиент температур по длине можно создать,
используя влияние заглубления заготовки на распределение мощ-
ности по ее длине путем соответствующего размещения заготовок
в индукторе. При этом параметры он и сгк, которые характеризуют
положение заготовки на входе и выходе из нагревателя (рис. 7.8),
должны быть такими, чтобы обеспечить недогрев левого торца и пе-
регрев правого торца заготовки относительно его середины.
Более сложные конструкции индукционных печей для градиент-
ного нагрева связаны с созданием секций различной мощности на
единицу длины, с автотрансформаторным включением обмоток для
перераспределения мощности по длине индуктора и т. д.
При заданной точности отклонения температурного поля от
требуемого важно выяснить предельные возможности формирова-
ния температурного поля заготовки с максимальным приближением
к требуемому при нагреве в индукционных нагревателях простой
конструкции. Если достичь требуемой точности нагрева не удается
в рамках данной структуры индукционного нагревателя ни при
каких его реальных конструктивных параметрах, только тогда
есть смысл усложнять конструкцию нагревателя, чтобы добиться
требуемого качества нагрева.
Таким образом, поставим задачу определения параметров он,
ок, W„, обеспечивающих максимальное приближение температур-
Рис. 7.8. Эскиз индукционного нагревателя непрерывного действия
с дискретным переталкиванием заготовок
9 Заказ № 776
249
ного поля к требуемому при заданной производительности и числе
заготовок в нагревателе. Число витков индуктора 1ГИ при фикси-
рованном напряжении питания обеспечит необходимый уровень
мощности и температуры заготовки. Заметим, что длина индук-
тора /j связана с параметрами он и ок следующим образом:
li — Он -р ОкЧ- NI21 (7.36)
где /2 — длина заготовки.
Оценку отклонения полученного температурного поля в за-
готовке от требуемого будем проводить исходя из температуры
на поверхности заготовки.
Задача может быть сформулирована как задача математиче-
ского программирования, а именно:
найти min F(x), х^Еп,
где х = (он, Ок, W'h) — вектор оптимизируемых параметров; Еп —
n-мерное евклидово пространство; F (х) — функция качества, оце-
нивающая отклонение температурного поля по длине заготовки
Т (г) от требуемого Т* (г).
Как видим, задача ставится без ограничения на оптимизируемые
параметры. Возможные ограничения на число витков, размещаемых
на единице длины индуктора, легко устраняются переходом к мно-
гослойным индукторам.
Для решения поставленной задачи необходимо определить ма-
тематическое выражение для функции качества, которое позволило
бы дать количественную меру отклонения температурного поля от
требуемого. В общем случае оценить отклонение температурного
поля по длине загрузки можно с помощью выражения
(. Аг \1/S
-^fl^(z)-T*(Z)|sdz) . (7.37)
»2 О /
Каждому значению s соответствует свое выражение функции
качества. Для конкретности будем рассматривать выражение (7.37)
при двух значениях s: при s = 2 и s-> оо. В первом случае функ-
ция качества имеет вид
=Л/ ~г ? ।т Ю~т* ® 1Мг У-3®
V h о
и ее можно интерпретировать как среднеквадратическое отклонение
распределения температуры Т (г) от требуемого Т* (г).
При s —> оо получим
Foo = max | Т (z)—Т* (г) |. (7.39)
/2
В этом случае мерой отклонения температуры является макси-
мальная по длине заготовки /2 разница между требуемым и полу-
ченным распределением температуры.
250
Очевидно, что функция качества (7.39) устанавливает более
жесткие условия приближения температурных распределений, чем
(7.38). Дискретные аналоги выражений (7.38) и (7.39) имеют вид:
Fa= v 1 (т’—т^2дгг • (7-40)
Foo = шах |7\—Т*|, (7.41)
i
где Агг = гг—2(_г — i-й шаг пространственной сетки по длине
заготовки; — число шагов.
Известно, что в каждой точке х «-мерного пространства пере-
менных xlt х2, . . . , хп функция F (х) имеет определенное значение,
и, следовательно, это «-мерное пространство представляет собой
скалярное поле для функций качества. В этом пространстве можно
вычертить семейство линий уровней (эквипотенциальных гиперпо-
верхностей) для выбранных значений функции F (х).
На рис. 7.9 и рис. 7.10 изображены семейства линий уровней
для выбранных значений функций F2 (он, ок) и F^ (он, ок) при
фиксированном числе витков индуктора. Значения функций ка-
чества были рассчитаны на ЭВМ с использованием электротепловой
модели нагревателя непрерывного действия. Исходные данные
для расчета были следующие: число заготовок в индукторе N = 3,
Рис. 7.9. Линии уровня функции
качества F2 (аи, ак)
Рис. 7.10. Линии уровня функ-
ции качества Fa> (ан, ак)
9»
251
длина заготовок /2 = 0,6 м, наружный диаметр tf2Hap = 0,162 м,
внутренний диаметр d2BB = 0,062 м, заготовка из сплава Д1, ин-
дуктор двухслойный с одинаковым числом витков в слое. Требуе-
мый закон распределения температуры по длине перед началом прес-
сования — линейный. Температура на «холодном» торце заготовки
Т*п = 360 °C, на «горячем» Т* = 460 °C. Заготовка выходит из
индуктора «горячим» концом. Время нагрева перед переталкива-
нием 30 с, время переталкивания 15 с, время транспортировки за-
готовки к прессу 30 с. Из рис. 7.9 и рис. 7.10 видно, что обе функ-
ции качества имеют один минимум. Строго говоря, это справедливо
только для области, где он > — /2 (если заготовка выходит за
торец индуктора, то значение он является отрицательным). При
фиксированном числе заготовок и известной их длине всегда можно
указать начальное приближение, которое будет находиться в этой
области. В противном случае формально можно было проектиро-
вать системы, в которых часть заготовок «нагревалась», находясь
полностью вне индуктора. Далее следует отметить, что минимумы
функций качества 7% и F^ достигаются при близких значениях
параметров сгн и ок. В то же время по картинам распределения
линий уровня можно предположить, и это подтвердили численные
эксперименты, что для попадания в точку оптимума из одинако-
вых начальных точек при минимизации функции F2 требуется
меньше затрат времени, чем для функции Fai. Исходя из вышеска-
занного, дальнейшие расчеты по оптимизации параметров индук-
ционных установок проводились по критерию (7.40) с одновремен-
ным контролем максимального отклонения распределения темпе-
ратуры от требуемого.
Для решения поставленной задачи нелинейного программиро-
вания существует множество методов [157—159]. Выбор наилуч-
шего среди них является чрезвычайно сложной и труднодостижи-
мой задачей при минимизации широкого класса функций. Эффек-
тивность того или иного метода определяется постановкой задачи,
сложностью вычисления функции и ее производных, поведением
функции и т. д. В качестве критерия сравнения методов в нашем
случае целесообразно использовать объем вычислений значений
функции качества в процессе решения задачи. Это объясняется тем,
что вычисление целевой функции (функции качества) связано с об-
ращением к цифровой модели и занимает основное время при ре-
шении задачи.
Все методы минимизации функций условно можно разделить на
три группы:
1) прямые методы, использующие вычисление только самих
функций;
2) методы, использующие также вычисление первых производ-
ных функции;
3) методы, использующие вычисление также и вторых произ-
водных.
252
Вообще говоря, последние две группы методов оказываются
более эффективными, чем прямые методы (т. е. оптимум достигается
здесь за меньшее число шагов), если можно достаточно просто и
точно (аналитически или численно) рассчитывать производные.
Однако во многих технических задачах, в том числе и в нашем слу-
чае, сделать это весьма сложно. Поэтому методы, использующие
производные, исключены из рассмотрения. Прямые методы, в свою
очередь, делятся на два класса: детерминированные методы и ме-
тоды случайного поиска. Методы случайного поиска [160] отли-
чаются от детерминированных тем, что оптимизируемые пара-
метры в процессе поиска минимума функции качества определяются
с элементом случайности. Эти методы эффективны при большом
числе переменных и сложных целевых функций (например, при
наличии локальных экстремумов). Численные эксперименты по-
казали, что при минимизации функции трех переменных, аппрок-
симирующей функцию (7.40), с помощью алгоритма случайного
поиска с самообучением требуется в среднем в 3—5 раз чаще вы-
числять целевую функцию в процессе поиска, чем при минимизации
детерминированными методами.
Большинство детерминированных методов носит эвристический
характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфи-
гураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформи-
руемого многогранника и т. д. При минимизации функции качества
по методу Пауэлла [161] направления поиска оказываются сопря-
женными относительно матрицы, аппроксимирующей матрицу
Гессе функции F (х). Использование информации о вторых частных
производных функции приводит вблизи точки минимума к квадра-
тичной скорости сходимости. Относительная простота и эффектив-
ность метода Пауэлла позволили принять его в качестве основного
при поиске минимума функций качества. С использованием цифро-
вой модели индукционного нагревателя непрерывного действия
разработана программа оптимизации установок для градиентного
нагрева заготовок [162]. Начальный вектор оптимизируемых па-
раметров вводится в начале работы программы. В оптимизирующей
процедуре используется относительное изменение параметров. Для
этого начальное и конечное заглубление нормируется относительно
длины заготовки, а число витков индуктора — относительно на-
чального задания WK, т. е.
о4 = -^; о4 = -^; Ги = —- (7-42)
При разработке программы оптимизации в силу специфики мо-
дели нагревателя непрерывного действия возможны два подхода.
Первый заключается в том, что в процессе поиска оптимума при
каждом значении переменных используется итерационная модель
нагревателя, т. е. на каждой итерации происходит пересчет элек-
трической задачи из-за уточнения распределения температуры по
длине заготовок. Второй подход заключается в том, что эти итера-
253
ции выносятся за рамки процедуры оптимизации. Тем самым оп-
тимизация осуществляется несколько раз, но на каждом ее этапе
распределение температуры по длине заготовок, которое требуется
для решения электрической задачи в модели нагревателя непре-
рывного действия, считается неизменным. Работа программы пре-
кращается, если оптимальные значения функции качества и опти-
мизируемых параметров оказываются близкими к их значениям
на предыдущем этапе. Опыт расчетов показал, что сходимость на-
ступает через 2—3 итерации. Второй подход предпочтителен по
той причине, что здесь устраняется зависимость функции качества
от точности задания распределения температуры по длине загото-
вок. Точнее, во втором случае этот фактор оказывает неизменное
влияние на расчет функции качества в пределах одного этапа, а
в первом носит переменный характер и при приближении к точке
оптимума эффект возмущения функции качества становится срав-
нимым с влиянием малых вариаций оптимизируемых параметров
на ее значение. В результате на заключительной стадии оптимиза-
ции поиск усложняется из-за этих «помех» и возможно искажение
поведения функции в области оптимума и зацикливание.
По разработанной программе проводились расчеты индукцион-
ных установок для градиентного нагрева заготовок [162]. Нагре-
ваемые заготовки представляли собой полые цилиндры длиной
0,6 м с наружным диаметром 0,162 м и внутренним 0,062 м из сплава
марки Д1. Расчеты проводились для различного числа заготовок,
находящихся в индукторе. Требуемое распределение температуры
по длине — линейное с температурой на одном конце заготовок
360 °C, а на другом 460 °C. Нагрев осуществляется на промышлен-
ной частоте в двухслойном индукторе с одинаковым числом витков
в слое. Напряжение на индукторе 380 В.
На рис. 7.11 показаны минимальные значения функции F2 и со-
ответствующие ей значения функции F™ для различного числа за-
готовок, одновременно находящихся в индукторе. Видно, что в дан-
ном случае с увеличением числа заготовок удает-
ся уменьшить отклонение температурного поля от
требуемого. При трех заготовках максимальное
отклонение от требуемого температурного поля
составляет 10,2 °C. Это указывает на то, что за
счет только правильного выбора длины индукто-
ра и расположения в нем заготовок можно до-
биться удовлетворительного приближения темпе-
ратурного поля к требуемому. На рис. 7.12 пока-
заны наилучшие в смысле (7.40) приближения к
требуемому распределению температуры при раз-
Рис. 7.11. Функции качества при различном числе за-
готовок в индукторе
I - Кто. 2 - F,
Рис. 7.12. Оптимальное распределение температуры при различном числе
заготовок в индукторе: а — N = 3; б— N=5
личном' числе заготовок в нагревателе. На рис. 7.13 нанесены
оптимальные значения параметров он и ок, найденные при этих
расчетах. Если требуемого качества нагрева можно достичь при
различном числе заготовок в нагревателе, то выбор наиболее ра-
ционального числа их следует проводить с учетом других факторов,
например с целью получения наименьших габаритов или макси-
мального коэффициента полезного действия.
На практике часто в одном индукторе осу-
ществляется нагрев заготовок не только нз раз-
ных сплавов, но и различной длины и диаметра.
Поэтому представляет интерес задача исследо-
вания максимального приближения температур-
ного поля заготовки к требуемому при на-
греве в одном индукторе сменной номенклатуры
заготовок. Математически подобная задача мо-
жет быть сформулирована в терминах нелиней-
ного программирования с учетом ограничений.
При решении задач нелинейного программи-
рования с ограничениями встречаются большие
трудности, чем при решении сопоставимых за-
дач безусловной оптимизации, по той причине,
что искомое решение должно подчиняться до-
полнительным требованиям, а именно удо-
Рис. 7.13. Оптимальные значения параметров при раз-
личном числе заготовок
255
влетворять фигурирующим в задаче ограничивающим усло-
виям.
Решение задачи существенно упрощается, если использовать
методы штрафных функций, которые имеют одну общую черту: во
всех этих методах осуществляется преобразование задачи нелиней-
ного программирования в одну (эквивалентную исходной) задачу
без ограничений либо в эквивалентную последовательность задач
без ограничений [163]. В процессе минимизации объединенной
функции качества FcC (х) к функции F (х) добавляется «штрафная»
функция, которая способствует тому, чтобы вектор в некоторой
степени удовлетворял исходному ограничивающему условию:
Fo6(x*) = F (х) + Гшт.
Другими словами, при минимизации объединенной функции
качества
FO6 (**) -> F (х*) при х—>х*,
где х* — вектор, соответствующий оптимальным значениям пере-
менных.
Первоначально при решении задачи использовался метод штраф-
ной функции Пауэлла—Хестенса—Рокафеллера [163], который
прост в реализации, лишен недостатков вычислительного харак-
тера, присущих традиционным методам штрафных и барьерных
функций, и обладает достаточно быстрой сходимостью. Однако опыт
расчетов показал, что для технических задач, не требующих вы-
сокой точности расчета параметров, можно использовать обычную
штрафную добавку с постоянным
в процессе решения весовым коэф-
фициентом р.
В нашем случае ограничения
накладываются так, чтобы выпол-
нялось условие
Он ок -]- Nl2 — li — const. (7.43)
Штрафная добавка в этом слу-
чае будет иметь вид
^шт = И (о'и + (Тк + (7.44)
Объединенную функцию ка-
чества можно записать следую-
щим образом:
Рис. 7.14. Линии уровня функции
Fоб (<Тн> Пк)
256
Fo6= A ~ L \Ti-Tiy\zt +И(стн + 0к + М2-/1) • (7-45)
V ‘2 i=l
На рис. 7.14 показано семейство линий уровня функции
Коб (сн, Ок), построенных при тех же исходных данных, что и для
аналогичных рис. 7.9, 7.10, при условии ограничения на длину
индуктора (1± = 1,87 м). Минимизация функции (7.45) осущест-
вляется так же, как и минимизация функции (7.40),— по методу
Пауэлла.
Ниже приведены результаты расчетов параметров индукцион-
ной системы при нагреве заготовок различной длины. Длина ин-
дуктора 1,87 м. Она является оптимальной при нагреве трех заго-
товок длиной 0,6 м
N /а, см он, см ок, см га, °C Кх,>°с Чэ COS ф
3 60 —0,9 8,2 6,3 10,4 0,469 0,329
3 50 3,3 34,0 16,2 31,1 0,437 0,294
4 40 0,5 36,8 8,2 17,0 0,447 0,305
Видно, что отклонения температуры могут в этих условиях до-
стигать значительных величин. Например, при нагреве трех за-
готовок длиной 50 см максимальное отклонение температуры пре-
вышает 30 °C. Для повышения качества нагрева могут оказаться
эффективными специальные меры, например, использование медных
водоохлаждаемых колец. При этом расстояние между кольцом
и заготовкой следует рассматривать как дополнительный оптими-
зируемый параметр.
7.4. ОПТИМИЗАЦИЯ КУЗНЕЧНЫХ ИНДУКЦИОННЫХ
НАГРЕВАТЕЛЕЙ СТАЛЬНЫХ ЗАГОТОВОК
Оптимизация конструктивных параметров кузнечных индук-
ционных нагревателей имеет целью обеспечить высокие энергети-
ческие показатели и максимальную производительность с единицы
длины установки. Температурный перепад по длине стальных за-
готовок обычно не превышает требуемого температурного перепада
по радиусу заготовки 100—150 °C даже при большой вариации
заглубления заготовки в индукторе. Это обусловливается тем,
что при работе на частотах, рекомендуемых из условия обеспече-
ния достаточно высокого электрического КПД и малого времени
нагрева [91, краевой эффект индуктора и загрузки сравнительно
малочувствителен к заглублению загрузки в индукторе. Поэтому
для широкого диапазона диаметров стальных заготовок на одно-
мерной модели (см. § 6.3) определялись оптимальные толщины
футеровки, обеспечивающие наивысший полный КПД индукцион-
ного нагревателя при работе на различных частотах, и соответст-
венно сами значения КПД и производительность, приходящаяся
на 1 м установки (рис. 7.15).
257
Рнс. 7.15. Зависимость предельного полного КПД индукционного
нагревателя т]0, соответствующей ему производительности, приходящейся
иа 1 м установки П, оптимальной толщины футеровки йф от диаметра
стальных заготовок d3
Нагрев заготовок осуществлялся до достижения среднеинте-
гральной температуры 1200 °C при температурном перепаде по ра-
диусу 100 °C. Футеровка была из жаропрочного бетона со средней
теплопроводностью Хср = 1,1 Вт/(м-К), зазор между загрузкой
и внутренней поверхностью футеровки составлял 1 см на каждую
сторону. Из рис. 7.15 видно, что нагрев заготовок небольшого диа-
Рис. 7.16. Влияние конечного температурного перепада ЛТ на оптимальную
толщину футеровки йф, предельный полный КПД t]0 и производительность
метра установки П
258
метра целесообразно с позиций максимального КПД осуществлять
в индукторах с минимальной толщиной жаропрочной футеровки,
обеспечивающей только защиту электрической изоляции индук-
тора. А при нагреве заготовок диаметром 6—8 ем и выше в зависи-
мости от частоты можно рекомендовать толщины футеровок, приве-
денные на рис. 7.15. Предельный полный КПД нагревателя в за-
висимости от диаметра заготовки имеет максимум, который тем
сильнее выражен, чем выше частота. Для каждой частоты сущест-
вует диаметр заготовки, при котором обеспечивается максимальная
производительность. Влияние конечного температурного перепада
по радиусу на оптимальную толщину футеровки, предельный пол-
ный КПД, производительность единицы длины установки при
нагреве на частоте 1000 Гц показаны на рис. 7.16. Положение макси-
мума полного КПД и производительность не зависят от темпера-
турного перепада. Естественно, что производительность П и пре-
дельный полный КПД т)0 тем выше, чем больше допустимый ко-
нечный температурный перепад Д7\ Оптимальная толщина футе-
Рис. 7.17. Влияние времени транспортировки на необходимый температурный
перепад прн выходе заготовки из нагревателя; перепад после транспортировки
100 °C (а) и 50 °C (б)
259
ровки, обеспечивающая наибольший полный КПД, с увеличением
температурного перепада уменьшается.
Одной из важнейших особенностей технологии нагрева кузнеч-
ных заготовок является необходимость учета времени транспорти-
ровки от нагревателя к кузнечному оборудованию. Поскольку за
время транспортировки температурные перепады выравниваются,
то очевидно, что кузнечные индукционные нагреватели необходимо
проектировать на больший температурный перепад по радиусу
заготовки, чем тот, что необходим непосредственно перед обработ-
кой давлением. Это дает возможность или сократить габариты на-
гревателя при той же производительности, или повысить произво-
дительность при тех же габаритах.
На рис. 7.17 представлены зависимости температурного пере-
пада на выходе из нагревателя от времени транспортировки при
различных диаметрах заготовок и конечном температурном пере-
паде непосредственно перед пластической обработкой АТ = 100 °C
(рис. 7.17, а) и АТ = 50 °C (рис. 7.17, б). Принято, что во время
транспортировки тепловые потери обусловлены излучением, ко-
эффициент черноты стали е = 0,8. Конечная температура поверх-
ности заготовки при выходе из нагревателя Тк = 1250 °C. На
рис. 7.17 штриховыми линиями проведены участки кривых, ко-
торые соответствуют тому, что температура поверхности после тран-
спортировки становится меньше 1200 °C. Отсюда для каждого диа-
метра заготовки можно указать время транспортировки, превышать
которое нежелательно.
7.5. АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ
И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ИНДУКЦИОННЫХ НАГРЕВАТЕЛЕЙ
Для повышения производительности и удобства работы пользо-
вателей с программами, связанными с расчетами электромагнит-
ных и тепловых процессов в установках индукционного нагрева,
разработана диалоговая автоматизированная система исследования
и проектирования устройств индукционного нагрева RD, ориенти-
рованная на операционную систему СВМ ЕС ЭВМ. Основная кон-
цепция разработки базировалась на известных принципах построе-
ния САПР [164—166]. Однако систему RD отличают: незначитель-
ный объем оперативной памяти, занятой управляющей процедурой;
простота и легкость управления системой; широкое исполь-
зование средств самообучения и доступ к большому объему спра-
вочной информации.
В состав этой системы входит более 20 проблемно ориентиро-
ванных программ моделирования работы устройств индукционного
нагрева различных типов, основанных на численном решении урав-
нений электромагнитного и температурного поля в многомерной
области. Программы делятся на три большие группы:
1) программы расчета электромагнитного поля в устройствах
индукционного нагрева;
260
2) программы совместного расчета электромагнитных и тепловых
процессов в устройствах индукционного нагрева;
3) программы оптимизации режимов и конструктивных пара-
метров индукционных нагревателей.
Система RD является открытой, т. е. позволяет легко наращи-
вать состав проблемных программ путем присоединения их по оп-
ределенным правилам.
Структура системы приведена на рис. 7.18. В блоке 1 осущест-
вляется регистрация пользователей. В нем формируются уникаль-
ные составляющие имен файлов каждого пользователя и прове-
ряется наличие его файлов на диске. В системе RD пользователи
делятся на две категории: имеющие малый опыт работы с системой
(«студенты») и опытные пользователи («преподаватели»). Послед-
ним предоставляются большие возможности при работе в системе,
в том числе возможность подключения к системе новых прикладных
программ. После регистрации пользователя на экран терминала
выводится визитная карточка системы RD и работа пользователя
в дальнейшем организуется монитором системы (блок <?). При этом
на экран терминала выводится «меню», в которое входит список
разрешенных действий и список доступных прикладных программ.
К разрешенным действиям относятся: выдача справочной ин-
формации о системе, об управлении системой, о порядке включе-
ния новых программ (блок 4), работа с файлами (блок 6). В режиме
работы с файлами пользователь получает на экран терминала спи-
сок своих файлов, которые он может просматривать, выводить на
печать и удалять. В блоке 2 сформирована база данных.
Выбор действия или программы осуществляется подведением
курсора к названию и нажатием клавиши ввода. При выборе про-
г-7-----------
Блок
регистрации
пользователей
в системе
г-2----------
Библиотека
системы. База
данных свойств
материалов
Блок
просмотра
справочной
информации
rJ------
- Монитор
=СЕЕ
Обработчик
проблемных
программ
Г-6----1----
Блок
организации
работы с
файлами
Прикладные комплексы
I. Программы расчета элек- тромагнитно- го ПОЛЛ в УИН И. Программы расчета элек- тротепловых процессов в УИН Ш. Программы оптимизации режимов и конструкции
Рис. 7.18. Структура автоматизированной системы исследования и проекти-
рования устройств индукционного нагрева (RD)
261
граммы пользователь попадает в обработчик проблемных программ
(блок 5), который выдает информацию о назначении и использо-
вании выбранной программы, а затем организует работу с програм-
мой по следующему алгоритму:
1. Создание файла исходных данных в диалоговом режиме;
при этом вызывается программа диалогового ввода, которая выво-
дит запрос на ввод очередного данного на терминал, считывает его
с терминала (ввод осуществляется в свободном формате) и поме-
щает в файл исходных данных, снабжая комментариями.
2. Редактирование файла исходных данных; при этом вызы-
вается текстовой редактор и редактируется файл исходных данных
с комментариями.
3. Исходные данные переписываются в другой файл без коммен-
тариев, по которому будет производиться расчет.
4. Расчет, в ходе которого на экран выводятся промежуточные
данные; по ним можно следить за ходом расчета и в случае необхо-
димости прерывать его.
5. Просмотр результатов.
6. Повторение цикла или выход на меню.
Функцией обработчика проблемных программ является обеспе-
чение надежной, производительной работы пользователя с приклад-
ной программой. Это достигается путем организации в диалоговом
режиме бесформатного ввода исходных данных, контроля и про-
верки их на логическую непротиворечивость с помощью развитой
системы защиты. Блок 7 объединяет прикладные программные
комплексы, необходимые для работы с программами. Каждый та-
кой комплекс состоит из трех элементов: информационного модуля,
содержащего всю информацию о программе; модуля прикладной
программы; модуля программы диалогового ввода данных.
Система RD реализована на языке ассемблер в среде
СВМ ЕС ЭВМ. Большинство программных модулей написано на
фортране. Система инвариантна к языку программирования, что
позволяет также включать в нее программы на других языках.
Система RD позволяет резко повысить производительность ра-
боты пользователя при исследовании и проектировании устройств
индукционного нагрева.
ПРИЛОЖЕНИЕ ПЕРВОЕ
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАМАГНИЧИВАЮЩИХ СИЛ
И ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
КОНТУРОВ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
В достаточно общем случае двух цилиндрических катушек Q и Р с тон-
кой конической намоткой (рис. П1.1) магнитодвижущую силу/др, создавае-
мую током Iр на поверхности соленоида Q, можно определить в соответствии
с (2.93) по формуле
FqP = $ Hfpdlt = J f Hiid\tdlt, (П1.1)
'<? lQ lP
где Hty — напряженность магнитного поля в точке i соленоида Q, создавае-
мая элементом j соленоида Р. Записав Н;;- в виде
Н// = Йрер + Я2ег, (П1.2)
получаем
FQP = f f (Нр sin <р 4- Иг cos <р) dlidlj, (П1.3)
/о 1Р
где <р — угол наклона образующей соленоида Q к оси z.
Для применения формулы П1.3 необходимо знать напряженность маг-
нитного поля тонкого витка. Составляющие магнитного поля от тонкого
круглого витка Р с радиусом Rp в месте расположения витка Q с радиусом
Rq будут
нг = Г ——k* (1 + 1/m) Е - я], (П1.5)
2лг L 2k'2 J
где Е, К — полные эллиптические интегралы второго и первого рода от
модуля k, определяемого формулой
k2 =-------- (П1.6)
(Rq + Rp)2 ~\~Zqp (1 + т)2 + 4/2 р2
здесь т= Rq!Rp\ t = zQP/(2Rp) = (zq—zp)/(2Rp); г2 = (Rq + Rp)2 +
+ Zq₽= RpP2- Дополнительный модуль k' = Vl — &2 .
Недостатком формулы (П1.1) является необходимость двойного иите.
грирования Н;;- по длинам соленоидов Q и Р. Если соленоид Р имеет акси-
альную намотку, то интеграл по 1р может быть взят аналитически. Напря-
женности Нр и Нг магнитного поля соленоида Р в точке Q можно вычислить
с помощью соответствующих торцевых функций gpp и gHz (см. § 5.1), зави-
сящих от расстояний Zqi и zqz между плоскостью витка Q и торцевыми пло-
скостями 1 и 2 соленоида (рис- П1.2). Опуская у функций g индекс Н, по-
лучаем
д. ipWр ,
НЕ = —;----- gm); (П1.7)
gRi =--------[fl-------------К - е! , I = 1, 2; (П1.8)
я V m я/ 1Д 2/ J
Нг = -Lp^P- _ Sa)- (п 1.9) = JL (к + п\ (П1.10)
Ip Jipj V 1 + т )
263
Рис. П1.1. Общий случай распо- Рис. П1.2. К расчету напряжен-
ложеиия двух коаксиальных со- иости магнитного поля солено-
леиоидов ида
где П — полный эллиптический интеграл третьего рода, П = П (n, kj);
_ $RqRp _ 4т
П~ (RqA-RpY “ (1 + т?
(П1.11)
В формулах (П1.7) — (П1.10) эллиптические интегралы вычисляются
при модулях kj, зависящих от расстояний zq/, равных zqj и zq2:
Zqi — Zq — Z1J Zq2 — Zq — Z2 = ZQi — Ip.
Формулы позволяют рассчитать вектор Н при любом положении точки
наблюдения Q.
Если соленоид-приемник Q, как н соленоид-источник Р, имеет аксиаль-
ную намотку (рис. П1.3), то интеграл в (П1.1) можно вычислить в явном
виде. МДС Fqp определяется алгебраической суммой четырех торцевых функ-
ций Тц, зависящих от расстояния гц = zt-—zj между торцевыми плоскостями
соленоида Q (i € Q, i = 3, 4) и соленоида-источника Р (j С Р, j = 1, 2):
Fqp =
IpWpRp
lp
(T32 - T3l + Та - Ti3) = -/р-^р-Р-р- £ (- \)‘+1+гТ1Г,
lp 1,1
(П1.12)
m2 — 1
Е+—т~
Pil
п
(m 4-1) рц
(П1.13)
Формула (П1.13) позволяет рассчитать Тц при всех значениях парамет-
ров, кроме k = 1, что соответствует совпадению торцов двух соленоидов
одного радиуса (m — 1, t = 0). Непосредственное раскрытие неопределен-
ности при k 1 дает значение торцевой функции Тц = То = 0,321. В пре-
дельном случае совпадения двух соленоидов (Q=P) для собственной МДС
на наружной стороне соленоида получаем
= -2-/рУ>Ар { —-0,321 4-Т [1, l/(2R)]}. (П1.14)
lp
Поскольку функция Т зависит всего от двух переменных m и t, то ее
легко представить в виде кривых (рис. П1.4). Так как при т<1 с увеличе-
нием t функция Т неограниченно возрастает, то вместо нее на рис. П1.5 при-
ведены значения функции Т' = Т—t. При этом вместо (П1.12) следует ис-
пользовать формулу
264
Рис. П1.3. К расчету коэффициен-
та Nqp цилиндрических соленоидов
Fqp — i pWpNQp =
_ 1)‘+/+1Г' +
lp Li./ 4 Rp J
(П1.15)
где Дг — общая длина (перекрытие) соленоидов Р и Q; при т — 1 кривые
Т и Т' совпадают.
Собственный коэффициент намагничивающей силы Nqq зависит от од-
ной переменной а — IqI(2Rq). Эта зависимость для внутренней стороны со-
леноида определяется формулой (2.96).
Для внешней стороны
Nqq — ^QQ ' —
0,5
1,32а 4- 1,0
(П1.16)
Рассмотрим два примера расчета коэффициентов N.
Пример 1. Соленоид Р имеет длину lp = 3Rp — 3. Соленоид Q с длиной
Iq = 1 и радиусом Rq = Rp—е (случай «а», внутреннее расположение) или
Rq = Rp + е (случай «б», наружное расположение) придвинут торцом к
торцу соленоида Р. В обоих случаях m= 1.
a. t31 = 0; Г31 = 0,321; /32 = — 1,5; Г32 = 0,077; /41 = 0,5; Т41 =
= 0,170; /42 = — 1,0; 7’42 = 0,108.
Общая длина Да — 1 и kzIRp = 1,0; коэффициент
Л7<а)__L
*QP- з
( — 0,321 4- 0,077 4- 0,17 — 0,108 4- 1) = 0,273.
0 0? Ofi 0,6 0,8 1,0 Ofi 0,6 0,2 0
Рис. П1.4. Торцевая функция Т (т, t) для расчета коэффициента /V двух
соленоидов при т 1
265
О 0,2 0 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6 Op 0,2 О
Рис. П1.5. Зависимость торцевой функции Т (m, t) для расчета коэффициента
N двух соленоидов при т гС 1
б. Значения ty те же самые, а Тц = Ту,
N%>p = — ( — 0,321+0,077 + 0,17 — 0,108)= —0,061.
3
В соответствии с законом полного тока соблюдается соотношение
7$, — f qp = IpWpMlp или Nty, — N^p = Az//P = 0,333.
Пример 2. Найдем собственные коэффициенты Npp и Nlpp для соленоида
Р из предыдущего примера. В соответствии с формулой (П1.14) получаем
= [—0,321 + 7(1; 1,5)1= —0,163; А^Р = 0,837.
1р
По приближенным формулам (2.96) н (П1.16) находим Nepp =—0,166;
Мрр= 0,833.
Использование рассмотренного аналитического метода определения
коэффициентов W в программе численного расчета индукционных нагрева-
телей показало его высокую эффективность.
Аналогичные формулы получены для расчета индуктивности и взаимной
индуктивности соленоидов [72, 103]. Для соленоидов, показанных на
рис- П1.1, следует использовать формулу
= f Mtjditdij, iQQ, &р, <П117>
Q p lQlP
где Mij — взаимная индуктивность двух круговых контуров i и /;
Мц = мог [(1 - -у-)* - ; (Ш. 18)
значения г и А: здесь те же, что и в формуле (П1.6).
Для двух коаксиальных цилиндрических соленоидов (см. рис. П1.3)
интегрирование в (П1.17) приводит к формуле, аналогичной (П1.12), в виде
алгебраической суммы торцевых функций U:
P0WqWp^R^
Мдр =------------------[{/за — 17si + — 1742] =
iQlp
P-owowpRo2rp2 V-
= гд) Q Р Q £ (_ 1)1+/+1(у (П1.19)
/Qip I/
266
Значения t/y определяются выражением
2pij
V т
( (2Ц 2 — k2 \
\ т 3/г2 /
(К —£) —
/?.• (т — I)2 к 1
—------------(П - К) 4- — .
Р 3 J
(П1.20)
Значения tn, tq, рц и модулей эллиптических интегралов те же, что
и в (П1.6) и (П1.12), поэтому при расчете на ЭВМ можно легко вычислять
одновременно коэффициенты N и М.
Если торцы двух соленоидов одного радиуса совмещены друг с другом,
то k -*• 1 и К и П неограниченно возрастают. Раскрытие неопределенности
приводит к Uи = U = lim Ду = 1,33.
*->1
С учетом этого индуктивность Mqq определяется формулой
2(4^0
ц Ц-[Д (а) - 1,33], (П1.21)
/2
‘Q
где а = /q/(27?q);
}(*-£) 4
U (а) = 4-у/1 4-а2 (а2----------------
(П1.22)
Эффективность расчета М и N зависит от быстроты и точности вычисле-
ния значений Е, К и П. Для облегчения расчета К и П при значениях k,
близких к единице, можно заменять эллиптические интегралы асимптоти-
ческими выражениями или применять преобразование Ландена, приводящее
к уменьшению модуля [72].
В большинстве случаев расчета индукционных систем кольцевые эле-
менты, на которые разбивается тело, можно заменить тонкими соленоидами
с радиусами, равными среднему радиусу элемента. Если имеется необходи-
мость рассчитать коэффициенты М для массивных колец с прямоугольным
сечением, то можно воспользоваться численным интегрированием коэффи-
циентов М для соленоидов.
Для определения коэффициента М соленоида Q с массивным элементом Р
заменим сечение Sp этого элемента тремя соленоидами Pl, Р2, РЗ по внут-
реннему, среднему н наружному радиусам. Используя формулу Симпсона,
получаем
Mqp — — (Mqpi 4- 4Mqp2 4- Mqp3).
(П1.23)
Формула может быть использована для определения Nqp, так как в этом
случае элемент Q всегда является соленоидом.
Если оба элемента массивные, то, заменяя элемент Q тремя соленоидами
QI, Q2 и Q3, находим
Mqp= — (Mqip 4- 4Mq2P 4- Mq3p),
(П1.24)
где Mqip определяется по формуле (П1.23).
Аналогичный прием может использоваться при трапецеидальном се-
чении элементов [69].
267
ПРИЛОЖЕНИЕ ВТОРОЕ
КОЭФФИЦИЕНТЫ АКТИВНОГО И РЕАКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ полых
ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЦИЛИНДРОВ
Рис. П2.1 —П2.10. Зависимости коэффициентов G и Q для полых ферромагнитных цилиндров от относительного ра-
диуса те и толщины стенки Д/пе при различной поверхностной магнитной проницаемости
со
0,5 1,0 1,5 2,0 2? 5Р 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5ft
270
Приводимые на рис. П2.1 — П2.10 кривые зависимостей коэффициентов
активного G и реактивного Q сопротивлений полых ферромагнитных цилинд-
ров от их относительного внешнего радиуса те, толщины стенки А/пе и маг-
нитной проницаемости рс на наружной поверхности совместно с рис. 4.10
охватывают почти весь используемый на практике диапазон изменения па-
раметров. Штрихпунктирной линией показаны кривые G и Q для сплошных
цилиндров, что соответствует условию А/пе = те. Штриховой линией пока-
заны кривые G и Q для максимального расчетного радиуса те = 100.
Анализ зависимостей приведен в § 4.4. Предельный случай -> 0
при выбранной форме записи сопротивлений приводит к G -> 0,
Q ->• /пе/(це V2)- При Дше>3 можно принять
Q » 1,0; G« 1,32^1 — —Д---------
\ -V2 те .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вологдин В. П. Поверхностная индукционная закалка. М.: Оборои-
гиз, 1947.
2. Установки индукционного нагрева/А. Е. Слухоцкий, В. С. Нем-
ков, Н. А. Павлов и др. Л.: Эиергоиздат, 1981.
3. Шамов А. Н., Лунин И. В., Иванов В. Н. Высокочастотная сварка
металлов. Л.: Машиностроение, 1977.
4. Простяков А. А. Индукционные печи и миксеры для плавки чугуна.
М.: Энергия, 1977.
5. Шевцов М. С., Бородачев А. С. Развитие электротермической тех-
ники. М.: Энергоатомиздат, 1983.
6. Бабат Г. И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное
применение. М.—Л.: Энергия, 1965.
7. Лозинский М. Г. Поверхностная закалка и индукционный нагрев
стали. М.: Машгиз, 1949.
8. Родигин Н. М. Индукционный нагрев стальных изделий токами
нормальной частоты. Свердловск—Москва: Машгиз, 1950.
9. Слухоцкий А. Е., Рыскии С Е. Индукторы для индукционного на-
грева. Л.: Энергия, 1974.
10. Davies Е. J., Bowden A. L. Heating large plates and slabs using tra-
velling wave heaters//X Congress UIE. Rep. 3.1.11. Stockholm, 1984.
11. Вайнберг A. M. Индукционные плавильные печи. M.: Энергия,
1967.
12. Химические аппараты с индукционным обогревом/С. А. Горбатков,
А. Б. Кувалдин, В. Е. Минеев и др. М.: Химия, 1985.
13. Вологдин В. В., Кущ Э. В. Индукционная пайка. Л.: Машинострое-
ние, 1979.
14. Кувалдин А. Б. Низкотемпературный индукционный нагрев стали.
М.: Энергия, 1976.
15. Шамов А. Н., Бодажков В. А. Проектирование и эксплуатация вы-
сокочастотных установок. Л.: Машиностроение, 1974.
16. Электротермическое оборудование: Справочник/Под общ. ред.
А. П. Альтгаузена. М.: Энергия, 1980.
17. Определение электромагнитных полей и энергетических характери-
стик линейного трехфазного индуктора/П. А. Виштак, И. П. Кондратенко,
А. П. Ращепкин и др.//Техническая электродинамика. 1987. № 3. С. 63—70.
18. Poiroux R. Les nouvelles technologies d’inducteur developpees au
laboratoire EDF//Journal du four electrique. 1982. P. 17—27.
271
19. Яицков С. А. Ускоренный изотермический индукционный нагрев
кузнечных заготовок. М.: Машгиз, 1962.
20. Демирчян К. С., Чечурин В. Л. Машинные расчеты электромагнит-
ных полей. М.: Высшая школа, 1986.
21. Тозоии О. В., Маергойз И. Д. Расчет трехмерных электромагнитных
полей. Киев: Техника, 1974.
22. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая
школа, 1984.
23. Гитгарц Д. А., Иоффе Ю. С Свойства индукционных установок
как нагрузки статических преобразователей частоты//Электротермия. 1968.
№ 75—76. С. 104—106.
24. Немков В. С. Расчет динамических характеристик электромагнит-
ных систем для индукционного нагрева: Сб. статей «Теория информацион-
ных систем и систем управления с распределенными параметрами». М.;
Наука. 1978. С. 48—53.
25. Глуханов Н.П. Физические основы высокочастотного нагрева//Биб-
лиотечка высокочастотника-термиста. 4-е изд; Л.: Машиностроение, 1979.
Вып. 1.
26. Зимин Л. С. Проектирование виброзащитных конструкций прямо-
угольных индукторов//Электротехника. 1986. № 9. С. 34—37.
27. Кувалдин А. Б., Джапарова Р. К. Расчет электродинамических сил
в осесимметричной системе индуктор—металл с использованием ЭВМ//Элек-
тротехника, 1982. № 1. С. 61—63.
28. Lupi S. The numerical calculation of forces in induction heating sys-
tems//IEEE—IAS. Ann. Meeting Conf. Record. Cleveland (USA), 1979.
P. 1226—1231.
29. Буканин В. А., Клещев В. В., Немков В. G Электродинамические
усилия при индукционном нагреве цилиндрических немагнитных слит-
ков//Электротехническая промышленность. Электротермия. 1978. Вып. 10
(194). С. 9—10.
30. Lupi S., Orefice С. Electrodynamic forces in induction heating of
bimetallic plates with planar circular coils//Archiv fur Electrotechnik. 1981.
№ 63.
31. Тамм И. E. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.
32. Тозоии О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.:
Энергия, 1975.
33. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа. 1967.
34. Павлов Н. А. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагре-
вателей. М.: Энергия, 1978.
35. Рязанов Г. А. Опыты и моделирование при изучении электромаг-
нитного поля. М.: Наука, 1968.
36. Демирчян К. С. Моделирование магнитных полей. М. —Л.: Энергия,
1974.
37. Сухоруков В. В. Математическое моделирование электромагнитных
полей в проводящих средах. М.: Энергия, 1975.
38. Туровский Я- Электромагнитные расчеты элементов электрических
машин. М.: Энергоатомиздат, 1986.
39. Немков В. С, Демидович В. Б. Экономичные алгоритмы численного
расчета устройств индукционного нагрева//Известия вузов. Электромеха-
ника. 1984. № И. С. 13—18.
40. Немков В. Q, Казьмин В. Е. Использование цифровых моделей для
автоматизированного проектирования индукционных нагревателей стальных
заготовок//Известия вузов. Электромеханика. 1984. № 9. С. 52—59.
41. Коган М. Г. Расчет индукторов для нагрева тел вращения. М.:
ВНИИЭМ, 1965.
42. An evaluation of loss models for nonlinear eddy current problems/La-
vers J. D., Ahmed M. R., Cao M., Kalaichelvan S.//IEEE Trans. Magn. 1985.
Vol. MAG-21. № 5. P. 1850—1852.
43. Нейман Л. P. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. Л.:
Госэнергоиздат, 1949.
272
44. Немков С. С. Математическая модель плоскопараллельной индук-
ционной нагревательной системы с периодическим полем: Сб. статей «Во-
просы проектирования автоматизированных моделирующих и управляющих
систем». Куйбышев. 1978. Вып. 1. С. 71—78.
45. Лупи С., Немков В. G Аналитический расчет цилиндрических ин-
дукционных систем//Электричество. 1978. № 6. С. 43—45.
46. Махмудов К. М., Слухоцкий А. Е. Расчет электрических параметров
цилиндрических индукторов произвольной длины//Тр. ВНИИТВЧ. Про-
мышленное применение токов высокой частоты. Л.: Машиностроение, 1969.
Вып. 10. С. 20—35.
47. Герасимов В. Г. Электромагнитный контроль однослойных и много-
слойных изделий. М.: Энергия, 1972.
48. Эфрос А. М. Вихревые токи в цилиндре с разрезом//Журнал техни-
ческой физики. 1940. Т. X. Вып. 6. С. 467—471.
49. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнит-
ных полей. М.: Энергия, 1970.
50. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электри-
ческих и магнитных явлений. М.: Изд-во АН СССР, 1948.
51. Пейсахович В. А. Расчет сопротивлений заготовок квадратного и
прямоугольного сечений при индукционном нагреве//Тр. НИИТВЧ. Про-
мышленное применение токов высокой частоты. Л.: Машиностроение, 1961.
Вып. 3. С. 5—18.
52. Зимин Л. G Особенности нагрева тел прямоугольной формы//При-
менение токов высокой частоты в электротермии. Л.: Машиностроение, 1973.
С. 25—34.
53. Зарипов М. Ф., Горбатков С. А. Элементы теории нелинейных элек-
тромагнитных систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979.
54. Немков В. С. Индукционный нагрев цилиндрических оболочек с
произвольной толщиной стенки//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт.
1979. № 3, С. 109—114.
55. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.: Энер-
гоатомиздат, 1986.
56. Немков В. С., Полеводов Б. G Математическое моделирование на
ЭВМ устройств высокочастотного нагрева. Л.: Машиностроение, 1980.
57. Baker R. М. Design and calculation of induction heating coils//Al EE
Trans. 1957. Vol. 76. Pt.ll. P. 31—40.
58. Немков В. G Расчет индукционных систем на основе магнитных
схем замещения//Электротехника. 1978. № 12. С. 36—39.
59. Немков G G Расчет плоских индукторов с магнитопроводами па
основе магнитных схем замещения: Сборник//Электротермические процессы
и установки. Чебоксары. 1984. С. 60—65.
60. Немков В. G Расчет потерь в многослойных обмотках из прямоуголь-
ного провода//Электротехиическая промышленность. Электротермия. 1969.
№ 90. С. 17—20.
61. Kolbe Е., Reis W. Eine Methode zur numerischen Bestimmung der
Stromdichteverteilung//Wiss. Z. Hochschule Elektrotechnik. Ilmenau. 1963.
Bd. 9. № 3. S. 311—317.
62. Демидович В. Б., Немков В. С. Расчет цилиндрического индуктора
с немагнитной загрузкой на ЭВМ//Тр. ВНИИТВЧ. Промышленное приме-
нение токов высокой частоты. Л.: 1975. Вып. 15. С. 38—45.
63. Немков G С., Смольников Л. П. Расчет электрических параметров
индукторов без магнитопроводов для нагрева плоских тел: Сб. статей//Иссле-
доваиие специальных вопросов электротермии. Чебоксары. 1982. С. 42—46.
64. Немков В. С., Смольников Л. П. Цифровые модели индукционных
электротермических систем с двумерным полем//Электротехника. 1984. № 2.
С. 27—31.
65. Павлов Н. А., Карпенкова О. И. Применение метода комплексных
индуктивностей для расчета индукторов с нелинейной загруз кой//Электри-
чество. 1977. № 10. С. 86—88.
66. Немков В. С. Расчет плоскопараллельных систем индукционного
273
нагрева по обобщенному методу связанных контуров//Электричество. 1985.
№ 4. С. 56—48.
67. Анализ электрических потерь в индукционных тигельных печах
с использованием численных методов расчета//В. С. Немков, А. А. Простя-
ков, Л. П. Смольников, Н. И. Фомин: Сб. статей//25-й Международный сим-
позиум. 1982. Вып. 2. С. 83-—90.
68. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей. Л.: Энер-
гоатомиздат, 1986.
69. Астапкович А. М., Садаков С. Н. Алгоритм расчета коэффициентов
собственной и взаимной индуктивности массивных коаксиальных конту-
ров, Препринт Б-0628. ВНИИЭФА. Л.: 1984. 27 с.
70. Смольников Л. П. Формулы для коэффициентов взаимной индукции
при численных расчетах индукторов//Изв. ЛЭТИ. 1976. Вып. 203. С. 17—21.
71. Немков В. С., Пронин А, М. Расчет магнитодвижущих сил в цилин-
дрических индукционных системах//Изв. ЛЭТИ. Л.: 1979. Вып. 255. С. 46—
49.
72. Пронин А. М. Расчет коэффициентов взаимной индуктивности и маг-
нитодвижущих сил коаксиальных цилиндрических соленоидов//Изв. ЛЭТИ.
Л.: 1981. Вып. 299. С. 30—33.
73. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоин-
женеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
74. Reichert von К. A numerical method to calculate induction heating
installations//Elektrowarme int. 1968. Bd. 26. № 4. P. 113—123.
75. Полеводов Б. С., Демидович В. Б., Скворцов Ю. А. Моделирование
тепловых и электромагнитных процессов в индукционных плазмотронах//Элек-
тромеханика. 1984. № 9. С. 13—21.
76. Sablic М. J., Beissner R. Е., Choy A. An alternative numerical app-
roach of computing eddy currents: case of the double — layered plate//IEEE
Trans, on Magnetics. Vol. MAG-20. № 3. May 1984. P. 500—506.
77. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ.
М.: Мир, 1977.
78. Зенкевич О., Морган К- Конечные элементы и аппроксимация: Пер.
с англ. Л.: Мир, 1986.
79. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных си-
стем уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
80. Эстербю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц:
Пер. с англ. М.: Мир, 1987.
81. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
82. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелиней-
ных систем уравнений со многими неизвестными.: Пер. с англ. М.: Мир,
1975.
83. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений: Пер. с аигл.
М.: Мир, 1985.
84. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. Пер. с англ.
М.: Мир, 1986.
85. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука,
1984.
86. Четверушкин Б. И. Математическое моделирование задач динамики
излучающего газа. М.: Наука, 1985.
87. Гончаров В. Д., Демидович В. Б., Скворцов Ю. А. Расчет электро-
магнитного поля и пондермоторных сил в рабочей камере индукционного
плазмотрона//Изв. ЛЭТИ. 1982. Вып. 321. С. 3—7.
88. Тир Л. Л., Чайкин П. М. Физическое моделирование высокотемпе-
ратурного индукционного нагрева слитков//Труды ВНИИЭТО. Исследова-
ния в области промышленного электронагрева. М.: Энергия, 1970. Вып. 4.
С. 184—192.
89. Адлер ГО. П., Маркова Е. В., Грановский Ю. В. Планирование экс-
перимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.
274
90. Ивоботенко Б. А., Ильинский Н. Ф., Копылов И. П. Планирование
эксперимента в электромеханике. М.: Энергия, 1975.
91. Немков С. С., Ключников Р. М. Индукционный нагрев плакирован-
ной стальной лентыУУЭлектротехническая промышленность. Электротермия.
1984. Вып. 6 (256). С. 3—4.
92. Harvey J. G. The theory of multy-layed windings for induction hea-
ting and their application to a 1 MW 50 Hz longitudinal flux billet heater//VIII
Congress. 1976. Liege. S. Ila. № 4.
93. Пути снижения потерь энергии в индукционных нагревате-
лях/В. С. Немков, О. И. Неужнлова, А. К. Северянин и др.//Изв. ЛЭТИ.
Л., 1984. Вып. 341. С. 102—109.
94. Немков В. С., Демидович В. Б., Руднев В. И. Рациональное ис-
пользование краевых эффектов в устройствах индукционного нагрева//Сб.
статей: Высокочастотная техника для машиностроительного производства.
М.: Эиергоатомиздат, 1988. С.
95. Слухоцкий А. Е., Павлов Н. А. Расчет сопротивлений заготовок
круглого сечения при поперечном расположении их в овальном индук-
торе//Промышленное применение токов высокой частоты. Труды ВНИИТВЧ.
Л.: Машиностроение, 1964. Вып. 5. С. 5—15.
96. Павлов Н. А., Полеводов Б. С. Некоторые особенности индукцион-
ного нагрева цилиндрических заготовок в поперечном магнитном полеУ/Про-
мышлениое применение токов высокой частоты. Труды ВНИИТВЧ. Л.:
Машиностроение, 1968. Вып. 9. С. 5—12.
97. Schulze D., Andre W. Numerische Berechnung von Querfeldindukto-
ren//Wiss. Zeitschrift TH Ilmenau. 1980. № 26. H. 3. S. 103—116.
98. Butterwortn S. On the alternating current resistance of solenoidal
coils//The Proceedings of the Royal Soc. 1925. V. 107. № 744a. P. 693.
99. Павлов H. А., Полеводов Б. С., Слухоцкий A. H. О применении
магиитопроводов в индукторах для нагрева в поперечном магнитном
поле//Применение токов высокой частоты в электротермии. Л.: Машинострое-
ние, 1968. С. 231—235.
100. Характеристики краевого эффекта немагнитных полых цилиндров
при индукционном нагреве/В. С. Немков, В. Б. Демидович, С. И. Никитин,
И. А. ЗайцеваУУЭлектротехника. 1982. № 8. С. 14—16.
101. Немков В. С, Казьмин В. Е., Пронин А. М. Исследование краевого
эффекта ферромагнитного цилиндра при индукционном нагревеУУЭлектро-
техника. 1985. № 2. С. 10—12.
102. Буканин В. А., Немков В. С. Индукционный нагрев полых цилинд-
ров с внутренним магнитопроводом//Электротехника. 1986. № 9. С. 32—34.
103. Garrett М. W. Calculation of fields, forces and mutual inductances
of current systems by elliptic integrals//Journal of Appl. Phys. 1963. V. 34.
№ 9.
104. Немков В. С., Махмудов К. М. Расчет индукторов для иагрева
немагнитных цилиндров. Л.: ЛЭТИ, 1975.
105. Повышение энергетических показателей индукционных установок
для нагрева цветных металлов/В. В. Клещев, В. С. Немков, В. В. Сабуров,
Е. П. Терехов/УЭлектротехническая промышленность. Электротермия. 1975.
№ 160. С. 8—11.
106. Lupi S., Nemkov V. S. The calculation of inductors with periodical
fieldsyyElektrowarme intern. 1977. Bd. 35. № 2. S. 103—109.
107. Слухоцкий A. E., Демидович В. Б., Никитин С. И. Исследование
распределения мощности по длине немагнитных слитков при нагреве в ин-
дуктореУУСпециальные вопросы электротермии. Чебоксары, 1981. С. 58—61.
108. Казьмин В. Е., Немков В. С., Немков С. С. Экспериментальное
исследование распределения мощности по длине загрузки при индукционном
нагревеУУЭлектротехническая промышленность. Электротермия. 1980.
Вып. 2 (210). С. 9—11.
109. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределен-
ными параметрами. М.: Наука, 1975.
275
НО. Рапопорт Э. Я. Оптимальное управление в двухмерных задачах
теплопроводности//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. М.: 1984. № 6.
С. 102—112.
111. Клещев В. В. Автотрансформаторное включение индукторов как
средство управления температурным полем//Электротехническая промыш-
ленность. Электротермия. 1976. Вып. 6 (166). С. 17—19.
112. Немков В. С., Смольников Л. П. Расчет электрических параметров
одиовнтковых индукторов при высокой частоте//Сложные электромагнитные
поля и электрические цепи: Межвузовский сборник. Уфа: 1978. № 6. С. 69—
74.
113. Немков В. С., Слухоцкий А. Е., Смольников Л. П. Численный ме-
тод расчета активного сопротивления токопроводов при высокой ча-
стоте//Известия ЛЭТИ. Л.: 1976. Вып. 183. С. 3—7.
114. Немков В. С., Немков С. С. Выбор конструкции высокочастотных
индукторов н способа нх согласования с генераторами//Промышленное при-
менение токов высокой частоты. Труды ВНИИТВЧ. Л.: Машиностроение,
1974. Вып. 14. С. 22—32.
115. Немков В. С., Саньков Ю. А. Расчет активного сопротивления ка-
тушки из проводов эллиптического сечения при высокой частоте//Промыш-
ленное применение токов высокой частоты. Труды ВНИИТВЧ. Л.: Машино-
строение, 1974. Вып. 14. С. 46—55.
116. Самарский А. А. Проблемы использования вычислительной тех-
ники и развитие информатнкн//Вестннк АН СССР. 1985. № 3. С. 57—69.
117. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислитель-
ный экспериментУУВестник АН СССР. 1979. № 5. С. 38—49.
118. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моде-
лирования в физике. М.: Наука, 1983.
119. Анищенко Л. М., Лавренюк С. Ю. Математические основы проекти-
рования высокотемпературных технологических процессов. М.: Наука,
1986.
120. Самарский А. А. Вычислительный эксперимент в задачах техноло-
гии//Вестник АН СССР. 1984. № 3. С. 77—88.
121. Демидович В. Б., Полеводов Б. С. Численный расчет нагревателей
периодического действия немагнитных цилиндрических заготовок//Сб. ста-
тей: Тезисы докладов 8-й Всесоюзной конференции по применению токов
высокой частоты в электротермии. Ч. 1. Л.: 1975. С. 29—30.
122. Демидович В. Б., Немков В. С., Полеводов Б. С. Электротепловая
модель периодического индукционного нагревателя немагнитных цилиндри-
ческих слнтков//Изв. ЛЭТИ: Сб. науч, трудов. Л., 1976. Вып. 203. С. 7—14.
123. Математические модели индукционных нагревателей слнтков из
алюминиевых сплавов/В. Б. Демидович, В. С. Немков, Б. С. Полеводов,
А. Е. Слухоцкий//Сб. статей: Электронное моделирование. Киев. 1977.
С. 72—81.
124. Математическое моделирование индукционных систем с распреде-
ленными электромагнитными и тепловыми параметрамн/В. Б. Демидович,
В. С. Немков, Б. С. Полеводов, А. Е. Слухоцкий//Сб. статей: Теория инфор-
мационных систем и систем управления с распределенными параметрами.
М.: Наука, 1978. С. 33—38.
125. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных урав-
нений. М.: Наука, 1978.
126. Физические свойства сталей н сплавов, применяемых в энергетике:
Справочник/Под ред. Б. Е. Неймарка. М.—Л.: Энергия, 1967.
127. Демидович В. Б., Руднев В. И., Стохннол А. Особенности расчета
индукционного нагрева тел прямоугольной формы//Изв. ЛЭТИ. 1984.
Вып. 341. С. 68—74.
128. Демидович В. Б., Руднев В. И., Рахимов В. А. Исследование дина-
мики индукционного нагрева слябовУУТезнсы докладов VIII Всесоюзного
научио-техн. совещания по электротермии и электротермическому оборудо-
ванию. М.: 1985. С. 52.
276
129. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач
математической физнкн. Новосибирск: Наука, 1967.
130. Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы на не-
равномерных сетках//Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 1963. Вып. 3. № 3.
С. 431—467.
131. Peaceman D. W-, Rachford Н. Н. The numerical solution of para-
bolic and elliptic differential equations//J. Soc. Industr. and Appl Math. 1955.
V. 3. № 1. P. 28—41.
132. Дьяконов E. Г. Разностные схемы с расщепляющим оператором
для многомерных нестационарных задач//Ж. вычнсл. матем. и матем. фнз.
1962. Вып. 2. № 4. С. 549—569.
133. Демидович В. Б. Экономичный способ численного расчета электро-
магнитного поля в индукционных системах с сильно неоднородной загруз-
кой//Изв. ЛЭТИ имени В. И. Ульянова (Ленина). Л., 1981. Вып. 299. С. 21 —
26.
134. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука,
1975.
135. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.:
Наука, 1981.
136. Бутковскнй А. Г. Теория оптимального управления системами
с распределенными параметрамн. М.: Наука, 1965.
137. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической
физики. М.: Наука, 1975.
138. Снразетдннов Т. К. Оптимизация систем с распределенными па-
раметрами. М.: Наука, 1977.
139. Бутковский А. Г., Малый С А., Андреев Ю. Н. Оптимальное уп-
равление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972.
140. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузион-
ными процессами. М.: Наука, 1978.
141. Коломейцева М. Б., Панасенко С. А. Оптимизация нагрева массив-
ных тел внутренними источниками//Автоматика н телемеханика. 1976. № 4.
С. 14—20.
142. Рапопорт Э. Я- Метод расчета оптимальных режимов нагрева мас-
сивных тел внутренними источниками тепла//Изв. вузов. Энергетика. 1978.
№ 6. С. 89—96.
143. Рапопорт Э. Я. Точный метод в задачах оптимизации нестационар-
ных процессов теплопроводности//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт.
1978. № 4. С. 137—145.
144. Рапопорт Э. Я. Некоторые задачи оптимизации режимов нагрева
металла перед обработкой давленнем//Фнз. и хим. обраб. материалов. 1984.
Ns 3. С. 54—62.
145. Рапопорт Э. Я. Об управляемости процесса нагрева массивного
тела с внутренним тепловыделеннем//Сб. статей: Алгоритмизация и автома-
тизация технологических процессов и промышленных установок. Куйбышев,
1973. Вып. 4. С. 201—205.
146. Демидович В. Б., Рапопорт Э. Я., Сабуров В. В. Оптимальное уп-
равление в сложных краевых задачах индукционного нагрева металла//Сб.
статей: Алгоритмизация и автоматизация технологических процессов и про-
мышленных установок. Куйбышев, 1978. Вып. 9. С. 126—135.
147. Демидович В. Б., Рапопорт Э. Я-, Сабуров В. В. Алгоритм оптимиза-
ции нагрева цилиндрического слнтка конечной длины в нндукторе//Сб. ста-
тей: Сложные электромагнитные поля и электрические цепн. Уфа, 1978.
Вып. 6. С. 141—148.
148. Демидович В. Б. К задаче оптимального управления двумерным
температурным полем при индукционном нагреве цилиндрических слит-
ков//Изв. ЛЭТИ имени В. И. Ульянова (Ленина). Л., 1979. Вып. 255. С. 11 —
14.
149. О достижимой точности нагрева цилиндрических заготовок индук-
ционным способом/С. И. Никитин, В. Б. Демидович, А. К. Северянин,
277
А. И. Тарасенко//Электротермические процессы и установки: Сб. Чувашек,
ун-та. Чебоксары, 1984. С. 52—55.
150. Андреев Ю. Н. Оптимальное проектирование тепловых агрегатов.
М.: Машиностроение, 1983.
151. Гемннтерн В. И., Каган Б. М. Методы оптимального проектирова-
ния. М.: Энергия, 1980.
152. Уайлд Д. Оптимальное проектирование: Пер. с англ. М.: Мир,
1981.
153. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования.
М.: Сов. радио, 1975.
154. Вентцель Е. С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1971.
155. Алгоритмы оптимизации проектны-х решений/Под ред. А. И. По-
ловинкина. М.: Энергия, 1976.
156. Оптимальные параметры прессования алюминиевых спла-
вов/Л. А. Шафман, Е. М. Непомнящий, Ю. Л. Стерник и др.//Цветиые ме-
таллы. 1968. № 12. С. 69—72.
157. Моисеев Н. Н., Шапнлов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимиза-
ции. М.: Наука, 1978.
158. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер.
с англ. М.: Мир, 1985.
159. Реклейтис Г., Генвнндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике:
В 2-х кн./Пер. с англ. М.: Мир, 1986.
160. Растригии Л. А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968.
161. Хнммельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер.
с англ. М.: Мир, 1975.
162. Демидович В. Б. Оптимизация индукционных установок для гра-
диентного нагрева слитков//Вопросы проектирования автоматизированных,
моделирующих и управляющих систем: Сб. статей. Куйбышев, 1978. Вып. 1.
С. 136—140.
163. Численные методы условной оптимизации: Пер. с англ./Под ред.
Ф. Гилл и У. Мюррей. М.: Мнр, 1977.
164. Норенков И. П. Введение в автоматизированное проектирование
технических устройств и систем: Учеб, пособие для втузов. М.: Высш, шк.,
1986.
165. Системы автоматизированного проектирования: Пер. с англ./Под
ред. Дж. Алланса. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы, 1985.
166. Энкарначчо Ж., Шлехтеидаль Э. Автоматизированное проектиро-
вание. Основные понятия и архитектура систем: Пер. с англ. М.: Радио и
связь, 1986.
содержание
Введение ......................................................... 3
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В УСТРОЙСТВАХ ИН-
ДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ....................................... 6
1.1. Основные типы устройств индукционного нагрева.....—
1.2. Электромагнитные процессы в устройствах индукционного
нагрева ..............................................13
1.3. Электродинамические усилия в УИН .... 31
1.4. Тепловые поля.....................................36
278
ГЛАВА ВТОРАЯ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОМАГ-
НИТНЫХ ПОЛЕЙ УСТРОЙСТВ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА 48
2.1. Общая характеристика методов расчета и анализа .... —
2.2. Аналитические методы расчета электромагнитных полей в си-
стемах индукционного нагрева............................ 51
Прямое решение дифференциальных уравнений для одномер-
ных полей.............................................—
Метод разделения переменных для расчета плоскопараллель-
ных систем индукционного нагрева.....................55
Метод разделения переменных для расчета цилиндрических
систем индукционного нагрева ........... 60
Специальные аналитические методы.................. 65
2.3. Методы схем замещения................... ... . 68
Метод цепных схем......... ...... —
Метод связанных контуров............................ 71
Метод магнитных схем замещения...................... 73
2.4. Метод интегральных уравнений........................82
Расчет устройств с немагнитной загрузкой .............—
Расчет устройств с ферромагнитными телами............86
Расчет плоскопараллельных систем.................. . 90
Реализация метода....................................92
2.5. Метод конечных разностей и метод конечных элементов ... 96
Общая характеристика методов..............................—
Метод конечных разностей при расчете нестационарных полей 98
Расчет квазистационарного поля МКР..................103
2.6. Физическое моделирование...........................106
Подобие при физическом моделировании . —
Планирование экспериментов................. . .... 111
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ПЛОСКИХ ТЕЛАХ 113
3.1. Закономерности распределения электромагнитных парамет-
ров .................................................. . —
3.2. Электромагнитное поле в двухслойной среде..........117
3.3. Индукционный нагрев пластины в продольном поле .... 121
3.4. Плоский проводник с током в стороннем магнитном поле . 123
3.5. Длинный параллелепипед в продольном магнитном поле . . 127
3.6. Краевые эффекты прн нагреве прямоугольного параллелепи-
педа ...................................................132
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ- ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ЦИЛИНДРИ-
ЧЕСКИХ ТЕЛАХ.................................................136
4.1. Общие закономерности распределения электромагнитных па-
раметров .................................................—
4.2. Сплошной цилиндр и цилиндрическая полость в массивном
теле ...................................................140
4.3. Полый однородный цилиндр в продольном магнитном поле . 143
4.4. Ферромагнитные цилиндрические тела в продольном магнит-
ном поле ...............................................151
4.5. Параметры цилиндрических токопроводов и стержневых ин-
дукторов ...............................................155
4.6. Цилиндрические тела в поперечном магнитном поле .... 158
4.7. Краевые эффекты цилиндрических тел.................162
ГЛАВА ПЯТАЯ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СИСТЕМЫ
ИНДУКТОР—ЗАГРУЗКА ...........................................169
5.2. Электромагнитные параметры индуктора с длинной загруз-
кой ..................................................... 174
279
5.3. Электромагнитные параметры секционированных индукторов 177
Однофазные цилиндрические индукторы....................—
Параметры трехфазных цилиндрических индукторов .... 180
5.4. Электромагнитные параметры индукторов с загрузкой конеч-
ной длины............................................184
5.5. Средства пространственного управления нагревом..188
Виды средств пространственного управления..........—
Автотрансформаторное включение обмоток...........189
5.6. Электродинамические силы в системе иидуктор—загрузка . 192
5.7. Потери в обмотках индукторов....................196
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ ИН-
ДУКЦИОННОГО НАГРЕВА................................. 201
6.1. Общие вопросы цифрового моделирования.............—
6.2. Принципы разработки электротепловых цифровых моделей
УИН ..........................................204
6.3. Одномерная электротепловая модель...............206
6.4. Двухмерная электротепловая модель индукционного иагрева
тел с прямоугольным поперечным сечением..............212
6.5. Двухмерные модели индукционных нагревателей немагнит-
ных цилиндрических тел...............................217
6.6. Использование комбинированных методов электрического
расчета при построении электротепловых моделей УИН . 226
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ
ОПТИМИЗАЦИИ УИН ..........................................230
7.1. Задача оптимального управления индукционными нагревате-
лями ............................................... —
7.2. Алгоритм оптимизации режима нагрева и длины индуктора
нагревателя периодического действия цилиндрических заго-
товок ...............................................238
7.3. Задача оптимального проектирования индукционных нагре-
вателей .............................................247
7.4. Оптимизация кузиечиых индукционных нагревателей сталь-
ных заготовок .......................................257
7.5. Автоматизированная система исследования и проектирования
индукционных нагревателей............................260
ПРИЛОЖЕНИЕ ПЕРВОЕ. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАМАГНИ-
ЧИВАЮЩИХ СИЛ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ цилиндри-
ческих КОНТУРОВ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРА
ЛОВ ..................................................... 263
ПРИЛОЖЕНИЕ ВТОРОЕ. КОЭФФИЦИЕНТЫ АКТИВНОГО И РЕАК-
ТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ ПОЛЫХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЦИ-
ЛИНДРОВ ..................................................268
Список литературы.........................................271