/
Текст
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517,1]
ББК 22.141я721
М52
Видано за рахунок державних коштів
Продаж заборонено
Рекомендовано
Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України
(наказ від 16.03.2011 № 235)
Наукову експертизу проводив
Інститут математики Національної академії наук України
Психолого-педагогічну експертизу проводив
Інститут педагогіки
Національної академії педагогічних наук України
Мерзляк А. Г.
М52 Алгебра. 11 клас : підруч. для загальноосвіт. навчальн. за-
кладів : академ. рівень, проф. рівень / А. Г. Мерзляк,
Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — X. : Гім-
назія, 2011. — 431 с. : іл.
І8ВК 978-966-474-145-0.
Це видання — підручник з алгебри і початків аналізу для учнів
11-х класів, які навчаються за програмою академічного або профільного
рівня. Книга містить увесь необхідний теоретичний матеріал, передба-
чений державною програмою, який супроводжується великою кількістю
розв’язаних прикладів типових задач. Книга містить також обпіирний ди-
дактичний матеріал. Для більшості вправ наведено відповіді або вказівки.
Підручник адресовано учням загальноосвітніх навчальних закладів,
учителям математики, керівникам математичних гуртків, студентам.
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517.1]
ББК 22.141я721
© А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2011
© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,
978-966-474-145-0 художнє оформлення, 2011
И0"вїдаі горів
ЛЮБІ ОДИНАДЦЯТИКЛАСНИКИ!
У цьому навчальному році ви закінчуєте школу, і ми сподіва-
ємося, що отримані знання стануть для вас надійним підґрунтям
в опануванні майбутньою професією. Маємо надію, що в цьому
вам допоможе підручник, який ви тримаєте в руках. Ознайомтеся,
будь ласка, з його структурою.
Текст підручника розділено на шість параграфів, кожний з яких
складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал.
Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом.
Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом.
Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується при-
кладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як
один з можливих зразків оформлення розв’язання.
До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв’я-
зування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоре-
тичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за склад-
ністю вправи, так і складні задачі. Свої знання можна перевірити,
розв’язуючи задачі в тестовій формі з рубрики «Перевір себе».
Звертаємо увагу на те, що текст підручника структуровано за
двома рівнями — академічним і профільним. Текст, обов’язковий
для вивчення лише учнями класів профільного рівня, позначено
пунктирною лінією • . Відповідні частини підручника відокрем-
58
лені також піктограмами ^0. Учні класів академічного рівня
можуть використовувати цей матеріал для самоосвіти. Підкрес-
лимо, що для учнів класів профільного рівня обов’язковим для
вивчення є весь навчальний матеріал підручника.
Крім навчального матеріалу, у підручнику ви зможете знайти
оповідання з історії математики, зокрема про діяльність видатних
українських математиків.
Бажаємо успіхів!
ШАНОВНІ КОЛЕГИІ
Ця книга є дворівневим підручником, текст якого передбачає
можливість організації навчального процесу в класах як акаде-
мічного, так і профільного рівнів вивчення математики.
Державна програма з алгебри і початків аналізу профільного
рівня порівняно з відповідною програмою академічного рівня
передбачає вивчення більш широкого переліку навчальних тем,
а також суттєво вищі вимоги до навчальних досягнень учнів.
У підручнику частини тексту теоретичного матеріалу і вправ,
які відповідають вимогам лише програми профільного рівня, по-
значено піктограмою і пунктирцою лінією • . Учителі, які
працюють у класах академічного рівня, можуть використовувати
цей матеріал для формування індивідуальних завдань, а також для
організації роботи математичного гуртка і факультативних занять.
Червоним кольором позначено номери задач, що рекоменду-
ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач,
які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на
розсуд учителя можна розв’язувати усно.
Усі задачі класифіковано за їх складністю. Рівні складності
відповідають вимогам програми для класів з відповідним рівнем
вивчення математики.
І Умовні позначення
о завдання, що відповідають початковому і середньому рів-
м
ням навчальних досягнень;
. завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних
м
досягнень;
м завдання, що відповідають високому рівню навчальних
досягнень;
п* задачі для математичних гуртків і факультативів;
доведення теореми, що відповідає достатньому рівню на-
вчальних досягнень;
0 доведення теореми, що відповідає високому рівню навчаль-
них досягнень;
▲ закінчення доведення теореми;
• закінчення розв’язування прикладу;
. С матеріал, який відповідає програмі профільного рівня;
рубрика «Коли зроблено уроки».
Похідна
та її
застосуван
Границя числової послідовності
Розглянемо послідовність (а„), задану формулою п-го
п . . .
члена а =-- (також кажуть, що цю послідовність задано
п + 1
формулою загального члена).
Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:
12345678
~~9 9 9 ~9 9 9 9 9 ••• •
23 456 7 89
Якщо члени цієї послідовності зображати точками на
координатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися
все ближче й ближче до точки з координатою 1 (рис. 1.1).
а.______ а„ а„ а
---
1 А 1 1 2 * 4 5678
2 З 4 5 6 789
Рис. 1.1
+
0
Інакше кажучи, значення виразу | ап - 11 зі збільшенням
номера п стає все меншим і меншим. Маємо:
п-п-1 -1 1
п+1 п+1 п+1
Тоді, наприклад, розв’язавши нерівність <0,1, уста-
п + 1
новлюємо, що | ап - 1 | < 0,1 при п > 10, а розв’язавши не-
рівність —< 0,0001, установлюємо, що | ап - 11 < 0,0001 при
п + 1
п > 10 000 тощо. Узагалі, починаючи з деякого номера п0
значення виразу | а„ - 1 | стає меншим від будь-якого на-
перед заданого додатного числа є (читають «епсилон»).
Знайти п0 можна, розв’язавши нерівність —< є.
п + 1
У цьому разі говорять, що число 1 є границею послі-
довності (а„). Кажуть також, що зі збільшенням номера п
члени послідовності (а„) прямують до числа 1.
Розглянемо послідовність (Ьп), задану формулою п-го
. 1
члена Ь =—.
п
П
Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:
1111111
’ 2’ З’ 4* 5’ б’ 7’ 8”” ’
Зі збільшенням номера п члени послідовності (Ьп) пря-
мують до числа 0 (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Це означає, що для будь-якого додатного числа є можна
вказати такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується
нерівність | Ьп - 0 | < є. Оскільки | Ьп - 0 | - —, то номер п0
п
. . 1
можна знайти, розв язавши нерівність — < є.
п
Означення. Число а називають границею послідов-
ності (ап), якщо для будь-якого додатного числа є існує
такий номер п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність
| ап - а | < є.
Пишуть: Ііт ап = а (тут Ііт — це початкові літери фран-
п—»оо
цузького слова Іітііе — границя).
Для прикладів, що розглядалися вище, можна записати:
Ііт—— = 1, Ііт —= 0.
п->жп + 1 "-»°° п
Послідовність, яка має границю, називають збіжною.
Можна довести, що кожна збіжна послідовність має лише
одну границю.
ПРИКЛАД 1 Послідовність (а„) задано формулою ап = 4.
Знайдіть іітоп.
п —>оо
Розв’язання. Доведемо, що Ііт ап =4. Справді, | ап - 41 ~
П ->СО
= 0 при всіх п є N. Тому для довільного додатного числа є
і для всіх п > 1 виконується нерівність | ап - 4 | < є. Звідси
п0 = 1.
Відповідь. 4.
Послідовність (ап), усі члени якої однакові, називають
стаціонарною. Аналогічно прикладу 1 можна довести, що
кожна стаціонарна послідовність (ап), де ап = с, має гра-
ницю, яка дорівнює числу с.
Поняття границі послідовності має просту геометричну
інтерпретацію1.
Нерівність виду | ап - а | < є рівносильна нерівностям
-є < ап - а < є, тобто
а-Е<ап<а + є.
Це означає, що коли ііт ап =а, то для будь-якого є > 0
п -> со
знайдеться номер п0, починаючи з якого всі члени послі-
довності належать інтервалу (а - є; а + є). Іншими словами,
яким би малим не був інтервал (а - є; а + є), члени послі-
довності, яка збігається до числа а, рано чи пізно потра-
плять у цей інтервал і вже ніколи не вийдуть за його межі,
тобто поза вказаним інтервалом може знаходитися лише
скінченна кількість членів послідовності (ап).
Послідовність, яка не має границі, називають розбіж-
ною.
Наприклад, послідовність (с„), яку задано формулою
сп = п, є розбіжною, оскільки будь-який інтервал (а - є; а + є)
містить лише скінченну кількість членів послідовності (с„)
(рис. 1.3).
0 12 3 4
С1 С2 С3 С4
Рис. 1.3
Так само розбіжною є і послідовність (гі„), яку задано
формулою = (-1)". Справді, припустимо, що послідовність
(гі„) є збіжною і Ііт дп = а. Тоді для є = — поза інтервалом
«->«> 2
1 її . ,
а—;а + — , довжина якого дорівнює 1, має знаходитися
2 2 у
1 Звертаючись до геометричних інтерпретацій, проміжок виду (а; Ь)
часто називають інтервалом, а проміжок виду [а; Ь] — відрізком.
лише скінченна кількість членів послідовності (<і„). Випи-
савши кілька перших членів послідовності (гіп)
= -1, д,2 = 1, гі3 = -1, с/4 = 1,
« ( 1
бачимо, що при жодному а інтервал \ а—;а + — не може
V 2 2)
містити числа -1 і 1 одночасно (рис. 1.4). Це означає, що
Л і 1Л
поза інтервалом Іа-—;а + —І знахО|П'иться нескінченна кіль-
кість членів послідовності: або гі3, гі5, ..., або гі2, гі4, <ї6, ... .
Отже, (сіп) — розбіжна послідовність.
Рис. 1.4
Знаходити границі числових послідовностей допомагає
така теорема.
Теорема 1.1 (про арифметичні дії з границями
послідовностей). Якщо послідовності (ап) і (Ьп) є збіж-
ними, то послідовності (ап + Ьп), (ап - Ьп), (апЬп) також
є збіжними, причому
Ііт (а„ + Ь ) = Ііш а„ + Ііпі Ь ,
' П П ' П П7
Ііш (ап -Ьп) = ІІШ ап -Ііт Ьп,
П—>оо И > СС П >СО
Ііт (аЬ ) = Ііт а„ • Ііт Ь .
' п п' п п.
П-Ї<Х> П-Ї<х>
Якщо, крім цього, 1іт/>и ^0 і Ьп*0 при всіх п є К, то
збіжною також є послідовність
, причому
Ііт —
Ііт ап
п —>ОО
Ііт Ьп
Доведення теореми проведемо лише для послідовності
(ап + Ьп). Для послідовностей (ап - Ьп), (апЬп) та
з до-
веденням теореми ви зможете ознайомитися, наприклад,
за підручником «Алгебра і початки аналізу. Підручник для
10 класу з поглибленим вивченням математики»1, п. 46.
Нехай Ііт ап = а. Тоді для довільного числа є > 0 існує
П->СО
такий номер що для всіх п > п'о виконується нерівність
| ап - а | < є, тобто
а - є < ап < а + є. (1)
Аналогічно, нехай Ііт Ьп = Ь. Тоді для довільного числа
п—»ОО
є > 0 існує такий номер п", що для всіх п0 > п”0 виконуєть-
ся нерівність | Ьп - Ь |< є, тобто
Ь-е<Ьп<Ь + е. (2)
Оберемо такий номер и0, що п0 > п'о та п0 > п”0. Тоді для
всіх п > п0 одночасно виконуються нерівності (1) і (2). До-
давши ці нерівності, отримаємо
(а + Ь) - 2є < ап + Ьп < (а + Ь) + 2є,
| (ап + Ьп) - (а + Ь) \ < 2є.
Якщо для будь-якого числа Є! > 0 обрати є = —, то остан-
2
ню нерівність можна переписати у вигляді
| (ап + Ьп) - (а + Ь) \ < Є1. (3)
Таким чином, для будь-якого Є! > 0 існує такий номер
п0, що для всіх п > п0 виконується нерівність (3). Це озна-
чає, що послідовність (ап + Ьп) є збіжною і
ііт (а + Ь ) = а + Ь = 1іт а +1іт Ь . ▲
' п п ' п п
1 А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Алгебра і початки аналізу. Підручник для 10 класу з поглибленим вивчен-
ням математики. — Харків: Гімназія, 2010. Далі посилатимемося на цей
підручник «Алгебра-10 з поглибленим вивченням математики».
ПРИКЛАД 2 Знайдіть Ііт 2п + 1.
"-»« П
Розв’язання. Маємо:
2п + 1 (2п 1^ ( 1^
Ііт-----= Ііт — ч— = Ііт 2 ч—. .
П->00 п п п)
„ . . 2п + 1
Послідовність із загальним членом ап =------- подано
п
у вигляді суми двох збіжних послідовностей із загальними
членами хп = 2 і уп =—. Тоді можна записати:
п
Ііт | 2 + — | = 1іт2 + 1іт — = 2 + 0 = 2. •
ПРИКЛАД 3 Обчисліть границю Ііт----------------.
п-»оо Ц-4п
Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу
5п + 3
----- на п:
11-4п
З
.. бП- + 3 -. и
Ііт----------= Ііт---------
П->СО 1 1 п—>оо 1 1
----4
п
У чисельнику і знаменнику отриманого дробу записано
загальні члени збіжних послідовностей. Тоді:
Теорема 1.2. Якщо послідовність (ап) є збіжною •
і ап > 0 при всіх п Є М, то послідовність із загальним •
членом
ап також є збіжною, причому Ііт у]а.
а.
З доведенням цієї теореми ви зможете ознайомитися, -
наприклад, за підручником «Алгебра-10 з поглибленим •
вивченням математики», п. 45.
(>/4п2 + п
ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю ііт
п —>оо
Розв’язання. Проведемо тотожні перетворення:
г. 2 „ {^4п2 +п + 2п){у]4п2 +п-2п)
уі4п +п —2п =-------т— -----------=
\4п2 +п + 2п
у14п2 + п + 2п \І4п2 + п + 2п
(4п2+п)-4п2_ п 1
4 + —+2
п
Тепер отримуємо
ііт (л/4п2 + п-2п) - ііт —. —— = —
" »->« /1 -74+2 4
.14 + — + 2
V п
Вправи
1.1. ° Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею
послідовності із загальним членом х„:
1 П -
їх о 1 ТІ а \ 81П ТІ
1) хп =3+-; 2) хп =-=; 3) х„ =—4) х„ =——
п л/п + 1 5—— п
п
1.2. ° Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею
послідовності із загальним членом х„:
1 л/й
1) хп = —+4; 2) х„ = - ---; 3) хп
П УІП+УІП + І
- СО8 П ~ СО8 П.
1.3. * Обчисліть границю:
і- 2га і- п + 5 і- ЮООга
1) ііт——; 2) ііт----; 3) ііт — --.
"-‘"п + 1 п->ооп + 4 п-»00 п +1
1.4. * Обчисліть границю:
п і- га + 2 оч і- 2п + 3 ЮОп
1) ііт----; 2) ііт----; 3) Ііт—----.
"-*00 Зп п->к,Зп-4 п +2п
1.5.* Обчисліть границю:
, ч .. п +3п + 15
1) ііт—--------
п->® 2п -п + 100
2) Ііт
Л —>00
п - Зп2 + 44 #
п2 + 5п - 7
... .. 4п5 + 5п4 + Зп - 2
3) Ит-----------------.
9п +п -1
1.6. ' Обчисліть границю:
-2п2+7п + 1
1) Ит------~;
П2-1-1
2) Ит 5 ”—;
п->ео п +Зп-8
1.7. ’ Обчисліть границю:
3)
п4-п3-п2-1
Ит------------
-Зп +п + 12п
1) Ит
2) Ит
[ 2п + 1 п + 3 \
\3-2п 4п + 57
2п (Зп-1) (п+4)
(4 + 5п) (2п +1) (п +1) ’
(п+1)(п-2)(2п + 3)
3) Ит-------------------.
(4п-1)(п + 3)(5п-2)
1.8. ' Обчисліть границю:
1) |іт
(п + 3)(п + 4)(п + 5)
2)цт (2-1^1)
2п -З
1.9. ’ Наведіть приклади трьох послідовностей, що збігають-
ся до числа: 1) 3; 2) —^2 .
1.10. ’ Чи для кожного числа а існує послідовність, що збі-
гається до а?
1.11. ” Учитель запропонував обчислити границю Иші.
п ->оо
Учень Василь Заплутайко розв’язав задачу так:
гіг 1 і- ґ1 1 1
п->со п->со Д л_>со^д д Д
п доданків
- Ит —+ 1іт — + ... + 1іт — = 0 + 0+.,, + 0 = 0.
Л->со Д Л->со д Д 4 V ; '
\______________________________! п доданків
п доданків
Чи погоджуєтесь Ви з розв’язанням Василя?
1.12. ' Обчисліть границю:
уі2п + 3
1) Ит -----—==;
п_>°° у4п + 1 + уп + 3
2) Ит
п ->оо
2л
у/п +1 + л/з + п
2) Ііт ,П + 1 .
<4и2+1
3) Ііт
п —>СО
уіп3 + 2п2 -
у/п + 1
2) Ііт(л/п2 +1 -уіп2 +3п).
п ->оо
1.13 / Обчисліть границю:
л/п + 2
1) 11111-^=—==;
п->“ л/п + 1 + л/п + З
1.14 /' Обчисліть границю:
1) ііт (\/п + 1 -л/п);
п ->со
2) ііт (л/п2-п-п);
П —> со
1-15.“ Обчисліть границю:
1) Ііт(п-\/п2 +з);
п —> со
1.16/ * Нехай при будь-якому £ > 0 інтервал (а - є; а + є)
містить безліч членів послідовності (ап). Чи правильно,
що ііт ап = а?
п -><®
1.17/ ’ Нехай ііт ап = 0. Чи можуть у цій послідовності:
п —>°О
1) бути члени, більші ніж 1 000 000;
2) усі члени бути від’ємними?
1.18. ” Зі збіжної послідовності вилучили всі члени, які
мають парні номери. Чи є послідовність, що утворилася,
збіжною?
1.19. “ У збіжній ПОСЛІДОВНОСТІ змінили 5 перших членів. Чи
залишиться послідовність збіжною? Чи може змінитися
границя послідовності?
1.20. ” Послідовність (зіп а„) є збіжною. Чи правильно, що
послідовність (а„) також є збіжною?
1.21. “ Відомо, що послідовність (| ап |) є збіжною. Чи пра-
вильно, іцо послідовність (а„) також є збіжною?
1.22. ” Відомо, що Ііт а = а. Доведіть, що:
п ->оо
1) Ііт а2 = а2; 2) Ііт а13 = а15.
п-><х> п->сс
1.23.” Відомо, що
ііт а = 2. Знайдіть границю:
П ->СО
1) 1ітаА+1;
п —> оо
2) ііт
п -> оо
”Ч+ап + 2
(а„-п)2+1'
1.24. “ Послідовність (ап) прямує до числа 3. Знайдіть гра-
ницю:
а „ -1
1) Ііт (ап + ап + 1)(ал -2); 2) Ііт .
п->оо «-*00 а +5
Уявлення про границю функції в точці
та про неперервність функції в точці
Розглянемо функцію / (х) = х + 1 і точку х0 = 1. Якщо
значення аргументу х прямують до числа 1 (позначають
х -» 1), то відповідні значення функції / прямують до чис-
ла 2 (позначають / (х) -» 2) (рис. 2.1).
Іншими словами: якщо значення аргументу обирають
усе ближче й ближче до числа 1, то відповідні значення
функції / усе менше й менше відрізняються від числа 2.
У цьому разі говорять, що число 2 є границею функції /
у точці 1, і записують
Ііт / (х) = 2
х—>1
або
Ііт (х + 1) = 2.
х -И
Також використовують такий запис:
/ (х) -> 2 при х —> 1.
Наприклад, за допомогою рисунка 2.2 можна зробити
висновок, що Ііт віп х = 0, Ііт віп х = 1, Ііт віп х - -1.
х -> 0 х->- ж
Якщо звернутися до рисунка 2.3, то можна записати:
Ііт агссоз х - 0, Ііт агссоз х-ті.
X -> 1 X —>-1
х2-1
На рисунку 2.4 зображено графік функції у =------ Ця
х-1
функція не визначена в точці х0 - 1, а в усіх інших точках
збігається з функцією у = х + 1 (порівняйте рис. 2.1 і рис. 2.4).
Проте якщо значення аргументу х, де х Ф 1, прямують до
числа 1, то відповідні значення функції у =-- прямують
х-1
до числа 2, тобто
Цей приклад показує, що функція може бути не визна-
ченою в точці, але мати границю в цій точці.
ІХІ
Розглянемо функцію /(х) = -—При х > 0 отримуємо
X
/ (х) - 1, при х < 0 отримуємо / (х) = -1. Графік функції /
зображено на рисунку 2.5.
Якщо значення аргументу х, де х * 0, прямують до 0, то
неможливо стверджувати, що значення функції / прямують
до якогось певного числа. Справді, коли значення аргумен-
ту прямують до нуля, залишаючись від’ємними, то відпо-
відні значення функції прямують до -1, а коли значення
аргументу прямують до нуля, залишаючись додатними, то
відповідні значення функції прямують до 1.
І X І
Тому функція / (х) - -—!• у точці х0 = 0 не має границі.
X
Розглянемо функцію / (х) = —
х2
(рис. 2.6). Якщо значення х, де х ф 0,
прямують до 0, то відповідні значення
функції стають усе більшими і більши-
ми. Тому не існує числа, до якого пря-
мують значення функції / за умови, що
значення аргументу прямують до 0.
Рис. 2.6
Отже, функція / (х) = — не має границі в точці х0 = 0.
х2
Ми навели приклади двох функцій, які не визначені
в деякій точці та не мають границі в цій точці.
Помилковим було б вважати, що коли функція визначена
в деякій точці х0, то вона обов’язково має границю в цій
точці. На рисунку 2.7 зображено графік функції /, яка ви-
значена в точці х0, але не має границі в цій точці.
На рисунку 2.8 зображено графіки функцій / і £, які
визначені в точці х0 і мають границю в цій точці. Проте
поведінка цих функцій у точці х0 істотно різниться. Графік
функції на відміну від графіка функції Л у точці х0 має
розрив. Таку відмінність поведінки функцій / і § у точці х0
можна охарактеризувати за допомогою границі.
Для функції § маємо: Ііш § (х) = а § (х0). Для функції /
*->*0
можна записати: ііт / (х) - / (х0).
Іншими словами: границя функції / у точці х0 дорівнює
значенню функції в цій точці.
У цьому разі говорять, що функція / е неперервною
в точці х0.
2 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
17
З рівності ііт / (х) = / (х0) випливає,
що коли функція / не має границі в точ-
ці х0 або не визначена в цій точці, то вона
не може бути неперервною в точці х0.
Наприклад, функція, графік якої зо-
бражено на рисунку 2.7, не є неперерв-
ною в точці х0. Також не є неперервною
х2
в точці х0 = 0 функція у = — (рис. 2.9).
X
Якщо функція / є неперервною в кожній точці деякої
множини М с К, то говорять, що вона неперервна на мно-
жині М.
Наприклад, функція у = х2 неперервна на К, а функція
У~~2 є неперервною на кожному з проміжків (-оо; 0)
х
і (0; +оо).
Якщо функція / є неперервною на В (/), то таку функцію
називають неперервною.
Ц Вправи
2.1. ” Побудувавши графік функції /, з’ясуйте, чи має функ-
ція / границю в точці х0:
1) / (х) = 2х - 1, х0 = -1; 5) /(х) = —, х0 = -2;
х
2) / (х) = 2х - 1, х0 = 0; 6) /(х) = —, х0 = 0;
х
х2 -4
3) / (х) = —-, х0 =1; 7) / (х) - к, де к — деяке
число, х0 = 3;
х2-4 Іх-2І
4) /(х) =-----, х0 = 2; 8) ї(х) = '--1, х0 = 2.
х-2 2-х
2.2. ° Побудувавши графік функції /, з’ясуйте, чи має функ-
ція / границю в точці х0:
1) / (х) - 2х + 1, х0 = 1; 2) / (х) = 2х + 1, х0 = -2;
х2 -9 І х-11
3) /(*) =-х0 =-1; 5) = ----1, х0 = 2;
х + 3 х-1
х2 -9 І х-11
4) /(х) = ^-Д х0 = -3; 6) /№ = '---1, х0 = 1.
х+3 х-1
2.3. ° За допомогою графіка функції / (рис. 2.10) з’ясуйте,
чи має функція / границю в точці х0:
2.4. ° На рисунку 2.11 зображено графік функції у - / (х).
1) Чому дорівнює значення функції / у точці х0 = 1?
2) Чи існує границя функції / у точці х0 = 1? У разі по-
зитивної відповіді запишіть з використанням відпо-
відної символіки, чому вона дорівнює.
3) Чи існує границя функції / у точці х0 = 2? У разі по-
зитивної відповіді Запишіть з використанням відпо-
відної символіки, чому вона дорівнює.
2.5. ° Значення аргументу функції / прямують до числа х0.
З’ясуйте, до якого числа прямують відповідні значення
функції /:
1) / (х) - х2, х0 = 1;
2) / (х) = х + 1, х0 = -2;
3) /(х) = -, х0 = 0;
х
4) / (х) = к, х0 = а, де к і а — деякі числа.
2.6. ° З’ясуйте, чи є неперервною функція / у точці х0:
1)/(х) = х2-1,х0 = -1; 3) /(х) = 1^1, х0= 1;
2) / (х) = >/х, х0 = 4; 4) /(х) = -У-х, х0 =-1.
2.7. ’ З’ясуйте, чи є неперервною функція / у точці х0:
1) /(*) =
2 п
х , якщох<2,
х + 2, якщох>2,
ХО = 2;
2) /(х) = - X — , ЯКЩО X 5*0, Л X Хо = 0; 1, якщох = 0,
3) /(х) = - х2, якщох>1, х0 = 1. х - 2, якщо х < 1,
2.8.* Чи є неперервною функція / у точці х0:
1) /(х) = - 6 —, якщох<-2, X х0 = -2; х—1, якщох>-2,
2) /(х) = . 0,5х2,якщох<-1, _ •^0 ~~ 1 • х + 3, якщох>-1,
Готуємося до вивчення нової теми
2.9. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:
1) у - 2х - 7; 3) у - х + 10; 5) у = 4;
2) у = -Зх; 4) у - 5 - х; 6) Зх - 2у = 4?
2.10. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точ-
ку А (-3; 7) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) 4;
2) -3; 3) 0.
2.11. Який кут утворює з додатним напрямом осі абсцис
пряма:
1) у - х - 6; 2) у = 1 - х; 3) у = З?
2.12. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку
А (2; 6) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:
1) 60°; 2) 120°.
Означення границі функції в точці
У попередньому пункті ви отримали уявлення про гра-
ницю функції в точці. Перейдемо до формування строгого
означення.
, На рисунку 3.1 зображено графік функції / і на осях
• абсцис і ординат позначено відповідно точки х0 і а. Зазна-
• чимо, що / (х0) Ф а.
Нехай є — деяке додатне число. На осі ординат розгля-
• немо інтервал (а - є; а + є). На осі абсцис йому відповідає
* такий інтервал І, який містить точку х0, що для будь-якого
• х є І А Р (/), х Ф х0, відповідні значення функції / нале-
• жать проміжку (а - є; а + є), тобто виконуються нерівно-
• сті а - є < / (х) < а + є. Іншими словами, для будь-якого
• х є І А Р (/), х х0, виконується нерівність | / (х) - а | < є.
Звузимо проміжок на осі ординат, тобто розглянемо ін-
тервал (а - єх; а + є^, де 0 < ^ < є. Тоді для числа Є! можна
вказати такий інтервал осі абсцис, який містить точку х0,
що для будь-якого х є І1 А Р (/), х # х0, виконується не-
рівність І / (х) - а І < Єі (рис. 3.1).
На рисунку 3.2 зображено гра-
фік такої функції /, що х0 £ Р (/).
Рисунок 3.3 відповідає функції /,
для якої / (х0) = а.
У кожному з випадків, зобра-
жених на рисунках 3.1-3.3, для
будь-якого є > 0 можна вказати
такий інтервал І, який містить
точку х0, що для'всіх х є І А Р (/)
і х Ф х0 виконується нерівність
| / (х) - а І < £.
Наведені міркування дозволяють дати таке означення
границі функції / у точці х0.
Означення. Число а називають границею функції /
у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є існує
такий інтервал І, який містить точку х0, що для будь-якого
х е І Гі О (/) і х ї х0 виконується нерівність
| ґ (х) - а І < є.
Зауважимо, що границя функції в точці х„ характеризує
значення функції біля точки х0, тоді як поведінка функції
в самій точці х0 не впливає на значення границі (зверніть
увагу на умову х х0 в означенні границі). Тому для кожної
з функцій /, графіки яких зображено на рисунках 3.1-3.3,
можна записати:
Ііш / (х) = а.
На рисунку 3.4 точка х0 така, що ліворуч (праворуч) від
неї немає точок, які належать області визначення функції /.
У кожному з випадків, зображених
на цьому рисунку,
для будь-якого є > 0 можна вказати такий інтервал І, який
містить точку Хо, ЩО ДЛЯ ВСІХ X є І Гї £) (/) і х * х0 вико-
нується нерівність | / (х) - а | <
є границею функції / у точці х0.
£.
Це означає, що число а
Якщо інтервал І містить точку х0,
то існує таке додатне число 5, що
проміжок (х0 - 5; х0 + 5) належить І
(рис. 3.5). Інтервал (х0 - 5; х0 + 5)
Інтервал І
х0- 8 *0 *0 + б
Рис. 3.5
називають 5-околом точки х0. Об’єднання інтервалів
(х0 - 5; х0) Сі (х0; х0 + б) називають проколотим 5-околом
точки х0 (рис. 3.6).
Очевидно, що при 5 > 0 множиною розв’язків нерівно-
сті | х - х0 | < 5 є 5-окіл точки х0, а множиною розв’язків
подвійної нерівності 0<|х — х0 | < 8 є проколотий 5-окіл
точки х0.
Тоді, якщо точка х0 належить інтервалу І, то цей інтервал
містить деякий проколотий 5-окіл точки х0, тобто множину,
яка є розв’язком подвійної нерівності 0 < | х - х0 | < 5, де
5 — деяке додатне число (рис. 3.7).
Рис. 3.7 Рис. 3.8
Тепер наведене означення границі функції / у точці
можна переформулювати так.
Означення. Число а називають границею функції [
у точці х0, якщо для будь-якого додатного числа є існує
таке додатне число 5, що для всіх х є £) (/) з нерівностей
0 < | х — х0 | < 5 випливає нерівність | / (х) — а | < є.
Рисунок 3.8 ілюструє це озна-
чення.
Зауваження. Якщо існує
проколотий 5-окіл точки х0,
у якому функція не визначена
(рис. 3.9), то границю функції
в точці х0 не означають.
ПРИКЛАД 1 За допомогою означення границі функції в точ-
ці доведіть, що Ііт (2х+3) = 5.
X -> 1
Розв’язання. Для кожного додатного числа £ розгля-
немо нерівність | (2х + 3) - 5 | < е. Перетворивши її, запи-
шемо: | х-11 < —. Отримана нерівність підказує, яким чином
2
для даного є > 0 можна знайти потрібне число 5 > 0.
Нехай 5 = —. Тоді з умови 0<|х -11 < 5 = — випливає, що
2 2
| 2х - 2 | < £. Звідси | (2х + 3) - 5 | < £. Сказане означає, що
число а = 5 є границею функції у = 2х + 3 в точці х0 = 1. •
9х2 -1
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що ііт--------= 2.
Зх-1
з
„ л . 9х2-1 1 .
Розв язання. Функція У = ~—“ ПРИ збігається
з функцією у = Зх + 1. А оскільки значення границі функ-
ції в точці не залежить від того, визначена чи не визначена
функція в цій точці, то достатньо показати, що Ііт (Зх +1) = 2.
З
Розглянемо нерівність | (Зх + 1) - 2 І < £, де є — деяке
додатне число. Після перетворень отримуємо
Тепер зрозуміло, як можна вибрати 5. Візьмемо 5 = —. Тоді
З
< б = - випливає, що І Зх - 1 І < £. Звідси
З
| (Зх + 1) - 2 | < £. Тим самим доведено, що Ііт (Зх + 1) = 2. •
х-> —
З
|х|
ПРИКЛАД 3 Доведіть, що функція / (х) = -—- не має грани-
X
ці в точці х0 = 0.
Розв’язання. Припустимо, що границя функції /у точ-
ці х0 = 0 існує і дорівнює а. Покажемо, що, наприклад, для
1 є
х— <—.
З З
п 1
з умови 0< х~~
£ = 1 неможливо підібрати таке 5 > 0, щоб з нерівностей
0 < | х - 0 | < 5 випливала нерівність 1*1 1—-а X <1.
| X Якщо 0 < х < 5, то нерівність *— -а <1 стає такою:
X
Н - а | < 1. Звідси 0 < а < 2.
І X Якщо -5 < х < 0, то нерівність — 1-а <1 стає такою:
X
| -1 - а | < 1. Звідси -2 < а < 0.
Оскільки не існує значень а, які б задовольняли кожну
з подвійних нерівностей 0<а<2і-2<а<0, то функція /
у точці х0 = 0 не має границі. •
Вправи
3.1. " За допомогою означення границі функції в точці до-
ведіть рівність:
х2 -х-6
1) 1іш(2х+1) = -1; 3) Ііт -—— = -5.
х^-1 Х-+-2 х + 2
х2 -9
2) Ііт—— =6;
х-3
3.2. " За допомогою означення границі функції в точці до-
ведіть рівність:
х2 — 4х + З
1) 1іт(Зх+2) = 8; 3) Ііт-—^-^ = -2.
х->1 Х-1
х2-4
2) Ііт——— = -4;
ї->-2 Х + 2
О-»3.3." Доведіть, що ііт с - с, де с — деяке число.
о-»3.4.*’ Доведіть, що Ііт (кх+Ь) = кх0 +6.
х^х0
•• х ~~ 2
3.5. ” Доведіть, що функція /(х) = ------ не має границі
ІХ“2І
в точці х0 ~ 2.
3.6. ” Доведіть, що функція /(х) = І Х + 1' не має границі
х + 1
в точці х0 = -1.
Теорема про арифметичні дії
з границями функцій у точці
Знаходити границю функції в точці за допомогою озна-
чення границі — задача трудомістка. Полегшити процес
пошуку границі дозволяє теорема про арифметичні дії
з границями функцій \
Теорема 4.1 (про арифметичні дії з границями
функцій). Якщо функції у = { (х) і у - £ (х) мають грани-
цю в точці х0, то функції у = У (х) + £ (х), у = [ (х) - § (х),
у = у (х) § (х) також мають границю в точці х0, причому
Ііш (У (х)+£ (х)) = Ііт у (х)+ Ит § (х),
X ХО х х0 X х0
Ііт (У (х)-£ (х)) = Ііт / (х)- Ит £ (х),
х-»х0 Х->ХО х->х0
Ііт (У (х) £ (х)) = Ііт У (х) • Ііт £ (х).
X -> ХО х->х0 х->х0
Якщо, крім цього, границя функції у = § (х) у точці х0
відмінна від нуля, то функція у =
ницю в точці х0, причому
Г(х)
£(х)
також має гра-
.. У(х)
Ііт------
х~*х 1° £(х)
Ііт У(х)
*->*<>
Ііт § (х)
*~>*о
3 доведенням теореми ви можете ознайомитися, напри-
клад, за підручником «Алгебра і початки аналізу. Підручник
для 11 класу з поглибленим вивченням математики»2, п. 2.
Фактично теорема 4.1 складається з чотирьох теорем, які
називають теоремами про границю суми, границю різниці,
границю добутку та границю частки.
1 У теоремі розглядаються функції, що визначені в одних і тих самих
точках деякого проколотого 5-околу точки х0.
2 А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір.
Алгебра і початки аналізу. Підручник для 11 класу з поглибленим ви-
вченням математики. — Харків: Гімназія, 2011. Далі посилатимемося
на цей підручник «Алгебра-11 з поглибленим вивченням математики».
Наслідок. Якщо функція / має границю в точці х0
і к — довільна стала, то функція у = к/ (х) також має
границю в точці х0, причому
Ііт к/ (х) = к Ііт / (х).
х->х0 х-»«о
Справедливість наслідку випливає з теореми про границю
добутку і ключової задачі 3.3.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що Ііт х2=х£.
х-»х0
Розв’язання. З ключової задачі 3.4 випливає, що
1ітх = х0. Тоді, якщо функцію у = х2 подати у вигляді
х->х0
у - х • х, то можна застосувати теорему про границю добут-
ку. Маємо:
Ііт х2 = Ііт (х • х) = Ііт х • ііт х = хі. •
X —> х0 х—>х0 Х—ЇХц х->х0
ПРИКЛАД 2 Знайдіть Ііт
*~»2 х2 —4
Розв’язання. Оскільки Ііт (х2-4) = Ііт х2-Ііт 4 =
, х->2 х->2 х->2
= 22 -4 = 0, то не можна застосувати теорему про границю
_5х і 6
частки до функції /(х) =-;---. Перетворимо вираз
х-4
х2-5х+6
---=----. Маємо:
х2-4
х2 -5х + 6 _ (х-2)(х-3) _ х-3
х2-4 (х-2) (х + 2) х + 2*
де х ф 2 та х Ф -2.
х—З
Розглянемо функцію § (х) =-. Оскільки функції / і §
х + 2
відрізняються лише поведінкою в точці х0 = 2, то
ііт / (х) = Ііт § (х). Використовуючи теорему про арифме-
х->2 х->2
тичні дії з границями функцій, отримуємо:
Ііт
х->2
х2 -5х+6
х2-4
= 1іт
х-3
я-*2 х + 2
Ит(х-З) 23
Ііт (х + 2) 2+2
х-г»2
1
4*
ПРИКЛАД 3 Знайдіть ііт / (х), де
х2 -2х, якщо х Ф —
/(х) = - 2 3, якщо х = — 1 2
Розв’язання. Розглянемо функцію
§ (х) = х2 - 2х. Оскільки в будь-якому
с • 1
проколотому О-ОКОЛ1 ТОЧКИ Хо-~
2
функції і і § збігаються (рис. 4.1), то
достатньо знайти 1ііп(х2-2х). Вико-
ристовуючи теорему про арифметичні
Рис. 4.1
дії з границями функцій, запишемо:
ііш (х2 -2х) = Ііт х2
✓ \2
— Ііш 2х = | — ] -2-- =
\2) 2
З
4'
Ц Вправи
4.1. ° Знайдіть:
1) 1іш(2х2-Зх-1);
х->1
2) Ііт х4;
х->-1
3) 1іт(х3-Зх-2);
х->2
4.2. ° Знайдіть:
1) 1іт(2х2+Зх+5);
х-^1
2) 1іт(х3 -Зх2 +2х + 2);
х^>2
3) Ііт (2х3-Зх2+6);
х->-2
4)
2х-1
Ііт------
х->3 Зх-2
х2-Зх+5
Ііт-г-----
х +2х-1
6) Ііт | х2+ 2х-3
х
4)
5)
6)
7х-5
ііт-----;
10+2х
2 і
X -1
ііт—------
х->0 2х2-х-1
.. х3+1
Ііт-----™ •
4.3/ Знайдіть:
1) 1ітХ^~2х~3;
х2 -5х + 6
2) 11т^^;
х~^2 Х3-8
.. Зх4-5х2-12х-4
3) Ііт-------5--------;
х->2 х2-4
.. і- х5 + 1
4) Ііт-----.
х + 1
4.4/ Знайдіть:
1) Ііт
х->1
х2 -Зх + 2.
х2-4х+з’
2) Ііт
х-^1
х4-Зх + 2.
х5-4х + з’
3) Ііт(1^)‘ -(1;4Х);
х2+х4
.. і- я5"1
4) Ііт™—-.
х3_1
4.5/ Обчисліть границю:
2) Ііт
х—>2
1) Ит
х —> 1
2 1
х2-2х х2-Зх + 2
4.6 / Обчисліть границю:
1) ііт | —
*->-3кх + 3
6 \
хг-д)’
2) Ііт
х->2
2 х-4
<2хг-5х + 2 3(х2-3х + 2)у
4.7 / Знайдіть Ііт / (х), де / (х) =
х->0
х2 — 2х +2, якщо х Ф 0,
-1, якщо х = 0.
4.8 / Знайдіть Ит / (х), де / (х) =
х-»3
-х2 +3х, якщо х ф З,
2, якщох = 3.
4.9 /* Знайдіть Ит
де т
і п — непарні натуральні
числа.
4.10/*
х -1
Знайдіть Ит------, де т
Х^1 х«_!
і п — натуральні числа.
5.
____4
Неперервність функції в точці.
Властивості неперервних функцій
У пункті 2 ви отримали уявлення про функції, неперерв-
ні в точці. Розглянемо це поняття глибше і детальніше.
На рисунку 5.1 зображено графіки функцій / і £, які
визначені в точці х0 і мають границю в цій точці.
Рис. 5.1
Для функції § маємо: Ііт £ (х) = а § (х0). Для функції /
х->х0
можна записати: ііт/(х) = /(х0).
*~>х(,
Означення. Якщо виконується рівність ііт /(х) = /(х0),
х->х0
то функцію / називають неперервною в точці х0.
Якщо в деякому 8-околі точки х0 функція / визначена
лише в точці х0 (рис. 5.2), то границю такої функції в точ-
ці х0 не означають. Тому рівність Ііт /(х) = /(х0) переві-
х-»х0
рити неможливо. Проте домовилися і таку функцію / вва-
жати неперервною в точці х0.
Наприклад, функція у = -7-х2
є неперервною в точці х0 = 0,
а функція у = V- ній2 х є неперерв-
ною в кожній з точок виду х0 = пк,
й є 2.
З теореми про арифметичні дії з границями функцій ви-
пливає, що коли Ііт У(х) = /(х()) і Ііт £(х) = £(х0), то:
1) Ііт (/(х) + ^(х)) =/(х0) + §,(х0);
2) Ііт (/(х)-£(х)) =/(х0)-£(х0);
3) ііт (/ (х) § (х)) = / (х0) $ (х0);
х^х0
4) Ііт за умови, що § (х0) Ф 0.
£(х0)
Використовуючи ці рівності, можна довести таку теорему.
Теорема 5.1 (про арифметичні дії з неперерв-
ними функціями). Якщо функції у = / (х) і у- £ (х)
неперервні в точці х0, то в цій точці неперервними
є і функції у = ї(х) + 8 (*), У = І(х)~ В (х), у = / (х) § (х)
Дх)
і у =---(остання за умови, що § (х0) ф 0).
£(*)
Використовуючи теорему про арифметичні дії з непе-
рервними функціями, маємо, що кожна з функцій у = / (х)
і у = 1 7, де / (х), § (х) — многочлени1, є неперервною.
£(х)
Зауважимо, що коли функція неперервна на К, то вона
неперервна на будь-якому числовому проміжку (рис. 5.3).
Можна показати2, що для будь-якого х0 є Ж виконується
рівність Ііт віп х = 8Іп х0. Це означає, що функція у = 8Іп х
неперервна.
1 Функцію виду у =---, де / (х) і § (х) — многочлени, називають
£(*)
раціональною.
2 3 доведенням цього факту ви можете ознайомитися в оповіданні
на с. 42.
Нехай функції / і § визначені на деяких проміжках. З на-
очних міркувань очевидно, що коли графіки функцій / і §
є рівними фігурами і функція / неперервна, то функція §
також неперервна.
У 10 класі було показано, що графік функції у = сов х
можна отримати з графіка функції у = віп х у результаті
( Л
паралельного перенесення на вектор з координатами —; 0
\ 2 у
(рис. 5.4). Таким чином, неперервність функції у = сов х
випливає з неперервності функції у - віп х.
Оскільки функції у = віп X і у = сов х — неперервні, то
з теореми про арифметичні дії з неперервними функціями
випливає, що функції у = X І у - СІ£ х також є неперерв-
ними.
Ви знаєте, що графіки взаємно обернених функцій симет-
ричні відносно прямої у = х. Тому якщо оборотна функція /
визначена на деякому проміжку і є неперервною, то обер-
нена до неї функція § також буде неперервною.
Як було встановлено вище, функція у - х2 е неперерв-
ною. Тоді й оборотна функція / (х) - х2, О (/) = [0; +оо),
є неперервною. Отже, обернена до неї функція £(х) = л/х
також є неперервною.
Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що функція
у = у[х, п є К, п > 1, є неперервною. Так само встановлю-
ємо, що неперервними є і функції у - агсвіп х, у = агссов х,
у = агсі£ х та у = агссі£ х.
З Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
33
ПРИКЛАД 1 З’ясуйте, чи є функція
/(*) = '
х2 -16
-----, якщо х Ф 4,
х-4
2, якщо х = 4,
неперервною в точці х0 = 4.
Розв’язання. Маємо:
/ (4) = 2.
Обчислимо Ит/(х). Запишемо:
х->4
Ііт / (х) = Ит ——— = Ііт 4)(х + 4) _ + 4) _ §
х->4 х->4 Х~4 х->4 X — 4 х->4
Отримали, що Ит / (х) * / (4). Отже, функція { у точці
х->4
х0 = 4 не є неперервною. Отриманий висновок проілюстро-
вано на рисунку 5.5. •
Розглянемо низку важливих властивостей неперервних
функцій1.
Теорема 5.2 (про неперервність складеної
функції). Якщо функція і = £ (х) неперервна в точці х0,
а функція у = / (і) неперервна в точці і0, де і0 = £ (х0), то
складена функція у = / (§ (х)) є неперервною в точці х0.
Наприклад, функція і = 2х - 1 неперервна в точці х0 = 5,
функція у = у/ї неперервна в точці £0 = 2*5 -1 = 9. Тоді
складена функція у = \І2х-1 е неперервною в точці х0 = 5.
Міркуючи аналогічно, можна показати, що складена функ-
ція у = у]2х-1 е неперервною в кожній точці своєї області
визначення.
Ще приклади. Функції у = зіп х і у = 5х є неперервними.
Тоді складена функція у = від 5х також неперервна.
Кожна з функцій у = 4х і у = х2 є неперервною. Тоді
складена функція у = 4х*, тобто функція у = | х |, також
є неперервною.
Доведення цих властивостей виходить за межі шкільної програми.
ПРИКЛАД 2 Обчисліть Ііт .----=—.
х^іу12х + \-2
Розв’язання
Оскільки функція /(х) = у2х + 1-3 є неперервною, то
1іт(\/2х +1-3) = ^4+ 1-3 = 0. Отже, застосувати теорему
Х->4
про границю частки не можна.
Перетворимо вираз, який стоїть під знаком границі:
х-4 _ (х-4)(>/2х+1+з) _(х-4)(>/2х+1 + з)_
>/2х+1-3 (>/2х+1-з)(л/2х+1+з) (2х+1)-9
= (х-4)(^.з) = 1(л&л+з)
2(х-4) 2
Оскільки функція § (х) = — (\/2х + 1 + з) є неперервною, то
2
можна записати: Ііт-(л/2х + 1 + з) = — (л/2-4 + 1 + з) = 3. •
х->42 2у '
Теорема 5.3 (теорема Больцано —Коші).. Якщо
функція / неперервна на відрізку [а; Ь] і на кінцях цього
проміжку набуває значень різних знаків, то існує така
точка с є (а; Ь), що / (с) = 0.
Чеський математик, філософ і логік. Очо-
лював кафедру історії релігії в Празькому
університеті. При житті надрукував (анонім-
но) лише 5 невеликих математичних творів,
основну частину його рукописної спадщини
вчені досліджували вже після його смерті.
Трактат «Учення про функції», написаний
у 1830 р., побачив світ тільки через 100 років.
У ньому Больцано, за багато років до Вейєріп-
трасса і Коші, формулює і доводить низку
положень математичного аналізу. У роботі
«Парадокси нескінченності» Больцано опра-
цьовував питання потужності нескінченних
множин; у роботі «Наукознавство» висунув
низку ідей, які передували математичній
логіці.
Бернард Больцано
(1781-1848)
Ця теорема є наочно очевидною. Справді, якщо точки,
які лежать у різних півплощинах відносно осі абсцис,
з’єднати неперервною кривою, то ця крива обов’язково
перетне вісь абсцис (рис. 5.6).
Наслідок. Якщо функція неперервна і не має нулів на
деякому проміжку І, то вона на цьому проміжку зберігає
знак (рис. 5.7).
Доведення. Припустимо, що дана функція /"на проміж-
ку І не зберігає знак, тобто існують такі а є І і Ь є І, що
числа / (а) і / (Ь) різних знаків (рис. 5.6). Тоді за теоремою
Больцано-Коші існує точка с є (а; Ь) сі І така, що / (с) = 0.
Отримали суперечність. ▲
Нагадаємо, що цей наслідок лежить в основі методу ін-
тервалів для розв’язування нерівностей.
ПРИКЛАД 3 Доведіть, що рівняння х5 + 2х2 -11 = 0 має
корінь.
Розв’язання. Розглянемо неперервну функцію / (х) =
= х5 + 2х2 - 11.
Маємо: / (0) = -11, / (2) = 29. Отже, за теоремою Больцано-
Коші на відрізку [0; 2] рівняння / (х) = 0 має корінь. •
Не будь-яка функція, визначена на відрізку [а; &], до-
сягає на цьому проміжку своїх найбільшого і найменшого
значень. Це ілюструє рисунок 5.8.
Огюстен Луї Коші
(1789-1887)
Французький математик. Опублі-
кував понад 800 робіт з арифметики,
теорії чисел, алгебри, математичного
аналізу, диференціальних рівнянь,
теоретичної і небесної механіки, ма-
тематичної фізики; займався також
дослідженнями з тригонометрії, теорії
пружності, оптики, астрономії. Був
членом Паризької академії наук, Лон-
донського королівського товариства
і майже всіх академій наук світу.
Проте для неперервних функцій має місце така теорема.
Теорема 5.4 (теорема Вейєрштрасса). Якщо функ-
ція неперервна на відрізку [а; Ь], то вона на цьому від-
різку набуває своїх найбільшого і найменшого значень.
Ця теорема наочно очевидна.
Якщо дві точки на координатній
площині з’єднати неперервною кри-
вою, то на цій кривій знайдуться
точки з найбільшою і найменшою
ординатами (рис. 5.9).
Зазначимо, що коли в теоремі Ве-
йєрштрасса відрізок [а; &] замінити
проміжком іншого виду, наприклад
інтервалом (а; Ь), то ця теорема може
не виконуватись. Так, функція у = х,
яка є неперервною на проміжку (0; 1),
шах / (х) = / (х0)
[а; 6]
тіп / (х) = / (а)
Рис. 5.9
не досягає на ньому своїх найбільшого і найменшого значень.
Німецький математик, член Берлін-
ської академії наук, Паризької акаде-
мії наук, почесний член Петербурзької
академії наук. Одним з найважливіших
його здобутків є система логічного
обґрунтування математичного аналізу,
заснована на побудованій ним теорії
дійсних чисел. Вейєрштрасс приділяв
значну увагу застосуванню математики
до механіки та фізики і заохочував до
цього своїх учнів.
Карл Теодор Вільгельм
Вейєрштрасс
(1815-1897)
Покажемо, як поняття неперервності допомагає знахо-
дити область значень функції.
Нехай про функцію { відомо, що тіп / (х) - 1, тах / (х) - 5.
В(П О(Г)
Рис. 5.10
Чи правильно, що Е (/) = [1; 5]? Рису-
нок 5.10 показує, що відповідь на це
запитання негативна: число 3 не на-
лежить області значень цієї функції.
Але якщо областю визначення не-
перервної функції є деякий проміжок,
то відповідь на поставлене запитання
буде позитивною.
Теорема 5.5. Якщо областю визначення неперервної
функції / є деякий проміжок і шіп/(х) = а, тах/(х)-Ь
іа*Ь, то Е (/) = [а; Ь].
Доведення. Нехай числа хх і х2 такі, що / (х^ = а,
/ (х2) - Ь і хг < х2 (випадок, коли х2 < хп розглядають анало-
гічно). Розглянемо довільне число с є (а; Ь), тобто а < с < Ь.
Доведемо, що існує точка х0 є 7) (/), для якої / (х0) = с. Тим
самим буде показано, що с є Е (/).
Розглянемо функцію § (х) = / (х) - с. Функція § є непе-
рервною на 7) (£) = 7) (/), отже, вона неперервна на відрізку
[*і5 х2].
Маємо: § (х^ = / (х^) - с = а - с < 0;
§ = / (х2) -с = Ь- с>0.
Отже, згідно з теоремою Больцано-Коші існує точ-
ка х0 є (хг; х2) така, що § (х0) = 0, тобто / (х0) - с = 0;
/ (х0) = с. ▲
ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень функції
х2
1 + х
х2
Розв’язання. Маємо: ------->0 Для всіх х є Оскіль-
1 + х
ки / (0) = 0, то тіп / (х) = 0.
к
Застосувавши нерівність Коші, запишемо:
х2 < х2 _ х2 _ 1
1 + *4 'г^/і-х4
Оскільки /"(1) = —, то тах/Т(х) =—.
2 к 2
Функція / неперервна на К. З теореми 5.5 випливає, що
Е(П= 0;|
Вправи
5.1. ° Обчисліть:
1) Ііт-Ух;
х—>9
2) ііт віп х;
л
X —> —
6
5.2. ° Обчисліть:
1) Ііт-Ух;
3) Ііт іех;
Зп
Х-> 4
4) Іітагсбіпх;
х->0
5) Итагсі£х.
Х-»1
2) Ііт со8 х;
л
х —>
2
3) Ііт сі£х;
л
х->—
4
4) іітагссобх;
х^О
5) Ііт агссі£ х.
5.3. ° Поясніть, чому є неперервною функція:
1) /(х) = -Ух+3; 3) /-(х) = л/5х + 2; 5) /(х) = ^^
х
5.4. ° Поясніть, чому є неперервною функція:
1) /"(х) = —+\[х;
х
2) / (х) = 8Іп х + сі£ х;
5.5. ° Обчисліть:
3) /(х) = ^;
СО8 X
4) / (х) ~ сі^ 5х.
1) Іітл/2х-1;
І я
3) Ііт І£| х —
5
2) Ііт 8Іп Зх;
л
х —> —
2
5.6.° Обчисліть:
1) ііт -Уі-Зх;
х->0
4)
2)
л І
к-*~ \
5
ііт сов2 х.
л
х->—
2
Ііт соз4х;
Л
Х->-
2
3) Ііт------
х->1 х
4) Ііт сіп
х->0
Я І
X---.
47
5.7.* Чи є неперервною в точці х0 функція:
1) Их) =
х2-9.
х-3 ’
6,
8ІП 2х
якщо х Ф 3, о
х0 — 3;
ЯКЩО х = З,
2) Нх) =
СО8 X
я
ЯКЩО X Ф —
2
1.
я
якщо х - —
2
х = -?
0 2
5.8.’ Чи є неперервною в точці
х0
функція:
1) Нх) =
1-х2 .
----, якщо х * -1.
х0 = -1;
0.
ЯКЩО X = 1
8ІП 2х
2) /(х) =
8ІП X
ЯКЩО X ф п,
х0 - п?
-2,
5.9/ Обчисліть:
ЯКЩО X = п.
1) Ііт
х->0
X
х-ух
2)
л/х-2
Ііт-------
х->4 Х-4
3)
X2-у/х
ііт-----==
Х^1 1 —ух
5.10.* Обчисліть:
2>/х-Зх
1) Ііт—т==----
х->0 3 ух -2х
5.11/ Обчисліть:
2)
,. х-1
Ііт----]=
1-л/х
3)
%х-1
ііт-г=—
х^ х/х-1
1)
,. х-3
Ііт .——
4)
.. л/б-Х -1
Ііт----
х^5 З-л/4 + х
2)
2 + х
Ііт-----
х^-2, І 2
-З
5)
Ііт
+ 1-1
+ 16-4
3)
ііт
х->3
х2-9
6)
Ііт^Л
5.12.* Обчисліть:
х-3
1) Ііт .--
х^3 у2х + 10-4
+ 4-2
2) Ііт
х-^7 х2-49
; 3) Ііт
х->0 х
.ч .. л/б-Гх-2
4) Ііт .--——;
у2-х-1
д/1 + х2
; 5) Ііт-----------
х->0 х
6) ііт-------
^-2 х3+8
5.13/ Доведіть, що рівняння має корінь:
1) х6 + 2х - 13 = 0;
2) 3 8Іп х = 2х - 1.
5. 14/ Доведіть, що рівняння має корінь:
1) х3 + Зх - 8 = 0;
2) 2 сов х = х2 + 4х - 6.
5.15 / Знайдіть область значень функції:
л
1) у = 8Іп х + 2; 2) у - со8 х-3; 3) у =—агсзіп х.
2
5.16 / Знайдіть область значень функції:
1) у = 8Іп х - 4; 2) у = 3 + сов х; 3) у = я - агссоз х.
х2
5.17 /* Знайдіть область значень функції у = —-—.
9х +1
х2
5.18 .” Знайдіть область значень функції у = — --—.
«в», 4х +3х +1
КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ
Перша чудова границя
Покажемо, що функція у = 8Іп х є неперервною. Для
цього доведемо таке допоміжне твердження.
Лема 5.1. Для будь-якого х є К виконується нерів-
ність | 8ІП X | < | X |.
Доведення. Якщох = Оабо|х| > 1,
то нерівність, що доводиться, є оче-
видною.
Нехай х є (0; 1). На рисунку 5.11
точку Рх отримано в результаті по-
вороту точки Ро (1; 0) на кут х радіан.
71
Оскільки X є (0; 1), тобто 0<х<—, то
2
точка Рх знаходиться в першій чверті.
Площа трикутника РХОР0 менша від площі сектора
РХОР0. Маємо:
5сект Р ОР = - ОР0 Х = ~Х.
сект 2 М 2
Тоді — віпх<—-х. Отримуємо 8ІП X < X.
2 2
Нехай х є (-1; 0). Тоді -х є (0; 1). Можна записати:
8ІП (-х) < -X. Звідси 8ІП X > X.
Отже, якщо х є (0; 1), то 0 < віп х < х. Тому | віп х | < | х |;
якщо х є (-1; 0), то 0 > віп х > х. Тому | віп х | < | х |. А
Покажемо, що число віп х0 є границею функції у = віп х
у точці х0, де х0 є Ж.
Використовуючи нерівність леми 5.1, маємо:
| віп х - віп х0 | = 2
віп
сов
віп
Нехай є — довільне додатне число. Оскільки | віп х -
- віп х0 | < | х - х0 |, то з нерівностей 0 < | х - х0 | < є ви-
пливає, що | віп х - віп х0 | < є.
Якщо покласти 5 = є, то отримаємо: для будь-якого є > 0
існує 5 > 0 таке, що з нерівностей 0< | х - х0 | < 5 випливає
нерівність | віп х - віп х01 < є. Це означає, що Ііш віп х - віп х0.
х—>х0
Таким чином, функція у = віп х є неперервною в кожній
точці х0, а отже, ця функція неперервна на Ж.
Розглянемо функцію /(х) =----. Ця функція не визна-
х
чена в точці х0 = 0. Проте в цій точці існує границя функ-
ції /. Доведемо, що має місце така рівність:
,. 81П X
ІІШ------= 1
X—»0 V
(1)
Лема 5.2. Якщо | х | < 1 і х ї 0, то
0< 1 8*ПХ <*2
х 2 ’
Доведення. Нехай х є (0; 1). Знову звернемося до ри-
сунка 5.11. Побудуємо прямокутник МРД^Рц, для якого
відрізок РХРО є діагоналлю.
Оскільки Р,М - віп х і ОМ = сов х, то
„ 1 • хч ч . 2Х
= — віп х (1 - СОВ X) = віп X віп —
Оскільки х є (0; 1), то віп х
/ \2
, . о Х І Х 1
муємо: віп х < х; віп — С .
2 \ 2 /
0. Тоді за лемою 5.1 отри-
/ \2 з
„ п . 2 Х І Х І Х
ОТЖЄ, Ь.ркр = ВІП X» ВІП -ЧХ' - =—.
х 0 2 \27 4
Очевидно, що площа заштрихованого сегмента менша
від площі трикутника РД^Р0.
Маємо: 8сегмента = 5сект^ -£ДР/>Ро =~х~~ 8Іп х-
ГГ П 1 1 • Х3
1 епер можна записати: 0 < — х — віп х < —.
2 2 4
Звідси з урахуванням того, що х є (0; 1), отримуємо:
0 < 1 Х < х2
х 2
Оскільки функції у = 1-81П Х і у є парними, то
х 2
остання подвійна нерівність виконується також для всіх х
з проміжку (-1; 0). ▲
Тепер доведемо рівність (1).
Використовуючи лему 5.2, для | х | < 1 і х 0 маємо:
віп’х _ _ ВІП XX2 9 111 „ і
-—— 1 =1-----< — <х2 <| х 1 = 1 х-0 ,
х х 2
тобто
ВІП X
<| х-0 |.
Нехай є — довільне додатне число.
Якщо 0 < є < 1, то покладемо 8 = є. Тоді з нерівності
< 8 випливатиме
8ІП X
<| х-0 |<8 = є.
Якщо є > 1, то за 8 оберемо будь-яке число з проміжку
(0; 1). Оскільки у цьому випадку 8 < є , то з нерівності
0 < ] х — 0 |
< 8 випливатиме
8ІП X
<| х-0 |<8<є.
Отже, для будь-якого є
з нерівності 0 < І X - 0 <
> 0 існує таке число 8 > 0, що
8 випливає нерівність
8ІП X
Це означає, що Ііт-----= 1.
*>° X
Цю рівність називають першою чудовою границею. Вона
показує, що при досить малих значеннях х виконується
наближена рівність зіп х ~ х. Більш того, з леми 5.2 ви-
пливає, що коли | х | < 1, то виконується нерівність
I X І3
| х-8Іп х | < . Тому абсолютна похибка наближеної фор-
2
і і3
Х тт
мули 8іп х ~ х не перевищує !——. Наприклад, якщо
2
X = 0,1, ТО 8ІП 0,1 ® 0,1 з точністю не менше ніж
0,13
= 0,0005.
2
ПРИКЛАД 1 Обчисліть границю Ііт 8^П -- .
х->0 х
Г, , .. 8ІП Зх ,. З 8ІП Зх _ ,. 8ІП Зх _
Розв язання. Ііт--------= 1іт-------= 31іт-------= 3. •
*>° х х>0 зх х—>0 Зх
ІР1 X
ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю Ііт-------.
х~>° х
Розв’язання
,. X ,. 8ІП X ,. 8ІП X .. 1
ііт----= Ііт------= Ііт------Ііт------1. •
х->° х Х>,)ХСО8Х X ^ОСОБХ
. _ . - - . віп тх
ПРИКЛАД З Обчисліть границю Ііт---------
х-*° віп пх
Розв’язання
віп тх ,. віп тх
т •------ т • Інп---------
віп тх .. тх ж->о тх т
Ііт--------= Ііт------=-------------- тх -—.
*->о віп пх х->° віппх віппх п
п •------ п • Ііт---------
пх х->° пх
ПРИКЛАД 4 Обчисліть границю Ііт----------------.
х->,) 1-СОВ X
Розв’язання
.2
Вправи
Зх ..
Ііт--------= Ііт
х->01 —СОВХ х->0
= 6 ііт
х—>0
Зх2
О • 2Х
2 віп —
2
віп -
2
= 6 Ііт —-—
х->0 _ 2 X
віп2 —
2
5.19. Обчисліть границю:
віп4х 1-сов 4х
1) Ііт------; 3) Ііт--------;
х->0 2х х->0 віпЗх
віпЗх 1-совЗх
2) Ііт------; 4) Ііт--------;
х->овіп2х х->° хі%х
совІОх-совх
5) Ііт-------5----
х-о 4х2
совх-совІЗх
6) Ііт-------5----
х->0 віп X
6.1
___л
Приріст функції. Задачі, які приводять
до поняття похідної
Якщо функція є математичною моделлю реального про-
цесу, то часто виникає потреба знаходити різницю значень
цієї функції у двох точках. Наприклад, позначимо через
/ (і) суму коштів, які накопичилися на депозитному1 рахун-
ку вкладника до моменту часу І. Тоді різниця / (і) - / (і0),
де І > і0, показує прибуток, який отримає вкладник за час
і ~ і0-
Розглянемо функцію у - / (х). Нехай х0 — фіксована
точка з області визначення функції Л
Якщо х — довільна точка області визначення функції /
така, що х / х0, то різницю х - х0 називають приростом
аргументу функції / у точці х0 і позначають Ах (читають:
«дельта ікс»)2. Маємо:
Ах - х - х0. Звідси
х = х0 + Ах.
Говорять, що аргумент отримав приріст Ах у точці х0.
Зазначимо, що приріст аргументу може бути як додат-
ним, так і від’ємним: якщо х > х0, то Ах > 0; якщо х < х0,
то Ах < 0.
Якщо аргумент у точці х0 отримав приріст Ах, то зна-
чення функції / змінилося на величину
/ (х0 + Ах) - / (х0).
Цю різницю називають приростом функції / у точці х0
і позначають А/ (читають: «дельта еф»).
Маємо:
Рис. 6.1
А/ = / (х0 + Ах) - / (х0) або
А/ = ї (х) - / (х0).
Для приросту функції
у = / (х) також прийнято по-
значення Аі/, тобто
Ау = / (х) - / (х0) або
Аі/ = / (х0 + Ах) - / (х0).
Приріст Ах аргументу в точ-
ці х0 і відповідний приріст А/
функції показано на рис. 6.1.
1 Депозит (банківський вклад) — кошти, які вкладник передає банку
на деякий строк, за що банк виплачує вкладнику проценти.
2 Говорячи про приріст аргументу функції / у точці х0, тут і далі
будемо припускати, що в будь-якому інтервалі (х0 - є; х0 + є) є точки
області визначення функції /, відмінні від х0.
Зазначимо, що для фіксованої точки х0 приріст функції /
у точці х0 є функцією з аргументом Ах.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть приріст функції у = х2 у точці х0,
який відповідає приросту Ах аргументу.
Розв’язання. Маємо:
Лу - (х0 + Ах)2 - х2 = х2 + 2х0 Ах + Ах2- х2 = 2х0Ах + Ах2.
Відповідь: 2х0Ах + Ах2.
Задача про миттєву швидкість
Нехай автомобіль, рухаючись прямолінійною ділянкою
дороги в одному напрямку, за 2 год подолав шлях у 120 км.
Тоді його середня швидкість руху дорівнює псер =----=
2
- 60 (км/год).
Знайдена величина дає неповне уявлення про характер
руху автомобіля: на одних ділянках шляху автомобіль міг
пересуватися швидше, на інших — повільніше, інколи міг
зупинятися.
Разом з цим у будь-який момент часу спідометр авто-
мобіля показував деяку величину — швидкість у даний
момент часу. Значення швидкості в різні моменти більш
повно характеризує рух автомобіля.
Розглянемо задачу про пошук швидкості в даний момент
часу на прикладі рівноприскореного руху.
Нехай матеріальна точка рухається по координатній
прямій і через час і після початку руху має координату
8 (І). Тим самим задано функцію у = 8 (і), яка дозволяє ви-
значити положення точки в будь-який момент часу. Тому
цю функцію називають законом руху точки.
З курсу фізики відомо, що закон рівноприскореного руху
.2
задається формулою 8 (І) = 80 + о01 + , де 80 — координата
2
точки на початку руху (при і = 0), п0 — початкова швид-
кість, а — прискорення.
Нехай, наприклад, 80= 0, п0- 1 м/с, а = 2 м/с2. Тоді
8 (і) = і2 + і.
Зафіксуємо який-небудь момент часу 10 і надамо аргу-
менту в точці і0 приріст Ді, тобто розглянемо проміжок часу
від 10 до і0 + Ді. За цей проміжок часу матеріальна точка
здійснить переміщення Де, де
= § (і0 + Ді) - § (і0) = (і0+Ді)2 + (і0 + Ар - (*о + *о) =
в((о+до в(і0)
= і2 + 2і0 Ді + Лі2 + і0 + Ді - і2 - і0 = 2і0Ді + Ді + Ді2.
Середня швидкість псер (Ді) руху точки за проміжок часу
від і0 до і0 + Ді дорівнює відношенню
Де 2іоДі + Ді + Ді2 _
— = — ------------= 2іп +1 + Ді,
Ді Ді
тобто псер(Ді) - 2і0 + 1 + Ді.
Позначення для середньої швидкості псер (Ді) наголо-
шує, що при заданому законі руху у — 8 (і) і фіксованому
моменті часу і0 значення середньої швидкості залежить
тільки від Ді.
Якщо розглядати досить малі проміжки часу від і0 до
і0 + Ді, то з практичних міркувань зрозуміло, що середні
швидкості псер (Ді) за такі проміжки часу мало відрізняються
одна від одної, тобто величина псер (Ді) майже не зміню-
ється. Чим менше Ді, тим ближчим є значення середньої
швидкості до деякого числа, що визначає швидкість у мо-
мент часу і0. Іншими словами, якщо при Ді -> 0 значення
псер (Ді) прямують до числа V (і0), то число V (і0) називають
миттєвою швидкістю в момент часу і0.
У нашому прикладі, якщо Ді -> 0, то значення виразу
2і0 + 1 + Ді прямують до числа 2і0 + 1, яке є значенням
МИТТЄВОЇ ШВИДКОСТІ V (і0), тобто
у(і0) = ііт (2і0 + 1 + Ді) = 2і0+1.
Ді —> 0
Цей приклад показує, що коли матеріальна точка руха-
ється за законом у - 8 (і), то її миттєву швидкість у момент
часу і0 визначають за допомогою формули
V (і0) = Ііт V (Ді), тобто
Ді ->0 н
>((„)= Ііт Д8--Ііт 81'" 4 Д,|-,(*“)
Л»->О ді Лі^о
Задача про дотичну до графіка функції
Відоме означення дотичної до кола як прямої, яка має
з колом тільки одну спільну точку, незастосовне у випадку
довільної кривої.
Наприклад, вісь ординат має з параболою І /
у = х2 тільки одну спільну точку (рис. 6.2). \ /
Проте інтуїція підказує, що неприродно вважа- \ /
ти цю пряму дотичною до вказаної параболи. ___\ X___►
Разом з тим у курсі алгебри ми нерідко казали, х
що парабола у — х2 дотикається до осі абсцис
у точці х0 «= 0.
Уточнимо наочне уявлення про дотичну до графіка функції.
Нехай М — деяка точка, яка лежить на параболі у = х2.
Проведемо пряму ОМ, яку назвемо січною (рис. 6.3). Уяви-
мо собі, що точка М, рухаючись по параболі, наближається
до точки О. При цьому січна ОМ буде повертатися навколо
точки О. Тоді кут між прямою ОМ і віссю абсцис ставатиме
все меншим і меншим, і січна ОМ прагнутиме зайняти по-
ложення осі абсцис.
Пряму, положення якої прагне зайняти січна ОМ при
наближенні точки М до точки О, називатимемо дотичною
до параболи у = х2 у точці О.
Розглянемо графік деякої неперервної в точці х0 функ-
ції / і точку Мо (х0; / (х0)). У точці х0 надамо аргументу
приріст Ах і розглянемо на графіку точку М (х; / (х)), де
х = х0 + Ах (рис. 6.4).
4 Алгебра та печатки аналізу, 11 кл.
49
З рисунка видно, що коли Ах стає все менше і менше, то
точка М, рухаючись по графіку, наближається до точки Мо.
Якщо при Ах —> 0 січна М^М прагне зайняти положення де-
якої прямої (на рисунку 6.4 це пряма МйТ ), то таку пряму
називають дотичною до графіка функції / у точці Мо.
Нехай січна МцМ має рівняння у = кх + Ь і утворює
з додатним напрямом осі абсцис кут а. Як відомо, кутовий
коефіцієнт к прямої МоМ дорівнює а, тобто к = а.
Очевидно, що /. ММ0Е = а (рис. 6.4). Тоді з А ММ0Е отри-
муємо
МЕ
і£а =----= —.
М0Е Ах
Уведемо позначення /?С1ЧН (Ах) для кутового коефіцієнта
січної М^М, тим самим наголошуючи, що для даної функ-
ції / і фіксованої точки х0 кутовий коефіцієнт січної М^М
визначається через приріст Ах аргументу.
Маємо: /гсічн (Ах) =—.
Ах
Нехай дотична МйТ утворює з додатним напрямом осі
абсцис кут р (р ф 90°). Тоді її кутовий коефіцієнт к (х0) до-
рівнює р.
Природно вважати, що чим менше Ах, тим менше зна-
чення кутового коефіцієнта січної відрізняється від зна-
чення кутового коефіцієнта дотичної. Іншими словами,
якщо Ах -> 0, то /геічн (Ах) к (х0). Тоді кутовий коефіцієнт
дотичної визначають за допомогою формули
/?(х0)= Ііт к . (Ах), тобто
к (х0) = Ііт = Ііт /(х» + Ах)
Дх->0 Дд; Дх->0 Дд;
ПРИКЛАД 2 Знайдіть формулу для обчислення кутового
коефіцієнта дотичної до графіка функції / (х) = -х2 у точці
з абсцисою х0. Який кут з додатним напрямом осі абсцис
утворює дотична, проведена до цього графіка в точці з аб-
сцисою х0=-—?
Розв’язання. Маємо:
&/ = / (х0 + Дх) _ ї (* * * * * хо)= ~(хо + Дх)2 _ (-хо) = -2 х0 Дх - Дх2.
Тоді, скориставшись формулою для обчислення кутового
коефіцієнта дотичної, можна записати:
, . х Д/ -2хпДх-(Дх)2 п
й(х0) = Ііт —= Ііт--------2—----------- Ііт (~2х..-Дх).
Лх->0 Дд; Лх->0 Дх Дх->0
Якщо Дх —> 0, то значення виразу -2х0 - Дх прямують до
числа -2х0, тобто Ііт (-2х0 -Дх) = -2х0. Звідси к (х0) = -2х0.
Дх >0
Ця формула дозволяє обчислити кутовий коефіцієнт до-
тичної до параболи у = -х2 у будь-якій
точці, зокрема в точці з абсцисою
1
хо =—•
2
Маємо: Ае | | —2 • | — — ] = 1.
І 2/ А 2)
Нехай дотична до параболи в точці з аб-
сцисою х0 — —— утворює кут а (0 < а < л)
2
з додатним напрямом осі абсцис. Тоді її
кутовий коефіцієнт дорівнює а. Вище
ми встановили, що Ае|——] = 1. Звідси а = 1. Оскільки
0 < а < л, то а = ~ (рис. 6.5). •
Вправи
6.1.° Знайдіть приріст функції / у точці х0, якщо:
1) / (х) = 2х - 1, х0 = -1, Дх = 0,2;
2) / (х) = Зх2 - 2х, х0 = 2, Дх = 0,1;
3) /г(х) =—, х0 = 1,2, Дх = -0,3.
х
6.2.° Знайдіть приріст функції / у точці х0, якщо:
1) / (х) = 4 - Зх, х0 = 1, Дх = 0,3;
2) / (х) = 0,5х2, х0 = -2, Дх = 0,8.
6.3. Для функції / (х) = х2 - Зх виразіть приріст А/ функ-
ції / у точці х0 через х0 і х. Знайдіть А/, якщо: 1) х0= З,
х = 2,5; 2) х0 = -2, х = -1.
6.4. ° Для функції / (х) = х3 виразіть приріст А/" функції
/ у точці х0 через х0 і х. Знайдіть ДД якщо х0 = 0,5;
х = 0,4.
. 2 А/
6.5. Для функції / (х) = х - х і точки х0 знайдіть —
Ах
. ,. АГ
і Ііт —.
Дх->° Ах
6.6. * Для функції / (х) - 5х + 1 і точки х0 знайдіть
Ах
. ,. А/
і Ііт —.
Дх->° Ах
6.7. * Матеріальна точка рухається по координатній прямій
за законом 8 (І) = 2і2 + 3 (переміщення вимірюється в ме-
трах, час — у секундах). Знайдіть миттєву швидкість
матеріальної точки в момент і0 = 2 с.
6.8. * Тіло рухається по координатній прямій за законом
8 (і) - 5і2 (переміщення вимірюється в метрах, час —
у секундах). Знайдіть: 1) середню швидкість тіла при
зміні часу від 10 = 1 с до = 3 с; 2) миттєву швидкість
тіла в момент і0 = 1 с.
6.9. ’ Знайдіть кутовий коефіцієнт:
1) січної графіка функції у = х2, яка проходить через
точки графіка з абсцисами х0 = 1 і хг = 1,6;
2) дотичної до графіка функції у = х2 у точці х0 = 1.
6.10. ’ Знайдіть кутовий коефіцієнт:
1) січної графіка функції у = х3, яка проходить через
точки графіка з абсцисами х0 = 2 і хг = 1;
2) дотичної до графіка функції у = х3 у точці х0 = 2.
ЕГ Поняття похідної
У попередньому пункті, розв’язуючи дві різні задачі про
миттєву швидкість матеріальної точки і про кутовий коефі-
цієнт дотичної, ми дійшли до однієї і тієї самої математичної
моделі: границі відношення приросту функції до приросту
аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля:
пЦ0)= Ііт —
Лі ->0 д^
,, ч г а/
к (х„) = Ііт —.
Лх-ОДх
До аналогічних формул приводить розв’язання цілої
низки задач фізики, хімії, біології, економіки тощо. Це
свідчить про те, що розглядувана модель заслуговує на особ-
ливу увагу. їй варто присвоїти назву, увести позначення,
вивчити її властивості та навчитися їх застосовувати.
Означення. Похідною функції / у точці х0 називають
число, яке дорівнює границі відношення приросту функції /
у точці х0 до відповідного приросту аргументу за умови, що
приріст аргументу прямує до нуля.
Похідну функції у = / (х) у точці х0 позначають так:
/' (х0) (читають: «еф штрих від ікс нульового») або у' (х0).
Тоді можна записати:
Г(і())=ІітН^Д2Щ2>
Лх->0 Дх
абс
Г(х0)= Ііт
д*->о дх
Похідну функції / у точці х0 можна обчислити за такою
схемою:
1) надавши в точці х0 аргументу приріст Ах, знайти від-
повідний приріст А/- функції:
/ (х0 + Ах) - / (х0);
А/
2) знайти відношення —;
Ах
3) з’ясувати, до якого числа прямує відношення — при
Ах
Ах —> 0, тобто знайти границю Ііш —.
Дх->°
ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції /(х) = — у точці
х
Хо = 1.
Розв’язання. Дотримуючись вищенаведеної схеми, за-
пишемо:
1) Д^(х0 + Дх)-/(х0) =---------= ——- = ——
х0+Ах х0 1 + Ах 1 1 + Ах
2)
ї\х 1 + Ах
3) при Ах —> 0 значення виразу-----— прямують до
1 + Ах
числа -1, тобто /'(!)= Ііт
1
1 + Ах
= -1.
Відповідь: -1.
мо записати:
Зазначимо, що, знайшовши значен-
ня /' (1), ми тим самим знайшли куто-
вий коефіцієнт к (х0) дотичної, прове-
деної до графіка функції /'(х}~— у
X
точці з абсцисою х0 = 1. Він дорівнює
-1, тобто к (1) - -1. Тоді, позначивши
через а кут, утворений цією дотичною
з додатним напрямом осі абсцис, може-
Зл
а = -1. Звідси а = — (рис. 7.1).
4
Узагалі, можна зробити такий висновок: кутовий коефі-
цієнт дотичної, проведеної до графіка функції / у точці
з абсцисою х0, дорівнює похідній функції / у точці х0,
тобто
Ь (х0) = /' (х0)
Ця рівність виражає геометричний зміст похідної.
Також зрозуміло, що коли у = з (і) — закон руху мате-
ріальної точки по координатній прямій, то її миттєва
швидкість у момент часу 10 дорівнює похідній функції
у - з (І) у точці і0, тобто
V (І0) = 8' (І0)
Ця рівність виражає механічний зміст похідної.
Якщо функція / має похідну в точці х0, то цю функцію
називають диференційовною в точці х0
Нехай функція / диференційовна в точці х0. З геоме-
тричного змісту похідної випливає, що до графіка функції /
у точці з абсцисою х0 можна провести не-
вертикальну дотичну (рис. 7.2).
На рисунку 7.3 зображено графіки
функцій, які в точці х0 мають розрив або
«злом». До їх графіків у точці з абсци-
сою х0 не можна провести дотичну. Ці
функції не диференційовні в точці х0.
На рисунку 7.4 зображено графіки функцій, які в точці
з абсцисою х0 мають вертикальну дотичну. Тому ці функції
не диференційовні в точці х0.
Покажемо, наприклад, що функція / (х) = | х |, графік
якої має «злом» у точці х0 - 0, не є диференційовною в цій
точці. Маємо:
1) / (х0 + Ах) - і (х0) = | х0 + Ах | - | х0 | =
= | 0 + Ах | - | 0 | = | Ах |;
2) А/ _ | Ах |,
Ах Ах
3) у прикладі 3 пункту 3 було показано, що функція
І і І
= -1 не має границі в точці і0 - 0; це означає,
що не існує границі ііт — , тобто функція / не є ди-
Л*>() Ах
ференційовною в точці х0 = 0.
Теорема 7.1. Якщо функція / є диференційовною
в точці х0, то вона є неперервною в цій точці.
Доведення. Оскільки функція { ди-
ференційовна в точці х0, то можна за-
писати: /'(хД- Ііт —.
л*->0Дх
Маємо: Ах = х - х0. Очевидно, що
коли Ах —> 0, то х —> х0. Тоді
А/ Г(х)-/(х0)
/ (х0) = Ііт —= Ііт------—.
Рис. 7.5 І'*ї“Лж х-х0
Маємо:
Ііт (/(х) —(хо)) — Ііт ^Х°---(х-х0)
х>хо Х-Хо
,. Цх)-ї(хД 1- , , . п п
= Ііт--------— • ит (х-х0) = / (хо)‘О = О.
Х-Хо *>хо
Отже, Ііт (/(х)-/(хо)) = О. Звідси Ііт/(х) = /(х0). Це
X —> ь X —> Хр
означає, що функція / є неперервною в точці х0. А
Зазначимо, що неперервна в точці х0 = 0 функція / (х) = | х |
не є диференційовною в цій точці. Цей приклад показує,
.^Функції, N.
' неперервні '
В ТОЧЦІ Хо
Функції, N
[диференційовні
X. В ТОЧЦІ Хо Л
що неперервність функції в точці є необхідною, але не є до- *
статньою умовою диференційовності функції в цій точці •
(рис. 7.5).
Нехай М — множина точок, у яких функція / диферен-
ційовна. Кожному числу х є М поставимо у відповідність
число (х). Тим самим задано функцію з областю визна-
чення М. Цю функцію називають похідною функції у = / (х)
і позначають /' або у'.
Якщо функція / диференційовна в кожній точці де-
якої множини М, то говорять, що вона диференційовна на
множині М. Наприклад, на рисунку 7.6 зображено графік
функції, диференційовної на проміжку І. На проміжку І
цей графік не має розривів і зломів.
Проміжок І
Рис. 7.6
Якщо функція / диференційовна на £> (/), то її називають
диференційовною.
Знаходження похідної функції / називають диференці-
юванням функції Л
ПРИКЛАД 2 Продиференціюйте функцію [ (х) = кх + Ь.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції / у точці х0, де
х0 — довільна точка області визначення функції /.
1) А/ = / (х0 + Ах) - / (х0) = (к (х0 + Ах) + Ь) - (кх0 + Ь) =
= кЛх;
2)
Ах Ах
3) за означенням похідної /'(хп)~ Ііт —= Ііт к = к.
Дх-^О Дх Лх->0
Отже, /' (х0) = к.
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функ-
ції /, то остання рівність означає, що для будь-якого х є К
виконується рівність У (х) = к. •
Висновок про те, що похідна лінійної функції У (х) = кх + Ь
дорівнює к, також прийнято записувати таким чином:
(кх + Ь)' = к (1)
Якщо у формулу (1) підставити к = 1 і Ь = 0, то отримаємо
(X)' = 1
Якщо ж у формулі (1) покласти к = 0, то отримаємо
(ьу = о
Остання рівність означає, що похідна функції, яка є кон-
стантою, у кожній точці дорівнює нулю.
ПРИКЛАД 3 Знайдіть похідну функції У (х) = X2.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції У у точці х0, де
х0 — довільна точка області визначення функції /.
1) А/ = / (х0 + Дх)-/(х0) = (х0+Дх)2-х^ = 2х0Дх + Дх2;
А/ 2х0Ах+Ах2
2) — = —у-------= 2х,,+Ах;
Ах Ах
3) якщо Ах 0, то при будь-якому х0 є В значення ви-
разу 2х0 + Ах прямують до числа 2х0. Отже,
Ґ (х0) = Ііт (2х0 + Ах) = 2х0.
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції
У (х) = х2, то для будь-якого х є К виконується рівність
/' (х) - 2х. •
Останню рівність також прийнято записувати у вигляді
(х2)' = 2х (2)
ПРИКЛАД 4 Знайдіть похідну функції У (х) = X3.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції у у точці х0, де
х0 — довільна точка області визначення функції у.
1) А/’ = (х0 + Ах)3 - х03 = (х0 + Ах - х0)((х0 + Ах)2 +
+ (х0 + Ах)х0 + х02) = Ах ((х0 + Ах)2 + (х0 + Ах)х0 + х02);
Ах ((х0 + Ах)2 + (х0 + Ах)х0 + Хд)
Дх Ах
= (х0 + Ах)2 + (х0 + Ах)х0 + х2;
3) якщо Ах —> 0, то значення виразу (х0 + Дх)2 + (х0 + Дх)х0 + х„
прямують до числа Зх02. Отже, /'(хо)= ~ = Зх02.
Дх->0 Дх
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функ-
ції /, то для будь-якого х є К виконується рівність
Г(х) = Зх2. •
Останню рівність можна записати так:
(х3)' - Зх2 (3)
Формули (2) і (3) є окремими випадками більш загальної
формули:
(хп)' = пхл ~ \ п є Н, п > 1 (4)
Наприклад, (х5)' = 5х4, (х7)' = 7х6.
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що похідна функції / (х) = х", п є М, •
п > 1, дорівнює пх"-1. *
Розв’язання. Знайдемо похідну функції /у точці х0, де •
х0 — довільна точка області визначення функції /.
1) А/ = (х0 + Ах)п - х0".
2) Нагадаємо, що ап - Ьп = (а - Ь) (а"^1 + ап~2 Ь + ... +
+ Ьп~х). Тоді можна записати: •
Д/ = (хв +Дх)п -х” *
Ах Ах ,
_ (х0 + Дх-х0)((х0 + Ах)п-1 +(х0 + Дх)п~2х0 +... + Хр 1) •
Ах ,
= (х0+Ах)п-1 +(х0 +Ах)"“2х0 +... + Х0"1.
3) /'(х0) = Ііт ((х0+Ах)п“1+(х0+Ах)п“2 3х0+... + х"“1) =
△х->0
= Хр-1 +Хр-1 +... + Хр-1 = ПХц’1.
п доданків
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функ-
ції Л то для будь-якого х є Ж виконується рівність
/' (х) - пхп~1. •
Формула (4) залишається справедливою для будь-якого
п є Т. і х Ф 0, тобто
(хп)' = пх"~1, п є 2 (5)
Наприклад, скористаємося формулою (5) для знаходжен-
ня похідної функції /(%) =—. Маємо:
X
[ її = (х-1)' = -1. х-1-1 = -х-2 = --1.
\х) Xі
Отже, для будь-якого X Ф 0 виконується рівність /' (х) --їу
_ X2
або
Ґ1Ї 1
ПРИКЛАД 6 Продиференціюйте функцію /(х) = >/х .
Розв’язання. Нехай х0 — довільна точка області визна-
чення функції /, тобто х0 >0.
1) А/ = У]хо+Ах-У[х^.
2) Маємо: = =
Ах (д/х0 +Ах +
_ (х0+Ах)-х0 1
Ах • (уІх0 +Ах + д/х^) \]х0 +д^ + у/хЦ
3) Знайдемо границю Ііт — . При хп > 0 маємо, що
Ах
г 1- 1 1
Ііт — =- Ііт . —,= = —=.
л*->0 Ах л*-41 лу%0 + Дх + у]х0 2у]х0
уу 1
При х0 = 0 маємо, що — = .— . Тому при Ах -> 0 зна-
Ах д/Дх
чення виразу .— стають все більшими і більшими. Тому
л/Ах
А/
не існує числа, до якого прямують значення виразу —.
_ Ах
. Аг
Отже, границі Ііт— не існує.
Ах->° Ах
Таким чином, функція /(х) = л/х є диференційовною на
множині (0;+о>), причому /'(х0) =—-==. Зазначимо, що
2#о
в точці х0 = 0 функція /(х) = у/х не є диференційовною. •
Формулу (5) також можна узагальнити для будь-якого
є О і х > 0:
(хг)' = гх'
(6)
Наприклад, знайдемо похідну функції /(х) = \/х, скорис-
тавшись формулою (6). Маємо:
(>/х) =\х2) =—х2
2
х 1
записати: / (х) =—=
2уіх
1-А 1
= —х 2 = —Отже, для х > 0 можна
2 2уСс
або
(л/х) =-і=
2 ух
Узагалі, похідну функції /(х) = ух, п є К, п > 1, можна
знаходити за формулою
№)’ =
п 1
П\Х
т
Якщо п — непарне натуральне число, то формула (7) до-
зволяє знаходити похідну функції / у всіх точках х таких,
Що х ф 0.
Якщо п — парне натуральне число, то формула (7) дозво-
ляє знаходити похідну функції / для всіх додатних значень х.
Звернемося до тригонометричних функцій у = 8ІП X
і у - сов х. Ці функції є диференційовними і їх похідні зна-
ходять за такими формулами:
(віп X)' = СО8 X
(СО8 Х)' = —8ІП X
Як доводити ці формули, ви зможете дізнатися в рубриці
«Коли зроблено уроки».
При обчисленні похідних зручно користуватися табли-
цею похідних, розміщеною на форзаці 2.
В............................
ПРИКЛАД 7 Доведіть, що функція / (х) =
х2, якщо х<1,
2х-1, якщо х>1
є диференційовною в точці х0 - 1. Знайдіть (1).
Розв’язання. Маємо: / (х0) = / (1) = 2 • 1 - 1 = 1.
ст л У /(х0+Дх)-/(х0) (1 + Дх)2 —1
Якщо Дх < 0, то — =--й---------— =---------= 2 + Дх.
Дх Дх Дх
ст А ^л У /(х0 + Дх)-/(х0) (2 (1 + Дх)-1)-1
Якщо Дх > 0, то — --у-------------------------= 2.
Дх Дх Дх
Тепер зрозуміло, що Ііт — = 2, тобто /' (1) = 2. •
Дх~>0 Дх
Вправи
7.1/ Знайдіть похідну функції:
1)у = 5х-6; 2)у = і^;
7.2. Знайдіть похідну функції:
1) У = х4; 3) у = х15;
2) у = х2,); 4)^ = -^;
3) у = 9.
5) у - X’2’8;
і
6) у = х\
7.3. " Знайдіть похідну функції:
1) г/= х10; 3) у = ^; 5) у = х6;
х
2) у = х-6; 4) у - 8 - Зх; 6) у = х~0,2.
7.4. Продиференціюйте функцію:
7.5.° Продиференціюйте функцію:
1) у = ^; 2) У = №; 3) у*
\х7
7.6. ° Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
Я я
1) / (х) = 8ІП X, Х0 =— ’> 2) / (х) = СО8 х, х0 =—.
4 6
7.7. ° Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) / (х) = 8Іп х, х0 = —; 2) / (х) = сов х, х0 = -—.
6 4
7.8. ' Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) /‘(х) = х7х, х0 = 81; 3) /’(х) = Л/х 4х, х0 = 16;
г~ X2
2) /” (х) — х3 Ух, х0 = 1; 4) /(х) = -/=, х0 = 64.
Ух
7.9. " Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) / (х) = х х0 = 256; 2) / (х) = \Х\Гх, х0 - 1.
7.10. ’ Користуючись означенням похідної, знайдіть /'(х),
якщо:
1) /<х) = -; 2) / (х) = 4 - х2.
х
7.11. " Користуючись означенням похідної, знайдіть Г(х), якщо:
1) Г(х) = -^-; 2) / (х) = х2 + Зх - 2.
х
7.12. " Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до
графіка функції / у точці з абсцисою х0:
1)/(х) = х3, х0 =-1; 3) Г(х) = -4, х0 = 2;
х2
2) І (х) = 4х, х0 = 4; 4) / (х) - 8Іп х, х0 - 0.
7.13. * Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до
графіка функції / у точці з абсцисою х0:
1) / (х) - х4, хо = -2;
2) ї(х) = у/х, х0 = 27;
3) х0 =-3;
х
я
4) ї (х) = СО8 X, х0 =—.
7.14.* Знайдіть за допомогою
значення /' (хг) і /' (х2).
графіка функції / (рис. 7.7)
7.15.* Знайдіть за допомогою
значення (%!) і /' (х2)-
графіка функції / (рис. 7.8)
У
а
Рис. 7.8
7.16. ’ На рисунку 7.9 зображено графік функції /. Укажіть
кілька значень аргументу х, для яких:
1) Г (х) > 0; 2) Г (х) < 0; 3) /' (%) - 0.
7.17. ’ До графіка функції / у точці з абсцисою х0 проведено
дотичну (рис. 7.10). Знайдіть (х0).
Рис. 7.9
Рис. 7.10
7.18.* До графіка функції / у точці з абсцисою х0 проведено
7.19. ’ На рисунку 7.12 зображено графік функції Л Укажіть
точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких
похідна не існує.
7.20. ’ На рисунку 7.13 зображено графік функції Л Укажіть
точки, у яких похідна дорівнює нулю, і точки, у яких
похідна не існує.
7.21.’ На. рисунку 7.14 зображено графік функції /. По-
рівняйте:
1) Г (-5) і Г (1);
2) Г (-1) і Г (6);
3) Г (-2) і Г (4);
4) ґ (0) і Г (5).
5 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
65
7.22. ’ Дотична до графіка функції / у точці з абсцисою х0
має кутовий коефіцієнт к. Знайдіть х0, якщо:
1) / (х) = х3, к = 3; 3) /’(х) = ^, к = ---,
х2 4
2) /(х) = 7х, к = —; 4) / (х) = 8Іп х, к = 0.
4
7.23. * Дотична до графіка функції / у точці з абсцисою х0
має кутовий коефіцієнт к. Знайдіть х0, якщо:
1) / (х) = Xі, к = -32; 3) /’(х) = Д-, к = -—;
Xі 27
2) /(х) = л/х, к = —; 4) / (х) = сов х, к - 1.
27
7.24. * Матеріальна точка рухається по координатній прямій
за законом з (і) = і2. Знайдіть я'І — |. Який механічний
зміст має знайдена величина?
7.25. * Матеріальна точка рухається по координатній прямій
за законом 8 (і) = і3. Знайдіть в' (2). Який механічний
зміст має знайдена величина?
ш............
7.26. " Доведіть, користуючись означенням, що функція
/ (х) = •
1-х2,
1,
якщо х<0,
якщо х>0
є диференційовною в точці
х2 -2, якщо х < 2,
4х-6, якщо х > 2
х0 = 0. Проілюструйте отриманий результат графічно.
• 7.27.” Знайдіть похідну функції / (х) = <
• у точці х0 - 2.
• 7.28.” Доведіть, користуючись означенням, що функція
• / (х) = х | х | є диференційовною в точці х0 = 0. Проілю-
струйте отриманий результат графічно.
• 7.29.” Знайдіть похідну функції / (х) = х2 | х | у точці х0 = 0.
Коли зроблено уроки
7.30.’* Доведіть, користуючись означенням, що функція •
у = а/1-х2 не є диференційовною в точках хг = -1 і х2 = 1. •
Проілюструйте отриманий результат графічно. •
КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ
Доведення формул ПОХІДНИХ
ФУНКЦІЙ у - 8ІПХ І у - СО8Х
Доведемо, ЩО ПОХІДНІ функцій у = 8ІП X І у = СО8 х можна
обчислювати за формулами
(8ІП х)' = СО8 X,
(СО8 х)' = -8ІП X.
Нехай / (х) = 8Іп х.
Для довільної точки х0 маємо:
1) А/ = 8Іп (х0 + Ах) - 8Іп х0;
А/ 8ІП (х0 + Ах) - 8ІП х0
_ = •
Ах Ах
3)Л(^=1іт8Іп(ж"+Аж)-8Іпж"
Дх-»0 Дх
Ит
Дх->0
„ . Ах
281П
2
. Ах
і- 81П 2 ( М
Ит --------— • сов хп н----
Дх-»0 Дх V 2 7
< т
Скориставшись першою чудовою границею
8ІПІ
Ит------
‘->0 і
можна записати:
. Ах
81П — / . \
, ч 9 [ Ах ]
/ (*о) - Ит-------—• Ит соз хп +— = соє хп.
07 Дх->0 Дх Дх->0 0 2 )
2
Формулу (сов х)' = -еіп х доводять аналогічно.
8.
Правила обчислення похідних
Знайдемо, користуючись означенням, похідну функції
/ (х) = х2 + х у точці х0 є К.
1) А/ = (х0+Ах)2+(х0+Ах)-(х2+х0) =
^(х0+Лх) /(хс)
= х2 + 2х0Ах + Ах2 + х0 + Лх-Хд -х0 =
= 2х0Ах + Ах2 + Ах;
2) — = 2х0+Ах + 1;
Ах
3) якщо Ах —> 0, то значення виразу 2х0 + Ах + 1 пряму-
ють до числа 2х0 + 1. Отже, при будь-якому х0 є В
/'(х0)= Ит (2х0+Ах+1) = 2х0+1.
Ах->0
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функ-
ції / (х) = х2 + х, то для будь-якого х є К виконується
рівність
(х) = 2х + 1, тобто
(х2 + х)' = 2х + 1.
З попереднього пункту відомо, що (х2)' = 2х і (х)' = 1.
Таким чином, отримуємо
(X2 + х)' = (х2)' + (X)'.
Отже, похідну функції / (х) - х2 + х можна було знайти,
йе користуючись означенням похідної.
Справедливою є така теорема1.
Теорема 8.1 (похідна суми). У тих точках, у яких
є диференційовними функції у = / (х) і у — § (х), також
є диференційовною функція у = / (х) + § (х), причому для
всіх таких точок виконується рівність
(І (х) + £ (х))' = /' (х) + £' (х).
1 Умовами теорем 8.1-8.4 передбачено таке: якщо функції / і §
е диференційовними в точці х0, то відповідно функції у = /(х) + § (х),
/ 00
У = /(х)-£(х), у = /(х)#(х), у = —— і у = /(я(х)) визначені на
£(х)
деякому проміжку, що містить точку х0.
Коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похід-
них.
Також прийнято такий спрощений запис:
(/ + £)'=/'+ б'
Доведення. Нехай х0 — довільна точка, у якій функ- •
ції / і £ є диференційовними. Знайдемо приріст функції «
у - / (х) + § (х) у точці х0. Маємо:
Аі/ = / (*о 4- Ах) 4- £ (х0 4- Ах) - / (х0) - £ (х0) =
= (/ (х0 4- Ах) - / (х0)) + (£ (х0 + Ах) - £ (х0)) = А/ 4- А#. *
Ду Д/ + Д£ (У Д^
Запишемо: Ііт —= ііт----------= Ііт — + — .
А*-»0 Дх Д*->0 Дх Ах->0\Лх Дх) •
Оскільки функції / і Я є диференційовними в ТОЧЦІ х0, •
Д/ Д£ .
то існують границі Ііт — і Ііт —. Звідси отримуємо:
Д*->0 Дх д*-»° Дх е
V Ау .. (Ьї Д^Л .. а/ &§ , ,
Ііт — = Ііт —4------= Ііт------ь Ііт — = / (хп) + £ (х0). •
дх->°Дх Д*->о\Дх Дх7 Д*~»° Дх Д*->° Дх
Отже, функція у = / (х) 4- § (х) є диференційовною в точці •
х0, причому її похідна в цій точці дорівнює /' (х0) 4- (х0). ▲ *
Теорему 8.1 можна поширити на будь-яку скінченну
кількість доданків:
(А 4- А+• • •+А)'=К+й+• • •+А •
Дві теореми, наведені нижче, також спрощують знахо-
дження похідної.
Теорема 8.2 (похідна добутку). У тих точках,
У яких є диференційовними функції у = / (х) і у = £ (х),
також є диференційовною функція у = / (х) £ (х), причому
для всіх таких точок виконується рівність
(Ґ (х) £ (х))' = (х) (х) + (х) / (х).
Також прийнято такий спрощений запис:
----*---------
в........................................................
Доведення. Нехай х0 — довільна точка, у якій функції /і £
є диференційовними. Знайдемо приріст функції у = / (х) § (х)
у точці х0. Ураховуючи рівності / (х0 + Ах) = / (х0) + А/,
§ (х0 + Ах) = § (х0)+ А£, маємо:
&У = Ї (х0 + Ах) § (х0 + Ах) - / (х0) § (х0) =
= (/ (х0) + А/) (£ (х0) + △£) - / (х0) § (х0) =
= / (х0) § (х0) + (х0) + Д£-/ (х0) + А/-Д£ - / (х0) § (х0) =
= Л/-£ (х0) + Д£-/ (х0) + ЛЛ Д£.
Запишемо:
Ду Д/-£(х0) + А£-/(х0) + Д/-Д£
Ііт —- = Ііт------я--------у--------=
Дх Лх->0 Дх
ґ Д/ Д£ А/-Д£^
= 1тп Т~ '8(хо) + — ’/Ю+—------- =
Дх->О^Дх Дх Дх )
(А/ Д£ Д/ Д£ А
= Ііт — • £(х0)+— • /(х0) + — • — • Ах .
лх->о^дх Дх Дх Дх )
Оскільки функції / і § є диференційовними В ТОЧЦІ Хо, ТО
д/ . д#
існують границі Ііт — і Ііт —. Тепер можна записати:
Лх->0 ДХ Лх->0 Дх
Ііт — = Ііт — • § (хп) + Ііт — • / (х„) + Ііт — • Ііт — • Ііт Дх =
Дх-»О Дх Лх->0 Дх Лх-»0 Дх Дх-»ОДх Дх-»ОДх Дх-»О
= /' (Хо) § (х0) + §' (х0) / (х0) + /' (х0) §' (х0) • 0 =
= /' (х0) £ (х0) + в' (х0) / (х0).
Таким чином, функція у = / (х) § (х) є диференційов-
ною в точці х0, причому її похідна в цій точці дорівнює
г (х0) § (х0) + (х0) і (х0). ▲
Наслідок 1. У тих точках, у яких є диференційов-
ною функція у = / (х), також є диференційовною функція
у - к/ (х), де к — деяке число, причому для всіх таких
точок виконується рівність
(к/ (х))' = кі' (х).
Коротко говорять: постійний множник можна виносити
за знак похідної.
Також прийнято такий скорочений запис:
(МУ = кГ
Доведення. Оскільки функція у = к диференційовна
в будь-якій точці, то, застосовуючи теорему про похідну
добутку, можна записати:
(кї (х))' = (/?)' / (х) + кГ(х) = 0 • / (х) + кГ (х) = кГ (х). ▲
Наслідок 2. У тих точках, у яких є диференційовни-
ми функції у - / (х) і у = £ (х), також є диференційовною
функція у = і (х) - £ (х), причому для всіх таких точок
виконується рівність
(Ґ (х) ~ 8 (*))' = ґ (*) “ £' (*)•
Доведення. Маємо:
(/ (X) - 8 (X))' = (/ (X) + (-1) • 8 (X))' = (/ (X))' +
+ ((-1) £ (х))' = /' (х) + (-1) •£' (х) = Г (х) - (х). ▲
Теорема 8.3 (похідна частки). У тих точках,
у яких функції у = / (х) і у = £ (х) є диференційовними
і значення функції £ не дорівнює нулю, функція у =-
§(х)
також є диференційовною, причому для всіх таких точок
виконується рівність
( ? ї - Г(х)#(х)-#' (хЩх)
^(х)^ (£(х))2
Також прийнято такий спрощений запис:
Ц /
З доведенням теореми 8.3 ви можете ознайомитися на
заняттях математичного гуртка.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції:
1) у = — -віпх + 4х2; 3) у = х3 сов х;
х
-- 2х2 +1
2) у = х2(5х-3); 4) У = ^~^~-
оХ Л
Розв’язання
1) Користуючись теоремою про похідну суми та наслід-
ком з теореми про похідну добутку, отримуємо:
у'= \ — -8ІПХ + 4Х2 і =[ — ] -(віпх)' + 4*(х2)' =
\х 7 кх/
= —^--совх + 4-2х =—-5-— сов х + 8х.
X2 х2
2) За теоремою про похідну добутку маємо:
у' = (х~2 (5х-3)) = (х 2) *(5х-3) + (5х-3)'"Х 2 -
1 4 г 4 3-5х 5 3-5х + 10х 3 + 5х
= —х 2 -(5х-3) + 5- х 2 =—=+-= =-----;=— =—
2 2у[7 2х/7
3) Маємо: у' = (х3 сов х)' = (х3)' • сов х + (сов х)' • х3 =
= Зх2 сов х - віп х • х3 = Зх2 сов х - х3 віп х.
4) За теоремою про похідну частки отримуємо:
, _ ґ 2х2 +1 ї _ (2х2 +1)' (Зх - 2) - (Зх - 2)' (2х2 +1) _
У~1зх-2> (Зх-2)2
4х(Зх-2)-3(2х2 +1) _ 12х2 -8х-6х2 -3 _ 6х2 -8х-3
(Зх-2)2 ~ (Зх-2)2 ” (Зх-2)2
Використовуючи теорему про похідну частки, легко до-
вести, що: ________________
(І£ х)' = —4~
СОВ X
(сі£ х)' =-----\-
81П X
Справді,
№ х)' =
віп х
(віп х)' сов х-(сов х)' віп х
СОВ X
2
СОВ X
/ . Ч . 2 .2
СОВ X сов х — (— віп х) Віп X СОВ X + віп X
сов2 X
1
2
СОВ X
сов2 X
Формулу (сІ£ х)' =---— доведіть самостійно.
8ІП X
Якщо значеннями аргументу функції / є значення функ-
ції то говорять, що задано складену функцію у = / (£ (х)).
Наприклад, розглянемо функції у = / (і) і і = § (х), де
/ (і) = 2і - 1 і § (х) = х2 * * + х + 1. Тоді / (х)) = 2# (х) - 1 =
= 2 (х2 + х + 1) - 1 = 2х2 + 2х + 1. Отже, можна говори-
ти, що формула у = 2х2 + 2х + 1 задає складену функцію
у = ї(8 (х)).
Розглянемо ще кілька прикладів.
Якщо / (н) = віп и, а § (х) = 1 - Зх, то складена функція
у = / (£ (х)) задається формулою у = віп (1 - Зх). Функ-
цію у = сов2 х можна розглядати як складену функцію
У = / (х)), де / (х) = х2, § (х) = сов х.
Знаходити похідну складеної функції можна за допо-
могою такої теореми.
Теорема 8.4 (похідна складеної функції).Якщо
функція і = £ (х) диференційовна в точці х0, а функція
у = Ґ (і) диференційовна в точці і0, де і0 = £ (х0), то скла-
дена функція у = / (£ (х)) є диференційовною в точці х0,
причому
У' (х0) = ґ (Л))-#' (х0).
З доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на
заняттях математичного гуртка.
ПРИКЛАД 2 Знайдіть значення похідної функції в точці х0:
1) у = (Зх - 7)е, х0 = 2; 3) у-віп—, х0 = я;
2
2) і/ = а/4х2 +1, х0 = 0; 4) у = 5х, х0 = —.
15
Розв’язання
1) Дана функція у = (Зх - 7)6 є складеною функцією
У = / (0 при і = § (х), де / (0 = і6, § (х) = Зх - 7.
Оскільки /' (І) = 6і5, а (х) = 3, то за теоремою про по-
хідну складеної функції можна записати:
У' (х) = /' (0 (х) = 6і5 • 3 при і = Зх - 7,
тобто у’ (х) = 6 (Зх - 7)5 • 3 - 18 (Зх - 7)5;
у' (2) = 18-(3-2 - 7)5 = -18.
Розв’язання цієї задачі можна оформити і так:
у' = ((Зх - 7)е)' = 6 (Зх - 7)5 • (Зх - 7)' =
= 6 (Зх - 7)5 • 3 = 18 (Зх - 7)5; у' (2) = -18.
2) і/' = (л/4х2+1)'=—-А=.(4х2+1)' = —Д= = —
2\4х2+1 2у4х+1 <4х2+1
і/ (0) = 0.
X ґхї І X , 1 л
3) У = ВІП — = сов — • — = —СО8—; у (я) = — сов — = 0.
І 2; 2 1.2/ 2 2 2 2
4) і/' = (і£35х) = Зі£25х-(і£5х)'= Зіе25х-—=151^ 5х.
к ' сов 5х сов 5х
( \ 15і£2- „ хіЛ2
у' —] =------— = 15-[>/з1 : = 45: —= 180.
115> сов2 — 1 ' N 4
З
Відповідь: 1) -18; 2) 0; 3) 0; 4) 180.
Вправи
8.1.° Знайдіть похідну функції:
1) у = х3 - Зх2 + 6х - 10; 5) у = -^х3 +0,5х2+2х;
2) і/ = 4х6 + 20-Ух; 3) у = х6 + 7х6 + — -1; 6) у = х - 9х; X4 X3 X2 7) у = + —+ 2;
X 4) у - 4 віп х - 5 сов х; 4 3 8 8) у = 2х“2 + Зх-3.
8.2.* Знайдіть похідну функції:
1) у - 2х5 - х; г. 5 5) у = х—; X
2) у = х7-4у[х; 3) у - -3 віп х + 2 сов х; 6) у = 12 - сі£ х; 7) і/ = 0,4х’5+л/з.
2
4) У = ~х3-х2-7х;
8.3 .° Знайдіть похідну функції:
1) у = (х + 2) (х2 - 4х + 5); 4) у = х сІ£ х;
2) у = (Зх + 5) (2х2 - 1); 5) і/ = (2х + 1)л/х;
3) у = х2 віп х; 6) у = 4х сов х.
8.4 / Знайдіть похідну функції:
1) у = (х3 - 2) (х2 + 1); 3) у = х4 сов х;
2) і/ = (х + 5)л/х; 4) у = х х.
8.5/ Знайдіть похідну функції:
їх Х-1 і) у= х + 1 .х х 7) _ 3-х2 ф
У 2 -і ’ х -1 У 4 + 2х’
оч „ 2х~3. к\ 5х2-х-2 8) х2 -5х
У 4-5х’ 3) н- 5 • 5) у- , X X3 6) у = ; СОВ X У х-1
У Зх-2’
8.6/ Знайдіть похідну функції:
_ Зх + 5 і) у= о; х-8 2х2 3) у = ; 1-6х 5) х2-1 х +1
7 и віпх 6) х2 +6х
10х-3’ у- г X х + 2
8.7/ Чому дорівнює значення похідної функції / у точці х0,
якщо:
1) ї (%) = х8 - Зх4 - х + 6, х0 = -1;
2) /(х) = —+5х-2, х0 = 2;
х
оч », ч 2 —Зх о
3) /(х) =---х0 = -3;
х + 2
х2 +2
4) І (х) ------2 віп х, х0 - 0;
х-2
5) ї (х) = (1 + 3х)л/х, х0 = 9;
6) /(х) = 3\/х-10 у/х, х0 = 1;
7) / (х) = (х2 - 2х + 3) сов х, х0 = 0;
8) / (х) = х віп х, х0 = 0?
8.8. ’ Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) ї (х) - 4х-16х, х0=~;
4
,, ч 008х
2) /(х) = ---, х0 = 0;
1-х
3) / (х) = х-2 - 4х-3, х0 = 2;
т, ч 2х2-3х-1
4) /(х) =--------, х0 = 1.
х + 1
8.9. ° Задайте за допомогою формул складені функції
У = / (8 (х)) і у = 8 (ї (х)), якщо:
1) / (х) - віп х, § (х) = х2 - 1;
2) / (х) = х4, § (х) = 5х + 2;
3) /(х) = 7х, £(х)=—
х-1
4) ї (х) = —, § (х) - 2х2 - Зх + 1.
х
8.10. ’ Задайте за допомогою формул складені функції
У = /(8 (х)) і у = 8 (ї (х)), якщо:
1) / (х) = х2, § (х) = х; 2) / (х) = ^х, § (х) =
х + 2
8.11. ’ Чи можуть дві різні функції мати рівні похідні? Від-
повідь проілюструйте прикладами.
8.12.’ Знайдіть похідну функції:
1) У = (2х + З)5; 8) у = у]хг+1;
ґ 1 ї8 2) = ; 9) У^х3 -Зх;
3) у = сой 2х; Ю) У = ~^ 4х + 5 И) У - (6 - 7хГ4;
4) у - 8Іп2 х;
5) і/ = 3сіе^; 5 6) у = уІ2х + 1; 2 12) у= —+ 4х-1
1 2 13) у = у]5Іпх;
7) у = ^1-х; 14) у = еіп 4х.
£.13.’ Знайдіть похідну функції:
1) у - (Зх - 5)6; 6) і/= сов | — -х
\4 7
2) у - (2х2 - Зх + 4)3; 7) у = уіі-х2;
3) і/ = 8Іп^; 8) у = у/бх + 8;
4) у = сов2 х; 9) у = (9х - 2)-3;
5) у = 2 4х; 10) у = ^/совх.
8.14. * Василь Заплутайко знаходить похідну функції
у = віп 2х так:
1) робить заміну 2х = і і отримує функцію у = віп /;
2) далі пише: у' = (віп і)' = сов і;
3) потім підставляє значення 2х = і і робить висновок,
що (віп 2х)' = сов 2х.
У чому полягає помилка Василя?
8.15. * Тіло рухається по координатній прямій за законом
8 (і) = ^4і2 -6ї + 11 (переміщення вимірюється в метрах,
час — у секундах). Знайдіть швидкість руху тіла в мо-
мент часу і0 - 5 с.
8.16* Матеріальна точка рухається по координатній прямій
за законом з (ґ) = (і + 2)2 (і + 5) (переміщення вимірю-
ється в метрах, час — у секундах). Знайдіть її швидкість
руху в момент часу і0 = 3 с.
8.17. * Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до
графіка функції / у точці з абсцисою х0:
1) / (х)-у/25-х2, х0 = -3; 3) / (х) = сов2 х, х0=—.
12
71
2) / (х) = віп 2х, х0 = —;
4
8.18. ’ Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до
графіка функції / у точці з абсцисою х0:
1) /(х) = \/4-Зх, х0 = 0; 3) / (х) = сі£4 х, х0 = -.
4
2) / (х) = 2х, х0 =-;
8.19/ Розв’яжіть нерівність /' (х) > 0, якщо:
1) / (х) - 6х - Зх2; 4) /(х) = -—х3+3х2-5х + 7;
З
2) / (х) = х3 + 1,5х2 - 1; 5) /(х) = ^х-совх;
3) ї (х) = х4 - 2х2; 6) / (х) = х + х.
8.20/ Розв’яжіть нерівність /' (х) < 0, якщо:
1) ї (х) = х2 - Зх + 1; 4) / (х) = х4 + 2х2;
2) / (х) = 2х3 + Зх2 - 12х; 5) / (х) = 2 віп х + 1;
3) ї (х) - Зх2 - х3; 6) / (х) - х - сов х.
8.21/ Знайдіть похідну функції:
_ 1 3 . У 9 3 ’ X X пх 3 2 4 2) У ~ 2 + 5 ’ XXX 3) у = х уІ2х + 1; СО8 Зх 6) у= ; х-1 „ч л/х-1 7) ; ух +1 8) у = (х + І)3 (х - 2)4;
4) у = віп х сов 2х; 5) у = х віп (2х + 5); >/х2+1 9) у = X
8.22 / Знайдіть похідну функції:
1) у = —т + —£г 4) у - віп 2х сов х;
х х
2) У = -+4-4? 5) у = (х + 2)5 (х - З)4;
XXX
3) у = х уіх+3; 6) у = -——-•
. х
81П —
4
8.23 / Розв’яжіть нерівність /' (х) < 0, якщо:
2х + 5 1
1) /(х) =--4) /(х) = х+—;
х + 2 х
х2 +8 г-
2) /(х) =--; 5) /(х) = 2віп2х-д/2 х;
х-1
3) І (х) = (х - 2)2 (х + 3); 6) /(х) = віп2х-хл/з.
8.24.* Розв’яжіть нерівність /' (х) > 0, якщо:
,. , , . 2х 1) /(х)= ; 1-х 2) /(х) = ^; х + 2 4) / (х) = (х + 2)г (х - 3); 5) / (х) = со8 2х;
4 3) /(х) = —+ 2х; X 6) / (х) = 2х - сов 4х.
8.25. * Матеріальна точка масою 4 кг рухається по коорди-
натній прямій за законом а (і) = і2 + 4 (переміщення ви-
мірюється в метрах, час — у секундах). Знайдіть імпульс
р (і) = ту (і) матеріальної точки в момент часу і0 = 2 с.
8.26. * Тіло масою 2 кг рухається по координатній прямій
за законом а (і) = Зі2 - 4і + 2 (переміщення вимірюється
в метрах, час — у секундах). Знайдіть кінетичну енергію
„, . ту2(і) . .
Е (і) =--- тіла в момент часу і0 = 4 с.
2
8.27. * Тіло рухається по координатній прямій за законом
а (0 = 2і2 - Зі + 15 (переміщення вимірюється в метрах,
час — у секундах). Визначте координату тіла в момент
часу, коли його кінетична енергія дорівнює нулю.
8.28. ” Знайдіть похідну функції:
її у = сов3 2х; 2) у — ^віпї-^-^І; 3) у =4 віп--5 1 .
8.29. ” Обчисліть:
1) /' (0), якщо 7(х) = .———;
V 2х-1
2) І'\ — |, якщо / (х) = віп2 —;
Ш 2
3) /' (0), якщо / (х) = (сов Зх + б)3.
8.30. ” У точках хг = -1 і х2 = 2 знайдіть похідну функції:
1) / (х) - х2 - 4 | х | + 3; 2) / (х) = | х2 - 4х + 3 |.
8.31. ” У точках х1 = -2 і х2 = 2 знайдіть похідну функції:
1) / (х) = х2 - 6 | х | + 5; 2) / (х) = | х2 - 6х + 5 |.
8.32. " Розв’яжіть рівняння:
1) ї =о, якщо / (х) = -х3-18х, £(х) = 2>/х;
/(х) З
2) /' (х) £' (х) = 0, якщо / (х) = х3 - 6х2, §(х) — -—^-.
З
8.33. ** Розв’яжіть рівняння:
1) =0, якщо / (х) = —х4-2х2, £(х) = у/х;
£ (х) 4
2) /' (х) £' (х) = 0, якщо / (х) = х3 - х2, £ (х) = 2у[х.
8.34. " Доведіть, що похідна періодичної функції є періо-
дичною функцією. Наведіть приклади.
8.35. ” Доведіть, що похідна парної функції є непарною
функцією. Наведіть приклади.
8.36. ” Доведіть, що похідна непарної функції є парною
функцією. Наведіть приклади.
8.37. ” Функції /і £ визначені на їй. Що можна стверджувати
про диференційовність функції у - / (х) + £ (х) у точці х0,
якщо:
1) / є диференційовною в точці х0, а £ — ні;
2) / і £ не диференційовні в точці х0?
8.38. ” Функції / і £ визначені на їй. Що можна стверджувати
про диференційовність функції у = / (х) £ (х) у точці х0,
якщо:
1) / є диференційовною в точці х0, а £ — ні;
2) / і £ не диференційовні в точці х0?
Готуємося до вивчення нової теми
8.39. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точ-
ку М (-2; -3) і паралельна осі абсцис.
8.40. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точ-
ку М (1; -4) і кутовий коефіцієнт якої дорівнює: 1) 4;
2) 0; 3) -1.
8.41- Серед прямих, заданих рівняннями, укажіть пари
паралельних:
1) у ~ Зх - 5;
2) у = -Зх - 5;
3) у - -Зх;
4) у = 7 - Зх;
5) у - Зх + 2 = 0;
6) і/ = |х + 7.
8.42. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку
А (-1; 9) і паралельна прямій у - 9х - 16.
8.43. Складіть рівняння прямої, яка паралельна прямій
у = 4х + 2 і перетинає пряму у = -8х + 9 у точці, що
належить осі ординат.
ДОТИЧНОЇ
Нехай функція / диференці-
йовна в точці х0. Тоді до графіка
функції / у точці з абсцисою х0
можна провести невертикальну
дотичну (рис. 9.1).
З курсу геометрії 9 класу ви
знаєте, що рівняння невертикаль-
ної прямої має вигляд
у = кх + Ь, Рис- 9Л
де к — кутовий коефіцієнт цієї прямої.
Виходячи з геометричного змісту похідної, отримаємо
й = /' (х0).
Тоді рівняння дотичної можна записати так:
У = Г (хо)'х + Ь. (1)
Ця пряма проходить через точку М (х0; / (х0)). Отже, ко-
ординати цієї точки задовольняють рівняння (1). Маємо:
/ (*о) = Г (х0) • х0 + Ь.
Звідси Ь = / (х0) - /' (х0) • х0.
Тоді рівняння (1) можна переписати так:
У = ґ (*о) 'х + / (хо) - Г (*о) * *о-
Отже, рівняння дотичної, проведеної до графіка функ-
ції / у точці з абсцисою х0, має вигляд:
У = Г (х0) (х - х0) + / (х0)
6 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
81
ПРИКЛАД 1 Складіть рівняння дотичної до графіка функції
/ (х) = 2 - 4х - Зх2 у точці з абсцисою х0 = -2.
Розв’язання. Маємо:
/ (х0) = / (-2) = 2 - 4 • (-2) - 3 • (-2)2 = -2; /' (х) = -4 - 6х;
Г (*о) = Г (-2) = —4 - 6 • (-2) = 8.
Підставивши знайдені числові значення в рівняння до-
тичної, отримуємо: у = 8 (х + 2) - 2, тобто у = 8х + 14.
Відповідь: у = 8х + 14.
ПРИКЛАД 2 Складіть рівняння дотичної до графіка функції
/ (х) = 2х2 - 6х у точці його перетину з віссю абсцис.
Розв’язання. Розв’язавши рівняння 2х2 - 6х = 0, зна-
йдемо абсциси точок перетину графіка функції / з віссю
абсцис. Маємо: 2х (х - 3) = 0; х = 0 або х = 3.
Запишемо рівняння дотичної в кожній із знайдених
точок.
1) Якщо х0 = 0, то / (0) = 0; (х) = 4х - 6; /' (0) = -6.
Тоді рівняння дотичної має вигляд у = -6х.
2) Якщо х0 = 3, то / (3) = 0; /' (3) = 4 • 3 - 6 = 6. Тоді шукане
рівняння має вигляд у = 6 (х - 3), тобто у = 6х - 18.
Відповідь: у = -6х, у = 6х - 18.
ПРИКЛАД 3 Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції
х + 4
/ (х) =--, якщо ця дотична паралельна прямій у = —2х + 4.
х-4
Розв’язання. Маємо:
(х+4)'(х-4)-(х-4)'(х + 4) (х-4)-(х + 4) 8
/ о 9 п •
(х-4)2 (х-4)2 (х-4)2
Якщо дотична паралельна прямій у = -2х + 4, то її ку- ’
товий коефіцієнт к дорівнює -2.
Оскільки (х0) = к, де х0 — абсциса точки дотику шу-
каної прямої до графіка функції /, то /' (х0) = -2, тобто
-------- = -2. Звідси
(*о-4)2
Отже, на графіку функції /(х) =--- є дві точки, до-
х-4
тичні в яких паралельні даній прямій.
При х0 = 6 маємо: / (х0) = 5. Тоді рівняння дотичної має
вигляд у = -2 (х - 6) + 5; у = -2х + 17.
При х0 = 2 отримуємо: / (х0) = -3. Тоді рівняння дотичної
має вигляд у = -2 (х - 2) - 3; у = -2х + 1.
Відповідь: у - -2х + 17 і у = -2х + 1.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть абсцису точки графіка функції
/ (х) = у якій проведена до нього дотична утворює
з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.
Розв’язання. Маємо:
Г (*) = —7^= * (2х -1)' = —т£= = Д—.
2л/2х-1 2у2х-1 <2х-1
Оскільки дотична утворює кут 45° з додатним напрямом
осі абсцис, то її кутовий коефіцієнт к дорівнює 45°, тобто
к = 1. Нехай х0 — абсциса точки дотику. Тоді /' (х0) = 1.
Отримуємо . * - =1. Звідси а/2х0-1 =1; 2х0 - 1 = 1;
х0 = 1.
Відповідь: 1.
8...................................................
ПРИКЛАД 5 Складіть рівняння дотичної до графіка функції
/ (х) = -х2 -5х - 6, яка проходить через точку М (-1; -1).
Розв’язання. Зауважимо, що / (-1) Ф -1. З цього випли-
ває, що точка М (-1; -1) не належить графіку функції /.
Нехай А (х0; / (х0)) — точка дотику шуканої прямої до
графіка функції /. Оскільки /’(х0) = -х2-5х0-6; /' (х0) -
= -2х0 - 5, то рівняння дотичної має вигляд
у = (-2х0 - 5) (х - х0) + (-х2 - 5х0 - 6).
Урахувавши, що координати точки М (-1; -1) задоволь-
няють отримане рівняння, маємо:
-1 = (-2х0 - 5) (-1 - х0) + (-х2 - 5х0 - 6).
• Звідси, розкривши дужки і розв’язавши квадратне рів-
• няння, отримаємо х0 = 0 або х0 = -2. Таким чином, через точ-
• ку М проходять дві дотичні до графіка функції /: у = -5х - 6
• і у - -х - 2.
* Відповідь: у - -5х - 6, у - -х - 2.
Вправи
9.1 . Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точці
з абсцисою х0, якщо:
1) / (х) = х1 2 + Зх, х0 = -1;
2) / (х) = х3 - 27, х0 = 2;
3) /(х) = -, х0 =|;
х 2
4) /(х) = 4\/х-3, х0 - 9;
5) / (х) = віп х, х0 = 0;
6) ї (х) = сов х, х0 = л;
7) /(х) = іе^х-^, *0=|;
8) /(х) = -^-, х0 =-2;
х + 1
9) / (х) = \/2х + 5, х0 = 2.
9.2 ." Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точ-
ці з абсцисою х0, якщо:
1) / (х) = 2х3 - Зх, х0 = 1;
2) / (х) = 0,5х2 - 2х + 2, х0 = 0;
л
3) / (х) = сов х, х0 - —;
2
5 л
4) / (х) = 8Іп х, х0 =-—;
2
5) / (х) = сі£І х + —І, х0=~—;
6) /(х) = \Мх2 +3х, х0 =-1;
х2 -4х
7) /(х) = ^—х0 = 3.
х-2
9.3 ." Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції
в точці його перетину з віссю ординат:
1) / (х) = х2 - Зх - 3; 2) /(х) = сов|—
І2 З
9.4 / Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції
в точці його перетину з віссю ординат:
1) / (х) = 2х3 - 5х + 2; 2) /(х) = 8Іп| Зх-— І.
К 4/
9.5 / Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точці
його перетину з віссю абсцис:
1) /(х) = 8х3 - 1; 2) Цх) = х--.
х
9.6 / Складіть рівняння дотичної до графіка функції / у точці
його перетину з віссю абсцис:
1) /(х) = 42^; 2) / (х) = Зх - х2.
X +1
9.7/ Знайдіть координати точки параболи у = 2х2 - х + 1,
у якій дотична до неї паралельна прямій у - 7х - 8.
9.8/ У яких точках дотичні до графіка функції у = — пара-
х
лельні прямій у - -X?
9.9/ До графіка функції / (х) = 2 віп х + 3 СО8 х проведено
дотичні в точках з абсцисами х. = — і х, = —. Яке вза-
2 2
ємне розміщення цих дотичних?
9.10/ Знайдіть таку точку графіка функції / , що проведена
в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі
абсцис кут а, якщо:
1) / (х) = х2 - 7х + 3, а = 45°;
2) /(х) = -3х2+2д/Зх-2, а -60°;
3) /(х) = ^Зх + 2, а = 45°;
4) Г(х) = —, а = 135°.
х-2
9.11/ Знайдіть таку точку графіка функції /, що проведена
в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі
абсцис кут а, якщо:
1) /(х)-у/Зх-~, а = 60°;
2) / (х) = х3 - 2х2 + х - 1, а = 45°.
9.12/ Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції /
утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис:
__ У"
1) / (х) = 6 - х - х3; 2) /(х) =---.
х-3
9.13/ Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції /
утворює гострий кут з додатним напрямом осі абсцис:
4
1) / (х) = х5 + 2х - 8; 2)/(х) =----.
1-х
9.14/ Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до гра-
фіка функції: .
1) / (х) = х3 - Зх + 1; 2) /(х) =—х4 -4х2 +1.
2
9.15/ Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до гра-
фіка функції / (х) = —х3 —х2 —Зх + 4.
З
9.16. " Складіть рівняння дотичної до графіка функції:
1) / (х) = х2 - 5х, якщо ця дотична паралельна прямій
У = -х-,
2) / (х) = х —якщо ця дотична паралельна прямій у = Зх;
х2
3) / (х) = 2х3 + Зх2 - Юх - 1, якщо ця дотична паралель-
на прямій у = 2х + 1.
9.17/ * Складіть рівняння дотичної до графіка функції:
1) / (х) = Зх2 + 5х + 3, якщо ця дотична паралельна
прямій у = -7х + 3;
2) ї (х) = л/х, якщо ця дотична паралельна прямій у = х.
9.18. " Установіть, чи є пряма у = 12х - 10 дотичною до
графіка функції / (х) = 4х3. У разі позитивної відповіді
вкажіть абсцису точки дотику.
9.19. " Установіть, чи є пряма у - х дотичною до графіка
функції у = віп х. У разі позитивної відповіді вкажіть
абсцису точки дотику.
9.20/ * Установіть, чи є пряма у =—х + — дотичною до гра-
2 2
фіка функції у = 4х. У разі позитивної відповіді вкажіть
абсцису точки дотику.
9.21. " Обчисліть площу трикутника, утвореного осями
координат і дотичною до графіка функції / (х) = х2 - 4
у точці з абсцисою х0 - -2.
9.22. " Обчисліть площу трикутника, утвореного осями коор-
динат і дотичною до графіка функції / (х) = х3 + х2 - 6х + 1
у точці з абсцисою х0 = 1.
..............................................
9.23. " Дотичною до графіка якої з функцій у = х2 - 2,
у - х3 - 2х, у - х2 - 2х, у - -х2 у точці з абсцисою х0 = 1
є пряма, зображена на рисунку 9.2?
9.24. " На графіку функції / (х) = -уІ2х + 1
знайдіть точку, дотична в якій перпен-
дикулярна до прямої
у - 2х + 1 = 0.
9.25. " Чи існують дотичні до графіка функ-
ції / (х) = х3 + 2х - 1, які перпендику-
лярні до прямої у = -X?
9.26. " При яких значеннях Ь і с парабола
у - х2 + Ьх + с дотикається до прямої
у = 4х + 1 у точці з абсцисою х0 = 1?
9.27. ” При яких значеннях а і Ь пряма у = 7х - 2 дотика-
ється до параболи у = ах2 + Ьх + 1 у точці А (1; 5)?
9.28. " Запишіть рівняння дотичної до графіка функції
/ (х) = 2х2 + 2, якщо ця дотична проходить через точ-
ку М (0; 1).
9.29. " Запишіть рівняння дотичної до графіка функції
/ (х) = х2 - 4, якщо ця дотична проходить через точ-
ку М (2; -1).
9.30. " У якій точці графіка функції [(х) = ——- потрібно
х
провести дотичну, щоб ця дотична проходила через по-
чаток координат?
З
9.31. ” У якій точці графіка функції у - х + — потрібно про-
вести дотичну, щоб ця дотична перетнула вісь ординат
• у точці (0; 6)?
• 9.32.* Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції
/ (х) = 3 х2 перетинаються в точці А, яка належить осі
• 2
• ординат. Знайдіть координати точки А.
•
• 9.33.* Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції
• 1 2 5
у—~х — перетинаються в точці А, яка належить осі
ординат. Знайдіть координати точки А.
. 9.34.* При яких значеннях а пряма у = ах + 1 є дотичною
* до графіка функції / (х) = у4х + 1?
• 9.35.* При яких значеннях а пряма у - 2х + а є дотичною
• до графіка функції / (х) = л/4х-1?
• 9.36.* Знайдіть рівняння спільної дотичної до графіків
функцій / (х) = х2 - 2х + 5 і § (х) = х2 + 2х - 11.
• 9.37.* Знайдіть рівняння спільної дотичної до графіків
функцій / (х) - х2 + 4х + 8 і § (х) = х2 + 8х + 4.
Готуємося до вивчення нової теми
9.38. Розв’яжіть нерівність:
1) х2 + х - 12 > 0;
2) х2 - Зх - 10 < 0;
3) 6х - х2 > 0;
4)
5)
х2 + Юх + 9
о <
х2 -4х + 3
х2 -5х + 4 _
—2-----
х2 -6х + 9
6) (х + 1)3(х - 1)2(х - З)* * 6 > 0.
.....................................;
ЕЕІ Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа ,
Розглянемо функцію / та таку точку х0 інтервалу (а; Ь), *
що шах/(х) = /(х0) (рис. 10.1, а). Нарис. 10.1, бзображе- •
[а;»]
но графік функції £, що тіп § (х) = § (х0). •
а б
Рис. 10.1
Нехай функції / і £ диференційовні в точці х0. Тоді до •
графіків цих функцій у точці з абсцисою х0 можна провес- *
ти дотичні. З наочних міркувань очевидно, що ці дотичні •
будуть горизонтальними прямими. Оскільки кутовий кое- •
фіцієнт горизонтальної прямої дорівнює нулю, то /' (х0) = 0 •
і £' (х0) = 0.
Цей висновок можна проілюструвати за допомогою ме- •
ханічної інтерпретації.
Якщо матеріальна точка рухається по координатній пря- •
мій за законом у = з (і) і функція у = 8 (і) набуває в точці •
і0 найбільшого (найменшого) значення, то це означає, що •
в момент часу і0 матеріальна точка змінює напрям руху на •
протилежний. Зрозуміло, що в цей момент часу швидкість ,
матеріальної точки дорівнює нулю, тобто V (і0) - з' (і0) = 0. •
Отримані висновки підтверджує така теорема.
•
Теорема 10.1 (теорема Ферма). Нехай функція /, •
визначена на проміжку [а; Ь], у точці х0 є (а; Ь) набуває •
свого найменшого (найбільшого) значення. Якщо функ- ,
ція / є диференційовною в точці х0, то (х0) = 0.
Доведення. Розглянемо випадок, коли тіп/(х) = /(х )
[а;Ь]
(випадок тах / (х) = / (х0) розглядають аналогічно).
[а;Ь]
Нехай х є [а; 6], тоді Д/ = / (х) - / (х0) > 0. Якщо Дх =
= х - х0 > 0 (рис. 10.2), то — >0. Звідси ї' (х0) = Ііт — >0.
Дх д*->о дх
Якщо Дх < 0 (рис. 10.3), то — <0.
Дх
/ (^п) ~ Ііш — 0.
Дх->ОДХ
Отже, доведено, що одночасно ви-
конуються дві нерівності: /' (х0) > 0 та
/' (х0) < 0. Тому /' (х0) = 0. ▲
Звідси
На рисунку 10.4 зображено графік
функції /, диференційовної на відрізку
[а; Ь], яка в точках а і Ь набуває одна-
кових значень.
З рисунка видно: існує щонайменше одна така точка
х0 є (а; Ь), що дотична до графіка в точці з абсцисою х0
є горизонтальною прямою, тобто /’ (х0) = 0.
Мішель Ролль
(1652-1719)
Французький математик, член
Паризької академії наук.
Основні праці присвячені методам
чисельного розв’язання рівнянь. Біль-
шість наукових досягнень М. Рол ля
не були помічені за його життя; їх
оцінили значно пізніше.
Рис. 10.4
Цей висновок можна проілюструвати за допомогою ме-
ханічної інтерпретації.
Якщо матеріальна точка рухається по координатній пря-
мій за законом у = з (і), і є [а; 6], то рівність з (а) = з (Ь)
означає, що в момент часу І - Ь матеріальна точка поверну-
лася в початкове положення. Отже, у деякий момент часу
і0 є (а; Ь) вона змінила напрям руху на протилежний, тобто
V (і0) = 8' Цо) = 0.
Отримані висновки підтверджує така теорема.
Теорема 10.2 (теорема Ролля). Якщо функція /
диференційовна на відрізку [а; Ь], причому / (а) = / (Ь), то
існує така точка х0 є (а; Ь), що [' (х0) = 0.
Доведення. Оскільки функція диференційовна на від-
різку [а; 6], то за теоремою 7.1 вона є неперервною на цьо-
му проміжку. Тоді за теоремою Вейєрштрасса на відрізку
[а; 6] існують такі значення аргументу, при яких функція
/ досягає своїх найбільшого та найменшого значень. Інши-
ми словами, існують такі числа т і М, що тіп/(х) = иі,
[а;Ь]
тах/(х) = М. Тоді для будь-якого х є [а; Ь] виконується
[а; 6]
нерівність т < / (х) < М.
Якщо т - М, то функція / є константою на проміжку
[а; 6]. Отже, /' (х) = 0 для будь-якого х є [а; 6].
Розглянемо випадок, коли т Ф М. Тоді функція / не може
на одному кінці відрізка [а; Ь] набувати найбільшого зна-
чення, а на другому — найменшого. Справді, / (а) = / (6),
а т * м. Отже, існує така точка х0 є (а; Ь), що функція
в Цій точці набуває свого найбільшого або найменшого зна-
чення. Тоді за теоремою Ферма /' (х0) = 0. А
На рисунку 10.5 зображено гра-
фік функції, диференційовної на
відрізку [а; 6].
Проведемо пряму АВ. З три-
кутника АМВ можна знайти куто-
вий коефіцієнт цієї прямої:
АМ Ь-а
Оберемо на дузі АВ таку точку С,
• що дотична до графіка в цій точці паралельна прямій АВ.
Кутовий коефіцієнт Г(х0) цієї дотичної дорівнює кутово-
• му коефіцієнту прямої АВ, тобто існує х0 є (а; Ь), що
Ь-а
Цей висновок ілюструє також механічна інтерпрета-
ція.
Якщо матеріальна точка рухається по координатній
• прямій за законом у = 8 (і), і є [а; &], то середня швидкість
• дорівнює
V
сер
8 (Ь) - 8 (а)
Ь-а
Зрозуміло, що під час руху є такий момент і0 є (а; Ь),
• коли миттєва швидкість дорівнює середній, тобто
ч_ »(Ь)-8(а)
• ^(^о) — ® (^о) ~
• Ь-а
Французький математик, механік 1
і астроном, президент Берлінської
академії наук, член Паризької ака-
демії наук. Основні праці — у галузі
математичного аналізу, варіаційного
числення, алгебри, теорії чисел, ди-
ференційних рівнянь, механіки. Ка-
валер ордена Почесного легіону.
Жозеф Луї Лагранж
(1736-1813)
Отримані висновки підтверджує така теорема.
Теорема 10.3 (теорема Лагранжа). Якщо функ-
ція / диференційовна на відрізку [а; Ь], то існує така
точка х0 є (а; Ь), що
Ь-а
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію § (х) =
= / (х) _ Хх, де X = Очевидно, що функція § є ди-
Ь-а
ференційовною на відрізку [а; &]. Легко перевірити (зробіть
це самостійно), що § (а) = § (Ь). Отже, функція § задоволь-
няє всім умовам теореми Ролля.
Таким чином, існує точка х0 є (а; Ь) така, що (х0) = 0.
Оскільки (х) = /' (х) - X, то /' (х0) - X = 0. Звідси
. /(Ь)-/(а) А
Ь-а
Зауважимо, що теореми Ролля і Лагранжа не вказують,
як знайти точку х0. Вони лише гарантують, що існує точка
з певною властивістю.
Вправи
10.1. Відомо, що функція / у точці х0 набуває найбільшого
або найменшого значення. Перевірте рівність (х0) = 0,
якщо:
1) ї (х) = х6, х0 = 0; 2) / (х) = віп х, х0 = -.
2
10.2. ’ Відомо, що функція / у точці х0 набуває найбільшого
або найменшого значення. Перевірте рівність /’ (х0) = 0,
якщо:
1) / (х) = 5 - х1 2, х0 = 0; 2) / (х) - сов х, х0 = я.
10.3. ’ Запишіть теорему Лагранжа для відрізка [1; 2]. На
інтервалі (1; 2) знайдіть таку точку х0, для якої викону-
ється рівність / (2) - / (1) = /' (х0), якщо:
1) / (х) = х3; 2) = —; 3) /(х) = віп—.
х 2
10.4. * Запишіть теорему Лагранжа для відрізка [1; 3]. На
інтервалі (1; 3) знайдіть таку точку х0, для якої викону-
• • /(3)-/(1) .
ється рівність ---------т (хп), якщо:
2
1) / (*) = х2; 2) /(х) = \/х; 3) /(х) = сов —.
4
10.5. * Використовуючи теорему Ферма, доведіть, що функ-
ція /" не набуває в точці х0 ні найбільшого, ні найменшого
значення, якщо:
1) / (х) = х4 4- х 4- 1, х0 = -0,5;
2) Г(х) = -і-х--, £> (/) = (1; 3), х0 = 2;
1-х X
3) / (х) = віп х 4- сов х2, £) (/) = [1; 2], х0 -
10.6. * Доведіть, що функція / не набуває в точці х0 ні най-
більшого, ні найменшого значення, якщо:
1) / (х) = (х2 4- 6х 4- 8) (х2 4- 14х 4- 48), х0 - -3;
2) /(х) = - + х2 +
Р (/) = (0; 4-сю), х0 = 1;
3) / (х) - сов х - віп х2, .0 (/) -
10.7. “ Використовуючи теорему Лагранжа, доведіть не-
рівність:
1) | сов х -
2) | х - 1
- У І;
І | Л Л ]
У І’ ХЄ ’ У&
л. л
2’2
10.8. ” Доведіть нерівність:
1) І віп х - віп у І < І х - у І;
2) І сіє х - сі£ у | > | х - у |, х є (0; л), у є (0; л).
10.9. ” Функція / диференційовна на К. Скориставшись те-
оремою Ролля для функції є (х) - / (х) віп х, доведіть,
що рівняння (х) віп х 4- / (х) сов х = 0 має принаймні
один корінь на відрізку [0; л].
10.10. ” Функція / диференційовна на К. Доведіть, що рів-
няння (х) = / (х) х має принаймні один корінь на
( л л
проміжку —; —
\ 2 2
10.П." Василь Заплутайко хоче довести, що похідна функ- •
ції / (х) = | х | у точці х0 = 0 дорівнює нулю. Він каже, *
що /(-1) - /"(І)- Тому за теоремою Ролля існує точка •
х0 є (-1; 1) така, що (х0) = 0. Але на інтервалі (0; 1) •
такої точки х0 не існує, бо на цьому проміжку / (х) = х і І
/' (х) = 1. Так само її немає на інтервалі (-1; 0). Виходить, •
що х0 = 0. Отже, /'(х0)-/' (0) = 0. Чи правий Василь?
Ознаки зростання і спадання функції
Ви знаєте, що коли функція є константою, то її похідна
дорівнює нулю. Виникає запитання: якщо функція / така,
що для всіх х з проміжку І виконується рівність /' (х) = 0,
то чи є функція / константою на проміжку /?
Звернемося до механічної інтерпретації.
Нехай у = 8 (/) - закон руху матеріальної точки по ко-
ординатній прямій. Якщо в будь-який момент часу І від
до і2 виконується рівність в’ (І) = 0, то протягом розгляду-
ваного проміжку часу миттєва швидкість дорівнює нулю,
тобто точка не рухається і її координата не змінюється. Це
означає, що на розглядуваному проміжку функція у = 8 (і)
є константою.
Ці міркування підказують, що справедливою є така
теорема.
Теорема 11.1 (ознака сталості функції). Якщо
для всіх х з проміжку І виконується рівність /' (х) = 0,
то функція / є константою на цьому проміжку.
................................................
Доведення. Нехай хІ і х2 — довільні значення аргумен- •
ту функції /, узяті з проміжку І, причому Хі < х2.
Оскільки [х,; х2] с І і функція / диференційовна на І, •
то для відрізка [х,; х2] виконуються всі умови теореми Ла- •
гранжа. Тоді існує точка х0 є (х^ х2) така, що
2 Л1
Оскільки х0 є І, то /' (х0) = 0. Отже, ?—^х1) = 0.
* Х2-*1
• Звідси / (х2) = / (Хі). Ураховуючи, що числа хг і х2 вибрано
• довільним чином, можемо зробити висновок: функція /
* є константою на проміжку І. А
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••«
На рисунку 11.1 зображено графік деякої функції Л яка
є диференційовною на проміжку [а; &]. Цей графік має таку
властивість: будь-яка дотична до графіка утворює гострий
кут з додатним напрямом осі абсцис.
Оскільки тангенс гострого кута є додатним числом, то
кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є додатним.
Тоді, виходячи з геометричного змісту похідної, можна зро-
бити такий висновок: для будь-якого х є [а; &] виконується
нерівність (х) > 0.
З рисунка 11.1 видно, що функція / зростає на розгля-
дуваному проміжку.
На рисунку 11.2 зображено графік деякої функції /, яка
є диференційовною на проміжку [а; &]. Будь-яка дотична до
графіка утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис.
Оскільки тангенс тупого кута є від’ємним числом, то
кутовий коефіцієнт будь-якої дотичної також є від’ємним.
Тоді для будь-якого х є [а; 6] виконується нерівність /' (х) < 0.
З рисунка 11.2 видно, що функція / спадає на розгля-
дуваному проміжку.
Ці приклади показують, що знак похідної функції на
деякому проміжку І впливає на те, чи є ця функція зрос-
таючою (спадною) на проміжку І.
Зв’язок між знаком похідної та зростанням (спаданням)
функції можна побачити і за допомогою механічної інтер-
претації. Справді, якщо швидкість, тобто похідна функції
у - 8 (і), є додатною, то точка на координатній прямій ру-
хається вправо (рис. 11.3). Це означає, що з нерівності
< і2 випливає нерівність з (і^ < з (іг), тобто функція у = з (і)
є зростаючою. Аналогічно, якщо швидкість є від’ємною, то
точка рухається вліво, тобто функ- р
ція у - в (і) є спадною. —|------—»
Цей зв’язок установлюють такі
дві теореми.
Теорема 11.2 (ознака зростання функції). Якщо
для всіх х з проміжку І виконується нерівність (х) > 0,
то функція / зростає на цьому проміжку.
Теорема 11.3 (ознака спадання функції). Якщо
для всіх х з проміжку І виконується нерівність /' (х) < 0,
то функція / спадає на цьому проміжку.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція /(х) = — + — + Х-100
5 З
зростає на множині дійсних чисел.
Розв’язання. Маємо: /' (х) = х4 4- х2 4- 1. Оскільки
х4 + х2 + 1 > 0 при всіх і є В, то функція / зростає на
множині дійсних чисел. •
Доведемо теорему 11.2 (теорему 11.3 доводять анало-
гічно).
Доведення. Нехай х} і х2 — довільні значення аргумен-
ту функції /, узяті з проміжку І, причому х2 > ХР
Оскільки [хр х2] с І і функція / диференційовна на І,
то для відрізка [хх; х2] виконуються всі умови теореми Ла-
гранжа. Тоді існує точка х0 є (х^ х2) така, що
х2-х1
7 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
97
Оскільки х0 є І, то і (х0) > 0. Отже, -----> 0. Тоді
х2-Хі
З нерівності Х2 > *! випливає нерівність / (х2) > / (Хі), тоб-
то функція / зростає на І. А
Зауважимо, що має місце і таке твердження: якщо дифе-
ренційовна на проміжку І функція / зростає (спадає), то для
всіх х з цього проміжку виконується нерівність /' (х0) > 0
(Г (х0) < 0).
Якщо функція / визначена на проміжку [а, Ь) і зростає
на інтервалі (а, Ь), то це не означає, що вона зростає на
проміжку [а, Ь) (подумайте чому). Досліджувати зростання
і спадання функції на різних проміжках допомагає така
ключова задача.
О—«ЗАДАЧА Нехай для довільного х є (а; Ь) виконується
нерівність /' (х) > 0, і функція / має похідну в точці а. До-
ведіть, що функція / зростає на проміжку [а; Ь).
Розв’язання. З теореми 11.2 випливає лише те, що
функція / зростає на інтервалі (а; Ь). Доведення зростання
функції / на проміжку [а; Ь) вимагає додаткового дослі-
дження.
Нехай х — довільна точка проміжку (а; Ь). Доведемо, що
/ (х) > / (а). З теореми Лагранжа для функції / на відрізку
[а; х] випливає існування такої точки х0 є (а; х), що
,,, ч І(х)-і(а)
/ (х0) =-------.
х-а
Оскільки х0 є (а; Ь), то (х0) > 0. Звідси / (х) > / (а).
Таким чином, доведено, що функція / зростає на про-
міжку [а; Ь). •
Зауваження 1. Насправді сформульовану в даній задачі
умову можна послабити, замінивши вимогу диференційов-
ності функції / у точці х = а на її неперервність у цій точці.
Тобто має місце таке твердження: якщо для всіх х є (а; Ь)
виконується нерівність (х) > 0 і функція / неперервна
в точці х = а, то функція / зростає на проміжку [а; Ь).
Зауваження 2. Використовуючи відповідні твердження,
можна обґрунтувати зростання (спадання) функції / на
проміжках іншого виду, наприклад [а; 4-оо), (~оо; Ь], [а; 6].
Наприклад, якщо для всіх х є (а; +<х>) виконується не- *
рівність (х) > 0 і функція / неперервна в точці х = а, то •
функція / зростає на проміжку [а; +оо). •
ПРИКЛАД 2 Знайдіть проміжки зростання (спадання) функ-
ції / (х) = х1 2 - 2х.
Розв’язання. Маємо: (х) = 2х - 2. Розв’язавши нерів-
ності 2х - 2 > 0 і 2х - 2 < 0, доходимо до такого: (х) > 0
на проміжку (1; +°о); /' (х) < 0 на проміжку (-оо; 1). Отже,
функція / зростає на проміжку (1; +°о) і спадає на проміж-
ку (-оо; 1).
На рисунку 11.4 зображено графік функції /. З рисунка
видно, що насправді функція / зростає на проміжку [1; +<х)
і спадає на проміжку (-со; 1].
При записі відповіді керуватимемося таким правилом:
якщо функція / є неперервною в якомусь з кінців проміж-
ку зростання (спадання), то цю точку при-
єднують до цього проміжку. У нашому при-
кладі функція / (х) = х2 - 2х є неперервною
в точці х = 1, тому цю точку приєднали до
проміжків (1; +оо) і (-оо; 1).
Відповідь: зростає на [1; 4-со), спадає на п
(-«>; 1].
ПРИКЛАД 3 Знайдіть проміжки зростання і спадання функ-
ції:
1) ?(х) = х3 + Зх2 - 9х + 1; 3) Г(х) = Х +4х~1;
х-1
2) / (х) = --х4 + 4х3-6х2 +5; 4) /(х) = л/х2-Зх.
Розв’язання
1) Маємо: (х) = Зх2 + 6х - 9 = 3 (х + 3)(х - 1).
Рис. 11.5
Дослідивши знак похідної методом
інтервалів (рис. 11.5) і врахувавши не-
перервність функції / у точках х = -З
і х = 1, отримуємо, що вона зростає на
кожному з проміжків (-оо; -3] і [1; +оо)
та спадає на проміжку [-3; 1].
2) Маємо: /' (х) = -Зх3 + 12х2 - 12х - -Зх (х2 - 4х + 4) =
= -Зх (х - 2)2.
Дослідивши знак похідної (рис. 11.6), доходимо виснов-
ку, що функція зростає на проміжку (-оо; 0] і спадає на
проміжку [0; +°о).
3) Маємо: Л (/) - (-оо; 1) О (1; +оо). Обчисливши похідну
функції Л отримуємо:
(*~3)
(х-1)2 " (х-1)2
Дослідимо знак функції у = Г (х) (рис. 11.7). Отже, дана
функція зростає на кожному з проміжків (-оо; -1] і [3; +оо)
та спадає на проміжках [-1; і) і(і; 3].
4) Маємо Л - (-со; 0] І) [3; 4-оо). Знайдемо похідну
функції /: /'(х) = (>/х2-Зх) =—2.~ 3 . Зауважимо, що
2ух2-3х
в точках х = 0 та х = 3 функція / не є диференційовною,
але є неперервною.
„ . . 2х-3 . . |2х-3>0,
Нерівність —> 0 рівносильна системі „
2ч/х2-3х |х2-Зх>0.
Отримуємо, що множиною розв’язків розглядуваної нерів-
ності є проміжок (3; +оо).
Далі легко встановити, що множиною розв’язків нерівно-
2х—З
сті —г < 0 є проміжок (—оо; 0).
2 уїх2 -Зх
Отже, якщо х < 0, то (х) < 0; якщо х > 3, то /' (х) > 0
(рис. 11.8).
Рис. 11.6
Рис. 11.7
Рис. 11.8
Тому функція / зростає на проміжку [3; +оо) і спадає на
проміжку (-со; 0]. •
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння х5 4-х3-л/1-Зх +4 = 0.
Розв’язання. Розглянемо функцію /(х) = х5+х3
-л/1-Зх+4, £>(/) =
— . Для всіх хє
3^
маємо:
з
З
/' (х) = 5х4 + Зх2 +— . Очевидно, що /'(х) > 0 при
2-уІ-Зх
хє
>; — , тобто функція / зростає на проміжку
З /
’з/
Оскільки функція / є неперервною в ТОЧЦІ X-—, то ця
з
функція зростає на £) (/) =
- . Тоді функція / набуває
З _
кожного свого значення тільки один раз, а отже, дане рів-
няння не може мати більше ніж один корінь.
Оскільки ї (-1) = 0, то х = -1 є єдиним коренем даного
рівняння.
Відповідь: -1.
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що для всіх х > -1 виконується не-
рівність х9 + 4х + 3 > 2х5.
Розв’язання. Доведемо, що для всіх х > -1 виконується
нерівність х9 - 2х5 + 4х + 3 > 0.
Розглянемо функцію / (х) = х9 - 2х5 + 4х + 3. Оскіль-
ки / (-1) = 0, то нерівність можна подати у вигляді
/ (х) > / (-1), де х є (-1; +оо). Маємо: (х) = 9х8 - 10х4 4- 4.
Оскільки квадратний тричлен 9і2 - Юї + 4 має від’ємний
дискримінант, то /' (х) > 0. Тому функція / є зростаючою.
Звідси для будь-якого х є (-1; +<ю) виконується нерівність
/(х)>/(-1). •
Вправи
11.1. ° Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) / (х) = х2 + 4х - 7; 4) / (х) = х4 - 2х2 - 3;
2) / (х) = 2х3 - Зх2 + 1; 5) / (х) = х3 + 4х - 8;
3) / (х) =-х3 + 9х2 + 21х; 6) /(х) =—х4-8х + 9.
4
11.2. ° Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) / (х) = —х2 + 6х - 5; 3) Цх) = -х4-2х2 + 1;
4
2) / (х) = х3 + Зх2 - 9х; 4) / (х) = х4 + 4х - 20.
11.3.’ Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) / (х) = х4 - 4х3 + 4х2 - 1; 9 5) /(х) = х +—; X
2) / (х) =—х4 ——х3 —7; 4 3 г2 — 3 6) /(х) = ^; х + 2 ., х2 - 2х +1
3) /(х) = -х5 х3 + 9х-6; 5 3 7) /(х) = — ; 3-х
4) /(х) = х2+—; X 8)/(х)- * х -9
11.4.’ Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) / (х) = Зх4 - 20х3 + 36х2 - 4; .ч ,, ч х2 + 5х 4) /(х) = х-4
2) / (х) - 9 + 4х3 - х4; 5) /(х) = 3х + ^|; X
3) /(х) = ^; х-5 2 6) Г(х) = -^-. х -4
11.6.’ На рисунку 11.9 зображено графік похідної диферен-
ційовної на 1К функції /. Укажіть проміжки спадання
функції /.
11.6/ На рисунку 11.10 зображено графік функції у = / (х),
визначеної на Ж. Серед наведених на рисунку 11.11 гра-
фіків укажіть той, який може бути графіком функції
Рис. 11.11
11.7 / На рисунку 11.12 зображено графік
похідної диференційовної на 1К функ-
ції /. Укажіть проміжки зростання
функції /.
11.8 / На рисунку 11.13 зображено гра-
фіки похідних диференційовних на Ж
функцій /, § і Л. Яка з функцій /, £,
к спадає на відрізку [-1; 1]?
Рис. 11.12
Рис. 11.13
11.9/ На рисунку 11.14 зображено графіки похідних дифе-
ренційовних на Ж функцій /, § і к. Яка з функцій /, £, к
спадає на Ж?
11.10. ’ Доведіть, що функція спадає на множині дійсних
чисел:
1) /(х) = 6-хч~х2-|х3; 3) / (х) = віп2х - Зх.
2) / (х) = -2х3 + 2х2 - Юх + 80;
11.11. ’ Доведіть, що функція зростає на множині дійсних
чисел:
1) ї (*) = Юх3 - 9х2 + 24х — 90; 3) / (х) = сов Зх + 4х.
2) ї (х) = віп х + х3 + х;
11.12. ’ Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
Г~ X у/з
1) /(х) = хл/2 + віпх; 3) у = совх +----.
2
2) ї (х) = х - со8 х;
11.13. ’ Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
X
1) / (х) = віп х - х; 2) / (х) =-----віп х.
2
11.14. ** Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
1) / (х) = >/х2 +4х; 2) і (х) - л/бх-х2.
11.15. ** Знайдіть проміжки зростання і спадання функції
/ (х) = л/х2 — 1.
11.16. ’ На рисунку 11.15 зображено графіки функцій / і £,
визначених на 1К. Використовуючи ці графіки, розв’яжіть
нерівність: 1) /' (х) < 0; 2) £' (х) > 0.
11.17. ’ На рисунку 11.16 зображено графіки функцій / і £,
визначених на ІК. Використовуючи ці графіки, розв’яжіть
нерівність: 1) /' (х) > 0; 2) £' (х) < 0.
11.18. " Знайдіть проміжки зростання і спадання функції
/ (х) = X - 2х.
11.19. " Знайдіть проміжки зростання і спадання функції
І (х) = СІ£ х + 4х.
а
Рис. 11.16
11.20. " При яких значеннях параметра а є зростаючою
функція:
1) у = х3 - ах; 3) у = -2\1-х + ах;
з
2) у = 3 віп 4% + ах; 4) у = — + 2(а + 1)х2 + 9х-4?
З
11.21. " При яких значеннях параметра а є спадною функ-
ція:
1) у = ах - х5; 3) у = -2 л/х + 3 + ах;
х3 ах2
2) у = 2 сов Зх + ах; 4) у =-------1-----4х + 21?
З 2
11.22. ” При яких значеннях параметра с функція
/ (х) = (с - 12)х3 + 3 (с - 12) х2 + 6х + 7
зростає на 1К?
11.23. ” При яких значеннях параметра а функція
у = (а + 2) х3 - Зах2 + дах - 2
спадає на 1К?
11.24. ” При яких значеннях параметра а функція
у = (а + 3) х3 + 3 (а + 3) х2 - 5х + 12
спадає на Ж?
х2
11.25. ” Доведіть нерівність совх>1---.
2
11.26. " Доведіть нерівність х < ІД х, де х є І 0;—
І 2
11.27. " Розв’яжіть рівняння Зх7+х + 7 = л/1-8х.
11.28. ” Розв’яжіть рівняння х5 + 4х + со8 х = 1.
11.29/ * Розв’яжіть рівняння х3 + 2х = віп х.
11.30. ” Розв’яжіть нерівність х7 + Зх > 2х4 + 2.
11.31. ” Розв’яжіть нерівність х5 + 4х < 2х3 + 3.
11.32. ” Розв’яжіть систему рівнянь
11.33. ” Розв’яжіть систему рівнянь
х-у - ВІП Х-8ІП у,
Зх + 4у -7.
2х-2у = сов у - сов х,
х + у = 8.
20 Точки екстремуму функції
Знайомлячись з такими поняттями як границя і непе-
рервність функції в точці, ми досліджували поведінку функ-
ції поблизу цієї точки або, як прийнято говорити, в її околі.
Означення 1. Інтервал (а; Ь), який містить точку х0, на-
зивають околом точки х0.
Зрозуміло, що будь-яка точка має безліч околів. Напри-
клад, проміжок (-1; 3) — один з околів точки 2,5. Разом
з тим цей проміжок не є околом точки 3.
На рисунку 12.1 зображено графіки чотирьох функцій.
Усі ці функції мають спільну особливість: існує окіл точ-
ки х0 такий, що для всіх х з цього околу виконується не-
рівність / (х0) > / (х).
Рис. 12.1
Означення 2. Точку х0 називають точкою максимуму
функції /, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х
з цього околу виконується нерівність / (х0) > / (х).
Наприклад, точка х0 = — є точкою максимуму функції
На рисунку 12.1 хтах = х0
Означення 3. Точку х0 називають точкою мінімуму
функції /, якщо існує окіл точки х0 такий, що для всіх х
з цього околу виконується нерівність / (х0) < / (х).
л . .
Наприклад, точка х0 = — є точкою мінімуму функції
2
л
у = віп х (рис. 12.2). Пишуть хт1п =—.
2
На рисунку 12.3 зображено графіки функцій, для яких
х0 є точкою мінімуму, тобто хтіп = х0.
Точки максимуму і мінімуму мають спільну назву: їх
називають точками екстремуму функції (від латинського
ехігетит — крайній).
На рисунку 12.4 точки хп х2, х3, х4, х5, х6 є точками
екстремуму.
З означень 2 і 3 випливає, що точки екстремуму є вну-
трішніми точками1 області визначення функції. Тому, на-
приклад, точка х0 = 0 не є точкою мінімуму функції у = 4х
(рис. 12.5), а точка х0 = 1 не є точкою максимуму функції
1 Точку х0 є М називають внутрішньою точкою множини М, якщо
існує окіл точки ха, який є підмножиною множини М.
у = агсзіп х (рис. 12.6). Разом з тим найменше значення
функції у-у[х на множині [0; +оо) дорівнює нулю, тобто
тіп у[х = уіО = 0, а шах агсвіп х = агсвіп 1 = —.
[0;+о°) [-1;П 2
На рисунку 12.7 зображено графік деякої функції /, яка
на проміжку [х^ х2] є константою.
Оскільки нерівності / (х0) > і (х) і / (х0) < / (х), які ви-
користовуються в означеннях 2 і 3, є нестрогими, то можна
зробити такий висновок: точка хх є точкою максимуму,
точка х2 — мінімуму, а будь-яка точка інтервалу (х^, х2)
є одночасно як точкою максимуму, так і точкою мінімуму
функції /.
Графіки функцій, зображених на рисунках 12.8 і 12.9,
показують, що точки екстремуму можна поділити на два
види: ті, у яких похідна дорівнює нулю (на рис. 12.8 дотич-
на до графіка в точці з абсцисою х0 є горизонтальною пря-
мою), і ті, у яких функція недиференційовна (рис. 12.9).
Дійсно, справедливою є така теорема.
Теорема 12.1. Якщо х0 є точкою екстремуму функ-
ції /, то або /' (х0) - 0, або функція / не є диференційовною
в точці х0.
Учні профільних класів можуть, використовуючи теоре-
му Ферма, довести теорему 12.1 самостійно.
Виникає природне запитання: чи обов’язково є точкою
екстремуму внутрішня точка області визначення функції,
у якій похідна дорівнює нулю або не існує?
Відповідь на це запитання заперечна.
Наприклад, на рисунку 12.10 зображено графік функції,
недиференційовної в точці х0. Проте точка х0 не є точкою
екстремуму.
Рис. 12.11
Наведемо ще один приклад. Для функції / (х) = х3 маємо:
/' (х) = Зх2. Тоді /' (0) = 0. Проте точка х0 = 0 не є точкою
екстремуму функції / (рис. 12.11).
Ці приклади показують, що теорема 12.1 дає необхід-
ну, але не достатню умову існування екстремуму в даній
точці.
Означення 4. Внутрішні точки області визначення функ-
ції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають
критичними точками функції.
Наприклад, точка х0 = 0 є критичною точкою функцій
у - х3 і у = | х |; точка х0 = — є критичною точкою функції
2
у - віп х.
Із сказаного вище випливає, що кожна точка екстре-
муму функції є її критичною точкою, проте не кожна
критична точка є точкою екстремуму. Іншими словами,
точки екстремуму слід шукати серед критичних точок.
Цей факт проілюстровано на рисунку 12.12.
На рисунку 12.13 зображено графіки
функцій, для яких х0 є критичною точ-
кою.
На рисунках 12.13, а, б, в, г критична
точка х0 є точкою екстремуму, на ри-
сунках 12.13, ґ, д критична точка х0 не
Критичні
точки
<Точки>
екстре-
Чмуму/
є точкою екстремуму,
Рис. 12.13
Рис. 12.12
Наявність екстремуму функції в точці х0 пов’язана з по-
ведінкою функції в око лі цієї точки. Так, для функцій,
графіки яких зображено на рисунках 12.13, а-г, маємо:
функція зростає (спадає) на проміжку (а; х0] і спадає (зрос-
тає) на проміжку [х0; Ь).
Функції, графіки яких зображено на рисунках 12.13,
ґ, д, такої властивості не мають: перша з них зростає на
кожному з проміжків (а; х0] і [х0; Ь), друга — спадає на
Цих проміжках.
Узагалі, якщо область визначення неперервної функ-
ції розбито на скінченну кількість проміжків зростан-
ня і спадання, то легко знайти всі точки екстремумів
(рис. 12.14).
Рис. 12.14
Ви знаєте, що за допомогою похідної можна знаходити
проміжки зростання (спадання) диференційовної функції.
Дві теореми, наведені нижче, показують, як за допомогою
похідної можна знаходити точки екстремуму функції.
Теорема 12.2 (ознака точки максимуму функ-
ції). Нехай функція / є диференційовною на інтервалі
(а; Ь) і х0 — деяка точка цього інтервалу. Якщо для всіх
х є. (а; х0] виконується нерівність /’(х) > 0, а для всіх
х є [х0; Ь) виконується нерівність /'(х) < 0, то точка х0
є точкою максимуму функції / (рис. 12.13, а).
Теорема 12.3 (ознака точки мінімуму функ-
ції). Нехай функція / є диференційовною на інтервалі
(а; Ь) і х0 — деяка точка цього інтервалу. Якщо для всіх
х є (а; х0] виконується нерівність Д(х) < 0, а для всіх
х є [х0; Ь) виконується нерівність /'(х) 0, то точка х0
є точкою мінімуму функції / (рис. 12.13, б).
Доведемо теорему 12.2 (теорему 12.3 доводять аналогічно).
Доведення. Нехай хх — довільна точка інтервалу (а; х0).
З теореми Лагранжа для відрізка [х^ х0] випливає існування
такої точки с є (х^ х0), що
ХО-Х1
Оскільки с є (а; х0], то /' (е) > 0. З нерівностей /' (с) > 0
і х0 -х1 >0 отримуємо: / (х0) > / (хД
Аналогічно для довільної точки х2 є (х0; Ь) можна до-
вести, що / (х0) > / (х2).
Звідси випливає, що х0 — точка максимуму. А
Інколи зручно користуватися спрощеними формулюван-
нями цих двох теорем: якщо при переході через точку х0
похідна змінює знак з плюса на мінус, то х0 — точка
максимуму, якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс,
то х0 — точка мінімуму.
Для функції / точки екстремуму можна шукати за такою
схемою.
1) Знайти /' (х).
2) Дослідити знак похідної в околах критичних точок.
3) Користуючись відповідними теоремами, стосовно кож-
ної критичної точки з’ясувати, чи є вона точкою екс-
тремуму.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть точки екстремуму функції:
1) / (х) = 2х3 - Зх2 - 12х; 3) /(х) = Х ~х + 4;
х-1
2) / (х) = 2х2 - х4; 4) / (х) =
л/х
Розв'язання. 1) Маємо: /' (х) = 6х2 - 6х - 12 = 6 (х2 -
- х - 2) = 6 (х + 1) (х - 2). Методом інтервалів дослідимо
знак похідної в околах критичних точок хг = -1, х2 = 2
(рис. 12.15). Отримуємо, що хтах = -1, хтіп = 2.
2) /' (х) = 4х - 4х3 = -4х (х2 - 1) = -4х (х + 1) (х - 1).
Рис. 12.15
Рис. 12.16
Дослідивши знак похідної (рис. 12.16), отримуємо:
Хщах 1» ^тіп 0 І Х,,шх 1.
3) Маємо:
(х2-х+4)' (х-І)-(х-І)' (х2-х + 4)
/ (х) =-----------------------------=
(х-1)2
(2х-1) (х-І)-(х2-х + 4) _ х2 - 2х - 3 _ (х +1) (х - 3)
(х-1)2 (х-1)2 ~ (х-1)2
8 Алгебра та початим аналізу, 11 кл.
113
Рис. 12.17
Дослідимо знак похідної в
околах критичних точок хг = -1,
х2 = 3 (рис. 12.17). Маємо, що
^тах — 1» ^тіп _ 3.
4) Маємо:
Г(х) =
(х + 2)' • л/х -(л/х) -(х + 2)
^х---(х + 2)
2<х
ш2
_2х-(х + 2)_ х-2
2хл/х 2хл/х
Якщо 0 < х < 2, то /' (х) < 0; якщо х > 2, то /' (х) > 0.
Отже, критична точка х = 2 є точкою мінімуму, тобто
^тіп — 2.
ПРИКЛАД 2 Знайдіть точки екстремуму функції
. . х пг х х-3
т (х) = 8іп — + <3 СО8-.
2 2 2
Розв’язання. Маємо:
я
ч 1 х <3 . х 1 [ х я
Т (х) = — СО8-----81П----— СО8 —+ —
2 2 2 2 2 І2 З
1
2
2
З
Знайдемо критичні точки даної функції:
СО8
X я
—+—
2 З
і =
2
X я я „ ,
—+ - = - + 2яй,
2 3 3
- + - = _ІЕ + 2я/г,/гє2;
|_2 З З
х = 4лй,
х = + 4лй, к є
З
1
_ . . х я 1
Функція І (х) = СОБ — ч— — є періодичною з періодом
\ 2 З У 2
2
Т - 4л. Методом інтервалів дослідимо її знак на проміжку
[-2л; 2л] завдовжки в період. Цьо-
му проміжку належать дві критич-
ні точки: х = 0 і х =-.
З
Рис. 12.18
На рисунку 12.18 показано результат дослідження знака
похідної на проміжку [-2л; 2л]. Тепер можна зробити ви-
4л
сновок: хтах = 0, хтіп = -—.
О
Узагальнюючи отриманий результат, дістаємо відповідь:
Хтах = 4ЛЙ, Хтіп =-^ + 4лЙ, к Є 2.®
О
Вправи
12.1.° На рисунку 12.19 зображено графік функції у = / (х),
визначеної на проміжку [-10; 9]. Укажіть: 1) критичні
12.2. ° На рисунку 12.20 зображено графік функції у - / (х),
визначеної на проміжку [-7; 7]. Укажіть: 1) критичні точ-
ки функції; 2) точки мінімуму; 3) точки максимуму.
Рис. 12.20
12.3. ° На рисунку 12.21 укажіть графік функції, для якої
точка х0 є точкою мінімуму.
12.4. ° Чи має критичні точки функція:
1) { (х) = х; 3) / (х) = 5; 5) / (х) = І£ х;
2) І (х) - х5 + 1; 4) / (х) - 8іп х; 6) /(х) = л/х?
12.5. ° На рисунку 12.22 зображено графік функції у = / (х),
визначеної на множині дійсних чисел. Чи є правильною
рівність:
1) Г (-3) = 0; 3) Г (0) = 0; 5) Г (2) = 0;
2) Г (-2) = 0; 4) Г (1) = 0; 6) (3) = 0?
Рис. 12.22
12.6.° Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:
1) / (х) = 0,5х4;
2) / (х) - х1 2 - 6х;
4) / (х) = х4 - 8х2 + 5;
5) / (х) = х3 - 6х2 - 15х + 7;
3) / (х) = 12х - х3;
.4
6) /(х) = х2-5-
2
12.7. ° Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:
1) /(х) =—х3-х;
З
2) І(х) = 4х--х3;
З
3) / (х) = -х2 + 4х - 3; 5) / (х) = 2х4 - 4х3 + 2;
з
4) /(х) =—+Зх2-7х + 4; 6) / (х) = 2 + х2 + 2х3 - 2х4.
З
12.8. ’ Функція у = / (х) диференційовна на множині дійсних
чисел. На рисунку 12.23 зображено графік її похідної.
Укажіть точки максимуму і мінімуму
функції у = / (х).
12.9. ' Функція у = / (х) визначена на
множині дійсних чисел і має похідну
в кожній точці області визначення.
На рисунку 12.24 зображено графік
функції у = Г (х). Скільки точок екс-
тремуму має функція у = / (х)?
Рис. 12.24
12.10. ' Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки’
екстремуму функції:
1) /(х) = —х4-2х3+7; 3) /(х) = —х6+—х5+х4+3.
4 6 5
2) / (х) = (х - І)3 (х - 2)2;
12.11. ' Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) / (х) = Зх4 - 8х3 + 6х2 - 9; 2) / (х) = (х + 4)4 (х - З)3.
12.12. * Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:
1) /(х) = -х3-2х2+4х-10; 2) / (х) - віп х - х.
З
12.13/ Доведіть, що дана функція не має точок екстремуму:
1) / (х) = 6х5 - 15х4 + 10х3 - 20; 2) / (х) = сов х 4- х.
12.14. * Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
4 х2 9 х2
1) /(х) = х+—; 4) Дх) =—+—; 7) /(х) = ^—;
х2 4 х2 х2-16
х2 —3 х — 1 і—
2) /(х) =---; 5) /(х) = —х-; 8) Г(х) = 2фс-х.
х-2 х2
12.15. " Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
2 х? 2 <
х Ьх х
1) = 3) /(х) = -^-; 5) /(х) = —
х + 2 х2+3 16-х2
9 1 г~
2) /(х) = х +—; 4) Цх) =--6) / (х) = 2х-у/х.
X (х +1)
12.16. " Чи є правильним твердження:
1) значення функції в точці максимуму може бути мен-
шим від значення функції в точці мінімуму;
2) функція в точці екстремуму може бути недиференці-
йовною;
3) якщо похідна в деякій точці дорівнює нулю, то ця
точка є точкою екстремуму функції?
12.17. " Чи є правильним твердження:
1) у точці екстремуму похідна функції дорівнює нулю;
2) якщо функція в деякій точці недиференційовна, то
ця точка є точкою екстремуму функції?
12.18. " Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) /(х) = --8Іпх; 2) /(х) = соз2х-хч/з.
2
12.19. "' Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) /(х) = со8Х +—; 2) /(х) = 8Іп2х-Хл/2.
2
12.20. ’* При яких значеннях а функція у = х3 - Зах2 + 27х - 5
має тільки одну критичну точку?
12.21. " При яких значеннях а функція у = - х3 - 2ах2 + 4х -15
має тільки одну критичну точку?
12.22. ” Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) / (х) = х2 л/1-х; 3) = х + 1
2) /(х) = (1-х) ч/х; ,, ч 2х-7 4) /(*) = . \/3-х
12.23. " Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) /(x) = x2^/7+2; 3) /(х) = -^ХІ.
УІХ-1
2) /(х) = (х-2)2 л/х;
12.24.* Чи є правильним твердження: якщо тах / (х) = / (х0),
м
х0 є М, і функція / диференційовна в точці х0, то
Г (х0) = 0?
12.25. ’ Чи може мати тільки одну точку екстремуму:
1) парна функція; 2) непарна функція; 3) періодична
функція?
12.26. ’ Для всіх х є £> (/) виконується нерівність / (х) > / (х0).
1) Чи є правильним твердження, що х0 — точка мінімуму
функції /? 2) Чи зміниться відповідь, якщо £> (/) = Ж?
12.27. ” Точка х0 — критична точка функції Л Для всіх
х < х0 виконується нерівність /' (х) > 0, а для всіх х > х0
виконується нерівність /' (х) < 0. Чи може точка х0 бути
точкою мінімуму?
12.28. ” Точка х0 — критична точка функції /. Для всіх
и і V таких, що и < х0 і V > х0, виконується нерівність
/' (и) Г (0 < 0. Чи обов’язково точка х0 є точкою екстремуму?
12.29. ” Точка х0 — критична точка функції /. Для всіх
и і V таких, що и < х0 і V > х0, виконується нерівність
/' (и) /' (0 > О- Чи може точка х0 бути точкою екстремуму?
12.30. ” Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:
І я І
1) / (х) = віп х віп х— ;
\ 4/
2) / (х) = віп х - сов х 4- х;
ч >/з о 8іп2х 1-л/Зх
3) іМ =— сов2х----------------;
4 4 2
4) / (х) = віп2 х - сов х.
12.31. ” Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:
І л ]
1) / (х) = СО8 X СО8 X — ;
\ 3 7
2) /(х) = \/з со8Х-8Іпх-х;
3) ї (х) = 5 8ІП х 4- 12 соз х - ІЗх.
12.32. ” При яких значеннях параметра а функція
X ЗО + 1 о /п 2 г, \ і гг
у =--------х2 + (2а2 +2а) х-17
З 2
має додатну точку мінімуму?
12.33. " При яких значеннях параметра а функція
X ЗО — 1 2 2 \ л
у =--------х +(2а -а) х + 19
З 2
має додатну точку мінімуму?
12.34. ” При яких значеннях параметра а точка х0 - 1 є точ-
х3
кою мінімуму функції у - — + ах2 + (а2 - 4) х + 7 ?
З
12.35. ” При яких значеннях параметра а точка х0 = 0 є точ-
х3
кою максимуму функції у =----ах2 + (а2 -1) х - 9?
З
12.36. ” При яких значеннях параметра а точка х0 = 1 є точ-
кою екстремуму функції у = х3 - ах2 4- (а2 - 2а)х - 7?
12.37. ” При яких значеннях параметра а точка х0 = 2 є точ-
кою екстремуму функції у = х3 - 2ах2 4- (2а2 — 2а) х 4- 9?
Ц Готуємося до вивчення нової теми
12.38. Знайдіть найменше значення функції у - Зх2 - 18х 4- 2
на відрізку:
1) [-1; 4]; 2) [-4; 1]; 3) [4; 5].
12.39. Знайдіть найбільше значення функції у = -х2 - 8х 4- 10
на відрізку:
1) [-5; -3]; 2) [-1; 0]; 3) [-11; -10].
Найбільше і найменше значення функції
на відрізку
Як добитися найменшої маси конструкції, не зашкодив-
ши її міцності? Як, маючи обмежені ресурси, виконати
виробниче завдання в найкоротший час? Як організувати
доставку товару по торговельних точках так, щоб витрати
палива були найменшими?
Такі й подібні задачі на пошук най-
кращого або, як говорять, оптималь-
ного розв’язку займають значне місце
в практичній діяльності людини.
Уявімо, що відомо функцію, яка
описує, наприклад, залежність маси
конструкції від її міцності. Тоді задача
звелася до пошуку
аргументу, при якому функція набуває найменшого значення.
У цьому пункті ми з’ясуємо, як можна знайти найбільше
і найменше значення функції на відрізку [а; Ь]. Обмежимося
розглядом лише неперервних функцій.
Зауважимо, що точка, у якій функція набуває свого най-
меншого значення, не обов’язково є точкою мінімуму. На-
приклад, на рисунку 13.1 тіп / (х) = / (а), а точок мінімуму
[« Ь]
функція / не має. Також точка мінімуму не обов’язково
є точкою, у якій функція набуває найменшого значення.
На рисунку 13.2,а точка х2 — єдина точка мінімуму, а най-
менше значення тіп / (х) досягається в точці а.
[а;0]
Рис. 13.2
Аналогічне зауваження стосується і точок максимуму та
точок, у яких функція набуває найбільшого значення.
На рисунку 13.2 подано різні випадки розташування
точок екстремумів і точок, у яких функція набуває най-
більшого та найменшого значень.
Тут важливо зрозуміти, що властивість функції мати
точку екстремуму х0 означає таке: функція набуває в точ-
ці х0 найбільшого (найменшого) значення порівняно зі
значеннями функції в усіх точках деякого, можливо, дуже
малого околу точки х0. Тому, якщо хочуть наголосити на
цьому факті, то точки екстремуму ще називають точками
локального максимуму або точками локального мінімуму
(від латинського Іоси8 — місце).
Неперервна на відрізку [а; 6] функція набуває на цьому
проміжку своїх найбільшого і найменшого значень1 або на
кінцях відрізка, або в точках екстремуму (рис. 13.2).
Тоді для такої функції пошук найбільшого і найменшого
значень на відрізку [а; Ь] можна проводити, користуючись
такою схемою.
1. Знайти критичні точки функції /, які належать від-
різку [а; 6].
2. Обчислити значення функції в знайдених критичних
точках і на кінцях розглядуваного відрізка.
3. З усіх знайдених значень обрати найбільше і най-
менше.
Зрозуміло, що цей алгоритм можна реалізувати лише
тоді, коли розглядувана функція / має скінченну кількість
критичних точок на відрізку [а; 6].
Зазначимо, що коли визначити, які з критичних точок
є точками екстремуму, то кількість точок, у яких слід
шукати значення функції, може бути зменшена. Проте ви-
явлення точок екстремуму, як правило, потребує більшої
технічної роботи, ніж пошук значень функції в критичних
точках.
1 Учням профільних класів нагадаємо, що існування найбільшого та
найменшого значень неперервної на відрізку функції гарантує теорема
Вейєрштрасса (теорема 5.4).
ПРИКЛАД 1 Знайдіть найбільше і найменше значення функ-
ції / (х) = 4х3 - 9х2 - 12х + 6 на відрізку [-2; 0].
Розв’язання. Знайдемо критичні точки даної функції:
Г (х) = 12х2 - 18х - 12;
12х2 - 18х - 12 = 0;
2х2 - Зх - 2 = 0;
х = 2 або х =
2
Отже, функція / має дві критичні точки, а проміжку
[-2; 0] належить одна: х = ~—.
2
Маємо: / / (-2) = -38, / (0) = 6.
х 2 у 4
Отже, тах/(х) = /| -- | =—, тіп / (х) = / (-2) = -38.
[-2;о] V 2? 4 [2;0]
37
Відповідь: —; -38.
4
ПРИКЛАД 2 Знайдіть найбільше і найменше значення функ-
ції / (х) = 4 віп 2х - 2 зіп 4х на проміжку [0; л].
Розв’язання. Маємо: /' (х) = 8 сов 2х - 8 сов 4х =
= 8 (сов 2х - сов 4х) = 16 віп Зх віп х. Знайдемо критичні
точки даної функції:
віп Зх віп х = 0;
віп Зх = 0 або зіп х = 0;
і. ги
х = — або х = тік, к є 2.
З
Звідси х = —, йє 2.
З
Отже, точки виду х = — є критичними точками функції /,
З
г, гл 1 л Я 2л
з них проміжку [0; лі належать чотири точки: 0; —; —; л.
З З
Обчислюємо:
/(0) = /(л) = 0, Я - | = 3л/з, Я—| = -Зл/3.
Ш І з)
Таким чином,
шах / (х) - /1 | = 3 л/3,
[0;п] ^37
Відповідь: 3 л/з, -3 л/з.
/ 2тг А /—
тій / (х) - / — = -3 <3.
[0:я] к 3 7
ПРИКЛАД 3 Подайте число 8 у вигляді-суми двох невід’єм-
них чисел так, щоб сума куба першого числа і квадрата
другого була найменшою.
Розв’язання. Нехай перше число дорівнює х, тоді друге
дорівнює 8 - х. З умови випливає, що 0 < х < 8.
Розглянемо функцію / (х) = х3 4- (8 - х)2, визначену на
відрізку [0; 8], і знайдемо, при якому значенні х вона на-
буває найменшого значення.
Маємо: /' (х) = Зх2 - 2 (8 - х) = Зх2 + 2х - 16. Знайдемо
критичні точки даної функції:
Зх2 + 2х - 16 = 0;
о 8
х - 2 або х - —.
З
Серед знайдених чисел проміжку [0; 8] належить тільки
число 2. Обчислюємо:
/ (2) = 44, / (0) = 64, / (8) = 512.
Отже, функція / набуває найменшого значення при х = 2.
Відповідь: 8 = 2 + 6.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть сторони прямокутника, вписаного
в коло радіуса В, якщо площа прямокутника набуває най-
більшого значення.
Рис. 13.3
Розв’язання. Розглянемо прямо-
кутник АВСВ, вписаний у коло радіуса
В (рис. 13.3). Нехай АВ = х, тоді
ВС = уіАС2-АВ2 = уі4В2-х2.
Звідси площа прямокутника АВСВ
дорівнює х УІ4В2 -х2. З умови задачі
випливає, що значення змінної х за-
довольняють нерівність 0 < х < 2В. Та-
ким чином, задача звелася до знахо-
дження найбільшого значення функції
8 (х) = х \І4К2 —х2 на інтервалі (0; 27?). Розглянемо непе-
рервну функцію С (х) = х л/47?2 -х2, В (/) = [0; 27?], і будемо
шукати її найбільше значення на відрізку [0; 27?].
Знайдемо критичні точки функції /:
/'(х) = (х)'д/4Т?2-х2+х — 1 --- (47?2-х2)' =
2у4/?2-х2
х2 _ (4/?2-х2)-х2 _ 4/?2-2х2
^4В2-х2 л/47?2-х2 >/47?2-х2
Функція / має одну критичну точку х = 7? л/2.
Маємо: / (т? \/2) = 27?2, / (0) = / (27?) = 0. Отже,
шах/т(х) = /(7?л/2) = 27?2.
[0; 2Й| '
Звідси отримуємо, що функція 8 (х) = х д/47?2 -х2
на інтервалі (0; 27?) набуває найбільшого значення при
х = 7? л/2. Тоді АВ = 7? \/2,
ВС = л/47?2-27?2 = 7? л/2.
Отже, серед прямокутників, вписаних у коло радіуса 7?,
найбільшу площу має квадрат зі стороною 7? \/2. •
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння у]х-2 + у]4-х = 2.
Розв’язання. Розглянемо функцію /(х) = ^х-2 + ^4-х,
В (/) = [2; 4]. Для всіх х є (2; 4) маємо:
/'(*) = —, 1------1 1 •
4^(х-2)3 4^(4-х)3
Розв’яжемо рівняння /' (х) = 0. Запишемо:
— 1 .....— 1 = 0 •
4^(х-2)" 4^(4-х)3
Звідси легко знайти, що х = 3. Отримали, що функція /
на відрізку [2; 4] має єдину критичну точку х = 3.
Оскільки функція / є неперервною на відрізку [2; 4], то
її найбільше і найменше значення знаходяться серед чисел
/ (3), / (2), / (4). Маємо: / (3) = 2, / (2) = / (4) = 72.
Отже, шах / (х) - / (3) = 2, причому найбільшого значення
[2; 4]
функція / набуває лише при х = 3.
Оскільки нам потрібно розв’язати рівняння / (х) = 2, то
отримуємо, ЩО X - З є його єдиним коренем.
Відповідь: 3.
ПРИКЛАД 6 Пункти А, В і С розміщені у вершинах прямо-
кутного трикутника (А АСВ - 90°), ВС = 3 км, АС = 5 км.
З пункту А до пункту С веде шосейна дорога. Турист по-
чинає рухатися з пункту А по шосе. На якій відстані від
пункту А турист має звернути із шосе, щоб за найменший
час дійти з пункту А до пункту В, якщо
швидкість туриста по шосе дорівнює
5 км/год, а поза шосе — 4 км/год?
Розв’язання. Позначимо через В
точку, у якій турист має звернути із
шосе, щоб найшвидше подолати шлях
(рис. 13.4).
Нехай АВ = х км. Маємо: ВС = (5 - х) км, ВВ = \ІВС2 +ВС2 =
= 7(5-х)2+9. Тоді час, за який турист подолає шлях, до-
х уІ(5-х)2 +9 . ,
рівнює — + --------. Іепер зрозуміло, що для розв язання
5 4
задачі достатньо знайти найменше значення функції
/ (х) = — + --------, заданої на відрізку [0; 5]. Маємо: (х) =
5 4
1 5-Х та » • 1 5-Х л
=----- Розв язавши рівняння-------=0
5 4 7(5-х)2+9 5 47(5-х)2+9
(зробіть це самостійно), установлюємо, що число х = 1 є його
тт • т 734 29
єдиним коренем. Порівнюючи числа / (0) =---, /(1) = — 4
4 20
7 29
і /(5) = —, установлюємо, що /(1) =— — найменше зна- •
4 20
чення функції / на відрізку [0; 5].
Відповідь: 1 км.
Вправи
13.1.° Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) / (х) = Зх* 1 2 - х3 4, [-1; 3];
2) / (х) = х4 - 2х2 + 5, [0; 2];
3) / (х) = х3 - 2х2 + 8х - 3, [1; 3];
4) / (х) = 2х3 - 9х2 - 3, [-1; 4];
5) / (х) = 2х3 + 9х2 - 60х - 7, [-1; 3];
г2 . о
6) /(х) =---[-3; 0].
х-1
13.2.° Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) /(х) = |х3-4х, [0; 3];
2) / (х) = х - 1 - х3 - х2, [-2; 0];
3) / (х) = 2х4 - 8х, [-2; 1];
4) ?(х) = -—8х2, [-1; 2].
4
13.3.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) /(х) = л/100-х2, [-6; 8];
2) /(х) = 70,5х2+Зх + 5, [2; 4];
3) / (х) = (х + І)2 (х - 2)2, [-2; 4];
4) /(х) = - + |, [-4; -1].
х 2
13.4.’ Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) /(х) = л/9+8х-х2, [0; 7]; 2) /(х) = ^^-, [-2; 4];
х2+1
3) /• (х) = (х - І)2 (х + 5)2, [-3; 2];
4) /(х) = -х-~, [-6; -1].
13.5. * Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) / (х) = зіп х - соз х, [0; я];
. 2) / (х) = зіп І 4х——
І з;
0;- ;
6^
Я п
_ 2*2.
3) /(х) = хх/3-соз2х,
13.6. ’ Знайдіть найбільше і найменше значення функції /
на вказаному відрізку:
1) / (х) = х/3 зіп х + соз х, [0; я];
2) /(х) = 2соз 4х + -
\ 6.
Л ' л
12’ 3.
13.7. ’ Подайте число 8 у вигляді суми двох невід’ємних
чисел так, щоб добуток куба одного з цих чисел на друге
число був найбільшим.
13.8. ' Подайте число 12 у вигляді суми двох невід’ємних
чисел так, щоб добуток квадрата одного з цих чисел на
подвоєне друге число був найбільшим.
13.9. ’* Знайдіть найбільше і найменше значення даної функ-
ції / на вказаному відрізку:
л
1) / (х) = 2 зіп 2х + соз 4х, 0; —
_ з _
2) /(х) = х/З зіп2х + соз2х-5,
0;-
3^
3) / (х) = 2 зіп х + зіп 2х, 0; — .
Ь 2 _
13.10. ” Знайдіть найбільше і найменше значення даної
функції / на вказаному відрізку:
1) / (х) = 2 СО8 х - ЗІП 2х,
2) / (х) = 2х/з со8 х + 2зіп х,
л_ л
2’2
л. л
2’2
13.11“ Розбийте число 180 на три невід’ємних доданки так,
щоб два з них відносились як 1 : 2, а добуток усіх трьох
доданків був найбільшим.
13.12. ” Подайте число 18 у вигляді суми трьох невід’ємних
чисел так, щоб два з них відносились як 8 : 3, а сума
кубів цих трьох чисел була найменшою.
13.13. ” У трикутник АВС вписано прямокутник так, що
дві його вершини лежать на стороні АС, а дві інші — на
сторонах АВ і ВС. Знайдіть найбільше значення площі
такого прямокутника, якщо АС = 12 см, ВВ = 10 см, де
ВВ — висота трикутника АВС.
13.14. ” у прямокутний трикутник з гіпотенузою 16 см
і гострим кутом 30° вписано прямокутник, дві вершини
якого лежать на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.
Якими мають бути сторони прямокутника, щоб його
площа була найбільшою?
13.15. ” У півколо радіуса 20 см вписано прямокутник най-
більшої площі. Знайдіть сторони прямокутника.
13.16. " у півколо радіуса 6 см вписано прямокутник най-
більшого периметра. Знайдіть сторони прямокутника.
13.17. ” Дві вершини прямокутника належать графіку функ-
ції у - 12 - х2, В (у) = [-2 л/3; 2л/з], а дві інші — осі
абсцис. Яку найбільшу площу може мати такий прямо-
кутник?
13.1^ * Дві вершини прямокутника належать графіку функ-
ції у = 0,5х2, В(і/) = [-Зл/2; Зл/2], а дві інші — прямій
у = 9. Яку найбільшу площу може мати такий прямо-
кутник?
13.19. " Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює
48 см. Якою має бути довжина основи трикутника, щоб
його площа набувала найбільшого можливого значення?
9. Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
129
13.20.” Василь Заплутайко вирішив знайти найбільше і най-
менше значення функції /(х) = — на відрізку [-1; 1]. Він
х
.... 1 .
знайшов похідну / (х) =—і встановив, що рівняння
X
—= 0 не має розв’язків. Порівнявши значення / (-1) =
х
= -1 і / (1) = 1, Василь стверджує, що найбільше зна-
чення функції / на відрізку [-1; 1] дорівнює 1, а най-
менше дорівнює -1. Чи правильно міркує Василь?
13.21. ” У трапеції менша основа і бічні сторони дорівню-
ють а. Знайдіть більшу основу трапеції, при якій її площа
набуває найбільшого значення.
13.22. ” У рівнобедрений трикутник вписано коло радіуса г.
Яким має бути кут при основі трикутника, щоб його
площа була найменшою?
13.23. ” Яким має бути кут при вершині рівнобедреного
трикутника заданої площі, щоб радіус вписаного в цей
трикутник кола був найбільшим?
13.24. ” На колі радіуса В позначено точку А. На якій від-
стані від точки А треба провести хорду ВС, паралельну
дотичній у точці А, щоб площа трикутника АВС була
найбільшою?
13.25. ” Фігуру обмежено графіком функції у - 4х, прямою
у - 2 і віссю ординат. У якій точці графіка функції у - 4х
(0 < х < 4) треба провести дотичну, щоб вона відтинала
від вказаної фігури трикутник найбільшої площі?
13.26. ” На координатній площині розміщено прямокутний
трикутник АВС {/АВС - 90°). Вершина А має координа-
ти (-2; 0), вершина В належить відрізку [2; 3] осі абсцис,
а вершина С — параболі у = х2 - 4х + 1. Якими мають
бути координати точки С, щоб площа трикутника АВС
була найбільшою?
13.27. ” Пункти А, В і С знаходяться у вершинах прямо-
кутного трикутника АВС (X АСВ = 90°), АС = 285 км,
ВС = 60 км. Пункти А і С зв’язує залізниця. У яку точку
відрізка АС слід провести ґрунтову дорогу з пункту В,
щоб час перебування в дорозі від пункту А до пункту В
був найменшим, якщо відомо, що швидкість руху за-
лізницею дорівнює 52 км/год, а ґрунтовою дорогою —
20 км/год?
13.28. ” Завод А розміщено на відстані 50 км від прямолі-
нійної ділянки залізниці, яка йде в місто В, і на відстані
130 км від міста В. Під яким кутом до залізниці слід
провести шосе від заводу А, щоб доставка вантажів з А
до В була найдешевшою, якщо вартість перевезення по
шосе у 2 рази більша, ніж залізницею?
13.29. ” Доведіть нерівність -20 < х3 - Зх2 < 16, де х є [-2; 4].
13.30. ” Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = -5х3 + х | х - 1 | на проміжку [0; 2].
13.31. ” Знайдіть найбільше і найменше значення функції
/ (х) = 4х3 - х | х - 2 | на проміжку [0; 3].
13.32. ” Розв’яжіть рівняння л/б-х +>/х-3 = х2 -8х + 18.
13.33. " Розв’яжіть рівняння уіх + 7 +у/1-х = х2+6Х + 13.
Готуємося до вивчення нової теми
13.34. Накресліть графік якої-небудь неперервної функції
такої, що: областю визначення є проміжок [—4; 3]; облас-
тю значень є проміжок [-5; 3]; нулі функції дорівнюють
-2 і 2; функція спадає на проміжках [-4; -1] і [2; 3],
зростає на проміжку [-1; 2].
13.35. Накресліть графік якої-небудь диференційовної функції
такої, що: областю визначення є проміжок [-3; 4]; облас-
тю значень є проміжок [-2; 3]; нулі функції дорівнюють
-1 і 2; У' (х) > 0 для будь-якого х з проміжків [-3; 0)
і (2; 4]; У' (х) < 0 для будь-якого х з проміжку (0; 2).
Друга похідна. Поняття опуклості функції
Нехай матеріальна точка рухається за законом у - 8 (і) по
координатній прямій. Тоді миттєва швидкість V (ї) у момент
часу і визначається за формулою
V (і) = 8' (і).
Розглянемо функцію у = V (і). Її похідну в момент часу і
називають прискоренням руху і позначають а (і), тобто
а (і) = V' (і).
Таким чином, функція прискорення руху — це похід-
на функції швидкість руху, яка у свою чергу є похідною
функції закон руху, тобто
а (і) = V' (і) = (а' (і))'.
У таких випадках говорять, що функція прискорення
РУХУ У = а (0 є другою похідною функції у = 8 (і). Пишуть:
а (і) = а" (і)
(запис а" {і) читають: «ес два штрихи від те»).
Наприклад, якщо закон руху матеріальної точки задано
формулою а (і) — і2 - 4ї, то маємо:
а' (і) = V (І) = 21 - 4;
а" (0 = V' (0 = а (0 = 2.
Ми отримали, що матеріальна точка рухається зі сталим
прискоренням. Як ви знаєте з курсу фізики, такий рух на-
зивають рівноприскореним.
Узагальнимо сказане.
Розглянемо функцію у = / (х), диференційовну на деякій
множині М. Тоді її похідна також є деякою функцією, за-
даною на цій множині. Якщо функція /' є диференційов-
ною у деякій точці х0 є М, то похідну функції /' у точці
х0 називають другою похідною функції у = / (х) у точці х0
і позначають /" (х0) або у" (х0). Саму функцію / називають
двічі диференційовною в точці х0.
Функцію, яка числу х0 ставить у відповідність число
/" (х0), називають другою похідною функції у = / (х) і по-
значають /" або у".
Наприклад, якщо у = зіп х, то у" = -зіп х.
Якщо функція / є двічі диференційовною в кожній точ-
ці множини М, то її називають двічі диференційовною на
множині М. Якщо функція / двічі диференційовна на П (/),
то її називають двічі диференційовною.
Ви знаєте, що функцію характеризують такі властивості
як парність (непарність), періодичність, зростання (спадан-
ня) тощо. Ще однією важливою характеристикою функції
є поняття опуклості вгору і опуклості вниз.
Звернемося до прикладів.
Про функції у - х2, у = | х | кажуть, що вони є опуклими
вниз (рис. 14.1), а функції у = -х2, у = 4х є опуклими вгору
(рис. 14.2). Функція і/ = зіпх є опуклою вгору на проміжку
[0; я] і опуклою вниз на проміжку [я; 2я] (рис. 14.3). Ліній-
ну функцію вважають як опуклою вгору, так і опуклою вниз.
Рис. 14.1
Рис. 14.2
Надалі, вивчаючи поняття опуклості функції на проміж-
ку І, обмежимося випадком, коли функція / диференційов-
на1 на цьому проміжку.
Рис. 14.3
Нехай функція / диференційовна на проміжку І. Тоді
в будь-якій точці її графіка з абсцисою х є І можна провес-
ти невертикальну дотичну. Якщо при цьому графік функції
на проміжку І розміщений не вище будь-якої такої дотич-
1 У вищій школі поняття опуклості узагальнюють і на більш широкі
класи функцій, наприклад неперервні.
ної (рис. 14.4), то функцію / називають опуклою вгору на
проміжку І; якщо ж графік на проміжку І розміщений не
нижче будь-якої такої дотичної (рис. 14.5) — то опуклою
вниз на проміжку І.
Наприклад, доведемо, що функція / (х) = х2 є опуклою
вниз на проміжку (-оо; +оо). Проведемо дотичну до графіка
функції / (х) = х2 у точці з абсцисою х0 (рис. 14.6). Рівняння
цієї дотичної має вигляд:
У = (х — х0) + х0.
Розглянемо різницю
/ (х)-(2х0(х-х0) + х2) = х2 -(2х0(х-х0) + Хр) =
= х2 -2хох + Хр = (х-х0)2.
Оскільки ця різниця набуває лише невід’ємних значень,
то це означає, що графік функції / лежить не нижче будь-
якої дотичної. Отже, / (х) = х2 є опуклою вниз на проміж-
ку (—оо; +оо).
Аналогічно можна довести, що функція у = х3 є опуклою
вгору на проміжку (-оо; 0] і опуклою вниз на проміжку [0; +оо)
(рис. 14.7).
На рисунку 14.8 зображено графік функції Л яка є опу-
клою вниз на проміжку [а; &]. З рисунка видно, що зі
збільшенням аргументу х кут нахилу відповідної дотичної
збільшується. Це означає, що функція /' зростає на про-
міжку [а; &].
Нехай функція / є опуклою вгору на проміжку [а; &]
(рис. 14.9). З рисунка видно, що зі збільшенням аргументу х
кут нахилу відповідної дотичної зменшується. Це означає,
що функція /' спадає на проміжку [а; Ь].
Ці приклади показують, що характер опуклості функції
/ на деякому проміжку І пов’язаний зі зростанням (спадан-
ням) функції /' на цьому проміжку.
Для двічі диференційовної на проміжку І функції / зрос-
тання (спадання) функції /' визначається знаком її другої
похідної на проміжку І. Таким чином, характер опуклості
двічі диференційовної функції / пов’язаний зі знаком її
другої похідної.
Цей зв’язок установлюють такі дві теореми.
Теорема 14.1 (ознака опуклості функції вниз).
Якщо для всіх х є І виконується нерівність (х) > 0,
то функція / є опуклою вниз на проміжку І.
Теорема 14.2 (ознака опуклості функції вгору).
Якщо для всіх х еі виконується нерівність (х) < 0, то
функція / є опуклою вгору на проміжку І.
Доведемо теорему 14.1 (теорему 14.2 доводять аналогічно).
Доведення.^ точці з абсцисою х0 є І проведемо дотичну
до графіка функції /. Рівняння цієї дотичної має вигляд
У = Ґ (х0) (х - х0) + / (х0).
Розглянемо функцію г (х) = / (х) - (/' (х0) (х - Хо) + / (х0)).
Значення цієї функції показують, наскільки відрізняєть-
ся ордината точки графіка функції / від
ординати відповідної точки, яка лежить
на проведеній дотичній (рис. 14.10).
Якщо ми покажемо, що г (х) > 0
для всіх х є 1, то таким чином доведе-
мо, що на проміжку І графік функції /
лежить не нижче проведеної до нього
дотичної.
Нехай х є І і х > х0 (випадок, коли х < х0, розглядають
аналогічно). Маємо: г (х) = / (х) - / (х0) - /"' (х0) (х - х0).
Для функції / і відрізка [х0; х] застосуємо теорему Ла-
гранжа: / (х) - / (х0) = /' (Сі) (х - х0), де <?! є (х0; х).
Звідси г (х) = /"' (Сі) (х - х0) - /' (х0) (х - х0);
г (X) = (/' (Сі) - /' (х0)) (х - х0).
Оскільки функція у = (х) є диференційовною на від-
різку [х0; сх], то можна застосувати теорему Лагранжа:
(сі) - Г (х0) = = Г (с2) (<?! - х0), де с2 є (х0; СД
Звідси г (х) = Г (с2) (<?! - х0) (х - х0).
На рисунку 14.10 показано розміщення точок сг і с2.
З нерівностей х0 < с2 < < х випливає, що (сх - х0) (х -
- х0) > 0. Оскільки с2 є І, то з урахуванням умови теореми
отримуємо: /" (с2) > 0. Звідси для всіх х є І виконується
нерівність г (х) > 0. Тому функція / є опуклою вниз на
проміжку І. А
ПРИКЛАД 1 Дослідіть на опуклість функцію / (х) = х на
( її Тї ]
проміжку —.
\ 2 2 /
Розв’язання. Маємо: /”(х) = ——. Звідси
сов х
Г (х) = [ —] = (сов 2 х)' = -2 (сов х) 3 (соз х)' = .
\ СОВ X) СОВ X
Нерівність /" (х) > 0 на проміжку — виконується при
І 2 2)
0 < X < —. Отже, функція у = х є опуклою
вниз на проміжку
(рис. 14.11).
Нерівність /" (х) < 0 на проміжку
71
виконується при — < х < 0. Отже, функція
у = х є опуклою вгору на проміжку
(рис. 14.11). •
На рисунку 14.12 зображено графіки функцій та дотич-
ні, проведені до них у точках з абсцисою х0 . Ці функції на
проміжках (а; х0] і [х0; Ь) мають різний характер опуклості.
Тому на цих проміжках графік функції розташований у різ-
них півплощинах відносно дотичної. У цьому разі говорять,
що точка х0 є точкою перегину функції.
Уч
Рис. 14.12
Наприклад, точка х0 = 0 є точкою перегину функції у = х3
71
(рис. 14.7); точки виду — + пп, п є 2, є точками перегину
2
функції у = СО8 х (рис. 14.13).
ПРИКЛАД 2 Дослідіть характер опуклості і знайдіть точки
х5 х4
перегину функції / (х) = — -—.
Розв’язання
4 З
Маємо: /'(х) = ——/" (х) = х3 - х2 = х2 (х - 1).
Використовуючи метод інтервалів, дослідимо знак функ-
ції у = Г"(х) (рис. 14.14).
Маємо, що функція / опукла вгору на проміжку (-со; 1]
і опукла вниз на проміжку [1; +оо).
Функція / на проміжках (-со; 1] і [1; +со) має різний
характер опуклості. У точці з абсцисою х0 = 1 до графіка
функції / можна провести дотичну. Отже, х0 = 1 є точкою
перегину функції /. •
Вправи
• 14.1.° Знайдіть другу похідну функції:
• о X
• 1) у = х ; 5) у = соз х; 9) у = зіп—;
• 4
• 2) і/ = х2 - 2х + 5; 6) у = (2х - І)5; 10) у = х зіп х.
3) у-—’, 7) у - зіп Зх;
х
4) у-у[х; 8) у - соз2 х;
• 14.2.° Знайдіть другу похідну функції:
* 1) у - х4; 4) у = у[х; 7) у = зіп2 х;
• 2) у = 3 - 5х + х3; 5) у = (1 - Зх)3; 8) у = х соз х.
3) у = ——; 6) і/ = соз 2х;
х-1
14.3.° Чому дорівнює значення другої похідної функції
• у = 5 зіп х-3 соз 4х у точці: 1) х~~’ 2) х=^
е 14.4.° Матеріальна точка рухається по координатній прямій
за законом з (і) = 2і3 - 5і2 + 4 (переміщення вимірюється
в метрах, час — у секундах). Знайдіть її прискорення
• в момент часу і0 - 2 с.
• 14.5. Одне тіло рухається по координатній прямій за за-
коном (і) - і3 - і2 + Зі - 2, а друге — за законом
• і3 і2
з2 (і) = — + — + 51 - 8 (переміщення вимірюється в метрах,
час — у секундах). Знайдіть прискорення кожного тіла
в момент часу, коли їх швидкості рівні.
• 14.6.° Тіло масою 5 кг рухається по координатній прямій
за законом з (і) = і3 - 6і + 4 (переміщення вимірюється
в метрах, час — у секундах). Знайдіть силу Р (і) = та (і),
що діє на тіло через 3 с після початку руху.
• 14.7.° Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:
1) у = х3 - Зх + 2; 2) у = х4 - 8х3 + 18х2 - х + 1.
14.8 / Знайдіть проміжки опуклості та точки перегину функції:
1) у = х3 - 2х2 + х - 2; 2) у = Xі - 6х3 + 12х2 - Зх + 4.
14.9 / Знайдіть точки перегину функції
у = Зх5 — 10х4 + 10х3 + 12х + 3.
14.10 / Знайдіть точки перегину функції
у = Зх5 + 10х4 + 10х3 - 5х - 4.
14.11 / Доведіть, що функція / (х) = х4 - 4х3 + 12х2 - Пх - 7
є опуклою вниз на К.
14.12 / Доведіть, що функція / (х) = 8Іп2 х - 2х2 є опуклою
вгору на К.
14.13/ Знайдіть
функції:
проміжки
опуклості та точки
перегину
14.14/ Знайдіть
функції:
-1 2
1-Х .
У 1 2 ’
проміжки
2) У = -~
(х-1)
опуклості та точки
перегину
14.15/ Знайдіть
функції у = х2
14.16/ Знайдіть
функції у = х2
проміжки
+ 4 зіп х.
проміжки
- 4 СОВ X.
2>у («+1Г
опуклості та точки
опуклості та точки
перегину
перегину
1) У = 7^’
Побудова графіків функцій
Коли в попередніх класах вам доводилося будувати гра-
фіки, ви, як правило, поступали так: позначали на коор-
динатній площині деяку кількість
точок, які належать графіку, а по-
тім з’єднували їх. Точність побу-
дови залежала від кількості позна-
чених точок.
На рисунку 15.1 зображено
кілька точок, які належать гра-
Рис. 15.1
фіку деякої функції у - / (х). Ці точки можна з’єднати
по-різному, наприклад так, як показано на рисунках 15.2
і 15.3.
Проте якщо знати, що функція / зростає на проміжках
[хг; х2] та [х3; х4], спадає на проміжку [х2; х3] і є диферен-
ційовною, то, скоріше за все, буде побудовано графік, по-
казаний на рисунку 15.4.
Ви знаєте, які особливості при-
таманні графікам парної, непарної,
періодичної функцій тощо. Узага-
лі, чим більше властивостей функ-
ції вдалося з’ясувати, тим точніше
можна побудувати її графік.
Дослідження властивостей функції будемо проводити за
таким планом.
1. Знайти ооласть визначення функції.
2. Дослідити функцію на парність.
3. Знайти нулі функції.
4. Знайти проміжки знакосталості.
5. Знайти проміжки зростання і спадання.
6. Знайти точки екстремуму і значення функції в точках
екстремуму.
7. Виявити інші особливості функції (періодичність
функції, поведінку функції в околах окремих важли-
вих точок тощо).
Зауважимо, що наведений план дослідження носить ре-
комендаційний характер та не є сталим і вичерпним. Важ-
ливо при дослідженні функції виявити такі її властивості,
які дозволять коректно побудувати графік.
З 1
ПРИКЛАД 1 Дослідіть функцію / (х) = — х2 —х3 і побудуй-
те її графік.
Розв’язання. 1. Функція визначена на множині дійсних
чисел, тобто £) (/") = К.
З 1 3 1
2. / (—х) = — (—х)2—(—х)3 — — х2 +—х3. Звідси / (-х) */" (х)
2 4 2 4
і / (-х) + (х), тобто функція у = / (х) не збігається ні
з функцією у = /" (—х), ні з функцією у - ~ї (х). Таким чи-
ном, дана функція не є ні парною, ні непарною.
З 1 х2
3-4. Маємо: /(х) = —х2—х3 = — (6-х). Числа 0 та 6 є
2 4 4
нулями функції /. Застосувавши метод інтервалів (рис. 15.5),
знаходимо проміжки знакосталості функції /, а саме: уста-
новлюємо, що /" (х) > 0 при х є (-оо; 0) О (0; 6) і / (х) < 0
при х є (6; +со).
Зх2 Зх
5-6. Маємо: /'(х) = 3х---= — (4-х). Дослідивши знак
4 4
похідної (рис. 15.6), доходимо висновку, що функція /
зростає на проміжку [0; 4], спадає на кожному з проміжків
(-оо; 0] і [4; +оо), хтах = 4, х^ = 0. Маємо: / (4) = 8, / (0) = 0.
Рис. 15.5
Рис. 15.6
7. Маємо: /"(х) = 3-. Дослідивши
2
знак другої похідної (рис. 15.7), доходи-
мо висновку, що функція / є опуклою
вниз на проміжку (-оо; 2], опуклою вгору
на проміжку [2; +оо), х = 2 є точкою пере-
гину і / (2) = 4.
Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функ-
ції (рис. 15.8). •
ПРИКЛАД 2 Дослідіть функцію / (х) = —----- і побудуйте її
X + 4х
графік.
Розв’язання. 1. Функція визначена на множині £) (/) =
= (-оо; -4) О (-4; 0) Сі (0; +оо).
2. Область визначення функції несиметрична відносно
початку координат, отже, дана функція не є ні парною, ні
непарною.
3. Функція не має нулів.
4
4. /(х) ----. Звідси /" (х) > 0 при х є (-оо; -4) Сі (0; +оо),
х(х + 4)
/" (х) < 0 при х є (-4; 0) (рис. 15.9).
5-6. Маємо:
(4)' (х2 + 4х)-4-(х2 + 4х)' 4(2х + 4) 8(х + 2)
І 2 2 — — 2~/ -ч2 *
х (х + 4) х (х + 4) х (х + 4)
Дослідивши знак /' (рис. 15.10), доходимо висновку, що
функція / спадає на кожному з проміжків [-2; 0) і (0; +оо), зрос-
тає на проміжках (-оо; -4) і (-4; -2], хтах = -2, / (-2) = -1.
7. Зауважимо, що коли значення аргументу х обирають
усе більшими й більшими, то відповідні значення функції
4
у (х) = —-- усе менше й менше відрізняються від числа 0
х + 4х
і можуть стати як завгодно малими. Цю властивість при-
йнято записувати так: Ііт —-----= 0 або ------->0 при
х + 4х х +4х
х -> +со. Якщо х +со, то відстані від точок графіка функ-
ції / до прямої у = 0 стають усе меншими й меншими
і можуть стати меншими від довільного наперед заданого
додатного числа. У цьому разі пряму у = 0 називають гори-
зонтальною асимптотою графіка функції / при х —> 4-оо.
Аналогічно можна встановити, що пряма у = 0 є горизон-
тальною асимптотою графіка функції / при х —> -со.
Якщо значення аргументу х прямують до нуля, залиша-
4
ючись додатними, то відповідні значення функцп / (х) =-
х2+4х
стають усе більшими й більшими, тобто відстані від точок
графіка функції / до прямої х = 0 стають усе меншими
й меншими і можуть стати меншими від довільного наперед
заданого додатного числа. У цьому разі пряму х = 0 нази-
вають вертикальною асимптотою графіка функції /, коли
х прямує до нуля справа. Пряма х = 0 також є вертикаль-
ною асимптотою графіка функції /, коли х прямує до нуля
зліва. Функція / має ще одну вертикальну асимптоту —
пряму х = -4, коли х прямує до -4 як зліва, так і справа.
Маємо:
Г(х) = -
8х2 (х+4)2 - 8 (х + 2) (2х (х + 4)2 + 2х2 (х + 4))
х4 (х + 4)4
Спростивши дріб, отримаємо
. 8 (Зх2 +12х + 16)
Т о Ч *
х3 (х + 4)3
Дослідивши знак /" (рис. 15.11),
Рис. 15.11
Доходимо висновку, що функція є опуклою вниз на проміж-
ках (-оо; -4) і (0; +оо), є опуклою вгору на проміжку (-4; 0),
Точок перегину не має.
Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функ-
ції /" (рис. 15.12). •
ПРИКЛАД 3 Користуючись графіком функції / (х) = х4 -
- 4х2 + 3, установіть, скільки коренів має рівняння / (х) = а
залежно від значення параметра а.
Розв’язання. Функція / визначена на множині дійсних
чисел, тобто £) (/) = К.
Маємо: /"'(х) = 4х3-8х = 4х(х2- 2) = 4х (х + 72) (х - 72).
Отже, функція / має три критичні точки: -72; 0; 72.
Дослідивши знак похідної (рис. 15.13), отримуємо: функ-
ція / зростає на проміжках [-72; о] і [Т2; + со], спадає
на проміжках (— со; —ТІ] і [0;Т2],
мо: Л-72) = /(72) = -1, Г (0) = 3.
Рис. 15.13 Ураховуючи отримані резуль-
тати, будуємо графік функції /
(рис. 15.14).
Користуючись побудованим графіком, установлюємо
кількість коренів рівняння / (х) = а залежно від значення
параметра а (рис. 15.15):
якщо а < -1, то коренів немає;
якщо а - -1 або а > 3, то 2 корені;
якщо а = 3, то 3 корені;
якщо -1 < а < З, то 4 корені.
Рис. 15.14 Рис. 15.15
Зауваження. З розв’язання даної задачі вилучено
пункти 2-4, 7 плану дослідження властивостей функції.
Властивості функції, які досліджуються в цих пунктах, не
використовуються при з’ясуванні кількості коренів рівнян-
ня / (х) = а. •
х4
ПРИКЛАД 4 Дослідіть функцію /(х) = —- і побудуйте її
х — 2
графік.
Розв’язання
1. Функція визначена на множині
£(/) = (-оо;</2)и(</2; +оо).
2. Функція не є ні парною, ні непарною.
4
3. Розв’язавши рівняння - =0, установлюємо, що
х -2
х = 0 — єдиний нуль даної функції.
4. / (х) > 0 при х є (^/2; +оо), / (х) < 0 при
х є (-оо; 0) О (0; </2).
5-6. Маємо:
ч х6-8х3
/ (*) = —5---ї
(х3-2)2
х3 (х3-8)
(х3-2)2
Ю Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
145
Дослідивши знак /' (рис. 15.16), доходимо висновку, що
функція / спадає на проміжках [0;^/2) і (у/2; 2], зростає на
О
проміжках (-оо; 0] і [2; +оо), хтіп = 2, / (2) = - , хтах = 0, / (0) = 0.
З
Рис. 15.16
„ ,, ч 12х2(х3+4)
7. Маємо: / (х) =---------—.
(х3-2)3
Дослідивши знак /" (рис. 15.17), доходимо висновку, що
х = -^4 — точка перегину і /(-^ї) =--------, функція /
З
є опуклою вниз на проміжках оо; —і (^/2;+оо), опу-
клою вгору на [-^4;^/2).
Рис. 15.17
Пряма х = у/2 — вертикальна асимптота графіка даної
функції.
х4 (х4-2х) + 2х
Маємо: /(х) = —;—-
х-2
2х
Оскільки Ііт —5—
х -2
х3-2
V 2
= Ііт-------
х —> +оо 2 2
х —
X
2х
х3-2
= 0, то при х —> +оо від-
стані від точок графіка функції / до відповідних точок пря-
мої у = х стають усе меншими й меншими і можуть стати
меншими від довільного наперед заданого додатного числа.
У цьому разі пряму у = х називають похилою асимптотою
графіка функції / при х —> +оо. Також можна показати, що
пряма у = х є похилою асимптотою графіка функції / при
X —> -00.
Ураховуючи отримані результати, будуємо графік функ-
ції (рис. 15.18). •
| Вправи
15.1.’ Дослідіть дану функцію і побудуйте її графік:
1) У (х) = Зх - х3 - 2; 5) У(х) = |х* 2-х3;
2) У (х) = 2х3 - Зх2 + 5; 6) У (х) = х4 - 2х2 + 1;
х3
3) /(х) = 3х-у; 7) У (х) = (х + З)2 (х - І)2.
4) У (х) = х3 - Зх2 + 2;
15.2.* Дослідіть дану функцію і побудуйте її графік:
X4
1) У (х) = X3 + Зх2; 4) У (х) =--4х2;
2
2) У(х) = 4х-|х3; 5) У (х) = 8х2 - 7 - х4.
3) У (х) = х - х3;
15.3.” Побудуйте графік функції:
4- — х х% — Р
1) /(х) = —4) У(х) = ^—;
х+2 х-4
2) = 5) У(х) = -^т;
х-1 4-х
3) = 6) у(х) = --^-;
х + 3 х +1
7) = 8) /(х) = ^|.
х х -4
15.4. ” Побудуйте графік функції:
1) /(х) = ^|; 4) /(х) = —;
х-1 X +1
2) ГМ = ^—-, 5) Г(х)=-Р-;
х -2х х -9
1 4- ? Т"
3) /(х) = -^; 6) Г(х) = -—ї
1-х (х + 1)
15.5. " Побудуйте графік функції / (х) = хі) 2 (2х - 3) і вста-
новіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння
/ (х) = а залежно від значення параметра а.
15.6. " Побудуйте графік функції / (х) = -х2 (х2 - 4) і вста-
новіть, користуючись ним, кількість коренів рівняння
/ (х) = а залежно від значення параметра а.
15.7. ” Побудуйте графік функції:
1 х3
1) /(х) = х +—; 3) /(Х) = ^—;
х X -4
ч х2+3х х4-8
2) /(*) =--—; 4) /(х) =
х-1 (х + 1)
15.8. " Побудуйте графік функції:
і) /(х)=х+4;
X
2) /(х) =
х2-2х + 2.
х-1
3) /(х) =
х3-4
(х-1)3'
Готуємося до вивчення нової теми
15.9. Подайте вираз у вигляді степеня або добутку степенів:
/3x6 4 (а ) -а . 16 ’ а 5 1 4) а 4 б3
5)(«іГ.(ЗҐ
2) (а2)-4 • (а-3)-2 : (а“8)3;
( 10,-7 V2
3) а Ь .
С, 14 ’
\с а )
15.10. Знайдіть значення виразу:
1) З10 -273 . 99 ’ 4) (4-0“ 16 0,6.
1 1 5
2) (-З6)’3-68 5) 122 з2 •73
216"5 • (-6)18 ’ 2 1 73 -8 6 1 в2
( 2 2 Л -1,5
3) 145 • 2~7 . 28“2 • 78 ’ 6) & % «1 N зді ГО 00 3 16 3 > •
ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 1
З 2
X X
1. Знайдіть похідну функції /(х) =----ь—.
З 2
X2 X А) /'(х) = —+ |; В) /' (х) = х2 + х;
Б) /' (х) = Зх2 + 2х; Г) /' (х) = х3 + х2.
5 2. Знайдіть похідну функції / (х) - —- Xі
А) Г(х) = -^; X 5 В) Г(Х) = -Т; 4х
Б) Г(х) = -^; X Г) Г(х)=-^. 4х
3. Укажіть похідну функції / (х) = 4х.
А) /'(х) = ^—; соз 4х В) /' (х) = сі£ 4х;
В) Г(Х)=—і—; соз 4х Г) /' (х) = 4 сі£ 4х.
4. Обчисліть значення похідної функції / (х) = (Зх -
у точці х0 = 1. А) 5; Б) 15; В) -5; Г) -15.
5. Знайдіть похідну функції /(х) = -Убх-7.
А) /'(х) = -гХ=; л/бх-7 В) ї'(х)- ; 2х/бх-7
Б) /'(х) = -=£=; л/бх-7 Г) Г(Х) = -=£=. л/бх-7
X 6. Знайдіть похідну функції /(х) = СО8~. 4
А) /'(х) = 8іп-; 4 В) /'(*) =-зіп —; 4
1 X Б) (а:) = — зіп —; 4 4 Г) Г(х) = --8ІП—. 4 4
2)5
7. Тіло рухається по координатній прямій за законом
8 (0 = Зі2 - 2і + 1
(переміщення вимірюється в метрах, час — у секундах).
Чому дорівнює швидкість тіла через 3 с після початку руху?
А) 16 м/с; Б) 17 м/с; В) 18 м/с; Г) 20 м/с.
8. На рисунку зображено графік функції у = / (х) і дотичну
до нього в точці з абсцисою х0.
Знайдіть /' (х0).
А) Д
2
Б) 1;
В) ч/З;
Г) знайти неможливо.
9. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка
функції у = х3 - 2х у точці з абсцисою х0 - -1?
А) -5; Б) -1; В) 5; Г) 1.
10. Яке рівняння має дотична до графіка функції / (х) = -----
х-3
у точці з абсцисою х0 = 2?
А) у = ІЗх - 36; В) у = -ІЗх - 36;
Б) у = —х - 8; Г) у = -ІЗх + 16.
11. Знайдіть абсцису точки графіка функції / (х) = х2 + 4х,
у якій дотична до цього графіка паралельна прямій
у = Юх - 6.
А) 3; Б) -1; В) 7; Г) -5.
12. На рисунку зображено графік функції у = / (х). Кори-
стуючись графіком, порівняйте /' (х^)
і /' (х2). Ун
А) /' (хО > /' (х2);
Б) /' (Хі) < /' (х2); І________І г
В) Г (хО = Г (х2); 0І х2 *
Г) порівняти неможливо.
13. Знайдіть проміжки зростання функції
/ (х) = 4-3х + 2х2——х3.
З
А) [-3; -1]; В) (-оо; 1] і [3; +оо);
Б) [1; 3]; Г) (-оо; -3] і [-1; +оо).
14. Диференційовна функція у = / (х) визначена на множині
дійсних чисел. На рисунку зображено графік функції
у = /' (х). Скільки проміжків
У - / (х)?
А) жодного;
Б) один;
В) два;
зростання має функція.
Г) визначити неможливо.
15. Скільки критичних точок має функція у = / (х), £>(/) = Ж,
графік якої зображено на рисунку?
А) 2; В) 4;
Б) 3; Г) жодної.
16. Скільки точок екстремуму має
функція
/ (х) =—х4 ——х3+8?
4 З
А) одну; Б) дві; В) безліч; Г) жодної.
17. Диференційовна функція у = / (х) визначена
на множині дійсних чисел. На рисунку зо-
бражено графік функції у - /' (х). Знайдіть
точку максимуму функції у = / (х).
А) -2; В) 2;
Б) 0; Г) визначити неможливо.
18. Чому дорівнює найменше значення функ-
4
ції у = х + — на проміжку [1; 3]?
х
А) 3; Б) 4;
В) 4—; Г) 5.
З
Показникова
і логарифмічна
функції
Степінь з довільним дійсним показником.
Показникова функція
У 10 класі ви ознайомилися з поняттям степеня додат-
ного числа з раціональним показником. Тепер ми з’ясуємо,
що являє собою степінь додатного числа з дійсним показ-
ником.
Строге означення степеня з дійсним показником та до-
ведення його властивостей виходить за межі шкільного
курсу. Текст цього пункту слід розглядати лише як за-
гальні пояснення до того, як можна провести необхідні
обґрунтування.
Почнемо з окремого випадку. З’ясуємо, що розуміють
під степенем числа 2 з показником я.
Ірраціональне число я можна подати у вигляді нескін-
ченного неперіодичного десяткового дробу:
я = 3,1415... .
Розглянемо послідовність раціональних чисел
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... . (1)
Зрозуміло, що ця послідовність збігається до числа я.
Відповідно до послідовності (1) побудуємо послідовність
степенів з раціональними показниками:
23, 23’1, 23’14, 23’141, 23’1415, .... (2)
Можна показати, що члени послідовності (2) зі збіль-
шенням номера прямують до деякого додатного числа. Це
число і називають степенем числа 2 з показником я і по-
значають 2”.
Аналогічно можна діяти в загальному випадку, означа-
ючи зміст виразу Ьа, де 6 > 0, а — довільне дійсне число.
Для числа а будують збіжну до нього послідовність раціо-
нальних чисел а1т а2, а3, ... . Далі розглядають послідовність
Ь’\ 6“2, 6“8, ... степенів з раціональними показниками
(нагадаємо, що степінь додатного числа з раціональним по-
казником є визначеним). Можна довести, що ця послідов-
ність збігається до додатного числа с, яке не залежить від
вибору збіжної до а послідовності раціональних чисел а,,
а2, а3, ... . Число с називають степенем додатного числа Ь
з дійсним показником а і позначають Ьа.
Якщо основа Ь дорівнює одиниці, то 1“ = 1 для всіх дій-
сних а.
Якщо основа Ь дорівнює нулю, то степінь 0“ означають
тільки для а > 0 і вважають, що 0“= 0. Наприклад, 0^ =0,
(Г = 0, а вираз 0 не має змісту.
При Ь < 0 вираз Ьа, де а — ірраціональне число, не має
змісту.
Степінь з дійсним показником має ті самі властивості,
що й степінь з раціональним показником.
Отже, для х > 0, у > 0 і будь-яких дійсних а і Р спра-
ведливі такі рівності:
1) ха хр = ха + р;
2) ха : хр = х“-р;
3) (х“)р = х“р;
4) (ху)“ = XV;
Доведемо, наприклад, властивість 1.
Нехай а і р — дійсні числа, причому а = Ііт ап, р = Ііт Ро,
п —> о: п —> оо
де (ап) і (Р„) — послідовності раціональних чисел. Маємо:
а + р = Ііт ап +1іт Рп = Ііт (ап +Р„).
П -»<х Л —> ос П->00
Для додатного числа х розглянемо три послідовності:
(х“п), (хр") і (х“п • хРп).
Маємо: 1ітх“п=х“, 1ітхРп=хр.
П -» ОС л —> х
Оскільки властивість 1 має місце для раціональних по-
казників ап і р„, то х“п • хРп = х“п+Рп.
Послідовність раціональних чисел а, + рп а2 + р2, °-з + Рз
• збігається до числа а + р. Тому можна записати, що
ха« хр = Ит х“" Ііт хРп = Ит (х“и • хРп) = Ит х“п+Рп = ха+р.
а П—>а П—> я. П->т
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз
№ +1)(а3^ -а2^ +а^)
а^+а^1
Розв’язання. Маємо:
(^+1)(а3^-а2^+<?П (а^+1)(а^-а^+1)а^
Оберемо деяке додатне число а, відмінне від 1. Кожному
дійсному числу х можна поставити у відповідність додатне
число ах. Тим самим задано функцію / (х) = ах, де а > 0,
а 1, з областю визначення К.
Цю функцію називають показниковою функцією.
З’ясуємо деякі властивості показникової функції.
При а > 0 і будь-якому х виконується нерівність ах > 0.
Тому область значень показникової функції складається
тільки з додатних чисел.
Можна показати, що для даного числа а, деа>0іа^1,
і для будь-якого додатного числа Ь існує таке число х, що
виконується рівність ах = Ь.
’Ь Сказане означає, що областю значень показникової
функції є множина (0; +сс).
’Ь Показникова функція не має нулів, і проміжок (-оо; +оо)
є її проміжком знакосталості.
’Ь Показникова функція є неперервною.
’Ь Покажемо, що при а > 1 показникова функція є зроста-
ючою. Для цього скористаємося лемою.
Лема. Якщо а > 1 і х > 0, то ах > 1; якщо 0 < а < 1
і х > 0, то 0 < ах < 1.
Наприклад, 2П>1, 0< - <1.
\ 3 )
Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х2 > х1т і функ-
цію / (х) = ах, де а > 1.
Оскільки х2 > х1т то х2 - х1 > 0. Тоді за лемою маємо:
а*2”*! >1, тобто ->1. Оскільки аХ1 >0, то аХг >аХі. Звід-
ав
си / (х2) > / (хО.
Отже, ми показали, що з нерівності х2 > хг випливає
нерівність / (х2) > І (*і)- Це означає, що функція / є зрос-
таючою.
Ч Аналогічно можна показати, що при 0 < а < 1 показни-
кова функція є спадною.
'Ь Оскільки показникова функція є або зростаючою (при
а > 1), або спадною (при 0 < а < 1), то вона не має точок
екстремуму.
’Ь Показникова функція є диференційовною. Детальніше про
похідну показникової функції ви дізнаєтеся в п. 23.
На рисунках 16.1 і 16.2 схематично зображено графік
показникової функції для випадків а>1і0<а<1 від-
повідно.
Зокрема, на рисунках 16.3 і 16.4 зображено графіки
<1¥
функцій у = 2х і у = — .
\ 2 у
Зауважимо, що при а > 1 графік показникової функції
має горизонтальну асимптоту у = 0 при х -со. Аналогічно
при 0 < а < 1 графік показникової функції має горизон-
тальну асимптоту у = 0 при х +со.
Показникова функція є математичною моделлю цілої
низки процесів, які відбуваються в природі та в діяльності
людини.
Наприклад, біологам відомо, що колонія бактерій у пев-
них умовах за рівні проміжки часу збільшує свою масу
в одну й ту саму кількість разів.
Це означає, що коли, наприклад, у момент часу і = 0
маса дорівнювала 1, а в момент часу і = 1 маса дорівнюва-
ла а, то в моменти часу і = 2, і = 3, ..., і = п, ... маса до-
рівнюватиме відповідно а2, а3, ..., ап, . Тому природно
вважати, що в будь-який момент часу і маса дорівнюватиме
а*. Можна перевірити (зробіть це самостійно), що значення
функції / (і) = а* збільшується в одну й ту саму кількість
разів за рівні проміжки часу.
Таким чином, розглянутий процес описують за допомо-
гою показникової функції / (і) = а1.
З курсу фізики відомо, що під час радіоактивного роз-
паду маса радіоактивної речовини за рівні проміжки часу
зменшується в одну й ту саму кількість разів.
Якщо покласти гроші в банк під певний процент, то кож-
ного року кількість грошей на рахунку буде збільшуватися
в одну й ту саму кількість разів.
Тому показникова функція описує і ці процеси.
У таблиці наведено властивості функції у = ах, де а > 0,
а Ф 1, вивчені в цьому пункті.
Область визначення К
Область значень (0; +со)
Нулі функції —
Проміжки знакосталості у > 0 на К
Зростання / спадання Якщо а > 1, то функція є зростаючою; якщо 0 < а < 1, то функція є спадною
Неперервність Неперервна
Диференційовність Диференційовна
Асимптоти Якщо а > 1, то графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 при х —> -со ; якщо 0 < а < 1, то графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 при х —> +°о
ПРИКЛАД 2 Знайдіть найменше і найбільше значення
функції / (х) = 3х на відрізку [-4; 3].
Розв’язання. Оскільки функція / зростає на відрізку
[-4; 3], то найменшого значення вона набуває при х = -4,
а найбільшого — при х = 3.
Отже,
тіп /" (х) = / (-4) = 3 4 =—,
[ 4;3] 81
тах / (х) = /" (3) = З3 = 27.
[ 4:3]
Відповідь: —, 27.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння (>/2-1) = віп2х + 1.
Розв’язання. Оскільки 0<>/2-1<1, а | х | > 0, то
(>/2-1)' ' <(>/2-1) =1. Водночас віп2 х + 1 > 1. Таким чи-
ном, дане рівняння рівносильне системі
[(У2-1)И=1,
І8ІП2 Х + 1 = 1.
Звідси х = 0.
Відповідь: 0.
Вправи
16.1.° Обчисліть значення виразу:
1)
дСУ2*1)2 . $2^.
3) ^6(^+1)2-36"^;
16.2.° Знайдіть значення виразу:
16.3.° Доведіть, що:
16.4.° Порівняйте з числом 1 степінь:
16.5. ° Які з даних чисел більші за 1, а які менші від 1?
ґ
1)1,8^; 2) І — І ; 3)7"^; 4)0,3".
<6 )
16.6. ° Яка з даних функцій є показниковою:
1)у = х6; 2) у = ^; 3) у = 6х; 4) у = 6?
16.7. Ґрунтуючись на якій властивості показникової функ-
ції можна стверджувати, що:
16.8. Укажіть, які з даних функцій є зростаючими, а які —
спадними:
1) У = 10х; 3) у = 2 х; 5)у = 2х-Зх;
<іТх < 1 V
2);=У; Міг в,у=12та-
16.9. ° Побудуйте графік функції у = 3х. У яких межах змі-
нюється значення функції, коли х зростає від -1 до З
включно?
16.10. ° Побудуйте графік функції у- — . У яких межах
у. З )
змінюється значення функції, коли х зростає від -2 до
2 включно?
16.11. ° Порівняйте:
і
1) 53’4 і 53’26; 3) 1 і Ґ-У; 5) (у/2)^ і (у/2)^;
2)0,30’4 і 0,30,3; 4) 0,17-3 і 1; 6) і .
<4/ ч4у
16.12. ° Порівняйте з числом 1 значення виразу:
2 1
Ґ4V ґбА2 „.
1) - ; 3) - ; 5) 0,62 ;
Ш \1)
2 1
2) Ґ-У; 6) 3,14“0,4.
16.13. ° Порівняйте з числом 1 додатне число а, якщо:
1) а® >а$; 3) а 0,3 > а1,4;
2)а^<а'Г2- 4)а^<а1’2.
Алгебра та початим аналізу, 11 кл.
161
16.14. ° Порівняйте числа тіп, якщо:
Ґ2Г Ґ2У
1) 0,8т < 0,8"; 3) - > - ;
( 4 У" ( 4V
2) 3,2т > 3,2"; 4) 1- < 1- .
І 7} І 7)
16.15. ' Спростіть вираз:
о 2> 2\2
1) (а^5 +2)(а7® -2)-(а^ +з) ; 3) ---------у+1;
(а^+іУ2)
а^-а''7 а^-1 а^+1
} а4Л-азЛ; } Л-Г Л+1'
16.16. * Спростіть вираз:
( 2>/б чП г/б , 2х/б . Зл/б^
«і \(і — 1/Ід + сі + а /
' л .іа .іа ’
2) ((а" + 6")2-(ал-б")2)".
16.17. ’ Чи є правильним твердження:
1) найбільше значення функції у = 0,2х на проміж-
ку [-1; 2] дорівнює 5;
2) областю визначення функції у = 4 - 7х є множина
дійсних чисел;
3) областю значень функції у = 6х + 5 є проміжок [5; +а>);
<1У
4) найменше значення функції у = — на проміж-
\4/
ку [-2; 2] дорівнює 16?
16.18. * Знайдіть область значень функції:
1)у = -9х; 2)у= і|+1; 3) у = 7х - 4; 4)у = 6|х|.
. Г 1 1
16.19. Знайдіть найбільше значення функції у= — на
\6у
проміжку [-2; 3].
16.20. ' На якому проміжку найбільше значення функції
у - 2х дорівнює 16, а найменше — — ?
16.21. На якому проміжку найбільше значення функції
дорівнює 27, а найменше —
1?
9'
16.22/ Розв’яжіть нерівність:
1) 2х > -1;
2) 2Л >-2.
1. !3 Розв’яжіть нерівність
і
2х >0.
16.24/ Побудуйте графік функції:
1) У = 2х - 1;
2)у = 2х"1;
3) у = [-] +2;
5) у = -2х;
6) у = 5 - 2х.
16.25 / Побудуйте графік функції:
1) у = 3х + 1; 4)у =
2) У = Зх + 1; 5) у = -І|І ;
3) у = -2; 6) у = -3х - 1.
V о )
16.26 / Графік якої з функцій, зображених на рисунку 16.5,
перетинає графік функції у = 5х більше ніж в одній
точці?
4) ИІ
х + 2
Рис. 16.6
16.28. ” Порівняйте (7 + 4 х/з) і (7-4 х/з) .
16.29. ” Установіть графічно кількість коренів рівняння:
1) 2х = х; 3) 2х = вігі х;
2) 2х = х2; 4) 2 х = 2 - х2.
16.30. " Установіть графічно кількість коренів рівняння:
ґ і ґ і А* / -і о
1) - = х3; 2) - =созх; 3) - =4—.
Ш <37 Ш х
16.31. ” Побудуйте графік функції:
1) У '= 2|х|; 3) у = | 2х - 1 |;
2)у = 2|х|+1; 4)у=±_і.
£
16.32. ” Побудуйте графік функції:
1) = 2)у = 3|х|-1; 3) у = | 3х - 1 |.
16.33. ” Побудуйте графік функції у = х/2СО8Х -2.
16.34. ” Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
/ х ЄІП X
1) у= - ; 2) у = 3І8іпх| - 2.
\47
16.35. " Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
/ х [ СО8Х |
1)у = 6СО8Х; 2)і/=- +5.
\5 )
16.36. * Розв’яжіть нерівність:
1) 2І8Х > 0; 2) 2агс8Іпх >--; 3) 2агссО8х > агссоз х - я.
4
16.37. " Розв’яжіть нерівність:
1) 2х > віп х-1; 2) 2х > агсзіп х——; 3) 2СІ8Х > соз х-1.
2
16.38. " Побудуйте графік функції:
ОІ х І _ 1
1) і, = 12'1-1-1 І; 2)У = І7ЛТ
16.39. " Побудуйте графік функції:
1)!, = | І-З'-'І; 2)0 = 11^.
16.40. ’" Знайдіть область значень функції /(х) = 2(8шх+СО8Х)2.
16.41. ** Знайдіть область значень функції / (х) = 3і 81П х с°8 х І
16.42. ** Розв’яжіть рівняння:
1) 2“8 х = х2 + 2; 2) 2Л = соз х.
16.43. ** Розв’яжіть рівняння:
Сі \Іх|
1) - =х2+1; 2)2|х| = созх.
<2}
16.44. ** Розв’яжіть нерівність:
1)2*2>8іпх; 2) 2 >| зіпх | + 1; 3)2'/х>1-х2.
16.45. *’ Розв’яжіть нерівність:
1)2х2>со8х; 2)2х2>х2+1.
2х-1
16.46. ” Дослідіть на парність функцію у =------.
2х +1
2х —3х
16 47 ” Дослідіть на парність функцію у =-----.
2Х+3Х
16.48. ” Дослідіть на парність функцію у = (2 + л/з) +(2-М.
16.49. ” Дослідіть на парність функцію у - (л/2 +1Г-(л/2-1Г.
16.50. ** Знайдіть область значень функції у =
• 16.51.’’ Знайдіть область значень функції у =
2х-1
2х-4
3х
3х-9
Готуємося до вивчення нової теми
16.52. Подайте числа 1; 4; 8; 16; —; —; л/2; д/4; >/32
32 64
у вигляді степеня з основою: 1) 2; 2) —.
16.53. Подайте числа 1; 9;
степеня з основою: 1) 3;
16.54. Спростіть вираз:
1) 7х + 1 + 7х;
2) 10х 2 - 10х;
3) 2х + 1 + 2х’4;
4) Зх + 1 + 3х + 3х ';
5) 2х + 3 + 3-2х + 2 - 5«2х + 1;
<1У“Х *
6) - +362-6Х+1;
7) 9х + 1 + 32х+1;
8) л/25х’2-2-5х +(л/5)2х+4.
Ч-
Показникові рівняння
Розглянемо рівняння 2х = 8,
Зх-Зх1 = 4,
0,3х’4-о,зх2.
У всіх цих рівняннях змінна міститься тільки в показни-
ку степеня. Наведені рівняння є прикладами показникових
рівнянь.
Теорема 17.1. При а > 0 і а Ф 1 рівність а*1 =а*2 ви-
конується тоді і тільки тоді, коли хг = х2.
Доведення. © Очевидно, що коли хг = х2, то а*1 =а*2.
Доведемо, що з рівності аХ1 = аХг випливає рівність
Хі = х2. Припустимо, що х, Ф х2, тобто х1 < х2 або хг > х2.
Нехай, наприклад, хг < х2.
Розглянемо показникову функцію у = ах. Вона є або
зростаючою, або спадною. Тоді з нерівності хг < х2 випли-
ває, що аХ1 <аХг (при а > 1) або аХ1 >аХг (при 0 < а < 1).
Проте за умовою виконується рівність аХ1 =аХг. Отримали
суперечність.
Аналогічно розглядають випадок, коли хг > х2. ▲
Наслідок. Якщо а > 0 і а ? 1, то рівняння
агм = а^м (1)
рівносильне рівнянню
Ґ(Х) = § (х). (2)
Доведення. © Нехай х1 — корінь рівняння (1), тобто
а/(Х1) = ае(Х1\ Тоді за теоремою 17.1 отримуємо, що / (х^ =
= § (Хі). Отже, х1 — корінь рівняння (2).
Нехай х2 — корінь рівняння (2), тобто / (х2) = § (х2).
Звідси =ае(Х2\
Ми показали, що кожний корінь рівняння (1) є коренем
рівняння (2) і навпаки, кожний корінь рівняння (2) є коре-
нем рівняння (1). Отже, рівняння (1) і (2) рівносильні. ▲
Розглянемо приклади розв’язування показникових рів-
нянь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння (0,125)* = 128.
Розв’язання. Подамо кожну з частин рівняння у ви-
гляді степеня з основою 2. Маємо: 0,125 = — = 2“3 і 128 = 27.
8
Запишемо:
(2“3)* = 27; 2“3* = 27.
Це рівняння рівносильне рівнянню
-Зх = 7.
о 7
Звідси х =—.
З
7
Відповідь: —
З
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння 2х 3-5Х 3-0,01 -(10х7 1)3.
Розв’язання. Скориставшись властивостями степеня,
подамо кожну з частин рівняння у вигляді степеня з осно-
вою 10. Маємо:
(2-5)х2 3 =10“2 •103х 3;
10х2 3 1()3х ’.
Переходимо до рівносильного рівняння:
х2 - 3 = Зх - 5.
Звідси х2 - Зх + 2 = 0; хг = 1, х2 - 2.
Відповідь: 1; 2.
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння
212х -1 _ 46х1 + 84х - 1 _ 1б3х - 1 = 128().
Розв’язання. Маємо:
212х - 1 _ 212х - 2 + 212х - 3 _ 212х - 4 = 1280;
2і2х-4 (2з _ 22 + 21 _ -ц = 1280; 2,2х 4-5 = 1280;
212х-4 = 256; 212х’4 = 28; 12х - 4 = 8; х = 1.
Відповідь: 1.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння
2-Зх + 2 - Зх + І = 5Х + 1 + 4-5х.
Розв’язання. Маємо:
3х (2 • З2 - 3) = 5х (5 + 4); Зх-15 = 5х-9;
ґз¥ 9 (З У з .
- =—; — =—; х = 1.
Ш 15 \5) 5
Відповідь: 1.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння 25х+ 4-5х-5 = 0.
Розв’язання. Оскільки 25х = (52)х = 52х = (5х)2, то дане
рівняння зручно розв’язувати методом заміни змінної.
Нехай 5х = і. Тоді задане рівняння можна переписати так:
І2 + 4£ - 5 = 0.
Звідси і = 1 або І - -5.
Якщо і = 1, то 5х = 1. Звідси 5х = 5°; х = 0.
Якщо і = -5, то 5х = -5. Оскільки 5х > 0 при будь-
якому х, то рівняння 5х = -5 не має коренів.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння 4 • 22х - 6х = 18 • 32х.
Розв’язання. Маємо: 4• 22х - 2х• 3х - 18• 32х = 0.
Оскільки 32х Ф 0 при будь-якому х, то, поділивши обидві
частини рівняння на 32х, отримаємо рівняння, рівносильне
даному:
л2х пх
4.±—±—18-0; 4-
З 3х
2х
----18-0.
3х
І 1 2
Нехай — = І. Тоді можна записати 41 -118 = 0.
Звідси
1 = -2,
9 Маємо:
1 = -.
4
(2 V
Оскільки — >0 при будь-якому х, то перше рівняння
\ 3 у
сукупності розв’язків не має. Друге рівняння сукупності
перепишемо так:
І 2] (2]
— = — . Звідси х = -2.
Відповідь: -2.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння 2х + 5х = 7х.
Розв’язання. Очевидно, що х = 1 — корінь даного рів-
няння. Покажемо, що цей корінь — єдиний.
Поділивши обидві частини початкового рівняння на 7х,
Ґ2Ї Г5Т і
отримаємо: — + — =1.
( 2 У ( 5 У
Розглянемо функцію / (х) = — + — • Оскільки функції
<7) \7)
Ґ2Ї • Ґ5Т , . ,
У = — і у= — є спадними, то функція і також є спад-
ною, а отже, кожного свого значення вона набуває тільки
один раз. Тому рівняння / (х) = 1 має єдиний корінь.
Відповідь: 1.
ПРИКЛАД 8 При яких значеннях параметра а рівняння
4х - (а + 3) 2х + 4а - 4 = 0 має єдиний корінь?
Розв’язання. Нехай 2х = і. Маємо:
і2 - (а + 3) І + 4а - 4 = 0.
Звідси = 4, 12 = а - 1. Отже, початкове рівняння рівно-
сильне сукупності:
2х =4,
2х=а-1.
Перше рівняння сукупності має єдиний корінь х = 2.
Друге рівняння сукупності при кожному значенні парамет-
ра а або має один корінь, або взагалі не має коренів.
Для виконання умови задачі друге рівняння сукупності
повинно або не мати коренів, або мати єдиний корінь, який
дорівнює 2.
Якщо а < 1, тобто а - 1 < 0, то рівняння 2х = а - 1 ко-
ренів не має.
Число 2 є коренем другого рівняння сукупності, якщо
22 = а - 1. Звідси а = 5.
Відповідь: а < 1 або а = 5.
Впраї -
17.1. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 4х = 64;
2) 3х =—;
81
3) 0,62х3 = 1;
4) 10 х = 0,001;
5) 25-х = 23х“7;
6) 8х = 16;
7) 0,16х =-;
2
8) -75х =25;
9) 0,25х2 4 =2х2+1;
11) 2х-5х = 0,1-(10х1)5;
3x 7
7x 3
14) 5х2 2х=6х2 2х;
15) 3х" 1 = 6х-2 х-Зх+1.
2-х
13) 36х =| — І ;
<216>
17.2. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 0,4х2’х’6=1;
2) ^Т=ї;
Ш з
2
3) 0,7х =2—;
49
4) 9“х = 27;
__ 2
5) 72х =8 3;
/9х2х+з
6) - =4,5х2;
І9>
7) 100х =0,01710;
оч (2V (2бУ 125
о) І І • І ’
І 8 ) 64
9) 2х1 -3х 1 = — -62х+й;
36
Зх_2 6-2х
10) 325 =4 2 ;
11) Зх2-9=7х2-9;
12) 16й "Зх = 0,125йх6.
17.3. ° Розв’яжіть рівняння:
1) Зх + 2 + 3х = ЗО;
2) 4х + 1 + 4х"2 = 260;
3) 2х + 4 - 2х = 120;
17.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 5Х + 1 + 5х = 150;
2) 2х + 2х "3 = 18;
17.5. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 22х - 6 • 2х + 8 = 0;
2) 9х - 6 • 3х - 27 = 0;
17.6. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 62х - 3 • 6х - 18 = 0;
17.7. * Розв’яжіть рівняння:
1 і---- --
1) -.7з3х1 =81 4;
9
4) 7Х + 1 + 4-7х= 77;
5) 5х + 7-5х’2 = 160;
6) 6х + 1 - 4-6х1 = 192.
3) 7х + 2 + 4«7Х-1 = 347;
4) 4х - 3-4Х 2 = 52.
3) 25х - 5х - 20 = 0;
4) 100 • 0,32х + 91 • 0,3х - 9 = 0.
2) 2 • 4х - 9 • 2х + 4 = 0.
2) 4Х-3Х + 1 = 0,25- 123х-1;
3) 4-2созх=Т8; 5) 5х 1 = 10х-2 х-5х + 1;
4) 0,25 • 2х2 = ^/0,25 - 42х; 6) ^92х+1 = Д=.
</3
17.8/ Розв’яжіть рівняння:
1) 2^| = 83х; 3) 2х1 = 122х-3"2х-2х + 1;
16х
2) 9-38іпх=л/27; 4) ^7Х+1 = ^.
<7
17.9/ Розв’яжіть рівняння:
1) 2х + 2х1 + 2х 2 - 56;
2) 6-5х - 5Х + 1 - 3-5х1 = 10;
3) 2-7х + 7х + 2 - 3-7х’1 = 354;
4) 4х-2 - 3-22х-1 + 5 • 22х = 228;
5) 4-915х1- 27х1 = 33;
6) 0,55-2х + 3-0,253 х = 5;
(і у-0,5*
7) 22х+1 +4х-і І =47;
8) 4-3х-5-3Х1-6-3х’2 =15-9х2’1.
17.10/ Розв’яжіть рівняння:
1) 5Х + 1 + 5х + 5Х1 = 31;
2) 3х+ 1 - 2-Зх1 - 4-3х 2 = 17;
3) 2Х + 2 - 2х + 1 + 2х-1 - 2х-2 = 9;
4) 2-32х + 1 + 32х1 - 5-32х = 36;
5)6Х~2-І —І +36 2 =246;
6) 5• 2х’1-6-2х’2-7-2х-3 = 8х2-1.
17.11/ Розв’яжіть рівняння:
1) 22х + 1 - 5-2х + 2 = 0; 4) 9х - 6• 3х 1 = 3;
2) 4Х + 1 + 41-х = 10; 5) Зх+1 + З2 х = 28;
3) 52х“3 - 2-5х’2 = 3; 6) —-------— = 2.
2х-1 2х+1
17.12. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 32х + 1 - 10-3* + 3 = 0; 4) 4х + 0’5 + 7-2* = 4;
2) 23‘2х - 3-21х + 1 = 0; 5) 3 • б2х ”1 - 2 • 5х ’1 = 0,2;
3) 5х - 0,2х1 = 4; 6) —^— + —^— = 2.
3х-6 3х+6
17.13. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2х + 2Х1 + 2х 2 - 3х - 3х 1 + 3х-2;
2) З^-б^’^б^+З*2'1;
3) 7х - 5Х + 2 = 2-7х1 - 118-5х1.
17.14. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 6х + 6х’1 - 6х 2 = 7х - 8-7х-2;
2) 5х - 2-5х1 = Зх + 1 - 2-Зх“2;
3) 2'/х+І-3'/х =3'/х-1-2'/х.
17.15. ** Розв’яжіть рівняння:
2 х + 3
1) 27х-2-3 х -27 = 0; 5) 5-2СО82х-281п2х =3;
2) л/497-50^7х-3 +1 = 0; 6) 4СО82х + 4СО82х =3;
3) 2^ =3-22"'/х7І+1; 7) 4‘е2х+2соб2х-80 = 0.
4) 3^+з2-^ =б;
17.16. Розв’яжіть рівняння:
2 2х + 3
1) 8х-2 х -32 = 0; 3) 2СОб2х-3-2СО82х+4 = 0.
2) 5'/х=2-51"'/хТ2-4 = 0;
17.17. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 3 • 22х - 5 • 6х + 2 • 32х = 0; 3) 7 • 49х + 3 • 28х = 4 • 16х;
2) 22х + 1 - 7• 10х + 2бх + 0,5 = 0; 4) 9х + 4х = 2-6х.
17,18 ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 4-9х - 7-12х + 3-16х = 0; 2) 5-2х+2-5х =7-10її.
17.19. ” Розв’яжіть рівняння л/4х -2х -3 = ^4 • 2х -7.
17.20. ” Розв’яжіть рівняння л/1 + Зх -9х = ^4-3 • 3х.
В...............................................
17.21- а Розв яжіть рівняння (л/2+^Г+(72->/зГ=4.
17.22. *' Розв’яжіть рівняння (\/4 +Л5)'+(7Ї^Л5Г=8.
17.23. " Розв’яжіть рівняння:
Ж+1 о ( і А
1) 4 2+ — + 14 = 9 2Х+ —
4х І 2х )
х+- з
2) 9 2+ — + 26 = 16(3Х+3Х).
9х
17.24. " При яких значеннях параметра а рівняння
9х - (а + 1) • 3х + За - 6 = 0 має єдиний корінь?
17.25. ” При яких значеннях параметра а рівняння
25х + 5х + 1-а2 + а + 6 = 0не має коренів?
17.26. " При яких значеннях параметра а рівняння
4х - (а + 1) • 2х + 2а - 2 = 0 має два різних корені?
17.27. " Розв’яжіть рівняння:
1) 2х = 3 - х; 3) 76х-х + 2;
2) 3х + 4х = 5х; 4) 3х1 + 5х’1 = 34.
17.28. ' Розв’яжіть рівняння:
1) 3х = 11-х; 3) 4х 2 + 6х 3 = 100;
2) 85 х = х + 4; 4)Зх-2=—.
х
17.29. * При яких значеннях параметра а рівняння
(Тх- а) (32х - 4 • 3х +3) = 0 має два різних корені?
17.30. * При яких значеннях параметра а рівняння
(Тх- а) (22х -10 • 2х +16) = 0 має два різних корені?
17.31. * Розв’яжіть рівняння 4х - (19 - Зх) • 2х + 34 - 6х = 0.
17.32. * Розв’яжіть рівняння 9х-(14-х)-Зх+33-Зх = 0.
18
Показникові нерівності
Нерівності 0,2х < 25, 2х + 5х > 1, 7х2 >2Х є прикладами
показникових нерівностей.
При розв’язуванні багатьох показникових нерівностей
застосовують таку теорему.
Теорема 18.1.При а > 1 нерівність а‘х > а*2 виконуєть-
ся тоді і тільки тоді, коли хг > х2; при 0 < а < 1 нерівність
а1 > а*2 виконується тоді і тільки тоді, коли хг < х2.
Справедливість цієї теореми випливає з того, що при
а > 1 показникова функція у - ах є зростаючою, а при
0 < а < 1 є спадною.
Наслідок. Якщо а > 1, то нерівність > а8<х)рівно-
сильна нерівності / (х) > § (х); якщо 0 < а < 1, то нерів-
ність аг (х* > ае <х) рівносильна нерівності / (х) < § (х).
Скориставшись ідеєю доведення наслідку з теореми 17.1,
доведіть цей наслідок самостійно.
Розглянемо приклади розв’язування показникових не-
рівностей.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність 8*23х 1 < (0,5) \
Розв’язання. Маємо:
23-23х“і < (21)1; 23х + 2 < 2і.
Оскільки основа степенів 23х + 2, 2і більша за одиницю,
то остання нерівність рівносильна такій:
Зх + 2 < 1.
Звідси Зх
Відповідь:
-1- х<-~
З
1^
—°о;--.
з)
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність
Розв’язання. Маємо:
2 Vх < 147 ¥ >Ґ81 V
7/ І 20 ,1 Д 625,1 '
аТ ґ 147 ї 81 ї. ґа і47У>ґ 81 у.
4^ І 20 ) ^^625^ ’ 149 20 ) Д 625,1 ’
Оскільки 0< — <1, то остання нерівність рівносильна
5
такій: х < 4х; х > 0.
Відповідь: [0; +со).
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність 4х-22(х-1)+8 2 3 >52.
Розв’язання. Перепишемо дану нерівність так:
22х - 22х 2 + 22х 4 5 > 52.
Звідси
22х-4 (24 - 22 + 1) > 52;
22х 4-13 > 52; 22х“4 > 4;
22х“4 > 22; 2х - 4 > 2; х > 3.
Відповідь: (3; +со).
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність 4 3-7*2х-4<0.
Розв’язання. Маємо:
(22)х+2-7-2’х-4<0;
2”2ж + 1- 7 • 2 х - 4 < 0;
2 • 2“2х - 7 • 2 х - 4 < 0.
Нехай 2 х = І. Тоді 2і2 - 11 - 4 < 0.
Розв’язавши цю нерівність, отримаємо —<і<4. Звідси
1 2
--<2 х<4.
2 1
Оскільки 2 * > 0, то 2 х > — при всіх х. Тому достатньо
2
розв’язати нерівність 2 х < 4.
Маємо: 2“х < 22; -х < 2; х > -2.
Відповідь: (-2; +°о).
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність 4х - 2 • 52х + 10х > 0.
Розв’язання. Маємо: 22х - 2 • 52х + 2х • 5х > 0. Оскільки
52х > 0 при будь-якому х, то, поділивши обидві частини
останньої нерівності на 52х, отримуємо рівносильну нерів-
/„\2х / „\х
( 2} (2}
ність — -2+ - >0.
2
5
Нехай
= і. Тоді і2 + і - 2 > 0. Розв’язавши цю не-
рівність, отримуємо
Звідси:
2
5
З нерівності
>1 знаходимо, що х < 0. Нерівність
2
5
<-2 не має розв’язків.
Відповідь: (-оо; 0).
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність 3х + 4х > 5х.
<з¥ Ґ4У
Розв язання. Маємо: — + — >1.
| 3 ] І 4 ]
Розглянемо функцію /(х) = - + — . Зауважимо, що
/ (2) = 1. Оскільки функція / — спадна, то при х < 2 ви-
конується нерівність / (х) > / (2), а при х > 2 виконується
нерівність / (х) < / (2). Отже, множиною розв’язків нерів-
ності / (х) > / (2), тобто нерівності / (х) > 1, є проміжок
(-оо; 2). •
Вправи
18.1. ° Чи рівносильні нерівності:
1)72х + 4>7х-1 і 2х + 4 > х - 1;
2) 0,9х2 4 <0,9х2+2 і х2 - 4 < х + 2;
3) ах > а5, де а > 1, і х > 5;
4) ах < а3, де 0 < а < 1, і х < -З?
Ч Алгебра та початки аналйу, 11 кл.
177
18.2. Розв’яжіть нерівність:
1 4’ 6) 272х + 1 > ґ 1Г . 19^
2) 5х 5 7) 0,34х 8 : > і;
3)11х’5 < 113х + 1; 8) 0,13х 1 < 1000;
4) 0,46х + 1 > 0,42х + 5; (і у х 9) — • І36^ <216х+1
5) 2х2 1 < 8;
18.3.° Розв’яжіть нерівність:
1)67х1>6; 3) >ґ-) ; 5) 49х+1 <ґ->| ;
к2/ Ш
2) 10х < 0,001; 4) 32х2 6 >—; 6) 0,22х 9 < 1.
81
18.4 .° Скільки цілих розв’язків мають нерівності:
1) 0,2 < 5х + 4 < 125; 2)—<63х<6; 3) 2 < 0,5х ’1 < 32?
36
18.5 .° Знайдіть суму цілих розв’язків нерівностей:
1) - <Зх+3<9; 2)— <22 х<16.
З 8
18.6 .° Знайдіть область визначення функції:
1) /(х) = Л1- - ; 2) Цх) =
\ Ш л/зх+2-27
18.7 .° Знайдіть область визначення функції:
І/
1) / (х) = л - -16; 2) / (х) = л/1-6х’4.
18.8 .’ Розв’яжіть нерівність:
х чбх-х2 / чх-0,5
І) І-І >|- ; 4) | віп —і >л/2;
І4/ Ш І б)
х + 5
3) 0,6х2 9 <1; 6) 4-0,5х(х + 3) > 0,252х.
18.9/ Розв’яжіть нерівність:
X2 4
3) 0,3 ' 1 >1;
4)1^-] >9°Л
\ З)
18.10/ Розв’яжіть нерівність:
ґіУ 1 ґіУ 1
1) 7х + 2 - 14-7х > 5; 4) - + - >26;
2) 9-3х 1 + 3х < 36; 5) 2 • 6х + 3 • 6х + 3 < 650;
/зл* 7 ч Vі ч
3) 2х + 2х 1 + 2х 2 > 56; 6) - - - >—.
Ш Ш іб
18.11/ Розв’яжіть нерівність:
1) Зх + 2 - 4-3х < 45; 3) 5х + 5х '1 - 5х 2 > 145;
18.12/ Розв’яжіть нерівність:
1) 32х - 4-3х - 45 > 0;
2) 4х + 2х + 3 - 20 < 0;
3) 49х - 8 • 7х + 7 < 0;
4) 0,25х - 12-0,5х + 32 > 0
5) 62х 1 -6Л -4 <0;
З
6) 25х + 5х - 30 > 0.
18.13. Розв’яжіть нерівність:
1) 9Х + 1 - 2 • 3х - 7 < 0; 3) ґ—-З-ґ-1 +2>0;
2) 2х+22 -72 >0; 4) 25х - 26 • 5х + 25 < 0.
18.14/ * Розв’яжіть нерівність:
1) ~125 <0;
х-4х+4
18.15. " Розв’яжіть нерівність:
і) -216~4* >0;
9хг +12х + 4
18.16. " Розв’яжіть нерівність:
2)
2)
1 Зх
1) 23х+1+0,25 2
2) 22х ’ 1 + 22х 3
Зх
-4 2 >192;
2х-1
х-1
5х-0,04
5-х
- 22х 5 > 27 х + 25 х - 23
18.17. ” Розв’яжіть нерівність:
1 Чз
1)3*+3* >84; 2) 2 • 16х - 3 • 24х “ 1 + 7 • 42х “ 2 < 120.
18.18. ” Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) 3х - 9 • 3 х - 8 > 0; 3) 6х + 2 + 6 х - 37 > 0;
2) 2х + 3 + 21х < 17; 4) +Г->|
\5) \5) 5
18.19. ” Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) Зх + 1 - 2-31х > 7; 2) 41-х - 0,512х > 1.
18.20. ” Розв’яжіть нерівність 2'^х-21“'^х<1.
18.21. ” Розв’яжіть нерівність 3^ -З^^Св.
18.22. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 3-4Х + 2-9х - 5-6х < 0; 2) 5-25* +3-10* >2-4*.
18.23. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 3-16х + 2-81х - 5-36х < 0; 2) 2-49*-9-14* +7-4* >0.
18.24. ” Розв’яжіть нерівність:
1) х2 • 2х + 1 > х2 + 2х; 2) 25 • 2х - 10х + 5х > 25.
18.25. ” Розв’яжіть нерівність х2 • 3х + 9 < х2 + 3х + 2.
18.26. ” Розв’яжіть рівняння | 3х - 1 | + | 3х - 9 | = 8.
18.27. ” Розв’яжіть рівняння | 2х — 1 [ -+- | 2х — 2 | = 1.
18.28. " Розв’яжіть нерівність:
1) 5х > 6 - х; 2) 5х + 12х < 13х.
18.29. ” Розв’яжіть нерівність 104-х > 7 + х.
18.30. ” Розв’яжіть нерівність (2х -2) д/х2 -х-6 >0.
18.31. ” Розв’яжіть нерівність (3х -9) д/х2 -2х-8 < 0.
18.32. * Для кожного значення параметра а розв’яжіть не-
рівність (х - а) д/з*2х-2-Зх > 0.
18.33. * Для кожного значення параметра а розв’яжіть не-
рівність (х-а) д/б*5х - 5-6х <0.
19.
Логарифм і його властивості
Легко розв’язати рівняння 2х = 4 і 2х = 8. їх коренями
будуть відповідно числа 2 і 3.
Проте для рівняння 2х = 5 одразу вказати його корінь
складно.
Виникає природне запитання: чи є взагалі корені у цього
рівняння?
Звернемося до графічної інтерпретації. На рисунку 19.1
зображено графіки функцій у = 2х і у = 5. Вони перетина-
ються в деякій точці А (х0; 5). Отже, рівняння 2х = 5 має
єдиний корінь х0.
Проте графічний метод не дозволяє встановити точне
значення х0.
З подібною ситуацією ми зустрічалися, розв’язуючи
в 10 класі рівняння х3 = 5. Графічна інтерпретація також
показує, що це рівняння має єдиний корінь (рис. 19.2).
Потреба називати і записувати цей корінь свого часу при-
звела до нового поняття «кубічний корінь» з числа 5 і по-
значення ^5.
Корінь рівняння 2х = 5 домовилися називати логарифмом
числа 5 з основою 2 і позначати 1о£2 5. Таким чином, число
1°£2 5 — це показник степеня, до якого треба піднести число
2, щоб отримати число 5. Можна записати:
21ов25 =5.
ук / _ х Розглянемо рівняння ах = Ь, де
= ь / а> і’ а > 0, а*1. Оскільки для всіх х є К
-----------4-——— виконується нерівність ах > 0, то
/: при Ь < 0 це рівняння не має роз-
1 / ; в’язків. Якщо Ь > 0, то це рівнян-
-----------і____► ня має єдиний корінь (рис. 19.3).
0 1о£о6 х його називають логарифмом числа
Рис. 19.3 Ь з основою а і позначають 1о&о Ь.
Означення. Логарифмом додатного числа Ь з осно-
вою а, де а > 0 і а ф 1, називають показник степеня, до
якого потрібно піднести число а, щоб отримати число Ь.
Наприклад, 1о£3 9 — це показник степеня, до якого по-
трібно піднести число 3, щоб отримати число 9. Маємо:
1о£3 9 = 2, оскільки З2 = 9.
Ще кілька прикладів:
1 -зі
Іон,—= -3, оскільки 2 =—;
8 8
1 1
1о£25 5 = -, оскільки 252 =5;
2
1о£17 17 = 1, оскільки 17і = 17;
ІО£100 1 = 0, оскільки 100° = 1.
З означення логарифма випливає, що при а > 0, а Ф 1
і Ь > 0 виконується рівність
а1ОЄдЬ=Ь
Її називають основною логарифмічною тотожністю.
Наприклад, 71ОЄт 3 = 3, 0,310®0-3 5 = 5.
Також з означення логарифма випливає, що при а > 0
і а 1
ІО£0 1 = 0
ІО£0 а = 1
Розглянемо рівність ас = Ь.
Ви знаєте, що дію знаходження числа Ь за даними чис-
лами а і с називають піднесенням числа а до степеня с.
Дію знаходження числа с за даними числами а і Ь, де
а > 0, а 1 і Ь > 0, називають логарифмуванням числа Ь
за основою а. Справді, с = 1о£аЬ.
Зазначимо, що при а > 0 ліва частина рівності ас = Ь
є додатною. Отже, Ь > 0.
Тому при Ь < 0 вираз 1о£а Ь не має змісту.
Логарифм з основою 10 називають десятковим логариф-
мом. Замість 1о£10 Ь пишуть І£ Ь.
Використовуючи це позначення та основну логарифмічну
тотожність, для кожного Ь > 0 можна записати 101вЬ = Ь.
Розглянемо основні властивості логарифмів.
Теорема 19.1 (логарифм добутку). Якщо х > 0,
у > 0, а > 0 і а * 1, то виконується рівність
1о£а ху = 1о£а х + 1о£а у
Коротко формулюють: логарифм добутку дорівнює сумі
логарифмів.
Доведення. ©Розглянемо два вирази: а1ое°ху і
Доведемо, що вони рівні.
Використовуючи основну логарифмічну тотожність, за-
пишемо:
аІОЄаХу-ху;
а1оВо X + 1оЄо у = а1оЄа х . а1оЄа у = ху.
Отже, а1ое“ху -аІОЄах+1ОЄау. Звідси за теоремою 17.1 отри-
муємо, ЩО І0£а ху = ІО£И X + І0£а у. ▲
Теорема 19.2 (логарифм частки). Якщо х > 0,
У > 0, а > 0 і а * 1, то виконується рівність
1о£а ~ = 1о£а х-1о£0 у
У
Коротко формулюють: логарифм частки дорівнює різниці
логарифмів.
Скориставшись ідеєю доведення теореми 19.1, доведіть
Цю теорему самостійно.
Теорема 19.3. Якщо х > 0, а > 0 і а * 1, то для будь-
якого Р є К виконується рівність
1о£а хр = Р 1о£а х
Доведення. О Розглянемо два вирази: а1ов°хР і ар1ов°х.
Доведемо, що вони рівні.
Маємо: а1080*13 = хр;
ар1°вах=(аі°6ах)Р =хр_
Отже, а1ов°хР =ар1ов°х. Звідси за теоремою 17.1 отримуємо:
1о£а хр = р 1о£а х. ▲
Теорема 19.4 (перехід від однієї основи лога-
рифма до іншої). Якщо а > 0, а ф 1, Ь > 0, с > 0, с ф 1,
то виконується рівність
, , 1оег Ь
1о£аЬ = —
1оес«
Доведення. О Розглянемо вираз 1о£а Ь • 1о£с а. Перетво-
римо його, скориставшись теоремою 19.3 при р = 1о£а Ь.
Маємо:
1о£о Ь • ІО£С а = 1о£с а,0Єа ь = 1о£с Ь.
Отже, 1о£а Ь • 1о£с а = 1о£с Ь. Оскільки а Ф 1, то легко по-
казати, що 1о£с а Ф 0. Тепер можна записати:
Ю8оЬ = ^. ▲
1о8с а
Наслідок 1. Якщо а > 0, а Ф 1, Ь > 0, Ь Ф 1, то вико-
нується рівність
, . 1
1о8а Ь = -------
•о£Л а
Доведіть цей наслідок самостійно.
Наслідок 2. Якщо а > 0, а ф 1, Ь > 0, то для будь-якого
Р 0 виконується рівність
Доведення. У виразі Іод „Ь перейдемо до основи а:
а'
1о8 р Ь =
1оеа Ь
1о£а ар
1°£а Ь
Р1°£а а
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння: 1) 3 — 75 2) 0,4 — 9.
Розв'язання. 1) 3 означення логарифма випливає, що
— • Іо„ 9 + 5
2) Маємо: 2х - 5 = 1о£0 4 9; 2х = 1о£0 4 9 + 5; х = ——-.
2
1оеп. 9+5
Відповідь: 1) 1о£3 7; 2) --:.
2і
ПРИКЛАД 2 Обчисліть значення виразу:
1) 102 + 21в7; 2) 91овз4 °’5.
Розв’язання. 1) Застосовуючи властивості степенів
і основну логарифмічну тотожність, отримуємо:
102 + 21в 7 = 102 • 1021в 7 = 100 • (101в 7)2 = 100 • 72 = 4900.
2) Маємо:
д1ое3 4-0,5 _ (д2 )Іое8 4-0,5 _ (д2 )1ое3 4 , ^2 )0,5 _ (3І0Є3 4 )2 . д _ ^2 . д _ ф
З
ПРИКЛАД 3 При якому значенні х виконується рівність:
1) Іо^ х--5; 2) 1о£х 16 = 4?
2
Розв’язання. 1) Вираз Іо^х визначено при х > 0.
2
ґ її5
З означення логарифма випливає, що — = х, тобто х = 32.
\2)
2) Вираз 1о£х 16. визначено при х > 0 і х Ф 1. Згідно
з означенням логарифма маємо: х4 = 16. Звідси х = 2. •
ПРИКЛАД 4 Обчисліть значення виразу:
1) іо£2 20 + 1о£2 12 - 1о£2 15; 2) -1о£36 9+і1о£36 8.
2 З
Розв’язання. 1) Використовуючи теореми про логарифм
добутку і логарифм частки, отримуємо:
1о£2 20 + 1о£2 12-1о£2 15 = 1о£2 (20-12)-1о£2 15 =
, 20-12 ,
= 1о8г ——“ = 1()Й2 16 = 4.
2) Маємо:
“ 1°£зб 9 + —1о2з6 8 = — 1о^36 3 + — 1о£36 2 =
А О А о
= 1О£36 3 + 1О£зб2 = 1О£з66 = |. •
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції /(х) = 51ОЄб<х 3).
Рис. 19.4
Розв’язання. Дана функція визначе-
на на множині В (/) = (3; +оо). Оскільки
діок5(х 3> =х_з для вс|х значень х е £> (/),
то доходимо висновку, що графіком функ-
ції / є частина прямої у = х - 3 (рис. 19.4).
ПРИКЛАД 6 Відомо, що І£ 2 = а, 1о£2 7 = Ь. Знайдіть І£ 56.
Розв’язання. Маємо:
18 56 = 18 (8.7) = І£8 + і87 = і8 23 + ^^ =
1о82 Ю
= ЗІ82 + 1о82 7 •!& 2 = За + Ьа. •
Вправи
19.1.° Чи є правильною рівність:
1) Ю87^ = -3; 5) 1о8о,оі Ю — 2;
2) 10825 5 = 2; 3) 1о85125 = |; 0 6) 18 0,0001 = -4; 7) 1о813^3=-; 9 3
4) 1о8з^7 =-4; ОІ 8) ІО£ .0,2 =-2? л/5
19.2.° Знайдіть логарифм з основою 2 числа:
1)1; 2)2; 3)32; 4)^2; 5)0,5; 6) і; 7)^; 8) 2>/2.
8 <2
19.3. ° Знайдіть логарифм з основою 3 числа:
1) 3; 2) і; 3) 1; 4)81; 5) і; 6) —; 7) >/3; 8) ЗуІЗ.
З 9 243
19.4. ° Знайдіть логарифм з основою - числа:
2
1) 1; 2) 2; 3) 8; 4) 0,25; 5) —; 6) -Ь 7) >/2; 8) 64.
16 <2
19.5.° Знайдіть логарифм з основою — числа:
З
1) 2) —; 3) 3; 4) 81; 9 27 5) -Ь 6) 7з. 7з
19.6.° Знайдіть десятковий логарифм числа:
1) 1; 3) 100; 5) 0,1; 7) 0,00001;
2) 10; 4) 1000; 6) 0,01; 8) 0,000001.
19.7.° Чому дорівнює логарифм числа 10 000 з основою:
1)10; 2)100; 3)710; 4)0,1; 5) 1000; 6)0,0001?
19.8.° Знайдіть логарифм числа 729 з основою:
1) 27; 2) 9; 3) 3; 4) —; 27 19.9.° Розв’яжіть рівняння: 5) і; 6) і. 9 3
1) 1о£7 х - -1; 4) 1о£2 х-0; 2)1о84х = |; 5) 1о£х 9 = 2; 3) 1о£ х = 6; 6) 1о£х 0,25 = -2; уЗ 7) 1о8х 2 = 2; 8) 1о8х 5 = |.
19.10.° Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£6 х = 2; 3) 1о£0>2 х = -3; 2)1о£^х = |; 4) 1о£х 6 = 5; 19.11.° Розв’яжіть рівняння: 5) 1о£х 81 = 4; 6) іо8х 11 = -1. ✓ х 1-х
1) 6х •= 2; 3) 0,4х = 9; ґ 1^ 5) - =2; ІЗ )
2) 5х =10; 4) 2х’3 = 5; 19.12.° Розв’яжіть рівняння: 6) 0,33х + 2 = 7.
1) 3х = 2; 2) 10"=—; 3)7х + 5 = 9; 4) 0,65х "2 = 20.
19.13. ° Обчисліть:
1) 21ОВ232; 3)
64
0,510^2 12 ф
5)
2) 51оЄ50,45.
4)
6) 61+Іовб5;
/пЛ10®?8"2
7) - 3
ІО81 З
8) 6 8 .
19.14. ° Обчисліть:
. і
І0£о —
1) З 3 27;
-І08г 49
2) 52 5 ;
3) 41ОВ29;
Л-2108,12
І 1 1 3
4) -
5) 102 + 1в8;
/і Л1ое1 6-3
6) - 2
19.15. ° Знайдіть значення виразу:
1) 1о£6 3 + 1о£6 2;
4) 1о£2 5 - 1о£2 35 + 1о£2 56;
2) 1о£5 100 - 1о£5 4;
5) 1ОЄ»64;
1ое54
3) 1о£>49 34 1о£49 12;
6) 21&5 + —І£І6.
2
19.16. ° Обчисліть значення виразу:
1) 1е8 + 1^12,5; 3) 125;
1ое7 5
2) 1о83 162 - 1о83 2; 4) 31о£6 2 < |1о£6 81.
4
19.17. * Подайте:
1) число 2 у вигляді степеня числа 5;
2) число у вигляді степеня числа 10;
3) число д/14 у вигляді степеня числа 7;
4) число 0,17 у вигляді степеня числа 18.
19.18. ’ Подайте:
1) число 3 у вигляді степеня числа 8;
2) число \/б у вигляді степеня числа і.
19.19. ’ Подайте:
1) число 6 у вигляді логарифма з основою 2;
2) число -1 у вигляді логарифма з основою 0,4;
3) число — у вигляді логарифма з основою 9;
2
4) число — у вигляді логарифма з основою 10.
7
19.20. * Подайте:
1) число 4 у вигляді логарифма з основою —;
З
2) число -2 у вигляді логарифма з основою \І2.
19.21 .’ Обчисліть:
1) 231°в25 + 4'
2) 8і ”1082 3;
/і \1ое9 2-3
І 1 І
3) м ;
21ое7 3 + 108 к 4
4) 7 7 ;
19.22 / Обчисліть:
3 —
/'1Л1ов25 9 + 2
І5>
11080 9-108! З
6 6 ;
19.23/ Обчисліть:
1)
2)
3)
5) 921овз2+41ое8і2.
і 1е8-21к2
6) 2-1002 ;
7) 1£(251ое5°,8 + 91огз0’6);
8) 271ов53 +251ОВ25 -361ов96.
5) 12108144 4+10812 5 •
118 25-3182
6) 10002 ;
7) ІО£1311001ов7І° +21ое215+3
ОХ Кіо854-10823
1) 1о£2 1о£5^5;
2) 1о£2 1о849 343;
3) 1о£9 1о£2 8;
19.24/ Обчисліть:
1) 1о£3 іой! -Ц
5 1^5
4) 1о&2 8Іп 135°;
5) ІО83І£^;
6) 1о£х сов 315°;
7) 1о£4 віп^;
4
8) 1о81 (-120°).
З
2) ІО£1 ІО£4 64;
З
3) 1о£6 225°; 4)10^^.
19.25 / Знайдіть х, якщо:
1) 1о£7 х = 2 1о£7 8-4 1о£7 2;
2) 1£ х = 2 + 1£ 3 - 1е 5;
2 1
3) 1о£3 х = — 1о£3 216 + -1о£з 25;
З 2
4) 1$х = -1£ 32-—1£128 + 1;
З З
5) 1о&2 х - З 1о£2 5-2 1о&2 25 - 10.
19.26 / Знайдіть х, якщо:
1) 1о£а х = 3 1о8а 2 + 2 1о£„ 3;
2) 1о£ах = і1о£а 16 + 31о£а 0,5;
4
2 1
3) І£х = —1&32—18 64 + 1.
5 З
19.27 / Обчисліть значення виразу:
к>87 27-21о87 3 1о£9 125 + 31о89 2
1ое7 45 + 1ое7 0,2 ’ 1о89 1,2 - 1о89 12
19.28 / Знайдіть значення виразу:
3184 + 18 0,5. 2 18 625-818 2
18 9-1818 -18 256-218 5
2
19.29 / Обчисліть значення виразу:
1) 1о£7 віп — • 1о£ п 49; 2) 1о£ч сов2 - • Іод „ 9.
5 61п5 9 С08|
19.30 / Спростіть вираз:
1) 1о£Л а • 1о8а Ь3; 2) 1о£^_ 5 • 1о£5 8.
19.31 /* Обчисліть значення виразу
4 1 ,
———-— + - 4 ____
б10^5 2 +361о£2^2?2.
19.32/* Обчисліть значення виразу
-—--+1ІО8В 27 ____
6ое^26 3 -121о87^Т^«
19.33. ** Спростіть вираз -----------5---------.
(1о£а Ь + 1о£„ а + 1)1о£а а
Ь
• ІО8О аЬ(1о£ь а-1+1о£а ь)
19.34. Спростіть вираз — -------—-—~---------—-.
1 + іое* Ь
19.35. ** Доведіть, що значення виразу 1о£7+4^ (7-4 Тз)
є цілим числом.
19.36. ” Доведіть, що значення виразу 1о£д (9 + 4 <7б)
є цілим числом.
19.37. ” При яких значеннях х є правильною рівність:
1) ІО£2 (1 - X2) = ІО£2 (1 - х) + ІО£2 (1 + х)',
2) 12 Х 2х+1 =І£(х2-2х + 1)-І£(х2 + 1);
X +1
3) 1о£5 (х2 - 4х + 4) = 2 1о£5 (2 - х);
4) 1о25 (х2 - 4х + 4) = 2 1о25 І х - 2 | ?
19.38. ” Чому дорівнює значення виразу:
1) 12 зіп 1° • І2 зіп 2° • 12 віп 3° •... • 12 зіп 89° • 12 зіп 90°;
2) 12 12 Ю° • 12 18 15° • 12 18 20° •... • 18 18 75° • І2 18 80°;
3) 12 (12 30° • 12 32° • 12 34° •... • 12 58° • 12 60°);
4) 12 12 1° + 18 18 2° + 12 18 3° + ... + І£ 12 88° + 1Є 12 89°?
19.39. ” Спростіть вираз 1о23 2 • 1о24 3 • 1о25 4 •... • 1о2ю 9-
19.40. " Обчисліть значення виразу 1о24 5 • 1о25 6 • 1о26 7 • 1о27 32.
19.41. ” Побудуйте графік функції:
1) У = 18 18 х + 18 сІ2 х; 6) у = ^°Є2* ;
1о2і х
2)і/ = 1о2х1; 7) і/ = —;
1с>2і х
2
3) і/ = 31ОЄз(х+3); 8) 17 = 102! 1°83-х (3-х)3 4 5;
2
4) у = 5"1ое5х; 9) і/ = 21ое^2.
5) 17 = 10^;
19.42. *’ Побудуйте графік функції:
1) 1/ = 71Ов7(Х + 2); 5)
І8(х +1)
1 108! (х-1)
1 - дх 1ойг2
2) у = - з ; 6) у = х х ;
О
С > \1°Є2
3) У — - ; 7) у = ІО£3 1о8х +1 (х + І)27;
\ Сл /
±)у = 1о£х х; 8) і/= 1081 (х-2)-І0£х 2 |.
з З
• 19.43." Зобразіть на координатній площині множину точок,
• координати яких задовольняють рівність:
1) 18 ху = 18 х + 18 у; 3)І8х2 + І8«/2 = 2І8|х| + 2І8|і/|;
2) 18 ху = 18 (-х) + 18 (~у); 4) 1о8х2 у2 = 1о8х (-у).
* 19.44." Зобразіть на координатній площині множину точок,
• координати яких задовольняють рівність:
1) 18 - = 18 (-х) -18 (~УУ, 3) 1о8 2 у2 = 1о8х у.
У
• 2) 18 х2 + 18 у2 = 2 18 х + 2 І8 (-у)',
* 19.45.” Члени геометричної прогресії є додатними числа-
ми. Доведіть, що логарифми послідовних членів цієї
прогресії з будь-якою основою утворюють арифметичну
прогресію.
• 19.46." Виразіть 1о8аВ х через 1о8а х і 1о86 х.
•• Іоя X
• 19.47.” Доведіть, що -----— = 1 + 1о8 Ь.
• 1о£аЬ х
• 19.48.” Знайдіть 1о8аЬ Ь, якщо 1о8оЬ а = 4.
• 19.49.” Знайдіть 1о845 60, якщо 1о8в 2 = а, 1о8в 3 = 6.
• 19.50.* Знайдіть:
1) 1о88 9, якщо Іо8і2 18 = а;
• 2) 1о8в 6, якщо І8 2 = а, 18 3 = 6.
• 19.51.* Знайдіть 1о830 8, якщо І8 5 = а, І8 3 = Ь.
2О«І
Логарифмічна функція та її властивості
Оберемо додатне число а, відмінне від 1. Кожному до-
датному числу х можна поставити у відповідність число у
таке, що у - 1о£а х. Тим самим задано функцію / (х) = 1о£о х
з областю визначення £>(/) = (0; +да).
Цю функцію називають логарифмічною.
Покажемо, що логарифмічна функція / (х) = 1о£а х
є оберненою до показникової функції § (х) = ах.
Для будь-якого у0 є Н рівняння 1о£а х = у0 має корінь
(він дорівнює ау°).
Це означає, що областю значень логарифмічної функції
є множина Н.
Маємо: £>(/) = £(£) = (0; +°о);
£(/) = £> (£) =
Для будь-якого х є £)(/) = (0; +оо) виконується рівність
аІов"х = х. Іншими словами, § (ї (х)) = х для всіх х є Б (/).
Сказане означає, що / і § — взаємно обернені функції.
Оскільки графіки взаємно обернених функцій симетричні
відносно прямої у = х, то, користуючись графіком показ-
никової функції у = ах, можна побудувати графік логариф-
мічної функції у - 1о£о х (рис. 20.1).
Рис. 20.1
із
Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
193
Функція у - 1о£а х має єдиний нуль х - 1.
Функція у - 1о£а х має два проміжки знакосталості.
Якщо а > 1, то у < 0 на (0; 1); у > 0 на (1; +оо);
якщо 0 < а < 1, то у < 0 на (1; +со); у > 0 на (0; 1).
Коли функція є зростаючою (спадною), то обернена до
неї функція є також зростаючою (спадною). Показникова
функція у = ах є зростаючою при а > 1 та є спадною при
0 < а < 1.
Тому функція у = 1о£а х є зростаючою при а > 1 та
є спадною при 0 < а < 1..
Оскільки логарифмічна функція є або зростаючою (при
а > 1), або спадною (при 0 < а < 1), то вона не має точок
екстремуму.
Ви знаєте, що коли визначена на деякому проміжку
функція є оборотною і неперервною, то обернена до неї
функція також є неперервною. Показникова функція у = ах
є неперервною.
Тому функція у - ІО£О х є неперервною.
Логарифмічна функція є диференційовною. Детальніше
про похідну логарифмічної функції ви дізнаєтеся в п. 23.
Функція у = 1о£а х має вертикальну асимптоту х = 0,
коли х прямує до нуля справа.
У таблиці наведено властивості функції у = 1о&а х, ви-
вчені в цьому пункті.
Область визначення (0; +оо)
Область значень К
Нулі функції х = 1
Проміжки знакосталості Якщо а > 1, то у < 0 на (0; 1), у > 0 на (1; +оо); якщо 0 < а < 1, то у < 0 на (1; +оо), у > 0 на (0; 1)
Зростання / спадання Якщо а > 1, то функція є зростаючою; якщо 0 < а < 1, то функція є спадною
Неперервність Неперервна
Диференційов- ність Диференційовна
Асимптоти Пряма х = 0 — вертикальна асимптота, коли х прямує до нуля справа
ПРИКЛАД 1 Порівняйте з одиницею основу а логарифма,
коли відомо, що 1о£а 5 < 1о£а 4.
Розв’язання. Оскільки 5 > 4, а 1о£а 5 < 1о£а 4, то до-
ходимо висновку, що а < 1. •
ПІ ИКЛАД 2 Знайдіть область визначення функції:
1) / (х) = 1о£0,3 (х2 + Зх); 3) / (х) = ІО£Х - 4 (16 - х).
2) /(х) = 1Є(9~х2);
1Є(х + 2)
Розв’язання. 1) Оскільки областю визначення лога-
рифмічної функції є множина додатних чисел, то областю
визначення даної функції є множина розв’язків нерівності
х2 + Зх > 0.
Маємо: х (х + 3) > 0; х < -3 або х > 0.
Отже, В (/) = (-оо; -3) Сі (0; +оо).
2) Вираз (9 - х2) має зміст при 9 - х2 > 0, вираз
(х + 2) — при х + 2 > 0. Крім того, знаменник дробу не
може дорівнювати нулю, тому (х + 2) * 0. Таким чином,
область визначення В (/) даної функції є множиною
розв’язків системи нерівностей:
х + 2* 1.
Маємо: -
х * -1;
Рис. 20.2
-З < х < З,
х > -2, Звернувшись до рисунка 20.2,
х * -1.
Доходимо висновку, що остання система рівносильна сукуп-
ності
-2<х<-1,
-1<х<3.
Отже, £>(/) = (-2; -1) І) (-1; 3).
3) Область визначення даної функції знайдемо, розв’я-
завши систему нерівностей:
16-х >0,
х-4 > 0,
х-4*1.
х<16,
Тоді
х > 4,
х*5;
4 < х < 5,
5<х<16.
Звідси £>(/) = (4; 5) Сі (5; 16). •
ПРИКЛАД 3 Порівняйте:
1) 1о£2 6 і 1о£2 7; 3) 1о£6 7 і 1о£7 6; 5) к>£?, 38 і -2.
6
2) ІО£012 6 і ІО£012 7; 4) 1о£п 4 і 0;
Розв’язання
1) Оскільки логарифмічна функція у = 1о£2х є зростаю-
чою, то 1о&2 6 < 1о&2 7.
2) Оскільки логарифмічна функція у = 1о£0 2 х є спадною,
ТО ІО£0і2 6 > ІО£о,2 7.
3) Маємо: к>£6 7 > 1о&6 6, тобто 1о&6 7 > 1. Разом з тим
1о£7 7 > 1о&7 6, тобто 1 > 1о&7 6. Отже, ІО£6 7 > 1 > ІО£7 6.
4) Ураховуючи, що 0< —<1, маємо: 1о£п
4 4
ІО£Л 4 < 0.
4
ґ і У2
5) Маємо: -2 = 1ое. — =102. 36.
4 <ІО£П 1. Отже,
4
Оскільки к>£! 38<1о^! 36, то Іо^ 38 <-2. •
6 6 б
Вправи
20.1. Зростаючою чи спадною є функція:
1)і/ = 1о£іХ; 4) у = х; 7) у = 1о&^ гх;
2
2) у = ІО£3 х; 5) у = ІО£^ х; 8) у = 1о£д х?
6
3) у = ІО£0д х; 6) у = ІО£Я х;
з
20.2. ° Спираючись на яку властивість логарифмічної функції
можна стверджувати, що:
1) 1£ 7 > 5;
20.3. ° Порівняйте:
1) 1о£12 5 і 1о£12 6;
2) 1о£5 і і 1о£5
3) 1о£і 2 і 1о£г 4;
З з
20.4. ° Порівняйте:
1) ІО£019 а/з і 1о£0 9 а/2;
2) ІО£7 і і 1о£7
О Сі
2) 1о£0,б 4 < 1°£о,б З?
, 4 . . 5
4) ІО£1 - 1 ІО£1
9 0 96
5) ІО£Я 0,7 і ІО£Я 0,6;
6) 1о£2л 8,4 і 1о£2л 8,3.
5. 5
3) 1о£2 6,8 і 1о£2 6,9;
з з
4) і 1£-.
З 4
20.5. ° Порівняйте з одиницею основу логарифма, якщо
1) 1о£а 0,5 > 1о£а 0,4; 3) 1о£а а/5 <1о£а а/6;
2) 1о£о | > 1о£о І; 4) 1о£а < 1о£а
о 4 о
20.6. ° Порівняйте з одиницею основу логарифма, якщо:
1) 1о£« I > ; 2) 1о£« 1 2 З < к)£а л/з.
О Сі
20.7.° Додатним чи від’ємним числом є:
1)1о£0.50,6; 2) 1о£0>3 3; 3) 1о£2 0,27; 4) 1о£л З?
20.8.° Порівняйте з нулем:
1) 1о£4 5; 2) 1о£2 |; 3) Іо^ |; 4) 1о£я 2.
З з 2 з
20.9. ° Знайдіть найбільше і найменше значення функції на
даному відрізку:
1) У = ІО£2 X
2) у = 1о^і х,
2
-;8 ;
14
—;8І;
116 .1
3) у = 1о£2 х,
З
4 81
.9’16.
20.10. ° Знайдіть найбільше і найменше значення функції
на даному відрізку:
1) У = ІО£1 X,
з
2) у = 1£ X, [1; 1000].
-;3 ;
19
20.11. ° На якому проміжку функція у = 1о£2 х набуває най-
більшого значення, яке дорівнює 3, і найменшого, яке
дорівнює -1?
20.12/ На якому проміжку функція і/= 10^ х набуває най-
2
більшого значення, яке дорівнює -1, і найменшого, яке
дорівнює -2?
20.13/ Знайдіть область визначення функції:
1) / (х) = 1о£3 (х + 1);
2) /(х) = 1о£і (х2+1);
3) / (х) = 1о£4 (-х);
4) / (х) = І£ х2;
5) / (х) = 1о£5 (х2 + х + 1);
6) / (х) = 1о£0>6 (5х - 6 - х2);
7) / (х) = 2 1£ х + З 1£ (2 - х);
8) /(х) = 1о£2
х + 7
20.14. ’ Знайдіть область визначення функції:
1) / (х) = 1о£7 (6 - х);
2) / (х) = 1о£12 і х |;
3) ї (х) = І£ (х2 - 1);
4) / (х) = 1о£0>4 (7х - х2);
5) / (х) = 1£ (х + 2) - 2 1£ (х + 5);
6) /(х)-1Є—.
х-1
20.15/ Побудуйте на одній координатній площині графіки
функцій у = 1о£2 х і і/ = 1о£2 —. Яке взаємне розміщення
побудованих графіків?
20.16. ° Побудуйте на одній координатній площині графіки
функцій у = 1о£3 х і у - 1о£ 1 х. Яке взаємне розміщення
з
побудованих графіків?
20.17. * Порівняйте:
1) 1о£9 2 і 3; 3) 1о& г„ 26 і 6;
2) 1оЄ1 27 і -2; 4) 1о£1е 0,1 і —.
5 4
20.18. * Порівняйте:
1) 1о8о>1 12 і 1; 2) 1о£4 З і 3) | і 1о£125 ЗО.
А о
20.19. ’ Між якими двома послідовними цілими числами
міститься на числовій прямій число:
1) 1о£3 10; 2) 1о£2 5; 3) 1оЄ1 7; 4) 1о£0д 2?
з
20.20. * Між якими двома послідовними цілими числами
міститься на числовій прямій число:
1) 1о£2 29; 2) 1о81 9?
2
20.21. * Порівняйте:
1) 1о£4 5 і 1о£5 4; 3) 1о£0>7 0,8 і 1о£0 8 0,7;
2) 1о£1і5 1,3 і 1о£1і3 1,5; 4) 1о£0 2 0,1 і 1о£01 0,2.
20.22. ' Порівняйте:
1) 1о£1/? 1,8 і 1о£18 1,7; 2) 1о£0 2 0,3 і 1о£0>3 0,2.
20.23. * Знайдіть область визначення функції:
1) /(х) = —ї 3) / (х) = 1о£2 сов х;
І£Х
2) / (х) =---------; 4) / (х) = 1о£3 х.
ІО£5 (10-х)
20.24. ’ Знайдіть область визначення функції:
1) У = , 5 о ; 2) у = І£ віп х.
І£ (х + 3)
20.25. ’ Побудуйте графік функції:
1) У = 1о£2 (х - 1); 3) у = 1о£2 х-1; 5) у = -1о£2 х;
2) у = 1о£2 (х + 3); 4) у = 1о£2 х + 3; 6) у = 1о£2 (~х).
20.26. * Побудуйте графік функції:
1) у = 1о£і (х-2); 3) у = 1о£і х-2;
з з
2) ^ = 1о^і (х + 1); 4)у = 1о£1 х + 1;
з з
20.27. * Розв’яжіть графічно рівняння:
1) 1о£2 х = 3 - х; 2) 1о£1 х = х-1;
з
20.28. * Розв’яжіть графічно рівняння:
5) у = -1о£і х;
З
6) Г/ = ІО£1(-Х).
З
3) 1о£2 х = -х - 0,5.
1) 1о£! х = х + -;
2 2
2) 1о£3х = 4 - х.
20.29. * Установіть графічно кількість коренів рівняння:
1) 1о£2 х = -х; 2) 1о£3 х = —х2; 3) Іо^ х = 4х.
2
20.30. * Скільки коренів має рівняння:
= к>£2 х;
2) 1о£2 х = -?
20.31. ** Порівняйте 1о£2 3 + 1о£3 2 і 2.
20.32. ” Доведіть, що 1о^4 4 + к>£4 -<-2.
з З
20.33. ’* Знайдіть область визначення функції:
1) У = І£ х2;
2) у = І£ (1 - віп х);
з) у= |іоеі Ц+*2);
V з
4) у = у]1£ совх;
5) у =--------+ л/б-х;
ІО£6 (х-3)
|(х+1)(3-х\
У \ 1£(х2+1) ’
8) ї/ = 1о£5 (х2-4х + 3) + --
1о85 (7-х)
9) ^ = І£(6х-х2) + ——-
1£ (3-х)
10) у = 1о£х + 3 (х2 + х).
20.34. ” Знайдіть область визначення функції:
1)
1
І£ (Х2+1)’
6) !/ = І£(Юх-х2)------;
1£(8-х)
2) у = 1£ (1 + 8Іп х); 7) у = —----
18(4-х )
3) у = уІ^(1 + х2)-,
4) у = д/18 віпх;
5) у = І£(х+8)-
5
І£(-х-1)’
8) і/ = і£(9х-х2)--------;
1Є(5-х)
9) у = 1о£2 _х (8 + 7х - х2);
10)
у І8(х +1)
20.35. ” Побудуйте графік функції:
1) !/ = | 1о£і х І; 3) у =
І 2 І 1О80>2 х
2) у = 1081 І х |; 4) у = 71О8І X ІО£Х 3.
20.36. ” Побудуйте графік функції:
1) У = І 1о£3 х І; 2) у = 1о£3 | х |;
з> »=-£&£
>/ІОЄ2 ’
20.37. ” Знайдіть найбільше значення функції:
1) У = 1о£о,і (х2 + ЮО); 2) у = 1о8і (х2-6х + 14).
5
20.38/ * Знайдіть найменше значення функції:
!) = 2) у = 1о£і —~-
2 х +8 з х -4х + 7
20.39. ” Дослідіть на парність функцію у = І£ (>/х2 +1 - х
20.40. ” Дослідіть на парність функцію у = І£ (>/х2 +1 + х
25.
Логарифмічні рівняння
Рівняння виду 1о£ц х = Ь, де а > 0, а Ф 1, називають най-
простішим логарифмічним рівнянням.
Оскільки графіки функцій у = 1о£а х і у = Ь перетинають-
ся в одній точці (рис. 21.1), то найпростіше логарифмічне
рівняння має єдиний корінь при будь-якому Ь. Цей корінь
можна знайти, використовуючи означення логарифма.
Маємо: х = аь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння 1о£3 (Зх - 1) = 2.
Розв’язання. За означенням логарифма можна записа-
ти Зх - 1 = З2. Звідси Зх - 1 = 9; х = —.
„.я а 10
Відповідь'. —.
З
Розв’язане рівняння є окремим випадком рівняння виду
1о£о / (х) = Ь, де а > 0, а Ф 1. Міркуючи, як у прикладі 1,
можна показати, що це рівняння рівносильне рівнянню
/ (х) = аь.
При розв’язуванні багатьох логарифмічних рівнянь за-
стосовують таку теорему.
Теорема 21.1. Нехай а > 0, а * 1. Якщо 1о£о х, = 1о£о х2,
то Хі = х2, і навпаки, якщо хг> 0, хг> 0 і хг = х2, то
1о£а хі = 1о£а х2.
Оскільки логарифмічна функція є зростаючою або спад-
ною, то для доведення цієї теореми можна скористатися
ідеєю доведення теореми 17.1. Переконайтеся в цьому са-
мостійно.
Наслідок. Нехай а > 0, а Ф 1. Рівняння виду 1о£„ / (х) =
= § (х) рівносильне будь-якій із систем
ї(х) = £(х),
‘/(х)>0
або
ї(х) = £(х),
&(х)>0.
Вибір відповідної системи, як правило, пов’язаний
з тим, яку з нерівностей, / (х) > 0 чи § (х) > 0, розв’язати
легше.
Скориставшись ідеєю доведення наслідку з теореми 17.1,
доведіть наслідок з теореми 21.1 самостійно.
Тепер розв’язання рівняння прикладу 1 можна оформити
і так:
іо£3 (Зх - 1) = 2 ІО£3 З,
1о£3 (Зх - 1) = 1о£3 З2,
Зх - 1 = З2, х = —.
З
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
І£ (х2 - 4х + 2) = І£ (2х - 3).
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
х2 -4х + 2 = 2х-3,
2х-3 > 0.
х2 -6х + 5 = 0,
Маємо:
х = 1,
х = 5,
З
х > —.
2
Звідси х = 5.
Відповідь: 5.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння
1о£3 (2х - 1) 4- ІО£3 (х - 2) = 3.
Розв’язання. Природно перетворити це рівняння так:
ІО£3 ((2х - 1) (х - 2)) = 3.
Звідси (2х - 1) (х - 2) = З3; 2х2 - 5х - 25 = 0;
„ „ 5
х = 5 або х - —.
2
5
Легко переконатися, що число — не входить до облас-
2
ті визначення даного рівняння.
У чому ж полягає причина появи стороннього кореня?
Область визначення початкового рівняння задається систе-
мою нерівностей
2х-1>0,
множиною розв’язків якої є про-
міжок (2; 4-со). Замінивши вираз 1о£3 (2х - 1) 4- 1о£3 (х - 2) на
вираз 1о£3 ((2х - 1)(х - 2)), ми розширили область визначення
початкового рівняння. Справді, область визначення рівняння
к>£3 ((2х - 1)(х - 2)) = 3 задається нерівністю (2х - 1)(х - 2) > 0,
множиною розв’язків якої є
—оо; — ІО (2; +оо).
Отже, розширення області визначення рівняння від мно-
жини (2; 4-со) до множини
’ 27 № +0°) і стало ПРИЧИНОЮ
5
появи стороннього кореня .
Насправді рівняння 1о£3 (2х - 1) + 1о£3 (х - 2) = 3 рівно-
сильне системі
1о£3 ((2х -1) (х - 2)) = З,
2х-1>0,
Звідси
(2х-1)(х-2) = 33, |2х2-5х-25 = 0,
х = 5,
5
х =----,
2
Отримуємо х = 5.
Відповідь: 5.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння 1о£2 х + 1о£х 2 = —.
Розв’язання. Оскільки 1о£ 2 =—-—, то дане рівняння
ІО£2 X
рівносильне рівнянню
л 1 5
ІО£„ X +------ —.
ІО£2 х 2
1 5
Нехай 1о£2 х = і. Тоді отримуємо: і + - = —
і 2
Звідси
2іг-5і + 2 = 0, „
Отже,
і*0.
1
І=~,
2
1 = 2.
Тоді початкове рівняння рівносильне сукупності
Звідси
х = 22,
х = 22;
Відповідь: >І2;
л 1
ІО£2Х = -,
1о£2 х = 2.
х = ^2,
х = 4.
4.
1Є* + 2
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння х 3 =102 + 1ех.
Розв’язання. Оскільки на області визначення рівняння,
тобто на множині (0; +°о), обидві його частини набувають
додатних значень, то можемо записати рівняння, рівно-
сильне даному:
і£х + 2
І£Х 3 =І£І02 + 16\
_ . І£х + 2
Далі маємо:-------1£ х = 2 +ш х.
З
Нехай І£ х = і. Тоді і =2 + і.
З
Звідси і = -2 або і = 3;
х = -2,
І£х = 3;
х = 10“2,
х = 103.
Відповідь: 0,01; 1000.
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння
2 ІО£3 (х - 2) + ІО£3 (х - 4)2 = 0. (1)
Розв’язання. Зазначимо, що перехід від рівняння (1)
до рівняння
2 ІО£3 (х - 2) + 2 ІО£3 (х - 4) = 0. (2)
може призвести до втрати розв’язків.
Справді, областю визначення початкового рівняння
є множина (2; 4) II (4; +со), а область визначення рівнян-
ня (2) — це множина (4; +со). Отже, такий перехід звужує
область визначення початкового рівняння на множину
(2; 4), яка може містити корені рівняння (1).
Насправді рівняння (1) рівносильне такому рівнянню:
2 1о£3 (х - 2) + 2 1о£3 | х - 4 | = 0.
Звідси 1о£3 (х - 2) + 1о£3 | х - 4 | = 0.
Це рівняння рівносильне сукупності двох систем:
Ґ2<х<4,
[1о£3 (х - 2) + 1о£3 (4 - х) = 0,
ґх >4,
[1о£3 (х - 2) + 1о£3 (х - 4) = 0.
Далі маємо:
2 < х < 4,
1о£3 ((х-2)(4-х)) = 0,
ІО£3 ((х-2)(х-4)) = 0;
2 < х < 4,
(х-2) (4-х) = 1,
х >4,
(х-2)(х-4) = 1;
2 < х < 4,
х2 —6х + 9 = 0,
х >4,
х2 —6х + 7 = 0;
2 < х < 4,
х = 3,
х>4,
• х = 3—л/2,
х = 3+л/З;
х = 3,
х = 3+л/2.
Відповідь'. 3; 3+ -72.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння ІО£ 216 +1о£2х64 = 3.
Розв’язання. Перейдемо до логарифмів з основою 2:
1о£2 16 1о£2 64
2 ' *
1о&2 X ІО£2 2х
Оскільки з умови випливає, що х > 0, то 1о&2 х2 = 2 іо&2 х.
Далі маємо:
2іо&2 х 1о£2 2 + 1о&2 х
р 0
Нехай 1о£2 х = і, тоді отримаємо — +--= 3.
і 1 + і
Звідси І = 2 або і = —. Маємо:
З
1о£2 х = 2, , 1 1о£2 х = —; 1 3 1 1 н н 1! II N3 N3 І м *
Відповідь: 4; 2 3.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть рівняння ІО£7 (х + 8) = -X.
Розв’язання. Розглянемо функції / (х) = ІО£7 (х + 8) і
§ (х) = —х. Функція / є зростаючою, функція § — спадною.
Тоді рівняння / (х) = § (х) має не більше одного кореня.
Оскільки / (-1) = § (-1), то х = -1 — єдиний корінь даного
рівняння.
Відповідь: -1.
ПРИКЛАД 9 Розв’яжіть рівняння
8ІПХ— 1о£3 (х-2) = 0.
Розв’язання. Помилково вважати, що рівняння виду
/ (х) • § (х) = 0 рівносильне сукупності
/(х) = 0,
£(х) = 0.
При тако-
му переході існує небезпека отримати у відповіді сторонні
корені. Наприклад, немає гарантії, що всі корені рівняння
/ (х) = 0 належать області визначення функції §.
Насправді рівняння / (х) • § (х) = 0 рівносильне системі
|7(х) = 0,
£(х) = 0,
'хеР(/)(
хеЛ(^).
Скориставшись цим, запишемо систему, рівносильну
рівнянню . віпх—— 1о£„ (х-2) = 0:
V 2
1о£3 (х-2) = 0,
1
. І- 2
х >2,
1
81ПХ>—.
2
Єдиним коренем першого рівняння сукупності є число 3.
5л 1
Оскільки віп 3 < віп — = - (рис. 21.2), то х = 3 не є коренем
6 2
початкового рівняння.
Рис. 21.2
Усі числа виду (-!)"•— + тт, п є 2, є коренями другого
6
рівняння сукупності. Серед них слід вибрати лише ті, які
задовольняють умову х > 2. Для цього достатньо вимагати,
щоб п є N.
7Г
Відповідь: (-!)“•—+пп, п є N.
ПРИКЛАД 10 Розв’яжіть систему рівнянь
.4у + х = 32,
ІО£3 (X-у) = 1-ІО£3 (Х+І/).
2х .
Розв’язання. Маємо:
,2у х =25,
З першого рівняння
Звідси — = 2 або
У
х
У
1
2
ІО£3 (X - у) + ІО£3 (х + у) = 1.
х у 5
системи випливає, що — + — =
У х 2
Отже, дана система рівносильна
сукупності двох систем.
1)
- = 2,
У
ІО£3 (х-у) + 1о£3 (%+£/) = !.
Маємо: 1о£3 у + 1о£3 Зу = 1; 1о£3 у + (1о£3 3 + 1о£3 у) = 1;
21о£3 у = 0; у = 1. Тоді х = 2.
х 1
2) ?“2’
ІО£3 (х - У) + 1о£3 (х + у) = 1.
Легко переконатися (зробіть це самостійно), що ця сис-
тема розв’язків не має.
Відповідь: (2; 1).
Вправи
21.1. ° Розв’яжіть рівняння:
1) ІО£2 (х - 1) = 1;
2) 1о£3 (2х + 1) = 3;
3) 1£ (3 - 2х) = 2;
21.2. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£і (х + 7) = -3;
2) 1о&4 (2х - 5) = 0,5;
4) ІО&! (4х-8) = -2;
її
5) 1о&7 (х2 - 2х - 8) = 1;
6) 1о&і (х2 +4х-5) = -4.
2
3) 1о£^ (х2 -5х-3) = 2;
4) ІО&! (х2-5х + 6) = -1.
2
14 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
209
21.3. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£л (х + 1) = 1о£л (4х - 5);
2) 1о£5 (Зх - 5) = 1о£5 (х - 3);
3) І£ (х2 + 2) = 1£ (Зх + 6).
21.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£9 (4х - 6) = 1о£9 (х - 2); 2) 1о£) (х + 7) = 1о£х (х2 + 5).
4 4
21.5/ Розв’яжіть рівняння:
1) ІО£2 л/х-1о£2- = 6;
х
2) ІО£2 х + ІО£4 х + ІО£8 X = 11;
3) ІО£6 х + 2 ІО£36 х + 3 ІО£216 х = 3;
4) 1о£7 1о£4 (х - 2) = 0;
5) 1о£4 1о£3 1о£2 х = |;
21.6. * Розв’яжіть рівняння:
1 /— 4
1) 1о£3- + ІО£3 УІХ =-; 3) І£ І£ І£ X = 0.
х З
2) ІО£5 х - ІО£25 х + ІО£625 х = І;
4
21.7.' Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£2 (З5х“3 4 5 6 7 8 + 1) = 2; 3) 1о&2 (2х + 7) = 3 - х;
2) 1о£3 (3х-1 + 6) = х; 4) 1о£6 (6 х - 5) = х + 1.
21.8.* Розв’яжіть рівняння:
1)ІО£6(6Х + 1 - ЗО) = х; 2) ІО£5 (6 - 5х) = 1 - х.
21.9.’ Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 - 2х) = (2х + 12);
2) 1о£4 (х - 1) = 1о£4 (х2 - х - 16);
3) 1о£0,5 (я2 + Зх -10) = 1о£0,5 (х - 2);
4) 1о£6 (х2 - х - 2) = 1о£6 (2 - х);
5) 2 1о£0,4 х = 1о£0,4 (2х2 - х);
6) 2 1о£7 (—х) = 1о£7 (х + 2);
7) 2 1о£8 (1 - х) = 1о£8 (2,5х + 1);
8) 2 ІО£3 х = 1 + 1о£3 (х + 6).
21.10/ Розв’яжіть рівняння:
1) ІО£6 (9 - X2) = ІО£6 (1 - 2х) ;
2) 1£ (х2 + 2х - 3) = 1£ (2х2 - 2);
3) 1о£0 7 (2х2 - 9х + 4) = 2 1о£0>7 (х + 2);
4) 2 1о£2 (~х) - 1о£2 (Зх + 8) = 1.
21.11/ Розв’яжіть рівняння:
1) |1о£6(5х + 1) = 1о£6(х-1);
2) 1о£5 (25х - 2 • 5х) = 2 1о£25 15;
3) 1о^(16х-6) = 2 + 1о^(4х-2);
4) х 1£ 3 - 1 = 2 1£ 3 - 1£ (3х + 1).
21.12/ Розв’яжіть рівняння:
1) 11о£0,і (2х + 3) - 1о£0д (2х - 3) = 0;
2) 1о£3 (22х + 2х) = 2 1о£9 12;
3) х - 1£ 5 = х 1£ 5 + 2 1£ 2 - 1£ (1 + 2х).
21.13/ Розв’яжіть рівняння:
1) 1о&4 (х - 3) + 1о£4 х = 1;
2) 1о£0,5 (4 - х) + 1о£0,5 (х - 1) = -1;
3) 1£ (х - 2) + 1£ (х - 3) = 1 - І£б;
4) ІО£3 (2х - 1) + ІО£3 (х - 4) = 2;
5) 1£ л/бх-4 +1£ х/х+ї = 2 + і£ 0,18;
6) 1£ (х - 1) + 1£ (х - 3) = 1£ (1,5х - 3);
7) ІО£2 (5-х) - ІО£2 (х - 1) = 1 - ІО£2 (х + 2);
8) 2 іо£5 (х + 1) - 1о£5 (х + 9) = 1о£5 (Зх - 17).
21.14/ Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£7 х + 1о£7 (х + 6) = 1;
2) 1о£3 (5 - х) + 1о£3 (3 - х) = 1;
3) Іо^ (4х-1)+1о§! (х + 1) = 1о£0 5 3,5;
4) 1о£0,б (х + 2) + 1о£0,б (6 - х) = 1о£0,б (х + 8);
5) 1о£2 (2х - 1) - 1о£2 (х + 2) = 2 - 1о£2 (х + 1);
6) 2 І£ (х + 1) - І£ (4х - 5) - І£ (х - 5).
21.15. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) ІО£3 (5х + 2) + ІО£3 (5х - 1) = 2 + ІО£3 2;
2) 1о£2 (2х + 3) + 1о£2 (5 - 2х) = 4.
21.16. * Розв’яжіть рівняння:
1) 1о^(2х-3) + 1о^(2х-1) = 2;
2) І£ (3х - 4) + І£ (3х - 2) = 1.
21.17. " Розв’яжіть рівняння:
1) 1о§2 х + 31о&2 х-4 = 0; 4) 1о&5 х + 1о£х 5 = 2,5;
2) 1о£| х-1о&3 х-2 = 0; 5) 21о§! х + 3 І1о^1 х-5 = 0;
б V б
3) 1£2 х - 2 І£ х2 + 3 = 0; 6)---------+-----------= 1.
1б(х + 2)-3 1б(х + 2) + 1
21.18. * Розв’яжіть рівняння:
1) ЗІО&І (-х)-21о&8 (-х)-1 = 0;
2) 21о£7 у[х =1о£2 х-6;
3) 3 1о£3 х + 3 1о£ж 3 = 10;
4) ------------— = 1.
І£ X + 2 X -1
21.19. ** Розв’яжіть рівняння:
1) , 4) 1о^ + 1 (^ + 3) = 2;
16 (8х-7)
2) 1оеА(х +*-2)-1 = 0. 5) 1о^ 2 (2хг _ ііх + і6) = 2.
1об4 (х-1)
3) ІО£Х (2х2 - 7х + 12) = 2;
21.20. ” Розв’яжіть рівняння:
21о&2 х __ 1;
1о£2(3-2х)
1об5(х2-9х + 25)-1
) — о,
16 (х-3)
3) 1о£х _ і (X2 - 5х + 7) = 1;
4) 1о£х (х + 6) = 2;
5) 1о£2х_3 (Зх2 - 7х + 3) = 2.
21.21. “ Розв’яжіть рівняння:
1) ІО& (х - 5)2 - 2 1о£2 (х + 2) = 2; 2) |і£х2+І£(х + 7) = 1.
21.22. “ Розв’яжіть рівняння:
1) -1о£2 х4 +1о£2 (х + 10) = 3 + 1о£2 3;
4
2) І1о£6 х2+1о£6 (5-х) = 1.
2
21.23. " Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£з х3+41о£3 х-5 = 0;
2) І£ (10х2)-і£ х = 1;
3) 1о£4 х2 • 1о£4 = 2;
4) 1о£2 (4х)-1о£2 (0,25х) = 5;
5) І£2 (ЮОх) + 2 І£ х = 20;
6) Іое2(5х)+1ое6—3;
7) І£ (І£ X) + І£ (І£ X2 - 1) = 0;
8) 2 І£ (І£ X) = І£ (2 І£ X + 8).
21.24. ” Розв’яжіть рівняння:
1) З І£2 х2 - х - 1 = 0;
2) 1о£3 х2 -1о£з^ + 4 = 0;
& І
3) ІО£7 (7х) • ІО£7 у = ІО£7 х2 -1;
4) І£2 (Юх) + (Юх) = 6 + З х;
5) 1о£|(36х) + 1о£6^ = 8;
6) ІО£5 (ІО£2 х) + ІО£5 (ІО£2 х3 - 14) = 1.
21.25. “ Розв’яжіть рівняння:
1)х1ОЄ5*=5; 3) хІОЄзХ-3=і;
9
2) х'ех + 2 = 1000; 4) х1О8бХ =216х2.
21.26. ** Розв’яжіть рівняння:
1) х1ОЄзх = 81; 3) хІов2х~г = 256;
2) х1ех = ЮОх; 4) (</х)‘8Х = 106+16Х.
21.27. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£х 4 + 1о£ї2 64 = 5;
2) 3 1о£х 16-4 1о£іб х = 2 1о£2 х;
3) 1о£х 2 • 1о£2х 2 = іо£4х 2;
4) 3 1о£3х х = 2 1о£9х х2;
5) 2 1о£4х х3 = 5 1о£2х х;
6) 1о£4ж 2 + ІО£2 х = 0.
21.28. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 1о£х (9х2) 1о£| х = 4;
2) 51о§хх + 1о§9 х3+81о£9*2 х2-2;
2-41о£122 1о£6 (8-х)
•5 / А у
І0£12(х + 2) ІО£6 (х + 2)
4) 1о£х +! (х3 - 9х + 8) 1о£х _! (х + 1) = 3.
21.29. *' Розв’яжіть рівняння:
1) ІО£Х9 + ІО£*2 729 = 10;
2) 1о£х (125х)1о£25 х = 1;
3) 3 1о£х 4 + 2 1о£4х 4 + 3 1о£і6х 4 = 0.
21.30. ” Доведіть, що при х>0, у > 0, а > 0 і а # 1 викону-
• • ІО£ V ІО£ X
ється рівність X ° = у а .
21.31. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х1е5 + 51ех = 250; 2) З10*3* +х1ОЄз* =18.
21.32. " Розв’яжіть рівняння:
1) х108210 +10’°82 х = 200; 2) У108?х + х‘°87х = 14.
21.33. ” Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
9х-4-З5 +27 = 0,
І£ (2у - Зх) = І£ (4 - 4х + у);
2)
Х1о8з&
ІОВо X 1 _
+ у 3 =18.
1о£3х + 1о£3у = 3;
3)
4)
5)
6)
хЮв8!/+^1ов8х=4і
1о£4 х-1о£4 у = 1;
, 1 5
ІО£ Х + ІО£х у = -,
ї 2
ху = 27;
1о£3 (х + 2у) + 1о£ і (х - 2у) = 1,
З
х2+у2 =4+|і/;
[х1о=2,
[хі/ = 20.
21.34. *' Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
2)
3)
4)
5)
4х +2*'=12,
І£ (Зх - 2у) = І£ (5 + х - Зу);
1о£2х-1о£2 і/ = 2;
1о£х (Зх + 2і/) = 2,
1о£у (2х + Зі/) = 2;
2-1о£2 г/ = 21о£2 (х + і/),
1о£2 (х + у)+1о£2 (х2 - ху + у2) = 1;
(х+і/)3'-*=А
ЗІО£5 (х + у) = х-у.
21.35. *' Розв’яжіть рівняння:
1) 1о&7 (х + 8) = -х;
2) 1о£2 х+(х-1)1о^2 х = 6-2х.
21.36. ” Розв’яжіть рівняння:
1) ІО&! (х-5) = х-9;
з
2) 1о&з х + (х-1)1о£3 х = 12-3х.
21.37. ” Розв’яжіть рівняння
І£2 (х + 1) = І£ (X + 1) І£ (х - 1) + 2 І£2 (X - 1).
21.38. " Розв’яжіть рівняння
2 І£2 (2х - 1) = І£2 (2х + 1) - І£ (2х - 1) • І£ (2х + 1).
21.39. " Розв’яжіть рівняння:
1) х2 1о£х 27 • 1о£9 х = х + 4;
2) І£>/1 + х + ЗІ£л/1-х-2 = І£уіі-х2.
21.40. ” Розв’яжіть рівняння.
2) 1о£1 + х + йпх (х2 + х - 1) = 1о£і + х + 8іпх (Зх + 2).
21.41. ” Розв’яжіть рівняння х + 1 •1о§1 (3-х) = 0.
2
21.42. ” Скільки розв’язків має рівняння
(1о&2 (х + 1)-3)у/х-а = 0
залежно від значення параметра а?
21.43. ” Скільки розв’язків має рівняння
(1о£3 (х-2)-2) у/х-а = 0
залежно від значення параметра а?
21.44. ” При яких значеннях параметра а рівняння
(х - а) 1о£2 (3х - 7) = 0 має єдиний розв’язок?
21.45. ” При яких значеннях параметра а рівняння
(х + а) 1о£3 (2х - 5) = 0 має єдиний розв’язок?
22.
____4
Логарифмічні нерівності
При розв’язуванні багатьох логарифмічних нерівностей
застосовують таку теорему.
Теорема 22.1. При а > 1 нерівність 1о£о хг > 1оц„ х2
виконується тоді і тільки тоді, коли хг > х2> 0; при
0 < а < 1 нерівність 1о£а х1 > 1о£а х2 виконується тоді
і тільки тоді, коли 0 < х1 < х2.
Справедливість цієї теореми випливає з того, що при а > 1
логарифмічна функція г/ = Іо£ах є зростаючою, а при
0 < а < 1 — спадною.
Нас лід ок. Якщо а > 1, то нерівність 1о£а / (х) > 1о£а £ (х)
рівносильна системі
ї(х)>$(х),
§ (х) > 0.
Якщо 0 < а < 1, то нерівність 1о£о / (х) > 1о£о £ (х)
рівносильна системі
/ (х) < £ (х),
/(х)>0.
Скориставшись ідеєю доведення наслідку з теореми 17.1,
доведіть цей наслідок самостійно.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність ІО£2 X > 3.
Розв’язання. Оскільки 3 = 1о&2 23, то можна записати:
іо£2 х > 1о£2 23.
Ця нерівність рівносильна такій: х > 23. Звідси х > 8.
Відповідь'. (8; +со).
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність ІО£0 3 X > 1.
Розв’язання. Маємо: 1о&03 х > 1о&0>3 0,3.
Ця нерівність рівносильна системі
х<0,3;
х > 0.
Відповідь: (0; 0,3].
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність
ІО&! (Зх-4)<1о£і (х-2).
2
2
Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі
Зх-4 > х-2,
х-2 > 0.
Звідси
х>1,
х > 2;
х > 2
Відповідь: (2; +со).
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність
ІО£І (х-І)2-^ (х-1)-5>0.
Розв’язання. Оскільки областю визначення даної не-
рівності є проміжок (1; +°о), то виконується рівність
ІО£2 (х - І)2 = 2 ІО£2 (х - 1)-
Тоді дану нерівність можна переписати так:
4іо&2 (х-1) + 1о&2 (х-1)-5>0.
Нехай 1о£2 (х - 1) = і. Отримуємо:
4ї2 + і - 5 > 0;
5
4
Маємо:
1о£2’(х-!)<-^,
4
1о£2 (х-1)>1;
5
ІО£.
ІО£.
5
(х-1)<1о£2 2 4
(х- 1)>ІО£2 2;
х<1+—
у32
2
2
Відповідь:
1 ї
1;1+-7= 0(3;+<ю).
• 5
• ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність ІО£ 3 ІО&! х>0.
2 її
1 5
Розв’язання. Маємо:-------------і-1о£„х>0.
* 1о£3 х 2
* 15
Нехай 1о$з х = і. Тоді----ь^>0. Звідси
• і 2
2ґ2-5ґ + 2^ р
2і
Скориставшись методом
інтервалів (рис. 22.1), отри-
• муємо:
1
2’
(2*-і)д-2)
2і
Рис. 22.1
Далі маємо:
П 1 1
0<ІО£3 Х<~,
іо£3 х > 2 ;
1<Х< л/З,
х>9.
Відповідь: (1;л/з)ь(9;+ <ю).
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність 1о£х —; > 0.
X +1
Розв’язання. Перепишемо дану нерівність так:
______-1
1о£г —5—>1о& 1. Ця нерівність рівносильна сукупності
X +1
двох систем.
1)
^>0
І 1
Зх-1
„2 , -і
Звідси
Зх-1>0,
х2-Зх + 2>0;
-<х<1
З
х2-Зх + 2>0;
1
з
1
З
х < 2.
х2 -Зх + 2<0;
.2
2) 13х-1 _ Звідси
Відповідь: [ —; 1 |и(1;2). ІЗ )
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність 1о£з (х + 7) < 4 - х.
Розв’язання. Маємо: 1о£3 (х + 7) + х - 4 < 0.
Розглянемо функцію / (х) - 1о£3 (х + 7) + х - 4. Вона
зростає на £> (/) - (-7; +<ю). Зауважимо, що / (2) = 0. Отже,
при х > 2 отримуємо, що / (х) > / (2) = 0, а при -7 < х < 2
отримаємо, що / (х) < / (2) = 0.
Відповідь: (-7; 2).
Вправи
22.1. ° Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£0,і х < 1о£0.і 9;
2) 1о£ц х > 1о£п 12;
3) 1о£0,8 х > 1о£о,8 14;
4) 1о£7 х < 1о£7 15;
22. 2 Розв’яжіть нерівність:
1) І£ X < І£ 4;
2) 1о£5 х>іо£3 ®;
3) 1о£і2 (.х ~ 8) > 1°£>і2 3;
22. 3.° Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£7 х > 2;
2) 1о£5 х < -1;
3) 1о£4 х<5;
2
4) ІО&! х>1;
з
5) 1о&2 (5х + 1) > 4;
5) 1о£з (х + 5)<1о£з 8;
6) 1о£8 (2х - 3) > 1о£8 7;
7) 1о£г (х-4)>1о£г 2;
8) І£ (1 + Зх) < І£ 16.
4) ІО£іб (4х - 6) < 1О£і6 10
5) 1о&8 (2- х)<1о&8 2;
11 11
6) 1о£0,9 (2х + 1) > 1о£0,9 5.
6) 1о£0,б (х - 2) < 2;
7) 1о£3 (2х - 1) < 3;
8) 1о&7 (9х + 4) < 2;
9) 1о£0,5 (2х + 1) > -2;
10) 1о£0>2 (х + 6) > -1.
22.4. * Розв’яжіть нерівність:
1) 1о§1 х<-1; 3) І£ х < 5;
7
2) 1о£4 х > 2; 4) Іо^ х>-3;
є
5) іо^і (2х-3)>-2;
з
6) 1о£д (5х + 6) < 2.
22.5. * Скільки цілих розв’язків має нерівність:
1) 1°£о,25 (Зя 5) > 3; 2) 1о£3 (7 х) < З?
22.6. * Знайдіть цілі розв’язки нерівності:
1) 1о£0і5 (1 - х) > -1; 2) 1о£36 (х + 1) < 0,5.
22.7. ’ Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) 1£ (2х + 3) > 1£ (х - 1);
2) 1о£5 2х < 1о£5 (х + 1);
3) 1о£>о,2 (2х — 1) > 1о£0 2 (Зх — 4);
4) 1о£0>4 (х2 -3)< 1о£о,4 (х + 3);
5) ІО&0.7 (х2 - 2х - 3) < 1о£о,7 (9 - х)-,
6) 1о§1 (х2 4-х 4-31) < ІО&! (10х + 11).
З з
22.8 / Розв’яжіть нерівність:
1) ІО£2 (2х - 3) < ІО£2 (х + 1);
2) 1о£0.б (3 - 2х) > 1о£о,б (5х - 2);
3) 1£ (х2 - 2) > 1£ (4х + 3);
4) 1о£о.і (Ю - 2х) > 1о£ол (х2 — х — 2).
22.9 / Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
1) 1ое1 (х-і-1)>-—; 3) 1о£х (3-х)>-1;
4 2 7
2) 1о^(12-х2)>2; 4) 1оЄ1 (2х-5)>1оЄ1 (х + 1).
з з
22.10 / Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
1) ІО£! (х 4- 2) < 0; 3) ІО£0.3 (4х - 3) > 1о£0,3 (х + 3);
б
2) ІО&! (6-х)>-2; 4) ІО&! (х2-2x4-1)>-1.
2 З
22.11/ Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) 1о£8 (х2 - 4х + 3) < 1; 5) 1о£2 4x5 > 0;
4х-ь7
2) 1о£0,5 (х2 + х) > -1; 6) І£ > 0;
(х-2)
3) 1о£0 7 (х2 + Юх + 25) > 0; 7) 1о£3 < 1;
X 4-1
4) 1о£2 (х2 - Зх) < 2; 8) 1о£4 < 0,5.
х
22.12/ Розв’яжіть нерівність:
1) 1о^1 (х2-5х-і-7)>0; 4) 1о£0 3 (х2 - 2х + 1) > 0;
з
2) 1о£9 (х2 - 6х + 8) < 0,5; 5) 1ое4^^<1;
х-1
3) 1о£о,з (X2 + Зх) > -2; 6) 1оЄ1 >1.
| 3x4-1
22.13. ’ Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£0,з (х2 4- х — 12) > 1о£0,з (6х - 6);
2) І£ (х2 - х) < (Зх - 3);
3) 1о£о,8 (1 - X2) > 1о£0і8 (х2 + 5х - 2);
4) 2 1о£2 (2х + 7) > 5 4- 1о£2 (х + 2);
5) 1о£3 (х2 4- 2х - 3) < іо$з (х 4- 9);
6) 1о£х (2х2+3х + 1)>21о^х (1-х).
7 7
22.14. ’ Розв’яжіть нерівність:
1) іо$2 (6-2х)<1о$2 (х2-2х-3);
2) 1о£0,і (х2 - Зх - 4) > 1о£о,і (х + 1);
3) 2 1о$2 (х 4- 5) < 3 4- 1о£2 (И + х);
4) (2х2 - 9х + 4) < 2 І£ (х 4- 2).
22.15. * Розв’яжіть нерівність:
1) 1£ х + І£ (х - 3) > 1;
2) 1о&х (х + 2) + 1о§1 х<-1;
з з
3) ІО£2 х 4- ІО£2 (х 4- 4) < 5;
4) 1о£0,і (х - 5) 4- 1о£0і1 (х - 2) > -1;
5) 1о£6 (5х 4- 8) 4- 1о£6 (х + 1) < 1 - 1о£6 3;
6) іо£3 (1 - х) 4- 1о£3 (-5х - 2) > 2 1о£3 2 4- 1.
22.16. * Розв’яжіть нерівність:
1) 1ое2 (-х) 4- 1о£2 (1 - х) < 1;
2) 1о£0,2 (х - 1) 4- 1о£0 2 (х 4- 3) > -1;
3) 1о£3 (х - 2) 4- 1о£3 (х - 10) > 2;
4) 1о$7 х 4- 1о$7 (Зх - 8) > 1 + 2 1о£7 2.
22.17. * Розв’яжіть нерівність:
1) 1о$о2х<1; 4) 1о£2 х + 21о£х х-8<0;
4 4
2)1о$2х>4; 5) 1о£2 х-5іо$2 х + 6>0;
з
3) 1&2 х 4- 3 1$ х - 4 < 0; 6) 21о£2 х-біо^ х + 2>0.
9 9
22.18. ' Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£2 5 х > 9; 3)21о£2 х - 1о£4 х -1 < 0;
2) І£2 х - 2 І£ х - 3 > 0; 4) 1о£22 х-1о&02 х-2<0.
22.19. ” Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) 1о£2 (4х) + 2 1о£2 х-11 < 0; 3) х+1^х~6 >0;
І£Х
2) 1о&2 (27х)+31о£3 х-19>0; 4) 2 1о&5 х - 1о&х 5 < 1.
22.20. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 1о&2 (7х)-1о&7 х>3;
2) 1о&8 + 81о&6 х-12 < 0;
216
3) 1оЄз х-61ое3 х + 8>0.
іо£3 х-1
4) 1о£о,5 X - 2 1о£х 0,5 < 1.
22.21. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£16 1о£0,5 (х2 - х - 6) > 0; 3) ІО&! 1о£3 ~->0;
е х 1
2) 1о£0,5 1о£4 (2х2 + х - 1) < 1; 4) 1о£х 51о£3 < 0.
х+1
22.22. " Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£7 1о£5 (х2 -2х-3) < 0; 2) 1о£08 1о£2 > 0.
7 ’ 2-Х
22.23. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£2х -3 х > 1;
2) 1оЄх_2 (2х - 9) < 0;
3) 1о£х + і (5 - х) > 1;
4) 1о£х_2(2х- 7) < 1;
5) 1о£х (х + 2) < 2;
6) 1о£х (2х2 - Зх) < 1.
22.24. " Розв’яжіть нерівність:
1) 1о£3х- 2 х < 1; 3) 1о£х_ і (4 - х) < 1;
2) 1о£х (х2 - 7х + 13) > 0; 4) 1о£х (6 - х) > 2.
• 22.25.” Розв’яжіть нерівність у] 2 • 5х -1 >5Х -2.
• 22.26.” Розв’яжіть нерівність ^20 • 3х-11 >Зх-4.
• 22.27.” Розв’яжіть нерівність:
£ 1) 7-х2 + 7х-10 1о&2 (х-3) < 0;
2) уІ4-х2 Ґ1о£3—+ 2ІС0;
ф \ X 7
• 3) (х2-2,8х + 1,8) /1оЄі|х-2|>0
• V 5
• 22.28.” Розв’яжіть нерівність:
І--«------ 1°&2/5 (х-3)
1) уі-х2 +6х-5 1о£3 (х-2) < 0; 2) —------>0.
е х -4х-5
• 22.29.* Для кожного значення параметра а розв’яжіть не-
рівність (2х-а) л/х-3 >0.
• 22.30.* Для кожного значення параметра а розв’яжіть не-
рівність (3х - а) л/х-2 < 0.
* 22.31.* Розв’яжіть систему нерівностей
• Ґ1о&х (2віп х + 1) < 0,
* 0 < х < 2л.
• 22.32.* Розв’яжіть систему нерівностей
* 1о£х (2 сов х +1) < 0,
• [0 < х < 2л.
23.
Похідні показникової та логарифмічної
функцій
Чи існує функція, похідна якої дорівнює самій функції?
Відповісти на це запитання нескладно. Наприклад, функ-
ція, яка є нульовою константою, має цю властивість.
А чи можна вказати таку функцію /, визначену на Ж,
відмінну від нульової константи, що /' (х) = / (х) для будь-
якого х є К? Відповідь на це запитання не є очевидною.
Виявляється, що серед показникових функцій / (х) = ах
існує єдина .функція така, що /' (х) = / (х) для всіх х є К.
Для цієї функції число, яке є основою степеня, позначають
буквою е, а сама функція має вигляд / (х) = є*. Отже,
(ехУ = е
Установлено, що число е — ірраціональне. Його можна
записати у вигляді нескінченного неперіодичного десятко-
вого дробу:
е = 2,71828182845... .
Функцію / (х) = ех називають експонентою.
Відзначимо одну особливість графіка експоненти.
Маємо: /' (0) = / (0) = е° = 1.
Отже, дотична до графіка експоненти в точці з абсцисою,
рівною нулю, має кутовий коефіцієнт,
який дорівнює 1. Тобто ця дотична
утворює кут 45° з додатним напрямом
осі абсцис (рис. 23.1).
Виведемо формулу для знаходження
похідної показникової функції / (х) = ах.
Маємо: а = е е .
Тоді а =е е .
Користуючись правилом обчислення
похідної складеної функції, запишемо:
(ах)' = (ех1ОЄе°)' = ех1°Єе а • (х к>£е а)' = ах 1о£р а.
Логарифм з основою е називають натуральним логариф-
мом і позначають 1п а, тобто 1о§е а - 1п а.
Тоді при а > 0, а 1 можна записати:
(ах)' = ах 1п а
Ця формула показує, що між значенням похідної показ-
никової функції та відповідним значенням самої функції
існує прямо пропорційна залежність. Коефіцієнт пропор-
ційності дорівнює 1п а.
У пункті 20 ми визначили, що логарифмічна функція
І (х) = 1о£а х є диференційовною. Знайдемо формулу для
обчислення похідної логарифмічної функції.
ї 5 Алгебра та печатки аналізу, 11 кл.
225
Для будь-якого х > 0 виконується рівність х = е1п х. Тоді
функції / (х) = х, .О (/) = (0; +со) і § (х) = е1пх, Б (&) - (0; +<ю),
являють собою одну й ту саму функцію. Тому для будь-
якого х є (0; +со) виконується рівність /' (х) - (х), тобто
(х)'= (е1п х)'.
Ліва частина цієї рівності дорівнює 1. У правій частині
отримуємо: (е1п *)' = е1п х • (іп х)' - х (1п х)'. Тоді 1 = х (1п х)'.
Звідси ____________
(іп х)' - —
X
Маємо: (1о&а х)' =
'іпхУ
1 л у 1
=----(іпх) ---------.
Іп а х Іп а
Дпа,
Отже,
(1о£а х)' = —-
хіпа
ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції:
1) У = ех (х2 - 4х);
2) у = х3-Зх;
3)«/ = е’7х;
4) У = ^~\
Іп X
5) 1/ = ІО£І х;
6) у = 1о£2 (Зх - 4).
Розв’язання. 1) Застосовуючи теорему про похідну до-
бутку двох функцій, отримуємо:
У' - (є*)' * <х2 ~ 4х) + (х2 - 4х.)' • ех =
= ех (х2 - 4х) + (2х - 4) ех = ех (х2 - 2х - 4).
2) Маємо: у' = (х3)' • 3х + (3х)' • х3 = Зх2 • 3х + 3х Іп 3 • х3 =
= Зхх2 (3 + х іп 3).
3) Використовуючи теорему про похідну складеної функ-
ції, запишемо: у' - (е“7х)' = е~7х,(-7х)' = -7е“7х.
4) Маємо:
. 4,, 1 /і V 4 4Х3-ІПХ-—-X4
, (х ) 'Іпх-Ипх) *Х V
у =----------------=---------------=
4х3 1п х — х3 _ х3 (4Іп х-1)
іп2 х . іп2 х
5) Застосувавши теорему про похідну складеної функції,
отримуємо:
у' = (1о£| х) = 2 1о£6 X • (ІО£6 х)' = 21°вв*
х Іп 6
6) Маємо:
ї/' = (1о£2 (Зх-4))' =
-----і (Зх-4)' = ї-
(Зх-4)1п2-------------------(Зх-4)1п2
ПРИКЛАД 2 Складіть рівняння дотичної до графіка функ-
ції / (х) = е3х + х, якщо ця дотична паралельна прямій
у = 4х 9.
Р озв’язання. Оскільки кутовий коефіцієнт прямої
у - 4х - 9 дорівнює 4, то кутовий коефіцієнт шуканої до-
тичної к = 4. Знайдемо абсцису х0 точки дотику. Маємо:
(х) = Зе3х + 1. Оскільки /' (х0) = 4, то Зе3*0 +1 = 4; Зе3*0 = 3;
е3х° =1; х0 = 0. Звідси / (х0) = 1.
Тоді шукане рівняння має вигляд у - 4х + 1.
Відповідь: у = 4х + 1.
ПРИКЛАД 3 Знайдіть проміжки зростання
і спадання та точки екстремуму функції:
1) /(х) = е6х х2+5; 3) / (х) = І£3 х - З І£ х + 2.
2) / (х) = х іп х;
Рис. 23.2
Розв’язання. 1) Маємо:
Г (х) = (е6х - *2+5)' = е6х ’ х2 + 5 • (6х - х2 + 5)' = е6х ’ ** + 5 • (6 - 2х).
Дослідивши знак похідної функції / (рис. 23.2), отриму-
ємо, що функція / зростає на проміжку (-со; 3], спадає на
проміжку [3; +оо), хюах = 3.
2) Маємо:
/' (х) = (х)' • Іп х + (Іп х)' • х = іп х + і • х = Іп х +1.
X
Дослідимо знак /' (х) на £)(/) = (0; +со).
Рис. 23.3
Маємо: /' (х) > 0 при 1п х > -1. Звідси
х>—. Аналогічно знаходимо, що /' (х) < 0
е
Отримуємо, що функція / зростає на проміжку
спадає на проміжку
Хтіп=- (РИС- 23-3)-
е
3) Маємо:
/'(х) = ЗІ£2 х• (І£ х)'-3• -1
хІпЮ
З І£2 х З
х 1п 10 х 1п 10
3(іЄ2х-1) 3(1Єх-1)(І£х + 1)
хІпЮ хІпЮ
Тоді /' (х) = 0 при х - -1 або х =
= 1. Отже, дана функція має дві критичні
точки: х = —— і х = 10. Дослідивши знак
10
Рис. 23.4
похідної функції на £>(/) = (0; +°о)
(рис. 23.4), доходимо висновку, що функція / зростає на
проміжках і ПО; +с0)» спадає на проміжку ~;Ю »
*тіп = 10.
при 0 < х < - .
е
О—жЗАДАЧА Доведіть, що:
1) показникова функція у = ах є опуклою вниз;
2) при а > 1 логарифмічна функція у = 1о£а х є опуклою
вгору, а при 0 < а < 1 — опуклою вниз.
Розв’язання. 1) Маємо:
у' - ах 1п а, у" = ах 1п2 а.
Оскільки у" (х) > 0 для всіх х є К, то показникова функ-
ція у = ах є опуклою вниз.
2) Запишемо:
^=-4-
Якщо а > 1, то Іп а > 0. Тому у" (х) < 0 для всіх х є (0; +со).
Отже, при а > 1 логарифмічна функція у = 1о£а х є опуклою
вгору.
При 0 < а < 1 аналогічно доводимо, що у" (х) > 0 і ло-
гарифмічна функція у = 1о£а х є опуклою вниз. •
Вправи
23.1.° Знайдіть похідну функції:
1) У - 4ех; 5) у = -^; х-2 9) у = 72х“3;
2) у = е5х; 6) у = ех + ех; 10) у = х-Зх;
3) у = х3ех; 7) у = 5х-, 2х-3 її) у= ; у 2Х+1
4) у = ех біп х; 8) У-2х'; 12) у = 0,3і* х.
23,2.° Знайдіть похідну функції:
1) У = е’2х; 2) у = х6ех; Х + 1 4) у = х ; е 5)у = 6х; 7) у = 10 х; ят 5*+2 8)!, = 5'-і;
3) у - ех соб х; 6)і/ = 34х + 1; 9) у = 0,7с‘ех.
23.3.° Знайдіть похідну функції:
1) У = ІО£9 х; 6) у = Іп X
2) у = Іп 2х; 7) у = 1о£о,2 (2х2 + х - 4);
3) у = 18 (х2 - 4); 8)у = Іп (1 - 0,2х);
4) у = Іп2 х; 5) у = Іп віп х; 9)//- X5 іп X.
23.4.° Знайдіть похідну функції:
1) У = 18 х; 3) у = Іп3 х; -X X 5) у=-—; Іп X
2) у = Іп (5х - 4); 4) у - І£ соб х; 6) у = 1о§2 (х2 + 6).
23.5. ’ Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) / (х) = е3х - Зх, х0 = 0; 3) /(х) = 33х’4х2+2, х0 = 1.
2) / (х) = е”2х соб 2х, х0 = 0;
23.6. ’ Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) / (х) = е5х + е’4х, х0 = 0; 3) /(х) = 4х2-3х“4, х0 = -1.
2) / (х) = е’х х, х0 = 0;
23.7. ’ Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) /(х) = |1п(-12х), х0 = -|;
6 б
2) /(х) = іх2-Іпх2, х0 = 4;
3) / (х) = 1о£5 (х2 + Зх - 2), х0 = -4;
4) / (х) = іп БІП —, х0——.
2 2
23.8. ’ Обчисліть значення похідної функції / у точці х0:
1) / (х) = Іп (6х - 5), х0 = 3;
2) /(х) = 81п|, х0=|;
3) / (х) = (х2 - 5х + 8), х0 = 2;
X л
4) /Т(Х) = ІПСОБ—, хп=—.
3 2
23.9. ’ Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка
функції / у точці з абсцисою х0:
1) / (х) = е2х + \ х0 = -1; 2) / (х) = х - Іп х, х0 - 3.
23.10. ’ Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка
функції / у точці з абсцисою х0:
1) / (х) = е1 -х, х0 = 1; 2) / (х) = 1о£5 (х + 2), х0 = -1.
23.11. ’ Складіть рівняння дотичної до графіка функції /
у точці з абсцисою х0:
1) / (х) - е‘2х, х0 = 0; 5) / (х) = Зх + Іп х, х0 =1;
2) / (х) = ех + віп х, х0 = 0; 6) / (х) = Іп (5 + 4х), х0 = -1;
3) / (х) = х • 2х, х0 = 1; 7) / (х) = іо£3 (2х + 1), х0 = 1;
4) / (х) = 63х + 4, х0 = -1; 8) / (х) = 2 Іп (х - 2), х0 = 4.
23.12. * Складіть рівняння дотичної до графіка функції /
у точці з абсцисою х0:
1) / (х) = е5х> хо = 0; 4) / (х) = 4х - 1п4, х0 = 1;
2) / (х) = 2ех — соз х, х0 = 0; 5) / (х) - 1п (Зх - 5), х0 = 2;
3) / (х) = 32т й, х0 = 2; 6) / (х) - 1о£2 (х + 3), х0 - 1.
23.13. * Знайдіть рівняння горизонтальної дотичної до гра-
фіка функції:
1) / (х) = ех + ех-, 2) / (х) - (2х - 7) (2х - 9).
23.14. * Знайдіть рівняння горизонтальної дотичної до гра-
фіка функції / (х) - (5х - 65) (5х + 15).
23.15. " Складіть рівняння дотичної до графіка функції:
1) / (х) - ех, якщо ця дотична паралельна прямій у = ех - 6;
2) / (х) = е5х + 2, якщо ця дотична паралельна прямій
у = 5х + 7;
3) / (х) = е~2х, якщо ця дотична паралельна прямій у = -х;
4) / (х) = 1п (Зх - 2), якщо ця дотична паралельна прямій
у = Зх - 2.
23.16. " Складіть рівняння дотичної до графіка функції:
1) /(х) = е6“7х, якщо ця дотична паралельна прямій
у = 5 - 7х;
2) / (х) = ех - е~х, якщо ця дотична паралельна прямій
у = 2х - 3;
3) / (х) = 6х — 1п х, якщо ця дотична паралельна прямій
У = х;
4) / (х) = 1п (1 - х), якщо ця дотична паралельна прямій
У = 1 - х.
23.17. ** Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції: •
1) / (х) = ех - х; 5) / (х) = 4хе2 “ х;
2) / (х) = хе2х;
3) / (х) =(1 -х)ех + 1;
6) /(х) = ех2;
7) /(х) = е4х х2+1;
4) / (х) = х2 • 2-х;
р
8) /(х) = —;
х-2
4х 9) /(*) = —; е 14) Г(х)~; ІП X
10) / (х) - х3 Іп х; Іп X 15) /(х) = —т=-; у] X
11) / (х) = Іп х - х; 16) / (х) = х2 - Іп х2;
12) / (х) = х2 І£ х; 17) / (х) = 2 іп3 х - 3 Іп2 х;
13) /(х) = 1пх + і; X 18) / (х) = І£2 х - І£ X.
23.18." Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції:
1) /(х) = хе2; 2) /(х) = ех4~2х2; 3) /(х) = 5^+3х+1; 7) / (х) = 0,5х2 - Іп х; 8) / (х) = х Іп2 х; 9) /(*) = —; X
4) Г (х) = (4х - 1) е2х; 10) /(х) = 1пх2+—; X
5) /'(х) = х3-3 ’ ; 6) /(х)= ; е 11) / (х) = Іп3 х - 12 Іп х; 12) / (х) = І£4 х - 2 І£2 X.
23.19. " Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1) І (х) = ех + х на проміжку [-1; 1];
2) / (х) = х2е2х на проміжку [-2; 1];
3) /(х) = 7х2-2х на проміжку [0; 2];
4) / (х) = 2х + 2 х на проміжку [-1; 1].
23.20. ” Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1) / (х) = (х - 1) е~х на проміжку [1; 3];
2) /(х) = 5х +2х на проміжку [-2; 1].
23.21. " Дослідіть функцію і побудуйте її графік:
1) / (х) - хех; 3) / (х) = е; 5) / (х) = Іп (9 - х2).
2) / (х) = хе 2; 4) / (х) = х2 - 2 Іп х;
23.22/ Дослідіть функцію і побудуйте її графік:
х2
1) = 2)/(х) = хе2; 3) / (х) = 1о£2 (х2 + х).
е
23.23/* Знайдіть проміжки зростання і спадання функції
/ (х) = ех - х - 1 і доведіть, що при всіх х є К виконується
нерівність Є* > 1 + X.
23.24/ * Знайдіть проміжки зростання і спадання функції
/ (х) = Іп (1 + х) — х і доведіть, що при х > —1 виконується
нерівність Іп (1 + х) < X.
23.25. ** При яких значеннях а функція у = 41пх — ах- 7
є зростаючою?
23.26. *" При яких значеннях а функція у = 2 - Зех - ах
є спадною?
КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ
Моя любов — Україна і математика
Цей патріотичний вислів видатного українського мате-
матика, академіка Михайла Пилиповича Кравчука викар-
бовано на гранітному постаменті пам’ятника науковцеві
(див. форзац 1).
Михайло Кравчук народився в с. Човниці на Волині.
Закінчивши із золотою медаллю Луцьку гімназію і потім
математичне відділення Київського університету, Михайло
Кравчук залишився працювати в Києві.
Висока наукова продуктивність і працездатність, оригі-
нальність і гнучкість мислення М. П. Кравчука дозволили
йому отримати важливі наукові результати в алгебрі та
теорії чисел, теорії функцій і математичному аналізі, дифе-
ренціальних та інтегральних рівняннях, теорії ймовірностей
та статистиці тощо. Відомо, що його науковий доробок був
значною мірою використаний американськими вченими при
створенні першого комп’ютера.
М. П. Кравчук брав активну участь у створенні україн-
ської наукової термінології, одним з перших почав писати
наукові праці українською мовою, хоча вільно володів
російською, французькою, німецькою, італійською, поль-
ською та іншими мовами.
Великого значення надавав М. П. Кравчук навчальній
роботі з молоддю, зокрема, за його ініціативою в 1935 році
була проведена перша Київська математична олімпіада
для школярів. Спробуйте свої сили у розв’язанні задач цієї
олімпіади.
Завдання
першої Київської математичної олімпіади (1935 р.)
Ь3-а3Ь-Ь2с + са3 г:
1. Обчисліть значення виразу ----------5----+ уа при
(Ь-с)2
а--—, Ь = 0,19, с = 0,18, а = 0,04.
2
2. Розв’яжіть рівняння 4х ~^х ~9'20,75 =-72.
3. Розв’яжіть систему рівнянь
х + у = 4,
(х2+ і/2)(х3+ і/3) = 280.
4. Додатні числа щ, и2, ..., ип утворюють арифметичну про-
гресію. Доведіть, що
5. Нехай а і & — катети прямокутного трикутника, ас —
гіпотенуза. Доведіть, що
1о£с + ь а + 1о£с_ь а = 2 1о£с + ь а • 1о£с_ь а.
ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 2
1. Яка область визначення функції у =
7х-1
А) (-оо; +оо);
Б) (-оо; 1)0(1; +оо);
В) (-оо; 7) 0 (7; +оо);
Г) (-оо; 0) О (0; +оо).
2. На одному з рисунків зображено графік функції у = З х.
Укажіть цей рисунок.
чи • • • Ґ2Ї ґ15ї 4?
3. Чому дорівнює корінь рівняння — • — =— ?
І 4 ) 9
А) 2; Б) -2; В) 1; Г) -1.
4. Знайдіть множину розв’язків нерівності (0,6)*2 > 0,6.
А) (-оо; 1); Б) (1; +оо); В) (-оо;-1) ІЗ (1;-Ьх>); Г) (-1; 1).
5. Розв’яжіть рівняння 3х + 3 + 5 • 3х "1 = 86.
А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.
6. Обчисліть значення виразу 1о&02 25-1о£3
А) 1; Б) -1; В) 5; Г) -5.
7. Подайте число 3 у вигляді степеня числа 10.
А) 3 = 10Іогз1°; В) 3 = 10183;
Б) 3 = 1О10®33; Г) подати неможливо.
8. Чому дорівнює значення виразу 1о£6 108 - 1о£6 З?
А) -1; Б) 2; В) -3; Г) 4.
9. Розв’яжіть нерівність ІО£0 2 х > ІО&0 2 5.
А) (-оо; 5); Б) (5; +оо); В) (0; 5) О (5; +оо); Г) (0; 5).
10. Через яку з даних точок проходить графік функції
У = 1о£і х?
2
А) (2; 1); Б) (2; -1); В) | 2; — Г) (2; 0).
І 2/
11. При яких значеннях а і Ь виконується рівність
І£ аЬ = І£ (-а) + І£ (-Ь)?
А) а > 0, Ь < 0; В) а < 0, Ь < 0;
Б) а < 0, Ь > 0; Г) таких значень не існує.
12. На рисунку зображено графік функ-
ції у = / (х), визначеної на множині
дійсних чисел. Скільки коренів має
рівняння Іп / (х) = 0?
А) жодного кореня;
Б) два корені;
В) три корені;
Г) визначити неможливо.
13. Укажіть найбільший цілий розв’язок нерівності
1о£о,2 (3 - 2х) < -1.
А) -2; В) 1;
Б) -1; Г) такого розв’язку не існує.
14. Яка множина розв’язків нерівності Іо£х >/х <1?
А) (-со; +со); В) (0; 1) її (1; +оо);
Б) (0; +оо); Г) 0.
15. Розв’яжіть рівняння 1о£4(х - 4) + 1о&4(х - 1) = 1.
А) 0; 5; Б) 0; В) 5; Г) 1; 4.
16. Порівняйте числа 1о£4 5, 1о£6 4, 1о£0 2 3.
А) ІО£0>2 З < ІО£6 4 < ІО£4 5; В) 1о£0>2 3 < 1о£4 5 < 1о£6 4;
Б) 1о£6 4 < 1о£()2 3 < 1о£4 5; Г) 1о£4 5 < 1о£6 4 < 1о£02 3.
17. Знайдіть похідну функції у — 52х.
А) у' = 2 • 52ж; В) у' = 2 • 52ж Іп 5;
Б) = 2х-52ж1; Г) у' = 52ж іп 5.
X
18. Знайдіть проміжки спадання функції у =-------.
іп х
А) (-оо; 0), (1; е];
Б) (0; 1), (1; <?];
В) (0; е];
Г) (0; 1).
24.
Первісна
2
Ви вмієте за заданою функцією знаходити її похідну,
знаєте, що похідна має різноманітні застосування. Зокрема,
уміючи диференціювати, за заданим законом у - в (і) руху
матеріальної точки по координатній прямій можна знайти
закон у = V (0 зміни її швидкості, а саме:
V (0 = в' (0.
Нерідко в механіці доводиться розв’язувати обернену
задачу: знаходити закон руху за відомим законом зміни
швидкості.
Наприклад, коли швидкість змінюється за законом
V (і) = і з (0) = 0, то закон руху задається формулою
...
8(і) = -—.
Сі
У правильності цього висновку ми можемо переконатися так:
8(о)=£і2-=о,
2
у
Ви знаєте, що знаходження похідної заданої функції
називають диференціюванням. Обернену операцію, тоб-
то знаходження функції за її похідною, називають інте-
груванням.
Означення. Функцію Р називають первісною функ-
цією (або коротко первісною) функції / на проміжку І,
якщо для всіх х є І виконується рівність
Г'(х) = /(х).
Наприклад, функція Р (х) = х2 є первісною функції
/ (х) - 2х на проміжку (-оо; +оо), оскільки на К виконується
рівність (х2)' = 2х.
Часто в задачах, пов’язаних з первісною функції, проміжок І
опускають. У таких випадках вважають, що І = (-оо; +оо).
Так, функція Р (х) = сов х є первісною функції / (х) = —8ІП х,
оскільки виконується рівність (сов х)' - —8ІП X.
Розглянемо ще один приклад. Функція Р (х) = \[х є пер-
вісною функції У (х) = —на проміжку (0; +оо), оскільки
2 ух
на цьому проміжку виконується рівність (л/х) =-7=.
2у[х
Проте на проміжку [0; +со) функція Р (х) = \/х не є пер-
вісною функції /(х) = —-=•, оскільки в точці х0 - 0 не ви-
2 Ух
конується рівність Р' (х0) = / (х0).
Розглянемо функції у = х2 + 1 і у = х2 --У2. Кожна з них
має одну й ту саму похідну у = 2х. Тому обидві функції
у - х2 + 1 і у - х2 -у/2 є первісними функції у = 2х. Зрозу-
міло, що кожна з функцій виду у = х2 + С, де С — довільне
число, є первісною функції у - 2х. Отже, задача знаходжен-
ня первісної має безліч розв’язків.
Мета інтегрування полягає в тому, щоб для заданої функ-
ції знайти всі її первісні на заданому проміжку.
Як пов’язані між собою всі первісні даної функції, указує
така теорема.
Теорема 24.1 (основна властивість первісної).
Якщо функція Р є первісною функції У на проміжку І та
С — довільне число, то функція
у = Р(х) + С
також є первісною функції / на проміжку І.
Будь-яку первісну функції / на проміжку І можна по-
дати у вигляді у = Р (х) + С, де С — деяке число.
Доведення. & Оскільки функція Р — первісна функції
У на проміжку І, то для всіх х є І виконується рівність
Р' (X) = У (х). Тоді
(Р (х) + су = Р' (х) + С = / (х) + 0 - У (х).
Отже, функція у = Р (х) + С є первісною функції У на
проміжку І.
Нехай функція С — одна з первісних функції / на про-
міжку І. Тоді & (х) = У (х) для всіх х є І. Маємо:
(С (х) - Р (х))' = & (х) - Р' (х) = / (х) - / (х) = 0.
Згідно з ознакою сталості функції (теорема 11.1) отриму-
ємо, що функція у = Є (х) - Р (х) є константою на проміж-
ку І, тобто С (х) - Р (х) = С, де С — деяке число.
Звідси С (х) = Р (х) + С. А
Якщо функція Р є первісною функції / на проміжку І,
то запис Р (х) + С, де С — довільне число, називають за-
гальним виглядом первісних функції / на проміжку І.
З основної властивості первісної випливає, що гра-
фіки будь-яких двох первісних даної функції можна
отримати один з одного паралельним перенесенням уздовж
у
у = Р(х) + Сз
У=Р(Х) + С1
Рис. 24.1
= Р(х) + Сг
осі ординат (рис. 24.1).
Сукупність усіх первісних функції
у = / (х) на проміжку І називають її
невизначеним інтегралом і позна-
чають
(х) сіх
(читають: «інтеграл еф від ікс де ікс»).
При розв’язанні задач на первісну зручно користуватися
таблицею, наведеною на форзаці 3.
Xа'1
Зауваження. Можна довести, що функція Р(х) =---,
а + 1
а є В, а^-1, є первісною функції / (х) = ха на проміжку
(0; +со). Користуючись цим, можна знайти, наприклад,
первісну функції / (х) - у/х на проміжку (0; +оо). Оскільки
г~ - хп
х~хп, то функція Р(х) =—
є первісною функції / на
п
хп
проміжку (0; -Не). Ураховуючи рівності -
п + 1
п + 1 71 + 1
71
можна записати: Р (х) = —— у]хп+1.
71+1
ПРИКЛАД 1 Знайдіть загальний вигляд первісних функції
/ (X) - х®.
функції / (х) = х5 є функція Р (х) =—. Тоді згідно з теоре-
х6 6
мою 24.1 запис — + С, де С — довільне число, є загальним
6
виглядом первісних. •
З розв’язання прикладу 1 випливає, що
X6
х® сіх - — + С.
6
ПРИКЛАД 2 Знайдіть загальний вигляд первісних функції
/ (х) = — на кожному з проміжків (-ос; 0) і (0; +со).
X
Розв’язання. На проміжку (0; +со) має місце рівність
(1пх)' = і; на проміжку (-<»; 0) мають місце рівності
(1п(-х))' = — •(—х)’=—.
Отже, функція у = Іп х є первісною функції / (х) = — на
проміжку (0; +со), а функція у = Іп (-х) є первісною функ-
ції / (х) = — на проміжку (-со; 0).
Оскільки ІП | X | =
іпх, якщо хє(0;+оо);
іп(-х), якщо хє(-оо;0),
то на будь-
якому проміжку, який не містить точку 0, запис
іп | х | + С,
Де С — довільне число, є загальним виглядом первісних
Функції /(х)-—. •
ПРИКЛАД 3 Для функції / (х) = 2 сов х знайдіть первісну,
графік якої проходить через точку М
-іЗІ
6 )
Розв’язання. Оскільки (2 віп х)' = 2 сов х, то функція
у = 2 віп х є однією з первісних функції [(х) = 2 сов х.
Отже, шукана первісна має вигляд Р (х) = 2 віп х + С, де
С — деяке число. Знайдемо це число.
(5я
З умови випливає, що 7ч— = 3. Тоді 2 віп — + С = 3.
к 6 ) 6
Звідси С = 2.
Таким чином, шукана первісна має вигляд Р (х) =
= 2 віп х + 2. •
Л Вправи
24.1. ° Установіть, чи є функція Р первісною функції /":
1) Р (х) = Зх2 + х - 2, / (х) = 6х + 1;
2) Р (х) - х4, / (х) = -4х~5 на проміжку (0; +оо);
3) Р (х) = віп х + 3, / (х) = сов х + 3;
4) Р (х) = сов 2х, / (х) = -віп 2х;
5) Р (х)-уІ2х + 1, / (х) = Г-1 на проміжку | ; +оо |;
л/2х + 1 І 2 )
6) Р (х) = 5х, / (х) = 5х 1п 5.
24.2. ° Доведіть, що функція Р є первісною функції / на
проміжку І:
1) Р (х) - Xі -2х2 + 6, / (х) = 4х3 - 4х, І - (-оо; +оо);
2) Р(х) = ±, Цх) = ~, / = (-оо; 0);
X X
3) Г(х) = 5-3к/х, У(х) =----І = (0; +оо);
2 ух
4) Г(х) = ЗІ£- + 6, /(х) = —5—, / = ґ- — ; —
З 2 X V 2 2
24.3. ° Чи є функція Р (х) = первісною функції / (х) = —т
X X
на проміжку:
1) (0; +оо); 2) (-2; 2); 3) (-оо; 0]; 4) (-6; 0)?
24.4. ° Знайдіть загальний вигляд первісних функції /:
1) / (х) = 5; 5) /(х) = Д- на проміжку (-оо; 0);
х
2) / (х) = х; 6) /(х) = у/х на проміжку [1; +оо);
3) / (х) = х6; 7) / (х) = у/х на проміжку (-оо; -3);
4) / (х) - 2х; 8) / (х) = х“5 на проміжку (0; +оо).
24.5. ° Знайдіть загальний вигляд первісних функції /:
1) / (х) = 0; 4) /(х^-^- на проміжку (0; +оо);
2) / (х) - х8; 5) / (х) = у/х на проміжку (4; +со);
3) У (х) =
3і
6) Т(х)-у/х на проміжку [0,5; +оо).
24.6. * Перевірте, що:
1) |хсо8Хс/х = со8Х+Х8Іпх + С; 2) Х с/х - х2 + 4 + С.
"ух2+4
х ~ 2
24.7. ° Перевірте, що функція Р (х) =-є первісною функ-
Зх-1
...... 5 . .
ції /(х) =------% на кожному з проміжків
(Зх—1)
1
’з
•Iі! • ~
і -; + оо , та запишіть загальний вигляд первісних функ-
ції / на кожному з указаних проміжків.
24.8. * Для функції / знайдіть первісну, графік якої прохо-
дить через указану точку:
1) / (х) = х2, А (-1; 3); 3) / (х) = ех, С (0; -6).
2) / (х) = віп х, В (я; -1);
24.9. * Для функції / знайдіть первісну, графік якої прохо-
дить через указану точку:
1) /(х) = х3, М 1; — І;
\ 4/
2) У (х) = сов х, N
л. 5 \
б’ 27’
3) [ (х) = 3х, К
24.10. * Для функції { знайдіть на проміжку І первісну Р,
яка набуває даного значення у вказаній точці:
1) Г(х) = -4, / = (0; +оо),
х2
-•-1 р
2’ 2/
2) Г(х) = ^-, І = (
СОВ X \
= 3 а/З;
3) /(х) = —, / = (-оо; 0), Р (-е3) = 7;
х
4) У(х) = -1 І = (~^ 0), 4-|1 = 3.
х4 І 2}
24.11. ’ Для функції / знайдіть на проміжку І первісну Р,
яка набуває даного значення у вказаній точці:
1) Г(х) = Ц-, 1 = (0; л), ^ґ^ = 0;
віп х <47
2) /(х) = 4=, І = (0; +оо), Р (16) = 10;
УІХ
3) У(х) = -, / = (0; +оо), і | = -2;
х \е)
4) / (х) = 2х, І = (-оо; +оо), Р (5) = 1.
24.12. ’ Укажіть на рисунку 24.2 графік, який може бути
графіком первісної функції / (х) = сов 3.
Рис. 24.2
24.13." Укажіть на рисунку 24.3 графік, який може бути
графіком первісної функції / (х) - 1п 2.
24.14. " Для функції / (х) = зіп2 — -соз2 — знайдіть які-небудь
2 2
дві первісні, відстань між відповідними точками яких
(тобто.точками з рівними абсцисами) дорівнює 2.
24.15. “ Доведіть, що функції Рг (х) = — зіп 2х і 7?2(х) =
2
= -зіп2 х-— є первісними функції / (х) = соз 2х.
V 47
При якому значенні С є правильною рівність Рг (х) =
= Р2 (х) + С?
24.16. "" Доведіть, що функції Рг (х) = зіп2 х і Р2 (х) = соз 2х
2
є первісними функції / (х) = зіп 2х. При якому значенні С
є правильною рівність Р2 (х) = (х) + С?
25.
___4
Правила знаходження первісної
При знаходженні похідних функцій ви користувалися
не лише формулами, записаними в таблиці (див. форзац 2),
але й правилами диференціювання. У цьому пункті ми роз-
глянемо три правила знаходження первісних.
Теорема 25.1 Якщо функції. Р І.С є відповідно первіс-
ними функцій / і £ на проміжку І, то на цьому проміжку
функція у = Р (х) + С (х) є первісною функції у - І (х) + £ (х).
Доведення. О 3 умови випливає, що для будь-якого
х є І виконуються рівності Р' (х) = / (х) і & (х) = в (х). Тоді
для будь-якого х є І маємо:
(Р (х) + С (X))' = Р' (X) + & (X) = / (X) + (х). А
З теореми 25.1 випливає, що:
(*) + В (х)) дх = (х) дх + (х) дх - Р (х) + С (х) + С,
де С — довільна стала.
Аналогічно можна довести, що
(*)_ В (*)) дх - (х) дх - р? (х) дх = Р (х) - С (х) + С.
Теорема 25.2. Якщо функція Р е первісною функції /
на проміжку І та к — деяке число, то на цьому проміж-
ку функція у - кР (х) є первісною функції у = к/ (х).
Доведіть теорему 25.2 самостійно.
Тепер можна записати:
]/?/ (х) дх = к (х) дх = кР (х) + С.
Теорема 25.3. Якщо функція Р є первісною функції /
на проміжку І та к — деяке число, відмінне від нуля, то
на відповідному проміжку функція у = — Р (кх + Ь) є пер-
к
вісною функції у = / (кх + Ь).
Доведення. О Використовуючи правило знаходження
похідної складеної функції, запишемо:
| -^(йх+Ь)] = — Р' (кх+Ь)‘(кх+Ь)' = -{ (кх+Ь)-к = У (кх+Ь). А
\к ) к к
Тепер можна записати:
(кх + Ь) дх = - Р (кх + Ь) + С.
к
ПРИКЛАД 1 Знайдіть загальний вигляд первісних функції
г~ 2
У (х) = \Іх +— на проміжку (0; +оо).
X а + 1
X
Розв’язання. Нагадаємо, що функція у =-------- є пер-
а + 1
вісною функції у = ха на проміжку (0; +оо). Оскільки на
і
даному проміжку виконується рівність у[х - х2, то функція
х2 2 Г~£ . ,
у -----, тобто функція у = - УХ , є первісною для функції
-+1 3
2
у = у[х на проміжку (0; +оо).
Х о . Л
Оскільки — = х , то функція у = —-—тобто функція
у = —, є первісною функції у-— на проміжку (0; +оо).
х х
2
Тоді за теоремою 25.2 функція у =— є первісною функції
х
2
У = ~-
х
Скориставшись теоремою 25.1, отримуємо, що функція
У =
2 і— 2
= —ух3— є первісною заданої в умові функції /. Тоді
З х
2 ГТ 2 „ .
запис — ух — + С є загальним виглядом первісних функ-
3 х
ції Л •
Розв’язання прикладу 1 можна записати й так:
ґ __ ? \ _ 2 А
11 у/х +— І (ЇХ = |д/х СЇХ + ЙХ = |х2 СІХ+ 2 |х““ СІХ -
ПРИКЛАД 2 Знайдіть одну з первісних функції:
1) у = соз (2х + 1);
оч 1 ҐЗ ї
2) у =------ на проміжку -;+оо .
(5х 3) \ 5 )
Розв’язання. 1) Оскільки функція Р (х) = зіп х є пер-
вісною функції / (х) = соз х, то за теоремою 25.3 функція
У = — Р (кх + Ь), тобто функція у = — зіп(2х + 1), є первісною
к 2
Функції у = соз (2х + 1).
2) Оскільки —^ = х3, ТО первісною функції /(х) = —з
X X
-3 + 1 -і
X 1
є функція Р(х) =-------, тобто Р(х) =---Тоді
-3 + 1 2х2
первісна
. ... 1 1
функції у =------------ має вигляд у = —
(5х — 3) 5
1
ч 2(5х-3)%
, тобто
1
10(5х-3)2 '
ПРИКЛАД 3 Для функції / (х) =--- знайдіть первісну на
4х-3
ґ 3>1 А,-
проміжку -оо; — , графік якої проходить через точку
V 4 у
МІ-;2 |.
Розв’язання. Згідно з теоремою 25.3 запис —1п| 4х-3 | + С,
де С — довільне число, є загальним виглядом первісних
функції / на заданому проміжку.
З
4
На проміжку
шукана первісна має вигляд
1
Р(х) = 1п(3-4х) + С. З умови випливає, що 7?^^ = 2. Тоді
2
1
— 1п| 3-4-—| + С = 2, звідси С = 2.
4
2
Отже, Р(х) = — 1п(3-4х) + 2. •
4
ПРИКЛАД 4 Швидкість руху матеріальної точки по коор-
3
динатній прямій змінюється за законом у (і) = -=- Зна-
УІ2І + 1
йдіть закон руху у = з (0, якщо з (0) = 3 м (переміщення
вимірюється в метрах, час — у секундах).
Розв’язання. Функція у-з (і) є первісною функції
у - у (і) на проміжку [0; +оо). Тоді можна записати
з (і)-3 2\І2і+ 1+С, тобто з (ї) = З 42Ї+Ї. + С,
2
де С — деяке число. Знайдемо сталу С з умови а (0) = 3.
Маємо:
372-0+1+0=3,
звідси С = 0.
Тоді шуканий закон руху задається формулою
з(0 = Зл/2і + 1. •
У пункті 8 ви дізналися, як знайти похідні добутку функ-
цій, частки функцій та похідну складеної функції. Озна-
йомившись з матеріалом цього пункту, можливо, у вас ви-
никло запитання, як знайти первісні функцій у = / (х) § (х),
/(х)
у =---- або у = / (£ (х)), якщо відомо первісні функцій
у = / (х) і у = § (х). На жаль, загальних правил знаходжен-
ня первісних таких функцій не існує.
Вправи
25.1.° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) / (х) = 4 - 2х;
2) / (х) = Зх2 - х + 5;
3) / (х) = 5 зіп х + соз х;
4) / (х) = х3 (2 - х2);
5) / (х) = 5еж - 2 • 3* * * * * * * * * х;
0
6) /(х) = — х3 на проміжку (-оо; 0);
х
9 х4
7) Нх) = —— + — на проміжку (0; л);
зіп х 4
8) / (х) =+ х3 на проміжку (0; +оо);
л/х
1 З
9) /(х) = —з +-7 на проміжку (-со; 0);
X X
0
10) /(х) = \/х—з на проміжку (0; +оо).
х
25.2. ° Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) ї (х) = х + 3;
2) / (х) = х2 + 4х - 1;
з) Лх)=4±т;
X +1
4) Цх) = -ех + 2* 1п2;
2
5) /(х) =—----Ззіпх на проміжку І—
соз х \ 2 2
6) /(х)-5\Іх— на проміжку (0; +оо);
х
2
7) /(х) = 6х2—на проміжку (0; +оо);
х
9 8
8) /(х)-—т^ + —д на проміжку (-оо; 0).
х х
25.3. * Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) / (х) = зіп 5х;
2) /(х) = 2соз —;
2
( іТ
3) /(х) = 6х+-
л \4
4) /(х)= --2 ;
\7 )
5)
е
6) / (X) = 73х;
Л, . -1 . (х 71^
7) Т (х) = — 81П--------;
З \3 4у
8) / (х) = на проміжку СО8 Зх 8 / ‘ 9) / (х) = 2 на проміжку 8ІП 4х | «о ч 1 о
10) / (х) = — на проміжку 1 у/2х-1 1 1 1 —; +оо ; <2 )
11) / (х) = л/х + 4 на проміжку [-4; +оо);
6 ґ 2
12) /(х) =--- на проміжку —;+оо
Зх + 2 \ З
4 ґ З
13) / (х) =--7 на проміжку -оо; —
(4х-3) V 4
14) / (х) =. II—— на проміжку (-оо; 2].
25.4. Знайдіть загальний вигляд первісних функції:
1) /(х) = 8Іп—;
4
2) /!(х) = 2со8
5-—
3) /(х) = е 2;
4) Нх) = -^г;
7 1 ч 7 2^х+5
5) / (х) = (2х - З)5;
1 ( 71
6) /(х) =----7----т- на проміжку —
2|о ЛІ V 8
СО8 2х----
І 47
З (1 А
7) ї(х) =----з на проміжку -;+оо ;
(Зх — 1) \ 3 7
8) /(х) = —на проміжку (-оо; 3);
3-х
9) /(х) =---- на проміжку (0; 5л);
. 2 х
зіп —
5
10) / (х) = л/4х + 7 на проміжку |-—;+оо
25.5. * Для функції / на проміжку І знайдіть первісну Р, яка
задовольняє дану умову:
1) ї (х) = 1 - 2х, І = (-00; 4-00), Р (3) = 2;
2) / (х) - Зх2 - 4х, І = (-оо; +оо), Р (1) = 4;
3) /(х) = -8Іп —+—сов—, І = (-оо; +оо), Р (я) = 7;
З 3 2 2
4) /(х) = со8| — -Зх |, І = (-оо; +оо), ГІ — | = 2;
\4 )
5) /(х) = 4-4, * = (0; +а>), - | = 1;
х <47
7 1
6) /(х) =--+-т=» / = (4; +°о), (5) = 6;
х-4 у/х + 4.
7)/(х) = -Д=, І=(4;+о)\ Р (4) =7;
л/бх + 1 к 6 )
8) / (х) = е3ж, І = (-оо; +оо), Р (0) = 1;
9) / (х) = (2 - Зх)2, І = (-оо; +оо), Р (1) = 0;
10) Г(х) =--/-----І = ґ-—Р
2(„ л^ І 18 9
25.6/ Для функції / на проміжку І знайдіть первісну Р,
графік якої проходить через дану точку:
1) / (я) = 3 - 6х, І = (-оо; +оо), А (-1; 0);
2) / (х) = 4х3 -’бх2 + 1,1 = (-оо; +оо), В (1; 5);
3) /(х) = 2х—І = (0; +оо), С (4; 10);
4) / (х) = 2 зіп Зх, І - (-оо; +оо), £)
2
5) Г(х) = ----, І = (4; +оо), Е (6; 12);
.|--2
N 2
6) / (х) = е2х + \ І = (-оо; +оо), М\-~; 4 |;
\ 2 )
7) /(х) =---І = |—;+оо|, Х(е2;6);
• 4х-3е V 4 >
8) Г(Х) = ^—
8ІП2 —
8
1 = (0; 8л), N (2л; -3).
25.7. ’ Для функції / (х) = 4х3 + 4х знайдіть первісну Р,
один з нулів якої дорівнює -1. Знайдіть решту нулів
цієї первісної.
25.8. * Для функції / (х) - х2 - 12 знайдіть первісну Р, один
з нулів якої дорівнює 3.
25.9. * Функції РА і Р2 є первісними функції Л Графік функ-
ції Рх проходить через точку А, а функції Р2 — через
точку В. Графік якої з функцій, Рг або Р2, розташований
вище, якщо:
1) / (х) = 5х4 - Зх2 -2, А (1; 2), В (0; 5);
2) / (х) = (2х - І)2, А (2; 6), В (-1; 1)?
25.10. ’ Функції Рг і Р2 є первісними функції /(х) = —.
убх-І
на проміжку 4-оо . Графік функції Рг проходить через
\5 )
точку М (1; 9), а функції Р2 — через точку N (10; 8).
Графік якої з функцій, Рг або Р2, розташований вище?
25.11. ’ Швидкість матеріальної точки, яка рухається по
координатній прямій, змінюється за законом V (і) = і2 +
+ 21-3. Запишіть формулу залежності її координати від
часу, якщо в початковий момент часу 1 = 0 точка зна-
ходилася в початку координат (швидкість вимірюється
в метрах за секунду).
25.12. ’ Тіло рухається по координатній прямій зі швидкістю,
яка визначається в будь-який момент часу і за формулою
V (і) = 6і2 + 1. Знайдіть формулу, яка виражає залежність
координати точки від часу, якщо в момент часу і = 3 с
тіло знаходилося на відстані 10 м від початку координат
(швидкість руху вимірюється в метрах за секунду).
25.13. ’ Задайте формулою функцію, визначену на проміж-
ку (-сю; +оо), графік якої проходить через точку А (-1; 6),
а кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до цього гра-
фіка в точці з абсцисою х, дорівнює 6х2 - 5х4.
25.11.* Задайте формулою функцію, визначену на проміж-
ку (0; +оо), графік якої проходить через точку В (4; -5),
а кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до цього гра-
3 ,
фіка в точці з абсцисою х, дорівнює -т= + 1.
25.15. " Знайдіть:
1) |зіп2х<іх; 2) |зіп 5х • соз Зх (їх; 3) |зіп^-зіп^<іх.
25.16. " Знайдіть:
1) |соз2 2х (їх; 2) |соз х • соз 8х (їх.
25.17. " Для функції / (х) - 2х2 + Зх знайдіть таку первісну,
що пряма у = 5х - 2 є дотичною до її графіка.
25.18. " Для функції і (х) = х2 - 4 знайдіть таку первісну,
що пряма у - -3 є дотичною до її графіка.
25.19. " Для функції / (х) = -2х + 5 знайдіть таку первісну,
що її графік має тільки одну спільну точку з прямою
!/= 2.
25.20. ” Для функції / (х) = х + 1 знайдіть таку первісну,
що її графік має тільки одну спільну точку з прямою
і/ = -4.
25.21. " Василь Заплутайко шукає первісну функції у = соз х2
так:
1) робить заміну х2 = і і отримує функцію у - соз І‘,
2) далі шукає первісну функції у = соз і і отримує у = зіп і;
3) потім замість і підставляє значення І = х2 і робить ви-
сновок, що кожна первісна має вигляд у = зіп х2 + С,
де С — деяке число.
У чому полягає помилка Василя?
26.
___
Площа криволінійної трапеції.
Визначений інтеграл
Розглянемо функцію /, яка є неперервною на відрізку
[а; Ь] і набуває на цьому проміжку невід’ємних значень.
Фігуру, обмежену графіком функції / і прямими у - 0, х = а
і х - Ь, називають криволінійною трапецією.
На рисунку 26.1 наведено приклади криволінійних тра-
пецій.
Рис. 26.1
Розглянемо теорему, яка дає змогу знаходити площі
криволінійних трапецій.
Теорема 26.1. Площу 8 криволінійної трапеції, об-
меженої графіком функції у = / (х) і прямими у = 0, х = а
і х = Ь (а < Ь), можна обчислити за формулою
8 = Г (Ь) - Г (а),
де Г — будь-яка первісна функції [ на відрізку [а; Ь].
Доведення. Розглянемо функцію у — 8 (х), де х є [а; &],
яку визначено таким правилом.
Якщо х - а, то 5 (а) = 0; якщо
х є (а; 6], то 5 (х) — це площа криволі-
нійної трапеції, показаної штриховкою
на рисунку 26.2.
Доведемо, що 8'(х) = / (х) для всіх
х є [а; 6].
Нехай х0 — довільна точка відрізка [а; 6] і Дх — при-
ріст аргументу в точці х0, Обмежимося розглядом випадку,
коли Дх > 0 (випадок, коли Дх < 0,
розглядається аналогічно).
Маємо: Д5 = 5 (х0 + Дх) - 8 (х0).
Отримуємо, що Д8 — це площа
криволінійної трапеції, заштрихованої
на рисунку 26.3.
На відрізку АВ як на стороні побудуємо прямокутник,
площа якого дорівнює А8 (рис. 26.4). До-
вжини сторін цього прямокутника дорівню-
ють Ах і / (і), де і — дейка точка проміжку □
[х0; х0 + Ах]. Тоді А8 = / (і) • Ах. Звідси а
Д8 ., ч .ДІ...! _1_В_►
— = / х ♦ х + Ах х
Ах
Рис. 26.4
Якщо Ах —> 0, то £ —> х0.‘ Оскільки
функція / є неперервною в точці х0, то Ит / (і) = / (х0).
«-»х0
Звідси, якщо Ах —> 0, то /(£) -> / (х0). Маємо:
ЛЯ
5'(х0)= Ііт —= ііт /(О = /(хо).
д*-»° Ах д*-»о
Оскільки х0 — довільна точка області визначення функції
у = 8 (х), то для будь-якого х є [а; &] виконується рівність
8' (х) = / (х).
Отримали, що функція у = 8 (х) є однією з первісних
функції / на відрізку [а; 6].
Нехай Р — деяка первісна функції / на відрізку [а; 6].
Тоді згідно з основною властивістю первісної можна за-
писати
Р (х) = 8 (х) + С,
де С — деяке число.
Маємо:
Р (Ь) - Р (а) = (5 (&) + С) - (8 (а) + С) = 8 (Ь) - 8 (а) = 8 (&).
За означенням функції у = 8 (х) шукана площа 8 криво-
лінійної трапеції дорівнює 8 (Ь). Отже,
8 = Р (Ь) - Р (а). ▲
ПРИКЛАД 1 Знайдіть площу 8 фігури, обмеженої графіком
функції / (х) = віп х і прямими у = 0, х = - І X =—.
З 2
Розв’язання. На рисунку 26.5 зображено криволінійну
трапецію, площу якої потрібно знайти.
Однією з первісних функції / (х) = зіп х на відрізку
п, я
3’2
є функція Р (х) = -СОЗ х. Тоді
8 = Г — -Г — = -СО8 —+ СО8 —= —.
Ш Ш 2 3 2
ПРИКЛАД 2 Знайдіть площу 8 фігури, обмеженої графіком
функції / (х) = 4х - х2 і прямою у = 0.
Розв’язання. Графік функції /
перетинає пряму у - 0 у точках
хг = 0 і х2 = 4 (рис. 26.6). Тоді
фігура, площу якої треба знайти,
є криволінійною трапецією, яка
обмежена графіком функції / і пря-
мими у = 0, х = 0, х = 4.
Однією з первісних функції / на
відрізку [0; 4] є функція
т3
Г(х) = 2х2--.
З
Тоді
„ 43
£ = Г(4)-Г(0) = 2-42-
З
Рис. 26.6
32
З ‘
Означення. Нехай Р — первісна функції / на проміж-
ку І, числа а і Ь належать проміжку І, де а < Ь. Різницю
& (Ь) — Р (а) називають визначеним інтегралом функ-
ції / на відрізку [а; Ь].
17 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
257
Визначений інтеграл функції / на відрізку [а; Ь] познача-
ь
ють ^(х)сіх (читають: «інтеграл від а до & еф від ікс де
а
ікс»). Отже,
ь
(х) Лх = Р (Ь) - Р (а)
а
(1)
Тут Р — довільна первісна функції / на проміжку І.
Наприклад, функція Р (х) = х3 є первісною функції
/ (х) = Зх2 на проміжку (-оо; +оо). Тоді для довільних чисел
а і Ь можна записати:
ь
|3х2 сіх = Р (Ь)-Р (а) = Ь3-а3,
а
Зауважимо, що значення різниці Р (&) - Р (а) не зале-
жить від того, яку саме первісну функції / обрано. Справді,
кожну первісну Сг функції / на проміжку І можна подати
у вигляді Сг (х) = Р (х) + С, де С — деяка стала. Тоді
(?(&)-(? (а) = (Р (Ь) + С) - (Р (а) + С) - Р (Ь) - Р (а).
Рівність (1) називають формулою Ньютона—Лейбніца.
ь
Отже, для обчислення визначеного інтеграла ^(х)сіх
за формулою Ньютона-Лейбніца потрібно:
1) знайти будь-яку первісну Р функції / на відрізку [а; &];
2) обчислити значення первісної Р у точках х = Ь та
х - а;
3) знайти різницю Р (Ь) - Р (а).
При обчисленні визначених інтегралів різницю Р (Ь) - Р (а)
|Ь
позначають Р (х) .
Іа
Використовуючи таке позначення, обчислимо, напри-
Я
6
клад, |со8хгіх. Маємо:
о
я
6 ~ Л 1
|СО8 X д,х = 8ІП X 6 = 8ІП-8ІП 0 - -.
Іо 6 2
2
ПРИКЛАД З Обчисліть |(х4 +х2 -2) (їх.
і
Розв’язання. Маємо:
2
|(х4+х2-2) с?х =
і
Якщо функція / має первісну Р на відрізку [а; 6] і с є (а; Ь),
то з формули Ньютона-Лейбніца випливає така властивість
визначеного інтеграла:
Ь с Ь
(х) (їх = р (х) (їх + р (х) (ІХ.
а а с
Справді,
ь
р (х) ах = Р(Ь) -Р(а) = (Р(Ь)-Р(с))+(Р(с) -Р(а)) =
Р (х) С?Х+ р(х) ах.
Якщо кожна з функцій / і £ має первісну на відріз-
ку [а; &], то, використовуючи теореми 25.1 і 25.2, можна
довести (зробіть це самостійно) такі властивості визначеного
інтеграла:
ь ь ь
1) |(/Чх) + £(х))с?х= р(х)с?х+ р(х)с?х;
а а а
Ь Ь
2) р/ (х) ах = к р (х) ах, де к —
деяке число.
Формула Ньютона-Лейбніца дозволяє встановити зв’язок
Між визначеним інтегралом і площею 8 криволінійної
трапеції, обмеженої графіком функції у = / (х) і прямими
У = 0, х = а і х = Ь (а < Ь).
Використовуючи теорему 26.1, можна записати:
ь н а / (х) ах
Зауважимо, що в наведеній формулі розглядаються
функції /, які на відрізку [а; Ь] набувають тільки невід’єм-
них значень. Проте визначений інтеграл можна використати
для обчислення площ більш складних фігур.
Розглянемо функції / і які є неперервними на про-
міжку [а; Ь] і для всіх х є [а; Ь] виконується нерівність
/(х)> § (х).
Покажемо, як знайти площу 8 фігури Ф, яка обмежена
графіками функцій / і § та прямими х = а і х = Ь (рис. 26.7).
Рис. 26.8
Перенесемо фігуру Ф вгору на с0 одиниць так, щоб отри-
мана фігура Ф! знаходилася вище від осі абсцис (рис. 26.8).
Фігура Ф| обмежена графіками функцій у = / (х) + с0
і у = § (х) + с0 та прямими х = а, х = Ь.
Оскільки фігури Ф і Фі мають рівні площі, то шукана
площа 8 дорівнює різниці 8Г - 8е,
де 8Г — площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком
функції у = / (х) + с0 та прямими у - 0, х = аі х = Ь
(рис. 26.9, а);
8в — площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком
функції у = § (х) + с0 та прямими у - 0, х = а і х = Ь
(рис. 26.9, б).
Таким чином, використовуючи властивості визначеного
інтеграла, можемо записати:
ь ь
8 = 8г-8е = |(/(х) + с0)сїх- |(£(х) + с0)гіх =
Рис. 26.9
уА У = /Ю + с
Отже, якщо функції / і £є неперервними на відрізку [а; Ь]
і для всіх х є [а; Ь] виконується нерівність / (х) > £ (х),
то площу 8 фігури, яка обмежена графіками функцій / і £
та прямими х = а і х = Ь, можна обчислити за формулою
ь
-8= _[(/(*)-£(*))<**
ПРИКЛАД 4 Знайдіть площу 8
фігури, обмеженої графіками
функцій / (х) = -х2 + 6х - 6 і
£ (х) = х2 - 2х.
Розв’язання. На рисунку 26.10
зображено фігуру, площу якої по-
трібно знайти.
Розв’язавши рівняння / (х) = £ (х),
установлюємо, що графіки функ-
цій / і £ перетинаються у двох точ-
ках з абсцисами х = 1 і х = 3.
Тоді шукана площа 8 дорівнює:
3 з / 2 з
8= ](/(х)-£(х))сіх= |(-2х2+8х-6)г/х=-------+ 4х2-6х
і і V З
Вправи
26.2.' Знайдіть площу криволінійної трапеції, зображеної
на рисунку 26.12.
Рис. 26.12
26.3.° Обчисліть визначений інтеграл: 7) 100 , г ах.
1) 7 [х <іх; 4) 2 [х4 сіх;
2) 5 8 \сіх; 5) -1 л 3 [зіп х сіх; 8) 16 V* е3 , гах .
3) 3 0 [х2 сіх; 6) 0 СІХ 1 2 ’ 9) х 10 .1 1^;
3 • СОВ X 4 • X
3 10) |зхг7х; 6 13) |(3х2-х)гіх;
-2 0 п
8 11) ^у[х сіх; 2 14) |(4 8ІП X + 2 СО8 х) гіх.
і -2 0
12) ](2х + 4)гіх;
26.4.° Обчисліть визначений інтеграл:
-2 1) /2 ах; 4) Л •81П X * X 4
2 2) /х3ах; 1 я 2 5) 8) ^у/х ах; 1Х 4 4 1
3) |со8хгіх; 0 6) /ехах; 9) |(1-5х4)гіх. 0 -1
26.5.* Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої:
1) параболою у = х2 + 1 і прямими у = 0, х = 0, х = 2;
2) косинусоїдоюу - сов х і прямими у = 0, х = , х~—;
3) графіком функції у = -х3 та прямими у = 0, х = -2;
4) параболою у = 3 - 2х - х2 і прямими у = 0, х = -2,
х = 0;
5) гіперболою у — —— і прямими у - 0, х = —, х = 2;
2х 4
6) параболою у = 2х - х2 і віссю абсцис;
7) синусоїдою у = віп 2х і прямими у = 0, х = х~^’
8) графіком функції у = ——- і прямими у = 0, х = -1,
(х-1)
х = 0;
9) графіком функції у - ех + 1 і прямими у = 0, х = 0,
х = -2;
10) графіком функції у = у/5-х і прямими у = 0, х - -4.
26.6.* Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої
лініями:
1) у = х2 - 1, у = 0, х = 2;
2) у = -х2 - 4х, у = 0, х = -3, х = -1;
3) У = ~—, у = 0, х = -4, х = -2;
х
4) у = —^—7, у = 0, х = -1, х = 1; । УІ ~[ г
<х+2> —
5) у = л/х + 4, у = 0, х = -3, х = 5; — \ ——щ---------
26.7 / Доведіть, що криволінійні трапеції,
зафарбовані на рисунку 26.13, рівно-
великі.
26.8 ." Обчисліть визначений інтеграл:
З 1 .
1) [(4х3-4х + 3)гіх; 7)
1 Зл 2с х 2) сов — (іх; } з 2 3) І 81П 2х 6 1 4) |(х-3)2гіх; -2 1 5) |(5х 3)5<7х; 1 5 б) ^л/Зх-2 3-2х 2 л / \ Гі X 8) віп —+ сов5х (іх; IV 6 ; 2л / \ 9) Г віп — - Зх (іх; о {3 ) 0 _£ 10) 6 (їх; -в 11) [ ах 3; _1(4х + 1)3 116 1 12) N--2 (їх. 12 ’
26.9.’ Обчисліть визначений інтеграл:
4/4 А 1 з , 1) р—+ 2х-3х2 гіх; 4) [(2х-1)4гіх; 7) Г-^-;
Дх2 ) 1 ’Зх+І
7 г . X , г (їх 6г <іх
2) Ізіп-гіх; 5) Г-—=; 8) ґ, 2 4 ІуіЗх + 4 Дбх-5)2 3
п , Іп 4 4 3) | 6) | е"2х гіх; 9) /у/7х-3ах.
°СО32| | 1п3 1
12
26.10.’ Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2, у = 4; 9) у - х2 + 2х + 1, у - х + 3;
2) у - 2х2, у = 2х; 10) у = -х2 + 2х, у = х2;
3) у = ех, у = 1, х = 2; 11) у = х3, у = х2;
4
4) У = ~, У = 1, х = 1; 12) у = ех, у = е, х = 0;
X
4 7
5) У = ~, У = 4, х = 4; 13) у = -, х + у = 8;
х х
6) у - х2 - 4х + 5, у = 5; 14) У = ~^, у = 2х, х = 2;
х
7) у = 2 4-х-х2, і/ = 2-х; 15);/ = 8Іпх, г/ = совх,х = 0, х =—.
4
8) у = х2 + 2, у - х + 4;
26.11. ’ Знайдіть площу фігури, обмеженої:
1) графіком функції у = х3 і прямими у = 8, х = 1;
2) параболою у = 0;5х2 і прямою у - -х;
3) параболою у - 4 - х2 і прямою у = 3;
4) параболою у = 6 + х - х2 і прямою у = 6 - 2х;
5) параболами у = х2 - 4х + 4 і у - 4 - х2;
з
6) гіперболою у-— і прямими у = 3, х = 3;
х
7) графіком функції у = е~х і прямими у = е, х - 0;
5
8) гіперболою у - — і прямою X + у = 6.
X
26.12. '* При якому додатному значенні а визначений інтеграл
а
|(6 - 2х) (їх набуває найбільшого значення?
о
26.13. ’* При яких значеннях а площа фігури, обмеженої
лініями у = х2, у = 0, х = а, дорівнює 9?
26.14. *' При яких значеннях а площа фігури, обмеженої
лініями у = 2х3, у = 0, х = а, дорівнює 8?
26.15. " При якому значенні а пряма х = а розбиває фігуру,
2
обмежену графіком функції у = — і прямими у = 0, х = З,
X
х = 12, на дві рівновеликі фігури?
26.16. " При якому значенні а пряма х = а розбиває фігуру,
обмежену графіком функції у = -х3 та прямими у - 0,
х = -2, на дві рівновеликі фігури?
26.17. ” При яких значеннях а виконується нерівність:
а
а
1) |(4-2х)гіх<3(а>0); 2) / 0,2х с!х>
19
0
1о80і2 6
26.18. * При яких додатних значеннях а виконується не-
1 7
2
26.19. ” Обчисліть визначений інтеграл:
п
12
1) |і82Зхсїх;
о
о
2) [2 віп2 — (їх;
і 4
2
3) |соб Зх сов х (їх;
,х +х3
~^гах-
X е
о
2
і
26.20. " Обчисліть визначений інтеграл:
15я
1) [ сі£2 — (їх;
5п $
4
п
2
2) | сов2 2х (їх;
я
2
3)
4)
_я
4
| віп 7х сов Зх (їх;
я
2
1 2 х
1 х е*
26.21. * Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2 - Зх - 4, у - 0, х = 0, х = 3;
2) у = —х2, у = х - 2;
3) у - х2 - 4, у = 4 - х2;
4) у = х2 - 2х, у = х;
2л
5) у = 3 зіп х, у = -2 зіп х, х = 0, х = —;
4 3
6) у = — 2, у = 2, х = 2, х = 4.
х
26.22. * Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:
1) у = х2 - 4х, у = х - 4;
2) у = 3 - х2, у = 2х;
о) у = сой х, у = 2 сой х, х-—, х-—;
4) у = 4 - х2, у = х2 - 2х.
26.23."' Знайдіть площу фігури, обмеженої:
1) графіком функції у - 2-х2, якщо х<1; . і прямими 2х-1, якщо х>1
• • < «ї її р н II д н II ьо
2) графіком функції у = - Я . ' ~ созх, якщо —Сх<0; 2 і пря- 1-х, якщо 0<х<1
мою у = 0.
26.24.” Знайдіть площу фігури, обмеженої:
1) графіком функції у - х + 3, якщо х<-1; і прямими X +1, якщо х > -1
» • • • । «ї її р н II 1 р н II о х + 2, якщо - 2 С х < 0;
2) графіком функції у - • о Л л і пря- 2соз2х, якщо 0<хч —
мою у - 0. 4
26.25. ’* Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою
1 2 л - - л
у = -х +1, прямою, яка дотикається до цієї параболи
2
у точці з абсцисою х0 - 2, та осями координат.
26.26. “ Знайдіть площу фігури, обмеженої віссю абсцис,
графіком функції у - 2х3 та прямою, яка дотикається
до цього графіка в точці з абсцисою х0 = 1.
26.27.” Обчисліть визначений інтеграл, використовуючи
його геометричний зміст:
1) 1 |л/1-х2 сіх; -1 4) 1 |х/б-4х-х2 (їх; -5
2) 0 |л/9-х2 сіх; -3 8 5) 1 || х \ сіх; 4 5
3) |д/8х-х2 (їх; 4 6) | х-2 | (їх. 0
26.28. ” Обчисліть визначений інтеграл, використовуючи
його геометричний зміст:
5 ______ 5 _________
1) |л/25-х2 сіх; 3) |л/бх-х2 -5 сіх;
-5 1
2^3 ______________________ 2
2) | -712-х2 сіх; 4) ||х + 1|гіх.
0 -2
Є
26.29. * Обчисліть визначений інтеграл |1п х сіх.
і
і
26.30. * Обчисліть визначений інтеграл |агс8Іп х сіх.
о
Обчислення об'ємів тіл
У попередньому пункті ви дізналися, як за допомогою ін- •
тегрування можна обчислювати площу криволінійної трапе- ,
Ції та інших фігур на площині. Нагадаємо, що коли фігура •
обмежена графіками функцій / і § та прямими х - а і х = Ь
(рис. 27.1), то її площу можна обчислити за формулою
ь
8= |(/(х)-5’(х))с/х.
а
Розглянемо функцію І (х) - / (х) - § (х). Величина І (х0) =
= І (*о) - § (*о) дорівнює довжині відрізка, по якому вер-
тикальна пряма х = х0 перетинає дану фігуру (рис. 27.2).
Отже, можна записати:
ь
8 = р (х) (іх.
а
Виявляється, що останню формулу можна узагальнити
для розв’язування задач на обчислення об’ємів просторових
тіл.
У просторовій прямокутній декартовій системі координат
розглянемо тіло Ф, об’єм якого дорівнює V. Нехай площина
х = х0 перетинає тіло Ф по фігурі з площею 5 (х0), а проек-
цією тіла Ф на вісь абсцис є відрізок [а; 6] (рис. 27.3). Тоді
об’єм тіла Ф можна обчислити за формулою:
ь
У= |£(хИх
Цю формулу можна довести, використовуючи ідею до-
ведення теореми 26.1.
Покажемо, як за допомогою отриманої формули вивести
формулу об’єму піраміди.
Нехай дано піраміду з висотою ОМ, рівною к, і основою
площею 5 (рис. 27.4). Доведемо, що об’єм піраміди дорівнює
V = —8к. Уведемо систему координат так, щоб вершина пі-
3
раміди О збіглася з початком координат, а висота піраміди
ОМ належала додатному напряму осі абсцис (рис. 27.5).
Тоді основа піраміди лежить у площині х = к. Тому проек-
цією піраміди на вісь абсцис є відрізок [0; Л].
Рис. 27.4
Рис. 27.5
Нехай площина х = х0 перетинає піраміду по много-
кутнику з площею 5 (х0). Зрозуміло, що площина перерізу
паралельна площині основи піраміди. Тому многокутник,
утворений у перерізі, подібний многокутнику основи піра-
міди. При цьому коефіцієнт подібності дорівнює —. Ско-
к
риставшись теоремою про відношення площ подібних фігур,
можна записати: „, ,
5(*о)^*о
8 к2 ‘
х2
Звідси <8(х0) = -уІ8. Тепер можна записати:
к
у= І£(х)гіх = [^8гіх = 4 |х2гіх = 4’— =4’ — = —8к.
І № ь21 Л2 3 0 к2 з з
ПРИКЛАД Фігура, обмежена графіком функції / (х) =
- х2 + 1 і прямими х-0, х-1, у = 0 (рис. 27.6), обертається
навколо осі абсцис, утворюючи тіло об’єму V (рис. 27.7).
Знайдіть V.
Розв’язання. При перетині утвореного тіла площиною
X = х0, де х0 є [0; 1], утворюється круг (рис. 27.8), радіус
якого дорівнює і (х0). Тоді площа цього круга дорівнює
£(х0) = 7г/2 (х0) = л(х2+ 1)2 = л(х4 + 2х2+1).
Тому
і і
V- (х)гіх= |л(х4 +2х2 +1)с?х =
о о
28л
---. •
15
Рис. 27.6
Рис. 27.8
Узагалі, має місце таке твердження.
Коли при обертанні фігури, обмеженої графіком непе-
рервної та невід’ємної на відрізку [а; 6] функції / і прями-
ми х = а, х = Ь, у = 0, навколо осі абсцис утворюється тіло
об’єму V, то
ь
V - л|/’2(х)гіх
а
Вправи
27.1. * Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі абсцис фігури, обмеженої лініями:
1) у = 2х + 1, х = 1, х = 0, у = 0;
2) у = х2 + 1, х = 1, х = 2, у = 0;
3) у = у[х, х = 1, х - 4, у - 0;
4) у = х2, у = х;
5) у-—, у = 0, х = -, х = 2, у = х.
х 2
27.2. * Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі абсцис фігури, обмеженої лініями:
1) у = у/соз х, у = 0, Х = ~“, х = ^>
2) у = х - х2, у = 0;
3) у = у/х, у = 1, х = 2.
7?
27.3. * У кулі радіуса В на відстані — від центра кулі про-
2
ведено площину, яка розбиває кулю на дві частини.
Знайдіть об’єми цих частин.
4 о
27.4. * Доведіть, що об’єм кулі радіуса В дорівнює —пВ .
З
27.5. * Виведіть формулу для обчислення об’єму конуса.
18 Алгебра та початки аналізі, 11 кл.
273
КОЛИ ЗРОБЛЕНО УРОКИ
«Розумом він перевершив рід людський»
Ці величні слова написані нащадками про видатного
англійського науковця — фізика і математика Ісаака Нью-
тона. В історії науки поряд з І. Ньютоном стоїть ще одна
гігантська фігура — французького науковця Ґотфріда Віль-
гельма Лейбніца, який залишив після себе немеркнучий слід
у філософії, математиці, юриспруденції, логіці, дипломатії,
історії, політології. Серед великої наукової спадщини цих
геніальних учених особливе місце належить досягненням,
пов’язаним зі створенням диференціального та інтеграль-
ного числення — науки про похідні та первісні.
Слід підкреслити, що Ньютон і Лейбніц створювали свої
теорії в часи, коли звичні для нас поняття і терміни або
взагалі не існували, або не мали точного змісту. Спробуйте
уявити собі підручник з «Алгебри і початків аналізу»,
Ісаак Ньютон
(1643-1727)
Ґотфрід Вільгельм
Лейбніц
(1646-1716)
у якому немає термінів «множина», «функція», «дійсне
число», «границя» тощо. Більш того, багато зручних сучас-
них позначень тоді ще не набули загальноприйнятого вжит-
ку. Деякі з них Ньютону та Лейбніцу довелося самим
винаходити, узагальнювати і пристосовувати до потреб.
Наприклад, Лейбніц почав позначати операцію множення
крапкою (раніше використовували символи: □, х, *, М
тощо), операцію ділення — двокрапкою (раніше часто ви-
користовували літеру В); Ньютон поширив позначення для
степеня а" на випадок цілих та дробових значень п, а по-
значення х/х узагальнив до у[х. Термін «функція» і символ
інтеграла « |» вперше зустрічаються в роботах Лейбніца.
Узагалі, історію розвитку математики можна сміливо
розділити на епохи до і після появи похідної і інтеграла.
Відкриття Ньютона та Лейбніца дозволили науковцям
швидко і просто розв’язувати задачі, які раніше вважалися
абсолютно неприступними.
Наведемо показовий приклад. У першій половині XVII сто-
ліття видатний італійський математик Бонавентура Кава-
льєрі запропонував новий метод для обчислення площ.
Користуючись цим методом, Кавальєрі зміг обчислити пло-
щу 8 криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції
у = хп, віссю абсцис і вертикальною прямою х - 1, при де-
яких значеннях п (рис. 27.9). Наполегливо працюючи про-
тягом більш ніж 10 років, шляхом надзвичайно складних
та громіздких міркувань Кавальєрі зміг розв’язати задачу
лише для натуральних значень п, менших від 10.
Годі й казати, що, використовуючи формулу Ньютона-
Лейбніца, шукану площу можна знайти в один рядок не
тільки для натуральних, а й для всіх додатних
значень п:
і
5 = ^хп(їх =
о
1 1
о п + 1
0
п + 1
1
п + 1
п + 1
Проте в ті часи метод, запропонований Ка-
вальєрі, мав надзвичайно важливе значення,
оскільки до XVII століття протягом кількох
Рис. 27.9
тисяч років усі намагання науковців розв’язати таку або по-
дібну задачі були взагалі безрезультатними.
Для своїх розрахунків Кавальєрі сформулював такий
принцип:
якщо всі прямі, паралельні між собою, перетинають
фігури і Г2 п0 відрізках однакової довжини (рис. 27.10),
то такі фігури мають рівні площі.
Ознайомившись із цим принципом, у 1644 році видатний
італійський математик і фізик Еванджеліста Торрічеллі
писав: «Без сумнівів, геометричний принцип
Кавальєрі є дивовижним за своєю економією
засобом для знаходження теорем... Це —
справді царська дорога серед хащ матема-
тичного тернику».
Рис. 27.10
Наприклад, з принципу Кавальєрі випли-
ває, що прямокутник і паралелограм з одна-
ковими стороною і висотою мають рівні
площі (рис. 27.11). Але принцип Кавальєрі
працює і для більш складних фігур. Напри-
клад, розглянемо дві фігури: одиничний квадрат і «криво-
лінійний чотирикутник» АВСВ, обмежений лініями у - у/х,
у-у/х+1, х = 0, х = 1 (рис. 27.12). Зрозуміло, що кожна
вертикальна пряма перетинає обидві фігури по відрізках
одиничної довжини. Тоді з принципу Кавальєрі випливає,
що площа «криволінійного чотирикутника» АВС Б дорівнює
площі одиничного квадрата, тобто одиниці. У справедливос-
Рис. 27.12
Рис. 27.11
ті цього висновку ви можете переконатися самостійно, об-
числивши площу «криволінійного чотирикутника» АВСБ
за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.
Ідеї, близькі до сформульованого принципу Кавальєрі,
наштовхнули Ньютона і Лейбніца до створення зручної
загальної теорії, яка дала змогу просто і швидко будувати
дотичні до найскладніших кривих, знаходити найбільші
та найменші значення функцій, обчислювати площі різ-
номанітних фігур, розв’язувати багато інших важливих
і складних задач.
ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № З
1. Яка з наведених функцій є первісною функції / (х) = х4?
А) Р (х) = 4х3; Б)^(х) = —; В)^(х) = х5; Г) Р(х) = —.
5 4
2. У якому з наведених випадків функція Р є первісною
функції /?
А) / (х) = віп х, Р (х) = сов х;
Б) Дх) =----Р (х) = х;
СОВ X
В) / (х) = х, Р (х) = 1;
Г) / (х) = СОВ X, Р (х) = віп X.
4
3. Укажіть загальний вигляд первісних функції /(х) = —
Xа
на проміжку (0; +<ю).
А) -і; Б) -4+С; В) — + С-, Г) -А-+С.
х х х Зх
4. Яка з наведених функцій є первісною функції /(х) = —
х
на проміжку (-оо; -1]?
А) Р (х) = -1 - Іп х; В) Р (х) = Іп (х - 1);
Б) Р (х) = Іп (1 - х); Г) Р (х) = Іп (—х) - 1.
5. Укажіть загальний вигляд первісних функції / (х) = е6х.
бХ-г! 1
А) е6х + С; Б) 6е6х + С; В) + С; Г) -е6х +С.
6х +1 6
6. Функція Р є первісною функції / (х) = х - 3. Через яку з на-
ведених точок проходить графік функції Р, якщо Р (2) = 5?
А) (0; 8); Б) (-2; 17); В) (1; 5,5); Г) (4; 4).
7. Яка з поданих функцій є первісною функції / (х) - 7х?
7х
А) Р (х) =--; В) Р (х) = 7х;
1п7
7* + 1
Б) Р (х) = 7х Іп 7; Г) Р(х) = ----.
х + 1
з
8. Обчисліть інтеграл |х2 с/х.
о
А) 27; Б) 9; В) 6; Г) 3.
Я
З
9. Обчисліть інтеграл |віп Зх (їх.
п
9
Б) -Ь В) 11;
2 2
10. Обчисліть інтеграл
г СІХ
„„ 2
у 81П
А) —; Б) 2д/3; В)
З
Г)
11. Обчисліть інтеграл
А) -4; Б) 4;
12. Обчисліть інтеграл
В) -2; Г) 2.
4 4
|(/ (х) + 1) (іх, якщо (х)(1х = 2.
і -і
А) 3; Б) 5; В) 7; Г) 9.
13. На рисунку зображено графік функції у = / (х). Знайдіть
значення виразу |(х) (їх - (х) (їх.
-6
А) 0;
Б) 2;
В) 1;
Г) знайти неможливо.
14. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на
рисунку.
А’|=
Б> 2;
В>Г
Г) 1.
15. Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лі-
ніями у = 6х - хг, у = 0, х = 1, х = 3.
2 12 1
А) 12—; Б) 14-; В) 14-; Г) 15-.
З З З З
16. Значення якого з наведених інтегралів дорівнює площі
зафарбованої фігури, зображеної на рисунку?
А)
Б)
В)
Г)
17. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у = х2,
у - 2 - х.
А) 3,5; Б) 4; В) 4,5; Г) 5.
18. При якому значенні а пряма х = а розбиває фігуру, об-
межену графіком функції у = — і прямими у = 0, х = 2,
X
х = 8, на дві рівновеликі фігури?
А) 4; Б) 5; В) 10; Г) такого значення не існує.
Елементи
теорії
ймовірностей
і математичної
статистики
28.
Комбінаторні правила суми та добутку
Скількома способами учні вашого класу можуть стати
один за одним у черзі до буфету? Скількома способами
можна обрати у вашому класі старосту та його заступника?
Скількома способами можуть бути розподілені золоті, срібні
та бронзові медалі на чемпіонаті світу з футболу?
Відповідаючи на ці запитання, потрібно підрахувати,
скільки різних комбінацій, утворених за певним правилом,
можна скласти з елементів заданої скінченної множини. Об-
ласть математики, яка займається розв’язуванням подібних
задач, називають комбінаторикою.
В основі розв’язування більшості комбінаторних задач
лежать два правила: правило суми і правило добутку.
Розглянемо такий приклад. Туриста зацікавили 5 марш-
рутів у Криму і 7 маршрутів у Карпатах. З’ясуємо, скілько-
ма способами він може організувати свою відпустку, маючи
час лише на один маршрут.
Оскільки всього є 5 + 7 = 12 різних маршрутів, то один
з них можна вибрати 12 способами.
Узагальненням цього прикладу є таке правило.
Правило суми. Якщо елемент а можна вибрати т спо-
собами, а елемент Ь можна вибрати к способами, то вибір
«а або Ь» можна здійснити т + к способами.
Знову звернемося до прикладу з вибором маршрутів.
Якщо турист має час на два маршрути і хоче побувати спо-
чатку в Криму, а потім у Карпатах, то він може організува-
ти свій відпочинок 35 способами. Справді, якщо обрати один
маршрут у Криму, то парою до цього маршруту може бути
будь-який з 7 карпатських маршрутів. Оскільки маршрутів
у Криму 5, то кількість пар (маршрут у Криму; маршрут
у Карпатах) дорівнює 7 + 7 + 7+ 7 + 7 = 7*5 = 35.
Ці міркування ілюструє така таблиця.
Карпатські маршрути
1 2 3 4 5 6
1 (1; і) (і; 2) (і; 3) (і; 4) (1; І) (1; 6) (1; 7)
п 2 (2; і) (2; 2) (2; 3) (2; 4) ($ 5) (Я 6) (2; )
і 3 (3; і) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; ) (3; <•) (3: 0
4 (4; 1) (1; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; ) (4; ТІ
б (5; і) (Й; 2) (б; 3) (б; 4) (б; 5) ( ; , ;) (& )
Узагальненням цього прикладу є таке правило.
Правило добутку. Якщо елемент а можна вибрати т
способами і після кожного такого вибору елемент Ь можна
вибрати к способами, то вибір «а і Ь» в указаному поряд-
ку, тобто вибір упорядкованої пари (а; Ь), можна зробити
тк способами.
ПРИКЛАД 1 Скільки чотирицифрових чисел можна скласти
з цифр 1, 2, 3, 4, причому так, щоб у кожному числі всі
цифри були різними?
Розв’язання. Першою цифрою в такому чотиризнач-
ному числі може бути будь-яка з чотирьох цифр: 1, 2, З
або 4. Маємо 4 варіанти.
Оскільки всі цифри в цьому чотирицифровому числі ма-
ють бути різними, то якою б не була перша цифра, другою
цифрою числа може бути будь-яка з тих трьох цифр, що
лишилися. Отже, для кожного з 4 варіантів першої цифри
існує 3 варіанти для другої цифри. Використовуючи прави-
ло добутку, маємо, що перші дві цифри чотирицифрового
числа можна вибрати 4*3 = 12 способами.
Міркуючи аналогічно, стверджуємо, що для кожного
з цих 12 варіантів вибору перших двох цифр існує два ва-
ріанти вибору третьої цифри. Справді, якщо першими дво-
ма цифрами вибрано, наприклад, цифри 1 і 2, то третьою
Цифрою може бути будь-яка з двох цифр 3 або 4. Викорис-
товуючи правило добутку, доходимо висновку, що перші
три цифри можна вибрати 4 • 3 • 2 = 24 способами.
Оскільки всі цифри в чотирицифровому числі мають бути
Різними, то зрозуміло, що перші три цифри числа однознач-
но визначають останню четверту цифру. Тому з цифр 1,2,
З, 4 можна скласти 4 • 3 • 2 • 1 = 24 чотирицифрових числа
так, щоб у кожному числі всі цифри були різними.
Відповідь: 24.
Розв’язуючи приклад 1, нам довелося обчислювати добу-
ток 4 • 3 • 2 • 1. У комбінаторних задачах добуток послідовних
натуральних чисел від 1 до п зустрічається настільки часто,
що отримав спеціальну назву «факторіал» і позначення
п! = 1 • 2 • 3 •... • п
(запис «п!» читають «єн факторіал»).
Наприклад, 3! = 1 • 2 • 3 = 6, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
ПРИКЛАД 2 Для захисту інформації на комп’ютері викорис-
товують пароль — послідовність букв або цифр довжиною
від 3 до 5 символів (пароль може містити декілька одна-
кових символів). Скільки різних паролів можна утворити,
використовуючи 26 букв та 10 цифр?
Розв’язання. Розглянемо кількість різних паролів
з трьох символів. Першим символом можна обрати будь-
яку букву або будь-яку цифру. Отже, маємо 36 варіантів.
Аналогічно для вибору другого і третього символів існує по
36 варіантів. Використовуючи правило множення, маємо,
що існує З63 різних паролів з трьох символів.
Так само доводимо, що кількість паролів з чотирьох
символів дорівнює 364, а паролів з п’яти символів —365.
Тому, використовуючи правило суми, отримуємо, що за-
гальна кількість паролів становить З63 + 364 + 365. •
, О—» ЗАДАЧА Доведіть, що кількість під множин довільної
• п-елементної множини М дорівнює 2".
Розв’язання. Пронумеруємо всі елементи множини М.
* Маємо:
• М = {щ, а2, ... , ап}.
Розглянемо скінченні послідовності, які містять п членів
• і складаються з нулів і одиниць.
Кожній підмножині А множини М поставимо у відпо-
відність одну з таких послідовностей, що обирається за
правилом:
якщо ак є А, то на /г-му місці в послідовності стоїть число 1;
якщо ак й А, то на /г-му місці в послідовності стоїть число 0.
Наприклад,
А = {а2, а4} -> 0, 1, 0, 1, 0, 0, ... , 0
В = {а3} 0, 0, 1, 0, 0, 0, ... , 0
С = {а„} -> 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... , 0, 1
ЛГ-> 1, 1, 1, ... , 1
0 -> 0, 0, 0, ... , 0
Зрозуміло, що кожній підмножині множини М відпо-
відає єдина послідовність і, навпаки, кожна послідовність
є відповідною єдиній підмножині множини М. Отже, кіль-
кість підмножин множини М дорівнює кількості послідов-
ностей, що розглядаються.
При конструюванні послідовностей будь-який член мож-
на вибрати тільки двома способами: записати 0 або записа-
ти 1. Отже, можна сконструювати 2-2*...•2 = 2’’ різних
. „ п множників
послідовностей.
і
Вправи
28.1. * З міста А до міста В ведуть
4 дороги, а з міста В до міста С
ведуть 3 дороги (рис. 28.1). Скіль-
кома способами можна проїхати
з міста А до міста С?
Рис. 28.1
28.2. * Кафе пропонує в меню 3 перші страви, 6 других страв
і 5 третіх страв. Скільки існує способів вибрати обід
з трьох страв (по одній страві кожного виду)?
28.3. * Розглядатимемо склади з двох букв, перша з яких
є приголосною, а друга — голосною. Скільки таких різ-
них складів можна утворити з букв слова:
1) шабля; 2) шаровари?
28.4. * У корзині лежать 10 яблук і 7 груш. Антон вибирає
яблуко або грушу. Після цього Максим вибирає яблуко
і грушу. У якому випадку у Максима більше можливос-
тей для вибору: коли Антон узяв яблуко чи коли Антон
узяв грушу?
28.5. На рисунку 28.2 показано
схему доріг, які ведуть з міста чХ,
А до міста В. Скількома спосо-
бами можна проїхати з міста А уу]
до міста В?
28.6. * Кафе пропонує в меню 3 різ- ®
них салати, 6 різних м’ясних Рис 28 2
страв і 5 різних десертів. Скільки
існує способів вибрати обід із двох страв різного виду?
28.7. * На вершину гори веде 5 маршрутів. Скількома спо-
собами альпініст може піднятися на гору і спуститися
з неї? Дайте відповідь на це запитання також за умо-
ви, коли підйом і спуск мають відбуватися за різними
маршрутами.
28.8. * Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти з цифр
1, 2, 3, 4, 5, причому так, щоб у кожному числі всі циф-
ри були різними?
28.9. * Скільки п’ятицифрових чисел, усі цифри в яких
різні, можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо ці числа
мають починатися:
1) з цифри 1; 2) із запису «34»?
28.10. * Скільки чотирицифрових чисел можна записати за
допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
28.11. * Скільки існує трицифрових чисел, усі цифри яких
непарні?
28.12. * Скільки чотирицифрових чисел можна записати за
допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5?
28.13. * Скільки існує трицифрових чисел, усі цифри яких
парні?
28.14. * Скільки існує семицифрових телефонних номерів,
які не починаються з цифри 0?
28.15. * Монету кидають 4 рази. Скільки різних послідов-
ностей гербів і цифр можна отримати?
28.16. * Гральний кубик кидають 3 рази. Скільки різних
послідовностей очок можна отримати?
28.17. * Скільки трицифрових парних чисел можна записати
за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
28.18. * Скільки трицифрових непарних чисел можна запи-
сати за допомогою цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?
28.19. * Скільки п’ятицифрових чисел, усі цифри яких мають
бути різними, можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4?
28.20. * Скільки парних п’ятицифрових чисел можна склас-
ти з цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб у кожному числі цифри
були різними?
28.21. * Скільки існує п’ятицифрових чисел, які діляться на 5?
28.22.* Скільки існує семицифрових чисел, які діляться на 25?
28.23. ** Скількома способами можна поставити на шахову
дошку дві тури (білу та чорну) так, щоб вони не били
одна одну?
28.24. ** У книжковому магазині є 4 різних видання поеми
«Енеїда», 3 різних видання п’єси «Наталка Полтавка»
і 2 різних видання п’єси «Москаль-чарівник». Крім того,
є 5 різних книг, у яких містяться поема «Енеїда» і п’єса
«Наталка Полтавка», і 6 різних книг, у яких містяться
п’єси «Наталка Полтавка» і «Москаль-чарівник». Скіль-
кома способами можна зробити покупку, яка б містила
по одному екземпляру кожного з цих творів?
28.25. ** Скільки існує семицифрових чисел, усі цифри яких
мають однакову парність?
28.26. ** Для шифрування повідомлень використовують
цифри 0, 1, 2, 3. Слово в повідомленні містить від 1 до
5 цифр. Яку найбільшу кількість різних слів може міс-
тити повідомлення?
28.27. ** Скількома способами можна розподілити замов-
лення на друкування 10 різних підручників між двома
книжковими фабриками?
28.28. ** Учень має 7 книг з математики, 4 книги з фізики
і 2 книги з астрономії. Скількома способами він може
розставити ці книги на полиці так, щоб книги з одного
предмета стояли поруч?
28.29. ** П’ять хлопців і п’ять дівчат сідають у ряд на
10 стільцях. Скількома способами вони можуть розміс-
титися так, щоб хлопці сиділи на стільцях з парними но-
мерами, а дівчата — на стільцях з непарними номерами?
28.30. ** Скільки існує п’ятицифрових чисел, у записі яких
є хоча б одна непарна цифра?
28.31. ** Скільки існує п’ятицифрових чисел, у записі яких
є хоча б одна парна цифра?
28.32. ** Скільки існує п’ятицифрових чисел, які містять
хоча б дві однакові цифри?
28.33. *’ Гральний кубик кидають три рази. Скільки різних
послідовностей очок, серед яких є хоча б одна шістка,
можна отримати?
28.34. ** Серед 10 людей є двоє знайомих. Скількома спосо-
бами можна посадити цих людей на 10 стільців так, щоб
знайомі сиділи поруч?
28.35. ** Скільки п’ятицифрових чисел можна записати за
допомогою цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, щоб цифри в числі не
повторювалися і парні цифри не стояли поруч?
28.36. ** Будемо вважати словом будь-яку скінченну послі-
довність букв українського алфавіту. Скільки різних слів
можна утворити, переставляючи букви слова: 1) молоко;
2) математика; 3) комбінаторика?
28.37. * Скільки натуральних дільників має число 24 • 53 • 76?
29.
Перестановки, розміщення, комбінації
Ви знаєте, що при записі множини її елементи пишуть
у довільному порядку. Наприклад, {а, Ь, с} - {с, а, Ь}. Але
в комбінаториці розглядають також упорядковані множини-
Наприклад, запис (Ь, а, с) задає триелементну впорядкова-
ну множину, у якій на першому місці стоїть елемент Ь, на
другому — елемент а, а на третьому — елемент с. Запис
(с, Ь, а) задає іншу впорядковану множину з тих самих
елементів а, Ь і с.
Означення. Перестановкою скінченної множини М
називають будь-яку впорядковану множину, утворену з усіх
елементів множини М.
Наприклад, існує 6 перестановок множини М = {а, Ь, с}.
Випишемо їх:
(а, Ь, с), (а, с, Ь), (Ь, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь), (с, Ь, а).
Перестановки заданої скінченної множини різняться
лише порядком слідування елементів.
Тепер задачу про кількість способів, якими учні вашого
класу можуть стати один за одним у черзі до буфету, можна
сформулювати так: «Скільки існує перестановок множини
учнів вашого класу?»
Кількість перестановок п-елементної множини М позна-
чають символом Рп, використовуючи першу літеру французь-
кого слова регтиіаііоп — перестановка. Наприклад, роз-
глядаючи множину М = {а, Ь, с}, ми встановили, що Р3 - 6.
Якщо М = {а}, то існує лише один спосіб упорядкування
цієї множини: а — це перший елемент. Тому Рх = 1.
Доведемо, що для будь-якого натурального п справедлива
формула
Нехай множина М складається з п елементів. Записати
будь-яку перестановку множини М — це фактично надати
кожному елементу цієї множини певний номер від 1 до п.
Тому кількість перестановок множини М дорівнює кількості
способів нумерування її елементів.
Виберемо певний елемент а з цієї множини. Існує п спо-
собів присвоїти цьому елементу номер. Далі виберемо пев-
ний елемент Ь з множини М. Оскільки елементу а номер
®Же присвоєно, то існує п - 1 спосіб присвоїти номер еле-
менту Ь. Зрозуміло, що наступний елемент можна пронуме-
Ї9 Алинірата початки аналізу, 11 кл. 289
рувати п - 2 способами і т. д. Для останнього невибраного
елемента множини М існує лише один спосіб присвоїти
йому номер, оскільки до цього моменту п - 1 елемент уже
отримали свої номери.
Отже, за правилом добутку можна записати:
Рп = п • (п - 1) • (п - 2) •• 2 • 1, тобто
Рп = п!
ПРИКЛАД 1 Скількома способами можна розташувати на
шаховій дошці 8 однакових тур так, щоб вони не били одна
одну?
Розв’язання. Для того щоб тури не могли бити одна
одну, на кожній горизонталі і на кожній вертикалі має
стояти тільки одна тура (рис. 29.1).
Рис. 29.1
Нехай ах — номер вертикалі, на якій стоїть тура з пер-
шої горизонталі, а2 — номер вертикалі, на якій стоїть тура
з другої горизонталі, ..., а8 — номер вертикалі, на якій
стоїть тура з восьмої горизонталі.
Зрозуміло, що (ах, а2, ...» а8) — якась перестановка мно-
жини {1, 2, ..., 8}. Кожній такій перестановці відповідає
деяке розташування тур, яке задовольняє умову задачі,
і навпаки, кожному припустимому розташуванню тур від-
повідає певна перестановка цієї множини.
Отже, Шукана кількість способів дорівнює Р8, тобто 8!. •
Розглянемо ще кілька типових комбінаторних задач.
ПРИКЛАД 2 За правилами ЕІЕА1 у фінальній частині чемпі-
онату світу з футболу беруть участь 32 команди. Скількома
способами можуть бути розподілені золоті, срібні та бронзові
медалі (три призових місця) між командами?
Розв’язання. На перше місце може потрапити будь-яка
з 32 команд, на друге місце — будь-яка з решти 31 коман-
ди, на третє — будь-яка з ЗО команд, що залишилися. За
правилом добутку кількість можливих варіантів розподілу
місць дорівнює 32 • 31 • ЗО = 29 760. •
Розв’язавши цю задачу, ми з’ясували, скільки існує
3-елементних упорядкованих підмножин заданої 32-еле-
ментної множини. Кожну з таких упорядкованих підмно-
жин називають розміщенням з 32 елементів по 3 елементи.
Означення. Будь-яку /с-елементну впорядковану підмно-
жину даної п-елементної множини називають розміщен-
ням з п елементів по к елементів.
Кількість усіх можливих розміщень з п елементів по
к елементів позначають символом А*, використовуючи пер-
шу літеру французького слова аггапдегпепі — розміщення.
Результат, отриманий у задачі про розподіл призових
місць, дозволяє зробити висновок, що
А|2 =32-31-30 = 29760.
Доведемо, що при будь-яких натуральних пік таких,
що к < п, справедливою є формула
А^-п(п-1)(п-2)-...‘(п-к + 1) (1)
Розглянемо п-елементну множину і сформуємо її к-еле-
ментну впорядковану підмножину.
Існує п способів вибору першого елемента підмножини.
Другий елемент підмножини можна вибрати вже тільки
п - 1 способами. Після вибору першого і другого елементів
залишається п - 2 способи для вибору третього елемента
підмножини. Узагалі, вибір к-го елемента можна здійснити
п - к + 1 способами.
1 Міжнародна федерація футбольних асоціацій.
Отже, за правилом добутку можна записати:
А* = п(п-1)(п-2)-...»(п-й + 1).
Оскільки існує лише одна п-елементна підмножина даної
п-елементної множини, то число А" — це кількість пере-
становок п-елементної множини, тобто
Цей факт підтверджується формулою (1). Справді, при
к - п отримаємо:
Агп = п(п-1)(п-2)*...«(п-п+1) = п!
За означенням прийнято вважати, що 0! = 1. Ця домов-
леність дозволяє формулу (1) записати більш компактно.
Помножимо і поділимо вираз, який стоїть у правій частині
формули (1), на (п - к)\ (це можливо, оскільки (п - к)\ ф 0).
Маємо:
_ п(и-1)(п-2)-...-(и-А! + 1)(п-Л)! _ л!
п~ (п-ку ~ (п-ку.
Отримуємо формулу
А* ПЇ
(п-ку.
ПРИКЛАД 3 Скільки існує правильних дробів, чисельник
і знаменник яких — прості числа, менші від ЗО?
Розв'язання. Множина {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
складається з усіх простих чисел, менших від ЗО. Кількість
2-елементних упорядкованих підмножин цієї множини до-
рівнює кількості звичайних дробів, відмінних від одиниці,
чисельник і знаменник яких — зазначені прості числа. По-
ловина з цих дробів є правильними. Отже, шукане число
дорівнює — Аі0=45. •
2
Розглянемо такі дві задачі. Скількома способами в класі,
у якому навчаються ЗО учнів, можна вибрати старосту і його
заступника? Скількома способами в цьому класі можна
призначити двох чергових?
Відповідь на перше запитання вам відома: це кількість
2-елементних упорядкованих підмножин 30-елементної
множини, тобто А^о. Щоб відповісти на друге запитання,
потрібно встановити кількість 2-елементних підмножин
30-елементної множини (саме підмножин, а не впорядко-
ваних підмножин). Кожну з таких підмножин називають
сполукою (комбінацією) з ЗО елементів по 2 елементи.
Означення. Будь-яку й-елементну підмножину заданої
п-елементної множини називають сполукою (комбіна-
цією) з « елементів по к елементів.
Кількість усіх можливих комбінацій з п елементів по
к елементів позначають символом С*, використовуючи пер-
шу літеру французького слова сотЬіпаівоп — комбінація.
Так, задачу про кількість способів призначення чергових
можна сформулювати так: чому дорівнює Сд0 ?
Обчислимо значення С* для кількох очевидних випадків.
Наприклад, С’=п, С"=1. Справді, існує п 1-елементних
підмножин і одна «-елементна підмножина заданої «-еле-
ментної множини.
Оскільки будь-яка множина має лише одну підмножину,
яка не містить жодного елемента (мова йде про порожню
множину), то
С°=1.
Зокрема,
Со°=1.
Доведемо, що при будь-яких натуральних пік таких,
Що к < п, справедлива формула
(2)
Розглянемо деяку «-елементну множину. Кількість її
^-елементних підмножин дорівнює С*. З кожної такої під-
множини можна утворити й! упорядкованих й-елементних
ПІДМНОЖИН. Отже, кількість усіх й-елементних упорядко-
ваних підмножин заданої п-елементної множини дорівнює
’ й!, тобто А* = С* • Рк.
А"
З формули (2) отримуємо, що С* =—
Звідси
С* =-------- (3)
(п-к)ІкІ
Зазначимо, що ця формула залишається справедливою
і для випадків, коли к = 0 або п = 0. Справді,
со и!
п (и-0)!0! и!
" (0-0)10!
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що
С*=С"“* (4)
Розв’язання. Цю формулу можна довести за допомогою
формули (3). Переконайтеся в цьому самостійно.
Формула (4) має також інше, комбінаторне доведення.
Вибираючи /г-елементну підмножину А п-елементної множи-
ни М, ми тим самим однозначно задаємо (п - й)-елементну
підмножину М \ А. Отже, кількість способів вибору к-еле-
ментної підмножини дорівнює кількості способів вибору
(п - й)-елементної підмножини, тобто справедлива форму-
ла (4). •
Ц Вправи
29.1. ° Скількома способами можна розставити на полиці
7 різних книг?
29.2. ° У школі 20 класів і 20 класних керівників. Скількома
способами можна розподілити класне керівництво між
учителями?
29.3. ° Скількома способами можуть сісти в автомобіль 5 чо-
ловік, якщо кожний з них може бути водієм?
29.4. ° У футбольній команді (11 чоловік) потрібно вибрати
капітана та його заступника. Скількома способами це
можна зробити?
29.5. ° Комісія, що складається з 15 осіб, має вибрати голо-
ву, його заступника та секретаря. Скількома способами
це можна зробити?
29.6. ° У 9 класі вивчають 12 предметів. Денний розклад
містить 6 уроків. Скількома способами можна скласти
денний розклад так, щоб усі 6 уроків були різними?
29.7 У фінальній частині чемпіонату Європи з футболу
беруть участь 16 команд. Скількома способами можуть
розподілитися золоті, срібні та бронзові нагороди?
29.8. ° У дев’ятому класі вчаться 32 учні. Кожні двоє учнів
обмінялись один з одним фотокартками. Скільки всього
було роздано фотокарток?
29.9. ° У класі вчаться 29 учнів. Скількома способами можна
сформувати команду з 5 учнів для участі в математичній
олімпіаді?
29.10. ° Дано правильний п-кутник. Скільки існує чоти-
рикутників з вершинами, які містяться серед вершин
даного п-кутника?
29.11. ° На площині позначено 10 точок так, що жодні три
з них не лежать на одній прямій. Скільки існує трикут-
ників з вершинами у цих точках?
29.12. * Скільки різних шестицифрових чисел можна скласти
з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, щоб цифри не повторювалися
і крайні цифри були парними?
29.13. * Серед 20 робітників є 7 мулярів. Скількома спосо-
бами можна скласти бригаду з 5 робітників так, щоб до
неї входило рівно 2 муляри?
29.14. * Для шкільної лотереї підготовлено 100 білетів,
з яких 12 є виграшними. Перший учень навмання ви-
бирає 10 білетів. Скільки існує варіантів вибору, при
яких він вибере рівно 3 виграшні білети?
29.15. * На прямій позначено 12 точок, а на паралельній їй
прямій — 7 точок. Скільки існує трикутників з верши-
нами у цих точках?
29.16. * Пряма і коло не перетинаються. На колі позначено
9 червоних точок, а на прямій — 15 синіх точок. Відо-
мо, що жодна пряма, яка проходить через дві червоні
точки, не містить синіх точок. Скільки існує трикутників
з вершинами у цих точках?
29.17. * У класі навчаються ЗО учнів, серед яких 13 хлопців
та 17 дівчат. Скількома способами можна сформувати
команду із 7 учнів цього класу, до якої має входити
принаймні одна дівчинка?
29.18. * Для підготовки до екзамену запропоновано перелік
з 80 запитань. Учень знає відповіді лише на 15 з них.
Екзаменаційний білет складається із 6 різних запитань
даного переліку. Скільки різних екзаменаційних білетів
можна скласти так, щоб учень міг відповісти принаймні
на одне запитання білета?
29.19. ** Скількома способами можна розбити 12 спортсменів
на 3 команди по 4 спортсмени в кожній?
29.20. ** Скількома способами можна розкласти 20 різних
куль по 4 однакових ящиках так, щоб кожний ящик
містив по 5 куль?
29.21. ** Скількома способами можна т білих і п чорних
куль (т > п) розкласти в ряд так, щоб жодні дві чорні
кулі не лежали поруч?
29.22. ** П’ять ящиків пронумеровані числами від 1 до 5.
Скількома способами можна розкласти по цих ящиках
17 однакових куль так, щоб жодний ящик не виявився
порожнім?
29.23. ** Скількома способами натуральне число п можна
подати у вигляді суми к натуральних доданків (суми,
які відрізняються порядком доданків, вважатимемо
різними)?
ЗО
Частота та ймовірність випадкової події
Нагадаємо основні відомості про частоту та ймовірність
випадкової події, з якими ви ознайомилися в 9 класі.
Нам нерідко доводиться проводити спостереження, дослі-
ди, брати участь в експериментах або випробуваннях. Часто
подібні дослідження завершуються деяким результатом,
який заздалегідь передбачити неможливо.
Якщо експеримент проведено п разів і подія, яка нас
. - . т
цікавить, відбулася т разів, то величину — називають
п
частотою випадкової події.
Ймовірність випадкової події наближено дорівнює час-
тоті цієї події, знайденій при проведенні великої кількості
випробувань (спостережень).
Таку оцінку ймовірності випадкової події називають
статистичною.
Для знаходження ймовірності деяких подій не обов’язково
проводити випробування або спостереження. Достатньо ке-
руватися життєвим досвідом і здоровим глуздом.
ПРИКЛАД 1 Нехай у коробці лежать 15 більярдних куль,
пронумерованих числами від 1 до 15. Яка ймовірність того,
що вийнята навмання куля матиме номер, кратний З?
Розв’язання. Зрозуміло, що в цьому випробуванні
є 15 рівноможливих результатів. З них є 5, які нас задо-
вольняють: коли витягують кулі з номерами 3, 6, 9, 12, 15.
Тому природно вважати, що ймовірність події «витягнули
о 5 1
кулю з номером, кратним 3» дорівнює — =—. •
15 З
Розв’язання багатьох ймовірнісних задач можна описати
такою схемою.
• Нехай при випробуванні можна отримати один з п рівно-
можливих результатів.
• Розглядається деяка подія А, яку спричиняють т ре-
зультатів. Називатимемо їх сприятливими.
• Ймовірність події А можна обчислити за формулою:
Подію, яка за даним комплексом умов обов’язково від-
будеться в будь-якому випробуванні, називають достовірною
(вірогідною). Ймовірність такої події вважають рівною 1.
Подію, яка за даним комплексом умов не може відбутися
в жодному випробуванні, називають неможливою. Ймовір-
ність такої події вважають рівною 0.
Зауважимо, що ймовірність р (А) будь-якої події А задо-
вольняє нерівність
0 1.
Для обчислення ймовірності випадкової події нам до-
водилося підраховувати кількість рівноможливих резуль-
татів у заданому експерименті та кількість сприятливих
результатів.
Часто ці підрахунки пов’язані з визначенням кількості
різних комбінацій, які за певним правилом можна скласти
з елементів заданої скінченної множини. Тому застосу-
вання правил комбінаторики — ефективний прийом для
розв’язування багатьох задач з теорії ймовірностей.
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 2 На торговельному лотку лежать 28 яблук —
15 жовтих і 13 червоних. Покупець придбав 3 яблука, які
продавець вибрав навмання. Яка ймовірність того, що всі
придбані яблука жовті?
Розв’язання. Перше яблуко продавець може вибрати
28 способами, друге — 27, третє — 26 способами. Викорис-
товуючи комбінаторне правило добутку, маємо, що прода-
вець може вибрати 3 яблука п = 28 • 27 • 26 рівноможливими
способами.
Обчислимо, скільки серед цих способів таких, коли
всі три яблука — жовті. Перше жовте яблуко можна ви-
брати 15 способами, друге — 14, третє — 13 способами.
Використовуючи комбінаторне правило добутку, маємо,
що продавець може вибрати 3 жовтих яблука т = 15’14’13
способами.
Отже, ймовірність випадкової події А — вибрати три
- • /м 15-14-13 5 _
жовтих яблука — дорівнює р(А) =----------= —. •
28-27-26 36
ПРИКЛАД З У двох урнах лежать кулі, які відрізняються
тільки кольором. У першій урні лежать дві білі та три чорні
кулі, а в другій — три білі та дві чорні куті. З кожної урни
навмання дістають по одній кулі. Яка ймовірність того, що
хоча б одна з двох куль виявиться білою?
Розв’язання. Цей дослід має три результати: кулі, які
витягли, обидві білі, або обидві чорні, або одна куля біла,
а друга — чорна. Проте ці результати не є рівноможливими
(подумайте чому). Для того щоб мати змогу в даному до-
сліді розглядати рівноможливі результати, пронумеруємо
всі 10 куль.
Оскільки в кожній урні лежить по 5 куль, то з них можна
утворити 5 • 5 = 25 таких пар, що кулі в парах узяті з різних
урн. Оскільки кулі пронумеровані, то ми можемо вважати,
що всі 25 пар куль різні. Кулі з урн беруть навмання. Тому
в даному експерименті є 25 рівноможличих результатів.
Оскільки в першій урні лежать 3 чорні кулі, а в дру-
гій — 2 чорні, то існує 3-2 = 6 пар куль чорного кольору.
Тому кількість пар куль, серед яких є щонайменше одна
біла, дорівнює 25 - 6 = 19. Отже, кількість результатів,
сприятливих для події «хоча б одна з куль виявиться білою»
(подія А), дорівнює 19.
Отже, р(А) =—. •
ПРИКЛАД 4 Дослід полягає в одночасному киданні чоти-
рьох гральних кубиків. Знайдіть ймовірність того, що:
1) випаде рівно одна шістка (подія А);
2) випадуть чотири різні цифри (подія В);
3) не випаде жодної шістки (подія С);
4) випаде хоча б одна шістка (подія В).
Розв’язання. Пронумеруємо кубики числами від 1
до 4. Будь-який результат експерименту записуватимемо
у вигляді (а, Ь, с, (і), де а, Ь, с і д. — кількість очок, яка
випала відповідно на першому, другому, третьому і четвер-
тому кубиках.
Разом може утворитися 6 • 6 • 6 • 6 = б4 таких четвірок.
Жодний з результатів не має переваги. Тому в даному до-
сліді є б4 рівноможливих результатів.
1) Єдина шістка, яка випала, може стояти на будь-якому
з чотирьох місць. Нехай, наприклад, вона стоїть на
першому місці. На інших трьох місцях можуть стояти
будь-які цифри від 1 до 5. Тоді кількість четвірок виду
(6, Ь, с, гі) дорівнює 5 • 5 • 5 - 53. Загальна кількість
сприятливих варіантів дорівнює 4 • 53. Отже,
2) У цьому разі будь-які чотири різні цифри, що випа-
ли, утворюють 4-елементну впорядковану підмножину
множини {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Отже, кількість результатів,
сприятливих для настання події В, дорівнює 6 • 5 • 4 • 3.
Звідси р(В)~
6-5-4-3
64
3) На кожному з чотирьох місць може стояти будь-яка
з цифр від 1 до 5. Звідси кількість результатів, спри-
ятливих для настання події С, дорівнює 5 • 5 • 5 • 5 = 54.
54
Отримуємо
4) Кількість усіх результатів дорівнює б4. Кількість усіх
результатів, де немає жодної шістки, дорівнює 54. Тоді
б4 - 54 — це кількість усіх результатів, які містять
б4 — б4
хоча б одну шістку. Звідси р(£)) =-----—. •
б4
ПРИКЛАД 5 Контролер у партії з 20 деталей навмання виби-
рає 5 деталей для перевірки. Якщо серед вибраних деталей
немає жодної бракованої, то він приймає всю партію. Яка
ймовірність того, що контролер прийме партію деталей, яка
містить 7 бракованих?
Розв’язання. Оскільки контролер вибирає з 20 деталей
5 деталей навмання, то даний експеримент має С30 рівно-
можливих результатів.
Оскільки в партії з 20 деталей є 7 бракованих, то якісних
виробів — 13. Контролер пропускає цю партію (подія А),
якщо 5 деталей будуть вибрані з 13 якісних деталей. Отже,
кількість результатів, сприятливих для настання події А,
С5
дорівнює Сі3. Звідси р(А) = -у-. •
^20
Зауважимо, що при розв’язанні цієї задачі можна було
міркувати інакше. Якщо контролер буде вибирати деталі
для перевірки послідовно, тобто мати справу з упорядкова-
ною множиною, то даний експеримент матиме А^ рівно-
можливих результатів, серед яких А513 є сприятливими.
ПРИКЛАД 6 у змаганнях з баскетболу беруть участь 18 ко-
манд, з яких 5 команд вважаються фаворитами. Шляхом же-
ребкування команди ділять на дві групи А і В, по 9 команд
у кожній. Яка ймовірність потрапляння до однієї групи:
1) п’яти команд-фаворитів (подія М);
2) рівно двох команд-фаворитів (подія К)?
Розв’язання. Кожну з груп можна утворити спосо-
бами.
1) Нехай 5 команд-фаворитів потрапили до групи А. Тоді
для деформування цієї групи до 9 команд потрібно
вибрати 4 команди з 13 команд, що залишилися. Це
можна зробити С*3 способами. Оскільки п’ять команд-
фаворитів можуть потрапити як у групу А, так і в
групу В, то кількість результатів, сприятливих для
2С4
події М, дорівнює 2*С43. Отже, р(М) =—
^18
2) Зрозуміло, що кожну з груп, яка містить дві команди-
фаворити, можна утворити С3 • С^3 способами. Звідси
?(*) =
2-С^С/з
сГ8
Вправи
30.1. " Ймовірність купити бракований електроприлад до-
рівнює 0,007. Чи правильно, що в будь-якій партії
з 1000 електроприладів є 7 бракованих?
30.2. ° Ймовірність влучити в мішень становить 75%. Чи
може бути так, що в серії з 100 пострілів було 98 влу-
чень у мішень?
30.3. ° У шухляді лежать 8 синіх і 12 червоних олівців.
Яка ймовірність взяти навмання з шухляди: 1) ручку;
2) олівець?
30.4. ° З цифр 2, 4, 6, 8 утворюють тризначне число. Яка ймо-
вірність того, що це число буде ділитися: 1) на 5; 2) на 2?
30.5. Яка ймовірність того, що, переставивши букви в слові
«математика», отримаємо слово «література»?
30.6. * Експеримент полягає в киданні двох монет. Проведіть
цей експеримент 50 разів. Знайдіть частоту випадкових
подій А, В, С:
1) А — випали два герби;
2) В — випали один герб і одна цифра;
3) С — випали дві цифри.
Чи можна на основі зроблених спостережень припусти-
ти, що подія В більш ймовірна, ніж подія С? Чи можна
на основі цих спостережень гаранту-
вати, що подія В більш ймовірна, ніж
подія С?
30.7. * Проведіть серію, яка складається
з 200 експериментів, у яких підки-
дають кришку від пляшки з напоєм
(рис. 30.1). Знайдіть частоту події
Рис. 30.1
«кришка впала емблемою напою вниз». Оцініть ймовір-
ність події «кришка впала емблемою напою догори».
30.8. * У 2010 році 9788 учнів м. Києва брали участь у зо-
внішньому незалежному оцінюванні з математики, дані
про яке наведено в таблиці (див. с. 304).
Оцініть ймовірність події:
1) вибраний навмання учень Голосіївського району отри-
мав результат від 136 до 150 балів;
2) вибраний навмання учень Печерського району отримав
результат, більший за 183 бали;
3) вибраний навмання учень серед тих, які отрима-
ли результат від 195,5 до 200 балів, навчається
в Солом’янському районі;
4) вибраний навмання учасник тестування навчається
в Шевченківському районі;
5) вибраний навмання учасник тестування отримав ре-
зультат, більший за 150 балів.
30.9. * У таблиці (див. с. 305) наведено дані про кількість
днів 2009 року, у яких у м. Харкові на 12:00 було за-
фіксовано дану температуру та даний рівень вологості
повітря.
Підрахуйте частоту спостереження у 2009 році:
1) температури повітря в діапазоні від 11 °С до 20 °С
серед тих днів, коли зафіксована вологість була не
більшою за 40 %;
2) вологості повітря в діапазоні від 71 % до 80 % серед
тих днів, коли зафіксована температура була меншою
від 0 °С;
3) температури повітря в діапазоні від 11 °С до 30 °С та од-
ночасно вологості повітря в діапазоні від 41 % до 70 %.
30.10. * Під час епідемії грипу було обстежено 80 000 жи-
телів. Виявилося, що серед них частота хворих на грип
становить 12,3 %. Крім того, було з’ясовано, що серед за-
хворілих 2245 людей робили щеплення проти грипу. Оці-
ніть ймовірність події «навмання вибрана людина серед
тих, хто хворіє на грип, робила щеплення проти грипу».
304
Дані про учасників зовнішнього незалежного оцінювання з математики в м. Києві за 2010 рік
Діапазон балів, отриманих на тестуванні Район м. Києва Разом учнів:
Голосіївський Дарницький ч Деснянський Дніпровський Оболонський Печерський Подільський і Святошинський Солом’янський Шевченківський
від 100 до 135,5 балів 95 98 158 165 81 29 61 120 75 74 956
від 136 до 150 балів 126 156 230 291 151 89 95 181 137 124 1580
від 150,5 до 183 балів 468 557 653 736 527 597 302 525 769 602 5736
від 183,5 до 195 балів 102 122 70 151 91 160 58 64 241 106 1165
від 195,5 до 200 балів 25 23 15 50 23 86 10 14 70 35 351
Разом учнів: 816 956 1126 1393 873 961 526 904 1292 941 9788
§ 4. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
іналізу, 11 кл.
Дані про температуру і вологість повітря на 12.00 у м. Харкові за 2009 рік
Діапазон температури повітря Діапазон вологості повітря Разом днів:
від 0 % до 40 % від 41 % до 60 % від 61 % до 70 % від 71 % до 80 % від 81 % до 90 % від 91 % до 100 %
менше -11 °С 0 1 1 3 2 0 7
від -10 до -1 °С 0 0 11 15 13 5 44
від 0 до 10 °С 10 19 12 13 19 47 120
від 11 до 20 °С 23 27 15 6 10 2 83
від 21 до 30 °С 57 32 6 2 1 0 98
більше 31 °С 9 4 0 0 0 0 13
Разом днів: 99 83 45 39 45 54 365
ЗО. Частота та ймовірність випадкової под
30.11. * Учитель математики спостерігав за учнем Петром
Спатилюбом протягом 175 навчальних днів. Виявилося,
що частота спізнень Петра до школи становить 20 %.
Крім того, учитель помітив, що частота отримання не-
гативної оцінки Петром у дні спізнень становить 40 %.
Знайдіть кількість негативних оцінок, які отримав Петро
через спізнення.
30.12. * Яка ймовірність того, що, викликаючи учня до до-
шки у вашому класі, учитель викличе хлопчика?
30.13. * З множини {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} навмання виби-
рають одне число. Яка ймовірність того, що це. число:
1) дорівнює 2; 4) кратне 4;
2) дорівнює 5; 5) не ділиться націло на 3;
3) є непарним; 6) кратне 11?
30.14. * У коробці було 17 карток, пронумерованих числами
від 1 до 17. Із коробки навмання взяли одну картку. Яка
ймовірність того, що на ній записано число:
1) 12; 3) кратне 3; 5) двоцифрове;
2) парне; 4) не кратне 5; 6) просте?
30.15. * У коробці лежать а синіх, Ь жовтих і с червоних ку-
льок. Яка ймовірність того, що вибрана навмання кулька
виявиться: 1) жовтою; 2) синьою; 3) не червоною?
30.16. * У мішку Діда Мороза лежать п плюшевих ведмеди-
ків, т цукерок і к мандаринів. Яка ймовірність того, що
вибраний навмання подарунок виявиться: 1) ведмедиком;
2) їстівним; 3) не цукеркою?
30.17. * З множини {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} навмання спочатку
вибирають парну цифру, а потім непарну. Яка ймовір-
ність того, що ці цифри утворять число 27?
30.18. * З букв А, Б, В, Г, Ґ, Д послідовно навмання вибира-
ють три різні букви. Яка ймовірність того, що ці букви,
записані в порядку вибору, утворять слово «ДВА»?
30.19. ’ Зі слова «ЛАСОЩІ» послідовно навмання вибирають
4 різні букви. Яка ймовірність того, що, послідовно запи-
савши вибрані чотири букви, складуть слово «САЛО»?
30.20. * Учень має підручники з геометрії за 7, 8, 9, 10 та
11 класи. Яка ймовірність того, що вони розставлені на
його полиці в порядку зростання номера класу, якщо
при останньому прибиранні він розставив книжки на-
вмання?
30.21. ** На полиці лежать 12 зошитів, з яких 5 у клітинку.
Яка ймовірність того, що вибрані навмання 2 зошити
будуть у клітинку?
30.22. *’ У скарбничці Андрія 40 монет різних країн, серед
яких 6 українських. Андрій взяв навмання 3 монети.
Яка ймовірність того, що всі ці монети будуть україн-
ськими?
30.23. ** На двох паралельних прямих площини позначено
точки — 8 на одній прямій і 12 на іншій. З цих 20 точок
навмання вибирають три. Яка ймовірність того, що три
вибрані точки є вершинами трикутника?
30.24. ** На торговельному лотку лежать яблука — 20 жов-
тих і 9 червоних. Покупець придбав 3 яблука, які про-
давець вибрав навмання. Яка ймовірність того, що всі
яблука покупця одного кольору?
30.25. ” У шухляді лежать олівці та ручки. Відомо, що
олівців на 12 штук менше, ніж ручок. Скільки олівців
лежить у шухляді, якщо ймовірність того, що вибраний
навмання предмет:
5 1
1) є ручкою, дорівнює —; 2) є олівцем, дорівнює -?
8 6
30.26. ** Подарунковий комплект містить 12 зелених та
декілька червоних надувних куль. Скільки червоних
куль у комплекті, якщо ймовірність того, що вибрана
навмання куля:
їх 3
1) виявиться зеленого, дорівнює
7
2
2) виявиться червоною, дорівнює — ?
30.27. ** Тридцять карток пронумеровано натуральними
числами від 1 до ЗО. Навмання вибирають дві з них. Яка
ймовірність того, що:
1) добуток номерів вибраних карток буде простим чис-
лом;
2) добуток номерів вибраних карток буде непарним чис-
лом;
3) сума номерів вибраних карток буде непарним чис-
лом;
4) номери вибраних карток будуть послідовними нату-
ральними числами?
30.28. ** Сімнадцять карток пронумеровано натуральними
числами від 7 до 21. Навмання вибирають дві з них. Яка
ймовірність того, що сума номерів вибраних карток буде
непарним числом?
30.29. ** Для шкільної лотереї підготовлено 100 білетів,
з яких 9 виграшних. Учень вибрав навмання 7 білетів.
Яка ймовірність того, що серед вибраних буде 2 виграш-
них білети та 5 невиграшних білетів?
30.30. ” У партії з 200 цеглин є 5 бракованих. Яка ймовір-
ність того, що з 8 вибраних навмання цеглин цієї партії
2 будуть бракованими, а 6 — якісними?
30.31. ” На двох паралельних прямих площини позначено
точки — 16 на одній прямій і 10 на іншій. З цих 26 точок
навмання вибирають чотири. Яка ймовірність того, що
ці чотири вибрані точки є вершинами чотирикутника?
30.32. ” Знайдіть ймовірність появи рівно 6 гербів при під-
киданні 9 монет.
30.33. ” Знайдіть ймовірність того, що в серії з 10 підки-
дань монети герб перший раз з’явиться на четвертому
підкиданні.
30.34. ” Що більш ймовірно при чотирьох підкиданнях
грального кубика: поява принаймні однієї шістки чи
відсутність шісток узагалі?
30.35. ** Дослід полягає в одночасному киданні чотирьох
гральних кубиків. Знайдіть ймовірність того, що випадуть:
1) дві п’ятірки і дві трійки;
2) чотири різні цифри;
3) рівно три одиниці;
4) лише цифри, більші за четвірку.
30.36. ** Гральний кубик кидають тричі поспіль. Знайдіть
ймовірність того, що:
1) випадуть одиниця, двійка і п’ятірка в довільному
порядку;
2) не випаде жодної шістки;
3) випадуть лише трійки або двійки;
4) перша шістка випаде при другому підкиданні кубика.
30.37. ” На кожній з 10 тарілок фруктів лежать по одному
яблуку, персику, апельсину, груші та сливі. З кожної
тарілки навмання взяли по одному плоду. Яка ймовір-
ність того, що серед узятих плодів не буде ні яблука, ні
груші?
30.38. ” Кожне з 10 тестових запитань має 4 варіанти відпо-
відей. Учень відповідає на тестові запитання навмання.
Яка ймовірність того, що він дасть рівно 7 правильних
відповідей?
30.39. ** Знайдіть ймовірність того, що жоден з 5 навмання
вибраних людей не народився в неділю.
30.40. ” У ящику лежать 20 червоних, 10 жовтих і 5 зеле-
них яблук. Навмання обирають 7 яблук. Яка ймовірність
того, що серед вибраних яблук є 2 червоних, 4 жовтих
і 1 зелене?
30.41. ** Для гри було підготовлено 24 картки — 12 штук
із синього паперу, 8 із жовтого та 4 з червоного. Навман-
ня вибирають 9 карток. Яка ймовірність того, що серед
вибраних карток є 4 сині, 3 жовті та 2 червоні картки?
30.42. ” На складі магазину зберігають 100 пакетів борош-
на з написом 1 кг, серед яких 15 пакетів важать біль-
ше 1,02 кг, 12 пакетів — менше 0,98 кг, а вага решти
пакетів становить від 0,98 кг до 1,02 кг. З цієї партії
навмання вибирають 5 пакетів. Яка ймовірність того,
що серед вибраних буде три пакети вагою більше 1,02 кг
і два пакети вагою від 0,98 кг до 1,02 кг?
30.43. ’* На двох паралельних прямих позначено точки —
п на одній прямій і т на другій. Знайдіть ймовірність
того, що чотири вибрані навмання точки є вершинами
чотирикутника.
30.44. ** Пряма і коло не перетинаються. На колі позначено
п червоних точок, а на прямій — т синіх точок. Відомо,
що жодна пряма, яка проходить через дві червоні точки,
не містить синіх точок. Знайдіть ймовірність того, що
три вибрані навмання точки є вершинами трикутника.
30.45. ** На трьох паралельних прямих 119 12, 13 позначено
точки — п точок на прямій Іг, т точок на 12 і к точок
на /3. Серед даних точок навмання вибирають три точки.
Знайдіть ймовірність того, що кожній з прямих Іг, 12, 13
належить по одній з вибраних точок.
30.46. ** Для підготовки до залікової роботи запропоновано
45 задач. Учень уміє розв’язувати тільки 35 задач. Робота
складається з 5 завдань, вибраних випадковим чином,
і вважається зарахованою, якщо правильно розв’язано
принаймні 4 задачі. Яка ймовірність того, що учень
складе залікову роботу?
30.47. ’* У конверті дівчинки лежать 50 фотографій, серед
яких є чотири однакові. Дівчинка збирається подарувати
одну з цих чотирьох фотографій подружці. Для цього
вона навмання дістає з конверта 8 фотографій. Яка ймо-
вірність того, що серед них буде принаймні одна шукана
фотографія?
30.48. ** Дослід полягає в підкиданні монети. Для статистич-
ної оцінки ймовірності події А, яка полягає в тому, що
випав герб, планується провести дослід 10 разів і обчис-
лити частоту події А. Яка ймовірність того, що обчислена
при цьому частота події А виявиться меншою від 0,3?
30.49. ” Дослід полягає в підкиданні 7 монет. Яка ймовір-
ність того, що випаде не більше 2 гербів?
Статистичний аналіз даних
У 9 класі ви ознайомилися з елементами математичної
статистики — науки про отримання, оброблення й аналіз
даних, які характеризують масові явища.
У статистиці сукупність зібраних даних, на основі яких
проводять дослідження, називають вибіркою. Фактично
збирання даних — це певне випробування, яке проводять
кілька разів.
Наприклад, для проведення ефективної рекламної кам-
панії деяка фірма вирішила скласти психологічний портрет
свого типового клієнта. Для цього заплановано опитати
деяку кількість навмання вибраних клієнтів фірми (випад-
ковий вибір клієнта — це певне випробування).
У таких випадках говорять, що множина всіх клієнтів
фірми утворює генеральну сукупність, а множина тих клі-
єнтів, яких буде опитано, утворює вибірку.
Узагалі, множину всіх можливих результатів певного
випробування в статистиці прийнято називати генеральною
сукупністю. Співвідношення між генеральною сукупністю
і вибіркою проілюстровано на рисунку 31.1.
Генеральна сукупність
Одна з головних задач статистики полягає в тому, щоб
на основі аналізу даних вибірки зробити висновок про всю
генеральну сукупність. Аналізуючи зібрані дані, виділяють
один або кілька загальних показників, які характеризу-
ють найбільш важливі особливості генеральної сукупності.
Одними з важливих показників вибірки є середнє зна-
чення, медіана та мода. Нагадаємо й уточнимо відповідні
означення.
Нехай вибірка складається з числових даних х1г х2, ...,
хп. Середнім значенням цієї вибірки (вибірковим середнім)
_ х. + х, +... + х„
називають число х~—-—-----------
п
Наприклад, у таблиці подано результати виступів україн-
ських школярів на Міжнародних математичних олімпіадах
протягом 2001-2010 рр. (команда учасників на Міжнарод-
них математичних олімпіадах складається не більше ніж
із 6 осіб).
Рік 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Кіль- кість медалей 6 4 6 6 6 5 6 6 6 6
Для даної вибірки середнє значення дорівнює:
_ 6+4+6+6+6+5+6+6+6+6 57 __
х =----------------------= — = 5,7.
10 10
Оскільки за рік можна вибороти не більше 6 медалей, то
вибіркове середнє 5,7 свідчить про те, що команда України
гідно виступає на цьому престижному форумі.
Зверніть увагу на те, що середнє значення вибірки визна-
чають лише у випадку, коли зібраними даними є числа.
Розглянемо вибірку, що складається з таких даних, які
можна порівнювати одне з одним. Якщо кількість даних
непарна і їх упорядковано: хг < х2 < ... < х2п _ 15 то медіаною
даної вибірки називають хп, тобто те з даних, яке в переліку
х1г х2, ..., х2п_1 розміщене посередині.
Наприклад, у багатьох університетах України запро-
ваджено оцінювання знань студентів не за числовою шка-
лою, а за шкалою букв: А, В, С, В, Е, Р (А — найвища,
Р — найнижча оцінка). Нехай при опитуванні 9 студентів
про результати складання ними останнього екзамену було
отримано таку вибірку (послідовність оцінок):
Р, Р, В, В, С, С, С, В, А.
Бачимо, що посередині розміщена літера С. Отже, меді-
аною даної вибірки є оцінка «С».
Якщо вибірка складається з парної кількості даних:
Хі < х2 < ... < х2п, то медіаною даної вибірки називають
будь-яке з даних хп або х„ + х, тобто ті двоє даних, що роз-
ташовані посередині в переліку х1г х2, ..., х2п.
Наприклад, якщо до 9 наведених вище оцінок студентів
додати ще одну оцінку Е, то отримаємо таку вибірку (по-
слідовність оцінок):
Р, Р, Е, В, В, С, С, С, В, А.
Бачимо, що посередині знаходяться літери В і С. Отже,
медіаною даної вибірки є оцінки В і С.
Зверніть увагу на те, що в наведених прикладах знахо-
дження медіани вибірки досліджувані дані не є числами.
Якщо досліджуваними даними є числа, то у випадку
парної кількості даних хх < х2 < ... < х2п медіаною вибірки
хп + хп +1
допускається вважати і величину ---------. Наприклад,
2
якщо розглянути вибірку з чотирьох числових даних:
1, 2, 3, 7,
2 + 3 о . ......
то число ---= 2,5 можна вважати медіаною цієї вибірки.
2
Нехай вибірка складається з даних х1? х2, ..., хп. Модою
даної вибірки називають те з даних, яке зустрічається в пе-
реліку Хі, х2, ..., хп найчастіше. Якщо таких найчастіших
даних декілька, то кожне з них є модою даної вибірки. На-
приклад, якщо вибірка складається з п’яти різних даних: 1,
2, 3, 4, 5, то кожне з цих п’яти чисел є модою даної вибірки.
Звернемо увагу на те, що моду вибірки можна визначити
для даних будь-якої природи, на відміну від даних, необхід-
них для визначення середнього значення (числові дані) або
медіани (дані, які можна порівнювати одне з одним).
Розглянемо приклад. Нехай у виборах до шкільного пар-
ламенту беруть участь три партії: «За математику», «За су-
часну музику» і «За красунь дівчат». Опитавши ЗО навмання
вибраних учнів, з’ясували, що партію «За математику» під-
тримує 7 осіб, «За сучасну музику» — 15 осіб, «За красунь
дівчат» — 9 осіб. Це означає, що серед ЗО отриманих даних,
що утворюють вибірку, найбільшу підтримку має партія «За
сучасну музику». Тому ця партія є модою даної вибірки.
Зауважимо, що в наведеному прикладі неможливо ви-
значити ні середнє значення, ні медіану вибірки.
Незважаючи на те що описані вище узагальнюючі по-
казники (середнє значення, медіана, мода) по-різному ха-
рактеризують вибірку, часом їх недостатньо для того, щоб
дати коректну оцінку всієї генеральної сукупності.
Нехай потрібно з’ясувати середній рівень заробітної
плати в Україні. За інформацією одного зі статистичних
досліджень відомо такі дані про заробітну плату в трьох
регіонах України.
Регіон України Рівень заробітної плати населення у січні 2011 року
Центральний регіон України 2 319 грн
Південно-східний регіон України 2 410 грн
Західний регіон України 1 934 грн
Якщо для трьох наведених даних х1 = 2319, х2 = 2410,
х3 = 1934 обчислити середнє значення, медіану і моду ви-
бірки х1г х2, х3, то отримаємо такі значення:
2319 + 2410 + 1934 лллл
Середнє значення =---------------= 2 221.
Медіана = 2 319.
Мода = 2 319, або 2 410, або 1 934.
Насправді жодне з цих значень не відображає коректно
або, як ще кажуть, адекватно середній рівень заробітної
плати в Україні. Причина полягає в тому, що в різних
регіонах живе і працює різна кількість людей. Так, у цен-
тральному регіоні України працює близько 7 млн українців,
у південно-східному — 10 млн, а в західному — 5 млн. Це
означає, що працівники центрального регіону заробили
7х, млн грн, південно-східного — 10х2 млн грн, а західно-
го — 5х3 млн грн. Отже, у січні 2011 року українці всього
заробили 7хг + 10х2 + 5х3 млн грн. Оскільки загальна
кількість працюючого населення України складає близько
7 + 10 + 5 = 22 млн людей, то середню заробітну плату
в Україні можна оцінити так:
7х. + 10х„ + 5х3
—1-------------2273 грн.
22
7х.+10х9+5х..
Величину —і—-------------- називають середнім зваженим
значенням чисел хх, х2, х3 з ваговими коефіцієнтами 7, 10
і 5 відповідно.
Узагалі, середнім зваженим значенням чисел х1г х2, ...»
хп з додатними ваговими коефіцієнтами т19 т2, ..., тп на-
зивають число
_ 7И.Х. +т„Х9+... + 7И X
% _ І 1 2 2 П П
Т711+Т7І2^... + ТПп
Якщо серед даних вибірки зустрічаються однакові, то
для обчислення середнього значення вибірки зручно ско-
ристатися середнім зваженим значенням.
Наприклад, нехай вибірка складається зі 100 числових
даних, серед яких число х1 = 2 зустрічається 40 разів,
число х2 = 3 — 50 разів, а число х3 = 4 — 10 разів. Тоді
середнє значення даної вибірки зі 100 чисел дорівнювати-
ме середньому зваженому значенню чисел хх = 2, х2 = 3 та
х3 = 4 з ваговими коефіцієнтами т1 - 40, т2 = 50, т3 = 10.
Справді,
2 + 2+... + 2 + 3 + 3 + ... + 3 + 4 + 4 + ... + 4
— , 40 доданків 50 доданків 10 доданків
100
40 • 2 + 50 • 3 +10 • 4 ттг1х1 + т2х2 + т3х3
40 + 50 +10 ттг1 + 7тг2 + т3
ПРИКЛАД 1 У деякому місті для визначення величини
витрат однієї людини на лікарські засоби було проведе-
но опитування 1000 осіб, серед яких 400 були молодші
від 20 років, а 600 — старші за 20 років. З’ясувалося,
що люди, молодші від 20 років, у середньому витрачають
на місяць на лікарські засоби 22 грн, а люди, старші за
20 років, — 47 грн. Що в даному статистичному дослідженні
є генеральною сукупністю? Що є вибіркою? Оцініть рівень
витрат на лікарські засоби на місяць для однієї людини.
Розв'язання. У даному статистичному дослідженні
множина всіх мешканців міста є генеральною сукупністю,
а 1000 опитаних осіб утворюють вибірку.
Знайдемо середнє значення цієї вибірки.
22 + 22 + ...+ 22 + 47 + 47 + 47 + ... + 47
— 400 доданків 600 доданків — = 37.
1000
Те саме середнє значення вибірки можна обчислити як
середнє зважене значення чисел 22 і 47 з ваговими коефі-
цієнтами 400 і 600 відповідно. Маємо:
_ 400-22 + 600-47 ОГ7
х =---------------= 37 грн.
1000
Число 37 грн показує, що серед опитаних людей середній
рівень витрат складає 37 грн на місяць. •
Середнє зважене значення у статистиці часто використо-
вують тоді, коли зібрані дані не є рівноцінними, тобто деякі
дані мають більшу важливість (значущість), а деякі — меншу.
Наприклад, якщо в умові прикладу 1 додатково відо-
мо, що частка людей віком до 20 років складає 24 % усіх
мешканців цього міста, то відповідь на поставлене в задачі
запитання слід змінити.
Отримані 1000 даних не є рівноцінними. Річ у тім, що
співвідношення осіб віком до 20 років і після 20 років у на-
шій вибірці не відповідає їх співвідношенню в цьому місті.
Тому для розрахунків потрібно дібрати вагові коефіцієнти
таким чином, щоб вони відображали реальний розподіл
населення міста за цими віковими групами.
Оскільки в цьому місті- частки людей віком до 20 років
і після 20 років складають 24 % і 76 % відповідно, то треба
обчислити середнє зважене значення чисел 22 грн і 47 грн
з ваговими коефіцієнтами 24 і 76. Маємо:
24-22+76-47
100
= 41 грн.
Величину у = 41 грн можна вважати оцінкою середнього
рівня витрат на лікарські засоби для однієї людини на мі-
сяць у цьому місті.
Вправи
31.1. Запишіть прізвища учнів, яких було опитано вчи-
телем на вашому останньому уроці під час перевірки
домашнього завдання. Що є генеральною сукупністю
і вибіркою в статистичному дослідженні вчителя з пере-
вірки домашнього завдання?
31.2. Результатом роботи комп’ютерної програми, що моде-
лює статистичне дослідження, є деяке ціле число в діа-
пазоні від -128 до 128. У результаті п’яти послідовних
запусків програма видала такі результати: 62, -15, 31,
103, -22. Що в даному статистичному дослідженні є ге-
неральною сукупністю? Що є вибіркою?
31.3. Учнів опитали про їх улюблений предмет у школі.
Які статистичні показники (середнє значення, середнє
зважене значення, медіана, мода) можна визначити для
зібраних даних?
31.4. ° На замовлення підприємств легкої промисловості
проведено дослідження, результатами якого є розміри
одягу в міжнародному форматі (символи: Х8, 8, М, Ь,
ХЬ, ХХЬ, ХХХЬ). Які статистичні показники (серед-
нє значення, середнє зважене значення, медіана, мода)
можна визначити для зібраних даних?
Зї.5.° Користуючись таблицею середніх температур повітря
в січні в деяких містах світу, обчисліть середнє значення,
медіану і моду даної вибірки.
Місто Темпе- ратура,°С Місто Темпе- ратура,°С
Амстердам 3 Москва -10
Афіни 8 Найробі 27
Буенос-Айрес 23 Нью-Йорк 0
Гонконг 24 Ріо-де-Жанейро ЗО
Єрусалим 8 Рим 8
Київ -6 Сінгапур 27
Монреаль -11 Токіо 3
31.6. Користуючись таблицею урожайності насіння со-
няшнику в Україні, обчисліть середнє значення, медіану
і моду даної вибірки.
Рік Урожайність, ц/га Рік Урожайність, ц/га
1991 15 2003 11
1993 13 2004 9
1995 14 2005 13
1997 12 2006 14
1999 10 2007 12
2001 9 2008 15
2002 12 2009 15
31.7. ° У чемпіонаті України з футболу 2009-2010 рр. коман-
да «Шахтар» зіграла ЗО матчів, серед яких один раз
. забила 5 голів, 3 рази — 4 голи, 6 разів — 3 голи, 9 ра-
зів — 2 голи, 9 разів — один гол і у 2 матчах не забила
жодного голу. Обчисліть, скільки в середньому команда
«Шахтар» забивала м’ячів в одному матчі.
318. Студент протягом навчання в інституті отримав 45 оці-
нок, серед яких 7 п’ятірок, 22 четвірки та 16 трійок.
Обчисліть середній бал студента.
31.9. * На учнівських олімпіадах, визначаючи рейтинг
команд, індивідуальні результати учасників оцінюються
таким чином: диплом першого ступеня приносить коман-
ді 5 балів, диплом другого ступеня — 3 бали, диплом
третього ступеня — 1 бал, диплом учасника олімпіади —
0 балів. У таблиці подано дані про результати деякої
олімпіади. Знайдіть моду, медіану і середнє значення
командних балів, набраних учасниками олімпіади.
Кількість балів, які учасник приніс команді Кількість учасників
5 14
3 29
1 46
0 88
31.10.* На незалежному оцінюванні школярів з математики
2010 року було запропоновано тестове завдання:
«Розв’яжіть нерівність 10 - Зх > 4.
А Б В Г Д
(-2; +со) (2; +оо) (-3; +оо) (-«•; -2) (-оо; 2)
На діаграмі наведено дані про кількість учнів, які роз-
в’язували це завдання. Знайдіть моду відповідей учнів.
За правильну відповідь нараховувався 1 бал, а за не-
правильну відповідь — 0 балів. Обчисліть середнє зна-
чення і медіану кількості балів, яку набрали учасники
тестування за це завдання.
31.11. * Телефонна компанія хоче дізнатися про кількість
телефонних дзвінків, які робить людина протягом доби.
Дані щодо 100 людей подано на діаграмі. Обчисліть се-
реднє значення, медіану і моду цієї вибірки.
31.12. * На діаграмі наведено дані про кількість книжок,
які прочитали протягом місяця 50 опитаних школярів.
Обчисліть середнє значення, медіану і моду даної ви-
бірки.
31.13. * У деякому ліцеї одинадцятикласники, які навча-
ються в класах фізичного, економічного та філологічного
профілів, написали контрольну роботу з математики за
єдиними текстами. Виявилося, що‘середній бал учнів
фізичного профілю дорівнює 8,9, економічного — 7,7,
а філологічного — 7,1.
1) Оцініть середній бал учнів цієї школи за контрольну
роботу з математики.
2) Як потрібно змінити відповідь, якщо додатково відо-
мо, що в класі фізичного профілю навчаються 23 учні,
економічного— 25 учнів, а у двох класах філологіч-
ного профілю — 46 учнів?
31.14. ’ у школі опитали деяких хлопців і дівчат про час,
який вони витрачають на допомогу батькам по домашньо-
му господарству. Виявилося, що хлопці в середньому ви-
трачають 1,1 год на добу, а дівчата — 1,7 год на добу.
1) Користуючись цими даними, оцініть середній час, який
витрачає учень школи на допомогу батькам на добу.
2) Як потрібно змінити відповідь, якщо додатково відомо,
що в школі навчаються 400 дівчат і 560 хлопців?
31.15. * У таблиці наведено дані про частоту випадіння герба
при підкиданні монети в дослідах, проведених деякими
вченими.
Дослідник Частота випадіння герба
Жорж Бюффон 0,5069
Огастес Де Морган 0,5005
Вільям Джевонс 0,5068
Всеволод Романовський 0,4923
Карл Пірсон 0,5005
Вільям Феллер 0,4979
1) На основі цих даних оцініть ймовірність випадіння
герба при підкиданні монети.
2) Якою буде відповідь, якщо додатково врахувати дані
про кількість кидків монети в цих дослідах?
Дослідник Кількість і мдків монети
Жорж Бюффон 4040
Огастес Де Морган 4092
Вільям Джевонс 20 480
Всеволод Романовський 80 640
Карл Пірсон 24 000
Вільям Феллер 10 000
Відповідь дайте з точністю до сотих процента.
21 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
321
31.16. * У таблиці наведено розміри процентних ставок
деяких банків України за строковими депозитами на-
селення в національній валюті та суми вкладів у цих
банках.
Номер банку у вибірці 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Розмір процентної ставки, % 11 17,2 11,3 14,5 14 14 11,9 15,8 12 15,5
Сума вкладів, млн грн 2242 783 42 4793 2222 239 296 1204 2768 5564
1) Оцініть середнє значення вибірки розміру процентної
ставки банків.
2) Який середній прибуток (у процентах) отримують
вкладники цих банків від вкладів у національній
валюті?
Відповідь дайте з точністю до сотих процента.
31.17. у третьому стовпці таблиці наведено дані Міжна-
родного валютного фонду щодо внутрішнього валового
продукту (ВВП) деяких країн у 2010 році на душу на-
селення у грошовому еквіваленті.
1) Користуючись даними лише третього стовпця, оцініть
середній рівень ВВП у 2010 році на душу населення
у світі.
2) Як потрібно змінити відповідь, якщо врахувати ін-
формацію про кількість населення відповідних країн
(четвертий стовпець таблиці)? Відповідь дайте з точ-
ністю до сотень доларів США.
№ Країна ВВП на душу населення, тис. доларів США Кількість населення, млн
1 Гамбія 2,0 1,8
2 Греція 28,8 11,3
№ Країна ВВП на душу населення, тис. доларів США Кількість населення, млн
3 Індонезія 4,4 237,6
4 Китай 7,5 1 341,0
5 Коста-Рика 10,7 4,6
6 Латвія 14,3 2,2
7 Люксембург 80,3 0,5
8 Росія 15,8 141,9
9 СІЛА 47,1 311,0
10 Україна 6,7 45,8
ЗАВДАННЯ В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ «ПЕРЕВІР СЕБЕ» № 4
1. У коробці лежать 15 кульок: 10 синіх та 5 зелених. Яка
ймовірність того, що навмання взята з коробки кулька
виявиться жовтою?
А) 1; Б) 0,5; В) 0; Г) -1.
2. У якому випадку подію А називають достовірною?
А)р(А) = 0; Б)р (А) > 0; В)р(А)>0,99; Г) р (А) = 1.
3. Ймовірність купити браковану пару чобіт деякої відомої
фірми складає 0,023. Скільки бракованих пар взуття га-
рантовано містить партія з 1000 пар чобіт цієї фірми?
А) менше 23; В) рівно 23;
Б) більше 23; Г) відповідь дати неможливо.
4. Під час проведення екзітполу було опитано 15 тисяч
виборців, серед яких 600 проголосували «Проти всіх».
Оцініть ймовірність події, що виборець голосує «Проти
всіх».
А) 4 %; Б) 0,04 %; В) 25 %; Г) 0,25 %.
5. Набираючи номер телефону, абонент забув другу цифру
номеру. Яка ймовірність того, що він з першої спроби
набере правильний номер?
А) 0,01; Б) 0,1; В) 0,5; Г) 1.
6. У класі навчаються 18 дівчаток і 12 хлопців. Навмання
вибирають одного учня для участі в шкільних зборах.
Яка ймовірність того, що буде вибрано хлопчика?
А) Б) В) Г)
З 2 5 5
7. Футболіст з ймовірністю 0,95 влучає у ворота при вико-
нанні 11-метрового штрафного удару. Яка ймовірність
того, що при виконанні такого удару футболіст не влу-
чить у ворота?
А) 0; Б) 0,05; В) —; Г) (0,95)2.
0,95
8. Картки з числами 1, 3, 5, 7 навмання послідовно ви-
кладають у ряд. Яка ймовірність того, що останньою
покладуть картку з числом 5?
А) —; Б) —; В) і; Г) і.
24 12 6 4
9. Яка ймовірність того, що при підкиданні двох гральних
кубиків на одному з них випаде одиниця, а на іншому —
трійка?
А) -; Б) -; В) —; Г) —.
6 6 36 36
10. Чому дорівнює медіана сукупності даних: 2, 2, 3,4, 5,6,13?
А) 5; Б) 4; В) 3; Г) 2.
11. При підкиданні монети 20 раз поспіль випав «герб».
Яка ймовірність того, що при наступному підкиданні
знову випаде «герб»?
А) 0,5; В)Ь В) і Г) 0.
£
12. За даними Всеукраїнського перепису населення
2001 року віковий склад населення характеризувався
такими даними:
Вік Кількість постійного населення, тис. осіб
0-9 4533,3
10-19 7308,1
20-29 6891,6
30-39 6621,2
40-49 7298,7
50-59 5245,3
60-69 5522,2
70-79 3740,0
80 і старші 1060,8
Яка вікова група визначала моду вікового складу насе-
лення України у 2001 році?
А) 0-9; Б) 10-19; В) 40-49; Г) 80 і старші.
ІЗ. Одночасно підкинули три монети. Яка ймовірність того,
що рівно на двох із цих монет випаде герб?
9 12 1
А) Б) В) Г) -.
З 8 8 З
14. У сукупних витратах деякої української родини 33 %
займають витрати на продукти харчування, 25 % —
комунальні послуги; 42 % — решта витрат. Яка з на-
ведених кругових діаграм відповідає структурі витрат
цієї родини?
А) Б) В) Г)
С
15. У ящику лежать яблука трьох сортів: 20 жовтих, 10 зе-
лених і ЗО червоних. Яку найменшу кількість яблук по-
трібно взяти з ящика навмання, щоб гарантовано дістати
принаймні одне жовте і два червоних яблука?
А) 3; Б) 13; В) 32; Г) 41.
16. Гральний кубик кидають два рази. Яка ймовірність того,
що випадуть числа, сума яких дорівнює 8?
А) —; Б) —; В) —; Г) —.
36 36 36 36
17. Монету підкидають доти, доки не випаде герб. Знайдіть
таке натуральне значення к, що ймовірність підкинути
, 1
монету к разів дорівнює -.
8
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
18. У ящику лежать 7 червоних, 2 синіх і 3 зелених кулі.
Навмання обирають 6 куль. Яка ймовірність того, що
серед вибраних будуть 4 червоні та 2 зелених кулі?
А) —; Б) —; В) —; Г) —.
44 55 77 132
ш.........................................................
Про появу сторонніх коренів
і втрату розв'язків рівнянь
Ви знаєте, що далеко не кожне перетворення рівняння
зберігає незмінною множину його коренів. В одному ви-
падку ця множина може звузитися, тобто корені будуть
втрачені, в іншому — розширитися, тобто з’являться сто-
ронні корені.
Наведемо кілька прикладів.
• При переході від рівняння ІО£2 (х - І)2 = 0 до рівняння
2 іо£2 (х - 1) = 0 втрачається корінь х = 0.
• Піднесення обох частин рівняння -Ух = -х до квадрата
призводить до появи стороннього кореня X = 1.
• Заміняючи рівняння 1о£х 4 = 2 рівнянням х2 = 4, отри-
муємо сторонній корінь х = -2.
Метод розв’язування рівняння, при якому дане рівняння
замінюють на рівняння-наслідок, а потім отримані корені
піддають перевірці, називають методом наслідків. Його за-
стосовують тоді, коли виконати перевірку нескладно. Про-
- тл- 2ібТи
те так буває не завжди. Наприклад, число ------ є ко-
7
ренем рівняння уІ2х-5 + у/х + 2 --72x4-1, але щоб у цьому
переконатися, потрібно провести значну обчислювальну
роботу.
Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв’язу-
вання — метод рівносильних перетворень. Із цим методом
ви ознайомилися в 10 класі.
Наголосимо, що, застосовуючи як метод наслідків, так
і метод рівносильних перетворень, важливо знати причини
втрати коренів і появи сторонніх коренів. Розглянемо деякі
з цих причин.
Зміна області визначення рівняння
Поза областю визначення рівняння коренів немає
(рис. 32.1). Тому перетворення рівняння, при якому роз-
ширюється область його визначення,
може призвести до появи сторонніх
коренів.
Наприклад, областю визначен-
ня рівняння 1о£х 4 = 2 є множина
(0; 1) II (1; +со). Користуючись озна-
ченням логарифма, отримуємо рів-
няння х2 = 4, областю визначення
якого є множина К. Розширення
області визначення початкового
рівняння призвело до появи сторон-
нього кореня х = -2.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння
8ІП3 X + СО83 X
8ІП X + СО8 X
= СОВ2 X - ВІП 2Х.
Розв’язання. Якщо дріб у лівій частині даного рів-
няння скоротити на (віп х + сов х), то отримаємо рівняння
віп2 х - віп х сов х + сов2 х = сов2 х - віп 2х. При такому
перетворенні область визначення початкового рівняння
розширюється на множину чисел, які є коренями рівнян-
ня віп х + сов х = 0. Тому насправді дане в умові рівняння
рівносильне системі
віп2 х - віп X СОВ X + сов2 X = сов2 х - віп 2х,
віп X + СОВ X * 0.
Знайдемо корені рівняння системи. Маємо:
віп2 х - віп х сов х + віп 2х = 0;
віп2 х - віп х сов х + 2 віп х сов х = 0;
віп х (віп х + сов х) = 0.
Оскільки віп X + сов х 0, то отримуємо віп X = 0. Звідси
х = пп, п є 2. Залишилося зауважити, що при х = тіп зна-
чення виразу віп х + сов х відмінне від нуля.
Відповідь: тіп, п є 2.
Якщо розширення області визначення рівняння може
призвести до появи сторонніх коренів, то її звуження є мож-
ливою причиною втрати коренів.
Наприклад, областю визначення рівняння 1о£2 (х - І)2 = 0
є множина (-оо; 1) Сі (1; +оо), а областю визначення рівняння
2 1о£2 (х - 1) = 0 є множина (1; +оо). У множині (-оо; 1) міс-
титься корінь х = 0 першого рівняння. Тому під час перехо-
ду від рівняння ІО£2 (х - І)2 = 0 до рівняння 2 ІО£2 (х - 1) - 0
цей корінь втрачено.
Часто причиною зміни множини коренів рівняння є за-
стосування рівностей, права і ліва частини яких мають різні
області визначення.
Наведемо приклади таких рівностей:
• х = —;
У ’
• х = (>/х) ;
1-І£хі$у
• 1О£а х2 = 2 ІО£а X.
У кожній з цих рівностей область визначення виразу,
який стоїть у правій частині, є підмножиною області визна-
чення виразу, який стоїть у лівій частині. Тому застосуван-
ня цих рівностей зліва направо може призвести до втрати
коренів, а справа наліво — до появи сторонніх коренів.
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть рівняння у](х-ї)2 (х-3) =х-1.
Розв’язання. Областю визначення‘даного рівняння
є множина {1} Сі [3; +оо). Очевидно, число 1 є коренем да-
ного рівняння.
Проте застосування формули 4аЬ = 4а • 4ь призводить
до рівняння
| х-11>/х-3 = х—1,
область визначення якого — множина [3; +оо). Тому число 1
не є коренем отриманого рівняння, тобто такий перехід веде
до втрати цього кореня.
Розв’яжемо дане рівняння методом рівносильних пере-
ходів.
Дане в умові рівняння рівносильне системі
(х-1)2 (х-3) = (х-1)2,
х>1.
Звідси
(х-1)2'(х-4) = 0,
х >1;
х = 1,
х = 4.
Відповідь: 1; 4.
Множення обох частин рівняння на вираз,
який містить змінну
Інколи буває доцільно помножити обидві частини рів-
няння на деякий вираз. Розглянемо наслідки такого пере-
творення.
Перейдемо від рівняння
/ (х) = § (х)
до рівняння
/ (х) <р (х) = § (х) <р (х).
При такому переході множина коренів рівняння може
змінитися під впливом двох факторів: області визначення
функції ф і множини коренів рівняння ф (х) = 0.
Наприклад, якщо обидві частини рівняння х2 = 4 помно-
жити на вираз л/х +1 і перейти до рівняння х2 (л/х +1) =
= 4 (>/х + 1), то тим самим втрачаємо корінь -2. Якщо ж оби-
дві частини цього рівняння помножити на >/х, то втрачаємо
корінь -2 та одночасно отримуємо сторонній корінь 0.
Отже, якщо при розв’язуванні рівняння виникла по-
треба помножити обидві його частини на вираз ф (х), то
слід ураховувати як область визначення цього виразу, так
і множину коренів рівняння ф (х) = 0.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння
(>/1 + х +1) (л/1 + х + 2х - б) = х.
Розв’язання. Помножимо обидві частини даного рів-
няння на вираз у/1 + Х -1. Оскільки (у/1 + Х + 1)(у/їїх -1) = х,
то отримаємо:
X (у/1 + Х + 2х-б) = X (>/1 + х -1). (1)
Це перетворення не змінює області визначення початко-
вого рівняння. Поява ж сторонніх коренів можлива за
рахунок коренів рівняння >/1 + х-1 = 0. Отже, отримане
рівняння (1) — наслідок рівняння, даного в умові.
Рівняння (1) рівносильне сукупності
х = 0,
л/1 + х + 2х-5 = >/1 + х-1.
Розв’яжемо друге рівняння сукупності. Його наслідком
буде рівняння 2х - 5 = -1. Звідси х = 2.
Залишилося виконати перевірку. Легко переконатися, що
число 2 є коренем даного в умові рівняння, а число 0 — ні.
Відповідь: 2.
Перехід від рівняння / (х) = 6 (*)
до рівняння ф (/ (х)) = ф (< (х))
Чому рівняння
х = 2х - 1 і 2* = 22*-1 (2)
є рівносильними, а рівняння
х = 2х - 1 і зіп х = зіп (2х - 1) (3)
не є рівносильними?
Справа в тому, що властивості функції у = 2‘ відрізня-
ються від властивостей функції у = зіп і.
Якщо визначена на К функція у = ф (і) є оборотною,
то рівність = і2 справджується тоді і тільки тоді, коли
ф (Ц) = ф Цг)- Тому в цьому разі рівняння / (х) = § (х)
І ф (/ (х)) = ф (£ (х)) є рівносильними.
Коли ж визначена на К функція у - ф (і) не є оборот-
ною, ТО з рівності ф (іі) = ф (і2) не обов’язково випливає,
що і і = і2. Тому рівняння ф (/ (х)) = ф (£ (х)) є наслідком
рівняння / (х) = § (х).
Так, рівняння (2) є рівносильними, тому що функція
ф (і) = 2і є оборотною. Оскільки функція ф (і) = віп і не
є оборотною, то рівняння (3) не є рівносильними.
Ви знаєте, що піднесення обох частин рівняння до парно-
го степеня призводить до рівняння-наслідку, а піднесення
до непарного степеня — до рівносильного рівняння.
Це пов’язане з тим, що функція у = х2к, к є К, не є обо-
ротною, а функція у = х2к~ \ к є К, — оборотна.
Функція у = х2к, к є Н, є оборотною на множині [0; +оо).
У 10 класі ви користувалися цим фактом у вигляді такої
теореми.
Теорема 32.1. Якщо для будь-якого х є М вико-
нуються нерівності / (х) > 0 і § (х) > 0, то рівняння
ї (х) =£ (х) і (х))2* = (£ (х))2‘, к є К, рівносильні на мно-
жині М.
Цю теорему ви використовували при розв’язуванні ірра-
ціональних рівнянь.
Розглянемо приклад, у якому поява стороннього кореня
пов’язана з необоротністю функції у = віп і.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння
агсвіп (х у/з) = агссов (5х-2).
Розв’язання. Оскільки визначена на К функція
у = віп і не є оборотною, то рівняння віп (агсвіп (х >/з)) -
= віп (агссов (5х-2)) є наслідком даного. Тому розв’язання
рівняння має завершитися перевіркою коренів. Отже, мож-
на не боятися далі переходити до нових рівнянь-наслідків.
Нагадаємо, що мають місце рівності віп (агсвіп а) = а
і віп (агссов а) = у]1-а2. Тому можна записати:
х >/з = 71-(5х-2)2.
Звідси Зх2 - 1 - (5х - 2)2. Далі
28х2 - 20х + 3 = 0;
маємо:
1
х =—,
2
Перевіримо отримані корені.
При х = — маємо:
2
агсзіп (х >/з) - агсзіп — = —;
к ’ 2 3
агссоз (5х - 2) - агссоз | — - 2 І = агссоз - =—.
\2 } 2 3
Отже, число — є коренем початкового рівняння.
2
гт З
При х-— маємо:
14
агсзіп
агссоз (5х - 2) - агссоз
. Зл/З я
агсзіп-----< —;
14 2
15 ( 13
= агссоз
14
я
2
з
Отже, число — не є коренем початкового рівняння.
Відповідь: -.
2
Ц Впреви
32.1 ? Чи є рівносильними рівняння:
1) х - 5 - 0 і х (х - 5) = 0;
2) - = 0 і х2 = - 4;
х
х2+1
3) х + 1 = 1 + х і ^—^ = 1;
х2+1
4) х100 = 1 і х1000 = 1;
5) — = 1 і х - х;
х
х2-1
6) ----= 0 і х - 1 = 0;
х + 1
V2 _О
7) -—- = 0 і х2 - 9 = 0;
х + 2
8) (л/х + 2) = 2х + 5 і х + 2 = 2х + 5;
9) д/(х-1)(х-3) -0 і л/х-1 • л/х-3 = 0;
10) віп х = 2 і 2* = -1;
11) 8ІП х = 0 і СО8 х-1;
12) сов х = 0 і віп2 х = 1;
13) = -1 і соз 2х = -1;
1 + І£2 X
14) ІО£3 х2 = 2 і ІО£3 х = 1;
15) ІО£5 (х2 - 1) = ІО£5 (х - 1) і ІО£5 (х + 1) = 0;
16) 1ое* (х + 1)^і і ІО£2 (Х + і) = і?
1о£х2
З 2/Чи є рівносильними рівняння:
1) х2 = х і х - 1;
2) (2х 1)(2х+1) =0 і 4х2 - 1 - 0;
2
9
3) х2 + 1 = 0 і ----= 0;
х-1
6) соз х = -1,2 і ех = 0;
7) сов х = 0 і віп х = 1;
8) * о і віп 2х = 0;
1 + іе х
9) ^/х2 (х-1) =0 і | х | л/х-1 = 0;
10) 1о£х2 х2 =1 і 1о£х х = 1?
32.3. ° Чи буде в результаті даного перетворення отримано
рівняння, рівносильне даному:
1) у рівнянні 3 (2х - 1) - 5 (4х + 2) = 1 розкрити дужки
і звести подібні доданки;
, 1 1 . 11
2) у рівнянні х +-------= 49 різницю-----------за-
х-7 х-7 х-7 х-7
мінити на нуль;
х2-1
3) у рівнянні ---+ Зх-5 = 0 скоротити дріб;
х-1
4) обидві частини рівняння х3 = х поділити на х;
5) обидві частини рівняння (х + 1) (х2 + 4) = х2 + 4 по-
ділити на х2 + 4;
х2
6) обидві частини рівняння — = 2 помножити на х;
X
7) обидві частини рівняння 2х + 1 = 5 помножити на
х + 1?
32.4. ° Яке з двох рівнянь є наслідком іншого:
1) х2 = х і х = 1;
2) — = 1 і Ох = 0;
х
3) х3 = 1 і х2 = 1;
4) | х | = 1 і х3 = 1;
х 36 • 2 ос
5) ---=---- і х =36;
х-6 х-6
6) х2 = 4 і х2--— = 4--—;
х+2 х+2
х2-1
7) ---= 0 і х2 - 1 = 0;
х + 1
8) \Іх2-2 = у/Зх і х2 - 2 = Зх;
9) у]х2 (х-1) = х і | х | л/х-1 = х;
10) л/х + 3 = х і х + 3 = х2;
11) віп х = 3 і 1о£2 х = 1;
12) І£ (х2 - 1) = І£ (х - І)2 і х2 - 1 = (х - І)2;
13) =0 і 2х = 0;
1-*£ х
14) —-— - 0 і 1о£2 х = 0?
1о£х2
32.5. ° Яке з двох рівнянь є наслідком іншого:
2
1) — = 1 і х2 = х;
х
2) (х + І)2 = 1 і х2 + І2 = 1;
*2 64 . 2
3) ---=------ і х =64;
х+8 х + 8
4) х2+—= 9+— і х2 = 9;
х + 3 х + 3
5) л/х2 -х-1 = л/бх і х2 - х - 1 = 5х;
6) л/х2 -4 = уіх + 2 і л/х-2 у/х + 2 = у/х + 2;
7) л/х + 7 = -х і х + 7 = х2;
8) соз х = -2 і ех2~х~п-1;
9) 1о£3 | х + 2 | = 1 і 1о£х | х + 2 | • 1о£3 х = 1?
32.6. * Як може змінитися (розширитися чи звузитися) мно-
жина коренів заданого рівняння, якщо:
1) рівняння (| х | + 3) / (х) = 2 | х | + 6 замінити на рів-
няння / (х) = 2;
2) рівняння (і^ х -і- 1) Г (X) = І£2 х + 1 замінити на рів-
няння / (х) = 1;
3) рівняння —5— = 0 замінити на рівняння / (х) = 0;
X +1
/ оо
4) рівняння —----= 0 замінити на рівняння / (х) = 0;
І£ х+1
5) рівняння (х + 1) / (х) = х + 1 замінити на рівняння
Г(х)=1;
6) рівняння (л/х -1) / (х) = л/х -1 замінити на рівняння
/(х) = 1;
Алгебра та початки аналізу, 11 кя.
337
7) рівняння --=------ замінити на рівняння /(х)-£ (х);
х + 1 х+1
8) рівняння / (х) = £ (х) замінити на рівняння
(х + 1) ї (х) = (х + 1) £ (х);
9) рівняння 1о£2 / (х) = 0 замінити на рівняння / (х) = 1;
10) рівняння 1о£х / (х) = 0 замінити на рівняння / (х) = 1?
32.7. * Розв’яжіть рівняння:
х + 5 х-5 _ х + 25
} х2-5х 2х2 +10х “ 2х2-50’
9х + 12 1 1
х3-64 х-4 х2+4х + 16
32.8. * Розв’яжіть рівняння:
4у + 24 । у + 3 _ у-3 .
5у2-45 5у2-15у у2+3у’
2) У + 2 1 - У+3
} 8у3+1 4у + 2 8у2-4у + 2'
32.9. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) х2+(>/х^2)2-5 = 0; 2) 2х2+9(>/х+Ї)2-27 = 0.
32.10. * Розв’яжіть рівняння:
1) х2-(>/х + з)2-8 = 0; 2) х2-4(л/ГГз)2-13 = 0.
32.11. * Розв’яжіть рівняння:
віп2х _ 2 віп2 х + 3 віп х
1) “ - 2 ~ и, о) - — 0.
1 + X 1 - СО8 X
2) 81П* =0;
1 + СОБ X
32.12. * Розв’яжіть рівняння:
віп2х віп2х
1) — = 0; 2) ------= 2совх.
1 + СІ£ х 1-БІПХ
32.13. " Розв’яжіть рівняння
\/16-9х2 (3 віп 2лх + 8зіп лх) = 0.
32.14. ” Розв’яжіть рівняння
\/25-4х2 | зіп лх + 3 сов — | = 0.
к 2 }
32.15. *’ Розв’яжіть рівняння:
1) \І2х2 -х + 4 + \2х2 -7х + 10 = Зх-3;
2) (>/х + 1 + 1)(л/х + 10-4) = х.
32.16. ” Розв’яжіть рівняння:
1) л/х2 +3х —2 + л/х2— х + 1 = 4х-3;
2) (л/х + 1 +1)(>/х + 1 + х2 +х-7) = х.
32.17. ” Розв’яжіть рівняння:
1 + СО8Х + 8ІПХ о
сов х
СО8 X + СО8--2
2) ?--------= 0.
х
8Ш —
8
32.18. ” Розв’яжіть рівняння:
о 2
8ІП 2х-8ІП х_ СО8Х + СО8 3Х + 2
1) —СІ; А) ---————---------
соеЗх-1 х
81П---1
.. 2
32.19. Розв’яжіть рівняння:
1) — + х =2сов------5сіех;
І 4 ) З
З
2) і£2х + біп2х = -—СІ£Х.
32.20. ” Розв’яжіть рівняння І£2х-8Іп2х =— сі£х.
32.21. ” Розв’яжіть рівняння 1о£х соз 2лх = 0.
32.22. ” Розв’яжіть рівняння 1о£х зіп —= 0.
32.23. ” Розв’яжіть рівняння ІО£9 8ІП 2х = 1о£3 ^/біпх.
32.24. ” Розв’яжіть рівняння 1о£4 8ІП 2х = ІО£2 Х/-8ІПХ.
32.25. " Розв’яжіть рівняння агссо8(х>/з) = агс8Іп(Зх-2).
32.26. ” Розв’яжіть рівняння агсвіп х = агссоз (Зх - 1).
ЇЗ
Основні методи розв'язування рівнянь
У таблиці наведено схеми розв’язування деяких типових
рівнянь.
Тип рівняння Умова, рівносильна даному рівнянню
1 / (х) 1 = | § (х) 1 /(х) = й’(х), ї (X) = —й (X)
1 / (х) 1 = § (х) < /(х) = й’(х), /(х) = -й’(х), й(х)>0
уіГ(х)=уі^(х) У(х) = й’(х), ,Й (х) > 0
\І/ (х) = Й (X) ї (х) = Й2 (х), Й (х) > 0
аГ[х} = ае(х), а > 0, а Ф 1 / (х) = й (х)
1о£а / (х) = ІО£О й (х), а > 0, а * 1 /(х)-й’(х), Й (х) > 0
Часто розв’язування рівнянь зводиться до розв’язування
типових рівнянь, наведених у таблиці. Це ілюструють
вправи №№ 33.1, 33.2. До тих рівнянь, які не зводяться до
типових, застосовують спеціальні методи і прийоми. Роз-
глянемо деякі з них.
Метод розкладання на множники
Добре, коли вдається ліву частину рівняння / (х) = 0 по-
дати у вигляді добутку кількох виразів. Як правило, цей
крок є корисним, оскільки дозволяє замість даного рівняння
розв’язати сукупність більш простих рівнянь.
Розглянемо приклади.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння х3 - 6х2 + 11х - 6 = 0.
Розв’язання. Очевидно, що число 1 є коренем даного
рівняння. Тоді ліву частину рівняння можна подати у ви-
гляді добутку (х - 1) 0 (х), де 0 (х) — квадратний тричлен.
Для знаходження (х) поділимо «куточком» многочлен
х3 - 6х2 + 1 їх - 6 на двочлен х-1:
х3 - 6х2 + 11х - 6 х-1
3 2 х - X х2 - 5х + 6
-5х2 + 11х — 6
-5х2 + 5х
_6х — 6
6х — 6
0
Отримали, що (х) = х2 - 5х + 6.
Маємо: (х - 1) (х2 - 5х + 6) = 0.
Це рівняння рівносильне сукупності
х-1 = 0,
х2 -5х + 6 = 0.
Звідси
х = 1,
х = 2,
х = 3.
Відповідь’. 1; 2; 3.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
З д/х — 2 '2 + 2х — х • 2 +6 у] х — 2.
Розв’язання. Маємо:
Зл/х-2 •2х2-3-х-2х2-3+2х-6>/х-2 =0;
2х2-3 (з л/х-2-х
(Зл/х-2-х
)-2(з>/х-2-х
:)(2х2 3-2) = 0.
Помилковим було б вважати, що це рівняння рівносильне
сукупності
З л/х-2 -х = 0,
2 х2-3-2 = 0.
Справді, корінь -2 другого рівняння сукупності не вхо-
дить до області визначення початкового рівняння. Насправ-
ді початкове рівняння рівносильне системі
Зл/х-2 -х = 0,
2х2"3-2 = 0,
Звідси
З л/х-2 = х.
2х2-3 =2,
9х-18 = х2,
х2-3 = 1,
х = 3,
х = 6,
х = 2,
х = -2.
х > 2.
Відповідь: 2; 3; 6.
Метод заміни змінної
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння
х4 - 8х3 + 15х2 + 4х - 2 = 0.
Розв’язання. Перетворимо дане рівняння так:
х4 - 8х3 + 16х2 - х2 + 4х - 2 = 0;
(х2 - 4х)2 - (х2 - 4х) -2 = 0
Зробивши заміну х2 - 4х = і, отримуємо рівняння
і2 - і - 2 = 0. Звідси
і = 2,
і = -1;
х2-4х = 2,
х2-4х = -1.
Відповідь: 2 + >/б; 2-\/б; 2 + -УЗ; 2-у/з
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння — ---+ —^----- .
х-4х+2 хг+х + 2 4
Розв’язання. Оскільки число 0 не є коренем даного
рівняння, то, поділивши чисельник і знаменник кожного
з дробів лівої частини рівняння на х, отримуємо рівняння,
рівносильне заданому:
2 3 5
-------1-----——.
2 2 4
х-4+- х+1+- *
X X
Зробимо заміну х + — -і. Тоді
_?_+_?_Д = 0; = 0;
і-4 і + 1 4 (і-4)(і+1)
і2+і-12 = 0, р = -4,
(і-4)(і + 1)*0; [* = 3.
Маємо:
Х + — --4,
х
х + —= 3;
х
х2 + 4х + 2 = 0,
х2-Зх + 2 = 0.
Відповідь: -2 +-72;
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння
4 ґ 2
зіп2х +—— + 3 зіпх---------2 = 0.
зіп х зіп х)
2
Розв язання. Нехай зіпх--------= і. Тоді
зіп х
• 2 л 4 2
зіп х-4 +—— = г.
зіп х
Звідси зіп2хч—= і2+4. Початкове рівняння набуває
зіп х
вигляду і2 + 4 + Зі - 2 = 0.
Звідси і2 + Зі + 2 = 0;
# = -1,
і= -2.
Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності
2 1
ВІП X------= -1,
віп X
2
8ІПХ-------= -2.
віп X
Звідси
віп2 X + віп х -2 = 0,
віп2 х + 2 віп х -2 = 0;
віп X = 1,
віп х = -2,
віп х - -1 - л/3,
віп х -- -1 + -Уз.
віп X = 1,
8ІПХ = л/3-1.
Оскільки | віп X | < 1, то отримуємо
х -- — + 2лк,
Звідси 2 х = (-1)й агсвіп(-Уз-1) + лЛ,
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння
</(2-х)2 + ^/(7 + х)2 - ^(7 + х)(2-х) = 3.
Розв’язання. Нехай у/2-х =а, %/7 + х =Ь. Тоді
а2 +Ь2 -аЬ = 3,
а2+Ь2=9;
а2 +Ь2-аЬ = 3,
<
(а + Ь) (а2 + Ь2 - аЬ) = 9;
(а + Ь)2-ЗаЬ = 3,
а + Ь-3-,
аЬ = 2,
а + Ь = 3‘,
а = 1,
6 = 2;
а~2,
' 6 = 1.
Тепер можна записати
'|/2-х=1,
^/7 + х = 2;
^2-х=2,
^7 + х = 1;
х = 1,
х -- 6.
Відповідь: 1;.—6.
Застосування властивостей функцій
Пошук області визначення функції / може бути ключем
до розв’язування рівняння / (х) = 0.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння
(л/х2-4х + 3 +1) 1о£3 х + л/4х-х2 -3 = 1.
Розв’язання. Застосування будь-яких прийомів,
пов’язаних з перетворенням лівої частини даного рівняння,
навряд чи призведе до успіху. Разом з тим знаходження
області визначення рівняння — шлях цілком природний.
х2-4х + 3>0,
Маємо: <4х-х2-3>0,
х > 0.
Розв’язавши цю систему, отримаємо, що областю визна-
чення розглядуваного рівняння є двоелементна множина
{1, 3}. Перевірка показує, що число 1 не підходить, а чис-
ло 3 є коренем заданого рівняння.
Відповідь: 3.
Нехай функції / і й’ є такими, що для будь-якого
X єП(Л П І) (£) виконуються нерівності / (х) < а і £ (х) > а,
де а — деяке число. Тоді рівняння / (х) = § (х) рівносильне
системі
7 (х) = а;
Я (х) = а.
За допомогою цих очевидних міркувань можна розв’язати
цілу низку рівнянь.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть рівняння
1о£2 (5 + 3 соз 4х) = зіп2 х + — .
\ 4/
Розв’язання. Оскільки соз 4х > -1, то 5 + 3 соз 4х > 2.
Звідси 1о£2 (5 + 3 соз 4х) > 1.
Водночас зіп2 х + — <1.
V 4/
Тому початкове рівняння рівносильне системі
1о&2 (5 + 3 сов 4х) = 1,
• 2 1 ТС |
81П Х + — 1 = 1.
І 4/
Звідси -
сов 4х - -1,
сов2
л лп _
х = —+—, лей.
4 2
л
х = —+ ЛЙ, ЙЄЙ.
4
»
л
Відповідь: — + пк, к є 2.
4
Ви знаєте, що коли функція / є зростаючою (спадною),
то рівняння / (х) = а має не більше ніж один корінь. Якщо
вдається корінь вгадати, то розв’язування такого рівняння
завершене.
ПРИКЛАД 9 Розв’яжіть рівняння 2х - ВІП X = 0.
Розв’язання. Розглянемо функцію / (х) = 2х - віп х.
Маємо: /' (х) = 2 - сов х. Оскільки для будь-якого х є К
виконується нерівність /' (х) > 0, то функція / зростає на К.
Отже, рівняння / (х) = 0 має не більше ніж один корінь.
Очевидно, що число 0 є коренем заданого рівняння.
Відповідь: 0.
ПРИКЛАД 10 Розв’яжіть рівняння уі4х2 -1 + л/4х-1 -1.
Розв’язання. Розглянемо функцію
/ (х) = \І4х2 -1 + \/4х-1.
Легко встановити, що £)(/) =
Кожна з функцій £(х) = уїх2-! і Л(х) = ^4х-1 є зрос-
таючою на £) (/) Отже, функція / також зростає на £) (/)
п 1
Очевидно, що число — є коренем початкового рівняння.
2
Цей корінь єдиний.
Відповідь: —.
Вправи
33.1. * Розв’яжіть рівняння:
1) | х2 - 7х 4- 3 | = | х - 4 |; 4) л/Зх + 7 = 7-х;
2) | х2 - Зх - 1 | = х - 1; 5) 72х + 3 = 73-х;
3) \І4х2 -5х = >ІЗх2-2х-2; 6) 1о£3 (х2 - 7) = 1о£3 (-х - 1).
33.2. * Розв’яжіть рівняння:
1) | х2 - 2х - 5 | = | х - 1 |;
2) | х2 + 6х - 16 | = 8 - 4х;
3) \І2х2 -Зх + 1 = \Іх2 +2Х-3;
4) 2>]х + 5 = х + 2;
5) 28’2*2 =2х2“1;
6) І£ (х2 4- 2х - 10) = І£ (Зх 4- 2).
33.3. * Розв’яжіть рівняння:
1) х3 - 7х - 6 = 0; 3) х4 - 9х2 4- 4х 4- 12 = 0.
2) х4 - 5х3 4- 8х2 - 7х 4- 3 = 0;
33.4. * Розв’яжіть рівняння:
1) х3 4- х2 4- х 4- 6 = 0; 2) х4 4- 2х3 - Зх2 - 4х 4- 4 = 0.
33.5. * Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 4- 5х)2 - 2 (х2 4- 5х) - 24 = 0;
2) (х2 4- 2х 4- 2) (х2 4- 2х — 4) = -5;
Зх2-9х 12
о) 9 — о,
2 х2-3х
4) -"-------= ~ •
х(х + 2) (х + 1)2 12
33.6. * Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 4- 8х 4- 3) (х2 4- 8х 4- 5) = 63;
З ,
3) - -3 х-х ;
1 + х + х
6 8
4) 1----------------------
(х + 1) (х + 2) (х-1)(х + 4)
• 33.7.* Розв’яжіть рівняння:
• ___________ _________ і
1) 4*+'^-5.2х+'^-з-1 =6; 3) 4,82х+8 = 3-2сов2\
2) +2^гх =3.
• 33.8.* Розв’яжіть рівняння:
1) 4х2~х-17-2х2-х+г +256 = 0; 2) 2соз2х-3-21оЛг-4.
• 33.9.*’ Розв’яжіть рівняння
^(9^-3^) = 32^+1-3^+і+6^-18.
• 33.10.” Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = 1680;
2) х (х 4- 3) (х 4- 5) (х 4- 8) = 100.
• 33.11.” Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 4) (х 4- 2) (х 4- 8) (х 4- 14) = 1204;
2) (х 4- 3) (х 4- 1) (х 4- 5) (х 4- 7) = -16.
33.12. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (2х2 - 5х 4- 2) (2х2 4- 7х 4- 2) = -20х2;
2) (х 4- 2) (х 4- 3) (х 4- 8) (х 4- 12) = 4х2.
33.13. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 4 (х 4- 5) (х 4- 6) (х 4- 10) (х 4- 12) - Зх2 = 0;
2) (х - 4) (х 4- 5) (х 4- 10) (х - 2) = 18х2.
33.14. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 4х2 + 12х + — + 4- = 47; 2) 2|-
XX \х
2 х2 4.
х2 + 18 + 3’
33.15. ” Розв’яжіть рівняння:.
„ 2 к 5 3 „„ 2 36 112 (х
1) Зх +5x4 1—г- — 16; 2) х 4—5” —-- —
XX2 х2 5 І2
33.16. ” Розв’яжіть рівняння:
. 4х Зх
1) —о-------1—о-------— 1;
4х -8х + 7 4х -10х+7
х2-10х + 15_ 4х
х2-6х + 15 х2-12х + 15
33.17. " Розв’яжіть рівняння:
Зх 2х 8 _. х2+5х + 4 х2-х + 4 ІЗ
1) 2 . .---2------= 2) “2------+ -2-----+ —
х +1-4х х2+1 + х 3 х-7х + 4 х2+х + 4 З
33.18. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2 (х2 + х + І)2 - 7 (х - І)2 = 13 (х3 - 1);
2) 4х2 +12хл/1 + х =27(1 + х).
33.19. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х4 + бх2 (х + 1) = 6 (х + І)2; 2) 6х2 -5х -7х + 3 +х + 3 = 0.
33.20. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 3 віп2 х + 2 віп х сов х = 2; 2) 5 сов3 х = віп х - сов х.
33.21. ” Розв’яжіть рівняння 22 сов2 х + 4 віп 2х = 7.
33.22. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х + сі£4 х + х + сі£2 х = 4;
2) 18 сов2 х + 5 (3 сов х + сов-1 х) + 2 сов-2 х + 5 = 0;
33.23. ” Розв’яжіть рівняння:
1) і£3 X + І£2 X + сі£2 X + СІ£3 х = 4;
2 1 2
2) 4віп х + -—-т—н4віпх +---= 11.
віп х віп х
33.24. ” Розв’яжіть рівняння
віп 2х + 3 (віп х + сов х) + 1 = 0.
33.25. ” Розв’яжіть рівняння
віп 2х + 4 віп х - 4 сов х - 1 = 0.
33.26. ” Розв’яжіть рівняння:
1) >/х + 8-^х-8 =2; 2) </х-2 + 7x^1 =5.
33.27. ” Розв’яжіть рівняння:
1) \/18+5х+д/б4-5х =4; 2) %2-х =1-у[х^ї.
33.28. ” Розв’яжіть рівняння:
х2-4х о
1) 2 сов----= х2-8х + 18;
З
2) 5 віп х - 12 сов х = х2 - 2х + 14.
33.29. ” Розв’яжіть рівняння:
1) віп —= х2-6х + 10; 2) віп 2х = х - х2 - 1.
6
33.30. " Розв’яжіть рівняння:
5х 12х
1) сов2х + сов — = 2; 2) віпбх + сов--= -2.
2 5
33.31. ” Розв’яжіть рівняння:
іч 13х 5х . 8х
1) сов---сов — = 1; 2) віп2х + сов — = 2.
6 6 З
33.32. ” Розв’яжіть рівняння
(4х - х2 - 3) 1о£2 (сов2 лх + 1) = 1.
33.33. ” Розв’яжіть рівняння
2”Iх-21 1О£2 (4х - х2 - 2) = 1.
33.34. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х3+2x7^1=12; 2) -^~ =—•
х2+1 2
33.35. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2л/х+7х-5 + л/2х + 7 =13; 2) х2+5х + 15л/х + 2 = 44.
33.36. ” Розв’яжіть рівняння сов х - 2х = 1.
33.37. ” Розв’яжіть рівняння віп х - сов х = 2х - 1.
34.
____4
Основні методи розв'язування нерівностей
У таблиці наведено схеми розв’язування деяких типових
нерівностей.
Тип нерівності Умова, рівносильна даній нерівності
1 / (х) | < § (х) < (х), / (х) > (х)
1 ї (х) І > § (х) / (х) > £ (х), / (х) < (х)
л//(х) >^(х) / (х) > 8 (х), ,£(х)>0
Тип нерівності Умова, рівносильна даній нерівності
<£(х) * Нх)<{§ (х))2, § (х) > 0, /’(х)Х)
Ґ£(х)<0, |/(х)>0, Ґ£(х)>0, V (х) > (£ (X))2
агм > ае(х)^ а > ! / (х) > § (х)
агм > аеМ, 0 < а < 1 / (х) < § (х)
1о£а ї (х) > 1о£а § (х), а > 1 /(х)>£(х), 8 (х) > 0
1о£а / (х) > 1о£„ § (х), 0 < а < 1 у (х) < § (х), ' У(х)> 0
Часто розв’язування нерівностей зводиться до розв’язу-
вання типових нерівностей, наведених у таблиці. Це ілю-
струють вправи №№ 34.1-34.10. До тих нерівностей, які
не зводяться до типових, застосовують спеціальні методи
і прийоми. Розглянемо деякі з них.
Метод рівносильних перетворень
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність (х2 -9) Ух-2 >0.
Розв’язання. Зауважимо, що помилковими є такі мір-
кування: «Оскільки при х > 2 виконується нерівність
-2 > 0, то дана нерівність рівносильна системі
х > 2,
х2-9>0.
Звідси х є [3; +оо)». Неважко побачити, що при такому
«розв’язуванні» втрачається розв’язок х = 2.
Правильним розв’язуванням даної нерівності є, напри-
клад, перехід до сукупності:
(х2-9)л/х-2=0,
(х2-9)л/х-2>0.
Розв’язком рівняння сукупності є числа 2 і 3, розв’язком
нерівності — проміжок (3; +оо).
Відповідь: [3; +оо) її {2}.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність х/бх-І-л/х + 2 >1.
Розв’язання. Одразу підносити обидві частини нерів-
ності до квадрата не є раціональним кроком, оскільки цей
перехід вимагає враховувати таку додаткову умову:
у/5х-1-\/х + 2 > 0.
Дану в умові нерівність доцільно записати так:
л/бх-1 > 1 + \/х + 2.
Оскільки обидві частини останньої нерівності можуть
набувати лише невід’ємних значень, то можна перейти до
рівносильної нерівності:
(>/5х-1)2 >(1 + 7х + 2)2.
Далі отримуємо:
бх-1>1 + 2 л/х + 2 + (х + 2),
2(х-1)> \/х + 2,
4(х-1)2 > х+2,
х >1,
х+2 >0;
4х2-9х + 2>0,
<
х>1.
Звідси х > 2.
Відповідь: (2; +оо).
Метод інтервалів
Нехай нулі функції та її точки розриву розбивають об-
ласть визначення функції на деякі проміжки (рис. 34.1).
Тоді з наслідку теореми Больцано-Коші (див. пункт 5)
випливає, що ці проміжки є проміжками знакосталості
функції. Визначити знак функції на кожному з таких про-
міжків можна за допомогою «пробних точок».
Ці міркування є основою для розв’язування широкого
класу нерівностей.
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність \І2-х >1-л/х-1.
Розв’язання. Розглянемо функцію
/ (х) = (/2-х + \/х-1 -1.
Маємо: В (/) = [1; +оо). Знайдемо нулі функції /. Для
цього розв’яжемо рівняння (/2-х + \Іх-1 -1 = 0.
Зробимо заміну: (/2-х -а, \Іх-1 -Ь. Маємо: 2 - х = а3,
х - 1 = Ь2. Звідси а3 + Ь2 = 1. Отримуємо систему:
а + &-1 = 0,
а3+Ь2=1.
Звідси
& = 1-а,
а3 +(1-а)2 =1;
Ь = 1-а,
а3 + а2-2а-0.
Ця система має три розв’язки: (0; 1), (1; 0), (-2; 3).
(/2-х=0,
Тепер можна записати 8 о Ч • гЧ ш со гн ,-1 о і со II II II II II Н 1-І Н <-І 1 1 1 1 1 Н [Н [очі [Н МІ? со? / ' V V ( х = 2,
II II о
23 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
353
Оскільки функція / є неперервною, то її нулі, тобто чис-
ла 1, 2, 10, розбивають її область визначення В (/) - [1; 4-оо)
на проміжки знакосталості: (1; 2), (2; 10), (10; +оо).
Маємо: — є(1;2); / [ - | > 0;
З є (2; 10); / (3) < 0;
17 є (10;+оо); /(17)>0.
Знаки функції на проміжках
знакосталості показано на рисунку 34.2.
Відповідь: (1; 2) її (10; 4-оо).
Застосування властивостей функцій
При розв’язуванні прикладу 3 було використано таку
властивість функції, як неперервність. Нерідко ключем до
розв’язування можуть бути й інші властивості функцій:
періодичність, парність (непарність), зростання (спадання),
найбільше і найменше значення функції тощо.
Наприклад, якщо шіп / (х) = а і шах / (х) = Ь, то множи-
ною розв’язків кожної з нерівностей / (х) > а і / (х) < Ь
є множина В (/) (рис. 34.3).
Ще один приклад: якщо функція / зростає на проміжку
В (/) = Iа; +00) і / (хо) = 0, то множиною розв’язків нерів-
ності / (х) > 0 є проміжок [х0; 4-оо) (рис. 34.4).
Розглянемо приклади, що ілюструють вищесказане.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність >/19-х ч-л/х+ЇЗ <4.
Розв’язання. Розглянемо функцію
/•(х) = ^19-х+^/х + 13, В (/) = [-13; 19].
Маємо: /' (х) =---. + —.— Розв’язавши рів-
4^/(19-х)3 4^(х + 13)3
няння /' (х) - 0, отримаємо х-3.
Порівнюючи числа [ (-13), / (3), / (19), доходимо виснов-
ку, що шах / (х) = / (3) = 4.
[-13:19]
Тоді нерівність / (х) < 4 виконується ДЛЯ ВСІХ х є В (/).
Відповідь: [-13; 19].
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність
1о£2 (-7х-2 + 4)1о£з (х2+х + 21)>6.
Розв’язання. Областю визначення даної нерівності
є проміжок [2; +оо).
Оскільки \Іх-2 +4 >4, то 1о£2 (-7х-2 +4) > 1о£2 4 = 2.
При х > 2 отримуємо, що х2 + х + 21 > 27. Тоді
1о£3 (х2 + х + 21) > 3.
Маємо: 1о£2 (-7х-2 + 4) > 2 і 1о£3 (х2 + х + 21) > 3.
Звідси для всіх х є [2; +оо) виконується нерівність
1о£2 (-7х-2+ 4)10^3 (х2+х + 21) >6.
Відповідь: [2; +оо).
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність
у/х-1 + уі5х3 +9х+6 > 5.
Розв’язання. Розглянемо функцію
/ (х) - \Іх-1 + ^5х3 +9х + 6 - 5.
Легко показати, що ця функція зростає на В (/) = [1; 4-°о).
Очевидно, що / (2) = 0. Тоді множиною розв’язків нерівності
/ (х) > 0 є проміжок [2; +оо).
Відповідь: [2; +оо).
0| Вправи
34.1. * Розв’яжіть нерівність:
1) | 2х - 5 | < х;
34.2. * Розв’яжіть нерівність:
1 ' 2
34.3. * Розв’яжіть нерівність:
1) | х2 4-Зх | < х 4- 4;
2)
Х4-1
2х-1
34.4. * Розв’яжіть нерівність:
1) | 4х2 - 1 | < х + 2;
2) | Зх - 2 | > 2х 4- 1.
2) | Зх - 5 | > 9х 4- 1.
3) х2 - х - 2 < | 5х - 3 |;
4) | х2 4- Зх | > 2 - х2.
3) | х2 - Зх | > х 4- 5.
2)
Зх +1
х-5
1;
34.5.* Розв’яжіть нерівність:
1) >/2х2 4-5х-6 >7-х-З;
х2;
3) \І2х2 4-6Х4-3 > 7-х2 -4х;
4)
\х-10 У2-х
34.6. * Розв’яжіть нерівність:
1) у/х2 -7х + 5 > >/Зх-4;
2) д/х2 4-5х <\/1-х2 4-4х;
34.7. * Розв’яжіть нерівність:
1) \Іх + 7 <х;
2) >/х2 -Зх-10 <8-х;
34.8. * Розв’яжіть нерівність:
1) х4-4>2\/4-х2;
2) >/х2 —Зх—18 < 4 — х;
3) уІ(х-3)(2-х) < 3 4- 2х.
2х-3 х~2.
о) і----лі----->
V 4х-1 \ х + 2
4) л/з^> —.
У 2-х
3) ^5-| Х4-1 | <24-х.
34.9. ’ Розв’яжіть нерівність:
___________ І , о
1) л/2х + 4>х+3; 3) ,р-^>х-2.
V х
2) >/2х2 +5х-6 > 2 -х;
34.10. ’ Розв’яжіть нерівність:
1) \х2 -2х >4-х; 3) ^-^>х-3.
V х
2) у]-хг -8х-12 > х+4;
34.11. * Розв’яжіть нерівність:
1) (х + 10) л/х-4 <0;
2) (х + 1)д/х + 4 д/х + 7 <0;
3) (х + 8) л/х2-5х + 4 < 0;
4) (х2 +Зх-10) >/2х2 +5х + 2 >0.
34.12. * Розв’яжіть нерівність:
1) (х-12)л/х-3 <0; 3) (х + 3)>/х2+х-2<0;
2) (х + 2)2 (х -1)2 у/х-7 > 0; 4) ^2х +15х~1І > 0.
10-х
34.13. ’ Розв’яжіть нерівність:
1) л/1-Зх -у]5 + х >1; 2) >/2х-1 + \/х + 15 < 5.
34.14. * Розв’яжіть нерівність:
1) уіх-2 + л/2х + 5 >3; 2) л/х + \/х-5 <710-х.
34.15. * Розв’яжіть нерівність:
2
1) віп6 х + сов6 х<-; 3) і£2х - х - 2 > 0;
З
2) 2со82х-8іпх>1 ; 4) 2 + 2х + сі£ 2х < 0.
34.16. * Розв’яжіть нерівність:
1) 2 він2 х - 7 віп х + 3 > 0;
2) віп х + сов 2х > 1;
3) і£2 х - 3 х + 2 < 0.
34.17. ** Розв’яжіть нерівність:
1) сов 2х х < 0;
2) віп2 х сов х + сов2 х віп х < 0;
3) (віпх4-совх)(л/з віпх-совх)>0;
4) (і£х-л/з)віпх<0.
34.18. *’ Розв’яжіть нерівність:
1) сов х - віп 2х - сов Зх < 0; 3) (2 сов х-1) сі£ х > 0.
2) сі£ х > сі£ Зх;
34.19. ** Розв’яжіть нерівність:
1) 2)
УІ21 + Х-УІ21-Х х
34.20. ” Розв’яжіть нерівність:
... з/тт;- І---пч л/б + х + л/б-х , 6
1) ШО-х+д/х-1 >3; 2) .
УІ6 + Х-УІ6-Х х
34.21. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 783 х + ^79 + х <6;
2) 711-х4-7х + 5>2;
3) Зх5 + 73х3+4x4-1 < 5;
4) (-7x4-2 4-1) 1о§3 (х2+4х + 13)>2;
5) 1о£3 (д/х-І4-3)1о£5 (Х24-Х4-3)>1.
34.22. ” Розв’яжіть нерівність:
1) 771-х 4-757-рх <4;
2) ^ЗЗ-х-р^ЗІ-рх >2;
3) 2 л/х-3 4-\хя 4-9x4-10 > 4;
4) 1о§2 (-7x4-3 4-2) 1о§3 (х2 4-6X4-18) >2.
Тестові
завдання
повторення
курсу
алгебри
Подільність натуральних чисел та числові вирази
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 5
1. Яку цифру треба поставити замість зірочки, щоб чис-
ло 1845* ділилося націло на 9, але не ділилося націло
на 6?
А) 0; Б) 3; В) 6; Г) 9.
2. .Групу туристів можна розмістити в наметах по 4 особи
або в більших наметах по 6 осіб, причому в обох випад-
ках вільних місць у наметах не залишиться. Скільки
туристів було в групі, якщо відомо, що їх більше за 40,
але менше від 50?
А) 42; Б) 44; В) 46; Г) 48.
3. Яке з наведених чисел ділиться націло на 3, але не ді-
литься націло ні на 2, ні на 5?
А) 3547; Б) 2601; В) 7335; Г) 6228.
4. Чому дорівнює остача при діленні на 8 значення ви-
разу (15п + 7) - (7п + 3), де п — довільне натуральне
число?
А) 7; Б) 6; В) 4; Г) 10.
5. Яке найменше натуральне число треба додати до числа 832,
щоб отримана сума була кратна одночасно числам 3 і 5?
А) 3; Б) 5; В) 8; Г) 9.
6. На таці лежать пиріжки з м’ясом і пиріжки з вишнями,
кількості яких відносяться як 5 : 2 відповідно. Укажіть
серед наведених чисел те, яким може виражатися за-
гальна кількість пиріжків.
А) 15; Б) 16; В) 21; Г) 24.
7. Яка з даних рівностей хибна?
А)’ = “; В)—=-; В)’ = “; Г)
7 49 24 3 9 72 5 45
15
8. Якому з наведених проміжків належить число —?
18
А) (0; 0,25); Б) (0,25; 0,5);В) (0,5; 0,75);Г) (0,75; 1).
9. Укажіть, скільки можна скласти нерівних між собою
правильних дробів, чисельниками і знаменниками яких
є числа 2, 4, 5, 6, 8, 9.
А) 12; Б) 13; В) 14; Г) 15.
2
10. Визначте, на скільки — числа 350 більше за 0,12 чис-
7
ла 500.
А) 90; Б) 150; В) 160; Г) 170.
11. Один робітник може виконати певну роботу за годину,
а другий — за півтори години. За який час вони вико-
нають цю роботу, працюючи разом?
А) 36 хв; Б) 40 хв; В) 48 хв; Г) 60 хв.
12. Серед наведених чисел укажіть найбільше:
дч 2002 2003 2004 2005
А) -----; Б) --------; В) --------; Г) --------.
2001 2002 2003 2004
13. Натуральне число а — парне, а натуральне число Ь —
непарне. Яка з наступних рівностей можлива?
А) — = 1; Б) аб = 35; В) — = 9; Г) - = 4.
6+1 6-6
14. Додатне число а менше від 1, а число Ь більше за 1.
Який з виразів набуває найбільшого значення?
А) аб; Б) а2; В) а + 6; Г)
15. З послідовності чисел -9, -7, -5, 2, 3, 6 вибрали два
числа і знайшли їх добуток. Якого найменшого значення
може набути цей добуток?
А) -54; Б) 6; В) -10; Г) 12.
16. Відомо, що а > 0, 6 < 0. Про який з виразів можна
стверджувати, що він приймає лише додатні значення?
А) б2 - а2; Б) а - 6; В) (6 - а)3; Г) а4 - б4.
5
17. Поїзд пройшов 105 км, що становить - усього шляху.
7
Скільки кілометрів становить довжина всього шляху?
А) 75 км; Б) 140 км; В) 147 км; Г) 210 км.
18. Обчисліть значення виразу
1-2 + 3- 4 + ... + 2009 - 2010.
А) 1005; Б) -1005; В) 2010; Г) -2010.
19. Установіть відповідність між заданими числами (1-4)
і цифрами (А-Д), які треба підставити замість зірочки,
щоб дане число ділилося націло на 9.
1) 628*
2) 57*57
3) 7*51
4) 90*2
А) 5
Б) З
В) 7
Г)4
Д)2
20. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4)
та їх значеннями (А-Д).
А) 0,7
Б) -0,8
В) і
Г) -3,3
Д>1|
Множини, відсоткові розрахунки, елементи статистики
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 6
1. Укажіть діаграму Ейлера, на якій правильно зображено
співвідношення між множинами й і К.
2. Дано три твердження:
1) будь-яке натуральне число є дійсним;
2) будь-яке ірраціональне число є дійсним;
3) будь-яке дійсне число є раціональним або ірраціональним.
Скільки з цих тверджень є правильними?
А) жодного; Б) одне; В) два; Г) три.
3. Відомо, що А с В і А ф В. Укажіть правильне твердження:
А)АПВ = В; Б)АОВ=А; В)АПВ = 0; Г)АОВ=В.
4. До сплаву масою 400 кг, що містить 15 % міді, додали 25 кг
міді. Яким став відсотковий вміст міді в новому сплаві?
А) 20%; Б) 25%; В) 30%; Г)40%.
5. Видобуток вугілля на деякій шахті спочатку зменшився
на 20 %, а потім підвищився на 20 %. Збільшився чи
зменшився видобуток вугілля внаслідок цього порівняно
з початковим рівнем і на скільки відсотків?
А) збільшився на 4 %; В) збільшився на 10 %;
Б) зменшився на 4 %; Г) не змінився.
6. Вміст солі в морській воді становить 5 %. Скільки кіло-
грамів прісної води треба додати до ЗО кг морської води,
щоб вміст солі в утвореному розчині становив 3 % ?
А) 10 кг; Б) 15 кг; В) 20 кг; Г) 25 кг.
7. Бригада з 12 робітників може відремонтувати школу за
36 днів. Скільки потрібно робітників, щоб відремонту-
вати школу за 9 днів, якщо продуктивність праці всіх
робітників однакова?
А) 3; Б) 24; В) 36; Г) 48.
8. У саду ростуть яблуні і груші, причому яблунь у 4 рази
більше, ніж груш. Скільки відсотків усіх дерев станов-
лять груші?
А) 20 %; Б) 25 %; В) 50 %; Г) установити неможливо.
9. Першого дня хлопчик прочитав ЗО % сторінок книжки,
а другого — 18 %. Скільки сторінок у книжці, якщо
першого дня він прочитав на 6 сторінок більше, ніж
другого?
А) 200; Б) 500; В) 50; Г) 20.
10. Деякі величини а, Ь і с, які набувають тільки додатних
значень, такі, що ас = Ь. Як зміниться величина а, якщо
величину Ь збільшити у 12 разів, а величину с збільшити
в 3 рази?
А) збільшиться в 36 разів; В) збільшиться в 4 рази;
Б) зменшиться в 4 рази; Г) не зміниться.
11. У 160 г води розчинили 40 г солі. Знайдіть відсотковий
вміст солі в розчині.
А) 20%; Б) 25%; В) 33—%; Г) 40 %.
З
12. У таблиці наведено розподіл оцінок, отриманих учнями
класу за контрольну роботу з алгебри і початків аналізу.
Оцінка 6 7 8 9 10 11
Кількість учнів 3 8 4 5 3 2
Знайдіть відносну частоту, яка відповідає оцінці 9 балів.
А) 36 %; Б) 20 %; В) 25 %; Г) ЗО %.
13. Банк сплачує своїм вкладникам 8 % річних. Скільки
грошей треба покласти в банк, щоб через рік на рахунку
було 21 600 грн?
А) 20 300 грн; В) 20 100 грн;
Б) 20 200 грн; Г) 20 000 грн.
14. Ціна товару становила 80 грн. Через деякий час вона
зменшилася на 8 грн. На скільки відсотків відбулося
зниження ціни?
А) на 10%; Б) на 8%; В) на 12 %; Г) на 15 %.
15. Стілець, початкова ціна якого становила 400 грн, двічі
подешевшав, причому кожного разу на 50 %. Скільки
тепер коштує стілець?
А) 100 грн; Б) 150 грн; В) 200 грн; Г) 250 грн.
16. Відомо, що 7 кг печива коштують стільки, скільки 5 кг
цукерок. Скільки кілограмів цукерок можна купити за-
мість 28 кг печива?
А) 14 кг; Б) 16 кг; В) 10 кг; Г) 20 кг.
17. На графіку, зображеному на рисунку, відображено об-
сяги продажу зошитів у крамничці канцтоварів протягом
6 місяців. Скільки в середньому продавали зошитів за
один місяць?
А) 1050; Б) 1100; В) 1200; Г) 1250.
Липень Серпень Вересень Жовтень Листопад Грудень
18. У травні магазин продав прохолодних напоїв на суму
т грн, а в червні — на 2ти грн. На скільки відсотків
збільшився виторг магазину від продажу прохолодних
напоїв у червні порівняно з травнем?
А) на 50 %; В) на 200 %;
Б) на 100 %; Г) залежить від числа т.
19. Установіть відповідність між заданими вибірками (1-4)
та їх медіанами (А-Д).
1) 2, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 9
2) 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9
3) 2, 4, 4, 6, 9, 3, 8, 9, 10
4) 3, 10, 4, 9, 13, 9, 19, З
А) 7
Б) 4
В) 6
Г) 9
Д) 5
20. Установіть відповідність між соляним розчином (1-4)
і кількістю солі, яку він містить (А-Д).
1) 300 г 4-відсоткового розчину 2) 40 г 9-відсоткового розчину 3) 20 г 8-відсоткового розчину 4) 40 г 6-відсоткового розчину А).1,6 г Б) 12 г В) 2,4 г Г) 3,6 г Д) 37 г
Раціональні вирази
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 7
1. При якому значенні змінної не має змісту вираз----?
Зх-21
А) 7; Б) -7; В) 4; Г) -4.
о _ . 12а10*2 2. Скоротіть дріб —. 16а Ь
За2 ™ За5Ь4 За2 _ За5
А — Б) ; В 77ГЇ Г 77Г-
4Ь“ 4 „ „ . бтп-тпи 3. Скоротіть дріб . 18т 4Ь 4Ь
, ч 6-ти 1-ти 6-й _ т-п
А) — ; Б) ; В) г)
18 3 18 3
, „ . „ а-5Ь Ь-5а
4. Подайте у вигляді дробу вираз---------
2Ь 2а
„2 і,2 2аЬ 4аЬ В) —; г) 2 а-Ь 4
е гл а + ь 5. Спростіть вираз . а Ь
А)-^; а + Ь Ь а Б)^; аЬ В) —; Г) а-Ь а-Ь аЬ
6. Якщо а = 2- А) с (2 - а); Ь и —, то о дорівнює: с Б) с (а - 2); В) Г) 2-а 2-а с
7. Знайдіть значення виразу а = 4,75. 2 а + 2 6а-ЗО при а -4
а- 2 а2-10а+ 25
А) 2,5; Б) -2,5; В) 8; Г) -8.
_ _ „ . Ґ2а + 6 2 У а2-а
8. Знайдіть значення виразу —5---------=--- •----- при
Іа2-1 а2+а) 2а + 2
а = 0,125.
А) 1; Б) -0,5; В) 0,25; Г) 0,125.
9. Коренем якого з даних рівнянь є будь-яке число?
х2-25
х2-25
х2+25
х2+25
х2-25
Б) -----= х-5;
х + 5
В)
х2-25
х-5
= х + 5.
10. Скоротіть дріб
х2 +х-6
х2 +Зх-10
А) Б) —; В) —; Г) —.
х-5 х+5 х-5 х + 5
11. Відомо, що Хі і х2 — корені рівняння х2 + 2х - 5 = 0.
Знайдіть значення виразу
х2
А) -1,2; Б) 1,2; В) -2,8; Г) 2,8.
12. Якого найбільшого значення набуває вираз х + у, якщо
пара чисел (х; у) є розв’язком системи рівнянь
х-Зу = 4,
ху-бу = 1?
А) 10; Б) 8; 'В) 6; Г) 2-.
З
13. Пари чисел (хх; і/і) і (х2; у2) є розв’язками системи рівнянь
|2х-ху = 5, „ . . .
< Знайдіть значення виразу | х^ - х2у2 |.
[у + ху = 6.
А) 1; Б) 11; В) 70; Г) 10.
14. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює
350 км, виїхали одночасно вантажний і легковий авто-
мобілі. Швидкість вантажівки на 20 км/год менша від
швидкості легкового автомобіля, через що вона прибула
до пункту призначення на 2 год пізніше за легковий авто-
мобіль. Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює
х км/год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситу-
ації, описаної в умові задачі?
.ч 350 350
А)-----------
х х + 20
350 350
Ь) ---+------
х х + 20
В) _3^_350 = 2.
х + 20 х
350 350 2
х х-20
15. Катер проплив ЗО км за течією річки, швидкість якої
дорівнює 1 км/год, і повернувся назад, витративши на
весь шлях 3 год 10 хв. Нехай власна швидкість катера
становить х км/год. Яке з рівнянь відповідає умові за-
дачі?
А) ^-+^- = ЗД В) -^-+ —= 3-;
Х+1 х-1 Х+1 X 6
в) Г) —=ЗІ.
х+1 х-1 х+1 х-1 6
16. Двоє працівників разом можуть виконати комп’ютерний
набір підручника з алгебри за 8 днів. Якщо перший
, 2 . . „
працівник набере - підручника, а потім другий праців-
3
ник завершить набір, то весь підручник буде набрано за
16 днів. Нехай перший працівник може набрати текст
підручника за х днів, а другий — за у днів. Яка з на-
ведених систем рівнянь відповідає умові задачі?
1х + у-8, х + у-8,
2 1 . _ В) ї 1 2
-х + -у = 16; -х+-у = 16;
З З ІЗ З
111 111
—н— ——, 1 — —9
Б) X у 8 Г) X у 8
2 11 2 1
1 — -х + -у = 16.
Зх Зу 16 ІЗ 3
17. Відомо, що при деяких від’ємних значеннях а і Ь
а2 + Ь2 = 68, аЬ = 16. Знайдіть значення виразу а + Ь при
тих самих значеннях а і Ь.
А) 10; Б) -10; В) -8; Г) -6.
24 Алгебра та початки аналізу, 11 кл. 369
18. Відомо, що х2 +—5-= 18. Знайдіть значення виразу х—
X X
А) 2л/5; В) 6;
Б) -2л/5 або 2л/5; Г) 4.
19. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4)
та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А-Д):
За-12 а -16 А) а-4
2) Б) ; а 3
а2 + 8а + 16 . .. В) О+4;
3) —— :(а+4); а —16 Г)
.. За а+ 2 96 4) • . а-4 2а-8 а2+2а а + 4 д) ^4. а-4
20. Установіть відповідність між заданими рівняннями (1-4)
та множинами їх коренів (А-Д):
1) х2 - 6х - 16 = 0;
. х2-3х_3х + 16.
х+2 х+2
3) х4 - х2 - 12 = 0;
А) {-2, 8};
Б) {-2, 2};
В) {-2};
Г) 0;
Д){8}.
Нерівності, степені, Ірраціональні рівняння
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 8
1. Яка з наведених нерівностей обов’язково виконується,
якщо а > Ь і с < 0?
А) ас > Ь; Б) а > Ьс; В) а > Ь + с; Г) а + с > Ь.
2. Оцініть значення виразу —, якщо 3<а<5,5<Ь<6.
Ь
А) 15С-С30;
Ь
З а 4
5 Ь 5
Г) 18С-С25.
Ь
3. Яка з поданих систем нерівностей має єдиним рмоо иомл *
2x4-6 > 0,
1-х>3;
>2,
X X
--->0,75;
4 2
Б)
0,5х>-1,
2х-5 > 4x4-7;
0,7х 4- 2 < 0, Зх 4- 0,8.
4. Скільки натуральних розв’язків має нерівність
(Зх - 2)(3х + 2) - 9х (х - 1) < 6?
А) один; Б) два; В) жодного; Г) безліч.
5. Укажіть множину розв’язків нерівності — >—.
х 2
А) [2; +оо);
В) (-оо; 0) І) [2; +оо);
Б) (-оо; 2];
Г) (0; 2].
6. Знайдіть суму цілих розв’язків нерівності
(2х + З)2 - (х + 2) (х - 5) < 37.
А) знайти неможливо; В) 15;
Б) -20; Г) -15.
7. Чому дорівнює значення виразу ^/б • 712,5 • 70,016?
А) 0,25; Б) 0,5; В) 1;
Г) 2.
8. Спростіть вираз (1-^) +4-72.
А) 9; Б) 9 + 8-72; В)-7; Г) -7 + 8^2.
9. Обчисліть значення виразу • ^7 + 4 -Тз.
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
10. Знайдіть значення виразу
З
З
ЇО + уІЗ -уІЗ+4
А) 4; Б) 3;
В) 2; Г) 1.
11. При якій з наведених умов виконується рівність
(Уа)* = -аЬ?
А) а > 0 і & > 0;
В) а < 0 і Ь > 0;
Б) а > 0 і Ь < 0;
Г) а < 0 і & < 0.
12. Знайдіть значення виразу
У = 64.
Зх6 + х х3 -у3
І І ї
х6+3 хв-у6
при х = 12,
А) 2;
Б) -2;
В) 4;
Г) -4.
13. Укажіть проміжок, якому належить число Т32.
А) (0; 1); Б) (1; 2); В) (2; 3); Г) (3; 4).
14. Обчисліть
А) 3-2-Тб;
значення виразу
Б) 1-2-Тб; В)-1;
Г) 1.
15. Розв’яжіть нерівність —<1.
X
А) [-1; 0) І) (0; 1]; В) (-оо; 0) О (0; 1];
Б) (-оо; 1]; Г) [-1; 1].
16. Укажіть множину розв’язків рівняння (>/-х) = д/(-х)2.
А) 0; Б) {0}; В) (-оо; 0]; Г) {-1, 0}.
17. Знайдіть суму коренів рівняння \Іх+2 • \Іх+3 • у/4-х = 0.
А) 5; Б) 2; В) -1; Г) -3.
18. Розв яжіть рівняння уі2х + 7-у[2-х -2.
41 41
А) 1; Б) -1; В) -—; 1; Г) -1; —.
9 9
19. Установіть відповідність між заданими нерівностями
(1-4) та їх множинами розв’язків (А-Д):
1) ^^<1;
х
2) х > х2.
4) х3 < х2.
А) (0; 1];
Б) [-2; 0) (0; 1];
В) [0; 1];
Г) (-«>; 1];
Д) [-1; 0) (0; 1].
20. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4)
та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А-Д):
А) а16;
Б)
а
В) Л:
а
Г) а;
Функції і послідовності
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 9
1. Знайдіть область визначення функції /(х) = —.
х -4х + 4
А) [-1; +оо); В) (-оо; 2) 0 (2; +ос);
Б) (-1; 2) С (2; +оо); Г) [-1; 2) С (2; +оо).
2. Скільки нулів має функція у - х4 - х2 - 2?
А) жодного; Б) один; В) два; Г) три.
3. Графік непарної функції у = / (х) проходить через точку
А (2; -7). Чому дорівнює / (-2)?
А) -7; Б) 7; В) 2; Г) визначити неможливо.
4. На одному з рисунків зображено графік парної функції.
Укажіть цей рисунок.
5. Яка з наведених функцій спадає на проміжку (-оо; +оо)?
А) у ; Б) у =-х2; В) у--4х; Г) у = ^Рх.
х
6. На якому рисунку зображено графік необоротної функ-
ції?
7. Яка функція є оберненою до функції у = х - 2?
А) у = —х + 2; В) у = х - 2;
Б) у = —х - 2; Г) у = х + 2.
8. Чому дорівнює найбільше значення функції у = х 2 на
проміжку [3; 5]?
А) Б) В) 9; Г) 25.
9 25
9. Графік лінійної функції у = кх + Ь містить точки в пер-
шій, другій і четвертій координатних чвертях. Укажіть
правильне твердження.
А) к > 0, Ь > 0;
Б) к > 0, Ь < 0;
В) к < 0, Ь > 0;
Г) к < 0, Ь < 0.
10. Графіком якої з наведених функцій може бути зображена
на рисунку парабола?
А) у - -х2 + 2х;
Б) у = -х2 - 2х - 2;
В) у - —х2 - 2х + 2;
Г) у - —х2 + 2х + 2.
Рис. до завдання 10
Рис. до завдання 12
11. При якому значенні а найменше значення функції
у = 2х2 - 8х + а
дорівнює З?
А) 3; Б) 11; В) -21; Г) такого значення не існує.
12. На рисунку зображено графік квадратичної функції
у = ах2 + Ьх + с.
Укажіть правильне твердження.
А) а > 0, Ь > 0, с < 0;
Б) а > 0, Ь < 0, с < 0;
В) а < 0, Ь > 0, с > 0;
Г) а < 0, Ь < 0, с > 0.
х + а
13. На рисунку зображено графік функції у =-. Укажіть
Ьх-с
правильне твердження.
А) а >
Б) а <
В) а >
Г) а <
0, Ь <
0, Ь >
0, Ь >
0,Ь<
0,
0,
0,
0,
с > 0;
с > 0;
с < 0;
с < 0.
Рис. до завдання 13
14. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія
5,2; 4,9; 4,6; ... ?
А) 17; Б) 18; В) 19; Г) 20.
15. Місця в цирку розташовані так, що в першому ряду
кожного сектора 8 місць, а в кожному наступному на
2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць
в одному секторі, якщо в ньому 15 рядів?
А) 270 місць; Б) 330 місць; В) 285 місць; Г) 345 місць.
16. Чому дорівнює сума тридцяти п’яти перших членів
арифметичної прогресії, якщо її вісімнадцятий член до-
рівнює 20?
А) 350; Б) 700; В) 1400; Г) визначити неможливо.
17. Другий член геометричної прогресії з додатним знамен-
ником дорівнює 48, а восьмий член дорівнює —. Знайдіть
З
п’ятий член цієї прогресії.
А) 4; Б) 2; В) і; Г) -.
4 2
18. Чому дорівнює сума нескінченної геометричної прогре-
3
сії (Ьп), якщо Ь3 - -12, Ь6 = -?
А) 24; Б) 48; В) -96; Г) -32.
19. Установіть відповідність між заданими функціями (1-4)
та їх областями визначення (А-Д):
1) у-у/х + 1;
2) у = $х+1;
3) і/ = >/х2-1;
4)
У =
1
%/ї^х'
А) (~оо; -1] а [1; +оо);
Б) (-оо; 1);
В) (—оо; +оо);
Г) [-1; +оо);
Д) [1; +а>).
20. Установіть відповідність між заданими функціями (1-4)
та їх областями значень (А-Д):
1) у = х2 + 4;
2) у = 4 - | х |;
3) у = у/х + 4;
4) у-уі^-х2.
А) [0; 2];
Б) [2; +оо);
В) [0; +оо);
Г) (-оо; 4];
Д) [4; +оо).
Тригонометричні функції
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 10
1. Обчисліть значення виразу 2віп| 1 + 4сов—.
І 2} З
А) -4; Б) 2; В) 0; Г) -1.
2. Укажіть правильну нерівність.
А) віп 160° < 0; В) 140° > 0;
Б) сов 250° > 0; Г) сі# 200° > 0.
3. Яка з даних функцій є непарною?
А) у =—-—; В) у = х + сов х;
сов х
Б) у = у/созх; Г) у - х сов х.
4. Чому дорівнює найменше значення виразу 1-2 сов а?
А) -2; Б) -1; В) 0; Г) 3.
і
І — СОЧ Сї
5. Спростіть вираз -----.
зіп а
А) -1; Б) 1; В) і#2 а; Г) сі£2 а.
6. Знайдіть значення виразу сов 37° сов 23° - віп 37° віп 23°.
1 х/ч х/й
А) Б) —; В) —; Г) 1.
2 2 2
। ті |
7. Спростіть вираз сов —+ а + віп(л-а).
А) сов а + віп а; Б) 2 віп а; В) сов а - віп а; Г) 0.
8. Відомо, що сов (а + Р) = 0 і віп а = 1. Знайдіть значення
віп р.
А) 2; Б) 1; В) 0; Г) -1,
9. Спростіть вираз
зіп 2а
соб а
А) 2;
Б) 2 сов а; В) 2 віп а; Г) віп а сов а.
10. Обчисліть значення виразу
соб 20° - соб 80°
зіп 20° +зіп 80°'
В) л/3;
Г) -л/3.
Б) з;
11. Яке з наведених рівнянь не має коренів?
18 1 8
А) віпх = -; Б) совх = —; В) і&х = -; Г) сіех = —.
7 7 7 7
12. Графік якої функції зображено на рисунку?
А) у = віп х;
Б) у = віп (л + х);
т • ґ 71
В) і/ = 8іпІ —-хі;
Г) у = віп (2л - х).
13. Знайдіть корені рівняння 2х = 0.
А) л/?, к є
Б) —, к є
2
14. Розв’яжіть рівняння
А) ±—+ 6л/г, к є
2
Б) ±-+6лй, к є
2
15. Розв’яжіть рівняння
В) -+2лй, к є
2
л Тік
Г) - +—, к є 2.
4 2
5л 2л/г , „
В) ±— +-----, к є 2;
18 З
л 2л/г
Г) ±—+------, к є 2.
18 З
ВІП 2х
віп X
А) —, к є
2
В) — + пк, к єі;
2
Б) тік, к єі;
Г) коренів немає.
16. Укажіть множину розв’язків нерівності віпх>-—.
А) + 2лй<х< —+ 2л&, к є
6 6
Б) + 2пк<х < — + 2пк, кєі;
6 6
В) + 2лй<х< — + 2лй, к є
З З
Г) -- + 2л/г<х< —+ 2л/г, к є 2.
З З
17. Знайдіть соз 2а, якщо 8Іпа = —.
4
А) Б) В) —; Г)
8 4 16 8
18. Розв’яжіть рівняння 1 - СО8 6х = ВІП Зх.
А) (-1)*+—, к є В) (-1)*. — + пк, к є
18 3 18
Б) пк; (-1)*« —+ лЛ, /? є X; Г) —; (-1)*- —+—, к є 2.
6 3 18 З
19. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4)
та виразами, які їм тотожно дорівнюють (А-Д):
1) (віп а + сов а)2;
2) (віп а + сов а) (-сов а + віп а);
3) віп За віп а - сов За сов а;
А) сов 4а;
Б) 2 віп І 2а + —
І З
В) -сов 4а;
Г) -сов 2а;
Д) 1 + віп 2а.
4) віп2а + л/з сов 2а.
20. Установіть відповідність між тригонометричними рів-
няннями (1-4) та їх розв’язками (А-Д):
1) сов х = -1;
2) сі£ х = -1;
3) | віп х | = 1;
4) | іе х [ = 1.
А) пк, к є 2;
Б) я + 2л/?, к є 2;
В) — + пк, к є 2;
2
Г) — + пк, к є2;
4
я лй
Д) —ч-----, к є 2,.
4 2
Показникова та логарифмічна функції
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 11
1. На одному з рисунків зображено графік функції у = 2 х.
Укажіть цей рисунок.
3. На рисунку зображено графік функції у = а • 3х + Ь. Ука-
жіть правильне твердження.
А) а > 0, Ь > 0;
Б) а > 0, Ь < 0;
В) а < 0, Ь > 0;
Г) а < 0, Ь < 0.
. Яка область значень функції у = 5
Г)
А) [1; 5];
Б) [5; 25];
В) -;25 ;
І5
5. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння
0,23*-2 = 0,0016.
А) [-1; 0];
Б) І 0;і
І 2
в>
6. Знайдіть множину розв’язків нерівності
Г) (1; 2].
А) (-оо; -4]; Б) [-4; +оо); В) (-оо; 4]; Г) [4; +оо).
4
7. Розв’яжіть рівняння 2х + 2 - 2х = 96.
А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6.
8. Знайдіть значення виразу 0,041ок°’22.
А) 0,2; Б) ^2; В) 2; Г) 4.
9. Чому дорівнює значення виразу 1о£а ТаЬ, якщо 1о£аЬ = 5?
*
А) 3; Б) 2; В) 5; Г) установити неможливо.
10. Розв’яжіть рівняння 2-25х + 5х -1 = 0.
А) -1; -; Б) і; В) -1о&5 2; Г) коренів немає.
2 б
ех
11. Яка область визначення функції у =-----?
іп х
А) (0; +оо); В) (1; +оо);
Б) (0; 1) Іі (1; +оо); Г) (-оо; +оо).
12. Розв’яжіть рівняння 1о§ж(х + 2) = 2.
А) -1; 2; Б) -2; 1; В) 2; Г) 1.
13. Розв’яжіть рівняння ІО£01 (х + 4) + ІО£01 (х + 6) = ІО£01 35.
А)-11; 1; Б)-1; 11; В) 11; Г) 1.
14. Розв’яжіть нерівність іо&5 (X - 3) < 1.
А) (-оо; 8]; Б) (3; 8]; В) [3; 8]; Г) (-оо; 3).
15. Розв’яжіть нерівність ІО£7 0,4 • ІО£7 X < 0.
А) (1; 7); Б) (-оо; 1); В) (1; +оо); Г) (0; 1).
16. Знайдіть множину розв’язків нерівності
1о£о,з (х2 + 2х - 3) > Іо£()й (х - 1).
А) (-2; 1); В) (-оо; +оо);
Б) (-3; -2) б) (-2; 1); Г) 0.
17. Скільки цілих розв’язків має нерівність
1о&! (х2 + 6х)>-2?
А) 2; Б) 4; В) 6; Г) 11.
18. Знайдіть значення виразу 1о£3 (7а + 18 -7а-9), якщо
1о£3 (\/а + 18 + 7а-9) = 5.
З
А) -2; Б) В) 1; Г) знайти неможливо.
19. Установіть відповідність між заданими функціями (1-4)
та їх областями визначення (А-Д):
2) у = л/4-2ж;
3) у = 1о£0і2 (2 - х);
4) г/ = 71о£о,2 (2-х).
А) (-оо; 2);
Б) (-оо; 2) 11 (2; +оо);
В) (-оо; 2];
Г) (2; +оо);
Д) [і; 2).
20. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4)
та їх значеннями (А-Д):
1) 1о£4 72;
2) ІО£16 ІО£2 7^2;
3) ІО£6 25-21оЄб|;
6
4) 1о£3 4 • 1о£4 5 • 1о£5 7 • 1о&7 81.
А) 4;
Г) 2;
Д)1.
Похідна та інтеграл
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 12
1. Знайдіть похідну функції /(х) = —
X
і о О
А) Г(х) = -—; В) №) =—;
X X
1Я 2
Б) /'(х) = -—; Г) /'(*) =—
X X
2. Укажіть похідну функції / (х) = >/4х+1.
А) Г (х) - -7=1=; В) Г (х) = 1 ;
>/4х+1 2л/4х + 1
Б) /'(х) = -г£=; Г) Г(х) = -7Х=.
>/4х + 1 >/4х + 1
3. Знайдіть абсцису точки графіка функції / (х) = х2 - 5х,
у якій дотична до цього графіка утворює з додатним на-
прямом осі абсцис кут 45°.
А) 1; Б) 2;
В) 3; Г) 4.
4. Розв’яжіть рівняння (х) = (х), якщо
А) 0; -3;
ч х3+2
/ (х) —----
Б) 0; 3;
£(х) =
6х2+2
х
В) 3; Г) коренів немає.
5. Тіло рухається по координатній прямій за законом
8 (ґ) = і2 + Зґ - 2 (переміщення вимірюється в метрах,
час — у секундах). У який момент часу і швидкість руху
тіла становить 10 м/с?
А) і = 4,5 с; Б) і = 3,5 с; В) і = 4 с; Г) і = 3 с.
6. Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до графіка
____________________9
функції / (х) = — у точці його перетину з віссю ординат?
X +1
А) 1; Б) -2; В) -3; Г) 13.
7. Укажіть рисунок, на якому може бути зображено графік
8. Знайдіть проміжки спадання функції / (х) = Зх2 - х3.
А) [0; 2]; В) (-оо; 0] і [2; +оо);
Б) [-2; 0]; Г) (-оо; -2] і [0; -Но).
9. Функція у - / (х) визначена на множині дійсних чисел
і диференційовна в кожній точці області визначення.
На рисунку зображено графік функції у = (х). Визна-
чте точку мінімуму функції у - / (х).
А) 2;
Б)1;
В) 0;
Г) визначити неможливо.
10. Чому дорівнює найбільше значення функції / (х) - х3 - Зх
на проміжку [-2; 0]?
А) -1; Б) -2; В) 0; Г) 2.
11. Для функції / (х) = е2х - соз х знайдіть первісну Р, графік
якої проходить через початок координат.
А) Р (х) = -е2х-зіп х--;
2 2
Б) Р (х) - е2х - зіп х-1;
В) Р(х)--е2х +5ІПХ--;
2 2
е2х+1
Г) Р(х)~--------зіпх-е.
2х + 1
25 Алгебра та початки аналізу. 11 кл.
385
12. Знайдіть площу зафарбованої фігури, зображеної на
рисунку.
А> 5і в>
Б)І; г,Г
л
4
13. Обчисліть інтеграл |зіп Зх соз х (їх.
о
А> ? Б> 4і В) 4і
14. З натуральних чисел від 1 до 18 включно учень на-
вмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число
є дільником числа 18?
А) і; Б) і; В) і; Г) —.
4 3 6 18
15. У лотереї розігрувалось 12 комп’ютерів, 18 фотоапаратів
і 120 калькуляторів. Усього було випущено 15 000 лоте-
рейних білетів. Яка ймовірність, придбавши один білет,
не виграти жодного призу?
1 1 9 99
А) —; Б) —; В) —; Г) —.
10 100 10 100
16. З двоцифрових парних чисел навмання вибирають одне
число. Яка ймовірність того, що це число буде кратним
числу 7?
17 12
А) Б) —; В) —; Г) —.
9 45 14 15
17. У коробці лежать 12 білих і 16 червоних кульок. Яка
ймовірність того, що вибрана навмання кулька виявиться
білою?
А) Б) В) Г) *
4 7 12 7
18. У коробці лежать олівці, з них 24 олівці — сині, 8 олів-
ців — зелені, а решта — жовті. Скільки олівців лежить
у коробці, якщо ймовірність того, що вибраний навман-
ня олівець буде жовтим, становить — ?
З
А) 48 олівців; Б) 54 олівці; В) 45 олівців; Г) 42 олівці.
19. Установіть відповідність між заданими функціями (1-4)
та значеннями їх похідних (А-Д) у точці х0:
1) / (я) = 3 зіп х - 2 соз х, хп =—; А) 2;
2 „ 1
2) Г(х) = -^-, х0 = -1; Б)--;
1-х 1
3) /(х) = -х3-е4х-4, х0= 1; в’і;
3 Г) -2;
4) / (х) = СІ£2 X, х0 =-. Д) -4.
4
20. Установіть відповідність між заданими інтегралами
(1-4) та їх значеннями (А-Д):
1) |гіх;
о
1
16
2
3) |(х3-1)гіх;
о
А) 2;
б4;
В) 4;
Г)1;
Д) -4.
4)
І7'
. 2 х
* 81П —
4
ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ
1.3. 1) 2; 2) 1; 3) О. 1.4. 1) 2) 3) 0. 1.5. 1) і; 2) -3;
3 3 2
л і і ч
3) -. 1.6. 1) -2; 2) 0; 3) 1.7. 1) --; 2) І; 3) 0,1.
9 3 4 5
1.8. 1) 1; 2) 3. 1.10. Так. 1.11. Рівність Ііт [— + — +... + —] =
п п)
п доданків
, 1 1 1 1- 1
= Ит — + Ііт — + ...+ Ііт — помилкова, оскільки теорему про
п доданків
границю суми можна використовувати для скінченної
(фіксованої) кількості послідовностей. 1.14. 1) 0; 2) -і;
2
З
3) 1. 1.15. 1) 0; 2) —. 1.16. Ні. Наприклад, у будь-якому
2
проміжку (0 — є; 0 + є) міститься безліч членів послідовності
О, 1, О, 1, 0, 1, ... . 1.17. 1) Так; 2) так. 1.18. Так. 1.19. По-
слідовність залишиться збіжною; границя не зміниться.
1.20. Ні. Вказівка. Розгляньте, наприклад, послідовність,
задану формулою ап = яп. 1.21. Ні. 1.22. 1) Вказівка. Ско-
ристайтеся теоремою про границю добутку. 1.23. 1) 4; 2) 2.
1.24. 1) 6; 2)
2.10. 1) у = 4х + 19; 2) у = -Зх - 2; 3) у = 7. 2.11. 1) 45°;
2) 135°; 3)0°. 2.12. 1) </ = х7з+6-2^3; 2) у = -х >/з+6 + 2л/з.
4.2. 1) 10; 2) 2; 3) -22; 4) 1,5; 5) 1; 6) 28. 4.3. 1) 4;
2) 0,75; 3) 16; 4) 5. 4.4. 1) 0,5; 2) 1; 3) 6. Вказівка. Роз-
5
крийте дужки у виразі (1 + х)4; 4) -. 4.5. 1) -1; 2) 0,5.
З
4.6. 1) -і; 2) -. 4.7. 2. 4.8. 0. 4.9. —. 4.10. —.
6 9 п п
5.7. 1) Так; 2) ні. 5.8. 1) Ні; 2) так. 5.9. 1) -1;
2) і; 3)-3. 5.10. 1) -; 2)-2; 3) -. Вказівка. =
4 3 3 х/х-1
ка.
=—.. —г. 5.11. 1) 2; 2) -; 3)----; 4) 3. Вказів-
х-1)(^х +у/х + 1) 2 16
л/б-х-1 _ (л/б-х-1)(л/б-х+1)(з + \/4 + х). _
З-л/4 + х (з~-74 + х) (з + -74 + х)(^— х + 1)
зівка.
5. 12. 1) 4;
2) -—; 3) 0; 4) -; 5) 0; 6) —. 5.15. 1) [1; 3]; 2) [-4; -2];
56 2 144
3) [0; я]. 5.16. 1) [-5; -3]; 2) [2; 4]; 3) [0; я].
5.17. 0; — .
І 6^
5.18. 0; — . Вказівка. Скористайтеся нерівністю
X2
4х4 +3х2 +1
х2
1 +3х
Я
5.19. 1) 2; 2) -; 3) 0; 4)
.2 2
9 99
2 8
6) 84.
6.7. 8 м/с. 6.8. 1) 20 м/с; 2) 10 м/с. 6.9.
6.10. 1) 7; 2) 12.
1) 2,6; 2) 2.
7.6. 1) —; 2) -. 7.7. 1) 2) —. 7.8. 1) 13,5; 2) —;
2 2 2 2 4
3) |; 4) 7.9. 1) 5; 2) А. 7.10. 1) ґ(х) = -^-, 2) Г (х) =
8 3 16 х
= -2х. 7.11. 1) = 2) /'(х) = 2х + 3. 7.12. 1) 3; 2) і;
х 4
3) --; 4) 1. 7.13. 1) -32; 2) —; 3) -—; 4) 1. 7.22. 1) -1;
4 27 27
1; 2) 4; 3) 2; 4) | + я/г, к є 2. 7.23. 1) -2; 2) -27; 27; 3) -3; 3;
7Г . і 1 ]
4) — + 2лй, к є X. 7.24. 1. Величина 8 — =1 задає мит-
2 І2/
1
тєву швидкість матеріальної точки в момент часу і0=— •
2
7.25. 12.
8.15. — м/с. 8.16. 105 м/с. 8.19. 2) (-оо; -1) Сі (0; +оо);
9
4) (1; 5); 6) усі числа, крім чисел виду —+ лй, к є 2.
п 9 9 4 4 20
8.20.6)+ 2л/г, йє2.8.21.1) у' = — —2) у'=—
2 хх ххх
і 1
3) у' = —і=; 4) у' = соз х соз 2х - 2 зіп х зіп 2х; 5) у'=
х/2х4-1
віп (2х + 5) , 3(1-х)віп3х-сов3х
= н------ + 2 х соз (2х + 5); 6) у' = -і---х--;
сов2 X (х-1)2
7) У' = ——т; 8) У' = (х + І)2 (х " 2)3 (7х - 2); 9) у' =
х/х (х/Х 4-1)
3) у'= + 4) у' = 2 соз 2х соз х - зіп 2х зіп х; 5) у' =
2 у/х + 3
х і х
2 8ІП-------(2х - 3) СО8 —
= (х - З)3 (х + 2)4 (9х - 7); 6) у'=-----------
. 2 X
віп —
4
4
8. 23. 1) (-оо; -2) 0 (-2; +оо); 2) [-2; 1) Іі (1; 4]; 3) --;2 ;
З
4) [-1; 0) (0; 1]; 5) + пк <х <- + пк, к є 2; 6) —+ лй<
8 8 12
<х< —+ лй, к є 2. 8.24. 1) (-оо; 1)0(1; +оо); 2) (-3; -2) СІ
12
СІ (-2; -1); 3) (-оо;-х/2) СІ (х/2;-юо); 4) (-оо;-2)с|-
З
;+оо ;
л 7і -ті л» л 7 л тік
5) — + пк<х<п + пк, к є 2; 6)----ч--<х< — ч------, к є 2.
2 24 2 24 2
8.25. 16 кг-м/с. 8.26. 400 Дж. 8.27. 7 м. 8.28. 1) у' =
(х л^
сов----------------------------------------
=-6 соз2 2х зіп 2х; 2) у'=--- 4/_. 3) у' =
І (X л'і
10 .віп----
\ <5 47
= 2 сов — ґзіп — — 5^1 . 8.29. 1) і; 2) —; 3) 0. 8.30. 1) 2; 0;
ЗІ 3 ) 24
2) -6; 0. 8.31. 1) 2; -2; 2) -10; 2. 8.32. 1) 3; 2) коренів не-
2
має. 8.33. 1) 2; 2) —. 8.37. 1) Не диференційовна; 2) може
З
бути як диференційовною, так і не диференційовною. Вказів-
ка. Розгляньте, наприклад, функції / (х) = | х |, § (х) - -| х |.
8.38. 1) М >же бути як диференційовною, так і не диферен-
ційовною. Вказівка. Розгляньте, наприклад, функції / (х) =
= 0, £ (х) - | х |. 8.40. 1) у = 4х - 8; 2) у = -4; 3) у = -х - 3.
8.42. у = 9х + 18. 8.43. у = 4х + 9.
9.1.1) у = х - 1; 2) у - 12х - 43; 3) у = -4х + 4; 4) у = -хч-3;
З
1 7
5) у - х; 6) у = -1; 7) у = 2х - я + 1; 8) у = х + 4; 9) і/ = -х +—.
З З
9.2. 1) у = Зх - 4; 2) у = -2х + 2; 3) і/ = -хч-|; 4) у = 1;
5) у - -2х - я - 1; 6) у = -2,5х - 1,5; 7) у = 5х - 18.
9.3. 1) у = -Зх - 3; 2) у = ^хч-|. 9.4. 1) у = -5х + 2;
2) у = 9.5. 1) у - 6х' - 3; 2) у = 2х - 2, у = 2х + 2.
9.6. 1) у = -х-—; 2) у = -Зх + 9, у = Зх. 9.7. (2; 7).
2 2
9.8. (1; 1), (-1; -1). 9.9. Дотичні перетинаються. 9.10.1) (4; -9);
2)
"Уз
< б
4 з) р-Д
4у 112 2)
4) (5; 4), (-1; -2). 9.11. 1) (0; 0);
2) (0; -1)
4 23
З’ 27
9.14. 1) у = -1, у - 3; 2) у = 1, у - -7.
9.15. у - -5, у =—. 9.16. 1) у = -х - 4; 2) у = Зх - 3;
З
3) у = 2х - 8, у = 2х + 19. 9.17. 1) у = -7х - 9; 2) у = х +—.
4
9.18. Ні. 9.19. Так, х0 = 0. 9.20. Так, х0 = 1. 9.21. 8. 9.22. 2.
9.23. у = —х2. 9.24. (1,5; -2). Вказівка. Скористайтеся тим,
що прямі у - кхх + Ьі і у = к2х + Ь2 перпендикулярні тоді
і тільки тоді, коли виконується рівність кгк2 - -1. 9.25. Ні.
9.26. Ь = с = 2. 9.27. а = З, Ь = 1. 9.28. у = 2>/2х+1,
У = -2уі2х+1. 9.29. у = 2х - 5, у - 6х - 13. 9.30. ;2 1.
х 2 /
ґ 7^
9.31. (1; 4). 9.32. 0;- . Вказівка. Скористайтеся тим, що
к 2)
у перпендикулярних прямих добуток кутових коефіцієнтів
дорівнює -1. 9.33. (0; -3). 9.34. 2. 9.35. 0. 9.36. у = 8х - 20.
Вказівка. Запишіть рівняння дотичних до графіків функ-
цій / і § у точках А (Хї5 / (х^) і В (х2; § (х2)) відповідно,
а потім установіть, за яких умов ці дотичні збігаються.
9.37. у = 8х + 4. 9.38. 4) (-9; -1) Сі (1; 3); 5) [1; 3) Сі (3; 4];
6) (-1; 1) II (1; 3) О (3; +оо).
10.3. 1) Д; 2) д/2 ; 3) 2-—агссоз—. 10.4. 1) 2; 2) 1+—;
V 3 я я 2
оч 4 • 2л/2
3) —агсзіп----.
я я
11.1. 1) Зростає .на [-2; +оо), спадає на (-оо; -2]; 2) зрос-
тає на (-оо; 0] і [1; 4-со), спадає на [0; 1]; 3) зростає на [-1; 7],
спадає на (-оо; -1] і [7; +оо); 4) зростає на [-1; 0] і [1; +оо),
спадає на (-оо; -1] і [0; 1]; 5) зростає на К; 6) зростає на
[2; +оо), спадає на (-оо; 2]. 11.2. 1) Зростає на (-оо; 3], спадає
на [3; +оо); 2) зростає на (-оо; -3] і [1; +оо), спадає на
[-3; 1]; 3) зростає на [-2; 0] і [2; +оо), спадає на (-оо; -2]
і [0; 2]; 4) зростає на [-1; +оо), спадає на (-оо; -1].
11.3. 1) Зростає на [0; 1] і [2; +оо), спадає на (-оо; 0] і [1; 2];
2) зростає на [1; +оо), спадає на (-оо; 1]; 3) зростає на (-оо; -3],
[-1; 1] і [3; +оо), спадає на [-3; -1] і [1; 3]; 4) зростає на
[1; +оо), спадає на (-оо; 0) і (0; 1]; 5) зростає на (-оо; -3]
і [3; +оо), спадає на [-3; 0) і (0; 3]; 6) зростає на (-оо; -3]
і [-1; +оо), спадає на [-3; -2) і (-2; -1]; 7) зростає на
[1; 3) і (3; 5], спадає на (-оо; 1] і [5; +оо); 8) спадає на (-со; -3),
(-3; 3) і (3; +оо). 11.4. 1) Зростає на [0; 2] і [3; +оо), спадає
на (-оо; 0] і [2; 3]; 2) зростає на (-со; 3], спадає на [3; +оо);
3) спадає на (-оо; 5) і (5; +оо); 4) зростає на (-оо; -2] і [10; +оо),
спадає на [-2; 4) і (4; 10]; 5) зростає на (-оо; 0) і [2; +оо),
спадає на (0; 2]; 6) зростає на (-оо; -2) і (-2; 0], спадає на
[0; 2) і (2; +оо). 11.5. (-оо; х2] і [х2; х3]. 11.7. (-оо; -3] і [3; +оо).
11.12.1) Зростає на К; 2) зростає на К; 3) зростає на проміж-
ках виду
---1- 2лй; — + 2лй
З З
спадає на проміжках виду
— + 2пк; — + 2пк
З З
, к є 2. 11.13. 1) Спадає на К; 2) зростає
на проміжках виду
— + 2пк; — + 2пк
4 4
спадає на проміжках
виду -—+ 2лй; —+ 2лй , й є2. 11.14. 1) Зростає на [0; +оо),
Ь 4 4
спадає на (-оо; -4]; 2) зростає на [0; 3], спадає на [3; 6].
11.15. Зростає на [1; +со), спадає на (-оо; -1]. 11.16. 1) (-со; -3) І)
[2; -Но); 2) (-оо; -4) [2; 5). 11.17. 1) (0; 7) (7; +оо);
2) [-3; 0]. 11.18. Зростає на проміжках виду — + лк; — + лк
|_4 2 )
л
л
л Зл _ . л , л ,
— + пк;— + пк , спадає на проміжках виду — + пк; — + пк ,
2 4 Ь 4 4
4
4
к є 2. 11.19. Зростає на проміжках виду — + лк; — + лк ,
.6 6
спадає на проміжках виду
+ пк; пк
6
і
к є 2. 11.20. 1) (-оо; 0]; 2) [12; +оо); 3) [0; +оо); 4)
л
— + лк ,
6
_5 1'
2*21
11.21. 1) (-оо; 0]; 2) (-оо; -6]; 3) (-оо; 0]; 4) [-4; 4]. 11.22. [12; 14].
11.23. (-оо; -3]. 11.24.
14
—;-3 . 11.27. -1. 11.28. 0. 11.29. 0.
З
11.30. (1; +оо). Вказівка. Доведіть, що функція / (х) = х7 -
- 2х4 + Зх - 2 зростає на Ж, причому / (1) = 0. 11.31. (-оо; 1).
11.32. (1; 1). Вказівка. Розгляньте функцію / (і) = і - зіп і.
Покажіть, що ця функція зростає на К. Тоді з рівності
/ (х) = / (у) випливає, що х = у. 11.33. (4; 4).
12.6. 1) хтіп = 0; 2) хгаіп = 3; 3) х^ = -2, хтах = 2; 4) х^ = -2,
*тіп = 2, Хтах = 0; 5) хтіп = 5, хтах = -1; 6) хтіп = 0, хтах = -1,
= 1 12.7.
тах • •
1) Хтіп
3) л^тах - 2; 4)
ШІП
1» Хтах 1» 2) Хт1п 2, Хтах 2,
З
1» Хтех = -7; 5) х^ = -; 6) хтіп = 0,
£
тах
шах
= 1.
12.9. Жодної. 12.10. 1) Зростає на
1
4
[6; +со), спадає на (-оо; 6], х,^ = 6; 2) зростає на
8
—оо; —
5.
$
і [2; +со), спадає на —;2
.5
$
^тіп = 2, Хтах =-; 3) зростає на
5
[0; +оо), спадає на (-оо; 0], хтіп = 0. 12.11. 1) Зростає на
[0; +со), спадає на (-оо; 0], хтіт1 = 0; 2) зростає на (-оо; -4]
і [0; +со), спадає на [-4; 0], х^ = 0, хтах = -4. 12.14. 1) Зростає
на (-оо; 0) і [2; +со), спадає на (0; 2], хтіп = 2; 2) зростає на
(—со; 1] і [3; +оо), спадає на [1; 2) і (2; 3], хтіп = 3, хтах = 1;
3) зростає на (-со; 0], спадає на [0; +со), хтах = 0; 4) зростає
на [-л/б;0) і [л/б;+ со,) спадає на (—со; —л/б] і (0;л/б],
хтіп х^ =л/б; 5) зростає на (0; 2], спадає на (-оо; 0)
і [2; +со), хтах = 2; 6) зростає на (3; +со), спадає на (-со; 3),
точок екстремуму немає; 7) зростає на (-со; -4) і (-4; 0],
спадає на [0; 4) і (4; +оо), хтах = 0; 8) зростає на [0; 1], спадає
на [1; +со), хтах - 1. 12.15. 1) Зростає на (-оо; -6] і [2; +оо),
спадає на [-6; -2) і (-2; 2], хтах = -6, хтіп = 2; 2) зростає на
(-со; -3] і [3; +оо), спадає на [-3; 0) і (0; 3], хтах = -3, х^ = 3;
3) зростає на [0; +со), спадає на (-оо; 0], хтіп = 0; 4) зростає
на (-оо; -1), спадає на (-1; +оо), точок екстремуму немає;
5) зростає на [0; 4) і (4; +оо), спадає на (-оо; -4) і (-4; 0],
хтіп = 0; 6) зростає на
1 і
—;+оо , спадає на
16 )
х .
тіп
1
16 ’
12.18. 1) Спадає на проміжках виду
~- + 2пк;- + 2пк
З З
зростає на проміжках виду
— + 2пк;— + 2пк
З З
*тах =~ + 2пк,
О
я
хтіп = — + 2лЛ, А є 2; 2) зростає на проміжках виду
я , я
— + л«; — + л«
. З 6
, спадає на проміжках виду
я , 2я
— + л«; — + л«
6 З
71 71
хтяу = — + яй, х . =— + тік, й є 2. 12.19. 1) Зростає на
шах л шиї л '
проміжках виду
7я „ , я „ ,
---+ 2лЛ;- + 2яЛ
6 6
спадає на проміжках
виду
її „ . оя _ ,
—+2лЛ;— + 2лЛ
6 6
Хтах =- + 2лЛ, х . = —+ 2лЛ, к є 2;
о о
2) зростає на проміжках виду + пк;~ + пк , спадає на
18 8
я я
• - — + л«, х . = — + л«,
НЮХ ТІ1ІП
71 і. 7 71 і.
проміжках виду — + л«; — + пк , х,
.8 8 _|
4
к є 2. 12.20. -3; 3. 12.21. -1; 1. 12.22. 1) Зростає на 0;-
4
спадає на (-оо; 0] і — ;1
.5
п 1 1 І
0; — , спадає на -; +оо , х
З 3 )
Ьз
•^"тах
'тах
4
= -, хтіп = 0; 2) зростає на
5
-; 3) зростає на [0; 1], спадає
З
на [1; +оо), х1і;ах - 1; 4) зростає на (-оо; 2,5], спадає на [2,5; 3),
^тах
$
= 2,5. 12.23. 1) Зростає на -2;— і [0; +оо), спадає на
53
-5; о
5
2
хтіп - 0; 2) зростає на 0; -
_ б.
і [2; +оо),
1
8
*^і:іах — _
О
2
7
З
спадає на
•^тах
2; 3) зростає на
спадає на 1; -
\ З
7
хтіп =-. 12.24. Ні. 12.25. 1) Так; 2) ні; 3) ні.
12.26.1) Ні; 2) так (якщо В (/) = К, то х,.,,,, = х0). 12.27. Може.
Вказівка. Див. рисунок. 12.28. Ні. Вказівка. Див. рисунок.
Рис. до задачі 12.27 Рис. до задачі 12.28 Рис. до задачі 12.29
7Г
12.29. Так. Вказівка. Див. рисунок. 12.30. 1) хтіп - — + тій,
8
^тах=-^ + Л,г; к Є
О
2) хтіП =-^ + 2л/г, хтах = я + 2л/?,
Сі
/г є 2; 3) хгаіп = ^ + пк, хтах=^- + пк, к є 2; 4) х^ = як,
А Сі
х = ±— + 2л/?, к є 2. 12.31. 1) х . = — + як, хтях = — + лк,
тах о 7 ' тіп о ’ тах ’
О О О
к є 2; 2) хтіп - я + 2пк, хтох = -— + 2пк, к є 2; 3) точок
' ' тах '
екстремуму немає. 12.32. (-1; 1) 0 (1; +оо). 12.33. (0; 1) її
Сі (1; +оо). 12.34. 1. 12.35. 1. 12.36. 1. 12.37. 2. 12.38. 1) -25;
2) -13; 3) -22. 12.39. 1) 26; 2) 17; 3) -10.
13.1. 1) 4; 0; 2) 13; 4; 3) ЗО; 4; 4) -3; -ЗО; 5) 60; -75;
6) -4; -8. 13.2. 1) 0; -—; 2) 1; -2; 3) 48; -6; 4) 0; -28.
З
13.3. 1) 10; 6; 2) 5; 713; 3) 100; 0; 4) -2; -2,5. 13.4. 1) 5; 3;
2) 2; -2; 3) 81; 0; 4) 10; 6. 13.5. 1) ТІ; -1; 2) —; ;
2 2
3) 2+п-Л. 2-лл/з. 13 6 Х) 2; _1; 2) 2; _2 13 7 8 = 6 + 2
2 2
13.8. 12 = 8 + 4. 13.9. 1) -; 1; 2) -3; -4; 3) -2.
2 2
13.10. 1) 0; 2) 4; -2. 13.11. 180 = 40 + 80 + 60.
2
13.12. 18 = 8 + 3 + 7. 13.13. ЗО см2. 13.14. 8 см і 2^3 см.
13.15. 20у/2 см і 10х/2 см. 13.16. — см, см.
5 5
13.17. 32. 13.18. 12>/б. 13.19. 16 см. 13.21. 2а. 13.22. -.
З
13.23. -. 13.24. 1,5Я. 13.25. |—13.26.
З \ 9 Зу ІЗ 9^
13.27. Шукана точка знаходиться на відстані 25 км від
з
пункту С. 13.28. 60°. 13.30. —; -38. Вказівка. Дослідіть
функцію на відрізках [0; 1] і [1; 2]. 13.31. 105;---------.
27
13.32. 4. 13.33. -3.
14.1. 6) 80 (2х - І)3; 7) -9 віп Зх; 8) -2 сов 2х;
10) 2 сов х - х віп х. 14.2. 5) 54 (1 - Зх); 6) -4 сов 2х;
7) 2 сов 2х; 8) -2 віп х - х сов х. 14.3. 1) -26,5; 2) 53.
14.4. 14 м/с2. 14.5. 10 м/с2, 5 м/с2. 14.6. 90 Н. 14.7.1) Опук-
ла вгору на (-оо; 0], опукла вниз на [0; +оо), х = 0 — точка
перегину; 2) опукла вгору на [1; 3], опукла вниз на (-оо; 1]
і [3; +оо), х - 1 і х = 3 — точки перегину. 14.8. 1) Опукла
вгору на
2
—оо; —
3.
опукла вниз на
2
—; + оо
З
2
х = - — точка
З
перегину; 2) опукла вгору на [1; 2], опукла вниз на (-оо; 1]
і [2; +со), х = 1 і х = 2 — точки перегину. 14.9. 0. 14.10. 0.
14.13. 1) Опукла вгору на кожному з проміжків (-оо;--7з]
і [о;-7з], опукла вниз на кожному з проміжків [—73;0] і
[73;+оо), х = —7з, х = 0, х = -Тз — точки перегину; 2) опук-
ла вгору на (-оо; -2], опукла вниз на [-2; 1) і (1; +оо),
\/з \/з
х - -2 — точка перегину. 14.14.1) Опукла вгору на-; — ,
З З
опукла вниз на
—оо:
>/з .
х =------і
З
точки перегину; 2) опукла вгору на (-оо; -1) і (-1; 2], опук-
ла вниз на [2; +со), х = 2 — точка перегину. 14.15. Опукла
вгору на кожному з проміжків виду
опукла вниз на кожному з проміжків виду
я „ 5я „
—+ 2лп;— + 2пп
6 6
7л „ я „
----+ 2лп; —+ 2лп
6 6
71
точками перегину є точки виду (-1)" — + лп, п є 2.
14.16. Опукла вгору на кожному з проміжків виду
—+2лп;—+2лп
з З
опукла вниз на кожному з проміжків
2я „ 2я „
виду-----+ 2лп; —+2 лп
З З
точками перегину є точки виду
±— + 2лп, п є 2.
З
15.1. Вказівка. Див. рисунок. 15.2. Вказівка. Див. рису-
нок. 15.3. Вказівка. Див. рисунок. 15.4. Вказівка. Див.
рисунок. 15.5. Якщо а < -1 або а > 0, то 1 корінь; якщо а
= -1 або а - 0, то 2 корені; якщо -1 < а < 0, то 3 корені.
15.6. Якщо а > 4, то коренів немає; якщо а = 4 або а < 0,
то 2 корені; якщо а = 0, то 3 корені; якщо 0 < а < 4, то
4 корені. 15.7. Вказівка. Див. рисунок. 15.8. Вказівка. Див.
рисунок. 15.10. 2) -і; 3) -; 4) 4; 5) 21; 6)
6 7 256
1) 2) 3)
Рис. до задачі 15.1
5)
Рис. до задачі 15.2
26 Алгебра та початки аналізу, 11 кл.
401
3)
Рис. до задачі 15.8
16.15. 1) -ба'5-13; 2) —3) . 4) 2а^-а2^.
а'11 а^+Ь'12
1
16.16. 1) сґ^ + І; 2) 4"аЬ. 16.17. 1) Так; 2) так; 3) ні; 4) ні.
16.18. 3) (-4; +оо); 4) [1; +оо). 16.19. 36. 16.20. [-2; 4].
16.22. 1) (-оо; +оо); 2) [0; +оо). 16.23. (-оо; 0) СІ (0; +оо).
16.28. (7 + 4 л/з) >(7-4л/з) . Вказівка. Числа 7 + 4 л/З
і 7-4 л/3 є взаємно оберненими. 16.29. 1) Коренів немає;
2) 3 корені; 3) безліч коренів; 4) 2 корені. 16.30. 1) 1 корінь;
2) безліч коренів; 3) 2 корені. 16.33. Вказівка. Знайдіть
область визначення даної функції. 16.34. 1) 4; —; 2) 1; -1.
4
16.35. 1) 6; і; 2) 6; 5^. 16.36. 1) хєК|х^- + л/г,
6 5 ( 2 )
2) [-1; 1]; 3) [-1; 1]. 16.37. 1) (-оо; +оо); 2) [-1; 1];
3) {х є К | х ф тік, к є 2}. 16.38. 2) Див. рисунок.
Рис. до задачі 16.38 (2)
16.42. 1) 0. Вказівка. 2СО8Х < 2, х2 + 2 > 2; 2) 0. 16.43. 1) 0;
2) 0. 16.44. 1) К; 2) {0}; 3) [0; +оо). 16.45. (-оо; 0) II (0; +оо);
2) {0}. 16.46. Непарна. 16.47. Непарна. 16.48. Парна.
16.49. Непарна. 16.50. [ —оо; — І О (1; +°о). Вказівка. З’ясуйте,
ґ-1
при яких значеннях параметра а рівняння -----------= а має
і-4
хоча б один додатний корінь. 16.51. (-со; 0) 0 (1; +со).
16.54. 3) 33 • 2х ’ 4; 4) 13-3х г; 5)5-2х + 1; 6) -29- 6х1;
7) 12-9х; 8) 576-5х2.
17.3. 1) 1; 2) 3; 3) 3; 4) 1; 5) 3; 6) 2. 17.4. 1) 2; 2) 4; 3) 1;
4) 3. 17.5. 1) 1; 2; 2) 2; 3) 1; 4) 2. 17.6. 1) 1; 2) -1; 2.
17.7. 1) 2) 1; 3) ±— + 2л/г, к є 4) 2; 5) -2; 6) —.
3 3 3 10
17.8. 1) 2) (-1)*+1 -- + тг/г, йє2;3) --; 4) 6,5.17.9. 1) 5;
2 4 6 2
4 1
2) 2; 3) 1; 4) 3; 5) 6) 3; 7) 2; 8) 0; -. 17.10. 1) 1; 2) 2;
З 2
Ч 1 11
3) 2; 4) 5) 4; 6) 0; |. 17.11. 1) -1; 1; 2) 3) 2;
4) 1; 5) -1; 2; 6) 1. 17.12. 1) -1; 1; 2) 1; 2; 3) 1; 4) -1; 5) 0;
6) 2. 17.13. 1) 2; 2)-1; 1; 3) 2. 17.14. 1) 2; 2) 3; 3) 4.
17.15. 1) 2) 3; -3; 3) 3; 4) 6; 5) - + як, к є 6) - ,
2 2 4 2
к є 7) + — + пк, к є 2. 17.16. 1) 1; 2) 3; 3) як, к е І.
З
17.17. 1) 0; 1; 2) 0; -1; 3) -1; 4) 0. 17.18. 1) 0; 1; 2) 0; 2.
17.19. 2. 17.20. 0. 17.21. -2; 2. Вказівка. Числа 2 + \/з і
2-у/з є взаємно оберненими. 17.22. -2; 2. 17.23. 1) -1; 0;
/ \2
1. Вказівка. Нехай 2х + — -і. Тоді 4х + — = 2Х + — -
2х 4х І 2х)
-2 • 2х- — = і2 -2; 2) -1; 0; 1. 17.24. (-оо; 2] 0 {5}. 17.25. [-2; 3].
2х
17.26. (1; 3) О (3; 4-ю). 17.27. 1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 3.
17.28. 1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3. 17.29. (-ос; 0] О {1}. 17.30. (-оо;0) О
Сі {1; 7з}. 17.31. 1; 3. 17.32. 1; 2.
18.4. 1) 5; 2) 3; 3) 4. 18.5. 1) -5; 2) 7. 18.6. 1) [0; +оо);
2) (1; 4-ю). 18.7. 1) (-оо; -2]; 2) (-оо; 4]. 18.8. 1) (-оо; 1) II
СІ (5; 4-оо); 2)
-3;-
з^
3) (-5; -3) сі (3; +«:); 4) (-оо; 0); 5) (0; 4];
6) [-1; 2]. 18.9. 1) (-оо;
-1) СІ (2; +со); 2) (—ос; —2] 1) — ;+со |;
І_5 )
3) (-оо; -2) О (1; 2); 4) (-1; +оо). 18.10. 1) (-1; +оо); 2) (-оо; 2);
3) (5; +оо); 4) (-оо; -1]; 5) (-оо; 0]; 6) (-оо; 1). 18.11. 1) (-оо; 2);
2) [0; +оо); 3) (3; +оо); 4) (1; +оо). 18.12. 1) (2; +оо); 2) (-оо; 1);
3) [0; 1]; 4) (-оо; -3] II [-2; +оо); 5) (-оо; 1]; 6) [1; +оо).
18.13. 1) (-оо; 0]; 2) [6; +оо); 3) (-оо; -1) II (0; +оо); 4) [0; 2].
( 2^1
18.14.1) (-оо; 2) II (2; 3]; 2) (-оо; 0) О (1; +оо). 18.15.1) -оо; — Ш
\ 3)
А 2 1 11 \ (Я
II —;2 ; 2) [-2; 5). 18.16. 1) 1-;+оо ; 2) -;+оо
І з ІЗ ) ІЗ
18.17. 1) (0; 1); 2)
7
—оо; —
4_
3) (-оо; -2] II [0; +оо); 4) {0}.
18.18. 1) (2; +оо); 2) (-3; 1);
18.19. 1)(1;+оо); 2) | -оо;і .
І 2.
18.20. [0; 1]. 18.21. [0; 4]. 18.22. 1) (0; 1); 2) (-оо; -1] II (0; +оо).
18.23. 1) [ 0; — ]; 2) (-оо; 0) II (0; 1]. 18.24. 1) (-1; 0) II (1; +оо);
\ 2 у
2) (0; 2). 18.25. (-оо; -3) І) (0; 3). 18.26. [0; 2]. 18.27. [0; 1].
18.28. 1) (1; +оо); 2) (2; +оо). 18.29. (-оо; 3). 18.30. [3; +оо) II
II {-2}. 18.31. (-оо; -2] II {4}. 18.32. Якщо а > 1, то х = 1;
якщо а < 1, то х є [а; 1]. 18.33. Якщо а < 1, то х є (-ос; а] Сі
Сі {1}; якщо а > 1, х є (-со; 1].
19.21. 4) 144; 5) 64; 6) 1; 7) 0; 8) 48. 19.22. 4) 9; 5) 10;
7) 2. 19.23. 1) -3; 2) -1; 3) -; 4) -і; 5) -; 6) -; 7) --;
2 2 2 2 4
8) --. 19.24. 1) 1; 2) -1; 3) 0; 4) -1. 19.25. 1) 4; 2) 60; 3) 180;
2
4) 20; 5) 0,1. 19.26. 1) 72; 2) 3) 10. 19.27. 1) -; 2) -3.
4 2
19.28. 1) -5; 2) -2. 19.29. 1) 2; 2) 4. 19.30. 1) 6; 2) 9. 19.31. ЗО.
19.32. 21. 19.33. 1о£„ Ь. 19.34. 1о&> а. 19.37. 1) -1 < х < 1;
2) х * 1; 3) х < 2; 4) х 2. 19.38. 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0. 19.39. І£ 2.
Вказівка. У кожному з логарифмів перейдіть до основи 10.
19.40. -. 19.46. х--£?.-х. Вказівка. Іое аЬ = \ое а +
2 1о£ах+1о£ьх
+ 1о£х Ь = — -ь—-—. 19.47. Вказівка. У виразі 1о£аЬ х пере-
ІО£Я X 1о£ь X
йдіть до логарифма з основою а. 19.48 -3. Вказівка. Ско-
„ . .. . __ . .л + Ь +1
ристаитеся тим, що 1о£аі) Ь + 1о£а6 а = 1. 19.49. ---.
26 + 1
19.50. 1) 2(—-; 2) —. 19.51.
3(2-а) 1-а Ь + 1
20 .19.1) 2 < 1о£3 10 < 3; 2) 2 < 1о£2 5 < 3; 3) -2 < Іо^ 7 < -1;
З
4) -1 < 1о£од 2 < 0. 20.20.1) 4 < 1о£2 29 < 5; 2) -4 < 1о£х 9 < -3.
20.21. 1) 1о£4 5 > 1о&5 4; 2) 1оЄ1,5 1,3 < 1оЄ1.3 1,5; 3) 1оЄо,7 0,8 <
< 1о£0>8 0,7; 4) 1оЄо>2 0,1 > 1о£од 0,2. 20.23. 1) (0; 1) II (1; +оо);
2) (-оо; 9) СІ (9; 10); 3) -- + 2л/? <х <- + 2л/г, й є 2; 4) тік<
2 2
<х< — + пк, к є 2. 20.24. 1) (-3; -2) Сі (-2; +со); 2) 2пк < х <
2
< я + 2пк, к є 1 20.27. 1) 2; 2) 1; 3) -. 20.28. 1) і; 2) 3.
2 2
20 .29. 1) 1 корінь; 2) 1 корінь; 3) 1 корінь. 20.30.1) 1 корінь;
2) 1 корінь. 20.31.1о&2 3 + 1о£3 2 > 2. Вказівка. Числа 1о&23
і 1о£3 2 є додатними та взаємно оберненими. 20.33.1) (-со; 0) її
Сі (0; +оо); 2) усі дійсні числа, крім чисел виду —+ 2лй, к є 2;
2
3) {0}; 4) усі числа виду 2пк, й є 2; 5) (3; 4) Сі (4; 6];
6) (-2; -1) II (-1; 3); 7) [-1; 0) II (0; 3]; 8) (-оо; 1) Сі (3; 6) II
И (6; 7); 9) (0; 2) II (2; 3); 10) (-3; -2) II (-2; -1) II (0; +оо).
20.34. 1) (—со; 0) СІ (0; +°о); 2) усі дійсні числа, крім чисел
виду -— + 2кк, й є 2; 3) К; 4) усі числа виду — + 2пк, к є 2;
2 2
5) (-8; -2) 0 (-2; -1); 6) (0; 7)0(7; 8); 7) (-2;-^) її (-^;^) її
Сі (^; 2); 8) (0; 4) її (4; 5); 9) (-1; 1) 0 (1; 2); 10) [-5; 0) Сі (0; 2].
20.35. 3) Див. рисунок; 4) див. рисунок. 20.36. 3) Див. ри-
сунок.
Рис. до задачі 20.35 (3)
Рис. до задачі 20.35 (4) і 20.36 (3)
20.37. 1) -2; 2) -1. 20.38. 1) 3; 2) 1. 20.39. Непарна.
Вказівка. Скористайтеся тим, що у/хг +1 -х = хг +1 + х) .
21.5. 1) 16; 2) 64; 3) 6; 4) 6; 5) 512. 21.6. 1) |; 2) 5; 3) 1О10.
21.7. 1) 0,8; 2) 2; 3) 0; 4) -1. 21.8. 1) 1; 2) 0; 1. 21.9. 1) -2; 6;
2) 5; 3) коренів немає; 4) -2; 5) 1; 6) -1; 7) 0; 8) 6. 21.10. 1) -2;
2) коренів немає; 3) 0; 13; 4) -2. 21.11. 1) 7; 2) 1; 3) 1;
4) 2. 21.12. 1) 3; 2) ІО£2 3; 3) 2. 21.13. 1) 4; 2) 2; 3; 3) 4;
4) 5; 5) 8; 6) 4; 7) 4; 8) 7. 21.14. 1) 1; 2) 2; 3) -; 4) -1; 4;
4
5) 3; 6) 8. 21.15. 1) 1о£5 4; 2) 0. 21.16. 1) 2; 2) 1о^3 (з+д/її).
21.17. 1) 2; —; 2) 9; і; 3) 10; 1000; 4) 25; д/б; 5) -; 6) 8;
16 3 6
107 - 2. 21.18. 1) -8; 2) 343; —; 3) 27; ?/3; 4)
2 49 д/їо
21.19. 1) 7; 2) коренів немає; 3) 3; 4; 4) 1; 5) 4. 21.20. 1) Коре-
1 ^/йО _7
нів немає; 2) 5; 3) 4; 4) 3; 5) 3. 21.21. 1) -; 2) -5; -2; ——.
З 2
21.22. 1) -6; -4; 2; 2) -1; 2; 3. 21.23. 1) і; 3^; 2) 0,1; д/Ї0;
З
3) 4; 4) 8; і; 5) 100: 10"8; 6) 5; —; 7) 10; 8) 10 000.
8 625
21.24. 1) і/ЇО; -4=; 2) 3; 9; 3) 1; 49;.4) 100; —; 5) 6; б-7;
^о 100
6) 32. 21.25. 1) і; 5; 2) 0,001; 10; 3) 3; 9; 4) 216; і.
5 6
21.26. 1) і; 9; 2) —; 100; 3) 16; і; 4) 1 000 000; 0,001.
9 10 4
21.27. 1) 2; 2) -; 4; 3) 2^; 2’^; 4) 1; 9; 5) 1; 16; 6) і.
4 2
21.28. 1) і; 3; 2) уіЗ; 3; 3) 7; 4) 3. 21.29. 1) >/3; 2) —; 5;
9 625
3) —; -. 21.30. Вказівка. Розгляньте добуток 1о&а х* 1о£а у.
8 2
Скориставшись теоремою 19.3, можна записати:
1о£а X • 1о£а у = ІО£о уХоЄа х або 1о£о у • І0£а X = ІО£Я ХІ0Є“ ". ЗВІДСИ
1о&а ^1ое“х=1оеах1ое“у; 1/Іое“ж=х,ое“\ 21.31. 1) 1000; 2) З7*;
З’Л 21.32. 1) 4; 2) -; 7. 21.33. 1) (1; 3); 2) (9; 3), (3; 9);
7
3) (8; 2), ґ|;|ї; 4) (3; 9), (9; 3); 5) к
<2 8} І 2}
21.34. 1) (1,5; 2); 2) (8; 2), 3)
\ 2 8/
; 5) (4; 1). 21.35. 1) -1; 2) -;
\ о 3 / 4
6) (2; 10), (10; 2).
(5; 5); 4) (1; 1),
2. Вказівка. Роз-
гляньте дане рівняння як квадратне відносно 1о&2 х.
£1.36. 1) 8; 2) 3; —. 21.37. 3; л/2*. 21.38. 1,5. 21.39. 1) 2;
27 -у2
2) коренів немає. 21.40. 1) 1; 2) 3. 21.41. + т.к,
4
к є (2 \ К) Сі {1}. 21.42. Якщо а < -1 або а > 7, то один роз-
в’язок, якщо -1 < а < 7, то 2 розв’язки. 21.43. Якщо а < 2
або а > 11, то один розв’язок, якщо 2 < а < 11, то 2 роз-
8 7
в’язки. 21.44. а = — або а<-. 21.45. а = -3 або а > -2,5.
З З
22.5.1) 21; 2) 26. 22.6. 1) 0; 2) 0; 1; 2; 3; 4; 5. 22.7.1) (1; +оо);
2) (0; 1); З:
«т ( 11 л
6)-------;4
І 10
(3; +оо); 4) (-3; -2) II (3; +оо); 5) (-оо; -3] II [4; 9);
и[5;+оо). 22.8. 1) І -;4 І; 2) 3) [5; +оо);
\ 2 ) \ 7 2)
4) (-оо; -4] II [3; 5). 22.9. 1) 6; 2) 2; 3) 2; 4) 5. 22.10. 1) -1;
2) 3; 3) 1; 4) 0. 22.11. 1) [-1; 1) II (3; 5]; 2) (-2; -1) Сі (0; 1);
3) (-6; -5) Сі (-5; -4); 4) [-1; 0) II (3; 4]; 5) | -оо;--
\ 4,
6) -;2 О (2; +оо); 7) (-оо; -2,5) Сі [2; +оо); 8) | -; 1
\4 ) ІЗ
22.12. 1) (2; 3);
4) [0; 1) Сі (1; 2]; 5)
2) [1; 2) Сі (4; 5];
-оо; — | СІ [3; +со); 6)
3) [-4; -3) II (0; 1];
|;3^|. 22.13. 1) (3; 6];
2) (1; 3]; 3) [|;1|; 4)
6) [—5;—1) II |--;0 .
І 2 .
+00 ; 5) [-4; -3) 0 (1; 3];
22.14. 1) (-3; -1); 2) (4; 5]; 3) (-5; 7];
4) 0;|^и(4;13].
22.15. 1) (5; +оо); 2) (1; +оо); 3) (0; 4);
( ч
4) (5; 7]; 5) -1;-|
V
7
—со;----
5.
22.16. 1) [-1; 0); 2) (1; 2];
14 1
3) [11; +оо); 4) —;+оо . 22.17. 1)
З /
-;5 ; 2) | 0;- II [9;+оо);
9_]
3) (0,0001; 10); 4) — ;256 ; 5) (0; 4] II [8; +оо); 6) | 0; — II
.16 V 81.
22.18. 1)
СІ [8; +со);
2) (0; 0,1] II [1000; +оо);
1
1
81 □
3) (0,5; 4); 4) [0,04; 5]. 22.19. 1)
2) (0; З’10] 11 [3; +оо);
3) [0,001; 1) II [100; +оо); 4)
Сі (1; 5]. 22.20.1) | 0; —
І 49.
11
Сі [7; + со);
22.21. 1)
2) — ;6
216
3) (3; 9] II [81; +оо); 4)
—; 11 Сі [2; + со).
2) илк(1;+„);
2 ) І 2 ' І 2 > '
3) [1,5; +оо); 4) (3; +оо). 22.22. 1) [-2;1-д/5) II (1 + д/б; 4]; 4];
2) І — ;11. 22.23. 1) (2; 3); 2) (4,5; 5); 3) (0; 2); 4) (3,5; 5);
5) (0; 1) II [2; +оо); 6) (1,5; 2].
22.24. 1) Ц;1) II (1; + оо);
2) (1; 3) II (4; +оо); 3) (1; 2) 0 (2,5; 4); 4) (1; 2]. 22.25. 1о£5
22.26. 1о&„—
20
9 1
. 22.27.1) (3; 4] 0 {5}; 2) —; -1 II {2; -2};
8 7
2 II (2; 3] II {1}. 22.28. 1) (2; 3] II {5}; 2) (5; +оо) сі {4}.
22.29. Якщо а < 8, то х є [3; +°о); якщо а > 8, то х є
є [1о&2 а; +00) и {3}. 22.30. Якщо а < 9, то х = 2; якщо
а
9, то х є [2; 1о£3 а]. 22.31. (0;1) її я; —
6
22.32. (0;1) II —
.2 З
23.5. 1) 0; 2) -2; 3) -15 Іп 3. 23.6. 1) 1; 2) 1; 3) -5 Іп 4.
23.7. 1) -1; 2) 3,5; 3)-----—; 4) і. 23.8. 1) —; 2) 16;
21п5 2 13
3)-----—; 4) -—. 23.9. 1) -; 2) -. 23.10. 1) -1; 2) —.
21п10 9 е 3 1п5
23.11. 1) у = -2х + 1; 2) у = 2х + 1; 3) у = (2 + 2 Іп 2)х - 2 Іп 2;
4) у = 18х Іп 6 + 18 Іп 6 + 6; 5) у = 4х - 1; 6) у = 4х + 4;
7) у = —--------— + 1; 8) у = х - 4 + 2 Іп 2. 23.12. 1) у =
З Іп 3 3 Іп З
= 5х + 1; 2) у = 2х + 1; 3) у = 6х Іп 3 - 12 Іп 3 + 3; 4) у =
- 4х - Іп 4; 5) у - Зх - 6; 6) у = —---— + 2. 23.13.1) у = 2;
41п2 41п2
2) у = -1. 23.14. у = -1600. 23.15. 1) у = ех; 2) у = 5х + 3;
3) у - -х + і Іп 2 + -; 4) у = Зх - 3. 23.16. 1) у = -7х + 7;
2 2
2) у = 2х; 3) у = х + 1 + Іп 5; 4) у = -х. 23.17. 1) Зростає на
[0; +со), спадає на (-со; 0], хтіп = 0; 2) зростає на
1
2
спадає на
1
—со; —
2.
хтіп =--; 3) зростає на (-со; 0], спадає
2
на [0; +ос), хтах = 0; 4) зростає на
0; —
Іп 2
спадає на (-со; 0]
2
1п2
і
2
, хтіп = 0, хтах =--; 5) зростає на (-со; 1], спадає
іп 2
на [1; +оо), хтах - 1; 6) зростає на [0; +со), спадає на (-со; 0],
хтіп = 0; 7) зростає на (-оо; 2], спадає на [2; +оо), хтах = 2;
8) зростає на [3; +оо), спадає на (-со; 2) і (2; 3], хтіп = 3;
9) зростає на (-оо; 1], спадає на [1; +сс), хтах = 1; 10) зростає
і
з
на
е 3; + оо), спадає на 10;е
хтіп - е 3 5 11) зростає на (0; 1],
спадає на [1; +оо), хтах
= 1; 12) зростає на [е 2; + со),спадає
на І0; е 2
хтіп ~е 2» 13) зростає на [1; +со), спадає на (0; 1],
х,,-,,,, = 1; 14) зростає на [е; +со), спадає на (0; 1) і (1; е],
хтіп = е> 15) зростає на (0; е2], спадає на [е2; +оо), хтах = е2;
16) зростає на [-1; 0) і [1; +оо), спадає на (-со; -1] і (0; 1],
хтіп - 1’ Хтах = 1; 17) зростає на (0; 1] і [є; +со), спадає на
[1; е], хтах = 1, хтіп = е; 18) зростає на [Ло;+оо), спадає на
(0,^0], хтіп=Ж 23.18. 1) Зростає на [-2; +со), спадає
на
на
на
(-со; -2], х„.,„ - -2; 2) зростає на [-1; 0] і [1; +со), спадає
(-оо; -1] і [0; 1], хтах = 0, хтіп = -1, хтіп = 1; 3) зростає
[-1; 1], спадає на (-со; -1] і [1; +со), хтах
4)
зростає на
5) зростає на
1 )
—;+оо , спадає на
_4 7
З 1
= 1
1"
4_Г
х .
ішп
’іпЗ
, спадає на
З
ІпЗ
6) зростає на (-оо; -2], спадає на [-2; +°о),
X
тах
X
л'тах
1
4’
З
ІпЗ*
= -2;
7) зростає на [1; +оо), спадає на (0; 1], х„.,„ = 1; 8) зростає на
0;7
і [1; +оо), спадає на
—•1 X
ІЄ
'шах
X — ~ 1*
лтіп х ’
— , х = Г
О ’ Л1ГШ1 А >
е
9) зростає на (0; е], спадає на [е; +оо), хтах = е; 10) зростає
на [1; +оо), спадає на (-со; 0) і (0; 1], хтіп = 1; 11) зростає
на 0;-4 і [е2; 4-ю), спадає на ~^;е2 , хтах х™ =
V е \_е 3 е
12) зростає на
—;1
10
і [10; +оо), спадає на
і [1; Ю],
*тях = 1, хтіп = ± хтіп = 10. 23.19. 1) е + 1; --1; 2) є2; 0;
10 е
3) 1; 4) 2-; 2. 23.20. 1) -1; 0; 2) 125; і. 23.21. Див.
7 2 е2 5
23.22. Див. рисунок. 23.25. а < 0. 23.26. а 0.
Рис. до задачі 23.22
х 10
24.8.1) у = — +—; 2) у = -соа х - 2; 3) у = ех - 7. 24.9.1) у =
З З
г4 3* 1
= — + 1; 2) у = зіп х + 2; 3) у =----. 24.10. 1) у-------6;
4 ІпЗ х
2) г/ = і£х + 2л/3; 3) у = 1п (-х) + 4; 4) і/ = --іу + |.
оХ о
24.11. 1) у = -сі£ х + 1; 2) у = 2у[х + 2; 3) у = 1п х - 1;
2 + 1п2- 32 _ . 1 _ . 1 .
4) и =------------. 24.15. -. 24.16. —. 25.5. 1) Р (х) = х -
1п2 2 2
- х2 + 8; 2) Р (х) = х3 - 2х2 + 5; 3) /’(х) = -со8—+ 8Іп—+ 6,5;
З 2
і 71 І
4) Р(х)--аіп Зх— +-; 5) Р(х)-4х +—4; 6) Р(х) =
З І 3 х
= 71п(х-4) + 2л/х + 4; 7) Р(х)-л/бх + 1 + 2; 8) Р(х) = -е3х + -;
З З
9) /(х) = М
1 2
10) Р(х) = -ів
9 З
25.6. 1) Р (х) = Зх - Зх2 + 6; 2) Р (х) = х4 - 2х3 + х + 5;
.— 2 2
3) /’(х) = х2-2л/х-2; 4) Г(х) = --совЗх-|; 5) Р(х) =
= 8^-2+4; 6) Р(х) = |е2ж+1 +3,5; 7) /’(х) = |1п(4х-3е2) +
+ 5,5; 8) Р (х) = -8 сі£ —+ 5. 25.7. Р (х) -Xі + 2х2 - 3, первісна
8
х3
має ще один нуль, який дорівнює 1. 25.8. Р (х) =-12х + 27.
З
25.9. 1) Р2; 2) Р2. 25.10. Рг. 25.11. § (і) = + і2 Зі. 25.12. 8 (і) =
= 2і3 + і - 47 або 8 (0 = 2і3 + і - 67. 25.13. у = 2х3 - х5 + 7.
25.14. і/= 6л/х+ х-21. 25.15. 1) —-ібіп2х + С. Вказівка.
2 4
Застосуйте формули пониження степеня; 2)---------соз8х-
16
— сов2х+С. Вказівка. Застосуйте формули перетворення
4
З 2х
добутку тригонометричних функцій у суму; 3) — 8ІП------
4 З
8Іп4х + С. 25.16. 1) —+ —8іп4х + С; 2) —8іп7х +
8 2 8 14
і 2Г3 ог2 5 9т3
+ —8Іп9х + С. 25.17. Р.(х)= —+— + -, К(х) = —+
18 1 3 2 6 2 З
+ — . 25.18./;(х) = — -4х + -, Р2(х) = — -4х-—.
2 24 3 3 3 З
17 г2
25.19. Г(х) = -хг+5х-—. 25.20. Р(х) = — + х-3,5.
4 2
26.5. 1) 4-; 2) 0,5; 3) 4; 4) 7-; 5) ^1п8; 6) 1^; 7) —;
З 3 2 3 4
8) 9) 10) 18. 26.6. 1) 1-; 2) 7-; 3) 8 Іп 2; 4)
2 є 3 3 З
5) 6) -72~21—. 26.8. 1) 70; 2) 1,5; 3) л/З; 4) 39; 5) 0;
З ІпЗ
6) -; 7) -1п5; 8) 3; 9) 0; 10) 6е - 6; 11) —12) 240.
3 2 9
26 .9. 1) -45; 2) 6; 3) 4) -; 5) -; 6) —; 7) ^ІпЮ;
З 5 3 288 З
8) —; 9) —. 26.10. 1) 10—; 2) і; 3) е2 - 1; 4) 4 Іп 4 - 3;
12 7 3 3
5) 12 - 4 Іп 4; 6) 10—; 7) 1^; 8) 4,5; 9) 4,5; 10) -; 11) —;
3 3 3 12
12) 1; 13) 24 - 7 Іп 7; 14) 2; 15) л/2-1. 26.11. 1) 4^; 2)
1 2
3) 1|; 4) 4,5; 5) 2-; 6) 6 - 3 Іп 3; 7) 1; 8) 12 - 5 Іп 5. 26.12. 3.
26.13. 3; -3. 26.14. 2; -2. 26.15. 6. 26.16. -^8.
26.17. 1) (0; 1) О (3; +оо); 2) (1о£0>2 6; +оо). 26.18. (1; +оо).
26.19. 1) —; 2) я - 2; 3) 0; 4) 8е +8/~8. 26.20. 1)
12 8е2 2
2) -; 3) 0,2; 4) е2-е--. 26.21. 1) 16,5; 2) 4,5; 3) 21-;
2 2 З
4) 4,5; 5) 7,5; 6) 8 - 4 Іп 2. 26.22. 1) 4,5; 2) 10—; 3) 4,5;
З
4) 9. 26.23. 1) 5-; 2) 1,5. 26.24. 1) 2-; 2) 3. 26.25. 1—.
З 6 12
26.26. і. 26.27. 1) 2) —; 3) 4л; 4) —; 5) 8,5; 6) 6,5.
6 2 4 2
26.28. 1) —; 2) Зп; 3) 2л; 4) 5. 26.29. 1. Вказівка. Зобразіть
2
криволінійну трапецію, площа якої дорівнює шуканому
інтегралу, і розгляньте функцію, обернену до підінтеграль-
ної функції. 26.30. —-1.
2
27.1. 1) —; 2) 3) —
З 15 2
4) —; 5) —
15 24
27.2. 1) лл/2; 2) —; 3) -. 27.3. -л/?3, — пВ3.
ЗО 2 8 24
28.3. 1) 3*2; 2) 3*3. 28.4. Коли Антон узяв яблуко.
28.5. З • 2 + 4 • 3. 28.6. 3-6 + 3- 5 + 6-5. 28.7. 5-5, 5-4.
28.8. 5!. 28.9. 1) 4!; 2) ЗІ. 28.10. б4. 28.11. 53. 28.12. 5-б3.
28.13. 4 • 52. 28.14. 9 • 106. 28.15. 24. 28.16. б3. 28.17. 6-7-4.
28.18. 6-7-3. 28.19. І спосіб. 4-4!; II спосіб. 5! - 4!.
28.20. 4! • 2. 28.21. 9 • 103 • 2. 28.22. 9 • 104 • 4. 28.23. 64 • 49.
28.24. 4-3-2 + 5- 2 + 6-4. 28.25. 57 + 4• 56. 28.26. 4 + 42 +
+ 43 + 44 + 45. 28.27. 210. 28.28. (7! • 4! • 2!) ЗІ. 28.29. (5!)2.
28.30. 9 • 104 - 4 • 54. Вказівка. Кількість усіх п’ятицифрових
чисел дорівнює 9 • 104. Кількість п’ятицифрових чисел, усі
цифри яких є парними, дорівнює 4 • 54. 28.31. 9 • 104 - 55.
28.32. 9-Ю4 - 9-9-8-7-6. Вказівка. Кількість п’яти-
цифрових чисел, усі цифри яких різні, дорівнює 9 • 9 • 8 • 7 • 6.
28.33. б3 - 53. 28.34. 2 • 9!. Вказівка. Припустимо, що зна-
йомі сіли на один стілець. 9 людей можна розмістити на
9 стільцях 9! способами. Оскільки знайомі можуть сісти
справа або зліва один від одного, то всього варіантів 2 • 9!.
6'
28.35. 5! - 2 • 4!. 28.36. 1) —. Вказівка. Якщо вважати всі
З!
букви цього слова різними (це умовно можна записати так;
МОіЛОгКОз), то отримаємо 6! різних слів. Проте слова, які
відрізняються лише перестановкою букв О1Т О2, О3, насправді
10! 13’
є однаковими; 2) ------; 3) -------. 28.37. 140. Вказівка.
3!2!2! 2!2!2!
Будь-який дільник даного числа має вигляд 2а* -б*2 -7\ де
кх, к2, к3 — цілі числа, які задовольняють умови 0 < < 4,
0</?2<3,0<й3<6. Кількість дільників даного числа
дорівнює кількості наборів, які можна скласти з чисел к1г
к2, к3 (при цьому набори, які відрізняються один від одно-
го порядком елементів, вважаються різними). Число кг
можна вибрати 5 способами, число к2 — 4 способами, чис-
ло к3 — 7 способами. Отже, зазначений набір можна склас-
ти 5 • 4 • 7 = 140 способами.
29.1. 71. 29.2. 20!. 29.3. 5!. 29.4. А*- 29.5. 29.6. Д®.
29.7. А^. 29.8. А^. 29.9. С®9. 29.10. С4. 29.11. С30.
29.12. А2-А4. 29.13. С72-С®. 29.14. С.32-С87. 29.15. 7-С2 +
+ 12*С2. 29.16.1 спосіб. Сд +15-Сд +9-С25; Пспосіб. С|4-С35.
29.17. С7 -С7. 29.18. С® -С®. 29.19.
ое оіі оо ।
29.20. ^20 ^15 сю ^5 29.21. С" Вказівка. Розмістимо
4!
в ряд т білих куль. Чорна куля може зайняти одне з т + 1
положень: крайня зліва, між будь-якими двома білими
кулями, крайня справа (див. рисунок). 29.22. С46. Вказівка.
Розмістимо кулі в ряд. Чотири «перегородки» ділять ці
кулі на п’ять груп (див. рисунок). Отже, кількість способів
розкладання куль по ящиках дорівнює кількості способів
розміщення 4 перегородок на 16 місцях. 29.23. С*'}.
Вказівка. Запишемо п=1 + 1 + 1 + ... + 1. Далі скористай-
теся ідеєю розв’язування задачі 29.22.
ГГГІҐП ОІООІОІ- О|ОО
І_II__—II_І____II__І
Рис. до задачі 29.21 Рис. до задачі 29.22
30.1. Ні. 30.2. Так. 30.3. 1) 0; 2) 1. 30.4. 1) 0; 2) 1.
30.6. Якщо частота події В виявилася більшою за частоту
події С, то можна припустити, що подія В більш ймовірна,
ніж подія С. Проте висновок, зроблений на основі окремих
27 Алгебра та печатки аналізу, 11 кл.
417
спостережень (експеримент проведено 50 разів), не може
гарантувати, що подія В більш ймовірна, ніж подія С.
30.8. 1) 15,4 %; 2) 25,6 %; 3) 19,9 %; 4) 9,6 %; 5) 74,1 %.
30.9. 1) —; 2) —; 3) —. 30.10. 22,8 %. 30.11. 14.
99 17 73
30.13. 3) 5) -. 30.14. 5) —; 6) —. 30.15. 1) —-—;
9 3 17 17 а + Ь + с
3) а + Ь . 30.16. 2) гп + к . 30.17. —. 30.18. —.
а + Ь + с п + т + к 12 120
30.19. —. 30.20. —. 30.21. —. 30.22. —. 30.23. —.
360 120 33 494 95
30.24. —. 30.25. 1) 18; 2) 3. 30.26. 2) 8. 30.27. 1) —;
203 87
2) —; 3) —; 4) —. 30.28. —. 30.29. ^Ц^-»0,1.
29 29 15 15 С700
30.30. Сй -0,01. 30.31. —. 30.32. —. 30.33. —.
С800 299 128 16
1 5
30.34. Поява принаймні однієї шістки. 30.35. 1)-----; 2) —;
216 18
3) —; 4) —. 30.36. 1) —; 2) —; 3) —; 4) —.
324 81 36 216 27 36
оЮ хч? лЗ хп2 хп4 ^,1
30.37. —. 30.38. -Лї-« 0,003. 30.39. 30.40. 20 40 5
510 410 75 С375
«0,03.
30.43.
^3 ^2 р3 х-,2
30.41. 12 08 4 «6-Ю-4. 30.42. 13 73 * 0,016.
^24 ь100
30.44. 30.45. " . 30.46.
/"|3 ^,3
'"'п + т '"''п + т + т + к
С5 + С4 С1 С& — С& С° + -і-С2
35 35 10 ^0 69- 3047 Чо Чв а0 51 30 48. Чо+Чо+Чо
/по /по о10
-0,05. Вказівка. Вказана частота буде меншою від 0,3,
якщо з 10 підкидань монети герб випаде менше ніж три
29
рази. 30.49. ----.
128
31.3. Моду. 31.4. Медіану і моду. 31.7. 2^ = 2,07 м’яча
за гру. 31.8. 3,8. 31.13. 1) 7,9; 2) 7,7. 31.14. 1) 1,4 год/добу;
2) 1,35 год/добу. 31.15. 1) 50,08 %; 2) 49,68 %.
31.16. 1) 13,72 %. Вказівка. Обчисліть середнє значення
даних другого рядка таблиці; 2) 14,12 % Вказівка. Обчисліть
середнє зважене значення даних другого рядка таблиці
з ваговими коефіцієнтами з третього рядка таблиці.
31.17. 1) 21,8 тис. доларів США; 2) 13,7 тис. доларів США.
32.6. 5) Може звузитися на число -1, тобто може бути
загублено корінь х = -1. Якщо -1 ££>(/) або / (-1) = 1, то
множина коренів не зміниться; 7) якщо -1 є Б (/) П Б (&)
і / (-1) = § (-1), то буде отримано сторонній корінь -1; якщо
-1 Б (/) П Б (я) або / (-1) ф § (-1), то множина коренів
не зміниться. 32.7. 1) Коренів немає; 2) 0. 32.8. 1) 0,6;
2) 0. 32.9. 1) х'29 \ 2) 1,5. 32.10. 1) 1 + 3^; 2) 7.
2 2
32.11 . 1) пк, к є 2; 2) 2пк, к є 2; 3) я + 2пк, к є 2.
32.12 . 1) - + лк, к є 2; 2) (-1/ - + пк, -- + пк, к є 2.
2 6 2
4 4 5 5
32.13 . 0; 1; -1; -; 32.14. -; 1; -1. 32.15. 1) 5.
3 3 2 2
Вказівка. Помноживши обидві частини рівняння на вираз
\2х2 -х + 4-\2х2 -7х + 10, отримаємо 6(х-1) = 3(х-1)х
х (\І2х2-х + 4 -уі2х2 -7х + іо). Зазначимо, що число 1 не є
коренем початкового рівняння. Далі додамо почленно по-
чаткове рівняння і рівняння \І2х2 -х + 4 -уі2х2 -7х + 10 = 2;
2) -1. Вказівка. Помножте обидві частини рівняння на
вираз 7x71-1. 32.16. 1) 7 + л^; 2) 2. 32.17. 1) п + 2пк,
6
к є 2; 2) 4л + 8пк, к є 2. Вказівка. Дане рівняння рівносиль-
СО8Х = 1,
не системі
соз —— = 1, 32.18. 1) - + ~, к є й; 2) Зя + 4лк
2 3 3
8ІП — Ф 0.
8
к є 2. 32.19. 1) — + пк, агсі£—+ тік, 6є2;2) — + пк, ±— + пк,
2 3 2 3
к є 1 32.20. - + пк, ±- + пк, к є X. 32.21. к, к є М, к > 1.
2 З
32.22. 1 4- 4/?, к є N. 32.23. - + 2лк, к єі 32.24. -— + 2пк,
З З
з
к є 2. 32.25. Коренів немає. 32.26. —.
33.1. 1) 1; 7; 3+у/ЇО; 3-у/ЇО; 2) 4; 1 + 73; 3) 2; 4) .3;
5) 0; 6) -3. 33.2. 1) -2; -1; 3; 4; 2) -12; -4; 2; 3) 1; 4; 4) 4;
5) -73; 73; 6) 4. 33.3. 1) -2; -1; 3; 2) 1; 3; 3) -1; 2; -3.
33.4. 1) -2; 2) 1; -2. 33.5. 1) -6; -4; -1; 1; 2) -1; -3; 1;
3) -1; 1; 2; 4; 4) -3; 1. 33.6. 1) -6; -2; -4 + 2л/б; -4-2 Тб;
3) -2; 1; 3) -2; -1; 0; 1; 4) -3; 0; ~3+^3; ~3"^3.
2 2
33.7. 1) —; 2) —, п є 2; 3) ±— + пп, ±агсі£ 72 + лп, п є 2.
2 2 4
33.8. 1) -2; -1; 2; 3; 2) лп, п є 1 33.9. 2; 9. 33.10. 1) -1;
12. Вказівка, (х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = (х2 - 11х + 28) х
х (х2 - 11х 4- ЗО); 2) -4+721; -4-721. 33.11. 1) -5 + 795;
-5-795; 2) -4 + Тб; -4-Тб. 33.12. 1) -2; -і. Вказівка.
2
ґ 2^ґ 2а)
Подайте дане рівняння у вигляді 2х - 5+— 2х + 7 + — = -20;
\ х)\ х)
2) _в! -4; 15,7151; 33.13. х) _8;
2 2 2
~35^; -35-7*5; 2) -4; 5; -5+з75; -5-3^.
4 4
ТЛ4П1 о -11 + 7105 -11-7105 „ о . 1
33.14.1) -; 2;---------; ---------. Вказівка. Заміна х + —=
2 4 4 х
= Ц 2) -3 + 715; -3-715. 33.15. 1) 1; ~11 + ^; -И-Твб
6 6
3 + 7159. 3-7159 1 7 „ .
2) 5 + у31; 5-у31; -------; ------. 33.16.1) —; —. Вказів-
5 5 2 2
ка. Подайте дане рівняння у вигляді
2) 3; 5; 9 + Тбб; 9-Тбб. 33.17. 1)
4 З
---------1
7--------7
4х-8 + - 4х-10+
х х
2) 1; 4
2 2
33.18. 1) 2; 4; -1; —. Вказівка. Поділіть обидві частини
2
еі—О х/27 г~
рівняння на (х - І)2; 2) 3; —-----. 33.19. 1) З і \'3;
-З-л/З; 2)1; 1 + Л'109-. 33.20.1) агсі£(-1±л/з) +
2 2 18
+ пк, к є 2) агсі£ 2 + пк, к є 2. Вказівка. Помножте праву
15
частину даного рівняння на віп2 х + сов2 х. 33.21. агсі£ — + пк,
~— + пк, к є 2. 33.22. 1) ±— + пп, п є 2) ±— + 2пп,
4 4 3
ґ 2^ ( 1 А
± л-агссов— ] + 2пп, п є 2. Вказівка. 5 Зсовх +------- +
\ 37 сов х)
+ 5 = 0. Зробіть заміну 3 сов х ч—-— = у,
СОВ X
+ 21 9 сов2 хч---
1 7Т
тоді 9сов2хч----— = і/2-6. 33.23. 1) — + пп, пєі. Вказівка.
сов2 х 4
(і£3 х + сі£3 х) + (І£2 + СІ&2 х) - 4 = 0. Зробіть заміну х +
ТГ 7Г \117 -5
+ сі£ х = у, 2) — + 2пк, (-1)* -~ + пк, (-1)* агсвіп—-— + пк,
к є 2. 33.24. + пк, к є 2. Вказівка. Виконайте заміну
4
віп х + сов х = і. 33.25. — + пк, к є 2. 33.26. 1) 8; 2) 10.
4
Вказівка. Заміна \Іх-2 = а, д/х-1 = Ь. Тоді а3 - Ь2 - -1. Інше
розв’язання можна отримати, якщо врахувати зростання
функції /(х) = ^2 + д/хЛ. 33.27. 1) ; 2) 1; 2; 10.
5 5
33.28. 1) 4; 2) коренів немає. 33.29. 1) 3; 2) коренів немає.
33.30. 1) 4тш, п є 2)-----1---, п є Т,. 33.31. 1) бтш, п є Тг,
9тт
2) —+ 3тш, п є 2. 33.32. 2. Вказівка. Скористайтеся тим,
що 0 < 1о£2 (соз2 кх + 1) < 1, 4% - х2 - 3 < 1. 33.33. 2.
33.34. 1) 2; 2) 4. 33.35. 1) 9; 2) 2. 33.36. 0. 33.37. 0.
34.1.1)
1 А (2 й'і ( 1 'і
—;5 ; 2) -со; - Ці (3;+со). 34.2.1) -;- ; 2) -оо;- .
. З _ \ 5) \ 7 5) \ 3)
34.3. 1) (-1-л/5;-2) С (-2;-1 + л/б); 2) (-оо; 0) О (2; +оо);
3) (-5;3 + 2л/2); 4) | -оо;-- І) і;+оо|. 34.4. 1) |; 11;
І 3_| 1.2 7 І 4 }
2) (-оо; -3] І) [1; 5) О (5; +оо); 3) (-оо; -1] І) [5; +оо). 34.5.
1) (-оо;~3~У^); 2) (2;2д/2]; 3) [-4;-3] О
--;0
з
4) розв’яз-
ків немає, 34.6. 1) [9; +со); 2)
0;| І; 3) [2; 4]; 4)
У
34.7. 1) (і±У^;+оо);
2)
(—со;—2] Ь
74 А
5;— ;
13>
3) [0; 4].
О
34.8. 1) -2;- —
I 5
І) (0; 2]; 2) (-оо; -3]; 3) [2; 3]. 34.9. 1) Роз-
в’язків немає; 2) (-оо; -10] С [1; +оо); 3) (-оо; -2] О [0; +оо).
4.10. 1) | -;+оо |; 2) [-6;-4 + д/2]; 3) (-оо; -3] О (0; +оо).
х 3 )
34.11. 1) 4; 2) [-4; -1]; 3) (-оо; -8] 0 {1, 4}; 4) 0 [2;+оо) и
Ь [2;+оо) І) -2,--
34.12. 1) [3; 12]; 2) [7; +оо); 3) (-оо; -3] О
О {-2; 1}; 4) Г-оо;-— С[1;10). 34.13.1) -5;-9 + л^ ;
\ 2 8 у
-;1 . 34.14. 1) (2; +оо); 2) 5. 34.15. 1) |-агссо8- +—;
І2 □ \4 9 2
---агссо8- + —й е 2; 2) | -- + 2л/?;- + 2кк | О | —+2кк;
24 9 2 ) І 2 6 Иб
-~ + 2лк^, к є 3) ^-^ + л/г;-— + лк^ О ^агсі£ 2 + лк; лк
і гт, .. І л лк Зл лк] Зл лк л лк] .
к є 2; 4) —+—;— + — Ш— +—; —+ — , к є 7Ь.
14 2 8 2 ) І 8 2 2 2 )
34.16. 1) -— + 2лк;- + 2лк І, к є 2) І 2лк‘,- + 2лк І Сі
І 6 6 ) І 6 )
Сі — + 2лк; л + 2лк , йє2; 3) —+ л/г;агсіе2+л/г , /гє2.
І 6 ) 14 >
34.17. 1) ^--^ +л/г; л/г^ и + лк;-^ + лк^, к є 2) ^-л+2л/г;
“+2л/^ І) [~+2лк;2лк] V \~+2лк;^-+2лк), к є
3) \— + лк; — + лк ,/?є2;4)
І6 4 >
2лк; — + 2лк
З
Я
—+ 2л/г; л + 2л/г
2
4л „ . Зл „ .
----ь2л/г;---ь2л/г ,
З 2 )
к е 2. 34.18. 1)
-л + 2лк;- — + 2лк и
2 )
Сі 2лк; — + 2лк Ш - + 2л/г; — + 2лк , /г є 2; 2) лк;- + лк\ Сі
І 6 ) І2 6 ) \ 3 )
О | — + лк; — + лк І, /гє^;3) | 2лк;— + 2лк О — + 2л/г; л + 2лк 1 С>
І2 3 ) І 3 \_2 }
----1- 2л/г;---1- 2лк
2 З
к є 34.19. 1) [3; 11] О {2}; 2) (0; 21] С>
Сі {-21}. 34.20. 1) [2; 10] О [37; +оо); 2) [-6; 0) О {6}.
34.21 . 1) [-79; 83]; 2) [-5; 11]; 3) (-оо; 1); 4) [-2; +оо);
5) [1; +оо). 34.22. 1) [-57; 71]; 2) [-31; 33]; 3) [3; +оо);
4) [-3; +оо).
ВІДПОВІДІ ДО ЗАВДАНЬ У ТЕСТОВІЙ ФОРМІ
«ПЕРЕВІР СЕБЕ»
Номер завдання Номер задачі
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 В А Б Б Г Г А Б Г Г А А Б В В А В Б
2 Г Б Б Г Б А В Б Г Б В В А В В А В Б
3 Б Г Б Г Г Б А Б А А Г В Б Б Г В В А
4 В Г Г А Б Г Б Г В Б А Б В Г г В В А
Завдання № 5
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь Г Г Б В В В Б Г Б А А А Г В А Б В Б
Завдання № 7
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь А Г В А В А Г А В Б В Б Б А Г Г Б Г
Завдання № 8
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь В В г А Г г В А А В Б Б Г В А В Б А
Завдання № 9
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь Г В Б Б Г г Г А В В Б Б Г Б Б Б А Г
Завдання № 10
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь А Г г Б Б А Г В В А Б В Б А В Б А Г
Завдання № 11
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь Г Г В В Г А В Г А В Б В Г Б В Г Б А
Завдання № 12
Номер задачі 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Відповідь Б Г В В Б А В В А Г А В А Б Г Б Б А
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
6-окіл точки 24
----проколотий 24
А
Асимптота графіка функції
вертикальна 143
------- горизонтальна 143
------- похила 146
В
Ваговий коефіцієнт 315
Вибірка 311
Вибіркове середнє 312
Відрізок 8
Г
Генеральна сукупність 311
Геометричний зміст похідної
54
Границя послідовності 7
— функції в точці 15, 24
д
Диференціювання 57
Дотична до графіка функції
50
Е
Експонента 225
З
Загальний вигляд первісних
240
Закон руху 47
І
Інтеграл визначений 257
— невизначений 240
Інтервал 8
К
Комбінація 293
Л
Логарифм 181
— десятковий 183
— натуральний 225
Логарифмування 183
М
Медіана 312
Метод заміни змінної 342
— інтервалів 352
— наслідків 328
— рівносильних перетворень
328
— розкладання на множники
341
Механічний зміст похідної
55
Миттєва швидкість 48
Множина впорядкована 288
Мода 313
Н
Нерівність показникова 175
О
Окіл 107
Основна логарифмічна тотож-
ність 182
П
Первісна 238
Перестановка 289
Перша чудова границя 44
Подія вірогідна 298
— достовірна 298
— неможлива 298
Послідовність збіжна 7
— розбіжна 8
— стаціонарна 8
Похідна функції 53
--- друга 132
Правило добутку 283
— суми 282
Приріст аргументу 46
— функції 46
Р
Результати рівноможливі 297
— сприятливі 297
Рівняння дотичної до графіка
функції 81
— найпростіше логарифмічне
202
— показникове 166
Розміщення 291
С
Середнє зважене значення 315
— значення 312
Сполука 293
Т
Теорема Больцано-Коші 35
— Вейєріптрасса 37
— Лагранжа 93
— Ролля 91
— Ферма 89
Точка внутрішня множини
108
— екстремуму 108
— критична 110
— локального максимуму
122
---мінімуму 122
— максимуму 107
— мінімуму 108
— перегину 137
Трапеція криволінійна 254
Ф
Формула загального члена
послідовності 6
— Ньютона-Лейбніца 258
— переходу від однієї основи
логарифма до іншої 184
Функція диференційовна 57
— логарифмічна 193
— неперервна 18
— первісна 238
— показникова 156
— раціональна 32
— , двічі диференційовна
в точці 132
-------на множині 133
—, диференційовна в точці 55
---на множині 57
—, неперервна в точці 17, 31
---на множині 18
—, опукла вгору на проміжку
134
---вниз на проміжку 134
ЗМІСТ
Від авторів...................................... З
Умовні позначення................................ 4
§ 1. Похідна та її застосування
1. Границя числової послідовності............ 6
2. Уявлення про границю функції в точці
та про неперервність функції в точці........ 15
3. Означення границі функції в точці........21
4. Теорема про арифметичні дії
з границями функцій у точці..................27
5. Неперервність функції в точці.
Властивості неперервних функцій..............31
• Перша чудова границя....................41
6. Приріст функції. Задачі, які приводять
до поняття похідної..........................45
7. Поняття похідної.........................53
• Доведення формул похідних
функцій у = ВІП X і у = сов X.............67
8. Правила обчислення похідних..............68
9. Рівняння дотичної........................81
10. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа...........89
11. Ознаки зростання і спадання функції......95
12. Точки екстремуму функції............... 107
13. Найбільше і найменше значення функції
на відрізку................................. 121
14. Друга похідна. Поняття опуклості функції... 132
15. Побудова графіків функцій.............. 139
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 1....150
§ 2. Показникова і логарифмічна функції
16. Степінь з довільним дійсним показником.
Показникова функція.........................154
17. Показникові рівняння.....................166
18. Показникові нерівності...................175
19. Логарифм і його властивості..............181
20. Логарифмічна функція та її властивості..193
21. Логарифмічні рівняння....................202
22. Логарифмічні нерівності.................216
23. Похідні показникової та логарифмічної
функцій.....................................224
• Моя любов — Україна і математика.......233
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» №2.....235
§ 3. Інтеграл та його застосування
24. Первісна................................238
25. Правила знаходження первісної...........245
26. Площа криволінійної трапеції.
Визначений інтеграл.........................254
27. Обчислення об’ємів тіл..................269
• Розумом він перевершив рід людський....274
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 3....278
§ 4. Елементи теорії ймовірностей і математичної
статистики
28. Комбінаторні правила суми та добутку.....282
29. Перестановки, розміщення, комбінації....288
ЗО. Частота та ймовірність випадкової події.297
31. Статистичний аналіз даних...............311
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» №4.....324
§ 5. Рівняння і нерівності.
Узагальнення та систематизація
32. Про появу сторонніх коренів
і втрату розв’язків рівнянь.....................328
33. Основні методи розв’язування рівнянь.......340
34. Основні методи розв’язування нерівностей ... 350
§ 6. Тестові завдання для повторення курсу алгебри
Завдання в тестовій формі «Перевір себе» №5...360
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
Завдання в тестовій формі
«Перевір себе» №6.......363
«Перевір себе» № 7......367
«Перевір себе» №8.......371
«Перевір себе» №9.......374
«Перевір себе» № 10 .... 378
«Перевір себе» № 11 .... 381
«Перевір себе» № 12 .... 384
Відповіді та вказівки до вправ...................388
Відповіді до завдань у тестовій формі
«Перевір себе»...................................424
Предметний покажчик..............................427
Видано за рахунок державних коштів
Продаж заборонено
Навчальне видання
МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович
НОМІРОВСЬКИЙ Дмитро Анатолійович
ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович
ЯКІР Михайло Семенович
АЛГЕБРА
11 клас
Підручник
для загальноосвітніх навчальних закладів
Академічний рівень,
профільний рівень
Головний редактор Г. Ф. Висоцька
Редактор О. В. Трефілова
Коректор Т. Є. Цента
Комп’ютерне верстання С. І. Северин
Формат 60x90/16. Папір офсетний. Гарнітура шкільна.
Ум. друк. арк. 27,00. Обл.-вид. арк. 24,41.
Тираж 94 852 прим. Замовлення № 11-0198.
ТОВ ТО «Гімназія»,
вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10.2001
Віддруковано з готових діапозитивів
ТОВ «ПЕТ»
Св. ДК № 3179 від 08.05.2008 р.
61024, м. Харків, вул. Ольмінського, 17.