ATOMBAU
UND SPEKTRALLINIEN
von
ARNOLD SOMMERFELD
II BAND
PRIEDR. V1EWEQ * SOHN.
BRAUNSCHWEIO 1951

А. ЗОММЕРФЕЛЬД
СТРОЕНИЕ АТОМА
И СПЕКТРЫ
ТОМ П
Перевод с немецкого
А. Н. МАТВЕЕВА н Б. В. МЕДВЕДЕВА
Под редакцией
Я. А. СМОРОДИНСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956

13-5-4
АННОТАЦИЯ
Настоящая книга является классической
монографией по квантовой механике. Автор—один из создателей
квантовой механики. Ему принадлежат решения
многих ев задач.
Во втором томе дается оригинальное я во многих
разделах отсутствующее на русском языке изложение
основных задач квантовой механики.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов ш науч-
иых работннкои физиков.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 8
Глава I. Введение в волновую механику. Основные положения н
простейшие применения 9
§ 1. Волновое уравнение Шредингера 9
§ 2. Свободный электрон н его длина волны. Первоначальная теория
де Бройля 13
§ 3. Разъяснение математических методов: шаровые функции и функции
Бесселя ; . 18
$ 4. Прохождение электронных волн через потенциальный порог.
Условия непрерывности, туннельный эффект 27
§ 5. Осциллятор и ротатор, их собственные значения по волновой
механике 34
$ 6. Обобщение волнового уравнения. Уравнение, зависящее от времени.
Случая многих частиц 40
§ 7. Уравнение непрерывности. Ток и плотность. Нормировка и
ортогональность. Статистическое толкование волновой функции 45
§ 8. Матричные элементы координат и метод векторного потенциала.
Дииольиое и квадрупольное излучение 52
$ 9. Нормировка, ортогональность и матричные элементы для осцилляторе
и ротатора 61
Глава II. Задача Кеплера 70
§ 1. Собственные значения и собственные функции в дискретном спектре 70
§ 2. Представление н свойства полиномов Лагерра. Ортогональность и
нормировка. Введение гнпергеоыетрической функции 74
§ 3. Численное и графическое представление собственных функций.
Сравнение с прежними представлениями об орбитах 79
!4. Учбт движения ядра 83
5. Правила отбора и интенсивности в задаче Кеплера 86
6. Эффект Зеемана. Диа- и парамагнетизм 91
7. Непрерывный спектр водорода, его собственные значения и
собственные функции 100
§ 8. Ортогональность и нормировка в непрерывном спектре. Вопросы
интенсивиостей 107
9. Задача Кеплера в параболических координатах 113
10. Общие соображения относительно спектральных серий для случая
одного оптического электрона и относительно симметрии атомных
оболочек 120
§ 11. Теория полосатых спектров. Вращательные и вращательно-колеба-
. тельные спектры двухатомных молекул 129
$ 12. Молекула как симметричный волчок 135
Глава III. Общие идеи и методы 141
§ 1. Волновые пакеты 141
§ 2. Квантовомеханическое истолкование классических величин 143
§ 3. Операторное исчисление. Операторы импульса и момента количества
движение 150
§ 4. Сопряженные операторы. Общее рассмотрение матричных элементов 158

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Матричная механика. Пример с осциллятором 161
§ 6. Соотношение неопределенностей 167
§ 7. Теория представлений 171
Глава IV. Теория Дирака 179
§ 1. Релятивистское уравнение Шредингера 179
§ 2. Переход к уравнению Дирака. Магнитный и механический моменты
электрона 186
§ 3. Сопряженное уравнение Дирака. Четырехмерный вектор тока ... 195
§ 4. Пример — свободное движение электрона 199
§ 5. Группа гиперкомплексных чисел и ее подгруппы — кватернионы и би-
кватериионы 203
§ 6. Инвариантность относительно преобразований Лоренца 219
4 7. Задача Кеплера и формула тонкой структуры 229
§ 8. Квантовые числа, характеризующие уровни тонкой структуры.
Подробное исследование собственных функций 240
§ 9. Ортогональность и нормировка. Правило отбора 251
§ 10. Непрерывный спектр водорода. Отрицательные уровни энергии.
Открытие позитрона 258
§ 11. Парадокс Клейна 270
§ 12. Поляризация воли материи • 282
Глава V. Теория возмущений 293
§ 1. Теория возмущений Шредиигера, особенно в случае вырожденных
систем 293
§ 2. Эффект Штарка 301
§ 3. Теория дисперсии 308
§ 4. Теория возмущений Дирака для нестационарных задач 324
§ 5. Общие замечания о задачах столкновения. Приближение Борна . . 328
§ 6. Формула Резерфорда и ее обобщение 336
§ 7. Диффракция электронов на кристаллах и вопросы интерференции . 343
§ 8. Поправка на спнн как возмущение 348
§ 9. Аномальный эффект Зеемана 362
Глава VI. Фотоэффект 372
§ 1. Введение н исторический обзор 372
§ 2. Фотоэффект в л-оболочке, стационарный случай. Расчет в полярных
координатах 375
§ 3. Обсуждение отклонения электронов вперед. Разрешение относящегося
сюда парадокса 383
§ 4. Фотоэффект в /(-оболочке с полным учетом запаздывания в
параболических координатах 388
§ 5. Коэффициент поглощения в /(-оболочке 395
§ 6. Фотоэффект в /.-оболочке ■ 401
| 7. Фотоэффект с точки зрения нестационарной теории возмущений . . 406
§ 8. Фотоэффект для очень жесткого излучения; релятивистская поправка 410
Глава VII. Снлошной рентгеновский спектр 421
1. Историческое введение и обзор 421
2. Матричный элемент для элементарного процесса 425
3. Интенсивность и поляризация в сплошном рентгеновском спектре . 434
4. Распределение электронов по направлениям при торможеннн .... 442
5. Полная потеря излучения . 444
6. Запаздывание и опережение *. . 446
7. Очень жесткие лучн, первое приближение по теории Дирака .... 452
8. Специальное приближение для мягкого рентгеновского излучения при
торможении протонов. Астрофизические приложения 471
Глава VIII. Эффект Комптона 479
§ 1. Общий обзор 479
§ 2. Метод матричных элементов 481
§ 3. Метод запаздывающих потенциалов 489

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 4. Эффект Комптоиа иа свободных электронах по уравнению Дирака . 495
§ 5. Эффект Комптоиа на связанных электронах. Атомный фактор,
соотношение между комптоновским н релеевским рассеянием 507
§ 6. Ширина и форма комптоновской лнннн 513
Глава IX. Спектр гелия н молекула водорода. Проблема химической
свизи 523
1. Исторический обзор 523
2. Обменное вырождение в спектре гелия. Орто- и парасостояння . . . 526
3. Молекула водорода и гомеополяриая связь 534
4. Аналитические и численные дополнения 539
5. Волновомеханнческое понимание принципа Паули 549
6. Орто- и параводород 553
7. Вопросы строения ядра. Статистика Бозе и статистика Ферми . . . 557
8. Рассеяние одинаковых частиц 560
Глава X. Приближённые методы вычисления собственных функций . . 567
§ 1. Метод Хиллерааса, основное состояние гелия 567
§ 2. Дальнейшее развитие метода Хиллерааса. Отрицательный ион
атомного и положительный ион молекулярного водорода 574
3. Статистическая модель атома Томаса—Ферми 578
4. Применение к периодической системе 583
5. Дальнейшие применения и дополнения 586
6. Метод «самосогласованного поля» Хартри 589
7. Метод Вентцеля—Крамерса—Бриллуэиа 592
Математические дополнении 598
1. Введение групповой скорости. К гл. I, § 2, равенство A4) 598
2. Критерий двухчленное™ рекуррентной формулы. Метод полиномов.
К гл. 1, § 3 599
3. Гамильтонова функция электрона. О нормировке электродинамического
потенциала и калибровочной инвариантности. К гл. I, § 6, Б и Г . . 603
4. Общие замечания о сопряженном уравнении. Вариационный принцип
волновой механики. К гл. I, § 7 606
5. О мультипольиом излучении. К гл. I, § 8 и гл. II, § 6 и 7 610
6. Рекуррентные формулы для сферических функций и им родственных.
К гл. I, § 9 и гл. IX, § 4 . . 625
7. Общее представление Гамма-функции. К гл. II, § 7 631
8. Дальнейшие сведения о нормировке и ортогональности собственных
функций. К гл. II, стр. 77 и гл. IV, стр. 253 632
9. Формула Морзе в теории полосатых спектров. К гл. II, § 12 641
10. Преобразование волнового уравнения к общим криволинейным
координатам, исключение дополнительных условий. К гл. II, § 12, равеново (8) 644
11. К доказательству теоремы о центре тяжести, теоремы площадей и т. д.
к гл. III, § 2 . . . 654
12. Дополнения к теоремам об операторах момента количества движения.
К заключению гл. III § 3 656
13. Двухрядные и четырехрядные матрицы. Представление гнперкомплекс-
иых единиц т через матрицы. К гл. IV, § 5 660
14. Вариационный принцип в теории Дирака. К гл. IV, § 3 665
15. Математические дополнения к релятивистской проблеме Кеплера.
К гл. IV, § 7 667
16. Интегральное представление и асимптотическое поведение
гипергеометрических функций. К гл. IV, § 10 и гл. VII, § 8 672
17. Относительно параметров Клейна а, р, т, * и значение этих
параметров для теории Дирака. К последней части гл. IV, § 6 684
Алфавитный указатель 691

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Второй том книги Зоммерфельда посвящен следующему этапу
развития теории атомных спектров — квантовой механике. Книга
Зоммерфельда— не обычный курс квантовой механики; он не богат количеством
решенных задач. Его характерная особенность (отличающая и первый
том книги) — глубокое и подробное изложение основных проблем квантовой
механики в таком виде, что читатель ощущает все детали пути,
которым автор находит решение задачи. Автор самым подробным образом
рассказывает о всех деталях расчетов, о всех возникающих и
ликвидируемых парадоксах, об опытах, которые привели к постановке задачи, и об
опытах, доказавших справедливость теории; он никогда не отсылает
читателя к математическим книгам за подробностями об уравнениях или
функциях; напротив, все математические вычисления и исследования проводятся
здесь же и в столь красивой форме (особенно, когда дело касается
интегральных преобразований, в которых Зоммерфельду принадлежат классические
исследования), что математические разделы книги оказываются не менее
интересными, чем и физические.
Чтение книги Зоммерфельда должно дать читателю яркое представление
о большом этапе развития науки, полученное от одного из ее активных
созидателей.
Но, конечно, книга имеет не только исторический интерес. Ряд задач,
изложенных в книге (фотоэффект, рентгеновское излучение и др.),
представлены с полнотой, с которой они нигде в курсах больше не излагались;
и в этих вопросах книга остается незаменимым справочником.
Книга Зоммерфельда — яркий пример классического произведения, не
утратившего своего значения через много лет после его создания.
Эта книга, однако, резко индивидуальна. Автор в основном описывает
те задачи, в исследовании которых он сам принимал непосредственное
участие, или те работы, которые ему были более близки. Однако книга и не
предназначалась для читателя, который только начинает изучать квантовую
механику. Читатель же, знающий основы этой науки, найдет здесь огромное
количество интересного и полезного для себя. Книгу Зоммерфельда
бессмысленно пытаться дополнить примечаниями и новыми ссылками — сделать
это с исчерпывающей полнотой невозможно; ее пробелы следует восполнить
чтением других книг по квантовой механике, которых сейчас много. Лишь
в нескольких местах, где произошли существенные изменения в физических
воззрениях, мы позволим себе добавить несколько слов в примечаниях.
Я. Смородинский

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ
| 1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Мы часто сталкиваемся с противопоставлением макроскопических и>
микроскопических явлений. Так, например, макроскопическая картина
состояния теплового равновесия выглядит совершенно иначе, чем микроскопическая*
картина, основанная на кинетической теории газов. Макроскопическими по
своему существу являются механика и электродинамика. Применять
к атомным процессам законы макроскопического мира значило бы, вообще
говоря, предъявлять нгобоснованные требования к природе. Однако ряд
важных успехов теории говорили в пользу такой экстраполяции в
микроскопическую область. Изучение внутриатомных электронных орбит,
оказавшееся столь плодотворным для общего познания атома, в особенности для.
расшифровки спектров, основывалось на классической механике, а методы,
связанные с принципом соответствия, которыми мы пользовались при
рассмотрении вопросов интенсивностей и поляризации, были заимствованы из
классической электродинамики. К классическим принципам были добавлены
лишь две квантовые аксиомы. Мы сформулируем их кратко, ссылаясь на
уравнение B0), гл. И, § 3,1 тома и уравнение F), гл. I, § 6, 1 тома, в виде
двух уравнений:
\ pdq = nh (квантовое условие), A>
Av = £1—Е3 (условие частот). B)
Первое из них определяет выделенные или стационарные состояния атома
(в общем случае — изучаемой системы) и сопоставляет им целые числа
(«квантовые числа») л; второе определяет излучение при переходе из
состояния с энергией Е1 в состояние с энергией £ах).
■) В дальнейшем через Е мы будем обозначать полную энергию и отличать ев
от энергии W, не включающей энергии, связанной с существованием массы покоя.
Так, например, для отдельного электрона
£(, = /7100* называется энергией покоя электрона; энергия W складывается в общем-
случае из кинетической и потенциальной энергии, причем последняя определена лишь
с точностью до постоянного слагаемого. В релятивистском случае удобной мерой
энергии представляется полная энергия Е; в нерелятивистском случае удобно и, как
мы увидим в следующем параграфе, достаточно использовать W. Очевидно, что в B>
мы можем заменить Et — £j на IFX— Wg.

10 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. Г
Однако с самого начала ряд фактов указывал на то, что законы
механики, даже дополненные с точки зрения квантовой теории, не вполне
описывали реальную действительность. Особенно простой частный случай их
несостоятельности обнаружился при рассмотрении вопроса о вращательных
полосатых спектрах молекул. Для достижения согласия с опытом
последние пришлось нумеровать не целыми, а полуцелыми числами (ср. рис. 138
в I томе). Такого рода примеры свидетельствовали о глубоком различии
между микро- и макромеханикой.
Каким же образом можем мы без слишком большого произвола
построить микромеханику, приспособленную к атомным явлениям? Следуя
Эрвину Шредингеру1), будем исходить из всеобъемлющей
аналитической системы гамильтоновой механики2). Гамильтон развивал эту
•систему в связи со своими исследованиями по геометрической оптике
астрономических инструментов, находясь при этом под влиянием представлений
возникавшей тогда (с 1828 по 1837 г.) волновой оптики.
Волновая оптика описывает оптические процессы с помощью линейных
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и
получает из них волновые поверхности (поверхности равной фазы). Световые
лучи тогда определяются, по крайней мере в изотропных средах, как
ортогональные траектории к волновым поверхностям.
С другой стороны, геометрическая оптика (или оптика световых лучей)
была первоначально механикой световых корпускул Ньютона; световые
лучи имели смысл траекторий этих корпускул; ортогонально к ним
располагались волновые поверхности. Если 5 = const — уравнение этих
поверхностей, то 5 удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных
производных первого порядка и второй степени. Это уравнение и есть
уравнение Гамильтона в частных производных, причем S означает, в соответствии
с нашими прежними обозначениями т. I, гл. II, § 6, гамильтонову
характеристическую функцию или «действие». Мы сразу приходим, таким образом,
к дифференциальному уравнению и к функции действия для отдельной
материальной точки (отдельной световой корпускулы) и без труда (используя
многомерное рассмотрение) распространяем этот метод на произвольные
механические системы.
Проделаем теперь путь Гамильтона в обратном направлении. В то время
как Гамильтон, исходя из волновой оптики, пришел через геометрическую
оптику к общей формулировке макроскопической механики, мы, следуя
Шредингеру, перейдем через геометрическую и волновую оптику от
макромеханики к микромеханике. Мы хотим получить микромеханику, которая
уточняет макромеханику и делает ее применимой к системам атомных
размеров, подобно тому как волновая оптика является уточнением
геометрической для расстояний порядка длины световой волны.
Мы начнем с макромеханики отдельной материальной точки в
прямоугольных координатах. Исходя из закона сохранения энергии:
к = w- v C)
') Основные работы Шредннгера появились в журнале Ann. d. Phys. в 1926 г.
под заглавием «Квантование как проблема собственных значений», первое и второе
сообщения в томе 79, третье сообщение в 80, четвертое сообщение в 81; далее
в томе 79: «Об отношении квантовой механики Гейзенберга — Борна — Иордана к
моей». Они были объединены в монографию «Abhandlungen zur Wellenmcchanik»,
Leipzig, 1927.
*) Относительно происхождения гамильтоиовой теории см., наряду с замечаниями,
приведенными в гл. И, § 6 I тома, также Ф. Клейн, Развитие математики в XIX
столетии, т. I, гл. 5, М. — Л., 1937.

§ 11 ВОЛНОВОВ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 11
{постоянная W—энергия, V—потенциальная энергия, вависящая только от
координат х, у, г), мы получим, следуя общим правилам [т. I, гл. II, § 6,
уравнение A8)], уравнение Гамильтона в частных производных:
Величина Lt называется «первым дифференциальным параметром» в отличие
от «второго дифференциального параметра» Лапласа А. С другой стороны,
мы иапишем дифференциальное уравнение волновой оптики:
. 1 (Ра . д*и , д*и • д*и /еч
в которой и — компонента оптического поля в прямоугольных координатах,
а — фазовая скорость света (вообще говоря, меняющаяся от точки к точке).
Оставляя рассмотрение временной зависимости до следующего параграфа,
введем монохроматическую волну:
u = tye±imt. Ea)
Положим
и будем называть к «волновым числом». Это название оправдывается тем,
что в случае плоской волны к оказывается равным -г-» где А — длина волны,
т. е. простанственный период плоской волны. Введем еще показатель
преломления п относительно вакуума (индекс 0 будет относиться к вакууму,
так что во есть обычная скорость света с):
Eв)
В таких обозначениях из E) и Eа) следует:
Д«5>+ла*$ = 0. F)
Совершим здесь переход к геометрической оптике, следуя в
рассуждениях идеям Дебая *): в геометрической оптике мы считаем длину волны Ао
«малой» и, следовательно, к0 — «большим» («малая» означает: бесконечно
малая по отношению ко всем встречающимся размерам оптической
аппаратуры). Напишем:
ф = Ае"*8. Fа)
Множитель q введен из соображений размерностей: поскольку 5 имеет
размерность действия {эрг • сек), то ktf должно обладать размерностью
обратного действия. Мы будем рассматривать А и S в Fа) как «медленно
меняющиеся величины», т. е. будем пренебрегать в производных
всеми степенями к0 по сравнению с наибольшей. Тогда после сокращения
1) A. So mm erf eld u. J. Runge, Ann. d. Phys. 85, 290 A911).

12 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. Г
на к\ уравнение F) перейдет в
Это уравнение является основным для геометрической оптики
дифференциальным уравнением «эйконала». Сравнение с D) приводит к
— V). (8>
*Гаким образом, гамильтонова механика, если толковать ей с точки зрении
геометрической оптики, оперирует с переменным показателем преломления,
определяемым значением V. Нечто похожее получается при рассмотрении
криволинейного распространения световых лучей в воздушных слоях земно*
атмосферы.
Если подставить полученное значение п в дифференциальное
уравнение F) волновой оптики, то получим уравнение волновооптического варианта
механики:
Дф-Ь 2/я (qkj* (W— V) $ = 0. (9>
Надо еще выбрать неопределённый пока множитель q. Мы уже отмечали,
что произведение qk0 имеет размерность обратного действия. Поэтому
положим 1), вводя тем самым безразмерный множитель /:
В следующем параграфе мы покажем, что / следует положить равным-
единице. Принимая это пока без доказательства, мы получим из (9) в
качестве окончательного дифференциального уравнения микромеханики в
простейшем случае (одна материальная точка, консервативное силовое поле)
^ 0. . A1)
Мы будем называть это уравнение волновым уравнением*), <|>— волновой
функцией и рассматривать A1) как основу волновой механики.
Сделаем замечание к интегрированию волнового уравнения. Задача
состоит в том, чтобы найти такие интегралы <];, которые однозначны и
непрерывны во всей области изменения координат, включая и граничные точки.
Появляющееся таким образом требование непрерывности, включая граничные
точки, потрясающим образом полностью заменяет наше квантовое
условие A). Входящее в A) квантовое число а возникает само собой при
решении возникающей «краевой задачи». Наше квантовое условие A)
оказывается таким образом излишним в качестве самостоятельной цксиомы.
Положение вещей здесь аналогично положению в краевых задачах обычной
механики, например в задаче о колеблющейся струне, где также с помощью-
граничных условий (закрепление струны на концах) вводится целое число я.
') После работ Дирака стало общепринятым использовать обозначеиие я для ^;
мы это использовали в A0) и A1). Такое Я появляется в квантовой механике очень,
часта Несмотря иа это, основной константой квантовой теории остается перво-
.начальное плаиковское А. Это проявляется в квантовом условии A), в выражении А*
для элементарного объема фазового пространства, в формулах для длин волн
Комптоиа и де Бройля и т. д.
1) Сам Шредиигер использовал сперва назвавие «волновое уравнение» для
аналогичного E) уравнения, зависящего от времени. Для отличия от A1) мы будем
называть последнее «временным волновым уравнением».

$ 2] свободный электрон, теория де вройля 18
характеризующее различные формы колебаний основного тона и обертонов
я равное (увеличенному на единицу) числу узлов.
Чтобы сделать (в известном смысле) излишним в волновой механике
и условие частот B), мы должны прежде всего дополнить наше уравнение,
вводя зависимость от времени.
| 2. СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН И ЕГО ДЛИНА ВОЛНЫ.
ПЕРВОНАЧАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ДЕ БРОЙЛЯ
В качестве простейшего примера применения волнового уравнения мы
рассмотрим движение материальной точки-при отсутствии сил. Из A.11I)
при V=0 имеем:
д^4-*^ = 0; *« = ■§£ иг. A)
Проинтегрируем дифференциальное уравнение так же, как и в
оптической задаче о плоской волне. Выбирая в качестве выделенного направления
положительное направление оси х, пишем:
$ = Ае**. B)
Область изменения координаты х простирается от х = — оо до je = -f-oo.
Решение однозначно- и непрерывно во всей области, включая граничные
точки, и удовлетворяет, следовательно, нашему общему краевому условию, и
притом для каждого положительного значения W. Поэтому, в то время как
в других случаях граничному условию можно удовлетворить только при
специальном выборе значения энергии, здесь энергия остается произвольной.
Если мы положим W=^-, то из A) получится
Таким образом, пространственный период нашей ^-функции (т. е. длина
волны X) будет равен
Х = ^- = -^-. D)
к mv '
Но это есть знаменитая формула де Бройля, приписывающая длину волны
трансляционному движению материальной точки. Действительно, Луи
де Бройль*) получил это соотношение в своей диссертации (Париж, 1924)
еще до появления работ Шредингера. Тем самым в физику был введен
принцип двойственности9), который вскоре должен был принести
богатые экспериментальные плоды (Дэвиссон и Джермер, 1927) и который
является самым поразительным из всех замечательных открытий этого
столетия: двойственная природа света как световой волны и светового кванта
1) Запись A.11) означает § 1, уравнение A1). Мы будем в дальнейшем все время
принимать это сокращенное обозначение, при ссылках на предыдущие главы дополиять
его номером соответствующей главы (I, II, ...).
*) Опубликовано в Journ de Phys. 7 A926).
») Вместо двойственности по предложению Бора предпочитают говорить о
дополнительности, чтобы подчеркнуть, что оба аспекта, корпускулярной и волновой,
взаимно дополняют друг друга, причем в зависимости от поставленной задачи следует
использовать иногда один, иногда другой, без опасения, что они придут в
противоречие друг с другом. (Прим. авт.)
Понятие f дополнительности» в квантовой механике оказалось источником
идеалистических философских построений, которые привели к противопоставлению этого
понятия понятию причинности. См. по этому поводу, например, статью В. А. Фока
1УФН 45. 3 A951)]. (Прим. ред.)

14 введение в волновую механику |гл. г
переносится на электрон и далее на всю материю; наряду с ев
корпускулярной природой и теоретически и экспериментально устанавливается как
равноправная ев волновая природа.
Формальное обобщение выражения B) (также подсказываемое обычной
оптикой) на случай электрона, двигающегося в произвольном направлении
(*> Р» Т)> получается, если положить
4- = Ае** <«*+fr+t»>, ««+ ря+Та = 1. E)
что можно записать короче в виде
4> = Ае*<*К F)
Здесь к — волновой вектор с компонентами
кя = ка, ку = к% кг = к-\. Fа)
Ясно, что выражение E) также удовлетворяет дифференциальному
уравнению A;.
Мы приходим теперь ко второму фундаментальному положению
первоначальной теории де Бройля.
Де Бройль приписывает каждой системе с энергией Е или массой т
частоту n с помощью двойного соотношения Эйнштейна:
Е = тс* = Ну. G)
Первым из двух объединённых здесь утверждений является закон инертности
энергии (т. I, гл. I, § 7), а вторым — уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
в его максимально упрощенной форме (т. I, гл. I, § 6). При этом т означает
здесь не массу покоя (как в формуле ^— для кинетической энергии),
а полную массу, соответствующую всей имеющейся у системы энергии.
Введением частоты ч де Бройль обобщает пространственное состояние <Ji,
которое определяется из уравнения Шредингера, в пространственновременной
процесс
а = ^в-2«*'« = .;«-<•»'. (8)
Здесь в силу G)
» = |. (9)
Знак перед / в показателе в (8) сам по себе произволен, мы будем
предпочитать использованный в (8) знак минус.
Возвращаясь к частному случаю плоской волны (свободный электрон) B),
напишем:
«*. (Ю;
Показатель имеет смысл «фазы» волны. Условием постоянства фазы будет
kdx — <odt = 0.
Отсюда мы получаем «фазовую скорость», которую мы, как и в A.5),
будем обозначать через а:
Если подставить сюда ш из (9) и к из C), то получим х):
mv
') Здесь возникла известная непоследовательность, поскольку т означало в G)
полную массу, в то время как первоначально в C) — массу покоя соответственно вы-

§ 21 СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН. ТЕОРИЯ ДВ ВРОЙ ЛЯ 15
и в силу G)
« = -£. A2>
Так как о < с, то отсюда следует а > с. Фаза волн де Бройля
распространяется со сверхсветовой скоростью.
С другой стороны, покажем, что о играет для нашего волнового
процесса B) роль групповой скорости. Обозначим последнюю через Ь\ тогда
наше утверждение будет гласить:
v = b, ab = c\ A3)
Определением групповой скорости служит, в отличие от уравнения A1)
(ср. дополнение 1 в конце этого тома):
Для доказательства A3) мы напишем, используя (9) и C),
Многоточия означают, что к выписанному члену добавляются ещё постоянная
энергия покоя и дальнейшие члены, которые учитывают релятивистское
изменение массы. Дифференцируем по v:
^ dk = ^-dv A6)
и, следовательно, в соответствии с нашим утверждением A3)
То, что скорость v нашей частицы соответствует не скорости а
распространения монохроматической волны, но скорости b распространения
группы волн, имеет общее значение. Физическую картину движущейся
материальной частицы составляет не монохроматическая волна, но группа
волн или, как говорят, волновой пакет.
Чтобы полностью охарактеризовать первоначальную точку зрения
де Бройля, надо сделать ещё следующее замечание: де Бройль принимал за
материальное ядро волновой системы, которой он заменял частицу, ту точку,
в которой волновая функция обращалась в бесконечность (особую точку).
Тем самым вместо математической однозначности, которая господствует
в позднейшей теории собственных функций Шредингера, возникал элемент
определенного физического произвола. Мы рассматриваем поэтому теорию
де Бройля как знаменательную предвестницу волновой механики, но не как ей
окончательную математическую формулировку.
С понятиями «фазовая скорость» и «групповая скорость» связана
возможность восполнения пробела, который сохранился у нас в первом
параграфе при выводе волнового уравнения: определение численного
множителя / в A.10). Мы положили тогда произвольно /= 1, теперь мы
докажем х) это, исходя из требования, что связанная с фазовой скоростью воли
воду C) из обычной формулы для кинетической энергии. Мы отложим разъяснение
этого пункта до конца параграфа.
1) То же делает Шредиигер в своих лекциях по волновой механике,
прочитанных в Королевском обществе в Лондоне, немецкий перевод: Jul. Springer, Berlin, 1928-
(русский перевод: Э. Шредингер, Четыре лекции по волновой механике,
Харьков—Киев, 1936).

16 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
-материи групповая скорость должна точно совпадать со скоростью
частицы v. Последнее требование и прежнее утверждение / = 1 действительно
эквивалентны: поскольку мы уже положили ранее / = 1, мы смогли доказать
-наше предложение относительно групповой скорости; если мы теперь
откажемся от доказательства и сочтБм физически разумным постулировать
содержание этого предложения, то мы сможем доказать утверждение /= 1.
Мы будем исходить из уравнения A.11), в котором при
неопределенном / ко второму члену добавляется множитель J*. Поэтому теперь
значением к в A) будет
k* = %.WP. *—*f/. A7)
Тогда из A1) следует
С другой стороны, из A5) и A7) получается
. mvdv .. mfdv
rf« = -ft—, <** = -%-.
Поэтому определение A4) групповой скорости да6т
тем самым
/= 1 A8>
«следствие нашего постулата b = v.
Мы подходиы теперь к выяснению отмеченной в примечании 1 на
стр. 14 непоследовательности в понимании т как массы покоя, с одной
стороны, и как полной массы, — с другой. Нам надо теперь показать, что
при строго релятивистском рассмотрении т в формуле де Бройля D)
действительно имеет смысл полной массы.
При этом мы оказываемся перед той трудностью, что основные
положения волновой механики, насколько они были до сих пор развиты,
недостаточны для релятивистских вычислений. Если бы мы хотели
проделать в релятивистском случае тот же путь к обоснованию A), что и
в начале этого параграфа, то мы должны были бы исходить не из
уравнения Шредингера, а из его релятивистского обобщения, именно, в случае
электрона — из уравнения Дирака. Мы проделаем это в гл. IV, § 4 и
получим вновь формулу де Бройля в качестве условия наличия у уравнения
Дирака экспоненциальных решений, но с
т- ,"» ft = -. A9)
Однако здесь, чтобы не предвосхищать дальнейшего, обойдемся, как это
сделано в диссертации де Бройля, преобразованием Лоренца. Вывод
получается тогда правда не совсем убедительным, но подкупает тем, что
опирается непосредственно на основные положения теории относительности и
волновой механики. Итак, мы будем рассматривать движущуюся вместе
с частицей «систему покоя» х0, t0 и «систему наблюдателя» х, t, в
которой частица обладает скоростью о. Тогда
Применим теперь уравнение G) один раз в системе покоя, другой ра»

f 2] СВОБОДНЫЙ ЭЛЕКТРОН. ТЕОРИЯ ДЕ ВРОЙЛЯ 17
в системе наблюдателя:
Отсюда следует
^ = У1— рт,. B1)
Естественно рассматривать волновой процесс в системе покоя, в которой
никакое направление не выделено, как функцию только от времени. Если мы
изберём для этой функции тот же вид, что и в (8), но с ф = const = A, то
получим:
и = Ае-2**ч-*° B2)
В силу B0) и B1) в системе наблюдателя этому будет соответствовать
« = *-*(•-*•). B2а?
Если написать здесь, как и в A0),
и = Ае~ш+*кх, B26)
то, учитывая G), найдём
k = 2™ -^ = 2 j mv, B2в)
и, следовательно, длина волны де Бройля будет равна
* = ¥=^> B3)
причём здесь т — полная масса. Из соотношения B2а) можно
непосредственно получить и значение фазовой скорости, если положить там
дифференциал показателя равным нулю, именно:
§=»=? м
в согласии с A2).
Таким образом, представляющееся сначала столь мало привлекательным
значение а > с оказывается не чем иным, как обратным значением
коэффициента в лоренцевом преобразований B0).
Надо ещё проверить, что при таком релятивистском обобщении формулы
де Бройля остается в силе фундаментальное соотношение между групповой
скоростью волны и скоростью частицы. Для этого, учитывая, что <■> = Е\Ь G)
и что k = mv/fi. B2в), вычислим
. _ dmdEс*dm с*
°~dk
dk~d(mv)~vdm + mdv~ , dv
Но
dm щ р dv са 1 —рз
Л~еA_р|)-Г ^~«~^~'
откуда
V + С» A — $X)lv ~~ I/* + С2—С2?2' ^ '
так что действительно
b = v. B6)
Из изложенного выше могло бы создаться впечатление, что полагать,
2 Зак. 968. А. Зоммерфел*

18 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
как это сделано в G), An = Е физически необходимо. Однако это не так.
Правда, для релятивистского рассмотрения, как мы уже отмечали это в
примечании к стр. 9, нормировка энергии E = moc'i-\-W является заданной.
Однако для собственно теории Шредингера такое определение является
ненужным и будет более естественным заменить G) на
h-*=*E — E0=W, »=^. B7)
Для предварительного обоснования этого надо заметить, что даже при
обобщённой по сравнению с B7) нормировке
ht=W-{-C (С произвольно) B7а)
групповая скорость, поскольку она в силу B5) зависит только от dE (или dW),
не меняется. Меняется только фазовая скорость, которая, однако, является
чисто фиктивной вычислительной величиной. Собственно физическими
величинами в волновой механике являются не волновая функция а с её
произвольной, в силу B7а), временной зависимостью, но получаемые из неё
величины: поток и плотность (см. § 7). Плотность, задаваемая, как будет
показано в § 7, выражением |«|а, естественно, не будет зависеть для
рассматриваемого здесь свободного движения от выбора временной зависимости.
То же самое будет справедливо и для потока, равного произведению
плотности на групповую скорость.
Мы положили в этом параграфе V=0, т. е. нормировали специальным
образом и потенциальную энергию. В конце дополнения 3 будет показано,
что это можно сделать, не изменяя физических величин [специальный случай
гораздо более общей «градиентной инвариантности»]. Свобода в
нормировке V связана, конечно, с произволом B7а) в выборе временной
зависимости. Именно, поскольку W является суммой кинетической и потенциальной
энергий, то перенормировка V на постоянную С означает и изменение W
на ту же самую постоянную. Определённым является лишь значение
разности W—V, которая играет роль волновомеханической замены для
кинетической энергии; именно этот смысл имеет W—V в уравнении A.3) и в
уравнении Шредингера A.11).
f 3. РАЗЪЯСНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ: ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
В дальнейшем нам постоянно будут встречаться линейные
дифференциальные уравнения, которые следует интегрировать так, чтобы решения их
были в некоторой заданной области однозначны и непрерывны, включая и
граничные точки. Как правило, это возможно только в тех случаях, когда
дифференциальное уравнение содержит подходящий параметр, которому
можно придавать нужные значения. Такие значения называются собственными
значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Вся
теория была развита первоначально для задачи о колеблющейся струне
с меняющимся от точки к точке распределением масс, или, что то же
самое, для задачи о распространении тепла в стержне с меняющейся от
точки к точке теплопроводностью (задача Штурм а-Л и у в и л л яI). Мы
дадим из этой теории только сведения, безусловно необходимые для
изложения, иллюстрируя их на частных примерах.
1) Мы рекомендуем читателю для справок по этому параграфу и всем относящимся
к граничным задачам математическим вопросам превосходную монографию Куранта и
Гильберта «Методы математической физики», Гостехиздат, т. 1, 1952 и т. II, 1945.

§ 3] ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ 19
А. Шаровые функции. При рассмотрении трехмерного уравнения
колебаний
которое встречается, например, в акустике, в случае
сферически-симметричной краевой задачи вводят полярные координаты г, О, <р. Тогда известным
образом получается
Будем решать это уравнение методом разделения переменных, т. е. полагаем?
« = /?(/•) 0@) Ф(<р).
В то время как R полностью определится только граничным условием, в
н Ф определяются с точностью до остающегося произвольным целого числа
из требования однозначности и непрерывности решения в областях изменения
переменных
0<»О, —
Рассмотрим сначала Ф (<р). Мы можем назвать <р циклической координатой,
поскольку она не входит явно в дифференциальное уравнение A).
Соответственно этому можем положить Ф (<р) = е± im<P, причём требование
однозначности приводит к целому т. До тех пор, пока мы оставляем двойной знак
в показателе экспоненты, можно считать m положительной величиной, что мы
и будем пока делать.
Подставим Ф в дифференциальное уравнение, разделим последнее на
/?вФ и умножим на г9. Тогда имеем:
г* (d*R ,2dR. .9O\ 1 1 d \ . &d9\ , m« ...
Общее значение правой и левой частей должно равняться некоторой
постоянной, скажем к. Отсюда получаем дифференциальное уравнение для в:
«Постоянная разделения» к играет для этого уравнения роль параметра,
который принимает определенные «собственные» значения. Введём в качестве
новой независимой переменной x = cosO, положим 0(&) = jr(x) и заметим,
что
= — dx, sin8^ = — A— j
Тогда из A6) получится
(^) = 0. B)
Полученное уравнение является уравнением для общих (так называемых
присоединённых) шаровых функций. Произведение ,у(со$д)Ф((р) является
сферической, так называемой тессеральной 1), функцией.
Сделаем сначала несколько общих замечаний относительно линейных
дифференциальных уравнений, в частности относительно уравнений второго
!) Названия зональная, тессеральная (мозаичная) и секториальиая сферические
функции идут от Максвелла; ср. заслуживающую прочтения гл. 9 его «Трактата».
2*

20 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
порядка (следующие ниже утверждения легко распространяются на случай
.дифференциальных уравнений л-го порядка).
Особыми точками линейного дифференциального уравнения называют
такие значения независимой переменной х, для которых один из
коэффициентов, после того как все коэффициенты разделены на коэффициент при
старшей производной от у, обращается в бесконечность. Все остальные точки
называются обыкновенными.
В окрестности обыкновенной точки х = х0 уравнение может быть
проинтегрировано с помощью двух степенных рядов, которые начинаются с членов
(jc —jco)° или (х — XqI. Умножив эти ряды на произвольные постоянные и
сложив их друг с другом, получим общий интеграл уравнения. Особые
точки, со своей стороны, распадаются на две группы, судя по тому,
возможно или нет в их окрестности разложение в степенной ряд, причём такие
разложения, вообще говоря, могут и не начинаться с целых степеней. Особые
точки первой группы называются регулярными особыми точками, второй
группы — иррегулярными.
Чтобы найти степень а начального члена степенного ряда для
регулярной особой точки х = х0, полагают
2 z = x — x0, C)
после чего а находится как корень некоторого квадратного уравнения, так
называемого характеристического уравнения, которое получается, если
подставить C) в левую часть дифференциального уравнения и приравнять
нулю коэффициент при низшей степени г8-2. Приравнивание нулю
коэффициентов при следующих степенях приводит к рекуррентным формулам для а,.
Для того чтобы описанная процедура привела к цели, необходимо, как
это легко усматривается из вычисления, чтобы было выполнено следующее
условие: коэффициенты при у", у", у в рассматриваемом уравнении не должны
обращаться в изучаемой точке в бесконечность быстрее, чем
*• 7' i <4>
соответственно. Таким образом, этот критерий является достаточным для
того, чтобы было возможно разложение C) или, что то же самое, чтобы
особая точка была регулярной. Необходимость этого условия мы не будем
здесь доказывать.
Если в такой особой точке оба корня характеристического уравнения
отличаются на целое число, то в том частном решении, которое отвечает
значению а с меньшей действительной частью, возникают особенности
1в частности, логарифмические особенности, ср. дополнение 2, уравнение G)].
Мы не будем вдаваться здесь в подробности, поскольку нас будут
интересовать в первую очередь только непрерывные решения наших
дифференциальных уравнений.
Часто оказывается удобным ввести вместо у другую переменную v
ло формуле
у = 2Tv, v = 2 ajs\ E)
В случае уравнения B) особыми точками являются точки х = ±1, но
они обе, как это сейчас будет показано, относятся к числу регулярных
особых точек. Чтобы исследовать, например, точку jc=1, мы положим
z = х — 1. Тогда B) перейдёт в
2 2+1 , Г X. , т«

§ 3] ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 21
и, следовательно, критерий D) выполняется. Далее, если мы воспользуемся
разложением C) и образуем коэффициент при г"-2, то получим:
и так как коэффициент Од можно считать отличным от нуля, то
характеристическим уравнением будет
«*-^=0, «=±5- F)
Те же показатели получаются и в точке х = — 1 после подстановки г = х -f- 1.
Для исследования точки х = оо общим приёмом является известная из
теории функций подстановка х = у, которая в случае B) приводит к
(точки означают дифференцирование по t). Применение критерия D) снова
показывает, что и / = 0 является регулярной особой точкой, причём
характеристическое уравнение есть a (a — 1) — А = 0.
• В силу требуемой непрерывности у в области — 1 <; * < -}- 1 мы должны
искать лишь ту ветвь функции, которой на обеих границах х = ±\
отвечает показатель+^ (считаем да положительным). Поэтому, следуя
указанию E), мы положим
y = (l—x^v, G)
чем мы сразу выделим из у обе характеристические степени z*. отвечающие
расположенным на конечном расстоянии особенностям (а = +-5, z = xzp 1].
Тогда B) приводит к следующему дифференциальному уравнению для v:
A— х*)%Г — 2(m+l)xv'-\-(k — да — m'i)v = 0, (8)
которое можно проинтегрировать, положив
« = 2*,**- (9)
Подставляя (9) в уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при
последовательных степенях х\ получаем следующие рекуррентные формулы для
коэффициентов av:
(N+2)(N+l)a,+2={4v— l)+2(m+l), — X + m + m3}a,. (Ю)
Заметим прежде всего, что если мы положим а0ф0, а а1 = 0, то наш ряд
будет содержать только четные степени, в противоположном случае а0 = О,
ахФ0 останутся только нечетные степени х. Далее, если мы позаботимся так
выбрать значение к, что коэффициент при а.„ скажем для ч = я, обратится
в нуль, то в силу рекуррентных формул обратятся в нуль и все коэффициенты
в«н-9> ain-4 и наш Ряд (9) оборвётся на члене номера ч = п. Таким
выбором к мы определяем собственные значения шаровых функций. Именно,
полагая в A0) коэффициент в правой части равным нулю при ч = п,
получаем:

22 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
Поскольку полином v оказывается полиномом я-й степени, степень
присоединённых собственных функций у оказывается равной [ср. G)] п-\-т;
это число мы обозначим через /. Тогда для собственного значения получим
просто
Х /(/+1) A1)
Изложенный нами способ нахождения собственного значения и собственной
функции применим во всех случаях, когда дифференциальное уравнение
приводит к двучленной рекуррентной формуле. Мы увидим, что это выполняется
во всех важнейших квантовых задачах, которые поддаются точному решению.
Критерий двучленности рекуррентных формул будет приведён в дополнении 2.
Наш приём, основанный на обрыве степенного ряда, мы назовём методом
полиномов.
Ясно, что он имеет характер достаточного, так как наш полином [даже
и после умножения на отщеплённые ранее множители, ср. G)] наверняка
непрерывен в рассматриваемой области (здесь от х = —1 до х = -|-1) и,
следовательно, является собственной функцией. Мы не можем остановиться
здесь на доказательстве необходимости этого метода, т. е. того, что наше
дифференциальное уравнение не имеет других собственных функций.
Обычным обозначением для у из G) является РТ(х). Так как я как
степень полинома (9) является целым положительным числом и то же самое верно
(со сделанными ранее оговорками) для т, то / = я + т является целым числом,
большим или равным т. Поэтому, если фиксировать /, то будут
существовать /-f- 1 различных собственных функций Я]"; первая из них, для т = О,
является шаровой функцией 1-го порядка в узком смысле и обозначается
просто через Рг (зональная шаровая функция или полином Лежандра).
Остальные Р™ называются присоединёнными функциями того же порядка /.
Последняя для т = 1 (секториальная шаровая функция) пропорциональна
в силу G) выражению
т
Если, продифференцировать уравнение (8) по х, то получится
дифференциальное уравнение относительно ч/, которое будет отличаться от уравнения*
для v лишь тем, что на месте т будет стоять (т-\-1). Отсюда можно
заключить, что в ряду функций Я,, Р), .... Я™, Я|"+1 полином v,
относящийся к каждой последующей функции, можно получить из полинома,
относящегося к предыдущей, путём дифференцирования. Таким образом, мы
получаем выражение присоединённых шаровых функций через полиномы
Лежандра:
',(*). A2)
Полиномы Яг также оказывается возможным представить с помощью
формулы, которая содержит только последовательные дифференцирования,
а именно:
Для доказательства этой формулы нам надо показать, что выражение A3)
удовлетворяет уравнению B), в котором положено т = 0 и [ср. A1))
А. = /(/—(— 1), т. е. уравнению
41— х*)у" — 2*/-М(/+1).у = 0. A4)

§ 31
ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
23
Проще всего исходить из фигурирующего в A3) полинома 2/-ой степени:
« = (*»—1)».
Однократным дифференцированием получаем:
(х9 — 1)а' = 21ха,
а последующим (/-(-1)-кратным дифференцированием по формуле
дифференцирования произведения получаем:
(х9 —
Приводя здесь подобные члены и обозначая и О =.у, получаем в точности
уравнение A4); тем самым доказано наше представление A3), которое
отличается от и№ только постоянным множителем. Этот множитель выбран
нами таким образом, чтобы для jc = 1 было бы
1. A5)
Действительно, если записать в правой части A3)
(х9— 1)' = (х—1L*-ИI.
то дифференцировать / раз надо будет только первый множитель, считая
второй постоянным, так как все члены, возникающие при дифференцировании
второго, множителя, исчезнут при х=1. Поэтому первый множитель даёт
окончательно Л, а второй 21, которые сокращаются со знаменателем
в A3). Нормировка A5) для шаровых функций является обычной со
времени Лежандра. В силу A2), вместе с Я,
оказываются определённым образом
нормированными и Р™. Однако позже мы
познакомимся с другой нормировкой, основанной на
соотношениях ортогональности,
справедливых для всех собственных функций.
Следует ещё отметить, что число сфери- -/,_
ческих функций (собственных функций
двумерной задачи в переменных 8 и <р) равно не
/-f-l> но, в силу наличия двойного'знака т
в выражении Ф (в) = e±im*, 2/+1; именно,
все эти функции - представляются в виде
Щт = РТ (cos Ь) e±imf,
Рис. 1. Шаровые функции Рг
(обыкновенные) для / = О, 1, 2,
3, изображённые с соблюдением
масштаба.
m>0. A6)
Ниже, в формулах A6а), A66), мы
освободимся от ограничения т~^-0.
На рис. 1 и 2 мы приводим графики функций Я, для / = 0, 1, 2, 3,
т. е. [ср. A2)] графики функций:
Яо=1; Р1 =
1 .
у.
равно как и присоединённых функций Я™ для / = 3 и
[ср. A2)] графики функций
= Я, = J-jc»-f
= 0, 1, 2, 3, т. е.
Я» = A -x*)\bx;
Р\ = (I-*2)815.

24
ВВЕДЕНИЕ В .ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ
[ГЛ. 1
Применявшееся до сих пор определение Р? не является, однако,
удобным в силу входящего в A6) двойного знака у т. Мы избавимся в
дальнейшем от некоторых связанных с этим ненужных усложнений, если
заменим A6) на
?i A6a)
где мы допускаем, следовательно, и присоединённые функции с
отрицательным верхним индексом. Это не приводит ни к каким трудностям, если
несколько видоизменить определения A2) и A3), объединив их в формуле
РТ _ а _xkjt J
-р»
A66)
Действительно, число дифференцирований 1-\-т оказывается здесь всегда
большим нуля и для отрицательных т]> — /; возникающая в первом
множителе A66) для отрицательных т
бесконечность в точках х = ± 1 является только
кажущейся, ибо она устраняется вторым
множителем, так что Р\п из A66), как и
Я|т|, конечно для всех конечных значений
аргумента. Далее, A66) удовлетворяет
дифференциальному уравнению B) и для
отрицательных значений т. Поэтому ■ правая
часть A66) может отличаться при отрица-
тельном т от
жителем:
только постоянным мно-
Рнс. 2. Присоединённые шаровые
A6в)
функции Pf для / = 3, т — О, 1, для положительных значений т этот мно-
2, 3, умноженные на такие миожн- жителЬ) как легко видеть, равен единице.
телн, что максимум каждой Я, £г0 значение для отрицательного т легко
становится равным единице, а найти> есЛи сравнить друг с другом члены
именно. ^ с наивысшей степенью х в правой и левой
о,. . „I. V15, частях A6в). В силу A66) в левой части
*' ' 3' 8 получаем:
*■%•
Т- B0'
"la v ' A—т)\2Ч\>
с другой стороны, в правой части A6в), опять б силу A66), но с т,
заменённым на \т\, возникает
|от|
Сравнивая эти выражения, получаем:
2Ч\'
что, поскольку m должно быть отрицательным, можно записать как
A6г)

§ 31 ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ВВОСЕЛЯ 25
Нас особенно будет интересовать поведение PJ" вблизи точки
х=1. г=\— х = у-*-0;
мы положим
Тогда вычисление A66) при отрицательном т даёт
\m\\ Z — |/n|l \2) >
что мы можем записать также и в виде
' A6д>
Напротив, при положительном т < / для х -*■ 1
Наконец, мы можем записать соотношения A6 в, г) так, чтобы они, как
и A6 6), были справедливы как для отрицательных, так и для
положительных т, а именно в виде
Более симметричное и потому значительно более удобное определение
функций РТ приводит Дарвин1) в своих работах по эффекту Зеемана. Ов
добавляет в правую часть A66) множитель (/ — т)\, т. е. полагает
ii —^i л ) 2*/i dxl+m
для —/<;«<[ + /. Тогда в формуле A6ж) произведение (I — mfiP?
объединяется в дарвиновскую Р?,' a (I-\-m)\ Pfm — в дарвиновскую Pfm.
Следовательно, в нормировке Дарвина A6ж) упрощается:
ЯГ" = (—1)"ЯГ. A7а)
причём это соотношение пригодно и для положительных и для
отрицательных т. Аналогичные упрощения возникают и в других соотношениях между
шаровыми функциями (ср., например, формулу (9.16) гл. V и следующие).
Однако при последовательном проведении дарвиновской нормировки
изменяется и выражение для полиномов Лежандра, которое укоренилось и является
общепринятым. Поэтому мы будем, вообще говоря, следовать
определению A66) и в соответствии с этим пользоваться A6ж) вместо A7а).
Б. Функции Бесселя. Вернёмся теперь к уравнению A) и
рассмотрим радиальную часть R введённого таи решения. В силу Aа) дифферен-
1) С. О. Darwin, Ргос Roy Soc. 115, 1 A927), уравнение C.2). Еще одна, также
отличающаяся от обычной нормировка используется, в силу практических
потребностей геомагнитных вычислений, Шмидтом в его таблицах: A. Schmidt cTafeln der
normierten Kugelfunktionen», Ootha, 1935.

56 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ {ГЛ. I
ииальиое уравнение для неб имеет вид:
Или, если мы заменим к собственным значением A1) и введён новую
переменную Аг = р (штрихи означают в дальнейшем производные по р):
= 0, ? = kr. A8a)
В силу смысла переменной г границами области изменения р являются точки
р = 0 и р = оо. Критерий D) немедленно показывает, что р = 0 является
регулярной особой точкой. Если положить
и, вычислив коэффициент при р*~2 в левой части A8а), положить его равным
нулю, то это приводит к характеристическому уравнению
<х(а— 1L-2а— /(/+1) = 0
и, следовательно,
а=1 или а =—/—1. A86)
Для наших Целей достаточно рассмотрения положительного корня а = /.
Поэтому разложение R вблизи точки нуль будет иметь вид:
R = Pl(a0 + <h?+--)- A9)
Точка р = оо является, напротив, иррегулярной особой точкой. Мы
исследуем асимптотическое поведение в этой точке с помощью метода, который
хотя и является несколько смелым с математической точки зрения, но тем
не менее будет приводить нас к цели и в других случаях. Для больших
значений р A8) переходит в
и может быть проинтегрировано, причём двумя частными решениями будут
R = Ae+*t или R = Be-*t. B0)
Мы можем сейчас же иайти и второе приближение, если будем, например,
считать коэффициент А «медленно меняющейся величиной». Под этим
утверждением понимается, как и в § 1, что мы будем считать отличным от нуля
А' А
только А', в то время как А , —, а также и —% будут положены равными
нулю. После подстановки в A8а) и сокращения иа общий множитель e*t
получаем:
+ Л = 0 Д = £2Н1
То же самое справедливо и для В. Таким образом, для очень больших и
действительных р оба решения не только оказываются конечными, но даже
и стремятся к нулю. Отсюда следует, что решение A9), которое должно
переходить при р = оо в комбинацию частных решений B0), удовлетворяет
условиям непрерывности, которые надлежит на него наложить не только
в точке р = 0, но и в точке р = оо; бесконечность ие приносит с собой
новых требований к R. Следовательно, входящий в уравнение A8) параметр k
остаётся для неограниченной области неопределённым; напротив, если бы
область была ограничена сферой радиуса т=-а, на которой действует гра-

§ 41 потенциальный порог, туннельный эффект 27
иичиое условие, скажем R = 0, то k должно было бы удовлетворять
трансцендентному уравнению и его значения образовали бы «дискретный спектр».
В случае неограниченной области можно говорить о «непрерывном спектре».
Мы покажем теперь, что наши собственные функции A9) выражаются
через функции Бесселя, а именно, что
*=#',4W- B2)
В самом деле, если подставить это выражение в A8а), то после нетрудных
выкладок для J получается уравнение
\ {$) = 0, B3)
где в нашем случае
1 B3а)
Уравнение B3) является известным уравнением для функции Бесселя порядка п.
Его решением является сходящийся для любых значений р ряд:
= ^' I 1 1 w/ | ' ill J. lii |_ ...1.B4)
Кроме функций Бесселя Jn, нам потребуются в дальнейшем оба рода
функций Ганкеля Нхп и Н\. Они также являются решениями
дифференциального уравнения B3) и выделяются тем, что обладают при р -»■ оо
простым асимптотическим поведением B0). Именно, при р -*■ оо имеют место
соотношения (надо помнить, что при переходе от R к J или к Я1, Я9 был
_!\
выделен множитель р 2/:
B5)
Выбор постоянных множителей [соответствующих А и В в B0)] сделан таким
образом, чтобы существующее линейное соотношение между Н1, Я9 и У
приняло бы простой вид:
j B6)
В то время как J конечна в нуле, Я1 и Я9 там бесконечны.
f 4. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ. ВОЛН ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
ПОРОГ. УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ, ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
Мы вернёмся к рассматривавшимся в § 2 плоским волнам и займёмся
вопросом об их поведении при переходе через потенциальный порог.
Пусть, например:
область I x<0, V=0;
область II jc>0, V= const gfcO.

28 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. 1
Пусть падающая волна распространяется в положительном направленна
оси х, так что ыы будем иметь дело с одномерной задачей; пусть кроме того,
волна монохроматическая и её зависимость от времени задается, как и
в B.22), выражением
е-ш = е п \
В области I в силу A.11) имеет место уравнение Шредингера:
Его решение мы запишем в виде
**<ь>. Aа)
Мы добавляем, следовательно, к падающей волне, амплитуда которой
нормирована на единицу, волну, отражённую при х = 0, амплитуду которой В
мы хотим найти.
В области II уравнение Шредингера будет гласить
Аф + А'2"!* = 0, А'2 = ^ (W— V). (И)
Так как справа на бесконечности должна существовать только уходящая,
ио не падающая волна, то в качестве решения нам подходит только
одночленное выражение
ф = Се**'*, (На)
где А' действительно или мнимо, судя по тому,
V<W или V>W. (HI)
В обоих случаях, для того чтобы (На) имело смысл, квадратный корень при
вычислении А' надо брать с положительным знаком (положительным и
действительным для V < W, чисто мнимым и расположенным на
положительной мнимой оси для V > W). С
классической корпускулярной точки зрения V> W
означает естественно, что кинетической энергии W
электрона не хватает для того, чтобы преодолеть
потенциальный порог V.
t-—-i ~ Мы интересуемся теми условиями непрерыв-
2 h ности, которые связывают <р{ и <рп. Для этой цели
Рнс 3. представим себе, что вместо отвесного у нас
имеется наклонный потенциальный порог,
например такой, который изображён на рис. 3 пунктиром, и потребуем
аналогично тому, как это делается при выводе граничных условий в
электродинамике, чтобы волновое уравнение выполнялось и в переходной области
(непрерывно меняющееся А' !)• Тогда, в силу (II), для области — А < х < + А
имеет место
J
1
1
/\
1
4
1
V
1
где черта сверху означает усреднение в интервале 2А. Тем самым в
пределе при А -*■ 0 получаем:
©,=©„•

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ 29
в, кроне того,
Эти условия справедливы, конечно, не только в одномерном, но и в
трёхмерном случае с произвольно расположенными граничными поверхностями,
для чего их надо переписать в виде
Применяя (IVa) и (IV) к (la) и (На), получаем в точке разрыва х = 0:
-.С, \—В = ^С, (V)
следовательно,
* §^ C
Перейдем теперь от В и С к коэффициенту отражения R, который мы
определим, объединяя оба рассмотренных в (III) случая, соотношением
причем в случаях V< W (kf действительно) и V> W (kf чисто мнимо) мы,
соответственно, получим:
0<Я<1 и R=l.
Полученный в первом случае результат является знаменательным: с
корпускулярной точки зрения электрон, который может преодолеть порог, никогда
не мог бы отразиться, но всегда должен был продолжать своё движение
с уменьшенной скоростью. Напротив, результат, получающийся во втором
случае, естественен и с корпускулярной точки зрения: R = 1 означает
«полное внутреннее отражение» электронов, которые в силу недостаточной
кинетической энергии W не в силах преодолеть потенциальный порог.
Однако, с другой стороны, во втором случае с корпускулярной точки
зрения непонятно, как может существовать в случае полного отражения
во второй среде состояние ф, связанное с конечным значением С на
поверхности и экспоненциально убывающее с глубиной. Но с точки зрения волновой
теории это поведение представляется нам, конечно, совершенно естественным.
Действительно, и в обычной оптике при полном внутреннем отражении
в оптически менее плотной среде существует экспоненциально затухающее
с глубиной волновое движение. Кажущееся противоречие с законом сохранения
энергии или с законом сохранения числа частиц разрешается здесь, как и в
оптике, если вместо неограниченно протяжённой плоской волны рассмотреть
пространственно ограниченную и учесть диффракционные явления на краях
волны, которые приводят в оптическом случае к тому, что энергия входит во
вторую среду и распространяется далее в ней параллельно поверхности раздела.
Если мы хотим, как и в оптике, определить, кроме коэффициента
отражения R, также и прозрачность D, то в случае V < W она задаётся
выражением
?
В случае же V > W, конечно,
D = 0, (Vila)

30 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. 1
так как частицы не могут уйти в бесконечность в положительном
направлении (<{i обращается при этом в нуль). Так как мы нормировали падающую
волну на единицу, то
/? + Dl. (VIII)
Мы хотим, несколько забегая вперёд, следующим образом объяснить
иг
возникновение множителя -г- в (VII): С9 имеет смысл плотности частиц в
области II; нам же нужна не плотность частиц, а поток частиц по отношению
к потоку в области I, который мы положили равным единице. Поэтому мы
должны помножить Са на отношение скоростей — во второй и первой Обла-
стях, которое, в силу формулы де Бройля, совпадает с отношением -г-.
Подробнее мы коснёмся этого вопроса в § 7, уравнение G6).
Если мы рассмотрим проходящую волну, которая падает на
границу I, II наклонно, то её направление распространения будет в случае
0<V<W отдаляться от нормали. Это обусловлено тем, что фазовая
скорость в' II в силу B.11) больше, чем фазовая скорость в I:
и следует также из применимых в этом случае общих граничных условий
(IV6). Если же речь идет не о потенциальном пороге, но о потенциальном
обрыве, У<0, то направление распространения волны будет приближаться
к нормали, так как тогда kr =-jr-(W-\-\V\)>k*.
Из граничных условий (IV6) немедленно следует известный вид закона
преломления при переходе из среды I в среду II:
sino_ f <*— угол падения,
sin р | р — уГ0Л преломления,
где показатель преломления определяется следующим образом:
Отсюда следует:
п < 1 для У>0, потенциальный порог 1
} (IXa)
я > 1 для V < 0, потенциальный обрыв. )
Мы вернёмся теперь к нормальному падению, но будем рассматривать
не порог, а изображённый на рис. 4 потенциальный барьер. Мы должны
будем тогда различать три области:
I. х<0, ф = в«*+Ве-<1и> по @.
II. 0<х<*. ф = В'е«'а>+С'е-<*'* по (II),
III. b<x, <}» = Се«* по (I),
причем в третьей области учитывается, что справа не должно падать волны.
Мы будем интересоваться только случаем V > W, в котором с
классической корпускулярной точки зрения барьер был бы непроницаем для
падающего электрона, в то время как в волновой механике барьер оказы-

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ 31
вается обладающим, вообще говоря, не равной нулю прозрачностью. Именно,
исключая из 2 • 2 граничных условий (IV) и (IVa) на обеих поверхностях
раздела при х = О и х = b постоянные В, В' и С, находим после
несложного вычисления, что
Иными словами, оказывается, что в области III существует отличная от нуля
и не зависящая от х амплитуда волнового движения; это движение ни в какой
мере не является затухающим, но носит характер обычной
распространяющейся вправо волны eika>. (Опять в согласии с известными явлениями в оптике:
если I и III — стекло, II — воздух, то
претерпевающая полное внутреннее отражение, ^
следовательно, достаточно наклонно л а даю-
щая волна продолжается с соответственно
уменьшенной амплитудой и после х = Ь,
и/
если только b достаточно мало, точнее, }
сравнимо с длиной световой волны.)
IV=O
f
-D-
Заметим, что в A) значение А', в силу х.о
V> W, оказывается чисто мнимым, и,
следовательно, показатели ±tk'b в числителе— Рис-4#
действительными. Для прозрачности барьера D, которую здесь надо
определить, в силу равенства скоростей в областях I и III, как D = |C|a, легко-
находим из A)
Таким образом, мы действительно получаем, вообще говоря, конечную
прозрачность барьера, т. е. конечную вероятность того, что электрон сможет
пройти через барьер. И при этом он не перепрыгивает через барьер,
а именно проходит сквозь него, как это видно из рис. 4, где мы отметили
горизонтальной стрелкой, что электрон сохраняет свою энергию W, которую
ои имел в области I и в области II, и приносит её с собой в область III.
В правой половине рис. 4 изображена зависимость прозрачности барьера D
от энергии частицы W: при №=V и k' = 0 прозрачность D велика, но
быстро уменьшается, обращаясь в нуль при W = 0 и k = 0. При больших
энергиях электрон с лёгкостью проходит через барьер; по мере уменьшения,
энергии прохождение барьера становится затруднительным.
Положение вещей хорошо передается часто употребляемым термином
«туннельный эффект»: путь электрона идёт не через потенциальный горб,
ио сквозь него по линии постоянной энергии. Этот туннельный эффект играет
основную роль для многочисленных химических реакций, которые с классической
точки зрения не могли бы идти из-ea препятствующего сближению молекул
потенциального барьера, а с точки зрения волновой механики становятся
возможными благодаря рассматриваемому нами эффекту; тот же эффект весьма
существенен и для некоторых вопросов электронной теории металлов
(переходное сопротивление, эффект холодной эмиссии электронов под действием
внешнего поля). Однако прежде всего на этом пути впервые было найдено,
объяснение радиоактивного распада и превращения атомов (теория а-рас-
пада Гамова).
Чтобы подготовиться к дальнейшему изложению (гл. IV, § 11), вернемся
еще раз к изображённой на рис. 3 потенциальной ступеньке; однако теперь
будем исходить из аналитического выражения для потенциала, которое было.

32
ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ
[гл. i
введено Эккартом и распространено Заутером *) на соответствующую
релятивистскую задачу, а именно из потенциала:
О х = — оо,
U
1+«-
U * =
C)
где U — высота ступеньки, а а измеряет крутизну подъема потенциала. Мы
можем воспользоваться теперь преимуществами
одной области и единого волнового уравнения:
ча
U
1 Для того чтобы привести это уравнение к из-
— вестному виду, введем новую независимую
переменную
у = — е-а* E)
и новую функцию
ty=yv'F, F)
где A — параметр, которым можно будет распорядиться. Тогда после
несложного вычисления получим для F дифференциальное уравнение
Рис. 5.
Левая часть будет делиться на у, если выбрать
Ae==__2»L(Wr__£/) (ф
Если положить еще
то вместо G) получим:
что удобнее записать в виде
dV л dF
еде иы ввели сокращения
(И)
Уравнение A0) является уравнением для гипергеометрической функции,
') С. Eckart, Phys. Rev. 35, 1303 A930), F. Sauter, Zs. f. Phys. 73, 547 A931).
К приведённым здесь работам следует добавить ещё работу P. S. Epstein, Ргос.
Nat. Ac (Washington) 16, 627 A930), где наиболее общим образом исследуется та
форма потенциального порога, или потенциального барьера, которая допускает
интегрирование волнового уравнения в гипергеометрических функциях.
Относительно применений к отражению радиоволн в ионосфере, в частности
представления коэффициеита отражения через Г-фуикции в аналогии с нашим уравнением
/1.4.17) и уравнениями B4), B4а) дополнения 16, см. также К. Rawer, Hochfiequ-
«nztechnik 53, 150 A939).

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ПОРОГ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ. 33
которая много изучалась со времени Гаусса. Мы рассмотрим ее болре
подробно в следующей главе [см. B.18)], а здесь ограничимся установлением
того обстоятельства, что прохождение электронной волны через ступеньку
подходящим образом выбранной формы C) может быть представлено
гипергеометрической функцией F во всей области изменения переменного
— оо < х <-j-oo, т. е. по E) в области —оо<_у<0.
Входящие в F параметры а, C и f зависят от постоянных р и v, знак
которых, в силу (8) и (8а), не определен.
Однако сразу ясно, что р надо выбрать мнимым отрицательным. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим предельный случай дг-юо, т. е. по E), у-*-0.
Так как F в обычно употребляемой нормировке Гаусса равно единице при
у = 0, то мы получаем из E) и F):
ф = (-If e-*~. A2)
Но при дг-юо «С должна быть уходящей волной. Поэтому мы должны
выбрать знак корня в (8) следующим образом:
1»= -7Ут(«'-У) = -|*' [ср. (Н)]. A3)
Тогда A2) действительно оказывается тождественным выражению
фв(-1Г.+*-. A4)
Далее, в силу дифференциального уравнения A0), F симметрично по обоим
параметрам а и C. Так как в силу A1) эти параметры имеют значения |х rt v,
то знак v не играет роли. Мы можем поэтому положить, например,
Следовательно, наше решение определено однозначно с точностью до
произвольного общего множителя.
Нас интересует также и поведение при больших отрицательных х
(падающая и отраженная волны), поэтому нам надо рассмотреть предельное
поведение F при у-у—• оо. Мы можем получить его из дополнения 16.
В силу уравнения A9) этого дополнения при нашем смысле у, а, C и f
будет:
F = Сл*» it-*** x ~\- Ctf° Ь--* *,
откуда, в силу F) и A5):
"*). A6)
Таким образом, здесь происходит естественное разделение на падающую и
отраженную волны. Для значений коэффициента отражения и прозрачности
из A6) и A4) находим [ср. с определением D в (VII)]:
или D=o>
причем последнее значение имеет место, как и в случае (Vila), для
мнимого k!.
Последние вычисления будут продолжены в гл. IV, § 11 релятивистским
образом. Пока же мы должны были ограничиться общим изложением
проникновения электронной волны через потенциальную стенку и
характеристикой основных черт, различающих корпускулярный и волновомеханический
подход к этому явлению.
3 Зш. 968. А. Зошкрфели

34 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
f 5. ОСЦИЛЛЯТОР И РОТАТОР, ИХ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ПО ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ
Простейшими примерами применения правил квантования являются
осциллятор и ротатор (ср. т. I, гл. II, § 3). Мы рассмотрим теперь их
с точки зрения волновой механики, заменяя прежние квантовые условия
требованием непрерывности встречающихся собственных функций.
А. Линейный гармонический осциллятор обладает при
отклонении от х положения равновесия потенциальной энергией
V= £*• = £«$*•, A)
где «oq = 2пч0 = у круговая частота собственных колебаний (в смысле
классической механики). В силу A.11) волновым уравнением для
осциллятора будет
где использованы сокращенные обозначения
\ = ^W, « = -^. Bа)
Область изменения независимого переменного х простирается от х = — оо
до х = -|-оо, причем эти граничные точки являются иррегулярными особыми
точками. Мы убедимся в этом, исследуя асимптотическое поведение <J> для
больших х. В этом случае во втором члене можно пренебречь А. по
сравнению с <zaxa и B) перейдет в
C)
Асимптотический интеграл этого уравнения [ср. аналогичные рассуждения
при исследовании C.20)] будет иметь вид
* = ,**". <4>
Действительно, если пренебречь членами с меньшими степенями х, то из D)
следует
как этого и требует соотношение C). Из двух знаков в D) можно
использовать только нижний, ибо <{i должна остаться конечной для дг = ±оо.
Поэтому мы аналогично C.7) положим
и определим v из дифференциального уравнения B). Из E), полагая для
краткости /? = в * , получаем:
ф' =/=•(©' — axv),
4f = F (V" — 2а*©' — о©+а9*8©),
1ц следовательно, из B) получится (член с х* сокращается):
V"—2ахч/-\-(\ — <х)© = 0. F)
Разделим это уравнение на а и используем в качестве независимого
переменного безразмерную величину
Vi. G)

§ 5] осциллятор и ротатор 35
Дифференцирования по J обозначим в дальнейшем точками. Тогда F)
примет вид:
5(А) = 0. (8)
Это уравнение будем интегрировать степенным рядом
« = 2в^ (8а)
и получим из (8), приравнивая коэффициенты при £» нулю, двучленную
рекуррентную формулу:
(^) (86)
Оборвем степенной ряд на члене с ч = п. Для этого необходимо обратить
в нуль коэффициент при ап в рекуррентной формуле, после чего исчезнут
и все следующие коэффициенты ал+9, an+v ... Таким образом,
или, согласно Bа),
С другой стороны, ранее с помощью квантового условия Г pdq = nh для
в-го энергетического уровня осциллятора получалось Wn = nAv0. Характерная
разница состоит, следовательно, в появлении полуцелых чисел вместо целых.
В следующей главе мы вернемся к значению, которое имеет этот
результат в теории полосатых спектров.
Полиномы (8а), к которым мы таким образом пришли, носят название
полиномов Эрмита. Мы будем использовать для n-го полинома
обозначение v = //„. Отвлекаясь от нормировочного множителя, их можно определить
рекуррентными формулами (86) или дифференциальным уравнением (8).
Используя содержащееся в (9) определение значения —, можно переписать
это дифференциальное уравнение в виде:
Н — 2Е//+2л// = 0, (И)
а рекуррентная формула запишется так: ("» + 2)(м+1)а>+а = — 2(» — v)a,.
Путбм итераций получаем из нее:
а) п четное, м четное и <»:
б) п нечетное, м нечетное и <я:
_, д^Чг (я — 1)(п — 3)...(
В частности, при м = п получается:
а) п четное:
б) п нечетное:
/ я — 1
3*

36 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
По укоренившемуся соглашению эти полиномы нормируют так, что
а„ = 2». A2)
Тогда из приведенных соотношений следует
а) a°=(~1)'f 7^Г: б) e* = 2(-
Общее представление для Нп (как для четного, так и для нечетного »)
следующее:
21
Для первых полиномов Эрмита мы получаем из него:
2. )
... A3)
//8 = 8?>— 12?, Я4=16|« —48Р + 12
Для многих целей полезно представление Нп через последовательные
дифференцирования, аналогичное использованному нами для шаровых
функций. Это представление записывается так:
Нп® = (-^1Г <??£-. (И)
Надо показать теперь, что так определенные Нп действительно
удовлетворяют дифференциальному уравнению A1). Мы поступим при этом
аналогично случаю шаровых функций. Положим
и = е-*1 A5)
и образуем
5
Последовательным дифференцированием по формуле многократного
дифференцирования произведения- получим отсюда
e(n+e)=_2Sa(»+i> — 2(я+1)«(п). A6)
Но, в силу A4):
(
я, следовательно,
в-Е- (//п_ АЩп + D? —
Если мы подставим эти выражения в A6), то действительно получится
уравнение A1). Выражение A4) нормировано согласно условию A2). Это
следует непосредственно из того, что старший коэффициент ап
получающегося из A4) полинома можно получить также последовательным
дифференцированием е~%%.
Наконец, с помощью уравнений E) и G) мы можем перейти от
полиномов Нп к соответствующим собственный функциям <^п. Имеано:

§ 51
ОСЦИЛЛЯТОР И РОТАТОР
37
Собственные функции tyn подобно Нп будут четными или нечетными
функциями £, судя по тому, четно или нечетно п. Ход функции %
совпадает с кривой распределения ошибок, поскольку Но=\. На рис. 6
приведены графики *) пяти первых
собственных функций. То, что
фп действительно
удовлетворяют требованию
непрерывности в области Па4->
осциллятора: <J»n :
Рис. 6. Первые пять собственных функций
ТЯ ^ ^ ^" "п (*) * •
2TVn\
Относительно избранной здесь нормировки <f
см. § 9 этой главы.
гарантируется их
представлением A7).
Б. Ротатор в
пространстве. Представим себе,
как и в т. I, гл. II, § 3
материальную точку массы ш,
которая может двигаться на
заданном расстоянии а от
закрепленного центра, с той
разницей, что теперь мы хотим
рассматривать не плоское
вращение по кругу, а движение по поверхности шара, т. е. движение с двумя
степенями свободы. К плоскому ротатору мы вернемся в пункте В. В обоих
случаях речь идет о волновоиеханической задаче с дополнительным условием
(здесь г = а). Общий метод рассмотрения подобного рода задач исследуется
в дополнении 10. Следующий путь является самым простым, но, как это
показано в дополнении 10, ни в коей мере не само собой разумеющимся.
Используем полярные координаты г, 0, © и освободимся от фиксируемой
дополнительным условием координаты г, положив
±-0
дг — "•
Потенциальная энергия при постоянном г постоянна, и мы можем положить
ее равной нулю. Выражение Дф, которое заменяет в волновом уравнении
кинетическую энергию, примет в наших координатах г, 9, ф после учета
условий -тр = 0 и г = а вид:
Отсюда получим, введя У= та3 (момент инерции точки массы т
относительно неподвижного центра), для волнового уравнения:
sin2»
A8)
Это есть дифференциальное уравнение сферических функций, которое было
проинтегрировано в § 3 посредством подстановки ty = ВФ. Обозначенное там
I) Взятые из работы Е. SchrOdinger, Naturwiss. 14, 664 A926).

38 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. 1
через X собственное значение заменяется здесь на
, 2ЛР
Тем самым из уравнения C.11) следует, если мы заменим / на используемое
в теории полосатых спектров j,
■=jpn=y'C/+l). И^ = |7./(/ + 1). 09)
Сравним этот результат с рассмотрением, проведенным в т. I, гл. II, § 3.
Из приведенных там формул A6), A7) и A8) для кинетической энергии
п-го квантового состояния следовало
Wn = £n*. A9а)
где п — целое, a J также равно та2. С другой стороны, мы можем
переписать A9) в виде:
Если отвлечься здесь от последнего постоянного члена в скобке, который
только сдвигает нулевой уровень энергии, то A9а) перейдет в A96), если
заменить в первом из них я на У + у Следовательно, в случае ротатора,
как и в случае осциллятора, разница между волновой механикой и старой
квантовой теорией состоит в том, что на место целых квантовых чисел
вступают полуцелые.
В силу C.16) каждому собственному значению A9) соответствует
собственная функция:
Ъ.т = Р? (OS в)***. —/<«<+7. B0)
В отличие от W она зависит не только от /, но еще и от т. Мы получаем,
следовательно, не одну собственную функцию, но, в силу |я»К/, 2t/ —|— 1
азличных. Собственное значение A9) оказывается не однократным, но
+ 1)-кратным. В таком случае говорят о вырожденной проблеме
собственных значений.
Понятие вырождения было введено первоначально Шварцшильдом (ср.
т. I, гл. II, § 7) в применении к электронным орбитам и их представлению
через угловые переменные. В волновой механике вместо различных типов
орбит выступают различные собственные функции. Поэтому здесь степень
вырождения можно определить числом собственных функций, относящихся
к одному собственному значению, таким образом, чтобы отсутствие
вырождения соответствовало наличию единственной собственной функции,
однократное вырождение — наличию двух собственных функций и т. д. В случае
ротатора в пространстве мы имеем дело с 2/-кратным вырождением*).
В. Ротатор в плоскости, осциллятор в плоскости и
пространстве. К плоскому ротатору (материальная точка, движущаяся ро
кругу) мы придем, если положим в выражении для Дф не только -г- = О,
') Предлагаемая автором терминология ие имеет распространения в нашей
литературе. Напротив, в нашей литературе сейчас принято называть степенью вырождения
просто число относящихся к одному собственному значению собственных функций,
примиряясь с тем, что однократное вырождение совпадает с отсутствием вырождения,
фрим. пер.)

§ 5] ОСЦИЛЛЯТОР И РОТАТОР 39
г = а, как это было сделано в пункте Б, но еще и ^- = 0, 0 = -j, т. е.
сохраняя зависиыость только от третьей координаты <р. Тогда уравнение A8)
переходит в
3
Его решением будет
ф = е±*»т, »а = Х, B2)
где п должно быть целым для того, чтобы решение было однозначной
функцией <р. Итак, из B2) и B1) следует
, B2а)
что в точности совпадает с A9а), т. е. с формулой старой квантовой
теории ротатора. Таким образом, плоский ротатор квантуется и, согласно
волновой механике, целыми, а не полуцелыми числами.
Однако как по теоретическому смыслу волновой механики, так и с
точки зрения явлений, наблюдаемых в полосатых спектрах, не остается
никакого сомнения в том, что пространственное рассмотрение задачи о
ротаторе является точным, в то время как плоское — недопустимым. Тем самым
возникает вопрос, не нуждается ли в поправках и проведенное выше
рассмотрение осциллятора как линейного образования и не приведет ли
рассмотрение пространственного или плоского осциллятора к иным
собственным значениям. Чтобы выяснить это обстоятельство, заменим B) на
а*2х1L, = 0, B3)
где X и а имеют то же значение, что и в C), а Дф означает обычное
дифференциальное выражение, записанное с помощью прямоугольных координат
хи д;9, х3 или xv jc9. Но уравнение B3) можно сразу же «расщепить»
аналогично тому, как это было в соответствующей задаче старой
квантовой теории (ср. т. I, гл. II, § 6). Действительно, если мы запишем Х=Х1-|-Ха
или X = Хх-(-Аа-)-Х3, то получим для каждой координаты свое
дифференциальное уравнение вида B) с Х4 вместо X и xt вместо х; для Х4 будет
опять иметь место условие (9) с заменой п на п{. В силу (9) для суммы
всех Х4 получаем:
где щ — целые числа, и поэтому для полной энергии осциллятора,
используя A0), находим:
Для плоского осциллятора A=1, 2)У](я*~г') будет всегда целым
числом, а для пространственного (/=1, 2, 3) — полуцелым. Тем самым
выясняется аналогично случаю ротатора поразительное обстоятельство:
в зависимости от числа измерений осциллятор надо квантовать либо
полуцелыми, либо целыми числами. То же обстоятельство встретится нам и при
рассмотрении задачи Кеплера.
Используя A7), мы можем немедленно получить выражения для
собственных функций плоского или пространственного осциллятора:

40 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
Таким образом, собственные значения оказываются вырожденными: каждому
данному я соответствуют столько различных собственных функций,
сколькими различными способами можно аддитивно построить п из целых
положительных чисел /ij. Вырождение снимется, если иы перейден к
анизотропному осциллятору, т. е. если мы примем, что собственные частоты ш0,
а следовательно, и а [си. C)], не одинаковы для различных
пространственных направлений. Однако возможность разделения переменных и весь ход
решения сохраняются и в этом случае.
Возникает естественный вопрос: какое число измерений надо приписать
действительному осциллятору. Пока речь идет о. колебаниях двухатомных
молекул по соединяющей оба атома линии, ответ гласит: одно измерение.
Мы вернемся еще к этому вопросу в следующей главе. В случае же
многоатомных молекул движение разбивается на нормальные колебания системы,
каждое из которых эквивалентно опять линейному осциллятору.
§ 6. ОБОБЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ,
ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ. СЛУЧАЙ МНОГИХ ЧАСТИЦ
Мы теперь должны расширить фундамент, на котором были основаны
наши предыдущие рассуждения. Мы ограничивались до сих пор случаем
одной частицы и таких сил, которые допускают введение не зависящего от
времени потенциала (§ 1). Мы освободимся сначала от второго
ограничения, в то время как ограничение одной материальной точкой будет пока
сохранено.
В качестве предварительной подготовки мы выведем наше волновое
уравнение с помощью символического приёма, который понадобится при
дальнейших обобщениях.
А. Силы обладают не зависящим от времени
потенциалом. В этом случае имеет место закон сохранения энергии, который
можно записать в виде
W. A)
где Н — выраженная через импульсы р и координаты q функция Гамильь
тона, причем р явно входит в выражение Щ- для кинетической энергии,
a q — неявно в потенциальную энергию V. Можно получить из Н
дифференциальное уравнение в частных производных классической механики для
функции действия 5, если, как это было показано в т. I, гл. II, § 6,
заменить р на
г, 6S
Мы утверждаем, что аналогично этому можно получить дифференциальное
уравнение в частных производных волновой механики для шредингеровской
функции '|>, если заменить р на дифференциальный символ1)
Р= <2>
1) Здесь надо сделать следующие замечания. В то время как в классической
механике уравнение р = -г- пригодно для любых (в том числе и криволинейных)
координат, применимость аналогичного соотношения B) в квантовой механике
ограничена прямоугольными (декартовыми) координатами. Для того чтобы использовать

§ 6] ОБОБЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 41
и применить выражение Н—W как оператор к функции ty:
(Н— U^<l> = 0. Ba>
Для вывода этого весьма формального предписания заметим, что B) приводит
в прямоугольных координатах к следующему выражению:
Таким образом, с помощью A) и B) мы приходим к уравнению
которое совпадает с волновым уравнением A.11):
£ 0. C)
Б.Силы не обладают потенциалом, но тем не менее
энергия сохраняется. Такой случай может иметь место при наличии
не зависящего от времени магнитного поля. Сила в магнитном поле, как
известно, направлена перпендикулярно к скорости частицы и потому не
меняет ее энергии. Теория относительности указывает путь, следуя
которому можно включить такие силы в общую схему механики. Если составить
скалярное произведение 4-тока электрона
7 («». vv, vx, ic)
с 4-потенциалом
(Ах, Ау, Аг, if),
то мы получим (ср. т. I, дополнение 5):
L D)
Здесь ? относится к единичному заряду, поэтому еу представляет собой
отнесенную к заряду электрона е потенциальную энергию
электростатического происхождения, которую мы обозначали ранее через V. Таким обра-
вом, в силу D) при учете магнитостатических сил вместо прежнего V
появляется
V—±(vA). Da)
При этом функция Лагранжа (фигурирующая в формулировке принципа
Гамильтона) не будет более равняться
L = Т— V,
ио
^ D6)
В дополнении 3 будет показано, что из этой функции Лагранжа
действительно получаются правильные уравнения движения электрона в магнитном
соотношение B) в случае более общих координат, сначала надо подвергнуть
оператор Н «симметризации», т. е. встречающиеся в нём выражения вида, например, qq*
надо заменить pqp или же иа -^-(p*q + qp3) и т. п. Ср. Schrodinger, Abhandl. z.
Wellenmechanik, стр. 72.

42 ВВЕДЕНИИ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
поле. Там же мы выведем по общим правилам механики функцию
Гамильтона Н(р, q) нз функции Лагранжа L(q, q), а именно, получим:
где квадрат надо понимать как скалярное произведение и притом (ср.
примечание на стр. 40) выраженное в декартовых координатах. Используя B),
получим:
Но в силу основных положений электродинамики (ср. конец дополнения 3)
в нашем случае div А = 0 и, следовательно, div (Aty = (A grad Ц); поэтому
последняя строка предпоследнего выражения упрощается:
Вели подставить это в Dв) и построить выражение (Н—W)ty = 0, то
получим общее волновое уравнение в статическом магнитном поле с вектор-
потенциалом А:
^[^(^)9] E)
В том специальном случае, когда А можно рассматривать как малое
возмущение, в E) можно опустить последний член. Возникающее тогда
уравнение
можно получить и непосредственно из A), если заменить там V
выражением Dа). Тем не менее избранный нами путь через точное выражение Dв)
для функции Гамильтона является единственным последовательным путем и
незаменим для дальнейшего (например, для установления уравнения Дирака).
В. Силы обладают потенциалом, зависящим от
времени; энергия не сохраняется. Как и ранее, мы будем понимать
' под Н выражение
где теперь, однако, V зависит от t. В таком случае дифференциальное
уравнение классической механики (ср. т. I, дополнение 5) имеет вид:
Н(р, q. t)+s = O. где р = Щ, s = §. G)
Чтобы совершить переход к волновой механике, мы дополним B)
дифференциальным символом
и введем вместо волновой функции </ зависящую от времени волновую
функцию
«С*, у, г, t).

§ 6] ОБОБЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 43
К этой функции мы и будем применять оператор G). Таким образом, мы
приходим к пространственно-временному волновому уравнению; именно,
в силу B), F) и (8):
или
Проверкой такого обобщения может служить переход к случаю А,
когда V не зависило от t. При этом t становится сциклической» координатой
и, следовательно, можно положить
а(х. у. г, f) = if(x, у, г)е-*~*. A0)
Тогда в силу постулата де Бройля в форме B.27) из (9) после сокращения
яа временной множитель непосредственно следует:
^ A1)
т. е. в точности волновое уравнение C) случая А. [К вопросу о выборе
знака при I в A0) мы сейчас вернемся.]
Если сопоставить переход от В к А, т. е. переход от пространственно-
временнбго уравнения (9) для функции а к пространственному уравнению A1)
для функции if с проведенным в § 1 переходом от оптического
пространственно-временного уравнения A.5) для функции а к оптическому
пространственному уравнению A.6) для функции ф, то легко заметить следующую
разницу: наше уравнение (9) не является как E) уравнением
гиперболического .типа, но принадлежит к типу суравнений диффузии». Именно, оно
ЯЯц да
содержит не сускорение» тд-, а «скорость» gr. Здесь, однако, идет речь
о диффузии с мнимым «коэффициентом диффузии» и поэтому не об
экспоненциально затухающих со временем, как это характерно для обычных
диффузионных явлений, а о периодических решениях, что мы и использовали в
подстановке A0). Можно заметить, что справедливо и обратное, именно, что
гиперболическое уравнение с мнимой постоянной распространения привело бы
к временной зависимости диффузионного характера.
Г. Силы не обладают потенциалом, закон сохранения
энергии не выполняется внутри системы. Под первым условием
иы понимаем, что, как и в пункте Б, к возможным потенциальным силам
электрического происхождения добавляются магнитные силы, задаваемые вектор-
потенциалом А. Второе условие приводит к зависящей от времени волновой
функции а и дифференциальному уравнению, включающему время. Мы
получим это дифференциальное уравнение из G) и (8) немедленно, если
используем для Н выражение Dв). Таким образом, мы можем записать:
o. A2)
При проведении вычисления надо воспользоваться соотношением (8)
дополнения 3. Получается:

44 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
Член с -gj- (в силу знаменателя тс9, равного энергии покоя электрона) не
имеет, собственно, в нерелятивистской теории никаких прав на
существование. Если опустить его, равно как и член с А9 [ср. переход от E) к Eа)],
то уравнение примет более простой вид:
**£ 0. A26)
Это уравнение можно рассматривать как суперпозицию уравнений Eа) и (9).
Здесь уместно остановиться на выборе знака мнимой единицы в
предыдущем уравнении. Естественно, что этот знак принципиально
неопределёнен. Мы могли бы, например, написать при переходе от В к А вместо
правой части A0):
a = if(x, у, z)e+M. A0а)
Но тогда мы должны были бы изменить знак при /ив дифференциальных
символах (8) и B), т. е. заменить их на
<8«> и Р = ~Н- Bа)
Тем самым меняется, естественно, и знак члена с г-в (9), и мы
получаем снова с помощью (Юа) то же самое уравнение A1) для ty, что и ранее
с помощью A0).
То же самое справедливо и для более общего уравнения A2): при
использовании дифференциальных символов (8а) и Bа) вместо (8) и B)
уравнение A26) переходит в сопряжённое уравнение, в котором мы обозначим
вависимое переменное через v, а не через а:
В следующем параграфе мы увидим, что это сопряжённое уравнение
находится в тесной. аналитической связи с первоначальным и что все
физические заключения, которые мы могли бы вывести из одного из этих
уравнений, можно вывести и из другого. Существенным для таких заключений
является не отдельное уравнение или отдельная волновая функция, но пара
уравнений A26, в) и пара функций (a, v).
Д. Случай многих частиц в потенциальном поле. При
наличии многих частиц мы ограничимся сейчас рассмотрением простейшего
случая А, т. е. случая, когда силы, действующие на частицы или между
частицами, могут быть получены из потенциальной энергии и когда поэтому
выполняется закон сохранения энергии. Мы будем нумеровать частицы
индексом а (масса т., координаты хл, ул, гл, импульс />„). В общем случае
потенциальная энергия зависит от всех хл, т. е. V=V(xt xa, ...)•
Выражение A) для функции Гамильтона надо тогда заменить на
Заменяя импульсы с помощью B), мы образуем из этого выражения
оператор, который будем применять к волновой функции, зависящей теперь от
всех координат хл, уа, гл. Получаем:

§ 7] УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ТОК И ПЛОТНОСТЬ 45
Индекс а у Л указывает, что надлежит образовывать дифференциальный
оператор Д в пространстве прямоугольных координат х„, уа, га <х-й
материальной точки.
Переход от этого простейшего случая к - случаям, аналогичным Б, В
и Г, происходит по развитым там формальным правилам. Например, в самом
общем случае Г получаем для многих частиц (электронов и ядер), вообще
говоря, с различными зарядами еш вместо A26) уравнение
| 7. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ТОК И ПЛОТНОСТЬ.
НОРМИРОВКА И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ТОЛКОВАНИЕ
ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
Мы будем исходить из дифференциального уравнения для и, причем
ради краткости изложения ограничимся рассмотрением одной материальной
точки. Тогда будут иметь место уравнения F.9а) или F.12а), в зависимости
от того, действуют ли только силы, обладающие потенциалом V, или также и
силы магнитной природы, связанные с векторным потенциалом А. В обоих
случаях речь идет о линейном дифференциальном уравнении, которое мы будем
записывать сокращенно в виде:
/,(«) = 0.
Рассмотрим сопряжённое дифференциальное уравнение
Для его определения служит теорема Грина, играющая, как известно,
фундаментальную роль во всей математической физике. Мы запишем ее здесь,
отступая от исторически обусловленной интегральной формы, в следующем
виде:
vL (и) — иМ (v) = Div S. A)
S означает здесь четверку компонент S = (Slt S2, Ss, 54), которую мы
будем называть «потоком».
Символ Div означает, что правая часть должна быть построена из суммы
производных по независимым переменным, здесь х, у, z, t:
Div 5=5^14-^4-^4-—* Па^
ulw * ^* дх ^ ду ^ дг^ dt ' (ia)
Из требования A) можно получить аналитическое выражение как для
сопряженного дифференциального выражения M(v), так и для «потока» 5.
В дополнении 4 мы обсудим применение теоремы Грина в
дифференциальной и в интегральной форме для случая самых общих линейных
дифференциальных выражений; сейчас мы ограничимся дифференциальными
уравнениями типа уравнения F.12а), из которого можно получить и F.9а),
положив А = 0. Запишем левую часть F.12а) сокращенно в виде:
L (в) = Да + /в -J — /р (A grad в) — ?«+Ни,
2/я о Че 1т ... в» .„ s I dV
B)

46 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ |ГЛ. I
Чтобы преобразовать vL(u) в требуемом A) смысле, воспольвуемся
очевидными соотношениями:
= eAv-{-div(vgrade — a grad v),
(A grad в) = — и (A grad v) — uv div A + div {woA).
Получим:
v (w grad и — и grad w — l$uvA) -j- /a ^- (m») .
Сравнение с A) показывает, как следует выбирать сопряженное
дифференциальное выражение М и «поток» S:
A)o, D)
— egradw—
, 1
f
( '
Последний член в D) может быть еще упрощен. В силу уравнена (8)
дополнения 3
ее
следовательно,
{
с другой стороны, у нас было обозначено
а— ! ЁК
0 ~ be» dt>
откуда
^ 8.
Итак, мы можем написать вместо D)
^ E)
Итак, сравнение E) и B) показывает, что дифференциальным
выражением, сопряженным с L, является комплексно сопряженное выражение, оно
получается из L путем изменения знака у /. Поэтому в числе решений
сопряженного уравнения M(v) = 0 всегда должно содержаться решение,
комплексно сопряженное рассматриваемому решению первоначального
уравнения Z.(e) = 0:
v = и*. Eа)
При таком выборе v для «потока» S по Eа) получается
S1Bt8 = «*grad« — и grad а* — §ии'АЛ
S4 = /«««*. j №)

$ 7) УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ТОК И ПЛОТНОСТЬ 47
Из соображений размерности мы выделим из этого четырбхкомпонентного.
■ыражения множитель
■ объединим после этого три первые компоненты в один трехмерный
тор У; для четвертой компоненты мы введем обозначение р. Итак, напишем:
S = ^(/. P) Fа>
к, учитывая значение C, B), получим из F):
р = ии
J
Мы будем называть р плотностью, a /—током (точнее «плотностью частиц»
и «током частиц»). Как раз эти величины р и j можно — более или менее
непосредственно — сравнивать с опытом. Они симметричным образом зависят
от в и в*. Таким образом, мы подтвердили утверждение, сделанное после
формулы F.12), что физическое значение имеет не отдельная волновая,
функция к, но пара функций и, v = и*, и что физические явления
определяются лишь совместно взятыми сопряженными друг к другу
дифференциальными выражениями L(u) и M(v), причем безразлично, из какого из этих
двух дифференциальных выражений исходить. Тем самым устранена и
встретившаяся в предыдущем параграфе двузначность в выборе знака при /.
В качестве примера использования определения G) вычислим ток в х-на-
■равлении, соответствующий плоской волне:
ц = eikx-Uott ц* = g-ikx+iwt
(ток в .у- и z-на правлениях отсутствует; А надо положить равным нулю).
Получаем:
р = ее* = 1 Gа)
и
вв 2/А> *=J* = !f <7б>
Но, в силу соотношения де Бройля, hk является импульсом соответствующей,
частицы, следовательно, — ее скоростью. Если, как это сделано здесь,
положить амплитуду плоской волны (а тем самым и плотность) равной
единице, то ток частицы совпадает со скоростью частицы, как это я
должно быть.
После того как мы выбрали и и v = u* в качестве решений уравнений-
£ = 0иЛ1 = 0, в силу A) для S имеет место уравнение непрерывность
Div5 = 0.
В наших новых обозначениях оно гласит:
divy+|j- = O, (8)
т. е. изменение плотности происходит в результате переноса частиц в пол--
ион соответствии с уравнением непрерывности гидродинамики

48 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
в котором р означает плотность вещества, а ро—плотность импульса или
поток вещества. Путем умножения на заряд электрона е мы получаем из
ваших плотности частиц р и тока частиц j плотность заряда ер и плот'
ность тока ej, которые, следовательно, также связаны между собой
уравнением непрерывности.
Проинтегрируем теперь (8) по всему пространству. Обозначая через а\
■элемент объема, получаем:
поскольку j исчезает на бесконечно удаленной замкнутой поверхности о —
4то предположение, вообще говоря, справедливо. Тогда мы заключаем,
.исходя из (8), что
|J J (9)
-т. е. не зависит от t. Нашему толкованию «плотности частиц» будет соот-.
ветствовать выбор константы равной единице, так как мы имеем здесь дело
с одной частицей, а проинтегрированная плотность частиц должна совпадать
х числом частиц.
Итак, мы потребуем
т.. е. учитывая G),
ff A0)
Это соотношение является условием нормировки волновой функции и или
.сопряженной функции v = и . Мы будем коротко говорить, что условием A0)
волновая функция «нормируется на единицу». Так как и и v были
определены ранее через линейные однородные дифференциальные уравнения, то
в них оставалась еще неопределенной входящая множителем постоянная С.
Если положить теперь
C = Ne<T, N=\C\, A1)
то требование A0) определит абсолютную величину N этой постоянной,
в то время как фаза if попрежнему останется неопределенной. Уравнение (9),
- как это подчеркивает Шредингер, обеспечивает сохранение нормировки:
«ели волновая функция пронормирована на единицу в какой-либо момент
времени, то эта нормировка сохранится для всех последующих времен. Это
необходимо для того, чтобы было возможно наше понимание числа частиц,
заряда и т. д.
В тех случаях (пункты А и Б § 6), когда энергия сохраняется, можно
утверждать большее. Тогда решения зависят от времени экспоненциально
и можно говорить о собственных значениях энергии и собственных функциях
{пространственно-временная собственная функция и, пространственная
собственная функция if). Положим, как и в F.10),
n ta .1 * о n 4
» •* — fn • I
W I
n ~" h ' '
A2)
где индекс, п означает, что мы выбрали некоторую определенную
собственную функцию. Тогда из A1) и A2) следует условие нормировки для соб-

§ 7] УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ТОК И ПЛОТНОСТЬ 49
ственных функций, зависящих только от координат:
Однако ничто не заставляет нас выбирать в A2) одинаковые
собственные значения для и и и*. Действительно, наше уравнение непрерывности (8)
относилось к каким-либо двум решениям и и v уравнений L (и) = 0 н
Af(o) = 0. Поэтому мы можем написать вместо A2):
t, )
\
Тогда определения G) потока и плотности переходят в'
Мы можем назвать эти величины смешанным током и смешанной
плотностью обоих энергетических состояний пят или же током перехода и
плотностью перехода между этими двумя состояниями1). Для этих величин
также выполняется уравнение (8) в форме
,-1-^ИяО. A6)
Отсюда следует аналог уравнения (9):
= -'(«„-«т) J V&*- е-Ч"п-т)* =0. A7)
Так как по предположению шп =£ шт, то мы можем разделить второй
интеграл на шп — <от и, замечая, что во втором уравнении (9) теперь следует
положить const = 0, получаем:
Это* уравнение составляет условие ортогональности собственных функций.
Оно справедливо для любой пары собственных функций одного и того же
волнового уравнения, которые принадлежат к разным собственным
значениям. Если существует много волновых функций, которые относятся к одному
и тому же собственному значению (случай вырождения, ср. стр. 38), то
сразу за ортогональность ручаться нельзя, но её можно достигнуть в каждом
конкретном случае.
Уравнение A8) было выведено сейчас из общей теоремы непрерывности.
Мы можем, конечно, получить его и более элементарным способом Фурье из
теоремы Грина:
j J(£ j) A9)
где можно считать, что правая часть исчезает при переходе к бесконечно
удалённой поверхности. Если мы возьмём уравнение простейшего типа
*) Обозначения: диагональные или недиагональные элементы матриц тока или
плотности будут обоснованы в гл. Ш.
4 Зш. 968. А. Зошерфслья

50 ВВЕДЕНИИ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ (ГЛ. 1
и выберем к = <j>n, v=- tym, то в левой части Да и До будут соответственно
пропорциональны (Wn—V)<i>n и (Wm—V)<S(*m. Мы получим поэтому из A9)
(член с V выпадает):
(Wm— WJ J адС dx = 0. A9а)
т. е. снова уравнение A8), так как Wm Ф Wn.
Мы касались пока в этом параграфе только задач, относящихся к одной
частице. Обобщим теперь наше рассмотрение на случай многих частиц.
Если исходить из общего, задаваемого F.14) дифференциального
выражения L(u), то в качестве сопряжённого выражения M(v) снова получим ком-
плексно сопряженное с F.14). Правая часть уравнения A) будет теперь
равна:
B>!) <20>
р = wo. J
Индекс а у символов div и grad означает, что дифференцирование должно
проводиться по координатам а-й частицы; индексом а снабжены и
величины е и т, так как они могут, вообще говоря, относиться не только
к электронам, но и в равной степени к ядрам.
В силу B1) ток является теперь уже не трехмерным, а Зл-мерным
вектором; он составляется из л трехмерных векторов:
JV • • • г /а» • • • I Уп»
каждый из которых, так же как и волновые функции и, и* и плотность ее*,
зависит от всех Зл координат частиц.
Интегрированием уравнения непрерывности Div 5 = 0 по всем Зл
координатам ха, ул, гл из B0) получаем:
следовательно, если мы выберем v = u" и сохраним «нормировку на
единицу», то
J p <ft = const = 1. B2)
Мы будем называть Зл-мерное пространство координат
конфигурационным пространством (в противоположность 6л-мерному фазовому
пространству координат и импульсов). Волновое уравнение, ток и плотность
относятся к конфигурационному пространству и поэтому в общем случае задачи
многих частиц теряют физическую наглядность.
Однако физически очевидно, что и в случае задачи многих частиц должно
существовать уравнение сохранения для каждой отдельной частицы. Мы
получим его по предложенному Шредингером способу, если фиксируем
координаты рассматриваемой частицы (индекс {3) и проинтегрируем по
координатам всех остальных частиц а. Тогда, в силу B0), из многомерного
уравнения сохранения divS = 0 получится
^=0. B3)

§ 7J УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ТОК И ПЛОТНОСТЬ 51
Входящие сюда величины р9 и j9 определяются равенствами:
B4)
a dt* указывает на интегрирование по всему конфигурационному простран->
ству, исключая интегрирование по х?, уу Zy При этом интегрировании сумма
по а в B0) вырождается в единственный член divs?, в то время как все
члены с а Ф Э превращаются в интегралы по бесконечно удаленной
поверхности и обращаются в нуль.
Благодаря B3) мы можем говорить о трехмерном облаке заряда и токе
отдельной частицы. Однако вычислить их мы можем только через
многомерное волновое уравнение и интегрирование по многомерному
конфигурационному пространству. В следующей главе мы познакомимся с
характерным примером такого положения вещей (задача Кеплера с учетом движения
ядра).
Только после всего сказанного мы можем перейти к обсуждению
физического значения волновомеханических величин, и то лишь к весьма
поверхностному, так как дальнейшие шаги в этом направлении связаны с
соотношением неопределенности, которым мы займемся лишь в гл. III.
Ясно, что волновая механика не может изменить того обстоятельства,
что электрон является зарядом, сконцентрированным в весьма малом объеме.
Однако казалось бы, что непрерывно распределенная плотность р волново-
механического облака заряда и непрерывно распределенный волновомехани-
ческий ток j противоречат этому. Противоречие уничтожается, как это
впервые было предложено М. Борномх), статистической трактовкой волновой
механики. Волновая функция а(х, у, z, t) одноэлектронной задачи
определяет вероятность, с которой электрон может быть найден в момент
времени t в точке х, у, z. Точнее говоря, эта вероятность задается для
элемента координатного объема dx действительной величиной
ее* dx.
Тем самым условие нормировки F.16)
uu'dx=l
приобретает следующий вероятностный смысл: электрон с достоверностью
может быть обнаружен в какой-либо точке пространства.
Статистическое толкование распространяется и на ток/. Если мы говорим,
что в элементе объема dx течет ток )ш, то мы не имеем при этом в виду,
что число частиц, пересекающих единицу поверхности в единицу времени,
в точности равно ]ш, но утверждаем, что вероятное значение, или
математическое ожидание, этого числа частиц равно jw. В гл. III мы
познакомимся с общим правилом, дающим возможность вычислять
«математические ожидания» не только тока, но и любых других наблюдаемых
величин волновомеханической системы.
То же самое справедливо и в случае многих частиц. Тогда вероятность
найти систему из п частиц в определенном месте конфигурационного
пространства внутри Зп-мерного элемента объема dx задается выражением
uu'dx,
М. Born, Zs. L Phvs. S3, 803 A926); 40, 167 A927).

52 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
где и зависит от / и от Зп пространственных координат ха, ... Сновд
вероятность того, что система находится где-то в пространстве, равна единице:
aa'dt=l. B5)
Итак, в то время как в качестве физического элемента волновой
механики выступает квадратичная и действительная величина ии* (или <!$* в
случае собственных функций), ее аналитическим элементом является линейная
и, вообще говоря, комплексная величина и (или Ц). Эта величина подчиняется
линейному дифференциальному уравнению волновой механики, и ее
определение предшествует вероятностному рассмотрению; а (или <!/) называют
амплитудой вероятности. Сама вероятность вычисляется из нее так, как в
оптике интенсивность, — через «норму» амплитуды, а математическое
ожидание тока — как поток энергии в оптике.
Соотношения здесь аналогичны существующим в теории
электромагнитного поля: физическими величинами, которые в конце концов наблюдаются
в электромагнитных опытах, являются компоненты тензора энергии-импульса,
следовательно, квадратичные функции напряженности поля. Но простые
дифференциальные уравнения, именно уравнения Максвелла, имеют место не
для них, а для их линейных множителей, для напряжвнностей поля.
Напряжённости поля можно рассматривать как математические вспомогательные
величины, служащие только для вычисления собственно физических энергетико-
динамических соотношений.
В следующей главе мы сравним волновомеханические облака заряда
с дискретными кеплеровскими орбитами прежней теории и сможем описать
первые как результат статистического усреднения последних. Правда, это
усреднение производится не совсем обычным образом. Именно, в волновой
механике возникает конечная, хотя и весьма малая, плотность заряда далеко
вне области прежних орбит, следовательно, в областях, где обычная
статистика привела бы к вероятности, равной нулю. Речь идет, следовательно,
о некоторой новой статистике, которая хотя и весьма родственна, но все же
не идентична обычной статистике вычисленных по классической механике
орбит.
Наконец, мы можем теперь обосновать сделанное на стр. 18
утверждение, что в множителе, определяющем зависимость собственных функций от
времени, частота определяется формулой де Бройля B.7) с точностью до
произвольной постоянной, так что, например, мы могли бы пользоваться
формулой B.27) Ь= W = E — Ео.
В самом деле, ток и плотность в уравнениях A5) зависят только от
разностей частот начального и конечного состояний и, следовательно, не
зависят от их абсолютной нормировки. То, что зависимость от времени
волновых функций, взятых сами по себе, зависит от выбора частоты, не играет
никакой роли, так как мы должны рассматривать их как вычислительные
величины, служащие для того, чтобы устанавливать статистические следствия
относительно электронов (или, в более общем виде, частиц), которые только
н являются физически наблюдаемыми.
§ 8. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КООРДИНАТ И МЕТОД ВЕКТОРНОГО
ПОТЕНЦИАЛА. ДИПОЛЬНОЕ И КВАДРУПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Мы определили выше распределение плотности р в облаке заряда
электрона и можем теперь вычислить, исходя из этого распределения, его момент
по отношению к координате q(q = x, у, г). Для этого каждый элемент pdt
умножим на плечо q и проинтегрируем по всему объему.

§ 81 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КООРДИНАТ И МЕТОД ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 53
Получим:
f A)
Таким образом мы определим вектор М с составляющими Мх, Му, Мг.
Будучи умноженным на е, М приобретает смысл электрического диполь-
ного момента, например для q=-x—х-компоненты электрического мэмента
нашего распределения заряда. Интенсивность и поляризация излучении
выражаются в электродинамике, как это было показано еще Герцем1), через
вторую производную от электрического мэмента по времени еМ. Мы мэжем
использовать поэтому A) для описания излучения света атомами и молекулами.
Так же как и для рассмотренной в предыдущем параграфе плотности,
мы будем говорить здесь не только о моменте одного состояния, но и о
смешанном моменте двух состояний, в особенности двух собственных
функций. При этом мы имеем в виду [ср. G.15)] выражение
Мтп = J 9Pmn* = J tfwk dxe-l{an-J*. B)
Как правило, мы будем предпочитать для обозначения введенной
величины М абстрактное слово «матричный элемент» физически
наглядному «электрический момент». На самом деле эта наглядность чисто
кажущаяся и существует действительно только в случае л = т, когда обе
функции фп и ф» относятся к одному и тому же состоянию. Происхождение
названия «матричный элемент» станет ясным из гл. III, § 4.
Рассмотрим сперва одно отдельное состояние, полагая п = т. В этом
случае плотность р и момент М не будут зависеть от времени и излучение
(как вторая производная от М по времени) обратится в нуль. В
собственных состояниях (соответствующих стационарным орбитам прежней теории)
излучения не происходит.
Рассмотрим теперь переход я ±j /я. Плотность pnm и момент Мпт будут
теперь периодически зависеть от времени. В силу B) частота момента,
а потому и излучения будет равна:
Мы получили здесь условие частот Бора (ср. начало § 1), которое
оказывается, таким образом, естественно включенным в общую схему
волновой механики, как и квантовое условие. Мы не хотим сказать, что
получили здесь, хотя бы и на классической основе, вывод условия частот.
') Мы сошлемся иа уравнения A)—C) § 5, гл.1 I тома. Для заряда,
сосредоточенного в точке, составляющей электрического момента в лг-направленни будет ех,
следовательно, второй производной от момента по времени — ео^. Тогда уравнение B) даст
где М± означает составляющую М, перпендикулярную к направлению излучения $
аналогично уравнение C) определяет полное излучение 5 (черта сверху означает
усреднение по времени, знак | | — переход к модулю вектора):
В такой форме уравнения (I) н (II) пригодны не только для точечного заряда, ио и
для заряда, распределенного произвольным образом, что к используется в тексте.

54 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ. [ГЛ. I
Действительно, фактически мы положили его в основу изложения уже в нашем
допущении о зависимости отдельных состояний от времени по соотношению
де Бройля B.9). Однако существенно, что мы получаем исходящую из
классической теории вычислительную схему, которая дает возможность
предсказать такие детали излучения, как поляризацию и интенсивность. Именно,
из B) мы заключаем следующее.
Если для определенных чисел л и от и для определенного направления
в пространстве, например для q = x, Mmn обращается в нуль, то мы
получаем правило поляризации. Переход я^я не приводит к излучению,
соответствующему колебанию вектора Е в х-направлении.
Если для заданных я, т, Мтп обращается в нуль для каждого q = x,
у, г, то переход л^± т не может сопровождаться излучением. Мы
интерпретируем это, говоря, что такой переход запрещен 1). Таким образом, мы
получаем правила ртбора.
Если Мтп отличен от нуля, то в силу примечания к стр. 53 мы получаем
из Мтп меру интенсивности соответствующего перехода и соответствующего
направления поляризации.
Для более аккуратного определения этой меры интенсивности надо
заметить следующее: к переходу п^+т относится не только матричный элемент,
представляемый B), но и равноправный с ним
который мы можем, конечно, записать как ЛСт. Следовательно,
= Ad. равно как и | Мпт [ = | Мтп |. D)
Мы можем выразить это также (ср. гл. III, § 5) и словами: Мтп образуют
эрмитову матрицу.
Поэтому полный электрический момент перехода мы определим
следующим образом:
М = Мтп+ М^ = J qWU **-4t%-«w+«oiiiu. сопр. E)
Он является действительной величиной, причем равной не просто
действительной части, но удвоенной действительной части Мтп.
Соотношение E) относится к переходу между двумя различными
состояниями <!>n, <fm. Если речь идет об электрическом моменте единственного
состояния, то существует только один матричный элемент Мпп, который
действителен сам по себе и представляется выражением
Eа)
Для средних значений квадратов М (надо учесть, что при возведении
E) в квадрат квадраты М„„ и Мтп уничтожатся при усреднении по
времени, так что сохранятся только удвоенные произведения) из E) и Eа)
следует:
— ( 2Л1птЛ1тп = 2 I М-,-19, пфт.
Точнее, запрещена сдиполыюеэ излучение. См. конец этого параграфа.

§ 81 МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КООРДИНАТ И МЕТОД ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 55
Так как Мпт отличается от Мпт только действительным множителем
— («„ — «я)8, то мы получаем одновременно
(О, п = т из-за «n = «m. J
Эти выражения в соответствии с примечанием на стр. 53 и являются
уточнением уже указанной выше меры интенсивности перехода /tj±m. Вторая
строка в Fа) отвечает при этом уже подчеркнутому обстоятельству, что
в стационарных состояниях не происходит излучения.
При рассмотрении вырожденных состояний (состояний с одинаковым
собственным значением, т. е. с »„ = «т, но с разными собственными
функциями <1>я ф tym) также надлежит пользоваться соотношением E), т. е.
сохранять множитель 2 в первом из уравнений F).
В следующих параграфах мы выведем, следуя намеченному здесь пути,
правила отбора для осциллятора м ротатора, которые будут затем в
следующей главе перенесены на линейчатые и полосатые спектры и приведут
к важным заключениям о виде этих спектров; кроме того, мы вычислим и
интенсивности разрешенных правилами отбора переходов.
Мы рассматривали до сих пор только собственные функции, т. е.
состояния, экспоненциально зависящие от времени. Но наши определения можно
перенести и на волновые функции, зависящие от времени произвольным
образом. Если и и U — две такие функции, то, следуя E), мы определим
электрический момент перехода и^+0 соотношением
М = е Г quU*dt-{-коипл. сопр., G)
а электрический момент самого состояния и:
M=ejqua*dx. Ga)
Удобный способ записи матричных элементов был предложен Дираком:
(йх, йа, ..., |^| mv щ, ...), G6)
где nt, Яд, ...— параметры (квантовые числа), характеризующие одно
состояние <{>„, a jRlt ma, ...— параметры, характеризующие другое состояние <!fm.
Вместо q в многоэлектронных задачах будет стоять Iqa, причём
интегрирование надо будет выполнять не по пространству трёх измерений, как это
мы делали до сих пор, но по конфигурационному пространству Зл
измерений (п — число частиц). Запись G6) особенно удобна, потому что наряду
с матричными элементами координаты q используются также и матричные
элементы других величин (скорости, импульса и т. д.), что в такой записи
легко находит свое выражение. Подробнее по этому поводу см. гл. III, § 4.
Мы хотим теперь обобщить метод матричных элементов и придти
к методу «электродинамических потенциалов». Относительно их
четырёхмерного определения мы отсылаем читателя к дополнению 5, уравнениям
(8) — A0). Здесь же мы ограничимся приведением обычных выражений для
скалярного и векторного потенциалов:
В Грд Р означает точку наблюдения с координатами X, Y, Z во время 7*,
a Q—точку интегрирования с координатами х, у, г в момент времени..

56 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ {ГЛ. I
взятый с запаздыванием:
*' = Г-^2; (9)
это запаздывание выражает тот известный факт, что действие источника Q
распространяется в точку Р со скоростью света.
Поле излучения Е и Н получается из (8) путём образования
«четырёхмерного ротора» [ср. дополнение 6, уравнение A2) и ел.] или в трёхмерной
записи как
£ = — grad<p — jA, H = rotA, A0)
где дифференцирование производится по координатам X, Yr Z и Т точки
наблюдения Я.
Мы подставим в (8) для плотности р и плотности тока ptr их волново-
механические значения pnm и jnm из G.15), а именно:
?mn = ?e-**M\ jmn=Je-*'M', A0а)
где р и j означают не зависящие от времени множители, например р = etyffyl,1),
a v во временном множителе означает частоту
излучения при переходе т^+п, именно:
Простой вид временной зависимости в уравнении A0)
приводит к упрощению волновомеханических
вычислений по сравнению с соответствующими вычисле-
rP(XYZT) ниями в классической электродинамике, где, вообще
говоря, зависимость от времени носит сложный (не
Рис 7. экспоненциальный) характер. Выражения
упрощаются и ещё больше благодаря тому, что нас будет
интересовать только бесконечно удалённая точка наблюдения P{XYZ)-*co.
Расположим внутри облака заряда некоторое начало отсчёта О (например,
ядро атома) и обозначим расстояние ОР через R, а единичный вектор
в направлении от О к Я через п (рис. 7). Далее, вектор интегрирования
обозначим через OQ = г. Тогда, как это ясно из рис. 7:
rpQ=zR — (г») A1)
и поэтому, в силу (9),
(Па)
= е х с/е
Подставляя A0), A1) и (Па) в (8), получаем:
A2)
Здесь мы заменили входивший в (8) знаменатель Гр~ просто на R, так как
если использовать точное значение A1) и провести разложение в ряд по
!) Множитель е добавлен здесь потому, что в (8) р означает плотность заряда, но
не плотность числа частиц. Та же справедливо и для /

§ 8} МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КООРДИНАТ И МЕТОД ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 57
обратным степеням R, то дополнительный член (г») приведет к появлению-
лишь таких членов, которыми можно пренебречь при R -*■ со. (В
противоположность экспоненте знаменатель «нечувствителен» к запаздыванию.)
Далее из самого смысла уравнений F), Fа) следует, что нужно добавить
сопряжённое выражение, которое относится к той же частоте =±=2icv, так
как электродинамические потенциалы должны быть действительными
величинами.
Мы будем различать два случая:
А. Размеры облака заряда являются малыми по сравнению с длиной
волны л = — излучения. Этот случай имеет место при излучении видимого'
света (а — 5« 10~6 см) и при дискретных собственных значениях (тогда
облако заряда имеет, как это будет показано в следующей главе, размеры
порядка атомных размеров 10~8 см).
Б. Размеры облака заряда сравнимы с длиной волны излучения. Этот
случай имеет место для рентгеновского спектра (а—10~8 см), а также для
видимого света, если оба собственных состояния, между которыми
происходит переход, относятся к непрерывному спектру (в последнем случае
облако заряда обладает гораздо большей протяжённостью, чем при
дискретных собственных значениях, ср. опять следующую главу).
В случае А экспоненциальный множитель под интегралом в A2) будет
порядка единицы /так как -£• <^ Л. Тогда из A2) будет следовать:
А — _ \4-dt + компл.-сопр. A3>
Как следует в этом случае приближенно вычислять скалярный потенциал <р,
мы обсудим ниже. Здесь же мы хотим показать, что вычисление А можно
свести к рассматривавшемуся нами ранее матричному элементу. Для этого
мы обратимся к уравнению непрерывности G.8), которое после подстановки
A0а) и освобождения от временной зависимости гласит:
A4)
Умножая его на х и интегрируя по dt, находим:
С помощью интегрирования по частям первый член в левой части можно
преобразовать к виду:
p f fndz, A5а)
так как двойной интеграл в левой части A5а) распространяется на
бесконечно удаленную поверхность и в случае А гарантированно обращается в
нуль. Точно так же пропадают поверхностные интегралы и при
преобразовании двух других членов левой части A5), которые после выполнения
интегрирования по у и по г дают:
J х]у dx dz, j xj, dy dx.

58 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. I
Тем самым уравнение A5) приводится к простому виду:
яли в более общей записи, где q = x, у, г:
fjd* = — 2itb J pg dz. A6)
Мы подставим это выражение в A3) и заменим ре~**ит на введенную
уравнением B) величину pmm в которой t заменено на время Т точки
наблюдения. Используя определение Мтп из B), получим:
7Г
■-1-КОМПЛ. сопр., A7)
■что можно, учитывая характер зависимости Мтп от времени, переписать
также и в виде:
А = — Мтп—ъ—|-компл.-сопр. A7а)
Если мы образуем теперь из A7а) и соответствующего уравнения для <р
{см. ниже) напряженности полей £ и Я путем дифференцирования по
координатам X, Y, Z, Т точки наблюдения [ср. A0I, то мы получим, учитывая
общий вид зависимости Мтп от времени, выражения, пропорциональные Мтп.
Таким образом, уравнения (I) и (II) примечания на стр. 53 окажутся
обоснованными с волновомеханической точки зрения. Тем самым установлена связь
иежду методами электродинамических потенциалов и матричных элементов.
Как мы видим, эта связь основывается на уравнении непрерывности для
электрического заряда и имеет место только тогда, когда можно заменить
-единицей «множитель запаздывания» в A2) (случай А).
-— <«»)
В случае Б «множитель запаздывания» е с в A2) полагать
равным единице конечно нельзя; однако при дифференцировании по координатам
бесконечно удалённой точки наблюдения его можно считать постоянным,
■несмотря на то, что п (ср. рис, 7) имеет смысл:
Я' /Г
действительно, дифференцирование этого множителя привело бы к
возникновению дополнительной степени R'1 и соответствующим членом всё равно
ладо было бы пренебречь. В равной степени можно считать постоянным
лри дифференцировании по X, Y, Z и знаменатель -~, что ясно из
замечания, сделанного после уравнения A2).
Поэтому, для того чтобы получить поля £ и И, нам достаточно
дифференцировать только стоящий в A2) вне знака интеграла множитель
-ехр | — 2it/v/7*— уМ. Получаем:
'/
[И
р»—■*■ _**!,„,,
е ° dt + компл.-сопр.
A8)

§ 8] МАТРИЧНЫЕ ЭЛРМЕНТЫ КООРДИНАТ И МЕТОД ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 59
Легко заметить, что в выражении для £ члены с р и j получаются из
— grad? и А соответственно. В дополнении E) мы еще раз вернемся
к этому вычислению с более общей точки зрения.
Покажем теперь, что поле, представляемое A8), обладает хорошо
известными свойствами поля герцевского диполя
// = [»£]. A9а) (я£) = 0. A96)
т. е. векторы £, Н и п взаимно перпендикулярны, а £ и Я совпадают по
абсолютной величине. Для доказательства A9а) достаточно помножить
выражение A8) для £ под знаком интеграла векторно на п, при этом член с р
выпадает в силу [««1 = 0 и остаётся как раз выражение A8) для поля Н.
Для доказательства A96) будем исходить из уравнения непрерывности A4).
Умножим его на е ° и проинтегрируем по dr, тогда с помощью
интегрирования по частям, совершенно аналогичного проведённому в A5), A5а):
0 d-z,
уравнение непрерывности A4) приводится к виду:
J G С/») — Р} *~"'"" Л = 0. B0)
Но мы получили тот самый интеграл, который возникает, если помножить
A8) скалярно на « под знаком интегрирования. Тем самым A96) доказано.
Мы используем соотношение B0) для того, чтобы упростить выражение
A8) для поля £. Действительно, достаточно помножить B0) на п под
знаком интеграла, чтобы убедиться в том, что член р» в A8) можно
заменить на
Тогда {...} в A8) перейдёт в
_ 11/ — (jn) „} _ _ Lj±, B0a)
где J. означает нормальную к « составляющую вектора тока J, поскольку
вычитающийся в B0а) вектор С/»)» представляет собой составляющую
вектора тока, параллельную п. Поэтому, учитывая ещё и A9а), мы можем
записать вместо A8)
£ =
J j±e e Л+компл.-сопр.,
= [пЕ\, \Н\ = \Е\.
B1)
Изучим подробнее комплекс излучений, содержащийся в этом
представлении. Для этого разложим «множитель запаздывания» в ряд:
.. . B2)
Первый член отвечает, конечно, нашему прежнему случаю А. Мы будеы

60 ввздвние в волновую механику [гл. i
называть эту часть полного излучения дипольным излучением. (Учитывая
дальнейшие обозначения «квадрупольное» и «мультипольное» излучение, было
бы разумнее говорить вместо этого «бипольное» излучение.) Второй член
приводит к комплексу излучений, который разлагается на электрическое
квадрупольное и магнитное дипольное излучения. Третий член приводит
к излучению, которое содержит электрическое октупольное излучение.
В общем случае мы будем говорить о мультапольном излучении или о
2П-излучении; л означает при этом степень, в которой входит в подинтегральное
выражение радиус-вектор г точки интегрирования; при этом (я— 1)
множителей гп возникают из разложения B2), а последний множитель г
содержится в выражении B1) для j±.
В дополнении 5 мы рассмотрим подробнее особенно важное для
астрофизики квадрупольное излучение и его связь с дипольным и мультипольным
излучением и выясним условия, при которых его можно наблюдать в
лабораторных условиях. Вообще говоря, квадрупольное излучение оказывается
весьма слабым по сравнению с дипольным (по порядку величины — 10~е).
То, что квадрупольное излучение вообще заслуживает рассмотрения,
зависит от наличия общих правил отбора: линии, для которых дипольное
излучение запрещено, разрешены для квадрупольного, и наоборот. История
вопроса требует, чтобы мы назвали здесь двух основателей этой области
физики: Дж. С. Бовена, отождествившего линии небулия и линию
полярных сияний с запрещёнными переходами в спектре кислорода (запрещёнными
в смысле дипольного излучения), и А. Рубиновича, который развил
систематическую теорию мультипольного излучения, установил правила
отбора и интенсивности для квадрупольного излучения и (что особенно важно
для экспериментальной проверки!) предсказал эффект Зеемана для таких
переходов.
Вернёмся в заключение ещё раз к дипольному излучению, чтобы
предупредить возможность одного недоразумения. Мы характеризовали случай
А тем, что можно пренебречь множителем запаздывания, и пришли к
уравнению A3) для векторного потенциала А. Если бы мы поступили бы также
со скалярным потенциалом ?, то в выражении, аналогичном A3), возник бы
интеграл
JJV B3)
(ортогональность). Мы получили бы, следовательно, <р = 0 и. в силу A0),
Но из этого следует вместо B1) такое представление для Е, в котором
вместо j стоит просто j. Что такой результат должен содержать ошибку,
видно уже из того, что мы не получаем требования A96) — поперечное™ Е.
В действительности дело состоит в том, что для получения дипольного
излучения надлежит всегда обрывать разложение B2) на первом неисчезающем
члене [в случае <р — на втором члене в B2I. Тогда получится
B4)
Это выражение того же самого порядка величины, что и интеграл для А,
который возник при сохранении только первого члена в разложении B2).

§ 9} НОРМИРОВКА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТАТОРА 61
Мы заключаем отсюда, что при вычислении дипольного излучения было бы
ошибочным отбрасывать запаздывание уже в потенциале и, следовательно,
писать <р = 0. Это можно делать только, исходя из разложений B2) для
напряженности* полей.
f Й. НОРМИРОВКА, ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТАТОРА
А. Линейный осциллятор. В соответствие с E.17) напишем для
собственных функций:
#„(?) = ( — 1)» в5' ' , <в0 = у — (собственная частота).
Выражения для <р„ включают теперь нормировочный множитель
(действительный) N. Мы отказались при этом от добавления возможного фазового
множителя е*т [ср. G. Па)).
Уравнение G.13) приводит к требованию (трёхмерный элемент объёма di
надо заменить на одномерный dx = —т=) '•
+0О
Х= Г е-*Н%($#. B)
Чтобы определить X, подставим в B) вместо одного из множителей Н
его представление A). Получаем:
я далее, путём п-кратного интегрирования по частям (учитывая, что все
производные е~*' на границах области интегрирования £ = z£oo обращаются
в нуль) находим:
Если записать теперь временно
то получим:
+0О
=a,/i\ J e-*d\ =
—со
Обычная нормировка полиномов Эрмита согласно E.12) выражалась
условием
а» = 2" C)
и, следовательно, X =2пп!УИс. Поэтому
1' <4>
откуда получается также и
Jfc VWTT: Dа)

62 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ fM. t
На этом мы покончим с нормировкой для осциллятора. С другой стороны,
требование ортогональности, ваписанное через <{*, гласит
; = 0 E)
и приводит к следующему соотношению для полиномов Н:
J е~*Нп ф Нт ф d- = 0. пфт. Eа)
Это соотношение нетрудно получить из представления A) для Н с помощью
последовательных интегрирований по частям. Здесь мы получили его в
качестве непосредственного следствия ортогональности собственных функции
осциллятора, что является более поучительным.
Переходим теперь к матричным элементам линейного осциллятора.
Положим в (8.2) q = x, опустим временной множитель и обозначим
пространственный множитель через хит. Учитывая, что ^ действительны, напишем:
+ОО
•W\mdX. F)
Если вместо х ввести безразмерную переменную ; из A), то получим:
+ ОО
ахпт = \пт = f }fi(n ф <5>т E) d\. G)
—оо
Покажем, что 1пт отлично от нуля только при выполнении условия т. = п dr 1.
Будем считать сначала, что пК.т. Подставляя в G) вместо <{*„ и $т
их представления из A), получим вместо G):
+ОО
(8)
Здесь
Оы® = ЫпИт\Нп®. (8а)
Следовательно, On+t есть полином степени n-f-1. Но любой пблином
степени л+1 можно столь же хорошо, как из последовательных степеней (°,
Е1, .... Sn+1, составить и из полиномов И:
n-t-1
Коэффициенты с, этого выражения находятся путём последовательного
приравнивания друг другу коэффициентов при всех степенях £, начиная с Е"*1
до £°, в правой и левой частях (9). Некоторые из коэффициентов с, могут
обращаться в нуль (так, например, в нашем случае, когда п нечётно»
обратятся в нуль все коэффициенты еч с чётными •»), однако наверняка с+ы ф 0.
Подставляя разложение (9) в (8), получаем:
П+1 +ОО
«»0
J

§ 91 НОРМИРОВКА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТАТОРА 63
Но согласно условию ортогональности Eа) и допущению я < я» все члены*
этого ряда обращаются в нуль, за возможным исключением члена •» = л + 1,
причем последнее может произойти только, если
1» = л+1. (И)
В этом случае мы получаем, учитывая определение B) величины X:
t сп+1
Обратный случай
m <n
сводится к предыдущему перестановкой тип. Таким образом, вместо A1)
в качестве условия необращения 1пт в нуль мы получаем теперь
п = т +1 и, следовательно, т = п — 1,
а вместо A2)
е _ {12л\
Ч *-х — ^75 • V £Л>
"п
Нам остается еще раз рассмотреть тривиальный случай
т = п,
когда
+0О
фп<П = 0. A26)
поскольку 4^ четно, и, следовательно, fy* нечетно относительно \.
Тем самым нами доказано правило отбора для гармонического
осциллятора. Принимая во внимание рассуждения стр. 54, мы можем сказать:
все переходы п-*-т запрещены, за исключением переходов n-»-ni±:l.
Вопрос о поляризации излучения осциллятора является тривиальным»,
так как имеется только одно направление колебаний (направление оси х).
Поэтому перейдем сейчас к вопросу об интенсивности. Для этого
вычислим коэффициент Cjuj в A2). Мы обозначили ранее коэффициент при
старшей степени S* в Нп через в„. Тогда, в силу (8а), полагая т=.п-\-\,
коэффициент при старшей степени £n+1 в 0,^ будет равен
Сравнение членов с одинаковыми степенями £"+* в (9) даёт теперь
немедленно
AWM-it^WW A3)
Согласно C) отсюда следует:
4
вследствие чего, в силу A2) и Dа):
Вернёмся к нашему первоначальному матричному Элементу Jcn.iM-i B
и получим благодаря G) и A):

64 ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ [ГЛ. 1
В равной степени будет, конечно, и (замена л на л — 1)
A6a)
Эти формулы сыграли историческую ролБ при сравнении волновомеханиче-
-ского метода Шредингера с более старым матричным методом Гейзенберга
<ср. гл. Ш, § 5).
Если мы теперь восстановим в матричном элементе временной
множитель, то благодаря (8.2) сможем написать:
Мп, п±1 = *„, п±1«-<("»-»±1". A7)
Но, в силу E.10),
Тем самым благодаря A6) и A7)
л соответственно благодаря A6а) и A7)
^ A8а)
В силу примечания на стр. 53 эти выражения определяют интенсивность
•обоих спонтанных переходов:
п-\-1-*-п и п-*-п—1.
Б. Ротатор в пространстве. Независимыми переменными для
ротатора являются углы 0 и <р. Прямоугольные координаты вращающейся
латериальной точки (обозначаемые с помощью £, ■>), С) выражаются через Ь
л <р следующим образом:
S+/n = asin»e*, C = acos». A9)
Мы написали здесь j вместо =±т/, чтобы отличить этот неопределённый знак
от другого, который появится позже. Собственными функциями *), в силу
E.20), будут
Tim*. B0)
Определим добавленный сюда нормировочный множитель N с помощью
•G.13). При этом вместо интегрирования по пространству мы должны
интегрировать по поверхности единичного шара, следовательно, вместо </х
писать
</» = sin
Таким образом, получаем:
№ J [P? (cos О)]2 </« = 1. B1)
Удобно расщепить N на два множителя: Nt, который относится к ft и
соответствует квантовому числу /, и Nm, который относится к <р и соответствует
I) Мы запенили здесь стоявший в E.20) нижний индекс j на I, так как имеем
в виду прежде всего дальнейшие 1римеиения в кеплеровой задаче (/—сазилуталь-
яое» квантовое число, т — смагиитное» квантовое число).

§ 9] НОРМИРОВКА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТАТОРА 65
квантовому числу т:
N
B2)
Nm находится немедленно, так как зависимость от ф выпадает при
образо*
вании
2*Л&=1, M^-JL-. B3)
Для N,, если положить cosft = x, представить Я* с помощью C.166) и
действовать так же, как и в случае осциллятора, получается условие
Введенное здесь сокращение О означает
2*/!/! dx*+» * }
Высшей степенью х в О является х'+|*. Коэффициент при этой степени
равен
l)...(l—m + \) (- l)w BQ1
^J =
Путем последовательного интегрирования по частям из B4) получается
(множители A±х) обеспечивают исчезновение проинтегрированных членов]:
+t
-V = (—l)'+m(/-f«)l« I (x*—l)ldx. B6)
Обозначим через q, интеграл, который еще осталось здесь вычислить
Выведем для него рекуррентную формулу. Именно:
+1 +t +t
4l= Г (jfl—l)ldx= J (x«— l)l-*x*dx— f (x'— 1)г-^х =
= w J *£-(JC'-1)'^-^-1=—яъ-ъ-!
откуда следует
ft
Для / = 0 непосредственным вычислением получаем:
fc>=2. B8)
в силу чего из рекуррентной формулы B7) следует:
Наконец, объединяя уравнения B5), B6) и B9), получаем:
1 _ 2 (/ + «)!
Л^ ~2/+1(/-я»I* С30)
5 Зав. «в. *. Зомтрфыы

66 ввгдвиив в волновую механику fra. |
В частности, для /и = 0, находим хорошо известную из теории полиномов
Лежандра формулу:
-L = —2—. C0а)
Nf 21 + 1 у '
Полный нормировочный множитель оказывается, в силу B2), B3) и C0),
равным
1 4*
(/ — т)\ '
Подчеркнем, что эта формула, равно как и представление C.166), из
которого она была получена, справедливы не только для положительных, но
и для отрицательных т. При обычном способе записи, когда пользуются
только положительными т и когда в B0) пишут e*im* вместо е4ш\
уравнение C1) можно было бы использовать только для положительных т. То, что
мы получили здесь единую формулу для да^О, является чрезвычайно
удобным и обусловлено тем, что для т<0 наши Р? не совпадают с />]"",
отличаясь от них множителем C.1 бг):
Посмотрим теперь, к каким заключениям относительно шаровых
функций приведет общее услоаие ортогональности. Рассмотрим две собственные
функции:
До тех пор, пока т Ф т', условие ортогональности вообще не приводит ва
к каким нетривиальным выводам, так как, в силу
оно переходит в 0 = 0. Выберем поэтому т' = т: мы придем тогда к
формуле
f P?(x)P?(x)dx = Q, 1ФИ. C2)
1
-1
Подчеркнем снова, что для доказательства этого свойства
ортогональности шароаых функций (как лежандровых, так и присоединенных) нам и*
понадобилось проводить специального вычисления: оно получилось как
автоматическое следствие общей теоремы об ортогональности собственных функций.
Перейдем теперь к вычислению матричных элементов прямоугольных
координат A9). Так как мы рассматриваем переход I'm' -*1т, то должны
снабжать их четырьмя индексами:
C3)
Однако мы покажем, что матричные элементы первой или соответственно
порой строки C3) отличаются от нуля лишь при
т' = т или соответственно at' = mzizl, C4)

§ 91 НОРМИРОВКА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТАТОРА 67
так что после подстановки нужного значения т' можно написать:
С„. (»' = ») и $+]■$„ (»' = »=tl), C4а)
причем каждому знаку j определенным образом [см. C46)] относится
одно из значений т' = т±1.
Доказательство C4) заключается в том, что матричные элементы для С
или соответственно E-|-/п) содержат следующие интегралы по <р:
г> я*
Г е<(и-м')т</ф илИ соответственно Г е&е*<"•-»•'>»<fy.
о о
Они не обращаются в нуль и оказываются равными 2л лишь при
т — »' = 0
или же соответственно
j+l(m — «0 = 0.
т. е. когда
1 C46)
./ = — /, m'_» = _l,J
что и доказывает «правило отбора» C4). Это правило отбора гласит:
возможны только такие переходы, для которых «магнитное» квантовое число
либо остается неизменным, либо меняется на ±1.
Однако тем самым мы одновременно установили и «правило
поляризации»: случай да' = да соответствует колебанию параллельно оси С
(электрическому моменту, изменяющемуся в этом направлении), случай т' = т±1
означает круговое" колебание в плоскости С, i\, поляризованное по
правому или левому кругу (соответственно лежащему в этой плоскости
электрическому моменту, который меняется только по направлению, но не
по величине). Необходимо добавить, что ось С можно только тогдз
отличить на опыте от других направлений, когда она выделена физически,
например магнитным полем. Таким образом, наше правило поляризации
вступает в силу не для обычной кеплеровой задачи, но только при
рассмотрении эффекта Зеемана для нее (ср. гл. И, § 7), равно как и для эффекта
Зеемана в полосатых спектрах.
Перейдем теперь к правилу отбора для / и покажем, что оно состоит
в условии
f —/±1. C5>
Для этого мы должны рассмотреть величины Сц, и (C-f-/tV*
Заменяя интегралы по <р на 2и и учитывая правило отбора B4) для <р,
получим согласно A9), B0) и B2):
J = J cos OP, (cos 0)/>j? (cos 0) sin 0 db,
C7)
/Г = J sin вЯ,ш (cos 0) Я?*1 (cos «) sin » d&.
о
Мы могли бы вычислить эти интегралы так жек как и соответствующий1

ВВЕДЕНИЕ В ВОЛНОВУЮ МЕХАНИКУ
[ГЛ. I
интеграл (8) для осциллятора, именно путем сравнения степеней входящих
в C7) полиномов по jc = cos Ь. Однако мы предпочтем прибегнуть к более
короткому, хотя и менее элементарному и более искусственному методу,
который описан в дополнении 6. Он показывает непосредственно, что
J=K — 0, кроме случаев l' = l±\. Тем самым наше правило отбора C5)
доказано. Значения интегралов J и К в случае /' = /±1 приведены в
формулах A1) и A2) дополнения 6. Из них на основании уравнения C6) можно
получить матричные элементы для С и (;i±t/t,). Мы заимствуем их для
перехода /*±/—1 из уравнений A3) и A4) дополнения 6:
4,1-1 -"У B7+~ПB/-1)
с - «ъ,_,=
C8)
Те же выражения справедливы и для перехода 1^*1-\-\, если заменить
в них / на /+1, что также показано в дополнении 6.
Матричные элементы отличны от нуля только для выписанных в правой
части C8) переходов. Поэтому мы можем дополнить C8) соотношениями:
j_1 = O, m' = m—
(Ц —
или
или
C8а)
В то время как «круговые» матричные элементы £±/-г) действительны,
«линейные» матричные элементы величин % и т> в отдельности мэгут быть
и мнимыми, как это непосредственно усматривается из сравнения C8)
и C8а).
До сих пор мы рассматривали только отдельные, специализированные
выбором да, переходы. Однако экспериментально их нельзя выделить, так как
энергия ротатора зависит не от т, а лишь от /. Даже при наложении
магнитного поля переходы, отличающиеся значением т, не разделяются
энергетически. Можно только различать три выделенных в C8) типа переходов
Д/я = 0, ± 1, которые на опыте различаются по поляризации испускаемого
света. Мы заключаем отсюда, что как в случае наличия магнитного поля,
так и в случае его отсутствия нам надлежит просуммировать по всем
значениям т. от т = — /до т. = I, и. притом интенсивности, а не амплитуды,
так как относящиеся к различным т собственные состояния следует считать
некогеррентными между собой. В отсутствии магнитного поля различие
между состояниями с разной поляризацией (линейной, круговой) при этом
пропадает и остается только сумма квадратов матричных элементов:
Построим сначала 2'9- Согласно формуле
+»
2 »а=4
<39>
-у

§ 91 НОРМИРОВКА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА И РОТЛТОРА 69
мы получаем из C8)
Теперь нам надо вычислить 2('9~Ь1)9)- Чтобы можно было использовать C8),
преобразуем эту сумму:
благодаря чему каждому переходу т-*т±\ будет, согласно C8а),
соответствовать только один отличный от нуля член в правой части. Так как
то мы получаем из второй и третьей строк C8):
Поэтому складывая D0) и D1), мы получаем:
2 = аЧ. D3)
С помощью примечания на стр. 53 из 2 получается полная интенсивность,
отвечающая некоторой линии спектра ротатора при переходе / -»> / — 1, т. е.
при отсутствии расщепления /«-составляющих. Аналогичным образом мы
получим для перехода 1-*1-\-1, который отвечает, вообще говоря, другой
линии спектра:
2 . D4)
Суммы D3) и D4) пропорциональны «весу» B/-{- 1) состояния / (ср. т. I,
гл. VIII, § 9, где вместо / более общим образом написано J (внутреннее
квантовое число)]; мы могли бы также сказать: пропорциональны числу
различных сферических функций (ср. § 5, стр. 38) одинакового нижнего
Яндекса /. Появление веса 2/ —(— 1 в сумме интенсивностей всех переходов,
которые ведут к состоянию / или которые исходят из него, находится
в соответствии с правилами сумм Бургера и Доргело (ср. т. I, гл. 8, § 9).
О дальнейших применениях этих формул мы будем говорить в следующей
главе.

ГЛАВА II
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Мы переходим теперь к центральной задаче квантовой механики, задаче
об атоме водорода. Именно эта проблема явилась пробным камнем для
волновомеханического метода в первой работе Шредингера 1926 г,
К задаче Кеплера примыкает теория линейчатых спектров, не только спектра
водорода, но и других атомов в пренебрежении их мультиплетной
структурой. Наряду с этим мы разовьем в этой главе теорию полосатых
спектров, насколько это можно сделать, не прибегая к теории возмущений.
§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ
Потенциальная энергия взаимодействия между электроном и Z-кратно
наряженным ядром при обычной нормировке {V = О для г = оо) равна
v — —.
Волновое уравнение, следовательно, имеет вид:
= o. О)
будем рассматривать его в сферических координатах г, Ь, <р н искать
решение в виде:
ф = RPf (cos fl)e*"\ B)
где R есть функция только от г. Нижний индекс / шаровой функции Р
является целым числом О-О), верхний индекс т — положительным или
отрицательным целым, числом, причем
|ж|</. Bа)
ср. (I. 3. 16а). Если мы используем дифференциальное уравнение для
шаровых функций в виде A.3.16) с собственным значением a hj (I.3.11) и
воспользуемся выражением для Д<|< из уравнения A.3.1а), то получим для R
дифференциальное уравнение
где мы ввели обозначения
^ ^ (За)

§ Ц СОВСТВВННЫВ ЗНАЧЕНИЯ И ФУНКЦИИ В ДИСКРЕТНОМ СПЕКТРЕ 71
Мы примем в этом параграфе W < О, что соответствует эллиптическим
орбитам прежней теории, и положим, чтобы учесть одновременно н знак и
размерность А:
А = —\- D)
Определим сначала асимптотическое поведение R; отбрасывая в C) все
члены с — и -5-, получим:
Из этих двух асимптотических решений мы должны взять только то, которое
исчезает на бесконечности. Введем безразмерную переменную
? = 2j- = 2rV^A, 0<р<оо. Dа)
и перепишем наше асимптотическое решение в виде
R = e~*.
В соответствии с этим мы положим, как обычно,
R = е~~ • v. Ф>
Умножим уравнение C) на -£• и перепишем его через переменную р (штриха
означают в дальнейшем дифференцирование по f>):
Из E) вычисляем
Подставляя эти выражения в F), получаем дифференциальное уравнение
Единственной особой точкой этого уравнения, лежащей на конечном
расстоянии, является граничная точка Р = 0; согласно критерию A.3.4) она
■вляегс! регулярной особой точкой. Мы положим поэтому
Чтобы найти характеристический показатель а, подставим Gа) в G) н
найдем коэффициент при Одр*-':
а(а—l)-f-2a —/(/+l) = a(a + l) —/(/+1). G6)
Приравнивая этот коэффициент нулю, находим два значения: а = / и
а = — / — I, из которых мы можем использовать только первое, если хотим,
чтобы наше решение было бы собственной функцией задачи 1). Таким
образом, мы заменяем Gа) на
2 Gв)
') Ср. также гд. IV. $ л, текст после уравнения B2).

72 8АДЛЧЛ КЕПЛЕРА [щ. II
После подстановки в G) коэффициенты при всех степенях р должны обра-
титься в нуль. Это требование приводит к рекуррентной формуле для
коэффициентов а, и притом к двучленной формуле. Именно, приравнивая нулю
коэффициент при р*+|~1, получаем:
Мы хотим теперь добиться, чтобы w превратилось в полином, т. е. чтобы
ряд оборвался, скажем, при
у = п„ (9)
где обозначение яг должно указывать на «радиальное квантовое число». Это
будет иметь место, если обратится в нуль коэффициент при а, для v = лг,
для чего надо положить
^ =n; (9a>
тогда обратятся в нуль, естественно, и все следующие коэффициенты о»
для •» > nr; n будет «главным квантовым числом». Из (9а) следует теперь,
после возвышения в квадрат,
В» -
Но по смыслу постоянных А и В из (За) это выражение как раз определяет
энергию бальмеровского терма:
W—W = — — — ПО*
Таким образом, дискретный спектр собственных значений в задаче об атоме
водорода найден.
Мы могли Сы получить этот результат, который является типичным для
всей теории линейчатых спектров, и непосредственно из общих формул
(9)—A2) дополнения 2. Если мы умножим наше уравнение G) на р* ■
сравним с (9) из дополнения 2, то найдем:
Поэтому характеристическое уравнение A0) дополнения 2 примет вид
а(о — 1)-|-2а — /(/-|-1) = 0 A06)
в соответствии с нашим выражением G6). Далее, уравнение A2)
дополнения 2 приводит к условию обрыва степенного ряда (л заменено на пг и
а на /):
(Юв)
что в точности совпадает с нашим уравнением (9а).
Сделаем теперь несколько замечаний относительно соотношений между
волновомеханическими квантовыми числами и квантовыми числами старой
теории. Старое главное квантовое число л составляется, согласно (9а), из двух
целых положительных чисел пг и I, каждое из которых может пробегать

$ Ц СОВСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФУНКЦИИ В ДИСКРЕТНОМ CUgKTPE 73
все значения от нуля до бесконечности; пг отвечает, как уже упоминалось,
«радиальному квантовому числу», / является нашим теперешним «азимутальным
квантовым числом», так что /+ 1 равняется прежнему азимутальному
квантовому числу лт. Поэтому для числа лт волновая механика приводит к
возможности всех положительных целых значений за исключением нуля. Это
исключение достигалось в старой квантовой теории ценой дополнительного запрета
(ср. т. I, гл. VIII). Здесь оно возникает автоматически. Впрочем уже и
в прежнем изложении (т. I, гл. VIII) мы должны были перейти в теории
аномального эффекта Зеемана от п, к / (обозначенному там через L), чтобы
должным образом представить положение вещей.
Задача .Кеплера является в смысле определения, данного иа стр. 38,
вырожденной, именно, собственному значению Wn принадлежат все
собственные функции:
квантовые числа которых п, I и т удовлетворяют соотношениям (ср. (9а)
и Ba)J:
A1)
Их общее число будет равно
п-1 +1 п-1
2 2 1= 2B/-Н) = *9. (Па)
1.0 M--I 1-0
иными словами, каждое собственное значение является (л9—1)-кратно
вырожденным.
Займемся теперь более подробным исследованием принадлежащих
собственным значениям A0) собственных функций. Их радиальная часть»
согласно E) и Gв), равна
Я = Р*-«.ГТ, A2)
где w — полином степени лг, полностью (с точностью до постоянного
множителя) определяемый рекуррентной формулой (8). Построим
дифференциальное уравнение для w. Для этого мы вычислим с помощью Gв;
и после подстановки в G) и простых преобразований, в которых
используется (9а), получим:
ри»-|-12(/-|-1) — Р]то'-1_(я — /_ l)W = 0. A3)
Это уравнение можно получить путем последовательного
дифференцирования из более простого уравнения
р/+A-р)/ + *У = 0. A4)
Имзнно, если обозначить /-ю производную от у через w, то в силу
формулы для многократного дифференцирования произведения будет
0« = 0. (На)
Если мы положим здесь
то A4а) перейдет в A3).

74 8АДЛЧЛ КЕПЛЕРА [ГЯ. П
Мы будем называть полиномиальное решение уравнения A4) полиномом
Лагерра L. Если мы используем для обозначения степени этого полинома
«ижний индекс, а верхним индексом обозначим число дифференцирований,
то решение A3) можно будет записать в виде:
»=С"<р>- об)
Таким образом, степень полинома w будет равна
—B/+ 1) = и — /— 1 = п.
« соответствии с (9) и (9а).
Радиальную часть собственной функции можно записать теперь в виде:
■а всю собственную функцию, согласно B), как
*>Г (cos 0) eiM*. N = NJTbNr A7)
■где мы ввели нормировочный множитель N и расщепили его на
множители Nr (который надо определить) и /V», А/, [уже известные из A.9.23,30)].
Соотношение между р и первоначальной переменной г задается (ср. Dа),
<3а; и A0I формулой
Р = 2^ = 2^- 08)
где а означает, как обычно, радиус первой боровской орбиты,
следовательно, -4- — радиус той же орбиты для Z-кратно заряженного ядра.
Согласно Dа) введенная соотношением D) длина г0 в я раз больше
последней величины:
го = п±. A9)
| 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ ЛАГЕРРА.
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА.
ВВЕДЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Начнем с того, что выведем удобное для наших целей представление
полиномов Лагерра. Мы утверждаем, что если обозначить снова степень
через к, а независимую переменную через р, то
Для доказательства положим
и = р*е-р. B)
Дифференцируя no p один- раз, находим:
« поэтому после (&+1)-кратного дифференцирования получаем:
(* — Р) **+1) — (* -И) «1*(-

§21
ПОЛИНОМЫ ЛЛГВРРЛ. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
75
Полагая теперь Lk = y и в согласии с A) и B) tfk> = ye-? вычисляем:
в»*+») = (У—у) е-г. я»**21 = (У — 2/ ■+■ у) e-t. D)
Тогда после подстановки в C) возникает:
р(/ — 2/ + *) + <*+1)(/—y) = (k — ?)(/— ».-(*+i)jf. E)
После соответствующей перестановки членов это уравнение совпадает с
«дифференциальным уравнением Лагерра» A.14).
Чтобы найти тот член полинома, который обладает наибольшей
степенью р, надо дифференцировать в A) один лишь множитель е~*. Получаем
(— 1)*р*. F)
Таким образом, постоянный
множитель, который не определялся
дифференциальным уравнением Лагерра,
фиксируется выбором нашего решения
в форме A).
На рис. 8 представлены
графически четыре первых полинома.
Общая «формула для полиномов Лагерра
имеет вид:
Рис 8. Первые полиномы Лагерра:
К полиномам L% и Ц на рисунке доба-
влены множители —
2
1
6A +VT) '
выбранные так, чтобы главные
максимумы (минимумы) Ц и Ц стали бы
равными ± 1.
что легко установить, раскрывая пред-
ставление A). или же непосредственно
из дифференциального уравнения.
Таким образом, согласно A.17) и A) этого параграфа, явное
представление собственной функции ^ есть
Любая пара таких
гональности .
Г т«1мФ||'1'я' ^х = ®»
Но как мы уже знаем,
угловой части волновой
равенства m = m' и /
гаемое на радиальную
образом, получаем (R
ортогональности:
(8)
функций связана, согласно A.7.18), условием
ортокР0Ме тех случаев, когда одновременно » = я',
/ = /' и » = »'. (9)
выполнение этого требования обеспечено свойствами
функции, если только не имеют места одновременно
/'. Чтобы найти вытекающее отсюда условие,
налачасть, нам надо положить ш' — m и /' = /. Таким
действительно по определению) радиальное условие
= 0, п'Фп.
(Ю)
Согласно A.16) это уравнение содержит утверждение относительно
Свойств полиномов С„+1 и Ln-+i. С другой стороны, полагая п' =-п, V =1,
m' = m, мы получим условие нормировки. Учитывая представление A.17)

76 8АДАЧА КЕПЛЕР* [ГЛ. И
и нормировку угловой части A.17), находим:
A1)
/p)]4. A2)
о
Множитель |-^-J, который возникает при переходе от г к р, обусловлен тем
обстоятельством, что наше условие нормчровки относится к переменной г,
в то время как в интеграл J входит, естественно, переменная
интегрирования р.
Вычисление J можно провести совершенно аналогично вычислениям,
проведенным на стр. 61 и 65; в дополнении 8 мы пожакомимся с более общим
и менее формальным приёмом. Следуя тому или иному пути, получаем:
Тем самым определяется, согласно A1), и нормировочный множитель
и, следовательно, если подставить значение г0 из A.19),
Поэтому для полного нормировочного множителя N [ср. A.17)] получается:
»n_/2^\8^ —'— 1М 2/+1 (' — «)! nSv
~Ui/ -«я[(я -|-/ЛР* 4n (/ + m)l' u ;
Разумно уже здесь обсудить связь полиномов Лагерра со значительно
более общей гипергеометрической функцией.
Мы начнем с гипергеометрической функции четырех аргументов.
Следуя классической работе Гаусса 1812 г., напишем:
о „ -ч_1 . «М i «Г»+ !)?(?-И) л« ,
Это ряд вырождается в многочлен, если либо а, либо 3 оказываются целым
отрицательным числом; в остальных случаях он определяет трансцендентную
функцию.
Вместо ряда эту функцию можно определить ее дифференциальным
уравнением:
S |j-«?/7 = 0. 08)
которое легко получить, исходя из ряда A7).
Между «соседними» F, т. е. отличающимися друг от друга только
изменением на единицу одного или нескольких из первых трех аргументов,
существует целый ряд соотношений, из которых не менее двадцати трех
было найдено Гауссом. Некоторые из них, по мере необходимости, будут
получены в дальнейшем. В их число попадает и дифференциальное урав-

§ 21 ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА. ГИПЕРГЕОМ=ТРИ'ССКАЯ ФУНКЦИЯ 77
нение A8) на основании непосредственно получающегося из A7) соотношения
%L $ . х). A9)
Для нас сейчас большее значение имеет гипергеометрическая функция
трёх аргументов:
££ ig±»5 .. B0)
Она получается из A7) путем предельного перехода
Р-+оо, Х-+0. рх=р. B1)
По этой причине ее называют «конфлюэнтной» [вырожденной *)]
гипергеометрической функцией. Ее дифференциальное уравнение, как легко
получить предельным переходом B1) из A8), имеет вид:
^ )f-aF = O. B2)
Вместо A9) получается соотношение
*£ | ,р). B3)
В число функций, представляющихся бесконечным рядом B0). попадают
радиальные собственные функции непрерывного спектра водорода (§ 7 и 9).
Ряд обрывается (для конфлюэнтной, так же как и для общей
гипергеометрической функции), если а оказывается равным целому отрицательному
числу, и приводит тогда, вообще говоря, к радиальной собственной
функции дискретного спектра, например, релятивистского спектра водорода
(гл. IV, § 8) или полосатого спектра двухатомной молекулы (эта глава, § 11).
Для рассматриваемого сейчас случая нерелятивистского дискретного
спектра водорода нужно не только положить а равным целому
отрицательному числу, но и положить т равным целому положительному числу; тогда F
перейдет в полином Лагерра или его производную.
Начнем со случая т = 1, а = — * (*— целое). Тогда B2) совпадет
с дифференциальным уравнением A.14) для полинома Лагерра степени к.
Следовательно,
Lk(p) = CF(-k, I. p). B4)
При обычной нормировке полиномов Лагерра постоянная С равняется k, что
непосредственно следует из G).
Если мы заменим теперь k на целое число я + / и применим к B4)
B/-|т 1)-кратное дифференцирование по р, то, согласно B3), будем иметь:
, р). B5)
Мы получаем, следовательно, часть радиальной собственной функции кепле-
ровой задачи, выраженную через полином Лагерра; первый аргумент
— я + /+1 =—яг [ср. A.9а)] указывает, что речь идет о полиноме
степени яг, что мы и требовали в предыдущем параграфе. Согласно B3)
r/_r
КЧ-ОЧ»
(л— /—1)!B/+1)! — (я — /—
1) Мы прибегаем к общепринятому обозначению скоифлюэнтная>, так как слово
«вырожденная» уже используется в ряде других значений.

78 8АДАЧА КЕПЛЕРЛ \ГЯ. 11
Через конфлюэнтный гипергеонетрический ряд выражаются и полиномы Эрмита.
Действительно, сопоставим дифференциальное уравнение B2) с
дифференциальным уравнением A.5.11) для полиномов Эрмита четной степени л = 2/п»
положив в B2) а = —от, -j = -я-, р = 5я. Таким путем найдем
яая,а)=с^(^«.^ля). B6)
Для от = 0, 1, 2 отсюда следует:
что, действительно, совпадает с A.5.13а\ если положить Со=1, Са = — 2,
С4= 12. Для нечетного л = 2от — 1 вместо B6) имеем:
B6а)
Шаровые функции также входят в число гипергеометрических функций,
однако уже не конфлюэнтных, а общих от четырех аргументов. Именно,
если сравнить A8) и A.3.2) и положить в последнем от = 0, то мы
достигнем тождества, если положим в A8):
= L Т=1. * =-1. A + cos 0)
Для обрыва ряда необходимо, чтобы а или C было бы целым отрицательным
числом. Положим, например, а = —1, следовательно, |3 = /-J-1. Тогда A8)
перейдет 8
A-Р«)з£-2;£ + /(/ +О/?=0. B7)
что с точностью до обозначений совпадает с A.3.2), если положить там т = 0
и заимствовать к из A.3.11). Тем самым мы нашли представление шаровых
функций Лежандра через оборванный и специализированный
гипергеометрический ряд типа A7):
( , I. Lzl). B8)
Постоянный множитель, который надо еще было бы добавить в правую часть,
равен единице, так как Р,A)=1.
Из B8) путем последовательного m-кратного дифференцирования по I
[причем каждый раз используется соотношение A9)] получаем:
откуда после умножения на sin» ft
—I, m-f/4-t. «-H. Ц1*). B9)
Следовательно, и присоединенные шаровые функции попадают в число
оборванных гилергеометрических рядов.

§ 31 ЧИСЛЕННОЕ Н ГРАФИЧЕСКОЕ ПРИСТАВЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 79
Наконец, в число таких функций можно включить и бесселевы функция
как «дважды конфлюэнтные гипергеометрические функции». В B0) мы
пришли к «однократно конфлюэнтной функции» F путем предельного перехода.
Если мы проделаем теперь в B0) второй предельный переход
а -> со, р -* 0, ар -♦ о
и положим, кроме того, f = я +1, где я — необязательно целое, то получим
ряд
1 • , 1
л + 1 + а
Этот ряд совпадет с рядом A.3.24), если мы положим в = —-£-. Поэтому
■j) /Г(Я+ 1)
/ру» а-», со. ?-юо,
\'<* / иг_ a .. „v «.. a^*-* —, C0)>
f 3. ЧИСЛЕННОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ. СРАВНЕНИЕ С ПРЕЖНИМИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ОБ ОРБИТАХ
Мы соберем в таблицу собственные функции кеплеровой задачи для
случая дискретных состояний. Заполнению таблицы мы предпошлем несколько-
ммечаний.
Из неравенств A.11) для случая я = 1 следует / = 0, т = 0 и также
^ = 0, так как в силу A.9а) всегда
Аналогично для случая я = 2 получается: или / = 0, m = 0, яг = 1, ил»
*ц. = 0, / = 1. от = 0 или =t 1.
Смысл элементов столбца для Р? становится ясным после сравнения
с подписями к рис. 1 и 2. Например,
Столбец для R ваполнен с помощью A.16) или общего
представления B.8). Так, например, в первой и в последней строках этого стилоц*
стоит
■ соответственно
Л = p*z£V * = р» (— 1)» 5!«" * = — 1209е'.
В следующем столбце выписаны вычисленные с помощью B.16)
нормировочные множители N.
В предпоследнем столбце, чтобы иметь ие вависящий от а масштаб,
■ качестве независимой переменной выбрано ие р, а
s = zL, B>

80
ЗАДАЧ* КЕПЛЕРА
[ГЛ. П
л
1
2
2
6
6
3
3
1
0
и
1
1
0
!
1
2
т
и
0
и
1
0
0
1
0
и
1
0
U
2
1
1
0
\
1
1
COS •
sin»
1
COS •
sin •
3 .„-a ft '
—e~7
2(p-2)«"T
-ЗЦ)«-6(>+6)« *
_P
24p (p 4)«~ "
24p(p-4)«"¥
120в>« 2
s
1
8 /I
1
24 |^2
48
1
54 /1
1
12-36 /2
1
1
18-120- /6
e—
t •
—— se a cos •
jse г sin »**»
.. Ю7 1Яг+9г!Л» *
81 ^3
V 2 S .- . a .
„. V*^~ S) в cos w
2s« /3 __ 9tt 1\
81 /6 * W™ 2J
Уровни
и
оболочки
15. Af
2s, i,
3s, Afx
3,.Af,,+
3rf.Aflv+
т. е. г измеряется в воровских радиусах для Z-кратио заряженного ядра.
Согласно A.18) s и р связаны соотношением
■£■ = - =
2 л
S ДЛЯ П := 1,
■| для я = 2,
4- Для я = 3.
C)
В заголовке этого предпоследнего столбца указано, что к <ji добавлен нор-
B \ *
—J и я *, на произведение которых
надо поэтому помножить все строки этого столбца. Знак ± в заголовке
означает, что знак N находится в нашем распоряжении и что надлежащим
его выбором мы можем сделать рассматриваемое произведение
положительным для s = 0 или окрестности этой точки.
Последний столбец содержит обычные спектроскопические обозначения
термов и их соотношение с замкнутыми атомными оболочками (ср. т. I,
гл. IV, табл. 19). Тот факт, что согласно этому последнему столбцу одному
водородному состоянию отвечают часто две различные оболочки, связан с тем,
что мы пока еще не учитывали разделение термов, вызванное «спином»
электрона.
Рис. 9 представляет радиальную часть собственной функции «J»
графически. При его рассмотрении бросается в глаза следующее соотношение,

§ 3] ЧИСЛЕННОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
81
имеющее чрезвычайно большую общность: число нулей между граничными
точками s = 0 и s = со в точности равно радиальному квантовому числу яг.
Кривые для К, Ц\-\-Ц\\ и Mis-{-Ms на рис. 9 не имеют нулей; согласно
нашей таблице они отвечают случаю пг = 0. Для Ц и Мц-\-М\\\ имеется
по одному нулю; согласно таблице в этих случаях яг = 1, нули расположены
при s = 2 и s = 6. Для Mi в соответствии с яг = 2 возникают два нуля,
согласно таблице они находятся из
Q9\
уравнения 2sq — 18s+ 27 = 0,
следовательно, расположены в точках
Выскажем общее утверждение:
квантовые числа (радиальные,
азимутальные и т. д.) означают числа
узлов соответствующей собственной
функции, которые лежат внутри
области изменения соответствующей
координаты. Вспомним аналогичное
.положение вещей для колеблющейся
струны, где номер обертона как раз
определяется числом узловых точек,
лежащих между закрепленными
концами струны.
Общее доказательство этого
утверждения проводится следующим
образом: пусть Ро, Pt Рп —
система ортогональных друг другу
в интервале (а, Ь) полиномов
степеней 0, 1 п, т. е. таких,
что для каждого т. < я имеет место
Ординаты:
Абсциссы:
»
{Рт(х)Рп(х)р(х)<1х =
D)
тель л приводит к тому, что I.-кривые
получают вдвое большие ординаты, чем
следовало бы из нормировки, а Л1-кривые—
втрое большие.
Рис. 9. Кривые иормированиой радиальиой
в части ф, умноженной на -n\jr)l- Миожи-
Здесь р означает некоторую, не
обращающуюся для а < * < Ь в нуль
н, следовательно, могущую
считаться положительной, весовую
функцию; можно считать, что D) как раз определяет полиномы Р, причём
постоянный множитель можно было бы установить, добавляя соответствующее
условие нормировки. Предположим теперь, что Рп обладает только -»<я
корнями хх, ха х,, лежащими между а и Ь, и образуем
g, (х) = (х — хг) (х — х.2) ...(* — *,). E)
Тогда g^(x)Pn(x) будет функцией, не меняющей знака в интервале (а, Ь),
поэтому наверняка
/
С другой стороны,
MJB Ро, />х Я,
в^х)Рп{х)р{х)<1хФ0. F)
можно получить как линейную комбинацию полино-
*,(*) = 2 е,Л,. G)
6 3«к. 968. А. Зошерфел*

82 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. It
Тогда, однако, в силу D) левая часть F) должна быть равна нулю. Поэтому
v < n невозможно.
Так как возможность v > я исключается основной теоремой алгебры, то
с необходимостью следует: каждый полином Рп ортогональной в интервале
(а, Ь) системы имеет между а и b точно я корней.
Возвращаясь к кеплеровой задаче, заметим еще, что в нашем случае
присоединенных полиномов Лагерра роль весовой функции р играет
что можно усмотреть, например, из B.12). Наша теорема распространяется,
естественно, и на азимутальное квантовое число /, которое в случае т = О
определяет степень полинома Лежандра Рх. То, что последний обладает
между cos 0 = — 1 и cos Ь = + 1 как раз I корнями, известно уже давно
и видно, например, из рис. 1 на стр. 23: Pt = cos & обращается в нуль один
3 1
раз, Pa = -j-cosa0— у — два раза и т. д.
Перейдём теперь от собственных функций ty к соответствующим
плотностям <^*, которые мы определили в § 7 гл. I. Займемся прежде всего
общими свойствами симметрии этого распределения зарядов. Для s-термов.
(I — 0) распределение заряда сферически симметрично, т. е. не зависит от
0 и <р; для р-, d-, ... термов (/ > 0) независимо от того, будет ли т. = О
или т ф 0, оно аксиально симметрично относительно выделенной (правда,
иногда только условно) полярной оси 0 = 0. По поводу последнего
утверждения надо заметить, что оно основано на специальном виде е± imr
зависимости от <р, при котором <!$* от <р не зависит; в случае зависимости более
общего видах)
be~imt
место аксиальной симметрии замещает, естественно, аксиальная
периодичность. Далее, следует учесть, что направление полярной оси (при
отсутствии магнитного поля) физически не выделено, так что рассматриваемая
симметрия или периодичность могут иметь место относительно любой оси
в пространстве. (Это соответствует пространственно неопределенной
ориентации плоскостей орбит в прежней теории.)
Поэтому мы приведем на рис. 10 2) не сами плотности, но плотности,
уже проинтегрированные по сфере радиуса s:
р = «a J J ад» sin о db dy = «9#9нОр11. (8)
Получающиеся кривые поучительны во многих отношениях.
Прежде всего они показывают, сколь далеко простирается «облако
заряда», в которое расплывается, согласно Шредингеру, заряд е электрона.
То обстоятельство, что р обращается в нуль для s = 0, в то время как
на многих кривых рис. 9 if имело npn_s = 0 максимум, связано, конечно,
с множителем s3 в (8). От точки s = 0 p возрастает либо непосредственно,
либо проходя сначала через меньшие максимумы к главному максимуму,
с тем чтобы далее экспоненциально убывать при s-юо.
В силу условия нормировки введённые постоянные в и ft связаны соотношением
3) Эти графики, равно как и графики рис. 9, заимствованы в основном нз работы
Паулннга: L. Pauling, Proc. Roy. Soc. 114, 181 A927).

§41
УЧЁТ ДВИЖЕНИЯ ЯДРА
83
Для каждого такого распределения мы можем определить шар среднего
радиуса sm, так что поверхность этого шара будет делить полный ааряд
на две одинаковые части. На рнс. 10 в соответствующих точках проведены
ординаты, они всегда оказываются расположенными вблизи главного
максимума. Если условно назвать это sm радиусом оболочки, то мы увидим, что
радиус /f-оболочки наименьший, оба радиуса /.-оболочки больше, а
радиусы М-оболочек еще больше в полном соответствии с прежними
представлениями о строении оболочек.
Особенно просто сопоставляются с настоящей картиной прежние
круговые орбиты. Эти круговые орбиты отличаются значением пг = 0,
следовательно, в приведенной таблице им отвечают оболочки К, Ц\-\-Цц,
6 7 в Э 10 И 12 13 14 15
Q2
ш
о
в 9 10 11 12 13 14 15
-
M,
!>
4fc
.■^
-^
••
•a
•<•
12 3 4 5 6 7 в 9 10 11 12 13 14 16
Рнс. 10. Наглядное представление распределения плотности в
различных собственных состояниях. По оси ординат отложены
значения sV3. где F имеет то же значение, что и на рис. 9. Поэтому
/.-кривые завышены вчетверо (ср. подпись под рис. 9), а М-кри-
вые — в десять раз.
Miy-\-My ,... Соответствующие кривые на рис. 10 обладают одним
единственным максимумом в точках s = 1 или s = 4, или s = 9,... Эти
радиусы в точности совпадают с радиусами круговых орбит прежней теории.
| 4. УЧЁТ ДВИЖЕНИЯ ЯДРА
До сих пор мы рассматривали задачу Кеплера как задачу одного тела;
теперь нам надлежит перейти к рассмотрению соответствующей задачи двух
тел. Для этого мы, следуя гл. I, § 6, Д, должны ввести
конфигурационное пространство шести измерений: пространство координат хх, yL, zt
электрона и х.2, у.2, zq ядра, из которых составляются координаты ;, т), С центра
инерции и относительные координаты х, у, г. Как мы сейчас покажем,
полная волновая функция Ч задачи распадется на произведение волновых
функций if «относительного движения» и % — «движения центра инерции»:
х i= jcx —
-f- m2) ? = mixl -j- т..^х
Л, .... J
A)

84 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
где мы обозначили массы электрона и ядра через щ и от>. Для <j* будет
иметь место дифференциальное уравнение A.6.13); существенно, что
появляющаяся в нём потенциальная энергия V= — — зависит только от
относительных координат х, у, г. Исходя из
д д | /ijj д д __ д | яц д
I ~дх\ дх '
дхх дх I т1 + щдГ' ~дх\ дх ' mt -+■ щ
получаем:
При сложении этих выражений средние члены правой части выпадут,
и мы получим, следуя обозначениям A.6.13):
Вводя сокращения:
мы получим из B) дифференциальное уравнение для нашей задачи двух тел
где первый оператор А действует на относительные координаты х, у, z,
а второй оператор А—на координаты центра инерции %, % С.
Теперь разделение ty и X проходит совершенно просто. Если мы
представим себе это уравнение поделенным на if у, то координаты £, ц, С будут
содержаться лишь в среднем члене. Следовательно, этот член должен быть
равен постоянной. Обозначая эту постоянную через — ~м и определив
другую постоянную Wt с помощью уравнения
W* = ~2M' &
получим:
VMu Я/%* Я/%*
-- 0, F)
Уравнение F) является волновым уравнением для свободной
материальной точки. Оно отличается от A.2.1) лишь тем, что «масса частицы» т
заменена на «массу центра инерции» М = т1-\-щ. Величина k означает здесь
волновое число для движения центра инерции и остается неопределенной
в силу произвола в выборе системы отсчета. С другой стороны, G)
совпадает с уравнением A.1) этой главы с точностью до замены W на W—Wt.
Вследствие этого все, что мы вывели относительно собственных значений
и собственных функций, переносится с задачи одного тела на задачу двух

§ 4] УЧИТ ДВИЖЕНИЯ ЯДРА 85
тел; в частности, сохраняется спектральное уравнение A.10) с точностью
до замены W на W—Wt и прежней массы электрона т на определенную
в C) «приведенную» массу т. Первое обстоятельство не оказывает
никакого влияния на расположение спектральных линий и означает лишь иную
нормировку бальмеровских термов; при образовании разностей между
термами константа Wt выпадает. Напротив, второе обстоятельство проявляется*
в изменении значения постоянной Ридберга R:
Здесь достаточно лишь указать на блестящее подтверждение этой
формулы спектроскопическими данными (через малые разности длин волн линий
серий Бальмера и Пикеринга, т. I, гл. II). Новая теория объясняет этн
разности столь же хорошо и теми же самыми формулами, что н старая.
Однако физическая трактовка этого эффекта не является теперь столь же
наглядной, как и ранее. Мы не можем более говорить об электроне и ядре,
расположенных в точках орбиты на противоположных концах диаметра,
проведенного через центр тяжести. И все же не может быть сомнения,
что наш новый результат основывается, как и прежний, на теореме
механики о центре инерции. Она сохраняет свою силу и в микромеханике, хотя
относится теперь уже не к материальным точкам, а к непрерывному
распределен но масс (ср. гл. III, § 2).
Мы ответим еще на вопрос о том, какое облако заряда следует
приписать ядру в задаче двух тел (то, что облако заряда электрона по
отношению к ядру должно в существенных чертах остаться тем же, что и в задаче
одного тела, следует из волнового уравнения G), которое имеет по
существу старую форму). Для выяснения этого обстоятельства мы используем
правило, даваемое уравнением A.7.24), которое определяет относящееся
к каждой отдельной заряженной точке распределение заряда в случае наличия
многих таких точек. Это правило, специализированное для нашего
случая двух материальных точек, гласило: оставляя координаты х2, у2, z2
ядра постоянными, надо проинтегрировать норму собственной функции ЧГ
по всем возможным значениям координат электрона xlt уи zv Если
умножить получающуюся величину на е, мы получим плотность р9 заряда ядра
в точке х2, _Уа. 2а* В нашем случае это приводит, в силу A), к
= е f f f dxt dyt dzx | ф (x, y. z) |9| x (';, 7j, C) |9. (9)
но функция y($, -i), С) является экспонентов типа A.2.5), поэтому | х (€• Ъ Q I3
оказывается постоянной, которую можно вынести за знак интеграла. Далее,
мы можем ввести вместо xv ... в качестве переменных интегрирования
x = xt — *а т. е. написать вместо (9)
Оставшийся интеграл равен единице в силу условия нормировки. Поэтому
мы получаем:
Ра = * IX E. "»!. C)|9 = const.

8J> ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Облако заряда ядра равномерно распределено во всем бесконечном
пространстве, и при этом, естественно, с плотностью, равной нулю, так как
надлежит потребовать, чтобы
р2 dz = e.
| 5. ПРАВИЛА ОТБОРА И ИНТЕНСИВНОСТИ В ЗАДАЧЕ КЕПЛЕРА
До сих пор мы рассматривали только отдельные состояния водородного
атома; обратимся теперь к переходам между двумя состояниями,
следовательно, будем комбинировать пары свободных функций. Так как в кепле-
ровской задаче мы имеем дело с тремя степенями свободы, то мы будем
обозначать эти собственные функции как:
tynlm И ifnt/Vmr-
Матричные элементы координаты (электрические моменты М) зависят
поэтому от шести квантовых чисел. Мы используем удобный способ записи
A.8.76) и объединим координаты х и у в комплексные числа x-\-jy, j = ±i.
Получим:
(nlm \x+Jy\ я'/'жО = j r sin b^MM^,Vmr dx,
(nlm | г |eT«0 = j r cos
Ради полноты следует заметить, что дифференциальное уравнение кеплеро-
вой задачи является самосопряженным и что поэтому сопряженная к tyn'i'm'
собственная функция, которую нам надо было бы использовать согласно
§ 7 гл. I, совпадает с комплексно-сопряженной ty*.
Интегралы A) можно расщепить на множители, зависящие только от г
и только от угловых переменных И, ср. Последние в точности совпадают
в обоих интегралах с рассмотренными в A.9.33) матричными элементами
ротатора
E+У) ИЛИ
В силу этого мы можем сразу же получить относящиеся сюда правила
отбора из уравнений C4) и C5) § 9 гл. I. Разрешенными являются лишь
следующие переходы:
ll±l. B)
Bа)
N»=t 1.
Здесь B) представляет собой правило отбора для азимутального квантового
числа, определяющее всю теорию спектральных серий, Bа) — правило отбора
для экваториального или магнитного квантового числа, которое становится
существенным, когда линия расщепляется в магнитном поле. При этом
всегда, как уже было показано на стр. 67, переход т-*т относится
к z-компоненте матричного элемента, а переходы т -*■ т ± 1—к х±1у-
компонентам.
Что же касается радиальной части, то она оказывается в обоих
выражениях A) одинаковой; мы обозначим её как
оо
(л/1 г | n't) = j i4URmnr dr. C)
о

§ 5] ПРАВИЛА ОТБОРА И ИНТЕНСИВНОСТИ В ЗАДАЧЕ КЕПЛЕРА 87
Величины R определены здесь соотношением A.16), следовательно, не
зависят от т или т', что находит свое выражение в записи R^ и аналогичной
записи для всего матричного элемента C). Согласно B) для V надо
рассматривать лишь два значения /' = I ± 1. Спрашивается, существует ли для
радиальной части правило отбора, которое ограничивает изменение при
переходах квантового числа пТ или, что то же самое, главного квантового
числа п. Мы знаем, что таких правил отбора нет, иначе не существовало
бы спектральных серий. Попытаемся, однако, вывести это утверждение из
вида выражения C).
Согласно C.3) аргументы р и f' функций RM и Rnrv сами зависят
от п или п'\ именно они равны:
is или £s; s = Zr-. D)
Поэтому с учётом представления A.16) формула C) дает
E)
ds.
= J ^♦•iftV» g- »)&№$ s)
Если бы существовало правило отбора, то оно должно было бы получиться
из соотношения ортогональности радиальных собственных функций. В силу
B.10) это соотношение при использовании одной и той же переменной
интегрирования 5 гласит:
j()() F)
о
Однако E) никак нельзя свести к F), даже если положить /' = / (что,
впрочем, запрещено азимутальным правилом отбора). Таким образом, здесь
условие ортогональности изменяет нам и не даёт в качестве следствия
никакого правила отбора.
Только что описанное положение вещей ватрудняет и общее
вычисление интенсивностей. Мы ограничимся поэтому простейшими случаями, сериями
Лаймана и Бальмера.
а) Для серии Лаймана в конечном состоянии я = 1, следовательно,
наверняка / = 0. В начальном состоянии п' произвольно, но, в силу B),
i'=l. Мы имеем, следовательно,
LK.tf>(£ ») —£iB») = —i (ср. рис. 8),
'Ч
G)
2s
Далее, если выбрать в E) —у = х в качестве новой переменной
интегрирования и опускать в дальнейшем штрих у п', то из E) получится:
i-^'dx. (8)

88 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
Для вычисления этого интеграла используем искусственный прием. Заменим
временно в экспоненте -^4— на произвольное число а и напишем:
(9)
Трехкратное интегрирование по частям, в ходе которого мы можем опускать
проинтегрированные члены, так как они все равно пропадут при
последующем дифференцировании по а, преобразует это выражение в
j A0)
о
учитывая представление B.1), получаем отсюда
оо
St = * Г в-(-»»|^1(х»^-«). A1)
Дальнейшие интегрирования по частям дают
оо
St = a»(a — l)n+1 j е—вх»*1 dx.
о
Если ввести теперь у = лх в качестве новой переменной интегрирования,
то получается:
j
о
и, следовательно, согласно (9),
A——^i—
Дифференцирование Л по а будем выполнять последовательно. После
трехкратного дифференцирования получим:
А
Я(я-1)Л 1\п-«
г \}-т) •
откуда после еще одного дифференцирования возникает
если подставить теперь сюда a = ~к~ > то получится:
А14 - — 2е* <я + 1>|С-1)""'
(л-2)!(л +
и, следовательно, в силу A3),
(я-2)! (л + 1)я+ъ

§ 51 ПРАВИЛА ОТБОРА И ИНТЕНСИВНОСТИ В ЗАДЛЧЕ КЕПЛЕРА 89
Величина С из E) будет в нашем случае (я=1, / = 0 и я' = я, /'= 1>
равна
Следовательно, согласно D),
>;-8а.
)n+a
согласно D),
v ' ' ' \Z) (n —2I (n + l)
К этой радиальной части матричного элемента мы должны добавить,
с одной стороны, угловую часть и, с другой стороны, нормировочные
множители начального и конечного состояний. Рассмотрим например, z-компо-
ненту матричного элемента [вторую строку A)], так как мы можем
предвидеть, что х- и .у-компоненты должны привести к тому же конечному
результату. Что касается магнитных квантовых чисел от и от', то в конечном
состоянии мы обязаны положить от = 0, поскольку I = О, а в начальном-
состоянии, в котором было V = 1, мы также должны выбрать от' = 0,
поскольку для т' == rt 1 z-компонента матричного элемента обратилась бы
в нуль. Следовательно, угловая часть составит
к
J <*? J cos ЬР0 (cos в) Рх (cos в) sin в <*» = 2те J cos9 в sin в db = 4^-. A7)
о
Нам надо еще определить нормировочные множители по B.16). Это-
соотношение даБт:
для конечного состояния с п = 1, / = 0, от = О
для начального состояния с л' = л, /'=1, от' = 0
V («-2)'
благодаря чему
^1.0,0^,1.0= Т"(т) Г («
Перемножая теперь A7), A8) и A6) и возводя результат в квадрат,
получаем:
»_ 256 (а \а „(« + 1I (я-I)8"-8 _ 256 /а\» («-!)«"-»
'"" 3 Ы " (п-2I (« + !)•«• ГШ " (п + 1)9^6'
Для того чтобы получить отсюда интенсивность J излучения, мы.
должны, согласно (I) примечания на стр. S3, добавить еще множитель
и удвоить результат, так как излучение в каждом направлении происходит
за счБт двух нормальных этому направлению составляющих момента М,
которые равны между собой и равны Мж. Значение \М\% надо при этом-
брать из A.8.6а); для разности частот <о„ — шт мы будем в дальнейшем
писать ш. Таким образом, получаем:

90 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Для л-й линии серии Лайыана
следовательно,
о) = 2iw = 2itc/? (B ~
n B1)
Для интенсивности отсюда получается:
—г(т) ^^- B2)
Асимптотически для п -> со это дает
'~i B3)
— результат, который можно получить для любой серии, исходя из
принципа соответствия.
б) Для серии Бальмера в конечном состоянии я = 2 и / = 0 или 1.
В первом случае согласно правилам отбора A) для начального состояния
I' —\, во втором случае может быть либо I' = 2, либо /' = 0. Мы получаем,
следовательно, три серии переходов, которые носят в общей теории
спектральных серий названия главной, первой и второй побочных серий:
я = 2, / = 0
я' > 2, Г = 1
п'р -+ 2s
главная серия
я = 2, /=1
я' > 2, V = 2
n'd-*2p
1-я побочная серия
я = 2, 1=1
п' > 2, V = 0
it's -+ 2р
2-я побочная серия
Здесь также оказывается возможным провести вычисление интенсивностей
с помощью использованного для серии Лаймана приема; однако сами выкладки
оказываются несколько более сложными. Мы приведем только результаты,
лричБм опять будем писать л вместо я':
1. Главная серия +-*
2. 1-я побочная серия J=K
3. 2-я побочная серия j=K
Для суммы всех серий (неразрешенная тонкая структура) получается:
. +3. J=K ("У
Формулы для лаймановской и просуммированной бальмеровской серии
были вычислены впервые Паули и опубликованы Шредингером1)
одновременно с общим исследованием о разложении матричных элементов в ряды.
Сутиура 2) дополнил вычисления и распространил их на серию Пашена
1) В конце III сообщения, Ann. d. Phys, 80, 437 A926).
») Y. Sugiura, Journ. de Phys, 8, 113 A927).

§ 61 ЭФФЕКТ ЗЕ"МАНА. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ 91
R\jg — -^А. Общую формулу для перехода я, /-*«', I — 1 получил
Гордон *) в виде гипергеометрических рядов. Численные расчёты для частных
бальмеровских серий и большого числа линий высших серий выполнил Куп-
пера). Знание интенсивностей для отдельных серий необходимо для того,
чтобы можно было бы проводить сравнение с лучше поддающимися
наблюдению сериями щелочных металлов. Измерение поглощения в главной серии
щелочных металлов и их теоретическое обсуждение проведено в работе
Трумпи 8). Для водорода согласие между измерениями и теорией менее
удовлетворительно по экспериментальным причинам *).
% 6. ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ
Нормальный эффект Зеемана в том виде, как он был впервые
теоретически обоснован Лоренцем, проявляется, по нашим теперешним
представлениям, только у действительно синглетных линий. Такими являются переходы
между двумя состояниями, в каждом из которых результирующий
электронный спин скомпенсирован до нуля (ср. т. I, гл. VI, § 4). Пример:
парагелий — два электрона с противоположно направленными спинами. Линии
водорода, для которых ранее предполагалось существование нормального эффекта
Зеемана, обнаруживают в слабых магнитных полях аномальный эффект
Зеемана, аналогичный имеющему место у щелочных металлов; только в
сильных магнитных полях картина приближается (благодаря эффекту Пашена —
Бака, т. I, гл. VIII, § 7) к типу, соответствующему нормальному эффекту
Зеемана. Ясно, что если мы будем рассматривать эффект Зеемана в водороде
по теории Шредингера, которая вовсе не знает спина, то мы сможем, конечно,
получить для любых магнитных полей только нормальный эффект Зеемана.
Это мы и хотим сделать ниже. В конце параграфа мы увидим, как можно
перейти от одноэлектронной задачи, игнорирующей спин, к многоэлектронной
задаче о синглетных линиях, составляющей собственно ту область, в которой
полученные формулы имеют смысл. Что же касается реально
наблюдаемого эффекта Зеемана в водороде и в щелочных металлах, то тут мы
должны будем сослаться на теорию Дирака, в особенности на § 9 гл. V.
Волновомеханическое рассмотрение нормального эффекта Зеемана
основывается на A.6.5а). Это уравнение учитывает влияние магнитного поля
членом C4grad<!>). В случае однородного магнитного поля, параллельного
оси г, мы положим:
Аа = — \ну, Ау = ±Нх, At = Q. A)
Действительно, тогда по формуле H = iotA будет
На = Ну = 0, Нг = Н.
Исходя из A), получаем:
1) W. О or don, Ann. d. Phys. 2, 1031 A929); ср. также Р. S. Epstein, Nat
с 12. —" "
Ac. 12, ноябрь A926) н L. M. McLean, Phi!. Mag. 18, 845 A934).
>) А. К upper, Diss. Mflnchen, Ann. d. Phys. 86, 511 A928), поправки у
LR. Maxwell, Phys. Rev. 38, 1664 A931); ср. также Р. О. Slack, там же 31,
527 A928) н H. Be the. Handb. d. Phys. 24, 1, стр. 442 н ел.
») В. Tru mpy, Zs. f. Phys. 42, 327 A927); 44, 575 A927).
*) Литературные ссылки см. в цит. работе Бете, стр. 460 н ел.

92 ЗАДЛЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
Но стоящая в скобках величина оказывается, после введения полярных
координат г, 6, <р. равной Ц-, что легко проверяется вычислением *).
Следовательно,
и A.6.5а) переходит в
£J*3o. C)
Мы пишем здесь для массы электрона букву а, чтобы избежать смещения
с магнитным квантовым числом т. Будем искать решение в виде (пригодном
не только для кулоновского, но и для любого сферически-симметричного
потенциала V):
T)eim<r. D)
Экспоненциальная форма зависимости от <р является здесь необходимой, а не
диктуется, как в задаче Кеплера без магнитного поля, одними лишь
соображениями удобства. Действительно, из-за присутствия члена -Д мы вообще
не смогли бы разделить переменные в C), если написали бы |^s| 1Щ вместо eimf.
Мы впервые сталкиваемся здесь с таким примером, когда комплексность ф
обусловливается природой задачи.
Если подставить D) в C), то получим для <Ь дифференциальное
уравнение
^{^1 = 0. E)
Это уравнение примет обычный вид уравнения Шредингера, если мы сделаем
в нБм подстановку:
^L=Wo; F)
Wo означает энергию для рассматриваемой задачи без магнитного поля.
Поэтому мы можем сразу перенести все результаты § 1 относительно
собственных значений и собственных функций: состояния с магнитным полем и
в- его отсутствие отличаются друг от друга только значением энергии, но
не видом собственных функций. Это утверждение составляет волновомехани-
ческую аналогию теоремы Лармора. Если мы введём еще и частоту лармо-
ровой прецессии [ср. т. I, гл. VI, § 4, уравнение B]):
_ \е\Н .-
"-^ G>
то F) сведется к утверждению 3):
W=W0-\-h<*Lm. (8)
!) Как специальный случай гораздо более общих вычислений [уравнение A6)
дополнения 12].
s) Следует иметь в виду, что в предыдущих уравнениях C) — F) под е надо
понимать заряд электрона вместе с его отрицательным знаком. Это вытекает из гл.. I,
§ 6Б и, в особенности, нз дополнения 3. В отличие от этого \е\ в G) означает только
численную величину заряда электрона.

§ 6] ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ 93
От пространственной ^-функции D) мы перейдём к
пространственно-временной функции в, умножая первую на
(9)
где отрицательный знак перед / соответствует отрицательному знаку перед /
в C) (ср. стр. 44). Мы получаем, таким образом,
в = ЛЯГ (cos в) е* <"•» - •». A0)
Поэтому полученное состояние можно охарактеризовать как круговое
колебание, совершаемое вокруг направления магнитных силовых линий. Фаза
колебаний равна /пер — Ы, следовательно, фазовая скорость составляет
Мы знаем, однако (ср., например, стр. 18), что фазовая скорость является
вспомогательной величиной и зависит от выбранной нормировки энергии.
Поэтому мы перейдем к групповой скорости.
Если сравнить наше выражение A0) для распространяющейся шаровой
волны с выражением A.2.10) для распространяющейся плоской волны, то мы
заметим, что т появляется на месте прежнего волнового числа к. В самом
деле, m представляет собой число волн, приходящихся на угол 2л, в то
время как к означает число волн, приходящихся на длину 2л. Поэтому,
еслк мы хотим вычислить относящуюся к фазовой скорости а групповую
скорость Ь, то нам надо образовать, согласно A.2.14),
. du>
°~dm'
Стоящую в правой части производную надлежит получить, исходя из
уравнения (9), которое дает закон дисперсии нашей круговой волны, т. е.
зависимость частоты от «волнового числа» т. Так как Wo не зависит от т,
то эта зависимость приводит к
или словами: групповая скорость круговой волны равна хорошо известной
угловой скорости ларморовои перцессии. Представляется заманчивым, как и
в случае плоской волны в гл. I. перейти от групповой скорости к
заключению относительно движения материи, т. е. принять, что ларморову
прецессию можно и теперь трактовать как вращение электронов. Мы еще
вернемся к этому вопросу после уравнения B0).
Пока же нам надо устранить с нашего пути определенную трудность.
Мы дифференцировали в A2) по квантовому числу /п, как если бы речь
шла о непрерывно меняющейся величине, в то время как требование
однозначности ф устанавливает целочисленность т. Для разрешения этого
противоречия нам придётся заимствовать некоторые результаты общего
рассмотрения следую.щей главы. Мы покажем там, что если энергия как
собственное значение точно определена, то временная координата электрона и
представление об орбитах становятся неопределёнными. Если же, наоборот, мы
хотим узнать что-либо об обращении электронов, то мы должны отказаться
от точного определения энергии. Согласно (8) т выходит в энергию W;
когда мы непрерывно меняем т, то меняется непрерывно и W. Это является

94 ЗАДАЧА К"ПЛЕРА [ГЛ. II
необходимым для того, чтобы мы вообще могли бы говорить о групповой
скорости как скорости обращения электрона. Мы видим, таким образом,
что казалось бы недозволенное дифференцирование по т находится в связи
с обсуждаемым в гл. III «соотношением неточностей».
Впрочем, та же самая трудность появляется уже и для
прямолинейного движения электрона. Действительно, следуя де Бройлю, скорость v
электрона получается и здесь дифференцированием по длине волны X (или
по обратной величине, волновому числу k). При этом к может пробегать
непрерывный ряд значений, лишь пока мы рассматриваем электрон в
неограниченном пространстве; если мы будем мыслить электрон заключённым
в некотором объеме, то X должна пробегать дискретные значения
аналогично т в случае эффекта Зеемана. Следовательно, введение понятия
групповой скорости v требует и в этом случае отказа от дискретности спектра
и приводит к необходимости приписать длине волны X, так же как и т,
возможность непрерывного изменения.
Мы можем теперь легко показать, что наше вол новомеханическое
рассмотрение нормального эффекта Зеемана содержит все результаты, которые
мы вывели в § 4 гл. VI т. I из прежней теории. Согласно (8) добавочная
магнитная энергия даётся выражением
b.W=W— W0 = h<aLm, A3)
что (отвлекаясь от небольшого изменения обозначений) совпадает с
уравнением B2) в § 4 гл. VI т. I. Беря разность между энергиями начального
состояния 1 и конечного состояния 2, мы получаем изменение частоты в
магнитном поле (с помощью условия частот)
to-Wi-Wt—Щ-"*^
или, учитывая G),
■ш- <13а>
Но это как раз прежнее уравнение B4) в § 4 гл. VI т. I.
Преимущество нового метода перед старым проявляется, однако, в том,
что мы получаем теперь из одной и той же математической схемы и
собственные значения, и правила отбора и поляризации. Так как собственные
функции и построенные из них матричные элементы координат остаются
теми же, что и для задачи Кеплера без магнитного поля, то мы можем
воспользоваться для правила отбора для т уравнением E.2). Оно
утверждает, что с отличной от нуля интенсивностью (дипольное излучение!) могут
происходить только переходы
71/Я
Одновременно мы можем получить относящиеся сюда поляризации из
приведённой в § 5 связи этих переходов с г-компонентой или соответственно
с (*+/у)-компонентой матричного элемента. Поэтому при переходе т-*т
происходит колебание, линейно-поляризованное в направлении оси г.(направ-
ление магнитного поля), при переходе т -► т ± 1 — колебание,
поляризованное по кругу в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю. В первом
случае тх — /и2 = 0 и, согласно A3), Дм = 0; во втором случае т1 — щ=^^1,

§ 6] ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ 95
следовательно, согласно A3)
Тем самым мы вывели нормальный триплет Лоренца, соответствующий
рис. 85 в § 4 гл. VI т. I. Путем вычисления входящих сюда
матричных элементов можно получить и интенсивности трех компонент триплета,
а именно, при поперечном наблюдении интенсивность средней компоненты
вдвое большую интенсивности каждой из крайних.
Это непосредственно следует из A.9.40) и A.9.42), если учесть, что
при поперечном наблюдении, например, в дг-направлении участвует только
(■-компонента, следовательно, только половина вычисленной в A.9.42)
интенсивности. Повторим здесь уже сделанное на стр. 68 замечание: в эффекте
Зеемана различаются не состояния с различным значением т, но только
различные типы переходов от -»• от, т~*т — 1, m -»• /n -f- 1. Все переходы
т-*т дают среднюю компоненту, все переходы т—ип±1 одну из
боковых. Поэтому для вычисления интенсивностей надлежит пользоваться
просуммированными по т формулами A.9.40), A.9.42), а не непросуммированной
формулой A.9.38).
В § 3 мы рассматривали плотность заряда р в кеплеровой задаче и
сравнивали ее распределение в радиальном направлении с размерами орбит
старой теории. Мы хотим рассмотреть теперь распределение плотности
заряда при эффекте Зеемана, и в особенности его зависимость от углов,
и сравнить результаты со старой теорией пространственной ориентации
орбит. Согласно D) мы имеем:
р = ty = /?»[Pj (cos 8I9;
часть, зависящая от ср, здесь выпала, часть, зависящая от г, нас сейчас
не интересует. Мы интересуемся, следовательно, только задаваемой Р*~
частью волновой функции, зависящей от 8. Получаем непосредственно:
/ = 0, /п = 0, Яа=1, нет зависимости от угла; A4>
!т = О, Я9 = cos9 8, максимум при 8 = 0,1)
я A5).
п = 0, Я9 = (-я-cos98—y) максимум при 8 = 0 к|,
/ = 2, ^ m = ztl, Я9 = 9sin98cos'8 » » 8 = |-и^, A6).
На рис. 11 изображена при заданном г плотность р как функция
полярного'угла в. Этот рисунок надо сравнить с рис. 29 в § 8 гл. II т. 1С/ на
рисунке в т. I соответствует нашему /, аналога случаю / = 0 в т. I не
рассматривалось). Рис. 11, а охватывает оба подслучая для / = 1, именно от = О
и OT = =tl; его надо сравнить с рис. 29, а. Мы получаем два выделенных,
направления для вероятности нахождения электрона, именно 8 = 0 или п-
& = -£. Нормали к этим направлениям, которые отвечают направлению.
Предполагается еще и диаметрально противоположное направление в = я.

96
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
[ГЛ. II
момента (стрелкам) на рисунке первого тома, отмечены стрелками и теперь.
Эти стрелки совпадают с прежними, однако плоскости орбит, которые
мыслились раньше точными, теперь размазаны. Прежний рис. 29, б для ясности
разбит теперь на три рисунка: 11, б, в и г. Стрелка на рис. 11, г имеет
направление ft—-0, на рис. \\, б
нарисована под углом & = -§•
(в пренебрежении вторичными
максимумами вероятности
нахождения электрона под углом
ft = тН; оба имеют своих
аналогов на рис. 29, б. Стрелки
на рис. 11, в направлены под
углами "=4- и " = "т"» они
имеют приблизительные, но не
точные аналоги в стрелках на
рис. 29, б, наклоненных под
углами arc cos (—-s-)- Итак,
число выделенных
направлений совпадает в обеих теориях
точно, их положения — только
приблизительно.
Мы ближе подойдем к
прежним представлениям о
вращении по орбитам, если
рассмотрим теперь наряду с
плотностью связанный с ней ток /,
который задается уравнением
A.7.7). Вычислим отдельные
составляющие тока в напра-
г,т=О 1=2.
б) г)
Рис 11. Здесь изображены с соблюдением
-масштаба «нормированные иа единицу» шаровые
функции, т. е. величины (Pf)a с добавлением
нормировочных множителей
2/+1 (/ — т)\
'' 2
N*:
Только рис 11, б уменьшен по сравнению со
всеми остальными в отношении 2:1. Стрелки
направлены, как отмечено в тексте, в
направлениях, перпендикулярных к основным максимумам
кривых. На рис 1! стрелки отсутствуют, так как
их направление было бы неопределенным.
«лениях полярных координат г, 6 и <?• Сразу получаем:
При доказательстве используем
Образуем, согласно D),
= и gradr и*,
и* grad» « = 7 РТ (cos 8) Ш РТ (cos e) =
A7)
A8)
A8а)
Отсюда следует, что первый член в правой части A.7.7) для г- и
ft-компонент исчезает. То же будет и для второго члена, так как, согласно A) и
с учетом х = г sin 8 cos <pt У = г sin 6 Sin <p:
, J
0
Л»= cos 6 cos «p i4e + cos 6 sin «p i4y = 0. j
Тем самым уравнение A7) доказано.

§ 6] ЭФФЕКТ ЗЕЕМДНЛ. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ 97
Иначе обстоит дело для ^-составляющей. Здесь
, | ^ A96)
Теперь отличны от нуля оба члена в правой части A.7.7); это уравнение
дайт (через р обозначена масса электрона):
<20>
Второй член описывает замеченное на атоме действие магнитного поля. Мы
легко узнаем в нем ларморову прецессию <oL из G) и можем переписать
его в виде:
v | ^ |а; v = aLr sin 8; B0а)
v—линейная скорость, с которой вращается плотность р = |^[9 вокруг
задаваемой магнитным полем оси; она равна угловой скорости (прежней
групповой скорости b = <aL), умноженной на расстояние от оси г sin д.
Первый член в B0) выражает собой ориентирующее или избирательное
действие магнитного поля на электрические токи, независимо текущие в атоме,
или, как можно также сказать, его действие на токи в пределе Я = 0. В
отсутствии магнитного поля нет никаких оснований предпочитать собственную
функцию с e+im* собственной функции с e-im*. Мы могли бы использовать
также и Ism5}"*?: B последнем случае вычислявшееся в A9а) выражение
я* grady и оказалось бы действительным. Но тогда и ^-составляющая тока в
(вырожденной) задаче Кеплера обратилась бы в нуль, как и г- и 8-составляю-
щие. Только магнитное поле приводит к различию обоих «направлений
вращения» электрона (это значит обоих выражений e±im<?) и ставит им в
соответствие в эффекте Зеемана различные уровни энергии (собственные значения).
Следовательно, предыдущее вычисление полностью законно при наличии
магнитного поля Н, а потому и в пределе при #->0, когда собственные
функции эффекта Зеемана переходят в собственные функции кеплеровой
задачи, но направление магнитного поля остаётся физически выделенным.
Это полностью соотзетствует пространственному квантованию старой теории:
мы должны были бы рассматривать в § 8 гл. II т. I задачу Кеплера как
предел при #->0 задачи с наличием магнитного поля.
Чтобы сделать количественное сравнение с полученными там
результатами, мы перейдём от тока /, в пределе Н = 0 к магнитному моменту М,
ось которого направлена в направлении 6 = 0. Мы вычислим его с помощью
правила: магнитный момент равняется силе тока (электромагнитного),
умноженной на площадь обтекаемой током поверхности. Току ./, («току частиц»),
протекающему через площадку da (нормальную к <?)• соответствует число
частиц, пересекающих эту площадку за единицу времени jvda, и поэтому
электрический ток —j^da (e — в электростатических единицах); обтекаемая
поверхность равна w2 sin9 0. Следовательно, вклад da в магнитный момент
благодаря первому члену B0) будет
7 Зис. 968. А. Зоммерфем

98 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. И
где dx = 2ъг sin 6 da означает объём торообразной трубки, которая получается
из da вращением вокруг оси 0 = 0. Суммирование всех таких вкладов
приводит, в силу условия нормировки f |^|2<*т = 1, к
Мы получим, следовательно, значение, равное в точности т «воровским
магнетонам» [ср. т. I, гл. II, § 8, уравнение A3), где вместо т стоит у, а вместо
[А — т\. Это простое волновомеханическое обоснование соотношения старой
квантовой теории мы рассматриваем вместе с Ферми1) как блестящее
подтверждение выражений Шредингера для тока и заряда.
Вместо магнитного момента мы можем вычислить аналогичным образом
и механический момент потока частиц, пользуясь правилом: механический
момент равен массе, умноженной на поток частиц и на радиус; как и
магнитный момент М, механический момент Ш надо вычислять относительно
оси г, следовательно, радиус будет равен г sin 8. Из рассмотрения
тороидальной трубки объёма dx в пределе при Н = 0 получаем:
= ji/jT sin 6 dx = hm | ф \*dx
и после суммирования по всем таким трубкам
ЯКг = hm,
что также находится в согласии с прежней теорией, согласно которой
должен был быть целым кратным А.
Но наряду с этим согласием мы должны упомянуть и противоречие,
которое возникает между волновой механикой, с одной стороны, и
пространственным квантованием старой теории — с другой. Согласно последней не
только 2it!Dtz, но и 2*27* (Ш. — полный механический момент) должен был бы
также быть целым кратным А, так что угол а = (*fllz) полностью определён
(ср. т. I, гл. II, § 8. уравнение (8)]. С точки зрения волновой механики это
уже не верно: вместе с представлением об орбитах теряется в волновой
механике и представление об определённом направлении механического момента:
определённой остаётся только выделенная благодаря магнитному полю
компонента 2ЯГ. Глубокие основания этого обстоятельства мы обсудим в § 3
следующей главы.
На этом мы закончим обсуждение ориентирующего действия магнитного
поля. Мы перейдём теперь к деформирующему атом воздействию, которое
описывается вторым членом в B0). Мы вычислим соответствующий этому члену
магнитный момент, так же как и для первого члена, если умножим его на
(измеренный в электромагнитных единицах заряд, умноженный на сечение в
на площадь обтекаемой поверхности) и проинтегрируем по всем
тороидальным трубкам объёма dx = 2tcrsitibda. Тогда получаем:
<22>
1) Е. Fег mI, Nature, декабрь 1926 г, стр. 876.

§ 61 ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА. ДИА- И ПАРАМАГНЕТИЗМ 99
где
f B3)
есть момент инерции (делённый на массу) распределения плотности
относительно направления магнитного поля (г sin 8 — расстояние до оси г).
К формулам B2) и B3) надо ещё добавить статистическую поправку.
В формуле D) мы предположили, что ось симметрии собственной функции
(ft = 0) совпадает с направлением магнитного поля. В общом случае (для
состояний, которые не обладают сферической симметрией) это
обстоятельство не имеет места. Но если мы произведём усреднение по всем
положениям атомов, то, в силу равноправия осей х, у и г, получим:
Г Г Г 1 Г 1 —
рх9Л= py*dx= piadT = -,- pradi = -я-в,
J J J " J "
где
6 = J pra dx B4)
означает не зависящую от положения атома меру распределения плотности
в нём и среднее значение в = вя будет равно как раз -j 6. Поэтому из.
B2) путём усреднения получаем:
& <25>
Если мы положим, наконец,
М
тг=х.
то х будет означать диамагнитную восприимчивость атома (после
умножения на число Авогадро — диамагнитную восприимчивость на грамм-атом).
Мы получаем, таким образом, из B5) знаменитую формулу Ланжевенл для
диамагнетизма
S B6)
Связь с эффектом Зеемана и ларморовой прецессией проявляется в нашем
выводе совершенно ясно. Шаг вперёд, который сделала здесь волновая
механика по сравнению с прежним классическим выводом или старой квантовой
теорией, состоит лишь в точном определении момента инерции через плот*
ность р = |'Н9 в. B3).
Все предыдущие вычисления относились только к случаю водорода (да
и то в пренебрежении спином электрона). Мы должны теперь кратко показать,
как можно распространить их на настоящий нормальный эффект Зеемана,
который происходит во многоэлектронных синглетных системах (ср. начало
этого параграфа). Представим себе уравнения C) написанными для каждого
электрона, так что V содержит не только кулоновский потенциал ядра, но
и действие всех остальных электронов, однако будем считать, что V веб
ещё можно рассматривать как функцию только от г (ср., например, с
методом самосогласованного поля в гл. X). Тогда выражение D) и все следствия
сохранят свою силу, с той лишь разницей, что вместо A3) для 1-го
электрона надо будет писать
АУГ« = йшлж4, B7)
7*

100 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
где т{ — относящееся к 1-му электрону магнитное квантовое число,
его вклад в дополнительную магнитную энергию; <»L для всех электронов
одинакова. Вклады в энергию складывают алгебраически, так же как и
магнитные квантовые числа [ср. т. I, гл. VIII, § 3, уравнение (8) с 2 "*, = 0 для
синглетных систем]. Поэтому из B7) путём сложения снова получается
характерная формула A3) нормального эффекта Зеемана, в которой т имеет
смысл результирующего магнитного квантового числа.
Токи и плотности отдельных электронов также складываются
алгебраически (что не находится в противоречии с тем, что волновые функции fy
входят в результирующую волновую функцию ф = ]Тф{ мультипликативно).
Поэтому из B0) путём суммирования по всем электронам получается
результирующий ток J, а путём интегрирования по конфигурационному
пространству— магнитные моменты B1) и B5). Величина B1) представляет собой
парамагнитный момент атома с результирующим магнитным квантовым
числом т; из него, в основном следуя развитым в § 8 гл. VIII т. I правилам,
вычисляются парамагнитная восприимчивость и постоянная Кюри — всё
это, конечно, в предположении, что результирующий спин атома обращается
в нуль. Напротив, B5) представляет вызванный магнитным полем Н
диамагнитный момент атома; представление B4) момента инерции В через
распределение плотности р сохраняет свою силу и для многоэлектронных систем.
Даваемая выражением B6) диамагнитная восприимчивость является
универсальным свойством любых систем. Она выступает в чистом виде, когда B1)
исчезает, например в состояниях с замкнутыми оболочками; ср. § 11.
f 7. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА,
ЕГО СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Особенно красивая с математической точки зрения черта теории Шре-
дингера состоит в том, что она связывает единым аналитическим процессом
непрерывный спектр водорода с дискретным.
Исходя из A.1) мы запишем собственные функции с добавленным
нормировочным множителем N в виде A.2)
ty = NRPr (cos») #*"» A)
и получим для их радиальной части прежнее дифференциальное уравнение
A.3). Однако, в то время как в § 1 мы рассматривали исключительно
случай W < 0, теперь мы положим
W>0. B)
Тогда величина А в A.3а) будет положительна, и поэтому вместо A.4) нам
надо будет положить
A=^W = ±. C)
й 'о
Тогда асимптотическое поведение R получится согласно A.3)
(пренебрежение всеми членами, исчезающими при г-»со) из уравнения
-!=о. W*. D)

§ 7] Непрерывный спектр водорода 101
Между двумя его решениями нельзя сделать выбора, так как ни одно-
из них не становится бесконечным при г -*■ со (они оба обращаются в нуль,
как покажет более тщательное исследование). Мы положим аналогично A.4а)
и A.5)
р = 2/f = 2/ VaF, R=e"v E)
"о
и получим для v прежнее дифференциальное уравнение A.7). Подстановка
A.7а) даст тогда, как и ранее, в качестве единственно возможного
показателя при г-»0 а = /. Следовательно, v ведет «ебя в нуле, как р1; напишем:
с = р*да(р), да(р) = во+л1р+... F)
Однако «метод полиномов» теперь откажется нам служить. Действительно,
если потребовать обрыва степенного ряда F) для да, то мы получим для
-= мнимое значение, что противоречит нашим допущениям относительно А
У А
или W. Поэтому W остаётся неопределённым. Все положительные значения W
являются возможными собственными значениями. Мы получили непрерывный
спектр собственных значений №>0, который на границе W=Q непрерывно
примыкает к дискретному спектру.
Займёмся аналитическим представлением радиальной составляющей R
собственной функции непрерывного спектра. В силу E) и F)
G)
Мы сравним это с прежним представлением A.16), в котором да(р) было
заменено на Ц^*\ Последняя величина была многочленом от действительного
аргумента р, в то время как теперь да является трансцендентной функцией
(необрывающимся степенным рядом) мнимэго аргумента р. Однако обе эти
функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению
A.13) и являются поэтому аналитически родственными.
Нам надо установить прежде всего, какой смысл имеет входящее в A.13)
число п. Для этого воспользуемся соотношениями A.9а) и A.3а), которые
дадут
mZe*
„= в т_^
Y—A f2mW K
Выразим W через импульс р или волновое число k свободного электрона:
Тогда получим из (8)
п
где а — водородный радиус элементарной теории:
а-£. (Юа)
Следовательно, главное квантовое число п дискретного спектра становится
в случае непрерывного спектра чисто мнимым числом (не обязательно целым).

102
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
[ГЛ. П
Это обстоятельство соответствует с формальной точки зрения переходу
прежних полиномов I в трансцендентную функцию W. При этом, согласно
A.18), для аргумента непрерывной собственной функции получаем:
p = 2tkr. A1)
Мы перепишем теперь полином Ln в таком виде, чтобы в нём можно
было бы заменить л нецелым значением A0). При этом оказывается удобным
изменить нормировку Ln так, чтобы не коэффициент при старшей степени
равнялся. (— 1)" [ср. B.7)], но коэффициент при низшей степени р° был бы
равен 1. Для этого нам надо будет положить вместо B.1)
Но, в силу теоремы Коши для каждой аналитической функции /, выполняется
соотношение
в котором интегрирование выполняется по какому-либо замкнутому в
положительном направлении вокруг точки г = р контуру. Из этой формулы следует:
f(z)
аг
ТА ~dp*~ Ъп У (г-
Если мы положим здесь /(р) = рпе~р и умножим на е9, то левая часть A3)
совпадёт с правой частью A2). Мы можем, следовательно, написать вместо
A2)
±§l A4)
В этой формуле правая часть сохраняет смысл и тогда, когда мы
переходим от целочисленного л к произвольному. Можно поэтому
рассматривать A4) как решение дифференциального уравнения Лагерра A.14) для
произвольного л.
Относительно контура интегрирования в A4) надо
заметить следующее: он должен окружать не только точку
z = p, что уже требовалось в A3), но и точку z = 0,
иначе при однократном обходе и нецелом л путь
интегрирования не был бы замкнутым. Напротив, путь
интегрирования, изображённый на рис. 12, является замкнутым, так
как ветвление г4 в точке г = 0 компенсируется ветвлением
B П 14
р
(z— P)~n B точке z = p. Представление A4) несколько
упрощается с помощью подстановки
У — * г»
поскольку при этом р появляется только в одном из стоя-
ш>их П°Д интегралом множителей:
05)
Контуром интегрирования служит теперь окружающий точки у = 0 и
у=—р замкнутый контур рис. 12а; значение обоих уходящих в
бесконечность «хвостов» мы обсудим несколько ниже.
Рис. 12. Путь
интегрирования
для целой
трансцендентной
функции £„(р)=
для чисто мни-
uoro ,Ш

§7]
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА
103
Мы получим более симметричное представление, если введём новую
переменную интегрирования х, положив
Тогда из A5) получится:
A5а)
A6)
Контур интегрирования в jc-плоскости окружает обе точки ветвления
Рис. 12а. Пути
интегрирования для Ln (р),
Из всего хода предшествующих рассуждений ясно, что интегралы
A4), A5) и A6) должны удовлетворять дифференциальному уравнению
Лагерра A.14).Для того чтобы проверить это путём
вычисления, удобнее всего было бы исходить из
интегрального представления A5), выполняя
дифференцирования по р под знаком интеграла и
применяя интегрирование по частям, в ходе
которого проинтегрированные члены естественно
обращаются в нуль при обходе по замкнутому контуру.
Но то же самое справедливо и для «хвостов»
рис. 12а (мы могли бы назвать их
«квазизамкнутыми» контурами). Действительно, на концах этих
«хвостов» подинтегральное выражение обращается
в нуль благодаря множителю е~У, так как там у
обладает бесконечно большой положительной
действительной частью; при интегрировании по частям
проинтегрированные члены пропадают по той же причине, и выполнение
дифференциального уравнения Лагерра проверяется так же, как и в случае
замкнутого контура. Мы обозначим получающиеся таким образом решения
дифференциального уравнения Лагерра через
у*х и \К% A7)
и получим из рис. 12а
Г 1 /If I If \ /I Q\
L — -n\K-i ~~T~ **gj. Kla)
Такая связь аналогична известному соотношению между функцией
Бесселя J и функциями Ханкеля Ht и Я9:
У=1(//1 + //а) A9)
fcp. A.3.26)]. Аналогично J функция L является целой трансцендентной
функцией, аналогично Hv Я9 функции Kt, АГЭ обладают особенностями
в начале координат. Действительно, при р = 0 обе точки ветвления рис. 12а
сливаются, пути интегрирования для Kt и АГ3 оказываются тогда «зажатыми»
между этими двумя особенностями, что приводит к особенности в интеграле.
Напротив, путь интегрирования для L сохраняет свободу перемещения при
р = 0 и может быть распространён исключительно на регулярные точки;
здесь нет причины для возникновения особенностей. Любые две из трёх
наших функций L, К\ и АГ9 образуют полную систему решений
дифференциального уравнения Лагерра, опять в полном соответствии с
дифференциальным уравнением Бесселя и его тремя частными решениями J, Нх и /Уа.

104 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Испольвуем интегральное представление A5) для разложения в ряды,
а именно для разложения L во всюду сходящийся ряд по возрастающим
степеням р и для разложения АГХ и АГ9 в асимптотические ряды по убывающим
степеням р.
Из рис. 12а видно, что мы можем в том случае, когда р принимает
комплексное виачение, так выбрать путь интегрирования, что во всех его
точках будет |.у|>|р| и поэтому биномиальный ряд
будет сходящимся.
Выражение A5) приведёт тогда к
00
= 2 (ft)
В силу теоремы Коши [уравнение A3) с р = 0, f=e~v] входящие сюда
интегралы равны
2«/ (— 1)» &!
Поэтому из B0) следует:
Как и следовало ожидать, этот ряд является частным случаем ряда для кон-
флюэнтной гепергеометрической функции. Именно, если сравнить B1) с B.20),
то мы немедленно убедимся в справедливости соотношения
Ln(p) = F(-n, 1. р). B2)
обобщающего соотношение B.24), в котором п было заменено целым
числом k, а трансцендентная функция Лагерра Ln—полиномом Лагерра L*.
Рассмотрим теперь верхний «хвост» рис. 12а, представляющий собой
функцию -кКх. Если мы предположим, что р велико, то для внутренней
части контура будет |.у|<|р|. Поэтому напишем разложение
и получим из A5):
Используем здесь представление Г-фуикции, которое более удобно, чем
обычное представление действительным эйлеровым интегралом (ср.
дополнение 7):
fefi^L B4)
Интегрирование следует проводить здесь по тому же контуру, что и в B3),
т. е. начиная с положительной бесконечности на действительной оси,
обходить в положительном направлении точку нуль и возвращаться в
положительную бесконечность на действительной оси. При этом многозначность У

§ 71 НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА 105
надо фиксировать таким образом, чтобы в точке у = 1 на начальной ветви
было бы у* = +1 • С учётом B4) соотношение B3) даёт:
для чего мы можем также, согласно формуле (9) дополнения 7, написать:
Этот ряд расходится, однако должным образом оборванный он правильно
передаёт асимптотическое поведение Кх при р -♦• оо.
Чтобы перейти к /Са, нам надо рассмотреть нижний «хвост» рис. 12а,
однако при этом надо учитывать, что из-за требуемой A8) связи между L,
Kt и К2 надо добавить к представлению A5) множитель
Именно, после того как мы фиксировали значение у на начальной ветви
верхнего контура, этот множитель определяет значение уп на конечной ветви
верхнего, а тем самым, и на начальной ветви нижнего контура. После того
как мы сделаем ещё подстановку г = у-{-р [т. е. обратную сделанной при
переходе от A4) к A5)], нужно разложить в ряд
■ при вторичном использовании B4) получим:
р)—'-»(~п
Согласно формуле A0) дополнения 7 мы можем написать вместо этого
а | (я+ !)*(« +2)* , 1 ,о/?ч
— опа Г" • • • • 1Л/
Складывая B5) и B6), получим асимптотическое поведение I, которое нам
придётся использовать в § 10.
Только теперь можем мы перейти к предмету этого параграфа:
собственным функциям непрерывного спектра задачи Кеплера. Радиальную
часть R G) этих функций w=l^+i) мы вычислим из A5), записывая п-\-1
вместо п и выполняя B/-|— 1)-кратное дифференцирование по р под знаком
интеграла. Опуская факториальный множитель и добавляя [из соображений
действительности, ср. ниже C2)] (—if, мы получаем, согласно G):
-— 1 г*
R = e а (— ^РI ^; ф CV -h p)»-*-ie-jry-«-*-* rfjc, B7)
где интегрирование выполняется по замкнутому пути, обозначенному иа
рис. 12а буквой L. Мы получим более симметричное представление, если
воспользуемся уже применявшейся в A6) подстановкой
а именно:
1M/ 1 \м_1_1 / 1 \ __f_4
B8>

106 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Аналогичное представление содержалось уже в первой работе Шредингера
1926 г.
Разложение R вблизи нуля можно получить из B7) с помощью уже
использованного в B1) метода: разложения в биномиальный ряд (у-\-р)п~г~1
в предположении |р|<|.у| и вычисления остающихся интегралов по теореме
Коши. Без труда находим:
е '(-Wn (n-l-\\
К- B/+1)! L V 1 )+ /( + )( + )\|
B9)
С другой стороны, мы найдём асимптотическое поведение R для р->оо,
если рассмотрим две функции Qt и Q.2, для которых
(Q+QJ C0)
При этом -j Qi и -j Qo задаются той же формулой B7), что и R, но только
с изменённым путём интегрирования: вместо замкнутого контура L на рис. 12а
следует использовать контуры Kt и соответственно АГ9. Аналогично B5) и
B6) получаем:
. -<к (п+4-)
+4-. ч_, е v а/ Г| , / —я —/—1\ —
Г
, C2)
причём C2) получается из C1) заменой р, я, / на —р, —я, —I. Так как
f и я чисто мнимы, то это означает, что Qt и Q.3 комплексно-сопряжены
друг к другу. Поэтому, в силу C0), R действительно, что, впрочем, можно
усмотреть и непосредственно из интеграла B8) (заменой I, р, я, х на —/,
— р, —я, —х).
В первом приближении Ql и Q9 ведут себя как сходящаяся и
соответственно расходящаяся сферические волны. Именно, согласно C1) и C2)
с р = 21Дг A1), получаем:
££ C3)
Здесь положено:
Т —|я|1п2*г + а—\1.
При этом логарифмический член в f возникает благодаря множителю
Из-за присутствия этого логарифмического члена выражение «сферическая
волна» является не совсем точным, так как фаза т всё ещё, хотя и слабо,
зависит от г. Выражения «сходящаяся» и «расходящаяся» сферическая волна
употребляются в предположении выбора временной зависимости в виде е~ш,

§ 81 ортогональность и нормировка в непрерывном спектре 107
они поменялись бы ролями при зависимости e+iat. В качестве первого
приближения для радиальной волновой функции R из C3) следует:
C4)
Это выражение справедливо, конечно, равно как и выражения C3), только
асимптотически, что видно уже из того, что оно обращается в бесконечность
для г = 0, в то время как R должна быть как собственная функция всюду
конечной. В действительности, согласно B9), для r = 0R обращается в нуль,
как г*. В противоположность этому функции Qt и Q.2 оказываются
бесконечными для г = 0; ведь для них путь интегрирования, как это видно из
рис. 12а, зажимается между двумя особыми точками у = 0 и _у = р. Поэтому
Qt и Q2 не являются собственными функциями, хотя и удовлетворяют тому же
самому дифференциальному уравнению A.6), что и R, и имеют физический
смысл сферических волн.
| 8. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ.
ВОПРОСЫ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ
Доказательство ортогональности собственных функций основывается, как
мы знаем, на волновом уравнении и теореме Грина, на основании которых
имеем [ср. также A.7.19, 19а)]:
Если одна из двух энергий Wt, W3 принадлежит к дискретному, а
другая— к непрерывному спектру, то правая часть исчезает для г-*-со
благодаря экспоненциальному убыванию волновой функции дискретного спектра.
В этом случае из A) следует обращение в нуль интегралов ортогональности
5 B)
Если, как в случае задачи Кеплера,
Г1т*, C)
ТО ДЛЯ
т1 ф т2 или т± = щ, но
B) удовлетворяется уже за счет угловой части решения C). Если же,
однако,
«1 = Щ, It = /2» (За)
то из B) следует условие ортогональности для радиальной функции:
со
f R1Rlr2dr = 0, D)
о
в полном соответствии с выводами § 2, где шла речь об ортогональности
двух функций дискретного спектра. Добавим ещБ, что в нашем случае
благодаря действительности R можно писать Rt вместо R*. То же самое
справедливо и для последующих уравнение.

108 8АДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Если, однако, оба виачения энергий Wt, №а принадлежат непрерывному
спектру:
 = А5 E)
[ср. G.9)], то правая часть A) не исчезает, поскольку согласно G.34) <\
и <^г убывают асимптотически только как —•, в то время как da растёт
пропорционально га при гчоо. Поэтому правая часть A) становится
неопределённой.
Как надлежит поступать в таком случае, показали работы Вейля по
обшей теории интегральных уравнений и примыкающие к ним исследования
Фюса *), посвященные конкретным задачам .волновой механики. Надо
сравнивать точку 2) ky шкалы волновых чисел не с другой точкой k.3, но с
отрезком Л&.] = Л этой шкалы, который содержит точку k.2, но не содержит kv
и образовать из A) после деления на
Щ- т - WW = k\ - ft2 [см. EI.
и интегрирования по Л интегрированием по шару конечного радиуса гд
выражение
гд
Мы покажем, что правая часть обращается в нуль в пределе гд-*оо
благодаря «интерференции внутри волнового пакета Д» при любом значении Л.
Таким образом, вместо B) в качестве условия ортогональности мы
получим а) (если ку лежит вне интервала А):
S« = 0. G)
1) Е. F u e s, Ann. d. Phys. 81, 281 A926), ср. в особенности § 3.
а) Вместо того чтобы проводить вычисления в шкале волновых чисел k, мы
могли бы проводить их и в шкале энергий W. Мы должны были бы говорить тогда
об интервале энергии Л1У и об энергетических точках Wt и W^. Для наших целей
шкала волновых чисел оказывается удобнее, так как при использовании ее удаётся
избежать появления квадратных корней, например, в аргументе R (kr). В соответствии
с этим и условие нормировки (см. ниже) мы запишем в шкале волновых чисел.
*) Мы могли бы записать уравнение G) в более симметричном виде:
где мы заключили не только k% в интервал Д^, но и £t в интервал Д^ который
должен лежать вне Л* Однако это не даёт никаких преимуществ по сравнению с G),
поскольку и G) уже сходится. Выражение G) можно получить из G'). если выполнить
Г д
в G') интегрирование по *1( вынести множитель у -£. и провести предельный
переход &!-*■(). Входящие в G') величины
носят название собственных дифференциалов* в отличие от собственных функций
fa" "i*

§ 81 ортогональность и нормировка в непрерывном спектре 109
Для радиальных частей Rt и Я2 функций ф4 и <|ь отсюда аналогично D)
при условии (За) получается:
Hm I r*dr J RlRidki = O. Ga)
SO А
Для доказательства будем считать, что угловые части в C)
нормированы на единицу и что интегрирование по углам в F) выполнено. Тогда F)
перейдет в
Г-
ft. (8)
Правую часть надо записать для г = гд. Мы можем использовать для этого
асимптотическую формулу G.34), так что получим, добавляя радиальные
нормирующие множители Nx и Л/а:
- dRt n dR*2 N^^C, .
— sin(fttr4- ...)kicos(k.^-+ ...)}. (8a)
Многоточие в этих формулах учитывает входящие согласно G.34) в
аргументы тригонометрических функций величины fi> T»- Так как они
обращаются, однако, при Гд-+оо в бесконечность только логарифмически, то
в последующих рассуждениях можно их опустить.
Производя простое, тригонометрическое преобразование, мы получаем
вз (8а):
(86)
Для того чтобы перейти к правой части (8), мы умножим это выражение
г А А
" роингрир о А о А о ft+
г А А
на а " 2 и проинтегрируем по А2 от А2 — -я- до fta+j. При этом введем
*i — *«
в первом и соответственно во втором членах правой части (86) переменные
интегрирования:
х = ка-\-к1 и .у =
В силу
rfx _ dhj dy _ dk
правая часть (8) перейдет в
e^ j ^^ (9)
еде обозначено сокращенно
*±=*t—
«_
(9а)

ПО ЗАДАЧА КЕПЛЕР\ [ГЛ. П
и F надлежит понимать в первом интеграле как функцию от х, а во
втором— как функцию от у.
Теперь легко убедиться в том, что оба интеграла исчезают при г,-+оо.
Пределы Jt+ и х_ оба положительны, у+ и у_ также имеют оба одинаковый
(положительный или отрицательный) знак, поскольку кх должен был быть
расположен вне описанного вокруг Ла интервала А. Следовательно, пределы
обоих интегралов будут одновременно стремиться к бесконечности, если
положить
и соответственно
и устремить г(-+оо. Поэтому оба интеграла (9) действительно исчезают,
а следовательно, обращается в нуль и вся правая часть (8). Итак,
утверждавшаяся в G) ортогональность доказана.
Та же самая выкладка приводит и к определению нормировочного
множителя. В качестве условия нормировки мы потребуем по аналогии с G)
lim Г<*сГ<МС4к,—1. (Ю)
Оно должно иметь место «для kx = k.2», т. е. для kv лежащих в
интервале Д. Если снова считать угловую часть нормированной на единицу, то
надо потребовать для радиальной части R выполнения условия
lim Cr*dr f R.Rtdk2=l. A0a)
Мы снова используем тождество (8) и преобразования (8а, б) и (9). Но из
двух интегралов (9) теперь обратится в нуль только первый, так как только
его пределы xv и х_ имеют одинаковые знаки. Наоборот, знаки у+ и у_
из (9а) будут теперь различными, и мы получим для достаточно больших rj.
J F{y)dargy£j- = F(O) J smv^^vFQi), A06)
у- -оо
где f@) означает значение F(y) при у = 0, следовательно, по (8в) при
Asx = Л9 = Л. Согласно (9а) (мы пишем теперь С^^С^^С, A^ = N9 = Nr):
Уравнение A0а) требует
(И)
откуда, используя значение С из G.33а):
(На)
Если мы присоединим сюда и нормировочный множитель угловой части
собственной функции C) |ср. A.9.31)|, то получим:

§ 8] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 111
Размерность N совпадает с размерностью k (обратная длина); напротив,
в случае дискретного спектра N имело размерность обратной длины в
степени 8/9 [ср. B.16)]. Это является непосредственным следствием отличия
условия нормировки A0) от прежнего условия A.7.13).
В заключение надо подчеркнуть, что наше рассмотрение условия
нормировки, равно как и условия ортогональности, основывалось исключительна
на асимптотическом поведении собственной функции. Мы получили благодаря
этому существенное упрощение по сравнению с вычислениями в случае
дискретного спектра с помощью теоремы Грина или, что то же самое,
уравнения непрерывности для волновомеханического заряда (ср. гл. I, § 7).
Относительно возможности перенесения этого метода на случай дискретного
спектра см. дополнение 8.
Мы переходим теперь к вопросу об интенсивностях в непрерывном
спектре водорода. Известны непрерывные спектры, примыкающие к границам
серий Лаймана, Бальмера, Пашена и т. д. Мы ограничимся здесь
непрерывным спектром, примыкающим к серии Лаймана. Он происходит за счёт
переходов из состояния с W > 0 и волновой функцией ^ в основное
состояние с энергией W=Wt =— Rk и собственной функцией <^. Распределение
интенсивности в этом спектре определяется из матричного элемента
Поскольку этот интеграл сходится сам по себе, нет нужды вводить
«собственные дифференциалы» (ср. примечание 3 на стр. 108), как не было
в этом нужды и при выводе условия ортогональности B) между состояниями
непрерывного и дискретного спектра.
Если пользоваться подробным способом записи A.8.76), то
Жд = A,0, O\q\k, I, m). A3)
Здесь числа слева означают
т. е. квантовые числа основного состояния; что же касается чисел справа,
то k заменяет (мнимое в непрерывном спектре) главное квантовое число я
[ср. G.10)], а / и т являются угловыми квантовыми числами начального-
состояния. Но мы усматриваем сразу, что для дипольного излучения (не
обрящающийся в нуль матричный элемент) играют роль только наинизшие
вначения / и т |ср. правила отбора E.2), которые имеют место и в этом
случае], а именно следующие:
"lit' »-±l.} A3Я)
Поэтому угловые части дадут:
в Ж,: fcosO- 1 .Рх •</<»= Г Г cos' 0 sin 8 d& dp = ^f-,
Г Г Г (Н)
в Мя + М„: J sin 8«**. 1 .Р\е-* da>= Г Г sin» & d» df = Ц-.
Радиальные части в обоих случаях одинаковы, а именно:
A5)

112
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
[ГЛ. П
где
а [ср. начало § 3, равно как и таблицу 1 на стр. 80];
[ср. G.28) с /= 1, р = 2/*г].
A5а)
Сюда надо добавить еще нормировочные множители Nt и N для Rt и
соответственно R, а именно:
A56)
— Т\—) (СР- таблицу I стр. 80);
г«1»1|Г(я+2)Р*9, q = z, 1=1, т = 0,
3 •
, 1=\, т = \
[ср. уравнение A2)].
Теперь мы выполним в A5) интегрирование по г, именно:
для чего мы можем также написать, учитывая значение я:
Отсюда получается:
Путь интегрирования окружает сначала точки х = ±-^- Мы стянем его,
с одной стороны, к точке дс = —j, которая является полюсом второго
порядка, а с другой стороны, распространим до бесконечности, которая уже
не будет, как это было в интеграле A5а) для R, существенно особой
точкой и не даёт никакого вклада в интеграл, так как подинтегральное
выражение убывает достаточно быстро. Вычет в полюсе х = — ^- даёт:
A6а)
A66)
A7)
где мы обозначили сокращенно через р(л) действительную величину
^ (я) = (я — 1 )"-1 (я + I)-" = у. (- я).
Объединяя теперь выражения A4), A56) и A6а), получаем:

§ 9) ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 113
То же самое значение получается и для
±* = М% = М\. A7а)
Вместо A7) можно написать, если учесть A1) из дополнения 7 и ввести
значение \i из A66):
а_ 256/д\8 |я|»
Это выражение мы сравним с матричным элементом из § 5 для дискретного
лаймановского спектра. Предварительно нужно заметить, что собственная
функция непрерывного спектра нормирована на интервал волновых чисел ДА
(ср. стр. 110). В силу k = -j— имеем:
а\п\
Нормировка же в дискретном спектре отвечала интервалу квантового числа
Дл = 1, в который действительно попадала как раз одна дискретная линия.
Поэтому, для того чтобы провести сравнение с дискретным спектром, нам
надо положить в A9) Д|л|=1 и перемножить A8) и A9). Получается:
Iя'7 С-')8""'
Но это и есть наша прежняя формула для дискретного лаймановского
спектра E.19), если отвлечься от добавившегося в B0) знаменателя
1—i-acini, который, однако, на границе между дискретным и непрерывным
спектром (я = с», k = 0) обращается в 1 *). Отсюда можно заключить, что
оба спектра примыкают друг к другу с равной фотометрической
плотностью9). Это является общим, справедливым для всех непрерывных спектров
законом8), который особенно хорошо подтверждён на опыте для серии
Бальмера. Аналитическая причина этого состоит в том, что дискретный и
непрерывный спектры представляются существенно одинаковыми формулами,
именно так, что я в точке сгущения непрерывного спектра стремится,
оставаясь положительным целым числом, к бесконечности и продолжает своё
изменение от примыкающей границы непрерывного спектра, начиная со
значения — loo.
С методической точки зрения следует подчеркнуть, что вычисление
матричных элементов в непрерывном спектре с помощью наших
комплексных интегралов оказывается не более сложным, чем элементарные
вычисления § 5 в дискретном спектре.
f 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
В старой квантовой теории переменные в задаче Кеплера можно было
разделить не только в полярных, но и в параболических координатах, как
это было подчеркнуто в § 7 гл. II т. I и показано в § 2 гл. VI т. I. Этот
результат переносится и в волновую механику.
1) То же самое справедливо и для множителя, который будет рассмотрен в
дополнении 8, ср. там формулу A96).
я) Впервые доказано: Y. Sugiura, Journ. de Phys. et le Radium 8, 113 A927).
8) ср. в особенности R. W. D i t с h b u г n, Proc. Roy. Soc. 143, 472 A934); 150,
478 A935); 157, 66 A936); 157, 74 A936), равно как и Zs. f. Phys. 107, 719 A937).
8 3uc. 968. А. Зоммерфельд

114 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
Чтобы ваписать волновое уравнение задачи Кеплера в параболических
координатах, нам надо только преобразовать к этим координатам
дифференциальное выражение Дф. Для этого воспользуемся выражением для элемента
длины [уравнение A0) в § 2 гл. VI т. I]:
ds* =
По общему правилу преобразования к любой системе ортогональных
координат (относительно неортогональных координат см. дополнение 10)
получим:
l1 Ba)
При этом параболические координаты £, ч\, <р следующим образом связаны
с прямоугольными координатами х, у, г (x=y = z = 0 — общий фокус,
ось х — общая ось параболоидов $ = const и -») = const; угол <р отсчитывается
вокруг оси х):
х = -^, у = Vlij cos <p, z = УЦ sin <p,
C)
или обратно
(За)
и изменяются в пределах
0<*<оо, 0<if)<oo, 0<<p<2«. C6)
В силу Bа) и C) волновое уравнение A.1) переходит в
д ,дф , д dif , 1 /1 , 1\д«ф , /|*WreH--n . Z\ , rt /J<4
^+^^+l + J^+i^F+)^0 <4>
где a = —j и (i—масса электрона. Ему можно удовлетворить, положив
/ E)
если Д и Д удовлетворяют уравнениям:
F)
Здесь Р — «параметр разделения», который надо в дальнейшем определить
или же снова исключить. Если положить
i x __ J * A— R —(-^-■+"8 l С — — —- fTV

§ 9] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 115
то уравнения F) приведутся к одинаковому виду:
P+Ti + H + T+U
Это уравнение аналогично уравнению A.3) в случае полярных координат и
поэтому его можно рассматривать тем же способом.
Положим в соответствии с A.5)
2 Y—А* в дискретном спектре
[ср. A.4а)],
f=e a v, р =
получим из (8) уравнение, аналогичное A.7):
(9)
2lks в непрерывном спектре
[ср. G.11I
У
„о,
Обсуждение этого уравнения (поведение в нуле, двучленная рекуррентная
формула, условие обрыва) проводится точно так же, как и в § 1. Между
тем мы быстрее достигнем цели, если будем опираться на общие формулы
дополнения 2. Действительно, наше уравнение A0) имеет вид уравнения (9)
этого дополнения с
А Г Я 1Л. В \ <П>
Поэтому, согласно A0) дополнения, характеристическое уравнение в нуле
будет гласить:
и, следовательно, при учБте значения С из G) и исключении отрицательного
корня
[ A2)
С другой стороны, условие обрыва рекуррентной формулы [A2) из
дополнения 2] переходит согласно A1) и A2) в
где /ц я л, — степени полиномов /£ и Д. При сложении обоих
содержащихся в A3) уравнений входящая в В постоянная разделения р исключается,
и мы получаем:
^^ A4)
Мы назовем аналогично A.9а)
(На)
главным квантовым числом. Оно складывается теперь из обоих
«параболических квантовых чисел» /ц и яч и «углового квантового числа» т.
Уравнение A4) приводит, учитывая значение постоянной А в G), к энергии
8»

116 ЗАДАЧА КВПЛЕРА [ГЛ. 11
бальмеровского терма:
*Z*
в согласии с уравнением A0) § 1.
Вместо того чтобы исключать параметр р, мы могли бы, естественно,
вычислить его из A3). Мы получили бы тогда, учитывая значения В и W
(вычитание записанных в A3) двух уравнений):
Согласно (9), G) и A5) значение р в дискретном спектре даётся выражением
и, следовательно, для /£ и Д в отдельности:
= -£ J- =^-
Кроме собственных значений, мы хотим найти также и вид собственных
функций. Мы положим в дополнение к A2)
т
t» = pa да A8)
и найдём дифференциальное уравнение для да из дифференциального урав-
д
нения A0) для v, в котором заменим - с помощью A3) и С с помо-
у—А
щью G). Легко найдём:
/if
я ' A9)
Сравнение с A.14) и A.14а) показывает непосредственно, что мы имеем
здесь дело с дифференциальным уравнением для /я-й производной от
полинома Лагерра Lm+n ; следовательно:
да = £(»»> . С20)
Из (9), A8) и B0) получится теперь
а из E)
^Ч B1)
или благодаря A7)
Эти формулы понадобятся нам в теории эффекта Штарка.
Не менее существенным является известное представление в
параболических координатах непрерывного спектра для теории столкновений. Нас
будет в особенности интересовать здесь такое решение волнового уравне-

§ 91 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 117
ния, которое соответствует на больших расстояниях от ядра падающей
плоской волне, на которую накладывается вследствие рассеяния на ядре
излучаемая ядром сферическая волна. Эта задача входит в круг вопросов,
объединяемых общим названием задачи об атоме водорода (одно ядро,
взаимодействующее с одним электроном, который здесь, однако, не связан с ядром,
а летит на большом расстоянии от него).
В качестве направления распространения первоначальной плоской волны
мы примем положительное направление оси х. Волновая функция будет тогда
аксиально-симметричной относительно оси х, т. е. не будет зависеть от <р.
Для решения в форме B2) это означает, что мы должны положить т — 0.
Поэтому оно упрощается и принимает вид:
Как мы показали в предыдущем параграфе, в случае непрерывного
спектра главное квантовое число оказывается мнимым. Соотношения G.9) и
G.10) между мнимым главным квантовым числом я, волновым числом к и
кинетической энергией электрона на больших расстояниях от ядра W
сохраняют силу и теперь. Мы можем поэтому положить в B3) я=-г- и
получить:
Л Е B4)
где ng и л,, связаны с л уравнением A4а):
яе+ячН-1=я, B4а)
и поэтому сами не могут быть чисто действительными. Отсюда следует, что
функции Лагерра L в B4) являются теперь уже не полиномами, но
трансцендентными решениями дифференциального уравнения Лагерра того типа,
которые мы изучали в § 7. Их асимптотическое поведение определяется
формулами G.25) и G.26). Учитывая G.18), мы напишем в первом
приближении (р стоит вместо ikl или lki\; я вместо яе или л,,):
/ /о\ _ * (if I if \ _ ( —Р)" I ( + Р)~п «?
^»(P)-2-(^+/Ca)-r(n + 1) + r(_n) -
или, поскольку Г A — я) = — яГ (— я):
Подстановка B5) в B4) приводит к асимптотическому значению ^
собственной функции <]<:
После выполнения умножения появляются четыре члена, которые мы
охарактеризуем стоящими в них экспонентами:
2) Л*-*; 8)
**"*; 4).+Т

118 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
При этом ясно, что 1) возникает из произведения обоих первых, а 4) —из
обоих последних членов в скобках. Для того чтобы вскрыть физический
смысл этих четырёх членов, мы перепишем их с помощью C) в координатах
х и г и добавим к ним временной множитель е~ш:
Мы видим, что член 2) отвечает плоской волне, распространяющейся в
положительном направлении оси х; член 4) — излучаемой ядром сферической
волне. Эти два члена как-раз и соответствуют нашей постановке задачи.
Напротив, член 1) отвечает сходящейся к ядру сферической волне, а член
3)—плоской волне, распространяющейся в отрицательном направлении оси х.
Оба эти члена несовместимы с нашей постановкой задачи. Мы должны так
выбрать наше решение, чтобы удалить из него эти два члена. Выпишем
множители, с которыми появляются эти члены при вычислении B6):
Эти множители обращаются в нуль тогда и только тогда, когда мы положим
/ц+1 равным нулю или целому отрицательному числу:
/Ц+1=— g, g>0. B7)
Тогда первая фигурная скобка в B6) вырождается в
Г
Однако и этот член все еще оказывается несовместимым с условиями нашей
задачи, если только g > 0, поскольку при этом V становится бесконечно
большим для £-юо. Мы должны, следовательно, положить далее
£ = 0, т)| = —1 и, согласно A4а), яч = л. B8)
Легко понять, что такой выбор /ц и nv эквивалентен специальному выбору
параметра разделения р в A6):
,_-(!+■)§=-«-§.
Со значением /ц = —1 формула G.21) даБт
Следовательно, оба первых множителя в B4) дают вместе
я B4) переходит с учетом B8) в1)
1) Впервые выведено в работах: W. Q or don, Zs. f. Phys. 48, 180 A928) и
О. T e m p 1 e, Proc. Roy. Soc. 121, 673 A928). Более подробно обсуждено автором в Ann.
d. Phys. 11, 257 A931).

§ 9] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 119
Одновременно B5а) приводит к следующему асимптотическому
представлению для B9):
(_fb,)n (-НЬ»***-
*»— ГA + п) яГA-п)/*т|- (dU)
Мы пришли тем самым к чрезвычайно простому и ясному результату:
первый член в B9) представляет невозмущённую падающую волну, а второй
описывает, как влияет на неё рассеяние (диффракция) на ядре. Мы увидим
в гл. V, что эта формула заключает в себе классическую теорию резерфор-
довского рассеяния e-частиц на ядрах.
Для других применений (непрерывный рентгеновский спектр и т. д.)
является целесообразным придать B9) форму, не зависящую от выбора
системы координат: мы будем теперь считать,-что плоская волна падает не
в направлении оси х, а в произвольном направлении некоторого волнового
вектора к. Мы должны тогда заменить
«*** на «*<*■»
я, согласно представлению (За) для т), одновременно
k-ц на kr — (кг).
Если мы добавим ещё нормировочный множитель N, то обобщение B9) будет
иметь вид:
r — (кг)]). C1)
Придавая к всевозможные значения, получим из C1) систему
нормированных- и взаимно ортогональных собственных функций, каждая из которых
представляет асимптотическую плоскую волну. Эта система будет также и
полной, если мы добавим к ней рассмотренные в начале этого параграфа
собственные функции дискретного спектра.
Сравним её с системой истинных плоских волн
Л^***-». C1а)
для которых, как следует из G) дополнения 8, нормировочный множитель
имеет вид:
др 1_
о—Bи)*'
я попробуем определить из этого нормировочный множитель N в C1).
Асимптотическое поведение наших функций, от которого, согласно
замечанию на стр. ПО, только и зависит определение N, такое же, с точностью
до множителей, как и у системы C1а). Именно, из C0), если мы опустим
асимптотически пропадающий второй член (я чисто мнимо), получается [ср.
также G) дополнения 7]:
*);
Нам надо, следовательно, сравнить

120 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
Мы заключаем отсюда, что
N
B*)» 1-<
Естественно, что мы можем переписать записанное в параболических
координатах решение B9) в полярных координатах, т. е. его можно
построить из рассматривавшихся в § 7 собственных функций. Однако его
представление, которое мы приведём здесь без вывода, будет значительно
более сложным:
Здесь Rt — определённая G.27) радиальная собственная функция, а ft
означает угол, который образует с напразлением распространения падающей
волны линия, проведённая из ядра в точку наблюдения.
§ 10. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО СПЕКТРАЛЬНЫХ
СЕРИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОДНОГО ОПТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОНА
И ОТНОСИТЕЛЬНО СИММЕТРИИ АТОМНЫХ ОБОЛОЧЕК
Отличие, например, щелочных металлов от водорода состоит в том, что
вместо кулоновского поля действует силовое поле общего вида. Мы будем
считать его, как и в § 4 гл. VII т. I, приблизительно
центрально-симметричным и объединим в нём действующее на «внешний электрон» притяжение со
стороны ядра и отталкивание со стороны остальных составляющих атом
электронов. Выяснение вопроса об определении этого
центрально-симметричного поля отложим до гл. X. Упомянем только, что простейшим методом
является статистический метод Томаса—Ферми, а наиболее плодотворным —
метод Хартри—Фока. Здесь мы оставим это поле неопределённым и
обозначим его потенциал через V(r). Отличие потенциала V(r) от кулоновского
потенциала — можно обычно трактовать как экранирование ядра. Мы
покажем далее, на стр. 127, на примере /(-оболочки тяжёлых атомов, как
возникает такое экранирозание с точки зрения волновой механики.
В то время как, строго говоря, волновое уравнение для атома с Z
электронами относится к 3Z-мерному конфигурационному пространству,
после введения V(r) мы будем писать его приближённо, как для одноэлек-
тронной задачи, а именно [ср. A.1)] в виде:
bb+^[W-V{r)W = 0. A)
Под единственным электроном, к которому относится A.1), мы будем
подразумевать электрон, ответственный за расположенную в видимой области
часть спектра, например в случае щелочных металлов — валентный электрон,
в общем же случае — тот электрон, который находится на возбуждённом
уровне перед испусканием света. Уравнение A) допускает разделение
переменных A.2), т. е. имеет решение вида:
4, = RP? (cos Ъ)еш*. B)
При этом радиальная часть .удовлетворяет уразнению, аналогичному A.3):

§ 10] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ, СИММЕТРИЯ АТОМНЫХ ОБОЛОЧЕК 121
однако решение этого уравнения уже нельзя, как в случае водорода, найти
элементарным путём, возникает необходимость, вообще говоря, в численном
интегрировании.
Как и в случае водорода, выбор решения в форме B) приводит к
правилам отбора:
/-►/dtl, m/ . D)
^ т±\
В то время как правило отбора для т играет роль только в магнитном
поле, правило отбора для / определяет комбинационные возможности термов.
Мы сохраним обозначения старой теории, так что имеем для разных /:
терм: s p d f ...
1= 0 1 2 3 ...
Правило отбора D) обосновывает предпочтительное появление следующих
комбинаций термов (ср. т. I, гл. VII, § 1):
Главная Первая Вторая
серия побочная побочная
серия серия
S— р р — d р — *
Кроме угловых квантовых чисел / и т, нам надо рассмотреть и радиальное
квантовое число пг, которое задавалось в случае водорода степенью
полинома от г. Такое определение становится теперь неприменимым, поскольку
уравнению C), вообще говоря, нельзя удовлетворить полиномиальным
решением. Однако сохраняет силу другое определение пг, именно, как числа
нулей радиальной функции R, расположенных между точками 0 и сю (ср. § 3),
пг принимает значения
пг = 0, 1, 2, ...
Из чисел пг и / мы образуем, как и в случае водорода, главное квантовое
число
. E)
Однако, в то время как в случае водорода термы с одинаковыми главными
квантовыми числами совпадали (в пренебрежении релятивистскими
поправками), здесь они расщепляются, и притом тем больше, чем больше отличие
данного атома от атома водорода. Это обстоятельство обусловливает
макроскопическую различимость s-, p-, d-термов и отличие первой и второй
побочных серий. Покажем это количественно в простейшем случае.
Положим
V(.r) = -%+%, F)
т. е. добавим к кулоновскому потенциалу (заэкранированному до заряда,
равного единице) поправочный член, который чисто схематически отвечает
электрическому моменту ядра *) (м обладает размерностью е9 X длина),
') На языке старой атомной теории это означает: внешний электрон ивдуцирует
в атомном остатке поляризацию, ось которой совпадает с направлением иа внешний
электрон. Вклад этого «поляризационного эффекта» в поправку Ридберга Ь% и
сравнение его с вкладом «эффекта экранирования» обсуждались для двухэлектрониых систем
Бете, Квантовая механика простейших систем, М.—Л., 1934 (см, также В е t h е,
Handb. d. Phys. 24, 1, стр. 346).

122 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА {гЛ. 11
причем направление момента считается совпадающим с направлением радиуса-
вектора г; можно рассматривать уравнение F) и как разложение настоящего
потенциала в ряд по отрицательным степеням г, оборванное на втором члене.
Соответствующее уравнение C) мы запишем, как и в случае A.3):
2dR , /. , В , C
с—
Отщепляя множитель, определяющий асимптотическое поведение [ср. A.4а)
и A.5)], т. е. полагая
R = e~~*v, p = 2 V^^Ar,
мы получим для v дифференциальное уравнение, заменяющее A.7):
Оно может быть элементарно проинтегрировано по схеме, развитой в
дополнении 2. Согласно уравнениям (9), A0) и A1) этого дополнения мы
получаем:
В последнем уразнении мы написали пг вместо п, так как это число
действительно определяет степень рассматриваемого полинома, а следовательно,
и радиальное квантовое число. (Более общее определение пг через число
нулей R, о котором шла речь выше, оказывается здесь излишним.) Решение
квадратного уравнения (9) относительно а даёт при учете значения С из G):
(Ю)
Если рассматривать М как малую поправку, то разложение корня в ряд
дает:
*1=27ТГ <1Оа>
.Второй член в (9) переходит теперь благодаря A0) в
Наконец, раскрывая аначения постоянных В и Л в G) [ср. также A.10)],
получаем:
IF— Rh ГУ - Wmei ПП
т. е. ридберговский вид терма вместо бальмеровского (ср. т. I, гл. VII, § 2).
То обстоятельство, что Ьх зависит от /, обусловливает расщепление серий
термов s, p, d, ... Специальная форма A0а) для 3j показывает
непосредственно, что термы становятся тем более водородоподобными, чем больше /:
«поправка Ридберга» 8, в /-терме меньше, чем в d-терме и т. д.
Этот полученный нами в специальном предположении результат справедлив,
как известно, и в общем случае.

§10] СПЕКТРАЛЬНЫЕ ГЕРИИ. СИММЕТРИЯ АТОМНЫХ ОВОЛОЧЕК 123
Мы обратим здесь наше внимание на тесный параллелизм между
волновой* механикой и старой квантовой теорией. В дополнении 11 к т. I мы,
как и в F), разложили атомное поле V в ряд по степеням — и вычислили
радиальный фазовый интеграл в различных приближениях. Второе
приближение, которое отвечало обрыву разложения на члене -j, приводило и там
к ридберговскому терму. Для того чтобы получить в квантовой механике
терм в форме Ритца, надо оставить в F) старшие члены.
Мы подчёркивали уже в § 3, что в случае водорода «-термы с 1 = 0
оказызались сферически симметричными, а /?-, d-термы с/>0 — аксиально-
симметричными.
Это полностью переносится и на сложные атомы, поскольку характер
симметрии собственной функции B) задаётся угловой частью Pjneim?, которая
совпадает с угловой частью в случае водорода. Так же как и собственные
функции в «-состояниях, сферической симметрией обладают и получающиеся
из них плотности заряда р и отвечающие им силовые поля. Мы можем
заключить отсюда, что столкновения, которые определяются действиями
силовых полей, происходят, как и в классической кинетической теории газоз,
аналогично соударениям изотропных шаров, если, как, например, в случае
щелочных металлов, основное состояние является «-термом.
Наоборот, прежняя атомная модель обладала симметрией не шара,
а диска, например в основном состоянии щелочных металлов, когда во
всяком случае размеры атома в плоскости обращающегося электрона должны
были быть много большими, чем в перпендикулярном направлении.
Опыт Штерна — Герлаха даёт нам средство для ориентирования этих
мнимых атомных дисков параллельно друг другу. Действительно, если бы
парамагнитный момент был (как магнетон для основного состояния атома
водорода и щелочных металлов) обусловлен обращением электрона (на самом
деле он возникает за счёт спина электрона), то магнитная ось должна была
быть расположена перпендикулярно к плоскости орбиты и устанавливаться
параллельно или антипараллельно силовым линиям внешнего магнитного поля.
Сюда примыкает опыт Фразера *) с каналовыми лучами водорода.
Н+-частицы, которые как протоны обладали и по старой теории сферически
симметричным полем, а потому не могли помочь решению спора между
волновой механикой и старой теорией, вытягивались электрическим полем
непосредственно перед вхождением в измерительное пространство. Нейтральные
Н-частицы падали на термостолбик и с его помощью считались гальзано-
метрически. По дороге они подвергались действию магнитного поля,
силовые линии которого были параллельны направлению каналозых лучей. Согласно
старой теории при включении поля соударения частиц в пучке должны были
становиться более вероятными, и потому показание гальванометра должно
было уменьшиться по сравнению со случаем отсутствия поля, так как в
первом случае все Н-атомы остаточного газа (Н3 или аргон) должны были бы
поворачиваться к пучку полной поверхностью диска, в то время как в
отсутствии поля благодаря случайной ориентации атомов в качестве сечения
столкновения должна была бы выступать только часть поверхности диска.
В действительности, однако, не было обнаружено разницы в отклонениях
с полем и без поля. Это согласуется с новой теорией, по которой Н-атом
сферически симметричен, и поэтому ориентация в магнитном поле не может
повлиять на эффективное сечение столкновений.
1) R. Fraser, Proc. Roy, Soc. 114. 212 A927).

124 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
Уже в своей первой основной работе о теории «пространственного
квантования в магнитном поле» Штерн а) заключил из господствовавших тогда
модельных представлений, что магнитная ориентация атомов должна была
приводить к двойному лучепреломлению, которое, если бы оно действительно
существовало, должно было бы проявиться в бесчисленном количестве
прежних исследований, например с парами натрия. Это двойное лучепреломление
не должно было зависеть от напряжённости магнитного поля, и его появления
следовало бы ожидать и на больших спектральных расстояниях от мест
аномальной дисперсии. Действительно, когда все атомы, например, в парах
натрия магнитно ориентированы и мы пропустим световой луч
перпендикулярно к направлению магнитного поля, то, согласно представлениям о
симметрии типа диска, два направления электрических колебаний, на которые
можно разложить естественное световое колебание, будут расположены
относительно атома по-разному: одно, параллельное магнитным силовым
линиям, будет направлено перпендикулярно к плоскости орбиты, а второе
будет лежать в этой плоскости. Они должны были бы вызвать различные
реакции валентного электрона и обладать поэтому различными скоростями
распространения. Иными словами, должно было наступить магнитное
двойное лучепреломление, не зависящее от силы магнитного поля. То, что этого
на самом деле не происходит, было доказано различными путями. Последние
и наиболее надёжные опыты были проведены Шютцем *) с полностью
отрицательным результатом. Мы уже знаем, как надо это истолковать:
отрицательный результат говорит не против магнитной ориентации электронных
осей, которая объективно доказана опытом Штерна — Герлаха, но против
дискообразной симметрии атома; в предположении шаровой симметрии
атомов натрия в «-состоянии противоречие устраняется.
Но шаровая симметрия реализуется также и для всех замкнутых
оболочек 8). Отвлекаясь от введённого в т. I, гл. III, § 4 четвёртого или «спинового
квантового числа» т8, которое можно систематически рассмотреть только
в теории Дирака (гл. IV), и ограничиваясь здесь тремя «орбитальными
квантовыми числами» п, I и т, определим, что замкнутая оболочка образуется
электронами всех возможных состояний т, которые при заданных числах п
и / возможны согласно принципу Паули. Вследствие условия
число таких электронов разно 2/+ 1 [оно увеличилось бы вдвое, до
значения 2B/+1), из-за четвёртого квантового числа ms = ± -^ . Выпишем
собственную функцию Ь и плотность заряда р для какого-либо из этих
электронов в нашем приближении B), в котором, как мы уже отмечали выше,
взаимодействие с остальными электронами должно учитываться в суммарном
зиде через потенциал V(r):
b = RP? (cos 0) /■"», р = R2 \P? (cos Я)]2. A2)
Здесь R зависит от п и /, но не от т. Что же касается шаровых функций Р,
то мы будем считать их нормированными на единицу, т. е. будем считать,
отступая от обычной нормировки, что Р3 включает в себя множитель [ср.
(I. 9.31I:
2/+l(/m)l
yV 4я
1) S t е г п, Zs. f. Phys. 7, 249 A921).
2) W. SchOU, Zs. f. Phys. 38, 853 A926).
«) A. Unsold, Ann. d. Phys. 82, 355 A927).

§ 10] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ, СИММЕТРИЯ АТОМНЫХ ОБОЛОЧЕК 125
Что же касается нормирозки радиальной части R, которая не зависит от т,
мы будем считать её включённой в R. Если теперь просуммировать A2) по
всем 2/+ 1 электронам заполненной оболочки, то, вынося за знак суммы
не зависящий от т множитель R2, мы получим:
+J
2р = #2 2 [Я™(cosft)]9. A4)
m—l
Такая просуммированная плотность совпадает з нашем приближении с
плотностью заряда, отвечающей всей замкнутой оболочке. Наше утверждение
состоит в том, что она не зависит от 0, т. е. является сферически
симметричной.
Доказательство основывается на одной давно известной теореме теории
шаровых функций, именно на теореме сложения, которую мы приведём здесь
в следующей простой форме. Если ft, «p и ft', <p' — две точки на единичной
сфере ив — их сферическое расстояние, так что
cos в = cos 0 cos 9'+ sin 0 sin 8'cos(<в — <?'),
то
Я,A)Я,(cosft) = 2 ЯГ(со1»)ЯГ(со1»0«1"('"*'>. A5)
Бели мы положим здесь 0 = 0', <р = ?', то cos в = 1 и получится:
t
Р$A) = 2 [^Г(со8«)]а. A5а)
-I
Но правая часть этой формулы совпадает с празой частью A4).
Следовательно, наше распределение заряда A4) действительно оказывается не
зависящим от ft, т. е. сферически симметричным.
Если мы откажемся теперь от «нормировки на 1» и перейдём к
обычной нормировке, в которой ЯгA)=1, то правую часть A5) надо будет
помножить почленно на нормировочный множитель Л/9 из A3); соответственно
в левой части возникнет тот же самый множитель для т = 0, т. е. множи-
2/ —I— 1
тель —j—. Таким образом, A5) перейдёт в
i
Я,(со8«) = ^щ^Р?(со*Ъ)Р?(с<№Ъ')еШ{'г ~* 'К A6)
-г
Если отказаться, от единообразного определения Рр для отрицательных
и положительных т, которое было введено в A.3.166), то из A6) получится
■обычная действительная форма теоремы сложения:
Я, (cos в) = Я, (cos ft) Я, (cos 00+
t
Преимущества используемого нами отрицательного т, равно как и нашей
нормировки на 1, выясняются при сравнении A5) и A7).
' Наша теорема сохраняет свою справедливость и при учёте четвертого
квантового числа тв, когда суммирование производится не только по всем

126 ЗАДЛЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
значениям т, но и при фиксированных / и т по обоим значениям тв = ±-?г.
В формуле A4) надо добавить тогда в том же приближении, что и до сих
пор, множитель 2.
Без дальнейшего понятно, в сколь сильной степени должно упрощать
наличие сферической симметрии все рассмотрения химических свойств
замкнутых оболочек. Например, можно указать на построенную Льюисом модель
восьмиэлектронных оболочек (статический октет). Последняя также обладает
благодаря регулярному кубическому построению высокой степенью
симметрии, так что, например, дипольный и квадрупольный моменты
распределения заряда обращаются в нуль. Но при этом остаются старшие мультиполь-
ные моменты, влияние которых на больших расстояниях пытались, между
прочим, использовать для объяснения сил, сдерживающих кристаллическую
решётку. Напротив, наша теорема утверждает, что как для оболочек из
восьми электронов, так и для любых других замкнутых оболочек все муль-
типольные моменты произвольного порядка обращаются в нуль.
Эта теорема оказывается справедливой, однако, не только в
рассмотренном здесь одноэлектронном приближении, в котором взаимодействие
электронов представляется схематически потенциалом V(r), но справедлива и точно
при полном учёте всех потенциалов взаимодействия К (/•#). Мы не будем
призодить доказательстза этого утверждения, но сошлёмся на аналогичное
уточнение в конце § 3 гл. III, где будет говориться о введении точных
квантовых чисел М, L для зсей электронной системы вместо неточных
квантовых чисел т, I для каждого электрона, используемых в настоящем
параграфе.
Из сферической симметрии замкнутых оболочек следует далее, что они
не могут обладать парамагнитным моментом, так как для них будет не
только jr=)b = Q [уравнение F.17)], но в пределе Н = 0 и в сумме по
всем т также и У, = 0 [уравнение F.20)]. Отсюда следует, что атомы
с замкнутыми оболочками должны быть диамагнитными. Их диамагнитную
восприимчивость можно вычислять с помощью той же формулы Ланжевена,
что и для водорода, если обобщить соответствующим образом смысл
электрического момента инерции в; она основывается, как и для водорода, на
ларморовой прецессии. Так как и молекулы обладают, как правило,
замкнутыми электронными конфигурациями, то и они являются, за малыми
исключениями (О3, N0), диамагнитными.
Иначе обстоит дело для незамкнутых оболочек. Здесь азимутальные
электрические токи, вызванные отдельными электронами, не компенсируются.
Они ориентируются под действием магнитного поля и приводят к
результирующему парамагнитному моменту, который измеряется целым числом
воровских магнетонов. Его частично компенсирует диамагнитный момент,
обусловленный ларморовой прецессией. Доказательство проводится совершенно
аналогично выполненному в § 6, в особенности в F.21).
Рассмотрим несколько подробнее специальный случай замкнутой, т. е.
заполненной дзумя электронами, /(-оболочки. В начале развития
рентгеновской спектроскопии вычисления проводили с постоянной экранирования,
меняющейся скачком от s = О (внутри) до * = 2 (вне /С-оболочки). Иными
словами, потенциал v, действующий на некоторый мысленный заряд 1), пола-
') Например, налетающий извне электрон или протон. Этому ие противоречит, что,
как установил еще Мозли, эффективное значение постоянной экранирования равно
единице для испускания /(„-линии (ср. т. 1, гл. IV, § 4). В этом случае, как и при
определении терма в § 7 гл. IV т. I, речь идёт о незаполненной, т. е. ионизированной или
ионизирующейся, /(-оболочке.

101
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ, СИММЕТРИЯ АТОМНЫХ ОВОЛОЧ'К
127
гали имеющим вид:
v=
*Z
г
внутри,
вне.
Посмотрим теперь, как получается этот скачкообразный переход из волновой
механики. Волновомеханически потенциал складывается из потенциала ядра
и потенциала электронного облака
— 2rr*
A9)
B0)
Здесь р — плотность заряда в точке интегрирования (г', 0', <р') в
dxf = г'2 dr' sin 0' dft' dip'; углы 0', <р' относятся к оси ядро—точка
наблюдения. Зависимость р от координат находится из водородной собственно»
функции в основном состоянии:
* _.£
1 - о
следовательно,
Р = г
_ а
Множитель 2 отвечает двум электронам в /(-оболочке; от оболочек /., Af,.. •
мы можем отвлечься. Мы получаем из B0):
— 2rr' cos V
Интеграл по в' оказывается равным
Отсюда следует:
rr1
, r<r'.
e BZ\*i d» e—r—1 . &
8=8 r \ a ) I <№» о "f" de
& e-<
Вместе с A9) это дает:
B1)

128 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
следовательно,
V=
" — 2)
г-*оо,
т. е. действительно получаются предельные значения A8); формула B1) даёт
искомый непрерызный переход между ними.
Мы закончим указанием на введённые Хартри 1) атомные единицы.
В предыдущих вычислениях г появлялось, что естественно из
соображений размерностей, в основном в комбинации —. Мы можем устранить
знаменатель а, если положим, что все длины (х, у, z и т. д.) измеряются
в единицах радиуса водорода
а =
те» '
Мы пойдём, однако, далее и будем, следуя Хартри, измерять также и все
массы и заряды в единицах массы и заряда электрона. Но при а=\, т=\,
е=1 написанная выше формула требует также и h = 1. Это значит, что
за единицу действия надлежит выбрать Ь. Тогда одновременно (из-за е—1,
а=1) окажется, что единица энергии будет равна —, т. е. удвоенному
потенциалу ионизации водорода. Поскольку тем самым энергия \W1\ = Rh
основного состояния водорода окажется равной -к, то Rh = -к и,
следовательно, так как й= 1:
Из значения постоянной тонкой структуры а вместе с «=1, £=1 следует
е = — . Единица скорости составляет ас, т. е. совпадает со скоростью
электрона в основном состоянии водорода [ср. т. I, гл. II, § 2, уравнение (8)].
Отсюда получается в качестве единицы времени
£ = ^~2,3.1<Г» сек. B3)
Уравнение Шредингера для водорода принимает при использовании этих
единиц вид:
( !) B4)
а уравнение, содержащее время, согласно A.6.9):
^ |и = 0. B5)
Естественно, что при образозании дифференциального выражения А в этих
уравнениях надлежит дифференцировать не по длинам х, у, г, но по
безразмерным переменным
хо=т> y*=i> zo=j- B6)
D. R. Н а г t г е е, Ргос. Cambr. Phil. Soc. 24, 89 A928).

§ 11] ПОЛОСАТЫЕ СПЕКТРЫ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ 129
f II. ТЕОРИЯ ПОЛОСАТЫХ СПЕКТРОВ.
ВРАЩАТЕЛЬНЫЕ И ВРАЩАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СПЕКТРЫ
ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ
Мы ограничимся в этом параграфе двухатомными молекулами,
подобными, например, НО, Н,, .... и будем представлять их с помощью «модели
гантели»: две массы на концах невесомой связи. Связь будем сначала
считать твердой, а потом деформируемой. В первом случае мы получим
чистые вращательные полосы, а во втором случае к ним добавляются
колебания связи.
Вращательные полосы расположены в далёкой инфракрасной области
(например, при 100 jt, ср. т. I, гл. IX, § 2) и построены из простой
последовательности почти равноотстоящих линий. Они представляют собой основную
форму проявления существования молекулы. Их основным элементом является
терм Десландра. По старой квантовой теории он имел вид (ср. т. I, гл. IX, § 1):
¥- = Вт. т = 0, 1, 2,...; A)
напротив, по волнозой механике [гл. I, уравнение E.19)]
^ У = 0.1,2,... B)
Величина В в обоих случаях имеет значение
*—ИГ» W
где J—момент инерции относительно оси, перпендикулярной к оси
молекулы и проходящей через её центр инерции [ср. также ниже A5)].
Множитель У(У-{-1) возник в B) из дифференциального уравнения шаровых
функций, соответствующая собственная функция имела, согласно A.5.20), вид:
*1 = Р? (cos «>) Л D)
Из терма B) получается для перехода j'-*j частота
v = B {/'(/'+ 1>—УС/Н-1». E)
Однако волновая механика приводит [см. A.9.35)] к правилу отбора:
J'=J^U F)
где положительный знак отвечает испусканию, а отрицательный (в случае
вращательных полос) поглощению. Мы ограничимся первым и получим из E)
v = 2£G/+l). G)
Напротив, из A) с т' = т-\-1 получилось бы:
^ Ga)
Проведенное Черни (ср. т. I, гл. IX, § 2) подробное изучение полос НС1
определённо говорит в пользу G).
Мы добавим теперь к вращению колебания, принимая сначала, что они
могут не возмущать друг друга. Волновомеханический терм для
гармонического осциллятора равен:
т
9 Зак. 968. А. Зошкрфели

130 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
где v — «колебательное квантовое число», которое обозначено в A.5.10)
через п, \—собственная частота осциллятора, обозначенная тан через ч.
Отсюда разность термов для перехода ч/ -*v составляет:
> = («'—v)y0. (9)
Полуцелая добавка к квантовым числам осциллятора сократилась в этом
выражении, однако она станет существенной в следующем приближении
[см. B9а)], и, в особенности, при исследовании смещения термов двух
изотопов 1). Для гармонического осциллятора действует правило отбора:
v' = v±l. (9a)
Так как нижний знак приводит к отрицательному > (поглощение), то мы
ограничимся верхним и заключим из (9)
n = v (Ю)
При сложении с вкладом G) вращательного перехода получим:
A1)
Из опыта известно *), что ч0 велико по сравнению с вкладом вращательного
перехода и поэтому второй член может быть и отрицательным без того,
чтобы сделать v меньшим нуля. Мы можем поэтому использовать и нижний
знак в F), что даст для вклада вращательного перехода v = — 2Bj
вместо G).
Объединяя это с A0), получаем:
> = v0 — 2BJ. A2)
Выражения A1) и A2) совпадают с положительной и отрицательной ветвями
колебательно-вращательного спектра (т. I, гл. IX, § 2, уравнение E)]. Что
касается их теоретического и экспериментального обсуждения, то мы можем
отослать читателя к первому тому, в особенности к рис. 137 и 138.
Обсуждавшийся там пробел в «двойной полосе» при v = \0 объясняется с точки
зрения волновой механики тем, что j в A2) может принимать лишь
значения 1, 2, 3, ... (значение / = 0 бессмысленно, так как отвечало бы
переходу 0 —► — 1). Старая квантовая теория, исходившая из Gа), была бессильна
объяснить этот пробел.
Исследуем теперь взаимное влияние колебательных и вращательных
термов. Сначала нам придется несколько подробнее рассмотреть модель гантели
и ее обе массы т1 и щ. Задача является сначала шестимерной, однако
в ней, так же как и в шестимерной задаче Кеплера (§ 4), можно разделить
трансляционное движение центра инерции (масса равна М = тг-\-лц) и
(т\пи \
масса равна приведенной массе т = т , I
[см. F) и G) на стр. 129]. Последнее из этих уравнений после
включения постоянной энергии трансляционного движения Wt p W и замены куло-
невского взаимодействия произвольной функцией V расстояния между этими
массами будет иметь вид:
^ 0. A3)
1) См. R. S. М и И i k e n, Phys. Rev. 25, 259 A925). Первыми примерами были ВО
и MgH.
") Расстояния между краями полос велики по сравнению с расстояниями между
линиями в полосе.

§ 11] ПОЛОСАТЫЕ СПЕКТРЫ ДВУХАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ 131
где Д надо образовать из относительных координат обеих частиц. Положим
V = /(?), P = £, A4)
где а—расстояние между обеими массами в состоянии равновесия.
Следовательно, а = а1-\-ая, где at и а.3 означают расстояния обеих масс от
центра инерции. Тогда из элементарных соображений для момента инерции
относительно центра инерции мы получаем:
J = т^а*+/и2а» = та3. A5)
После умножения на а9 A3) можно переписать в виде
Положим
<WT A6а)
и получим тогда, учитывая дифференциальное уравнение для шаровых
функций, уравнение для радиальной части F(p):
Мы положим в соответствии с E) дополнения 13 первого тома
A8)
Такая форма автоматически удовлетворяет тому условию, чтобы р = 1 было
точкой равновесия двух масс в силовом поле V = f(p) и обладает
благодаря наличию постоянных А, В, Ь, с, ... достаточной общностью; она
отвечает произвольному электростатическому взаимодействию, которое
может иметь место между двумя заряженными ионами. Действительно, если
мы образуем силу, действующую по направлению г:
то в ней будут представлены все степени расстояния р — 1. Если мы
положим здесь Ь = с= ... = 0, то получим систему, близкую к гармоническому
осциллятору (но не совпадающую с ним), для которой сила — К,
возвращающая систему в положение равновесия, пропорциональна г — а (пока мы
будем считать р* в знаменателе приближённо равным единице). Коэффициент
при г — а будет при этом равен -^-; делённый на приведённую массу т,
он даст квадрат угловой частоты малых колебаний осциллятора.
Обозначив эту частоту «о, имеем:
•2=4» или В = М». A9)
Разложение A8) было впервые применено Кратцером, оно имело решающее
значение для развития прежней теории полосатых спектров и в равной
степени является полезным и для современного волновомеханического рассмотрения
9»

132 ВАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. II
этой задачи1). Именно оно даст нам возможность, как мы сейчас
покажем, рассмотреть «вращающийся осциллятор» с помощью простого
метода полиномов. При этом мы отвлечёмся от поправочных членов с
коэффициентами Ь, с, ...; если бы мы хотели их учесть, то нам пришлось бы
прибегнуть к методам теории возмущений. Относительно другого
возможного выбора выражения для потенциала, который позволяет еще лучше
удовлетворить опытным данным относительно полосатых спектров, см.
дополнение 9.
В силу A8) и A9) наше дифференциальное уравнение A7) гласит:
где мы положили сокращённо
k = £(W-A), T-^. B1)
Мы должны различать два случая: X > 0 и к < 0, непрерывный и
дискретный спектры, к —0 является точкой сгущения дискретного спектра (как
колебательного, так и вращательного). К этой границе примыкает
непрерывный спектр для к > 0. Мы рассмотрим здесь только дискретный спектр
и положим
— 1~P~%IA—W). B2)
Здесь C, равно как и -j и к, являются действительными числами.
Асимптотическое поведение F для p-too получается тогда из
уравнения
в виде:
F = е± ft.
Поскольку надо потребовать, чтобы при p-too F оставалось конечным,
мы выберем нижний знак в экспоненте и положим
F = e~tow. B3)
Тем самым из B0) получится уравнение для новой неизвестной функции w:
pa^_2pp.pw' + [_T9_;(/+l) + 2f»P]w = 0. B4)
Это уравнение снова имеет вид (9) дополнения 2. Следовательно, его можно
элементарно проинтегрировать с помощью полиномов. Сравнивая B4) с (9)
дополнения 2, заключаем, что
Лз=1, В2 = 0. ^ = 0. Bt = — 2р.
Следовательно, если мы положим
« = P-Q»(P). B5)
где Qn—полином степени л, то из A0) и A2) дополнения 2 получим:
<26>
1) Впервые проведенного Фюсом: Е. F u es, Ann. <L Phyg. 80, 367 A926); 81, 281
A926).

§ 111
полосатые спектры двухатомных молекул
133
7
(мы опустили, как это следует из условий в нуле, отрицательный знак у корня) и
В силу B2) в р содержится собственное значение W, поэтому
определяющее C уравнение B7) является
одновременно и решением задачи о
собственных значениях. Если мы
подставим в B7) а из B6), то обнаружим,
что собственное значение зависит от
двух квантовых чисел j и п.
Полиномиальная составляющая Qn
собственной функции, которую мы будем теперь
записывать аккуратнее, как Ql,
изображена на рис. 13 для j = 0 и
несколько первых значений п.
Формулу B7) можно будет
считать полностью раскрытой, если мы
подставим туда а из B6) и положим п
равным «колебательному квантовому
числу» v из (8):
о Т*
. B8)
Рис. 13. Первые четыре полииома
0S-1. <??=!-%
1—2 2а +2аBа+1) '
Q»=l-3
+ 3
Отметим, что оба квантовых числа
j к v входят в форме ./-I--? и v-\--~.
Для обсуждения B8) заметим, что т°2аBаЦ-1)
Т» 1. Именно, согласно B1), -I озна- Эти выраже„ия легче всего получнть'из
выражения C1) через
гипергеометрическую функцию, которое Г
ниже. Для построения
брано значение т = 10, а и р
числены с помощью B6), B7).
чает отношение собственного значения
для колебаний для * = 0 (равного
к собственному значению
вращательной энергии для У=1 (ко- £Г! £?&£%ТГJ
больше. Для j > 0, ио не слишком <
шого, (А. лишь незначительно отли-
чаются от приведённых здесь (?_.
торое равно 2Bh = ^). Известно, что
это отношение является большим
числом (ср. примечание на стр. 130, порядок величины составляет 20). Поэтому,
пока мы рассматриваем не слишком большие значения У и о, мы можем
разложить B8) в ряд, оставляя сначала только низшие степени по —:

134 ЗАДАЧА КРПЛЕРА [гЛ. Ц
В силу B1) и B2) отсюда следует:
B9)
Итак, мы находим, отвлекаясь от первого постоянного члена, что
в первом приближении наше теперешнее W получается сложением
собственных значений для чистого ротатора B) и для чистого осциллятора (8).
Первый постоянный член связан с энергией диссоциации двухатомной
молекулы.
Однако уравнение B8) содержит нечто большее, чем первое
приближение, оно даёт, кроме того, и общий закон, по которому возмущают друг
друга колебания и вращения при произвольных квантовых числах. Например,
для членов второго порядка получаем:
2У 2V 2»р*
Два первых члена здесь в точности совпадают с обеими поправками
Кратцера 1) из A6) дополнения 13 т. I, если мы положим там Ь = с = О, как
это мы уже сделали выше, — с тем единственным исключением, что
фигурирующие в т. I целые квантовые числа тип надо заменить на
полуцелые j+~2 и v~b-o • Последний поправочный член был опущен в т. I как
менее важный, но содержится в оригинальной работе9). Этот пример еще
раз иллюстрирует тесный параллелизм между волновомеханическими
расчетами и старой квантовой теорией.
Естественно, что для больших значений J и v нельзя разлагать B8)
в ряд, а надо использовать его в первоначальном виде. Тогда из B8)
получается как для о-»-оо, так и для j-*-oo, что р~»-0, если только мы вообще
можем столь далеко экстраполировать наши представления о
почти-гармонической связи. Предельное значение [) = 0 (что означает согласно B2)
и л = 0, W=A) является поэтому точкой сгущения как для границ полос
(v -*■ об), так и для линий каждой полосы (J -*■ об), что мы уже
утверждали выше в замечании, следующем за B1).
Для того чтобы исследовать, наконец, природу введённых полиномов Q,
мы подставим B5) в дифференциальное уравнение B4) и получим, учитывая
B6) и B7):
Если ввести вместо р независимую переменную х = 2j3p и обозначать
дифференцирование по х точками, то получится:
xQ+Ba— jc)Q+nQ = 0. C0)
1) Сравнение обоих членов приводит к тому, что использованная в т. I,
вспомогательная величина и совпадает с -j—, как это и должно быть по ее определению.
2) К г а t z е г, Zs. f. Phys. 3, 289 A920).

§ 121 МОЛЕКУЛА КАК СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 135
Это дифференциальное уравнение совпадает с точностью до обозначений
с дифференциальным уравнением вырожденной гипергеометрической
функции B.22). Итак, мы получаем, если отвлечься от несущественного
постоянного множителя:
Q = F( — n, 2а, x) = F( — n, 2а, 2?р). C1)
Полиномиальную природу Q можно увидеть и из этого представления: так
как первый аргумент F является отрицательным целым числом — п = — v,
то ряд для F обрывается на п-и члене.
Относительно дальнейших подробностей теории полосатых спектров
см. т. I, гл. IX, § 3. К рассмотренным здесь вращательному и
колебательному термам надо добавить ещё и электронный терм, который примерно во
столько же раз больше колебательного, во сколько колебательный больше
вращательного. Электронные термы имеют много общего с бальмеровскими
термами атомных спектров, однако не поддаются столь единообразному
рассмотрению, как колебательные и вращательные.
Вопросы интенсивностей мы можем затронуть здесь лишь весьма кратко.
В принципе вероятности вращательных и колебательных переходов уже
рассмотрены в гл. I, § 9. Особенно интересные вопросы, возникающие для
молекул с одинаковыми атомами, как N2, Oa и т. д., будут обнаружены
в гл. IX.
| 12. МОЛЕКУЛА КАК СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК
В гл. IX т. I мы различали двухатомные молекулы, момент которых
относительно линии, соединяющей ядра, равен нулю и которые не могут
иметь поэтому составляющей момента количества движения по этой оси, и
молекулы-волчки, моменты инерции которых представляются эллипсоидом
вращения и которые могут поэтому вращаться и вокруг оси симметрии.
Последние, пока конфигурации атомов можно рассматривать как жёсткие,
соответствуют «симметричным волчкам» обыкновенной механики.
Несравненно более сложную задачу об асимметричном волчке (эллипсоид инерции
общего вида) мы рассматривать здесь не будем.
Вопрос о квантовании симметричных молекул-волчков приобрёл
практический интерес с тех пор, как в формальдегиде СН.2О был найден *) пример
полосатого спектра, который отчётливо указывает на существование двух
различных, не обращающихся в нуль, моментов инерции. Квантовая
формула для таких молекул была приведена уже в т. I, гл. IX, § 6,
формула G), и притом в том окончательном виде, к которому приводит во л ново-
механическое рассмотрение9). Мы хотим теперь построить доказательство
этой формулы.
Система материальных точек, состоящая из закреплённого в точке О
твёрдого тела, обладает тремя степенями свободы; в качестве
соответствующих координат можно выбрать эйлеровы углы, которые обозначают обычно
через 0, ty, <р, но которые мы будем обозначать (поскольку <}> уже
использовано) через 0,' <р, у. Эти углы определяют, как известно, положение
твёрдо связанной с волчком системы отсчёта, а именно, «оси волчка» (оси
Z — оси симметрии эллипсоида инерции) и экваториальной плоскости
(плоскости X, Y) относительно неподвижной системы координат х, у, г\ при
1) V. Н е п г i und S. A. S с h о u, Zs. f. Phys. 49, 774 A928).
») P. Relche. Zs. f. Phys. 39, 444 A926); R. de L. Kronlg und Rabi, Phys.
Rev. 29,262A927); С Manneback, Phys. Zs. 28, 72 A927); D. M. Dennis on,
Phys. Rev. 28, 318 A926) (по матричной механике). Относительно вопросов ннтенсив-
иостей см. Rademacher und Reiche, Zs. f. Phys. 41, 453 A927).

136 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. П
этом линия пересечения плоскости X, Y с плоскостью х, у называется
«линией узлов». Далее, 0 означает угол между осями г и Z, х— Угол
между линией узлов и осью X, <р — угол между линией узлов и осью х;
О меняется от 0 до it, а х и «р — от 0 до 2я.
Кинетическая энергия симметричного волчка, записанная через эти углы
и соответствующие угловые скорости, имеет вид:
Г (q, Ъ - -j (»a+sin" «V0+4 (X + cos w)9. A)
где J—момент инерции относительно оси, лежащей в экваториальной
плоскости, а К—относительно оси волчка.
Эту формулу можно получить следующим образом: будем исходить из
общего выражения кинетической энергии через главные моменты инерция:
где «»£, »г и о>2 относятся к скреплённым с волчком главным осям X, Y, Z
(мы отказываемся здесь от обычного обозначения р, q, r, так как будем
использовать q и р для координат и импульсов). Поэтому для
симметричного волчка (A = B=*J, С=*К) получаем:
где »^ = У »^+»^. означает прямоугольную проекцию вектора угловой
скорости ш на экваториальную плоскость, a »z — проекцию на ось волчка.
Наряду с ними рассмотрим и косоугольные компоненты вектора угловой
скорости, именно 0, 9 и X» п0 линии узлов, оси г и оси волчка. Таким обра-
вом, мы разложили вектор угловой скорости двумя способами: с одной
стороны, на прямоугольные составляющие <t>z и юл, а с другой стороны — на
косоугольные составляющие 6, ф, у; ср. рис. 14а и 146. Проектируя
последние на ось волчка, мы должны получить a>z', таким образом,
<bz =£-|-cosO<p (За)
(ft не даёт никакого вклада в (За), поскольку линия узлов ортогональна оси
волчка]. Спроектируем теперь косоугольные составляющие на
экваториальную плоскость. Теперь обратится в нуль проекция у_, так как
экваториальная плоскость перпендикулярна к оси тела (рис. 146). Проекция Ь лежит
в экваториальной плоскости (именно на линии узлов); проекция <р лежит
на нормали к линии узлов (именно на линии пересечения плоскости рис. 146
с плоскостью рис. 14а). Поэтому
i 4 C6)
Если подставить (За, 36) в B), то A) будет доказано. Отметим еще, что
ось X образует с линией узлов угол у, а следовательно, ось Y—угол
X — j, так что помимо C6) можно выписать ещё и уравнения:
. }
«P. J
C»)
■ = sinx» — cosxsinO«p,
из которых C6) получается как следствие.

§ 121
МОЛЕКУЛА КАК СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК
137
В силу общих соотношений между импульсами р и кинетической
энергией! T(q, q) мы получаем из A):
Разрешая эти уравнения относительно скоростей и подставляя в T(q, q),
находим:
T(q. р)= Р* ' (^-cos*^J • рг
2/sin*»
Обозначим коэффициенты, с которыми входят в это выражение пронзве-
к1
ysln-Q-
Линия узлов
Рис 14а. Плоскость, проведённая че- Рис 146. Проекция угловой
рез ось волчка (ось Z) и ось г. Про- скорости на экваториаль-
екции угловой скорости на ось волчка ную плоскость,
и иа след экваториальной плоскости.
дения р\, 2до, через gm, g^ так что из D) получается:
1 1 cos*» , 1
8и~~ 2У8Ш»»
cos ft
Для детерминанта А квадратичной формы T(q, p) отсюда имеем:
О О
1
27
1 —xos»
Wstifib 2Js\n*<
—cos» cos»»
1
F)
Обратимся теперь к дополнению 10; из имеющегося тан уравнения B0)
находим функциональный детерминант D, именно:

138 ВАДАЧА КЕПЛЕРА [гЛ. II
Подставим выражения D) и G) в уравнение Шредингера в форме,
приведённой в A6) дополнения 10. В конце дополнения 10 доказывается, что в нашем
■случае твёрдой молекулы выполняются все предположения, при которых
■справедлива такая форма уравнения. Получаем:
Поскольку мы интересуемся только свободным движением молекулы, то
положим V = 0.
Из (8) следует прежде всего, что Xй? являются, как и в
обыкновенной механике симметричного волчка, циклическими координатами. В
классическом случае это приводит, как известие, к тому, что отвечающие им
импульсы рг и рщ оказываются постоянными; в волновой механике то же
самое обстоятельство позволяет записать зависимость волновой функции
от £ и <р в специальном виде:
ф:=е@)е*х+*Ч (9)
Здесь тих' должны быть целыми (положительными или отрицательными)
числами, так как <}> должна быть во всей области изменения координат
однозначной функцией и поэтому периодической функцией 0 и у с периодом 2я.
После такой подстановки (8) переходит в обыкновенное дифференциальное
уравнение для неизвестной функции в:
sin Ь-^ (sin в ^) — W* + (cosa 0 + L sin" О) т» —
^l = 0. A0)
Мы введём, как и в случае шаровых функций, новую независимую
переменную х = cos 0 и положим сокращённо:
^-t9— ^т*. A0а)
Тогда после простого преобразования из A0) получится:
A— х*)*^-2хA— *9)^_{_[ХA_ х*) — т* — т'2+2СТ'*1в = 0. A1)
Единственными особыми точками этого уравнения в области — 1 < * < -|- 1
являются граничные точки х = ± 1. Чтобы выяснить характер сингулярности
в этих точках, напишем:
1+х=у, (Па)
следовательно,
jc = i±:A— у), 1±jc = 2— у, A16)
и получим вместо A1), если обозначить дифференцирование по у штрихами:
У»B-.y)*e"+2у A-.У)B-.У) в'-
-{AyB-.y)-(T:+:*')»:+:2<y}e = 0. A2)
Как и в предыдущих случаях, ищем решение в виде:
A3)

§ lSfj МОЛРКУЛА КАК СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 139
и получаем для ? [приравнивая нулю коэффициент при yi в ряду в левой
части A2)] характеристическое уравнение:
т. е.
L^J 04)
Введя знак абсолютной величины, мы выбрали тот из корней, который
приводит к удовлетворению требования непрерывности собственной функции.
Выделим теперь в в обе характеристические степени в обеих особых
точках; переменную у будем при этом отсчитывать, например, от точки
jc = — 1, так что из A1а, 116) получится 1-\-х = у, 1—х = 2—у. Тогда
A3) примет вид:
е=/.«, /=B-у) « у • . <15>
Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет о. Для этого
подставим A5) в A2), где надлежит теперь брать нижний знак, и сократим
всё на множитель у B—y)f. Получится:
уB — _у)гЛ+Цх+^|B— у) — \х — х?\
-4-2A—^)]^+(Х + А)» = 0. A6)
После некоторых преобразований находим значение введённой здесь кон-
стаиты А:
| A6а)
Если ввести теперь дальнейшее сокращённое обозначение
•=* = j-Ox-r-x'l-r-lx — т'|). A66)
то можно будет переписать A6а) в виде
А = — т*» — т* = — т*(т*-|-1). A6в)
а само уравнение A6) перейдёт в
уB— ^)гЛ + 2[1-Нх + т'| — y(x'+l)W-[-lk — т*(тЧ-1)]« = 0. A7)
Если мы сравним A7) с общей формой (9) дополнения 2 для
дифференциальных уравнений встречающегося нам типа, то установим сейчас же с помощью
уравнения A0) дополнения 2, что решением характеристического уравнения
будет а = 0, как оно и должно быть, поскольку степенной множитель
у точки у = 0 уже выделен [ср. A5)]. Поэтому уравнение A2) дополнения 2
даёт:
A8)
где п — степень полинома, который мы получили из требования обрыва ряда.
Но A8) равносильно
* ЛУО A9)
если только мы положим
B0)

140 ЗАДАЧА КЕПЛЕРА [ГЛ. И
Таким образом, введённое ] является целым положительным числом, так
как п является степенью полинома, а т*, в силу A66), равно просто
наибольшему из положительных целых чисел |т| и |т'|.
Наконец, в силу A0а) из A9) следует:
Но это и есть как раз уравнение G) в гл. IX, § 6, т. I, которое мы хотели
доказать, с тем несущественным изменением, что мы пишем теперь т вместо j0.
И действительно, наше теперешнее т, которое относится к углу «р поворота
вокруг оси волчка, соответствует прежнему j0 и измеряет, как и j0,
«собственный момент» волчка. В нашей формуле содержится и особо отмеченное
в § 6 хл. IX т. I выпадение части линий полосы вблизи нуля. Действительно,
в то время как степень л нашего полинома может принимать все значения
0, 1, 2, .... число у ограничено, в силу B0), неравенством /*>-т*.
Наконец, волновомеханически можно обосновать и появление нулевой ветви,
так как правила отбора для j, получающиеся из нашего выражения (8),
которое отвечает движению, составленному из прецессии и вращения,
будут отличаться от правил отбора, полученных для случая чистого
вращения. Именно, переход j-*-j не будет запрещён, как это было при
чистом вращении.
Что же касается аналитического характера фигурирующих здесь
полиномов, то упомянем только, что и они оказываются специальными случаями
гипергеометрического ряда, именно так называемыми полиномами Якоби.
Хунд*) указывает на интересную связь между собственными функциями
нашей задачи и шаровыми функциями в четырех измерениях, 'благодаря
которой проясняется и природа полиномов Якоби.
P. H u n d, Zs. f. Phys. 51, 11 A928) н OOttinger Nachr., 1927, стр. 465.

ГЛАВА III
ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ
| 1. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ
Обсуждая в § 7 гл. I физический смысл волновой функция, мы позна»
копились с ее вероятностным истолкованием. Рассмотрим здесь простейший
случай свободного одномерного движения материальной точки с массой /»;
«положение» ее будем определять статистически, вычисляя вероятность
пребывания в интервале их около точки х, т. е. \и(х, f)\*dx. Будем считать
что начальное распределение вероятностей известно из опыта и дается
гауссовой кривой
\и(х, О)|« = ѻûГ. A)
Вещественная константа С определяется из условия нормировки:
+0О
f \u(x, 0)|»d*=l; C» = -L=-. B)
-со
Обратная длина 1/Ь представляет собой меру точности произведенного
в начальный момент измерения.
Соотношение A) определяет волновую функцию и(х, 0) лишь с
точностью до произвольной фазы. Таким образом, в согласии с A) мы имеем
право положить
и(х, 0) = Се >*' . C)
Смысл волнового числа к нам еще предстоит в дальнейшем выяснить.
Изменение волновой функции со временем (и, следовательно, дальнейшее
поведение материальной точки) определяется уравнением A.6.9) (в котором
потенциальную энергию надо положить равной нулю):
д*а 2т да ...
SP= /Й dt' ("
Это ость не что иное, как диффузионное уравнение с мнимым
коэффициентом диффузии
Соответственно решение D), принимающее при / = 0 заданное значение
а(х, 0), можно сразу написать в хорошо известном виде:
п(х, 0 = ^

142
ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ
[ГЛ. 1П
или, подставляя и(х, 0) из C):
«в-6Р 6' .,
Полагая
и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 5, находим:
Таким образом.
. __
2/art
+0О
J
2а /а/ '
G)
(8)
Составляя квадрат модуля
и пользуясь B), Dа) и G), получаем после элементарных вычислений:
AM
При данном / максимум этой функции лежит в точке х = —; с
течением времени он перемещается с постоянной скоростью
(И)
Соответствующий импульс р = ЛЛ; таким образом, волновое число Л
2к
определяет длину волны де Бройля X = —, связанной с максимумом
(«центром тяжести») волнового пакета. Тем самым выясняется и смысл фазы
функции и(х, 0) [см. C)).
В то время как «центр тяжести» волнового пакета движется с
неизменной скоростью, ширина пакета непрерывно возрастает со временем. В самом
деле, как видно из A0), амплитуда функции \и{х, /)|9 (первый множитель)
уменьшается, а полуширина гауссовской кривой увеличивается с
увеличением /. Начальная ширина волнового пакета 2Ь увеличивается вдвое, когда
знаменатель экспоненты становится равным 4ft9, т. е. когда
При начальной ширине 2 мм F = 0,1 см) волновой пакет,
соответствующий материальной точке с массой 1 г, расширяется вдвое примерно за
6- 1017 лет. Полагая, однако, « = 0,9- Ю- г (масса электрона), получим
при том же (значительно превосходящем размеры атомов!) значенни 6=0,1 см

§ 2] КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 143
/ = 0,02 сек. Однако и такое расширение волнового пакета практически
неощутимо, так как в реальных экспериментах скорость самых медленных
электронов составляет около одной сотой скорости света, и они пролетают
метровую трубку за 3 • 10~5 сек. Таким образом, для волновых пакетов,
начальная ширина которых имеет макроскопические размеры, квантовомеха-
нический эффект «расползания» не играет никакой роли. Как будет
показано в § 6, этот эффект тесно связан с соотношением неопределенностей.
С другой стороны, полагая попрежнему /» = 0,9 10~97 г, но Ь=10~в см
(т. е. переходя в область атомных размеров), мы получаем в соответствии
с A2) /«10~1в сек., т. е. волновой пакет полностью расплывается за очень
короткое время.
Отсюда следует, что квадрат модуля волновой функции никак нельзя
отождествить с плотностью заряда частиц в элементарном смысле (см. гл. I,
стр. 51). В противном случае пришлось бы считать, что электрон после
измерения его координат моментально «размазывается» по сколь угодно-
большому объему, что противоречит простейшим опытным фактам: мы всегда
имеем дело с практически точечными электронами. Едва ли остается еще
какая-нибудь возможность, кроме статистического толкования волновой
функции, уже рассмотренного нами в § 7 гл. I. Если точность измерения
координат электрона в начальный момент времени была очень велика, то через-
весьма короткое время будет практически равновероятно обнаружить
электрон в любом другом месте. Вместе с тем в обычных катодных лучах
вероятность обнаружить электрон в соответствии с опытом отлична от нуля
только на определенных геометрических «лучах».
| 2. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ
КЛАССИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Образуем теперь волновомеханическое среднее значение координаты q
[или, как мы иногда будем говорить, значение координаты центра тяжести
волнового пакета, описываемого функцией и(х, t)\. Коль скоро плотность
вероятности равна |и|9 = и'и, мы получаем:
! f u*qu di.
A)
Для краткости будем рассматривать случай одной материальной точки
и соответственно понимать под dt трехмерный элемент объема; заметим
только, что все дальнейшее без труда можно распространить на
произвольную систему материальных точек или электронов. Будем считать, что а
достаточно' быстро исчезает в бесконечности, так что не только сходятс»
интегралы типа A), но и обращаются в нуль все получающиеся из них при
интегрировании поверхностные интегралы [см., например, уравнение C6)].
Если, в частности, выбрать в качестве и и и* я-ю собственную
функцию какой-либо определенной задачи, то ~q представляет собой
одновременно n-й диагональный элемент qnn матрицы координат (см. § 4).
Произвольный матричный элемент получается, если заменить и* на и'п, а и— на ит:
\qumdi. (la)
А. Энергия и импульс. Уже в § 6 гл. I мы для вывода
волнового уравнения заменяли механический импульс р оператором

144 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ш
Отсюда по образцу A) получаем волновомеханическое среднее значение
импульса в виде интеграла по всему пространству
р = J и*ри «ft a -j Г и* grad a «ft. C)
Это выражение дает волновомеханическое истолкование классического
понятия «импульс». Для задачи с собственными функциями имеем:
Ли» — у J "» в" *• *• <3а>
Очевидно, в выражениях типа C), (За) существенен порядок следования
оператора grad и функций и, и*. Операторы, вообще говоря, нельзя' пере-
ставлять с места на место. С другой стороны, в уравнении A), куда
входят лишь обычные величины, можно произвольно изменять порядок
множителей; в частности, с равным правом можно написать:
Для дальнейшего будет удобно «симметризовать» выражение C). Для
-этого вычтем из него очевидное соотношение
ft Г Л Г
О = -К7 I grad (и и) «ft = •sj I (и grad + и grad «r) dv. C6)
.Мы получим:
Р = 2f Г ("* grade — а grad и*) «ft. (Зв)
В классической механике р и </ связаны соотношением
Р — «?• D)
■В волновой механике эта связь переносится на средние значения
р=тд. Dа)
•Чтобы доказать это, вычислим q, пользуясь A):
"q =з jq (uu*+ий*) </х. E)
Для производных по времени надо подставить в соответствии с A.6.9):
Тогда члены, содержащие V, исчезают в E), и мы находим:
т</ = — ■*? I q(u*La — tiAti*)«/x. G)
Теорема Грина в Диффереициальной форме гласит:
и' Аи — а Аа* = div («* grad а — и grad а*).

§ 2] КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 145
Интегрируя в G) по частям, можно избавиться от дивергенции. Пусть,
например, q = x. Тогда из. трех частных производных, к которым сводится
дивергенция в прямоугольных координатах, отличный от нуля результат дает
лишь производная по х. С точностью до интеграла, который берется по
бесконечно удаленной поверхности и потому (см. выше) обращается в нуль,
уравнение G) дает при этом:
Таким же образом получаем и в общем случае
mq=-?£ \ (и* grad и — и grad и') di. (8)
Правая часть этого уравнения есть по определению [см. C)] не что иное,
как среднее значение импульса р\ тем самым равенство Dа) доказано.
Образуем теперь волновомеханическое среднее значение кинетической
энергии К, классическое выражение для которой имеет вид:
л— 2m W
На основание B) мы получаем:
К ^J«*Aedx. A0)
С другой стороны, среднее значение потенциальной энергии (если последняя
может быть представлена как функция только от координат) есть
A1)
Соответственно получаем и для среднего от оператора Гамильтона H=K-\-V:
H = K+V. A2)
Подставляя сюда A0) и A1), находим:
Если, в частности, а есть стационарная волновая функция, принадлежа-
данному гамильтониану
дингера скобка в A3) равна
щая данному гамильтониану и = ип = $пе~*т»', то в силу уравнения Шре-
и (поскольку волновая функция нормирована на единицу)
7? = ЯМ,= ^„. A3а)
С другой стороны, заменяя в A3) и*, и на и*. ит, получаем благодаря
условию ортогональности:
77^ = 0. т. е. ^m+V^m = 0. A36)
Таким образом, в системе своих собственных функций оператор
Гамильтона является диагональным. Это обстоятельство можно рассматривать
непосредственно как определение собственных функций, принадлежащих Н.
Ю Зас. 868. А. Зошерфем

146 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. П1
Б. Общее замечание относительно операторов и их
волновомеханических средних значений. Определением B)
оператора импульса можно воспользоваться для того, чтобы дать общее
правило составления волновомеханического аналога любой классической
величины. Мы представляем некоторую величину L как функцию координат и
импульсов
L = L(q, p)
и сопоставляем ей оператор
L = L(q, |grad).
Волновомеханическое среднее значение величины L определяется как
I = J ifL [q, у-grad) и dx. A4)
Частным случаем этого общего соотношения является сказанное выше о
кинетической и потенциальной энергии. То же будет иметь место и при
вычислении различных средних значений в дальнейшем.
В. Закон движения центра тяжести и закон площадей.
Теорема вириала. Основное уравнение классической механики
материальной точки для случая консервативных сил имеет вид
р = —gradV. (I)
Принимая какую-нибудь (произвольную) точку за начало координат и век-
торно умножая (I) на радиус-вектор г, получаем закон площадей в его
наиболее общей форме:
J-[rp) = -[r, gradV]. (H)
Аналогично путём скалярного умножения на г получаем теорему вирнала:
±(rp) = 2K-(r. gradV). (Ill)
Здесь, как и раньше, К обозначает кинетическую энергию; (г, grad V)
представляет собой «вириал» данной системы сил. Как известно, теорема вириала
особенно полезна при изучении периодических или почти-пернодических
движений, когда она сводится к утверждению, что усредненное по времени
удвоенное значение кинетической энергии равно взятому с противоположным
знаком вирналу системы. Частным случаем ее является теорема, изложенная
в дополнении 3 в первом томе.
Следует ещё заметить, что в классической механике ограничиваться
только консервативными силами отнюдь не обязательно; в волновой механике,
однако, это пока что необходимо, поскольку мы основываемся на
простейшем волновом уравнении F).
Волновомеханические аналоги соотношений (I), (II)> (HI) получатся, если
стоящие слева выражения рассматривать как операторы и по правилу A4)
образовать их средние значения. Мы докажем, что последние равны волново-
механическим средним значениям операторов, стоящих в правых частях
соответствующих равенств.
На основании C) левая часть (I) имеет вид:
£ р = -j- J (a* grad u-\-u' grad и) dx. (la)

§ 21 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИЯ 147
Аналогично получаем для левых частей (II) и (ПО:
£ Ш = у J 'г> "* &*d « + ■* &лй «1dx> <IIa>
^.(rp) = -5-J(r, «*gradii + a'grada)dT. (Ilia)
Очевидно, дифференцирование по времени здесь относилось только к
волновым функциям и, и*\ радиус-вектор г, будучи переменной
интегрирования, от / не зависит.
Симметризуем выражения Aа), (На), (Ша), интегрируя по частям первый
член правой части каждого из названных уравнений и отбрасывая (как
равные нулю) Появляющиеся при этом поверхностные интегралы. Мы имеем:
f a* grad и dt = — \ и grad и* dx,
Г [г, и* grad и] dx = f [re*, grad а] dx = — J [r, и grad а*1 <*х,
J (г, а* grad а) dx = Г (га*, grad it) dx = — Г (г, и grad а*) dx — 3 Г и*а dx.
Подставляя это в Aа), (Па), (Ша), находим:
-^р = — у I (a grad а* — а* grad а) dx, A6)
± FTpl = — 1J [г, и grad «♦ — «♦ grad «I dx, A16)
± Jff) = — A J (г,« grad и* — 'и* grad и) dx — у J «♦a'dx. (Шб)
Ha основании F) мы имеем:
«grade* — e*grade= —^(Aagrad и* + Ди* grad и) -+-
a grad «♦ + Ка* grad a). A5)
Второе слагаемое справа здесь можно переписать в виде:
jjj {grad (Vu*a) — и*и grad V\. A6)
Будучи подставлен в A6), A16), (Шб), этот член дает:
(На)
— J и*и (г grad V) dx — 3 J u*uV dx. (Шв)
Рассмотрим теперь последний член правой части уравнения (Шб).
Подставляя значение и из F), можно переписать это слагаемое в виде:
u*uVdx. (Шв')
10»

148 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. ГО
Осталось рассмотреть только первое слагаемое в правой части A5). Его
вклад соответственно в A6), (Пб) и (Шб) имеет вид:
— ^ J(Aagrada*+Aa*grada)dx, (Ir)
—^ Г [г, Да grad и* + Да* grad а] dx, (Нг)
—^Г(г, Да grad и* + Да* grad а) dx. (Шг)
Проще и целесообразнее всего вычислить эти интегралы, введя некоторый
тензор, который будет подробнее рассмотрен в дополнении 11. С помощью
выведенных там формул C), D) и E) мы получаем:
Aг) = 0; (Иг) = 0; (Шг) = £ J а*Ди dx.
Таким образом, окончательно правые части A6), (Нб) и (Шб) принимают вид:
Aв) + Aг) = — J и* grad Vu dx = — grad V
(Ив) + (Иг) = — J и* [г, grad V\ и dx = — [г, grad V\
(IIIb) + (Шв') + (Шг) = — J и* (r grad V) a dx —1£ J а*Ди dx =
= — (г grad V0 + 2K [см. A0)].
Это, однако, не что иное, как волновомеханические средние значения правых
частей трёх классических уравнений (I), (II), (III). Таким образом, наши
утверждения доказаны: в волновой механике закон движения центра тяжести,
закон площадей и теорема вириала справедливы для средних значений
соответствующих операторов.
Первое из сделанных утверждений было впервые (в несколько
специальном виде — для одномерного случая) доказано Эренфестом1). Последний
доказал, что центр тяжести любого волнового пакета движется как классическая
' материальная точка в соответствии с уравнением A), если только силу,
действующую иа каждый элемент волнового пакета, умножить на весовой
фактор |а|9<2т и векторно перенести в центр тяжести.
Если, в частности, состояние является стационарным, так что
зависимость а и а* от времени дается множителем
i_
e *
то временные множители в выражении для р взаимно компенсируются, и мы
получаем законы сохранения
1) P. Ehrenfest, Zs. f. Phys. 45, 455 A927).

§ 2) КВАНТОВОМЕХАНИЧКСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 149
(сохранение скорости перемещения центра тяжести и т. д.). Из предыдущего
следует, что соотношения A7) равнозначны следующим:
gradV = O, A7a)
1 = 0, A76)
) = 2K. A7b)
Смысл первых двух условий хорошо известен из классической механики:
равнодействующие всех сил и моментов сил равны нулю. Нас после того
как мы обобщим все предыдущие рассуждения на случай системы п частиц
(электронов и ядер) будет особенно интересовать уравнение A7в).
Указанное обобщение состоит в дословном повторении всех предыдущих
рассуждений, в которых только от трёхмерных векторов г, р, grad V, ... надлежит
перейти к Зп-мерным величинам, а под и, и* подразумевать решения
З/t-мерного волнового уравнения. Допустим теперь дополнительно, что все силы,,
фигурирующие в V, имеют чисто электрическую природу и действуют только
между частицами, входящими в состав нашей системы. Тогда мы имеем
замкнутую электрическую систему, V представляет собой однородную функцию
степени (—1) от всех координат конфигурационного пространства, и по
теореме Эйлера
(г, gradV) = — V.
Уравнение A7в), справедливое и в этом случае (причем черта сверху
означает усреднение по конфигурационному пространству), принимает теперь
вид: _
2/С= — V. A8)
Это уравнение содержит утверждение, что волновомеханическое среднее
вначение кинетической энергии замкнутой электрической системы равно
половине взятого с обратным знаком волновомеханического среднего
потенциальной энергии системы. Хорошо известно (см. т. I, приложение 3), как
использовалась соответствующая теорема в старой квантовой теории. В старой
квантовой теории эта теорема оказывалась справедливой только в среднем
во времени, но волновомеханический метод замечательным образом включает
в себя и это усреднение.
В заключение следует указать еще одно обобщение всех предыдущих
рассуждений. Вместо того чтобы производить вычисления с функциями и,
и*, характеризующими одно состояние, можно взять два произвольных
решения уравнений F) {и и о). Для этого нужно только во всех наших
формулах заменить и* на о, все прочее остается без изменения. Очевидно, для
волновомеханических средних вначений энергии и импульса мы получим
вместо C) и A0):
/»= «grada.A; ~К = — ^ Г
Если, в частности, воспользоваться двумя собственными функциями (и„, ит)
какой-нибудь задачи о собственных значениях, полагая v = u*m, то
соотношения (I), (II), (III) превращаются в уравнения для произвольных матричных
элементов рпт, (grad V)^m, К^ и т. д. Мы еще вернемся к этому вопросу
в § 4.

160 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ш
| 3. ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ОПЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСА
И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
В то время как в предыдущем параграфе мы имели дело лишь со
средними значениями различных операторов, в настоящем параграфе будут
рассматриваться сами эти операторы. Мы будем считать, что их можно
представить в виде
A)
тем самым предполагается, что операторы не зависят явно от времени:
# = <>• (la)
Результаты этого параграфа будут гораздо более глубокими, чем
полученные нами раньше. В самом деле, до сих пор мы рассматривали
соотношение
J u*Ludi = T,
которое, используя условие нормировки, можно переписать в виде
J u*Lu dx = X J и*и «ft. B)
Теперь мы постараемся расщепить это соотношение на бесконечное число
уравнений, справедливых в любой точке, полагая вместо B)
1м = Х«. C)
(Мы пишем X вместо L, ибо указание на производившееся ранее усреднение
здесь излишне.) Мы увидим, что таким путём полученные ранее
«интегральные» законы (движения центра тяжести и площадей) можно превратить
в «дифференциальные» законы большого физического значения.
В словесной формулировке уравнение C) означает, что при измерении
величины L в состоянии и с достоверностью получается значение X. Таким
образом, в данном случае определяется не только среднее значение
результатов многих измерений, но и результат одного единственного опыта.
Прежде всего введем несколько общих определений и правил.
Два оператора L и М называются перестановочными (или
коммутирующими), если в применении к любой функции имеет место равенство
(Ш — ML)v = 0, D)
которое символически можем записать в сокращенном виде
LM — iWL = 0, т. e. LM = ML. Da)
Если оператор L перестановочен (коммутирует) с гамильтонианом Н,
то говорят, что он «сохраняется» (часто употребляется и другое выражение:
говорят, что «I является интегралом движения»). Основанием для этого
служит то обстоятельство, что вероятность обнаружить при измерении L
любое заданное значение X оказывается не зависящей от времени. При этом
система, над которой производится измерение, описывается «уравнением
движения»

§ 3] ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 151
Мы не будем доказывать сделанное утверждение со всей полнотой,
а рассмотрим только частный случай, для которого справедливо уравнение C).
В этом случае наше утверждение означает, что -^ = 0. Чтобы доказать это,
продифференцируем уравнение C) по времени
/ ди л„11 ди
(при вычислении левой части использовалась формула Aа)). Учитывая E),
находим:
£ ({)u. Eа)
По предположению Н коммутирует с L и, следовательно, с L — X. Поэтому
правую часть Eа) можно записать в виде:
что равно нулю в силу C). Итак, действительно, уравнение Eа) означает:
§ = 0. E6)
Отметим также (без доказательства), что в силу того же условия
перестановочности L и Н уравнение E) обладает решениями и„, которые вместе
с тем являются и собственными функциями оператора L, так что
одновременно имеют место равенства:
F)
Соответствующие волновые функции и„ образуют полную систему.
В качестве первого (вполне тривиального) примера рассмотрим импульс
свободной частицы. В данном случае V = 0, и, следовательно,
" —£а. G)
Далее, полагая
L=p = 2- —
легко видеть, что Н и рх коммутируют:
Таким образом, на основании F) имеются решения, для которых (мы
пишем сейчас ъх вместо л)
рхи = iv»
или в общем виде
ри = пи. (8)
Для этих стационарных решений вектор импульса свободной частицы
сохраняется:
р = п. (8а)
Справедливо и обратное: для того чтобы вектор импульса сохранялся,
внешние силы должны отсутствовать. В самом деле, если добавить в правую

152 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ш
часть G) некоторую функцию координат V(x, у, г), то Н и р более не
будут коммутировать друг с другом [в смысле уравнения D)], или несколько
конкретнее: для того чтобы сохранялась, например, х-компонента импульса,
необходимо, чтобы в этом направлении движение частицы было свободным,
т. е. чтобы функция V не зависела от х.
Уравнение (8а) аналогично закону инерции классической механики, но
это — только символическая аналогия: сохраняется оператор р; для
волнового же поля и отсюда не вытекает никакого закона сохранения: уравнение (8)
означает только, что grade пропорционален и. В этом отношении
полученный здесь «дифференциальный» закон сохранения импульса коренным обра-
вом отличается от «интегрального», рассмотренного в предыдущем параграфе.
Действительно, последний закон [уравнение A7)] представляет собой вполне
определенное утверждение о поведении волнового поля в целом.
В связи с изложенным следует сделать одно методическое замечание.
Можно было бы начать интегрирование не с первого, а со второго из
уравнений F). При /.=/>, Х = я оно приводится к виду
— grad и = пи (9)
и имеет решение
« = .4A^, v «J e~*m. <9a>
Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка (9)
определяет зависимость плоской волны от координат. Подставляя (9а) в
волновое уравнение E) [с гамильтонианом свободной частицы G)], получаем
дифференциальное уравнение первого порядка по времени, определяющее
функцию А; интегрирование его дает нам зависимость плоской волны от времени:
£ (Ю)
Таким образом, знание операторов, коммутирующих с Н, позволяет
упростить волновое уравнение и интегрировать его последовательно, «шаг
за шагом». Это обстоятельство аналогично использованию так называемых
«первых интегралов» уравнений движения в классической механике.
Переходя к закону сохранения импульса в системе многих частиц,
определим, как и в классической механике, полный импульс системы Р как
сумму импульсов отдельных частиц:
if
В переводе на язык операторов это означает:
*-* <u>
Будем считать, что внешние силы отсутствуют, а силы взаимодействия между
частицами системы центральны и имеют потенциал
ПФ1, 1<

§ 3] ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 153
(множитель Va включен потому, что каждая пара частиц должна учитываться
только один раз). Тогда оператор Гамильтона имеет вид:
Н—«"Ий+т
к п.1
Первый член здесь явно коммутирует с Ря; второй же, на первый взгляд,
иет. В самом деле, применяя операторы РН и HP к произвольной функция v,
мы получаем, отбрасывая затем функцию v:
=нря+А ^ £. ^ v(rj. A3)
* п, I
Однако фактически второй член правой части A3) равен нулю, что мы
сейчас и докажем. Прежде всего фигурирующая вдесь тройная сумма
распадается на две двойные суммы, так как при дифференцировании отличный
от нуля результат получится, если к совпадает либо с я, либо с /. Таким-
образом,
Соберем члены, содержащие один и тот же множитель —л ; их вклад,
в A4) есть Ы
По определению величины гы сумма в скобках в A5) тождественно равна
нулю. Следовательно, обращается в нуль и все выражение A4), и мы
получаем из A3):
На основании E6) отсюда следует, что, как и в классической механике,
в отсутствии внешних сил полный импульс системы N материальных точек
сохраняется.
Перейдем теперь к закону сохранения момента количества движения
(его можно назвать «дифференциальным законом площадей» в отличие от
«интегрального» закона, рассмотренного в предыдущем параграфе).
Определим момент количества движения системы частиц М следующим
образом:
M=2Affc = 2[r»A]. A7)
или в операторной форме
Мы утверждаем, что если внешние силы отсутствуют, а силы
взаимодействия между частицами системы — центральные, то операторы Мх и Н
перестановочны. [Оператор Гамильтона Н в этом случае имеет вид A2).]
Докажем прежде всего, что
. A9)

154 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. III
При 1ф k это равенство тривиально; при l = k мы имеем (р—произвольная
■функция)
Ъ / д д
v=
B0>
Поскольку последний член в B0) тождественно равен нулю, соотношение A9)
доказано и для l = k.
Суммируя A9) по /, мы приходим к выводу, что и суммарный момент
количества движения всей системы Mz = ^,Mzl также коммутирует с Ак;
дальнейшее суммирование по k показывает, что Мг коммутирует и
■с Д = 2 Д»« Поскольку Д пропорционально оператору кинетической
энергии К, мы получаем окончательно:
B1)
Осталось доказать, что такое же равенство инеет место и для
оператора тютенциальной энергии:
V=i jK(rnl) (пФ1). B2)
Будем исходить из тройной суммы:
где v—произвольная функция. Заметим прежде всего, что во всех случаях,
когда k не равно / или п, Мг>к и V(rnl) коммутируют по тривиальным
причинам. Таким образом, нужно рассмотреть только две двойные суммы
■с k = n и & = /:
2 a(nl) v =
*,? п, I
Члены, содержащие множитель ^ ■ дают следующий вклад в B3):
ЬдУ(гп1)( drnt friair drni дгп
Таким образом, в обеих суммах B3) останутся лишь те слагаемые, в
которых дифференцируется не V, а V. Они имеют вид:
и в сумме с членами, в которых k Ф п, кФ1, образуют оператор с
переставленными сомножителями: 2VMtv. Тем самым равенство B2) доказано. Из

§ 3] ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 155
B1) и B2) непосредственно следует, что
B4)
Аналогичные равенства получаются и для Мх, Му. Дважды применяя B4)
(и соответствующие уравнения с Мх и Mv), легко показать, что и оператор
М8 = МI+М \ + М\ B5)
перестановочен с Я:
9Я ЯАР B6)
Итак, в свободной системе N частиц, взаимодействующих друг с
другом по центральному закону, компоненты (Мх, Му, Мг) и квадрат АР
суммарного момента количества движения сохраняются. Этот операторный закон
полностью аналогичен классическому закону сохранения момента количества
движения.
Пусть теперь заданы два произвольных коммутирующих друг с другом
оператора £ и Ж:
ML = LM, B7)
и пусть нам известны собственные функции и„ и собственные значения Ая
оператора L:
Lun = knun. B8)
Из B7) и B8) следует:
MLun = М кпи„ — кпМип,
] B9)
Таким образом. Мип является собственной функцией L, принадлежащей
собственному значению кп. Если данному А„ принадлежит только одна
собственная функция ап («собственное значение не вырождено»), то величина Мип
должна с точностью до постоянного множителя совпадать с и„:
Мип = const • и„ = Жяия. C0)
Это означает, что величину М можно точно измерить одновременно с L,
причем результат ее измерения в состоянии ип будет равен Мп. Часто это
обстоятельство выражают и иначе, говоря, что операторы L и М можно
одновременно привести к диагональному виду. Основания для употребления
такой терминологии будут приведены в дальнейшем, в § 4.
Если данному кп принадлежит несколько собственных функций ипт(т = 1,
2 а) («собственное значение вырождено»), то вместо B8) следует
написать:
£«nm= Mnm- C1)
Отсюда, как и раньше, вытекает, что Мипт является собственной функцией
оператора L, принадлежащей собственному значению кп. Однако теперь она
представляет собой, вообще говоря, линейную комбинацию функций ипт:
SCV C2)
11=1
Можно показать (мы опускаем доказательство), что, выбирая в качестве
новых собственных функций vnm подходящие линейные комбинации из ипт,
можно представить уравнения C1) и C2) в более простом виде:
Lvnm = knvnm, C1а)
C2а)

156 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ш
Итак, операторы L и М можно и при наличии вырождения одновременно
привести к диагональному виду.
Высказанные теоремы позволяют глубже понять смысл равенств B4)
и B6). Заметим прежде всего, что различные компоненты М не
перестановочны друг с другом. Простое вычисление показывает, что
MJVty — М„МХ = — ±М. C3)
[аналогичные соотношения между другими компонентами получаются из C3)
циклической перестановкой индексов].
Действительно, применим левую часть C3) к произвольной функции к.
Опуская множитель (-г) , мы получаем:
Очевидно, после вычитания второй строчки из первой остаются только члены
с k = l, возникающие при применении к г оператора -г-. Они имеют вид:
откуда I после умножения на Г—J I и вытекает равенство C3). Отсюда
следует, что можно диагонализовать (и, следовательно, точно ивмерить) лишь
какую-нибудь одну из компонент момента количества движения; остальные
же компоненты при этом ие приводятся к диагональному виду.
С другой стороны, из C3) следует, что
>у> >у>г, C4)
где оператор ЯР определен равенством B5). Чтобы доказать, например,
соотношение MJA9 = ЛРМХ, рассмотрим операторы MJVi^ в Мц,М\.
П ф C3) б
JХ рр рр J^ ц,
Первый из них, дважды применяя формулу C3), можно преобразовать
следующим образом:
Таким образом,
МХМ\ — ЛРУМТ = — у {МгМу + МУМ,). C4а)
Точно так же находим, пользуясь уравнением, получающимся из C3)
циклической перестановкой:
мхм1=+у m^+mjaja, —1-7 (му
Отсюда
МХМ\ — М\МЯ) =+у(МуМ,+МйМ9У, C46)

§ 3] ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 157
и сумма C4а) и C46) дает:
мх (м*у+мЬ—(мгу+лф мх=о.
Следовательно, и
MJ/P—ЛРМв) = 0.
Равенства B4), B6) и C4) показывают, что можно одновременно
привести к диагональному виду, например, М„, ЯР и Н. Иначе говоря, можно
одновременно положить:
Л1, = М, ЛР = Д, H=Wn. C5)
Как мы сейчас увидим, именно на этом основан известный из спектроскопии
факт, что стационарное состояние атомной системы характеризуется
заданием магнитного и азимутального квантовых чисел.
Как будет подробнее показано в приложении 12, -гЛ1, представляет
собой не что иное, как оператор поворота всей системы электронов вокруг
оси г:
M* = 7-k' <36>
Желая привести Мж к диагональному виду, потребуем, чтобы [см. C0)]:
М** = Т$ = Щ- C6а)
Интегрируя, получаем отсюда [ср. (9) и (9а)]:
... C66)
где многоточие означает зависимость $ от других переменных. Требование
однозначности функции ty приводит к квантовому условию:
М = МЪ, C7)
где М — целое число (магнитное квантовое число).
Это условие имеет место и при наличии внешнего магнитного поля,
параллельного оси г. М, и в этом случае приводится к диагональному виду;
составляющая момента количества движения в направлении магнитного поля
является интегралом движения, и магнитное квантовое число М сохраняет
своё значение.
В приложении 12 будет показано, что собственные значения Л
оператора М* даются формулой
A = b*L(L+l), L — целое число; C8)
1 представляет собой квантовое число, характеризующее суммарный
орбитальный момент количества движения (в нашей прежней терминологии —
азимутальное квантовое число).
Итак, мы действительно приходим к упомянутому ранее выводу:
состояния атомной системы (Н диагонально) можно нумеровать с помощью
квантовых чисел М и L. Вместе с тем доказана и справедливость векторной
модели (т. I, гл. VI, § 5): М представляет собой (в пренебрежении спином!)
целочисленную «проекцию» L на направление поля с той волновомеханиче-
скоя поправкой, что величину L* надо заменить на L{L-\-1).

158 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Щ
Подчеркнём, что мы достигли заметного прогресса по сравнению с
уравнениями B) и C) § 10 гл. II. Там мы ограничивались рассмотрением одно-
электронной системы, заменяли потенциальную энергию ее усредненным
значением V(r) и производили интегрирование в угловых переменных, как
в задаче об атоме водорода. Таким путем мы пришли к квантовым числам
л, /и к соответствующим правилам отбора. В противоположность этому
теперь мы полностью учитываем взаимодействие между электронами У(где).
Квантовые числа, обозначаемые теперь через М и L, представляют собой
характеристики не одного отдельного электрона, а всей ыногоэлектроиной
системы. Операторное исчисление сослужило нам при этом обобщении
хорошую службу.
| 4. СОПРЯЖЁННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В § 7 гл. I мы определили уравнение, сопряженное с волновым, с
помощью «условия полной интегрируемости» A.7.1):
vL(u)—uM («) = div 5. A)
Здесь L представляет собой «волновой оператор» (т. е. левую часть
уравнения Шредингера общего вида), М — сопряжённый с ним оператор. Мы
показали, что всегда (в том числе и для временного уравнения Шредингера,
и для уравнения, содержащего вектор-потенциал):
M = L\ B)
т. е. сопряженный волновой оператор совпадает с комплексно-сопряжённым.
Исследуем теперь в общем виде вопрос об операторе, сопряженном с
произвольным оператором L, заданным в виде C.1), C.1а):
Ч*«Н)- C)
Прежде всего рассмотрим простейшие случаи — операторы импульса и
момента количества движения:
Й д Ъ I д
£ = —-г— или соответственно £ = —I*-* у -
Очевидно, в первом случае мы имеем (и, v — произвольные функции)
ft ди д /ft \ д h
откуда в соответствии с A)
M(v) = -±±v = 4r&' т. е. А( = Г. E)
Во втором случае мы получаем:
т. е. на основании A)

§ 4) СОПРЯЖЁННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 15»
Это можно записать в виде
Перестановка операторов, произведенная в G), вообще говоря, не всегда
возможна. Наоборот, как правило, при перемножении операторов играет
существенную роль порядок следования сомножителей. В сопряжённом
операторе он точно противоположен порядку следования сомножителей в исходном
операторе.
В этом легко убедиться, представив оператор L в виде суммы членов
вида
и составляя в соответствии с A) операторы, сопряженные к этим слагаемым.
Замечая, что /(?), fx(q), ••• суть обычные функции координат qu qit q9,
мы получаем:
Последний сомножитель (— i)l+x+lt определяется числом содержащихся здесь
производных и может быть разделен на /. Однако порядок следования
функций / и операций дифференцирования -г- в (8) и (9) остается различный.
Таким образом, (9), вообще говоря, нельзя получить из (8) переходом к
комплексно-сопряженному выражению, и, следовательно, равенство M = W,
вообще говоря, не выполняется.
Мы покажем, однако, что из физических соображений необходимо
ограничиваться именно специальным случаем М = L*. Для этого положим v = а*,
M = L' и, отбрасывая член с дивергенцией (который все равно дает нуль,
при последующем интегрировании), перепишем A) в виде:
u'L (и) = иМ (а*) = иГ (и*). A0)
Отсюда получаем, интегрируя по всему конфигурационному пространству,
=L: A1)
Таким образом, в данном случае волновомеханическое среднее значение
оператора L равно своему комплексно-сопряженному, т. е. вещественно.
То же относится и к собственным значениям таких операторов. В самом
деле, если L(u) = \a, то из A1) и условия нормировки немедленно вытекает
к = X* = вещественному числу. A2)
Итак, хотя с точки зрения математики операторы, удовлетворяющие
условию B), представляют исключительный случай, только они и интересны для
наших целей. Чтобы волновомеханическое среднее значение любого
оператора имело физический смысл, оно должно быть вещественным.
Поэтому в волновой механике допустимы только операторы, комплексно-
сопряженные к своим сопряженным. В частности, этому условию
удовлетворяют операторы импульса и момента количества движения, а также волновой,
оператор.

160 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ill
В конце § 2 мы ввели в рассмотрение, помимо средних значений
операторов в данном состоянии и, также и волновомеханические средние,
соответствующие переходам между двумя различными состояниями и и v.
Соответственно и для произвольного оператора L, помимо уже рассмотренных
■средних значений
I=fu*L(u)dx, A3)
исследуем выражения
jvL(u)dx. A4)
j
Их можно было бы назвать «элементами перехода» [в отличие от
«элементов состояния» A3)]. Вообще говоря, как те, так и другие зависят от
времени.
Пусть, в частности, состояния и, v стационарны:
v = ит
Тогда A3) вообще не зависит от времени, а A4) содержит только
экспоненциальный множитель
,-«<-«—•»'. A5)
"В этом случае удобно с самого начала исключить из рассмотрения
временную зависимость L и ввести величину (без черты сверху)
A6)
A6а)
Как и в § 2, ыы будем называть их матричными элементами. Название
-связано с тем, что величины Lmn можно представлять себе расположенными
в различных клетках бесконечной таблицы (матрицы), причем в
горизонтальном направлении изменяется индекс л, а в вертикальном направлении т.
Величины A6а) расположены на диагонали этой матрицы («диагональные
элементы»), а A6) — выше и ниже диагонали.
Здесь следует сделать одно замечание, относящееся к случаю вырожде-
мия, т. е. к тому часто встречающемуся случаю, когда одному
собственному значению Мт (или Wn) принадлежит несколько собственных функций.
' -Мы обозначим их посредством <1т1.. .$т%... или соответственно tynl.. .ф^.
Таким образом, вместо A6) и A6а) нужно написать:
p /W <17а>
л частности, при а = р
i~.«. = J<iU(*JA. A76)
Эти матричные элементы располагаются теперь в расширенной двумерной
-таблице, клетки, которой нумеруются индексами та, п$. Величины A76)
располагаются, естественно, по диагонали этой таблицы. Мы покажем сейчас,
что если L и Н перестановочны, то ьедиагональные матричные элементы A7)
обращаются в нуль.

§ 5) МАТРИЧНАЯ МЕХАНИКА. ПРИМЕР С ОСЦИЛЛЯТОРОМ 161
Положим в соответствии со сделанным предположением:
LH = HL. A8а)
Щ+ = *Л» (»8б)
Щт.= ^т^т.' A8в)
На основании A7) мы получаем, используя A8а) и A86):
dx = J (Wfj Щп9 dx.
(Последнее равенство получается интегрированием по частям.) Пользуясь
теперь A8в), находим окончательно:
Однако это невозможно, так как Wn ф Wm. Следовательно, матричные
элементы A7) должны обращаться в нуль, что и требовалось доказать.
К элементам A7а) это утверждение не относится, так как при п = т
равенство A9) представляет собой тождество. Однако их тоже можно обратить
в нуль, если, во-первых, выбрать <!*„«, ф„? ортогональными друг другу (это
всегда возможно) и, во-вторых, «привести L к диагональному виду», т. е.
потребовать, чтобы tynp были собственными функциями не только Н, но и L:
В самом деле, в этом случае A7а) дает:
Мы видим, таким образом, что в матрице A7) только диагональные
члены отличны от нуля. Этим и выясняется смысл введенного в § 3 (стр. 155)
термина «одновременное приведение к диагональному виду».
| S. МАТРИЧНАЯ МЕХАНИКА. ПРИМЕР С ОСЦИЛЛЯТОРОМ
Двумерная схема D. 16, 16а) представляет собой один из возможных
способов описания стационарных состояний атомных систем. Действительно,
задав все «элементы состояния» Lnn и «элементы перехода» Lmn, мы тем
самым узнаем вообще все, что можно сказать о данной механической вели»
чине L. Исследовав таким же образом все остальные механические величины,
мы получаем сведения о всех свойствах нашей атомной системы. Эта идея
лежит в основе первой формулировки квантовой- механики—матричной
механика Гейзенберга *)•
Правила вычислений с матрицами мы получим из соответствующих
операторных уравнений.
Ход рассуждений удобно выяснить на простейшем примере: рассматривая
«правило перестановки» операторов рх и х
хРх = $ Aа)
1) W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 83, 879 A925); Born u. Jordan, там же 34,
858 A926); Born, Heisenbetg u, Jordan, таи же 35, 557 A926).
И Зм. 868. А. Зомыерфельд

162 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. 1П
и вытекающее из него матричное уравнение
(/V*)»»- (.XPjmn = 7 8*«- Aб>
Для доказательства соотношения Aа) умножим его справа на
произвольную функцию v; тогда в силу определения оператора ра получается
тождество
Для доказательства A6) умножаем Aа) слева на феи справа — на tyn ■
интегрируем по всему конфигурационному пространству. Тогда слева
возникают матричные элементы произведений р^х и хрт, а справа при —
появляется множитель
в соответствии с A6).
Далее, постараемся выразить матричные элементы от произведений
[фигурирующие, например, в левой части A6)] через матричные элементы
отдельных сомножителей. Проделаем это для случая двух произвольных
операторов L и М. По определению мы имеем:
(Ш)тя= J £ы%*. B)
Величину Mtyn представим в виде ряда по собственным функциям
Л% = 2М1я<Ь. Bа)
В силу ортогональности и нормировки функций фя для коэффициентов
А1п мы получаем (подобно тому, как это делается в случае рядов Фурье):
Г #
B6)
Подставляя это в B), находим:
2
Итак, мы получили основное правило умножения:
C)
Оно аналогично известному правилу умножения детерминантов или Лравилу
«матричной алгебры» (под словом «матрица» здесь подразумевается таблица
членов детерминанта, содержащая конечное или бесконечное число строк и
и столбцов). Из соотношения C) видно, что, вообще говоря,
(LiWU Ф №)т«- (За)
Матричное умножение не коммутативно.
Пусть теперь М или L будет оператором Гамильтона Н, для которого,
в силу B.13а, б):

§ 51 МАТРИЧНАЯ МЕХАНИКА* ПРИМЕР С ОСЦИЛЛЯТОРОМ 163
(по определению собственных вначений н собственных функций Н). Тогда
на основании C) мы получаем:
1»г.Л1ЯИ|. Dа)
[Это можно было бы вывести и непосредственно из определения B).]
Обратимся теперь к вопросу о дифференцировании по времени в
матричном исчислении. Естественно, при этом надо исходить не из соотношения
D.16), в котором исключена временная зависимость, а ив содержащего время
определения D.14). Иначе говоря, вместо <!/„, <5»я» надо писать ая, ит, где
ии = е * я ™-
Будем также, возвращаясь к прежним обозначениям, писать L вместо L.
Поскольку зависимость Г от времени определяется множителем D.15) мы
имеем:
А ! E)
Здесь •„„,— «частота перехода» для перехода т-+п — определена
соотношением
Я^Ь-—... E.)
Итак, если образовывать матрицы с помощью волновых функций
стационарных состояний ая, ат, то дифференцирование по времени сводится просто
к умножению на tmmn.
Это же обстоятельство можно выразить в неявной форме, полагая
$Lmn = (HL)mn-(LH)mn. F)
Действительно, подставляя в правую часть F) значения Dа), мы вновь
приходим к уравнению E).
Заметим в заключение, что для всех операторов, имеющих физический
смысл (см. стр. 159), справедливо уравнение D.2). В матричной записи это
означает в соответствии с D.10) и D.11):
G)
При перестановке индексов зависящие от времени элементы L (а
следовательно, и не зависящие от времени матричные элементы L) превращаются
в комплексно-сопряжённые величины.
Итак, в наших матрицах по обеим сторонам диагонали, в
симметричных относительно нее клетках, стоят комплексно-сопряжённые величины:
матрицы являются «эрмитовскими».
Таким образом, аппарат матричной механики построен. Мы
проиллюстрируем его применение на примере задачи о линейном осцилляторе.
В данном случае оператор Гамильтона имеет вид [см. A.9.1)]:
Здесь »0 — классическая частота колебаний, р — масса; координата вместо
обозначена буквой q.

164 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ш
На основании F) мы инеем для всех значений индексов т, п (индексы
не пишем):
f р=Нр-Рн= | •« (?р-
Z-q = Hq-qH=±
Дважды применяя перестановочное соотношение Aа), находим:
т. е.
фр—Р<? 2^. (Юа)
Далее,
откуда
P*q-qP* = + 2jp. (Юб)
Эти уравнения справедливы как для [фигурирующих в (9)] зависящих,
так и для не зависящих от времени матриц.
Подставляя A0 а, б) в (9) получаем (явно выписывая индексы у
матриц):
1 —
+ -£Р
Первое из этих уравнений означает в матричной форме, что изменение
импульса со временем определяется действующей силой (в данном случае —
квазиупругой возвращающей силой); второе является определением импульса
(как произведения массы на скорость). Вместе с (8) соотношения A1)
представляют собой — и по форме и по содержанию — не что иное, как
уравнения Д*амильтона для осциллятора, записанные в матричном виде.
Переходя к интегрированию уравнений A1), заметим прежде всего, что
диагональные элементы рпп и qm не зависят от времени. Поэтому левые
.(а следовательно, и правые) части A1) обращаются в нуль, и мы получаем:
qnn = 0, pnn = 0. A2)
Далее, дифференцируя A1) по времени, исключаем р и получаем аналог
элементарного «уравнения движения»:
W«n ^«» A3)
откуда на основании E)
(LS)o
Следовательно, имеет место одно из двух: либо
?«п = 0, A5)
-либо
штп = =ь«Во. A6)
Иначе говоря, исчезают все матричные элементы qmn, кроме тех, для
которых и>тп = + ш0 или — ш0. Это обстоятельство удобно выразить, введя

§ 5] МАТРИЧНАЯ МЕХАНИКА. ПРИМЕР С ОСЦИЛЛЯТОРОМ 165
специальный порядок нумерации строк и столбцов в матрицах, который до
сих пор оставался совершенно произвольным. Именно, условимся считать, что
= -(- ое-, для перехода т-*т — 1; ]
( A7)
= — "о лля перехода т-*т-\-\. )
}
Таким образом, в первом случае п = т—1, во втором п = т-\-\.
Соответственно для q мы получаем на основании A6):
при i
при /
Итак, при данной нумерации строк и столбцов отличны от нуля лишь
матричные элементы q, соседние с диагональю. Все остальные
(диагональные, для которых т=*п, и не соседние с диагональю, для которых |п —
— т|> 1) обращаются в нуль.
Для определения матричных элементов q, соседних с диагональю,
воспользуемся перестановочным соотношением A6). При п = т оно имеет вид:
(РЯ)ттп — (ЧР)т7П = 7 ' A ?)
или, в силу правила умножения C):
(PmlQlm — QmlPlm) = 7 •
I
Воспользовавшись еще вторым уравнением A1) в форме
Pml== ^mlWml1 A9l)
мы получаем вместо A9):
2 j
t
Поскольку <о,т = —<»„,, это можно записать в более удобном виде:
1. B0)
Благодаря A7) и A8) в сумме по / остаются только два члена:
соответственно / = т — 1 (шт, — -(- о>0) и 1=*т-\- 1 (шт, = — Шо). Таким образом,
уравнение B0) принимает вид:
_ ft
Qi», m-l4m-l, т Чт, m+i9m+l, m
На основании G) можно утверждать, что стоящие в левой части
произведения вещественны и положительны: они равны «нормам» (т. е.
квадратам модулей) соответствующих матричных элементов. Поэтому вместо
предыдущего равенства можно написать:
Отсюда следует, что величины |</|9 образуют арифметическую прогрессию;
сверху она не ограничена, но снизу обязательно обрывается, так как все

166 ОБЩИЕ' ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. П1
члены прогрессии положительны. Поскольку до сих пор мы распорядились
только разиостяыи индексов п и т, а абсолютные их значения пока
произвольны, наше право оборвать ряд на любых значениях индексов. Такиы
образом, ыожно считать, что последним неисчезающиы членом является qli0,
a qOi _! обращается в нуль. Тогда уравнение B1) даёт (при т = 0, 1,.. .,п).
Тем самым определяются абсолютные значения комплексных чисел дтп
фазы [обозначаемые в B2) посредством р], как всегда, остаются
неопределенными. Принимая во внимание зависимость матричных элементов от
времени, мы имеем:
B2)
Обратимся теперь к выражению (8) для энергии, которое в матричной
форме принимает вид диагональной матрицы с индексами п, я. Первое
слагаемое в Я в силу A9а) и правила умножения C) можно записать как
у 2 «nl | Яп11*-
Аналогично получаем для второго слагаемого:
Таким образом, из уравнения (8) следует:
Благодаря присутствию множителей |9„{|9 из всей этой суммы (как и
раньше в аналогичном случае) остаются только два члена, в которых / = п zt 1.
В силу A7) и B1а) мы получаем: ..
п. n-i I3) = (я
Аналогичным путем можно вычислить и недиагональные элементы и
убедиться, что все они равны нулю.
Найденные в B3) диагональные элементы матрицы Н (т. е. собственные
значения энергии) точно совпадают с соответствующими значениями (I. 5. 10),
определенными с помощью волновой механики. Напротив, как часто
подчеркивается, наш результат отличается от старой квантовой теории осциллятора
в том отношении, что у нас фигурируют не «целые», а «полуцелые»
квантовые числа.
Какой же из двух методов проще, аналитический — волновомеханический
или алгебраический — квантовомеханический? Отвлекаясь от привычки к
аналитическим методам, не следует ли сказать, что алгебраический метод
квантовой механики основан на более элементарных операциях? В принципе проще
иметь дело со счётным множеством дискретных элементов, чем с континуумом.
С другой стороны, в задачах со многими степенями свободы матричные ин-

§ 6] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ 167
дексы нагромождаются так, что вычисления становятся необозриыыыи,
а формулы громоздкими.
И действительно, как раз важнейшие задачи (проблема Кеплера, эффекты
Зеемана и Штарка) впервые получили свое полное решение именно на вол-
новомеханическом пути. Дело обстоит здесь так же, как в теории функций,
где специальные элементарные методы Вейерштрасса оказались менее
удобными, чем методы Коши и Римана.
Явно высказанной целью первой работы Гейзенберга по квантовой
механике было развить методы, которые «... были бы основаны исключительно
на соотношениях между принципиально наблюдаемыми величинаыи». Такие
понятия, как «координата электрона», «период обращения», «форма орбиты»,
следует исключить из рассмотрения. Это стремление ограничиться
непосредственно наблюдаеыыми величинаыи основано в конечноы счете на философии
Маха. Сорок лет назад при непосредственноы участии саыого Маха оно
приводило к пропаганде так называеыой энергетики, согласно которой
наблюдаемыми и имеющими физический сыысл величинаыи считались только
изменения энергии в различных процессах. Однако энергетике противостояла
столь плодотворная кинетическая теория газов, в которой координаты и
скорости газовых ыолекул, хотя и не наблюдаеыые для одного единичного
атоыа, все же неизбежно должны были рассматриваться как величины,
определяющие состояние систеыы. Совершенно так же точке зрения Гейзенберга
можно противопоставить волновую ыеханику, в которой волновая функция
столь же ыало подвержена экспериментальноыу наблюдению, сколь и
отдельные электронные орбиты прежней теории.
Впрочем, следует заметить, что и в схеые квантовой механики имеется
ненаблюдаемая величина — фаза матричного элемента [сы. уравнение B2)].
Равныы образоы и в волновой ыеханике ыы встречаеыся с произвольным
фазовым множителеы 1), который не определяется условиеы нормировки
волновой функции [см. гл. I, уравнение G.11)].
| 6. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ
Рассматривая в § 1 движение свободной частицы, ыы уже видели, что
ограничение возыожных значений координат частицы неизбежно приводит
к некоторому «разбросу» значений ее импульса.
Чтобы вывести общее соотношение ыежду неточностяыи в определении
координаты и импульса, условимся прежде всего относительно величины,
характеризующей неточность измерения (т. е. «разброс» значений
наблюдаемой величины около некоторого среднего). Пусть ыгновенное отклонение
координаты частицы от ее среднего значения (от центра тяжести волнового
пакета х) будет х— х. Мы получиы меру среднего отклонения х от ~х,
составляя волновоыеханическое среднее значение величины (х — jc)9. Вводя еще
ыножитель 2, мы определим квадрат средней «ширины распределения по
координатам» формулой
(Дл)« = 2(х — х)*. A)
В случае свободной частицы (§ 1) Дх совпадает с шириной волнового
пакета Ь.
») Дираку [P. A. M. Dirac, Proc. Poy. Sot A 133, 60 A931)] принадлежит
интересная попытка определить этот фазовый множитель и выяснить его физический
смысл.

168 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. 1П
Аналогично квадрат «средней ширины распределения по импульсам»
есть
(Д/>а))9 = 2 (Рх — />а>)9« B)
Мы докажеы сейчас, что всегда иыеет место соотношение
ЬьХ'Ьря^Ъ* C)
Заыетиы прежде всего, что
1
ыожно переписать в виде:
*р1—Л,- E)
Мы, однако, воспользуеыся сначала форыулой D) и вычислиы последовательно
все три члена, фигурирующих в правой части этого выражения (интегралы
по бесконечно удаленной поверхности, как всегда, будут опускаться). Мы
имееы:
Fв)
Легко видеть, что_суыыу правых частей этих равенств ыожно записать
следующим образом (рх — вещественное число):
Такиы образоы, формула D) принимает вид:
^|9. G)
Вид подинтегрального выражения в G) подсказывает, что уместно ввести
новую функцию:
? = иГ»5"а'а'- (8)
Тогда выесто G) ыы получаеы:
I(A,g»=ft'J|£|V О)
Далее ыы иыееы [учитывая (8)]
i(Ax»)= J «'(*— Hfndxq= J |(jc — 7)и|«Л = J |(jc— 7)<рр</т. A0)
Введен выесто х, у, г (ыы рассматриваем пока только случай одной
частицы) «относительные» координаты:
I = JC —X, 4\ = y—J, t = Z — Z, (И)

§ 61 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 169
при этоы новый элемент объема d%df\d', совпадает со старыы dx = dxdydz.
Вместо (9) и A0) ыы получаеы:
Заыетиы теперь, что при любоы вещественном а справедливо неравенство
|
В развернутом виде это дает
т. е.
Интегрируя, находим:
Первый интеграл в правой части на основании (8) равен единице; таким
образом, из формул A2) следует, чти при любом а
Следовательно, наибольшее значение правой части определяет неизбежный
(при данном Ах) минимальный разброс значений импульса. Правая часть A4)
имеет максимум при
(Д)в A5)
откуда и вытекает соотношение C).
Осталось еще показать, что нижняя граница неравенства (ft)
действительно может достигаться. Это имеет место, если в формулах C), A3,) A4)
стоит знак равенства. Тогда на основании A3) и A5) мы получаем:
откуда
или, в силу (8),
Таким образом, мы возвращаемся к изученному в § 1 волновому пакету
и гауссовому закону ошибок. Действительно, наше уравнение A6)
идентично A.3), причем величина Длг соответствует Ь, произвольная функция
> г) — константе С, а тр, в силу A.11), совпадает с волновым
числом к. Проведенное выше исследование показывает, что для данного
волнового пакета величина Арт, характеризующая «разброс» значений импульса,
определяется из соотношения C), в котором стоит знак равенства, т. е.
ДР.-Б?. П7)

170 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. П1
Однако из дальнейшего сравнения с результатами § 1 видно, что в этой
наиболее благоприятной форме соотношение неточностей справедливо лишь
в один момент времени (который в § 1 можно было принять за начало
отсчета времени / = 0). В последующие моменты времени неопределенность
{т. е. наше «незнание») координаты будет все увеличиваться. В самом деле,
как видно из рассуждений после формулы A.12), неопределенность в
координате непрерывно возрастает со временем, в то время как
неопределенность импульса попрежнему сохраняет свою величину A7).
Рассуждения настоящего параграфа относится, однако, не только к одной
свободной частице, но и к частицам в связанных состояниях, а также
к системам многих частиц.
В атомных системах величина Lpx • Lx no порядку величины равна
площади орбиты, описываемой частицей в фазовой плоскости согласно старой
квантовой теории. В этом можно убедиться, выражая площадь орбиты через
-фазовый интеграл Г pdq; таким образом, для квантового числа п
получается:
Ьрх-Ьх = пЬ. A8)
В данном случае соотношение неопределенностей позволяет сделать
некоторые выводы относительно скорости движения частицы по орбите.
-Именно, на основании B.4а) мы имеем:
<£ —Ра
dt ~ т '
Для стационарных состояний отсюда следует:
(iOm = 0. A9)
Поэтому (см. E)] -^(Дд»)9 сводится к /£. Но в среднем />| = у |/>|«; по
этой же причине (по крайней мере, по порядку величины) Д/?в—\р\.
В результате из A8) следует:
лй. B0)
Следовательно, в стационарных состояниях средний импульс
определяется размерами системы в координатном пространстве.
В случае атома водорода мы имеем:
откуда
или иначе
где а — постоянная тонкой структуры. Скорость электрона на первой
орбите атома водорода по порядку величины составляет ас (в старой
квантовой теории она точно равнялась ас). ,
Соотношение неопределённостей C) принадлежит к числу важнейших
достижений атомной физики. Оно было установлено в 1927 г. Гейзенбергом *),
1) W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 43, 172 A927).

§ 7} ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 171
доказавшим также, что это соотношение иыеет силу не только для пары
х, рт, но и для любых канонически сопряженных величин 1). Особая
ценность соотношения неопределенностей состоит в тон, что оно, как было
подробно показано Гейзенбергоы в его книге а), снимает противоречия,
возникающие в связи с двойственной природой вещества и света.
Мы ограничимся здесь только рассмотрением одного примера —
измерения координаты частицы с помощью диафрагмы (рис. 15). Перед
прохождением через щель иыпульс частицы направлен по оси х и точно
известен:
(X.— длина волны де Бройля). При этоы коорди- —•- <?] ~рг^ГХ'*'—*~х
ната частицы является совершенно неопределен- р Ц
ной: слева от экрана ыы иыееы бесконечно про- —»- ||
тяжбнную плоскую волну. После прохождения д„ффр.вд„я элек-
через щель координата частицы известна с точ- трОнной волны как следствие
ностью до ширины щели d. Соответственно иыпульс соотношения неопределбн-
уже не ыожет быть направлен точно по оси ностей.
х — появляется еще направленная параллельно
экрану составляющая /у На волновом языке это означает диффракцию
де-бройлевской волны на краю щели; первый диффракционный минимуы
находится под углоы а (сы. рис. 15), соответствующим взаимному ослаблению
лучей благодаря интерференции:
A. B3)
На корпускулярноы языке это означает появление составляющей импульса
вдоль оси у:
pv = p sin a = у sin a. B4)
Поскольку Д_у = d, Арр = 2ру, из B3) и B4) следует:
Ду. Ap, = 2d-£-sina = A. B5)
Это согласуется с соотношением неопределенностей C).
| 7. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Мы научились толковать волновую функцию u(q) как амплитуду
вероятности того, что в состоянии, характеризуеыоы функцией и, частица
находится в точке д. Такиы же образоы поставиы теперь вопрос об определении
амплитуды вероятности того, что в данноы состоянии и частица обладает
импульсоы р. Точнее (поскольку в волновой ыеханике иыпульс является не
числош, а оператором), речь идет об амплитуде вероятности определенного
собственного вначения оператора р в состоянии и. Пусть я— данное
собственное значение, а «(«)— соответствующая амплитуда вероятности. Тогда
вероятность обнаружить в состоянии и собственное значение импульса
t) Для переменных А и В, не являющихся канонически сопряженными, вместо
C) инеет несто более сложное соотношение неопределенностей [Н. P. Robertson,
Phys. Rev. 46, 794 A934); Е. Schroedlnger, Sltzungsber. d. Preufl. Akad., июль
1930], согласно которому ДВ может иметь конечную величину даже, когда М=0.
*) В. Гейзенберг, Физические принципы квантовой теории, ГТТИ, 1932.

172 общие идеи и методы [гл. lit
в интервале от я до w-f-du будет
Чтобы вычислить v(it), надо знать собственную функцию 5 to) оператора
импульса при заданном собственном значении последнего. Поскольку
5 to) удовлетворяет уравнению
откуда
5 = S,to) = VT*? = T7?«7r'4 B)
(постоянная интегрирования 50 выбрана в соответствии с определенным
условием нормировки, которое сейчас будет обосновано).
Разложим теперь волновую функцию u{q) по собственным функциям
оператора импульса. В силу специального вида B) это означает не что
иное, как переход к интегральному представлению Фурье, которое мы здесь
изобразим в виде двух уравнений:
-7= Г Д"
C)
Подставляя v(it) из второго уравнения C) в первое, мы придем к
привычному виду двойного интеграла Фурье. Сравнение формул B) и C) дока-
вывает целесообразность принятой в B) нормировки (s0 = -^=). Именно,
формулы C) можно переписать в еще более наглядной форме следующим
образом:
«to) = s, to) «(*)<*«.
«(«) — JSq(v)u(q)dq,
где в соответствии с B) и C)
Эти соотношения мы истолковываем следующим образом: полная амплитуда
вероятности обнаружить в состоянии и данное значение координаты q
(первая из формул D)] складывается из амплитуд, соответствующих
заданным собственным значениям импульса (собственные функции SK(q)); каждая
из последних входит с коэффициентом, характеризующим амплитуду
вероятности обнаружить в состоянии а данное собственное значение импульса к.
Таким образом, мы видим, что величины v(it) — коэффициенты Фурье
волновой функции — следует отождествить с введёнными в начале настоящего
параграфа (и также точно обозначенными) амплитудами вероятности импульса
в состоянии и. С другой стороны, полная амплитуда вероятности обнаружить

§ 7] ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 173
в состоянии а данное собственное значение импульса [вторая из формул D)]
складывается из амплитуд Se(it). соответствующих заданным координатам q;
каждая из функций Se(it) входит с коэффициентом, характеризующим
амплитуду вероятности u(q) обнаружить в состоянии и данное значение
координаты. При этом из разложения Фурье видно, что Se(it) комплексно
сопряжена с собственной функцией SK(q).
Положение вещей вдесь похоже на то, что мы имеем в элементарных
задачах теории вероятностей. Пусть А и В — две величины, которые могут
принимать значения at и bt. Условную вероятность того, что А примет
значение а, если В имеет значение Ь, обозначим через Wb(a); аналогично
условная вероятность того, -что В примет значение Ь, если А равно а, пусть
будет Wa<fi). Обозначим далее через to (а) и чвф) полные вероятности
обнаружить соответственно значение а величины А и значение b величины В.
Тогда, как известно,
F)
Эти формулы имеют внешне ту же структуру, что и соотношения D)
(с точностью до несущественной замены интеграла суммой); однако между
ними есть характерное различие: в элементарной теории вероятностей
складываются вещественные и положительные вероятности, в волновой же
механике— комплексные амплитуды вероятности. Последние могут
интерферировать (взаимно уничтожая друг друга), первые же — не могут. Если
в волновой механике от амплитуд перейти к самим вероятностям, образовав
вместо u(q) выражения |а(?)|9, то для них простые соотношения типа F)
отнюдь не будут справедливы.
Распространим теперь наши рассуждения на случай произвольного
оператора L(q, p). Уравнение для определения его собственных значений
аналогично A) имеет вид:
Решение этого уравнения обозначим через Sx(q)\ в отличие от B) оно
зависит уже не только от произведения kq. Рассматривая систему
собственных функций S\(q) как полную, допустим, что волновую функцию u(q), на
которую действует оператор L, можно разложить по S\(q).
Напишем это разложение в интегральной форме — по образцу первой
из формул D):
«(?)= JSx(q)v(k)d\ (8)
(следует только иметь в виду, что, вообще говоря, оператор L может
обладать и дискретным спектром, и тогда к интегралу добавляется сумма).
Функцию v(X) можно назвать коэффициентом равложения и по 5. Если
функции 5 ортогональны и нормированы к единице, она вычисляется так же,
как и в случае интеграла Фурье:
(9)
Определяя по аналогии с E) функцию

174 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. 1П
мы можем написать:
v(k) = f Sq(k)u(q)dq. (9a)
Функция v(k) представляет собой амплитуду вероятности обнаружить
в состоянии и собственное значение к оператора L, a Sx(q) есть амплитуда
вероятности того, что при заданном к частица попадает в точку q.
Единственное отличие от специального случая оператора импульса состоит в том,
что собственная функция 5 теперь не представляет плоской волны и в явном
виде неизвестна; поэтому вместо разложения в интеграл Фурье мы имеем
дело, в зависимости от природы оператора L, с общей формой разложения
по собственным функциям.
С истолкованием v(k) как амплитуды вероятности оператора L связан
рассмотренный ранее вопрос о среднем значении L этого оператора. Если
v(k)— амплитуда вероятности, то функция
определяет вероятность того, что собственное значение к лежит в пределах
от к до к -\- dk. Соответственно среднее значение L должно иметь вид суммы
по всем значениям к с весовой функцией р:
A1)
Мы покажем, что это определение совпадает с общим правилом
вычисления волновомеханических средних значений B.14). Ограничиваясь
одномерным случаем, последнее можно записать в виде
A2)
Подставим вместо u(q) разложение (8) и воспользуемся G). Тогда
формула A2) принимает вид:
L = J dq «*fo)J dk- kSx(q)v(k)- J dkv(k)k f dq u* (q) Sx(q). A3)
Последний из написанных здесь интегралов в силу (9) равен v*(k); таким
образом, представление A2) действительно совпадает с A1).
Поясним это обстоятельство на примере. В качестве L выберем
оператор момента количества движения:
L = Mm. A4)
Применим его к волновой функции и, описывающей состояние одной
частицы в центрально-симметричном поле, характеривуя состояние
собственными значениями операторов Мж и АР:
о = .. .NPT (cos 6).***t. A5)
Многоточие означает вдесь радиальную часть волновой функции, не
представляющую для нас интереса; множитель N нормирует функцию от углов
к единице. Соотношения C.36)—C.38) дают нам связь между операторами
М,, АР, с одной стороны, и квантовыми числами /пи/ — с другой (имея
здесь дело с одноэлектронной проблемой, мы пишем т, / вместо
фигурировавших в § 3 М и L). Мы имеем:
Mjt = Ъти, АРи — ft9/ (/ -Ь 1) о. A6)

§ 7] ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 175
В противоположность М„ величина Мх в состоянии A5) отнюдь не
является точно определенной, а может принимать, вообще говоря, различные
значения. Мы ставим себе задачей вычислить вероятности обнаружения
различных значений Ма при измерении.
Помимо полярных углов Ь, <р, связанных с осью г, удобно ввести ещ&
другую систему координат, в которой ва полярную ось принята ось х;
соответствующие углы обозначим через 6, Ф. Связь между первой и второй
системами дается формулами:
— = cos 6 = sin 8 cos <f,
-^- = sin в сов Ф = sin в sin<p,
— = sin в sin Ф =* cos».
г
A7)
В координатах в, Ф оператор Ма имеет такой же удобный вид, как
М„ в координатах Ь, «р. Так на основании C.36) мы имеем:
Af«5s=73?==ftm5' 5 = ^ 08)
(S— собственная функция оператора Мг в координатах Ь, «р,
принадлежащая собственному значению тЬ).
Соответственно для Ма можно написать:
(S — собственная функция оператора Ма в координатах в, Ф,
принадлежащая собственному значению ОД. Как п т, у. должно быть целым числом,
чтобы обеспечить однозначность функции 5(Ф). В формуле A9) остается
еще неопределенной функция So. Поскольку мы собираемся различать а по
собственным функциям уравнения A9), они должны образовывать полную
систему [см. замечания перед соотношением (8)|. Для конструирования
последней удобно, помимо Ма, раесмотреть еще оператор М* в
координатах в, Ф, задав его собственное значение тем же квантовым числом /,.
которое фигурирует и в A6). Тогда мы получаем подобно A5):
B0)
и, сравнивая B0) с A9), находим:
B1)
Нормировочный множитель N определяется условием
B2)
Тот же множитель с заменой р на т будет фигурировать и в A5).
Возвратимся теперь к формулам (8), (9). Поскольку в данном случае ц про*-
бегает лишь дискретный набор значений (целые числа), интегрирование по
а в (8) следует заменить суммированием по |i. Соответственно вместо (8; ш

176 ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. 111
(9) мы получаем:
NJ>T (cos в) «<«•» = 2 ^V? (cos в) e**v О»). B3)
v-
cosв)в-**Л^,РГ(сО8в)е<"»</а>. B4)
#*де rf» = sin 6 </6 rf<p (вместо dm можно написать и rfQ = sin в <?в <?Ф).
Рассмотрим простейшие случаи,
а) / = 0 (s-терм). Следовательно, m = Q, ji = 0. Из B2) получаем
Nm = N^ = -f=. Формулы B3) и B4) сводятся к равенству v(Q)=\. Это
означает, что, измеряя Ма, мы с достоверностью получим нуль, что для
s-терма очевидно. Этот случай, однако, замечателен в том отношении, что
.операторы Мт и Мг не перестановочны и, следовательно, вообще говоря,
ле должны одновременно иметь точно определенные значения. Мы видим,
что в некоторых специальных случаях это все же возможно.
б) /=1, т = 0. Поскольку функция Я? должна быть непрерывной, |»
может принимать только значения :±: 1,0. Из B2) получаем:
Формула B4) теперь дает:
v@) = ^- Г cos в cos bda,
откуда, подставляя cos в из первого из уравнений A7), находим:
Далее, формула B4) дает:
v(d~l) = —^ f sin в cos 0 **<•<*».
/Функцию slnfte*** можно выразить в переменных &, <р, воспользовавшись
двумя последними уравнениями A7). Мы получаем:
В сумме мы имеем:
Таким образом, при измерении Мх значения ji = 1 и ji = — 1
обнаруживаются с равной вероятностью; значение ц. = 0 вообще не может быть полу-
/чено.
Этот же результат можно было бы проще получить из формулы B3).
Левая часть ее в случае (б) имеет вид (с учетом последнего из
уравнений A7)]:
Правую часть B3) запишем в виде:

§71
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
177
Сравнивая эти два соотношения, находиы:
= «( — 1); «@) = 0.
в) /=1, т = ±\. Для краткости воспользуемся формулой B3). Левую
часть ее, учитывая первые два уравнения A7), ложно записать в виде:
=t 1 sin в («<•
Правая часть запишется так:
Отсюда
= ±± •
В 50% всех измерений следует ожидать значения Мв = 0; по 25%
приходится на Мт = -\-\ н Мш = —1.
Сведен все результаты исследования случаев а), б), в) в таблицу,
добавив в нее также и то, что получается при / = 2 [значения ji, при кото*
рых i/(ji) = 0, в таблице опущены].
т
1*
|О(|*>|а
0
0
0
1
1
0
+1
1
2"
—1
1
2"
1
1
4
1
1
0
1
Т
—1
1
4
2
3
8
2
0
0
1
4
—2
3
8
2
1
4
1
1
4
2
1
—1
1
4
—2
1
4
2
1
ТВ
1
1
4
2
2
0
3
8
—1
1
4
—2
1
ТВ
В первоначальной формулировке волновой механики из всех возможных
способов описания состояния системы предпочитался координатный.
Соответственно из дифференциального уравнения (и граничных услозий)
определялась вероятность того или иного положения частицы. Теория
представлений пытается устранить эту односторонность, ставя вопрос о
вероятности тех или иных значений любой механической величины (любого
операторе). В предшестзозавшем изложении эта общая программа еще не была
проведена полностью, так как зависимость от координат играла все же
особую роль: при вычислении v(k) мы исходили из волновой функции u(q) и
пользовались собственной функцией S\(q), представленной как функция
координат q.
В противоположность этому мы рассмотрим теперь взаимосвязь между
двумя операторами (например, Ма и Му), не обращаясь к координатам q
(например, к углам 0, <р). Обозначим наши операторы букзами L и М, их
собственные значения пусть будут А и М. Чтобы установить связь с
предыдущим изложением, найдём прежде всего собственные функции в
зависимости от q:
6а (q), Su(q)
12 3uc 968. А. Зоижрфем

17R
"° ОБЩИЕ ИДЕИ И МЕТОДЫ [ГЛ. Ill
и выпишем для обоих операторов формулы (8) и (9):
5а (?) v (А) <*А> *.(Д) = f 5, (А) и (?) dq;
J B5)
комбинируя последнее из этих соотношений с первым, находим:
о,(М) = J JSq(U)SK(q)dqv(A)dA. B6)
Чтобы и формально исключить переменную q, введем для интеграла по q
новое обозначение. Обобщая наш прежний способ обозначений, естественно
положить:
5а (М) = J 5, (М) 5а (q) dq. B7)
Тогда B6) принимает зид:
т (М) = f 5д (М) v (к) </А. B8)
Это наиболее общее соотношение теории представлений. Оно
непосредственно связывает вероятности значений М с величинами А без явного
обращения к координатам.

ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ ДИРАКА
| 1. РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В настоящее вреыя от любой физической теории следует требовать,
чтобы она удовлетворяла принципу относительности. В нашеы случае под
этим следует понимать требование инвариантности относительно
преобразований Лоренца, так как силы тяготения не играют роли в атоыных
явлениях. Рассматривая релятивистское обобщение волновой механики, мы
ограничимся только' одноэлектронной* задачей, ибо релятивистская трактовка
многоэлектронной проблемы представляет еще не разрешенные трудности.
Будем поступать так же, как и в § 6 гл. I, с той лишь разницей, что
вместо формул классической механики воспользуемся релятивистскими
выражениями.
А. Силы обладают потенциалом, не зависящим от
времени. Выражение для энергии запишем в виде:
E. A)
Здесь тс* содержит не только кинетическую энергию частиц, но еще и
энергию покоя
Aа)
Величина Е представляет собой полную энергию (в смысле примечания на
стр. 9):
E = E0-\-W. A6)
Как обычно, V нормируется так, чтобы на бесконечности V = 0. Возводя A)
в квадрат, получаем:
^ B)
Но
1=£ = "V (т^ + 0 - «V + Б*. C)
где р — релятивистский импульс частицы:
^ (За)
Таким образом, на основании C) формула B) превращается в хорошо
известное релятивистское выражение для энергии:

180 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ГУ
Чтобы перейти к волновой механике, следует в соответствии с формулой F.2)
гл. I заменить импульс р на
±± (Я = х, v г) E)
и, рассматривая преобразозанное таким образом выражение D) как
оператор, применить его к волновой функции <}>. Мы получаем тогда:
Ааса Д>> -\-{(Е—V)9—Е%) ф = 0. F)
Б. Присутствуют не зависящие от времени силы
магнитного происхождения (не имеющие потенциала); энергия
системы сохраняется. В данном случае надлежит различать импульс
в элементарном смысле (jnv) и импульс р, канонически сопряжённый с
координатой q. Как показано в дополнении 3 (формулы C) и A3)]', первый свя-
ван с последним следующим образом:
mv=p-±A. G)
В уравнении (За) вектор р имел смысл элементарного импульса; поэтому
з уравнении D) следует заменить р на р— -jA. Мы получаем, таким
образом,
В волновой механике оператором E) заменяется именно канонический импульср;
следовательно, согласно (8), волновое уравнение имеет вид:
что, пользуясь обычными векторными обозначениями, можно переписать
в виде х):
, grad <}•)+{(£— V)a — Е*—Л4аН = 0. (9а)
В.Силы не имеют потенциала, и, вообще говоря,
зависят от времени. Энергия системы не сохраняется. Как было
разъяснено в гл. I, § 6 [формулы G) и (8)], в этом, случае надлежит
исходить из операторного уразнения:
Подставляя в соответствии с A) вместо Н выражение mc*-\-V, мы
получаем:
или, возводя это в кзадрат:
Значение т*с* дается формулами B) и C), в которых попрежиему
элементарный импульс следует заменить на р—^ А, а вместо р подставить E).
1) При выполнении (9) появляется еще член с множителем div Aty.

§ 1] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 181
Такиы образом, уравнение A0) принимает вид:
Четырёхмерная сиыыетрия этого оператора выявится, если ввести
четырехмерные векторы координат (xj и потенциала (Ф.) (а=1, 2, 3, 4). Пусть, как
обычно:
хк = Ш\ Ф4 = *р = /-£, т. е. V= — /еФ4; (Па)
*i.s.« —ft. а. «,: *i.s. » = ^i.9,«- 016)
Тогда левая часть A1) (мы будем обозначать ее через L) принимает
симметричный вид:
Оператор L следует применить к золновой функции и (которая теперь
зависит от времени). При этом и получается релятивистское уравнение Шредин-
гера:
инвариантность которого относительно преобразований Лоренца
непосредственно очевидна.
Частные случаи F) и (9) получаются из A3), если положить
и = уе я .
Раскрывая скобки в A3) и деля все уравнение на fi9c9, находим:
2te
Пи — -fc (Ф, Grad и) — " ~Ъф " = 0. A За)
где, как обычно,
(Ф, Grad«)=£<!>.£-. , A3б)
и наложено условие
д
обобщение волнового уравнения A3) было дано Шре-
дингером в конце его четвертого сообщения и почти одновременно получено
рядом других авторов1).
Вывод волнового уравнения составляет, однако, только первый шаг
в построении релятивистской волновой механики. Второй шаг состоит в
вычислении плотности тока и заряда, для чего в свою очередь необходимо
написать сопряженное волновое уразнение.
1) О. Klein, Zs. f. Phys. 37, 895 A926); В. А. Фок, Zs. f, Phys. 88, 242 A926);
89, 226 A926); J. Kudar, Ann. d. Phys. 81, 632 A926); W. Q or don, Zs. f. Pbys
40, 117 A926); T h. de Donder u. H. van de Dungen, С R., июль 1926.

182 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ГУ
Мы утверждаем, что сопряженный с L оператор М получится, если
в A2) изменить знак у /, т. е.1)
Для доказательства следует воспользоваться уравнением A) из § 7 гл. 1,
которое можно рассматривать как определение АЛ:
vL(u)— uM(v) = DivS=2lfi£. A5)
а
Надо показать, что уравнение A5) действительно удовлетворяется, если АЛ
имеет вид A4). При этом удобно исходить из выражения A3а) для L и
соответственно писать АЛ в виде:
Объединяя члены с Qe и П», мы получаем, очевидно
д*и д*а д / да d
С другой стороны, объединяя вторые слагаемые с A3а) и A5а), находим:
Члены с ^-± можно отбросить, так как при суммировании по а они все
равно дадут нуль в силу A36).
Наконец, последние слагаемые в A3а) и A5а), очевидно, ничего не
вносят в A5).
В результате мы получаем с помощью формул A6) и A6а):
A7)
Таким образом, справедливость уравнения A5) доказана. Одновременно
мы вычислили в явном виде и фигурирующий там четырехмерный вектор S2):
£££ A8)
Если, в частности, и и v удовлетворяют уравнениям L(u) = 0 и M(v) = 0,
то имеет место уравнение непрерывности:
1) Поскольку величины хк и Ф^ сами являются мнимыми, член с о = 4 будет
сначала" входить с отрицательным знаком, который, однако, пропадет при
возведении в квадрат.
*) Естественно, к выражению A8) можно добавить еще любой четырехмерный
вектор с равной нулю дивергенцией (типа четырехмерного ротора). В дальнейшем,
однако, мы' можем отвлечься от этого обстоятельства.

§ I) РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГГРА 183
Это дает наы ираво рассматривать первые три компоненты 5 как ток,
а четвертую — как плотность. Именно, в соответствии с уравнением Fа)
(стр. 47) мы полагаем:
5 = ^(У, /ср). B0)
Так же как и S, (J, icp) представляет собой четырехмерный вектор.
Из условия A9) следует, что величины J и р удовлетворяют уравнению
непрерывности в известной из гидродинамики форме:
divy+^ = 0. B1)
Чтобы оправдать введенный в B0) множитель пропорциональности, вычислим
с помощью формулы A8) величину Sv Принимая во внимание (На), находим:
Пусть функции и и v описывают стационарные состояния с одной и той же
энергией Е:
Тогда B2) принимает вид:
54= — чг-(£ — V)<W'*=—н т^т B2а)
Совершим теперь предельный переход
£ у
с-* со, т. е. Е0-+оо, —g- П
к нерелятивистской волновой механике, в которой, по определению,
плотность p = W. Тогда из B2а) мы получаем:
2/и»
что, очевидно, согласуется с избранным в B0) множителем при р. Сразнивая
теперь B2а) и B0), находим непосредственно:
P = ^W- B3)
Однако этот результат несовместим со статистическими основами
волновой механики. Рассмотрим, например, кулоновский потенциал (в случае
сил отталкивания):
а—произвольная положительная величина. Вблизи точки г = 0 разность
Е — V, а вместе с ней и плотность р, обязательно станет отрицательной,
что противоречит статистическому истолкованию р как плотности вероятности
координат частицы.
Итак, мы приходим к выводу, что рассмотренное здесь
непосредственное релятивистское обобщение волнового уравнения, хотя и возможное
математически, физически является недопустимым.

184 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ.' IV
Однако этот аргумент, впервые выдвинутый Диракоы и затем принятый
всеми, недавно был в известном смысле опровергнут Паули и Вейскопфом1).
Названные авторы интерпретируют выражение B3) (умноженное на е) не как
плотность числа частиц, а как плотность заряда. Последняя же вполне
может менять знак, так как релятивистское уравнение Шредингера (равно
как и уравнение Дирака) описывает, в частности, и процессы «образования
пар» (см. § 10 настоящей главы). С другой стороны; согласно -Паули и
Вейскопфу, представление о плотности числа частиц благодаря возможнбсти
образования пар вообще не имеет ясного смысла. Однако и отвлекаясь от
рассмотренных осложнений, мы все же должны признать релятивистское
уравнение Шредингера физически недостаточным.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим задачу Кеплера. Здесь выполняются
условия пункта А и поэтому справедливо простое уравнение F) (причем
V= j-Л. Запишем его в виде:
£ + £)ф-0. B4)
где введены следующие сокращенные обозначения:
Уравнение B4) имеет почти такой же вид, как и в нерелятивистском случае
(см. гл. II), и, как и там, имеет решение вида
у = RP? (cos Ъ)е*"".
Функция R удовлетворяет дифференциальному уравнению
о, \
,}
<26>
где а — постоянная тонкой структуры.
Мы не будем подробно останавливаться на определении собственных
функций, а непосредственно перейдем к вычислению собственных значений
с помощью удобного метода, изложенного в дополнении 2. Для этой цели
введем новые переменные:
[см. совершенно аналогичные вычисления на стр. 71, формулы Dа)—G)].
Мы получаем (штрих означает дифференцирование по р):
= 0. B7)
Сравнивая B7) с формулой (9) дополнения 2, находим для фигурирующих
в (9) констант:
р==
1) W. Paul! u. V. Welsskopf. Helv. Phys. Acta 7, 709 A935).

§ 1] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДННГЕРА 185
На основании форыулы A0) дополнения 2 характеристическое уравнение,
определяющее поведение функции v при г-+0, иыеет вид (ыы обозначаем
показатель степени г через f, так. как буква а теперь означает постоянную
тонкой структуры):
откуда
(т+■?■)*=-('+-9*-«•*■•
B9)
Наконец, условие обрыва степенного ряда на основании B8) и форыулы A2)
приложения 2- записывается в виде (мы пишеы пг вместо я):
т. е., з силу B9),
тI—«■ + *• C0)
Но вследствие B5)
Полагая временнр
получаем из C1):
* В> ' C2а)
Возводя последнее уравнение в степень — х/а и подставляя значение J3, нахо-
C3>
Эта формула имеет общую конструкцию формул» тонкой структуры^
выведенной в первом томе. Имеется, однако, одно существенное отличие:
вместо фигурировавшего ранее числа п| = (/+1)9 теперь под знаком корна,
стоит (/+Va)9> что до некоторой степени компенсируется добавочным
слагаемым 1/а. Этого слагаемого достаточно, чтобы получить правильную нере-
лятивнстскую формулу Бальмера; в самом деле, разлагая правую часть C3).
в ряд по степеням а'2, в первом приближении находим:
™._ 1 тос«а»г» RkZ*
2 я* я*
где
Я — na-t-t-f-l, K^-S" Г = fcS *
Однако для тонкой структуры формула C3) дает неправильный результат-

186 ТЕОРИЯ ДИРАКА (ГЛ. IV
Действительно, во втором приближении получается:
в то время как правильное выражение имеет вид (см. т. I (V. 2. 6а); мы
несколько изменяем обозначения в соответствии с принятыми здесь]:
C4а)
Расстояние между термами; образующими тонкую структуру, дается
разностью (AW) значений W, соответствующих двум отличающимся на единицу
значениям /. Мы видим, что формула C4) приводит к значительно большему
расщеплению термов, чем C4а). Например, при я = 2, / = 0 и 1 мы
получаем из C4):
в то время как C4а) дае"т:
Таким образом, согласно новому уравнению, расстояние между компонентами
водородного дублета должно быть в 8/3 раза больше, чем получалось по
старой, подтверждённой опытом формуле. Аналогично обстоит дело и для
более высоких термов (л = 3, 4, ...). Тем самым доказывается
несостоятельность новой формулы тонкой структуры и, следовательно, релятивистского
уравнения Шредингера.
Истинная причина этой неудачи состоит в том, что релятивистское
уравнение Шредингера не учитывает спина электрона. Поэтому оно применимо
лишь для бесспиновых частиц [а-частицы, частицы, подчиняющиеся
статистике Бозе]. С другой стороны, теория электронов нуждается в совершенно
новых математических и физических средствах.
§ 2. ПЕРЕХОД К УРАВНЕНИЮ ДИРАКА.
МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА
Гениальная идея Дирака1) состояла в том, чтобы «линеаризовать»
релятивистское уравнение Шредингера. Это можно сделать по аналогии с
обычными комплексными числами. Квадратичную величину а*-\-Ь* можно расще-
лить на два линейных множителя, вводя мнимую единицу /:
в9_|_ ь* = (e-f lb)(a — ib).
Аналогичным образом мы преобразуем и релятивистское уравнение
Шредингера, вводя *гиперкомплексные единицы» •{. Рассмотрим прежде всего
случай свободного движения (Ф. = 0) и напишем вместо A.13):
>) Первые работы Дирака по теории электронов появились в феврале и марте
1928 г., см. Р. А. М. Dlrac, Proc. Roy. Soc., февраль и пар г 1928.

§ 2] МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ ЫОЫЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА 187
Это уравнение совпадает с A.13) (при Ф( = 0), если наложить на величины -у
следующие условия:
или в более сжатом виде:
T.TPH-TPT« = 28^. Ba)
Согласно второму из уравнений B) величины f антикоммутируют:
Т.Тр = —ТрТ.- B6)
Соотношениями B) величины f определены с достаточной для наших целей
полнотой. Специальное представление -у (четырехрядными матрицами) пан не
потребуется и будет рассмотрено лишь в дополнении 13.
Теперь мы ножен заненить A) линеаризованный уравнениен
выполнение уравнения C) влечет за собой как следствие и выполнение A).
Другое линеаризованное уравнение, которое ножно получить из A):
=°- <3а>
равносильно C), так как условия B) определяют ? лишь с точностью до
знака, а одноврененное изненение знака у всех f переводит (За) в C).
Соотношение C) представляет собой уравнение Дирака для электрона
в отсутствии внешних сил. Общее уравнение Дирака в присутствии
внешнего электромагнитного поля Ф. ны получин, если в соответствии с A.13)
напншен:
Однако это уравнение уже Не идентично A.13): решения D) не
удовлетворяют релятивистскому уравнению Шредингера. Напротив, в последнее
вносятся радикальные поправки.
Чтобы убедиться в этом, введён удобное для дальнейшего сокращённое
обозначение:
*-&-£•- <5>
Тогда уравнение D) прининает вид:
Умножим F) слева на
т. е. образуем выражение
i
или, что то же свное,

188 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Чтобы преобразовать двойную сунну пр. а и р, рассмотрим, во-первых, два
члена с одинаковыми индексами суммирования (Р = о)
т А • т А G)
и, во-вторых, объединим попарно слагаемые с разными индексами
суммирования ффа):
АА+АА- Gа)
Величины f> будучи постоянными, перестановочны с Q. Поэтому вместо G)
можно написать (учитывая B)]:
= 0*. (8)
По той же причине Gа) можно переписать в виде:
WAS.+т.тДО*=т.тР (QA—^P^«).
Но в силу E):
F) ф |__£_ффи
Составляя таким же образом выражение QpQ.ii, видим, что при вычитании
первый и последний члены выпадают; средние же члены уничтожаются лишь
частично. Именно, мы получаем:
@.0р-0р9Л, = -|(^-^)«. (9)
Скобка в правой части представляет собой «четырёхмерный ротор»
четырехмерного вектора Ф. Как известно из электродинамики, эта величина следую»
щим образом связана с напряжённостями электрического и магнитного полей:
для а, р=1, 2, 3
Ы-щ-"***-"* (9а)
для ? = 4, ашт\, 2, 3
Sf-S—1Е- (96)
(Обозначение напряженности магнитного поля с помощью двух индексов
вполне целесообразно, так как в отличие от Е, Н представляет собой не
полярный, а аксиальный вектор.)
Собирая все члены, мы получаем из Fа):
-к 2wV+£ £ wr.«.
Левая часть A0) представляет собой не что иное, как разделенную на
левую часть релятивистского уравнения Шредингера A,13); правая же часть
содержит дважды по «три члена магнитного и электрического происхождения.
Таким образом, согласно Дираку, в наше прежнее релятивистское
волновое уравнение A.13) надлежит ввести эти поправочные члены. Содержа
в качестве множителя волновую функцию и, они представляют собой в
известном смысле нечто вроде потенциальной энергии V. Вспомним, например.

§ 2] МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ ЫОЫЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА 189
как выглядит зависящее от времени нерелятивистское волновое уравнение:
2/жда 2т,.
(см. гл. I, § 6, уравнение (9)].
Как показывает сравнение с A0), чтобы множители при и можно
было рассматривать как потенциальную энергию, их следует разде-
2/я
лить на -sf. Таким путём мы получаем выражения, которые естественно
назвать магнитной (V^) и электрической (Ve) частями потенциальной энергии:
< ТХтА + ТА+ТЛ> 02)
Эти формулы можно упростить, вводя вместе с Паули символический
вектор а, компоненты которого суть:
A3)
В силу B) компоненты 9 удовлетворяют следующим соотношениям:
}
— °9°i = TtTa = + 1<3з и т. д. J
} 03а)
°1°9 + 1 и т J
Теперь вместо A1) можно написать:
V- —££(«»>. 04)
Далее, введём обозначение:
^ = TiT2TjT4- A5)
Тогда, как легко проверить с помощью B),
V — —ТЛ» а& = — 'ТЛа. °8<с = —'ТЛв. A5а)
и мы получаем вместо A2):
Как мы скоро покажем, 9 надлежит рассматривать как «Спиновый
оператор».
В формулах A4) в A6) прежде всего представляет интерес множитель
■■
Согласно т. I эта величина представляет собой не что иное, как
магнетон Бора.
Итак, мы без каких-либо предположений относительно магнитных свойств
электрона, чисто формальным путем, получили характерное выражение для
его магнитного момента — и притом с правильным множителем, равным в
соответствии с гипотезой Гаудсмита и Уленбека одному магнетону Бора. Этот же
множитель фигурирует и в электрической энергии Ve. To обстоятельство, что
релятивистски ковариантное выражение (четырехмерный антисимметричный
тензор второго ранга) можно получить, лишь вводя помимо магнитного

190 ТЕОРИЯ ДИРАКА (ГЛ. IV.
момента ещё и электрический, было еще раньше отмечено Френкелем1).
К физическому истолкованию этой электрической части мы еще вернемся
в § 5 в связи с формулой B1). Она обусловлена движением магнитного
момента; её волновомеханическое среднее значение всегда вещественно и для
покоящегося электрона обращается в нуль.
В то же время мы видим, что вектор а определяет составляющие
магнитного момента по координатным осям. Так, например, at соответствует
х-компоненте, о9—дг-компоненте и т. д., так как в формулах A4) и A6)
Oj множится на Нт = Нп и Em = Ev Ниже мы рассмотрим это более
подробно.
Перейдён теперь ко второй половине гипотезы Гаудсмита и Уленбека.
Именно, покажем, что уравнение Дирака автоматически приводит к выводу
о существовании у электрона не только магнитного момента, но и
механического момента количества движения {спина). Для атрго допустим, что
электрон, как в атоме водорода, движется в центральном поле сил
электрической природы, так что [см. A.11а, б)]
Ф1 = Ф, = Ф, = 0, «Ф4 = / V(r). A8)
Будем основываться на § 3 гл. III и обозначим, как и тан, синволон М
пространственную компоненту оператора момента количества движения.
Например:
Будучи приненён к 2t = -3— или Q9 = -з—, этот оператор даёт:
x (xt ^ — х2 ^)—
& д I д д \ , д
дЩ = дГг Г» Ж?~ 9 351/ + ^1
Далее, очевидно, М1923 = 2.^12 и [поскольку M1QV(r) = 0] Af1QQ4 = ^4^ia«
Такин образон, обозначая оператор, стоящий в левой части линейного
уравнения Дирака D), чцрез L, ны получаем:
Af19L«-IMl9« = -J-G9Q1_:rte9)B. B0)
В теории Шредингера соответствующее уравнение имело вид (в тех же
предположениях относительно силового поля):
уИ1аАи — LM^ = 0, B0а)
рде под L следует понимать левую часть обычного уравнения Шредингера
или, что то же саное, классический оператор Гамильтона (сн. гл. III, § 3,
/равнение B4)]. Это соотношение интерпретировалось там как закон
площадей в волновой механике. Следовательно, наше уравнение B0) приводит
к выводу, что для дираковского электрона закон площадей в его обычной
») Я. И. Френкель, Zs. I Phys. 37, 243 A926); 47, 786 A928).

§ 2| МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА ПН
форме {сохранение момента импульса) не выполняется, несмотря на
предположение о центральном характере силового поля.
Можно, однако, сохранить в силе закон площадей, если заменить
оператор момента количества движения М на
где J3 — гиперкомплексная величина типа "(.
Чтобы определить р, составим разность
NL — LN=ML — LM-\-$L — Lfl B1a>
и рассмотрим, в частности, составляющую Nti. Принимая во внимание B0),
мы имеем:
N19L - LNU = A(тА - Т^а) +fL — 0. B2)
Если теперь подобрать J3 так, чтобы выполнялось равенство
тАъB3)
то формула B2) примет вид:
NlQL = LNti. B4)
Таким образом, мы можем сказать в соответствии с принятой в B0а)
терминологией, что для оператора N справедлив закон площадей.
Обратимся теперь к вычислению р. Напишем B3) в раскрытом виде,
учитывая, что не зависящее от т слагаемое в L при этом выпадает. Мы имеем:
4 4
f (тА - тА)+Р 2 тА ~ 2 Tf«Q«P-= °- B5)
Коэффициенты при всех четырёх Qa должны порознь обращаться в нуль.
Таким образом, получаем четыре уравнения для определения C:
B5а)
РТ8Т8?
\ B56)
В § 5 будет показано, что отсюда с необходимостью вытекает:
P=4ffiT9- B6)
Это дабт в связи с B1):
Na^Mn + fTW»
или, учитывая A3):
W19 = Afia + |o,. B7)
Аналогично получаем1):
у о»; iVe = Л« + J о9. B7а)
') См. в связи с этим § 6 [замечания после уравнения B1а)], где после
обсуждения трансформационных свойств спина уравнения B7) и (?7а) будут несколько
дополнены.

192 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Возвратинся теперь к соотношению B4) и приненин его к какону-нибудь
решению уравнения Lu = 0. Поскольку левая часть обращается в нуль, ясно,
что не только в, но и N12u удовлетворяет последнену уравнению. Мы
покажем сейчас, что, как и в гл. III (§ 3, форнула C0)], отсюда следует1);
Nau = Cu; B8)
где С — постоянная интегрирования.
Вводя полярные координаты г, d, ip и выбирая обычнын образом
зависимость к от времени, представин функцию и в следующей виде:
Тда. B9)
Занетин при этом [см. уравнение C6), стр. 157], что
75?' <29a>
Тогда уравнение B8) на основании B7) принет вид:
Такин образон, в -как функция <р удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению с постоянными коэффициента ни. Уравнения такого типа
удовлетворяются экспоненциальными функциями; поэтому мы вправе
положить:
Ф = «<«•?. C1)
причём в силу условий однозначности н периодичности.в, т должно быть
целым числон. Следовательно, ны получаен из C0):
C2)
Этим уравнениен определяется постоянная интегрирования С. В самом деле,
«ы инеен на основании C2):
(—£)—-*■
и, поскольку oj=l [сн. A3а)],
(—4М-
Отсюда
( ^У C2а)
С инеет физический снысл постоянной в законе площадей, т. е.
представляет собой составляющую нолента количества движения в направлении оси г
^соответствующей углу Ь = 0). В отличие от прежней теории эта
составляющая уже не равна тЬ, а содержит ещё дополнительное слагаемое
у, C3)
1) Поскольку в состоянии B9) имеет место вырождение (ибо можно положить
4= |с?* "f})t следовало бы, собственно говоря, использовать здесь уравнение C2),
л не C0). Фигурирующая там линейная комбинация в иашем случае, очевидно,
совпадает с использованной в тексте показательной функцией C1).

§ 2] МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ ЫОЫЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА 193
которое следует истолковывать как спин электрона. Как видно из C2а),
спин может либо складываться с орбитальным моментом, либо вычитаться
из него, т. е. спин может быть ориентирован как в положительном, так и
в отрицательном направлении оси г. Если бы мы выбрали другую систему
координат (в которой значение 0 = 0 соответствовало бы оси х или у), то
вместо в, в уравнение C2) вошло бы в соответствии с B7а) at или а2.
Заметим, однако, что, в то время как величина магнитного момента составляет
целый магнетон Бора, механический момент количества движения электрона
равен только половине квантовой единицы момента ft.
Таким образом, не только магнитный момент электрона, но и спин его
получается чисто формальным путём, без каких-либо произвольных
модельных предположений о структуре или движении электрона.
Сделаем ещё несколько замечаний о различных обозначениях и
наименованиях, употребляющихся в связи с уравнением Дирака.
Мы отклонились от Дирака в том отношении, что ввели коэффициенты т.
симметричным образом с четырьмя операторами 2в, в то время как у
Дирака производная по врем'ени особо выделена и коэффициент при ней равен
единице; благодаря этому член -jp у Дирака содержит множитель типа т
(а у нас он представляет собой обычное число). Уравнение Дирака в форме,
приданной ему автором, получится, если умножить наше уравнение F) на it
и ввести новые обозначения:
Величины а удовлетворяют тем же правилам перестановки B), что и ?• Для
общих рассуждений симметричные величины f являются более удобными.
Если же в некоторых специальных задачах (при применении теории
возмущений) окажется выгодным выделить временную координату, мы легко сможем
перейти к величинам а или же к употреблявшимся Дираком в его первой
работе р, а.
Помимо собственного линеаризованного уравнения Дирака .D), мы будем
пользоваться также «итерированным» уравнением Дирака A0). Последнее
удобно в том отношении, что в нём члены с f входят только в правую часть
в качестве «спиновых поправок», в то время как левая часть его совпадает
с обычным уравнением Шредингера, которое в некоторых случаях само даёт
хорошее приближение.
Важным предшественником уравнения Дирака является уравнение Паули').
Как и итерированное уравнение Дирака, оно — второго порядка и также
содержит члены с f только как спиновые поправки, которые, однако, в
случае уравнения Паули имеют более простой вид, в чём мы и убедимся в
соответствующем месте (§ 5). Здесь достаточно только констатировать, что
установление уравнения Паули явилось важным шагом на пути к раскрытию
истинной природы электрона (т. е. к уравнению Дирака).
В заключение укажем на интересную связь между уравнением Дирака и
наиболее общей формулировкой релятивистской метрики. Пользуясь
нашими величинами -у, преобразуем четырёхмерный элемент длины
4
ds* = '2ldxl C4)
к выражению
4
2. C5)
а-1
1) W. P a u I i, Zs. f. Phys. 43, 601 A927).
13 Зшс. 968. А. Зошкрфел*

194 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
и принен во внинание связь нежду эленентон длины и собственнын врененен:
C6)
Комбинируя C5) и C6), ны ножен написать, поделив на dn
Величины -^, в отличие от -~, не образуют четырёхмерного вектора;
первые три конпоненты составляют трёхнерный вектор скорости о, в то вреня
как четвертая, в силу условия xt = tct, равна 1с.
Чтобы перейти к волновой механике, выразин v через канонический
импульс р с помощью A.7):
°=тИ"—И- <з8>
Аналогичное уравнение инеет несто и для четвёртой конпоненты, а иненно:
C8а>
В санон деле, полная энергия Е (включая и энергию покоя £?„) равна
тс2-\-е<?. Два предыдущих уравнения ножно записать в виде единой
формулы:

*^Ц*:*х:_ <386)
Если подставить C86) в C7), то произведение т и У\—ра дает т0 и после
умножения на т0 ны получаен:
Это есть не что иное, как уравнение Дирака в синволической форме,
часто встречающейся в литературе. Очевидно, наше уравнение F) получится»
если в C9) положить
и затеи поделить веб уравнение на у. В связи с двойным знаком в C9)
следует вспомнить сделанное выше занечание об уравнениях C) и (За).
Только что изложенные соображения не представляют ничего лринципиально
нового по сравнению с начален настоящего параграфа. В обоих случаях ны
инеен дело с линеаризацией некоторого квадратичного выражения с понощью
величин -J: здесь это был эленент длины ds2, тан — релятивистское
уравнение Шредингера. Мы повторили здесь предыдущие рассуждения в несколько
инон виде, в основнон, потому, что для линейного эленента в двумерном
пространстве соответствующее расщепление
</s9 = {dx H- idy) (dx — Idy)
давно известно как введение «мининальных направлений».

§ 3] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА. ЧЕТЫРЁХМЕРНЫЙ ВЕКТОР ТОКА 195
f 8. СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА.
ЧЕТЫРЁХМЕРНЫЙ ВЕКТОР ТОКА
Как уже было установлено в гл. I, § 7, для случая уравнения Шредин-
гера, волновонеханическая задача определяется не одним, а двумя волновыми
уравнения ни: исходным и сопряженным с ним. Так же обстоит дело и
в релятивистском случае. Уравнение, сопряжённое с дираковским, находится
по общему правилу [использованному последний раз на стр. 182 (IV. 1.15I,
которое мы здесь запишем в несколько изменённом виде:
v(Lu) — («Af)a = DlvS=]j^. 0)
Стрелки, поставленные над операторами, означают, что сопряжённый
с диракоьским дифференциальный оператор М действует налево, а сам
оператор Дирака
— направо, т. е.
Основываясь на этом, легко показать, что следует положить:
т. е.
В самом деле, подставляя C) и E).в левую часть равенства A), мы
видим, что слагаемые, содержащие Ео и Ф., взаимно уничтожаются, а
оставшиеся члены имеют вид:
Таким образом, выбранное нами выражение D) для М действительно
удовлетворяет условию A). Одновременно мы получили 5. в явном виде1):
5. = «Tf.a. F)
Если ещё функции и и v удовлетворяют волновым уравнениям
(vM)=0, (£и) = 0, G)
то для 5. имеет место уравнение непрерывности
Далее рассуждения идут совершенно так же, как и в гл. I, § 7:
проинтегрируем (8) по всему пространству координат хх, х2, хл (dz — dx, dx, dx.)i
тогда первые три слагаемых дадут нуль (ибо они сводятся к интегралам по
]) Вектор Sa определён с точностью до слагаемого, дивергенция которого равна
нулю; это слагаемое можно положить равным нулю, что и будет сделано в
дальнейшем.
13»

196 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
бесконечно удаленной поверхности), и ыы получаем:
S4rfx = 0, fs4rfx = const (не зависит от f). (9)
Это равенство справедливо для любых двух решений сопряжённых друг
с другом уравнений G). Выберем, в частности, и и v так, чтобы они при»
надлежали одному а тому же состоянию. В этом специальном случае
уравнение (9) можно несколько уточнить.
В рассматриваемом случае функция v должна быть определенным
образом связана с и. Эта связь устанавливается следующими двумя правилами:
а) При переходе от и к г» порядок следования множителей f изменяется
на обратный. Так, например, вместо
tVihlt писать
б) Кроме того, при переходе от и к v надо заменить
Tj. Ъ> Ъ> Т*. ' на — Ь> —Та» —Те. +Т4» —'• AОб>
Оба эти правила можно вывести, сравнивая C) и E). Первое из них
соответствует различным направлениям действия операторов в C) и E) (vr
вместо fit)', второе можно получить, замечая, что изменение знака при
производных в 2' по сравнению с 2 сводится к замене f« на — ?„ (а = 1, 2, 3)
и изменению знака при I (благодаря наличию членов -£-Ф.). При а = 4
изменение знака у производной достигается одной только заменой -\-1 на —/,
так как координата хк — чисто мнимая; поэтому у ?4 знак менять не надо.
При этом следует иметь в виду, что Ф4— также чисто мнимая величина и,
следовательно, произведение /Ф4 вещественно. Поэтому второе -слагаемое
в Qt(—трФ*) не изменяется при замене -{-I на —/. Более строгий вывод
правил A0а) и A06) будет дан в § 5.
Обозначим функцию v, полученную таким путём из а, через а и
образуем из а и а величину St. Так же как и в гл. I [см. A.7.6.)], будем считать
эту величину пропорциональной «плотности вероятности» р.
5, = «ТГ4и = рГ. (И)
Однако в данном случае [в отличие от A.7.6)] множитель пропорциональности
Г не является обычным числом, а зависит от ? — только тогда функцию р
можно рассматривать как обычное число, что необходимо в связи с ее
физическим истолкованием. В дальнейшем — в § 5 [см. E.30)] — мы обсудим,
каким образом целесообразно определить множитель Г; пока же отметим
только, что он должен быть отождествлен с константой, фигурирующей в (9).
В самом деле,
(«вероятность того, что электрон находится где-нибудь в пространстве,
равна единице»). Поэтому из A1) следует:
4dx = ju-r4odx = rjprfx=r, A2)
что и требовалось доказать.
Равенство A2) представляет собой условие нормировки для функций и,
и. Как и в случае уравнения Шредингера (см. стр. 48), оно оставляет нет
определённой фазу волновой функции.

§ 3] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ ВЕКТОР ТОКА 197
Тот же самый множитель Г входит и в определение тока в состоянии и.
Мы потребуем, во-первых, чтобы выражение для тока J, как и для р, не
содержало множителей типа ? и, во-вторых, чтобы выполнялось обычное
гидродинамическое уравнение непрерывности:
= 0. A3)
Последнее соотношение должно, естественно, совпадать с (8). Чтобы сравнить
их, умножим A3) на у-, тогда 4-. превратится в фигурирующую в (8)
производную -г-±. Приравнивая друг к другу остальные слагаемые соответственно
в (8) и в A3), мы получаем:
■tcSk = tcutktt (ft=l. 2, 3). A3а)
Наконец, A1) и A3а) можно объединить в единую четырёхмерную
формулу:
С/, lcp)T = lc(Sv 5a, 58. 5J. A4)
Казалось бы, определенный здесь четырехмерный вектор тока
существенно отличается от получавшегося в теории Шредингера A.7.7). Однако
это не так, как показывает следующее поучительное преобразованиех).
Будем исходить ив формулы F):
5р = -»ТрИ (р = 1, 2, 3, 4).
Перепишем это соотношение два раза, подставив в него один раз v из
сопряженного уравнения E) [(vM) = 0]:
*■
а другой раз и из основного уравнения C) [(La) = 0]
Ъс
Первый раз мы получим:
во второй раз будет:
Составляя полусумму этих выражений, находим:
В силу перестановочных соотношений для f во второй сумме исчезают
все члены с а^р и остается только
£ф,ш. A5а)
1) W. Oordon, Zs. f. Phys. 50, 630 A928); E. Schroedlnger, Berliner Akade-
mi«, 1930, стр. 418; 1931, стр. 63.

198
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[ГЛ. IV
В первой сумме в A5) выделим член с в = £:
Ьс (dv ди
<15б>
Складывая A5а) и A56) и умножая результат на 1с [см. A3а)], мы
получаем при ? = 1, 2, 3:
lcS' = — (giadv-u — tf.grada) — -£-$vu. A6)
Это — не что иное, как выражение для шредингеровского тока [см.
формулу G) на стр. 47], в котором вместо и* поставлено v, вместо А— Фа
несколько изменен несущественный там порядок следования множителей.
Следуя Гордону, мы назовем A6) током проводимости; он формально не
зависит от величин f (последние входят лишь в и и г»). Однако в первой
сумме в A5) имеются еще члены с а Ф р. Будучи помножены на (с, они дают
ток поляризации
S/(^^) ^S'^ ОТ)
Последнее преобразование возможно в силу правил перестановки величин т,
так как в данном случае аф$ (это обстоятельство отмечается штрихом
у знака суммы).
Положим далее:
*™а (• Р 1. 2. 3),
и назовем, следуя Гордону {см. примечание на стр. 197), М — магнитной,
а Р — электрической поляризацией единицы объема.
Тогда мы получим, например:
— /Ир,, мы будем
A9)
в общем же виде, принимая во внимание, что Л1ар
иметь:
±¥..
В принятой нами сейчас форме записи ток поляризации явно зависит
от величин f. Он обусловлен наличием спина и потому отсутствует в теории
Шредингера. Для физического истолкования поляризационного тока следует,
как и в A4), отщепить в нем множитель Г; то же относится и к
определениям A8) величин М и Р.
Пока что мы говорили только о плотности и токе в данном состоянии.
Можно было бы рассмотреть комбинированный четырехмерный вектор тока S,
образованный с помощью волновых функций двух различных состояний. Его
определение содержится в формуле F), в которую в качестве и и г» можно
ч- ■>
подставить произвольные решения уравнений (vM) = 0 и Aа) = 0. В этом
случае также имеют место уравнение непрерывности (8) и, следовательно,
формула (9). Рассмотрим, в частности, два стационарных состояния:
v

§ t\ ПРИМЕР СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 199
Вследствие уравнения непрерывности мы получаем, согласно (9):
~* '*"»"*"' * = const. B0)
Как было подчеркнуто в связи с уравнением (9), символ «const»
означает величину, не зависящую от времени t. Но левая часть B0) при
ЕтфЕп от t зависит. Эти два обстоятельства можно совместить, только
если «const» равна нулю. Таким образом, мы непосредственно приходим
к докавательству ортогональности собственных функций уравнения Дирака:
* = 0. B1)
В заключение следует указать на рассмотренный в дополнении 14
вариационный принцип, из которого следует изложенная в начале настоящего
параграфа связь между и, v, L, М.
f 4. ПРИМЕР —СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА
Как и в нерелятивистском случае (гл. I, § 2), движение электрона
в отсутствие внешних сил описывается плоской волной. Мы воспользуемся
этим математически простейшим случаем для того, чтобы получить
некоторую предварительную практику вычислений с величинами ?.
В соответствии с B.3) дифференциальное уравнение нашей задачи
имеет вид:
По аналогии с A.2.8) полагаем:
и = ^-«»', » = •§-. ф = Л«« <*•••>. B)
Здесь k представляет собой волновой вектор (размерности обратной длины);
«амплитуда» А зависит от т и, следовательно, в отличие от ш и k не
является обычным числом. Подставляя B) в A), мы получаем (вектор у = Ti»
Та. Те):
Условие разрешимости этого уравнения можно найти, умножая C) слева на
Тогда, в силу соотношений B.2), ^се множители ? исчезают, и мы
получаем:
откуда, поскольку А не должно быть тождественно равно нулю,

200 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Эта формула представляет собой не что иное, как известное выражение для
энергии свободно движущегося электрона. В самом деле, в силу
соотношения де Бройля
P = hk, F)
E) переходит в формулу A.4) (при V=0):
cV = £a—El G)
Наоборот, можно было бы сказать, что уравнение E) представляет
обещанный ранее [в связи с (V.2.19)] вывод формулы де Бройля из уравнения
Дирака. Поскольку сюда входит релятивистский импульс р, вновь доказано,
что под т в формуле де Бройля следует понимать полную массу, а не
только массу покоя.
Формула E) приобретает особенно симметричный вид, если положить
по определению
. 1в> IE . Eq ,b\
*4=—= й- *» = !?• (8)
Действительно, тогда E) переходит в
2*2 = 0, а = 0. 1 4. (8а)
Обозначения (8) (особенно первое из них) будут полезны нам и в
дальнейшем.
Установив условия разрешимости уравнения C), перейдем теперь к самому
решению его, т. е. к вычислению А. Легко непосредственно убедиться, что
А должно быть пропорционально выражению D):
Здесь F — коэффициент пропорциональности, который еще может
произвольно зависеть от -у. Существенно, что он стоит после скобки в (9).
Действительно, именно при таком порядке множителей при подстановке (9) в C)
в результате перемножения двух скобок возникает обращающееся в нуль
выражение E); тем самым уравнение C) удовлетворяется при любом выборе F.
Пользуясь обозначениями (8), можно переписать (9) в более
симметричном виде:
2 в —1.2. 3,4. (9а)
В то же время и экспоненциальные множители в B) объединяются
в симметричное выражение
е*(Ьг)-<"' = «Я*А, а = 1, 2, 3, 4, *4 — let,
и B) принимает следующий окончательный вид:
Экспоненциальный множитель можно было бы написать здесь в любом
месте, но коэффициент F, как уже говорилось, обязательно должен стоять
после скобки.
В столь же простом виде можно написать и решение сопряженного
уравнения Дирака C.5) (в отсутствии внешних сил):
аа!

§ 41 ПРИМЕР СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ 9ЛЕКТРОНЛ 201
именно, мы получаем:
Это выражение соответствует правилам, указанным на стр. 196, и потому
удовлетворяет уравнению A1). При этом следует иметь в виду, что
требуемое правилом C.106) изменение знака у ft> Ta> Ts компенсируется
соответствующим изменением знака у /, а величины lkk и k0 вещественны.
F представляет собой сопряженную с F величину, которая должна
стоять перед скобками в A2). В соответствии с правилом C.10а) она
получается из F изменением порядка, следования всех множителей f* Как и A0),
формула A2) описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении
волнового вектора к.
Образуем теперь с помощью A0) и A2) четырехмерный вектор тока.
Он оказывается не зависящим от координат х п t я в соответствии с (З.б)
определяется формулой _
F. A3)
где для краткости введено обозначение
В соответствии с требованием, сформулированным в связи с C.14),
отношения компонент 5. не должны зависеть от т- Как мы сейчас увидим,
в нашем—особенно простом — случае это обеспечивается особыми
свойствами О.
Рассмотрим, помимо О, еще величину
О_ *2тА-*о. 05)
Перемножая О и О_, находим, принимая во внимание правила перестановки у.
t
ОО_ = О_О = 2 *! =^= 0 [в силу (8а)]. A6>
ашО
По этой причине (см. следующий параграф) величины О и О_ называются
делителями нуля. Их особенности выявляются, если составить еще
выражения 0я и Oi. Мы имеем:
о»=—2*1—2/fto2Tp*p+ftS г/А^трАр+гл^-гЛоО. A7а>
Аналогично
l A7б>
Мы видим, что при делении A7а) на О [или A76) на О_] получается
неверный результат:
О = О_ 2*0.
«На делитель нуля делить нельзя».
Составим теперь произведение fa0 и преобразуем его, перенося т«
направо от О. Тогда в A4) все слагаемые (кроме того, в котором а = 8)
меняют знак. Поэтому, как видно из сопоставления A4) и A5), можно
написать:
и, следовательно,

02 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Первый член в правой части этого равенства в силу A6) обращается
* нуль. Следовательно, A3) принимает вид:
Sa = 2ikaFOF. A8)
Таким образом, при любом F отношения компонент нашего четырехмерного
вектора 5 не зависят от f: 5j: 52:58:54 = kt: ka: ka: kv
Мы можем, например, написать:
5. = |j-S4. a = 1,2,3, A9)
или, в силу C.14):
Теперь формулы (8) и (б) дают:
j=vp. B0а)
Это означает, что мы имеем дело с потоком частиц, распределенных с
плотностью р и движущихся со скоростью «> = —.
Простой результат A8) был получен нами формально — как следствие
особой природы делителя нуля О. Можно было бы придти к нему и исходя
непосредственно из уравнений A) и A1) для к и о. Принимая во внимание
указанную в A0) и A2) зависимость к и о от ха, эти уравнения можно
переписать в виде:
Умножим первое из уравнений' B1) слева на щ$, второе — справа
«a -fa" и сложим. Учитывая правила перестановки f, мы получаем:
B2)
Как и A8), это равенство означает, что отношения компонент
четырехмерного вектора 5 не зависят от f.
Наконец, мы должны пронормировать волновые функции а и о, для
чего надлежит обратиться к условию C.12).
Прежде всего оказывается, что, для того чтобы применить это условие
в случае плоской волны, требуются некоторые дополнительные рассуждения.
Действительно, интеграл, взятый по бесконечному пространству, в данном
случае расходится, так как подинтегральное выражение постоянно. Мы можем
выйти из положения, считая, что- плоская волна распространяется не в
бесконечном пространстве, а в некотором конечном объеме V (например, в кубе).
Тогда Г dx = V, и мы получаем из A8) и (8):
I Sidx = 2lk.VFQF = — 2^- FOF. B3)
J * * be
Но, согласно C.13), должно иметь место равенство
;*-Г. B4)

§ 51 группл гиперкомплексных чисел и её подгруппы 203
Такиы образом, в нашем случае введенная в § 3 величина Г дается
формулой
Г = — 2j£fQF. B5)
В силу произвольности F величина Г также в широких пределах
произвольна; однако благодаря присутствию множителя О она должна обладать
свойствами делителя нуля. Для St мы получаем на основании B4):
54 = у. B6)
Сопоставляя B6) с C.14), приходим к непосредственно очевидному
выражению для плотности
Р = тг (одна частица в объёме V)
и, в силу B0а), для тока
Резюмируем теперь всё, что мы выяснили на рассмотренном простом
примере. В выражения для волновых функций а, о и соответственно для
четырехмерного вектора 5 входят величины f. Однако в нашем случае во
всех четырех компонентах S. можно выделить общий гиперкомплексный
множитель Г, который является в известных пределах произвольным и потому
не имеет физического смысла. Физический смысл имеют лишь умноженные
на Г вещественные числа, интерпретируемые как ток j и плотность р. Тот
же множитель Г входит и в условие нормировки волновых функций.
f 5. ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
И ЕЁ ПОДГРУППЫ —КВАТЕРНИОНЫ И БИКВАТЕРНИОНЫ
Мы ввели в рассмотрение четыре гиперкомплексные единицы f-
Перемножая их друг с другом и с обычной единицей, можно образовать
различных, не сводящихся друг к другу элементов. Расположим их
следующим образом:
1,
Tit Tat Tst Т«»
Tiat Ta*t Tei» Ti«» Те*» Ts*t
где Tie сокращённо обозначает произведение YiTa и т- д- Ясно, что любое
другое произведение величин f можно, применяя фундаментальные
соотношения
Т2=1. Т.р = — Тр.. B)
свести к одному из элементов A) (может быть, с точностью до
множителя— 1). В частности, при перемножении выписанных шестнадцати
величин вновь получаются элементы A). Таким образом, эти величины образуют

204 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
группу 16-го порядка. Число в «теле» f состоит, вообще говоря, из
16 членов:
А = 0о4 «iTi + • • • + %6Тш4. C)
где а0, flj, .... а,6— обычные комплексные числа. Произведение двух
чисел C) принадлежит тому же телу, что и сомножители.
Покажем, как надо производить вычисления в теле f, на примере
введенной на стр. 191 величины р. О ней известно только то, что она
принадлежит данному телу и удовлетворяет уравнениям B.25а) и B.256).
Согласно B.256)
а) р коммутирует с т, и f4.
Из B.25а) легко находим, что
6) Р коммутирует с т13.
Действительно, умножая первое из уравнений B.25а) слева на fv
второе— справа на fa и складывая их, получаем: t^Ti — Та?Та = О» т- е*
Pfj = т 1ТаРТз и PTiTa = TiTaP' чт0 и требовалось доказать.
Положим теперь в соответствии с C)
р =
Из а) следует, что в данном случае должны обращаться в нуль все ск,
кроме четырех:
В) Р =
Этот вывод основывается на теореме о единственности
представления C), т. е. на том обстоятельстве, что из уравнения
О = e0+*iTi + • • • + OisTias*
с необходимостью вытекает:
00 = 0,= ... s=fl15=0.
В самом деле, к формуле в) можно придти, потребовав, чтобы р
коммутировало, например, с 7s* Вычисляя соответствующую перестановку,
находим:
О = 2crf18+2с2Тзз — 2сЛм + 2свта — 2стЪ ~ 2с10Т« — &1Л11М — 2%T4ia-
Таким образом, все коэффициенты ск должны обращаться в нуль. Далее
накладывается еще условие перестановочности р с ft, и в результате
остаются только выписанные в в) коэффициенты ск. Пользуясь затем
условием б), аналогичным путем находим, что с' = с" = 0, т. е.
г) P =
Член с0 можно отбросить как несущественный. В самом деле,
величина N определяется уравнением B.21) лишь с точностью до произвольного
постоянного слагаемого, поскольку оно, как и с0, является обычным числом.
Поэтому вместо г) можно с равным успехом написать:
Подставляя теперь д) в первую или вторую из формул B.25а), легко
находим константу с. Оба уравнения дают в согласии друг с другом
чем и доказывается наше утверждение B.26).

§ 5] ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕХСНЫХ ЧИСЕЛ И ЕВ ПОДГРУППЫ 205
Рассмотрим теперь вопрос о подгруппах нашей 16-членной группы.
Поскольку их порядки должны быть делителями 16, могут быть только
подгруппы порядков
8, 4 или 2,
т. е. состоящие из
8, 4 или 2 элементов.
Подгруппу из восьми элементов мы получаем, отбрасывая одну из
четырех исходных единиц f и образуя все возможные комбинации из
оставшихся f. Можно поступить и иначе: сохранить только элементы,
представляющие собой произведения чётного числа единиц f. Получающиеся таким
путем «восьмичленные группы» изоморфны друг другу, т. е. их элементы
можно поставить во взаимно однозначное соответствие так, что
произведения соответствующих элементов также соответствуют друг другу. Так,
например, элементы подгруппы четных произведений (взятые, когда нужно,
с множителем 0 и подгруппы, построенной на первых трех единицах f •
могут быть сопоставлены друг с другом по следующей схеме:
1 tfu 'Та* 'Тм Tia Таз Ти Hiss*. D)
1 Ti Та Т» Tia Tea Ти Tias- E)
Действительно, если перемножить, с одной стороны, любые два
элемента верхней строки и, с другой стороны, стоящие под ними элементы
нижней строки, то произведение вторых окажется расположенным под
произведением первых.
Подгруппа из четырех элементов получается, если из 16 величин A)
сохранить только элементы, содержащие лишь две какие-либо единицы f,
например -ji и f3:
1. Ti. Та» Tia- F)
Можно также исходить из схемы D), вычеркнув в ней все элементы,
содержащие определенную единицу f (например, f4). Мы получим тогда:
L Tai. Ts». Tis- G)
Используя спиновый оператор B.13), можно переписать это в виде:
I, —/о8, —top —/оа. Gа)
Все эти четырехчленные подгруппы изоморфны друг другу и группе
кватернионов, которая обычно строится на элементах
1. I, J, К (8)
удовлетворяющих следующим соотношениям:
/« = /» = # 1, |
(9)
// = —// = *, Jk = — kJ = l, kl = lk=j. \
Действительно, если элементы G) или Gа) поставить в соответствие
расположенным под ними величинам (8), то, как легко убедиться, для G) и Gа)
справедливы те же соотношения (9). Изоморфизм группы кватернионов и F)
станет очевидным, если вместо F) написать:
1. 'Ti. 'Та. Tai-
Восьмичленную группу, построенную на элементах D) или E), называют
также группой бикватернионов.

206 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Подгруппа из двух элементов получится, если, кроме обычной
единицы, оставить только одну из величин, например /ft или ?1а.
Получающиеся таким путем двучленные группы изоморфны группе обычных
комплексных чисел:
1. /•
Уравнение Дирака определено в теле из всех 16 элементов A).
Соответственно его решения по аналогии с C) можно подставить в 16-членном
виде:
и = «о+«iTi + • • • + «tsTmv 0 0)
Подставляя выражение A0) в уравнение B.4), преобразуя возникающие
при этом произведения величин f к виду A) и отдельно приравнивая нулю
коэффициенты при каждом элементе A), мы получаем систему из 16
дифференциальных уравнений первого порядка, определяющих неизвестные
функции и0, ..., к1б; значения последних определены уже в области обычных
комплексных чисел. Однако эта процедура является слишком громоздкой и
её следует упростить, последовательно уменьшая число уравнений с учётом
того обстоятельства, что физически существенные величины (ток, плотность
и т. д.) выражаются с помощью формул, содержащих лишь по одной
величине типа т (см. конец предыдущего параграфа).
С другой стороны, итерированное уравнение Дирака B.10) определено
в теле бикватернионов. В самом деле, в B.10) входят только
произведения D) четного числа исходных единиц Т- Соответственно решения
итерированного уравнения Дирака можно записать в восьмичленном виде:
« = «0 + «lTl2 + • • • + «7ТШ4. 01)
где функции «о, ..., ы, суть решения системы восьми дифференциальных
уравнений второго порядка. Можно сказать, таким образом, что в смысле
числа неизвестных функций решать итерированное уравнение Дирака вдвое
легче, чем исходное.
Мы добьемся гораздо большего упрощения задачи, если сумеем
ограничиться при интеграции уравнения Дирака только группой кватернионов.
Это приводит к уже упоминавшемуся на стр. 193 уравнению Паули.
Будем рассматривать только стационарный случай:
и =
-±Et -— х,
e * = <Ji« ft0 '.
Тогда уравнение Дирака B.4) принимает вид:
Постараемся исключить отсюда f4. С этой целью положим:
ф-A + ъ)*+ + A-т«)Г. 03)
Если, как в A2), а принимает значения 1, 2, 3, то
A3а)
T.T4)
Далее,
T4) = rt(lrtT4). A36)

§ 5| ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ЕЙ ПОДГРУППЫ 207
Подставляя A3) и A2), находим на основании A3а) в A36):
Умножим это уравнение слева один раз на 1 + Т*» а другой раз на 1—ft.
Замечая, что
2(l=fcT4), A4a)
T4> = 0. 046)
видим, что в первом случае выпадает второе слагаемое в A4), а во.
втором — первое. Следовательно, выражения в фигурных скобках должны
порознь обращаться в нуль, и вместо одного уравнения A4) мы получаем
систему двух уравнений, не содержащих -ft:
S\ (I ■Ифи--
T«W« Не *«ут
be
Таким образом, исключив ft, мы свели 16-членную группу к группе биква-
тернионов [остались только три единицы ?— см. E)].
Чтобы придти далее к группе кватернионов, постараемся исключить ^~.
Для этой цели умножим второе из уравнений A5) на
Ьс
E + Eo-V
и применим к нему слева оператор
8
Подставляя значение Q|r из первого уравнения A5) в полагая ср = ^+»
находим:
Qhc /_ . Е — Eq — V
Первое слагаемое здесь можно представить в виде суммы двух членов:
8
Йс ^в^ .. he vi dV
Первый из них вычисляется точно так же, как на стр. 188 (с той лишь
разницей, что здесь индекс а принимает три, а не четыре значения). Пря
этом получаются члены, во-первых, не зависящие от f и, во-вторых,
содержащие величины Тер; последние, как и раньше, можно заменить спиновым

208 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
вектором а = (о1, оа, Og) B.13), и окончательно мы получим:
Здесь первое слагаемое возникло от членов с а = C, второе — с а =£ C.
Равным образом и II ^раскладывается в сумму двух членов, соответствующих
а = Э и аФ$. Выражая Q через «элементарный импульс» mv [см. A.7)],
обозначаемый впредь через р:
*.=т(^--|ф.)' ^Ь 2.3. <?-£2тЛ, 08)
и полагая
мы без труда получаем:
" (
A9)
Подставляя теперь A7) и A9) в A6) и умножая результат на
гг— (Е-\-Ео— V), находим окончательно:
8 (Е- V)* — Е*„
fie ^ YT 2Е0
■? =
2-ЦГД-
B0)
В уравнении B0) фигурирует только спиновый оператор а. Таким
образом, задача сводится к группе кватернионов. Левая часть B0), будучи
приравнена нулю, совпадает с релятивистским уравнением Шредингера A.9)
для стационарного случая. Соответственно члены в правой части следует
истолковывать как спиновые поправки.
Первый из них нам уже знаком. В качестве постоянного множителя
там фигурирует магнетон1) р. [см. B.13)]; сам же этот член в силу B.14)
совпадает с Vm<p. Второй член мы упростим, пренебрегая в знаменателе
величиной V по сравнению с Ео и полагая Е-{-Ео = 2тос*. Тем самым мы
переходим на точку зрения уравнения Паули, которое было предназначено
для учёта релятивистских поправок первого порядка (не очень большие
скорости). Рассматриваемое выражение при этом примет вид (мы полагаем
р = mv = mov, что возможно в силу первого предположения):
И [£]) B1)
Как известно, формула
описывает силу, с которой магнитное поле Н действует на движущийся
заряд е, а
1) В последующем подсчете различием между т и щ можно пренебречь

§ 5) ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ЕЙ ПОДГРУППЫ 209
— силу, с которой электрическое поле действует на движущийся магнитный
полюс ji (в данном случае — диполь величиной в один магнетон). Будучи
скалярно умножено на а, последнее выражение представляет часть
потенциальной энергии (и, следовательно, гамильтониана) движущегося магнетона,
обусловленную электрическим полем. Поскольку в B1) имеется еще
множитель 1/?, эта формула точно совпадает с поправкой Томаса (см. т. I,
дополнение 12, п. 7). Последняя, конечно, и должна была сама собой
появиться при последовательной (по Паули) аппроксимации результатов
релятивистской теории, каковой является теория Дирака.
Наконец, последний член в B0) в том же приближении имеет вид:
B1а)
Он отсутствует в первоначальной форме уравнения Паули и, повидимому,
не поддаётся простому электродинамическому истолкованию.
Нужно ещё объяснить, почему мы исключали выше именно ф~, а не ф+,
и удовольствовались нахождением только этой последней функции. Причина
заключается в относительном порядке величины ty~ и <Ь+. Именно,
перепишем уравнения A5), вводя символический вектор скорости V, для чего
умножим A5) на J- и положим:
Мы получим:
(Т. •)«" = ^Ш~Ф+. (Т.
Будем рассматривать символ v как настоящую скорость и положим:
(это имеет смысл как с точки зрения размерности, так и по порядку
величины). Тогда из второго уравнения B2) следует:
<Г~РФ+<СФ+. B*2а)
То же самое получается и из первого уравнения B2), если разность W—V
nafl
приравнять -S-.
Итак, из двух функций, образующих полное решение, ф+ является
«большой», af — «малой». Последняя функция обращается в нуль при
предельном переходе к уравнению Шредингера ($ -*■ 0). Поэтому rf
полурелятивистском приближении, каковым является уравнение Паули, естественно
ограничиться рассмотрением только '{<+ = <p.
Как видно из наших рассуждений, уравнение B0) строго следует ив
дираковского; приближение начинается, когда мы переходим к упрощённому
рассмотрению спиновых поправок. Ясно, однако, что без этих упрощений
уравнение B0) слишком сложно и потому не удобно для сильно
релятивистского случая. Наоборот, упрощённое уравнение Паули — именно потому,
что при выводе его с самого начала пренебрегают «малой» функцией ф~—
прекрасно подходит для приближённых полу релятивистских расчетов.
Вернёмся теперь к телу, построенному на всех 16 элементах A), в
рассмотрим в общем виде образованные из этих единиц гиперкомплексные
числа типа C). Разделим их на два класса, соответственно тому, имеют
И Зи. 968. А. Зошкрфем

210 ТЕОРИЯ ДИРАКЛ [ГЛ. IV
они обратные величины или нет. Числа первого класса будем называть
делителями, числа второго класса — делителями нуля. На первые можно
делить, на вторые — нельзя. Определение делителя А дается формулой
АВ=\ или ВА=1,
т. е. должно существовать такое число В, которое, будучи умножено слева
или справа на А, дает единицу. Можно написать также:
Очевидно, что 16 основных единиц являются делителями. Например,
величиной, обратной fe, является т.. обратной т«? является — f>p- Величина,
обратная делителю, сама есть делитель. Из условия АВ = 1 следует также,
что
ВА=1.
Определение делителя нуля Ао дается формулой
= 0 или BqAq = 0;
т. е. должно существовать число Во, которое, будучи умножено слева или
справа на Ао, дает нуль. Естественно, при этом предполагается, что Aq^O',
В0ф0. Делителем нуля является, например, величина
A,= l=tT4. B3)
как это непосредственно видно из уравнения A46). С некоторыми другими
делителями нуля мы познакомились в предыдущем параграфе (мы имеем
в виду величины О и О_; см. D.14) и D.15;]. Далее, можно указать ещб
простую пару делителей нуля:
B4)
Делители нуля имеют для нас особое значение, так как они служат
для приведения гиперкомплексных чисел. Под приведением мы понимаем
превращение одного гиперкомплексного числа в другое, содержащее меньшее
число основных единиц. Мы будем различать типы делителей нуля
соответственно степени достигаемого с их помощью приведения. Степень
приведения обозначим буквой г. Существуют делители нуля степени 1/2
(уменьшающее вдвое число исходных единиц) и степени V4. (Возможно также
значение г = 8/4, но для нас этот случай несущественен.)
Оба делителя нуля B3) и B4) имеют степень 1/а. Чтобы убедиться
в этом для случая B3), запишем произвольное число А в следующем виде:
B5)
Тогда, умножая отдельно каждую пару расположенных друг под другом
слагаемых на l-j-*r4, легко видеть, что
^O+T4) = («;o + <;iTi+CaT2+-..+C7Ti2s)A+Tt). c* = o* + **- B5а)
Гаким образом, после умножения на 1 + т« из 16 единиц остались только
•осень — те, которые не содержат индекса 4. Так же обстоит дело и для
делителя нуля B4). В этом случае запишем произвольное число А в виде

§ 5] ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ЕЙ ПОДГРУППЫ 211
(так что множители при Ьк получаются из множителей при соответствующих
ак умножением на 'Tia)- Как и в предыдущем примере, мы получаем:
= (со+CiTi + «эТз + • • • + с7Тзз«)О + hi2>> ск = ак-{-Ьк. B6а>
К тому же типу относится и делитель нуля О D.14). Чтобы убедиться
в этом, запишем О в виде:
В-1
Из D.8а) немедленно следует, что к'1 = 1. Поэтому при приведении О
действует совершенно так же, как делитель нуля B3), т. е. имеет
степень 1/а.
Делитель нуля степени */« можно получить, перемножая друг с другой
два подходящим образом выбранных делителя нуля степени Va- Слова
«подходящим образом выбранных» означают, что сомножители должны
коммутировать друг с другом и быть линейно независимыми — только тогда каждый-
из них сможет в полной мере осуществить свое «приводящее» действие.
Условия перестановочности и линейной независимости выполняются, в
частности, в двух следующих примерах:
0 + 'Тм>A+Т4) B7а>
или
Очевидно, при умножении на делитель нуля степени г = */« исходная
16-членная группа превращается в группу кватернионов, а при г = 1/$—
в группу бикватернионов. Например, при умножении на B7а) первый
сомножитель, согласно уравнению B6а), превращает 16-членную группу в вось-
мичленную; затем при умножении на 1+Т« исчезают все единицы if,
содержащие индекс 4 [как в B5а)]. В результате остаются только члены с
1. Ti. Ъ> Тм- B8)
Получающаяся таким образом группа изоморфна группе кватернионов,
как это уже отмечалось в связи с F).
Применим теперь делитель нуля степени */« дважды: один раз справа,
другой раз слева. При этом число основных единиц уменьшается в 16 раз,
т. е. мы придем к обычным комплексным числам. Чтобы пояснить это,
обозначим через 1\ и Г2 соответствующие делители нуля, через А —
гиперкомплексное число типа C), через а — обычное комплексное число и
рассмотрим следующий пример:
ГИ1\ = Г^ = аГ, Г = Г^. B9>
Множитель I" вдесь зависит от выбора делителей нуля 1\ и Га, но не
вависит от частных свойств данного гиперкомплексного числа А. Пусть мы
имеем последовательность подлежащих приведению чисел Av A.v ...; тогда
их приведенные представления суть аД", a2V .... и отношения между
последними величинами (с^-.а.^:...) не зависят от f- Это обстоятельство-
и используется для физического истолкования чисел Av A^ ... Таким,
образом, мы получаем общую схему вычислений, необходимых для
приведения и физического истолкования любых гиперкомплексных чисел или функций:
нужно умножить данное число слева и справа на делители нуля степени 114,
(Гх и Г3); тогда исследуемые величины будут приведены к виду,
допускающему их сравнение друг с другом и физическое истолкование.
14*

212 ТРОРИЯ ДИРАКА \ГЛ. IV
Оказывается удобным (например, в силу требования вещественности)
выбрать 1\ и Га сопряжёнными друг с другом, т. е. положить:
Г9=Г, Г1==Г. B9а)
Тогда V = ГГ. Если, в частности, взять самосопряженные делители нуля, то
просто
Га = Г1 = Г. Г = Г*. B96)
Именно так обстоит дело, например, в случае B7а). Действительно, по
общим правилам C.10а, б)
Но эта величина совпадает с Г, так как сомножители здесь
перестановочны (см. выше), a т<и =— Тп- С другой стороны, делитель нуля B76)
не является самосопряженным. Напротив, в силу C.10а) и C.106) мы имеем
в этом случае:
а эта величина, хотя сомножители в ней и перестановочны, отлична от B76).
В дальнейшем мы будем пользоваться преимущественно делителей
нуля B7а), предварительно «пронормиоовав его на единицу». Под этим мы
разумеем следующее условие [см. B9б)|:
I4 = Г = Г. B9в)
Последнего легко добиться, вводя в определение B7а) численный
множитель q, т. е. полагая
Отсюда
I*
Условие B96) означает:
Таким образом, наш делитель нуля принимает вид:
Г = |A+'Ти)A+1Г4>- C0)
Это выражение обладает следующими свойствами:
а) сомножители в нем коммутируют друг с другом; действительно,
помимо C0) мы имеем также
O+T)(l+/T): C0а)
б) делитель нуля C0) является самосопряженным:
Г = Г; C06)
в) величина C0) нормирована на единицу:
I4 = Г. (ЗОв)
Рассмотрим теперь выражение вида
vlla. C1)

§ 51 группа гипсркомплексных чисел и ей подгруппы 213
где v и и — пара сопряженных друг с другом волновых функций,
принадлежащих одному и тому же состоянию, П — произведение единиц if или
вообще какое-нибудь выражение типа C). Будем считать выражение П
самосопряженным в смысле правил C.10а, б). Это предположение
справедливо, например, в случае плотности р, когда П = ft. Точно так же обстоит
дело и для вектора тока J, когда в соответствии с C.6) и C.14) U = tc(.
Равным образом и магнитный момент электрона изображается
самосопряженным оператором, именно:
II = Jiff, Oj =
Действительно [см. B.13)],
Заметим, что наше требование самосопряженности задним числом
оправдывает введение множителя I в определение оператора 9 и вектора
тока у. Приведём теперь выражение C1), умножая его справа и слева на
делители нуля B9а):
Ы C2)
Нетрудно показать, что число а, получающееся в результате
приведения, вещественно. В самом деле, в силу наших предположений о И, и и и,
левая часть C2) является самосопряженной; то же, следовательно, относится
и к правой части. Поскольку IT представляет собой самосопряжённое
выражение, таковым же должно быть и число а. Но последнее не содержит
величин •{, оно не должно меняться при замене -\-t на —I. Это означает,
что а—вещественное число.
Подтвердим этот вывод конкретным расчетом для случая оператора
плотности П = т4. В качестве Г выберем выражение C0); тогда, в силу
C06, в), ГГ = Г.
Для начала мы можем считать функцию а записанной в 16-членной
форме A0). Умножая ее справа на Г, получим (см. B8)J четырехчленное
выражение:
Г C3)
Равным образом находим, умножая v на Г слева:
Tv = Г (v0 — Vtfj — vrfa+Vtfu). C4)
Знаки здесь выбраны так, чтобы выполнялись правила пеоехода к
сопряженному выражению C.10а, б); при этом функции vt комплексно
сопряжены с соответствующими щ в C3).
Вычислим теперь для данного случая выражение C2) (II = fj. Мы
имеем:
(«о — viTi—«аТз + V3T13) Т« («о + «iTi + «2T3 + "Л л) =
= К+«iTh + «Л + ««Tit) («о + «iTi + «Лз + "Л14>- C5)
Во второй строке величина т« перенесена налеио (в результате чего
изменились знаки у Ti и -fa, но не у fu) и затем опущена, ибо ее можно
считать включенной в множитель A 4- f4) в Г. При раскрытии скобок в правой
части C5) появятся, в частности, слагаемые, содержащие fi> T.i и Tts-
Будучи умножены слева и справа на Г, они обращаются в нуль |см. дальше
формулы D3а, б)], и остается только не зависящий от f член, содержащий

•214 теория дирака [гл. iv
квадраты ^ = fj = — Т|»=1» Обозначим его посредством а? (приведённая
часть, соответствующая плотности р). Мы имеем:
р = а.Га = а„Г, 1
J C6)
Это выражение является не только вещественным, но (поскольку
t»4 = up также и положительно-определённым (точнее, «полуопределенным»,
т. е. р>-0). Оно представляет собой естественное обобщение определения
плотности в нерелятивистской теории Шредингера (о = и'и) и отличается от
соответствующего определения для релятивистского уравнения Шредингера
A.23) своим положительно-определенным характером. В первоначальном
изложении Дирака положительно-определённый характер и четырёхчленная
форма C6) выражения для плотности являлись исходным 'постулатом.
Заметим еще, что нашим доказательством положительной определенности формы
C6) задним числом оправдываются многократно упоминавшиеся правила
A0а, б), введённые в § 3 без должного обоснования — просто как
некоторые разумные условия.
Для других самосопряженных операторов II результаты приведения
хотя и остаются вещественными, но, вообще говоря, не являются
положительно-определенными. Покажем это на примере оператора тока II = Icy.
Чтобы вычислить х-компоненту (/х) вектора тока, нужно в первой строчке
C5) заменить y4 на yt. Включая ?i в левый сомножитель, мы приведём
последний к виду:
— vi + *\Ifi — vifa+ЩЪз-
Таким образом, во второй строчке C5) следует заменить v0, ot, va, v,
соответственно на —vv v0, —va, v,.
Далее следует еще ввести множитель ic. В результате вместо C6) мы
лолучим:
at = (vottt — vtttJ-\- (t»2eg — r v
Поскольку vt = в*, выражения в круглых скобках здесь являются чисто
мнимыми и, следовательно, jt вещественно (с точностью до «множителя
приведения» Г).
Для вычисления ^-компоненты вектора тока (/■>)*« в C5) следует
заменить на fa (последнюю величину удобнее записать в виде /fп * 'Ti)«
Величину /fig мы перенесём налево (при этом у некоторых v< изменяются
внаки) и включим её в содержащийся в Г множитель 1 —f— /Tfta- Дальнейшие
вычисления протекают так же, как и в случае ]х, и мы получаем:
■ — са3Г,
C8)
1
»*в2). J
Поскольку ^ = а*, выражения в круглых скобках здесь вещественны,
я вещественным является /3 (с точностью до множителя Г).
Составляющая вектора тока по оси г (/t) вычисляется так же, как и jv
с заменой yl на f,. Мы получаем при этом:
C9)

§ 51 группа гиперкомплексных чисел и ей подгруппы 215
Как и при вычислении Jv выражения в круглых скобках оказываются чисто
мнимыми, и, следовательно, /3 с точностью до множителя Г является
вещественным.
Конкретный вид полученных нами вещественных выражений C7), C8), C9)
зависит от специального выбора Г: если вместо C0) использовать какой-
нибудь другой делитель нуля, то вещественные и чисто мнимые комбинации
из функций щ и v{ образуются иным путем. С другой стороны, формула
для плотности C6) не зависит от частного вида избранного нами делителя
нуля. Из формул C7), C8), C9) ясно видно также, что компоненты вектора
тока не являются положительно-определенными.
В математической литературе наши гиперкомплексные единицы известны
под названием чисел Клиффорда. Действительно, еще в 1878 г. гениальный,
рано умерший англичанин Клиффорд ввел их в связи с некоторыми
алгебраически-геометрическими вопросами и исследовал их методами теории групп
в общем виде (п единиц вместо четырёх) '). К изучению уравнения Дирака
они были впервые применены в работах Темпля и Эллингтона '*). Изложенный
выше метод приведения с помощью подходящих делителей нуля был
разработан Заутером 8) и успешно применен им в ряде задач релятивистской
волновой механики. Глубокое систематическое обоснование этого метода было
дано Францем *).
С другой стороны, как сам Дирак, так и большинство его
последователей б) пользовались, казалось бы, совершенно отличными от наших
методами матричного исчисления. С матричным методом мы познакомились в § 5
гл. III. Однако там мы имели дело с бесконечными матрицами, заменявшими
непрерывные переменные уравнения Шредингера; здесь же речь идёт о
четырёхрядных квадратных матрицах, изображающих различные возможные спиновые
состояния. В данном случае правило умножения матриц также даётся
характерной для теории детерминантов формулой (III.5.3). Можно указать целый ряд
способов выбора четырёх четырёхрядных квадратных матриц,
удовлетворяющих соотношениям B.2). Таким путем получаются, в сущности, излишне
специализированные и не очень наглядные, но зато конкретные представления
наших абстрактных величин f. Произведения их также будут четырехрядными
матрицами. В дополнении 13 мы построим такие матрицы, которые будут
образованы только из чисел 0, ± 1, :±: /. Поскольку большинство их
элементов будет равно нулю, перемножение таких матриц не представит особых
трудностей. Но все же оно требует гораздо большего внимания и
напряжения памяти, чем наш общий метод вычислений с величинами •(. Особенно
Простым оказывается матричное представление делителей нуля (см. конец
приложения 13): делитель нуля степени г = '/•> изображается матрицей, у
которой лишь два элемента отличны от нуля; делитель нуля степени '/«—
матрицей с только одним не равным нулю элементом.
Равным образом и волновые функции и и v можно представить себе
в виде четырехрядных квадратных матриц. Последние образуются из 16,
вообще говоря, отличных от нуля функций, соответствующих коэффициентам и0,
и,, .... и,8 в нашем гиперкомплексном представлении. Если, однако,
помножить эту матрицу общего вида справа на делитель нуля степени 1/i, то все
1) Епс. d. Math. Wlss, т. 1 (Art Stady). стр. 165 и 180.
*) О. Temple. Proa Roy. A Soc. 127, 339, 349 A930); A. & Eddlngton, Proa
Roy. Soc. A. 121 A928).
») F. Sau ter, Zs. f. Phvs. 63, 803 A930); 64, 295 A930).
*) W. Franz, MOnrhener Akademie, ноябрь 1935.
6) См., например, прекрасную книгу де Ьройля сМагнитный электрон», ДНТВУ,

216 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
матричные элементы, за исключением стоящих в одном определенном столбце,
обратятся в нуль (при умножении на делитель нуля слева отличные от нуля
матричные элементы остаются только в одной строке). Тем самым 16
функций и0 ии сводятся к четырем: ах а4. Именно о них и идет речь
при обычном изложении теории Дирака. Дифференциальное выражение
Дирака La (или сопряженное с ним, vM) также можно привести* с помощью
делителя степени г = 1/4- При этом также получается матрица, в которой
лишь четыре элемента не равны нулю. Именно поэтому в обычном изложении
теории Дирака и говорят о четырех уравнениях, которым должны
удовлетворять четыре функции: uv ..., ut (или соответственно vt, .... vt). С нашей
точки зрения, однако, такой метод является в значительной степени
специальным. Общее положение вещей представляется гораздо более ясным, если
пользоваться одним дифференциальным уравнением, содержащим величины у, и,
следовательно, одной волновой функцией такого же типа.
Добавление:
о приведенном изображении плоской волны
Испробуем прежде всего наш метод приведения на задаче о нормировке
плоской волны, не доведенной до конца в предыдущих параграфах. Речь
идет о том, чтобы удовлетворить уравнению D.25). Выберем в качестве Г
уже использованный нами делитель нуля C0) и попробуем положить:
/7 = /? = Л/Г, D0)
где N—вещественный нормирующий множитель, который еще надо
определить. Тогда уравнение D.25) принимает вид:
Теперь нам предстоит в явном виде привести выражение
ТОТ = j A + /TiaXl + ТО {< 2 Т А - *о) \ О + 'Ъз) 0 + Т*>- D2)
Заметим, прежде всего, что слагаемые, соответствующие а = 1, 2, 3,
выпадают при перемножении. Так, например, мы получаем, перенося множитель
A -f- *Tia) слева направо:
A + 'Ъз) Ti - Ti 0 — *1Гм). D3а)
Умножая D3а) на стоящее справа выражение 1 + *Ти« находим:
0. D36)
Равным образом обращаются в нуль и слагаемые с ч$ и т, (в последнем
случае следует переносите направо не 1+/Ти> a l+T*)* В результате ив
всей суммы в О остаются только члены
Поскольку A+T4)T*=S 4~Tt> 9т0 можно переписать в более простом виде:
**4 — *о-
Таким образом, окончательно получается:
D4)

$5] ГРУППА ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И ЕЙ ПОДГРУППЫ 217
На этом примере видно, в частности, как в результате совместного
действия (слева и справа) делителей нуля степени 1/« гиперкомплексное
число О приводится к обычному числу а = /А4 — Ао. Подставляя теперь D4)
в D1) и пользуясь значениями kt и k0 из D.8), находим условие нормировки:
Оно удовлетворяется, если
Ьс <Ч4а)
Таким образом, на основании D0) мы имеем:
Только теперь волновые функции а D.10) и v D.12) становятся
определенным образом нормированными. В явной форме они записываются так:
D5)
Обсудим теперь, в какой мере вид этих собственных функций зависит от
выбора данного делителя нуля Г. Очевидно, самый общий делитель нуля,
какой только можно использовать для приведения функции и, получится
из C0) умножением на произвольное гиперкомплексное число типа C). Таким
образом, надо исследовать выражение [ясно, что достаточно выписать из-D5)
только зависящие от if сомножители О и Г]:
О К + atfi + • • • + вцТпм) Г-
Как мы знаем, О и Г представляют собой делители нуля степени
соответственно Va ICM- B66)] и 74- Следовательно, в результате их действия от 16
параметров а существенными остаются только
Один из них выпадает ещё благодаря условию нормировки. Таким образом,
остается только однопараметрическое семейство решений. Иначе говоря, это
означает, что помимо D5) имеется еще другое линейно независимое решение;
отношение мультипликативных постоянных, на которые можно помножить
наши решения при составлении их линейной комбинации и является (пэка
произвольным) параметром семейства. Упомянутое второе решение получится,
если в обеих формулах D5) заменить 1 + т« на 'ТмО+Т»)- О также
нормировано и, как легко убедиться, ортогонально к D5).
Будем различать эти два решения уравнения Дирака для свободного
электрона с помощью нижнего индекса к= 1, 2. Именно, вместо и и v будем
писать их, vx; вместо прежних FQ и OF будем писать 1\ и 1\. Вместо D.10)
и D.12) мы получим:
Ux = TxetS*O; ^ = fx*-<2*«*'. D6)
Подчеркнем, что в обоих (отличающихся индексом \) состояниях зависимость
волновых функций от координат оказывается одной и той же. Различие-

218 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
состоит только в множителе Г и описывает, как мы увидим позднее (§ 12),
зависимость волновых функций от спина. В силу нормировки и
ортогональности функций их, Vx, мы имеем:
= 8хчГ. D7)
Следовательно, уравнение D.22) при ? = 4 принимает вид:
откуда, подставляя значения А4 = т- и*,| = р уравнение D.8), находим:
Г\.г1 = ^8х.хГ. D8)
В то же время при Р = 1, 2, 3 мы получаем из D.22):
т. е. с учетом D8)
fх.-гГ, = — ^ 8хчГ = — / у Зх-хГ D9)
(в последней преобразовании импульс Як был заменен на mv, а энергия
£ - на тс*).
Формулы D7), D8), D9) показывают, как приводятся величины 1, f fi
при умножении слева и справа на 1\ и 1\. Естественно поставить вопрос
о возможности аналогичного приведения более сложных произведений
величин if, например П = ^9, .... к,,,, .... 11Ш.
Ответ, вообще говоря, оказывается отрицательным; однако справедлива
следующая, важная для дальнейшего теорема:
^ 0. E0)
В словесной формулировке она гласит: приведенное значение любого
произведения двух и более величии f обращается в нуль, будучи
просуммировано по обеим ориентациям спина (л = 1, 2).
.Для доказательства удобно прежде всего направить одну из координат-
«ых осей (например, ось г) параллельно волновому вектору к. Тогда в
уравнении Дирака не будет членов с ft и Тэ (так как *i = *э= 0)« и>
следовательно, оно не изменится при перемене знака у ft или Т)> Равным образом
и левая часть E0) инвариантна относительно изменения знака, например,
у ii> так как на значении симметрично составленной суммы по >.= 1, 2 не
сказывается, какое именно предпочтительное направление спнна обусловлено
специальным выбором 1\. Следовательно,
2Г,ПГ, = 2ГХПТХ, E1)
ГГ| х-|
где П' получается из ТТ изменением знака у if, (при неизменных f^, fa и f,),
Если, с другой стороны, в произведении П содержится ft, то 11' = —И и
из E1) немедленно вытекает E0). То же самое получается, если П' содержит
множитель х, и рассматриваемое, преобразование состоит в изменении знака
у тг8 при неизменных ft, f< и Т*- Заметим, что наши выводы сохраняют

§ 61 ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПР703РА30ВАНИЙ ЛОРГНЦД 219
силу и в специальных случаях П = f, и П = -у-, и пои этом отнюдь не поо-
тиворечат формуле D9). Действительно, при нашем выборе системы
координат составляющие вектора k по осям х и у равны нулю.
Таким образом, справедливость соотношения E0) доказана для всех
случаев, когда П содержит в качестве множителя ft или Тз> т- е- лля всех
произведений, кроме II = f34. В этом последнем случае наш метод
доказательства неприменим, так как Тя и Т« входят в уравнение Дирака и,
следовательно, оно (а потому и 1\) не инвариантно относительно изменения знака
у f9 или f4. Однако именно в этом случае выполняется еще более сильное
условие, чем E0): для каждого отдельного значения к
iW\=o. F2)
Соотношение E2) можно доказать, рассматривая два сопряжённых
уравнения Дирака 1):
Действительно, умножая первое из них слева на 1\т4, второе — справа
на f4l\ и вычитая почленно, приходим к E2).
f 6. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
Ясно выраженная цель теории Дирака состояла в релятивистски
инвариантной формулировке волновой механики. Мы покажем сейчас, что эта
цель действительно достигнута.
В соответствии с B.39) запишем уравнение Дирака в сокращенной
виде:
= 0. A)
Сделаем несколько замечаний для пояснения этой формы записи.
1) Мы отбросили специальный знак суммирования по а, пользуясь
правилом Эйнштейна, согласно которому суммирование по дважды
встречающемуся индексу всегда подразумевается. (В нашем случае а принимает
значения от 1 до 4.) Это правило будет применяться во всех формулах настоящего
параграфа.
2) «Элементарный импульс»
А—£*•• B)
входящий в B.386), заменен здесь просто на
р7= — -г— («канонический импульс»). C)
• ОХт
Действительно, при преобразовании координат обе эти величины
преобразуются одинаковым образом: как /»„, так и четырехмерный потенциал
Фв = (Д, /?) представляют собой четырехмерные векторы. Поэтому, интере-
') Эти уравнения получаются из D.21), если отбросить несущественную в данном
случае координатную часть функций и и v и учесть, что в выбранной нами системе
координат кх = А* = 0l

220 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
суясь только трансформационными свойствами, можно писать для краткости
просто ра 1).
3) Наконец, мы ввели обозначение р0 для фигурирующей в B.39)
величины -*iimff\ в отличие от рл р0 является инвариантом.
Уравнение A) записано в некоторой исходной координатной системе:
Ха =s JCj, Jfg, Jfg, X^ = let.
Введем теперь другую систему координат с помощью ортогонального
преобразования:
*з" = аэЛ- D>
Соотношение D) представляет собой преобразование Лоренца общего вида.
Его коэффициенты а*, удовлетворяют четырехмерным условиям
ортогональности:
8 E)
где 3Вт — обычный 8-символ (нуль или единица).
Из E; немедленно следует, что преобразование, обратное D), имеет
вид:
*.-v* F)
[в F) суммирование идет по к, а в D) и E) — по а].
По определению четырехмерного вектора импульс рл преобразуется
так же, как и хл. Таким образом, мы имеем:
/>. = *„/,. Gа)
(В последней формуле мы намеренно не употребили индекса f, чтобы избе*
жать смешения его с гиперкомплексными единицами f, которые сейчас
появятся.) Подставляя Gа) в A), получаем:
«-0. (8)
С другой стороны, уравнение Дирака в штрихованной системе имеет вид
(мы снабжаем штрихами все величины, кроме рп, ибо последняя является
инвариантом (см. выше;, и пишем индекс » вместо а]:
Требование инвариантности означает, что левые части уравнений (8) и (9)
должны совпадать друг с другом. Этого можно добиться двояким образом:
А) Первая точка зрения. Положим:
и =а. (Ю)
Тогда, сравнивая (8) и (9), находим:
Таким образом, величины ^ преобра!уются как составляющие
четырехмерного вектора (см. D)\; волновая функция инвариантна.
>) Вместо р, можно было бы воспользоваться и прежним обозначением Q. B.5),
которое отличается от B) юлько миожшелем -г-. Сопряжённая величина/», (см.
формулу 11 иа стр. 224) с точностью до того же множнгеля будет совпадать с v£ B.4).

§ 61 ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 221
Б) Вторая точка зрения. Положим:
Т' = Т. 02)
а волновую функцию и преобразуем с помощью подстановки
и' = Га, A3)
где символ Т зависит не только от в. но и от величин f. Подстав-ни
A2) и A3) в (9) и применяя к полученному выражению слева обратное
преобразование Г~\ находим:
[T-itM-\-p)tt^0. A4)
(Было использовано то обстоятельство, что р\ и р0 не зависят от if и потому
коммутируют с Г; далее Г~1Г=1.)
Сравнивая A4) и (8), получаем следующее условие для определения Г:
ТА. -Г-'тХ A5)
А. Встанем пока на первую точку зрения, которая выглядит более
естественной. Мы должны доказать, что величины т', определённые
формулой A1), обладают теми же свойствами, что и величины т в исходной
системе координат, т. е. что Y антиком мутирую г друг с другом, а квадраты
их равны единице. Итак, мы утверждаем:
Для доказательства перепишем левую часть A6) с помощью A1):
о^Л АаТа + АЛ А.вТа = Т Л§ (ААв+АА*>-
Здесь индексы ji и у фиксированы, по в и Э выполняется суммирование.
Поскольку безразлично, как именно обозначать индексы суммирования, мы
можем поменять местами в и Э; выражение в круглых скобках при этом не
изменится. Таким образом, правую часть можно переписать в виде:
•у (ТЛа + Tfpif.) («^Аа + <Wp).
При р Ф а первый сомножитель здесь обращается в нуль, поэтому остаются
только слагаемые с £ = в. Для них мы получаем, учитывая условие
ортогональности E) и соотношение ^= 1:
Но это^ не что иное, как правая часть уравнения A6), справедливость
которого, таким образом, доказана. Итак, ?' — такие же гиперкомплексные
единицы, как и f. Далее, нужно объяснить, как надлежит понимать
соотношение A0): и = и'. Очевидно, в него вкладывается следующий смысл:
и представляет собой заданную функцию х и f, и' — искомую функцию х?
и if'. Чтобы получить последнюю из первой, надо в соответствии с F) и A1)
заменить л: на л:' и f — на -[', т. е. положить:
Последнее выражение, рассматриваемое как функция т', х', и есть и'Сг'. -О.
Тогда тождество e = a' выполняется для всех значений т, х и для всех
преобразованных (по Лоренцу) величин т', х'.

222 теория Дирака [гл: ту
С инвариантностью и и векторным характером f непосредственно свя-
вано доказательство того факта, что введённый в § 3 «четырехмерный
вектор тока» при преобразованиях Лоренца действительно ведет себя как
вектор.
Положим в соответствии с C.6):
щ 5. = «т.о. A7)
В «штрихованной» (преобразованной) системе будет:
$: = <«. A7а)
На основании A1) мы имеем:
откуда
В силу D) это есть не что иное, как закон преобразования четырехмерного
вектора.
Осталось только показать, что из инвариантности и следует и
инвариантность сопряжённой волновой функции v [что молчаливо и
предполагалось в A7а)]. Для этого напишем сопряжённое уравнение Дирака (vM) = 0
[см. C.5), C.4) и примечание на стр. 220]:
= 0. р. 1_|-_1фв. A8)
Здесь р„, как и рл, является четырехмерным вектором, т. е. преобразуется
по формуле Gа), а р0, как и раньше, представляет собой инвариант -±Ит&.
Таким образом, уравнение A8) идентично следующему:
Х 0. <18а>
Сравним это с сопряжённым уравнением Дирака в штрихованной системе,
написав последнее по аналогии с (9) в виде:
или на основании A1)
«'(Р>.Л+/»о> = 0- <18в>
Из сопоставления A8а) и A8в) действительно вытекает наше утверждение:
Четырехмерный вектор 5. представляет весьма важную в физическом
отношении величину; поэтому доказательство его ковариантности относительно
преобразований Лоренца составляет центральный пункт теории Дирака.
Как известно, дивергенция любого четырёхмерного вектора является
инвариантом. В случае нашего вектора S этот инвариант равен нулю в силу
основного уравнения непрерывности C.8). Итак:

$ 6] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 2_23
Интегрируя по трехмерному пространству, ыы получаеы, как и в C.9):
'. A9)
J &йх
В соответствии с условием нормировки C.12) (вероятность того, что-
частица находится где-нибудь в пространстве, равна единице) положим С = Г.
Мы должны показать, что константа С также равна Г (в противном случае
понятие вероятности было бы не инвариантно относительно преобразований
Лоренца!).
Воспользуемся четырехмерной теоремой Гаусса:
f
A9a)
(dT—четырехмерный элемент объема, d-n — элемент ограничивающей его
трехмерной поверхности, п — внешняя нормаль) и применим ее к объему,
ограниченному гиперплоскостями хА = const и x't = const и двумя бесконечно
удаленными гиперповерхностями. Последние ничего не вносят в правую
часть A9а), так как волновые функции и и v (и, следовательно, вектор S)
должны обращаться в нуль в бесконечности. Далее, левая часть A9а) равна
нулю в силу уравнения непрерывности. Таким образом, принимая во
внимание, что внешние нормали к поверхностям *4 = const и д^ = const
направлены в противоположные стороны, мы получаем из A9а):
A96)
В силу A9) это равенство означает, что С = С. Итак, условие нормирооки
С = Г релятивистски инвариантно и влечет за собой как следствие
равенство С = Г.
Как мы видели, и сами единицы f, и образованные из них величины
S = Vfti ведут себя как четырехмерные векторы. К этому можно еще
добавить, что произведения ^ и составленные из них моменты
образуют четырехмерный антисимметричный тензор второго ранга. При
|i, »=1, 2, 3 произведения f^ входят в выражение B.11) для магнитного
момента электрона, при |х или х = 4— в выражение B.12) для электрического
момента. Таким образом, величины М^ представляют плотность тензора,
моментов.
Тензорный характер f^ следует непосредственно из формулы A1).
Действительно:
B0>
(в последнем выражении предполагается, что а < 3, так что каждое
произведение fa? входит в сумму только один раз). Уравнение B0) действительно
представляет собой закон преобразования четырехмерного антисимметричного
тензора второго ранга, так как коэффициенты, стоящие в круглых скобках,
суть миноры детерминанта \аа?\. Согласно нашей точке зрения А) так же
преобразуются и шесть компонент Ма9 [это легко показать,
соответствующим образом обобщая рассуждения, следующие за формулой A7)].
Далее легко видеть, что четыре «тройных» произведения ^ также
преобразуются как компоненты четырехмерного вектора, а ?ia*4
представляет собой инвариант.

224 ТЕОРИЯ ДИРАКА 1ГЛ. IV
Тройные произведения ^ входят в выражение для плотности спина,
которую мы определим как
— tvj^a.
Как и т^> эти величины образуют четырехмерный вектор. Его поостран-
ственные компоненты можно записать в виде vaftu; таким образом,
трёхмерный оператор спина с этой точки зрения дается формулой sf4.
С другой стороны, раньше у нас в качестве спинового оператора
фигурировал просто сам вектор я B.13). В связи с этим мы должны обосновать
необходимость нового определения и выяснить его связь с прежним.
Заметим прежде всего, что услопие постоянства некоторого оператора А
во времени имеет вид [см. уравнение (V) на стр. 225]:
0, B1)
или, что в данном случае то. же самое (так как-^т = 0):
0. B1a)
Здесь Н — «оператор Гамильтона», определенный соотношением A) (см. ниже),
L — «оператор Дирака» C.2), который, будучи записан в тех же
обозначениях, что и Н, принимает вид:
О-1
Подставляя в B1а) в качестве А оператор момента количества движения N.
мы получим уравнение, отличающееся от B.24) в том отношении, что вместо N
будет стоять fiN. Таким образом, желая определить величину, полностью
аналогичную классическому моменту количества движения, надо
дополнительно умножить N B.27) на ?4. В результате вместо прежнего спинового
оператора » появляется только что введенный »f4.
Введенный в § 2 оператор N имеет, однако, самостоятельное
физическое значение. Именно, условие того, что в данном состоянии и одна из
компонент момента количества движения имеет определенное значение, дается
ие равенством
N Си,
я, как показано в B.28), уравнением
Л'12и = Си.
Действительно, именно в этом случае среднее значение момента
количества движения "(ANt2 в силу условия нормировки для функции и совпадает
с собственным значением С:
Г «Т^и11 ^ = С Г Щ*й ^ = С.
Этим оправдывается наше прежнее отождествление N и » с операторами
момента количества движения и спина.
Для доказательства соотношения B1) перепишем уравнение Дирака
в виде:
з
- 7 Ш - Н
•si
И = ic {2 ЪТЛ + ™>) + V;

§ 6] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 225
сопряженное уравнение будет:
s
1'* *Ч2тлл+ъд|+1' (И)
а=1
Тогда для среднего значения А любого не зависящего явно от времени
оператора А мы получим:
S-S J <*«*- J (£ **+**%) Л—J J (ttfMa-t>iW8)ft. (НП
Здесь в соответствии с A0
J* «№4a dx = J v (te {2 Т.Т«Л
а=1
Принимая во внимание определение величин ра и рл (сы. примечание к стр. 220)
и интегрируя по частяы, находиы:
J vKAa dx = J lev {2 T.P.+/>o} ТИ« Л+ J v^«Л — J «TiWV
Таким образом, уравнение (III) принимает вид:
Требуя, чтобы среднее значение А было постоянно для любой пары
решений, мы должны приравнять подинтегральное выражение нулю:
0, (IV)
откуда, умножая на fv получаем:
о. (У)
Это и есть уравнение B1).
Б. Точки зрения Б) приходится придерживаться в тех случаях, когда для
величин т выбирается специальное матричное представление (что обычно и
делается,—см. предыдущий параграф, стр. 215). Действительно, желая
постоянно пользоваться одними и теми же матрицами, следует положить
Т' = т* Соответственно условия инвариантности уравнения Дирака и
ковариантности четырехмерного вектора тока влекут за собой закон
преобразования волновой функции, выражаемый формулой A3). Действительно,
выполнение первого условия гарантируется, коль скоро фигурирующая в A3)
подстановка Т удовлетворяет уравнению A5). Откладывая на некоторое
время нахождение явного вида Т, рассмотрим здесь вопрос о векторе тока.
Для этого помимо закона преобразования волновой функции а, надо знать
также и трансформационные свойства сопряженной функции v. Положим
v' = vf, B2)
где Т—некоторая подстановка, которую еще надлежит определить (т. е.
выразить через Т). Этого можно добиться, поступая так же, как и при
определении Т [см. уравнения A2)—A5)]. Именно, подставим B2) в A86)
и умножим результат справа на Т. Поскольку, по условию т« —Т»> мы
15 3» 968. А. Змшерфем

226 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ПГ
получим:
J+РоТТ) = 0. B2а)
Сравнивая коэффициенты при р0 в B2а) и A8а), находим: 7Т— 1, т. е.
Т=Т~1. B3)
При этом, в силу уравнения A5), в A8а) и B2а) совпадают и коэффи-
■*■/
циенты при р,.
Итак, по определению:
B4)
Теперь можно приступить к преобразованию четырехмерного вектора
тока A7). На основании A3) и B4) мы имеем:
Si = vT-^Ja. B5)
Пользуясь теперь уравнением A5), в котором заменим ч на а, а
а — на р, получаем:
В силу A7) это уравнение означает, что
S'.= a.9S9. B6)
Сравнивая закон преобразования B6) с формулой D), мы приходим
к выводу, что величина S действительно преобразуется как четырехмерный
вектор, что и требовалось доказать.
Инвариантность условия нормировки следует теперь из уравнения
непрерывности и теоремы Гаусса A9а) совершенно так же, как и в разделе А).
Точно так же, как был выяснен векторный характер Sa, можно доказать,
что и величины М^ образуют антисимметричный тензор второго ранга. Для
этого стоит только составить равенство, аналогичное B5):
Л<, = vT-\Ju = vT-XTT-^Ta,
и дважды применить уравнение A5). Тогда оказывается, что Мр, и М„9
связаны друг с другом так же, как ^ и -fep ICM- B0I, а этот закон
преобразования характерен для антисимметричного тензора второго ранга.
Нам предстоит теперь подробнее исследовать характер фигурирующего
в A3) преобразования Т и заняться решением определяющего его
уравнения A5). Рассмотрим сначала простейший пример — частный вид преобра-
вования Лоренца, соответствующий относительному движению вдоль оси х
со скоростью рс:
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид:
B7)
созФ
0
0
—йпФ
0
1
0
0
0
0
1
0
йпФ
0
0
созФ
}

§ 6] ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА 227
где
tg Ф = /?; cos Ф =
Угол Ф — ыниыый, поэтому совФ> 1. Теперь из уравнения A5) и первой
и четвертой строк B7) следует:
—ft sin Ф + ъ
Преобразуем левые части B8), вводя функции половинного угла:
Тх (с089 §• — sin" |) + 2Т4 si" Т cos 7 =
= (cos^ — im sin |) Ti (cos \+tu sin ^), B8a)
„ . Ф Ф . / 9» . аФ\
— 2^ sin -j- cos у+т4 ^cosa .-j—sin» -g J =
= (cos-| — Tu sin |) T4 (c<>s "I + Та sin|). B86)
Сравнивая это с соответствующими правыми частями уравнений B8),
находим г):
Т cos + Sin
B9)
r-t=cosy—Tusin-g-. J
Таким образом, для данного частного случая уравнения A5) решены
относительно Т.
Вместо B9) можно сокращенно написать:
7 = в7"' 71-1 = в~т"т* ^°^
Такой способ записи требует некоторых пояснений, так как до сих пор
мы имели только правила умножения •(•«• Тар» • • • • как показатели степени
эти пеличины еще не были определены. Вопрос решается с помощью
разложения в ряд Тейлора:
«Ти"= 1 +ТГиа-И?4^ + fu у 4- • • •
Пользуясь соотношением fli = — 1. мы можем преобразовать это еле-
дующим образом:
C1)
•) Формула B9) представляет собой одно возможное решение уравнений B8).
Единственность его (с точностью до несущественного численного множителя,
например \ у Т и у — у Т-Л вытекает из того обстоятельства, что вторая и третья строп
матрицы преобразования Т должны коммутировать с т. и т» а следовательно, н со
скаляром ~
15»

228 ТЕОРИЯ ДИРАКА {ГЛ. IV
Полагая здесь a = zt-^, убеждаеыся в тождественности формул B9) и C0).
Опять, как и раньше (ср. стр. 205), оказывается, что произведения Тор
эквивалентны мнимой единице. С этой точки зрения уравнения B9) и C0)
представляют собой не что иное, как основную формулу Эйлера, связывающую
экспоненциальные функции с тригонометрическими.
Перейдём теперь к другому частному случаю — повороту на
вещественный угол 1 (например, в плоскости х.2, дс,). Подобно B7) матрица
преобразования имеет вид:
A 0 0 0\
0 cos? sine 0 \ _лч
0 -sin? cos? 0 Ь <32>
0 0 0 1/
Из уравнения A5) надо найти вид соответствующего преобразования Т.
Очевидно, в данном случае матрица Т не зависит от fi и Т* и в
соответствии с C0) может быть сокращенно представлена в виде:
Г = ет"^» Г"» = е~т" "■ •
В самом деле, отсюда после простого вычисления получается:
Та cos'
I—TaSUKp + TjCOs?/'
, что в соединении с C2) приводит к формуле A5).
Далее можно последовательно произвести преобразования B7) и C3),
получив более общее преобразование:
Относительно изменения порядка следования экспоненциальных
сомножителей в Т~1 следует заметить, что здесь его можно было бы и не
производить, так как Тзз и 1и перестановочны, но в общем случае оно необходимо.
Следует иметь в виду, что благодаря наличию множителей т перемножение
экспоненциальных функций, вообще говоря, не сводится к сложению их
показателей.
Самое общее преобразование Лоренца (т. е. самое общее ортогональное
преобразование четырехмерного пространства) можно получить, комбинируя
три частных преобразования Лоренца (в плоскостях 14, 24, 34) и три
вращения в плоскостях 23, 31 и 12. Оно, таким образом, содержит шесть
параметров, которые мы обозначим посредством Ф, в, X и ?, 6, у. (Вообще,
число параметров ортогонального преобразования в п-мерном пространстве
равно п Г" '.) Схематически это наиболее общее преобразование Лоренца
можно представить в виде:
Г™ "i" • Гт" ■*" • Г™ *. Гт" т. Г™
C5)

§ 71 ЗАДАЧА КЕПЛРРА И ФОРМУЛА' ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 229
При этоы надо иыеть в виду, что все операции относятся к осяы,
которые получаются в результате предыдущих преобразований.
Для всех указанных преобразований характерно появление половинных
(вещественных или мнимых) углов поворота. Обычное ортогональное
преобразование, которое только и использовалось в разделе А), задается целыми
углами; с точки зрения Б) оно (как при извлечении квадратного корня)
расщепилось на два преобразования: Т и 71'1, связанные с поворотами на
половинные углы. Это расщепление хорошо известно в обычной механике
вращательного движения (в теории волчка). Мы рассмотрим это в приложении 17,
где будет установлена связь между нашим преобразованием Т и известными
из теории волчка параметрами Кэли—Клейна.
В литературе, посвященной уравнению Дирака, <{i называется спинором,
а Т—спинорным преобразованием, а спиноры теории Дирака
противопоставляются тензорам теории относительности1). Как мы видели, встав на точку
зрения А), можно избежать необходимости явно вводить спинорные
преобразования. В этом случае мы имеем дело только с обычными тензорами
(четырёхмерными векторами и т. д.). Только с точки зрения Б) приходится
расщеплять обычное преобразование Лоренца на два спинорных. Тот факт, что
спинорное преобразование по существу не связано именно с преобразованием
Лоренца, явствует уже из возможности изобразить и обычные ортогональные
преобразования трехмерного пространства с помощью величин спинорного
типа (см. дополнение 17).
| 7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
В задаче об атоме водорода мы имеем:
Будем рассматривать стационарные состояния:
и = ^е " = Vе '»
тогда дифференциальное уравнение B.4) можно переписать в вещественном *)
трёхмерном виде следующим образом:
Uf = (Y. Pad) Ф+(ТА + *о) Ф = 0. A)
k - E~v lu-^ B)
«4 Щ~> *о-й* W
Указанный выше конкретный вид V(r) окажется существенным только
в конце настоящего параграфа. До того все наши рассуждения [до формулы
C5) включительно] будут справедливы не только для кулоновского, но и
вообще для любого сферически симметричного поля.
Чтобы проинтегрировать уравнение A), постараемся в соответствии
с намеченным в гл. III (§ 3) общим планом решения найти операторы.
!) См., например, рецензию Иордана (Naturwlss. 30 августа 1935 г.) на
цитированную на стр. 215 книгу де Бройля: «Теория относительное!и неожиданно
обогатилась благодаря открытию новых физических величин (спиноров), которые, хогя и
родственны тензорам, но все же характерным образом от них отличаются».
3) Введенная здесь вещественная величина kt отличается от определенной в D.8)
множителем /. В случае плоской волны удобнее пользоваться чисто мнимой
величиной ко, в данном же случае — вещественной.

230 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ГУ
коыыутирующие с L (и потону представляющие интегралы движения). Один из
них нам уже известен — это оператор полного ыомента количества движения
(учитывающий спин электрона) N [сы. B.27), B.27а)]
Подставляя вначение о из B.13) и М — из A11.3.18), перепишеы это
выражение в виде:
±N=[r, grad] + i-Yx. C)
где
x = Ti3s. т. е. тх =
Очевидно,
3. Dа)
Вторыы коыыутирующиы с L оператором является
K = b{([r, grad], Т)х— 1}т4. E)
Связь К и N ыы вмясниы в следующей параграфе [в связи с форыулой
(8.10)]. Пока что наы достаточно показать, что К действительно
коммутирует с L, а также объяснить, какиы образом ыожно придти к выражению E).
Как ыы уже говорили, операторы N и L перестановочны. Кроме того,
легко убедиться, что N коыыутирует также отдельно со вторыы слагаемый
в L (надо иыеть в виду, что kA зависит только от г, но не от х, у, г в от-
дельности!). Отсюда следует, что N коыыутирует и с первый членоы в L,
т. е. ыьииыееы:
[г, grad](Y. grad) — (у, grad) [г, grad]=-i(T> grad)-p — yY^Y» 6Tad). F)
Правую часть F) ыожно упростить, умножая ее справа скалярно на f-z. При
этоы первый член даёт, в силу Dа),
Fa)
Для вычисления второго слагаемого воспользуемся очевидным тождеством
(Y> grad)Y = — Y(Y. grad)+2grad. F6)
На основании F6) при умножении второго члена в F) на ft получается:
—-|(Y, grad)+(Y, grad) = —1(y, grad). Fв)
Таким образом, окончательно ыы иыееы, складывая Fа) и Fв):
— 2(y, grad). Fr)
С другой стороны, уыножая левую часть равенства F) скалярно на ft
■ вводя вреыенно сокращённое обозначение
q = (\r, grad], T)x, G)
ыы получаем:
([г, grad]. (y. grad)Y)x —(y, grad)?. Ga)
Первое слагаемое на основании F6) ыожно переписать в виде
[ — dr. gradj, y) (Y- grad)+ 2 ([г. grad], gradjjx.

§ 7] ВАДАЧА КЕПЛЕРА И ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 231
Второй член в фигурной скобке равен нулю, так как его ыожно
привести к виду:
(г, [grad, gradl):
первый же член просто выражается через q. Такиы образоы, выражение Gа)
принимает вид:
— q(f, grad) — (у. grad)?. (8)
Таков результат умножения левой части равенства F) на ух. Поскольку
результат умножения правой части дается формулой Fг), мы имеем:
— qft, grad) — (у, grad)? = —2 (у. grad). (9)
Умножим равенство (9) справа на f4. Мы получим:
+ <nJf' grad) —(у. grad)?Y4 = —2(y. grad) ft. (9a)
Комбинируя (9а) с непосредственно очевидным соотношением
— (у, grad)Tf4 = —2(y. grad)^, (96)
находим:
(.Я — 1) T4 (Y. g«d) — (Т. g^)(Я — 1) Т4 = 0. (Ю)
Но (q—1)т4 с точностью до несущественного множителя Ъ совпадает с
оператором К из E). Таким образом, мы имеем:
. grad) — (y. grad)/T = O. A0a)
Итак, оператор К коммутирует с первым слагаемым (у, grad) в L,
Легко видеть, что он перестановочен и со вторым слагаемым. Таким
образом, окончательно:
KL—LK=0, A1)
что и требовалось доказать.
Теперь нам известны два коммутирующих с L оператора: скалярный
оператор К [уравнение E)] и векторный оператор N [уравнение C)]. Из трёх
его компонент Л^, N2, Л/„ мы используем последнюю N3. (Тем самым во
вводимой нами системе полярных координат выделяется ось г.) При этом по
соображениям вещественности (см. ниже) мы будем рассматривать
оператор N\.
Итак, наряду с уравнением A1) имеем:
rfL — LNl = 0. A2)
Из A1) и A2) следует, что если функция С/ является решением
уравнения Дирака Lty = 0, то
LK\ = Q и /.Л/& = 0. A3)
Отсюда
(На)
fy A46)
(Знаки можно выбрать произвольно, но такая форма записи удобна для
дальнейшего.) Величины —k и —/к9 представляют собой (с точностью до
множителей Ь и fi2) собственные значения операторов К и N\, т. е. с точки
зрения уравнений A3^—интегралы движения.

232 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
На основании C) и B.29а) уравнение A46) имеет вид:
Поскольку Ti2 = —1> мы можем представить /яа в виде —m%tw Т0ГДа левая
часть расщепляется на два сомножителя:
DЫ-0. 05)
Так как выражения в фигурных скобках коммутируют друг с другом, то
каждое из них в отдельности, будучи применено к <!*, дает нуль.
Формально интегрируя получающиеся при этом уравнения, находим:
/—г)**,
или соответственно
Общее решение имеет вид:
A7)
Постоянные интегрирования А и В не зависят от <р, но зависят от остальных
координат: г и Ь, а также от величин f. Именно по этой последней причине
■х следует писать после экспоненциальных функций в A6) и A7).
В § 6 уже было разъяснено, как следует понимать выражение еч».
Именно [см. F.31»:
e"Tu= cosa + Tfosina. A8)
В нашем случае
ели соответственно
Отсюда следует, что число т должно быть полуцелым, так как, в силу
условия однозначности собственной функции, С/ должна периодически
зависеть от угла <р с периодом 2гс. (В нерелятивистской задаче Кеплера
зависимость от <р определялась множителем eimf, что приводило к целочисленным
значением' /я.)
Поскольку в исходном уравнении Дирака в качестве коэффициентов при
Ti> • • •» Т4 фигурируют только вещественные числа, естественно вообще
избежать употребления мнимой единицы при интегрировании дифференциальных
уравнений задачи Кеплера1). Именно по этой причине мы перешли от
оператора Nt, содержащего в соответствии с C) мнимую единицу, к его
квадрату — N\' Соответственно, величины А и В в A7) также являются
вещественными.
Займёмся теперь уравнением A4а). Оно в соответствии с E) определено
в теле, построенном на гиперкомплексных единицах т12, Таз> Y«i» Т«> т- ^
1) На это обстоятельство впервые указал Франц (см. сноску иа стр. 215), работе
которого мы следуем в настоящем параграфе.

§ У| ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 235$
в группе бикватернионов. Можно свести его к группе кватернионов, полагая
Тогда A4а) принимает вид:
{([г, grad], Y)т -1} A + Ti)х+ - {([r, grad]. Y) t-1} A -Ti) г_
Умножая это слева на 1±т4, мы> как и ПРИ выводв уравнения Паули [см.
E.14)], получаем два не содержащих ft уравнения:
{([г. grad], Y)т— I} Х± = + ftX±. B0>
Умножая B0) слева на т и принимая во внимание, что та =—1, получим:
([г, grad], Y)X±=—(+k + V4±- B0a>
Путем итерации можно вообще исключить отсюда величины -г. Действительно»
возводя B0а) в квадрат, мы получаем:
dr. grad],
Выражение, стоящее в левой части, можно упростить с помощью очевидной
общей формулы
(в, Т)(*. Т) = («. *) + (!«. *]. Y)'- B2)
Чтобы применить ее в нашем случае, положим1)
а = Ь = \г, grad], (а, Ь) = [г, grad]9, [а, Ь\ = — [r, grad]. B2a)
Тогда
([г. grad], ft* = [г, grad]»—([г. grad], Y)t. B26)
Член в правой части, содержащий величины у> можно исключить,
воспользовавшись уравнением B0). Тогда вместо B26) мы получаем:
([г, grad], Y)* = [г, gradl* — (zp k +1). B2в>
Таким образом, уравнение B1) принимает вид:
[г, grad]*x± = {(zpft+l)-(zpft+l)»}x±,
или, что то же самое,
{[г, grad]'+(zp k) (zp k +1)} X± = 0. B3)
Оператор
[r, gradl9=--^Af9
будет рассмотрен в приложении A2) [формула A7)], где будет показано,
что он представляет собой не что иное, как дифференциальный оператор
шаровых функций:
1 д I . д\ , 1 д*
Таким образом, уравнение B3) решается в шаровых функциях. При этом
из условия регулярности решения в точках costt = =tl следует, что
») Последнее из соотношений B2а) проще всего доказать, воспользовавшнсь
прямоугольной системой координат. Отличный от нуля результат получается только прв
дифференцировании по г, все остальные производные выпадают.

234 ТЕОРИЯ ДИРАКА[ГЛ. IV
должно быть равно /(/+1), где / = 0, 1, 2, 3, .... т. е. к
должно быть целым числом. Роль индекса шаровых функций играет одно
из чисел ц^к или :£Л—1 (именно, то из них, которое имеет
положительное значение).
Чтобы избавиться от необходимости различать эти два случая, введем
шаровые функции с отрицательным индексом —/—1, по определению
полагая их равными функциям с индексом /. Тогда числа —к и -\-к—1
соответствуют одной и той же шаровой функции (то же относится и к паре + к
и —к—1). Следовательно, можно всюду пользоваться в качестве индекса
шаровой функции только одним из этих чисел, например ±к. Таким
образом, решение уравнения B1) имеет вид:
Коэффициенты С^ и D^ не зависят от 0 и <р, но являются функциями гя;
(и, конечно, A и к).
Сравнивая полученные результаты с нерелятивистским случаем, мы видим,
что введенная в A4а) величина к играет роль шредингеровского квантового
числа /. Поскольку к принимает все целочисленные значения, а / — только
положительные (и нуль), число состояний здесь удваивается по
сравнению с нерелятивистским случаем; физическая причина этого состоит в
двойной возможности ориентации электронного спина. Как видно из A4а),
различным значениям к соответствуют действительно различные состояния.
В самом деле, к входит в A4а) линейно, а потому это уравнение для
разных к имеет различный вид. В нерелятивистском случае аналогичного
уравнения не имеется; напротив, число / входит в уравнение Шредингера лишь
в комбинации /(/—1).
В конце этого параграфа будет показано, что значение Л = 0 надо
исключить. Таким образом, допустимые значения к суть:
f+1,+2,+3,...
у — 1, — 2, — 3, ...
B5)
Следует со всей определенностью подчеркнуть, что этот двойной знак
никак нельзя отождествлять с фигурирующим в B4). Последний возник
благодаря множителям 1±т* и, таким образом, обусловлен не
неопределенностью знака к.
Дальнейшие выводы можно сделать, сравнивая B4) и A7). Именно,
оказывается, что индекс р при заданном т может принимать только два
значения:
B6)
Таким образом, сумма в B4) (как для х+» так и для у_) состоит всего из
двух членов. Как и должно быть, оба значения B6) оказываются целыми
числами (действительно, т — полуцелое, см. стр. 232). Кроме того, из
сопоставления B4) и A7) видно, что коэффициенты С и D должны быть таковы,
чтобы из членов с синусом и косинусом в сумме составились просто
показательные функции от аргумента од^?. Выписывая явно оба слагаемых в B4)

§ 7] ВАДАЧА КЕПЛЕРА И Ф0РМУЛ8 ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 235
я обозначая стоящие при них коэффициенты через а и Ь, мы имеем:
Надо заметить, что в силу B6) верхний индекс шаровой функции во
второй строчке следовало бы приравнять —(fft-f-Va)- Полагая вместо этого
ji = (т -f- 1/з) (что несколько удобнее для дальнейшего), мы пользуемся тем
обстоятельством, что с точностью до постоянного множителя (который можно
включить в Ь±) Рп9" совпадает с Р£ [см. A.3.16д)].
Выражение B7) получено нами как решение итерированного
уравнения B3). Однако оно должно удовлетворять и неитерированному
уравнению B0). Благодаря этому обстоятельству коэффициенты а± и Ь±,
характеризующие радиальную зависимость B7), оказываются связанными друг с другом.
Действительно, угловая зависимость волновой функции полностью и
окончательно определяется формулой B7), и потому при подстановке B7) в B0)
величины, зависящие от ft и «р. должны взаимно уничтожиться.
Фигурирующий в B0) оператор
([г, grad), y)
будет вычислен (в полярных координатах) в разделе А дополнения 15 и при*
менбн к обоим слагаемым B7). На основании формулы (9) дополнения 15
мы имеем:
([г. grad], ;
(£) ГЛ4"-*) ' - <;i-T"(m4)\t8. B8a)
(i)({)";V11("l"^? B86)
Подставляя B7) в B0) и пользуясь B8а, б), находим после приведения
подобных членов:
X
Как и должно было быть, величины, зависящие от углов Аи?, выделились
в отдельный сомножитель, и мы получаем следующее соотношение,
связывающее at и Ь±:
а± (^А-«+4)т18*±- B9)
Чтобы, наконец, найти зависимость наших собственных функций от г,
надо вернуться к исходному уравнению Дирака A), подставив туда в
качестве ^ выражение A9), в котором функции у± даются формулой B7), а
коэффициенты а± — формулой B9). Мы знаем наперед, что при этом величины,
зависящие от углов, должны выпасть, и останется только дифференциальное
уравнение для радиальных функций. В разделе Б дополнения 15 это
подтверждено прямым расчетом; найденное там [см. формулу C2) дополне-

236 ТЕОРИЯ ДИРАКА \ГП. IV
вия 15] радиальное дифференциальное уравнение имеет вид:
(£ + 1Т*)»± + Тв(=Р**+**>»*-0. C0)
Чтобы освободиться от величин f, положим:
*+ = Л1( *_ = — т8Ла- C1)
Тогда /?i и /?, оказываются функциями только от г; они удовлетворяют
следующей системе дифференциальных уравнений:
C2)
Подставляя сюда значения Л4 и к$ из B), находим:
Ла.
C3)
*
Из C3) можно сразу вывести одно качественное следствие. Именно, то
обстоятельство, что в первое уравнение входит Ео-\-Е, а во второе Ео— Е,
означает, что в нерелятивистском (шредингеровском) приближении R3 <d Rt
[см. в связи с этим рассуждения о «большой» и «малой» волновых функциях
в приближении Паули E.22а)]. Согласно C1) Rt соответствует функции Ь+
[при этом индекс шаровой функции в B7) равен —к], а /?2—функции
Ь_—(индекс шаровой функции равен -\-к). Таким образом, переходя к не-
рёлятивистской волновой механике, мы имеем:
R2 • (множитель при P+Jk) <C Rx • (множитель при Р_к). C4)
(Верхний индекс шаровой функции опущен.) Приближенно легко выразить /?а
через Rt. Именно, пренебрежем величиной V по сравнению с Я -J- Яо *—' 2£0.
Тогда из первого уравнения C3) мы получим:
а
Подставляя далее C4а) во второе уравнение C3), находим:
что легко приводится к виду (Е0 = тхр*, W = E — Е„):
Это есть не что иное, как радиальное уравнение Шредингера в виде (II. 1.3).
Чтобы сделать это совпадение полным, надо еще отождествить шредин-
геровское /(/-f-1) с дираковским к (к — 1). Как мы уже указывали в связи
с уравнением B4), имеются две возможности:
В следующих параграфах мы ещё вернемся к этому вопросу.

§ 7]
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ
237
В заключение выведем формулу тонкой структуры. Для этого надо точно
решить систему уравнений C3), подставляя в качестве V конкретное куло-
новское выражение V= (здесь это впервые становится существенным).
Как всегда, прежде всего надо определить асимптотическое поведение
решений. Для этого вычеркиваем в C3) все члены, содержащие — (в
частности, к ним принадлежит и V), и получаем:
Сделаем характерную для линейных уравнений с постоянными
коэффициентами подстановку
^ R A»', C6)
тогда для определения X, Av Aa находим следующие уравнения:
Предполагая, что Е < £0 (дискретный спектр) и выбирая должный (полож»
тельный) знак перед корнем, получаем отсюда:
^£3. C7)
Как и в нерелятивистской кеплеровой задаче, введем в качестве
независимого переменного величину
р = 2А.г C8)
я перейдем от асимптотического выражения C6) к полному решению, вводя
также две функции от р — vt и «а:
C9)
(штрих означает дифференцирование по р). Подставляя C9) в уравнения C3)
е *Р
■ сокращая на 2\е *Р, находим (а = еУЬс — постоянная тонкой структуры):
D0)

238 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IT
Переходя к исследованию поведения искомых функций около точки р = О,
представим их в виде выражений
/. «а = рт2^ D1)
с одинаковыми показателями степени т, но различными коэффициентами а,
и Ьч. Подставляя это в D0) и сравнивая коэффициенты при рт-1, находим
определяющие уравнения для f.
При почленном перемножении обоих уравнений коэффициенты Oq и Ьо
выпадают, и мы получаем:
(T+l)9_fti = _oAZ».
откуда (мы выбираем правильный — положительный — знак перед корнем)
D2)
Сравнивая теперь коэффициенты при рт+'+i в D0), найдем рекуррентную
формулу для с„ Ьч. Обозначим сокращенно
¥ Р- -L. Р * * * •■/"_> _о * 1 /" _.- _о ^ * '
и соберем члены с а,, Ьч в левой, а с a4_v b,_t в правой части равенства.
Мы имеем:
—*)«,—aZb, =
D4)
Отсюда прежде всего находится отношение а,/£,. Действительно, если
второе из уравнений D4) умножить на-1/* и затем сложить с первым, то сумма
правых частей обращается в нуль, и мы получаем:
Далее заменяем* в D4) v на v-f-1 и добиваемся обращения в нуль порознь
правых частей обоих уравнений, для чего полагаем:
£ —1. D6)
Тогда в силу D4) обращаются в нуль все последующие коэффициенты:
Таким образом, формула D6) [совместно с D5I представляет собой
условие обрыва разложения D1). Пусть ряд D1) обрывается иа лг-м члене.
Тогда в D5) и D6) следует положить v = nr, и мы имеем:
— к — ?£+8aZ + «r+T-M-|-ft = 0. D7)

§ 7] ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И ФОРМУЛА ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 235>
Подставляя сюда значение т из D2) и производя соответствующие
преобразования, находим:
§(±) D8)
Число пг представляет собой степень полиномов, входящих в функции vl и
«а. В силу определения • D3) мы имеем:
Таким образом, формула D8) принимает вид:
E0)
(nr+ У ft* —
Это и есть хорошо известная формула тонкой структуры из тома !
[гл. V, формула B6)]. Она была выведена из дираковской теории электрона
одновременно Гордоном1) и Дарвином*).
Из сопоставления настоящей и прежней формул явствует, что наше А8)
играет роль «азимутального квантового числа» л, старой теории (последнее,
кстати, раньше часто и обозначалось буквой k). Имеется, однако, то
существенное различие, что k принимает как положительные, так и отрицательные
вначения, в то время как nf в силу самой своей природы всегда должно
оставаться положительным. Для определения положения уровней тонкой
структуры это обстоятельство не имеет никакого значения, так как k входит в E0)
только квадратично. Однако, как будет видно в следующем параграфе, оно
весьма существенно для нумерации уровней тонкой структуры. Последние
оказываются, вообще говоря, двойными. Это обстоятельство открывает путь
к раскрытию природы дублетов в спектре водорода (и аналогичных им —
в спектрах щелочных металлов).
То обстоятельство, что значение k = 0 является запрещенным, формально
вытекает из формулы E0) для энергии. Действительно, при k = 0 Е
оказывается комплексной величиной. Более подробное обоснование этого запрета
будет дано позднее (см. стр. 246).
Вопрос об экспериментальной проверке формулы тонкой структуры пока
ещб не разрешен полностью. В то время как в тщательных американских
работах (особенно Хаустона и его учеников) обнаруживаются, повидимому,
небольшие расхождения с теорией, другие исследования4) подтверждают
формулу тонкой структуры с точностью до погрешностей эксперимента. Как
дружески сообщил автору К. В. Мейснер, идеальный опыт состоял бы
в наблюдении пучка атомов водорода в направлении, перпендикулярном к их
1) W. Oordon, Zs. f. Phys. 48, 11 A928).
>) О. О. Darwin. Proc. Roy Soc A118, 654 A928).
') Дирак пользуется вместо k буквой j (также с двойным знаком). Нам это
обозначение представляется неудачным, так как символ j надо сохранить для внутреннего
квантового числа, которое в дальнейшем окажется небесполезным,
«) Maria Heyden, Zs. f. Phys. 106, 499 A937),

240 ТЕОРИЯ ДИРАКА ГГЛ. ГТ
движению. Действительно, при этом влияние эффекта Допплера было бы
почти полностью исключено. Вопрос, к которому в конце концов сводится
дело, состоит в том, не действуют ли между электроном и протоном,
ломимо кулоновских, еще дополнительные силы типа рассматриваемых
в ядерной физике1).
f 8. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ
ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ. ПОДРОБНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В предыдущем параграфе были последовательно введены квантовые числа
теории Дирака. Таковыми оказались:
п, к, пг.
Сопоставим их с квантовыми числами теории Шредингера, которые в
отличие от дираковских запишем в виде:
т, I, пг.
В противоположность полуцелому квантовому числу т. теории Дирака
т является целым. Это различие обусловлено, естественно, спином
электрона; связанный с ним момент количества движения, равный ± */з> как Раз
и добавляется к шредингеровскому квантовому числу т. Отметим это
обстоятельство, полагая
т = т± -j. A)
Главное различие в нумерации квантовых состояний в том, что по Дираку
к может иметь любой знак, в то время как в теории Шредингера / не может
быть отрицательно. Связь между к и / была выяснена ещё в предыдущем
параграфе, когда было показано, что при переходе к нерелятивистскому
случаю заметной остается в соответствии с G.34) только шаровая функция
с индексом — к (при этом само к, как мы знаем, может быть и
положительным и отрицательным). Отсюда вытекала следующая связь между к я I
в G.35):
|*| = /. ft<0. j
Наконец, обратимся к радиальным квантовым числам пг я пг. Чтобы найти
связь между ними, введём главное квантовое число п, которому в теории
Шредингера соответствует один бальмеровский терм, а в теории Дирака —
совокупность подуровней мультиплета. В теории Шредингера мы имеем:
n=nr+/+l. (За)
В теории Дирака аналог числа л дается знаменателем формулы G.50),
если устремить в нем а к нулю. Фигурирующий там квадратный корень воз-
») Ср. по этому поводу также замечание Пастернака: S. Pasternack, Phys. Rev.
54, 1113 A938). (Прим. авт.)
Экспериментальная проверка формулы для тонкой структуры привела к
открытию в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом сдвига урозней в атоме водорода —
расщепления термов 25I/f и 2P,h, которые в теории Дирака совпадают. Объяснение этого
эффекта, названного лэмбовскнм смещением, связано с квантовомеханическнми флуктуа-
циями вакуума. С учётом вакуумных эффектов совпадение теории с опытом
«называется сейчас идеальным. {Прим. ред.)

§ 8] КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 241
ник из формулы G.42) для f и потому должен быть взят с положительным
знаком; таким образом, мы получаем:
n = nr+V& = nr+\k\. C6)
Сравнивая это с (За) и пользуясь B), находим:
лг, Л>0.
- D)
лг+1. ft<0.
Как видно из формулы (За), бальмеровский терм нерелятивистской теории
состоит из п совпадающих друг с другом уровней энергии. Действительно,
при заданном л лг может принимать все значения от нуля до л—1; при
этом каждому лг однозначно соответствует определённое значение /. С другой
стороны, из формулы C6) на первый взгляд как будто бы следует, что
мультиплет, определяемый данным л, состоит из 2л подуровней (совпадающих
или близких друг с другом). Действительно, радиальное квантовое число лг
« данном случае попрежнему может изменяться от нуля до л — 1, но
каждому лг соответствуют два (отличающихся знаком) значения k. Мы покажем,
однако, что, как можно убедиться из рекуррентной формулы G.44), случай
пг = 0 представляет исключение.
При лг = 0 полиномиальные множители в vt и «а [см. G.41)] имеют
нулевой порядок, т. е. они равны соответственно с0 и Ьо. В силу G.44) а0 и Ьо
должны удовлетворять следующим уравнениям:
О. )
E)
Подставляя сюда f из G.42), легко убедиться, что из обоих уравнений
получается одно и то же значение для отношения а^Ь^, а именно:
*-■ *2 . F)
Далее, условие обрыва ряда G.46) даёт:
В силу G.43) • является положительной величиной, следовательно, ^
отрицательно. Но из F) видно, что это возможно лишь при положительном к.
Таким образом, значению лг = 0 соответствуют не два отличающихся знаком
значения к, а лишь одно: к = -\-п. Поэтому мультиплет состоит не из 2л,
а только из 2л—1 подуровней. Из них один (лг = 0) — простой, а
остальные (яг= 1, 2, .... л—1) — двукратные.
Значение лг = 0 соответствует круговым орбитам старой квантовой теории,
яг= 1 л—1—эллиптическим орбитам. Первые отвечают наивысшим,
последние—соответственно всё более и более низким подуровням мульти-
плетов (см. т. I, рис. 75 и 76).
Резюмируем сказанное. Согласно теории Дирака при заданном главном
квантовом числе л мультиплет состоит из п — 1 дважды вырожденных
уровней (каждый из которых соответствует значениям к, отличающимся только
внаком) и одного простого. Последнему соответствует наибольшая энергия.
Дополнительно возникающее вырождение по числу т мы рассмотрим
ниже.
16 3«к. 968. А. Зошерфслы

242
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[ГЛ. IV
В чисто кулоновском поле вырожденный характер энергетических уровней
с данным значением | к | никак не сказывается. Он проявляется, однако, при
наличии магнитного поля или просто внутриатомного центрального поля не-
кулоновского типа. Речь идет, таким образом, об эффекте Зеемана или
о спектрах сложных атомов, особенно атомов щелочных металлов. Благодаря
различным условиям экранировки уровни с одним и тем же | к | (совпадающие
в случае водорода) в рентгеновских спектрах более сложных атомов
расщепляются, превращаясь, в так называемые «дублеты экранирования». В то же
время уровням с различными | к | как у водорода, так и в рентгеновских
спектрах более сложных атомов соответствуют различные значения энергии
(определяемые формулой тонкой структуры). Это явление имеет чисто
релятивистскую природу, чем и объясняется название «релятивистские дублеты».
Все эти соотношения пояснены на уже упоминавшихся рис. 75 и 76 в т. I.
Символ nf в левой части этих рисунков указывает на связь между дираков-
ским квантовым числом к и
прежним «азимутальным квантовым
числом» л,, о которой уже говорилось
в конце предыдущего
параграфа. В приводимой таблице для
случая л = 3 (начальный терм
линии На) ещё раз сопоставляются
значения к, I, пг из формул B),
C), D). Кроме того, в последних
двух столбцах указана связь с
обычными обозначениями термов атомов
щелочных металлов: высший уровень водородного мультиплета соответствует
терму £)•/,, далее следуют (совпадающие друг с другом) уровни D»/, и А/, и,
наконец, ниже всех расположены термы PVl и SVl (также совпадающие друг
с другом). В последнем столбце приведено «внутреннее квантовое число» J
(или лучше, квантовое число, характеризующее полный момент количества
движения).
Мы покажем сейчас, что квантовое число j появляется в теории Дирака
вполне законным образом в противоположность заимствованному из теории
Шредингера и недопустимому в данном случае «орбитальному квантовому
числу» /.
Для этой цели рассмотрим оператор полного момента количества
движения N G.3) и образуем его «квадрат»:
(8)
л
3
"г
0
I
2
1*1
3
2 1
•
ft
+з
— 2
+ 2
— 1
+ 1
'
2
2
1
I
0
Терм
J л 1
S
ък
V.
Vi
v«
Va
На основании G.3) и G.4а) мы получаем:
Л/* = — &\\г, grad]9 + ([r, grad], Y)t—-А.
Далее, рассмотрим оператор К G.5):
/C=A{([r, grad], Y)t— 1}т4
и опять, пользуясь G.4а), составим е.го квадрат:
К2 = Ь*{—{\г, grad], y)9 — 2([г, grad], т)'+1}-
Первое слагаемое в фигурных скобках было вычислено в G.226). Подставляя
сюда полученный там результат, находим:
Г)*+1). <9>

§ 81 КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 243
Вычтем теперь почленно (8) из (9). Мы имеем:
a = -J-fi9, Ы* = К*—\-Р. A0)
В силу G.14) собственное значение оператора К равно —kb; следовательно,
собственное вначение К есть &9й8. Отсюда
(Собственно, в обе части равенства ещё входит множителем соответствующая
функция, но здесь её можно опустить.) Положим:
j = \k\ —±-. A2)
Тогда
A3)
Равенство A2) узаконивает использование числа ) в теории Дирака,
сводя его к квантовому числу k. С другой стороны, в теории Шредингера
(равно как и нерелятивистской теории) j было по существу чуждо и
вводилось лишь с помощью специального представления о спине и двоякой
возможности его ориентации относительно орбитального момента количества
движения. Постулированная там двузначная связь
A4)
в теории Дирака возникает сама собой благодаря двойному знаку k.
Действительно, если принять во внимание связь B) между k и I, то A2)
превращается в A4): при А: 5= 0 из A2) получается для j
1 — \ или /-И—1.
Как видно из A3), квадрат полного момента количества движения
(орбитальный момент плюс спин) выражается в теории Дирака через квантовое
число У совершенно так же, как квадрат орбитального момента количества
движения в теории Шредингера — через /. В самом деле, в гл. III
[формулы C.35) и C.38)] было показано, что
M* = l(l+l)&. A5)
(Мы пишем / вместо L.)
До сих пор мы рассматривали только «скелет» собственных функций —
характеризующие их квантовые числа. Обратимся теперь к самим
собственным функциям и представим в более простом виде аналитическое выражение,
полученное для них в предыдущем параграфе.
Подставляя G.29) в' G.27), мы получаем:

244 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IT
Подставим сюда Ь± из G.31) и образуем произведения:
A7)
В связи с этим следует заметить, что в первом из названных
произведений I + I4 можно было поменять местами с выражением в фигурной
скобке. Так же обстояло дело и с 1—f4 во втором произведении, но при
такой перемене порядка множителей -1—f4 (благодаря члену с "(з)
превратилось в 1 —|— "f4-
Складывая A7) и A8), мы получаем, в силу G.19):
♦-
_[p;-V" (-4) 'T31(*-/
Здесь уместно сделать замечание относительно возможных значений т.
Как хорошо известно (см., например, т. I, рис. 29, 30), т представляет
собой составляющую полного момента количества движения по некоторому
заданному направлению, а ] (точнее, У/С/Ч- 1)) — абсолютную величину
момента. Поэтому следует ожидать, что
J = /Яммо, — J = ттв. B0)
Формула A9) представляет решение уравнения Дирака только при ||^/
Это связано с тем, что при выводе A9) были использованы (в приложении 15)
некоторые соотношения между шаровыми функциями, справедливые отнюдь
не при любых значениях верхних индексов.
Заметим, впрочем, что при \т\ >/ выражение A9). вообще тождественно
обращается в нуль, так как при этом равны нулю частично сами шаровые
• функции, частично — множители при них.
Нам предстоит теперь более подробно исследовать радиальные
функции Rt и /?2 в A8). При этом мы будем рассматривать только конкретный
случай кеплеровой задачи (всё предыдущее было справедливо для любого
сферически симметричного поля). Структура функций R± n R2 в данном
случае даётся формулами G.39),. G.41) и G.42); собирая их, мы получаем:
,%уж*. \ BU)
Pv P2 — полиномы степени пг относительно р. )
При этом энергию Е можно считать выраженной с помощью формулы
тонкой структуры G.50) через а, Еа и квантовые числа k, nr.

§ 8] КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 245
Как видно из первого сомножителя в B1), дираковские радиальные функция
в бесконечности обращаются в нуль по тому же (показательному) закону,
что и в теории Шредингера, и притом тем быстрее, чем меньше главное
квантовое число.
Второй сомножитель в B1) означает, что при г = 0 все функции R
обращаются в нуль, коль скоро
k = ±2, ±3,...
Только при k = ±l R(r) обращается в бесконечность по закону р-1), где
•П=1— Vl— a*Z* = ±<x*Z*+... B2)
Противоречит ли это условиям задачи, согласно которым надо, вообще
говоря, требовать непрерывности собственных функций? Очевидно, нет —
в противном случае все *) 5-уровни водорода, равно как и термы PVt, не
могли бы существовать (действительно, как видно из таблицы, они
соответствуют k = ± 1).
Чтобы обосновать наше утверждение, заметим прежде всего, что
особенность B2) ни в какой степени не затрудняет нормировку волновых
функций, так как dx = r*dr, и потому подинтегральное выражение в нормиро:
вочном интеграле C.12) при г = 0 не обращается в бесконечность, а напротив,
даже равно нулю.
Однако возможность пронормировать собственную функцию сама по себе
ещё не является достаточным критерием допустимости той или иной
особенности. Чтобы убедиться в этом, вернёмся на минуту к нерелятивистской
задаче Кеплера и рассмотрим ту шредингеровскую функцию, которая в нуле
ведёт себя, как г~г. В гл. II мы видели, что корни характеристического
уравнения (II. 1.76) суть / и —/—1. Если второй корень равен —2,
— 3..., то нормировочный интеграл расходится; следовательно, такие
значения недопустимы. Однако, когда 2 = 0 и второй корень равен —1,
функцию можно пронормировать. Тем не менее и это значение должно быть
исключено. Это видно уже из того обстоятельства, что система шрединге-
ровских собственных функций является полной (т. е. с её помощью можно
представить любое начальное состояние) и потому не допускает дальнейшего
расширения.
Физическую причину этого мы видим в следующем. Если устранить
особенность фигурирующего в задаче потенциала V= (т. е.
устремить Z к нулю), то должна исчезнуть и особенность волновой функции.
Однако в нерелятивистской задаче а) при / = — 1 это не имеет места. При
Z -> 0 соответствующая волновая функция переходит в — , т. е. она попреж-
нему имеет особую точку при г = 0. Это явно противоречит смыслу понятия
!) Значение Л = + 1 отвечает не только основному состоянию IS, но и вообще
всем термам nS; равным образом, k = — 1 соответствует не только низшему уровню 2Pl/t,
но и всем вообще термам пР^. Например, в приведённой выше таблице речь идёт
об уровнях с п = 3.
я) Рассматриваемое решение содержит еще логарифмические члены (см.
дополнение 2) и, если оно должно обращаться в нуль на бесконечности, отнюдь не
соответствует целочисленным значениям энергетического параметра A1.1.9а). При Z-+-0
логарифмические члены исчезают и остается только первый член степенного ряда, не
содержащего никаких логарифмов. Это и есть приведенная в тексте функция —.

246 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
собственной функции. Следовательно, решения такого типа должны быть
исключены.
В противоположность этому в нашем релятивистском решении при
k = =t 1 показатель степени волновой функции при указанном выше
предельном переходе стремится к нулю:
t\-> 1 — 1 при Z-*■(),
и, таким образом, особая точка Rt .и /?а исчезает.
Таким образом, накладывая, помимо условия нормировки, ещё
дополнительное требование, чтобы при устранении особенности из волнового
уравнения исчезала н особая точка собственной функции, мы оправдываем
использование обращающихся при р = 0 в бесконечность радиальных функций Rt
и R2. Тем самым допускаются собственные значения k = ±l. Обращение
собственной функции в бесконечность в данном случае оказывается лишь
следствием «нефизической» схематизации закона сил. Если «обрезать»
потенциал, исключив в нём особенность при г = 0, то и волновая функция не
будем иметь особенности.
Аналогичные рассуждения показывают, далее, что значение k = 0
недопустимо. Действительно,'при этом вместо B2) мы имеем:
t\=l±laZ-+l при Z->-0. B2а)
Это обстоятельство существенно для окончательного обоснования выбора
допустимых значений k в G.25).
С этой же точки зрения следует отклонить предложенную Темплем *)
теорию нейтрона. Действительно, использованное в указанной работе
решение итерированного уравнения Дирака имеет особенность, не исчезающую
при Z-+0, и потому оно не является допустимым в качестве собственной
функции.
Обратимся к последнему сомножителю в B1) — к полиномам Pt и Я3,
для которых в § 7 мы получили выражения в виде оборванных рядов G.41):
В принципе эти полиномы полностью определяются рекуррентными фор*
мулами G.44). Однако, чтобы найти явное аналитическое представление Pt
и Я3, удобнее вернуться к дифференциальным уравнениям G.40), произведя
в них замену переменных так, чтобы выделить из v± и v% множители рт.
Мы получаем тогда:
B3)
1.
Здесь и в дальнейшем символ У означает положительное значение
— aaZ2; е— сокращённое обозначение G.43).
Как указано в B3), умножим первое уравнение на е, второе — на
единицу, а затем почленно сложим и вычтем результаты. Положим при этом
= Qv Яа _ гРх = <?а, B4)
1) О. Т е m р 1 е, Proc. Roy. Soc. A145, 344 A934).

§ 81 КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 247
откуда
P.dreP^I^Q.-i^Q,. B5)
Тогда вместо B3) получаются более простые уравнения:
= — k — aZ
1+e»
B6)
Поскольку правые части B6) не содержат р, от системы двух уравнений
первого порядка для функций Qt или Q.2 легко перейти' к одному
дифференциальному уравнению второго порядка для Qt или Qa. Чтобы исключить Q3,
достаточно, например, с помощью первого из уравнений B6) выразить Qa и
Qt через Qt и результат подставить во второе из названных уравнений.
Простое вычисление даёт:
B7)
Мы получили не что иное, как дифференциальное уравнение для
«вырожденной гипергеометрической функции» [см. гл. II, § 2, уравнения B0) и B2)].
Действительно, если обозначить названную функцию посредством F(a, с, р),
то дифференциальное уравнение, которым она определяется, имеет вид:
с — р) F' — aF = 0.
B8)
Два последних аргумента в обеих функциях совпадают, первый же
в Qt на единицу больше, чем в Qa. Множитель 2е при F в функции Qt
выбран произвольно, но он окажется удобным для дальнейшего.
Константа А — отношение множителей при Qt и Qa — определяется из
уравнений B6). Проще всего положить там р = 0, тогда, используя одно из этих
уравнений (безразлично, первое или второе), мы находим:
Таким образом, мы имеем:
2с
k + aZ
1+вЯ
k — aZ-
Y-aZ
1_е2
B8а)
Рассмотрение первого аргумента функции Qt или Q3 позволяет нам по-новому
прочитать формулу тонкой структуры. Именно, если гипергеометрический
ряд обрывается на члене данной стенени пг, то в соответствии с законом
образования коэффициентов этого ряда величина а-\-пг должна обратиться
в нуль, т. е. параметр а должен быть равен отрицательному целому числу — пг.

248 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
В применении к Q3 это условие даёт:
V — «Z^-=-nr, B86)
т. е.
£ () <28в>
(г-8)-
Но это есть не что иное, как равенство G.48), из которого мы получили
формулу тонкой структуры. Вместе с тем, пользуясь B86) и B8в), можно
упростить выражения для Qx и Q3. Именно, вместо B8) мы получаем:
1, р). |
\ B9)
, р). }
Q3 представляет собой'полином степени nr, Qt — степени пг— 1. Исходные же
полиномы Рг и Р3 оба имеют степень пг, как и требовалось в § 7.
Действительно, на основании B4) мы имеем:
i C0)
Подставляя эти значения Рг и Яа в B1), мы получаем окончательные
аналитические выражения для радиальных собственных функций Rx и /?3.
Рассмотрим в качестве примера простейший случай — основное
состояние атома водорода (п = 1). Здесь k = -f-1 и в соответствии с C6) пг = 0.
В силу B9) отсюда следует: Q% = 2гА. С другой стороны, из той же
формулы B9) видно, что функция Qt в данном случае вообще не может быть
представлена обрывающимся гипергеометрическим рядом (что мы обычно
требовали). Действительно, её параметр а в данном случае отнюдь не
является отрицательным целым числом, а наоборот, равен +1. Это
обстоятельство, однако, не приводит ни к каким трудностям, так как стоящий
при Qa множитель А оказывается бесконечно большим. В самом деле, при
пг = 0 знаменатель в формуле B8а) в силу B86) обращается в нуль. Таким
образом, величиной Qx можно пренебречь по сравнению с Q3> и мы
получаем из C0):
Pt = — А, Р2 = гА.
Отсюда на основании B1) и B1а) находим (включая константу А в
нормировочный множитель Л/):
В нерелятивистском приближении а->■ 0, в->■ 0, и для /?t получается известное
выражение
a R.2 [в согласии с G.34)] обращается в нуль.
В заключение исследуем зависимость собственной функции ф от
величин 1, для чего будем исходить из представления A9).
Если по формуле G.18) выразить показательные функции через синусы
и косинусы, то оказывается, что первые два члена A9) содержат (и притом
линейно) только гиперкомплексные единицы
*> Tfia1 Tsi* Tfaa*

§ 8] КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ УРОВНИ ТОНКОЙ СТРУКТУРЫ 249
Таким образом, эта часть функции <|> принадлежит к группе кватернионов.
В двух последующих слагаемых содержатся гиперкомплексные единицы,
получающиеся из только что названных умножением на ft:
Ts» Tm> Ti> Та*
Совместно с предыдущими они образуют группу бикватернионов, к
которой благодаря умножению справа на делитель нуля 1+Т* привелась
исходная группа, построенная на всех'16 единицах.
Это приведение можно довести до конца, заменив в A9) 1+Т* на
делитель нуля Г из E.30). Поскольку функция <|> ещё не нормирована, такая
замена вполне возможна и не требует для своего обоснования никаких
дальнейших рассуждений. Как мы знаем (см. стр. 210), при этом благодаря
наличию в Г множителя 1 -f- 'fio, число содержащихся в <|> гиперкомплексных
единиц будет уменьшено ещё в два раза. Именно к этому мы и стремимся.
Обозначая для краткости (м+т)? или соответственно (т—у)? сим*
волом а, мы получим:
е-ъ* A -f /Tf12) = (cos a — Тга sin a) A + /т12) =
= ТиГТи*A + 'Та) = Тм«+|в О + 'Tia)-
C2)
Как видно из C2), при таком приведении в собственную функцию впервые
вводится мнимая единица, но зато fig исключается из показателей степени.
Формула A9) принимает вид:
г,
C3)
C3а)
8то представление во всех существенных чертах совпадает с данным Зауте-
ром *). В фигурных скобках здесь фигурируют только гиперкомплексные
единицы из подгруппы кватернионов, построенной на ft и щ
L Ti» T».
Каждая из них множится на функцию,
функции мы обозначим через
Ти-
не зависящую от величин f, эти
4-4-
<34>
») См. формулу A2) первой работы, цитированной иа стр. 215. В качестве индекса
шаровой функции у Заутера фигурирует не —k, a k — 1 [в согласии с нашим
условней в G.24)]. Однако если пользоваться символом •-&, то симметрия формул
выявляется гораздо ярче. Следует указать также иа более позднюю работу Заутера
в Zs. f. Phys. 97, 777 A935).

250 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Таким образом, вместо одной дираковской функции C3) можно говорить
о четырёх функциях C4). Тем самым устанавливается связь с
рассматриваемой в дополнении 13 обычной формулировкой теории Дирака, в которой
волновые функции изображаются четырёхрядными матрицами. В этом смысле
мы можем записать <|* в виде:
Ф = № + ТА + ТА + Т«Ж) Г- C5)
Очевидно, функции tylt..., ф4 зависят ещё от конкретного вида матриц,
которые раз и навсегда выбираются для представления делителя нуля Г,
осуществляющего приведение полной группы гиперкомплексных единиц.
Так же как о четырёх дираковских функциях, обычно говорят о четырёх
не содержащих величин f дифференциальных уравнениях Дирака. С нашей
точки зрения они получаются, если на делитель нуля помножить само
уравнение Дирака G.1):
КТ, grad) -V + ft4ft4 + k0) ад Г = 0. C6)
В качестве ty сюда надо подставить выражение C5). Прежде всего из
выражения в квадратных скобках можно исключить f4. Для этого надо
перенести ft направо от ^ и объединить с множителем 1+к4 в Г:
Ь i'W + Т А + ТзФв + ТиФ4) Г = № — ТА - Т8% + TtAJ Г. C6а)
Далее, слагаемое в квадратных скобках, содержащее f2, можно
преобразовать следующим образом:
Представим величину Tf2 в виде:
Та = — 'Tt(<Tia)>
и первый сомножитель введём под знак круглой скобки, а второй — внесём
-в Г. Тогда получится:
<Ъ+тА+тЖ—TiA>r.
Таким образом, вычисляя ещё выражения Tijdr и T»5j"> мы получаем:
^ ^ . C66)
Приравнивая нулю в отдельности коэффициенты при 1, ?i> fs> Тп> П0ЛУ"
чаем из C6) и C66):
C7)

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА. ПРАВИЛА ОТБОРА
251
Таким образом, задача действительно свелась к системе четырёх
дифференциальных уравнений, не содержащих величин -р Отсюда определяются
неизвестные функции <|>t %. При этом в соответствии с G.2) следует
положить в C7):
C7а)
Аналогичные уравнения получаются и в общем случае, когда
присутствует векторный потенциал и силы зависят от времени (при этом только
войдут ещё производные т— 1. Однако эти уравнения трудно обозримы и
к тому же их вид зависит от специального выбора делителя нуля Г (или,
что то же самое, от выбора матриц, представляющих величины ?); выбор же
этот можно осуществить весьма разнообразными способами. Именно по этой
причине мы предпочли, следуя Заутеру, оперировать с абстрактными
величинами 1, лишь в самом конце производя приведение их.
§ 9. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА. ПРАВИЛА ОТБОРА
Запишем решение уравнения Дирака в виде (8.35), подставляя в качестве
4*i> • ■ • > "W их значения из (8.33). При этом для удобства мы будем впредь
вместо Р_к (при &>0, см. стр. 234) писать Я*_1 и введём вещественный, не
содержащий величин f нормирующий множитель N. Мы имеем:
. A)
"-? (""^
B)
Здесь Rt и /?а суть вещественные и не содержащие множителей f функции,
определяемые формулами (8.21), (8.30) и (8.29); под Г понимается
нормированный к единице, самосопряжённый делитель нуля E.30), в котором
сомножители коммутируют друг с другом. Волновая функция <Ь, сопряжённая
с <!>, составляется по правилам C.10а, б): в ty изменяется на обратный
порядок следования множителей f и изменяются знаки у /, iv та, ia. Таким
образом,
ф = NT {£- ъ£ - Ъ£ + Tl8->;}. C)
D)
Da)
В основу всего последующего полагается четырёхмерный вектор C.6):
определяющий в соответствии с C.14) ток и плотность частиц:

252 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Зависящие от времени волновые функции и и v, фигурирующие в D),
могут принадлежать, вообще говоря, различным (но стационарным)
состояниям. Положим: _
и = <^-<"»*, v = ye+iatt, E)
где функция <1* даётся формулами A) и B), а х — выражением C), в
котором только надо заменить <!?[ <|£ на Х*> • • • • xl- Нормирующие
множители при функциях <j) и у обозначим соответственно через Nt и Afa.
Выражения для тока и плотности, которые получаются в результате
приведения, уже выписывались нами в § 5 [формулы C6)—C9)]. Опуская
временной множитель ei{m'~a>)t и делитель нуля Г, мы имеем в соответствии
с E.36) и E.39):
Р = NtN%fflt+ /& + Х& + Х&). F)
У, = teNtNt (у*% - *& - Х;ф4 + у^з). G)
Далее, комбинируя подходящим образом E.37) и E.38), находим:
\ (8)
Из структуры этих формул явствует, что если поменять местами х и <|>
(т. е. начальное и конечное состояния), то
р-р*. У,-Л' У, =*</,-•• С/, =й'ЛГ- (9)
В частности, отсюда следует, что при совпадающих ^ и у функции р, jlt
/а, у, вещественны (как это уже указывалось на стр. 213).
Основываясь на формуле F), мы получаем, смотря по тому, различны
функции ф и х или нет, условия ортогональности и нормировки собственных
функций. Первое из них в соответствии с C.9) имеет вид:
dx=O. A0)
Исследуем его подробнее, рассматривая по отдельности содержащиеся в dx
интегралы по <р, x = cos& и г.
а) Пусть зависимость функций ф и ^ от угла <р характеризуется
квантовыми числами щ и т.2, причём щ ф щ. Тогда во всех четырёх слагаемых
в F) содержится множитель
который даёт нуль при интегрировании по <р. Таким образом, в данном
случае выполнение условия A0) обеспечивается зависимостью ^ и ^ от <р-
б) Пусть теперь тх = щ, но kx Ф Лд. Тогда в F) будут содержаться
произведения
или
которые дают нуль при интегрировании по х в пределах от — 1 до -f-1.
Следовательно, в данном случае выполнение условия A0) обеспечивается
благодаря зависимости ф и yw от угла Ь.
в) Положим теперь т1 = т%, kt = k2, но будем считать различными
квантовые числа пг, характеризующие радиальные части функций ф и X

§ 9] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА. ПРАВИЛА ОТБОРА 253
(в отличие от Rt и /?а радиальные функции, соответствующие х> обозначим
через Tt и Т£. Тогда
J p * = 2*^3 {(ft+ft) J Г^г9 dr + (ft+ft) J*:
Г *"—7 Г *"—о / i \9
A = J [^*_, (*)]•"*. P^) \PkJ {x)\*dx(-k-m + j) ,
где
ft =
На основании A.9.30) мы имеем:
j , j a* — 2/+1 (/_
откуда после простого преобразования факториалов находим:
Таким образом,
р dz = 4«Л^ЛГ, -) ff- G^/?! + 7Vy /• dr. A1)
Отсюда на основании A0) мы получаем следующее условие ортогональности
радиальных дираковских функций при одинаковых m и k:
= 0. A2)
г) Пусть теперь совпадают и радиальные квантовые числа, так что
Tt=*Rv Га=/?а и Ni^N^^N. Тогда равенство A0) следует заменить
условием нормировки C.12):
/рА—1. A3)
Разобьем нормировочный множитель N на два сомножителя, один из
которых Nuy обусловлен угловой зависимостью функции <|>, а другой Nr—
радиальной. Тогда в силу A1) и A3) мы получаем:
A4)
В дополнении 8, пользуясь методом Крамерса, мы вычислим Nr для случая
непрерывного спектра. Непосредственное вычисление с использованием
представления Rt и /?а в виде гипергеометрических функций оказывается довольно
утомительным *) (см., в частности, формулу C8) цитируемой работы).
1) К. В ее her t, Ann. d. Phys. 6, 700 A930).

254
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[ГЛ. IV
При выводе формулы A1) мы считали k положительным. Если &<0,
то вместо k в качестве индекса шаровой функции будет фигурировать
|й|—1, а вместо 6—1 —\k\\ множители же ±k — «Ч-тт в B) останутся
без изменения. В результате в формуле A1) (а потому и в A4)] вместо k
появится | k |.
Сделаем ещё одно замечание о сферической симметрии плотности р в
5- и /^-состояниях [первое из названных обстоятельств известно нам ещё
из теории Шредингера (см. стр. 82), но о втором нельзя даже говорить
в рамках теории, пренебрегающей спиновым расщеплением]. 5- и А/.-термы
соответствуют следующим квантовым числам [см. таблицу на стр. 242 и
формулы (8.20)]:
S-терм
Р1/§-терм
k
+.
— 1
0
1
J
1
т
1
2
m
Пользуясь этими вначениями и полагая х =
(для определённости принимаем m=-|--jj:
мы получаем из B) и (в)
Ho
и потому
т. е. зависит только от г. То же самое получается и при л* = — -=-.
Перейдём теперь к правилам отбора. В соответствии с общим
методом гл. I [формула A.8.13)] надо вычислить вектор-потенциал А,
созданный данным распределением токов. Интересуясь только собственными
функциями, принадлежащими дискретному спектру (случай А на стр. 57), мы
вправе пренебречь «фактором запаздывания». Однако мы не будем [как
в A.8.17)] переходить к матричным элементам, работать с которыми в
теории Дирака формально сложнее, чем с компонентами А. Последние, в силу
A.8.13), пропорциональны
fjdx, j=jlt
' — Ti» Тг> Те*
A5)
Займёмся сначала третьей составляющей A5), двигаясь шаг за шагом,
как и при рассмотрении условия ортогональности.
а) Пусть состояния ф и •/ характеризуются квантовыми числами т1 и
щ. Тогда зависимость всех четырёх слагаемых в G) от <р даётся одним и
тем же множителем
При интегрировании по <р это даёт нуль. Следовательно, должно быть
щ=.т2, т. е. Д» = 0. A6)

§ 91 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА. ПРАВИЛА ОТБОРА 255
б) Пусть теперь щ = щ; числа kx и k.2 будем пока считать
положительными. В формулу G) входят произведения вида
Pg,_t/^ или 1%-^, ? = т±±. A7)
При интегрирований A7) по x = cosO отличный от нуля результат получается,
только если
kq = k1±l, т.е. Aft = =tl. A8)
в) Положим т1 = тй, kl = k, k3 = k-\-l; радиальные функции,
соответствующие х> обозначим попрежнему через Ту и Г3. В данном случае при
интегрировании по х второе и третье слагаемые в G) дают нуль, так как
содержат шаровые функции с различными нижними индексами. В другие же
два слагаемых входят одинаковые шаровые функции; поэтому мы получаем:
J
a*—
Эта формула справедлива для переходов k^±k-\-\. Вероятность другого,
возможного согласно A8), перехода k^±k—1 получится отсюда заменой к
на k — 1.
г) Результаты пункта б) ещё не являются полными, так как мы
предполагали kt и k.3 положительными. Если кх и ka оба отрицательны, то
формулы A8) остаются в силе, только надо заменить k на |£|—1. Однако
может случиться, что, например, k.2<0, *t>0. Тогда произведения A7).
надо писать в виде:
ЯЙ,_1П*,|-1 и РГыЯЙ,. ? = т±±.
При интегрировании этих выражений по х отличный от нуля результат
получается, если
l l т. е. Д|Л|=0. A8а>
(В такой форме записи одновременно учтён и другой возможный случай:
kt < 0, £3>0.) Вместо A9) мы получаем теперь:
p.*—
X
Прежде чем переходить к обсуждению полученных результатов,
рассмотрим еще, что дают компоненты jt и /3, взятые в комбинации /t ± iji
[уравнение (8)].
а') Зависимость обоих слагаемых в (8) от угла <р определяется одним.
и тем же множителем
(верхний знак—для первого уравнения (8), нижний—для второго).

256 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ТУ
Следовательно, интегрирование по <р даёт отличный от нуля результат
лишь при условии
/яа = /я1±1, B0)
причем верхний знак относится к первой из формул (8), нижний — ко второй,
б') Пусть kt и А9 положительны; т1 = т, /»2 = /и-|-1. В формулах
(8) фигурируют следующие произведения:
При интегрировании по х не исчезают только те из них, в которых
k^^k^l, т. е. ДА = ±1. B1)
Здесь двойной внак относится к обеим формулам (8).
в') Положим /»! = /», та=*т-\-1, kx = k, A2 = A-j-l. Из первой
формулы (8) мы получаем (принимая во внимание, что одно из слагаемых даёт
нуль при интегрировании по х):
ffii'+'+7J! f B2)
'+'+7J! f
_m__j| J
Аналогично вторая из формул (8) даёт (при тх — т, щ*=*т—1):
B2а)
Для других возможных по B1) переходов в этих формулах следует поменять
местами k и k— 1.
г') Если оба числа kt и Л2 отрицательны, то сохраняется в силе
правило, данное в пункте г) (замена k на \k\ — 1). Если же kt и ftg имеют
различные внаки, то справедливо правило отбора A8а), а не B1). В этом
случае мы получаем:
J
B3)
J ах-*Л)*=4*<СЛуУа|***~У^ J (^ + 2^L)r«dr. B3a)
Резюмируем теперь все, что мы узнали до сих пор о правилах отбора.
Для магнитного квантового числа m правила отбора A6)- и B0)
оказываются такими же, как и в теории Шредингера (II.5.2а), а именно:
Дот = 0 или Am==tl. B4)
Равным образом остаются в силе и прежние утверждения относительно
поляризации излучения (определяющейся тем, к каким составляющим
относятся формулы B4); только здесь идёт речь о компонентах
вектор-потенциала, а в теории Шредингера — о матричных элементах). То
обстоятельство, что в данном случае числа щ и щ — полуцелые, никак не

§ 9] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВКА. ПРАВИЛА ОТБОРА 257
сказывается на правилах отбора, так как в последние входит лишь
разность Д/и.
Далее, правила отбора A8), B1) для дираковского азимутального
квантового числа к совпадают с прежними правилами (II.5.2) для /, коль скоро
кх и k^ имеют одинаковые знаки. Действительно, тогда, в силу (8.2),
к = 1-\-1 (при А > 0) и — k = l (при к<0), так что в обоих случах мы
имеем:
Д* = Д/=±:1. B5)
Однако, кроме A8) и B1), появляется еще иовое правило отбора A8а),
о котором в теории Шредингера нельзя было бы даже поставить вопроса,
так как там азимутальные квантовые числа всегда положительны. Речь идет
о комбинации состояний с различными знаками kt и /%. В этом случае мы
имеем:
Д|/г| = О. B5а)
Будучи переписано в терминах азимутального квантового числа /,
равенство B5а) приводит, как мы сейчас покажем, к прежнему условию A/ = =t 1.
Однако различие между B5) и B5а) выявляется, если кроме / ввести еще
квантовое число J, характеризующее полный момент количества движения.
Положим в соответствии с (8.12)
7Ч*|-т. B6)
Тогда
^ при *>0.
У = I — -я- при к <С 0.
В случае B5) из условия А/ = ± 1 отсюда следует (как при
положительном, так и при отрицательном к) Д/ = ±1. В случае B5а) положение
иное. Пусть, например, fy^k'^Q, k$ =—А<0. Тогда lt-\-1 = к = /,,
и мы получаем попрежнему:
но вместе с тем, в силу B6), Jt=ja*=*k — -j- и, следовательно,
А/ = 0.
Аналогично, хотя в случае kx =—Д<0, к^ = к > 0 Д/ оказывается
равным — 1, для J попрежнему получается:
А/ = 0.
Соответственно вместо B5) и B5а) можно написать также:
Д/ = ±1, A/ = d=l, B7)
Д/ = =±1, А/ = 0. B7а)
Таким образом, для чуждого теории Шредингера квантового числа j
получаются следующие правила отбора:
А/ = ±1 или Д/ = 0, B76)
причем последняя возможность соответствует переходу Д|А| = 0 [B5а)], и
обусловлена двойным анаком к в теории Дирака.
17 3». 968. А.

258 ТЕОРИЯ ДИРАКА (ГЛ. IV
Рассмотренные здесь правила отбора и квантовые числа лежат в основе
всей теории спектральных дублетов, а следовательно, также и рентгеновских
спектров атомов. Действительно, все изложенное справедливо не только для
атома водорода, но и для любой одноэлектронной задачи с произвольным
потенциалом V(r). Более того, мы знаем из т. I, гл. VIII, что эти правила
отбора сохраняют свою силу и для мультиплетных спектров.
Одновременно с правилами отбора в наших формулах содержатся в
правила интенсивности спектральных линий (по крайней мере, дли
дублетных спектров). Однако вычисление их завело бы нас слишком далеко.
Поэтому мы отошлем читателя к т. I, гл. VIII, § 9, где приведены
окончательные волновомеханические формулы для интенсивностей спектральных
линий в любых мультиплетах. Следует только сделать одно замечание для
объяснения целочисленного характера отношений интенсивностей. Дело в том,
что различные переходы внутри данного мультиплета отличаются друг от
друга только угловыми квантовыми числами {к, j и, может быть, т);
радиальные же квантовые числа пг и, следовательно, радиальные собственные
функции начального и конечного состояний для них совпадают.
Интенсивности линий определяются нашими формулами A9), A9а) и т. д. Но
последние рационально зависят от угловых квантовых чисел; трансцендентная же
зависимость от радиальных квантовых чисел для всех членов мультиплета
одна и та же [это справедливо и для A9а), как показывает более
подробное исследование]. Следовательно, она выпадает при вычислении отношений
интенсивностей, которые, таким образом, оказываются целыми числами.
| 10. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА
До сих пор предполагалось, что Е < Ео. Это означало, что мы
рассматриваем связанные состояния электрона (энергия связи W==E0— Е).
Рассмотрим теперь свободный электрон, движущийся в поле ядра водородного'
атома (Е > Е^). При этом в части, касающейся угловой зависимости, метод
интегрирования § 7 остается в полной силе. Различие впервые возникает
в связи с асимптотическим поведением радиальных собственных функций
[см. G.36)]. Именно, теперь величина к из G.37) оказывается мнимой, и
потому равным образом допустимы как положительное, так и отрицательное
вначения корня:
Положим, как и в G.38), р = 2кг, выбрав при этом верхний знак у к.
Тогда
p = 2/v, х = 1Уе* — E'U (la>
Здесь х представляет собой волновое число, которое соответствовало бы
энергии Е в случае свободного движения. (Мы пишем х, а не ft, так как
последнее обозначение надо сохранить для дираковского азимутального
квантового числа.) Действительно, при У=0 из формулы A.4) для энергии
вытекает:
p = n* = jVE2 — El. B>
Представляя, попрежнему, радиальные собственные функции в виде G.39),
мы получим для vx и va прежние уравнения G.40). Следовательно, поведение

10]
НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА
259
собственных функций в нуле, как и раньше, определяется множителем <*л,
причем f дабтся формулой G.42) (с положительным значением квадратного
корня). Таким образом, и в данном случае f оказывается вещественным
числом, которое, вообще говоря, положительно и лишь при А=1 принимает
небольшое по абсолютной величине отрицательное значение. Однако оборвать
ряды для vt и 1>3 теперь уже невозможно. Поэтому ряды в G.41) не
сводятся к полиномам, а представляют собой трансцендентные функции. Именно,
как видно из (8.29), мы имеем здесь вырожденные (конфлюэнтные)
гипергеометрические ряды.
Можно сказать, что в смысле угловой зависимости набор собственных
функций остается дискретным и при Е > Ео: квантовые числа т и k в этом
случае имеют тот же смысл, что. и при £<£0. Но в смысле радиальной
зависимости собственные функции образуют непрерывную последовательность:
все значения энергии Е~^-Ео являются дозволенными.
Однако довволены не только положительные, но и отрицательные
значения энергии
р ^р
с ^ с0.
Ю*эв
Таким образом, мы имеем две отделенные друг от друга зоны
дозволенных значений энергии, простирающиеся соответственно от — оо до —Ео и
от -\-Е0 до + оо. Заметим, что отсюда не вытекает существование
отрицательных значений энергии в дискретном спектре.
При изменении знака Е величина з в G.43)
превращается в 1/в, в результате чего правая часть
уравнения G.48) (положительная при Е > 0)
становится отрицательной. Но это обстоятельство
несовместимо с положительным значением пг. Таким
образом, дискретных уровней с отрицательной
энергией не существует1). Отвлекаясь от всех деталей
тонкой структуры, схему уровней можно изобразить
в виде, показанном на рис. 16. Аналогичная схема
справедлива и для релятивистского уравнения Шре-
дингера (§ 1) (там только подуровни тонкой
структуры располагаются иначе, чем в теории Дирака).
-£=О
Рис. 1& Энергетически*
спектр атома водорода.
{J*CU1™° "* вэыТомрЖвсё
ур р р р ДИСкретные уровни прак-
Вычбркивая из рис. 16 дискретные состояния, мы тически совпадали бы
приходим, естественно, к схеме уровней для сво-
бодного электрона (причем она оказывается одной
и той же как в случае уравнения Дирака, так и для релятивистского
уравнения Шредингера).
Как показано в левой части рисунка, расстояние между зонами
составляет около миллиона электрон-вольт. Действительно, если заряд электрона
е = 1,6 • 10
= 16 • 10~7
следует:
"**
д
с границей дискретного
спектра Ео
электромагнитных единиц, а 2Е0 = 2 • 0,9 • Ю~а • 9 • 10
эрг, то из условия
eV=2E0
•) Забегая несколько вперед, этот факт можно истолковать следующим образом:
электрон с отрицательной энергией ведет себя, как позитрон, и, в частности,
отталкивается or ядра Но дискретны* состояния возможны только, если электрон
притягивается к ядру.
17»

260 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Если представить себе, что эта энергия испускается в виде
монохроматических квантов
Av = A j — 2Е0,
то для длины волны излучения мы получим:
где Хо — комптоновская длина волны. Для сравнения приведем здесь длины
волн наиболее жестких f-лучей:
RaC ThC"
Х = 6,9 и 5,6Х Х = 4,7Х
V=l,8- 10е и 2,2- 10» в V = 2,65-10ee
Само по себе появление отрицательных энергий не должно нас удивлять,
ибо они имеются уже в релятивистской механике точки. В самом деле, при
заданном импульсе р из уравнения B) однозначно определяется только
величина Е2—Е2; для самой же энергии Е получается двузначное выражение
Поэтому и в релятивистской механике точки возможные значения энергии даются
обеими зонами рис. 16. В конечном счете эта двузначность обусловлена,
разумеется, наличием корня "jA—[Р, т. е. она восходит к самым основам
теории относительности (к преобразованию Лоренца).
Однако в классической релятивистской механике дозволенные зоны
энергии отделены друг от друга, и никакие переходы между ними невозможны.
В релятивистской волновой механике такие переходы могут осуществляться.
В течение нескольких лет это обстоятельство казалось серьезной трудностью
теории Дирака, пока, наконец, не выяснилось, что наличие переходов между
состояниями отрицательной и положительной энергии с необходимостью
вытекает из ряда экспериментальных фактов.
Прежде чем мы сможем рассмотреть это более подробно, надо несколько
глубже изучить природу собственных функций непрерывного спектра.
Вернёмся к формуле (8.33), изображающей собственные функции в уже
приведенной форме, и, вводя необходимый нормирующий множитель N, пере-
лишем ее в виде:
D)
В фигурных скобках адесь стоят в точности те же выражения, что и в
соответствующих местах формулы (8.33). Равным образом можно воспользоваться
и известными уже аналитическими выражениями для Rt и /?а [(8.21), (8.20),
•(8.29)]. Мы имеем:
где j^ = j/^s9 — оАг8 , константа А дается формулой (8.28а):
D6)
Ft = F{-nr+l, 2/+1, р). j

§ 10] НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА 261
Следует только иметь в виду, что в данном случае величины р и в являются
чисто мнимыми, а число пг в соответствии с (8.286) — комплексное. Помимо пг
мы будем пользоваться также и числом я = пг+]Л В непрерывном спектре
эта величина, заменяющая здесь главное квантовое число, является, в силу
(8.28в), чисто мнимой; при этом в соответствии с условием, принятым в
уравнении A), она имеет отрицательную мнимую часть в области положительных
энергий и положительную — в области отрицательных энергий.
Функции F и Fi удобнее всего представить в виде интегралов по
двойным петлям [см. дополнение 16, формулу G)]:
F = С <f в""»-1 A — а)81Ли1(У* du,
Dв)
du.
Константы С и Ct определяются формулами F) дополнения 16, причем там
надо положить
« = — пг, т = 2"|/" —|— 1 и соответственно в = — »г+1. ^ = 2^+1.
Рассмотрим прежде всего вопрос о вещественности радиальных
собственных функций. В то время как в дискретном спектре Rt и /?2 были
по-настоящему вещественны, в непрерывном спектре они являются вещественными
«в существенной части», т. е. с точностью до (общего для них обоих)
постоянного фазового множителя. В этом можно убедиться, полагая р = 0.
Тогда
1
Поэтому (мы выписываем явно только невещественные множители)
— I 1-1-V^ $* лГ
/?!-«* ( \\— А), /?2~в»КA+Л). E)
Но | А | = 1 в силу (8.28а). Действительно, рассмотрим, например, первое
на данных там представлений. Квадрат абсолютной величины числителя будет
(в — чисто мнимая величина, поэтому e8 = — lei9):
а это как раз совпадает с квадратом модуля знаменателя. Таким образом,
можно написать:
А = е-*ь, Eа)
и тогда формулы E) принимают вид:
_ _ ■£■ (-i+K)+fa
К* ~ 2е 3 cos в,
E6)
/?8~2«а ' sine.
Однако, поскольку дифференциальные уравнения G.33) линейны и
коэффициенты в них вещественны, из поведения функций Rt и /?9 в нуле следует
их «вещественность в существенной части» во всей области определения,
причем фазовый множитель будет тем же самым, что и в E6). Мы
дополнительно убедимся в этом, исследовав в дополнении 16 [формула A5)] асимпто-

262 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
тическое поведение Rt и /?8. Там будет независимыми путем получен тот же
самый фазовый множитель.
Перейдём теперь к определению нормирующего множителя N в
формуле D). Как и раньше, расщепим его на два сомножителя: Л/»,, и Nr.
Значение первого из них дается формулой (9.14); относительно же Nr
следует заметить, что по соображениям сходимости в непрерывном спектре
вместо фигурирующего в (9.14) интеграла
оо
J
F)
о
надлежит в соответствии с (II.8.10а) рассматривать выражение
Х= lim f r*dr {(R'l^ + tiiRJdx'. Fa)
V°°0 A»
Здесь rg представляет собой радиус «большого шара», Ах — интервал, в
котором лежат оба волновых числа *) х и х', соответствующих Rv Ra и r[, Rrs.
Заметим, что по образцу (II.8.10а) следовало бы, собственно говоря, вместо R[
и R'i писать в Fа) Ri* и /?". Однако, поскольку радиальные собственные
функции, как мы только что видели, «в существенной части вещественны»,
этим обстоятельством можно пренебречь. Постоянные фазовые множители
войдут тогда в Nr. Правда, нормирующий множитель становится
комплексным, но это не только не представляет никаких неудобств, но, наоборот,
даже несколько упрощает дальнейшие выкладки.
Нам предстоит теперь найти аналог тождества Грина (II.8.6), которое
в своё время позволило нам провести интегрирование по г, пользуясь только
асимптотическими свойствами радиальных собственных функций. Для этой
цели рассмотрим дифференциальные уравнения G.33) для функций /?х и /?2,
соответствующих собственному значению Е, а также выпишем аналогичные
уравнения для R\ и R2 (при собственном значении £0- Умножим эти четыре
уравнения последовательно на
ft сложим их почленно. При этом величины V, Ео и к, будучи во всех
четырёх уравнениях одинаковыми, выпадут, и мы получим в правой части
равенства:
В левой же части будет стоять выражение
которое при умножении на г9 превращается в полную производную
у г» (*!**— /?lfla).
1) В гл. II волновые числа обозначались посредством At и k$ здесь же нижние
индексы следует сохранить для различения радиальных функций Rt и /?»

§ 10] НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА 263
Таким образом, мы получаем искомый аналог формулы Грина:
J (/?!/?! + /?2/?9) г» dr = -^-^ г» (R[R9 — RtRi). G)
Подставим сюда указанные в (ба) пределы интегрирования @ и гд). Тогда
правую часть можно вычислить, пользуясь асимптотическим представлением A5)
дополнения 16. Мы получаем:
Аргументы р и р' в правой части равенства относятся соответственно к
волновым числам х и х'; многоточиями обозначены члены вида |л|1п|р|—8 (см.
дополнение 16). После тригонометрических преобразований это принимает вид:
. G.)
При х'->х первый член в фигурных скобках становится сколь угодно малым
ПО сравнению со вторым.
Далее, имея в виду тот же предельный переход, можно, положить:
а перед скобкой в соответствии с Aа) можно написать:
Однако в аргументе синуса (во втором слагаемом в фигурной скобке) надо
писать аккуратнее:
При этом члены, обозначенные в Gа) многоточиями, оказываются для даль-
нейшего несущественными. После всех этих упрощений правая часть Gа)
принимает вид (при г = Гд):
(8)
Воспользуемся теперь, как и на стр. 110, известным равенством
ь
F (х) sin rgx Щ — tlF (О) при гд -*■ оо.
—а
В применении к (8) положим:
На основании Aа) имеем:
d* 1 Е Е_
dE — be i/rf—S ~" h*cb.'

264 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. ГУ
Таким образом, формулы Fа), G), Gа) и (8) дают нам:
у itffl | t | Е (П\
—he*» "> *'
или, если подставить значение В [см. дополнение 16, формулу A6)}:
'e—Hti.^fa+fcK. (9a)
к|е|£| r/oi/j_n S
Нормирующий множитель Л£, как и в (9.14), дается обратным выражением:
" «-W. (Ю)
Из сопоставления A0) и E6) сразу явствует, что обе нормированные
радиальные собственные функции N^R± и NrRa являются вещественными, так
как мнимые фазовые множители в них сокращаются. Мы ещё воспользуемся
этим обстоятельством в дальнейшем, например, в дополнении 8.
Все изложенное справедливо не только для верхней, но и для нижней
зоны непрерывного спектра, т. е. для состояний с отрицательной энергией
(в последнем случае надо только изменить знак у мнимого главного
квантового числа л).
Теперь возникает вопрос о возможности спонтанных переходов электрона
из основного (или какого-нибудь возбужденного) состояния водородного атома
в состояния с отрицательной энергией. Если вероятность такого перехода
окажется конечной, то водородный атом будет неустойчивым, и, в частности,
его основное состояние не будет заслуживать своего названия.
Соответствующие вычисления производятся (с использованием полученных
ранее выражений для собственных функций) по формулам § 9, где мы уже
нашли интегралы по углам от компонент вектора тока. Следует только иметь
в виду, что в данном случае необходимо учитывать фактор запаздывания,
В результате полная вероятность перехода (которая получается
интегрированием по всем состояниям отрицательной энергии) оказывается столь
большой1), что время жизни основного состояния должно было бы составлять
всего около 10~9 сек. Иначе говоря, атом водорода оказывается совершенно
неустойчивым. Прежде чем мы познакомимся с радикальным средством,
предложенным Дираком для устранения этой нестабильности, надо обратить
внимание на следующее обстоятельство.
Переход в состояния с отрицательной энергией возможен только в поле
ядра водородного атома: если устремить заряд ядра к нулю (т. е. перейти
к случаю свободного электрона), то и вероятность перехода обращается
в нуль. Это утверждение справедливо не только для переходов с
положительных уровней на отрицательные, но также и для переходов между
состояниями с положительной энергией в соответствии с тем очевидным фактом,
что пучок катодных лучей сам по себе никоим образом не переходит в
состояние с меньшей энергией, испуская разность энергии в виде излучения,
(Последнее означало бы спонтанное испускание рентгеновских лучей
электронным пучком, беспрепятственно, т. е. без всякого торможения,
движущимся в вакууме!) Однако поучительно вывести этот результат из наших
формул. Этим мы сейчас и займемся (нижний уровень может соответствовать
как положительной, так и отрицательной энергии).
1) J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 35, 939 A930).

§ 10] НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА 265
Пусть свободный электрон в более высоком состоянии (с волновым
числом к и энергией Е) описывается волновой функцией в, а в более низком
(с волновым числом к' и энергией Е') — сопряженной волновой функцией v;
как и, так и v можно взять из E.45). С другой стороны, мы можем
выделить временной множитель, полагая подобно E.33) и E.34):
[Мы пользуемся здесь тем же делителем нуля Г = -^ A -+- /fta) A + т*)> который
фигурирует и в E.45).] Выполняя приведение в A1) и сравнивая результат
с E.45), мы получаем, опуская все общие множители:
*Р Ъ. fc. *4=»'(*4 + **0. *! — '*•• *•• 0) **»*».
X*. xl X». xJ-'^H-^o. — *i + '*J. —*i.0)e-«t*.i
Вычислим, например, излучение, обусловленное (,Д-|-//^-компонентой тока.
Для этого надо воспользоваться формулой (9.8), вводя в неб дополнительно-
существенный в данном случае фактор запаздывания
«-«<«.«■), * = у« A3)
(здесь л — единичный вектор в направлении распространения волны, X — длина
волны излучаемого света). Мы получаем:
U = J Ut + Уа) Л = С J в* »-*• -«.«•) л, A4)
где
С = 2/dVxJVa (fti — /*£) (*4 + Mo).- О 4а)
Однако интеграл A4) очевидным образом расходится. Чтобы сделать его-
сходящимся, надо (как и при нормировке волновых функций) «размазать»
хотя бы одно из волновых чисел к, к', т. е. проинтегрировать по
некоторому конечному интервалу значений волнового числа.
Мы, однако, предпочтем вместо этого заменить одно из волновых чисел
(скажем, к) волновым пакетом удобного (например, гауссовского) вида. Таким
образом, заменяя в A4) k на АГ. мы вводим еще дополнительный интеграл
по «пространству волновых чисел»
f
A5>
Полагая g достаточно большим, можно добиться того, чтобы центр тяжести
пакета лежал сколь угодно близко к точке К = к. (Это мы и сделаем после
выполнения интегрирования.) Очевидно, величина (АГ—АK представляет собой
квадрат расстояния между точками АГ и к в пространстве волновых чисел АГ.
Таким образом, мы пользуемся волновым пакетом не «прямоугольной» формы
(единица в интервале ДА и нуль вне его), как при нормировке, а выбираем
его в виде гауссовой кривой ошибок. Этот метод окажется полезным нам и
в дальнейшем (при рассмотрении эффекта Комптона).
Итак, мы получаем вместо A4) сходящийся интеграл
U = C\lm (dx f dKe-ШК-кГе*<*-*-*•*) A5а)

266 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Выражение A5а) представляет собой шестикратный интеграл типа Фурье.
Вычисляя его с помощью теоремы Фурье [см., например, (III.7.3)], находим:
t/ = Bit)8C lim в-<д»'+»-»>-, A6)
17-Ю0
т. е. U = 0, если только не выполняется соотношение
ft = ft/-hx. A7)
Будучи умножено на Ъ, равенство A7) представляет собой, очевидно,
не что иное, как закон сохранения импульса.
Однако хорошо известно, что в данном случае (один свободный
электрон в начальном состоянии, свободный электрон и фотон — в конечном)
закон сохранения импульса несовместим с законом сохранения энергии. В этом
можно убедиться, например, следующим образом. Согласно A7), волновые
векторы k, ft' и х образуют треугольник. Следовательно, их абсолютные
величины должны удовлетворять теоремам о сумме и разности сторон
треугольника, а именно:
'x, k — ft'<x.
Возводя эти соотношения в квадрат, получаем неравенства:
почленное перемножение которых даёт:
(ft9 + *'2 — х9)9 — 4Л9*'* < 0. A8)
Из выражений для энергии электрона в начальном и конечном состояниях
находим:
йясв#» = £а —EJ, {ррь* = £'•_£*; A9)
для фотона закон сохранения энергии даёт:
Е — E' = h-* = hcx,
или после возведения в квадрат
Л9Лс« = (Е — £')а. B0)
Подставим теперь A9) и B0) в A8). После соответствующих
преобразований находим окончательно:
ЕЦЕ-E'f^ О,
что, очевидно, невозможно. Полученное противоречие означает, что
равенство A7) не может выполняться и, следовательно, U = 0.
Возможность такого спонтанного перехода в атоме водорода обусловлена
тем, что в этом случае в процессе участвует еще атомное ядро, которому
связанный электрон может передать избыток своего импульса. При этом
в силу закона сохранения импульса ядро испытывает отдачу.
Рассматриваемое явление можно сравнить с ускорением химических реакций при
гетерогенном катализе, которое тоже основано на изменении полного импульса
системы благодаря наличию внешних сил.
Нельзя ли просто исключить из рассмотрения столь роковые для
связанного электрона уровни отрицательной энергии? Но ведь они образуют пол-

§ 10] НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА 267
ную систему на равных правах с положительными уровнями и, следовательно,
соответствующие им собственные функции не менее других необходимы для
представления самого общего состояния. Например, при рассмотрении задачи
о рассеянии света было показано1), что, для того чтобы получить из теории
Дирака правильную формулу Релея, необходимо учитывать состояния с
отрицательной энергией. Соответственно все попытки видоизменить уравнение
Дирака так, чтобы исключить отрицательные уровни, обречены на неудачу.
Следовательно, вопрос может стоять только о том, чтобы сделать эти
уровни «безвредными». Путь к решению был указан Дираком,
предположившим, что все уровни отрицательной энергии уже заняты электронами. Тогда
по принципу Паули переход в эти состояния запрещен и устойчивость атома
водорода обеспечена!
Однако, чтб если мы сумеем искусственным путем извлечь один из
электронов из мира отрицательных уровней в состояния с положительной
энергией? Это может случиться, например, при фотоэффекте, если только частота
возбуждающего света достаточно велика3). Выше уже отмечалось, что
энергия hi наиболее жестких f-лучей превышает 2£0, и, следовательно, они
способны совершить необходимую для перевода электрона в верхнее состояние
работу. Тем более способны на это фотоны, содержащиеся в космических
лучах. В результате рассматриваемого процесса в системе уровней
положительной энергии появится новый электрон (так, как если бы он был «создан»).
Но это — не единственный результат. Произойдет и еще кое-что, а именно:
на одном из уровней с отрицательной энергией появится дырка. Спрашивается,
как она будет вести себя и какие действия она будет производить? Мы
утверждаем, что эта дырка подобна положительно заряженному электрону.
Общее доказательство этого утверждения состоит в следующем.
Напишем в векторной форме уравнение Дирака B.4) для стационарного случая:
в = фе • . B1)
Мы имеем:
Здесь' Vt означает потенциальную энергию единичного заряда, т. е.
представляет собой не что иное, как скалярный потенциал (обычно обозначаемый
буквой <?). Мы предполагаем, что в (I) Е>Е0 (верхняя энергетическая зона)
и е < 0 (обычный отрицательно заряженный электрон).
1) J. Waller, Zs. f. Phys. 61, 837 A930).
*) Следует добавить ещё: «и если иа электрон действует достаточно сильное
поле со стороны атомного ядра». Роль последнего, как и при обычном фотоэффекте
(см. гл. VII), состоит в обеспечении сохранения импульса. В самом деле,
постулируемый здесь процесс можно рассматривать как обратный спонтанному переходу
электрона из состояния с положительной энергией (безразлично, связанного или нет) на
отрицательный уровень, причём испускаемая энергия соответствует энергии кванта,
поглощаемого при фотоэффекте. Как при любом спонтанном переходе, так,
следовательно, и при обратном ему фотоэффекте наличие внешнего поля необходимо для того,
чтобы выполнялся закон сохранения импульса. Мы убедимся в этом без всяких
вычислений, рассматривая частный случай, когда энергия фотона ftv лишь незначительно
превышает 2Ео (т. е. как раз достаточна для создания энергии покоя пары «электрон-(-
-f позитрон»). Тогда для кинетической энергии частиц не остаётся практически ничего,
и, следовательно, они ие могут воспринять импульс фотона, равный —<~2/лоС. Лей-
с
ствительио, для этого, по крайней мере, одна из частиц должна была бы двигаться
со скоростью, близкой к с.

268 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Изменим теперь знак у е, т. е. будем рассматривать вместо обычного
отрицательно заряженного электрона гипотетический «позитрон». Волновую
функцию последнего обозначим посредством <|»+. Из уравнения (I) мы
получаем тогда:
(( £)Ч?Й-о. (И)
((т
С другой стороны, рассмотрим обычный электрон в состоянии с отри-,
цательной энергией; волновую функцию его обозначим через <]*'• Изменяя
в (I) знак у Е, находим:
Это уравнение по существу совпадает с A0- Слова «по существу» должны
означать, что A0 и (III) отличаются друг от друга лишь знаками при т4 и /.
Поскольку, однако, величины т=(у> fj и f' = (y, —fj, равно как / и
/' =— /, удовлетворяют одним и тем же правилам умножения, из любого
решения <]>+ уравнения (II) можно получить решение У уравнения (III). Для
этого надо только произвести в <|»+ «несущественную» замену (f, l) на (if', О-
То же самое, что и для собственных функций, справедливо и для
четырехмерного вектора тока, который, собственно, нас больше всего и
интересует. По определению его мы имеем для позитрона:
Г/+ = 1сф+тФ+. ГР+ =
Заменяя здесь (f, /) на (?', /')> находим:
Т/*—1(#ч¥. Гр' М. (V)
Если отвлечься здесь от общего множителя—1, то (V) представляет
собой не что иное, как четырехмерный вектор тока в состоянии <|/ (т. е.
вектор, относящийся к электрону в состоянии с отрицательной энергией).
Но общий множитель (—1) можно включить в делитель нуля, который пока
еще все равно не определен. Таким образом, из (IV) и (V) следует:
/=/+. Р' = Р+- (VI)
Позитрон с положительной энергией Е ведёт себя во внешнем поле Vu
А так же, как электрон в состоянии с отрицательной энергией —Е.
При этом мы допускаем1) (и должны допустить), что когда все уровни
с. отрицательной энергией заняты обычными электронами, последние никак
не влияют на процессы, происходящие в мире положительной энергии.
Чтобы сформулировать это предположение математически, изменим
формально определение плотности (и соответственно тока), положив
(по всем занятым (по всем
уровням ES0) уровняй £<0)
(так называемый «вычитательный формализм»).
]) С этим предложением связана та трудность, что даже в вакууме, когда все
уровни положительной энергии свободны, имеется бесконечно большой заряд,
обусловленный электронами в состояниях с отрицательной энергией. Чтобы исключить
влияние этого заряда (например, иа распространение света в пустоте1), приходится вводить
новые правила вычислений с иим. См., в частности, работы P. A. M. D i г а с, Ргос.
Cambr. Phil Soc. 30, 150 A934) и W. Heisen berg, Zs. f. Phys. 90, 209 A934). Наше
новое определение плотности (VII) составляет только первый шаг в этоы направлении.

НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР ВОДОРОДА. ОТКРЫТИЕ ПОЗИТРОНА
269
В первой сумме суммирование производится по всем занятым состояниям,
Соответствующим как положительной, так и отрицательной энергии; во второй
сумме — по всем состояниям отрицательной энергии — как занятым, так и
не занятым. Первая сумма, взятая сама по себе, являлась бы в соответствии
с формулами теории Шредингера или Дирака естественным выражением для
плотности рассматриваемой здесь совокупности электронов. Однако она
расходится и потому мы вычитаем из неё вторую (также расходящуюся) сумму.
Последняя является постоянной (т. е. не зависит от чисел заполнения) и
сдвигает нуль плотности в конечную область. Для доказательства формулы (VII)
рассмотрим частные случаи.
а) Вакуум — все уровни с отрицательной энергией заняты, все уровни
с положительной энергией свободны. При этом первая и вторая суммы в (VII)
взаимно уничтожаются, и мы
получаем р = 0.
б) Один обычный электрон в со-
стоянии с положительной энергией.
Поскольку все уровни
отрицательной энергии заняты,
соответствующие члены в (VII) взаимно
уничтожаются, и остается, как это и
должно быть, только плотность в
одном (занятом) состоянии с
положительной энергией.
в) Одна дираковская дырка — все
уровни положительной энергии
свободны, все уровни отрицательной
энергии, кроме одного, заняты.
В (VII) остаётся (и притом с
отрицательным знаком — электрона нет!)
только плотность, соответствующая
этому незанятому уровню. Умножая
плотность числа частиц р на заряд
электрона —\е\, мы переходим к
плотности заряда, которая
оказывается равной | е | • | р |, что
формально совпадает с плотностью
заряда позитрона.
Отсюда вытекает сделанное нами ранее утверждение: дираковская дырка
ведбт себя как позитрон. Она будет отталкиваться от протона, при движении
в магнитном поле будет отклоняться в сторону, противоположную
отклонению электрона.
Мы закончим этот параграф рассмотрением документа, которым мы
обязаны исследованиям супругов И. Кюри и Ф. Жолио-Кюри. Речь идет о виль-
соновской фотографии рождения пары «электрон-позитрон» под действием
•f-лучей от ThC", иначе говоря, о настоящем фотографически
зафиксированном процессе «материализации» энергии излучения. Обе частицы внезапно,
в одной и той же точке и в один и тот же момент времени возникают «из
ничего» (из дираковского фона). Электрон, выбитый f-лучами из своего
начального состояния с отрицательной энергией, движется налево, позитрон,
свидетельствующий о наличии дырки в фоне отрицательных уровней, —
направо. Искривление траектории электрона свидетельствует о наличии
магнитного поля; тот факт, что траектория позитрона искривилась в
противоположном направлении, означает, что магнитное поле отклоняет дираковскую дырку
Рис 17. Снимок Кюри-Жолио.
Образование пар ^-лучами ThC".

270 ТЕОРИЯ ДИРАКА |ГЛ. IV
в сторону, противоположную отклонению обычного электрона, т. е. она
действует на дырку как на частицу с массой электрона и противоположный
ему по знаку зарядом.
Исследуя снимок, можно установить, в частности, что скорости обоих
партнёров различны: позитрон получил больше энергии (его траектория мене*
искривлена). Вся кинетическая энергия, переданная обеим частицам, составляет
(см. стр. 259):
— 2mS* = 2,6 • 10е — 1,0 • 10е = 1,6 • 10е ее,
что довольно точно совпадает с суммой энергий электрона и позитрона,
вычисленной по кривизне их траектории. Точно определённой является лишь
эта суммарная энергия; как именно она распределится между обоими
партнёрами, заранее точно сказать нельзя. Заметим только, что при «малой»
полной энергии наиболее вероятно равкомерное её распределение1); если же
полная энергия «велика», то чаще всего один из партнёров оказывается
в предпочтительном положении. От природы ядра, которое неизбежно должно
присутствовать при образовании пары (см. примечание на стр. 267),
распределение энергии между партнёрами, повидимому, заметным образом не
зависит [исследовалось образование пар в воздухе, свинце, алюминии и т. д.3)].
При истолковании рассмотренного фотоснимка массы электрона и
позитрона предполагались одинаковыми. Это предположение было с замечательной
точностью проверено и подтверждено прямыми опытами в прекрасной
работе8) (по отклонению частиц в поле измерялось отношение —). Очевидно,
в дираковской теории дырок это равенство масс необходимо должно
предполагаться.
| 11. ПАРАДОКС КЛЕЙНА
■О. Клейном *) было показано, что при определённых условиях наличие
состояний отрицательной энергии может заметно сказаться на поведении
электронов с положительной энергией, приводя к весьма парадоксальным
следствиям. При этом рассмотренный в предыдущем параграфе фотопереход
электрона из нижней в верхнюю энергетическую зону отнюдь не является
необходимым.
Речь идёт о прохождении электрона через потенциальный барьер. В
рамках теории Шредингера эта задача была рассмотрена в гл. I, § 4. Как и там,
мы будем сначала считать барьер бесконечно крутым. Пусть он начинается
в точке х = 0 (мы ограничимся одномерной задачей). Зависимость волновой
функции от времени пусть определяется множителем
причём Е положительно и Е> Ео.
>) Н. Bethe u. W. Heltler, Ргос Roy. Soc. A146, 83 A934).
*) См. замечавия Жолио иа 7-м Сольвеевском конгрессе (Rapports du 7ШЯ Congre's
;"Solvay, Paris, 1934, стр. 149), а также работу О. Herzog u. P. Scherrer, Journ.
de Phys. 6, 489 A935), в которой описаны наблюдения на вершнне Юигфрау,
подтвердившие теоретические выводы Бете и Гайтлера. Далее в работе Н. КI а г m a n n и.
W. Во the, Zs. f. Phys. 101, 489 A936) описаны наблюдение образования пар в
камере Вильсона, иаполиениой ксеноном и криптоном.
») J. T h I b a u d, Journ. d. Phys. 5 A934).
О. Klein, Zs. L Phys. 53. 157 A929).

§ 11) ПАРАДОКС КЛЕЙНА 271
Положим в уравнении Дирака B.4):
и \ ° х<0'
Ф1 = Ф9 = ф, = 0, Ф4 = *?. — ^Ф4 = { V . 0
Тогда мы получим:
T1g-l4^L'i"=O. (О
Как видно из (I) и A1)> оба эти уравнения действуют только в группе
кватернионов A, flt Tf4, fu).
Будем искать решение (I) в виде:
A)
Тогда А должно удовлетворять уравнению
Отсюда подобно D.5) и D.9) находим:
pt
♦
D)
Равенство C) представляет собой выражение для энергии для области (О
оно полностью идентично D.7):
Частное решение (I) описывает «падающую волну». Помимо него, равным
образом возможно и другое частное решение:
^ = A'e-ika>, E)
изображающее волну, «отражённую» в точке х = 0. Величина А' должна
удовлетворять уравнению, получающемуся из B) изменением знака у к.
Отсюда следует аналогично D):
£±*). F)
Мы ввели ещб постоянный (и не содержащий f) множитель В [в D)
соответствующая величина была по условию нормирована к единице). Равенство C),
естественно, при изменении знака к остается в силе. Общее решение
уравнения (I) представляет собой линейную комбинацию A) и E):
. G)
В области (II) ищем решение в виде:
^ = /4V*'»; (8)
тогда для А" получается уравнение, аналогичное B):
-0. О)

•272 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
В противоположность G) в области A0 следует ограничиться частным
решением (8), так как по условию волн, движущихся из +оо, не имеется.
Как и раньше, в случае C) и D), из (9) следует:
A1)
где С — постоянный множитель, не- содержащий величин ? [см. замечание
после формулы F)).
Теперь надлежит удовлетворить граничным условиям, согласно которым
решения G) и (8) должны непрерывно переходить друг в друга в точке
х = 0..Поскольку, в отличие от уравнения Шредингера, уравнение Дирака —
первого порядка, мы получаем (методом, описанным в гл. I, § 4) лишь одно
условие:
«h = <!fc при х = 0, A2)
А + А' = А". A3)
Однако благодаря наличию величин f это условие расщепляется на два.
Действительно, надо принять во внимание фигурирующий справа в D), F)
и A1) множитель Г. В качестве такового можно взять делитель нуля,
имеющийся в нашей группе кватернионов, положив, например1), Г = -^A+Т*)-
Тогда во всех выражениях для А, А' и А" можно заменить f4 единицей.
Таким образом, объединяя члены, содержащие, с одной стороны, ^Г, а с
другой—Г, можно переписать A3) в виде:
Поскольку коэффициенты при т^Г и при Г должны обращаться в нуль
независимо, мы имеем:
АA-В) = С. £f+^°£o(l+g) = C. A4)
В предельном случае нерелятивистской теории £0-юо, и соотношения A4)
превращаются точно в равенства (IVb) § 4 гл. I.
Таким образом, действительно одно граничное условие A2) эквивалентно
двум условиям (IV) и (IVa) § 4 гл. I.
Исключая С и принимая во внимание C) и A0), мы получаем из A4):
A5)
k Е+Ер а*
Т~ Е — У + Ер а-Ь
— Е + Ео ° а + Ь' „,_ Е-У-Ео
—V + Eo °^~ E—V+Eo;
В то же время из первого или второго равенства A4) следует:
С_ *. 2ft Е + Ер 2а
V а + Ь E—V + Eo а + Ь'
1) Множитель >/| «нормирует» Г к единице, так что Г» = Г. Помимо
делителями нуля в рассматриваемой группе являются также выражения -д- A + Т])
■д- A -f- /ты); в отличи* от первого, однако, они не являются самосопряженными.

§ HI
ПАРАДОКС КЛЕЙНА
273
Рассмотрим следующие частные случаи:
1) V = 0, b = a, B = 0,
о\ 1/ р р и л о 1
Z) V — С — Со, О = U, D ^ 1,
а—1
4) К=оо,
b=\, В =
а+\-
Возводя последнее выражение в квадрат и пользуясь (За), получим
формулу Клейна:
Назовём величину R= \ В |а коэффициентом отражения (подробное
обоснование такого наименования будет дано в дальнейшем). Тогда на
основании A5) имеем:
при
при
V<E-E0 и
A8)
Мы видим, что в области между 1) и 2) коэффициент отражения ведет себя
в соответствии с тем, чего следовало ожидать, — в основном так, как
было описано в § 4 гл. I (при К< W). При
V = 0 не получается, естественно, никакого
отражения, при V=E—Ео отражение
является полным.
Между 2) и 3) лежит область полного
отражения, причины появления которой были
выяснены в гл. I с помощью оптической
аналогии. Во всей этой области ft9 < 0, т. е.
b — чисто мнимое число (в то время как а
вещественно). Соответственно здесь, как уже
указано в A8), /?= 1.
Напротив, в области между 3) и 4)
электрон ведёт себя парадоксально. Здесь и а и
b — вещественные величины и, следовательно,
/?<1: отражение является не полным, а лишь
частичным, несмотря на то, что энергии
электрона Е недостаточно для преодоления
потенциального барьера V> Е-\-Ео. Иначе говоря,
имеется конечная вероятность того, что элек-
Рис 18. Зависимость
коэффициента отражения R и
коэффициента прохождения D от
высоты потенциального
барьера V.
трон проникает в область (И). Но это совершенно непонятно как с точки
зрения классической механики, так и с точки зрения волновой механики
Шредингера (в последней рассматриваемая область соответствует случаю
К-»-со). На рис. 18 представлено поведение коэффициента отражения R
(абсцисса) при увеличении V (ордината).
Чтобы оправдать отождествление коэффициента отражения R с |В|9,
вычислим ток и плотность в падающей и отражённой волне (интерференция
этих волн нас здесь не интересует; точнее, мы имеем в виду только значения
тока и плотности, усреднённые по интервалу, большому по сравнению с
длиной волны). Для этой цели необходимо знать прежде всего сопряжённую
волновую функцию, которую мы обозначим символом ?. Сопоставим ? с исходной
18 Зш. 968. А. Зошерфелъя

274 ТЕОРИЯ ДИРАКА(ГЛ. IV
функцией <{i, имея в виду, что при использовании самосопряженного дели»
нуля- Г =-^-(l-f-
Падающая волна:
теля нуля- Г =-^-(l-f-fi) величину ?« в D) и F) можно заменить единицей.
A9)
| р
тг—- является самосопряжённой.)
Отражённая волна:
■у | р
(Величина q = tkft тг—- является самосопряжённой.)
B0)
Чтобы составить выражение для плотности1)
B1)
заметим, что при перестановке множителей f4 и q (или q*) последний
превращается в tf (соответственно в q). Поэтому
Произведение qq* не содержит величин f. Действительно,
Поэтому мы можем написать:
Рв
О О
Далее, при вычислении тока
1У = /*РТИ' B3)
появляются выражения
и соответственно
от которых при применении справа и слева делителя нуля Г остаются только
части, не содержащие f. Последние имеют вид соответственно:
=р 2ik E+f° — =t ikhcO.
Принимая во внимание наличие множителей £*, В в B0) и ic — в B3),
получаем отсюда:
£}H}- B4)
Формулами B2) и B4) доказывается прежде всего наше утверждение:
/? = |£|". В самом деле, коэффициент отражения R можно определить либо
как отношение плотностей рг: рв B2), либо как (взятое с обратным знаком)
отношение jr:je B4). Сверх того, из B2) и B4) вытекают соотношения:
Л~ч».; h «Рг. B5)
') Вычисления, которые мы здесь производим, очевидно, представляют собой
частный случай общего метода приведения, описанного в & 5 для полной группы,
построенной на 16 гиперкомплексных единицах т. Здесь мы применяем его к более
простой группе кватернионоа

§ 11] ПАРАДОКС КЛЕЙНА 275
где v — корпускулярная скорость электрона, описываемого данной волной.
Действительно, kb = mv представляет собой импульс, а h-=-mci— энергию
падающей и отраженной волн.
Аналогичным образом можно определить и коэффициент прохождения D,
определив его как отношение jd: je (отношение pd: рв здесь непосредственно
нельзя использовать в силу различия скоростей v в двух рассматриваемых
средах). При вещественном k' расчёт производится совершенно так же, как
и раньше [формулы B3) — B4)], и потому может быть опущен. Мы получаем
в конце концов:
М^^ B6)
Для вычисления правой части B6) заметим, что при вещественном к'
величины Ь и С также вещественны [см. A5) и A6); сказанное относится к обеим
областям: V<E— Ео и V> Е-\-Ео]. Поэтому |С|а можно вычислить, просто
перемножая два данных в A6) представления С. Подставляя результат в B6),
находим:
$ V<E—E0 или V>E + E0. B7)
В последнем случае электрон не обладает достаточной энергией для того,
чтобы преодолеть потенциальный барьер, но коэффициент прохождения D
тем не менее оказывается конечным. В этом и состоит парадокс Клейна.
Если, с другой стороны, k' является мнимой величиной (что имеет место
в области полного отражения Е — Ео < V < Е -f-Eq), to в соответствии с (8)
и A1) роль q будет играть величина
^ = «ПГх—A g = ik'. f=E~Vbe+Eo, B8)
где fug вещественны. Для сопряжённого выражения мы получим:
Следовательно, в произведении q'ttf' не будет ни одного члена, не
содержащего величин fi> и «p-fi'V обратится в нуль.
Итак, в данном случае
У„=-0, D = 0. B9)
Тем самым мы получили формальное обоснование утверждения, которое
в § 4 гл. I [формула (Vila)] было принято как физически самоочевидное:
в случае полного отражения ток частиц во второй среде') отсутствует и,
следовательно, электроны не проходят через барьер. Далее, как
непосредственно видно из сопоставления A8), B7) и B9), мы в общем виде вывели
указанное в § 4 гл. I равенство A.4. VIII):
l. C0)
Соотношение C0) иллюстрируется также с помощью рис. 18, где одна и
та же кривая может изображать как R (значения откладываются по оси
абсцисс слева направо), так и D (значения откладываются справа налево).
В пределе при V-юо мы получаем из A7) и <30), пользуясь обозначениями
Клейна:
*) Таи имеется, однако, экспоненциально спадающая плотность.
18*

276
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[ГЛ. IV
В наших обозначениях на основании B7) мы имеем в этом случае ф =■ 1):
D--
C1а)
Ш//////////Ш
что легко привести к виду C1).
Из рис. 19 должно быть видно, что парадокс Клейна является вполне
понятным и необходимым следствием существования уровней отрицательной
энергии. В левой части рисунка (где х<0, V = 0) воспроизведена уже
знакомая нам схема энергетических уровней
свободного электрона (рис. 16). В правой
же части приведена та же схема, но
сдвинутая вверх на величину V>E-\-E0.
Благодаря этому смещению уровни, ранее
соответствовавшие отрицательной энергии,
поднимаются до области, которая в левой
части рисунка занята состояниями с
положительной энергией (и в которой заключается
значение энергии Е падающего на барьер
электрона). Поскольку переход электрона во
вторую среду происходит при постоянной
энергии (что ясно видно уже из рис. 4), он
приводит нас в данном случае в нижнюю
энергетическую зону, т. е. на один из уровней, дозволенных согласно
теории Дирака. Тем самым объясняется проникновение электрона через
потенциальный барьер высоты V>E-\-E0. Иначе обстоит дело, когда правая
часть рисунка сдвигается на меньшую величину — при Е — Ео< V<CE-\-E0.
Тогда интересующая нас часть заштрихованной (дозволенной) энергетической
зоны слева придётся против незаштрихованной области справа, и переход
окажется запрещённым; будет иметь место полное отражение. Таким образом,
из рассмотренного рисунка видно, что парадокс Клейна обусловлен
смещением имеющихся в теории Дирака уровней отрицательной энергии.
Отсюда вытекает дальнейшее, едва ли не ещё более парадоксальное
следствие: при V> Е-\-Ео импульс и скорость электрона направлены в
противоположные стороны. Действительно, в несмещённой зоне
отрицательных энергий
ср = УЕг — El>0
У/////////////////ЖШ.
Рис. 19.
(если выбрать положительное значение квадратного корня), а групповая
скорость
Таким образом, пока уровни не сместились, v и р направлены в
противоположные стороны. Но это же справедливо и для зоны, сдвинутой на
величину V. В данном случае роль «энергии» Е играет величина Е — V,
причём по условию Е — V<0 (мы предположили, что V>E-\-E0, поэтому
Е — V даже меньше, чем — Е^. Следовательно, и теперь
E — V
= V(E— Vf — El>0,

§ 11] ПАРАДОКС КЛЕЙНА 277
Как видно из всего сказанного, такое соотношение между скоростью и
импульсом также является следствием существования уровней отрицательной
энергии.
Вначале Клейн был склонен усматривать в обнаруженном им парадоксе
серьёзную трудность теории Дирака. Практическим устранением этой
трудности мы обязаны Заутеру. Последний заменил бесконечно крутой потен-
циальный барьер пологим и показал, что при этом в области V>E-\-E0
коэффициент прохождения D оказывается много меньше единицы, если только
изменение потенциала на отрезке порядка комптоновской длины волны мало
по сравнению с Ео. Тем самым для сглаженного потенциала парадокс Клейна
практически устраняется.
Вначале Заутер1) рассмотрел случай линейно возрастающего потенциала
(типа изображённого на рис. 3, стр. 28), но это привело к довольно сложным
выкладкам. Более удобным оказался второй метод3), при котором потенциал
задаётся единым аналитическим выражением, изображённым на рис. 5, стр. 32.
Тогда во всей области изменения независимой переменной — оо < х <
< -(- со уравнение Дирака имеет вид:
[см. формулу A. 4.3) для потенциала; в связи с используемыми теперь
обозначениями мы заменили в ней U на V; таким образом, теперь V есть
высота потенциального барьера]. Производя замену переменного: у = —*-«*
[см. (I. 4.5)], получаем:
■ЧУA-У)^--\-^1A-У)(^-Е^-14уЦ = 0. C2)
Для интегрирования этого уравнения следует прежде всего выполнить
приведение с помощью одного из имеющихся в данной группе кватернионов
делителей нуля
Имея в виду последующее исключение неизвестных функций в уравнении C4),
удобно выбрать последнее из приведённых выражений, полагая
(lMT) C3)
При подстановке C3) в C2) можно заменить ft на —iflt так как
Поэтому остаются только члены с ^Г и Г, каждый из которых должен
обращаться в нуль. Таким образом, мы получаем систему дифференциальных
уравнений для % и фг
C4)
<) P. Sauter, Zs. f. Phys. 69, 742 A931). Эта работа замечательна ещС и тем,
что в ней развит аналитический аппарат, использованный Гейзенбергои и Эйлером
[W Heisenberg u. Euler, Zs. f. Phys. 98, 714 A936)] для обобщения теории
Максвелла на случай сильных полей.
a) F. Sauter, Zs. f. Phys. 73, 547 A931).

278 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Определив 0х из первого уравнения и подставив результат во второе,
получим дифференциальное уравнение второго порядка для %; аналогично
(пользуясь сначала вторым уравнением) можно исключить <]>0 и получить
дифференциальное уравнение второго порядка для функции «J^.
Запишем уравнения для <]>0 и ^ единым образом:
. = 0. C5,
Двумя последовательными заменами переменных это можно привести к
гипергеометрическому дифференциальному уравнению.
Первый шаг [см. (I. 4.6)): %,i = y*?0,i' Для <р0>1 мы получаем:
Мы хотим получить возможность разделить это уравнение на у. Для этогог
выражение в фигурной скобке должно обращаться в нуль при у = 0.
Отсюда
i^-^2-e»l £ C6)
(см, A0) и (I. 4.13)].
Далее, обозначим для краткости:
5- <36а>
[см. C) и A. 4.15I.
Тогда вместо C5а) можно написать:
= 0. C7)
Второй шаг: ?o,i = O—y)±kXo,v Подставляя это в C7), находим:
Желая уничтожить члены, содержащие 1—у в знаменателе, преобразуем
выражение в фигурной скобке следующим образом:
I t^7( t^±-^). C8а)
Если положить
то последнее слагаемое в C8а) обратится в нуль, и мы получим:
-»=tA). C8В)

§ 111 ПАРАДОКС КЛЕЙНА 279
В результате уравнение C8) принимает вид:
= 0. C9)
Это есть не что иное, как гипергеометрическое уравнение с
параметрами:
«0.1 — 1* + ^*. *o.i = l* — *=*=*. 4i = 2|*+1- C9а)
Таким образом, решение C8) дается формулой:
1, у). C96)
Чтобы определить отношение констант Со: Cv надо вернуться к
уравнениям C4). Мы имеем:
-yf Fo, 4*1 - С1У* A -y)'Xfv D0)
В частности, при у = 0 с точностью до высших степеней у получаем
(F Fl)
Отсюда, в силу C4):
Следовательно,
Пользуясь C6), (Зба) и C86), легко проверить, что
/ v2 — ц8 — Х^
~Ш (£—Ю= 2ii
я, следовательно,
или, в силу C9а):
Итак, мы имеем на основании C3) я D0):
Далее поступаем так же, как в § 4 гл. I, рассматривая два предельных
случая:
а) *-»- + оо, y-t-0.
б) х-*- — схз, у-*-—^оо.

280 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
а) Имея в виду, что F@)= 1, у =— е-"", и принимая во внимание C6),
мы получаем, выбирая подходящий знак у р:
4 = С<-.Д«-(-и+^)г. D2)
б) Асимптотическое поведение функции F при у-+ — оо определяется
формулами A9), B4) и B4а) дополнения 16. Изменяя соответствующим
образом обозначения, мы имеем:
Заменим, далее, в D1) A—у)±х на (—у)±х и перейдем от у к х.
Принимая во внимание C6а) и C9а), получаем:
Очевидно, первое слагаемое здесь изображает падающую, а второе —
отражённую волну, в то время как волна, прошедшая через барьер, описывается
формулой D2) (все три выражения относятся к асимптотическому поведению
({«-функции при х = ±оо).
Нас интересует, в основном, коэффициент прохождения B6):
вычисленный при условии V>£-(-£0, когда обнаруживается парадоксальное
поведение электрона. (При этом k! представляет собой вещественную
величину.) Таким образом, надо вычислить асимптотическое (при дг-+оо) значение
произведения
^РЪФ. D5)
пропорционального jd. В соответствии с D2) сюда следует подставить
ф = С (— \feWmq£, ? = С* {—Ifr***? g, D5а)
где
^ й D56)
В формуле D5а) следует положить r = -g-(l—*Tf14) (см. также "примечание
на стр. 272). Заметим, что имеют место соотношения:
Гт1Г = Т1Г9 = Т1Г, ГГ = 0.
Поэтому после приведения в выражениях для jd и Je останется множитель "^Г
(а не просто Г), что связано с несамосопряжённым характером используемого
нами делителя нуля Г. Опуская этот множитель в D5) [и соответственно
далее в D7)], мы получим из D5) и D5а, б):
U D6)
Производя аналогичные вычисления для падающей волны [для чего следует
исходить из первой строчки D4)], находим:
Таким образом,

§ 111 ПАРАДОКС КЛЕЙНА 28I_
При этом, в силу C9а) и D3), мы имеем:
a1b1 — 0^0 =-V, D9>
Г(-2у)ГB|* + 1) I»
Исследуем это выражение для не слишком крутого барьера [для
бесконечно крутого барьера из E0), как и должно быть, получается наша прежняя
формула B7)]. «Крутым» мы называем барьер, ширина которого b
(равная —; см., например, рис. 5, стр. 32) мала по сравнению с де-бройлевской
длиной волны падающего электрона (пропорциональной -г). Таким образом,
мы будем считать, что
-|<С1» т. е., в силу C6а), h|<CL E0а)
Под «не слишком крутым» барьером мы понимаем такой (ср. стр. 277)»
ширина которого больше комптоновской длины волны:
b > ас, т. е. — < 4.
Отсюда, умножая на с, получаем:
1 F \
> j и, следовательно, ^">~^-
Поскольку V> E-\-Eo, a k = l g— [см. C86)], из написанного неравенства
следует, что тем более
1Ч>
Что касается величины р [см. C6)], то она в интересующей нас области
Ео < V< оо изменяется от 0 до оо; при этом, однако, всегда | A.^i* | ^
14-
В силу E0а) и E06) выражение E0) принимает более простой вид:
ГB|л + 1) |а
»
т. е. на основании формулы G) дополнения 7 (А. и р в данном случае —
чисто мнимые)
in» la,-, IN ll*±)- | sin it (|* ± X ) sin я (|* q: X)
| sin 2^ | *
Входящее сюда отношение синусов равно
cos 2itX — cos 2щ*
21 sin 2jc|i | '
что, пренебрегая показательными функциями с отрицательным показателем»
можно приближенно представить в виде
£в*ч|Х|-Ы>. E1а>

•282 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Прочие сомножители в E1) мало меняются по сравнению с этим
показательным множителем. Следовательно, он определяет в соответствии с D8) и
величину коэффициента прохождения D, так как там тоже все прочие члены
<и в числителе и в знаменателе) оказываются несущественными. Мы имеем,
таким образом:
D e-*
«ли, раскрывая значения к и р:
E2)
Это и есть окончательный результат работы Заутера.
На границах интересующей нас области (V = E-\-E0 и V = oo)
выражение E2) принимает вид:
2к
е яеа и соответственно е Яса .
Поскольку Е>Е0, оба эти выражения меньше, чем
в"^* = в-"Гс- E2а)
Таким образом, вместе с ростом отношения Ь/ке уменьшается коэффициент
прохождения D. В такой же мере исчезает и парадокс Клейна, а
следовательно, и обусловленное им затруднение теории Дирака.
Представляется целесообразным в соответствии с предположением, еще
раньше высказанным Бором, принять условие b > ke в качестве постулата.
В словесной формулировке это означает, что невозможно создать такое
силовое поле, которое на отрезке длиной лв сообщило бы электрону энергию,
превышающую Ео. Обозначая соответствующую критическую напряжённость
поля через £жрп> мы имеем:
тУ
еЕщрт kc = Eq, £жрвт = g^ . E3)
В соответствии с нашим исследованием парадокса Клейна теория Дирака
применима только для полей | Е \ < EKfUT. Можно, однако, пойти ещё дальше,
отрицая справедливость и классической электродинамики в области |£| >Е,рит.
В работе Гейзенберга и Эйлера, цитированной на стр. 277, как раз и
делалась попытка, основываясь на теории Дирака, обобщить электродинамику
на случай чрезвычайно сильных полей. Заметим в связи с этим, что «на
радиус электрона г = —А напряжённость кулонов-
ского поля должна была бы быть ещё больше, чем критическая, а именно:
Ег = -1 = ^. = 21г.137Еср„. E4)
Таким образом, в области, непосредственно граничащей с электроном,
классическая электродинамика явно оказывается несостоятельной, что
соответствует сейчас всеобщему убеждению.
| 12. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН МАТЕРИИ
В начале развития теории Дирака казалось соблазнительным найти
волновомеханический аналог двум направлениям поляризации световой волны.
Можно ли сравнить их с двумя направлениями спина электронной волны?
Не говоря уже о тон, что спин имеет неэлектромагнитную природу, это

§ 12] ПОЛЯРИЗЛЦИЯ ВОЛН МАТЕРИИ 283
сравнение рушится в следующем пункте: при поляризации световых волн
мы имеем дело с двумя взаимно перпендикулярными ориентациями, в то
время как в случае электронного спина речь идёт о взаимно
противоположных направлениях. Достаточно вспомнить, например, опыт Штерна — Герлаха,
когда спин ориентируется или параллельно или антипараллельно магнитному
полю. Мы увидим, однако, что в других отношениях между обоими
явлениями имеется определенная аналогия. Поэтому мы будем, как это обычно
делается, применять термин «поляризация» (и без того уже имеющий много
значений) и к электронным волнам, понимая под ним то или иное
преимущественное направление спина.
Прежде чем исследовать вопрос о возможности экспериментального
обнаружения такого преимущественного направления, обсудим, как
определить его теоретически.
Будем исходить из § 2, где был введен оператор спина A3):
в» = —'Те. °» — — 'Ти- (О
Применим этот оператор к произвольной функции <J» и рассмотрим
задачу о собственных значениях
«кФ = e<W * = *• У> *• B)
Мы покажем сейчас, что собственное значение в может быть равно
только +1 или —1. Действительно, итерируя B), получаем:
««* = ••<.. C)
Но в силу A) о* =— «yj^sa-f-l; поэтому из C) вытекает я = ±1. Таким
образом, решая уравнение B) для случая оси k (что необходимо при
анализе опыта Штерна — Герлаха) можно установить только, направлен ли спин
параллельно (е = -)-1) или антипараллельно (в = — 1) данной оси. В обоих
случаях говорят о полной поляризации по оси А. Аналогично может
случиться, что собственная функция представляет собой линейную комбинацию
функций <|», и <|»п, отвечающих соответственно значениям в = —(— I и s =— 1:
D)
Эта собственная функция также полностью поляризована, но по
направлению, отличному от оси А. Примеры этого будут приведены позднее в связи
с уравнением B4).
Дело обстоит здесь так же, как и со световыми волнами, когда пря
наложении двух взаимно перпендикулярных колебаний получается опять
поляризованное колебание. В оптическом случае, однако, мы имеем здесь,
вообще говоря, не линейную, а эллиптическую поляризацию. Неполяризо-
ванные колебания в «естественном» свете получаются в оптике только при
сложении некогерентных составляющих ty, и <J»U, фазы которых никак не
связаны друг с другом. При этом амплитуды колебаний ^ и фп должны
быть одинаковы; если они различны, то получается частично
поляризованное колебание.
Это же справедливо и для электронных волн. Мы говорим о
«естественном» электронном луче, если, как это обычно бывает в опыте, нам
неизвестны фазовые соотношения между частными решениями <|», и <J>U,
каждое из которых соответствует определенной ориентации спина. Математически

284 ТЕОРИЯ ДИРАКА |ГЛ. IV
это выражается в некогерентном сложении, например, токов и
плотностей, обусловленных отдельными составляющими <]>, и <|»п. При этом и здесь
в зависимости от отношения амплитуд ф, и <|»п, мы получаем неполяризо-
ванные или частично поляризованные электронные волны.
Применим эту схему к простейшему случаю плоской волны, хотя, как
мы увидим в дальнейшем (в гл. X), как раз в этом случае невозможно
обнаружить спин с помощью обычных экспериментов по отклонению
электронных пучков (в эффекте Зеемана или в опыте Штерна — Герлаха, при
анализе которых и был открыт спин, мы имеем дело не со свободным
электроном, описывающимся плоской волной, а с электроном, связанным
в атоме).
Пусть наша плоская волна распространяется вдоль оси г, так что
кя = ку = О. Тогда в соответствии с D.2) и D.9а) собственная функция
имеет вид (мы опускаем временной множитель и множитель /):
Если, как и раньше, выбрать делитель нуля в виде Г = -^ A + -\д X
Tis то содержащийся в одном из слагаемых множитель ft можно
включить в Г, и тогда для <J» получается более простое выражение:
♦ = ti-(T,* + K)W*. (б)
где
K=kl-^lk0 = i^±^- F)
[мы воспользовались формулой D.8)].
Посмотрим, не отвечает ли это состояние преимущественной ориентации
спина по оси я (т. е. в «продольном» направлении). Для этой цели
вычислим
Величину /fia можно переставить с выражением в круглых скобках и затем
объединить с имеющимся в Г сомножителем 1-НТи- Таким образом, мы
имеем:
В состоянии <J», электронная волна полностью поляризована по
направлению, антипараллельному оси г.
Уже в § 5 мы видели, что помимо состояния, изображенного там
формулой E.45), имеется ещё одно, получающееся из E.45), если в делитель
нуля Г включить дополнительный множитель -far Общее решение уравнения
Дирака для свободного электрона представляет собой линейную комбинацию
этих двух частных решений. В нашем случае, когда волна распространяется
вдоль оси г, это второе состояние описывается собственной функцией
(9)
Мы утверждаем, что оно соответствует обратному (по сравнению с <|»,)
направлению спина. Действительно, применим к <|>ц спиновый оператор
or = — tflu. Попрежнему i-flu можно переставить с выражением в круглых
скобках, но при перестановке ?19 и fu возникает ещё множитель —1. Таким
образом, вместо (8) мы получаем:

§ 12] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН МАТЕРИИ 286
т. е. в состоянии <J»U электронная волна полностью поляризована параллельно
оси г.
Можно было бы, далее, поставить задачу об изображении, например,
плоской волны, распространяющейся вдоль оси г и поляризованной по оси х.
Мы покажем сейчас, что такое состояние не может осуществляться.
Доказательство этого весьма просто. В соответствии со сказанным
наложим условие
ок<!» = вф, * = *, у, гу A1)
и допустим, что
1ф = 0, A2)
где L—оператор Дирака, специализированный для нашего частного случая
плоской волны. Применим теперь к уравнению A2) оператор <зк, а к A1) —
оператор L. Мы получим:
0, Lofc<!» = eL<!» = 0. A3)
Следовательно, справедливо и равенство
0. A4)
В применении к плоской волне C/ = ATeikt, оператор L в соответствии,
с B.4) имеет вид (мы, как и раньше, включаем ^4 в Г и опускаем
множитель /):
Г K = ki — ik0. A5)
Очевидно, <ta= — /fi9 коммутирует с оператором A5) [в смысле уравнения
A4)]. Этим обстоятельством мы уже фактически пользовались выше, так
как аналогично составленные выражения фигурируют в правых частях
равенств D) и (9). Поэтому наши предыдущие результаты относительно
точной ориентации спина в продольном направлении являются вполне
понятными. С другой стороны, операторы
не перестановочны с I. В самом деле, мы имеем:
0<BL-I0a, = -2/T9*, A6)
о/ — Loy = + 2/Ti*. A6а)
Согласно A4) левые части этих равенств, будучи умножены на
функцию <]>, должны обращаться в нуль. Из рассмотрения правых частей, однако,
ясно видно, что это не имеет места. Отсюда и следует, что не может
существовать состояния, описываемого плоской волной с точной ориентацией
спина в поперечном направлении. Попытка осуществить его, специально
подбирая коэффициенты а и b в D), обречена на неудачу.
Иначе обстоит дело, если измерять спин не в покоящейся системе
координат (х, у, г), а в системе, движущейся вместе с электроном (л/, /, /),
накладывая, например, условие
а не
Дело в том, что в движущейся системе к = 0, и потому равенства A4)
и A6) совместны. Таким образом, следует ожидать, что окажется
возможным указать волновую функцию <}>, которая в системе х, у, г описывает

286
ТЕОРИЯ ДИРАКА
[ГЛ. IV
плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси г, и в то же время в систем»
х', у, zf соответствует точно заданному («квантованному») значению дг-ком-
поненты спина (о'а = -\- 1 или — 1).
Переход от одной системы координат к другой совершается с помощью
преобразования Лоренца:
I— f
= у и т. д.
A7)
Встанем на точку зрения А) § 6, т. е. будем преобразовывать величины f
как компоненты четырехмерного вектора (роль let играет ft), оставляя
функцию <|» инвариантной. Таким образом, мы имеем на основании A7)
== {(А + $Ю Те — (*—W} Гв<4
Для К [см. F)] и А мы имеем:
Пользуясь E) и (9), получаем, несколько преобразуя произведения величин у.
A8)
A9)
B0)
B1)
Подставляя эти выражения в A8), находим:
С другой стороны, из E), (9) и A9) вытекает:
Следовательно,
Таким образом, полагая
мы имеем:
+«о+/пгр)Тм} гл
B2)
B3)

§ 12] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН МАТЕРИИ 287
Производя аналогичные вычисления для а'у, получаем, вводя обозначение
*А*=-1ь.г <23а>
Таким образом, мы показали, что существуют волны,
распространяющиеся вдоль оси г и поляризованные параллельно и антипараллельно оси xf
или у. Они получаются из общей формулы D), если в последней положить
= ±а (поляризация по оси х'),
= z+.la (поляризация по оси У).
м
). I
В общем случае при | b \ = \ а | имеет место поперечная поляризация
в произвольном направлении; при |£|=/=|а| поляризация не поперечная.
Из всего изложенного видно, как надо производить вычисления со
спиновым оператором. Исследуем теперь, как можно обнаружить спин,
экспериментально исследуя электронные волны. Как уже было отмечено на стр. 284,
в опытах по отклонению электронных пучков нельзя измерить спин свободного'
электрона: электрон должен хотя бы на некоторое время оказаться в
связанном состоянии.
Мы рассмотрим только два возможных эксперимента1) — аналог
классического опыта Баркла с рентгеновскими лучами и аналог опыта Малюса
в оптике.
А. Аналог опыта Баркла. В опыте Баркла A905), в котором
впервые была обнаружена поляризация рентгеновских лучей и тем самым
было доказано, что они представляют собой поперечные волны,
исследовалось «двойное рассеяние». Если первичный луч / не поляризован, то первый,
рассеивающий объект К играет роль поляризатора, а второй К' — роль
анализатора. Угол рассеяния удобнее всего выбирать прямым. Тогда вторичный
луч 2 оказывается поляризованным перпендикулярно к плоскости рассеяния (/, 2>
(направление поляризации соответствует электрическому вектору). Это
сказывается на интенсивности третичного излучения, которая зависит от
направления в плоскости (/, 3), перпендикулярной ко вторичному лучу. Именно,
в направлении 3, перпендикулярном к / и 2, интенсивность третичного
излучения равна нулю, а в направлении, параллельном или
антипараллельном /, она максимальна. К Втор.
Опишем теперь аналогичный опыт с электронными
лучами. Посмотрим прежде всего, чего здесь следует
ожидать с чисто теоретической точки зрения. При этом
заменим тела К к К' тонкими плёнками какого-нибудь
Пере.
тяжёлого металла (для краткости будем говорить просто
об атомах золота; см. рис. 20). Пусть первичный луч /
не поляризован (все направления спина в нем равнове-
роятны). Во вторичном луче 2 спин ориентирован пре- опыта Баркла°Г
имущественно перпендикулярно к плоскости рисунка
(луч частично поляризован). Это обстоятельство сказывается на интенсивности*
третичного луча, изменяющейся в зависимости от направления в плоскости,
перпендикулярной к 2: в направлении, антипараллельном первичному лучу /,
эта интенсивность имеет максимум, в параллельном — минимум; в направлен
>) См. в связи с этим более общее рассмотрение вопроса в работе: Е. F u e в в о.
Н. Н е 11 m а л л, Phys. Zs. 31, 4E5 A930).

288 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
нии, перпендикулярном как к /, так и к 2, она принимает некоторое среднее
значение. Математически интенсивность третичного луча с точностью до
постоянного множителя дабтся формулой
y=l+8cos?, 8 = (eZ)«^i^0n2)«. B5)
где <р — угол [в плоскости (/, 3)] между первичным лучом и направлением
наблюдения. На рис. 20а представлена полярная диаграмма интенсивности J
(она имеет вид эксцентрического овала).
Из формулы B5) следует, что для обнаружения поляризации
электронных волн, во-первых, надо изучать рассеяние электронов на тяжёлых атомах
(фактор Z9); во-вторых, надо брать быстрые, но не слишком быстрые
электроны [множитель ■ B_7|ji? имеет максимум при £9=г=2 — У~2, $ — 0,81;
в-третьих, при интерпретации результатов надо основываться
на уравнении Дирака (фактор а).
Формула B5) представляет собой результат тщательных
вычислений Мотта1), которые были в дальнейшем упрощены
Заутером3). Мы вынуждены отказаться от её вывода, так
как здесь речь идёт о релятивистском эффекте второго по-
js1*dcasf рядка [в смысле нашего приближения в гл. V, § 8; действи-
* тельно, порядок наблюдаемой величины определяется в дан-
? ном случае множителем (aZ)9, в то время как мы будем
on п рассматривать только эффекты первого порядка по aZ].
диаграмма иитен" Впрочем, поскольку для золота (aZ)a = 0,35, даже и второе
сивности третич- приближение оказывается недостаточным для количественных
иого луча. расчетов; поэтому Мотту пришлось численными методами
определять поправки к формуле B5).
Таким образом, теоретически должен иметь место эффект поляризации,
проявляющийся в небольшом изменении интенсивности третичного луча при
изменении угла <р от нуля до «. Разность между максимальной и минимальной
интенсивностями составляет 2S, что, по оценке Мотта, в лучшем случае
достигает 16%. В противоположность этому в экспериментальных работах
Даймонда8) и Томсона4) эта разность оказалась менее 2%. Неизвестно,
обусловлено ли это расхождение несовершенством теории Дирака для высших
приближений или недостаточной точностью численных расчётов Мотта6).
Б. Аналог опыта Малюса. Нам предстоит рассмотреть следующую
задачу: имеется потенциальный барьер V(x) \V(x) = 0 при *<0 и имеет
произвольный вид при х > 0]. На него падает (в плоскости х, у) плоская
волна, состояние которой, в силу сказанного, не зависит от г. Вдали от
барьера направления распространения падающей и отражённой волн задаются
1) N. F. Mott, Ргос. Roy. Soc. 124, 425 A929); 185, 429 A932).
2) p. Sauter, Ann. d. Phys. 18, 61 A933).
») E. O. D у га о n d, Proc. Roy. Soc. 136, 638 A932); 145, 657 A934).
*) O. P. Thomson, Phil. Mag. 17, 1058A934); также F. E. M уers, J. F. Byrne
a. RT. Cox, Phys. Rev. 46, 777 A934). Дальнейшую литературу по данному вопросу
см. в тщательно выполненной работе Рихтера [п. R i с h t e r, Ann. d. Phyt. 28, 533
A937I, которая также дала отрицательный результат.
5) Неудачи многих попыток обнаружения поляризации электронов были связаны
с многократным рассеянием электронов в мишенях. Эффект асимметрии при двойной
рассеянии отчетливо наблюдался Шеллои, Чейзои и Майерсои [S с h ul I, Chase,
a. Myers, Phys. Rev. 63, 29 A943)]. (Прим. ред.)

§ 12] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВОЛН МАТЕРИИ 289
соответственно составляющими волнового вектора кх и Aj, А, = 0 и —kt.
Поскольку волновая функция не зависит от г, из уравнения Дирака B.4)
выпадает ?,, и мы имеем:
'4+*»>Ф-0.
B6)
Пользуясь для приведения нашим обычным делителем нуля Г = -уО +Т«) O-Mfia)»
мы можем исключить из выражения для <f множитель fit * также либо ft*
либо it. Выберем последнюю возможность, соответственно представив ф
двучленной формулой
Ф-О'о+'ШГ. B7)
Поскольку коэффициенты уравнения B6) не содержат у, можно считать, что
волновая функция ty зависит от у экспоненциально. Таким образом, положим
в соответствии со смыслом величины А.а:
ф пропорционально eik#, т. е. ;r- = ik$.
Тогда
^ B7а)
Далее мы имеем, преобразуя соответствующим образом произведения
величин f (заменяя, например, ^ на /fa • If 1а и т. д.):
B7в)
B7г)
Складывая почленно уравнения B7а, б, в, г) и приравнивая нулю отдельно
коэффициенты при 1 и f, получаем два уравнения для функций <}>0 и <fo
B8)
.j—О-
Для интегрирования этой системы положим *):
] 1
Тогда, комбинируя соответствующим образом уравнения B8), иайдСм:
О,
C0)
■) Здесь и в дальнейшем мы следуем работе Н. Н е 11 га a n, Zs. L Phys. 96,
247 A935).
1У Зак. 968. А. Зошкрфшм

290 ТЕОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
Исключая отсюда <р.э (?„), получим для <р0 («ч) дифференциальное уравнение»
коэффициенты которого не зависят от внака k.3. В частности, для <р0 мы
имеем:
о = о- C1)
Зная <р0, можно на основании второго уравнения C0) определить и <ра:
Тогда формулы B9) дают:
(£fK
Нам будет достаточно решить уравнение C1) только для отрицательных
значений х, когда V(x) = 0.
В этой области C1) принимает вид1):
£)( ^) = 0 C3)
и имеет общее решение
<р0 = *<** (Ле<*.« -|- Ве-**>*) C4)
(мы включаем сюда и найденную ранее зависимость <р0 от у).
Отношение констант А а В можно найти, только решая уравнение C1)
во всей области изменения х, для чего необходимо сделать определенные
предположения относительно функции V(x).
Теперь из C4) и C2) находим:
. C5)
Первое слагаемое здесь представляет собой падающую, а второе —
отраженную волну. Отношение соответствующих интенсивностей определяет
коэффициент отражения R (следует иметь в виду, что kt — чисто мнимая величина;
А |А
\Л\ (Л,-
Как видно из последнего из написанных выражений [и, как и следовало
ожидать, исходя из C1)), R не вависит от знака Дэ.
Из двух функций % и ^2 первая является «большой», а вторая — «малой».
Действительно, порядок величины функций <|>0 и <}>9, в силу C5), определяется
абсолютными значениями выражений
/ V" и соответственно
ас
!) Преобразование, произведенное в C3). основано, очевидно, на законе
сохранения энергии D.8а), который в даииом случае записывается в виде: *i + *^ + ** + ^ = ^

§121 поляризация волн матгрии 291
В нерелятивистском приближении второе из этих выражений обращается
в нуль, а первое оказывается порядка —■ и при v <C!c значительно
превышает волновые числа kt и k^ (последние по порядку величины равны ^ч
Естественно, к тону же выводу (% ^> Ф^) ыожно было бы придти и по
образцу стр. 236, исходя непосредственно из уравнений B8). Итак, вместо B7)
ыожно приближенно написать:
Посмотрим теперь, как ориентирован спин по отношению к плоскости
падения (х, у). Для этого надо подействовать на нашу волновую функцию ф
спиновым оператором ег = — ifia. Представляя ф в сокращенной форме C7),
мы получаем немедленно:
°А = — «iiiW = - W = - ♦• C8>
Таким образом, собственное значение оператора спнна аг оказываете»
равным —1, т. е. спин ориентирован антипараллельно оси г.
Этот вывод оказывается справедливым не только приближённо (в
пренебрежении функцией фа по сравнению с Фо), но и точно, если только
вычислять значение z-компоненты спнна в системе координат, движущейся вместе
с электроном. Правда, соответствующее преобразование Лоренца [см. выше
формулу A7)] следует производить отдельно для падающей и для
отраженной волны, т. е. в C5) надо положить либо В = 0, либо .4 = 0.
Действительно, скорости падающего и отраженного электрона (определяющиеся
соответственно величинами klt k.3 и —kt, £.э) направлены в разные стороны.
Расчет протекает в принципе так же, как и на стр. 286, и в результате
получается:
о'ф =—ф ; е'ф =—ф . C9>
Здесь под ф следует понимать веб выражение B7), но только при условии,
что В = 0 или соответственно А = 0.
Далее, как и на стр. 284, рассматривая решение B7), мы
убеждаемся, что оно еще не обладает должной общностью. Как и в (9),
необходимое второе решение, соответствующее противоположной ориентации
спина, получается, если просто ввести в B7) дополнительный множитель fs»
т. е. положить:
D0)
Линейная комбинация B7) и D0) представляет собой общее решение, т. е.
полное (четырехчленное) выражение, соответствующее данному делителю
нуля Г.
В самом деле, подействовав на функцию D0) оператором Дирака B6)
и приравняв затем нулю коэффициенты при fs и t3V мы получим два
уравнения, отличающихся от B8) только заменой %, &<,, +&<i на ф^, %, —A.v
Следовательно, если вновь ввести по аналогии с B9) функции ?0 и <?,,
определив их как сумму и разность ф3? и 'V то для ?о мы будем иметь точно,
прежнее уравнение C1), которое, как уже отмечалось, инвариантно
относительно изменения знака k.2 (оно попрежнему будет необходимо для
вычисления отношения А : В). Равным образом и выражение C6) для коэффициента
отражения R, как мы специально подчеркивали, инвариантно относительно
изменения знака k2. Далее, ^, будучи аналогом <|>0, является «большой»
19*

292 ТГОРИЯ ДИРАКА [ГЛ. IV
функцией, и потому вместо D0) можно приближенно написать:
D1)
Применяя к этому выражению оператор аг, находим:
D2)
Таким образом, состояние D0) приближённо соответствует собственному
значению аг, равному +1. Как и раньше, этот результат также можно
уточнить в смысле C9). Именно, если вновь разделить волновую функцию на
падающую и отраженную волны и для каждой из них вычислить значение
.z-компоненты спина в движущейся вместе с электроном системе координат,
то мы получим точно +1.
Обратимся теперь к опыту Малюса в оптике. В плоскости (х, у) падает
неполяризованный луч. Представим его как результат наложения двух
поляризованных лучей, фазы которых никак не связаны друг с другом. Одна из
этих составляющих поляризована параллельно, а другая — перпендикулярно
к оси z. Коэффициенты отражения для них оказываются различными. Поэтому
получающийся в результате их сложения полный отраженный луч оказывается
поляризованным (вообще говоря, частично, а в особом случае угла полной
поляризации — полностью).
Соответствующий опыт с волнами материи надо было бы представить
себе следующим образом. Неполяризованный луч падает в плоскости (х, у).
Мы будем считать, что он состоит из двух составляющих B7) и D0) с
независимыми фазами. Для одной из этих составляющих спин ориентирован
в отрицательном направлении оси г, для другой — в положительном; мы можем
также сказать, что один луч поляризован по -\-z, а другой по —z. Но
коэффициенты отражения для обоих этих лучей одинаковы. Поэтому
получающийся из обеих составляющих полный отраженный луч оказывается непо-
ляризованным (обладает преимущественным направлением спина в столь же
малой степени, как и падающий).
Итак, опыт Малюса должен, согласно теории, привести в электронной
оптике к отрицательному результату, и притом для потенциального барьера
любой формы.

ГЛАВА V
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
| 1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА,
ОСОБЕННО В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ
Среди многих прекрасных результатов квантовой механики теория
возмущений, развитая Шредингером *), занимает выдающееся место. Она более
проста, чем астрономическая теория возмущений классической механики,
и в своих приложениях не ограничивается проблемой двух тел (спектр Не,
гл. IX).
А. Возмущение в невырожденном случае. Рассмотрим,
следуя Шредингеру, некоторую задачу, волновое уравнение которой может быть
решено точно, если пренебречь в уравнении возмущающими членами. Пусть
<!<* будут собственные функции невозмущенной задачи, Wk — соответствующие
собственные значения. Последние предполагаются невырожденными.
Предполагается, что волновое уравнение невозмущенной задачи взято в простейшей
форме (это уравнение не аависит от времени и обладает интегралом энергии):
O, A)
где Н, так же как в гл. I, § 6, означает линейное дифференциальное
выражение второго порядка в частных производных, которое мы будем
предполагать самосопряженным (см. гл. I, § 7). Множитель р («весовая функция»)
добавлен потому, что при употреблении криволинейных координат q, наиболее
подходящих для решения какой-либо конкретной задачи, в качестве
множителя к W появится функциональный детерминант D. Вместо D выбрано более
общее обозначение р для того, чтобы в соответствующем случае (см. эффект
Штарка, § 2) включить и другие сомножители.
С учетом весового множителя условие ортогональности для двух
собственных функций <!><, h с собственными значениями Wt, Wk (Wt ф W*) будет
иметь вид: .
f 0, B)
где dq означает произведение дифференциалов координат q. Это условие,
как обычно, следует из уравнения непрерывности (I. 7.21). Условие
нормировки гласит:
/ 1. C)
При включении возмущения к выражению Н добавляется член,
характеризующий это возмущение. Пусть порядок малости этого члена определяется
1) bchrudinger, Ann. d. Phys. 80, 437 A926).

294 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
параметром к. Если это возмущение претерпевает потенциальная энергия V,
то член возмущения просто умножается на <{*• При этом предположении
ложно написать:
— Щ, D)
где под 5 понимается известная функция координат, определяемая характером
возмущения.
Исходя из й-го собственного состояния, полагаем:
.- Dа)
и, пренебрегая членами порядка X9, из D) получим:
Вследствие A) сумма первого и третьего членов равна нулю. Поэтому,
сокращая на общий множитель к, будем иметь:
H<f — Wkp<f = (ер — s)«{.». E)
Левая часть этого неоднородного уравнения имеет ту же форму, что и левая
часть однородного уравнения A). Величина в, входящая в правую часть
уравнения, пока неизвестна. Однако она может быть определена независимо от
вычислений собственно теории возмущений на основании следующей общей
теоремы: для того чтобы неоднородное уравнение E) было разрешимо, т. е.
имело непрерывное решение, необходимо, чтобы его правая часть была
«ортогональна» к решению однородного уравнения, т. е. к собственной
функции tyk.
Для доказательства необходимо левую и правую части уравнения E)
умножить на <{£ и проинтегрировать по координатам. Слева будем иметь:
Ea)
Этот интеграл можно преобразовать на основании формулы Грина, которую
необходимо применить в следующей самосопряжённой форме:
Вследствие того, что при удалении поверхности интегрирования на
бесконечность, интегралы, обозначенные многоточием, исчезнут, из Eа) получается:
/ ? («Й — Щр£) dq = 0 [ср. AI. E6)
Поэтому левая часть уравнения E) дает нам:
** *?=о. (в)
Это равенство имеет вид условия ортогональности B), если входящим в это
условие ортогональным друг к другу функциям tyt и <J>k сопоставить функции tyk
$к. Но это как раз и означает, что правая часть неоднородного
уравнения E) должна быть ортогональна к решению соответствующего
однородного уравнения.
Утверждение, содержащееся в равенстве F), является краеугольным
камнем теории интегральных уравнений. Однако оно было открыто Релеем
( — •

§ 11 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА 295
(теория звука) ранее построения теории интегральных уравнений, исходя из
физического смысла. Поясним это на примере колеблющейся мембраны.
Дифференциальное уравнение периодических собственных колебаний мембраны
имеет вид:
где р — поверхностная плотность, со — круговая частота собственного
колебания и 5 — напряжение, действующее в мембране. Если на мембрану
действует внешнее, нормальное к поверхности мембраны, давление Р(х, у),
распределённое каким угодно образом по поверхности мембраны и имеющее
частоту со, совпадающую с одной из частот собственных колебаний мембраны,
то амплитуда колебаний мембраны будет беспрерывно возрастать. Это
возрастание амплитуды колебаний привело бы к «резонансной катастрофе». Для
того чтобы такая «резонансная катастрофа» не наступила, необходимо, чтобы
давление Р в целом не производило работы над колеблющейся мембраной.
Следовательно, давление должно, например, быть приложенным к линиям
узлов, либо должно в колеблющихся в противоположных направлениях
секторах мембраны иметь одинаковую величину и т. д. Поскольку Pda есть
сила, а и — смещение из положения равновесия, общее математическое
выражение этого требования равенства нулю производимой давлением работы
будет иметь вид:
= 0. Gа)
В применении к рассматриваемому случаю положим Р равным возмущению
(s — яр) $к, и = <1*к и do = dq. Тогда равенство Gа) примет вид равенства F).
Приведенный пример показывает, что представление об «ортогональности
возмущения» может быть сделано физически содержательным, если мы
скажем, что «возмущение действует, не производя работы».
Теперь из F) сразу следует, что
s^fkdq
(8)
7—; .
или, поскольку функция <j>k должна быть нормирована согласно условию
нормировки C), окончательно будем иметь:
(8а)
Иначе говоря, энергия возмущения в есть «волновомеханическое среднее»
функции возмущения s, причём выражение «волновомеханическое среднее»
употреблено в смысле гл. III, § 2, а усреднение должно быть произведено
при помощи функций <!ik невозмущенного состояния.
Определённое таким образом аначение в подставим в правую часть
уравнения E) и разложим эту правую часть, предварительно разделив ее на р,
по волновым собственным функциям <jb невозмущенной задачи. Это
разложение будет иметь вид:
Аналогичным образом представим искомую функцию ? в виде:
2 00)

296 теория возмущений [гл. v
Отсюда на основании A) получим:
2
Уравнение E) принимает вид:
- р
Из сравнения коэффициентов следует, что
Bi = W^Wl <1Оа>
М, следовательно, вместо A0) будем иметь:
Коэффициенты Аг вычисляются обычным образом по способу Фурье из
равенства (9) путем умножения последнего на ^ и интегрирования по
координатам; тогда с учётом B) и C) после выполнения почленного интегрирования
найдем:
Тем самым возмущённая задача решена весьма наглядным образом:
подстановка (8а), A1) и A2) в Dа) для возмущённых собственных значений ■
возмущённых собственных функций даст результат:
wlt-wl
A3)
Штрих у внака суммы оаначает, что при суммировании должен быть опущен
член с А = /. В этом случае знаменатель.^—Wt обратился бы в нуль и
одновременно вследствие A2) обратился бы в нуль и числитель, так что
в целом соответствующий член остается неопределённым. Но вследствие того,
что этот член пропорционален <^, мы можем считать его включённым в
невозмущенную функцию ({ъ. Члены, обозначенные в A3) многоточием, являются
членами более высокого порядка малости, пропорциональными X9, X8, ...
Остается сказать несколько слов относительно возможности разложений (9)
и A0). Эта возможность хорошо известна для специальных случаев
(тригонометрические и шаровые функции) и в математической литературе, особенно
в теории интегральных уравнений, доказана для произвольных собственных
функций при некоторых ограничениях, накладываемых на подлежащую
разложению функцию. Здесь же необходимо лишь подчеркнуть, что система
собственных функций должна быть полной. В самом деле, нельзя, например,
в ряде Фурье опустить какой-либо член и без этого члена представить этим
рядом произвольную функцию. Полная система собственных функций может
включать в себя, вообще говоря, как функции дискретного, так и
непрерывного спектра собственных значений. Поэтому суммирование в A3) в общем

§ I] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА 297
случае включает в себя также и интеграл по непрерывному спектру
собственных значений. Для дальнейшего применения мы выпишем соответствующую
формулу в явном виде, обозначив непрерывный параметр энергии через w и
принадлежащую ему собственную функцию через ty(v>):
+; Г
-w, +4
Б. Возмущение в случае кратных собственных
значений. Изложенный метод позволяет рассмотреть ряд важнейших задач теории
возмущений, например, эффект Штарка (§ 2) и теорию дисперсии (§ 3).
Однако все изящество теории возмущений Шредингера выявляется лишь
в применении к случаям вырожденных систем, т. е. к таким случаям, когда
собственные значения невозмущСнной задачи вырождены.
Исходя из уравнения A), предположим, что собственному значению IP*
принадлежат несколько линейно-независимых собственных функций
В этом случае, как и на стр. 38, мы говорим об (а — 1)-кратном вырожде-
рии. Принимается, что эти собственные функции ^ нормированы на 1 и ле
только ортогональны к собственным функциям с другим индексом k, но и
ортогонализированы между собой. Этими требованиями они определены не
однозначно. Эти функции можно подвергнуть произвольному ортогональному
преобразованию. Получающиеся в результате этого ортогонального
преобразования функции также будут удовлетворять вышеуказанным условиям.
В самом деле, .обозначая через 0 коэффициенты произвольного
ортогонального преобразования в пространстве а измерений, положим:
и также
2Й& A4а)
Вычисляя интегралы условий B) и C) с получающимися в результате
преобразования функциями <|ъ,,, <fkh' и учитывая, с одной стороны,
ортогональность tyM, а с другой стороны — то обстоятельств, что коэффициенты ^
являются коэффициентами ортогонального преобразования, будем иметь:
dq = 2 2 Ры
Таким образом, условия B) и C) выполнены для %к, коль скоро они
выполнены для <!/ki. Эта произвольность в выборе собственных функций
используется весьма изящно в теории возмущений Шредингера.
Существование кратных собственных значений хорошо известно из
классической механики, особенно из теории колебаний мембран. В качестве
простейшего случая рассмотрим прямоугольную мембрану с закрепленным»
краями х = 0 н а, у = 0 к Ь. Тогда с точностью до произвольного
множителя решение уравнения G) будет иметь вид:

298 теория возмущений [гл. v
Соответствующее собственное значение на основании G) будет равно
Бели а и b несоизмеримы, то это собственное значение будет простым, так
как в этом случае не существует двух таких целых чисел тип, которые
приводили бы к одинаковому значению для k.
Иначе обстоит дело в случае квадратной мембраны Ь = а (или в более
общем случае соизмеримых сторон). В этом случае мы получим:
*-.„ =^ («»+«*). A5)
Перемена местами тип оставляет собственное значение неизменным,
однако изменяет геометрический характер собственных функций. В самом
деле, два колебания
A6)
а
отличаются друг от друга. Например, ах имеет да + 1 узловых линий
х = const, % имеет л +1 таких линий и т. д. Только в случае т = л их
совпадает с и2.
За исключением основного колебания т = л = 1 и его гармонических *)
обертонов т = п, собственные значения квадратной мембраны, по крайней
мере, двукратны. Более высокое вырождение наступает при определенных
теоретико-числовых условиях 2).
В случае двукратных собственных значений наряду с функциями A6)
все функции семейства
V = Ajilj -\- AgOg A7)
(&! и Ад произвольны) будут также являться собственными функциями. Более
удобно эти функции записать в виде (f произвольно):
г>= cosfUj —sin-jOj. A7a)
Насколько значительно изменяется геометрический характер собственных
колебаний с изменением f показывает рис. 21; этот рисунок приведен для
случая т=\, п = 2. Еще более многообразные фигуры8) узловых линий
получаются для больших значений т, п. Все типы колебаний, приведенные
на рисунке, между собой равноправны. Случаи f = 0, v = u1 и f=-|-,
v = — а2, при которых линии узлов являются прямыми и проходят
параллельно сторонам квадрата, не являются в чем-либо предпочтительными по
сравнению с другими типами колебаний.
Если благодаря включению возмущения состояние колебаний немного
изменяется, то нет никаких оснований считать, что колебание при наличии
1) Если тш*п, то из G) и A5) следует, что пп,п=япт1,1'7ш
гармоническим обертоном основного тоиа »Ь1; в общем же случае »п>ж не является
гармоническим обертоном.
*) P. Pockele, Об уравнении Да + А*и = 0, Teubner, 1891, стр. 79 и след. (по
лекциям Ф. КлеАиа). Степень вырождения зависит от разложения на простые числа
числа nfi + n\
») Pockels, стр. 8а

§ и
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ШРЕДИНГЕРА
299
возмущения должно непрерывно примыкать именно к состоянию колебаний
с функциями % или и.,. Более того, возмущенное состояние колебаний
возникает из того состояния семейства колебаний, которое более всего подходит
к характеру возмущения. Пусть, например, иа колеблющуюся мембрану
производится легкий нажим пальцем [частный случай давления Р в
условии Gа)]. Тогда из семейства колебаний выделяются те собственные
колебания, узловые линии которых проходят через место нажатия.
Аналогично обстоит дело в случае круглой мембраны, где все
собственные значения (за исключением основного тона) во всяком случае двукратны
cos
вследствие азимутальной зависимости собственной функции типа л»<р.
Возвращаясь к квантовой механике, рассмотрим уравнение D) с
функцией возмущения s, предполагая
Wk а-кратным собственным
значением. Подстановка Dа) приводит и
в этом случае к уравнению E) с тем,
однако, различием, что теперь
вместо <fk можно поставить любую из а
собственных функций tyki. Между
тем из примера с мембраной мы
знаем, что эти <{ikt не играют какой-
либо предпочтительной роли по
сравнению с их возможными
линейными комбинациями и что
возмущение из а-кратного семейства A4)
выделит те функции, которые могут
непрерывно примкнуть к этому
возмущению. Поэтому в правой части
уравнения E) мы вместо
конкретных функций <5"м поставим более
общие функции <{iM, оставив пока
выбор коэффициентов [3 свободным.
Каким образом необходимо выбрать
эти коэффициенты? Ответ на этот
вопрос дает доказанная в пункте А
теорема, которую для данного случая необходимо уточнить следующим
образом. Правая часть неоднородного уравнения должна быть ортогональна ко
всем решениям однородного уравнения. Это дает нам вместо одного
условия F) а условий:
4 s e
Рис 21. Узловые линии квадратной
мембраны:
О,'
m = 1, л = 2,
а а
Номера у кривых обозначают:
Кривая
Т
/
0
2
it
т
3
1С
т
4
Зтс
8
■5
п
2"
5
8
7
3*
т
8
7я
8
= 0. /=1. 2,
а.
A8)
Подставляя сюда значение для tykh, из A4) мы получим (индекс А у ? можно
отпустить):
2 ?* / & (* — гр) ifr} dq = 0. A9)
B0)
Вслед за Шредингером введем сокращенное обозначение
являются сматричныыи элементами» функции возмущения.

300
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. v
и примем во внимание, что ^ должны быть ортонормированными, т. е.
должны удовлетворять условию
Тогда система уравнений A9) в развБрнутой форме будет иметь вид:
. =0,
B1)
Таким образом, мы пришли к часто встречающейся в математической физике
«задаче главных осей». Возможные на основании этой системы уравнений
вначения в дают величину, а значения Э — направление главных осей. Путем
исключения из этих уравнений ji для в получаем уравнение а-го порядка:
ва —в На
^а. ваз—
ва«
ва1
8«2
= 0.
B2)
которое, ввиду того что ьц = ъ}1, имеет точно а действительных корней.
Каждому этому корню на основании B1) соответствует "вполне определенная
система значений JJ и поэтому на основании A4) — вполне определенная
функция <>«, семейства. Лишь в том случае, когда уравнение B2) имеет
кратные корни, <!^н остается отчасти неопределенной, так что вырождение
снимается неполностью.
Когда к растет, начиная с к = 0, то из этих а собственных функций <JiM
образуются функции возмущенной задачи. Функции возмущенной задачи на
основании уравнения E) могут быть вычислены, как в A0) и A1): в правую
часть уравнения E) вместо е и ^t подставляем только что
вычисленные eh и <]>кн и, разделив на р. разлагаем эту правую часть, а также ■
искомую функцию <р по собственным функция» $ц, где / изменяется от 1
до а, и I нумерует все собственные значения:
B3)
B4)
Так же как и в A0 а), из дифференциального уравнения E) следует, что
BH=W^W,> B5)
причем на основании B3) для 1фк будем иметь:

§ 21 эффект штарка 301
Аналогично равенствам A3) окончательный результат гласит:
B6)
Индекс к нумерует а ответвлений, на которые расщепилась вырожденная
задача при включении возмущения, и соответствует а решениям
алгебраического уравнения B2).
Обозначенные многоточием более высокие приближения,
пропорциональные X9, X8, ..., в общем случае имеют весьма не наглядный вид. В случае
эффекта Штарка без большого труда будет вычислено также и второе
приближение.
| 2. ЭФФЕКТ ШТАРКА
Если вдоль оси х в отрицательной направлении действует однородное,
сравнительно малое внешнее поле F, то мы должны в уравнении для задачи
Кеплера [гл. II, § 1, уравнение A)] к потенциальной энергии V = — Zea/r
добавить член eFx. Тогда, обозначая массу электрона через р, получим
уравнение
Можно эту возмущённую задачу решить в полярных координатах. Однако
это нерационально. Гораздо лучше воспользоваться более подходящими
в данном случае параболическими координатами, о которых было сказано
в гл. II, § 9. Через ?, ij, <p обовначим определенные там равенством C)
параболические координаты, через л*, л,, т — соответствующие
параболические квантовые числа. Число п = п%-\-пщ-\-т-\-\ является главным
квантовым числом. Через это число энергия невозмущенного состояния выражается
в виде:
W **£. B)
Волновая функция невозмущённого состояния ввиду возможности разделения
переменных в уравнении имеет вид:
[равенство A1.9.5I. C)
Член воамущения, т. е. правая часть уравнения A), ввиду того, что при
переходе
в форме
переходе к параболическим координатам х = Т*1 , может быть записан
Наличие этого члена не препятствует возможности разделения переменных
в уравнении. Оно лишь несколько изменяет уравнение A1.9.8) для
определения функций Д, Д. Теперь это уравнение будет иметь вид:
Здесь s, /, А, В, С обозначают те же величины, что и в (II.9.7).

302 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩРНИЙ [ГЛ. Y
А. Поправки первого порядка к собственным
.значениям. Вводя новую переменную p = 2]/r—As, мы уравнение D) [ср. A1.9.9)]
приведем к виду:
/•+}r+(-i+f-S-V-w. »
где введены следующие обозначения:
== /г» ■./ 7\8 ^= ±а /о ••/■ 1\8 * ' '
Величина q является собственным значением уравнения E).
Для того чтобы иметь возможность непосредственно применить
результаты предыдущего параграфа, необходимо уравнение E) преобразовать
к самосопряженной форме, что в нашем случае осуществляется простым
умножением на р. Тогда уравнение E) принимает вид:
G)
Первым приближением к собственному значению q является невозмущенное
собственное значение q0. На основании A1.9.13) оно равно
т ■-■•-■« (8)
.1 / «е
Это собственное значение различается для Д и Д. Как и в предыдущем
параграфе, разложим q и / по степеням параметра возмущения к':
? = * + *'•. /=/о+*'?. (9)
Здесь функция /0 лвляется решением уравнения G) в отсутствии возмущения.
На основании уравнений (9), A8), B0) из гл. II, § 9 эта функция
выражается в виде:
^ N = «+fti. A0)
Подставляя (9) в G) и пренебрегая членами порядка У2, мы для <р
получим уравнение
^ (|£) = (Р'-е)/о. (ID
На основании равенства (8) § 1 (для нашего случая s = р9, р = 1, dq = dp,
<l>k = <& =/,>) отсюда следует:
00 СО
j / A2)
При вычислении J ц К будем поступать так же. как и при вычислениях
в CI.9.24). На основании равенств A0) оба интеграла J и К могут быть
записаны в форме

§ 2] ЭФФЕКТ ШТАРКА 303
где О — целая функция порядка > для J и порядка м+2 для К:
вр»-|- .... (J)
Для того чтобы вычислить J, проинтегрируем A3) по частям т раз. При
этом, как это будет показано, достаточно производить дифференцирование
лишь сомножителя e~f. В результате получаем:
A4)
Подставив сюда представление для Ц (II.2.1) и учитывая, что
экспоненциальные множители сокращаются, будем иметь:
оо
J
Теперь можно снова интегрировать по частям. При этом все члены с
показателями степени меньше чем ■» дадут нуль. [Именно на этом основании
в A4) достаточно было дифференцировать e~f, так как члены, получающиеся
в результате дифференцирования р\ все равно при вычислении A5) дали бы
нуль.] В результате получим:
со
У= (— 1)" v! a J р V df = (— 1)* (ylf a. A6)
о
Аналогично для К найдем:
Отсюда следует, что
7 =
Для того чтобы определить величины а, Ь, с, необходимо вернуться к
равенству A1.2.7). Ив него при помощи от-кратного дифференцирования получается:
+ 7 (>-от-2I Р "+•
Отсюда находим отношение коэффициентов а : Ъ : с для О:
± = ^(,_ !)(,_„)(,_«_ 1), А v(v-«). A8)
Подставляя значение этих отношений в A7), окончательно будем иметь:
4 s —3m-J-2.

304
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. V
На основании A2) это есть поправка в к собственному значению,
причем необходимо делать различие между е^ и в,, в зависимости от того, идет ли
речь о собственном значении для Д или для Д. В дальнейшем нам
понадобится лишь разность е^— ev которая на основании A9) равна
-iii). B0)
| последнее равенство
приB1)
и я =
При значениях v< =
нимает вид:
«5 —в„= 6AX5 —
Б. Эффект Штарка первого порядка. На основании (9) при
учете значений q0 из (8) и к' из F) возмущенные собственные значения д
для обеих параболических координат будут равны
1
2
т
я»
B \Г=
B2)
С другой стороны, из F) при учете значения В в A1.9.7) будем иметь:
1
Отсюда, складывая равенства B2), получим:
\ Z , |* еР
или, учитывая B1),
Беря от обеих частей этого равенства квадраты обратных величии и
пренебрегая высшими степенями напряженности поля F, которая предполагается
малой, мы получим:
1 Г 3 у. еР{пг-п^-\
" п* [ 2 Й» (Г=АГ }'
ААа*
Выразим А на основании (II.9.7) через W и заменим в поправочном члене
в правой части равенства величину W в нулевом приближении согласно
равенству B):
3
g
Наконец, учитывая значение величины радиуса атома водорода а и
постоянной Ридберга R, получим:
B4)

§ 2] ЭФФЕКТ ШТАРКА 305
Это выражение точно совпадает с формулой Шварцшильда — Эпштейна
для эффекта Штарка первого порядка, которую мы обсуждали и сравнивали
с экспериментом в т. I, гл. VI, § 2. Особенно следует обратить внимание
там на равенство C0). Однако не только результат, полученный здесь,
совпадает с результатом, полученным ранее, но и весь путь, которым мы пришли
к этому результату, идет параллельно пути, которым мы шли в т. I, гл. VI,
§ 2. Например, как здесь, так и там исключение постоянной разделения
произведено при помощи сложения обоих значений для g = B/Y—А. Точно
так же и вычисление А из полученной таким образом суммы проходило
в обоих случаях одинаково, если отвлечься от незначительных различий в
обозначениях.
Для того чтобы результаты настоящего параграфа сравнить с общими
результатами предыдущего параграфа, необходимо заметить следующее:
задача Кеплера является вырожденной задачей; следовательно, её
рассмотрение следовало бы вести согласно с § 1, В. Вместо этого мы предпочли
разделить переменные в возмущённой задаче и применить более простые методы
§ 1, А. Возможность этого основывается на общей теореме теории краевых
задач типа Штурма — Лиувилля, которая утверждает, что собственные
значения обыкновенных дифференциальных уравнений этого типа являются всегда
простыми. В соответствии с этим при расчёте влияния возмущения мы
исходили не из энергии W полной задачи, а из собственных значений q
дифференциальных уравнений, получившихся в результате разделения переменных.
Затем мы внесли в эти собственные значения поправки, обусловленные
наличием возмущения. Лишь в самом конце, в равенстве B4), мы вернулись
к выражению для полной энергии W рассматриваемой задачи.
В. Эффект Штарка более высокого порядка. Для того чтобы
получить поправки более высокого порядка, необходимо учесть члены степени
;болыце. первой в разложении собственных значений и собственных функций
по степени параметра возмущения. Полагаем:
?»24. /==2 *'*/** B5)
Значения для q и / из B5) подставим в уравнение G) и приравняем
между собой множители, стоящие в правой и левой частях равенства при
одинаковых степенях к'. Это даст систему уравнений для рекуррентного
вычисления Д.
Первое из этих уравнений есть уравнение A1) при несколько
измененных обозначениях; «нулевое» уравнение есть дифференциальное уравнение
невозмущенной задачи Кеплера. Уравнение номера k будет иметь вид:
Мы рассмотрим случай k = 2:
±Ш + (яо—J—
Решением соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения, в
котором левая часть приравнена пулю, будет являться функция /е. Правая часть
неоднородного уравнения должна быть «ортогональна» к этому решению
[равенство F)-из' §• 1|/ Это Даёт равенство
20 3*к. 968. А. Зошкрфелм

306 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. У
н, следовательно,
JQ* = / Р9Л/о * — ft / /0/1Ф. B6)
где У есть интеграл, определенный в A2); для того чтобы вычислить правую
часть, необходимо прежде всего знать /j. Но Д совпадает с функцией ? из
уравнений A1). В соответствии с правилом (9) из § 1 мы должны'правую
часть этого уравнения, которая в принятых здесь обозначениях имеет вид
(р* — ft)/о» разложить по собственным функциям невозмущенной задачи. Это
дает:
S4/W. B7)
В левой части этого равенства /0, или точнее f^, означает собственную
функцию нулевого приближения, из которой мы исходим, т. е. функцию с
параболическим квантовым числом /ц или л,,; в правой части /w означают
остальные собственные функции нулевого приближения с <§в. Тогда на
основании (И) из § 1 для /± получим следующее выражение [вместо разности
собственных значений Wk—Wt в A1) теперь должно стоять qm— дм]:
- B8>
Отсюда видно, что второй интеграл в правой части равенства B6) равен
нулю, так как /0, т. е. /^ ортогональна ко всем /w при I Ф п (член с i = n
в сумме B8) отсутствует]. Следовательно, подставляя B8) в B6), получаем:
B9)
С другой стороны, из равенства B7) по правилу нахождения коэффициентов
Фурье следует:
/ Ря/о»/о< « - ft J /oJoi <* = Ai J & d?- C0)
Здесь вследствие ортогональности второй член в левой части равенства
исчезает. Множитель при А{, стоящий в правой части равенства, назовем Jt.
Введенную ранее величину J= [ find? будем теперь обозначать с помощью Ju.
Обозначив первый интеграл в равенстве C0) через Yt, мы можем это
равенство переписать в виде:
f C1)
Подставляя это равенство в B9), будем иметь:
А\ J.
2
Далее легко видеть, что At = 0 при
1<я —2 или
и, следовательно, при дальнейших вычислениях необходимо принять во
внимание лишь четыре коэффициента А:
"»-а> "n-i> ■И-1» Л
ч1И-9*

§ 21 Эффект штарка 307
В самом деле, запишем интеграл C1) в форме A3) и положим ч = п-\-т.
Тогда целая функция О = р"»+*аг4 будет порядка т-\-1-\-2 и этот порядок
будет меньше ч, коль скоро / < я — 21). Поэтому, как это было показано
ранее, при интегрировании по частям все члены при этих условиях дадут
нуль. Аналогично обстоит дело и в случае / > п -(- 2, что сразу видно при
перемене местами / и я. При помощи этого метода вычисляются значения Y
для ( = nq=2 и / = лг4=1 и отсюда на основании C1) значение At = —-,
В результате получаются следующие значения для членов в сумме C2):
-я-хО»—1)(ч — m)(v—1—т), / = я — 2,
jfi г 4ч (ч
-4tnJn — 4
1
—m)Bv —m)9,
♦о» — Ям Л|
— т), l = i
Отсюда при помощи суммирования получается прежде всего возмущение q%
для отдельной параболической координаты. Сумма членов ?<, для обеих
координат будет равна (при этом необходимо положить для параболических
координат 5 и т) соответственно v = ^-(-m и »,+/» и вынести за скобки
главное квантовое число п = щ,-{-п1{-\-т-\- 1):
C3)
Теперь вернемся к первому из равенств B5). Снова просуммируем обе его
части по координатам g и т\, ограничиваясь квадратичными относительно л'
членами. В результате получается равенство B3а), дополненное этими
квадратичными членами. А именно, беря значение к' из F), будем иметь:
=2 а
C4)
Это равенство необходимо разрешить относительно У — А, или, что то же
самое, относительно W. При этом во второй член правой части равенства
для W необходимо подставить его значение из первого приближения B36),
а в третий член — его значение из нулевого приближения A2). В
получающемся выражении для W члены нулевого и первого порядка по F, конечно,
совпадают с соответствующими членами равенства B4). К этим членам
необходимо теперь лишь добавить член порядка F2, который представляет эффект
Штарка второго порядка. Этот член при учете C3) будет равен:
C5)
Он был вычислен одновременно Вентцелем и Валлером 2).
В дополнении 9 т. I эффект Штарка второго порядка был рассмотрен,
следуя Эпштейну, на основании старой квантовой теории. Полученные там
•) / означает одно из чисел л;, nv относящихся к fa, так же как я означает
одно из относящихся к /on чисел гц, л~
») О. Wentzel, Zs. f. Phys. 38, 518 A927); J. Waller, Zs. f. Phys. 38, 635
A927).
20»

308 ТЕОРИЯ ВОЗЫУЩВНИЙ [ГЛ. У
формулы (9) и A0) отличаются от полученного здесь результата C5) внешне
лишь отсутствием постоянного слагаемого 19, стоящего в квадратных
скобках; но к этому добавляется более принципиальное различие, заключающееся
в том, что в старой теории квантовое число т могло принимать значения
1, 2 исключая нуль, в новой же теории квантовое число т может
принимать значения 0, 1, 2, ... Для проверки обеих формул необходимы
наблюдения при чрезвычайно сильных полях (ср. т. I, рис. 84, который позволяет
качественно ваметить асимметрию картины расщепления и, следовательно,
установить влияние членов порядка F2, Fs, ...). В количественном
отношении первые указания на небольшое отклонение от формулы Эпштейна дали
наблюдения Такамине и Кокубу1). В дальнейшем более точные опыты *)
Рауша фон Траубенберга и Гебауэра подтвердили во всех деталях
формулу C5).
Конечно, преимущество новой теории по сравнению со старой
заключается прежде всего в том, что она, кроме длин волн компонент линий
эффекта Штарка, позволяет вычислить также и интенсивности этих
компонент. Эти вычисления были проведены в достаточном приближении
(собственные функции в нулевом приближении, длины волн в первом приближении)
Шредингерсм и показали, что вычисленные значения интенсивностей для
большинства компонент лучше согласуются с экспериментами, чем при
вычислениях по принципу соответствия8). Уточнение вычислений (собственные
функции в первом приближении, длины волн во втором) указывает на наличие
при сильных полях асимметрии картины расщепления интенсивностей в несколько
процентов *).
f 3. ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ
Большие успехи классической теории дисперсии основывались на
представлении, что электроны в молекуле связаны квазиупругой силой и под
влиянием падающей световой волны приводятся в колебательное движение.
Применение этих представлений в старой квантовой теории (Ладенбург,
Крамере и Гейзенберг; см. ниже) удавалось лишь при специальных
предположениях и при применении принципа соответствия. Волновая же механика
без всяких специальных предположений и совершенно естественно
рассматривает вопросы дисперсии как эффект возмущения со стороны световой
волны.
В своем «четвертом сообщении» Шредингер вводит в волновое уравнение
зависящий от времени потенциал V(f) и строит теорию дисперсии как
пульсирующего эффекта Штарка. Однако удобнее, как это сделал Клейнб),
падающую световую волну описывать при помощи вектор'-потенциала. Для
оптических явлений оба пути ведут к одинаковым результатам.
<) Ср. A. So mm erf eld, Ann. d. Phys. €5, 36 A921).
2) К ссылкам, приведённым в т. I, гл. VI, § 3, необходимо добавить следующие:
Zs. f. Phys. 56, 254 A92J), где окончательно был исследован эффект Штарка второго
порядка. Ср. также М. К i u t i, там же 57, 658 A929). Эффект Штарка третьего порядка
исследован в работе R. Oebauer u. Rausch von Traubenberg, там же 62,
289 A930) и сопоставлен с вычислениями Y. lshida a. S. Hiyama, InsL phys. chem.
Res., Tokyo, стр. 152 A928). Вычисления приведены дальше в работе К. В as u, Zs. f.
Phys. 95. 576 A9С6).
») Согласно Н. Mark и R. Wierl, Zs. f. Phys. 53, 526 A929); 55, 156 A929);
57, 494 A929) можно так выбрать условия, что вычисления дадут правильное
соотношение интенсивностей.
♦) Т. Oustafson, Zs. f. Phys. 106, 7Q9 A937); N. Ryde, Naturwiss. 25,494
<1937).
») О. КI e i n, Zs. f. Phys. 41, 407 A927).

% 31 ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ 309
А. Возмущение состояния молекулы, вызванное
падающей световой волной. Пусть световая волна падает вдоль оси х
в положительном направлении и вектор электрической напряженности
направлен вдоль оси у (рис. 22). Тогда электродинамические потенциалы А и <$
будут равны
( ? = 0. A)
Отсюда на основании известных равенств:
Следует:
£ = —grad<p —у
(la)
т. е. волновое поле требуемого вида.
Подставляя значение электродинамических потенциалов A) в зависящее
от времени волновое уравнение A.6.126), получим:
. , У\
Здесь задача о молекуле рассматривается как задача
одного электрона. Соответственно этому т и е обо-
аначают массу и заряд электрона; масса молекулы
в уравнение не входит, так как ядра ее атомов
предполагаются неподвижно закрепленными. Далее, V
в этом уравнении означает потенциал внутри
молекулы. Этот потенциал, конечно, может и не быть рис. 22.
центрально симметричным. Он должен учесть не только
взаимодействие рассматриваемого электрона с ядрами атомов, но и
взаимодействие этого электрона с остальными электронами. Выражая косинус через
экспоненциальные функции, мы вместо B) будем иметь:
где b есть параметр возмущения (обозначенный в § 1 через к):
Ввиду того ято этот паоаметр возмущения зависит указанным образом от
амплитуды вектор-потенциала А, он может рассматриваться как сколь угодно
малая величина.
Пусть невозмущенное состояние рассматриваемого электрона и
соответственно состояние, возмущенное падающей световой волной, будет
описываться функциями
и и = ak-\-bw-+-... E)
Здесь ик удовлетворяет уравнению C) с 6 = 0. Подставляя значение E) для
и в уравнении C) и пренебрегая членами порядка №. получим следующее

310 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
дифференциальное уравнение для w:
Ввиду того что правая часть этого уравнения зависит от времени, положим:
G)
Тогда из уравнения F) для определения w± получаются следующие уравнения:
где X есть длина волны, соответствующая частоте •*.
Задача, стоящая перед нами, отличается от той, которую мы
рассматривали в § 1, в том отношении, что теперь нам необходимо рассчитать влияние
возмущения в уравнении, зависящем от времени. Несмотря на это различие,
задача решается аналогично тому, как это было сделано в § 1: разлагаем
правую часть уравнения (8) по полной системе собственных функций ty
невозмущенной задачи:
где в соответствии, с A.12) А^ равно
У коэффициентов разложения А# наряду с индексом суммирования/ добавлен
еще индекс к, относящийся к начальному состоянию с волновой функцией <{^.
Это окажется полезным для дальнейшего. Собственные функции ty
удовлетворяют хорошо известному уравнению:
5 = 0. (96)
Если мы искомое решение представим в виде
тогда из (8) и (9а) следует, что
й - й'
& 2т Wk—
и поэтому
ft*
На основании D), E), G) и A0) возмущенное состояние может быть
представлено в виде:
А "V
Wk—

§ 31 теория дисперсии 311
Равенство A1) показывает, что под влиянием световой волны, крэме
исходного состояния к, возбуждаются также и все другие состояния J, для
которых Ар Ф 0. Если кроме дискретного спектра имеется также
непрерывный спектр собственных значений, то в A1) к сумме добавляется
соответствующий интеграл, как это было подчеркнуто в конце § 1, А.
Обозначение Afk подчёркивает то обстоятельство, что на основании (9),
строго говоря, вначения Ajk в обоих суммах различаются друг от друга; если
пренебречь размерами атома по сравнению с длиной волны X, то оба
значения Ajk могут- быть положены приблизительно равными друг другу, что мы
и сделаем.
Покажем, что при этом предположении величины Ajk находятся в тесной
связи с матричными элементами yik координат (ср. (III. 2.1а)]. Прежде всего
при этих предположениях равенство (9а) принимает вид
где переход ко второму равенству произведен при помощи интегрирования
по частям. Складывая эти равенства, получим:
) A2)
Подинтегральное выражение в правой части равенства пропорционально jp-ком-
поненте тока, соответствующего переходу k^tj (см. (I. 7.15)]. Это можно
видеть, если в последнем равенстве опустить временной множитель и
положить А = 0, так как функции <k и ty описывают невозмущенное состояние
молекулы. Принимая, далее, во внимание преобразование (I. 8.16) и значение
частоты перехода
W
найдем искомое соотношение между А# и yik:
(Н)
Заметим еще, что при переходе к комплексно-сопряженным величинам будем
иметь:
jCjk = —Aki, A46)
причем A46) следует из A2), а A4а) следует из (III. 2.1а). Таким образом,
у# являются «эрмитовыми», Ajk—«антиэрмитовыми».
Учитывая равенства A3) и A4), мы равенство A1) можем переписать
в виде:
Б. Частота и сила вынужденных колебаний.
Дисперсионная формула. Вычислим плотность, связанную с. возмущённым
состоянием а, т. е. величину it и. Прежде всего из равенства A5), записанного
в сокращенной форме [учитывая, что на основании D) b является чисто мнимой

312 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЯ. V
величиной], найдем:
Очевидно, что при выполнении умножения мы можем пренебречь членом с
как величиной второго порядка малости. Тогда получается:
где введены обозначения:
Из A6) следует: частота вынужденных колебаний плотности совпадает с
частотой падающей световой волны. Тем самым волновомеханическим путем
обоснована основная особенность всех дисперсионных явлений (ср.
рассмотрение «скачков Смекаля» в пункте Д).
Пусть рассматриваемая молекула принадлежит газу, показатель
преломления которого желательно вычислить. Для того чтобы провести такое
вычисление, необходимо прежде всего знать электрический момент молекулы.
Предположим, что положительный заряд молекулы сосредоточен в начале
координат. Тогда необходимо вычислить
A7)
где q может быть любой из трех координат.
Отсюда, учитывая A6), A4а), (III. 2.1а), будем иметь:
)■
Для того чтобы перейти'к величине «электрической поляризации»,
необходимо это выражение просуммировать по всем молекулам в единице объема.
Так как молекулы газа ориентированы беспорядочно, результирующий момент Р
единицы объема будет направлен по электрическому вектору световой волны,
т.' е. вдоль оси у, поскольку после того, как мы пренебрегли множи-
телем е *■, это направление является единственным'выделенным
направлением.
Следовательно, обозначая через N число молекул в единице объема»
находим:
Р = ЛШ„. A9)
Для д = у равенство A8) значительно упрощается. Прежде всего ввиду (На)
будем иметь У}кУк^ — \У}к\л- Кроме того, целесообразно привести это
выражение к общему .знаменателю и экспоненциальные функции собрать в синус.
Тогда получим:
\ Vv4!2!££} A9а)

§ 31 ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ 313
Однако это выражение пока ещё образовано не вполне последовательно, так
как направление поля вдоль оси у мы считали закреплённым в пространстве,
в то время как собственные функции ty, <>k вычислялись относительно oceft
координат, твёрдо связанных с молекулой. Следовательно, эти оси координат
в зависимости от ориентировки молекулы различным образом ориентированы,
относительно направления поля. Поэтому необходимо принять во внимание
всевозможные направления д относительно направления поля. Следовательно,
в A9а) необходимо у заменить через д и усреднить по всем возможным
направлениям д. Это усреднение даёт:
Заменим, далее, sin2irtf на основании Aа) через с\Е\/2ъча и на основании D)
b—через iea/hc. Тогда получим:
P
Из электродинамики известно1), что E-\-P = D =е£, и поэтому — = t —
С
— 1=п9—1, где через е и п обозначены соответственно диэлектрическая1
постоянная и коэффициент преломления. Таким образом, из B0) получим:
Равенство примет более простой вяд, если ввести круговую частоту
• = 2it> и соответствующие круговые частоты o>jk = 2л>^. Тогда оно
запишется следующим образом:
2m
Это равенство в точности совпадает с классической дисперсионной формулой,
как в отношении множителя перед знаком суммы, так и в отношении общего/
вида «резонансного знаменателя». Однако по сравнению с классической
формулой имеется следующее принципиальное различие: в классической теории
вместо частот перехода о>ук стоят собстаенные частоты о>у. То обстоятельство,
что при интегрировании ураанения (8) формализм теории возмущений
автоматически замещает величины wk, пропорциональные Wk, величинами ш}к,
пропорциональными разностям Wk — Wj, является весьма характерным для
волновой механики. Тот факт, что только частоты перехода «# могут быть
с экспериментальной точки зрения существенны для дисперсионной формулы,
не нуждается в особых пояснениях, имея в виду совокупность исследований,
связанных с аномальной дисперсией.
В. Обсуждение дисперсионной формулы. Силы
осцилляторов и правила сумм. Формула B2) является уточнением классической.
1) Если выбираются «рециональиые» единицы измерения. При употреблении
обычных единиц измерения необходимо было бы заменить Р через 4кР и в соответствии-
с этим в числитель выражения B0) добавить множитель 4я.

314 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
дисперсионной формулы. Оиа ведёт своё начало от работы Крамерса1).
Прежде в соответствии с условиями эксперимента принимали во внимайие
лишь основное состояние колеблющегося атома или молекулы; поэтому в дис-
персяонную формулу входили только те абсорбционные частоты, которые
получались из этого основного состояния (у щелочных атомов это — частоты
главной серии). Крамере же рассмотрел колеблющийся атом или молекулу
в произвольном возбуждённом состоянии с собственным значением Wk и
обосновал по принципу соответствия представление, что в этом случае в
дисперсионной формуле необходимо принять во внимание все частоты излучения,
которые возможны при переходах из состояния Wk, т. е. необходимо учесть
все разности Wk— Wj, для которых Wy< Wk. Волновомеханическое
рассмотрение подтверждает эту точку зрения: как это подчёркивалось при выводе
равенства A1), решение задачи по методу теории возмущений приводит к
необходимости принять во внимание все состояния, как с W} < Wk, так и с Wj > Wk.
Рассмотрим более подробно числитель дисперсионной формулы. В
классической электронной теории он учитывает число электронов (на атом или
молекулу), которые принимают участие в соответствующем собственном
колебании, или, как говорят (поскольку это число при квантовом рассмотрении
ие обязательно должно быть целым числом), этот числитель учитывает «силы
осцилляторов». Эти «силы» в B2) обозначены, как обычно, через /.
Наличие множителя |ryk|9 в / приводит к тому, что в дисперсионной формуле
учитываются лишь те собственные значения Wj и соответствующие частоты ш^,
которые могут комбинироваться с исходным собственным значением Wk.
Пример: у щелочных элементов в основном состоянии S для дисперсионной
формулы существенны лишь линии главной серия (SP). Частоты же,
соответствующие переходам (SD), (SF), запрещённые правилами отбора для
азимутального квантового числа, в дисперсионную формулу не войдут. Сами
правила отбора в (II.5.2) были выведены из того факта, что вследствие
ортогональности шаровых функций мы для этих переходов будем иметь xjk = yik=*
= Zjk = Q. Кроме |fjk|9 в / входит множитель шд, который на основании A3)
может быть как положительным, так и отрицательным. Отсюда следует:
силы осцилляторов будут отрицательными для дополнительных членов
Крамерса, соответствующих излучательным частотам Wj < Wk; эти силы будут
положительными для обыкновенных членов, соответствующих абсорбционным
частотам Wj>Wk. Для последних мы запишем f=fa; для первых же,
чтобы нвзвание «силы осцилляторов» более подходило, положим /= — /в.
Тогда дисперсионная формула B2) может быть записана в виде:
Очевидно, что под у^Л мы понимаем, что Wj^Wk.
В соответствии с формулой B3) члены, введённые в теорию Крамерсом,
называются также «отрицательными дисперсионными членами», несмотря на
то, что их знак тоже зависит от знака знаменателя и изменяется на обрат-
вый, когда частота падающего света «о переходит через частоту точки
аномальной дисперсии, т. е. и>}к.
Силы осцилляторов / удовлетворяют правилу сумм:
=l. B4)
>) Н. A. Kramers, Nature, май и август 1924; Kramers u. Heisenberg,
Zi. Phys. 31, 684 A925).

§ 31 теория дисперсии 315
которое было одновременно открыто Томасом и Рейхе 1), с одной стороны,
и Куном *) — с другой. Сначала оно было доказано на основании принципа
соответствия. С точки зрения волновой механики это правило основывается,
как и другие правила подобного рода, на полноте системы собственных
функций ifj, по которым произведено разложение возмущения.
Мы докажем утверждение более общее, чем B4), а именно, что для
любой координаты q имеет место равенство
-1- B4а)
Пользуясь обобщённым для произвольной координаты q равенством A4), мы
можем записать равенство B4а) в следующем виде:
-22Л^ку=1. B46)
Необходимо также соответствующим обрааом обобщить равенство (9)
и (9а):
B5)
Разложение для сопряжённой функции будет иметь вид:
^=2^- B6)
С другой стороны, величины qik являются полученными по правилу Фурье
коэффициентами разложения в ряд функции
Q'bc ^ 2a 9jk^ij' B7)
Отсюда, переходя к сопряжённым величинам, принимая во внимание A4а) и
меняя обозначение индекса суммирования, получим:
qtyk = 2 9h'W • B8)
i
Перемножим правые и левые части равенств B5) и B8) и проинтегрируем
по координатам. Тогда получится, что
Переход к последнему равенству произведён на основании ортонормироваи-
ности функций <]/. Точно так же при перемножении равенств B6) и B7)
с учётом A4а) получаются равенства:
J ^
C0)
i) W.Thomas, Naturwiss. 13, 627 A925); P. Reiche u. W. Thomas. Zs. I
Phys. 34, 510 A925).
*) W. К u h n. Zs. L Phys. 33, 408 A925).

316 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Из равенств A4) и A4а) видно, что величина А^щ является действительной
величиной. То же самое справедливо для произвольной координаты q.
Следовательно, мы имеем:
Сложим почленно равенства B9) и C0). Справа будем иметь:
2 2М,*яу. C1)
С левой стороны получается:
J —1. C2)
Сравнивая C2) с C1), получим равенство B46), что и требовалось доказать.
Только что доказанное правило сумм относится к случаю одного
электрона. В случае системы из л электронов в равенстве B4) вместо единицы
надо поставить я в соответствии с тем обстоятельством, что электрический
момент такой системы будет аддитивно слагаться из электрических моментов
отдельных электронов.
Сравним полученный результат с классической теорией дисперсии.
В классической теории при одном колеблющемся электроне дисперсионная
формула, соответствующая формуле B2), будет одночленна (не будет знака
суммы и имеется лишь одно собственное колебание); в числителе в этом
случае стоит число электронов я = 1. При волновомеханическом
рассмотрении у нас получается бесконечное число членов B2), причем необходимо,
конечно, принять во внимание наряду с дискретным спектром также и
непрерывный спектр собственных колебаний. В случае л колеблющихся электронов
классическая дисперсионная формула состоит из я членов, которые
соответствуют собственным частотам колебаний различных электронов. Эти частоты
могут быть различными, а могут частично и совпадать друг с другом; при
волновомеханическом рассмотрении этому случаю соответствует бесконечный
ряд B2) с
2/= п. C3)
В предыдущих вычислениях мы никакой специализации потенциала V
ие предполагали. Для того чтобы детализировать правило сумм1), предположим,
что потенциал V обладает центральной симметрией. Далее предположим,
что диспергирующими системами являются атомы. Тогда для начального
состояния будем иметь:
(cos »)«*«•*. * = («,/, m). C4)
Для возмущенных состояний запишем:
?' J = (nr. I', тГ). C5)
В этих формулах Ntm и Nirmi являются нормировочными множителями угловых
частей собственных функций, радиальные же части R собственных функций
в C4) и C5) предполагаются нормированными на 1. На основании равенств B2),
') Е. Wiener, Phys. Zs. 32, 450 A931); J. S. Kirkwood, таи же 33,521
A932); H. A. Kramers, С С. Jonker u. Т. Koopman, Zs. L Phys. 80, 178 A933).

§ 31 теория дисперсии ЗГ7
B3), C0) гл. I, § 9 мы имеем:
J *Т
Поскольку в поле атома нет какого-либо выделенного направления, то мы
можем вести расчет в раз навсегда, закрепленной системе координат.
Направим полярную ось ft = 0 по направлению поляризации (ось
индуцированного электрического момента) и обозначим эту ось через г (раньше у).
Правило отбора числа т для матричного элемента zjk будет т! = т. Правило
отбора для / гласит: I'^ldzl. Вследствие этого все Zjk и поэтому и все
члены суммы B4а), которые не удовлетворяют этим правилам отбора,
обратятся в нуль. Следовательно, вся сумма разобьется на две частичные суммы с
/' = / -И— 1 и /' = /— 1. C6)
В первой сумме производится суммирование по п! при фиксированных т' = m
и /' = /-{-1, во второй сумме — по п' при фиксированных я' = яи/' =./ — 1;
квантовые числа п, /, т ^-состояния, само собой разумеется, в обеих суммах
одинаковы.
Эти частичные суммы могут быть вычислены раздельно. В самом деле,
функции bj образуют полную ортогональную систему функций в трех
измерениях. Радиальные же части Rn'v этих функций ф, при переменном л' и
фиксированном /' образуют полную ортогональную систему функций в одном
измерении. Это утверждение эквивалентно утверждению, что произвольная
функция р(г) может быть разложена в ряд Фурье по Rn'i>-
р (г) = 2 С»/ Rn'v. С„/ = J р (г) Rn'1'гЧг. C7)
выражение для С„/ следует из условия ортогональности (II.2.10) для R;
нормировка, которую требуется привести в согласие с (II.2.11), в нашем
случае по предположению'уже проведена.
Прежде чем переходить к «правилу сумм для /», рассмотрим «правило
сумм для q». В то время как в случае «правила сумм для /» дело идет
о суммах произведений «частоты на квадрат матричного элемента» [см. B4а)],
при выводе «правила сумм для q» мы рассмотрим просто сумму квадратов
матричных элементов. Отождествляя ^-направление с выделенным в
собственных функциях направлением г, образуем
C8)
Для того чтобы вычислить эту сумму, перемножим равенство B7) и B8),
положив в них q=iZ, и проинтегрируем по х. Тогда получим:
J г2^ dx = J 2 xrf, 2 *t& dx = 2 г&ы = SI
Член в левой части равенства является волновомеханическим средним от z9
в начальном состоянви к, т. е. матричный элемент от г3 с индексом к, к,
который обозначается через (?\к. Поэтому «правило сумм для q» в нерас-
щеплбнной форме запишется в виде:
C9)

318 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
В этом равенстве правая часть на основании C4) равна
(*•)*» — 2«Л&, J г91 /?„, |« г9dr j (cos ЪРГ)г sin » d». D0)
На основании равенства A5а) в дополнении 6 интеграл по углам в этом
выражении равен
2 (l+m)\ I (/+!)»-и« /»-иа i
57+7 (/ — /я)!1B/+1)B/ + 3) ' B/— 1)B/+1)Г к '
Множитель, стоящий в этом выражении перед { }, вместе с множителем 2vNim,
стоящим перед интегралом в правой части равенства D0), дает единицу.
С другой стороны, интеграл по г в D0) есть (г\к, т. е. равен волновомеха-
ническому среднему от г9 в начальном состоянии. Следовательно, на
основании C9) и D0) имеем:
/ — о*> f (/+l)a—m» . Р — т* )
J — V )кк lB/_|_ 1} B/ + 3)"Т"B/— 1) B/+ 1) I *
Утверждается, что D1) даёт нам «правило сумм для q в расщеплённой
форме», если только вместо D1) написать:
и_„ D2)
■ соответственно, заменяя / через /—1,
"' D26)
Первая из этих сумм соответствует переходам k = (n, I, m)-+j = (n',
1-\-\, т), вторая — переходам к = {п, I, m)-*-j = (n', /—1, т.), все другие
переходы, как мы знаем, относятся к исчезающим zik и не нуждаются в
рассмотрении.
Для доказательства D2а) исходим из представления C5) для ty с j = (п',
/+1, I»). Имеем:
tf = Nt+U-«./?„/, i+iP?+le"*■•. D3)
(Переход к сопряженному выражению связан с заменой т иа —т в
нормировочном множителе.) Отсюда следует, что
_„ J rRn. tRn-. »+f9 dr J cos WW+i sin »</». D3a)
Значение интеграла по углам приведено в равенстве A56) дополнения 6.
Поэтому получаем:
При помощи этого равенства образуем следующую сумму по п' (I
фиксировано и для отличия от переменной интегрирования г аргумент функции
обозначаем через г):
2 ZjkRn', i+i (г) = L 2 J rRa, iR»,, ,+1raflfr Rn,, ,+1G). D4)

§ 31 теория дисперсии 3_19
Очевидно, что не зависящий от п' множитель L равен
Сумма справа в D4) на основании C7) сразу вычисляется и дает г/?п#,(г).
Следовательно, записав г вместо г, получим вместо D4)
2 D5>
Далее умножим последнее равенство на сопряженное и на г9 йг и
проинтегрируем обе части по г. Вследствие ортонормированности функций Rn',t+i
слева получится:
2Ы» = У,-,1+1. D5а>
Справа будем иметь:
* J г* I Я».. |а г* dr = L» (г*)**. D5б>
как в D1). Но на основании D4а) и C5а) мы имеем:
1*° '
Ив равенств D5а, б, в) непосредственно следует равенство D2а), которое
надо было доказать.
Равенство D26) не нуждается в специальном доказательстве, так как оно,
как это было указано выше, получается из D2а) при помощи замены / на
/— 1.
В равенствах D2а, б) предположено, что переходы, различающиеся
значениями квантового числа т, могут быть рассмотрены обособленно. Это
справедливо лишь при наличии магнитного поля. В других случаях
необходимо произвести усреднение по всем т, от —/ до + /. Это дает упрощение
формул. Принимая во внимание A.9.39), найдем:
D6)
в согласии с Кирквудом (см. примечание на стр. 316).
В результате усреднения у нас пропадает также выделенность
направления г. В то время как D2а) и D26) имели место лишь для матричных
элементов г, соотношения D6), полученные в результате усреднения,
справедливы и тогда, когда в C8) г заменено любой координатой q.
Перенесем теперь результаты этого расщепления «правила сумм для q»-
иа правила сумм для / B46). При этом для начала ограничимся опять
случаем q = г. Легко показать,. что при z = rcos& будем иметь:
sin*» д
я, следовательно, на основании C4):

320 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Принимая во внимание первую частичную сумму с I' = 1-\- 1 и используя D3),
лы на основании B5) получим:
£lRni t+1r*dr JcosЪР?Р?+1 sin »rf».
И = J у R,aRn>.Mr*drjsLn* » ^-% /fti sin 0 db.
Значение интегралов по углам в I и II вычислены в A56) и A5в) дополнения 6.
Воспользовавшись обозначением D4а), запишем:
Так же как и в D5), принимая во внимание C7), образуем сумму
Последнее равенство умножаем на величины, сопряженные величинам в D5),
и произведение интегрируем по г. Слева получим:
#/ D7)
Справа будем иметь:
(j j) D7а)
Последний интеграл равен единице вследствие нормировки R; первый
интеграл, в силу того, что он действителен, преобразуется к виду:
Поэтому D7а) переходит в
= — ~2—27+Т—»
причём при переходе к последнему равенству учтено D5в). Сравнение D7)
с D76) дает «расщепленное правило сумм для /» в следующей форме:
2 ^,V D7.)
Вторую сумму C6) нет необходимости вычислять заново, так как она сразу
получается из D7в) и «нерасщепленного» правила сумм B46). Мы будем
иметь:
«'=7-1
Усредняя по т, получим еще, так же как и в случае правила сумм для q,
«следующие /-суммы, не связанные с наличием магнитного поля:
и соответ«венно — "з"

§ 31 теория дисперсии 321
которые справедливы для произвольной координаты q. Отрицательный знак
в последней формуле отвечает отрицательному дисперсионному члену
(стр. 314). Значение частичных сумм D7д) согласуется с результатами Виг-
нера (см. примечание на стр. 367).
Г. Релеевское и комбинационное рассеяние. Возвратимся
снова к точке зрения пункта А и более внимательно рассмотрим
электрический момент молекулы, на которую падает световая волна. При этом будем
делать различие между моментами состояний и моментами переходов. Моменты
состояний в случае невозмущенных молекул не зависят от времени, т. е.
состояния не способны давать излучения; лишь переходы дают излучение,
частота которого определяется условием Бора. В возмущённых состояниях
молекул также происходит излучение, излучение имеет ту же частоту, что
и частота падающего света, как это видно из равенства A8). Это излучение
есть нормальное, или релеевское, рассеяние. В противоположность этому
при переходах излучается изменённая частота. Мы в этом случае говорим
о комбинационным рассеянии. Дело идёт о некогерентном рассеянии, так как
вследствие различия частот падающего и рассеянного излучения между ними
не может существовать никакого фазозого соотношения.
Пусть ак и ы, будут два невозмущённых состояния системы (атома или
молекулы); соответствующие возмущённые падающей световой волной
состояния пусть будут и и v. Функция и дана равенством A1). Функция v
получается из A1) заменой к на /. Образуем смешанную плотность a'v. Так же
как и в A6), пренебрегая членами второго порядка малости относительно
параметра возмущения Ь, будем иметь:
2")| -"**. («8)
Момент, соответствующий этой плотности, будет равен
± {QU^V+Q^-^^',.»'}, D9)
^±
Из D9), D9а) могут быть получены частоты, интенсивности и правила
отбора для некогерентного рассеянного излучения.
1. Частоты рассеянного излучения. Для того чтобы уточнить наши
предложения, примем, что ик есть основное состояние и щ — возбуждённое
состояние невозмущённой молекулы. Тогда то же самое справедливо и для
возмущённых состояний и и v. Величина v,k положительна. Из D9) видно,
что, кроме ч№ — частоты спонтанного перехода I-*■ к, которая нас здесь
не интересует, появляются ещё две частоты:
"»—v» и v + ■"!*• E0)
(Здесь, написано именно v — ч1к, а не vft— ч, так как во всех практических
важных случаях v > v,t.) Возможность некогерентного рассеяния с этими
частотами была установлена ещё до волновой механики Смекалем *) на
основании рисунков и формул 23а и 236.
1) A. S гаек a!, Naturwlss. И, 873 A923).
21 Зшс. 968. А. Зоммерфель*

322
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. v
Экспериментально доказать наличие этих «скачков Смекаля» удалось, как
известно (без предварительного знания работы Смекаля), Раману1) и Криш-
ыану. При рассеянии света в чистых жидкостях и газах9) они, кроме
обычного рассеянного света с неизменённой частотой, наблюдали также рассеянное
излучение более низких частот, чем частота падающего света в соответствии
с рис. 23а. В отдельных случаях они наблюдали также рассеяние и с
большей частотой в соответствии с рис. 236. Заведомо ясно, что процесс,
представленный на рис. 236, будет слабее, чем процесс, представленный на
рис. 23а, так как он предполагает наличие более возбуждённого атома по
сравнению с процессом рис. 23а.
Переходы типа рис. 23а мы будем
называть стоксовскими, типа рис.
236 — антистокеовскими.
Комбинационное рассеяние
является оптическим аналогом
эффекта Комптона, как это видно из
его рассмотрения в гл. VIII. Уже
Рис. 236. Атом иа- отсюда видно фундаментальное
значение этого эффекта. Эта зналогия
далее была освещена в обширной
ствием падающей литературе, в которой по частотам
волны частоты v Njfc изучались инфракрасные частоты
колебаний исследуемых молекул (на-
-К
V
v«
г
и
Рис. 23а. Атом
находится в
основном состоянии к.
Падающая волиа
частоты v вызывает
одновременно
возбуждение атома
(переход *-»•/) и
излучение с
меньшей частотой:
/. Под воздей-
й
при этом
при этом опять
W W
атом переходит в
лё!Рии1коГсостоя- пример, бензола, толуола, воды),
ние к н изучает 2. Правила отбора. Величи-
ббльшую частоту: нами, определяющими
интенсивность рассеянного света, являются
Qw в D9а). Здесь у и q являются
соответственно направлениями
поляризации падающей световой волны и наблюдаемой рассеянной волны.
Прежде всего рассмотрим числители выражения для Q«. В этих числителях
стоят произведения двух матричных элементов. Следовательно, существует
определённая зависимость между интенсивностями при комбинационном
рассеянии и интенсивностями излучения при обычных переходах. В последнем
случае интенсивности определяются посредством одного матричного элемента.
Эта связь приводит нас к правилам отбора для комбинационного рассеяния.
Первоначально существовало мнение, что частоты vtt совпадают с
частотами собственных колебаний молекул, которые лежат в инфракрасной части
спектра и потому трудно доступны для непосредственного наблюдения.
Комбинационное рассеяние весьма удобно отражает эти колебания на шкалу
видимой части спектра. Однако такому мнению, строго говоря, противоречат
правила отбора; если колебания ч№ возможны как дипольные колебания,
абсорбции или излучения, то они должны быть запрещены как сдвиги частот
при комбинационном рассеянии, и наоборот, или, выражаясь в другой форме:
строго говоря, величины qkl и Qkt не могут быть одновременно отличными
от нуля.
Для того чтобы это установить, будем исходить из простейшей схемы
правил отбора, которые имеют место для гармонического осциллятора. Эти
1) Raman, Indian Journ. of Phys. 2, март 1928; см. также Nature 121, 501 и 122,
12 A928).
2) На кристаллах это явление независимо от иидийских исследоваиий было открыто
Ландсбергом и Мандельштамом, Naturwiss. 16, 557 A928).

§ 3] ТЕОРИЯ ДИСПЕРСИИ 323
правила отбора допускают лишь переходы с изменением квантового числа
на ± 1. Для того чтобы qki было отлично от нуля, должно быть
H*-i. <51)
Чтобы одновременно и yfl было отлично от нуля, необходимо, чтобы имело
место равенство
(k+2,
1 = 1 k, E1a)
U—2.
Но для этих трёх значений / величина qkt обращается в нуль на основании
правил отбора для осциллятора. Это и означает, что колебания vtt,
разрешённые как сдвиг при комбинационном рассеянии, запрещены как частоты
линий излучения или абсорбции. Если же, например, наоборот, ча разрешена
как линия абсорбции, следовательно, l = k±\, то не существует такого
третьего уровня j, который мог бы одновременно комбинироваться с k и /;
следовательно, vft не может стать в этом случае частотой сдвига при
комбинационном рассеянии.
Если правила отбора не являются абсолютно строгими, как это имеет
место, например, в случае ангармонического осциллятора, и возможны
спонтанные переходы с изменением квантового числа на ±2, хотя и с меньшей
вероятностью, то и альтернатива — либо сдвиг при комбинационном
рассеянии, либо абсорбция — не является более категорической. Это обстоятельство
и сделало возможным для Рамана и Кришнана в их первых исследованиях
установит^ общую связь между величиной сдвигов при комбинационном
рассеянии и инфракрасной абсорбцией (бензол, толуол и т. д.). Однако правила
отбора попрежнему дают себя знать в виде соотношения интенсивностей:
сильные линии абсорбции соответствуют слабым линиям комбинационного
рассеяния, и наоборот.
Общее правило для возможности осуществления эффекта со сдвигом
частот ча гласит: должны существовать один или несколько уровней у",
которые были бы способны комбинировать с k и /.•
Комбинационное рассеяние для вращательных частот газов Н2, N2, O.>
исследовано в классических работах Разетти1). Последовательные линии
отстоят друг от друга на расстоянии в два раза большем, чем расстояние
между следующими друг за другом линиями полосатого спектра
вращательных колебаний, в согласии с равенством E1а). Зная положение этих линий
относительно возбуждающей линии (Hg 2537), можно сделать важные выводы
о спине ядра соответствующего атома (у N спин ядра равен единице).
Мы не можем здесь ближе касаться вопроса о количественных оценках
интенсивностей и вопроса о поляризации. Это завело бы нас слишком далеко
в вопросы симметрии молекулярных структур. Поэтому укажем лишь на
работу Плачека2). Для общей ориентировки в проблемах и результатах
исследований эффекта комбинационного рассеяния полезна монография Коль-
рауша *).
<) P. R a sett). Phys. Rev. 34, 367 A929); Nat Acad. Amer. 15, 515 A929); Zs. f.
Phys. 61, 398 A930); Nature; ноябрь 23, 1929.
*) О. Р1 а с z e k, Handbuch der Radiologie, 2-е изд., т. VI, 2, Leipzig, 1934.
я) К. W. P. Kohlrausch, der Smekal-Raman-Effeckt, Berlin, Jul. Springer, т. I,
1931; т. II. 1938.
21»

324 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. V
f 4, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИРАКА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ
В предыдущем изложении мы рассматривали возмущение, которое
существует постоянно. Теперь изучим процесс появления возмущения.
Соответствующий метод разработан Дираком 1). По причинам, которые сейчас будут
выяснены, этот метод называется также методом вариации постоянных.
Пусть t = О будет тем моментом времени, когда появляется возмущение.
Далее, для / < О пусть справедливо волновое уравнение:
решения которого составляют полную систему собственных ортонормирован-
ных функций ак, ... с собственными значениями Wk, ...:
B)
Невозмущённое состояние системы описывается при помощи этих функций.
Для t > О волновое уравнение гласит:
Пусть оператор возмущения Нв имеет вид:
где Ve есть возмущающий потенциал электрического происхождения, а А, есть
вектор-потенциал магнитного происхождения; в отношении множителя при
(i4egrad) сказано на стр. 42. В общем случае V, и Ав зависят от времени.
Собственные функции стационарного состояния B) не являются решениями
этого уравнения. Однако, ввиду того что функции ик составляют полную
систему функций, мы можем искомое решение уравнения C) представить
в виде:
и = 2а***+--.. D)
где многоточием обозначен интеграл по непрерывному спектру собственных
значений. Представим себе, что мы это разложение произвели для различных
моментов времени. Тогда и коэффициенты ак в зависимости от значения t
будут различными. Следовательно, ак являются функциями времени, но
«медленно меняющимися функциями» в сравнении с быстро изменяющимися
экспоненциальными множителями, содержащимися в ак. Зависимость ик от
времени определяется из дифференциального уравнения C). Подстановка D)
в C) дает:
Ввиду A) два средних члена взаимно уничтожаются. Поэтому получим:
I) P. A. M. Dlrac, Proc. Roy. Soc. A 112, 661 A926).

§ 4) ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИРАКА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ 325
Умножаем это равенство на и!, понимая под j некоторый фиксированный
индекс, и интегрируем по dx. В результате будем иметь:
Это уравнение определяет изменение а со временем в зависимости от
значений самих а; значение же а определяется конкретными условиями задачи.
Следовательно, это уравнение учитывает ту «вариацию постоянных» в D),
которую требует уравнение C).
Для того чтобы разложение D) было пригодно с точки зрения волновой
механики, необходимо, чтобы и было нормировано на 1. Следовательно,
должно иметь место равенство
или, учитывая ортогональность и нормировку ик, uj.
Покажем, что если это условие выполнено для какого-то одного момента
времени, например / = 0, то оно будет выполнено и для всех других
моментов времени. Для доказательства умножим уравнение F) на aj и
просуммируем по у. С другой стороны, уравнение, сопряжённое к
уравнению F),
+ 7TF-2** <7а>
к
умножим на aj и также просуммируем по j. Тогда получим соответственно
равенства:
i k,j
da<j V • л* V *a» /a*\
f ~dt ~ 2d kajAjk = 2л akaJAkr ' '
i k,i k,j
В равенстве (8а) последняя сумма равна предыдущей, потому что получается*
из неё простым изменением обозначений индексов суммирования k*£j.
Вычитая (8) из (8а), получим:
A d
тж 2 v;
i
Отсюда видно, что правая часть этого равенства обращается в нуль, если
матрица Aki является эрмитавской 1)\ но тогда равенство (9) означает, что
2|°>12 не зависит от времени и условие G) сохраняется с течением времени,
коль скоро оно было выполнено для некоторого момента времени.
>) В гл. III, § 4 и 5 было показано, что все имеющие физический смысл
операторы имеют эрмитовские матрицы. В рассматриваемом случае непосредственно видно,
что оператор, сопряжённый к оператору возмущения //„, равен Н*а. Но отсюда следует
(см. стр. 163), что матрица Ajk, принадлежащая оператору //„ является эрмитовской.

326 теория возмущений (гл. v
Теперь предположим, что при значениях времени f<0 система
находилась в состоянии Ujf. Тогда для / = 0 постоянные а имеют следующие
значения:
0*=1, а3 = 0 для УФк. A0)
Отсюда на основании F) для достаточно малых t имеют место равенства:
a*Hakdt.
о
Все коэффициенты aj имеют тот же порядок, что и На. Поэтому для
коэффициента а* = 1 мы можем пренебречь той частью его изменения, которая
вносится возмущением.
В качестве примера возьмём за оператор возмущения тот оператор Н8,
который соответствует падающей волне в теории дисперсии. Там мы имели
(Пользуясь обозначениями и допущениями C.1)]:
у) 0. A2)
Поэтому на основании (За) запишем:
^. A2а)
Отсюда на основании A1), принимая во внимание B). получим:
еа
Чет
Произведя интегрирование по t и пользуясь равенством C.9а), в котором
величины отличаются от употребляемых в настоящем параграфе величин А^
лишь постоянным множителем, выесть A3) будем иметь:
Наконец, согласно с равенством D) мы должны образовать сумму по
всем ajttj. При этом выделим состояние к с ак = 1 и выразим функции и
через & согласно с равенством B). Умножая затем временной множитель
функции Uj на величину, заключённую в квадратные скобки, и учитывая
значение b из C.4), найдём:

§ 4] теория возмущений дирака для нестационарных задач 327
Полученное выражение точно совпадает с C.11) за исключением характера
зависимости от времени. Однако и зависимость от времени была бы
совершенно одинаковая, если бы мы опустили члены с ехр(—-j-Wjt). С точки
зрения нестационарной задачи эти члены учитывают то обстоятельство, что
в момент времени / = 0 возмущение должно полностью отсутствовать.
Следовательно, члены, заключённые в круглые скобки, показывают, каким
образом возмущение возрастает от своего начального значения, равного
нулю.
Если теперь, исходя из равенства A5), образовать величину
электрического момента М состояния и и перейти к поляризации Р, как на стр. 312,
то получим выражение, аналогичное C.19а), но отличающееся от него
наличием членов с временной зависимостью. Эти члены соответствуют
собственным колебаниям диспергирующих атомов, возбуждаемых при включении
возмущения. Однако ввиду того, что эти колебания имеют различные
продолжительности, они вследствие интерференции большею частью уничтожаются.
Кроме того, фаза этих колебаний зависит от фазы включаемого возмущения
(например, зависит от того, описывается ли возмущение при помощи sin2irrf
или cos2itv/). Поэтому единственно существенной, определяемой падающей
волной частью поляризации Р остаётся величина, даваемая выражением C.19а),
исходя из которой в предыдущем параграфе и была развита теория
дисперсии.
Для дальнейшего применения рассмотрим ещё отдельно возмущение
в непрерывном спектре. Запишем равенство D) в следующем виде:
и = ... + J а„и„ dw, A6)
где dw означает энергетический интервал в непрерывном спектре и,
следовательно, av является амплитудой, соответствующим образом нормированной
собственной функции uw непрерывного спектра; многоточием теперь
обозначены собственные функции дискретного спектра.
Исходя из ак= 1, aj = 0, aw = 0, аналогично с A1) получим для
изменения а„ следующее выражение:
t t
/ftaw = J i4lrt dt = j dx J и*юНаик dt. A7)
о о
Условие сохранения нормировки a при наличии также и непрерывного спектра
получается обобщением равенства G) в следующем виде:
= 1. A8)
Если в качестве возмущения взять то же возмущение (плоскую волну), что
и в A2), A2а), то за счёт непрерывного спектра получим некоторый
добавок, а именно, правую часть равенства A5) надо дополнить членами:

328 теория- возмущений 1гл. V
| 5. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВЕНИЯ.
ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА1)
Пусть свободная заряженная частица (масса М, например а-частица;
в частном случае электрона М = т) сталкивается с атомом (система из >
электронов -f-ядро, в частном случае атома водорода >=1 или в случае
голого ядра ч = 0). В нулевом приближении свободная, падающая на атом
частица, описывается плоской волной
*'(*г>> -г—-направление движения частицы,
- = Т— кинетическая энергия.
В нулевом приближении атом, на который падает частица, описывается его
невозмущённой собственной функцией
?о = <Ро(?) B)
(причём Wo равно одному из собственных значений из ряда Wv Wa, ...).
Функция <р0 удовлетворяет волновому уравнению для изолированного атома:
(Я-1^*0 = 0. Bа)
Тогда функция нулевого дриближения для системы частица +атом будет
равна »
<*Ч)- C)
Обозначим энергию взаимодействия между обеими частями
рассматриваемой системы через V(r, q); величина этой энергии предполагается малой
величиной первого порядка. Волновое уравнение для сложной системы
(v-f-1 частиц, если мы отвлечёмся от ядра) будет уравнением в
конфигурационном пространстве 3(v-|-l) измерений. Это уравнение имеет вид:
= 0. D)
Оператор А действует исключительно на координаты падающей частицы.
Через W обозначена полная энергия сложной системы; энергия должна
складываться из Г и Wo:
W=T+W0. Da)
Аналитически последнее утверждение следует из D), так как при г-юо
V(r, ?)->.O и ->-*ф0.
Решение D) представим в форме
В ряду, стоящем справа, каждый следующий член должен быть меньше
предыдущего и относительно него имеет порядок малости, равный энергии
возмущения V. Функция <|i0 на основании Bа) и C) удовлетворяет
следующему волновому уравнению:
<) М. Born, Oottinger Nachr. 1926, стр. 146; Zs. f. Phys. 37, 863 A926); 38, 803
A926); W. E1 sasser, там же 45, 522 A926).

§ 5] ОБЩИЕ ВАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВЕНИЯ. ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА 329
Вследствие этого при подстановке E) в D) все члены с % выпадают, за
исключением члена V(r, q)<!?0. Последний берется в качестве члена первого
порядка малости в дифференциальном уравнении для фх. Поэтому это
уравнение будет неоднородным и имеет вид:
В общем виде для <}>„ справедливы следующие неоднородные уравнения,
имеющие вид рекуррентных уравнений:
Функция, представленная рядом E) с функциями, удовлетворяющими
выписанным уравнениям, при условии сходимости этого ряда удовлетворяет
уравнению D) и имеет собственное значение W, определяемое равенством Dа).
Для того чтобы проинтегрировать уравнения G), Gа), представим, следуя
Борну, функцию <|<п в виде разложения по атомарным собственным
функциям <р, с коэффициентами разложения /„, которые будут зависеть только
от координат г частицы:
«<п = 24» (*•)?.(?)• (8)
а
Функция <ра аналогично Bа) удовлетворяет следующему волновому уравнению:
(Я— WJ% = 0. (8a>
Уравнения для определения величин / мы получим, подставив (8) в Gа)
и используя (8а); тогда имеем:
Эти уравнения, полученные по методу Борна, отличаются от уравнений,
полученных по методу Шредингера в § 1 [равенство A0) и далее],
существенно лишь в том отношении, что здесь выделены координаты (v-(-l)-ft
частицы от координат остальных > частиц и полная энергия W [непрерывный
спектр относительно (ч-\- 1)-й частицы!] остаётся независимой от функции
возмущения V; невозмущённые же собственные функции в обоих случаях
предполагаются известными.
- Равенства (9) образуют бесконечную линейную систему дифференциальных
уравнений относительно бесконечно большого числа неизвестных /аП. Для
того чтобы получить уравнение для какой-либо одной неизвестной,
необходимо обе части уравнения умножить на <j£ и проинтегрировать по
конфигурационному пространству атома. Тогда, вводя обозначение
* < W + т+ Г> <9а>
мы для определения /рп получим следующее уравнение:
Правая часть этого уравнения является известной функцией от г, не зави»
сящей от q после проведения интегрирования. Следовательно, в A0) мы

330 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
имеем дело опять с неоднородным дифференциальным уравнением в частных
производных, однако весьма простого типа.
Для интегрирования этого уравнения мы можем воспользоваться общим
методом функции Грина. Функция Грина дифференциального уравнения
Д/+Л9/=0 для неограниченной области, удовлетворяющая на бесконечности
«условию излучения»1), равна
Функция О удовлетворяет однородному уравнению АО -+- кЮ = 0 по обоим
аргументам г к г1 везде, за исключением точек г = г/, в которых она имеет
простой полюс8). Неоднородное уравнение Д/+А8/=Ф интегрируется при
помощи теоремы Грина. Известным способом находим:
/(г) = — J Ф (г*) О (г*, г) dr'. (I I a)
Учитывая, что
,r_^| = r[l _<££)+...] = Г_(.1Г')+..., (Пб)
мы для больших значений г получим {в знаменателе A1) величина \г — г'\
заменена просто через г]:
(Ив)
В применении к A0) отсюда следует:
^j _^, q). A2)
Для вычисления первого приближения надо положить п = 1 и,
следовательно, функцию <>„_! заменить на <|»0 из C). Величины Д и Ар, будем
сокращённо обозначать через /р и kf. Далее определим в качестве волнового
вектора ftp вектор, имеющий величину Ар, а направление — вдоль радиуса-
вектора г-у со. Тогда экспоненциальная функция в первом интеграле
равенства A2) принимает вид
Функция % во втором интеграле содержит, согласно C),
экспоненциальный множитель ехр[/(Аг/)]. Этот множитель мы вынесем из-под интеграла
и объединим с предыдущим в множитель вида:
<) Си. также стр. 118. Это условие требует, чтобы при г = р-»оо функция вела
себя как ~e+ikf/p, а члены, пропорциональные e~ikf/p, обозначающие приходящую
из бесконечности волну, отсутствовали; при этом подразумеваемая зависимость от
времени предполагается взятой в форме £-<"»'.
>) Определение простого полюса: должно быть
J
причём интеграл распространён иа поверхности, которая сколь угодно близко
окружает полюс (здесь г = г').

§ 5] ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВЕНИЯ. ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА 331
Тогда равенство A2) для первого приближения запишется следующим
образом ф заменено на а):.
A2а)
Если последнее выражение подставить в ряд (8), то в качестве первого
приближения Борна для больших г получим:
где
A3а)
Обозначение С^ вместо С. указывает на то, что до возмущения атом
находился в нулевом состоянии и что в результате возмущения возбуждено
состояние а. Необходимо напомнить, что величина ka даётся формулой (9а)
и направление вектора к, совпадает с направлением радиуса-вектора г-+оэ.
Вектор же к, как это указано в равенстве A), имеет направление
распространения падающей волны. Из всего сказанного заключаем, что величины С
не являются постоянными в собственном смысле этого слова: они, правда;
не зависят от q и от величины г, но, будучи зависимыми от Ьа, они зависят
от направления г.
Разъясним теперь смысл отдельных членов в бесконечном ряду A3).
Каждый из этих членов по отношению к состоянию падающей частицы
(зависимость от г) означает рассеянную волну, которая, начинаясь в точке
нахождения атома (/- = 0), распространяется в бесконечность. Это излучение
в смысле своей фазы имеет характер шаровой волны; однако по своей
интенсивности это излучение зависит от направления, как это следует
из только что установленной зависимости коэффициентов С от направления.
Из значения волнового числа ka рассеянной волны определяется по
соотношению де Бройля скорость и энергия рассеянной частицы. С другой стороны,
функция «p. (q) в каждом члене ряда A3) описывает состояние атома после
рассеяния.
Рассмотрим прежде всего член с а = 0. В этом случае рассеянная волна
имеет волновое число к0, которое на основании (9а) при учёте того, что
Wa = Wo, определяется равенством
£ = ^Т = к\ A4)
Следовательно, скорость частиц, соответствующих рассеянной волне, равна
скорости падающих частиц. Столкновение между частицей и атомом
произошло упруго; состояние атома <р„ осталось без изменения. Характеристический
коэффициент С этой, упруго рассеянной волны даётся на основании A3а)
выражением
J f(На)
= J
. Рассмотрим далее член с а ф 0 при предположении, что Wa > Wo. На
основании (9а) имеем:
Ш[т— (W%— Ug]<^T, следовательно, k\<k\ A5)

332 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Мы имеем неупругое столкновение, при котором рассеиваемая частица теряет
свою энергию, а рассеивающий атом возбуждается, т. е. переходит в состоя'
ние с большей энергией.
В другом случае, при Wa < Wo, на основании (да) имеем:
*£ > k\ A5а)
В этом случае атом потерял часть своей энергии, частица эту энергию
приобрела. Мы имеем столкновение второго рода. Этот случай возможен лишь
тогда, когда первоначальное состояние атома не было его наинизшим,
основным энергетическим состоянием.
Для того чтобы разложение (8) было полным, необходимо, как обычно,
к сумме добавить интеграл по непрерывному спектру собственных значений,
распространённый по области, включающей значение Wa. При этом
подынтегральное выражение для п = 1 имеет ту же форму, что и члены в сумме A3),
с тем отличием, что теперь «р«(?) описывает такое состояние атома, в
котором электрон из атома удалён. Следовательно, эти интегральные элементы
представляют ионизационные переходы, так что каждый элемент
соответствует переходу на вполне' определённый, характеризуемый значением №.
уровень непрерывного спектра (при наличии вырождения это будет один из
таких уровней). Если нам необходимо вычислить суммарную вероятность
таких переходов, мы должны просуммировать по всем переходам, причём это
суммирование надо произвести некогерентно (квадратично). Конечно, волновое
число Л, при столкновении, приведшем к ионизации, больше отличается от
первоначального волнового числа k падающей частицы, чем при только что
рассмотренных случаях неупругих столкновений, ведущих только к
возбуждению атома. Это непосредственно видно из равенства (9а).
При определённых условиях столкновения может случиться, что £« < 0.
что возможно при Wa> T-\-Wo [см. (9а)]. Как это видно из A3),
асимптотическая зависимость от г в этом случае будет иметь вид ехр(—\ka\r)/r. Это
соответствует не рассеянию падающей частицы, а её захвату. При этой
захвате из атома вылетает электрон особенно большой энергии. Необходимо,
однако, заметить, что если захватываемой частицей является электрон, то
вышеприведённые соображения не будут более состоятельными, так как
необходимо в этом случае принять во внимание обменный эффект, который мы
сможем разобрать лишь в гл. IX.
Для того чтобы характеризовать вероятность определённого процесса
при столкновении, вводится понятие «поперечного сечения» атома для этого
процесса. Этот способ выражения является, конечно, лишь наглядной
интерпретацией волновомеханических соотношений, которые (в пределах
применимости приближения Борна) уже содержатся в вышеприведённых формулах.
При этом как в теории, так и в эксперименте делают различие между
дифференциальным и полным поперечными сечениями.
Для того чтобы определить дифференциальное поперечное сечение dQ
для процесса рассеяния, характеризуемого индексом а, выделим некоторый
телесный угол dQ, опирающийся своей вершиной на ядро атома и каким-либо
образом ориентированный относительно падающей частицы. Вычислим поток
через элемент поверхности r*dQ (r достаточно велико), даваемый а-й
рассеянной волной, и разделим эту величину на плотность потока,
соответствующую падающей плоской волне. Падающая волна даётся функцией %
(равенство C)]; рассеянная волна даётся а-м членом функции fy. Поток и
плотность потока необходимо проинтегрировать по конфигурационному простран-

§ 5] ОБЩИЙ 8АМЁЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВЕНИЯ, ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА 333
ству атома; при этом благодаря нормировке <р0 и <р, имеем:
Как было вычислено в A.7.76), для плотности потока в падающей волне мы
получим:
М
и соответственно для потока, даваемого рассеянной волной, из
выражения A3) для <j»t имеем:
Отсюда как отношение этих величин получается:
То обстоятельство, что мы имеем здесь дело с величиной, действительно
имеющей размерность поперечного сечения (см9), явствует уже из самого
определения: «поток, делённый на плотность потока».
Интегрируя по телесному углу dQ, получим полное поперечное сечение
для процесса рассеяния а (С зависит от направления):
A6а)
Для совокупности всех процессов, дающих рассеяние, имеем:
^>0. A66)
Применения метода Борна нам не раз встретятся в дальнейшем.
Здесь необходимо лишь сделать ещё несколько замечаний об области
применимости этого метода.
Прежде всего напомним о соотношении между геометрической и
волновой оптикой, из которого мы исходили в гл. I, § 1. Геометрическая оптика
соответствует предельному случаю X -► 0; волновая оптика не связана с длиной
волны X и справедлива для областей самых больших длин волн (например,
волны Герца). В теории оптической диффракции (или рассеяния), используя
зоны Френеля или специально для этой цели сформулированный Кирхгофом
принцип Гюйгенса, мы можем пользоваться геометрической оптикой при
условии, что *<^d, где d является размером отверстия, на котором
рассматривается диффракция, или диаметром рассеивающей частицы. Однако
интересен также случай диффракции при условии, что X>d. В этом случае
принцип Гюйгенса неприменим и должен быть заменён другими формулами,
связанными с разложением в ряд в теории потенциала (Х-+оо).
Беря в качестве нулевого приближения в методе Борна прямолинейный
луч [соотношение A)], мы тем самым стали на точку зрения геометрической
оптики. Следовательно, можно было бы предположить, что приближение
Борна связано с условием X <С d, где под d следовало бы понимать некоторую
меру диаметра атома. На основании соотношений де Бройдя это означало бы, что
A7)
Следовательно, для v мы получили бы совершенно различную нижнюю
границу в зависимости от того, имеем ли мы дело с электронами (М = т) или,

334 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
например, с а-частицами. Покажем, что это заключение не может быть
верным.
Рассмотрим простейший случай рассеяния частицы (масса М произвольна,
заряд равен ге) на голом ядре (заряд Ze), т. е. рассеяние в чисто кулонов-
ском поле. Эта задача будет более подробно рассмотрена в § 6. Уравнение
Шредингера этой задачи гласит:
!^) = 0. A8)
Это уравнение не зависит ни от какой характеристической длины, кроме
длины, связанной с частицей по соотношению де Бройля. Для того чтобы
эту длину исключить, перейдём к новым координатам по формулам:
\ = kxt i\ = ky, С = hz
и в соответствие с этим введём:
При этих условиях уравнение A8) переходит в уравнение
Вставляя сюда вместо k его значение Mv/h, получим:
°- <18а>
Масса М исключилась из уравнения; следовательно, уравнение имеет
одинаковый вид как для а-частиц, так и для электронов. Для дальнейшего
упрощения введём постоянную тонкой структуры а = еа/Лс и примем во внимание,
что скорость электрона на первой боровской орбите водородоподобного атома
с зарядом ядра Z равна u = acZ [см., например, т. I, AГ.4.3) и (II.4.8)].
Тогда A8а) принимает вид:
() = 0. A86)
Возмущение состояния частицы, вызываемое ядром при пролёте чистицы мимо
него, даётся вторым членом в скобках. Следовательно, это возмущение за-'
висит не от массы частицы (отвлекаясь от её заряда г), а исключительно от
её скорости, именно от отношения скорости и, характерной для ядра, к
скорости частицы. Если это отношение <С11> то решением уравнения A86)
будет функция (для направления оси х)
С другой стороны, решение мы можем искать во всяком случае в виде
разложения
которое производится по степеням u/v. Таким образом, это отношение u/v
прежде всего определяет в рассматриваемом случае быстроту сходимости
приближения Борна. Сходимость приближения одинакова как для а-частиц,
так и для электронов одинаковой скорости v, в то время как на основании
критерия A7) сходимость для а-частиц вследствие чрезвычайно- малой длины
их волны А должна была бы быть значительно более быстрой, чем сходи-

§ 51 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ЗАДАЧАХ СТОЛКНОВЕНИЯ. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВОРНА 335
ыость для электронов. Мы видим, что полученное условие для применимости-
приближения Борна гласит [ср. с A7)]:
г»;»и. A9)
При перенесении этих результатов, полученных для голого ядра, на
произвольный атом вместо скорости и необходимо взять скорость электронов
в /(-оболочке, которая, как известно, в любых атомах является водородо-
подобной. Для того .чтобы иметь возможность избежать незаконного в
волновой механике представления о «скорости в /(-оболочке», мы можем говорить
об энергии UK /(-границы, при этом, конечно, необходимо также и скорость
частицы выразить в электрон-вольтах, т. е. заменить её через V=-^-wa'
(jx—масса электрона и, следовательно, в общем случае масса частицы).
Тогда вместо A9) мы получим условие
B0).
Для того чтобы более наглядно представить себе роль скорости в
критерии A9) [критерий B0) есть тот же критерий, но записанный в других
терминах], может быть, полезно оценить время действия /(-электронов на
пролетающую мимо частицу. Если v"^>u, то это время, а следовательно,
и возмущение в движении частицы, наверняка будет малым. Если же v—и,
то время значительно, и возмущение ^ становится сравнимым с
невозмущенной функцией %. Сходимость приближения в этом случае сильно
ухудшается.
То обстоятельство, что в критерии B0) /(-оболочка выделена
относительно оболочек L, М, имеет, конечно, то основание, что /(-оболочка даёт
наивысшую и поэтому наиболее сильную оценку. Иначе говоря, с
уменьшением скорости частицы мы прежде всего подойдём к /(-границе; поэтому
при приближении к L-границе наше приближение уже перестаёт быть
справедливым.
Критерий B0) имеет лишь качественный характер. Вопрос о том, какоза
должна быть скорость V по сравнению с UK, в каждом конкретном случае
требует кропотливых оценок сходимости *). При этом оказывается, что
быстрота сходимости различна для* различных направлений рассеяния. При не
слишком малых скоростях электронов и не слишком больших номерах
рассеивающих атомов (не слишком больших UK) первое приближение Борна
достаточно, однако отсюда не следует, что второе приближение ") даёт
улучшение результата. В случае медленных электронов, когда проявляются весьма
интересные аномалии в дифференциальном сечении рассеяния, приближение
Борна неприменимо. В этом случае необходимо обратиться к разложениям
в ряды*), аналогичным тем, которые употребляются при рассмотрении
оптических задач рассеяния на маленьких частицах, или же необходимо
привлечь специальные приближённые методы, аналитические *) или численные Б).
О С. М oiler, Zs. f. Phys. 66, 513 A930); P. D 1st el, там же 74, 785 A932);.
J. Winter, These, Paris, 1934.
?J. Winter, J. de Phys. 6, 71 A935).
H. Рахбп u. J. Holtzraark. Zs. f. Phys. 45, 307 A927).
') W. Henneberg, Zs. f. Phys. 83, 555 A933) (ВКБ-метод, комбинированный
с моделью Томаса — Фермн).
6) Н. S. W. Masse у и. С. В. О. М oh г, Ргос Roy. Soc, London A 139, 187
A933). См. также книгу Н. Мотт и Г. М е с с и, Теория атомных столкновений, ИЛ..
1951.

336 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩВНИЙ [ГЛ. V
Остается ответить еще на вопрос, почему критерий A7), построенный по
оптическому образцу, несправедлив для частиц. Объяснение состоит в еле*
дующем: в то время как в оптическом случае рассеиватель имеет вполне
определенные размеры и вполне определенный показатель преломления,
электронное еблако атома не является строго ограниченным рассеивателем и
обладает чрезвычайно быстро меняющимся от точки к точке показателем
преломления (вблизи ядра показатель бесконечно большой и при удалении
от ядра убывает, стремясь к единице). В зависимости .от рода частиц
наиболее существенным являются различные слои этого рассеивателя, при
тяжелых а-частицах— внутренние, при легких электронах — внешние.
Следовательно, диаметр d мы должны считать не фиксированным, а изменяющимся
приблизительно обратно пропорционально массе частицы М. Если мы это
учтем, то величина массы частицы нз условия к <d d исключится и вместо
критерия импульсов A7) мы получим критерий скоростей A9). Во всяком
случае ясно, что в приближении Борна дело идет не только о малости волны
де Бройля, хотя само приближение строится по образцу приближений
геометрической оптики.
| в. ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА И ЕЁ ОБОБЩЕНИЕ
Исторически эта формула образовала фундамент всей атомной физики.
Именно эта формула, как известно, привела Резерфорда в 1911 г. к
созданию новой модели атома. Резерфорд получил ее с помощью вычислений,
основанных на классической механике (гиперболическое движение в кулонов-
■ском поле ядра — кометные орбиты в гравитационном поле солнца). Мы
покажем, что эта формула является точной также и с точки зрения
волновой механики.
А. Волновомеханическое обоснование формулы
Резерфорда. Дело идет о рассеянии а-частицы на голом ядре, следовательно (при
предположении о бесконечной массе ядра), о проблеме одного тела.
Собственными функциями будут собственные функции атома водорода при
положительных собственных значениях. Эти собственные функции изучены в гл. II,
§ 7 (полярные координаты) и § 9 (параболические координаты). Для целей
настоящей задачи более подходящей является последняя форма этих
функций 2). Функции, найденные в (II. 9.29), имеют вид:
[•») = /• —*,
4 = e**Ln(lfrn)\ Z h* A)
\n~lka' а~~ШЁ'
где п — определенное в (П. 7.10) число, заменяющее «главное квантовое
число»; а — «радиус атома водорода», Е — заряд, М — масса а-частицы. На
основании (II. 9.30) асимптотическое поведение функций A) характеризуется
•следующими формулами:
-n tnr
— л)
B)
Это асимптотическое представление функции слагается из плоской волны
■Cxeilcx и сферической волны C^eikr/r, рассеянной на ядре (г = 0). В общем
>) В полярных координатах формула рассеяния выведена в работах: W. О о г d о п,
Z*. t Phys. 40, 180 A928) u. N. F. Mott, Proc Roy. Soc, London, АП8, 542 A928).

§ 6] ФОРМУЛА РЕЭЕРФОРДА И ЕЙ ОБОБЩЕНИЕ 337
случае «амплитуды» Ct и С9 не являются постоянными и зависят еще от ч\.
Принимая это во внимание, запишем отношение «интенсивности рассеянной
волны на единицу телесного угла к интенсивности падающей волны на
единицу поверхности» следующим образом:
В этом выражении два первых множителя в правой части равны единице,
так как п чисто мнимо. Если мы через ft обозначим угол между
направлением падающей частицы (ось х) и направлением рассеянной частицы, то при
учете A) найдём:
in _ Z _ ZMeE ZMeE ZeE
* kfa *ЗДа (Mv)* Mv*'
Отсюда
Это выражение и есть формула Резерфорда1).
Полученный результат может быть непосредственно переписан в виде
дифференциального поперечного сечения. Для этого выражение справа
необходимо умножить на дифференциал телесного угла dQ: выражение D) было,
как это подчеркивалось, выведено для «единицы телесного угла»,
следовательно, для dQ =г 1. Таким образом, вместо D) получим:
Как показывает вышеприведенное вычисление, рассеяние на голом ядре
не принадлежит к задачам теории возмущения, а скорее примыкает к задаче
Кеплера (гл. II). Однако распространение этой формулы на атомы с
электронными оболочками, которое необходимо произвести, возможно лишь с
помощью теории возмущений. При этом мы в основу положим метод Борна
из § 5. В качестве подготовки полезно с помощью этого метода рассмотреть
рассеяние на голом ядре. Ядро предполагается закрепленным в начале
координат. Столкновение между частицей (например, а-частицей) и ядром
происходит упруго. Поэтому для вычисления поперечного сечения мы должны
использовать равенство E.14а), в котором <o(q) означает волновую функцию
атома, т. е. б нашем случае — волновую функцию ядра.
Поскольку ядро неподвижно закреплено в начале координат, то если мы
вообще хотим говорить о волновой функции ядра, мы должны считать <в(^) = О
для q > 0, но
j
V(g)<?(g)dq=\ и JV(?)K(r. qL(q)dq = V(r, 0). E)
Взаимодействие между рассматриваемой частицей, находящейся в точке г,
и ядром, находящимся в точке 0, является кулоновским. Поэтому
Eа)
') Формула рассеяния при иекулоновском поле ядра, например для потенциальной
ямы, рассматривается в работе Th. Sex 4, Zs. f. fkyb 67, йN <UM1>.
22 Зш. 968. А. Зошмрфшм

338 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ |ГЛ. ▼
Равенство E.14а) перепишется тогда в виде:
F)
где к есть волновой вектор рассеянной волны, к0 — волновой вектор
падающей волны. В случае упругого столкновения имеем:
В соответствии с рис. 24 положим:
где е и е0 являются единичным в векторами. Интегрирование в F) легко
может быть выполнено при подхо-
Л дящем выборе полярной системы
координат, у которой полярная ось
О А направлена параллельно вектору
разности е0 — е. Координаты точки
интегрирования г в этой оистеме
пусть будут г, ft, <p, причем
<? = *$. вокруг ОА. Fв)
Тогда имеем:
(е0 — е, г) = \е0 —
Рис 24. Рассеяние пучка о-частиц ядром,
находящимся в точке О. Как видно из рисунка, разность
\е0 — е\ является основанием
равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны единице и угол
при вершине О равен в (&=**%. ХОР—угол отклонения или угол
рассеяния). Следовательно,
fk * ft
\е0 — *|==2sin^, (е0 — е, r)==2rsin-^cosft. Fг)
Таким образом, получается:
оо « в
Соо = — 1-ReEZ Xrdr fsinftdfte 2 . G)
J J
о о
Интегрирование по » дает:
Сц, = — 2lw£^ \drslnqr, ^ = 2ftsin|-. Ga)
*8ln-2
Этот интеграл, однако, расходится.
Для того чтобы обеспечить сходимость интеграла, можно формально1)
ввести в подинтегральное выражение «множитель сходимости»:
е-*, р>0,
') О. Weqtzei, Zs. JL Phys. 4<Ц $90 A927).

§ 6] ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА И ЕЙ ОБОБЩЕНИЕ 339
и после выполнения интегрирования устремить р к нулю. Тогда получим:
о
dre-P'slnqr = -rr2-s=± для р-+0.
I
Поэтому из Gа) [ср. также E.14)] следует, что
г — neEZ 2jc# eEZ
Но тогда равенство E.16), детализированное для случая упругого
столкновения, дабт нам снова точно формулу Резерфорда, а именно:
ип \r la/ M Vwa (eEZ\* dQ
dQ = |CooIя (*&) dQ e Ы
Этот результат не является само собой разумеющимся, поскольку
приближение Борна, как это было выяснено, справедливо лишь для случая больших
скоростей, в то время как формула Резерфорда в случае голого ядра, как
показано, является точной формулой.
Б. Обобщение формулы Реэерфорда на случай
нейтрального атома. В случае ядра, окруженного полностью электронным
облаком, трудность с расходимостью интеграла отпадает. Считаем, что
плотность электронного облака определяется заданием функции р(г'). Предполагая
атом неподвижным, мы, вообще говоря, несколько отклоняемся от общей
схемы приближения Борна, согласно которой (см. начало § 5) степени
свободы атома должны оставаться ничем не ограниченными в процессе
вычисления. Принятая здесь картина закрепленного электронного облака не приводит
к дополнительным степеням свободы, и задача на возмущение решается
в пространстве трех измерений сталкивающейся частицы. Такое упрощение
задачи возможно в случае упругих столкновений, которыми мы здесь и
ограничимся; для неупругих столкновений такое упрощение невозможно.
Взаимодействие частицы Е с атомом мы ранее описывали с помощью
функции V(r, q). Положим теперь q — r', r' — произвольная точка облака.
Предполагая, что в этой точке находится электрон (заряд е), мы имеем:
'~ \r-f\ '
Далее, величина 9*(Я)9(Я)^Я в интегралах E) означает плотность частиц
pir'ydr'* в элементе объема dr* облака. Следовательно, второй из
интегралов E), поскольку он получается за счет учета электронного облака, равен
теперь:
eEV V - [?№ (9)
Прибавив сюда долю потенциала за счет ядра Eа), в целом имеем:
<?' (Я) V(r.. Я) 9 (Я) dq = — eEU, U = -f — Vv (9a)
J-
При произвольном распределении р потенциал Vx нельзя, конечно, вычислить
элементарно. Однако Vl подчиняется дифференциальному уравнению
А V, = — 4*р
22*

340 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
а поэтому также (кроме точки г = 0)
At/ = — 4itp. A0)
Далее нам необходимо вычислить не значения самих Vx или U, но на
основании E.14а) значение интеграла
CM=—eEfdr е* <*-*■»" U. A1)
Этот интеграл может быть преобразован по формуле Грина. Заметим, что
функция
а
удовлетворяет дифференциальному уравнению
Ав + |* — *ь|»а = 0. A2а)
причём на основании (ба, в, г) имеют место равенства
I*—*ol" = *9ko —*la = 4ft»sin»|-.
Следовательно, принимая во внимание A2а), мы имеем:
\druU = —jj [drbuU. A26)
J 4*asina|-J
Но иа основании формулы Грина получим:
A2в)
причём добавленный член 4nZ соответствует сингулярности U а нулевой
точке.
Учитывая равенства A1), A26, в), запишем:
— еЕ
-оо
DitZ+ J drutdj)
и, следовательно, принимая во внимание A0),
С«ю =т-B —/0. A3)
*«sin«J
где обозначено
F — J rfrp (г) eik <•-•»•••). A4)
Величина Z7 называется «атомным формфактором». Эта величина
первоначально была введена в задачах, связанных с рентгеновским излучением,
а встретится нам в этой связи ещё раз в гл. VIII. Даже тогда, когда
распределение плотности является приближённо центрально-симметричным [р(г) = р(г)],
величина F не есть просто число, но зависит от угла между направлением
падения частицы е0 и направлением её рассеяния е. Значение A3) для Cw
отличается от ранее полученного значения G6) только тем, что теперь
вместо Z стоит разность Z — F. Точно такую же замену надо сделать и
в формуле (8). Поперечное сечение рассеяния нейтрального атома записи-

§ 6] ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА И ЕЙ ОБОБЩЕНИЕ 341
вается аналогично формуле Резерфорда в виде:
Эту формулу впервые вывел Мотт1).
Заметим, что в этом случае мы не встретились с расходимостью
интеграла и не были вынуждены применить несколько искусственной прием
введения «множителя сходимости». Разность U между потенциалами ядра ZJr и
потенциалом Vt электронного облака нейтрального атома убывает с
расстоянием г-уоо таким образом, что сходимость интеграла A1) оказывается
обеспеченной.
Правда, в специальном случае о-частицы обобщение A5) формулы
Резерфорда в общем несущественно, так как ввиду большого значения величины
k = Mv/h атомный формфактор оказывается величиной чрезвычайно малой и
в общем этой величиной можно пренебречь по сравнению с Z. Выражение
«в общем» означает здесь «для 9>0». Для 9 = 0 наличие в формуле
Резерфорда величины F ликвидирует расходимость этой формулы в точке в = 0.
Именно, разлагая экспоненциальную функцию подинтегрального
выражения A4) в ряд для малых значений в с учетом Fг), получаем (р
предполагается сферически симметричной функцией):
F= fdrp(r) — 2feasin*-f- fdrp(r)r»+... A6)
Первый член равен заряду Z, интеграл во втором члене имеет форму
интеграла для вычисления центра тяжести распределения электронов и может
быть положен равным Zea (в — «расстояние до центра тяжести»). Тогда из
A6) следует:
(Z - Ff = B* §
так что при подстановке этого выражения в A5) величина в знаменателе
сокращается.
То же самое заключение справедливо и для случая электронов (М = т,
Е — е) с той только разницей, что теперь ввиду меньших значений величин k
величиной F нельзя пренебрегать по сравнению с Z при Я > 0. Как было
указано в примечании на этой странице, равенство A5) дает вполне
удовлетворительное объяснение экспериментальных фактов при не слишком малых v.
Эти особенности требуют специального анализа.
В. Корпускулярный вывод формулы Резерфорда.
Наиболее простым здесь является путь, примыкающий к тому, которым мы
следовали в т. I, гл. V, § 1. Проведем прямую линию в направлении движения
частицы в начальный момент ■ времени. Пусть эта линия проходит на
расстоянии р от начала координат точки, в которой находится отклоняющее
!) N. P. Mott, Proc Roy. Soc, London, A127, 658 A930). В сДополнителыгам
томе» (первое издание настоящей книги) на основании очень специальной модели атома
была выведена формула, которая значительно отличается от формулы Резерфорда, и,
казалось, была подтверждена опытами по рассеянию Ф. Кирхнера (рассеяние
электронов на неоне). Однако, как мне любезно сообщил Кирхиер, он после тщательного
исследования считает прежние свои результаты недоказанными. Новые работы,
особенно работы Кэмбриджской школы, подтверждают в целом формулу Мотта в пределах
ее применимости (и не слишком мало!). См. также гл. IX монографии Мотта и Месси.
(Теория атомных столкновений, ИЛ, 1951.)

342
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. v
ядро; величину р называют «прицельным расстоянием». Запишем интегралы
моментов и энергии в полярных координатах на плоскости (рис. 25):
= ^«». A7)
где Mpv есть первоначальный момент, -rpv9 — первоначальная кинетическая
энергия а-частицы на бесконечно большом расстоянии от ядра. Во втором
уравнении A7) вынесем «ря за скобки и заменим величину <р ее значением
на основании первого уравнения A7); далее
рассматриваем <в как независимую
переменную, а величину * = у как зависимую.
Тогда получим:
М_
2
Рнс 25. Отклонение а-частицы Для того чтобы получить линейное диффе-
ядром по классической механике, ренциальное уравнение, продифференцируем
это уравнение по <р и сократим на общий
ds
множитель —; в результате получим:
еЕ£ A8)
A8а)
Начальные условия <? = «, s = 0 (см. рис. 25) дают
А —С. A86)
Далее, в начальном состоянии мы имеем у = г sin <p = р. Следовательно,
! = (-!_
р \ sin f
Общее решение этого уравнения имеет вид:
sin ч
A8в)
'(р=«
Отсюда, в силу того что множитель при С обращается в нуль, получаем:
5 = 1. A8г)
Обозначим угол между осью ох и асимптотой к траектории частицы после
взаимодействия через в. Тогда A8а) с учетом A8г) дает:
C(l-|-cos6) = — — йпв,
х в 1 Mpv*
A9)
Уравнение A8а) есть уравнение гиперболы в полярных координатах,
точка О — ее (внешний) фокус; центр М на рисунке построен как точка
пересечения асимптот.
Пусть число частиц, падающих на единицу поверхности, равно п; тогда
число частиц, падающих на кольцо с внутренним и внешним радиусами, рав-

§ 7] ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛАХ И ВОПРОСЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ 343
ными р и p-\-dp, равно
йЫ — пЪкрйр. B0)
Эти частицы будут рассеяны в область, расположенную между конусами,
поверхности которых направлены под углами в и в+</в к оси х. Телесный
угол, заключенный между этими конусами, обозначим через dQ.
Следовательно, мы имеем:
d2 = 2irsinBde. B0а)
Из A9) следует:
Отсюда дифференцированием получается:
Подстановка этого выражения в B0) и исключение 40 с помощью B0а)
дает:
Заменим здесь sin в через 2 sin -к- сов-д- и найдем отношение числа
отклоненных частиц к числу падающих:
Тогда сразу получается формула Резерфорда:
| 7. ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛАХ
И ВОПРОСЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
В обыкновенной оптике, как известно, различают диффракцию на
отдельном объекте (щель, диск) и диффракцию на системе регулярно
расположенных объектов (линейная решетка,' двумерная решетка, пространственная
решетка). В обоих предыдущих параграфах мы рассматривали огибание
материальными волнами отдельных препятствий (ядро, атом). Теперь мы
рассмотрим диффракцию на решётках, или, иначе говоря, диффракцию
материальных волн на кристаллах.
Первые опыты в этой области, которые как никакие другие
иллюстрируют дуализм волн и частиц, были, как известно, проведены Дэвиссоном и
Джермером *). Ими изучалась диффракция электронов средних скоростей на
монокристаллах никеля. Наблюдаемая картина представляла собой правильно
расположенные пятна Лауэ. Это расположение пятен отражает характер
>) С. J. Davlsson a. L. H. Oermer, Phys. Rev. 30, 705 A927); Nature 119,
558 A927); Proc. Nat Acad. 14, 317 A928), а также Н. В e t h e, Ann. A Phys. 87. Я5
0928).

344 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ |ГЛ. V
симметрии монокристалла, так же как и при диффракции рентгеновских
лучей. Не менее убедительными являются более поздние опыты с тонкими
металлическими фольгами микрокристаллической структуры; первые снимки
этого рода были опубликованы Томсоном1). Наблюдаемое явление точно
соответствует кольцам Дебая — Шерера, известным из рентгеновского
анализа.
Однако наиболее хорошо выполненные и многообразные снимки диф-
фракционных картин были получены Кикучи 9), изучавшим диффракцию
электронов большой скорости на слюде. В зависимости от толщины пластинок
слюды получались картины диффракции от плоской решетки, правильные
картины Лауэ или сложные картины, лересекаемые темными и светлыми
линиями. Здесь мы ограничимся некоторыми замечаниями по теории,
разъясняющей результаты опытов Дэвиссона и Джермера, отсылая для более
детального изучения всех этих вопросов к работе Фюсса 8).
В этих опытах, проводимых в вакууме, пучок электронов одинаковой
скорости падает вертикально на поверхность кристалла [плоскость октаэдра
A11I; наблюдение велось электрометрическим путем со стороны падения
пучка. Ускоряющее напряжение в отдельных опытах вырьировалось между
30 и 370 в.
При 100 в ускоряющего напряжения скорость электронов равна
v=y -V- 108 = 6 • 103 см/сек.
Отсюда, пользуясь соотношениями де Бройля, получим:
Эти результаты можно объединить в следующую мнемоническую формулу:
где напряжение V берется в вольтах, X — в ангстремах. Поэтому изменению
ускоряющего напряжения в. пределах от 30 до 370 в соответствует
изменение длины волны от 2,2 до 0,6 А.
В дальнейшем мы будем «длину волны в воздухе» обозначать через А
и отличать ее от длины волны X в кристалле. Отношение этих величин есть
«показатель преломления», который мы будем обозначать через р.:
В то время как показатель преломления рентгеновских лучей почти
точно равен единице (лишь явление полного отражения при почти
касательном направлении луча показывает, что показатель преломления на несколько
миллионных меньше единицы), опыты Дэвиссона и Джермера при правильной
интерпретации показывают, что показатель преломления электронных волн
заметно больше единицы. Это обстоятельство дает ключ к количественному
обсуждению опытов.
1) О. P. Thomson. Proa Roy. Soc. London, A117, 600 A928); 110, 651 A928).
») S. КI k u с h i, Japanese Journ. of Physics 5, 83 A928); Phys. Zeitschr. 31. 777
A930).
в) E. Fues, Handbuch der Experimental Physik, Erg., т. II, Leipzig, 193&

§ 7] ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛАХ И ВОПРОСЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ 345
Исходим из основных уравнений теории Лауэ для явлений
интерференции при прохождении решетки [т. I, гл. IV, уравнения A.3)]:
C)
Оси координат, к которым относятся направляющие косинусы a, J3. Т и ао»
Ро, fo отклоненного и падающего луча, предполагаются расположенными
перпендикулярно друг к другу и будут обозначаться индексами 1, 2, 3.
Постоянные а, Ь, с и порядковые числа интерференции п^, п9, п3 относятся
соответственно к этим осям.
Направления 1 и 2 выберем в плоскости A11), направление 3 будет,
следовательно, идти по нормали к этой плоскости. Никель, как и многие
металлы, образует кубически-центрированную решетку. В плоскости A11 >
атомы Nt образуют сетку равнобедренных треугольников. В качестве
направления 1 мы можем выбрать сторону, а в качестве направления 2 — высоту
одного из этих равнобедренных. треугольников. Уравнения C) относятся
к внутренности кристалла, это отмечено присутствием величины X. Однако
наблюдения производятся вне кристалла. Поэтому уравнение C) необходимо
преобразовать к величинам, относящимся к области вне кристалла.
Так же как мы различаем X и А, мы должны делать различие между
углами ft и ф внутри кристалла и углами в и Ф — вне кристалла. Полагаем:
а = sin 0 cos®, р = sin 0 sin <p, f
ao = sin00cos<p0, ро == sin во sin «p0, ?„ =
На основании законов преломления для перехода воздух
для падающего, так и для отклоненного луча мы имеем:
sme0 sine ф ф
Выражая 8, «р. X через в, Ф, А, из уравнения C) получим:
(в)
Из двух первых уравнений величина показателя пр'еломления ц. исклЮ'
чилась; эти уравнения имеют в переменных А, в, Ф вид, одинаковый с
соответствующими уравнениями C) в переменных X, 0, «р. Это означает, что
диффракция на плоской решетке, совпадающей с ограничивающей плоскостью,
в которой лежат направления 1 и 2, происходит таким же образом, как
диффракция рентгеновских лучей с длиной волны А, т. е. так, как будто
показатель преломления ц. = 1. Напротив, в третье уравнение F) величина р
входит существенно; это уравнение отличается от соответствующего
уравнения C). Отсюда следует, что размеры кристалла в направлении оси 3 будут

346 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ |ГЛ. V
казаться искаженными, если мы их будем рассчитывать так же, как для
рентгеновских лучей, т. е. без учета показателя преломления.
Именно это заключение вывели Дэвиссои и Джермер из своих первых
опытов: согласие с общими соотношениями между длинами волн и углами
отклонения в том виде, в каком они следуют для плоской решетки из первых
двух уравнений Лауэ; различие в отношении выбора длин волн, коль скоро
эффект определяется прибавлением третьего уравнения Лауэ, т. е. переходом
к пространственной решетке. Это последнее составляло отличие от
соответствующих опытов с рентгеновскими лучами. Дэвиссон и Джермер объяснили
кажущееся искажение предварительным предположением, что в направлении
вглубь кристалла происходит сжатие решетки на 70%.
Прежде всего выясним теоретически причину этого кажущегося
искажения. Для этого воспользуемся уравнением Шредингера, которое для настоящей
задачи запишем в следующем виде:
G)
В этой записи уравнение отличается от употребляемого нами ранее тем,
что мы добавили во втором члене слева множитель е и изменили знак V на
обратный. Это означает, что теперь величина \е\ W является энергией
электрона, а величина — \e\V его потенциальной энергией в соответствующей
точке. Если, как обычно, энергия электрона будет измеряться в электрон-
вольтах eV, то W будет непосредственно равно числу вольт, а
V—электрическому потенциалу, измеренному в вольтах (с точностью до
несущественного для дальнейшего множителя 108 или 1/300 в зависимости от того,
измеряется ли е в магнитных или электрических единицах). Величина W,
являясь собственным значением полной задачи, имеет одно и то же значение
как в вакууме, так и в кристалле, если мы принимаем во внимание только
упругие столкновения, что здесь и предполагается. Величина же V на
границе раздела, как это в дальнейшем упрощенно предполагается, терпит разрыв.
В вакууме (вне кристалла) мы должны положить V = 0; в кристалле величина
изменяется периодически, однако таким образом, что среднее значение ее Vo
положительно. Действительно, в металле электрон находится в стабильном
равновесии. Следовательно, его потенциальная энергия — \e\V здесь по
сравнению с его энергией вне кристалла должна быть отрицательной. Но
это как раз и означает, что Vo должно быть положительно. Мы можем
считать внутренность кристалла потенциальной ямой для отрицательного
электрона. Для того чтобы извлечь. электрон из этой «ямы», необходимо
совершить работу (эффект Ричардсона). Напротив, при попадании электрона извне
в металл его скорость увеличивается. Но так как по соотношению де Бройля
длина волны обратно пропорциональна скорости, то отсюда следует, что
длина дебройлевской волны электрона внутри металла меньше, чем длина
волны в вакууме. Но это на основании B) означает, что
|* = А>1. Gа)
Металл для электронных волн является оптически более плотной средой.
Наклонно падающий пучок электронов отклоняется в сторону нормали; при
выходе пучка электронов из металла возможно полное внутреннее отражение.
Определим численную величину показателя преломления. Если мы
проинтегрируем уравнение G), подставив вместо <|» выражение плоской волны,
и заменим V ее средним значением VQ, то волновое число будет равняться
корню квадратному из величины, стоящей в этом уравнении множителем

7] ДИФФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ НА КРИСТАЛЛАХ И ВОПРОСЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ 347
W
(вольт)
54
106
160
188
190
310
370
А (А)
1,67
1,19
0,97
) 0,89
0,70
0,64
МА)
1,49
1,13
0,92
0,85
0,68
0,62
1.12
1,06
1,05
1,04
1,03
1,03
v0
(вольт)
13
11,5
14
15
16
25
при ty. С другой стороны, ввиду того что длина волны обратно
пропорциональна волновому числу, из G) немедленно следует:
1 Т
(8)
Это равенство совпадает с равенством (IX) из гл. I, § 4. Неравенство Gа)
согласуется с неравенствами AХа) этой главы. Наблюдения Дэвиссона и
Джерыера дали возможность экспериментально определить р и тем самым Vo.
Конечно, при этом отдельные максимумы должны быть правильно истолкованы,
т. е. правильно отнесены к соответствующей отражающей плоскости внутри
кристалла. В нижеприведенной таблице использована интерпретация, отличная
от той, какую первоначально дали Дэвиссон и Джермер (в Nature), и
согласуется с той, которую авторы дали в своей
окончательной работе (в Phys. Rev.).
В первой колонке приведены
энергии падающих электронов в вольтах; при
этом ив всех опытов выбраны лишь
некоторые. Селективность процесса и
пространственный характер влияния решетки
выражаются в том, что каждый максимум
наиболее ярко выражен при вполне
определенной скорости (именно при энергии,
приведенной в первой колонке). Вторая
колонка дает длины волн вне кристалла,
вычисленные на основании соотношения
де Бройля. Третья колонка показывает длины волн внутри кристалла,
вычисленные на основании теории Лауэ в смысле равенств C) (или на основании
равноценного условия Брэгга). В четвертой колонке вычислено отношение А
к X, т. е. коэффициент р. Убывание р при перемещении сверху вниз по
колонке (возрастание скоростей) согласуется с равенством (8), на основании
которого |х должно быть тем ближе к единице, чем больше скорость.
Равенство (8) также показывает, каким образом, зная р, вычислить
значение Vo (последняя колонка таблицы). Среднее вначение Vo из всех измерений
Дэвиссона и Джермера оказывается равным 15 в.
Эта величина является очень важной для уяснения природы металлов.
На основании сказанного выше, она нам непосредственно дает величину
работы выхода, которую должен совершить электрон, чтобы выйти из
металла, в то время как эффект Ричардсона позволяет вычислить не
непосредственно величину этой работы, а лишь избыток работы над работой
давления, оказываемого электронами проводимости внутри металла на
покидающий металл электрон. То обстоятельство, что при помощи опытов по
диффракции электронов возможно отдельно определить величину работы Vo,
указывает на то, что влетающие в металл электроны принадлежат совсем
другой области (более высоких) скоростей, чем электроны проводимости.
Это обстоятельство указывает также на то, что принцип Паули, которому
подчиняется распределение скоростей электронов проводимости, не
накладывает каких-либо ограничений на движение быстрых, влетающих в металл
электронов.
Тот факт, что для перехода металл ->■ вакуум р' = — < 1, повволяет
предсказать явление полного внутреннего отражения для тех электронов,
которые при выходе и» металла встречают поверхность равдела металл —
вакуум под достаточно малыми углами. И действительно, наблюдения Дэвис-

348 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
сона и Джермера покавали, что в некоторых направлениях, в которых,
согласно неисправленной теории Лауэ, должны были бы наблюдаться электроны*
в действительности они вне металла не наблюдаются.
Равенство (8) показывает, что в случае быстрых электронов W ~^> Vo,
вначение показателя преломления р приближается к единице. Количественные
соотношения в этом случае будут вполне аналогичны количественным
соотношениям для рентгеновских лучей. Поэтому кольца, наблюдавшиеся Том-
соном (см. выше) и многими другими в опытах с быстрыми электронами
(порядка №=30 кв), могут быть интерпретированы как кольца Дебая —
Шеррера в рентгеновской спектроскопии; при этом в обоих случаях
получаются одни и те же значения для постоянных решетки.
Сказанным выше сделан лишь первый шаг к полной теории диффракции
электронов на кристаллах. Точно так же как наиболее тонкие черты
интерференции рентгеновских лучей не учитывались кинематической теорией Лауэ
и потребовали для своего объяснения создания динамической теории Эвальда1),
так и в случае диффракции электронов на кристаллах необходимо перейти
к более точной теории. Для этого надо прежде всего разложить в ряд Фурье
переменный потенциал V и выбрать собственную функцию </ в
соответствующей форме. Таким путем удается в первом приближении ввести коэффициент
преломления р. Во втором приближении определяется ширина максимумов
отражения, а также сдвиг их положения по сравнению с предсказываемым
элементарной теорией. Из ослабления, которое испытызает электронная волна
при отражении, вычисляется число атомных плоскостей, которое эта
электронная волна могла пройти; это число в опытах Дэвиссона и Джермера
составляло примерно от 10 до 100; при этих расчетах пренебрегают вов-
можностью ослабления электронной волны за счет неупругих столкновений
электронов с ионами металлов. Благодаря последнему обстоятельству это
число оказывается преуменьшенным, а в опытах Дэвиссона и Джермера
вероятно значительно, так как при испольвованных ими скоростях будут
происходить процессы возбуждения. Наконец, из этих расчетов может быть
теоретически получено среднее значение потенциала, т. е. работа выхода Vo,
которую мы выше получили из эксперимента. Для этого необходимо
использовать определенную волновомеханическую, более или менее водородопо-
добную, модель атома металла. Полученное таким образом вначение Vo для
никеля согласуется весьма хорошо с вышеприведенной величиной 15 в. Более
подробно лишь бегло намеченная вдесь теория изложена в основной работе
Бете, цитированной в примечании, стр. 343 и также в статье того же автора
в Handb. d. Phys., XXIV, 2, 2-е ивд., № 23 и след.9).
i 8. ПОПРАВКА НА СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ
Если мы попытаемся приближенно решить уравнение Дирака, исходя
из уравнения Шредингера, то получим особую задачу теории возмущений.
Это можно сделать, пользуясь связью между релятивистским уравнением
Шредингера и квадрированным уравнением Дирака, которое получено в гл. IV,
§ 2 [уравнение A0)]. Левая часть этого уравнения, приравненная нулю, дает
релятивистское уравнение Шредингера из гл. IV, § 1; это уравнение не вави-
сит от f- Правую часть, содержащую шесть ^-произведений, мы назовем
«спиновой поправкой».
|) P. P. Ewald, Ann, d. Phys. 54. 519 A918); см. также Handb. d. Phys. XXIII.
2, 2-е изд., Berlin, Julius Springer, 1926.
*) Русский перевод: Бете, Квантовая механике простейших систем. At — Л.,
1935. (Пром. ред.)

§ 8]
ПОПРАВКА НА ШИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ
349
Для того чтобы практически провести вычисления, ограничимся
стационарным случаем и положим вектор-потенциал А равным нулю (чисто
электрическое поле £ = — gradV). В этом случае релятивистское уравнение
Шредингера с точностью до поправочного члена с V* переходит по своей
форме в обыкновенное уравнение Шредингера, решение которого может
считаться иввестным. Именно, положив
из (IV.2.10) получим:
О)
В левой части уравнения произведён преобразование
(la)
<2>
C)
Слева стоит левая часть обыкновенного нерелятивистского уравнения
Шредингера со значениями W и т, определенными в B) [на основании B)
т означает просто массовый эквивалент собственного значения £ = /яс2].
Для того чтобы оценить порядок величины поправочного члена справа, мы
в качестве V выберем кулоновский потенциал
и введем следующие обозначения:
Е2 — El 2Е 2т
-ТГ1-* да—яг-
Тогда вместо уравнения A) получим следующее уравнение:
Тогда правая часть будет равна
еа/йе)
и, следовательно, включает члены первого и второго порядка относительно aZ.
Теперь представим искомую функцию в виде ряда, который в частном
случае кулоновского поля есть ряд по степеням aZ:
♦ —4b+*i + ^+--- E)
Подстановка этого ряда в C) и сравнение величин одинакового порядка
в обеих частях равенства дают:
F)

360 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩВНИЙ [ГЛ. V
где черев D обозначен оператор уравнения Шредингера C). Если ыы учтен
виачения W и т из B), то этот оператор имеет следующий вид:
D=д+ш (Е 2 -2EV—Е§- Fа)
Общий член последовательности F) будет такой же, как третий
двучленный. Очевидно, мы имеем:
^„ = -^-(ТРа<1Юфп_1--^гфя_9. F6)
Покажем, что при ваданной функции % первое приближение tyj может
быть выписано сраву. Для этого удобно образовать вспомогательную
величину f, которая должна удовлетворять уравнению, не содержащему величин f-
D? = -i-grad^. G)
Полагая, далее,
Ф1 = ТГ*(Т<Р). Gа)
мы, очевидно, удовлетворим второму из уравнений F). Для решения
уравнения G) сделаем подстановку (в — пока неопределенная постояннаяI)
9 = agrad4>o (8)
и учтем, что все члены оператора D Fа) перестановочны с операцией
градиента, за исключением члена с множителем V', именно, имеет место
равенство
D grad ф0—grad £ty0 = -J^- grad V%. (8a)
Вследствие первого из уравнений F) второй член слева равен нулю. Поэтому
умножая (8а) на в и принимая во внимание (8), получим:
(86)
Отсюда, сравнивая с G), инеем:
fl = |g. (8в)
Тен самым оправдан вид подстановки (8) и определена константа а.
Общее решение уравнения G) получается по известному правилу
прибавлением к частному решению (8) неоднородного уравнения общего
решения однородного. Последнее решение обозначил через Л; следовательно,
должно иметь место
(8г)
Тогда общее решение G) пишется в виде:
H (8д>
и на основании Gа) первое приближение ^ будет равно
') Первоначальное применение этого способа расчета быго более громоздким.
См. A. Sommerfeld и, A. W. Майе, Ann. d. Phys. 22, 629 A935). Замечание, что
подстановка (8) может быть непосредственно проверена, принадлежит Велькеру.
Аналогичный способ см. также в цитированной выше книге Мотта и Месси.

§8]
ПОПРАВКА НА СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ
351
К сожалению, невозможно столь же простым путем получить следующее
приближение %. Мы придеы к интегральному представлению, которое не может
быть больше преобразовано элементарно.
До сих пор собственное вначение Е в уравнении Дирака A)
предполагалось известным. Это оправдано в случае непрерывного спектра, где
величине Е можно приписать любое вначение, но не оправдано в случае
дискретного спектра1). В последнем случае необходимо наряду с последовательным»
приближениями для собственной функции проводить также последовательные
приближения для собственного значения Е аналогично тому, как это было
сделано в общей теории возмущений [§ 1, равенство Dа)]:
(Ю)
В соответствии с этим член, учитывающий энергию в A), необходимо
преобразовать иначе, чем это было сделано в Aа), именно следующим обравом:
..\. A0а)
Здесь вертикальными чертами отделены друг от друга те члены, которые
необходимо учитывать в нулевом, первом и т. д. приближениях. Таки»
обравом, вместо последовательных уравнений F) получается:
Дифференциальное выражение D. которое, как и ранее, во всех уравнениях
одинаково, имеет вид:
(Па)
число членов в следующих друг за другом уравнениях теперь увеличивается.
Прежде всего покажем, что et должно равняться нулю. Для
доказательства будем исходить ив общей теоремы, полученной на стр. 294: для тога
чтобы каждое из неоднородных уравнений имело непрерывное решение,
необходимо, чтобы правые части этих неоднородных уравнений были
ортогональны к решениям соответствующего однородного уравнения, в
рассматриваемом случае — к функции ty0. В применении ко второму
уравнению A1) это дает:
О. Araki, Science Reports of the Tokyo Bunrika Daigaku, 3, J* 47—49 A935)»

352 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Правая часть этого равенства равна нулю. Это видно из теоремы импульсов
и вытекающего из нее в стационарном случае следствия gradV^O [равен-
.ство A11.2.17а)], которое равносильно обращению правой части равенства A2)
в нуль.
Следовательно, из A2) получаем:
•Поэтому, действительно,
в, = 0, A3а)
.поскольку интеграл в A3) не может обратиться в нуль. Больше того, мы
лекажем, что этот интеграл представляет собой нормировочный интеграл
для <!i0.
Для этого рассмотрим два решения ty и ф' дифференциального
уравнения D = 0, принадлежащие собственным вначениям Е и Е'. Тогда имеем:
О = if Ц—if Ц' + -^ (Е — Е') (-Ц^- - V) W = 0.
Интегрируя по координатам и применяя формулу Грина, получим:
= O. A4)
-Следовательно, для случая Е' Ф Е мы получаем условие ортогональности
в форме
\{^ ) A4a)
В аналогичной форме следует записать условие нормировки и в случае Е =
е=Е', ф'=<5'*- Это дает:
j(E -V) «^* Л = const = f0. A46)
При этом константа определена таким образом, чтобы при переходе к
нерелятивистскому уравнению Шредингера (E/E0-+l, V(E0-+Q) нормировочный
интеграл принял обычный вид:
fWdz=l. A4в)
^Очевидно, что равличие между A46) и A4в) проистекает из того, что в
дифференциальное выражение D собственное значение Е входит квадратично,
в то время как в уравнение Шредингера оно входит линейно.
На основании доказанного равенства A3а) система уравнений A1)
приобретает более простой вид:
Зторое уравнение совпадает со вторым уравнением системы F). Отсюда
следует, что проведенное раньше вычисление ^ [равенство (9)J справедливо
таюкв м для случая дискретного спектра»

§ 81 ПОПРАВКА НА СЯИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 353
Применим снова теорему об ортогональности теперь уже к третьему
уравнению A5) (т. е. умножим правую часть на <{£ и проинтегрируем по
координатам). Принимая во внимание условие A46) с Е = г0, получим:
fe J *:<ТР«»10*|*-К1 J <?'0V%dz. A5а)
Подставляя *) значение ф| из (9) и сокращая множители f • найдем следующее
значение для первого интеграла в A5а):
причем многоточием обозначены члены, получающиеся из последнего
выписанного члена циклической перестановкой. Очевидно, что эти члены должны
дать нуль, так как в остальные члены величины f не входят. Подтвердим
это прямым вычислением в интересующем нас специальном случае <!)„ = •{£
(действительная функция). Множитель при т« A56) мы можем при помощи
интегрирования по частям преобразовать следующим образом:
r'tdv д $ dV д Л Г . &v
То же самое преобразование приводит первый интеграл A56) к виду:
Поэтому вместо A5а) можно написать:
= J (l^-^H2*- A5в)
Дальнейшее вычисление в3 можно провести только, если
конкретизировать V (см. ниже). Заметим, что прозеденное вычисление второго
приближения в.2 собственного значения шло параллельно вычислению первого
приближения ^t собственной функции и при этом второе приближение <!>э
собственной функции не понадобилось для вычислений; то же самое замечание
было нами сделано, например, при разборе эффекта Штарка.
Теперь рассмотрим два примера.
А. Формула тонкой структуры в основном состоянии
атома водорода. (Для рассмотрения возбужденных состояний необходимо
предыдущие вычисления дополнить учетом вырождения; см. § 9.)
Собственную функцию <{i0 нулевого приближения возьмем в форме Шредингера:
Входящие сюда постоянные N я к подберем так, чтобы удовлетворялось
дифференциальное уравнение £>!*0 = 0 с V = — Ze"lr. Подстановка A6)
в (Па) и приравнивание к нулю обоих членов с г° и г~1 дают для к два
уравнения:
■) Необходимо опять заменить Е через «о- Член с X надо опустить; см. ниже
замечание при A9а).
21 Зак. 968. А. Зоимерфешл

354 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
откуда следует для е0:
eo = Eo(l + a«Z«)-1*. A66)
Далее, вначение постоянной N определяется из нормировочного условия
A46), а именно из условия, что
Отсюда легко находим:
•Z2)-*. A6в)
Теперь вычислич входящие в A5в) интегралы:
со
f V^«fc = 4*W»ZV Г e-
о
J A Vty» dx = N* lim J bVdx = Na f ^
Отсюда вместо A5в) получим:
или, учитывая A6а), A66), A6в),
Переход к последнему приближенному равенству соответствует степени
точности проводимых вычислений. Именно, поскольку Ео содержит
множитель с9, то EQ(aZ)* будет в смысле вависимости от с малой величиной
порядка (aZ)9. Только такой порядок величин при нашем приближении второго
порядка мы и можем гарантировать. В том же приближении равложим в ряд
е0 в равенстве A66):
Если мы учтем, что вх = 0 [равенство A3а)], то, согласно A0), для
собственного значения во втором приближении получим:
] A8)
Это выражение согласуется с формулой тонкой структуры (IV. 7.50), если
эту последнюю применить для основного состояния k = 1, яг = 0:
Е = Е0У1 — a»Z«,
и правую часть разложить в ряд, ограничившись тремя первыми членами.
Для дальнейшего будет полезно, кроме собственного значения,
вычислить этим методом также и собственные функции основного состояния атома
водорода (функции «А"-оболочки»). Подставляя в (9) вначение % из A6) и
полагая Л"=0, получим:
Т4(

§ 8| ПОПРАВКА НА СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 355
Если мы для л возьмем второе равенство, содержащееся в A6а), то
увидим, что <^ пропорционально aZ. Именно, мы имеем:
^ = -lMzz£ «-*»-. A9а)
Это соотношение является основанием для того, чтобы положить Х=0.
Именно, в пункте Б будет показано, что в общем случае необходимо
выбрать X таким образом, чтобы для ^ был обеспечен порядок малости ctZ.
В рассматриваемом же случае член, выписанный в A9), уже имеет требуемый
порядок малости.
Из A6) и A9а) получается выражение для собственной функции в
первом приближении в следующем виде:
( f)]-*. B0)
Нетрудно убедиться, что это выражение в своей радиальной части
согласуется с радиальной частью выражения (IV. 8.31), если последнее разложить
в ряд по степеням aZ, и что угловая зависимость этого выражения
соответствует угловой вависимости выражения (IV. 9.2), если в этом последнем
положить Л=1, т = ±-к. Для того чтобы совпадение сделать полным, надо
в B0) добавить делитель нуля
Г и соответственно Tflsr с r = j(l
смотря по тому, какому значению, т = — -к или т —-{--*, соответствует
направление спина.
В общем можно сказать: собственные функции обоих /(-электронов
(противоположно направленные спины, т = ц1-к\ в первом приближении,
т. е. с точностью до aZ, представляются одним и тем же выражением B0),
если только для обоих случаев подходящим образом выбран переводной
множитель, а именно следующим образом:
Б. Собственная функция рассеянной кулоновским
полем плоской волны электрона. В то время как в пункте А был
рассмотрен пример с дискретным спектром, когда необходимо было
одновременно апроксимировать <]i к £, теперь будет рассмотрен пример с
непрерывным спектром, когда Е дано и искомой является лишь функция ф,
а именно будет рассмотрено релятивистское уточнение представления F.1)
для плоской, рассеянной кулоновским полем волны. Прежде всего запишем
представление F.1) в обобщенной для произвольного направления k
падающей волны форме (II. 9.31):
[ р = /[Лг —(ftr)],
{ . «2Г B2)
Выписанное здесь значение я получается из прежнего значения
Л = -Ж' <22а)
23*

356 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ {ГЛ. V
если в нем положить
в=^' *=— <22б>
и понимать под т релятивистскую массу, соответствующую начальной
скорости v частицы. В формуле для k это необходимо ввиду смысла
соотношений де Бройля, в формуле же для а, в которой стояло т0 вместо *», это
означает некоторое изменение определения, необходимое для нашей цели.
Ввиду этого из произведения ka величина т исключается, так что из B2а)
сразу получается вначение B2) для я.
Введение переменной массы движущегося тела т вместо массы покоя
является первым шагом в приспособлении шредингеровской собственной
функции к нулевому приближению дираковской собственной функции и
соответствует второму равенству B). Другой шаг состоит в том, что волновое
число k определяется через заданное собственное значение Е уравнения
Дирака следующим образом:
в согласии с первым равенством B). При таком определении значений k я п
ыы можем представление B2) взять в качестве нулевого приближения для
проведения расчета.
Для перехода к первому приближению необходимо образовать выражение
grad % = le*»-. [*Ln (Р)Н-(Л^—ft) L'a (p)].
На основании (8д) имеем:
[* (££);] B3)
Множитель р в последнем выражении появился ввиду того, что было учтено
соотношение де Бройля и соотношение между массой и энергией
cmv
В B3) имеется еще неизвестная вектор-функция X. Для того чтобы ее
определить, используем разложение (II.7.28) для L:
yjf-1 ПТ~ 2! ••"
я—1 Р , (я —1)(я —2) р»
j-TfH ^ И
B36)
Из этих последних равенств следует, что член в правой части равенства B3),
связанный с L,'n(p), имеет порядок
i?n = aZ .... |см. B2I,
как это и требуется для первого приближения. Член же правой части
равенства B2), связанный с Ln(p), имеет порядок # • 1, что противоречит
требованию о порядке малости первого приближения. Это противоречие может
быть устранено VeM. что функция X полагается равной этому члену с
обратным знаком, что допустимо, так как этот член пропорционален <|<0, и
поэтому требование DX = 0 удовлетворено.

§ 8] ПОПРАВКА НЛ СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 35Т
Следовательно, теперь в более определенной форме имеем:
^). B3В)
Это можно также записать в зависимости от значения р: или
<р = JL e^^grad Ln (р). B3г)
или
? = -^e1(fc"^in(P). B3Д)
Следовательно, на основании Gа) \ и 4 = <!*0 +'W найдены в поостой
компактной фэрме ]). В зависимости от того, используем ли мы B3г) или B3д),
для ф получим следующие выражения:
\l+ib^(rS^d)\Ln(p)r B4)
L '* J
ИЛИ
В правые части B4) и B4а) нами добавлен не зависящий от координат
множитель Г. Это связано со следующим обстоятельством. Мы требуем,
чтобы решение <]/ удовлетворяло в первом приближении не только квадриро-
ванному, но также и линейному уравнению Дирака. Следовательно, вопрос
заключается в том, чтобы из множества решений квадрированного уравнения
Дирака выделить решеиия линейного уравнения Дирака.
Общий путь для этого мог бы быть следующим: напишем квадрирован-
иое уравнение Дирака в форме
D+DJf = 0, B46)
где D± является линейным оператором Дирака:
J>± = ^
Очевидно, функция
<F = D_<b B4в)
удовлетворяет линейному уравнению Дирака
Следовательно, для того чтобы получить решение линейного уравнения
Дирака, необходимо лишь к решению -> квадрированного уравнения Дирака
применить операцию D_.
Однако той же самой цели достигают более простым путем: нам
известно, что решение 60 [равенство B2)] на бесконечности переходит в
плоскую волну с направлением распространения к (рассеянная волна,
учитываемая множителем L, на бесконечности исчезает). Такое поведение решения
не будет нарушено благодаря присутствию ^ в B4) [это можно показать
детально, пользуясь асимптотическим представлением для 1/(р)]. Вследствие
>) То же самое или эквивалентное компактное представление было иайцено,
хотя и более громоздким путём — Суммированием шаровых функций — в работах:
О. Scherzer. Ann. d. Phys. И, 137 AW2); J. Melxner, Zs. I Phys. 90, 312 A934);
W. H. F u r r y. Phys. Rev. 46, 39 AУ34).

358 ТЕОРИЯ ВОВМУЩЕНИЙ |ГЛ. V
этого B4) на бесконечности представляется в виде:
,j,_ei(*r)j\ B4г)
Для достаточно больших расстояний от ядра (V-*•()) линейное уравнение
Дирака перепишется в следующем виде:
± (т,£ - £„)) ф = 0.
Это уравнение удовлетворяется функцией B4г), если будет выполнено
условие
{'<**> -^<Т4*-*в>)Г-0. B5)
Отсюда, как и в гл. IV, § 4 определяется Г. Учитывая закон сохранения
энергии, получим:
Г= {<(Y*) —fcbAE + Ej) Го, B5а)
где Го произвольно, например может быть выбрано равным обычному
переводному множителю -^-A +Tf4)(l 4~'Т1г)- ПРИ таком выборе Г выражение B4)
удовлетворяет уравнению Дирака на бесконечиости. На основании принципа
аналитического продолжения то же самое заключение справедливо и для
конечных расстояний.
Мы дополним решение B4) указанием сопряжённого выражения. На
основании общего правила из главы IV, § 3, стр. 196 (замена /, f, fi на
— /, —f, ъ и изменение порядка следования всех f-единиц, в результате
обеих операций величина ftf остается без изменения) из B4) получается
{^)' B6)
и из B4а)
£&«|£(£)}. B6а)
Здесь L* = L_n(—р), так как —л, —р являются сопряженными величинами
к чисто мнимым величинам л, р; величина же Г на основании B5)
удовлетворяет условию
Заметим в заключение, что рассмотренный способ вычисления ни в коем
случае не ограничен применением к кулоновскому полю. Действительно,
в начале данного параграфа потенциал V предполагался совершенно
произвольным и был конкретизирован в виде кулоновского потенциала лишь
в рассмотренных примерах А и В. Пусть, например, дело идет о рассеянии
плоской волны на произвольном поле V и известно решение уравнения Шре-
диигера этой задачи в форме
%щ*в**»А(х. у, г), B8)
где А содержит рассеянную волну, накладывающуюся на плоскую волну.
Тогда из соответствующим образом обобщённого равенства B3)
непосредственно видно, что дополнительное решение X должно и теперь компенси-

§ 8| ПОПРАВКА НА СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 359
ровать первый член B3):
Таким образом, в качестве обобщенной формы решения B4) получается
выражение х)
{ 4). у, г)Т. B9)
В. Формула Резерфорда с поправкой на спин.
Учитывая B4) н B6), мы получим следующее выражение для плотности частиц
в «{"-состоянии: ^
C0)
В этом выражении введены обозначения:
q = ^-k(-[giudL), ^«-^(YgradL*). C0a)
Раскроем скобки в выражении C0):
*ЬФ = ГтД1^ —T4TL+?qTL*+T<ufqT. C0
В оба средних члена справа входит произведение ГуГ, которое на основа-
(IV. 5.47 и 49) может быть сведено к Го = Г?4Г.
Вследствие этого мы имеем:
C2)
ItfT = =«£-(* grid ОГ0.
Для того чтобы преобразовать третий член справа в C1), заметим, что
произведение qq* содержит три члена с одинаковыми двумя компонентами у,
входящими в этот член, н три члена с двумя различными компонентами.
Члены с одинаковыми компонентами f дают величину
^, grad/.')r0. C3)
Члены же с различными компонентами дают нуль, что видно сразу, если
учесть, что стоящее при них множителем выражение является
соответствующей компонентой векторного произведения
(gradL, gradL*],
которое равно нулю вследствие того, что gradL и gradL* являются колли-
неарными векторами.
Вследствие C2) и C3) выражение C1) получает форму, не зависящую
от величин 1 (отвлекаясь от нормировочного множителя):
). C4)
i) J. Meixner, Ann. d. Phys. 29, 97 A937).

360 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Далее, учитывая значение аргумента р в L в B2), найдем, что
(*gradL) = — ypLf, (* grad 0 = 4-7" Р^-
(grad L, grad Г) = — ™ pL'L"
и поэтому
^ C4a)
Это выражение1) справедливо для любых расстояний г от ядра. Нас же
интересует главным образом его асимптотическое поведение при больших г
(и соответственно р). Поэтому мы должны обратиться к асимптотической
формуле (II. 9.25а). Эта формула, если мы пренебрежем при
дифференцировании членами с A/р)а, дает:
С ±(а'-
C5)
где введены обозначения:
В равенствах C5) первые члены справа соответствуют падающей плоской
волне, вторые члены—рассеянной волне. Ту часть C4а), которую дают
первые члены, обозначим через Уо; часть, даваемую вторыми членами, —
через J. Далее, при вычислении C4а) получаются еще члены со смешанными
произведениями, соответствующие интерференции волн обоих типов. Эти
члены, как несущественные для рассматриваемой задачи, мы отбросим. Таким
образом, получаем:
Отсюда, пренебрегая членами, исчезающими при р-*-оо и обозначенными
многоточием, находим:
На основании B2) имеем:
= -(l-coi»)s 2sin9T« <36a>
где через А, как и раньше, обозначен угол рассеяния (т. е. угол между
направлением распространения падающей волны k и направлением к точке
наблюдения г). Отсюда, учитывая значение л в B2), получаем:
-• C36)
При учете C6а) и C66) из C6) следует выражение дифференциального попе-
') Именно, прн условии, что это выражение имеет первый порядок
относительно aZ и, следовательно, прн пренебреженнн последннм членом второго порядка L'L**.
Это справедливо для больших расе тонн ни от ядра, как это будет показано в п. 3. на
стр. 351, но для конечных расстояний от ядра не может быть гарантирована

§ 81 ПОПРАВКА НИ СПИН КАК ВОЗМУЩЕНИЕ 361^
речного сечения dQ рассматриваемого процесса рассеяния:
SUI'-j
Эта формула при малых скоростях ф -*■ 0) переходит в формулу
Резерфорда F4а) с той разницей, что там рассматривалось рассеяние а-частиц и
заряд и масса рассеиваемой частицы обозначались через Е и М, здесь же
рассмотрено рассеяние электронов с зарядом е и массой т (уравнение Дирака
для а-частиц не годится!). Формула C7) была впервые выведена Моттом1).
В заключение сделаем некоторые методические замечания.
1. Общепринято и естественно с точки зрения приближения Борна
произведение 2mv°J в формуле Резерфорда сокращенно обозначать через 47*
(Г—кинетическая энергия). Мы этого не сделали для того, чтобы подчеркнуть-
то обстоятельство, что в релятивистском обобщении C7) формулы
Резерфорда у нас вместо величины 2mox>J = 4r появляется не учетверенная
величина релятивистского обобщения выражения кинетической энергии, а величина.
2/пг/9 =
2. В то время как обычная формула Резерфорда имеет одинаковый вид
как при выводе ее на основании классической механики (путь движения
частицы в кулоновском поле), так и при выводе ее на основании волновой'
механики (см. § 6) формула C7) отличается от той, которая получилась бы
при выводе на основании релятивистской теории движения частицы в
соответствующем поле. Причина этого лежит в следующем: в релятивистской
механике расчет ведется при А = 0 или, то же самое, при aZ -*■ оо. Это есть
условие, обратное тому, при котором проведено наше вычисление (разложение
в ряд по степени aZ).
3. Проведенное вычисление кажется несколько непоследовательным в том
отношении, что собственные функции <> нам известны лишь в первом
приближении, т. е. с точностью до величин порядка aZ, и тем не менее в
равенстве C6) мы сохранили член с л^9, который на основании B2) является
величиной порядка (aZ)*. Сохранение этого члена может быть обосновано
следующим образом. Если мы в разложении для 4/ сохраним члены до
второго порядка включительно
то в выражении C0) в качестве членов второго порядка малости войдут
следующие члены:
)V 6)M и fcfo
Член а) имеет порядок (aZ)9, так как ifo и поэтому ^ имеют порядок aZ_
Далее, по предположению, <}>э и <|>3 имеют порядок (aZ)9. Но стоящие при них
в б) множители <j»u и <|>0 являются во всяком случае малыми величинами, так
как при вычислении J нами сохранена лишь та часть %, которая пропор-
') N. Е. Мои. Ргос. Roy. Soc 124, 425 A929). См. также F. Sau ler, Zs. i. Phys.
86, 818 A933X Вывод, приведённый в тексте, хотя, вероятно, не проще того, который
был дан Заутером, однако является более близким нашему пути изложения. В то же
время этот метод является и более полным, так как он включает случай, кигда точка
наблюдения находится на конечном расстоянии от ндра, в го время как Лзутер, ж
ходивший из борновского приближения, с самого начала ограничил себя бесконечно-
удаленной точкой наблюдения.

362 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
циональна л [соответственно вторым членам справа в L, L* равенства C5I.
Поэтому члены б) имеют порядок
Вследствие этого1) члены б) имеют более высокий порядок малости по aZ,
чем член а). Поэтому последний член мы при вычислении J сохранили, а
предыдущие члены могли отбросить, не делая ошибки.
4. При рассеянии друг на друге одинаковых частиц (например, протои
на протоне, а-частицы на ядре Не) на сцену выступают совершенно новые
условия (обменный эффект), которые мы сможем рассмотреть лишь в гл. IX, § 8.
f 9. АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
Исторически открытие спина и последовавшее за ним открытие
уравнения Дирака берут свое начало в аномальном эффекте Зеемана. Здесь мы
поставим себе обратную задачу: вывести законы аномального эффекта Зеемана
из уравнения Дирака. Так как мы с помощью уравнения Дирака умеем решать
лишь задачу одного электрона, то ограничимся эффектом Зеемана для
дублетов щелочных элементов и водорода. При этом мы будем исходить не из
линейного уравнения Дирака, как это сделал Дарвин, первый рассмотревший
эту задачу3), а из квадрированного уравнения. Для этой цели необходимо
несколько развить результаты предыдущего параграфа на случай наличия
вектор-потенциала
А = \Н{—у, х, 0). A)
В этом случае уравнение A) предыдущего параграфа принимает вид
{см. также уравнения (IV.2.10 и 14)]:
- V? - Л*9 - Е?Н =
= & (Т grid V) * + ■§£(* grid *)-■£(•«)*. B)
Здесь величина 9 означает вектор спина —<(Тз8> Tei> Tie): член с (A grid <^)
перенесен вправо для того, чтобы подчеркнуть, что при дальнейшем
вычислении он, как и поправка на спин, будет рассматриваться как возмущение.
Как и в (8.10) разложим фи £ по степеням а (теперь в качестве
параметра разложения вместо aZ берется а, потому что не только у водорода,
но и у щелочных элементов вследствие экранирования электронным облаком
величина Z приблизительно равна единице с точностью до поправки,
учитывающей влияние электронного облака). Вместо (8.11) находим уравнения:
^E^), C)
, (За>
. Cb,
') Еслн р существенно меньше единицы, то эти оценки ие годятся. Но в этом
случае не1 необходимости применять уравнение Дирака.
») С. О. Darwin, Proa Roy. Soc 118, 676 A928).

§ 91 АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 363
Относительно этих уравнений заметим следующее. Первый член справа
в уравнении B), как это показано на стр. 349, имеет первый порядок
малости по а; поэтому этот член появляется в уравнении (За) умноженным на <>0,
а в C6) — на bt. Второй и третий члены справа в B) рассматриваются как
поправки второго порядка по а (см. ниже); поэтому оба эти члена
появляются лишь в уравнении C6). Член с Л9 в левой части уравнения B)
рассматривается как поправка четвертого порядка и в расчет в рассматриваемом
приближении не берется, член же с V*, как и раньше (стр. 349), имеет
второй порядок малости по а и поэтому учитывается в уравнении C6).
Для оценки порядка величин, связанных с магнитным полем [члены с Н,
А и Л9 в B)], надо учесть следующее: в случае эффекта Зеемана для нас
существенны такие поля Н, при которых магнитная энергия возмущения h Avff
сравнима с энергией расщепления тонкой структуры А Дм. Порядок величины
магнитной энергии возмущения получается из нормального эффекта Зеемана
(равенство (II.6.136)]; порядок энергии расщепления тонкой структуры в
случае атома водорода получается в виде энергии возмущения г% из
равенства (8.17). Таким образом, находим:
j Da)
где jhq — пасса покоя электрона, /?й = -д-а9£0— энергия Ридберга. Положив
.Д?в~Дч, из D) и Dа) получим:
D6)
Ten самым нами получен порядок величины магнитной поправки на спин
(последний член справа в B)]. Тот же порядок величины имеют члены в
правой части C6), которые стоят множителями у %, как, например:
где вместо в0 подставлено его приближенное значение Ео, а вместо •<, —
правая часть Dа). Этих замечаний достаточно для обоснования использованных
выше оценок порядка различных величин.
Теперь рассмотрим последовательно уравнения C), (За), C6).
Уравнение C) является уравнением типа Шредингера; его собственные
функции и собственные значения могут считаться известными на основании
приведенных в (8.2) соотношений. Члены, зависящие от магнитного поля,
в это уравнение не входят; однако мы должны принять во внимание
«магнитное» вырождение и поэтому существенно дополнить соображения
предыдущего параграфа. Пусть р будет кратность вырождения собственного значения г0,
т. е. пусть имеется р различных собственных функций, принадлежащих одному
и тону же собственному значению в0. Эти различные собственные функции
будут нумероваться верхним индексом ц => 1, 2 р. Следовательно,
общее решение уравнения C) запишется в форме

364 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Функции </■ как решения уравнения Шредингера не зависят от величин у.
Эти функции мы считаем ортогонализированными и нормированными на
основании (8.14а, б) следующим образом:
Снятие этого вырождения при помощи магнитного поля и спина образует
основу эффекта Зеемана.
Перейдем к уравнению (За). Для разрешимости этого уравнения
необходимо, чтобы его правая часть была ортогональна ко всем решениям
однородного уравнения D = 0. Первый член справа автоматически удовлетворяет
этому условию. Действительно, умножим его на •/" и воспользуемся для \
представлением E). Тогда, изменив порядок интегрирования и суммирования,
мы получим члены вида:
JVT. F)
Но при рассмотрении равенства (8.12) мы видели, что интегралы такого вида
обращаются в нуль (приведенное там доказательство, относившееся к
случаю [а = v, справедливо и в общем случае, так как оно основывается на теореме
импульсов).
Вследствие этого требование ортогональности должно быть применено
лишь ко второму члену правой части уравнения (За) и гласит:
что на основании Eа) эквивалентно условию
Учитывая, что все а^ не могут быть равны нулю, заключаем, что
•, = 0. Fа)
как и в (8.13а). Вследствие этого уравнение (За) оказывается эквивалентным
с уравнением для <\ предыдущего параграфа, которое было уже
проинтегрировано. Вследствие (8.9) решение уравнения (За) имеет вид:
Fб>
Дополнительный член X из (8.9) может быть здесь опущен по тем же
причинам, как и в § 8, А.
Вследствие Fа, б) первый член правой части уравнения C6) принимает
следующий вид:
- ^ (Т. gr«d V) (т.
^(gradV. grad £ a,.-,") _ i-(<j. [gradV.
При этих преобразованиях у нас не только выпала гиперкомплексная
единица if4, но и единицы tt, "\a. Ъ\ объединились в чистый вектор спина 9.
Вследствие того что остальные члены уравнения C6) содержат f лишь
в виде 9, мы заключаем, что в этом уравнении мы имеем дело с кватер-

§ 9] АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕЫАНА 365
нионной группой
1. 9 G)
и на величины а^ следует смотреть как на гиперкомплексные числа этой
группы.
Собирая члены с множителями 1 и 9 и учитывая Fа), мы можем
уравнению C6) придать следующую компактную форму:
0Ь-{П+ (•#»)) 2 с/Д (8)
где Пи/* являются операторами, не зависящими от f и имеющими
скалярный и соответственно векторный характер, а именно:
П = - £ (grad V, grad) + £ (A, grad) _ 2(*-%" + *", (8.)
р=- iIgrad v-grad) —ш н (8б>
Применим теперь теорему об ортогональности к уравнению (8). Для того
чтобы (8) было разрешимо, необходимо, чтобы правая часть этого уравнения
после умножения на 4/"* н интегрирования обращалась в нуль для каждого
вначения т. Полагая
(8в)
(8г)
D*~=—i J **"Igrad Vt ряй ^dx> (8д)
получим следующую систему условий:
^]}^ = 0. (9)
Это есть система из р уравнений (т = 1, 2, ..., р) для /> неизвестных
Сц(|*-=^-1, 2 р).
Так как величины а^ должны принадлежать к кватернионной группе G),
они должны быть четыр&хкомпонентными; однако можно эти величины свести
к двухкомпонентным, введя делитель нуля кватернионной группы, например
введя справа в (9) множитель 1—a8=4-'Tw Следовательно, если мы
положим
, «з). (Ю)
то легко найдем, что
b — Ьг,
(Ю)
A06)
и отсюда
% = Оц + OlXf) A —

Збб ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. V
Эти форыулы будут наыи использованы для решения систеыы уравнений (9).
Если ыы положиы
Н = Н, = Н, D^=l (X. Y, Z)^ (Юв)
и приравняеы отдельно ыножители при 1 и ох нулю, то получиы систему 2р
уравнений для 2/> неизвестных х^у^, не содержащую ^-величин:
OD
Покажеы, что коэффициенты этой систеыы уравнений имеют
«диагональный или приблизительно диагональный характер», т. е. что иыеют место
равенства:
I» I
Это утверждение автоматически следует из рассыотрения зависимости
собственных функций атома водорода от угла <р:
ф = /?Я? (cos Ь)е^. A3)
Например, из (82) сразу получается:
i»|3dx для }» = «. A3а)
В (8в) необходимо учесть вид оператора П; V зависит только от г и
поэтому (gradV, ^х^) = -^р-^р\ н* основании A) А равно А9, поэтоыу
(A grad) ф11 = у -т- ^ = /)* -я- "I»1* • Отсюда следует утверждение
относительно Q,im, содержащееся в A2), и значение Q, при учете нормировочного
условия Eа) равное
где через А обозначена величина, не зависящая от магнитного поля:
(На)
Значение Z получается из (8д) и (Юв):
Отсюда непосредственно следует утверждение относительно Z^m,
содержащееся в A2), и значение Z:
г йг ' '

91 АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕЫАНА 36Г
Последнее выражение запишем в другом виде:
о*
Вычисление величин (Х±ИУ)^т более громоздко, так как оно требуег
применения некоторых соотношений из теории сферических функций.
Величина К в A2) равна (см. примечание на стр. 371)
Наконец покажем еще, что интеграл J из равенства A3а) равен
приблизительно единице. На основании точного условия нормировки, условия
Eа) для ч = р, имеет место равенство:
5-W1-■£)*• A7>
Левая сторона этого равенства отличается от единицы на члены порядка а9;
интеграл в правой части равенства, содержащий V, по порядку величины
определяется областью интегрирования внутри сферы радиуса атома
водорода г = Ь9//я0е9; поэтому находим, что этот интеграле—имеет порядок а9.
Пренебрегая поправками этого порядка, из A3а) и A7) заключаем, что
7~1. A7а>
Внесен выражения A2)—A7а) в A1), причем учтем, что благодаря,
наличию 8-символа в суммах по р сохранится только один член; при
соответствующем объединении слагаемых н сокращении на общий множитель
получим:
A8)
— w
»+т
Ten самым в основном цель достигнута; в дальнейшем необходимо
лишь обсудить эту систему.
Число т, так же как и р, определено выражением A3) как магнитное
квантовое число уравнения Шредингера; так как т изменяется от —/до
-\-1, то кратность вырождения, обозначенная нами через р и ранее бывшая
неизвестной, оказывается равной 2/-)-1, и система уравнений A8) состоит
из 2B/-)-1) уравнений для 2B/-)-1) неизвестных хт, ут. Однако,
собственно говоря, нас интересуют не значения этих неизвестных, а в первую
очередь значения энергии возмущения *2, при которых эта система
уравнений является разрешимой. Можно было бы воспользоваться общин условием
разрешимости, согласно которому соответствующий детерминант порядка
2B/-|-1) должен равняться нулю. Однако можно обойтись и без вычисления
этого детерминанта.
Исходим из крайних значений числа т:
мако ^= "Т" • " "*ми11 ^s — /•
Для этих значений на основании A6) получим:
W t=Oi соответственно W i =0.
+

368 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ |гЛ. V
Вследствие этого в A8) второе и соответственно первое уравнения
становятся одночленными. Условие разрешимости в этом случае сводится просто
к следующему: множители при ут и соответственно при хт должны быть
равны нулю, т. е.
he eH
A9)
Масть энергии возмущения вд, зависящая от магнитного поля, получится
сразу, если мы опустим члены — А -\- 1В, не зависящие от магнитного поля,
т. е. эта часть будет равна |см. равенство D)|:
e«u.» = ^:(/4-l)^-/W = rp(/+l)-|;^-// = =P(/4-l)AAve. A9а)
Следовательно, для обоих этих крайних уровней магнитное расщепление при
всех напряжбнностях поля пропорционально Н и кратно лоренцевскому
нормальному расщеплению AAva. Энергетическое расстояние обоих уровней
друг от друга равно
2(/+1)ЛД A96)
У 5-термов (/ = 0) оно в два раза больше нормального (спиновая аномалия;
см. т. I, гл. VI, § 5; множитель Ланде g для s-терма всегда равен 2).
Уравнения A8), как мы видели, в случае крайних значений т = |/|
теряют между собой связь (каждое из этих уравнений определяет
соответствующее значение вд). Для всех промежуточных значений /п<|/| эти
уравнения связи, не теряют, так что верхнее из уравнений A8) содержит
те же самые величины хт, ym_lt что и нижнее уравнение, но с индексами,
уменьшенными на единицу. Следовательно, для простоты вычислений и
исключения х, у, следовало бы индексы т нижнего уравнения A8) заменить
через т—1. Однако гораздо более удобно вместо целых «волновомехани-
ческих» квантовых чисел т ввести полуцелые, «спектроскопические»
квантовые числа, которые, как и в т. I (см. например, гл. VIII, § 7), будут
обозначаться через М. Следовательно, заменим:
в верхнем уравнении A8) т через М-\--^,
» нижнем » A8) т » М—„",
что соответствует переходу от т к т — 1. Принимая во внимание значение
из D), получим:
B0)
-Число М пробегает все полуцелые числа, соответствующие рассматриваемой
-промежуточной области значений т, т. е. значения от —(/ — -j) до
-\-ll—-Л. Для каждого значения М получается свое условие разреши-
[
г^-\-А-\-[МА-ъ)В + [М— -к)НЬ*н * i — WUBу t=0,
" \ */ \ *1 J *+7 м~7
2 ' \ 2/ '\ '2) \ и - *

$ 9| АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА 369
мости в виде равенства нулю соответствующего детерминанта:
= 0.
— WmB Н+А— (М— -J-) В+ (Л1+j) ЛД»я
B0а)
Решение этого уравнения с учётом значения Wx из A6) имеет вид:
= — А — ±В + Мк faH±y^ (l+ ±J В* + MBh b»H+jh* Ь?н. <2Об>
Из соображений удобства мы знак у М изменили иа обратный, так что
магнитные уровни вместо М нумеруются числом —М, что ввиду их
симметричного положения допустимо.
Легко заметить, что хотя вычисление проводилось для случаев
|М|</— -у, решение B06) охватывает также и решение A9) для крайних
случаев, если при верхнем знаке перед корнем для М допустить также и
значение | М\ = /+ -о-. Поэтому решения A9) и B06) могут быть
объединены в следующих формулах:
для \М\
B1)
для |Л||</_ 1.
Эти формулы выражают дублетную структуру щелочных термов. Первой
строчкой в B1) описывается 21-\- 1 магнитных уровня, которые соответствуют
статистическому весу 21-\-2 и внутреннему квантовому числу j = i-\--^t
второй строчкой описываются 2/ магнитных уровня, соответствующих весу 21
и j = l—у. Сумма весов 2B/+1) равна удвоенному значению кратности
вырождения р = 21 -\- 1.
Положение обеих линий дублета при #-*0 или, что то же самое, при
Avff->0 определяется согласно B1) формулами:
Отсюда получается расстояние между линиями дублета, выраженное в
энергетических Дв или в частотных Av0 единицах:
B1а)
24 Зи. 968. А. Зоимерфельд

370 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. У
а также среднее значение энергии:
гт = — А — ^В. B16)
Будем отсчитывать положение линий дублета от этого среднего
значения энергии и соответствующую разность частот будем обозначать через Д-».
Тогда можно написать:
hb = ta — tm. B1в)
Далее введём величину
обратно пропорциональную напряжённости магнитного поля.
Тогда из B1) непосредственно следует:
r
B2)
Эти формулы точно совпадают с формулами теории Фогта [т. I, (VIII. 7.1)),
из которых там были получены не только дублеты аномального эффекта
Зеемана при слабых полях (рнс. 132), но также и переходы при средних
полях и эффект Г1ашена при сильных полях (рис. 133). Эти формулы уже
более не являются линейными относительно Н [кроме случая ]М | = *+т
см. выше) и не удовлетворяют (за исключением слабых полей) правилу
Престона (т. I, гл. VIII, § 6).
Так же как и в т. I, здесь надо указать, что соответствующие
формулы у Фогта имели нное значение, чем в рассматриваемом случае, так как
он рассматривал поглощение, а не излучение и имел дело с расщеплением
линий, а не с расщеплением термов. То обстоятельство, что Фогту еще
в 1913 г. без знания квантовой теории и без представления о спине удалось
получить путём формального обобщения магнито-оптических представлений
Лоренца формулы, описывающие результаты опыта с линиями типа D-линий,
эквивалентные результатам теории Дирака, представляется нам сейчас
удивительным.
Необходимо сказать несколько слов о предельном случае слабых полей
Н-+0, точнее говоря, Дмя <С1 Av0, ввиду связи этого случая с общей
формулой для множителя g Ланде. Из B2) [или непосредственно из B1) для
ЛДмя ^ B/+ 1M] при г/-*оо получаем следующую формулу,
приведённую в т. I (VIII.7.3):
. B3)
Левая часть этого равенства даёт расстояние компоненты М-го
магнитного терма от одного или другого первоначального дублетного уровня
(раньше мы брали расстояние от середины этих дублетных уровней). Справа
мы узнаем в 2/-f- 1 знаменатель Рунге для D-линий (равный 3 для р-термов);
см. т. I, гл. VIII, § 6. Множитель g Ланде есть расстояние между
следующими друг sa другом магнитными компонентами при эффекте Зеемана, выра-

§ 9| АНОМАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ ЗВЕМАНА 371
женное в долях Дмд. Следовательно, этот множитель на основании B3) равен
^1± <23а>
Это выражение точно согласуется с данными таблицы 45 т. I (гл. VIII, § 6)
для дублетных систем и, например, даёт (для s-термов принимается во
внимание только верхний знак):
для /ь/, /ty, Л/, Л/, ... Sih,
4 2 6 4 „
*= ¥ У Т Т ••• 2-
Основываясь на представлении о спине, можно получить общую формулу
для g в случае произвольных мультиплетных систем, хотя, как мы знаем,
обобщение уравнения Дирака на системы многих электронов ещё неизвестно.
Для этого достаточно исходить из приближённого, дополненного
соответствующими членами уравнения Паули. Вообще же говоря, наиболее изящный
метод получения формулы для g и рассмотрения случая мультиплетных систем
основывается на теории групп х).
Развитая выше теория дублетных систем содержит в себе больше, чем
только определение магнитного расщепления. Она позволяет, например, на
основании выражения A5) для В н формулы B1а) рассмотреть величину
расщепления Av0 в отсутствии поля для ряда щелочных металлов. Таким путём
можно показать, что Av0 убывает с ростом главного квантового числа п
(при закрепленном I) и растёт с увеличением порядкового номера Z (при
закрепленных л и 1)*).
После нахождения возмущённой энергии в2 из уравнения A8) находим
хт и Ут и> таким образом, получаем из A0а) и E) исходные функции
нулевого приближения %, на которые действует магнитное возмущение. Знание
этой функции позволит ответить на все вопросы относительно интенсивности,
поляризации и правил отбора при эффекте Зеемана.
Поляризация имеет тот же характер, что и при нормальном эффекте
Зеемана: ДЛ4 = 0 даёт n-компоненты, ДМ = ± 1 даёт о-компоненты.
В правилах отбора особенно интересно то, что переходы в общем случае не
ограничивают изменения }, только для очень слабых и очень сильных полей
Д/ = 0 или Д/ = ±1; для средних полей возможно иметь и при |Д/|>1
неисчезающую интенсивность переходов. Это объясняет казавшиеся
удивительными эффекты, наблюдавшиеся Пашеном и Баком в триплетных дуговых
и дублетных искровых спектрах щелочно-земельных элементов, о которых
шла речь в т. I (гл. VIII, конец § 7).
■) Е. Wig пег, Oruppentheorie, Braunschweig, 1931.
*) Более подробному рассмотрению посвящена диссертация Шлатерера [R. S с h I a t-
terer, Ann. d. Phvs. 27, 643 A936)]. В этой работе даны вычисления, опущенные
нами прн выводе A6). Прн вычислениях оказывается особенно удобной дарвиновская
нормировка волновых функций, о которой мы говорили на стр. 25.

ГЛАВА VI
ФОТОЭФФЕКТ
f 1. ВВЕДЕНИЕ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В этой главе мы рассмотрим фотоэлектрический эффект на отдельном
атоме, а не более хорошо изученный экспериментально и более важный
эффект на металле, нашедший широкие технические применения в
фотоэлементах. С помощью обычного света можно лишь в общих чертах изучить
тонкие характеристики фотоэлектрического эффекта на отдельном атоме,
особенно распределение электронов по различным направлениям; поэтому
необходимо использовать жёсткое излучение (рентгеновские или к-лучи),
чтобы получать электроны со скоростями, лежащими в области, пригодной
для измерений.
Особый исторический интерес в области теории фотоэффекта имеет
работа Эйнштейна 1905 г. (см. т. I, гл. I, § 6). В этой работе был написаи
закон сохранения энергии для фотона с энергией Av и вырываемого
фотоэлектрона с кинетической энергией Ект:
Е„ = к-. — \ЧГ\, A)
где \W\—работа выхода, в статье Эйнштейна — из металла, а в данном
случае — из соответствующей оболочки атома. С точки зрения классической
волновой теории это соотношение оставалось загадкой; необходимо было бы
допустить, особенно в случае жёстких рентгеновских лучей, невероятно
большие промежутки времени для того, чтобы классическим путём накопить
в атоме энергию порядка Av, а затем всю эту энергию передать вырываемому
фотоэлектрону. Иначе обстоит дело в волновой механике. Здесь характер
зависимости от времени собственных функций, возмущённых падающей
световой волной, с учётом соотношения де Бройля между волновыми числами
стационарных состояний и нх энергиями сразу даёт уравнение Эйнштейна A).
Впервые это было установлено Вентцелем 1), который для не слишком
жёстких лучей сумел вывести также и закон углового распределения:
y~sina0cos9<p B)
(см. пунктирную кривую на рис. 26).
Соотношение B) предполагает, что излучение поляризовано (х —
направление падения излучения, у — направление колебаний электрического
вектора этого излучения). В случае неполяризованного света мы получим
J~sina&, распределение аксиально симметрично относительно оси х. Соот-
41, 443
1) О. W e n t г е I, Zs. f. Phys. 40, 574 A926); 41, 828 A927); О. В е с к, там же
A927).

§ и
ВВЕДЕНИЕ И ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
373
а .Палуконус'
- ' - Максимум
/интенсивности
ношение B), особенно в отношении зависимости от угла <?, подтверждено
на опытах с рентгеновскими лучами в широком диапазоне длин волн
@,3—0,8 А) *) (приёмники электронов располагаются вокруг оси луча).
Вентцель также указал, что соотношение B) верно лишь как первое
приближение и нуждается в дальнейшем уточнении в отношении зависимости
от угла 0. Соответствующую поправку он получил наглядно, учтя световое
давление, действующее со стороны падающего излучения на вылетевший
электрон. При более точном проведении вычислений во втором
приближении Э) для фотоэлектронов, вырываемых нз /С-оболочки, получается
следующее соотношение:
У~ sin3 0 A-1-4? cos 0) cos9 <р, C)
где р = — и v — скорость электрона, освобождённого с /С-оболочки. Таким
образом, направление вылета фотоэлектронов несколько смещается в
направлении падающего излучения, что
выражено сплошной кривой на рис. 26.
Скорость фотоэлектрона v, о
которой здесь идёт речь, на основании волно-
вомеханических расчётов одинакова для
всех направлений в полном соответствии
с уравнением Эйнштейна.
Второй член в скобке C) оказывается
в два раза большим, чем можно было
ожидать на основании представления о
световом давлении [по вычислениям Вентцеля
в соотношении C) вместо величины 43
должна стоять величина 23]. Таким
образом, при строгом волновомеханическом
расчёте мы получаем парадоксальный
результат, что лишь часть эффекта может
быть объяснена за счёт передачи импульса
Излучением, так что атом как целое
должен испытать отдачу в среднем в
направлении, обратном направлению
падающего луча. Разъяснением этого парадокса
мы займёмся в § 3.
Необходимо сделать одно
принципиальное замечание: фотоэффект возможен
лишь на связанных электронах, а не на
свободных (в противоположность эффекту Комптона). Условие сохранения
импульса требует, чтобы в явлении принял участие весь атом. Это
обстоятельство вызывает определённые трудности при рассмотрении фотоэффекта
на металлах. «Свободные» электроны металла не могут быть непосредственно
вырваны светом, необходимо принять во внимание связь этих электронов
с решёткой металла.
Тот факт, что указанный эффект для /С-оболочки действительно в два
раза больше того, которое ожидается на основании расчётов по классической
теории, подтверждается многочисленными экспериментальными работами
Направление
падающейволны
Рнс 26. Интенсивность фотоэмнссии,
пропорциональная вероятному числу
испущенных электронов, вычерчена
в виде полярной диаграммы в
плоскости <р = 0: пунктирная кривая —
для случая мягких лучей,
сплошная— для жёстких. К последнему
случаю относятся указанные на рн-
сунке «максимум интенсивности» и
«полуконус», смысл которых
разъяснен в тексте § 3.
i) F. W. Bubb, Phys. Rev. 23, 137 A924); F. Kirch пег, Ann. d. Phys. 88,
521 A927).
*) A. Sommerfeld u. O. Schur, Ann. d. Phys. 4, 409 A930).

374 фотоэффект. [гл. vi
(Боте, Оже, Вильяме — Нутталь — Барлоу, Андерсон, Ватсон). Укажем
особенно на исследование Лутце1), проведённое под руководством Кирхнера,
экспериментировавшего с особенно жёсткими лучами (X = 0,135 А, р = 0,585).
Там же даны более подробные литературные указания. Получено почти
полное согласие с теоретическими соотношениями C) и D).
Можно продолжить вычисление высших приближений. Однако при этом
мы наталкиваемся на ограничение справедливости нерелятивистского расчёта
(о первой релятивистской поправке будет сказано в § 8). Точная в шредин-
геровском смысле формула, т. е. формула, которая была бы справедлива
в любом приближении, если бы мы пренебрегли релятивистскими поправками,
была почти одновременно дана Фишером3) (по предложению Вентцеля
занявшимся этим вопросом) и Заутером8). Заутер использовал ряды в полярных
координатах, Фишер вёл расчёт в параболических координатах.
Соответствующая формула будет выведена в § 4 более простым путём,
непосредственным интегрированием соответствующего матричного элемента. Эта
формула имеет вид:
. sin»» cos' <f
•/~(l-pcos^' D)
если мы отбросим обозначенную в § 4 через f поправочную величину,
которая при нерелятивистском расчёте не может быть гарантирована и которая,
как доказано в § 8, действительно исчезает в первом релятивистском
приближении. Если выражение D) разложить в ряд по степеням |3, то в качестве
второго приближения снова получим соотношение C), в то время как более
высокие приближения с ?9, J38, ... не являются достоверными. Поэтому,
собственно говоря, соотношение D) не содержит в себе больше, чем C);
это выражение более предпочтительно лишь вследствие своей большей
обозримости.
Аналогичный вид выражения, в частности, возникает, когда мы в § б
перейдём к фотоэффекту в /.-оболочке. Формулы будут более сложными;
особенно интересно то, что наряду с «анизотропными» составными частями,
т. е. такими, которым соответствуют обсуждённые выше вытянутые формы,
появятся также «изотропные» составные части, для которых полярная
диаграмма фотоэмиссии, если отвлечься от отклонения электронов вперёд, имеет
форму окружности.
Часто пытались упростить расчёты фотоэффекта тем, что вместо точных
собственных функций вырываемых электронов брали приближённые функции
в виде плоской волны. Этот приём в случае /(-оболочки даёт правильное
распределение, но для L-оболочки приводит к неправильному результату,
поскольку оказываются утерянными изотропные составные части. Между тем
точными измерениями Оже фотоэффекта на L-оболочке с достоверностью
доказано, что эта изотропная часть существует.
Мы будем вести расчет для стационарного случая, т. е. будем
рассматривать установившийся процесс фотоэмиссии при неизменном
продолжительном облучении. Однако весьма поучительно на основании теории
возмущений Дирака рассмотреть процесс возникновения фотоэффекта. Это будет
сделано в § 7.
>) Е. Lutze, MOncherer Dissertation; Ann. d. Phys. ft 858 A931). См. также
работу P. P. Eggleston н L. A. Martin, Proc. Roy. Soc 162, 95 A937), где
констатировано великолепное совпадение между опытом (/(-оболочка аргона) и теорией.
3) J. Fischer, Ann. d. Phys. 8, 821 A931); 11, 489 A931).
в) F. Sauter. Ann. d. Phys. ft 217 A931); 11, 454 A931).

§ 2] ФОТОЭФФЕКТ В АГ-ОБОЛОЧКВ. РАСНЙТ,- В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 375
Формулы B) — D) выписаны с точностью до множителя
пропорциональности (что отмечено значком —). Если мы эти множители добавим н
проинтегрируем по всем направлениям, то получим полный выход электронов,
на основании которого затем можно вычислить так называемый «истинный
коэффициент абсорбции» падающего излучения. Этот вопрос для /С-оболочки
будет обсужден в § 5.
| 2. ФОТОЭФФЕКТ в ДГ-ОБОЛОЧКЕ, СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙ.
РАСЧЁТ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
При изложении этого вопроса будем исходить из формул, выписанных
в теории дисперсии в гл. V, § 3. Так же как и там, падающая волна будет
описываться уравнениями A.1а) (рис. 22). Состояние атома, возмущённого
этой волной, даётся выражением A1) той же главы. Различие заключается
лишь в том, что если там мы учитывали лишь вклад дискретного спектра
собственных значений, то теперь нам необходимо учесть непрерывный спектр
собственных значений. Сумму по дискретному спектру собственных значений
будем обозначать многоточием, энергию непрерывного спектра — через W
и собственные функции — через <|»(W). Первоначальное состояние электрона,
т. е. его пребывание в /f-оболочке, характеризуется некоторым значением Wo
и собственной функцией %. При этих условиях упомянутое выше
равенство A1) приобретает следующий вид:
* +...+ —-^{Хе * +Ye
A)
v у (A(W)ty(W)dW \CA(W)±mdW
Множитель, стоящий перед фигурными скобками в первой строчке,
получается из соответствующего множителя в (V.3.11), если там принять
во внимание предыдущие соотношения D) и Aа). Величина Е обозначает
амплитуду напряжённости Еу в падающей световой волне.
Происхождение операции 2 Г следующее: когда мы производим расчет
в полярных координатах, то собственные функции зависят не только от
непрерывного спектра собственных значений энергии W, но и от квантовых
чисел угловых координат, принимающих дискретные значения /, т
[вырождение по / и /п; более подробно вместо <J»(W) следовало бы написать tym(W)].
Для того чтобы учесть все состояния, нам, кроме интегрирования по W
от 0 до оо, необходимо также произвести суммирование по /, т.
Сравнивая соотношение A) с упомянутым выше соотношением A1), мы
видим, что величина А^ теперь заменяется на величину A(W)dW и индекс к
у невозмущенного состояния должен быть опущен. Величина A(W) no
аналогии с равенством (9) и (9а) на. стр. 310 имеет следующее значение:
. Ba)
Как это следует из только что упомянутых равенств страницы 310, знак
плюс при 2ic/ принадлежит к X, знак минус — к Y.

376 Фотоэффект [гл. ут
Прежде всего займемся зависящим от времени множителем при X
в соотношении A). Величина, заключенная в скобках в показателе степени,
даёт нам кинетическую энергию испущенного электрона. Эта кинетическая
энергия, следовательно, равна
Em=W0 + h<. = hy — \W0\. C>
Величина Wo, энергия электрона в исходном состоянии, когда электрон
связан, будет отрицательной. Поэтому мы написали Wo = — |W0|.
Величина | Wo | означает работу выхода или энергию ионизации начального
состояния (в частности /f-оболочки). Следовательно, равенство C) совпадает
с уравнением Эйнштейна A.1). Таким образом, это равенство, если и не
объяснено, то во всяком случае весьма тесно увязано с основными
положениями волновой механики. Свое объяснение оно находит в представлении
о дискретных количествах энергии величины Ам, связанных со светом.
Что же касается множителя при Y в соотношение A), то нам нет
необходимости его более подробно обсуждать, так как будет показано, что
величина Y в фотоэффект не дает никакого вклада.
Рассмотрим, далее, функцию <|»(W) в выражении для X. Она, кроме
зависимости от W, содержит в себе также зависимость от координат точки
наблюдения. Однако нас существенно интересуют лишь точки на большом
удалении от атома, поэтому мы можем для <j> взять её асимптотическое
представление. Как известно, <|» разлагается на два слагаемых, из которых
одно слагаемое соответствует падающей волне, другое — рассеянной
сферической волне; оба эти слагаемые обозначены через Qj и Qa в (П.7.33,34).
Как будет показано далее и как это очевидно из физических соображений,
ори соответствующей интерпретации в формулах для явлений фотоэмиссии
должны быть существенны лишь члены, связанные с рассеянной волной.
Пока же мы должны вести расчёт с полным асимптотическим выражением
собственной функции •{>. Поэтому полагаем
$ D)
Ввиду этого интеграл, выражающий X, распадается на две части,
которые могут быть записаны единой формулой следующим образом:
г)=2 J *™w+* №• х=ъ {*1)+х* ">• Dа>
Более удобно в качестве переменной интегрирования взять вместо
волновое число к. Поэтому полагаем
и равенство C) переписываем в следующем виде:
Av-|ro| = |l*g, Ea>
где fc0 есть волновое число, соответствующее той скорости, с которой
фотоэлектрон по закону Эйнштейна покидает атом. Из E) и Eа) следует:
— тг—;т Eб>

$ 21 фотоэффект в дг-оволочке. расчйт в полярных координатах
и Dа) переходит в следующее выражение:
377
Обозначением A (ft) и <|»(ft) подчёркнуто, что далее эти величины будут
рассматриваться как функции от k, а не функции от W.
Относительно пути интегрирования в F) необходимо заметить следующее:
в соответствии с тем, что W является положительной вещественной
величиной, путь интегрирования должен идти вдоль действительной оси от О
до оо. Но это невозможно, так как знаменатель ko — k в точке k = k0.
обращается в нуль. Для того чтобы избежать этой сингулярности, мы должны
обойти эту точку либо снизу, как это изображено на рис. 27 сплошной
линией, либо сверху, как это указано пунктирной линией. Мы этот обход,
совершим снизу. Это позволит исключить из рассмотрения сходящуюся
к атому волну, далее обозначаемую через <|»Й. Действительно, беря
зависимость от времени, как обычно, в форме е~ш,
мы на основании (П.7.33) получим следующий вид
зависимости <!&'*' от г:
,-ihr
к=о
Следовательно, путь интегрирования в Х^1) можно
повернуть до совпадения с отрицательной мнимой
полуосью, не пересекая особой точки. При этом
подинтегральное выражение исчезает в нижней
полуплоскости на бесконечности. Вдоль
отрицательной мнимой оси мы будем иметь:
■ 0 при г -*■ оо,
Ха>
Плоскость К
Рнс 27. Пути
интегрирования для Х11) и Х{2)
плоскости k. В качестве пути
интегрирования выбирается
путь, вычерченный
сплошной лннней;пункгирный путь
привёл бы к «сходящимся»
волнам.
так что X для г -*■ оо изчезает.
По-другому обстоит дело в случае Л"'21.
Путь интегрирования в этом случае надо
перевести в верхнюю полуплоскость, где на бесконечности подинтегральное
выражение исчезает; вдоль положительной мнимой оси будем иметь:
е
-1*|г
■ 0 при г -*■ оо.
Но теперь путь интегрирования охватывает особую точку k = k0. Поэтому
получаем следующее значение:
X* 2к* 2 А (*„) $ (*о). Fа)
Если бы мы выбрали путь, обозначенный пунктирной линией, то на
основании аналогичных соображений получили бы:
Хт = 0, X™ =
F6)
т. е. вместо излучения получили бы не имеющую физического смысла
сходящуюся волну. Неоднозначность здесь получается потому, что волбщв
задача решения волнового уравнения становится однозначной лишь при

378 фотоэффект [гл. vi
добавлении граничных условий на бесконечности, так называемых «условий
излучения» (ср. примечание 1 на стр. 330). В нашем случае мы этому
условию удовлетворили выбором пути интегрирования.
Теперь легко обосновать высказанное выше утверждение, что часть,
связанная с К в равенстве A), не даёт никакого вклада в фотоэмиссию.
Действительно, произведём в выражении для Y ту же замену переменных E).
Тогда получаются два выражения КA'", которые представляются
интегралами вида F) с той разницей, что теперь в знаменателе стоит величина
Ао —k2, где
& =_Av+ur0 = -Av — |U70|<0. Fв)
Следовательно, *о является мнимой величиной. Поэтому путь интегрирования
в К*1' и КB) мы можем перевести в путь вдоль отрицательной и
соответственно положительной мнимых полуосей, так как вдоль вещественной оси
особых точек нет. То обстоятельство, что полюсы ±l\ko{ не дают
никакого вклада при интегрировании вдоль мнимой полуоси, следует из того,
что в этих точках «{Х^2* при г-*оо исчезают как ехр(—|Л0|г).
. Выпишем теперь общий член ряда (ба), характеризуемый квантовыми
числами/, т. На основании формул (Н.7.1), (П.7.11) и (II.7.28), если мы
заменим в этих формулах k через fc0, получим собственные функции,
принадлежащие этим квантовым числам:
(COS ») ™ /»<р, G)
Ri(k0, r) = Blksrl-1±$(x + ±)(x-±ye-«>V"dx. Ga)
Для удобства вычислений в дальнейшем мы в G) величину eim*
замелили через з™л1?> так что m можно считать положительным. Величина п
означает Z/ikoa.
На основании C0) стр. 106 входящее в (ба) асимптотическое значение
^ этой собственной функции равно
? (cos ft) J£ m«p, (8)
-Ч-+4)
—' • <8a>
С другой стороны, значение множителя A(k0), входящего в (ба), даётся
выражением Bа) (с выбором положительного значения показателя степени
у е, как указано выше), при этом для </(№) надо взять сопряженное к G)
.выражение [но не сопряжённое к асимптотическому представлению (8I].
Выписывая явно индексы /, л» и переходя к полярным координатам:
dx = r* dr da, da = sin 0 db d<f,
получим:
о
Значение <|ъ возьмём из таблицы на стр. 80:
\'* -Z-
) '

§ 21 ФОТОЭФФЕКТ В АГ-ОВОЛОЧКЕ. РАСЧЁТ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 379
Если полярные координаты расположить так, как это сделано на рис. 26
(стр. 373), т. е. положив
x=-rcosb, _y = rsinftcO8<p. г = г sin ft sin <р,
то получается:
Lf) Г^f*.».* (Юа)
и
е ~ = е х . A06)
Поэтому угловая часть (9) вапишется следующим образом:
Ф = J d<f si°n т<РСО8<Р- 'О
A16)
о
Интеграл Ф вычисляется немедленно. Именно, мы имеем:
fd<psinm<pcos<p = 0 для всех т; A2)
С . . f 0 для всех тф\,
I d<pcosm<psin<p = { A2а)
J I it для т = 1.
Отсюда сразу следует, что все А1т равенства (9), в которые входит sinm«p,
обращаются в нуль, а из тех А1т, в которые входит cos дар, отличными от
нуля могут быть только Ап.
Для того чтобы вычислить интеграл В, в котором на основании сказан-
ного надо положить т = 1, воспользуемся разложением
е *■ =l + 2iu{-co8ft+ ... A3)
в рассмотрим два случая:
а) мягкое излучение, первое приближение;
б) жёсткое излучение, второе приближение.
В случае а) мы в A3) ограничиваемся первым членом, принимая, что к
является большой величиной по сравнению с тем. расстоянием г0 от ядра,
на котором еще может иметь место фотоэлектрическое действие. Заметим
при этом, что г0 может быть во всяком случае не больше чем а, так как
конструкция функции % такова, что при интегрировании по г область
интегрирования г >о является несущественной. В этом случае имеем:
в = J sin2 в dbPl (cos ft). A3a)
о
В случае б) достаточно будет, кроме первого члена, учесть также в
второй член; высшие члены, значение которых проблематично ввиду того,

380 фотоэффект [гл. vi
что мы пренебрегаем релятивистскими эффектами, будут приняты во
внимание в § 4. В этом случае имеем:
к
в = Г sin2 в dbp) (cos ft) A4- 2tc/ ■£- со» А. A36)
о
Вычисление A3а) и A36) становится очевидным, если мы примем во
внимание, что при обычной нормировке имеют место равенства:
/>} = sin&, Pj = 3sin0co8ft. A4)
Положив jc = cosO, запишем:
а) мягкое излучение:
(i= f P\(x)P\(x)dx; A5a)
-i
б) жесткое излучение:
+i +i
в = J P\{x)P\(x)dx+ If f J P\(x)P\(x)dx. A56)
Принимая во внимание ортогональность шаровых функций, из A5а)
заключаем, что
в = 0, кроме случая 1=1.
Следовательно, из всех коэффициентов Аи неисчезаюшим является лишь Ап,
и весь ряд Fа) сводится к одному члену:
Учитывая равенство (8), в котором надо положить / = m = 1 и сохранить
лишь члены с косинусами, мы получим следующую угловую
зависимость Хт:
A''2'
т. е. ввиду A4)
(
Но ту же самую зависимость от углов имеет и величина X и волновая
функция и равенства A), так как первый член этого равенства и члены,
отвечающие дискретному спектру (которые обозначены в этом равенстве
многоточием), при г-уоо исчезают; об исчезновении члена с Y уже сказано
выше. Следовательно, мы имеем:
и — sin 0 coscp и \и\* — sin'&cos9?.
Величина |и|9 означает плотность освобождаемых электронов и поэтому
пропорциональна интенсивности эмиссии электронов, обозначенной в § 1 через J.
Поэтому для мягкого излучения найдем:
y~sin3ftco89<p. A6)
как это и утверждалось в A.2).
Вычисление угловой части для жёсткого излучения менее просто.
Равенство A56) показывает, что в Ф 0 для двух значений /, именно для 1= 1

§21
ФОТОЭФФЕКТ В ЛГ-ОДОЛОЧКВ. РАСЧЙТ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
381
в /=*2. Н» основании обычных формул нормировки A.9.30) из A56) на»
ходим:
ДЛЯ
для
-I
J
J
A7)
Отсюда следует, что в ряду с Ап, отличными от нуля, будут два члена,
именно с Аи и Ау. Из (9), A1), A2а) и A7) получается:
±-\Tk(|) J г
i J
o, r)
A8)
Здесь для R мы используем представление Gа) (с изменением знака у/и»
ввиду перехода к сопряженному выражению) и выполним интегрирование
по г. Это интегрирование для обоих А одинаково [множители г3 и г8
сокращаются с соответствующей частью множителя Bikor)~I~i в Gа)]. Находим:
f (lI 1
I
о
причем последний переход сделан ввиду того, что n = Z/ikoa. Благодаря
этому выражения A8) принимают вид:
t(Z\'l' 1 p/ , l\-n-2/*- 1 \""г dx
A8а)
Теперь можно вычислить оставшиеся комплексные интегралы по х. Эти
интегралы [ср. стр. 103, уравнение A6)] берутся по контуру, окружающему
точки ветвления х = ±-~, и сводятся к вычету в точке х = -&. Для
первого и второго интегралов находим: —12*(п-\- 1)~п~2(я—1)п~2 и
соответственно — Йв(я+ 1)~"~*(я—1)п~*. Отношение значения второго
интеграла к первому равно
я«— Г
Отсюда на основании A8а) заключаем, что
A86)

382 фотоэффект [гл. vt
Сумма Fа) становится теперь двучленной. Ее можно записать в виде
A9)
где <{iu и <!fa означают асимптотические выражения из (8) для
соответствующих /, т. Далее имеем:
♦и
Угловая зависимость функции фц, стоящей множителем при скобках в A9),
имеет вид:
tyu — sin ft cos <p. A96)
Подставляя A86), A9а), A96) в A9), находим:
Для определения нормировочных множителей необходимо Обратиться
к гл. II, § 8. Из выписанного там равенства A2) следует:
5 21 | Г (я + 3) |2 5 ,
Последнее значение подставим в B0) и перейдем к |Лр. При этом
поправочный член с cos ft необходимо учесть лишь в первом приближении.
Множитель при cos ft в скобках будет равен (величина п чисто мнима и,
следовательно, а9 вещественно):
Поэтому из B0) получается:
(gfji) B1)
Последнее выражение можно еще упростить. Прежде всего ввиду равенства
n = Zlikffl имеем:
Если мы учтем, что работа выхода |W0| для водорода равна e*Z?/2a, то
Eа) можно написать в виде:
B1б)
Учитывав, что (тв9/й9) = A/а) и ч = (с/к), отсюда получим:
<*•■>
При учете B1а,в) множитель при cos 0 в B1) равен
^Г = 47=4?' <21г>
так как иа основании соотношений де Бройли к$Ь равно импульсу mv.
Величина Р относится к скорости освобожденного фотоэлектрона.

§ 3| ОТКЛОНЕНИЕ 9ЛВКТРОНОВ ВПЕРЁД 383
Как и в случае мягкого излучения, плотность | и |9 и интенсивность
эмиссии электронов J пропорциональны \Х\2. Поэтому на основании B1) и B1 г)
окончательно получим:
y~sin»0 cos9<p (I + 4? cos »). B2>
Жесткое излучение в противоположность мягкому [равенство A6) в
согласии с A,3)] даёт некоторое отклонение фотоэлектронов вперёд по
направлению падающего излучения. Это отклонение электронов вперёд
определяется поправочным членом с р. Для лучшего уяснения читателю полезно
ещё раз вернуться к рис. 26 в § 1.
В заключение сделаем несколько методических замечаний.
а) Приведенные вычисления выполнены на основании нерелятивистских
формул и поэтому справедливы для не слишком жесткого излучения (не
слишком больших Р). Это видно уже из того, что для р > j на основании
равенства B2) должна была бы существовать область cos ft < — -г-?, в
которой величина У была бы отрицательной, что является, конечно, физически
бессмысленным.
б) Проведенное вычисление с самого начала было специализировано для
/(-оболочки. Для /.-оболочки (см. § 6) отклонение электронов вперёд носит
более сложный характер. Также не имеет больше места пропорциональность
эмиссии величине cos'3<p. Эта пропорциональность основывалась на том, что
в вычислениях появились только первые присоединённые сферические
функции Р\.
в) Вычисления проводились с собственными функциями основного
состояния водорода (при Z-кратном заряде ядра), однако они были
распространены на /С-оболочку любых атомов. В последнем случае надо радиус атома
водорода а заменить радиусом /(-оболочки и работу выхода | Wo | водорода
заменить работой ионизации /(-оболочки. То обстоятельство, что в
окончательной формуле B2) константы атома водорода a, \W0\ отсутствуют,
а вместо них входит скорость освобождённого электрона, дает
дополнительное оправдание перенесения результатов, полученных в случае атома
водорода, на любые атомы.
| 3. ОБСУЖДЕНИЕ ОТКЛОНЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ВПЕРЁД.
РАЗРЕШЕНИЕ ОТНОСЯЩЕГОСЯ СЮДА ПАРАДОКСА
Из последней формулы непосредственно следует, что с увеличением
жесткости излучения (т. е. с увеличением Av, а поэтому и с увеличением fi>
максимум фотоэмиссии смещается вперёд. Действительно, формула B.22)
дает для положения этого максимума:
^ = cos»? ^ {sin9 0 + 4? sin9 0 cos 0} = 0.
Отсюда следует, если после дифференцирования положить в поправочном
члене с р, как и в случае мягкого излучения, cos 0 = 0, sin 0 = 1, что
cosOMMto = 2?>0, 0макс = |- —2?. A)
Можно ввести понятие «полуконуса», полезного при практическом подсчёте
путей фотоэлектронов в камере Вильсона. Этот «полуконус» определяется
как круговой конус, описанный вокруг направления 6 = 0 с таким углом

384
ФОТОЭФФЕКТ
(ГЛ. VI
раствора Ьк, чтобы в нем была заключена как раз половина всех испущенных
электронов. Следовательно, должно быть:
Jjsin»d»d<p= J
Вычисление на основании B.22) дабт следующее значение для Ьк, если
пренебречь высшими степенями cos 8* и опять положить в поправочном члене
с р sinft=l, cos0 = 0:
cos»k = p\ »* = |-- p.
B)
Рис. 28. Элементарное
толкование механизма
-смещения распределения
электронов вперёд: ело-
асение первоначального
импульса фотоэлектрона
■с импульсом — свето-
вого кванта.
Из A) и B) следует, что боковая поверхность «полуконуса» проходит в
середине между 8 = y и-ft = »„««!• Это
обстоятельство отмечено на рис. 26.
В качестве физической причины этого
отклонения электронов вперед в § 1 указывалось световое
давление или, что то же самое, импульс Av/c
падающего излучения. Получающееся за счет этого
отклонение можно вычислить элементарно1).
Представим себе, что какой-либо из
фотоэлектронов без учета светового давления двигался бы
под углом ft0 к падающему излучению. Его
импульс ОР (рис. 28) при сложении с импульсом
PQ = — падаюшего света дает результирующий
импульс OQ, который определяется направлением О
и имеет величину то, которая должна согласоваться
с уравнением Эйнштейна. Благодаря этому
направление первоначального импульса несколько отклоняется
вперед на угол 8, который определяется из треугольника POR:
. * Av sin ft
sin8 = — ]^ 1
с
яли в достаточном приближении (8 считается малой величиной):
8 = 80sin», 80 = -^-с, C)
где 80 означает отклонение фотоэлектрона, первоначально двигавшегося под
углом 80= j (см. рис. 28).
Далее на основании рисунка и равенства C) имеем:
Ca)
sin ft0 = sin ft cos 8+cos» sin 8 = sin »-f 8cosft =
sin» »0 </»0 — sin» ft d» A + 80 cos by = sin» в dft A + 48O cos »).
Близкое вычисление см. E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. 121, 129 A928),

§ 3] ОТКЛОНЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ВПЕРЁД 385
Число фотоэлектронов dN, испущенных в телесный угол между ft0 и
bo-\-d%, «p и cp + d<p, при условии отсутствия светового давления будет
равно
Здесь величина Jo есть удельная интенсивность фотоэмиссии
(интенсивность на единицу пространственного угла) «без светового давления»,
даваемая выражением B.16). Следовательно, принимая во внимание (За), найдём:
dN = sin» 0о cos9 <? d»0 d? = sin» » cos4 <? A + 48O cos 0) d» d<p. D)
Это есть число электронов, отклонившихся в телесный угол между 8 и
0 + </1>, 9 и <? + <*? благодаря световому давлению. Если через У обозначить
удельную интенсивность фотоэмиссии «со световым давлением», то мы
должны иметь:
dN= Уsin 8 <#></<?. Da)
Сравнение D) и Dа) даёт:
У=sin» ft cos9 <? A + 48О cos $>)• E)
Равенство E) имеет ту же форму, что и B.22), ио коэффициент при cos ft
в этих равенствах различен.
На основании C) и закона Эйнштейна в записи B.3) имеет место
равенство
Для не слишком мягкого излучения (не для видимого света) En, ~^> №0.
Поэтому с хорошим приближением в качестве коэффициента при cost) в E)
может быть взята величина
Соответствующий коэффициент в B.22) был равен 43. Отклонение,
вычисленное на основании волновой механики, в два раза больше того, которого
следовало бы ожидать на основании элементарного учёта светового
давления.
Это удвоение отклонения после его доказательства соответствующими
опытами (стр. 373) рассматривалось как парадокс. Этот парадокс
разъясняется, если представление о сложении импульса излучения с импульсом
фотоэлектрона дополнить волновомеханическими соображениями.
Закон Эйнштейна учитывает лишь закон сохранения энергии при
фотоэффекте и на основании этого определяет лишь величину импульса
вылетающего электрона или, что то же самое, величину волнового числа k. Мы
потребуем теперь, чтобы наряду с законом сохранения энергии удовлетворялся
и закон сохранения импульса. Поэтому фотоэлектрон должен иметь
начальный импульс Мг0, который, складываясь с импульсом hs/c падающего
излучения, даёт результирующий импульс hk вылетающего электрона.
Следовательно, должны иметь место равенства:
= ft, *o = ft — х. F)
в этих равенствах х имеет величину 2it/A. (импульс светового кваита,
делённый на й) и направление падающего излучения, Поэтому необходимо
25 3» 968. А. Змшерфсм

386 Фотоэффект [гл. vt
исследовать распределение импульсов в начальном состоянии <|»0 атома *) и
установить, как часто в этом состоянии встречается данный импульс hk0.
Исследование этого распределения можно произвести на основании теории
преобразований (гл. III, § 7). Там в равенствах A) — D) было показано,
что амплитуда вероятности для собственного значения л импульса [там обо»
значенная v(n)] получается из амплитуды вероятности нахождения частицы
[там обозначенной через a(q)\ по способу Фурье, так как собственные
функции импульса [обозначенные там через S*(q)] являются
экспоненциальными функциями. Обобщая эти соображения на трёхмерный случай,
рассматривая вместо импульса я пропорциональное ему волновое число k и вместо
и, v беря %, ча \w(k) — амплитуда вероятности распределения волновых
чисел], мы из равенства G.3) получим (при подходящем выборе
нормирующего множителя):
Gа>
При выборе % в виде B.10) интеграл в Gа) может быть вычислен
непосредственно в полярных координатах г, В, Ф, причём ось й = 0 удобно
направить вдоль вектора ft0. Вводя обозначение N =— w-Vi(Z/a)*'«, найдём:
_N_ C
2яЗ J
Ъ
sln8<*8 NZ
Z
При учёте равенств F) для вероятности волнового числа k0 в
начальном состоянии ^0 атома получается, таким образом, следующее выражение:
G2
|г+1*-
1 -4. (8)
Обозначая угол между вектором в и ft через А, можно переписать
выражение, стоящее в скобках в знаменателе, в виде:
^ + Л9 — 2xft cos » + х9. (8а)
Положив * = ^ [см. выше F)], * = ^ (соотношение де-Бройля), -^ + £9=»
=3—тг [равенство B.21 в) в котором мы теперь должны написать k вместо fcQ],
') Строго говоря, следовало бы принять во внимание также распределение
импульсов в конечном состоянии, а не рассматривать импульс конечного состояния, как
это мы сделаем, как строго определённый. Строго определённый импульс означает:
плоская волна с волновым вектором fc. Следовательно, в тексте собственные функции
конечного состояния заменяются плоскими волнами exp{l(kr)}. To обстоятельство,
что, несмотря на такое упрощение, величина фотоэффекта для АС-оболочкн получается
правильной, показано уже Френкелем, Phys. Rev. 38, 309 A931). По-другому обстоит
дело в ^-оболочке; см. примечание 1, стр. 406.

§ 3| ОТКЛОНЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ ВПЕРЁД 387
вместо (8а) получим:
Последний член в скобках, обозначаемый в дальнейшем через f,
перепишется в более простом виде, если ввести туда комптоновскую длину волны
£| (8в)
Таким образом, (86) принимает вид:
(8г)
Подставляя последнее выражение в (8), для искомой вероятности с точностью
до множителя, не зависящего от 0, получим:
A—f
(9)
Принимая во внимание связь между *, х и ft0 [равенство F)) и связь w
с распределением импульсов в начальном состоянии атома [равенство Gа)),
величину г»9 можно назвать вероятностью того, что, рассматривая заданное
направление ft, <p фотоэмиссии, мы найдём, что закон сохранения импульса
выполняется. Эту вероятность необходимо ещё умножить на вероятность
вырывания электрона под действием поля падающей волны. Очевидно, что
эта вероятность зависит лишь от электрического вектора поля Е, а именно,
от составляющей этого вектора в направлении О, <?. которая при сделанном
выборе координатной системы равна |/?|sinftcos<p. Далее очевидно, что эта
вероятность зависит не от самой этой составляющей, а от её квадрата,
т. е. от интенсивности в данном направлении. Следовательно, обозначая
«вероятность вырывания электрона» через №*, имеем:
Г* ~ sin9» cos9?. A0)
Наконец, из (9) и A0) получается следующее выражение для вероятности
фотоэмиссии в направлении ft, <p:
/"nc°f* A1)
A — ft cos » + К)*
Эта формула согласуется с A.4), если только опустить поправочный
член 1» и, как было отмечено, переходит в более привычную формулу A.3):
J~sin9»cosa?(lH-4?cos0), (lla)
если произвести разложение по степеням J3 и ограничиться первой степенью J3,
что оправдывается степенью точности проведённого нерелятивистского расчёта.
Теперь разрешение указанного выше парадокса становится очевидным.
При элементарном расчёте мы, правда, учитывали закон сохранения импульса
(в волновых числах ft-)-x = ft0), однако мы не принимали во внимание
вероятности да9, с которой некоторый импульс к представлен в первоначальном
состоянии атома; последовательный учёт последнего обстоятельства,
схематически представляемого соотношением J=w*Wi, ведёт к удвоению
отклонения электронов по сравнению с тем, которое получается из элементарных
рассуждений.
25»

388 фотоэффект [гл. vi
Вычислим, наконец, величину отдачи, которую испытывает атом
благодаря отклонению электронов вперёд, т. е. благодаря тому обстоятельству,
что в среднем больше электронов испускается вперёд, чем назад. Очевидно,
эта отдача (ввиду характера зависимости фотоэмиссии от угла <р) направлена
навстречу падающему излучению. Следовательно, необходимо найти
составляющую импульсов испущенных электронов на направление падающего
излучения. Эта составляющая для отдельного электрона равна mo cos 0, и,
следовательно, среднее значение этой величины равно
Г
-
На основания (Па) с * = cosO имеем:
(член, учитывающий отклонение электронов вперёд, не дает добавки к этой
величине) и
i
f Jxdm = it f A — x*)(l +4?*)xdx
(в этом случае, наоборот, лишь член, учитывающий отклонение электронов
вперёд, даёт вклад в интеграл). Отсюда выражение A2) равно
т~?-**-#• <12»
нричбм последний переход сделан на основании закона Эйнштейна при
пренебрежении работой выхода Wo по сравнению с А-».
Для того чтобы найти импульс отдачи, необходимо найти излишек
импульса испущенных электронов по сравнению с импульсом падающего
излучения. Этот излишек равен
5 с с == 5 с '
Это и есть величина отдачи, которую в среднем испытывает атом. Можно
сказать так: в возбуждённом фотоэлектрически газе по направлению,
противоположному направлению падающего излучения, дует атомарный ветер;
сила этого ветра пропорциональна жёсткости падающего излучения.
| 4. ФОТОЭФФЕКТ В ЛГ-ОБОЛОЧКЕ С ПОЛНЫМ УЧЁТОМ
ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ПАРАБОЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
«Множитель запаздывания» txpBvtx/k) в B.2) получается за счёт
конечной скорости распространения падающего излучения и играет тем
большую роль, чем более коротковолновым является это излучение. В
дальнейшем этот множитель мы будем писать в виде:
eU»r\ |Х|=^, A)
где через х обозначен волновой вектор падающего излучения. До сих пор,
в § 2, мы учитывали лишь один или два члена разложения этого множителя

§ 4] ФОТОЭФФЕКТ В АГ-ОБОЛОЧКЕ С ПОЛНЫМ УЧЁТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ 389
в ряд. Теперь мы учтём этот множитель полностью, пользуясь методом
Заутера и Фишера (см. ссылку на стр. 374).
Заутер вел расчёт с теми же собственными функциями в полярных
координатах, которые использованы нами в § 2, Фишер воспользовался
собственными функциями в параболических координатах, аналогичными примененным
нами при рассмотрении эффекта Штарка. Мы здесь получим те же
результаты, что и эти авторы, воспользовавшись более подходящими для этой
задачи собственными функциями (II. 9.31), которые оказались весьма
удобными при рассмотрении задачи рассеяния в гл. V, § 8,Б, а именно:
9 = l[kr—(кг)],
,}, = **<**>/.„ (р),
« z aZ
B)
В случае здачи рассеяния вектор к являлся волновым вектором плоской
волны, падающей со стороны отрицательного направления и вследствие
наличия рассеяния интерферировавшей со сферической волной, возникающей
в результате рассеяния1). В случае же фотоэффекта нам необходимо полу
чить волну, расходящаяся составная часть которой асимптотически состоит
из плоской волны и, следовательно, не интерферирует с расходящейся
сферической волной. Это условие будет соблюдено, если в B) одновременно
произвести замену
к на —к и I на —I. Bа)
Благодаря этому отрицательное направление переходит в положительное
и вместо расходящейся сферической волны получается сходящаяся (к атому)
сферическая волна. Следовательно, со стороны положительного направления
-\-к мы имеем плоскую уходящую волну, которая соответствует наглядному
представлению испущенных электронов (сходящаяся сферическая волна в это*
случае нам ие мешает). При проведении указанной замены первоначальное
представление B) при соответствующей нормировке переходит в
C)
aZ
Вели мы будем придавать к всевозможные направления и величину, то
получим оо8-кратную систему собственных функций, которая охватывает все
состояния атома водорода с непрерывным спектром собственных значений.
Сравним эту систему с системой собственных функций непрерывного спектра
в полярных координатах:
Л)РР(cos&)«""». (За)
Дискретному множеству угловых квантовых чисел /, т этой системы
соответствует непрерывное множество направлений волнового числа к; величина
!) Благодаря интерференции между сферической и плоской волнами в
положительном направлении, т. е. сзади атома, возникают колебания интенсивности, которые
являются аналогом явления- Пуагсона обычной оптики (максимумы и минимумы сзади
круглого экрана). На основании принятого в Bа) изменения направлений
соответствующая интерференция между сходящейся сферической волной н падающей плоской
волной имеет место в отрицательном направлении, т. е. перед атомом. Последнее
обстоятельство для нас несущественно, так как нас интересует плоская излученная волна.
См. О. Scherzer, Ann. d. Phys. 13, 137 A932).

390 фотоэффркт (гл. vi
энергии в обоих случаях представлена посредством непрерывно изменяющейся
величины к. Обе системы функций C) и (За) ортогональны, обе системы
при добавлении собственных функций дискретного спектра составляют полную
систему собственных функций. Следовательно, система C), так же как
использованная в § 2 система (За), может быть использована для расчёта
методами теории возмущений.
Основываясь на сказанном и используя новые собственные функции,
перепишем формулы начала § 2. Пусть а, $ будут полярные углы вектора к,
которые, так же как и углы Я, <р радиуса-вектора г, отнесены к полярной
оси, совпадающей с направлением вектора х. Вместо равенства B.6а) мы
имеем:
X 2it/ J rf»ep А (а, р. к) %„(«, ?. к), D)
причем прежняя сумма по /, т заменена интегралом по da>^ с rfa,? —
= sir a da dp. Как в '!>а0, так и в аргументе А к есть величина волнового
числа, соответствующая точке взятия вычета на рис. 27 [обозначенная там
через k0 и определяемая законом Эйнштейна B.5а)]. Следовательно,
интегрирование в D) производится не по всей первоначальной ооа-кратной системе
собственных функций, но лишь по со'-кратной системе собственных функций
при постоянной величине к.
Верхние индексы при X и ty из равенства B.6а) в равенстве D)
опущены. Надо обратить внимание на то, что благодаря методу интегрирования,
изложенному на стр. 377, сходящаяся волна исключается из рассмотрения
и поэтому под <!fe, в D) следует понимать лишь часть, соответствующую
расходящейся волне.
Для того чтобы получить новое значение А, вернёмся обратно к
равенству B.2а). Там направление у было направлением поляризации падающего
света. Это направление теперь мы обозначим через р, так как в качестве
направления падающей волны мы взяли общее направление х. Очевидно, при
этом должно быть
(х/») = 0. Dа)
В соответствии с этим вместо прежнего выражения -^ иапишем (р grad tyg)
и положим
А = (рА). D6)
Используя «множитель запаздывания» в форме A) и характеризуя
собственные функции переменными a, р, к вместо прежнего W, мы из B.2а)
находим:
А (а, р, к) = J ^(а, р, к) *'<»-> grad %dx. E)
Здесь операцию grad необходимо применить к точке интегрирования г, что
в дальнейшем будет отмечаться обозначением gradr. Функция <{<* является
сопряжённой к собственной функции C):
Следовательно, написанное более подробно равенство E) гласит:
А (о, р, к) = N J r* dr J dm e~* MLn (p) **<"•> grad r ф0. F)
где
dm = dmbt T = sin 8 dt) d<f.

§ 4) ФОТОЭФФЕКТ В У-ОБОЛОЧКЕ С ПОЛНЫМ УЧЁТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ 3JH
Определим теперь предельное зиачеиие функции tyM, входящей в
равенство D). Для этого необходимо вспомнить асимптотическое выражение
для L, которое было дано в (II.7.25) [вклад из (II.7.26) исчезает, так как
он соответствует падающей волне):
поэтому
Следовательно, на основании C) имеем:
^^NeH^-Tl- ^ г_>оо. G)
Необходимо установить зависимость этой величины от углов а, Р и 8, <р,
характеризующих направление векторов к и г. Очевидно, имеем:
(кг) = fcr cos 0, cos 9 = cos b cos о + sin 8 sin a cos (<?— P), 1
на основании C) p = f*r(l+cosB). J
Однако в D) имелось в виду ие полное %о, но только часть, связанная
с расходящейся волной. В G) этому случаю соответствуют положительные
значения (кг). Поэтому мы должны добавить условие (кг) > 0, т. е. на
основании (8)
cos в > 0, (8а)
что необходимо опять сравнить с рис. 27, где члены с отрицательным
знаком в показателе степени Цкг), которые соответствуют сходящейся волне,
благодаря методу интегрирования автоматически исключаются.
Подставляя G) и (8) в D), находим:
х=т^т) J P"'U(a> P«
Для вычисления (9) мы воспользуемся «методом стационарной фазы»
Кельвина, который во многих случаях можно применять вместо
математически более строгого «метода перевала». Метод стационарной фазы состоит
в следующем: если в интеграле имеется бесконечно быстро осциллирующая
■функция \я нашем случае exp(l£rcosH)], то вклад в значение интеграла
дают лишь те точки, в которых изменение фазы осцилляции бесконечно
замедляется (фаза «стационарная»). Тогда «медленно изменяющуюся» часть
лодинтегрального выражения можно заменить её значением в этих
критических точках и провести лишь интегрирование бесконечно быстро
изменяющейся функции.
В нашем случае двойного интеграла по о и р критические точки
найдутся из условий:
= — cos 0 sin a + sin » cos a cos (? — (J) = 0,
= + sin » sin a sin (<p — p) = 0.
Из второго условия следует:
sin(<p — Р) = 0, р = <р или p = <p=tit. (96)
Из первого находим:
pct) = O, о = 0 или ct = it — 0. (9в)

392 фотоэффгкт [гл. vi
Для а = 0, Р = ? получаем, что совв=1, для a = ic — 0, р = <р — «имеем
cos в = — 1. Вследствие дополнительного условия (8а) необходимо принять
во внимание лишь первое значение ft. Следовательно, в медленно
изменяющейся части подинтегрального выражения надо положить a = &, C = «р и
вынести её из-под знака интеграла. Таким образом, получается:
f(. A0а>
Вместо переменных интегрирования a, р введем другие, более удобные
переменные в, Ф и, следовательно, вместо rfa>.? введем:
Тогда, вводя обозначение 5 = cos в, будем иметь (учитывая, что предел
интегрирования равен g = /oo; ср. с замечанием в конце этого параграфа):
2с 1
J <«**** = 2«i£.
Записывая Blkr)~n в экспоненциальной форме, отсюда найдем:
— ffiic^W -—inl -<(*r+|n|ln2*r)
х-TW=%e * А(*' ?t k) 5= *
Теперь остается лишь определить коэффициент А @, <?, к). Посредством
равенства D6) он выражается через вектор Д(», ?, к), последний же
определен при помощи F). Эта формула упрощается, если с учетом значения ^
в B.10) равенство
««*••> gradr% = — LL^iw A3>
сравнить с равенством
<5»ograd,e<(»') = /r^o*<(»r). A3а)
Из сравнения следует, что
!f A4)
Поэтому из F), вынося операцию градиента по х за знак интеграла,
получим:
А = -I*- NNogtidxB, No = Jzr А* [ср. BЛ0I. A5)
где введено обозначение:
z
rfre""rJrf<De-<«*-»''»in(p). A5a>
В это выражение мы вместо функции L внесем ее представление (Н.7.14),.
которое после подстановки г = рх гласит:
A5б>
Следовательно, учитывая значение р из C), имеем:
L» W = 4п е* '*г+(*г* {*"(*— О"* •"' |*г+(Ьг)| * dx. A5в>

§ 41 ♦отоэффгкт в г-оволочк». с полным учйтом запаздывания 393"
Поэтому выражение A5а) после перемены порядка интегрирования
перепишется следующим образом:
:—l)-n-1dx\rdre~*r+ A~*'Q, A6)
Q = f rfme*<"-**" = Г doe*lXr\ A6a)
Введенный в A6а) вектор
ДГ = х—Их. A66)
так же как и в предыдущих аналогичных вычислениях (см. стр. 338),
берется в качестве оси полярной системы координат с углами в, Ф, так
что (Кг) = Кг cos в и
2с ■
Г Г *iKr—«-Ufr
Q= I </Ф I sin9rf9e<Jrroeie=32ic^—-г?- . Aбв)
Вводя, далее, обозначение
K0 = £-tk(l-x).
мы видим, что интеграл по г в A6) переходит в
j) ^. Aбд)
Из A66) и Aбг) находим:
причем член с Xs выпадает. Поэтому можно положить:
xo = —J-,
-*)-(««]. 1
Величину b можно записать и в другом виде:
A6ж)
Окончательно интеграл A6) преобразуется к следующему виду:
Так как путь интегрирования идет вокруг точек 0, 1 и подинтеграль-
ное выражение на бесконечности исчезает как 1/х*, то интегрирование сразу
выполняется взятием вычета в точке х = х0. В результате получается:
A7а)

94 фотоэффект [гл. vi
Теперь, как это указано в *A5), необходимо взять градиент В по х:
grad В = -|- 4ic [л (с-|- b) grad с — (д-\- 1) с grad (с -\- Ь)]. A8)
На основании Aбе) имеем:
grad с = 2х, grad b = — 2*. A8а)
Дальнейшее вычисление упростится, если мы некоторым
преобразованием сохраним умножение на единичный вектор р, предусмотренное в D6).
Именно, на основании Dа) имеем:
(р, grad с) = 0; (р grad Ь) = — 2 (ftp). A86)
Следовательно, из A8) получаем:
^ A9)
Из A6а) и A6ж) следует, что величина (с-\-Ь) является вещественной
величиной:
5 —2x*cosft, A9a)
« то время как с является комплексной; запишем:
a<19б>
•
D) +*"*'
T A9в)
где последний множитель по абсолютной величине равен единице, так как л
является чисто мнимой величиной. Поэтому из A5) и D6) для А получается
следующее вначение:
Выражение A9а) для с+b нам уже встречалось раньше в C.8а).
Поэтому его значение можно взять из C.8г) \ке — комтоновская длина волны):
g?(l—pcosft + тг). B0а)
Значение величины (кр) получается сразу, если учесть, что в
прямоугольной системе координат х, р, п \п — нормаль к плоскости поляризации %р]
вектор к имеет следующие составляющие:
ftcos*), Л sin 8 cos ср. Л sin 8 sin ср-
Отсюда имеем:
kp = k sin 8 cos?. B06)
Если B0а), B06) подставить в B0), а B0) в A2), то, собирая все
•постоянные множители в коэффициент С, получим:

§ 51 КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ В ^-ОБОЛОЧКЕ 395
и
, _ | С |» sin»» cos» <у
Как уже было указано ранее (стр. 380 и 382), величина ]Х\%
пропорциональна интенсивности J эмиссии электронов. Нам надо определить
коэффициент пропорциональности между этими величинами, о котором будет речь
в следующем параграфе. Для этой цели мы, исходя из равенства B.1),
полагаем там г = оо. При этом член с </к (собственные функции дискретного
спектра) и благодаря выбору пути интегрирования также и У исчезают.
Поэтому из B.1) получается:
(£Ш' B2>
Это есть плотность фотоэлектронов в точке г = оо, ft, о. Интенсивность У
фототока получится отсюда умножением на скорость электронов
Следовательно, найдём:
j—v\u\ — ri
ято согласуется с равенством C.11) и результатами Заутера и Фишера
(равенство A.4)]. Величина коэффициента D дается равенством
<24>
Наконец, надо сделать замечание о пределе интегрирования 1 =
в равенстве A1). Это значение предела интегрирования получается потому,
ято метод стационарной фазы следует для строгости заменить методом
перевала, а согласно этому последнему методу к критической точке I = 1
мы должны приближаться со стороны мнимых I (направление наиболее
крутого подъема). Последнее становится особенно очевидным, если
предусмотренное на рис. 27 перемещение пути интегрирования провести ранее
предельного перехода г-юо.
| 5. КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ В ЛГ-ОБОЛОЧКЕ
После того как в предыдущих параграфах были приведены
количественные расчеты фотоэффекта в К -оболочке, включая расчёт всех
коэффициентов, можно перейти к так называемым «истинным коэффициентам
/(-поглощения», т. е. к ослаблению падающего света благодаря
фотоэмиссии из /(-оболочки.
Прежде всего вычислим величину полного фототока для отдельного
атома. Для этого необходимо D.23) проинтегрировать по сфере большого
радиуса, охватывающей атом, и добавить множитель 2, учитывающий
наличие двух электронов в /(-оболочке. При этом мы можем при
нерелятивистском расчёте пренебречь как малой величиной if в знаменателе D.23), так
и высшими степенями р. Поскольку при разложении в ряд по степеням C
первая степень C, как легко видеть, не даёт никакого вклада в величину
интеграла, мы имеем:
Г
A)

396 фотоэффект [гл. vi
Так как каждый акт фотопроцесса уносит от падающего света
энергию An, то умножением A) на An мы получаем обусловленное фотопроцессом
ослабление света на один атом в единицу времени:
^AnD. B)
«Коэффициент поглощения на атом» получается из B) делением на
средний поток энергии S, падающий на единицу поверхности в единицу
времени. Этот поток энергии равен
*-£*-■£* <2а>
(Е—напряжённость электрического поля, Е — амплитуда колебаний
падающего света). Поэтому из Bа) следует:
Коэффициент поглощения, рассчитанный на грамм-атом вещества, получается
отсюда умножением на число Лошмидта L.
Если мы воспользуемся равенством D.24) и положим в нем е*=яяЪс,
> = с/А., то получим:
4^ D)
Величину |С|9 надо взять из D.21а). Используя значение
найдем:
La »kB\\Л* 1+| Я|»
3ic» m* \ a ) n |ГA_я)
я)|«г
Надо определить величину нормирующего множителя N собственных
функций D.3). Для этого множителя в (II.9.32) было получено значение
N
Это значение предполагает «нормирование по шкале волновых чисел».
В основу же расчетов фотоэффекта было положено «нормирование в шкале
энергий», как это непосредственно видно из B.1). Из соотношений
получается, если через а, р, как и в D.4), обозначить угловые координаты,
следующее выражение для элемента объема в пространстве волновых чисел:
Поэтому, чтобы получить нормировку по шкале энергий, мы должны
прежний коэффициент Л/9 умножить на mk/b*; следовательно,
A/a = Ll"l mk E6)
ft2
Это значение надо внести в E). Для дальнейшего упрощения выражения
воспользуемся соотношением (8) из дополнения 7:
— я)РA— е-*Ч»1)=2«|л|е-«• Eв)

J§ 5) КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ В Г-ОВОЛОЧКЕ 397
и заменим один из множителей Z/a через k\n\. Тогда E) принимает вид:
Далее используем равенство B.21в), которое можно записать в виде:
5£ (ба)
и умножим числитель и знаменатель для упрощения выражений в
дальнейшем на «* («— основание натуральных логарифмов). В результате получим:
.„.2 в*+ь\п\ } G)
Нас интересует значение величин вблизи границы /С-поглощения. Покажем,
что в этом случае множитель М близок к единице.
Вблизи границы поглощения вся энергия светового кванта используется
на освобождение электрона из атома, для сообщения электрону скорости
энергии не остается; следовательно, в этом случае k = 0 и |я| = оо.
Поэтому мы должны разложить в ряд величину М при больших значениях |л|.
Определение х в D.196) гласит:
•DГ+--»'
В этом выражении можно пренебречь величиной х9 по сравнению с (
В самом деле, уравнение Эйнштейна для границы поглощения > = •»„ дает:
Отсюда, ввиду того что Ave = Acxe, следует:
Поэтому у границы поглощения х9 по сравнению с (Z/df имеет порядок
малости («Z)9. Но величинами такого порядка при нерелятивистском расчете
мы должны пренебрегать. Следовательно, Gа) упрощается н принимает вид:
Если воспользоваться формулой
то из G6) без всяких пренебрежений получается:
Отсюда, воспользовавшись рядом для arctg, находим:

398 фотоэффект [гл. rt
Поэтому
«+-|1 ф# Gв>
Таким образом, из G) для М получаем следующее разложение в ряд:
Ж=1+Т77ПГ+— <7г>
т. е. функцию, медленно изменяющуюся при больших я с предельным
значением 1 для л = оо. Поэтому, пренебрегая единицей по сравнению с \п\\
вместо G) найдем следующие равенства:
§J (8)
Сравним эти результаты с результатами экспериментов, приведенными
в т. ! (IV.6.1).
Зависимость от Z и X та же, что и там. Покажем, что и численная
величина С достаточно хорошо согласуется с приведенными там данными.
Для упрощения этого сравнения заметим, что для ke = h/mc, а = И*/те*
множитель, входящий в (8), преобразуется следующим образом:
Bм)*
где Я= 1.097- 10» см-1 — постоянная Ридберга [ср. т. I, (II.2.2) и A1.5.9I-
Следовательно, мы имеем:
С=!|/.«Х0Я.
Отсюда для Хв = 24- 10~" см (т. I, гл. I, § 7) и L = 6,06- 10м получим:
С =1,00- 10м см-1.
Поэтому (8) переписывается в виде:
£.!i.T=l,00ZVe 10м ел». (8а>
Здесь X измеряется в см. Если же мы условимся измерять А. в А, то будем
иметь:
=1,ОО. 10~2Z«X». (86)
В указанной формуле1) т. I стояло 1,36 вместо 1,00, что ввиду
приближенного характера вычисления (собственные функции водорода!) следует
считать удовлетворительным совпадением.
Однако следует подчеркнуть, что приближение М = 1 не является
последовательным, так как в предшествующем вычислении |см., например, Fа))
мы не пренебрегали единицей по сравнению с |л[а. Потому более
последовательно было бы в Gг) сохранить член с 1/п\п\* и пренебречь лишь
следующим, не выписанным там членом. Если мы это сделаем, то из Fа) сразу
получим |надо в левой части Fа) в числителе и знаменателе добавить |я|3,
заменить fc\n\ через Z/a и извлечь кубический корень]:
') Выражение сХ измеряется в см», употребленное там, следует заменить на
«а измеряется в А».

§ 5] КОЭФФИЦИЕНТ ПОГЛОЩЕНИЯ В У-ОВОЛОЧКЕ 399
Поэтому на основании Gг) будем иметь:
С учётом этого из G) получается теоретическое значение более точное,
чем даваемое (8):
32.21/«
С
С-
Ту же самую формулу вывел Бете1).
Из сопоставления многочисленных данных как своих собственных
измерений коэффициента поглощения, так и измерений других исследователей
(не только 6-поглощения, но и L-, Af-поглощения) Джонсон") заключил,
что с большой точностью выполняется следующий «закон подобия». Для
всех элементов и всех длин волн «коэффициент поглощения на электрон»
есть функция только произведения Zk, т. е.
!*M=^ = /(ZX). A0)
Этому закону удовлетворяет формула (8) с Lf(Zk) = С (ZX)8, но не
удовлетворяет теоретически более точная формула (9). Указывает ли это
противоречие на неудовлетворительность формулы (9) или же закон Джонсона
сам является лишь приближенным законом, этот вопрос остается открытым.
В предыдущем изложении мы сравнили равенство (IV.6.1) т. 1 с
результатами волновомеханической теории и нашли удовлетворительное согласие.
Но о самом равенстве (IV.6.2), которое должно быть справедливо для к > kg
(kg — длина волны границы К-поглощения), мы, конечно, ничего не могли
сказать, так как в области к > kg поглощение происходит не за счет
/(-электронов, а за счет L, М, .. .-электронов.
Прежде чем переходить к этим L, М, ... -электронам, дадим
выражение коэффициента поглощения, справедливость которого не ограничивается
/(-электронами; при этом падающее излучение будем предполагать
достаточно мягким.
Исходя из равенства A), в котором надо опустить множитель 2 (так.
как нас теперь интересует поглощение за счет одного какого-либо электрона,
а не за счет обоих электронов /(-оболочки), мы запишем:
A1)
Величина J на основании § 4 равенств B3), B2а) и B2) дается выражением
, л* /
На основании D.12) мы имеем:
| Г A — я) |ае (кг)*
Это на основании E6) и Eв) эквивалентно с
Ъип | А (», «у. к) |»
—ftp" г» •
') Г. Бете, Квантовая механика простейших систем. Л.—М, 1935, равенство-
D7.13); см. также Harvey H a 11.. Rev. Mod. Phys. 8, 358 A936).
*) В. JOnsson, Dies., Upsala, 1928; Nature 120. 695 A927); см. также
обсуждение результата Джонсона: P. Kirschner, Handb. d. Ехрег. Phys^ 24, 1.

400 ♦ОТОЭФФГКТ [ГЛ. Tl
Подстановка в A2) дает:
Поэтому из A1) следует:
«я, наконец, из C) получаем:
07)
Входящая сюда величина А в случае мягкого излучения может быть
•сведена к выражению для матричных элементов координат. Именно, из D.46)
имеем:
А = {рА) A8)
.и, пренебрегая множителем запаздывания, на основании D.5) получаем:
А — J **(«. Р, *)grad%rfx. A9)
Теперь примем во внимание равенство A.8.16):
jjdxt= — 2it/v J pg dx B0)
•в значение величины j в A.7.15):
(*'
Из этих равенств известным способом посредством интегрирования по частям
получается:
JJV B2)
Из равенств A9)—B2) заключаем, что
Д=^М. B3)
Выражение для матричного элемента координат, выписанное более
подробно, в нашем случае гласит:
Y(«. p, k)q%dt. B4)
Интегрирование производится по координатам х, у, г, от которых зависят
функции if0 и <>•; величины a, J3, Л характеризуют направление и величину
импульса фотоэлектрона. Нам нужно будет, в частности, значение
компоненты Мр вектора М в направлении единичного вектора р (направление
поляризации падающего света), которое получается из B4), если там величину q
ваменить величиной (qp). На основании A8) и B3) величина А выражается
через значение этой компоненты следующим образом:
А = А (а, р. к) = 225 Мр (а, ?, *). B5)
•Отсюда видно, что А и Мр зависят от а, ?, k.

§ 6) ФОТОЭФФЕКТ В 1-ОВОЛОЧКВ 401
Для получения A7) нам необходимо проинтегрировать \А^, при этом,
конечно, безразлично, обозначить ли углы интегрирования через 8, <р или
через а, р. Таким образом, из B5) найдем:
J | A (ft, ?, к) |Э dm*, , = J | А (а, р, *) |» </«,«, =B^-)' J | Мр (а, р. *) |' Л,.?. B6)
Вместо последнего интеграла, который относится лишь к одной
компоненте |Ж|9, рассмотрим полную сумму квадратов:
B7)
Предыдущий интеграл от | Мр |9 при беспорядочной ориентации молекул равеи
просто 5/3. Подставляя эту величину в B6), а B6) в A7), будем
окончательно иметь:
В главе VII, § 8 мы увидим, что именно полная сумма квадратов 5
при мягком излучении вычисляется просто. Там формула B8) даст нам
удобный путь к рассмотрению существенных для астрофизики вопросов о
равновесии излучения в атмосферах звезд.
| 6. ФОТОЭФФЕКТ В i-ОБОЛОЧКЕ
В этом параграфе мы используем общий метод § 4, следовательно,
полностью учтем запаздывание и для описания излученной волны применим
Собственные функции D.3). Представление возмущенного состояния в
равенствах от D.4) до D.6) остается тем же самым. Различным будет лишь
начальное состояние атома. Вместо собственных функций /(-оболочки мы
должны использовать собственные функции <|»i ^-оболочки и собственные
функции <|ш Ln~\-Lni -оболочки, которые при нерелятивистском расчете
сливаются. На основании таблицы на стр. 80 мы имеем:
G \ -— q 1 / ZXi
!-£,).*. *!-i(£)f A)
-- л 1 (Z\*
Относительно записи фп в виде вектора необходимо заметить, что
в La-\-Lm-оболочке мы должны одновременно рассматривать три
собственные функции (г = х, у, г), вклады которых в фотоэффект должны быть
просуммированы [см. равенство A6) ниже]. Одна из этих трех собственных
функций, именно г = z, соответствует квантовым числам / = 1, да = 0 (стр. 80),
две другие собственные функции в комбинации —^=г(х-\-1у) соответствуют
квантовым числам 1=1, m = =tl (там же).
Ц-оболочка
Взяв <{», вместо прежней функции <|<0, получим вместо равенства D.13)
следующее равенство:
Zr Xt %
C)
26 Зак. 968. А. Зомерфам

402 фотоэффект [гл. vi
Сравнивая последнее равенство с равенством
grad, «*<»•> = tre***, (За)
ваключаем, что
+*AИ] C6)
Поэтому аналогично D.46), D.15) и D.15а) напишем:
f D)
E)
Последний интеграл для В может быть сведен к прежнему интегралу D.15а),
который теперь для отличия будем обозначать через В (С). Под. С при этом
понимается величина Z/a в показателе степени в D.15а). При этих
обозначениях мы можем записать:
($ Eа)
причем подразумевается, что впоследствии величина С должна быть заменена
через Z/2a. На основании D.17а) и A4.1 бе) имеем:
Eб)
Прежде чем применять к этому выражению операции, предусмотренные
в Eа), более удобно при помощи D) перейти к величшаы А и А. Тогда
в А появится скалярное произведение (р, grad, £ (Q), которое на основании
D.19) имеет следующее вначение:
V Eb)
Если это значение подставить в Л, то получится:
А = But Z (п +1) (*/>) NNiY. F)
I r6 v
4e ^ *(" + *) J* l 7
В последнем выражении мы величину С заменили через
t-s—r- Fб)
Для дальнейшего применения образуем величину
Здесь учтено, что с-\-Ь вещественно и положено c = |c|eh [ср. с формулами
D.19а), A96), причем, однако, в обеих формулах величину Z/a надо заме-

б]
ФОТОЭФФЕКТ В 1-ОБОЛОЧКЕ
403
нить через Z/2a]. Значения величин Ct, Сэ, С8 следующие:
с»—т?(«'-
На основании D.196) с учетом F6) входящие сюда величины cost и sinx
иыеют следующие значения:
Поэтоыу после некоторого вычисления получается:
(вг)
Три величины С не зависят от угловых переыенных собственной
функции <!»; так же как и в D.20а), для знаменателей в Fв) найден при поыощи
метода стационарной фазы следующие значения:
6=1— pcos
Fд)
После того как вычислено значение А, ыожно при поыощи
соотношения D.12) перейти к величине X. Так же как и в D.216), для величины |AJ*
из F) и Fв) получается:
Фототек J пропорционален \Хр. Он аналогично D.23) равен:
G6)
(8)
причем коэффициент D связан с величиной С в Gа) соотношением D.24).
Такиы образоы, так же как и в случае КЧоболочки, ыы иыееи сыеще-
ние распределения фотоэлектронов вперед, по направлению падающего света,
причем это смещение ещё более значительно благодаря добавлению членов
с пятой и шестой степенями Н. Характеристический множитель sin*в cos*?,
который [см. D.206)] появляется вследствие отклонения фотоэмиссии
относительно направления поляризации и характеризует (см. стр. 386)
вероятность фотоэмиссии, здесь тот же, что и в случае /(-оболочки; изотропная
26»

404 фотоэффект [гл. vi
чгсть (сы. стр. 374) в случае Li-оболочки отсутствует. Последнее, очевидно,
является следствием подобия спектрального типа: /f-оболочка = ls-теры,
Li-оболочка =,25-теры. По-другоыу обстоит дело в случае
соответствующей 2р-терму
L-u + Lm-оболочки.
Ввиду векторного характера tyu в B) величина grad<|»a является
величиной тензорного характера. Поэтоыу величину г в fn заыениы через х,
и три компоненты <|»п обозначим через <]»,; точно так же вместо grad
напишем д/дХр. Тогда на основании B) будем иметь:
Сравнивая последнее выражение с (За), получим:
Далее учтём, что величину А в D) мы должны заменить через А,
(векторный характер величин), а величину А — через Аг, (тензорный характер
величин). Тогда вместо равенств D) найдём:
A0)
Величина В здесь есть тот же интеграл, что и в D.9а), с той
единственной разницей, что величина Ца должна быть опять заменена через Z/2a.
Величина В' отличается от В наличием множителя г в числителе подин-
тегрального выражения. Этот множитель может быть учтён при помощи
дифференцирования по С = £/2а и изменения знака. Отсюда вместо A0)
с учётом значения D.17а) для В получается:
Здесь под b и с понимаются .выражения E6) с С = Z/2a.
Дифференцирование по С даёт:
-2с»-1 Г . (я + QcCI
»+1Ln(Q lk) + b J
Дифференцирование по х^, *, несколько сложнее; результат упростится
лосле того, как мы выполним указанное в (9) умножение на р„, ибо
вследствие того, что (/ = 2P|ixii.== 0* многие члены обратятся в нуль. Тогда
.получим:
c+b

$61
ФОТОЭФФЕКТ В £-ОВОЛОЧКЕ
405
Первый член правой части сократится с уыноженныы на рА,
выражением (Па), и из (9), A1). (Па), A16) получится:
,«1+1
}Ь
i
J
n(n_±l)
e + b
l*
При написании последнего выражения было учтено, что
С = ^ [см. F6I, 2 р^ = {pk), 2/>А' = Л-
A2)
A2а)
Три компоненты <]»., по •» ыогут быть сопоставлены трёы выделенныы
при рассмотрении задачи направленияы:
v = 1, направление падения, р., = 0, %., = х;
ч = 2, направление поляризации, /»,= 1, х, = 0;
v = 3, перпендикулярное к предыдущим направление, р„==0, х, = 0.
Поэтому дополнительный член р, в A2) появится только в i4,, члены с х,
появятся в At.
Теперь ыы должны, так же как и в случае Li-оболочки, вставить
выражение A2) для Л, в D.12),. в результате чего для каждого v= 1, 2, 3 получим
ио одной величине X,. Нам понадобятся лишь значения величин |А,|*:
A3)
где введены обозначения:
•~n
A4)
A4a)
A46)
Из A4) после небольшого подсчёта следует:
8десь С являются вещественными постоянными, имеющими следующие
значения:

406 ФОТОЭФФЕКТ [ГЛ. VI
Вклад v-й собственной функции в фототок пропорционален величине
|Х, Iя Г множитель пропорциональности — ^-^ I , как в D.24I. Полный
фототок J равен сунне этих трех членов; поэтоыу с учетом A3) и A5)
найден:
Величина sin9Л cos9<p здесь учитывает множитель О»*)9 в A5) [ср. D.206)];
величина в имеет то же значение, что и в Fд).
Далее, на основании A5), A3) и Fд) имеем:
A6а)
где С„ С9, С, даны в A5а), |С|а — в A46).
Равенство A6) гласит: четыре составные части, из которых слагается 7,
дают смешение распределения электронов вперёд, отвечающее значениям
знаменателей- в9, <¥, в6, в6. Кроме того, три члена зависят от направления
(множитель sin9 ft cos4 <p, который появляется за счет отклонения фотоэмиссии
от направления поляризации); 'один член не зависит от направления. Если бы
вместо собственных функций непрерывного спектра D.2) были взяты плоские
волны «*<*•">, то эта изотропная часть исчезла бы 1).
Если равенства (8) и A6) разложить по возрастающим степеням р и
пренебречь величиной -(, то получатся формулы Шураа), впервые
проведшего строгий расчет фотоэмиссии из L-оболочки. Эти результаты находятся
также в полном согласии с работами Заутера и Фишера (см. стр. 374).
f 7. ФОТОЭФФЕКТ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В качестве примера применения теории возмущений Дирака в
нестационарном случае (гл. V, § 4) рассмотрим ещё раз фотоэффект в
^-оболочке, предполагая, что атом (водородный атом) до момента 1 = 0 не
подвергался действию возмущения, а при t > 0 стал находиться под действием
падающей световой волны. При такой постановке задачи мы будем в
состоянии вычислить не только величину фотоэмиссии, но и проследить
развитие процесса во времени. При этом, следуя Бете 8), будем вести расчет
в полярных координатах, используя сферические волны. Расчет в
параболических координатах и с плоскими волнами проводится совершенно
аналогично.
Состояние атома может быть характеризовано полной системой завися-
щих от времени собственных функций дискретного и непрерывного спектра
') См. J. Prenkel, Phye Rev. 38, 309 A931), а также Гайтлер, Квантовая
теория излучения, ГТТИ, 1940; Г. Бете, Квантовая ыеханика простейших систем, ОНТИ,
О. Schur, Ann d. Phys. 4, 433 (
•) H. Bethe, Ann. d. Phys. 4, 433 (IS

§ 7] ФОТОЭФФЕКТ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 407
собственных значений и0, .... ак, ..., ew:
(АГ-оболочка),
(О
Рассмотрим самую общую суперпозицию этих функций:
ОО Л
2 fl*«* + J
_ _ B)
*»i о
До момента времени / = 0 должно быть а^=в\, ak = aw = 0; «вариацию
постоянных» ак н aw под действием появившегося в момент t = 0
возмущения можно определить на основании (V.4.11 и 17). Предполагая, что
возмущением является плоская световая волна, для функции, характеризующей
возмущенное состояние, получим на основании (V.4.19) следующее выражение:
a =-
-~(W,+ h*)t -у-1
W.-w+k.
Второй интеграл в (V.4.10) нами опущен потому, что знаменатель
в этом интеграле ни для какого значения да между 0 н оо не обращается
в нуль, а, как мы увидим, лишь точки обращения знаменателя в нуль (в этих
точках и числитель обращается в нуль) дают заметный вклад в величину
интеграла. Далее нами опущена часть, связанная с собственными функциями
дискретного спектра, так как для нас существенны весьма большие
расстояния г от атома, а собственные функции дискретного спектра на этих
расстояниях убывают экспоненциально. Для собственных функций ^
непрерывного спектра, поскольку они входят в C) непосредственно, мы можем взять
их асимптотическое выражение ив гл. II, § 7, равенств A) и C4):
mf. D)
в то время как в множителе Аи мы должны, конечно, воспользоваться
точным выражением для ^ из (Н.7.27).
Характерное различие между настоящим подходом к задаче и предыду-
• щим заключается в том, что теперь нам нет необходимости делать
дополнительные предположения относительно сходящихся н расходящихся волн; из
заданного для t = 0 начального состояния и заданного для t > 0
возмущения однозначно следует дальнейшее развитие процесса.
Прежде всего в C) рассмотрим коэффициент А^, который кроме w зависит
также от / и т н дается выражением B.9). Так же как н ранее, заключаем,
что этот коэффициент отличен от нуля лишь для m = 1 в случае члена с коси-
. нусом. Если, кроме того, мы будем рассматривать мягкое излучение,
пренебрегая, следовательно, запаздыванием, н откажемся от исследования
отклонения электронов вперед, то мы должны положить также / == 1. Благодаря
этому угловая зависимость в D) сводится к sin 0 cos «p; вначение же т в D)

408 фотоэффект [гл. vi
иа основании (II. 7.33а) будет равно
J gg + g E)
где
^^^ F)
Теперь можно вычислить интеграл C). Этот интеграл может быть
разложен на две части путем представления sin (Ar -(— f) в равенстве D) в виде
суммы двух показательных функций. При интегрировании существенным будет
лишь участок в окрестности точкн обращения в нуль знаменателя в C)
w = w0, да0 = Wo+ An. G)
Эта точка соответствует закону Эйнштейна, w0 есть кинетическая энергия
испущенного электрона. Соответствующее значение к будет равно
*о = ^. (8)
В «медленно меняющихся» частях A, N, С, т в C) н D) величина к
может быть заменена через Aq! она должна быть сохранена лишь в exp (ztzlkr),
получившихся нз sin(£r-|-f); разложение к в ряд будет иметь вид:
Таким образом, из C), вынося не зависящий от w множитель:
получим:
I- I =^— dw,
W ~~ Wo
A0)
Оба интеграла I и II для w=-w0 будут регулярными. Следовательно,
интегрирование вдоль действительной оси имеет смысл. Однако нам ничто
не мешает перевести этот путь в комплексную плоскость. При этом можно
снова обратиться к рис. 27, где вместо к и Aq надо подразумевать « и w0
и выбрать нарисованный сплошной линией путь, который огибает точку
v> = w0 снизу. Однако этот выбор пути в данном случае имеет совершенно
иной смысл, чем это было ранее. Ранее путь интегрирования вдоль
действительной осн был невозможен из соображений сходимости интеграла; изменение
пути интегрирования имело физический смысл и делалось таким образом,
чтобы иметь возможность удовлетворить условию излучения на бесконечностн.
Теперь же это изменение пути интегрирования делается лишь ради
математического упрощения. Мы могли бы, например, выбрать и пунктирный путь
рис, 27, не изменяя ничего в результатах расчетов.

$ 7] ФОТОЭФФЕКТ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НВСТАЦИОНЛРНОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 409
Математическое упрощение состоит в том, что можно после изменения
пути интегрирования обе части интегралов I н II (которые будут обозначаться
через Ilt I3 н Щ, Щ) вычислить отдельно, проводя путь интегрирования
в бесконечность в нижней нлн верхней полуплоскости w в зависимости от
того, будет ли мнимая часть множителя при w — w0 в показателе
степени отрицательной или положительной. Появляющиеся при этом
интегралы вдоль мнимой полуоси от 0 до гр I оо могут быть отброшены, так как
они исчезают как экпоненциальные величины с отрицательным показателем
степени.
При выборе пути интегрирования со стороны отрицательной мнимой
полуплоскости части Щ н Н2 дают нуль, так как они обе имеют при w—'w0
множитель в показателе степени с отрицательной мнимой частью. Часть It
имеет мнимый в показателе степени множитель с положительной мнимой
частью, и, следовательно, путь интегрирования должен быть переведен
в верхнюю полуплоскость, что означает обход в положительном направлении
вокруг полюса «= w0 и поэтому даст вычет -f- 2r.l. То же самое
справедливо для 1.3, когда *</•/»„. В этом случае, следовательно, будем иметь
I = 2it/ — 2я/ = 0. Если же t>r/v0, то 12 = 0 и I = 2ic/.
Таким образом, можно написать:
а) для г < V ' = 2it*. И = 0;
б) для г > V 1 = 0. " = 0.
Расстояние ro = v^ есть то расстояние, на которое удалился фотоэлектрон,
испущенный в момент t = 0, летящий со скоростью «0, определяемой законом
Эйнштейна. Таким образом, г = г0 есть фронт фототока. В случае а) точка
наблюдения г находится внутри этого фронта, в случае б) — вне этого фронта.
Лишь в случае а) волновая функция и н плотность электронов |я|а отличны
от нуля. В случае б) изменение, вызванное включением возмущения в t = 0,
еще не достигло точки наблюдения. В случае а), отбрасывая постоянные
множители, из A0) получим:
B_sln»cosygi(ft(|r+Ti|_,t,t в = т»о (П)
г п
Таким образом, мы имеем расходящуюся сферическую волну; связанная
первоначально с этой волной сходящаяся сферическая волна представляется в A0)
членом с множителем П; действительно, показательная функция в этом члене
в противоположность A1) будет иметь вид:
e-iiJv+To+-tt. (Па)
Однако этот член ввиду того, что II = 0, исчезает для рассматриваемых
(больших) расстояний г. Таким образом, физически ненужная сходящаяся
волна, которая в стационарном случае исключалась нз рассмотрения при
специальном предположении, в нестационарной теории возмущений Дирака
исключается автоматически.
Общее число электронов, испущенных до момента времени t, получится
путем интегрирования |и|9 по шару радиуса г. Если мы воспользуемся
приближенным выражением A1), то непосредственно заметим, что результат
будет пропорционален величине г0, т. е. также пропорционален t, как это
и должно быть.
Проведенное вычисление не совсем строго, если речь идет об окрестности
вначеннй г = г0. В этом случае множитель при w — w0 в 13 и II, не будет
более большой величиной и пренебрежение интегралами вдоль мнимых
полуосей более не оправдано. Отсюда можно заключить, что фронт фототока
сопровождается «предвестниками» и «хвостами», которые делают непрерывны»

410 ♦отоэфоткт {гл. vi
переход от случая а) к случаю б). Далее ыожно было бы уточнить вычисление,
«охранив член с к. Это дало бы некоторое смещение фронта
фотоэлектронов наружу, что, согласно Бете, позволяет сделать вывод о несколько
'большей, чем v0, скорости фотоэлектронов вблизи атома.
f 8. ФОТОЭФФЕКТ ДЛЯ ОЧЕНЬ ЖЁСТКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ;
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПОПРАВКА
В качестве подготовки нам необходимо теорию возмущений Шредингера
«з гл. V переписать в виде, пригодном для уравнения Дирака. Возмущение
предполагается заданным, как и там в § 3, в виде плоской световой волны,
распространяющейся в направлении оси х и поляризованной в направлении
■оси у, даваемой соотношениями (V. 3.1).
А. Некоторые замечания о релятивистской теории воз-
лущений. Уравнение Дирака, согласно (IV. 2.4), имеет вид:
[йD^ ) |] ^^ О)
где
В этом уравнении в членах возмущения, перенесённых вправо, функция а
уже заменена через волновую функцию Од невозмущенного атома:
i
«о = Фо*"* *°*. B)
тде через вд (в отличие от энергии покоя Eg) обозначена энергия исходного
-состояния. Учитывая вид зависимости от времени и полагая так же, как
в (V. 3.5):
C)
w = w+e * + w_e *
.«ы для w± из A) получим следующее уравнение:
[(Ygrad)-}g-(e0=fc An- V)+Л] wt = TaV* uia»- D)
•С этим уравнением будет легче оперировать, если его умножить слева на fi.
*тем самым освобождая член с энергией от величины f. Следовательно, мы
можем написать:
lg] E)
Правую часть этого уравнения и w± разложим по собственным функциям
•иевозмущбнного состояния, имея в виду лишь ту часть разложения, которая
<вязаиа с непрерывным спектром:
• • • /
F)
G)
Подстановка этих выражений в E) (см. стр. 310) дает:
? Gа)

§ 8] ФОТОЭФФЕКТ ДЛЯ ОЧЕНЬ ЖЁСТКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 4U
Величины А я В, являясь коэффициентами разложения, суть обыкновенные
комплексные числа. Следовательно, зависимость левой части F) от величин т
в правой части определится зависимостью функций $в от ?.
Интегрирование по Е в G) распространено от Ео до оо1). Для не
слишком малых h-t имеют место неравенства
«о+кч > Ео, «„—кч < Ео,
причем последнее имеет место потому, что уже одно вд как энергия в дискрет-
ном спектре меньше чем Ео. Следовательно, знаменатель в В исчезает при
выборе верхнего знака, что соответствует выбору функции w+. На основании
изложенного на стр. 377 (рнс. 27) нам надо учесть лишь w+. Отбрасывая,
следовательно, функцию w_, а также Од, которая исчезает на бесконечности
вместо C) с учетом G) н Gа) мы имеем:
*ч)\ (8)
(8a)
Пусть точка, для которой необходимо вычислить фд, лежит в бесконечности,
Тогда путь интегрирования по Е, так же как н путь интегрирования по к
на рис. 27, с точностью до исчезающих членов может быть стянут к одной
точке, в данном случае к точке Е = г, где е — энергия, получаемая по закону
Эйнштейна (включая энергню покоя Ео электрона), именно:
(9)
Значение для X, которое было бы получено таким путем,
A0)
не является полным. Действительно, интегралы в F) и G) берутся по полной
системе собственных функций $в непрерывного спектра. Эта система, кроме
учтенной в (9) зависимости от Е, обладает еще степенями свободы двоякого
рода:
а) ооа-кратное множество входящих в них угловых переменных;
б) двукратное множество ориентации спинов.
а) Если бы мы вычисляли в полярных координатах, то должны были бы
добавить суммирование по квантовым числам /, т. Однако предпочтительнее
аналогично § 4 провести интегрирование по углам а, 0 выхода вылетающих
электронов. Таким путем вместо A0) получим:
A0а)
б) Собственные функции фд, по которым в F) и G) проведено
разложение, кроме зависимости от углов а, [J, содержат также зависимость от
спина. В зависимости от того, имеем лн мы спнн направленным параллельно
или антнпараллельно некоторой оси, мы будем иметь две различные функции •!<,
которые будем различать значениями А = 1 и X = 2. Благодаря этому <|»»е
в A0а) и также X становятся зависимыми от «спиновой переменной» к. Для
>) Собственно говоря, также и по континууму отрицательных уровней энергии
от —оо до —Ef. Однако, ввиду того что эти уровни предполагаются занятыми, переход
иа них запрещён принципом Паули. Поэтому вклад отрицательных уровней энергии
в фотоэффект можно не учитывать.

412 фотоэффект [гл: ут
полноты проведенных выше разложений необходимо, следовательно, в A0а)
добавить еще суммирование по к, т. е. образовать величину
2 Хх. (Юб)
Х-1.2
Для того чтобы покончить с замечаниями, касающимися теории
возмущений, необходимо еще дать общую форму коэффициентов АЕ. Это можно
сделать на основании условия ортогональности в релятивистском случае (IV. 3.21),
которое для наших целей можно коротко1) записать в виде:
Применяя A1) к F) (умножение слева на ty^i н интегрирование по
координатам) с Е = Е', получим:
Для дальнейшего будет более удобно это равенство переписать в более
общей форме. Именно, вместо волнового числа х = 2it/A, волны,
распространяющейся вдоль оси х, введем волновой вектор х произвольного
направления и соответственно этому вместо осн у как направления полярнзации введем
единичный вектор р в направлении поляризации р J_ x.
Тогда равенство A2) перейдет в равенство
в (Г/») %«*(хр| Л- О 2а)
Так как на основании сказанного выше величины Ав не должны в себе
содержать f. то зависимость от f в A2а) необходимо исключить посредством
делителей .нуля, содержащихся в собственных функциях, и под А понимать
лишь численные коэффициенты делителей нуля.
Б. Выбор собственных функций и выполнение
интегрирования в A0а).' Проще всего опираться на результаты гл. V, § 8;
где из решення уравнения Шредингера было получено соответствующее
решение в первом приближении для уравнения Днрака. При этом «первое
приближение» означает то же самое, что и «первый порядок по aZ».
В этом смысле для фунчцни %, у которой индекс «нуль» означает
«начальное состояние», а отнюдь не «нулевое приближение», мы используем
представление (V. 8.20) со следующим изменением в написании:
Обозначение q совпадает с обозначением к из (V. 8.16а). Относительно
выбора добавленного в правую часть множителя Го, который во всяком
случае содержит делитель нуля A + т4)О -M?m)i будет сказано позднее.
Представление для <|»д мы получим из (V. 8.24), где необходимо
заменить к, I через —к, —/, что было обосновано на стр. 389. Тогда это
представление будет гласить:
[ ^] A4)
A4а)
') Более подробно надо было бы привести соображения из гл. II, § 8 относительно
собственных дифференциалов. Далее необходимо справа к ЬЕВ' добавить нормирующий
множитель с ■(.

§ 8} фотоэффект для очень жесткого излучения 413
Направление волнового вектора * характеризуется углами а, р, по которым
сейчас будет проведено интегрирование.
Для перехода к сопряженной волновой функции tyB необходимо (см.
стр. 358) переменить порядок множителей f и одновременно изменить знак
X и / (но не f*); следовательно,
[ i ]Ln(p). A5)
Наконец, необходимое для A0а) асимптотическое выражение *) tyE на
основании D.7> имеет вид:
U^l A5а)
Поправочный член в A4), связанный с grad, ничего не прибавляет к
асимптотическому значению ф, так как
grad р~* = — np-*-1 grad p
в пределе при р ->• оо исчезает по сравнению с р~п. Так как благодаря этому
фю имеет такое же значение, как и в § 4, то и для X, образованного
из <!ъо, мы можем сразу взять значение D.12). При теперешних
обозначениях получаем:
е • ^(»- *. *)" 5= Г. A6)
В. Вычисление матричных элементов А(Ь, «р» А) из
равенства A2а). Так как мы ограничиваемся первым порядком по aZ, то
надо написать:
Здесь \ есть член нулевого приближения, который, следовательно,
получается, если в A3) и A5) опустить поправочные члены. Член Ах получится
при комбинировании поправочного члена в A3) с главным членом в A5),
член Ай — при обратном комбинировании. Мы получаем:
=. J •-
A7)
J ж-*«г»Ln(p)dx A7а)
и соответственно
A8)
A8а)
A9)
A9а)
Собрав A7), A8), A9), найдем, что
i) В знаменателе вместо Г A — л) мы ввели обозначение II (— я) для того, чтобы
букву Г оставить для обозначения множителя в числителе, содержащего величину •(.

414 ФОТОЭФФЕКТ [ГЛ. УГ
или после некоторых преобразованнй величии у, положив х =*т1М,
Н-т*Сг*МГ„ \
В»—(P.
Интегралы Уо, /,, У9 сводятся к интегралу В в D.15а), если там в< личину
Z/a заменить через ^ ив соответствии с этим написать:
Jp)^L4 B2)
Легко убедиться, что
Уо Щ. J^-LaZgrH^B B2а)
и после интегрирования по частям в A9а) также
ya = /^|?grads-(x-*)^.}B = 4aZ^(grads-ii=*^)B. B26)
Если эти значения Уо и У2 подставить в B1), то матричный элемент /1 будет
определён. Получение численного значения будет выполнено вместе с
суммированием во возможным состояниям ориентации спина.
Г. Переход к платности ф о т о т о к а. Плотность в
возмущенном состоянии в, именно a-f4e, получится путем замены X на основании
A06) через 2 -Xii и соответственно для сопряженного значения X— через
JLiXv. Поэтому будем иметь двойную сумму по X и У, именно [ср. также C)]:
Вставляя вместо X его значение A6) и вместо X—соответствующее
значение (перемена порядка множителей т, замена у, / на —у, —/), получим:
22
X X'
)8 B3а)
Как было уже замечено ранее, под А и А следует понимать
обыкновенные комплексные числа. Индексы кик' при А и А показывают, что эти
числа зависят от выбора множителя Г в соответствующих собственных
функциях A4) и, следовательно, от к и к'. Кроме того, величины А я А
вавнсят ещё от спина в собственной функции A3), который учитывается
множителем Го, так что по существу А и А надо было бы снабдить еще
одним индексом Ад. Однако нам это понадобится только в следующем
разделе Д.
Ввиду того, что величины А, А являются числами и учитывая значение
Г и Г, видим, что двойная сумма в B3) упрощается, так как все члены
с кфк' из-за (IV.5.47) пропадают. Это соотношение, первоначально
выведенное для множителей Г плоской волны, переносится на собственные
функции A4), множитель Г которых в (V.8.25) был определен именно из срав-

§ 8] ♦ОТОЭФФГКТ ДЛЯ ОЧЕНЬ ЖЁСТКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 416
иения поведения этих функций с плоской волной. Такиы образом, вместо
B3) найдем:
% 2 АЛГ..РК. B4)
Здесь под Гяорм понимается стоящий справа в (IV. 5.47) делитель нуля:
| B4а)
Однако для дальнейшего будет удобнее вернуться к выражениям, из
которых величины i не исключены. Это можно сделать, если мы в B4)
■аменим
Гмрм через ГЦорм
н напишем: _
a^iV B5>
Поэтому вместо B4) можно также написать:
«Т4«—^Ц^- B6)
X
Индекс к, по которому проводится суммирование, содержится в
множителях 1\, 1\, на которые на основании B1) умножаются не освобожденные or
величин т выражения А, А.
Д. Суммирование по состояниям спина обоих АГ-элек-
тронов. АГ-оболочка, о фотоэффекте из ко горой идет речь, содержит два
электрона (кроме атома водорода) с противоположно ориентированными!
спинами.
Равенство B6) справедливо для каждого из АГ-электронов. Так как их
вклады в фототок не могут быть экспериментально разделены, то надо*
учесть их суперпозицию. Из (V. 8.21) нам известно, что двум направлениям
спина с т = ±-х соответствуют следующие значения Го:
B7)
Оба эти значения мы будем отличать верхним индексом А^, = 1, 2. Поэтому
вместо B6) необходимо в качестве вклада в фототок обоих АГ-электронов.
образовать величину
S ^«■-SSS^***- B8>
Х.-1.2 X Х„
Суммирование по Хо может быть здесь выполнено непосредственно. Если
вместо B1) положить для сокращения
н, следовательно,
1^ = Г%'рГх, p-AW0{—(ТЛ5)+Т#Я5 — (ХВЪ*Ь). B9а)
«о сразу получается:
2^ C0)

416 ФОТОЭФФЕКТ |ГЛ. VI
Но на основании B7), ввиду того, что Г.Ор* =Гмрк и Г^орм=Г.орм1 найдем:
£ IUft = Т18Г..,».Т81+W C1)
Далее мы имеем:
Гяор-Tfst = тО -г-Т*)A -Ь'Tfжа)Tfei = Tfai 7О +Т«)О — «Tub
откуда в качестве значения правой части C1) получаем:
■jA+-r4)(l-^i3)+T(l+-r*)(l + ^9) = y(l + -r4)- CU)
Подставляя это значение в C0), а C0) в B8), для вклада обоих электронов
в фототок получим следующее выражение, не содержащее величины Го:
22 C2)
Х„ X
Е. Суммирование по спинам конечного состояния.
Теперь нам осталось еще произвести суммирование по X. Запишем:
X. XXX
где на основании C2) и B9) положено:
В последнем выражении множители ft, содержащиеся в р и р, опущены,
так как они могут быть включены в стоящий между ними множитель
1-j-fi- Далее мы произведем перемножение в Я с учетом соотношений
между if, но выпишем лишь те члены, которые умножены на 1, т4 или у:
l ..1. C3а)
Остальные члены в C3а) опущены на том основании, что ввиду
равенства (IV. 5.50) все остальные произведения f при выполнении
суммирования по состояниям спина дадут нуль. Лишь члены, выписанные в C3а),
дадут отличные от нуля значения на основании (IV. 5.47, 48, 49). Эти
значения как для А = 1, так н для к = 2 будут следующие *):
4 1, ГхТГх *i — «*£». C4)
Вследствие этого из C3) и C3а) получается:
1) Общий множитель Тш9ры, который следовало бы добавить в правой часта
всех трех равенств C4) на основании упомянутых равенств гл. IV, может быть уже
здесь опущен. Знаменатель* В, имевшийся там, в C4) заменен через •.

§8) ФОТОЭФФЕКТ ДЛЯ ОЧЕНЬ ЖЁСТКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 417
или, если вставить значение Р из C36):
— Ibc (k \BqB\\ +(kB0) B\ — сопряженное)}. C5)
Это выражение, подставленное в C3), дает окончательное представление
для фотоэлектрической плотности, представление, которое не содержит
в себе величин •{ (отвлекаясь от опущенного множителя ГИОрм). Дальше
остается лишь обсудить полученное таким образом представление.
Ж. Разделение на «аксиально-симметричную» и
«аксиально-несимметричную» составные части. На основании B1)
имеем:
(BoBh = I Jo p. B.Bl = | (р, Jt+Уз) |».
Используя известную формулу векторного анализа 1), получим:
Далее
P, А—
Подстановка в C5) даёт:
—E0)\J0р + (* + ^о){|Л—^|а+ \(Р.
-К/». Л—/а)|9}—/Ас{У0(*. /—^)—
— 2(kp)J0(p, А) — сопряжённое}]. C6>
Выражение, заключенное в [ ], может быть разделено на «аксиально-
симметричную часть» | |а, зависящую лишь от Ь, и
«аксиально-несимметричную часть» | |„, зависящую также и от ?, которая характеризуется
привычным уже выражением (/>£)* = ftd sin90 cos2?. На основании (З'б) имеем:
Это выражение может быть записано в виде квадрата, если принять во
внимание закон сохранения энергии в форме
ЬЧ*с* = (е — Ео) (г + £„).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что предпоследнее равенство
может быть записано в виде:
feEi--'i>. C7)
С другой стороны, на основании C6) имеем:
2lbc(kp)\J0(p,
>) (\AB\\ED\) = (AE)(BD) — (BE)(AD); для применения этой формулы в тексте
надо положить
А~В~р, Е = О*=.^ — У»
27 Зм. 968. А. Зоммерфель*

418 ФОТОЭФФЕКТ [ГЛ. VI
После простого вычисления это равенство принимает вид:
[ 1Я = 2{/С2(/», /) +сопряженное},
К2 = (.+ Яо) (М> + Ihc (kp) JQ. C8)
Нам известно, что в предельном нерелятивистском случае £ <С! 1 сим*
метричная часть C7) должна исчезнуть, а несимметричная часть C8) должна
свестись к известной из § 4 формуле. По-другому будет обстоять дела
в предельном релятивистском случае ? ~ 1, когда обе части, как это будет
показано, имеют один порядок величины.
3. Предельный случай очень жесткого облучения ?~1.
Так как теперь необходимо сохранить все степени J3, то разумно величину |я|
рассматривать как малую. Именно, на основании A4а) имеет место
равенство
Следовательно, если бы стали в выражениях для Kt и /Са сохранять члены
с множителем |я|а, то мы должны были бы сохранять и члены с (aZ)'2, для
которых использованное нами приближение несправедливо.
Воспользуемся значением для J из B2а), B26) и значением для В 1) иа
D.17а):
(в -f- *)»+!
где q = ?j2. [уравнение C)].
C9)
Отсюда с учётом того, что (рх) = 0, легко получается:
= iaZ ipk) ±±j В, C9а)
C96)
C9в)
D0)
До сих пор расчет вёлся точно. Мы можем, не ограничивая общности,
с требуемой степенью точности [пренебрежение величинами порядка (otZ)J|*0
заменить через Ео, так как на основании формулы тонкой структуры имеет
место равенство
Далее, можно пренебречь я по сравнению с 1 и 1 по сравнению
с —== — . В результате получается:
Я я У 1 — (**
(. D2)
|) Изменение обозначения, именно написание а вместо с, в D.17е) вызвано тем,
что в последующем с будет употреблено для обозначения скорости света.

§ 81 фотоэффект для очень жИсткого излучения 419
Необходимо еще подставить сюда значения а и а-\~Ь из C9). При атом
следует принять во внимание, что на основании D1) имеет место
неравенство k 2Э> q, так что можно положить
а = х« —#». D2а)
Далее, с учетом закона Эйнштейна имеем:
а+* = (х9 + Л9)A — ?cosO), \
-■ /,а_2£,(£,-е) о ■ А«__2«(.-Е0) \ D26)
Поэтому из D2) при замене еще в через Ео и $ следует:
Для {pJ*) получается из C9а) после соответствующего подсчёта следующее
выражение:
Отсюда на основании C8) найдем:
1£=вХ
J A— /1 — f>»)9
/ 1 i-~yr=F I \ ввг
Л\~7 Г^а Г" 1—{icos»/l—ficos»*
Взяв значение В5* из C9), окончательно получим:
j A — VI —
/пГр 1 \sln«»cos»T
При помощи аналогичного вычисления из C7) найдём:
[ 1- = 2ir9ot9Z939 —т ~1——=г-а . D7)
£jj A — у 1 — р' г A — j» cos в)»
Ввиду того, что в последнее выражение не входит угол <?, мы и назвали
эту часть «аксиально-симметричной».
Сумма D6) и D7), если обозначить множитель перед скобками в D6)
через F, будет равна
sin2»
4 A— pV A—pcos»I
F 1 — V"l — ра sln"»cosa9 .
T 1— &» «1—6cos8)« ' A —
Последний член даёт хорошо известную нам нерелятивистскую фотоэмиссию
с /С-оболочки; оба первых члена представляют релятивистские эффекты,
которые тем сильнее, чем меньше 3 отличается от единицы; отклонение
электронов вперед, даваемое этими членами, менее значительно, чем отклонение,
Я*

420 фотоэффект [гл. vi
даваемое нерелятивистскими членами (третья степень знаменателя 1—jilcosd
вместо четвёртой). Все три члена впервые были найдены Заутером 1) несколько
другим путём. Представляет интерес следующее сопоставление: внаменатель
A—р cos ftL в последнем члене в D8) релятивистски точен, коль скоро {J
вычисляется из разности потенциалов по формулам релятивистской механики,
следовательно, этот член более точен, чем ранее найденная форма A —,8cosf)+f )*,
которая получилась при нерелятивистском определении Э в D.20а). Уже там
было замечено, что малый поправочный член f при нерелятивистском расчете
не может быть гарантирован. Теперь оказалось, что при строгом расчёте
этот член пропадает. Это было подтверждено при анализе наблюдений Лутце
(стр. 374).
1) P. Sauter, Ann. d. Phys. 11, 454 A931), формула C0).

ГЛАВА VII
СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР
| 1. ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР
Первые теоретические представления о происхождении рентгеновских
лучей (Стоке, Вихерт) относились к вынужденной части излучения, выззан-
ного бомбардировкой катодными лучами («белый рентгеновский свет», ср. т. I,
гл. I, § 5). Автор предложил (и Рентген согласился) назвать это явление
тормозным излучением. Его жесткость возрастает с напряжением,
приложенным к трубке, и не зависит от вещества антикатода. Для рентгеновской
техники это тормозное излучение играет главную роль.
Характеристическая часть рентгеновских лучей, которая соответствует
свободным атомным колебаниям, была обнаружена впервые в 1906 г. (Баркла).
Жёсткость этого излучения в принципе не зависит от напряжения (последнее
влияет лишь вторичным образом, вызывая сдвиг границы возбуждения).
После открытия Лауэ стало известно, что первая часть излучения
обладает сплошным спектром частот, вторая—дискретным. Сплошной спектр
имеет коротковолновую границу, определяемую квантовым уравнением
AvMaF0 = eV (V—напряжение на трубке). A)
Классические представления о торможении, конечно, ничего не могут
сказать об этой фундаментальной зависимости. Напротив, эта зависимость
дала возможность, по крайней мере, качественно понять одну особенность
в пространственном распространении тормозного излучения: опережение
максимума излучения, впервые наблюдавшееся Басслером 1) в 1908 г. и Штар-
ком а) в 1909 г. В т. I на рис. 11 мы изобразили явление согласно более
новым опытам 8), в которых в качестве антикатода применялись очень тонкие
плёнки (старые опыты были проделаны с толстыми антикатодами и поэтому
наблюдениям мешали вторичные процессы). Этот рисунок похож на рис. 26
в этом томе для фотоэффекта, несмотря на различный характер излучения
в обоих случаях: при фотоэффекте возбуждение производится
электромагнитным излучением, возбуждённое излучение состоит из электронов; в случае
сплошного рентгеновского спектра наблюдается обратная картина.
В предварительной теории автора остался один неопределённый
параметр — «тормозной путь» /, трактовавшийся как субатомная длина, распо-
1) Bassler, Ann. d. Phys. 28, 808 A909).
2) J. Stark, Phys. Zs. 10, 902 A^). Там же теоретическое объяснение
опережения, данное автором (стр. 969), н сразу же за этим дискуссия Штарка н Зом-
мерфельда.
«) Н. Kulenkampff, Ann. d. Phys. 57, 597 A928). Краткое изложение в Handb.
<L Phys., Bd. 23/2, 2-е изд. A933).

422 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
ложенная вдоль направления падения катодных лучей. Эквивалентом
тормозного пути / является «время торможения» т = //г», где v — средняя по времени
скорость падающих катодных лучей на тормозном пути. Автор попытался
найти эту величину с помощью особого вводимого ad hoc постулата, взятого
первоначально в виде (Е— начальная энергия электрона)
Ет = й B)
или же в виде (£„1 — кинетическая энергия электрона, теряемая им во время
торможения):
/•
Ba)
Отметим при этом, что Bа) было в некотором смысле прообразом
появившегося позднее фазового интеграла
= *; B6)
в релятивистском смысле Bа) является четвёртой компонентой B6).
Конечно, из этого постулата ещё не следовала фундаментальная
формула A), с помощью которой объясняется (в то время еще не известная)
коротковолновая граница спектра. Но он даёт простой способ объяснить два
других опытных факта, а именно: а) пропорциональность интенсивности
рентгеновского излучения квадрату напряжения, приложенного к трубке, и
б) малую степень превращения при переходе энергии катодных лучей в
энергию рентгеновского излучения.
а) Из классической формулы для излучения
следует для энергии Ef, испущенной в течение всего процесса торможения
от f=*0 до /=*=■:, при условии, что v постоянно, т. е. равно — t»/x, где
v — начальная скорость электрона,
о"
Отсюда, принимая во внимание B) и Е = '^-, можно получить:
т. е. пропорциональность £9, а значит, и V9 [V—напряжение, приложенное
к трубке, как в A)].
б) Одновременно из C6) следует:
следовательно, например, при j3 = Vs (соответствует К =30 кв)

§ I] ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР 423
Это и есть впервые измеренная Вином *) поразительно малая степень
превращения катодного излучения в рентгеновское.
Когда автор докладывал об этом подходе к решению задачи на первом
-Сольвейевском конгрессе A911 г.). Эйнштейн сделал одно интересное заме-
гчание: он предложил в качестве альтернативы рассматривать квантовым путём
акт излучения, оставив процесс торможения неопределённым [в то время как
в вышеупомянутом расчёте квантовый характер приписывается, наоборот,
атомному процессу — уравнение B), а излучение считается классическим —
уравнение C)|.
Можно, например, вместе с Эйнштей- ———
«ом рассматривать процесс торможения t
как мгновенный и, следовательно, исполь-
аовать приведённый рядом рисунок. То —j£3g*-o - т
же самое получается, если разложить v ^ *=+/^
а ряд Фурье в произвольном временном "• т •
интервале Т:
Рнс. 29. Разложение Фурье мгновен-
v(f)=s— — У dn . D) ного процесса торможения по Эйн-
— — У dn . D) р р
Пш1. 8. 5....
Отсюда получается дифференцированием по /, очевидно, расходящийся
ряд. Эйштейн обрезает его на некотором члене с n = N и пишет:
4»
П-1. 8, ...,№
считая, что высшие члены с я>\ ничего к излучению не прибавляют.
Граничное число N определяется следующим образом: очевидно, частота
колебаний, соответствующая отдельному члену ряда Фурье, дается
выражением
* = у. D6)
Максимальная частота колебаний, возможная при начальной анергии Е,
определяется квантовым постулатом
Е = hivuo. Dв)
Этому чщо соответствует, согласно D6), Лщш» которое и является
искомым граничным N, а именно:
N=*jT. Dг)
Согласно C) каждый член разложения Фурье Dа) дает излучение
+ Т/2
с 2 е* 16»» f 92яя* .. \b(fiv*
-т/г
[Образующиеся при возведении в квадрат Dа) произведения членов не
дают никакого излучения.]
Полная энергия излучения Ер, учитывая Dг) и связь с xfl, выразится
в виде:
*£ 32 ^ £»
') W. Wien, Ann. d. Phys. 18, 911 A905); В eat tie, Proc. Roy. Soc. 89, 314
A913); ср. также О. W. Richardson, Zeeman-Pestschrift, стр. 80, Haag, 1935k

424 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Это совпадает (с точностью до несущественного числового множителя)
с C6). Одновременно получается также и найденный выше в (Зв) порядок
величины для степени превращения Ef/E.
Мы привели здесь этот несколько смелый эйнштейновский метод
обрезания, так как он явился первым примером способа, который с тех пор
всегда применяется (за неимением лучшего), когда взодят расходящееся
выражение (в частности, для отрицательных уровней энергии в теории Дирака;
ср. гл. IV, стр. 268). Паули при случае называет такие способы несколько
пренебрежительно «вычитательной физикой».
Так как в проблемах тормозных спектров речь всегда идёт об интен-
сивностях, то последовательное решение этих вопросов возможно лишь на
основе принципа соответствия или, строго говоря, лишь на основе волновой
механики. Удачное решение, основанное на принципе соответствия, дал
Крамере '). Его результаты, важные для астрофизики, будут обсуждены в § 8.
Волновомеханическое исследование вопроса было предпринято с различных
сторон а). Оппенгеймер показал, что особенно удобны параболические
координаты, в которых уравнение Шредингера для атома водорода допускает
разделение переменных, и использовал в качестве полной системы функций
собственные функции этой задачи. Простое представление получил автор,
используя собственные функции в параболических координатах, которые
были уже нами использованы при рассмотрении фотоэффекта. Но прежде
чем обсудить результаты, достигнутые с этими собственными функциями,
мы хотим описать методы волновой механики в данном случае и сравнить
их с методами, основанными на принципе соответствия.
Волновомеханически начальное состояние системы изображается
некоторой приходящей из бесконечности плоской волной, которая будет рассеиваться
в кулоновском поле ядра. Вопрос, попадёт ли электрон в центральную или
периферическую часть атома, вовсе не ставится. Все отдельные возможности
столкновения будут соединены в единой волновой картине.
Точно так же конечное состояние, в котором электрон с уменьшенной
скоростью покидает атом, будет описано плоской волной, тоже искажённой
атомным ядром. Направление распространения волны, т. е. направление
выходящего электрона, остаётся неопределённым; a priori каждое направление
является равновероятным.
Чтобы рассчитать теперь интенсивность излучения при переходе из
начального в конечное состояние, надо лишь составить из соответствующих
волновых функций по правилам волновой механики матричный элемент. О самой
способе перехода при этом не требуется делать никаких предположений,
так же как и в теории линейных спектров не требуется специализировать
процесс перехода из начального в конечное состояние.
Отличие этого волновомеханического метода от квазиклассического
бросается в глаза: в последнем мы имеем излучение, причиной которого является
изменение скорости вдоль классической траектории (гипербола); в первом
довольствуются сопоставлением начального и конечного положений, причём
происхождение излучения остаётся неизвестным. Заметим, в частности, также
следующее: при вычислении матричного элемента интегрируют по всему
пространству. Мы должны, следовательно, принимать в расчёт волновую
функцию падающего электрона не только перед атомом, но и позади атома, куда
Н. A. Kramers, Phil. Mag. 46, 836 A923).
JJ. R. Oppenheimer, Zs. f. Phys. 55, 725 A929); Y. Suglura, Phys. Rev.
A929); J. A. Oaunt, Proc. Roy. Soc. 128, 654 A930); A. Sommerfeld, Ann.
d. Phys. 11, 257 A931).

§ 1] ИСТОРИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР 425
электрон по нашим физическим представлениям совсем не попадает. С
другой стороны, мы должны использовать волновую функцию вылетающего
электрона не только за атомом, т. е. там, куда он вылетает, но также
перед атомом, где его существование нельзя наглядно представить.
Следовательно, волновомеханический метод в противоположность классическому
отказывается от модельного представления физического процесса.
В § 2 мы вычислим матричный элемент новым способом, более короткий
и менее искусственным, чем предложенный автором ранее. Полученные таким
образом простые замкнутые формулы описывают элементарный процесс, при
котором электрон с определённым уменьшением скорости вылетает в
заданном направлении (характеризуемом углами a, J3) и наблюдается световой
квант в определённом направлении 0, <?. Интегрируя по всем направлениям а,
р, получим в § 3 сплошной рентгеновский спектр, его интенсивность и
поляризацию. Это интегрирование будет выполнено не точно, а приближённо для
достаточно жёстких катодных лучей, причём, нерелятивистский характер
расчёта ограничивает жёсткость сверху. В § 4 будет дополнительно
показано, что «полная потеря излучения», т. е. проинтегрированная по всем
направлениям вылета а, ,8 сумма квадратов всех трёх компонент
матричного элемента, может быть вычислена точно. В § 5, наоборот, при
заданном а, 8 мы проинтегрируем по всем направлениям излучения 0, <р, причём
получится угловое распределение вылетающих электронов как функция
углов а, {J.
Но метод матричных элементов является лишь первым приближением.
Он должен быть дополнен методом вектор-потенциала, который позволяет
учесть «запаздывание» для более жёстких падающих электронов и,
следовательно (ср. стр. 60), позволяет наряду с дипольным принять во внимание
и мультипольное излучение. Это более полное рассмотрение излучения
сделано в § 6 тем же способом, что и расчёт матричного элемента в § 2, и
приводит к более сложным выражениям. Но если мы опять ограничимся
жёсткими катодными лучами и, в частности, границей сплошного рентгеновского
спектра, то получим ясную картину поля излучения. Затем производится
сравнение теоретически полученного опережения, о котором говорилось выше,
с соответствующими экспериментальными данными.
Однако и этот метод является только приближением. Законченный метод
для жёстких лучей даётся лишь теорией Дирака, которая, однако, приводит
в общем случае к довольно громоздким формулам. Поэтому мы ограничимся
предельным случаем очень больших скоростей как первичных, так и
вторичных электронов (борновское приближение). Используя новый способ, мы вновь
получим результаты Заутера1) и Бете и Гайтлера9), результаты, которые
имеют очень важное значение для теории космических лучей.
Обратное приближение, относящееся к медленным частицам и мягким
рентгеновским лучам, будет рассмотрено в § 8. Там мы, ссылаясь на Шер-
цера *), разберём интересный вопрос, почему ещё никогда не наблюдали
заметного рентгеновского излучения при торможении протонов. Все наши
расчёты сильно схематизированы, так как они не принимают во внимание
электронную оболочку и оперируют лишь с голым ядром. Для малых
скоростей падающих электронов это является безусловно недопустимым. При
больших скоростях также возможна ошибка в определении
коротковолновой границы сплошного спектра, так как в соответствии с определением
P. Sauter, Ann. d. Phys. 20, 404 A934).
H. Bethe и W. Heitler, Proc. Roy. Soc 146, 83 A934).
«) O. Scherzer, MQnchener Dissertation; Ann. d. Phys. 13, 137 A932).

426
сплошной реитгрновский спектр
[гл. vn
.скорость вылетающего электрона при этом равна нулю. Поэтому надо
в собственной функции заторможённого электрона учесть экранирование
электронной оболочки. Это, повидимому, объясняет найденную в работе
Бруннера') выпуклость в ходе сплошного спектра.
| 2. МАТРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССА
Пусть в начальном состоянии скорость и волновое число электрона
будут Vj и А,, а в конечном состоянии о, и k.v Направление движения
падающего электрона примем за ось х, направление вылетающего электрона
будем характеризовать углами а и Э, где а — угол между ftg и осью х
(полярный угол), £— угол вокруг оси х (азимутальный угол):
A.0.0)*!.
, sin a cos Э, sin a
A)
причём
«а < «i. *а < *i-
Энергия, излученная при этом процессе торможения, и соответствующее
•ей волновое число даются выражениями:
x==
2itv
2S?
B)
Напряжение V, приложенное к трубке, определяется из соотношения
%\"L\ C)
Мы производим расчёт с водородными собственными функциями, причем
атом рассматриваем как голое ядро. Тогда можно использовать в качестве
волновой функции падающего электрона выражение (VI.4.2), а в качестве
волновой функции вылетающего электрона (ср. доказательство на стр. 389) —
(VI.4.3); следовательно, имеем:
4*
-«(-Ра). Pi-/[*ir+(V)].
D)
E)
z *z
z «z
»»
и ty\ удовлетворяют уравнениям Шредингера
2.»
2m
Fa)
E. Brunner, Phye. Rev. 53, 451 A938).

§ 2] МАТРИЧНЫЙ ЭЛЩУНТ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССА 427
Потенциальная энергия в поле ядра обозначена здесь через £/» так как
букза V уже использована для обозначения напряжения на трубке в
уравнении C).
В этом параграфе не рассматривается жесткое излучение, поэтому можно
отказаться от введения «запаздывания» (случай А на стр. 57) и использовать
метод матричного элемента; при этом, конечно, пропадет интересный эффект
опережения. Матричный элемент для перехода 1 -*■ 2 представится в виде:
G)
Аналогично получится и сопряженное выражение.
Сначала мы займемся одним простым интегралом, к которому позже
сведем вычисление нашего матричного элемента G), а именно:
Подставляя сюда D) и E), получим:
J
Ц-, д = *! — ft,. (8а)
Обозначение q введено здесь не только для более краткой записи, но прежде
всего по некоторым причинам, которые станут ясны позже (уравнение B1а)].
Для функций L используем выражение (VI.4.156), заменив в н&м переменную
интегрирования. х через «+1 (в L,J и через v-f-1 (в L^). Вследствие
этого получим:
х = 4а § и"Н~1 (в +1)>Ь йи ~Ш § v~n'~1 {v +1)П"dv x
J (9)
где
CO
X J e-Ksrdr Г
/^ss/ffcjO-J-fcjii}, K = klv — kQu + q. A0)
Интеграл по da имеет точно такой же вид, как интеграл Q в (VI.4.16а),
и поэтому дается выражением (VI.4.1бв). Интегрирование no r производится
точно так же, как в (У1.4.16д). Таким образом, имеем:
(И)
Из A0) имеем (к счастью, квадраты и и v уничтожаются):
К\+/С2 - цг—2 (?*а) и + 2 ОД) v — 2 J^A, + (ft^l uv.
Расположим это выражение по v и запишем в виде:
Kl-\-K2 = U(v — t»o). A2)
где
U = 2 (^) - 2| А,*,+(ЙЛ)]«. 1
} A2а)

,428 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Подставляя A1) и A2) в (9), получаем:
*1^. 03)
Интеграл по v можно взять с помощью теоремы о вычетах, если, сначала
обойдя точки 0 и —1, стянуть контур к точке v = v0, что возможно, когда
подинтегральное выражение в бесконечности убывает, как 1/v9; при этом
получаем:
V'-1 (vo+ l)m Щ-. A4)
Мы можем это выражение заменить на
-»' (и _|_ 1)"* (UvJ-*1-1 (f/t»0 + Uf1 da. A4a)
Подинтегральное выражение имеет четыре точки ветвления: и = «0, ult
«,, а именно [ср. A2а)]:
«о = °» % = — 1, «а = 2^j (соответствуют Uv0 = 0);
A5)
в = оо, напротив, — регулярная точка, так как в ней подинтегральное
выражение убывает, как «~8.
Ангармоническое отношение четырех точек ветвления щ>, %, %, и, есть
at —itQ.gg —в0 и, — из .
■У «,-«8 ' ва-в, ваA+ва)'
подставляя сюда A5), получим:
v
Это выражение упрощается для ^ = ft1—k^. Принимая во внимание A),
имеем:
— ft9cosa), (^fta) = *a(fttcosa —*j)f A66)
72 = ft? + kl—2ktkt cos a.
На основании этого A6а) превращается в
х—w^b^i- A6в)
Отметим еще, что
^«(Лц-VO—*)• A6г)
Чтобы привести интеграл A4а) к известному виду, сделаем линейное
преобразование u-*-s, такое, чтобы точкам ветвления ио = 0, ut = — 1, о,
соответствовали значения s = 0, 1, оо. Таким преобразованием, очевидно,
является

§ 21 МАТРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССА 429
Так как при преобразовании ангармоническое отношение остается
неизменным, то с его помощью можно получить четвертую точку ветвления s9
во схеме A6):
v_ si — so . sn — sn _ 1
«1 — S2 ' % — % Sg *
Следовательно, наши четыре точки ветвления в переменных s будут:
so = O, st=l, sa = oo, sa = —■. A7a)
При преобразовании интеграла A4а) используем наряду с A7)
г, ! + « = —-
Подставляя в A4а), получаем:
(l —*)"*(! — Д*)"'Л. A8)
С 2fe-^^-2(^t)W + 2(^)}'b> A8a)
Формула A8)—хорошо известное [дополнение 16, уравнение A4)]
представление гипергеометрической функции. Сравнение экспонент обоих
выражений дает для гауссовских параметров а, C, -J уравнения
а—1= —яа—1, f — а— 1=яа, —р = д,;
следовательно,
а = —яа, р = —nt, т = 1-
Мы можем, следовательно, вместо A8) написать1):
X=BF(—nu —«а. 1. у). A9)
Так как коэффициент, указанный в дополнении 16, уравнении Dа),
включен в константу в A8а), то получаем:
+w". A9a,
Для q = kt — jfeg отсюда следует:
Л-=^(— nlt —«а. 1. *),
где значение х берется из A6в). Выражение для А получается из В на
основании A66, г):
Теперь мы подготовлены к вычислению я) нашего первоначального матрич-
!) Так как F, представленное в виде ряда, симметрично по обоим параметрам в
и р, то можно переставить — гц и — пх.
а) Мы используем здесь и в § 6 часть неопубликованных результатов (О. Е1 w e г t,
Mtoichener Dissertation, опубликованная часть в Ann. d. Phys. 33).

430 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
ного элемента М [уравнение G)]. Чтобы привести его к виду (8), будем
исходить из связи между матричным элементом и током в уравнении A.8.16.)
Тогда, если подставить v из уравнения B), получим:
—ш <** - **>м = /'Л- <20>
Используем для J выражение из A.7.15), которое получается для
специального случая А = 0 интегрированием по частям:
B0а)
Из сравнения B0) и B0а) следует тогда:
А2 — *2 Г
-Цр-1 М = J £ grad ф, их. B06)
Преобразуем правую часть искусственным приемом, подобным данному
на стр. 392 [уравнения A3), A4)]. Прежде всего из D) следует:
grad ft = ОД + eUh'r)L'ai (p.) grad Pl. |
| <20B)
Сравним это с (grad теперь относится к составляющей no
Следовательно,
_ г).
gradPl = -^
и вместо B0в) имеем также:
grad<!>! = Ifc^ -#*'*••"gradfcZ.w (pi). B0r)
Условимся при этом, что с /tj при дифференцировании по ftt можно
обращаться, как с константой.
При подстановке в B0Л) пропадает первый член в правой части B0г),
так как •>, и ■>, взаимно ортогональны. Тогда получим, если одновременно
для <{i* подставим выражение E):
*-**••• grad* .£»,Cpi)£»,<fc);r-. B1>
Здесь желательно градиент по *t вынести за анак интеграла. Это можно
сделать, если, как в (8а), написать:
q = *,—*, B1а)
и затем условиться, что кроме nt также и q должно рассматриваться как
постоянная при образопании градиента. Тем самым вычисление матричного
элемента М сводится к интегралу X уравнения (8а), а именно, имеем из B1):
(. B2)
где для X использовано выражение A9) и лишь после образования градиента
подставлено выражение B1а) для д.

§ 21 МАТРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССА 4JH
В выражении A9) от ftj зависят только множитель В и аргумент у.
Их значения для q = kl — fe, обозначены через А я х соответственно в
указаны в A9в) и A6в). Так как по kt мы берем логарифмическую
производную, то, очевидно, можно написать:
grad А" = Л/7 (х) grad In В+Л/5" (*)* grad In .у. B3)
Из A9а) следует:
^fc <23a>
Следовательно, принимая во внимание A66) и B1а), получим:
grad In В = -2±j (ftt — ft.j). B36)
*Ч
Кроме того, из A6а) следует:
grad In у = ^ {АА +\лМ _ 2 (цЛ0 (qkj + qi_-2 {
Знаменатели первой и соответственно второй дроби в силу A66) равны
2klk.i(kl-\-k.Jislni^r и соответственно ft* — k].
При указанном в B3) умножении на х [уравнение A6в)] получаем:
где
\ — k^x = — 2АЛА. — кг)A— х);
для последнего преобразования надо сравнить первую строку A6в) и A6г).
Из A6г) следует, что </■*, а следовательно, также первый член в
фигурных скобках в уравнении B3^) делятся на 1—х. На основании этого ( }
с выражением для q нз B3г> превращаются в
—2(*i—*t)J-
Подставляя это в B3г), окончательно имеем:.
A) B3.,
Комбинируя B3), B36) и B3д)/ теперь получаем:
grad X- ^М_ \nlF(X){fcl_ Ла) + ЛаA _х)г(х)( *L_ A)J B4)
в по B2), если в множителе при F использовать соотношение kxnx
- B5)

432 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Из А, уравнение A9в), вынесен еще множитель A—j^-"»-"*-1 и объединим
то, что осталось, с постоянной в B5) в один множитель С. Следовательно,
имеем:
М = С { } A — х)-"*-*-1, B6)
С, 16*е-<«». *«** (А+А\п'+Я* B6а)
Это и есть наш результат, написанный в общем векторном виде через М,
Для сравнения с прежним перейдем к координатному представлению Ма,
Му, Mt (x — направление падающего электрона; то, что мы впредь
используем ту же букву для аргумента F, вероятно, не вызовет недоразумений).
Подставляя из A), получаем:
уИш = С[(Лз — Яц cos а)/=4-0— cosa)(l— X)F'\{\— х)-*-*
Эти формулы совпадают с выведенными автором в 1931 г.1). Они
представляют элементарный процесс, торможения, который мы хотим описать
следующим образом: электрон, описываемый волновой функцией, асимптотически
ведущей себя, как плоская волна, падает на ядро и с уменьшением
скорости vx-*-Vz отклоняется в заданном направлении а, р (электрон,
покидающий поле ядра, описывается волновой функцией, переходящей на
бесконечности в плоскую волну, нормаль к которой задается углами a, J3). Одновременно
атом излучает монохроматическую, «асимптотически плоскую» световую
волну или, говоря иначе, световой квант в определённом направлении А, <р.
Мы разлагаем световое поле на две поляризованные составляющие. В одной
колебания происходят в направлении возрастающих 0, в другой — в
направлении возрастающих «р. О поляризации судят по направлению колебаний
вектора напряженности электрического поля. Наш элементарный процесс
заключается в том, что одновременно испускаются электрон в направлении а,
Р и (определенным образом поляризованный)* световой квант в
направлении А, «р.
Обозначим через еь, е? единичные векторы в направлении возрастания О,
<р и составим с помощью B5)
B8)
]) Различие состоит в следующем: в цитированной на стр. 424 работе
[уравнение (97)] даётся в качестве гипергеометрической функции
Она переходит с помощью замены
ft» л» о, р-». —ft» —я» ж —о, р±я
Я»
С другой стороны, из дифференциального уравнения для гипергеометрической функции
легко получить:
F(l + nb 1 + я» 1, х) = Р(—пь —я» 1, *)A— х)-»■-"•-\
Точно так же можно перейти от функции Fx к новой функции F(— t,, — я» 1, jrt.
Таким путём уравнения (97) цитированной работы переходят в наши уравнения (до)
(включая значения для х в постоянной С).

§ 2] МАТРИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ПРОЦЕССА 433
Как н гл. I, § 8 матричный элемент Мпт был истолкован в качестве
амплитуды вероятности перехода п++т, так и теперь мы должны понимать
под матричными элементами МЬг М9 амплитуду вероятности *) элементарного
процесса торможения с определёнными направлениями эмиссии а, р и в, «р
и определенным направлением поляризации светового кванта еь или е..
Отсюда- следует, что сема вероятность дается нормой. Она изображается
для наших элементарных процессов, поляризованных по еь и по е9 в вйдб:
\МЬ\* и соответственно \М?\* B9)
или, если не специализировать поляризацию фотонов:
*. B9а)
\
j
Чтобы выразить нашу вероятность явно через прямоугольные
составляющие B7), заметим, что компоненты единичных векторов по осям х, у, г
пропорциональны частным производным:
Ж' Ж> $• ^ответственно *1, ■£. *.
Взяв, как в B7), ось дг в качестве полярной оси (л = г cos ft и т. д.),
имеем, таким образом,
еь = — sin 0, cos 8 cos «p. cos 0 sin «p, ]
f C0)
e9= 0, —sin«p, cos«p J
и по B8):
Mt = — M^sinb-^Mycos0cos<f-\-Mt
\ C0a)
My = — My sin «p -f- Mt cos «p. j
В ближайших параграфах мы получим из вероятности элементарного
процесса, интегрируя по всем а, [3 при постоянном направлении
наблюдения А, «р, антеграмную вероятность излучения фотона. Выполнив это для
каждого отдельного v (для каждого значения уменьшения скорости v1-+v£,
получим в фиксированном направлении наблюдения сплошной рентгеновский
спектр. С другой стороны, несколько позже, проинтегрировав вероятность B9а)
по всем 0, «р при фиксированном' направлении движения заторможенного
электрона а, [3, мы рассчитаем полную вероятность испускания электрона
в направлении a, f3. Тем самым будет найдено угловое распределение
заторможенных электронов, или, говоря иначе, «дифференциальное поперечное
сечение процесса торможения». Поскольку мы здесь варьируем также
уменьшение скорости Vj-tVg, то получаем для каждого направления
испускания а, р спектр электронов по скоростям.
" 'В заключение рассмотрим особенно характерный случай v3-»-0, который
соответствует коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра
Х = Хнп, v:=Nmao по уравнению B). Если va-*0, то Аэ-»-0, |яа|-*оо,
х-*-0, но так, что п%х [ср. F) и A6в)| приближается к пределу:
— п^х = 4 -£-£ sina у = 4nt sin" -£.
i) В работе Крамерса {Phil. Mag. 46, 836 A923), § 4] дано бодее подробное
доказательство с помощью днраковской теории излучения.
28 Зак. 968. А. Зомиерфсльд

434 СПЛОШНОЙ РЕНТГВНОВОКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Этот предел будем обозначать через р, кроме того, вместо nt фудем впредь
писать а:
p = 4nsin9j. C1)
Очевидно, мы имеем здесь дело с переходом, данным в гл. II, стр. 77,
от невырожденной гипергеометрнческой функции к вырожденной, который
там был описан уравнением B1):
В-* со, х-*-О, Р*-»-р C2)
и соответственно в наших теперешних обозначениях
— яа-»-со, jc—►0, —n.^x-t-p. C2а)
Следовательно, по (II. 2.24)
^( — «1» —«а. 1. x)-+F( — n, 1, р) = 1я(р),
тде Д„<р)—функция Лагерра, которая уже была в уравнении D).
Чтобы переписать B6) в новых обозначениях, вынесем па из фигурных
скобок и, объединив,его с ktk9 в С,, получим nAJ; кроме торо, заметим,
что так как п^х-*■-<- р, то
\dF dL .,
Отсюда следует по B6) и C1):
&]• о», .-i«». C3)
Мы видим, что хотя электрон заторможен до полной остановки (v3 = О,
ftg = O), M все-таки существенно зависит от направления вылетающего
(с нулевой скоростью) электрона.
Для отдельных компонент из C3) получается:
C3а)
1ОД" (г 2sin9 — /M**•*•■•-*■»
\= -!^Г!} sin•!
Мя\ ь\ 1 sin p J
Эти последние формулы, которые, конечно, также непосредственно
следуют из B7) при предельном переходе, разъяснят нам в следующих
параграфах спорные вопросы интенсивности и поляризации рентгеновского
спектра у коротковолновой границы.
| 3. ИНТЕНСИВНОСТЬ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ В СПЛОШНОМ
РЕНТГЕНОВСКОМ СПЕКТРЕ
На стр. 433 мы наяетили произвести интегрирование по а, [3 при
фиксированных 0, «р, чтобы вычислить излучение от всех элементарных
процессов а, р в направлении 0, «р. Так как элементарные процессы представляют
- независимые один от другого акты, то, следовательно, их поля излучения

§ 31 интенсивность и поляризация в сплошном рентгеновском спектре 435
не когерентны, и мы должны суммировать вероятности J Ai |a. а не амплитуды
вероятности М; поэтому образуем:
Jd«|yMep и Jd«|yM,p, /<*«••• = JsinotdotJ d£... A)
о о
При этом заведомо множитель (о котором до сих пор не говорилось),
нормирующий собственную функцию и присоединенный к | М |9, не зависит
от а, |3, или, выражаясь иначе, вылет электрона по различным направлениям
а, р при равных телесных углах do» a priori равновероятен.
Мы начнем с коротковолновой границы v3 = 0, ч — чд и исследуем
отдельно оба направления поляризации по возрастающим 0 и <р (ср. стр. 433).
Заметим, что первый и второй виды поляризации означают соответственно,
что £ колеблется в плоскости, проходящей через направление падения
катодного луча и направление наблюдения, или в плоскости, перпендикулярной
к этой плоскости.
Согласно B.33), B.28) и B.30) получаем:
|Afd|9 = C9|—sinO(L — !') + [—sin 0 cos аН-cos ft sin a cos(«p—?))£'Р.
| — sin a sin 9 — pi/ p, С =
(la)
При интегрированиии по d» получаем, имея в виду, что Г cos (<? — ?) dp = 0,
J | Мь pd« = 2itC9 sin9 0 J sin a da | L — 2 sin9 J U
B)
j | Л!е p d« = icC9 J sin» a da | U |9.
Сравнение с B.33а) показывает, что
J |yMj»d« = sin9O J |yMJ9d« + cos90 J |уИя
C)
где Afn—компонента М, перпендикулярная к л, например Afy или Жа.
Можно было бы ожидать из элементарных соображений (прямолинейное
торможение по оси х; ср. стр. 422), что тормозное излучение обусловлено
только матричным элементом Ма и что Afn = O. Этому соответствовало бы
по C>
и, следовательно, одно состояние поляризации, как в случае герцевского
диполя. В действительности это не так, потому что М также зависит от
направления вылетающих (со скоростью нуль) электронов. Следовательно,
поляризация не может быть- полной.
28*

436 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Назовем степенью деполяризации величину
Г |Л*п|а*»
я=4 • <4>
Тогда имеем по C):
Обратимся к рассмотрению D. По D) и B.33а)
где
f
*
sinadall — 2sin9-|£'f\ Уа = f sin» a da 11'|». Eа)
Вычисление этого интеграла удается произвести, только разлагая его
в ряд по возрастающим степеням п, т. е. практически лишь для малых п.
Малые значения п означают по B.6) жесткое излучение, а именно (мы
используем второе приведенное там выражение для л):
Так как, с другой стороны, должно быть Эх < 1, чтобы был
справедлив наш нерелятивистский расчет, мы приходим к двойному неравенству,
удовлетворяющемуся лишь для легких атомов:
aZ<p1<l. F)
К счастью, оно в некоторой степени удовлетворяется для разбираемого
ниже случая А1, например, при pt^-j, V=30 кв п имеет значение 1/3,5.
Разложение L в степенной ряд для специального случая вырожденного
гипергеометрнческого ряда в -соответствии с уравнением B1) (стр. 104)
дабт:
следовательно, для р = 4л sin2 a/2 [уравнение B.31)]
1=1 —4n9sin9-s--j-4n8(n— 1) sin* -^ ...,
U = —/til — 2л (л— I)staay+-j«a(«— 1)(я — 2) sin*
Отсюда, ограничиваясь членами до л4:
— 8»9sin9|4.4rt9(l— 5rt9)sin«|-+

§ 3) ИНТЕНСИВНОСТЬ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ В СПЛОШНОМ РЕНТГЕНОВСКОМ СПЕКТРЕ 437
и после интегрирования
следовательно, по E)
G)
(8)
На рис. 30 нанесено D как функция |л|. Сплошная линия представляет
рассмотренное в § 8 [уравнение G)] приближение для больших |л|. Для
малых |л| поляризация почти полная; для больших |л| степень
деполяризации приближается к пределу, равному */*•
Обратимся к интенсивности излучения и сначала напишем ее по B) для
произвольного направления наблюдения 0, <р:
|С|9A +
(9)
или, принимая во внимание G),
(9а)
Мы заключаем отсюда: для жесткого излучения (малые |л|) отношение
интенсивности при продольном
направлении наблюдения @ = 0) к интенсивности
при поперечном направлении наблюдения
F = я/2) мало (порядка |л|*:1). Это
связано, повидимому, с только что
рассмотренной почти полной поляризацией
жесткого излучения и согласуется с
обычными представлениями прямолинейного
торможения (преобладание Мх над уИ„).
Это, однако, находится в противоречии
с впервые установленным Рентгеном
распределением интенсивности от массивного
антикатода. Противоречие разъясняется
следующим образом: мы рассматриваем
торможение на отдельном атоме или
практически на очень тонкой пленке,
а это нельзя непосредственно сравнивать
с действием массивного антикатода, в
котором электроны, проникнув внутрь него,
могут быть рассеяны по всем
направлениям.
В (9а) отсутствуют еще нормирующие множители, которые мы должны
теперь вычислить.
а) В матричном элементе B.7) надо добавить нормирующие множителя
Nt и Л/9 для собственных функций ^ и ^ я, следовательно, присоединить
N* и Nl к множителю, стоящему перед выражением для интенсивности. Ni
наглядным способом получим в в). Для определения N% обратимся к (II. 9.32)
Рнс 30. Деполяризация на
коротковолновой границе в заннснмостн от
жесткости излучения (возрастающая
жесткость соответствует убывающим
| я |). Пунктирные кривые
изображают: / — параболу I я |а/3, 2—
приближение уравнения (8),
3—приближение, получающееся при сохранении
членов с | я К.

438 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
<1Оа>
б) Эта нормировка (ср. добавление 8) относится к пространству
волновых насел. Такая нормировка отвечает тому, что единичному объёму в
пространстве волновых чисел Аа приписывают статистический вес единица,
а сферическому слою радиуса &2 и толщиной |<2Аа| статистический вес
При подсчете состояний «fo в A) отдельные состояния, обозначенные
через Л9, а, р, имели вес da> = sin а dot d|3, следовательно, вес всего
сферического слоя равен 4тг. По сравнению с (КОД в этом выражении не хватает
множителя
Перейдем от введенного здесь пространства волновых чисел к
пространству частот излучения. По B.2) при фиксированном kt
Adv = ^fta|dAa|, следовательно, *f |d*a| = Bic)9*2^-dv. A0б3)
Перемножая (КОД и (Юбд) и принимая во внимание (МОД и |ла|&2 =
= Z/a, получаем:
Wjft5dAa = ~dv. (КОД
Это и есть множитель, добавляемый благодаря нормировке конечного
состояния к нашему выражению (9а).
в) С другой стороны, целесообразно пронормировать начальное состояние
так, чтобы на больших расстояниях от ядра плотность потока
соответствовала единице. Тогда на каждый электрон приходится объём с единичным
поперечным сечением и протяженностью по оси х vt = ^-. Величина,
обратная величине этого объёма, есть
2я fit ..Л .
Txh- <1Obi>
Так как плоской волне ««V) отвечает плотность, равная одному
электрону на единичный объём, то, для того чтобы пронормировать на единичный
поток, мы должны умножить е<(*'г) на (IObj).
Кроме этого появляется ещё второй множитель. Квадрат модуля |<J»i|a
нашей волновой функции, определенной в B.4), отличается на бесконечности
рт квадрата модуля (равного единице) волновой функции, имеющей вид
плоской волны txpi(kr) no (II. 9.32), множителем
На этот множитель мы должны разделить I^J3, чтобы асимптотическое
поведение нашего начального состояния было бы таким же, как поведение
состояния, представленного плоской волной. Соответственно этому мы
должны (IObj) также разделить на (Ювз), чтобы пронормировать наше начальное
состояние на единичную плотность потока. По сказанному мы должны
принять:
. 2к ж 2я I п. | т Z k7*

§ 31 интенсивность и поляризация в сплошном рентгеновском спектре 439
г) Наконец, добавим еще фотонный множитель, а именно [ср.
примечание на стр. 53, уравнение A)]:
прячем в отношении множителя 2 при да* отсылаем к уравнениям F), Fа)
на стр. 54, 55. Подставляя ш из B.2) (с« = 2«v, 62 = 0), получаем вместо
Произведение добавленных множителей A0б4), (Ювз) (если опять вместо
пх писать л) равно
a/Z\a k\ch
-
Умножая это выражение на (9а) и подставляя С из Aа), получаем:
_. A2)
/, — интенсивность частоты v на интервал йч рентгеновского спектра на
его коротковолновой границе. Фигурные скобки имеют то же самое
значение, что и в (9а), и при малом \п\ и поперечном наблюдении (в = -£)
равны единице. Из A2) видно, что интенсивность спектра на
коротковолновой границе имеет значение, отличное от нуля. Она падает скачком от
конечного значения до нуля. Производная этого выражения как раз и является
точным значением нашего матричного элемента. Для получения дальнейших
результатов также будут сделаны приближенные расчеты (ср. § 7).
Обратимся теперь к общему рассмотрению сплошного спектра и
положим- &2 не равным нулю. Тогда представление B.33а) для Ма, Мп примет
вид B.27). В результате этого определение Eа) интегралов Jv У9 изменится
Следующим образом:
A3)
-*>/"!
"!•
После этого общие формулы E) и (9) для поляризации и интенсивности
остаются справедливыми.
При вычислении A3) возьмем. |/4|<dl и первое грубое приближение
f = l, /?/ = 0. A3а)
Расчет для | Ад | ^> 1 (вблизи коротковолновой границы х <С! 1)
основывается на обычном выражении F [см., например, уравнение (II. 2.20)]. Для
других значений /ц, особенно для значений, близких к длинноволновой
границе /ц — /ц, можно использовать трансформированный F-ряя, который
сходится для всех встречающихся в рассмотрении значений х и стремится
к единице при /ц-^О.
Преобразуем интегралы по а, сделав замену:
£V A3б)

440
СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР
[ГЛ; УП
Таким образом, имеем:
A J A-*)-Г n%-nj
A3в)
Вычисление становится элементарным после замены переменных^ = 1 —х.
Затем, переходя обратно от «j, вд к kv ка, получаем окончательный
результат:
, _ /Zy (kt — k^* ,tf — tf kt + fc.2
A4)
Отсюда следует, что степень деполяризации согласно E) равна
A6)
В предельном случае ka-*0, ч = чд получается, если логарифмы в
числителе и знаменателе разложить по степеням kjkv D = 0 [как это и
должно быть по (8) при достаточно малых J п^ |]. Вблизи коротковолновой
границы D медленно возрастает в сторону длинных волн (ср. рис. 31) и
соответственно поляризация уменьшается; наоборот, D резко уменьшается (ср.
рис. 32) вблизи длинноволновой границы.
Пунктирная линия на рис. 31 показывает спектральный ход D для очень
мягкого излучения в соответствии с уравнением (8.7а).
В том же грубом приближении рассчитаем теперь спектральное
распределение интенсивности. При поперечном наблюдении (Mb = Mw, Mf = Mr^,
согласно (9), оно будет определяться выражением
A6)
со значением С из B.26а). Сюда надо еще присоединить множители, назван:*
ные в пунктах а)—г), но с изменениями, так как к^фО, а именно:
вместо A0aj) N\-
вместо A06J
вместо (Югз)
\Ч\
вместо
A6а)

§ 3] ИНТЕНСИВНОСТЬ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ В СПЛОШНОМ РЕНТГЕНОВСКОМ СПЕКТРЕ 441
Перемножая это последнее выражение с A6) и подставляя выражение A4),
получаем:
где А имеет то же самое значение, что и в A2). Рис. 32 изображает /,
в зависимости от ч. Ход кривой почти горизонтальный, если отвлечься от
самых малых v (очень мягкая часть спектра, которая практически не
интересна из-за поглощения в стенках трубки). На рис. 32 из полной интенсив-
ности /, выделены штриховкой части Jx и х/аЛ* Эта" ещ6 Раз поясняется
происхождение поляризации. Доля излучения, поляризованная параллельно-
направлению падения, происходит от Jx, деполяризация — от /9. Последняя
Q42
Рис. 31. Ход деполяризации и сплошном
спектре. Слева—коротковолновая, справа—
длинноволновая границы. Сплошная кри-
иая соответствует жесткому падающему
излучению с I «i|=l/e« пунктирная кри-
иая — предельный случай очень мягкого
излучения.
Рис. 32. Интенсивность и
сплошном спектре, разделенная и*
свои поляризованные составные
части, при большой жесткости
падающих катодных лучей.
Пунктирные кривые дают поправку
дли промежуточной жёсткости,
иаприжеиие 30 кв.
возрастает с удалением от коротковолновой границы. Точка, где
интенсивности становятся равными, отмечена на рисунке стрелкой. В этой точке D= lr
следовательно, по уравнению A9) Я = 0. При дальнейшем приближении-
к длинноволновой границе Р стало бы отрицательным, следовательно,
поляризация становится перпендикулярной к направлению падения.
Эти кривые справедливы прежде всего лишь для | nt | <^С 1. Для иягкаго-
излучения добавляется поправочный множитель, при учете которого для-
\п1\ = 1/3 получается кривая, изображенная на рисунке пунктирной линией.
В работе Эльверта, цитированной на стр. 429, этот поправочный множитель-
найден для длинноволновой границы с помощью пересчета ЛН~Л по методу
§ 5. Для нашего грубого приближения A4) этот поправочный множитель
равен
и в данном приближении его можно включить по отдельности в Jx и
Разложение этого множителя дает:
A8а>

442 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
С другой стороны, наши строгие формулы G) в случае коротковолновой
границы для Ji~\-J% дают:
( ) 086)
где скобки почти точно совпадают с A8а). Поэтому мы имеем право
использовать этот множитель для всего спектра, и отдельно для Jv У2 и поэтому
для не очень жесткого излучения мы должны исправить, как было указано,
кривые на рис. 32.
Почти горизонтальный ход интенсивности и ев крутое падение на
коротковолновой границе качественно подтверждаются наблюдениями (см. работы,
.цитированные на стр. 421). Бесконечное возрастание на длинноволновой
границе дало повод к интересным, хотя и не имеющим практического зна-
чения исследованиям *), на которые здесь мы можем только
сослаться.
' V~~—•Мы должны еще коротко остановиться на экспери-
1
ментальных доказательствах поляризации излучения.
С
р у
. Связь степени поляризации Р и деполяризации D
12 & л/Лд такая же, как и в обычной оптике:
■Рис 33. Поляриза- Р= i_i_ г>« 09)
ция Р в шкале К '
Результаты на- Так как при переходе от очень жестких лучей к лучам
■блюдеиий Кулен- средней жесткости, согласно сказанному выше, поправоч-
кампфа отмечены ный множитель не оказывает существенного влияния на D,
а поэтому также и на Р, мы можем получить
графическое изображение для Р простой перестройкой кривых рис. 31. Полученная
таким образом зависимость Р от длины волн дана на рис. 33 для
окрестности коротковолновой границы. Здесь приведено также сравнение с опытами
Куленкампфа 9), выполненными с тонкой фольгой А1 и напряжением 30 кв.
Точки, полученные, на опыте, лежат заметно ниже теоретической кривой.
Причина этого отклонения еще не ясна. Поляризационные измерения а) также
«е дают полного согласия с теорией.
| 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ
ПРИ ТОРМОЖЕНИИ
В то время как в предыдущих параграфах мы вычисляли полную
вероятность излучения фотонов, интегрируя дифференциальную вероятность по всем
углам а, р\ теперь мы рассчитаем полную вероятность излучения
электронов, интегрируя ту же самую дифференциальную вероятность по всем углам
<Ф, f. Образуем при фиксированных а, р:
5 = JQMb |a +1М913) d**,. <*»«, — «in » db df. A)
Выражая S как функцию a, j*, получаем.распределение заторможенных
электронов по направлениям. Согласно B.30а) имеем [ср. также B.27)]:
Aff /AfJ+AIJelntt —Р).
+ AfJ cos»cos(9 — p), \
)
1) F. В loch a. A.Nordsiek, Phys.Rev. 52,54 A937); A. Nordeiek, тамжё 52,
59 A937); W. Pauii a. M. Plerz, Nuovo Cimento,.март 1938r 187 (АШ dee. Oal-
vani-Congresses).
i) H. Kulenkarapff, Phys. Zs. 80, 514 A929),
») P. S. Piston. Phyfc Rev/4,'273 A936),

§ 4] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ 443
Отсюда следует:
; —?)+sina(«p —p)+... Ba)
Невыписанный явно член содержит множитель cos(<p — C) и поэтому
пропадает при интегрировании в A). Из Bа) теперь прямо вытекает:
l. C)
Следовательно, S зависит по существу лишь от суммы квадратов
матричных элементов:
". D)
Если ограничиться жестким излучением и использовать C.13а), из B.27)
следует:
1
Р ф E)
Здесь числитель отличается от знаменателя множителем 1 — х. Действительно,
в силу C.13)
1 y_l
Поэтому вместо E) можно написать, если одновременно перейти от л1, л,
**'(б)
_2*^cos
Изобразим это уравнение на полярной диаграмме, рассматривая величину
Afа/| С |а | ях — nj|a как радиус-вектор, соответствующий углу а. При этом
получается эллипс. Сравним его с
известным уравнением эллипса в полярных коор- е=о
динатах:
1 1 —tcosa .- .
7= аA-«») • Fа)
Из F) и Fа) получается, что
эксцентриситет, большая и малая оси соответственно
равны
. , ._ Рис. 34. Угловое распределение
f3 гл ' "—*• \'' вылетающих электронов при за»
i * данном уменьшении скорости Aj/^
•
При 1^/^ = 0 получаем окружность (коротковолновая граница тормозного
спектра), при k^k^ -*■ 1 -эллипс вырождается в прямую, при k^kt = */a
получается эллипс в = 4/б-
Эти три случая приведены на рис. 34. На последнем дано угловое
распределение излученных электронов при определенном k^kt (определенное
уменьшение скорости). Фиксируя угол а и варьируя отношение k^kt,
получаем для каждого а спектр скоростей электронов. Повидимому, не
исключено, что этот спектр можно будет наблюдать с помощью магнитного
отклонения и подходящего счетчика.
Когда интегрируют по спектру, т. е. интересуются полным числом
электронов, испущенных в данном направлении, то наталкиваются на трудность.

444 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УЯ
вызываемую расходимостью, которая возникает на длинноволновой границе
^3 = ^ и, следовательно, отвечает бесконечно мало заторможенным
электронах. Этим вопросом занимались в работах, цитированных на стр. 442.
Чтобы привести кривые рис. 34 к абсолютным мерам, надо учесть еще
множитель | С |а | п$ — пц* в уравнении F), а также нормировочный
множитель из C.11) или C.16а).
Вопросы, изложенные в этих параграфах, полностью разработаны в
диссертации Шерцера, цитированной на стр. 425. Приближенная формула F)
впервые выведена Моттом *).
| 5. ПОЛНАЯ ПОТЕРЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Расчет излучения для данного направления ft, <р, сделанный в § 3, был
произведен лишь благодаря более или менее грубым приближениям. Мы хотим
теперь'показать, что существует некоторая величина, которая может быть
вычислена без пренебрежений и которая имеет очень простой физический
смысл. Назовем эту величину «полной потерей излучения» и определим
ев следующим образом.
В § 3 мы рассмотрели величину
и в § 4
Теперь рассмотрим величину .
w=/ / <**»+мг> do>«? а°*=!jd°*-J"
Она представляет с точностью до множителя потерю энергии
посредством излучения, которую испытывает падающий электрон при всех
возможных актах торможения, происходящих с заданным уменьшением скорости
vl->vi, но с любыми углами вылета а, {3.
Подставляя в последний член A) выражение D.3), получим:
8" I «a j.. I • «" • ■ »■ ■•-•!- .~\
Мы возвращаемся к уравнению C.16), в котором, как мы знаем, Ух происходит
от l^el^y^a —от | Л1Л |а. следовательно, от |Л1„|а или |Л1»|а. Вместо
этого теперь дело идет о |Му|9 и |М(|а. Следовательно, для вычисления
интеграла B) мы должны лишь в C.16) заменить -=■ Уа через Уа. Благодаря
атому получаем:
J"iW>AD.fl = 2*|C|a(y1+ya). C)
Здесь, согласно C.13),
— x) /=" р}. D)
1) N. F. Mott, Proa Cambr. Phii. Soc. 27. 255 A931); ср. также Мотт и Мессн,
Теория атомных столкновений.

§ 5] ПОЛНАЯ ПОТЕРЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 445
Обозначив
F* = O. i.r=r*O', E)
легко получаем:
I («9—Ч cos в) F+A — со» а) A — х) F' |» =
*=aFO + b(FO' — OF')-\-cF'O't Fa)
sin» a | njf+A — x) F* I» — ofO+bt (FQ'—OF')+cJ"Q'. F6)
Здесь введены обозначения:
c = — (^—/ijcosa)9, Ojss — slnea»J,
—ntcosa)(l— ж), *1 =
Отсюда, пересчитывая все на угол 4, получаем:
= —(«9—«i)a —4
ftx = 2 (Я]1+nj sin» |-A — x),
■ли, переходя к х с помощью C.136):
Сумма Fа) и F6) записывается теперь в виде:
^\\-x)[nllhFQ +Zi±!!*.x(FO'-OF')+xil-x)F'O'}. G)
При подстановке в D) получим, предварительно выразив sin a da через dxr.
j (8)
Интегрирование производится от х = 0 до
Правую часть выражения (8) можно вычислить с помощью
дифференциальных уравнений для функций F и О.
Согласно гл. II уравнение B.18), называемое дифференциальным
уравнением гипергеометрической функции, в общем виде записывается:

446 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УИ
Это дает в нашем случае (в = — nv р = — п^, т=1):
0 (9а)
я для О(а =-\-nv p= +я9, т=1):
х(\— x)Q"-\-\\ — (i+nt-f Я2)ж]0' — я1п9О = 0. (96)
Умножив (9а) на О, (96) на f и сложив их, затем получим:
х A — х) (F<T+OF")+A — х) (FCT + OF') — (п^+п^х (FQ' — OF')—
— 2n1n,FO = 0. A0)
Поэтому напишем:
x (FO* + OF")+FQ'+OF' = (nt+n^^F0'—OF')+2n1nil^L. A0a)
С другой стороны, справедливо очевидное тождество:
) — ixF'Q'. A06)
Из сравнения правых частей A0а, 6) теперь следует:
Если проинтегрируем это выражение от 0 до х0, то слева получим
выражение в фигурных скобках из уравнения (8). Справа получается:
Подстановка в (8) поэтому дает:
Если произведение ntn3 в F считать малой величиной и перейти от дх>
Па к kv kv то это выражение полностью совпадает с суммой обоих
выражений C.14); тем самым проверяется наш прежний приближенный расчет.
Одновременно с Л+Л замкнутой формулой, согласно B) и C),
изображается и потеря излучения W. Если еще присоединить нормировочные
множители1) из уравнения C.16а), то эта формула примет вид:
W=£ Ш" (Ц* * ^ ± I F(xn) P. A2)
Это уравнение с точки зрения метода матричных элементов является
строга правильным для всего спектра и для всех энергий падающих и
вылетающих электронов. Его простота и общность, повидимому, связаны с
простым физическим смыслом W как полной потери излучения в
противоположность сложным формулам, которые мы вынуждены были вывести
приближенно в § 3 для интенсивности излучения J в произвольном направлении
наблюдения 5, <р.
| в. ЗАПАЗДЫВАНИЕ И ОПЕРЕЖЕНИЕ
Для жесткого излучения второй степенью приближения по сравнению
с методом матричных элементов является метод вектор-потенциала (гл. I,
§ 8). Поле излучения рассчитывается по этому методу с помощью инте-
1) Множитель г* в знаменателе C.16а) опускается, так как мы определили и A)
W как излучение через сферу радиуса г = L

§ 6] ЗАПАЗДЫВАНИЕ И ОПЕРЕЖЕНИЕ 447
грала из уравнения B1) на стр. 59, в котором опущены некоторые
множители:
jd-z. A)
Здесь, как в B.2), волновое число излучения равно
2л 2irv ft .»
j—вектор плотности тока при переходе из состоянии 1 (падающий
электрон с волновым числом kt) в состояние 2 (электрон, вылетающий в
направлении ot, p с волновым числом &а). Согласно уравнению A5) на стр. 49 /
дабтся выражением 1)
Таким образом, в A) речь идет о вычислении двух интегралов:
I = j <£ grad ^e-*»(«») dx,
11= j ^ grad Cfe-ix <"»> dx,
C)
или, скорее, о тех частях 1^, IIj_ этих векторных величин, которые
перпендикулярны к направлению наблюдения. Для этих величин справедливы
соотношения
«1 = —1±. (I — ")± - 21±. (За)
Это следует из интегрирования по частям (при исчезновении
поверхностного интеграла по бесконечно удаленной поверхности):
il = — J" <£ grad [^е-**("»> dx = — J<£ grad ^e-*»("*>dx+hn
Второе слагаемое справа имеет направление я и, следовательно, отпадает при.
образовании компонент, имеющихся в виду в (За). Поэтому последнее
уравнение идентично с первым уравнением (За). Второе уравнение (За) являете»
арифметическим следствием первого.
Благодаря обоим уравнениям (За) можем вместо A) написать:
= J Ф5
где, как и выше, опущены множители, которые нас здесь не интересуют.
Конечно, под символом grad опять надо понимать grad^. Сравнивая с этим
уравнением уравнение B.206) для матричного элемента М, заметим, что-
интеграл в D) — тот же самый, что и в B.206), и отличается лишь
множителем £-<*(<■»> (запаздывание).
Мы хотим, так же как в § 2 этой главы, вынести градиент за знак
интеграла. Для этого перейдем от градиента по радиус-вектору к градиенту
по волновому числу kv и используем преобразование3) B.20г):
grad фх = ik^i — Ц е< *rt grad^L», (pt).
1) В указанном уравнении мы опустили временибй множитель [так же как в
уравнении A)] и член с А, так как наше центральное поле состоит лишь из кулонов-
ского потенциала V = Ze8//*.
2) Напоминаем о принятом там условии, что дифференцирование по k^ не должно
распространяться на nv а только на случай явной зависимости or kj.

448 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УИ
При подстановке- в D) от второго члена в правой части E), если
одновременно подставить для <£ B.5), получаем:
-. F)
Здесь множитель 1п,(рз)> не зависящий от kv уже находится под знаком
градиента. Чтобы можно было окончательно вынести градиент за знак
интеграла, введем в экспоненту величину q [несколько изменяя определение B.21а)]:
q = b1 — *a —хя, (ба)
которая при дифференцировании по kt должна рассматриваться как
постоянная. Тогда вместо F) можем написать:
Ei = — k1gr&AhtX. F6)
Введенное здесь выражение X, за исключением смысла q, подобно B.8а),
л именно:
Х= j е* («-U», (pt) !„, (р^ Ц. Fв)
Но у нас еще остался первый член правой части E), который при
подстановке в D) дает:
J G)
Этот интеграл исчезает при х = 0 вследствие ортогональности ^ и <|^>
поэтому его не было в расчете в § 2. Конечно, от вектора кх в G), так же
«сак от градиента в F6), берут лишь часть, перпендикулярную к п.
Чтобы вычислить Ev введем в Fв) бесконечно малый параметр в и
определим величину
J^. Ga)
Тогда, очевидно, имеем:
*-*(£)._• Gб)
В качестве представления Z мы можем использовать уравнение B.9) для X,
если заменим в нем определение B.10) для Ко через
оставляя определение для Kt неизменным. Вследствие этого, если пренебречь
членом с в9, который все равно исчезает после дифференцирования при в = 0,
вместо B.12а) получаются выражения:
U = 2 (qkj+ 2в^ — 2 {*t*a+(*i*a)} «.
Uv0 = + 2 {(qk.J — вАа) и — q*.
Оба последних выражения отличаются от B.12а) только заменой
на
иа («г*>•* )
вследствие этого также изменятся выражения B.15) и A2.16а) для и.а, о,
ц у. Окончательно получаем для X такое же представление, как для" X

§ 6] ВЛПЛЗДЫВЛНИВ И ОПЕРЕЖЕНИЕ 449
в B.19), а именно:
Z = BF{—nv — я9, 1, у) (9)
с измененными по сравнению с B.19а) и B.16а) выражениями для В и у.
Мы можем использовать эти же выражения для В я у также для
вычисления X в F6), так как для е = 0 они переходят в имеющиеся там в виду
выражения для В я у B.19а) и B.16а). После этого введем еще
дифференциальное выражение
с помощью которого можно объединить /?! и £3 в
E = Ea+E1 = — k1Grid{BF(y)), A0а)
при условии, что после выполнения операции градиента подставим
в = 0, q = k1 — k.2 — *n. A06)
Дифференцирование в A0а) дает по образцу B.23) выражение
Grad [BF (у)) = AF (х) Gr&d\n В-\-AF'(x)xGiad In у. A1)
Здесь под А я х подразумеваются те значения, которые получатся из (9а, б),
если подставить в них в и q из A06).
Прежде всего рассмотрим входящий в A1) множитель Grad In Б.
Согласно (9а) и A0) для е-»-0 получаем:
Во втором члене используем соотношение я2Ла = я1£1, а в числитель первого
члена подставим
(последнее получается при условии, что в A0а) и поэтому также в A1)
окончательно мы сохраняем только компоненты, перпендикулярные к я).
Вследствие этого (Па) превращается в
(Пб)
Для облегчения сравнения с прежними формулами подставим сюда
выражения:
г . . . <11в>
= k\ — i
Теперь видно, что A16), как и должно быть, при х = 0 переходит в B.236).
Выражения (Ив) еще упрощаются, если пренебречь xs, что является
последовательным шагом при нашем нерелятивистском расчете. Подставляя х
29 Зак. 968. А. Зогаерфеа*

450 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
из Aа), получим:
— а . =- .- — ,cos . ^^
ев). \
Я* Н- 2 (qkj = (k\—f& A — pi cos »)
Здесь применены обозначения pt = «!/<:, $a = v9/c, ft = -4f.(t»1, я), в=»
= ^f. («а, »). Очевидно,
cos в = cos в cos a -f- sin в sin в cos (<p — р). A1д>
Отметим еще в качестве следствия A06) (х9 пренебрегаем):
q2 = kl-\-kl — 2fti*2cosa— (k\ — *a)(?icos» — р2со*в). (lie)
Из подстановки (Иг) и A16) следует формула
GradlnB= 92ni „(,—г1—5 —т—.*" А A2)
Для полноты надо еще вычислить имеющуюся в A1) величину Grading.
Мы указываем сразу же результат:
GradIn v — 2к* Г *' *»
Подставляя теперь A2) и A3) в A1), получим с помощью A0а) общее
представление для поля излучения.
Но мы хотим ограничиться здесь достаточно жестким падающим
излучением и соответственно этому положим, как в C.13а), /г=1, /г/ = 0.
Тогда получается из A0а) и A2) выражение
E=~~%=%A(l-h«*»~ 1-Mose)- (U>
Разложим £ на £| и Еч по направлениям возрастающих D Rip. Получим1,
следовательно, согласно уравнениям B.28) и B.29):
= [— sin & cos a -f-cos & sin a cos (? — p)] *a,
(g^ = — sin e sin
Отсюда
.fAi sin Ь sin в cos a — cos в sin a cos (y — f) "|
•*F^ № 1-Picos» 1-Mose J*
Так как, согласно (9a), nx и л9 — чисто мнимые величины, то
и потому, принимая во внимание (Ив) и пренебрегая более высокими
степенями от рх и р9, получаем:
М|а_ 16**v

§ 6] ЗАПАЗДЫВАНИЕ И ОПЕРЕЖЕНИЕ 4{Н
Дальнейшие вычисления особенно просты для коротковолновой границы
*4 = 0, Р3 = 0. Первое уравнение A4а) тогда дает:
|Е,|3 = 0. A6)
Это значит, что излучение полностью поляризовано по направлению
возрастающих » в согласии с выводами, сделанными для нашего граничного
случая нз C.15). Второе уравнение A4а) легко дает:
Следовательно, излучение для этого граничного случая в пределах точности
нашего приближения не будет зависеть от углов a, (J вылета электрона,
так что мы имеем:
Поэтому выражение A7) также пропорционально интенсивности J,
отнесенной к интервалу частот йч. Мы приходим, таким образом, к
замечательному факту, что для смещения распределения фотонов при жестком первичной
катодном излучении справедлив формально тот же самый закон, как и ддя
фотоэлектронов при жестком первичном рентгеновском излучении |сы.
уравнение (VI. 1.4) с 9 = 01, так что в отношении графического изображения
теперешней (У, 0)-зависимости можно непосредственно сослаться на прежний
рис. 26.
Положение максимума излучения исследуем особо.
Из соотношения
й sin"»
rfft A — 6,cos»)«
= 0
СОЗ&
оз as
получается непосредственно ^
Рис. 35. Смещение
cesft oq __!!Ei*_ (\«\ максимума для корот-
cost> — £h 1-6 cos»' AS) коволновой границы
как функция р, = Vyje,
В нулевом приближении (без запаздывания, § 3) макси- сопоставленная с на-
т блюдениями Кулен-
мум лежал при 0 = -к-, как в случае чистого диполь- кампфа, обозначен-
иымн кружками,
ного излучения. Подставим это нулевое приближение
в правую часть A8), при этом в качестве первого приближения получается:
2?!. A8а)
Мы имеем смещение максимума, которое растет со скоростью падающих
катодных лучей. С другой стороны, подставив это первое приближение
в правую часть A8), получим (хотя мы выходим при этом за пределы
точности нашего расчёта) в качестве второго приближения при разложении
по ра:
со8в = 2?,A-2?р. A86)
Наше второе приближение начерчено на рис. 35. Кружками обозначены
наблюдения, которые были сделаны при различных напряжениях вблизи
коротковолновой границы спектра. Они подтверждены наблюдениями Бона')
на тонких фольгах.
1) К. В о h m, Phys. Zs. 38, 334 A937). Dissertation Jena, An*, d. Phys. 88, 315
A938). Он подтвердил уже замеченный Куленкампфом тот факт, что опережение
29»

452 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР |ГЛ. УП
С другой стороны, полученный в уравнении A8) факт, что смещение
не зависит от материала антикатода, подтвержден Детерманном *)
(бомбардировался полусферический антикатод из Be, С, А1). На основании этого
ясно, что опережение является кинематическим явлением, обусловленным
запаздыванием. Это снова отражается в очень простой форме основного
уравнения A8), а также в том отношении, что смещение смогли объяснить
в основном правильно уже с помощью классической физики задолго до
возникновения волновой механики (ср. стр. 421).
f 7. ОЧЕНЬ ЖЁСТКИЕ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
ПО ТЕОРИИ ДИРАКА
Представим дираковские собственные функции как начального, так и
конечного состояния в виде разложений по степеням aZ (как в гл. V, § 8)
и сохраним лишь первый поправочный член с aZ. Если одновременно
скорости как падающего, так и вылетающего электрона очень велики, то по
уравнению (V.8.22) n будет порядка aZ, так что будет логично пренебречь
более высокими степенями nt (начальное состояние) и я.3 (конечное
состояние). Мы становимся, тем самым, на точку зрения борновского приближения,
но не хотим придерживаться, как в работах Заутера, Бете н Гайтлера,
Шерцера, Бруннера, общей теории этого приближения, а лучше
воспользуемся точными формулами из гл. V, § 8. Этим мы несколько сократим
процесс приведения величин ?, но зато придётся взять несколько простых
интегралов, которые в собственно борновском приближении можно вычислить
с помощью разложения Фурье.
Соответственно этому опишем начальное состояние (падающий электрон)
уравнением (V.8.24a):
и сопояжбнное конечное состояние (заторможенный электрон)
уравнением (V.8.26a), приняв во внимание замену (VI.4.2а):
,\
\ B)
где 1\ и Га — зависящие от f составляющие двух решений для уравнения
Дирака без силового поля, принадлежащих Jfej и кш.
Для сокращения записи полагаем:
D)
иа некотором расстоявии от коротковолновой границы ещё больше, чем на самой
границе. Это получается также при волновомеханическом расчете и уже было
указано в работе автора (примечание иа стр. 424), рис 11.
!) Н, Determann, Ann. d. Phys. 30, 481 A937). Dissertation Danzig.

§ 71 ОЧЕНЬ ЖЁСТКИЕ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 453
Величины Ь, как мы знаем, представляют собой поправочные члены
порядка aZ, так что их произведением можно пренебречь.
А. Выражения для тока и излучения. Образуем теперь
выражения для дираковского тока с учетом запаздывания
E)
и сопряженное ему выражение
y Ea)
где Го—обычный самосопряженный и нормированный на 1 делитель нуля,
как на стр. 212. Множитель 1с в правой стороне E) и Eа) соответствует
множителю в уравнении (IV.3.14); множитель е показывает, что дело идет
далее об электрическом токе [а не о токе частиц, как в (IV.3.14)]; х
обозначает волновое число излучения.
х = х», п — направление излучения; \
х=-2^- = ^=А (ср. также F.1а)]. | F)
При подстановке C) в E) и интегрировании по пространству появляются
интегралы:
f
— *з — х,
G)
Два последних интеграла можно записать, согласно D), следующим
образом:
при условии, что К при дифференцировании в (8) рассматривается как
постоянная.
Интеграл X уже появлялся в B.8а) и был вычислен в B.19), B.19а).
Мы возьмем q = K и пренебрежем п^, следовательно, положим F=l.
Поэтому получим:
При дифференцировании по kv k.2 появляются множители пх, л,,
следовательно, получающиеся выражения будут перзого порядка малости по nlt л,,
поэтому в множителях, стоящих при nv п.2, положим «л = я, = 0.
Получаем, таким образом, из (8) и (9а):
г 4rcptnt К j 4itpa4a К
1~~ К» К2 — 2(A»i)' 9 К*
Также и интеграл J в G) можно свести к определенному в F.7а) интегралу Z.
а именно:
--<(£)...•

464 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УД
Поэтому, взяв выражения из F.9) и F.9а) (F опять полагаем равным
единице, q равным К), получаем:
. 8*
К
Знаменатели выражений A0) и A1) упрощаются, если воспользоваться
законом сохранения энергии для электрона 1 и 2, а именно:
jVftf,2 = E?,2- El (Па)
и уравнением F) для фотона. Отсюда легко получаем, согласно
определению G), для К:
f« — 2(АЪ)) = -2й™2 «2 = Еа — ЪсЦф) 1
Имеем, кроме того, по смыслу nv n.2:
Наконец, введя еще вместо АГ импульс, передаваемый ядру в процессе
торможения:
Р = ЪК, A3а)
вместо A0) и A1) можем просто написать:
где
В заключение отметим еще, что из A4) следует:
А = — Ju /2 = — J2, f = J. A46)
Если мы хотим теперь из выражения E) для потока рассчитать поле
излучения, то оно зависит от части J, перпендикулярной к направлению
.наблюдения л, которая ранее была обозначена через j\. Мы полагаем
j± = (js), понимая под s единичный вектор, перпендикулярный к л, и
образуем по C), D), E):
Го (/s) —
= ШТ2 [оа + т, (ТбоI (Т*) [*i + Ti (T*i)l «* ™TV A5)
Полезно величину (ys) в A5) переставить с множителем, стоящим позади
нее.. Для этого вспомним формулы
A5а)
Тогда получаем из A5):
Го Us) - teeft [аз + т* (ТМ I«i + Т« (T*i)l (T*)«' (Хг)Г1 —
f Ti(M)«llJrr)ri. A56)

§ 7] ОЧЕНЬ ЖЙСТКИВ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 456
Отсюда следует после интегрирования по пространству, если пренебрежем
членом с (aZ)h
Гоf(Js)dx = lceTt {У+ъ(Т, У, + /,)} (Ts)Гх-2lceV%^(Jta)I\. A6)
Сопряженное выражение, принимая во внимание A46), равно
Toj(fa)dx = lcef1(ya){J-\-(y, ЛН-У,)-^ — г/сеГ^У^Га. A6а)
Перемножая A6а) и A6), получаем (вспомним о нормировке г£ = Го):
{III} Г1 + 4(У1*)'Г1 {IV} Г,, A7)
где
{ II}
{III) = т^аГ8 {У+ tt (T, yt + /a)} (Ts),
Б. Суммирование по обоим направлениям спина
вылетающего электрона. Мы намерены в A7) (а следовательно, также ■
в выражениях {1} ... {IV}) провести суммирование по обоим направлениям
спина вылетающего электрона, которые входят в Г8, Г2. Оказывается, как
мы несколько позже покажем, что
^ A8)
Отсюда сразу следует:
2£82 {IV} = 1Ьс(ук£-\-ъЕ2 + Е0. A9)
Затем выполним умножение в {III) и составим:
2£а2 {Ш} = {*V+£8T4(T. Л+^+еоЪ-Ч-
). B0)
Из A8) видно, что выражение 2ГаГа является самосопряженным. Из этого
и из A46) следует, что {II} сопряжено с {III}. Напишем на основании этого
из B0) следующее выражение для {II}:
{И}
+ £0(Т. A + JJ-lbcJi-fkJ^+tbcif, Л + Уа)^*»)}- B0*)
Сумма обоих выражений B0) и B0а) дает вследствие A5а):
- B0

456 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VI»
Наконец, выполним умножение в 2{0:
2£8 2 {1} = - 1Ъс (Т*з) [J*+(У,
+ 2lbcJ(k.2, Jt + Уа)} + Ео [Л + (Л + У^]. B2)
Три выражения A9), B1), B2) стали теперь линейны относительно ? и будут
свободны от т [с точностью до общего нормировочного множителя Го,
который, однако, в следующих выражениях B3) — B8) мы будем опускать], если
мы их [ср. с A7)] помножим справа и слева на Тк ... 1\ или Г4(т*) ... (Y«)IV
Из теории релятивистского фотоэффекта нам известны три соотношения
[уравнение C4) на стр. 416], которые в наших теперешних обозначениях
записываются следующим образом:
= =#£-*i- B»)
Отсюда легко выводим дальнейшие три соотношения:
%' * ' B3а)
Из B3) вытекает вследствие A9), что 2 {IV} дает следующий вклад
в правую часть A7):
а вклад от 2 {4}+2 {HI}, согласно B1), есть
} B5)
Наконец, из B3а) и B2) в качестве вклада от 2 {1} получаем:
^ - 2 (М) (МИ +
— ^fa [У2 — (У, + УаJ] + Е2. [У2 + (J, + УаJ] -
— 2fiV»(fta, Л+/,)[(*!, Л+Уа) — 2(*1в)(а, Л + Уа)]}. B6)
Три вышеуказанных выражения, как видно, не зависят от специального выбора
спинового оператора 1\. Это получилось потому, что приведенные зыраже-
иия A9), B1), B2) были линейны по ?. Физически это означает следующее:
если совместно рассматривать оба возможных спиновых состояния
заторможенного электрона (соответствует суммированию в уравнении A8)], то
процессы торможения и его излучения больше не зависят от спинового состояния
падающего электрона.
Объединим выражения B4), B5), B6) и обозначим через Qt члены с
множителем У9, через Q9 — члены с множителями УУХ ■ УУв и через Q, — осталь-

§ 7) ОЧЕНЬ ЖВСТКИВ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИИ ПО ТВОРИИ ДИРАКА 457
ные члены с множителями А, £, ЛЛ* Мы получаем:
= -щё; lbcJ №& — Ei*9« А+Л)+2^1 (V) ОМ)—2£2 (М
В. Суммирование по обоим направлениям поляризации»
излучения sv sr Теперь мы намерены переписать выражения Q для двух,
направлений s = st и s = s.}, перпендикулярных друг к другу и к направлению-
нзблюдения п. При этом воспользуемся формулой (р и q — произвольные
векторы)
]S(P*i)(^i) = ([/»»!. 1^»1) = (Р9') — (/«)(?»)• B7)
Она будет непосредственно понятна, если заменить su sa, я через х, j, 2,
так как тогда все три части двойного соотношения (.27) перейдут
Таким образом, будет, например:
B7а)-
С другой стороны, заметим, что члены, свободные от s, при нашем
суммировании, очевидно, приобретают множитель 2. Таким образом, наши
выражения Q переходят в
Сумма этих трех выражений, умноженная еще на опущенный ранее
множитель Го, представляет празую сторону уравнения A7), просуммированную-
по s = s,, s2. В.левой стороне того же уравнения получится при прежнем
обозначении J.:
Следовательно, уравнение A7), просуммированное по st, sa, принимает вид:

458 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
Г. Вывод формулы A8). Прежде чем продолжать расчет, мы должны
доказать справедливость соотношения A8). Решающим является здесь
порядок следования операторов ГГ. Если бы Г и Г стояли в обратном порядке,
то мы могли бы непосредственно указать результат суммирования с помощью
первого из уравнений B3). Именно, мы получили бы одно и то же значение
для каждого из обоих направлений спина в отдельности. Напротив, в
уравнении A8) речь идет о суммировании по обоим направлениям спина. Это
-обстоятельство является причиной того, что рассматриваемая величина
должна обладать полной симметрией по отношению к направлению
распространения к данной плоской волны. Следовательно, если направим, например,
"Ось г по направлению к, то X не должно зависеть от единичных вектороз \х
и ?9> лежащих в направлениях х и у. В силу этого наиболее общее
выражение для X будет иметь вид:
*=a + tfT,+eT4 + dTs4. C0)
'Вследствие уравнения B9) X является самосопряженным. Поэтому
коэффициенты a, b, e, d действительны. Они определяются из двух уравнений,
которым удовлетворяет X:
LX=0 и XL = 0, C1)
со специальным значением дираковского оператора для нашего выбора
координат
^-£o). C2)
В самом деле, ведь Г определено как множитель собственной функции
и = e<*»-i»*r,
•которая удовлетворяет уравнению /,(«) = 0. Отсюда следует, что 1Г = 0,
•следовательно, также LX=0. С другой стороны, Г определяется как
множитель сопряженной собственной функции
Так как L [уравнение C2)] для плоской волны является самосопряженным,
то отсюда следует, что VL = 0, следовательно, также XL = 0 в соответствии
-с нашим утверждением в C1). Поэтому наши уравнения для определения а,
Ъ, е, d дают:
= 0,
C3)
? — £•„) 1 = 0.
Здесь после выполнения умножения множители при 1, ^3, ?<, fM должны по
•отдельности равняться нулю. Таким образом, получаем:
(Тз)
Ob) =tiM—|в+§#-0.

§ 7] ОЧЕНЬ ЖЙСТКИВ ЛУЧН, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 459
причем верхний знак относится к первому, а нижний ко второму
уравнению C3). Из трех последних уравнений, очевидно, следует (D—множитель
пропорциональности):
a = E0D, b = — bckD, e = ED, d = 0;
тогда вследствие закона сохранения энергии само собой удовлетворяется
первое уравнение.
Наш прежний результат гласит согласно C0):
X=D{ — /йсйТз + Т^+^с}- C4)
Остается еще определить D. Для этого служат условия нормировки и
ортогональности, в которых мы обозначаем оба спиновых оператора Г, по
которым суммировали в B4), через Г+, Г_:
ГЛГ_ = Г_-гЛ.=0. )
Составим выражение:
+ т4+ C6)
вследствие C5) имеем:
Г ГГ C5а)
Так как, с другой стороны, заключенная в скобки часть C6) равна X, то
справедливо также в силу C4)
о) TJV = DT+ [1ЬскЪ + T4E + Eo\ Г+
или, ссылаясь на B3),
Y = § {(fie*J + E*+E2.} r0 = 2DCr0; C66)
последнее — по закону сохранения энергии (fic*)* = E2— E\. Сравнение C6а)
и C66) теперь непосредственно дает:
D = 4- C7)
Подставляя это в C4) и устраняя специальный выбор координат, т. е.
заменяя fcf3 через (ftf), мы получим уравнение A8).
Д. Окончательный расчет излучения. Вернемся назад к
уравнению B8) и обратимся к преобразованию 2 Qi + Q-j + Qa- Мы выполним
его, введя вместо волновых чисел k, К соответствующие импульсы р, Р.
Тогда уравнения A2) запишутся в виде:
I^Z-a,"} C8а)
C86)
Из уравнения'A3а), определяющего Р, и из C8а) легко показать, что
с (Ря) = — "Я>1 -\- Wg, C8в)
f (PjPa) == EtE* — El+*"»«! — Av«a — у с2**- C8г)

460 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПВКТР [ГД. VII
Впрочем, для того чтобы выявить связь с формулами прошлых параграфов и
с встречающимся там выражением
4п» = ~|[до1|. О = оСя),
выразим скалярное произведение (р, я) через векторное произведение [рп\.
Это делается с помощью трех формул, которые мы напишем зместе:
с2 (Pi») (Л») — Efo +El =
= — са LftelH-Ei («1—«аЖ»! (Av—Wj-Нва), C9а)
(—An—wa + «i). C96)
y c*P\ C9b)
Чтобы доказать первое уравнение C9а), используем тождество
с8 (Pin) (Раи) = с* (А»K - с9 (р1Я) [ (/у») - (Pan) Ь D0)
Здесь первый член справа по обычной теореме Пифагора равен
с2р\ — с2 [Pln]2 = Е\ - El — сг [ptn\\ D0а)
Второй член справа в D0), согласно C8а), равен
— (f1! — WiHAv — «i-h-Wj). D06)
Поэтому имеем вместо D0)
са (ptn)
а это уравнение вследствие ht = El — Еа совпадает с C9а); C96) следует
из C9а), если поменять индексы 1 и 2 (при этом знак у h* меняется на
обратный); C9в) в силу C8г) тождественно с теоремой косинусов в
сферическом треугольнике, натянутом между векторами plt />a, я (ср. рис. 36):
Перепишем теперь выражение £lQl со стр. 457 и подставим
значение J из A4):
Указанные здесь фигурные скобки, которые совпадают с левой частью C9а, б, в)
при умножении на E\lw\, Et/wl, 2E1E2/w1w2 заменим через C9а), C96), C9в)
соответственно. При этом перепишем лишь член с векторным произведением,
а остальные члены обозначим многоточием. Получаем, таким образом:
+
Затем перепишем первую строку выражения 2Qe со стР- 457 и
подставим Jt, У8 из A4):

S 71 ОЧЕНЬ ЖЕСТКИЕ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА 461
{ }' с точностью до знака перед Е,Е9 совпадает с левой стороной C9а, б, в).
Прибавим к правым частям этих уравнений 2Е1Еа и назовем эти новые урав-
1 12
«ения C9а', б', в'). При умножении { }' на 5, 5« исполь-
»! w2 да,»,
зуем C9а), C96), C9в) соответственно. Вследствие этого получаем, если
опять выписать только векторные произведения:
Расчет дополнительных членов, обозначенных здесь многоточием [сюда входят
члены, не переписанные из C9а', б', в') и из второй — четвертой строк
выражения для 2@з на СТР- 457], является довольно сложным; он дает:
С другой стороны, сумма дополнительных членов в D2) и еще не
переписанного выражения для 2^8 получается в виде:
D5,
Учитывая, что £■,—£■„ = *> и т. д., получим:
Используем еще уравнение C8а) и очевидное соотношение
Таким образом, получим окончательно:
Отсюда из D1), D2) следует:
~ 2 4Е1%*Г Aл"Ь (ля1) + 2 5^ [Рп]"'} ■ D6)
Тем самым мы нашли результат, который впервые был выведен в работе
Заутера, уравнение (9), цитированной на стр. 425.
Получаем теперь, согласно B8), если подставим значение для С из A4а):
' D7>
где { } имеет то же самое значение, что и в D6).
Присоединенные с правой стороны нормировочные множители относятся:
Nt — к падающей, Л/j — к вылетающей частице. Первую мы нормируем, как
на стр. 438, на плотность тока, равную 1 на см*. Это дает, согласно (ЗЛОв,),

462 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VTI
при п±-*0 и v±-*c
<47а>
Вторую нормируем, как на стр. 119, на единичный объем пространства
волновых чисел:
™г ~~ B*)» •
Элемент объема пространства волновых чисел равен
Поэтому при нормировке на единичный элемент объема
^8 *•• D7б>
Для энергий £а ^> Е% из закона сохранения энергии для вылетающего
электрона приближенно получаем:
cbk.2 = E8.
При этом D76) переходит в
%E.2d». D7в>
Так как hi = E1 — Е9, мы можем еще выразить <ЙГ9 через h\dv\.
Тогда получаем, принимая во внимание D7а):
йй» *!*• D7г>
вместо D7)
Чтобы получить отсюда само излучение, воспользуемся уравнением
(I. 8.21I). Из него получаем в качестве среднего по времени от |[£ЯЦ
(равно среднему по времени от Еа):
Поэтому средний поток энергии через единицу поверхности равен
с с
Обозначим через У, d* интенсивность от участка спектра ds, которая излучаете»
в телесном угле dQ. Таким образом, имеем:
и поэтому
*?$ D9>
где
±{ ) D9а>
вричем { } имеет то же самое значение, что и в D6).
') Заметим, что добавленный там множитель запаздывания jute содержите»
в яаШем теперешнем определении E) для J.

§ 7] ОЧЕНЬ ЖЁСТКИЕ ЛУЧИ, ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРАКА
463
*.
Е. Переход от элементарного к интегральному
процессу. Полученные нами до сих пор результаты изображают элементарный
процесс: электрон с заданным импульсом р1 падает в единицу времени на
единицу поверхности и вылетает внутри телесного угла dm с определенным
импульсом /»а; одновременно излучается фотон в направлении » в телесной,
угле dQ. Энергия фотона и переданный ядру
импульс Р определяются через pt, /»а и п.
Импульсы рх, р2, так же как направление », остаются
произвольными (если отвлечься от самого собой
разумеющегося условия />2</>t). Но существует
вероятностная связь между pt, />9 и я, которая
соответствует обсужденному в предыдущих
параграфах опережению: при больших энергиях Ev £2
(большие импульсы pt, p.2) три вектора р1г р2, я
сближаются теснее, т. е. вероятность сильного
расхождения этих трех векторов стремится к нулю при
увеличении энергии.
Рис. 36 показывает сферический треугольник
иа сфере единичного радиуса, вершинами которого
являются точки пересечения этой сферы и векторов я, pv /?а; на этом же
рисунке даны обозначения углов, используемые нами в дальнейшем.
В этих обозначениях имеем:
E0)
E0а),
Рнс 36. Расположение-
направления излучения it-
относительно импульсоа
р1 и />2 при больших
энергиях.
Далее, согласно C8а),
тв>1 = Е^ — cpj cos в, да2 = £2 — с/?2 cos at
и так как P = pt—/>2 -п, то
/>a = i4 + Bcos3, В = — 2/>1/>2sin0sina,
А = р\+р\ — 2рхрг cos в cos a,
E0б>
Если подставим это в D9), то получим угловую зависимость излучения-
в данном элементарном процессе.
Но нас интересует не элементарный, а интегральный процесс, которому
соответствуют при фиксированных частоте и направлении излучения (n и я>
все возможные направления а, $ вылетающего электрона. В соответствии
с этим мы должны еще в D9) произвести, правда элементарное, но несколько-'
длинное интегрирование по
dm = sin a da d}.
(Малость а, А при этом еще не используется.)
Рассчитаем в качестве примера первое слагаемое, которое, если опустить-
постоянные (или зависящие только от Ь) множители (как [ptn]9 и «*), равно-
E1)

464 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
Интеграл по р легко берется. Вследствие
f «Р = 2*
J Л + ficosp у а* —&
имеем:
С ja л о_ А
E1а)
Чтобы выполнить интегрирование по а, используем в качестве переменной
_y = cosa и положим [ср. E06)]:
E16)
E1в)
. , \ E10
a = Al — В%, b = A0Av c = A\-\-Efc. J
>Имеем тогда
frf<B_о
J ^ ~ 2
(Вычисляя неопределенный интеграл, получаем:
С0+С,у
E3)
- eyi"
-со следующими значениями для Со, С±:
-Ам=А,Вп. E3а)
Со (ас - б2) = V - Л« = *Л- \
С^ас — b^^Affi — AJ^AoBl J
Чтобы перейти от неопределенного интеграла E3) к определенному, заметим,
что при у = ±1, согласно E1), В = 0 и А = АЬ±А1; таким образом,
в силу E1 г), (a-\-2by-\-cy!*)''' = A0±A]L. Поэтому получаем из E3) в
качестве значения для E2):
Г*-
J Т* =
Со-С,
•последнее — вследствие E3а). Но вследствие E1 г)
ас — Ьг = в1(А1 — А21 — Вг0) E4а)
л, согласно E1 в),
^о = (р\ ■+■ д)г, следовательно, Ао—А\ — В% = (р\ — qf.
tlo E4) и E4а) имеем:
7й = .-2 л- F5)

$ 71 ОЧЕНЬ ЖЙСТКИЕ ЛУЧИ, НЕРВОВ ПРНВЛИЖВНИЕ ПО ТЕОРИИ ДИРЛКА 465
Из формул, связывающих р с энергией, легко следует:
Р% — ? = — 2 3(^1 — ePiСО8}>) = ^rwv
7аким образом,
J?-<s3cr E5">
Рассчитанный здесь интеграл дал очень простой конечный результат
без использования предположения о больших энергиях. Для других членов
D9а) это не так. Поэтому мы укажем только результат и притом лишь для
Простого случая
Введем обозначение
Тогда получаем:
*eo'sn " " 1пМ),
PM^dm «Visit!** т<?/ЪЕ\&пгЪ 1\
ГГ ' в—— 1—-[ —- — — )B
По сравнению с этими слагаемыми можем пренебречь интегралами
дИ)* d<o Г [Pi/>] [PgW] da
_2 pi' J jp? pi *
E6a)
Сумма.всех членов, относящихся к интегральному Процессу с помощью
соотношений, существующих между ри Ех, р3, Е2 и ч, дает:
E7)
Здесь множитель sin9» напоминает нерелятивистскую теорию тормозного
излучения в уравнении C9), а знаменатели w\ и w\ напоминают опережение
в § 6. В самом деле, ведь (т — движущаяся масса)
«! = Ех — cpl со» ft = тс* — mvtc cos » = тс* A — рх cos Л). E8)
Ж. Формула Бете — Гайтлера для полного излучения.
После того как, мы установили угловое распределение интенсивности, мы
осотим еще определить полную интенсивность излучения. Для этого вычислим
! = sin 8 db do.
Удобнее вместо » в качестве переменной интегрирования использовать «ели-
чину wv По E8) имеем:
> sin8dft=?2i. E9)
срг cpi
30 Эах. 968. А. Зошкрфелы

466 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. УП
Принимая во внимание, что азимут <р в Н не входит, получаем:
F0)
Вычисление этого интеграла будет очень простым, если в числителе E7)
sin8 8 разложить в ряд в предположении, что 8 <^; 1:
= (l+cos8)(l — cos8)~2(l — Д<"~*А F0а)
(ср. E9)]. Однако вследствие Ео <^ Ех
"■-*.=*.{('-§)*-■}--!■
поэтому, согласно F0а),
и так как по F06) в первом приближении cpt — Ev то
^) F0в)
Тогда в F0) встречаются только интегралы
Ф !%• <61>
которые берутся в пределах от
8 = 0. w1 = E1 — cPl~ ^
до
8 = it, «l = E1-(-c/>1 — 2Et.
Так как второй предел велик по сравнению с первым, то, величина
интеграла определяется только последним. Согласно этому получаем, таким
обрааом, для F1) ряд
" со со о
Отсюда следует по E7) и F0):
Поэтому, если еще внесем М из E6), то
)(ЙЬ1) (б2>
Теперь следует из D9) для полной интенсивности, если объединить все
постоянные множители:

S 71 очень жесткие лучи, первое приближение по теории диракл 467
Это выражение было также впервые указано Заутером (см.
уравнение A9) его работы}. Он заложил основу для работы Бете и Гайтлера (см.
примечание на стр. 425), имеющей фундаментальное вначеняе в теории
космических лучей.
У Бете и Гайтлера речь идет о полном торможении, т. е. «б излучения,
проинтегрированном по всем частотам:
j,dv. F4)
о
Здесь tg^=E1lh — граничная частота тормозного спектра. Соответствуиммея
переменной интегрирования является Е9, в то время как жесткость падающего
излучения будем считать при интегрировании постоянной. Следовательно,
имеем:
J ^ F4а)
Введенные здесь величины С, Clt Ru R согласно F3) имеют значение:
Вычисляем непосредственно
/?, = £;. F4в)
Легко убеждаемся далее, что входящий в &, член с множителем Е?
исчезает. Оставшаяся часть /?а преобравуется интегрированием по частям и дает:
j
Поэтому имеем, согласно F4а, б, в, г).
Если рассмотрим падающую частицу с энергией Ех в среде, содержащей ti
атомов с атомным номером Z на каждый см*, то потеря энергии частицы — ЬЕХ
на пути Ах выразится так:
* Ш. F5а)
Формулы F5) и F5а) представляют формулу Бете — Гайтлера для
рассмотренного особого случая, когда можно пренебречь эффектом
экранирования заряда ядра Z окружающей электронной оболочкой *).
!) Указанные формулы при этом ограничении были уже несколько ранее
сообщены Гайтлерон и Заутером [Nature 132, 892 A933)). Знвчение работы Bete
—Гайтлера состоит в том, что не только было численно определено влияние экранирования,
но также в том, что были количественно сравнены вероятности потери энергии на
излучение н на ионизацию.
30*

4<S8 сплошной рентгвновскнй спектр [гл. vii
3. Обсуждение формулы Бете — Гайтлера. Величина еа/Е0 =
= еа//жоса, называемая «радиусом электрона», имеет размерность см. Поэтому
J имеет размерность врг • см%. Так как N имеет размерность cm~s, to
размерность правой части F5а) оказывается, как и должно быть,, равной эрг/см.
Определенную посредством F5) площадь
)' F56)
можно рассматривать по порядку величины как «эффективное поперечное
сечение ядра Z для процесса тормозного излучения».
С возрастанием жесткости Ех J увеличивается не линейно, а несколько
сильнее, а именно, согласно F5):
Мы увидим на рис. 37, что этот подъем в результате экранирования
значительно сглаживается и тем сильнее, чем больше Z.
В нашем расчете величина <xZ предполагалась малой по сравнению с
единицей. Следовательно, наша формула {65) справедлива прежде всего для
легких ядер с Z <С 137. В случае тяжелых ядер Егером 1) сделан численный
расчет, показавший, что для энергий, сравнимых или в несколько раз
больших энергии покоя £0, результат во много раз отличается от значения,
даваемого формулой F5). Следует предположить, что для гораздо больших
энергий, к которым, собственно говоря, и относятся наши формулы, эти
отклонения для тяжелых ядер также исчезнут.
Мы хотим также сравнить рассмотренные выше потерн энергии на
излучение с потерями энергии при столкновении электронов. Оказывается, что
для медленных электронов (у <Сс) процессы столкновения являются
определяющими, но для быстрых электронов (г> — с) нх роль мала по сравнению с
потерями энергии на излучение. Причиной этого является следующее: при
столкновении с атомом электрон (за счет возбуждения или ионизации атома) теряет
энергию порядка ионизационного потенциала. Эта величина при энергиях
£д ^> Ео незначительна. Напротив, в процессах излучения встречаются потери
энергии порядка величины начальной энергии Ev Мы знаем из § 3, что при
средней жесткости падающего излучения интенсивность в сплошном спектре
изменяется почти равномерно вплоть до коротковолновой границы. То же
самое относится в большой степени и к рассмотренному теперь очень
жесткому излучению. Следовательно, большие потери энергии при излучении
отнюдь не являются малозероятнымиг). Они должны, наконец, с
возрастанием- |Эиергии £, превышать малые потери энергии при ионизации, несмотря
на большое число актоз столкновения.
По Бете и Гайтлеру энергия, для которой та и другая потери равны,
лежит при
£1 = в. F6)
Причина появления знаменателя понятна: потеря энергии при излучении
пропорциональна, как мы видели в F5), Z3; потеря энергии при столкновении,
так как дело идет о складывающемся влиянии отдельных электронных обо-
J. С. Jaeger, On Bremsstrahlung, Nature 140, 108 A937).
)£ работе Боте н Клармана [Bothe u. Klarmann, Zs. f. Phys. 101,489
A936I.н«вд«но, что для вторичных электронов от т-лучей (£t ~3£0) большие потери
энергии даже чаще встречаются, чем надо ожидать по Бете,— Гайтлеру.
ч

§ 71 очень жесткие лучи, первое приближение по теории дирака 469
лочек, пропорциональна Z; F6) даСт для свинца и воздуха в качестве <«кри*
тических значений» Et= 10 и 100 Мае соответственно.
Мы должны теперь сделать еще некоторые качественные указания; о роля
экранирования, благодаря которым также будут изменены вышеуказанные
числовые значения.
Мы исходим из переданного ядру импульса отдачи Р, который можно
построить из двух, почти совпадающих по направлению векторов /»х и
/?g-j п. Угол между ними (см. стр. 463) убывает с возрастанием £t и
имеет величину (так же как углы а, Ь на рис. 36) порядка EJE^
Следовательно, имеем:
^ о)- F7>
Следовательно, импульс отдачи Р растет с увеличением Ех не до любой
величины, а имеет верхнюю границу
F7а)
Этому максимальному Р соответствует минимальное расстояние г, при
котором происходит передача импульса Р. Для нашего исходного интеграла
[ср., например, (9)] область переменной интегрирования, дающая основной
вклад, простирается приблизительно (подробности см. у Бете и Гайтлера,
§ 4) до (Кг)—Кг—1, следовательно,
г —£- = -£-• F76)
Ив F7а) поэтому следует:
r№~-^ А- = ^-Хв. F7в)
С другой стороны, существует минимальный импульс отдачи, который был
бы передан ядру в том случае, если бы векторы pv /»a и -£- точно совпадали
по направлению. Минимальный импульс отдачи легко найти из P = Pi—Pi—-,
разложив по степеням
Соответствующий радиус действия, согласно F76),
F7д)
Таким обравом, мы имеем следующее замечательное обстоятельство: в нере-
лятивнстской области расчет с голым ядром тем более обоснован, че* выше
энергия электрона, т. е. при увеличении энергии процесс излучения
происходит на все меньшем расстоянии от ядра. Причина этого состоит в следуют
щем: с возрастанием импульса становится больше также импульс отдачи
ядра, следовательно, необходимо все более сильное взаимодействие с атомным
ядром. Но в релятивистской области импульс отдачи ядра растет с энергией
не до любой величины, а имеет предел порядка тос | уравнение F7а)|. Это
означает, что расстояние между электроном н ядром, играющее главную
роль в процессе излучения, отнюдь не становится все меньше и меньше,
а имеет нижнюю границу порядка величины комптоновской длины волны

470
СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР
|ГЛ. УИ
(уравнение F7в)Ь Наряду с импульсом отдачи ядра порядка т<р также
появляются меньшие импульсы отдачи. Минимальный импульс отдачи
(уравнение F7г)| по порядку величины в EJE^ меньше максимального и,
следовательно,, тем меньше, чем больше энергия. Это означает, что при
возрастании энергии размеры области, в которой в основном происходит процесс
торможения, увеличиваются от комптоновской длины волны до все ббльших
величин.
Это наглядно поясняется рис. 37, взятым из работы Бете и Гайтлера.
По оси абсцисс отложен In Ev по оси ординат — величина, не имеющая
специального названия:
где многоточием обозначено влияние экранирования. Ф связано с величиной J
Ф
15
Ю
/
{
/
\
. '
2 5 Ю 20 SO 100200 ?000щ,с*1пТ,
Рис. 37. Влияние экранирования по Бете н Гайтлеру
для РЬ ( ) н HjO (— • —); кривая соответствует
случаю пренебрежения экранированием. Числа,
поставленные на оси абсцисс —значения Ех в единицах
Ео = Щ&- Стрелки показывают те точки, выше
которых роль соударений меньше, чем роль тормозного
излучения.
в F5), исправленной для учета экранирования, и с эффективным поперечным
сечением Q в F5г) следующим образом:
J=QEl<&. F8)
Как видно, влияние экранирования значительно, причем для РЬ больше,
чем для НаО. В соответствии с уравнением F6) для РЬ преобладание
излучения над ионизационными потерями наступает раньше, чем для Н3О.
При сравнении с наблюдениями Андерсона над электронами космических
лучей с энергией в 300 Мае Бете и Гайтлер считали, что их формула
дала бы гораздо более высокие потери, и брали в качестве предполагаемой
действительной границы энергию, равную 137£0. К противоположному выводу
привели уточненные опыты и расчеты Андерсона и. др., в настоящее время
всеми признанные: формула Бете — Гайтлера справедлива для электронов
любых скоростей. Но в спектре космических лучей, как это кажется у
поверхности земли, электроны с энергией свыше 200 Мае играют довольно
незначительную роль. Здесь скорее преобладают «тяжелые электроны», или «мезо-

§ 8] МЯГКОЕ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ТОРМОЖЕННИ ПРОТОНОВ 471
троны», вовыожность существования которых была впервые теоретически
предсказана Юкавой а). Их масса составляет от 50 до 200 масс электрона.
{Возможно ли что нх масса равна 136 массам электрона в соответствии
с постулированными Эллингтоном элементарными частицами? Или 2 • 137
массам электрона по теории Борна?) Их излучение очень незначительно по
сравнению с излучением электронов (ср. § 8, пункт Б). Ниже 200 Мэв на
поверхности земли преобладают легкие электроны, которые получаются при
радиоактивном распаде тяжелых электронов (при одновременном- испускании
нейтрино).
| 8. СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ МЯГКОГО
РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ ПРОТОНОВ.
АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Мягкие рентгеновские лучи. Будем считать в
противоположность предыдущим параграфам скорость падающего электрона настолько
малой, что pt <С «Z. Тогда будет | nt | ^> 1 и подавно | па | !Э> 1.
Полагаем, как в дополнении 16, уравнение B8):
/tj = — In, я, = — ipn, 0<р<1, я-»-оо. A)
Так как вопрос о запаздывании отпадает, то мы возвращаемся к методу
матричных элементов в § 2. Используем обозначения Р и Q нз
дополнения 16, уравнение C16), и получим по B.27):
Здесь, согласно B.26а) н B.166),
^; ^-. Bа)
В выражении для х положим sin -^ = 1, следовательно, а =s it (точно так же,
как в дополнении 16, уравнение C6): стоящий там угол а' = п — а
считается малым). Физическим основанием для этого является следующее: при
очень незначительной скорости падающего электрона лншь тогда надо ожидать
значительного излучения, когда путь сильно искривляется, и потому после
торможения угол с первоначальным направлением приблизительно равен it.
То же самое показывается математически: при последующем интегрировании
ло а лишь малые значения а дают заметные вклады в интеграл. Из
уравнения Bа) тогда приближенно получаем:
1_х-D±*у. Bб)
\ 1 — р/
<С помощью величин |Р|а и |Q|9 из дополнения 16, уравнение D1), имеем,
согласно B), если здесь также примем, что а = и — а' — к, и соответственно
этому выразим sin3 а через а'2:
IAIJM A
—\тпг=
9
С08
sin»?
i\ 2ilt/J
а' t e
C)
i) H. Yukawa, Physico-Malhera. Soc. of Japan 17, 48 A935); 19, 1084 A937);
319 A938).
20, 319 A938).

472 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР |ГЛ. VII
Входящий сюда символ s имеет согласно дополнению 16, уравнение C9а),
следующий смысл:
яа/в р
Чтобы получить интенсивность н поляризацию излучения, надо
выражение C) проинтегрировать по
</<o = sinadad? = —sina'da'rf? D)
(некогерентное наложение элементарных процессов). Из выражения (За) для s
сразу заключаем, что только малые значения для а' надо принимать во
внимание. При конечных а' вследствие большого множителя п в (За) s также
будет очень велико. Но тогда функции Ганкеля Ha\ls) убывают, как е~*.
Только когда а' мало, порядка «"''•, имеем $ конечной величины и не
исчезающе малое НA>. Но тогда мы можем sin a' в D) выразить через а'
и интегрирование по в', которое, вообще говоря, производится от к до О,
распространить от 0 до со, так как добавленная часть пути интегрирования
ие дабт конечного вклада в интеграл. Таким образом, нз C) получаем:
| Мв Р <*• = 2*ВК.„ J | Му |3 dm — J | M. |9 Л> = ъВК%, E)
(is)}2 e'5 da',
/CV, = j
Eа)
Оба интеграла Eа) можно объединить в один, вводя переменную
интегрирования s и считая р = 319 или 1/8:
оо
V f Eв)
Но для каждой цилиндрической функции Z справедливо представление1)
с помощью неопределенного интеграла:
^=^]"V»+» f
J {Z,
F)
При применении ее к Eв) с а = 1 и Z^H™ правая часть для верхнего
предела s = oo исчезает [Hu(ts) имеет экспоненциальный ход, а для нижнего
предела s = Q принимает некоторое конечное граничное значение}. Вообще,
имеем9):
У^Fа>
>) Е. Янке н Ф. Энде, Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиэда?,
1949, стр. 237.
*) Там же, стр. 228, стр. 224

§ 91 МЯГКОВ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ ПРОТОНОВ 473
х-+°- Fб>
Отсюда легко видеть, что первый член в правой части F) ничего не даСт
и что во втором члене как для р = а/3, так и для р = */$ надо принять
во внимание лишь произведение членов с множителем
которое, согласно F6), стремится к бесконечности, как s~*. Получаем, таким,
образом, из F) и Fа, б):
последнее получается при использовании соотношения F) дополнения 7.
Итак, согласно E), E6, в) и Fв):
Отсюда приближенно находим значение определенной в C.4) степени
деполяризации D для направления наблюдения, перпендикулярного к
направлению падения х. Уравнение G) дает непосредственно:
D—J-. Ga)r
D, следовательно, не зависит от р, т. е. от положения в сплошном
спектре. Поэтому можно было использовать рис, 30 (коротковолновая
граница; ср. асимптоту нарисованной там кривой) и рис. 31 [полный спектр;
ср. пунктирную предельную кривую1)].
Затем рассмотрим вопрос о ходе интенсивности в сплошном спектре,
причем предполагаем напразление наблюдения перпендикулярным, например,
к оси у. Имеем тогда, присоединяя нормировочный множитель N:
J , (8).
Следовательно, согласно G),
4 4 3^3 \ZI (l-p»)«
Получающийся при нормировке собственных функций множитель N имеет,
согласно C.16а), величину
') Эта кривая проходит на рнс 31 в виде прямой линии вплоть до
длинноволновой границы -£&■ «• 1, которой в нашей теперешней р-шкале соответствует р»1.
Для р = 1 наше приближение будет неточным, как явствует из смысла s в (За). Подъем-
пунктирной линии на рнс. 31 при р »1, следовательно, согласуется с G?).

474 сплошной рвнтгЕнбвОкий спвктр [гл. vn
Здесь уже прежние знаменатели 1 — ехр(—2к1п,) и 1—ехр(—2я/л2)
вследствие п -*■ оо заменяются на единицу. В числителе (86), в силу связи к&
к.2 с nv n.3 или с п, р, напишем:
ft,—яг
'Кроме того, в знаменателе имеется величина
•Благодаря этому (86) переходит в
AW^)MJIzieV (8д)
Сравнение с (8а) уже показывает, что в У, выпал множитель, зависящий
от р и я; /,, следовательно, будет постоянно вдоль всего сплошного спектра.
На коротковолновой границе, ч = чд имеем, как и ранее, быстрое падение
до нуля; .на длинноволновой границе, v = 0, изображенный на рис. 32
подъем переходит в разрыв.
Подставляя (8д) и а = йа/4и9/ига в (8а), окончательно получаем:
Характерным здесь является появление множителя v* в знаменателе. Чём
мягче падающие катодные лучн, тем больше спектральная интенсивность
рентгеновских лучей. Причина этого очевидна; говоря языком классической
-физики, более сильное искривление траектории электрона в поле ядра
приводит к более сильному излучению. Вычислим еще сумму
Из G) легко получаем:
/ау (яр)8
/ *
Если воспользоваться уравнением (8в) и законом сохранения энергии
то можем также легко получить:
В историческом отношении должно быть добавлено следующее: Крамере
в 1923 г. (следовательно, до волновой механики; см. примечание на стр. 424)
рассчитал сплошной рентгеновский спектр на основе принципа соответствия,
рассматривая излучение для гиперболической траектории н обрезая
получающийся таким образом спектр для граничной частоты v = v0. Его
результаты совпадают с нашими выводами для мягкого рентгеновского излучения
(даже и формально, так как им точно так же были введены функции //•/,,
//t/a), но не совпадают для жесткого излучения1). Причина этого понятна:
1) A. W. Maue, Ann. d. Phye. 18, 161 A932),

§ 81 мягкое рентгеновской излучение при торможении протонов 476
предельный случай мягкого рентгеновского излучения в наших обозначениях
выражается посредством
Он будет реализоваться или при ? -► О или при о ->• оо, вместо чего можно
также сказать, что Л-*•(). Первое условие (?->-0) соответствует нашей
волновомеханической точке зрения в этом параграфе. Последнее условие
(А-*•()) лежит в основе полуклассического расчёта Кранерса, в котором
квант действия вводится лишь задним числом посредством обрезания для
предельной величины кванта. Напоминаем также о следующем обстоятельстве:
принцип соответствия требует предельного случая больших квантовых чисел л
в дискретном спектре. Однако наши мнимые параметры л^ n.v согласно
своему определению (ср. стр. 101) имеющие на границе между континуумом
и дискретным спектром действительные значения, при л-»-оо переходят,
очевидно, в мнимые. Принцип соответствия справедлив также для этих
мнимых п, если они достаточно велики, следовательно, — для достаточно мягкого
рентгеновского излучения.
Б. Торможение протонов. Вопрос о получении рентгеновских
лучей с помощью протонных лучей (водородные каналовые лучи) связан
с предшествующим, поскольку при одинаковом напряжении на трубке
скорость каналовых лучей в отношении уОи/тд меньше, чем скорость катодных
лучей. Напряжение является, правда, мерилом жёсткости получающегося
тормозного излучения; однако характер собственной функции будет
определяться величиной
следовательно, скоростью.
При одинаковых скоростях протонные собственные функции получаются
из электронных с помощью преобразования подобия. Так как эти
собственные функции кроме параметра л, который мы должны полагать в обоих
случаях одним и тем же, также зависят от аргумента
т
то мы найдём такое же функциональное выражение для случая протонов
на расстояниях г, в -^- раз меньших, чем для случая электронов. Основная
часть излучения происходит, следовательно, в случае протонов ближе от
ядра, чем в случае электронов, или, выражаясь языком классической физики,
чтобы испытать значительное отклонение от своего пути, протон при
одинаковых скоростях должен пролететь гораздо ближе к ядру, чем электрон.
Это означает уменьшение эффективного поперечного сечения и потому
уменьшение тормозного излучения.
Количественно получаем из уравнения (9), что при переходе от
электронного к протонному случаю надо присоединить множитель, учитывающий
различие масс:
(Ю)

476 СПЛОШНОЙ РВНТГВНОВСКИЙ СПВКТР [ГЛ. VII
Однако наряду с этим выступает зарядный эффект, который, как
подчеркивается Шерцером1), даже важнее эффекта различия масс. Ведь
положительный заряд протона означает отталкивание, а не притяжение к ядру,
как для электрона. При этом изменяется знак потенциальной энергии, или,
как можно также сказать, знак Z. Однако с Z меняет свой знак также я.
Следствием этого является то, что в нормировочном множителе
[уравнение (86)] знаменатель
■ нельзя больше считать равным единице; скорее его следует приравнять
величине
A—е*1Я|1)A—е>«|1Ц|)~е**(|1Ы + |1Ц|>. (П)
Появляется, однако, еще другой множитель, а именно экспоненциальный
множитель при расчете матричного элемента. В выражении для \С\
[уравнение Bа)] имеется множитель е~**л, который теперь при изменении знака я
переходит в е+%т. С другой стороны, в выражениях для \Р\*, \Q\*
[уравнение D1) из дополнения 16] фигурирует множитель е+г*'п, который в
случае электронов как раз сокращается с экспоненциальным множителем,
возникающий от | С |а. В случае протонов дело обстоит иначе. Названный
множитель е+2%*п возникает в результате применения метода перевала, и так как
из двух [уравнение C3) дополнения 16] точек перевала мы должны, конечно>
выбрать ту, которой соответствует более крутой подъем, а именно в случае
протонов точку с отрицательным знаком при /, то в случае протонов в
получающемся множителе остается тот же знак. Принимая во внимание ещб
множитель, возникающий от |С|*, получаем:
Частное A2) и A1) дает теперь в общем итоге в качестве зарядного эффекта:
Имеем, следовательно, дополнительное уменьшение интенсивности излучения
по сравнению со случаем электронов, которое вследствие его
экспоненциального характера значительно превышает прежнее (исключая длинноволновую'
границу р = 1). Отсюда становится ясным, почему при бесчисленных опытах
с водородными каналовыми лучами никогда не наблюдалось рентгеновское
излучение г).
Интересным является также замечание Шерцера о движении ядра,
которым можно было пренебречь для случая электронов, но которое надо принять
во внимание для случая протонов. Следствием этого является то, что е/т
в уравнении (9) выразится не через е/тн, как в A0), а скорее через
J. *-, A4)
тН тА
где вычитаемое — удельный заряд бомбардируемого ядра. В самом деле,
поскольку движение ядра принимается во внимзние, то излучение,
рассчитываемое в покоящейся системе координат, будет зависеть от ускорения обоих
удельных зарядов как бомбардирующего, так и бомбардируемого. Тогда, по
крайней мере для более легких ядер с тА — 2ZtnH, выражение A4) при-
<) РаЗоте Ann. d. Phys. 13, 137 A932) мы следуем во всём этом разделе: ср.
особенно изображение нашего множителя G2 на рис I в этой работе.
*) Н. A. Barton, Journ. Franklin lnsL 209, M 1 A930).

§ 8] МЯГКОВ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ ТОРМОЖЕНИИ ПРОТОНОВ 477
ближенно будет равно
1 в
так что множитель Ох в A0), уменьшающий излучение, уменьшится еще
в четыре раза.
Равным образом получается, что для а-частиц, удельный заряд которых
составляет половину удельного заряда протона, при отклонении не слишком
тяжелыми атомами вообще не может иметь места никакое (дипольное)
излучение.
В. Астрофизические приложения. В то время как старая
теория газовых шаров изучала равновесие между силами тяготения и
тепловым давлением, современная теория по примеру Шварцшильда должна
в качестве определяющего фактора строения звезд принять во внимание
давление излучения. Одновременно становится ясным решающее значение
излучения для перехода энергии изнутри на поверхность звезды
(радиационное, а не конвекционное равновесие). Максимум интенсивности теплового
излучения лежит при температуре солнца (около 5000° К на поверхности)
в видимой области спектра, а для самых горячих А- и В-звёзд — в области
коротковолнового ультрафиолетового света. В связи с этим для астрофизики
является существенным изучение эмиссии и абсорбции этого излучения
звездной материей. Истинные или фотоэлектрические коэффициенты
поглощения рентгеновского излучения даны в гл. VI, § 5 общей формулой,
представленной в виде суммы квадратов [см. выше уравнение (9а)], которую
мы можем экстраполировать в ультрафиолетовую область. Мы считали, что
при фотоэффекте происходит переход атома с дискретного уровня (например,
основное состояние) в область сплошного спектра и поглощается один квант
света /гм. Но формула (VI.5.28) описывает также переход с начального
урэвня, расположенного в сплошном спектре, нз конечный уровень в
сплошном спектре, если только в 5 будут представлены собственные функции,
соответствующие . этому переходу. Но это значение 5 мы знаем из
вышеупомянутого уравнения (96). Сумма матричных элементов не изменится
от того, рассматриваем ли* мы испускание кванта Av при переходе атома
из верхнего состояния в нижнее, как это делалось в пункте А этого
параграфа, или поглощение кванта Av лри переходе атома из нижнего состояния
в верхнее, что соответствует постановке вопроса в случае фотоэффекта.
Следовательно, комбинируя (96) с (VI.5.28), мы получаем, учтя необходимый
нормировочный множитель Л/2:
Нормировочный множитель № связан с нормировочным множителем
верхнего состояния атома A) и нижнего B) формулой
N2 = N\Nl A6)
Выражение для № можно получить непосредственно из (VI.5.56), вводя
упрощающее условие для мягкого излучения
<16а>
Мы пронормировали этим способом верхнее состояние 1 (как на стр. 396)
на интервал энергии Д№= 1 и на единицу телесного угла падающего
излучения.

478 СПЛОШНОЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР [ГЛ. VII
С другой стороны, состояние 2 (начальное состояние при поглощенин>
мы нормируем на равную единице плотность наличных электронов. Из
приведенного в гл. II, § 9, стр. 119 сравнения с плоской волной #*«•*>, которая
как раз соответствует единичной плотности, следует тогда для мягкого
излучения |пд|—»• оо, так же как там в уравнении C2), но с No= 1:
i A66)
В соответствии с A6а, б) и A6) N* выражается в виде
aj« I 11««I
2it ft» '
Z tfl
Это же перепишем вследствие значений л,, я, и в (я1B = -г , ess—j-
в виде:
Подставляя в A5), получаем:
Мы выразим это в общепринятой в астрофизике форме, если подставим:
kji = tnv,
где теперь v обозначает скорость электрона на нижнем атомном уровне
непрерывного спектра, из которого он перейдет при поглощении кванта
излучения Av на вышележащий уровень (отстоящий на Av от первого).
Мы получаем этим способом из A8):
**" "~ 3 Уз m'licv* '
На этой формуле основывается, например:), теория процесса
поглощения «континиум — континиум». Соотношение A9) дополнено похожей по своему
строению формулой для процесса поглощения «дискретное состояние —
континиум».
На основе обеих формул можно исследовать радиационное равновесие
в звездных атмосферах и сравнить с наблюдаемым излучением.
■) A. Unsold, Physlk der Sternatmosphiren mit besonderer BerOcksichtigung
der Sonne, Berlin, Julius Springer, 1938.

ГЛАВА VIII
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
| 1. ОБЩИЙ ОБЗОР
Открыв в 1922 г. изменение длины волны рентгеновских лучей при/
рассеянии, Артур Комптон создал тем самым надежную основу для гипотезы
световых квантов, введенной Эйнштейном для объяснения фотоэффекта.
Действительно, он смог исчерпывающе объяснить все наблюдавшиеся явления
с помощью простого представления о том, что энергия и импульс
первичного «фотона» распределяются между электроном отдачи, с одной стороны,,
и вторичным фотоном — с другой. Если направление последнего, т. е. угол,
рассеяния 0, определено на опыте, то в силу законов сохранения энергии и
импульса оказываются определенными и энергия вторичного фотона, равно-
как и скорость, и направление вылета электрона отдачи. Роль электронов
отдачи играют в первую очередь внешние, слабо связанные электроны,
которые можно рассматривать с достаточной точностью как свободные электроны.
Как мы видели в § 7 гл. I т. I, такое представление приводит к формуле
\с = (комптоновская длина волны)
или же к эквивалентной формуле
где v означает первичную, а •*'— вторичную частоту.
Наблюдения Комптона и всех его последователей подтвердили это
уравнение 1). Сомнения возникли только в отношении интенсивности рассеянного-
излучения. Здесь сначала пытались основываться на соображениях принципа
соответствия (Комптон, Дебай). Решение этой задачи смогла дать только-
волновая механика, которая была применена к ней почти одновременно целым
рядом исследователей 9).
При волновомеханическом рассмотрении мы будем различать, как и в
предыдущей главе, три степени приближения. Первое приближение дабт мвто&
матричных элементов (§ 2). Он является внутренне последовательным и поучи-
х) Незначительное отклонение от A), найденное Россом и Киркпатриком, имеет
вторичную природу н происходит из-за связанности вторичных электронов. См.
поэтому поводу примечания 1 и 2 на стр. 518 этой главы.
*) W. Oordon, Zs. f. Phys. 40, 117 A926); E. Schrodinger, Ann. d. Phys.
82. 257 A927); O. Klein, Zs. I Phys. 41. 407 A927); O. Brelt, Phys. Rev. 27. 362
A926); P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. Ill, 405 A926V [См. также l. Та.га.m, Zs. L.
Phys. 62, 545 A930).]

480 ЭФФЕКТ КОЫПТОИА [ГЛ. VIII
-тельным, однако не дает правильного изменения длины волны и, поэтому, и
окончательной формулы для интенсивности. При его проведении возникают
■своеобразные трудности со сходимостью, которые связаны с представлением
■о свободном электроне. Вторую степень приближения даёт метод электро-
■динамических потенциалов (§ 3). Он позволяет учитывать запаздывание
испускаемого излучения и приводит к формуле Комптона для изменения длины
волны и формуле Гордона для интенсивностей. Но это приближение
неприменимо для самых жестких лучей. Третий, к настоящему времени наиболее
точный метод исходит из уравнения Дирака (§ 4) и приводит к знаменитой
формуле Клейна — Нишины.
Большое упрощение, которое достигается при рассмотрении свободных
электронов, состоит в том, что в этом случае возмущенные падающей
волной собственные функции поддаются элементарному вычислению, так что
обычное для теории возмущений разложение в ряды по невозмущенным
функциям оказывается ненужным.
Задача со связанными электронами, решение которой было начато Вент-
|целем 1) и уточнено Валлером *), будет подробно рассмотрена в § 5.
Особенно подробно будет при этом рассмотрен вопрос о соотношении между
•комптоновским и релеевским излучениями, т. е. между рассеяниями с
изменением и без изменения длины волны. Релеевское рассеяние, как и
фотоэффект, происходит только на связанных электронах, которые благодаря
взаимодействию могут передать импульс падающего кванта ядру, и
невозможно из-за законов сохранения на свободных электронах; напротив, комп-
тоновское рассеяние происходит в чистом виде только на свободных
электронах, наличие связи электронов превращает комптоновскую линию в
«комптоновскую полосу». Та точка зрения, с которой мы будем рассматривать
эти комптоиовские полосы в § 6, приспособлена, вероятно, для того, чтобы
.вскрыть тончайшие проявляющиеся на опыте черты эффекта Комптона.
К доказательствам первого положения, что открытие Комптона
подтверждает теорию световых квантов, относится в первую очередь установление
-одновременности испускания фотона и электрона отдачи. Предварительные
■опыты Комптона и Симона8) с камерой Вильсона подтверждают как будто
это обстоятельство. Много точнее были опыты Боте и Гейгера *),
включавшие счетное устройство с фотографической регистрацией; они также говорят
в пользу временнбго совпадения обоих процессов. Напротив, проведенные
в лаборатории Комптона опыты Шенкленда 6) с жесткими f-лучами говорят,
казалось бы, против такого совпадения. Однако различным образом
поставленные проверочные опыты не подтвердили полученного Шенклендом
отрицательного результата. В особенности Боте и Мейер-Лейбниц6) смогли
доказать количественное согласие между наблюдавшимся числом совпадений
и числом совпадений, ожидавшимся из геометрии опыта. В противном
случае положение оказалось бы роковым не только для первоначальной теории
Комптона, но и для всей волновой механики, согласно которой законы
сохранения энергии и импульса должны выполняться в каждом отдельном процессе,
а не возникать в результате статистического усреднения.
•) О. Wentzel, Zs. f. Phys. 43, 1, 779 A927).
*) J. Waller, Phil. Mag. 4, 1228 A927) н, в особенности, Zs. f. Phys. 51, 213
A92K).
«OA. H. Comptons.A.W. Simon, Phys. Rev. 26, 289 A925), ср. также 25,
306 (I92.=i).
«) W. Bothe u. H. Qeiger, Zs. f. Phys. 32, 639 A925).
») R. S. Shankland, Phys. Rev. 49, 8 A936).
•) W. Bothe u. H. Maier-Leibnitz, Zs. I Phys. 102, 143 A936).

§ 2] МЕТОД МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 481
Другой теоретический вопрос, решению которого может помочь эффект
Комптона, есть вопрос о том, является ли электрон частицей или волной?
Общее рассмотрение процесса рассеяния приводит *) к тому выводу, что
«наилучшей классической аналогией волновомеханической картины атома
является атом, построенный из отдельных, дискретных электронов, которые
можно отличить друг от друга с помощью волновом еханически
приписываемых им различных конфигурационных пространств».
f 2. МЕТОД МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Представим, как и на стр. 309, падающую волну (рентгеновскую волну)
векторным потенциалом:
Мы 'выбрали ось х в направлении распространения волны, а ось у — в
направлении поляризации. Амплитуду а будем считать сколь угодно малой,
В качестве собственной функции свободного, невозмущенного электрона
выберем плоскую волну де Бройля:
Приведенное в B) значение нормировочного множителя мы заимствовали из G)
дополнения 8. Для частоты «, вспоминая A.2.27), напишем
нерелятивистское выражение
W />а
л 2до
Мы будем использовать B) для электрона в конечном состоянии
(электрон отдачи). Электрон в начальном состоянии будем отличать индексом 0,
т. е. вместо B) напишем для него:
Ч —<2«)". D)
По аналогии с C) положим:
Перейдем теперь к возмущенному конечному состоянию U. Согласно
A.6.126) U находится из возмущенного уравнения:
е 41
7T
Потенциальная энергия (энергия связи электрона в атоме) положена здесь
лока равной нулю. В правой части мы можем заменить U невозмущенной
собственной функцией и из B). Поэтому, учитывая A) и B), мы можем
лереписать правую часть F) в виде:
-. *-*-£* * = *+£* } G)
1) А. Н. Compton, Phys. Rev. 47. 367 A935).
31 Зак. 968. А. Змшерфшм

482 эффект криптона [гл. vni
где е означает единичный вектор в направлении распространения водны
(положительное направление оси х); следовательно,
Ga)
Kgg ka -f- -J- , Kg kg, Kg = kg.
В левой части F) мы аналогично (V.3.7) положим:
Однако для определения возмущенных членов т± нам ие понадобятся общие
методы гл. V; экспоненциальный вид возмущающей функции G) дабт
возможность проинтегрировать F) точно, положив
»+ = De* «*•», «_ = DV <*••>. (9)
Тогда подстановка в F) и сравнение коэффициентов приводят к значениям:
£У.
ДО
(Ю)
л
Наконец, из (8) и B) следует:
bluN
If __ fijgi (hr)-imt _J I» gi {Kr)+1 ipn-m) t _1_
_J _21! et(K'r)-t (br,+m)t
и соответственно для начального состояния Uo, для которого мы ради
удобства сразу перейдем к сопряженному выражению U*o:
IT = Ы„е-* OW'+i-ot J J^M^ e_4 iK^-i (*«_•„) t j_
»0) t
С помощью этих выражений мы вычислим сначала чисто формально, не
заботясь о явно расходящемся виде интегралов, матричный элемент:
Mq = Г qifl Ud*-\- компл.-сопр., I
q = x, у, z, d-z = dx dy dz. j
Относительно добавления комплексно-сопряженного выражения, в котором U
заменяется на if, a ifl — на Uo, см. стр. 54.
При перемножении A1) и (Па), возникнут члены, с 6°, Ь1 и Л9.
Последние можно опустить как малые второго порядка. Член с IP нас не
интересует, так как он отвечает спонтанному, а не вынужденному падающей
волной переходу.

§ 2] МЕТОД НАТРИЧИЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 483
Итак, выпишем только члены с Ы-. Их можно разбить, судя по виду
их временнбй зависимости, на две части I и II, как это ясно из схемы.
Схема вычисления стоксовой
части (/) н антистоксовой части (IT).
При этом часть I (стрелки, направленные вниз) происходит от умножения
первого члена t/* иа второй член U и третьего члена i/l иа первый член U.
Ее зависимость от времени задается выражением
гМ1*»-<—Л«. A3)
Часть II (стрелки, направленные вверх) происходит от умножения первого
или третьего члена U на второй или соответственно первый член t/J. Бе
временная зависимость задается выражением
е-<|2«+(—.чЛ/. A3а)
Сопряженные временные множители, которые возникают из обозначенного в
A2) сопряженного матричного элемента, надлежит также причислять к части 1
или соответственно II.
Мы будем называть (ср. также стр. 322) часть I стоксовой, а II —
антистоксовой. Для обоснования таких названий мы перепишем A3) и
A3а), добавив к ним сопряженные выражения и учитывая C) и E),
следующим образом:
Стоксова часты
,±ы«Ч( An' = An — (W— Wy. A4)
Антистоксова часть'.
В A4) вторичный световой квант Ач' мягче первичного Av (W— Wo
положительно, даже' если.мы сначала и he положим Wo равным нулю). Это
соответствует правилу Стокса. Наоборот, в A4а) вторичный световой квант
жестче первичного. Это противоречит правилу Стокса и исключается из-за
нарушения закона сохранения энергии. То, что в нашем вычислении должны
были получиться обе части, следовало ожидать из нашего написания A2)
матричного элемента, который симметричен в собственных функциях
начального и конечного состояний и, следовательно, содержит переход конечное-»
начальное состояние в той же мере, что и переход начальное -*■ конечное
состояние. Первый из них выпадает из нашего рассмотрения, и мы будем
далее иметь дело только со стоксовой частью.
Выпишем ее подробно, опуская временибй множитель. Наша схема на
стр. 483 дает при учете A1) и A1а) и значений N и No:
31

484 ЭФФЕКТ КОЫПТОНА [ГЛ. VIII
Но экспоненты в обоих членах этого выражения совпадают, так как
- / О_ V
V —— Ы . V' | £ __ I J. ** L t t t I» 1 /1 (ч\
Мы можем, следовательно, переписать предыдущую формулу в виде:
^ <«*-*">, A5а)
где
2^ \
<15б>
Теперь следовало бы в соответствии с A2) перемножить {15а) с q = x,y,z
и проинтегрировать по d-z. Легко видеть, однако, что это невозможно из
соображений сходимости. Глубокая причина этого лежит в соотношении
неопределенностей. До тех пор, пока мы рассматриваем волновые числа k
и k0 или относящиеся к ним импульсы p = hk и po = bko, как точно
определенные, местоположение электрона является полностью неопределённым,
т. е. распределено с равной вероятностью между всеми элементами d-z
пространства. Этому соответствует то обстоятельство, что интегрирование
экспоненты (возможно умноженной на q) no d-z приводит к расходимости.
Мы должны, следовательно, отказаться от точного определения волновых
чисел. Рассмотрим для этого не один-единственный электрон отдачи k или
первоначально покоившийся электрон к$, но группу электронов, волновые
векторы которых распределены вокруг среднего волнового вектора k = kl
или Д^ = 0. Характер такого распределения мы опишем с помощью «зубце-
образной» функции Z = Z(k, kj), Z0 = Z(k0, 0), имея при этом в виду, что
Z и Zo отличаются от нуля только в окрестности k = *, или *о = 0,
причем их- поведение в этих точках мы фиксируем с помощью условия
нормировки:
+ОО +ОО
l A6)
(интегралы распространены на трехмерное пространство, следовательно,
dk = dkxdkjdkz). Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением стоксовой
части, для которой временной множитель надо брать из A4), а
пространственный— из A5а), то напишем вместо A2):
, *1)У+компл.-сопр., A7)
== W J Чйх J dkoF(k' *^в<<Г> *"** A7а)
F(k, *o) = ^(*b. 0)B**<*. A76)
Записью F(Jt, fto) мы подчеркиваем явно, что эта величина зависит через
посредство В и ■/ от обеих переменных интегрирования к и к$.
Вычислим этот (шестикратный) интеграл J с помощью теоремы Фурье.
Для этой цели его надо несколько преобразовать! Так как q является одной
из составляющих радиуса-вектора г, то
* е*(г. ж-ы =

§ 21
МЕТОД МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
485
Поэтому мы можем написать сначала вместо A7а):
Отсюда путем интегрирования по частям по
исчезновение проинтегрированных членов при
7—
(множитель F обеспечивает
= 1±гоо) получается:
A7в)
Теперь к этому интегралу можно непосредственно применить теорему Фурье,
которая утверждает, что он сводится к значению подинтегральной функции
в точке обращения показателя экспоненты в нуль, т. е. в нашем случае
в точке к0 = АГ. Мы получаем:
д "'%. *Ь). A8)
причем после выполнения дифференцирования здесь надлежит положить
ко = К. В силу A76)
A8а)
Первый член слева имеет вид простого зубца такого характера, как
изображенный на рис. 38 сплошной линией; мы будем считать его симыетрич-
Рнс. 38. Изображение зубце-
образиой фуикцнн Z (сплошная
кривая) н ее производной ^т?
(штрнх-пуиктнрная кривая).
/г-а;
Рнс. 39. Представление трёх
множителей, из которых
состоит подинтегральиое
выражение в A9), в одномерном
случае.
ным Z(—*o) = Z(-(-*o). Второй член является двойным зубцом такого типа,
как изображенный на рис. 38 пунктирной кривой, с равными положительным
и отрицательным выступами. (Наши рисунки представляют эти функции
в одномерной шкале, на самом деле их надо, естественно, представлять
трехмерными.) Ясно, что двойной зубец ие дает после требуемого A7)
второго интегрирования никакого вклада в результат, так как его
положительная и отрицательная части приводят к взаимно уничтожающимся величинам.
Мы можем поэтому опустить в A8а) второй- члеи и написать:
— iZ(K, 0)Ф, Ф =
A86)

486 9ФФЕКТ КОМПТОНА [ГЛ. VIII
где после дифференцирования в Ф надо опять положить ко = К- Наконец,
в силу A7) получаем:
пл.-сопр. A9)
Теперь мы в состоянии получить окончательный вывод. Подинтеграль-
ное выражение в A9) содержит в двух своих первых множителях два острых
зубца, вершины которых расположены в точках
* = *! и К = 0, т. е. [см. G)] * = j-e. B0)
На рис. 3& изображены (опять в одномерной модели) оба эти зубца; из
рисунка ясно, что третий множитель Ф подинтегральйого выражения мы
можем считать медленно меняющимся. Если оба особых значения B0)
оказываются отличными друг от друга, то одна зубцеобразная функция
обращается в нуль в вершине другой и их произведение будет вгзде равно
нулю. Интеграл может получить конечное значение, только если оба зубца
сдвигаются друг к другу (ср. стрелки на рис. 39), и только в этом случае
м'ы получаем конечное излучение. Согласно B0) условием этого является
к = — в
Мы будем называть это условие «законом сохранения импульса».
Действительно, преле умножения на А в левой части оказывается импульс электрона
отдачи»" а в .лравой — падающего фотона. Тем самым B1) утверждает, что
электрон отдачи забирает импульс падающей волны и
вылетает в направлении ее распространения (ср. рнс. 40).
Волна \ Электрон Мы не можем ожидать большего от нашей
настоящей точки зрения, так как до сих пор не ввели
~с~ V г~""Т в вычисления импульс рассеянной волны. Это будет
Рис 40 Напоавлеиие сделан0 только в следующем параграфе. Поэтому
вылета электрона от- здесь мы можем получить только неполную форму
дачи н матричного закона сохранения импульса.
элемента. Следующий шаг будет состоять в том, что мы
вычислим временной множитель у Ф в A9), и притом,
как того требует B0), для значений k = kv ko = K = O. Согласно C) и E)
тогда будет Wo = 0, W=W1 = ^k\, и в силу A4)
An' = Av— Wi. B2)
Это равенство составляет закон сохранения энергии и притом в точной
форме. Итак, временной множитель в Ф обеспечивает, чтобы падающая
Энергия оказывалась равной сумме рассеянной энергии и кинетической
энергии электрона отдачи.
Из закона сохранения энергии и импульса можно получить и компто-
новское изменение длины волны, но, конечно, не в правильной форме
уравнения A.1) из-за неверной теоремы импульса B1). Именно, из B1) следует:
К1~\ к ) » wi ~~ 2/и 1"
и поэтому из B2)

§ 21 МЕТОД МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 487
Если положить еще v = -£-,•/ = -£- и ДА. = А.' — к, то мы получим:
в противоречии с A.1).
Займемся теперь вычислением величины и направления матричного
элемента Mq. Прежде всего мы получим для интеграла A9), если будем
считать совпадающими оба сдвинутых друг к другу зубца Z и Zol):
= Ф. B4)
•г щг
благодаря чему
Mq = — /Ф +компл.-сопр. ( в *' B4а)
1*6 = А = О,
откуда, согласно значению Ф из A86),
1л.-сопр. ( = *' B46)
В этой формуле мы опустим член-, отвечающий дифференцированию в A86)
экспонентыe*w. Это можно оправдать следующим образом. Согласно A4)иE>
m
что, однако, обращается в нуль в силу отмеченного в B4а) условия *0 = 0.
Поэтому из A5), если не выписывать не зависящего от fc0 члена и
взять К'о из Gа), получается:
В силу ft0 —0 это приводит к
,_ ( 0 для ? = х или ? = г,
дв -1 B5а)
для
Утверждение первой строки является очевидным. Во второй строке мы
получили бы из B5) сначала
дВ *
\ А
Но в этом выражении можно пренебречь первым членом в знаменателе по
сравнению со вторым, так как их отношение равно
_2£. B5в)
* в нашем настоящем нерелятивистском рассмотрении мы обязаны считать
падающее излучение не слишком жестким, т. е. принять, что а^>а0. После
этого B56) принимает вид второй строки B5а).
Итак, мы заключаем из первой строки B5а): матричный элемент
направлен только яо оси у; мы получаем диполь, который колеблется в на-
•) Это допустимое здесь суммарное рассмотрение будет уточнено в следующем
параграфе.

488 эффект комптонл [гл. viii
правлении поляризации падающей волны (обозначенной иа рис. 40 средней
стрелкой). Что же касается величины дипольного момента, то в силу B46)
и второй строки B5а) она составляет:
М= Л!»== в^-в^'Ч-компл-сопр. =-J*Lr&n2™'l. B6)
Если мы подставим сюда значение Ь иа G), то получится:
^^ <27>
Сравним этот результат с дипольным моментом электрона,
колеблющегося в поле падающей волны, вычисленным классическим образом. Из
векторного потенциала A) для напряженности электрического поля падающей
волны получается:
^U ) B8)
Пусть электрон находится в точке х = 0к пусть его смещение, которое
происходит в направлении оси у, есть i\. Уравнение движения электрона
гласит:
и jsin 2mt,
откуда
Таким образом, дипольный момент колеблющегося электрона составит:
^^ B9)
Эта формула отличается от нашей формулы B7) лишь тем, что вместо
«преобразованной» комптоновской частоты ■/, относительно которой классическое
вычисление не может естественно ничего сказать, стоит первоначальная
частота v.
Из выражения B7) для М следует, согласно примечанию на стр. 53,
выражение для среднего по времени значения излученной энергии:
где в означает угол между направлением дипольного момента и
направлением излучения, а г — расстояние до точки наблюдения. С другой стороны,
усредненное по времени значение падающей энергии [ср., например, B8I
составляет:
£ C1)
Отношение излученной энергии к падающей равно поэтому
—1 , получается,
конечно, и из классически вычисленного момента B9).

§ 3] МЕТОД ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ 489
8. МЕТОД ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Будем исходить из формулы A.8.21) для электрического поля излучения *):
I
компл.-сопр.
где Т—время наблюдения, R — расстояние (бесконечно большое) точки
наблюдения от ядра, а п— единичный вектор в этом направлении. В отличие
от A.8.21) мы обозначили частоту через •/, что найдет свое оправдание
в замечаниях после формулы D). Экспоненциальный множитель под знаком
интеграла является множителем, учитывающим запаздывание;
j—электромагнитный ток, отвечающий переходу из начального в конечное состояние,,
a Ji — его составляющая, ортогональная к п. Для j мы напишем в
соответствии с A.7.15) следующее выражение (которое уже умножено на измеренный
в электромагнитных единицах заряд —J:
;£ & B)
Здесь Uo и U — собственные функции, возмущенные падающей волной; то,
что в последнем члене B) мы можем заменить их невозмущенными
функциями и0 и и, происходит благодаря тому, что мы можем рассматривать
векторный потенциал А падающей волны B.1), содержащий амплитуду а
как малую первого порядка, и в окончательном результате пренебрегать-
малыми высшего порядка.
Мы покажем позже, что первый член в правой части B), который мы
будем называть /х, не вносит никакого вклада в интеграл в A). Поэтому
мы ограничимся сначала вторым членом:
Согласно B.1), B.2), B.4) и B.7)
—».i | tei (ж- -
Первый член в скобках соответствует стоксовой части и образуется с помощью
частоты v' из B.14), второй — антистоксовой части и образуется с помощью
частоты ч" из B.14а). Мы интересуемся только стоксовой частью и поэтому
уже заранее обозначили в A) частоту через v'. Так как временной множитель-
(и притом в запаздывающем виде е v 0/) был вынесен там за знак
интеграла, то его надо опустить в D). Поэтому подлежащий вычислению в A>
интеграл, в силу C) и D), примет вид:
B*)»
E)
<5а>-
!) В A) мы выбрали j I знак, противоположный использованному в A.8.21 )г
чтобы получить такую же зависимость от времени, как и в предыдущем параграфе,
в особенности в B.13). Так как в A) все равно добавляется комплексно-сопряженное
выражение, то это является законным. Согласно A.7.15), сделанному в A) выбору
знака у < соответствует такое написание тока, которое применено в B).

490 эффект комптонл [гл. via
С последним множителем в Eа) дело обстоит следующим образом. Току,
имеет векторный характер, причем его направление, как это показывает C),
■совпадает с направлением вектора-потенциала А, т. е. с направлением
поляризации падающей волны, которое мы обозначим через р. Так же направлен
и наш интеграл E). Однако уравнение A) требует, чтобы использовалась
только составляющая тока, ортогональная к п. Этому как раз соответствует
•исправление E) с помощью множителя
. E6)
'Через угол в из B.30) этот множитель выражается в виде:
р± ав sin в. Eв)
Для дальнейшего нам будет полезно ваписать также:
р± = [/»«], Eг)
однако это уравнение нельзя понимать в смысле векторного равенства; при
аккуратной записи в правой части Eг) следовзло бы писать |[/»Н|.
Интеграл E) является, однако, расходящимся, так же как и выражения
для матричного элемента Mq из предыдущего параграфа. Поэтому мы поступим
так же, как и там, т. е. введем вместо точно определенного волнового
числа *о = 0 группы волн
J F)
■где Z0==Z(ft0, 0) — зубцеобразная функция1) описанного в B.16) вида. При
этом по к0 надо интегрировать не только пространственный интеграл E), но
и множитель' v' и временной множитель A), так как в силу значения ■/
•в B.14) они со своей стороны зависят от *0. Мы получим тогда для
электрического поля из A), E) и F) аналогично B.17):
2я/ С
У|комплсопр G)
^е-\ --.-/, Ga)
t fit ^\
f0, O)y'e V "«Л G6)
Однако интеграл У только внешне имеет форму интеграла Фурье вида
B.17в). Действительно, множитель "/ в показателе в Усам уже содержит
переменные к, к0, и притом квадратично. Именно, в силу B.14):
Для того чтобы было можно применить теорему Фурье, нам надо переписать
•показатель уев Gа) в линейной форме, а именно в виде:
ft *
(9)
0 Вторая использовавшаяся там зубцеобраэная функция Z^Zijt, *i) адебь вам
.«е потребуется.

§ 3] МЕТОД ВАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ 491
Тогда I зависит только от к, а 1^ — только от ft,,, и в качестве переменной
интегрирования можно будет выбрать Iq вместо k0. Тогда надо будет
совершить замену
где До означает функциональный детерминант:
Наш интеграл У примет тогда вид:
где
^i(*i h) — —& • "*У
Эта формула имеет тот смысл, что в правой части надлежит подставить в F
и в До вместо к и к0 их выражения через I и /<,, которые получаются из
формул (9).
Применим теперь к (И) теорему Фурье:
Щ . A3)
/|о=1
Подставляя это значение в G) и учитывая G6), получаем:
Это выражение представляет собой электрическое поле, излучающееся
при переходе начальной группы Zn в определенное, произвольно выбранное
состояние к. Мы должны, однако, принять во внимание все возможные
состояния к, т. е. проинтегрировать по к, и притом интенсивность, а не поле, так
как речь идёт о некогерентных переходах. В соответствии с этим усредним Е1
по времени и проинтегрируем его после этого по к:
с* Ы1в
В правой части этого выражения мы перешли от интегрирования по к к
интегрированию по Аг0, что потребовало добавления функционального
детерминанта Д. Это возможно в силу того обстоятельства, что благодаря
соотношениям (9) между к и к0 существует функциональная зависимость; такой
переход требуется для того, чтобы мы могли бы воспользоваться свойствами
зубцеобразной функции Z(k0, 0).
В самом деле, Z(k0, 0) отлична от нуля только для ко = О. Но в силу (9)
для &0 = 0 будет также и 10 = 0. Следовательно, мы должны построить
в A5) круглую скобку для значения 1 = ^=0. Но в силу (9) 1=0
означает:

492 Э*ФЕКТ КРИПТОНА [ГЛ. УЩ
Круглую скобку правой части здесь можно заменить, используя (8) для
случая fto = O, на »'. В левой же части можно подставить для К его
значение B.7). Тогда из A6) после умножения на А получается:
%—Н+Ц-ш. A7)
Это равенство представляет собой точный закон сохранения импульса для,
эффекта Комптона. С другой стороны, закон сохранения энергии уже
содержится в (опять ввятом для случая к0 = 0) уравнении (8) и может быть
написан в виде:
^£ A8)
Взятые вместе уравнения A7) и A8) приводят известным образом к
правильному уравнению Комптона A.1) или A.2).
Вернемся теперь к A5) и выполним интегрирование по к с помощью
условия нормировки B.16) для Zv. Мы получаем:
<19>
•/ имеет здесь комптоновское значение, которое получается из A7) и A8).
Вычислением До и Д мы займемся ниже. Сначала мы перейдем от A) к
среднему значению потока энергии:
Подставляя сюда значение С из Eа), получаем:
Д*Д Л2'
Если мы поделим это выражение на падающий поток энергии B.31):
So = -£-(*»)», B0а)
то, используя еще и Eв), получим:
Определим теперь знаменатель До. Мы докажем, что
До=1. B2)
При этом, для того чтобы избежать в дальнейшем повторения, мы проведем
вычисление сразу в релятивистском виде, что не приведет к каким-либо
затруднениям.
В этом случае мы должны определить входящие в (9) кинетические
энергии не соотношениями
2т ~~ 2т '
но, обозначая временно энергию покоя Е^ через
Е — Eqq и соответственно Ео — Ew B3)

§ 3] МЕТОД ЗАПАЗДЫВАЮЩИХ ПОТЕНЦИАЛОВ 493
с известным релятивистским значением для Е и Ео:
~"~~ B3а)
Второе из уравнений (9) переходит тогда в
lo^lh-^-j^n, B36)
а уравнение / = /q в
(? ) = *о-^Т*-»- B8»
Путем дифференцирования обоих этих уравнений и благодаря B3а)
получается:
| B4>
dft—^-n(ftdft) = dfto — ^»(ftod*J. B5)
Теперь мы воспользуемся свободой в выборе направлений, по которым
берутся компоненты векторов. Первую компоненту я векторов Iq и k0
возьмем в направлении вектора п, а две другие компоненты s и t—в
перпендикулярных направлениях. Тогда в силу B4) будет:
Вследствие этого детерминант A0) вырождается в диагональный член:
Но для ко-*0 отсюда действительно следует До= 1, как это и
утверждалось в B2). Поэтому, в силу скаванного выше, B2) справедливо как в
релятивистском, так и в нерелятивистском случаях.
Вычислим таким же способом и функциональный детерминант Л из A5):
■1*1-
где к0 и к опять связаны друг с другом условием 1^ = 1. При том же самом
выборе направлений п, s, t мы получаем согласно B5):
\ B6)
Из первой строчки, если использовать теперь условие ^ = 0, будет
следовать:
1-f-ft». B6а)
а из второй:

494 эффект комптонл [гл. vin
Вследствие этого в функциональный детерминант Л вырождается в
диагональный член
A-S*" I'l-l—Г*.-!—5гС*»). B7)
Подставив сюда для к его значение из закона сохранения импульса A7)
Acft = A(ve
и учитывая, что (ел) = cos О, заключаем:
Если мы используем еще для •/ его значение из переписанного в
релятивистском виде закона сохранения энергии A8):
то у нас получится:
he (kn) = A* (cos ft — 1) — (Е — Ее,).
Подстановка в B7) дает:
Наконец, если мы воспользуемся уравнением Комптона A.2) и будем в
дальнейшем опять обозначать энергию покоя через Ео, а не Е^, то мы сможем
переписать последнее соотношение в простом виде:
.Ь.
у- B8)
Это значение Л будет использовано в релятивистском расчете следующего
параграфа. Для нерелятивистского же расчета допустимо, конечно, заменить
Е на Ео, т. е. B8) на
Д = £. B8а)
На основании установленных уравнениями B2) и B8а) значений До и Л
B1) переходит в
<• \я/^\8 sin» в
Итак, мы получили ту же формулу, что и найденная с помощью метода
матричных элементов B.32), но только с измененной степенью —.
Уравнение B9) относится к поляризованному падающему излучению.
Мы перейдем к случаю неполяризованного излучения, если сложим действие
двух некогерентных взаимно ортогональных поляризаций />, и />а. Мы можем
при этом считать, что />, лежит в плоскости, определяемой направлениями
падающей волны е и направлением наблюдения п, а рй перпендикулярно к этой
плоскости. Тогда с помощью уже использованного обозначения 0 = (в, л>
будет:
вх — j + ft, sin» вх = cos» О,
sin»e9=l.
C0)

§ 4] ЭФФЕКТ КОМПТОНА НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНЛХ ПО УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 495
т. е. на месте sin* в появляется
и B2) переходит в
р2 •
В § 4 мы сравним этот результат с формулой Клейна—Нишины.
Нам надо теперь кратко рассмотреть первую часть представляемого B),
тока
и показать, что она действительно не приводит к какому-либо вкладу в
излучение, как мы это утверждали выше. Входящие сюда возмущенные
собственные функции U, Uq представляются выражениями B.11), B.11а). Сле-.
дуя развитой на стр. 483 схеме, мы получим с помощью элементарных,
выкладок, в ходе которых надо учитывать B.15), для стоксовой части
с опущенным временным множителем е2'''
К*—^ + /
)/
Эти формулы записаны аналогично формулам B.15а, б). Наше теперешнее В
отличается от фигурировавшего там В только вошедшими в числители C2)
векторами; значок J_ указывает, что в излучении снова принимают участие-
только перпендикулярные к направлению наблюдения составляющие этих,
векторов.
Для вычисления получающегося из jt поля Et нам надо было бы
подставить C2) в A) и, так как интеграл, очевидно, расходится, привлечь
зубцеобразную функцию Zo. Вывод законов сохранения импульса и энергии,
привел бы к тем же результатам, что и выше. Закон сохранения импульса
требовал бы [ср. A6)]:
АТ=—^-п. C3)
Функция Zo привела бы опять к А0 = 0. Величина В (входящая в £х в
качестве множителя) свелась бы тогда к
Здесь, однако, К пропорционально п согласно C3), откуда
J(± = Q и, следовательно, В = 0 и £^=3 0, C4)
что и требовалось доказать.
| 4. ЭФФЕКТ КОМПТОНА НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ
ПО УРАВНЕНИЮ ДИРАКА
Если речь идет о длинах волн, сравнимых или меньших комптоновской
длины волны
*- = £. <!>
то нам придется обратиться к уравнению Дирака. Для свободного, невозму-

496 ЭФФЕКТ КРИПТОНА [ГЛ. У1П
щёчного электрона это уравнение гласит:
где Ем^щс* — энергия покоя, которая обозначена с двумя индексами О,
как и в C.23), для отличия от начальной энергии Ео (позднее, при переходе
к первоначально покоящемуся электрону, Ео и Eg, будут совпадать друг
с другом). Сопряженным уравнением для свободного электрона будет,
согласно (IV.4.11),
Мы получим из B) уравнение для состояния U, возмущенного вектор-
аотенцналом А падающей волны, если заменим согласно (IV.2.5):
Так как в возмущающем члене мы можем заменить U на и, то получаем:
Для А мы воспользуемся представлением B.1) с той разницей, что мы
обозначим для общности направление распространения падающей волны (прежнее
направление оси х) через е, а направление поляризации (прежнее
направление оси у) через р, причем, естественно, должно выполняться условие
{ре) = 0. Иными словами, мы напишем вместо B.1):
А = -пр(е ^ х '-f-компл.-сопр.). E)
Вводя четырехмерный волнозой вектор х, нулевой длины:
ыы сможем написать вместо E) еще проще (опуская знак суммирования 2):
А = | /»(е-<хЛ + е+<"Л). E6)
Мы получим тогда из D):
Ш
я соответственно для сопряженного возмущенного состояния V:
Решения и я v невозмущенного уравнения Дирака, мы напишем в
симметричной форме (IV.4.10 и 12):
** ** G)

§ 4) ЭФФЕКТ КОМПТОНА НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ПО УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 497
Постоянные А и В зависят от матриц f, их значения были приведены в § 4
гл. IV. Здесь и в дальнейшем мы будем использовать, как и на стр. 200,
удобные сокращенные обозначения:
Вводя дальнейшие сокращенные обозначения:
*. = *. — х., /С/. = *.:|-хв, (8)
мы встретимся при подстановке G) в F) и Fа) с экспонентами:
.«*+.<* . (s, 1
«-<•.+,-"••■ . F». 1
Исходя из уравнений Л« + *оо = О [уравнение (IV.4.8а)] и х2, = 0
[уравнение Eа)], легко доказывается соотношение
— {Кг+*&) = /С7/ + *оо = 2*.*.- (86)
Теперь F) можно непосредственно проинтегрировать в виде:
и = *~Ш (De^'-C/e^'KxP) A. (9)
где D и D'—две постоянные, зависящие от матриц f, которые мы сейчас
определим. Член и добавлен как решение однородного уравнения 1 = 0,
с' тем чтобы обеспечить переход решения при а = 0 в невозмущенную
собственную функцию G). Подстановка (9) в F) и приравнивание
коэффициентов при одинаковых экспонентах в левой и правой частях приводят к
Отсюда следует:
и с помощью (86)
D = jA_+^oo_t /У = Т'*'£ lk°° , Dt = 2*ev A0)
Точно так же Fа) интегрируется в форме
-Ре'**'*')- (И)
Подстановка в A0) доказывает, что D и [У имеют те же самые значения
<10), что и в (9).
Вместо (9) и A1) мы можем, конечно, написать и
г ... . , 02)
V=v\\ —
32 Зи. 968. А. ЗошмрфедкД

498 ЭФФЕКТ КОМПТОНА [ГЛ. VIII
Выражения Uo, Vo для начального состояния получаются из U и V, если мы
заменим в правой части A2) в и, v, D и т. д. везде k'a на k^.
Перейдем теперь к смешанному члену в выражении для тока,
получающемуся при комбинации состояний Uo, Vo и U, V. В силу (IV.3.14) он
равен
j=tceV0fU. A3)
Подставляя сюда выражения A2) и выполняя умножение, мы получим, во-
первых, член нулевого порядка по а, который отвечает невозмущбнным
состояниям, т. е. простому релеевскому рассеянию, которое нас здесь не
интересует; далее, член второго порядка по а, которым, конечно, следует
пренебречь, и, наконец, члены первого порядка по а, два из которых будут
носить стоксов и два — антистоксов характер. Если мы обозначим
последние многоточием, то получим:
У=Сг»0(Т/»I... _D^-"«a>«]T« +
*Л с = -^. A3а>
Действительно, временная зависимость выписанных здесь членов, которая
определяется множителями vQ, «-«v»« и и, имеет, если учесть Eа) и Gа),
следующий вид:
в то время как зависимость невыписанных членов от времени определяется
множителем
"' v+~T~) *
В этих выражениях ■/ и ч" — введенные в B.14) и B.14а) частоты (с той
разницей, что теперь надо заменить нерелятивистскую разность энергий
W— Wo на релятивистскую Е — Ео)-
Мы вынесем в A3) временной множитель и все множители, зависящие
от координат, и обозначим постоянные, но зависящие от матриц f части
функций и, Uq, v и v0 через <J>, %, fy и %. Тогда представляемая A3) сток-
сова часть тока (назовем ее Д) запишется как
A4)
Наряду с A3) нам надо рассматривать и «сопряженный» ток
[ЧРУ I
который соответствует «комплексно-сопряженному» току нерелятивистского
расчета. Он также приводит к возникновению сгоксовой и антистоксовой
частей. Мы получаем тогда в записи, аналогичной A3а):
A*- — ... ] Ти0

§ 4] ЭФФЕКТ КРИПТОНА НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ПО УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 499
где общим временным множителем выписанных членов является в""'*. Отсюда
после приведения к виду A4) получается:
при этом обозначение F означает, что эта величина сопряжена к F. Для того
чтобы перейти от тока через векгор-потенциал к полю излучения, мы можем
использовать почти без изменения формулы предыдущего параграфа, в
которых только везде на месте «комплексно-сопряженного» тока J* возникнет
теперь «сопряженный» ток /3. Мы получаем аналогично C.1):
2*iv'
е V с/ Г , -2«— (т)
(rn)
c dz. A5)
Штрих у jx и /3 означает здесь, что из выражений A4) и A4а) извлечен
временной множитель, так как он уже выписан явно перед знаками интегралов.
Кроме того, мы подразумеваем, что, поскольку в C.1) участвовала только
компонента вектора J, нормальная к а, т. е. [ср. C.5г) ] произведение [/л],
то в выражениях для /i к /г уже выполнено векторное умножение на п,
поэтому в A4) и A4а) F и F заменены на [Fn] и [Fn]. Если мы объединим
временно все постоянные в A4), A4а) в Ct и Сй, то интегралы A5) можно
будет записать аналогично C.5):
*«(*-*♦*?•-')*. A5а)
причем из сравнения с A5) и при учете A4), A4а) следует, что
Ф. С3 = O}{Fn\ % = Cv A56)
Поскольку интеграл в A5а) расходится, введем зубцеобразную
функцию Zo из C.6). Тогда интегрирование выполняется так же, как и в C.7),
и приводит к аналогу формулы C.14):
2"(Т")). A6)
Принимая во внимание все возможные конечные состояния, перейдем,
согласно правилу в C.15), к интегралу:
07)
Члены, зависящие от времени, обозначены внутри круглых скобок многоточием,
так как они все равно выпадут при усреднении по времени, которое будет
предпринято ниже. Как и в C.17), C.18), мы получим из свойств зубце-
образной функции теоремы импульса и энергии и притом теперь в
релятивистской форме. В дальнейшем мы будем понимать под v' получающееся из
теорем импульса и энергии комптоновское значение A.2). В результате
32*

500 ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ [ГЛ. VIII
интегрирования с зубцеобразной функцией надо будет положить везде *0 = 0
и различие между начальной энергией Ео и энергией покоя Ew исчезнет, так
что в дальнейшем 'мы сможем обозначать энергию покоя через Ео.
Для окончательного вычисления A7) заметим, что ClC2 = CiCl;
действительно, С^Сг будет, как мы увидим, свободно от матриц f. Выполняя теперь
усреднение по времени и подставляя значения Cv C2 из A5), получим
аналог формулы C.19):
^^^^^. A7а)
Мы подставим сюда значение С из A3а), значения До> Л из C.22) и C.28)
и перейдём, согласно C.19а), к излучаемой энергии. Получим:
Ы ф <17б>
где мы положили для сокращения
Ф = *[Л»1%%[Л»1ф, A8)
или, переходя путём деления на So [уравнение C.20а)] к относительной
величине,
Нам осталось ещё выяснить значение Ф. Прежде всего весьма просто
вычисляется внутренний множитель tyo% в A8). Мы будем считать его
усреднённым по обеим, не наблюдаемым возможным ориентациям спина
покоящегося электрона. Тогда мы можем применить уравнение (VII. 7.18), если положим
в нём в соответствии с тем, что_ электрон покоится, *2 =*= 0, £2 = ^о> тогда
участвующие там символы Г2 и Г2 будут иметь то же значение, что и наши ф0
и %. Итак, получаем из этого уравнения:
и потому для среднего значения
Рассмотрим теперь величину L\D из A0):
DtD = (YAO + T4^ + ^*oo- B0)
Но в силу (8) К = к — х и из закона сохранения импульса (для первоначально
покоящегося электрона)
к — х = — ^fn. B0а)
Если учесть теперь Gа) и Eа), то тогда B0) перейдёт в
. B06)
Теперь используем закон сохранения энергии, который может быть записан
(при первоначально покоящемся электроне) в виде:
Am — f = Av' — Eo B0в)

§ 4] ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ НЛ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ПО УРЛВНЕНИЮ ДИРАКА 501
и получим подстановкой в B06):
DtD = -^{(Y«)+*T*}+/|*(l+T4)- B0г)
Далее, для Dt получается в силу A0) и B0а):
или, опять используя закон сохранения энергии B0в):
. B0д)
Это выражение можно упростить с помощью комптоновского уравнения A.2).
Действительно, последнее гласит, если заменить в нём cos!) на (пе):
1 ~(пе) = Щ A -1), B0.)
благодаря чему B0д) переходит в
Теперь из B0г) и B0ж) получается:
D = ^'^») + ^]-4£rA + T*)- B1)
Аналогично, только в силу *0 = 0 более простым путём, из A0) следует:
Следовательно, согласно A4) мы получаем:
£L T*I IY»1 + IT*11 (T*> + fT
Обозначенные здесь многоточием члены возникают из вторых членов правых
частей B1) и B1а) и содержат поэтому множитель A +т4). Они обращаются
в нуль, так как в A8) они умножаются слева на множитель
от которого отделены или множителем (ур), или —[уя|, a l+t*
преобразуется при коммутировании с каким-либо из этих последних множителей
в 1—V
Для дальнейшего упрощения выписанного в B2) матричного выражения
необходимо совершить некоторые преобразования:
а) Первое произведение (fp) в фигурных скобках B2), можно перенести
направо от (fe)-\-i^i с одновременным изменением знака; то же самое можно
сделать и со вторым произведением \fn\. Это следует из легко доказываемых
формул:
= 2 (ер) = 0,
B3)
= 2 \пп] = 0.
Тем самым фигурная скобка B2) принимает вид

502 эффект комптонл [гл. vm
б) Очевидным образом
y(y/>)=/>-H/>yk X
Первую из этих формул можно применить к обоим последним множителям
первого члена B3), вторую — к множителям второго члена. Таким образом,
из B3) получается:
*- B4)
в) Заметим, что в силу A8) эта фигурная скобка заключена между %
и ф, и построим поэтому
* = % {(Y*) + 'Т* + (Y») + 'TJ +• B5)
Для упрощения этого выражения выпишем ещё раз уравнения B0а), (ГOn),
выражающие законы сохранения импульса и энергии, и помножим их почленно
на выписанные слева множители:
* — Av' = E — Eo.
Складывая получающиеся результаты, приходим к
о- B5а)
Члены —iEc добавлены здесь в правую часть из следующих соображений.
В силу уравнения Дирака B)
а в силу C) для *0 =
Следовательно, если умножить B5а) слева на %, а справа на <\, что
подсказывает B5), то правая часть пропадёт, и мы получим:
4 = 0. B56)
Если написать ещё
• •/ , ч — •/ , ч-\-'/ ч — Vх
2^2' '2 2 '
то B56) перейдёт, если мы учтём значение W из B5), в
Отсюда получается упрощённый вид выражения для \f:
» — «)♦• B5d)
г) Образуем теперь в соответствии с B4) и B5) выражение

§ 41 ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ НЛ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ПО УРАВНЕНИЮ ДИРАКА 503
Тогда, в силу B5в) и B2), получится:
% [Fn]b ^ фо (y, я - ё) (j±£ [рп] + [(/г] т) ♦•
Сопряжённым выражением будет:
я, согласно A8), произведение обоих даёт:
^ ]»]^. B6)
Обозначенные здесь многоточием средние множители представляют собой
выражение _
(Y, я — е)'
В силу A9) оно оказывается равным
(Y » •)(!+Т)(Т » «) <
Поэтому мы можем написать вместо B6) [A — f4) перестановочно с
последующим множителем]:
^I * l/w»la — H/Tl »]* ^ } A — Т*) 11 — (я*I Ф- B6а)
Здесь можно упростить второй член в фигурных скобках. Так как тч = — 1,
мы можем написать для него \дп]2, где введено обозначение q = \pf].
В общем случае для произвольного вектора q и единичного вектора я, в силу
теоремы Пифагора, имеет место соотношение
q2 = (qn)'i-\-[qn]i, следовательно, [?я]9 = q* — {qnf. B66)
Но в нашем случае, в силу соотношений между матрицами Х-
*9=1/»Т1а = 2|/>1а = 2, B6в)
(nqf = (я [/»т]J = (Y 1»/»])а = Шр]\ B6г)
благодаря чему после повторного применения B66)
(nq)* = p*- (npf = 1 - (пр)\ B6д)
Собирая результаты, получаем:
- П/т! »]а ^2 = 2 -14- (»/»)а = 1 + W1.
Таким образом, B6) гласит окончательно:
Ф = НШ (G=£)"l*l|l'+ 1 +(W)9) [1 -(«*)! «Т.- ОФ- B7)
Последний множитель нам хорошо известен. Именно,, при правильной нормц-

504 ЭФФЕКТ КОМПТОНА [ГЛ. \ПП
ровке волновой функции электрона отдачи [ср. (IV.5.47, 48)]
где Г — введённый в (IV.5.30) делитель нуля, который можно опустить.
Таким образом, мы получаем, учитывая B0в):
-Щ-'1^-**^1- B7i)
После объединения с предпоследним множителем из B7) это выражение даёт
благодаря соотношению Комптона B0е):
И-(«•)! T(T.-l)« = -|i1^. B76)
Тем самым B7) переходит в
Это выражение можно упростить с помощью соотношения
[/,«]*= 1— (mpf.
которое содержится в B66), если мы обозначим, как и прежде, угол между
р и п через А. Получаем:
Нам следует ещё принять теперь во внимание, что в A7) мы должны были
просуммировать по всем конечным состояниям вылетающего электрона.
Интегрирование по k уже было выполнено в A7). Однако каждому к
принадлежат две собственные функции, отвечающие противоположным направлениям
спина. Суммирование по обоим направлениям спина приводит теперь, так
как наш результат спина уже более не содержит, просто к возникновению
множителя 2. Подстановка этого удвоенного значения Ф в A8а) приводит
теперь непосредственно к формуле Клейна — Мишины для поляризованного
излучения:
Для неполяризованного излучения надо заменить, как и в предыдущем
параграфе [уравнения C0), C1)],
sin** на l±i2!iL,
следовательно,
2 cos2 в на sin* ft,
где 0 означает угол рассеяния (угол между е и я). Отсюда получается
формула Клейна — Нишины для неполяризованного излучения:
-■КЙОи-т-—}•

§ 4] ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ НЛ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ ПО УРАВНЕНИЮ ДИРЛКЛ 505
Связь с результатами предыдущего параграфа мы сможем установить,
если будем считать —— малой величиной первого порядка. Тогда с
точностью до членов второго порядка
и B9) перейдёт в C.29), а C0)—в C.31).
Первоначальную, приведённую Клейном и Нишиной, форму этого
результата можно получить, если заменить в B9) и C0) V через ч с помощью
уравнения Комптона A.2):
где *=¥=
(а не равно постоянной тонкой структуры!). Путём простого вычисления из
C0) тогда получается:
I i ., - A-cos»)» 1
[l+a(l-cos»)|3l1+cos ° + * l+a(l-coe») I*
Последняя формула окажется особенно удобной, если мы поставим себе
целью перейти к вычислению коэффициента рассеяния а, т. е.
относительной потери энергии, которую испытывает падающее (неполяризованное)
излучение из-за комптоновского процесса. Теряющаяся при этом энергия
переходит отчасти в излучение 1) с изменённой частотой и частично в энергию
электронов отдачи. В единичном акте первое излучение имеет энергию /г-/,
а электроны отдачи — Л(м — ■/), следовательно, полная потеря энергии
составляет /гч. Поскольку при вычислении 5 учитывалось только излучение
фотонов с энергией /гч', то для получения полной потери энергии нам надо
увеличить значение C2) для S в отношении 4-. Поэтому мы получим
коэффициент рассеяния о, если проинтегрируем ^ 5 по сфере радиуса R:
&. C3)
Выполнение интегрирования даёг, если обозначить х = cos ft, ; = 1 -+- а — гх:
где
+ 1 1+2а
, _ Г ** _ 1 Г * _
J3
_ [dx _ 2A +*)
— I J8 — A+20)»
2a
, fx^rfjc 2
') He сопровождающееся изменением частоты релеевское рассеяние не играет
для свободных электронов никакой роли (ие уносит энергии), так как при этом-

506
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
|ГЛ. VIII
Подставляя эти значения в C4), получаем:
Для а = 0 путём предельного перехода получается известное значение [ср.
т. I, A.5.8I:
--т-ж- <346>
На рис. 41 приведён график зависимости ^ от а вместе с экспериментально
полученными точками. Точка для а = 5,1, X = 4,7 X относится к монохрома-
'/
2
Рис. 41. Зависимость относительного коэффициента
рассеяния — от жёсткости падающего излучения о = — = 4s.
Сравнение с опытами с жёсткими рентгеновскими лучами
и с 7"лУчами-
тичным f-лучам ThC" 1). Точки для а < 0,5, полученные с жёстким
рентгеновским излучением, вычислены из старых наблюдений Хьюлета2) и Комптона8).
В качестве рассеивающего материала использовался уголь. То же относится
и к точке, полученной с ThC". Для рассеивателей большего атомного номера
наблюдается, по Мейтнер и Хупфельду, систематическое возрастание
поглощения, которое обязано своим происхождением образованию пар (ср. гл. IV,
§ 10). Если бы мы вычисляли теоретическое значение для ториевой точки
с помощью формулы C.31) вместо формулы Клейна — Нишины, то
расхождение с экспериментом превысило бы ошибки опыта.
не может выполниться закон сохранения импульса. Это было подчёркнуто в начале
этого параграфа и будет подвергнуто подробному рассмотрению в следующем
параграфе.
1) L. Meitner u. H. H. Hupfeld, Phys. Zs. 31,947 A930); Zs. f. Phys.
.67, 147 A931); O. T. R. Tarran t, Proc. Roy. Soc. 128, 345 A930).
a) C. W. Hewlett, Phys. Rev. 17, 284 A921).
«J A. H. Compton, там же 21, 500 A92j).

§ 5| ЭФФЕКТ КОМПТОНА НА СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНАХ 507
§ 5. ЭФФЕКТ КОМПТОНА НА СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНАХ.
АТОМНЫЙ ФАКТОР, СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КОМПТОНОВСКИМ
И РЕЛЕЕВСКИМ РАССЕЯНИЕМ
Возвратимся теперь к нерелятивистскому случаю и будем иметь в виду
атом водорода (один электрон, шредингеровские собственные функции). Для
свободного электрона вклад в рассеяние первого члена в токе C.2) был
равен нулю [ср. C.34)], в случае связанного электрона этот вклад хотя и
не будет точно ранен нулю, однако будет всё же малым для слабой связи.
Главным членом х) попрежнему остаётся второй член в C.2). Мы ограничим
им наше рассмотрение и получим тем самым то преимущество, что сможем
обойтись невозмущёнными собственными функциями и0, и. При этом
оказываются излишними вычисления по теории возмущений, которые и сами по
себе (разложение по собственным функциям, резонансные знаменатели)
были бы достаточно крэпотливыми.
Итак, мы пишем, согласно C.2) и B.2):
»= by' «o = -
где Wo — энергия связи основного состояния дискретного спектра, в то время
как W относится к непрерывному спектру. Для А мы воспользуемся
представлением D.5):
Стоксова часть тока состоит из первого члена в Л, и её зависимость от
времени определяется множителем
C2«v't
со следующим значением v':
hV = ft4 — fi(o> — о)о) = Ам — (W-\-Wo). C)
Содержащий зависимость от координат множитель будет равен (в отличие
от 4, <{/0 действительна)
Поэтому
Электрическое поле излучения для достаточно удалённой точки наблюдения
получается отсюда с помощью A.8.21). Компоненту, перпендикулярную к
направлению излучения, мы получим, если заменим в D) р на \р. | = sine
J) Вентцель называет его ^собственным», а опускаемый нами «несобственным!
членом рассеяния и рассматривает второй как малую первого порядка по сравнению
с первым. Ср. О. Wentzel, Hand. d. Phys. (Oeiger — Scheel), XXIV, ч. I, 2-е нзд.,
стр. 770.

508 ЭФФРКТ КОМПТОНА [ГЛ. Vlll.
[ср. C.5в)|. Следовательно,
ll'()J«—*-
_в-*ь- (t--) J,^.,_fci4<ft j t Da)
Добавление какого-либо множителя для обеспечения сходимости
(размазывание по импульсам) оказывается здесь излишним, так как % обеспечивает
достаточно быстрое обращение в нуль на бесконечности координатного
пространства (размазывание по импульсам обеспечивается здесь автоматически
атомными движениями связанного электрона). Путём усреднения по времени,
которое оставляет только член с удвоенным произведением, из Dа) следует:
sin2 H J '^e%KU> dz \ W*~fci4 d'- <4б>
— /»/72
Построим отношение среднего потока энергии. S = -^- к падающему потоку
энергии So C.20а):
В случае неполяризованного излучения вместо sin2 В возникает [ср.,
например, C.30)]:
^i 16)
До сих пор мы проводили вычисления с произвольно выбранной
собственной функцией ■!> непрерывного спектра, следовательно, с некоторым
определённым значением энергии W и [ср. C)| определённой частотой ».
Однако принципиально в комптоновском рассеянии участвуют все частоты -/,
которые совместны с уравнением C). При этом в рассмотрение надо
включить и энергетические уровни W=—Wk дискретного спектра. Исключение
составляет только основной уровень \У = —Wo, -/ = v (ср. ниже). Мы
получаем, таким образом, принципиально бесконечно протяжённый комптонов-
ский спектр, частично непрерывного, частично дискретного характера. То,
что, несмотря на это, практически дело ограничивается одной более или
менее узкой линией, достигается за счёт быстрого убывания интегралов
в E) для всех значений v', заметно отличных от определённого оптимального
значения (§ 6).
Мы должны поэтому просуммировать E) по всем дозволенным C)
значениям ■/, и притом, как и ранее (ср., например, стр. 491), считая
излучение некогерентным, так как испускание различных »' происходит с
независимыми фазами. При этом все точки шкалы частот войдут с одинаковым
весом, так как мы нормируем собственные функции непрерывного спектра
«на интервал AW». Именно, мы потребуем, чтобы
(Г,
Г dx Л. [ dг Y (W) НЮ = j о G)

§ 5| ЭФФЕКТ НОМПТОНА Н\ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНАХ 509
судя по тому, лежит ли W в интервале интегрирования Д№ = №2 — Wl или
нет (ср. примечание 2 на стр. 108). Так как в силу C) шкала энергий связана
со шкалой частот ч' линейным образом, то одинаковым A W будут
соответствовать и одинаковые Av'. Следовательно, при такой нормировке надо будет
действительно приписывать всем интервалам шкалы частот одинаковые веса.
Таким образом, мы приходим, исходя из E), к суммарному излучению х):
где мы обозначили
/=и,0*-2*Ч /• = .^+в«ГЧ; (9)
индекс W в (8) указывает на то, что ^ и •{»• относятся к одному и тому же
собственному значению W (одинаковые частоты) в равной степени и для
непрерывного и для дискретного спектра.
Разлагая 2 на сумму по дискретному спектру и интеграл по непре-
V'
рывному спектру, мы получаем:
со
Ijjw*- A0)
»' к
Штрих у 2 означает, что основное состояние следует, как уже указывалось
выше, исключить. В интегральной части мы скомпенсировали введение
дифференциала dW знаменателем AW, причём, естественно, в конце вычисления
должен быть проведён предельный переход AW=0.
Для того чтобы сразу выполнить теперь в A0) и суммирование и
интегрирование, будем считать, что / и /* разложены по полной системе
собственных функций:
01)
Г = 2 Лй-1- J dWay/w.
о
Коэффициенты А вычисляются известным приёмом Фурье:
A2)
') Суммирование в (8) распространяется на все рассеянные частоты •/ в
пределах от частоты падающего излучения ч'=ч и вплоть до -/=0. При этом
множитель -/2, который, собственно говоря, должен был бы стоять под интегралом, надо
рассматривать как усреднённое значение (<'J. что, впрочем, несущественно из-за
практически весьма малой ширины рассеянного спектра.
Далее в (9) фаза ц заменена её средним значением и зависит, собственно говоря,
от v' [урлвнение Dа)]; это несущественно для выполняемого далее суммирования. Это
является законным, если измеренная в волновых числах ширина области заметного
рассеяния мала по сравнению с обратной величиной атомного диаметра, ср. Вентцель
(примечание на стр. 507), стр. 777.
Кроме того, в A0) верхний предел интегрирования по W заменён на W=co,
в то время как в силу закона сохранения энергии C) должно было бы быть
W = Нч—Wq. Так как, однако, в A0) речь идёт о сходящемся интеграле, то и эта
ошибка несущественна для достаточно большого Лч

510 ЭФФРКТ КОМПТОНЛ [ГЛ. VHI
Чтобы получить соответствующее представление для aw, помножим первое
из уравнений A1) на <b*w, d-z, проинтегрируем по всем d~ и учтем
ортогональность не только между дискретным и непрерывным спектром, но и между
различными функциями непрерывного спектра. Получаем:
причём интервал AW=W3— W^ включаете себя значение W=> W'. Но,
согласно содержащемуся в G) условию нормировки, правая часть последнего
равенства равна aw ^W. Если мы будем теперь ещё писать W вместо W,
то получим окончательно:
a^=mjf'^dz и потому aV=Ar
Вычислим теперь из A1), учитывая ортогональность и нормировку:
со
J f/tk = 2 А*кАк + J dWa*w AWaw A4)
о
и подставим в правую часть выражения A2) и A3). Тогда мы получим
правую часть A0) с той единственной разницей, что в A4) в сумму включён
и основной уровень, который в сумме в A0) надо было опустить. Поэтому,
если мы припишем основному уровню индекс k = 0, то в качестве
значения A0) получим:
2'=///Л —4Д,. A5)
Однако в силу определений (9)
а согласно A2)
где к),, — то значение -ц, которое получается из Dа) для n'^v, т. е.
j(n — e, г). A6)
j
В силу A5) теперь получается:
и согласно (8)
<">
Индекс С отмечает, что это выражение относится к комптоновскому
рассеянию (некогерентному рассеянию с изменённой частотой) *). 11аоборот, релеев-
') В уравнении A7) нельзя совершить переход к случаю свободного электрона,
просто положив <К> = °; хотя мы н получили бы при этом уравнение, имеющее
форму C.29), но с неверной степенью —. Причина лежит в сделанных в настоящем
расчёте пренебрежениях, особенно в усреднении % ср. примечание на стр. 509.

§ 5] ЭФФЕКТ КРИПТОНА НЛ СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОНАХ 511
ское рассеяние (когерентное рассеяние с неизменной частотой) мы будем
обозначать в отличие от первого индексом R. Заметим ещё, что оба первых
множителя в A7) образуют, как это уже упоминалось в связи с B.32),
выражение классической формулы рассеяния Герца и Томсона:
<?2\2 5|п3е
Мы хотим теперь вычислить и релеевское или когерентное рассеяние,
при котором конечное состояние <]> совпадает с начальным состоянием 40.
Поскольку конечное состояние теперь фиксировано, предпринятое в (8)
суммирование отпадает, и мы можем получить выражение для Sr
непосредственно из E), полагая в нем ч' = ч и ^i = '»i0 из A6):
Если положить теперь в A7)
V=l. B0).
что является хорошим приближением для обычных рентгеновских лучей (но
не для f-лучей), то мы получим из A8) и B0) любопытное соотношение:
Sa + So = SK.. B1)
которое особенно подчёркивается Вентцелем (см. примечание на стр. 480).
Итак, вычисленное с помощью волновой механики полное рассеяние,
релеевское -+- комптоновское, совпадает с классически вычисленным полным
рассеянием.
Рассмотрим теперь входящий в A7) и A9) интеграл, который мы будем
называть атомным фактором и обозначать через F:
Мы подставили здесь для т|0 его значение A6), а для -!^ — р — плотность
заряда в основном состоянии.
Обозначим угол между я и е («угол рассеяния») через ft и введём,
как и на рис. 24 на- стр. 338, полярную ось А, параллельную
направлению я—е. От направления этой оси мы будем отсчитывать угол а, а
вокруг этой оси — угол 3, так что а и 3 будут обозначать полярные
координаты радиуса-вектора интегрирования г B2). Получим тогда:
о о
1 я — е I = 2 sin tj- , (я — е, г) = 2 sin -ц г cos а,
dz = r1 dr sin а da </3,
F = С С С peixr c°s v3 dr sin a da d), B3)
где
v. = Ysin~2- {2Ъ&)
Выполнение интегрирования по а, если мы примем, что р, как в основном
состоянии атома водорода, не зависит от а, даёт:
J
eixr сов « sin ada= е ~ , = 2 -т^-. B36)
о"

512 ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ [ГЛ. VIII
Остающийся двукратный интеграл по г и по |3 можно переписать опять
в виде трёхкратного интеграла по d-z, причём возникший в последней строчке
множитель 2 снова пропадёт из-за
f
sinadot = 2.
Итак, мы получим в качестве определения атомного фактора
B4)
Отношение выражений A7) и A9) можно теперь просто выразить с помощью
этого F:
SC Л/ \2 1 _ /Г2
Это отношение справедливо для одноэлектронной задачи в водороде.
Как обобщается эта формула на случай многоэлектронной задачи?
Пронумеруем электроны числами от 1 до Z и вспомним, что в случае релеевского
рассеяния Z электронов излучают когерентно, а в случае комптоновского
рассеяния — некогерентно. Поэтому, вычисляя суммарное рассеяние, мы
должны заменить в числителе B5)
1-/* на
в знаменателе же, наоборот,
П на
При этом B5) перейдёт в
Sc 7
Эта формула была подвергнута тщательной опытной проверке *) для
азота, кислорода и аргона 2). При этом для теоретического вычисления Fn
использовался весьма точный метод Хартри. Сравнение теории с опытом
дано на рис. 42. Как мы видим, согласие является полным.
Удовлетворительные результаты даёт и более схематическая модель Томаса — Ферми 8).
Одновременно этот рисунок убедительно подтверждает высказанное в
начале этой главы (стр. 480) утверждение, что комптоновское рассеяние
характерно для свободных электронов, а релеевское рассеяние, напротив, невозможно
для свободных электронов и вызывается связью между электроном и ядром,
с помощью которой достигается выполнение баланса импульса. Действительно,
1) Е. О. WoIIan, Phys. Rev. 43, 955 A933); ср. также Rev. Mod. Phys. 4, 205
A902).
2) В случае аргона в числитель B6) нужно ввести выведенную Валлером (см.
сноску ни стр. 480) поправку, на которой мы не будем здесь останавливаться.
3) P. Debye, Phys. Zs. 31, 419 A930); W. Heisenberg, там же 32,
737 A931) и примыкающие таблицы Bewiloqua. Из вычислений Гайзенберга
получается, что наше представление эффекта Комптона требует введения поправки, так
что в числителе B6) оказывается не в точности тот же множитель Fn, что в
знаменателе. Ср. также и предыдущее примечание.

§ 61
ШИРИНА И ФОРМА КОМПТОНОВГКОЙ ЛИНИИ
513
наш рисунок показывает, что в пределе Z-*-0 (свободный электрон) релеев-
ское рассеяние исчезающе мало по сравнению с комптоновским, в то время
как при больших Z, наоборот, превосходит его.
Поляризацию комптоновского рассеяния можно получить из формулы Dа),
которая остается справедливой и для случая релеевского рассеяния, если
положить в ней v' = v. В обоих случаях векторный характер излучения
определяется вектором р±. Если падающее излучение полностью поляризовано,
то полностью поляризованы и рассеянные комптоновское или релеевское
излучения; при не полной поляризации оба рассеянных излучения поляризованы,
вообще говоря, в одинаковой степени, однако
если наблюдение производится под прямым 3-.
углом (!) = -j) к направлению падающего
излучения, то из общих соображений волновой
оптики следует, что и для неполяризованиого
первичного излучения оба вторичных излучения
будут полностью поляризованы.
Экспериментальная проверка этого
утверждения была предпринята в опытах Кальмана и
Марка х), которые сравнивали интенсивности
смещённой и несмещенной линий в
окрестности угла ft = ^-, после того как обе были
г, Рис. 42. Отношение комптонов-
отражены от одного и того же кристалла. При ского рассеяния к релеевскому.
этом поручилось, что отношение интенсивностей
5 N0 10
15 Дг
Сплошная кривая —
теоретическая. Опытные точки из
работы Уоллена для N, О и Аг.
постоянно, т. е. что поляризация одинакова.
Эти измерения проводились с помощью
классического метода Баркла (ср. т. I, гл. I. § 5).
То, что угол полной поляризации всегда совпадаете-^-, было показано
Барнетом и Бердином 2) под руководством Комптона.
Гораздо более сложным, чем развитая здесь теория, является
релятивистское рассмотрение эффекта Комптона на связанных электронах; в перную
очередь здесь шла бы речь о получении аналога формулы Клейна— Нишнны
для простейшего случая атома водорода. Это удалось, однако, выполнить
лишь приближённо 3).
§ 6. ШИРИНА И ФОРМА КОМПТОНОВСКОЙ ЛИНИИ
С самого начала ясно, что в случае связанных электронов законы
сохранения как энергии, так и импульса должны выполняться лишь с
некоторой неточностью. В случае импульса это происходит из-за того, что
электрон отдачи обладает до соударения некоторым неопределённым по величине
и направлению начальным импульсом, который входит в баланс импульсов.
Для энергии эта неточность возникает, несмотря на точное определение
начальной энергии, из-за того, что в неб входит энергия электрона отдачи
в конечном состоянии, которая исключается с помощью закона сохранения
импульса (ср. т. I, гл. I, § 7).
1) Н. Kallmann u. H. Mark, Zs. f. Phys 36, 120 A926).
2) С. S. Barnett a. J. A. Bearden, Phys. Rev. 2\ 352 A927).
Ur,r,asJm'r' Helv- Phys- Acta «•• 287 i'933i. ср. также W. Pauli, там же,
стр. 279; W. Franz, Zs. f. Phys. 90, 623 AУ34); 95. 652 A936).
33 3u. 968. А. Зомыерфели

514 ЭФФЕКТ КОМПТОНЛ [ГЛ. VIII
Для того чтобы определить эту неточность количественно, мы обратимся
к E.5). Из этого уравнения следует, что относящееся к определённому v'
излучение пропорционально квадрату абсолютной величины интеграла
A)
Опуская нормировочные множители, которые несущественны для вычисления
формы комптоновской линии, положим
г
%~е~, $~<?llfcr>- B)
Вид A) указывает, что существенными являются только значения г <а\
для больших г % экспоненциально убывает, поэтому неправильный выбор <|»
в этой области окажет слабое влияние на результат. Мы получили ранее
(VII.2.4) точное выражение для собственных функций электронов отдачи
в атоме водорода; кроме экспоненты ei(kr\ которая характерна для
свободного электрона, оно содержит ещё и функцию Лагерра L, которая
описывает связь электрона. Но для л = 0 последняя обращается в единицу.
Поэтому для наших настоящих целей мы можем ограничиться для <{< простым
выражением B).
Согласно A) и B) получаем:
Этот интеграл вычисляется элементарно, если ввести для г я к полярные
координаты г, а, р и k, а', р', направляя полярную ось, как и на стр. 338,
по направлению вектора
q=^-iye-Vny D)
Находим тогда
J ~ [ 1 + & (q* + ft» — 2qk cos о') Ja ' К '
Квадрат J (У оказалось действительным) мы должны подставить в
формулу E.5) для интенсивности излучения. Тогда умноженная на dQ'=sin a' da' dp
эта формула будет соответствовать части излучения, отвечающей
элементарному процессу, при котором электрон отдачи попадает в элемент телесного
угла dQ'. Мы интересуемся полным излучением в интервале частот </■»' и
должны поэтому проинтегрировать по dQ', т. е. образовать
F)
оставляя при интегрировании k постоянным, так как, согласно E.3), каждой
частоте ч' непрерывного спектра отвечает определённое значение k
[входящая в E.3) кинетическая энергия пропорциональна №\. Находим без труда:
64*з а* , 1 ,
~ 3 qk \ ll+a*(q — ft)»]» ""Г
Невыписанный член, который отвечает нижнему пределу cosa' = — 1 и
может быть поэтому получен из выписанного заменой q — k на q-\-k,
можно опустить. Из G) видно, что максимум интенсивности лежит при k = q.
Но, согласно E), k = q тогда приводит к максимуму J, когда а' = 0. Но
а' = 0 означает совпадение направлений обоих векторов кпд. Так как их

§ 6] ШИРИНА И ФОРМА КОМПТОНОВСКОЙ ЛИНИИ 516
длины также равны (к == q), то отсюда следует векторное равенство k = q,
которое означает, согласно D), закон сохранения импульса для свободных
электронов. Итак, главный вклад в максимум интенсивности G) вносят такие
электроны, для которых почти выполняется закон сохранения импульса для
свободных электронов. К учету влияния связи на положение максимума мы
вернёмся ниже.
Значение G) при k = q составляет:
_ _ 64я» а*
Сравнение его с G), если обозначить ДЛ = ±:(Л— q) и положить —
приближенно равным единице, приводит к
S ' , (9)
Поставим теперь вопрос о полуширине комптоновской линии, т. е. о таких
значениях ДЛ, для которых
-
Из (9) мы получим:
—\ ==tO,51. A0a)
Это сразу дабт полуширину в шкале волновых векторов электрона отдачи.
Чтобы перевести ее в шкалу частот рентгеновского излучения, мы должны
возвратиться к E.3). Согласно этому уравнению при постоянных v и №0
следовательно, так как W
2m '
b^=-—~kUt. A06)
В силу A0а) отсюда следует, если мы, как и ранее, положим k~q:
Теперь, в силу D),
q = — Kv* -J- •/* — 2w' cos »,
или, если мы положим ч'~*,
9 = ^V2-2coS0=^lsln*-,
откуда, согласно A0в),
— = dr — -MLsin * . (Юг)
ч me a 2 v '
Наше вычисление относилось пока только к водородному атому, для
которого работа иоыивации электрона отдачи составляет Wo=-^. Мы
33*

516 ЭФФЕКТ КОМПТОНА [ГЛ. VIII
1 2Wn
перейдём к другим атомам, если просто заменим в (Юг) — на —j^, где Wo
должно означать работу ионизации для произвольного атома. Одновременно
мы перейдём от шкалы частот •» к шкале длин волн к и обозначим
полуширину в этой шкале через Л/. Получаем:
а. "~|~ «а тс2 ' 2'
Здесь —1-=137 означает обратное значение постоянной тонкой структуры;
поэтому
Итак, полуширина комптоновской линии составляет:
2Д/ = 558-^ ksw^r. A1)
СО Z
Следовательно, она должна расти:
1) пропорционально длине волны падающего излучения при постоянном
угле рассеяния;
2) пропорционально синусу половины угла рассеяния при постоянной
длине волны.
Оба эти закона были с большой точностью подтверждены в
выполненных Дю-Мондом1) многолетних трудных измерениях. Особенно поучительным
является то, что сам Дю-Монд вывел эти законы, исходя из классических
представлений об эффекте Допплера на электронах, движущихся в атоме
в смысле волновомеханически дополненной боровской модели.
Потребовавшиеся для этого вычисления оказались, несмотря на их элементарный
характер, более сложными и длинными, чем наш волновомеханический расчёт. Эти
расчёты весьма поучительным образом показывают, что волновая механика
имеет смысл статистики неизвестных по отдельности электронных орбит
и является, следовательно, закономерным продолжением старых
представлений, а не их опровержением.
Наконец, в соответствии с A1) мы устанавливаем, что ширина линии
3) должна возрастать пропорционально энергии связи Wo
рассеиваемого электрона в рассматриваемом атоме.
Измерения Дю-Монда не дают, однако, подтверждения этого
утверждения, так как в них использовался в качестве рассеивателя в основном графит.
Ниже мы познакомимся с доказательствами и этого следствия из теории.
В то же время было бы ошибочным принять, что ширина комптоновской
линии должна была бы вследствие этого систематически нарастать с ростом
атомного номера рассеивателя, так как энергия связи внешних электронов
ни в коей мере не растёт вместе с атомным номером элемента, но остаётся
примерно постоянной по столбцам периодической системы (для
щелочных металлов даже убывает в ряду от Li до С£). И в самом деле, старые
наблюдения By'-') при помощи ионизационной камеры, выполненные с
большим количеством различных рассеивателей (от Li до Си), и фотографии
>) См. в особенности обзор в Rev. Mod. Phys. S, 19 A933). Прежние работы,
частично выполненные совместно с Киркпатриком, опубликованы в Phys. Rev.
в 1929 и 1931 гг. См. также Е. О. W о 11 а п. Phys Zs. 35, 353 A934).
2) А. Н. Com pi on a. Y. H. Woo, Proc. Nai. Akad. 10, 27! A924); ср. также
А. Н. С о m р [ о п, X-Rays and Electrons (Х-лучн и электроны), стр. 268. Нью-Йорк, 1926.

§ 61
ШИРИНА И ФОРМА КОМПТОНОВСКОЙ ЛИНИИ
517
Росса1) не указывают ни на какое уменьшение резкости линии с ростом
атомного веса.
Выходя теперь за рамки специального рассмотрения вопроса о
полуширине комптоновской линии, перейдём к обсуждению более общей задачи
о форме комптоновской линии, которая представляется (на шкале волновых
векторов k электронов отдачи) нашим уравнением (9). В основном то же
самое представление сохраняется и в шкале длин волн к рассеянного
рентгеновского излучения. Именно, если мы введём:
где Д/ означает рассмотренную в A1) полуширину, а ДА. — разность длин
волн относительно середины линии (точка максимальной интенсивности), то
мы можем написать вместо (9):
A3)
Как и должно было быть, для х = О отсюда получается 5 = SMa«c, а для
х=1 5 = у5ма.о (ср. рис. 43).
В предыдущем изложении мы совершили большое число пренебрежений:
заменили волновую функцию электрона отдачи 6 плоской волной B),
вычеркнули в правой части G) второй член и т. д. Напротив, Шнайдт'2) провёл
все вычисления для случая водорода точно, используя параболические
координаты. Результат (рис. 6 работы „
Шнайдта) отличается от нашей
формулы (9) только параллельным
сдвигом всей кривой вдоль оси
абсцисс, который переводит
максимум линии из точки k = q (9)
в точку, отвечающую значению k,
получающемуся из уравнения
= aV- A4)
следующее
-Л1
Al
Рис. 43. Форма комптоиовской полосы на шкале
длнн воли- 2Д/ —полуширина. ДХ —отклоие-
иие от сеРедины полосы-
Этот сдвиг имеет
происхождение.
Уравнение k = q определяет,
согласно D), сохранение импульса
при пренебрежении связью. Мы
сохраним это пренебрежение для
момента соударения, но не для вычисления окончательного, лишь постепенно
устанавливающегося состояния электрона отдачи. Мы хотим, следовательно,
провести различие между волновым вектором k0 электрона непосредственно
после соударения и окончательным волновым вектором k на большом
расстоянии от атома.Их связь можно получить из баланса энергии
где в правой части стоит первоначальная кинетическая энергия и разность
энергий свободного и связанного электрона. Мы можем переписать это
1) P. A. Ross Ргос. Nat Acad. 10, 304 A924); равно как н А. Н. Со rap to п.
цит. на стр. 516, стр. 269.
a) Fritz Schnaidt, Diss. Munchen, Ann. d. Phys. 21, 89 A934).

518
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
[ГЛ. VIII
уравнение, если умножим его на аа и положим Ло = q, в виде:
A4а)
Второй член в правой части равен единице в силу хорошо известных
соотношений, имеющих место для атома водорода
те*
A46)
Но тем самым A4а) совпадает с
A4), и мы показали, что исправленное
с помощью A4)
положение максимума полностью
укладывается в основные
представления теории
эффекта Комптона, так как
следует из применения к
процессу соударения законов
сохранения энергии
(учитывающего энергию связи) и
импульса. Только после
введения поправки A4)
положения нашего максимума
из A3) совпадет с компто-
новским значением (I.I).
Заканчивая обсуждение
уравнения A4), следует ещб
заметить, что оно было
получено Шнайдтом только
в качестве первого
приближения. Следует ожидать,
что во втором приближении
обнаружится небольшое
отклонение от комптоновского
значения. Такое отклонение
действительно наблюдалось Россом и Киркпатриком *) для Be и С и
обсуждалось с теоретической стороны Блохом 9).
Наше предыдущее рассмотрение положения и формы комптоновской
линии относилось, как мы это неоднократно подчёркивали, к случаю
водорода. Чтобы перейти к другим, легче поддающимся наблюдению атомам,
нужно сложить вклады различных оболочек, заменяя при этом водородный
радиус а на -=-^—, где под 5 понимается относящаяся к рассматриваемой
оболочке постоянная экранирования. Из утверждения 3) на стр. 516 мы уже
знаем, что вклады от отдельных оболочек растут с увеличением связи
оболочки. Мы покажем это на примере неона, используя вычисления Буркхардта 3):
Tf-электроны, обозначенные на рис. 44 как Is, дают совершенно плоскую,
расплывшуюся кривую соответственно их сильной связи, /.-электроны Bs и 2р)
Рис. 44. Теоретическая форма комптоиовской линии
для неона по Буркхардту. Жирная кривая является
суммой изображённых тонкими кривыми вкладов
/С-оболочки (кривая Is) и/.-оболочки (кривые 2s н 2р).
1) P. A. Ross а. Р. KirkpaJrick, Phys. Rev. 46, 668 A934).
2) F. В loch, там же 46, 674 A934).
3) G. Bu rk hard t, Diss. Miinchcn, Ann. d. Phys. 26, 567 A936). Вычисления
производились по методу Дю-Монда (см. выше) с помощью рассмотрения эффекта
Допплера для движущихся К- и /.-электронов, распределение которых по импульсам
заимствовалось из шредиигеровских собственных функций с постоянными
экранирования, вычисленными Слетером [J. С. Slater Phys. Rev. зб, 57 A930)].

§ 61
ШИРИНА И ФОРМА КОМПТОНОВСКОЙ ЛИНИИ
519
требуют из-за разных постоянных экранирования раздельного рассмотрения.
По оси абсцисс отложены длины волн, максимум соответствует комптонов-
ской длине к = >.с.
На рис. 45 кривая // передает ту же самую теоретическую кривую
рис. 44, а кривая /// — результат соответствующего расчёта с собственными
функциями Хартри — Фока. Кривая /, приведённая к одинаковому значению
в максимуме, передаёт
результаты опытного
наблюдения формы линии у неона 1).
Она очень хорошо
согласуется с теоретическими
кривыми // и ///.
Наоборот, кривая IV
ведёт себя совершенно иначе.
Она вычислена с помощью
статистической модели
Томаса — Ферми, в которой
присутствуют внешние части
электронного облака с исче-
зающе малой связью.
Поэтому эта модель приводит
к излишне резкой форме
комптоновской линии. Чтобы
сделать это особенно
наглядным, нам следовало бы
изобразить эту кривую на
рисунке, приведя её не к
равной интенсивности в
максимуме, как то сделано со
всеми
полной интенсивности (пло
-30
-20
Ю
20
ЗОХ
Рис. 45. Форма комптоновской линии для неона.
Кривая /—опытная, по измерениям Капеллера для
облучения Ка линией молибдена с ). = 107.6Х.
Кривые //, /// и IV— вычисленные Буркхардтом.
кривыми, но к равной Угол рассеяния ft~ 180°, максимум коротковолновой
I интенсивности Гпло- полосы при X = 756Х.
щади под кривой), которая, как то следует из результатов Гайзенберга
и Бевилога (см. примечание 3 на стр. 512), правильно передаётся и при
использовании метода Томаса — Ферми. Тогда возникла бы комптоновская
линия в высшей степени высокой и острой формы, совершенно
противоречащей опытной кривой /.
Форма комптоновских полос обладает ещё одной особенностью, которая
привела бы, если бы её удалось обнаружить на опыте, к особенно ценным
выводам относительно процесса отдачи. Именно вопреки предыдущим
кривым комптоновская полоса должна была бы иметь «естественную границу»
с коротковолновой стороны. Она получается из E.3), если положить в нём
W = 0 (кинетическая энергия электронов отдачи равна нулю). Если мы
обозначим разность длин волн, отвечающих этой границе и релеевской линии,
через ДА.р, то упомянутое уравнение с W = О даёт:
A5)
ch
(А. — длина волны падающего излучения или длина волны релеевской линии).
С другой стороны, для разности длин волн комптоновской линии (середины
комптоновской полосы) и релеевской линии можно, как известно, написать:
, = 2^-sin*-£,
1 тс 2 '
A5а)
1) Н. Kappeller, Ann. d. Phys. 27, 129 A936).

520
ЭФФЕКТ КОМПТОНА
[гл. vm
тем самым
Д\с
A6)
Для последнего преобразования были использованы соотношения A46),
которые приводят к тому, что последующие выводы опять относятся только
к случаю водорода. Для того чтобы получить хорошее разрешение компто-
новского и релеевского рассеяния, выбирают sin^ возможно большим,
следовательно, ft возможно более близким к it. Тогда последнее уравнение
показывает, что
Д^<ДХС для A.<4ito, 0 = it, A6a)
т. е. для не слишком мягкого рентгеновского излучения (а равно ■»■ А,
следовательно, А-ка = 6А). Рассматриваемая граница лежит в таком случае, как
-+-Х
-м,-
в)
Рис. 46. а —Относительное положение релеевской линии и комптоновской полосы для
больших углов рассеяния. Д«.~ < А«.№ б — Комптоиовская полоса обрезается при
подходящим образом выбранном угле рассеяния граничной длиной волны \д как раз
посередине Л^=Лас. в—При очень малом угле рассеяния от комптоновской полосы
остаётся лишь весьма незначительный хвост.
то показывает рис. 46 а, между релеевской линией и серединой
заштрихованной на рисунке комптоновской полосы; относительно примыкающей не-
ваштрихованной полосы см. ниже.
Однако для рентгеновских лучей любой жесткости можно выбрать такой
угол 0, чтобы граница попала бы, например, в середину комптоновской
линии, так, чтобы было, следовательно, АЛ, = ДЛе. Для К-линт меди,
Х=1,5А, это произойдет, если
Обе)

§ 6] ШИРИН* И ФОРМА КОМПТОНОВСКОЙ ЛИНИИ 521
Тогда комптоновская линия должна наблюдаться обрезанной посередине, как
это показано на рис. 46, б.
Для ещё меньших ft или для больших К граница g передвигается за
середину полосы в сторону больших длин волн, и поэтому от комптонов-
ской линии остаётся только небольшой остаток (рис. 46,вI).
Что произойдёт с интенсивностью обрезанной таким образом компто-
новской полосы? Мы знаем |уравнение E.21)|, что сумма интенсивностей
релеевского и комптоновского рассеяний равна интенсивности классического
томсоновского рассеяния. Мы знаем, далее, что при вычислении полного
«комптоновского» рассеяния надо суммировать по всем собственным
значениям полной системы собственных функций. Но к этой системе наряду
с непрерывными принадлежат также дискретные собственные значения
[уравнение E.10)|. В то время как переход на уровень непрерывного спектра
означает возникновение свободного электрона отдачи, переход на
дискретный уровень означает, что электрон перешёл в более высокое связанное
состояние. Так как для водорода п-е возбуждённое состояние обладает энергией
W _*А
wn— „a »
то для таких процессов закон сохранения энергии E.3) следует переписать
в виде:
hVn = h*-(Wn+-Wo) = h,-Wo(l-±). A7)
Это Avn больше, чем А-/, соответствовавшее нашей границе g, которая
отвечала ведь энергии № = 0. Следовательно, соответствующие длины волн
излучения будут меньше, чем длина волны кд, и примыкают к последней-
с коротковолновой стороны. Поэтому непрерывная комптоновская полоса
продолжается за g в виде ряда дискретных линий. На рис. 46а, б, в
подчёркнуто, что это продолжение (ср. незаштрихованное продолжение
заштрихованных комптоновских полос в левую сторону) происходит не только с
непрерывным изменением длины волны, но и с непрерывно меняющейся
плотностью энергии, если распределить содержащуюся в каждой линии
конечную энергию на интервал между двумя такими соседними линиями. Тут
следует сравнить замечания на стр. 113, где мы говорили об непрерывном
переходе дискретного спектра водорода в непрерывный спектр.
Для того чтобы полностью прояснить положение вещей, нам надо ещё-
вспомнить рис. 23а на стр. 322, относившийся к комбинационному
рассеянию в стоксовом случае . Энергия Av падающего излучения переводит
электрон из основного состояния в возбуждённое состояние, причём испускается
квант света, энергия которого, обозначавшаяся там через АЛ уменьшена
по сравнению с Av на энергию возбуждения электрона. Но это как раз и
составляет смысл предыдущего уравнения A7). Мы можем таким образом
сказать, что непрерывная комптоновская полоса продолжает с
коротковолновой стороны дискретный спектр комбинационного рассеяния. Вычисленное
в E.17) излучение 5с состоит не только из комптоновского, но и из
комбинационного излучения. Вкладом последнего в сумму E.21) теоретически
нельзя пренебрегать.
Возникает вопрос, можно ли н при каких условиях наблюдать на опыте
обрыв комптоновской полосы и её продолжение в виде комбинационного
') Собственно мы должны были бы говорить наоборот: середина комптоновской
полосы с уменьшением длины волны переходит в силу A5а) по мере уменьшения ft-
за границу g, длина волны которой сохраняется в силу A5) постоянной.

522 эффект криптона [гл. vm
спектра. Этот вопрос рассматривался Францем1) с помощью численных и
графических вычислений, и притом не только для водорода, но и для
других, более удобных для опытного исследования атомов. Рассмотрение
привело к тому выводу, что наблюдать комбинационный спектр едва ли
возможно, однако, наблюдение обрыва комптоновской полосы безусловно
возможно для соответствующих атомов под надлежащим образом
выбранными углами. При этом для тяжёлых атомов следовало ожидать
обнаружения не одной, но многих ступенчатых изменений интенсивности, отвечающих
работам ионизации различных оболочек. Наиболее удобным углом
оказывается не угол, соответствующий совпадению границы с серединой
комптоновской линии (наибольшая интенсивность обрыва), как это можно было бы
ожидать, исходя из рис. 46, б, но, вообще говоря, несравненно меньший угол.
В заключение мы хотели бы указать на наблюдения, впервые
опубликованные Райем9), которые сразу могли бы доказать наши утверждения
с другой стороны3). Речь идёт о прохождении рентгеновских лучей через
тончайшие слои, например углерода, при котором с длинноволновой стороны
первоначальной линии возникала новая линия, которая была «очень слабой,
широкой и диффузной» и «на коротковолновом краю которой представлялись
видимыми более или менее выдающиеся острые зубцы». Это описание
напоминает наш рис. 46, в, который был характерен для очень малых углов
рассеяния. Комптоновская полоса образовалась там границей g так, что
оставался только очень небольшой остаток. Для углерода этот остаток должен
был бы соответствовать /(-электронам, а граница g— /(-границе. (Гораздо
более слабо связанные /.-электроны должны были бы вносить вклад только
в среднюю часть комптоновской полосы, которая для малых углов по
существу совпадает с первоначальной линией.) С этим согласуется и то, что
согласно Райю рассматриваемая линия сдвинута относительно первоначальной
линии на частоту, соответствующую /(„-линии углерода, которая только
немного должна отличаться от /(-границы для того же элемента. Аналогичное
смещение наблюдалось также для рассеяния на N и О. Мы могли бы
поэтому (в противоположность Райю, который говорит об «частичном
поглощении рентгеновских лучей») интерпретировать эти линии как остатки /(-части
комптоновской полосы.
Не исключено, что тщательное повторение этих опытов могло бы
привести к положительному результату, если при их постановке будут
учитываться развитые здесь теоретические представления.
1) W. Franz, Ann. d. Phys. 29, 721 A937); ср. также непосредственно
предшествующую этой работе заметку автора.
*) В. В. Ray, Zs. f. Phys. 66, 261 A930), а так же работы R. С. Majuradar,
S. Bargava hJ. В. Muckerjee в Naiure, 1927.
a rg
•) J.
M. Cork, Phys. Rev. 37, 1555 A931) и др.

ГЛАВА IX
СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА.
ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
В старой квантовой теории задача построения модели гелия была
источником ряда произвольных предположений и противоречий. Модель,
выдвинутая Бором в 1913 г. (два электрона, обращающихся по одной и той
же круговой орбите в одну сторону в диаметрально противоположных
положениях), приводила к парамагнитному моменту в 2 магнетона.
Предложенная в 1921 г. одновременно Бором и Кемблом модель (два электрона
должны были обегать две наклонённые друг к другу на 60° круговые
орбиты) приводила к парамагнитному моменту в 1 магнетон и оказалась, как
показали более подробные вычисления Крамерса и ван Флека, нестабильной.
Эти модели, равно как и предложенная автором в 1924 г. модель,
приводившая, правда, к диамагнетизму, но в высшей степени искусственная, были
подвергнуты в четвёртом издании I тома подробному обсуждению.
Волновая механика разделалась с этими трудностями одним ударом,
причём оказалось достаточным прибегнуть к аналитической модели —
волновому уравнению для двухэлектронной задачи. В своей основной работе
1926 г. Гейзенберг1) смог разгадать загадку двух систем термов для пара-
и ортогелия. Паратермы оказались соответствующими симметричним, а орто-
термы — антисимметричным решениям волнового уравнения (симметричным
или антисимметричным в координатах обоих электронов).
Расщепление орто- и паратермов является проявлением (пользуясь
сделавшейся классической терминологией Гейзенберга) обменного эффекта.
Если мы пренебрежём в нулевом приближении взаимным отталкиванием
электронов, то получим следующую пару решений, относящихся к одной
энергии:
а) электрон 1 в состоянии п, электрон 2 в состоянии т;
б) электрон 1 в состоянии т, электрон 2 в состоянии п.
Таким образом, в нулевом приближении получается обменное
вырождение. Если прибегнуть к теории возмущений, чтобы снять это
вырождение, то совпадавшие уровни энергии для случаев а) и б) расщепляются, и
мы необходимым образом придём к построению их симметричной и
антисимметричной комбинаций. В § 2 будет показано, что уже первое
приближение теории возмущений приводит к качественно правильным значениям
энергетических термов, хотя и недостаточно точным для сравнения со
спектроскопическими измерениями.
. !) W. Н е i s е n b е г g, Ober die Spektren von Atomsystemen mit zwei Elektronen
(О спектрах атомных систем с двумя электронами), Zs. f. Phys. 39, 499 A926).

524 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
В § 3 тот же самый метод будет применен к двухэлектронной задаче
водородной молекулы, которая, так же как и задача гелия, не поддавалась
старой квантовой теории. Теория возмущений будет применена к случаю
произвольного расстояния между обоими Н-ядрами и приведет к
возмущенной энергии как функции расстояния. При этом окажется, что только
симметричная комбинация приводит к возникновению потенциальной ямы,
следовательно, обеспечивает возможность равновесия обоих ядер, в то время
как антисимметричная комбинация приводит к монотонно убывающей с
расстоянием энергии взаимодействия, т. е. относится к случаю отталкивания
ядер.
Этим результатом мы обязаны важной работе Гайтлера и Лондона1),
которые разъяснили иа этом пути проблему химической связи и свели ее
к обменному эффекту. Это объяснение переносится с молекулы водоррда
на все упомянутые гомеополярные связи в таких молекулах, как О9, N3, и
далее на гетерополярные связи в органической химии.
Как известно, Льюис предложил заменить простые валентные черточки
(—) классической химии картиной пары электронов (:), которые являются
общими для обоих связанных атомов, и соответственно двойную связь
органической химии- (например, С=С) символом двойной электронной пары (::).
Мы видим теперь, что эта картина знаменательным образом предвосхитила
волновомеханичёское представление о двух равноправных обменных
электронах.
Часто говорят, что «обменные силы» являются якобы специфически
квантовым явлением, не имеющим аналога в классической механике. Едва ли
можно поддерживать такое утверждение, если принять во внимание хотя бы
то, что Гейзенберг предпослал9) своей посвященной гелию работе
рассмотрение связанных осцилляторов, в ходе которого он разъяснил возникающие
при обменном вырождении соотношения на классическом примере
расщепления первоначально совпадавшего уровня энергии обоих осцилляторов на два-
отдельных, одни из которых отвечает симметричному, а другой
антисимметричному колебанию полной системы. Коссель8) заметил к этому, что, для
того чтобы сделать аналогию полной, надо привлечь не обычную картину
двух связанных маятников, но два индуктивно связанных электрических
колебательных контура; тогда в полном соответствии с гомеополярнои
связью возникнет электродинамическое притяжение обеих катушек при
симметричном и отталкивание при антисимметричном собственном колебании.
Вычисления для случая молекулы Н„, использующие «обменные
интегралы», оказываются более трудоемкими, чем в случае атома Не, так как
в первом случае невозмущенные собственные функции хуже удовлетворяют
условиям задачи, чем во втором. (Лучше всего здесь подходили бы в качестве
начальных функций собственные функции иоиа Но, но они были бы слишком
неудобными для вычислений по теории возмущений.) Вычисление обменных
интегралов было выполнено впервые.в завершение работы Гайтлера — Лондона,
Сугиура4); оно будет исчерпывающе изложено в § 4.
Различие между симметричными и антисимметричными состояниями
получает свое полное теоретическое истолкование лишь тогда, когда мы привле-
') Heitler u. London, Wechsclwlrkung neutralez Atome und homoopolare
Blndung nach der Quantenraechanlk (Взаимодействие нейтральных атомов и гомео-
полярная связь по квантовой механике), Zs, f. Phys. 44, 445 A927).
*) W. Helsenberg. Zs. f. Phys. 88, 441 A926).
>) W. Kossel, Phys. Zs. 82, 172 A931).
«) Y. Suglura, Zs. t Phys.45. 484 tf927).

§ 1] ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 525
каем к нашему рассмотрению наряду с координатами частиц также и их
спины. Мы могли бы дополнить тогда как симметричную в координатах, так
и антисимметричную в координатах собственные функции надлежащей
спиновой зависимостью либо до антисимметричной во всех переменных, либо до
симметричной собственной функции.
На примере атома гелия видно, что в этом случае в природе
осуществляется только антисимметричная система функций и что она не может
комбинировать с симметричной.
Это высказывание, расширенное до общего постулата, составляет волново-
механическую формулировку принципа Паули. Наше изложение в § 5
.подчеркивает, что он не содержится в основных положениях волновой механики,
но должен быть добавлен к ним на основе требований опыта. Элементарное
понимание принципа Паули («в каждом полностью определенном квантовом
состоянии может находиться один электрон») получается из волновомехани-
ческой формулировки («собственная функция полной системы антисимметрична
и координатах и спинах любой пары электронов»).
Учёт спиновой зависимости сразу дает возможность сделать общий обзор
мультиплетной структуры атомных термов: дублетов в случае одного
валентного электрона, синглетов и триплетов в случае двух, дублетов и квартетов
в случае трёх и т. д.
Вместе с числом валентных электронов возрастает и степень вырождения;
возникающий при вычислении возмущенных собственных значений определи»
тель будет иметь для N электронов порядок N\. Путь к общему
исследованию мультиплетной структуры с помощью методов теории групп был указан
в примыкающем к работе по Не исследозании Гейзенбергах) и продолжен
в работах Вигнера, Неймана, Гайтлера и др. Наше изложение будет
ограничено случаем двух электронов.
В.§ 6 мы познакомимся, приняв во внимание спин протонов, с различием
между орто- и параводородом. В этом случае речь идет не о симметрии
или антисимметрии по отношению к координатам электронов, как то было
в предшествовавших параграфах, но о симметрии или антисимметрии по
отношению к протонам.
Запрет комбинаций орто- и паратермов, равно как и отношение их ста-
тистических весов 3:1, объясняет поведение теплоемкости водорода при
низких температурах.
В § 7 мы рассмотрим ядра произвольного спина 5, исходя из модели
построения ядер из протонов и нейтронов. Параллельно различию целого и
полуцелого 5 идет различие между статистикой Бозе (симметричные
собственные функции) и статистикой Ферми (антисимметричные собственные
функции), где в обоих случаях речь идет о зависимости от
конфигурационных и спиновых координат ядра как целого, но не о его элементарных
составных частях, для которых всегда имеет место статистика Ферми.
Критерием для того, является ли спин целым или полуцелым, может служить
чередование интенсивностей во вращательных полосах двухатомных,
построенных из одинаковых ядер молекул.
В § 8 рассматриваются соударения между двумя одинаковыми ядрами:
протон-+протон, а-частица->-а-частица и т. д., для которых становится
существенным различие между статистикой Ферми и статистикой Бозе. Кроме
того, эта задача демонстрирует весьма убедительным образом волновую
природу частиц: наблюдения указывают на то, что частицы, т. е.
соответствующие им волны, интерферируют друг с другом!
1) W. Helsenberg, Zs. f. Phys. 41, 239 A927).

526 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ |ГЛ. IX
f 2. ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ.
ОРТО-И ПАРАСОСТОЯНИЯ
Волновомехаиической основой модели гелия является (ср. стр. 523) обще*
волновое уравнение для двух электронов:
„_ Ze* Z* e* (I);
где Л означает дифференциальный параметр в шестимерном
конфигурационном пространстве обоих электронов, который складывается аддитивно из обоих
трехмерных выражений At и Д9. Потенциальную энергию V мы записали в A)
для 'случая Z-кратно заряженного ядра; поэтому Z = 2 означает Не, Z = 1
соответствует иону Н~ (ср. гл. X, § 2), Z = 3, 4, ... —ионам Li+, Be++
наконец, г19 означает взаимное расстояние двух электронов, а г± и г9 — их
расстояния от ядра. Ядро мы будем считать закрепленным, т. е. обладающим
бесконечной массой.
Шесть степеней свободы уравнения A) будут описываться шестью
полярными координатами:
Однако к внутренней конфигурации атома относятся только три степени
свободы. Строение образуемого ядром и двумя электронами треугольника
задается, например, тремя величинами:
rv г9, cos в, в = (г1э Га). Bа)
Три остающиеся степени свободы относятся к ориентации треугольника в
пространстве и могут быть отделены. Поэтому возможно свести уравнение A)
к уравнению только с тремя независимыми переменными аналогично тому,
как производится сведение к меньшему числу степеней свободы в классической
механике, например путем использования законов сохранения трех компонент
момента в отсутствии внешних сил. Согласно Гронвалю1) при этом удобно
пользоваться тремя переменными s, <p и 0, которые связаны с переменными Bа)
следующими соотношениями:
■
/уъ sin в,
B6)
г1 —г* 1
s8 sin Э sin <р «я= -!-j—-, 4м sin j3 cos <р = 'Ув cos 6.
Мы придем тогда к дифференциальному уравнению:
_4 д /_,_nadV\ , 4
где введено обозначение
± \_
/= [2A-|-sin <p sin Э)]~2+[2A—sinesitip)) —
— sl-Il — cos«psin?]~2. (За)
!) Т. Н. Qronwall; опубликовано в работе J. H. Bartlett, Phys. Rev. 51,655
A937). Уравнение C) написано в видоизмененных единицах Хартри и относится только
к S-состоянню гелия.

§ 2] ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ. ОРТО- И ПАРАСОСТОЯИИЯ 527
Если бы уравнение C) допускало разделение переменных, то мы могли бы
перейти к точному интегрированию задачи гелия. Так как, однако, это
обстоятельство не имеет места, то нам придется удовольствоваться
приближенными способами, для которых уравнение в виде A) приспособлено лучше,
чем уравнение в виде C).
Основной особенностью уравнения A) является полная его симметрия
в координатах обоих электронов, которые мы произвольно обозначили как
«электрон 1» и «электрон 2». Эта симметрия сохранится, если мы пренебрежем
в нулевом приближении взаимодействием —. Потенциальная энергия будет
тогда равна
0 ri г%
Но тем самым уравнение A) допускает разделение на два уравнения кепле-
ровой задачи. Собственные функции этих двух уравнений мы будем
называть <|*A) и <|*B), а собственные значения W(l) и WB). Энергия в нулевом
приближении будет равна
W=W0=W(l)-{-WB). Dа)
Это собственное значение Wo двухэлектрониой системы является
вырожденным1). Именно к нему относятся две полностью равноправные собственные
функции
и v = <J>i B)фпA). E)
Индексы 1 и я здесь означают, что один из электронов находится на АГ-уровне
атома гелия,* а другой, вообще говоря, в другом, характеризующемся числом л
состоянии. Функции и и v удовлетворяют одному и тому же волновому
уравнению нулевого порядка:
■О-
F)
Исключением в смысле наличия вырождения является основное состояние гелия
(оба электрона на АГ-уровне), так как тогда я =■ 1 и u = v.
Следствием «обменного вырождения» является тот факт, что наряду
с функциями и и v уравнению F) удовлетворяет также и бесконечное
семейство функций
G)
Нам нужно найти теперь те функции из этого семейства, которые
непрерывно примыкают к возмущенным собственным функциям первого
приближения. Мы привлечем для этого теорию возмущений (гл. V, § 1, Б),
специализированную для случая однократного вырождения.
') К обменному вырождению здесь добавляется ещ5 и известное нз случая
водорода вырождение в угловых переменных, поскольку к каждому заданному
собственному значению 1ГA) или IF B) относится ещб яа различных водородных собственных
функций <|«, которые отличаются друг от друга квантовыми числами / н т. Вырождение
по / снимается взаимодействием обоих электронов одновременно с обменным
вырождением;- оно является («— ])-кратным, в то время как обменное вырождение будет
1-кратным. В дальнейшем нам не придется иметь дело с /-вырождением. Нам не
понадобится здесь обращать внимание и на m-вырожденне, которое снялось бы только при
наложении магнитного поля.

528 СП»КТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОВЛРМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. ПС
Мы будем обозначать далее собственные функции и собственные значения
первого приближения через 47 и W и положим, как и в (V. 1.4а):
T = w-|-<p, W=W0+tt. (8)
Подстановка в A) дает из-за /.(•») = О в пренебрежении малых высшего
■порядка;
%<•—•)«. *•—£• (?)
Правая часть этого неоднородного уравнения должна быть, согласно
основной теореме теории возмущений на стр. 294, ортогональна к решениям
однородного уравнения, следовательно, в частности, к а и v. Получаем:
A0)
где dx = dx1dtb — элемент объема шестимерного конфигурационного
пространства. Подставляя да из G), получим два уравнения:
(И)
В соответствии с (V. 1.20) введем обозначения:
tu =ь Г sa*a rfx, ela = Г
8^ ss j W*a rft. Egg = Г
A2)
я заметим, что водородные собственные функции <\ и <|»п в E) ортогональны
лруг к другу и могут считаться нормированными, так что
A3)
Учитывая еще, что в является постоянной, т. е. может быть вынесено за знак
интеграла, мы сможем написать тогда вместо A2):
«(•it —«> + ?«tt =0, j
1
Исключение i и р приводит к квадратичному уравнению относительно в:
=0. A5)
Заметим теперь, что v получается из а, следовательно, вм—из eu и
«2! — из в19 путем обмена обоих электронов. Так как, однако, в отношении
интегрирования по dx оба электрона являются равноправными и так как s
{ср. (9)] симметрично в обоих электронах, то должно быть
•м = eU» *91 ^ •!«•
Следовательно, наше квадратное уравнение переходит в

f 21 овмвшюе выюивнйв в спектре гения, орто- и пардсосгояния 529
и
в =seu Ц1*а. A6)
Тем самым мы нашли собственное значение в первом приближении:
двукратное в нулевом приближении собственное значение W0=W(l)-\-WB)
расщепляется в первом приближении на два несколько различающихся
значения:
U7=U70H-eilrp49. A6а)
После того как в найдено, из A1) можно получить отношение у. Имеем:
Подстановка в G) дает:
Значение а определяется из того требования, чтобы w было нормированным
на 1. Сразу получаем 1 = 2аЗ, следовательно,
Это как раз и будут те два решения нулевого приближения, к которым
непрерывно примыкает возмущенное решение. Как мы видим, особая роль
«внутреннего электрона», которую мы приписали первому либо второму
электрону в и или v, стирается в существенных для дальнейшего
комбинациях да; w построена таким образом, что она либо симметрична, либо
антисимметрична в координатах обоих электронов.
Покажем теперь, что обе системы состояний, которые приближенно
представляются выражениями A7), не могут комбинировать друг с другом,
для доказательства образуем матричный элемент Мат какой-либо из
координат q = x, у, z для перехода из состояния ^и^_>л в состояние (»~~z!m :
Чтобы понять множитель qx-\-q^, вспомним, что матричный элемент
произошел (ср. стр.. 53) от электрического момента, который составляется
аддитивно из моментов отдельных электронов.
Итак мы видим: оба первых множителя под знаком интеграла в A8)
симметричны в координатах обоих электронов 1 и 2, а третий — антисимметричен.
Следовательно, при обмене 1 и 2 у Мпм меняется знак. Но qt и q.3 являются
просто переменными интегрирования, и поэтому их взаимная замена не
может изменить численного значения Мпт, так как сводится к изменению
обозначений переменных интегрирования. Следовательно, должно быть М„т==0.
Согласно стр. 54 это означает, что переходы между двумя системами
состояний запрещены.
Этот запрет указывает сейчас же на наличие двух не комбинирующих
друг с другом систем термов орто- и парагелия. При этом является
существенным, что этот запрет имеет место не только, как было здесь доказано,
в нулевом приближении, но является точным, что следует из того, что
четность или нечетность сохраняется и при привлечении следующего
приближения, т. е. функции в из (8), и всех высших приближений. Мы отвлекаемся
при этом от вращения электрона (спина). Его учет приведет к
возникновению в случае гелия весьма слабых, а для тяжелых атомов заметно более
сильных интеркомбинаций обеих систем термов.
34 3«к. 968. А. Зошерфелкд

530 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Какую же из двух систем функций G) должны мы приписать орто-
а какую парасостояниям? Мы утверждаем:
симметричная система (u-\-v), паратермы, 1
антисимметричная система (в — v), ортотермы. /
Для доказательства обратимся к рис. 92 первого тома. Он показывает, что
основной терм Is является парасостоянием, в то время как ортоспектр вообще
не обладает состоянием типа Is, далее, что ортотермы пр, nd, ... лежат
несколько ниже паратермов «Я, nD, ... С другой стороны, теоретически
основным термом является, как мы замечали уже в связи с E), терм с л = 1,
u — v. Но это значит, что для антисимметричной группы при э~ом будет
ш = 0 в нулевом (и в старших) приближении. Следовательно,
антисимметричная система не обладает основным уровнем и должна быть отнесена
поэтому к ортоспектру в соответствии с нашим утверждением A9). То же
самое следует и из относительного положения симметричных и
антисимметричных уровней. Именно A6а) совместно с A7) дает:
M. B0)
Если записать в соответствии с A2), в13 в виде:
<O)fc(ft j
\t <2>-
то из известных теорем теории потенциала 1) можно легко заключить, что в19
всегда и для всех я должно быть положительно. Но согласно B0) отсюда
следует, что все симметричные термы лежат выше, чем антисимметричные.'
Это обстоятельство также приводит к сопоставлению A9).
Третий критерий основывается на структуре термов: паратермы окайы-
ваются как по опытным данным, так и согласно нашим теоретическим
выводам санглетами, а ортотермы—триплетами. Мы вернемся к этому вопросу
в § 5.
!) Принадлежащий некоторому (возможно, и комплексному) сраспределемю
плотности» р «кулоиовский потенциал» ? удовлетворяет уравнениям
дт«_4*р, V = -4*p« (a)
и представляется, если 2 означает точку наблюдения, а 1 — точку интегрирования,
интегралом
В силу теоремы Грина, если f исчезает на бесконечности, то
J(grad«K2), grad?*B))Aj = — J ?B) Д?«B)л* (н)
Левая часть последнего равенстна положительна; правая будет, в силу (а) н (б),
равна
4. f fj^if^U^ (Г>
Следовательно, как показывает сравнение (г) и B1), «и также будет положительным.
Здесь следует ещб отметить, что обозначенная здесь через р «плотность» не имеет
ничего общего с плотностью облаков заряда электронов 1 нлн 2, о которой будет
идти речь в B3).

f 21 ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ. ОРТО- Я НАРАР6СТ0ЯИИЯ 531
Опуская ыиожитель е9, мы назовем «j, обменным интегралом и обо*
амчнм его через А
А= J^^(l)*,d)fcB)<(?). B2)
Соответственно «ц мы назовем кулоновским взаимодействием С:
С= /^-^О)^О)'|СB)Ф»B). B3)
Действительно, С означает просто классически вычисленную взаимную
потенциальную энергию облака заряда электрона 1 с плотностью ?t = <h^t
и электрона 2 с плотностью р9 =а $$я. Напротив, А из-за входящих в нее
смешанных плотностей ^AL»п0) и т. п. является величиной, характерной
для волновой механики, которую нельзя прямо истолковать классически.
Вычислим А для простейшего случая, именно для л = 2. Тем самым мы
определим (ср. B0)] разность энергий между 2Я-термом (парасистеиа) и
2р-термом (ортосистема). Из я = 2 и / = 1 следует т = ± 1 или 0. Ради
простоты мы проведем вычисления для /и = 0. В состоянии я=1,
естественно, / = /п = 0. Нам надо воспользоваться водородными функциями
B4)
Мы написали здесь cos в вместо cosftj или cos89 и Rt вместо Ri(rt) и
и т. д., судя по тому, о каком из электронов, 1 или 2, идет речь.
Нам потребуется прежде всего разложение — по шаровым функциям,
содержащееся в A) и B) дополнения F):
75
где [г] — большее из обоих расстояний гх и r3, a a — отношение меньшего
из них к большему. Мы будем считать, что Pj(cos9) выражено с помощью
теоремы сложения (II. 10.17) как функция &и А, и <pt — <ра. Тогда при
интегрировании по d\ = г\а~г%&пЪгйЪла~чг все члены с cos/n(<px—«р,) выпадут,
и мы получим:
I —-^ ф|<
«7 'И
Гг| у , Л
о о
В последнем интеграле в виде /^(cosft,) записан появляющийся в B4)
множитель cos Л. Но тем самым мы подчеркнули, что этот интеграл только для
/ = 1 отличен от нуля, а именно равен '/,. Тогда правая часть B5) станет
равной, если учесть смысл [г] и в:
YPi(cos»t) (yjrlRt (га) Л9(г*)drt+rt JRt
Согласно B2) и B4) это выражение надо помножить иа
34*

532 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
и проинтегрировать после этого по rt и по углам ft, и <Рл. При
интегрировании по углам возникнет ещё один множитель -£-, и мы получим
окончательно:
= $■)*Г J*-1 J Ae/C'i. ''a) + \dri
оо O
где положено для краткости
/(Г» Г$ = rlRi (rt) /?a (Гг) /?! (Го) /?2 (Г9).
Но двойные интегралы в B6) равны друг другу. Именно с помощью
известного приёма Дирихле можно показать, что
ОО ОО ОО ОО
J rfr, J* dr.2f(rv г2) = J dr2 J drj(rlt га) = J drx J dr^f^, rt). B6a)
oo or, or,
Первая часть этого двойного равенства отвечает переходу от разбиения
области интегрирования на вертикальные строчки к разбиению на
горизонтальные строчки, а вторая — простому переименованию переменных
интегрирования. Поэтому мы получаем вместо B6):
ОО ОО
А = 2 (^.у J г? dr.R, A) Я2 A) J dr^R, B) /?2 B). B7)
о г,
Обратимся теперь к таблице на стр. 80 и уравнению B) на стр. 79:
B8)
-
2 s =
л получим тогда для интеграла по г2 в B7):
оо я оо
NXN2 J sdse~a = ±(^jNLNq J
xdxe-*,
2 2 Z
X = -rrS, J^ =-3-S. =-~- /
о о о Л
Затем учтем, что
ОО ОО
Г xdxe-* — - Г
| х хе х— da J
X, X,
е
а
с условием, что в конце а полагается равным единице.
Если подставить это в B7) и использовать в качестве переменной
интегрирования xt вместо ги то получится:
4!
Оставшийся здесь еще интеграл равен :—— . Поэтому

§ 2] ОБМЕННОЕ ВЫРОЖДЕНИЕ В СПЕКТРЕ ГЕЛИЯ. ОРТО- И ПАРАСОСТОЯНИЯ 533
откуда
Но значения нормировочных множителей дают:
> <30>
так что
Л = 2*'7 Z
Согласно B0) для искомой разности термов (с обозначениями: R—
постоянная Ридберга, hR = -£ энергия атома водорода и Z = 2J отсюда
получается:
4^-^1-0.136. C2)
Наблюдаемое на опыте значение значительно меньше, именно:
*""= 0,019. C3)
Гейзенберг достиг лучшего согласия с опытом, учитывая экранирование
внешнего электрона внутренним уже в нулевом приближении и заменяя в
соответствии с этим в /?2 в B8) Z на Z—1, т. е.
/ 2—\
s на s = г,
а
подтверждение чему можно получить и из теории возмущений. Тогда вместо
B9), C0) и C1) получается:
А = 3 • 7 • 2^—) CZ_1O N,N2,
, _ 7 Q4(^-
Поэтому вместо C2) для Z = 2 получается:
C4)
что уже близко к опытному значению.
Мы определили здесь относительные положения орто- и паратермов
с помощью обменного интеграла А. Мы могли бы также попробовать
вычислить в первом приближении и абсолютное положение, например среднего
значения обоих термов с помощью кулоновского взаимодействия С,
пользуясь следующей из A6а) формулой:
J ( Wopxo + МГпара) = Wo + •„ = Wo+*C.
Однако результат оказался бы очень неточным, даже если ввести последнюю
поправку. Здесь могло бы помочь только проведение утомительных
вычислений возмущений второго порядка. Напротив, в гл. X мы познакомимся
с удивительно точным численным методом определения абсолютных
положений уровней, в особенности основного терма (Хиллераас).

534 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛРМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
В заключение подчеркнём, что выполненное Гейзенбергом вычисление
по теории возмущений хотя и не привело к полному истолкованию спектра
гелия, но имело всё же громадную ценность для разъяснения общих
спектральных закономерностей в двухэлектронных системах. Кроме того, оно
приводит благодаря открытию обменного вырождения к методически весьма
существенной новой точке зрения.
§ 3. МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА И ГОМЕОПОЛЯРНАЯ СВЯЗЬ
Молекула водорода, так же как и атом гелия, ставит нас опять перед
двухэлектронной задачей. Обозначим оба электрона 1 и 2, а оба ядра а
и Ь. Ядра мы будем считать закреплёнными на произвольном в дальнейшем
расстоянии d = rab. Тем самым наша задача опять оказывается шестимерной,
а волновое уравнение, записанное аналогично B.1), гласит:
A)
Потенциальная энергия V складывается из шести членов:
V=_?L f!_ f! f! £?__(__£!_. B)
rab ra\ ra2 rb\ rVi r\%
Если мы считали бы здесь, как и в проблеме гелия, возмущением лишь
член — (постоянный член -^— можно объединить с W\, то в силу B) оба
Г\Ъ \ 1"аЪ I
электрона находились бы под влиянием обоих ядер а и Ь, Мы могли бы
тогда расщепить A) в нулевом приближении на уравнения для иона
молекулы Н2 для каждого из двух электронов, но не смогли бы решить его
просто с помощью водородных собственных функций. Мы поступим поэтому,
следуя Гайтлеру и Лондону, более радикально и будем проводить
вычисления в нулевом приближении так, как будто электрон 1 находился бы под
влиянием только ядра а, а электрон 2 — только ядра Ь, или же, наоборот,
мы отнесем 1 к b, a 2 к а. Таким образом, в нулевом приближении мы
будем иметь функции:
« = ^a(l)'VbB) и v=->6(lHaB), C)
где if—собственные функции водорода, которые -мы будем предполагать
нормированными на 1. Функции и и v удовлетворяют дифференциальным
уравнениям нулевого приближения:
*■+£(».+£+£)-•■ 1
D)
Оба уравнения тождественны с точностью до произвольной нумерации
электронов и относятся к одной энергии Wo, которая складывается из энергий
Wg(l) и WoB). Итак, как и в атоме гелия, мы пришли к «обменному
вырождению».
Физический смысл нашего приближения C) состоит в том, что мы
принимаем в нулевом приближении оба ядра а и b удалёнными очень далеко
друг от друга. Если тогда электрон 1 расположен вблизи а, а электрон 2 —
вблизи Ь, то и даст достаточно точное описание такого состояния. Сохра-

§ 3] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА И ГОМЕОПОЛЯРНАЯ СВЯЗЬ 535
нённые в первом из уравнений D) члены потенциальной энергии отличаются
от полного выражения B) на
гаь га2 гьх ~*~ ги " ( а)
Все члены этого выражения являются, согласно нашему допущению, малыми.
Если, наоборот, электрон 1 расположен вблизи Ь, а электрон 2 вблизи а,
то состояние будет приближённо описываться функцией v и все опущенные
во втором из уравнений D) члены
е2 Л pi A
— - —+ — D6)
опять являются малыми величинами.
Правда, впоследствии мы не будем ограничиваться большими гаЬ, но
будем сразу интересоваться расстояниями, сравнимыми с размерами атома.
Поэтому наш приём является весьма грубым и мы не можем ожидать
большой точности.
Чтобы найти решение D), образуем, как в B.7),
w = аи -f- |3v.
В этом семействе содержатся, в частности, и симметричная и
антисимметричная комбинации:
w_ = N_(u — v), E)
которые можно сравнить с несколько более специализированными
комбинациями B.17) и которые образуют, как и B.17), нужные начальные функции
для дальнейшего применения теории возмущений. Если мы потребуем и здесь
нормировки на 1, именно:
1 = Г w2± dt, d-z = dxx dxa,
и положим сокращённо
5=Javdx, F)
то получим немедленно
и, следовательно,
==. G)
Чтобы перейти к вычислению возмущений, положим
qr=OT± + <p±, r=W0 + e± (8)
и потребуем LW = 0, или, что то же самое,
(9)
Используя в правой части уравнения D), благодаря которым Аи и До
сократятся с соответствующими членами из W— V, мы сможем написать в
результате простого преобразования уравнения A):
*(-•*+£-£-£+£)•• <*>

536 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ |ГЛ. IX
Правая часть этого неоднородного уравнения содержит е± в качестве
единственной неизвестной. Мы могли бы получить её непосредственно из нашей
теоремы об ортогональности (стр. 294), если бы и и о точно удовлетворяли
уравнениям L {и 1 = 0. Несмотря на то, что это обстоятельство не имеет
места [ведь в действительности и и v удовлетворяют изменённым
уравнениям D)], использование требования ортогональности, как мы покажем,
привело бы и здесь в основном к цели.
Итак, помножим (9а) сначала на и и проинтегрируем по dx. Получим:
j(C±A), A0)
где введены обозначения:
с- I7-L—1—1 + J-W (П)
J Vab Га2 ГЬ1 ' ГИ/
А= |"(_L__L_i_ + J_W. A2)
J Vab Га1 rte ' г12/
Покажем, что интеграл в левой части A0) является малой второго порядка.
Для этого воспользуемся теоремой Грина:
Здесь использовано первое из уравнений D) и опущен член второго порядка «±е±.
Но круглая скобка в этом интеграле совпадает с Dа), следовательно,
является малой первого порядка, поэтому из-за умножения на ®± всё под-
интегральное выражение будет малой второго порядка. Мы можем,
следовательно, заменить в нашем приближении левую часть A0) нулём. Тогда A0)
приводит к уравнению для поправки к энергии в первом приближении:
et(l±S) = e*(C + A). A3)
Если мы помножим (9) на о и проинтегрируем, то получим вместо правой
части A0):
-itE±l)±«'(C±il'). A4)
где теперь С означает, например,
С'= |7-i -1 -L + -LW. A4а)
Но это выражение отличается от С лишь нумерацией точек интегрирования 1
и 2, что не может оказать влияния на значение интеграла. Поэтому должно
быть С = С; аналогично заключаем, что и А' = А. То, что левая часть
получающегося таким образом уравнения будет опять малой второго порядка,
доказывается так же, как н ранее. Итак, выражение A4) нужно приравнять
нулю, причем получаются те же значения для е±, что и из A3). Тем самым
мы показали, что умножение на v не приносит по сравнению с умножением
на и ничего нового. Мы можем рассматривать это как критерий того, что
наши комбинации w± в E) действительно являются правильными начальными
функциями для вычислений по теории возмущений, поскольку они приводят
к непротиворечивым значениям г± в ходе вычисления возмущений.
Как и в предыдущем параграфе, мы назовём С кулоновским
взаимодействием, а А — обменным интегралом. Чтобы обосновать эти
обозначения, перепишем выражение A1) для С ещё раз, учитывая, что и и v нор-

§ 3]
МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА И ГОМЕОПОЛЯРНАЯ ГВЯЗЬ
537
мированы, так же как и <]>, на 1. Вводя плотности1):
мы получим из A1):
Р, =
^аЬ J Газ J ГЫ J
A5)
Последовательные члены означают здесь: энергию отталкивания ядер а
и Ь; энергию притяжения облака заряда 2 ядром а; энергию притяжения
облака заряда 1 ядром Ь\ энергию взаимного отталкивания облаков заряда 1
и 2, все сосчитанные для единичных зарядов ядер и электронов. Все эти
энергии имеют кулоновский характер. Энергии притяжения 1 'к а и 2 к Ь,
уже учтённые в невозмущённом состоянии а, не появляются, естественно,
в энергии возмущения С. Напротив, в выражении A2) для А вместо
собственно плотностей рх и ра выступают смешанные, следовательно не куло-
новские, плотности р12.
Вычислением интегралов С к А для основного состояния молекулы Н3
мы займёмся в § 4. Приведём здесь заимствованные оттуда основные
результаты: А < О, С > О или < 0, судя по значению гаЬ. Отсюда следует, что
С — А > 0; напротив, C + i4<0, исключая малые гаЬ. Так как в
интересующей нас области гаЬ выполняется ещё и S< 1, то согласно A3) будет
где е+ относится к симметричному, а е_—к антисимметричному состоянию.
Соответствующие энергии будут равны
A7)
поэтому согласно A6)
Уровень энергии для симметричного в координатах обоих электронов
состояния лежит ниже, чем для антисимметричного состояния. Такое положение
вещей обратно имевшему место для Не, что зависит от противоположного-
знака у А. Это становится ясным из следующего сопоставления:
Атом Не
Л>0
wrcmoi> ^«нтиоиим Сравнение B.20)]
Основной терм симметричен
(параснстема)
Соответствующий терм в
антисимметричной (орто) системе ие
существует вовсе
Молекула Н2а)
А<0
ГСГсн.ш<И'аНтвов.ш [уравнение A7)]
Основной терм симметричен
Соответствующий терм в
антисимметричной системе существует,
ио лежит выше
') Так как мы будем в дальнейшем интересоваться только основным состоянием
молекулы Н2, в котором ^ действительно, то нам будет достаточно определени»
р = ^2. Для возбужденных состояний мы должны были бы ещё выше, начиная со стр. 535,
перейти в некоторых местах к комплексно-сопряжённым выражениям.
2) Мы избегаем использование обозначений «орте» и «пара» для молекулы Нз,
поскольку они получат здесь иное значение (ср. § 6).

538 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛВКУЛЛ ВОДОРОДА. ПРОВЛВИА ХИНИЧВСКОЙ СВЯЗИ |ГЛ. IX
Для обоснования последнего утверждения служит следующее замечание.
Основное состояние атома гелия (ср. стр. 527) невырождено, для него а «а о,
и антисимметричная собственная функция и — v исчезает. Напротив, для
молекулы На в основном состоянии и — v не исчезает, несмотря на
совпадение входящих в и и v функций <|»A) и <|)B), так как согласно C) они
относятся к расположенным в разных точках ядрам а и Ь. В самом деле, если
мы воспользуемся представлением D.7) (где а — обратное значение радиуса
водорода), то получим:
и — <y=5fl*(«-"(rai+t"w) — в-(гаа+гы»)^о, A8)
так как, вообще говоря,
Мы дополним наше сопоставление структуры термов, обратившись
к результатам § 5. Как для атома гелия, так и для молекулы Н2 симметричные
термы являются синглетами, а антисимметричные —
триплетами. Основному состоянию в обоих случаях
отвечает синглетный терм.
Изложенное иллюстрируется рис. 47, детали
которого будут обоснованы выкладками следующего
параграфа. На этом рисунке в горизонтальном
направлении отложено расстояние между ядрами гл
в долях радиуса атома водорода, т. е.
Р = ЯГ Я
a
г
j
о
-г
-з
-4
I
I
т
V
\
/
к
е-
Ч
радиус атома водорода
г 2 3 4 5
Рис. 47. Энергия
молекулы Н, (нижняя кривая)
как функция
измеренного в атомных единицах
расстояния между
ядрами р. Кривая С
изображает кулоновское
й В
бой энергию для анти
симметричной
собственной функции.
Вертикальное направление использовано для
представления кулоиовского взаимодействия С в
основном состоянии и соответствующей поправки к
энергии *±. Для. построения последней к кривой С
добавляется Z£.A и результат делится на lz+zS.
Таким образом, для а+ получается вогнутая яма,
а для е — кривая, монотонно убывающая с ростом р.
. Небольшая яма замечается уже на кривой для С, на
иивмДтоадстамяет*со? кРив°й для »+ она существенно углубляется. Суще-
бой энергию для анти- ствование минимума на этой кривой является
решением старой загадки химической гомеополярной
связи. Это решение дается, как мы видим, обменным
вырождением. Когда невозмущенная энергия Wo
расщепляется на два возмущенных энергетических уровня Wo+*±, то
возникают две кривые энергии, одна из которых делает возможным состояние
■стабильного равновесия обоих ядер. Равновесное расстояние р^
изображается на рисунке абсциссой точки минимума кривой для е+. Численное
значение для этого расстояния, к которому приводит вычисление в D.35),
«оставляет: Q
Р«„ = 1.58. гвЬ = 0,79А, B0)
« то время как наблюдение многих линий спектра На дает возможность
заключить, что гл = 0,75 А.
Худшее согласие получается для соответствующего значения энергии Нп>
освобождающейся при соединении двух атомов Н в молекулу На:
г_ Гв — — 0.24 HR — — 3,2 ее. B1)

§ 4} АНАЛИТИЧЕСКИЕ Я ЧИСЛЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИИ 539
Экспериментальное значение, определяемое, если отвлечься от внака,
энергией диссоциации молекулы Н., [ср. т. I, гл. VII, § 3, D)]
оказывается заметно меньшим1), именно равным — 4,4 зв.
Мы не представляем себе дело таким образом, что в основном
состоянии оба ядра а и b отстоят друга от друга как раз на расстояние гл.
Действительно, молекула На является простейшей реализацией гармонического
осциллятора, который при значении колебательного квантового числа о «а О
отнюдь не находится в покое, что противоречило бы соотношению
неопределенностей, но обладает нулевой энергией -*-. Следовательно, расстояние гм
между ядрами будет периодически увеличиваться и уменьшаться. Мы
изобразили это схематически на рисунке горизонтальной стрелкой на дне ямы.
Тут надо еще заметить, что расхождение между нашим е„„ и взятой со
знаком минус энергией диссоциации еще увеличивается за счет существования
нулевой энергии.
Вместо того чтобы говорить об обменной энергии, мы могли бы
говорить и об обменной силе, которой на нашем рисунке соответствует
наклон энергетической кривой. Она проявляется справа или слева от
середины ямы как притяжение или отталкивание обоих ядер и приводит к маят-
никообразиым колебаниям вокруг положения равновесия. Напротив, ясно,
что поведение кривой •_ для всех расстояний гл означает отталкивание;
если два атома водорода находятся в антисимметричном состоянии и
приближаются друг к другу, то они не связываются в молекулу, но упруго
рассеиваются друг на друге.
Обменные- силы ответственны и за- взаимное сцепление элементарных
частиц (протонов и нейтронов) внутри ядра, как то известно сейчас
благодаря исследованиям школы Гейзенберга.
| 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Всякую задачу с двумя центрами естественно рассматривать в
эллиптических координатах. Мы определим их сначала только для полуплоскости
х, у > 0 соотношениями:
a cos о,
a sin о,
где сп и sh — гиперболические функции, связанные друг с другом
формулой eh9a—sha«=l. Если мы исключим отсюда v или соответственно и,
то получим:
' = Ecosv,
Следовательно, А, В. и А', В' означают главные оси системы конфокальных
эллипсов или гипербол, л Е — их общий эксцентриситет. Расстояние между
двумя неподвижными центрами а и Ь составляет
гв»-2£; A)
>) Ср. примыкающую сюда дискуссию у О. W. Richardson, Proa Roy. Soc 152.
503A935).

540 СПЕКТР ГЕЛНЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
расстояние от этих центров до некоторой третьей точки р можно назвать г0
и гь. Мы найдем их, если будем исходить из уравнений, определяющих эллипсы
и гиперболы как геометрические места:
2,4 = 2Е cha.
C)
получив:
га = Е (сп а+cos v), rb = E(chu — cos v).
Для эллипсов имеет место неравенство
0 < и < оо,
а для гипербол в полуплоскости у > 0:
Отрезок, соединяющий фокусы, задается уравнением и = 0, а его
продолжение в сторону
положительных или отрицательных х
задается уравнением v = 0 или
w = it (ср. рис. 48).
Чтобы перейти к координа-
х там в пространстве, повернём
нашу полуплоскость на угол w
относительно оси х и положим:
Рис 48. Схема построения эллиптических
координат. Кривые и = const являются
эллипсами, v= const— гиперболами. Для
полуплоскости у>0 переменные и и v меняются
в пределах 0<e<°°. 0<«<«. Третья
координата w отвечает вращению этой
полуплоскости вокруг оси х.
у = Е sh a sin v cos w,
z = Е sh и sin v sin w.
D)
Вычислим следующий функциональный детерминант:
дх ду дг
ди ди ди
дх оу дг
dv dv dv
дх ду дг
Так как
дх
dm dw dw
0, то его можно разложить по элементам последней строки
dw
и привести к виду:
Д = Е9 sh и sin v (ch** и — cos4 v). E)
Тем самым мы должны писать для элемента интегрирования dxt точки 1:
dtt = Е8 sh tiy sin vt (ch1 ut — cos1 vt) dut dvt dwt Ea)
и соответственно для d-z-,.
1. Вычислим с помощью полученных формул сначала [ср. C.6)]:
5 = f uv d-z = Г Г uv d-zt dxa.
Согласно C.3) 5 слагается из двух равных друг другу множителей, так что
мы можем написать:
J4 F)

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 541
В основном состоянии
фа=№-вга, ^b=Ne~a\ G)
I a
Но в силу B) отсюда получается:
-^-, (8)
где р является измеренным в атомных единицах расстоянием между ядрами.
Тогда можно записать F), выполняя сразу интегрирование по w (индекс 1
можно для дальнейшего опустить) и учитывая значение N и р, в виде:
оо к
yj=z£ \ sh и due-?ttbu (sin и d«<ch2 a —cos2 v)
о 5
или с помощью переменных интегрирования
(9)
в виде:
00 1 ОО
I Р8 f , Г о „ Р9 С t/ п 1\
3 i J 3 iJ V ЗУ
Учитывая, что
получим:
^. (II)
2. Перейдём теперь к интегралам, появляющимся в кулоновском
взаимодействии С C.15).
Оба первых интеграла тут равны друг другу, так как один переходит
в другой при одновременной замене а на b и 1 на 2. Поэтому мы
рассмотрим, например, первый интеграл (знаменатель га2 характерным образом
сокращается с элементом объёма dx2!):
С ф?_ os£a г С Г
I -I^-dx2 = -^- I sh и du\ sinvdv dw(ch u — cosv)e-2aE^bu-coavK A2)
Чтобы упростить интегрирование по и и v (интегрирование по w
даёт 2л), мы введём с помощью (9) и (8) I, t\ и р. Тогда правая часть
запишется как
00
+1
«р« д
i

542 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Отсюда мы находим для обоих искомых интегралов:
3. Оставляя временно последний интеграл в C.15), обратимся теперь
к представлению C.12) для обменного интеграла А. Первый интеграл здесь
нам уже известен, именно:
Оба следующих снова совпадают друг с другом (замена а на b и 1 на 2):
В первом из них интегрирование по di^ [ср. F)] даёт:
откуда получается:
rat r J ral
Знаменатель га1 опять сокращается при переходе к эллиптическим
координатам. Если мы используем (8) и выполним интегрирование по w, то по»
лучим:
со «
2V~SoflE*f e-fehush иdu ( (ch и —cosv)sinvdv. A5)
о о
Второй интеграл здесь дабт просто 2ch и. Если мы введём ещё в первом
интеграле & = chu, то сможем тогда написать вместо A5):
1
откуда окончательно
— dx = I—di = л V~S(l -{-p)e~f. A6)
4. Остались ещё два интеграла, содержащих в знаменателе г19. Тот из
иих, который входит в С, удаётся вычислить использованными до сих пор
методами, в то время как входящий в А требует привлечения новых
математических средств.
Первый из них имеет вид:
A7)
В У мы используем полярные координаты с началом в ядре Ь, именно
постоянное и переменное расстоянии:
ri — гы» гз = гьч>
и углы Ь, Ф между г1 и г, или соответственно вокруг rv Тогда будет:

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 543
и уже известным образом [ср. A) н B) дополнения 6]:
1 _
Отсюда при учёте G) следует:
г, оо
У= 4«з j JL J r\e~^ dr., + J гйе-*"* dr2),
0 r,
так как при интегрировании по ft все шаровые функции, исключая Ро=1>
выпадают. Отсюда легко получается:
По определению rlt было бы правильнее писать вместо него г1Ь. Подставляя
полученный результат в A7) и разделяя возникающее выражение на два
члена, находим:
Л
Первый интеграл в правой части A8) был вычислен в п. 2. Итак, нам
осталось еще заняться интегралом У,. Мы обратимся снова к эллиптическим
координатам, учтём B), C) н (8) и получим в переменных £, ч\:
00
J
Интегрирование по ц даёт:
что можно записать также в виде:
Вычисление приводит к
6. Мы можем собрать теперь все члены, из которых состоит С. При
этом первый член в правой части A8) сокращается с одним из обоих
интегралов A3) и из C.15), A2), A8) и A9) получается:

544 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛл ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Этот результат был получен Гайтлером и Лондоном. Как видно из него,
для больших р С мало и отрицательно, а для малых р — велико и
положительно. Нуль расположен в точке р = 1,35 (ср. среднюю кривую на
рис. 47).
6. Нам остаётся ещё вычислить входящий в А интеграл со
знаменателем г1а:
J^-A. B1)
Здесь придётся с самого начала прибегнуть к эллиптическим координатам и
выразить для этого через эти координаты —.
Мы используем то обстоятельство, что —, а потому и
'12
2т. 2т.
_ 1 Г Г £
~ A \i х 2 (^'а)
о о
удовлетворяют по координатам обеих точек 1 и 2 уравнению Лапласа
ДФ = 0.
Чтобы переписать это уравнение в наших эллиптических координатах,
образуем сначала с помощью D) элемент длины
ds2 = dx2 + dy2 + dz* = E3 (ch2 и — cos2 v)(du* + dv*) + E2 sh2 и sin2 vdvP.
Используя обычные обозначения gik для коэффициентов элемента длины, мы
имеем:
gll = g^ = EHc^u — cos2©), g33 = E*s\Pusitfv, \
gik = 0 при /#Л. J
Как известно, преобразование уравнения ДФ = 0 в произвольную
ортогональную систему координат даёт:
Отсюда при учёте B2) получается в равной мере для обеих
координатных пар Uj, vt и и._„ г»3:
-т— I sh и sm v ——) -4- -— I sh и sin v -г- 1 = 0.
da \ би j ' dv \ dv }
Это уравнение допускает разделение переменных, т. е. его можно
переписать как
Ф = Ф„ • Ф„, (J4)
1 d i . d<b.. \ . .
где X — параметр разделения. Его значение можно понять из теории
шаровых функций. Действительно, второе из уравнений B4) совпадает с A.3.16)
для m = 0. Его решением, так как оно (ср. рис. 48) должно быть непре-

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 545
рывным для cosv = ±l, является зональная шаровая функция:
Ф„ = Рп С*)). "»1 = cos v, B4а)
и параметр разделения оказывается равным
к = п(п~\-1), где п — целое число. B46)
Но и первое уравнение B4), переписанное с независимой переменной
£ = chu, имеет тот же вид, что и второе. Поэтому его общим решением
будет:
Ф„ = апРпE) + bnQn (g), % = ch и, B5)
где Qn представляет собой определенную уравнением A6) дополнения F)
«шаровую функцию второго рода», которая сингулярна для ; = rtl.
Последнее обстоятельство обусловливает необходимость различать два случая:
если ^ < 52, то соединяющая ядра линия, которой соответствует их = 0,
следовательно, значение ^=1, доступна для электрона 1. Тогда необходимо
выбрать, поскольку Фи1 должна вести себя регулярно при ^=1, Ьп = 0.
Если же, наоборот, £.3 < ч> т0 т0 же самое выполняется для Ф,,,. В обоих
случаях мы можем, кроме того, положить без ограничения общности ап= 1.
Отсюда получаются следующие выражения для решения первого из
уравнений B4):
Ф„1 = Рп Ci). Ф„2 = °пРп Fа) + bnQn (Si). Ч < Ь. B5а>
Ф„з = Рп(W. Ф„г - «ЛOi) + bnQnOt). *2 < 5i- B56)
Представление искомой величины B1а) будет слагаться из суммы
произведений вида B3) для каждой переменной, именно:
Ф = 2 Рп (%) Рп (Ъ) Рп Ct) (flnPn E.) + *nQn0«)}. Ч < U. )
п \ B6)
Ф -|Я(%)Я(%)Я(« (fl>C) + *Q(:)} * < E J
Для того чтобы определить коэффициенты разложения ап и Ьп,
предположим, что точка 1 совпала с фокусом Ь. Тогда при учете C) будет:
гха = гъг = Е (ch «а — cos v.3) = Е (;а — т^
и, согласно B1а),
В этом предельном случае (ср. также рис. 48) ul = vl = 0, ti = f\i = U
Рп Ох) ~ Рп (тц)= 1 • S2>:i- Итак, согласно первой строке B6), будет:
?„02)}-
Сравнение с уравнением A6) дополнения 6 приводит тогда к однозначному
выводу:
Совершенно аналогично получается:
Заж. 968. А. Зошкрфеид

546 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Тем самым мы получаем следующее наглядное представление для Ф:
Ради полноты следует заметить, что, идя далее, можно получить
Е ^
для — представление Фурье:
оо
— = V Фт cos mw, -w — wi —1»2, B7а)
Я1-0
нулевой член которого, как ясно из определения B1а), совпадает с нашим Ф.
7. Теперь мы можем перейти к вычислению B1). Временно, пока мы
будем выполнять интегрирования по w^ и wit напишем вместо B1),
учитывая Eа) и (8):
const ////*«-> А+* «? —Пр (Ч—Чр dlt d-2 di\t <*v B8)
Интегрирование по i\t и t\.2 производится в пределах от — 1 до + 1,
а по Б, и £9 разделяется согласно B7) на две части, судя по тому, ^ < f,
или £3<?1. Так как, однако, подинтегральное выражение симметрично в \t
и :э, то мы можем ограничить интегрирование получетвертью £t < $3
[верхняя строка в B7), ср. также B.26а)], добавив к интегралу множитель 2.
Постоянная складывается из следующих множителей: —~- (после
интегрирования по wv w.3 соответственно определению Ф), Е6 (из <fc]t dt^f, упомя-
/ а» V
нутого выше множителя 2 и нормировочного множителя (—J ,
возникающего из G). Итак:
const = 8£*ав=-^-. B8а)
Будем выполнять сначала интегрирование по t^. Для последнего
множителя под интегралом напишем:
\
Й — -4 = | \Р-г (Ь) - Pi ЫЬ B86)
что законно. Вели мы умножим теперь его на Ф и проинтегрируем по %,
то от суммы при Я2 ('д) останется только член с п = 0, а при множителе
Р2(щ)—только член с п = 2, так как все остальные члены пропадут из-за
ортогональности шаровых функций. Таким образом, из первой строки B7)
получается:
J * (Й —
J (Й 4) % 113 (?») Qo (У — Р-2
а отсюда путём умножения на 5i—-rj? =-g- l^9(:t) — PaCTiM и
интегрирования ПО ftf

§ 41 аналитические и численные дополнения 547
Таким образоы, для всего выражения B8) [ср. также и B8а)] получается:
:9J «i*-'A+^,ai){p,c«)Q.ca)+-J-QkC«)). B9)
В этом выражении мы выполним сначала интегрирование по ?4:
Выполнение дифференцирования при использовании обозначения A1) приводит к
Подстановка в B9) приводит, если мы будем теперь писать g вместо
к выражению
00 ОО
Согласно значению фигурных скобок в B9) и в силу формул A9)
и A96) дополнения 6, мы имеем:
Положим:
CO
<р(р)= (*</•«-(*(— 5+F (Q) C1)
i
и соответственно
оо
1
Тогда мы сможем написать вместо C0):
- ^Bp) р» d*yBpI ,Ч<Л
~5р 8 5р5—J* (d2J
Итак, нам осталось лишь вычислить <р(р). Прежде всего очевидно, что
Г</;в-И/'(е) = (з-|!г— l)Jd;e-p5inl±|. C26)
Последний интеграл мы разложим на 7f — 7_ и вычислим:
3S*

548 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОВЧЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
И
— [е-tHnydy.
р %
Интеграл в правой части последней строки равен постоянной Эйлера со
знаком минус: —С —— 0,57721... Интеграл в правой части предпоследней
строки приводит к «интегральной показательной функции»:
Ш (-*) = — \е~У^- C2в)
X
и равен —Ei(—2р). Мы имеем, следовательно,
Благодаря этому
J+-J. =C-Pln2pT-^Ei(-2p).
Отсюда мы получаем для C1), учитывая C2а) и C26):
Выполнение дифференцирования даёт:
4(P) = -e-^G-\-p)-\-^VSln2T?-^Vs7Ei(-2P), C3)
где по аналогии с A1) положено:
благодаря чему S' получается из 5 заменой +р на —р. Мы используем
далее временно обозначения S3 и Б'г для тех выражений, которые получаются
из 5 и 5' при замене р на 2р.
Тогда, согласно C3), явное выражение для ?Bр) будет гласить:
?B?) = -^G + 2p) + g|-/5;in4Tp-|5V^Ei(-4p). C3а)
Остаётся ещё выполнить над этим выражением предусмотренные в C2)
дифференцирования, после чего мы получим окончательно для полного
выражения C2):
C4)
Этот результат был получен Сугиура (см. примечание 4 на стр. 524),
вычисления которого шли, однако, по несколько иному пути.
8. Теперь мы можем собрать все члены, из которых слагается
обменное взаимодействие А. Такими являются A4), C4) и удвоенное, взятое

§ 5)
В0ЛН0В0МЕХАНИЧ2СК0Е ПОНИМАНИЕ ПРИНЦИПА ПАУЛИ
549
с обратным знаком A6). В целом находим:
A S /И - 103 . 49 , , 11
+ р}Р9+
^[S Jn тр +5' El (- 4р)— 2 VSS' Ei ( - 2р)]. C5)
С помощью известных разложений1) для Ei( — х) для малых р получается:
Л 1 11 1 . /Ог„ч
-=-__-_-р+..., C5а)
т. е. крутое падение от очень больших положительных вплоть до
отрицательных значений, а для больших — экспоненциальное приближение к нулю
с отрицательной стороны. Поэтому, как и утверждалось в предыдущем
параграфе, для не слишком малых р А является отрицательным. Минимум А
лежит между р = 1 и о = 2. Такое поведение А совместно с
представляющим С уравнением B0) доказывают приводившийся ранее рис. 47; сделанные
там утверждения относительно численных значений постоянных (гчяя, гяпя и
т. д.) можно теперь проконтролировать с помощью наших выражений для А
и С.
§ 5. ВОЛНОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ ПРИНЦИПА ПАУЛИ
Различие между симметричными н антисимметричными собственными
функциями у Не и Н, относилось пока лишь к координатам обоих
электронов. Мы знаем, однако, что полное описание состояния требует
рассмотрения также и спинов электронов. Мы, конечно, не можем применить к нашим
двухэлектронным системам строгую дираковскую теорию спина. Однако мы
можем производить вычисления, пользуясь схематическими спиновыми
функциями а) принимающими лишь два значения соответственно двум
значениям —-ту спинового квантового числа, которое мы будем обозначать через т1
для первого и т-, для вторэго электрона.
В нулевом приближении, т. е. в пренебрежении всяким спиновым
взаимодействием, мы получаем следующие комбинации спиновых квантовых чисел
щ
1
2
1
Y
1

1
2
1
2
1
2
1
2"
«.*)
1
0
0
— 1
ф» 1
Спиновые
собственные функции
'-(т)'(-т)
~~" \ О 1 1 О 1
'Z z=s О 1 — ' — 1 О I ^~— .—— 1
и спиновых функций. Собственные функции а, Ь, с, d получены в этом
приближении как произведения одночастичных функций совершенно так же, как а и v
1) Я нке и Эмде, Таблицы фувкций, М, Гостехиздат, 1948, стр. 98.

550 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
в B.5). Из них а н d не вырождены, точно так же, как ранее основное
состояние Не; напротив, b и с имеют то же самое обменное вырождение, что и
возбуждённые состояния гелия. Чтобы снять это вырождение, надо ввести
взаимодействие, зависящее от спинов, н провести те же вычисления по
теории возмущений, что и ранее для Не. При этом окажется, что двумя
комбинациями, к которым непрерывно примыкают собственные функции первого
приближения, являются Ьц1с. Собственные же функции первого
приближения, возникающие из невырожденных состояний and, будут, конечно,
непрерывно примыкать к самим and. Мы придём, следовательно, к трём
собственным функциям, симметричным в спинах, н к одной
антисимметричной; именно в нулевом приближении к
a, b-\-c, d или же b — с. A)
Первые трн составляют возможные ориентацнн триплета, в то время как
последняя представляет собой сннглет. Квантовыми числами тв,
соответствующими выписанным функциям, будут:
ms = -\-\, 0, —1 или же ms = 0. B)
Полную собственную функцию в нулевом приближении мы составим
как произведение из координатной н спиновой собственных функций. При
этом сначала окажутся возможными две группы по четыре комбинации:
( п 1
группа \) (u-\-v) I Ь-\- с L (а — v)(b — с);
j
( °
группа 2) (a-\-v) (Ь — с), (а — v)l b-\-c
Наше разделение на 1) и 2) проведено таким образом, что все
состояния группы 1) сохраняют свой знак при перестановке обоих электронов
(симметричные состояния), а состояния группы 2) — меняют свой знак
(антисимметричные состояния). Можно непосредственно показать, что переходы
между симметричными и антисимметричными состояниями запрещены. При
этом здесь идёт речь о строгом ннтеркомбннацнонном запрете в отличие
от рассмотренного в B.18), который выполнялся лншь приближённо и зависел
от малости (см. стр. 529) спинового взаимодействия. Следовательно, если бы
реализовалось одно из состояний группы 1), то оно никогда не могло бы
комбинировать ни с одним из состояний группы 2). Таким образом, обе
группы взаимно исключают друг друга, н притом так, что из чисто
теоретических соображений нельзя заключить, какая группа реализуется в природе.
Мы можем, однако, придти к определённому выводу, если будем
исходить из известных из опыта свойств спектра гелия, даже если забудем
временно о принципе Паулн и его исчерпывающем подтверждении в
спектроскопии и в теории периодической системы. В случае группы 1) параснстема,
которой мы должны были приписать функцию u-\-v, была бы триплетной,
а ортосистема — синглетной. На самом же деле дело обстоит как раз
наоборот. Следовательно, комбинация 1) выпадает; комбинация 2) оказывается
единственно допустимой с точки зрения опыта.
К тому же выводу приводит и рассмотрение системы Н2. И здесь
симметричные в координатах собственные функции, например основное
состояние (ср. стр. 538), оказываются согласно опытной проверке относящимися
к синглетным термам, а антисимметричные—к триплетным. Это опять при-

§ 5] ВОЛНОВОМЕХАННЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ ПРИНЦИПА ПАУЛИ 551
водит к группе 2) как к единственно дозволенному характеру симметрии
собственных функций.
Обобщая теперь эти положения, мы приходим к волновомеханической
формулировке принципа Паули. Собственные функции каждой, системы,
построенной из электронов, антисимметричны, это значит, что они меняют
свой знак, если мы переставим все квантовые числа, определяющие состояние
какого-либо электрона, с такими же числами другого электрона.
Эта формулировка включает прежнее элементарное понимание принципа
Паули, согласно которому каждое полностью определённое квантовое состояние
могло быть занято только одним электроном. Действительно, если бы в одном
квантовом состоянии находилось два электрона, то собственная функция системы
одинаковым образом зависела бы от четырёх определяющих состояние чисел
(четырёх квантовых чисел) обоих электронов и должна была бы оставаться
поэтому неизменной при перестановке этих электроноз; так как, с другой
стороны, она обязана менять при этом знак, то она должна равняться нулю.
Но это означает, что состояние не существует.
В волновомеханической формулировке заключено также и утверждение,
служащее для завершения принципа Паулн. Электроны не обладают
индивидуальностью, их нельзя отличить друг от друга и приписать определённым
электронам определённые номера. В самом деле, на примерах Не н Н», мы
видели, что волновое уравнение, которое определяет нашу волновую функцию,
оставалось неизменным, если мы меняли номера 1 и 2 электронов. То же
самое справедливо н для любых электронных систем.
Мы найдём формальное выражение для антисимметрии системы
электронов, если напишем волновую функцию в виде детерминанта. Пусть ql
объединяет пространственные и спиновые координаты «первого» электрона,
q,— «второго» и т. д. Пусть состояние первого электрона задаётся
функцией fy, второго — 43 и т. д., причём каждое состояние мыслится
полностью определённым в квантовом смысле. Для того чтобы это можно было
сделать для каждого отдельного электрона, надо, конечно, отвлечься от
взаимодействия между электронами (в выключении внешнего поля нет
необходимости).
Учтём теперь, что нумерация электронов произвольна. Вместо того
чтобы приписывать электронам 1, 2 N квантовые состояния 1, 2 N,
мы могли бы приписать эти состояния какой-либо перестановке
последовательности 1, 2 N. Все получающиеся таким образом функции мы должны
объединить в линейную комбинацию, которая удовлетворяет паулневскому
требованию антисимметрии. Это достигается сразу записью в виде
детерминанта
В самом деле, все члены детерминанта получаются из диагонального члена
который соответствует нашему первоначальному написанию волновой функции
системы, путём совершения всех возможных перестановок. Антисимметричный
характер ч7 следует при этом немедленно из изменения знака детерминанта
лри перестановке двух строк, а запрещение двойного заполнения одного

552 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОВЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
квантового состояния — из обращения в нуль детерминанта при равенстве
двух столбцов.
Согласно сказанному выше представление C) пригодно только в
нулевом приближении в пренебрежении взаимодействием электронов. Чтобы придти
к первому приближению, и здесь необходимо прибегнуть к процедуре теории
возмущений.
Подчеркнём ещё раз, что наш выбор антисимметричного класса был
обусловлен требованиями опыта. Кроме электронов, тот же выбор
справедлив, как мы увидим в § 6 и 7, и для протонов и нейтронов. Наоборот, для
а-частиц н других ядер с чётным числом частиц осуществляется (ср. § 7)
противоположная возможность, то есть симметричный класс. Сам Паули1)
говорит по этому поводу следующее: «Надо надеяться, что будущая теория
элементарных частиц прнпедёт также н к более глубокому проникновению
в сущность этого ограниченного выбора природы»'2).
Мы хотели бы ещё указать, каким образом обобщается проведённое
выше рассмотрение двухэлектронной системы на многоэлектронные системы.
В случае трёх электронов мы получим, если будем выписывать нз спиновых
квантовых чисел только та = тх -\- т2 + т3 вместо таблицы на стр. 549:
т8
3
2
1
Ч
1
2
3
2
Спиновые собственные функции
*--(-4)-КК±)
'-(-■Й-НК-т)
Отсюда мы можем образовать симметричные спиновые функции
q + Ci + Cj, d.
Умноженные на одну нз антисимметричных в пространственных координатах
собственных функций они приводят к удовлетворяющему принципу Паули
квартетному терму. Оставшиеся спиновые функции можно скомбинировать в
два дублета. Вообще говоря, порядок и число мультиплетов растёт в
периодической системе вместе с числом электронов вплоть до некоторого макси-
') В. Паули, Общие принципы волновой механики, М., Гостехиздат, 1947,
стр. 192. Цитируемая фраза переведена в этом издании неточно. (Прим. ред.)
2) Паули в 1940 г. доказал теорему о связи статистики и спина. Именно, им
было в общем виде доказано, что система одинаковых частиц с полуцелым спином
описывается антисимметричной волновой функцией (статистика Ферми), а система
одинаковых частиц с целым спином—симметричной функцией (статистика Бозе).
См. В. Паули, Релятивистская теория элементарных частиц, ИЛ, 1947, стр.72.
(Прим. ред.)

§ 6] ОРТО- И ПАРАВОДОРОД 553
мума, после чего (в конце построения оболочки, когда надо считать не
присутствующие, а недостающие электроны) они убывают. Мы сошлёмся здесь
на схему т. I, гл. VIII, § 2, табл. 42 и на работу Хундах).
Возвращаясь к спектру гелия, мы хотели бы сказать ещё несколько
слов относительно интенсивностей и взаимного расположения составляющих
триплета ортогелия. Следующие рисунки заимствованы из работы Гейзен-
берга. Вычисления, которые привели к ним, подвергались впоследствии
многократному уточнению, последний раз — в работе Араки2). Все три
рисунка представляют терм 1р с тремя составляющими р2, рг, р0 и
относительными статистическими весами 5:3:1 (т. I, гл. VIII, § 9). Рассмотрим
сначала предельный случай Z -*■ оо.
Здесь мы получаем «правильный» no- 4e,Z=2 W,Z=3 z—°*
рядок следования уровней р.2, pv pQ I
и нормальное соотношение интервалов _j \£ч
2: 1, уровень р.2 с наибольшим стати- | || | I
стическим весом 5 оказывается самым "*jv_/^ "*jv=4<T ~*~л *"
низким. Для Li+ мы получаем «частично- #/ j-J j_f
обращенный» порядок; «наиболее ин-
тенсивный» уровень р, лежит в сере- J£ * ^оГаТочеГТол'ьГм Га-
днне. Для Не порядок полностью «обра- рЯдоч. Статистические веса уровней
щён» по сравнению с нормальным; как относятся, как 5 3: 1; для сильно иска-
известно, этот триплет, интервалы жёниых триплетов Не и Li + отношения
между линиями которого сильно вырож- интенсивностей возможно и отклоняются
ОТ ЭТИ А ЗНаЧсНИИ.
дены, рассматривался ранее
экспериментально как дублет. Приведённые под рисунками Дч выражены в см'1
и представляют собой опытные значения. Последняя строчка под каждым
рисунком содержит в себе отношение интервалов Дч:Д\,; для случая lie
содержание этой строки заимствовано из работы Араки, оно согласуется со
значениями, полученными в опытах Хансена и Хустона.
§ 6. ОРТО- И ПАРАВОДОРОД
Для того чтобы понять опыты, которые будут описаны ниже, мы должны
будем приписать не только электрону, но и протону спин -rj н применить
принцип Паули не только к электронам, но и к обоим протонам молекулы Hq.
Итак, потребуем в соответствии со стр. 552: собственные функции
молекулы Н.) должны быть антисимметричны не только в координатах и спинах
электронов, но н в координатах и спинах протонов.
В качестве координат, определяющих положение обоих протонов, мы
будем использовать
г„ь, 0. ?. A)
где гаЬ означает, как и ранее, расстояние между обоими протонами а и Ь,
0 и <? — полярные координаты соединяющей их линии, построенные,
например, относительно начала в точке а. Тем самым при перестановке а и Ь б\дет
гЬа = гаЬ, наоборот, углы изменятся: W перейдёт в тс—!), а <? — в <р=£«.
Это можно проверить, рассмотрев разности декартовых координат:
хь — ха = гаЬ sin fl cos <р, |
УЬ — У а = rab sin ^ Sin 9, \ B>
zb — za = rabcosb. J
1) F. Hund, Handb. d. Phys., XXIV, 2-е изд., в частности, относительно
квартетных систем на стр. 589, 590.
2) О. А г a k i, Proc. Phys. Math. Soc. of Japan 19, 128 A937).

554 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Прн перестановке а и b левые части меняют здесь знак; то же самое
происходит в правой части при только что описанном преобразовании с
множителями cos?, sine и cos 8, в то время как остальные множители, г^ и sin О,
остаются неизменными.
Рассмотрим сначала вращательный терм двух протонов, которые будем
считать жёстко связанными, т. е. отвлечёмся от колебательного (II. 11.4) и
электронного (стр. 135) термов. Как и для всех двухатомных молекул,
ротационный терм определяется волновой функцией (II. 11.4):
^ = P?(cosb)eimf. C)
Благодаря представлению A.3.166), которое мы запишем в виде:
Pj" получает при преобразовании
множитель (—1) , следовательно, выражение C) — множитель
Итак, вращательные термы антисимметричны в обоих ядрах для нечётного j
и симметричны для j четного.
С другой стороны, волновые функции колебательных термов зависят
лишь от гаЬ и потому всегда симметричны. То же самое справедливо и для
электронного терма в основном состоянии, который представляется, согласно
C.3), C.5), C.7), в виде:
%л = N+ ('{'а ( О $Ь B) + $ъ A) Уа B)) E)
и остаётся потому неизменным не только при перестановке электронов 1
и 2, но и при перестановке протонов а и Ь. Поэтому полная собственная
функция
F)
по отношению к координатам A) протонов
симметрична при чётном j,
антисимметрична при нечётном j.
Согласно принципу Паули она должна быть всегда антисимметричной
по отношению к перестановке всех координат протонов, т. е. с включением
спинов протонов. Мы можем поэтому написать следующую таблицу:
Чётное
Нечётное

Расположение
спинов
U
tt

Суммарный
спнн
5вес
О
1

Статистический
= 2S+1
Название
Параводород
Ортоводород
■Здесь S представляет собой (измеренную в величинах />) сумму спинов

§ 6] ОРТО- И ПАРАВОДОРОД 555
Y^-n-t а «статистический вес» 25+1 совпадает с числом возможных ори-
«нтаций в магнитном поле н опргделяет поэтому мультиплетность терма.
Названия пара и орто образованы по аналогии с атомом гелия, с той, однако,
разницей, что теперь они относятся к спинам протонов, а не электронов,
как то было в случае гелия. Кроме того, надо заметить, что из
химических и термодинамических соображений для молекулы Н, интересуются
главным образом основным состоянием и применяют обозначения орто и
пара специально к нему, как сделали и мы выше. Напротив, для
гелия основное состояние реализуется, как мы знаем, только для параси-
стемы и запрещено в ортоснстеме; следовательно, в этом случае различие
между обеими системами приобретает силу только для возбужденных
состояний.
Рассмотрим сначала газ, состоящий из молекул Н-, в основном
электронном состоянии при комнатной температуре. Этой температуры как раз
хватает для возбуждения вращательных состояний с j > О, но не для
возбуждения высших электронных состояний. Молекулы распределяются между
ротационными состояниями с различными j в соответствии с больцмановским
множителем [ср. т. 1, (IX.5.2)], но так, что в ортосостояння (нечетное J)
попадает втрое больше молекул, чем в парасостояния, соответственно
отношению спиновых статистических весов 3:1. Мы можем не говорить здесь
о ротационных статистических весах 2j-\-l, которые можно объединить
с больцмановским множителем.
Далее, переходы между орто- и пара состояниями запрещены, как и
в атоме гелия (стр. 529), так как возникающие матричные элементы
обращаются в нуль. Поэтому если мы изменим температуру, то обе составные
части водородного газа не смогут придти в термодинамическое равновесие.
Однако по мере уменьшения температуры внутри ортосистемы максимум
чисел заполнения будет смещаться от больших значений j к меньшим;
то же самое будет происходить и в параснстеме. Но общее число орто-
молекул, равно как и парамолекул, будет сохраняться. Напротив, в состоянии
полного термодинамического равновесия при Т—уО все молекулы должны
были бы перейти в состояние у = 0, принадлежащее параснстеме.
Заслугой Деннисона *) является впервые достигнутое на этом пути
объяснение поведения вращательной теплоёмкости газообразного водорода пои
низких температурах. Попытки вычисления этого поведения (ср. т. 1, гл. IX,
§ 5), исходя из термодинамических правил для одного газа приводили к
неразрешимым противоречиям с опытом. Только вычисления Деннисона,
который оперировал со смесью двух газов в соотношении 3:1, смогли
объяснить имевшиеся наблюдения.
Весьма поучительно обратить внимание на то, что здесь
проявляются в макроскопических наблюдениях спин протонов, принцип Паули и
интеркомбинацнонный запрет орто- и парасостояний. То же
справедливо для открытого недавно тяжелого водорода — так называемого
дейтерия.
Мы извлечём из ннтеркомбинационного запрета ещё одно следствие.
Оно относится как к чистым вращательным полосам молекулы Н,, так и
к колебательно-вращательным полосам. В общем случае для таких полос
действует как следствие свойств шаровых функций правило отбора A1.11.16),
которое удовлетворяется только комбинациями чётных j с нечётными. Но
такие комбинации запрещены для основного состояния молекулы Н2. Поэтому
1) D. M. Dennison, Proc. Roy. Soc. 115, 483 A927).

556 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
вращательные и вращательно-колебательные полосы не могут возникать
в спектре Н2 за счёт дипольных переходов.
Остановимся ещё кратко на возбуждённых состояниях молекулы Н->,
комбинации которых (друг с другом или с основным состоянием) дают
начало линейчатому спектру. Мы также будем обозначать их словами орто
или пара, судя по тому, является ли собственная функция W из F)
симметричной или антисимметричной в пространственных координатах обоих
протонов. И эти пара- и ортосостояния в расширенном смысле не комбинируют
между собой. Поэтому возникающие линии получаются обязательно из
комбинации двух орто- или же двух паратермэв, оледовательно, они сами также
могут быть названы орто- или паралиниями.
Если мы представим теперь себе выражения F) для двух
комбинирующих термов, то согласно сказанному выше V будут обладать одинаковым
характером симметрии, а •!»,„, наоборот, противоположным (речь идет всё
время о симметрии по отношению к пространственным координатам
протонов) из-за правила отбора j-+j^il. Так как мы можем отвлечься от мно-
жи1еля Овп-it который (будучи всегда чётной функцией координат ядер) не
меняет симметрии, то мы должны заключить, что электронные термы \я
имеют для двух комбинирующих состояний противоположный характер
симметрии. Мы действительно знаем, что кроме основного состояния E),
симметричного в протонах, есть ещё и соответствующий антисимметричный
терм, которому соответствует на рис. 47 верхняя кривая з. В системе
возбуждённых состояний таких термов имеется неог.раниченное множество, так
же как и симметричных. Таким образом, мы приходим к выводу, что могут
комбинировать только электронные термы разных систем. Если бы мм,
например, потребовали, чтобы для чистоЯ иращат^льной полосы молекула
находилась как до, так и после ротационного перехода в основном электронном
состоянии, то мы пришли бы к выводу о невозможности таких чисто
ротационных полос.
Рассмотрим, наконец, не отдельный переход, но бесконечную
последовательность переходов, образующих определённую вращательную полосу
(точнее, определённую ветвь такой полосы; ср. т. I, гл. IX, § 3, рис. 140).
Вся такая последовательность соответствует одному и тому же
электронному переходу, равно как одному и тому же переходу между
колебательными состояниями, но вращательный переход меняется от одной линии полосы
к другой: за линией, отвечающей вращательному переходу чётное j -*■
нечётное У, непосредственно следует линия: нечётное j -у чётное у".
Если первому из этих переходов отвечает ортолиния, то второму —
паралиния, ибо как электронные, так и колебательные термы в начальном
и в конечном состоянии были для обоих переходов одними и теми же.
Оргомолекул (в возбуждённых состояниях, так же как и в основном) втрое
больше, чем парамолекул.
Мы должны, таким образом, ожидать, что интенсивности следующих
друг за другом линий в полосе будут меняться в отношении 3:1. Это
в полной мере подтверждается спектроскопическими наблюдениями. В
следующем параграфе мы увидим, что аналогичное чередование интенсивностей
происходит вообще для всех молекул из двух одинаковых атомов, и
получим отсюда важные следствия относительно строения ядра. Здесь же
следует ещё отметить, что хотя больцмановский множитель (включающий и
статистический вес 2j-\-\) и обусловливает постепенное возрастание и
последующее убывание интенсивности линий внутри вращательной полосы, но
ие может заметным образом исказить отношения интенсивностей 3: 1 двух
непосредственно следующих друг за другом линий полосы.

§ 7) ВОПРОСЫ СТРОЕНИЯ ЯДРА. СТАТИСТИКА БОЗЕ И СТАТИСТИКА ФЕРМИ 557
§ 7. ВОПРОСЫ СТРОЕНИЯ ЯДРА.
СТАТИСТИКА БОЗЕ И СТАТИСТИКА ФЕРМИ
Первоначально считали, что ядра построены из протонов и электронов
(ср. например, стр. 178, т. 1 этой книги в издании 1931 г). Немедленно
после открытия нейтрона (Чадвик, 1932) Гейзенберг высказал1) другое
предположение, что ядра построены из протонов и нейтронов'2). Это
предположение оказалось основным для всего дальнейшего развития ядерной
физики. Если обозначить через Z порядковый номер, через А массовое число,
равное округлённому до целого числа атомному весу, то число протонов
в каждом ядре будет равно Z, а число нейтронов А — Z. Предложение
Гейзенберга шло, однако, дальше, приписывая нейтрону, так же как и
протону, спин */э и подчиняя каждую систему нейтронов принципу Паули.
Спин нейтрона, равный 11„, исключает все попытки объяснить нейтрон как
тесную комбинацию протона с электроном; его следует рассматривать как
самостоятельную элементарную частицу.
Наряду с механическим нейтрону надо приписать и магнитный момент.
Этого требует открытие тяжёлого ядра водорода, так называемого дейтрона
(Юри, 1932). Это ядро, являющееся соединением протона и нейтрона,
обладает спином 1 и магнитным моментом, отличным от магнитного момента
протона. Мы получаем, следовательно, для нейтрона магнетизм без заряда
в полной противоположности с восходящими к Амперу представлениями
о природе магнетизма.
Согласно постулированному принципу Паули собственная функция ядра,
построенного из протонов и нейтронов, должна быть в такой же мере
антисимметрична в пространственных и спиновых координатах нейтронов, как и
в координатах протонов. То же самое имеет место и для системы,
построенной из двух идентичных ядер а и Ь. Пусть Z будет, как и ранее, числом
протонов, a N = A — Z — числом нейтронов обоих одинаковых ядер. Если
мы переставим один нейтрон из b с одним нейтроном из а, то собственная
функция нашей системы умножится на —1. То же самое будет и при
перестановке одного протона из b с одним протоном из а. Поэтому если мы
переставим все N нейтронов и все Z протонов, т. е. все ядро b со всем
ядром а, то собственная функция умножится на
„.. . [ +1, А чётное,
{-l) =1-1.
(_!)»+* -(_!)* = Лнечётное A)
Итак, в зависимости от обоих ядер (а не от составляющих их
элементарных частиц) собственная функция нашеЗ системы ведёт себя симметрично
или антисимметрично, судя по тому, является ли массовое число А чётным
или нечётным. То же самое справедливо и для совокупности произвольного
числа одинаковых ядер а, Ь, с, ...
Поэтому, если мы займемся установлением статистики таких ядер, как
для электронов в металлах, то ядра с чётными А будут вести себя совсем
иначе, чем ядра с нечётными А. Последние удовлетворяют принципу Паули,
в то время как для первых принцип Паули не выполняется, но зато имеет
место требование симметрии.
Симметричная статистика была впервые развита Бозе для световых
квантов и распространена Эйнштейном на газовые молекулы. Мы будем
1) W. H elseп berg, Zs. f. Phys. 77, 1 A932).
a) Предположение, что ядра построены из протонов и нейтронов было
опубликовано также Д. Д. Иваненко [Nature 129, 798 A932)]. {Прим. ред.)

558 спектр гелия и молекула водорода, проблема химической связи [гл. ix
называть её статистикой Бозе. Антисимметричная статистика была
исследована почти одновременно Ферми и Дираком. Она называется статистикой
Ферми. Итак, мы заключаем: ядра с чётным массовым числом подчиняются
статистике Бозе, ядра с нечётным массовым числом — статистике Ферми.
В этом общем законе содержатся, конечно, как крайние частные случаи
для А = 1 и то, что протоны или нейтроны подчиняются статистике Ферми,
из чего мы исходили в наших рассуждениях. Наоборот, для дейтона (А = 2)
и для ядра гелия (Л = 4) из него следует статистика Бозе. Рассмотри*
теперь особенно интересный случай азота, из рассмотрения которого
развилась вся задача. Здесь Л =14, т. е. согласно протонно-нейтронной модели
имеется семь протонов и семь нейтронов. Следовательно, должна иметь,
место статистика Бозе. Если же, напротив, мы следовали бы старому
представлению, то должны были бы принять, что ядро азота состоит из 14
протонов и семи электронов, чтобы получить правильные значения порядкового
номера 7 и массового числа 14. Проведенное нами выше рассмотрение двух
одинаковых ядер а и Ь мы могли бы выполнить, естественно, и для про-
тонно-электронной системы, так как и в этом случае элеменгарные частицы
подчиняются принципу Паули. Но тогда при полной перестановке всех
частиц обоих сортов возник бы множитель
т. е. статистика Ферми. Как мы увидим, это противоречит опытным данным
об азоте.
Однако сначала мы хотели бы вывести следствие для полного спина
ядра, которое непосредственно вытекает из основных представлений про-
тонно-нейтронной модели. Назовём этот полный спин 5. Он складывается
из элементарных спинов ±-у нейтронов и протонов:
B)
Отсюда немедленно следует, что
целому, А чётное,
полуцелому, А нечётное.
{
Следовательно, в периодической системе целые и полуцелые спины
встречаются попеременно. Эго правило оказывается выполняющимся беа
исключений. Кроме того, опыт приводит к правилу, также не имеющему
исключений, что для значений А вида 4л полный спин S равен нулю,
следовательно, происходит полная компенсация спинов элементарных частиц. То
же самое выполняется и для значений А вида 4л-(-2, если только как Z,
так и N являются чётными. Напротив, 5= 1 для
А = 2 (дейтон), А= 14 (азот),
когда как Z, так и N оба являются нечётными. Для нечётных значений А
1 О
наиболее часто встречаются S=-r и S = -^, но встречаются и большие
9
значения, например 5 = -у для висмута (Бекк и Гаудсмит, зеемановское
расщепление).

§ 71
ВОПРОСЫ СТРОЕНИЯ ЯДРА. СТАТИСТИКА ВОЗБ И СТАТИСТИКА ФЕРМИ
559
Отсюда мы непосредственно получаем общее правило чередования интен-
сивностей во вращательных спектрах как обобщение чередования интенсив-
ностей в отношении 3: 1 в спектрах орто- и параводорэда (ср. стр. 556).
В магнитном поле ядерный спин 5 может устанавливаться 25+1
способами, .именно его составляющие по направлению магнитного поля могу г
принимать значения:
при целом 5
5, 5—1 1, 0, —1, .... —5+1. —5,
при полуцелом 5
О, О 1 , . . . , -JT-, — "Я" , . . . , О —(— 1, "Ь.
Для двух .объединённых в одной молекуле ядер спина 5 существует всего
B5+ I)9 возможных ориентации. Представим их записанными в виде
квадратной таблицы, в каждой клетке которой размещена комбинация спиновых
собственных функций обоих ядер о @ E>-/>- — 5, первое ядро) и о(Л>
E>-Л;> — 5, второе ядро). Числа ink являются целыми или полуцелыми.
в зависимости от целости или полуцелости 5.
При этом можно считать, например (ср. рис. 50),
что индекс / меняется на единицу при
переходе от столбца к столбцу, а индекс k — от
строки к строке. На диагонали наша схема
содержит симметричные комбинации о(/)о(/),
в то время как пары симметричных
относительно диагонали клеток отличаются друг от
друга лишь заменой комбинации о(/)о(А) на
комбинацию о(&)о({). Мы симметризуем или
аитисимметризуем эти последние, образуя
комбинации:
&s Tv Г
Tv
II
-s У-'-
\ / V
I //X
■\
а @ о (Л)-(-о (А) 0@.
о @ о (А) —о (А) о@.
Таких комбинаций будет всего
1
D)
j {B5 +1)9 — B5+1))=5B5+1). E)
Рис. 50. Схема возможных
ориентации спинов двух ядер
(целого иди подуцедого) спина
S. Крестиками обозначены
изначально симметричные
комбинации ориентации обоих
спинов; симметрично
расположенными относительно диагонали
кружками обозначены такие
пары комбинаций, из которых
строятся симметричная н
антисимметричная спиновые
функции.
именно столько, сколько на нашей таблице
недиагональных клеток. Это число как раз
равняется общему количеству антисимметричных комбинаций. Общее число
симметричных комбинаций получится, если мы добавим сюда еще и 25+1
диагональных комбинаций, следовательно, составит:
E+1)B5+1). F)
Вследствие этого для отношения числа симметричных комбинаций к числу
антисимметричных мы получаем:
Это вычисление, специализированное для случая 5 =-у. является не чем
иным, как уже проведенным на стр. 550 рассмотрением, которое было-

560 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ (ГЛ. IX
применено там к атому гелия и перенесено на стр. 555 на молекулу водорода.
Нашим теперешним диагональным членам там соответствовали спиновые
функции а и d, а недиагональным — b и с, а комбинациям D) — прежние Ь-\-с
и b — с; из последней формулы G) для случая S =-^ получается прежнее
отношение 3 : 1 числа симметричных и антисимметричных комбинаций.
Так же как и в случае спектра Н>, выражение G) определяет в общем
случае чередование интенсивностей следующих друг за другом линий во
вращательной полосе как в случае статистики Бозе, так и в случае статистики
Ферми.
Для случая S = 0 из G) получается для соотношения интенсивностей
1 :0, что означает, что каждая вторая линия в полосе вовсе пропадает.
Примером могут служить полосы Не2, о которых шла речь в т. I, гл. IX,
§ 5. То же самое в соответствии с приведённым выше правилом, что все
ядра с делящимся на 4А обладают ядерным спином S = 0, выполняется и для
полос обыкновенного кислорода O16Oi6. Однако это обстоятельство не имеет
места по отношению к полосам Ot6Ot8 или ОNО17, так как наши
рассмотрения симметрии нельзя распространить на такие молекулы из-за
нетождественности обоих ядер. И действительно, линии этих спектров расположены
вдвое чаще, чем линии полос OI6Ot6, и не проявляют чередования
интенсивностей. Последнее применимо также и к полосам Ct3C13 и Nl4NI6.
Для очень больших S G) даёт для соотношения интенсивностей
предельное значение 1:1, т. е. чередование интенсивностей делается незаметным.
Для полос NuNl4 интенсивности чередуются в соотношении 2:1, откуда
в силу G) и следует уже упоминавшееся значение-5 = 1. Особенно
удобными для исследования являются вращательные полосы в комбинационном
спектре азота, которые были исследованы в образцовой работе Разетти (см.
цитату на стр. 323). При этом вывод о статистике Бозе следует из особых
деталей сделанных Разетти снимков (расположение сильных и слабых линий
полосы в окрестности линий падающего излучения) и совершенно не зависит
от какой-либо теории строения ядра. Это было отмечено впервые Гайтлером
и Герцбергом *), на выводы которых опирался Гейзенберг при выдвижении
протонно-нейтронной модели ядра.
На этих описанных здесь основах было в последние годы возведено
грандиозное здание ядерной физики. Мы, однако, должны вернуться к более
простым вопросам атомной волновой механики.
§ 8. РАССЕЯНИЕ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
Речь будет идти о рассеянии «-частицы на «-частице или протона на
протоне. В первом случае волновая функция такой задачи двух тел
симметрична в координатах) обеих частиц (статистика Бозе, спин 0), во втором —
антисимметрична (статистика Ферми, спин у). В обоих случаях задача двух
тел сводится путём отделения движения центра тяжести к точно
интегрируемой задаче одного тела (задаче водорода) в относительных координатах.
Обозначим пространственные координаты рассеянной и рассеивающейся
частиц через гх и г2, а их относительные координаты — через г = г, — rq.
Волновую функцию относительного движения мы запишем, откладывая на
дальнейшее точное определение входящих в нее постоянных к и л, в виде
») W. Heitler und О. Herzberg, Naturwifien. 17, 673 A929).
2) Для а-частнц речь идёт о пространственных координатах, для протонов иди
•электронов — о ироаранственных и спиновых координатах.

§ 8] РАССЕЯНИЕ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 561
.} (rlf г9) = «' ""Un (р), р = / {kr — (кг)). A)
При перестановке обеих частиц происходит замена
r-+ — r, r-+r, p-+o = /{ftr + (ftr)}. B)
Вследствие этого волновая функция с переставленными аргументами гласит:
W» О = «-«<*%, (о). C)
Мы образуем из A) и C) симметричную и антисимметричную комбинации:
ra)=tu(r9, rj. D)
Благодаря движению центра тяжести мы должны были бы добавить сюда,
чтобы получить полную волновую функцию задачи двух частиц, ещё и
множитель у (стр. 84), который зависит от координат центра тяжести. Так как,
однако, этот множитель не меняется при перестановке частиц 1 и 2 и, кроме
того, его абсолютная величина постоянна (ср. стр. 85), то он не играет
никакой роли для дальнейших вычислений и его можно поэтому опустить
уже в D).
В задаче о рассеянии нас интересует только асимптотический вид
волновой функции W. Он получается из (II.9.25а) и гласит:
Множитель eikr во второй строке указывает на то, что она представляет
рассеянную волну, первая строка с множителем e±i[kr) описывает движение
до соударения (падающую волну). Образуем отношение рассеянной
интенсивности к падающей. При этом мы будем учитывать для падающей волны
только первый из двух членов, а для рассеянной оба члена соответственно
тому обстоятельству, что падающая интенсивность создаётся только одной
из двух частиц, именно налетающей, в то время как рассеянная
интенсивность— обеими частицами:
•Vco __ -х- I •-/_ |„|91/ ,л»|-И|._п -1-1 n-H2.2jn. /5)
пзд
здесь dQ означает телесный угол, к которому относится измерение
рассеянных частиц, следовательно, г3 dQ — поверхность, через которую рассеиваются
частицы; падающая волна нормирована таким образом, что через единицу
поверхности её волнового фронта проходит в единицу времени одна частица.
При такой нормировке F) сразу даёт дифференциальное эффективное сечение
рассеяния (ср. стр. 333), поэтому мы будем в дальнейшем писать для левой
части F) просто dQ. При вычислении F) надо учитывать, что п чисто мнимо,
поэтому первый множитель в правой части оказывается равным единице,
а третий вырождается в
Тогда F) приводится к виду:
rfQ=C|p-»-1=to-»-i|2, C = |n|2«*lnldQ. G)
36 3«ж. 968. А. Зошерфельд

662 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ ГгЛ. Д
Мы обозначим в системе относительных координат через в угол между
направлением падения г и направлением наблюдения k (H = углу рассеянна
в относительных координатах) и получим согласно ()) и B):
p = i*r(l— cosA) = 2*rsina4j-e *,
(8)
а для сопряжённых величин
р* = — р, о' = —о.
Отсюда,
| р-»-1 ± 0-n-t |а __
_ (p-n-l -t 0-n-l)(p»-l ^ з»-»)( — I)" =
Ц ЦV
sin* -J- cos<-^- slna-j-
(9)
Чтобы найти выражение, стоящее в круглых скобках (...)>' введбм
обозначение
T = lntg-|-. A0)
Тогда согласно (8) будет:
р-п„+п _ ^tg3 ^-\ " = е-гпт _ еи| п |Т>
" = гг»т = е-« I»I т,
(.. .) = 2cos21 л |т = 2cos{21 л| In tg|-j.
С помощью этого значения, а также (8) и (9) получаем из G):
e2 eCO,{2Hlntg|-)). A1)
| j sin»-|-cos»-у 1 /(/
Если бы мы отвлеклись от симметризации собственных функций, то
получили бы, конечно, только первый член правой части, который совпадает
с формулой Резерфорда (V.6.4), и притом не только в отношении угловой
зависимости, но и по величине. Именно, так как падающая частица и
частица-мишень обладают одинаковым зарядом eZ (Z = 2 для а-частиц,
Z = 1 для протонов) и одинаковой массой М (М = 4/пн для а-частиц,
М = та для протонов), то
\п\
Но тем самым A1) совпадает с (V.6.4a). To, что к имеют в обоих
уравнениях одно и то же значение, следует из того, что в начальном состоянии
процесса соударения при покоящемся ядре наше настоящее волновое число
относительного движения совпадает с волновым числом в систеые координат,
г, которой покоилась частица-мишень.

§ 81
РАССЕЯНИЕ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
563
Тем самым мы выяснили значение первого члена в A1). Для того чтобы
истолковать остальные члены и быть в состоянии сравнить нашу формулу
с наблюдениями, мы должны перейти от рассмотрения относительного
движения к соотношениям в системе координат, связанной с наблюдателем. Эта
операция поясняется рис. 51.
Здесь р0 означает начальный импульс падающей частицы, рг и рэ—
конечные импульсы падающей частицы и частицы-мишени. В силу закона
сохранения импульса выполняется соотношение
A2)
возведение которого в квадрат даёт:
/>§=;»?+/>!+2 (р
Кроме того, для частиц одинаковой массы можно записать закон сохранения
энергии в виде:
5
Из сравнения этого равенства с A2) получаем:
= 0,
A4)
Параллелограмм импульсов превращается в прямоугольник, как это
известно из элементарной механики х).
На рис. 51, кроме импульсов р0, р1 и р2, изображен также и
относительный импульс /> = />!—Л»9> величина которого, как ясно из рисунка, равна
диагонали прямоугольника, т. е. совпадает
с р0. Его угол относительно направления
падения налетающей частицы равен как раз
углу ft, участвовавшему в наших предыдущих
вычислениях. С другой стороны, угол
рассеяния, который возникает на нашем рисунке
дважды, как угол между pt и р0 и как, что
следует из простой наложимости, угол между
р и Pi, мы обозначим через 0. Поэтому
получаем:
в = 2&. A4а)
Рис. 51. Прямоугольник им-
пульсов для соударения
одинаковых частиц.
Кроме того, согласно A4) имеет место соотношение
A46)
где 09 означает угол -%- (р2, р0), т. е. «угол рассеяния частицы отдачи».
В силу этих обозначений знаменатели обоих первых членов в скобках
в A1) станут равными
sin4 0 и sift4 f>9.
') Эта теорема не имеет более силы в релятивистской механике, так как здесь,
в силу изменения массы со скоростью, закон сохранения энергии не имеет более
формы A3). Это было подтверждено в высшей степени интересными опытами
Чемпиона с р-лучамн [см. F. С. Champion, Proc Roy. Soc, A136, 630 и 137. 688 A932)].
Угол между падающим электроном н электроном отдачи становится по мере роста
жёсткости р-лучей всё более острым.
36*

564 СПЕКТР ГЕЛИЯ И МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА. ПРОБЛЕМА ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. IX
Тем самым становится совершенно ясным значение второго члена: при
тождественности падающих частиц и частиц-мишеней частицы отдачи нельзя
отличить от рассеянных, поэтому в опыте по рассеянию первые считаются
вместе со вторыми.
Мы должны, однако, преобразовать в новые углы ft, <p и элемент
телесного угла dQ. Из равенств
dQ = sin& dftdФ, dm = sin ft dbd<f
следует в силу A4а)
dQ = sin ft cos ft dft d« = cos ft dm; A4b)
при этом надо учитывать, что ®, так же как и Ф (ср. рис. 51), отсчиты-
вается вокруг направления р0, поэтому dQ = d<?.
В противоположность первому и второму членам третий член в A1)
нельзя понять классически. Действительно, он означает интерференцию волн
падающей частицы и частицы отдачи. Мы можем назвать также этот член,
который появляется лишь для тождественных частиц, обменным членом. Он
не поддаётся корпускулярному истолкованию, которым мы ещё пользовались
на рис. 51. Теоретическое открытие этого члена принадлежит Мотту *),
к работе которого примыкает большое число экспериментальных исследований.
Чтобы обсудить их, перепишем A1) еще раз, выписывая полностью
зависимость от наблюдаемого угла рассеяния п и с учётом значений
констант A1), и притом специально для случая рассеяния а-лучей [верхний знак
в A1)]:
A5)
cos <
Так как для «-лучей [) существенно меньше 1 (для полония 3 = iln0), то
для |л| получается значение ~1, поэтому косинус в последнем члене A5)
осциллирует заметным образом. В опытах по рассеянию интенсивность
усредняется, естественно, по конечному углу, вследствие чего
положительные и отрицательные полуволны косинуса компенсируются, в особенности
вблизи ft = 0 или ft = п. Поэтому интерференционный член, вообще говоря,
трудно обнаружить. Однако иначе обстоит дело при ft =-^, когда lntgf> = 0
и осцилляции исчезают. Тогда круглые скобки в A5) приводят к значениям:
( 1 J = 16 с интерференционным членом,
sin -j cos -^-
-j = 8 без интерференционного члена.
. к .и
Sin4-г COS*-r
4 4
Эту разницу легко заметить на опыте. И действительно, опыты ряда
авторов 9) подтвердили наличие интерференционного члена при рассеянии «-частиц
') N. Е. Mott, Proc. Roy. Soc. A126, 259 A930); ср. также изложение в книге
Мотта и Месси (Теория атомных столкновений), гд. V, § 3. Первое упоминание о
необходимости симметризации собственных функций в задаче о столкновениях
можно найти у J. R. Oppenheimer, Phys. Rev. 32, 361 A928).
2) J. С had wick, Proc. Roy. Soc. A128, 114 A930); P. M. S. Blackett
P. С. С -
a. F. С. Champion, там же 130, 380 A930). (Статистика снимков в камере
Вильсона.)

§ 8) Р\ГСЕЯНИЕ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ 565
в газообразном гелии и тем самым и статистику Бозе для а-частиц и их
волновую природу.
Несколько сложнее обстоит дело при рассеянии протонов на протонах.
В этом случае имеет место, как мы знаем, статистика Ферми. Собственная
функция всей системы антисимметрична в координатах обоих протонов. Так
как к этим координатам относятся не только пространственные координаты,
но и спины, то эта антисимметрия может установиться двумя способами:
путем антисимметрии координатной функции при симметричной спиновой
функции или же путём симметрии координатной функции при антисимметрии
спиновой. Если мы будем обозначать зависящую от пространственных
координат часть собственной функции, как и в D), через 'Hri> гэ) или 'VOa' ri)>
а спиновую часть через Ф^, sa) или Ф(х2, st), то мы сможем записать
сначала в качестве выражения для собственной функции:
ф (rlt Г2) Ф (st, 53) — ф (Г2, Гг) Ф (S2, Sl). A6)
Это выражение можно переписать в виде:
и Го)
S2)
1
, rt) ty(rv г2) —
Раскрытие последнего детерминанта приводит к комбинациям симметричной
пространственной с антисимметричной спиновой частей и антисимметричной
пространственной с симметричной спиновой. Перейдем к квадрату модуля
волновой функции и просуммируем по различным ориентациям спина. Если
мы будем считать неполяризованным как состояние падающих частиц, так и
частиц-мишеней, то члены с произведениями выпадут .при суммировании и
останутся лишь квадраты модулей обоих диагональных членов. При этом
окажется, как мы знаем, например, из рассмотрения пара- и ортоводорода,
что антисимметричному спиновому состоянию соответствует статистический
вес 1, а симметричному —3. Итак, для квадрата модуля
просуммированного состояния A6) мы получим:
■J-Wi. 'tf + VOa. r^l' + f \V(rv г3)-^(г2, rt)|3. A7)
Возникающие здесь члены по отдельности уже нам известны. Переходя сразу
к эффективному сечению, мы получим из A1):
dQ /1.1 1 |О. .. в
~ + cos{21|intg
в
-cos2-=■
или, следуя способу записи уравнения A5),
cos{21n|intg7 ,
cos{2|n|ln.gi>}). A8)
Из приведённых выше соображений наибольший интерес представляет
опять область углов рассеяния, близких к ft = -][■. Для этого угла круглая
скобка в A8) принимает значение
s\n*-r cos4-г slna -г cos' —
4 4 4 4
Итак, в то время как в бозевском случае интенсивность рассеяния под
углом ft = -j вдвое возрастала из-за наличия интерференционного члена,

566 спрктр гелия и молекула водорода, проблема химической связи [гл. IX
в фермиевском случае она вдвое уменьшается. Опыты Гертсена *) (каналовые
лучи водорода в водороде) в точности подтвердили это предсказание.
В случае соударения электронов спин и статистика действуют так же,
как и в случае соударения протонов. Тут можно упомянуть опыты Вильямса2)
(р-лучи в водороде), которые также дают указание на существование
интерференционного члена. Однако для их обсуждения наши нерелятивистские
вычисления не могут уже служить более из-за больших скоростей ^-частиц.
Основы релятивистской теории обсуждаются у Вентцеля 8).
1) Chr. Oerthsen, Ann. d. Phys. 9, 769A931) и Phys. Zs. 38, 833 A937).
*) E. J. Williams, Proc. Roy. Soc. A128, 459 A930). (Статистика фотографий
■ камере Вильсона.)
») В пункте 6 цитированной иа стр. 507 статьи.

ГЛАВА X
ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
| 1. МЕТОД ХИЛЛЕРААСА, ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕЛИЯ
Этот удивительно плодотворный численный метод1) исходит из связи
волнового уравнения с развитым в конце дополнения 4, уравнение A6),
вариационным принципом Шредингера:
— Wq*)d* = 0. A)
Здесь Н — выражение, определенное уравнением A5а) дополнения 4, которое
мы обобщим теперь на случай многих частиц, различаемых индексом а:
После выполнения варьирования, интегрирования по частям и приравнивания
нулю множителя при 8-J* под знаком интеграла в A) мы получим волновое
уравнение в форме A.6.13):
= 0. C)
Мы видим из последнего выражения, что введенная сначала в A) на правах
множителя Лагранжа величина W приобретает смысл собственного значения
уравнения C). Чтобы вычислить W, надо помножить C) на ф и
проинтегрировать по конфигурационному пространству; выполняя в первом члене уже
упоминавшееся интегрирование по частям в обратном порядке, мы найдем
для каждого решения <Ь уравнения C):
— JHdx-\- wJ(J»9dT = O, D)
следовательно,
Г Них
'W=ZT^' E)
J
Из этого соотношения совместно с вариационным принципом A) следует,
что собственные значения W суть экстремальные значения стоящего в правой
1) Мы следуем работе EgiI A. Hylleraas, Zs. f. Phys. 54, 347 A929). В ней
имеются ссылки на предыдущие работы.

568 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
части E) отношения интегралов. В самом деле, если <Ь нормировано, т. е.
стоящий в знаменателе E) интеграл равен единице, то вариация интеграла»
стоящего в числителе, обращается в нуль согласно A). Если же, напротив,
нормировка <{< заранее не предусмотрена, что будет удобнее для дальнейших
вычислений, то добавление знаменателя означает как раз нормировку
стоящего в числителе выражения Н, следовательно, вариация правой части E)
опять обращается в силу A) в нуль. В частности, основному состоянию
системы, в котором энергия меньше, чем в любом из возбужденных состояний,
соответствует абсолютный минимум получающегося из E) экстремального
значения.
Однако в дальнейшем мы будем иметь дело не с точными собственными
функциями ф, но с апроксимирующими функциями, которые,зависят от
находящихся в нашем распоряжении параметров и удовлетворяют, кроме того,
налагаемым на собственные функции граничным условиям и условиям
непрерывности. Если мы сделаем теперь выражение E) путем выбора этих параметров
минимальным, то получим приближенные собственные значения задачи. Таким
образом, задача переводится из области вариационного исчисления в область
обыкновенного дифференциального исчисления и становится доступной для
практического нахождения решения.
Мы применим этот прием для нахождения основного состояния гелия,
в применении к которому отказал метод Гейзенберга (гл. IX, § 1). Все
вычисление мы разобьем на несколько этапов.
А. Выбор координат. Вместо прямоугольных координат, с которыми
мы работали до сих пор, часто вводят такие, которые определяют
конфигурацию трех материальных точек: ядра, электрона 1 и электрона 2, т. е.
стороны треугольника
или, что будет удобнее для дальнейшего, их комбинации1):
s = rl-\-r9, t = — r1 + ri, u = rn. G)
Выразим через них потенциальную энергию
где Z для гелия надо положить равным 2.
Для дальнейшего вычисления выражения B) образуем сначала
дхх дгх г,
и т. д. Возводя в квадрат, получаем отсюда:
) (У ^
равно как и
Согласно обобщенной теореме Пифагора
^-/12), (9)
!) Аналогично эллиптическим координатам га-\-гъ и га — гь в задаче с двумя
центрами (IX. 4.2), в которой, однако, третья координата гаЬ была постоянной (IX. 4.1).

§ И МЕТОД ХИЛЛЕРААСА, ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕЛИЯ 569
следовательно,
и
Т 2 ? 3)- (96)
В силу G)
благодаря чему из (8а, б) получается:
dit\di,-st + u* . /дф , дЪ\д*> st + u* ,„
Л/ ди (s — t)u Tyds •* <W ди (s + 0« " V '
Л2
Это выражение, умноженное ещб на —, составит первый член для Н в B).
/л
Если мы используем введенные на стр. 128 единицы Хартри, т. е. положим
й=1, т = 1, е=\, то рассматриваемое -выражение для Н будет равно
просто сумме A0) и (8), если мы опустим в (8) множитель е2.
Нам остается еще научиться выполнять интегрирование по
конфигурационному пространству, для чего нам потребуется построить элемент объема.
Если мы будем использовать полярные координаты обоих электронов, то
d-z = r\ drl sin ftt dl>t d<ot r\ dr^ sin »a df>a d<?.3. A1)
Мы будем отсчитывать при этом ftla <Pi относительно неподвижной в
пространстве оси, а 0а, <Ра — относительно подвижной оси, определяемой
вектором rv Тогда будет
(rira) = rtr9 cos fta
и, в силу (9),
/Va cos &a = g- (Л + г\ — ли).
Дифференцируя это соотношение при постоянных rv r9, находим:
rtra sin 09 d89 = rl% dr№
и подстановка в A1) приведет к
dx = /■1л2г12 drt dr#dr12 sin 0x dft1 d<fl d9a. (Па)
Как мы уже отмечали выше, rv г2 и г12 определяют форму и размеры
треугольника ядро — электрон 1 — электрон 2; только от этих координат
зависят, во всяком случае в основном состоянии, ^ и Н. Напротив, углы 0t,
?i и ?э определяют положение треугольника в пространстве (их можно
считать просто эйлеровыми углами для твердого треугольника). При проведении
интегрирования в числителе и в знаменателе E) множители, зависящие от
этих углов, выносятся за знак интегрирования по остальным переменным и
сокращаются. Поэтому мы можем исключить их из dx; переходя
одновременно к координатам G), получаем:
ds ds
<?/-, d/-3
Of ot
udsdtdu.

570 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Входящий сюда функциональный детерминант имеет, согласно G), значение
1
2
1
2"
1
Т
1

1
~~ 2
так что мы получаем:
j(s* — t*)udsdtdu. A2)
Множитель 1/8 может здесь, конечно, быть опущен, так же как и ранее
была опущена угловая часть, так как он всё равно сократится при
образовании отношения E). То же самое относится и к множителю 2, который
лоявится ниже в A5).
То, что координаты s, t, а выбраны подходящим для нашей задачи
-образом, проявляется в том, что при образовании Них выпадают все
знаменатели, которые входили в A0) и (8). Именно из A2), A0) и (8) после
некоторых преобразований получается:
|f} A3)
я соответственно
Jf»dt = Jds Jdu J<#(sa—f2)af». A4)
Теперь нам осталось еще установить пределы интегрирования. Из
элементарных теорем относительно суммы и разности сторон треугольника
получаем согласно G):
a<s, |4|<о.
следовательно, s я и положительны, а t или положительно или отрицательно,
s меняется от 0 до со, и — от 0 до s, а t — от — и до -(- и.
Следовательно, мы можем сразу написать в интегралах в A3) и A4):
f ds f du f dt...
Так как, однако, для основного состояния гелия речь идет о паратерме,
т. е. о собственной функции, которая симметрична в координатах, и так как,
в отличие от s и a, t меняет свой знак при перестановке электронов 1 и 2,
то <Ь, а потому и Н должны быть четными функциями t. Следовательно,
только что выписанные пределы интегрирования можно заменить (опуская
одновременно множитель 2) другими:
со в и
j ds j du j dt. A5)
0 0 0
Б. Выбор апроксимирующих функций. Собственная функция
основного состояния водорода, если использовать единицы Хартри и не
заботиться о нормировке, имеет простой вид е~г. Поэтому представляется
естественным положить в нулевом приближении для обоих электронов основ-
лого состояния гелия

§ 1} МЕТОД ХИЛЛЕРААСА, ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕЛИЯ 571
где г — эффективный заряд ядра, — следовательно, не совпадает с прежним Z
и равняется для гелия 2—а, где а — постоянная экранирования. Мы
исправим это нулевое приближение, добавив к нему в первом приближении члены,
зависящие кроме 5 еще и от координат t и и:
ф = «-«A + С1И + С/>). A6)
Здесь г, Ct и С.2 суть три свободных параметра. То, что добавленную
к нулевому приближению скобку мы считаем не зависящей от s, существенно
для упрощения дальнейших вычислений; требования симметрии обусловили
то, что зависимость от t мы написали квадратичной (см. выше). Мы
могли бы, естественно, добавить в скобках и дальнейшие члены, прежде
всего
С8иа, C4«8, Cbt*. ... A6а)
Тогда мы пришли бы к высшим приближениям, которые действительно были
найдены Хиллераасом таким образом; мы удовольствуемся трбхпараметриче-
ским приближением.
Чтобы достигнуть полного согласия с обозначениями Хиллерааса,
перепишем чисто формально A6) в виде:
_»
^ = ?(*«, ku, kt), <f = e~2(l+c1u-\-cJ*). A7)
Здесь мы также имеем три свободных параметра, именно: k, с, и с2.
A7) совпадает с A6), если мы положим:
k = 2z, «! —jClt c.2 = -i-C2. A7a)
Форма A7) выбрана, в частности, потому, что для нее зависимость от $
принимает простой для последующих интегрирований вид е~в.
Определим сначала «масштабный множитель k», который превращает
9 в <!/ путем одновременного изменения масштабов всех трех координат
s, t, и и определяет одновременно упомянутую выше постоянную
экранирования а. Для этого заметим: правая часть A4) получит размерность &~в,
если мы введем новые переменные интегрирования ks, ku, kt и будем в
соответствии с этим писать <р вместо ф. Одновременно в правой части A3)
первые три члена получат тогда размерность k~*. а последний — размерность k~b.
Мы выразим это аналитически, если запишем вместо A3) и A4):
Г Hdz = k-*
} A8)
J 6* d-z = k-*N,
где Р, Q и N—интегралы, образованные с помощью функции 9 и не
зависящие от k х).
Если мы вычислим .теперь отношение E), то получим:
N
]) Наши Р, Q, N записываются в обозначениях Хиллерааса (си. сноску на
стр. 567) как М, — AL и 8N, так как Хиллераас вычисляет в системе единиц,
которые несколько отличаются от единиц Хартри.

572 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Нам нужно так выбрать к, чтобы это отношение стало минимальным.
Условием этого является
0. к = —£?, A9а)
откуда, согласно A9), следует:
w=-mr- <20>
Нам осталось еще добиться выполнения условий минимума по двум
остальным параметрам ct и с2:
Согласно B0) они дают (с = ct или Сд):
2_дд_ j_dP i
Q dc P дс ~
Итак, мы получаем два уравнения для определения ct и с9. После их
решения апроксимирующая функция <р будет определена с помощью полученного
в A9а) значения k и <1>.
В. Вычисление интегралов N. Q, Р. Интеграл N равен
согласно A5), A4) и A7)
и
N= J dse-*j udu J(s9 — Я)A+с1и-|-с9*3)а. B2)
0 О ')
Вычисление интеграла по t приводит к результату
uia + bu + ctP-b-dub+eu'-b-fifi+gu*). B2«)
который мы записали по степеням а, введя обозначения:
1 1
/ = — -5 cxca> g = — f c\-
Отсюда для значения интеграла по а, которое мы расположим теперь по
степеням s, получится:
Наконец, осталось выполнить еще интегрирование по s, что производится
непосредственно с помощью известной формулы, выражающей результат
интегрирования экспоненты, умноженной на степень в пределах от 0 до оо,
через факториалы. Получаем:
N = 8 D + 35 ct + 48са + 96с» 4- 576 (* -\- 308 ete^. B2в)
Вычисление определенного в A8) интеграла Q протекает аналогичным
образом. Испольауя последний член в A3), получаем для Q:
оо * и
Q = J dse- f da J dt (s9 — /» — 4Zsa) A 4- ctu 4- c/")>. B3)

§ 1] МРТОД ХИЛЛЕРААСА, ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕЛИЯ 573
Интегрирование по t приводит к формально такому же выражению, как и
B2а), однако с отчасти измененными значениями коэффициентов:
д = 52, b = 2cls'i — 4Zs, c = (cf + -|c2) s9 — ——
>—1) —4Zs(c?+-Jc9),
B3a)
2 4 1 2
Поэтому интегрирование по а приводит теперь, если расположить результат
по степеням s, вместо B26) к
~i z) w"+i(g-4z)cp|. B36)
Интегрирование по s опять проводится сразу с помощью той же формулы
и даёт:
— 4J8Z — A + 4A5Z — 4)c1 + 6A6Z — 3)c? +
+ A44Z — 35)cf+16C5Z— 6)Clc2+ 12(96Z—13)c|}, B3b)
откуда для Z = 2 следует:
Q=— 4(y-f- 104^+ 174c2 + 253c?+ 1024Clc2 + 2148c^. B3r)
Несколько кропотливее оказывается вычисление Р, в процессе которого
приходится рассматривать по отдельности члены, из которых состоит Р.
Мы сразу выпишем результат:
-f-f ci+ 12ca+ I6c°+ 73Clc2+ 240c|). B4)
Г. Определение параметров сх и с2 и энергии W. Теперь
в B1) знаменатели каждого отдельного члена квадратичны, а числители
линейны в параметрах ct и с3. Освобождаясь от знаменателя, мы приходим
к системе двух совместных уравнений пятой степени по ci и с2. Согласно
Хиллераасу (см. примечание на стр. 567) приближенное решение этих
уравнений будет:
ct =. 0,08; с2 = 0,01. B5)
С помощью этих значений из B2в), B3г) и B4) получается:
N=8-20,6; Q = —4-26,02; Р = 8- 1,80, B6)
а из B0)
№= — 2,90 (в единицах Хартри). B7)
Так как согласно стр. 128 единица Хартри для энергии составляет 2Rh,
следовательно, равняется удвоенному значению потенциала ионизации
водорода 27,1 эв, то из B7) следует:
W= — 2,90-27,1 = — 78,5 эв. B8)

574 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Энергия иона Не+ составляет 4/?А =— 2 • 2J.1 эв, поэтому для
потенциала ионизации основного состояния атома гелия остаётся
У=B,90 — 2,00) • 27,1 =24,4 эв. B9)
Это почти в точности совпадает с опытным значением
У =24,5 эв. C0)
Представляет интерес также и численное значение «масштабного
множителя» k. Из A9а) и B6) получается:
3,64. C1)
Поэтому согласно A7а) эффективный заряд ядра оказывается равным
z = |- = 1,82 = 2 — 0,18,
так что 0,18 можно рассматривать как постоянную экранирования для заряда
гелия 2. Для успеха метода Хиллерааса существенно, что постоянная
экранирования очень легко нашлась при вариационном способе расчета.
§ 2. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА ХИЛЛЕРААСА.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ИОН АТОМНОГО И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ИОН
МОЛЕКУЛЯРНОГО ВОДОРОДА
Вариационный принцип A.1) привел бы к точному собственному
значению W, если мы допустили бы к сравнению с нашей начальной
функцией ^ все возможные вариации S<j/. Так как, однако, мы рассматривали
в A.16) или в A.17) только трехпараметрическое семейство и варьировали
параметры внутри этого семейства, то мы смогли получить в A.28) только
приближенное значение W. Путем перехода к шестипараметрическому
семейству A.16а) Хиллераасу удалось почти удовлетворить спектроскопическим
требованиям к точности, притом не только для основного состояния, но и
для возбужденных состояний гелия *).
Метод Хиллерааса основан на развитом Ритцема) общем приеме
численного решения вариационных задач. Ритц вычисляет последовательные
приближения к решению <!/ в виде
+я= 2с4?<. л=1, 2 A)
где <pi образуют подходящим образом выбранную полную и по возможности
ортогональную систему функций. Коэффициенты с{ получаются тогда
алгебраическим путем из требования минимальности варьируемого интеграла.
«Подходящий выбор» <р» является при этом, как и в задаче гелия, условием,
обеспечивающим быструю сходимость.
1) Получающиеся таким путём значения могут, естественно, быть только больше
действительных значений энергии, так как расширение семейства функций сравнения
может только уменьшить минимум интеграла. Предпринимались попытки ограничить
с помощью аналогичных методов значения энергии и снизу. Ср., например, А. Р.
Stevenson а. М. P. Crawford, Phys. Rev 54,375 A938); о более ранних русских
работах см., например, Б. В. Ромбе рг, Sow. Phys. 8, 516 A935); к последнему автору
восходит также и прием, с помощью которого собственные функции и собственные
значения находятся одновременно в ходе численного расчбта; см. ДАН СССР 14, 65
A937) и Солок, Sow. Phys. 12, 120 A937).
*) W. Ritz, Crelles J. 1<й, 1 0908), Собрание сочинений, Paris, 1911, стр. 192.

§ 2] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕТОДА ХИЛЛЕРААСЛ 575
Вычисления предыдущего параграфа легко распространить с
нейтрального гелия на изоэлектронную последовательность:
Z= 1 2 3 4 ...
Н" Не Li+ Be++...
Мы будем интересоваться первым членом этого ряда, существование кото-
рого твердо установлено химически в гидридах щелочных металлов:
N+H", К+Н", ...
Ион Н~ обладает, как и нейтральный гелий, двумя электронами, которые,
однако, связаны теперь значительно слабее, именно лишь зарядом протона
Z = 1. Следуя Бете 1), мы покажем, что, по крайней мере, основное
состояние иона Н~ является ещё стабильным, т. е. обладает энергией меньшей,
чем для нейтрального атома водорода. В противном случае ион Н~ мог бы
спонтанно отдавать свой второй электрон и переходить в нейтральный атом
водорода, что было бы несовместным с существованием гидридов щелочных
металлов.
Если мы просмотрим вычисления § 1, то увидим, что в выборе координат
и апроксимируюших функций, равно как и в значениях N и Р, не изменится
ничего. Из-за нового значения Z= 1 придётся лишь изменить значение Q.
Именно из A.23в) теперь получится:
Q= — 4 (у-1- 44с1-г-78с2-г-109с* 4-464Clc94-996с*). B)
Отсюда и из прежних выражений A.24) и A.22в) следует:
^ = 0,20, са = 0,05, C)
откуда с помощью B), A.22в) и A.24) вычисляем:
<? = — 4-29,7, N=8-21,7, Я = 8-4,82. D>
Поэтому, согласно A.20), энергия иона Н" будет равна
W= — 0,525 (в единицах Хартри) = — 14,2 эв [ср. A.28)]. E>
Она оказывается меньше, чем энергия нейтрального атома водорода
(—13,55 эв). Итак, последний действительно обладает некоторым, хотя бы и
очень малый, сродством к электрону. То» чтобы у иона, кроме основного
уровня, были бы стабильными ещё и возбужденные, представляется
сомнительным.
Для масштабного множителя получается, согласно A.19а), численное
значение
Л =1.535, F)
а для эффективного заряда ядра, согласно A.17),
г = 0,767= 1 — 0,233. Fа)
Таким образом, постоянная экранирования о = 0,233 оказывается несколько
большей, чем в случае гелия.
Мы хотим ещё, хотя бы совсем схематически, остановиться на ионе
молекулы водорода Н+. При закреплённых ядрах этот нон приводит нас»
>) Н. 6 е< h e, Z& I. Phys. 57, 815 A029).

576 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
как и в случае задачи Кеплера, к одноэлектронной задаче, в которой
переменные разделяются. Волновое уравнение, если мы обозначим, как и в гл. IX,
§ 3, оба ядра через а и Ь, расстояние между электроном и ядрами через
та и гь, а взаимное расстояние ядер через гаЬ, гласит:
"+£+£)* = о, w' = w-7^- <7>
Ссылаясь на § 4 гл. IX, введём эллиптические координаты:
$ = cha = ^b^-, ^ = COstf = ^^^-, (8)
fab rab
а в качестве третьей координаты — угол <р (ранее обозначавшийся через w),
отсчитываемый вокруг линии, соединяющей ядра. Учитывая левую часть
{IX.4.22а), которую теперь надо поделить на
Vgi&g» = ■§- гЪь sh a sin v (ch9 и — cos9 v),
получим из G):
Переменные в этом уравнении разделяются, если написать:
п — целое. A0)
Для основного состояния п = 0, которым мы здесь ограничимся, для
определения '^ и ^ получаются следующие уравнения:
= O. A1)
0 A2)
{А — параметр разделения), где введены обозначения:
Т=5^»(-^)>0. 9 = %гл. A3)
р является, следовательно, расстоянием между ядрами в единицах Хартри
(m = e = h= 1).
Уравнения A1) и A2) не относятся (несмотря на их формальное
сходство с дифференциальным уравнением для шаровых функций) к числу
гипергеометрических дифференциальных уравнений, так как бесконечность является
для них иррегулярной особой точкой. Граничными условиями являются:
конечность в точках =t 1, обращение ^ в нуль для \ -*■ оо. Ссылаясь
относительно подробностей проведения интегрирования на работу Теллера1),
мы запишем <{>,, в виде ряда9) по возрастающим степеням т] (этого оказы-
1) Е. Teller, Zs. f. Phys. 61, 458 A930), диссерт. Leipzig. Там же и критический
обзор прежней литературы.
3) Из аналитических соображений является естественным заменить степенной
ряд A4) рядом по шаровым функциям, что подсказывается видом дифференциального
уравнения A2). Это несколько упрощает рекуррентную формулу A7), которая остается,
естественно, веб же трёхчленной. Ср. Е. Ну Пег а as, Zs. f. Phys. 71, 739 A931).

§ 2] ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МВТОДА ХИЛЛЕРААСА 577
вается достаточно для основного состояния):
«К, = 2<М* 04)
и получим из A2), полагая равными нулю коэффициенты при щ° и т)9*,
рекуррентные формулы:
— 2а1-\-аоА = 0,
la,-Tfl,_1 = 0. A5)
Итак, рекуррентные формулы оказались трехчленными и не приводят, поэтому
(ср. дополнение 2) к элементарным функциям. Для отношений
К = ^ A5а)
из A5) получается:
4
J_. A7)
"к-1
Путем обращения A7) находим:
где
Bv+l)B> + 2) | ( '
Заменяя в A8) ч на v+ I,, v-j-2, ... и внося в A8) получающиеся
значения Ь.„ Ь^х, .... мы получим для b следующее представление в виде
непрерывной дроби:
*,-! ^-—. B0)
l+«v
+ 1 ■
сходимость которой можно усмотреть, как указал Теллео, из функционально-
теоретических соображений. В частности, для v= 1, учитывая A6), находим:
Это соотношение является трансцендентным уравнением, связывающим обе
неизвестные нашей задачи: параметр разделения А и содержащееся в g,
сооственное значение энергии W или f. Второе соотношение между А и W
надо было бы получить из уравнения A1) для >!^ и имеощих для него место
граничных условий. Тогда путем исключения А наша задача о собственном
значении была бы разрешена для основного состояния Н/, сначала для
произвольным образом выбранного расстояния р между ядрами; значение
последнего следовало бы получить из требования минимума собственного
значения. Для возбужденных состояний (ср. работу Теллера; дело обстоит
аналогично.
37 Зав. Кв. А. Звммерфмм.

578 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
То, что мы столкнулись здесь с непрерывными дробями, соответствует
общим замечаниям в конце дополнения 2. Рассмотрение по классической
механике ведёт1) при этом, согласно тому же замечанию, к эллиптическим
интегралам.
Для получения численных результатов эта общая схема не представляет,
однако, большого удобства. Для этого оказывается гораздо более
приспособленным вариационный метод, который использовался и в работе Теллера
при получении уравнения для <!^. Особенно просто достигает цели Свартхольм 3)
с помощью приёма, примыкающего к работе Хиллерааса, используя, кроме
расстояния между атомами гаЬ, лишь один свободный параметр. В
результате было получено:
гаЬ = 1,999а (а—радиус водорода),
W = — 1,205#А = — 16,32 эв.
Они полностью совпадают с полученными другим методом результатам!
Хиллерааса (ср. примечание 2, стр. 576) и с результатами опыта.
Вопрос о том, следует ли ожидать появления многолинейчатых полос
в спектре иона Н^, обсуждался Стеенсхолтом8).
§ 3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ТОМАСА*) — ФЕРМИ*)
Рассмотрим атом со многими, скажем с Z, электронами. Так как
рассмотрение системы большого, но конечного числа частиц является весьма
трудным делом, то мы перейдём к бесконечно большому числу частиц,
сохраняя при этом полный заряд неизменным. Мы хотим этим сказать, что
мы представляем себе эти Z электронов размазанными и обусловленное ими
распределение заряда р непрерывным. Для сферически симметричного поля
ядра это распределение р будет сферически симметричным, т. е. оно будет
зависеть лишь от расстояния г ядро -»■ точка наблюдения. То же самое
должно выполняться и для вызванного этим распределением потенциала \.
Уравнение Пуассона, связывающее у и р, запишется тогда в виде:
Мы хотим включить в у и потенциал, обусловленный зарядом ядра.
Тогда в качестве одного граничного условия для \ мы получаем:
ry = Ze для г = 0. B)
Дальнейшие граничные условия относятся к «поверхности атома». Они
станут более ясными, если мы рассмотрим сначала наряду с нейтральным
атомом (Z электронов) и положительный ион (Z — г электронов). Мы
обозначим радиус атома в обоих случаях через R, хотя далее мы увидим, что
для нейтрального атома R = оо. Во внешнем пространстве г > R мы
напишем у = уа и, полагая как обычно потенциал равным нулю на бесконечно-
1) О. Y. С h а о, Proc. Nat. Acad. (Washington) 15, 558 A929) и М. W i 11 s t a t -
ter, Zs. f. Phys. 15, 873 A931). Оба автора используют полуклассический метод ВКБ.
3) N. Svartholm. Zs. I. Phys. Ill, 186 U938).
в) О. S t e e n s h о 11, Abhandl. Akad. d. Wiss. Oslo, № 4, 1936.
«) L. H. Thomas, Proc. Carabr. Phil. Soc. 23, 542, ноябрь 1926.
*) E. Fermi, Zs. f. Phys 48, 73, февраль 1928. Ср. также лейлцигские доклады
1928 г. (доклад ШггеГя), в особенности таблицу на стр. 97.

Щ 31 СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОШ ТОМАСА—ФЕРМИ 579
стн, получим:
Ха = —, следовательно, для нейтрального атома уо = 0. C)
Тогда на поверхности атома будут выполняться граничные условия:
*-*• #-?? ДЛЯ r==R' D)
Последнее потому, что мы предполагаем поверхность свободной от
поверхностных зарядов. В частности, для нейтрального атома граничные условия
гласят, следовательно,
Х-0. £ = 0. Dа)
Заметим, что второе из уравнений D) заключает в себе как раз то
утверждение, что содержащаяся в шаре радиуса г = R алгебраическая сумма
варядов равна ге. В самом деле, согласно основным теоремам теории
потенциала, эта сумма зарядов задаётся интегралом, взятым по ограничивающей
шар сфере
который будет, согласно D) и C), равен ге. В равной степени второе из
уравнений Dа) обеспечивает нейтральность атома.
Мы будем рассматривать в дальнейшем в противоположность обычной
теории потенциала наше непрерывное распределение заряда не как покоящееся,
но как динамическое, и притом таким образом, что в каждом элементе объема
атома движение равновероятно распределено по всем направлениям, в то время
как его интенсивность зависит только от положения элемента объёма, т. е.
от г. Мы должны будем вернуться при этом к конечному заряду электрона е
и к конечной массе т.
Мы запишем приходящуюся на один электрон энергию в виде
W = £— ex для r<fl E)
(р— вектор импульса, —еу — потенциальная энергия, так как у означает
потенциал, т. е. потенциальную энергию для заряда + О- С другой стороны,
энергия некоторого мысленного, приведённого без скорости на поверхность
атома, электрона составит:
«V еха, Eа)
где ул надо взять для г = R.
Мы хотим определить верхнюю границу Р возможных импульсов из того
требования, что для р < Р электрон остаётся в атоме, а для р > Р может
его покинуть. Эта граница задается равенством W= Wa. Итак, из E) и Eа)
следует: ,
£ Ха))Т- F)
Итак, мы получаем в качестве объёма, доступного для концов векторов р,
шар радиуса Р, следовательно, шар объёма
Представляя теперь себе этот шар заполненным концами выходящих из
центра векторов р, мы лолучим представление упомянутой выше картины
движенмя, равновероятного по всем направлениям, интенсивность которого
вависит только от г.
27*

580 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯ [ГЛ. X
Умножая это «импульсное пространство» G) на элемент объёма
координатного пространства, мы придём к шестимерному фазовому пространству
тех электронов, которые образуют плотность р на расстоянии г от ядра.
Мы разобьём этот объём на отдельные ячейки размера А8. Каждая ячейка
задаёт определённое квантовое состояние; принцип Паули требует, чтобы
при учёте спина каждому квантовому состоянию было бы отнесено не более
двух электронов. Мы примем, что все фазовые ячейки содержат как раз это
максимально возможное число электронов, и будем говорить, как и в
квантовой статистике об этом случае как о случае полного вырождения. Умножая,
2
следовательно, G) на р-, мы получим то число электронов, которое может
быть помещено в наш импульсный шар согласно принципу Паули, и притом
для элемента пространственного объёма. Если мы умножим ещё результат
на заряд электрона — е, то получим электрический заряд в единице объёма,
т. е. электрическую плотность р. Итак, мы имеем:
р %£l2m*(x—xjF. (8)
Подставляя это значение в дифференциальное уравнение A), получим:
Это уравнение упрощается, если ввести в качестве новой зависимой
переменной г(х — Ха) 1ИЛИ пропорциональную ей величину «р. определённую в A2))-.
Именно, так как ул означает здесь, так же как и в Eа), постоянное
значение 4| на поверхности, то
Заметим далее, что для г = 0
г(х—xJ —
и, согласно граничному условию B),
Вводя ещё и новую независимую переменную (ji— постоянный множитель,
который мы сейчас определим), положим:
* = £. TW-i'fc —Хо>- A2)
Тогда мы получаем согласно A1):
<Р@) = 0, A3)
и из (9) и A0) получается дифференциальное уравнение Томаса — Ферми:
*% lL A4)
если для |i мы выберем значение (а — радиус атома водорода):
ш •

§ 31 СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ТОМАСА ФЕРМИ 581
Мы должны переписать теперь в новых переменных и наши граничные
условия D). Первое из них гласит, в силу A2), просто
0, *=£. A6)
S—Д.
Во второй мы вычислим, что согласно C)
и в силу A2), учитывая A6),
Из приравнивания этих двух величин следует:
^. A8)
Займёмся сначала нейтральным атомом с 2 = 0. В этой случае из A6)
и A8)
'Х) 0. A9)
Из A4) тогда следует не только <p"(^O —0, но и при последовательном
дифференцировании A4) <p'"(^Q = <p'v (X)= ... =0. Но это невозможно при
конечном X, так как привело бы к <рэО. Мы должны заключить поэтому,
что Х= оо. Радиус нейтрального атома в модели Томаса—Ферми бесконечно
велик.
Поведение <р для Jt-юо можно выяснить, если положить
<р = Ах°. B0)
Тогда из A4) следует:
2_ яо-1 ( а = — 3,
-4а(о — \)х*-ъ = А*х г .следовательно, {,4=144. B0а*
Ясно, что при таком асимптотическом поведении <р условия A9) могут
быть выполнены для Х= оо без того, чтобы <р обращалось, как для
конечного X, тождественно в нуль. Ясно, что мы не можем непосредственно
использокать решение B0), хотя оно и удовлетворяет A4) не только
асимптотически, но и точно, так как оно становится сингулярным для х = 0 и не
удовлетворяет граничному условию A3). Однако можно убедиться1), что
все обращающиеся на бесконечности в нуль решения дифференциального
уравнения A6) ведут себя так, как частное решение B0), B0а). В их числе
имеется одно, проходящее через точку jt = O, <р = 1, т. е. удовлетворяющее
граничному условию A3). Это решение представлено на рис. 52 жирной
кривой.
_»
Приближённое решение, пригодное для очень больших jc(x>12»),
которое удовлетворяет и граничному условию <р@)= 1, может быть записано
') Проще всего с помощью предложенного автором способа: A. Sommerfeld,
Rendic. Acad. dei Lincei. 15, 788 A932); там выводится также и приближенное
уравнение B1). Общее обсуждение дифференциального уравнения B1) было проведено уже
Томагом (цит. выше) и продолжено автором: A. Soramerfeld, Zs. L Phvs. 76,
2вЗ(Ш32).

582
ПРИБЛИЖЁННЫ* МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. X
в виде:
где А. и A.J — корни уравнения X9-J-7X = 6, именно:
0772| h= -7-/73 7J72
С другой стороны, для малых х имеет место разложение1):
... С = —1,589.
4 4-
B1)
B1а)
B2)
Однако приведённое значение С нельзя вывести из разложения вблизи нуля,
но только благодаря использованию условия на бесконечности. Величина С
определяет угол т, под который наша кривая пересекает ось <р на рис. 52:
B2а)
1,589*
Поведение кривой во всей области от 0 до оо было вычислено Ферми
путём численного интегрирования (ср. стр. 578, примечание 5). Надёжное
подтверждение вычислений Ферми было получено с помощью знаменитого
интегратора Буша3).
Кроме кривой для нейтрального атома на рис. 52 приведены другие
кривые, проходящие через точку х = 0, <р = 1 и пересекающие ось <р частично
под большими, частично под
меньшими углами if. Первые уходят в <р =
= -f-oo и представляют интерес
только для атомов, находящихся под
действием внешних сил (например,
в кристаллической решётке).
Напротив, последние кривые, которые
пересекают ось х и уходят в <р =
= — оо, представляют решения
нашей задачи для различных ступеней
положительной ионизации.
Чтобы усмотреть это, нам
достаточно истолковать геометрически
налагаемые в случае иона условия
A6) и A8). Уравнение A6)
утверждает, что X представляет собой
отрезок, отсекаемый кривой <р на оси
абсцисс. A8) показывает, что каса-
О
Рис. 52. Кривые Томаса — Ферми для
нейтрального атома (жирная кривая) и для
ионов двух различных ступеней ионизации
(из которых кривая Л",, qx отвечает
меньшей, а Л2, ?з большей ступени ионизации).
Верхние кривые относятся к атомам,
находящимся под внешним воздействием.
тельная, проведённая к кривой <р(лг)
в точке (X, 0), отсекает на оси
ординат отрезок q = -=-. Следовательно, относящиеся к различным ступеням
ионизации кривые <?(х) таковы, что эти отрезки имеют рациональные длины
1 2
>) Е. В. В a ker, Phys. Rev. 86, 630 A930).
*) V. Bush a. S. H. Caldwell, Phjs. Rev. 88, 1898 A931).

§ 4] ПРИМЕНЕНИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ 583
Эта касательная расположена, естественно, тем ближе к оси абсцисс, чем
меньше ступень ионизации г, и переходит для 2 = 0, т. е. для
нейтрального атома, в саму ось абсцисс. То, что радиус иона R или пропорциональный
ему отрезок X уменьшается с ростом ступени ионизации, происходит, конечно,
потому, что избыток заряда ядра тем сильнее стягивает электронное облако,
чем он больше. То, что этого не происходит для нейтрального атома и что
в этом случае электронное облако размазывается до бесконечности,
представляет собой недостаток нашей модели, к которому мы вернемся в § 5.
Вблизи ядра, где действует притяжение от полного заряда ядра, мы
получаем и для нейтрального атома возрастающую плотность электронов. Это
распределение электронов можно сравнить с распределением плотности
воздуха по барометрической формуле; общим является в обоих случаях
распространение до бесконечности.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
Ферми развил уже в своём первом сообщении о статистической теории
атома в высшей степени смелое и интересное применение этой теории
к построению периодической системы. Рассматривается вопрос о том, для
какого Z впервые появляются «типы орбит» с заданным значением квантового
числа /. Мы будем характеризовать эти типы орбит, как и в прежней
квантовой теории, значением момента
где s означает составляющую импульса, перпендикулярную к г. Сколько
имеется в статистической модели электронов, моменты которых заключены
между М и M-\-dM7 Рассмотрим сначала
некоторый определенный элемент объёма на расстоянии г
от ядра и представим на рис. 53 введенную
уравнением C.6) сферу (Ферми-сферу) радиуса Р.
Направление г выделяет внутри этого шара определенную
ось А. Для любой точки Q шара вектор OQ
совпадает по величине и направлению с импульсом р.
Мы разложим его на две составляющие,
параллельную выделенной оси А и перпендикулярную к ней.
Последнюю составляющую мы обозначим через s.
Согласно A) величинам Ж и MA-dM соответствуют Рис- „, ,
пасстояния внутри Ферми-сферы ра-
расьтиинии диуса Р для определения
М . . M + dM числа электронов с мо-
s = — и s-\-as = . ментами между М и
r r M + dM.
Они ограничивают на рис. 53 цилиндрический слой внутреннего радиуса s
и толщины ds с осью А. Его высота, измеренная по внутренней границе,
составляет:
следовательно, полный объём
л ж ш . л •» / гчо М^ М dm /лч
2itsHds=4icy P* -pi—. B)
Умножая его на -^-, мы получим, согласно замечанию на стр. 580,
число электронов, момент которых лежит между М и M-\-dM для
определенного элемента объема координатного пространства и определённого

584 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
направления оси А. Если умножить теперь это число ещё на объём
сферического слоя координатного пространства 4яг* dr и проинтегрировать по г,
то мы придём к полному числу электронов в атоме, момент которых за-
ключей в интервале от М до M-\-dM0. Это число мы назовем
'- — dr. мам. C)
Пределы интегрирования г0 и rt надлежит выбрать здесь таким образом,
чтобы между ними квадратный корень (высота нашего цилиндрического
слоя Н) был бы действителен.
Напишем для М:
Это — обычный компромисс между старым и волновомеханическиы
определением азимутального квантового числа. Соответственно мы напишем для dM:
dM = 7^dl, где dl=\,
так как мы интересуемся лишь целочисленными разностями квантового числа.
Соответствующее значение числа электронов мы назовём /V,. Подставим
для Р его значение C.6) с у.о = 0 (нейтральный атом). Тогда из C)
получится:
dr.
Наконец, перейдем с помощью C.12) от у, г к «р. * и найдём
E)
Смысл пределов интегрирования х0, хг показан на рис. 54. Мы нанесли на
ЭТОТ рИСуНОК ПуНКТИрнуЮ Кривую <р(Х) И СПЛОШНУЮ Кривую Х'Л(Х), ИСХОДЯ
из вычисленной Ферми таблицы для <р, и параллельную оси абсцисс прямую
на переменном расстоянии А, причём мы предполагаем, что в выражении E)
для А квантовое число / остаётся постоянным, a Z растет, начиная с нуля.
Тогда наша параллель А будет опускаться из бесконечности и для
определенного значения Z коснётся вершины сплошной кривой. В этом случае мы
получим х0 = хг, т. е. область интегрирования, равную нулю. По мере
дальнейшего уменьшения А область интегрирования станет конечной,
точками х0 и х, будут точки пересечения А с кривой
В вершине кривой согласно таблицам
дкр = 0,488.

§ 41
ПРИМЕНЕНИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
585
Итак, согласно сказанному, N, = 0 для А = 0,488 и переходит затем к по»
ложительным значениям. Следовательно, здесь расположена граница для
первого появления орбит типа /. Уравнение E) даёт для этой границы:
F)
Рис 54. Первое появление в периодической системе
некоторого значения квантового числа /. Прямая А
сдвигается вниз до тех пор, пока она не коснется
кривой ()
Зя. 0,488а
Вычислим это выражение для / = 0, 1, 2, 3 и определим тем самым первое
появление s-, p-, d-, /-орбит в основных состояниях элементов периодическом
системы. Первая строка
следующей таблицы дабт вы- p. ixp
численное из F) нецелое
значение Z, вторая —
ближайшее большее целое
значение Z. Но и это значение
означает только нижний
предел для появления
рассматриваемых типов орбит, так
как нельзя ручаться за то,
что число Л/г, которое
равнялось для нецелого Z нулю,
сразу станет для
увеличенного целого Z большим
или равным 1. Ферми
определил путем численного
вычисления интеграла E) те значения Z, для которых Nt достигает значения 1.
Эти найденные Ферми значения стоят в третьей строке таблицы. Как мы
видим, наше более простое
вычисление, не требующее
новых численных
интегрирований, приводит к результатам,
очень близким к полученным
Ферми. В последней строке
приведены значения Z, для
которых действительно,
реализуется рассматриваемый тип
орбиты в периодической
системе, и названия
соответствующих элементов.
Совпадение с
действительностью получается
поразительно хорошим. В частности, в нашей таблице, несмотря на грубость
статистической модели, нашло свое выражение то обстоятельство, что построение
З^-орбит не начинается, как то можно было бы ожидать, для Z= 19, т. е.
непосредственно вслед за аргоном, но сначала заполняются 4«-орбиты (у К
и Са Z= 19 и 20); в равной степени построение 4/-орбит, которого можно
было бы ожидать непосредственно после палладия, т. е. при Z = 47,
откладывается из-за заполнения 5s-, Ър- и бз-орбит.
/
Уравнение F)
Фермн
Периодическая
система
s
0
0,15
1
1
1
Н
Р
1
4.2
5
5
5
В
d
2
19,4
20
21
21
Sc
/
3
53.2
54
55
58
Се

586 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
§ 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ
Статистическая модель была применена с большим успехом Ферми
к вычислению поправки Ридберга для s-термов:), Разетти для вычисления
рентгеновских /И-уровней2), Джентилем и Майорана к рентгеновским
дублетам3). В этих случаях речь идёт о внутренних особенностях атома
(s-термы, особенно имеющие большие квантовые числа, соответствуют
проникающим орбитам). Наоборот, модель не выдерживает испытания в
применении к внешним особенностям атома. Примером может служить
диамагнетизм, для которого внешние части атома играют основную роль,
соответственно его выражению A1.6.23) через электрический момент инерции;
в цитированной в примечании на стр. 581 работе автора показано, что для
нейтрального атома получаются примерно в десять раз большие значения,
для ионов первой и второй степени ионизации расхождения становятся на
порядок меньшими. То же самое справедливо и в отношении потенциалов
ионизации *). Для нейтрального атома они оказываются много меньшими
действительных значений, для однократных ионов они примерно совпадают
с наименьшими для рассматриваемого периода (именно, с потенциалами
ионизации щёлочноподобных ионов Mg+, Ca+, ...) и превосходят их лишь для
двукратных ионов. Естественно, что модель не может дать ничего
касательно сильного изменения потенциалов ионизации внутри каждого
отдельного периода периодической системы. Другим примером, когда модель
отказывается служить, может быть форма комптоновской линии на рис. 45
(стр. 519), кривая IV, которая получается слишком узкой, так как согласно
нашей модели нейтральный атом простирается вплоть до бесконечности, где
его электроны связаны сколь угодно слабо.
Бесконечный радиус нейтрального атома явно связан со следующим
обстоятельством. Если бы мы «распылили», как в модели Томаса — Ферми,
свободные электроны в металле, то работа выхода сделалась бы равной
нулю и вне металла возникла бы электронная атмосфера, которая и в этом
случае простиралась бы вплоть до бесконечности. Именно работа выхода
задаётся по порядку величины энергией изображения — Шоттки, где
гд—расстояние между соседними ионами металла в решётке. Но эта энергия исче-
аает при е -*■ 0.
Если, таким образом, и нейтральный атом не может сохранить в модели
Томаса — Ферми свойства своих внешних электронов, то представление
отрицательных ионов с помощью этой модели оказывается уже полностью
невозможным 6).
') Е. Fermi, Zs. f. Phys. 49, 550 A928); дальнейшие численные результаты
относительно s-термов с большими квантовыми числами приводят Fermi u.
Е. Amaldi, R. Acc.d' Italia 6, 119 A934).
*) F. Rase 111, Zs. I Phys. <9. 546 A928).
») О. О e n I i I e u. E. M a j о r a n a. Ace. del. Llncei 8, 229 A928).
*) A. Sommerfeid, Zs. f. Pliys. 80, 415 A933). В улучшенном учётом собмеиа»
методе Хюльтена [см. L. H u 11 h е п, там же 95, 789 A93о) и Н. Jensen, 1ам же
101, 141 A936), рис 2J, напротив, вычисленные значения совпадают достаточно хорошо
со средним ходом опытных значений уже для однократных ионов, а также для иои-
ных висприимчивостен [ср. Jensen, М еу еr-G оss I ег u. Rohde, там же НО,
277 A9*8), рнс. 2).
*) Посредством не совсем свободной от произвола поправки, заключающейся
■ исключении «обратного действия электрона на самого себя», коюрое будет сейчас
обсуждаться, Ферми и Амальди удалось ввести в теорию и отрицательные ионы. См.
Fermi u. Amaldi, Асе del Lencei 6, 119 A934;.

§ 5] ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ 587
Основная ошибка, возникающая при «распылении» атомных электронов,
состоит в следующем: если мы проводим вычисления с дискретными
электронами, то электростатическая энергия будет равна
где мы ради общности обозначили заряды через eit ek. Штрих у знака суммы
означает здесь, что мы не вправе включить в сумму члены с I = к, отвечающие
«собственной энергии». Если же мы проводим вычисления не с дискретными
зарядами eit ek, но с непрерывным распределением зарядов pt(P)dxp,
то на месте г№ выступает rpQ, а на месте A)
_ 1 V' Г Г
" ~ Т 2j J J
Однако в случае распределения Томаса — Ферми мы знаем не относящееся
к каждому отдельному электрону распределение плотности р4, р&, но
только суммарную плотность р. Мы не знаем, следовательно, как нужчо
провести обозначенное штрихом исключение членов с I = к. Если же
с другой стороны, вообще опустить штрих, то мы учтем для каждого
электрона обратное действие заряда самого на себя. Но это, конечно, столь же
недопустимо при подсчёте с непрерывным распределением, как это было при
дискретном распределении в A).
Вопрос состоит, следовательно, в том, каким образом можно выключить
это самодействие без слишком большого произвола и притом так, чтобы
сохранить веб же преимущества вычислений с непрерывным распределением.
Путь к этому был указан Дираком 1), когда он, следуя Фоку а), учел в
теории Томаса — Ферми обменный эффект.
Чтобы постигнуть смысл этого приема, вспомним, что B) не
представляет собой полного волновомеханического выражения для энергии, даже
если бы мы подставили туда вместо р{ и рк их волновомеханические
определения через собственные функции 1-го н Л-го состояний. Наоборот,
согласно (IX.2.16), на месте B) должно было бы выступать выражение
£* = eu — *1„ = *9(С — А). C)
Выбранный здесь отрицательный знак е]3 соответствует, согласно стр. 530,
ортотермам гелия (антисимметричные собственные функции, параллельные
спины). С и А означают кулоновский и обменный интегралы. В
определяющих их уравнениях (IX.2.22, 23) мы заменим для наших целей номера
электронов 1 и 2 обозначениями точек Р и Q, а номера состояний I и л
индексами i н к, по которым производится суммирование, исключая значения i=k
■ добавляя множитель -у. Тогда C) перейдет в
"И5 J J
Uk
») P. A. M. DI r a c, Proc. Cambr. Phil. Soc 28, 376 A930).
*) V. Fock, Zs. I Phys. 61, 126 A930;.

588 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛРНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Первый член этого выражения совпадает, как то и должно было быть,
с кулоновской энергией из B), так как
Pi (Р) = е£ (Р) 'W (Р), Рк (Q) = е £ (Q) *л (Q).
Второй член как обменный интеграл включает не обыкновенные плотности
р4, рк, но смешанные плотности pik, pki.
Существенно, что если мы вычисляем разность обоих членов, то мы
можем включить в суммирование и состояния с / = к, так как в D) они
в точности сократятся. Следовательно, штрих можно просто опустить. Тем
самым мы устанавливаем, что требуемый волновой механикой учёт обменного
взаимодействия освобождает нас о г необходимости вычитать обратное действие
электронов самих на себя1).
Блох-) показал, что после такого упрощения оказывается возможным
вычислить обменный член; именно выразить его через суммарную
плотность р электронного состояния, если заменить, что соответствует духу
метода Томаса—Ферми, собственные функции ^ плоскими волнами. Тем самым
оказывается возможным добавить к потенциальной электростатической
энергии атома подходящую «обменную энергию» и изучать равновесие «атома
Томаса — Ферми с обменом».
Мы не будем развивать эту идею дальше, особенно учитывая то, что
наш элементарный метод § 3 не был бы для этого достаточным и его
необходимо было бы заменить вариационным методом.
Обменная энергия проявляется в том, что крепче связывает атом.
В частности, она придаёт конечное значение радиусу нейтрального атома.
Это показали почти одновременно и независимо друг от друга Бриллуэн3)
и Иенсен 4).
В принципе метод Томаса — Ферми можно перенести с атома на
многоцентровые задачи о строении молекул. Так как, однако, при этом
пропадает использовавшаяся нами симметрия, то точное рассмотрение возникающих
в этом случае дифференциальных уравнений типа C.14) встречается с
непреодолимыми трудностями. Хунд 6) показал для простейших случаев, как можно
приближённо подойти к подобным задачам.
Благоприятнее складываются обстоятельства для переноса этого метода
на кристаллические решетки, так как здесь, по крайней мере для решёток
простейшей кубической симметрии, расположение соседних ионов приводит
к приближённой сферической симметрии ь). Мы сошлемся в части общего
обсуждения проблемы на Ленца "), в части рассмотрения конкретных
случаев — на Иенсена н).
Дифференциальное уравнение типа Томаса — Ферми уже давно
встречалось в астрофизике под именем дифференциального уравнения Эмдена 9)
') Н. Jensen, Zs. f. Phys. 101, 141 A936); ср. в особенности сноску 4 на стр. 141.
2) F. В 1 о с п, там же 57, 545 A929). Здесь идет речь о сумме трех уравнений A1)
для п = 0.
ч) L. Brillouin, L'atome de Thomas — Fermi (Атом Томаса—Ферми), Actualites
Scieniif. ei. Industr. 160, Париж, 1934, стр. 30.
*) H. Jensen, Zs. f. Phys. 89, 71 i A934); 93, 232 A935); 101, 141 A936).
6) F. Hund. Zs. f. Phys. 77, 12 A932).
•) E. Wigner a. F. Seitz, Phys Rev 43, 804 A933).
7) W. Lenz, Zs. f. Phys. 77. 713 A932).
8) H. Jensen, там же 77, 722 A932) и 101, 164 A936); ср. также примыкающие
работы Т. Neugebauer u. P. Oombas, там же 89, 480 A934) н Р. О о m b a s,
там же 92, 796 A934); 9», 378 A935).
9) R. Emden, Theorie der Oaskugeln, Leipzig, Teubner, 1907 (P. Эмдеи.
Теория газовых шаров, Лейпциг, Тёйбиер, 1907).

§ 61 метод «самогогласовэнного поля» хартри 589
и было исследовано численными способами:
2
Для п ■=■ -т оно, если отвлечься от знака, переходит в C.14). Этот
обратный знак происходит за счёт того, что в астрофизике речь идёт о
гравитационном потенциале и что, согласно закону Ньютона, массы притягиваются,
в то время как заряды одного знака отталкиваются. При этом связь между
давлением р и плотностью р записывалась в форме «политропы»:
Р = аук. F)
Здесь k находится в нашем распоряжении; в частном случае адиабатического
равновесия Л=—. Световым давлением в первоначальной теории Эмдена
пренебрегалось. Связь между k и входящим в E) показателем л задаётся
соотношением
п = Т±Т. G)
2 5
Особому случаю я =-~- отвечает £ = -=-, т. е. адиабата одноатомного газа.
•I О
Другое отличие между уравнениями Томаса — Ферми и Эмдена
заключено в граничных условиях. В нашей атомной задаче граничные условия
налагались в точках а-= О и х = оо (или в случае иона в точках jt = O и
х = Л"). В проблеме же газового шара мы сталкиваемся с простейшим
случаем, когда оба граничных условия относятся к точке *=*(), т. е. к центру
шара.
Из числа бесчисленных новых работ относительно уравнения Эмдена
особого упоминания заслуживает всестороннее обсуждение Фаулера 1).
§ 6. МЕТОД сСАМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ» ХАРТРИ
В предыдущем изложении мы часто пользовались представлением о
сглаженном центрально-симметричном поле V(r), котооое объединяет действие
на некоторый рассматриваемый электрон ядра и остальных электронов (ср.,
например, гл. II, § 10). В 1927 г. Хаотри л) поставил перед собой задачу
вычислить это поле. Он назвал его «самосогласованным полем».
Мы ограничим наше рассмотрение первым использованным Хартри
примером— ионом Rb+, Z = 37. У этого иона К~, L- и /И-оболочки полностью
заполнены, а в Л/-оболочке имеется замкнутая группа из восьми электронов.
Числа заполнения, обозначения термов и квантовые числа выглядит так,
как указано в таблице на стр 590.
В качестве нулевого приближения Хартри принял получающееся из
модели Томаса — Ферми распределение этих 36 электронов; их плотность р и их
потенциальная энергия Vo центоально-симметричны, полностью сглажены и не
дают возможности сказать что-либо относительно распределения по
оболочкам Эго нулевое приближение должно затем исправляться шаг за шагом.
Рассмотрим для этого одну из содержащихся в таблице электронных
I) R. H. Fowler, Monthly Notices 81, 63 A930).
а) D. R. H a r tree, Wave mechanics of an atom with a Non-Coulomb Central Field,
Proc. Cambr. Phil. Soc. 24, 89 (I часть); III (II часть) A928). |Метод был развит Фоком
(см. Кондон—Шорт л и, Теория а гомных спектров, ИЛ, 1У<и,стр. 416). {Прим. ред.)\.

590
ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. X
групп, скажем k-ю. Для отдельного ее электрона выполняется уравнение
Шрёдингера. Мы будем интересоваться только радиальной частью R соб-
п
1
Пг
К
2
Is
1
0
0
/
2
2s
2
0
1
6
2/>
2
1
0
М
2
3s
3
0
2
6
Зр
3
1
1
10
3d
3
2
0
N
2
4s
4
0
3
6
Ар
4
1
2
ственной функции и положим г/? = Я. Согласно A1.10.3) для Р, если
пользоваться единицами Хартри, имеет место уравнение
' = 0. A)
Мы подставим для V (при условии внесения ещё одной поправки, которую мы
введём позже) поле V =■ Vo нулевого приближения и проинтегрируем уравнение
численно таким образом, чтобы, во-первых, получаемое решение имело между
г = 0 и г = оо как раз пг нулей и, во-вторых, удовлетворяло граничным
условиям Р = 0 для г = 0 и для г = оо. (Требование конечности R при г = О
приводит при переходе к P = rR к требованию обращения в нуль.)
Одновременное выполнение обоих условий возможно только для определённого
значения W. Вместе с W
определяется и P. P'-dr задаёт
заряд, содержащийся в
сферическом слое между г и г -f- dr,
если выполняется условие
нормировки:
J р2 dr _
B)
-2
Рис. 55. Последовательные приближения при
получении «самосогласованного поля» для Rb+ (фиг. 1
цитированной работы Хартри). Абсциссы:
расстояние г от ядра в единицах Хартри. В обсиначеи-
иой стрелкой точке г = 1 меняется масштаб.
Ординаты: разности между плотностями зарядов
последовательных пар приближений, измеряемые
разностями AZ эффективных зарядов Z для
данного расстояния г.
Тем самым мы нашли вклад
одного из электронов нашего
ft-го слоя в полную плотность
электронов; умножая этот вклад
на соответствующее число
заполнения B для s-термов, б
для р-термов), мы получаем
вклад всей ft-й оболочки.
Вычисления приходится проводить
в отдельности для каждой
оболочки. Сумма всех полученных таким образом плотностей даёт нам
распределение плотности в первом приближении р1§ причём рц dr означает
содержащийся в сферическом слое между г и r-\-dr заряд. Это
распределение первого приближения отличается, естественно, от распределения нулевого
приближения. Разность обоих изображена на рис. 55 кривой /. В то время
как распределение нулевого приближения монотонно убывало от г=0 к г=оо,
распределение первого приближения, а потому и разностная кривая 1, обна-

§ б] МЕТОЛ «САМОГОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ» ХАРТРИ 591
руживает колебания, отвечающие отдельным оболочкам и подоболочкам.
Из распределения плотности в первом приближении вычисляется силовое
поле Vt в первом приближении. Далее оно подставляется вместо V в
уравнение A) и для электрона А-й оболочки опять вычисляются W, Р и Р*.
Суммирование с учётом чисел заполнения приводит к второму приближению
распределения плотности р3, которое исправляет распределение первого
приближения. Разность обоих распределений изображена на рис. 55 кривой //.
Её ординаты уже существенно меньше ординат кривой /.
Из р2 вычисляется поле во втором приближении, подстановка которого
в A) приводит к распределению плотности в третьем приближении р3.
Разность р3 — ра изображена на рис. 55 кривой ///. Она проходит уже столь
близко к оси абсцисс, что дальнейшие вычисления можно на этом
прекратить. Действительно, вычисленное из ря поле V3 было бы почти равным
полю V3. Мы можем рассматривать, следовательно, это поле V2—V3 как
самосогласованное, так как оно воспроизводит себя с помощью изложенного
здесь волновомеханического формализма.
То же самое можно сказать и о собственных значениях W, которые
получаются в конце этого процесса из уравнений Шредингера для
отдельных термов (л, I). Эги собственные значения представляют, очевидно,
рентгеновские термы рассматриваемых подоболочек и хорошо совпадают, как
показал Хартри, с опытными значениями для Rb.
Количество содержащихся в таком процессе отдельных шагов и объем
необходимой вычислительной работы возрастают, естественно, вместе со
сложностью атома. В то время как для рубидия оказалось достаточным трёх
шагов, причём каждый шаг был связан с численным интегрированием восьми
уравнений Шредингера, для атома ртути требуется по меньшей мере девять
шагов, причём оказывается большим соответственно более сложной оболо-
чечной структуре, и число уравнений Шредингера, которые приходится
интегрировать каждый раз, именно это число возрастает до 14.
Приведённое выше описание процесса последовательных приближений
было, однако, ещё не полным в одном пункте. Поля Vo, Vlt V2, ...
объединяют действие всех электронов; но ведь при решении уравнения A) для
определённого электрона некоторой оболочки мы должны вычесть поле,
вызываемое как раз этим электроном. Положение вещей здесь такое же, как
и для уравнений E.1), E.2). Первоначально Хартри использовал для
вычитания приём, аналогичный описанному в примечании 5 на стр. 586. Позднее ') он
обратился к основанному на обменном эффекте и развитому В. Фоком (ср.
примечание 2 на стр. 587) методу, последовательному с теоретической точки
зрения и приводящему к удовлетворительным численным результатам.
Хартри, в последние годы совместно с В. Хартри, распространил свой
метод на большое число атомов: Не, СГ, Си + , О, К, Cs, Be, Ca, Hg, F",
Al + + +, Ar и т. д. Вычисления проведены с большим знанием дела; ещё не
опубликованные результаты принесут много пользы всем интересующимся.
Повторение вычислений 2) для Rb+ подтвердило прежние результаты 1927 г.
в пределах указанных тогда ошибок. В дальнейшем оказалось возможным
прибегнуть 3) к помощи интегратора Буша (см. стр. 582), что обещает
ускорение вычислений.
Сколь точно можно вычислить форму комптоновской линии неона, исходя
из хартриевской собственной функции, мы видели на рис. 45 на стр. 519.
') Ср., например, Proc. Roy. Soc. 154, 156, 157.
») Proc. Roy. Soc, 151, 104 A935).
в) Phys. Rev. 46, 738 A9J4).

592 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Диамагнитная восприимчивость, для которой оказался непригодным прежний
метод Томаса — Ферми (ср. стр. 586), также хорошо совпадает с опытом для
Аг и К+ *), для чего оказывается существенным учёт обменного эффекта.
Естественно, что «самосогласованное поле» служит наилучшим образом и при
вычислении вероятностей переходов а). Резюмируя, можно сказать, что
благодаря многолетней и целеустремлённой работе Хартри практически
разрешена задача интегрирования уравнения Шредингера даже для тяжёлых
атомов (Hg!).
§ 7. МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ — КРАМЕРСА — БРИЛЛУЭНА
Вентцель 8) и Бриллуэн *) придумали теоретически поучительный и
тактически плодотворный метод приближения волновомеханических решений
к классическим. Вскоре после этого Крамере6) освободил этот метод от
некоторых первоначально присущих ему математических пороков. Поэтому
название ВБК было бы для этого метода, пожалуй, правильнее, чем ставшее,
в особенности в Америке, обычным название ВКБ ь).
Ьапомним начало этой книги и положим, как и в A.1.6а),
A)
Мы написали здесь Г ydx вместо прежнего S, т. е. ограничиваемся
одномерной задачей. Интеграл мы будем считать неопределённым с
закреплённым нижним пределом х0 и переменным верхним пределом х.
Одномерное волновое уравнение имеет вид:
для дальнейшего его можно записать в более простом виде:
fi9S + P^ = 0, B)
где «импульс» р определяется классическим соотношением
р = V2m(W — V). C)
Дифференциальное уравнение для <1> является уравнением второго порядка
и первой степени. Образуем теперь из A)
АУ = /у*. А у = (//>/— у) if.
Тогда из B) получится:
*./вр*_у». D)
Мы получили связанное с B) «уравнение Риккати».
1) Proc. Roy. Soc. 166, 462 A938).
а) Там же 16*. 182 A938).
Я) О. Wentzel, Zs. f. Phys. 38, 518 A926). Кроме задачи Кеплера Вентцель
рассматривает в этой работе с особенной просюгой эффект Штарка второго порядка.
*) L В г i 11 о u i n, С. R., июль 1926.
б) Н. A. Kramers, Zs. f. Phjs. a9, 828 A926); ср. также A. Zwaan. Diss.
Utrecht. 1929 u Arch. Neerl. 12, 33 A929)
в) Английские авторы причисляют также и ДжефФрейса [Н. Jeffreys,
London Aiaili. i>oc. Zs, 437 (I924jj к аи юрам БКБ-ыеюда.

§ 7) МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ КРАМЕРСА БРИЛЛУЭНА 593
Используем теперь у в качестве параметра для разложения в ряд и
будем искать решение D) с помощью формального разложения:
Подставляя E) в D) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у,
найдём:
/ fc\n
(8)
(тУ
Таким образом, оказывается, что последовательные приближения у0, Уи Уг> • • •
получаются из нулевого приближения простым дифференцированием. В
дальнейшем выяснится, что приближения чётных порядков [ср. F) и (8I
определяются с двойным знаком, в то время как приближения нечётных порядков
получают определённый знак.
Таким образом, мы получаем не одно разложение E), но два, которые
мы будем обозначать через у+ и у_. При этом, вообще говоря, у+ относится
к положительным знакам р, а у_ — к отрицательным. Разложения у+ и у_
переходят, конечно, друг в друга, если мы совершим в комплексной плоскости
обхэд вокруг точки р = 0. Итак, наше разложение E) однозначно не на
комплексной плоскости р, но на двулистной римановой поверхности р'»
[уравнение CI. Ради краткости мы допустим, что эта поверхность обладает
только двумя точками ветвления, следовательно, величина р — только двумя
нулями, и обозначим эти точки через ±а. Итак, обобщая выражение A),
мы записываем два равноправных выражения:
а»,
/
/
ty+ = А+е *• к if_ = A_e ** (9)
и зададимся вопросом о том, в каком смысле удовлетворяют они
дифференциальному уравнению B). Для этого представим себе у± не в виде
бесконечного, а в виде оборванного, например на третьем члене, разложения E).
Тогда уравнение Риккати будет удовлетворяться лишь с точностью до
членов порядка й3, и то же самое будет иметь место и для волнового
уравнения B). Чтобы исследовать подробнее возникающую из-за этого ошибку, нам
надо будет продолжить вычисление, заключающееся в уравнениях F) — (8).
Следующий шаг даст:
У* = — ЬоУз —
Л4л
Л >о Уо <
К тому обстоятельству, что уй, так же как и 34 в G), является «целым»,
мы вернёмся позднее. Сейчас нас интересует степень, с которой входит
38 Зак. 968. А. ЗмшерфелкД

594 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
знаменатель р. Для этого мы продолжим вычисление выражения (8) для у.г:
Однако в силу C) вблизи точек р = 0
р\ р" будут порядка р-1, р~ъ,
и поэтому, если только V не обращается в нуль для р = 0, согласно A0а)
и A0)
у2, ys будут порядка р~ь, р~ъ. A06)
Ошибка, которая возникает благодаря отбрасыванию члена ТРул, будет,
следовательно, порядка —g-. Отсюда мы заключаем: наши разложения у± в
окрестности точек х = ±а, соответствующих точкам поворота классического
движения, будут расходящимися; дифференциальные уравнения D) и B)
будут тем хуже удовлетворяться оборванными на каком-либо члене
разложениями, чем ближе будем мы подходить к этим критическим точкам.
Ошибка исчезает лишь в пределе при h —*■ 0; но тогда наше у±
вырождается в нулевой член уо = ±р. Этим предельным переходом мы
достигаем, конечно, области классической механики. Действительно, согласно этой
последней, для функции действия 6' имеет место соотношение
Если мы положим здесь qlc=x и соответственно уравнению A)
S=jytdx.
то A1) действительно перейдёт в нулевом приближении в ±уо=р. Поэтому
мы можем ожидать и покажем это на простейшем примере, что наше
разложение E), хотя и с ограниченной точностью и только на достаточном
расстоянии от критических точек х = ±а, исправляет классическое решение
в волновомеханическое.
Ту же связь мы будем ожидать и между квантовыми условиями прежней
теории и волновомеханическим квантованием. Старое квантовое условие,
выписанное для одной координаты х, гласило:
xpdx = ±фyodx = nh, n — целое число. A2)
Метод ВКБ утверждает (относительно доказательства см. ниже стр. 597),
что волновомеханическим уточнением этого условия будет:
(by±dx = nh, n — целое число. A3)
Интеграл в A2) надо было брать по классической траектории от *=— а
до х = -\-а и обратно, вместо чего, как известно, удобнее выполнить
замкнутый обход вокруг этих точек в комплексной *-плоскости. Тот же самый
обход подразумевается и в A3).
На первый взгляд может показаться, что из-за двух знаков уравнение A3)
содержит два значения. Но легко убедиться, что оба значения оказываются
одинаковыми. Именно, все нечётные члены разложения являются полными
производными по х. Относительно ул эго было показано в A0), для уъ на-

§ 7] МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ КРАМЕРСА БРИЛЛУЭНА 595
ходим аналогично
Все эти члены дают нуль при интегрировании по нашему замкнутому
контуру. Исключение составляет уи из-за логарифмического характера которого
получается:
[Г 57 П' 2" ^
С другой стороны, все чётные числа у имеют знак, противоположный
таким же членам из у+. Следовательно, если мы выпишем сумму интегралов
всех чётных членов, учитывая A4), в виде:
Г . . h_
то получим:
Следовательно, &>y_dx оказывается целым кратным А одновременно
с (Ь у+ dx, и если в одном случае это кратное имеет вид лА, то в другом
случае — (л+ 1)А.
В качестве простейшего примера рассмотрим гармонический осциллятор.
Для него, согласно A.5.1), V =-к тш^х'1. Если мы положим W = -^ тш^1,
то в силу C) будет:
р = тш0 Yd* — хJ.
Следовательно, точками поворота классической траектории будут х = ±а,
так что а означает классическую амплитуду. V для этого случая регулярно
во всей х-плоскости, и листы римановой поверхности для р гладко сливаются
на бесконечности.
Покажем, что в этом случае при интегрировании по замкнутому
контуру исчезают не только нечётные, но и все высшие члены разложения E).
Например, член с _у> содержит, согласно A0а, б), в знаменателе
множитель (*2 — о9)''», а в числителе — многочлен второй степени. Но поэтому
подинтегральное выражение обратится в нуль, как х-х~& = х~й, если мы,
что дозволено, растянем наш контур так, чтобы интегрировать вокруг
бесконечно удалённой точки. То же самое справедливо и для членов у4, у,., ...
Таким образом, кроме нулевого члена, который мы запишем в форме
прежнего фазового интеграла, останется только первый член. Поэтому мы
получаем вместо A3) (верхний знак):
§
pdx ^ =
или
§ pdx = h{n-\-^. A5)
Но это—волновомеханическое исправленное полуцелое квантование осциллятора
A.5.10). Действительно, левая часть A5), как то было получено уже в § 3
гл. II т. I, равна —-, где Wn — энергия л-го квантового колебания,
а чо = ^ означает собственную частоту осциллятора. Итак, A5) совпадает
38»

596 ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
с хорошо известным уравнением для энергии осциллятора:
w»=h(» + y)- A5а>
Теперь мы хотим показать на этом примере, каким образом возникает
из задаваемых (9) элементов приближённое представление собственных
функций. Для этого нам придётся учесть требование непрерывности собственных
функций ф. Мы начнём с рассмотрения области /, д; <—а (см. схему).
х0 х=-а з:=+а
i 1 1 1
/ Л Ш
Если мы определим р как действительное и положительное на верхнем
берегу разреза // нашей римановой поверхности, обозначенной ,
то в области / р будет положительным мнимым (обход в положительной
полуплоскости вокруг точки х = — а). Так как в некотором удалении от этой
точки знак у± будет определяться знаком у0, то в области / для больших
отрицательных х у+ будет положительным мнимым, а у_—отрицательным
мнимым. Пусть начальная точка х0 интеграла в (9) лежит в этой области.
Тогда для х < х0
X X
Г y+dx — отриц. мним., Г y_dx — полож. мним.
*J Xj
Так как этот интеграл умножается в (9) ещё на у- и так как на
бесконечности области / <|* не может обращаться в бесконечность, то ^+
использовать нельзя. Мы положим поэтому (с действительным А = А_):
* f
A6)
Это представление непригодно в окрестности х = — а (сингулярность у);
для больших отрицательных х оно приводит к экспоненциальному убыванию,
следовательно, с этой точки зрения отвечает характеру точной волновой
функции осциллятора на рис. 6 (стр. 37).
Напротив, в области //, в которой р действительно и, согласно B),
собственная функция 6 осциллирует, надо использовать суперпозицию обеих
формул (9). Это возможно, так как уравнение B) линейно и приближённо
удовлетгоряется (опять за исключением окрестностей точек х = :±!а) обеими
формулами (9). Если учесть ещё и действительность собственной функции <{»
и положить А+ с точностью до надлежащим образом подобранного фазового
множителя равным А_ = А, то мы придём к выражению
•As
4J.-.
.их
= Ае х' -j-компл.-сопр. A7)
Здесь имеется в виду, что интегрирование от *0 до х совершается в обход
особой точки х = — а в положительной мнимой полуплоскости. Эта
формула правильно передаёт осциллирующий характер собственной функции в
средней части рис. 6, а при больших п и приближённые положения нулей 4.
В области 111 будет опять иметь место представление типа A6), именно:
.dx
n j '

§ 7] МЕТОД ВЕНТЦЕЛЯ КРАМЕРСА БРИЛЛУЭНА 597
Действительно, для больших х в области /// р становится отрицательным
мнимым (обход точки х = -\-а в отрицательном направлении),
aj/_—положительным мнимым. Поэтому для далёких точек области /// показатель
экспоненты в A8) становится действительным отрицательным, как то и должно
было быть.
Наши выражения A6) — A8) справедливы не только для осциллятора, но
и для любого волнового уравнения вида B). Их доказательство, которое
было бы также и первым действительным доказательством нашего
утверждения A3) относительно приближённого вычисления собственных значений,
завело бы нас даже и для этого простого примера слишком далеко. Оно
основывается на общих теоремах относительно поведения асимптотических,
т. е. расходящихся рядов в окрестности иррегулярной особой точки. Только
тогда станет понятной причина изменения формы представлений A6), A7) и
A8). Мы сошлёмся по этому поводу кроме стр. 707 цитированной выше
работы Крамерса и Цваана на сравнительно простое изложение Данхема 1).
Оценка ошибок, которая, собственно, требовалась бы для наших
расходящихся и потому неизбежно обрываемых рядов, представляет, конечно,
трудную задачу2). Практически в большинстве случаев3) удовлетворяются
двумя первыми членами без оценки погрешности с целью получить хотя бы
первое представление о сложной волновомеханической задаче, не решающейся
иным способом.
Паули *) перенёс метод ВКБ на уравнение Дирака. Паули исследовал
поведение дираковского электрона в произвольном электромагнитном поле и
вывел для этого случая соответствующие нашим у0, у{, ... приближения
нулевого, первого, ... порядка, которые ещё содержат матрицы или (ср.
примечание 4) гиперкомплексные единицы. При переходе к току или плотности
эти матрицы или единицы, как то и должно было быть, выпадают в каждом
приближении. Паули показал, что нулевое приближение не содержит
постоянной А, следовательно, и спиновых свойств электрона. Отношение тока
к плотности можно определить как «скорость частицы». Тогда она
получается в точности из тех же уравнений Гамильтона, что и в классической
механике (включающих для больших скоростей необходимые релятивистские
поправки). Отсюда следует, что опыты по отклонению катодных лучей
любой скорости в любых полях происходят как раз так, как того требует
классическая механика, без того чтобы при этом проявлялся спин электрона.
Последний появляется только в высших приближениях, одновременно с
явлениями диффракции. Тем самым доказана теорема, которую мы уже
приводили на стр. 284. Эта теорема была впервые высказана Бором и
подтверждена им рассмотрением характерных примеров.
') J. L D u n h а га, Phys. Rev. 41, 713 A932); ср. также R. E. L anger, там же
51, 669 A937), который избегает комплексного рассмотрения.
2) Ср. относящиеся сюда работы Е. С. Kemble, Phys. Rev. 48, 549 A935) и
его книгу «Fundamental Principles of Quantum Mechanics», New York and London,
1937 (Основные принципы квантовой механики, Нью-Йорк и Лондон, 1937).
s) Ср., однако, основную работу Вентцеля 1926 г., в которой эффект Штарка
второго порядка смог получиться лишь из третьего члена разложения.
*) W. Pauli, Helv. Ph)s. Ada 5, 179 A932); ср. также К. В е с h e r t, там же 6,
82 A933). Последний пользуется вместо матриц Дирака общими гнперкомплексными
единицами, чю позволило ему упростить вывод Паули.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
1. ВВЕДЕНИЕ ГРУППОВОЙ СКОРОСТИ.
К гл. I, | 2, равенство A4)
Обычно групповая скорость вводится на каком-либо специальном примере.
Здесь будет дан вывод, основывающийся на весьма общих предположениях.
Исходим из группы волн
т. е. предполагаем, что имеется непрерывная совокупность волн с
амплитудами Adk, причем Л и ш являются произвольными непрерывными
функциями к. Такую совокупность только тогда можно назвать «группой», когда
содержащиеся в ней волны имеют волновые числа, заключенные в достаточно
налом интервале. Последнее обстоятельство учтено нами при выборе
пределов интегрирования ko±a. Преобразуем показатель степени у е
следующим образом:
kx — Ы = «„л — ш,Л- (k — *о) х — (ш —
Тогда получим:
t/ = Ce<(«w—<>'>, B)
С= f Л (Й) в* <(*-*.)»-(—.)*> rfjfe; C)
К—
С называется (комплексной) амплитудой группы. Нас интересуют такие
значения х и t, для которых С имеет постоянное значение. Так как х и t
входят в C) только в показателе степени, необходимо этот показатель
степени положить равным постоянной. Следовательно,
(ft — fto)* — (ш — mo)t = const.
Отсюда следует:
dxа> — «о
dt~ к — V
В случае достаточно узкой группы это частное равно своему
предельному значению, зависящему лишь от k0 и не зависящему от k0, именно:
at \dk)k-k,' w
Теы самым равенство A. 2.14) доказано.

2] КРИТЕРИЙ ДВУХЧЛЕННОСТИ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ 599
Величина b дает скорость, с которой распространяется комплексная
амплитуда С группы. Так как интенсивность волны определяется величиной
С3, то эта интенсивность также распространяется с групповой скоростью;
последнее обстоятельство соответствует общей точке зрения Осборна Рей-
ноль дса, согласно которой групповая скорость понимается как скорость
распространения энергии.
Из выражения D) при помощи соотношения » = ka = -г- (а = -^
фазовая скорость) легко получается обычно употребляемое выражение для
групповой скорости:
Далее, ив D) следует:
1 ^* — А-A
Ь =da ~ d<o\a)
Отсюда найдбм формулу, использованную де Бройлем (v==^):
Интересно заметить, что в «ионосфере» (слой Кенелли — Хивисайда)
имеет место то же самое соотношение ab = c2 [равенство (I.2.13)J, что и
в волновой механике, а именно мы имеем там:
где «* пропорционально числу электронов в 1 cms. Отсюда следует:
2. КРИТЕРИЙ ДВУХЧЛЕННОСТИ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ.
МЕТОД ПОЛИНОМОВ
К гл. I, f 3
Пусть интересующая нас точка будет х = х0. Введём в качестве
независимой переменной новую переменную
г = х — х0.
Принимая во внимание A.3.4), можно общее линейное
дифференциальное уравнение второго порядка записать в виде:
z»Q2(z)/'-\-zQl(z)/-\-Qoy = O, A)
где функции Q{(z) в точке z = 0 являются регулярными:
B)
С3)
и Q3B) не равна нулю в точке г = 0: с'^фО.
Искомую функцию у представим в виде A.3.3):

600 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Согласно правилу, изложенному в A.3.3), величина а, стоящая в показателе
степени, определяется из квадратного уравнения
о. D)
Подставим в A) значения входящих туда функций из B) и C). Коэффициент
при z с низшей степенью, именно при z1, обращается в нуль в силу
выполнения уравнения D). Приравнивая нулю коэффициенты при высших
степенях z, например при z*+\ получим рекуррентную формулу:
— 1)+ ...
> + a^cT + ... = 0. E)
Это уравнение определяет коэффициент а, через предыдущие коэффициенты
a,-i. а,-2< •••> а«> ао остается произвольным, так как коэффициент при atff
был обращен в нуль на основании уравнения D).
Множитель при а, в уравнении E) будет равен
С = cf (a + v) (а + v - 1) + <#• (а + v)+eg»'.
Принимая во внимание уравнение D), последнее выражение можно привести
к виду:
J ^'"^ | F)
Это выражение обращается в нуль лишь в том случае, когда член,
заключённый в фигурные скобки, обращается в нуль (так как cff> ф 0; см. выше).
Но сумма корней уравнения D) будет равна
с'2) _ М
Поэтому условие обращения в нуль члена, заключённого в фигурные скобки,
гласит:
G)
—■■)
т. е. (поскольку а равно либо лу, либо «о):
.,-.,-* для а ..
а2 — ах = — ■» для а ■
Отсюда заключаем, что если только разность корней а1 и а, не является
целым числом, то С не обращается в нуль н, следовательно, рекуррентная
формула может быть решена относительно а,. На особый случай равенства
целому числу разности корней было уже указано на cip. 20.
Для более подробного исследования этого особого случая предположим,
что а.3 является алгебраически наибольшим из обоих корней (или в случае
комплексных корней является корнем с алгебраически наибольшей
действительной частью). В этом случае второе условие Gа) не может быть
выполнено, так как левая часть равенства будет положительна, а правая
отрицательна. Следова1ельно, для наибольшего из корней величина С не может
обратиться в нуль. Вычисление коэффициентов по рекуррентной формуле

2] КРИТЕРИЙ ДВУХЧЛЧННО'ГТИ РЕКУРРРНТНОЙ ФОРМУЛЫ 601
оказывается возможным, и искомое решение дифференциального уравнения
в окрестности точки z = 0 может быть разложено в степенной ряд.
Иначе обстоит дело для меньшего из корней а = а1. В этом случае
первое из условий Gа) при целочисленном значении разности корней даёт
такое значение v, начиная с которого разложенне в степенной ряд оказывается
невозможным и могут появиться особенности, например логарифмические
члены, на что было уже указано на стр. 20.
В качестве примера укажем на сферические функции (стр. 21). Корни
уравнения A.3.6)
«а=+-5-. «1 = — -^-. «>0, G6)
имеют целочисленную разность т. Наименьший корень ах нас не
интересует, так как соответствующее ему решение не будет непрерывным. Для
наибольшего корня а.2 решение может быть найдено при помощи
рекуррентной формулы и представляется в виде степенного ряда, который в данном
случае обрывается.
Обратимся теперь к вопросу об общем условии обрыва ряда. Этот
вопрос является частью другого, поставленного в заглавии: когда
рекуррентная формула E) будет двухчленной? Во всяком случае Q.3(z) должна
содержать только две степени z; один член будет г\ так как с*02' ф 0, другой
член пусть будет гь. Следовательно, мы имеем:
Тогда члены ? формуле E), полученные за счёт Q3(z), будут равны
а/? (« + n) (« + v — 1) + а ,_,/»> (а + v — А) (а + v — А — 1).
Поэтому и остальные члены формулы E) должны содержать только с, и
a,_h. Следовательно, в Q, и Qo коэффициентами, отличными о г нуля, должны
быть лишь
Я\ с'л" и cS\ сУ.
Введём более простые обозначения:
Мы должны потребовать, чтобы
Qi(z) = Ai + Biz\ А2Ф0, (8)
А — положительное целое число.
Поэтому, для того чтобы дифференциальное уравнение A) могло быть
разрешено при помощи двучленной рекуррентной формулы, оно должно иметь
вид:
.^) у" + z (Л, + Brz*) у' + (Ао + В^) у = 0. (9)
Характеристическое уравнение D) для показателя степени а запишется
теперь в виде:
а (в— 1)А.2+аА1-\-А0 = 0, A0)
и рекуррентная.формула E) перепишется следующим образом:
— ft— l) + Bl(a + v_ A) + Bo}=0. A1)

602 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Теперь мы можем формулировать условие обрыва в смысле метода
полинома. Пусть п будет высшая степень полинома. Тогда ап ф 0 и, кроме
того, должно быть:
an+h = an+2h = . . . = 0.
Это даёт на основании A1) уравнение (полагая ч = n-\-h):
0, A2)
где п — целое положительное число, кратное А.
Чтобы это уравнение имело решения, необходимо, очевидно, чтобы
некоторый параметр, от которого зависит В, имел определённые значения.
Тем самым этот параметр «проквантован», т. е. поставлен в соотношение
с целым числом п.
Проиллюстрируем это лишь на примере ротатора, подчеркнув, однако,
что вышеизложенным методом могут быть решены все задачи на
собственные значения, к которым приводят разрешимые элементарным образом вол-
новомеханическне проблемы. В случае ротатора мы исходим нз
дифференциального уравнения A.3.8), полагаем х—\=z н умножаем уравнение
на z, чтобы привести его к виду (9). Тогда получится:
Поэтому мы имеем:
y, А0 = 0, Во = т(т+1) —JL A3)
Величина А в данном случае равна единице.
Уравнение A0) при учёте A3) принимает вид:
2<х(а+ 1)-|-2(/в+ 1)а = 0.
Следовательно, а = 0, так как другой корень а = — т, будучи
отрицательным, для решения задачи не подходит [ср. также рассуждения к равенствам
G6I.
Уравнение A2) теперь запишется в виде:
п(п— 1)+2(/в+1)я + /в(/в+1) = л. A4)
Тем самым параметр X «проквантован» степенью п полинома. Левая часть
равенства A2) равна (п-\-т)(п-\-т-\-1). Введя обозначение п-\-т=1,
получим «собственные значения»
1), A5)
как и в A.3.11).
Существует самый тесный параллелизм между методами интегрирования
задач, решаемых на основании волновой и классической механики: если
уравнение Шредингера некоторой задачи может быть решено в
определённых координатах методом разделения переменных, то н дифференциальное
уравнение Гамильтона — Якобн той же задачи также допускает разделение
переменных в тех же координатах.
Если уравнение Шредингера ведёт к двучленной рекуррентной формуле
и, следовательно, собственные значения могут быть вычислены по методу
полиномов, то соответствующее уравнение Гамильтона — Якоби интегрируется
в элементарных функциях. Если же уравнение Гамильтона — Якоби
интегрируется в эллиптических функциях, то соответствующее уравнение Шре-

3] ГАМИЛЬТОНОВА ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНА, КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 603
дингера ведет в трёхчленной рекуррентной формуле; в этом случае
вычисление собственных значений ведется по способу непрерывных дробейх).
В качестве примера можно привести задачу о двух центрах в случае иона
молекулы водорода (ср. гл. X, § 2).
3. ГАМИЛЬТОНОВА ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНА.
О НОРМИРОВКЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА
И КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ
К гл. I, f 6, Б и Г
Прежде всего покажем, что из выражения A.6.46)
A)
по правилу написания лагранжевых уравнений следуют правильные
уравнения движения материальной точки массы т; т здесь предполагается
постоянной. Электродинамическое поле, действующее на е, выражается хорошо
известными формулами через потенциалы V и А:
£ = -gradV—^, // = гоМ. B)
Взяв от A) производные по компонентам q, получим:
p=mq + ^A. C)
Отметим, что канонический импульс р не равен элементарному импульсу
mq в согласии с т. I, дополнение 5, равенство B3). Из C) следует, что
Далее, дифференцируя C) по t в прямоугольных координатах, найдем:
Это есть левая часть х-компоненты уравнения Лагранжа:
dt d'q dq '
Правая часть на основании A) равна
dL dV е (. дАх . дАу . дА9\
Ъс Ъ + ТКх-К+У-дГ+г-д!)'
Из сравнения правой и левой частей следует, что
е дАх 3V e../дАу дАх\ . гдА„
тх T-dr-aT + TP'U—57НЧ
1) Это показал N.. F. Manning, Phys. Rev. 48, 161 A935).

604 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Учитывая B), последнее равенство можно записать в виде:
^ Ea)
Это есть ^-компонента элементарного уравнения движения электрона. Тем
самым данная в A) форма функции Лагранжа оправдана.
Теперь на основании правил общей динамики образуем
H{q, р) = Ч£РкЯк — 1<, F)
где в правой части для L необходимо взять выражение A), а для q —
выражение (За).
Тогда получим:
Легко заметить, что, отвлекаясь от знака, сумма первого и последнего
члена равна удвоенной величине второго члена. Поэтому
Тем самым получено выражение оператора Гамильтона, данное в A.6.4в).
Вернёмся к ограничению d'w A = 0, которое мы должны были сделать
в уравнении A.6.5). Это ограничение соответствует определению
вектор-потенциала в случае «квазистационарных» полей электродинамики, в то время
как в случае быстро переменных полей оно заменяется условием
или в релятивистской записи
( ) (8а)
Условие (8) мы использовали в A.6.12а). Неправильно думать, что
дополнительные условия (8) или (8а) следуют из каких-то
электродинамических соображений. Введение 4-потенциала Ф сделано лишь с целью более
удобного представления напряжённости поля по известнЬй формуле
которая согласуется с несимметрично написанной формулой B). (Fik
означает в своих пространственно-пространственных компонентах И, а в своих
пространственно-временных компонентах — iE.) Заменим теперь в (9) Ф через
Ф'= Ф-\-Ота6/, функция f = f(x1 xA) произвольна; A0)
тогда Fik остаются без изменения; следовательно, условие (8а) не является
необходимым, так как при замене Ф на Ф' оно перестаёт выполняться.
Эта неопределённость потенциала, определённого лишь с точностью до
градиента произвольной функции, для электродинамики несущественна, так
как здесь мы имеем дело только с напряжённостями поля F. Однако для
волновой механики эта неопределённость потенциала создаёт некоторые
трудности, поскольку волновая механика оперирует непосредственно с
потенциалами.

3] ГАМИЛЬТОНОВА ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНА, КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ 605
С целью преодоления этих трудностей прежде всего покажем, что
если и является решением самого общего волнового уравнения A.6.12)
с потенциалами А к V, то
u'=u£-cf (И)
является решением того же уравнения, но с потенциалами А' и V; под А'
и Vе мы понимаем компоненты Ф', образованные по схеме второго
уравнения (8а), а именно:
V'=V-^%. A2)
Для того что'бы А' и V были, так же как и А и V, действительными,
необходимо сделанное к A0) замечание «произвольна» несколько ограничить
в том смысле, что хотя / произвольна, но должна быть действительной
функцией.
Для доказательства содержащегося в A1) утверждения прежде всего
убедимся, что на основании A1) и A2) имеют место следующие соотношения:
(f grad-f /!')«' = ((-2-grad —i *)«)«=', A3a)
где стоящие в правых частях операторы действуют только на величину и
и не действуют на экспоненциальный множитель. Итерируя A3а), получим:
(» grid-£ il')V ={(£ grid-f*)9«j«='. A36)
Образуя теперь сумму
A3)+-L A36),
получим слева дифференциальное выражение из уравнения A.6.12) с и', V,
А', а справа — то же выражение, образованное из и, V, А. Так как по
предположению последнее выражение равно нулю, то равно нулю также н
выражение, стоящее слева. Тем самым доказано, что и' является решением
волнового уравнения с потенциалами V и А'.
Как нами было определено выше, стоящий в A1) при и множитель по
абсолютной величине равен единице. Следовательно, этот множитель выпадает
прн образовании плотности ии* независимо от того, идёт лн речь о
плотности в собственном смысле этого слова или о плотности перехода ипи*т.
То же самое имеет силу и в случае тока (н других величин, имеющих
физический смысл). Вычислим, например, по уравнению A.7.7) ток, отправляясь
от штрихованных величин. Тогда, с одной стороны, вследствие наличия
обоих градиентов у нас появится член
но, с другой стороны, такой же член, но с отрицательным знаком появится
вследствие наличия дополнительного слагаемого при и в равенстве A2).
Следовательно, физически существенный вектор плотности тока при
переходе от нештрнхованных величин к штрихованным остаётся без
изменения. То обстоятельство, что волновая функция при этом переходе изменяет

606 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
свою аналитическую форму, является несущественным, так как на волновую
функцию (сравни стр. 52) надо смотреть как на вспомогательную
вычислительную величину.
Независимость результатов волновой механики от преобразований,
выражаемых равенствами A1) и A2), называется калибровочной инвариантностью.
Для целей волновой механики она вслед за Вейлем была исследована Фоком1)
и Лондономэ). Крайним специальным случаем общей калибровочной
инвариантности является утверждение, что волновомеханические результаты (но
не волновые функции) не зависят от аддитивной постоянной, которую можно
добавить к потенциальной энергии V, на что было уже указано на стр. 18.
Во всём этом пункте мы проводили вычисления, пользуясь
нерелятивистскими формулами, так как считали массу частицы т постоянной. Теперь
покажем, что полученные результаты, в особенности равенство C), правильны
и в релятивистской механике. Для этого необходимо в выражении A) для
функции Лагранжа в соответствии с указанием в т. I, дополнение 6
величину ^ \j Я2 заменить выражением
а не через релятивистскую форму кинетической энергии. Дифференцирование
измененной таким образом функции Лагранжа даёт опять равенство C),
но теперь
имеет смысл переменной массы. Легко также убедиться, что из
соответствующим образом изменённого вариационного принципа
о
j* /ч// == 0. A4)
или, что то же самое, по правилам написания уравнений Лагранжа, получаются
правильные релятивистские уравнения движения в заданном магнитном поле А.
Вычисления проводятся так же, как и в равенствах D) и E), с той лишь
разницей, что теперь везде необходимо написать — тх вместо тх, так как т
переменно.
4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СОПРЯЖЁННОМ УРАВНЕНИИ.
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
К гл. I, | 7
В § 7 было определено понятие сопряжённого уравнения лишь в при-
мененни к типам уравнений, которые появлялись при рассмотрении
простейших задач волновой механики в прямоугольных координатах. Теперь мы
рассмотрим общий тип линейного дифференциального уравнения второго
порядка (лишь в применении к линейным дифференциальным выражениям
имеет смысл постановка вопроса о сопряжённом выражении!); ограничение
двумя независимыми переменными хну, которое здесь принимается, не является
существенным и имеет целью несколько сократить формулы.
I) V. Foe k, Zs. f. Phys. 39, 226 A926).
») Fr. London, там же 42, 375 li#7)

4] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ, ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 607
Пусть А, В F будут произвольные, но достаточное число раз
дифференцируемые функции хну. Самое общее линейное
дифференциальное выражение для зависимой переменной а имеет вид:
Умножим это выражение на другую зависимую переменную v и почленно
преобразуем произведение таким способом, чтобы операцию
дифференцирования «перебросить» с а на v. Тогда, например, получим:
. д*и д I . ди\ ди дАи
vA\vA)
д t оди\ ди dBv
или также
ди dBv
^/..D^«\ *^*ft\j..*M „
Произведя суммирование, будем иметь:
»_ US..
B)
где для сокращения записи положено:
Дифференциальное выражение М называется сопряжённым к
дифференциальному выражению L. Двухкомпонентная величина S = S10, Sv называется
«вектором тока». Если и является решением дифференциального уравнения
L(u) = 0, a v—решением дифференциального уравнения M(v) = Q, то для
вектора тока на основании B) имеет место «закон сохранения»
divS = 0. E)
Соотношение между исходным и сопряжённым уравнениями взаимно, как
это непосредственно следует из определения B). Следовательно, если М
является сопряженным выражением к L, то и L является также сопряженным
выражением к М.
Если М = L, то выражение называется самосопряжённым. Условия само-
сопряженности, как это непосредственно видно после вычисления C) и

608 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
сравнения полученного выражения с A), гласят:
дА , дВ —. дВ , дС ,
dD,dE
F)
Этот случай имеет место, например, в выражении 1(и) = Ди, где Л = С=1,
B = D = E = F = 0 и 5 = 1; gratia— agradt;.
Интегрированием B) по произвольной области а плоскости ху с
границей £ получаем обобщённую форму формулы Грина 1):
J
= j Snds, G)
где Sn — нормальная составляющая вектора 5 к кривой, ограничивающей
область интегрирования, причём за положительное направление принимается
направление внешней нормали.
Можно получить и вторую форму обобщённой формулы Грина. Умножим
выражение A) на г; и однократно (а не двукратно, как было сделано раньше)
«перебросим» операцию дифференцирования с а на г>. Проделав эти
преобразования, получим:
Исходя из сопряжённого выражения М (v) (преобразование «перебрасыванием»
операции дифференцирования здесь применятся только к первым трём
членам суммы), будем иметь:
где А имеет то же значение, что и в (8), и является билинейным выражением
относительно и, г; и их производных, которое отнесено одновременно к обоим
дифференциальным выражениям L и М. Далее, интегрируя (8) и (9) по
замкнутой области о плоскости ху с границей £ и внешней нормалью п, найдём:
jvL(u)dc-{- J Л do = jPnds, j
fuM (v) da ■+- JA da = JQn ds. j A0)
Эта пара уравнений и является искомой второй формой формулы Грина.
Если L = M, т. е. имеет место случай самосопряжённости, то эта пара
уравнений сводится к одному уравнению. В этом случае выражение Л будет
') По вопросу применения этой формулы в общей теории краевых задач
(однозначность решений, представление посредством функции Грина) ср. Enzykl. d. maht
Wiss. II, 1, стр. 513.

4] СОПРЯЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ, ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 609
симметричным относительно а к v, так как на основании F) можно записать:
А . ди dv I О1 ди dv . ди dv\ . ~ ди dv , dDuv . dEuv _. ....
A = 4dId7 + B(dJd7+d7^) + cd7d7+-5^ + -3P—Fuv- A1)
Одновременно, как это показывается на основании F), будет иметь место
равенство Q(u, v) = P(y, и). Таким образом, в случае самосопряжённости
оба уравнения в A0) отличаются друг от друга лишь заменой и на v. В
случае самосопряжённого уравнения для потенциала (Л = С=1, В = D = E =
= F = 0 см. выше) получается хорошо известная формула Грина
I v Ди da -\- I I -т— -г \- -т— -з-1 da = г> -г- as
J ' J \<Jjc дх ' ду ду / J <?я
и формула, получающаяся отсюда путём перемены местами и н v.
Образуем теперь вариацию первого из уравнений A0). При
варьировании мы изменим функции и и v внутри области интегрирования на
произвольные (непрерывные, достаточно малые) добавки 8а и Si/, на границе же
области интегрирования а и г; и их первые производные сохраним без
изменения. В результате этого получим:
8 J Ada — — J &vL(u)da — J vL(iu)da. A2)
Второй интеграл преобразуем по формуле G), положив в ней и равным 8а
и учтя, что Sn в этом случае исчезает на границе интегрирования. В
результате будем иметь равенство
J vL (oa) da = J ЬиМ (v) da.
Подстановка последнего равенства в A2) даёт:
8 J Ado = — J ivL(u)da — J buM(p)da. A3)
К этому же результату приводит варьирование второго из уравнений A0).
' Вариационное требование
j A4)
влечёт за собой вследствие произвольности Ы и 8и внутри всей области
интегрирования одновременное выполнение дифференциальных уравнений
L(«) = 0, M(v) = 0. A4а)
Положение дел здесь таково же, как и в классической механике, где
вариационный принцип Гамильтона эквивалентен механическим дифференциальным
уравнениям.
В основе первой работы Шредингера лежит вариационный принцип:
-^-^. (.5)
Вариационный принцип A5) следует из вариационного принципа A4),
если только в последнем положить u = v = <b, ввести координату z и в A1)
использовать условие самосопряжённости, что даёт Д = С= 1, B=D=£=0.
39 Зак. 968. Л. Зоммерфелш

610 МАТЕМАТИЧТКИЕ ДОПОЛНРНИЯ
Вариационному принципу A5) можно вместе со Шредингером *) придать
ещЕ следующую, более удовлетворительную форму:
с условием нормировки
J=l. A56)
Если ввести множитель Лагранжа, который мы здесь обозначим через — W,
то оба условия A5а, б) можно записать в виде одной формулы:
8 J(#— W<!f)dz = 0, A6)
что совпадает с A5) с точностью до несущественного постоянного
множителя b'J/2m. Форма A5а) является более удовлетворительной, чем форма A5),
потому что в неё не входит собственное значение W; это собственное
значение само определяется в качестве множителя лишь в процессе варьирования.
Обозначение И в A5а) использовано для того, чтобы напомнить о «га-
мильтоновой функции» и, следовательно, о полной энергии Ела«-\-Еаот.
Выражение \ Hd-z, которое варьируется в A5а), совпадает с волновомеха-
ническим средним значением Н оператора Гамильтона Н, как это
непосредственно следует из уравнения (III.2.13), с и = и* = <1/ после интегрирования
по частям. Следовательно, формула A6) гласит, что полная энергия,
вычисленная с помощью функции <j/, принимает наименьшее значение,
совместимое с условием нормировки. Эго утверждение, очевидно, справедливо не
только в рассмотренном здесь случае отдельного электрона, но и в случае
произвольной многоэлектронной системы. Эго обстоятельство было
использовано в гл. X, § 1, где необходимо было обсудить применение весьма
эффективного метода Хиллерааса к вычислению термов гелия. Метод Хилле-
рааса состоит в том, чтобы численными методами определить минимум
(соответственно экстремальные значения) в A5а) и тем самым получить
собственное значение основного терма (соответственно более высоких термов).
5. О МУЛЬТИПОЛЬНОМ ИЗЛУЧЕНИИ
К гл. I, § 8 и гл. II, § 6 и 7
В гл. I, стр. 60 было сделано различие между дипольным излучением
(которое обычно только и принимается во внимание) и более высокими типами
излучения, которые носят название квадрупольного, октупольного, вообще
мулыпипольного излучения. Как будет показано, каждый тип излучения
разлагается на электрическую и магнитную части.
В первом разделе будут даны фактические сведения о мультипольном
излучении, его правилах отбора и интенсивности и особенно будут
обсуждены условия, благоприятствующие наблюдению квадрупольного излучения,
какой бы природы, космической или земной, оно ни было. Во втором
разделе будет дано теоретическое обоснование этих фактов.
') В конце первой работы в Ann. d. Phys. 79, 734 (.1926); ср. в особенности
стр. 747.

51 о мультипольном излучении 611
I. Фактические сведения о мультипольном излучении
1а) Правила отбора для электрического мультиполь-
ного излучения в случае одного оптического электрона.
В гл. II, § 5 мы нашли следующие правила отбора для электрического
дипольного излучения в случае одного оптического электрона (водород,
щелочные элементы):
Д/ = ±1, Дт = 0, ±1. A)
Соответствующие правила для электрического квадрупольного излучения
гласят:
Д/ = 0, =t2, Дт = 0, =tl, =t2. B)
Для электрического октупольного излучения эти правила обобщаются
следующим образом:
Д/ = =£1, ±3, Дт = 0, rtl, =t2, z±3. Ba>
Если принять во внимание спин, то для полного момента j, являющегося
суммой орбитального момента и спина, при электрическом дипольном
излучении получим следующее правило:
Д/ = 0, =t 1 (переход 0 -*■ 0 запрещён). C)
Для электрического квадрупольного излучения будем иметь:
Д/ —0, rtl, ±2 (переходы 0->-0, у-* у. 0 5±1 запрещены). D)
16) Общие правила отбора. Для атомов со многими оптическими
электронами для дипольного излучения имеет место правило Лапорта (ср.
т. I, гл. VIII, § 3): термы атома распадаются на два класса; термы,
принадлежащие каждому из классов, называются чётными и нечётными.
Дозволенными переходами тогда будут переходы между чётными и
нечётными термами, или наоборот. Вместо этого правила для электрического
квадрупольного излучения имеет место другое правило: дозволенными
переходами являются переходы между какими-либо двумя чётными термами,
либо между какими-либо двумя нечётными.
Для октупольного излучения правила отбора опять требуют комбинации
чётных и нечётных термои. Для высших типов мультипольного излучения
эти правила соответственно чередуются.
Правила C) и D) справедливы и в многоэлектронных системах для
суммарного момента импульса J всех орбитальных моментов и спинов электронов.
1в) Особые правила в случае связи Ре ссе лл-Сау ндерс а.
В этом случае орбитальные моменты lt векторно складываются в
результирующий момент L и спиновые моменты s{ алгебраически складываются
в результирующий момент 5 [ср. т. I, (VIiI.3.1), (VI11.3.2) или (VIII.5.1),
(Vlll.5.2)). Тогда, согласно с изложенным в т. I (VI11.3.6), для электрического
дипольного излучения имеют место правила:
М = 0, =t 1 (переход 0 -► 0 запрещён), Д5 = 0. E)
Для электрического квадрупольного излучения будем иметь;
М = 0, rtl, =£2 (переход 0->-0 запрещён), AS = 0. F)
1г) Правила отбора для магнитного дипольного
излучения. Вместо A) в этом случае справедливо правило
д/ = 0, Дот = 0, =tl. G)
39»

612 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Правило C) сохраняется. В смысле общего правила Лапорта магнитное
дипольное излучение ведёт себя как электрическое квадрупольное излучение,
т. е. лишь термы одного и того же класса могут комбинироваться между
собой. Следует обратить внимание, что в случае одного оптического
электрона необходимым следствием G) является условие
Дя = 0, (8)
из которого получается, что в этом случае нет излучения энергии. То же
самое имеет место и при наличии многих электронов в случае связи Рес-
селл — Саундерса. Поэтому магнитное дипольное излучение следует ожидать
лишь в случае сложных схем связи. Вероятно, линия А. = 4618 в спектре Pb I
является примером магнитного дипольного излучения х).
1д) Типичные примеры из астрофизики. Проиллюстрируем
эти общие и особые правила на примере рис. 116, 115 из т. I. На этих
рисунках приведены зелёная линия, наблюдаемая в северном сиянии, А=5577,3
и небулиевые линии X = 5006,8 и А. = 4958,9; эти линии принадлежат
соответственно к спектрам 01 и 01II. Термы 1S, 1D, SP, изображённые на обоих
рисунках, соответствуют одинаковой конфигурации, /j = /2 = 1 (ср. т. I,
гл. VIII, § 3, Б). В случае OIII речь идёт о двух имеющихся электронах,
в случае 01 — о двух недостающих до полной L-оболочки электронах.
В смысле правила Лапорта все три терма являются чётными с £/{ = 2.
Электрические дипольные переходы между ними запрещены, квадрупольные
переходы дозволены. Как известно, такие состояния, из которых атом не
может посредством дипольного излучения перейти в энергетически более
низкие состояния, называются метастабильними (стабильным состояние
будет только тогда, когда речь идёт об энергетически Каинизшем состоянии).
Наличие квантового перехода с ДУ= 2 в случае линии, наблюдаемой в северном
сиянии (переход 1S0^>-1D2), который при дипольном излучении [условие C)|
запрещён, указывает также на квадрупольный характер излучения. С другой
стороны, интеркомбинационный характер небулиевых линий, 1D2->SP2 i>
указывает, что в этом случае имеется отклонение от чистой связи Ресселл —
Саундерс, обусловленное L — 5-взаимодействием (в случае чистой связи
Ресселл —Саундерса должно быть Д5=0, в случае же небу лиевых линий
имеет место Д5=1). В пункте 1з) будет показано, что квадрупольный
характер линии, наблюдаемой в северном сиянии, прямо подтверждается её .
поведением в эффекте Зеемана.
1е) Соотношение интенсивностей дипольного и квадру-
польного излучений. Интенсивность линии излучения определяется
вероятностью перехода, т. е. числом переходов с верхнего уровня на нижний,
которые в среднем совершает атом в единицу времени в стационарном
процессе (при соответствующем повторном заполнении верхнего уровня).
Величина, обратная вероятности перехода, имеющая размерность времени,
называется продолжительностью жизни атома в верхнем состоянии, причём
предполагается, что, кроме рассматриваемого перехода на нижний уровень,
никаких других возможностей для перехода не имеется.
Вероятность перехода для электрических квадрупольных линий,
вычисленная по схематическим моделям, оказывается примерно в 10е раз меньше,
чем для дипольных линий. Это соотношение 106 между линиями,
дозволенными и запрещенными правилами отбора для дипольного излучения,
подтверждено экспериментально на линии поглощения щелочных элементов
(дозволенные линии s—> p, запрещённые s-*d). Вероятности перехода для
J. В 1 a t о n a. H. Niewodniczaiibki, Phys. Rev. 45, 64 A934).

5] О МУЛЬТИПОЛЬНОМ ИЗЛУЧЕНИИ 613
(едва наблюдаемых) октупольных линий, как и следовало ожидать, снова
в 10е раз меньше, чем для квадрупольного излучения.
Магнитное дипольное излучение, как мы видели, может на основании
общего правила Лапорта происходить совместно с электрическим квадру-
польным излучением. Соотношение интенсивностей между ними зависит
от особых соотношений связи. Когда магнитному дипольному излучению
нет препятствий, как в случае связи Ресселл — Саундерса или в одно-
электронной системе, то оно по интенсивности может даже превзойти
электрическое квадрупольное излучение. Согласно обстоятельному исследованию
Кондона 1), охватывающему все важные в астрофизике факты смешанного
магнитного дипольного и электрического квадрупольного излучения, этот
случай имеет место у небулиевых линий.
Приведенные численные оценки относятся к области видимого света.
В рентгеновской области определяющим фактором является заряд ядра Z
(собственно говоря, Z3^), который благоприятствует в случае тяжёлых атомов
появлению квадрупольных линий, а именно оказывается, что интенсивность
квадрупольного излучения растет пропорционально ZH, а дипольного —
пропорционально Z6. Этим объясняется, почему некоторые переходы,
запрещённые обычными правилами отбора для дипольного излучения, всё же
наблюдаются у тяжёлых атомова), давая, впрочем, очень малую
интенсивность. В случае ^-излучения ядер квадрупольные переходы могут иметь
ту же вероятность, что и дипольные.
1ж) Условия наблюдаемости квадрупольного
излучения. Следуя Боуэну8), представим интенсивность рассматриваемого
излучения в следующей форме:
<9>
где N—число атомов, достигающих начального состояния рассматриваемого
процесса излучения в секунду; Av— энергия элементарного акта излучения;
At— вероятность перехода для этого акта; А— вероятность всех других
переходов, которые могут произойти спонтанно из заданного начального
состояния; В — вероятность гого, что вследствие соударений первого и
второго рода с другими атомами или электронами светящегося газа атом будет
удалЁн из начального состояния; С — вероятность поглощения световых
квантов.
При процессах поглощения С и при соударениях первого рода атом
переходит в более' высокие энергетические состояния, при соударениях
второго рода и при процессах А — в более низкие. Отношение At : (At -\- А -\-
-\-B-\-C) равно числу случаев, благоприятствующих испусканию Av, делЁн-
ному на число всех случаев.
Легко видеть, что если процесс Аг относится к квадрупольному
излучению, а в процессах А происходит дипольное излучение, то это отношение
весьма близко к нулю, так как тогда А в знаменателе будет приблизительно
в 10° раз больше, чем числитель Ах. Но это означает: для того чтобы
квадрупольное излучение было наблюдаемо, необходимо, чтобы начальное
') Е. U. Condon, Astrophys. J. 79, 217 A934).
2) Особенно ср. систематические исследования Е. S e g г ё, Асе. die Lincei 14,
декабрь 1931; 16, ноябрь 1932.
8) J. S. В е w e n, Rev. Mod. Phys. 8, 55 A933). Также и в предыдущих пунктах
о фактическом материале по мультипольному излучению мы следовали этому
авторитетному сообщению. Ср. также критические замечания по этому поводу D. H. М e n г е I,
Nature 142, 644 A938).

614
МАТЕМАТИЧЕСКИ" ДОПОЛНЕНИЯ
состояние атома было метастабильным. Как мы видели в 1д), это условие было
выполнено в рассмотренных астрофизических примерах.
Далее видно, что для наблюдаемости квадрупольного излучения
необходимо, чтобы плотность светящихся атомов и одновременно плотность
излучения были бы незначительными. В противном случае слагаемые В к С
в знаменателе G) весьма сильно ослабили бы интенсивность. Эги условия
идеальным образом выполнены в планетарных туманностях (небулиевые
линии), где среднее время между столкновениями частиц исчисляется
приблизительно минутой, а плотность излучения равна приблизительно 10
части плотности излучения на поверхности солнца. Эги условия выполнены
также и в самых верхних слоях земной атмосферы (линии северного сияния).
1з) Эффект Зеемана квадрупольных линий. Ограничимся
нормальным эффгктом Згемана, т. е. синглетнычи комбинациями. На рис. 56, а
представлена хорошо известная
схема эффекта Зеемана дипольного
излучения в согласии с т. I, гл. VI,
§ 4, рис. 85, а именно в
поперечном эффекте (наблюдение
перпендикулярно к магнитным силовым
линиям) и в продольном эффекте
(наблюдение вдоль поля). Наряду
с этим на рис. 56, б изображена
\Диагонапьнып схема эффекта Зеемана
электриче-+—f"
а)
| I ITpodoJ
[_ \^_Попере
Продольный
т
Т т т Ш
б)
ского квадрупольного излучения.
На схемах видно, что продольный
Рис. 56. а — дипольное излучение: гс-компо- эффект у обоих типов излучений
ненты вычерчены вверх от горизонтальных одинаков, поперечный же эффект
nuitliU ir.irnunnilPUILI DUU1' ТТЛ TTU ifTWT* DMA T I
р р р
линий. с-компонен1ы — вниз; полукруглые
стрелки означают у верхней линии
круговую, а у нижней — эллиптическую
поляризацию; б— квадрупольное излучение: г-коч-
существенно различен.
а-компоненты (поляризованные
перпендикулярно к магнитным сило-
поненты вычерчены вверх от горизонталь- вым ЛИНИям) имеют в случае квад-
Г™лки-Гн7Ч^Т%-"рх^Пй0ЛУлГиГй РУПОльного излучения в два раза
круговую, а у нижней —эллиптическую большее расщепление, чем нор-
поляризацию. мальное; и-компоненты
(поляризованные параллельно) имеют
нормальное расщепление. Средняя компонента, которая должна быть на месте
исходной нерасщеплённой линии, являющаяся в случае дипольного излучения
it-компонентой, в случае квадрупольного излучения отсутствует. На
рисунках изображена также схема эффекта Зеемана при наблюдении под 45°
к магнитным силовым линиям: средние компоненты в обоих случаях
поляризованы как ir-компоненты; в квадрупольном излучении а-компоненты имеют
нормальное расщепление, эллиптически поляризованные компоненты имеют
в два раза большее расщепление, чем нормальное; в дипольном излучении
эллиптически поляризованные компоненты имеют нормальное расщепление.
Этот эффект Зеемана квадрупольного излучения, теоретически
предсказанный Рубиновичем, наблюдался во всех подробностях Фрерихсом и
Кэмпбеллом1) на линиях северного сияния. Аномальный эффект Зеемана
у щелочных элементов также может быть рассчитан теоретически и
наблюдался на квадрупольной комбинации (sd) у калия'2).
>) R. Frerichs a. J. S. Campbell, Phys. Rev. 36, 151, 1460 A930).
2) Е. Segre, Zs. f. Phys. 66, 827 A930); E. Segre a. C. J. Bakker, там же
72, 724 A931).

5] О МУДЬТИПОЛЬНОМ ИЗЛУЧЕНИИ 616
1и)О наблюдаемости линии северного сияния в
лаборатории. Экспериментальным осуществлением линии северного сияния мы
обязаны классическому исследованию Макленана, Маклеода и Маккуорих).
В качестве газа-наполнителя была использована смесь из небольшого
количества кислорода и большого количества благородного газа. Известно, что
минимальная энергия возбуждения благородного газа больше чем 10 в,
а энергия возбуждения атома кислорода для начального состояния 5-линии
северного сияния составляет 5,3 в. Поэтому при столкновениях между
атомами кислорода и атомами благородных газов энергия не может
передаваться последним.
Следовательно, после столкновения атом кислорода, находящийся
в состоянии, начальном для S-линии (удар первого рода), будет находиться
в метастабильном состоянии, причем это состояние будет метастабильным
не только относительно перехода на более низкие состояния атома
кислорода, но и относительно ударов с атомами благородного газа; поэтому
столкновение с атомами благородного газа будет происходить не как
столкновения второго рода, а как упругое столкновение. С другой стороны,
роль столкновений между атомами кислорода, которые могли бы привести
к образованию молекул кислорода, сведена к минимуму благодаря
незначительной концентрации кислорода и большой концентрации благородного
газа. То обстоятельство, что канадские ученые в ходе своего исследования
не смогли установить по эффекту Зеемана квадрупольную природу линии
северного сияния, объясняется тем, что они в своих наблюдениях
ограничились лишь продольным эффектом Зеемана *), который, как это было
установлено выше (рис. 56), для квадрупольных и дипольных линий совпадает;
кроме того, в то время ещё отсутствовала теория Рубиновича этого вопроса.
II. Теория му льти п о ль но г о излучения
В этом втором разделе будут выведены главные результаты работ
Рубиновича, создавшего основы теории '•'). Некоторое упрощение по
сравнению с этими работами будет достигнуто тем, что при расчете излучения
везде будет использовано волновомеханическое выражение для плотности
тока, согласно которому эта величина имеет периодическую зависимость от
времени в виде ехр(—Ш), в то время как в первоначальном
полуклассическом расчёте излучения эта зависимость оставалась произвольной.
Па) Различные составные части мутильпольного излу-
яения. Разложение второй составной части на
электрическое ква д р у п о ль ное и магнитное дипольное излучение.
Исходим из представления поля, данного в A.8.21):
' \j±e
{rn)dt-\- сопряжённое, Н = [пЕ\, A)
я разбиваем его при помощи разложения A.8.22):
1ш
t.rn)
е с
') J. С. McLennan, J. Н. М с L е о d, W С. М с Q u a r r i e, Proc. Roy. Soc.
114, 1 A927); см. также J. С. М с L en n a n а. О. М. S hr и т, там же 106, 138A924).
2) J. С. McLennan, J. H. McLeod и R. Rued у, Phil. Mag. 6, 538 A928).
ч) Ср. итоговое изложение A. R u b i n о w i с г и. J. В I a t о n, Die Quadrupol-
Stralung (Квадрупольное излучение) в Ergebnisse der exakten Naturwissenschdften,
8d XI. Берлин, 1932.

616 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Первый член, дающий дипольное излучение, преобразуется в обычный
«матричный элемент первого порядка»:
B)
Именно, на основании A.8.16) имеем:
где AfjL — компонента матричного элемента М в направлении,
перпендикулярном к направлению наблюдения п. Тогда на основании A) и Aа) для
дипольного излучения имеют место следующие равенства:
сопряженное. C)
-Ш(Т-т)} {
Переходим ко второму члену разложения. Для него прежде всего на
основании A) и Aа) имеем:
£= -^ ехр {— /о) (т |-М \J± (r»)dt + сопряженное. D)
Так как вектор л постоянен, то при интегрировании получим
произведение (/г), различные компоненты которого j\rk образуют тензор второго
ранга аде. Разложим этот тензор на симметричную и антисимметричную
части, полагая
1 ,i
E)
Как и в A.8.20а), полагаем
Ji.=J-(Jn)n Ea)
и разлагаем стоящий справа вектор на его компоненты по осям координат.
Тогда /-я компонента подинтегрального выражения D) будет равна
Ui — С/») п<) (гп)=jtrknk — ]тптп?кпк, F)
причём в правой части знаки суммирования по k и от опущены.
Симметричная составная часть равна электрическому квадрупольному
излучению. Мы получим симметричную часть излучения, если в правой
части F) jtrk и jmrk заменим через Ь№ и соответственно ^ и отбросим
антисимметричную часть с& и соответственно спЛ в E). Тогда из F)
получается:
ЬщПк — bmknmWk Fа)
или, принимая во внимание значение b в E),
GVV+A'V)\ C/'-«nn+;>«««) F6)
Члены, стоящие в скобках, можно объединить, если в первом члене
выделить множитель гкпк = (гп), а во втором — множитель jknk = (Jri) и
в оставшихся членах вернуться к прежнему способу написания ]тпт = (]п)
и соответственно rmrn = (rn). Результат гласит:
? Ut - С/»)««) (гп) 4- -у (г, - (г») л,) С/»)- <6в)

5] О МУЛЬТИПОЛЬНОМ ИЗЛУЧЕНИИ 617
Это преобразование справедливо при любом индексе I, следовательно, оно
также справедливо, если отбросить индекс для соответствующей векторной
величины. Используя равенство E6) для j и также для г, вместо Fв) можно
написать:
±)±. Fг>
Тогда подстановка этого выражения в D) даёт в качестве симметричной
части излучения выражение
— /«(Г — -£)} J U(n*) + r(jn)}±dz + сопряженное. G)
Антисимметричная часть равна магнитному дипольному излучению1). Эта
составная часть получается подстановкой в F) для jtrk антисимметричной
части cik и отбрасыванием симметричной части bik. Следовательно, вместо Fа)
будем иметь:
ciknk — (8)
Но здесь второй член исчезает, так как при перемене местами значков
суммирования т, k знак этого члена изменяется. Следовательно, выражение (8)
сводится к первому члену и с учётом E) гласит:
<ч*л* = \ (У/* — rjk) nk. (8а)
Так как для I = k это выражение равно нулю, суммирование по k сводится
к суммированию по значениям /-)-1 и /—1. Поэтому из (8а) получается:
2"
+ lrj]i+1«,_!} = ± [[rj] п\{. (86)
Полученный вектор, как и должно быть, перпендикулярен к п. Внося этот
вектор в D) вместо j± (гя), мы получим в качестве антисимметричной
составной части излучения выражение:
Е = — -^ ехр [— /« (г — -£)} [пШ] + сопряженное, (9)
где введено обозначение
ЗЛ|. (9а)
Выпишем также напряжённость магнитного поля этого излучения. В этом
случае в A) появляется произведение
[я [пЖ\] = — {Ш — } ±
Вследствие этого будем иметь:
И = -щ ехр |— fa ( Т—-^4} 351^ -+- сопряжённое. (96)
Сравнивая выражения (9), (9а, б) с ранее полученными выражениями B),
C) для дипольного излучения и отвлекаясь от множителя 1/с, замечаем
1) Различие между электрическим и магнитным мультипольным излучением было
впервые обосновано в диссертации Бринкмана, см. ниже примечание иа стр. 623.

618 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
следующее:
новые И, Е, ЗЛ A0)
соответствуют прежним1) Е, —Н, М.
Это соответствие показывает, что процесс излучения, обсуждаемый сейчас,
следует рассматривать как магнитное дипольное излучение. Действительно,
на основании известной формулы электродинамики 9Я (9а) означает
магнитный момент распределенных токов У точно так же, как матричный элемент М
означает электрический момент распределённых зарядов.
Пб) Представление квадрупольного излучения через
матричные элементы. Возвратимся к электрическому квадрупольному
излучению и покажем, что оно может быть представлено матричными
элементами второго порядка распределённой плотности р. Тем самым будет
обосновано и его название как электрического квадрупольного излучения.
Будем исходить из равенства G) и преобразуем входящий в это
равенство интеграл
" UirB) + r(Jn))±dx. A1)
При этом будем опираться на уравнение непрерывности в форме A4),
стр. 57:
dy A2)
Умножим обе части этого равенства на компоненту тензора второго
порядка гггк и проинтегрируем по d~. Справа получим:
A3)
где Mik — компонента тензора, который следует классифицировать как
«квадрупольный момент электрической распределённой плотности».
Слева, интегрируя дважды по частям (положив, например, г{ = х,
гк = у), будем иметь:
J* divyr^j dx = — J j\rk dx — J* jkridx. A4)
Теперь, чтобы получить выражение A1), умножим правую часть A4) на пк
(под знаком интеграла, так как пк постоянна) и просуммируем по k = 1, 2, 3.
Тогда получится:
— I f/C"»)A+ f r(Jn)d-\ . A5)
1 J J \ {
Тот же прием, применённый к A3), даёт:
2 пкМл = J pr, (г») dz. A6)
По уравнению непрерывности A2) оба выражения A5) и A6) равны
друг другу. Отсюда, конкретизируя индекс I направлением _|_, на
основании G) и второго уравнения A) получим:
Е \ _/«,* 1
-+- сопряжённое. A7)
) р \пг\ (яг) d-
'). Отрицательный знак у Н зависит от того, что последовательность Е, И, а
в процессе излучения образует всегда правую систему, следовательно, теперь
последовательность векторов Н, Е, п образует левую систему.

5] О МУЛЬТИПОЛЬНОМ ИЗЛУЧЕНИИ 6Г9
Тензор Mik представляет всю совокупность электрических квадрупольных
моментов; так же как вектор Мг, равенство B) содержит в себе все
возможные дипольные моменты. Поэтому, действительно, излучение, даваемое
формулой A7), следует называть электрическим квадрупольным излучением.
Мы не будем анализировать излучение, соответствующее следующему члену
в разложении Aа), так как не известны достоверные примеры применения
этому; заметим лишь, что это излучение слагается из электрического окту-
польного излучения и магнитного квадрупольного.
Ив) Правила отбора для квадрупольного излучения
в случае одного оптического электрона. Начальное и
соответственно конечное состояния перехода описываем с помощью волновых
функций:
4/п=...РГ (cos Я) eim\ 4v = ... Pf (cos ») eim>*. A8)
опуская несущественные здесь радиальные части этих функций. Из
плотности перехода
р = ^„- A8а)
получается тензор Mik [равенство A3I путём перемножения с квадратичной
(шестичленной) координатной матрицей гггк. Сгруппируем компоненты
последней более удобным образом в следующие три пары:
а) z9 = г9 cos9 &, х9 + У3 = г3 sin9 Ь,
б) z (х =£ iy) — г2 cos Ь sin fte*ie,
в) <*=£/jO8=.r* sin8 »«**".
Очевидно, что из этих пар можно линейно составить все произведения rtrk,
в том числе также содержащиеся и в A7). Имея в виду, что положение
осей х, у, z в пространстве произвольно, нам необходимо при выводе
правил отбора исследовать не только произведения гггк, содержащиеся в A7),
но и все возможные произведения, т. е. необходимо исследовать все три
пары а), б), в). Прежде всего исследуем:
Правила отбора для квантового числа т. В этом случае необходимо
обратить внимание лишь на зависимость функций от «р. Поэтому, креме
зависимости функций <Ь„ и <{>„' от г, можно опустить также зависимость
от Ь. Для всех трёх пар а), б), в) взятые по <р интегралы квадратичных
матричных элементов записываются в виде:
Отсюда получается вывод: интеграл всегда исчезает, за исключением случаев:
т' = т, A9а)
т' = т±\, A96)
т' = т =t 2. < 19в)
Это есть часть правила отбора B), которое было дано в начале этого
дополнения. Для всех других значений (/»', т) имеет место запрет
комбинации.

620 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Правила отбора для азимутального квантового числа. Все три
случая а), б), в) необходимо рассматривать обособленно. В случае а) имеем
т! = т и интеграл, взятый по 0, будет иметь вид:
в случае 6) имеем т! = т ±. 1 и интеграл запишется в виде:
те
б) J Р?Р$ ± 1 cos » sin » sin » d&;
о
в случае в) имеем т! = m =t 2 и поэтому запишем:
1С
в) £р?Рг±2 sin*3 0 sin &df>.
о
Для вычисления этих интегралов необходимы те же рекуррентные формулы
дополнения 6, равенства (8), G6) и (8а) для сферических функций, которые
используются также для получения правил отбора для дипольного излучения,
а именно:
(A)
(Б) B/+ 1) sin ЪР? = Р&х — PT-Y.
(В) B/+ l)sin»Pr = (/+m)(/ + m
Интеграл а) с множителем cos*3 ft. Умножаем (А) на cosf> и к
получающимся справа произведениям cosOP,™i ещё раз применяем фурмулу (А).
Тогда получится равенство вида:
cos2 8Р,М = аР?+2+ЬР? -f сРГ-2 B0)
с рациональными коэффициентами а, Ь, с. Умножение этого равенства на P'i
и интегрирование по sin 0 </!> вследствие ортогональности Р дают правило
отбора:
/' /f2, /' = /, /' = /—2. B1)
При всех других значениях /' интеграл исчезает, следовательно,
соответствующие комбинации /, /' запрещены.
То же самое правило справедливо и для интеграла а) с множителем
sin*2 0 = 1—cos'3i>, при этом член с множителем 1 ведёт к уже имеющемуся
в B1) правилу / = /'.
Интеграл б) с верхним индексом т-\-\. Умножаем (Б) на cosл и
к произведениям в правой части применяем рекуррентную формулу (А).
Справа получается выражение вида:
где а, Ь, с — рациональные коэффициенты, но отличные от коэффициентов
в B0). Интегрирование no sinftrfO снова приводит к правилам отбора B1).
То же самое имеет место и в случае интеграла б) с верхним индексом
т — 1, необходимо лишь вместо (Б) использовать рекуррентную формулу (В).

51 о мультипольном излучении 621
В случае интеграла в) с верхним индексом m-f-2, соответственно т — 2,
необходимо два раза применить рекуррентную формулу (Б), соответственно
(В), после чего опять придём к правилу отбора B1).
Правило отбора B1) совпадает с первым правилом отбора B),
приведённым в начале настоящего дополнения.
Приведённые вычисления позволяют пойти дальше простого обоснования
правил отбора; именно, с помощью введённых в B0) и аналогичных
коэффициентов а), б), в) они позволяют произвести количественный расчёт
интенсивности квадрупольного излучения. Здесь мы не будем заниматься этими
расчётами.
Иг) Общие правила отбора для квадрупольного
излучения. Из пояснений в гл. IX, § 6, особенно в связи с уравнением D), следует, что
собственные функции A8) будут чётными или нечётными функциями координат
в зависимости от того, будет ли / (соответственно /') чётным или нечётным.
В квадратичном тензоре М произведение этих собственных функций
умножается на чётную функцию, именно на произведение двух координат, и
интегрируется по всему конфигурационному пространству. Тензор М
обращается в нуль при комбинации чётной и нечётной собственной функции, или
другими словами: при квадрупольном излучении комбинировать могут лишь
чётные с чётными или нечётные с нечётными собственными функциями
(термами). При электрическом дипольном излучении имеет место обратное:
комбинировать могут лишь чётные с нечётными термами. Действительно, в этом
случае вместо квадратичного тензора М мы имеем линейный, следовательно,
нечётный координатный вектор х, у, z.
Отсюда очевидно, что приведённое выше правило отбора B1) является
формулировкой правила Лапорта для квадрупольного излучения; то же
самое можно сказать и о правиле Г = 1±1 в правиле Лапорта для диполь-
иого излучения.
Теперь легко осуществляется переход к общим правилам отбора в
случае произвольной атомарной электронной системы. В этом случае
собственные функции, если отвлечься от спина, также распадаются на два класса:
чётные и нечётные. При электрическом квадрупольном излучении между
собой могут комбинироваться лишь чётные функции с чётными функциями
или нечётные функции с нечётными функциями, при дипольном излучении —
лишь чётные с нечётными.
Таково значение общего правила отбора из 16). Так как мы не
собираемся касаться здесь вопроса о спине электрона (ограничиваясь синглет-
ними системами), то мы должны отказаться от вывода дополнительных
правил отбора для квантового числа J и особых правил для случая связи Рес-
селл — Саундерса (ср. 1в>].
Ид) Правила отбора для магнитного дипольного
излучения, в частности при одном оптическом электроне.
Согласно (9) и (9а) магнитное дипольное излучение определяется, исходя из
магнитного момента ЭЛ тока перехода. На основании представления тока
в (I. 7.15) и собственных функций A8), дополненных их радиальными
составными частями после элементарного вычисления, получим для 971 следующие
выражения (обозначая массу электрона через ;а):
а) Ш: = g- (ш 4- «') J RHlRn.rPTP? eUm~m'"° **,

622 млтрмлтичвские дополнения
где множитель, заключённый в последней строке в фигурные скобки, равен
, cos в „. т. г _, dPt' _, dPf-\
_, dPf-\
На основании равенства (9а) в дополнении 6 этот множитель можно записать
в следующей более удобной форме:
sin» ' ' -*~ ' ' ' '
В случае а) из условий ортогональности угловой части, с одной стороны,
и радиальной части, с другой, заключаем, что Шг только тогда отлично от
нуля, когда одновременно выполняются условия:
\т — т — /м' = 0, М = 1 — /' = 0, Дл = л — л' = 0, B2)
т. е. когда начальное и конечное состояния совпадают. Но это означает,
что не происходит никакого изменения состояния и поэтому нет никакого
излучения.
В случае б) интегрирование по <? даёт правила отбора:
Если мы подставим это значение в в) и выберем верхний знак, следовательно,
также и множитель т' = т~\-\ в в), то получим:
в,) =-- [2 (т + 1) fgj P|?+1 — Р?'+2] Pf + Pv+1P?+1.
Опираясь на дополнение 6, равенство (96), это выражение можно записать
также в виде:
в2) = (/' + т+ 1)(/' - /и) Р?Р
Выбирая, с другой стороны, нижний знак, следовательно, также и
множитель m = m' -+- 1 в в)> получаем то же самое выражение в%), но с /к'
вместо m и /' вместо /.
Легко заметить что предписанное в б) интегрирование вследствие
ортогональности Р и R дает нуль, за исключением случая, когда
Ы = 1 — /' = 0 и также Дл = л — л' = 0.
Таким образом, мы приходим к тому же результату, что и в случае
а), а именно, что в одноэлектронной задаче магнитное дипольное излучение
невозможно. То же самое имеет место в случае чистой связи Ресселл—
Саундерса. Лишь при нарушении этого (Z. — S-связь) наряду с
электрическим квадрупольным излучением появляется также магнитное дипольное
излучение. Последнее было показано в 1д) на примере небулиевых линий.
Не) Соотношение интенсивностей дипольного и квад-
рупольного излучения. Сравнение A7) и C) показывает, что поле
квадрупольного излучения получается из поля дипольного излучения путём
умножения последнего (под знаком интеграла) на
Учитывая, что собственные функции при интегрировании дают заметный
вклад в значение интеграла лишь в пределах атомной области а, получаем,
что отношение напряжённостей полей обоих типов излучений будет по по-

б] О МУЛЬТИПОЛЬЧОМ ИЗЛУЧЕНИИ 623
рядку величины равно
Поэтому для отношения интенсивностей будем иметь:
B4)
Отсюда при а=10~а и А = 4- 10 6 получается указанный в 1е) порядок
величины 10~в. Тот же самый порядок величины получается при а«алогичной
грубой оценке отношения интенсивностей октупольного и квадрупольного
излучений.
Для того чтобы иметь возможность оценить отношение интенсивностей
магнитного дипольного и электрического квадрупольного излучений,
необходимо сравнить выражение (96) с A7). При этом порядок величины
магнитного момента Ш в (96) берётся из а) в Ид). Тогда найдём:
Hf дип ЩВ ^_ ^25)
JE квадр ~~ еа а '
где тв — магнетон Бора для атома —0,8 • 10~20, имеющий размерность
заряда (электрического), умноженного на см. Если для к и а взять прежние
значения, то отношение в B5) будет приблизительно равно 7. Отсюда
видно, что магнитное дипольное излучение, если только оно имеет место по
условиям связи, может по интенсивности превзойти электрическое квадру-
польное излучение, как это утверждалось в 1е) в случае небулиевых линий.
Иж) Эффект Зеемана в мультипольном излучении.
Ограничимся нормальным1) эффектом Зеемана (синглетные линии) и электрическим
мультипольным излучением. Расщепление линии, как указано в A1.6.13а),
зависит только от изменения Am магнитного квантового числа т. Уже
отсюда следует, что число, вообще говоря, возможных компонент Зеемана
возрастает вместе со степенью мультипольности. В соответствии с правилами
отбора A), B), Bа) мы имеем при дипольном, квадрупольном, октуполь-
ном, ... излучении соответственно 3, 5, 7, ... эквидистантных
(равноотстоящих) компонент Зеемана. Однако полное число этих компонент будет
проявляться лишь при наблюдении в перпендикулярном направлении; в этом
случае компоненты разделяются на чередующиеся между собой линейно
поляризованные it- и о-компоненты (ср. рис. 56, б или схему на стр. 625).
При наблюдении в прбдольном направлении проявляются лишь два известных
из дипольного излучения колебания Дт = ±:1. При наблюдении в
диагональном направлении проявляются смешанные it- и о-компоненты,
следовательно, имеет место эллиптическая поляризация. Относительно магнитного
мультипольного излучения достаточно сказать только, что в этом случае
роль тс- и о-компонент меняется по сравнению с их ролью в электрическом
ыультипольном излучении в соответствии с принципом замещения,
содержащимся в A0).
Формально доказательство этих утверждений упрощается тем
обстоятельством, что при исследовании поляризации достаточно принять во
внимание зависимость собственных функций только от <?• Их зависимость от !>
!) Относительно роли спииа при мультипольном излучении ср. Н. С. В г i n k ш а п,
Physica, 1. 97 A933; tmd Diss. Utrecht, 1932.

624 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
и г только тогда существенна, когда нас интересует относительная
интенсивность компонент Зеемана.
Направим ось z вдоль магнитного поля и обозначим через 0 и«
полярные углы. Радиус-вектор точки интегрирования тогда будет иметь
составляющие:
г = г (sin ft cos <p, sin 8 sin?, cos ft). B6)
Пусть (бесконечно удалённая) точка наблюдения Р имеет углы в и Ф = 0.
В точке Р построим координатный триэдр я, р, S. Как и раньше, я является
единичным вектором в направлении излучения О-*-Р, р и s соответствуют
единичным, векторам —е6, —е9, введённым на стр. 432. Единичный
вектор р лежит в меридиональной плоскости, проходящей через точку Р, s
направлен перпендикулярно к этой плоскости. Переход от х, у, г к я, р, s
даётся следующей схемой преобразования, которую следует сравнить со
схемой C0) на стр. 433:
х у г
я
B7)
Р
s
sin ft 0 cos ft
— cos ft 0 sin ft
0 —1 0
Из B6) и B7) следует:
(гя) = г (sin в sin в cos <? -\- cos 0 cos в),
(rp) = r(— sin ft cos ft cos? -f- cos» sin в), } B8)
(rs) = — r sin 0 sin ».
Произведение (т) представляет собой характерный множитель, который
появляется в электрическом квадрупольном излучении [равенство A7)] в
первой степени, в октупольном излучении — во второй и в дипольном
излучении — в нулевой. Наряду с этим во всех типах излучений выступает общий
им всем множитель
г± = (гр)р + («)*. B9)
Нас интересует главным образом квадрупольное излучение. Образуем на
основании B8) и B9) для наблюдения в поперечном и продольном
направлении (в = ■?• и соответственно ft = 0J выражение
{га (cos ft cos yp — sin & sin ? cos <os), поперечное,
г9sin ft cos ft (cos?/? — sin ?$), продольное.
Входящие в эти выражения функции от ф выразим в форме:
cos гор = £ (е*? + в"*'), sin <p cos es = — -^- (e2ie — е~*ч),. j
cos«p/r — sin в* = ^ (p+is) el*-\- -g- (p — is) «-*«. j
Как видно из A7), эти выражения необходимо умножить на плотность р.
Беря собственные функции в форме A8) и учитывая правило отбора A9а, б, в)
для квадрупольного излучения:
Дт = —2, —1, 0, +1. +2, C1)
мы получаем зависимость плотности р от <в в виде:
э, е-**, 1, e+i*. e+2i*. (,31a)

6]
РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
625
При перемножении между собой C1а) и C0) и интегрировании по в от 0
до 2- выпадут все члены, в которых экспоненциальные функции не
компенсируют друг друга. Характер поляризации, даваемый оставшимися после
интегрирования членами, выписан в двух первых строках следующей таблицы:
Дот =
Поперечное .
Продольное .
Диагональное
К в адрупо льное излучение
. 2
s
*
— 1
р
p+is
S
0
*
*
Р
+ 1
Р
p-ls
S
+ 2
S
*
-7=-*
/2
Третья строчка представляет случай в = -т. В этом случае вместо C0)
легко получается:
г±(гя) = -у- [(— sina 0 cosa ср4- cos3 ft)p — У2sinftsincf>(sinftcos» -j-
. C2)
Чтобы проверить третью строчку таблицы, необходимо лишь, как и
в C0а), зависимость от ф в C2) представить в экспоненциальной форме и
сличить с C1а).
Для сравнения вычислим соответствующую таблицу для дипольного
излучения, которую легко, очевидно, получить тем же путём [опуская
множитель (гл)] на основании B9).
Сравнение обеих таблиц
показывает: в продольном
эффекте дипольное и квадруполь-
ное излучения ведут себя
одинаково; оба дают на
нормальном лоренцовом расстоянии от
середины пару линий,
поляризованных в противоположных
направлениях по кругу. (Ср.
это со сказанным в 1и)
относительно линий северного сияния.) В поперечном эффекте я- и о-компоненты
меняются местами, однако таким образом, что средние компоненты при
квадрупольном излучении отпадают. При наблюдении в диагональном
направлении обе самые крайние компоненты поляризованы эллиптически с
преобладанием о-компоненты. Таким образом, рис. 56, а и б полностью
подтверждены приведёнными простыми вычислениями.
6. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ИМ РОДСТВЕННЫХ
К гл. I, § 9 и гл. IX, § 4
Сферические функции были введены Лежандром и Лапласом в теории
потенциала на основе «производящей функции»:
*=cos8- A)
Дот =
Поперечное . .
Продольное . .
Диагональное .
Дипольное излучение
— 1
s
P+is
/2
0
Р
*
Р
+ 1
s
p-is
Как известно, мы приходим к этому ряду, разлагая величину, обратную
40 Зак 968. А. Зошерфельд

626 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
расстоянию м.§жду двумя точками, по степеням а:
1 1
га у rjf-^cosa + r*
? Г* B)
rl rl
Так как и = — удовлетворяет уравнению потенциала Ди = 0, то
коэффициенты при а должны удовлетворять дифференциальному уравнению A.3.16)
с А. = /(/-{-1) и /71 = 0; они являются, следовательно, сферическими
функциями Р,(х); при этом условие Р]A)= 1 удовлетворяется автоматически.
Из A) посредством логарифмического дифференцирования по а и
умножения иа общий знаменатель следует:
(х — а) 2 а'Я{ = A — 2ajc + а9) 2 fa1" 1Ру C)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях а1 в обеих частях
равенства, получим:
= 0. D)
Последнее равенство является рекуррентной формулой зональных
сферических функций.
Дифференциальные рекуррентные формулы этих функций легко найти,
исходя из их представления A.3.13):
а именно:
d
dx
Eа)
Рекуррентные формулы для присоединённых сферических функций мы
выведем, исходя из D) и E). Для этого дифференцируем формулу D) т раз
и умножаем на sin"* f>. Принимая во внимание, что
йхь,
а также определение
получаем:
(/+ DP»!—B/+ 1)д:Р™ — тB1 + Dsin^-i + ZP»! =0. G)
С другой стороны, из E) путём (т—1)-кратного дифференцирования по х
и умножения на sin" Я получае1ся:
P?+l —P'jli = Bl + l) sin OP™-1. Gа)
Замена т на т-\-\ даёт:
B/+ 1) sin ftP™ = Pffi—Pffl- Gб>

6] РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 627
Из G) и Gа) функцию Р™ можно исключить; результат исключения
запишется в следующей форме:
B/+ l)*P» = (Z-m+ 1)/>Г+1 + <1+*)*?_,. (8)
Далее из G6) легко находим, если заменим т через —да и применим
равенство A.3.16ж):
tf. (8а)
Выпишем также дифференциальную рекуррентную формулу:
Она получается способом, совершенно аналогичным применённому при
выводе Gа). Дифференцируем т раз дифференциальное уравнение A.3.14)
для Р,, с одной стороны, и рекуррентную формулу Eа), с другой,
исключаем из обоих равенств Р'*-1 и, наконец, умножаем на sinm0.
Другая дифференциальная рекуррентная формула следует прямо из F)
посредством дифференцирования по Ь:
Применив снова F), эту формулу можно записать в виде:
<9а>
Рекуррентная формула, которая была использована в дополнении 5 при
рассмотрении дипольного излучения, именно:
легко может быть проверена по следующей схеме:
/ — m)Ga)m+1 = 0,
что означает, что равенства (8), (8а), Gа) надо выписать соответственно
ст — т-\-\, т-\-2, т-\-\ и умножить соответственно на множители
2(/м+1), —1, {1-\-т-\- 1)(/—т). При суммировании большинство членов
уничтожается и получается формула (96).
Исходя из (8) и G6), можно вычислить интегралы J и К, к которым
мы пришли при нахождении матричных элементов ротатора (уравнение C7),
стр. 67|. Умножим (8) на Р|", G6) на Р'у*1 и проинтегрируем в обоих
случаях по х от — 1 до + 1. Это даёт:
m) f PfLt P?dx, A0)
B/+ \)K= f P}n+VP'r+ldx — Jp;1VPj'"+' dx. A0a)
Эти равенства непосредственно показывают, что J и К вследствие
ортогональности сферических функций всегда равны нулю, за исключением
случаев /' = /=£1.
40*

628 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Для случая* Н' = /-f-1 вследствие условия нормировки C0), стр. 65,
получается [вторые члены справа в A0) и A0а) пропадают]:
(I —m)\ ' * B/+l)B/ + 3) (/ — /я)!
Соответственно для случая /' = /—1 имеем [пропадают первые члены в A0)
и A0а)]:
_2 A + т)\ -2 A + т)\ ..
iw9/j-i) </ — хп —1I ' Л ~~B/—1)B/+1) (/ —/я —2)! ' l ;
Величины A1) и (Па) для J и К, выписанные более подробно, означают:
J(l, т+±1-\-1, т) соответственно J(l, mt^-l—1, m),
К (I, m+±/-|-l, m-\- 1) соответственно K(l, m^*l—1, m +
На стр. 67 были использованы также величины
K(l, mi±/+l, т—1) соответственно КA, т^-1—1, т—1).
>,.} A1б)
Вторая из них получается по схеме A16) и A1), если там /, т заменить
через /—1, т—1; пср:ая, — если в (Па) Z, т заменить через /+ 1, т—1.
Следовательно,
2(!±51 <12а>
- A26)
Теперь можно выписать матричные элементы равенства C6), стр. 67.
Мы имеем, пониыая значение J в смысле A16):
mNt_lt т У(|, т ^ / — 1, да).
Отсюда на основании первого равенства A0а), принимая во внимание
значение Nlm из равенства C1), стр. 66, получается:
4i-i-flK B/-
и соответствующее выражение для С{, j+i (замена / через 1-\- 1).
Далее, мы имели на основании равенства C6), стр. 67:
a±j-tit.l-t = 2«aNltmNl_lim±1K(l, m^l—\, т±1).
Отсюда на основании второго равенства (Па), соответственно A2а),
следует:
Значения Е±У'>) при переходе /, /-[-1 получаются из A4) заменой I
на /-М-
Теперь используем рекуррентную формулу (8) для вычисления
интегралов
+i +i
X— j (.xPffdx, У= J xP»P?+1dx. A5)
-1 -i

6] РЕКУРРЕНТНЫЕ ♦ОРМУЛЫ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 629
которые служили для доказательства теоремы о суммарна стр. 317.
На основании (8) имеем:
+i
У f // —w + 1 от , i + m
Х== J 1 Pl+1+F
J 1
Отсюда при учёте ортогональности и нормировки сферических функций
следует:
2 (/+1+от)! | A + т\* 2 (/—1-fот)!
~ )
у — // —w + 1 \а
\ 2/+1 ) 2/ + 3 (/+1— m)l ~T~\2l + l) 21— 1 (/ — 1— да)! '
Это выражение можно преобразовать к виду:
2/ +1 (/ — да)! I B/ +1) B/ + 3) ~i~(
(
2/ +1 (/ — да)! I B/ +1) B/ + 3) ~i~B/ — l)B/-fl) I *
Аналогично из (8) следует:
+i
f
J
J I 2/+1 ^1 + ^TpM^1'X° 2/+1 2
или
„ 2 (/ + да)! / + «+1 ,.,ft.
2/+l(/ —да)! 2/ + 3 ' u ;
Третий интеграл, именно:
Z= I A —
на основании дифференциальной рекуррентной формулы (9) сводится к
7_у 2 (/+1+>яI
7+1 (/ — да)! '
что преобразуется к виду:
7 2
7
Z- — ~2T+l(l-m)l 27+3 '
Наряду с собственно сферическими функциями Р{ нам потребуются
в гл. IX, § 4 при анализе задачи о двух центрах молекулы водорода так
называемые сферические функции второго рода Qi(x). Они удовлетворяют
тому же дифференциальному уравнению, что и Р{(х), но не являются
полиномами, а являются трансцендентными функциями логарифмического
характера, которые в точках х = ±1 имеют особенности. Проще всего они
определяются посредством производящей функции, именно как коэффициенты
следующего разложения по ЯI):
( i) Об)
Прежде всего вследствие ортогональности и нормировки из этого
определения получается интегральное представление Неймана:
=y. A6a)
j
!) Определение О{ у Гейне (Handbuch der Kugelfunktionen) отличается от
нашего на множитель 2.

630 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Пользуясь этим представлением, проверим, что, действительно, Qt и Рг
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Для
доказательства введбм обозначение для дифференциального оператора
сферических функций
£„ = £A-*9)£+<« + 1) 07)
и соответственно
Тогда из A6а) прежде всего следует, что
£«<?г<*)= f PiWL.jl-rdy. A8)
Как легко проверить вычислением, имеет место равенство
L * _i !
Поэтому можно также написать:
£«<?»(*) = J Р;(У)Lv-±-dy. A8a)
-i
Интегрируя по частям, преобразуем правую часть к виду:
+
-^rydy= J
A86)
-1 -1
(Дополнительные члены, появляющиеся в результате интегрирования по частям,
пропадают авиду наличия множителя 1—у1 а A7а).] Но правая часть A86)
равна нулю вследствие 1Р( = 0. Поэтому раана нулю и леаая часть
равенства A8), что и требовалось доказать.
Из A6а) легко вычислить выражение для наинизших Q,, именно:
<19>
1=1, Р1(у) = у, Q1(x) = — 2Ч-*1п*^| = — 2+Рг(х) 1п^±[ , A9а)
/ = 2, />aCV) = -5-Cj>2—1) = />9(х)+|-СУ9 —*"). A96)
х) In —jfcy и т. д.
Эти выражения непосредственно показывают логарифмический характер
функций Qi (х) и их сингулярность в точквх х = -± 1.
Общее выражение для Qt(x) по Кристоффелю имеет следующий вид:
а
<?»(*) = — 2 ^ -цё^
«»-о

7] ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ 631
где верхняя граница суммирования g равна наибольшему целому числу
Полиномы Эрмата и Лагерра также имеют производящие функции,
именно:
B0)
П-0
n-0
7. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
К гл. II, | 7
По сравнению с представлением Эйлера
Г (л-f 1) = / e-*xndx A)
о
представление (П.7.24) (путь интегрирования: петля, огибающая
положительную действительную ось против часовой стрелки)
1 е**п С
+ 1) = ^7 J
имеет то преимущество, что оно годится для любых значений п, в то время
■как A) пригодно лишь тогда, когда действительная часть п больше —1.
То обстоятельство, что B) дает правильные значения для целых я
(отрицательных и положительных), именно:
л>0, Г(л-Ь !) = «!. »<0, Г(»+1) = оо,
очевидно; достаточно лишь подставить вместо е~* его степенной ряд и
определить вычет подинтегрального выражения:
л>0 — Ц^"". л<0 — нуль.
Интегрированием по частям из B), так же как и из A), получается
основная формула Г-функции:
C)
Следовательно, равенство B) является во всяком случае возможным
аналитическим расширением понятия факториала. То, что это аналитическое
расширение понятия факториала совпадает с расширением, которое дается
формулой A) (оно могло бы прежде всего от него отличаться на
произвольную функцию периода 1), доказывается, например, тем, что на основании
B) проверяется формула
ГЮГО—)—;£;. D)
яричбм необходимо ограничиться отрезком вещественной оси
0<л<Ь Dа)

632 ЫАТЕЫАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Действительно, из B), если запенить п на —п, следует:
где вследствие Dа) интегрирование ыы ыожеы стянуть к действительной
оси. Интеграл в E) тогда будет равен
О оо оо
fe-vyn-i fy-\- e««» J e-vy»-1 dy = (—1 + *««») J e-ny»-1 dy,
+oo О О
или, используя определение A),
2tetKnsin%nT(n).
Поэтоыу равенство E) приобретает вид:
1 slinc/i
()
что совпадает с D).
Используя C) с обратным знакоы у я, мы ыожеы D) записать также
в виде:
С другой стороны, комбинированием C) и D) легко получается:
Если, в частности, п чисто ыниыо, то вместо последнего равенства будем
иметь равенство
^1
Далее отметим соотношение, которое непосредственно получается путем
последовательного применения C), именно (ft — целое, п — произвольное):
Г (л—А) Г (я)
Отсюда, заменяя п через —п, получим:
9.
Также простым применением C) из (8) получается:
8. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О НОРМИРОВКЕ
И ОРТОГОНАЛЬНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
К гл. II, стр. 77 и гл. IV, стр. 253
Обычные условия нормировки и ортогональности собственных функций
«h, <fo <1»„, ... дискретного спектра
/. ( 1 для т = п,
Mmdx= \ л ^_ A)
тпт*и* \ о для mdzn
не могут быть без изменений перенесены на случай собственных функций.

8) НОРМИРОВКЛ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 633
непрерывного спектра, так как появляющиеся в этоы случае интегралы не
являются сходящимися. Эту трудность мы, как обычно, обошли тем, что
совокупность функций непрерывного спектра аппроксимировали набором
функций дискретного спектра и к последним (функциям) применили условия A)
(метод собственного дифференциала; ср. замечание на стр. 108). Теперь мы,
наоборот, преобразуем условия A) таким образом, чтобы их было можно
естественным образом применить к собственным функциям непрерывного
спектра. С этой целью умножим равенства A) на произвольные множители
ат и просуммируем по т. Меняя, далее, порядок интегрирования и
суммирования, получим:
Равенство B) есть не что иное, как формула для вычисления
коэффициентов разложения произвольной функции F по рассматриваемым
собственным функциям:
^ f&Fdx. C)
Объединяя оба равенства C), обозначив аргумент в первом равенстве через
г, переменную интегрирования во втором равенстве — через rt и
соответственно написав drx вместо dt, получим:
F (г) = 2 Г f». (rO F (гО *» С) drt. D)
т J
Справедливость этого разложения для произвольной функции F является,
очевидно, равносильной заменой условий A) для системы функций <{<
(дискретного спектра). [Для того чтобы из второго уравнения C) получить
условие нормировки A) для га = [А и условие ортогональности A) для п Ф а,
необходимо лишь в C) для F все коэффициенты ат положить равными нулю,
за исключением одного а^, который надо положить равным единице.]
Но далее утверждается, что соответствующее положение имеет место
также и в случае системы функций непрерывного спектра. В этом случае
вместо индекса т. надо использовать непрерывно изменяющийся параметр
(энергия, импульс, волновое число,...). Выбирая к примеру в качестве
такого параметра волновое число It, мы получим из D):
Рассмотрим в качестве примера систему функций непрерывного спектра,
которая принадлежит к пространственному интегралу Фурье:
ф(г, fc) = Nei{kr\ F)
и попытаемся найти величину добавленного здесь нормировочного
множителя N. Интеграл Фурье, записанный в простейшей форме, как известно,
имеет вид:
dk
Мы придбм к той же самой форме, если F) подставим в E), причем в
качестве множителя перед интегралом будет стоять N* вместо Bя)~8. Отсюда
заключаем, что
™ B*)з • {1>

634 МЛТЕМЛТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Возвращаясь к общему случаю, т. е. к произвольной системе функций
Ъ(г, ft) непрерывного спектра, разложим E) на два равенства, аналогичных
равенствам C):
= J dka (ft) if (r, ft), a (ft) = J dr^* (rlf ft) F (rx), (8)
1ям в случае дискретного спектра полоз
О вне \ произвольно малой области
и соответственно условиям в случае дискретного спектра положим:
0 вне \ произвольно малой облает
1 внутри / значений Д переменной ft.
Тогда из второго уравнения (8) с учетом первого, несколько изменяя
обозначения [k2 вместо ft в первом, ftx вместо ft во втором уравнении (8), г
вместо rt], получим:
Г dr <!f (г, к,) I dfta ^ (г, ft.a) = I (9)
смотря по тому, вне или внутри интервала Д лежит kt. Но это есть точно
такая же форма условий, которая даётся уравнениями G) и A0) в гл. II,
§ 8. Следовательно, можно сделать вывод: прежние правила ортогонализа-
ции и нормировки могут быть обобщены также и на случай непрерывного
спектра без искусственного выделения интервала интегрирования Д в единую
форму E), представляющую произвольную функцию через рассматриваемую
систему функций. Хотя новая точка зрения является только формальным
изменением старой, она может быть, как это показывает пример интеграла
Фурье, весьма полезной.
Очевидно, что, для того чтобы получить равносильную замену прежних
правил также и на тот случай, когда система функций имеет частично
дискретный и частично непрерывный спектр, необходимо скомбинировать оба
представления D) и E).
Обсуждаемый здесь метод основан на работе В. Франца *),
применившего его к одной проблеме. (Излучение при переходе из заданного
начального состояния в заданное вырожденное конечное состояние; доказательство
независимости излучённой энергии от конкретного выбора системы функций,
при помоши которой представляется конечное состояние.)
В то время как в предыдущем изложении задача состояла в том, чтобы
придать методике единую форму как для случая непрерывного, так и для
случая дискретного спектра, теперь попытаемся перенести на случай
дискретного спектра ту простую методику нормировки, которая нам известна для
случая непрерывного спектра. В непрерывном спектре мы могли очень удобно
асимптотически оценить нормировочный интеграл применением теоремы Грина,
в то время как прямое вычисление соответствующего интеграла в
дискретном спектре оказывается затруднительным. Однако Крамере3) показал на
примере релятивистской проблемы Кеплера, что асимптотическая оценка
возможна также и в дискретном спектре. Мы используем эту идею
в несколько изменённом виде и применим прежде всего к нерелятивистской
проблеме Кеплера.
Пусть 'I будет собственная функция дискретного собственного значения
W, т. е. она является непрерывным, везде конечным и исчезающим на бес-
1) W. Franz, Zs. f. Phys. 90, 623 A934). особенно § 1.
2) H. A. Kramers, Hand- und Jahrbuch der Chemischen Physik, Bd 1 (Теории
■строения материи), стр. 312.

8] НОРМИРОВКА И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 635
конечности решением волнового уравнения
^0; A0)
далее, пусть W будет соседним к W значением и <|/— соседней к ф*
функцией, которая удовлетворяет уравнению
OT lO^O. (И)
Функция </ не является собственной функцией, так как не сулествует
собственных значений, которые были бы сколь угодно близки к W; поэтому
функция <|/ не исчезает на бесконечности, для конечных же расстояний
принимается, что она везде регулярна. Умножаем A0) на </, A1) на ф
и поступаем так же, как в случае формулы Грина (ср., например, стр. 49).
Тогда получим:
fJ( %%). A2)
После деления этого равенства на W — W перейдем к пределу W -* W.
Тогда, вследствие того что </-»•<}»*, слева появится интересуют и i нас
с точки зрения нормировки интеграл
ty* dx. (! 2а)
Граница интегрирования в правой части A2) относится на бесконечность.
Поэтому нам необходимо совершить двойной предельный переход: W -*■ W
и г-»-со. Это обстоятельство мы обозначим тем, что вместо A2) напишем:
В дальнейшем необходимо принять во внимание лишь радиальную
часть R собственной функции <!/, предполагая, что интегрирование по углам
в A2) уже выполнено. (Угловые части ^ и^' одинаковы с точностью до
знака при /.) Обозначим радиальную часть ty' через R'; R', так же как
и R, действительна. Положим:
(|Э . A3)
Тогда предельный переход может быть непосредственно произведён, и мы
получим из A26):
Обратимся теперь к асимптотическому представлению в уравнениях C0),
{31), C2) гл. !1, § 7, которые были использованы там для случая
непрерывного спектра AГ>0), с мнимой величиной o = 2lkr и мнимой величиной
п ^ Z/lka. Те же самые уравнения справедливы также и для случая
дискретного спектра (№<0), т. е. в рассматриваемом случае для собственной
функции R и соседней функции R', но с той разницей, что в этом случае

636 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
рил будут действительными величинами:
A5)
A5а)
[ср. с этим (П. 1.4а) и формулу Бальмера (П. 1.10)].
Рассмотрим с этой точки зрения раздельно оба выражения Qt и Q3 из
(И.7.31- и 32). Мы имели
Эта величина исчезает при р-*оо независимо от того, является ли я целым,
как в R, или не точно целым, как в ff, так как знаменатель Г(п-\-1-\-\)
при любом положительном я остается во всяком случае конечным.
С другой стороны, мы имели
|» —'1. A6.)
Принимая во внимание, что л = лг + / + 1, видим, что в случае собственной
функции R аргумент Г-функции равен отрицательному целому — пг; поэтому
значение Г-функции равно бесконечности и Q.3 исчезает при любых г, в ток
числе и при г-уоо. Следовательно, собственная функция R сводится к части,
даваемой A56); ее асимптотическое поведение характеризуется хорошо
известным экспоненциальным падением
1 . —»я(п—7/2)
R iQ -«n-1 \ . 06)
Переходя к функции R', мы должны, лишь в A5) и A5а, б, в) заменить
п, р, W через п', р', W, положив п' = п + Ь (8 мало); тогда, вследствие
того что главное квантовое число л = »,. + /+1, будем иметь:
= —лг —8.
Подставим последнее равенство в A5в), переходя во всех остальных
множителях к пределу п' = п, р' = р. Получающееся таким образом значение для
•kQ$ не равно нулю, коль скоро отлична от нуля величина 8; более того,
при достаточно больших 8 это значение очень велико по сравнению с
величиной — Q]. Поэтому вычисления можно производить с
тУ(—,-в <16а)
Отсюда следует:
где для сокращения записи положено:

8] НОРМИРОВКЛ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 637
Для вычисления A6в) обратимся к известному соотношению D) из
дополнения 7, которое запишем в виде:
. sin тс
Положив в этом соотношении х-= — (»г+8), при малых 8 будем иметь:
Отсюда для A6в) получаем следующее значение:
= (— 1)п'+1лг!. A6г)
Далее, на основании A5) имеем:
dn' _ п'
dW 2W'
и, учитывая, что л' = лг + 8 + /+1, получим:
Подстановка A6г, д) в A66) при соответствующем собирании корней
«з единицы дает:
5 ^(-p)-"-Vrf4l^, A7)
я при учете связи между р и г в A5)
dS _dS р _ 1 „ р
-dF—dfT--2ST+--- A7a)
Многоточие означает, что в пределе р -»• оо членом, появляющимся при
дифференцировании степени, можно пренебречь по сравнению с выписанным
членом. Тем же самым путем из A6) следует:
w—W+- <17б>
Поэтому имеет место равенство
Следовательно, правая часть A4) принимает вид:
— prRS. A8а)
Подставляя в последнее выражение вместо р, R, S их значения из A5), A6)
и A7), получим:
1— й ,w_^M_ A8б)
4W У— 2mW (я + /)! '
Поэтому нормировочный интеграл в A4) равен [надо учесть также A5а)]:
Полученное выражение необходимо сравнить с равенством (П.2.15),
которое имеет вид:
JW |()8^±W . A9а)

638 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Причина различия между A9) и A9а) кроется в том обстоятельстве, что
определение радиальных собственных функций в дискретном спектре несколько1
отличается от определения R, которое мы в целях удобства ввели и в
предыдущих вычислениях использовали в случае непрерывного спектра. На это
отличие было уже указано в гл. II, § 7:
а) в уравнении (П.7.12): определение для Ln(p) необходимо умножить
на п\, чтобы привести его в соответствие с определением в дискретном
спектре;
б) в уравнении (II.7.27): соответствующий множитель, так как дело идёт
о L^jip), здесь будет равен
в) в том же уравнении опущен множитель, появляющийся в результате
B/ -+-1 )-кратного дифференцирования:
этот множитель необходимо теперь добавить;
г) в том же уравнении был добавлен множитель
(_// = ,-<«"*, (г>
иа который теперь необходимо разделить.
В целом появится множитель
=
(г) пг\
,9б>
В A9) функция R входит в квадрате, поэтому в квадрате войдёт также и
множитель A96). Но тогда A9), как это и должно быть, точно переходит
в A9а).
Всё превосходство этого метода по сравнению с прямым вычислением
(ср. примечание на стр. 253) проявляется лишь в релятивистской проблеме
Кеплера. Здесь мы имеем две радиальные собственные функции и
нормировочный интеграл имеет вид:
00
г2 dr.
В качестве аналога формулы Грина в непрерывном спектре была
выведена формула (IV.10.7), которую мы более подробно по образцу A2)
выпишем в следующем виде:
(Я« _|_ Rl)r2 dr = lim lim J&- r2(R',R, — RtR'j. B0)
г •♦ oo E' •^ Ё
R\ и Rt являются функциями, близкими к Rv R.2, удовлетворяющими
одновременно тем же самым дифференциальным уравнениям, что и Rlt /?2, но
с величиной Е' вместо Е. Величина Е' отличается от Е насколько угодно
малую величину. В левой части, где первоначально было R^t-t-R-tRj вместо
Ri-\- Rl, мы уже совершили предельный переход Е' -»• Е.
Но уравнение B0) справедливо также и в дискретном спектре, так как
оно было выведено, исходя только из дифференциальных уравнений задачи.

8J НОРМИРОВКЛ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 639
Различие заключается лишь в том, что теперь Е' не является собственным
значением, a R[, r'2 более не являются собственными функциями: они,
правда, должны удовлетворять условиям непрерывности в нулевой точке, но
на бесконечности могут теперь и не исчезать.
Разложим R[ и /?2 в точке Е' = Е. Получим:
' .., B1)
Тогда правая часть B0) принимает вид:
B16)
при этом уже совершен один из предельных переходов, а именно,
предельный переход Е' —► Е. Для выполнения второго предельного перехода, именно
г -*■ со, необходимо воспользоваться результатами дополнения 16,
равенства A0) и A1).
Из двух представленных в этом дополнении асимптотических частей -j Gt
и -грОз конфлюэнтной гипергеометрической функции F(a, f, p) вторая часть
имеет Г (а) в знаменателе. В нашем случае, согласно (IV.8.29), имеются две
функции: Q2 = '2iF(—nr, 2/~+l. p) и Q1 = 2sF(—nr+I, 2/~+l, р).
Следовательно, мы имеем:
а = — я +1
и соответственно У <?
= 2К -Н-
Поэтому Г (а) обращается в бесконечность при целом пг (случай п.2 = 0 у Qt
необходимо рассмотреть особо). Следовательно, -j Oa в асимптотическом
выражении R± и #а пропадает. Что же касается jGj, то здесь имеется
множитель (— р)~а, который у Qa имеет на один порядок большую величину,
чем у Qx. Поэтому в пределе при р -*■ со можно пренебречь Qt по
сравнению с Ц.3. Тогда из (IV.8.30) на основании равенства (.10) в дополнении 16
получается:
а на основании равенства (IV.8.21) следует:
Г (т) I ' / оо\
г"<7+*) (з. B2)
Иначе обстоит дело у Rt и R\. В этом случае соответственно замене Е
через Е' мы должны яг заменить через нецелое число пг-\-6. Но гигда
•j Оа не исчезает, больше того, ввиду наличия множителя е? Оа велико по
сравнению с Ot. Поэтому необходимо пренебречь Qv Далее, в 0.2 [ср.
дополнение 16, равенство A1)) ввиду наличия множителя р*~т Qt на один порядок
больше <У2. Следовательно, теперь можно пренебречь Q9. Тогда на основамии>-

640 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
(IV.8.30) и равенства A1) в дополнении 16 получается:
Р — вР — а Г(Т) гР0-»>-»+1
И% - »Р± - в ¥j———T e р
и отсюда на основании равенства (IV.8.21) следует:
R't] P Г(-«г-6 + 1)|в
Теперь надо ещё перейти к величинам
s ~
При этоы, как и в A7в), при дифференцировании R' по 8 необходимо про-
дифференцировать лишь знаменатель Г(—пг — 8+0* Аналогично A6г)
получим:
Таким образом, положив в остальных множителях 8 = 0, из B3) получим
1лишь при этоы р в B3) будет совпадать с р в B2)]:
.В последнее выражение необходимо еще подставить значение dE'/db. Это
значение получается из форыулы тонкой структуры (IV.7.50), если в ней
эаыенить Е через Е' и пг через лг+8 и положить после дифференцирования
2 = 0, Е' = Е. Тогда получиы:
4ВГ 1 (£$-£')•''
Теперь из B2), B4) и B5) образуем выражения:
Заметны еще, что на основании (IV.8.21a) ыы имееы:
на основании (IV.7.43) получается:
Поэтоыу, подставляя B6), B6а, б) в выражение B16) для нормировочного
интеграла в B0), найдем:

9] ФОРМУЛА МОРЗЕ В ТЕОРИИ ПОЛОСАТЫХ СПЕКТРОВ 641
Это выражение переходит в прежнее выражение A9), если в нем сделать
соответствующие нерелятивистскому случаю пренебрежения (^ -»■ 2|&|-|-1,
R.2 -*■ О, Ео— Е<^Е0-\-Е), учесть связь между квантовыми числами обоих
случаев из (IV.8.3) и т. д. и принять во внимание несколько различные
определения R в A9) и Rt в B7).
9. ФОРМУЛА МОРЗЕ В ТЕОРИИ ПОЛОСАТЫХ СПЕКТРОВ
К гл. II, § 12
Величина х из равенства (IX.2.8) в т. I необходима при исследовании
полосатых спектров. Она учитывает ангармоничность колебаний, и мы
должны иметь возможность давать ей произвольное значение. В формуле
Кратцера A8) на стр. 131 этого тома эта величина будет произвольной
только тогда, когда будут сохранены поправочные члены с Ь, с
в противном случае она имела бы постоянное значение
3 3ft
[ср. A8) из дополнения 13 в т. I].
Поэтому очень удобной для практики полосатых спектров и для теории
строения молекул является формула Морзе *), которая позволяет выбирать
величину х произвольным образом. Обе формулы учитывают взаимную
потенциальную энергию атомов в двухатомной молекуле. Если отбросить
поправочные члены Кратцера, то эти формулы гласят:
(Кратцер), A)
V = f(p) = A — 2D«-H<p-i)_|-Z>«-3<p-« (Морзе). B)
Здесь р = —, причём г есть расстояние атомов друг от друга и а — их
расстояние друг от друга в положении равновесия. Отсюда мы имеем:
На основании A) На основании B)
/(оо) = А А
/A) =А — В/2 A — D
/'@=0 О
2Ц33
Из /"A) исключается круговая частота оо0 малых колебаний около
положения равновесия р= 1. Именно, в общем случае найдём [ср. также более
специальное равенство A9) на стр. 131]:.
•К = /"A). J = ma2,
и, следовательно, на основании A) или B) получается:
Н = В, Ct)
Л>* = 2ЦЗ*. C»)
1) Ph. Morse, Phys. Rev. 34, 57 A929), см. также W. Lot ma r, Zs. f. Phys. 9%
528 A934).
41 3«. «68. А. Зомшрфели

642 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Следовательно, В и соответственно D необходимо выбирать положительными.
Отсюда в обоих случаях следует, что /"A)>0; поэтому положение
равновесия р = 1 является, как это и должно быть, положением минимума
потенциальной энергии /(р).
Потенциал ионизации молекулы определяется из условия
/(оо)—/A) = £/2 и соответственно = D. D)
Формула A) содержит только одну существенную константу, которая
уже определена равенством C). (Константа А в обеих формулах
несущественна для вида кривой /(р).)
Формула же B) содержит две существенные константы D и р, из
которых лишь одна определена равенством C.,). Мы увидим, что вторую
константу |3 можно выбрать таким образом, чтобы она передавала ангар-
моничный характер колебаний.
Следовательно, формула B) по сравнению с формулой A) более
приспособлена к практическим требованиям. Мы покажем, что она, так же
как и A), ведет к точно разрешимой задаче на собственные значения,
правда при том ограничении, что мы должны пренебречь вращением
молекулы и учесть последнее позднее по методу теории возмущений. Положение
дел, следовательно, таково: формула Кратцера A) позволяет точно учесть
одновременное наличие колебаний и вращений, однако ангармонический
характер колебаний учитывается лишь приближённо (при помощи
поправочных членов с Ь, с, ...). Формула Морзе B) позволяет точно учесть
ангармонический характер колебаний, но вращение учитывается лишь приближённо.
Подставляя B) в уравнение A7) на стр. 131 и одновременно полагая
/ = 0, получим для радиальной части собственной функции, которую теперь
обозначим через R вместо прежнего обозначения F, следующее
дифференциальное уравнение:
(Г Л + 2О«-Р(р-1)_ De-2?iP-i))fl = 0. E)
Введя новую независимую переменную
Ji-rM, F)
это уравнение можно привести к виду:
(PR , 1 dR ,
Отсюда видим, что при у-*-со R ведет себя асимптотически, как
« -
Поэтому, выбирая из двух знаков подходящий для нас, полагаем:
(8)
Отсюда для ? получаем дифференциальное уравнение (штрихи означают
дифференцирование по z):
[^*V*J£th] = 0. (9)

9)
ФОРМУЛА МОРЗВ В ТЕОРИИ ПОЛОСАТЫХ СПЕКТРОВ
643
Это уравнение допускает решение методом полинома. Сравнение с
уравнением (9) в дополнении 2 дает А = 1 и
А _ 1 Я П А 1 Я 1
JTj 1, Од — «> Л1 1»  •
„ 2 /2Л> . AD .
при этом в обоих последних выражениях мы подставили значение £) из
равенства C2) и одновременно учли, что fia>0 = Av. Из равенства A0) в
дополнении 2 для характеристического показателя будем иметь уравнение
Наконец, из равенства A2) в дополнении 2, если показатель степени
полинома п положить равным «вибрационному квантовому числу» v, получаем:
Комбинируя A0) и A1), исключим а и получим сразу, что
A2)
Сравнивая это выражение с равенством (8) § 2 гл. IX т. I, замечаем,
что оба выражения, если отвлечься от постоянного члена А — D, который
выпадает при вычислении разностей термов, переходят друг в друга, если
положить:
AD
A3)
Величины х и v0 известны из эмпирической
структуры краев полосатых спектров.
Следовательно, равенство A3) дает значение
коэффициента D, используемого в формуле Морзе.
Одновременно C.2) дает равенство
Д-D
Рис 57. Вид потенциальной
Тем самым определен вид потенциальной !Г1г7рм?„^есГх ™ZZZ
кривой B). Схематически эта кривая представ- ний двухатомной молекулы,
лена на рис. 57. Асимметрия потенциальной
ямы в окрестности р = 1 обусловливает ангармонический характер колебаний
Степень этой асимметрии зависит от численного значения х.
Для того чтобы установить аналитический вид полиномов, входящих
в собственные функции, сделаем следующую подстановку:
<? = z-Q, A5)
причём на основании предшествующего Q является полиномом степени о.
Действительно, подставив A5) в (9) и используя соотношения A4) и A1),
после сокращения на z получим для Q дифференциальное уравнение типа
дифференциального уравнения конфлюэнтной гипергеометрической функции,
именно:
= 0. A6)
41*

644 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Решение этого уравнения имеет вид:
Q*=F{—v, 2a-|-l. 2z). A7)
Но, согласно представлению гипергеометрической функции F в виде ряда,
это и означает, что Q есть действительно полином степени v. Этот peiyль-
тат также и формально совпадает с соответствующим результатом,
касающимся формулы Кратцера в равенстве (II.11.31). Воспользовавшись A1)
и A3), можно также написать следующее представление:
Q = F(—v, i— 2v, 2z). A7a)
Отсюда получается решение G) в следующем виде:
У 2 1
Необходимо еще сказать несколько слов относительно приближенного
учета вращательных термов. Если J означает квантовое число,
характеризующее вращение, то в левую часть равенства E) необходимо добавить
член из равенства A7) на стр. 131:
Очевидно, что при переходе к переменной у [уравнение G)] получающееся
в этом случае дифференциальное уравнение уже не может быть решено
точно. Однако при этом мы замечаем, что в окрестности «дна»
потенциальной ямы, т. е. при ограничении рассмотрения малыми колебаниями,
приблизительно соблюдается равенство р = 1. Благодаря этому член, возникающий
при учёте вращения, может быть приближенно заменён через
Этот член вместе с константой А в скобках уравнения E) объединяется
в член вида:
л-\ 27 •
Вследствие этого также и в окончательной формуле A2) к А добавляется
член
2J
Но это есть точно член энергии, возникающий при учете вращения, как он
нам известен, например, из равенства B9) на стр. 134.
10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ К ОБЩИМ
КРИВОЛИНЕЙНЫМ КООРДИНАТАМ, ИСКЛЮЧЕНИЕ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
К гл. 11, § 12, равенство (8)
Рассмотрим систему многих материальных точек, которые будем
считать свободными. Координаты этих точек xt и их массы т{ пронумеруем
числами от 1 до л (п делится на 3; xv xq, х.л означают прямоугольные
координаты первой точки, т1=т» = т1 — массу первой точки и т. д.). При
этих условиях гамильтонова функция Н волновой механики из дополнения 4,

10] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 645
равенство A5а), запишется в виде:
и указанный там вариационный принцип будет гласить:
<fr=l, dx=f[dxt. B)
Так же как и в обычной механике, преимущество вариационного
принципа заключается в его независимости от конкретного выбора координатной
системы. Это обстоятельство и будет нами использовано. Но прежде
перейдем к другим переменным, положив
$« = /тЛ. C)
Следовательно, каждая координата х{ берется в вычислениях с весом Уяц.
Это сделано для того, чтобы придать евклидову форму л-мерному
линейному элементу ds'1, определяемому кинетической энергией системы.
Действительно, мы имеем:
в, следовательно, с ds1* = 2 <ft9 можно написать:
Очевидно, что в n-кратном многообразии переменных 1$ геометрические
соотношения, как «ортогональность», «эквидистантность», выражаются проще,
чем при пользовании л-кратным многообразием переменных х{.
Для того чтобы перейти от £j к новым криволинейным координатам qk,
полагаем:
D)
Пусть выражение новых переменных через старые имеет вид:
Як = Як<М)- Dа)
При этих условиях найдем:
где введено обозначение
Величина qki есть 1-я компонента нормали к плоскости ^fc = const:
qki = Qtadiqk. Fa)
При этом операция взятия градиента производится в евклидовом
пространстве переменных £.
Из Dа) при помощи дифференцирования no t и учитывая значение qki,
даваемое F), получим:
Як = 2 4kiU-

646 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Отсюда получается другое представление для qki:
ft,-^. F6)
Внося выражение E) в правую часть A), найдём:
где положено:
= 2 Ж ЗГ = (Grad **' Gfad ** (8)
i i * '
Теперь убедимся, что также и в выражении кинетической энергии
классической механики появляются те же самые коэффициенты £*', если эта
энергия будет выражена как функция импульсов р, канонически
сопряженных к скоростям q. Это выражение кинетической энергии обозначим через
Тр в отличие от соответствующего выражения 7^, рассматриваемого как
функция скоростей q. Последнее выражение на основании (За) и D) имеет
вид:
Г» = 7 2 *«**»• (9)
где
С другой стороны, для того чтобы получить выражение для Тр,
продифференцируем (За) по ^. Тогда ввиду тождества Гэ7^ получим:
** f д'Чи *t '
Используя F6) и хорошо известное равенство
А"^г* A2)
вместо A1) можно написать:
~ A2а)
Подставляя это выражение в тождество Г= Тр, найдём:
7# = т22'*ЛиАЙ- A2б>
Имеющийся в этом равенстве коэффициент -туРкР\ совпадает с (8). Поэтому
можно также написать:
1 ~ A3)
Одновременно видно, что нами получена правая часть выражения G),
если только в A3) заменить р на ^, что мы отметим, записав
'.(* «)•

10]
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
647
При этих условиях выражение A) переходит в следующее выражение:
Перейдем теперь к равенствам B), т. е. к вариационному принципу.
При этом вместо первоначальных переменных интегрирования х можно с тем
же правом использовать более удобные переменные £. Если мы затем
перейдем от переменных интегрирования £ к переменным q, то надо произвести
замену по следующей схеме:
п п
dx через Ddq, di=T^d\k, dq = J\dqk.
Через D обозначен п-рядный функциональный детерминант:
dqt "' dqn
A5)
Этот же детерминант D войдет как в вариационный принцип, так и в
связанное с ним равенствами B) дополнительное условие Г^э</?=1;
появляющийся в последнем условии множитель будем обозначать через W.
Производя варьирование, получим следующее волновое уравнение в произвольных
координатах:
fi2V^—(Z5—рл \ -\- ID (W—Vr)<)» = 0, A6)
к * *
где, очевидно, в выражении
f
надо Pi заменить через
Надо еще показать, что также и детерминант D может быть вычислен
из величин gkl. Для этой цели наряду с D рассмотрим также «обратный»
функциональный детерминант:
Dt =
A7)
а также квадрат этого детерминанта и его произведение на D. По теореме
о произведении детерминантов (перемножаем столбцы друг на друга) для
квадрата получается следующее выражение:
0?Н«"|. A8)
т. е. «дискриминант» А квадратичной формы A3). С другой стороны, на
основании той же теоремы (перемножаем строчки друг с другом) найдем:
10 0.
0 10.
0 0 1.
= 1.
A9)

648 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Из A8) и A9) заключаем, что
°=7Г- <20>
Особенно простой вид принимают эти соотношения в случае
ортогональных координат, т. е. в том случае, когда Г* в равенстве (9) содержит
лишь квадраты величин q и не содержит произведений q с различными
индексами. В этом случае имеем:
^j^ ?« = 0. B1)
Тогда из A1) следует:
/>*=***?*. *i,~J-2^. B1а)
и из A3) получается:
Далее будем иметь:
д = Пг«* = (ПяаГ1, D = (PguP4"-
Отсюда волновое уравнение A6), например, в случае трех степеней свободы
принимает вид:
■ <?
dq%~ dqb
-m = 0. B2)
Уравнение A6) со значением D из B0) было получено уже Шрединге-
ром г) и с тех пор часто применялось не только в случае свободных частиц,
как это предполагалось до сих пор в нашем выводе (отсутствие
дополнительных условий), но также и в случае взаимосвязанных частиц (ч — число
степеней свободы, п — n — число дополнительных условий). Теперь мы
рассмотрим этот последний случай.
Прежде всего выясним положение дел с точки зрения классической
механики. В этом случае вместо прямоугольных координат вводятся такие
криволинейные координаты qv ..., <7„ 9«+i Чп> чтобы уравнения,
выражающие дополнительные условия, приняли вид:
9» = const, x = n-|-1 п.
Тогда остальные координаты описывают движение системы по «поверхности»
(гиперповерхности). Наличие ограничивающих условий влечет за собой в
классической механике два утверждения - (в дальнейшем латинские индексы
пробегают значения от 1 до •*, греческие — от v+1 до я):
qx = сх = const B3)
и получающееся отсюда при помощи дифференцирования по времени
q% = 0. B3а)
На основании этих двух условий можно дифференциальные уравнения
классической механики освободить от излишних координат. Благодаря этому
»)SchrOdinger, Ana d. Phys. 79, 748 A926), уравнение C1).

10] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 649
при дальнейшем рассмотрении принимаются во внимание лишь внутренние
особенности поверхности, определяемой дополнительными условиями. Прежде
всего перенесём указанный ход рассуждений без изменения на волновую
механику.
Мы будем исходить из общей n-мерной квадратичной формы для
кинетической энергии (9). Однако теперь мы будем её обозначать через Г* .
Расписанная более подробно (знак суммирования опускаем) эта форма гласит:
т\ = -g gbikuqi + в«кЯкЧх + у елЯхЯх- B4а)
Если мы перейдём на поверхность, определённую дополнительными условиями,
то вследствие B3а) получим:
8ЯЯ B4б>
На основании общего определения импульса A2), принимая во внимание
B3а), для £<ч как из B4а), так и из B46) найдём:
Рк = /ыЯ1 с gki = /ki- B5)
Обозначение fkl введено для того, чтобы более отчётливо подчеркнуть то
обстоятельство, что мы имеем теперь дело с *-мерным многообразием
гиперповерхностей. Для определения р% в случае х > •» мы должны воспользоваться
B4а). Это даёт:
B5а)
Для того чтобы преобразовать T'q в Тр, можно использовать либо B4а),
либо B46). В первом случае преобразование выполняется до того, как
совершён переход к поверхностям ?ж = const. Так же как и в A3), в этом
случае получим:
у g*lPkPi + g*xP*A 4- у
Во втором случае необходимо прежде всего B5) разрешить относительно
д. Если через fkl обозначим поделённые на \fkl\ миноры /ы, то имеют
место равенства
Яш' B7>
Подставляя эти равенства в B46), найдём:
На поверхности, определяемой дополнительными условиями, величины 7* и Т
должны быть равны друг другу. Поэтому, если мы заменим величины рж
в B6) через q из B5а) и последние — через рк по B7):
P, = g^PlPk> B9>
то получим возможность сравнением коэффициентов в B6) и B7)
установить следующее соотношение между /** и gkl:
Л* = gn+g^gx^+g^g^gmf"- C0)
Поэтому в общем случае должно быть:
gki Ф

650 МАТВМАТИЧВСКИВ ДОПОЛНЕНИЯ
Теперь в зависимости от того, отождествим ли мы квадратичную форму
Тр в A6) с Тр в B6) или с Тр в B8), получим два различных волновых
уравнения. Однако лишь уравнение, получающееся при последнем
отождествлении, удовлетворяет требованию, чтобы оно зависело лишь от
внутренних особенностей поверхностей, т. е. только от величин /*'. Поэтому
в качестве волнового уравнения в согласии с B8) постулируется следующее
уравнение:
£$L 0, C1)
где О'=1/]/ГД' и Д' — дискриминант квадратичной формы B8).
Серого говоря, с точки зрения волновой механики проведённые
рассуждения несостоятельны. Точное определение координат qx по B3) влечет
за собой по соотношению неопределенности полную неопределенность
сопряжённых этим координатам импульсов рх и поэтому также qx. Поэтому,
если мы требуем выполнения B3), равенства B3а) не могут более считаться
точными.
Поэтому необходимо обратиться к другому приему, чтобы получить
волновое уравнение, не зависящее от лишних координат qx. С этой целью
рассмотрим полное n-мерное уравнение Шредингера A6), в котором Тр
заменено через Т*р из B6). Разделяя в этом уравнении свободные
координаты qk и излишние координаты qx, получим:
dqk Ug dqj ^ dqk Ug dqx + dqx Ug d4l + dq% Ug dqx I * +
-\-2D(W— Vt — V2)^ = 0. C2)
Потенциальная энергия V здесь разбита на две части: Vt и V2. Часть V
должна быть «запирающим потенциалом», который обеспечивает, чтобы
вероятность нахождения системы была бы отлична от нуля лишь на
поверхностях qx = сх. Для того чтобы достигнуть этого, нужно, чтобы на этих
поверхностях V2 имело вид бесконечно узкой ямы. Глубина этой ямы должна
быть бесконечно большой, так как в противном случае благодаря
туннельному эффекту отдельные частицы могли бы покинуть поверхность qx = сх.
Часть Vx должна быть медленно изменяющимся потенциалом в обычном
смысле.
Попробуем удовлетворить уравнению C2) при помощи следующей
подстановки:
. C3)
Функция <{*, при этом существенно определяется «запирающим
потенциалом» V2; следовательно, должно быть:
ф2 = 0 для ЧхФсх,\
фз = со для qx = сх. }
Конечно, порядок обращения в бесконечность должен быть выбран таким
образом, чтобы норма <|<3 осталась конечной. Функция ^ есть, напротив,
медленно изменяющаяся функция.
Для того чтобы разделение C3) было возможно, очевидно необходимо,
чтобы те члены в C2), которые ^одержат как d/dqk, так и d/dqx, обратились
в нуль. Для этого надо потребовать, чтобы
£А' = 0. C5)

10] ВОЛНОВОВ УРАВНЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 651
Это ввиду (8) означает, что поверхности gk = const должны быть
ортогональны к поверхностям qx = const.
При подходящем выборе V2 (см. примеры ниже) теперь уравнение C2)
может быть разделено на два уравнения:
4^s0' C6)
4;l^=0' C7)
где
Излишние переменные qx в C6) могут быть заменены их значением на
поверхности, равным сх. Ошибка, которая при этом вносится в решение
при qx Ф сх, не играет роли, так как для qx Ф сх полная собственная
функция ввиду наличия множителя ^(Ях) все равно обращается в нуль.
Следовательно, уравнение C6) описывает движение системы по поверхности,
определяемой дополнительными условиями, уравнение C7) даёт произвольно
быстрые осцилляции относительно поверхности, которые появляются
благодаря соотношению неопределённостей.
Мы не будем далее исследовать весьма непростые условия возможности
такого разделения *), а рассмотрим лишь вопрос, совпадает ли уравнение C6)
с уравнением C1). Для совпадения необходимо потребовать с точностью
до не зависящего от qk множителя пропорциональности
D = D'. (II)
Требование (I) было бы согласно C0) выполнено, если бы в C5) мы вместо
исчезновения g*x потребовали исчезновения gkx. Однако можно показать, что
последнее следует из предыдущего. Величины gkx выражаются через
дополнения к g*x, которые получаются из полной и-мерной схемы g*m
вычёркиванием /г-й строки и х-го столбца. Эта схема на основании C5) имеет
следующий вид:
gkil о
: • 1"°/
0 ! g1
При указанном вычёркивании нули в нижнем левом поле сохраняются и
обусловливают обращение в нуль рассматриваемых дополнений.
Следовательно, если условие C5) выполнено, то и требование (I) удовлетворено ^).
Дискриминант А л-мерной квадратичной формы B6) распадается,
согласно C8), на произведение двух детерминантов |g**| и \gn\. Для
первого детерминанта на рассматриваемой поверхности, используя обозначение
«) Н. P. Robertson, Mathem. Ann. 98, 749 A928).
2) Требование (I) много слабее C5), так как оно требует исчезновения gkx
лишь на поверхности, а не, как C5), во всём конфигурационном пространстве. Это
обращение в нуль может быть достигнуто без изменения хода линий qk на
поверхности; можно распорядиться пока ещё произвольным продолжением поверхностей дк
вне рассматриваемой поверхности, определяемой дополнительными условиями.
Следовательно, требование (I) выполнимо всегда, даже тогда, когда справедливость
уравнения C5) в конфигурационном пространстве прямо не доказана.

652
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Д' из C1), можно написать |g*'| = |/*'| = Д'. Следовательно, имеем:
Отсюда на основании B0) следует:
"V'\
g
,ХА I
C9)
Следовательно, для того чтобы на поверхности величина О могла быть
заменена через D', детерминант | qxX | должен быть независим от qk. Это
достигается наложением более жёсткого требования:
gx>- независимы от qk. D0)
Если требование D0) выполнено, то соседние поверхности qx = const отстоят
от рассматриваемой поверхности, определяемой дополнительными условиями,
на равных расстояниях (эквидистантно). Введённый выше «запирающий
потенциал» V., по соображениям разделения переменных должен быть
функцией лишь переменных q% и независим от qk, так что потенциальная яма,
осцилляции в которой проходят по уравнению C7), должна иметь везде
одинаковую ширину.
ПРИМЕРЫ
1. Ротатор в пространстве. Ротатор в пространстве мы
рассмотрели в гл. 1, стр. 37, записав волновое уравнение в пространственных полярных
координатах и положив в нём r = a, g- = 0. Для обоснования этого с точки
арения волновой механики не очевидного приёма сошлёмся на дополнение 10.
Здесь нам надо убедиться, что при принятых ранее условиях новые
требования (I) и (II) выполнены.
Роль qk в рассматриваемом случае играют углы 0, <р, роль величины
q, — остающийся постоянным радиус г. Квадратичные формы ТР и Тр из B6)
и B8) имеют вид:
2mTP —
D2)
Следовательно, схема коэффициентов gM запишется следующим образом
^отвлекаясь от множителя 2т):
/ы|0
0
1
где /*':
* °
0
1
г* sin*»
D3)
То обстоятельство, что в левом верхнем углу D3) стоят величины /*', т. е.
коэффициенты формы D2), отвечает требованию (I), появление единицы
в правом нижнем углу означает, что условие D0), а следовательно, также
и требование (II) выполнены. Следовательно, мы имели право образовать
волновое уравнение ротатора [уравнение A8), стр. 37| по способу Шредин-
гера [уравнение C1) настоящего дополнения!. «Запирающий потенциал»,
так же как и в C5), считается функцией только г, причём
эквипотенциальные поверхности V3 = const становятся эквидистантными.

101
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
653
2. Плоская проблема Кеплера. Э*а проблема была
рассмотрена в «волновомеханическом дополнительном томе» *) в
цилиндрических координатах г, <р, г, причем дополнительные условия имели вид:
г = const, -s- =0. Следовательно, qx = z, qk = г, ». Поэтому вместо схемы D3)
получается следующая схема:
D4)
Требования (I) и (II) снова удовлетворены. «Запирающий потенциал» имеет
вид Vo(z), и волновое уравнение согласно C1) или C6) запишется
следующим образом:
fkl
0
Ю
:
h
с
1
0
0
7»
Можно также попробовать решить ту же задачу в пространственных
полярных координатах с дополнительными условиями <р = 0 (движение в
полуплоскости, ограниченной значениями углов 0 = 0 и ft = it). Координаты qk
следовало бы в этом случае отождествить с г, & и лишнюю координату
q%— с <р. Тогда вместо D2) получается, что
2mTp=--pi+±pi,
я схема коэффициентов D3) записывается в следующем виде:
0
/и.
1 0
D6)
D7)
Требование @. именно £*' = /*», и теперь удовлетворено; соответствующее
волновое уравнение
1
г2 sin»
введением «запирающего потенциала»
_
3~~ г»sin»»
может быть разделено на два уравнения:
D8)
ул ф, — - if, = 0 D9)
= 0, E0)
где X — постоянная разделения.
Однако уравнение D9) существенно отлично от D5). Это произошло
потому, что требование (II) не выполнено. Действительно, значение gxx,
даваемое D7), именно:
противоречит содержащемуся в D0) требованию независимости от qk (в дан-
>)Сы.Зоммерфельд, Волновая механика, ГТТИ, 1933, стр. 76. (Прим. ред.)

654 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
ном случае от г, Щ. В соответствии с этим эквипотенциальные поверхности,
получающиеся из D8), не являются эквидистантными; потенциальнаа яма V,
в различных точках поверхности, определяемой дополнительными условиями,
имеет различную ширину.
Отсюда видно, что уравнение D9) не является корректной
формулировкой плоской проблемы Кеплера. На этом примере видно значение
требований (I) и (II), при помощи которых надо уточнить получаемое на основании
общих соображений механики уравнение C1).
3. Вращение твёрдого тела. В конце гл. II, § 12, в качестве
независимых координат qk вращательных степеней свободы были
использованы углы Эйлера, определение которых дано на стр. 135. Условие
неизменности расстояния между какими-либо двумя точками Рт и Рп системы
может быть записано в виде:
?mn = (Xm — Xji + (ym—yn)* + (Zm — Zn)* = Const. E1)
Величины ртп рассматриваются как лишние координаты. Градиент от этих
координат, указанный в равенстве (8), взятый в пространстве ^-координат,
имеет шесть отличных от нуля компонент; именно:
GradPift = 0, 0,0 2 (Х Х), 2 (уг — ук), -2= (*< _ ф,
\пц \m Упц
(X x) =(yy) ==Bi —2ft), 0, 0, ... E1a)
m
T7=(Xi — xk), ==(yi—yk), -==
У тк у mie у mk
Величины g-x\ входящие в D0), получаются отсюда в следующем виде:
g"=(Gradptt, Gradp,m) =
0, когда t, k, I, m различны;
I
— {(*» — хк)(*, — хк) +...}= ~kPiPkPiPk cos(PiPkpi) для k = т;
i+i)^ для <-'.*«
Эти величины не зависят от qk, как этого требует условие D0)
(постоянство расстояний и углов!).
Следовательно, требование (II) выполнено и в качестве «запирающего
потенциала» V.-, может быть взята функция только координат E1). В
данном случае непосредственно видно, что осцилляции у поверхностей,
определяемых дополнительными условиями, происходят независимо от положения
тяжёлого тела в пространстве, т. е. независимо от углов Эйлера.
То, что требование (I) всегда выполнимо, было указано в примечании
на стр. 651. Следовательно, мы имели право написать волновое уравнение
молекулы-волчка в (II. 12.8) по шредингеровскому рецепту C6).
Относительно более точного исследования затронутых в этом
дополнении вопросов можно обратиться к двум работам Велькера1).
11. К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМЫ О ЦЕНТРЕ ТЯЖЕСТИ,
ТЕОРЕМЫ ПЛОЩАДЕЙ И Т. Д.
К гл. Ш, § 2
Покажем, исходя из выражений Aг), (Иг) и (Шг) на стр. 148, что имеет
место следующее равенство:
Ди grad«* +A«*grad и = div 7. A)
») Н. Welker, Mathem. Ann. 113, 304 A936) u Zs. I. Phys. 101, 95 A936).

11] ТЕОРЕМА О ЦЕНТРЕ ТЯЖЕСТИ, ТЕОРЕМЫ ПЛОЩАДЕЙ 655
Здесь через Т обозначен симметричный тензор1) с компонентами
х ди ди* , ди* ди s vi ди ди* оч
'^ + Ь2 B)
2л
где I, k, j принимают значения 1, 2, 3, а под xv x.3, ха понимаются х,
у, г. Символом oik обозначен известный единичный тензор. Под div T
понимается вектор, 1-я компонента которого даётся суммой
к
которая, согласно B), может быть записана в виде:
ди vi д^и* I ди* VI д*и • vi д*и ди* . vi д*и* ди д VI ди ди*
дх{ ^* дхj dxj** djcj ^" дх{дхк дх% ^* дх^дхк дхк дх^ ^* djc^ djcj^
В последнем члене учтено значение oifc и проведена замена
— че ез —
а также индекс суммирования j в B) заменён для удобства через k.
Выполнение дифференцирования в этом последнем члене непосредственно
показывает, что этот член сокращается с двумя предыдущими. Но два первых
члена тождественны с 1-й компонентой левой части равенства A). Тем самым
равенство A) доказано.
Но тем самым также показано, что выражение Aг) на стр. 148
обращается в нуль, что, как мы видели, ведет к волновомеханической теореме
центра тяжести, ибо очевидно, что, отбрасывая интегралы по поверхностям,
отодвигаемым на бесконечность, мы имеем равенство
t = 0. C)
Далее рассмотрим выражение (Иг), стр. 148, интеграл которого на
основании A) запишется в виде:
I=j[r, div T]dx.
Рассматривая компоненту векторного произведения, характеризуемую
индексами Ik, получим:
г }
При проведении интегрирования по частям все члены, для которых не
выполняются равенства j — i и j = k, обращаются в нуль и остается
ввиду симметрии тензора. Тем самым также доказано, что выражение (Иг),
стр. 148, исчезает, что, как мы видели, имеет своим следствием теорему
площадей волновой механики.
Перейдём, наконец, к интегралу выражения (Шг):
/=J (г div T) dz. E)
') Этот тензор тесно связан с тензором S, введённым Шредингером в Ann. d.
Phys. 82, 265 A927).

656 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Интегрированием по частям этот интеграл преобразуется к виду:
Г W j f f <■> V <Э« <Эн* о V ди ди* \ . С V* ди ди* .
Это согласуется с результатом относительно (Шг), приведшим к теореме
вириала волновой механики.
12. ДОПОЛНЕНИЯ К ТЕОРЕМАМ ОБ ОПЕРАТОРАХ МОМЕНТА
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
К заключению гл. HI, § 3
Здесь дело идет о собственных значениях операторов Мг и М-,
которые, как это было показано, могут быть одновременно приведены к
диагональному виду.
С этой целью рассмотрим систему из N электронов в произвольном
расположении хк, ук, гк и подвергнем ее виртуальному повороту как целого,
сохраняя взаимные расстояния rik электронов и их расстояния от ядра
неизменными. Покажем, что виртуальное изменение, которое претерпевает ф
благодаря такому повороту, определяется именно оператором М
посредством равенства
где 8f — угол виртуального поворота. Если этот поворот совершается,
например, вокруг оси г, то (Л1оу) равно AfzSf. При этом, как и на стр. 153
(равенство A7)], Мг распадается на части, зависящие от координат каждой
отдельной частицы:
л.-2Л!*. TM*=x"S-k-y*jk' <2>
Для того чтобы доказать A), выпишем изменения, которые
претерпевают координаты xkykzk под действием поворота o-j вокруг оси г:
8гк = 0 C)
и образуем вклад k-A частицы Цк в Ц:
Но на основании B) это равно
Произведя суммирование по всем Ъ$к, мы получим равенство A).
Выразим, далее, операторы М не через 3N координат частиц
системы, а через три координаты, соответствующие трём степеням свободы
системы точек, рассматриваемой как твердая система. В качестве этих трех
координат, так же как и в гл. II, § 12, возьмём углы Эйлера 0, 9, */
(О — вращение вокруг «линии узлов», 9 — вращение вокруг «вертикали» или
оси г, у — вращение вокруг «фигурной оси» или оси Z). Так как
положение каждой точки х^у^ может быть выражено через 0, <р, ^, то можно

12]
К ТЕОРЕМАМ ОБ ОПЕРАТОРАХ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
657
написать:
«К**. Л» ^*) = |Р(». 9. 7>
Тогда при рассматриваемом виртуальном повороте имеем:
В частном случае поворота вокруг оси г 30 = 8-/ = 0 и
с 3<р. Следовательно, на основании A), E) и F) найдём:
E)
F)
в A) совпадает
G)
Это есть равенство C6), стр. 157, из которого там в равенстве C9) было
сделано заключение о целочисленности квантового числа М. Написанием ЧГ
вместо if нами подчёркнуто, что степени свободы движения рассматриваемой
системы точек ограничены условием неизменяемости расстояний.
С другой стороны, нам надо выразить через углы Эйлера выражения
и Myi(. Для этого нужна некоторая кинематическая подготовка.
х
плоскости z-Z
| След горизонталь-
иойплоскости
Рис. 58а. Проекция вектора
вращения ш = (v, <f, х) на
вертикаль (ось г).
Линия узлов
Рис. 586. Проекция вектора
вращения ш на горизонтальную
плоскость (плоскость х,у).
В гл. II, § 12 [равенства (За, б, в), а также рис. 14а, 146] угловая скорость ш
была разложена, с одной стороны, по осям XYZ, движущимся вместе
с телом, а с другой стороны, по осям углов Эйлера: линии узлов,
вертикали и фигурной линии. Соответствующие компоненты были а>х, а>7, <■>£ и
соответственно Ь, <р, у. Теперь нам надо разложить ш по закреплённым в
пространстве осям х, у, z и шх, а>у, а>, выразить через 0, <э, у. Для этого
воспользуемся рис. 58а и 586. На рис. 58а, так же как на рис. 14а,
представлена плоскость, проходящая через «вертикаль» (ось г) и «фигурную
ось» (ось Z). В направлении «вертикали» лежит угловая скорость <р, в
направлении оси Z лежит угловая скорость у; компонента & лежит в
направлении линии узлов и, следовательно, расположена вертикально к
нарисованной плоскости. Таким образом, проекция вектора вращения на ось z
равна
На рис. 58а обозначен «след горизонтальной плоскости». Проекция вектора
вращения на этот след равна
о), = у sin ft.
42 Зак. 968. А. Зоымерфельд

658 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
На рис. 586 представлена горизонтальная плоскость со следом нарисованной
иа рис. 58а плоскости (z — Z). В плоскости, изображенной на рис. 586,
лежит компонента Ь вектора вращения в направлении линии узлов, т. е.
перпендикулярно к названному следу. Поэтому проекция вектора вращения
на горизонтальную плоскость равна
7.2. (86)
В настоящий момент нам нужны лишь проекции о> на оси хну,
которые образуют углы 9 и 9 — -J с осью узлов (см. рис. 586). Эти
проекции равны
. f (8в)
(оу = sin 9& — cos 9 sin 0уч, J
откуда, конечно, после возведения в квадрат и сложения получается снова (86).
При сравнении (8а, б, в) с прежними равенствами (За, б, в) на стр. 136
ваметим еще, что эти равенства совпадают друг с другом, если поменять
местами 9 и у.
Переходя от угловых скоростей вращения »х О, ... к
виртуальным поворотам S-j-д. 80 перепишем в соответствии с этим (8а, в)
в виде:
Sfa. = cos 9 8&+sin 9 sin & 8^,
8^= sin e 80— cos9sin&8yv,
&ft = Se -f- cos
(9)
Подстановка в равенство A) дает:
8ф = W = j {(cos <?MX + sin <?My) 8ft +
+ [sin&(sin9/WJB — со8 9уМ„)+со8&Л1г]8х+Л1г89}ЧР>. A0)
Сравнивая это с F), ввиду произвольности 80, &х> 89, получим:
cos <?Mx-\- sin <?Му = j -^,
sin & (sin <?MX — cos 9Л!„) = j ■£- — cos ЬМг,
Последнее равенство нам известно уже из G). Первые два равенства после
подстановки значения Мг преобразуются к виду:
cos <fMx+ sin <?My = у -щ,
Отсюда при помощи умножения одного из равенств на ±1 и сложения
получим:

12] К ТЕОРЕМАМ ОБ ОПЕРАТОРАХ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 659
Перемножая эти оба оператора и принимая во внимание (III.3.33), найдём:
Далее, учитывая G), будем иметь:
Однако из второго уравнения C5), стр. 157, нам известно, что •!*
удовлетворяет следующему уравнению: /W2<j* = A|{/. Учитывая это, получим из A3)
следующее дифференциальное уравнение для <j>:
Это уравнение совпадает с уравнением (8), стр. 138, если там
положить J'= К и 2JW*=A. Поэтому из B1) на стр. 140, написав там вместо/
букву L, получим:
Число L при этом, так же как и прежнее /, является положительным целым
числом, «азимутальным квантовым числом», которое теперь уже относится
не к отдельному электрону, как это было со шредингеровским /, а к
системе N электронов. Это число можно назвать полным орбитальным
квантовым числом, так как оно связано с полным орбитальным моментом М2
всех электронов. В спектроскопии это число было впервые введено Рессел-
лом и Саундерсом (см. т. I, гл. VIII, § 3).
Применённый выше метод соответствует целиком выводу теоремы
площадей в обычной механике из «принципа виртуальной работы» для системы
из точек, в которой имеются только внутренние силы. Там тоже вводится
виртуальный поворот системы, при котором конфигурация предполагается
неизменной, несмотря на то, что система может быть подвижна внутри себя,
и благодаря исчезновению виртуальной работы делается заключение о
сохранении момента вращения вокруг оси виртуального поворота. Различие
заключается лишь в том, что в механике момент вращения постоянен по
направлению и величине, или, что то же самое, его три компоненты Мх,
Му, М, постоянны. Вместо этого в волновой механике утверждение о
постоянстве может относиться лишь к одной из этих компонент и к /VI-, так
как лишь эти две величины одновременно коммутируют с гамильтонианом Н
(стр. 157).
Наконец, рассмотрим гораздо более простой и для волновой механики
особенно важный случай одной частицы Р (проблема Кеплера!). Так как
в этом случае ось симметрии можно направить через Р, то эйлеровский
угол у теряет своё физическое значение и во всех формулах надо
положить:
£-0. A5)
Оба других угла Эйлера 0, <р превращаются в обычные полярные углы 1)
точки Р в координатной системе (г, 0, <р)«
]) Для того чтобы эти углы привести в соответствие с обычным определением,
надо ч заменить через ч-\--~ (см. рис 586), что и сделано в A6).
42*

660 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Теперь в согласии с определением М в B) запишем:
-jjM = [r, grad],
где г — радиус-вектор точки Р. Тогда, учитывая A5), из A1), G) и A3)
получим:
[rgrad) =
— si"?^—cos<?ctg« ^-,
A6)
i» • ( }
Конечно, эти формулы могут быть выведены непосредственно без
употребления углов Эйлера, что более просто.
13. ДВУХРЯДНЫЕ И ЧЕТЫРЁХРЯДНЫЕ МАТРИЦЫ.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫХ ЕДИНИЦ г ЧЕРЕЗ МАТРИЦЫ
К гл. IV, § 5
Для того чтобы подвести под достаточно абстрактное матричное исчисление
конкретную базу, мы введем матрицы в качестве геометрических операций
над некоторыми вспомогательными переменными х. Эти операции
выбираются такими, чтобы они обладали свойствами, аналогичными свойствам
гиперкомплексных единиц -j. Когда это будет достигнуто, то использованием
этих операций можно заменить использование гиперкомплексных единиц ?,
т. е. Tf будут представлены матрицами. Теперь же заметим, что
используемые нами вспомогательные переменные х не имеют ничего общего с
координатами точек пространства-времени релятивистской теории.
Начнём с тривиального случая одной единицы -у и одной переменной х.
В этом случае т должна удовлетворять лишь одному требованию: f2=l.
Отсюда заключаем, что
Т = ±1.
Если т рассматривать как оператор, действующий на переменную х,
то ix = -\-x означает тождественное преобразование, ух = —х —
отражение в нулевой точке, которое точку Р перево-
—, , , х дит в Р1== — Р (рис. 59а).
Р,=-Р О Р Далее рассмотрим случай двух операций,
которые мы обозначим не через ?,, y.->, а через
в"тСочк?ад ХяТреГ -1. Ч. ^я того чтобы быть в согласии с ранее
б Э й
точк?д ХяТреГ 1 Ч
дит в Р, (операция т). принятыми обозначениями. Эти операции действуют
на две переменные хх, х-,. Операции <зх, а2 должны
удовлетворять тем же требованиям, которые предъявляются к iv Ta> т- е-
о1з2 = —o.jOj, (la)
о} = о«=1. A6)

131
ДВУХРЯДНЫЕ И ЧЕТЫРЕХРЯДНЫЕ МАТРИЦЫ
661
Для того чтобы удовлетворить Aа), представим 3t и о2 с помощью
отражений; а1 будем считать отражением относительно некоторой прямой Alt
которая может быть взята в качестве оси х.2; о.2 берётся в виде отражения
относительно другой прямой, образующей с А1 некоторый угол а (рис. 596).
Операция ot переводит произвольную точку Р в Pv а о2 — ту же точку
Р — в Яа. Пусть комбинация операций 3t32 (сначала применяется
операция о2, затем st) соответствует точке Я,2, комбинация а2зх — точке А21.
Углы, отсчитываемые от оси xv которые образуют прямые, проведённые
в эти точки из начала координат, даются следующими соотношениями,
причём через о обозначен угол, принадлежащий исходной точке Р:
Р Ptt\РъРп
(ji —(j> (p —|— 2 (ot — <f) —if — 2 (a — <f) —ч
Требование (la) равносильно требованию, чтобы Р12 и P%i были относительно
начала координат расположены с диаметрально противоположных сторон, т. е.
чтобы соответствующие им углы отлича- п=&лр х р=аР А
лись на it. Это даёт: '»"*'*ч г г г лг
Следовательно, оси At и Л2 должны
образовывать друг с другом угол в 45°.
Полученный результат однозначен с
точностью до общего вращения осей в
плоскости их расположения, так что не имеет
значения, какую из осей обозначить через
At или Aj. Очевидно, что условия A6)
при этих отражениях также выполнены.
Полученный результат напоминает об
элементах симметрии в кристаллографии.
Если мы говорим о «двумерном
кристалле с квадратной элементарной
ячейкой», то элементами симметрии в этом
случае будут следующие: отражение
относительно сторон и отражение
относиРнс. 596. Точки Рх и Р2 получаются
из Р прн помощи отражения
относительно осей Ау и Л2 (операции ау и
о2), Рп и Р21 — при помощи
двукратного отражения Соперации ~\~-> и ~>'■[).
Для того чтобы Pxi и Р21 были
расположены диаметрально
противоположно (si<7a = —O25i)i нужно, чтобы
угол между Ах и А2 был равен т./4.
тельно диагонали квадрата.
Выпишем теперь линейные преобразования, соответствующие
операциям Oj и о2. Пусть jCj, х.2 — координаты исходной точки Р и x'v x'2 —
координаты полученной в результате преобразования точки Р1 и
соответственно Р.г. Очевидно, при общепринятом способе написания имеем:
1 О
О —1
1
О
Какая же схема соответствует последовательностям ахя2 к о.,
этот вопрос сначала на примере произвольных преобразований:
B)
Выясним
1
х'
■41
av2
«22
В
"а
43 Зи 968. А. Зоммерфели

662
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Для того чтобы образовать АВ, надо к точке x'vx'v полученной в
результате применения операции В, применить операцию А, в результате чего
получится точка x"v x"v а именно:
Х1 = ailX'l + avA = «11 (*Н*1 + *!**») 4" «12 (*21*1 4- *22*2) =
= («11*11 4- «12*2l) Х1 4- («11*12 4" «12*22) *2»
x'i = a2i*i 4- «22*2 = a2i (bnxt + Ьпхг) -\- а^ (b2ixi + Ь&хг) =
— («21*11 4" «92*2l) *1 4- («21*12 4" «22*22) *2-
Этот результат есть определение на стр. 162 «умножения матриц» для
двумерного случая. Результирующая матрица АВ образуется по следующему
правилу: строчки А умножаются на столбцы В. Эта матрица дается
следующей схемой:
АВ
( хг
2 «i***i
2 «2***1
2 «1***2
2 fl2*
Очевидно, что применение этого правила к операциям а1г а.2 дабт
следующий результат (переменные х далее не нужны):
О
— 1
0 —1
1 О
= — о.
C)
1
0
0
— 1
' °2
0
1
1
0
' °3
0
— /
/
0
как того и требует Aа) и как это было уже установлено на рис. 596.
Добавим к матрицам ох, оа ещё матрицу о3 = /oto3, которая также
нормирована на единицу, т. е. с учётом B) и C) положим:
п i
D)
Эти три матрицы для каждой пары индексов k, l удовлетворяют условиям:
о*=1. D6)
Вследствие этого величины о изоморфны спиновому оператору 9 стр. 188
и на основании Gа) на стр. 205 отличаются от кватернионов /, J, k только
нормировкой. Вводя еще «единичную матрицу»
1 0
1 =
О 1
Dв)
мы в D) и Dв) будем иметь матричное представление полной кватернион-
ной группы.
Интересно заметить, что в случае трех измерений не существует
матриц с аналогичными свойствами (согласно дружескому сообщению Бохнера).
Поэтому сразу же обратимся к ^матрицам с четырьмя строчками и
столбцами и попытаемся их построить из двухрядных матриц.
Для достижения этой цели воспользуемся следующим приемом: к двум
из рассматриваемых четырёх переменных xt, .... xv например к xlt х2,
применим одну из рассмотренных ранее двумерных операций о и
аналогично к оставшимся двум другим переменным применим ту же или другую
из операций а. Две из получающихся в результате этого четырёхрядных

13]
ДВУХРЯДНЫЕ И ЧЕТЫРЁХРЯДНЫЕ МАТРИЦЫ
663
матриц имеют вид:
о
о
О
причем как под <з, так и под нулями понимаются двухрядные матрицы. По
вышеуказанному правилу умножения, которое, как само собой разумеется,
распространяется и на матрицы с произвольным числом рядов, получим:
Eа)
тт —
•S
0
а о'
а а
0
0
4
=
.0
О)
1
0
=
0
1
= 1.
о'о
а а
0
/■
0
1 * 1
= —т'т
E6)
Тем самым доказано, что образованные указанным способом матрицы
удовлетворяют требованиям, предъявляемым к f. Поэтому остается лишь
выбрать четыре таких -j, которые были бы независимы друг от друга.
Четыре матрицы:
F)
в которых ов пробегает ряд значений D) и Dв), а аь фиксировано, этому
условию не удовлетворяют, поскольку вследствие o1o2 = /os [равенства C)
и D)] имеет место следующее соотношение:
ч 0
0 о»
ч о
0 оь
. Т8 =
°8 0
0 аь
» Т4 ~~~
1 0
0 *ь
<3уа2 0
0 1
в, 0
0 1
= /
0 оь
1 0
0 о6
4*
Требованию независимости удовлетворяют матрицы:
G)
(8)
Эти т отличаются от принятых Дираком1) и обозначенных через а
величин лишь порядком следования и знаком. Связь между дираковскими
величинами а и величинами ? в (8) дается следующими соотношениями:
0
°8
0
0
°2
°-2
0
0
°1
0
» т* —
1
0
0
— 1
Следовательно, на основании D) и (8) в развёрнутом виде имеем:
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
— 1
0
0
а, =
0
0
0
/
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-/
0
0
/
0
0
0
0
-1
0
— /
0
0
0
0
0
0
— 1
(9)
Следует обратить внимание на эрмитовский характер этих матриц (два
члена, симметричных относительно главной диагонали, комплексно сопряжены).
') В его первой, цитированной на стр. 186 работе о спине электрона.
43»

664
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Так же, как f i *U. теперь можно представить и все произведения -у,.
а поэтому все 16 гиперкомплексных единиц через четырёхрядные матрицы,
выполняя соответствующие перемножения. Так как самое общее
гиперкомплексное число А может быть представлено в виде суммы этих единиц
с коэффициентами а, являющимися обыкновенными числами, то это
произвольное гиперкомплексное число А может быть представлено в виде
четырехрядной матрицы, имеющей вид:
«11
«81
«19
«99
«<9
«49
«18
«88
«48
«14
«94
«84
A0)
Поясним на этой схеме редуцирующее действие делителя нуля. Из
предыдущего нам известны два делителя нуля:
В этих выражениях ^ надо заменить через матрицу из (8) и 1 — через
единичную четырехрядную матрицу. Тогда в результате введения обеих
матриц получим:
о
1
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
1
о
A1)
Если умножить A0) на A1), то из 16 членов схемы A0) останутся
отличными от нуля только восемь, а именно:
1
«и
«13
«39
«82
«43
О
О
О
«21
«81
«41
В этом случае на стр. 210 мы
степень редукции имеет матрица
1
О
О
О
о
«18
«23
«2S
«48
«14
«94
«84
а*.
говорили о степени редукции 1/а.
о
1
о
о
(Па)
Ту же
A2)
Если теперь образовать произведение A1) и A2), то получится матрица,
в которой только один элемент отличен от нуля:
0 0 0 0
1
A3)
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1

14]
ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ТЕОРИИ ДИРАКА
665
Поэтому в результате перемножения общей матрицы А с одной из
последних матриц получается матрица, у которой все столбцы, за исключением
одного, равны нулю, например:
О а12 О
О Озд О
О аш О
AT,
О в42 О О
A3а)
Степень редукции равна */«• В результате умножения на делитель нуля этого
типа любое гиперкомплексное число рассматриваемого вида сводится к
матрице с одним столбцом. То же самое относится к любой функции гипер-
комплексных чисел рассматриваемого вида. В этом, собственно, и содержится
основание того, что в обычном представлении теории Дирака говорят
о «четырех функциях Дирака» фх, ..., ф4 и о «четырех дифференциальных
уравнениях Дирака». В смысле схемы A3а) эти четыре функции часто
записывают в виде «вертикальной матрицы»:
Фа
A4)
Тогда четыре уравнения Дирака проблемы Кеплера в форме C7) на стр. 250
получаются из (IV.7.1) формально как произведения основных матриц ? и
этих «вертикальных матриц»*).
При систематическом построении четырёхрядных матриц рассматриваемого
типа из двухрядных матриц полезной является общая теорема Клиффорда2),
которая при конкретизации на рассматриваемый случай гласит: исходя из
кватериионного тела q и выбирая в нём коэффициенты элементов q не в виде
обычных чисел, а снова в виде чисел кватернионного тела р, мы получим
тело рассмотренных 16 единиц, при этом элементы р и q должны
коммутировать между собой.
14. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ТЕОРИИ ДИРАКА
К гл. IV, § 3
Представленный на стр. 145 формализм требует завершения в смысле
вариационного исчисления. Умножая равенство A) упомянутой страницы на
четырёхмерный элемент объёма
и интегрируя по произвольной области G, получим справа величину С,
которая зависит только от значений и, v на границе; для совершенно
произвольных функций и и v имеют место соотношения
B)
C)
J = J v (La) dT, К = J (vM) udT.
!) Отвлекаясь от нормировки 6 и от несущественных множителей ± I, которые
следует включить в определение <1>.-
я) См. прибавление к работе Франца, цитированной на стр. 215.

666 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Величины и, v варьируются в предположении, что на границе 8и = 0,
8v = 0, в то время как внутри области 8и и 8« могут выбираться
произвольно и совершенно независимо друг от друга. Вариационный принцип
записываем в виде:
8У=0. D)
что на основании B) имеет следствием:
8ЛГ = О. Dа)
Из C) получается:
V = J 8г> (Аи) dT+ Jt> (А8и) dT = J* 8г> (Аи) dT + J (vM) Sa dT.
Произведённое преобразование второго интеграла следует непосредственно
из определения А и М в равенствах (IV.3.2 и 4). Ввиду произвольности 8и,
8г» из D) заключаем, что
(Аи) = 0, (vM) = 0.
К тому же самому результату привело бы и требование Dа). Следовательно,
рассматриваемый вариационный принцип выделяет из всей совокупности пар
функций и, v решения теории Дирака и представляет эту теорию в форме,
симметричной относительно и, г».
Переходя к стационарному случаю, надо положить:
и = tye * , v = ye * '
где у выводится из <!* по правилу, указанному на стр. 196. Тогда
выражение г» (Аи) становится независимым от t. Следовательно, выбирая область G
в виде цилиндра с осью по четвёртой оси координат с высотой, равной,
например, единице, видим, что Г dT переходит в \ dx, и из B) получается:
E)
где Z.J получается из А путём выделения члена, содержащего производную
по времени. На основании условия нормировки (IV.3.2) второй интеграл
этого выражения равен вполне определённому заранее заданному
редукционному множителю Г. Следовательно, если мы будем производить в D)
варьирование при дополнительном условии
= 0 Eа)
(сохраняющаяся нормировка), то D) сводится к следующему условию:
8У1==0, Ух= f х (МО <*"• F)
Значения Jv которые соответствуют нормированным парам функции ^, у
теории Дирака, являются экстремальными значениями. Эти экстремальные
значения дают вместе с тем ряд собственных значений Е, которые соответ-

15] К РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПРОБЛЕМЕ КЕПЛЕРА 667
ствуют ряду пар собственных функций ф, х- Из E) с учётом
нормировки ф, ^ следует:
ЕГ — hcjx. G)
Следовательно, в E) надо положить 7=0, принимая во внимание, что
Изложенный здесь релятивистский вариационный принцип чрезвычайно
похож на нерелятивистский принцип в дополнении 4, равенства A5а, б).
Разумеется, что, прежде чем переходить к численным расчётам, необходимо
умножением на редуцирующий множитель освободить равенство G) от
содержащихся в нём множителей f-
Применение этого вариационного принципа разработано Свирлсом 1).
15. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ К РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
ПРОБЛЕМЕ КЕПЛЕРА
К гл. IV, § 7
А. Оператор ([rgrad], f). Мы исходим из заключительных
результатов дополнения 12, где выражение [rgrad] было преобразовано к
полярным координатам. Из равенства A6) этого дополнения следует:
[г gradk Tl + [г grad], т2 =
= Ti (— sin <? ^- — cos <p ctg 0 ~j + Та (cos <p -^ — sin <p cos' ^-) =
— Та (cos ? + Tia sin ?) -^ — Ti (cos <? + т12 sin ?) ctg 0 -^ A)
и также
[rgrad]iTf3 = T8^-- B)
Нам необходимо применить операторы A) и B) к обоим членам (IV.7.27).
Эти члены в отношении их зависимости от <? могут быть записаны, так же
как и в (IV.7.26), в виде:
1
Следовательно, в этих обоих членах дифференцирование по <? может быть
заменено умножением на т12р. Благодаря этому правая часть B) переходит
в выражение
а правая часть A) принимает вид:
1) В. Swirl es, Proc. Roy. Soc. 152, 625A935). Дело идёт о релятивистской
обобщении метода самосогласованного поля Хартри—Фока.

668 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Путём сложения и применения к Pj£eTlfM> из D) и E) получается:
^. F)
Принимая во внимание соотношение A.3.166), справедливое как для
положительных, так и для отрицательных значений р (я пока принимается
положительным):
2пя! Р£ (х) = sin110 ***** (д:9 — 1)», х = cos О,
и дифференцируя его по Я, получим:
—
db
Отсюда непосредственно следует:
2»й! — Я$ = ji cos 0 sin11» ^-^- (л* — 1)" — sin11-1-1 D <*П***1. (д:2 — 1)». G)
db dxn+r ' dxn+*-+1
Подстановка (8) в F) даёт:
([rgrad], Y)/V'^ = T^>y^-TPrV*'(ll+1)'Tl3. (9)
При этом в последнем члене справа использовано тождество
Та* — -е Tie-
Если в (9) положить (i = m—к-, то получается точно первое из двух
равенств B8а, б), которые нам были нужны на стр. 235 (нижний индекс
сферических функций пока положителен). Второе равенство получается,
если положить р = — (т~Ь"о') и использовать преобразование из A.3.16ж):
благодаря чему к последнему члену в (9) добавится множитель
A0а)
Вследствие этого такой же множитель перейдёт также в равенство B86) на
стр. 235.
Соотношение (8) выведено здесь в предположении положительных
значений п. Очевидно, однако, что оно справедливо также и для отрицательных
значений п. В этом случае необходимо лишь вместо индекса п написать
| л | — 1 и принять во внимание, что область изменения \i теперь даётся
соотношениями
Далее, в случае л < 0 необходимо при применении формулы A0) п заменить
через —п — 1. Однако при этом A0а) не изменяется, так что указанные
равенства B8а, б) доказаны также и для отрицательных п. Оба случая п > 0
и л < 0 можно объединить в единой формуле, записав
£S$*' AОб>
{л, когда л положительно,
(Юв)
— я — 1, когда я отрицательно
когда я отрицательно.

15] К РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПРОБЛЕМЕ КЕПЛЕРА 669
Б. Радиальное дифференциальное уравнение для
проблемы Кеплера. В уравнении Дирака A) на стр. 229 имеется оператор
(Ygrad). При его вычислении мы воспользовались тем фактом, что f
обладает векторным характером (как следствие доказанных в гл. IV, § 6 четы-
рёхвекторных свойств величин Tfi» • • • • Т*)« Обозначим компоненты у в
некоторой точке г, О, <р по направлениям dr, <*!>, d<? через fr. ?»> т? и примем
во внимание, что
т . д 1 д 1 д
Тогда получим:
Учитывая, далее, что fr направлено по г, f» лежит в меридиональной
плоскости перпендикулярно к г, ?т лежит в плоскости, параллельной
экваториальной плоскости, перпендикулярно к г, сразу найдём:
sin в-|-т3 cos &
? — Тз sin * = Ticos ^вТ"? —
После короткого вычисления по этим формулам легко убедиться, что тг>
Т». Tv удовлетворяют тем же соотношениям, что и первоначальные величины
Ti> Та» Тз:
Т? = Т» = Т? = 1. Тн> = —Тег- Т9, = -Т,,ит.д.
Подстановка A2) в A1) даёт:
Последнее выражение для наших целей может быть упрощено. В
собственную функцию t}i, к которой надо будет применить A3), переменная <?>
согласно (IV.7.27), входит только в форме C), так что можно написать:
С другой стороны, переменная 0 входит в собственную функцию только
— —
через Рп 2 илн Рп 2. Но из (8) для первого из этих случаев с ji = т — -^
п
найдём:
Отсюда, учитывая D), справа в A3) получим:
/cos Ь д ■ 7и d \ pp. sin ft рц cos»
A5)
Sin ft д „in COS ft nii. , Sin»

670
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
так что в целом будем иметь:
(Y grad) Р£еТиМ> = Tl/MeTli(|l+1) * ■+- tsMjTii|4P,
где обозначено
A6)
A7)
Далее, при произвольном а имеют место соотношения
Y йТи« e-Tit»Y Y Ли»
Поэтому вместо A6) можно также написать:
(Y grad) Р£еТиИ> = еЬФ'9-AМ +
Здесь у' означает второе из выписанных в C) значений:
A8)
A8а)
Путём замены р через jj/ и наоборот из A8) найдём:
где М' к N1 определяются теми же соотношениями A7), что М и N, но
с заменой в них р через р'.
Теперь для выражения у± в (IV.7.27) при помощи A8) и A9) найдём:
(Y grad)X±
+(- 'Г
1
B0)
По поводу отношения факториалов во второй строчке этого равенства
-следует заметить: в (IV.7.27) верхний индекс второй сферической функции
был равен т-\--^ = — [а', в то время как этот индекс в A9) был равен
-)-|л' = — f/B_|__J. Поэтому мы должны, прежде чем применять
равенство A9), пересчитать Р^ в Р£, что на основании A06) будет сделано,
если заменить в нём [л на |/ = — р — 1.
Наконец, посредством равенства (IV.7.19) можно перейти от х± к <{*>
при этом надо помнить, что /i = + H равенство B5) на стр. 234, а также
то обстоятельство, что в выражениях для М, N и М', N' надо также делать
различие между случаями я = — k и я = -(-А!. Тогда найдём:
'*'*S/, B1)
■где обозначено:

151 К РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПРОБЛЕМЕ КЕПЛЕРА 671
Величина к', появившаяся на месте я', очевидно, понимается в смысле
равенства A0в), так же как и (—k)'. Тем самым в B1) вычислен первый член
неквадрированного уравнения Дирака. Второй член на основании равенств A),
A9) и B7) гл. IV, § 7 равен
B3)
Так как зависимость от в в сумме B1) и B3) должна исчезнуть, то
имеем:
S-\-T = 0, S'+T = 0. B5)
При умножении на 1 — f« или 1 -\- f« °ба равенства распадаются каждое на
два равенства, не содержащие ft, которые могут быть записаны единым
образом (вводя опять я = + * и соответственно этому —n = z*zk) в
следующем виде:
)
\ B6)
0. ]
Теперь из этих двух двойных уравнений должна выпасть также и
зависимость от 0. Это может быть показано использованием соотношений между
сферическими функциями. Проще исключить зависимость от 0, положив 0 = 0.
Это мы имеем право сделать, так как зависимость от ft уже определена.
При этом можно предположить х), что т > 0 и, следовательно, [а > 0, ja' < 0.
Тогда на основании равенств A.3.16д, е), где я надо заменить через я',
чтобы эти равенства были справедливы также и для отрицательных п, для
предела 8 -► 0 получим:
1 (' + )! у B7)
а также принимая во внимание равенство | \tf -\- 11 = ja и равенство A06),
B8)
Из B7) при замене я на —л и л' на (я—1)' [ср. A0в)] ещё следует:
у. B9)
Теперь на основании A7), B7) и B8) с точностью до высших степеней 0
вычислим:
1D±)LAW ЫГЦ* C0)
2^1 (я' —(t)! \дг rJ ' 2>V1 r
') Величина m определена уравнением A46) на стр. 231, в которое иходит
только т\ Следовательно, принципиально знак у т произволен.

672 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Подставим B9) и C0) в первое равенство B6) и примем во внимание (IV.7.29).
После сокращения на общие множители (О11, fi и т. д.) получится:
Последнее соотношение следует расписать отдельно для положительных и
отрицательных значений я, учтя при этом, что
я>0, п' = п, (я—1)' = я—1,
я<0, я' = — я—1, (я—1)' = — я.
В обоих случаях факториалы в числителе и знаменателе сократятся и после
простого приведения получится соотношение
O. C2)
Тот же самый результат получится из второго равенства B6) после несколько
более громоздкого вычисления. Уравнение C2) есть радиальное уравнение
проблемы Кеплера; оно согласуется с уравнением C0) на стр. 236.
16. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
К гл. IV, § 10 и гл. VII, § 8
А. Интегральное представление общих и вырожденных
гипергеометрических функций. Уже Эйлеру было известно, что
ряд (Н.2.17) допускает следующее представление через интеграл:
1
f(a, 3, Т; х) = г Г™—- [«"^(l— иУ~а~\1— их)'9da. A)
о
Именно, если разложить последний множитель под знаком интеграла в
биномиальный ряд и проинтегрировать полученное выражение по формуле Эйлера
В(р. «)- /«'"'О—Г1*-^^^. B)
о
то из (9) получим указанный ряд для F. Очевидно, что представление A)
при указанном в нём вещественном пути интегрирования ограничено условиями
Rea>0, Re(T — a) > 0, C)
а B) ограничено условиями
Re/?>0, Re?>0. (За)
Как правило, более полезным является вместо вещественного пути
интегрирования замкнутый путь интегрирования в комплексной плоскости. Поэтому
полагаем:
. 8, Т; дг) = с| «""'(I — и)т—J(l— uxy9du. D)

161
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
673
Если здесь производить интегрирование по замкнутому пути в плоскости и,
который обходит точки 0 и 1 и исключает третью сингулярную точку
и = — (рис. 60а), то ограничения C) снимаются. Однако в этом случае
сумма показателей степеней и и 1—и, т. е. f. должна быть целым числом.
В противном случае обход вокруг точек 0, 1 для подинтегрального выражения
не был бы замкнутым путём. Выбирая, далее, также и в представлении C)
для В(р, q) тот же путь интегрирования в предположении, что p-\-q= целому
числу, и проводя в D) то же преобразование, что и ранее в A) [разложение
в биномиальный ряд A—их)~* и т. д.], снова получим определение в виде
ряда для F. Значение постоянной
при этом будет равно [см. несколько
более общее рассмотрение при
равенствах E) и F)]:
С =
!_<,--"•■» г (с) Г (т-с)
Dа)
точка и = — оставалась вне контура.
Как следует поступить в случае
нецелого значения для f? В этом
случае на помощь приходит
метоп^ «интегпяла по двойному кон- Рис- 6Оа- Вещественные значения дг<1.
тод ) «интеграла по двойному кон- Прн произволь„ом значении х путь интегри-
туру». Путь интегрирования Обхо- рования должен быть проведён так, чтобы
дит каждую из обеих точек и = 0 1
и и = 1 дважды, один раз в
положительном направлении, другой раз
в отрицательном направлении. При
этом множители, которые появляются
при обоих обходах, взаимно
исключаются, и, следовательно, подинте-
гральное выражение возвращается
к своему исходному значению (см.
рис. 606). Говоря языком теории
функций, изменение значений
подинтегрального выражения должно быть
представлено не на плоскости и,
Рис. 606. Интеграл по двойному кон-
ТУРУ. Т — нецелое.
а на рнмановой поверхности, которая разветвляется в точках и = 0 и 1.
При каждом обходе вокруг 0 и 1 мы переходим на другой лист римановой
поверхности; однако после двойного обхода точек ветвления мы
возвращаемся на исходный лист, так что конечная точка пути интегрирования
совпадает с начальной точкой А.
Проследим это, в частности, на примере интеграла для В(р, q). В
начальной точке А, которая пусть лежит на вещественной оси между 0 и 1,
выберем фазу <р переменной и (при обычном представлении и = \и\ eiv)
равной нулю, так же как и фазу 1 — и. Тогда при отдельных обходах по
указанному пути интегрирования к подинтегральному выражению добавляются
множители в следующем порядке:
Если выполнены условия Re р > 0, Re q > 0, то путь интегрирования может
быть стянут к отрезку 0 -»■ 1, пробегаемому четыре раза (два раза
') Наброски «интегралов по двойным контурам» найдены в оставшихся бумагах
Римана; см. Werke, Nachtrage, Leipzig, 1902, стр. 74.

674 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
в положительном и два раза в отрицательном направлении). При этом
множители, появляющиеся в результате обхода полюсов, будут равны
1 f е2™ч, -f- е
Поэтому имеем:
=A— е2"Р){\ — е2**?) J
Таким образом из B) для В(р, q) получается следующее представление,
справедливое при произвольных р, q:
о»
Вследствие этого и представление D) справедливо для произвольных
значений а, р, f, если там в качестве пути интегрирования взять двойной обход
вокруг точек 0 и 1. Используя E) и произведя сравнение с определением F
при помощи ряда, для множителя С в D) получим:
с = J Г(Т)
A _ е2™) A - e»--«iT-i) г (а) Г G - о)' ( '
Произведя предельный переход к вырожденной (конфлюэнтной) функции
[3 -> со, х -> 0, $х -*■ р, видим, что последний множитель в D) переходит
в экспоненциальную функцию ер", и нз D) получается:
F (а, Т; р) = С § и" A — н)*"*-Vй du. G)
Постоянная С определяется или через Dа) или через F) в зависимости от
того, производится ли в G) интегрирование по петле или двойному контуру.
Аналогичным представлением мы уже воспользовались в гл. II,
равенство G.15), для полиномов Лагерра (частный случай -у = 1). Для того чтобы
привести настоящие обозначения в согласование с употреблёнными там,
введём новую переменную интегрирования у = —ри. Тогда из G) получим:
F(a, 1; р) = С § /-1 (у+ p)-'e-vdy, С' = Се~"\ Gа)
Так как в качестве пути интегрирования в этом случае может быть взята
простая петля; то для С из Dа) получается:
С' = 21 Sin ал Г (а) ГA — а) = 2^' Gб)
где использовано известное соотношение D) из дополнения G) для Г-функций.
Найденный в G6) коэффициент С точно согласуется с коэффициентом
простого интеграла по замкнутому пути в (II.7.15). Тем самым установлена
связь между общим представлением G) и прежним представлением для
f = 1 (или -у = целому числу).
Б. Асимптотическое поведение вырожденных
гипергеометрических функций. Вернёмся к общему случаю (аи|
произвольны, путь интегрирования по восьмёрке) и исследуем асимптотически
представление для F(a, f; р) при р —► оо. Для этого двойной обход разобьём
на два контура, которые замыкаются вокруг обеих точек ветвления и
уходят в бесконечность. В полной аналогии с рассуждениями в гл. II, § 7,

161
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
675
равенство A9), полагаем:
(8)
Переходя к переменной у [равенство Gа)], считаем, что Gt принадлежит
к точке ветвления у = 0, а О2 — к точке ветвления у =— р (рис. 61).
Здесь р, так же как и в случае непрерывного
спектра проблемы Кеплера, мнимая величина.
Тогда из G) получим:
у=-р—
Обе части подразумевающегося здесь двойного
контура, из которых одна нарисована на рис. 61
пунктирной линией, пробегаются в
противоположных направлениях на двух различных листах
римановой поверхности, принадлежащей к
переменной у; при переходе с «первого» листа на
«второй» лист к подинтегральному выражению
добавляется множитель в2ж<(т-«), так как между
двумя петлями вокруг точки у = 0, согласно
с предшествующим рис. 606, необходимо обойти
один раз точку ветвления у = — р. Отсюда
следует, что если мы через ф будем в дальнейшем
обозначать простую, проходимую в положительном направлении петлю на
первом листе, то в (9) С надо заменить через
Рис 61. Две
асимптотические части величины F.
и при этом под С понимать значение F).
Поступая теперь точно так же, как и в гл. II, § 7 при выводе
равенства B7) и следующих, т. е. разлагая (> + Р)т"""* ПРИ больших р в
«асимптотически сходящийся» ряд, и используя соотношения между Г-функциями,
получим:
('Jl^l) ^, О»)
что является обобщением равенства (II.7.25), которое получается из A0)
при if = 1 и а = — п.
Точно так же для другого контура рис. 61 получается обобщение
равенства (П.7.26):
Равенство A1) получается из A0) путём замены а, ^ — а, р через ? — а,
а, —р и прибавлением множителя е?. На основании представления G) это
вполне понятно: если здесь переменную интегрирования и заменить череа
1—v, то меняются роли сингулярных точек 0 и 1 при одновременной
замене а на 1 — а и р на —р; множитель е? получается из e?u = e?e~?v.
Перемена же местами точек 0 и 1 означает переход от G1 к G2.
Теперь на основании (8) асимптотическое выражение для F получается
в виде суммы A0) и A1).

676 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
В качестве примера рассмотрим функции F, Ft [равенство D6) на
стр. 260], которые принадлежат к непрерывному спектру водорода. Ввиду
того что величина р здесь чисто мнима, порядок величины обеих частей Ot, O2
определяется вещественными частями соответствующих показателей степеней
у р. Используя указанную на стр. 261 связь между пг и главным квантовым
числом п, вместо равенств D6) на стр. 260 можно написать:
U p). A2)
l; p), A3)
где Y~ = VlP — a'2Z2. я — мнимое главное квантовое число. Учитывая это,
из A0) и A1) заключаем, что
У F О^^О* следовательно, F -*■ уOt = A±(— р)~У ~i[n,
У Fi O.i'^Ov следовательно, Ft -*■ -^O2^ Ajepp~^ +*lnl#
Отсюда из Dа) на стр. 260 следует:
[vVl| ^т
A4)
Эти выражения, как это и должно быть на основании изложенного на стр. 261,
в своей существенной части (т. е. с точностью до постоянного фазового
множителя) вещественны. Прежде всего, ввиду того, что р чисто мнимо,
величины
«V1 и «™(— p)~iln|
являются сопряженными. Объединяя их, можно написать:
Далее, как это легко видеть из A0) и A1), принимая во взимание
значения a, f из A2) и A3), в нашем случае А1 и А, являются сопряжёнными.
Поэтому можно написать:
Наконец, А в непрерывном спектре по абсолютной величине равно единице.
То же самое справедливо относительно
На основании равенства 5а на стр. 261 полагаем:
Поэтому из A4) следует:

16) ИНТЕГРАЛЬНО" ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧКСКИХ ФУНКЦИЙ 677
где введены обозначения:
Г(/ +1+/|я|) ,
Следовательно, асимптотическое поведение релятивистских радиальных
собственных функций в существенных чертах совпадает с асимптотическим
поведением собственных функций уравнения Шредингера (II.7.34). Это
обстоятельство использовано нами в гл. IV, § 10 при нормировании
релятивистских собственных функций. Фазовый множитель ei? точно согласуется
с найденным в (IV. 10.56) фазовым множителем.
В. Асимптотическое поведение общей
гипергеометрической функции. Теперь исследуем, хотя бы в сжатой форме,
асимптотическое поведение общей гипергеометрической функции. Это повелшше
было нами использовано при обсуждении парадокса Клейна на стр. 230.
Будем исходить из дифференциального уравнения этих функций в гл. II,
уравнение B.18). Пренебрегая всеми более низкими степенями х, это
уравнение мы можем для предельного случая х -*■ оо записать в вице:
Для проведения интегрирования сделаем подстановку
F = CxK A8)
Внося это в A7), получим для к следующее уравнение:
т. е.
Следовательно, общее решение A7), если там х для удобства заменить
через —х, гласит:
F = Ct (— х)-" + С2 (— х)~\ A9)
Величины Clt C2 с точки зрения приближённого уравнения A7) являются
неопределёнными постоянными интегрирования. Для того чтобы их
определить, надо использовать общее определение F, например D).
Предположим 1), что а > JJ. или, точнее,
Re a > Re £, следовательно, Re (а - - 3) > 0. B0)
Отсюда следует:
1*~а|<С1*~Ч| для х -> оо,
так что A9) упрощается и принимает вид:
F -»■ Со(— х)'* для х -»■ оо. B1)
') Ввиду того, что F симметрично относительно » и р, это предположение не
является ограничением общности. Оно нужно лишь для того, чтобы сделать выбо;>
между а и fi при предельном переходе.

678 МАТРМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Одновременно в равенстве D) мы произведём упрощение, заменив
A— их)'* через (— х)~9 а'9, B1а)
гак что в результате получим:
F -+ С (— х)~91 и""*-1 A — о)*—1 da. B2)
При этом существенно сделать следующее замечание относительно пути
интегрирования: этот путь в D) должен обходить вокруг точек а = О и а = 1
(однократно или двукратно в зависимости от того, будет ли т целым или
нецелым), но точка сингулярности а = — должна остаться вне замыкаемой
области. При х -*■ оо эта последняя точка приближается к а = 0, так что
путь интегрирования закрепляется между точками а = 0 и а = —. Надо
ещё заметить, что сходимость рассматриваемого интеграла благодаря этому
не нарушается, так как функция |ы«—Р—х| ввиду B0) в точке а = 0
интегрируема.
По внешнему виду интеграл B2) кажется тождественным с интегралом E)
для В(р, q), если только в последнем положить р = а — JJ, q = •{ — а. Однако
между ними есть различие, проистекающее оттого, что путь в
рассматриваемом сейчас интеграле закреплён между точками а = 0 и а=—. В B2)
путь интегрирования огибает точку а = 0, которой первоначально {см. DI
принадлежал показатель степени а — 1 [показатель а — JJ — 1 в B2)
появился лишь в результате перехода к приближённому соотношению B1а)].
С другой стороны, множитель
в E) произошёл оттого, что точка а = 0 огибалась с показателем степени
р— I таким образом, что путь интегрирования после обхода лежал на
другом листе соответствующей римановой поверхности, чем до обхода. Этот
другой лист римановой поверхности после обхода в рассматриваемом случае
определяется показателем степени а, а не р — а — JJ. Следовательно, в E)
мы должны заменить
1—в2"** через 1—е2***, а не через 1—вг«<(»-Р)#
Поэтому для указанного в B2) интеграла из E) получим:
(l_ea«i«)(i_e2rf(T-«))B(a_p> T —a). B3)
Сравнение B1), B2) и B3) даёт:
— р, ? — a).
Внося сюда для С значение F) и одновременно для функции В её
представление через Г-функции, найдём:
г _Г(а —Р)ГG)
Тек как гипергеометрическая функция симметрична относительно в и р, то
из A9) следует, что Ct и С.3 получаются друг из друга переменой
местами а я р. Поэтому
г _Г(р-а)ГA)

16] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРГРОМЕТРИЧЕГКИХ ФУНКЦИЙ 679
На основании сказанного на стр. 27 относительно бесселевых функций
можно дополнить полученное приближённое асимптотическое выражение ещё
дальнейшим приближением, считая С± и С3 не постоянными, а «медленно
меняющимися функциями». Для этих функций гипергеометрическое
дифференциальное уравнение даёт уравнение второго порядка [аналогично
уравнению B1) на стр. 27], которое интегрируется следующим образом:
B5)
Новые константы интегрирования Cv C3 даются опять равенствами B4а) и B4).
Равенства B5) вместе с A9) дают первые члены известного представления
гипергеометрических функций. Однако для наших целей достаточно уже
асимптотического представления в первом приближении.
В заключение коснёмся ещё одной проблемы: расщепления функции Р
на две, определённые на всей плоскости х функции:
F = l(/=lA'-f-FB)), B6)
из которых одна асимптотически себя ведёт как С±(—х)~", а другая — как
Са(—х)~9. Это расщепление содержится в интегральном представлении E).
Подинтегральное выражение на плоскости и имеет четыре точки
сингулярности 0, 1, \/х, оо. В то время как F представляется путём
интегрирования вокруг точек 0, 1, функции -_- Fx и -к F2 получаются при путях
интегрирования вокруг 0, 1/л- и соответственно вокруг 1, оо, при этом в
зависимости от характера а, J3, т надо пользоваться однократным или
двукратным контурами. Соотношение B6) следует из эквивалентности путей
интегрирования. В случае конфлюэнтных гипергеометрических функций
О -*■ оо, х -*■ 0) обе петли составляющих функций уходят в бесконечность
@, оо для Fy', 1, оо для F2). Этим замечанием восстановлена связь между
проведёнными здесь рассуждениями и прежними рассуждениями [равенства
(8)—A1)].
Г. Предельный переход для больших значений
параметров в общей гипергеометрической функции. Матричные
элементы в равенствах (VII.2.27) были представлены через функцию
F(—nv — n2, 1; л:)
aZ
у _ 4*1*2 „:.,2 "
B7)
В случае р1, р2~1 (жёсткое излучение с исключением коротковолновой
границы) числа nv n% являются малыми; в этом случае приближения в гл. VII
могли основываться на разложении F в степенной ряд. В случае plf p2 <С 1
(мягкое излучение) величины nv n.2 являются большими отрицательными
мнимыми числами; необходимый в этом случае предельный переход может быть
произведён лишь исходя из интегрального представления. Положим:
<*Z n, В»
юо,
B8)

680 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Тогда на основании Dа) для f = 1 имеем:
и на основании D)
г = ~5^-фи" A —«) A— их) da, B9)
F' = ^-n§uifn{l — u)-ifn(l—ux)-in-1du. B9a)
Путь интегрирования огибает точки 0 и 1 в положительном направлении;
точка а = — остаётся с внешней стороны этого пути. Выражения B9) и B9а)
могут быть единой формулой записаны в форме
C0)
где подинтегральное выражение разбито на быстро изменяющийся
множитель ехр(л/) и множитель <р, медленно изменяющийся с изменением и. Имеем:
/(и) ЛпC1)
и для B9) и соответственно B9а)
='1йГ~('~^ соответственно 1^их). C1а)
В этой же форме C1) будем считать представленными также и
величины, которые в (VII.2.27) появились в качестве множителей при Мх и
соответственно Му, М„, а именно:
— cosa)(l— x)F', \
J
В этих случаях под <р следует понимать выражения:
Я „. Г 1 — PCOSa . , . 1—х Л /О1 ч
»ав<5Г''^1 » hO-cos^-j^^j C1в)
и соответственно
"( iLfL\ C1г)
и'1 —
Форма интеграла C0) выбрана с учётом метода перевала1), который был
уже упомянут на стр. 391. В этом методе мы представляем функцию /
.в виде разложения
(^ ^^ ... C2)
!) См. Франк н Мизес, т. I, 2-е изд. стр. 44; т. II, стр. 834. Впервые этот
метод был развит Рнманом в одной работе в 1863 г. (Oes. Werke, 2 Aufl., стр. 424.
Teubner, 1892) о гипергеометрических рядах, которая близка к рассмотренным нами
вопросам. Однако всеобщее распространение метод получил после того, как его в 1909 г,
вновь открыл Дебай в своих исследованиях по бесселевым функциям.

16)
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПИРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
и определяем седловую точку и0 из уравнения //(«) = 0. На основании C1),
принимая во внимание значение х в B8), получим:
C3)
Здесь необходимо различать, какой из обоих перевалов подходит для
решения задачи: тот, который лежит выше действительной оси, или тот,
который лежит ниже. Это зависит
от того, в какой из этих точек
ехр \п/(и0)] имеет наибольшее
абсолютное значение или, что то же
самое, в какой из точек веществен-
ная часть /(«о) больше. Положим:
и0—1=
u=O
и=/
L
и0 L —/-е**!,
х
то г да получим:
Re /(«о) = р (<?! — ?о) + ?*•
Рис.62. Выбор между двумя перевалами,
вычисленными в равенстве C3).
Доказательство того, что именно перевал, расположен-
ныд выше действительной оси, должен быть
приНЯТ ВО внимание-
Последнее выражение положительно, если и0 лежит выше действительной
оси (рис. 62), и отрицательно в противоположном случае. Поэтому надо
учитывать лишь точку перевала:
«(^■^(l+'ctg-!), C3а)
через которую и необходимо провести путь интегрирования1). Заменяя
медленно меняющуюся функцию ?(а) через <?(а0) и принимая во внимание C2),
мы из C0) получим:
+• yt „
Х= — ч{ио)е»П«* J в*"»' кщ>+'"dy. y^u — ito. C4)
-•
Переходя, далее, к переменной г = Yп у и принимая во внимание, что
Y~n г->оо при п-+оо, а также вводя обозначение
а /"(«„) C4а)
и пренебрегая членами более высокого порядка в показателе степени, найдём:
C46)
1) По Лебаю интегрирование должно быть проведено по пути самого
крутого подъёма и спуска. Однако путь может быть изменён, если он не
проходит через точку сингулярности (здесь и = —j и проведён от области малых
значений подинтегрального выражения к таким же малым значениям. Доказательство,
что эти условия при вычислениях в тексте действительно выполнены, мы опускаем,
Отрицательный знак C4) и C4а) получается потому, что путь интегрирования, как
это указано на рис 62, должен быть проведён вокруг точек 0, 1 в положительном
направлении.
44 Зш 968. А. Зонмерфслм

682
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Отсюда на основании C1а) имеем:
F
C5>
Для применений в гл. VII, § 8 нам нужны ещё вычисления с
выражениями C16) F и F', и именно в том частном случае, когда обе вычисленные
в C3) седловые точки лежат близко друг к другу. Это как раз тот случай,
когда ctg-y-i-O и, следовательно, когда величина
<х' = 1г — а C6)
очень мала. Тогда, согласно C3а), подходящий перевал при пренебрежении
высшими степенями а' будет:
<36а>
Отсюда следует [приняв также во внимание значение х из B7)]:
C66)
Ограничиваясь в f(u0) и f'"(u0) низшими степенями а', из C1) найдём:
32fp
Изменяя несколько C4а) и вводя обозначения
7 f («о) = - ее'. j/"' («о) = Й.
полагая, следовательно,
0= *-?
C7а)
C7б)
дополним интеграл C4) сохранением следующего Члена в разложении C2):
+•
*J e-t*'av4-inbydym C8)
Вводя, далее, новую переменную интегрирования г =
как в C46), получим из C8):
и поступая так же,
Х-
где обозначено1)
а' = f па'а.
C86)
О То, что предельный переход я -»■ оо мы совершаем в пределах интегрирования,
но не в величине с/, является математической некорректностью. Она оправдывается
тем, что одновременно с я-»оо мы должны будем рассмотреть также и предельный
переход в'-»0. Подробности будут даиы в конце этого дополнения.

16] ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИЛЕУГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 683_
Интеграл C8а) может быть сведён к хорошо изученному интегралу
Эйри, применяемому в теории дифракции света:
. C8в)
Этот же интеграл выражается через бесселевы функции с индексом 1/3.
Когда q равно отрицательной вещественной величине, как в C9а), имеет
место равенство (Н'1] есть «первая функция Ганкеля», см. стр. 27):
C8.D
Для того чтобы иметь возможность использовать эти соотношения в наших
целях, положим в C8а)
C9)
и определим ?, f так, чтобы коэффициент при it9 в экспоненте стал равным
единице, а коэффициент при Р обратился в нуль; тогда коэффициент при t
будет являться аргументом интеграла Эйри; член, не зависящий от t, будет
вынесен из-под интеграла в качестве постоянной. Простое вычисление даёт:
C9а)
° —27 ь* *\ з ; —6
Далее, на основании C8а, б, в) получается:
•V- -£=A -p)«'9(a0),nmj)+1-T Н«>т. (з9б)
^
Подставляя сюда /(а0) из C7) и ?(а0) из C1 г) и принимая во
внимание (Збг) (переход о7-*0 должен быть сделан в <р(и0), а не в ехр[л/(ио))г
которая очень чувствительна к погрешностям), для Q [равенство C16)),
получим:
D„>
Беря теперь <р(и0) не из C1 г), а из C1 в), т. е. вычисляя не Q, а Р, мы
наталкиваемся на затруднение, так как в том же приближении при а' -*■ О
получим, что <р(ио) = 0. Ясно, что это означает, что предшествующее
приближение недостаточно для вычисления Р и что в этом случае <р(ы)
также должна быть разложена в точке и = и0 и дополнена следующим
членом разложения, пропорциональным и — ио = у. Тогда вместо
интеграла C8в) будем иметь интеграл
т. е. производную от интеграла Эйри, которая аналогично C8г) может быть,
выражена через функцию Ганкеля:
44»

684 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Таким путём для Р вместо D0) получим:
Р
с тем же значением s, что и в C9а).
Эти выражения упростятся, если перейти к абсолютным величинам
и Q. Принимая во внимание, что выражение
вещественно при вещественных значениях 5 (см. Е. Янке и Ф. Эмде,
Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиздат, 1949), найдём:
!5гп 3
а'2е e H$\ls)
• D1)
| a'e^Hij^ts)
Эти выражения были использованы в гл. VII, § 8 при вычислении
матричных элементов тормозного излучения для мягких рентгеновских лучей. Они
были там (стр. 471) получены путём интегрирования |Я|' и \Q\* по а'.
При этом оказалось, что именно малые значения а', при которых при
большом я произведение па' и поэтому [см. C9а)] также и аргумент s
функций Ганкеля конечны, дают главный вклад в интеграл. Это и послужило
основанием того, почему определённую в C86) величину а' (несмотря на
примечание на стр. 682) мы считали конечной и по порядку величины
одинаковой с Ь. Для больших значений а', для которых па'3 и s растут
до бесконечности, величина а' будет более высокого порядка, чем Ь. В этом
случае в интеграле C8а) можно пренебречь величиной b по сравнению с а',
т. е. в разложении / в C2) можно ограничиться квадратичными членами.
Тогда мы вернёмся к проведённому в C4) и C46) обычному методу
перевала, обобщением которого и являются наши вычисления интегралов Эйри.
17. ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРОВ КЛЕЙНА «, В, г, »
И ЗНАЧЕНИЕ ЭТИХ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ТЕОРИИ ДИРАКА
К последней части гл. IV, § 6
В теории гироскопа Клейн >) использовал для представления трёхмерной
группы вращения вместо классических углов Эйлера некоторые параметры,
введённые ранее Кэли, которые образуют простейшие элементы теории
не только в кинематическом, но и в динамическом отношении. Здесь будет
показано, что те же самые параметры, обобщённые разумным образом,
упрощают также задачи с четырёхмерным вращением (общие преобразования
Лоренца) и естественно подводят к спинорному исчислению, часто
применяемому в теории Дирака. Предварительно нам необходимо без
доказательства привести более старые результаты обычной теории вращения.
А. Параметры а, $, f, 3 в случае трёх измерений. При
трёхмерных вращениях минимальный конус (шар с нулевым радиусом) пре-
') F. Klein u. A. Sommerfeld, Theorie des Kreisels, Leipzig, гл. 1,
особенно § 2, 3, 4.

17) ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРОВ КЛЕЙНА а, 3. f I 8 685
образуется в самого себя. Из равенства х9+У-т-га = 0 следует, что
+У2+У2 = О.
Положим:
и соответственно
Величины X и X' являются обычными комплексными числами. Они характер
ризуют направляющие минимального конуса в их начальном состоянии х: у: г
и конечном состоянии х': у': г!. Между А. и У существует взаимно одно-
аначное линейное соотношение
Параметры а, 3, f, 8, так же как и \, У, являются обыкновенными
комплексными числами, на которые можно наложить условие
а8 —3f = l. D)
Эти числа удовлетворяют условиям вещественности:
« = 3*, 3 Т* E)
и, следовательно, также
Отсюда видно, что четыре комплексных параметра а, 3. f, 8 зависят
лишь от четырех, а вследствие D) даже только от тр2х определяющих
параметров. Число 3 согласуется с мощностью множества оо8 возможных
действительных вращений.
Сложение двух вращений e1( 3i> Tt> \ и *v $v Tfi» 8i (последние
относятся к положению системы после первого вращения) дает для
параметров результирующего вращения а, 3. 7- 8 следующее билинейное
представление:
а = од + Т1За. 3 = ?1«з + i?a. I ^
"Г = «iTa -h Ti83. 8 = ?1Та + 8Л- '
Это представление может быть использовано для того, чтобы а, 3, т, 8
выразить через углы Эйлера А, ?, х (? — вращение вокруг оси г, Л —
вращение вокруг оси, повернутой на? к оси х, у — вращение вокруг оси,
повернутой относительно оси г на угол &). Это дает:
i
G)
Разложим а, 3, if, 8 на их вещественные и мнимые части и, принимая
во внимание E), запишем:
-B—lA, \
f = B—lA, 8 = D—1С. I
Ввиду D) имеем:
' Ba\C*\D*=l. (9)

686 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Эти четыре действительных параметра вращения могут быть объединены
в кватернион:
A0)
С правилами счёта (IV.5.9) для /, у, k. Тогда обратный кватернион,
определяемый соотношением SS~1=l, будет равен
5-1 = — 1А —jB — kC+D. A1)
Радиусы-векторы до и после вращения представим в виде:
г = ix+jy -+- kz н соответственно г' = tx'-\-jy' -\-z'k> A2)
Утверждается, что ортогональное преобразование, определяемое
параметрами А, В, С, D, дается следующей кватернионной формулой:
\ A3)
Непосредственно видно, что A3) даёт характерное дда ортогональных
преобразований соотношение
гЛ = г\ A4)
Выражение A3) является наиболее компактным представлением общего
трёхмерного ортогонального преобразования. Для того чтобы получить
обычную форму линейных уравнений, в которые не входили бы
величины i, у, k, очевидно, необходимо раскрыть правую часть A3) по
правилам (IV.5.9) н приравнять друг другу коэффициенты при i, у, k справа
и слева. Эги коэффициенты получаются при этом в виде квадратичных
форм по А, В, С, D и дают, следовательно, тригонометрические функции
лоловинных углов Эйлера, которые затем могут быть преобразованы
х. линейным формам тригонометрических функций от целых углов Эйлера.
Б. Параметры а, $, f. 3 в теории преобразований Л о»
ренца. В случае четырёхмерных вращений пространства х, у, z, let
световой конус преобразуется в самого себя. Из х"*-+-у*-\-г"* — с2/2 = 0 еле*
дует, что х'2+у*-\-г'г — сЧ'2 = 0.
Положим
x + ly _ ct — г .
и соответственно
— x'-ly'~~ •
Величины к и к' являются обыкновенными комплексными числами. Каждому
значению л соотвегсгвуег двумерная плоскость, являющаяся пересечением
двух трёхмерных плоскостей:
x-\-iy — k(z + ct) = O и к(х — iy)-\-z — c/ = 0.
Это пересечение как направляющая пробегает по световому конусу; то же
самое можно сказать относительно значений л'. При вращении (общее
преобразование Лоренца) оба семейства направляющих преобразуются взаимно
однозначным образом друг в друга. Поэтому обе комплексные плоскости X
и X' соответствуют друг другу в каждой точке и между ними имеется
линейная сьязь:

17] ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАМЕТРОВ КЛЕЙНА Я, ft, f, 8 687
В этом случае величины а, 3, ?> 3 являются обычными комплексными
числами, которые можно нормировать таким образом, чтобы выполнялось
условие
«8 — р7 = I. A8)
Однако ограничение вещественности E) в этом случае отпадает.
Следовательно, в этом случае параметры a, ft, f. 3 ограничены лишь условием A8).
Поэтому они содержат в себе три комплексных и, следовательно, шесть
действительных свободных параметров. Это как раз соответствует мощ-
(а. *к\
6 = г-к).
При рассмотрении четырёхмерной группы вращений нас
преимущественно интересуют преобразования пространства-времени. Рассмотрим,
например, преобразование Лоренца в плоскости г, ct. Это преобразование, как
известно, проще всего представляется в виде 1):
1x4. = ехХЧ*3 + ixd' x'i = x.2, x\ = xv A9)
где через xv x.2, x3, xt обозначены х, у, г, let. Величина X, как это
указано на стр. 227, определяется через поступательную скорость v
штрихованной системы координат относительно нештрнхованной следующим образом:
il. B0)
Следовательно, X есть мнимый угол.
Записанные в обычных координатах равенства A9) гласят:
г —ct = exX(z—ct), x =x, у=у.
Сравнение с A5), A6) дает:
k' = el*\ B1)
и из сравнения с A7), A8) следует:
ft = T = 0. |=а-з = ^ = в« B2)
iX_ lX
а=г2, Ь = е * . B3)
Следовательно, и здесь мы наблюдаем характерное появление
половинного угла, хотя первоначально в B0) определялся тангенс целого угла X.
Так как X чисто мнимо, то а и 8, согласно B3), действительны, а не
сопряжены друг другу.
Правило сложения F) остается без изменения. Оно может быть
использовано для того, чтобы наряду с перемещением вдоль оси г ввести также
и перемещения вдоль оси у или х. При этом возникнет представление
величин a, ft, f, о для сложного преобразования Лоренца, соответствующего
представлению G).
Несмотря на то, что величины a, ft уже более не являются
сопряженными к 3, — f, их можно записать в форме, аналогичной разложению (8),
а именно:
")— ЦА'+А"),
') Здесь мнимый угол вращения обозначен через X для того, чтобы привести
обозначения в соответствие с равенством (IV.6.35).

688 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
с условием, что А', .... СУ должны быть действительными, а А" СУ—
чисто мнимыми величинами; первые соответствуют обычным трёхмерным
вращениям, вторые — пространственно-временным вращениям. Поэтому
сопряжённость выражений в B2) является лишь кажущейся, в действительности же,
например, ввиду мнимости величин А" . .. действительные части а и 8, т. е.
D' -\-1С" и D — 1С", не равны друг другу. На основании A8) между восемью
параметрами А', ..., D" имеются ещё два соотношения. Эти соотношения
могут быть получены подстановкой B4) в A8) и отделения действительных
и мнимых частей:
ArA" + B'B// + C/C-{-DrCyr = O. I *
(Заметим при этом, что величины А ..., по определению, являются
отрицательными действительными числами.)
Объединим восемь элементов А' D" в гиперкомплексной форме.
Для этого можно воспользоваться восемью единицами бикватернионной группы
из равенства (IV.5.4), которые мы несколько модифицируем и расположим
в следующем порядке:
где обозначено (отрицательный знак удобен для последующего):
Т —
Укажем при этом, что умножение на — 1, как это замечено на стр. 203,
должно быть добавлено к группе. Отнесение этих единиц f к восьми
параметрам вращения А', , D" очевидно: первые четыре должны
соответствовать обычным пространственным вращениям (следует обратить внимание на
закон образования индексов у iik) и должны быть отнесены к параметрам
А', ..., СУ; последние четыре должны соответствовать пространственно-
временным вращениям (появление индекса 4) и должны быть в порядке своего
расположения отнесены к параметрам А', .... D".
Следовательно, полагаем:
S = Таз^' 4- Tsi^' + Т хоС + D' + Т иА' + Т24£Г + 7мС"+-[СТ. B6)
Обратный бикватернион запишется в виде:
S-1 = - ч*А' - 1пВ' - Tl2C + D'- 1иА* - Ъ*В" - т з*С + -fD". B7)
Для доказательства образуем выражение
Приняв во внимание, что
получим:
SS-1 = /l/2 + i4/'2+ ... + D'2'+ СГ2 + 2ч(А'А"+ ... +D'Cf).
Это равно единице ввиду условий B5). Тем самым B7) доказано.
Теперь соберём также и координаты произвольной пространственно-
временной точки до и после преобразования Лоренца в виде четырёхмерных

171 относитрльно параметров клейна а, $, "(, 8 639
векторов:
Утверждается, что общее преобразование Лоренца, определяемое
параметрами А', .... D'; А", ..., D", представляется через бикватернионную
формулу в виде:
R' = SRS-1. B9)
Прежде всего убеждаемся непосредственно, что из B9) получаете»
характерное для лоренц-инвариантности соотношение
Я'г = Ла, B9а)-
где
/?a = 2*i = *2+/ + sJ — Л" и т. д.
Кроме того, вычислением можно убедиться, что формула B9) при
содержащихся в B6) и B4) соотношениях между S и a, f, f, 8 точно согласуется"
с представлением преобразования Лоренца, даваемого первоначальными
равенствами A5)—A7). Это сейчас будет показано на конкретном примере C0),-
Формула B9) опять-таки является наиболее компактной формой записи
общего преобразования Лоренца. Если бы мы раскрыли эту формулу, исполь-
вуя соотношения между f. то путём сравнения коэффициентов при fi> • • •< 7*
в правых и левых частях равенства получили бы линейное представление х'
через х с коэффициентами, которые и в этом случае зависели бы квадратично-
от А', ..., D" и могли бы быть представлены в виде тригонометрических
функций целых углов Эйлера в, ..., а также целых мнимых углов
вращения 0, ...
В рассмотренном в A9) частном случае преобразования Лоренца
(вращение в плоскости х3, xj общее представление (IV.6.35), записанное с S
вместо Т, приводится к виду:
А .£
5 = ет*2, 5-1=в~™2. C0>
Далее, на основании B6) имеем:
А' = В' = С = А" = В" = D" = 0.
и ввиду B4) можем написать:
~*
= 0.
4 = 0. o = cos^ — /sin^=e"'~.
Это согласуется с равенствами B2), B3). Одновременно формула B9) после
внесения в неё C0) и соответствующего преобразования посредством
сравнения коэффициентов при fv .... -ц даёт точно равенства A9).
Следовательно, на этом примере подтверждено согласие между операторным
представлением B9) и первоначальным представлением через параметры.
В. Вопросы двузначности, спинорное исчисление. Вместо
выбранного в A5) разложения на множители мы могли бы, очевидно, также
положить:
р = = \. C1)
— z х—ly

690 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНРНИЯ
Эта величина к (обозначение с точкой соответствует спинорному
способу написания), как это показывает сравнение с A5), равна 1/л* и,
следовательно, не может быть получена из А. при помощи линейного
преобразования 1) и поэтому должна быть введена в качестве новой переменной. Точно
так же A0) можно заменить соотношением
Величины л и а' являются комплексными параметрами второго семейства
«производящих» двумерных плоскостей светового конуса, которые при
преобразовании Лоренца преобразуются друг в друга. Поэтому и в этом
случае имеет место линейное соотношение вида:
Сравнение с равенством, сопряжённым с A7), и учёт связи между а, а'
и а*, а*' приводят к соотношениям:
6 = о', т = р', ? = f, i = o*. C4)
Замена а через к означает в пространстве координат х, у, г, ct
преобразование с детерминантом —1, т. е. на основании A5) и C1) отражение
в плоскости г. Собственно группа Лоренца охватывает только
преобразование с детерминантом -|- 1. Если мы включаем также и отражение, то тем
самым расширяем группу Лоренца. Уравнение Дирака инвариантно
относительно этой расширенной группы Лоренца. Операции абстрактной теории
спиноров, которая была развита как наиболее подходящий для теории Дирака
аппарат и впервые приведена в систему Ван-дер-Варденом "), проводятся
в пределах этой расширенной группы. Переходя к однородной записи и
полагая а=-^-, а = kjk\,' получим в качестве наиболее общего
преобразования спиноров линейную связь между нештрихованными и штрихованными
четырьмя величинами kv а2, kv л2, которая в случае собственной группы
Лоренца распадается на две пары уравнений:
Aj = eAj -j- ,ЗЛ2, Xi = a Xj —|— р X2,
где коэффициенты связаны соотношениями C4).
!) В противоположность трёхмерному случаю, где при соответствующей
перегруппировке в A) соответствующая величина i становится равной —л.
а) В а и-д е р-В а р д е и, Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсорбция в атмосфере звбзд
478
Азимутальное квантовое число
по Дираку 234, 239. 240. 243
Амальди 586
Амплитуда вероятности 52, 173
Аномальный эффект Зеечана 362
Антисимметрии собственных
функций э51
Араки 351. 553
Атом водорода 70
■ нон отрицательные 574,
575
Атомный фактор 340, 511
Бальмера серия, интенсивность 90
— терм 72
Баркла опыт 287
Бартон 476
Бекер 582
Бесселя функция 25
Бете 343, 348, 399. 406, 575
Бете — Гайтлера формула 467
Бете 270. 468
Вечер 253. 597
Бнкватериионов группа 205, 233,
688
Блитон 612
Блекег 564
Блох 518, 588
Бовен 60
Бозе статистика 525, 557, 560
Бом 451
Борз магнетон 98, 189
. волновомеханнческое аиа-
чение 98
Бори 51, 161
— приближение 328
, условие применимости 335
Боте 468, 4Ь0
Бриллуэн 588, 592
Б>ркхардт 51а. 519
Буш 582. 591
Валлер 307, 480
Ваи-дер Варден 690
Вариационный принцип 567.606,
609, 605
в теории Днрака 665
в форме Шредннгера 609
, применение в методе Хил
лерааса 567
Вейль. калибровочная
инвариантность 606
— ■ ортогональность и
нормировка собственных функций
непрерывного спектра 108
Велькер 330
Вентцель. удар электронный ре-
литиешстский 566
— , формула рассеяния 398
— , фотоэффект 372, 373
■—. эффект Комптона иа
связанных электронах 480, 507,
511
— , эффект Штарка второго
порядка 307
Вентцеля — Крамерса —
Бриллуэн» метод 592, 597
Вероятности амплитуда 52, 173
Вигнеп 588
Вигиер, теория групп 371, 525
Вильячс 384
— , электронный удар 566
Вин 423
Виривла теорема в волновой
механике 148 636
Водорода атом 70
, ион отрицательный 574,
575
— молекула 553
, ион положительный 574,
576
Воллан 512, 516
Волновое уравнение 12, 40
для сил без потенциала 41
. завнсишее от времени 43,
44
Волновой пакет 141
Вращательная полоса 129
Вращательно колебательный
■ спектр 129
Вращательный спектр 129
Вырождение 73. 580
— в теории возмущений 297, 363
— обменное 526
Гайтлер 270. 468
Гамильтона механика и оптнка
10
— оператор 41, 145, 150
— функция электрона 603
Гамма функция, интегральное
представление 631 6J2
Ганкеля функция 27, 472
— — как предельный случай
гнпергеометрнческой функции
683
Гаудсмит и Улленбек, гипотеза
о спнне 189
Гауссово распределение
вероятностей 141
Гебауэр 308
Гейгер 480
Гейзенберг, комптоиовское
рассеяние 512
— , матричная механика 161
—, соотношение
неопределенностей 170
— , спектр гелия 523 и др
Гелия спектр 523 и др
, обменное вырождение 526
— — . орто и парасостояния 526
Геллмаи 289
Герни 135
Гертсман 566
Герца диполь 59 и др
Гипергеометрическая функция 76
, асимптотическое поведе
нне 674. 677
, вырожденная 77
, интегральное
представление 674. 677
Гиперкомплексные единицы 186
, матричное представление
660
, систематика 215, 232
— 7-единицы 203, 205
Гомбаш 588
Гордон, интенсивность комито-
новской линии 479
—, формула тонкой структуры
239
— , четырехмерный вектор тока
в теории Дирака 197
Грнна теорема 45
для собственных функций
дискретного спектра 635, 638
— — — — — непрерывного
спектра 107
, обобщённая форма 608
— функция 330
Гронваль 526
Группа бикватернионов 205, 233,
688
— кватернионов 205, 233
— Лоренца 690
Групповая скорость 93. 598
Группы изоморфные 205
Даймеид 288
Данхем 599
Дарвин 25, 239. 362
Двойственности принцип 13
Дебай 512
Де Бройль 13
Делитель нуля 210
— — , нормированные на единицу
212
самосопряжённый 212
степени '/i. ',„ ' ,а Л1
Деинисон 555
Деполяризация рентгеновских
лучей 434, 441
Десландра терм 129
Детерманн 462
Лжентнль 586
Лжермер 13 343
Джонсон, закон подобия 399
Диамагнетизм 91. 99, 586
Диамагнитный момент атома 100
Диполь Герца 59 и др
Днрака теория возмущений 324
— уравнение 187
— — для плоской волны 199
. инвариантность
относительно преобразований Лоренца
219
, итерация 233
, обменный эффект 587
, плотность, ток 197
сопряжённое 195
Дисперсионная формула 313, 314
Дисперсия 408
Дистель 335
Дифференциал собственный 108
Дэвиссон 13, 343
Дю-Монд 516
Егер 468
Единицы гиперкомплексные 166
— — , матричное представленн*
660
— Хартри 128
Задача Кеплера 70
, правило отбора 86

692
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗ МЕЛЬ
Задача Кеплера, формула тонкой
структуры 229. 667
Закон движения центра тяжести
146. 655
— площадей 146. 555
— подобия 399
Заутер 32 215 249. 275. 288. 374
Зеечана эффект 91
— — аномальный 362
— — при дипольном и квадру
польном излучении 612, 613.
622
Зейтц 588
Иенсен 588
Излучение дипольное 59, 616
— — магнитное 618, 621
— квадрупольное 60. 610. 612, 616
, правила отбора 619
— мультипольное 60. 610
— октупольное электрическое 60
Июморфные группы 205
Имтльса оператор 40, 143
Инвариантность калибровочная
606
Интеграл обменный 531
— по двойному контуру 673
— ЭЛри 683
Интегральное представление
I функции 631. 632
Интенсивность в сплошном
рентгеновском спектре 434
— излучения осциллятора 63
— линии Кочптона 480
— линий 556. 560
— перехода 54
— серии Бальмера 90
Итерация уравнения Дирака 233
Казнмир 513
Калибровочная ниваризитиость
606
Капиеллер 519
Квадрупольное излучение 60. 610.
612. 616
— — , правило отбора 619
Квантовые числа, переход от
днраковских к шредингеров
скич 240
Кватернионов группа 205, 233
Кватернионы 686
Кеплера задача 70
правило отбора 86
Кикучи 344
Киркпатрик 479, 518
Кирхнер 373, 374
Клейн О 181. 308
Клейн Ф 684
Клейна — Нншииы формула 504
Клейна парадокс 270, 275
Клиффорда теорема 605
— числа 215
Комбинационное рассеяние 321
. правило отбора 322
Комбинационный спектр 521
Коммутирующие операторы 150
154. 230
Комптона линия, интенсивность
— полоса 521
— эффект 479 486
— — . длина волны 479
. метод запаздывающих
потенциалов 489
. —матричных элементов 381
на связанных электронах
479, 507
. ширина линии 513
Кочптоновское рассеяние 512
Кондон 613
Корк 522
Коссель, обменные силы 524
Коэффициент отражения 29, 274
— поглощения в /(-оболочке 395
— прохождения 275
Крачерс 424. 474, 592, 597. 534
Кратные собственные значения
297
Кратцер 131. 641
Криволинейные координаты 644
Куленкампф 421, 442. 451
Кун 315
КэмпЛелл 614
Кюрн И и Жолио Ф 269
Кюри постоянная 100
Лагерра полиномы 612
, асимптотическое поведение
105
— — , интегральное
представление 102
, ортогональность н
нормировка 75
, производящая функция 631
. связь с гипергеометрнчв-
ской функцией 76, 104
Ладенбург 308
Лаймана серия, интенсивность
87
Ландсберг 322
Ланжевена формула для
диамагнетизма 99
Лапорга правило 611, 621
Лармора прецессия 92
, угловая скорость 93
Лежандра шаровая функция 22
Лени 588
Линии небулня 60
— северного сияния 612
Лондон 606
Лоренца группа 690
— преобразование 228
— — вывод формулы Де Брой-
ля 16
Льюса модель восьмнэлектрои-
иых оболочек 126
Магнитои Борв 98. 189
. волновомсханнческое
значение 98
Магнитный момент электрона
186. 189
Майер—Лейбниц 480
Макленан 615
Малюса опыт 288. 292
Мандельштам 322
Масса позитрона 270
Матрица эрмитова 54, 163
Майорана 586
Матричная механика 161
Матричное учиоженне 162
Матричный элемент 52
в представлении Дирака
Мауэ 350, 474
Мейксиер 357
Мейснер 239
Мейтнер 506
Мембраны колебания, кратные
собственные значения 297
Месси 341, 444
Метод Вентцеля—Крамерса—
Бриллуэна 592. 597
— запаздывающих потенциалов
489
— перевала 391. 680
— полиномов 22, 599
— самосогласованного поля 589
— стационарной фазы 591
— Хартрн—Фока 591
— Хиллерааса 567
— электродинамических
потенциалов 55
Молекула водорода 553
, нон положительный 574,
576
— , симметричный волчок 135
Момент диамагнитный атома
100
— магнитный электрона 186, 189
— парамагнитный атома 100
в случае незамкнутых
оболочек 126
— электрический 53
Морзе формула 641
Мотт 861
— . «двойное рассеяние» 288
— формула 341
Мультнпольное излучение 60, 610
Небулия линии 60, 612, 614
Неопределённостей соотношение
167, 170, 171
Hevnpyroe столкновение 332
Нормировка волновой функции
48. 632
— и ортогональность
собственных функций дискретного
спектра 634
— — — — — непрерывного
спектра 107. 634
— радиальных дираков^ки*
функций 253
Обменное вырождение 526
Обченные силы 524
Обменный эффект 523
— — в атоме 1омаса — Фермв
587
в молекуле водорода 536,
549
— — . метод Хартри—Фока 591
Образование пар 269
Оже 374
Октупольное электрическое
излучение 60
Оператор Гамильтона 14, 145,
150
— импульса 40, 143
— момента количества движения
153. 156. 656
— полного момента количеств»
движения 230
— сопряжённый 158
— спнна 189, 283
—, среднее значение 143, 146
Оператора диагональная форм*
155
Операторы коммутирующие 150.
154, 230
Оппенгейчер 424
Опыт Баркла 287
— Малюса 288, 292
Ортогональности условие 49,
75
в теории возмущений 294,
300
радиальных днраковских
функций 253
Ортогональность н норчировкэ
собственных функций 107, 634
Орто и параводород 553
Орто и паратермы атома гелия
521. 530
Осциллятор в матричной
механике 161
— в плоскости и пространстве
36
— линейный гармонический 34
— , ортогональность
собственных функций 62
Осциллятора интенсивность
излучения 63
— сила 313
Отдача при фотоэффекте 388
Отклонение влектронов вперед
383
Отражение полное 276
Отражения коэффициент 29.274
Параболические координаты 114,
301
Парадокс Клейна 270, 275
Пара- и ортоводород 553
Пара и ортотермы атома гелия
521. 530
Парамагнетизм 91. 100
Парамагнитный момент атом»
100
в случае незамкнутых
оболочек 126

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
693
Паули и Вейскопф, плотность
заряда 184
— принцип 525, 549
— уравнение 193. 205
, приближённое решение
209. 236
Периодическая система 583
Плачек 323
Плотность и ток,
математическое ожидание 51
— спина как четырСхвектор
224
— чвстиц 45
релятивистская 184, 198
смешанная 49
Поглощения коэффициент в К-
оболочке 395
Позитрон 268
— масса 270
Полиномов метод 22, 599
Полиномы Лагерра 74
. асимптотическое
представление 105
. интегральное
представление 102
, ортогональность и
нормировка 75
. производящая функция
631
, связь с гнпергеометрнче-
ской функцией 76. 104
— Якоби 140
Поляризации правило 54
Поляризация волн материн
282
— в сплошном реактивном
спектре 434
Поперечное сечение
дифференциальное 332
полное 332
при тормозном излучении
Порог потенциальный 27. 30
Постоянная Кюпи 100
Поток частиц 45
релятивистский 184. 198
Правила отбора 54
в теории Дирака 254
для гармонического осцил
лятора 322
— мультипольного излуче
ння 610. 619
— — магнитного излучения 621
Правило Лапорта 611, 621
— поляризации 54
— сумм 314
Преобразование Лоренца 226
— спииорное 229. 690
Прецессия Лармора 92
— — . угловая скорость 93
Приближение Борна 328
Принцип вариационный 606, 609
в теории Дирака 665
— — в форме Шредингера
609
— — применение в методе
Хнллерааса 567
— двойственности 13
— дополни гельнпстн 13
— Пнули 525. 549
Прицельное расстояние 342
Прозрачность 24. 27">
Пространство конфигурационное
50
Про iecc поглощения 478
Разетти 323, 586
Рнчан V2
Рассеяние комбинационное 321
— — правило отбора 322
— одинаковых частиц 560
— релееаское 321
Pavui фон Тра\нберг 408
Резерфордв формула 336
— — обобщение на случай ней
трального атома 339
Резонансная катастрофа 295
Рей 522
Рейнольде групповая скорость
599
Рейхе 135
Рекуррентная формула
двухчленная 601
— — трехчленная 603
Релеевское рассеяние 321
Релей 294
Ресгелли—Саундерса связь 611
Ридберга поправка 122
— постоянная 85
— терм 122
Рикатти уравнение 592
Ритц 574
Рихардсон 423, 539
Робертсон 651
Ромберг 574
Росс 479. 518
Ротатор в плоскости 38
— в пространстве 17
Рубинович 62. 614. 615
Самосопряжённость, общие
условия 607
Свартхольм 578
Сегре 6П. 614
Серии спектральные одного
оптического электрона 120
Серия Лаймвна. интенсивность
87
Сечение поперечное
дифференциальное 332
полное 332
при тормозном излучении
468
Сила осциллятора 313
Силы обменные 524
Симметрия сферическая
замкнутых оболочек 124
плотности в теории
Дирака 254
— -термов 82
Система периодическая 583
Скорость групповая 15, 598, 599
— фазовая 14
Смекаль 321
Соотношение неопределённостей
167
, гауссово распределение
169
— — . связь с фазовым
интегралом 170
Сопряжённое дифференциальное
выражение 46. 607
Сопряженный оператор 158
Спектр вращательно-колебатель.
ный 129
— врлшательный 129
— гелня 523 и др
. обменное вырождение 526
— — , о|Пи и liai'SCUCTuNHH»
— непрерывный водорода 101
Спин электрона 190. 193
Спина оператор 189. 283
— плотность как четырёхвектор
224
Спиновая поправка 348
Спииорное нечисление 490
— преобразование 229. 690
Среднее значение оператора 143,
146
Статистика Бозе 525. 557, 560
— Ферми 525. 557 560
Статический октет 126
Стоксора и антистпксова части
в эффекте Ком п гон а 483
Столкновение неупругое 332
— упругое 331
Сугнура 524. 548
Такамиие 308
Теллер 576
Темпль 215. 248
Теорема внрнала » волновой
ыеханнке 148, 656
Теорема Грина 45
для собственных функций
дискретного спектра 635
— — — непрерывного
спектр в 107
, обобщённая форма 608
— Клиффорда 665
Теория возмущений Дирака
324
, применение к
фотоэффекту 40R
Шредингера 293
— дисперсии 308. 314
— представлений 171
— столкновений 328
, иеупругий удар 332
. упругий удар 331
Терм Вальмера 72
— Десландра 129
Тибауд 270
Ток, определение 47
— в теории Дирака 197
— смешанный 49
Токв вектор четырёхмерный 195,
197
Томас 578
Томсои 288. 344
Торможен не протона 475
Туннельный эффект 31
Удар неупругий 332
— упругий 331
Уизольд 478
Уравнение волновое 12 40
для сил без потенциала
41
— — . зависящее от времени 43,
44
— Дирака 187
для плоской волны 199
— — . инвариантность
относительно преобразований
Лоренца 219
. итерация 233
, обменный эффект 587
, плотность, ток 197
сопряжённое 195
— непрерывности 47. 182, 195
— Паули 193. 205 209
— Шредингера релятивистское
179
Уровни энергии отрицательные
259
электрона 267
Фазовая скорость 14
Фактор атомный 340, 511
фаулер 589
Ферми 578 584. 585
— статистика 525, 527, 560
Фишер 374
Фогт 370
Фок 591. 606
Формула Бете—Гайтлера 467
— дисперсионная 313, 314
— Клейна - Нншины W4
— Ланжевена для диамагнетнэ-
Md 99
— Морзе 641
— Мотта 341
— рассеяния 338
— Резерфорда 336 и д.
— рекуррентная 601, 603
— тонкой структуры 229. 239. 353.
667
Фотоэффект 372. 373
— в оболочке 401
Фразер 123
Франц 215. 232. 513. 522
Френкель 190. 406
Фпрпихс E14
Функция Бесселя 25
— Ганкеля 27. 472
— — как предельный случай ги
пергеочетрнческой функции
683
— гипергеометрнческая 76. 77,
247

694
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция гипергеометрическая,
асимптотическое поведение 674,
677
, интегральное
представление 672, 673
— Грина 330
— Лежандра шаровая 22
— шаровая 19. 22. 24. 84, 78.
140. 625, 632
— электрона Гамильтона 603
Фюсс 108. 344
Хансен 553
Характер антисимметрии 550
Хартри единицы 128
Хартри—Фока метод 591
Хиллерааса метод 567
Хунд 140. 588
Хупфельд 506
Хустои 239
Хюльтеи 588
Цваан 597
Чадвик 557. 564
Чао 578
Частота рассеянного взлучения
321
Чемпион 563. 564
Числа Клиффорда 215
Число квантовое азнчутвльиое
по Дираку 234. 239. 240. 243
— и\лей ортогонального
полинома 82
Число нулей радиальной
собственной функции 81
Шаровая функция 19. 22, 24.
МО
второго рода 632
, нормировка 64
, производящая функция
625
— — , рекуррентная формула
625
, связь с гипергеометриче-
скнмн функциями 78
, собственные значения 22
, теорема сложения 125
Шварцшильд 477
Шерцер 389. 425
Шестивектор ц 223
Шлатерер 371
Шнайдт 517
Шредингер 10
— . теория возмущений 293
Шредингера уравнение
релятивистское 179
Штарка эффект 301
высшего порядка 305, 309
Эвальд 348
Эддингтои 215
Эйри интеграл 683
Эккарт 32
Электрона магнитный момент 186.
Электрона спин гЭО, 193
Эмден 586
Энергии уровни отрицательные
259
— электрона 267
Эренфеста теорема 148
Эрмнта полиномы 33
, нормировка 61
, производящая функция
631
, связь с вырожденной, гя-
пергеонетрической функцией
78
Эрмитова матрица 54, 163
Эффект Зеемаиа 91. 382. 612,
622
— Комптона 479. 488
— обменный 523
в атоме Томаса—Ферми 587
549
в молекуле водорода
536
, метол Хартри — Фока 594
— туннельный 31
— Штарка 301
высшего порядка 305, 309
Юкава 471
Юри 557
Якоби полиномы 140

Зоммерфелъд Арнольд
СТРОЕНИЕ АТОМА И СПЕКТРЫ
Редакторы: В. Т Хозяинов и Ю. М. Бутусов
Техн. редактор Н. А. Тумаркина
Корректор Г. Г. ^Келтова
Сдано в набор 21/1 1956 г. Подписано к печати
24/VI1 1956 г. Бумага 70x108/,,. Физ. печ. л. 43,5.
Услови. печ. л. 59,59. Уч.-взд л 52,42.
Тираж 10000 вкз. Т-04429. Цена книги 28 р. 20 к.
Заказ Н> 968
Государственное издательство
технико-теоретической литературы
Москва, В-71 Б Калужская. 15.
Министерство культуры СССР. Главное управление
полиграфической промышленности.
4-я типография ны. Евгении Соколовой.
Ленинград. Измайловский пр., 29

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
.ГОСТЕХИЗДАТ-
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ КНИГИ:
Веселов М. Г., Элементарная квантовая теория атомов
н молекул, 1955, стр. 184, ц. 3 р. 95 к.
Власов А. А., Макроскопическая электродинамика, 1955,
стр. 228, ц. 5 р. 40 к.
Вонсовскнй С. В. и Шур Я. С, Ферромагнетизм, 1948, стр. 816,
ц. 30 р. 80 к.
Гольданскнй В. И., Новые элементы в периодической
системе Д. И. Менделеева. Издание второе, переработанное и
дополненное. 1955, стр. 168, ц. 2 р. 85 к.
Грошев Л. В. н Шапнро И. С, Спектроскопия атомных ядер,
1952, стр. 440, ц. 17 р. 40 к.
Ельяшевнч М. А., Спектры редких земель, 1953, стр.456,
ц. 21 р. 60 к.
Льюнс В. Б., Методы электрического счета альфа- и
бета-частиц. Перевод с аигл. Н. Н. Воронова, под ред.
Г. Д. Латышева. Изд. 2-е, 1949, стр. 164, ц. 3 р. 85 к.
Фок В. А., Теория пространства, времени и тяготения,
1955, стр. 504, ц. 16 р. 85 к.
Книги продаются в книжных магазинах н высылаются также почтой
наложенным платежом, без задатка всеми республиканскими, краевыми
и областными отделениями «Книга — почтой».