АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ЭЛЕКТРОМЕТРИИ
С. Г. РАУТИАН, Г. И. СМИРНОВ, А. М. ШАЛАГИН
НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
В СПЕКТРАХ АТОМОВ
И МОЛЕКУЛ
Ответственный редактор
чл.-кор. АН СССР Ю. Б. Нестерихин
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Новосибирск-1979

УДК 535; 338
Нелинейные резонансы в спектрах атомов и молекул.
Раутиан С. Г., Смирнов Г. И., Шалагин А. М.
Новосибирск, «Наука», 1970. 312 с.
В монографии изложены теоретические основы нелинейной
спектроскопии. Детально -рассмотрена проблема нелинейных
резонансов в спектрах атомов и молекул для газовых систем.
Особое внимание обращается на процессы, протекающие при
столкновениях, и на контуры нелинейных резонансов. Анализ
проводится с единой точки зрения на базе квантового
кинетического уравнения.
Книга рассчитана на физиков и инженеров, работающих
в области оптики, спектроскопии и квантовой электроники, а
также на аспирантов, стажеров и студентов старших курсов
вузов указанных специальностей*
р 20405-874 71.711701050000. © Издательство «Наука>, 197А

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная проблема, которую пришлось решать авторам
при работе над данной .монографией, состояла в отборе
материала. Нелинейная спектроскопия — новая область науки, она
существует немногим более 15 лет и продолжает быстро
развиваться. На протяжении одного года появляются несколько сотен
оригинальных публикаций, посвященных только спектроскопии
нелинейных резонансов атомов и молекул, не говоря уже о
многочисленных работах в смежных направлениях. В таких
условиях по меньшей мере рискованно строить свое изложение, следуя
журнальным статьям, неизбежно связанным с конкретными
деталями исследований. Конечно, на этом пути мы не брали бы
на себя ответственности за предрешение долговечности тех или
иных результатов, но в то же время оказались бы в роли
пассивных регистраторов событий, и книга устарела бы до своего
выхода © свет.
Мы пошли по другому пути, сделав попытку выделить
общие и потому более абстрактные закономерности, которые, по
нашему мнению, имеют непреходящее значение. Результаты
конкретных исследований, добытых с помощью многочисленных
методов нелинейной спектроскопии, равно как и сами эти
методы, используются в качестве иллюстрации к общим
закономерностям.
Избранный нами способ изложения, несомненно, более
сложный и более обязывающий, ибо подразумевает отказ от
историчности в отборе материала и создает известные
психологические трудности для авторов — современников описываемых
событий. Тем не менее спектроскопия нелинейных резонансов
представляется нам достаточно устоявшейся областью, чтобы
выбранный нами дедуктивный путь не оказался слишком
рискованным.
У людей, приходящих в новую область науки, отсутствует
священный трепет, испытываемый первооткрывателем по
отношению к законам и явлениям, которые обнаружил он сам или
его современники, т. е. отсутствуют чувства, которые мешают
за^деревьями конкретности увидеть лес непреходящих общнос-
тей. Особый нигилизм (в хорошем смысле этого слова)
свойствен студентам, для которых только вчера открытые явления

4
Предисловие
предстают в виде почти такой же данности, как и классические
итоги науки. В этой связи большую помощь в отборе материала
оказали авторам курсы лекций и семинары, которые они
читали или проводили в разные годы в различных научных
организациях и учебных заведениях для молодых сотрудников,
аспирантов и студентов в Московском физико-техническом
институте A964—1965 гг.), в Новосибирском государственном
университете A966—1968, 1977, 1978 гг.), в Институте физики
полупроводников СО АН СССР A967, 1969 гг.), в Институте
спектроскопии АН СССР A972 г.), в Институте автоматики и
электрометрии СО АН СССР A977 г.),
Мы отказались от переизложения основ электродинамики,
квантовой механики и статистической физики, необходимых для
понимания основного материала монографии и обычно
содержащихся в «толстых» книгах по квантовой электронике.
Конечно, к читателю предъявляются повышенные требования, ибо
подразумевается его знакомство с теоретической физикой в
объеме университетского курса. Однако это представляется вполне
оправданным ввиду большого количества превосходных
учебников. Вместе с тем наша книга приобрела большую
компактность и цельность.
В методическом отношении изложение в монографии
основано главным образом на аппарате квантового кинетического
уравнения для одночастичной матрицы плотности. Как и в
линейной спектроскопии, форма нелинейных резонансов в
значительной степени обусловливается разнообразными
релаксационными процессами. В нелинейной спектроскопии роль таких
процессов усугубляется вследствие существенной
неравновесности распределения атомов (молекул) по тем переменным,
которые описывают степени свободы, испытывающие селективное
воздействие со стороны когерентного излучения. Поэтому анализ
интересующих нас многочисленных и разнообразных явлений
с единой точки зрения возможен только на базе кинетического
уравнения.
Следует подчеркнуть, что аппарат квантового
кинетического уравнения с интегралом столкновений, включающим в себя
внутренние степени свободы излучающих микрочастиц, получил
развитие в самые последние годы в основном в связи с
разработкой проблем нелинейной спектроскопии. Значительный
прогресс в данной области еще не нашел своего отражения в
монографической и обзорной литературе, не говоря уже об учебниках.
Сказанное объясняет сравнительно большой объем второй
главы, посвященной указанному вопросу и имеющей методический
характер по отношению к книге в целом.
Теория нелинейных резонансов отнюдь не проста в
математическом отношении. Это обстоятельство побудило нас многие
громоздкие выкладки, не имеющие познавательной ценности,
представить в виде задач, помещенных в конце книги, и сохра-

Предисловие
5
нить в основном тексте постановку вопросов и обсуждение
физических результатов. Вторая целевая нагрузка задач связана
с анализом более частных вопросов, которые могут быть
решены без особых пояснений на основе закономерностей,
анализируемых в основном тексте. Вместе с тем мы рассматриваем
задачи как неотрывную часть материала монографии и
настоятельно рекомендуем читателю их проработку.
Некоторого пояснения требует список цитированной
литературы. И в этом пункте мы отошли от существующего канона,
сводящегося к .перечислению всех или почти всех журнальных
статей, имеющих хотя бы косвенное отношение к излагаемым
проблемам. При таком подходе список литературы содержал
•бы многие сотни названий и из помощника читателя выродился
бы в свою противоположность. Мы ограничились учебной,
монографической и обзорной литературой, а также работами,
имеющими приоритетное значение. Кроме того, указаны статьи,
в которых более детально разобраны вопросы, обсужденные
нами недостаточно полно либо вообще не нашедшие отражения в
книге.
В заключение отметим, что главы I—III написаны
С. Г. Раутианом, главы IV, V — А. М. Шалагиным и главы VI,
VII — Г. И. Смирновым.

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Проблема взаимодействия излучения и «вещества
расчленяется, как правило, на две части. К одной из них относятся
вопросы, связанные с распространением волн в среде, вторая
часть сопряжена с элементарными актами поглощения и
испускания излучения микроскопическими системами,
составляющими среду. При постановке вопроса, в той или иной форме
сводящейся к анализу распространения волн, среда
характеризуется макроскопическими величинами типа диэлектрической
проницаемости, поляризации, коэффициента преломления и т. п.
Описание распространения волн достигается с помощью пары
универсальных уравнений Максвелла для напряженностей
электрического (Е) и магнитного (И) полей, индукций D и В
и материальных уравнений, отражающих специфические
особенности среды. В случае, например, стационарной изотропной
немагнитной среды, не обладающей пространственной дисперсией,
и при достаточно малых интенсивностях поля материальные
уравнения имеют вид [1]
оо
Д=#; D{t)=E{t) + $ f{%)E{t-x)d%9 B)
о
где функция f(x) служит оптической характеристикой среды.
Для монохроматических плоских волн, зависящих от времени
»и координат »по закону
ехр (—Ш+ikr), C)
из A), B) следует
[кН] = -±г{а)Е; [кЕ\ = ±Н;
&=$*{<*); D)
оо
D - е (ш) Е; е (©) = 1 + I f (т) ei<otdT.
В данном случае свойства среды сосредоточены в диэлектриче-

Введение
7
ской проницаемости е(ю). В частности, поглощаемая средой
удельная мощность излучения дается соотношением
р = ? е" (со) ЕЕ*; е (со) = е' (со) + ie" (со), E)
т. е. определяется мнимой частью диэлектрической
проницаемости. При е"(ю)<0 среда не поглощает, а испускает энергию под
влиянием внешнего поля. Если мнимая и вещественная части
волнового вектора k=k'-\-ik" параллельны и, как это часто
бывает, |е'/|<€/, фазовая скорость v—&l\k\ и коэффициенты
поглощения a(©)=2|fe//| выражаются через е'(со), е"(со)
следующим образом:
v = ; а (со) = 7==. F)
Уравнения A) — F) или аналогичные им описывают явления,
составляющие содержание феноменологической оптики:
линейной, если материальные уравнения линейны, или нелинейной,
если связь между индукцией и напряженностью
электрического поля имеет нелинейный «характер. В данной области речь
идет о пространственных эффектах, накапливающихся на
макроскопических расстояниях. В противоположность этому в
молекулярной оптике и в спектроскопии внимание акцентируется
на процессах испускания, поглощения и рассеяния излучения,
происходящих в результате взаимодействия электромагнитного
поля с атомами и молекулами среды.
Одна из основных задач молекулярной оптики состоит в
установлении связи между упоминавшимися
макроскопическими характеристиками среды (диэлектрическая проницаемость
И т. п.) и свойствами микроскопических ее частей. Круг
вопросов, относимый к спектроскопии, связан с изучением
спектральными методами самостоятельного и вынужденного свечения
среды и поглощения ею электромагнитных волн. Перечисленные
явления обусловлены многочисленными процессами, в
результате которых в энергию поля переходят другие виды энергии
(внутренняя энергия атомов и молекул, химическая, тепловая,
механическая и т. д.), причем для спектроскопии характерно
исследование элементарных актов разного рода
взаимодействий.
В простейшем случае спонтанного испускания атомными или
молекулярными газами распределение энергии по спектру имеет
вид резких спектральных линий и удельная мощность излучения
дается соотношением [2]
Pe = %G>mnAmnNmI(<o); J /(co)dco=l. G)
—оо
Здесь comn, Атп — боровская частота и первый коэффициент
Эйнштейна для перехода т—п между энергетическими уровнями

s
Введение [Гл. I
отвечающего рассматриваемой спектральной линии;
Nm—количество атомов, находящихся в верхнем состоянии пгу
отнесенное к единичному объему газа. Функция /(со), отличная
от нуля в узком интервале частот вблизи comn, описывает
распределение испускаемой энергии по спектру (контур спектральной
линии) и называется спектральной плотностью первого
коэффициента Эйнштейна. Конкретный вид функции /(со) зависит от
релаксационных процессов, нарушающих регулярность процесса
испускания электромагнитной волны атомом. Как известно,
контур линии поглощения и вынужденного испускания описывается
той же функцией /(со), т. е. другими словами, мнимая часть
диэлектрической проницаемости е"(оо) пропорциональна /(со)
в интервале частот, расположенном вблизи comn (см. E), F)).
Разумеется, не всегда можно полностью разделить задачи о
распространении волн и об их взаимодействии с атомами
среды. Для примера можно указать на спектроскопию
оптически плотных сред, оптику мутных сред и сред, обладающих
пространственной дисперсией. Тем не менее в указанных и в
некоторых других областях оптики разделение общей проблемы
взаимодействия излучения с веществом на обсуждающиеся
составные части служит основной руководящей идеей.
Сказанное выше относилось к линейной оптике и линейной
спектроскопии. При достаточно больших значениях
интенсивности электромагнитного поля начинают сказываться
нелинейные явления и для анализа их также целесообразно разделять
процессы распространения волн (феноменологическая
нелинейная оптика) и элементарные акты взаимодействия поля с
атомами и молекулами среды (нелинейная молекулярная оптика и
нелинейная спектроскопия).
С точки зрения микроскопических представлений
электромагнитное поле может, вообще говоря, оказывать воздействие на
любые степени свободы частиц — поступательные,
вращательные, электронные, ядерные. Вследствие этого наблюдаемые
нелинейные явления исключительно разнообразны и вряд ли
обозримы с единых позиций.
В данной книге рассматриваются сравнительно простые
нелинейные явления, протекающие в резонансных условиях при
относительно небольших значениях энергии взаимодействия
атомов и поля, существенно меньших расстояний между
энергетическими уровнями. Кроме того, речь пойдет исключительно о
газовых системах при небольших давлениях, когда время
свободного пробега значительно превышает продолжительность
столкновений.
В указанных условиях естественной основой для построения
общей картины явлений могут служить представления о
стационарных состояниях изолированного атома (молекулы) и о
переходах между ними, индуцированных внешним полем. Один из
основных эффектов, связанный с такими переходами, состоит в

Гл. I] Введение
выравнивании средних заселенностей комбинирующих уровней,
что, в свою очередь, обусловливает изменение коэффициента
поглощения, удельной поглощаемой мощности и т. д. Явления
этого рода, получившие название эффекта насыщения, известны
сравнительно дав.но. В частности, они неявно фигурируют в
эйнштейновском выводе формулы Планка для распределения
энергии в спектре равновесного излучения: переходы,
индуцированные равновесным излучением, устанавливают больтцманов-
ское распределение атомов по уровням. Более непосредственное
экспериментальное обнаружение эффекта относится к 1926 г.
[3]. Впоследствии он был детально изучен в
радиоспектроскопии [4, 5] и в оптической области спектра на люминофорах [6].
Высокая степень временной и пространственной
когерентности лазерного излучения придает эффекту насыщения
исключительно своеобразные и существенно новые черты. Прежде
всего следует подчеркнуть селективность воздействия
когерентного излучения на атомы. Например, наиболее эффективно
происходит взаимодействие с такими атомами, для которых
проекции скорости v «а направление волнового -вектора k
удовлетворяют условию (смещение резонанса из-за эффекта Допплера)
kV=@ — (дтпу (8)
где со и (йтп — частота поля и боровская частота. Вследствие
такой селективности по отношению к скоростям выравнивание
заселенностей касается не всего распределения атомов по vy
а лишь некоторого узкого интер©ала, расположенного вблизи
скорости, определяемой соотношением (8). В итоге
распределение по скоростям приобретает резкую неравновесную структуру,
зависящую от интенсивности поля, его частоты, поляризации,
характера релаксационных процессов. Указанная структура,
называемая структурой Беннета, играет фундаментальную роль во
всей нелинейной спектроскопии газов при низких давлениях и в
процессах, протекающих в газовых квантовых генераторах.
Второй фундаментальный физический фактор, тесно
связанный с монохроматичностью внешнего поля, состоит в
особенности кинетики вынужденных переходов. Пусть в момент времени
*=0 атом возбужден в какое-либо состояние т, резонансно
взаимодействующее с монохроматическим полем. В отсутствие
релаксационных процессов последующая эволюция носила бы
вполне динамический характер. Релаксационные процессы
нарушают строгую динамичность эволюции, но она сохраняет черты
динамического процесса и существенно зависит от частоты поля,
его поляризации, геометрии и от других обстоятельств. В
частности, при достаточно большой интенсивности поля амплитуды
вероятности пребывания атома в комбинирующих состояниях
оказываются осциллирующими функциями времени, причем
частота осцилляции пропорциональна амплитуде поля. Заметим,

10
Введение
[Гл. I
что такие осцилляции можно интерпретировать как расщепление
уровней атома, находящегося во внешнем поле.
Отмеченные особенности эволюции отражают, очевидно,
кинетику вынужденных переходов, индуцированных когерентным
нолем, и эффект насыщения можно рассматривать как следствие
этой кинетики с учетом усреднения за время жизни
(возбужденных состояний атома.
Кинетика вынужденных переходов более непосредственно
проявляется в спектре спонтанного испускания. Действительно,
контур спектральной линии определяется, грубо говоря, фурье-
образом кривой распада возбужденных состояний. Поскольку
эта кривая изменяется вследствие взаимодействия с внешним
полем, будет изменяться и форма линии спонтанного излучения.
В частности, осцилляторная зависимость вероятности
пребывания атома в возбужденном состоянии означает, очевидно, что
линия расщепляется. К тому же выводу можно прийти и другим
путем, принимая во внимание расщепление уровней из-за
взаимодействия атома с когерентным полем. Если такое
расщепление достаточно велико, то будут расщепляться и спектральные
линии, соответствующие переходам, которые начинаются или
оканчиваются на уровнях, возмущенных внешних полем.
Близкие явления наблюдаются и в спектрах поглощения и
вынужденного испускания слабого («пробного») излучения,
которое резонансно переходу, возмущенному внешним сильным
полем, либо смежным переходам.
Обсуждающиеся вынужденные переходы обусловливают не
только изменение заселенности соответствующих атомных
состояний, но и возникновение индуцированного дипольного момента,
или корреляцию комбинирующих состояний, или их когерентное
смешивание. Отмеченное обстоятельство самым радикальным
образом влияет на форму спектра поглощения пробного поля
и спонтанного испускания, как это вытекает из следующих
соображений. При выводе основного соотношения G) линейной
спектроскопии предполагается, что оптически комбинирующие
состояния m, п эволюционируют независимо друг от друга и от
всех остальных состояний атома. Именно это допущение
предопределяет общую структуру соотношения G) —
пропорциональность Рв количеству атомов Nm в состоянии т, начальном для
данного радиационного процесса; описание контура линии
единственной функцией /(со); пропорциональность между
спектральными плотностями коэффициента Эйнштейна для поглощения и
испускания. С другой стороны, наличие вынужденных переходов
означает, очевидно, что эволюция состояний, смешанных
внешним полем, происходит не независимо, т. е. указанное
фундаментальное допущение не выполняется и, казалось бы, самые общие
законы линейной спектроскопии теряют силу: Р* не
пропорциональна Nm, контур спектральной линии описывается
несколькими функциями типа /(со), спектральные плотности коэффициен-

Гл. II
Введение
11
тов Эйнштейна для поглощения и испускания не
пропорциональны друг другу.
Нелинейные явления, обусловленные взаимной зависимостью
эволюции состояний, смешанных внешним полем, получили
название «нелинейных интерференционных эффектов.
Многообразие частных нелинейных явлений, протекающих в
различных физических условиях, исключительно велико. Однако
все они -могут быть сведены к трем обсужденным
фундаментальным явлениям — к эффекту насыщения, расщеплению уровней и
к нелинейным интерференционным эффектам.
Область нелинейной спектроскопии, намеченная в общих
чертах ранее, по-видимому, наиболее полно разработана и
теоретически, и экспериментально. Дело в том, что соответствующие
явления имеют непосредственное отношение к процессам,
протекающим в газовых квантовых генераторах, и поэтому исследование
"их было тесно связано с быстро развивавшейся физикой лазеров
и лазерной техникой. Сравнительно небольшие интенсивности
излучения были доступны на самых ранних этапах развития
нелинейной спектроскопии, и соответствующие им явления начали
изучаться исторически первыми. Следует подчеркнуть также, что
в отношении способа рассуждений и постановки физических
вопросов интересующая нас область нелинейной спектроскопии
сохраняет преемственность с оптичеокой линейной
спектроскопией и радиоспектроскопией.
Основополагающие работы по резонансному многофотонному
рассеянию и поглощению относятся к началу 30-х годов и
принадлежат Вайскопфу, Вигнеру и Гепперт-Майер [7—10].
Впоследствии исследования переместились в радиообласть, где были
созданы мощные источники монохроматического излучения.
Центральная задача о взаимодействии монохроматического
резонансного излучения с двухуровневым атомом рассмотрена Ра-
би [11, 12] без учета релаксационных процессов, и выяснились
основные особенности динамической эволюции атома.
Дальнейшее развитие это направление получило в работе Аутлера и Та-
унса [13]. Ими введено представление о расщеплении уровней
атома, взаимодействующего с внешним когерентным полем.
Важный вклад в нелинейную спектроскопию внесли исследования
Канторовича и Прохорова [14] и Джав-ана [15], рассмотревших
резонансные радиационные явления в трехуровневых системах
при больших уровнях мощности внешнего поля с учетом простых
вариантов релаксационных процессов. В последних работах
постановка вопроса во многом родственна таковой в классических
исследованиях [7—9]. Эта тенденция оказалась доминирующей
в связи с созданием оптических квантовых генератов и
смещением центра тяжести исследований в оптическую область спектра.
В 60-х годах после включения в расчет спонтанного
испускания [16—18], допплеровского уширения [17—21], совершенно
несущественных в радиоспектроскопии, и разработки метода

12
Введение
[Гл. I
пробного поля [16, 17] спектроскопия нелинейных резонансов
получила логическое завершение и выделилась как
самостоятельная область. Среди конкретных эффектов особо важное значение
имеют так называемый провал Лэмба [19, 20], проявляющийся
в зависимости .мощности генерации одномодовых газовых
лазеров от частоты генерируемого излучения, обращенный провал
Лэмба в лазерах с поглощающей ячейкой [22—24], анизотропия
ширины нелинейных резонансов в двухуровневых и
трехуровневых системах [18, 21, 25—27]. Обзор многочисленных работ,
посвященных исследованию указанных и других конкретных
явлений, можно найти в [28—32].
Как уже подчеркивалось, основополагающей идеей в линейной
теории служит раздельное рассмотрение проблем
распространения волн в среде и взаимодействия излучения с микрочастицами
на уровне элементарных актов. Возможность такого разделения
вытекает непосредственно из принципа суперпозиции.
Действительно; спектральное разложение поля позволяет независимо ре-
шить вопрос об элементарных актах «взаимодействия частице
монохроматической компонентой поля, определить
диэлектрическую проницаемость и рассматривать затем законы
распространения монохроматической волны в среде. Линейная комбинация
таких самосогласованных решений дает возможность судить о
распространении поля с произвольным спектральным составом.
Если нелинейные явления существенны, то разделение такого
рода возможно далеко не всегда. В качестве примера можно
указать на так называемые кооперативные (или коллективные)
явления, в которых участвуют атомы, удаленные друг от друга
на макроскопические расстояния, соизмеримые с длиной
волны, и где процесс распространения волн и элементарные акты
не могут рассматриваться по отдельности. К явлениям такого
типа относятся кооперативное спонтанное испускание Дикке,
самоиндуцированная прозрачность, световое эхо и т. п. Близкая
по духу ситуация имеет место в некоторых оптических
квантовых генераторах, когда время затухания возбужденных
состояний атома и типов колебаний резонатора оказываются соизме-
римыми. Отмеченные и им подобные процессы в данной книге
не рассматриваются. Не обсуждаются также многочисленные
нелинейные явления, для которые процесс распространения ока-*
зывается определяющим: генерация кратных и разностных
гармоник, в том числе и в резонансных условиях, частотно-
угловая диффузия импульсов излучения, резонансная
самофокусировка и т. д.
В 70-е годы обнаружен интересный круг явлений, связанный
с воздействием внешнего поля на межмолекулярные силы. В
газовой фазе сталкивающиеся атомы или молекулы можно
рассматривать как некую квазимолекулу, существующую на
протяжении столкновения, т. е. -в течение времени тст~рСт/и~ Ю~12 с
(рот— эффективный радиус взаимодействия, и — относитель-

Гл. I]
Введение
13
ная скорость). Если интенсивность излучения достаточно
велика, то может произойти вынужденный переход между
состояниями квазимолекулы, так что после разлета атомы окажутся в
состояниях, отличающихся от исходных. Такого рода процессы,
в которых происходит обмен энергией между полем и сталкиваю-
щимися атомами, получили название радиационных
столкновений (см., например, [33, 34]).
Радиационные столкновения будут характеризоваться
большими значениями вероятностей соответствующих процессов,
если энергия взаимодействия с полем оказывается сравнимой
сЙ/т0Т> что составляет ~ 1—10 см-1. Такие значения намного
превышают ширины линий @,001—0,1 см), т. е. для протекания
радиационных столкновений с большой вероятностью
необходимы значительно более мощные поля, чем в случае
нелинейных резонансов. В конденсированной фазе возможны процессы,
аналогичные радиационным столкновениям, например
одновременное возбуждение двух атомов в результате поглощения
фотона, частота которого в 2 раза превышает боровскую частоту
изолированного атома [35].
При еще ббльших интенсивностях электромагнитного поля,
когда энергия его взаимодействия с атомами или молекулами
становится сопоставимой с расстояниями между уровнями и
энергией связи составных частей атомов (молекул), могут
происходить процессы двух типов: перестройка характера
движений и соответственно этому перестройка спектра энергетических
уровней атомов и нарушение целостности микрочастиц. В
частности, -свободное вращение анизотропных молекул может
трансформироваться в качания около направления электрического
вектора поля [34]. Процессам второго типа отвечают, очевидно,
ионизация и диссоциация частиц, разрушение связей в
конденсированной среде. Как правило, в таких случаях большую роль
играют разнообразные вторичные процессы (гидродинамические,
химические, тепловые и др.), а оптические и спектроскопические
аспекты отступают на второй план.
Проведенный далеко не полный разбор нелинейных явлений,
протекающих в сильном электромагнитном поле, иллюстрирует
высказанную в начале главы мысль об их разнообразии и безу-.
спешности попыток систематизации таких явлений с единой
точки зрения. Современное состояние физики нелинейных
радиационных процессов таково, что целесообразно говорить об
отдельных частях этой обширной области. В данной книге речь
дойдет об элементарных актах поглощения и испускания при не
слишком сильных полях и в отсутствие кооперативных явлений.

Глава II
КВАНТОВОЕ КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
§ 1. Описание взаимодействия квантовой системы
с внешним электромагнитным полем.
Аппарат амплитуд вероятностей
Поведение атома1 во внешнем поле, © том числе в
электромагнитном, описывается уравнением Шредингера [1]
т^Ч = НЧ; H = H0 + %Vf A.1)
где "У — волновая функция, #о— гамильтониан
изолированного атома, а член %V соответствует взаимодействию с внешним
полем. Если напряженность последнего сравнима с
напряженностью внутриатомных полей или превышает их, целесообразно
анализировать состояния системы в суммарном поле,
слагающемся из внутреннего и внешнего. Таково, например,
положение в сверхсильных магнитных полях (порядка 109 Гс и более),
когда атом сохраняет свою целостность, но его свойства резка
отличаются от свойств в отсутствие поля. Если же внешние
поля малы в сравнении с внутриатомными, естественно выделить
задачу о нахождении состояний изолированного атома и
использовать эти состояния как основу анализа поведения
атома во внешнем поле.
Для большинства явлений, которые будут
рассматриваться в дальнейшем, нет необходимости принимать во внимание
квантовые свойства электромагнитного поля. Поэтому далее
везде внешнее поле описывается классически. В известной
мере исключение представляет спонтанное испускание. Однако и
для него будет сформулирован квазиклассический рецепт
вычислений (см. § 9).
Обозначим через Tj собственные функции оператора Я0,
удовлетворяющие уравнениям
«J^ = ?^; Fj = *fi~i*i"hi Ял-ЗД. A.2)
Нахождение волновых функций % стационарных состояний и
соответствующих им значений энергий Е, — сложная задача,
1 Для краткости используется термин «атом>, хотя почти все последующее
относится к произвольным системам с квантованными внутренними степенями
свободы. Более определенная терминология будет применяться в тех случаях,
когда свойства конкретных систем (атомов, ионов, молекул) оказываются
существенными.

Аппарат амплитуд вероятностей
IS
которая на протяжении всей книги будет предполагаться
решенной тем или иным способом и в дальнейшем не
рассматривается.
Представим волновую функцию атома, находящегося во
внешнем поле, в виде линейной комбинации волновых функций
стационарных состояний
*(/)= 2** (<)*;¦ A-3)
}
Для амплитуд состояний щA) из уравнения Шредингера A.1)
следует система уравнений
11 а, @ = S Vjk (t) ak (t); Vjk = OF* | V | ?A>. A.4)
Таким образом, внешнее поле «смешивает» стационарные
состояния и обусловливает переходы между ними.
Взаимодействие атома с внешним полем, описываемое
правыми частями уравнений A.4), имеет динамический xaipaKTep.
Эволюцию системы определяют также релаксационные
эффекты, которые могут обусловливаться спонтанными переходами
к разнообразными процессами, протекающими при
столкновениях атома с другими частицами газа или со стенками сосуда.
Если релаксация осуществляется вследствие спонтанных
переходов, систему уравнений A.4) следует заменить на (см. § 9)
±а, @ - - ум @ - i 2 Vjk @ ah (t). A.5)
Величины 2*Yi дредставляют собой полные вероятности
спонтанного распада состояний у, т. е. суммы первых коэффициентов
Эйнштейна
2T/-2M/I, A.6)
причем суммирование здесь проводится по всем состояниям,
обладающим энергией Еи меньшей чем ?,.
Изложенный способ учета спонтанных переходов имеет
ограниченную область применимости. Физическую причину
приближенности данного способа легко понять на следующем
примере. Пусть внешнее поле отсутствует, Vjh=0. Тогда, согласно
A.5), имеем
М0«М'о)е"т'(Мв),
т. е. каждое состояние экспоненциально распадается
независимо от остальных. Следовательно, в уравнениях A.5) не
принято во внимание возможное заселение какого-либо уровня за
счет спонтанных переходов с более высоко расположенных
уровней. Таким образом, система уравнений A.5) может
применяться лишь в тех случаях, когда нас интересует эволюция

16
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. И
группы состояний, смешиваемых внешним полем и
распадающихся за счет спонтанных переходов главным образом в
состояния, не входящие в данную группу. Если Aih обозначают
вероятности спонтанных переходов внутри группы
интересующих нас состояний, то.критерием применимости системы
уравнений A.5) служат неравенства
Л*<2Т,. A.7)
Из сказанного следует, в частности, что A.5) не может
применяться к основному состоянию, ибо для него Yj==0. Физически
это тоже понятно, так как основное состояние заведомо
заселяется в результате прямых или каскадных спонтанных переходов.
В § 2 изложен способ учета спонтанной релаксации,
свободный от указанного недостатка и основанный на описании
эволюции атома с помощью матрицы плотности.
При обсуждение многих вопросов полезной оказывается
матричная запись величин и соотношений между ними. Введем
строчку волновых функций
*=<*ь*2,...); Т=№Л2,...) A.8)
и столбец a(t) амплитуд
М@\
*@Haf@j- 0-9)
С помощью этих величин соотношения A.3) и A.5)
записываются в виде
W(t)=4ta(t); A.10)
|a@ = -[T + ^(<)]a@; V(*) = orf|V|?>, (i.il)
где у — диагональная матрица спонтанного распада
'Yi 0 0 . .
0 уг 0 . .
V = l 0 0 7з. •
A.12)
Введем фундаментальную матрицу S(t, to) уравнения A.11),
согласно соотношению
a(t)=S(t,t0)a{to), A.13)
где a (to)— столбец начальных значений амплитуд состояний
a5(t) при t=t0. Матрица S(t,t0) подчиняется, очевидно,
уравнению
?S(t,t0) = -[y + iV{t)]S(t,t0) A.14)

!§!]
Аппарат амплитуд вероятностей
17
и начальным условиям
S(t0,to)=E, A.15)
где ? —единичная матрица. Фундаментальная матрица S(*, t0)
содержит в себе решения уравнения A.11) или A.5),
отвечающие всем возможным наборам начальных значений амплитуд
Oi{t). Из A.13) можно заключить, что элементы /-го столбца
матрицы S(t, t0) (т. е. Sw(*f *0)) дают решение уравнения A.11)
при начальных условиях а,(*о) = 1; Quito) =0, кф\.
В соответствии с общими принципами .квантовой теории
средней квантовомеханической величиной является
L{t) = <^*{t)\L\4 {t)">, AЛ6)
где L—оператор, отвечающий величине L. Подстановка A.3)
в A.16) приводит к соотношению
L{t) = ^a]{t)Lihak{t) AЛ7)
или в матричной форме
L(t) = Sp{La}-y o = a(t)af(t); L = <Yf|L|^>. A.18)
В дальнейшем нас будут интересовать главным образом
компоненты дипольнош момента d(t)> индуцируемые в атоме
внешним полем, и работа внешнего поля P{t), производимая в едп-
Ю1ДУ времени. Для этих величин, согласно A.17) и
A.18), имеем
d@=Sa;rfy.,a,=Sp{rfa}; (Г. 19)
Р @ = 2 a*djkEak = Sp {dEo}, A.20)
где dfa—матричный элемент оператора дипольного момента,
В—напряженность внешнего поля.
Начальные условия для амплитуд вероятностей выбираются
в соответствии с физической постановкой вопроса. Например,
начальные условия
М'о) = 1; flj('o)=0, \фт A.21)
отвечают возбуждению атома на уровень т в момент времени
to. В результате последующей эволюции, обусловленной
взаимодействием с внешним полем и релаксационными процессами, по
истечении достаточно большого времени система окажется
в основном своем состоянии, т. е. выделенная нами группа
состояний полностью распадается. Для ряда величин интерес
представляют не мгновенные их значения L(t), а суммарные за
все время эволюции, т. е.
оо
L= J L(t)dt. A.22)
'о

18
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. И
Например, интеграл
оо
#= j P(t)dt A.23)
определяет работу поля, совершенную за все время эволюции.
Если /?>0, то энергия поля поглощается атомом. В противном
случае (/?<0) величина —R имеет смысл энергии, испущенной
атомом. Для начальных условий A.21) эта работа равна
энергии, поглощенной или испущенной атомом в расчете на один
акт возбуждения состояния т.
Все выписанные выше формулы относились к системе
координат, жестко связанной с атомом, т. е. к движущейся системе
координат. При классическом описании поступательных степеней
свободы, достаточном для понимания большинства явлений
нелинейной спектроскопии, движение атома может быть принято
в расчет следующим образом. Если атом обладает постоянной
скоростью v9 то радиусы-векторы г, г' в лабораторной и
атомной системах связаны соотношением
r=r'+vt A.24)
Взаимодействие с внешним полем V(t) задается, как правило,
в лабораторной системе координат, т. е. является функцией г, t.
Амплитуды же состояний a(t) определены в атомной системе.
Поэтому в уравнении A.11) фигурирует матрица V{r'+vt,t).
Если атом испытывает столкновения, в результате которых
его скорость изменяется, следует писать
г =r' + ]v{t)dt\ A.25)
?a(r'tt)==-[y + iV(r' + lvdtj)}a(r',t). A.26)
Таким образом, вследствие случайных изменений скорости,
обусловленных столкновениями, матрица взаимодействия V
оказывается случайной функцией времени.
Произведем замену переменных в уравнении A.26)
согласно формуле A.25), т. е. замену, соответствующую переходу
в лабораторную систему координат, и введем обозначение
a(r-$vdt,t)=b(r,t). A.27)
Матрица b(r, t) подчиняется уравнению, следующему из
A.26), A.27),
(| + ^v)ft(r,0 = -[Y + tr(r,01ft(r,0. A.28)
Правая часть уравнения A.28) таким приемом избавлена от
случайной зависимости от времени, перенесенной на член vV.

Г»
Кинетическое уравнение
19
Рассмотрение процессов, протекающих при столкновениях
/изменение скорости, тушение, сбой фазы), в рамках аппарата
амплитуд состояний приводит к необходимости решать
уравнения движения со случайными коэффициентами и усреднять
наблюдаемые величины по всевозможным параметрам,
описывающим столкновения. Вследствие сказанного соотношение A.18)
принимает вид
L(t)= Sp{L<o>}= Sp{Lp}; A.29)
р = <а> = <aat>, A.30)
Г№ угловые скобки означают усреднение заключенной в них
величины по взаимодействию с окружающей средой. Матрица р,
определенная в A.30), называется матрицей плотности.
Иной путь анализа роли столкновений основан на
составлении уравнения непосредственно для матрицы плотности,
называемого квантовым кинетическим уравнением. Такой подход,
следовательно, отличается от вышеизложенного порядком
выполнения процедур решения уравнений, описывающих эволюцию
системы, и усреднения по взаимодействию с
окружающей средой.
§ 2. Квантовое кинетическое уравнение
Релаксационные процессы можно рассматривать как
результат взаимодействия излучающего атома с большим ансамблем
иных, возмущающих частиц (атомов, молекул, стенок сосуда).
Такое взаимодействие обусловливает возникновение смешанных
состояний, для описания которых волновой функции
недостаточно и следует употребить аппарат матрицы плотности.
В отличие от § 1 будем рассматривать квантовым образом
не только внутренние, но и поступательные степени свободы.
Последнее необходимо для понимания ряда конкретных явлений,
например роли эффекта отдачи, и оказывается полезным при
анализе многих общих вопросов.
Пусть г, | обозначают координату центра инерции и
совокупность внутренних координат атома. Гамильтониан в
отсутствие взаимодействия с возмущающими частицами представим
в виде
H = H0 + %v(p,r,4tlty, Я0 = ?+#?),?); B.1)
где р, к] — операторы импульсов, отвечающих г и |. В отличие
от A.1) в выражении для гамильтониана изолированного атома
фигурирует импульс поступательного движения.

20
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. И
Матрица плотности <в координатном представлении
подчиняется уравнению (см., например, [1], § 14)
§tP(rt,r't') = R + S + ±[H(p,r,4,tt)-
-Я*(р',г',?,Г,0]р(^,гТ). B.2)
Член S в правой части уравнения B.2) отражает
взаимодействие выделенного атома с остальными частицами газа и
называется интегралом столкновений. Член R описывает переходы,
обусловленные спонтанным испусканием. В отсутствие членов
5 и R, которые можно назвать статистическими, эволюция
атома задается гамильтонианом Н и имеет динамический характер.
Поэтому члены уравнения B.2), содержащие Н и #*,
называются динамическими. Статистические члены будут
рассмотрены в § 3, 4.
При использовании координатного представления средние
квантовомеханические значения физических величин
вычисляются по формуле
L (*) = j [?р (rgf rT)]r=r< drd\. B.3)
Условие постоянства числа частиц
$P(rt,rt)drdt = N B.4)
приводит к очевидному равенству
^$p(r?,rg)drdg = 0. B.5)
В силу независимости различных процессов, описываемых
членами правой части уравнения B.2), шпур от каждого из них
должен обращаться в нуль. В отношении динамического члена
это требование, как видно из B.2), выполняется. О
соответствующем свойстве статистических членов см. в § 3, 4.
Рассмотрим запись уравнения B.2) в различных
представлениях, которые будут применяться в дальнейшем. По
причинам, обсужденным в § 1, целесообразно иметь дело с
разложением матрицы плотности по собственным функциям W,
гамильтониана внутренних движений изолированного атома
р(г5,гТ)~*F)р(г,г')*^Г)«
= 2 p(rm,r'n)?m(g)<(&'). B.6)
Матрица р(г, г') коэффициентов разложения р(гт, г'п)
удовлетворяет уравнению, полученному из B.2) по общим правилам,
[|-ч4г(А-д')]р(г-г') = /? + 5-
-l[V(p,r)p (г, г') - [V ф, г') р (г, r')]f}; B.7)

ж 21 Кинетическое уравнение 21
К(р,г) = ОГ*|Р|ЧГ>, Л = <?*|Я|*>, 5 = <Yf|S|^>.
Элементы матрицы V могут зависеть то г, iftV и t.
Средние квантовомеханические значения физических величин
в представлении B.6) вычисляются согласно соотношению,
вытекающему из B.3) и B.6):
L (t) = Sp {j [Lp (r, r')]r>=r dr]. B.8)
Для поступательных степеней свободы, кроме
координатного, удобными оказываются импульсное представление и
представление Вигнера. Матрицы плотности в координатном и
импульсном представлениях связаны соотношениями
р (р, р>) = Bяй)~6 j* р (г, г') z-i{pr-p'r'),ndrdr'\ B.9)
р (Г, rf) = j р (р, р') ei(pr-p'r')/hdpdp'. B.10)
Кинетическое уравнение B.2) при использовании импульсного
представления для поступательных степеней свободы
принимает вид
- ф!'(Р - Р.) Р (Л/>')-,></>, Pi) f<p,-p')l dp,, B.11)
где введено обозначение
V (р - Pl) = Bяй)~3 j К (- ifc V, г) e-i(p-pi)r/ndr B.12)
для матрицы взаимодействия с внешним полем в импульсном
представлении. Средние квантовомеханические значения
вычисляются следующим образом:
L (t) = Sp {J [Lp (p, p')]p>=p dp). B.13)
Согласно B.11), динамический член представляет собой
интеграл типа свертки матрицы плотности и матрицы
взаимодействия. Это обстоятельство отображает, очевидно, передачу
импульса от поля к атому и обратно. Пусть, например, V(p, г)
имеет вид плоской волны
V(p, r)=Vexp(ikr)- V(p_Pl)=V6(p—Pi+Щ. B.14)
В этом случае взамен B.11) получаем
(^-'^V-JO-m-*-
- I {Vp (р - Пк, р') - 9 (р, р' + П) V), B.15)
т. е. кинетическое уравнение связывает элементы матрицы
плотности, аргументы которых отличаются на величину импульса
фотона %k.

22
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
Для широкого круга вопросов удобным оказывается
представление Вигнера для поступательных степеней свободы
(см., например, [2]). Матрица Вигнера p(q,r) связана с р(г, г')
и Р(Р> Р') соотношениями
р (^f Г) = BяА)-3 J Р (г + и/2, г - и/2) e"iqK,hdK =
= J р (9 + т/2, ? - т/2) е*гт/\/т; B.16)
Р (Р, /О = Bnft)-» J р (*±< г) e-«*-PWdr. B л 7)
РС,0 = jp(^, ?1+11)е*-^^, B.18)
т.е. представление Вигнера является смешанным по отношению
к координатному и импульсному. Совершив преобразование
B.16) над кинетическим уравнением B.7), можно получить
следующее уравнение для p(qt г):
Х1М*1- Т' ri + Ty^url)-9(qur1)v[ql+ -§-, rx—J-)}x
xexp{--j-K*-ffi)H + (r -rOejJdxdecfr^!. B.19)
Переменная Вигнера q во многих отношениях аналогична
классическому импульсу. В частности, оператор (qJtn)Vгв
уравнении B.19) подобен члену v4r в уравнении A.28) для
амплитуд состояний, где было принято классическое описание
поступательного движения атома. Вычисление средних квантовомеха-
нических значений физических величин выполняется в
представлении Вигнера по формуле
L = Sp {J dqdrL (q, г) р {q, г)}, B.20)
т. е. в отношении поступательных степеней свободы подобно
усреднению с классической функцией распределения по импульсам
и координатам.
Рассмотрим теперь частный, но практически важный случай,
когда V(p, г) не зависит от р. Так обстоит дело, например, при
взаимодействии атома с внешним электромагнитным полем.
Тогда интегрирование по * в B.19) дает Bп%)Ч(г—Г\) и
кинетическое уравнение для функции Вигнера оказывается
локальным по координате г:
(§i + %Vr)p(q,r)=R + S-«2n%)-*x
XJMr + TW>r) -р (ft, г) Г (г -?)}е«*-*"\М*.

14
Кинетическое уравнение
zo
Интегральный характер динамического члена в B.21) (по
импульсной переменной) обусловлен эффектом отдачи.
Наибольшая наглядность интерпретации в этом вопросе достигается при
разложении поля по плоским волнам
V(r) = $V(k)zikrdk, B.22)
после чего B.21) переходит в уравнение
(& + ? vr)p <*,*¦)=*+$-
-i J {V (*) 9 (q ~ T'r) ~ р[я + T>r) V (*>} e^dk- B-23)
Из уравнения B.23) видно, что электромагнитное поле
«связывает» состояния, отличающиеся по импульсу на величину,
пропорциональную импульсу фотона %k.
Представление Вигнера удобно для перехода ik
классическому описанию поступательного движения атома. Из уравнения
B.19) видно, что при таком переходе, формально
соответствующем ft-*-0, можно полагать и, Ф малыми и раскладывать V по
степеням этих величин. Классическому приближению отвечает
разложение вплоть до линейных членов
v[q*$r±$) =
= V (q, г) =f-§- V, V (q, г) ± \ VrV (qt г). B.24)
Подставляя B.24) в уравнение B.19) и выполняя все
интегрирования, можно получить
(§t+*TVr)9=R + S-l(V9-pV)-
--^{VqVVrP + 4rpVqV - VrVVqP - V^Vr^}. B.25)
Динамические члены нулевого приближения, находящиеся
в первой строчке правой части уравнения B.25), описывают
воздействие внешнего поля только на внутренние переменные
атома. В электромагнитном поле матрица V недиагональна, что
соответствует смешиванию стационарных состояний
изолированного атома. Именно эти явления и будут нас интересовать
в дальнейшем. Если же V не зависит от внутренних переменных,
то внешнее поле не может повлиять на внутренние движения
и обсуждающийся член обращается в нуль.
Члены второй строчки уравнения B.25) описывают влияние
внешнего поля на поступательное движение атома в целом.
В простейшем случае независимости V от внутренних координат
имеем V=VE, где V— величина, не зависящая от квантовых
чисел стационарных состояний; Е — единичная матрица. Как

24
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
уже отмечалось, члены нулевого приближения обращаются
в нуль, и уравнение B.25) принимает вид
{| + [-? + »V gv] Vr+Fvq}p=R + S; B.26)
F = —%VrV.
Здесь F представляет собой, очевидно, силу, действующую на
центр инерции атома, а величина q + m%^qV имеет смысл
обобщенного импульса.
Более сложный вид общего уравнения B.25) обусловлен тем
обстоятельством, что силы и обобщенные импульсы могут быть
различными в разных стационарных состояниях. В соответствии
со сказанным силы представлены в B.25) матрицей %VrV,
а обобщенные импульсы — матрицей %VqV. Спектрам атомов,
ускоряемых внешними силами F, посвящена гл. VII.
В большинстве спектроскопических явлений влияние
внешнего поля на поступательные степени свободы несущественно, и
можно удерживать лишь первую строчку в уравнении B.25).
Рассмотрим более детально структуру динамических членов
этого уравнения и распишем его по матричным элементам
(Й + *V) р (а' а'; vrt) = R *a> а'> + S <а' а') -
— i21V {а, аг;П)р(аи a'; vrt)-
ai
-р (а, аг; vrt)V (alf a'; rt)]; B.27)
v = q/m.
Ограничимся анализом таких систем, состояния которых молено
охарактеризовать полным моментом / и его проекцией М
(атомы, молекулы типа сферического волчка, линейные
молекулы), т. е.
a=aJM=nM\ n=aJ, B.28)
где а, п совокупности Квантовых чисел, за исключением
соответственно JM или М. Элементы матрицы плотности и
гамильтониана взаимодействия имеют следующую структуру:
р (a, a'; vrt) = р (aJM, a'J'M'\ vrt) = р (пМ х п'М'\ vrt);
V (a, a'; rt) = V (aJM, a'J'M'; rt) = V (пМ, п'М'; rt). B'29)
В зависимости от рассматриваемого явления существенны те
или иные квантовые числа и непрерывные переменные. Ради
упрощения записи, в дальнейшем будут выписываться лишь те
переменные, которые важны для понимания обсуждаемого
вопроса, а остальные будут опускаться.
При теоретическом анализе ряда эффектов оказывается
возможным не принимать во внимание вырождение состояний

Кинетическое уравнение 25
(модель невырожденных состояний). В таких случаях система
уравнений B.27) будет записываться в форме
(|. + *V) Pmn = Rmn + Smn - i S [VmJp,n - PmjVjnl B.30)
Модель невырожденных состояний наиболее употребительна при
решейии конкретных задач в силу своей относительной
простоты и наглядности.
Для описания явлений, где существенно вырождение
состояний (например, поляризационные эффекты), помимо
^-представления B.29), широко применяется так называемое
представление поляризационных моментов (или представление
неприводимых тензорных операторов, или ^-представление),
связанное с -^-представлением следующими соотношениями [3]:
Ъ« {щ) = 2 <- 1)J'~M' <JMJ' - М' | нд} L (aJMfi* J'M')\ B.31)
MM' v '
UaJM, a'J'M') = S (- \f~w (JMJ' - M' \ xq> Lnn> (xq), B.32)
где L(aJM, a'J'M') — матричный элемент произвольного
оператора L в базисе собственных функций оператора момента
количества движения /; (JMJ'—М' | nq) — коэффициент векторного
сложения2. Среднее квантомеханическое значение величины
L(t) выражается через поляризационные моменты формулой
L (t) = 2 J dvdrLn* (щ) Pnn< (и?). B.33)
nn'nq
Для выяснения смысла преобразования B.31) распишем
разложение B.6) матрицы плотности по собственным функциям
гамильтониана внутренних движений изолированного атома
РA,60 =¦ 2 Р (я«Ш, a'J'M') У (aJM | g) W* (a'J'M' I Г). B.34)
пМ$п'М'
Здесь ^(а/МЦ) одновременно являются собственными
функциями оператора момента. После подстановки B.32) в B.34)
получаем
РF,Г)= 2 Рпп>{*Я)Ч{пп'щ\ЪЪуу
nn'nq
= 2 (- \)J-M\JMJ' -M'\%qyVnM{l)Yn.M- (Г). B.35)
MM'
Функция Y(nn'KqlH') представляет собой собственную функ-
2 Свойства коэффициентов векторного сложения ОМ1'М'\щУ и их связь
с 3/-символами Вигнера и другими аналогичными величинами см. в
приложении I,

26 Квантовое кинетическое уравнение [Гл. II
цию момента и, слагающегося из моментов У и У. Таким
образом, переход от B.34) к B.35) означает преобразование базиса
произведений собственных функций моментов /, V к базису
волновых функций суммарного момента. В соответствии с общими
правилами величина к принимает значения \J—J'\ <к </+/',
а величина q, имеющая смысл проекции х, изменяется в
пределах —х<<7^и.
Согласно приложению I:
</Л!/' - М' 100> - (- 1)J'-M' bjj.buwfy27 + 1 ¦
Поэтому из B.31) следует
Рпп' @0) = в^ 2 р (яЛ«, n'M)lV27+\t B.36)
т. е. поляризационный момент нулевого порядка имеет смысл
лишь для /=/' и при п=п' характеризует суммарную (по М)
заселенность уровня п. Величину р«ЛA<7) называют вектором
ориентации состояния /г, р»„ Bq) — тензором выстраивания [4].
Уравнения B.27) в ^-представлении можно записать таким
образом (см. задачу 2)
\Ш + vv) Р"«' = *»*' + 5™' + '?t [^«««'Рл»» ~ ^iP»m']• B-37)
где ряп* представляет собой вектор-столбец с элементами
Рпп'(к<?), Unxn> — матрица с элементами ?/пш'("9 l^tfi)-
Матрица &nnt связана с |/j?n соотношением
#2», (*<?I «1%) = (- lfl-J+9~9lUC (щ|ад). B.38)
Приведем явное выражение для элементов матрицы Untw '•
Wtn> (к* | УСгЯг) = 2 (- 1)*-'-'' /Bк+1)Bх1+1) X
х{* )) j} (- l)Ht~9l<^i -9il **> VV' (to), B.39)
Здесь j . ., j\ — 6/-СИМВОЛ, Vnn> (Лег) — коэффициенты
разложения матричных элементов гамильтониана взаимодействия по
неприводимым тензорным операторам
Vn& (to) = 2 (- 1/'"м' </1Af1/f - ЛГ | to>V (AMt, УМ'); B.40)
МУМ'
o=—K —Л+1, ... Я — 1, Я.
Ввиду эрмитовости взаимодействия V справедливы
соотношения
WV (Ла) = (- l)*7-''-* W» (X - а); B.41)
f/",V ИI *А) = (- 1 )w'+?-?' ?/?<„, (хх - <fc1 и - q). B.42)

|2J
Кинетическое уравнение
27
Физический смысл величин Vnw Ол)* определяющих
динамический член кинетического уравнения B.37), можно пояснить
на примере дипольного взаимодействия, для которого
гамильтониан имеет вид
\' = -^аЕ = -ЩТаЕа, B.43)
где Еа, da — сферические компоненты векторов электрического
поля Е и дипольного момента d (а=0, ±1). Например,
Е0 = Ег; Ек^-у^{Ех+1Еу)\ Е-г=±(Ех -1ЕУ). BМ)
Согласно теореме Вигнера—Эккарта, матричные элементы d0
даются выражениями
dataJMta^MJ^dnnA- \)Ji^Ml{JMJ1 - Мг\ la>eieW; B4.5)
Здесь <w|jrf||/ti) — приведенный матричный элемент оператора d.
Таким образом,
= -Tb2(-1)/l"Ml</Afyi -Millo,- ?oelfiW. B.46)
о
Подставляя B.46) в B.40), получаем для дипольного
взаимодействия
Vnnt {Щ = - 8u?a (dnni 'ft) ei0J'-<', B.47)
i\ е. отличны от нуля только элементы с а=1, а V7mi(ko)
пропорциональны сферическим компонентам электрического поля.
В общем случае величина % характеризует мультипольность
взаимодействия, а a — сферические компоненты тензора
взаимодействия.
Поскольку основные дальнейшие результаты будут
относиться к дипольному взаимодействию с электромагнитным полем,
приведем выражение для матрицы {/"к в этом частном случае.
Из B.39) с учетом B.47) следует
I/& И | w) = (- II-7-''-*, ГЪГП 1 г2^Г+\е <в||П" х
X {* *) ^ }<- 1)к'~* S <х?их - q, | la> dnn.E0l%. B.48)
Если электромагнитное поле поляризовано линейно или по
кругу, выражение B.48) допускает дополнительные упрощения.
Для линейной поляризации при выборе оси квантования вдоль

28
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
электрического вектора Е отлична от нуля только
компонента Ео=Е:
X (- l)**-*<*fl*i - Чх I Ю> Е0 (dnn-lh) exp (taw*)- B.49)
Для круговой поляризации удобна ось квантования,
направленная вдоль волнового «вектора поля. Тогда от нуля отлична
только одна из круговых компонент, например Ei=E:
UZ> Мъъ) - (- i)WlW^Karni/S^T X.
X {* ]) JJ (- l)Kt~9i <x?*i - qx111> [dnn-E/Ъ] е*«< B.50)
§ 3. Радиационная релаксация
Матрица R, входящая в правую часть кинетического
уравнения B.2) и описывающая переходы, обусловленные спонтанным
испусканием, наиболее простой вид имеет в
представлении Вигнера
R(q,r) = -R{i)(q,r) + R™(q,ry, C.1)
R(i){q,r)=yp(q9r)+P(q9r)r, Д& = (уп + TP»0 Р*»-; C.2)
R3 (д, г) = 8ПП, 2 АПхП J pnin, (^r) Wnni (qqi) dqx\ C.3)
Tli
Здесь Лщи, Югцп — коэффициент Эйнштейна для спонтанного
испускания и боровская частота для перехода П\*-*-п\
суммирование в C.3) выполняется по состояниям, энергия которых Ещ
превышает энергию Еп\ диагональная матрица у, содержащая
скорости спонтанного распада Y* состояний п, определена
формулой A.12).
Член Ril) описывает, очевидно, затухание матрицы плотности
Вследствие спонтанного испускания, т. е. Ril) соответствует тем же
процессам, которые рассматривались в § 1 (см. формулы
A.5), A.6) и последующее обсуждение). Если уравнение для
матрицы плотности выводить из уравнений A.11) для амплитуд
вероятностей, то R будет содержать только член /?A).
Матрица R{2), согласно C.3), диагональна; ее элементы
Rnl (q, г) задают скорость возбуждения состояния (n, q, г) в ре-

S3]
Радиационная релаксация
29
зультате спонтанных переходов из более высоко расположенных
состояний (пи <7ь г). Количество таких переходов в единицу
времени дожно быть, очевидно, пропорционально АПуП и
заселенности рщпАЧх*) состояния (пь Я\г), что и нашло отражение
в C.3). Интегральный характер величины Rnn(qr) обусловлен
эффектом отдачи, имеющим место при спонтанном испускании.
Действительно, в выражении C.4) для Wnni{qqi) отражен тот
факт, что импульс q атома, испустившего фотон с волновым
вектором k и перешедшего в состояние п, отличается от
импульса qlk=q^%ky которым он обладал до процесса испускания,
будучи в состоянии П\. Кроме закона сохранения импульса,
в выражении для WnnAq* Я\) принято, что частота фотона
приблизительно равна частоте перехода со„1?г. Такое приближение
вполне достаточно ввиду малых ширин линий спонтанного
излучения.
Легко проверить, что из соотношений C.1) — C.4)
вытекает равенство
Sp{$ R(q, г) dqdr}= 0, C.5)
означающее, что спонтанные переходы не изменяют числа
частиц. Таким образом, теория спонтанной релаксации,
основанная на кинетическом уравнении, свободна от ограничений,
присущих упрощенному подходу к данному вопросу в аппарате
амплитуд вероятностей (см. § 1).
Следует подчеркнуть, что соотношение C.5) подразумевает
суммирование по всем состояниям атома. При анализе
конкретных ситуаций, особенно при резонансном взаимодействии
электромагнитного поля с атомом, в рассмотрение включаются не
»ое состояния, а лишь некоторая их лрулша, наиболее сильно
взаимодействующая с полем. В такой .постановке шпур от R по
выделенным состояниям, естественно, в нуль не обращается.
В большинстве вопросов нелинейной спектроскопии нет
необходимости принимать во внимание эффект отдачи и можно
ограничиться классическим описанием поступательных
степеней свободы. В данном приближении следует положить %k=0
(см. C.4)), в результате Wnnx (qqj = $(q —tfi) и выражение для
J?B) в представлении Вигнера упрощается
№ («, г) = 6пп- 2 Anin ?п1П1 (q, г). C.6)
щ
Матрица R в координатном представлении, как
показывают вычисления, основанные на C.1) — C.4) и формулах
преобразования B.16), B.18), равна
Я = _#A>+#<2) C.7)
ЯA) = yp + py; Rnl = (Yn + y«') Pnn' (r, O; C.8)

30 Квантовое кинетическое уравнение [Гл. II
RC (г, г')= 6ПП, 2 АщпРп1П1 (г, г') Г„„, (| г - г' |); C.9)
Член ухода J?A) сохраняет структуру, которую он имел в
представлении Вигнер а (ср. C.8) и C.2)). Роль эффекта отдачи
передается в координатном представлении множителем
Wnnt (к—г'\) в выражении C.9) для члена прихода Rnn(r, г').
Действительно, ширина указанного множителя равна с/соП1П, что
в силу принципа неопределенности дает
IЧ — Я\ I ~ ^~Г" = ^п*п'
т. е. такая ширина множителя W*n» (|г — г' |) отвечает
изменению импульса на величину, равную импульсу фотона.
Переход к классическому описанию поступательного
движения (в отношении /?{2)) соответствует равенству!^! (| т—г' |) =
= \х и член прихода принимает вид
/Ий- (г, г') = 6,т, 2 ЛП1ПрП1П1 (г, г'), C.11)
аналогичный тому, что имело место в представлении Вигнера
(ср. C.11) и C.6)).
Изложенное выше относилось к невырожденным
состояниям. В противном случае каскадные спонтанные переходы
осуществляют «перенос» не только заселенности, но и
элементов матрицы плотности, не диагональных по индексам
вырождения (когерентности между подуровнями). Пусть а=аШ =
=пМ, где М — проекция момента /; тогда (см. задачу 14)
ЯA) {пМ, п'М') = (Vn + ?»-) Р №, п'М'у,
&2\пМ,пгМ)=Ьпп>^ А{пМп!'М'К^ЯхМ^р (/i!^!, пгМ[).
ntMtMi
Член ухода R{1) имеет прежнюю структуру, поскольку
константы спонтанного распада одинаковы для всех магнитных
подуровней. Член прихода Ri2) диагоналей по скалярным
квантовым числам ft, я' и содержит элементы р (ftiAfj пхМ 1),
диагональные по п\. Что касается индексов вырождения, то относительно
их радиационный приход недиагонален.
Вычисление коэффициентов А (пМп'М'\ ИхМ^М]) будет
проведено в задаче 14, и согласно полученным там
выражениям
А (пМпМ' | ПгМгПгМ'г) = АПгпЪ <JMla\ JXM{> </А*'1сг| ^Afi),
C.13)

§4]
Интеграл столкновений 31
где АП1п — первый коэффициент Эйнштейна для перехода
Я!->/г. Таким образом, в УИ-представлении член прихода R{2)
радиационной релаксации существенно не диагоналей. Из
свойств коэффициентов векторного сложения вытекает только
условие М — М' = М1 — М\.
В непредставлении (см. § 2) член прихода оказывается
диагональным в отношении п и индексов вырождения. Действительно,
осуществив переход в ^"Представление и выполнив
суммирование по всем проекциям моментов М, М', Ми Мь можно
прийти к выражениям
Ran* (*Ч) = 8„n' 2 АъпКРпг^ {Щ)\ C.14)
Л„1„(х)=ЛЯ1пBУ1Ч-l)(-l)J+Jl+K+1{J Jx yJ, C-15)
х
J J
где j j r J — 6/-СИМВОЛ. Итак, в результате каскадных
спонтанных переходов поляризационные моменты различных
порядков «переносятся» на другие уровни независимо (диагональ-
ность по nq). При этом скорости переноса ЛП1П(х) неодинаковы
для различных х. Для х=0 из выражения C.15) следует, что
суммарная (по М) заселенность уровня пи
характеризуемая элементом р^пДОО), релаксирует по каналу П\-*-п, как
и следовало ожидать, со скоростью, равной АП1п- Длях^О
коэффициенты ЛП1П(х) имеют иные значения, причем могут
быть как положительными, так и отрицательными (в случае
переходов /—J^=0). Отрицательность прихода означает, что
каскадный переход индуцирует на уровне п поляризационный
момент обратного знака в сравнении с существующим на
уровне Ль
§ 4. Интеграл столкновений
Вывод выражения для интеграла столкновений S — одна
из основных задач квантовой кинетики, еще не решенная
в полной мере. Однако для задач нелинейной спектроскопии
не слишком плотных газов вполне пригодно ударное
приближение, в рамках которого интеграл столкновений получен
достаточно строго.
Рассмотрим газ, состоящий из двух компонент, одна из
которых взаимодействует с внешним полем и описывается
матрицей плотности р. Вторая компонента играет роль термостата,
она будет называться возмущающей и описываться матрицей
плотности рь. Пусть энергия взаимодействия W
сталкивающихся «частиц достаточно быстро убывает с увеличением расстоя-

32
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
ния между ними, так что можно говорить об эффективном
радиусе взаимодействия рст и эффективном времени столкновения
Тст~рст/« (а —относительная скорость). Предположим, что
концентрация возмущающих частиц Nb достаточно мала и
объем области взаимодействия Рст оказывается значительно
меньше удельного объема N~j^ , т. е. выполняется условие
рЖ«1. D.1)
Неравенство D.1) означает также, что время столкновения
значительно меньше времени свободного пробега тсв
Тсв ~ (рстИЛ^)"; Тст/Тсв ~ РстЛГь < 1. D.2)
При выполнении указанных условий, составляющих
содержание ударного приближения, интеграл столкновений S в
операторном виде можно записать следующим образом (см. зада-
чуЗ):
S = ± Sp6 [Т (р х pb) Qf-Q(PX рь) Т*\. D.3)
Символ Sp6 обозначает, что вычисление шпура проводится по
переменным только возмущающей частицы; (рХра) — прямое
произведение р и р6; й — оператор Мёллера, описывающий
парное столкновение и подчиняющийся уравнению
(H+Hb)Q—Q(H+Hb)+WQ=0, D.4)
где Иъ — гамильтониан изолированной возмущающей частицы;
W — гамильтониан взаимодействия сталкивающихся частиц.
Матрица рассеяния Т определяется соотношением
T=WQ. D.5)
Если газ содержит несколько возмущающих компонет
(атомов, молекул, электронов, hohoib), то S будет представлять
собой сумму членов, аналогичных D.3) и характеризующих
столкновения с каждым сортом возмущающих частиц.
В главе I отмечалось, что внешнее поле влияет, вообще
говоря, на процессы, протекающие при столкновениях, если
интенсивность его достаточно велика. Согласно задаче 3, учет
указанного влияния не изменяет общий вид интеграла
столкновений D.3), но оператор Мёллера Q должен быть подчинен
уравнению типа D.4) с заменой #+#ь на H+Hb+%V(t), где
%V(t)—гамильтониан взаимодействия с внешним полем [5].
Особенности процессов столкновений, протекающих во внешнем
поле, в данной книге не рассматриваются, т. е.
подразумевается, что интенсивность поля недостаточно велика (в связи с
указанными явлениями см. [5—7]).

Интеграл столкновений 33
Интеграл столкновений D.3) выражен -через стандартные
операторы теории столкновений Г и й. Следует отметить, что
в D.3) входит именно оператор Мёллера Я, а не матрица
рассеяния E-матрица). Это обстоятельство объясняется
равновероятностью столкновений на интервале времени до момента
t (в ударном приближении на интервале —оо, t). Оператор
Мёллера и описывает эволюцию на указанном интервале
времени. Матрица же рассеяния содержит в себе итог эволюции
на интервале —оо, оо, причем подразумевается, что
столкновение произошло при конечном /.
Нахождение Г и Й, теоретическое или экспериментальное,
представляет собой весьма сложную задачу, решенную для
сравнительно немногих 'частных случаев. Особенно это
относится к возбужденным состояниям, наиболее интересным
с точки зрения нелинейной спектроскопии. Поэтому, как
правило, нельзя рассчитывать на исчерпывающие сведения о Гий
для тех или иных конкретных ситуаций. В связи со сказанным
особое значение приобретают сведения об аналитической
структуре интеграла столкновений, позволяющие использовать
разнообразные модельные соображения и тем самым доводить
до конца решения конкретных кинетических задач. Столь же
важны общие результаты теории столкновений, помогающие
по виду потенциала рассеяния качественно предугадывать
характер матричных элементов операторов Т и Я. Изложенные
соображения побуждают к детализированному анализу
интеграла столкновений, проводимому в § 4, 5.
Будем приписывать индекс а величинам, относящимся к
частице, для матрицы плотности которой составлено
кинетическое уравнение. В дальнейшем мы откажемся от этого индекса,
но на протяжении данного параграфа введение его
целесообразно.
Покажем, что шпур от интеграла столкновений D.3)
тождественно равен нулю, действительно,
SPa5 = ±SPab{Т (р х Рь)Q+-Q(px р„)ТЦ •¦=
= 7? SPab f iQ*T ~ TfO] (р X рь)} = 0, D.6)
поскольку
rffl - QfWfQ = QfWQ = Qfr
в силу эрмитовости гамильтониана взаимодействия W. Таким
образом, интеграл столкновений D.3) обеспечивает выполнение
условия B.5), означающего сохранение числа частиц.
Оператор Мёллера содержит в качестве слагаемого
единичный оператор
Q=l+K D.7)

to
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
(см. задачу 3), благодаря чему интеграл столкновений можно
записать в следующем виде:
S=—S<»+S<2); D.8)
5A) = 4 SPb \Т <Р X 9ъ) - (Р X Рь) Г*]; D.9)
5B) = 7LsPb{7,(pxpb)r~/C(pxPb)rf}. D.10)
Слагаемые SA) и SB) будем называть членами ухода и прихода
соответственно.
Дальнейший анализ удобно выполнять в энергетическом
представлении для внутренних степеней свободы атома и в
импульсном представлении для переменных центра инерции его.
Пусть а, р обозначают совокупности квантовых чисел частиц а
и Ь9 а ра и рь — импульсы их центров инерции. С помощью
введенных обозначений матричный элемент члена ухода
SA) (аа'papa) можно записать так
S(i) (аа'рара) = 2 J*dpaldpaiv(аа1'PaPa\aw\paiPat) X
OL\OLm
Xp(*l*'lPalPal), D.11)
где через v (aar рара \ axa\paiPa\) обозначена величина
v (аа'papa | axa[palpai) =2jl dpbdpbl X
X.[T(apPePb|aiPtP«iPw)ee.e;e (л- Pai)pb (МРыРъ)-
- ^№a-P*)T*{*'to'aPb I v'ihPaiPbl) 9b (PPlPbPw)! ¦ D- *2)
В отличие от радиационного распада член ухода интеграла
столкновений в общем случае «перемешивает» (см. D.11))
состояния атома, но только «по половине переменных». При
некоторых условиях, выполняющихся в подавляющем большинстве
задач, величины v(...|...) оказываются диагональными и по
внешним, и по внутренним переменным, о чем будет сказано
несколько позже. В таких ситуациях SA)(aa'PaPi) определяет
распад элемента р(аа'рар'а) матрицы плотности или «уход»
атома из точки \ааграРа) в остальные точки пространства
состояний. Приведенные соображения объясняют название
слагаемого S(,) — член ухода.
Матричные элементы операторов К и Г связаны
соотношением (см. задачу 3)
K(a$paPb№iPaiPbi) = -ZniTtappePblaaLPipaiPw) X
xe+(?ei-?e + ?fc-?,i + ^V^). D.13)

ъ 4] Интеграл столкновений 35
где 6+(*) = ~-8(*)+*/2л;*, Еа, ^ — энергии состояний а, р.
Поэтому матричные элементы слагаемого SB) можно представить
в виде
SB)(<xa', рара) = ^^dpaldpaiA{aut,papa\alaipalpat) X
a'aj
XpCotja'i/latpal). D-14)
Здесь функция A(aa'pap'a\ctia'ipalp'ai), называемая ядром
интеграла столкновений, дается соотношением
Aiaqc'pap'al^aipajp'ai)^^- 2 J dPbdPbldPbiPb Ш'фыР'ы) X
X Г (аррарь | а^^в^м) 7* (a'p^j»6| а'ф'аНф'ы) X
х {б_ (*„.- В.. + ?,,-?» + ^ + ^) +
+ к(ъ1-Е. + Е»-Е,+Щ^+&?!Щ. D.15)
Из структуры выражейия D.14) следует, что S{2){aa/papa)
определяет скорость переходов в состояние а>а'рар'а из всех
остальных точек пространства состояний. Очевидно, ядро
А(а&'РаРа I oi^ipaipai) задает плотность числа переходов
aiaiPaiPai -» aa'papi в единицу времени.
В рамках ударного приближения выражения D.11), D.12)
и D.14), D.15) являются наиболее общими, включающими в
себя любые процессы, протекающие при столкновениях: неупругие
и упругие, в том числе возбуждение, деориентацию, изменение
скорости, сбой фазы атомного осциллятора, девозбуждение.
Возмущающие частицы могут находиться в произвольных
состояниях, в частности в когерентных (недиагональные элементы
матрицы рь отличны от нуля). Когда, например, возмущающие
частицы взаимодействуют с мощным электромагнитным полем,
они могут оказаться ориентированными и обладать наведенным
дипольным моментом, что проявится в результате столкновений.
Вследствие обилия учитываемых обстоятельств формулы D.11),
D.12), D.14), D.15) оказываются сравнительно сложными. Если
при каких-либо условиях можно выделить один из указанных
выше процессов, выражение для интеграла столкновений
существенно упрощается. Кроме того, известное упрощение
достигается благодаря законам сохранения полного импульса и
полного момента сталкивающихся частиц.
Рассмотрим прежде всего общие следствия, вытекающие
в отношении интеграла столкновений из пространственной одно-

36
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
родности системы. Коль скоро гамильтониан взаимодействия
сталкивающихся частиц W зависит от разности координат их
центров инерции
Щг«, rbt ?, n) = W(ra-rbt g, л) D.16)
(I, t] — внутренние координаты), поступательное движение
разделяется на движение общего центра инерции частиц а, & и на
их относительное движение. Из D.16) следует, что в
координатном представлении (см. задачу 4)
Т (аргаг61 а^ГахГы) = 6 (R - R±) Т (офг | а^); D.17)
r=ra-rb; R = \iara + \ibrb;
t*>atb=t*>/ma,b; ii=matnbl(ma+mb), D.18)
где Л, г — координаты центра инерции и относительного
положения сталкивающихся частиц. В импульсном представлении
аналог формулы D.17) выглядит следующим образом:
T(<*$PaPb\aihPaiPbi)=6(P—Pi)r(aPp|aiPi/>i); D.19)
P = pa+Pb\ P=\lbpa—\lapb, D.20)
где Р, р — полный импульс и импульс относительного
движения.
Аналогично условию пространственной однородности D.16)
(или его эквивалентов D.17), D.19)) существенное упрощение
в интеграл столкновений вносит предположение о
пространственной однородности распределения возмущающих частиц
Pb(rb,r'b)=pb(rb-r'b) D.21)
или в импульсном представлении
Рь (Рь, Рь) = S (рь - Рь) 9ь (Рь)- D.22)
Если принять допущения D.19), D.22), то интеграл
столкновений будет описываться выражениями
SA) (aa'рара) ^ 2/ V(aa' I °W> PaPa) P (wiPaPa)', D.23)
v (aa' | aia;; papa) = -Jj 2 f dP \ T (сфр | ajjt) 8 - X
nPa &Pi L 1
XP6(PiP, ^^j-eaa.Pb^Pi, ^^)г*(а'Рр|аЖр)];
D.24)
SB)(aa'papa) = 2i§dpaA{aa'papet\ala'd><aP*L+p'a--pJ X
X P («jaiPelPal + Pa- Pa)', D-25)

*4]
Интеграл столкновений
37
A (aa'paPal Uia'iPalPal +Ра-Ра)=-^3 } dPdPlX
хЬ(ра-ра1-р+Р1)% Tia^pla^j),)
Г*(*'РР + Pa - Pa\ a'#iPl +p'a- Pa) Pb^U ^f^) X
+ 6H
?al — ?a + ?pi — ?(H
/>l~/>2
D.26)
2f*
Из выражения D.23) очевидно, что сохранение полного
импульса и пространственная однородность распределения
возмущающих частиц обусловили локальность члена ухода
относительно импульсной переменной. Величина v (aa' | о^а'ь рара)
задается, согласно D.24), диагональным по р элементом Г-мат-
рицы, т. е. определяется амплитудой рассеяния вперед.
Суммирование и интегрирование в D.24) означает усреднение повеем
/ V'hP — Р \
состояниям возмущающих частиц с весом рь рхр, -^—^ J (из
D.20) видно, что (\ibPa—p)l\ia представляет собой импульс
возмущающей частицы, выраженный через ра и р).
Если отказаться от условия пространственной однородности
возмущающих частиц, то импульсные аргументы Г-матрицы
и рь в D.24) будут отличаться на одинаковые величины
Pi— Р=Ры— ръ.
Вместе с тем б (рм—Рь) в D.22) заменится на функцию с
эффективной шириной Арь~%/Ьъ, где ^ — характерный масштаб
неоднородности. Наиболее резкая структура Г-матрицы как
функции р—р\ обладает шириной, также определяемой принципом
неопределенности и равной по порядку величины Й/рст (рст —
радиус столкновений). Следовательно, когда рст<С?&, р и р\
в r(app|ai(Jipi) можно полагать практически равными. С другой
стороны, Lb не может быть меньше длины свободного пробега.
Поэтому3 формулы D.23) —D.26) справедливы при рст</.
Однако l~l/piTNb, и неравенство рСт«С/ совпадаете условием
применимости ударного приближения D.1). Таким образом, в рамках
ударной теории условия практической пространственной
однородности выполняются и формулами D.23) —D.26) можно
пользоваться.
3 Мы отвлекаемся от случая взаимодействия возмущающих частиц с
мощным электромагнитным полем, могущим создать пространственную
неоднородность с масштабом, равным длине волны.

38
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
Член прихода D.25) сохраняет интегральный характер и в
условиях пространственной однородности, что отражает,
очевидно, изменения скорости, происходящие при столкновениях,
и обусловленные ими переходы paiPai ->¦ РаРа-
Пространственная однородность приводит лишь к равенству p'ai — ра\ = Ра —
—ра, означающему, что столкновения не влияют на
пространственную однородность распределения частиц.
Обратим внимание на импульсную б-функцию в выражении
D.26) для ядра интеграла столкновений, отражающую закон
сохранения полного импульса сталкивающихся частиц. Сумма
б+- и б--функций сводится, как будет видно из дальнейшего,
к закону сохранения энергии в процессах, протекающих при
столкновениях. Суммирование по р, fJi, Pi и интегрирование по
р9 pi означают усреднение произведения Г(...|...)Г*(...|...) по
всем состояниям возмущающих частиц, причем весовыми
множителями служат б-функции и распределение р*>.
Разность ра — рц —&ра в аргументах Т *(...)...), отражающая
пространственную неоднородность распределения частиц а,
равна по порядку своей величины %/La, где La — масштаб
пространственной неоднородности; в большинстве задач,
рассматриваемых ниже, пространственная неоднородность создается
внешним электромагнитным полем, и ее масштаб равен длине волны
Я. В оптической области спектра и для не слишком сильно
возбужденных состояний выполняются условия
Я>рст; Я>Й/|р|, D.27)
и поэтому разности Лра могут быть отброшены в б-функции
и в аргументах Г(... | ...). Неравенства D.27) относятся к
случаю, когда к<^1, что эквивалентно превышению допплеровской
ширины линии kv над ударной {k=2nj%\ г;2=2?вТ//па; kE, Т —
константа Больтцмана и абсолютная температура). В противном
случае минимальный масштаб неоднородности может
совпадать с /. В такой ситуации разность Дрв в выражении для
ядра D.26) можно отбросить на основании условий
Рст#ь<1; Рст<й/|/>|. D.28)
Таким образом, в рамках ударной теории член прихода
интеграла столкновений имеет вид
&2)(аа'рар'а) = 2 j dpalA(aa'pa\ агафа1)р{а±а{palpal + ^pa);
А(аа'ра|axa'ijO = -^ 2 Jdpdp\6(pa-Pai-P + Pi) X
X T («P/>| ate) T* (a'pp | аф'1Р1)9ь{р^и ^~А) X

'§4]
Интеграл столкновений
39
|8_ ?<x'i — ?а<
+ Epi — Ер
р\-р-
2fi
+
Г р\-р^
+ б+ |?а1 -Ец + Е# - ?р + ^jT1
]}¦
D.29)
Как уже отмечалось выше, для выяснения эволюции атома
достаточно квазиклассическое описание поступательных
степеней свободы4. В таких условиях полезно представление Вигне-
ра, определяемое соотношениями B.16) — B.18). С помощью
этих преобразований можно получить следующее выражение
для интеграла столкновений в представлении Вигнера:
S{qr) = -S«> for) +S<2> (qr); D.30)
5A) (aa'qr) = 2 v (aa' | axa\\ q) p (a^qr); D.31)
v (aa' | aia;; q) = i(-^r 2 J <*P [ Г («Pp | arftf) «a,a< X
X pb (m, ^-?) ~ Saa.Pbj'pPx ^^)r* (a'p> I alM)]; D.32)
5B) (aa'^r) = 2 j" ^И(аа'^ | aia^) p foa^r); D.33)
OCiOCj
Л(aa'tfIa^;^) = i^ 2 f**Лв(<fc - <7 - Pi + P) X
X 7 (app I a^) Г* (a'Pp I a&pj p6 (pjH, ^g^) x
X J6_ [?a4 - E* + ?рч - ?p + ^Г"] +
+ 6+[?al-?a + ?pi-?p + ^j^Jj. D.34)
По ходу выкладок, приведших к D.34), сделано
дополнительное допущение
^>>^ТрГ'
D.35)
4 Речь идет о квазиклаосике по отношению к переменным ra, г'а или
ра, ра матрицы плотности р, но, разумеется, не к аргументам Г-матрицы.
Квантовые эффекты при рассеянии могут быть очень существенны и
обсуждаются ниже.

40
Квантовое кинетическое уравнение
[Гп. II
несколько отличающееся от D.27), но также выполняющееся
в практически интересных ситуациях.
При сопоставлении D.31) —D.34) с D.23), D.24), D.29)
видно, что переход в представление Вигнера формально свелся
к замене импульсов ра, Ра\ на переменные Вигнера q и Ц\,
аналогичные классическому импульсу. Условия пространственной
однородности, обсуждавшиеся и использованные ранее,
выразились в локальности интеграла столкновений по координате г.
Физический смысл такой локальности очевиден: столкновитель-
ные процессы протекают в области с линейными размерами рст>
значительно меньшими длин свободного пробега. Поэтому они
могут рассматриваться как происходящие в точке, если
интересоваться сравнительно медленными изменениями (в пространстве
и времени) функции распределения частиц. Относительно
процессов излучения, которые описываются недиагональными
элементами матрицы плотности, локальность по координатам
означает, что в кинетическом уравнении принимается во внимание
излучение (поглощение), происходящее только на протяжении
свободного пробега, а радиационные процессы, протекающие
в самой области взаимодействия сталкивающихся частиц,
выпадают из рассмотрения.
Кроме обсуждавшихся выше условий пространственной
однородности взаимодействия сталкивающихся частиц или их
распределений, интеграл столкновений допускает упрощение
благодаря ряду иных, достаточно общих причин. Как правило,
возмущающие частицы не поляризованы, т. е.
Рь<{Ч^Рь) = в»Рь(Р.Ръ). D.36)
вследствие чего уменьшается кратность сумм в выражениях
D.32), D.34) для v и A (аа^с^ос^). В частности, элемент
Г-матрицы в D.32) оказывается недиагональным лишь по
переменным внутренних движений частицы а.
Резкое нарушение условия D.36) может быть обусловлено
взаимодействием возмущающих частиц с мощным внешним
полем (см. задачу 3). В результате такого взаимодействия
возникает обширный класс нелинейных явлений, которые выходят за
рамки данной книги и ниже не разбираются.
Обратимся к анализу фазовых множителей, входящих в
интеграл столкновений, и связанной с ними зависимости от
времени. Напомним, что элементы Г-матрицы определены на базисе
волновых функций
Уа (в = Ч>« F) e-iE«t/n; Ъ (П) = Ь ft) e~i?P'M, D.37)
вследствие чего T(a[lp|ai|iipi) содержат в себе множители
exp [i (Еа-Еа1 +?в—?ц) t/h], D.38)
которые задают определенные осцилляции слагаемых в членах
ухода и прихода. Если частоты этих осцилляции достаточно ве-

§4]
Интеграл столкновений
41
лики, то вклад соответствующих слагаемых будет мал и они
могут быть отброшены. Последнее заключение заведомо
относится к частотам осцилляции, превышающим l/xCTi ибо по
основному допущению ударной теории релаксация элементовp(aa'qr)
должна происходить значительно медленнее, с характерным
масштабом порядка времени свободного пробега.
Согласно D.37), величина v содержит множитель (см. D.32))
е««; %* = Ea-Eai + Ea-i-Ea: D.39)
Если ограничиться случаями, когда расстояние между уровнями
превышает WtCT, т. е.
| Еа - Eai |, | Е*> - ?«-11 > »/тст, D.40)
то из всех слагаемых члена ухода следует удержать лишь те,
в которых квантовые числа a, ai отличаются только вследствие
вырождения. Следовательно, член ухода определяется
амплитудами упругого рассеяния вперед.
Произведение Г(... | .. .)Г*(... | ...) в выражении D.34) для
ядра интеграла столкновений, согласно D.38), D.36), также
содержит множитель D.39). Заметим, что разность аргументов
б+- и 6--функций в D.34) равна е. Поэтому при условии D.40)
в SB) удерживаются слагаемые с е=0, и сумма б-+в+ в D.34)
сводится к б-функции.
Равенство 8=0 выполняется автоматически для наиболее
интересных слагаемых члена прихода, а именно
Еа = Еа.; Еах^Еа-а D.41)
Еа = Еаг; Ea.i=E*.. D.42)
Первый случай соответствует возбуждению диагонального по
энергии элемента p(aaV) №а ~ ?«') также диагональными
Р i^xa'iqr) (Еа\ = Еа,{\ не обязательно Еа = Е& ~ Ea^i = Eai\-
Во втором случае речь идет о возбуждении недиагонального
элемента недиагональными же при одинаковых боровских частотах
соответствующих переходов: aw =©a . По-видимому,
последнее равенство может быть нарушено, но на величину,
значительно меньшую 1/хст- Таковы условия при рассмотрении
контуров перекрывающихся спектральных линий и учете обмена
поляризациями между соответствующими переходами (эта проблема
обсуждается в § 6). В указанных условиях сумма 6++6- также
обычно заменяется на 6-функцию, хотя связанные с этим
возможные неточности расчета не анализировались в литературе, так
что вопрос о законности такой процедуры остается открытым.

42
Каантоаое кинетическое уравнение
[Гл. II
Резюмируя сказанное о 8+- и 6--функциях, можно высказать
мнемоническое правило, согласно которому «подобное
возбуждается подобным», т. е. заселенности возбуждаются заселенно-
стями, а поляризации — поляризациями. Еще раз подчеркнем,
что это правило самым существенным образом опирается на
предположение о неполяризованности возмущающих частиц
и в противном случае не соблюдается.
Сделаем теперь некоторые замены переменных, упрощающие
запись интеграла столкновений в чисто техническом отношении.
Более удобной переменной, чем импульсы, оказываются
величины, связанные с q, qb, р соотношениями
q—mav\ qb=mbvb\ р=\ш. D.43)
При классическом описании поступательного движения
величины v, vb имеют, очевидно, смысл скоростей сталкивающихся
частиц, и — относительной скорости и?.
Вместо элементов Г-матрицы часто используют амплитуды
рассеяния, имеющие размерность см и определяемые формулой
Т (арр | а^/ц) = - B^1 / (*Р* I aiMi) X
X exp {i [Еа - ?«i + ?р - ?Р1] t/Щ. D.44)
Появление экспоненциального множителя в D.44) связано
с тем, что элементы Г-матрицы определены на базисе функций
Ча, 4%, тогда как для амплитуд рассеяния более употребителен
базис •$«, %.
При переходе от импульсных переменных к скоростям
следует изменить нормировку матрицы плотности
Р (?, г) = та3р (V, г); р6 (qb, rb) = m7*pb (vb, rb).
Тогда
Spa{$dvdrp{vtr)}=N, D.45)
и формула для вычисления средних квантовомеханических
величин сохраняет стандартный вид
L (t) = Sp {j dvdrLp (я, г)}. D.46)
Принимая в внимание все отмеченные обстоятельства,
запишем кинетическое уравнение в окончательной форме, которая
будет использоваться на протяжении всей книги:
(if + * V) Р = - ' [V9 -W + R + S; D.47)
# = - д<» + /jB). s = _ $(!> + Sw. D.48)
SA) (aa', vr) = 2 ei8/v(aa' | axa\v) p (a^i, w); D.49)
OCtOS t

§4]
Интеграл столкновений
43
v{aa'\axauv)=^^dupb{^V-tt) X
ft
X Г/ (оф# | ахРа) ба,1а,— 6аа ,/*(a'Pe|a'iP«)]; D.50)
SB) (аа', яг) = 2 е,е' J dvxA (aa'tf | ацл&д р (c^ai, Vf); D.51)
Л (аа'я1 aja'tfj =22) duduxb \v — v± — ? {и — аг) j X
X Рь (Pi, ^i - »i) f («P« | a^^O /* (a'P« | aft^) X
xe^t_„J+J.A?J; D.52)
U=Ea- En + Eai - ?<r; Д? = ?a - ?ai + ?p - %- D.53)
Динамический член в D.47) выписан в предположении
справедливости классического описания поступательных степеней
свободы и без учета сил, действующих со стороны внешнего поляна
центр инерции атома. Более общие выражения, свободные от
указанных ограничений, приведены в § 2 (см. B.19), B.25)).
Кроме того, в D.49) и D.51) сохранены фазовые множители,
существенные при анализе вопроса о контурах
перекрывающихся линий.
Приведем теперь выражения для интеграла столкновений в
некоторых, наиболее часто встречающихся частных случаях.
В качестве первого примера рассмотрим так называемую
модель релаксационных констант, возникающую в таких условиях,
когда можно пренебречь изменением скорости частицы а при
столкновениях. Из закона сохранения полного импульса
следует, что изменение скоростей v—V\ и и—щ связаны
соотношением
а
Пусть Д«, Да, Avb обозначают эффективные ширины амплитуды
рассеяния и распределения частиц а и & по скоростям. Если
предположить, что
Д?>|-Ди; ДУб>?-Ди, D.54)
a а
то p(aia'i;tv) можно вынести из-под знака интеграла в D.51),
а в распределении рь(рь V\—U\), входящем в D.52), заменить
v 1 на v. В итоге интеграл столкновений приобретает вид
S (aa'f vr) = - SA)(aa', vr) + SB)(aa'f vr) =
= 2 ei8/ [v (aa' | axa[\ v) — v (aa' | axaltr)] p (axal, от); D.55)

44
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
v (<ха' | <xxai, v) = J dvxA (аа', vt \ ага[9 v) =
= 2 Ц JdWtftfbtPb * - *!)«(«¦ - »? + 4 Д?) х
X / (ар01 axMi) /* (а'Р* I aiMi); D-56)
Величина v (оса' | ахаи v) имеет размерность с-1 и называется
частотой прихода. Как видно из D.54), модель релаксационных
констант может реализоваться как за счет малой ширины
амплитуды рассеяния, так и за счет относительно малой массы
возмущающих частиц (гпъ<^та)> либо вследствие обеих причин.
В D.55) принято, что модель релаксационных констант
применима ко всем слагаемым члена прихода. Как правило, это не
так, т. е. условия D.54) выполняются лишь для некоторых
слагаемых. Тогда член прихода содержит и интегральные
слагаемые, и слагаемые типа D.55).
Рассмотрим теперь другой частный случай, отвечающий
столкновениям бесструктурных частиц а и &. Такая модель
(упругие частицы) является основной в кинетической теории газов
при исследовании процессов переноса, т. е. соответствует
первоначальной формулировке интеграла столкновений Больтцмана.
В модели бесструктурных частиц переменные внутренних
степеней свободы не фигурируют, и члены ухода и прихода таковы
S<»(Vtr)=v(v)p(v,r); D.57)
v (*) = ^ f du [f (и\а)- /* {и |и)] рь(V - и); D.58)
SB) {v, Г) = J A (v | vx) р (vlt г) Afi; D.59)
A (v |vx) = 2 Jduda±8 \v - vx - ?- {a - аг)\ 8 (я2 - я?) x
xPbi*i-*i)f{*\*i)P(*\*i). D.60)
Отличие приведенных выражений от интеграла столкновений
Больтцмана состоит в том, что рассматриваются столкновения
частиц а с частицами другого сорта (Ь). Для описания
столкновений частиц а между собой достаточно в D.58) и D.60)
заменить pb(v\—U\) на p(t>i—U\).
В дальнейшем будет широко использоваться модель
невырожденных состояний; в этой модели совокупность квантовых
чисел а сводится к одному числу, нумерующему состояние с
различными энергиями:
S%n (V, г) = vmn (v) pmn (v9 г); D.61)
vWn(v) ~2 J<tepb(P. v-u)[f (mfiu|m$u) -/*(при|ф$)];
* D.62)

§4]
Интеграл столкновений
45
S%1 (V, f) = j Amn (V |«!) pran {v,r) dvt +
+ S е1в(('Л(т/1«»|т1/11«>1)рт1П1(«>1г)^1; D.63)
тхПхфтп
Amn(V\v1) = 2^dttda1b\v~v1--^a(tt-u1)\x
хб(й2-й1 + | A?J p6 (Px, vx - «0 / (три | m$xux) x
X/*(/iPa|nM!); D.64)
A (mtw | Wjrt^) = 22] daduxb \v — vx — -^- (a — ax)l x
хб(й2-»? + | Д?) pb(Pb tf, -ttx) f (три|mx$xux) X
x/*(/#« | лiMi)- D-65)
В соотношении D.63) специально выделены члены с тх=т
и fli=n с целью подчеркнуть тот факт, что ядра Amn(v\vi)
обусловливаются упругой частью рассеяния как для
диагональных (т=п), так и для недиагональных (тфп) элементов.
Неупругие процессы, описываемые ядрами A(mnv\m\n\V\),
задают возбуждение уровней (т=пу тх=П\) и перенос
поляризации (тфп, т\Фп\) с одних переходов на другие.
Более громоздки интегралы столкновений при рассмотрении
вырожденных состояний. Пусть ради определенности речь идет
о состояниях сталкивающихся частиц а, & с заданными
значениями моментов количества движения /, Jb и их проекций Af,
Mb на некоторую ось (Oz) в лабораторной системе координат.
В общих формулах D.50) и D.52) выделим в явном виде
проекции Af, Мь, а набор остальных квантовых чисел обозначим
/г, пъ:
v {п/Лп'М' | пхМхщМи *) = т? 2 f dU9b (л*' v ~ tt>> Х
ф *ъ*ъ
y.^f{nMnbMbu\nxMxnbMbtt)b^ -
-Saai /* (п'М'пьМр | n\M\nbMbtt)^ D.66)
A {nMn'Ni'v | nxMxn[MiVx) = 2 2 J dudux pb(nbi, vx- ux) X
nbMb
4lMbi
х8[^^-^(й- Ях)]б(я2 - «?]+ у Af) x
X a {пМп!MrnbMbnb M^t \ nxMxn[M\nbxMbXnbxMbxux)) D.67)

46
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
a (nMn'M'nbMbnbMva \ nxMxnlMlnbXMbXnbXMblux) =
= / {пМпьМ^ | щМ^п^М^Ыг) /* (п'М'пьМьи \ п{М\пъхМьхи^.
D.68)
При выполнении равенств
а — а7; ах = ai; а = пМу
т. е. когда левые и правые аргументы амплитуд f9 f* попарно
совпадают, величина а=|/|2 имеет смысл «обычного»
дифференциального сечения рассеяния — отношения потока
рассеянных в соответствующем канале частиц к падающему потоку.
В общем случае величину а следует рассматривать как
обобщенное дифференциальное сечение, характеризующее рассеяние
поляризованных частиц.
На основе D.56) для частоты прихода в модели
релаксационных констант можно написать
v(пМп'М' | nxMxniM'i\ v) = 2 2 f dudaxpb (пьъ v — ax) x
nbMb
пымы
X о (nMn'M'nbMbnbMbu | пхМхп[м\nblMbxnbxMblux) X
Xb^-uj + j-AE). D.69)
В ^-представлении (см. § 2) характеристики интеграла
столкновений приобретают вид
v {пп'щ | nxn\yixqx\ v) = т^ 2 J dapb {nb, v-u)x
4мь
X 2 (- \f-M'+J'i-M'\ <JMJ'-M' | x</> (/iAfi/l - Af 11 xrfx> X
X [/ (ЛШьй | Af^fl) eaV - 6acJ* (M'Af^ I ВД^)]; D.70)
A (nn'nqv | «inixi^i) = 2 2 J <tedM ta — ^ — •?- (a — яхI x
X /2Vfl /2У61+1рь (Ль1| ^ - ux) d(u* - n\ + -I-ДД) X
X a (x^OOa | xxqx00ux)) D.71)
v ( wi'x? | flxnixxfr; «) = 2 2 f rf«*i8 (#2 — «? + ~ A^) X
X ]/2Уь+1 У2/Ь1 + 1рь (лМэ о - Я1) а (щООи | х^ОО^); D.72>

§4]
Интеграл столкновений
47
о {nqnbqbU | х^х^ыЯх) =
= 2 2 (- l)J'~M/+Ji~Mi+J6"Mb+Jb "<Х
X </AfУ - ЛГ | х?> <У1Л1х/1 - ЛГ11 Kxqx} (JbMbfb - Afi | W X
X <^biAfbiy;i - Mbi\ Kblqbl)o(MM'MbM'bu \ М^М^Ми^). D.73)
Для упрощения записи соотношений D.70) —D.73) в
амплитудах и сечениях опущены все индексы, кроме и, q и М.
Напомним, что в этих выражениях принято предположение о
диагональное™ распределения возмущающих частиц по п&, Мь и
о независимости его от Мъ.
Выражения для \{MMf \M1M\\v)> v{MMr \МгМ\\ю) и
A (MM'v | MxM\v^) относительно угловых переменных могут
быть упрощены аналогично тому, как это сделано для
поступательных степеней свободы на основе соображений о
пространственной однородности распределения возмущающих частиц
и закона сохранения полного импульса. В данном случае
аналогом последнего служит закон сохранения полного момента
количества движения сталкивающихся частиц, слагающегося из
моментов внутренних движений и момента относительного
движения. Указанный закон выполняется, если при рассмотрении
столкновений можно не принимать во внимание внешние поля.
В противном случае, как уже отмечалось, возникает обширный
круг нелинейных явлений, которые выходят за рамки книги
и в ней не обсуждаются.
Аналогом условия D.21) пространственной однородности
распределения возмущающих частиц оказывается требование
изотропности его по отношению к любой из возмущаемых
частиц, т. е.
P»(P,v»)=P»(M«b|)=p*(P,-|v-«|)«p»(M«|); М<|«|. <4-74)
Соотношения D.74) будут выполняться, если изотропно р6(?, vb)
и относительные скорости |и| значительно превосходят
скорость частиц а. Приведенные соотношения можно рассматривать
как формулировку так называемой модели изотропных
столкновений, имеющей огромное практическое значение, поскольку
в пределах ее применимости оказываются возможными решения
многих задач спектроскопии вырожденных состояний.
Для упрощения частот столкновений удобно воспользоваться
не самим законом сохранения полного момента, но его
физическим эквивалентом — изотропностью пространства. Вывод
обсуждаемых ниже соотношений, основанный на законе
сохранения полного момента, вынесен в задачу 5.

48
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
Рассмотрим сначала выражение D.66) для частоты ухода.
Амплитуды рассекния /, входящие в D.66), равно как и частота
v, определены в лабораторной системе координат. Чтобы в явном
виде выполнить интегрирование по направлениям относительной
скорости и, можно выразить f(MMbu\MxMbu) через амплитуды
рассеяния / (М'Мьи\ М[Мьи) в системе координат, связанной
с направлением и=и/и. Согласно общему правилу
преобразования матричных элементов, вычисленных на базе собственных
функций оператора момента (см. прилож. II), имеем равенство
/ (JMJbMbu | A^iV^a) = 2 7[JM'JbMbu \JxM[JbMblu) X
м\м'м'ъмн
X DW (орТ) D?m; (арТ) DJ^(арТ) D'l^(оф7); D.75)
где D3mm> (офу) — матрицы Вигнера; офу — эйлеровы углы,
связывающие старую и новую системы координат. Вращение
осей, определяемое углами Эйлера, осуществляется в три приема
(рис. 2.1): 1) поворот вокруг оси Oz на угол а до совмещения
оси Ох с проекцией вектора и на плоскость хОу\ 2) поворот
вокруг оси Оу' на угол р до совмещения оси Oz с направлением
и; 3) поворот вокруг и (новая ось Oz') на угол Y- Из сказанного
должно быть ясно, что углы Эйлера a, р совпадают со
сферическими углами вектора и в старой системе координат: a=qr, fJ = 0.
Следовательно, интегрирование по направлениям и а в D.66)
соответствует интегрированию по углам Эйлера а, [J. В силу
изотропии пространства амплитуды рассеяния вперед f(...u\ ..и)
не изменяют свой вид при вращении вокруг направления и на
произвольный угол Y- То же можно сказать и о р&(Д, v—и), если
принять модель изотропных столкновений D.74). Поэтому в
Рис. 2.1. Углы Эйлера. Рис. 2.2. Углы Эйлера плоскости «, щ.

§41
Интеграл столкновений
49
D.66) можно формально добавить интегрирование по третьему
углу Эйлера у.
После подстановки выражения D.75) в D.66) можно
выполнить суммирование по Мь, воспользовавшись соотношением
(см. прилож. II):
|D^(aPV)i?l;(aP7) = am4 D.76)
Интегрирование по углам Эйлера, затрагивающее только
оставшиеся две ^-матрицы, производится по формуле (см. прилож. II)
J Dlm. (орт) ^ц <«Мsin *dad№ ~ 2T?T V~n»<U;- D-77>
Собирая результаты проведенных выкладок, находим
v {JMJ'M' | J^JlM't) = ^ЬммЬгуЬм< (J J'); D.78)
v(JJ')=2-? 2 fd*Pb(^,l«l)lB/+l)-1X
x/ (JMJbMbu | JMJbM,ju) - BУ'+1)-1/* (J'MJbMji | J'MJbM&)\.
D.79)
Следовательно, член ухода интеграла столкновений в модели
изотропных столкновений имеет вид
S{i\JMJ'M'\v) = v{JJ')p(JM,J'M';v). D.80)
Согласно D.79), частота ухода определяется амплитудой
рассеяния вперед без изменения значений всех ее аргументов. Следует
подчеркнуть также, что v не только диагональна по //' и ММ\
но и не зависит от ММ'. Иными словаим, v (//') является
скаляром и может вычисляться по формуле D.79) при использовании
значений /(. ..|...), найденных в произвольной системе
координат, а не только в системе, связанной с направлением
относительной скорости.
В модели изотропных столкновений предполагается, что
значения относительных скоростей существенно превышают
значения скоростей частиц а (см. D.74)), или, другими словами,
скорости частиц b существенно больше скорости частиц а.
Последнее означает, что возмущающие частицы обладают меньшими
массами или большими температурами, либо характеризуются
и тем и другим. Поэтому вполне естественно, что частота
ухода не зависит от скорости г>, как это видно из D.79).
Диагональность по М и независимость частоты ухода от М в
Af-представлении означает, как это легко показать, что в
непредставлении она диагональна по и, q и не зависит ни от х,
ни от q
У (Щ | KxQi) = <WW (ппг). D.81)

so
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. I»
В рамках модели изотропных столкновений диагональна и
частота прихода v, однако в отличие от частоты ухода v диагона-
лизация достигается только в непредставлении. Доказательство
этого утверждения аналогично проведенному в отношении v.
Обобщенное дифференциальное сечение а, записанное в D.72)
для лабораторной системы координат, выразим через его
значения а в системе координат, связанной с плоскостью
столкновений, т. е. плоскостью, проходящей через векторы и и щ:
о {xqOOu | к&ООщ) =- 2 D*q' (ф^хф) о (х^'ООя j к^[00ах) х
Х^(фАФ). D.82)
Ось Ог в новой системе координат, направим вдоль щ, Оу —
в плоскости и, щ. Углы Эйлера <pi, Gi, ф связывают системы
координат хуг и Щг, причем, согласно общему правилу, углы фь
01 суть азимутальный и полярный углы вектора щ в старой
(лабораторной) системе (рис. 2.2)л Поэтому интегрирование в
D.72) по направлениям вектора щ=щ/и1 есть ничто иное^как
интегрирование по фь 6ь Что касается интегрирования по и, то
его можно производить в системе координат xfy'z (см. рис. 2.2),
в которой ф, 8 — азимутальный и полярный углы вектора и.
Таким образом:
dudui=s\n 6 sin GidGdGi^p^pi.
Далее, в силу изотропности пространства дифференциальное
сечение о зависит только от угла 0 и инвариантно относительно
пространственной ориентации системы xyz, т. е. не зависит от
углов Эйлера фЬ 6Ь ф. Если столкновения изотропны (условие
D.74)), то в подынтегральном выражении D.72) углы фь 6Ь ф
фигурируют только в качестве аргументов /)-матриц, и
интегрирование по ним, согласно соотношению D.77), дает
v (пп'кд | flifliXi<7i) = 6XHl6ggiv (пп'к | Пхщк);
оо во JC
v (пп'к | ПхПхк) = 16л;3 2 J du J dutu2Ui J sin GdG x
xv2SW^±ZPs^°Ul) 5(B. _ „f I л 4?)x
X 2 a (nq'OOu | x^OOi^). D.83)
я'
Таким образом, частоты прихода диагональны по х, q и не
зависят от q. В отличие от частоты ухода в общем случае v зави-

§4]
Интеграл столкновейий
51
сит от х, вследствие чего в ^-представлении частота прихода
принципиально недиагональна
v {пМп'М | ПгМгпЖ) - 2 (- l/'"ir+Jl"lflX
Х<«ШУ — АГ I^X-M^/i -Mi|xf> v(/w4w*i*)- D.84)
Согласно свойствам коэффициентов векторного сложения (см.
прилож. I), изотропия пространства и распределения возмущаю*
щих частиц находят свое выражение в ^-представлении в виде
равенства
М- М! = Мг - М[. D.85)
При обсуждении радиационной релаксации уже отмечался
подобный результат — диагональность релаксационных членов в
х<7-представлении и отсутствие таковой в Af-представлении. До*
казанная теорема и объясняет целесообразность представления
поляризационных моментов для матрицы плотности.
Частота прихода, как и ухода, в модели изотропных
столкновений не зависит от скорости v. Объяснение этого факта дано
при обсуждении соотношений D.78) —^D.80).
Выражение для частоты прихода можно преобразовать таким
образом, чтобы оно не содержало дифференциального сечения
о, определенного в системе координат, связанной с плоскостью
столкновений. Вследствие суммирования по q' выражение D.83)
представляет собой скаляр, значение которого не зависит от
(выбора системы координат. Поэтому взамен D.83) можно написать
v (/ш'х|пгп\у) =2 2 f dudUxPb(яь, иг)х
x,(*-4+lu) Ур/»и(Г"+1>-х
X 2 a (ncfOOu | x^OOnj), D.86)
где система координат для а может быть выбрана произвольно.
В рамках модели изотропных столкновений частоты прихода
обладают рядом свойств, которые можно доказать с помощью
приведенных соотношений (см. задачу б). Обобщенные
дифференциальные сечения D.68) комплексны; тем не менее частоты
прихода в кинетических уравнениях, диагональных по скаляр*
ным индексам л=а/, вещественны
v (ппк | ПхПхн) =v* (ппк | ni/iix), D.87 j;
Коэффициенты векторного сложения вещественны, поэтому и в
^-представлении
v {пМпМ' | ПгМфгМ^) = v* (пМпМ' \ ПгМ&М- D.88)

52 Кмятмм кинетическое уравнение [Гл. II
В противоположность D.87), частоты прихода, описывающие
обмен между переходами, вообще говоря, комплексны
Re v (лл'х | п^к) Ф 0; Im v (пп'к \ п^к) Ф 0,
пфп\ nt=t=nl D.89)
Далее, частоты прихода для х=0 положительны
v(wi0|nifii0) >0. D.90)
Физически этот вывод очевиден, поскольку поляризационные
моменты нулевого порядка матрицы плотности
пропорциональны заселенности уровней. Вместе с тем частоты прихода
у(ппк\п1Пхк)9 и=з?0, описывающие релаксацию анизотропии,
могут иметь произвольный знак. Менее тривиальны соотношения
между частотами, отличающимися значениями и:
v{nnK\rtiniK) <v(nnO\ninxQ); D.91)
Rev(iw'x| w) < p2/:+l)B/1+l)l!х
X У v (ппО | п&О) v (nVO | /t't/^O). D.92)
Из D.91) следует, что скорость релаксации заселенности меньше
таковой для поляризационных моментов ненулевого порядка.
Неравенство D.92) имеет отношение к вопросу об уширении
спектральных линий (х=1); физически оно означает
существование уширения за счет фазовой модуляции и деориентирующих
столкновений (см. § 6).
Нетрудно убедиться в том, что ядро интеграла столкновений
недиагонально ни в Af-, ни в ^-представлении (по М и по %q
соответственно). Вместе с тем в модели изотропных
столкновений моменты ядра
I \о - vx \1\ - J | v - vx \l A (xqv | хдаО dvt D.93)
произвольного порядка / диагональны в непредставлении по х,
д и не зависят от q. Доказательство этого утверждения
аналогично проведенному в отношении частоты прихода. Указанное
обстоятельство позволяет надеяться, что основную роль играют
диагональные (по nq) ядра, а недиагональными можно
пренебречь
A (xqv | ъя&х) = W№il (** I **0. D.94)
Соотношение D.94) имеет характер постулата, и ошибки,
обусловленные его приближенностью, в литературе не
исследовались. Тем не менее приближение D.94) иногда используется,
поскольку оно позволяет сравнительно просто решать Задачи
нелинейной спектроскопии вырожденных состояний.

§5]
Частоты и ядра
53
§ 5. Частоты и ядра интеграла столкновений
В данном параграфе анализируются некоторые свойства
частот ухода и прихода, а также ядер интеграла столкновений.
Для удобства дальнейшего рассмотрения [выпишем необходимые
соотношения D.50), D.52) и D.56):
v (аа' | од; v) « </ (а | аг) 6^ - 6^/* (а' | а!)); E.1)
v(aa' | aia;; v) = </ (а | ах) /* (а' | си)>; E.2)
А (аа'я | a&'iVi) = \(J5 |г> — vx — -J- (а — ях)]х
X(/aNr(a'|el))). E.3)
Здесь угловые скобки <...) обозначают усреднение (по р, и)
заключенных в них выражений с весом BлЙ/ф,)рд(р, и—и), а
угловые скобки {...) —усреднение (по р, pif и, щ) с весом
2р6 (Pi, v—ut)8 \и2 — Hi + ? Д?]для v и с весом 2p5(Pi,tfj— «i) X
X 6 \и2 — я? + -j- Д? для Л. Ради упрощения записи
соотношений E.1)—E.3) в аргументах амплитуд рассеяния f
опущены переменные р, и. Например, для <. ..> и <(..»
соответственно
f(a\ai)=f(a$u\a$u); f(a|ai)™/(a[to|aiPitti)-
Из E.1)—E.3) нетрудно увидеть, что одновременная
перестановка индексов a^a', ax-^fci эквивалентна комплексному
сопряжению
v (aa'1 aial; v) = v* (a'a | a'ta^, v);
v (aa' | ajai; tf ) = v* (a'a | ala^, f^); E.4)
А (aa'tf | aiai^i) = Л* (a'atf | ala^).
Соотношения E.4) связаны, очевидно, с эрмитовостью матрицы
плотности. Из E.1) видно также, что
2 Re v (aa' | aa'; v) = v (aa | aa; V) + v (a'a' | aV; *>). E.5)
Отметим, что Re v может быть и положительной, и
отрицательной (см. E.2)).
Рассмотрим выводы, вытекающие по отношению к частотам
из так называемой оптической теоремы. Вследствие эрмитовости
гамильтониана взаимодействия сталкивающихся частиц
выполняется равенство
Q*T = T% E.6)

54 КЬантовое кинетическое уравнение [Гл. II
обеспечивающее обращение в нуль шпура от интеграла
столкновений (см, § 4). Введение оператора 1C=Q—1 приводит E.6) к
равенству
T-Tf = T*K-KfTr E.7)
составляющему содержание оптической теоремы (в операторном
виде). В энергетическом представлении матричные элементы
операторов Г и К связаны по формуле D.13), которая
позволяет получить из E.7) соотношение, содержащее только элементы
Г-матрицы. Если принять во внимание закон сохранения
полного импульса D.19) и ввести в рассмотрение амплитуды
рассеяния по формуле D.44), то из E.7) следует
1ш f (сфя | afte) - sJjy.S S Ab I / (axMi I <*№) I2 X
x8(u2-nl + fAE). E.8)
Иногда оптической теоремой называют именно это соотношение.
Каждый член суммы по aijJi пропорционален сечению a(aipi|a(J)
рассеяния a($-*aipi (упругого или неупругого, см., например,
[1],с. 683)
а (аА | аР) = ? \ dat \ f (с^РЛ IФ) I2; *? - *2 + у &Б9 E.9)
так что E.8) можно переписать следующим образом:
Im/(aP«|ajte)-gcr(aP); a(aP)« 2 *КМ<*Р), E.10)
где a(afi) —полное сечение рассеяния в состоянии оф.
Применим оптическую теорему для выяснения вопроса о
соотношении между частотами ухода v(aa'|a1ai;^)n прихода.
Согласно E.1), имеем
v(aa'|aa'; v)=(f{a\a)—f*(ar\af)y. (8.111
Рассмотрим сначала случай a=a/. Заменяя в E.11)
разность f(a|a)—/*(a|a) с помощью E.8) и сопоставляя
получающееся выражение с E.2), найдем
v (aa | aa; v) = S v («Л | aa; v)^ E.12)
Таким образом, частота ухода v(aa|aa; v) равна сумме частот,
отвечающих переходам по каналам a-*a, a->-ai. Выделяя
первый из них, получим
v (aa | aa; v) — v (aa | aa; v) = 2 v (ахах | aa; v)f E.13)
т. е. разность частот ухода и прихода обусловлена переходами
частиц a—*ai (афа\). Поскольку каждый член суммы положи-

§5]
Частоты и ядра
55
телен, положительна и разность v—v, характеризующая
скорость релаксации числа частиц в состоянии aaV.
В случае а'фа. частота ухода v(aa'|aa'; v)9 вообще говоря,
комплексна, и оптическая теорема позволяет получить
соотношение лишь для ее вещественной части
2 Re v(aa' j aa'; v) = 2 [v (агаг| aa; v) + v (a^ | a'a'; v)]f E.14)
г. е. вещественная часть частоты ухода v(aa'|aa'; v), равная
согласно E.5), среднеарифметическому значению частот ухода,
выражается через среднеарифметическое значение частот
прихода v(aiai|aa; v), v(aiai|a'a'; v). В отличие от EЛЗ) разнрсть
частоты ухода v (aa'|aa'; v) и частоты прихода v(aa'|aa'; v)
обусловлена не только изменением числа частиц вследствие
переходов а, а'^аь Выделяя из суммы по а\ в E.14) члены с
ai=a; ai = a', получаем
2Re[v(aa'|aa';s>) — v (aa' |aa';tf)l = 2 v (a^ | aa; V) -f
+ 2 v(a1a1|a'a';tf)+v(aa|aa;tf) +
+ v(a'a'| a'a';*) —.2Rev (aa'|aa';tf). E.15)
Правые части равенства E.13) и E.15) отличаются членами,
не входящими под знак сумм по ai в E.15). Для выяснения
их структуры воспользуемся формулами E.2), с помощью
которых легко установить, что
v(aa|aa; v)+v(a'a'\a'a'u9 v) — 2Rev(aa'|aa'; v) =
=(<\fM*)-f*(*'W)\2})>0. E.16)
Таким образом, обсуждаемая величина существенно
положительна и обусловлена различием амплитуд рассеяния в
состояниях а и а'. Из соотношений E.13), E.15) и EЛ6) следует
неравенство ^
2 Re [v (aa' | aa'; V) — v (aa' | aa'; v)] >
>v(aa|aa; v) — v(aajaa;tf) +
+ v (a'a' | a'a'; v) - v (a'a' | a'a'; v)f EЛ7)
переходящее в равенство лишь при идентичности рассеяния в
состояниях а и а'.
Соотношения E.12) — EЛ7) непосредственно применяются
в модели невырожденных состояний. Например, в рамках этой
модели величины v(aa|aa; v) — v(aa|aa;tf), Re[v(aa'|aa'; v) —
—v(aa'|aa'; v)] характеризуют релаксацию числа частиц в
состоянии а и так называемую ударную ширину спектральной
линии, отвечающей переходу а—а! (см. § G). Следовательно,

66 Квантовое кинетическое уравнение [Гл. И
ширина линии не меньше среднеарифметического значения
скоростей распада состояний а и а'. В отсутствие неупругих
процессов, уводящих частицы с уровней а, а', ударное уширение
целиком обусловлено различием амплитуд рассеяния в
состояниях а, а'. Вместе с тем в данном случае амплитуды рассеяния
определяются только изменением фаз состояний а, а! в процессе
столкновения. Таким образом, используя терминологию
корреляционной теории уширения спектральных линий, можно
сказать, что выражение E.16) описывает уширение, обусловленное
фазовой модуляцией или скачками фазы атомного осциллятора,
происходящими при столкновениях. Если неупругие процессы
имеют место, то амплитуды рассеяния f(<x|a), f(a'\a'),
естественно, не независимы от них и разделение на амплитудную и
фазовую модуляцию приобретает условный характер.
Для вырожденных состояний a=a/M (a — другие квантовые
числа), и из суммы по а\ в E.12) и E.14) можно выделить
упругие процессы aJM-*aJMi
v (пМпМ | пМпМ\ V) = 2 v (пМ1пМ11 пМпМ; V) +
+ 2 vfaiCtJaa;*); E.18)
2 Re v (пМп'М' \ пМп'М'\ V) = 2 v (пМгпМх | пМпМ\ V) +
+ 2 v (пгМ\п'М\ | п'М'п'М'; v) + {неупругая часть}. E.19)
м\
Суммы по Ali, All в E.18), E.19) содержат частоты упругих
деориентирующих столкновений.
Предположим теперь выполненными условия применимости
модели изотропных столкновений, в рамках которой
справедливы соотношения (см. § 4)
v (aa' | o^ai; v) = b^ba'ap (aa' | aa') E.20)
и все частоты ухода и прихода не зависят от скорости атомов
v. Напомним, что в ^-представлении выполняются следующие
равенства:
v (JJ'Ttq | A/ixrfi) = bjjfirj'^fig^v (J J'); E.21)
v {Jj'nq | /i/ixrfi) = 6KXl8OTlv (//'x | JxJ[h). E.22)
Легко проверить, что в ^-представлении соотношение E.18)
принимает вид
v (уу) _ v (ппО | ллО) = 2 v (пгпг01 пп0)% E.23)
пхфп
согласно которому разность частот ухода v(//) и прихода

§5]
Частоты и ядра
57
v(nnO\nnO) (упругие процессы) обусловлена неупругими
процессами п-*~пи Такой вывод и следовало ожидать, поскольку
частоты прихода у(ппк\ппк) при и=0 характеризуют
изменение числа частиц в состоянии п.
Ударная ширина спектральной линии, связанная с мульти-
польным взаимодействием порядка и и отвечающая переходу
между вырожденными состояниями, определяется разностью
частот ухода и прихода v(J/'x|//'x). При дипольном
взаимодействии х=1 (см. § 6) и для указанной величины имеем
Re[v(//') —v(//'11//'1) ] = [неупругая часть] +
+yfv (//01 //0) +v(J'J'01 J'J'O) —2Rev~(//'l | //'1}. E.24)
С помощью неравенства D.92) легко показать, что часть
выражения E.24), заключенная в фигурные скобки, положительна;
она описывает уширение линий вследствие сбоя фазы атомного
осциллятора и деориентации (более подробно этот вопрос
разбирается в § 6).
Перейдем к анализу соотношений между характеристиками
прямых и обратных переходов. Как известно, изменение знака
времени и комплексное сопряжение оставляют уравнение Шре-
дингера неизменным, если гамильтониан эрмитов. Поэтому
амплитуды прямого и обратного рассеяния связаны
соотношением (теорема взаимности; см., например, [1], с. 664)
/(aP«*KPi«i) = Cj(aipi-ux\aY-u\ E.25)
где а*, р* обозначают состояния, отличающиеся от а, Р
изменением знаков проекций Л1, Мь моментов /, Д: если
a=aJM—nM\ $=ЫьМъ=ПьМь
(а, Ь — остальные квантовые числа), то
а*=п—М; $*=пь—Мъ.
Множитель Ci в E.25) равен
Сх = (-1)%
or1 = /-Af+/1-A«1 + /b-Afb + /M-Afw. E.26)
Когда состояния а, {$ характеризуются несколькими моментами,
величина rii равна сумме членов, аналогичных E.26), по всем
моментам.
При некоторых дополнительных предположениях теорема
взаимности позволяет установить связь между частотами и
ядрами, отвечающими прямым и обратным переходам. Запишем

68
KtaHTOtoa кинетическое уравнение
[Гл. I!
выражение для частоты ухода, заменив в нем амплитуды
рассеяния с помощью теоремы взаимности
v(oa/|oxa;;v)-^CSjrf«Pb(P.«-e)X
X [/ (a^* - и | a*p* - и) 6a;a, - W «Р* " »I *'*Р* - »)]»
a = /-Af + /'-M' + /1-M1 + /i"-Af;. E,27)
Если распределение возмущающих частиц рь(р, г>—#) зависит
от \v—и\ и, кроме того, не зависит от проекций моментов, так
что в ре, индекс ($ можно заменить на р*, то из E.27) легко
усмотреть равенство
v (aa' J o^ai; v) — Cv (ala'i* | a*a'*; — v), E.28)
связывающее частоты прямого и обратного процессов. В
непредставлении формула E.28), как легко показать, принимает
вид
v (nn'xq | пхп\к$у) ~ (— i)K-«+Kl~^ v (пхп\кх — qt \ пп'к — q).
E.29)
В рамках модели изотропных столкновений частоты ухода диагти
нальны по /, /', и, q и не зависят от х и <7 (см. E.21)), так что
в этом случае теорема взаимности не дает ничего нового.
Попытки применить теорему взаимности к частотам прихода
и ядрам интеграла столкновений требуют более жестких
допущений, поскольку речь идет о соотношении для частот взаимно-
обратных переходов между состояниями, обладающими
различными энергиями. Если возмущающие частицы распределены
равновесно (температура Ть) и, кроме того, выполнены условия
применимости модели изотропных столкновений (|*>|«Сй~г;ь),
то справедливое соотношение6
v (aa' J аха\) « С ехр (%т^) * (a*a'i* I <**<*'*)• E.30)
Больтцмановский фактор6 в E.30), содержащий температуру Ть
возмущающих частиц, отражает различие скоростей прямых и
обратных переходов, тесно связанное с распределением возму-
* Доказательство соотношения E.30) и последующих формул E.32),
E,33) содержится в задаче 7. Ход рассуждений аналогичен тому, который
привел к E.28).
6 Напомним, что в рамках применимости выражения E.2) следует
полагать Ea — EaizzEa. — E , (см. обсуждение формулы D.34)), поэтому
al
асимметрия больтцмановского фактора в E.30) отнбсительно штриховаппых и
нештрихованных величин только кажущаяся.

§5]
Частоты и ядра
59
щающих частиц по уровням энергии; при неравновесном их
распределении указанный фактор был бы, разумеется, иным.
Соотношение E.30) справедливо для модели изотропных
столкновений, в рамках которой частоты прихода диагональны в
^-представлении (по и, q9 см. E.22)) и не зависят от q. Тогда
E.30) можно записать так:
v (пп'к | ПуП^) = ехр ^ т п у(пхп[к | ля'х), E.31)
т. е. получается соотношение между прямым и обратным
процессами в буквальном смысле слова. То же утверждение
справедливо, разумеется, и в /М-представлении, как это легко
показать с помощью E.31),
v(aa' | o^al) = ехр * т a v (axai | aa'). E.31а)
В случае упругих столкновений (п=Пи п* — п[) применение
теоремы взаимности к частотам прихода не требует
предположения о равновесности распределения возмущающих частиц, но
допущение об изотропности столкновений необходимо.
Поскольку последнее приводит к диагональности частот прихода (по nq)
в ^-представлении, теорема взаимности не дает ничего нового
в сравнении с моделью изотропного возмущения (см. E.31),
полагая rii=n, п'г = п').
В отношении ядер интеграла столкновений простые
следствия теоремы взаимности получаются при дополнительном
предположении о равновесности распределения возмущающих
частиц. Если принять во внимание тождество
- [ц («? -*¦) - m (*а - «?I8 [v - vx - ? (u - ut)\ E.32)
то применение теоремы взаимности к E.3) приводит к
соотношению
А (ш»'*| *&[; *i) = С ехр Г^** + ^Г^ х
L Б Ь ° • J
X* («Г* -•»!<**'•-•), ^ = 2-?-Ь. E.33)
полезному при решении ряда конкретных вопросов. Подчеркнем,
что и максвелловские, и больтцмановские факторы в E.33)
содержат температуру возмущающих частиц Т».
С помощью приведенных соотношений можно показать, что в
условиях термодинамического равновесия интеграл столкновений

60
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. I)
обращается в нуль. Подставив равновесное распределение (типа
D.6)) в выражение D.51) для члена прихода SB) (ccoc'v) и
приняв во внимание соотношения E.2) и E.33), получим
SB){aa'v) = (- l)J-M+J/"M' р (avJ v (а*а1 I cc*a'*; - v). E.34)
Применение обобщенной оптической теоремы и теоремы
взаимности к сумме по а* приводит E.34) к виду
S™ (aa'v)=p(av)(f(a\a') — /*(«'!«)>¦ E.35)
С другой стороны, член ухода интеграла столкновений D.49) в
силу диагональности равновесного распределения равен
5^>(aa^) = <f(ala,)>p(a,V)-p(a»)<f*(a,a)>. E.36)
Поскольку Еа = ?а' (в противном случае интеграл столкновений
быстро осциллирует и должен быть отброшен), состояния а и
а' отличаются индексами вырождения, т. е. в равновесных
условиях имеем p(av)=p(a7v). Поэтому члены прихода E.35) и
ухода E.36) одинаковы и интеграл столкновений равен нулю.
Рассмотренные свойства ядер и частот интеграла
столкновений обусловливались общими свойствами амплитуд
рассеяния, не зависящими от вида потенциала взаимодействия,
и общими свойствами ансамбля возмущающих частиц. С точки
зрения применений спектроскопии нелинейных резонансов
к исследованию столкновений интересна противоположная
постановка вопроса, а именно, в какой мере особенности
дифференциальных сечений, специфичные для той или иной
конкретной ситуации, проявляются в свойствах ядер
В простейшем случае невырожденных состояний и
бесструктурных возмущающих частиц для ядра упругой части члена
прихода имеем следующее выражение:
A(aa'fl|aa'fli) = 2J dudufiIv — vx — -?{tt — ux)\X
X 6 (я2 — u\) pb (*>! — ttx) a (aa'u | aa'%); E.37)
a (aa'u | aa'uj =f{au\ aux)f* (a'u | a'ttx) = a (и, \ и — ux |). E.38)
Дифференциальное сечение o(aa'u\a,a'ux) зависит от модуля
скорости и и угла рассеяния (между а и ifi). В качестве
переменных удобно принять и и | a—ai|, как это указано в
последнем из равенств E.38), где ради простоты записи опущены
также индексы aa'. Распределение возмущающих частиц по
скоростям будем предполагать максвелловым
Рь (*>i - »i) = Nb (]/я vb)~s exp
~2 _ 2kBTb
Vb = ——.
mb
v.—u.
E.39)

«5]
Частота и ядра
61
Вследствие закона сохранения полного импульса изменения
скоростей в л- и ({-системах пропорциональны друг другу
т
*!=?•
it угловая зависимость дифференциального сечения (т. е. за-
зависимость от \и—щ\) целиком «переносится» на ядро в виде
зависимости от ? с множителем —. Вектор ? будет играть
в дальнейшем важную роль. Из закона сохранения энергии
следует, что биссектриса угла рассеяния (угол между и и щ)
ортогональна ? (рис. 2.3). После использования й-функций
в ш E.37) остается интегрирование только по а0,
ортогональному 5,
-tea)"
^(^|^1) = ^bC(t;|^LJa(^^s)e ^ '* ' da.
E.40)
Здесь введены обозначения
 = "И^Г; I
V —
$(»?)
«V
4tJ|r1)=(V^A0r3^exP{-[?iii^i]};
Av = 2?vb
2mt
Y
2 }/mb/m
1 -+- rnb/m
№¦
m+mb f ...b
Вектор | представляет собой компоненту скорости v (или
ортогональную ? (рис. 2.3).
В ряде случаев дифференциальное сечение а
*ит от и. Таково, например,
положение при вычислении сечения
в борновском приближении (см.,
например, [1], с. 586), а также
при квазиклассическом описании
рассеяния на большие углы в
модели непроницаемой сферы. В
таких случаях выражение E.40)
приобретает особо простой вид
^N^b4na[fl)c(v\vt).
FЛЗ)
Рис. 2.3. Относительные и абсолютные
скорости при упругом столкновении.
E.41)
(S.42)
Т>|),
не зави-

62 Квантовое кинетическое уравнение [Гл. II
Согласно E.43), ядро содержит три разнородных множителя.
Множитель Nbvb, представляющий собой частоту столкновений
при единичном значении сечения, может быть назван
кинетическим. Величина4яа(^-и находится в результате решения
задачи о столкновении двух частиц и может быть названа квантово-
механическим множителем. Наконец, функция
C(v\vi)~результат усреднения дифференциального сечения по скоростям
возмущающих частиц и ее естественно назвать статистическим
множителем.
Статистический множитель, вообще говоря, асимметричен
относительно замены v на V\% что означает эффективное
торможение атомов а в результате столкновений с максвелловским
газом частиц 6. В C(v\v{) можно выделить симметричную
часть
г / mi E.44)
a (V - 7*i) = (У* А*) ехР [_ (^Р) ],
1 т
Функция a(v—i(i>i) называется ядром Кейлсона — Сторера
[8] и является единственным асимметричным (относительно
замены v на V\) множителем в ядре интеграла столкновений.
Величина y отображает, очевидно, сохранение (персистенцию)
скорости, а 1—4==2jx/m — эффект торможения атомов а. Если
возмущающие частицы относительно легкие, то торможение
невелико (рУт<1).
Величина Av, определяемая соотношением E.42),
характеризует ширину экспоненциального множителя в C(v\v\). Она
зависит от отношения масс ть/т и при относительно легких
возмущающих частицах оказывается меньше их тепловой
скорости vb. Величину Да естественно сравнивать с характерной
шириной распределения возмущаемых частиц v. Как правило,
оно представляет собой максвеллово распределение, на
которое накладывается более или менее резкая структура (см.§ 10).
Из E.42) видно, что отношение Да к среднетепловой скорости
v возмущаемых частиц определяется квадратным корнем из
отношения масс и температур
v* = 2kBT/m
E.45)

§ 5] Частоты и ядра 63
-
При столкновении тяжелых частиц Av/v не может сильно
отличаться от единицы, и значительное сужение функции
C(v\v{) может иметь место лишь при столкновении атомов
с электронами. Поскольку, однако, электронная температура
обычно на порядок (и больше) превышает атомную, то и в
этом случае Avfv~0,l.
Функция a(v—yfli) иногда используется в качестве
модельной аппроксимации ядра A(v\vi). Из выражений E.40),
E.43) и сказанного относительно фактора Av/v следует, что
такая модель оправдана в какой-то мере в случае почти изо-
тройного рассеяния в ({-системе, когда <х (у и слабо зависит от
?.' Таково положение, например, при классическом описании
рассеяния на непроницаемой сфере (о I— и = а2/4, где а —
радиус сферы). Однако при атом-атомных столкновениях
дифференциальное сечение всегда обладает компонентой, значительно
более резкой, чем статистический множитель, и
соответствующая часть ядра почти полностью определяется квантовомеха-
ническим множителем. Отметим в этой связи, -что. фактор /п/ц
в аргументе дифференциального сечения сужает его в шкале
скоростей (в л-системе) сильнее, чем статистический
множитель. Действительно, пусть Аи — ширина дифференциального
сечения в ({-системе, определяемая характером взаимодействия
сталкивающихся частиц; тогда ширина дифференциального
сечения как функции ? (в шкале скоростей в л-системе)
равна
^ ш
Если, например, Аи обусловлена дифракционными явлениями,
то
Аи^— и-—; Д?= —
Pw №w тЫ
(pw — радиус взаимодействия), т. е. Д? обратно
пропорциональна массе, а не корню квадратному из нее, как это было в
статистическом множителе.
Следует иметь в виду универсальную интегрируемую
сингулярность ядра E.40) (множитель 1/? в C(v\vx))% тесно
связанную с сохранением энергии. Этот факт имеет существенное
значение и должен приниматься во внимание при модельных
аппроксимациях ядра.
Если в отличие от E.43) дифференциальное сечение
зависит от и, то без предположения о явной зависимости о от ?, и
интегрирование в E.40) можно выполнить только по углу щ

64
Квантоюе кинетическое уравнение
[Гл. II
между плоскостями и, щ и v V\ (см. рис. 2.3); в результате
наводим
x|[«(u,f?)e-(S'+"^/.B|)„A; (S.46)
*-«:.+($'.
где IQ (z)—модифицированная функция Бесселя нулевого
порядка. Таким образом, ядро может быть найдено однократным
интегрированием зависимости дифференциального сечения от
модуля относительной скорости. Как и в случае E.43),
асимметрия ядра относительно замены v ««-+• V\ сосредоточена в
множителе C(v\vi) (вектор |, согласно E.41), симметричен
относительно такой замены). Если о \и, ™- и достаточно резкая
функция от ?=.|и—v\\t то и для ядра, определяемого соотношением
E.46), основная зависимость от v, V\ связана с особенностями
дифференциального сечения. Следовательно, когда Ди<Сй, ядро
можно полагать зависящим от разности v—v\ (характерный
масштаб -~ Да) при наличии слабой зависимости от V\
(характерный масштаб и).
Ядро не может быть строго разностным, ибо в этом случае
не обеспечивается сохранение равновесного распределения по
скоростям, т. е. нарушается второй принцип термодинамики.
Поэтому при анализе эволюции распределения, обладающего
неравновесной компонентной с шириной порядка тепловой скорости,
модель разностного ядра не применима. Наоборот, при
рассмотрении задачи об ушир-ении неразновесной структуры, резкой
в масштабе тепловой скорости, можно не учитывать асимметрию
ядра и полагать его зависящим от разности скоростей v—vx.
До сих пор речь шла о ядре, описывающем упругое
столкновение в отсутствие вырождения состояний а, а'. В противном
случае (состояния а, а' вырождены) следует принять во
внимание, что дифференциальное сечение o(aa,'u\aa'Ui) зависит не
только от угла рассеяния, но и от угла ф между плоскостями
щ щ и v, vx (см. рис. 2.3). Удобно рассмотреть ядро в
специальной системе координат, полярная ось которой направлена вдоль
вектора t,=v—vu а ось Оу ортогональна плоскости, проходящей-
через v, V\. В непредставлении (см. § 4) имеем
A(nqv|ед^) = 2 \ dudUyb \v — vx — -?(# — ax)\X
Хб(aa — я!) pb(Vi - »i)о (*qtt | х^л). ' (S.47)

§5]
Частоты и ядра
65
Дифференциальное сечение o(xqu\y,iqiUi) целесообразно
выразить через его значение в системе координат, связанной с
плоскостью столкновений и, ti\> поскольку в этой системе координат оно
зависит только от угла рассеяния. Преобразование
дифференциального сечения при переходе из одной системы координат
в другую дается формулой (см. прилож. II)
о (nqu | КхЯхЩ) =
= 2 О^(аРт) а Ы\ xrfl; и, \ и - их \) D*J (apY), E.48)
q'Qi * 1
где D*q> (сфу) — матрица Вигнера, afty — совокупность углов
Эйлера, связывающих две системы координат. В системе коор-
дицат, связанной с плоскостью столкновений, за полярную ось
также выберем вектор ?• Таким образом, обе рассматриваемые
системы координат имеют общую полярную ось, поэтому от нуля
отличен только третий из углов Эйлера, совпадающий с углом
Ф между плоскостями и, щ и v,vx (см. рис. 2.3). Известно, что
D^@0y) = 6qg^}
следовательно,
а {щи | х^А) = е«*-*)фа (щ | кА; и, | и - иг |), E.49)
где a — дифференциальное сечение в плоскости столкновений,
зависящее только" от угла рассеяния и модуля скорости и.
Таким образом, в случае вырожденных состояний
дифференциальное сечение в системе координат, связанной с плоскостью v9 vx
и с полярной осью, направленной вдоль ?, отличается от ранее
рассмотренного множителем exp [i(q—qOqp]. Вследствие этого,
как легко видеть, интегрирование по углу ф приводит к
появлению модифицированной функции Бесселя не нулевого
порядка, а порядка, равного Д=[<7—<7i|
A {nqv | x^tf х) = NbvbC (v \ v±) X
Из сопоставления E.50) с E.46) видно, что общая структура
ядр-а упругой части интеграла столкновений в случае
вырожденных систем и при учете столкновительнрй деориентации
вполне аналогична обсужденной выше. Если
дифференциальное сечение а(...; и, ^- и не зависит от и, то из E.50) следу-

66
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. It
ет формула
A {nqv | Xifttfj.) = Nbvb4no [vq | x^} у Cj X
хС(.|«.0^^(*LфD.1+Л;-|), E.51)
аналогичная E.43) и отличающаяся лишь статистическим
множителем (Ф(а, 7; z) —вырожденная гипергеометрическая
функция).
Дифференциальные сечения процессов, протекающих при
атом->атомных столкновениях, обладают определенными, очень
характерными особенностями. Радиус взаимодействия pw
сталкивающихся частиц, как правило, значительно больше длины
волны де-Бройля, связанной с их поступательным движением.
Действительно,
И" \iu 1/2[х*Бт ут
где М — атомный вес, отвечающий приведенной массе, Т
—температура в К. Для Т=300 К, М=10 имеемХ= 10~9см, тогда
как типичные значения pw~10~8—10~7 см. Итак, выполняется
условие
X<Pw. E.52)
В таком случае рассеяние можно описывать приближенным
способом, аналогичным способу Кирхгофа решения оптических
дифракционных задач. Обозначим индексами i и / совокупность
квантовых чисел начального и конечного состояний
сталкивающихся частиц. Уравнение D.4) для оператора Мёллера в
энергетическом представлении для внутренних степеней свободы, в
координатном представлении для относительного
поступательного движения и при условии, что до столкновения оно
характеризовалось определенным значением скорости ии можно
записать следующим образом:
[*+№)>.-(*)?*А.:
э
E.63)
где Wfi — матричные элементы потенциала взаимодействия.
При выполнении условия E.52) систему уравнений E.53)
можно решать в два приема. В ограниченной области пространства
с характерными размерами pw дифракционные эффекты
несущественны и E.53) можно решать в приближении классических

§ 5] Частоты и ядра 67
траекторий. Если сверх E.52) выполняется неравенство
\Фи\<[ш2,/2, E.54)
то применимо приближение эйконала
Qfi = Sfi ехр [{|Ш/Г0|/А]; их = «,/и,;
ИР 1 1 ж! Г 1 \5-55)
Пусть Sfi(p) обозначают решения системы E.55) на некоторой
плоскости, задаваемой радиус-вектором р и удаленной от
области взаимодействия на расстояние Pw *< f#* <С PwA, где уже
Я^=0, но еще не проявились дифракционные эффекты. При
больших значениях гщ систему уравнений E.53) можно решать,
полагая Wfi—0 и принимая SH(p) в качестве граничных
условий. В результате приходим к следующим выражениям для
амплитуд рассеяния:
или в более детализированных обозначениях
/ (офя | а^А) = / S (№«А& - S (офи | оА^; р)] X
х e-WS-5ib/A|fp. E.57)
Таким образом, при выполнении условий E.52), E.54)
амплитуды рассеяния можно представить в виде стандартных фра-
унгоферовых дифракционных интегралов. В отсутствие
переходов между состояниями a, ai и (J, (Ji формула E.57) принимает
особо простой вид
1 г_ . . -, ~ч (б-58)
где б(р) представляет собой изменение фазы_ волновой
функции, обусловленное потенциалом взаимодействия и
соответствующее прицельному параметру р.
Характерная зависимость W(r) (сферически симметричный
потенциал) и б(р) показана на рис. 2.4. Пусть pw обозначает
наибольшее из прицельных расстояний, для которых
выполняется равенство
|в(р)М. E.59)
Величина pw называется радиусом Вайскопфа. В области p<pw
значения фазы 8(р) и ее производной -j^ велики, и при та-

68 Квантовое кинетическое уравнение [Гл. II
Рис, 2.4, Графики зависимости
потенциала W(r) и фазы б(р) от
расстояния г и прицельного параметра р.
Рис. 2.5. Дифференциальное сечение
упругого рассеяния.
/ — дифракционная «гасть; 2 — классическая,
малые углы; 3 — изотропная часть.
ких прицельных параметрах
происходит рассеяние на углы,
отвечающие законам
классической, механики (см. задачу 8)
zsm 2 - л dp .
E.60)
Область больших значений
прицельных параметров (р>ртг), где |б(р) |<1, дает вклад в
дифракционную часть рассеяния7. Для последней не важно, по
какому закону происходит искривление траектории внутри круга
с радиусом Вайскопфа, поэтому угловая ширина дифракционной
части индикатриссы рассеяния дается стандартной формулой
де^х/р^.
E.61)
Происхождение дифракционных эффектов хорошо
иллюстрирует рассеяние на непроницаемой сфере: классическая часть
рассеяния обусловлена «отражением» частиц от сферы, а
дифракционная— пролетами «мимо» сферы.
Реальные потенциалы типа изображенного на рис. 2.4
отличаются от модели непроницаемой сферы в отношении
классического рассеяния. Область прицельных параметров р<а (см.
рис. 2.4), отвечающая перекрытию электронных оболочек
сталкивающихся частиц, играет роль непроницаемой сферы и
обусловливает практически изотропное рассеяние (в ч-системе).
В промежуточной же области a<p<pw энергия взаимодействия
невелика в сравнении с кинетической энергией относительного
7 Некоторый вклад в дифракционное рассеяние дает также интервал
прицельных параметров вблизи экстремума функции б(р) (явление чглории»).
Однако площадь кольца, соответствующего таким пролетам, невелика (см.
задачу 8), если max |6|>L

§5]
Частоты и ядра
69
движения, и в соответствии с этим угол отклонения,
определяемый формулой E.60), мал
в~-*в~±.р~Д.<1. E.62)
Таким образом, общая структура дифференциального
сечения может быть представлена как наложение наиболее резкой
дифракционной части (угловая ширина порядка Vpw),
классического рассеяния на малые углы F~\#7&вТ;»,Х/ртг) и
практически изотропного классического рассеяния @~1).
Сказанное схематически иллюстрируется на рис. 2.5. Следует
отметить, что разделение на дифракционную и селективную
классическую части имеет место лишь при условии, что
значения фазы б(р) в области р>а достигают больших величин.
В противном случае все малоугловое рассеяние приобретает
дифракционный характер и описывается в рамках борновского
приближения.
В подавляющем большинстве задач нелинейной
спектроскопии внешнее электромагнитное поле имеет вид плоской волны.
Нелинейные явления, обусловленные таким полем,
непосредственно вызывают неравновесность распределений лишь для
проекции uQ скорости v на волновой вектор k (vn=vk/k).
Столкновения «переносят», вообще говоря, неравновесность и на
распределение по ортогональным проекциям v± скорости. Однако
этот эффект слабый, и во многих случаях его можно не
принимать во внимание. Если полагать распределение по v±
равновесным (в более общем случае — заданным процессами
возбуждения), то целесообразно рассматривать так называемые
одномерные ядра
A [aa'v || | а^'^р ) = J A (aa'v | а&'&х) W (v^i) dffjtidffj.;
^(^) = (/я^Г2ехр[-(^/^J]; ? = ^2
E.63)
и соответствующие им одномерные частоты прихода
v (aa' | o^ai; v и) = j A (aa'ttyi | axa[v \\) dv^. E.64)
Все конкретные задачи по уширению нелинейных резонансов,
рассматриваемые в последующих главах книги, связаны с
использованием понятия одномерного ядра.
Конкретизируем формулы E.63), E.64) для селективного
(малоуглового) рассеяния, когда выполняется условие
Ди/к<1, E.65)
где Ли — характерная ширина дифференциального сечения
как функции \и—и\\ (ширина в ^-системе). Как уже
отмечалось, ядро при таком условии зависит главным образом от

70
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
разности t>=v—vx (характерный масштаб ^-Aw в л-системе)
и значительно медленнее зависит от и (характерный масштаб
и). Поэтому удобно в качестве независимых переменных
одномерного ядра принять Cn=V||—% и v{l\. Целесообразно также
в явном виде ввести ширину дифференциального сечения,
записав его в виде
a(iiif.c)-a1(«fiI4-tAii'. E.66)
Для малых значений t>m@||i<tt) из E.63) следуют
соотношения
оо и*
= иЛГь,Ме)а1Ше «\du. J al(u,z)dz; E.67)
i>l: A(U,vn) =
Vb
^ u ' u 0 0
E.68)
Приведенные выражения отвечают предельным значениям для
отношения v/vb тепловых скоростей' сталкивающихся частиц
(при одинаковых температурах — легким и тяжелым
возмущающим частицам). Из E.67) и E.68) можно увидеть, что в
обоих случаях, а следовательно, и при всех промежуточных
значениях v/Uby ширина ядра совпадает по порядку своей
величины с шириной дифференциального сечения г\ (Тболее детальный
анализ см. в [9]). Поскольку нижний предел в E.67) содержит
J Sijl, одномерное ядро характеризуется «изломом» в точке |?„| =
—'Ри—U||i|=0. Этот излом становится все более «тупым» по
мере увеличения отношения v/vb и при г;/г?ь~>оо исчезает
совсем. Отметим, что существование излома у одномерного ядра
обусловлено сингулярностью трехмерного ядра E.40)., которая,
в свою очередь, связана с законом сохранения энергии.
Поэтому данное свойство одномерного ядра имеет универсальный
характер и должно приниматься во внимание при его
модельных аппроксимациях. Таким свойством обладает, например,
экспоненциальное разностное ядро
A(U)=i*~*lV'- E-69)
которое будет применяться ниже при решении конкретных задач.

§5]
Частоты и ядра
71
При изотропном рассеянии ядро интеграла столкновений
задается статистическим множителем. Выпишем выражения
для одномерного ядра при некоторых характерных значениях
параметров
i>i: л(с„>о) = л0[1-фD/^1)];-
^ = 1:Л(С,|@)=4-л[1-фA^) + е"Е',/'г]; EJ0)
^<1: Л(Са,0)=Л0е~?'|/'?; A0 = 4noNb^.
(Ф(х) —интеграл вероятности). Прямой расчет по приведенным
формулам показывает, что ширина ядра (на полувысоте)
изменяется на 20% при переходе от т/ть=1 к т/ть<^1 и
примерно в 1,5 раза — при переходе от т/тъ=1 к т/ть=5. Таким
образом, с точностью до множителя порядки единицы ширина
ядра при изотропном рассеянии совпадает с v. Вместе с тем
одномерное ядро резко асимметрично, если t>„i=^=0, как это
наглядно видно из следующего выражения, отвечающего
т/ть=1:
д(С1,0|О-^1-ф(ЗД+е-^[1+ф(^)][
E.71)
Обсужденные общие закономерности хорошо
иллюстрируются в модельной задаче о рассеянии на непроницаемой
сфере. В этом случае дифференциальное сечение, входящее
в диагональный интеграл столкновений, равно
.^tW-^l+^a^^-i E.72,
где J\ (х) — функция Бесселя первого порядка, а — радиус
сферы. Выражение E.72) справедливо при выполнении
условия a/X=ap,w/U»l, аналогичного E.52). Согласно E.72),
сечение содержит изотропную часть (единица в фигурных скобках)
и селективную часть, полуширина которой (на полувысоте)
равна 1,616 %/та<^й. Сечения изотропного и селективного
рассеяния равны яа2, т. е. полное сечение равно 2я>а2. Отметим,
что примерно таково отношение дифракционной и
классической частей сечения для произвольных потенциалов типа изо*
браженного на рис* 2Лш

72
Квантовое кинетическое уравнение
[Гл. II
. Подстановка выражения E.72) в E.46) дает после
интегрирования
Г2Л (С/цЛ*
р
?/Ч
E.73)
Вклад изотропной части рассеяния в одномерное ядро уже
был нами рассмотрен. Для селективной же части можно
получить следующие соотношения в предельных случаях легких
и тяжелых возмущающих частиц [9]:
Л«1.*п) = Л.{1—f[/D + 4)-Vi-^4]},-|-«l;
Щ E.74)
il(C(.o.i)-^^^1(a)//»f^>l; t
ь
8
где #i B/) — функция Струве первого порядка. Графики ядер,
определяемых соотношением E.74), приведены на рис. 2.6;
полуширины их на полувысоте равны соответственно 0,910 tj
и 1,573 т)<г;. Из рисунка видно, что увеличение отношения
v/vb устраняет «излом» в точке ?ц=0 и несколько изменяет
полуширину.
Выше рассматривались сравнительно простые случаи,
отвечающие модели невырожденных состояний и вещественным
дифференциальным сечениям. Дифференциальные сечения,
определяющие недиагональные ядра,
вообще говоря, комплексны и
являются осциллирующими
функциями угла рассеяния. Такие
ядра, равно как и интегралы
столкновений для вырожденных
состояний, изучены плохо.
При анализе конкретных
задач нелинейной спектроскопии
часто применяются модельные
приближения для ядер
интеграла столкновений. Одно из таких
ядер упоминалось в связи с се-
Рис. 2.6. Форма одномерного ядра
селективного рассеяния на непроницаемой
сфере.
l — vfvb < 1;
2— v/vb> 1.

§5]
Частоты и ядра
73
лективным рассеянием (см. E.69)). В случае почти изотропного
рассеяния хорошей аппроксимацией ядра может служить
выражение
A (v | «О = v W (v); W (V) = (/яи)" е v v } , E.75)
о котором говорят как о модели сильных столкновений. При
этом распределение атомов по скоростям после столкновения
не зависит от значения скорости до столкновений. Одномерное
ядро, отвечающее E.75), характеризуется теми же свойствами
_A!J
Aipi \vu) ^vWiv^W(v{l) = (V^v)-\e U\ E.76)
Сопоставление E.76) с выражениями E.70) позволяет
прийти к выводу, что модель сильных столкновений
действительно служит хорошей аппроксимацией для реальных
одномерных ядер, если рассеяние в ^-системе почти изотропно и
частицы Ь не слишком легкие. Что касается трехмерных ядер, то
модель E.75) не принимает во внимание сингулярность
реальных ядер (см. E.42)) и потому должна применяться с
известной осторожностью.
Если изотропное рассеяние сопровождается почти полной
деориентацией частиц (модель сильных столкновений в
отношении скоростей и проекций М), то применяют аппроксимацию
A (JMJM'v | J1M1J1M'iv1) = 27Т1W W амм'6М1м;, E.77)
или в ^-представлении
A {JJxqv | /г/хХйЛ) « v W (V) «ювадМло. E.78)
В модели релаксационных констант можно ввести представление
о сильных столкновениях, выравнивающих распределение по
магнитным подуровням. В этом случае выражения для ядер будут
следующими:
A (JMJM'v | АМхЛЛ*;^) = gjq-f 6 (ю- vx) бмм'бм^; E.79)
A (JJnqv | J±JxKtfiVi) ~ v^ (v ~~ *M ^ко^вов^о^о- E.80)

Глава III
РЕЗОНАНСНЫЕ РАДИАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 6. Уширение спектральных линий
в отсутствие нелинейных явлений
Контур спектральных линий в спектрах поглощения и
испускания разреженных газов обусловливается эффектом Допплера,
связанным с тепловым движением атомов, и случайными
возмущениями внутренних степеней свободы, происходящими в
результате спонтанных переходов и столкновений. При
качественном рассмотрении роли эффекта Допплера можно рассуждать
следующим образом. Пусть излучающий осциллятор,
колеблющийся с частотой coo, движется со скоростью v\ в лабораторной
системе координат частота испущенной им волны будет щ+ко,
где k—волновой вектор. Спектральная плотность излучения,
испускаемого атомами, которые движутся со скоростью v,
описывается функцией 6(<й—coo—kv) (если отвлечься от затухания
колебаний). Контур линии излучения, испускаемого ансамблем
атомов, дается, очевидно, выражением
/ (со) = J 8 (оэ — со0 — kv)W(v) dv = -L w(^^j9 F.1)
где W(v)—распределение атомов по проекциям v=kv/k
скоростей v на направление наблюдения k/k. Например, при мак-
свелловом распределении контур линии имеет гауссову (или
допплеровскую) форму
(<а—й)о \ 2
Mw;_ с *• ^2=?^1. F.2)
Согласно квантовой теории испускания контур линии,
ширина которого обусловлена исключительно спонтанными
переходами, имеет лорентцеву форму [1]
7 (С0) = ^(<*-щ)* + (Уп + УтJ' F*3)
и его полуширина олределяется полусуммой вероятностей
распада комбинирующих уровней.
В простейших моделях возмущения процесса испускания
вследствие столкновений принимается во внимание тушение
комбинирующих состояний (механизм Лорентца), сбой фазы
колебаний атомного осциллятора (механизм Вайскопфа) и из-

Уширение спектральных линий
75
менение его ориентации (Андерсон) [2, 3]. Каждая из
указанных причин, будучи взятой по отдельности, также приводит к
лорентцеву контуру спектральной линии с некоторой
характерной шириной, определяемой временем затухания (временем
корреляции) дипольного момента. Изменение фазы колебаний,
происходящие при столкновениях, обусловливают, кроме того,
некоторый сдвиг частоты, при которой /(со) достигает максимального
значения.
Согласно корреляционной теории уширения спектральных
линий, основанной на классической .модели излучающего
(поглощающего) осциллятора, медленная огибающая дипольного
момента или испускаемого им поля рассматривается как
случайная стационарная величина, характеризуемая, ее функцией
корреляции
ф(т)=<е-*ю>, F.4)
где ф(т) — изменение фазы колебаний осциллятора,
происходящее за время т. Контур линии, согласно теореме Винера—
Хинчина, дается формулой
оо
/(©)=-!. Re \ Ф (т) е<Сш-*в*А. F.5)
о
Лорентцева форма контура изолированной спектральной
линии (если допплеровское уширение пренебрежимо мало)
предопределена ударным приближением. Действительно, в этом
приближении процесс испускания волны атомным осциллятором
нарушается в течение малого интервала времени тст и излучение
имеет вид более или менее продолжительных волновых цугов,
отличающихся друг от друга фазой (или амплитудой, или
частотой) . Простые выкладки показывают (см. задачу 9), что
функция корреляции в данном случае экспоненциально зависит от
т и контур линии имеет лорентцеву форму:
Ф (х) = е-**"*; / Н = ± i^co-Va)* • <6-6)
Таким образом, форма контура линии оказывается
малоинформативной, и основной интерес представляют значения ширин
(Г) и сдвигов (Д) линии, которые в простейшем случае чисто
фазовой модуляции .могут быть вычислены по формуле
Г + fА = J Р (g) [1 - e-^Jdg, F.7)
где g означает совокупность параметров, от которых зависит
величина фазовых сдвигов cp(g); P(g)dg — число столкновений
в единицу времени, для которых g лежат в интервале g, g+dg.
В общем случае теоретический анализ контура линии
оказывается значительно сложнее. Дело в том, что перечисленные
выше механизмы уширения статистически не независимы уже толь-

76
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
ко потому, что соответствующие им процессы протекают в
одном и том же столкновении. Положение еще более
усложняется, если существенно допплеровское уширение. В этом случае
функция корреляции имеет вид
х
ф (Т) = <e-«4PM-<*«w>f г (Т) = j v (/) dtm F.8)
о
Здесь г(х) —изменение координаты атома, происходящее за
время т; v(t)— скорость атома, зависящая от столкновений.
Поскольку изменения скорости происходят одновременно с измене-
нением фазы колебаний осциллятора, уширение линии из-за
взаимодействия и допплеровское уширение также статистически
зависимы. Наконец, нелинейные явления обусловливают
возникновение неравновесных распределений атомов по скоростям,
ориентациям и уровням, и поэтому возникает необходимость
совместного анализа релаксации дипольного момента и
распределений чисел атомов по состояниям.
Итак, простая физическая картина, основанная на
представлении о модуляции параметров излучаемой волны (фазы,
амплитуды, частоты) и весьма полезная для качественного понимания
самого факта уширения спектральных линий, оказывается мало
пригодной при его количественном описании.
Аппарат квантового кинетического уравнения, изложенный
в гл. II, позволяет с единой точки зрения анализировать все
перечисленные причины уширения спектральных линий как по
отдельности, так и в совокупности. В данном параграфе
рассматривается случай сравнительно слабых электромагнитных полей,
когда можно пренебречь нелинейными явлениями и основное
внимание сконцентрировать на релаксации дипольного момента,,
определяемого недиагональным элементом матрицы плотности.
Обсудим случай изолированной спектральной линии,
отвечающей переходу между какими-либо двумя стационарными
состояниями т, п, обладающими энергиями Ет>Еп. Изолированность
линии означает, что внешнее монохроматическое поле
Е(г, 0 = 4" [&е~Кт'~ЬГ)+ W(M'-*r)]
взаимодействует с выделенным переходом т—п и не
взаимодействует с другими, если его частота со достаточно близка к
частоте перехода (отя. Будем рассуждать в рамках модели
невырожденных состояний и рассмотрим дипольно разрешенный
переход. Матричный элемент гамильтониана взаимодействия атома с
полем равен
Vm- (г,Ъ-—тЕ (г, t) dmn ei<W = - &-«*-*'>, F.9)
d 8
G = -*?-; 9=<о-©мп,

§6]
Уширение спектральных линий
77
где dmn — матричный элемент дипольного момента для перехода
т—п. В F.9) оставлен лишь резонансный член ехр (—iQt) и
отброшен быстро осциллирующий член ехр [t(<o+©wn)f].
Система уравнений для необходимых элементов матрицы плотности
такова (см. § 2, 4)
(it + vv + V™ + Yn) 9mn (vrt) = S (vr) -
- iG<Tm-kr) [pwm (vrt) - pnn (vrt)], F.10)
S(v, r) = - v(v)9mn(vrt) + $A(v\vx)pmn(Vjrt)dv±;
(it + v* + 2?') p> ^r/) = S> ^r) ^
=f 2Re [*G*e'(Q/-*r)Pm7l (ет/)], / = m, ft. F.11)
В интеграле столкновений для недиагонального элемента
индексы можно опустить, и это не вызовет недоразумений.
Под контуром спектральной линии следует понимать
зависимость работы поля, производимой в единицу времени, от его
частоты
/>(©) = - 2Й© Re {i J V*mn (rt) pmn (vrt) drdv}. F.12)
Следовательно, для вычисления Р(ы) необходимо з-нать $тп(vrt).
Член уравнения F.11), пропорциональный G*, обусловливает
изменение распределения атомов по уровням и по скоростям в
результате взаимодействия с внешним полем, т. е. описывает
нелинейные явления, которые в данном параграфе не будут
приниматься во внимание. В таком случае нахождение
недиагонального элемента pmn(vrt) сводится к решению уравнения
F.10) с заданной правой частью; входящая в нее разность засе-
ленностей pmn(vrt)—pnn(vrt) определяется процессами
возбуждения и релаксации, отраженными в интегралах столкновений
Sj(w) и членах спонтанной релаксации. Предположим, что эти
процессы создают разность заселенностей, не зависящую от
времени и координат,
Pmm(vrt)-Pnn(vrt)=N(v)=NW(v)9 F.13)
где N имеет смысл полной (интегральной по скоростям)
разности заселенностей верхнего (т) и нижнего (п) уровней. При
конкретных расчетах распределение по скоростям W(v) будем
предполагать максвелловым
W (,) = (/™Г ехр [- D.J], Р = %?. F.14)
При выполнении перечисленных условий pmn(vrt) можно,
очевидно, представить в виде
9mn(vrt) =p(vkQ)e-W-*r\ F.15)

78
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
и из F.10) получить следующее уравнение для p(yfeQ):
[4-i(Q-ko)]p(vk&)-S(v) = -iGNW(v)9 F.16)
S (v) = - v (v) р (vkQ) + §A(v\vx)p (vJQ) dvlf
Tf=Tn+Tf«-
Решение уравнения F.16) связано с его правой частью
интегральным соотношением
р (VkQ) = - iGN J F (vkQ | v') W (*') dv'. F.17)
Здесь F(vkQ\v')9 называемая функцией Грина, Я1вляется
решением уравнения
ly + vW-iiQ-vWFfrkQlv^-^AfrlvjFfakQlv^dv^
= 6 (*-*')• FЛ8)
Физический смысл функции Грина очевиден из F.18):
F(vkQ\v') представляет собой амплитуду недиагонального
элемента матрицы плотности при возбуждении его с определенной
скоростью, равной v'. Полная амплитуда p(vkQ) равна,
согласно F.17), сумме таких парциальных амплитуд, взятых с весом,
пропорциональным амплитуде G матричного элемента
взаимодействия и разности заселенностей N(v). Вместе с тем F(vkQ\v')
является фурье-образом пространственно-временной функции
Грина
F {vkQ \v') = § ei{Qt-kr)F (vrt / v') drdt, F.19)
которая удовлетворяет уравнению
[^ + «V+Y+v(tF)]F(w<|fFO-J^(v|fFl)F(fF1r/|^rffF1 =
= в @ в (г) в (*-*'). F.20)
и имеет следующий физический смысл: она описывает эволюцию
недиагонального элемента матрицы плотности при возбуждении
его в точке г=0 при скорости v' в момент времени /=0.
Излучаемая (поглощаемая) атрмами мощность может быть
выражена через функцию Грина
се
' P(co)=2fc(D|G|W/(a>); J /(»)<to = l;
—се [y.Ziy
оо
/ (со) = -1 Re j F (vkQ | v') W («') dvdv' = -^ Re J Ф (/) eiatdt;
e
ф (/) = J e~ikrF (vrt | v') W (v') dvdv'dr. F.22)

§«]
Уширение спектральных /пиний
79
Таким образом, контур линии задается средним (по vf v')
значением функции Грина1 F(vkQ\v'). Второе равенство в
формуле F.21) гласит, что функцию /(<о), по площади нормированную
на единицу и описывающую контур линии, можно рассматривать
как фурье-образ функции Ф@> которая представляет собой,
согласно F.22), пространственную фурье-гармонику функции
Грина F(vrt\vf), усредненную по скоростям.
Формулы F.21), F.22) устанавливают точный смысл
величин, фигурирующих в корреляционной теории уширения
спектральных линий, основанной на модели классического
осциллятора. Из сопоставления выражений F.5), F.8) и F.21), F.22)
можно заключить, что функция Ф@, определяемая формулой
F.22), идентична классической функции корреляции F.8). Эту
аналогию можно сделать еще нагляднее, если в классическую
теорию ввести функцию распределения осцилляторов F\ (vrcpx \ v')
по фазе ф, координатам г и скоростям v, а процедуру усреднения
в F.8) записать таким образом [4]
Ф (т) = J е-**-**'рг (wq>T | *>') dvdv'drdy. F.23)
Чтобы переменные <р, г имели смысл изменений фазы и
координаты, происходящих за время т функцию распределения следует
подчинить начальным^условиям
Л (ючрО | v') = 6 (v—vf) б (г) 6 (ф) W(v). F.24)
Если теперь функцию распределения /^(агфт)?/) находить как
решение кинетического уравнения типа F.20), то классическая
теория контура спектральной линии будет идентична квантовой.
Модель классического осциллятора, правильно передавая
распределение интенсивности в спектральной линии, требует
дополнительных, чуждых ей допущений при вычислении
абсолютных величин поглощенной или испущенной энергии. Дело в том,
что радиационные процессы (см., например, F.10), F.11))
существенно зависят от распределения атомов по состояниям, т. е.
от величин, которые не фигурируют в простой модели
классического осциллятора. Положение «в данном вопросе будет
усугубляться при учете нелинейных явлений, когда внешнее поле не
только индуцирует дипольный момент в атоме, но и влияет на
распределение атомов по состояниям. Поэтому нет смысла
«усовершенствовать» или дополнять классическую теорию, так
как попытки такого рода сведутся в конечном итоге к
постулированию системы уравнений типа F.10)', F.11).
Конкретизируем полученные выше общие формулы для
некоторых модельных ядер интеграла столкновения. Прежде всего
рассмотрим случай, когда можно пренебречь изменением скоро-
1 Вследствие пространственной однородности задачи интегрирования по г
умножает результат на объем системы V и поэтому Р((о) пропорциональна
йодному числу частиц системы NV.

80
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
сти при столкновениях (модель релаксационных констант,
см. § 4), т. е,
A(v\v{) = v6(t>—Vi).
Уравнение для функции Грина F(vkQ\v') при таком ядре
принимает особенно простой вид
[Г—i (Q—Д—ко) ] F {vkQ \v') = b {v-v'), F.25)
где введено обозначение
r+iA=1f+VT-v = Tfw+if»+v-v. F.26)
Решение уравнения F.25) очевидно
Из F.27) легко находим
F(vkt\v') =8(v—v,)e^T+iA)i"ikvt\ F.28)
F(vrt\v') =8(v—vf)e^r^)t8(r—vt). F.29)
Таким образом, в данном случае релаксация дипольного
момента характеризуется простым экспоненциальным законом
затухания. В выражении F.29) явно видно отсутствие изменения
скорости при столкновениях и равномерное движение атома.
В представлении F.28) последнее обстоятельство отражено
множителем ехр(—ikot).
Контур линии излучения, испускаемого атомами с заданной
скоростью v\ дается формулой
Re§F{vkQ\*')dv = Rer_m_!A_kv,y F.30)
т. е. имеет лорентцеву форму с полушириной r=Yn+Y«-i"v/""v/
и сдвигом максимума A-{-kv'. Для испускания ансамблем,
согласно общему соотношению F.21), находим
'H-^lr-,'^' <6-31>
т. е. имеет место усреднение выражения F.30) с весом,
определяемым распределением атомов по скоростям W(v').
Для масквеллова распределения F.14) и при условии, что ,Г,
А не зависят от скорости и, выражение F.31) сводится к
интегралу вероятностей от комплексного аргумента, подробно
табулированному в [5]:
/W-Fgg4.--?.L"-,^U*-7SrR'MW- F32>
V
а> (р) » е** [1 - Ф (/>)]; Ф (р) = -?=. J e-*dz;
о
р= [Г—i(Q—A)]/kv.

§ 6]
Уширение спектральных линий
81
На рис. 3.1 приведены
графики /(Q) как функции
(Q—A)/kv, рассчитанные по
формуле F.32) для
различных значений отношения ло-
рентцевой и допплеровской
полуширин T/kv. При r/kv-+
~>0 форма контура
приближается к гауссовой, при
T/kv > 1 — к лорентцевой.
Контур, определяемый соот-
нршением F.32), иногда
называют контуром Фойхта.
Рассмотрим модель
селективного рассеяния,
соответствующую относительно
г/кь-0
1—i—г
-3 -2 -1
Рис. 3.1. Контур Фойхта.
Небольшим изменениям скорости, когда ядро можно полагать
зависящим от разности v—vx (см. § 5). В таком случае
(^ + W + V + v)F(^|^-j^(v~Vi)/r(^iW|^)^i^
= 6(гN(*) 6 (*-*')• F.33)
Уравнение F.33) удобно решать преобразованием Фурье по
переменным гиг;; обозначим
F {Ш | v') = J e-i(ftr+x<,)F (vrt | v') drdv\
F (vrt | v') = щг J e4kr+Ml0)F (xkt | v') dkd*.
Из F.33) для F(y,kt\v') следует уравнение
[^-*VK + r + *'A + v-il(K)]F(ec«|fP,)ee(/)e
где введено обозначение
А (х) - J А (V - *М е^""*1^ (V - * О
—ix»'
F.34>
F.35)
F.36)
F.37)
для фурье-образа (по v) ядра интеграла столкновений.
Уравнение F.36) легко решается (например, методом характеристик),
и F(xkt\v') может быть представлена в виде
F (хМ | V') =-- ехр -( Г + iA + ikv') t - ixv' - J[v -Л(х+*т)Ш.
F.38)

82
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Обратное преобразование Фурье F.35) приводит к формуле
t
Интегральный член показателя экспоненты в F.39) отражает,
очевидно, роль изменении скорости при столкновениях: если
A(v—vi)=\8(v—Vi), то v—Л(х)=0, интеграл по и
превращается в б (г;—v') и F.39) переходит в F.28).
Наглядное представление о влиянии селективного рассеяния
можно получить из выражения для функции Грина,
усредненного по «конечным» скоростям v (для фиксированной скорости «до
столкновений» v')
f F {vkt | v') dv - exp I - [Г + i (A + ko')\ t - J [v - A (Jk%)\ dx\.
F.40)
В рамках корреляционной теории интегральный член в F.40)
допускает простую интерпретацию: с помощью F.37) можно
написать
v - A (Jk%) = J [1 - e-ikAvx] A {Av) d (Av) F.41)
и сравнить F.41) с выражением F.7) для полуширины Г и
сдвига А линии, обусловленных фазовой модуляцией.
Сопоставляя скачку фазы ф в F.7) величину kAvx, имеющую смысл
набега фазы за время т вследствие изменения скорости Av и
эффекта Допплера, приходим к выводу об эквивалентности этих
выражений. Таким образом, можно сказать, что v—A(k%)
характеризует влияние частотной модуляции, обусловленной
упругим рассеянием атома.
Отличие частотной модуляции от фазовой состоит прежде
всего в том, что эквивалентный набег фазы kAvт зависит от
времени, благодаря чему закон затухания функции Грина F.39)
отличается от простого экспоненциального. Например, в
варианте теории с одномерным ядром модельного типа E.69)
находим
^ t
^*T>=T+W: jF-4(ftt)]dT = v[*--l-arctgfts/].
о
При kst^l эта формула приводит к показателю экспоненты в
F.40), зависящему от tz.
Рассмотрим выражение F.40) в простых предельных
случаях. Пусть теперь s обозначает эффективную ширину ядра
A(v—Vi) (его полуширину или квадратный корень из второго
момента) и предположим, что
fts>r+V.= "fm+7„+v'; v'=Rev; v'=Rev. F.42)
В таких условиях ехр(—ikAv%) в F.41 J быстро осциллирует;

§ 6] Уширение спектральных линий S3
A(kx) в F.40) можно отбросить и выражение F.40)
оказывается экспоненциально затухающим. Следовательно, контур линии
будет иметь лорентцеву форму
Re J F (vkQ \*)dv = Rey + v_ .'(Q_ kv,y ks>y + V. F.43)
Его полуширина задается спонтанной релаксацией (if) и
вещественной частью частоты ухода интеграла столкновений v'.
Полученный результат просто интерпретируется в рамках
модуляционных представлений. Испускаемая атомом волна
разбивается столкновениями на последовательность волновых
цугов, средняя длительность которых равна (f+v')"-1. В пределах
каждого цуга частота смещена из-за эффекта Допплера на
величину ко'. Вообще говоря, между цугами существует некоторая
фазовая корреляция, т. е. они не независимы и способны
интерферировать. Если, однако, за время, равное средней
длительности цуга, случайные изменения скорости обусловливают большой
набег фазы (&ST~&s/(if+v/);>l, что совпадает с условием
F.42)), то волновые цуги оказываются практически
некоррелированными по фазе. Поэтому ширина спектра испускания
должна определяться, согласно F.43), обратной длительностью
одного цуга (v'+f)*. Спонтанная релаксация обусловливает
дополнительное уменьшение корреляции между цугами, и величина
•у аддитивно входит в полуширину контура.
В противоположном предельном случае ksx^l (частотная
модуляция обусловливает малый набег фазы за все время
релаксации дипольного момента) волновые цуги могут оказаться
коррелированными, если при столкновениях гае происходит
изменений фазы, и следует принимать во внимание
интерференцию цугов. Вследствие сказанного разность F.41) оказывается
малой и ею можно пренебречь в сравнении с Г. Поэтому взамен
F.43) получаем
§F(vkQ\if)dv =
= ___JL_;
Г — f(Q — A — kv')
Г + /А = 7 + v -v, F.44)
т. е. также лорентцев контур,
но его полуширина равна
меньшей величине y+v'—-V- Таким
образом, ширина линии и ее
сдвиг оказываются нелинейной о v»
функцией у', а следовательно, -Качественная завис*,
нелинейной функцией концен- ^oci щнрй^Ж от v'
трации возмущающих частиц

84
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Nb (рис, 3.2). Если v'>0 и V—v'<Cv', что соответствует
незначительной роли неупругих процессов и фазовой модуляции,
то тангенсы наклона при малых и больших значениях Nb могут
сильно отличаться. Если же v'<0 (см. § 5), то v' и v'—v' не
могут отличаться значительно и степень нелинейности графика
на рис. 3.2 будет небольшой.
Анализ контура линии F.40) в промежуточной области
значений отношения ks/T проведен в § 12. Там же установлен
критерий применимости выражения F.44), зависящий от величины
набега фазы вследствие частотной модуляци^ за все время
релаксации дипольного момента и определяемый более тонкими
свойствами ядра A(v—V\). В частности, если ядро обладает
конечным вторым моментом, то F.44) справедливо при
выполнении условия
r«>-^-(fa)i. F.45)
Приведенный критерий интерпретируется следующим образом.
За интересующий нас отрезок времени 1/Г происходит v'/Г
упругих столкновений, в результате которых среднеквадратичное
изменение скорости, согласно закону больших чисел, составляет
(v'/r)s2. Поэтому девиация частоты достигает значения fcj/v/rs,
а соответствующий прирост фазы за время 1/Г будет равен
у v'/Г ks/T. Если этот прирост фазы мал, то частотная модуляция,
обусловленная изменением скорости при столкновениях, не
может проявиться в контуре линии, о чем и говорит критерий
F.45).
В § 5 подчеркивалось, что модель разностного ядра
применима при условиях, когда его ширина s значительно меньше
среднетепловой скорости v. Указанное требование связано с
пренебрежением эффекта торможения атома. При решении
кинетических задач должно быть выполнено еще более жесткое
условие
sVl+v'/T <t>, F.46)
означающее, что столкновения, которые происходят за
время 1/Г, приводят к изменению скорости, существенно
меньшему v. Поэтому усреднение выражения F.40) с максвелловым
весом не имеет смысла.
Из сказанного следует, что-в рамках модели разностного яд*
-j)a частотная модуляция не может заметно повлиять на контур
Линии излучения, испущенного ансамблем атомов с тепловкм
распределением по скоростям v. Рассмотренные явления реально
могут наблюдаться в экспериментах с атомными пучками, либо
при исследовании нелинейных резонансов (см. гл. IV).

§6]
Уширекие спектральных линий
85
Обратимся к анализу формы линии в рамках модели
сильных столкновений, согласно которой распределение атомов
после столкновения не зависит от скорости атома до столкновения
(см. § 5)
A{v\vx)=%W{v). F.47)
В противоположность селективному рассеянию, в модели F.47)
удобно иметь дело не с временной, а со спектральной функцией
Грина F(vkQ\v'), подчиняющейся уравнению (см. F.18))
[7 + v — i (Q — kv)]F(vkQ | v') =
= vW (v) j F {vxkQ | v') dVi + 6 (v — v'). F.48)
Разделим уравнение F.48) на ^+v—i(Q—kv) и
проинтегрируем по v. В результате находим
§F(vkQ\v')dv =
= * Г1 - v f W(v)dV I"'
7-1- v — t{Q — kv')ll J 7+v — i(Q—kv)\ *
F.49)
Для вычисления контура линии ансамбля атомов полученное
выражение следует усреднить по v' с весом W(v') (см. F.21))
/(Q) =
_ 1 р Г W(v')dv' L ~f W(v)dv I
л * J y + v — i(Q-*v')ll J V+v — i(Q-hv)\ '
F.50)
В рамках модуляционных представлений (см. обсуждение
формулы F.43)) результат интерференции волновых цугов
выражен множителем, заключенным в квадратные скобки в F.49)
и F.50). Действительно, набег фазы на протяжении цуга,
обусловленный случайным изменением скорости, равен в
рассматриваемой модели kvl^+v')- Если этот набег фазы велик (&г;/(т+
+v')>l), Цуги не коррелированы по фазе и интерференция
должна отсутствовать. Именно такое заключение вытекает из
F.49), F.50), ибо при указанных условиях интегральный член
в квадратных скобках по порядку своей величины равен ч'1Ш4Ц 1,
им можно пренебречь и F.49), F.50) переходят в выражения,
характерные для спектра последовательности
некоррелированных цугов со средней длительностью (f+v')

86
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ml
Если же частота столкновений достаточно велика, то за время
свободного пробега (ч+ч')~1 случайный набег фазы kv/D-\-v')
будет малым и интегральный член в квадратных скобках
может быть сравним с единицей (интенференция существенна).
Рассмотрим детальнее случай, когда W(v) и W(v')
являются максвелловыми функциями и /(Q) принимает вид
/(Q)= » Re—т—, p=v+v_->a F52
v ' у я ко _ -» ' и kv v '
\-Уп-?г-0)(р)
где функция w(p) определена соотношением F.32). Если
|v|<&>, формула F.52) в соответствии со сказанным
переходит в F.51). С помощью приближенных равенств
ш(р)?*ер'[1-^/> + ...], \р\<1; F.53)
w{p)e*[p+-^yi, \р\>1 F.54)
можно исследовать предельные случаи
/ (Q) ~ -i-= ехр {- (Q - v"Yl{kvJ], y + v' < kv; F.55)
у Л RV
y + V^kv. F.56)
При малых значениях константы спонтанного затухания f и
частоты столкновений v' контур линии описывается, как и следовало
ожидать, гауссовой функцией. Упомянутая выше интерференция
волновых цугов наиболее ярко проявляется в условиях, когда
отсутствуют неупругие процессы и фазовая модуляция (v=v)
и когда можно не считаться ео спонтанной релаксацией (т=0)
Vf-lSTi Ь<*;\а\<*. F.57)
Выражение F.57) описывает центральную часть контура линии,
где сосредоточена большая часть энергии. Таким образом, при
больших частотах столкновений центральная часть контура
имеет лорентцеву форму и его полуширина у, называемая
диффузионной, значительно меньше как допплеровской ширины kv, так
я частоты столкновений v. Следовательно, упругие столкновения
обусловливают сужение спектральной линии2.
* Эффект сужения спектральных линий, обусловленный упругими
столкновениями, предсказан Дикке [б] и носит его имя.

§6]
Уширение спектральных линий
87
Спонтанное затухание (Tf?=0), неупругие процессы и сбой
фазы (v#v) могут существенно уменьшить эффект сужения
линии и даже полностью уничтожить его. В пределе IvI^'Y+v'
такой вывод очевиден и в физическом отношении (волновые
цуги не коррелированы), и в формальном, ибо интегральный
член в квадратных скобках выражения F.50) будет заведомо
малым. Наглядное представление о роли процессов,
маскирующих упругое рассеяние, можно получить из выражения для
I(Q) при Q=0
Поскольку интегральная (по частоте) интенсивность
спектральной линии в принятой нормировке равна единице, сужение
линии должно приводить к увеличению ее максимального
значения, и наоборот. Из F.58) можно заключить, что сужение линии
следует ожидать при выполнении условия
v' —v' .Я — 2 2v ^Я —2 п пал /crnv
—7— < —-z zr>< • ~ = 0,364. F.59)
v я яг ^ я ' N '
В противном случае столкновения с изменением скорости
обусловливают уширение линии, хотя и в меньшей степени, чем
при v=0.
Контур линии, определенный соотношением F.52), вообще
говоря, асимметричен. Действительно, выражение F.52) можно
записать так
f (Q) = _J^ u(p)-VH(v'/b>)jw(p)\* ^
V'nkv 1 + я|v/ltf |219(p)!¦ -4^[?u(p)-2v"v(p)\ '
ко
F.60)
w(p)=u(p)+iv(p); p=*D+v-iQ)/kv,
где u(p), v(p) — вещественная и мнимая части функции w(p).
Легко показать, что и(р) и v(p) — соответственно симметричная
и антисимметричная функция от Q—v". Все величины, входящие
в F.60), являются симметричными функциями, кроме члена
v*'t>(р). Таким образом, если v"V=0, то /(Q)— асимметричная
функция частоты.
Напомним, что в предельных случаях больших и малых
частот столкновений контур линии оказывался-симметричным (см.
F.55) и F.57)). Поэтому симметрия существенна в
промежуточной области значений v'~kv.
Физическую причину асимметрии контура линии можно
пояснить следующим образом. Наличие мнимой части у частоты
прихода означает, что в одном и том же столкновении происходят

88
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
и скачок фазы, и изменение скорости атомного осциллятора.
Одновременность этих событий делает статистически зависимыми
(на языке корреляционной теории) уширение из-за
взаимодействий и допплеровское уширение, что в свою очередь с
неизбежностью приводит к асимметрии [7]. Следовательно, асимметрия
линии обусловлена статистической зависимостью двух указанных
механизмов уширения.
Асимметрия линии может возникнуть и вследствие
зависимости v в F.50) от скорости v: поскольку v"(i>) может зависеть
только от модуля скорости, выражение F.50) будет, очевидно,
асимметричной функцией частоты. В данном случае также
можно говорить о статистической зависимости двух механизмов
уширения: если v" зависит от скорости, то приращение фазы при
столкновении определяется скоростью, которую атом приобрел в
предыдущем столкновении, т. е. существует явная
статистическая зависимость фазовой модуляции и упругого рассеяния3.
Разобранные примеры влияния столкновений на контур
спектральных линий (модели селективных и сильных
столкновений) наглядно иллюстрируют общее положение теории
статистической модуляции о нивелировке частотной модуляции в
результате быстрой смены знака мгновенного значения девиации
частоты. В качественном отношении общие результаты мало
чувствительны к конкретному закону модуляции и зависят, по
существу, от эффективной девиации частоты и среднего
периода модуляции (см., например [7], § 45).
В этой связи представляет интерес абстрактный случай двух-
позиционной модуляции, когда скорость v может принимать два
значения V\ и v2:
. F {vkQ\v') = F {vxkQ |t>') б (v - vx) + F {v2kQ \v') b{v- *3);
A (v | vx) = vn8 (v - vx) + v218 (v - eg;
A (v | v%) = v128'(t> — vx) + v228 (v — v,)\
W (v') = ^8 (*' - vx) + W28 {vf - *,); Wx + W,
Для таких условий интегральное уравнение F.18) сводится к
системе двух связанных линейных алгебраических уравнений
[у + vx - vu - i (Q - kvx)]F (vxkQ | vx) - v12F (vjbQ| vx) = 1;
F.62)
- v2xF {vxkQ | vx) + [y + v2 - v22 - i (Q - kv2)] F (vtkQ\v%) = 0,
Vi = v(frx); v2 = v(v2).
Правая часть в F.62) соответствует v'=v\. Другому
возможному значению v'=V2 отвечает нуль в правой части первого урав-
з Бо^ор летяльный анализ рассмотренных явлений см. в [4, 8].
F.61)
1.

§ 6]
Уширение спектральных линий
89
нения и единица — во втором. Решение системы F.62) при
произвольных соотношениях между параметрами слишком
громоздко (см. задачу 10), и ниже рассматривается простейший случай
WX = W2= -j-; kt>x = — kv2 = kv; vx = v2= v;
vii = v?i = v21 = v22 = v/2,
когда спектр приобретает сравнительно несложный вид
/(Q) = -l.Re 2 WiF{v3kQ\vi) =
- 1 Rcf i + Д^/аа ¦ i-*v/26 1 F63)
2n [ v + v_v/2 — t(Q-6) v+v-v/2-i(Q + 6) J* V ' ;
6 = Y&v* - v2/4.
Если частота прихода значительно меньше девиации (v<g.kv)f
выражению F.63) отвечают две изолированные линии,
сцентрированные на Q=±?t; и обладающие одинаковыми
полуширинами f+v—v/2 и одинаковыми интенсивностями. С ростом v
значение радикала б = ]/ k2v2 — v2/4 уменьшается, и две
спектральные линии сближаются. При v>2kv линии полностью пе-
рекрываются, центры их располагаются на частоте Q=0
(радикал — v2/4 мнимый), но они отличаются полуширинами
и интенсивностями. В пределе v>Aw из F.63) каходим
/(Q) = -LRe[ ^J ^ {^Щп1 F.64)
Спектр F.64) состоит из резкой компоненты, совпадающей по
своей, структуре с ранее рассмотренными контурами (ср. первый
член в F.64) с F.56)) и менее интенсивной, более широкой
«отрицательной» компоненты, уменьшающей) интенсивность
спектра в его крыльях. Таким образом, и в данном случае
упругие столкновения вызывают сужение спектра, полуЩирина
которого в наиболее благоприятных условиях (v=v, Ч~®) за"
дается диффузионным параметром (kvJ/v.
Разобранный пример двухпозиционной частотной модуляции
можно рассматривать как аналог уширения двух линий,
соответствующих двум различным переходам с близкими
воровскими частотами <отп и со* (рис. 3.3). Если столкновения способны
осуществлять перенос поляризации между переходами т—п и
/—/, то атом испускает излучение, частота которого
попеременно принимает значения (отп и щ, т. е. и здесь будет происходить

90
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
1 г
-чь О),
4л » 3^ з;
'Л Г
Рис. 3.5. Тесный дублет
перекрывающихся линий.
-\ —- »- а — схема переходов; б, в, г — изменение
(fl^w4, ttJ/i)/2 <0 спектра по мере увеличения давления.
двухпозиционная частотная модуляция. При достаточно
больших значениях частот столкновений v(m/i|//), превышающих
\®тп—<о*|, компоненты дублета перекроются, сольются и
может произойти сужение спектра. Описанное явление,
идентичное аффекту Дикке с точки зрения общей теории стохастической
частотой модуляции, получило название коллапса спектральной
структуры [8а].
Рассмотрим уширение двух близких спектральных линий без
учета движения атомов (см. рис. 3.3). Замена переменных
Pmn @ - Ртпб
_ Л -4<*-*тп)*
; Ря@ = Ряе
-л -*(ю-»л)<
F.65)
сводит кинетическое уравнение D.47) к системе алгебраических
уравнений относительно pmn, рц
[Tfmn+Vmn—Vmn—i (<й—G>w«) ] ртЛ—V (ШП \ jl) р# =
"№тп1\/тп)
F.66)
—v (/71 mn) ртя+ [fji+Vji—v,-c—/ (ю—©я) ]р*——tG,«tf,,
Y-to^Ym+Y».- Y^Yi+Yb vftev(tt|*); NtkssNr-Nkf
Ради простоты положим
Gmn=Gfis3G, Nmn^NjtssN; Ym«f=^'sY;
vw^Vjjsv; VmW==.vfl=v (mn | /7) =v (/71 mn) sv/2.

§6]
Уширение спектральных линий
91
В данном случае для работы поля можно по общим правилам
получить следующее выражение:
/КЗ- * Re Г i + fv/26. . 1 - fv/26j 1
v ' 2я L v+v-v^-iCQ + ei)" y + v-v/2-H.Q + b,.) J*
F.67)
Структура формул F.63) и F.67) одинакова в соответствии с
высказанными общими соображениями.
. Влияние столкновений на контур спектральных линий
интерпретировалось на временном языке в рамках представлений
о стохастической модуляции параметров испускаемой атомами
волны. Изменение скорости при столкновениях и перенос
поляризации трактовались при этом как частотная модуляция.
Возможна интерпретация иного рода, основанная на
представлении о спектральном обмене, т. е. формулируемая не на
временном, а на спектральном языке. Простейшим примером
спектрального обмена может служить разобранный случай уширения
дублета: согласно F.66), переходы т—п и /—/ «обмениваются»
поляризациями со скоростями v(mn\jl), \(jl\tnn). Эффект Дик-
ке также можно рассматривать как результат спектрального
обмена между поляризациями pmn(t>feQ) с различными
скоростями, которые пересчитываются в шкалу частот благодаря
эффекту Допплера. Модуляционная картина описывается
пространственно-временной функцией Грина F(vkt\v')f тогда как
представлениям о спектральном обмене отвечает функция Грина
F(vkQ\v').
Общая теория уширения произвольной спектральной
структуры (перекрывающихся и неперекрывающихся линий) без
учета нелинейных явлений основывается на системе интегральных
уравнений
[Утп + v {тп | тп; V) -1 (со - <omn - fcv)] ртп (v) -
- 2 j A (mnv | jlvx) pn (vx) dvx = - iGmnNmn (t>). F.68)
Разности заселенностей Nmn(v) в линейной теории полагаются
заданными функциями скорости. Суммирование в F.68)
производится по переходам /—/. Поэтому индексом суммирования
служит пара квантовых чисел /, /, нумерующая переходы, и си*
стему уравнений F.68) можно записать в компактном
матричном виде
(Т + v - Ю) р (v) - J А (v | vx) р (vt) dvx = - iN (v) G, F.69)
напоминающем уравнение F.16), которое имеет место для изоли-

92
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
рованной спектральной линии. В F.69) р(я), ^ обозначают
столбцы, составленные из матричных элементов pm»(t>), Gmn\
матрицы у, v» О, N(v) диагональны; элементами матрицы
A(v\vx) являются A(mnv\jlvi)
(v)mn,ji = v (тп | тп; v) 8mn,ju
(V)mnjl = (Ym + Yn) SmnJU g
(Q)mn,jl = (CO — C0m7l — ?fl) 6mn,jb
(Л/' (*> ))mnjl = #теп (p) Smn.jZ.
Решение уравнения F.69) может быть выражено через
матрицу Грина F(v\v')
P(»)=-fJ/'(«|v')iV(fF/)dfF'Of F.71)
которая удовлетворяет уравнению
(V+v -iQ)F(v\vf) — $A{v\vx)F {vx\vr)dvx = E8(v-*'),
F.72)
где J? — единичная матрица. Наконец, работа поля дается
соотношением
Р = - 2feco Re {Sp J dvdv'GGfF {v \ v') N (v')}. F.73)
В модели релаксационных констант
A(v\v1) = v8(v-vx); F (v\v') = F(vN{v -*') F.74)
уравнения F.69), F.72) сводятся к алгебраическим
р (V) р (v) = - «V (*>)<?; р (if) Z7 (V) = Я; F.75)
р (V) = y + v — v — iQ, F.76)
и матрица Грина равна матрице, обратной p{v):
• F(^) = p~1(^). F.77)
Таким образом, вычисление работы поля в рамках
применимости модели релаксационных констант требует обращения
матрицы р и ее усреднения согласно соотношению
Р=-2П(о ReSp {GG+ J р1 (v) N (v) dv}. F.78)
Величины Gmn пропорциональны матричным элементам диполь-
иого момента dmn и содержат в качестве общего множителя &.
Поэтому выражение F.78) можно записать следующим
образом:
/>(©) = - 2йсо L{J? ReSp [ddf Jp~{ (v) N (v) dv], F.79)

§ 6]
Уширение спектральных пиний
93
Если недиагональные элементы v{mn\jl) матрицы р
достаточно малы в сравнении с вещественными и мнимыми частями
диагональных элементов ее (Tfm+Tfn+Vmn, kv, со—ютп), то p(v)
можно полагать диагональной и обращение ее сводится к
вычислению обратных значений диагональных элементов. Этот
случай соответствует, очевидно, неперекрывающимся спектральным
линиям, и контур каждой из них уширяется столкновениями
независимо. Наоборот, большие значения v(mn\jl) (в сравнении
с kv, (йтп—(Ojz) означают наличие интенсивного спектрального
обмена, матрица p(v) существенно недиагональна и
необходимо ее точное обращение. В таком случае возможны коллапсы
спектральных структур.
В качестве конкретных примеров, где необходимо принимать
во внимание сложный характер уширения перекрывающихся
спектральных линий, можно указать на Q-ветви вращательно-
колебательных полос инфракрасного поглощения и
комбинационного рассеяния, зеемановскую и штарковскую структуры
спектральных линий, канты электронно-вращательных полос.
Основная проблема, которую нужно решить при анализе того
или иного типа коллапсов, состоит в рассмотрении конкретных
столкновительных процессов, обеспечивающих обмен
поляризациями между переходами4.
До сих пор обсуждение проводилось в рамках модели
невырожденных состояний. Общая теория уширения спектральных
линий, содержащаяся в соотношениях F.68) —F.79), может быть
распространена и на вырожденные состояния, если в указанных
формулах под радиационными и столкновительными переходами
понимать переходы между магнитными подуровнями. Другими
словами, индексы m, nt ), I в F.68) следует заменить по правилу
т-^пМ; п-+п'М'\ /-^М^; l-^ti'iMu F.80)
и совокупность квантовых чисел пМп'М', определяющих
переход между магнитными подуровнями М и М' состояний п и п\
рассматривать как индекс суммирования. Подчеркнем, что
такое расширение теории подразумевает выполнение условий
применимости модели изотропного возмущения (см. § 4), ибо в
противном случае член ухода интеграла столкновений может
иметь более сложный вид. Наконец, матричный элемент
гамильтониана взаимодействия Gmn в F.68) нужно заменить в
соответствии с B.46) (дипольное приближение) :
Gmn -+ G {пМп'М') = 2 (- \f-M\JMJ' - ЛГ11а> Gan. (а),
F.81)
cr = 0f±l; Gnw(o)=dj^; dnn>= -L<n ||d I л'>,
4 Освещение всего круга вопросов, связанных с коллапсами спектральных
структур, можно найти в обзоре Е. Е. Никитина и А. И. Бурштейна [3] и
в [8а].

94
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
где &а — круговые компоненты напряженности электрического
поля, </i||d||tt') — приведенный матричный элемент дипольного
момента.
Рассмотрим уширение спектральной линии, отвечающей
переходу между двумя вырожденными состояниями п и п\
принимая модель релаксационных констант. Согласно изложенному
правилу F.80), взамен F.68) имеем
1Уп + Уп' + v (ппг) — i (со — gw — kv)] р {пМп'М') =
= 2 vinMn'M'lnM&WdpinM&'Md-iGinMn'M^Nnn'iv).
мгм'х
F.82)
Сумма по МгМ\ в правой части описывает спектральный обмен
между переходами пМ — п'М\ пМг — п'Ми иллюстрируемый
рис. 3.4. Вертикальные волнистые стрелки обозначают
радиационный процесс, обусловливаемый членом — iG(nMn!Mr)Nnn'\
сплошные полукруглые стрелки—обмен поляризациями,
соответствующий одному члену суммы в F.82) (рис. 3.4
подразумевает линейную поляризацию поля и выбор оси квантования
вдоль направления напряженности его электрического вектора).
Вследствие изотропности возмущения аргументы частот прихода
подчинены условию М — М' = Мг — М\ (см. D.85)), что и
отражено на рис. 3.4.
Влияние деориентирующих столкновений на контур
спектральной линии можно интерпретировать с точки зрения
модуляционных представлений, как следствие амплитудной
модуляции. Действительно, зависимость величины G(nAf/i'M') в F.82) от
ММ' означает, что при равных заселенностях магнитных
подуровней амплитуда волны, испускаемая атомным
осциллятором, различна для разных переходов. Поэтому столкновитель-
ный перенос поляризации с перехода Mi —М[иг переход М—М'
приведет к изменению амплитуды излучаемой волны.
Следовательно, деориентирующие столкновения обусловливают
разбиение излучения на последовательность волновых цугов с
различна амплитудой, т. е. амплитудную модуля-
Y ~ ^i^^Z2^L^n цию волны- Согласно классическим предста-
* . С } влениям, роль деориентирующих столкно-
\ S вений можно пояснить следующим образом.
) ) Амплитуда волны, испускаемая линейным
, / > осциллятором в заданном направлении,
( ) зависит от угла между этим направлением
' ( \ и осью осциллятора. Столкновения перео-
-jk"—^Ь*"' Рис* 8-*- Схема радиационных и столкновительных
U м переходов.

§ 6] Уширение спектральных линий 95
риентируют осциллятор, вследствие чего амплитуда волны в
выбранном направлении изменяется по случайному закону.
Следовательно, имеет место стохастическая модуляция
амплитуды волны, сопровождающаяся уширением спектральной линии.
В рамках модели изотропных столкновений удобно
^-представление, поскольку оно диагонализирует релаксационную
матрицу в F.82). Действительно, стандартное преобразование
B.31) приводит систему уравнений F.82) к следующему виду:
Ъп + Уп' + v (пп') — v (tin'к | пп'х) — t (со — gw — kv)] Pnn' (и<7) =
= - iNm> (v) Gnn> (q) 6Hl. F.83)
Итак, для уширения спектральных линий, связанных с диполь-
ным взаимодействием атома и поля, существенно только
значение и=1. Из уравнения F.83) находим
п Пп. ^nn,(v)Gnn,{q)
Pnn< КЩ - Tnnf _, (ю _ Фпя, _ Ann/ - kv) .
ГПп' + /Ann' = Vn + Yn' + V {Jin') — V (tttt'l \nn'l)
и с помощью B.33) и B.47) вычисляем работу поля
Р = - b&vNnn-V 21 Gnn> (q) |?/ (©);
F.84)
/W-JLReJ-
я
W (v) dv
F.85)
Tnn> - 4® - «W - Ann' - * *)
где Щи)—распределение по скоростям для разности
заселенности состояний п9 п'.
Таким образом, спектральная линия, обусловленная
совокупностью радиационных переходов между магнитными
подуровнями вырожденных состояний, описывается единым лорентце-
вым контуром с полушириной Гпп' и сдвигом Anns не зависящим
от поляризации поля. Отличие от результатов, полученных в
модели невырожденных состояний, заключается только в
параметре Гпп* +'Ann'- Согласно соотношению E.24), столкнови-
тельную часть ширины 2Гпп» можно записать в виде
2 [Г** - Yn ~ Yn'] = 2Re [v (пп!) - v (nn'l \ nn'\j\ =
= 2 v(nxnx0\nn0) + 2 v(niniO|n'n'0) +
+ v (nnO I nnO) + v (n'/i'O | n'n'O) - 2Re v (nn'l \ nn'l). F.86)
Суммы no пгп[ в F.86) определяют вклад в ТПП' от тушения
комбинирующих уровней п, п\ т. е. от всех неупругих процес-

96
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
сов п-+пх, п! -+п\. Если тушение отсутствует, то Г пп>
определяется только сбоем фазы атомного осциллятора и его деориента-
цией. В силу неравенства D.92) можно написать
v (ппО | ппО) + v (л'л'О] п'п'О) — 2Re v (nn'l \ nn'l) >
> \]/v(nnO\nnO) - ]/V(nV0|nV0)]2> 0. F.87)
В отсутствие и фазовой модуляции физической причиной уши-
рения служит только амплитудная модуляция, обусловленная
деориентирующими стокновениями, как это уже пояснялось.
Следует подчеркнуть, что сравнительно простой контур
линии, описываемый соотношением F.85), свойствен модели
изотропных столкновений. В противном случае линия может иметь
более сложную форму5.
Задачу о спектре перекрывающихся линий также удобно
формулировать в непредставлении. Принимая во внимание
правила F.80) и преобразование B.31), из F.68) можно
получить следующую систему уравнений:
[ГПп' — i (ю — gw — Дтт' ~ kv)] рпЛ' (xq) =
= 2 v (пп'х | ttj/zjx) p . (xq) — iNvn' (v) Gnn' (q) Sxl. F.88)
И в данном случае отличны от нуля элементы матрицы
плотности только для и=1. Напомним, что между частотами взаимно
обратных переходов существует связь, выражаемая равенством
E.31). В рамках ударного приближения можно рассматривать
перекрытие линий, соответствующих очень близким боровским
частотам. В частности, они могут отвечать радиационным
переходам между группами тесно расположенных уровней, так что
\Е'п—Еп\\<квТ. Согласно E.31), в этих условиях имеем
v {пп'х | пхпхх) = v (n^iiX | пп'х), F.89)
т. е. релаксационная матрица в F.88) симметрична.
Общая структура уравнений F.88), описывающих
распределение интенсивности в спектре перекрещивающихся линий при
учете вырождения, совпадает с таковой в модели невырожденных
состояний (ср. с F.66)). Отличия касаются только конкретных
значений элементов релаксационной матрицы. Поэтому все, что
сказано о коллапсе перекрывающихся линий, непосредственно
переносится и на переходы между вырожденными состояниями.
6 Общие решения в теории контуров спектральных линий для
анизотропных столкновений не изучены. Некоторые частные случаи разобраны, например,
в работе [9] (там же см. библиографию).

§7]
Взаимодействие с сильным полем
97
§ 7. Взаимодействие атомов с сильным резонансным полем
Для нелинейной спектроскопии основной является задача о
взаимодействии атома с электромагнитным полем, спектральные
компоненты которого достаточно близки к частотам сотл
переходов между уровнями т, п атома. Условимся считать Ет>Епу
тогда сказанное выше можно выразить неравенствами
|«—<Оп»п|<'|<И+«Ы|> <»+<»mn, G.1)
где © — частота поля, <о# — боровские частоты иных переходов.
Условие G.1) определяет так называемое резонансное
приближение, в пределах которого внешнее поле обусловливает
переходы только между состояниями т, п. Другие состояния
испытывают влияние внешнего поля опосредованно, например в
результате каскадных спонтанных переходов т—>•/, п—>¦/ с
уровней, возмущенных полем.
Рассмотрим сначала простейший случай неподвижных
атомов с невырожденными состояниями и воспользуемся аппаратом
амплитуд вероятностей. В разложении волновой функции A.3)
выделим члены, соответствующие состояниям т, п\
4(t) = am(t)Vm + an(t)Vn+ 2 aj(t)V,. "G-2)
эФт,п
а в системе уравнений A.5) для амплитуд вероятностей примем
во внимание, что матричный элемент гамильтониана
взаимодействия отличен от нуля только для перехода т—п (резонансное
приближение)
ят + утая = - iVmnan; ап + упап = - iVLam; G.3)
а. + 7/ау = 0.
Практически наиболее важен случай монохроматического поля
и дипольного приближения
vmn = —lwdmnEei(umnt; Е = ±Ше-ы+&**«>Ч G.4)
Условие G.1) позволяет удерживать в G.4) только один из
двух членов
Кжп- = -Се-« Q=co^comn; G = dmng№\ G.5)
<*m + Ym^m = iGe~iQtan\ an + ynan = Ю*е™ат. G.6)
Система уравнений G.6) разрешается без труда и ее фундамен-

Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
талъная матрица, позволяющая вычислять решения при
произвольных начальных условиях, дается формулой
Але~ахХ 4- Л9е~"а*т (e~aiX — е~~а*т)
¦ а2 — а1
в __а (е~а»т — е-а*т) (Л^-^ + Л2е~а*) eiQx
G.7)
2<xii2 = Vm + Т» + Ю ± "K(Tn + M - TmJ - 4 |G|2;
где ait2, Лi,2 — корни характеристического уравнения и
постоянные интегрирования.
Матрицу S(t, tQ) можно представить в виде
«(U^e^We-*»., G.8)
(Q)is=Qfiv; Q»=Q; Qm=0.
Матрица exp(f'Qf) осуществляет унитарное преобразование
системы G.6) к уравнениям с постоянными коэффициентами;
Si(x) —фундаментальная матрица последних, зависящая только
от т=*—10. Явное выражение для Si(t) дается формулой G.7),
если в ней опустить множители exp (lQt)t ехр (—iQtQ) и
ехр(ЙЗт).
Элементы S первого столбца матрицы G.7) суть
решения системы уравнений G.6) для начальных условийam(to) =
= 1 (возбуждение верхнего уровня), элементы 5т«, Snn второго
столбца — для an(?0) = l. После возбуждения верхнего уровня т
взаимодействие с электромагнитным полем обусловливает
вынужденное испускание фотона, после возбуждения нижнего —
поглощения. Подставляя 5М и 5in из G.7) в формулы A-20),
A.23), можно вычислить испускаемую (Кт) и поглощаемую
(Rn) энергии в расчете на один акт возбуждения
«т- Ут Q*+(yn+ym)*[l + \G\VynymV ^-^W- ^У>
Если поле мало интенсивно, то
R _ *<* (Ут + Уп)\°\2 . |G|* , / О V /7 10Ч
т. е. испускаемая (поглощаемая) энергия пропорциональна
интенсивности поля. Такая закономерность характерна для
линейной спектроскопии. По мере роста \G\2 становится
существенным член знаменателя, отброшенный в G.10); зависимость

§7]
Взаимодействие с сильным полем
99
Rm от \G\2 приобретает нелинейный характер и в пределе очень
сильных полей достигает «насыщения»:
Rm = у пi у ; Rn = v +у ; тт"^1 ~Hy +v )• ^7'11^
Соотношение G.11) допускает простую интерпретацию.
После возбуждения на уровень т атом под действием внешнего
поля может перейти в состояние п9 вынужденно испустив фотон,
либо релактировать в другие состояния \фп в результате
спонтанных переходов т—»-/. Чтобы в поле остался
вынужденно испущенный фотон, атом после вынужденного перехода
.т—уп должен релаксировать из состояния л, ибо в противном
случае внешнее поле может перевести его обратно в состояние
т, вернув атому энергию фотона. Величина «yJ(Ym+Чл) равна,
очевидно, отношению скорости распада по каналу, полезному
для вынужденного испускания, к суммарной скорости распада
из обоих комбинирующих состояний. Если Tfn>Ym, то
вероятность испускания фотона близка к единице. Аналогично
объяснение множителя Ym/(Yn+Tfm) в выражении G.11) для
поглощенной энергии /?„, поскольку для поглощения полезным
каналом служит релаксация из верхнего состояния т (после
возбуждения нижнего состояния атома п).
Кинетика переходов атома т—>п, п>—>• т имеет простой вид
при одинаковых скоростях распада комбинирующих состояний
7m = Vn; *i.2 = Ут+ ifl® ±V& + *\G\*];
5mm(/,/0) = e-(^Q^x
X [cosT(K|G[2 + a2/4) + y|G^2Q2/4 sin(TKlGla + Q2/4)]; ;
G.12)
Snm(U0)~ V|;7";2/4 e^^^»in(Tl/fOP + Q»/4), ,
Амплитуды вероятностей Smw(/, t0), S«m(/, to) оказываются
осциллирующими и затухающими функциями времени.
Осцилляции описывают, очевидно, тот факт, что после перехода т—уп
поле вынуждает обратный переход п—>т, затем вновь переход
т—>п и т. д. Грубо говоря, часть времени атом находится в
состоянии т, другую часть —в п. Поскольку *[т=чп, атом с
одинаковой скоростью релаксирует из обоих состояний и зату*
хание Sim не зависит от \G\. Если амплитуда осцилляции
достаточно велика (|G|2>Q2/4) и за время 1/^т затухания
происходит несколько осцилляции (\G\"l<^l/^m)9 то в среднем атом
находится приблизительно одинаковое время в состояниях m, п
и «отдает» полю максимально возможную долю запасенной в
нем энергии Нр в соответствии с G.11).

100 Резонансные радиационные процессы [Гл. III
. Если ifw^Tfn» что характерно, например, для электронных
состояний атомов, эволюция во внешнем поле приобретает иной
вид. Пусть Q=0 (точный резонанс) и 4|G|2< («уп—-ушJ. Тогда
корни «ь &2 вещественны
ai.a = Y<T» + Ym)±X; % = У (Т» - YmJ/4 - | G |2; G.13)
и амплитуды вероятностей не испытывают осцилляции.
Например,
s--."•***"*[* х^Ь^Ь4
1/
5nm = ^ — S hXr.
G.14)
Отсутствие осцилляции в данном случае легко объяснимо.
Допустим ifn^Tf"». Тогда после возбуждения на уровень т и
вынужденного перехода т—>п атом быстро релаксирует из
состояния л, так что поле не «успевает» вызвать обратный переход п—>•
•—>-т (ибо по предположению «у»—v~4n>2|G|). Эволюция
такого рода подобна известному режиму «апериодических»
колебаний сильно затухающего маятника. Если выполняется
обратное соотношение чп<чт, то осцилляции подавляются быстрой
релаксацией из начального состояния.
Напомним, что степень выраженности нелинейных явлений
определяется значением параметра |G|2/TfnT»- Если Т»^Т« или
Чп^Ч™, то могут быть справедливыми неравенства
Yn>|G|2>Y»Ym; Ym>|G|2>YnYm,
означающие, что испущенная (Rm) и поглощенная (Rn) энергии
могут достигать насыщения (как функции |G|2) в условиях
апериодической эволюции, описываемой формулами G.14).
При достаточно высокой интенсивности внешнего поля корни
ai.2 становятся комплексными
ai,2 - 4-h» + Ym ± 1УЦЩ^Чу7^У^21 G.15)
4|G|2>(Tn-YmJ,
гиперболические функции в G.14) превращаются в
тригонометрические, и эволюция атома приобретает характер затухающих
осцилляции. В предельном случае |G|2>(ifn—TfmJ формулы
G.14) переходят в G.12) (если в последних положить Q=0)
с тем отличием, что затухание определяется полусуммой (ч(«+
4*Тт)/2. Так^я скорость затухания согласуется с представлением
о приблизительном равенстве вероятностей пребывания атома в
состояниях т, п.
Как увеличение |G|2, так и выход из резонанса (Й=^0)
увеличивают частоту осцилляции амплитуд Sii9 однако выводы
по отношению к испускаемой (поглощаемой) энергии оказыва-

§7]
Взаимодействие с оильным полем
101
ются различными. Действительно, согласно соотношениям A.20)
и G.12):
Р (т) = - 2fcco Re [iVnmSmmS*nm] =
= -2Гт-^==±Щ=- sin(KQ2 + 4|G|*t), T„ = T«. G-16)
Знакопеременность работы поля интерпретируется в духе
изложенных выше соображений как результат последовательных
переходов атома т—>/*, п—>т и т. д., сопровождающихся
испусканием и поглощением фотона feca. Возрастание \G\2 обус-
лрвливает увеличение как частоты осцилляции, так и
коэффициента перед синусом, так что в конечном итоге испускаемая
энергия, просуммированная за все время эволюции, также
увеличивается. Возрастание же |Q| (все больший выход из
резонанса) увеличивает частоту осцилляции и уменьшает
коэффициент перед синусом в G.16), так что в отношении испускаемой
энергии R результат будет противоположным.
Физически вполне очевидно, что внешнее поле с любым
спектральным составом вынуждает переходы между атомными
состояниями. Поэтому обсужденные выше качественные
особенности эволюции отнюдь не специфичны для монохроматического
поля. Пусть, например,
Vmn=-G(t)e-b»°; Ym = Yn, G.17)
где фо — постоянная величина, G(t)—произвольная
вещественная функция времени. Именно таково положение при бихрома-
тическом поле
Е - i # tcos К' + <Pi) + cos (®i* + <Pi)l. G-18)
если частоты coi, соа расположены симметрично относительно <атп:
Vmn = - ^Р cos (й^___ / + IlzA) е-*(ф.+ф.)/2, G.19)
COl + 0Jl=2cOmn.
В более общих случаях допущение G.17) также требует
определенной симметрии спектра поля относительно частоты
перехода tt>mn. В условиях G.17) фундаментальная матрица системы
уравнений G.6) находится квадратурами
cos/@ ie~*Posin/@\
*e«*sin/(/) cos f{t) Г ( '
t
f(t) = $G{t1)dt1.
t»
Из G.20) видно, что при Ym=T« и Достаточно общих предполо-
S(t,t0) = e-™(

102
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
жениях о ввде внешнего поля амплитуды вероятности
оказываются затухающими и осциллирующими функциями времени,
причем ббльшим значениям G (в сравнении с чт) отвечают
приблизительно одинаковые средние. вероятности пребывания атома в
состояниях т, п. В противоположность этому результату, если
константы релаксации чм*» отличаются значительно, а внешнее
поле не слишком сильное:
max|Kmn|2<(Tn—ТжJ/4, Yn>Tm, G.21)
эволюция обладает свойствами апериодического режима. Из
уравнения G.3) следует, что при выполнении условий G.21)
амплитуда ап будет изменяться значительно быстрее, чем ат,
поэтому приближенно можно положить
t
Snm V, t0) = - / J V*mn (tt) e-^-U) Smm (/b to) dtL -
to
t
ss - i SWTO (*, Q IVL (fx) Г**-*dtt. G.22)
Подставляя это выражение в уравнение для ату приходим к
формуле
Smm (t, t0) = exp - vm (t - t0) -
- 1 dtx J dt2Vmn (b) Vmn (*,) e'^-u)\ Ge23)
U to '
передающей основные особенности «апериодической эволюции».
Из общих соображений должно быть ясно, что при
достаточно большой интенсивности внешнего поля различие в
константах релаксации не может воспрепятствовать установлению
режима «затухающих осцилляции»: какова бы ни была зависимость
Vmn от t, внешнее поле «успеет» за время жизни атома на
уровнях m, п вызвать многократно повторяющиеся прямые и
обратные переходы т—>п, п—>-т. Действительно, легко
показать, что при указанных условиях фундаментальную матрицу
можно представить в виде (см. [8])
S(t,t0) = e-(y^™)x/2X
-4[<Р@-Ф(Ы] -|[Ф«)+Ф«о)]
2 cos f@ fe 2 sin f(t) ш
¦ , Ч G-24)
[Ф@+Ф(Ы] #Ф@-Ф(М]
sin f(t) е2 . cos/(О

§7]
Взаимодействие с сильным полем
103
где введены обозначения
t
f(t)=\dt1G(t1); G.25)
и
G (t) = eW>Kmn @; е*«« = 1С (/)/Kmn (/).
При ф(/)= const выражения G.24) переходят в точное
решение G.20). Подчеркнем, что затухание амплитуд вероятностей
в G.25) происходит со скоростью, равной
среднеарифметическому значению констант затухания состояний т, п
изолированного атома, что согласуется с изложенными представлениями б.
, При анализе ряда вопросов нелинейной спектроскопии
(например, о спектре испускания, возникающего в результате
спонтанного распада состояний атома, возмущенных внешним
полем) представляет интерес иное описание кинетики переходов,
основанное на разложении амплитуд вероятностей на
экспоненциальные слагаемые. Подставим выражения G.7) для Smm(t, t0),
Snm(t, t0) в формулу G.2)
' Y (t) = [л1е~(а^)т + Л2е~(а2+**2)*] ym<TiE™tlh +
+ i0* [e-(ai+iai)T _ e""(a2+ia2)x] eiQt^ne~iEnt/n +
+ 2 ^(Ш^"^М^Т, aU2 = al2 + taul. G.26)
Из G.26) видно, что эволюция атома во внешнем
монохроматическом поле описывается волновой функцией, состоящей из
членов такого типа, которые характерны для системы с
квазистационарными состояниями, обладающими энергиями
(рис. 3.5)
Ет\ = Ет + Ъаи Ет2 = Em + ha2;
Enl = En + h(ai-Q); Еп2 = Еп +П(а2 -О).
Постоянные затухания подуровней ml, п\ и т2, п2 равны
соответственно a't и а2. Можно, сказать, следовательно, что
монохроматическое поле обусловливает расщепление уровней
изолированного атома Ет и Еп на пары подуровней EmU Ет2 и EnU Ел2.
Значения ^квазиэнергий» подуровней, скорости их
релаксации и амплитуды вероятностей пребывания атома на них
зависят от |G|, Q, ^л, Ym. На рис. 3.6 а, б показаны графики
зависимости величин
I «и ~ (Ут + ?и)/2|; I а*,? — Й/2
от \G\2 при различных значениях величин |у«—Чт\ и |Q|« При
6 Более детальный анализ кинетики вынужденных переходов в некоторых
частных случаях см. в [8, 10].

104 Резонансные радиационные процессы [Гл. III
.Sn Г^т
т1
fm^m-
\t>w
Гп,?п-Ц
^m+MS*!
ml
-г-Ет+Щг<А
<J L_^
\
\hzi)
n1
n2
Рис. 3.5. Расщепление
уровней атома,
взаимодействующего с
монохроматическим полем.
y-i(im+y\/vn-*m\
1 ' ' ^у ' ' ' ' 1 М
Рис, 3.6. Зависимость характеристических корней аи2 от |G|.
• \*'~(Ут + Уп)/2\ \<х"- 1/201
а |Vm-Vn| ' | Vm - Vn 1 *
Рис, 3.7. Схема уровней и
переходов в
полихроматическом поле.

§7]
Взаимодействие с сильным полем
105
точном резонансе (Q=0) и малых значениях \G\ (|G|2<
< (fn—TmJ/4) расщепление по «энергиям» отсутствует и
подуровни отличаются лишь скоростью затухания (ai>2 = 0; он Ф а2У,
если |С|2>(«ул—«утJ/4, то положение иное — скорости
затухания одинаковы (а[ = а2)> а квазиэнергии подуровней различны
ai^oQ. Если Q=^=0, то всегдаa'i=^a2, а^аг^при достаточно
больших значениях |G|2, зависящих от |Q| и \^п—fml» скорости
затухания асимптотически приближаются к (^«»+^п)/2, а
поправки к квазиэнергиям ai, <х2 —к ±|G|+Q/2.
Расщепление уровней атома в монохроматическом поле
можно интерпретировать в терминах стационарной теории возмуще-*
ний как снятие вырождения в системе «атом+поле». Положим
для полноты аналогии уп=Т™ и расмотрим два состояния такой
системы: 1) атом на уровне т, в поле N фотонов Йсо; 2) атом
на уровнем, вполеМ+1 фотон. Энергии указанных состояний в
отсутствие взаимодействия атома с полем равны соответственно
?х = ?то + Й©ЛГ; E% = En + h®(N+l). G.28)
Вследствие взаимодействия атома с полем значения энергий
изменятся, причем поправки к G.28) определяются из секуляр-
ного уравнения
\Em-En-h<* + AE KVmn\ Q
решения которого суть
A?li2 - 4 Iе0 - ®«» ± K(co-coW7lJ+4|Km7l|2],
Полученное выражение для AE\t2/h совпадает с мнимой частью
корней, определяемых соотношением G.12). Таким образом, с
изложенной точки зрения расщепление уровней атома,
помещенного в монохроматическое поле, интерпретируется как
результат снятия • вырождения в системе «атом+поле» из-за их
взаимодействия.
Если поле не монохроматично, расщепление уровней также
имеет место, но вид его более сложен. Допустим, что матричный
элемент Vmn(t) представляет собой периодическую (с периодом
Т) комплексную функцию времени; тогда фундаментальная
матрица системы уравнений G.3) представима в виде
S(t, /0)=Ф@е-*<, G.29)
где /?, Ф@— постоянная и периодическая (с периодом Т)
матрицы (см., например, [11], с. 90). Решение вида G.29) можно
разложить в ряд Фурье и тогда
S 8
+ 2*Ае-и*/*^1, А«> = ^, G.30)

106
Резонансные радиационные процессы
[.(л. II!
т. е. в данном случае имеет место расщепление уровней m, п на
бесконечное число подуровней, а не на два, как это было для
монохроматического поля. Простейшим примером,
иллюстрирующим выражения G.29) и G.30), может служить
взаимодействие с бихроматическим полем и решение G.20).
Эффект расщепления уровней характерен не только для
двухуровневого варианта резонансного приближения. Допустим,
спектр внешнего поля содержит N компонент, причем каждая
резонансна одному из N—1 смежных переходов (рис. 3.7).
Амплитуды вероятностей в таких условиях подчиняются линейной
системе из N уравнений, которая соответствующей
подстановкой сводится к системе уравнений с постоянными
коэффициентами, и фундаментальная матрица в новом представлении
зависит от t—to:
a(t) = e^ax(t); @)f/ = QA/;
S{t, t0) = e™St(t - *e)e-«4 Kiu6i)
Характеристическое уравнение имеет порядок N и такое же
количество корней. Если корни характеристического уравнения
не кратные, то амплитуда вероятности каждого из состояний
представляет собой линейную комбинацию из N
экспоненциальных функций. Следовательно, и в данном случае происходит
расщепление уровней на подуровни, причем количество их
равно числу взаимодействующих состояний.
Таким образом, расщепление уровней атома, помещенного во
внешнее электромагнитное поле, представляет собой
универсальный эффект нелинейной спектроскопии.
Следует иметь в виду существенное различие между
понятиями «стационарное состояние» и состояние, характеризуемое
квазиэнергией. Каждое стационарное состояние замкнутой
системы обладает определенной энергией (в строгом смысле этого
слова) и может быть возбуждено отдельно, независимо от
остальных стационарных состояний. Последнее особенно важно
с точки зрения спектроскопических задач. В противоположность
этому состояния, характеризуемые значениями квазиэнергии
(Emi,Em2 и ЕпиЕп2 в двухуровневой модели), не могут быть
возбуждены независимо. Поэтому величины типа Ет\ и т. д. не
имеют того смысла, который вкладывается в понятие энергии
стационарных состояний замкнутой системы. Тем не менее
представление о расщеплении уровней изолированного атома на
подуровни оказывается очень полезным при анализе
спектроскопических проблем, ибо переходы из состояний т, м,
возмущенных внешним полем, можно свести к совокупности переходов с
подуровней ml, m2, nl, п2. Более детально этот круг вопросов
обсуждается в § 8.
Подчеркнем различие между обсуждаемым полевым
расщеплением уровней и расщеплением уровней в постоянном внеш-

§*]
Взаимодействие с сильным «полем
107
нем поле, например электрическом (эффект Штарка). В
последнем случае электрическое поле снимает ориентационное
вырождение состояний, поэтому состояния с различными значениями
проекции М момента количества движения обладают неодинаковыми
анергиями. Иными словами, эффект Штарка состоит в сдвиге,
а не в расщеплении М-подуровней. Резонансное же
электромагнитное поле обусловливает, согласно вышеизложенному,
расщепление каждого из магнитных подуровней на пару компонент,
если речь идет о монохроматическом поле, и на бесконечное
число подуровней в более сложных случаях.
Второе различие, важное для спектроскопии, состоит в
следующем. Согласно G.26) и рис. 3.5, подуровни с* близкими
значениями квазиэнергии (EmU Ет2 либо EnU Еп2) характеризуются
одной их двух волновых функций — «фт либо г|з„. В постоянном
поле положение иное. Полагая со=0, aw^T*»» Y*» |^|, из
выражения G.26) находим
t
+
4(t) = [Arfm-Byn]exp\~i(E^+4^)
L \ тп'
ЧЧЛ^+Яфп1ехр|^ G.32)
Уровни энергии7, соответствующие G.32), изображены на
рис. 3.8. В отличие от четырех подуровней рис. 3.5 здесь имеют
место два уровня, причем каждому из них соответствует
линейная комбинация обеих волновых функций изолированного
•атома. Вполне очевидно, что указанное различие волновых
функций G.26) и G.32) весьма существенно для спектроскопии
переходов, связанных с состояниями m, п (структура линий,
правила отбора и т. п.).
^ Ы*Ъщ1?1ш*%
i
i \
' \ к*2
... ?„ L~-> ?,-4*5^;*.*,
Рис. 3.8. Схема уровней атома в постоянном
электрическом поле.
7 Следует принять во внимание, что при ю=0 нужно удерживать оба
члена в выражении G.4) для Vmn- С этим обстоятельством связан множитель 4
перед |G|2b G.32).

108
Резонансные радиационные процессы
[Гл. ill
Несмотря на все сказанное, расщепление уровней атома в
электромагнитном поле иногда именуют динамическим эффектом
Штарка. В данной книге будет применяться термин «полевое
расщепление».
Интерпретация нелинейных явлений показала существенную
роль релаксационных процессов. Вместе с тем ранее
применялась упрощенная схема, в которой не принимались во внимание
столкновения и каскадные спонтанные переходы и учитывалось
только затухание уровней в результате спонтанного распада.
Оставаясь в рамках модели невырожденных состояний,
рассмотрим теперь взаимодействие атома и внешнего поля с
помощью кинетического уравнения, позволяющего наиболее полно
включить в расчет релаксацию.
В резонансном приближении достаточно знать диагональные
и недиагональные элементы матрицы плотности, относящиеся к
паре уровней т, п. Согласно B.30):
¦дГ + г/) Рп = ± 2Re(flC„pmil) + Amnpmm6Sn + Qj;
[ж + г +iA) Prnn = iv тп (pmm - Pnn); G.33)
Г; = 2yj + vj- vj] Г + i'A = Ym + Yn + vmn — vmn; / = m, /i.
Здесь Г3, Г+/А — константы релаксации, включающие в себя и
спонтанные, и столкновительные процессы; член Amnpmn8jn
описывает каскадный спонтанный переход т—>п\ Qu — член
прихода интеграла столкновений, задающий число актов
возбуждения уровня / в единицу времени; знаки ± в уравнении для
Рл отвечают j=m и ]=п соответственно. Пусть внешнее поле
монохроматично, так что матричный элемент Vmn дается
формулой G.5); подстановка
Pmn=pe-<0'; fi=co—comn G.34)
переводит G.33) в систему уравнений с постоянными
коэффициентами
(if + Г') 9и = =¦= ^е (*'G*P) + Атп9ттЬы + Qj;
[-^ Н- Г — г (Q — A)J р = — fC? (pmm - pnn).
Рассмотрим сначала кинетику переходов, происходящих
после мгновенного возбуждения уровней (Qj?°b(t)). Такая
постановка вопроса эквивалентна решению системы G.35) при
определенных начальных условиях, т. е. соответствует подходу,
примененному в аппарате амплитуд вероятностей. Полагая
pj=4;e-"; p = Ac-w, р*=Ле"и, ¦

§7]
Взаимодействие с сильным полем
109
можно прийти неоднородной системе линейных уравнений
относительно Ajf А, А, для которой характеристическое уравнение
имеет вид
{X - Гт) {К - Гп) [(% - Г)* + (Q - АJ] +
+ ЦО\ЦК-Т)[х-±(Тт + Гп-Атп)\ = 0. G.36)
Как известно, уравнение четвертого порядка разрешимо в
радикалах. Однако в общем случае выражения для корней
слишком громоздки и потому практически бесполезны. В силу
вещественности коэффициентов в G.36) корни либо вещественны,
либо попарно комплексно сопряжены. Как нетрудно убедиться,
сумма корней равна Гт+Гл+2Г.
Если внешнее поле достаточно малоинтенсивно, в уравнении
G.36) можно пренебречь членом с |G|2, и его корни
*1=Гт; Я*=Г„; Лм==Г±/@—А) G.37)
описывают эволюцию диагональных" и недиагональных
элементов матрицы плотности изолированного атома. В
противоположном предельном случае, когда \G\ значительно превышает
все релаксационные константы и |Й—Д|, из G.36) следует
^i = "Y О-т + Гп — Атп)\ %2 = Г; Я3,4 = -J- (Гт +.ГП +
+ 2r + i4mn)±2*|G|. G.38)
Корень К\ соответствует, очевидно, затуханию вероятности
пребывания атома на обоих уровнях; член Атп отражает тот факт,
что спонтанный переход т—>п, происходящий со скоростью
Атп, не уменьшает числа атомов на уровнях т9 п. Корень А,2
характеризует затухание недиагонального элемента матрицы
плотности, а А,3, %а— осцилляции вероятностей, обусловленные
вынужденными переходами т—±п, п—>-т. Коэффициент
Эйнштейна увеличивает скорость затухания осцилляции, что
можно интерпретировать как следствие некогерентности
спонтанного излучения и вынужденных переходов.
Рассмотрим теперь случай стационарного возбуждения (Qj
не зависит от времени). Здесь р# и р не зависят от t и G.33)
переходет в линейную систему алгебраических уравнений
Tfi„=AmnPmMbin:?2Re (*G*p) +Q§;
G.39)
[T—i (Й-Д) ] р=:-Ш (рты—рпп),

НО Резонансные радиационные процессы [Гл. Ill
1 i ¦ . „ i
решение которой представим так:
О -ЛГ __2Г]0|' Хт-*п .
ггого ¦"'га
та
(Q — Д)» + Г* + 21G |* Г Г^- + 4- f 1 — 4^")
|_ Л» П'\ " /.
G.40)
-'ЛЛ "Л
п (О-Д)«+Г« + 2|0|«Г f"+r" ,_"ГН
|_ m л \ та J J
G.41)
р=!-к? *
Г —*(& —А) '
*го~*п
Г2 + (й-АJ ГтГп
J\T — N
• i . .. 21G1 Г Lm^ln Атп
Q ОАО О / А \ О
iVro г > i?n — Г *^ Г Г ' т п — Г I Г I Г *
го хп хт п го \ Ап У хп
G.43)
Здесь Wm, Nn— стационарные заселенности уровней т, я,
определяемые скоростями возбуждения и неупругой релаксацией,
спонтанной и столкновительной. Из выражения G.42) видно,
что переходы т—>п, п—*~т, вынужденные полем,
выравнивают заселенности уровней
| Ртт—Рпп | < | Nm—Nn |.
Степень уменьшения разности заселенности определяется
значением фактора
r* + (Q-A)*[rm+rn rmrnJ> G.44)
который включает в себя характеристики всех учтенных
релаксационных процессов. Если релаксация обеспечивается
исключительно спонтанными переходами BГ=Гт+Г»=2'г«+2'Ут)
и вероятность спонтанного прихода пренебрежимо мал^ (Лтп<
<Гт+Г„), то выражение G.44) переходит в ранее
рассмотренное (ср. с G.9)). В общем же случае отличие от модели
спонтанной релаксации может быть очень существенно.
Комбинация 1/Гт+1/Гп представляет собой полное время
пребывания атома на уровнях т, п, в течение которого атом
взаимодействует с внешним полем, и чем это время больше,
тем сильнее влияние поля. Согласно G.40), G.41), отношение

§7]
Взаимодействие с сильным полем
111
разностей рпп—Nn и pmm—Nm, обусловленных действием поля,
равно
пп
Ртт
^к=-к{1-А^\ G-45)
т п \ т /
Появление фактора Гт/ГЛ в этом отношении согласуется с
изложенной интерпретацией. Множитель 1—Лтп/Гт,
фигурирующий в G.45) и в знаменателе выражений G.40) — G.42),
эффективно уменьшает роль времени 1/ГЛ жизни уровня п. Если
уровень т релаксирует в результате переходов только в
состояние п (Гт=Лтп), то заселенность последнего вообще не
изменяется под влиянием внешнего поля. Такой факт находит простое
объяснение. После возбуждения в состояние т эволюция
системы связана с несколькими каналами — каналами
вынужденных и спонтанных переходов т—п и каналами релаксации в
иные состояния \фп. Внешнее поле увеличивает роль перехода
т—п9 подавляя переходы т—j (/=^=п). Но если последние
отсутствуют (rw=i4mn), то независимо от интенсивности внешнего
поля все акты возбуждения верхнего уровня т приводят к
заселению и нижнего, так что число атомов на нем не должно
зависеть от |G|, о чем и говорит уравнение G.41).
Аналогично сказанному о значении времени жизни атома на
уровнях m, п величину
= Re-
Г2 + (Q — Д)* "" лчс Г — i (Q — Д)
можно интерпретировать как эффективное время когерентного
взаимодействия атома с полем, обусловленное релаксацией не-'
диагонального элемента матрицы плотности. Таким образом,
степень выраженности нелинейных явлений определяется
произведением времен жизни заселенностей и дипольного момента.
Работа, производимая внешним полем в единицу времени,
вычисляется с помощью соотношения G.42)
P = 2^Re[ty;nPmn] =
G.46)
В зависимости от знака разности Nn—Nm величина Р
положительна (Nn>Nm) или отрицательна (Nn<.Nm). Первое
отвечает поглощению излучения средой, второе — испусканию.
В соответствии с обсуждением соотношений G.40) —G.43)
нелинейная зависимость Р от \G\2 обусловлена выравниванием
заселенностей уровней m, п в результате вынужденных переходов.
Функциональная связь между Р и |G|2 сохраняет вид, имев-

112
Резонансные радиационные процессы
[Гл. III
ший место при исключительно спонтанной релаксации.
Особенности схемы релаксации проявились лишь в обсужденном
множителе при \G\2 в знаменателе выражения G.46). При
достаточно больших значениях \.G\2 имеем, согласно G.46):
Р =
H<»(Nn
N.
i)
UTm^4Tn-Amn/TnTm
fia
m ' n
Qn
r„ + r„ — л„,„
то ' n mn
G.47)
По первому, из равенств G.47) Предельное значение мощности
определяется ненасыщенной разностью заселенностей Nn—Nm
л эффективным временем Г^1 -}- ГЯГ1 — АтпТ^хТ~{ пребывания
на обоих уровнях т, п. Вероятности поглощения и испускания в
расчете на один акт возбуждения состояний пят
соответственно равны
г 4- Г А
т ' п тп
Гт + Тп~ Атп
т. е. отношениям скоростей релаксации по полезному каналу к
скоростям ухода из обоих уровней. Интерпретация второго
равенства в G.47) аналогична той, которая дана по отношению к
G.11).
Если рассматривать Р как функцию частоты внешнего
монохроматического поля а), то G.46) задает лорентцев контур
линии испускания (или поглощения). Однако ширина его в
отличие от линейной теории, изложенной в § 6 (ср. G.46) и F.6)),
оказывается зависящей от интенсивности поля |G|2. Величина
г8 = г
I+2i«J!(j_ + ^_i^)p G.48)
L \xrn . Ln ±i»1n/J
называется насыщенной полушириной или полушириной
насыщения. Выражение G.42) показывает, что полуширина линии
в расчете на заданную разность заселенностей pmm—pnn равна
Г. Полевое уширение контура линии, описываемое' формулой
G.48), обусловлено зависимостью разности заселенности от
\G\2 и (о. Чем меньше Q=o>—comn, тем сильнее проявляется
эффект насыщения, т. е. тем меньше разность заселенности pmrn—
—pnn. При удалении частоты а) от (отп (крылья линий)
насыщение происходит в меньшей мере и коэффициент поглощения (или
испускания) приближается к своему значению, которое он имел
бы в слабом поле. Поэтому контур линии, регистрируемый при
сканировании частоты внешнего поля, оказывается уширенным
в сравнении с Г.

§ 8]
Метод пробного поля
113
§ 8. Метод пробного поля
В предыдущем параграфе выяснено, что внешнее поле
(монохроматическое или полихроматическое) вызывает переходы
между уровнями атома, характеризуемые более или менее
сложной осцилляторной зависимостью амплитуд вероятности от
времени. Вынужденные переходы находят свое отражение, в
частности, в том, что работа поля, вызвавшего переходы, будучи
просуммированной за все время эволюции, оказывается
нелинейной функцией интенсивности поля.
Более детальное представление о кинетике вынужденных
переходов можно получить с помощью так называемого метода
пробного поля, сводящегося к следующему. Допустим, что
сильное внешнее поле (например, монохроматическое) резонансно
переходу т—п (рис. 3.9). Помимо т, п атом обладает и
другими состояниями /, /, g, ..., для которых могут быть разрешены
переходы т—/, п—g, т—/ и т. д., обозначенные на рис. 3.9
волнистыми стрелками. Такие переходы, включающие в себя
один из уровней т, п, называются смежными с т—п. Направим
в систему сравнительно слабое излучение, резонансное одному
из переходов, смежных с т—п, например т—/, и будем
интересоваться коэффициентом поглощения (или испускания) этого
поля в зависимости от его частоты а>й. Если амплитуды ату at
вероятностей состояний т, / затухают по экспоненциальному
закону, то контур спектральной линии, отвечающей переходу т—I,
имеет лорентцеву форму, как это показано в § 6. Так и будет
обстоять дело для изолированного атома. Если же атом
взаимодействует с сильным внешним полем, то am(t) оказывается
не только затухающей, но и осциллирующей функцией времени,
и контур линии на переходе т—/ должен иметь иную, не
лорентцеву форму, зависящую от интенсивности и спектрального
состава сильного поля.
К тому же выводу можно прийти путем других
рассуждений. Согласно § 7, внешнее поле обусловливает расщепление
уровня т, причем подуровням ml, m2, m3, ... отвечает одна
и та же волновая функция г|зт изолированного атома. Поэтому
поглощение (испускание) слабого поля можно рассматривать
как результат перехода между уровнем I и подуровнями ml,
m2, ... состояния т. Вполне естественно, что контур линии,
обусловленный совокупностью таких переходов, будет иметь
сложную форму, зависящую как от характеристик
комбинирующих уровней, так и от параметров поля (его частоты,
интенсивности, поляризации).
Таким образом, можно сказать, что слабое поле, само по
себе не приводящее к нелинейным явлениям, «зондирует»
структуру состояний атома, возмущенных сильным полем, причем
параметры его предполагаются неизменными при сканировании
частоты слабого. Изложенные особенности данного раздела не-

114 Резонансные радиационные процессы [Гл. Ill
т 1
1
1 /7- ' '
¦ ¦! ¦¦" ' ill. ' i
^S \, 1
Рис. 3.9. К методу пробного
i поля. I
1 1
\^_,.
Рис, ЗЛО. Схема
резонансного рассеяния в
трехуровневой системе.
*1 Ет+оч', ocj
m2 Em+ocz'j ос'2
Рис. 3.11. К интерпретации полевого расщепления
спектральных линий.

§8]
Метод пробного поля
115
линейной спектроскопии объясняют его название — метод
пробного поля.
Пробное поле может быть резонансно одному из смежных
переходов, как предполагалось в упомянутом выше примере, но
может взаимодействовать и с переходом т—п. Метод пробного
поля применяется и в тех случаях, когда сильное
полихроматическое изучение одновременно взаимодействует с несколькими
смежными переходами (см. рис. 3.7). Возможность изменения
частоты, поляризации и направления распространения пробного
поля делает описанный способ мощным средством исследования
структуры атомных уровней и разнообразных релаксационных
процессов.
* Рассмотрим спектр поглощения (испускания) пробного поля
в простейшем случае системы из трех невырожденных состояний:
сильное поле резонансно переходу т—п (рис. 3.10), пробное
монохроматическое поле
резонансно переходу т—/. Предположим выполненными
условия применимости резонансного приближения, так что
матричное элементы гамильтониана взаимодействия Vmn{t) (см. G.4))
и Vna(t) определяются лишь одной из спектральных компонент
суммарного поля. Амплитуды вероятности am(t), an(t), at(t)
состояний m, п, I подчиняются системе уравнений, вытекающей
яз A.4)
<*т + УггАт = - Wmn @ ап + t<V~'Vtfb (g 2
«п + Уп<*п = - iVmnam; ах + угаг = iG»eiQ»{am,
Как упоминалось, расчету подлежит работа поля (8.1),
усредненная за время эволюции атома (см. A.23))
* • 00
#„ = 2Й©Д Re f гО^~^ах {t) ат (*) di. (8.3)
to
В рамках применимости резонансного приближения система
уравнений (8.2) описывает взаимодействие атома с пробным
полем произвольной интенсивности. Предположение о малой
величине последней приводит в зависимости от начальных условий
к разным способам приближенного решения системы (8.2). Если
атом возбуждается в состояние l(ai(to) = l), то следует
пренебречь правой частью в уравнении для at(t) и тогда
az@ = e-v<(<-'0), (8.4)
а систему уравнений для ат, ап нужно решать с alf определяемой
формулой (8.4). Таким начальным условиям соответствует, оче-

116
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
видно, поглощение пробного поля. При возбуждении уровней
т или п (am(t0)fi=\l или ап(*о) = 1) в уравнении для ат следует
отбросить малый член, содержащий а*, решить систему
уравнений
«т + УпАт = -iVmn @ лЛ; ап + упап = - ЛСЛ.(<) *т. (8.5)
и ее точное решение ввести в правую часть уравнения для аг.
Этим начальным условиям отвечает испускание пробного поля.
Рассмотрим более детально задачу с начальными условиями
а»(*о) = 1, (8.6)
соответствующую типичной схеме рассеяния: фотон/гсоц
пробного поля испускается, а фотон сильного поля Н со поглощается.
Выполнив указанные выше расчеты, в ходе которых при
вычислении #й по (8.3) нужно взять элемент Smn(ty to)
фундаментальной матрицы G.7), находим
(«а-+а^-(а1 + «зП
+ Уг + 4 + <% Г (8J)
где аь <*2 — характеристические корни системы уравнений (8.5),
определяемые соотношением G.8)
ai,2=4-bm + Tn + ^±K(Tn-Ym + ^J-4|G|2]. (8.8)
Согласно (8.7), спектр испускания пробного поля как
функция его частоты Q„ рписывается двумя членами лорентцева типа
с комплексными коэффициентами. Такой вид /?й можно
интерпретировать как следствие полевого расщепления уровня т на
два подуровня ml, т2 (рис. 3.11): мнимая часть лорентцевых
знаменателей обращается в нуль, когда частота соц пробного
поля равна разностям квазиэнергий Ети Ет2 верхнего уровня
и энергии нижнего
Цд. — «1 = ©м. — (ЕтХ — Ei)l%; Qp, — «2 = <*V — (Ет2 — Ex)lh.
Вещественные части знаменателей (полуширины лорентцианов)
равны сумме у?+ a'iJ скоростей затухания уровня / и
подуровней ml, m2. Иными словами, лорентцевы знаменатели
характерны для переходов ml—/, т2 — / (волнистые стрелки на
рис. 3.11), что и служит основанием для обсуждаемой
интерпретации.
Если внешнее поле не очень интенсивно и выполняются
условия

§8]
Метод пробного поля
117
то (8.7) принимает вид8
Х Ti + tw + «,i + fe"тж + тп-и») т. + т^^Оц-о)}-(8Л0)
Первый член в фигурных скобках выражения (8.10) зависит от
частоты Q„ пробного поля так же, как и при возбуждении
уровня т, т. е. он может интерпретироваться как результат
последовательного поглощения фотона Йсо и последующего
«независимого» акта испускания фотона ftov Процессы такого рода на-
зываютс^туп^2гчатыми или jCjffl^HbiMH и связываются с
переходом через «реальное» состояние (подуровень ml). В данном
случае (см. рис. 3.11) ступенчатый процесс представляет собой
флуоресценцию. Второй член в фигурных скобках имеет иную
структуру: мнимая часть его лорентцева знаменателя
обращается в нуль при условии Оц!=Й или 0)^=1@—coin, т. е. это! член
описывает комбинационное рассеяние, которое связывается с
переходом через виртуальное промежуточное состояние
(подуровень т% удаленный от Ет на расстояние ft|Q|). Такие процессы
называются двухфотонными или двухквантовыми, ибо в них
«одновременно» исчезает фотоне со и появляется фотон Й©ц.
Начальным и конечным для рассеяния служат состояния ми/,
в соответствии с чем положение его резонанса определяется
частотой ю?п, а полуширина линии — суммой Y*+1fn-
Интегральные интенсивности (по QM) флуоресценции и
комбинационного рассеяния пропорциональны вещественным
частям коэффициентов при обсуждаемых лорентцианах в (8.10)
2^~ReYm + V„ + ««; 27„-Revm + 7n-/Q- <8Л1)
Если промежуточное состояние обладает большей длительностью
жизни, чем начальное (y > у~*)до флуоресценция, как видно
из (8.11), более интенсивна, чем комбинационное рассеяние.
Обратное соотношение интенсивностей характерно для у~1 < у—1.
Отмеченная закономерность, полученная для простой схемы
уровней, отвечает общему критерию Вавилова (см., например,
[12], § 218), согласно которому флуоресценция (как и
люминесценция иного происхождения) отличается от других видов
свечения способностью к тушению. Последнее, в свою очередь,
обусловливается сокращением продолжительности возбужден-
8 Условия, указанные в (8.9), необходимы для раздельного рассмотрения
каждого из членов в (8.7). Условия применимости теории возмущений к
выражению (8.7) в целом иные, а именно: \G\2 <упут[\+&2/(ут+чпJ]\

118
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
ного промежуточного состояния вследствие столкновений с
тушением (увеличение fm).
Сказанное о соотношении интенсивности флуоресценции
и комбинационного рассеяния относится к интегральным интен-
сивностям. В рассмотренном простом случае (трехуровневая
система, неподвижный атом, радиационная релаксация)
сделанные выводы справедливы и по отношению к спектральным
плотностям (вблизи каждой из линий). Однако положение дела
в последнем вопросе может измениться, если принять во
внимание столкновительное и допплеровское уширение (см. гл. V).
Следует иметь в виду, что представление о ступенчатых
и двухфотонных переходах как о независимых процессах
обосновано лишь в таких условиях, когда обсуждаемые члены
выражения (8.10) не перекрываются, т. е. принимают большие
значения в различных спектральных участках. Именно, при
|Q|>VH» (8.12)
можно отбросить члены (•уда+ТпгЬйЗ) в (8.10) и тогда
Вероятность испускания фотона —RJh^ равна сумме двух
положительных членов, которые можно интерпретировать как
вероятности флуоресценции и комбинационного рассеяния,
ступенчатого и двухбайтового процессов. Поэтому о них можно
говорить как о независимых процессах. Условие (8.12) означает, что
расстояние между подуровнями | а[ — а2 \ = | Q | значительно
превышает сумму их ширин оц + о^2 = Vm + Vu (состояния ml, т2
не «перекрываются»). В противном случае (IQ^'Ym+'Yn)
ступенчатые и двухфотонные процессы не являются независимыми,
т. е. существенна интерференция состояний ml, т%
характеризуемая членами (fm-HnitQ)-1 в (8.10). Роль интерференции
особенно наглядна в условиях точного резонанса (Q=0):
= _йй> 2I°°J'/' Ь + Ут 1 Уг + Vn )
*41 ~ И \**т {Ут + Уг)* + QJ 2Уп (Т, + УпУ + О»)'
(8.14)
когда один из членов заведомо положителен, а другой —
отрицателен. Если чт<.Чп, то отрицателен член с шириной, характерной
для ступенчатого процесса, при обратном же соотношении
Tfm>lfn отрицателен другой член. Поскольку представление
о процессе с отрицательной вероятностью лишено физического
смысла, в резонансных условиях двухфотонные и ступенчатые
процессы не имеют независимого содержания и следует говорить
о едином процессе резонансного рассеяния.

§8]
Метод пробного поля
119
Проявление интерференции подуровней ml, m2.весьма
разительно'при Q=0, ^=7"' когда каждый член в (8.14) стремится
к бесконечности, что подчеркивает бессмысленность их
раздельной интерпретации, однако их разность остается конечной (см.
примечание в связи с (8.9))
h%W [Ь (У1 + УпJ , Г (Уг + Уп)*
+ УпJ + ^ I (У1 + УпJ + ^
R ., *%W [У1 (и-ггпг ,
11 ^GZ + YnJl2^Gz^- 42_l.o2^
(8.15)
В данном случае контур линии резонансного рассеяния
представляет собой сумму лорентциана и квадрата лорентциана,
причем последний играет доминирующую роль, если 4f,<4fn9-
Интерференция реального и виртуального состояний
проявляется, конечно, не только в спектре резонансного рассеяния.
Вычислим, например, среднюю вероятность Wmn пребывания
атома на уровне т после возбуждения состояния п:
Wmn = 2ym^\Smn(t,t0)\'idt. (8.16)
/в
Если |G|2<|Yn—y„H-iQ|2, то из G.7) и (8.9) следует
Smn (/, t0) = _<0 + ю fe-^'-"> - e-(v»+^X'-'.'] e-iQ'«; (8.17)
w =
W тип
ran
K^w(c4-2Rec^)' <818>
Первые два члена в (8.18) можно, толковать как вероятности
пребывания атома в реальном и виртуальном промежуточных
состояниях. Интегральные интенсивности флуоресценции и
комбинационного рассеяния пропорциональны этим членам в
нерезонансных условиях (см. (8.11) и (8.13)). Перекрестный член
в (8.18), отражающий интерференцию реального и виртуального
состояний, не существен, когда |Q| достаточно велик (условие
(8.12)). Однако в общем случае выражение для Wmn становится
абсурдным, если интерференционный член отбросить
w _\0\2 Ут + Уп
Wmn~ Уп (Ут-Уп)* + ®2' •
оно обращается в бесконенчость в точном резонансе и при
равных скоростях затухания состояний тип. Правильное
выражение получается только при учете интерференции
тп Уп (Ут+УпJ + Ы' { }
9 В математическом отношении случай .(8.15) отвечает кратным
характеристическим корням (ai=a2).

120
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Сам факт существования интерференционных явлений
вытекает, разумеется, из общих положений квантовой механики,
и разобранные примеры показывают лишь, в каких условиях
и в какой мере интерферецция подуровней, возникающих в
результате взаимодействия атома с сильным полем, проявляется
в нелинейной спектроскопии.
Обсудим соотношение (8.10) с иной точки зрения. О члене
комбинационного рассеяния можно сказать, что на этапе
испускания фотона ft®* атом «помнит», с каким фотоном он
взаимодействовал на этапе поглощения (Q„=Q или соц=7=<о—со/«).
Ширина *(i+4n линии комбинационного рассеяния также «помнит»,
что на этапе поглощения атом совершил переход из состояния п.
Указанные свойства комбинационного рассеяния называются
свойствами частотной корреляции. В противоположность
комбинационному рассеянию для флуоресценции характерно
отсутствие частотной корреляции, ибо и положение максимума (Й^=
.=0), и ширина ее линии (^+Т(™) не зависят от частоты
поглощенного фотона Йо) и от характеристик начального состояния п.
Частотно-корреляционные свойства тесно связаны с
особенностями эволюции промежуточного состояния, описываемой
соотношением (8.17). Осциллирующий член в (8.17)
(виртуальное промежуточное состояние т2) содержит информацию о
начальном состоянии (ч„) и о поглощенном кванте (Q) и
обусловливает возникновение линии комбинационного рассеяния.
Временная зависимость другого члена в (8.17) не содержит
признаков акта поглощения и не отличается от таковой, когда
состояние т является начальным. По отношению к этому члену можно
сказать, что промежуточным служит реальное состояние атома
и линия флуоресценции порождается переходом через реальное
состояние.
Следует подчеркнуть, что частотно-корреляционные свойства
сохраняют смысл и в резонансных, и в нерезонансных условиях,
т. е. и при учете интерференции реального и виртуального
промежуточных состояний, и в условиях, когда интерференция
несущественна. Следовательно, частотно-корреляционные свойства
могут служить более общей основой для классификации
процессов при резонансном рассеянии.
Пусть теперь интенсивность \G\2 сильного поля
произвольна. Для начальных условий (8.6) (возбуждение уровня п) имеем
*т @ = Smn (/, t0) = ~^^ [е-«* - е-«*] е-«>\ (8.20)
Т=/—to.
Два экспоненциальных члена формально аналогичны
виртуальному и реальному промежуточным состояниям. Однако оба
показателя сы и <Х2 зависят теперь от характеристик поля (|G|2,
П) и обоих уровней т, п (у™, fn). По отношению к /?й из сказан-

§ в]
Метод пробного поля
121
ного следует, что оба резонанса содержат информацию о
начальном состоянии и поглощенном фотоне.
Внешнее поле влияет и на мнимые, и на вещественные части
оы,а2 (см. (8.8) ирис. 3.6). Рассмотрим простой случай ут=ч»9
когда
ai,z=>{m+^[Q±lQ2+4\ G\*].
На рис. 3.12 приведены графики зависимости а1,2 от Q.
Асимптотическое приближение графиков к оси абсцисс и к
пунктирной прямой соответствует реальным и виртуальным состояниям
теории возмущений. По мере изменения Q от больших
положительных значений к отрицательным для а[ происходит
плавный переход от свойств виртуального состояния к свойствам
реального, для а2— обратная последовательность. В области
[Q|<l|G| свойства состояний мало отличимы.
За количественную меру- памяти о поглощенном фотоне /гсо
можно принять величину
которую называют фактором памяти или фактором корреляции.
Значения Mit2 находятся в интервале @,1). Предельным
значения]* М=0 и 1 отвечают соответственно полное отсутствие
памяти (ступенчатый переход через реальное состояние) и полная
корреляция частот испущенного и поглощенного фотонов
(двухбайтовый переход через виртуальное промежуточное
состояние). Поскольку ai+a2='Ym+Yn+t?2, при произвольных интен-
сивностях внешнего поля |G|2 и любых соотношениях между
fm и ^п справедливо соотношение Mi+M2=l. Это обстоятельство
можно толковать следующим образом: промежуточное состояние
в целом без подразделения на подуровни ml, т2 сохраняет
информацию о поглощенном фотоне. В предельном ^случае
|G|>|Q| имеем Mi=M2=l/2, т. е. «память поделена пбровну»
между двумя слагаемыми am(t).
При больших интенсивностях внешнего поля
«i,2=y[Tm+Tn+t(Q±2|G|)]; |G|2>|Tn-Tin+iQ|2 (8.22)
и обе экспоненты в (8.20) оказываются осциллирующими.
В этом отношении они аналогичны виртуальному состоянию.
Однако такая аналогия не интересна, поскольку при слабом
и сильном полях причины осцилляции различны: слабое поле
приводит к осцилляциям только вследствие своей нерезонансно-
сти, тогда как осцилляции в сильном поле описывают переходы
между уровнями т, п, индуцированные полем (см. формулу
(8.16) и ее обсуждение).
Из (8.22) видно, что скорости затухания обеих экспонент
в (8.20) одинаковы и определяются средним значением скоро-

122 Резонансные радиационные процессы [Гл. ill
Рр-рТ^К, 2l®_4}?L+ Рис- 3.12. Графики
зависимости а12 от
Рис. 3.13. Контуры дублета резонансного рассеяния. Расчет
выполнен ДЛЯ ^<Кп=37т, Q = 4(fn+Ym).
Рис. ЗЛ4. Схема
переходов (а) и спектр
испускания пробного поля (б)
в многоуровневой
системе с полихроматическим _/?.
сильным полем. ^*

§8]
Метод пробного поля
123
.стей распада состояний тип. Данное обстоятельство, как
отмечалось в § 7, является общим для предельного случая
сильных полей, поскольку атом примерно с равной вероятностью
пребывает в состояниях т, п. В этих условиях сама постановка
вопроса о том, из какого состояния (начального п или
промежуточного т) атом переходит в конечное состояние /, теряет
физическое содержание: сильное внешнее поле «перемешивает»
состояния т и л, которые толковались в теории возмущений как
начальное и промежуточное, и испускание фотона Йсой
осуществляется этим смешанным состоянием, где примерно в равной
мере представлены тип. Таким образом, понятия виртуального
и. реального промежуточных состояний, ступенчатых и двух-
фотонных переходов неразрывно связаны с теорией возмущений
и теряют физический смысл вне области ее применимости, когда
мощность внешнего поля достаточно велика.
Для условий, указанных в (8.22), из выражения (8.7)
следует
+ 7 hi хгЬ Y = Vi+^4 (8.23)
v2 +
(%~-+\p\)
т. е. при больших интенсивностях внешнего поля спектр
резонансного рассеяния состоит из двух лорентцианов,
расположенных вблизи частот QM=?J/2±|G| и обладающих равными
амплитудами и ширинами. Таким образом, по мере увеличения
\G\ происходят следующие изменения спектра резонансного
рассеяния: расстояние между компонентами дублета увеличивается
(рис. ЗЛЗ); как следствие уменьшается роль
интерференционных явлений: более резкий компонент уширяется, более
широкий — сужается.
В разобранном примере резонансного рассеяния мощного
монохроматического излучения прослежены влияние
релаксационных и вынужденных процессов и связанные с ними особенности
расщепления уровней, роль интерференции подуровней,
радикальное изменение частотно-корреляционных свойств
резонансных радиационных процессов, означающее ограниченность
представлений о реальных и виртуальных состояниях атома во
внешнем поле. Вполне аналогичные явления происходят на всех
переходах, смежных с m, п (см. рис. 3.9). В качественной форме
рассмотренные эффекты имеют место и в иных, более сложных
условиях. Пусть, например, речь идет о многоуровневой
системе и полихроматическом внешнем поле, каждая спектральная
компонента которого резонансна одному из переходов (см.
рис. 3.7). В таких условиях каждый из уровней расщепляется

124 Резонансные радиационные процессы [Гл. Ill
на N подуровней, где N — число состояний, взаимодействующих
с полем по смежным переходам. Применим метод пробного
поля к переходу т—/, включающему один из расщепленных
уровней (т) и уровень '/;• не возмущенный сильным полем
(рис. 3.14). В указанных условиях работа пробного поля как
функция его частоты представляет собой набор из N лорент-
цианов. Действительно, согласно § 7, амплитуда вероятности
dm(t) может быть записана в виде линейной комбинации N
экспоненциальных функций
am{t) = %Asexp{-ast). (8.24)
8
Каждый из членов суммы в (8.24) «приведет, как можно увидеть
из (8.3), к появлению лорентциана
1 = 1
уг + а* + й^ ~~ Уг + < + i (Q^ - а;')
в выражении для работы пробного поля R».
Если бихроматическое поле резонансно переходу т—п, то,
согласно G.30), уровни m, п расщепляются на бесконечную
последовательность подуровней. Следовательно, в данном
случае спектр излучения (поглощения) пробного поля на смежном
переходе будет содержать бесконечное число лорентцианов.
Если константы релаксации уровней т, п одинаковы, а
спектральные компоненты сильного поля coi, сог расположены
симметрично относительно частоты перехода gw, *го подуровни
обладают равными скоростями затухания и эквидистантны
(расстояние между соседними подуровнями равно разности частот
\@\—о>21> см. обсуждение формулы G.30)). Поэтому и лорент-
цианы в спектре пробного поля расположены эквидистантно
и имеют одинаковые ширины Tfj+fm
Как уже упоминалось, метод пробного поля может
применяться на том же переходе, которому резонансно сильное
внешнее поле. В этом случае спектр пробного поля имеет более
сложный вид, поскольку расщеплены оба комбинирующих
состояния, тогда как для рассмотренных выше смежных переходов
один уровень не был возмущен внешним полем.
Уравнение A.11) для амплитуд вероятностей можно записать
в следующем виде:
а+Та=—iV(i)a—iV^t)ay (8.26)

§8]
Метод пробного поля
125
явно выделив матрицу V^t) взаимодействия с шробным полем,
резонансным одному из переходов, например т—п:
V» @ = - G^e-^'lUPn - G^'Vptp^ (8.27)
где р, — строчка, у которой отличен от нуля только /-й элемент
(Р/)*-вЛ; (rUftt)/fc = e/mefcnf (8.28)
так что PmPn выделяет элемент (V^mn; последовательность
умножения Рш и рп соответствует, очевидно, последовательности
индексов у элементов матрицы V„(f).
Представим а в виде
а=Ь+с, (8.29)
где & — нулевое приближение по амплитуде пробного поля, с —
малая поправка, обусловленная V„(f). Подставляя (8.29) в
(8.26) и пренебрегая членом V^c, имеющим более высокий
порядок малости, приходим к уравнениям
b+ib=—iV(t)b; (8.30)
h+yc+tVWc^—iVvWb. (8.31)
Начальные условия для с нулевые, поэтому надо искать
решение, обусловленное правой частью уравнения (8.31):
с=с++с-; (8.32)
с* = ЮУЪ* J e-iQ^'h)S (*, tx) p'pm* (tx) dti; (8.33)
h
t
c~ = iG^V ,J.euV'-|lfc (/, tx) $Unb (tx) dtv (8.34)
и
Здесь S(t9 t\) —фундаментальная матрица системы (8.30).
Слагаемые с+ и с~, обязанные своик происхождением двум
членам в гамильтониане (8.27) взаимодействия с пробным
полем, описывают соответственно испускание и поглощение
фотона йсой. Действительно, из системы уравнений для с™, ct
(8.35)
с$ + ЧпС$ + i 2 VnJ (t) cf = *?;ег Vbm
i
видно, что пробное поле индуцирует переход с верхнего уровня
(Ьт) на нижний (с?). Наоборот, система уравнений для <?[",
с~ имеет правую часть, пропорциональную GJ)n, только в
уравнении для Cm, что отвечает поглощению фотона йю^.

126
Резонансные радиационные процессы
[Гл. lit
В общем выражении для работы пробного поля
оо
#^ = Sp j* dEi0(t)d*(t)dt;
'* (8 36}
аа* =*Ы>* + bcf + cb* + ccf
нужно, очевидно, отбросить малый члена?*. Выражение (8.36),
помимо стационарной части, содержит члены, колеблющиеся
с частотами еом—ео и 2(юй—со). Дело в том, что две
монохроматические компоненты поля (со и соц) индуцируют в атоме
составляющие дипольного момента, колеблющиеся с частотами о,
©й, (ой=2а>—(Оц (см. (8.82)), причем фаза последней зависит от
фазовых соотношений между сильным и пробным полями.
Возникновение компоненты дипольного момента, колеблющейся
с частотой <ой, зеркальной для <оц относительно а>, обусловливает
так называемые параметрические явления10. В частности,
в среде может генерироваться излучение, обладающее частотой
©п. Нестационарная часть работы R» отвечает работе поля S^
с параметрической компонентой дипольного момента и с
компонентой, колеблющейся с частотой ш сильного поля.
Удерживая лишь стационарную часть работы пробного поля
и принимая во внимание соотношения (8.27) и (8.32), можно
прийти к следующей формуле:
Я, - 2Ы» Re I tf № f е~*Vpjfr (*) c-\t) + c+(t) 6f (t)] 9Ш.
(8.37)
Сопоставление (8.37) с выражением (8.3) для работы поля
на смежном переходе приводит к выводу, что b(t),b*(/)в (8.37)
аналогичны множителю am(t) в (8.3), а с± играют роль
амплитуды at(t). Указанная аналогия имеет формальный характер,
поскольку с* в противоположность at возмущены действием
сильного поля и несут в себе информацию о кинетике
вынужденных переходов (см. (8.33), (8.34)). Второе важное отличие от
(8.3) состоит в том, что (8.37) содержит два члена, которые
описывают, как уже говорилось, испускание (с+) и поглощение
(с) пробного поля. Физической причиной отмеченного отличия
является то, что знак работы поля на смежном переходе
предопределен начальными условиями, тогда как в рассматриваемом
сейчас случае может произойти и поглощение, и испускание
фотона %<о^ при любых начальных условиях. Действительно,
10 О параметрических явлениях нелинейной оптики и спектроскопии см,
в [13].

§ 8]
Метод пробного поля
127
\
Рис. 3.15. Схема
переходов, индуцированных
пробным полем в
двухуровневой системе.
пусть атом в начальный момент времени возбужден в состояние
ш. При этом возможно испускание фотона йооц при переходе
т—л, индуцированном пробным полем. Однако сильное внешнее
поле также индуцирует, вообще говоря, переход в состояние и,
после чего возможно поглощение фотона %щ пробного поля,
сопровождающееся переходом п—га.
Для двухуровневой схемы и монохроматического внешнего
поля (рис. 3.15) амплитуда b(t) содержит два слагаемых,
экспоненциально зависящих от времени (расщепление уровней т
и л на пары подуровней ml, т2 и nl, м2). Из двух слагаемых
состоят и элементы матриц с*(/). Поэтому спектр пробного
поля на переходе т—п представляет собой сумму четырех ло-
рентцианов
Д» = *ц»|Оц|«Ке( '".,.+ Л , . +
[Оц + at + ie a2 + a2 + is
+ ¦ Л . . + Л , .), e-Q^-Q. (8.38)
«2 + ai + *« ax + a2 + is)
Первые два члена расположены вблизи частоты ?2Ц=?2 и имеют
полуширины, равные 2aJ и 2а^; вторые два характеризуются
Полушириной а! + <*2 = ут + Ym н^ зависящей от |<3[2, и
смещены бтносительно частоты сильного поля
*\ - о? = 1тК(Тп~7т + ^J-4|0|а.
Отмеченные особенности позволяют, очевидно,
интерпретировать отдельные члены в (8.38) как результат переходов между
подуровнями верхнего и нижнего состояний (см. рис. 3.15)
т\—>п\\ т2—*п2; т\—*п2\ m2—+nl, (8.39)
причем последовательность переходов, указанных в (8.39),
соответствует последовательности лорентцианов в (8.38).
В случае, изображенном на рис. 3.7, полихроматическое
внешнее поле расщепляет уровни на N подуровней. Поэтому
спектр пробного поля на переходе между двумя возмущенными
уровнями будет состоять из N2 лорентцианов, которые можно
рассматривать как результат переходов между подуровнями
ms —>- пг\ 5, г= 1,2, ..., N,
—L—\m2 cL9
— I JLfi2

128
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
где индексы s, г нумеруют подуровни состояний т, п. Лорент-
цианы, отвечающие переходам s—>-r—s, имеют вид
[as + a8 + i(QVk- Q)]~\ s= 1,2 JV,
т. е. расположены вблизи частоты йд=й и характеризуются
полушириной 2а*, определяемой скоростью затухания
подуровней msy ns (Q — разность частоты перехода <от» и частоты
спектральной компоненты сильного поля, резонансной переходу
т—п). Остальные N(N—1) лорентцианов разбиваются на пары
[аг + аГ + *(Оц-0)]""!; [as + ar + i(Q^-Q)]-\ гфз.
Члены такой пары обладают одинаковыми полуширинами as +
+ аг и оказываются симметрично смещенными относительно
частоты сильного поля
?2ц = Й ± (сС — аг).
Интерференция подуровней, прослеженная в ходе
обсуждения формул (8.7) иг (8.10), имеет место и в более сложных
условиях (формулы (8.25), (8.38) и т. п.).
Представление об интерференции подуровней тесно связано
с описанием эволюции с помощью амплитуд вероятностей.
В рамках аппарата матрицы плотности интерпретация
нелинейных явлений приобретает несколько иной характер, поскольку
в таких величинах, как вероятность пребывания атомов в
каком-либо состоянии, автоматически учитывается интерференция
подуровней. Последнее выяснено на примере двухуровневой
системы (см. обсуждение формулы (8.18)).
Вернемся к анализу простейшего варианта метода пробного
поля (см. рис. 3.10). Внешнее поле смешивает состояния т, п,
пробное поле резонансно переходу т—/, смежному т—п. Если
возбуждаются уровни т или п, то амплитуду at(t),
подчиняющуюся уравнению (8.2), можно представить в виде
аг @ = <e*V \ e^V^-*'*ат (tt) dtL. (8.40)
to
Подставив это выражение в (8.3), получим для работы поля
оо t
«• = - 2Ы» | Оц I2 Re f dt J dt^-"**-*^ (/) am (tx). (8.41)
В данном соотношении комбинация ат (t) ат (/х) напоминает по
своей структуре функцию корреляции, фурье-образ которой
определяет контур спектральной линии (см. § 6). Однако
взаимодействие атома с внешним полем приводит к тому, что
значения амплитуд am(t) и am(t{) в разные моменты времени t и tx
отличаются не только из-за стохастических причин (релакса-

§ 8]
Метод гтробногб поля
129
ция), но и вследствие динамических особенностей эволюции,
связанных с вынужденными переходами в иные состояния.
Поэтому должна быть существенной не только корреляция между
релаксационными процессами, происходящими в состоянии т,
но и корреляция между процессами, протекающими в
состояниях тип.
С помощью фундаментальной матрицы S(t, tx) можно
выразить амплитуду am(t) в более поздний момент времени через
амплитуды am(t\) и an(tx), относящиеся к моменту времени t{:
am(t)=Smm(t9 U)am{tx)+Smn{t, tx)an(U)y (8.42)
пфсле чего (8.41) приобретает вид
#* = _ 2яйюц 1М2 Re [Jlm (Qj атт + Jln (Q„) anm]f (8.43)
где введены обозначения
oo
Jim (Цг) = -J-1 ®im (*) е,0^Т; <D,m (t) = e~y^Smm (т); ' (8.44)
О
сю
Jm (Йц) = 4" J фт (т) еш^Т; Ф1п (т) = e~^Smn {t, t,) ei0,«;
о
(8.45)
OO 00
<W - 2Tm J I am(tt) |2 dti; anm = 27m J an (/) a; (/) dt. (8.46)
Согласно (8.43), спектр испускания пробного поля можно
представить как сумму двух членов, спектральные особенности
которых определяются различными функциями корреляции
Ф/т(т) и Ф*п(т). Функция Фгш(т) выражается через амплитуды
вероятностей состояний / и т, отвечающие начальным условиям
di(t0) = l и aw(^0) = l соответственно, т. е. имеет стандартный
смысл функции корреляции линейной теориип, изложенной в
§ 6. Отличие состоит лишь в явной зависимости указанных
амплитуд от времени, содержащей ев случае (8.44) информацию
о взаимодействии с внешним полем. Коэффициент amm при
Лт(йц), отвечающей функции корреляции Ф*т(т), равен,
очевидно, вероятности пребывания атома в состоянии т. В
соответствии со сказанным ранее, в отт отражена интерференция
подуровней ml, m2.
11 В § 6 теория основывалась на анализе недиагонального элемента
матрицы плотности pim. Контур линии определяется фурье-образом от pim(t),
вычисленной при начальных условиях pim(t0) = L В терминах амплитуд
вероятностей такие начальные условия отвечают указанным в тексте.

130
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Вторая функция корреляции Ф^(т), появляющаяся только
в нелинейной спектроскопии, пропорциональна амплитуде
вероятности состояния т при начальных условиях an(tQ) = l, что
и отражает корреляцию релаксационных процессов в
состояниях т и п в соответствии с изложенными выше общими
соображениями по поводу структуры формулы (8.41) (комбинация
ei0Mfl Smn(Mi)* как видно из G.7), зависит только от 4=t—t\).
Очевидно, коэффициент оПт служит мерой смешивания
состояний пят внешним полем. Если его интенсивность стремится
к нулю, то и Gmn—>0, и Smn—*0, так что выражение (8.43)
переходит в стандартную формулу линейной теории уширения.
Интегральная (по ?2Й) работа поля определяется
исключительно первым членом в (8.43). Действительно, интегрирование
по Qn затрагивает только ехр(Й2цт) и приводит к появлению
б-функции от т.Лоскольку Smm@) = 1, Smn(fi/i) =0,
.ReJ/Im(Q|l)dQ|1= 1; Re ^ Jln{Q]l)dQVL =0, (8.47)
и поэтому
R%> = J ЯА = - 2пП^ l|fJ! awm. (8.48)
Таким образом, интегральная интенсивность испускания
пробного поля задается вероятностью <w пребывания атома в
состоянии т, верхнем для рассматриваемого перехода т—/г.
Конкретное значение amm зависит от энергии внешнего поля (эффект
насыщения), но смысловое содержание величины остается
таким же, как и в линейной теории.
Из сказанного следует, что второй член в (8.43) описывает
изменение формы спектральной линии, обусловленное
корреляцией состояний тип, вызванной внешним полем, при
сохранении ее интегральной интенсивности.
Вследствие отмеченных особенностей член /щОпт называют
нелинейным интерференционным членом, а явления, которые
описываются им,— нелинейными интерференционными
эффектами (НИЭФ). Подчеркнем, что в данном случае речь идет об
интерференции или смешивании состояний т, п, а не об
интерференции подуровней т\, т2 или л1, л2.
НИЭФ представляются общими для нелинейной
спектроскопии, столь же общими и универсальными, как и расщепление
спектральных линий, находящее отражение в функциях
корреляции Ф/т(т), Ф/Я(т), и эффект насыщения, определяющий
значения величины amm.
Если состояние т, верхнее для перехода т—/, смешивается
внешним полем не только с л, но и другими состояниями /,
например по схеме рис. 3.14, то взамен (8.42) имеем
*« @ = Smm (/, tx) ат (/,) + 2 Smj (/, t,) aj ft) (8.49)

§ 8]
Метод пробного лоля
131
и работа пробного поля содержит N—1 интерференционных
членов
/ft = - 2^J|^Re \jlm{Q*)onm+ 2 JuiQ^aA (8.50)
Здесь Ojm, Jij{Qv) можно представить в виде (8.46), (8.45),
произведя в указанных формулах замены п->/. Ни один из
интерференционных членов в сумме по / не дает вклада в
интегральную работу пробного поля, все они влияют исключительно на
форму спектра испускания и обращаются в нуль в отсутствие
внешнего поля.
Нелинейные интерференционные явления отсутствуют в тех
процессах, которые сопровождаются переходами с уровня, не
возмущенного сильным внешним полем (например, / на рис.
3.14), на возмущенный (т). Действительно, таким процессам
соответствуют начальные условия at(t0) = lt и в выражение для
/?д следует подставлять решение системы уравнений
a + ya + iVa^iG^^arft; az = e~w~'e), (8.51)
обусловленное правой частью
ат (/) = iG^iQ^ J Smm (*, tx) аг (tx) e^^dtb (8.52)
to
так Что для поглощаемой энергии /?? получаем
RI = 2п%со11 ^ Re Jlm (Q>0, (8.53)
в соответствии с высказанным утверждением (Лт(Ой) ло-преж-
нему определяется формулой (8.44)).
Различие возмущенных и невозмущенных состояний в
отношении НИЭФ вполне понятно из простых соображений. НИЭФ
возникают в результате динамических переходов (вынуждаемых
внешним полем, не стохастических) с уровня, служащего
начальным для процесса в поле пробной волны. По
предположению уровень / с внешним полем не взаимодействует (пробное
поле по определению достаточно слабое и не возмущает
эволюцию), динамические переходы с уровня I отсутствуют,
отсутствуют и НИЭФ.
В рамках линейной теории установлены общие законы,
связывающие спектры вынужденного испускания и поглощения.
Сформулируем эти законы для коэффициента поглощения а*,
определяемого как отношение энергии, поглощенной в единице
объема за единицу времени, к модулю среднего (по времени)
значения вектора Пойнтинга — Умова пробного поля. Если Qu

132
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Qm обозначают количества актов возбуждения уровней /, т в
единицу времени в расчете на единицу объема, то
«и = [QiRl + QmK\\[%i \&» I1]. (8.54)
Размерность коэффициента поглощения [ам]=см. Согласно
упомянутым общим законам (см., например, [2], § 30):
«, ~ V&A.I [^ -?] Лт(йд); (8-55)
a»-J MQ, = %gM [^f-~j 4.1, (8.56)
где gh gm — статистические веса состояний /, т\ Nh Nm —
заселенности уровней /, т в расчете на единицу объема.
Интегральные коэффициенты Эйнштейна для вынужденного испускания
(Вш) и поглощения (Btm) пропорциональны друг другу
glBlm = 8mBml = 4"8mAml- (8.57)
Пропорциональны и спектральные плотности коэффициентов
Эйнштейна
gibim (Он) = gmbmi (&») = giBlmIlm (Q») = ?foA^im (О*). (8.58)
С другой стороны, принимая во внимание формулы (8.47),
(8.50), (8.53) и соотношения
\dml\^-^HAml; 9ii = °»N, = *i,^ (8.59)
из (8.54) получим
aii = T^'G"»^)(Pu-Pmm) + ^mRe 2 /„ (Q„) a,*}; (8.60)
aoo = j Aml (pn - pwm). (8.61)
Сравнивая (8.61) и (8.56) (при этом следует положить &=1,
так как в (8.61) принята модель невырожденных состояний),
можно заключить, что интегральный коэффициент поглощения
пробного излучения в присутствии сильного поля определяется
теми же коэффициентами Эйнштейна Bmh Blm и такими
значениями заселенностей р«, pwm, которые устанавливаются в газе
с учетом стационарного возбуждения, релаксационных
процессов и вынужденных переходов. Что же касается спектральных
плотностей коэффициентов Эйнштейна, то для поглощения и
вынужденного испускания они оказываются различными из-за
нелинейных интерференционных членов.

§8]
Метод пробного лоля
133
Ранее рассматривался случай, когда состояние /, не
возмущенное внешним полем, обладает меньшей энергией Eh чем
состояние т. Поэтому НИЭФ отсутствовали в поглощении. Если
E{>Emj то НИЭФ будут отсутствовать в испускании (/—>-w),
но фигурировать в поглощении.
В методе пробного поля, примененном к переходу, оба
уровня которого возмущены, роль НИЭФ возрастает, ибо они
существуют и в поглощении, и в испускании при любых начальных
условиях. Подставляя выражения (8.33), (8.34).в формулу
(8.37) для работы пробного поля R», можно прийти к
соотношению
Ян = 2»вы | Од |2 Re j dt J dt^n [a (/,) Ф (f, tx) -
*o to
-ФС.^а^Цйе^'-^; (8.62)
о (tx) = a (tx) a* ft); Ф (*, t,) = «S* (t, tt) p*pmS (/, tx).
С помощью унитарного преобразования
е«"; (Q)u = Qflu (8.63)
подынтегральную функцию в (8.62) можно записать как
произведение множителей, зависящих только от x=t—1\ и %\=
*=*i—'о, вследствие чего выражение для R^ приводится к виду
Ry, = 2лЙсоц | G» |2 Re {(ann - атт) Jnm (QJ +
(Ц0- HJnjiQJojJ; (8.64)
6
Фд(т)-5ГпДтM1тЛ(т)е1^-0^; " (8.65)
oo
a = J e-*fi<'o (/г) e**^; 5X (* - *2) = e-*atf (t, tx) &*ьи (8.66)
Члены выражения (8.64), пропорциональные ani, ajm, отвечают
поглощению и испусканию пробного поля; суммы по / содержат
нелинейные интерференционные члены. Таким образом, в
соответствии с общими представлениями НИЭФ в данном случае
существуют и в поглощении, и в испускании пробного поля.
Интегральный же коэффициент поглощения задается, как и
ранее, разностью заселенностей комбинирующих состояний.
В § 1,2 подчеркивалось, что аппарат амплитуд вероятностей,
применявшийся до сих пор в теории метода пробного поля,
весьма ограничен с точки зрения учета релаксационных про-

134
Резонансные радиационные процессы
ГГл. Ill
цессов. Вместе с тем особенности релаксации должны,
очевидно, проявляться в явных выражениях для функций корреляции
ФлЫ> а следовательно, и в спектрах работы пробного поля.
Для того чтобы включить в расчет более общие схемы
релаксации, следует обратиться к аппарату матрицы плотности.
Рассмотрим метод пробного поля в уже изложенных
вариантах, полагая состояния атома невырожденными и описывая
релаксацию в рамках модели релаксационных констант (см. § 4).
Кроме того, атомы предполагаются неподвижными (эффекты
движения анализируются в гл. V).
В кинетическом уравнении для матрицы плотности явно
выделим гамильтониан взаимодействия Уй атома с пробным полем
р+Гр=*<*>-г (Ур_рУ)-1(Пр-рП) +Q. /(8.67)
Здесь Г — матрица релаксационных констант; диагональная
матрица Q описывает возбуждение состояний атома в результате
столкновений, R{2) — за счет спонтанных каскадных переходов.
Представим р в виде
Р=Р°+Рм, (8.68)
полагая рй малой величиной, обусловленной взаимодействием
с пробным полем. В первом приближении по Уй уравнения для р
и рм таковы
ро+гро+f (VpO-p°lO =Q+R <*>, (8.69)
р„ + ГР|А + i (VPli - PllV) = - i (V» p° -р0Кд) + Л™. (8.70)
Подчеркнем, что левые части уравнений (8.69) и (8.70)
одинаковы, т. е. они обладают одинаковыми фундаментальными
матрицами. Отличия сосредоточены в правых частях: р°
возбуждается столкновительными процессами «?), приводящими к
заселению уровней атома; рц возбуждается пробным полем в
соответствии с матрицей р°, «приготовленной» за счет Q и #B\
Для пробного поля, резонансного смежному переходу т—1
(см. рис. 3.14), из уравнения (8.70) получаем (индекс fx
опускаем)
9тг + (Гтг + tAmZ) pmZ + i 2J VmJ (t) pn = K^e"*1*' (p?, - p^m);
(8.71)
Pn + (Гл + ibji) Pn + i S VJh (t) pkl = - «V~iVp°m, j=?m.
k
По предположению, каждому переходу j—k резонансно
монохроматическое поле
Ул@ = -<?ле"шл'; Рм = Рл.е~ШЧ (8.72)

§8]
Метод пробного поля
135
где QiA — разность частоты соответствующей спектральной
компоненты поля и частоты перехода (©#)• Замена переменных
Рл = гяе-^+0^; 9ml = rmle-iQ»\ (8.73)
эквивалентная унитарному преобразованию (8.63), приводит
(8.71) к системе линейных уравнений с постоянными
коэффициентами и с постоянной правой частью, поэтому гп не зависят от
времени
* [Гя - i (Q„ + Q/m - Дл)] rn - 12 GSkrkl = - Ю^т  }
k
и представляют собой линейные комбинации правых частей
системы (8.74). В частности, элемент гш, необходимый для
вычисления работы пробного поля, можно записать следующим
образом:
rml —
iG»n [Jtm (Qy) (p?f - 9°mm) + 2 J и (Cg p,m}; (8.75)
где коэффициенты Лт(Йй), Л*(ЙЙ) могут быть вычислены по
известным правилам решения системы алгебраических уравнений
(8.74). Подставляя (8.75) в выражение для работы пробного
поля, находим
Р„ = - 2ftav Re [iGlrml\ « 2Л7Ц, J G» |a X
X Re{/i«(O|i)(p?I-pL0+SAj(^)Pim}- (8-76)
Соотношение (8.76) вполне аналогично (8.60), полученному
ранее в рамках аппарата амплитуд вероятностей. Отличия
(8.76) и (8.60) связаны с процессами возбуждения (в (8.76)
включено в рассмотрение возбуждение любого уровня /', а в
(8.60) —только уровня т) и со значениями релаксационных
констант.
Обсудим более детально резонансное рассеяние в
трехуровневой схеме (см. рис. 3.11). В таком случае расчет приводит к
соотношению
Pll = 2nh(oll\Gil\2 X
„i,P- trnZ-4Q^fl-Anl)l(p?l-Pmm)~^p;m - (о77х
Выражение (8.77) отражает в себе все основные эффекты, в об-»

136
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
щем плане обсуждавшиеся выше. Знаменатель квадратичен по
частоте ?2Й, т. е. содержит два резонанса на частотах
= "о №тг +Г„|
Ц^1 — аЬ ^и
: +
+1 (Q + Aml + Anl) ± V[Tnl - Tml + i (Q+AnZ-AmZ)]*-41G|*}.
(8.78)
Выражения для параметров аь ог» вещественные части
которых определяют ширины резонансов, отличаются от ранее
фигурировавших величин вследствие иной схемы релаксационных
процессов (ср. с (8.7)). Существование двух резонансов в (8.78)
интерпретируется, очевидно, как следствие расщепления уровня m
на подуровни ml, m2 из-за взаимодействия с внешним полем.
Числитель выражения (8.77) содержит также эффекты
насыщения (заселенность G^m уровня m зависит от интенсивности
поля, см. G.40)); член Шрптп описывает нелинейные
интерференционные эффекты.
Варьируя условия, можно_выделить в чистом виде отдельные
эффекты. Еслир01т = рОп,то pnm=0 (см. G.42)), НИЭФ
отсутствуют и Рм определяется только заселенностями. При не
слишком больших интенсивностях внешнего поля (|G|2<|rnZ —
—i(QM—Q)| |IV-tQJ) и при условии ГШ/»ГП, расщепление^и-
нии рассеяния проявляется следующим образом (рис. 3.16):
в точном резонансе (Q=0) в центре линии существует
«негативная» структура, трансформирующаяся по мере роста |Q| в
асимметричную, а при еще больших значениях |Q| -—во второй
компонент дублета резонансного рассеяния (комбинационное
рассеяние). При достаточно больших значениях |Q| и \G\
график зависимости Рй от Йй подобен приведенным на рис. 3.13.
то Р„ обусловлена нелинейными
интерференционными явлениями и с
необходимостью оказывается
знакопеременной (рис. 3.17).
В общем случае, когда р^т ?=
=И=Рп и pnm?=Q, знак
работы поля тоже может, очевидно,
меняться при изменении QM,
т. е. в одних участках
спектра пробное поле может
поглощаться, а в других
—усиливаться средой.
Если
Р° = о0
Рис. 3.16. Контур линии
резонансного рассеяния в отсутствие НИЭФ.
a — Q = 0; 6-Q = Tml>Tnl\
e-Q>rmr

§ 81
Метод пробного поля
137
До сих пор во всех рассмотренных примерах предполагалось,
что уровень / расположен ниже уровня т, Ег<Ет (условия,
отвечающие наблюдению комбинационного рассеяния). Если
Ei>Emi то речь идет о двухфотонном поглощении или
вынужденной двухфотонной флуоресценции (рис. 3.18, а). Здесь выра-
Рис. 3.17. Контур линии резонансного рассеяния при равных
заселенностях комбинирующих уровней.
6
-т
*
1
Рис. 3.18. Системы трех уровней и переходы между ними.
а, в — двухквантовое поглощение и двухфотовяа* флуоресценция; б —
резонансное рассеяние «через нижнее состояние».
жение для Рд получается из (8.77) изменением общего знака
и заменой %-*— Оц(?3ц=.сой— (omi и изменение знака у ®ы
означает, что в матричном элементе гамильтониана взаимодействия
V„ нужно удерживать разные члены в (8.1) при анализе
комбинационного рассеяния и двухфотонного поглощения)
Plx = 2nh<u}l\GVi\2 X
v * Рг 1Тш + ' (% + Q + Ая1)] (р°тм - Р°и) + Щлт.
(8.79)

138
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Заменой индексов также можно получить из (8.77) работу поля,
когда смежный переход включает уровень /г, а не т\ при
комбинационном рассеянии «через нижнее состояние» (см. рис.
3.18, б)
Пусть теперь пробное излучение резонансно переходу т—/г,
с которым взаимодействует и сильное внешнее поле. Тогда
уравнение (8.70) оказывается более сложным по сравнению со
смежным переходом (индекс |л у рц опускаем)
Ртп + (Гтп + l&mn) Ртп + iGe~iQt (ртет - рпп) =
= -^е-ш^(р^-рОп);
(8.80)
PiS + TjiPH + ЪпАтпРтт ± 2Re [iG*e«*Pmn] =
= =F2ReKe^-%mn].
Из структуры правой части уравнения для р# можно
заключить, что решения уравнений (8.80) следует искать в виде
PJJ = 0е +П* ; Pmn = гтпе |* + гтпе , (8.81)
е = Йд — Q,
где амплитуды ri9 rmn, гтп не зависят от времени. Из выражения
(8.81) следует, что дипольный момент, индуцируемый пробным
полем, обладает двумя спектральными компонентами: частота
колебаний одной из них равна со„, второй 2со—<ой (последняя,
точнее говоря, индуцируется и пробным, и сильным полями)
d @ = 2Re kme-i<B™'pn»n] = 2Re [dnn [rmne-ie> * +
+ гт„е-*Bи-ю»)<]}. (8.82)
Происхождение поляризации атома на частоте сой=<2(о—сом,
зеркально симметричной частоте сод относительно со, можно понять,
исходя из структуры правой части уравнения (8.80) для р#.
Пробное поле прозводит работу над поляризацией,
наведенной сильным полем; вследствие различия частот <од и со эта
работа осциллирует с разностной частотой ооц—ш, чему отвечают
биения заселецностей р#. Последние, взаимодействуя с сильным
полем, обусловливают возникновение поляризации на
комбинационной частоте (член р™—рпп в уравнении для рт„). Такова
интерпретация нелинейных интерференционных эффектов в
данном конкретном случае.
Система уравнений для rh rmrii гтп (четвертого порядка),
вытекающая из (8.80) и (8.81 ), может быть решена при любых
значениях параметров, характеризующих атом и внешнее поле
(см. задачу 11). Однако получающиеся выражения очень гро-

§ 81
Метод пробного поля
139
моздки. Сравнительно просты соотношения в частном случае
Q=0; Гт+Гп=2Г.п=2Г; Атп<Тт+Гп, (8.83)
когда коэффициент поглощения пробного поля равен
a»-L Г8.. *1<?1*Рс » + Г/(Г + «№)
o = i-A
3i а N — Л"
(8.84)
4я"я»п 1+4|б|2/ГтГп '
Здесь a — коэффициент поглощения сильного поля. При ?2Й—*0
из выражения (8.84) следует
? =!+«№« (8.85)
т. е. с ростом \G\2 величина au уменьшается еще больше, чем
а, различие между а„иа при оц—>-со сохраняется и в самом
общем случае (см. задачу 11)
1<Ч-гГ 1.1 *тп 1
* v*H гто ^г г г Г
' L m n m nj
Кажущаяся разрывность коэффициента поглощения как
функции частоты связана с тем, что в выражении (8.84) не
принята в расчет компонента дипольного момента,
колеблющаяся с частотой 2со—сом. Если о>ц=^оэ, то вклад этой компоненты
в работу пробного поля осциллирует с частотой 2|<»ц—оэ| и в
среднем равен нулю. При сой—>-со биения происходят очень
медленно и указанный вклад в Рй необходимо учитывать. В
итоге возникает представление о мгновенном значении
коэффициента поглощения в поле с медленно изменяющейся амплитудой,
и такая величина непрерывна при малых юй—©.
На рис. 3.19, а, б приведены графики зависимости о» от Q,x,
построенные по формуле (8.84). Если Гт=Гп, то при
сравнительно небольших мощностях внешнего поля D|u|*<rwr»)
коэффициент поглощения a,i оказывается монотонной функцией
частоты Q,x (см. рис. 3.19, а). С дальнейшим ростом \G\2
появляются боковые максимумы, располагающиеся вблизи |?2Й|^
^2|G|+r. Между ними и точкой ?^=0 образуется область
отрицательных значений а* (предполагается, что Nn—Nm>Q
и <х>0; в противном случае слово «поглощение» нужно
заменять на «испускание», и наоборот). Таким образом, в
некотором интервале частот пробное поле не поглощается, а
усиливается средой (см. рис. 3.19,а). Амплитуда бокового максимума
на графике а„ увеличивается с ростом \G\: при |G|2>r2 из
(8.84) вытекает
?«$. iQj^lGI + r,
так что имеем aM>a, когда \G\ >4Г.

140
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Рис. 3.19. Графики о^/а как функции QJT.
а-Гт = гп; б = Гт/Гп=1/10.
Если Гт=И=ГЛ, то для малых \G\ поведение ац как функции
?2Ц несколько иное: в центре линии поглощения оказывается
минимум, углубляющийся и расширяющийся с ростом \G\.
Это напоминает контур спектральной линии на смежном
переходе (ср. рис. 3.19, б и 3.16, а). Однако при достаточно больших
значениях \G\ графики а„ имеют примерно такой же вид, как
и в случае Гт=Гп.
Знак интегрального (по QM) коэффициента поглощения
задается знаком разности заселенности уровней пят. Поэтому
переход от поглощения к усилению при изменении частоты
обусловлен нелинейными интерференционными эффектами и тем
обстоятельством, что внешнее поле возмущает оба
комбинирующих состояния тип. Некоторое представление о роли
последней причины можно получить, сравнивая рис. 3.19 а, б с
графиками рис. 3.20 (см. § 9)^ где изображена зависимость от
частоты дл^ «чистого» испускания пробного поля.
Метод пробного поля является одним из основных в
нелинейной спектроскопии. Теоретически обоснованный в 60-е годы,
он применялся в разнообразных вариантах к различным
объектам, и основные явления —расщепление уровней и нелинейные
интерференционные эффекты — достаточно полно изучены
экспериментально. Главные области применения метода пробного

§9]
Спонтанное испускание
141
поля связаны с исследованием процессов, протекающих при
столкновениях, сверхтонкой структуры уровней, а также
генерации гармоник когерентного излучения,
§ 9. Спонтанное испускание атомов,
находящихся во внешнем электромагнитном поле
Спонтанное испускание представляет собой результат
взаимодействия возбужденных атомов с нулевыми колебаниями
электромагнитного поля. Поэтому для теоретического
рассмотрения его необходимо квантовое описание и атомов, и излучения.
Вместе с тем для истолкования результатов взаимодействия
атома с сильным внешним полем вполне достаточно
классическое приближение. Следовательно, целесообразно применить
комбинированный подход, в котором внутренние движения
атома и нулевые колебания поля рассматриваются квантовым
образом, а сильное внешнее поле — классически.
Указанной постановке вопроса отвечает гамильтониан
H = Ha + %V (t) + Я/ + Й'\ HV (t) =-dE (*), (9.1)
где fia, %9(t) — гамильтониан изолированного атома и его
взаимодействия с классическим сильным внешним полем; Hf1 Н' —
гамильтониан остальной части поля и его взаимодействия с
атомом. Волновую функцию системы «атом+поле» представим
в виде разложения
цг^)=цга9 (9.2)
где а — столбец амплитуд вероятностей, W — строчка
собственных функций гамильтониана //«+#,, т. е. элементы W содержат
в качестве множителей волновые функции атома
Y; = %e-SB;'/ft; Ha^j = Ejb (9.3)
и волновые функции квантованного поля (представление чисел
заполнения)
^ = %е-^/л; Я^=й(оя(% + 1/2)^. (9.4)
Элементы столбца а соответствуют различным состояниям
атома и поля. Например, а(т, пк\ t) будет обозначать амплитуду
состояния, в котором атом находится на уровне т, а в типе
колебаний поля с индексом к существует п% фотонов.
Уравнение для амплитуд имеет стандартный вид
a=-iV(t)a-±-H'a, (9.5)
причем элементы матрицы Я' даются соотношением ([2], § 30)
Н' (/, п%|k, п% + 1; /) - Я' (/, nx\k,nk + l) е-^<; Qk = шх - »л;
#'(/, пк\ к, пк+1) = - toA уЩьъУкги. (9-6)

142
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
Здесь он, пх — частота и число фотонов в типе колебаний с
индексом X; V — объем системы.
Рассмотрим вопрос о спонтанной релаксации возбужденных
состояний атома. Допустим ради простоты выкладок, что
возбужденное состояние т атома оптически комбинирует только
с одним состоянием /, обладающим меньшей энергией (?f<?m)
и являющимся метастабильным. Пусть в начальный момент
времени t0 атом возбужден в состояние т, а в поле
отсутствуют фотоны (па=0). Тогда из (9.5) следует система уравнений
а{т, 0; /) = --^2я'<ш. °l'. U)e"^a(/f lx; t);
а (/. V, 0 = - -г Я' (/, h I«. 0) е х а (т, 0; <);
Ох = »л —«mil л(т,0;/0)= 1; а (I, lx; t0) = 0.
Поступим теперь следующим образом. Формальное решение
t
а (/, U; 0 = - 4 Я' С *х К °) J е^'л (т, 0; t±) dtx (9.8)
подставим в уравнение (9.7) для а(т, 0; t)9 опуская ради
упрощения записи аргументы в Н'(т, 0|/, Ц)
а (т, 0; 0 = - Ц?? J 2 e~%('~'a)a (т, 0; у Л (9.9)
Суммирование по типам колебаний, резонансных переходу т—I,
можно заменить интегрированием по их частотам и
направлениям распространения
2-*Jpx«*M0; PxdMO = ^iVdcoxdO,
где pkd(dKdO — количество типов колебаний в интервале -а>Лг
cojt+rf<Dx и в телесном угле dO. Интегрирование по ю* в (9.9)
дает 2яб(/—*i), после чего уравнение для а(т, 0; /) приобретает
вид
a(m90;t)=-ymla(m,0;t)t (9.10)
где введено обозначение
T«i = 8n«l4?p*«2§^ (9.11)
Итак, вследствие спонтанного испускания фотонов %®к
возбужденное состояние атома т затухает по экспоненциальному

§9]
Спонтанное испускание
143
закону со скоростью ^, равной половине первого
коэффициента Эйнштейна.
Выкладки, приведшие к (9.10) и (9.11), проделаны в рамках
модели невырожденных состояний. Принимая во внимание
вырождение атомных уровней и поляризацию спонтанного
излучения, величину |dm/|2 в (9.11) следует заменить на
|<m||<i||/>|2/3gm, где gm — статистический вес состояния т,
(m\\d\\n) — приведенный матричный элемент дипольного
момента:
g
2Vm. = 4ii^l<mldln>l,a=4»'- (9Л2>
Вывод уравнения (9.10) легко обобщить на случаи
нестабильности уровня /, взаимодействия атома с внешним полем
(см. задачу 12), спонтанного распада состояния т в несколько
состояний с меньшей, чем Ет, энергией. В последнем случае,
например, в уравнение (9.7) для а(т, 0; t) входит не одна, а
несколько сумм по типам колебаний, резонансных переходов
т—/, т—л, т—/ и т. д. В итоге приходим к уравнению
* (т9 0; 0 + ута(т, 0; /) = 0, ут = 2 W (9.13)
3
Таким образом, введение релаксационных членов в
уравнения A.5), A.11), обусловленных спонтанными переходами,
можно полагать обоснованным. Член прихода /?B) спонтанной
релаксации в кинетическом уравнении для матрицы плотности
также может быть обоснован с помощью метода, примененного
выше (см. задачу 14).
Обратимся к вопросу о спектре спонтанного испускания,
т. е. о вероятности спонтанного испускания фотона определенной
частоты ©д или относящегося к определенному типу колебаний
поля. В гамильтониане Нг следует, очевидно, выделить часть Н]ц9
относящуюся к взаимодействию некоторого типа колебаяий [г
с атомом, рассмотреть вызываемые ею переходы и вычислить
соответствующую работу поля. Выделение одного типа
колебаний из огромного общего их числа не может изменить процесса
спонтанной релаксации. Поэтому уравнение для а имеет вид
a + ya = -iV{t)a-~- Н» (t) а. (9.14)
Задаче о спонтанном испускании отвечают начальные уело- •
вия, при которых в начальный момент времени to атом
находится в возбужденном состоянии, а в типе колебаний -ji отсутствуют
фотоны. Пусть т, / обозначают индексы верхнего и нижнего
атомных состояний, между которыми совершается спонтанный

144
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
переход. Тогда начальные условия и выражение для #д@
записываются следующим образом:
а(т, <Vf*0)=l; аA, V,*o)=0; (9.15)
Kit) = р|ртЯ;*(т, 0|/, 1ц)е'Ч (9.16)
Матрица Н^ содержит12 единственный элемент (Н^т, который
описывает переход т—I, ибо он фигурирует в правой части
уравнения для амплитуды нижнего состояния а(/, 1Ц; О
(столбец pf) в произведении с амплитудой верхнего состояния
а(т, 0; t) (строчка рт).
Полагая, как и ранее в методе пробного поля,
а=6+с+, (9.17)
где с*—малая поправка, обусловленная //'^@» приходим
к уравнениям
b + yb = —iV{t)b;
с+ + Yc+ = - IV У)с+-±Н1 (t) Ь (9.18)
для Ь и с+. Амплитуда Ь описывает эволюцию атома под
действием внешнего поля и спонтанной релаксации в отсутствие
фотонов в типе колебаний ц. Поправка с+ к амплитуде описывает
переходы, сопровождающиеся испусканием фотона йсо^.
Величина 2^i\c+(li 1ц; t)\2 характеризует скорость, с которой атом
покидает нижний уровень /, и одновременно — скорость
увеличения'энергии типа колебаний ц. Поэтому полная энергия,
поступающая в |л-й тип колебаний за все время эволюции, равна
оо
^ = fcGv2Yz JV(/, l„;0l2d/. (9.19)
С помощью уравнения (9.18), принимая во внимание нулевые
началдьные условия для с+, легко показать, что (9.19)
эквивалентно равенству
#'й = - 2^ Re *^je*%t(mf0; *)*•(/, l^^dtl. (9.20)
Сравнение уравнений (9.18) с (8.30), (8.31) и (9.20) с (8.3)
позволяет прийти к заключению, что вычисление спектра
спонтанного испускания в.квантовой теории формально аналогично
определению работы классического пробного поля, если в по-
12 В (9.16) введен Н'*(т, 0|/, 1й) ради полноты аналогии с тем членом
в (8.27), который содержит G* и описывает испускание пробного поля.

§9]
Спонтанное испускание
146
следней задаче выделить испускание и должным образом
выбрать значение параметра G^. Для взаимодействия с единичным
типом колебаний \i нужно принять:
о; = - ±H'*(m,0\l,l») = mmiy^-dlm. (9.21)
Измерительная аппаратура обладает конечной спектральной
и угловой разрешающей силой, и в экспериментах измеряется
энергия испускания для большого .числа типов колебаний
с близкими частотами и направлениями распространения.
Поэтому целесообразно нормировать |G^|2 следующим образом:
10„ |* = ^ РцАМО = 4g d(D(id0. (9.22)
Таким образом, все результаты, полученные в § 8
относительно спектра испускания пробного поля, переносятся на спектр
спонтанного испускания атомов, взаимодействующих с внешним
полем, если под |GM|2 в соотношениях § 8 понимать величину,
определенную в (9.21) или (9.22).
Разделение процессов поглощения и испускания в
кинетическом уравнении (8.70) можно проделать следующим образом.
С помощью (9.14) составляем уравнение для комбинации аа*
и проводим процедуру статистического усреднения, означающую
переход к матрице плотности. Такое усреднение ведет к
появлению статистических членов S и J?, рассмотренных в § 3, 4, но не
изменяет вида динамических членов. Изложенная процедура
приводит к уравнению
Р = -i[V@р -pV(/)] --±- [ЛГдр - рН'Д +S + R, (9.23)
где #ц@ определен соотношениями (9.16), в чем и состоит
формальное отличие (9.23) от (8.67) (ср. (9.16) и (8.27)).
Физически это отличие, как уже отмечалось, и означает
выделение чистого испускания.
В первом приближении по Нц (t) из {9.23) получаем
Р=Р°+Р,; (9.24)
P0+^V@p0-p°V@]-S-^=Q; (9.25)
Рц + * [V (t) р, - HV (/)] - 5, - /?„ = - 4- [»l(t) Р°-Р°/У;* (/)],
(9.26)
где Q — неупругая часть члена прихода интеграла столкновений.
Конкретизируем уравнение (9.26) для спонтанного перехода
т—>1 с уровня т, возмущенного ©нешним полем, на невозму-

146
Резонансные радиационные процессы
[Гл. Ill
щенный уровень / (см. рис. 3.14, //^ с>э pf рто; индекс \i у р»
опускаем)
Pmi + i 2 VmJ @ рп -Sml-Rml = - Ю^е^рЬт;
' -iQ I (9-27)
9л + i 2 Vjk (t) pftZ - Sy* - Rn = - tG^e * pjm, / =^= m.
В отличие от (8.71) правая часть уравнения (9.27) для pmi
содержит заселенность только (верхнего уровня т. Если же
Ег>Еш (спонтанный переход /—^т»Ядсхзр^р?),товзамен (9.27)
из (9.26) следует
Pmi + '2 Vmj {*) Ря - S«i - Rmi = <е %?i;
j (9.28)
pii + 'SvM(Opfci-sif-i?yi = 0. i^m-
h
В данном случае существенна заселенность уровня I (верхнего);
кроме того, отсутствуют нелинейные интерференционные члены,
согласно предположению, что уровень /, исходный для
рассматриваемого радиационного процесса, не возмущен внешним полем.
Спонтанное испускание для перехода т—п (Н'ц со pnPm)» °ба
уровня которого возмущены внешним полем, описывается более
сложной системой уравнений, вытекающей из (9.26)
Pmm + 2Re W 2 VWP/ml — Smm — Rmm *= 0;
Pnn + 2Re [i 2 VnjPjn\ - Snn - Rnn =, - 2Re [/O^^'pJJ;
Pnm + ' 2 [^n^Pjm — Pnj^ml — $пт ~ #nm = ^e ** pmm-
(9.29)
Сопоставление систем уравнений (9.29) и (8.80) показывает, что
для спонтанного испускания существенна заселенность верхнего
уровня т и нелинейные интерференционные члены,
порождаемые правой частью в уравнении для диагонального элемента
нижнего уровня п. Следовательно, заселенность нижнего уровня
в правой части (8,80) и НИЭФ от правой части в (8.80) для
pmm описывают поглощение пробного поля.
Таким образом, можно использовать результаты, полученные
в § 8, производя оговоренные выше видоизменения в конечных
выражениях для работы пробного поля. Например, для
спонтанного испускания, сопровождаемого переходом т-+-1 (см.
рис. 3.11), можно воспользоваться формулой (8.77), отбросив
в ней членри. Для перехода /,->-т (см. рис. 3.18а) в
выражении (8.79) нужно сохранить только членр?*, опустить Pmm и
нелинейный интерференционный член, пропорциональный ртп*

§П
Спонтанное испускание
147
Графики зависимости спектральной плотности спонтанного
испускания на смежном переходе т-*~1 (см. рис. 3.11)
качественно аналогичны рассмотренным в § 8 (рис. 3.13 и 3.16).
Отличие спонтанного испускания от работы пробного поля состоит
в том, что .последняя имеет разные знаки в близких
спектральных интервалах (рис. 3.17), тогда как спектральная плотность
спонтанного испускания существенно положительна.
Последнее замечание относится и к спонтанному испусканию
между состояниями т, я, возмущенными внешним полем,
и в данном случае возможны резкие отличия контура линии
усиления и спонтанного испускания. Для иллюстрации
высказанного утверждения рассмотрим спонтанное испускание в
схеме уровней рис. 3.15 при дополнительных упрощающих
предположениях: возбуждается только уровень т; <о=сотп; Гт=
=ГП=2Г. Тогда из общих выражений задачи 13 следует
-Ли
Н + 4 | G |2
ri + oa^r« + (Q|l-2|0|y
^Г« +@^ + 2101)»J Гз + 4|0|* [п + ^ц-2|0|)»-Г
+
+ H + @|i + 2|0|):
-¦])•
(9.30)
Спектральная плотность спонтанного испускания в этом случае
представляет собой триплет, компоненты которого расположены
1&1/Г=0
Рис. 3.20. Контур линии спонтанного испускания для перехода m *— я.
я-Гт = Гп; б - Гт = 1/ЮГЛ.
вблизи частот Q№=Q; QH= ±2|б|. Такая картина спектра
обусловлена расщеплением уровней m, п на пары подуровней
ml, т2 и м1, п2. На рис. 3.20 показаны графики зависимости
—/?и от QM, резко отличающиеся от графиков рис. 3.19,
изображающих контур линии усиления пробного поля.

Глава IV
ПРОВАЛ БЕННЕТА ДЛЯ СИСТЕМ
С БОЛЬШИМ ДОППЛЕРОВСКИМ УШИРЕНИЕМ
§ 10. Распределение атомов по скоростям
при взаимодействии с плоской монохроматической волной
При сравнительно небольших давлениях (порядка мм
рт. ст. и менее) частицы газа за характерные времена
релаксации 1/Г проходят расстояние, значительно превышающее длину
волны излучения Я. Так, для атомов характерные значения
времен релаксации составляют примерно 10~8 с, и при средней
тепловой скорости г;~105 см/с длина свободного пробега /=г?/Г^Ё
^10~3 см, т. е.
/=г;/Г>Х~10-Ч-10-5 см. A0.1)
Времена релаксации колебательных уровней основного
электронного состояния молекул могут быть еще больше, и
неравенство A0.1) сохраняет силу, несмотря на увеличение длины
волны колебательно-вращательных переходов по сравнению
с электронными.
Неравенство A0.1) можно переписать в следующем виде:
*»/Г>1; /г=2п/К A0.2)
означающем, что за время релаксации 1/Г фаза поля вследствие
эффекта Допплера изменяется на величину, значительно
большую единицы.
В указанных условиях движение атомов и молекул
существенно влияет на их взаимодействие с излучением. В рамках
линейной теории тепловое движение обусловливает допплероз-
ское уширение линий, разобранное в § 6. Еще более
радикальные изменения претерпевают нелинейные явления. В
простейшем случае плоской монохроматической бегущей волны
частоты со в системе координат, связанной с атомом, действующее
на атом поле имеет частоту ©—kv, смещенную из-за эффекта
Допплера на величину kv. В силу A0.2) резонансные условия
выполняются не для всех атомов, а только для тех, у которых
допплеровский сдвиг kv компенсируется разностью Q»=co—оэтп
частоты поля и частоты перехода т—п. Другими словами,
воздействие поля на атомы оказывается селективным по скоростям,
вследствие чего распределение по v для комбинирующих
уровней перестает быть равновесным, приобретая резкую структуру.
Полевое изменение распределения атомов по скоростям уже
само по себе должно привести к ряду явлений, например, к воз-

Распределение по скоростям
149
никновению узких нелинейных резонансов на допплеровски
уширенных линиях, к своеобразной зависимости мощности
генерации одночастотных газовых лазеров от частоты
излучения и др. Однако селективность воздействия поля проявляется
и другим образом. В главе III выяснено, что для спектроскопии
пробного поля наряду с эффектом насыщения большое значение
имеют когерентность комбинирующих уровней и их полевое
расщепление. Напомним, что роль этих факторов критично
зависит от разностей боровских частот и частот поля, т. е.
для движущихся атомов от со—о>тл—ко и о>й—оэш1—kjo (йц —
волновой вектор пробного поля). Таким образом, движение
атомов существенно и с этой точки зрения.
"В нелинейной спектроскопии движущихся атомов важна
геометрия поля. Действительно, разложим по плоским волнам поле
с какой-либо геометрической конфигурацией и учтем допплеров-
ское изменение частоты при переходе в систему координат
атома. Каждой пространственной гармонике будет отвечать
частота ю—ко. Следовательно, взаимодействие движущегося атома
с полем сложной конфигурации эквивалентно взаимодействию
неподвижного атома с немонохроматическим полем. В
частности, стоячая плоская волна в системе координат, связанной
с атомом, бихроматична, ее спектральные компоненты обладают
частотами со—ко и со+ко. С другой стороны, в § 7 показано, что
эволюция атома самым существенным образом зависит от
спектрального состава поля, если интенсивность его достаточно
велика. Например, в бихроматическом поле (происходит расщепление
уровней атома на бесконечную последовательность подуровней
(см. G.30)). К таким же выводам можно прийти другим путем,
пользуясь «временным языком»: движущийся атом,
последовательно пролетая различные точки пространства, «чувствует»
геометрию неоднородного поля, проявляющуюся, следовательно,
и в спектроскопии нелинейных резонансов.
Коль скоро движение атомов существенно, существенным
должно быть и изменение скорости их при столкновениях. В
линейной спектроскопии упругое рассеяние может проявляться
разве только в виде эффекта Дикке (см. § 6), ибо
распределение по скоростям, будучи, как правило, равновесным, не
подвержено влиянию столкновений. Резкая структура в распределении
по и, обусловленная селективностью взаимодействия
когерентного поля с атомами, весьма чувствительна не только к тушащим
процессам и к деориентации, но и к самым «малым
(дифракционным) изменениям скорости. В этом отношении нелинейно-
спектроскопические опыты аналогичны экспериментам с атом*
ными пучками. Не удивительно поэтому, что круг вопросов,
связанный со спектроскопическим проявлением упругого рассеяния,
получил заметное развитие в последние 10 лет именно в связи
с проблемой нелинейных резонансов в спектрах газов.

150
Провал Беннета
[Гл. IV
Итак, должно быть ясно, что нелинейной спектроскопии
движущихся атомов (молекул) присущи сложность и многообразие
явлений. Эти обстоятельства объясняют сравнительно большой
объем нижеследующих глав, посвященных теории нелинейных
явлений при большом допплеровском уширении.
Рассмотрим сначала простейшую задачу о взаимодействии
движущихся атомов с плоской бегущей монохроматической
волной
Ё(г, t) = ^[?е-^-*г)+ ?*екш~кг)]. A0.3)
Пусть частота волны со достаточно близка к частоте <ож»
перехода т—п9 так что выполнены условия G.1) применимости
резонансного приближения. Тогда
Vmn = - ^ &dmne-«at->» » - Ge-*B<-">; A0.4)
О = dmn&l2%\ Q = @ — (Omn>
где dmn—матричный элемент оператора дипольного момента.
В модели невырожденных состояний и в отсутствие изменения
скорости при столкновениях (модель релаксационных констант)
уравнения для матрицы плотности имеют вид (см. B.30))
(it + V V + Г") Р«» = *» - 2Re [^Ртп^'^Ь
(|~ + * V + Гп)Рпп = Чп +i*m»Pmm+2 Re [Й*Ртп^'^] I A0.8)
(Jf+vV + Ттп + *Amrt) Pmn - - IG (pmm - Pn^e-W'-™.
Выражение A0.4) для Fmn и уравнения A0.5) отличаются от
использованных в § 7 явным введением характеристик
движения атома (фаза поля содержит член кг, введен потоковый
оператор vV\ ср. с G.33)).
Предположив пространственную однородность и
стационарность процессов возбуждения, уравнения A0.5) можно
свести к алгебраическим
ржж=ре-'(в|-*"; A0.6)
Tmpmm=-2Re(iG*p)+Qm(v);
Tnpnn=AmnPmm+2Re(iG*P)+QnW(v); A0.7)
[Г—i(Q—Д— kv)]p=— Ш(ртт—pnn), Г=ГЩ, A = Amn
Далее будем предполагать, что атомы возбуждаются с максвел-
ловским распределением по скоростям, т. е.
В7(и) = (У5?)-»ехр(—v2/&«); v2=2kbT/m. A0.8)

§ ю]
Распределение по скоростям
151
Уравнения A0.7) имеют такой же вид, что и уравнения
G.39) для покоящихся атомов. Движение их нашло отражение
в замене Q->*Q—kv, и элементы матрицы плотности в (Ю.7)
зависят от v, как от параметра. Слагаемое kv в комбинации
Q—kv связано с тем обстоятельством, что в системе покоя
атома частота действующего на него излучения смещена на
величину kv из-за эффекта Допплера.
Вследствие указанного соответствия решение уравнения
A0.7) получается из решения уравнений G.39), выраженного
формулами G.40) —G.43), с помощью замены Qr+Q—kv
и Qr*Q№{v)
«¦ч^-уда{1! Aоло>
о = _#<? Ртт"""9пп •
р luT-i(Q-A-kvy
Pmm-Pnn = [l-rl + i^\_kv)a](Nn^Nn)W(vy,(l0.U)
я = ЦО?(^ + ^_?«Л Г.-Г/Т + 5. A0.12)
\ т п т п/
Величины Nm, Nn суть интегральные по скоростям значения
засоленностей уровней m, п в отсутствие поля. Их связь с Qm,
Qn дается по-прежнему формулой G.43).
Изменения в заселенностях, вызванные электромагнитным
полем, описываются вторыми членами в квадратных скобках
выражений A0.9) — A0.11). Эти члены содержат резонансный
знаменатель Г2A+х) + (Й—Д—ftvJ, зависящий, в частности,
от величины проекции скорости v на направление волнового
вектора ft. Таким образом, электромагнитное поле приводит
к изменению распределения заселенностей по скоростям.
Резонансный знаменатель минимален при
hv=Q—А. A0.13)
Равенство A0.13) означает, что частота поля, пересчитанная
в собственную систему координат атома, находится в точном
резонансе с переходом т—п и взаимодействие поля с атомом
наиболее сильно. Интервал скоростей атомов, эффективно
взаимодействующих с полем, определяется, как это видно из
структуры резонансного знаменателя, величиной Гв=гу1+х.

152
Провал Беннета
[Гл. IV
Рис. 4.1. Распределение заселенностей по скоростям верхнего (а) и
нижнего (б) уровней при Nw>Nn(A=0).
Если выполнено условие
T6=rVl+7t<kvt
A0.14)
которое при не очень сильных полях эквивалентно условию
A0.2), «полевые» изменения в распределении заселенностей по
скоростям имеют вид резких структур на фоне широкого мак-
свеллова распределения. Эти структуры получили название
провалов и пиков Беннета [1]. При Nm>Nn (инверсия
заселенностей), согласно A0.9), A0.10), в распределении по скоростям
на уровне т имеет место провал, а на уровне п — пик (рис. 4.1).
В случае Nm<C.Nn ситуация обратная: провал на уровне п и пик
на уровне т.
Провал и пик Беннета центрированы на резонансных
скоростях, определяемых соотношением A0.13), имеют лорентцеву
форму с полушириной ryi+x. С изменением частоты излучения
положение их экстремумов смещается пропорционально Q—Д.
Относительные амплитуды ат, ал провалов и пиков
определяются соотношениями
N^ — N^ 1
т п 1
2|G|*
\ т п хтп]
„ ГО П l I 1 ГО71 1
п n \ m /
2|G|2
\ 771 П 771 71/
A0.15)
A0.16)
Г + 2|
Величины ат, ап пропорциональны временам жизни 1/Гт, 1/Гпна
уровнях тип соответственно. Факторы (Nm—Nn)/Nm>
(Nm—Nn)/Nn говорят о том, что в зависимости от условий
возбуждения значения От и аЛ по величине могут быть любыми.
Зависимость от интенсивности поля для <xw, ап имеет вид кривой
с насыщением. При малых полях (х<С1) величины <хто, ап
пропорциональны интенсивности поля, при большом поле (х^>1)
они асимптотически приближаются к постоянным значениям.

§ ю]
Распределение по скоростям
153
Асимптотическим значениям aw, an отвечает выравнивание
заселенностей на уровнях т> п для группы атомов с
резонансными скоростями A0.13). Это обстоятельство легко
прослеживается в выражении для разности заселенностей A0.11). Для
резонансных скоростей разность заселенностей при х^>1
стремится к нулю по закону н (эффект насыщения).
Таким образом, в системах с большим допплеровским уши-
рением специфика эффекта насыщения сводится к следующему.
С ростом интенсивности поля в наибольшей степени происходит
выравнивание заселенностей для атомов с резонансными
скоростями. Помимо этого, с увеличением интенсивности «во
взаимодействие с полем вовлекаются новые группы атомов, скорости
которых все более и более отличаются от резонансной.
Последнее обстоятельство выражается в увеличении ширины провала
и пика Беннета:
r.sr + IOpf^ + J.-imn.V х<1; A0.17)
r.e^lOpr^ + ^-^V х>1. A0.18)
При относительно слабых полях уширение пропорционально
интенсивности поля, а при сильных — амплитуде его. Если
интенсивность поля такова, что
| G | ]/2Г (IW + Тпi - Лтп/ГтГп) ~ kv, A0.19)
то заселенности выравниваются у атомов практически со всеми
скоростями.
Параметр х, регулирующий зависимость полуширины и
амплитуды структуры Беннета от интенсивности поля, носит
название параметра насыщения. Он пропорционален времени
релаксации когерентности между уровнями m, п (величина 1/Г)
и эффективному суммарному времени жизни на уровнях m, п
(фактор Г-1 + Г - Атп/ТтГп).
Рассмотрим выражение для работы поля
Р=- 2fecoRe<Ю*р) = - 2feco[G[*Г<( „ +Р(уГ/^)а ),
A0.20)
где угловыми скобками обозначено усреднение по скоростям.
Интеграл по скоростям сводится к известным функциям при
произвольном соотношении Г8 и kv (см. задачу 15), однако
здесь мы ограничимся приближением A0.14) и, используя
выражение A0.11), получим
V* ЛТП Nn~Nm
Р==2%а>^е v*"y " m A0.21)

154
Провал Беннета
[Гл. IV
График работы поля как функции Q имеет вид гауссовой
кривой с максимумом при ?2=Д, т. е. максимум сдвинут
относительно частоты перехода на величину А, обусловленную
столкновениями. Ширина кривой определяется параметрЪм kv,
который зависит от длины волны излучения, температуры и массы
взаимодействующих с полем частиц. Часто контур типа A0.21)
называют допплеровским контуром.
Интенсивность поля, как видно из A0.21), оставляет форму
кривой P(Q) неизменной и влияет лишь на коэффициент перед
ехр [—(Q—AJ/(kvJ]. С ростом поля величина Р вначале
растет пропорционально интенсивности (при х<С1), затем
становится пропорциональной амплитуде поля (при х»1).
Результаты, полученные в модели невырожденных состояний,
легко распространить на системы с вырожденными уровнями
в следующих случаях. Пусть внешнее поле поляризовано либо
линейно, либо по кругу. Переходы между магнитными
подуровнями состояний т, л, вызываемые таким полем, показаны на
рис. 4.2, а, б соответственно. В первом случае ось квантования
м
м' -2 -1
Рис. 4.2. Схемы переходов, вызываемых волной линейной (а) и круговой
(б) поляризаций.
выбрана вдоль электрического поля излучения, во втором —
вдоль волнового вектора k. Если можно пренебречь
радиационным распадом по каналу т-+п и столкновительным обменом
между подуровнями, то взаимодействие по каждому переходу
JmM-*~JnM (см. рис. 4.2, a) g JmM-+JnM— I (см. рис. 4.2,6)
осуществляется независимо. Поэтому можно воспользоваться
уравнениями (Ю.7) и следующими из них результатами, понимая
под pjj заселенность магнитного подуровня, обозначаемую ниже
p#(Af). Величина G при этом имеет смысл амплитуды
матричного элемента взаимодействия для перехода тМ—пМ' и будет
обозначаться G(M).
Ради простоты пренебрежем радиационными переходами по
каналу т-+-п, т. е. Лтп=0. Полагая, что в отсутствие поля
магнитные подуровни М заселены равномерно (Nj(M) =

§ ю]
Распределение по скоростям
155
=Nslgs, gi=2Jj+\), на основе формул B.46) и A0.9) —A0.12)
получим
. • A0.22)
Р(й) = -2й(оХД(^-^)е ^ ftB"j |G
kv \gm gn)
A0.23)
X
w " ? A0.24)
0=?1Я> <*тп = у=<т\\<1\\пу, G(M) = G(-lfn~M'x
X<JmMJn-M'\lay,
x (Л1) = 11G (Af) |2 (J- + «Ц = я <УтМ/п - M | la>2. A0.25)
Здесь (m||d||/i> — приведенный матричный элемент дипольяого
момента. Величина q является индексом круговых компонент
электрического поля волны: для линейно поляризованной
волны о=0, для волны круговой поляризации а=1, либо —1.
Величина pjj(M) представляет собой заселенность подуровня М
на уровне /.
Согласно A0.22), A0.23), электромагнитное поле создает
неравновесное распределение по магнитным подуровням
подобно тому, как оно приводит к неравновесному распределению
по скоростям. Неравномерность распределения по подуровням
обусловлена различием матричных элементов гамильтониана
взаимодействия для /переходов JmM—JnM' с различными М
(коэффициент векторного сложения в выражении A0.25) для
G(M)). При этом некоторые подуровни могут не возмущаться
полем, и их заселенность не меняется вовсе !.
Из (М- 22), A0.23) видно, что распределение по скоростям
на подуровнях, возмущенных полем, различно для разных М:
амплитуды и ширины соответствующих провалов Беннета
зависят от М. Различие ширин с ростом интенсивности поля
усугубляется. Лишь в слабых полях (к(М)<1) провалы имеют
одинаковую полуширину Г.
1 Этот вывод, конечно, нарушается, если существует столкновительный
обмен между М-подуровнями.

156
Провал Беннета
[Гл.IV
В выражение A0.24) для работы поля каждый из переходов
JmM—JnM' дает аддитивный вклад. Зависимость P(Q) в
использованном приближении ryi+n(M)<g:kv совпадает с таковой
в модели невырожденных состояний (ср. с A0.21)). Вырождение
проявилось в том, что вместо одного параметра насыщения
х принципиально возникает набор из min {Jm9 Jn] числа
значений к(М).
Рассмотрим влияние деориентирующих процессов в системах
с большим допплеровским уширением на распределение по
скоростям и работу поля. Будем исходить из уравнений для
матрицы плотности © представлении поляризационных моментов.
В модели релаксационных констант уравнения B.37) при
взаимодействии атомов с плоской монохроматической бегущей
волной в модели изотропных столкновений можно привести к виду
ГтРтт = — * \GnmPmn ~~ GmnPnm) + Qm / g, . f>
ГпРпп = Атп9тт - i {Gl^m ~ GZmPmn) + Qn «7== > (I0'26)
Г+1\- i (Q - Щ I] Pmn = - i [G^npmm ~ Glnpnn \ >
Релаксационные матрицы и векторы возбуждения имеют
следующую структуру:
Г/ (и? | *хЧл) = б^Д^Г;*; Qj (nq) = #А<Ао>
Amn («?Mi) = Amn (x) 8^6^; / {nqWtfx) = b^xbqqx\ A0.27)
Г (к? | x^) + f А (и? | x^i) = [Гн + fДн] &H„fiqqt;
Г;н = 2yj + v (//) - v (//x | /7k);
Г* + iAK = Tm + 7n + v (mn) — v (mnx | m/zx).
Величина Лтп(х) дается формулой C.15). Согласно
резонансному приближению, матрица взаимодействия U\$ в уравнениях
B.37) представлена по аналогии с F.9) как
и%^-0)^щ^I±"г\ A0.29)
где знак выбирается так, чтобы величина Ico^o)! была
минимальной (резонансное приближение). Матрицы G\$, согласно
B.39), имеют такую структуру:
Gfc<*?'l*A) = (- if~J*-V25TF7/2^TTJ)ft ** jj х
a
Gi;ff = du#a/2h; Gi}a = (- l)J~Jj+ff(?;i-«; A0.30)
Gb (ЩI *A) = (- \)J-Ji+4~9tGTi (x - q| xx - fc).

§ 101
Распределение по скоростям
157
Здесь &а — круговые компоненты электрического вектора поля.
Наконец, вместо недиагональных по энергетическим уровням
элементов ру(г, t), фигурирующих в уравнениях B.37) и
зависящих ср координат и времени, в уравнения A0.26) входят р1;,
не зависящие от г и t и связанные с р,Дг, t) соотношением
В отсутствие электромагнитного поля из A0.26) имеем
ри («7) =««Ао y=f=f w (");
Q \Q A Q
Nm = fs-, Nn=^+^p-. A0.31)
mo no no mo
При произвольной интенсивности поля решение системы
линейных алгебраических уравнений A0.26) сопряжено со
значительными математическими трудностями. Ранг системы
уравнений в общем случае составляет B/+1J, где /=max{/m, /«},
и трудности связаны с нахождением обратных матриц. По этой
причине будем решать уравнение (Ю.26) методом итераций по
амплитуде поля. Принимая A0.31) в качестве нулевого
приближения и используя явный вид A0.30) матриц 0%, можно прийти
к следующим выражениям для поляризационных
моментов ря(х<7):
ртт (и?) = \у===г 6*о - ЛГ„ 2Г
+7 ™ шп Г2 + (Q - Л - к vJ
X p^IG«!)]w(v); - (Ю.32)
Г N 2Г
X / (*q) I- (апК - Ы? ати ) 1W (*>;
L пк \ L тх / J
^.-(-ir^-af^JJ. ' (Ю.ЗЗ)
/ (к?) = S (- II' < 1 а 1 - а, | *?> Qfilj
а<" A0.34)
Г = 1\; Л = Лх; Ga = g0dmn/2h = Gmna.
Здесь /(х?)— так называемый тензор поляризации поля
в х<7-представлении (см., например, [2]).

158
Провал Бенкета
[Гл. IV
«Полевые» изменения в поляризационных моментах уровней
т, п, как показывают выражения A0.32), A0.33),
пропорциональны тензору поляризации поля. В силу дипольного характера
взаимодействия величина х может принимать только значения
х=0, 1, 22. Таким образом, поле влияет на величину р„@0)
(изменяет полные заселенности уровней) и, кроме того, создает
ориентацию (р#A<7)) и выстраивание (р#B<7)) на уровнях
р=т, п. С дипольным характером взаимодействия связано и то
обстоятельство, что в формулы A0.32), A0.33) из всех значений
Гн входит только r=Ti—константа релаксации дипольного
момента, описываемого элементом матрицы плотности pmn(xg) со
значением х=1.
Полевая часть распределения поляризационных моментов по
скоростям, как и в модели невырожденных состояний,
представляет собой резкую структуру в виде провала (пика) Беннета,
полуширина которого равна Г, т. е. характеризуется константой
релаксации дипольного момента. Амплитуды провалов и пиков
пропорциональны временам релаксации 1/Г^ поляризационного
момента ранга х.
Член, пропорциональный Атп(к) в A0.33) и обусловленный
спонтанными переходами по каналу m->n, приводит к
эффективному изменению времени релаксации поляризационных
моментов уровня п. Для рпп@0) это время эффективно
уменьшается, для рппЫя) с х^1 возможно как уменьшение, так и
увеличение времени релаксации (см. § 3).
Выражение для работы поля, вычисляемой по формуле
B.33), в приближении Г<СЛ? имеет вид
Р(Q) = 2fecoRe2Юо{pLA о)> = -2%u>Nmn^ еЧ>[- (^г)*]*
X fIG I2 - Т 21 / (**> I2 [jN + Г1 - P^«™aJ\ A0.35)
|G|2 = 2|Ga|2.
О
Изменения в P(Q), связанные с вырождением состояний,
относятся главным образом к нелинейной части P(Q). Ее
амплитуда оказывается зависящей от большего числа
релаксационных констант, чем в модели невырожденных состояний (см.
A0.21)). Число независимых констант в A0.35) равно восьми:
Другая существенная особенность систем с вырожденными'
уровнями состоит в том, что нелинейная часть P{Q) зависит
от поляризации поля. Так, при линейной поляризации поля
2 В более высоких порядках теории возмущений будут проявляться
большие значения к.

§ 11]
Нелинейные резонансы
159
отличны от нуля следующие компоненты 1{щ) (ось квантования
выбирается вдоль электрического вектора волны):
• /@0)=3-1/2|G|2; /B0)= —B/3I/2|G|2. A0.36)
В этом случае, согласно A0.32), A0.33), поле влияет на
заселенность уровней (pii(OO)) и создает выстраивание (р#B<7)).
В соответствии с этим в выражении для работы поля
присутствуют константы релаксации Г# и Г#. Константа Гл
отсутствует, так как линейно поляризованным полем ориентация
состояний не создается.
Для круговой поляризации излучения имеем (ось
квантования выбрана вдоль волнового вектора)
/@0)=3-I/2|G|2; 7A0)=2-I/2|G|2; /B0)=6"I/2|G|2. A0.37)
Поле круговой поляризации меняет заселенности уровней,
создает ориентацию и выстраивание. В нелинейцой части работы
ноля A0.35) содержится полный набор констант релаксации.
Таким образом, при изменении состояния поляризации поля
изменяется относительный вес членов с различными значениями
и в выражении A0.35).
§ 11. Нелинейные резонансы,
обусловленные провалами Беннета
Простейшим нелинейным резонансом является провал в
графике зависимости работы поля от его частоты при
взаимодействии движущихся атомов со стоячей монохроматической волной.
Представим внешнее поле в виде суммы встречных
бегущих плоских волн частоты w
Е = 4 [*1*-*"-"} + **-«•**>+ к. с]. A1.1)
При таком внешнем поле в атоме протекают более сложные
процессы, чем в бегущей монохроматической волне. Действительно,
в системе координат, связанной с атомом, на него действует
бихроматическое поле, спектральные компоненты которого
имеют частоты ®±kv. Согласно результатам § 7, уровни энергии
атома в таком поле расщепляются на сложную систему
подуровней. На языке матрицы плотности это обстоятельство
означает, что в лабораторной системе координат матричные
элементы рл(г) представляют собой на'бор пространственных
гармоник с периодами K/s E=1, 2, 3...), определяемыми длиной
волны Я,. В частности, заселенности уровней оказываются
пространственно промодулированными с периодом Я/2.

160
Провал Беннета
[Гл. IV
Рассмотрим подробней данный вопрос в модели
релаксационных констант и невырожденных состояний. Пусть поле A1.1)
резонансно переходу т—л, тогда
- Vmn - G.e-*0'-^ + Gze-*at+,"\ GU2 = 4a«*k\ A1.2)
Элементы матрицы плотности разложим в ряд Фурье
Р*(г) = 2^*'; 9mn[(r) = e-iQ'2p8eisftr. A1.3)
3 s
Для коэффициентов разложения имеют место уравнения
(Tm+2iskv) pm2s = qm8s0 — i [Gip2s+i — Grf^s-i +
+ G2p2s— 1 — G2p—2s+iJ '»
(Tn + 2isfcv) pn2s = gn88l + Amnpm29 + i [G*P2s+i — GxpL2s^i +
+ G2p2s-i — G2pl2s+i]; A1.4)
[Г - i (Q - Д) + i Bs + 1) kv] p2s+1 = - i [Gx (pm2s - pn28) +
+ G2 (pm2s + 2 — Pn2s+2)b
Для заселенностей отличны от нуля четные пространственные
гармоники, для недиагонального элемента — нечетные.
Нетрудно видеть, что уравнения A1.4) представляют собой цепочку,
в которой связываются гармоники различных порядков. Эта
связь исчезает лишь при Gi=0 (или G2=0), т. е. когда есть
только одна из бегущих волн.
Аналитическое решение уравнений A1.4) возможно лишь
в некоторых частных случаях. Один из них, отвечающий точному
резонансу (Q—Д = 0) и равенству констант релаксации (Г=
=Гт=Гя), сводится к задаче о бихроматическом поле G.18),
рассмотренной в § 7. Другие связаны с тем, что при некоторых
условиях амплитуды гармоник падают с увеличением их
номера и цепочка уравнений A1.4) может быть оборвана на
некотором этапе. Так, например, обстоит дело при большом
различии амплитуд G\9 G% встречных волн. Для сильно
отличающихся констант релаксации и при выполнении условия
|01|ЧЧ02|2<|Г-Гт||Г-Гп| (Ц.5)
решение можно построить как ряд последовательных
приближений [3, 4]. При релаксации за счет спонтанного распада
такие условия отвечают разобранным в § 7 (см. G.23)).
Эффекты, обусловленные высшими пространственными
гармониками в р#@> оказываются очень важными в ряде
физических задач. К таковым относятся задачи о спектральной
плотности спонтанного испускания (гл. V), о поглощении
пробного поля, о конкурентных резонансах мощности в кольцевых
лазерах [5, 6] и др. Существует, однако, круг вопросов, кото-

§ 11]
Нелинейные резонансы
161
рые с удовлетворительной точностью могут быть решены с
помощью упрощенного варианта уравнений A1.4). В основе
упрощения лежат следующие физические представления. При
выполнении неравенства A0.2) атом за время жизни на уровнях
m, п пролетает значительное число длин волн, причем релакси-
рует монотонно во времени. Для заселенностей уровней
существенную роль в данном случае играет средняя по
координатам интенсивность поля, т. е. переменная в пространстве часть
Pij(r) мала по сравнению с постоянной. Эти соображения
позволяют полагать р,,(г), независящими от координат, a pm«(r)
искать в виде
ртя (г) = е-™ (p+e"'+p-e-«'), A1.6)
что означает удержание в уравнениях A1.4) только низших
пространственных гармоник
ГтРтт = qm (v) - 2Re [i (G^ + G2V)];
I>nn = qnSp) + Amn9mm + 2Re [i (g;P+ + G2p_)]; A1.7)
[T—l (Q—Д IPkv) ] p± = — iGU2 (Pmm—Pnn) .
Уравнения A1.7) удовлетворительно описывают, в частно-
сти, такую характеристику, как работа поля
Р = - 2йюКе <i (Gip+ + G2p _)>,
выражение для которой легко вычисляется из A1.7)
/> = _2йю(ЛГт-#п)Х
X / ?l\Ql\*x{v)+\G%\*x{~9)]W(i»
\ + 2t(^ + ^-t^)i\G1\*x(v) + \G2\*x(-v))'
\ т п т п J
x(v) = [Г2 + (Q - А - kvJr{. A1.8)
В условиях Г=Гт=Г„, Q—А=Атп=0 точное выражение для
Р, полученное на основе результатов § 7 (см. задачу 16),
отличается от приближенного выражения A1.8) на 10-=-15% [3].
Более того, строгое численное решение уравнений A1.4) при
произвольном соотношении между константами релаксации
и Q—д=^о [7, 8] показывает, что и здесь расхождение с A1.8)
не превышает 15%. Это значит, что физические соображения,
приведшие к уравнениям A1.7), оправданы.
Разумеется, область применимости уравнений A1.7)
ограничена и это нельзя упускать из виду при анализе конкретных
явлений.
В приближении первых нелинейных поправок из A1.8)
следует
Р = - 2fc<o (Nm - Nn) Г (w (v)(\ Gt \*x (v) + | Ga \*x (- v)) x
" 0(|O1|1x(tF) + |O1|«x(-fF))J^. A1.9)
1 m n x m и

162
Провал Беннета
[Гл. IV
К такому же выражению приходит значение работы поля,
полученное из точных уравнений A1.4) методом
последовательных приближений (по | C?i, 212) и усредненное по координатам.
Будем предполагать выполненным условие Г<С&г>> тогда
Р = - 2йсо (Nm - Nn) 1| ехр[- [^f][\ G, I2 + | G2|* -
Г [Гтп + Tn ГтГп Д' X ' + ' 2 ' + Г2 + <й " ЛJ1Г
A1.10)
Члены, пропорциональные \Gi\2 и \G2\2, представляют
линейную часть работы поля. Результат взаимодействия с
отдельными волнами входит в эту часть аддитивно. Как функция Q, она
представляет собой обычный допплеровский контур, как и при
взаимодействии с бегущей волной. Остальные члены в A1.10)
обусловлены нелинейными эффектами и приводят к
уменьшению Р. Члены, пропорциональные |Gi|4 и |(?2|4, ответственны,
очевидно, за взаимодействие с каждой из волн по отдельности
и ведут к пропорциональному уменьшению Р. Аналогичный
член будет фигурировать в выражении A0.21), если A+н)/2
разложить в ряд и ограничиться первой поправкой.
Последний член в A1.10). отличен от нуля в сравнительно узком
интервале значений Q—А, т. е. имеет вид провала в графике
-P(Q), расположенного около Й=А и имеющего полуширину Г
(рис. 4.3). Пропорциональность данного члена произведению
Рис. 4.3. Зависимость
работы поля стоячей волны
от частоты.
Q-A
|GiG2|2 свидетельствует о том, что за него ответственно
совместное воздействие на атом обеих встречных волн.
Для того чтобы разъяснить природу провала в графике
-P(Q), обратимся к выражению для разности заселенностей.
Принимая в расчет первые нелинейные поправки, из A1.7)
можно получить8
Pmm-Pnn = Wm-Nn)W(v)
[ \ m n го n/
X
(г2
+ ¦¦
+ (а-д-*0JПг2 + (о-д + *
>»>')}
A1.11)
3 Формула A1.11) совпадает с выражением pmm —Рпп, полученным из
A1.4) методом последовательных приближений (по \G}2) и усредненным по
координатам.

§ 11]
Нелинейные резонансы
163
Распределение по скоростям содержит два провала Беннета,
расположенных симметрично относительно точки kv=Q.
Каждый из -провалов обусловлен взаимодействием с одной из
бегущих волн. Если |Q—Д|>Г, то провалы практически не
перекрываются. Это означает, что волны взаимодействуют с
различными группами атомов. При |Q—Д|~Г провалы Беннета
начинают перекрываться и при Q—А=0 происходит наиболее
полное их перекрытие. В таких условиях обе волны
взаимодействуют с одной и той же группой атомов, в связи с чем
нелинейный эффект увеличивается. Именно этому обстоятельству
(перекрытию провалов Беннета) и обязан своим
происхождением провал в графике P(Q).
Обратим внимание на то, что форма провала в P(Q)
совпадает с формой одного из провалов Беннета. Такая
корреляция между формой спектральной линии и распределением за-
селенностей по скоростям не является спецификой только
разобранного случая. Как будет видно далее, она характерна
и для более сложных механизмов релаксации и в иных
радиационных процессах. Данное обстоятельство важно с той точки
зрения, что контуры нелинейных резонансов дают информацию
о такой физически наглядной, но непосредственно не
регистрируемой характеристике, как распределение по скоростям.
Провал в P{Q) имеет ширину, значительно меньше доппле-
ровской, поэтому его можно выделить на фоне допплеровской
линиц даже при относительно малой амплитуде. Параметры
провала (полуширина Г и сдвиг максимума А) характеризуют
отдельный атом.
При увеличении интенсивности поля в соответствии с уш.ире-
нием провалов Беннета (см. A0.11)) происходит уширение и
провала в графике P(Q). Полагая |Gi|2=|G2|2=|G|2
(стоячая волна), из A1.8) в результате усреднения по скоростям
получим
P(Q) = -2no>(Nm-Nn)^e~^ ^L/(Q-A);
ГЦ 1/2
/(Q-A)-[l + / + r«-P
i + y'-blAl+yy-^)8
„_ Q-a . ., ._2|б|«/ l . l V\
A1.12)
Данная формула справедлива при условии TVl+X'CA», т. е.
когда полуширина провалов Беннета Г8 мала по сравнению с

164
Провал Беннета
[Гл. IV
kv. От результата независимого взаимодействия с каждой из
бегущих волн формула A1.12) отличается фактором f(Q—А),
который имеет селективную зависимость от частоты с
эффективным интервалом уж\ и описывает провал в Р(Й), причем
т = /Щ;/(<*>) = i. A1ЛЗ>
Таким образом, провал в P(Q) уширяется по тому же закону,
что и провал Беннета в бегущей волне.
Вследствие зависимости ширины провала от интенсивности
поля формула A1.12) непосредственно не применима для
описания полевого уширения в системах с вырожденными
состояниями. Однако в условиях, приведших к формуле A0.24)
(отсутствие деориентирующих столкновений, пренебрежение
спонтанным распадом m->-/i), правильный результат можно
получить после следующей модификации выражения A1.12).
Величину |G|2. надо заменить на
| G (М) | »= | G | \1тМ 1п-М+а 11о>2,
где о=0, 1 при линейной и круговой поляризациях поля
соответственно, после чего следует просуммировать A1.12) по М.
Полученный в итоге контур P(Q) будет содержать провал,
который представляет собой совокупность провалов с
полуширинами ГУ1+и(Л1), характеризующими отдельные переходы
JmM^*-JnM'. Очевидно, что форма суммарного провала зависит
от степени вырождения уровней, типа перехода т—п
(соотношение между Jm и /п) и от поляризации волны.
Существенное влияние на форму линии P(Q) оказывают
и деориентирующие столкновения. Примем модель «изотропных
столкновений и вычислим первые нелинейные поправки подобно
тому, как это сделано при выводе формулы A0.35) в случае
бегущей волны. В уравнениях B.37) для матрицы плотности
введем поле A1.1) и оставим низшие пространственные
гармоники, т. е. предполагаем р#, не зависящими от координат, а
величины pm«(r, t) и Ulnn(r, t), зависящие от координат и
времени,— имеющими следующую структуру:
UL (г, t) = (?4+e-i(Q<-ftr) + GLe-m+kr);
Ртп (г, t) = p+ne-m-kr) + рыГ**™; A1.14)
P&. (Щ) = (- l)Jm_Jn+9p^ (и - Я).
Явный вид матриц Gmn определен формулой A0.30), где
вместо Gmn„ следует подставить Gmno> при этом условимся
обозначать
Gmna =~- <$ Хо^ти^ = G{Q\ Gmna = <§Г 2<Дптг/2Й — ^2а-

§ 11]
Нелинейные реэонансы
165
кд
Уравнения B.37) для матрицы плотности приобретают вид
ГтРтт = Qm^ &)/УЩТ~1 - i [б%+р+п + GZTPmn -
— Gmn Pnm — Gmn Pnm\ \ A1.15)
гпрПп = Qnw (v)/V2J7+T+AmnPmm - i [atiP+m +
+ Gmn pnm v/nmPtnn — Gnm pmn] >
[Г + lA -/(ОТ Щ I) p*n = - I [G^pmm - вир™]-
Элементы матриц Г^, Г.+/А определены формулами A0.27),
A0.28).
• Решение уравнений A1.15) находится вполне аналогично
решению уравнений A0.26). В частности, для работы поля
можно получить формулу (ср. с A0.35))
Р (Q) = - 2fe©Re2 i <Olopin (la) + G^P™ (lo)> =
a
= - 2%<oNmn 10e-*-»*^2 J2 (, Gio P + | G2o (•) -
- -Г 2 [l 7i (*?> I2 + 172 И) I2 + 2/i to) '2 (x?) r. + (Q-A).] X
am* ,flnx ^ron M „ Л 1) П1 1A\
Члены, содержащие |Gia|2, |G2a|2, |/i ,2(>w) |2, отвечают
взаимодействию с каждой из бегущих волн в отдельности
и имеют очевидный аналог в формуле A0:35). Член, содержащий
произведение Ii(nq)ll(Kq), обусловлен пересечением провалов
Беннета в распределении поляризационных моментов р#(х<7) по
скоростям и описывает провал в графике P(Q). Провал имеет
лорентцеву форму с полушириной Г, определяемой релаксацией
наведенного дипольного момента (точнее, элемента матрицы
плотности pmn(nq) со значением х=1). Как видно из A1.16),
форма провала в приближении слабого поля не зависит от
поляризации поля. Однако изменение поляризации приводит, к
изменению амплитуды провала, причем при разных
поляризациях амплитуда определяется разным набором релаксационных
констант IV Атп(к). Так, при линейной поляризации поля,
согласно A0.36), амплитуда провала содержит константы
релаксации заселенностей уровней (и=0) и выстраивания (х=^
=2). При круговой поляризации добавляется константа
релаксации ориентации (см. A0.37)).
Отметим, что формула A1.16) описывает произвольные
состояния поляризаций встречных бегущих волн (эллиптическая,
естественная). Если встречные волны поляризованы одинаково,
то /, (x<7)=/2to) и в выражении A1.16) величина 1+Г2/[Г2+

166 Провал Беннета [Гл. IV
+ (Q—АJ] выносится за знак суммы по х, д. Следовательно,
в данном случае зависимость от частоты нелинейной части
работы поля подобна таковой в модели невырожденных
состояний. % •
Наличие нелинейного резонанса в спектре усиления или
поглощения стоячей волны приводит к резонансной
особенности в графике зависимости выходной мощности газового ОКГ
от частоты генерации. Не претендуя на детальное рассмотрение
многочисленных процессов, происходящих в лазерах, разберем
самый простой вариант одномодового лазера. Пусть все потери
излучения обусловлены его выходом через одно из зеркал
резонатора. Тогда в стационарных условиях энергия, излучаемая
активными частицами в единицу времени с единицы
поперечного сечения активной среды, равна плотности потока мощности
(вектору Пойнтинга)
-P(Q)l = izl*P(l-r)9 A1.17)
где г — коэффициент отражения зеркала, / — длина активной
среды лазера, Р(?1) —работа поля в единицу времени в
единице объема. Для величины P(Q) воспользуемся самым простым
выражением A1.10), полагая в нем |G!|2= |G2|2= |G|2.
Соотношение A1.17) после этого может быть приведено к виду
V m п m п I 14- =-
4 ' l^ T2 + (Q-AJ
Равенство A1.18) определяет стационарное значение
интенсивности генерируемого излучения. Величина ц имеет смысл
превышения усиления в активной среде над потерями за счет
выхода излучения из резонатора. Генерация возможна при г)>1
и осуществляется при изменении частоты излучения в пределах
(Q—AJ/(kvJ<.r\— 1. Соотношение A1.18) справедливо при
условии т|—1<1, вытекающем из того, что выражение A1.10)
для работы поля имеет силу при малом параметре насыщения
(х<1). Как функция частоты4, мощность генерации показана
на рис. 4.4. На относительно широком контуре возникает
провал, связанный с резонансным членом в знаменателе A1.18).
Этот провал носит название провала Лэмба. Он возник
благодаря провалу в графике работы поля A1.10) как функции
частоты, т. е. обусловлен пересечением провалов Беннета в
распределении заселенностей по скоростям. В приближении
4 Частоту излучения можно сканировать, изменяя, например, длину
резонатора.

§ 11]
Нелинейные резонансы
167
T<^ikv^y\—1 провал Лэмба имеет полуширину У2Г. В
рассмотренной модели его контрастность (отношение амплитуды про-
вала к максимальной амплитуде контура и(й)) составляет
1-4-(Ч
¦«(•^•[Ks + h-D^jT-i
A1.18а)
и достигает значения 1/2 при (т] — 1)(-jt-) > 1.
В реальных лазерах контрастность провала Лэмба всегда
меньше, чем вычисляемая по формуле A1.18а). Этот факт
обусловлен изменением скорости атомов в результате пленения
излучения или столкновений, вследствие чего провал
«замывается». В ряде случаев (особенно это характерно для лазеров на
колебательно-вращательных переходах молекул) провал
Лэмба настолько невыразителен, что мощность генерации как
функция частоты имеет вид практически гладкой кривой без
резонансных особенностей.
Если внутрь резонатора лазера поместить нелинейную
поглощающую ячейку с тем же газом, что и активный компонент
рабочей среды, либо с другим, но имеющим переход с 'близкой
боровской частотой, то график мощности генерации, кроме
провала Лэмба (если он есть), будет содержать дополнительный
резонанс, параметры которого связаны с характеристиками
перехода поглощающего газа. Работа поля в формуле A1.17) в
данном случае будет складываться из отрицательной части за
счет усиливающей активной среды и положительной части за
счет поглощения в нелинейной поглощающей ячейке
P=Pi+P«; Pi aieKpf-(^^I]|*r|e[l-P1(QI)|jrP];
P,«CHeip[-(S^)i]|jrP[l-MQJlJrPb (ИЛ9)
где индексы 1, 2 относятся к усиливающей и поглощающей сре-
A-11
(9rA)/hv
Рис. 4.4. Зависимость мощности
генерации от частоты.
Рис. 4.5. Характерный график
зависимости от частоты мощности генерации
лазера с нелинейной поглощающей
ячейкой.

168
Провал Беннета
[Гл. IV
дам соответственно. В модели, отвечающей формуле A1.10):
Pl.2 №0 = Р1.2 {1 + Г?.2/[Г?.2 + (Q - Ai.2J]}-
Величины ai,2, Pi,2, не зависящие от частоты, можно найти из
соотношений для работы поля, приведенных выше. Необходимо
помнить, что площади поперечного сечения пучков в
поглощающем и усиливающем элементах лазера могут быть различны,
и тогда аир должны включать в себя отношение указанных
площадей.
Аналогом соотношению A1.18) служит следующее:
|ff|*_ ц~~ * ~" а*,а* ~(Ql — А1J/(^J ; A1.20)
Pi№i)-?Pi№i)
Помимо обычного провала Лэмба, график зависимости
мощности излучения от частоты содержит дополнительный
нелинейный резонанс, описываемый членом [fe(Q) и имеющий вид пика
с полушириной Г2. Максимум пика расположен на боровской
частоте атомов в поглощающей ячейке. Она не совпадает,
вообще говоря, с частотой перехода для усиливающей среды.
Характерная зависимость \<$\2 от частоты при v\ttv2
приведена на рис. 4.5. Полуширина пика Гг может сильно
отличаться от полуширины провала Лэмба. Если активные компоненты
усиливающей и поглощающей сред различны по природе, то
отличие полуширин пика и провала может быть весьма
большим.
Лазеры с нелинейной поглощающей ячейкой широко
применяются в физических исследованиях. Это связано с тем, что
в отличие от активной среды лазера условия в поглощающей
ячейке могут варьироваться в значительно более широких
пределах без особых изменений в режиме генерации. В частности,
а таких лазерах получены чрезвычаййо узкие нелинейные резо-
нансы, с помощью которых исследован ряд тонких
физических эффектов с высокой степенью точности, осуществлена
стабилизация частоты лазерного излучения. Сведения о
конкретных применениях лазера с нелинейной поглощающей ячейкой
и физических результатах, полученных с его помощью, можно
найти в монографии [6].
Из уравнений для матрицы плотности следуют соотношения
<Pmm(v)> = Nm + JlrP; <9nAv)> = Nn-l~*™/T" P.
A1.21)
где <pji(y)> — интегральные по скоростям заселенности уровней
/=т, п. В системах с вырожденными уровнями под (ря@)>

* 12]
Столкновения и провал Беннета
169
следует понимать полную заселенность уровня /72 <Р (/М,/А1)Д
\м J
а под Г,-—константу релаксации заселенности, т. е. Tix при
х=0.
Таким образом, все особенности, которые несет на себе
работа поля Р, полностью переносятся на интегральные
заселенности комбинирующих уровней. С другой стороны,
заселенностью уровня определяется интегральная (по частоте)
интенсивность спонтанного испускания с данного уровня. Например, на
переходе т—1 (/ — любой .из нижележащих уровней) число
фотонов, испускаемых в единицу времени, определяется
соотношением
u>mi = Aml <Pmm> = Aml \Nm + ^Цт- Р\. A1.22)
L ml м J
График зависимости wmX от частоты содержит постоянную
составляющую AmlNm и контур, пропорциональный зависимости
работы поля от частоты. Следовательно, все результаты,
полученные выше для работы поля Р, переносятся на интенсивность
спонтанного испускания с комбинирующих уровней т, п. В
частности, при взаимодействии со стоячей волной в графике
wml(Q) содержится нелинейный резонанс, обусловленный
пересечением провалов Беннета.
Заметим также, что спонтанное испускание поляризовано,
если атомные состояния, возмущенные полем, вырождены [9].
Измерение интегральной интенсивности спонтанного
испускания атомов, находящихся во внешнем сильном поле, как метод
исследования предложено в работе [10]. Дамный метод одним
из первых применен для решения спектроскопических задач:
для измерения коэффициентов Эйнштейна [10, 11], определения
сечений неупругих процессов при столкновении атомов с
атомами [12] и с электронами [13], для исследования деориентирую-
щих столкновений {см. [2]), вращательной релаксации,
сверхтонкого расщепления и других целей (см. [3, 6]).
§ 12. Влияние столкновений на провал Беннета
и нелинейные резонансы
В предыдущих параграфах нелинейные явления
рассматривались в предположении, что столкновения не приводят к
изменению скорости, вследствие чего их влияние может быть
описано с помощью констант релаксации. Вместе с тем из общих
соображений вполне ясно, что упругое рассеяние должно самым
существенным образом проявляться в структуре нелинейных ре-
зонансов. Действительно, селективность взаимодействия атомов
с когерентным внешним полем обусловливает появление не-

170 Провал Беннета [Гл. IV
равновесной части распределения атомов по скоростям
(структура Беннета, § 10).
Вследствие изменения скорости при столкновениях атомы
«уходят» из интервала скоростей, отвечающего эффективному
взаимодействию с полем. Наоборот, та часть атомов, которая
практически не испытывала воздействия поля, в результате
столкновения может получить резонансное значение скорости
и принять благодаря этому участие в вынужденных переходах.
Следовательно, изменение скорости излучающих атомов при
столкновениях с возмущающими, равновесно распределенными
частицами (термостат) в той или иной мере изменяет
структуру Беннета, что проявляется, например, в контуре провала Лэм-
ба, по существу копирующего распределение по скоростям
(см. § 11).
Помимо непосредственного воздействия на распределение по
скоростям упругие столкновения приводят к частотной
модуляции дипольного момента атома, сказывающейся на форме
спектральных линий, как показано в § 6. Последнее
обстоятельство также должно, очевидно, найти отражение в контурах
нелинейных резонансов.
Многообразие проявлений упругого рассеяния в нелинейной
спектроскопии частично обусловлено сложностью индикатрисы
упругого рассеяния. Согласно § 5, в типичных условиях
атомных столкновений дифференциальное сечение рассеяния
слагается из трех частей: практически изотропного рассеяния,
классического рассеяния на сравнительно небольшие углы
(порядка отношения энергий взаимодействия и теплового
движения) и резко селективного, дифракционного рассеяния.
Последняя часть характеризуется углом (см. E.61) и далее)
АОдиф ~ */Pw; X = Й/|ш,
где X — длина волны де-Бройля, pw — радиус Вайскопфа.
Соответствующая компонента ядра интеграла столкновений
обладает шириной
или (в пересчете на допплеровский сдвиг частоты)
ks ~ -2*. « 0,6 Jt- [МГц].
bmpw KMpw
В последнем равенстве К — длина волны, выраженная в мкм,
О
ртг — радиус Вайскопфа в А, М—атомный вес. Если М=20,
о
pw=10A; А,= 1 мкм, то ^«ЗМГц, т.е. оказывается сравнимой
с шириной отнюдь не самых узких резонансов.
Таким образом, в отличие от уширения спектральных линий
в условиях равновесного распределения по скоростям (§ 6)

§ 12]
Столкновения и провал Беннета
171
форма нелинейных резонансов должна быть чувствительна к
самым тонким эффектам упругого рассеяния, не говоря уже
об изотропном рассеянии 5.
В математическом отношении анализ роли упругого
рассеяния сравнительно сложен, поскольку речь идет о решении
системы интегродифференциальных или интегральных уравнений.
Соответствующий аппарат не применялся для решения задач
линейной спектроскопии и потому в недостаточной степени
освоен. Этим обстоятельством объясняется большое внимание к
методическим вопросам в последующих главах книги.
Анализ влияния упругих столкновений с изменением
скорости начнем с простейшей модели невырожденных состояний.
Прежде всего рассмотрим резонансное взаимодействие атомов
с плоской монохроматической бегущей волной. Отказываясь от
предположения о малости изменения скорости при
столкновениях, приводившего к модели релаксационных констант, вместо
A0.7) будем иметь уравнения
Bу* + vy) р„ (V) - q, (v) =f 2Re [4G*p [v)\ + Amnpmm (v) 8Jn +
+ §A„{v\v1)p„{vi)di>u j = m,n; A2.1)
[y + v -i (Q - kv)\ p {v) = - IG [pmm (v) - pnn (*)] +
+ \A(v\vi)p(v1)dvl;
vj^^AjjiVtl^dVii v = $A(v1\v)dv1;^ A2.2)
1f = T»4-T»; vjssva; v=vmn\ ri=2^+vi-^vi;
Г+fA—j+v—v, A2.3)
где частоты ухода v>, v я ядра интегралов столкновений А#, А
олределяются общими формулами § 4, 5. Остальные
обозначения в A2Л) те же, что и в A0.7). Упругие столкновения с
изменяем скорости описываются в уравнениях A2.1)
интегральными по скоростям членами прихода.
При использовании метода итераций по амплитуде
электромагнитного поля решения уравнений A2.1) удобно выражать
через функции Грина, удовлетворяющие уравнениям
BTi + s,)F„(vW) = J A„{v\vx)Fjj{<ol\v')dv1 + 6(v-*yy
A2.4)
[y + v-i(Q-kv)]F(v\v') = $A(v\v1)F(vl\v')dvl +
+8 (*-*'). A2.5)
5 Первое указание на возможное проявление дифракционного рассеяния
в нелинейных резонансах содержится в кратком замечании, сделанном в
работе [14]. После обстоятельного теоретического анализа [3, 15—19] и
соответствующего развития техники эксперимента обнаружены многочисленные и
весьма разнообразные явления, обусловленные изменением скорости при
столкновениях (см. [6, 20]).

172
Провал Беннета
[Гл. IV
Члены итерационного ряда следующим образом выражаются
через функции Грина
p2i+i(fF)=-WjF(«|^)[p^(^-p^(^]^
f?» («) = - 2RetG* J Fmm (v \ v') p*-i (*') dv'; A2.6)
P?» (v) = Amn f Fnn (if | if') p*. (V) dv' +
+ 2Re iG* j Fnn (v \ v') p28 (v') dv'.
В качестве нулевого приближения берутся решения уравнений
A2.1) для- заселенностей в отсутствие поля. Если атомы
возбуждаются с максвелловым распределением по скоростям,
а разность Vj—v$ частот ухода и прихода не зависит от и, то на
основании свойства E.33) ядер интеграла столкновений имеем
pLW = ^ = VW; ri«2v/ + vi-vi;
m
pnn(©) = Y"
Чп («О + т?2 9m («О = NnW (v),
A2.7)
так что столкновения оставляют распределение равновесным.
Величины Т5 включают в^ебя скорости спонтанного распада
и тушащих процессов v,—v*.
Выпишем, исходя из A2.6), A2.7), выражения через
функции Грина для заселенностей уровней и для работы поля,
принимая во внимание первые нелинейные поправки, т. е. в
приближении, которое часто будет использоваться ниже:
Ртлг (V) = NJT (©) - 2 | G |» (Nm - Nn) X
X J Fnm (v | vt) F' (v, | vt) W (©,)*»!*»,;
Pnn(v) = NnW(v) + 2\G\*(Nm-Nn)§Fnn(v\v1)[6(v1-v2)-
- AmnFmm («x | ©,)] F' (v21 ©,) W («,) dVldv2dv3; A2.8)
P (Q) = - 2/гю | G |a (tfra - Nn) {J F' (*| Vt) W fa) dvxdv -
.. - 21G |a J (Fmm fa | vt) 6 fa - vt) + Fnn fa | *2) [8 fa - *,) -
(*« I *зH f' (*I *i) ^' (*з I *4> ^ («4) *A>iA>2 *>a*>4};
F(t;M)=ReF(vM).
Для выяснения вопроса о роли упругого рассеяния
необходимо найти функции Грина.
Уравнение A2.5) для «недиагональной» функции Грина
совпадает с уравнением F.18) для F(vkQ\v'). Решения уравнения
F.18) и физический смысл функции Грина детально обсужда-

§ 12]
Столкновения и провал Беннета
173
лись в § 6. С ее помощью находится выражение для
недиагонального элемента р матрицы плотности не только в линейном
приближении по полю (р1), но и, согласно A2.6), для любого
порядка 25+1 теории возмущений.
Диагональные функции Грина Fjj9 необходимые при анализе
нелинейных явлений, имеют вполне прозрачный физический
смысл. Функция F$i(v\v') описывает стационарное
распределение заселенности уровня / по скоростям v при условии, что
атомы возбуждаются на уровень / с определенным значением
скорости v'.
Из уравнений A2.4), A2.5) непосредственно следует, что
функции Грина Fjj{v\v'), F(v\v') можно записать в следующем
йиде:
^/(•l^)=-2rWe^"^)+^(fF|fF'); A2'9)
П9\*)- ^l^Zl^ + fW), A2.10)
где Fu(v\v')9 F(v\v')— регулярные функции. Таким образом,
функции Грина разбиваются на две части: исходное
распределение 60?—г'), не возмущенное столкновениями, и регулярные
части Fjj, F, характеризующие действие столкновений. Можно
составить некоторое представление об относительной роли этих
частей, если рассмотреть интеграл по v от Fu(v\v'). В случае
независимости частот от v отношение интегралов от
регулярной и сингулярной частей функции Грина F5j(v\vf) равно
\,/Г,-/1,. A2.11)
Формулы A2.9) —A2.11) и последующие результаты находят
простую интерпретацию на «временном языке». Введем с этой
целью понятия средних времен жизни
1 __ 1 1 __ 1 .
7 J J J J A2.12)
xtj = Ti — Ti/ = nJxU-
Время %) есть полное время жизни на уровне /, ограниченное
неупругими процессами (тушением) и радиационным
затуханием; х\} — время жизни на уровне, отсчитанное от момента
возбуждения до первого столкновения с изменением скорости, или
среднее время жизни между двумя последовательными
столкновениями. Наконец, т^ — время, дополняющее тц до полного
времени жизни %if отсчитанное от того момента, когда
столкновением (первым после момента возбуждения) нарушается
исходное распределение по скоростям.
На основе введенных представлений о временах rjf хц9 %%
нетрудно понять смысл соотношений A2.9) —A2.11). Сингуляр-

174
Провал Беннета
[Гл. IV
ная часть входит в функцию Грина F„{v\v') с весом т^ потому,
что Tij — время свободного пробега, в течение которого
скорость атома не изменяется. Интеграл же от регулярной части
отличается от ти в щ раз и входит в функцию Грина с весом
T2j, равным «остальному» времени, когда происходит миграция
в пространстве скоростей вследствие столкновений.
Установленное соотношение между частями функции Грина
непосредственно отражается в распределении атомов по
скоростям. Для формулировки соответствующих выводов нужно
записать решение уравнения A2.1), воспользовавшись
функцией Грина A2.9):
* pmm(V)=NmW(V)— pm\(V)— pm2 (*)',
p»i(«)=Ti«2Re[fG*p(fF)]; A2.13)
Pm* (V) = ftmm (v | V) 2Re [Ю*р (*')] do'.
Согласно A2.9), полевое изменение заселенности разбивается
на две части: pmi(o) и р™2(*>). Первая обусловлена членом
6(tf—V') в Ftnm(v\o') и повторяет по своей форме селективный
«источник» Re[fCf*p(«F)]. Эту часть распределения будем
называть провалом Беннета, сохраняя преемственность с моделью
релаксационных констант. Вторая часть ртг(^), называемая
столкновительной, обусловлена миграцией в пространстве
скоростей из-за столкновений и имеет большую ширину, чем провал
Беннета.
Конкретная форма беннетовского и столкновительного
провалов зависит, разумеется, от явного вида ядер. Однако между
интегральными характеристиками частей pmi(fl) и ртгС*)
существует универсальное соотношение, идентичное A2.11).
Действительно, если частоты столкновений не зависят от v, то с
помощью A2.11) находим
<P«2(«)>/<p«l(«)> = TWTlm = nm A2.14)
(угловые скобки обозначают интегрирование по V). Таким
образом, независимо от конкретной причины упругого рассеяния
отношение интегральных значений столкновительной части
и провала* Беннета равно Ът/тш. Соотношение A2.14)
составляет содержание теоремы площадей6.
Если радиационными переходами т-*~п можно пренебречь
(i4wn=0), то и для распределения по скоростям заселенности
уровня п выполняется соотношение A2.14) с заменой в нем т
на п. В противном случае (АтпФ!0) происходит каскадный
перенос неравновесности с уровня т на п, т. е. помимо
собственной столкновительной структуры в pnn(v) будет присутствовать
6 Распределение pmtn(P) существенно неравновесно лишь для проекции и
йа волновой вектор. С таким одномерным распределением и связано
представление о площади и название теоремы.

$ 12]
Столкновения и провал Беннета
175
структура, обусловленная столкновениями на уровне т (см.
A2.8)). По-прежнему можно рПп(*>) представить в виде суммы
невозмущенной столкновениями части pni(fl) (распределения
Беннета) и столкновительной части рП2(*>), не конкретизируя,
какими столкновениями (на уровне т или п) последняя
вызвана. Для отношения интегральных по скоростям значений
pmip) и Рп2(я) из A2.1) легко получить
<Рп2 (*)>/<Рш (*)> = т$/тЙ; *# = т1п A - Атпх1т);
ТЙ= Т2П A - ЛтпТт) - ТЙ =Ы1 - ^mn^m) - АтпХ1п%2т. A2ЛБ>
Величины T?f, т|п определяют эффективный вес, с которым
входят pni(t>) и рп2(^) в общее распределение по скоростям.
Заметим, что tit может быть отрицательным, т. е. столк-
новительная часть распределения может иметь обратный знак
по сравнению с распределением Беннета. В частности, если
состояние т распадается только в состояние л, то Лтятт=1, и
интеграл по скоростям от рлп(*>), пропорциональный тЙ + '^Sn»
обращается в нуль, что означает знакопеременность той части
распределения pnn(v), которая обусловлена взаимодействием с
полем.
Явное выражение для регулярной части функций Грина
можно получить методом итераций из A2.4), A2.5), принимая
в качестве первого приближения сингулярные части,
с»
Af{v\vf)^lAj3{v\vi)A^ri\1OiW)dvl\ A2.16)
A2.17)
Функция А$(*>|г>') называется ядром /-го порядка. Легко
проверить справедливость соотношения
J4i4*il*)^i=vj.
Величина vJ~lA{$ (tf|tf') представляет собой вероятность (в
обычном смысле) изменения скорости v'—>v в результате /
столкновений или, другими словами, распределение по
скоростям (нормированное на единицу), возникшее из распределения
X

Провал Бевнета
[Гл. IV
8(t>—v') вследствие / столкновений. Очевидно, столкновения
уширяют указанное распределение и потому его максимальное
значение убывает с ростом /. Каждое из таких распределений
входит в функцию Грина F$1pirf) с весом
r/ + W/ + V
1 / Vj ч'
г/+ь \T1+*J/ 2yJ+ v> \2yJ+v'
определяемым произведением времени Bifi+vj) пребывания
атома на уровне / между двумя последовательными
столкновениями и вероятности [vj/^j+vj)]' того, что атом остается на
уровне / вгують до (/+1)-го столкновения.
Сходимость ряда для F# обеспечивается тем, что члены
ряда убывают не медленнее геометрической прогрессии со
знаменателем vj/(rj+Vj)=tti/(l+-ftj). Поэтому эффективное число
членов ряда равно щ. _
По аналогии с щ можно ввести величину п=\'/(ч+х'—v') ¦=
=vVr для недиагональной функции Грина. Эффективное число
членов ряда A2.17) трудно оценить, не зная конкретного вида
ядра A(v/v'). Однако можно показать, что это число не превышает
щ, а фактически может оказаться существенно меньше
вследствие уменьшения множителей [y+v—i(Q—kv)]~l из-за их зави?
симости от скорости и Q.
Если ftj<Cl, то ввиду соотношения E.17) выполняется
неравенство n<Cl; поэтому в формулах A2.16), A2.17) можно
ограничиться первыми членами рядов по /, т. е.
г» <• I •') = фт} [б <• - *') + фт,А» <• I »'>]:
^^l^-v + v-^-^h^-^ + ^^l^} A2-18)
Приближение A2.18) означает учет первых поправок на
столкновения с изменением скорости.
Особый интерес представляет случай больших nh пу когда
члены в Fih F, связанные с изменением скорости, становятся
существенными. Для нахождения функций Грина необходимо,
следовательно, конкретизировать вид ядер Aj^v/vJ, /(Wt>x).
Разумеется, с произвольными ядрами значения сумм в A2.16),
A2.17) вычислить невозможно, поэтому встает вопрос о
моделировании ядер.
Рассмотрим одну из простейших моделей — модель сильных
столкновений, согласно которой после столкновения
приобретается максвеллово распределение атомов независимо от
скорости до столкновения
A»{vlvx) =v]W{v); A (vfa) =yW{v). A2.19)

§12]
Столкновения и провал Беннета
177
С ядрами A2.19) суммирование в A2.16), A2.17) проводится
элементарно
Fjj (v I*') = 5^ЙГ. [«(* - v') + n,W («)]; A2.20)
v>W Г _ С vfr («,)*>, ]-П П2 2П
^Y + v-t(Q-**')L J ?+v-*(Q-*t>i)J J' ^' 1;
Формулы A2.20), A2.21) могут быть получены
непосредственным решением уравнений A2.4), A2.5).
На основе полученных выражений вычислим распределение
заселенностей по скоростям. Имея в виду метод итераций по
амплитуде поля, необходимо вначале найти значение
недиагонального элемента pl(v). Из A2.6) с использованием нулевого
приближения A2.7) и функции Грина A2.21) получаем
р1(я) = - iG(Nm - Nn)$F(v\v')W(v') dv' =
= -iQ{Nm-Nn)y{v)[l-v<y{v»rl; A2.22)
lfW = T + v!!S-^ <V(V)>-SVW*0. A2.23)
Обратим внимание на сходство данного выражения с
выражением F.49). С точностью до замены v—>тУ оба выражения
имеют одинаковую зависимость от Q. Однако в отличие от
F.49) pl(v) определяет форму линии излучения (поглощения)
атомов с заданной скоростью v при условии, что они возбуждены
с максвелловым распределением по скоростям. Тесная связь
pl(v) и выражения F.49) является следствием соотношения
симметрии для функции Грина
F (v\V)W (&) = W {v)F {v' \v), A2.24)
справедливого при любом реальном ядре и вытекающего из
соотношения E.33) для ядер.
После подстановки A2.22) в выражения A2.6) для ра{о)'
с использованием функции Грина A2.20) получаем
Pmm («) = NmW(v)-2\G\* (Nm - Nn) Re{[l - v <y {*)>]-* X
X [tlm у (v) + x2mW (v) <|T(«0>]>; A2.25)
Pnn(v) = NnW(v) + 2\G\HNm^Nn)Rei[l^v<y(v)^]-ix
X [%?ny (v) + xfnW(v) <y(b)>]}. A2.26)
Обсудим выражения A2.25), A2.26) в той их части, которая
обусловлена влиянием электромагнитного поля (полевая
поправка к распределению по скоростям). Согласно общим прин-

178
Провал Беннета
[Гл. IV
ципам (см. A2.13)), полевая поправка представляет собой
сумму распределения Беннета (член, пропорциональный у(*0)) и
столкновительного члена (пропорционального W(v)). Член
прихода в уравнении A2.1) для недиагонального элемента матрицы
плотности обусловил появление в A2.25), A2.26) фактора
[1—v{y(v))]~l, отражающего влияние частотной модуляции.
Этот фактор комплексный, в связи с чем распределение
Беннета в A2.25), A2.26) приобретает дополнительную асимметрию
по сравнению с моделью релаксационных констант, где оно
пропорционально Re [у (v)].
Столкновительная часть распределения характеризуется
зависимостью от скорости согласно максвеллову распределению
W(V), т. в: неселективна по скоростям. Чтобы отразить это
обстоятельство, будем называть ее «полосой однородного
насыщения». Неселективность по скоростям обусловлена принятой
моделью сильных столкновений, в соответствии с которой атом
с любой скоростью в пределах максвеллова распределения
может в результате столкновения приобрести резонансную
скорость и провзаимодействовать с полем.
Отношения площадей полосы и распределения Беннета
равны Т2тп/т1,п и t!*Ai$ в согласии с теоремой площадей (см.
A2.25), A2.26)).
В наиболее интересном случае преобладающего допплеровско-
го уширения (y+v'<C&;), когда распределение Беннета
выделяется в виде резкой структуры, влияние фактора [l—v(y(v))]~l
в A2.25) становится пренебрежимо малым
[1-7<у(Р)>]-^1 + Зрюр+^-<(о-^ A22?)
где w(p) определена формулой F.32). В данных условиях
действие частотной модуляции настолько велико, что с точностью
до поправок порядка\v\/kv можно пренебречь интегральным по
скоростям членом в уравнении A2.1) для р(я), т. е. положить
A(v\v\)=0. Выражение A2.25), например, после этого примет
вид
Pmrn(v) = NmW(v)-2\G\*(Nm-Nn)W(v)x
X[Tlm (y + v')*-\-(Q-V'-kv)* +T2mlfe ^ J* A2-28)
Распределение Беннета, как и в модели релаксационных
констант, имеет лорентцеву форму. Однако полуширина его
равна fm+Yn+v'. Зависимость Ym+Tn+v'^r+v7 от
концентрации возмущающих частиц определяется частотой ухода v', а не
разностью v'—v', как в модели релаксационных констант.

§ 12]
Столкновения и провал Беннета
179
Приведем выражение для разности заселенностей уровней,
необходимое при вычислении работы поля. Из A2.28) следует
Ргпгп (V) - рпп (V) = W (v) (Nm - Nn) х
A2.29)
Tl = Ты-f Tin A —АтпХ\т) ; Т2 = Т2п ( 1 —АтпГт) +Т2т ( 1 Атп%Хп) .
Величину ti можно рассматривать как эффективное время
взаимодействия с полем с момента возбуждения до первого
столкновения с изменением скорости (независимо от того, на каком
из уровней находится атом). Величина тг имеет смысл времени
взаимодействия с полем после первого столкновения до момента
тушения обоих уровней.
Амплитуда полосы однородного насыщения относится к
амплитуде провала Беннета, как
Несмотря на малую величину (li+v')lkv, значение отношения
A2.30) может быть весьма значительным за счет фактора тг/ть
Большое его значение характерно для систем, в которых
сечения неупругих процессов существенно меньше сечений упругих.
Выражение для работы поля Р в приближении первых
нелинейных поправок находится подстановкой значений
заселенностей A2.25) и функции Грина A2.21) в выражение A2.6) для
р3, после чего в соответствии с определением Р получаем
Р = - 2Й6) Re {iG*p} = - 2П(о | G |2 (Nm - Nn) х
В предельных случаях y+v'—v>kv в Tf+v7<A» имеют место
следующие простые выражения для Р:
Y + v'-v'>to: P=-2hu\G\2{Nm-Nn)x
х{га + (а_АJ-2|0|2(-гг + т2)[га+^_А)а]2}, A2.32)
Г + *Д = Т» + V» + v — v;
T + v'<to: P=-2h«>\G\3(Nm-Nn)x

180
Провал Беннета
[Гл. IV
В первом случае столкновения с изменением скорости никак себя
не проявляют, т. е. к формуле A2.32) можно прийти, полагая
в уравнениях A2.1)
Ajj {v | vx) = v78(v - vt)y A (v | vx) = v6 (*> - vx).
Это вполне естественно, ибо при выполнении условия V^>kv
взаимодействие с полем неселективно по скоростям.
В обратном предельном случае A2.33) времена х\ и тг по-
разному проявляются в зависимости P(Q) от частоты. Член,
пропорциональный тг и описывающий полосу однородного
(неселективного) насыщения, имеет несколько иную зависимость
от Q, чем остальные члены. Таким образом, сильные
столкновения обусловливают деформацию нелинейной части работы
P(Q). В этом отношении можно констатировать отличие от
результатов, полученных в рамках модели релаксационных
констант, где при любой интенсивности внешнего поля линия
сохраняла допплеровскую форму.
Если v"=t^0, то линейная (по |G|2) часть P(Q) представляет
собой асимметричную функцию частоты (см. формулу F.60)
и ее обсуждение). В частности, функция
Re {<у <*)> [I - (? + iV) <y(v))]^\
достигает максимального значения при (см. задачу 17) й=
=v"—2v", хотя центр тяжести ее расположен при Q=v".
Выясним теперь влияние сильных столкновений на
простейшие нелинейные резонансы, связанные, со взаимодействием
атомов и стоячей волны. Как и при выводе уравнений A1.7),
будем пренебрегать эффектами пространственной модуляции за-
селенностей. В соответствии с рассматриваемой задачей
исходим из уравнений, содержащих интегральные по скоростям
члены
Bт/ + v7.) 9„ (v) = qs (v) =f 2Re[«?!p+ (v) + iG*2p^ (v)] +
W^n + J Ajj (v \Vi) Pjj (vx) dVi; A2.34)
IT + V ~ i (Q =F kO)] P± {V) = - «?li2 [Pmm («0 - 9nn W +
+ §A{v\v1)p±{v1)dvv
Обозначения, принятые в A2.34), аналогичны таковым в A1.7).
Анализ взаимодействия с бегущей волной показал, что при
выполнении условия 4+v'<g.kv, оптимального для выделения
нелинейных резонансов, член прихода недиагонального
интеграла столкновений дает к ним незначительные поправки (в
модели сильных столкновений). Поэтому при решении уравнений
A2.34) в модели сильных столкновений будем сразу полагать

§ 12] Столкновения и провал Беннета v 181
A(v\v\)—07. Тогда в соотношениях A2.6), определяющих
заселенности, вместо iG*p2s-] (v') войдет величина
^ [у + v — i (Q — ta>) + 7 + v — / (Q + ta>)J LP«im 2 (^ ) "" Pn^~2 (* )J"
A2.35)
Диагональные функции Грина F5i(v\v') в A2.6) даются
выражением A2.20).
Повторяя стандартную процедуру вычисления работы поля,
в "приближении первых нелинейных поправок получим
P(Q)=-2rm(Nm-Nn)??e ^ > [|Gx|» + |G2|2 -
-[(lQ>r + lo.l< + 2|o>Q,|'(T + y+^_^)^y +
+ *|f (,0lJ. + |G8p)Haexp[- (^/]]). A2.36)
Столкновения с изменением скорости привели к следующей
модификации контура линии P(Q) по сравнению с моделью
релаксационных констант (ср. A1.10) и A2.36)). Провал в
графике P(Q) имеет по-прежнему лорентцеву форму, однако его
параметры (полуширина и амплитуда) определяются иными
характеристиками по сравнению с выражением A1.10).
Полуширина ifm+Tfn+v' равна сумме радиационной полуширины и
действительной части недиагональной частоты ухода v, тогда как в
модели релаксационных констант в полуширину провала входит
v'—V. Амплитуда провала в A2.36) пропорциональна времени
взаимодействия с полем х\ между двумя последовательными
столкновениями, а не полному времени взаимодействия
T = T1 + T2 = -!- + f(l-^2,l
как в A1.10). Столкновения с изменением скорости привели к
появлению спектральной структуры, пропорциональной тг,
которая в модели сильных столкновений имеет гауссову форму
ехр — 2 / Т | I и обусловлена полосой однородного
насыщения в распределении заселенностей по скоростям (название
«полоса» сохраним за соответствующим членом в P(Q)).
Все части выражения A2.36) как функции Q достигают
максимального (или минимального) значения в точке Q1=v//. Од-
7 Впрочем, ^мнимая часть члена прихода обусловливает интересные
эффекты даже при |v"| <kv (см. задачу 17 и [31).

182
Провал Бевнета
[Гл. IV
нако при выводе A2.36) не принимался в расчет член прихода
недиагонального интеграла столкновений. Если мнимая часть
частоты прихода отлична от.нуля (v"V=0), то нелинейные
поправки по-прежнему имеют экстремум при fi1=v//. Линейная
же (по ^|2) часть P(Q) максимальна в точке Q2=v"—2v"
(см. обсуждение формулы A2.31) и задачу 17). Напомним, что
в модели релаксационных констант максимум контура линии
отвечает частоте Q=v"—v".
Отношение площади полосы (интеграла по Q) к площади
провала равно
iL»nAil±JAli]2
'2%А |<?А1 Г
V2
т. е. пропорционально отношению эффективных времен та и ть
Амплитуда полосы относится к амплитуде провала, как
Модель сильных столкновений выделена среди прочих
моделей в том отношении, что допускает точное аналитическое
решение уравнения для матрицы плотности при произвольной
интенсивности монохроматической бегущей волны. Предполагая
ядра интегралов столкновений заданными формулой A2.19),
запишем уравнения A2.1) в матричном виде
K(v)p—vW(v) ((>}='? (v)Q. A2.39)
Фигурирующие здесь матрицы определяются соотношениями
'2Ym + vm О Ю* -Ш
-Amn 2Yn + vn -Ю* Ю
ад =
Р =
р* + ikv
A2.40)
0
0
0
0
Умножая A2.39) слева на К-1 (») и интегрируя по скоростям,
находим
<р>.= [E~(K~l(v) W(i))v)-4K-1 (v) W(v) >Q, A2.41)
где ? — единичная матрица. Подставив A2.41) в A2.39), после
несложных преобразований находим
р=К-' (v) [E-v(K~l (v) W(v) >] ~lW(v)Q. A2.42)

5 12]
Столкновения и провал Беннета
183
Матрицы К [E—v(K-l{v)W(v))] и [Е—v(K~l(*)№(*>))] не
являются особыми, поэтому переход от A2.39) к A2.41),
A2.42) законен.
Выражение для K~](v) довольно громоздко (см. задачу 18).
Отметим, что K~l{V) определяет решение уравнений A2.39) в
отсутствие членов прихода интегралов столкновений (v=0)
9=K-i(p)W(v)Q9 A2.43)
что формально отвечает уже исследованному случаю — модели
релаксационных констант (см. § 10).
Относительно простой вид решение A2.42) имеет, когда
столкновения сопровождаются большими фазовыми сдвигами
и можно принять v = 08. Для разности заселенностей и работы
поля из A2.42) следует
Pmm(*)-Pnn(*>) =
1+2t2|G|2<Y"(o)> L (y + v')*(\+x)i-(Q-v" — kv)*\
-(N N ) fw lv\ 2' G |2 Т*У' {v) + 2' G |2 T* <Y'{v)> W {v) 1
— \"m "n)yv\V) H-2|G|2T2 <Y'(V)> У
A2.44)
k=2|g|»t,/(T+v');
P(Q)--2M*»-*»IQP l+affl^rw> - A2'45)
Значения x\ и тг даются формулой A2.29). При Т2=0
(отсутствие членов прихода) выражения A2.44), A2.45) для разности
заселенностей и работы поля формально совпадают с
соответствующими выражениями A0.11), A0.20) модели
релаксационных констант. Изменения, связанные с отличием тг от нуля,
сводятся к умножению разности заселенности и P(Q) на
множитель [1+2|G|2T2A"(<0)}]-1> Hfc зависящий от скорости и
увеличивающий насыщение. В разности заселенностей он приводит
к появлению полосы неселективного (однородного) насыщения.
В соответствии с общей теоремой площадей соотношение
площадей полосы и провала Беннета (см. A2.44)) не зависит от
\G\2 и равно т2/ть Полуширина провала равна ('Y+v/)Vl+x.
8 Величина v строго обращается в нуль, если при столкновении
возмущается только один уровень (см. § 4, 5).

184
Провал Беннета
[Гл. IV
В случае v#0, комбинируя уравнение для р# и р, выражение
для разности заселенностей можно привести к виду
Ртт («О ~ Pnn(«0 = (Nm ~ ^п) X
X {(Г- 2т21 G |» Re[ш {N^__ NJj lW{v)-x{i + v') Г (v)] -
- н (у + v') Re [vK (v) iG{N^Nn)}\ A2'46)
Первый член в A2.46) зависит от v так же, как и при v=0, яв-
лясь четной функцией от Q—v"—ко. Из определения Y(v)
и факта комплексности v и <р) следует, что второй член в A2.46)
содержит как четную, так и лечетную функцию от Q—v"—kv.
В целом провал Беннета оказывается асимметричным, как уже
отмечалось при анализе формулы A2.25), полученной методом
итераций по полю. Характерно, однако, что и при сравнительно
больших полях, но при условии (f+v'jyi+x^/tt?, когда
провал Беннета узок в сравнении с v, второй член в A2.46)
сравнительно невелик, составляя долю порядка \v\/kv от первого.
Это значит, что невелика и асимметрия провала, а выражение
A2.46) при (y+v')V1+x<&; переходит в A2.44).
Выражение для работы поля при уфО громоздко, поэтому
приведем его для частного случая, учитывающего первые
поправки но параметру v/kv
У1 -+- у. kv I V kv I
J/яу' 2J\+x)(y + v') + n\G\*(T1+T2)) A2 47)
Ь]/1-|-х У я kvyi-r*. '* ' '
I (Y+vr)yi+>c—i(fi-v")|«fo-; 2|G|2T2<^yi+.x.
Формула A2.47) описывает поведение P(Q) вблизи максимума
линии, т. е. около точки Q=v"—2v". Как видно из A2.47),
положение максимума контура такое же, как в линейной теории,
и не 'зависит от интенсивности поля в довольно широких
пределах изменения последней. ^
Член, пропорциональный v', приводит к увеличению
интенсивности линии в максимуме, что в свою очередь отражает
эффект сужения линии (эффект Дикке). Увеличение
интенсивности поля (рост х) уменьшает влияние данного члена и,
напротив, увеличивает роль последнего (отрицательного) члена в
A2.47). Таким образом, нелинейные эффекты приводят только
к уширению линии9.
- ¦ i
9 Более детальный анализ решений уравнения A2.39) см в [19, 21].

§ 12] Столкновения и провал Беннета 185
Модель сильных столкновений можно расширить, приняв во
внимание вырождение состояний, а в случае молекул — и
вращательное расщепление уровней. В отношении М-проекций
углового момента модель сильных столкновений соответствует
условиям, когда результатом столкновения оказывается
равновесное (равномерное) распределение по М-подуровням независимо
от того, каким оно было до столкновения. Аналогично можно
говорить о сильных столкновениях, приводящих к больтцманов-
скому распределению по вращательным уровням /. Модель
сильных столкновений можно сформулировать и для других
степеней свободы.
• В рамках такой обобщенной модели сильных столкновений
член прихода интеграла столкновений можно представить в виде
SB) (пМ | п'М'; v) = v(nl>W {v) J р (пМ \ п'М!\ юг) дюг +
+ ^%^2p(/tAfi|/i/Al1;fr) +
Mi
• +^W(vN-f^^^i\p(nM1\n'M1;v1)dv1 +
¦" м,
+^Г(р)ГБ(^)82мДУ 2 UiaJMa'J^vJ dvlt A2.48)
MtJt
n=aJ.
Здесь WB(J)—распределение Больтцмана по вращательным
уровням, одинаковое для состояний п и п'. Каждый из членов
A2.48) описывает результат столкновения, в процессе которого
происходят специфические изменения состояния. Первый член
отвечает столкновениям с изменением скорости, но без
изменения внутренних квантовых чирел. Второй член связан с упругими
столкновениями, в которых происходит полная, деориентация
момента количества движения, но скорость остается постоянной.
Столкновения с одновременной деориентацией и изменением
скорости описываются третьим членом в A2.48). Наконец,
четвертый член, имеющий смысл лишь для молекулярных газов,
характеризует столкновения, в результате которых
устанавливается распределение Больтцмана по вращательным уровням.
Итогом столкновений такого типа естественно ожидать
равновесное распределение как по скоростям, так и по магнитным
подуровням.
Соотношение A2.48) устанавливает практически самый
общий вид члена прихода интеграла столкновений в рамках
модели сильных столкновений. Разумеется, в тех или иных
условиях не все члены A2.48) в равной мере существенны.
Например, для атомов введение четвертого члена в A2.48) лишено
смысла. Напротив, для молекул он может быть главным.

186
Провал Бвннета
[Гл. IV
Модель сильных столкновений — единственная из известных
моделей, которая учитывает изменение скорости и внутренних
квантовых чисел и в то же время допускает точное решение
уравнений для матрицы плотности при любой интенсивности
электромагнитного поля. В части, относящейся к изменению
скорости, возможности данной модели уже выяснены. Что
касается деориентации и вращательной релаксации, то этот вопрос
вынесен в задачу 19.
Перейдем к анализу другого предельного случая,
противоположного модели сильных столкновений, предполагая, что в
процессе столкновения скорость изменяется на величину,
значительно меньшую среднетепловой v (модель селективного
рассеяния). Напомним (см. § 5), что в газокинетических условиях
дифракционным эффектам отвечают малые углы рассеяния
F~!0~~2), причем соответствующая часть сечения может
существенно превосходить сечение изотропного рассеяния. Таким
образом, модели селективного рассеяния заведомо отвечают
реальные процессы, протекающие при столкновениях, и вопрос
может состоять лишь в том, насколько существенно отличие ог
модели релаксационных констант, в которой изменение скорости
не принимается во внимание совсем.
В модели селективного рассеяния ядра интегралов
столкновений зависят от разности скоростей до и после столкновений
(разностные ядра, см. E.46) и последующее обсуждение). Имея
в виду взаимодействие с плоской волной, будем пользоваться
одномерными разностными ядрами (см. E.63))
Aa(v—vx)\ A(v—vx), A2.49)
где v, vx означают проекции скорости на волновой вектор ft.
Уравнения для одномерных функций Грина следуют из A2.4), A2.5)
BТ/+ v;) Fjj (v - vf) = J Ajj (v - Vl) Fjj (Vl - v') dvx + 6{v-v');
A2.50)
[y + v-i{Q-ku)]F(v\xf) = $A(v-v1)F(v1\xf)dv1 + 6(v-o'),
A2.51)
где v* v=v'+iv" — «одномерные» частоты. Диагональные
функции Грина Fjj(v—v')y как и ядра, зависят от разности v—v'.
Поскольку фактор y-fv—/(?}—kv) содержит и, недиагональная
функция Грина F(v\v') зависит не от v—v\ хотя ядро
A (v—v') разностное.
Уравнения A2.50), A2.51) будет решать с помощью
преобразования Фурье10. Введем фурье-образ функций Грина
10 С равным успехом можно воспользоваться итерационными рядами
A2.16), A2.17). 1

§12]
Столкновения и провал Беннета
187
A2.53)
aiftU'T»
Pjj ОО = \ Fjj (v - v') exp [Ik (v - v') %]d(v- v');
, A2.52)
F (TI v') = J F (v | у') exp [ifon] A>.
Из A2.50) следует алгебраическое уравнение для Fsi(x), и его
решение дается формулой
Р м 1 1 Г. . Л^.(т) 1
/МТ| ?Yy + v, - Л/;. (т) 27j. + vy | Х + 2у, + Vj-AjjW J'
^ ji (О = j* Лjj (^ — vx) exp [/ft (о — vx) т] cfa.
Функция jF(t|u') удовлетворяет дифференциальному уравнению
А (т) = J A {v — vx) exp [ik (v — vx) x] dv,
решение которого не представляет труда
F(t|i/')= ] exp|-(T + v-«)(T-T1) +
+ iW%i + J Л {%') dx'\ dxv
Обратное фурье-преобразованне A2.53), A2.55) дает
i? / /ч 1 Гх/ ,ч . * С Л„(т)ехр[-^-0От1^ 1.
A2.54)
A2.55)
оо т
F(t;ft/)=^ j dr J rffcexpIffQ —fa)*-
—oo —00
- t (Q - fo') tj Ф (т) Ф-1 (тх);
Ф(т) = ехр \-{T + iA)x-j[v-A{xf)]dxf
r+t'A='f+v—v.
A2.56)
A2.57)
A2,58)
Функция Ф(т), определяемая соотношением A2.58), имеет
смысл функции корреляции атомных осцилляторов, которая
фигурирует в линейной теории уширения линии (см. § 6). В
частности, контур спектральной линии для атомов, возбуждаемых с

188
Провал Бен нет а
[Гл. IV
заданной скоростью v\ определяется интегралом от F{v\v') по
v, и, согласно A2.57), он равен
об
J F (v | v')dv = J Ф (т) е*<й-*»'^т. A2.59)
Член (Г-Н'А)т в показателе экспоненты у функции
корреляции отражает, как обычно, ее затухание вследствие
спонтанного распада, неупругих процессов и фазовой модуляции.
Интегральный член в Ф(т) описывает влияние частотной
модуляции из-за изменения скорости при столкновениях (см. F.40),
$41)).
• - Решение нелинейных задач с помощью- функций Грина
A2.56), A2.57) несложно, однако результаты записываются
сравнительно громоздкими соотношениями. Поэтому, сначала
целесообразно рассмотреть различные эффекты по отдельности
и лишь затем обратиться к общему случаю. В § 6 уже выяснено
влияние частотной модуляции на контур спектральных линий,
т. е. роль недиагонального интеграла столкновений. Теперь
естественно проанализировать особенности явлений в отсутствие
«фазовой памяти» и разъяснить роль диагональных интегралов
столкновений. Разбор этого более простого случая имеет и
самостоятельное значение, в частности по отношению к
электронным переходам атомов и молекул. Электронные состояния при
столкновениях возмущаются, как правило, существенно
по-разному, вследствие чего можно пренебречь членом прихода в
недиагональном интеграле столкновений (A(v\v\)=0).
Недиагональная функция Грина для таких условий имеет простой вид
Fw)=y+V,i%v:)r_kv), A2.6O)
и столкновения с изменением скорости оказывают
непосредственное влияние лишь на заселенности уровней.
Обсудим диагональные функции Грина A2.56). В качестве
аппроксимации функции A^(v—vi) используем модельное
экспоненциальное ядро E.69)
AJj(v-v1) = ?e-iv-v*{/sJ;
2sJ A2.61)
А»(х) = ъ[1 + (к8,х)*гК
Тогда ЛДт) оказывается равным

§12]
Столкновения и провал Беннета
189
и интегрирование в A2.56) проводится элементарно
,„(.-о-^{«.-о+5^«р[-^]}.
A2.63)
Регулярная часть функции Грина, представляющая собой
«размытое» столкновениями распределение по скоростям, является
симметричной функцией разности v—v\ что обусловлено
использованием разностного ядра. Параметрами данного
распределения служат полуширина ядра s5 (на уровне е-1) и
эффективное число столкновений щ. Полуширина регулярной части
функции Грина равна s^l+n,, т. е. при больших щ она
пропорциональна Ум,-. Такой закон (закон больших чисел) характерен
для дисперсии распределения случайной величины, испытавшей
щ последовательных скачков, в каждом из которых дисперсия
составляет величину Sj.
С помощью функции Грина A2.63) можно установить
область применимости модели разностного ядра: дисперсия
скорости в результате щ столкновений должна быть значительно
меньше средней тепловой скорости v\
srfl+fhO. A2.64)
В противном случае с необходимостью проявляются эффекты
торможения, обсуждавшиеся в § 5 и приводящие к асимметрии
распределения (затягивания в сторону v=0).
Если число столкновений щ велико (я3»1), то на основе
A2.62) можно заключить, что интеграл в A2.56) и свойства
регулярной части функции Грина определяются поведением
Ля(т) в области малых значений т. Для произвольного ядра
Ах(х) воспользуемся разложением
Ая(х)=ъ[1— оА*|т|— &,(s,ftT)*+..]. A2.65)
Числовые множители щ, р< зависят от конкретной формы ядра
и поведения Au(v—v\) при \v—Vi\ ~*оо. Но основании общих
теорем теории преобразования Фурье можно прийти к
следующим выводам. Пусть Asi(v—v{) при больших значениях \и—V[\
спадает как (v—v{)~2 или медленней, тогда в разложении
A2.65) линейный по т член отличен от нуля, причем о^>0.
Если же крылья ядра спадают быстрее, чем (v—t>i)~2, то
разложение начинается с квадратичного члена (а§=0, Р<>0).
В последнем случае, ограничиваясь квадратичным членом в
разложении A2.65), приходим к выражению для функции
Грина Fi5(v—v')9 совпадающему с A2.63) с точностью до
замены sj—t-Tfafii-

190
Провал Беннета
[Гл. IV
Таким образом, с точностью до указанной замены функция
Грина A2.63) при щ^>1 является универсальной для всех ядер
с достаточно быстро спадающими крыльями.
Когда aj#0, ширина регулярной части функции Грина при
больших щ пропорциональна tijSi9 т. е. данный случай
находится вне области применимости закона больших чисел. Вообще
говоря, ядра с медленным убыванием при \v—vx\ —>-оо в
принципе возможны. Однако ниже будут рассматриваться функции
Грина A2.63) с ориентацией на модель экспоненциального
разностного ядра. Помимо согласия с законом больших чисел такое
ядро содержит «излом» при v=vu присущий реальным
одномерным ядрам (см. § 5).
" Используя функции Грина A2.60) и A2.63), на основе
рекуррентных соотношений A2.6) вычисляем распределение засе-
ленностей по скоростям в приближении первых поправок на
интенсивность электромагнитного поля бегущей волны
Р«(о) = *(*){*/ =F 2|GP *»"*» X
XFM(V + ?/-M» +ra'Z'W]}' A2-66)
J ' (T bv'J + (x-rjJ -
Zt(x) =
(Y+v'J
2ksj у 1 + iij _J
_V + vL_> Re [ci ij sin ^ _ si ^ cos ij]f A2.67)
kSj |/l -(- flj
x=Q—v"—kv; !,=.[T+v'—i(Q—v"—kv)]/ks,1l+n,.
Здесь ci |, si | — интегральный косинус и интегральный синус
от комплексного аргумента
ОО 00
A2.68)
Распределение заселенности по скоростям на уровнях /=
=m, п помимо провала Беннета обычной лорентцевой
формы с полушириной (y+v')/A содержит, согласно A2.66),
столкновительную структуру, описываемую функцией Zs(x).
Распределение по скоростям для уровня п имеет, вообще
говоря, более сложный вид. Дело в том, что в результате
радиационного распада по каналу т—>-п на уровень п переносится
неравновесная структура, созданная на уровне т. Ради
упрощения формулы A2.66) указанный фактор в ней не отражен,
т. е. предполагается достаточно малая величина коэффициента
Эйнштейна Атп. Выражение, свободное от этого ограничения,
получено в задаче 20.

§ 12]
Столкновения и провал Беннета
191
Столкновительные распределения Zj(x) описываются
сверткой экспоненциальных частей функций Грина A2.63) с
распределением Беннета, поэтому Z5(x) всегда имеет большую ширину,
чем распределение Беннета. С другой стороны, характерная
ширина Z5(x) должна быть значительно меньше v9 так как только
в данном случае обосновано использование разностных ядер.
Таким образом, Zj(x) имеют вид резких структур на фоне макс-
веллова распределения (столкновительные пики* и провалы),
симметричных, как и распределение Беннета, относительно
скорости v=(Q—v")/k.
Распределения Z^x) выражаются через табулированные
функции A2.68). Однако полезны простые соотношения,
относящиеся к предельным случаям:
7 ,1Л (V + V'J G + У')(^.)*A+/1;)
J К ] ~ G + VJ + tQ — v" — kvf ZX4e [у + v — i\Q - kv)]* '
A2.6)
t+v^ksrfl+щ;
Z}(x) = -f- ?+^L_ exp [-IQ-v^fel/^/1 + nj], A2.70)
В первом из них столкновительный провал представляет собой
слегка уширенный столкновениями провал Беннета; по форме он
близок к лорентцеву контуру с полушириной, равной
При условии ,y+v/;>&sjyi+% разделение неравновесной
структуры на провал Беннета и столкновительный провал физически
не оправдано. Целесообразно рассматривать их как единое
целое
(Y + vT . п 7 , v
(Y + v')8 + <Q-v"-fo7)a т-Л/АМ») —
= <П1 + п Г ___(Y±vO! 2Rc (*J>a »*<*+/> 1
A2.71)
Полуширина 8} такого суммарного провала дается выражением
6, = (v + v')[l+3(^)e]. A2.72)
Относительная поправка к полуширине за счет изменения
скорости квадратична по малому параметру kSjljn^fj+v').
В другом предельном случае Y+v'^C&SjYl+ty
столкновительный провал выделяется в виде отдельной структуры
экспоненциальной формы, более широкой, чем провал Беннета; ее по*

192
Провал Беннета
[Гп. IV
луширина «на уровне 1/е» равна kstfrij+l. Характерно, что
полуширина функции Zj(v) пропорциональна полуширине s, ядра
интеграла столкновений, которая, в свою очередь,
непосредственно связана с полушириной дифференциального сечения упругого
рассеяния (см. E.67), E.68) и обсуждение их). Таким образом,
измерения столкновительного провала могут служить основой
для исследования индикатрисы рассеяния.
Отношение амплитуды столкновительного провала к
амплитуде провала Беннета в приближении A2.70) равно
-К У++ п, A2.73)
и при /г,» 1 может оказаться не малым.
На основе разобранных предельных случаев можно
составить представление о том, как видоизменяется неравновесная
часть распределения по скоростям при изменении плотности Л'6
возмущающих частиц. Пусть константы радиационной
релаксации 2уу, Y^+Yn малы по сравнению с ksj. Частота ухода v'
(как и другие частоты столкновений) пропорциональна Nb. В
области предельно малых плотностей фактор A2.73) становится
много меньше единицы, столкновительный провал мал по
амплитуде, и неравновесная структура в распределении по
скоростям эффективно определяется провалом Беннета лорентцевой
формы и обладает полушириной y+v', линейно зависящей от
плотности (рис. 4.6, а). С ростом плотности увеличивается га,=
=vj/rjf достигая постоянного значения yj/(vj—v^). Если vj/(v*—
—v*)^>l, то существует такая область значений Nbt где фактор
A2.73) не мал, но еще выполняется условие y+v'^kstfl+rij.
В этой области неравновесная часть распределения по скоростям
имеет явно выраженную двойную структуру (см. рис. 4.6, б):
v
Рис. 4.6. Вид составляющих
неравновесной части распределения по
скоростям. Сплошной линией пока-
зан провал Беннета, штриховой —
столкновительный провал.
Пояснения см. в тексте.
v
в
1

§ 12]
Столкновения л провал Беннета
193
провал Беннета и столкновительный провал, амплитуды
которых соизмеримы, а ширины сильно отличаются. Форма столкно-
вительного провала в данной области определяется формулой
A2.70). По сравнению с провалом Беннета столкновительный
провал уширяется медленнее (°°У^+1), и при vj—v^>2^ его
ширина перестает зависеть от плотности. Дальнейший рост Nb
обусловливает наступление такого момента, когда снова
неравновесная часть проявляется как единый контур, но уже по той
причине, что становятся сравнимыми ширины обоих провалов,
т. е. t+v'^ksrfl+n} (см. рис. 4.6, в). Последующие изменения
неравновесной части передаются формулой A2.71). С
увеличением плотности распределение A2.71) приближается к лорент-
цёву с полушириной Y+v'« Разность полуширины 6j
распределения A2.71) и полуширины 4f+v' убывает обратно
пропорционально Nb.
Полезной характеристикой неравновесной части
распределения по скоростям является полуширина 6> ее как целого.
Качественный график зависимости 5^ от плотности (Nb) показан
на рис. 4.7. В отличие от модели релаксационных констант
зависимость 8j от плотности имеет нелинейный характер. Вначале
происходит увеличение б/ по сравнению с Y+v', затем —
относительно медленное сближение графика с прямой f+v'. При
больших и малых плотностях график 6i асимптотически
приближается к Tf+v7 (см. рис. 4.7). Переходная область, где расстояние до
прямой максимально, соответствует условию y-j-v'^kstfl+rij,
а порядок величины этого расстояния можно оценить по
формуле A2.72)
[6У - (Y + v')W* ~ ^$yf^= ~ (у + V) г^-.
Если nj&\% то уширение за счет изменения скорости порядка
ширины провала Беннета.
Обсудим структуру нелинейного резонанса в графике работы
поля стоячей волны. Исходим из уравнений A2.34) при
/4(^1^0=0 и полагаем ради простоты Gi=G2 (стоячая волна).
В рекуррентных соотношениях A2.6) вместо р2**1 фигурирует
величина Р+" + Р—"~\ а диагональные функции Грина
определяются формулой A2.63). Для простоты положим Лтя=0. Обобще-
Рис. 4.7. Качественный вид
зависимости полуширины bj
неравновесной части
распределения по скоростям от плотности.
Масштаб по осям координат
условный.
»ъ

194
Провал Бемнета
[Гл. IV
ние на случай Лтп=^=0 не представляет труда, но приводит к
более громоздким выражениям. Усреднение по скоростям
проделаем в предположении ks^l+n^kv, 4+vf<^kv, означающем
выделение неравновесных частей в распределении р#A>) в виде
резких структур. Несложные выкладки приводят к следующему
соотношению для работы поля:
/Q—v"\2
X
P(Q) = mc>(Nn-NJ\G\^e ( *){1_|12?
х У l h 1 (Y+V'J i
,4§п 2ъ + ^ L <? + VJ + (о - v"J ^
+ лД^@) + 2^(О-«О)]}. A2.74)
В графике P(Q) помимо провала лорентцевой формы,
обусловленного перекрытием провалов Беннета, имеют место еще
два резонанса, описываемые функцией Zj(Q—v") и возникшие
благодаря перекрытию столкновительных провалов в р#(р).
Функция Zj(Q—v"), как видно из сравнения A2.75) и A2.67),
совпадает с функцией Z5{Q—v"), если в выражении A2.67) для
Zj(x) произвести замену k—>~?/2. Следовательно, с точностью
до этой замены каждый из членов суммы по y'=m, п в
выражении для работы поля A2.74), имеющий селективную
зависимость от Q, копирует неравновесную часть распределения по
скоростям на соответствущем уровне.
Таким образом, все результаты, касающиеся неравновесных
частей распределения по скоростям, легко переносятся на
нелинейный резонанс в графике P(fi), представляющий собой
суперпозицию лорентцева контура [1+:(й—v'OVdf+v'J] и
столкновительных провалов Zm(Q—v") и 2«(Q—v")- В области
малых плотностей возмущающих частиц столкновительные
провалы малы по амплитуде и их можно не принимать во
внимание. В области средних плотностей имеют место три
спектральные компоненты с полуширинами y+v'> kSr^\+nm и ?$«У1+ля.
При больших плотностях все три компоненты имеют близкие
ширины, и форма суммарного нелинейного резонанса, согласно
A2.71), определяется выражением
У + у' пг & 4»m К. + 1) + 4*п К + !) ,107ftx
(T + V)»+(a-v*)» *е 2 (пт + 2 + пп) [7 + V - i (Q-v")]2 Уи*<°)
с полушириной, равной
v lr/l 3 иъ*2т«т(Пт+1) + 4пп(Пп+1) 1 П977х
т ' ' п

§12]
Столкновения и провал Беннета
195
Подведем итоги проведенного анализа. В отсутствие
«фазовой памяти» столкновения не влияют на форму провала Бённе-
та и соответствующего ему нелинейного резонанса. Провал
Беннета, как и в модели релаксационных констант, имеет ло-
рентцеву форму, а его полуширина Y+v' линейно зависит от
плотности возмущающих частиц. Изменение скорости при
столкновениях проявляется в дополнительной неравновесной
структуре, которая интерпретируется в духе представлений
кинетической теории как результат миграции в пространстве скоростей.
Откажемся теперь от принятого выше ограничения
A(v\vi)=0. В рамках модуляционных представлений это
означает, что в каждом столкновении не происходит полного сбоя
фавы атомного осциллятора. В таких условиях получает
возможность проявиться частотная модуляция атомного осциллятора,
обусловленная изменением его скорости и эффектом Допплера.
Если время свободного пробега достаточно мало, то происходит
частичная или полная компенсация уширения линии вследствие
частотной модуляции и потому ширина контура изменяется в
пределах от t'+v' до f+v'—лИ=Г при переходе соответственно
от малых значений Nb к большим (см. F.43) и F.44)). На основе
этих общих соображений следует ожидать, чте трансформация
распределения по скоростям и провала Лэмба, происходящая с
ростом Nbt в качественном отношении будет подчиняться^ тем
же закономерностям, которые^установлены выше в случае v=0.
Однако величину Y+v,=r+v/, входящую в формулу A2.66) и
далее, следует при этом представлять себе изменяющейся от
Г+v' до Г. Указанное обстоятельство усложняет описание
явлений, но не влияет на качественную сторону дела (см. рис. 4.6).
Рассмотрим случай стоячей волны, т. е. в уравнениях A2.34)
положим Gi = G2y и тогда формально можно пользоваться
рекуррентными соотношениями A2.6), подставляя в них
р^И^рГ'Н + р^1^);
A2.78)
F(v\v') = F+(v\v') + F-(v\v'); F-W) = F+(-v\-if)9
где F+(v\v') дается выражением A2.57). Воспользовавшись
ствойством A2.24) для функций Грина и пренебрегая
спонтанным переходом т—+п (Amn=0), из A2.6) находим
распределение заселенностей по скоростям
Pjj (v) = W (v) \N} =f 21G |» (Nm - Nn) ] dtf}} D) X
[ —00
X [В (Q - kv - ki\) + В (Q + kv - fof\)]], A2.79)
oo
5(Q) = Rej"dTO(T)e«*

196
Провал Беннета
•[Гл. IV
где функция корреляции Ф(т) определена формулой A2.58).
Проследим связь между распределением по скоростям
'A2.79) и работой поля P(Q), выражение для которой получаем
с помощью A2.8), принимая во внимание A2.59):
P(Q) = 2H<s>(Nn - Nm) |G|2{J dv[B{Q + kv) + B{Q - ko)]W(o) —
-2|G|* 2 [dvdr\Fjj(r\)W(v)[B{Q + kv) + B(Q-kv)]X
XlB(Q + kv-ki)) + B(Q-kv-kn)]}. A2.80)
Поскольку ширины функций B(Q—kv) и F)i(r\) значительно
меньше v, максвеллов множитель можно вынести из-под
интеграла со значением v=Q/k. Интегрирование по v после этого
выполняется элементарно
Р (Q) = АЫ | О |*(#п - Nm) nlx (Q) [1 - 21G |* /а (О)];
/х (Q) = (КЗД-1 e-W*.>; /, (Q) = Tl [Ях @) + Вг (Q)] +
+ 2 f^«(tl)[Si(-r4) + ».^-4ti)], A2.81)
где ^«(л) — регулярная часть функции Грина. Функции #i (у тп,
Лг(О) даются соотношениями
ОО 00
Bx{kri) = Re J | 0^)|V^dr; B2(Q) =, Re |фа(^) е»Л.
A2.82)
С помощью формул A2.54), A2.58) легко убедиться в
эквивалентности замены k/2—>k и
Фа(-^)-Ф(т); В^0-4-ч)->Я@-*П). A2.83)
Следовательно, зависимость от Q отдельного члена суммы по /
в /г(?2) с точностью до замены k/2—*k копирует зависимость
от Q—kv одного из слагаемых неравновесной части pa(v) в
A2.79). Анализ неравновесной части распределения по
скоростям и нелинейного резонанса в графике P(Q) можно, таким
образом, проводить совместно.
Сопоставление формул A2.74), A2.75) и A2.81), A2.82)
показывает, что функция 2?2(й) играет роль лорентциана в
A2.74) и ее отличие от последнего обусловливается ненулевым
значением частоты прихода \Г (см. A2.58)). Таким образом,
структура выражений A2.81) подтверждает общие
представления, изложенные ранее относительно роли фазовой памяти.

§12]
Столкновения и провал Беннета
197
Наиболее интересные следствия «фазовой памяти» связаны
с изменением структуры провала Беннета (функция B(Q—kv)
или Si(Q)). Из A2.58), A2.82), следует
Д, (Q) = Re \ dx exp - [у + V -i(Q - v")] т + J А (т'/2) dx' 1;
A2.84)
oo
Л(т = 0)= J A{o —i^) do = v = v7-fiv*.
—oo
Если (y+v') много больше характерной ширины l/ks
функции А (т/2), то, как нетрудно показать, интеграл по т' от Л(т'/2)
в A2.84) примерно равен \/ks и его можно отбросить. Поэтому
3i@) = ReT + V-!t(Q__V); y + V<ks. A2.85)
Данное приближение отвечает большим изменениям скорости
(в сравнении с (f+v7)/*), и роль частотной модуляции
максимальна. Эта ситуация характерна для малых плотностей
возмущающих частиц.
В противоположном предельном случае больших плотностей
в интегральном члене показателя экспоненты существенны
малые значения т и можно воспользоваться разложением А(х'/2)
аналогично тому, как сделано в A2.65) для диагонального ядраз
А (т/2) = v [1 — afar/2 - р (&?т/2J],
j А{т'/2) dx' = vt [] - -i- absx - -щ р (ksx)*], A2.86)
где s —полуширина ядра A (v—vx)f а числовые множители а, р
зависят от его формы. Подстановка A2.86) в A2J84) дает
00
Sa (Q)=Re j dx exp {- [Г -i(Q - A)] x - vaftsta/4 - vp (fo)9 т*/12}.
° A2.87)
Оставляя в A2.87) только главный член, получим
52(Q)=Re г_Ца_Д); r + fA = v + v-^ A2.88)
и B2(Q), как и в приближении A2.85), описывается лорентце*
вым контуром. Однако полуширина и положение максимума в
A2.88) изменились по сравнению с A2.85). При v'>0 это
изменение проявляется, как уменьшение скорости уширения
нелинейного резонанса (эффект Дикке).

198
Провал Беннета
[Гл. IV
Рамки приближения A2.88) можно установить оценкой
квадратичных и кубических членов в A2.87). Если A (v—v\) при
\v—V\\ —>-оо убывает не быстрее, чем (v—V\), то афЪ и
критерий применимости A2.88) имеет вид
3? = «¦?<!; п—?. A2.89)
Если же «крылья» ядра спадают быстрее, чем (v—Vi), то
а=0 и взамен A2.89) находим
-f(?J = n(-rJ«l. A2-90>
Таким образом, реализация предельных случаев A2.85), A2.88)
регулируется различными параметрами, отличающимися
особенно сильно при /СМ. Уже упоминалось, что величину п
можно интерпретировать по аналогии с щ как число столкновений,
приводящих к девиации частоты атомного осциллятора и
происходящих за время 1/Г релаксации дипольного момента.
При а=^=0 членом с р в A2.87) можно пренебречь, и
интеграл по т выражается через табулированные функции
Г avks Yavks
A2.91)
При а=0 интеграл в A2.87) не выражается через известные
функции. Однако легко получить первые поправки на эффекты
изменения скорости, разложив в A2.87) экспоненты с высокими
степенями т и ограничившись первыми членами разложения
g.(Q) = Mr-<(Q-A) "
« vks fL W**J 1 M9Q9\
2 [Г — / (Q — A)J» 2 [Г — i (Q - A)]4J' \l*.M)
Полуширина бл и положение максимума этого выражения как
функции Q следующие:
Gmax = A + -^aXrriks + $^n (ksJ-^. A2.94)
Если афО, то в A2.93), A2.94) члены с ft следует отбросить,
и тогда поправка к полуширине и к смещению максимума
пропорциональна суммарной девиации частоты nks, возникающей
за п столкновений. Если же а=0, т. е. если «крылья» ядра
A(v—vx) спадают быстрее, чем (и—vi)~2t то в 6* и Я^входит

§ 12]
Столкновения и провал Беннета
199
комбинация ksl/n, определяющая результирующую девиацию
частоты в соответствии с диффузионным законом (<*>Ул), или
законом больших чисел.
При разложении A2.86) ядра Л(т) по т был выделен
множитель v, а коэффициенты аи р предполагались
вещественными, что означает одинаковую форму мнимой и реальной частей
ядра. В действительности же зависимости Re-4(t) и 1шЛ(т)
от т, вообще говоря, различны. Что касается структуры мнимой
части недиагональных ядер, то в настоящее время этот вопрос
не выяснен в достаточной мере. Поэтому влияние изменения
скорости на сдвиг нелинейных резонансов детальнее
обсуждаться не будет.
Если амплитуды рассеяния в состояниях тип близки, то
ядро Л^!^), согласно общим соотношениям § 5, «почти
вещественно», т. е. |v"|<:|v'|, и частотная модуляция проявляется
главным образом в ширине нелинейного резонанса.
Качественный ход графиков зависимости полуширины 8В функции ?2(Q)
от плотности возмущающих частиц показан на рис. 4.8. Общей
особенностью кривых является их нелинейный ход. При малых
плотностях 6B='Y+v/, при больших — 6b=Y-H/—v'- Если л/>
>0, то тангенс наклона уменьшается с ростом плотности;
если \/<0, то, наоборот, тангенс наклона при больших
плотностях больше, чем при (малых. В зависимости от того, а=^=0 или
а=0, т. е. от поведения A(v—vx) при \v—Vi\ —>-со,асимптотой
является либо прямая 6в=Г+Зап&$/4, либо прямая 6В=Г. Во
втором случае асимптота имеет общую точку с графиком в области
малых плотностей. Следовательно, по характеру асимптоты
графика 8В как функции плотности Nb можно судить о характере
«крыльев» ядра.
Полный нелинейный резонанс складывается из провала
Беннета и столкновительного провала, и их эволюция с ростом
плотности Nb возмущающих частиц в качественном отношении
достаточно хорошо иллюстрируется
A2.81) показывают, что в области
малых значений Nb9 где 6В<С
<glks5Tf \+nh столкновительный
провал выделяется в виде
отдельной структуры, описываемой
формулой типа A2.70) (см.рис.4.6б).
рис. 4.6, Соотношения
Рис. 4.й. Качественный ход полуширины
провала Беннета как функции плотно-
ти возмущающих частиц.
/—'v'X), а=0; 2 — \?>0, а=?0; 3 — v'<0,
а-0;4— 7'<0, атЧ); 5 —бв = Г| 6 — 6д = Г+
+ уа/Ш; 7 —6В = Г —|a|n|fts; 8,9 —6В=
>fl'
.
Or'
У
у
A8 ^.^^^S ¦
/х ^ss^^-"*
г S #'^^^^ "
Е** ^""^ S~
1 /
1 S ¦-
«ь

200
Провал Беж+ета
[Гл. IV
Оба провала имеют примерно одинаковые ширины в той
области Nb, где &Sjyi+ttj~r, и их следует рассматривать как
единое целое (см. рис. 4.6, в). Последнее хорошо видно из
асимптотического выражения при больших плотностях для полуширины
функции /2(й), т. е. нелинейного резонанса как целого. Первые
поправки к полуширине Г за счет эффектов изменения скорости
аддитивны, поэтому на основе выражений A2.72) и A2.93)
получаем (а=о^=0)
8 = Г + ^ р mV ™' пК- п) . A2.95)
Итак, и частотная модуляция, и эффекты, связанные с
изменением распределения по скоростям, вносят одинаковый вклад в
уширение нелинейного резонанса и.
В § 5 отмечалось, что в общем случае дифференциальное
сечение рассеяния представляет собой наложение узкой
дифракционной части, классического рассеяния на малые углы и
практически изотропного классического рассеяния (см. рис. 2.5).
В соответствии с этим, и реальные ядра интегралов
столкновений «многокомпонентны». По меньшей мере следует отличать
две компоненты, одна из которых передает рассеяние на малые
углы, вторая — на большие. Рассеяние на малые углы, как
показано в § 5, можно описывать моделью разностного ядра; для
описания рассеяния на большие углы хорошим приближением
оказывается модель сильных столкновений.
Таким образом, для реальных ядер Ann'(v\vx) интегралов
столкновений можно использовать следующую аппроксимацию
(модель невырожденных состояний):
Ann'(*\Vi) = Ann>(v--Vi) + v№>W(v); ^A(v-vl)dv1^v^;
A2.96)
Vnn' = V$ + V^,
""(i 2)
где vAn' — соответствующие «парциальные» частоты прихода*
Аналогичное представление возможно и для одномерных ядер
ЛппФК).
Выше анализировались нелинейные явления в рамках одной
из моделей ядра. Полученные результаты обобщаются на
случай двухкомпонентного ядра A2.96). Соответствующие выкладки
вынесены в задачу 21, здесь же обсуждаются следствия,
которые вытекают из такого обобщения.
Распределение заселенностей по скоростям и график работы
поля P(Q) содержат в себе провал Беннета, столкновительный
провал и полосу однородного насыщения, т. е. несут на себе все
11 Более детальный теоретический анализ формы нелинейных резонансов
см. в [22, 23]. Результаты экспериментальных исследований см. в [24], там
же библиография.

§ 12]
Столкновения и провал Бемнета
201
характерные черты, присущие как модели сильных
столкновений, так и модели разностного ядра. Площади указанных
элементов структуры на уровне / составляют пропорцию с
соответствующими эффективными временами жизни
Tli • т2) • T2j »
i v(i) i vB> 1
^ 1 „A) _ Vi 1_. B) _ Vi *
A2.97)
Tl/ + T# + TB2/ = Ту = 1 /Г/, Г; = 2yj + Vj-Vj.
Величина %ц имеет прежний смысл времени жизни состояния /
с определенной скоростью. Время т^ определяет длительность
состояния, где атом, уже испытавший столкновение, еще
сохраняет неравновесное распределение по скоростям. Столкновения
с сильным изменением скорости укорачивают время т^Л Наконец,
т# —время, в течение которого атом, находясь на уровне /,
имеет равновесное распределение по скоростям. вВремя т^
дополняет ти и тBУ до полного времени жизни на уровне. Характер-
B)
но, что %2j не зависит от того, происходят или нет
столкновения с малым изменением скорости. И это естественно: %$
отсчитано от момента первого столкновения с сильным изменением
скорости, после которого распределение по скоростям остается
равновесным, независимо от того, сильные или слабые
столкновения происходят в дальнейшем.
Важными параметрами, определяющими нелинейный
резонанс, служили числа столкновений % п. В модели A2.96) роль
таких параметров играют
д@ - v(P . „(*> __ vA)' f19Qft\
* ~1у^рЛ ~7+W* ( ]
По отношению к $\ п{1) рассеяние на большие углы (|Av\ ~
~v) выступает в той же роли, что и неупругие процессы, а
именно: сильные столкновения ограничивают уширение столкно-
вительного провала и его вес в нелинейном резонансе,
уменьшают различие полуширин провала Беннета при малых и больших
плотностях. В области больших* плотностей полуширина провала
Беннета r+vB)' увеличена не только за счет тушения и фазовой
модуляции, но и вследствие частотной модуляции,
обусловленной сильными столкновениями.
До сих пор эффекты, вызванные столкновениями с изменена
ем скорости, анализировались в модели невырожденных
состояний, что диктовалось соображениями относительной простоты
конечных выражений и их интерпретации. После выявления ха-

202
Провал Веннета
[Гл. IV
рактерных эффектов в простой модели можно обобщить
полученные результаты на системы с вырожденными уровнями, и
сложность выражений не помешает увидеть физическую сторону
дела.
Рассмотрим взаимодействие атомов и стоячей волны с тем,
чтобы одновременно анализировать и распределение по
скоростям, и нелинейный резонанс в графике работы поля. В
представлении поляризационных моментов вместо уравнений A1.15)
для матрицы плотности следует исходить из уравнений (ср. с
A0.26))
27тРтт = Jm+1 W (V) + SMm - i [GZmPmn - OSnPnml;
2ynPnn = ~^=?==- W {V) + Snn + AmnPmm ~
/2/n+l
-'[OS-P»m-fcpmn]; A2.99)
[V — f (Q =F kv)] p4 = Smn - i [GmnPmm - O&nPnn];
Pmn = Pmn + Pmn; pnm (*?) = ( — l)Jm~Jn+Q pj^ (x - q)\
где матрицы (?ij определены соотношением A0.29).
В отличие от уравнений A1.15), справедливых в модели
релаксационных констант, интегралы столкновений Sy в A2.99)
описывают, в частности, и процессы, сопровождающиеся
изменением скорости.
Предположим, что частоты и ядра интегралов столкновений
диагональны по х, q и не зависят от q, т. е.
Su (к?; v) = — Vijpij (х</; v) + J Аи (kv \ hvx) ри (nq; vx)dvv A2.100)
Некоторые основания для использования такой модели могут
быть при изотропных столкновениях (см. формулу D.94) и
рассуждения, приведшие к ней), но, вообще говоря, представление
интеграла столкновений в виде A2.100) следует рассматривать
как постулат.
Уравнения A2.99) удобно решать с помощью функций
Грина F}i(v\v')> Fmn(v\v'), которые, в силу диагональности
интеграла столкновений, имеют следующую структуру:
Fjj (%qv | Xiftfl') = bntfinfi* (v Iy');
F?n(*qo\*xqJ) « W«/?(v\v'); A2.101)
F&(vW)=F&(vW),

§12]
Столкновения и провал Беннета
203
а функции Fjx(v| v'), F$(v\v') удовлетворяют уравнениям
. Byj + vj) Fjyi (v | v') « J Аы (v | vx) Fjyi (vt\ vr) dvx + 6 (t; - v')\
A2.102)
[Y + v - f(Q =F ku)]F$(v\ v') = J An(v| ^^Kl^^i+S^-t;'),
Vi^v/j; v=vmn;
Дх.(^|^)=^й(ху|>сУ1); /tH(y|t;i)=i4mn(>ct;|xyi).
Данные уравнения отличаются от уравнений A2.4), A2.5)
модели невырожденных состояний тем, что в них ядра, а
следовательно, и функции Грина параметрически зависят от х. В
математическом отношении это обстоятельство не вносит
дополнительных трудностей и можно использовать результаты решения
уравнений A2.4), A2.5).
Аналогично итерационным формулам A2.6) из уравнений
A2.99) получаем соотношения
(fin* <*)=-*{ dv'Fmn (V\V') [02п9тш2 (•) - Qln9n^ (t/)] \
9mm (V) = - i J dv'Fmm (V | V') [O^mZ' W) - 8&1&Г1 (•)] \
A2.103)
9™ (v) = J A>Tnn (o | o') Amn99Um (v')- i J* *Tnn (v| •) X
• X [OLpL GO ~ G^pmV1 (t/)],
P°; (x?; d) = 6KAoy=±==r W (v).
Значения Nj даются формулой A0.31). He конкретизируя
функции Грина сверх того, что дано формулой A2.101), распишем
по компонентам первые члены итерационного ряда, принимая
во внимание явный вид матриц Оу, задаваемый формулой
A0.30). Ради упрощения не будем принимать в расчет
спонтанный распад по каналу т—>п (Лтп=0). Исходя из нулевого
приближения A2-104)» в первом порядке по полю имеем
PL(*q; v) = - *GAiB7^TT -2J^+l) IшхivIV) W(</');
A2.105)
Gq = S'qdmn/^*
Поскольку рассматривается дипольное взаимодействие, воз-

204
Провал Бенмета
[Гл.IV
буждается только элемент 9шП(кЯ) с и=1. Поэтому
индекс х=1 в недиагональной функции Грина можно опустить.
Выражение A2.105) подставляем во второе и третье
соотношения A2.103) для нахождения полевых изменений в
поляризационных моментах уровней. Принимая во внимание также
и нулевое приближение, получаем
Р„И; v) = М«.у^+1У(о) * 2B7^тт-27^тт) 7^х
xaiM§*1A>iFilc(o|o1)Re[F+(o1|o1) + F~ (Vl\v2)]W (v2); A2.106)
am» = (-l)i+"+J>»+JMt ) j}'
Здесь /(x?)—тензор поляризации поля, определяемый
соотношением A0.34). Полевая часть в A2.106), как и в модели
релаксационных констант (см. A0.32)), пропорциональна I(nq),
с чем связана зависимость ее амплитуды от поляризации поля.
Переход к модели релаксационных констант осуществляется с
функциями Грина
Р»{оЫ = **г&; Р±{оЫ = —-ifc50__.. A2.107)
1 j* у + v — vx — i (Q + kv) '
Распределение по скоростям в выражении A2,106) зависит
от й, т. е. каждый поляризационный момент ранга и в общем
случае обладает своей формой неравновесной части
распределения. Однако при фиксированном значении и эта часть точно так
же выражается через функции Грина, как и в модели
невырожденных состояний (ср. с. A2.8)).
Вычислим теперь работу поля в приближении первых
нелинейных поправок. Необходимая для этого величина p^n (lq) в
третьем приближении по амплитуде поля находится
подстановкой A2.106) в первое соотношение A2.103). После несложных
вычислений, находим
P(Q) = 2H(»Nnm{\G\*$dvdvlRtlF+(v\v1)+F-(v\v1)]W(v1)-
— 2' 2 SI / («?) Ia а% f dvdVldv2dv3 Re [F+ (о | vt) +F~ (v | vj] X
xFt*(t>i\o№[F+{Vt\o,) + F-(vt\vJ]Wiv,)}; A2.108)

§12]
Столкновения и провал Беннета
205
Сравним полученное выражение с соответствующим
выражением A2.8) модели невырожденных состояний, полагая в
формулах A2.8) Лтп=0 и распространяя их на случай стоячей
волны по правилу A2.78). Линейная часть работы поля, за
исключением очевидного отличия множителя Nnm=NJBJn+l) —
—Nm/BJm+l), одинакова в A2.8) и A2.108). Нелинейная часть
A2.108) помимо суммы по /=т, /г, фигурирующей и в A2.8),
содержит сумму по и=0, 1, 2, так что P(Q) состоит из шести
членов (в модели невырожденных состояний два члена).
Кроме коэффициента а*н, определяемого угловыми моментами
состояний, и фактора 21 / (и?) |2, отражающего поляризационные
я.
эффекты, зависимость от к нетривиальным образом заключена
в функциях Грина F§K(v\v2). В простейшем модели A2.107)
функции F& обратно пропорциональны релаксационным
константам. В общем же случае Fjyt(v\\v2) при различных к
представляют собой разные функции скорости, т. е. в распределении
по скоростям и в нелинейных резонансах различным х отвечают
неравновесные структуры, отличающиеся по форме.
С другой стороны, между выражениями ^A2.106), A2.108) и
соответствующими выражениями A2.8) модели невырожденных
состояний существует общность, чрезвычайно важная в
методическом отношении. В обоих моделях распределение по скоростям
и работа поля одинаковым образом выражаются через функции
Грина, которые, в свою очередь, с точностью до параметрической
зависимости от и определяются одинаковыми уравнениями
(ср. A2.102) и A2.4), A2.5)). Эта общность, обусловленная
принятой моделью A2.100), позволяет непосредственно переносить
результаты, полученные в модели невырожденных состояний, на
системы с вырожденными уровнями.
В соответствии со структурой индикатрисы рассеяния ядра
интегралов столкновений запишем подобно A2.96)
А»(*\°х) = А*(*> ~ *i) + v?№(vY>
A*(v\vx) = A*{v- vt) + v™W(v), °2Л09)
где рассеяние с малым изменением скорости описывается
разностным ядром A (v—c>i), а большие изменения скорости —
моделью сильных столкновений. Если
^S-M"; v^ = 6«0v<2\ A2.1Ю)
то, согласно E.78), член с W(v) представляет модель сильных
столкновений и по скоростям, и по магнитным подуровням.
Уравнения A2.102) с ядрами A2.109) решаются вполне
аналогично тому, как это сделано в задаче 21 для модели
невырожденных состояний. Выше показано, что в условиях, когда
нелинейные резонансы узки, членом прихода недиагонального

206
Провал Б вынете
[Гл. IV
интеграла столкновений, отвечающим сильным столкновениям,
можно пренебречь вследствие значительной частотной
модуляции. В этом приближении на основе результатов задачи 21
получаем
FjH(v\v1) = xlSb(v-v1)+ ^pfVj4ix
—-00
оо
Л/и (т) = j A» (v - d) eikx(v-vL)dv> A2.111)
—oo
1 1 v(I>
rfP^x. ! 3?
v^ — J-ДЛ (o — tFx) ito; y^v^+vg*.
Выражение для недиагональных функций Грина F± остается
таким же, как м в задаче 21, с той естественной оговоркой,
что частоты и ядра характеризуют релаксацию элемента
ртп(и<7) со значением х=1.
Из результатов задачи 21 и формул A2.106), A2.108)
вытекают следующие выражения для распределения
поляризационных моментов по скоростям и для работы поля:
Pjj № v) = 6„А0 у^= W (v) ± 2NnmW (о) I (х?) ajK х
x|Re^Hw[1 + ^'V>]x
х [ena-kv* + ew4-i»Hj 4- 2тB? (х) Й е-<й/*»>2); A2.П2>
Р (Q) = 4лЙо VnmA (Q) Г| G |а - Ц | / (к,?) |а /ак @I;
L И J
/х (Q) = (Knfo)-1 ехр [- [QlkZf];
х[|ф(т)Г+ф!(т)е'°'] + 2хй,',,)§е"<адв')- с2-113I

§ 12]
Столкновения и провал Б&ннета
20?
Функция корреляции Ф(т) определяется по-прежнему
соотношением A2.58).
Полевая часть распределения по скоростям A2.112) как
функция ко и каждый член /2*(Q) в выражении A2.113) для
P(Q) как функции Q подобны соответствующим
характеристикам в модели невырожденных состояний. В частности,
площади провала Беннета, столкновительного провала и полосы
однородного насыщения в распределении по скоростям р#(и<7; v)
соотносятся как
*»•-*$(*): *%(*). A2.114)
Вырождение уровней и деориентирующие столкновения привели
к увеличению числа характеристик нелинейных резонансов. Так,
нелинейный резонанс в графике работы поля P(Q) состоит не из
трех компонент, как в модели невырожденных состояний, а из
семи (в общем случае с различными ширинами). Вес каждой из
компонент в общем нелинейном резонансе меняется в
зависимости от поляризации поля.

Глава V
СПЕКТРОСКОПИЯ ПРОБНОГО ПОЛЯ
ПРИ БОЛЬШОМ ДОППЛЕРОВСКОМ УШИРЕНИИ
§ 13. Нелинейные резонансы в трехуровневых системах
В предыдущей главе рассмотрен только один из основных
нелинейных эффектов в системах с большим допплеровским
уширением — полевое изменение распределения атомов по
скоростям. Нелинейные резонансы, связанные с этим эффектом/
обладают весьма разнообразными контурами, форма которых
зависит от интенсивности и поляризации внешнего поля, типа
процессов, протекающих при столкновениях, и других
обстоятельств.
Для спектроскопии пробного поля существенное значение
имеют также полевое расщепление уровней и нелинейный
интерференционный эффект (НИЭФ). Оба указанных эффекта
проявляются, как выяснено в § 8, главным образом в форме
спектров испускания и поглощения пробного поля для переходов,
включающих в себя уровни, возмущенные внешним полем.
Поэтому в данной области следует ожидать еще большего
многообразия нелинейных резонансов.
В настоящем параграфе обсуждается влияние движения
атомов и столкновений на спектр поглощения (усиления)
пробного поля, резонансного одному из переходов атома, смежного
с переходом т—/г, на который воздействует сильное
электромагнитное поле.
Для определенности полагаем, что пробное поле резонансно
переходу т—/, причем gw>0 (схема типа комбинационного
рассеяния, см. рис. ЗЛО). Результаты, полученные в этой схеме,
могут быть распространены на любую из схем рис. 3.9, 3.18.
В модели невырожденных состояний матричные элементы
взаимодействия имеют вид
Vmn = - Ge-i(fi'-*r); Vnl = - G^V-V), A3.1)
Q = CO — (Опт] Qj*=(D,i (Omiy
где величины с индексом fx характеризуют пробное поле.
Формула (8.77), выведенная в § 8 для указанной схемы
и описывающая работу поля в системе покоящихся атомов,
может быть распространена на газ движущихся атомов. С этой
целью частоты Q, йй, входящие в (8.77), следует заменить на
Q'=Q—kv ий11 = йц — kpVn провести усреднение по скоростям

Трехуровневые системы
209
всего выражения (8.77). Замена Q->-Q', Q^-^Q^ отражает
тот факт, что в системе координат, связанной с атомом,
частоты сильного и пробного полей вследствие эффекта Допплера
равны со—kv, со,*—k^v соответственно.
Таким образом, работа пробного поля в схеме типа
комбинационного рассеяния для системы движущихся атомов дается
выражением
P|1 = 2»cdji|G|1|2x
„р/ [Тг,1-1К-®'-\1)](Рп-Ртт)-ЯРтп \ (]. ^
Qj, = Q^ — к»?; Q' = Q — kv; pu = NtW (v).
Здесь Ni — заселенность уровня /, не возмущенного сильным
полем; pmm и ртп являются решениями уравнений для матрицы
плотности в отсутствие пробного поля и, согласно G.40), G.42),
A0.9), A0.11), даются выражениями
Nm - 21G \ЦМт - Nn) $к ^—J——\;
Ри« = ^(«)
Гт I*+(Q'-^Mn)«!
«GP;„= - | G*1 (Nm - Nn) W (v) T™ )<f A"n) ; A3.3)
1 s "Г (u —amn)
i в — * mn У l ~T~ Щ И — -p I p г г '
2\G\4 1 , 1 A
mn
Г Г ХГ Г Г
mn \ m п т п
Выражение A3.2) справедливо, разумеется, лишь при
движении атомов по прямолинейным траекториям, т. е. в отсутствие
столкновений с изменением скорости (модель релаксационных
констант). Роль упругого рассеяния будет рассмотрена ниже.
Усреднение по скоростям в A3.2) может быть проведено
и в,общем виде, однако получающиеся выражения довольно
громоздки. Для выявления наиболее интересных эффектов
вполне достаточно обсудить предельные случаи.
Прежде всего рассмотрим приближение, отвечающее достав
точно слабому полю G. Удерживая в A3.2) только первый член
В разложении по | G|2, получаем
Л* = 2Лсо,|G,|«Re/- *<?> Ыt - Nm -
\ lml~~lV?H~~/Xml) I
Г 2Г 1
— \G\2\(N — N ) mn ¦ 1-
L m Lmni Vе ^mn)
Nn-"m 1 ,+
+ ¦
Nl~Nm 1
r»i-'(Qi-A»/) ^-/(а^-о'-А,,,).
A3.4)

210
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
Нелинейная часть выражения A3.4), пропорциональная
JGJ, содержит три характерных слагаемых. Первое из них
обусловлено изменением заселенности pmw уровня т под
действием поля (эффект насыщения). Второе слагаемое соответствует
члену iGpmnB формуле A3.2), т. е. описывает нелинейный
интерференционный эффект. Последнее слагаемое представляет собой
первый член разложения, учитывающий \G\2 в знаменателе
A3.2), т. е. связано с эффектом полевого расщепления уровня
т 1. Таким образом, в приближении первых нелинейных
поправок три основных нелинейных эффекта выделились в виде
аддитивных членов.
В настоящей главе, как и в предыдущей, анализируются
главным образом системы с большим допплеровским уширени-
ем, т. е. предполагается выполненным условие
Tij<kv\ i, j=m, п, L A3.5)
Результат усреднения выражения A3.4) по скоростям
существенным образом зависит от взаимной ориентации
волновых векторов ft, feM сильной и пробной волн. От угла между k
и йм зависят как отдельные слагаемые нелинейной части Р„,
так и соотношение между ними.
Рассмотрим вначале случай, когда пробная волна
распространяется навстречу сильной (в дальнейшем будем применять
обозначение к^\\к). Если )Q) ^kv и выполнено условие A3.5),
максвеллову экспоненту можно вынести за знак интеграла
со значением v, отвечающим максимуму резких лорентцевых
факторов, т. е. при v2=(QVL—AmlJ/k2. Оставшиеся выражения
легко интегрируются с помощью теоремы о вычетах.
Заметим, что те части подынтегрального выражения A3.4),
которые описывают нелинейный интерференционный эффект
и расщепление уровней, имеют полюса в одной полуплоскости
комплексной переменной ко, и потому интеграл по v от них
равен нулю. В итоге при йм| \k имеем
P, = 2^,G,,^exp[_(^JJ^-^-
-2|G|»^Re -k ^n~^»)/rm ^ j A36)
Гт« + f Гтп ~ ' К " Am» + F (Q - Amn)Jf
Нелинейная часть работы пробного поля A3.6) связана,
следовательно, только с распределением заселенности по скоростям.
1 Обсуждение указанных эффектов в системе покоящихся атомов
проведено в § 7, 8.

§ 13]
Трехуровневые системы
211
В графике Рй как функции Q^ нелинейная часть выступает в
виде резкой структуры лорентцевой формы с полушириной
Tmt+knTmJk и расположенной вблизи QVL=Ami—kVL(Q—Airnn)/k
(рис. 5.1, сплошная линия).
Природа нелинейного резонанса в рассмотренном случае
аналогична природе резонанса в графике работы поля стоячей
волны (см. § 11), а именно: сильное поле создает в
распределении по скоростям на уровне т провал Беннета в окрестности
Рис. 5.1. Зависимость
работы пробного поля от
частоты' Qn при kvi\\k и
\ | | J ^ >
kv=Q—Amn. Пробное поле эффективно взаимодействует с
атомами, скорости которых удовлетворяют условию Q^—Аш—6^ = 0.
Если частота пробного поля такова, что (й^—Amz)/kn=— (?2—
—Amn)/k, то оно взаимодействует с атомами, заселенность
которых изменена сильным полем, и возникает нелинейный
резонанс.
Исчезновение членов, ответственных за НИЭФ и
расщепление уровней, можно пояснить следующим образом. При к^\к
.дмшлеровские сдвиги для переходов т—п, т—/ противопо-
доя&ны тяш&ку. Выражение A3.4) показывает, что усреднение
Щ evpftactflf Ш таком случае проявляется подобно
интегрирований но $V, которое, в свою очередь, обращает в нуль указанные
члены (см, § 8).
В обратной ситуации совпадающих направлений
распространения сильной и пробной волн (fenf ffe) результат
усреднения по скоростям выражения A3.4) радикальным образом
меняется. Допплеровские сдвиги для переходов т—п, т—I
теперь имеют один знак, и интерференционный член при усреднении
по скоростям в нуль не обращается. Математически это
выражается в том, что, как функция скорости, интерференционный
член в A3.4) имеет полюса в обеих полуплоскостях
комплексной переменной kv.
Если &,л<Ж то в случае k^]k после усреднения по
скоростям отличен от нуля и член в A3.4), ответственный за полевое
расщепление уровня т (см. задачу 22). При k^>k данный
член по-прежнему исчезает в результате усреднения, а работа
поля передается соотношением (&ц>?, fe^ffft)

212
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
>» - 2/41О, Г if ехр [ - {^М J ] {лг, - к. -
*2 = [гш, - гп1 + гтд +1 (дт, - дпг - Amn)]-J; A3.7)
Гг = rnj Н—г— Гтп; Q^ == Q,i — Апг — Amn — -г- (& — Ат71);
_! _ _ . *
Нелинейная часть работы пробного поля как функция Яй
представляет собой два контура, обладающие различными ширинами
Гь Г2 и смещенные друг относительно друга на величину 6=
=Amj—А„2—Amn, т. е. вследствие столкновительных сдвигов.
Поскольку коэффициенты С\, с2 комплексны, контуры несколько
асимметричны (в меру отличия от нуля той же разности б).
Если 6=0, то оба контура имеют лорентцеву форму и
центрированы на одной частоте (см. рис. 5.1, штриховая линия).
Второй контур с2/(Г2—i&\&) в A3.7) целиком обусловлен
НИЭФ; часть амплитуды первого контура (Г^1) связана с
провалом Беннета, тогда как вторая часть, представленная членом
с2 в амплитуде С\, также обязана своим происхождением НИЭФ.
При выполнении условий 6=0, r^==if<+Tif характерных для
спонтанной релаксации, интерференционный член полностью
гасит резонанс из-за провала Беннета
сх= 0; с2 = =Ц Г2 = уп + уг + -йг— {ут + уп);
Lm к
Qui = Q|*a = Оц — -j? Q- A3.8)
Нелинейный резонанс в данном случае оказывается одиночным
лорентцевым контуром с полушириной Г2. Если частоты
переходов т—п и т—1 достаточно близки {К—k4Hk), то полуширина
резонанса равна полуширине запрещенного перехода: Г2=1Г«+Т^
Из выражений A3.6) и A3.7), A3.8) следует, что форма
линий Рй(?2ц) обладает ярко выраженной анизотропией. В
случае спонтанной релаксации справедливо равенство Ti—Г2=
=2^т, т. е. ширина резонанса при встречном распространении
волн всегда больше, чем для однонаправленного. В случае
ударного уширения могут осуществляться оба неравенства: Ti>r2
и Г1<Г2.
Пусть волновые векторы не вполне коллинеарны. Вектор
скорости v запишем в виде v=v+v±t где «1„ направлена вдоль
К, a v± лежит в плоскости k^ k. При этом имеем fc„v=*„»„,
ftv==fent;„-ffex^x. Интегрирование выражения A3.4) по ии снова

§ 131
Трехуровневые системы
213
приводит к формулам A3.6), A3.7), в которых следует
заменить k-*kb fi-^Q—k±v.x, добавить максвеллов множитель
W(v±) и усреднить по V±. Очевидно, что результаты A3.6),
A3.7) остаются в силе, если угол f} между волновыми
векторами k и йц удовлетворяет неравенствам
_______ у у
to|0|fis*ijo<rnI + -Sj— Ттп;
k A3.9)
Мя-0|<Гт1 + уГШп.
При нарушении неравенств A3.9) ширина нелинейных резо-
нансов будет определяться допплеровским параметром k±_v
и при О-^я/2 доходить до полной допплеровской ширины ко.
Таким образом, для выделения узких нелинейных резонансов
наиболее интересно почти коллинеарное распространение волн,
а неравенства A3.9) задают точность, с которой эта
коллинеарность должна осуществляться.
Рассмотрим теперь случай больших расстроек сильного поля
(|Q|»?i?), ограничиваясь рамками приближения A3.4).
Кроме того, для удобства сравнения с результатами § 8 полагаем
NTn=Nl=Of что отвечает возбуждению только уровня п.
Формула A3.4) после этого может быть преобразована так
р. -им^<.([ г„-УХ'-v) +
+ г.,-.1Н,-вЛ.,-№,-«).1]*<'>> A3.Ю)
В данном приближении происходит разделение линий
ступенчатого и двухквантового переходов (ср. с (8.13)), имеющих
максимумы на частотах Qu=Ami и Q^=fi+A„i соответственно.
Каждая из линий испытывает допплеровское ушнренне. Линия
ступенчатого перехода изотропна, т. е. не зависит от
направления kp и характеризуется допплеровской полушириной k^v.
Напротив, линия двухквантового перехода обладает ярко
выраженной анизотропией: при k^\k ее допплеровская
полуширина равна {K~\-k)v (может быть заметно больше полуширины
линии ступенчатого перехода), а при К\\к допплеровское уши-
рение минимально. Если |йй—k\v<^Tni, то при
однонаправленном распространении волн линия двухквантового перехода
имеет полуширину Гп/.
Все изложенное выше переносится на двухфотонное
поглощение и двухфотонную флуоресценцию (Et'>Em>Enf см. рис.
3.18, а), если произвести замены Йй->-—йй, АГц->—Агй, как это
пояснено в § 8. В данном случае, следовательно, нелинейные
интерференционные эффекты существенны при встречном
распространении волн (fe^f \k). В таких условиях и линия двухкван-

214 Спектроскопия пробного поля [Гл. V
тового перехода обладает минимальной шириной (вплоть
до Тщ).
Особенно полная компенсация допплеровских сдвигов
происходит тогда, когда частоты, двух волн, действующих на
атомы, совпадают. Эти условия осуществляются при двухфотон-
ном поглощении и двухфотонной флуоресценции. Наиболее
удобной в экспериментальном отношении является методика
двухфотонного поглощения. В опытах такого рода измеряется
поглощение одной или обеих бегущих волн, образующих
стоячую (или почти стоячую) монохроматическую волну.
В отношении компенсации допплеровских сдвигов
поглощение и испускание двух фотонов не отличается от разобранных
выше явлений. Однако при конкретном расчете контура линии
следует принимать во внимание взаимодействие поля с
обоими переходами атома /—m и гп—п, что, впрочем, не изменяет
формальной структуры уравнений для pmn, pmz, рт- Кроме того,
действие обеих встречных волн должно рассчитываться в одном
и том же порядке теории возмущений.
Вычисления, вынесенные в задачу 23, приводят к
следующему выражению для работы одной из-бегущих волн,
распространяющихся во встречных направлениях:
ln п 8Q\h* ' ' [2kv ^ r?22l + Q2j'
?2i = со — comn; Q = 2со — (oln + Дп,.
Лорентцев член в этом выражении описывает вклад в Р
поглощения двух фотонов: со, k и со, —ft. Условие резонанса для
такого процесса
% ((o—kvl+% (a+kv). = 2йсо = %aln
не зависит от v, и форма контура предопределяется
релаксационными процессами. Гауссов член в Р отвечает поглощению
двух фотонов "одной из бегущих волн; для этого процесса
условия резонанса
зависят от v, а поглощение атомами с заданной скоростью
описывается функцией
Re{rnt+il2(a)±kv)—<otn+Anl]}-\
и ее усреднение с максвелловым весом приводит к
рассматриваемому члену работы Р.
Методика двухфотонного поглощения в различных
вариантах (например, с измерением флуоресценции с верхнего уровня
/) широко применяется для исследования сверхтонкой
структуры линий, неупругих процессов и в других задачах [1, 2].
Возвратимся к обсуждению формулы A3.2). Анализ
относительно прост, когда полевое расщепление уровней мало по

§ 13]
Трехуровневые системы
215
сравнению с допплеровской шириной (|G|<C&7), хотя по
отношению к константам релаксации величина \G\ может быть
произвольной. Соответствующие выкладки сделаны в задаче 24;
здесь же приводится окончательное выражение для Рм, в
котором ради простоты положено До=0:
Р; = 2йсо, | G,|* ?? ехр [ - (^ Y1 {Nt - Nm -f
+ (Nm~N„)lF±(QiX) + f±(Qll)]}i ^>А; A3.11)
P if - ^ 21 G I2 p~ (Г+ " "Ч)/г« -'-A * /r+S)^ .
±_1"^ ^/П^* (Г±-*в±)(Г0-/е±) + |0|« '
A3.12)
Знаки + и —-г в выражении A3.11) отвечают
однонаправленному (K\\k) и встречному (К\\к) распространениям волн.
Функции f± и F± представляют соответственно интерференционный
член (пропорционален A±У1+х)/2 в A3.12)) и член,
обусловленный неравновесным распределением по скоростям.
Из сравнения (8.77), A3.2) и A3.12) видно, что нелинейная
часть работы поля A3.11) как функция е± имеет такую же
формальную структуру, что и выражение для работы поля
неподвижного атома, рассматриваемое как функция Оц при Q = 0,
А#=0, с константами релаксации Г±, Г0 взамен Гп/, Tmi. Таким
образом, контур линии A3.12) характеризует некоторый
«эффективный атом», релаксационные параметры которого
различны &ля двух ориентации волновых векторов.
Если \G\2 мало по сравнению с релаксационными
константами, то формулы A3.11), A3.12) переходят в A3.6), A3.7).
Главные характерные черты формы линии ЛЛФ*) при
относительно больших полях состоят в следующем. Прежде всего
отметим сохранение основной особенности — анизотропии формы
линии (^(QjO отличается от P»(Qv)). Так же, как. и при
слабом поле, "нелинейная часть работы поля пропорциональна
(Nm—Nn), т. е. «чистый» эффект расщепления, имеющий место
в покоящихся атомах при Nm=Nn, в результате усреднения по
скоростям пропадает 2. Интерференционный член, отсутствующий
при k^Wk в приближении первых нелинейных поправок,
появляется в следующем порядке по к (/-пропорциональна
величине 1—У1+х при ftut \k). Наконец, в силу зависимости
эффективных констант релаксации Г±, Го от |G|2, нелинейные резо-
нансы испытывают полевое уширение. По этой причине полевое
2 Этот вывод справедлив при выполнении условия k»>k. В противном
случае (kn<k) расщепление следует принимать во внимание [3, 4].

216
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
расщепление (член \G\2 в знаменателе A3.12)) проявляется не
столь сильно, как для изолированных атомов3.
В разобранных выше частных случаях эффект полевого
расщепления уровней выступает в завуалированной форме. Для
его эффективного проявления необходимы такие поля, чтобы
выполнялось условие \G\^kv. Остановимся на этом подробнее.
Пусть Nm=Ni=Ot а возбуждается только состояние п. Если
\G\?j>kv, то формулу A3.2), разложив на простые дроби,
можно привести к виду
N 2Г
xRt(W(v)\-t i '- +
\W{*)\ —
+
Мх + (м2^4)Гт/Гп
T (Tml + Tnl) - l \% ~ Q2 ~ (*>, - **) 4
Oi.2 = т (Q + Anz + A»i) ± К IG |2 + Q2/4;
Mi-aBaT[1=fc2V|flp + Qi/4]-
A3.13)
A3.14)
Здесь Mi,2 — фактор корреляции, "который обсуждался в § 8
(см. «(8.21)). Результат усреднения по v может быть выражен
через стандартные функции (см. задачу 25).
Работа поля Рй -как функция Q„ представляет србой две
линии, .максимумы которых находятся при значениях Qn=Qb Q2,
так что расстояние между линиями равно yfi2+4|G|2. Каждая
из линий обладает анизотропией: форма ее зависит от взаимной
ориентации й, К и от значения фактора корреляции. При
ftMf \k обе линии более узкие, чем при ft^f \k. В частном случае
Й=0 линии одинаковы по форме, имеют равные амплитуды и
идентичную угловую зависимость. Если |й„—М^г? или
|йц—М2й|г? значительно /меньше (Гт1+|Гп/)/2, то
соответствующая линия при ft„f ffe будет иметь лорентцеву форму с
полушириной (г.и+г.о/г.
Результаты, полученные выше, относились к схеме типа
комбинационного рассеяния (см. рис. 3.10). Однако их можно
распространить на любую из схем, изображенных на рис. 3.18.
Так, для двухфотонного поглощения и вынужденной двухфо-
э Более детальный анализ выражений A3.11), A3.12) можно найти в
работе [б].

Двухуровневые системы 217
тонной флуоресценции в схеме рис. 3.18, а следует произвести
замену Ц* ~* — &ц. В схеме комбинационного рассеяния через
нижний уровень (см. рис. 3.18, б) необходимо заменить /->•?,
т++п. Наконец, при двухфотонном поглощении и вынужденной
двухфотонной флуоресценции, отвечающих схеме рис. 3.18, в,
замена должна быть следующей: /->•?, т +-+ п,Йд-*—?V
Как и для нелинейных резонансов, обусловленных
исключительно эффектом насыщения (см. гл. IV), спектральный контур
работы пробног.о поля зависит от типа релаксационных
процессов и, в частности, должен видоизменяться вследствие
изменения скорости при столкновениях.
• Предполагая отсутствие «фазовой памяти» на переходах
т—nf m—U п—/, формула A3.2) для работы пробного поля
остается в силе, если в ней произвести замену
rf/-*Vi + Y/ + vi;; Au-^vl; (j,i = m9n9l). A3.15)
При этом все влияние столкновений с изменением скорости
заключено в pmm. В приближении первых нелинейных поправок
в формулах A3.6), A3.7) добавляется столкновительная
структура, которая в модели селективного рассеяния подобна столк-
новительному провалу в pmm(tf) и описывается функцией Zm
(см. A2.66), A2.67)) при замене в ней Q—ftu-^Q^^Q/ft,
Y+v'-^Ym+'fr+b (T+vO/u. Знаки ± отвечают ориентациям
В модели сильных столкновений выражение для работы
пробного поля получено в задаче 26.
§ 14. Метод пробного поля в двухуровневых системах
с большим допплеровским уширением
В настоящем параграфе анализируется работа пробного
поля, резонансного тому же переходу (Ъг—п), что и сильное.
Выясним особенности данного случая по сравнению с
трехуровневыми системами. Вынужденные переходы, индуцируемые
пробным полем (й>й), происходят между состояниями,
возмущенными сильным полем (со), тогда как в трехуровневых
системах возмущено только одно из состояний перехода,
резонансного пробному полю. В силу этого эффект полевого
расщепления в двухуровневой системе проявляется качественно иначе,
чем в трехуровневой: для изолированных атомов вместо двух
спектральных компонент (см. (8.7)) возникают четыре (8.38).
Кроме того, как отмечалось в § 8, нелинейные
интерференционные эффекты в двухуровневой системе проявляются в осцил-
ляциях заселенностей уровней т,п и в возникновении
поляризации на комбинационной частоте й)ц=2ю—gv

18
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
Естественно ожидать, что для двухуровневых систем
движение атомов и столкновения создадут качественно новые
изменения в спектрах пробного поля. Так, вследствие
осцилляции заселенностей спектр содержит компоненты, ширины
которых определяются релаксационными характеристиками
уровней, а не переходов. При столкновениях с изменением
скорости для осциллирующей части заселенностей
принципиально характерно сохранение «фазовой памяти», и изменение
скорости приводит к специфическим изменениям формы
интерференционных нелинейных резонансов.
В модели релаксационных констант исходим из уравнений
(8.80), справедливых и для движущихся атомов при замене
Й -> Q — kv, ?2ц -+- QM — k^v. Осуществляя в (8.80) подстановку
(8.81) и пренебрегая спонтанными переходами т-*-пу
приходим к следующим уравнениям для r#, rmn, 7тп:
(Tj — fe') ги ± i [G*rmn — Gr*mn] = ± iGyfimn, i = m9 n;
(Г — iQ' — Ы) rmn + iG (rmm — rnn) = — iG». (pmm — pnn);
(Г + tfj' - urOmn - iG* (rmm - глп) = 0,
Q' = Q — kv\ Qjx = Q» — крю; e' = Q,, — Q — (k» — k) v.
Величины p^, pm„ в правой части уравнений' A4.1)
удовлетворяют уравнениям A0.7), которые описывают взаимодействие
атомов в отсутствие пробного поля. Столкновительный сдвиг
Amn, не отраженный в A4.1), при необходимости можно
полагать включенным в Q, ?2Й(Q -*• Q — A,™; Q* ->• &» — Amn).
Работа на частоте пробного поля согласно общим
правилам определяется выражением
Ру, (Од) = - 2Й0),, Re <Ю>тл> ' A4.2)
и для покоящихся атомов приведена в задаче 11.
Распространение результата на систему движущихся атомов сводится,
очевидно, к замене Q ->¦ Q', Q» ->- Q]x и усреднению по скоростям.
В приближении первых нелинейных поправок этот
результат легко получить и непосредственно из уравнений A4.1),
используя также первые члены разложения величин р#, pmn
по амплитуде сильного поля
Ру, (Q») = 2Нсо» (Nn - Nm) | Сд |2 Re /-^r f 1 -
X F1-77V + :
Г + iQ' ' T-tQ^
(H.3)
Члены выражения A4.3), содержащие Г,-—iV, отражают влия-

§ 14]
Двухуровневые системы
219
ние нелинейных интерференционных эффектов
(интерференционный член). Остальные слагаемые нелинейной части Р„
обусловлены изменением заееленностей уровней тип (засе-
ленностный член).
Как и в трехуровневой системе, интерференционный член
работы поля A4.3) обладает анизотропией по отношению к
взаимной ориентации волновых векторов к» и к; при k^Wk
величина е' содержит двойной допплеровский сдвиг 2kv, тогда
как при feufjft допплеровские сдвиги практически полностью
компенсируются4, и е' не зависит от скорости.
В условиях большого допплеровского уширения (T<€.kv)
и |0|<*г; интерференционный член в A4.3) при к^\к в
результате усреднения по скоростям пропадает и выражение для
Рц преобразуется к виду
Р, (Од) = 2йсо, (Nn - Nm) | G, |2 ?? e-lW*)* x
kv
Нелинейный резонанс*в графике Рц(йй) расположен вблизи
QM=— Q и имеет лорентцеву форму с полушириной 2Г
(рис. 5.2). Амплитуда резонанса пропорциональна
суммарному времени жизни 1/Гт+1/Гя на уровнях т, п. Если положить
Qn=Q и рассматривать выражение A4.4) как функцию Q;
то нелинейная часть работы поля A4.4) с точностью до
коэффициента, равного 2, совпадает с резким членом выражения
A1.10), описывающим провал в графике работы поля стоячей
волны. Это совпадение естественно, так как нелинейный
резонанс в A4.4) обусловлен аналогичной причиной —
взаимодействием пробного поля с группой атомов, заселенности которых
изменены сильной встречной волной.
При ftuffft интерференционный член отличен от нуля, и
интегрирование по скоростям в формуле A4.3) приводит к
следующему результату:
-2|G|«Re^J^ + ± + ][r-i^ + ir^]}. 8 = 0,-0.
[ т п т п J/
A4.5)
Нелинейный резонанс находится вблизи йй=0 и представлен
, тремя спектральными компонентами, отличающимися по
ширине. Две из них имеют полуширины Гт и Гп, определяемые за-
4 Отличие модулей k^ и k волновых векторов даже при |Оц— Q\~kv
составляет |&ц—k\~kvlc где с —скорость света. Поэтому положим &ц=&.

220
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
fy№ju) 1
Рис. 5.2. Зависимость работы пробно- Рис. 5.3. Типичные формы «заселен-
го поля от частоты (двухуровневая постного» провала (/) и интерферен-
система, T<kv> \G[^kv). ционной структуры B).
туханием уровней (точнее, релаксацией заселенностей), и
являются спектральным отражением временных осцилляции
заселенностей. Заселенностный провал пропорционален 1/Гт+1/Г„,
как и в случае встречных волн, но расположен теперь вблизи
e=Q„—Q=0. Основные изменения связаны с
интерференционным членом. Интеграл по е от него равен нулю, т. е. его роль
состоит в деформации контура нелинейного резонанса с
сохранением «площади». Характерные формы заселенностного
провала и интерференционного контура показаны на рис. 5.3. Из
Формулы A4.5) следует, что значения заселенностного и интер-
еренционного членов при е=0 одинаковы и потому вклад
интерференционного члена всегда существен.
В силу неравенства Гт, ГП<2Г, всегда выполняющегося,
результирующий нелинейный резонанс при ft^ffft уже, чем при
K\\k. Максимальное сужение наблюдается при выполнении
соотношения Г=(Гт+Гп)/2. В этом случае из A4.5) следует
Р, (Q,) = 2/ко, (Nn - Nm) X? е"(^/йI1G, |» {l -
Как и в трехуровневой системе, условие rfj= (Г*+Г,)/2
означает, что интерференция атомных состояний играет
максимальную роль. В A4,6) она проявилась в том, что в нелинейном
резонансе остались две спектральные компоненты с
полуширинами Г,„, Г„ и равными амплитудами.
В случае ftMf \k относительно простое выражение для
работы поля Рр может быть получено при довольно слабом
ограничении на интенсивность сильного поля, а именно: \G\<^.kv.
При выводе соответствующего выражения удобно, однако,
исходить не из общей формулы задачи 11, а из самих уравнений

§ 14]
Двухуровневые системы
221
A4.1). Величины ri5 представляют собой амплитуды временных
и пространственных осцилляции заселенностей уровней. При
k^\k эти осцилляции аналогичны пространственным осцилля-
циям заселенностей в стоячей волне (см. § 11) и движение
атомов в значительной мере их усредняет. Таким образом, с той
же степенью точности, с какой получены уравнения A1.7),
можно пренебречь слагаемым Ш(гтт—гпп) в уравнении A4.1)
для rmn. После этого имеем
. x(Nn- Nm)[l - Rey^r + r8,rt.(V4 A4.7)
\ m n J
Значение разности заселенностей (pnn—pmm) взято из формулы
A0.11).
Полуширина нелинейного резонанса в A4.7) складывается
из полуширины Гв провала Беннета в распределении
заселенности по скоростям и из полуширины линии люминесценции Г.
Относительная амплитуда резонанса равна 1—1/yi-fx и как
функция н имеет вид кривой с насыщением. Величина Р„ при
Оц=—Q убывает с ростом % пропорционально l/Yl+и.
Для анализа приближения очень сильных полей \G\^$>kv
сделаем упрощающее предположение Г=ГТО=ГП. Тогда
получаем выражение для работы поля (см. задачу 27)
*?
+ 2tQ,
[Г -1 [е + Q„ - (йц -2M»ft) v]
~ Г - ф - Q, -2(*и - 2Mxft)*] J }/; <14'8)
й0
Здесь Mi, 2 —фактор корреляции, уже встречавшийся ори
анализе^ трехуровневых систем (см. (8.21) и A3.14)). Если |G|>
*>kv, то в выражении A0.11)-для разности заселенностей p*n—
—ртт можно пренебречь допплеровским сдвигом kv; физически
это означает, что интенсивное поле взаимодействует с атомами
практически независимо от значения их скорости. Таким
образом, вся селективная зависимость от v в A4.8) отражена явно.

222
Спектроскопия пробного ПОЛЯ
[Гл. V
Результат усреднения по скоростям в A4.8) существенно
зависит от ориентации k» и к (анизотропия формы линии) и от
соотношения |Q| и kv. Рассмотрим сначала случай точного ре-
зонанса, Q=0. Здесь Mi, 2= 1/2, и для однонаправленных волн
усреднение по скоростям приводит к соотношению
1 '!<?! LL?!__| (U9)
+ Г-1@^ + 210 I) Г —t(Qfr —2|G|)J- V*'*>
Контур Рд(Оц) симметричен относительно QH=0 и формально
состоит из трех спектральных компонент. Однако основную
роль играют интерференционные члены, обладающие
дисперсионной формой и расположенные вблизи Qn=±2|G| (рис. 5.4,
1). Центральная компонента лорентцевой формы по амплитуде
в |G|/r раз меньше боковых и в масштабе рис. 5.4 мало
заметна. Ширины компонент определяются величиной Г.
Заметим, что контур, описываемый формулой A4.9), подобен
контуру для покоящихся атомов (см. рис. 3.19, а, кривая 5).
Движение атомов проявилось лишь в уменьшении общего множителя
dn/kv) в PtiQy).
В противоположность однонаправленным волнам при
встречном их распространении допплеровские сдвиги kv и k^v
складываются (см. A4.8))
8/=е— {К—k)v=s—2kjo\ (ktl—2№it2k)v= (l+2Mi,2)M>
вследствие чего происходит сильное «замыкание» спектра
(см. рис. 5.4, 2; соответствующие вычисления проделаны в
задаче 28).
Обратимся теперь к анализу A4.8) в предельном случае
|Q|>&?. В множителе l/[T+i(Q—kv)] выражения A4.8)
можно пренебречь допплеровским сдвигом kv и величиной Г.
Селективная зависимость от скорости останется только в
дисперсионных слагаемых, содержащих е. В отличие от A4.9)
контур линии Рй(?Эц) теперь асимметричен относительно точки е =
= 0, а боковые компоненты, расположенные в окрестности ?2Ц=
=Q±Y?224-4|G|2, имеют «колоколообразный» вид (рис. 5.5, а,
б). Вообще говоря, все компоненты допплеровски уширены.
Уширение центральной компоненты определяется
допплеровским сдвигом (к»—k)v, допплеровские сдвиги для боковых
компонент равны (fcM—2fA\k)v и (ku—2N[2k)v. Если |Q|<C|G|, то
боковые компоненты при к\\к^ и k\\к» подобны друг другу
(см. рис. 5.5, а); при этом наблюдается их существенное
сужение при уменьшении угла между йм и й. Допплеровское
уширение при k^Wk полностью отсутствует, если fo?|Q|/r|G|<Cl.

§ 14]
Двухуровневые системы
223
Pju^ju)
Рис 5 4. Форма линии Яц(?2ц) при
А-
Л
J^
i
-я0
А'
J\l
Л V^sSa.
1
520
i
- »—
^v
~~-
х/
с
0 ^
0
Л4^
0^—^
S20
¦—^ i
In
«0
\ 1 X
Р> 6
2
?
¦-^Г
Рис. 5.5. Форма линии Рм(Ои) при |G|>&p, |Q|>/jy.
а — | Q | < | G |; б — | Q | > | G |. Кривые /, 2 отвечают ориеитациям
волновых векторов Лц tt * и *д Т4 *•

224
Спектроскопия пробного поля
ГГл. V
Увеличение |Q| оставляет неизменной форму центральной
компоненты, а форма боковых определяется выражением
± Mb ехр {- (в ± Q0J/(^i,2^J)
ftl.2 = l*|i-Mlf2*r
fCn R Т^ _. угг-: ~ ™ I
О u\ A4.10)
YQ* + 4|G|a
Из выражений A4.10) видно, что при k»\\k боковые
компоненты обладают одинаковыми ширинами
*1.20 = ко yQ*^4\G\*>
увеличивающимися по мере роста отношения |Q|/2|C|. Одно-
временно возрастает и расстояние между ними 2VQ2+4|G|2,
а «негативная» компонента становится относительно менее
интенсивной.
Для встречных волн
*i,2» = 12 ± ../ Q = I ко
I VQ2 + 4|G|2 I
и по мере роста |Q|/2|G| одна компонента сужается (та,
которая расположена дальше от ow и характеризуется
положительной амплитудой), а другая — уширяется. Описанные
явления иллюстрируются рис. 5.5, б.
Подводя итоги анализа эффектов сильного поля, отметим,
что, как и для покоящихся атомов, в системах с большим доп-
плеровским уширением возможны условия, когда в одних
участках спектра пробное поле усиливается, а в других —
поглощается. С этой точки зрения наибольший интерес представляет
случай |G|»fo?, |Q|>&>, когда области усиления и
поглощения разделены -большим спектральным интервалом, который
может регулироваться интенсивностью сильного поля.
Перейдем к вопросу о влиянии столкновений,
сопровождающихся изменением скорости, на спектр работы пробного поля.
Ограничимся самыми простыми условиями. Полагаем, что
«фазовая память» на переходе т—п при столкновениях не
сохраняется, а работу поля будем вычислять в приближении первых
нелинейных поправок. Выражение для Рй(й„) представим в
следующем виде:
+ '°l'teC*^-4S*-V>)}i <Ш1)
г,=-Гя/0*Сй; Pi=-Ap;y/|G|2; Ap„=N}W(v)-9jj. A4.12)
В выражении A4.11) в явном виде выделена линейная часть ра-

§ 14]
Двухуровневые системы
225
боты поля (первый член в фигурных скобках). Величины Дрл
суть нелинейные части распределения заселенностей по
скоростям. Они подчиняются уравнениям, аналогичным A2.1), если в
последних отбросить член возбуждения, а в динамической части
ограничиться первым приближением по интенсивности поля.
Имея в виду приближение первых нелинейных поправок, в
уравнениях A4.1) для т^ можно отбросить член, содержащий
?тп, так как эта величина, описывающая поляризацию на
комбинационной частоте, проявляется в более высоких порядках.
Добавляя интеграл столкновений в уравнение для тн и
принимая во внимание сказанное выше относительно Др#, для величин
pi и rj получаем уравнения
B?j + v,) р,- = ± (Nm - Nn) W (v) [y + vl_iQ, + y + v\iQ>] +
+ §AjJ(v\v1)p)(v1)dv1. A4.13)
{2y, + v3 - tV) n =±{NM- Nn) W (v) [v + v_!.Q,_tV +
+ т + ?'+^] + | ^/»1^)^(^)^х- (И.14)
Обратим внимание на то, что уравнения A4.13), A4.14) очень
похожи друг на другаб. Более того, они становятся
тождественными при е/=0. Данное обстоятельство оказывается
полезным в методическом отношении, ибо позволяет не решать
заново уравнение A4.14), а использовать полученные результаты.
Ограничимся по-прежнему анализом двух наиболее
интересных ориентации волновых векторов: k^\k и к^\к. Можно
показать, что для встречных волн (K\\k) при большом доппле-
ровском уширении интерференционный член, пропорциональный
(г™—гп), в выражении для работы поля после усреднения по
скоростям обращается в нуль по той же причине, что и в
модели релаксационных констант. Таким образом, нелинейная
часть работы пробного поля, распространяющегося навстречу
сильному, целиком обусловлена эффектами изменения
заселенности уровней.
Уравнение A4.14) необходимо, следовательно, только при
анализе однонаправленных волн (fe^fffe). Тогда 8'= 8—(fcM—
—k)v=e, т. е. не зависит от скорости. Условие большого доп-
плеровского уширения {V<^Jkv) позволяет, кроме того,
пренебречь величиной ?е в динамической части уравнения A4.14).
В итоге уравнение A4.14) отличается от A4.13) только заменой
2Ti-^-2«Yr-ie. Поскольку 8 не зависит от скорости, для
получения решения уравнений A4.14) достаточно в решении уравне-
6 Нормировка A4.12) выбрана именно с той целью, чтобы указанное
сходство было нагляднее.

226
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
ний A4.13) для р, произвести замену 2^-> 2^—i'e, что в
дальнейшем и будет использоваться.
Перейдем к рассмотрению конкретных моделей
столкновений. В модели сильных столкновений распределение разности
заселенностей pmm—pnn по скоростям _дается формулой A2.29).
Принимая во внимание связь между р^и р#, выраженную
формулой A4.12), а также связь между pj и fj при ?м||й,
приходим к результату (спонтанным переходом т-*~п пренебрегаем)
Р» (Q,) = 2йш, (Nn - Nm) IG, |2 ^ e"(V*5I {] _
-2|0|iRe^j5^2G + v)-\(Q|l + O) +
^TJByJ + vj) k-v Jj' ^ '
P„ (Ц0 = 2йсо,(JVn - Nm)\G^e"(^^J(l - 21G|«X
Г 1 1 , _J 1 ,
Vn -(Q/k^r у f ^j , 4- !_Л
+ - й e" 4,n W^ + V,) + Г, - /e 2Y, + v,- is)
A4.16)
При встречном распространении волн (см. A4.15)) нелинейная
часть работы пробного поля как функция Q„ содержит
резонанс (вблизи Йй=—Q) лорентцевой формы с полушириной
2(y+v') и полосу с допплеровской шириной kv. Резонанс и
полоса обусловлены провалом Беннета и полосой однородного
насыщения в распределении разности заселенностей по скоростям
(формулы A2.29)). Более того, как показывает сравнение A4.15)
и A2.29), зависимость Р» от йй (см. рис. 4.7) подобна
распределению по скоростям A2.29).
Вследствие нелинейных интерференционных эффектов,
которые отражаются величинами г$ в формуле A4.11), контур
линии P^(Qn) при кц\ ffe, претерпевает значительные изменения в
сравнении с k^\\k. В нелинейной части Р^ неизменной осталась
только полоса. Нелинейный резонанс, связанный с провалом
Беннета, в силу условия Y+v'=Tfm+Tn+(vm+Vn)/2 (см. E.5))
скомпенсирован интерференционным членом.
Столкновения привели к появлению качественно новой
интерференционной структуры (столкновительный
интерференционный резонанс), описываемой множителем [ B^+Vj—ie) (Г*—

§ И]
Двухуровневые системы
227
Рис. 5.6. Полоса
однородного насыщения (/) и
интерференционный столк-
новительный резонанс B).
—/е)]. Максимум соответствующего члена в A4.16) достигается
при 8 = 0, где он в точности равен амплитуде полосы. Вид
интерференционного столкновительного резонанса в сравнении с
полосой показан на рис. 5.6. Указанный резонанс разбивается
на два лорентцевых контура с полуширинами 2^+Vj и Г$.
В целом нелинейная часть работы поля содержит четыре
резких члена: два контура с полуширинами 2fm+Vm, 2f»+vn,
определяемыми временами жизни на уровнях т, п до первого
столкновения с изменением скорости, и два контура с
полуширинами Гт и Г«, каждая из которых определяется полным
временем жизни на уровне.
•Присутствие узких спектральных компонент, связанных с
полным временем жизни на уровне, имеет следующее
объяснение. В отличие от недиагональных элементов матрицы
плотности заселенности не подвержены влиянию процессов типа
«сбоя фазы». Поэтому в течение всего времени жизни на
уровне, несмотря на столкновения, происходят осцилляции
заселенности уровня / на разностной частоте е, порождающие в
работе пробного поля спектральную компоненту соответствующей
ширины. С другой стороны, в рассмотренной модели
столкновений для заселенности, характерны два времени релаксации:
время B^+Vj)* релаксации состояния с заданной скоростью
и полное время TJ жизни на уровне. Оба они отразились в
спектре PM(Q^), обусловливая полуширины 2*{г\-Ъ и Г*
отдельных компонент.
Из формул A4.16) можно найти отношение амплитуд
узкого и широкого нелинейных резонансов. Для одного из членов
суммы по / это отношение равно (]—т)
/й~^BYn+vn) = учг^ь+ЗьПт. = i A4Л7)
ко im ко Lj
где щ — число столкновений за полное время жизни на уровне
(см. § 12). Если щ велико, то узкий резонанс может по
амплитуде заметно превысить широкий.
Формулы A4.15), A4.16) показывают, что для встречных
волн уширение нелинейного резонанса обусловлено
исключительно релаксацией недиагонального элемента матрицы
плотности (константа релаксации 7+v'). Напротив, в случае k^\\k

228
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
нелинейный резонанс уширяется в соответствии с релаксацией
только заселенностей. Эта интересная особенность присуща,
однако, только модели сильных столкновений, а при другом типе
столкновительной релаксации не имеет места 6.
.Рассмотрим модель селективного рассеяния. Распределение
заселенностей по скоростям в модели одномерного разностного
ядра описывается формулой A2.66). Используя ее в
выражении A4.11) для работы поля Рй, после несложных
преобразований можно прийти к формулам
Р, = 2йсоц | G, I» (Nn - Nm) П е-^*)' {1 -
,0|'Re/l2|[5TFv;'2(T + v)-/(Qll + Q) +
"t"r;BY; + v/)JM 2G + ^-/@^ + 0-40 Jj' A4,ltJ'
P* --= 2Ц | С |» (Nn - Nm) IjS e~{Q^2 {1 - 2101» X
• X Re L2Vn + \ ' 2Ут + vm - ^ + 2Tw + vm * 2Tn + vn - /в +
+ Alri№ + '/)i. 2(V + v)-,(e-
*0
+ r-^
Г^ — le 2y
_J f ^^L_)l| A4i9)
Здесь /#(?) —регулярная часть функции Грина, задаваемая
формулой A2.63). Функция /*#(?, е) получается из ^;(?)
заменой Г^Г,—18 и 2^+Vj -*¦ 2ifj+Vj—ie.
Из сопоставления формул A4.18) и A2.66) можно
убедиться, что в результате замены Q^-*-—kv, 2(y+v) ^y+v в
формуле A4.18) выражение для работы поля Рй становится
пропорциональным выражению для разности заселенностей pmm—
—pnn. Таким образом, и в данной модели столкновений контур
линии Рц(&ц) для встречных волн подобен распределению ртт—
.—рпп по скоростям. Следовательно, результаты анализа
неравновесной части распределения по скоростям, проведенного в
§ 12, можно перенести на РЛЗД.
6 Даже в модели релаксационных констант при k^ \\k в контуре 1Рц(йц)
присутствует резонанс с полушириной 2Г (см. A4.5)).

§ 14]
Двухуровневые системы
229
Обсудим выражение A4.19), отвечающее случаю
однонаправленных волн. Каждый член суммы по / в нелинейной части
A4.19) состоит, как и в модели сильных столкновений, из трех
слагаемых. Первое слагаемое (пропорционально B^+v^—le))
имеет полный аналог и в формуле A4.16). Оно ответственно
за взаимодействие атомов с полем до первого столкновения.
Второе слагаемое (интегральное) описывает столкновительный
нелинейный резонанс, такой же по форме, что и для встречных
волн. Третье слагаемое имеет интерференционное
происхождение. При е = 0 оно совпадает со вторым и также представляет
собой-результат взаимодействия поля с атомами, уже
испытавшими столкновения (столкновительный интерференционный
резонанс). Все слагаемые являются резкими функциями Ой.
Самое широкое из них — столкновительный провал, полуширина
которого превышает 2(,y+v/), а самое узкое —
столкновительный интерференционный резонанс. Характерный интервал е, где
изменяется соответствующее слагаемое, определяется, как и в
модели сильных столкновений, полным временем жизни на
уровне (Г71).
Если ширина srfl-j-tij функций /#(?) значительно меньше
2(t+v/)/^, то выражение A4.19) переходит в A4.5) (модель
релаксационных констант). В обратном предельном случае
B(Y+v/)<C*5iyi+ni) столкновительный провал имеет
экспоненциальную форму (см. A2.70)), а форма
интерференционной столкновительной структуры определяется выражением
2у. |- v, - /в у "(г, - te)Bv, + v, - ie) ' '
Из сопоставления указанных предельных случаев, а также из
самого выражения A4.19) видно, что уширение нелинейного
резонанса при fcufffe обусловлено, в частности, и релаксацией
недиагонального элемента матрицы плотности (зависимость
интегральных членов в A4.19) от y+v). В свою очередь, ширина
резонанса при k^\\k зависит не только от ¦ybV, но и от
характера релаксации заселенностей (столкновительный провал).
Характерный вид спектральных компонент нелинейного
резонанса показан на рис. 5.7. Из суммы по /=m, п в A4.19)
на этом рисунке отображен один член. Полное число
спектральных компонент в нелинейном резонансе равно,
следовательно, шести. Ширины их в общем случае различны.
Еще большее число компонент возникает в модели, в
которой принято во внимание как селективное, так и изотропное
рассеяние. Комбинируя результаты обеих моделей, нетрудно
понять, что в общем случае число различных спектральных
компонент в Р»{%) при Vff* равно девяти (включая полосу).
Таким образом, спектры пробного поля чрезвычайно богаты
информацией о процессах релаксации, происходящих в системе

230
Спектроскопия пробного ПОЛЯ
[Гл. V
-1 ? 1 -
Sl0 0 а0 8
Рис. 5.7. Компоненты нелинейного ре- Рис. 5.8. Спектр спонтанного испуска-
зонанса. ния при \G\>kv, \Q\.
1 — провал с полушириной 2Vj + Vj*, 2 — 1 — k^ = k\ 2 — k^ = — k.
столкновительный провал; 3 —
интерференционный столкновительный резонанс.
сталкивающихся атомов. С другой стороны, обилие
информации затрудняет и интерпретацию результатов, поэтому при
конкретных исследованиях необходимо выбирать условия так,
чтобы доминирующую роль играл тот или иной эффект.
§ 15. Спектр спонтанного испускания
В § 9 на основе квантово-электродинамического подхода
сформулирован способ описания спонтанного излучения атомами
с помощью эффективного классического поля (см. (9.23)).
Оказалось, что спектр спонтанного излучения может быть вычислен
в результате выделения из работы классического пробного поля
той ее части, которая соответствует испусканию. Кроме того,
интенсивность пробного поля должна быть выбрана согласно
(9.21) или (9.22).
При анализе спонтанного излучения на переходе, смежном с
возмущаемым внешним полем, указанное разделение
проводится элементарно на основе рассмотрения процессов возбуждения.
Если, например, нас интересует спонтанное испускание на
переходе т—/ в схеме рис. 3.10 (Em>Ei), то в выражении для
работы пробного поля следует оставлять члены, пропорциональные
скоростям возбуждения уровней тип. Наоборот, при Et>Em
спонтанный переход 1-+т связан только с возбуждением уровня
/ (см. (9.27) и (9.28)).
Таким образом, для спектра спонтанного- испускания на
переходах, смежных с возмущенными, эффекты движения атомов
и столкновений подобны рассмотренным в § 13 для работы
пробного поля на смежном переходе.
И$юе положение со спонтанным испусканием, происходящим
на переходе т—л, резонансном сильному полю. Дело в том, что
после возбуждения нижнего уровня п атом переводится сильным

§ 15]
Спектр спонтанного испускания
231
полем в верхнее состояние т и после этого может принять
участие в спонтанном распаде. Поэтому в данном случае разделение
работы пробного поля на поглощение и испускание
производится иным способом (см. (9.29)), не связанным генетически с
процессами возбуждения. В соответствии со сказанным результаты
§ 14 не имеют прямого отношения к спонтанному испусканию,
и вопрос о нем требует дополнительного анализа.
Выражение для спектральной плотности интенсивности
спонтанного испускания (—Р„) покоящихся атомов,
взаимодействующих с монохроматической бегущей волной, получено в
задаче 13. Для системы движущихся атомов, как выяснено в § 10,
следует произвести замену й->-й—kv, Q^-^-Q^ — k^v и
выполнить усреднение по скоростям. Ввиду громоздкости общей
формулы ниже рассматриваются только наиболее яркие частные
случаи.
В приближении первых нелинейных поправок и большого
допплеровского уширения (Г<С&г>, |й| < kv) из формулы задачи
13 можно найти
vu
Pll = -2b<uVL\Gll\*^exp
Vr
kv)
X {^-2(^-^I01^ Re 2r_.(^ + fl)); A5.1)
Ptl=-2%^\G)l\^exp
* ч"(^J]К(Жт_ж")|с|2х
Линейная часть P» в A5.1), A5.2) зависит от заселенности
только верхнего уровня т, что естественно для спонтанного
испускания атомов в отсутствие сильного поля. Нелинейная часть
спектра A5.1), A5.2) отличается от нелинейной части полной
работы пробного поля тем, что из суммы по j=m, п в A4.4),
A4.5) удерживается по одному члену, так как в спектре
спонтанного испускания существенны распределение Беннета на
уровне т и «биения» заселенностей уровня /г.
Если Nm=Nny то в рассмотренном приближении графики
Р*(Оу), определяемые формулами A5.1), A5.2), не содержат
Нелинейных резонансов вовсе. При ЫтфМп спектры спонтанного
испускания качественно повторяют спектры пробного поля. ,
Наибольшее качественное отличие спектра спонтанного
испускания от спектра работы пробного поля достигается в
предельном случае \G\>kv. Процедура вычисления Рд из общей
формулы задачи 13 аналогична проделанной при выводе формулы

232
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
A4.8) (см. задачу 29). Если Гт=Гп=Г, |Q|<|G|, то Рцдается
соотношением
+ lJl , Ml 1\;
"Г T-i[e-Q{i-(kVi-2Mlk)v p T-i[E-r Q0-(kyi-2M2k)v\\/
A5.3)
Qo=2|G|+Q2/4|Gi;M1,2=4'A±Q/2lGl)'
Характерный вид спектра при fe|i=— k и fe„=fe показан на
рис. 5.8. Спектр почти симметричен относительно точки 8=0.
Боковые компоненты расположены вблизи 8=±Q0.
Интегральная интенсивность боковой компоненты в 2 раза меньше
интенсивности центральной. При feM=— k все компоненты имеют
примерно одинаковые допплеровские ширины Bkv и 2kv A =ь ^, \\
В случае ktl=k центральная компонента характеризуется
лорентцевой формой и полушириной Г. Боковые компоненты
триплета описываются функцией Фойхта (свертка лорентцевой
и гауссовой функций), так что их форма и полуширина зависят
от соотношения между Г и kv\ 1— 2МЬ2| =kv\Q\/2\G\. Если
r>&i?|Q/2G|, то форма лорентцева, а полуширина равна Г.
В противоположном случае боковые компоненты имеют гауссову
форму и обладают полушириной kv\Q/2G\.
Сравнение рис. 5.8 с рис. 5.5 и 5.6 показывает, что спектр
спонтанного испускания чрезвычайно сильно отличается по
форме от спектра работы пробного поля. Отметим также, что
выражение A5.3) пропорционально полусумме (Nm+Nn)/2, т. е.
значению заселенности уровня т в условиях, когда сильное поле
полностью выравняло заселенности обоих уровней.
Интересными особенностями обладает спектр спонтанного
испускания атомов, движущихся в поле стоячей
монохроматической волны. В системе покоя атома такая волна бихроматич-
на (частоты adzkv) и уровни атома расщепляются на
бесконечные системы эквидистантных подуровней (Гт=Гп=Г, со*=сотЛ;
см. G.30) и последующее обсуждение)
Ems = Ет + fisfcv; Ens' = Еп + %s'kv. A5.4)
Спектр- спонтанного испускания, определяющийся переходами
ms-+ns\ имеет вид (ср. (8.25) и задачу 30)
р -^«л» У / с,(»».|орт(.) \
-^-ТЕЗ^^у-ЧО*-^*)'!/' A5'5)
причем член k^v учитывает эффект Допплера при переходе в
л-систему. Из выражения A5.5), в частности, следует, что при

§ 16]
Поляризационные явления
233
наблюдении вдоль направления k член Z=—1 задает
спектральную компоненту, полуширина которой Г не зависима от
интенсивности внешнего поля7.
Структурой, аналогичной A5.5), должен обладать и спектр
на смежном переходе. Однако в силу различия &й и k
компенсация допплеровских сдвигов в этом случае не полная. Если же
?д=2& (или вообще k» кратно k), то в члене /=—2 (или
/=—kjk) компенсация полная, и он также характеризуется
полушириной Г.
Влияние столкновений на контуры нелинейных резонансов в
спектрах спонтанного излучения может быть выяснено
методами, изложенными в предыдущих параграфах. И в физическом,
и в методическом отношении существующие здесь вопросы во
многом подобны рассмотренным ранее [6—12].
В настоящем параграфе анализировался спектр спонтанного
испускания на переходах между возбужденными состояниями.
Полученные выше результаты не могут быть полностью
применимы в случае, когда нижнее состояние перехода является
основным. Специфика переходов с участием основного состояния
обусловлена бесконечным временем жизни последнего, что
находит своеобразное отражение в спектрах спонтанного испускания.
В настоящей книге данный вопрос не исследуется, и мы дадим
лишь ссылку на соответствующую литературу [12—18].
§ 16. Поляризационные явления
В § 11, 12 обращалось внимание на зависимость амплитуд и
формы нелинейных резонансов от поляризации поля. Круг
поляризационных явлений существенно расширяется в
спектроскопии пробного поля, и они приобретают особое значение. Дело в
том, что состояния поляризаций сильного и пробного полей могут
выбираться произвольными и независимыми друг от друга.
Кроме того, нелинейные резонансы в спектрах пробного поля
содержат компоненты, обусловленные нелинейными
интерференционными эффектами, которые особо чувствительны к поляризациям
полей.
Уточним последнюю мысль на примере двухуровневых
систем. В модели невырожденных состояний (см. § 14)
нелинейные интерференционные эффекты выражаются в биениях засе-
ленностей уровней и приводят к спектральным структурам с
ширинами, характеризующими релаксацию заселенностей. В
системах с вырожденными уровнями помимо заселенностей биения
испытывают моменты более высокого ранга (и=1, 2, ...), и
ширины соответствующих спектральных структур зависят от
скорости релаксации указанных моментов. С другой стороны, при
разных поляризациях сильного и пробного полей работа послед-
Более детально упомянутое и другие явления рассмотрены в [6].

234
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
него зависит, очевидно, от нескольких поляризационных
моментов, причем варьируется вес не только моментов разного ранга,
но и моментов, принадлежащих верхнему и нижнему состояниям.
В силу этого" форма нелинейного резонанса с изменением
поляризационных условий может претерпевать радикальную
перестройку. Аналогичные соображения имеют силу и для
трехуровневых систем.
Приступим к вычислению работы пробного поля. Рассмотрим
вначале двухуровневую систему, предполагая, что атомы
взаимодействуют с сидышм и слабым (пробным) полями на переходе
между состояниями т и и, вырожденными по направлениям
угловых моментов /т, /п-
В уравнениях B.37) для матрицы плотности в представлении
поляризационных моментов следует полагать
UL = - GU~m-kr) - GUn<rK%t~4r), A6.1)
где матрица <??тп ответственна за взаимодействие с пробным
полем8. Для матриц G\k и G^ik справедливы соотношения
A0.30).
Как и в модели невырожденных состояний, решение
уравнений B.37) ищем в виде9
pmn(t, r)=e-i@<-*',[pmn+rmne-"+rnme'4, A6.2)
Ф=е/—(йц—k)r; e = Q„—Q,
где векторы pih rtj, тц не зависят от координат и времени.
Слагаемые р« и pmn в A6.2) представляют собой матрицу плотности
в отсутствие пробного поля и удовлетворяют следующим
уравнениям (ср. с A0.26), A2.99)):
2TmPmro = J*" W (v) + Smm -1 [G%mPmn - 8?пРЛМ];
V 2Jm + '
2VnPn„ = 7^=т w W + 5™ -l \.°™v™ - SSmPm»];
(V - ЙУ) Pmn = - i [GZn9mn - GlnPnn] + Smn; A6.3)
Pnm(Щ) = (- l)Jm~Jn+Vmn(x -q),Q'=Q-kv; у = ym + Y».
Здесь и далее ради простоты не принят в расчет радиационный
распад по каналу пг-+п.
8 Индекс \к отмечает принадлежность к пробному полю и не имеет
отношения к нумерации уровней.
9 Напомним, что величины р*; являются векторами-столбцами с
компонентами рц(кд).

§ 16]
Поляризационные явления
235
Уравнения для величин rih rijf полученные тем же путем, что
и в модели невырожденных состояний, имеют вид (ср. с A4.1)):
\^Уп *? ) 1*пп = ^пп I i^Jmn^nm ^птГтп\ ^limnPnm»
(V - НУ - ie') rnn = Smn - i [OZrmm - Gl„rnn] - A6.4)
(У + iQ IS) Гпт = Snm — i [Onm^nn — Gnmfmml-
Матрица системы уравнений A6.4) при е = 0 совпадает с
матрицей системы A6.3) (если в последних добавить уравнение для
pnm); решение уравнений A6.3) служит «правой частью» в
уравнениях 'A6.4).
В дальнейшем будем ориентироваться на решение уравнений
A6.3), A6.4) методом итераций по амплитуде сильного поля.
Частоты и ядра интегралов столкновений полагаем
диагональными по х и q и не зависящими от q (см. A2.100)).
Решение уравнений A6.3), A6.4) будем выражать через
функции Грина, которые, в свою очередь, удовлетворяют
следующим уравнениям:
Fjj (nqv | Hi9it>i) = б^вад/ух (v | vx);
Fmn (*qv I *i<7i*>i) = бхиА^Л (v | vx);
BTy + v;)F3x (V | *') = J A* (VIvx)FjK (v, | V') dvt + 8 (V - v');
\y + v-iQ')Fx(v\v')= ^AH(v\v1)Fyi(v1\vf)dv1 + 6(v-vr);
A)* (v | vx) = Ajj (xv | xvx); A* (v \ v±) — Amn (xv \ ког);
Fnm (*<?*> I *i<7i*>i) = Fmn (*qv \ *i<7ii>i).
A6.5)
fjj (xqv | x^^i) = bwfiqqjjx (V | vx)'9
fmn i^<ro I HtfxVi) = ЬыАягЫ (v I v±);
{2yj + Vj - M) fjK(v | *') = J A*(v|vx)Ы(*iI«') *i + «(v -tf);
-<7 + v —/Q^)/x(tF|tF/) = j^^l^/x^il^^i + S^-^);
*s vmn; vj s= vj7; Q' = Q - Jfefl; QJ, = Йц — M? 8' = Qi* ~ й'-
A6.6)
Функции Грина />, fK отвечают уравнениям для р# и ртп,
S уравнения A6.5) эквивалентны уравнениям A2.102).
Уравнениям для rjh гтп соответствуют функции Грина /*, /*. Функция
?^ина уравнения для гпт не приведена, поскольку в дальнейшем
Й^ВЗ'нам не "понадобится.

236
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
Заметим, что при fe„=fe и 8=0 уравнения A6.6) становятся
тождественными уравнениям A6.5). Поэтому решение
уравнений A6.6) при k^\\k может быть получено из решения системы
A6.5) формальной заменой *
2^->2^— t'e; y->y—/е. A6.7)
Сделанные замечания полезны в дальнейшем, так как
решения уравнений для функций Грина Fjx, F% уже рассматривались
в § 12 для различных моделей столкновений. С другой стороны,
функции Грина fjHi fx нужны будут именно в случае к^==к
(однонаправленные в.олны сильного и пробного полей).
При решении уравнений A6.3) можно использовать
итерационные соотношения A2.103), в которых функции Грина Fj},
Fmn удовлетворяют уравнениям A6.5). По аналогии можно
составить итерационные соотношения и для rih rwn, rnm.
Ограничимся приближением первых нелинейных поправок и
вычислим величину гтп(\о)у пропорциональную дипольному
моменту, наведенному на частоте пробного поля, и необходимую
при выводе работы пробного поля Р„. Для pmn(x<7; v),
РззЫ<Г> v) можно пользоваться выражениями A2.105),
A2.106) (в последнем следует отбросить функцию Грина F^n).
В указанном приближении величиной гтп .в уравнениях A6.4)
можно пренебречь. После этого, осуществляя ту же
последовательность операций, что и при получении формулы A2.108)
(метод последовательных приближений), приходим к следующим
выражениям для <rmn(la)> и работы поля:
<гтп Aо)> = - iNnm @»о*та - 2 (- \)'-°\\о\ - ах | х?> X
х 2 [Gff^?)P* + W И) *;*]]> О6-8)
}—т,п J
N N
дг — * т - V —0 1 2
1Упт — 2/ -f 1 2J + Г ~~ ' » *
п т '
P^ = 2ft<B^VnmRef|GJ«aMIl- 2 2 [ | / И) РР* +
^ у—т,п nq
+ l№)l*iyubB*\). A6.9)
В формулах A6.8), A6.9) введены обозначения
am»=<fi(«F|tr,)lT(p1)>;
В* = <h (« | f»i) al*Fj* (t»j |«,) [Л (t>, | V,) + Fl (©, | f»,)] № (*,)>;
^ = <fi(v\v1)a%fjx(v1\v2)[f1Coi\v3) + F\(vi\v3)] W(v3)>;
J (xq) = 2 (- l)l~Cl<lal - <*i | x</> G^,; A6.10)
aai.
/ц И) = 2 (^- lI_0,<lal - a! | x<?> G^U;
Ода ~ S'lxo^mn/^-

§ 16]
Поляризационные явления
237
Здесь угловыми скобками обозначено интегрирование по всем
скоростям. Величины ajK задаются формулой A2.106). Величина
J(x,q) сконструирована по аналогии с тензором поляризации
/(х4) сильного поля (см. A0.34)) и имеет смысл
«перекрестного» тензора поляризации, так как в /(х#) входят билинейные
комбинации круговых компонент различного происхождения.
Обсудим выражение A6.9) для работы пробного поля. Все
внимание будет сконцентрировано на нелинейной части, ибо
линейная часть, пропорциональная amn, анализировалась в гл. III.
. Зависимость от частоты ?2Й нелинейной части Рц(&*)
сосредоточена в функциях BiK(Qv)9 Pjh(Q»a). Члены, содержащие ?,*,
обусловлены «полевыми» изменениями в распределении
поляризационных моментов уровней по скоростям, как это видно
из определения A6.10) для Bjit и из выражения A2.106).
Величины pjx, согласно своему определению, создают
интерференционные изменения в контуре линии PU(QM)
(интерференционные члены). Конкретный вид Bjil(Qtl) и pjx(Qu) определяется
моделью столкновений.
Как уже отмечалось в § 12, уравнения A6.5) (см. также
A2.102)) для функций Грина Fjx(v\vi), Fx(r|i>i) формально
не отучаются от уравнений A2.4), A2.5) модели невырожденных
состояний. В силу этого 'члены BJX(QU) с точностью до
зависимости от к как от параметра подобны «заселенностным»
членам работы пробного поля, исследованной в § 14.
Что касается членов flix, то в условиях к^=—k они
обращаются в нуль по тем же причинам, что и интерференционные
члены в модели невырожденных состояний. При условии ?ц=?,
когда члены fox существенны, функции Грина fix и fx заменой
A6.7) легко находятся из функций Грина F^} FK. Учитывая
данное обстоятельство, можно показать (по аналогии с
соответствующим выводом в § 14), что величины fox связаны с Bjx заменой
2Ti^2T—re.
Таким образом, конкретные выражения для величин В^ pJX
могут быть получены на основе результатов § 14. Так, в модели
релаксационных констант по аналогии с A4.4), A4.5) имеем
я- _2Vje-(Q^J^ 1 . Пбш
В"-2 й г;.х2Г-;^ + й)' AЬЛ1)
Р^2^е-^J <4 1 eeQ||_Q.. A6Л2)
Верхний знак в формуле A6.11) отвечает однонаправленным
(K=k) волнам, нижний — встречным {К=—к).
Приступим к анализу собственно поляризационных явлений.
Зависимость от поляризаций пробной и сильной волн в
выражении A6.9) для работы поля отражается тензорами поляризации
HnQ), I(nq). Изменение состояния поляризаций волн
формально проявляется ц изменении коэффициентов перед ?ix, fox, т. е.

338
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
веса, с которым каждый из членов BjK, pJK входит в конечный
результат. Сами же функции В*(?2Й), ЫЗД при изменении
поляризационных условий не меняются и, как показано выше,
целиком обусловлены процессами релаксации.
Заметим, что интерференционные члены piK в A6.9) содержат
«поляризационный» множитель B1 «J (и<?) |2), отличающийся от
ч
его аналога 2Л*(Х(?)^* (н^) в выражении для 5ix, т. е. в общем
я
случае интерференционные члены входят в нелинейную часть
работы поля с иным «поляризационным весом», чем ^лены,
обусловленные распределением поляризационных моментов по
скоростям. В частном случае одинаково поляризованных волн
справедливо равенство \J(nq) |2=М>с<7)/*(х<7) и вес указанных
членов одинаков 10.
Разберем некоторые конкретные примеры. При к^=—k
интерференционные члены отсутствуют и нелинейный резонанс,
согласно A6.11), имеет не зависящую от поляризаций лорентцеву
форму с полушириной 2Г. Изменение поляризационных условий
сказывается лишь на его амплитуде. Таким образом, в модели
релаксационных констант случай k]l=—k не особенно интересен
с точки зрения поляризационных явлений.
При однонаправленных волнах каждый из членов $&, помимо
общего для всех лорентциана с полушириной 2Г, содержит ло-
рентциан с полушириной Tix. Поскольку величины Гэк, вообще
говоря, различны для разных /=/я, п и х=0, 1, 2, нелинейный
резонанс в графике Рц(йц) содержит в итоге семь спектральных
компонент.
Пусть сильная и пробная волны имеют простейшие состояния
поляризаций: одинаковые линейные (ft)> одинаковые круговые
(+.+)> ортогональные линейные (j->) и ортогональные
круговые (Н—) поляризации. Соответствующие схемы переходов
показаны на рис. 5.9.
Выражение A6.9) для работы поля представим как
Р„ = 2йсо^пт | G, р J^e~^/Al?J- | G |* Re ср (Q^J, A6.13)
где нелинейный резонанс описывается функцией Recp(Qn). В
результате вычисления тензоров поляризации /(и?), I(nq)9 /ц(и<7)
в указанных выше случаях можно получить
tf:
j=m,n
10 В модели невырожденных состояний (см. § 14) вес интерференционных
и «заселенностных» членов одинаков, поскольку данная модель физически
обоснована именно для одинаковых поляризаций двух волн.

§ 16] Поляризационные явления 239
<р @Ц) = у2 (Bh + -g- вЛ + -у 5/2 + Pio + -2" Рл + -5- Р/2);
A6.15)
ф (Он) 4 2 К - *л + 4 Рл+4Рл); A6Л6>
ф(Цх) = 4 2 (^«-Т^л + х^л + ЗРлУ A6-17)
Выражения A6.14) —A6.17) справедливы и для иных моделей
релаксационных процессов (выражения A6.10) для BjH и $&),
однако ради определенности в дальнейшем анализе
поляризационных явлений будем исходить из формул A6.11), A6.12),
отвечающих модели ралаксационных констант.
Как. видно из A6.14)—A6.17), от поляризаций не зависит
коэффициент только перед членами Вю, вес остальных величин
В&, Pjk меняется в зависимости от поляризаций полей в широких
пределах. Члены же BjU $п при некоторых поляризационных
условиях могут отсутствовать вовсе:
Рис. 5.9. Gхемы переходов, вызываемых сильным (прямые
линии) и пробным (волнистые линии) полями с
простейшими состояниями поляризации. Пояснения см. в тексте.

240
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
Согласно A6.11), члены Bjy. как функции Q» подобны друг
другу и их веса в функции ф(Йц) влияют только на амплитуду
лорентциана с полушириной 2Г (как и для встречных волн)".
Наиболее существенно то, что в формулах A6.14) —A6.17)
варьируется вес интерференционных членов flix, несущих на себе
спектральные компоненты с полуширинами Tix.
Полный набор членов piK осуществляется в случае
одинаковых круговых поляризаций сильной и пробной волн. При
одинаковых линейных поляризациях A6.14) выделяется пара pj0 и fjj2l
которые дают спектральные компоненты с полуширинами,
равными константам релаксации заселенностей (rj0) и
выстраивания (Г#). Если волны имеют ортогональные линейные
поляризации A6.16), существенной становится пара Рли[*д, и возникают
контуры с полуширинами 2Г, Гл, Ti2, где Гя— константы
релаксации ориентации. В случае ортогональных круговых
поляризаций A6.17) выделяются только члены &2.
Для модели невырожденных состояний характерно, что
интерференционные и «заселенностные» члены в нелинейном
резонансе имеют одинаковый вес (при е=0 равны друг другу, см.
§ 14). Если уровни вырождены, то указанное соотношение весов
между Bjx и (Jix сохраняется при одинаковых поляризациях полей
и- нарушается, если поля поляризованы иначе. В первом случае
результат легко понять, так как схемы рис. 5.9, а, б, отвечающие
одинаковым поляризациям полей, представляют собой
совокупности двухуровневых подсистем, для каждой из которых
соотношение весов соответствующих членов равно единице. При
ортогональных поляризациях полей (см. рис. 5.9, в, г) общие
схемы эффективно разбиваются на совокупности трехуровневых
подсистем с тем, правда, усложнением, что у некоторых
переходов «по пробному полю» оба состояния возмущены сильным
полем. Это усложнение, однако, несущественно, когда речь идет
о приближении первых нелинейных поправок. Главное то, что
здесь проявляется специфика нелинейных интерференционных
эффектов трехуровневых систем, заключающаяся в создании
поляризации на запрещенных переходах пМ—пМ' и тМ—тМ'.
В данном случае в качестве запрещенных переходов выступают
переходы между магнитными подуровнями одного из уровней
/=т, п. Другими словами, нелинейные интерференционные
эффекты при ортогональных поляризациях полей обусловлены
когерентностью магнитных подуровней. Именно поэтому в
формулах A6.16), A6.17) отсутствуют члены pi0, в которые входят
константы релаксации заселенностей уровней, и, напротив,
присутствуют рзь р#, содержащие константы релаксации
когерентности подуровней. В частности, при ортогональных круговых
поляризациях (рис. 5.9, г) важна когерентность подуровней,
отличающихся на ДМ=2, возникающая в поляризационных
моментах ранга х=2 и выше. В соответствии с этим в формуле
A6.17) из всех членов Ми<2) присутствует только р#.

§ 16]
Поляризационные явления
241
Что касается членов Я,х, то интерпретация их роли в
формулах A6.14) — A6.17) иная: каждый из них гТрисутствует в той
мере, в какой сильное поле влияет на поляризационные моменты
соответствующего ранга. Так, если сильное поле поляризовано
линейно, то оно меняет заселенность уровней (член BjQ) и
создает выстраивание {Bj2)y что и отражено в формулах A6.14),
A6.16) (см. также A0.32), A0.36)). Поле круговой
поляризации влияет на заселенности, создает ориентацию и
выстраивание. В силу этого в A6.15), A6.17) присутствуют Bjit в полном
наборе.
Каждый из членов BjH, Р* содержит коэффициент afx,
зависящий от х и от моментов обоих уровней ту п (см. A6.10) —
A6:12)) и влияющий на вес контуров с полуширинами Г,*. Если
угловые моменты уровней т, п равны G™=/*), тоа^х = апк.
Приведем явный вид коэффициентов а%. Для перехода
Jm=Jn=J из A2.106) получаем
I _ 3 . п2 _ п2 3 ш
?0~2/+Г "ml — «ni- 2/(/+1)B/+1)'
2 3 B/ — 1)B/-1-3) A6.18)
112 — 10 /(/+ 1)BУ-|- 1) '
Если /?п=^=/п, то, полагая для определенности /п=/, /и=/—1,
находим
2 _ 3 о _ 3
ат0 — 2J - 1' а,г0 ~~ 2J -г 1 '
awl" 2 /BУ- 1)' ni 2УBУН-1)» ЦОЛУ)
2 _ 3(/-1)B/-3) . 2 __ 3(/+1)B/ + 3)
т2 10/ B/ - 1 )BУ + 1) '  10/ B/ — 1)B/ + 1)"
Для переходов Л/=0 из A6.18) следует а%/а% = 5/B</ —
—1)B/+3). С ростом / данное отношение убывает
пропорционально 1/Я и уже для /=2 составляет ^1/4. Это значит, что при
больших значениях / в формулах A6.15) —A6.17) членами
Bju Рл можно пренебречь в сравнении с Bj2> fa. В частном
случае /= 1/2, напротив, обращается в нуль р# в согласии с тем,
что выстраивание на уровнях с 7=1/2 возникнуть не может.
Таким образом, в предельных случаях больших и малых
значений / в формулах A6.14) — A6.17) происходит дополнительная
селекция членов, а в нелинейном резонансе — селекция
контуров.
\ Для переходов |Д/| = 1 коэффициенты aLc и aL различны
и контуры с характеристиками уровней т и п в нелинейном
резонансе представлены с разными весами. Как показывают
выражения A6.19), в данном отношении особо выделены переходы
п2
ат2 —

242
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
/щ=0-^/п=1» /т=1/2-*/„=3/2. В первом случае (/=1)
^mt = am2 = 0, следовательно, в формулах A6.14) —A6.17) из
суммы по j=m, п исключаются все члены с /=го, кроме Вт0 и
{Jw0. Что же касается последних, то для данного перехода
Ято/Дпо = 3; и члены J5m0, {Jmo доминируют над Вп0, fW Во
втором случае G=3/2) в формулах A6.14) —A6.17) отсутствуют
ЧЛеНЫ Вт2, $т2-
При других значениях / на переходе с |Д/| = 1
относительная роль членов с j=tn, п регулируется факторами ЯшкЛ*™-
Из A6.19) имеем
п2 In2 2J+l -и2 In2 _(^-l)B/+l). /Ifi90\
2 , 2 _ (/ —l)B/ —3)
С увеличением / отношения A6.20) стремятся к единице,
т. е. резонансы, относящиеся к уровням тип, при больших
/ приобретают одинаковый вес. В то же время отношение сЁпа/йпг
для 7=4 составляет 3/11 (все еще мало) и вплоть до этих
значений / членами Вт2, ртг практически можно пренебрегать по
сравнению с Вп2, рП2- Отношения же Ятх/япхС я=0,1 не малы
уже при /=2.
В отличие от перехода Д/=0 на переходах с |Д/| = 1
величина Ядпри />1 не мала по сравнению с af0, а,|- Указанные
величины при />>1 составляют следующую пропорцию:
а%:а%:а% = \:±:±. ' A6.21)
В соответствии с этой пропорцией вклад величин Bi2, &2 в
выражениях A6.14)—A6.16) мал и ими в ряде случаев можно
пренебрегать. Напомним, что на переходах с Д/=0 при J*>U
напротив, пренебрежимо малы величины Вп, рл.
Особое место занимает случай констант релаксации, не
зависящих от н (Г^=Г^), осуществляющийся либо в условиях
чисто спонтанной релаксации, либо если столкновения приводят
только к тушению уровней. В данном случае Bix, р* при разных
значениях к отличаются только коэффициентами af* и их
целесообразно сгруппировать.'Принимая во внимание также то
обстоятельство, что в упомянутых моделях релаксации
справедливо соотношение
Гт+Гп=2Г, A6.22)
и используя выражения A6.18), A6.19) для коэффициентов afK«

i 16]
Поляризационные явления
243
формулы A6.14) — A6.17) можно привести к следующему виду:
ft-
* (Й»> - А- ЬЖ=Щ + ТЗ?=ЩЩ e-<=»W, (.6.23)
Аг = -|- (a2m0 + 2al2) = ~- (а2п0 + 2а*2),
»<W -Л.[ст^ч + 1г?1Л=ч]§.-^Т. -(,6.24,
Л _ 2'д2 ,32 , J_ 2 \_ 2 / 2 , 3 2 , 1 2 \.
ф( ,l)"lr»(r»-to) + r»(rm-'e)J *»e ' A6'25)
*« -2 к?=щ+wN] f ^ "• <'"¦»
В рассматриваемой модели при йд=й полностью исчезает ло-
рентциан ,с полушириной 2Г, и нелинейный резонанс состоит
из двух лорентцианов с полуширинами Гт и Г«. Если пробное
и сильное поля поляризованы одинаково, то амплитуды
указанных лорентцианов равны (см. A6.23), A6.24)), а конкретное
состояние поляризации влияет только на общий множитель
в <р(?2й). При ортогональных поляризациях полей соотношение
амплитуд лорентцианов остается прежним для переходов
с А/=@, когда amit=anx, и изменяется, если /т?=/п. В
последнем случае большую амплитуду имеет лорентциан, полуширина
которого равна константе релаксации уровня с большим
значением /. Так, для перехода Jm=J—1->/п=/ отношения амплитуд
лорентцианов, содержащихся в A6.25), A6.26), равны
соответственно
<4i + <42 _(/-i)F/+i). <42 _(/ —1)B/ —3) /lfio7,
4i + 42 -e+W-l)' а\2 (/+1H2J + 3)' VD-">
Второе из этих соотношений уже обсуждалось выше, а по поводу
ItepijDro заметим, что если /=2, то при ортогональных линейных
Поляризациях отношение амплитуд лорентцианов равно 13/33,
У* е. вес лорентциана с полушириной Гт невелик.
Все основные выводы, касающиеся поляризационных
явлений и полученные на основе анализа выражений A6.13) —
A6.17), справедливы не только в модели релаксационных кон-

244
Спектроскопия пробного ПОЛЯ
[Гл. V
стант, но и в любой другой модели, приводящей к
формулам A6.10).
Более того, поляризационные явления в трехуровневых
системах во многом подобны рассмотренным выше. Пусть пробное
поле.резонансно переходу т—I (см. рис. 3.10, Ет>Еь).
Матричный элемент взаимодействия ULi на переходе т—I равен
ULi = - Oi.ie-f( V-V). ~{1бЩ
Элементы матрицы плотности на переходе т—п по-прежнему
описываются уравнениями A6.3). Для дополнительных
элементов, необходимых при вычислении работы пробного поля,
справедливы следующие уравнения, вытекающие из уравнений B.37):
(Vm + Yl - Й*'ц) Гт1 = Sml + iQmrTnl — iOZlPmml
Ьп + Vl~t (Ql* - Q')l Гщ = Snl - iQll9nm + t&lnmrml\ A6-29)
PmZ—rmle K* » PnZ — rnie v* v^ '%
Q' = Q — kv; Q|t = Q^ — k^v.
Интегралы столкновений в этих уравнениях так же, как и выше,
предполагаем диагональными по х, q, т. е. имеющими структуру
A2.100). По аналогии с A6.5), A6.6) введем функции Грина
столкновительной части уравнений A6.29)
fml {*<№ I Щ&г) = 8*К|в«./т1к (« I ^l);
fni (*Ф> I ^i^i) = <WWnix (* I *i);
(Тт§+[?Г+ Vmi - |Од) /mlM (tf hi') =
= |Лт,к (IF I VX) /WIM (^ I«') ?tox + 6 (o - IF'); A6'3°)
= |лп^(^|^1)/п/к(^1|^)^1 + 8(^-^).
При вычислении дипольного момента (<rm,(la)>),
наведенного на частоте пробного поля, и работы поля в приближении
первых нелинейных поправок принимаем во внимание формулы
A2.105), A2.106). В результате итерационных процедур,
аналогичных использованным при выводе формул A2.108), A6.8),
находим следующие выражения для <rm,(la)> и работы поля:
<rmi(lo)> =i(NmlamlG^-Nnm Ц (-l)i-*<lal -ajx?) X
X [GaiJ (Щ pK + 0Wl/.D?) B»]}; A6.31)

Поляризационные явления 245
Р„ = - 2?gv Re {Nmlaml | Gu |2 -
- ли 2 [ | / to) I2 Рн +'»№7* to) *-]}» A6-32)
о
JV.. JV#
Bx = «B* </Mii (« I *>l) Fmn («i I «») [i7! (»« №з) +
+ ^1*(«,|«,)]Г («,)>; (Jj A6.33)
ft. =•• «Px </«U (» I f»i) /„ ix («11>2) If mil («8 I »8> + ^1 («8 I »зI ^(«8»,
«fl « И1 ^--^ll x 11A И 1 }
Величины 7(х<7), 1Лщ)> Цкя)> FmM(v\vi), FH(v\vi) имеют тот
же смысл, что и в формулах A6.8) — A6.10).
Величина Вн в нелинейной части работы поля A6.32),
согласно своему выражению A6.33), обусловлена изменениями
в распределении поляризационных моментов уровня т по
скоростям (ср. также с A6.10)). Члены выражения A6.32),
содержащие рм, имеют интерференционное происхождение (отличны
от нуля благодаря fn/x; см. A6.33)). Таким образом, физическое
содержание членов рх, Вх в выражении A-6.32) такое же, как
и членов ^х, В& в двухуровневой системе (формула A6.9)).
Аналогия между выражениями A6.9), A6.32) углубляется еще
тем, что перед ВХ} рх в A6.32) стоят те же комбинации тензоров
поляризаций полей, что и перед каждым членом В&, $& суммы
по /=т, а выражения A6.9).
. В силу отмеченных обстоятельств поляризационные явления
в трехуровневых системах формально проявляются так же, как
и в двухуровневых. Представим работу пробного поля A6.32)
по аналогии с A6.13) в виде
Ра (Q„) = 2/5«v | G(l |2 Ы1П& е_^/йJ + IG |2 Nmn Re ф1 (Qjl
A6.34)
формулы A6.14) —A6.17), приведенные для простейших поля.-
ризаций сильной и пробной волн, остаются в силе и для q>i (Q„),
если в них произвести замену
2 В;*-+Би; 2 6^->рк. A6.35)
}=т,п j=m,n

246
Спектроскопия пробного ПОЛЯ
[Гл. V
В силе остаются и те общие выводы, которые получены при
анализе выражений A6.14) —A6.17) без конкретизации
вида В*» fo,.
В трехуровневой системе нелинейный резонанс, описываемый
функцией q>i(Q) в выражении A6.34) обладает, очевидно,
менее сложной структурой по сравнению с двухуровневой (вместо
пары компонент fiix с j=mt п в.A6.32) фигурирует только одна
величина рн).
Определим явный вид величин Вч и рх в модели
релаксационных констант. Из уравнений A6.30) в данной модели следует
(столкяовительными сдвигами пренебрегаем)
f (ъ\<гг\- Д(» —»i)
^(^|^)-r^_,(Q^V),
f (у\у) «<«—1> A 6)
Интегрирование по скоростям в формулах A6.33) в условиях
большого допплеровского уширения приводит к следующим
значениям функций fixW, МОц) (СР- с A36)> О3-7)):
Вн=21&ъ*^[%) 1 Aб.з7)
fc. _,?.-&)' Jb, 1 , (,6.38)
8 = Q^ -^Q; k»>k; 1>зГжп1.
Верхний знак в A6.37) отвечает однонаправленным волнам
(Vrffc). Выражение A6.38) для рх приведено для случая
К^к. В обратной ситуации (к»\\к) интерференционные члены
обращаются в нуль (Рх=0).
При k»\\k члены Вн обусловливают в нелинейном резонансе
спектральную компоненту лорентцевой формы с полушириной
rmzi + -jir1, не зависящей от поляризаций полей (от х). За
счет интерференционных членов р* дополнительно появляются
компоненты с полуширинами ТпЫ + -^— Г1э где Гя,х—
константа релаксации поляризационного момента (ранга к)
запрещенного перехода п—/. При изменении поляризационных условий
вес отдельных членов рх в нелинейном резонансе, характери-

§16]
Поляризационные явления
247
зуемом функцией cpi(Qn), меняется согласно формулам A6.13) —
A6.17) (если в последних подразумевать замену A6.35)).
Соответственно этому меняется вес и спектральных компонент
с полуширинами, зависящими от х.
Специфический круг поляризационных явлений возникает
при анализе процесса распространения пробной волны, т. е., по
существу, нелинейно-оптических явлений. Дело в том, что
поляризованное сильное поле индуцирует анизотропию среды. Среда
становится одноосной (при линейной поляризации сильного
поля) или гиротропной (при круговой поляризации) и ей
присущи такие характерные для анизотропных сред явления, как
духроизм и двойное лучепреломление.
Как известно, в анизотропных средах без изменения
поляризации распространяются волны, обладающие вполне
определенным состоянием поляризации,— так называемые
нормальные волны. При анизотропии, индуцирой&нной сильным
внешним полем, нормальными являются волны пробного поля,
поляризованные либо так же, как сильное поле, либо ортогонально.
Если сильное поле поляризовано линейно, то нормальные
пробные волны имеют также линейную поляризацию, параллельную
и перпендикулярную поляризации сильной. Если же последняя
поляризована по кругу, то нормальные волны обладают
круговой поляризацией, левой и правой. Именно для нормальных
волн можно говорить о таких характеристиках, как
коэффициенты преломления и поглощения (усиления). Пробная волна,
поляризованная иначе, чем нормальная, в процессе
распространения меняет состояние поляризации.
Нормальная волна, распространяющаяся вдоль оси х,
характеризуется следующей зависимостью от координат и времени:
E^t,х) =<ГДТexp [—iiaj—kyx) +i&kxx]. ' A6.39)
Здесь т — индекс нормальной волны; ЙГЙТ—амплитуда
электрического вектора; величина Д&т является частью (комплексной)
волнового вектора, обусловленной взаимодействием пробной
волны со средой. Дипольный момент <гAт)>, наведенный на
частоте нормальной волны, и величина Дях пропорциональны
•ДРУГ Другу
(r(U))=AG,xAkx=iAG[XX(^+^), A6.40)
GMt=<?>|iTrf/2^; d=dmn, dmi\ (r)=(r»»')> (г«»п).
В последнем соотношении A6.40) выделено слагаемое Л,
ответственное за взаимодействие со средой в отсутствие сильного
поля и потому не связанное с анизотропией. Величину А,т,
содержащую индекс нормальной волны, полагаем пропорциональной
нелинейной части дипольного момента.
Пусть величина %х будет малой в смысле выполнения условия
U<1 A6.41)

248
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
где / — длина, на которой происходит поглощение. На выходе
из среды протяженностью / электрическое поле нормальной
волны и ее интенсивность при условии A6.41) имеют вид
E*At, I) =&^е-1^-^А1[1-кх1]; A6.42)
/»«(/) = |<Г^|2е-2Л'<A — 2/А4), A6.43)
A,; = ReXT; A' = ReA.
Множитель ехр (—Л/) в A6.42) описывает поглощение и
дисперсию в отсутствие сильного поля. За счет сильного поля
в A6.42), A6.43) появились дополнительные слагаемые,
пропорциональные %х и %'х соответственно. Нелинейная часть работы
пробного поля, вычислявшейся выше, пропорциональна,
очевидно, величине %'х. Экспериментально она может быть
зарегистрирована выделением той части интенсивности прошедшего среду
излучения, которая обусловлена сильным полем (в формуле
A6.43) пропорциональна 2М^). Указанное выделение обычно
осуществляется так называемым ]#Ьдуляционным методом:
сильное поле модулируется по амплитуде, а в .регистрирующем
устройстве, воспринимающем излучение пробного поля,
синхронным детектированием выделяется сигнал на частоте модуляции.
Если пробное поле поляризовано иначе, чем нормальная
волна, то для описания процесса распространения его можно
разложить на нормальные волны, каждая из которых изменяется
по закону A6.42).
Пусть для определенности сильное поле поляризовано по
кругу, а пробное — линейно и волновые векторы k» и к колли-
неарны. Нормальными волнами являются волны круговой
поляризации (т=±1). В данном случае их амплитуды равны.
Полная интенсивность пробной волны на выходе из среды
равна
/*(/) НЯГцРе-2*'1 [1 - 2/(*i + МО]. A6.44)
Изменение интенсивности за счет сильного поля, регистрируемое
модуляционным методом, пропорционально (Xi + X_i). В случае
произвольной поляризации пробного поля модуляционным
методом регистрируются линейные комбинации (с
коэффициентами одного знака) показателей поглощения к[9 %-i
нормальных волн.
Как уже отмечалось, в процессе прохождения пробной волны
через анизотропную среду изменяется не только полная
интенсивность, .но и другие характеристики: по-разному происходит
поглощение нормальных составляющих волны, изменяется
состояние поляризации. Так, при линейной поляризации пробного
поля и при круговой — сильного нормальные компоненты на
входе (до взаимодействия со средой) равны по интенсивности,

§16]
Поляризационные явления
249
а на выходе — различны. Разность интенсивностей 1^A)—V-i@
нормальных компонент, согласно A6.43), равна
^щ @ - /ц-1 @ = - Iff* I2 / W - А10 е-^лч f A6.45)
т. е. пропорциональна разности показателей поглощения
нормальных волн. Поляризация же из линейной (до
взаимодействия со средой) превращается в эллиптическую с одновременным
поворотом осей эллипса. Параметры эллипса (угол поворота
и отношение осей) можно найти из формулы A6.42).
Соответствующие результаты даны в табл. 1. Отношение осей эллипса
определяется как отношение /mm/Ana* минимальной и
максимальной интенсивностей излучения, прошедшего через поляроид
при варьировании ориентации его оси.
Если ось поляроида, расположенного на выходе пробного
излучения жз среды, ориентирована ортогонально плоскости
поляризации излучения на входе (скрещенный поляроид), то
в отсутствие сильного поля излучение через поляроид не
проходит. Однако когда среда находится под действием сильного
поля, вследствие эффектов дихроизма и двойного
лучепреломления сигнал за поляроидом отличен от нуля и пропорционален
величине
е-2л-г | я2 — Я_! |2 /2. A6.46)
Рассуждения и выводы, касающиеся разобранного случая
круговой поляризации сильного поля, можно повторить, когда
сильное поле поляризовано линейно. Нормальными волнами
тогда будут волны с электрическими векторами Ет, EVi±9
направленными параллельно или ортогонально электрическому векто-
Та блица 1
Состояние поляризации
Нелинейная часть
поглощения
Разность интенсивностей
нормальных волн
Угол поворота эллипса
поляризации
Степень эллиптичности
Сигнал за скрещенным
поляроидом
G
т
е-«А"(Х',+х:I
e-*A"(*'n-*l)l
"?"( *Ч1 ~^хI
tK-q2'2
е-»А"|Х,
-У2'2
G
+
t
е-*АЧ( я;+ *:_,)*'
e-»A'i(x;-XL,)l
!(ьГ-С,)*
-ji-K-xufi2
е-2л'<|Я,
-я_,|2гг

250
Спектроскопия пробного поля
[Гл. V
ру сильной волны. Соответственно используются обозначения
Лц И Aj_.
Результаты вычисления различных характеристик пробного
излучения, обсуждавшихся выше и полученных на основе
формул A6.42), A6.43), сведены <в табл. 1.
Таким образом, измеряя перечисленные характеристики
излучения (см. табл. 1), можно регистрировать различные
комбинации показателей поглощения X' и коэффициентов
преломления X" нормальных волн.
Связь между величинами Х\, А»-ь ^ii> Ь± с атомными
характеристиками может быть установлена с помощью выражений
A6.8), A6.31) для дипольных моментов, наведенных на частоте
пробного поля. Так, если речь идет о двухуровневой системе,
величины Ян, Ль Х±9 Л-i пропорциональны выражениям A6.14) —
A6.17) (в той же последовательности) с коэффициентом
пропорциональности \G\2/A. Для трехуровневых систем
соотношения между величинами Х% и EХ, 5К аналогичны.
В табл. 2 показана связь между характерными
комбинациями макроскопических величин- ХХ9 проявляющихся в тех или
иных измерениях (см. табл. 1), и микроскопическими характери-
Та блица 2
Поляризация
сильного
поля
t
+

Макроскопическая

характеристика
*Ч1
Я и — Х±
я„ + х±
*1
Aj — Л j
Aj + X—|
Ад * *
В0+2В2
Bq—B2
ъв2
2Вь+В2
B0+jBi+±B2
B0-jBx+-B2
35i '
2B0+B2
мм
BQ+2B2+$0+2$2
B0~~ #2+ "^Pl + ~&2
2*e+*i+Pe+fPi+-?pt

§1*1
Поляризационные явления
251
стыками среды Вч, (Jx. Из приведенных результатов видно, что
в разных поляризационных условиях выделяются совершенно
разные наборы величин ВХ9 р*. Особенно примечательны случаи,
в которых происходит выделение только одного члена (Ви 5г).
Уширение соответствующих нелинейных резоналсов
обусловлено, следовательно, релаксацией одного из поляризационных
моментов ранга и=1,2.
Выделение отдельных величин f?x, (Jx или их минимальных
наборов значительно упрощает задачу исследования
микроскопических свойств среды. В этом отношении использование
поляризационных явлений представляется важным элементом
исследований.

Глава VI
ЗЕЕМАНОВСКАЯ СТРУКТУРА
НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСОВ
§ 17. Нелинейное поглощение и усиление света атомами
в магнитном поле
Внешние стационарные магнитные и электрические поля
воздействуют как на движение центра инерции излучающей
частицы, так и на состояние оптического электрона, снимая
вырождение энергетических уровней по направлениям момента. Если
допплеровский набег частоты, вызванный действием указанных
полей на поступательные степени /свободы, мал по сравнению
с расщеплением уровней, то основную роль в изменении
спектров играют эффекты Зеемана и Штарка. Ниже выясняется
влияние зеемановского расщепления возбужденных состояний
в постоянном магнитном поле на мощность нелинейного
поглощения (усиления).
Вследствие высокого разрешения, обеспечиваемого методами
нелинейной спектроскопии, наблюдение эффекта Зеемана
возможно в сравнительно слабых магнитных полях, когда
расщепление гораздо меньше допплеровской ширины линии. Форма
нелинейных спектральных структур заметно искажается уже
в полях напряженностью Ж< 102 Э, тогда как для регистрации
эффекта Зеемана линейными резонансами поглощения
требовались обычно поля 5^>103 Э.
Если атом или молекула помещены в магнитное поле Ж, то к
гамильтониану добавляется член (см., например, [1, 2])
U=—^Ж A7.1)
где |л — магнитный момент частицы. Для состояния с
определенным моментом количества движения
\i=—\iogJ\ \1о=еШ2тс, A7.2)
g — гиромагнитное отношение (фактор Ланде), ^0— магнетон
Бора, J— полный электронный момент. Расщепление Дмм' бо-
ровских частот для перехода aJM—а'УМ' между состояниями
с определенными значениями JM дается формулой
' &MM'=iig(gM-8,M') A7.3)
В результате взаимодействия оптических электронов с
ядрами энергетические уровни расщепляются, образуя сверхтонкую

Атомы в магнитном поле
253
структуру. Поскольку средний электрический дипольный момент
ядра равен нулю, основной вклад в сверхтонкое расщепление
вносит взаимодействие электронов с магнитным дипольным
и электрическим квадрупольным моментами ядер. Это
взаимодействие является слабым, вследствие чего интервалы
сверхтонкой структуры очень малы. Эффективным средством выявления
сверхтонкой структуры атомных и молекулярных линий,
скрытой допплеровским уширением, могут служить нелинейные ре-
зонансы поглощения.
Каждая компонента сверхтонкой структуры уровня с
моментом /. характеризуется определенным значением полного
момента атома
F=J+l A7.4)
где /—спин ядра. Моменты / и J не сохраняются по
отдельности из-за взаимодействия между спином ядра и электронами.
Значения квантового числа F меняются в пределах
J+I>F> \J—I\. A7.5)
Электрические дипольные переходы между состояниями aJF
и a'1'F' подчиняются правилам отбора
F—F'=0, ±1. , A7.6)
Если расщепление уровней, вызываемое внешним магнитным
полем, мало по сравнению с интервалами сверхтонкой
структуры, то величина зеемановского расщепления боровских частот
для перехода aJF—a'J'F' по аналогии с A7.3) определяется
выражением
Даш- =^{ёрМ^ВрМ), ,A7.7)
где ^-фактор равен
а - F(F+\) + J(J + \)-I(I+\y П7к
Sf 2F(F+1) * <17-8)
В этом случае под М следует понимать проекцию полного
момента атома F.
В более сильных магнитных полях, когда зеемановское
расщепление превышает сверхтонкое, происходит наложение
компонент сверхтонкой структуры на зеемановские составляющие
/-уровней. Здесь в соответствии с правилами отбора дл"я
проекции спина ядра при электрических стольных переходах
AAfj=0 каждая зеемановская составляющая уровня
расщепляется на 2/+1 компоненту, а к расщеплению боровских частот,
определяемому формулой A7.3), добавляется малая поправка
д^м^лылм-л'л*'), A7.9)
где А — константа сверхтонкого расщепления уровня.

254
Зееман-структура резонансов
[Гл. VI
Поле ядра атома, суммированное с однородным внешним
магнитным полем, обладает аксиальной симметрией. Поэтому
в нем сохраняется только проекция М полного момента элект-
—>
ронной оболочки / на направление вектора Ж, которое может
служить естественной осью квантования.
Принимая во внимание зеемановское расщепление, можно
написать следующее выражение для матричного элемента
гамильтониана, описывающего взаимодействие атома с бегущей
монохроматической волной, резонансной переходу mJm—nJn (ди-
польное приближение, см. § 2):
- V (JmM, JnM<) = 2 G0 (- 1)J*-M' X
a
x<JmMJn - M' I la> е-Ч*-АммУ+**'9 A7.10)
G„=^odmn/2h; Q=a>—(Dmn; a=0,±l.
Здесь через <BQ обозначены сферические компоненты
комплексной амплитуды электрического вектора, со — частота волны.
При нормальном эффекте Зеемана (gm=gn) удобно
пользоваться кинетическим уравнением для матрицы плотности в
форме B.37) и потому в данном случае, как следует из
соотношений B.47) и A7.10), коэффициенты разложения матричных
элементов оператора взаимодействия по неприводимым
тензорам подчиняются соотношениям
VmAto) = -6HG,fir**-oA)t+ikr9 ь = 1Хо8Я/Ь- A7.11)
В условиях аномального эффекта Зеемана, когда g-факторы
Ланде комбинирующих состояний различаются, коэффициенты
Vmn(ko) сохраняют зависимость от проекции М. В этом случае
переход в представление неприводимых тензорных операторов
не упрощает вычислительные процедуры.
С практической точки зрения наибольший интерес
представляет анализ зависимости мощности резонансного поглощения
от величины зеемановского расщепления. Метод исследования
радиационных и столкновительных процессов в газе, основанный
на измерении зависимости нелинейного поглощения от
напряженности внешнего магнитного поля, имеет много общего с
методом пробного поля, возможности которого рассматривались в
гл. V. Сходство связано с тем, что применяемое в методе
пробного поля варьирование частоты слабой волны, действующей
на переходах между магнитными подуровнями, заменяется
подстройкой самих подуровней за счет изменения величины
зеемановского расщепления.
При расчете зависимости нелинейного поглощения от
магнитного поля можно воспользоваться методикой, примененной в
§ 16 для описания поляризационных эффектов. Предполагая
зеемановское расщепление малым по сравнению с допплеров-

ф 17] Атомы в магнитном поле 255
ской шириной и ограничиваясь моделью трех релаксационных
констант Г, Г™, Гп для учета спонтанного распада и
столкновений, можно получить выражение для мощности Р резонансного
поглощения или усиления бегущей волны [3, 4]
Г /Q-oA\'
P^NnmRe^\G^e [ h~v } -
— 2 2 G*GGlGa2G*$ <lal — a21 х^> <laxl — a31 x</> x
*<-'>"» g + .,'-^,a (г^пгл + г^?)]- <"•«>
Формула A7.12) справедлива в общем случае произвольно
направленного магнитного поля. Коэффициенты aix определены
формулой-A2.106).
Частс/гная зависимость членов, линейных по интенсивности
излучения, воспроизводит допплеровскую форму нормального
зеемановского триплета, а как функции от Д они имеют резо-
нансы при A=±Q. Зависимость нелинейной поправки к
мощности Р от магнитного поля более сложной формы и в
существенной степени определяется значениями полных моментов уровней
и поляризацией излучения 1.
Если вектор Ж совпадает по направлению -с волновым
вектором й, то для линейно поляризованной световой волны из общей
формулы A7.12) получаем (Q=0)
Р со iV^e-tA/^J, G |2|i _ 21G р ^(^- + J-)
Г п2 V а2
• Lmam2 , lnan2 ,
"*" BГ - Гт)(Г^ + 4Д*) i_ BГ - Гп) (I* + 4Л*)
2ГBГ-Гт-Гп)/ а*2 а\г \]\
+ BГ)« + 4Д« UnBr~rm) +ГтBГ-Гп);Л' ^'Л°>
А2 = -§- ^т0 + ami + -^ат2-
Часть Р, нелинейная по интенсивности излучения, как функция
2А содержит три резонанса лорентцевой формы, имеющих
разные ширины (Гт, Гп, 2Г) и амплитуды. При низких давлениях,
когда распад уровней носит спонтанный характер,
релаксационные константы связаны соотношением 2Г=Гт+Г», и лорент-
циан с шириной 2Г исчезает. Вклады оставшихся резонансов с
ширинами Гт и Гп определяются коэффициентами ашн и anx,
выраженными через 6/-символы. Для различных конкретных пере-
+
В нелинейной части A7.12) допплеровские множители опущены.

256
Зееман-структура резона-нсов
[Гл. VI
-S2+/1 SI-A
Рис. 6.2. Распределение по скоростям за-
селенностей верхнего (а) и нижнего (б)
уровней в стоячей волне.
м'
Рис, 6.1. Схема уровней,
расщепленных магнитным полем, и
переходов.
ходов значения этих
коэффициентов даны в § 16.
Предположим -ради
определенности, что линейно
поляризованная волна
резонансна переходу между
уровнями m(/w=l) и
я(/п=2), расщепленными
продольным магнитным полем (рис. 6.1). Сплошные линии,
соединяющие подуровни верхнего и нижнего состояний, отвечают
переходам, обусловленным противоположно поляризованными
круговыми компонентами поля. Нетрудно заметить, что
рассматриваемая многоуровневая система разбивается на
совокупность трехуровневых подсистем, например лО, ml и п2. Как
показано в § 8, 14, в такой схеме происходит резонансное
рассеяние света, состоящее в исчезновении одного фотона и
возникновении другого и описываемое недиагональным элементом
матрицы плотности для запрещенного перехода,
колеблющимся с частотой Од—Q. Следовательно, можно говорить, что в
схеме, показанной на рис. 6.1, также происходит резонансное
рассеяние, сопровождающееся исчезновением фотона одной из
круговых поляризаций и испусканием фотона с другой. Этому
процессу должен соответствовать нелинейный резонанс,
положение которого определяется условием е=юд—ю—(DmH-G>mn=0,
как и в резонансном рассеянии. В рассматриваемом случае
следует положить
так что аналогом величины е служит
е=±2Д, A7.14)
фигурирующая в выражении A7.13). Ширина линии
резонансного рассеяния определяется, согласно § 8, 14, константой ре-
л*аксации rni недиагонального элемента матрицы плотности для

§ 17]
Атомы в магнитном поле
257
оптически запрещенного перехода п—/. В формуле A7.13)
аналогичными величинами оказываются константы распада
уровней Гт и Г„: для рассеяния через верхний уровень важна Гп, для
рассеяния через нижний —Гт.
Таким образом, лорентцианы с ширинами Гт и Гп в
выражении A7.13) возникают в результате комбинационного
рассеяния света на расщепленных зеемановских подуровнях. Согласно
формуле A7.14), правила отбора для проекции момента М
имеют при этом вид
ДМ=±2. A7.15)
Поэтому если моменты уровня принимают значения /=0, 1/2,
то срответстдующие лорентцианы отсутствуют. Из сказанного
ясно, что для ьтлекул (/^>1) и для переходов между уровнями
с одинаковыми моментами (Д/=0, J>1) амплитуды резонан-
сов с ширинами Гт и Гл должны выравниваться. Этим и
объясняется изменение соотношения между а^к и а^ с ростом /.
Пусть теперь световое поле представляет собой стоячую
волну. Используя вычислительные процедуры, объясненные в § 16,
можно получить выражение для мощности резонансного
поглощения (усиления) стоячей волны в продольном магнитном поле
[3,4]
¦ PooJVnmRe 2 |Ga|*e-(Q-°AW(ft*Jfl-^|GaPx
Х(^Ч)(т+г-„Ё-.а,)-1°-1,><
(ап2 am2 \ ( 1 \ \
A^+ rn JlrT75A + r^SJ +
+ (rw-f 2шД + Гп-ь2шД J (г + ioA + Г - i (Q - aA) J J)' l17el)
Разберем спектральную зависимость мощности поглощения.
Согласно соотношению A7.16), провал Лэмба в центре доппле-
ровской линии расщепляется магнитным полем на три лорент-
цевых структуры с одинаковыми полуширинами Г. Их
амплитуды определяются поляризацией волны и моментами
возбужденных состояний.
Расщепление лэмбовского провала магнитным полем можно
интерпретировать с помощью рис. 6.1 и 6.2. Противоположные
круговые компоненты поля взаимодействуют с переходами, бо-
ровские частоты которых различны и равны comndzA (см. рис. 6.1).
Две бегущие волны, составляющие стоячую, наиболее
эффективно взаимодействуют с четырьмя группами атомов, скорости
которых располагаются вблизи резонансных значений
kv = a—(Omn±A; kv=—(со—o)mn±A). A7.17)
В результате распределение атомов по скоростям обладает бен-
X

258
Зееман-стдоктурд резонансов
[Гл. VI
нетовской структурой, состоящей из четырех провалов (или
пиков, см. рис. 6.2). При изменении разности частот Q=co—
•^-(Omn беннетовские провалы перекрываются, очевидно, при
трех ее значениях
Q=0; Q=±A. A7.18)
В этих точках эффект насыщения усиливается, чем и
объясняется расщепление провала Лэмба на три компоненты.
Если волна поляризована по кругу, то из соотношения
A7.16) видно, что существует только одиночный провал Лэмба,
отвечающий частоте Q=A или Q=—iA (левая или правая
поляризация соответственно). В этом случае изменение частоты
перехода под действием магнитного поля может быть использовано
для настройки линии на частоту светового поля и для
измерения g-факторов.
Образование центрального провала Лэмба (Q=0)
объясняется взаимодействием встречных волн противоположных
поляризаций с одной и той же группой атомов, обладающих
скоростью kv=A и находящихся на одном магнитном подуровне.
Такие условия не могут, очевидно, осуществиться для перехода
/т=1/2 —/«=1/2, где центральный провал Лэмба может
появиться только за счет деориентирующих столкновений,
перемешивающих магнитные подуровни.
При аномальном эффекте Зеемана число переходов с
различными боровскими частотами возрастает, что отражается в
увеличении числа компонент провала Лэмба. Наблюдение этого
расщепления лежит в основе методики исследования эффекта
Зеемана с помощью нелинейных резонансов.
Для такого рода исследований можно также применять
метод пробного поля в трехуровневом варианте. Рассмотрим
взаимодействие бегущих однонаправленных световых волн, пробной
и сильной, со смежными переходами т—1 и т—п
соответственно при нормальном эффекте Зеемана (g„i=gn=gl). Описание
поглощения слабой волны наиболее просто в предположении а
спонтанном распаде. Используя изложенную выше методику
вычислений (см. § 16), работу пробной волны в продольном
магнитном поле представим как [5]
P.ooS e-(S"aAJ/(VJ hfun IGS I2 +
+ N г'*1°У«1а , *»1°5°-«1а ,
^ mnLr-(rnZ~^) +rm<rn|--/e + 2ftrA) +
AbGG*G»G»*
-* (rm + 2faA)(rn|-fe)
i\ 1 XJ 2 !
Нк = Wn Ji JJ ; Ло'2"Т^Т ew + T *»'¦
A7.19)

18]
Применение эффекта Зеемана
*259
рис. 6.3. Зависимость нелинейной
поправки в работе пробного поля
Р» от величины зеемановского
расщепления А.
I — волны с противоположными
круговыми поляризациями действуют на
переходе /п-0, Jw=l, Jr2<e-0);*-
волны с одинаковыми линейными
поляризациями взаимодействуют с тем же
переходом (е=^0); 3 — волны с
одинаковыми поляризациями, действуют на
переходе Jn= О, Jm = J\ = i (8=0).
В данной записи сохранены обозначения, принятые в § 16.
Характеристики пробного поля выделяются индексом jx.
Нелинейная поправка к Р„ как функция удвоенного
зеемановского расщепления 2Д представляет собой суперпозицию ло-
рентцевых резонансов с полуширинами Гя/ и Гт. Положение
этих резонансов в шкале Д зависит от значения разности
частот 8=о)й— сотг—G)-f-cDwn, а их амплитуды — от поляризаций
волн и типа перехода (рис. 6.3). Для волн с противоположными
круговыми поляризациями нелинейная поправка содержит лишь
один* лорентциан с полушириной Г«ь расположенный при аД =
= е/2 (кривая 1). При одинаковых линейных поляризациях волн
существуют три резонанса: два с полуширинами Tni вблизи
2Д = ±е и один резонанс с полушириной Тт около Д=0
(кривая 2). Магнитное расщепление позволяет раздельно
исследовать компоненты структуры, что облегчает измерение
релаксационных констант Тщ и Гт. В некоторых условиях, например
для переходов типа /«=0, /w=/z=l и световых волн с
одинаковыми линейными поляризациями, остается только резонанс
с полушириной Гш общего уровня m (кривая 3). Заметим, что
при <5#=0 нелинейная поправка к мощности поглощения
отсутствует.
§ 18. Применение эффекта Зеемана
для исследования столкновений
При низких плотностях газа все зеемановские подуровни
возбужденного атомного состояния распадаются в течение
радиационного времени жизни, одинакового для разных подуровней.
Однако если плотность атомов достаточно велика, то деориенти-
рующие столкновения перемешивают магнитные подуровни, и в
общем случае релаксация возбужденного состояния,
характеризуемого полным моментом /, должна описываться матрицей
релаксационных констант, содержащей B/+1L независимых
элементов. В рамках модели изотропных столкновений (см. § 4)
положение упрощается, и для полного описания релаксации

260
Зееман-структура резонэнсов
[Гл. VI
количество независимых констант редуцируется к 2/+1 (в
непредставлении матрица релаксации диагональна по %q и не
зависит от q).
В модели релаксационных констант при изотропных
столкновениях имеем, согласно § 4:
Г^=T«+Tfi+v (fl)—v (Ijx | ijx), A8.1)
где ^ — половина скорости спонтанного затухания состояния /;
vD)> v(i/x|f/x)—частота ухода и прихода; их связь с
амплитудами рассеяния устанавливается соотношениями D.79) и
D.86).
Длительность столкновений тст составляет относительно
малую величину тст~10~12 с. Если зеемановское расщепление
A=\iog3@fo сравнимо по порядку своей величины со
значениями констант Тук, то выполняется неравенство
тстА<1. A8.2)
В таком случае частоты столкновений v, v практически не
зависят от магнитного поля.
Для измерения характеристик тех или иных столкновитель-
ных процессов применяют разнообразные методы, которые
основаны на особенностях нелинейных резонансов, обусловленных
магнитным полем. Пусть внешнее магнитное поле Ж совпадает
по направлению с волновым вектором k бегущей световой
волны, резонансно взаимодействующей с переходом т—п (gm=gn)-
Будем предполагать применимость модели A8.1) и вычислим
работу поля Р, принимая во внимание первые поправки на
эффект насыщения. Кроме того, ограничимся приближением
большого допплеровского уширения (&г?>Г, |Д[) и будем
интересоваться лишь малыми значениями Q(|Q| <,kv)
/><х> S |Ga|2aa(A)e"
-(Д/йJ
, 21Q-0I2 I *J2 . 42 )]} n83.
+ 2Г + 2/аД ^Гт2Н-2шА ^ Гп2 + 2ioA) J)' yi°'°>
2 , ,1
Ро = Ро==Т; PlZ=-Pi=l; P2 = P2:=-3'>
r=I\nni; Г,Н=Г^. A8.4)
Коэффициент ao равен ненасыщенному значению коэффициента
поглощения (см) в центре линии (Q=0)

§ 18]
Применение эффекта Зеемана
261
Помимо скорости затухания полной заселенности Г# (/=#*» я)
а полуширины линии Г, в выражение A8.3) входят константы
затухания ориентации Г^ и выстраивания Г#.
Коэффициент нелинейного поглощения а*(Д) как функция
зеемановского расщепления содержит резонансы, форма,
амплитуда и ширина которых зависит от констант Г, Г,х и значений
моментов комбинирующих уровней, определяющих
коэффициенты Яти, Дпи- Например, для перехода /m=0, /«=1 имеем
Ятг = 0, т. е. резонанс, связанный с невырожденным
состоянием т, не существует. Следовательно, измерение a<,(A) в данном
случае позволяет определить Г и константу распада
выстраивания Гп2 для нижнего уровня.
" Дейриентирующие столкновения могут предопределить
характер поляризации излучения, генерируемого одночастотным
газовым лазером. Если добротность резонатора лазера зависит
от поляризации света, то генерируется излучение с
поляризацией, соответствующей наибольшей добротности. Таково
положение, например, во многих лазерах, где применяются
элементы, наклоненные под углом Брюстера (окна газоразрядных
ячеек, призмы). При изотропном резонаторе поляризация
излучения зависит от свойств активной среды.
Рассмотрим в качестве примера переход /»=1, /я=0. С
помощью формулы A8.3) можно показать, что в отсутствие део-
риентирующих столкновений и при 3@=0 для такого перехода
соблюдается равенство коэффициентов усиления для разных
круговых компонент: a+i = a_i. В данном случае
осуществляется своеобразное «положение безразличного равновесия» по
отношению к режимам с круговой и линейной поляризациями,
т. е. в зависимости от начальных условий возможен как тот, так
и другой режим2. В реальных условиях, однако, для перехода
1—0 наблюдается устойчивый режим генерации излучения,
поляризованного по кругу. Это явление обусловлено деориенти-
рующими столкновениями [6, 7]. Действительно, при учете
изотропных деориентирующих столкновений разность
коэффициентов усиления круговых компонент поля оказывается отличной
от нуля, если скорости релаксации выстраивания и ориентации
различны. Подстановка соответствующих величин в соотношение
A8.3) приводит к равенсту
I Он |а — | G_, I2 (Tmi A /1ft?v
Допустим, что Гт1>Гт2 и | G+]|2> |G-i|2. Тогда a+i>a-i, т. е.
интенсивность компоненты о= 1 будет нарастать быстрее и
2 В рамках модели трех релаксационных констант положение
безразличного равновесия имеет место также и для переходов 1—1.

262
Зееман-структура реаонансов
[Гл. VI
различие между интенсивностями будет все более
подчеркиваться. Если же Г,»1>Гт2, но |G+i|2<|G_i|2, то <x+i<a_i и
опять преимущество получает более сильная компонента.
Следовательно, при Г„»1>Гт2. всегда более интенсивная компонента
«подавляет» более слабую, и стационарный режим
соответствует генерации излучения, поляризованного по кругу. Если бы
осуществлялось обратное неравенство Гт1<Гт2«, то различие
между |G+1| и |G-i| выравнивалось бы средой. Таким образом,
экспериментальные данные, упомянутые выше, свидетельствуют
в пользу неравенства Гт1>Гт2. К такому же выводу приводят
теоретические расчеты, выполненные для некоторых типов
рассеивающих потенциалов [8].
При наличии продольного магнитного поля разность
коэффициентов усиления, вычисленная по формуле A8.3),
_ а_ = < 1 Qh-x Р — I 0-112) [ГГт2 (Гж1 - Гт2) - 2А» (Гт1 + 2Г)]
+1 l ° ЗГт1A«а + 4А«)(Г1 + А»)
A8.7)
с ростом А изменяет знак, что приводит к устойчивости режима
генерации излучения с линейной поляризацией.
Положив в A8.7) коэффициенты усиления a±i равными,
найдем критическое значение магнитного поля <3#кр, при котором
происходит смена поляризации излучения:
?кр —
ГГтг(Гт1 Гт2) | Ъ /iqq\
2(гт1+2Г) J дг- <18-8)
Измеряя значение критического магнитного поля в момент
изменения поляризации излучения, можно получать сведения о
сечениях рассеяния3.
Следует отметить, что круговая поляризация излучения
лазера может осуществиться не только для переходов типа 0—1,
1—1, но и для других переходов, если скорости затухания
ориентации и выстраивания отличаются в достаточно сильной мере.
Методы магнитного сканирования применяются для
исследования ширин линий запрещенных переходов. С этой целью
измеряется спектр испускания или поглощения волн, резонансных
смежным переходам в трехуровневых и более сложных схемах.
Рассмотрим, например, двухфотонное поглощение;
происходящее в поле стоячей волны, обладающей частотой сэ. Обозначим
уровни таким образом, чтобы Ei>Em>En (см. рис. 3.18а).
8 В опытах такого рода необходимо принимать во внимание и пленение
резонансного излучения, которое также существенно влияет на
поляризационное характеристики режима генерации [9].

§ 18]
Применение эффекта Зеемана
263
В схеме продольного магнитного поля поглощаемая мощность
дается выражением (gm=gn)
нд aaiazOt
x(-l)«.+a.<ial-a1{K9><la1l-a8|K^>g^«_.x
x(V5exp[-f^^y|+ 2Г^ ' 1 A8.9)
Qx=2a>—(Dm—-Afn xi
Q=<o—aw; AfnK=Im[v(/rt)—v(//z|/n; x)].
Нелинейные резонансы лорентцевой формы, описываемые
формулой A8.9), обладают, вообще говоря, различными
полуширинами Г*пк, зависящими от значения индекса х=0, 1, 2.
Они несколько смещены относительно друг друга в шкале
частот благодаря зависимости сдвига АЫк от х. Изменяя
направление и напряженность магнитного поля, можно измерять
константы rink+fAInx. Так, константа Гш2 может быть выделена
при измерении зависимости мощности двухфотонного
поглощения от напряженности продольного магнитного поля. Из свойств
коэффициентов векторного сложения следует, что в этом случае
от Зв зависит только часть Р(о>, А), именно:
A8.10)
содержащая как функция 2А лишь один резонанс лорентцевой
формы с шириной 2Г/П2 (Q=0).

Глава VII
СПЕКТРЫ УСКОРЯЕМЫХ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
§ 19. Вводные замечания
На излучающие атомы и молекулы как целое могут
действовать различные внешние силы (сила Лорентца, гравитация и
т. п.), и вызываемое ими ускорение, вообще говоря, влияет на
форму спектральных линий. Качественное представление об
эффекте дает следующий простой пример.
Пусть осциллятор, имеющий скорость v0i в момент /=0
начинает излучать и одновременно ускоряться. Тогда колебания
такого осциллятора подчиняются закону
f(t)ooexp[—^t—l(o^—ikr(t)]9 t>0;
A9.1)
f(f)=0, «0;
t г
r (t) = r0 + v0t + J dt'l'dra (П. A9.2)
о 0
Здесь ©о—собственная частота осциллятора, f — константа
радиационного затухания, г0 — начальная координата и а —
ускорение. Если а не зависит от времени, то спектральная
плотность излучения /(со), соответствующая этим колебаниям,
дается выражением
оо
= TReI^тштехР{-ь-/Q'>'+iaktt/2]; A93>
о
?2'= со—©о—kvo-
Член iakt2/2 в показателе экспоненты описывает изменение
фазы осциллятора, связанное с его ускорением.
Форма линий /(со) остается лорентцевой, если ускорение
Перпендикулярно направлению волнового вектора k или равно
йулю
+ 00
j /@eia<
dt

Эффект отдачи
26S
Если же акфО и допплеровский набег частоты
6а)~ | о*|/2у A9.5)
за время излучения т=1/т, вызванный ускорением, порядка
или больше у, то контур /(со) отличатся от лорентцева весьма
существенно.
§ 20. Эффект отдачи
Резонансное испускание или поглощение фотона атомом
сопррвождается изменением его скорости, вследствие чего
происходит смещение спектральных линий. Для определения этого
смещения можно воспользоваться законами сохранения энергии1
и импульса при взаимодействии электромагнитного поля с
двухуровневой атомной или молекулярной системой (переход т—п)
Em+^f = En + ^+nc; B0.1>
mv=mv{+%k. B0.2)
Из формул B0.1), B0.2) получаем, что вероятность
высвечивания* максимальна для тех атомов, проекции скоростей
которых на направление волнового вектора к удовлетворяют
равенству
kv = 0—©жп+6. B0.3)
Здесь величина
я Гш2 0,20 гМГ , /пл л.
8 = Ш>=Ж1?тГ]х] ¦ <20-4>
учитывает изменение скорости при испускании и называется
сдвигом линии из-за эффекта отдачи (М — атомный вес, % —
длина волны в мкм). Заселенность нижнего состояния п будет
пополняться за счет атомов, которые будучи в состоянии тг
обладали скоростью v, определяемой формулой B0.3), и
которые после перехода в состояние п приобретают проекцию
скорости
kv'=<d—aw—6. B0.5)
В молекулярных газах низкого давления, применяемых в
качестве нелинейно поглощающих сред, времена жизни состояний
могут составлять 10~3-M0~6 с, так что здесь сдвиг частоты
излучения вследствие отдачи оказывается порядка' естественной
ширины линии и заметно влияет на форму узких резонансов.
В кинетическом уравнении B.23) описанию эффекта отдачи
соответствуют члены ±Йй/2 в импульсном аргументе матрицы
плотности. При fe-^-О движение атомов становится
независимым от поля и для него пригодно классическое описание.

266
Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VI!
Рассмотрим влияние эффекта отдачи на распределение
атомов по скоростям для бегущей световой волны, когда
матричный элемент взаимодействия Vmn дается выражением F.9).
Диагональные рт, рп и недиагональные р элементы матрицы
плотности подчиняются следующей системе алгебраических
уравнений, вытекающей из B.23) в резонансном приближении:
ГтРт (v) = - 2Re [ *G*p [v - g)] + QmW (v);
TnPn (v) = 2Re [iG*p [v + g)] + QnW (v); B0.6)
(Г-^ + ***)р(*) = -*^
V = -J-; Я - (о - <*>mn; pmn (vrt) - p (v) e-*<G<-*'>.
Возбуждение предполагается максвелловым. Решение системы
B0.6) имеет вид
I ОТ» I /119 1\
Pm{V) = W(V)
Pn(v) = W(v)
2Г | G |а N„ — N.
Г*A + >с) +
•kv + i
4
2Г|(?B
*m-N
Г*A + х) +
W]l B0.7)
^^б>4 Bо-8)
х = 2101» A/Гш + 1/Гп)/Г; Nj = Q3/T3.
При выводе B0.7) и B0.8) предполагалось, что в оптической
области спектра средний импульс теплового движения атомов
много больше импульса фотона .
mv>1ik. B0.9)
Из этих формул видно, что в соответствии с изложенной
качественной картиной беннетовская структура в распределении
атомов по скоростям на нижнем уровне п сдвинута на
величину 26 относительно структуры на верхнем уровне т (рис. 7.1).
Указанный сдвиг будет «разрешен», если полуширина лорент-
циана ryi-t-и не превышает 6.
б
о а+6
Рис. 7.1. Распределение атомов по скоростям яа уровнях т (а), л (б)
в поле бегущей волны при 6>Г.

§ 20]
Эффект отдачи
267
Спонтанное испускание на переходе т—п по своим угловым
характеристикам существенно отличается от вынужденных
процессов. Качественное отличие состоит в том, что спонтанное
излучение газа изотропно. Поэтому при наличии спонтанных
переходов т->~п проявление эффекта отдачи сложнее и приводит
к иному распределению по скоростям.
Чтобы описать спонтанные процессы, в уравнение для
заселенности нижнего уровня рп вводится дополнительный член
(см. C.3)).
ГпРп (v) = qn (V) + 2Re [/Gp (v + Щ +
+ Атп J dvlPm (vx) W (v, v,)t B0.10)
где Атп — вероятность спонтанных переходов, функция
W(vy Vi), описывающая изменение импульса вследствие
эффекта отдачи при спонтанном испускании, определена
соотношением C.4). Форма остальных уравнений системы B0.6) остается
неизменной.
Спонтанное испускание изотропно, поэтому проекции
волновых векторов спонтанных фотонов на направление
распространения сильного поля равновероятны. Следовательно, атомы,
находящиеся в области провала Беннета распределения рт(*0»
при спонтанном переходе на нижний уровень п образуют в
распределении рп(я) более широкую структуру в интервале
скоростей
Q-8<to<.Q+36. B0.11)
Нижняя граница данного интервала отвечает излучению
атомами фотонов в направлении сильного поля, а верхняя — в
противоположном направлении.
Ограничиваясь первыми поправками по |G|2, найдем
неравновесные распределения атомов по скоростям на уровнях
га и п в этом случае
Р» <•) = W(«) [iVm -Щ? 1+(?^%уИ]; B0.12)
Pn(v)=W(v)[Nn + 2-^{Nm-Nn)y(v)}, B0.13)
<Pi(»)
<p(v) = t2/[t2+(q—kv—6J]-h>i(»);
АтпГ(
mn
4Гт6 V
m
(arctgQ-^-6-arctgQ-*; + 3a). B0.14)
Изменение заселенности за счет спонтанных процессов
описывается вторым слагаемым в формуле для функции <р(я),
графики которой при различных соотношениях параметров б/Г и
AmJTm приведены на рис. 7.2. Отметим,* что при б»Г форма
функции (pi(v) в распределении Рп(я) стремится к прямоуголь*

Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VII
z=kv/i'
Рис. 7.2. Графики функции <р(а) при Q==0.
а - 6/Г=0.5; б - Атп/Тт = 0,5.
с
1
i
i
.Ci+5
kv
О /?+б\ kv
Рис. 7.5. Распределение атомов по скоростям на уровнях т (а) и
п (б) в поле бегущей волны при Лтп/Гт = 1, б=2Г.
ной с шириной зоны «размытия» порядка Г. Качественное
представление о виде распределения атомов по скоростям на
нижнем уровне при 6>Г можно составить из рис. 7.3.
Для стоячей волны и в приближении первых нелинейных
поправок структура Беннета в рДг) представляет собой
простую сумму вкладов от двух встречно бегущих компонент поля.
Поэтому на основании выражений B0.12), B0.13) получаем
рт (V) = W (V) Ьт - (Nm - Nn) ^ X
X [l + (Q + 6-*tfJ/r* + T+W+T+Tv)VT*\\; B0Л5>
P» {v) = W (v) {#„ + (Nm - Nn) Ц?Е [q> (v) + Ф ( - *)]}, B0.16)
где q>(t>) определяется формулой B0.14). Таким образом, пики
в pn(t>) сдвинуты в сторону меньших значений \kv\
относительно провалов в f>m(v) (рис. 7.4).
Пусть константы релаксации и сдвиг центра линии из-за
отдачи много меньше допплеровской ширины kv. Тогда выра-

§20]
Эффект отдачи
269
*Ртт
J_
-а-ъ о ш-б
1
¦Рпп
/А-
1
1 \
1
ко
-Й.+6 0 Sl-b
к\
Рис. 7.4. Распределение атомов по скоростям на уровнях т (а) и п (б)
в поле стоячей волны.
жение для работы поля, представленного стоячей волной, имеет
вид
Pc>o|G|2[l-№x(Q)]exp[-QV(toJb B0.17)
Т Тт~г ^п > ^т,п "~~* */l гл,пу
% (Q) 1 + т ! + (Q + 6J/г? + * 1 + (Q — 6K/Г* +
+ Amna(Q)/(Tm + Tn); B0.18)
a (Q) = ^-(arctg 5^1 - arctg Ц± - arctg ^). B0.19)
Таким образом, нелинейный резонанс в работе стоячей войны
оказывается расщепленным на две компоненты, отстоящие
друг от друга на расстоянии 26. Эффект отдачи,
сопровождающий переход т->-п, обусловливает также изменение формы
компонент дублета (член a(Q) в выражении B0.18)). В
соответствии с общими выводами, сделанными в § 11, эффект
отдачи вызывает аналогичное расщепление и провала Лэмба
(поскольку мощность излучения, генерируемого лазером,
обратно пропорциональна x(Q), см. § 11).
Расщепление провала Лэмба интерпретируется следующим
образом. По мере приближения частоты излучения к центру
линии (см. рис. 7.4) пики и провалы в распределениях атомов
по скоростям двигаются навстречу друг другу и при Q=6 два
пика в pn(v) перекрываются. В таких условиях обе бегущие
волны, образующие стоячую, взаимодействует с одной и той же
группой атомов на нижнем уровне, эффект насыщения усилива*
ется и, следовательно, мощность излучения достигнет миниму*
ма. Пусть §>Г. Тогда дальнейшее уменьшение Q приведет к
разделенчю пиков в pn{v), но еи*е не наступит перекрытие
провалов верхнего уровня. Поэтому мощность излучения увели-

270
Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VII
чится. При еще большем изменении Q вплоть до Q=—б
перекроются провалы в pm(v) и соответственно образуется вторая
компонента дублета Лэмба. В этом случае встречно бегущие
волны будут взаимодействовать с одной и той же группой
атомов на верхнем уровне.
При 6<Г оба лэмбовских провала сливаются в один
асимметричный провал, центр которого со' смещен относительно
частоты (Отп на величину
^-^mn-fc^S, B0.20)
пропорциональную разности ширин уровней. Различие
амплитуд провалов вызывается различием времен жизни атома на
уровнях, т. е. различием времен хт и тп. Рис. 7.5, а показывает,
как спонтанное испускание влияет на величину контрастности
провалов. Легко усмотреть, что контрастность провалов
улучшается с ростом параметра Атп/Тт. Зависимость функции
%(Й) от отношения б/Г при постоянных значениях величин тт,
тп и Атп демонстрирует рис. 7.5, б.
Рис. 7.5. Графики функции %(Q).
а - *mfr = хп/т = 1/2, б/г = 2 (Tj = 1/Гу, % = хт + хп)\
б-тт/т = 2/3, хп/т=1/3, Атп/Тт = М2.
В существующих газовых системах, применяемых в качестве
активных сред лазеров, ударные и спонтанные ширины Г на
несколько порядков превышают расщепление из-за отдачи.
Однако разработано несколько схем, включающих в себя
поглощающие ячейки, расположенные внутри или вне резонатора лазера
(см. § 11). Давление газа в поглощающей ячейке можно
сделать значительно меньше, чем в активной среде, что снижает
значение ширин. Кроме того, поглощающим может быть газ,
отличающийся от усиливающего и специально подобранный с
точки зрения малой величины Г.
Будем описывать поглощающий газ в рамках той же
модели релаксационных констант, различая индексами (±) величи-
W», относящиеся к активной и пассивной частям. Работа поля

§20]
Эффект отдачи
271
стоячей волны представлена теперь следующей зависимостью
от частоты:
р °° ёг I1" ^ и (Q+)]ехр [~ °^(Я+)Ч№ - лу+) -
-С (ЛГ« - #,7) Щ [l - ^ х- (Q-)] ехр [- OL/OSL)*], B0.21)
Q± = о — со^п — Д±,
где функции х±(&±) определены аналогично %(Q), а фактор С
учитывает различие геометрических условий (см. § 11).
Резонансные члены в B0.21), обусловленные активной
частью, приводят так же, как и в B0.17), к появлению провалов
на графике работы поля Р. В то же время пассивной частью
создаются максимумы, разнесенные на расстояние 26- и
имеющие ширины Г_. При выполнении условия
Г_<6_<Г+, B0.22)
означающего, что эффект отдачи проявляется только в
нелинейном поглощении, пики в графике мощности генерации наиболее
контрастны (рис. 7.6). Их слияние происходит при в-<Г_-<Г+.
Расщепление нелинейных резонансов было предсказано
теоретически в 1968 г. [1, 2] и обнаружено экспериментально в
1975 г. [3]. Подчеркнем, что относительная величина б/оо
сдвига вследствие отдачи равна половине отношения энергии
фотона Псо к энергии покоя атома тс2. В видимой области спектра
б/со ~ 100. Эффект отдачи оказался исторически первым в
ряду столь тонких явлений для оптической спектроскопии, и
анализ его послужил толчком для исследований других эффектов,
требующих разрешающей силы 1010 и выше. В частности,
обнаружено влияние квадратичного эффекта Допплера на
положение максимума спектральной линий .[4]. Величина сдвига,
обусловленного этой причиной, равна
,(Т — температура в К, М —
молекулярный вес), т. е. примерно
на два порядка меньше сдвига
из-за эффекта отдачи.
Выше рассматривался случай
не слишком интенсивной
стоячей волны. Если значение \G\2
Рис. 7.6. Зависимость работы поля сто- i I
ячей волны от частоты для системы с по- i | |
глощающим элементом. -&_0 6_ Q.

272
Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VII
достаточно велико, то могут происходить явления иного типа.
Дело в том, что узлы стоячей волны представляют собой
потенциальные ямы, которые при определенных условиях могут
«захватить» атомы. Таким образом, может осуществляться
пространственная локализация атомов. Если частоты встречных
волн, образующих стоячую, несколько отличаются, то узлы
перемещаются в пространстве и можно надеяться ускорить
нейтральные частицы. Отмеченные и ряд других явлений,
связанных с воздействием мощного поля на поступательное
движение частиц, обсуждаются в обзоре [5].
§ 21. Спектры ионов в постоянном электрическом поле
На примере эффекта отдачи выяснено, каким образом
силовое давление со стороны высокочастотного электромагнитного
поля меняет спектральные характеристики вынужденного
излучения. Ускорение, вызываемое квазистационарными внешними
полями, влияет на процессы вынужденного излучения иначе
[6, 7]. Подобного рода воздействие должно реализоваться в
ионных спектрах низкотемпературной плазмы, когда за ускоре-
*ние излучателя ответственно элетрическое поле, причем
а^^. B1.1)
т
В ионных лазерах ускорение заряженных частиц является
основным фактором воздействия электрического поля ё'о газового
разряда на спектры, тогда как влияние штарковского
расщепления уровней этим полем ничтожно.
Газ двухуровневых частиц, резонансно взаимодействующих
с полем излучения E(rf t) и двигающихся на длине
свободного пробега с постоянным ускорением а, описывается системой
уравнений
(it + Г') р" = gj =*= 2Re (Л^РтпХ / = ™> п; B1.2)
(F + Г) 9тп = iV™ (fW ~~ р™)' B1 -3)
dt — dt ~г v дг "г a dv '
Отличие B1.2) и B1.3) от аналогичных уравнений для
неускоренных частиц заключено в потоковых членах яу*ру, опи'
сывающих изменение матрицы плотности вследствие ускорения.
При этом изменение числа частиц с данной скоростью
учитывается членами ау©Р#> диагональными по индексам
энергетических уровней, а влияние ускорения на свойства спектральной
линии — недиагональными членами ау„ртп.

§21]
Спектры ионов
273
Решение системы уравнений будем искать с йомощью
теории возмущений, выражая его через функции Грийа
Рц (х \x') = Q (т) e~Tifl6 («-*'- ах) 6 (г-г' -*% - ахЩ;
B1.4)
A,*>0
ew = kx<o,
%—t—t> *=*{vtt)\
'Предположим, что частицы возбуждаются с максвелловьШ
распределением по скоростям <&(#) —QjW7 (я) • Для
стационарных условий с помощью функций Грина можно вывести соотно»
шения, которые служат основой для построения ряда
последовательных приближений по Vmn:
?jj (х) = р? ± J Rj (x | x') N (*') dxT; B1.5)
Pmn(x) = i$Fmn(x\x')Vmn(x')N(x')dx'; B1.6)
Rj (x | x') = 2Re f Fjj (x \ x") VL (*") Fmn {x" \ x') Vmn (x>) dxfi B1.7)
где функция
00
pj = Q$ J w (v - at) <TVildt BU)
о
характеризует распределение по скоростям на уровне / в
отсутствие электромагнитного поля.
В поле бегущей волны линейное приближение для р»»
выражается формулой
№ - lVmn (г, f)]N. (• - at') е-<'-«™'+""Чй<5
В отсутствие ускорения (а=0) соотношения B1.8) и B1.9)
сводятся к хорошо известным результатам (см. § 6) для частиц
с постоянной скоростью v /
tS^NiWW.Kt-Q/tr,; B1.10)
рй-й'шиС. t)N0(v)/{T-iQ<). B1.11)

8?4 Спектры ускоряемых атомое [Гл. VII
При вычислении средних по скоростям значений удобно
пользоваться разложением функции распределения р° по
полиномам Чебышева — Эрмита Нп (г)
р?~ЪФ(9л)Т,{оI B1.J2)
В этой записи явно выделена зависимость от проекции v
скорости*» на направление ускорения. По двум другим проекциям
распределение по скоростям остается максвелловым W(v±).
Принимая во внимание ортогональность полиномов Hn(z),
Ложно получить выражение для полного числа частиц на
уровне
N, Jp?(*)*> = Sj-, B1.Н)
.среднего приращения скорости частицы за счет ускорения
u, = ±\v9U*)dv = ± B1.15)
и дисперсии распределения
Формула для дисперсии B1.16) свидетельствует об увеличений
ширины распределения Wj(v) с ростом ускорения. Как
следствие этого, значение функции Ws(v) в максимуме уменьшается,
поскольку в соответствии с B1.14) площадь под кривой Wj(v)
сохраняется.
Выполнив некоторые несложные преобразования,
распределение Wj(v) можно выразить через интегралы вероятности Ф(г)
Ws(v)^^[\-0{zj))^W(v)9 B1.17)
v v а
Поведение функции W,(v), как видно из B1.17), зависит от
соотношения между тепловой скоростью v и средним
приращением скорости частицы щ за время жизни на уровне /. Отличие
Wj(fl) от равновесного распределения состоит в следующем.
Максимум Wj(v) смещен в направлении ускорения, причем
величина смещения линейным образом зависит от 0. При .малых
ускорениях, когда Wj<v, распределение W,(v) близко к
равновесному. Положение его максимума совпадает в этом случае
t щ. Напротив, если приращение скорости за счет ускорения

§ 21]
Спектры ионов
275
существенно превосходит ее среднетепловое значение (u^v),
то Wj(v) приобретает резкую асимметрию.
Используя решения B1.8), B1.9), можно проследить
частотную зависимость работы поля Р в приближении, линейном по
интенсивности
Р = - 2*<о | G |* [NmKm (Q) - NnRn (Q)]; B1.18)
К, (О) « Re f jr^gexp [- (f-)V - ^-(Г-в) <]. B1.19)
Из BJ.18), B1.19) можно увидеть, что форма контура линии
зависит от величины ускорения и взаимной ориентации
векторов а и к. Слагаемое iakt2/2 в показателе экспоненты учитывает
изменение фазы излучения при ускоренном движении, а
резонансный множитель T}l(Yj-\-iakt) отражает изменение
начального распределения по скоростям.
При достаточно большом допплеровском уширении спектр
трансформируется таким образом, что функции Kj{Q) начинают
копировать форму распределения заселенностей по скоростям.
Такой вывод следует из сопоставления соотношения B1.17) с
формулой для Kj(Q), полученной в приближении &;»Г, У|я*|
*/<0) - яЦ -:Ф(Ш^РТ4-^(^J])/Bки^ B1.20)
В частном случае малых ускорений максимумы функций Rj(Q)
сдвигаются на
Qy = ^ B1.21)
относительно боровской частоты.
Если времена жизни TJ1 р/р
на уровнях / различны, а х
ускорения достаточно
велики, то максимумы функций
Km(Q), Kn(Q) не совпадают
и работа поля P(Q) может
менять знак в зависимости
от частоты (рис. 7.7). Это
Рис. 7.7. Форма спектра в
линейном приближении.
/ — ak = о; 2 — akfVjkv= I, Гт =*
=* Гп = Г, kv> Г, YTaJT\;
3 — ak/Tjkv=\not Гт=10Гп, Nm =
= Nn, ко > Г, Гу, YTabH 4 — Tjto >
>2|а*|» r/to> = 4, 1 ak\lT* =* 6/40.
Sl/№

3fB Спектры ускоряемых атомое [Гл. VII
означает, что на одних участках спектра происходит
поглощение, тогда как на других — усиление. Следовательно,
ускорение дает возможность усиливать излучение даже при Nm—#»<
<;0, т. е. в отсутствие инверсии заселенностей.
Рассмотрим теперь резонансное взаимодействие ускоряемых
частиц с излучением в условиях, когда роль эффектов
насыщения становится существенной. Из соотношения B1.5) получаем,
что разность заселенностей N(x) удовлетворяет интегральному
уравнению
N(x) « ЛГ0(х) - J R(x\x?)N{xT) dx> B1.22)
с ядром
Я=Ят+#л, B1.23)
причем Rj даются формулой B1.7). Ниже при решении
уравнения B1.22), мы ограничимся учетом только первых поправок,
обусловленных наличием сильного поля, т. е. положим
N(x)=N0(x)-$R(x\x')Nil(x')dx'. <21-24>
Фактически это соответствует разложению N(x) по степеням
параметра G и удержанию членов, пропорциональных \G\2.
Для плоской бегущей волны разность заселенностей
описывается следующим образом:
ее оо
N(V) - NQ(v) -2|G|aRefd/ Jdt'NQ[v -a(t + t')]X
о о
X 2ехр1-(Г-йУ)' +tabt*l2-{T,-tmkt)t'\9 B1-26)
где ненасыщенная разность заселенностей N0(v) определяется
формулами B1.8), B1.9). Поправка к Nq(v) из-за насыщения
описывается интегральным членом, который имеет структуру
обычного провала Беннета только при а•?=().
Ранее показано, что ширина распределения по скоростям
Pj всегда больше или равна среднетепловой скорости v. В
условиях, когда уширение вследствие эффекта Допплера превосходит}
остальные характерные ширины:
kv>T, \ak\/Th B1.26)
можно не учитывать влияние ускорения на распределение по
скоростям p/(*0i полагая его равновесным, и вместо B1.25)
приближенно записать
ЛГ<»>-ЛГ.Г<«>[1-^2^]: B1.27)
оо
JO (Q') - ReJ ГДГ^ exp [f ? P - (Г - id') *], B1.28)

§211
Спектры ионов
277
где функция /Cj(Q') описывает контур спектральной линии для
частиц с начальной скоростью и. Легко показать, что
рассмотренная ранее функция Kj(Q) является результатом свертки
/Су- Q) = f-jr j* W (v)Kf№) dv, Q' = Q - kv. B1.29)
Если a-k=0, то контур Jfj(fl') принимает лорентцеву
форму Kj = (l + Q'Vr2)"". Однако в общем случае Km(Q')ф
фКп(й'), поскольку времена жизни на уровнях могут
различаться. Ускорение приводит к перераспределению
интенсивности по спектру, не изменяя ее интегрального значения
^HQO-r^Jjq^r-n. B1.30)
Деформация спектра выражается, в частности, в том, что
/Cj(Q') при ускорении становится асимметричной функцией
частоты Q'
*i(-Q', а).==К,(&, -а). B1.31)'
Источником информации о влиянии ускорения на.
распределение по скоростям может служить спектр пробного поля,
представленного встречно бегущей волной и взаимодействующего с
тем же переходом
Р„ «о Г**** 10„ Г [l - I«F 2Щ. B1.32)
00
/С] (I) = 2Re |ГГ^ exp [ - 2 (Г - й) t + te***J, B1.33)
о *
е= (Q+QM)/2; Йц=а)ц—©тап.
Параметры пробного поля выделены индексом ц. Нелинейный
резонанс, описываемый функцией /Cj (в), тайже асимметричен
(рис. 7.8). Его форма не совпадает с формой провала Лэмба,
как это было бы при a-fe=0. Из сопоставления выражений
B1.28) и B1.33) видно, что частотная зависимость этого
резонанса не отличается от частотной зависимости беннетовского
провала в распределении частиц по скоростям (замена ft-*2fc
в B1.33)).
При малых ускорениях (|а.*|<Г2, ГГ>) отличие К'}(*) от
дисперсионной кривой невелико. В обратном предельном случае
(-1 а • k| >Г2) изменения контура К) (») весьма существенны.
Прежде всего происходит значительное увеличение эффективной
ширины функции /()(б) и сдвиг ее максимума. Кроме joro, при
достаточно больших значениях \а*к\/Г2 функция /С}(в) стано-

SJi Спеитры ускоряемых атомов [Гл. VII
— .*. ^
Рис. 7.5. Графики функции Ку (в) при afc>0.
- / — а* = 01 2 - а* = 0,ЗГГу, Г=10Гу1 3 — ah = «Ту,
Г=10Г/; 4 — а*=4ГГу, Г = Г;.
вится осциллирующей. Ширина контура /СуС^) при |а-Л|>Г2
по порядку величины совпадает с допплеровским набегом
частоты боа = | а • k | /2Г, существенно^ превышая значение Г. Появление
Же осцилляции в графике /Су (е) можно объяснить
интерференцией между различными спектральными составляющими.
Действительно, фазы излучения в два разных момента времени
жестко скоррелированы, ибо скорость атома на длине свободного
пробега меняется непрерывным и регулярным образом, а за
Время когерентности Г изменение фазы |а-й|/Г2>1. Поэтому
на участках спектра с шириной порядка бсо излучение будет
сильно интерферировать.
Наиболее простой для спектрального анализа является
ситуация, когда константы распада комбинирующих состояний
¦сильно отличаются друг от друга. В этом случае максимумы
функций/Cm и Кп по-разному смещаются под действием
ускорения, что может привести к расщеплению суммарного резонанса
в выражении B1.32) на две компоненты, соответствующие
воздействию сильного светового поля на нижний и верхний
Уровни.
Формула B1.27) показывает, что ускорение гораздо
заметнее влияет на форму узких структур в распределении частиц
о скоростям, возникающих при действии сильного поля, нежели
а ненасыщенную разность заселеиностей. Этот эффект ярко
проявляется и в спектральных характеристиках излучения,
• яем свидетельствует выражение B1.32).

§21]
Спектры ионоа
279
Перейдем теперь к анализу трансформации провала Лэмба,
возникающего в спектре резонансного поглощения или усиления
стоячей волны, под действием постоянного ускорения. Работа
поля стоячей волны в приближении B1.26) имеет вид (ср. с A1.10))
Роо е^^|0р [l -2Д0|» «»™ + **М 1.. B134)
Kii(Q)- [#Cj(Q) + /Cj (-0I/2, B1.35)
где функция /С/ дается формулой B1.33) и ее свойства
рассмотрены выше. Так как в данном случае частицы взаимодействуют
с двумя встречно бегущими волнами одинаковой интенсивности,
то узкий нелинейный резонанс в графике P(Q) симметричен
относительно центра линии й=0. Отметим, что эффекты ускорения
могут проявиться в виде расщепления провала Лэмба,
аналогично его расщеплению вследствие отдачи; или в виде
осцилляции (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Графики функции /Си (9).
Для управления параметрами ионных лазеров иногда
применяется (внешнее магнитное поле (Ж).Ъ условиях
низкотемпературной плазмы воздействие магнитного поля на спектры про*
является прежде всего в форме эффекта Зеемана.
В продольном магнитном поле работа бегущей волны,
резонансно взаимодействующей с ускоряемыми частицами, зависит

*м
Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VII
от величины зеемановского расщепления А следующим образом
igm^gn^g) [7]:
Р(Л)оо 2 |0«|«e-(,^)'/(»5)-fl-4-f^-|Oe|»x
B1.36)
10-#СН*А>! */-**(<*)-
Формулы B1.36), B1.37) справедливы в приближении B1.26).
Кроме того, должно выполняться условие |Д|<Лг?.
Слагаемые, содержащие функции /Сь отражают роль эффекта
насыщения, тогда как нелинейные интерференционные явления,
рбусловленные комбинационным рассеянием на зеемановских
подуровнях, описываются функциями /Cj(±A). Как показано в
§ 17, при а*=0 эти кривые принимают форму лорентцианов с
ширинами 2Г и Tj. Вклад структур /0(± А) и /0(± А) в
суммарный контур нелинейного резонанса зависит от поляризации
излучения и полных моментов уровней (/,). Последняя
зависимость определяется коэффициентами Л2, Д/к-
Если справедливы неравенства
ГГ,<|а-*|«Г2, B1.38)
то основную роль в деформации спектра играет изменение
распределения по скоростям, причем контуры резонансов
описываются интегральными показательными функциями Ei(;2) от
комплексных аргументов
*1<* А> - -jSf|**[* Ei(/)],» *' = ^^, B1.39)
B1.40)
Сдвиги резонансов Kj(± А) и /С> (=ь А), вызываемые
ускорением, при определенных условиях (|а-*|>Г*Г*) соизмеримы с
уширением.

§ 22J
Гравитационные эффекты
281
Пусть световая в'олна поляризована линейно, тогда форма
интерференционных резонансов описывается функцией
К;(А)= к;-(Д)+/С;:(-А)]/2. B1.41)
При достаточно больших ускорениях, когда |а-й|>Г2, этот
интерференционный провал, оставаясь симметричным, резко
уширяется, а на его краях возникают осцилляции.
Для линии 4р2?>5/2—4s2P3/2 аргонового лазера (длина волны
о
Я=4880 А), соответствующей переходу Jm=bl2—/п=3/2, имеем
alJali^Sm. B1.42)
Поскольку здесь, кроме того, резко различаются релаксационные
константы уровней (Гт<<Гп), поправка к работе поля,
нелинейная по интенсивности,
-(-4J
ДЯс/э 2 lG*|2U2|Ga|2Km@)+2a2n2\G-a\*/?(аД)] ^j?-
B1.43)
содержит только узкие резонансы АГт(± А), несущие информацию
о времени жизни верхнего долгоживущего состояния 4p2D5/2.
Ускорение, вызываемое электрическим полем разряда, таково,
что контур Km (± А) можно описывать формулой B1.40). При
\ak\/Tj<.T влияние ускорения на АР сводится к сдвигу линии
без деформации (см. формулу B1.17) и ее обсуждение).
§ 22. Гравитационные эффекты
В отличие от электрического и магнитного полей влияние
гравитационного поля Земли ввиду слабости гравитациюнного
взаимодействия может сказаться только на спектрах
нелинейного поглощения в молекулярных газах низкого давления, где
нелинейные резонансы обладают очень малыми ширинами.
Общее рассмотрение роли ускорения относится и к силе тяжести
и потому в формулах § 21 можно положить \а\ равным g=
=981 см/с2.
Если допплеровский набег частоты
8©, = ^. B2.1)
вызванный ускорением g за время жизни Г/" молекулы на
уровне /, мал по сравнению с характерными значениями
релаксационных констант (бо)*<Г^<Г), то влияние поля тяжести на
распределение по скоростям невелико и сводится к
гравитационному дрейфу со скоростью
«,= ?/Г„ 'B2.2)

282
Спектры ускоряемых атомов
[Гл. VII
который сопровождается соответствующим Смещением провалов
Беннета в шкале скоростей. Их новые координаты будут
определяться условиями резонанса
Ь = ^A + |Л±0;Й-со~ ©теп. B2.3)
В экспериментах с сильной и пробной встречными волнами,
действующими на одном переходе, должен наблюдаться
гравитационный сдвиг нелинейного резонанса, и величина сдвига будет
определяться формулой B2.1).
При Г,<СГ нелинейные интерференционные резонансы
реагируют на поле тяжести сильнее, чем структуры типа провала
Лэмба. Заметного проявления гравитационных эффектов
следует ожидать скорее всего при наблюдении таких явлений, как
резонансная флуоресценция или эффект Зеемана.
В случае Г^ ~ Г поле тяжести существенно деформирует
контур линии только при условии
|g*|>r2, B2.4)
откуда для g=981 см/с2 и длины волны Я=0,6 мкм получаем
приближенное неравенство
Г<104 с-1. B2.5)
Такова оценка для верхнего предела значений Г, ниже
которого существенную роль играет гравитационное уширение
спектра. Заметим, что в дашшх условиях сравнимый вклад в
ширину резонансов могут дать эффект отдачи, поперечная
ограниченность лазерного пучка [8] и другие тонкие эффекты.
Не исключено, что ускорение, вызываемое гравитационным
полем, может оказывать заметное воздействие на
радиоизлучение межзвездных мазеров. Форма узких нелинейных структур,
которые могут возникнуть в спектрах радикалов ОН (А,= 18 см,
Г=10 с-1), отлична от лорентцевой, если а>10"8 см/с2.
Таким образом, здесь ускорение, вызывающее изменение формы
нелинейных резонансов, может быть ничтожно малым.
Развитие новых и прецизионных методов физического
эксперимента, сопровождаемое расширением теоретических исследова-
ваний по гравитации, усилило интерес к проверке общей теории
относительности. Особо важную роль играют здесь попытки
измерения такого общерелятивистского эффекта, как
гравитационное излучение. Одним из вариантов гравитационной антенны
является лазерный детектор, в котором используется воздействие
гравитационных волн на спектры нелинейного поглощения [5].

Приложение I
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
Ь </i«i/i«i 11зЩ> = (— l)i,+'w, </! — mj2 — т21 /з — т8>
= (- l)h+i*-h (/«ЯЦ/iWj | /,«,> =
= (_ 1ул-*н ]/|i±i </lOTl/, - т31 /, - т2> =
= (_ I/.+»' |/|^ </3 - т3/2юа | h - Щ>.
*. </i«i/a%i/^8>=(-i)w*^i^r+T(^ ? _jy.
3. </1m1/a - щ 100> = (- I)*"— ^=, 6*^,.
4. </lm100|/sm3> = 6/l,ifimim,.
5. 2 (НЩНЩ I /з^з> \кЩкЩ | /3m3> = 5 / 6_ \
JaWt
?»i0Si| я***^
7. 2</1«i/.0|/1m1>=B/1+l)eJie.
8. S <hmd*m* I /з'Пз) СЬЩНЩ | /2/n2> (ьт^зт^/гйц) X
все т
х <;,та/>;|/№> = <- 1)ми,лB/; + Ох

284
Приложение
10. <j1m1]tmt | /з/Пз> </imi/aroa | /8m8> =
= 2 <ia^J№\]W2><j'imiJ3tn'3\j2tn2> X
J*2m2
x(_1/iWiVB/3+l)B/3+l){A {« Я
wi h h)
la /2 /3) \h /1 /з« la /3 /J [/; /2 /3j
12 J? ft M « (- l)it+i^_= 1 6//6 .
.1/1/2/3] KB/2+l)B/a+l) /2/з /»/•
Приложение II
СВОЙСТВА D-МАТРИЦ ВИГНЕРА
1. ^M'(a,P,v) = e-iMadW(P)e-iM'v.
2. ймм' (Р) = ими* (Р) ^ (— 1)М~ йм>м (P)=d-M'-M (Р) =
= ^Н'м(—Р).
3. DJMM, (a, рэ y) =(- 1)М'-М^м-М' (a, Р, Y) -
=DJmm> (- a, P,-Y).
4. ймм' (°) = Smm'.
5. 2 DJMM> (a, рэ y) DJMM« (a, p, y) =
м
= 2^м-м(а, P, Y)Dj«f (a, P, Y) = вдгм*.
m
2Я л 2я
6. J da j dp* j dYsin р?>мм- (a, P. Y) = 8я28,;о8мовм'о-
000
2Л п 2Я
7. J Д» J dp j dYsinpDW (a, P, ?)*>?*' («, P. ?) =
0 0 0
8я2
27+1 6^6мм1бм,мч

Приложение
285
8. DJMMt (а, р, у) DJm.m[ (а, р, т) =
= 2 2 <ЛИ/'Л1' | /m> </Af1/'Al'i | jm^Dl^ (а, р, ?).
j=| J—J' | ffiJJli
9. t|> (/M | «q>) = S Дши, (a, p, 7) * W I *V).
В последней формуле D-матрица осуществляет поворот от
«нештрихованной» системы координат к «штрихованной».
Подробное изложение свойств коэффициентов векторного
сложения и ?>-матриц Вигнера можно найти в монографии [3]
списка литературы к гл. II.

ЗАДАЧИ
1. Выразить матричный элемент взаимодействия атома с
электрическим полем через силу осциллятора и поток
излучения. Провести числовые оценки.
Указания. Для монохроматического резонансного
излучения, поляризованного линейно или по кругу, согласно B.45),
B.46):
V(nMn'M'; t)=—G(nMn'M')exp(—iQt);
| G (пМп'М!) | = jijj | <n || d\\ /i'> 11 (JMJ' - Af | lcr> |.
Воспользоваться соотношениями
дпп'
Ответ.
1 С (пМп'М') | = УшК V№M2J' + l) | (JMJ' - М' 11<г> | =
'/' J Г
= УЖ^РМ2/' + 1)
М'-М а
J 1
Ma
= 0,633-10» V~№f«nBУ + 1) I (м, _
= 0,334-10-2yxPfn.n{2J' + l)\ (^ _\
[c-M =
[МГц] =
1
M a
[см-1]
К—длина волны в мкм, Р — поток в Вт/см2, fn-n — сила
осциллятора для перехода я'—*~п.
2. Вывести уравнение для матрицы плотности B.37) в
представлении поляризационных моментов.
Решение. Исходим из уравнений для матрицы плотности
в М-представлении.
("? + v v) Р (пМп'М') =•- R (пМп'М') + S (пМп'М') -
—i S ЩпМпхМ^р^п^п'М') - р^пМпьМДУ (п^п'М')].
n,Mt

Задачи
287
Используя соотношения B.31), B.32), B.40), переводим данные
уравнения в представление поляризационных моментов.
("Ж + v V) 9пп' (xq)= Rnn' ^) + Snn' № ~~
-«2 2 (— 1)''-м' </МУ# — Л!71 х^> X
X {(- 1)J«-M« </МУх - Mi. | Ял> У„п, (Яд) x
X (_ iy-м- <JlMlj> _ м' | xl9l> pn,„< (хЛ) -
_ (_ !)j,-m, ^aj/j _ Д,11 ХЛ> Pmu {yiiqi) x
X (- l)/'-»' (J^r - ЛГ|Ao> V„in. (to)}.
Проводим суммирование по проекциям моментов с
использованием соотношения 9 Приложения I, в результате чего получаем
(w + v v) pnn' (x?)= ^nn' (K?) + Snn' №) ~
-t 2 2 (- l)K+*«-J' "KST+1У 2*i + 1 X
X |(- l)-J-«4*^i-fc| to>|y y* ^ [^fitn't^Pnn»^!^)-
- (- 1) 9 <н - qxfa | Xa> jy, j j j Fnin (to) p^n' (хд)J.
Вводим векторы-столбцыpnns Rnrs, *Snn'C компонентами Pnn'(^),
Япп'(х<7), Snn<(x<7) и матрицы tf?nlf tf™, с элементами UnnS^q \ ^x4i)%
Оппг (x^lxrfi), определяемыми соотношениями B.39), B.42).
В итоге приходим к уравнениям B.37), записанным в
матричном виде.
3. Выразить интеграл столкновений S через оператор Мёл-
лера Q и Г-матрицу. Принять во внимание взаимодействие с
внешним полем.
Решение. Двухкомпонентный газ частиц,.
взаимодействующих между собой и с внешним полем, описывается
многочастичной матрицей плотности р, зависящей от внутренних и
внешних переменных Na и Nb частиц сорта а и Ь
соответственно. Матрица р подчиняется уравнению
ih±9 = [H + V + WM. 0)
где Я —гамильтониан изолированных частиц a, b\ W, V —
гамильтонианы взаимодействия частиц между собой и с внешним
полем.

288
Задачи
Вычисление шпура от обеих частей уравнения A) по
переменным всех частиц, кроме одной (сорта а), приводит к
уравнению для одночастичной матрицы
« Jf Ра = [На + У a, Pal + Spb [W ab, Pab] + Spai [Waai9 PaaJ- B)
Здесь р«ь — двухчастичная матрица плотности,
Ha-{-Va—гамильтониан частицы а во внешнем поле, Wab и Waat — гамильтонианы
взаимодействия частицы а с b и а\. Опустим последний член в
B), полагая концентрацию Nb частиц Ь существенно больше Na.
Вычисление шпура от A) по переменным всех частиц, кро-
.ме а и ft, приводит к уравнению для раЬ, содержащему трехча-
стичную матрицу (цепочка уравнений Боголюбова). Если
концентрация частиц Nb достаточно мала
Р«ЛГ*<1, C)
то можно пренебречь трехчастичной матрицей и тогда
« W 9аъ = [Иа + Нь + Va + Vb + Wab, РаЬ], D)
причем начальные условия, обеспечивающие установление
равновесного состояния (начальные условия Боголюбова),
следующие:
lim Раь@ = Р«@хрь@- E>
Цель следующего этапа вывода состоит в том, чтобы
выразить решение уравнения D) при начальных условиях E) через
стандартные операторы теории парных столкновений частиц а
и 6. Введем функции Грина (пропагаторы) свободного
движения частиц
т ± g (/, п = [На + va + Hb + vb] о (t9 n + ть (t - n F)
и движения со взаимодействием
«?*('. П = Ша + Va + Hb + Vb + Wab] Ъ (t, V) +
+ m&(t-n. G)
Матрицы раЬ в моменты времени t и V связаны соотношением
9ab(t) = *(tJ')9ab{t')W{tJ'). (8)
Операторы *§(/, ?) не определены при V—>—оо. Для
использования начальных условий E) можно ввести оператор
Q(U')=*(<.O0*(U').
имеющий конечный предел при V—>¦— оо:
О@= Hm *(t9t')GHtyt'), (9)

Задачи
289
ибо для V—>—оо движение частиц свободное. Принимая во
внимание формулу (8) и соотношение
С*(М'H(*,П = 1,
имеем цепочку равенств
РаЬ (<)=*(<. П Ра.Ь (t')*4t, П = * (<, Г) G* (/, Г) X
X О (t, П РаЬ (О & {t, П G (*, t') «¦ (*, О =
= Q (t, f) Q (t, /'.) Pab (tf) О* (t, П Q+ (/, Г).
НШ РаьЮ = Ра(ОХРь(П-
V-»—оо
-Согласно начальным условиям E)
Далее,
G (*, V) (Ра (П х 9ъ (О) G* (*, П = Ра @ х Рь (О,
и, наконец, по (9)
р«ь @ = 0(9 (р. (Охр» @^@- A0>
Из уравнений F), G) получаем уравнение для fl(f, ?)
ih ± Q (t, f) = [На + Va + Hb + Vb, Q (t,.f)]+
+ WabQ(t,t') + iM6(t-t'), A1)
или ему эквивалентное
Q(t,t')=l + -i-J dt№, h) WabQ{tu t') (?t (*, tx). A2)
V
Переходя к пределу /'—>—оо, получаем
Q(t) = l+K(t)\
t
*W = if I Git.tjWa&ajQHtjjdh: " • "A3)
— oo
Матрица T(f) вводится соотношением
T(t)=WabQ(t)t A4)
так что операторы K(t) и Г@ связаны следующим образом:
t
K@ = -^- J GVJJTitJGHtJJdh.. A5)

$Ю Задачи
Если Н не зависит от времени, то
G(t, t')=G{t—t')
и °°
K = -i-JG(T)>(?t(T)dT; Q(<) = 0, A6)
О
где Я — оператор Мёллера.
Суммируя результаты A0), A4), для интеграла столкнове*
кий находим
S = ± Spb [Wab9 Pab] = ± SPb {T (t) (pe x pb) Qt @ _-
-O@(PaXPb)rt@}. A7)
4. Вывести формулу
T (РаРъ\РагРы) = 6(Р-Рг)Т (р\рх).
Указание. Принять во внимание тот факт, что W&
зависит от ra—rb.
5. Доказать справедливость равенств D.78), D,83) с
помощью закона сохранения полного момента системы
сталкивающихся частиц.
Указание. Воспользоваться моделью изотропных
столкновений D.74) и разложением амплитуд рассеяния по
сферическим функциям, ввести представление полного момента
• ШШъМъ\и\*1Мг1Ь1Мьбид = 2 2^1«B)УГлй)Х
х /(/V, /, /; a| А/ыЛ. /ь /; ux)Jg <JMJbMb\7M> x
MMts
Закон сохранения^ полного момента состоит в том, что
амплитуда рассеяния в (TjbJjs) -представлении диагональна по /, s и не
зависит от s.
6. Доказать справедливость соотношений D.87), D.89),
D.92).
Указания. Исходить из выражения
vWxI^nW-s^ 2 (- lf-*-"i-* X
X <^Ли' - М' | и<7> </1Л11/'1 - М\ |И> X
X «/ (JM$ | Л^М /* {J'M'P I /ЖрО). A)
1). Для вывода D.87) рассмотреть выражение, комплексно
сопряженное с правой частью равенства A), произвести замену

Задачи
291
обозначений М *-+ М/,М1-^Ми воспользоваться эрмитовостью
амплитуды рассеяния и свойствами коэффициентов векторного
сложения (см. прилож. I).
2). При л/=п,л1 = я, n=q=0 выражение A) приводится к
сумме квадратов модулей амплитуд рассеяния с
положительными коэффициентами.
3). Рассмотреть выражение
С = /S \a^f {J MMJbMtfJi-- \y'-M\JMJ' - М' \*qy -
-4 2 / (J'M'$ I ^iPi) (~ 1>/l"M#1 <JiMxJ\ - M\ | x?> \*\ > 0.
м\ /
Раскрыть квадрат модуля, коэффициент а выбрать так, чтобы
сумма квадратов сумм принимала минимальное значение.
Перекрестный член совпадает с левой частью в D.92).
7. Вывести равенства E.30), E.32), E.33) для частот при*
хода и ядер интеграла столкновений, выражающие симметрию
рассеяния по отношению к обращению времени.
Решение. Воспользуемся тождеством E.32).
Предположим, что возмущающие частицы Ь находятся в состоянии
термодинамического равновесия.
Принимая во внимание закон сохранения энергии, находим
W {vx) A {aa'v | сс^яJ = W (v) 2 2 f dudat x
Xe[f»-t»1-^.(»-e1)]e[«»~«?+-l(?e_?el + ?|l_?|,l)Jx
X p6 (P, v-tt) е-<я«-Е«.)/*БТ/ (ap« j aiplttl) f* (a'p« | atjilUl). A)
Изменим в подынтегральном выражении знаки у скоростей и,
«1 на противоположные, после чего применим теорему
взаимности E.25). В результате получим
W (vt) A (aa'« | а&'м) = W (v) e(K«i-E«>/*BT* g j" dudttt X
x б [* - Vl - JL (« - e,)j б [«¦ - u\ + -J- (Ea-Eal+Ee-EH)] x
X (- 1)*P6(P, v + *)/ («ЙЛ| a*p*e)/* (а',*р;«, |a'*P*«), B)
б = J - M + /' - M' + /x - Mt + J {- M;.
Квантовые числа p*, pi принимают те же значения, что и 0,
Рь Поэтому суммирование по р, Pi в B) можно заменить
суммированием по р*, Pi • Учитывая, что при термодинамическом

292
Задачи
равновесии рб(Р)==рЛР*)> и применяя определение D.52) для
ядра, находим из B) соотношение, совпадающее с E.33).
Интегрируя обе части этой формулы по v и учитывая, что при
v<^vb справедливо соотношение
W (v) A (ococ'fli | a^itf) = W {Vi) A (aot/v | о^ос'^),
получаем формулу E.30).
8. Доказать формулу E.60) и вывести формулу для
амплитуды рассеяния на классические углы в изотропном потенциале.
Рассмотреть явление «глории».
Указания. Исходить из выражения E.58). Для больших
углов рассеяния и больших значений б(р) воспользоваться
асимптотическим разложением
/0 (qp) ^ ^== [е«*>-*/4> + е-*<*е-*/4>], q = -f | и - их \
и определить точку стационарного значения фазы
подынтегральной функции в E.58)
|fi,(pc)| = ? = 4sine/2'
В этой точке произвести разложение б(р) до квадратичного
члена.
Ответ
fi'(Pc)>0: /(#) = _^|^_??_j,/2e-?(Pc)+,Pcl.
Для малых (дифракционных) углов рассеяния вклад в /(Ф) от
области вблизи экстремума функции б(р) равен
- X [^F]1/2 Р^о <«>о) е-^р»>, (б' (Ро) = 0).
Вследствие условия б(р0)>1 вклад глории в рассеяние вперед
нал.
9. Вычислить функцию корреляции и контур линии при
фазовой модуляции в ударном приближении.
Указание. Для последовательных столкновений,
сопровождающихся скачком фазы фЬ имеем
Фг (т) = <е-«я*»> = S Рт (т) е-^«; Рш (т) = ^ е^,
где Рт(х)—вероятность того, что за время т произойдет т
столкновений, vi — средняя частота столкновений.
Суммирование по т приводит к результату

Задачи
293
фх (т) = ехр [— VjT A — e~i(P')].
Усреднение по столкновениям с независимыми скачками фаз:
Ф (т) = П Ф/ (т) = ехр [- (Г + /А) т], Г + iA = <v, (l - e-*i)>,.
i
10. Вычислить спектр излучения для случая F.61) и F.66).
Ответ
*м' 2л ^с [i^ + a — i(Q — ^)][ГХ — a — i(Q — Ая/)]
I\ = 7 + " (vi + v2 — VU — ^22);
Г2 = vx — vn — (v2 — v22); Av = vx — u2;
» = -2"(ui + ua); a2 = v12v21 + T[r2 + iMt;]2.
11. Вывести и решить систему уравнений для величин г5, гтп,
гтп, определенных формулами (8.81).
Указание. Ввести (8.81) в систему (8.80) и отделить
части, обладающие различной зависимостью от времени.
Ответ.
(Гт— is) гт + Ю*гтп — Ю~г*тп = Ю^рпт;
(Тп - te) rn + Amnrm - iG*rmn + iG7mn = — Юу&пт\
[Г - i (е + Q - А)] гтп + Ю (гт - гя) = - Ю» (р^ - p0n); ( У
[Г - i (е - Q + А)] 7тп - Ш*{гт - гп) = 0.
Из решения системы A) находим
ю>тп = - i%? [р^от - pL+? ('. - '»)];
rm-rn = /^(p*-»e);{(P-*'8)[(rm-fe)pew +
+ (Гп - /в - Атп) рпт] + Ю* [Гт + Гп - Атп - 2f6l(PL,- pL)h
/> = r-t(Q-A);
Z)=.(p—te) (p*—te) (Гт—fe) (Г.—te) +
+2(r-ie) (Гт+Гп-Лт„-21е) | G|2.
12. Вывести уравнение (9.10)
a(m, 0; /)+^т1а(/п, 0; 0=0
в случае распада нижнего состояния /.

т
Задачи
Указания. Рассматриваем каскадный спонтанный раЬпад
В трехуровневой системе т, /, / (Em>El'>Ei), причем уровень /
стабильный
а (т, 0; t) = - i-J Н' (т> ° I '¦ h) е~**а(/, U; 0;
к
« (/, U; 0 = - 4 #'('• UI«. 0) е^'а («, 0; 0 -
I*
Интегрируя формально последнее уравнение, вводя результат в
уравнение для аA, Ц; 0 и выполняя суммирование по р,
(аналогично § 9), находим
kh h; t) + Уца (/, U; 0 = - ± Я' (/, 1,1 mf 0,) с*% (т, 0; *).
Теперь нужно формально проинтегрировать полученное
уравнение и результат ввести в уравнение для а(т9 0; /). Выполнив
суммирование по Я, приходим к (9.10).
При взаимодействии с внешним полем ход рассуждений
аналогичен. Формальное интегрирование выполняется с помощью
соответствующей фундаментальной матрицы.
13. Вычислить спектральную плотность спонтанного
испускания для перехода т —>• п.
Указания. Воспользоваться решением задачи 11,
принимая во внимание различие правых частей в системах уравнений
(8.80) и (9.29), отбросить в выражении для гтп заселенность
Р°ПЛ и член (Гп—Amn—ie)pnm.
Ответ
-^ = 2^|G,|'Re-^;
х = ?- (р* - is) [ (р — is) (Гт -* te) рпт +
+ Ю* (Гж + Гп - Атп - 2fe) pjj.
14. Получить выражение для члена радиационного прихода
C.12), C.13).
Я<2) (пМпМ') = Ащп S <JMla | Л^> X
а
Мхм\
X <«Ш'1<х | JVWj) р (n^Ml'i).

Задачи
295
Указания. Исходить из уравнения
(it + Тп)*(лЛ1,1х;0 = -~х Н' <nM. UlM*iA)X
хе"^'а (/1^,0^,0. A)
Составить уравнение для
р (пМ, пМ') = %а(пМ, 1Х; /)а» (лМ', lx; t),
х
имеющей смысл элемента атомной матрицы плотности
(амплитуды a{nM,\x\t) описывают состояния системы «атом+поле»;
шпур но X выделяет состояния атома)
(ж + 2У») р <лМ> пМ'> = ~ Т 2 н' (пМ> h I n±Mlt 0Х) X
X еш*'а (пгМи 0Х; /) а* (пМ\ h;t)-
-4-2 я'* (***'• ^ iп^ °*) e~i%'a* (м^ °ь')а <лЛ1' ^');
Н' (пМ, hIпхМ19 0Х) = tconin l/|JМ(лЛ1.ihA*х), B)
da (пМ, M*i) = (- l)Jj-Ml z— <пId||пх> (Ш! - Мх 11а>.
Амплитуды a(/tAf9U;0» а*(яЛРЦ;?) в B) заменить
формальным решением уравнения A); суммирование по модам К
разбить на интегрирование по Qk и углам и на суммирование по
поляризациям. В итоге указанных вычислений правая часть в
уравнении B) приводится к /?B)(лМ, пМ').
15. Выразить работу поля A0.20) через интеграл вероятности
от комплексного аргумента.
Ответ
Р = 2йсо-^^и(г) (Nn-Nm),
У 1 + и kv
* = |Г,-*@-A)]/fe>; Г8 = гуТ+х; u(z) = Ret»(z);
г
w (z) = e** [1 - Ф (г)]; Ф (г) = -?= j e-'W.
16. Найти элементы матрицы плотности для движущихся
атомов, взаимодействующих с полем стоячей
монохроматической волны в условиях точного резонанса (©=<0ш») и
одинаковых констант релаксации (Гт=Гя=Г; Лтл=0). Выполнить
усреднение по координатам.

$96 Задачи
Указание. Пользоваться фундаментальной матрицей G.20).
Ответ
9и (г, v) = W (v) fe^ ± ^Ц^- J е~* Cos [/ (г, v, т)] dr ;
оо
Pmn (г, f») = - 4" W («) (<?m - Qn) ( е-л sin [/ (г, я, т)] dt;
l 0 '
/('•^.T) = ^sinTT-cosHr + Tt'T)]-
17. Рассмотреть вопрос об асимметричной зависимости
работы поля P(Q) (стоячая волна) от частоты для модели сильных
столкновений с комплексной частотой прихода недиагонального
интеграла столкновений.
Указания. Исходить из выражения (?.52). Определить
положение центра тяжести Й1 и положение максимума й2 функции
?(Q) при |v|«C&27. Разложить P(Q) в ряд вблизи точки й=\>".
Ответ
Q1==v"; Q2=v"—2v".
18. Вычислить матрицу, обратную К, заданную формулой
A2.40).
19. Получить решение уравнений для матрицы плотности в
модели сильных столкновений с изменением скорости,
вращательного квантового числа J и проекции М.
Указания. Пренебречь спонтанными переходами по
каналу т—п и «фазовой памятью» для недиагональных
элементов ртп. Рассмотреть случай линейно поляризованной стоячей
волны, вызывающей переходы mJ0 — nJ'0 (ось квантования
выбрать вдоль электрического вектора поля).
Ответ
Pmm(JMV) = W(JMv)\Nm +
2\G?Nnm W
W(J0M) 1 +
pn„ (JMv) - W{JMV) jtfn - 21^)^оЩ,
P+(Mv) + p-(Mv) = iGNnr
yW(v) 1
1+2|0|2таГ f(M)'

Задачи
297
х (v) = [у + v - i (Q - fcv)]-1 + [у + v - i (Q + ко)]-1;
v'm = i/'W jC = y'6JV;;
У) = 2 J Aw;W (/Me); Y" = 2 J dvt/W («);
KJn—M
/(M) = (-l)o <J,Mfo-M'\lO>;
ЛГ„
fBWl^.w^. „/ =
2Уп+1
2/в+Г
2Yy + v;. — v
*!/ = {2yj + vy)-1; т2/ = т1у——^ =-; tx = Tlm+'Tln.
20. Вывести формулу для распределения по скоростям на
нижнем уровне перехода, резонансного сильному
монохроматическому полю, принимая модель разностного ядра интеграла
столкновений.
Указание. Воспользоваться функциями Грина A2.60),
A2.63), рекуррентными соотношениями A2.6) и формулой
A2.66).
Ответ
Pnniv) = W(v){Nn + 2rlH\G\>
т п
7 + V
X
X
[A - х1тАтп) ((у^Д1^ + Z (х) пп) - т1тптЛтп( гт(х)+
т
ldr)
x=Q,—\"—kv.
21. Вычислить "распределение заселенностей по скоростям и
работу поля стоячей волны в приближении первых нелинейных
поправок, используя двухкомпонентное ядро A2.96) ийтеграла
столкновений.
Указание. В недиагональном ядре Л(vj^i) пренебречь
членом v{mlW(v). Для описания селективного рассеяния
использовать одномерные разностные ядра Ац(о—V\).

298
Задачи
Решение
< т$У + J Fji ШВ {Q-kv- кц) + 5 (Q + ко - Щ) dQ ,
Q\«
y=2j/*e У.
П2)
Функции Fji(n) и В(z) определяются формулами A2.63),
A2.79) с той оговоркой, что в выражениях A2.58) и A2.63)
для Ф(т) из A2.79) следует произвести замену
Г _* Г + v<2>; vmn -. v<l>; .», - v,/r, +v</>/(Г, + vj2))-
Выражение для работы поля имеет вид
Р (О) = 4Ra\G }2 (#п - Nm) я!% (О) х
х{.-|+2|с;^+<)г[№+^)^мо)]}.
где /i(fi), /а(Й) описываются формулой A2.81), в которой
следует сделать указанную выше замену.
22. Вычислить работу пробного поля для трехуровневой
системы при ftuffft, K<k в приближении первых нелинейных
поправок иТ«<?г?.
Указание. Исходить из выражения A3.4).
Ответ
/V(Q„) = 2йсо,| G,p 15ехр Г- {^\^Ш^\ {^ ~Мт +
+ 21 в ЦК. - ЛГ») Ь Re [^ + ^ + (тр^у]},
С2 + С2 = Г; С2 = [Гт, - Тп1 + Ттп + i (Дт| - Дп? - Д^)]-1
3—N — N k ' *— ^wJf ? ^п»
Г, = ^Гя1 + Ц^Гт1; Qwl=Ol»-Aw«-^(Q-A»n);
k
%ъ = Йц — Ami ~ -у (Ani - Awl «f &)•
23. Вычислить двухфотонное поглощение одной из бегущих
компонент стоячей волны в следующих условиях: частота волны
р удовлетворяет условию двухфотонного резонанса по отноше-

Задачи
299
нию к запрещенному переходу п—/ и далека от однофотонного
резонанса с разрешенными переходами т—п, т—/.
Указание. Вследствие принятого условия |Q*mI, |Qmn|>
*>kvt в уравнениях для p,m, pwn можно пренебречь константами
релаксации и членами, содержащими vV. При вычислении
работы поля в общее соотношение следует подставить одну из
бегущих компонент волны и провести усреднение по координате и
скоростям.
Ответ
Р = Гт1п I *™*? |2[ ш |4 Nn Re |[Г„, - i Bа> - щп - А,,)]-1 +
Qi=(o—©mn.
24. Вычислить работу пробного поля в трехуровневой
системе при условии | G|<&?, k»>k (формула A3.11).
Указание. В выражении A3.2) выделить ненасыщенную
часть ри—pmm. Применить теорему о вычетах, учитывая, что
полюса знаменателя как функции hv в A3.2) находятся в одной
полуплоскости, если k»>k\ использовать полюс выражений
A3.3).
25. Вычислить работу пробного поля в трехуровневой
системе при выполнении условий |G|^feF.
Указания. Корни знаменателя выражения A3.2) при
выполнении условий \G\^>kv равны
«1,2 = 4" lVml + ?nl + i (Q + Дт! + Anl) *
± 1/Qa + 4|G|2] - iMit2kV.
Разложить выражение A3.2) на простые дроби. Учесть
зависимость от v только в резонансных знаменателях, содержащих
сы.2,и в W(v). В итоге приходим к A3.13), A3.14).
Ответ _ - *
г,,2= [ (Гт1+Гп,)/2—i(Q— Qw) ]/| К—Л*1,2*|»;
С,.а = ± \(Ыт - Nt) (Q1>2 - Q) + (Nn - Nm) j?~><
x^K-Q+feQ)]i^bT;
Функция w(z) определена формулой F.32).

300
Задачи
26. Вычислить работу пробного поля на смежном переходе
в модели сильных столкновений.
Указание. Пренебречь «фазовой памятью» на переходах
т—п, т—1, п—1. Разбить рт*(р) на равновесную и селективную
по скоростям части; формулу A3.2) преобразовать подобно
тому, как это сделано в задаче 24.
Ответ
Pt=P*+XP+9X~*[l+2\G\*%i{Y'(v))]-*i
Рп = 2йсо, | G, pig е^'V)a [Nt - Nm + х2тХ \ G \\Г (*)>].
Функция Р& описывается формулами A3.11), A3.12) с заменой
A3.15). Величины т2т, Т2, Y(v) определены формулами A2.12),
A2.29), A2.45) соответственно.
27. Вычислить работу пробного поля в двухуровневой
системе в условиях Гт=.Гп=Г, \G\^kv.
Решение. Полагая в решении задачи 11 константы
релаксации одинаковыми и |GJ»r, приводим выражение для
работы поля к виду
/V = - 2»®J G№ |2 \(9тт - Pun) Re frlWr jr^r X
(QT-QV + 2|GP \
Л [r-/(.' + a;)J[r-i(e'-qi)]/'
Q;^K(Q,)a + 4|0|2; Q' = Q-ita>;
е'=?2й—Q—(йц—ft)t>.
Полученные выражения следует разложить на простые дроби
и, учитывая условие |G|;»&;, оставить зависимость от
скорости только в резонансных знаменателях Г+йУ, Г—tV, Г —
— i'(e' ± й'о)- Величину Qo заменить приближенным выражением
В итоге должна получиться формула A4.8).
28. Полагая в формуле A4.8) Й=0, провести усреднение по
скоростям при йц=—k.
+й^[-«р(-<^Г?I-

Задачи
301
Здесь Ф(г)—интеграл вероятности, определяемый по формуле
F.32).
29. Вывести выражение A5.3) для спектральной плотности
интенсивности спонтанного испускания в двухуровневой системе
при условии Г,„'=ГП=Г, \G\\\>kv.
Решение. Из общей формулы задачи 13 при ГГмИг=Гп=Г
и |G|<C&? следует
P„=-H<*»\G»\*Re/(Nm+Nn)^^x
2|<?|* + QV-e'2 \
. Х [Г-1 (е' + Qo)] [Г -1 (в' -Oi)] /•
Йо = "К(йТ + 4|0|а, Q' = Q-to>\ e, = Q|A-Q-(*|i-ft)^.
Выражение A5.3) получается в результате процедур,
аналогичных приведенным в задаче 27.
30. Вычислить спектр спонтанного испускания на переходе
т—п для атомов, движущихся в доле стоячей волны при
условиях r^=r„=rwftssr; <o=!ew Al=0.
Решение. В выражении (8.37) следует взять член,
описывающий испускание (с+), и воспользоваться формулой (8.33)
^ = -2^o>M|G^|2Re
\и и J
Ф('. h) = 5nn </, tx)[b (tx)»f(ti)$4t, Qlml
b(tx)=fl(tu t0)b(t0).
Фундаментальная матрица S(t9 t0) определена формулой G.2Q),
в которой следует положить
t
/(/) = jGcos*[r-*(/x-/0)]^ =
'о
= g sin [*• (t - t0)] cos [ft (r - ? (' ~ '•»)]•
В расчете на единичный акт возбуждения спектральная в
угловая плотность спонтанного испускания равна (следует • 90С*
пользоваться нормировкой |бц[2 по формуле (9.22))
00 00
^=fef dt\ <«'er-ri{i + coe2l/@-/(O]i
О /
=ь cos 2/ (/) ± cos 2/ (/')} cos (Qu - М) (* - tf).
Знаки + и —соответствуют возбуждению верхнего и нижнего
уровней.

802 Задачи
Усреднение здй по г приводит к выражению
оо ' оо
о t
± '• [кsin Т *] ± Jo Шsin т'']}cos ^ - *¦*> <' - v )•
Разложение функций Бесселя в ряд Фурье позволяет в явном
виде провести интегрирование по t, V. Для вычисления Р„
следует о>„ умножить на Qm=~TNm (либо Qn=IW„)
*•* л L, , ,м V г>~/ «zo + W \
i- 1«ж пп) j^ ке \?+й4, г _ ,• ^ _ft^ _ /ftoj /,
^/: 'i.« : 1±Ь \
z=*2G/kv.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М., Физ-
матгиз, 1959. 532 с.
2. Фриш С. Э. Оптические спектры атомов. Л.—М., Физматгиз, 1963. 640 с.
3. Вавилов С. И. Микроструктура света. М., Изд-во АН СССР, 1950, -с. 70.
4. Таунс Ч., Шавлов А. Радиоспектроскопия. М., ИЛ., 1959. 756 с.
5. Karplus R., Schwinger I. A. Note on Saturation in Microwave
Spectroscopy.—"Phys. Rev.", 1948, v. 73, N 9, p. 1020—1026.
6. Левшин В. Л. Фотолюминесценция жидких и твердых веществ. Л.— М.,
Гостехиздат, 1951. 456 с
7. Weisskopf V.f Wigner Е, Berechnung der naturlichen Linienbreite auf Grund
der Diracschen Lichttheorie.— "Z. I. Phys.", 1930, Bd 63, N 1, S. 54—73.
.8. Weisskopf V. Die Streuung des Lichts an angeregten Atomes.— "Z. f. Phys.",
1933, Bd 85, N 7, S. 451—481.
9, Goppert-Mayer M. Uber Elementarakte mit zwei Quantenspriingen.— "Ann.
der Phys.", 1931, Bd 9, N 3, S. 273—294.
10. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., ИЛ., 1956. 491 с.
И. Rabi I. I. Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field.—"Phys. Rev.",
1937, v. 15, N 8, p. 652—654.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., «Наука», 1974. 752 с.
13. Autler S. Н., Townes С. Н. Stark Effect in Rapidli Varing Field —"Phys.
Rev.", 1955, v. 100, N 2, p. 703—722.
14. Канторович В. M., Прохоров А. М. О нелинейных эффектах
взаимодействия резонансных полей в молекулярном генераторе и усилителе.— ЖЭТФ,
1957, т. 33, № 3, с. 1428—1430.
15. Javan A. Theory of a Three-Level Maser — "Phys. Rev.", 1957, v. 107, N 6,
p. 1579—1589.
16. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Форма линии и дисперсия в области
полосы поглощения с учетом вынужденных переходов.— ЖЭТФ, 1961, т. 41,
№ 2, с. 456—464.
17. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Излучение атомов при движении в поле
стоячей волны.—ЖЭТФ, 1963, т. 44, № 3, с. 934—945.
18. Ноткин Г. Е., Раутиан С, Г., Феоктистов А. А. К теории спонтанного
испускания атомов, находящихся во внешнем поле.— ЖЭТФ, 1967, т. 52, № 6,
с. 1673—1687.
19. Bennett W. R. Jr. Hole Burning Effects in a He —Ne Maser.—"Phys. Rev.",
1962, v. 126, N 2, p. 580!—593. Рус. пер. В кн.: Лазеры. М.э ИЛ, 1963,
с. 207—242.
20. Lamb W. Е. Theory of an Optical Maser,— "Phys.-Rev.", 1964, v. 134, N 6A,
p. 1429—1450.
21. Раутиан С. Г. Некоторые вопросы теории газовых квантовых генерато»
ров.—«Труды ФИАН», 1968, т. 43, с. 3—115.
22. Летохов В. С. Автостабилизация частоты световых колебаний лазера
нелинейным поглощением в газе.—«Письма в ЖЭТФ», 1967, т. 6, .№ 4,
с. 597—600.
23. Лисицын В. Н., Чеботаев В. П. Эффекты насыщения поглощения в газовом
лазере.—ЖЭТФ, 1968, т. 54, № 2, с. 419—423.

304
Литература
24. Lee P. H., Skolnick M. L. Saturated Ne absorbtion insite 6238 A laser.—
"Appl. Phys. Lett.", 1967, v. 10, N 3, p. 303—305.
25. Rautian S. G. Nonlinear interference effects at the spontaneous emission.
Proc. Symposium on Modern Optics A967, March 22—24). N. Y., Politech-
nik Press, 1968, p. 353—355.
26. Holt H. K. Frequency-correlation effects in cascade transitions involving
stimulated emission.—"Phys. Rev. Lett", 1967, v. 19, N 22, p. 1275—1277.
Observations of the effect of frequency correlations on a cascade
transition.— "Phys. Rev. Lett.", 1968, v. 20, N 9.
27. Бетеров И, M., Чеботаев В. П. Трехуровневый газовый
генератор.—«Письма в ЖЭТФ», 1969, т. 9, № 4, с. 216^220.
28. Бонч-Бруевич А. М., Ходовой В. А. Современные методы исследования
эффекта Штарка в атомах.—УФН, 1967, т. 93, № 1, с. 71—.110.
29. H&nsch Th.f Toschek P. Theory of a Three-level gas Laser Amplifier.—
"Z. f. Phys.", 1970, Bd 236, N 3, S. 213—244.
30. Бетеров И. M., Соколовский Р. И. Нелинейные эффекты в спектрах
излучения и поглощения газов в резонансных оптических полях.— УФН, 1973,
т. ПО, №2, с. 169—190.
31. Летохов В. С, Проблемы лазерной спектроскопии.—УФН, 1976, т. 118,
№ 2, с. 199—249.
32. Летохов В, С, Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной спектроско-
- пин. М., сНаука», 1975. 280 с.
33. Лисица В. С, Яковленко С. И. Нелинейная теория уширения и обобщение
topмyлы Карплюса — Швингера — ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 479—492.
. _ итдина Р. 3., Чаплик А. В. Столкновения атомов и молекул в мощных
световых полях.—«Автометрия», 1978, № 2, с. 118.
35. Боков О. Г. Об электронном поглощении в неполярных жидкостях.—
ЖЭТФ, 1977, т. 72, № 3, с. 888—895.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. М., «Наука», 1974. 752 с.
2. Силин В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., «Наука», 1971.
331 с.
3. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория
углового момента. Л., «Наука», 1975. 436 с.
4. Чайка М. П. Интерференция вырожденных атомных состояний. Л., ЛГУ,
1975. 192 с.
5. Пестов Э. Г., Раутиан С. Г. Полевое сужение спектральных линий.— ЖЭТФ,
1973, т. 64, № 6, с. 2032—2045.
6. Лисица В. С, Яковленко С. И. Нелинейная теория уширения и обобщение
формулы Карплюса —Швингера.—ЖЭТФ, 1975, т. 68, №2, с. 479—492.
7. Витлина Р. 3., Чаплик А. В. Столкновения атомов и молекул в мощных
световых полях.— «Автометрия», 1978, № 2,#с. 118.
8. Раутиан С Г., Собельман И. И. Влияние столкновений на допплеровское
уширение спектральных линий.—УФН, 1966, т. 90, № 2, с. 209—236.
9. Кольченко А. П., Раутиан С. Г., Шалагин А. М. Ядро интеграла
столкновений. Препринт ИЯФ № 46—72. Новосибирск, 1972. 32 с.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III
1. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., ИЛ, 1956. 491 с,
2. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М., Физматгиз,
1963.640 с.

Литература
305
3. Никитин Е. Е., Бурштейн А. И. Релаксация и деполяризация атомных
состояний при столкновениях.— В кн.: Газовые лазеры. Новосибирск, «Наука»,
1977, с. 7—58.
4. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Влияние столкновения на допплеровское
уширение спектральных линий.—УФН, 1966, т. 90, № 2, с. 209—236.
5. Фаддеева В. Н., Терентьев И. М. Таблицы значений интеграла вероятности
от комплексного аргумента. М., Гостехиздат, 1954. 268 с.
6. Dicke R. The Effect of Collisions upon the Doppler width of Spectral
Lines.— "Phys. Rev.", 1953, v. 89, N 2, p. 472—473,
7 Рытов С M. Введение в статистическую* радиофизику. Ч. I. Случайные
процессы. М., «Наука», 1976. 494 с.
8. Раутиан С. Г. Некоторые вопросы теория газовых квантовых генераторов.—
«Труды ФИАН», 1968, т. 43, с. 3—115.
8а. Бурштейн А. И. Квантовая кинетика. Ч. I, II. Новосибирск, НГУ, 1968,
с. 494.
9. Ребане В. Н. Зависимость уширения и сдвига спектральных линий от
поляризации при анизотропных столкновениях атомов с заряженными
частицами.—«Опт. и спектр.», 1977, т. 43, № 3, с. 815—821.
10. Резонансное взаимодействие света с веществом. М., «Наука», 1977. 350 с.
Авт.: Бутылкин В. С, Каплан А. Е., Хронопуло Ю. Г., Якубович Е. И.
11. Кодднингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. М., ИЛ., 1958. 474 с.
12. Ландсберг Г. С. Оптика, М., «Наука», 1976. 928 с.
13. Апанасевич П. А. Основы теории взаимодействия света с веществом. Минск,
«Наука и техника», 1977. 495 с.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IV
1. Bennett W. R., Jr. Gaseous Optical Masers — "Appl. Optics. Supplement",
1962, N 1, p. 24—62. Рус. пер.: УФН, 1963, т. 81, № 1, с. 119—184.
2. Чайка М. П. Интерференция вырожденных атомных состояний. Л., ЛГУ,
1975. 195 с.
3. Раутиан С Г. Некоторые вопросы теории газовых квантовых
генераторов.—«Труды ФИАН», 1968, т. 43, с. 3—1116.
4. Гермогенова Т. А., Раутиан С. Г. К вопросу о взаимодействии квантовой
системы с сильным полем.—ЖЭТФ, 1964, т. 46, № 2, с. 745—754.
5. Басов Н. Г., Беленов Э. М., Данилейко М. В., Никитин В. В. Исследование
резонансов мощности кольцевого лазера с нелинейно поглощающей
ячейкой.—ЖЭТФ, 1969, т. 60, № 1, с. 117—123.
6. Летохов В. С, Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии. М., «Наука», 1975. 280 с.
7. Stenholm S.t Lamb W. E. Semiclassical Theory of High — Intensity Laser.—
"Phys. Rev.", 1969, v. 181, N 2, p. 618—635.
8. Feldman D. J., Feld M. S. Theory of High Intensity Gas Laser.— "Phys.
Rev, A", 1970, v. 1, N 5, p. 1375—1396.
9. Каллас X. В., Ребане В. Н., Чайка М. П. Эффект Ханле в спонтанном
излучении газового лазера.—В кн.: Физика газовых лазеров. Л., ЛГУ, 1969,
с. 94—116.
10. Петраш Г. Г., Раутиан С Г. Спектроскопические применения газовых
квантовых генераторов.— «Опт. и спектр.», 1965, т. 18, с. 336—337.
11. Бычкова Т. В., Кирпиленко В. Г., Раутиан С. Г., Хайкин А. С. Измерение
вероятностей спонтанных переходов 3s2—2р в неоне.—«Опт. и спектр.*,
1967, т. 22, с. 678—680.
12. Parks J. Н., Javan A. Collision-Induced Transitions tffthin Excited Levels
of Neon.—"Phys. Rev.", 1965, v. 139, N 5A, p. 1351—1358.
13. Хайкин А. С. Исследование переходов между возбужденными состояниями
атомов неона при столкновениях с электронами.—«Труды ФИАН», 1969,
т. 51, с. 90—123.

306
Литература
14. Bennett W. R., Jr. Hole Burning Effects in a He — Ne Maser — "Phys. Rev.",
1962, v. 126, N 2, p. 580—593. Рус. пер. В кн.: Лазеры. М., ИЛ, 1963,
с. 207—242.
15. Раутиан С. Г., Собельман И. И. Влияние столкновений на допплеровское
уширение опектральных линий.— УФН, 1966, т. 90, № 2, с. 209—236.
16. Раутиан С. Г. О влиянии столкновений на спектральные характеристики
газовых квантовых генераторов.—ЖЭТФ, 1966, т. 51, № 4, с. 1176—1188.
17. Казанцев А. П., Сурдутович Г. И. Резонансный обмен возбуждениями при
столкновениях атомов.—В кн.: Нелинейная оптика. Новосибирск, «Наука»,
1968, с. 118—120.
18. Gyorffy В. L., Borenstein М., Lamb W. Е., Jr. Pressure Broadening Effects
on the Output of a Gas Laser.—"Phys. Rev.", 1968, v. 169, N 2, p. 340—359.
19. Кольченко А. П., Раутиан С. Г. Взаимодействие атома с
монохроматическим полем в модели сильных столкновений.—ЖЭТФ, 1968, т. 54, с. 959—
973.
20. Бетеров М. И., Соколовский Р. И. Нелинейные эффекты в спектрах
излучения и поглощения газов в резонансных оптических полях.— УФН, 1973,
т. МО, № fi, с. 169—190.
21. Кольченко А. П. Влияние изменения скорости атомов при столкновениях
на форму линий в нелинейных спектроскопических явлениях. Канд. дис.
Новосибирск, 4977. 160 с.
22. Андреева Т. А., Алексеев В. А., Собельман И. И. К теории нелинейных
резонансов мощности газовых лазеров.—ЖЭТФ, 1973, т. 64, № 3, с. 813—
824.
23. Кочанов В. П., Раутиан С. Г., Шалагин А. М. Уширение нелинейных
резонансов вследствие столкновений с изменением скорости.— ЖЭТФ, 1977,
т. 72, Я° 4, с. 1358—1374. Препринт ИСАН, № 2, 1977. 68 с.
24. Vasllenko L. S., Kochanov W. P., Chebotayev V. P. Nonlinear dependence
of optical resonante widths at C02 transitions on pressure.—"Opt. Comm.",
1977, v. 20, p. 409—411.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
1. Летохов В. С, Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии. М., «Наука», 1975. 280 с.
2. Hansen Т. W., Harvey К. С, Meisel G., Schawlow A. L. Two-Photon
Spectroscopy of Na 3s —4d without Doppler Broadening using a CW Dye
Laser.—"Opt. Comm.", 1974, v. 11, N 1, p. 50.
3. Hansen Т., Keil R., Schabert A.r Schmelzer Ch.f Toschek P. «Interaction of
Laser Light Waves Dynamic Stark Splitting.— "Z. f. Phys.", 1969, Bd 226,
N 3, S. 293—296.
4. Попов А. К. О расщеплении спектральной линии оптического перехода в
газах под действием резонансного внешнего поля.—ЖЭТФ, 1970, т. 58, № 5,
с. 1623—1625.
5. Попова Т. Я., Попов А. К., Раутиан С. Г., Соколовский Р. И. Нелинейные
интерференционные эффекты в спектрах испускания, поглощения и генера-
даи.—ЖЭТФ, 1969, т. 57, Ко 3, с. 850—863.
6. Раутиан С. Г. Некоторые вопросы теории газовых* квантовых генераторов.—
«Труды ФИАН», 1968, т. 43, с. 3—115.
7. Апанасевич П. А. Основы теории взаимодействия света с веществом. Минск,
«Наука и техника», 1977. 495 с.
8. Раутиан С. Г., Феоктистов А. А. Нелинейные интерференционные эффекты
в спонтанном испускании с учетом столкновений.—ЖЭТФ, 1969, т. 56,
№ 1, с. 227—239.
9. Hansen Т. W., Toschek P. Theory of a Three-level Gas Laser Amplifier.—
"Z. f. Phys.", 1970, Bd 236, N 3, S. 213-244.

Литература
307
10. Бетеров И. М., Соколовский Р. И. Нелинейные эффекты в спектрах
излучения и поглощения газов в резонансных оптических полях.— УФН, 1973,
т. 110, № 2, с. 169—190.
11. Кочанов В. П., Раутиан С. Г., Сапрыкин Э. Г., Шалагин А. М.
Экспериментальное исследование спонтанного испускания неона в присутствии
сильного монохроматического поля.—ЖЭТФ, 1976, т. 70, № 6, с. 2074—2086.
12. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., ИЛ., 1956. 491 с.
13. Апанасевич П. А. Поглощение и преобразование мощных потоков
излучения. I. Уравнение для матрицы плотности и их применение в случае
облучения вещества монохроматическим излучением.—«Опт. и спектр.», 1963,
т. 14, № 5, с. 612—623.
14. Рубин П. Л., Соколовский Р. И. Изменение частоты излучения при
резонансной флуоресценции.—ЖЭТФ, 1969, т. 56, № 1, с. 362—369.
15. Mollow R. В. Resonant Scattering of Radiation from Collision-Damped
Two-Level Sistem.— "Phys. Rev. A.", 1970, v. 2, p. 76—86.
16. Казанцев А. П. Излучение атома во внешнем электромагнитном поле.—
ЖЭТФ, 1974, т. 66, № 4, с. 1229—1236.
17. Grove R. Е., Wu F. Y., Ezekiel S. High resolution measurements of the
spectrum of resonance fluorescence induced by a monochromatic field.—
"Opt. Comm.'\ 1976, v. 18, N 1, p. 61.
18. Шалагин A. M. Несмещенная линия резонансного рассеяния сильного
квазимонохроматического поля.—ЖЭТФ, 1977, т. 72, № 5, с. 1775—1782.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
1. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М., «Наука», 1977.
320 с.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. JVL Квантовая механика. М., «Наука», 1974. 752 с.
3. Дьяконов М. И. К теории газового лазера в слабом продольном магнитном
поле.—ЖЭТФ, 1965, т. 49, № 4, с. 1169—1179.
4. Дьяконов М. И., Перель В. И. К теории газового лазера в магнитном
поле.—«Опт. и спектр.», 1966, т. 20, № 3, с. 472—480.
5. Бурштейн А. И., Сапрыкин Э. Г., Смирнов Г. И. К теории поляризационных
явлений в спектроскопии двухквантовых переходов.— ЖЭТФ, 1974, т. 66,
№ 5, с. 1570—1577.
6. Tomlison W. J., Fork R. L. Use of nonlinear optical interactions to measure
relaxation rates of atomic multipole moments.—"Phys. Rev. Lett.", 1968,
v. 20, N 13, p. 647—649.
7. Wang C. H., Tomlison W. J., George R. T. Collision-Induced Anisotropic
Relaxation in a Gas Laser.—"Phys. Rev.", 1969, v. 181, N 1, p. 125—136.
8. Алексеев А. И., Галицкий В. M. Влияние атомных столкновений на
поляризацию атомного излучения.—ЖЭТФ, 1969, т. 57, № 3, с. 1002—1011.
9. Перель В. И., Рогова И. В. Релаксация распределения возбужденных атомов
по скоростям и поляризациям при полном пленении резонансного
излучения.—ЖЭТФ, 1971, т. 61, № 5, с. 1814—1821.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
1. Кольченко А. П., Раутиан С. Г., Соколовский Р. И. Взаимодействие атома
с сильным электромагнитным полем при учете эффекта отдачи,—ЖЭТФ,
1968, т. 55, № 5, с. 1864—1873.
2. Воробьев Ф. А., Раутиан С. Г., Соколовский Р. И. Явление отдачи при
взаимодействии атома с сильным полем.— «Опт. и спектр.», 1969, т. 27, № 5,
с, 728—733.

308
Литература
3. Hall J. L., Borde С J., Jehara K. Direct Optical Resolution of the Recoil
Effect Using Saturated Absorbtion Spectroscopy.— "Phys. Rev. Lett.", 1976,
v. 37, N 2, p. 1339—1342.
4. Летохов В. С, Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии. М., «Наука», 1975. 280 с.
5. Казанцев А. П. Резонансное световое давление.—УФН, 1978, т. 124, № 1,
с 113—145.
6. Кольченко А. П., Смирнов Г. И. Спектры излучения атомов и молекул,
ускоряемых постоянным внешним полем в газах и плазме.— ЖЭТФ, 1976, т. 7L
Jfc 9, с 925—937.
7. Раутнан С. Г., Смирнов Г. И. Нелинейные резонансы ускоряемых атомов и
молекул.—ЖЭТФ, 1978, т. 74, № 4, с. 1295—1306.
8. Раутнан С. Г., Шалагин А. М. Эффекты насыщения для долгоживущих
систем в пространственно-неоднородных полях.—ЖЭТФ, 1970, т. 58, JSfe 3,
с. 963—974,
9. Нестерихин Ю. Е., Раутнан С. Г., Смирнов Г. И. О лазерном детекторе
гравитационных волн,—ЖЭТФ, 1978, т. 75, № 7, с. 3—8.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . , 3
Глава I. Введение 6
Глава II. Квантовое кинетическое уравнение для матрицы плотности 14
§ 1. Описание взаимодействия квантовой системы с внешним 14
электромагнитным полем. Аппарат амплитуд вероятностей
§ 2. Квантовое кинетическое уравнение 19
§ 3. Радиационная релаксация 28
§ 4. Интеграл столкновений 31
§ 5. Частоты и ядра интеграла столкновений 53
Глава III. Резонансные радиационные процессы ...... 74
§ 6. Уширение спектральных линий в отсутствие нелинейных
явлений 74
§ 7. Взаимодействие атома с сильным резонансным полем . . 97
§ 8. Метод пробного поля 113
§ 9. Спонтанное испускание атомов, находящихся во внешнем
электромагнитном поле 141
Глава IV. Провал Беннета для систем с большим допплеровским
уширением 148
§ 10. Распределение атомов по скоростям при взаимодействии
с плоской монохроматической волной 148
§ 11. Нелинейные резонансы, обусловленные провалами Беннета 159
§ 12. Влияние столкновений на провал Беннета и нелинейные
резонансы 169
Глава V. Спектроскопия пробного поля при большом допплеровском
уширении 208
§ 13. Нелинейные резонансы в трехуровневых системах . . . 208
§ 14. Метод пробного поля в двухуровневых системах с большим
допплеровским уширением . . . . 217
§ 15. Спектр спонтанного испускания 230
§16. Поляризационные явления 233
Глава VI. Зеемановская структура нелинейных резонансов .... 252
§ 17. Нелинейное поглощение и усиление света атомами в
магнитном поле 252
§ 18. Применение эффекта Зеемана для исследования
столкновений 259

310 Оглавление
Глава VII. Спектры ускоряемых атомов и молекул 264
§ 19. Вводные замечания 264
§ 20. Эффект отдачи 265
§ 21. Спектры ионов в постоянном электрическом поле . . . 272
§ 22. Гравитационные эффекты . 281
Приложение I 283
Приложение II 284
Задачи 286
Литература 303

Сергей Глебович Раутиан, Геннадий Иванович Смирнов,
Анатолий Михайлович Шалагин
НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
В СПЕКТРАХ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ
Ответственный редактор
Юрий Ефремович Нестерихин
Утверждено к печати Институтом
автоматики и электрометрии СО АН СССР
Редактор издательства Л. П. Голышева
Художественный редактор Г. Ф. Каминина
Художник Я. А. Савельева
Технический редактор Г. Я. Герасимчук
Корректоры А. А. Надточий, В. В. Борисова
ИБ № 9956
Сдано в набор 26.06.78. Подписано к печати 17 «09.79. МН-02275. Формат 60X90Vie. Бумага
типографская № 2. Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 19,5. Уч.-изд,
л. 19,8. Тираж 1900 экз. Заказ № 196. Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск» 99, Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25.