/
Теги: математика
Текст
П.С. АЛЕКСАНДРОВ
КУРС
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
Допущено Мин acre pet лом высшего
и среднею специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
МОСКВА -.НАУКА.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
22151.5
A 40
УДК 516
Александров П. С. Курс аналитической геометрии
и линейной алгебры. — М.: Наука, Главная редакция физико-ма-
физико-математической литературы, 1979, 512 с.
Книга представляет собой учебник по объединенному курсу
аналитической геометрии и линейной алгебры для университетов.
Наряду с традиционной тематикой книга содержит основные све-
сведения из многомерной аналитической геометрии, включая аффин-
аффинную классификацию гиперповерхностей второго порядка. Кроме
того, в книге излагаются простейшие понятия геометрии /i-мерного
проективного пространства.
Книга рассчитана на студентов-математиков и студентов-фи-
студентов-физиков университетов и пединститутов, а также на все категорин
читателей, серьезно интересующихся математикой,
Табл., илл. 133.
20203-132
053@2)-79 У
1702040000
© Главная редакция
физико-математической
литературы издательстве
«Наука», 1979.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Ч А С Т Ь I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9
Глава I. Простейшие понятия аналитической геометрии 9
§ 1. Векторы на плоскости и в пространстве 9
§ 2. Проекции 14
§ 3. Коллинеарные и компланарные пскторы; координаты Еектора
относительно данного бачисл 18
§4. Координаты им млоскосш » и пространстве 23
§ 5. Прямая линия в плоскости 41
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве 55
Глава П. Парабола. Эллипс. Гипербола 69
§ 1. Парабола 69
§ 2. Эллипс 72
§ 3. Гипербола 75
§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы 80
§ 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах 85
Глава III. Преобразование координат. Движения и аффинные преобра-
преобразования 89
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой ... 89
§ 2. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой. 91
§ 3. Ориентация пространства (плоскости) 96
§ 4. Углы Эйлера ЮЗ
§ 5. Определение движения и аффинного преобразования плоскости
и пространства 105
§6. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоско-
плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразо-
преобразований ..... 107
§7. Аналитическое выражение аффинных преобразований 113
Глава IV. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плос-
плоскость и комплексное пространство 116
§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей 116
§ 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании
координат 119
§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей 124
§ 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство 126
§ 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конл-
ческие поверхностн, Поверхности вращения 132
1»
ОГЛЛПЛГПИЕ
Г лапа V. Различные виды кривых второго порядка 140
§1.0 линиях, определяемых удлинениями шорам степени с двумя
неизвестными 141
§ 2. Инварианты многочлена второй степени 145
§ 3. Центральный случай 150
§4. Параболический случай: 6 = 0 153
§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка 156
Глава VI. Общая теория кривых второго порядка 160
§ 1. Асимптотические направления кривых второго порядка .... 160
§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотичес-
неасимптотического направления Касательные 165
§ 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического
направления. Геометрическая Характеристика асимптотических
и неасимптотических направлений 167
§ 4. Центр кривой второго порядка 169
§ 5. Диаметры кривой второго порядка 172
§ 6. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и каса-
касательные 174
§ 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные
направления 178
§ 8. Теорема единственности для кривых второго порядка. О полноте
системы ортогональных инвариантов 181
§ 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка 186
§ 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях 192
Глава VII. Краткое описание различных видов поверхностей второго
порядка 195
§ 1. Распадающиеся поверхности 195
§ 2. Цилиндрические поверхности 197
§ 3. Конусы второго порядка 198
§ 4. Эллипсоиды и гиперболоиды 201
§ 5. Параболоиды 203
§6. Прямолинейные образующие 212
Глава VIII. Общая теория поверхностей второго порядка. I 218
§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена вто-
второй степени 218
§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью . . . 220
§ 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптоти-
Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плос-
плоскость. Особые точки поверхности второго порядка 222
§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотическик направ-
направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго поряд-
порядка 226
§ 5. Центр поверхности второго порядка 235
Глава IX. Общая теория поверхностей второго порядка. II 240
§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления 240
§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов . . . 247
§ 3. Сопряженные направления 251
§ 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно коорди-
координатной системы с сопряженными направлениями осей 253
§ 5. Теорема единственности 254
§ 6. Главные направления 257
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго
порядка 264
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка . . . 275
ОГЛАВЛЕНИЕ "
Глава X. Проективная плоскость. Кривые второго порядка на проек*
тивной плоскости 280
§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой ... 281
§ 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке 283
§ 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость,
общее определение проективной плоскости 288
§ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости ...._. 292
§ 5. Проективная система координат в связке и на проективной
плоскости 296
§ 6. Проективные преобразования и отображения проективной плос-
плоскости 304
§7. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема
единственности , . . . . 315
§ 8. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные;
асимптоты 320
§ 9. Проективная классификация кривых второго порядка 325
Ч А С Т Ь II, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Г л а и а XI. Линейные пространства 330
§ 1. Определение линейного мроетрлнпнп 330
<$ 2. 1'л 1ме|И1оеи,. lid шс. Копрцшшы 335
§3. Теорем,1 об июморфизме между любыми двумя линейными про-
сгранешами одной и той же размерности 338
§ 4. Подпространства линейного пространства. Дальнейшие теоремы
о линейной зависимости векторов и о базисе линейного про-
пространства 339
§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств 344
§ 6. Теорема о ранге матрицы 346
§ 7. Системы линейных однородных уравнений 349
§ 8. Комплексификация и овеществление 354
Глава XII. Аффинное я-мерное пространство 358
§ 1. Определение n-мерного аффинного пространства 358
§ 2. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство,
Изоморфизм всех л-мерных пространств между собой 360
§3. /¦-мерные плоскости «-мерного аффинного пространства; г-мерпые
иярпллелепипеды 362
§ 4. Гсомарически независимые сислеми ючек. Барицентрические
координаты Симплексы 366
§ 5. Системы линейных уравнений 372
Глава XIII. Линейные отображения 378
4 1. Определение и простейшие свойства линейных отображений 378
* 2. Матрица линейного отображения 380
§ 3. Действия с линейными операторами 382
§ 4, Ядро и образ линейного оператора 384
§ 5. Инвариантные подпространства и собственные векторы линей-
линейного оператора 387
Глава XIV. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линей-
линейных пространствах 395
& 1. Линейные функции 395
§ 2. Билинейные функции и билинейные формы 400
§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразова-
преобразование при переходе к новому базису 403
ОГЛАВЛЕНИИ
§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадран
тичной функции) 406
§ 5. Существование канонического базиса для всякий килдратичной
и всякой билинейной функции (<прнведение ки.|др<иичмых форм
к каноническому виду>) 408
§ 6. Нормальный вид квадратичной формы 412
§ 7. Закон инерции для вещественных квадратичных форм .... 413
§ 8. Положительно определенные квадратичные функции и формы 414
Глава XV. Каноническая форма линейного оператора 419
§ 1. Жорданова форма 419
§ 2. ^.-матрицы. Элементарные преобразования ^-матриц 421
§ 3. Нормальная форма Х-матрицы 423
§ 4. Теорема о приведении матриц оператора к канонической форме 428
Глава XVI. Евклидовы и унитарные пространства 432
§ 1. Положительно определенные эрмитовы функции в линейном
пространстве 432
§ 2. Евклидовы и унитарные пространства н их простейшие свойства 436
§ 3. Подпространства унитарных и евклидовых пространств. Ортого-
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция , . 439
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве 442
§ 5. Структура произвольного линейного оператора в евклидовом
пространстве 447
Глава XVII- Преобразования аффинного пространства 450
§ 1. Аффинные преобразования 450
§ 2. Движения аффинного евклидова пространства ......... 454
§ 3. Классификация движений 457
Глава XVIII. Гиперповерхности второго порядка в л-мерном аффинном
пространстве 463
§ 1. Общая теория гиперповерхностей второго порядка 463
§ 2, Классификация гиперповерхностей второго порядка 471
Г ла в а XIX. Элементы геометрии n-мерного проективного пространства 479
§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые 479
§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования .... 481
§ 3. Гиперповерхности второго порядка в л-мерном проективном
пространстве. Теорема единственности 486
§ 4. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка 490
§ 5. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго
порядка в трехмерном пространстве 495
Предметный указатель 505
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой учебник объединенного
курса аналитической геометрии и линейной алгебры для
университетов.
Книга состоит из двух частей. Первая часть пасвя*
щена собственно аналитической геометрии и включает
п себя пер шло дгеять глан книги. Во второй части
(глины XI —XIX) нзла1ается обязательный материал
из линейной алгебры и основные сведения из многомер-
многомерной аналитической геометрии, включая простейшие поня-
понятия геометрии n-мерного проективного пространства.
Исходя из реальных целей университетского препо-
преподавания, а также будучи стесненным требованиями
объема, я отказался от дублирования материала, вхо-
входящего в обязательный университетский курс алгебры.
В первую очередь это относится к теории определите-
определителей и матриц, а также к некоторым частным вопросам
теории систем линейных уравнений.
Книгу эту, нредмтплчонную для университетских
студентов-первокурсников, я старался писать так, чтобы
она была доступна каждому студенту —при единствен-
единственном условии, что он вообще склонен к математике
и желает серьезно заниматься ею.
Из вещей, не входящих в программу средних клас-
классов общеобразовательной школы, этот «Курс» предпо-
предполагает лишь знание комплексных чисел, так что книга
может служить и целям самообразования; я думаю, что
она доступна всем тем учащимся старших классов сред-
средней школы, которые любят математику, интересуются
ею и готовы шаг за шагом ее изучать, не стремясь
ПРЕДИСЛОВИЕ
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕСЩЕТРИЯ
во что бы то ни стало начинать это изучение с пости-
постижения так называемых «последних слов науки».
Приношу искреннюю благодарность рецензентам этой
книги — профессору Льву Дмитриевичу Кудрявцеву
и академику АН ГрузССР Георгию Северьяновичу Чого-
швили за ценные советы и замечания, которые немало
послужили улучшению предлагаемой читателю книги.
Кроме того, я очень благодарен Алексею Серапионо-
вичу Пархоменко за чрезвычайно ценные советы по пер-
первой части этой книги. Его советы и предложения ока-
оказали большое влияние на ее окончательное формирование.
Наконец, я благодарен моему ученику, научному
сотруднику кафедры высшей геометрии и топологии
Московского университета кандидату физико-математи-
физико-математических наук В. И. Зайцеву за многообразную помощь,
оказанную им при моей работе над этой книгой.
П. Александров
Москва,
27 декабря 1978 г.
ГЛАВА I
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Векторы на плоскости и в пространстве
1. Определите. Ллм-Сциические операции над векторами. Направ-
Направленным о/и/"»"" ii.iii.mil loi упорядоченная пара точек Р и Q
пространстп.1 Псрп.ш hi двух точек называется началом направ-
направленного отрока, тория—его концом. Направленный отрезок
называют короче вектором.
Вектор с началом Р и концом Q обозначается через PQ, точка Р
называется точкой приложения вектора PQ.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуле-
нулевым вектором и обозначается через 0 = АЛ (точка А при этом
любая). Направление нулевого вектора не определено. Расстояние
между точками А и^В называется длиной или модулем вектора АВ',
модуль вектора АВ обычно обозначается через | АВ |.
Определение (рлиспство векторов). Вектор АВ равен век-
вектору CD, если пыполтчк» одно из следующих условий:
1° А = В и С = D. __
2° АфВ; точки С и D принадлежат прямой АВ, причем \СЪ\ —
= \АВ | и точка D лежит с той же стороны от С, с какой точка В —
от А (рис. 1).
3° А, В, С, D — четыре различные точки, никакие три из кото-
которых не принадлежат одной прямой; прямые АВ и CD параллельны,
и прямая АС параллельна прямой BD (рис. 2). Равенство векто-
векторов АВ и CD записывается так: AB — CD. Отметим следующие
свойства отношения = между векторами:
1. AB — CD (отношение = рефлексивно).
2. Если AB = CD, то CD — AB (отношение = симметрично).
3. Если AB = CD и CD = EF, то AB — EF (отношение = трак-
зитивно).
Ю
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ ЛНЛЛИТИЧГГКОП ГГОМЕТРИК
[ГЛ. I
Выполнимость свойств 1—3 часто формулируют и следующем виде:
отношение = есть отношение эквиоалаппопи.
4. Если АВ = СЬ, то АВ
СП!
5. Для любых трех точек А, В и С сущесткуот едшктненная
точка D такая, что
AB = CD.
Рассмотрим некоторый вектор АВ и обош.ншм чс|км и мно-
множество всех векторов, равных вектору АВ. Эти множество назы-
называется классом эквивалентности,
порожденным вектором АВ. Если
CD принадлежит о, т. е. если
CD — AB, то каждый вектор из и
равен вектору CD и все вектор и,
равные вектору CD, принадле-
Рис. 1.
I'm-. I1.
жат и. Следовательно, и будет также и классом эквивалент-
эквивалентности, порожденным вектором CD.
Класс эквивалентности и предстлклж-т собой моими математи-
математический объект, и мы называем этот обьскт свободным вектором,
порожденным каждым из равных между собой векторов, состав-
составляющих данный класс.
Мы будем часто писать и = АВ — CD —... и понимать под и
как любой из равных между собой векторов АВ, CD и т. д., так
и весь образованный ими "класс, т. е. свободный поктор.
Определим теперь линейные операции над свободными векто-
векторами (сложение и умножение на число).
1° Сложение векторов. Пусть даны свободные векторы ut и и2.
Приложим вектор их к какой-нибудь точке О: получим и1 = ОЛ.
Затем приложим и2 к точке А: получим щ = АВ. По определе-
определению, вектор 0В = щ называется суммой, векторов их и иа (рис. 3),
т. е.
Единственный элемент произвола, содержащийся в этом определе-
определении, есть выбор точки О —точки приложения вектора иг. Прила-
ВЕКТОРЫ ИА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
п
гая вектор щ к какой-нибудь другой точке О' (рис. 4), получим
вектор О'А' ==О~А = щ; построим вектор А'В' = щ; вектор (УВ' =
= О'А' + А'В', очевидно, равен вектору О~В — ОА-\-АВ.
Если дан вектор и = ОА, обозначим через —и свободный век-
вектор, порожденный вектором jAO. Тогда свободный вектор и + (— и)
представляется вектором 00 и,
значит, равен 0.
Рис. 3.
Ряс. 4.
Теорема 1. Сложение векторов обладает следующими свойсгп'
вами:
1. Для любых двух векторов и и v существует единственный
вектор u + v, называемый суммой векторов и и v.
2. Для любых и и v u + v=v-f-u (коммутативность сло-
сложения).
3. Для любых u, v и w (u + v) + w — n + (v + w) (ассоциатив-
(ассоциативность сложения).
4. Существует единственный вектор 0, называемый нулевым
вектором, такой, что 0 + u = u для всех и.
5. Для любого вектора и существует единственный вектор — и
такой, что и + (—и) = 0. Вектор —и называется вектором, про'
тивоположным вектору и.
Ассоциативность сложения векторов позволяет говорить о сумме
трех векторов ux-f u2 + u3, понимая под этим вектор
v = щ + (и2 + и3) =
2) -f и3.
По индукции может быть определена и сумма любого числа век-
векторов
12
ПР0СТПП1Ш1П ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ГГЛ. I
причем u:i ассоциативности следует, что, например, в случае
четырех пскторои мы имеем
"l + Щ + Щ + = Ui + (U2 + U3 + U4) =
3) + (u3 + u4) = (ux
u,
+ u4.
При этом в силу коммутативности можно произвольно менять
порядок слагаемых.
Из сказанного вытекает следующее удобное на практике правило
сложения любого числа векторов («правило замыкающего вектора»).
Для того чтобы сложип» дан-
данные п векторов, надо записать их
в любом порядке:
приложить первьш по кто р к ка-
какой-нибудь точке О, а каждый
следующий вектор —к концу пре-
предыдущего, так что
Рис.5.
(рис. 5). Тогда сумма
... + и„ есть замыкающий
тор А
век-
векр
2° Умножение вектора на число. Определим теперь произведе-
произведение вектора и на число X. Это произведение тоже является век-
вектором и обозначается через Хи.
Если и^О и Х>0, то выберем точку А, вектор и = АВ, при-
приложенный к точке А, и такую точку С, что С лежит на прямой АВ
по ту же сторону от точки А, что и В и |Л2| = ^|ЛВ|. Тогда
Я-u — свободный вектор, порожденный вектором АВ. Если и^О
и К<.0, положим
Аи == — ((— X) и).
Наконец, положим
Ои = О для любого вектора и;
ХО => 0 для любого числа X.
Теорема 2. Умножение вектора на число обладает следую-
следующими свойствами:
1. Для любого вектора и и любого числа К существует и един-
единствен вектор Хи.
2. (Х1 + Я-2)и = ?11и-(-Л,2и для всех чисел ^ м Я4 и всех и.
3. (XjX2) и = Х1 (Х\и) для всех чисел ^ и Яа и всех и.
§ П
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
4. X (их 4- и2) = toi + Ки2 для любых векторов щ и щ и любого
числа X.
5. 1 • и = и для любого вектора а.
Выражение
где щ, .... и„ —векторы, а Х1 %„ — какие-нибудь веществен-
вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов ии и2, ...
..., и„ с коэффициентами Хь Х2, ..., Ъп. При п = 1 получаем просто
вектор вида ^и^
2. Ось. Координата вектора на оси. Пусть на прямой дан
единичный вектор, т. е. вектор, который принят за единицу изме-
измерения длин, а его направление объявлено положительным на всей
этой прямой. Тогда мы говорим, что наша прямая превращена
в ось. Можно, очевидно, сказать и так: ось есть прямая, на кото-
которой выбрана единица измерения длин и одно из двух направлений
названо поломшпельным. Г.елп что сделано, то всякий вектор длины
единица и положительного направления и будет единичным век-
вектором данной оси.
Отношение любого вектора и на данной оси к единичному век-
вектору этой оси называется алгебраическим значением или коорди-
координатой вектора и на данной оси. Алгебраическое значение век-
вектора АВ будем обозначать (АВ). Из этого определения непосред-
непосредственно вытекают следующие предложения.
1. Два вектора на данной прямой равны тогда и только тогда,
когда равны их координаты.
2. ?сли два вектора имеют одну и ту же длину, но противо-
противоположны по направлению, то их алгебраические значения имеют
один и тот же модуль, но противоположны по знаку:
(АВ) + (ВА) =0.
3. Координата единичного вектора равна 1.
Имеет место следующее предложение, являющееся лишь гео-
геометрическим истолкованием правила сложения чисел (с произ-
произвольными знаками).
4 (лемма Шаля). При любом расположении точек А, В и С на
оси имеет место числовое равенство
В самом деле, если две из трех точек А, В, С совпадают (напри-
(например, А = В или Л = С), то равенство
сводится к тождеству (АС) = (АС) или к тождеству (АВ) + (ВА) = 0.
14
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ I
Пусть все три точки А, В, С попарно различны. Тогда одна
из них лежит между двумя другими 1). Если В лежит между 4
и С, то \(АВ)\ + \(ВС)\ = \(АС)\ и векторы ~АВ, ВС и Ж имеют
одно и то же направление, их алгебраические значения имеют
один и тот же знак, значит, число (АС) равно сумме (АВ) + (ВС),
т. е. доказываемое равенство справедливо.
Пусть теперь С лежит между А и В. Тогда по только что
еамеченному
(АС) + (СВ) = (АВ),
т. е.
(АС) = (АВ)-(СВ).
Поскольку — (СВ) = (ВС), то равенство
снова справедливо.
Аналогично доказывается и третий случай, когда А лежит
между Б и С.
§ 2. Проекции
Пусть на плоскости дана прямая d и прямая d', не параллель-
параллельная прямой d.
Рис. 6
Рис, 7,
Через произвольную точку А плоскости проводим прямую d\,
параллельную прямой d' (рис. 6); она пересекает прямую d
в точке Аа, называемой проекцией точки А на прямую d вдоль
(или параллельно) прямой d'.
J) Это утверждение может служить примером одной из аксиом, принимаемый
вез доказательства при аксиоматическом построении геометрии.
ПРОЕКЦИИ
15
Если в пространстве даны прямая d и плоскость 6', не парал-
параллельные между собой, то для каждой точки А определены:
1) проекция Аа на прямую d вдоль плоскости б' —это точка
пересечения прямой d с плоскостью 6'а, проведенной через точку А
параллельно плоскости 6' (рис. 7);
2) проекция Ау на плоскость б' вдоль прямой d — это точка
пересечения плоскости б' с прямой dji, проведенной через точку А
параллельно прямой d (рис. 8).
Если дан вектор АВ, то, беря проекции Аа и Bd его начала
и конца, получим вектор AaBd, называемый проекцией вектора А~Ё
на прямую d вдоль прямой а" (рис. 9) (соответственно вдоль
плоскости б' (рис. 10)).
Рис. 8.
Рис. 9.
Аналогично вектор Аъ>Вь' есть проекция вектора АВ на пло-
плоскость б' (вдоль прямой d) (рис. 11).
Проекция вектора АВ па прямую d (на плоскость б') обозна-
обозначается через пра АВ (пр^ АВ), а иногда (когда невозможны недо-
недоразумения) и просто через пр АВ.
Перечислим простейшие свойства проекций.
1. Проекция вектора АВ равна нулю (т. е. является нулевым
вектором) тогда и только тогда, когда данный вектор параллелен
той прямой или плоскости, вдоль которой происходит проектиро-
проектирование (рис. 12).
2. Проекции любого вектора на две параллельные прямые (пло-
(плоскости) равны между собой (рис. 13).
3. Проекции двух равных векторов равны.
Пусть^ даны векторы а1 = ОА, щ —АА' и их замыкающий оек-
тор u = 0^' = u14-ua. Тогда при проектировании на прямую d
(вдоль какой-нибудь прямой d' или плоскости б') или на
ПРОСТГЙШИС ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ I
ПРОЕКЦИИ
плоскость б' (вдоль прямой d) (рис. 14)
17
т. е.
ux + u2) = npdUi + npdu2.
Виобще проекция замыкающего вектора данных п векторов \хи и2,...
..., и„ есть замыкающий вектор проекций данных векторов, или:
4. Проекция суммы двух {или более) векторов есть сумма про-
проекции этих векторов (рис. 14).
№' \d'n id.
Рис. 14.
Без труда доказывается формула
пр (ли) = X пр и
(надо рассмотреть отдельно случаи Х>0, %<,0,% = 0).
Из A) и п. 4 вытекает
A)
B)
Полученные результаты кратко объединяются в сяеду<ввфм пред-
предложении:
IS
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. t
Линейные операции над векторами (т. е. сложение векторов и
их умножение на число) переместительны с операцией проекта'
рования.
§ 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты
вектора относительно данного базиса
1. Коллинеарные и компланарные векторы. Несколько векто-
векторов называются коллинеарными (соответственно компланарными)
между собой, если все они, будучи приложенными к одной и той
же точке, оказываются лежащими на одной прямой d (рис. 15)
Рис, 15.
Рис. 16.
(соответственно в одной плоскости я (рис. 16)). В этом случае
говорят также, что рассматриваемые векторы коллинеарны пря-
мой d (компланарны плоскости я).
Теорема 3.
1. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору.
2. Если несколько векторов коллинеарны между собой, то они
и подавно между собой компланарны.
3. Каждый вектор коллинеарен самому себе.
4. Всякие два вектора между собой компланарны.
5. Пусть их — какой-нибудь ненулевой вектор. Тогда все векторы
вида Ыи где К — любое вещественное число, и только векторы этого
вида коллинеарны вектору щ.
6. Пусть на плоскости даны две прямые dx и da, пересекаю-
пересекающиеся в некоторой точке О. Тогда любой вектор и = ОЛ есть
сумма своих проекций их и и2 на эти прямые (проекции берутся
на каждую из двух прямых вдоль другой прямой).
КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
19
7. Пусть через точку О пространства проходят три прямые,
не лежащие в одной плоскости. Тогда любой вектор и = (Й есть
сумма своих проекций мъ u2, u3 на эти прямые, причем проекции
берутся на каждую прямую вдоль плоскости, несущей две другие
прямые.
Доказательство. Утверждения 1—4 являются непосред-
непосредственными следствиями определений коллинеарности и компла-
компланарности.
Доказательство утверждения 5.
Если щ — какой-нибудь ненулевой вектор, то, по определению
умножения вектора на число, вектор Xux коллинеарен вектору uv
Обратно, пусть их и и2 — два коллинеарных вектора. Прилагая их
к одной точке О, получим векторы щ = ОА1 и и2 = ОЛ2, лежащие
на одной прямой. Пусть вектор щ = 0. Тогда | ОЛг \ Ф 0, и поэтому
определено вещественное число X, обозначаемое u2: ux и называе-
называемое отношением вектора и2 к вектору uv По определению,
в знак X берется положительным, если векторы OAt и бЛг на-
направлены в одну и ту же сторону, и отрицательным — если они
направлены в противоположные стороны. Если и2 = 0, то Х = 0.
Таким образам, если u2: uL = X, то, по самому определению
умножения вектора на число, имеем щ = 'ка1. Утверждение 5 до-
доказано.
Доказательство утверждения 6.
Утверждение очевидно, если вектор и лежит на одной из наших
прямых, например на dlt тогда u = Un u2 = 0.
Пусть вектор и не лежит ни на одной из двух данных пря-
прямых. Пусть O/ij и 0/12 суть проекции пек гора и ~0Л на каждую
из наших прямых вдоль другой прямой. Тогда б Л'есть диагональ
параллелограмма, построенного на 0Л1 = и1 и 0Ла = и2, и и =я
=* щ -f u2, что и требовалось доказать.
Доказательство утверждения 7.
Можно ограничиться случаем, когда вектор и = оА не лежит
ни в одной из плоскостей, несущих две какие-нибудь из наших
трех прямых. Тогда проекции вектора и = 63 на каждую прямую
(вдоль плоскости,_^есущей две другие прямые) образуют три
ребра бАу, ¦ 0Ait ОА9 параллелепипеда с диагональю 01 и
Теорема 3 доказана.
20
ПРОГТГПШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. !
Из теоремы 3 вытекает следующая основная теорема:
Теорема 4. Пусть в плоскости даны два неколлинеарных
вектора ех и е2. Тогда каждый вектор а есть линейная комбинация
векторов ех и е2 и коэффициенты хг и хг определены однозначно
как алгебраические значения проекций вектора и на оси, несущие
соответственно единичные векторы ех и е2 (проекция на каждую
ось берется вдоль другой оси).
Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора е1(
е2, е3. Тогда каждый вектор и есть линейная комбинация
векторов elt e2, е3, в которой коэффициенты хъ х2, х3 определены
однозначно как алгебраические значения проекций вектора и на оси,
определенные единичными век-
векторами elf e2, е3 (проекция
на каждую ось берется вдоль
плоскости, определенной двумя
другими осями).
Доказательство совершен-
совершенно одинаково в обоих слу-
случаях—плоскости и простран-
пространства. Ограничиваемся случаем
плоскости. Приложим векто-
векторы <?1 и е2 к какой-нибудь
точке О (рис. 17); получим
О?'1 = е1, О?? = е2. Тогда
вектор и = ОА есть сумма
своих проекций щ = ОАг и
u2 = O/42 на прямые, несущие векторы ег и еа, причем векторы щ
и щ однозначно определены условием и = щ + щ и требованием
коллинеарности векторов Uj и щ векторам е2 и е2.
Из этого последнего требования вытекает, что щ—x-fix, щ —
— л;2е2, где хх и лг2 определены однозначно как алгебраические
значения векторов u1? ua на соответствующих осях (несущих со-
соответственно векторы et и е2).
Итогом всего сказанного является следующее
Основное определение. Любая пара неколлинеарных век-
векторов е±, е2 на плоскости и любая тройка некомпланарных век-
векторов elt e2) е3 в пространстве, данных в определенном порядке,
называется базисом множества всех векторов, лежащих соответст-
соответственно в плоскости или в пространстве; сами векторы еъ е2, е3
называются базисными или единичными векторами. Однозначно
Рис. 17.
КОЛЛИНДАРНЬЩ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
21
определенные коэффициенты xit Хз (соответственно xit хг, х3)
в представлениях
(Зг)
C8)
называются координатами вектора и относительно данного базиса
(х1 —первая, х^ —вторая, х3 —третья координата).
Каждая координата вектора и есть алгебраическое значение
проекции вектора и на ось, несущую соответствующий базисный
вектор.
Равенства C2) и C3) записываются часто в виде
и
u = {*i, x2, x3}. CJ)
Сделаем два важных замечания.
Замечание 1. Мы знаем, что проекции равных векторов
равны, поэтому рапные векторы имеют (относительно данного
базиса) соответственно р;шние координаты. Обратно, если даны
координаты х1г х2 (соответственно xlt x2, х3) вектора, то дан и
вектор и^х^х+х^ (соответственно u = x^-^- jc2e2 + л:8е3) как сво-
свободный вектор. Другими словами, представления C2), C3) ка-
касаются свободных векторов, они не зависят от точек приложения
векторов.
Замечание 2. Мы знаем, что при умножении вектора на
какое-либо число X на это же К умножается и проекция вектора
(на любую ось); мы знаем также, что проекция суммы двух век-
векторов равна сумме проекций этих векторов. Отсюда и из опре-
определения координат вектора следует:
При умножении вектора на данное число X на это же число X
умножаются и координаты вектора. Каждая координата суммы
двух вектороя есть сумма соответствующих координат слагаемых
векторов.
Другими словами, если u = x1el-{-x3e2, v = у& + t/2e2, то
Хи = (Xxj) ej + (Хх2) еа.
2. Линейная зависимость и независимость векторов. Линейная
комбинация
векторов иъ и2, ..., и„ называется нетривиальной, если в ней
хотя бы один из коэффициентов ^, .... Хп отличен от нуля. Ли-
Линейная комбинация вида
называется тривиальной; она равна нулевому вектору.
22
простейшие понятия аналитической геометрии
(ГЛ. t
Система векторов щ, щ и„ называется линейно зависимой,
если существует хотя бы одна нетринлалышн комбинация этих
векторов. В противном случае оекторы нашиаютсн линейно неза-
независимыми.
Предлагаем читателю доказать следующие пропью, неважные
утверждения о линейной зависимости.
1° Если среди векторов щ, ..., и„ есть хотя бы один нулевой
вектор, то вся система векторов линейно зависима.
2° Если среди векторов щ и„ некоторые образуют линейно
зависимую систему, то и вся система щ, .,., ип линейно за-
зависима.
3° Если система щ, ..., и„ линейно зависима, то по крайней
мере один из векторов их и„ равен линейной комбинации
остальных.
Геометрический смысл линейной зависимости векторов заклю-
заключается в следующем:
(a) система, состоящая из двух векторов, линейно зависима
тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;
(b) система, состоящая из трех векторов, линейно зависима
тогда и только тогда, когда данные три вектора компланарны;
(c) всякие четыре (или более) вектора в пространстве линейно
зависимы.
Определение. Векторное многообразие есть такое непустое
множество V векторов, что любая линейная комбинация векторов,
принадлежащих этому множеству, также принадлежит ему. Наи-
Наибольшее число векторов, образующих линейно независимую си-
систему в данном многообразии, называется размерностью этого
многообразия.
Предложение. Пусть V — какое-либо векторное многообра-
многообразие. Возможны лишь следующие случаи:
(A) V состоит из одного лишь нулевого вектора, тогда размер-
размерность V равна нулю.
(Б) V состоит из всех векторов, каллинеарных какой-либо пря-
прямой, тогда размерность V равна 1.
(B) V состоит из всех векторов, компланарных некоторой пло-
плоскости, тогда размерность У равна 2.
(Г) V состоит из всех вообще векторов трехмерного простран-
пространства, тогда размерность V равна 3.
Доказательство. Заметим прежде всего, что всякое век-
векторное многообразие V содержит нулевой вектор. В самом деле,
по определению векторного многообразия множество V непусто,
т. е. содержит хотя бы один вектор и, но тогда, по определению
векторного многообразия, вектор 0- и = 0 также содержится в мно-
множестве V.
Может случиться, что все множество V состоит из одного ну-
нулевого вектора, тогда мы находимся в случае (А).
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
23
Пусть в V содержится хотя бы один вектор ег Ф 0. Тогда в V
содержатся и все векторы вида Х&, где х1 — любое вещественное
число. Если все множество V этимк векторами исчерпывается, то
это множество есть многообразие размерности 1, состоящее из- всех
векторов, коллинеарных вектору ех. Тогда мы находимся в слу-
случае (Б).
Предположим, что в множестве V имеется вектор еь не кол-
линеарный вектору ty. Тогда в V содержатся и все векторы вида
*А + *2е2. т. е. все векторы, компланарные- плоскости, несущей
два неколлинеарных вектора ех и е2. Если все множество V исчер-
исчерпывается этими векторами, то мы находимся в случае (В).
Если же в множестве V имеется хотя бы один вектор е3, не
компланарный паре векторов е1; е2, то в V содержится тройка
некомпланарных векторов ej, e2, е3, а следовательно, содержится
и всякий вектор и вида
По теореме 4 всяким вектор и пространства может быть пред-
представлен в таком виде, и мы находимся в случае (Г). Предложе-
Предложение доказано.
§ 4. Координаты на плоскости и в пространстве
1. Аффинная система координат на плоскости. Аффинная система
координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и
парой приложенных к ней не-
неколлинеарных векторов et =
= 0Ёг и е2 = О?а(рис. 18), дан-
данных в определенном порядке: ег
есть первый, а е2 — второй век-
вектор; векторы е, и е2 опреде-
определяют две оси, пересекающиеся
в точке О, — первую и вторую
оси координат — и являются,
по определению, единичными
векторами этих осей. Первая
ось называется также осью аб-
абсцисс или осью Ох, а вторая —
осью ординат или осью Оу дан-
данной координатной системы.
Сама система координат обозначается через Ое^ или через Оху.
Пусть М — какая-нибудь точка плоскости; обозначим через Мх
и М8 проекции точки М соответственно на первую и вторую ось
координат (проекции на каждую ось берутся вдоль другой оси)
{рис. 19), Алгебраические значения векторов ОМХ и OMlt назы-
Рис. 18.
24
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМВТРНИ
[ГЛ t
ваются соответственно первой и второй координатой (абсциссой и
ординатой) точки М.
Любая пара чисел х, у однозначно определяет точку М, для
которой х является первой, а у —второй координатой. Точка М
с координатами х, у обозначается так: М = (х, у).
Система координат Ое^ включает в себя базис е^ е2 множе-
множества всех векторов на плоскости. Координаты произвольного век-
вектора и относительно базиса elt e2 называются координатами
вектора и относительно системы координат Ое^; они являются
Рис. 20.
алгебраическими значениями проекций вектора и на оси координат
и не зависят от выбора начала координат (рис. 20). Вектор и
с координатами х, у обозначается так: u = {x, у}; тогда
Условие х — 0 характеризует векторы, коллинеарные оси ординат,
а условие у--0 характеризует векторы, коллинеарные оси абсцисс.
Очепидио, координаты любой точки М в данной системе коор-
координат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат.
Два вектора АВ и CD равны тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие координаты.
Если А =-(*,, yt), В = (*2, у2), то для координат х, у век-
вектора А В имеем
X = Х% Х^,
2. Аффинная система координат в npocipaiicme. Mro сказан-
сказанное с очевидными изменениями применяется и к случаю простран-
пространства. Аффинная система координат и пространстве состоит из
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
25
точки О [тачало координат») и приложенных к этой точке трех
некомпланарных единичных векторов elt e2, е3 (рис. 21), данных
в определенном порядке (t1 — первый, е2 —второй, е3 —третий).
Каждый из этих векторов определяет проходящую через начало
О ось, единичным вектором которой он является; эти оси назы-
называются первой, второй и третьей осью координат или соответ-
соответственно «осью Ох» (осью абсцисс), «осью Оу» (осью ординат)
и «.осью Oz» (осью аппликат;
последнее название, впрочем,
употребляется нечасто). Каж-
Каждые две координатные оси оп-
определяют проходящую через
них координатную плоскость.
Так, оси Ох и Оу определяют
координатную плоскость Оху
или Оехе2 и т. д.
Первой, второй, третьей
координатой данного вектора и
называются соответствующие его
координаты относительно бази-
базиса elt e2, е3, т. е. соответствую-
соответствующие коэффициенты в представ-
представлении
Рис. 21.
Они равны алгебраическим зна-
значениям проекций вектора и на
оси, определенные соответственно векторами е^ е2, е3 (проекции на
каждую ось берутся вдоль плоскости, несущей две другие оси).
Координаты вектора не зависят от выбора начала координат О.
Координаты точки М суть, по определению, координаты век-
вектора ОМ (рис. 22). Нел и Мх, Ми, Мг суть проекции точки М,
а их = ОМх, иу = ОМу, иг = ОМг — проекции вектора ОМ на оси
координат, то координаты х, у, г точки М суть алгебраические
значения векторов ОМх = их, ОМу = иу, ОМг = мг. Тогда
их =
ОМ = и = хгх + уе2 + ге3.
A)
Векторы, коллинеарные данной координатной оси, характеризуются
тем, что равны нулю их координаты, соответствующие двум дру-
другим осям.
Мы уже знаем, что при сложении векторов их одноименные
координаты складываются, а при умножении вектора ц на число А,
на это А, умножается каждая координата вектора и. Отсюда сразу
26
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ГГЛ I
следует, что два вектора тогда и только тогда коллинеарны, когда
координаты одного из них пропорциональны координатам другоеа.
Каждая упорядоченная тройка чисел х, у, г однозначно опре-
определяет точку М пространства, тройкой координат которой она
является. Для получения этой точки М надо приложить к точке О
вектор xe1-\-ffti-i-zea = OM, т. е^взять диагональ параллелепипеда,
построенного на векторах хя^ — 0Мх, #е3 = ОМУ, ге3 = 0Мг. Точка М
Pin . 22.
с координатами х, у, г обозначается так: М =(,v, q, г). По опре-
определению координат точки М, пектор ОМ имеет те же координаты,
что и его конец М. Вообще, если А—(хи уи гх) и B — (xit уг, z2),
то вектор АВ имеет координатых = хг — хи у — уг~уъ z = z2 — zv
3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть в пространстве
или па плоскости дана прямая d и на ней направленный отре-
отрезок АВ. Даны два произвольных вещественных числа а и р\ из
которых по крайней мере одно отлично от нуля.
По определению, точка М делит отрезок АВ в отношении а : р,
если
Задача состоит в том, чтобы по данным а и $ и по координатам
точек А и В найти координаты точки М.
Лемма. Пусть на плоскости (соответственно о пространстве)
даны две прямые d и а" и прямая (соответственно плоскость) б,
не параллельная ни одной из прямых d, d'. Пусть А', В', М' —
произвольные три точки на прямой а"; обозначим через А, В, М
ХООРДИКАТЫ ИЛ ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
27
их проекции вдоль 6 на прямую d. Тогда
UW А~м
М'В'
MB '
B)
Доказательство этой леммы оставляем читателю в качестве упраж-
упражнения.
Если обозначить через Ах, Вх, Мх проекции точек А, В, М
на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что
Ш: MB = а: 0 = А^МХ: МХ~ВХ = (АХМХ): (МХВХ).
Но (на оси Ох) имеем (АхМх) — х — xlt (МхВх) = хй — х, так что
откуда
и аналогично
f — n -L. К » *
что дает во всех случаях определенную точку М = (х, у, г) пря-
прямой, за исключением случая a-f-p = 0, т. е. a:p*=—1 (когда
получаем единственную несобственную, или «бесконечно удален-
удаленную», точку нашей прямой).
При а = р точка М будет серединой отрезка ~АВ и для коор-
координат середины отрезка мы получаем следующие формулы:
Z ==
C)
Если a -f p ^ О и P # О, то, полагая -^ = Я, можем переписать
¦К ПП1.1Г формулы И Ш1Д0
"i I л^ц i/i | Kt/'i Zi~\-Xz2
JC — *
D)
4. Прямоугольная система координат на плоскости и в про-
пространстве. Задание прямоугольной системы координат на плоскости
или в пространстве прежде всего предполагает, что выбрана одна
определенная единица длины, посредством которой измеряются длины
всех отрезков (на плоскости или в пространстве). Такую единицу
длины будем называть масштабом; считая его раз навсегда выбран-
выбранным, мы называем ортом всякий вектор, длина которого равна 1.
После того, как масштаб выбран, прямоугольная система коор-
координат определяется (как частный случай общей аффинной системы)
требованием, чтобы единичные координатные векторы (et и е^ на
плоскости; е„ еа, еа в пространстве) были взаимно перпендику-
перпендикулярными ортами.
28
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. I
Замечание. Далее в этом пункте мы будем предполагать,
что система координат прямоугольная. Все проекции также пред-
предполагаются прямоугольными.
Масштаб
Рис. 23.
Рис. 24.
Пусть дан исктор и •= \х, у] (рис. %\). Приложим исктор и
к началу координат:
Длину 1!скто|><1 и ОМ оГючпачмсм чсрс» |и|=|?Ш|. Обозначая
черен /И,, Ми проекции точки М па оси координат, имеем х =
— {()МХ), у -{ОМ„) и (по чеоремс 11п<|)ап)|)а)
т. е.
Аналогично в пространстве для вектора
и --{х, у, г\
имеем
— квадрат длины иск/пора равен сумме квадратов <vo мюрдинат.
О-кмоди нети редстиепно вытекает формул;! дин расстояния
|, /Иа) между диумя точками (рис. 24):
i. ylt
2 = {х„ у.г, г.,
Так как
— yi), то
- у,J
§4]
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
29
Аналогично в пространстве для точек
Мг = {хъ ylt г,), М2 = {х2, уг,
имеем
р(М1, М2) =
a - xtf + (уЛ -
Пусть на плоскости дана система прямоугольных координат.
Рассмотрим на этой плоскости окружность с центром С = {а, Ь)
и радиусом г (рис. 25). Эта окружность есть множество всех
точек М (х, у) плоскости, расстояние которых от точки С равно г.
Другими словами, необходимым и достаточным условием, чтобы
точка М = (л:, у) лежала на нашей „.
окружности, является условие *
р(С, М) = г,
т. е.
V(x-a)* + (y-b)a = г.
0
Рис. 25.
E)
Так как л>0, то уранпеппю E)
эквивалентно
Уравнение F) называется урав-
уравнением окружности с центром
С = {а, Ь) и радиусом г. В про-
пространстве с данной прямоугольной системой координат сфера {ша-
{шаровая поверхность) с центром С = {а, Ь, с) и радиусом г опреде-
определяется как геометрическое место точек М = {х, у, г), расстояние
которых от точки С равно г. Поэтому уравнение
выраж.чс'1 необходимое и достаточное услопие для того, чтобы
точка М {х, у, z) лежала па пашей сфере: уравнение F') есть
уравнение сферы с центром С = (а, Ь, с) и радиусом г.
5. Угол между двумя векторами. Пусть (в пространстве или
на плоскости с выбранным раз навсегда единым масштабом) даны
два вектора их и и2, отличных от нулевого. Прилагая их к какой-
нибудь точке О пространства так, что ul=^A, «2 = ОЙ (рис. 26),
получаем угол (в самом элементарном смысле слова) между этими
векторами (или несущими их полупрямыми, исходящими из точки О).
Обозначим этот угол через <р; он лежит в плоскости, несущей
прямые О А и ОВ, и по величине заключен между 0 и л. Считая,
что каждый из векторов ulf u2 задает положительное направление
на несущей его прямой, мы каждую из этих прямых превращаем
в ось и, следовательно, можем говорить об алгебраическом зна-
значении (прямоугольной) проекции каждого вектора на ось, несущую
30
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ I
другой вектор:
аз npUl и2, аз npu.Up
Эти алгебраические значения положительны, если угол ф острый
(рис. 27, а); они отрицательны,
если угол ф тупой (рис. 27, б),
и равны нулю, если ф = у.
Из подобия прямоуголь-
прямоугольных треугольников ОААГ
и ОВВ' заключаем, что
\Щ— \ш\'т-е-
|азпрЦ1 ug| ^ laanp^utj
|U,| I Ui [
Так как, кроме того, аз npUlu2
и аз npu2U! имеют один и тот
же знак (положительный, если
угол ф острый, отрицатель-
отрицательный, если этот угол тупой), то
азпри1и2 ^ азпр^и!
I I = "Т^Л
Каждое из этих отношений мо-
3
Рис. 26.
Рис. 27.
жет быть принято за определение косинуса угла ф между векторами
аг и щ:
аз rrp., u2 аз пр„ иг
Как видно из рис. 27, это определение cos ф совпадает с опреде-
определением, известным из тригонометрии.
3 КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Из формулы G) вытекает
a3npUlu2 = |u2 [cos ф
31
(8)
—¦алгебраическое значение проекции одного вектора на ось, опреде-
определенную другим, равно длине проектируемого вектора, умноженной
на косинус угла между двумя векторами.
6. Направляющие косинусы. Пусть и = {х, у, г} — какой-нибудь
ненулевой вектор, а, р, у — углы между этим вектором и ортами
е,, ег, е3 координатных осей (рис.
28). Тогда cosa, cosp, cosy на-
называются направляющими косину-
косинусами вектора и.
Так как *
р1 у
= аз пре,и, г = аз пре,и, то в силу
формулы (8) имеем
х = | и | cos а, у = | u [ cos p,
г = | и | cos у. (9)
В частности, если и есть орт, то
|и| = 1 и
* = С05а, ^ =
Рис.28.
— координаты орта равны его направляющим косинусам. Далее
из (9) получаем
] и |2 = jca + уг + z2 = j и р (cosa a + cos» p + cosa у),
откуда, сокращая на | и |* Ф 0, имеем
— сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора и Ф
Ф0 равна 1.
Пусть даны произвольные три числа |, т], L,, удовлетворяющих
равенству
^2 + гK + С2=1. (Ю')
Отложим на осях координат векторы QClt ОСг, ОС3, алгебраичес-
алгебраические значения которых соответственно равны числам |, т), g, и
построим на этих векторах (прямоугольный) параллелепипед.
Исходящая из точки О диагональ ОС этого параллелепипеда имеет
длину, равную !2 + т]3-|-?2= 1. и является ортом с координатами
!- = cosa, г] = cosp, g = cosY- Итак, любая тройка чисел |, т), ?,
удовлетворяющая уравнению A0), является тройкой координат
(«направляющих косинусов») некоторого орта в пространстве.
7. Скалярное произведение двух векторов. Введем теперь сле-
следующее фундаментальное определение: скалярным произведением
32
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ I
дцух векторов ux, u2 называется число (ub и2), равное произведе-
произведению длин этих векторов на косинус угла <р между ними:
(iii, u2) = !u1
! u21 cos
A1)
Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор пола-
полагается равным нулю.
Свойства скалярного произведения:
I. (uX) u2) = (u2, щ).
II. (и1( иг) = 0 тогда и только тогда, когда векторы их и щ
перпендикулярны между собой. Если ux = u2 = и, то ф = 0, cos ф =»
= 1, | Ui | =¦ 1 и21 = | и |. Итак,
III. (и, и) = | и |г — скалярное произведение вектора на самого
себя («скалярный квадрат векторам) равно квадрату его длины,
скалярный квадрат равен нулю для любого нулевого вектора и поло-
положителен для всякого вектора, отличного от нулевого.
Подставляя значение совф из G) в A1), получаем
IV. (щ, и2) = | и21 аз пр„2 их = | их | аз npUlua — скалярное произве-
произведение двух векторов равно произведению длины одного из них на алгеб-
алгебраическое значение проекции другого вектора на ось, несущую первый.
В частности, для любого вектора и = \х, у, г} и координатных
ортов ех, е2, е3 имеем (u, ei) = a3 npClu = x и т. д., т. е.
V. х = (а, ex), y = (u, e2), z = (u, e3) — координаты любого век-
вектора в прямоугольной системе координат равны скалярным произ-
произведениям этого вектора на орты осей координат.
Из равенства IV вытекает: каково бы ни было вещественное
число X, имеем
и2) = | и21 аз прИ|Ди, = | иг | Я, аз npu.U! = k | u21 аз npU!Ux,
т. е.
е.
VI. (kuL, u2) = ?i(u1, u2) — числовой множитель можно выносить
за знак скалярного произведения.
Из того же равенства IV вытекает далее
(их + u2, v) = | v | аз npv (Uj + ua) = | v | аз npvux +1 v | аз npvu2l
т. e.
VII. (ux + u,, v) = (ub v) + (ue, v) A2)
— свойство дистрибутивности относительно сложении.
Из VI и VII следует, что скалярное произиоясчпю двух линей-
линейных комбинаций векторов можно вычислить по нрапилу умноже>
ния многочленов, например:
§ 4] КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть на плоскости
Ui = W. УЛ> u2 = {*2, у2].
Это значит, что
U1 = x1e1 + t/1ea, ua = x2<
Тогда в силу V —VII имеем
Вь е2)+йуа(е„ е2).
Но векторы ех и е4 суть взаимно перпендикулярные орты, так
что (ех, е2) = (еа, ех) = 0 и (ех, ех) = (ег, е2)=1; значит,
(u1? ui)=x1x2+yiyi. (Щ
В пространстве для
"iH*i. У» zi\> "г = {*i. Уг, Ч\
совершенно так же получаем
(и,, щ)-^х1х.1-\-у1ц.1-\-гхг.,. [\\)
Эти формулы очень важны и имеют многочисленные примене-
применения. В частности, они позволяют определить угол ф между двумя
векторами Ux = {xlt ylt zy) и u2 = {x2y уъ z2] по координатам этих
векторов: для этого достаточно переписать формулу A1) в виде
Т I «1 I • I "a I
и подставить в нее значение длины векторов и1( щ и их скаляр-
скалярного произведения A33). Получаем
СО5ф= . Ы + Ш + 'Л (U)
(корни в знаменателе берутся положительные).
Легко получить также формулу, дающую алгебраическое зна-
значение проекции произвольного вектора и =- \х, у, z\ на ось с направ-
направляющими косинусами cos a, cos p, cos у. Для этого переписываем
формулу A1) в виде
т. е. в виде
аз npUlua
Если и2 = и = {лг, у, z), Ux = e = {cosa, cos§, cosy}, t. e.
| Ui | = | e | =а 1 f то мы получаем
A5)
V2) + \u\\..t (U3l V2).
Эта формула очень удобна в применениях.
*¦ ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. I
8. Векторное произведение. Рассмотрим в пространстве прямо-
прямоугольную систему координат Oe^^g. Пусть u, v, w — тройка
некомплачарных векторов, данных в определенном порядке (в том,
в каком они написаны). Приложим их к точке О:
u = O^, v = OB, w = OC
и построим на них параллелепипед. Пусть в системе координат
Оеге.2еа
u = {*i, Уи 2ib VH*2> уг, 22}, w = {x3, уя, 2„}.
Оставляем читателю в качестве упражнения доказательство
следующего предложения: объем параллелепипеда, натянутого на
векторы и = ОА, \=0В, w=OC, равен \(и, v, w) |, где
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
35
v, w> =
У\
lh
Определение. Объемом ориентированного параллелепипеда,
построенного на векторах u, v, w, называется число (u, v, w).
Если (и, v, w)>0, то говорят, что репер Ouvw ориентирован
положительно относительно репера Oeje2e8; в противном случае
репер Ouvw называется отрицательно ориентированным относительно
Ое^ез.
Определение. Векторным произведением вектора и на век-
тор v называется вектор п, модуль которого равен произведению
модулей векторов и и v на синус угла ф между ними: |п| = |и|х
х | v | sin <p; этот вектор перпендикулярен к плоскости я, в которой
лежат векторы и и v, если их отложить от одной точки; он нап-
направлен так, что упорядоченная тройка векторов u, v, n имеет
положительную ориентацию.
Векторное произведение вектора и па век гор v обозначается
через [и, v].
Свойства векторного произведения:
I. Векторное произведение [u, v] равно нулю тогда и только
тогда, когда векторы и и v коллинеарны.
II. [и, v] = -[v, и].
III. [ku, vj = [u, ?iv] = ?i[u, v], где "К —произвольное вещест-
вещественное число.
IV. [(и' + и"), v] = [u', v] + [u", v],
[и, (v' + v")] = [u, v'] + [u, v"].
V. Скалярное произведение вектора [и, v] на какой-нибудь век-
вектор w равняется объему ориентированного параллелепипеда, на-
натянутого на векторы и, v, w:
([и, v], w) = <u, v, w>.
Свойства I —III являются непосредственными следствиям]
определения вектора [u, v].
Доказательство свойства V. Предположим сначала, что век-
векторы u, v, w компланарны. Тогда правая часть равенства
([u, v], w) = (u, v, w) обращается в нуль. Докажем, что и левая
часть равна нулю. Это очевидно, если вектары и и v коллине-
коллинеарны — тогда [u, v] = 0, значит, и ([u, v], w) = 0. Пусть и и v
неколлинеарны, и пусть я —несущая их плоскость. Поскольку
векторы u, v, w компланарны, то и w лежит в плоскости я,
Но вектор [u, v] перпендикулярен к плоскости л, значит,
([u, v], w) = 0. Итак, в случае компланарности векторов u, v, w
равенство ([и, v], w) = (и, v, w) верно — обе его части равны
нулю.
Пусть теперь векторы u, v, w не компланарны. Положим
n = [u, v] и будем считать параллелограмм, построенный на век-
векторах и и v, основанием параллелепипеда, построенного на век-
векторах u, v, w. Площадь этого параллелограмма равна | п |, так что
формула ([u, v], w) =» (и, v, w) переписывается в виде
<u, v, w) = | п | • аз npnw.
С другой стороны, скалярное произведение ([u, v], w) может быть
записано в виде
([u, v], w) = (n, w) = |n|-a3npnw,
что и требовалось доказать.
Замечание. Формула
<u, v, w) = ([o, v], wj
может служить определением функции (u, v, w), которая при
таком подходе к ней называется смешанным произведением трех
векторов u, v, w.
Пусть теперь в какой-нибудь прямоугольной системе коорди-
координат Ое^ез имеем
и = {хи г/[, г,}, v = {x2, yit г2}.
Найдем координаты X, Y, Z вектора n = [u, v]. Так как система
координат прямоугольная, то
Х = (п, e1) = ([u, v], ei) = <u, v, e^,
и аналогично
F = <u, v, e2>, Z = <u, v, eg).
Ho e1 = {l, 0, G}, e2 = {0, 1, 0}, e3 = {0, 0, 1}; поэтому
Аналогично
x* Уг г2
1 0 0
_ \xi Ух
36
простейшие понятия аналитической геометрии
[ГЛ. I
Другими словами, если в прямоугольной системе координат Оехе2е3
векторы и и v даны в виде и = {хи уъ Zj}, \ = {хг, у2, гг\, то век-
вектор [u, v] может быть записан в виде разложенного по элементам
первой строки детерминанта:
[u, v] =
У\
Уъ
Доказательство свойства IV.
Вследствие свойства II достаточно доказать одну какую-нибудь
из формул IV, например первую. Пусть и' = \х', у', z'\, u" =
= {*", у", z"}, v = {*. У, A- To"a и'+ и" = {*'+*", У' + У", z'+z"},
и мы имеем
u"). v] =
х' + х»
X
ei
У'+У"
У
1
'-2
х'
X
г'
У'
У
е2
+ z
2
е3
г'
г
е3
--
+
У
ei
У"
У
е2
z"
г
е3
U", V],
что и требовалось доказать.
9. Угол от одного вектора до другого на плоскости. Враще-
Вращением плоскости вокруг данной ее точки О (центр вращения) мы
будем называть движение этой плоскости по себе самой, заклю-
заключающееся в том, что точка О остается неподвижной, а все осталь-
остальные точки перемещаются по лежащим в нашей плоскости окруж-
окружностям с центром О.
Вращение плоскости вокруг центра О можно производить
в двух направлениях: по часопой стрелке и против нее.
Предположим, что в плоскости задана прямоугольная система
координат Ое^. Посредством вращения вокруг точки О орт ei
можно совместить с ортом е2 двумя способами: повернув его
я Зя
на угол -„- в одном или на угол 2 в противоположном направ-
направлении. Мы условимся считать положительным то из двух направ-
направлений вращения, которое переводит орт ех в орт е2 посредством
поворота на ^-- Таким образом, если на плоскости дана прямо-
прямоугольная система координат, то определено и положительное
направление вращения.
Пусть на данной плоскости одно из двух возможных направ-
направлений вращения выбрано в качестве положительного. Возьмем
на нашей плоскости два вектора и и v. Приложим оба вектора
к одной и той же точке О, так что
и=~61; v = OB.
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
87
Назовем углом от вектора и до вектора v или наклоном век-
вектора v к вектору и тот угол ф, на который в положительном
направлении надо повернуть вектор и так, чтобы его направле-
направление совпало с направлением вектора v. Этот угол изменяется
от 0 до 2л. Если и —единичный вектор какой-либо оси, то угол
от вектора и до вектора v называется углом наклона или просто
наклоном вектора v к данной оси.
Пусть в плоскости дана прямоугольная система координат.
Для угла наклона а вектора v == {%,, т)} к оси абсцисс имеем,
очевидно,
Если векторы щ и ug наклонены к оси абсцисс соответственно
под углами ах и а2, то угол ф от вектора их до вектора щ есть,
очевидно,
Пусть их = 1^, у,}, щ = {х2, у.2). Тогда
sin ф = sin (a2 — aL) = sin a2 cos ax — cos a2 sin ax
cos ф = cos (a2 — ах) = cos оц cos ах 4- sin aa sin a2 =
... ("i.
I "i f -1 ua I ~ К1-Ы*
10. Полярная система координат на плоскости. Для определе-
ния системы полярных координат на плоскости надо задаты
1° Масштаб (т. е. единицу измерения длины).
2° Направление вращения в плоскости, считаемое положи-
тельным.
3° Точку О (называемую «началом» или полюсом системы коор-
координат).
4е Полупрямую Ох, исходящую из точки О (рис. 29) (эта
полупрямая называется полярной осью). Положительное направ-
направление на полупрямой задается вектором 6Ё (где Е —любая ел
точка, отличная от точки О).
Если, таким образом, выбрана полярная система координат,
то для каждой точки М (рис. 30) плоскости определены ее
полярные координаты, а именно:
I) угол наклона <р вектора ОМ к полярной оси (т. е. угол
от вектора ОЁ до вектора ОМ);
2) расстояние г точки М от начала О (т. е. длина вектора
Угол ф называется полярным углом точки М или первой поляр»
ной координатой этой точки. Полярный угол определен для всех
точек М плоскости (и заключен между О и 2я), за единственным
38
простейшие понятия аналитической геометрии
1ГЛ 1
исключением точки О, для которой ин делается неопределенным.
Число г называется полярным радиусом или в/порой полярпой
координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отлич-
отличной от О, положителен; для точки О он равен пулю.
Иногда бывает целесообразно считать полярный угол точки
определенным лишь с точностью до слагаемых иида 2kn, где
/с —любое целое число, т. е. считать наряду с данным <р и всякое
число y-\-2kn за значение полярного угла: если дано произ-
произвольное положительное г и произвольное не ограниченное никаким
дополнительным условием действительное число q>, то, взяв
Масштаб
Масштаб
?
Рис, 29.
х
х
на полярной оси вектор ОА длимы г и поьсрпуи ci о в положи-
положительном направлении вокруг точки О нл ую/i <|, получим вектор
ОМ, конец которого будет иметь полярные координаты tp и г.
Точку М, полярные координаты которой расны данным ф и г,
будем обозначать так: М=(«р, г).
Если на плоскости дана полярвая система координат, то этим
определена и некоторая прямоугольная система координат: за мас-
масштаб и начало координат в этой прямоугольной системе берем
масштаб и начало поляряой системы; полярную полуось объявляем
положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось
абсцисс (вместе с ее направлением). Так как в определение поляр-
полярной системы входит и направление положигелыю! о вращения
плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось,
в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол у
в положительном направлении.
Полученную таким образом ярямоугольиую систему координат
будем называть сиетешй, тредемнной данной полярной системой
(рис. 31).
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЯ
39
Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система коор-
координат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя
в ней масштаб и начало данной прямоугольной системы и тре-
требуя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью
абсцисс, а положительное направление вращения было тем враще-
вращением, которое переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом
на угол Y- Очевидно, если мы для полученной таким образом
полярной системы координат построим определенную ею прямо-
прямоугольную, то вернемся к ис-
исходной прямоугольной си-
системе.
Итак, каждой полярной
системе координат соответ-
соответствует вполне определенная
прямоугольная система, и
обратно.
Посмотрим, как связаны
между собой коордмплты л\
у и ф, г какой-нибудь точ-
точки М плоскости в обеих си-
системах.
Имеем очевидные формулы:
Масштаб
A6)
X
Рис. 31.
Они позволяют перейти от
полярных координат точки М
к прямоугольным. Но они же позволяют произвести и обратный
переход по формулам
sin ф = —
A7)
11. Полярная система координат в пространстве. Для ее оп-
определения необходимы следующие элементы (рис. 32):
1" Плоскость (называемая далее основной) с выбранной в ней
полярной системой координат: начало О, полярная полуось Ох
(о положительным направлением 0?), масштаб, принимаемый
¦ качестве единого масштаба для всех измерений отрезков во
¦сем пространстве.
40
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ Г
2° Выбор на прямой Ог, перпендикулярной к основной пло-
плоскости, одного из двух ее ортов в качестве положительного (что
дает нам на этой прямой систему координат с началом О).
Основная плоскость разбивает пространств па дна полупро-
полупространства; то из них, которое содержит положительным орт пря-
прямой Ог, считаем положительным.
Теперь [для каждой точки М пространства (не лежащей на
прямой Ог) определяются ее координаты в данной системе поляр-
полярных координат, а именно:
а) полярный радиус р точки М, т. е. длина лектора \~ОМ \\
имеем всегда рГ-О; только для точки М=О имеем [> = ();
l'ik\ Х>.
б) долгота ф точки М — это полярный угол ортогональной
проекции Л40 точки М на основную плоскость относительно дан-
данной в этой плоскости полярной системы координат; долгота изме-
изменяется в пределах 0 «s; ф •< 2л;
в) широта ip точки М — это угол между вектором ОМ и его
проекцией 0М{) па оспоипую плоскость, считаемый положительным,
О --
Л1
М положительного полупространства и
3=sS0, для точек отрицательного полу-
отрицательпым, — „ -^ty=C
пространства.
Та же полярная система координат в пространств1 позволяет
для каждой точки М пространства определить и так назы-
называемые цилиндрические координаты ее, а именно: полярные коор-
координаты ф, г (в основной плоскости) точки Ма (проекции точки М
на основную плоскость) и аппликату, или высоту точки М над
основной плоскостью, т. е. координату точки Mt (ортогональной
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
41
проекции точки М на ось Ог) относительно системы координат,
данной на этой прямой (рис. 33).
Полярная система координат в пространстве определяет пря-
прямоугольную систему, состоящую из прямоугольной системы Оху,
порожденной в основной плоскости заданной в ней полярной
системой, и оси Ог.
Рис. 33.
Без труда устанавливаются следующие соотношения, связы-
связывающие полярные координаты р, <р, г|з и прямоугольные коорди-
координаты х, у, г в пространстве:
X — р COS 1K COS ф,
и об-
обг = р sin ty.
Эти формулы пошолиют нырлчить х, у, г через р, ф,
ратно.
Что касается соотношений между цилиндрическими и прямо-
прямоугольными координатами точки /VI, то аппликата г в обеих этих
системах одна и та же, а связь между фиг цилиндрической
системы ч х, у прямоугольной дается уже известными нам фор-
формулами
jr = rcos<p, y = rsinq>.
§ 5. Прямая линия в плоскости
1. Уравнение прямой. Определение. Всякий ненулевой
вектор, коллаиёариый данной прямой, называется- ее - нтрешля-
ющим вектором.
42
простейшие понятия аналитической геометрии
[ГЛ 1
Так как всякие два направляющих вектора ult u2 одной и той
же прямой коллинеарны между собой, то один из них получается
из другого умножением на некоторое число ФО.
Предположим, что в данной плоскости раз навсегда пыбрана
некоторая аффинная система координат.
Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельном одной
из координатных осей. Если прямая d параллельна оси ординат,
то ее направляющими векторами являются все пекторы вида
{0, т\\ и только они (здесь i) —про-
—произвольное число фО). Точно так же
ненулевые векторы вида )?, (>| и
только эти векторы являются направ-
направляющими векторами любой прямой,
параллельной оси абсцисс.
Пусть прямая d параллельна оси
ординат и пересекает ось абсцисс в
точке А — (а, 0) (рис. 34). Тогда все
векторы ОМ, где М — произвольная
точка прямой, при проектировании
на ось абсцисс (вдоль оси ординат)
переходят в один и тот же вектор
ОА; для всех точек М нашей пря-
прямой (и только для них) имеем
Рис. 34. х =¦ а.
Это и есть уравнение прямой, параллельной оси ординат. Анало-
Аналогично прямая, параллельная оси абсцисс, имеет ураинепи*
х
При этом параллельность понимается в широком смысле — сама
ось ординат имеет уравнение х = 0, а ось абсцисс у = 0.
Имеет место следующее простое предложение:
Для всех направляющих векторов а = {х, у] данной прямой,
не параллельной оси ординат, отношение у: х ординаты вектора
к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение It, назы-
называемое угловым коэффициентом данной прямой.
В самом деле, если Uj^}^, ух\ и и2 = {х2, t/2} —дна направ-
направляющих вектора данной прямой d, то и2 = Л.их, т. е. одновременно
хъ = <
и, значит (так как
y
Найдем теперь уравнение прямой d, не параллельной оси
ординат. Обозначим угловой коэффициент прямой d через fe,
а точку ее пересечения с осью Оу через Q = @, b) (рис. 35).
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
43
Если М = (х, у)—_произвольная точка прямой d, отличная от
точки Q, то вектор QM = {x, y — b\ есть направляющий вектор
прямой d и, следовательно,
Другими словами, все точки М = (х, у) прямой d удовлетво-
удовлетворяют уравнению
y = kx + b. A)
Обратно, всякая точка Мг — (хи t/j), удовлетворяющая урав-
уравнению A), лежит на прямой d: в самом деле, существует един-
единственная точка М' с абсцис-
абсциссой Хц лежащая на прямой d,
и эта точка, имея ту же абс-
абсциссу хи что и точка Мъ
удовлетворяет уравнению A)
и, значит, имеет ординату
t/t = kx, + b — ту же, что и
точка Mi. Зпачт, М' /И,,
т. е. точка М± лежит на пря-
прямой d.
Итак, уравнению A) удов-
летворяют все точки прямой
d и только они, а это и
значит, что уравнение A) Ло=@ Ь)
есть уравнение прямой d. -^14 ' > '
Пусть мы каким бы то
ни было способом нашли Рис. 35.
уравнение вида A), которому
удовлетворяют все точки данной прямой d и только они. До-
Докажем, что тогда непременно b есть ордината Q пересечения d
с осью ординат, а к ость угловой коэффициент этой прямой.
Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пере-
пересечения прямой d с осью ординат надо в уравнение A) подста-
подставить х = 0, получаем у = Ь, т. е. Q = @, Ь). Далее, при любом
выборе отличной от Q точки М = (х, у) прямой d вектор ОМ =
== {х, у — Ь} есть направляющий вектор этой прямой, и, следо-
следовательно, -— = k есть угловой коэффициент прямой d.
Итак, существует единственное уравнение вида A), являющееся
уравнением данной прямой d (не параллельной оси ординат).
Это уравнение — первой степени; так как и прямая, параллельная
оси ординат, определяется уравнением первой степени х**а, то
мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется не-
некоторым уравнением первой степени, связывающий координаты ее
точек.
44
простейшие понятия аналитической геометрии
Верно и обратное утверждение: каждое уравнение первой сте-
степени относительно х и у
Ах+Ву + С = 0 B)
является уравнением некоторой прямой.
Доказательство. Возможны два случая: Д=0 и ВфО.
Рассмотрим первый случай: В=0. Тогда уравнение B) имеет вид
0 B)
и АфО (иначе не было бы уравнения, а было бы верное или
неверное тождество С = 0); следовательно,
С
* = -А,
т. е. уравнение B) является уравнением некоторой прямой, парал-
параллельной оси ординат. Переходим ко «торому случаю: ВфО.
Тогда уравнение B) переписывается в виде
А С
У- — в~х~~в
и определяет прямую d, пересекающую ось ординат в точке Q =>
= @, — -„-) и имеющую угловой коэффициент It — — -^-, что и
требовалось доказать.
Замечание. Так как /г = — д~> то ||1'кт°1»
есть напрапляющнй исктор прямой B). Эю утмерждепне верно и
при В = 0 (т. е. для прямых, параллельных осп ординат). Отсюда
следует, что направляющими векторами прямой d, определенной
уравнением B), являются все векторы
Где % = — ХВ, г\ = ХА (при каком-нибудь % -/- 0). Очевидно, эти
векторы удовлетворяют уравнению
Обратно, если вектор u = {g, т)} удовлетворяет этому уравнению,
то |:л = — В: Л, т. е. и есть направляющий исктор прямой d;
случай прямой, параллельной оси ординат, исключением не яв«
ляется. Другими словами: все векторы и =¦ {?, ц]. у(Ылепшоря-
ющие уравнению
и только они коллинеарны прямой, определенной уравнением. B),
§51
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
45
2. Расположение двух прямых на плоскости, Пусть теперь
даны два уравнения:
0, B)
0. B')
Посмотрим, когда прямые d и d', определяемые этими уравне-
уравнениями, параллельны в широком смысле, когда они совпадают,
когда параллельны в собственном смысле (т. е. не имеют ни одной
общей точки).
Ответ на первый вопрос получается сразу: прямые d и d'
тогда и только тогда параллельны в широком смысле, когда их
направляющие векторы ио={—В, А) и и^ = {—В', А') колли-
коллинеарны, т. е. когда имеет место пропорция (—В):А = (—В'): А',
а следовательно, и пропорция
А':В' = А:В.
C)
Если эта пропорция может быть продолжена до пропорции
А': В': С = А : В : С, D)
то прямые dud' совпадают: в этом случае все коэффициенты
одного из двух уравнений B), B') получаются из коэффициентов
другого умножением на некоторое X и, значит, уравнения B) и
B') эквивалентны (всякая точка М = (х, у), удовлетворяющая од-
одному уравнению, удовлетворяет и другому).
Обратно, если две прямые d и d' совпадают, то имеет место
пропорция D).
Докажем это сначала в случае, когда наши прямые парал-
параллельны оси ординат. Тогда В — В' =0, и нам нужно доказать
только равенство С" : А' = С: А. Но последнее равенство (в кото-
котором А'ФО, АфО) вытекает из того, что обе (совпадающие) пря-
прямые пересекают ось абсцисс и одной и той же точке с абсциссой
С_ С_
А ~~ А'
Пусть теперь совпадающие прямые d, d! не параллельны оси
ординат. Тогда они пересекают ее в одной и той же точке с ор-
ординатой — g7 = — в , и мы имеем пропорцию В': С" = В : С, ко-
которая вместе с пропорцией C) (выражающей параллельность пря-
прямых d и d! в широком смысле) и дает нам искомую пропор-
пропорцию D).
Параллельность в собственном смысле означает, что имеет
место параллельность в широком смысле (т. е. выполнено усло-
условие C)), но нет совпадения (т. е. не выполнено D)). Зто озна-
означает, что пропорция
А": В' = А : В C)
простейший понятия аналитическое геометрии
1ГЛ.
имеет места, тогда как
А':В'%С'^А\В\С. E)
Совокупность двух соотношений C) и E) обычно •лшсывают
в виде одной формулы
А = в ^ с ir\
А' В'^С' w
Подведем итог всему доказанному:
Теорема 5. Всякая прямая d на плоскости, снабженной аф-
аффинной системой координат, определяется некоторым уравнением
первой степени между координатами ее точек. Обратно, всякое
уравнение первой степени
0 B)
яёляется уравнением некоторой (единственной) прямей d; при
этом все векторы и={|, г\], коллинеарные этой прямой, и только
они удовлетворяют однородному уравнению
АЪ + Вх\ = 0, G)
так что, в частности, вектор ио=>{—В, А) является направля-
направляющим вектором нашей прямой. Два уравнения
0, B)
0 B')
тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, когда
А':В':СГ = А:В:С. D)
Пропорция
А': В' ----А: В C)
выражает условие, необходимое и достаточное, чтобы уравнения
B) и B') определяли прямые, параллельные в широком смысле.
Для параллельности в собственном смысле необходимым и до-
достаточным является требование, чтобы выполнялось условие C)
без выполнения условия D), что записывается и в виде F).
Пусть дана какая-нибудь точка Мй и вектор илФИ, который
считаем приложенным к точке Мо:
о0 = MqMx»
Эти данные определяю! прямую d как геометрической место кон-
концов всевозможных векторов вида
ЛУЙ -1 • МОМ*Л (8)
где t пробегает все вещественные числовы* значения. Вектор ио=«,
= MaMlt очевидно, является направляющим вектором прямой d,
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
47
Можно сказать, что наша прямая есть геометрическое место всех
точек М, удовлетворяющих уравнению (8), а само это уравнение
можно назвать уравнением прямой в векторной форме (или век-
векторным уравнением прямой). Ясно, что каждая прямая может
быть задана, таким образом, какой-нибудь своей точкой Мй и на-
направляющим вектором и„= МйМг. Существенным преимуществом
¦уравнения (8) является то, что оно позволяет задать прямую не
только на плоскости, но и в пространстве. Записав векторное
уравнение прямой в координатах, мы получим ее параметрическое
уравнение. На плоскости оно имеет вид
— xo = at, \
-yo = bt, J
x — xn =
У
(9)
где M0 = (xQ, yQ), {a, b) — координаты направляющего вектора
щ = М0М[. Система уравнений (9) равносильна одной пропорции
X— Хр _ у —У о /.л-.
~~^Г ь—• 11и^
называемои каноническим уравнением прямой на плоскости.
Если прямая задана двумя своими точками Мо и Ми то ее
направляющий вектор ио = 7ИоМ1 имеет координаты
и уравнение A0) превращается в
х—х0 ^ у—у»
(И)
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки М0 = (х0, г/о) и Мг = (хи ух). В пространстве параметриче-
параметрическое уравнение записывается в виде
х — л„- at,
у~уо = Ы,
2 — 20 = Ct.
Эта система равносильна пропорции
г—2а
-A2)
A3)
(теперь уже трехчленной), называемой каноническим уравнением
прямой в пространстве.
Если прямая в пространстве задается двумя своими точками
М0 = (х0, у0, -г0) и Мг = {хъ ух, Zi), то для ее направляющего век-
вектора ао = МоМ1={а, Ь, с] имеем а = *!-*„, Ь = у1 — у0, с = гх—гй
48
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ГЛ. I
и пропорция A3) превращается в пропорцию
х—х0 У—Уо г—г„
К\ — Хо
Ух —У а
i — V
A4)
которая и определяет прямую (в пространстве), проходящую через
две заданные точки.
3. Две полуплоскости, определяемые данной прямой па пло-
плоскости. Пусть на плоскости дана прямая d своим уравнением
Ах-{-Ву-{-С = 0. A5)
Для всех точек М — (х, у) этой прямой и только для этих точек
трехчлен
F{x, y) = ,
обращается в нуль; если же точка М = (х, у) не лежит на прямой
A5), то для нее либо F(х, у)>0, либо F (x, y)<0. Мы говорим,
что прямая A5) разбивает плоскость на две полуплоскости; одна
из этих полуплоскостей определяется как множество всех точек
М = (х, у), для которых F(х, у)>0, а другая — как множество
всех тех точек М = (х, у), для которых F (х, г/)<0; первая полу-
полуплоскость называется положительной по отношению к данному
уравнению A5) нашей прямой, а вторая —отрицательной.
Если ту же прямую d задать каким-либо другим уравнением
Л'Л-Д'Н-С'-О, A5')
то имеется такое число X, что Л' ХА, И' ХВ, С — ХС, так
что, обозначая леную часть уравнении (IIV) через 1"(х, у), имеем
]"(х, у) = Х1'(х, у). Отсюда сразу следует, что при А,>0 положи-
положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения A5) сов-
совпадают с положительной и отрицательной полуплоскостями отно-
относительно уравнения A5'), а при Я,<0 эти полуплоскости меняются
местами: положительная полуплоскость относительно уравнения
A5) делается отрицательной для уравнения A5'), и наоборот. Но
всегда две точки, принадлежащие к одной или разным полуплос-
полуплоскостям относительно одного из двух уравнений A5), A5'), сохра-
сохраняют это свойство и при переходе к другому уравнению.
Имеет место следующая
Теорема 6. Если точки уИ0 = (л:0, у0) и М1 = {хх, у{) лежат
в разных полуплоскостях, определенных прямой A5), то отрезок
MQML пересекает эту прямую в некоторой точке М' (рис. 36, а);
если же точки Мо и Мх лежат в одной и той же полуплоскости,
то в этой же полуплоскости лежит и весь отрезок М0М1 (рис. 36, б).
Доказательство. Пусть точки Мо и Мх лежат и разных
полуплоскостях. Напишем уравнение прямой, проходящей через
§5]
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
49
точки Мй и Mlt в параметрической форме:
x = xo+at,
X
где за направляющий вектор и0 = {а, Ь\ взят вектор МОМЪ так
чтоа = х1 — х0, Ь = у1 — у0. Поэтому те и только те точки М = (х, у)
нашей прямой принадле-
принадлежат отрезку М0М1 этой
прямой, для которых Oss;
*Skt^ 1. Посмотрим, какие
значения принимает трех-
трехчлен F (х, у), когда точка
М = {х, у) пробегает нашу
прямую. Для этого подста-
подставим в трехчлен F (х, у) зна-
значения х и у из равенств
Получаем
F(x, у) = (
Обозначая константы Ахо-\-
+ Вуй + С и Аа + Bb соот-
соответственно через \i и "К,
видим, что трехчлен F (х,у)
превратился в линейную
функцию от переменного t:
F(x, y)
б)
Рис. 36.
При t = 0 уравнения пря-
прямой дают нам координаты
хв, у0 точки Мо, а при t = 1
(напомним, что а = хг —
— хй,Ъ==у1 — у0) — коорди-
координаты хъ уг точки Mt. Так
как по предположению числа F(xQ, y0) и F(xlt
знака, то и значения линейной функции W-J-M- при
имеют разные знаки, а тогда для некоторого ..г„...„„д _,
ного значения t', 0<t' <jl, которому соответствует точка М' =;
= (*'. у') отрезка M0Mlt функция kt + ц, и, значит, трехчлен
F(x, у) обратятся в нуль. Тогда точка М' является точкой пере-
пересечения отрезка МаМх и прямой A5) —первое утверждение тео-
теоремы доказано.
разного
и * = 1
промежуточ-
промежуточ'
50
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[Г.Л. I
Доказываем второе утверждение. Помня, что а — х1 — х0, Ь ¦
= У\ — Уо> представляем F (х, у) в виде
F (х, у) = (Ах0 + Ву0 + С) + [A (х, - *„) -Ь П (у, - //„)] /,
т. е.
F{x, y) = (l-
Если 0</<1, то числа как t, так и 1— t положительны, по-
поэтому если F(x0, г/0) и F (xlt угодного знака, то «мкло f(x,y) —
(lt)F( ) tF( ) б б
у
= (l—t)F(x0,
числа F(x0, у0) и
(х1(
г/j) будет иметь тот же шли, что и оба
— любая точка М отрежа Л 1,,Л/1 при-
принадлежит топ же полуплос-
полуплоскости, что и ofie ючкп Мй
и Мх. Теорема П полностью
дока )лпл.
4. Примаи на плоскости
в прямоугольной системе ко-
координат. Нормальное урав-
уравнение прямой на плоскости.
До сих пор предполагалось,
что на плоскости дана про-
произвольная аффинная система
координат.
Предположим теперь, что
эта система координат прямо-
прямоугольная. '1огда уравнению
всякой прямой на плоскости
может бы и. придан чак назы-
называемый нормальный вид.
Рассмотрим орте, перпен-
перпендикулярный к нашей пря-
прямой d, причем если прямая d
проходит через начало коор-
координат, то понимаем под е про-
' извольный из двух взаимно противоположных ортов, перпен-
перпендикулярных к прямой d, а если эта прямая не проходит
через начало координат, то обозначаем через е тот из этих
двух ортов, который направлен от начала координат О к прямой
(рис. 37). Отсюда следует, что на оси, несущей вектор ON (или,
что то же, 'Орт е), имеем
(ON) = аз пре ON г= р ^г 0, A6)
где fi есть расстояние от начала координат до прямой d. Обозна-
Обозначая координаты орха е через ? и т|, имеем ? = cos>a, п. = sin a,
где а —угол наклона орта е к оси абсцисс. Итак,
e = {cosa, sin a}.
Рис. 37.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ' В ПЛОСКОСТИ 51
Пусть М =(л, у) — какая-вибудь точка плоскости: В том и
только в то» случае, вогда точка М лежит на прямой d, ее (орто-
(ортогональная) проекция на прямую ON совпадает с точкой N, а про-
проекция вектора ОМ совпадает с вектором ON. Следовательно, для
всех точек М = {х, у) прямой d и только для этих точек выпол-
выполнено условие
аз пре ОМ = р. A7)
Так как OM»*\xb у] я e«={cosa, sin a}, то
аз пре ОМ. = х cos a + у sin a,
*ак что условие A7) переписывается в виде уравнения
jecosa-j~i/sina — p=0. (T8)
Вто уравнение и называется нормальным уравнением прямой d.
Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение
Ах + Ву + С = 0 A9)
шашей прямой d.
Так как уравнения A8) и A9) япляются уравнениями одной
п той же прямой в одной и той же системе координат, то суще-
существует такое числа X, что коэффициенты уравнения A8) полу-
чаяотся иа коэффициентов уравнения D) умножением на Я:
Последнее из уравнений B0) (в случае Сф_0) позволяет сразу
Определить знак X: так как р>0, то
СХ = —р<0
• знак "К противоположен знаку С.
Для определения модуля числа К возподим каждое из двух
первых уравнений B0) в квадрат и складываем. Получаем
(Л4 + В3) Г? = cos8 a 4- sin2 a = 1,
откуда
Число t>, модули которого есть , », а внап противоположен
внаку С, называется нормирующим множителем уравнения A9)|
яра О=*0 mm Ь можн» выбрать произвольно.
Умножая об* части уравнения A9) на нормирующий множи-
множитесь &, мы превращаем 8» уравнение в нормальное уравнение A8)
той же прямой.
52
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. I
Заметим, что вектор {А, В} = п всегда перпендикулярен к пря-
прямой A9). Это вытекает из того, что векторы е и п = (А, В) кол-
линеарны, а вектор е перпендикулярен к прямой d, определяемой
уравнением A9).
5. Расстояние от точки до прямой (на плоскости). Под рас-
расстоянием от точки Мо плоскости до прямой d, лежащей в этой
плоскости, понимается длина перпендикуляра, опущенного из
точки Мо на прямую d.
Теорема 7. Пусть в плоскости, снабженной прямоугольной
системой координат, задана прямая d своим нормальным уровне'
наем
*cosa + f/sina —р = 0. B1)
Тогда расстояние р (Мп, d) произвольной точки М„ ~~ (х,„ у0) от
прямой d равно числу
| х0 cos а. -\- у0 sin a — р [.
Доказательство. Через точку Мо проведем прямую d',
параллельную прямой d, и рассмотрим ось, несущую приложен-
приложенный к началу координат орт e = {cosa, sin a}; эта ось перпенди-
перпендикулярна к обеим прямым d и d' и пересекает их соответственно
в точках N и Л/'. Длина вектора А/Л/', ранная модулю его ал-
алгебраического значения (Л/Л/') на определенной нише оси, и есть
искомое расстояние р{М0, d) между Точкой Мо и прямой
р(М0, d) = \(NN')\.
Имеем на той же оси
(ON') = (ON) \-(NN').
т. е.
где
Следовательно,
(Л/Л/') — a:,, cos a + г/о sin a~ Pi
p (Mo, d) ---- | (NN') | = | x0 cos a + y0 sin a - p |,
что и требовалось доказать.
Если прямая d задана своим общим уравнением
') = (ON')-(ON),
(ON') = аз пре 0М0 = х0 cos a -f-y0 sin a,
то для определения ее расстояния от точки Мо — (лги, уп) надо
сначала привести уравнение прямой к нормальному «иду, т. е.
умножить обе его части на , ¦ В результате получается
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
формула
p(MQ, d)
6. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости, Углом между
двумя прямыми на плоскости называется угол между любым на-
направляющим вектором одной
и любым направляющим векто-
вектором другой прямой (рис. 38).
Очевидно, это определен
ние дает нам не один, а два
угла, дополняющих друг
друга до я, т. е. оба смеж- ^
ных угла, образуемых двумя —
пересекающимися прямыми,
Предположим, что наши
прямые d1 и d2 даны их урав-
уравнениями (в прямоугольной
системе координат)
-u
= 1, 2. (I, II)
Рис. 38.
Тогда в качестве направляющих векторов этих прямых мы можем
взять, например, векторы
ul = {—Bu Лл}, ua = {— В2, А2\. B2)
Угол <р между векторами щ и и2 дается косинусом:
cosq> =
Если /41/l2 + S1B2>0I то мы получаем по этой формуле ост-
острый угол между прямыми г/, и dx.
Если AlAi-[-Lilli.l*^.{) то тупо!).
Равенство
=о B3)
выражает необходимое и достаточное условие для перпендикуляр-
перпендикулярности прямых dx и d2.
Если на плоскости выбрано положительное направление вра-
вращения, то можно говорить об угле от первой прямой до второй,
понимая под этим снова угол от любого направляющего вектора
первой до любого направляющего вектора второй прямой (рис. 39).
Так определенный угол бь, определен с точностью до слагаемых
вида kn, где k — целое.
Обозначая через аи соответственно аг, угол наклона к оси
абсцисс любого направляющего вектора соответственно первой и
54
простейшие понятия аналитической геометрии
второй прямой (т. е. угол от орта оси абсцисс до соответствую-
соответствующего направляющего вектора), мы также получаем углы, опреде-
определенные с точностью до слагаемых вида kn. При этом все время
1'nc. 30.
то HKKTiiio до слагаемы* иида кп имеем 0,..= a, -alt откуда
мп (Jlr 2 = sin ot.j cos at — cos a.: sin ot,, |
cos 0ti о =c(is aa cos c^ -(-sin a.2 sin ax. J
Беря снова направляющие векторы
получаем
B4)
s I и at —
=¦, cos at = -
(i-1,2)
и, подставляя эти значения в формулы B4), находим
sin Qlt 2 =
cos6lp2 =
А1В2—А2В1
B5)
B6)
«6]
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
55
Если один из векторов щ, щ заменить на противоположный, то
изменится знак как у синуса угла (вследствие изменения направ-
направления вращения на противоположное), так и у косинуса (полу-
(получается угол, смежный с рассмотренным): знак же тангенса угла
от первого вектора до второго при такой замене не меняется.
Если прямые (I) и (II) даны своими уравнениями с угловым
коэффициентом:
где ky = '
т. е.
&2 = tga2, то
tgfli.i = tg (a,
Если прямые (I) ж (II) взаимно перпендикулярны, то можно
положить 0^ = 0^ + ^-, значит, tga.2 =— ctgal( т. е. k2——^-,
или
=—1 (условие перпендикулярности).
B3')
Формулы B6) и B5) можно получить и пользуясь общими урав-
уравнениями прямых (I) и (II) —подставляя в формулы B6) и B3')
яначения угловых коэффициентов
§ 6. Плоскость и прямая • пространств*
I. Параметрическое и общее уравнения плоскости. Всякую
плоскость в пространстве можно задать, указав какую-нибудь ее
точку Мп — (хп, ;/„, г„) и
два произвольных прило-
приложенных к этой точке
неколлинеарных вектора
{рИС. 40I1!=» {<2у, Ьу,Су\~>
*¦ М0Му и u2 = {a2, bit сг) **
**М0Мг. Рассмотрим мно-
множество, состоящее и»
всех векторов и, являю-
являющихся линейными комби-
Нациями векторов их и и3;
Прилагая векторы и к
tO4Ke Mo, получим всевозможные закрепленные векторы вида
Ряс 40.
56
простейшие понятия аналитической геометрии
[ГЛ !
где sat — произвольные вещественные числа; концы М этих век-
векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку Мо и два
приложенных к ней вектора их и и2.
В координатной форме уравнение (Т) переписывается так:
х — xo =
A)
Давая в этих уравнениях переменным s n t всевозможные число-
числовые значения, получим все точки нашей плоскости и только точки
этой плоскости. Поэтому векторное уравнение A) (или равносиль-
равносильная ему тройка числовых уравнений A)) называется параметри-
параметрическим уравнением плоскости.
Уравнения A) выражают линейную зависимость столбцов
матрицы
у—Уо bi б2 I
что в свою очередь эквивалентно равенству
— ч у—у» г —г„
= 0
или уравнению
где
С, «1
с2 а.;
bt
C)
D)
Таким образом, уравнение C) представляет собой необходимое и
достаточное условие, чтобы точка М = (х, у, г) принадлежала пло-
плоскости, определяемой уравнением (Г), т. е. уравнение C) есть
уравнение плоскости, проходящей через точку М() = (х0, у0, г0) и
через пару неколлинеарных векторов щ = {alt blt с{\, щ = {а.2, b.lt c2}.
Задача. Найти уравнение плоскости, проходящей через три
данные неколлинеарные точки
Мй = {х0, г/0, г0), М1 = (х1, ylt гх), М% = {хг, //„ г?).
Искомая плоскость содержит точку Мо и неколлинеарные векторы
/ЙЖ = {*1-*о. У1 — Уо' 2i-2o} и М0М1 = [х2-х0, у2-у0,г2-г0\1
ее уравнение, следовательно, есть B), т. е.
* —*о У —Уо 2 — г0
«1—*о г/i—Уо гх —г0
Ч — Ч Уя—Уо г2 — г0
= 0,
16]
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
57
что может быть переписано и в виде
у г 1
г/о *„ I =0<
г/i zi 1
г/а ч 1
Мы установили, что всякая плоскость есть множество всех
точек М=(х, у, г), являющихся решениями некоторого уравне-
уравнения первой степени с тремя неизвестными, а именно уравнения C).
Верно и обратное утверждение: множество всех точек М = (х, у, г),
координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой
степени, есть плоскость. Итогом всего сказанного выше является
следующая теорема:
Теорема 8. Всякая плоскость в пространстве, снабженном
аффинной системой координат, есть множество всех точек, удов-
удовлетворяющих некоторому линейному уравнению
Обратно, множеспкю всех точек М = (х, у, г), являющихся реше-
решениями произвольного уравнения вида E), есть плоскость.
Определение. Всякое уравнение E), которому удовлетво-
удовлетворяют все точки данной пло'скости, называется уравнением этой
плоскости.
2. Условие компланарности вектора плоскости. Связь между
уравнением плоскости E) и соответствующим однородным уравне-
уравнением
F)
был комп-
E)
F)
Доказательство. 1° Пусть вектор и = {|, т|, ?} компланарен
плоскости E). Берем какую-нибудь точку M0 = (x0, y0, г0) этой
плоскости и прилагаем к ней вектор и; получаем вектор с нача-
началом в Мо и концом М—(хо-\-1, //о + т], zo + ?), лежащим в пло-
плоскости E), значит,
( о)
F)
дается следующим предложением:
Теорема 9. Для того чтобы вектор и = {?, ц,
ланарен плоскости
Ах-\-Вц l-Cz-1-D^O,
необходимо и достаточно, чтобы было
Вычитая, получаем
58
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. I
2° Пусть u = {|, т), ?} удовлетворяет уравнению F). Прилагая
вектор и к какой-нибудь точке Ма = (х0, у0, г0) плоскости E), по-
получим вектор М0М, конец M = (xo + ?, $/0 + т1> Zo + ?) которого
в силу E) и F) лежит в плоскости E). Так как и начало Мо
этого вектора лежит в плоскости E), то и весь вектор лежит
в этой плоскости. Теорема доказана.
Следствие. Прямая
х—х0 _ у—уо _ г—гв .-
~1Г~-~ь~ — ~Т~ A>
тогда и только тогда параллельна (в широком смысле) плоскости
Ах-\- By + Cz + D = 0, E)
когда
Если, кроме того, выполнено условие
-О,
(8)
E0)
то (и только в этом случае) прямая G) лежит а плоскости.
В самом деле, условие (8) означает, что направляющий век-
вектор {а, Ь, с\ прямой G) компланарен плоскости E), а условие E0)
означает, что точка Мп — (*¦„, у0, г„) прямой G) лежит в этой пло-
плоскости.
3. Взаимное расположение дпух плоскостей. Г.слн две плоскости
параллельны (и широком смысле), то иенкнп нсктор, компланар-
компланарный одной из них, будет компланарен п друюй плоскости. Две
параллельные в широком смысле плоскости имеют одно и то же
множество компланарных им векторов. Обратно, если у двух пло-
плоскостей щ и п2 одно и то же многообразие компланарных им
векторов V, то они параллельны в широком смысле слова, если,
кроме того, эти плоскости различны, то они не имеют ни одной
общей точки (т. е. параллельны в узком смысле слова): если бы
плоскости л, и л.2 имели общую точку Мф то, прилагая к этой
точке все векторы многообразия V, мы бы получили все точки
каждой из плоскостей п, и л.г и эти плоскости были бы тождест-
тождественны.
Итак, две плоскости, определяемые соответственно уравне-
уравнениями
Ax + By + Cz + D = 0 (9)
и
A'x + B'y + C'z + D' = 0, (9')
параллельны в широком смысле слова тогда и только тогда, когда
они определяют одно и то же многообразие компланарных им
ПЛОСК-ОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
векторов, т. е. когда уравнения
А
и
Б9
0 A0)
= Q A0')
имеют одно и то же множество решений. А это, как мы видели,
бывает тогда и только тогда, когда
Если, более того,
А'
:А
' :А
= В
= В'
•:В-
:В
-С
= С
':С-
:С.
= D'.
D,
A1)
A2)
то уравнения (9) и (9') равносильны, определяемые ими плоско-
плоскости совпадают. Обратно, если плоскости (9) и (9') совпадают, то
совпадают многообразия компланарных им векторов, т. е. выпол-
выполнено A1), и, следовательно, при некотором К
Докажем, что тогда и D' = ХД т. е. имеет место пропорция A2).
В самом деле, если М0 = (х0, у0, г0) — какая-нибудь точка совпа-
совпадающих между собой плоскостей (9) и (9*), то имеем тождества
Ах0 + Ву0 + Сг0 = — D, А'х0 + В'у0 + C'z0 = — ?>',
в которых А' =Ы, В'~КВ, С' = ХС, а следовательно, н D'=№.
Утверждение доказано.
Итак, пропорция A2) является необходимым и достаточным
условием для совпадения плоскостей (9) и (9').
Наконец, м.флллеимтгп. плоскостей (9) и (9') в собственном
смысле означает, чю имеет место параллельность в широком
смысле, но нет совпадения плоскостей. Другими словами, верна
пропорция A1), но неверна пропорция A2), а это значит, что
A': A=B':B = C':C=?D':D. A3)
Итогом всему является
Теорема 10. Дни уравнения первой степени (9) и (9')
Ах \-B
тогда и только тогда определяют одну и ту же плоскость, когда
выполнено условие
A';A = B';B~C';C = D';D. A2)
60
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
(ГЛ 1
Уравнения (9) и (9') тогда и только /погда определяют две
плоскости, параллельные в широком смысле слова, когда выполнено
условие A1).
Наконец, эти уравнения тогда и только тогда определяют две
плоскости, параллельные в собственном смысле, когда имеет
место A3).
4. Прямая как пересечение двух плоскостей. Взаимное распо-
расположение двух прямых в пространстве. Пусть две плоскости, за-
заданные уравнениями
+ D = 0, (9)
'z+D'=Q, (9')
не параллельны, т. е. А : В : Сф A' i В' »С. Тогда по крайней
мере один из трех детерминантов
а =
в с
В' С'\
А
А'
\А В
\А' В1
отличен от нуля, и уравнения (9) и (9') совместны; чтобы найти
их совместное решение, т. е. точку М0 = (х0, у0, г0), принадле-
принадлежащую обеим плоскостям (9) и (9'), достаточно в предположении,
что, например, с - д, „, =^=0, взять произвольное значение г = г0
и решить по правилу Крамера систему уравнений
-- — D'- С г».
А'х Ь
Итак, пусть Ми (хи, //,„ ?„) есть какая-нибудь точка, принадле-
принадлежащая обеим плоскостям (9) и ({)'). Все остальные точки М,
общие двум нашим плоскостям, найдутся, если приложить к точ-
точке Ма всевозможные векторы
лежащие одновременно как в одной, так и в другой плоскости,
или, что то же самое, всевозможные векторы-решения системы
однородных уравнений
0, A0)
Так как А : В : С ф А': В': С, то все эти векторы коллинеарны
одному из них, например, вектору
ц, = {а, Ь, с}.
Все общие точки наших двух плоскостей суть точки М, опреде-
определяемые векторным уравнением
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
61
они образуют прямую, проходящую через точку Мо и имеющую
вектор и0 = {а, Ъ, с} своим направляющим вектором. Каноническое
уравнение этой прямой есть
— у0 _ г — г0
где
Две
и
с
а, Ъ, с заданы равенствами
а =
В С
В' С
. Ъ =
прямые
Ь
С
С
х—х0 у—уо
а
х—х'„ t
а'
Ь
1 — Ц'а
Ь'
А
А'
с '
, с =
г — г0'
с
г~г'о
с'
А
А'
В
В'
(I)
(I')
могут быть или не быть компланарными.
Положим
М„--(хп, уп, ги), М» =(x[h у'о, г'о).
Для компланарности прямых (I) и (Г) необходимым и достаточ-
достаточным условием является компланарность трех векторов
ЖйМ[ = {х'й-хй, у'0-у0, г',-г0},
ио = {а, Ь, с},
К = {а', Ь', с'},
т. е. равенство
К — «о У'о—Уо г'0 — г0
а Ъ с =0.
а' V с'
Следовательно, прямые скрещиилются, т. е. не лежат в одной
плоскости то| да и только тогда, ко1да последнее равенство не имеет
места.
Найдем уравнение плоскости, содержащей две компланарные
прямые (I) и (Г). Предположим сначала, что прямые (I) и (Г)
пересекаются и что Л10 = (х0, у0, г0) — их точка пересечения. Тогда
плоскость, в которой лежат обе наши прямые, есть плоскость,
проходящая через точку ;№„ = (*„, у0, г0) и два приложенных к ней
неколлинеарных вектора щ^={а, Ь, с} и а^ = {а', ?>', с'). Урав-
Уравнение этой плоскости имеет вид
ъ
Ь'
= 0,
B')
оно и дает ответ на поставленный вопрос.
62
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. Г
Пусть теперь прямые (I) и (Г) параллельны. Тогда векторы
UoH и,, коллинеарны, следовательно, уравнение плоскости B') обра-
обращается в тождество и ничего нам не дает. Чтобы определить урав-
уравнение плоскости, содержащей две данные параллельные прямые
(I) и (Г), заметим, что эта плоскость содержит точку Мо =-
= (хо< Уо> zo) одной из наших прямых, ее направляющий вектор
ио={а, Ь, с} и вектор М0М'а = {х'а — хв, у'0 — у0, г'й — г0).
Поэтому уравнение искомой плоскости есть
х — ха у—уа г — г0
ха — ха У а — Уя го — го
а Ь с
= 0.
5. О двух полупространствах, определяемых данной пло-
плоскостью. Этот вопрос совершенно аналогичен вопросу о двух по-
полуплоскостях, определяемых данной прямой на плоскости.
Пусть плоскость л задана уравнением
F(x, у, z)==Ax + By + Cz + D>=b. A4)
Плоскость я разбивает пространство на два полупространства,
одно из которых состоит из всех точек М = (х, у, г), для кото-
которых F (х, у, z)>0, другое —из всех точек М = (х, у, г), для ко-
которых F (х, у, г)<0. Первое полупространство называется поло-
положительным, второе — отрицательным по отношению к данному
уравнению A4) плоскости я. При переходе к какому-нибудь дру-
другому уравнению той же плоскости оба полупространства могут
или остаться неизменными, или поменяться местами: положитель-
положительное полупространство для одного уравнения сделается отрица-
отрицательным для другого. Первый или второй случай наступает в за-
зависимости от знака того множителя, на который надо почленно
помножить одно уравнение, чтобы получить другое.
Имеет место утверждение, аналогичное теореме 6.
Теорема 11. Если точки M0 = (x0, yQ, z0) и М1 = (х1, ylt zx)
лежат в разных полупространствах, определяемых плоскостью A4),
то отрезок M0M-l пересекает плоскость; если же точки Мо и Mt
лежат в одном и том же полупространстве, то в этом же по-
полупространстве лежит и весь отрезок МйМх (рис. 41).
Наглядный смысл этой теоремы таков же, как в случае ана-
аналогичной теоремы о двух полуплоскостях, определяемых на пло-
плоскости данной прямой. Плоскость A4) не может быть параллельна
сразу всем трем координатным осям. Пусть, например, она не
параллельна оси Oz. Тогда каждая точка Ма^(х0, у0, г„), не ле-
лежащая на плоскости A4), лежит «выше» или «ниже» этой пло-
плоскости—в следующем смысле. Через точку М0 = (х0, уп, г0) про-
проходит единственная прямая, параллельная оси Oz; она пересекает
плоскость A) в некоторой точке М1 = (хъ уи гх) (рис. 42). Если
20>г1. то говорим, что точка М0 = (хф у0, г0) лежит выше пло-
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 83
скости A); если же го<.гъ то говорим, что точка Мо лежит ниже
плоскости A4).
Рис. 41.
Теорема 12. Все точки пространства, лежащие выше пло-
плоскости A4), образуют одно ия двух полупространств, на кото-
рые эта плоскость разбивает пространство; все точки, лежащие
ниже плоскости A4), образуют второе полупространство.
Наконец, имеет место следующая теорема.
Рис. 42.
Рис. 43,
Теорема 13. Если плоскость я задана уравнением A4), то
вектор п = {А, В, С\, приложенный к какой-либо точке Мо=*
— (*о> Уо> го) этой плоскости (рис. 43), направлен в положитель-
положительное полупространство относительно уравнения A4).
Ь4
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ I
6. Плоскость в прямоугольной системе координат. Предпола-
Предполагаем до конца главы, что система координат прямоугольная.
Теорема 14. Пусть плоскость я задана (в прямоугольной
системе координат) своим уравнением
Ах + Ву + Сг + И = 0. A5)
Тогда вектор п = {А, В, С} перпендикулярен к плоскости я.
В самом деле, если и = {?, г\, ^ — произвольный вектор, ле-
лежащий в плоскости я, то
(n, u) = Л? + Вг1 + С? = 0,
что означает, что вектор п перпендикулярен ко всякому вектору,
лежащему в плоскости я, т. е, перпендикулярен к плоскости я,
что и требовалось доказать.
Проведем теперь через начало координат О перпендикуляр
{тормаль1>) ON к данной плоское!и я (рис. 44); через N обозна-
обозначаем точку пересечения плос-
плоскости я с этой нормалью.
Если плоскость я проходит
через начало координат (т. е.
О = /V), то положительное на-
iip.nuieiiiie iid нормали выби-
p.ieM произвольно; в против-
противном случае считаем положи-
положительным направление вектора
ON (г. е. направление от на-
ч,1 /1.1 координат к плоскости
л) Орг этого направления
х обенпачлем через ею направ-
направляющие косинусы — через
cos a, cos p, cosy, так что
e = {cosa, cos p, cosy}.
На оси ON алгебраическое
Рис. 44. значение вектора ON есть
число р^О, равное расстоя-
расстоянию плоскости я от начала координат. Пусть М = (х, у, г) —
какая-нибудь точка пространства. В том и только в том
случае, когда она лежит в плоскости я, ее ортогональная
проекция па ось орта е есть точка N, а проекция вектора ОМ
есть вектор CW. Следовательно, для всех точек М = (х, у, г)
плоскости я и только для них имеем
азпре0М=р
«6?
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
63
Но левая часть этого равенства есть
х cos а + у cos р -|- г cos Vi
так что точки М = (х, у, г) плоскости я и только они удовлет-
удовлетворяют уравнению
* cos а + г/cos p+ z cosy — p = 0, A6)
которое есть, следовательно, уравнение плоскости я; оно назы-
называется нормальным уравнением этой плоскости.
Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение
Ax + By + Cz + D = 0 A5)
плоскости я. Как, отправляясь от этого уравнения, получить нор-
нормальное уравнение той же плоскости?
Так как уравнения A5) и A6) определяют одну и ту же пло-
плоскость я, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны,
т. е.
A7)
cos p1 =- ХП,
соь у = ХС,
при некотором X. Из равенств A7) определяем X, а именно: из
первых трех равенств A7) имеем
X* (А* + Вг + С2) = cos2 a + cos2 р* + cos* у = 1,
откуда
\Х\= Г \ A8)
Знак X определяем лишь в случае БфО из четвертого равен-
равенства A7): так как р>0, то XD<0 и, следовательно, X имеет
знак, противоположный знаку П.
Определенно. Число X, имеющее модуль
+
и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нор-
нормирующим множителем уравнения A5). При D = 0 можно знак
X выбрать произвольно.
Мы установили: для того чтобы из произвольного («общего»)
уравнения плоскости A5) получить нормальное уравнение плоско-
плоскости A6), надо обе части уравнения A5) помножить на норми-
нормирующий множитель этого уравнения.
Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравне-
уравнение плоскости позволяет определить расстояние любой точки про-
пространства до этой плоскости.
Теорема 15. Расстояние р(М0, я) от точки М0=*(х0, у0, г0)
до плоскости я, данной своим нормальным уравнением A6), равно
3 П. С. Александров
66
ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
[Г Л I
модулю числа, получаемого, если в левую часть уравнения A7) под'
ставить х = х0, у = ув, z = z0, т. е.
р (М0, я) = | *e cos а + у0 cos р" + г0 соь у — р |.
Если плоскость я задана общим уравнением A5), то расстоя-
расстояние от точки М9 = (хв, уй, г0) до этой плоскосш находится по
формуле
7. Угол между прямой н плоскостью; угол между двумя пло-
плоскостями. Угол между прямой d и плоскостью л ссп>, по опре-
определению, угол if между этой прямой и ее проекцией на пло-
плоскость я. Это определение дает не один, а дна угла (острый и
тупой), дополняющих друг друга до л (рис. 45); каждый из этих
углов заключен между 0 и л.
Рис. 45.
Рис. 46.
В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и
нормального вектора к плоскости л имеем всего четыре угла
(рис. 46), образующих две пары вертикальных углов. Обозначим
через ф угол между любым направляющим вектором и прямой d
и любым вектором п, нормальным к плоскости. Так как угол tj»
заключен между 0 и я, то его синус неотрицателен, причем, как
легко видеть, всегда
sint|) = | cos ф |.
Если прямая d дана уравнением
х—*о У — Уо г — г0
§ 61 ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
а плоскость я — уравнением
67
= 0, B0)
то угол ф между векторами ио = {а, Ь, с] и п = {А, В, С} нахо-
находится по формуле
Аа + ВЬ + Сс
cos ф = ¦ ^ ~
'VA* + В2 + С2
+сз'
значит,
Условие перпендикулярности прямой A9) и плоскости B0) есть
условие параллельности векторов и0 и п, т. е.
а Ь _с_
Т ~ Т~ с"'
За г/гол между двумя плоскостями
Ax + By + Cz + D^-0 B0)
и
A'x + B'y + C'z + D' =0 B0')
принимаем угол ф между любыми двумя перпендикулярными к ним
векторами (что опять дает два угла, острый и тупой, дополняю-
дополняющих друг друга до я), например между
п = {Л, В, С], п' = {Л', В', С'}.
Получаем
АА' + ВВ'+СС
ется
cos ф = ¦
Условием перпендикулярности двух плоскостей B0) и B0') явля-
Рассмотрим в заключение следующую задачу.
Задача. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного
из данной точки М1 = (х1, уъ zx) на прямую d (не проходящую
через точку Мх), данную уравнением
х — Ху __ у — у0 __ г — г„
а Ь с
и найти его длину. При этом под перпендикуляром, опущенным
из данной точки Мг на прямую d, понимается прямая, проходя-
проходящая через точку Мг и пересекающая прямую d в некоторой ее
точке М2 под прямым углом. Длина отрезка Му_Мг называется
68
простейшие понятия аналитической геометрии
;гл
длиной перпендикуляра. Для решения поставленной задачи,
во-первых, проводим плоскость через точку УИХ и прямую d. Эта
плоскость, неся на себе векторы
ио = {а, Ь, с], 'М0М'1=и1={х1 — х0, yi — ya, 2k — z0}
и содержа точку Мо, имеет уравнение
х—х0 у~
—г0
= 0.
Во-вторых, проводим плоскость через точку М, - (хи ylt гх)
перпендикулярно к прямой А. Уравнение этой плоскости есть
a (x — xj + biy-yj + ciz - г,) ----- 0.
Пересечение этих двух плоскостей даст искомую прямую, прохо-
проходящую через точку Mlt пересекающую прямую d и перпендику-
перпендикулярную к ней.
Длину перпендикуляра, опущенного из точки Мх на прямую
d, найдем как высоту параллелограмма, построенного на векто-
векторах М0М1 и и0, отложенных от точки Мо, считая основанием
сторону и0. Площадь S этого параллелограмма есть абсолютная
величина векторною пропчпедеппн псктора MitMt па вектор и0,
а длина его основания есть |и(||; поэтому для расстояния р (Mlt d)
имеем
Х\—х0 У1 —
а Ъ
Г Л А В А II
ПАРАБОЛА, ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в кото-
которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определен-
определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы
координат с этим масштабом.
§ 1. Парабола
Парабола известна читателю ич курса средней школы как кри-
кривая, являющаяся графиком функции
= ах2~\-Ьх~\-с.
A)
™ / b 4ac—№\
Точка с координатами I — -~—, —j j называется вершиной пара-
параболы. В частности, если Ь = с = О, то
У = ах2,
B)
и вершина параболы находится в начале координат.
Поменяем названия осей, т. е. перейдем к новой системе коор-
координат, п которой oci.io ординат будет старая ось абсцисс, а осью
абсцисс —старая ось ордмп.п. И эмш попой системе уравнение
B) запишется в виде у2— х или, если число — обозначить
через 2р, в виде
р>0 (рис. 47).
C)
Уравнение C) называется каноническим уравнением параболы:
прямоугольная система координат, в которой данная парабола
имеет уравнение C), называется канонической системой координат
(для этой параболы).
Установим геометрический смысл коэффициента р. Для этого
возьмем точку
() D)
70
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
[ГЛ. II
называемую фокусом параболы C), и прямую d, определенную
уравнением
* = —?. (б)
Эта прямая называется директрисой параболы C) (см. рис. 47),
Пусть М = (х, у) — произвольная точка параболы C). Из урав-
уравнения C) следует, что х^О. Поэтому расстояние точки М от
директрисы d есть число
6л, = ? + *. F)
Расстояние точки М от фокуса F есть г
Но у2 = 2рх, поэтому л — х |- ? = f)M.
— -\ у (х — у
F
Рис. 47.
Рис. 48.
Итак, все точки М параболы равноудалены or се фокуса и
директрисы:
г = бл. G)
Очевидно обратное: каждая точка М, удоплсишрчющлн условию
G), лежит на параболе C).
Мы доказали, что каждая парабола C) сапь геометрическое
место точек, равноудаленных от фокуса /•' и от директрисы а
этой параболы.
SH
ПАРАБОЛА
71
Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффи-
коэффициента р в уравнении C): число р равно расстоянию между фокусом
и директрисой параболы.
Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая1
d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует,
парабола с фокусом F и директрисой d. Для этого проведем череЗГ
Точку F прямую g (рис. 48), перпендикулярную к прямой d;
точку пересечения обеих прямых обозна • гм через D; расстояние
\DF\ обозначим через р. Прямую g пр
ней направление DF в качестве полож ~
осью абсцисс прямоугольной системы _
является середина О отрезка DF. '^ д
р
^тим в ось, приняв на
i::oro. Эту ось сделаем
дчнат, началом которой
F = (-tt, Oj и прямая d
^ь мы можем в выбранной
лическое уравнение параболы:
C)
получает уравнение х= —^-.
Системе координат написать к-
причем точка F будет фокусом, а прямая d— директрисой пара-
параболы C).
Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место
точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы
можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой
системы координат) определение параболы.
Определение. Параболой называется геометрическое место
точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фоку-
(«фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы»
параболы).
Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы
через р, мы можем всегда найти прямоугольную систему коорди-
координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, и которой
уравнение параболы имеет ьлкоммческнп вид
У*=2рх. C)
Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой
прямоугольной системе координат, является параболой.
Расстояние р между фокусом и директрисой параболы назы-
называется фокальным параметром или просто параметром параболы.
Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе
параболы, называется ее фокалмгой осью (или просто осью); она
является осью симметрии параболы —это вытекает из того, что
ось параболы является осью абсцисс в системе координат, отно-
относительно которой уравнение параболы имеет вид C). Если точка
М = (х, у) удовлетворяет уравнению C), то этому уравнению
удовлетворяет и точка М' = (х, — у), симметричная точке М отно-
относительно оси абсцисс.
72
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
1гл. п
Fx и F2 (рис. 49) ее/;:
У
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной
параболы; она является началом системы координат, канонической
для данной параболы.
§ 2. Эллипс
Определение. Эллипсом называется геометрическое место
точек плоскости, сум: с оасстояний которых от двух данных точе%
"тоянное число; это число мы обозначаем
через 2а. Точки Fx и F2 на*
зываются фокусами эллипса^
расстояние между ними o6dt
эначается через 2с и назы-.
вастся фокусным расстоя-
расстоянием. Число а называется
большой полуосью эллипса (п0
причинам, которые выяснятся
в дальнейшем). Середина О
отрезка PxFi, соединяющего
фокусы, называется центром
эллипса, а вся прямая РхРг
называется его фокальной
или первой осью. Прямая,
пр(лодщцач через центр эллипса перпендикулярно к фокальной
оси, называется второй осью эллипса.
Пуст!. М — какая-нибудь точка эллипса. Так как 2a = \F1M\ +
+ \FiM\'^,\FlF.i\=2c, то а ^.г. Однако если а=с, то получаем
|/-'.2M|=
ветх точек Л1, для которых /•",Л1
т. е. отрезок /*V*. Этот случаи мы и дальнейшем рассматривать
не будем и поэтому будем предполагать, что а>с.
Число
называется эксцентриситетом эллипса; оно всегда <С 1. Эксцентри-
Эксцентриситет эллипса ранен нулю тогда и только тогда, когда фокусы
эллипса совпадают: Fl~F2. В этом случае эллипс прекращается
в геометрическое место точек М, расстояние которых от точки
Fi^-F., равно а, т. е. в окружность радиуса а с центром 0 = ^=*
— F2; под осью окружности понимаем всякую прямую, проходя-
проходящую через ее центр О. ' •
Пусть нам дан эллипс; значит, даны его фокусы 1\ и F% и
дана его большая полуось а. Значит, нам известно и число с<С.а,
равное половине расстояния между фокусами.
Построим на плоскости прямоугольную систему координат,
которую будем называть канонической системой (для данного
эллипс
73
эллипса). Ее начало О есть центр эллипса, а ось абсцисс совпа-
совпадает с фокальной осью. Положительным направлением на ней
считаем направление вектора /W Положительное направление
на оси ординат выбираем произвольно.
В этой системе координат имеем /г1 = (—с, 0), F2 = (c, 0);
фокус Ft условно называем левым, фокус Р% —правым.
Предположим теперь, что М = (х, у) — произвольная точка
эллипса. Пусть r1 = p(F1, M) и r2 = p(f2, M) — расстояния точки
М до фокусов Flt соответственно Т^. Числа гг и г2 называются
фокальными радиусами точки М. Имеем
Точка М — (х, у) является точкой эллипса тогда и только тогда,
когда
Г1 + г2 = 2а, A)
т. е.
f |->Чж-О2Н-г/а = 2а. (Г)
V(x-\
Это уравнение и есть уравнение эллипса в выбранной системе
координат.
Преобразуем уравнение A) к виду, который называется кано-
каноническим уравнением эллипса. Для этого перенесем второй ради-
радикал в правую часть. Возведя после этого обе части уравнения
в квадрат, получаем
B)
C)
сK + у2 = 4а* - AaV{x - cf + у* + {х-
или (после очевидных преобразований)
(а2 — с2) х2 + аV = а2 (а2 — с2).
Так кпк <7"">г, то чист a" <'z положиhvii.iio; обозначим его через
Ь2, называя чиг ш /)= -|- у а1 — i~ ми юп полуосью эллипса. Теперь
равенство C) можно переписан, в виде
или
г2 <;2
— 4-—=- 1
а2 ' й2
D)
Покажем теперь, что уравнение D) действительно есть урав-
уравнение нашего эллипса, ведь пока мы доказали только, что каждая
точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению (Г), удовлетворяет
и уравнению D). Остается доказать обратное утверждение, а именно,
что каждая точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению D),
есть точка эллипса, т. е. что для нее выполнено условие r1 + ri = 2a.
74
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА
{ГЛ. II
Итак, пусть М = (х, ^ — произвольная точка, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению D). Найдем расстояния rlt r2 точки М от фокусов
Fx и F2, Имеем
г1 = 4-У(*+с)г + <А E)
причем из D) имеем
(?) F)
Но Ь2 = я2 —с2, поэтому
Это значение у подставим в E); получим
=+
откуда
G)
Слева — положительное число г,; справа надо взять такой знак,
чтобы правая часть была тоже положительной. Но из D) следует,
||0 1 ||
что
;а; кроме того, 0
0
значит,
т.е. всегда
й-\-ех>0, так что справа б G) надо взять зиак + , и мы получаем
г,- а + сх. (I)
Точно так же
. = а-сх. (II)
Из (I) и (II) получаем r1 + rI = 2a, точка М = {х, у) принадлежит
нашему эллипсу.
Итак, мы доказали, что уранение D) действительно есть урав-
уравнение эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса.
Кроме того,
-* = * aL~b\ А = -|Л=Я (8)
Из уравнения D) легко накодятся некоторые ciioiirnia эллипса.
Прежде всего, если точка М — (х, у) лежит па п.пнем эллипсе,
т. е. удовлетворяет уравнению D), то тем же енот-том обладает
и точка М' = (х, — у) (рис. 50), симметричная точке М относи-
относительно оси абсцисс, а также точка М" — ( — х, ;/), симметричная
точке М относительно оси ординат. Итак, обе оси млипса являются
его осями симметрии.
S3)
ГИПЕРБОЛА
75
Центр эллипса является его центром симметрии: в самом деле,
при нашем выборе системы координат центр есть начало коорди-
координат О; если точка М = (х, у) удовлетворяет уравнению D), то и
точка М* = ( — х,—у), симметричная точке М относительно центра
О, также удовлетворяет уравнению D), откуда утверждение
следует.
Заметим, наконец, что— _ \У
в силу уравнения D), ко-
которому удовлетворяют все
точки эллипса, —для каж-
каждой точки М = (х, у) эл-
эллипса имеем
т. е. \х s^a, \y\t^b—весь
эллипс лежит в прямо-
прямоугольнике, ограниченном
прямыми x = -Sa, y~-JLb,
параллельными (второй и
первой) осям эллипса и отстоящими от них соответствено на
расстояние а и Ъ. Этот прямоугольник называется основным пря-
прямоугольником для данного эллипса.
Точки Ах = (— а, 0), А2 = (а,0), а также точки В1 = (О, — Ь),
В2 = @,Ь), т. е. точки пересечения эллипса с его осями, назы-
называются вершинами эллипса.
Таким образом, у эллипса
(не являющегося окружно-
окружностью) имеется четыре вер-
вершины.
§ 3. Гипербола
Определение. Гипер-
Гиперболой называется геометриче-
геометрическое место точек плоскости,
модуль разности расстояний
каждой из которых, до двух
фиксированных точек /¦', и F.t Рис- 51.
(рис. 51) есть положитель-
положительная постоянная. Эту постоянную обозначим через 2а. Число
а будем называть первой полуосью гиперболы. Точки Ft и F2 назы-
называются фокусами гиперболы. Расстояние между ними обозначается
через 2с и называется фокусным расстоянием. Середина отрезка
F^F^ называется центром гиперболы. Прямая, на которой лежат
76
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
[Г Л 11
фокусы гиперболы, называется фокальной или первой осью гиперболы.
Прямая, проходящая через центр перпендикулярно к первой оси
гиперболы, называется ее второй осью.
Из рис. 51 ясно, что
т. е.
Если с = а, то мы получаем точки М, для которых или
\MF1\-\MF2
или
Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок
FXF^ до исей прямой. Поэтому случай г -а и дальнейшем рассмат-
рассматривать не будем, т. е. предполагаем, что г>«. Как и в случае
эллипса, число — называем эксцентриситетом гиперболы и обозна-
обозначаем через е. Имеем
Пусть нам дана i пперГютл, т. о. даны ее фокусы Fl и Рг,
а также числа а и г. Построим па плоскости прямоугольную
систему координат, которую будем называть канонической (для
данной гиперболы). П.нллп чтй системы координат лежит
в центре О гиперболы, on, абсцисс совпадает с фокальной осью
[ипорболы. 'Л;\ положительное направление оси абсцисс примем
направление вектора /•',/''•.>¦ Toi да /¦', ( — г, 0), Р.> — (с, 0).
Пусть М~(х, у) — произвольная точка i ннерГюлы. Обозначим
через r1 = p(F1, М) и л, = р(/;2, М) расстояния точки М = (х, у)
соответственно до фокусов /^ и F2. Числа гх и г2 называются
фокальными радиусами точки М. Имеем
A)
Точка М -- (х, //) есть точка гиперболы тогда и только тогда,
когда
\г,-г2 =2а B)
или
rt - гг = ± 2а.
Если принять во внимание равенства A), то имеем
У(х г-сJ + г/2-У(л;-сJ+1/2 = г'. 2«. C)
Зто уравнение и есть уравнение нашей гиперболы п выбранной
системе координат.
* 31
ГИПЕРБОЛА
77
Преобразуем уравнение C) к виду, который называется кано-
каноническим. Для этого уединим первый радикал. Возведя затем обе
части уравнения в квадрат, получаем
или (после простых преобразований)
(с2 - а2) х2 - aY = а2 (с2 -а2). D)
Так как с > а, то число с2 — а2 положительно; обозначим его
через Ь2, считая Ь = + 1/с2 — а2. Равенство D) можно переписать
— а V = a2b3
в виде
или
E)
Осталось показать, что уравнение (Г>) действительно есть урав-
уравнение пашей i ннерболы; как и в случае эллипса, еще надо дока-
доказать, что каждая точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению
E), удовлетворяет и уравнению B).
Пусть М = (х, ^ — произвольная точка, удовлетворяющая
уравнению E). Найдем фокальные радиусы гх и гг точки М.
Имеем
0i)
(бх)
Совершенно аналогично имеем
Так к.1К /, и г2- положи 1СЛ1.ПЫС числа, то надо знак перед скобками
выбрать так, чтобы и правые части равенств F^ и F2) были по-
положительными. Для этого исследуем различные возможные случаи,
представляемые равенствами F^ и F2). Из уравнения E) нахо-
находим прежде всего, что | х | ^ а > 0. Поэтому имеем два основных
случая: в зависимости от того, лежит ли точка М = (х, у) в пра-
правой полуплоскости х > 0 или в левой х < 0. Так как е > 1, то
в обоих случаях имеем
ех | > а.
G)
При д;>0 внутри скобки в Ft) стоит положительное число,
поэтому скобку надо взять со знаком +» и мы получаем
при х>0.
78
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
[ГЛ II
Из G) следует, что при х>0 внутри скобки F2) стоит отрица-
отрицательное число, скобку надо взять со знаком —, так что
= — а-\-ех при
Из A+) и A1+) следует, что при х>0 имеем
rl-rt = 2a,
и точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению E), лежит на
гиперболе.
Пусть #<0; из G) следует, что теперь внутри скобки F)
стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять
внак —, так что
— а — ех при
(I')
Зато внутри скобки в F) стоит теперь число положительное,
вначит,
= а — ех при х<.0.
(II-)
Имеем
г, - гх = 2а.
Итак, во всех случаях псякая точка, удовлетворяющая уравне-
уравнению E), лежит на гиперболе —мы доказали, что уравнение E)
действительно является ургишеипем пашой гиперболы. Оно назы-
называется каноническим уравнением гиперболы.
Формулы (I), (II) линейно иыражпют фокальные радиусы лю-
любой точки гиперболы через ее абсциссу.
Заметив, что с2 = а2 + 62, получаем
а2
! ¦ (b
~ * \ а
by
(8)
(9)
Из уравнения (Г>) пмтекпет (как и в случае эллипса), что обе оси
гиперболы являются со осями симметрии, а центр гиперболы есть
ее центр симметрии.
Переписывая уравнение гиперболы E) в виде
a»
и замечая, что его левая часть всегда 5=0, видим, что для точек
гиперболы должно быть -f — 1 3s0, т. е. \х\^а. Другими словами,
в полосе —а<х<.а, ограниченной прямыми х = ±а (на рис. 52
ГИПЕРБОЛА
79
эта полоса заштрихована), в частности на второй оси л: = 0, не
содержится точек гиперболы: все они лежат или вправо от пря-
прямой х = а, или влево от прямой х= — а, кроме двух точек Ах =s
= (— а, 0), Л2 = (а, 0), лежащих на самих этих прямых и являю-
являющихся точками пересечения
гиперболы с ее фокальной
осью. Эти две точки назы-
называются вершинами гиперболы.
Итак, гипербола распа-
распадается на две ветви: «правую»,
для точек которой абсцисса
х^а, и «левую», для точек
которой х^ — а.
Чтобы ближе познако-
познакомиться с общим видом гипер-
гиперболы, надо определить пря-
прямые, называемые ее асимпто-
асимптотами.
Как и и елучле адлимсп,
основным прямоугольником ги-
гиперболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, па-
параллельными второй .и первой осям гиперболы и отстоящими от
них соответственно на расстояния а и Ъ (рис. 53). В канонической
системе координат уравнения этих прямых суть х = ±а, у = ±Ь,
тогда как уравнение самой
гиперболы имеет вид
?-?=!• о°)
Диагонали основного пря-
прямоугольника суть прямые,
имеющие синими ур.пшеппяын
Эти прямые
асимптотами
Прямую у = —
зывать _ первой
,х. (II)
называются
гиперболы.
будем па-
Рис. 53,
У = — — х — второй
асимптотой.
1 прямую
Возьмем какое-нибудь значение переменного х, х^а Ему
соответствует в верхней полуплоскости точка М гиперболы с абс-
абсциссой х (см. рис. 53) и точка М' (первой) асимптоты с той же
абсциссой х:
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
[ГЛ И
При этом
При неограниченном возрастании х разность
, ab
yy
оставаясь положительной, монотонно убывает и стремится к пулю,
т. е. точки М и М', уходя в бесконечность, неограниченно сбли-
сближаются между собой. При этом точка М гиперболы все время
остается под точкой М' асимптоты.
На нижней полуплоскости положение аналогично, что следует
из симметрии фигуры, составленной из гиперболы и пары ее
асимптот, относительно оси гиперболы.
Мы исследовали взаимное расположение точек гиперболы и
пары ее асимптот при х^а. Картина при х-^ — а получается
по симметрии. В целом общий вид гиперболы ясен из рис. 53.
§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы
Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному
фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной
оси кривой, отстоящая от центра на расстояние — и лежащая по
ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 54 и 55).
.М
F,
Рис, 54,
Таким образом, и у эллипса (не являющегося окружностью),
и у гиперболы — две директрисы.
Если взята каноническая для данной кривой прямоугольная
система координат, то уравнение директрис db d2 (соответствую-
§ Ч ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ
щих фокусам Flt F2) будет соответственно
а
81
(li)
х — -
Для эллипса е<1, поэтому директрисы эллипса удалены от
центра на расстояние, большее а, т. е. расположены за пределами
основного прямоугольника (см. рис. 54).
Рис. 55.
Для гиперболы е>\, поэтому директрисы гиперболы удалены
от ее центра на расстояние, меньшее а, они пересекают основ-
основной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей
вершиной гиперболы (см. рис. 5Г>).
Заметим, наконец, что расстояние А директрисы от соответ-
соответствующего ей фокуса есть
1) в случае эллипса
А а
2) в случае гиперболы
а
е
I —
е
*•-
е
&
I
1
е
\
е
а
fta
а
Итак, для эллипса и для гиперболы имеем
B)
82
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРВОЛА
[ГЛ. II
Если в случае гиперболы (при данном а) фокусное расстоя-
расстояние с, а значит, и эксцентриситет е = ~ увеличиваются, то (острый}
угол между асимптотами уменьшается, а директрисы все более
приближаются ко второй оси (и сближаются между собой).
Если в случае эллипса (при данном а) фокусное расстояние 6,
а значит, и эксцентриситет е = —уменьшаются, то эллипс стано-
становится все более похожим на окружность, а его директрисы ухо-
уходят все дальше и дальше от второй оси (и друг от друга). Нако-
Наконец, для окружности е = 0 и директрисы исчезают («уходя в бес-
бесконечность») — окружность не имеет директрис.
Пусть дан какой-нибудь эллипс или гипербола С; один из
фокусов кривой С обозначим через F, соответствующую ему ди-
директрису—через d. Для произвольной точки М обозначим через г
расстояние этой точки М от точки F, через й — расстояние точки М
от прямой d. Докажем, что для всех точек М кривой С имеем
C)
Достаточно доказать это равенство для случая, когда F
первый (левый) фокус (система координат — каноническая).
Тогда имеем
откуда
6 =
i=e-
Итак, равенство C) имеет место для всех точек кривой С.
Докажем обратное утверждение: если для какой-нибудь точки
М = (х, у) плоскости выполнено равенство C), то точка М лежит
на кривой С.
В самом деле, пусть снова F — левый фокус кривой С, т. е.
F = (—с, 0), а прямая d имеет уравнение
Тогда
По предположению для точки М выполнено условие C), так
что
т. е.
о»
(а2 - с2) х* + ау = а2 (а2 - с2).
D)
§41
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ
Если кривая С — эллипс, то « = ¦?¦ < 1. a2 — c2 =
D) переписывается в виде
83
и уравнение
-+-1
а? + Ь*
— точка М лежит на эллипсе С.
Если же кривая С —гипербола, то е = — > 1, с2 — а2 = Ь2 и
уравнение D) можно написать в виде
— точка М лежит на гиперболе С.
Итак, доказана следующая теорема:
Как эллипс, так и гипербола С с эксцентриситетом е есть гео-
геометрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих следую-
следующему условию: отношение расстояния точки М до произвольно
выбранного фокуса кривой к расстоянию точки М до соответст-
соответствующей этому фокусу директрисы равно е.
Пусть теперь на плоскости даны точка F, прямая d, не про-
проходящая через эту точку, и положительное число еф\.
Докажем, что при е < 1 существует эллипс и при е > 1 — гипер-
гипербола с эксцентриситетом е, фокусом F и соответствующей ему
директрисой d.
В самом деле, опустим из точки F перпендикуляр FDjaa пря-
прямую d и обозначим через А точку, делящую отрезок /vD в отно-
отношении е, а через Л' —точку, делящую тот же отрезок FD в отно-
отношении —е, что
г'А
—г —с,
AD
ГА'
- -г- =— с.
A'D
E)
Нетрудно показать, что тогда середина О отрезка АА делит
отрезок FD в отношении —е2: т, е.
OF = e2OD. E')
Из равенств E) и E') следует, что точки F, D и А лежат по
одну сторону от точки О.
Выберем прямоугольную систему координат Оху с началом
в точке О и положительным направлением OF оси Ох. Пусть
в этой системе
f = (c,0), D = (d,0) А = (а,0).
84
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА
[ГЛ It
Так как точки A, F и D лежат на положительном луче оси
Ох, то все три числа а, с и d являются положительными, причем
c+ed
7+1"
F)
Чтобы установить, что точка F и прямая d являются фокусом и
директрисой кривой с центром О, первой полуосью а и эксцен-
эксцентриситетом е, достаточно показать, что
Имеем
ае = с, у =
c-\-cd
\-\-e с 1+р
ее 4-е
!
1+е
= С
c+ed __ eM+ed
(l+e)-e ~~ A+е) -е
= d.
Утверждение доказано.
Эксцентриситет эллипса (не являющегося окружностью) есть
положительное число е<.\; эксцентриситет шперболы <?>1.
Определим эксцентриситет для всякой параболы, положив его
равным е=\. Теперь любое положительное число е является
эксцентриситетом или эллипса, или параболы, пли гиперболы, и
мы получаем следующий результат:
Класс кривых, являющихся эллипсами (кроме окружности),
параболами или гиперболами, может выть определен следующим
образом:
Каждая кривая С этого класса (и только кривая этого класса)
есть геометрическое место точек М, для которых отношение -т—
°м
расстояния гм точки М от некоторой фиксированной точки F
(«фокуса кривой С») к расстоянию &м точки М от некоторой
фиксированной прямой («директрисы кривой С») есть постоянное
положительное число е,
е = —^- (для всех точек /.1 кривой С),
6м
называемое эксцентриситетом кривой С.
Кривая С есть
эллипс, если е<.1,
парабола, если е=1,
гипербола, если е>1.
$5)
фокальный параметр
85
§ 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы
и параболы в полярных координатах
1. Фокальный параметр. Пусть С —эллипс или гипербола.
Проведем через какой-нибудь фокус F кривой С прямую, перпен-
перпендикулярную к ее фокальной оси. Эта прямая пересечет кривую С
в_двух точках Р и Р'. Длину полученной таким образом хорды
РР' обозначаем через 2р; величина р называется фокальным пара-
параметром кривой С.
Фокальный параметр окружности, очевидно, равен ее радиусу.
Возьмем каноническую для данной кривой С систему коор-
координат, тогда фокальный параметр кривой С равен модулю орди-
ординаты каждой из точек Р, Р', Вычислим его.
Если кривая С —эллипс
то для любой точки М (х, у) этого эллипса
,. _ +. А1/ цИ _ л ¦
Подставляя сюда абсциссу фокуса F, т. е.
л и,
получим для ординат точек Р, Р' значения
Итак, фокальный параметр эллипса есть
Для точки М=(х, у) i шк-рболм
f У_ _ 1
Д2 6а
имеем
A)
Для # = ±с получаем
Фокальный параметр гиперболы также есть
86
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
1ГЛ. II
Вспомним, что мы нашли (§ 4) для расстояния Д между
фокусом и соответствующей директрисой как эллипса, так и
гиперболы выражение
1 Ы
Теперь мы видим, что это расстояние Д может быть выражено
и через фокальный параметр:
Д = ? B)
и это выражение годится не только для эллипса и гиперболы,
но и для параболы (для которой, как мы знаем, е = 1 и Д = р).
Таким образом, для всех наших кривых (кроме окружности)
фокальный параметр р может быть определен как число р = М,
где Д—расстояние от фокуса до директрисы, а с — эксцентриситет.
Рис. 56.
2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах. Получим уравнение эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно поль-
пользуются в астрономии и во многих вопросах механики.
Начало полярной системы координат помещаем в фокус F
(левый в случае эллипса (рис. 56), правый в случае гиперболы
(рис. 57) и в единственный фокус в случае параболы (рис. 58));
полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную
от соответствующей директрисы d.
Для любой точки М нашей кривой обозначаем через г рас-
расстояние от М до фокуса F, через б —расстояние от М до d.
Наша кривая С есть геометрическое место точек М, для которых
4- = е, т. е.
г = еЪ. C)
15)
ФОКАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР
87
Но г есть полярный радиус точки М. Вычислим б. Обозначая
через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью,
а через Мх проекцию точки М на эту ось, видим, что 6 есть
'¦L
Рис. 57.
Рис. 58.
длина вектора DMX, лежащего на оси абсцисс (канонической
системы). Для алгебраических значений некторов на этой оси имеем
D)
но
тогда как
(FMX) = г cos
где ф —угол наклона вектора FM к полярной оси, т. е. поляр-
полярный угол точки М. На кривой С (в случае гиперболы на правой
88
ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА .
[ГЛ. II
ее ветви) (DMX) = | DMX | = б. Подставляя в равенство D) найден-
найденные значения входящих в него величин, получаем
p+er cos ш
Наконец, подставляя это значение 6 в C), имеем
или
1—есозф"
E)
Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветон) гиперболы
в полярных координатах.
Г Л А В А III •
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ
И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат
к другой
1. Переход от одной аффинной системы координат к другой
с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффин-
аффинный репер в пространстве*), есть тройка некомпланарных векто-
векторов elf е2, еЯ) данных в определенном порядке и приложенных
к точке О —началу репера.
Тройка векторов elf e2, е3 называется иногда базисом репера
или Координатной системы.
Если наряду с репером Ос^вд, который будем условно назы-
называть «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом ej, e?,
еа, то возникает общая задача преобразования координат; по
координатам произвольной точки М (произвольного вектора и)
в бДной из двух систем координат найти координаты той же
точки (того же вектора) в другой системе.
Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О.
Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы е[,
вг, е'3 своими координатами (относительно старого базиса), т. е.
если даны коэффициенты г//ь i, /г = 1, 2, 3, в равенствах
Матрица
А* =
i= I
an flat
Я]3 О2з
называется матрицей перехода от базиса еь е2, е3 к базису ef,
ej, ез, а также матрицей перехода от первого репера ко второму.
Так как векторы ef, е'2, ез линейно независимы, то детерминант
J) Мы излагаем случай пространства, случай плоскости отличается от него
только большей простотой.
00
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ. Ill
матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса
к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы
е[, е'>, е') образуют базис, то каждый из векторов et, e2, е3 в свою
очередь однозначно представим как линейная комбинация векто-
векторов е[, ег, е^.
е,= 2>*Л* (Г)
-—уравнения A) однозначно разрешимы относительно старых еди-
единичных векторов ех, е2, е3.
Посмотрим, как связаны между собой координаты х, у, г
и x'j_^y', z' произвольной точки М (произвольного вектора и —
= ОМ) в старой и новой координатных системах.
Вектор и = 0М записывается, no-псрпых, как линейная комби-
комбинация векторов ех, е2, е3 с коэффициентами х, у, г и, во-вторых,
как линейная комбинация векторов е[, е'2, ез с коэффициентами
х', у', г', так что имеем тождество
u = xet + УЧ + ze3 = x'ef + у'е'2 + z't'3.
Вносим в это тождество выражения е(, е^, е3 из A); получаем
и =хех + #ea + ze3 = (аих' +al2y' +al3z') tx +
z') e2 + (aBlx' + a32y' +a33z') e3.
Но вектор и единственным образом представляется как линейная
комбинация векторов elP е2, ея, следовательно, коэффициенты при
векторах е^ е2, ея в левой и правой частях последнего равенства
должны быть одни и те же, т. е.
= anx'+ai2y'+a23z', B)
= a31x'+a3iy'+a33z'.
Эти формулы и выражают 'старые координаты х, у, z точки М
(вектора и) через новые. Матрица
ап ап «131
А = аа о22 а2Э i C)
Дз1 "эг "S31
дающая это выражение, называется матрицей преобразования
координат; она является транспонированной по отношению
к матрице А* перехода от базиса elt ea, е3 к базису ej, e^, е;',. Обе
матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант.
2. Переход от одной аффинной системы координат к другой
с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера
к реперу О'е[е^еа сводится к комбинации двух случаев:
г 21
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
81
переноса начала и только что разобранного случая перехода от
одного базиса к другому. В самом деле, гассмотрим наряду
с двумя реперами Ое1е2е3 и О'е^еа еще третий, «промежуточный»,
имеющий начало О' = (х0, у0, z0) и базис е,, е2, е3; координаты
точки относительно этого промежуточного репера обозначим
через х", у", г". Тогда х = хо + х", у = уо + у", z =zo + z", где х\
у", г" выражаются через х', у', z' по формулам B) (в которых,
естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х",
у", г"). Получаем окончательно:
в пространстве:
х = х
0 + апх'+ апу' + a13z', )
= уо + а21х' + а22у' + a^z'
= zo + a31x' + а32у' + a33z'; J
на плоскости
D.)
D2)
Это и есть общие формулы преобразования координат для двух
произвольных аффинных координатных систем.
Матрица
1
1
aS3 II
коэффициентов atk в равенствах D3) соответственно D2) называется
матрицей преобразования координат.
§ 2. Переход от одной прямоугольной системы координат
к другой
1. Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно огра-
ограничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера
состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы
будем называть прямоугольными или ортонормальными.
Лемма. Пусть Ое1еа и Oeje, — два ортогональных репера на
плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера Ое^
в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол а
можно перевести репер Ое^ либо в репер OeJeJ, либо в репер
OeJ (—е^) (рис. 59 и 60). Другими словами: репер Ое[е'% получается
из репера Ое^ либо поворотом, либо поворотом и последующим
отражением (относительно прямой, несущей вектор ej).
Доказательство. Репер Ое^ определяет некоторое поло-
положительное направление вращения плоскости, а именно то направ-
направление, в котором угол от орта ех до орта еа равен ~ (а не ¦у].
92
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ lit
Обозначим через а угол от орта tt до орта ef. Повернув репер
Оехе2 (в его плоскости) в положительном направлении на угол а,
мы совместим орт е1 с ортом ej; тогда орт е2, будучи перпенди-
перпендикулярен к орту ех, либо совместится с ортом е^ (рис. 59), либо
а)
Рис. 59
х
Рис. GO.
совместится с противоположным ему ортом — е'2 (рис. 60). Утверж-
Утверждение доказано.
Из доказанного следует, что относительно базиса е,, еа орт ej
имеет координаты cos a, sin а:
ei = {cosoc, sin а},
тогда как для е? имеем две возможности:
либо
«21
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
93
т. е.
либо
и тогда
{— sin a, cos а},
— С2 = {—sin a, cos а}
e5 = {sina, —cos a}.
Матрица перехода от базиса е1( е2 к базису ej, t'2 имеет вид:
в первом случае
С =
во втором
cos a
— sin a
sin a
cos a
cos a
sin a
sin a
— cos a '
detC =
detC = —
(I)
(И)
Базисы elf e2 и ef, t'2 называются в первом случае одноименными
или одинаково ориентированными, а но тором — разноименными
или противоположно ориентированны ми.
Так ьак detC--=l н случае одноименных, detC = —1 в случае
разноименных базисов, то только что высказанное определение
можно сформулировать и так:
Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-
именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет
положительный детерминант, и разноименны, если этот детер-
детерминант отрицателен.
Формулы преобразования координат даются матрицами, транс-
транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому;
это будут формулы:
х = х' cos а. —у' sin a,
у = х' sin a -\-1/' cos a
х = х' cobcx-ff/ ып а,
у = х' sin а — у' cos a
\ в случае одноиме:п;ы\ базисов,
> в случае разноименных базисов.
2. Ортогональные матрицы. Прямоугольные (ортогональные)
реперы в пространстве. Дадим следующее
Определение. Квадратная матрица С любого порядка п
называется ортогональной, если транспонированная к ней мат-
матрица С* является ее обратной матрицей:
С* = С-\ A)
Через Е обозначаем, как всегда, единичную матрицу. Тогда
равенство A) эквивалентно каждому из равенств СС* —Е, С*С = Е.
Если расписать равенство СС* = Е, приравнивая каждый эле-
элемент матрицы СС* соответствующему элементу матрицы Е, то
94
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
1ГЛ Ш
получатся (для всех t = l, 2 п; / = 1, 2 п) соотноше-
соотношения спсп + ... + cincjn = 0 (при i=?f), с!, +... + сЬ, = 1, называе-
называемые соотношениями ортогональности (точнее, ортопормальности)
по строкам. Точно так же, расписывая поэлементно равенство
С*С = Е, получим соотношения ортогональности по столбцам:
CuCi/ + ... + c«A»y = 0 (при 1ф\), c\,i-... + c%i = i.
Нами доказана
Теорема 1. Ортогональность матрицы С в смысле равен-
равенства A) эквивалентна как ортогональности по строкам, так и
ортогональности по столбцам.
Теорема 2. Детерминант всякой ортогональной матрицы С
равен ±1.
В самом деле,
det С ¦ det С х = det Л -= 1,
но для ортогональной матрицы С 1 = С*) значит, det С 1 = detC* =
=ч det С, и мы получаем
(detC)a = l, detC = ±l.
Геометрический смысл понятия ортогональной матрицы вто-
второго или третьего порядка заключается в следующем:
Теорема 3. Ортогональные матрицы и только они являются
матрицами перехода от одного ортогонального базиса к другому.
Доказательство. Если матрица
С13|
ортогональна и в пространстве дан произвольный ортогональный
базис elt e2, е3, то, полагая
е; = Сцв! -f c13e
B)
получим снова ортогональный базис t'h e'h e'3 в самом деле,
равенство единице скалярного квадрата каждой строки матрицы С
означает, что каждый из векторов e'h e^, е3 есть орт, а требова-
требование равенства нулю скалярного произведения двух различных
строк означает, что любые два из этих ортов перпендикулярны
между собой.
Обратно: если С есть матрица перехода от ортогонального
базиса elt e2, е3 к ортогональному базису е{, е^, е',, то строки
матрицы С выражают векторы е[, е'ь е'3, поэтому их скалярные
квадраты равны 1, а скалярные произведения двух различных
строк равны нулю —матрица С ортогональна (по строкам). Тео-
Теорема 3 доказана.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 95
Замечание. Координаты сп, с1г, с13 орта ej относительно
репера еь е2, е3 суть направляющие косинусы этого орта, т. е.
его скалярные произведения с ортами е,, е2, еа, так что
и аналогично
= (ti, ej, cla = (e[, e2),
е2),
a^(e], е3)
= (е^, е3),
= (е3, е3).
Отсюда сразу следует, что столбцы матрицы С суть орты е1( е2,
е3, записанные их координатами относительно базиса ej, ej, e3.
Ортогональность по столбцам означает, таким образом, что
орты elt e2, е3 образуют ортогональный базис, транспонированная
матрица С* есть матрица перехода от базиса е|, е?, е» к базису
еь е2. ез (поэтому она и совпадает с обратной!).
Итак, если в пространстве дан произвольный ортогональный
базис е,, е2, е:), то для всякой ортогональной матрицы С суще-
существует такой (одпо.чнлчно определенный) ортогональный базис ej,
?i, ез. что элементы clk матрицы С суть косинусы углов между
векторами щ м t'k, i, k = \, 2, 3. В точности такое же утвержде-
утверждение (с заменой п = 3 на п = 2) верно, разумеется1, и для плоско-
плоскости, в чем легко убедиться, если записывать координаты х, у
какого-нибудь орта е не в виде х = cos а, у = sin а, а в виде ска-
скалярных произведений х = (е, e1) = cosa, y = (e, ej)=:cosp (где а,
Р — углы между ортом е и координатными ортами ех и е^). Тогда
рассуждения для плоскости будут дословно теми же, что и в слу-
случае пространства.
Однако для матриц второго порядка верна и следующая
Теорема 4. Для всякой ортогональной матрицы С второго
порядка можно найти такой угол а, что
/". (I cos a sin a'
— sin а cos а
U
С =
cos а sin а II
sin а — cos а I:
если det С = 1,
если detC = —1.
В самом деле, матрица С есть матрица перехода от произ-
произвольного ортогонального репера Ottc2 к некоторому ортогональ-
ортогональному реперу Ое|е^. Репер Ое',е'2 получается из репера Ое^ или
поворотом «а некоторый угол а (угол наклона вектора е{ к век-
вектору ех), или поворотом с последующим отражением относительно
прямой, несущей вектор ej.
Мы видели, что в первом случае матрица С имеет вид (I), во
втором случае —вид (II).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ. II!
§ 3. Ориентация пространства (плоскости)
Назовем в пространстве (или на плоскости) два координатных
базиса (два репера) одноименными, если матрица перехода от
одного из них к другому имеет положительный детерминант;
в противном случае (т. е. если детерминант матрицы перехода
отрицателен) назовем базисы разноименными. В случае ортого-
ортогональных базисов на плоскости это определение и его геометриче-
геометрический смысл нам уже известны из § 2. Одноименность двух бази-
базисов elt е2, е8 и ej, ej, е3 будем иногда записывать так: е1е2е3'^->
Покажем, что данное определение одноименности удовлетво-
удовлетворяет так называемым аксиомам равенства, т. е. требованиям реф-
рефлексивности (е^вд ~ е^вз), симметрии (из е,е2е3 ~ eje^ следует
«ie^a ~ eie2es) и транзитивности (из e^jeg-^ele.^ и eje^^
~e[e?e3 следует e1eaea'-<-'eJ'eJea).
Рефлексивность вытекает из того, что матрица перехода от
базиса е^ед к нему самому (т. е. матрица тождественного преоб-
преобразования) есть единичная матрица, имеющая детерминант 1.
Симметрия вытекает из того, что детерминанты матрицы и
обратной к ней матрицы С-1 имеют один и тот же знак. Для
того чтобы убедиться в транзитивности, рассмотрим три базиса:
Т. р р р . ТТ. р' р' -'. ТТТ. р" „" о"
X. С}, С2, С3т XI. Cj! Cj, С3, ill. С], С2 , С3.
Если обозначить матрицы перехода от I к II, от II к III и от I
к III соответственно через Си, С\и, С\и, то C\u=CuiC\i, зна-
значит, и detCin = det Сш det Си, откуда утверждение следует.
Из сказанного следует:
Множество всех базисов пространства (плоскости) распа-
распадается на попарно не пересекающиеся классы, обладающие тем
свойством, что все базисы, принадлежащие одному какому-нибудь
классу, одноименны, а всякие два базиса, принадлежащих различ-
различным классам, разноименны между собой.
Докажем, что число этих классов равно двум.
Для того чтобы убедиться, что имеется по крайней мере два
класса, возьмем какой-нибудь базис elt e2, е3 и заметим, что
матрица перехода от е1( е2, е3 к е1( е2, (—е3) есть
10 oil
0 1 Oil;
о о —if
ее детерминант равен —1, значит, базисы е1( е2, ея и е,, е2, (—е3)
разноименны, они принадлежат к различным классам.
Теперь мы покажем, что всякий базис ej, e'it e, принадлежит
к одному из двух классов: либо к классу, содержащему базио
е1( е2, е3, либо к классу, содержащему базис elt е2, (—е3). Дру-
Дру§3)
ОРИЕНТАЦИЯ
97
гими словами, докажем, что всякий базис е{, e?, ej, не одно-
одноименный базису elf е2, е3, одноименен базису е1( е2, (—ез).
В самом деле, матрица перехода от е^ е2, е3 к е|, е^, е3 имеет
(в силу разноименности этих базисов) отрицательный детерминант:
матрица перехода от е^ е2, (—е3) к elt e2, е;, имеет детерминант
— 1; значит, матрица перехода от е1( е2, (—е3) к е|, е'А, е'Л (будучи
произведением двух названных матриц) имеет положительный
детерминант. Утверждение доказано.
В каждом из двух классов базисов имеются ортогональные
базисы. В самом деле, берем какой-нибудь ортогональный базис
еи е2, е3. Он содержится в одном из наших двух классов; орто-
ортогональный базис е1( е2, (— е8) содержится тогда во втором классе.
Два базиса, получающиеся один из другого одной транспози-
транспозицией (т. е. перестановкой двух каких-либо из трех векторов,
образующих данный базис), всегда разноименны. В самом деле,
пусть базис el, е^, е3 получается из базиса е^ е^, ej перестанов-
перестановкой двух каких-нибудь векторов этого последнего, например век-
векторов ej и еа, так что
в' о
1-| = Са,
Тогда соответствующая матрица перехода
0 1 01|
1 0 0
0 0 IS
имеет детерминант —1.
Поэтому два базиса, получающихся один из другого произ-
произвольной перестановкой их векторов, одноименны, если эта пере*
становка четная, и разноименны, если перестановка нечетная:
базисы
С|, Са, е.,; е.2, е.„ е,; е;„ eu ea
входят в один класс, а базисы
е2, в!, е3; е3) е2, ех; ех, е3, еа
— в другой.
Введем теперь следующее весьма важное определение.
Скажем, что базис е1( е2, е3 переходит в базис е[, е?, е^ по-
посредством непрерывной деформации, если для каждого числа t,
принадлежащего некоторому отрезку a^.t^.b, дан базис е', е'
е^, а именно:
eS=HcLv «-1.2,3,
98
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
1ГЛ. Ill
так что все координаты с'п, cj9 и т. д. являются непрерывными
функциями от / на отрезке a^t^b, причем при ( = а мы полу-
получаем исходный базис е1, е^, е3) т. е.
а при t = b получаем базис ej, ei, е»:
1, 2, 3.
Теперь предположим, кроме того, что базис е'(, е^, е?( приложен
к точке О/ = (л:*, у'п, г1^, где х'а, tfn, г[ суть также непрерывные
на отрезке a^t^b функции от t, причем х° — у" = zj = 0, ж* =>
= *,, 1/2==У0, 2* = г0, О' = (*о. Уо. г0). Тогда мы говорим, что
репер Ое^вз переходит в репер O'eje^ посредством непрерывной
деформации.
Наглядный смысл этих определений таков.
Считая параметр t временем, изменяющимся от начального
момента t = a до конечного t = b, мы имеем непрерывно меняю-
меняющийся («деформирующийся») во времени репер О^е^, начальное
состояние которого (при t = a) есть наш исходный репер Oeie,e3,
а конечное — репер О'е^ез (в который превратился репер Ое1е2е3
в результате процесса деформации, длившегося отрезок времени
a^t^b).
Имеет место следующее очевидное предложение.
Если базис elt е2, е3 переходит в базис el, е?, еЦ посредством
деформации, которая длится, положим, отрезок времени cts^t^
s^b, а базис ej, е?, еЦ переходит в базис ef, е*, e? посредством
деформации, которая длится в течение отрезка времени b^t^c,
то базис еи е2, е3 переходит в е', ej, ej посредством деформации,
которая длится в течение отрезка времени a^t^c.
Далее, если базис е1( е2, е3 переходит посредством непрерыв-
непрерывной деформации {a^t^b) в базис ej, e,, вз, то и базис ej, e^,
е^ переходит посредством непрерывной деформации в базис е1( &J,
е3. Действительно, положим f = (a+b) — t и
Тогда при t' = a получаем t = b и, следовательно, e
при i' = b имеем t = a, значит, е** = е° и т. д,
f1 = ej
и т. д.,
ОРИЕНТАЦИЯ
Аналогичные предложения, разумеется, верны и для деформа-.
ции реперов.
Замечание, Обычно за отрезок a^t^b берут единичный
отрезок 0«s?<; 1.
Докажем следующее основное предложение:
1а. Если базис е^ е2, е„ переходит в базис ej, е^, еа посред-
посредством непрерывной деформации, то оба базиса одноименны.
В самом деле, положим
D(t) =
Си @
cM(t)
CLi)(t)
c23(t)
C33(t)
надо доказать, что числа D(a) и D(b) — одного и того же знака.
Но детерминант D(t), будучи многочленом от своих элементов
сп@. ci2^)> •••> являющихся непрерывными функциями от t,
есть непрерывная функция от t на всем отрезке a^t^b. Если
бы ее значения в концах этого отрезка имели разные знаки, то
существовало бы промежуточное значение tn, a<itn<ib, для кото-
которого D(ta)~ 0. По этого не может быть, так как D (t0) как детер-
детерминант матрицы перехода от базиса elf e2> е3 к базису е'0, е'°, е'«
всегда отличен от нуля.
Теперь мы докажем обратное предложение:
16. Всякие два одноименных базиса (репера) могут быть пере-
переведены друг в друга непрерывной деформацией.
План доказательства таков. Мы сначала доказываем, что вся-
всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в пря-
прямоугольный. После этого доказываем, что всякие два одноимен-
одноименных прямоугольных репера могут быть переведены друг в друга
движением в пространстве, т. е. специальным видом непрерывной
деформации.
Предположим, что мы доказали оба эти факта. Пусть Oeje2e3
и Oeje'2e', — дна произвольных одноименных репера, Ое1е?е3~-'
/~O'ejeie;j; переводим их непрерывной деформацией соответственно
в прямоугольные реперы Ое1е2е3 н О'е'е'е'. Тогда Ое1е2в3 ~Ое1е2е3~
•~ O'eje^ ~ О'е[е^е'3, следовательно (по свойству транзитивности),
Ое182е3~О'е1е2ез. Но одноименные реперы О&^е.^, О'г[г^ орто-
ортогональны; значит, по сделанному предположению они могут быть
переведены друг в друга непрерывной деформацией. Переводим
теперь непрерывными деформациями последовательно
в Ое^вз, (А)
в и ejea83, (Б)
в O'eje^eg* (В)
(последнее возможно: раз существует деформация, переводящая
в O'ejejei, то существует, как мы видели, и деформация,
100
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
переводящая О'г\г\г'г в O'ejeje^). В результате трех последователь-
последовательных деформаций (А), (Б), (В) получаем искомую деформацию,
переводящую Ое^е3 в O'ele^eJ. Основное предложение доказано.
Переходим к выполнению намеченного плана.
Доказываем первое утверждение: всякий репер может быть
непрерывной деформацией переведен в ортогональный.
Докажем это утверждение сначала для плоскости. Пусть
Ое?е?-данный репер, eJ = 0?5, e_|_=O?|. Построим ортогональный
репер J)eieJ так, чтобы^орт е[ = ОЕ[ лежал на оси, несущей вектор
е\ = ОЕЧ, а орт е^ — ОЕ\ (перпендикулярный к е?) лежал в той же
' е* Е°
Рис. 61.
полуплоскости (из двух полуплоскостей, определяемых прямой
ОЕ\), в которой лежит сектор еЪ — ОЕ\. Тогда, если угол ф,
0<ф<я, между векторами e'j и е'] острый (рис. 61, а), то он
весь лежит внутри прямого угла между ОЕ[ и ОЕ\, а если угол
Ф тупой_(рис. J51^ б), то он, наоборот, содержит прямой угол
между ЪЕ\ и ОЕ\. Для каждого t, 0 < t sg 1, обозначим через
Еи соответственно через Е[ точку отрезка ?;?1, соответственно
ElEliy делящую этот отрезок в отношении t:(l—t). При любом
t, 0</<1, вектор е[ = ОЕ1 лежит на полупрямой 0Ё\, несущей
вектор е°, а вектор е{ лежит внутри треугольника ОЕ^Е^, имею-
имеющего с полупрямой ОЕ\ единственную общую точку О.
Поэтому векторы ОЕ\, ОЕ[ при любом t не коллинеарны,
т. е. образуют репер Ое'Х, непрерывно меняющийся при изме-
изменении t от 0 до 1 и осуществляющий непрерывный переход
(деформацию) от репера OeJeJ к реперу OeJeJ.
Переходим к случаю пространства. В плоскости Ое'|е1 произ-
произведем те же построения, как и выше. Обозначим через tl3 = l
ОРИЕНТАЦИЯ
орт, перпендикулярный к плоскости Ое}е? и направленный в ту же
сторону от этой плоскости, что и вектор е? (рис. 62).
В полной аналогии с предыдущим случаем обозначаем через
Е[, ()==?<< 1, точку отрезка Е°ЛЕ1Л, делящую этот отрезок в отно-
отношении t:(l—t) при любом t, 0<i'<l. Таким образом, опреде-
определены вектор ОЕ[ = ез и репер Ое(еУ3> непрерывно зависящий от t и
осуществляющий при изменении t от 0 до 1 непрерывный переход
от данного репера Oejelieli к прямоугольному реперу Oeleie^. Пер-
Первое утверждение доказано.
ее*
Рис. 62.
Рис. 63.
Переходим к доказательству второго утверждения. Всякий
прямоугольный репер Ое^ез может быть посредством непре-
непрерывного движения, являющегося, как было сказано выше частным
случаем непрерывной деформации, персиеден во всякий другой
одноименный с ним прямоуюльный репер O'eleJeJ.
Посредством сдвига на вектор 00' можно прежде всего сов-
совместить начала О и О' обоих реперов; поэтому можно ограничиться
случаем, когда оба репера имеют общее начало О. Теперь начи-
начинаем с того, что совмещаем орты е3 = О?3 и ез = О?з- Для этого
проведем через эти орты (имеющие общее начало О) плоскость
ОЕгЕ\ (рис. 63) и восставим к этой плоскости в точке О пер-
перпендикуляр d. Совершим теперь поворот репера Ое^вз (как
твердого тела) вокруг прямой d на угол б, 0 <; 6 ^ я, между
ортами е3 и е? в таком направлении, чтобы орт e3 = 0?'s совме-
совместился с ортом ез = б?з. Этот поворот переведет орты el = OEt
и ег=^ОЕ% в какие-то взаимно перпендикулярные орты е* и ej,
102
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ. Ш
лежащие в плоскости, перпендикулярной к орту ОЕ'Л (и прохо-
проходящей через точку О), т. е. в плоскости ОЕ\Е^. Теперь остается
поворотом репера Ое*е}е? вокруг прямой, несущей орт е'3, сов-
совместить орт е* = ОЕ* с ортом ОЕ[. Этот поворот, оставляя пару
ортов ОЕ{ и б?* в их плоскости (которая есть плоскость 0Е[Щ
и совмещая орт ОЕ* с ортом ОЕ[ = е\, переведет орт ОЕ* (с кото-
которым еще ранее был совмещен орт ОЖ2) в орт, перпендикулярный
к ОЁ{ = е(, т. е. либо в е^, либо в (— е?). Но вторая возможность
исключена, так как реперы Ое^ез и Ое[( — е'2)е'3 разноименны и
поэтому не могут быть совмещены движением в пространстве.
Утверждение доказано.
Вместе с ним завершено доказательство и следующего резуль-
результата (верного как для плоскости, так и для пространства):
Теорема 5. Для того чтобы дна репера (два базиса) была
одноименны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно
было непрерывной деформацией перевести в другой. Если данные
реперы прямоугольны, то их можно перевести друг в друга даже
движением в пространстве. Если реперы разноименны, то их
нельзя перевести друг в друга даже никакой деформацией, значит,
и подавно никаким движением.
Эту теорему можно сформулировать следующим образом.
Теорема 5'. Два прямоугольных репера (на плоскости или
в пространстве) тогда и только тогда одноименны, когда один
из них может быть переведен в другой непрерывным движением
(в плоскости, соответственно в пространстве).
Пусть Oexe2e3 и О'е[е^е'я — два прямоугольных разноименных
репера. Тогда реперы Oeie2es и O't\t\(—ej) одноименны и, например,
первый из них может быть движением переведен во второй.
Но репер O'eJeJ(—ь'Л) является зеркальным отражением репера
O'eje^ea относительно плоскости O'ele^. Поэтому имеет место
Теорема 6. Если ортогональные реперы Ое^вз и O'ejeiei
разноименны, то один из них может быть переведен в другой
посредством движения со следующим за ним (или предшествующим
ему) зеркальным отражением.
Доказательство следующего замечания можно в качестве упраж-
упражнения предоставить читателю.
Замечание. Беря зеркальные отражения относительно произ-
произвольной плоскости всех базизов (реперов) одного какого-нибудь
класса в пространстве, получим все базисы (реперы) другого класса,
Аналогичный результат, разумеется, имеет место и в плоскости,
Определение. Ориентировать плоскость или пространство —
значит один из двух классов базисов (реперов) объявить поло-
положительным (а другой — отрицательным). Тогда и всякий базис
(репер) называется положительным или отрицательным в зависн-1
мости от того, к какому классу он принадлежит.
Г 41
УГЛЫ ЭЙЛЕРА
103
Для того чтобы ориентировать (плоскость или пространство),
достаточно задать один какой-нибудь базис и объявить положи-
положительными все с ним одноименные базисы.
§ 4. Углы Эйлера
Вернемся к теореме 5; нас интересует утверждение этой тео-
теоремы, касающееся возможности перевести посредством движения
данный прямоугольный репер в любой другой прямоугольный
репер, одноименный с данным. Мы можем легко дополнить эту
теорему установлением тех геометрических элементов (тех «пара-
«параметров»), которые определяют положение второго репера Ое^е^
относительно первого Ое^ез (мы предполагаем сначала, что
у обоих реперов одно и то же начало О).
Из рассуждений, проведенных на стр. 101—102, вытекает, что по-
положение репера Ое^вз вполне определено, если известны: прямая d
(перпендикуляр, восставленный в точке О к плоскости Ое3ез) и
два угла: угол 0, на который надо повернуть репер Oeie2e3 вокруг
прямой d, чтобы совместить орт еа с ортом ej, и угол того пово-
поворота, который после этого надо сделать, чтобы совместить вектор
е* (в который перешел вектор ej после первого поворота) с век-
вектором е! (после этого второго поворота репер Ое^ез, как мы
видели, оказался полностью совмещенным с репером Oeje?e3).
Рассмотрим ближе всю картину. Прежде всего прямая d,
проведенная через начало О перпендикулярно к плоскости Ое3е?,
есть, очевидно, прямая пересечения плоскостей Ое^» и Oeje^.
Плоскость Ое^, в которой, таким образом, лежит прямая d,
ориентирована самим данным в ней репером Ое^; поэтому поло»
жение прямой d определено наклоном какого-либо ее направляю*
щего вектора к вектору ех. За направляющий вектор прямой d
примем такой ее орт ej* (рис. 64), что репер Ое^е," одноименен
с репером Ое,е2е:). Угол от ортл е, до орта е[ (в ориентированной
плоскости Oeje2) мы обошачнм через г|э, 0^я|;<;2я. Тогда пово-
поворотом репера Oeje2 вокруг оси, несущей орт е3 (ось аппликат
координатной системы Ое^е.,), на угол -ф в положительном направ-
направлении вращенияг) мы совместим орт ег с ортом е'. При этом
повороте орт е2 перейдет в какой-то орт ej, а орт е3 останется
на месте.
Теперь совмещаем вектор е3 с вектором е3 посредством крат-
кратчайшего поворота на некоторый угол 9, 0sg8=s? л, вокруг пря-
прямой d, несущей орт ef. Так как репер Ое3езе1 одноименен с репером
*) Под положительным направлением вращения вокруг какой-нибудь
(направленной) оси мы в этом параграфе всегда понимаем направление враще-
вращения, определенное репером Oeieje3- На нашем рисунке направление вращения —
против часовой стрелки для зрителя, стоящего вдоль орта этой оси, ногами —
в начале, головой —в конце орта,
104
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ. Ш
y2ni Т() этот поворот происходит в положительном направле-
направлении. Он переводит репер ОеГе^ез в репер Oefe./'e;'!, причем плос-
koctii Oe,e2 совместилась с плоскостью Ое[е^. Нам остается только
сделать поворот репера OeJe^'eJ вокруг оси Oz' (несущей
орт с.',) на угол ф от вектора ei до вектора ej (в ориентированной
плоскости Ог'^'ц, в которой лежат оба вектора ej и ei), тогда
и вектор е?" совместится с вектором е^.
Три угла:
1|з, 0=^г|)<2я, от е, до ej в плоскости Ое^,
О, 0=^6 ^л, от еа до ejj в плоскости Oeae'it
Ф, 0 «S ф <С 2л, от ej до е[ в плоскости OeJeJ,
называются эйлеровыми углами репера Ое^ез относительно репера
Ое^ез. Зная репер Oe^fo и эти углы ф, б, ф, мы сразу же
можем определить единственный репер Ое^ез, имеющий эти углы
своими эйлеровыми углами и одноименный с репером Ое^ез.
В самом деле, мы сначала совершаем поворот репера Ое^ез
вокруг оси, несущей вектор е3 (ось аппликат координатном системы
Ое^ез) на угол г|э в положительном направлении. Этот поворот
переводит орт et в орт tl, определяющий ось d (и иесь репер
Ое^ез —в Ое^е^ез). После этого совершаем поворот репера Ое^е^ез
вокруг оси d на угол 6 в положительном направлении. При этом
орт е3 перейдет в некоторый орт е^, орт t[ останется па месте,
а орт е? перейдет в новый орт е^"; репер Ое^вавз перейдет в (прямо-
(прямоугольный) репер Ое[еа"ез. Наконец, делаем поворот на угол ф
в положительном направлении вокруг оси орта ejj. Этот поворот,
оставляя орт e? на месте, переведет орты е,", ei" в некоторые
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
105
орты е'и е?, а весь репер Ое^"е'3 (значит, и Ов^ва) — в одно-
однозначно определенный предыдущим построением прямоугольный
репер Oefeaea (одноименный с Ое^ед).
Для репера Ое^ез его углы Эйлера (относительно исходного
репера Ое^ез, остающегося фиксированным) являются независи-
независимыми параметрами (определяющими этот репер); «независимость»
означает, что этим параметрам мы можем данать совершенно
произвольные значения (в пределах изменения 0sc^<c2rc, 0=s:
^6^я, 0^ф<2я каждого из них); каждому набору значений
параметров соответствует вполне определенный репер di^
§ 5. Определение движения и аффинного преобразования
плоскости и пространства
Определение. Движением плоскости (пространства) назы-
называется всякое преобразование, которое может быть задано следую-
следующим образом. Берется некоторый (произвольный) «исходный»
прямоугольный репер Ос,с2 нп плоскости (соо/тнчпапвенно прямо-
прямоугольный репер OC|C2t'., в пристрочите); наряду с ним задается
х
Рис. 65.
«новый» прямоугольный репер O'ele'% (соответственно )
с тем же масштабом, что и первый. Этими данными определяется
преобразование плоскости (пространства), состоящее в том, что
каждой точке М ставится в соответствие точка М', имеющая
относительно второго репера те же еймые координаты, которые
тонка М имела относительно исходного репера (рис. 65).
Если первый репер одноименен со старым, исходным, то дви-
движение называется собственным (рис. 65, а), в противном случае
движение называется несобственным (рис. 65, б),,
106
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
1гл in
Из определения движения сразу следует, что при движении
сохраняется расстояние между любыми двумя точками. В самом
деле, пусть даны какие-нибудь две точки Мх и Мг своими коор-
координатами в исходной системе координат Ое^:
М1 = (х1, уг), М2 = (х2, у2).
Расстояние между ними есть число
p(MIt М2) = У(Х1-Х
При данном движении точки М1 и Л12 переходят в точки М[, М'ъ,
имеющие те же координаты xlt ylt соответственно хг, уг, но только
в новой системе координат 0'eie2. Так как эта новая система тоже
прямоугольна и имеет тот же масштаб, что и старая, то рассто-
расстояние между точками М\ и М'2 выражается (в той же единице
длины) тем же числом
p(Mi, M'2)^V(xl-x,Y + (yl-y2)\
что и расстояние между точками \Аг и Мг,
На неизбежно возникающий вопрос:
Что получится с нашим определением движений, если отка-
отказаться от требования прямоугольности систем координат, в это
определение входящих?
отвечаем:
получится определение аффинных преобразований.
Я
Итак, пусть снова в плоскости (в пространстве) задан а —на этот
раз совершенно произвольная аффинная— система координат Оеге2
(соответственно Ое^^). Если, наряду с этой (^старой», или шеход-
ной») системой координат, задать также совершенно произвольную
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
107
«новую» аффинную координатную систему O'efea (соответственно
O'ele^), то определится преобразование, состоящее в том, что
каждой точке М плоскости (соответственно пространства) ста-
ставится в соответствие точка М', которая в новой координатной
Рис. 67,
системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в ста-
старой системе {рис. 66 и 67). Преобразование, которое может быть
задано этим способом, называется аффинным. Очевидно, движения
являются частным случаем аффинных преобразований.
Рис. 66 и 67 помогут читателю составить себе наглядное пред-
представление о том, что может происходить при аффинном преобра-
преобразовании.
§ 6. Преобразование векторов при аффинном
преобразовании плоскости и пространства. Основные
свойства аффинных преобразований
Возьмем на плоскости (или в пространстве) какой-нибудь век-
вектор M^Mi (рис. 68). При аффинном преобразовании точки М9, Mt
переходят соответственно в точки МЬ, Ми имеющие относительно
нового репера те зке координаты, которые точки М9, Мг имели
относительно старого. Так как координаты вектора получаются
вычитанием координат его начальной точки из координат его
конца, то координаты вектора MbM'i относительно нового репера
те же, что и координаты вектора М^х относительно старого
репера. Итак:
108
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ГЛ lit
1° При аффинном преобразовании вектору и = УИ0/И1 ставится
в соответствие вектор и' = М'аМ'\, имеющий относительно нового
репера тс же координаты,
которые вектор и имел
относительно t тарого.
Отсюда ера »у следует,
что при аффинном преоб-
преобразовании ранным векто-
векторам соответствуют равные,
так что:
2° Аффинное преобра-
преобразование плоскости (прост-
(пространства) порождает взаим-
взаимно однозначное отображе-
отображение на себя (преобразование)
множества V всех свобод-
свободных векторов плоскости
(соответственно простран-
пространства).
Эю преобразование об-
обладает следующим свойст-
свойством линейности: если при
данном преобразовании век-
векторам u, v соответст-
соответствуют векторы u', v', то
вектору u + v будет соот-
соответствовать вектор u' + v', а вектору Ы — вектор hx' (доказы-
(доказывается сразу переходом к координатам).
Из свойства линейности вытекает, далее:
3° Если при данном аффинном преобразовании векторам и,, ...
.... ия соответствуют векторы и[ а^, то всякой линейной
комбинации
Рис. 68.
векторов щ, ..., ия соответствует линейная комбинация
векторов и[ \х'п (с теми же коэффициентами Klt %2 1П).
Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, оче-
очевидно, соответствует нулевой, то из доказанного следует:
4° При аффинном преобразовании линейная зависимость векто-
векторов сохраняется (и, значит, всякие два коллш1" ьрньис вектора пере-
переходят в коллинеарные, всякие три компланарных вектора перехо-
переходят в компланарные).
5° Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть
аффинное преобразование.
f в]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
109
В самом деле, если данное аффинное преобразование о?€ плос-
плоскости задается переходом от репера Ое^ к реперу О'е[е2, то аффин-
аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера O'eje^ к реперу
Ое^а, есть, как легко видеть, преобразование, обратное к преоб-
преобразованию &>?.
То же и для пространства.
Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зави-
зависимость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независи-
независимость векторов.
6° При аффинном преобразовании o/Z всякая линейно независи-
независимая система векторов ult u2, ... переходит в линейно независи-
независимую—в противном случае при аффинном преобразовании е^'1,
обратном к <г?', линейно зависимая система и\, uj, ... перешла бы
в линейно независимую, что, как мы знаем, невозможно.
Так как репер есть система линейно независимых векторов
(двух на плоскости, трех в пространстве), приложенных к данной
точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер перехо-
переходит в репер. Более того, имеет мест предложение
7° При аффинном отображении (мданном переходом от репера
I к реперу Г) всякий репер 11 переходит в репер IV и всякая
точка М (всякий вектор и) переходит в точку М' (в вектор и')
с теми же координатами относительно репера IV, какие точка
М и вектор и имели относительно репера II.
Доказательство в случае плоскости и в случае пространства
одно и то же. Ограничимся случаем плоскости. Пусть II есть
репер ое^а, а II' — репер о'е{е?. Докажем сначала утверждение,
касающееся векторов. Если вектор и имеет относительно репера
(гх82 координаты |, ц, то и = |е1 + т]е2. Но тогда образ вектора и
есть, по свойству 3°, вектор
имеющий координаты I, ц относительно репера о'г\е'2. Пусть точка
М имеет координат ?, г| относительно репера огге2. Тогда оМ =
= iei + Tl82. так чт°. п0 предыдущему, относительно репера о'ъ[е,2
вектор о'М', а значит, и точка М' имеют координаты |, г). Утвер-
Утверждение доказано.
Доказанное утверждение является существенным: из него сле-
следует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь
репера Оехе2 к реперу O'eieJ, мы можем задать его, ваяа в качестве
исходного любой репер ог^ и указав тот репер o'ejej, в который
он должен перейти.
В качестве приложения только что сделанного замечания дока-
докажем, что произведение двух аффинных преобразований е^х и е^а
есть аффинное преобразование.
В самом деле, пусть аффинное преобразование е^х задается
переходом от репера I к реперу II. Аффинное преобразование
"U ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
а^2 мы можем, по только что доказанному, задать переходом от
репера II к какому-то реперу Ш. Тогда аффинное преобразова-
преобразование, задаваемое переходом от репера I к реперу II, есть, очевидно,
произведение es?*s#t преобразования a^j на преобразование <&?+
Продолжаем перечисление простейших свойств аффинных преоб-
преобразований и отображений.
Три точки Ми Мг, М3 тогда и только тогда коллинеарны
(т. е. лежат на одной прямой), когда векторы MtM2 и ЛуЙ3 кол-
коллинеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном
преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность
точек. Отсюда вытекает:
8° При аффинном отображении (плоскости или пространства)
прямая переходит в прямую.
Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта.
Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что
каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе
Ое^) переходит в точку М', имеющую те же координаты во вто-
второй системе О'е[ег. Отсюда следует:
9° При данном аффинном отображении (определенном перехо-
переходом от репера Ое^ к реперу О'е\е>г) множество всех точек, коор-
координаты которых (в координатной системе Ое^) удовлетворяют
некоторому уравнению, переходит в множество точек, координаты
которых в системе O'eje^ удовлетворяют тому же уравнению.
В частности, прямая с уравнением
Ах + Ву + С — 0 A)
(в системе Ое^) перейдет в прямую, имеющую то же уравнение,
но только в системе координат O'e'\t'i.
Точно так же при аффинном преобразовании пространства
(определенном переходом от репера Ое^ез к реперу O'eie^)
плоскость, имеющая в системе O^xt2tz уравнение
Ax + By + C2+D = 0, B)
переходит в плоскость, имеющую то же уравнение B), но только
в системе координат О'е^ез.
Прямая, заданная в пространстве своим «общим уравнением»
или той или иной его специальной
каноническим уравнением
разновидностью, например
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ BEKTOPOS
Ш
при данном аффинной преобразования переедет в врямую, имею-
имеющую те же уравнения, но только в системе координат O'efe^
Итак, доказана
Теорема 7. При аффинном преобразовании плоскости, соот-
соответственно пространства, прямые переходят в прямые, плоскости
переходят в плоскости.
При этом сохраняется параллельность.
В самом деле, если две прямые (или две плоскости, или пря-
прямая л плоскость) параллельны, то их уравнения относительно
репера Ое1еае3 удовлетво-
удовлетворяют известным условиям
параллельности; но образы
этих прямых ((плоскостей)
имеют те же уравнения от-
относительно репера O'eie^
и, значит, удовлетворяют
тем же условиям парал-
параллельности.
Теорема 8. При аф-
аффинном преобразовании
плоскости (пространства),
переводящем прямую d в
прямую d', отрезок МйМг
прямой d переходит в от-
отрезок M'qM'i прямой <f, a
точка М прямой d, деля-
делящая отрезок М0Мх в дан-
данном отношении X, перехо-
переходит в точку М' прямой d', делящую отрезок М'оМ в том же
отношении X (рис. 69).
Доказательство. Так как при положительном X мы полу-
получаем точки, лежлщие ннугри стрелка МпМк (соотиетственно М'0М'\),
а при отрицательном — вне этою отрезка, то лз второго утвержде-
утверждения теоремы 8 следует первое. Доказываем второе утверждение
теоремы S, ограничиваясь случаем цдогкогтн. Пусть (в системе
координат Ое^ имеем
Рис. 69.
Так как точка М делит отрезок М^Мх в отношении X, то
{в пространстве к этим равенствам присоединится еще равенство
—). При данном аффинном преобразовании точка
112
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ч
[ГЛ. III
Mlt M перейдут в точки Mb, M\, M с теми же координатами,
что и у точек MQ, Mlt M, но только в координатной системе
O'e'it2. Эти координаты связаны по-прежнему соотношениями C),
из которых следует, что М! делит отрезок M'qM'i в отношении %.
Этим теорема 8 доказана.
Докажем в заключение этого параграфа следующее предло-
предложение:
Теорема 9. Существует одно и только одно аффинное пре-
преобразование плоскости, переводящее данную тройку неколлинеарных
точек
О, А, В
этой плоскости в {произвольную вторую) тройку неколлинеарных
точек
О1, А', В'
той же плоскости.
Аналогично существует одно и только одно аффинное преобра-
преобразование пространства, переводящее данную четверку некомпланар-
некомпланарных точек
О, А, В, С
в (произвольную) вторую четверку некомпланарных точек
О', А', В', С.
Доказательство в обоих случаях, плоскости и пространства,
одно и то же. Ограничимся случаем плоскости.
Берем координатную систему с началом О и единичными век-
векторами
е^ОЛ, Сг^ОВ,
а также координатную систему с. началом О' и единичными век-
векторами
Этим определено аффинное преобразование &#, переводящее каж-
каждую точку М, имеющую в системе Ое^ координаты х, у, в точку
М' с теми же координатами, но в системе O'ele-!. В частности,
точка О = @, 0) перейдет в О', точка Л = A, 0) —в_ точку А',
точка В = @,1) — в точку В', а векторы ех = О А и е2 = ОВ перейдут
соответственно в t[ = O'A' и *ъ = О'В'.
Таким образом, преобразование &# удовлетворяет требованиям
теоремы. Оно есть единственное аффинное преобразование, удов-
удовлетворяющее этим требованиям. В самом деле, всякое аффинное
преобразование, переводящее точки О, А, В соответственно в О',
А', В', переводит векторы ех, ej соответственно в е[, е? значит,
совпадает с преобразованием е^,
I 7] 'АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИЗ
§ 7, Аналитическое выражение аффинных преобразований
Пусть аффинное преобразование плоскости задается переходом
от репера Ое^ к реперу О'е^.
Покажем, как вычислить о исходной системе координат Ое^а
координаты преобразованной точки М' по координатам данной
точки М (рис. 70).
Векторы ej, e? даны своими координатами относительно старого
репера:
= 0.
A)
Кроме того, известны координаты а, Ь нового начала О'. Тогда
координаты х', у' любой точки ЛГ относительно старого ^репере
связаны с координатами ?',
г\' той же точки М' относи- Ul y'\
тедьно нового репера соотно-
соотношениями
B)
Нам даны: произвольная
точка М с координатами х
и у относительно старого
репера и ее образ М', имею-
имеющий относительно нового ре-
репера те же координаты х, у,
которые точка М имела от-
относительно старого репера.
Требуется найти координаты
точки М' относительно ста-
старого ренерл. Решение этой
:и|д.'1чи д.четси форму.чпмп B),
и которые иместо {¦', т|' надо подставить координаты точки М'
п новой системе, т. с. хну; тогда в левой части будут искомые
координаты х', у' точки М' (в старой системе), и мы получим
Рис. 70.
Ф0.
C)
х' =--спх+спу + а,
у' — с21х -\- с22У + Ь,
Это и есть формулы, дающие координаты преобразованной точки М*
по координатам точки М (те и другие координаты берутся при
этом относительно одного и того же «старого» репера).
Обратно, если дана невырожденная матрица
о _
114
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
и два числа а, Ь, то, ставя в соответствие каждой точке М = (ж, у)
точку M' = (jc', у'), где х' и у' определены по формулам C), мы
получим аффинное преобразование плоскости — оно опредеяенб
переходом от исходного репера Ое^ к реперу O'e'fi't, где
Итак, мы можем определить аффинное преобразование плоскости
как такое преобразование, которое ставит в соответствие каясдой
точке М = (х, у) точку М' = (х', у'), коорданаты х', у' которой
находятся из координат х, у точки М по формулам C): система
координат — одна и та же. Аффинное преобразование вполне опре-
определяется системой координат Ое^, матрицей коэффициентов С
и числами a, b в формулах C).
Так же доказывается и аналогичный результат для простран-
пространства:
Аффинное преобразование пространства вполне определено, если
в пространстве даны аффинная система координат Ое^^, невы-
невырожденная матрица
е21 С22 Саз '
называемая матрицей аффинного преобразования, и три числа в,
Ь, с; определенное этими данными преобразование состоит в том,
что каждой точке М = (х, у, г) ставится в соответствие точка
М' = (х', у', г'), где
у' = cixx
D)
Система координат — одна и та же.
Замечание. Матрица аффинного преобразования, очевидно,
является транспонированной к матрице перехода от исходного
репера к реперу, задающему данное аффинное преобразование.
Поэтому аффинное преобразование будет собственным или несоб-
несобственным в зависимости от того, имеет ли матрица этого преобра-
преобразования положительный или отрицательный детерминант.
Выведем из только что доказанного одно важное следствие
(сначала для плоскости).
Пусть на плоскости с выбранной на «ей прямоугольной систе-
системой координат дамы «за вектора: Bi = {*i, &}, us = {x2) y2). Мы
знаем, что нлошадь ориентированного параллелограмма, натяну*
того на эти векторы, есть
/a uS-l Xl У1\
<аХ1 u*>-jXa й|-
'АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
115
При аффинном преобразовании "%" плоскости с матрицей С век-
векторы u1( u2 переходят соответственно в п\ = {х\, у[\, u^ = {x'lt y'J, где
так что
Но справа стоит произведение детерминантов
Уг
поэтому
1, и2>.
Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат.
Тогда для любых трех вектороо и,, и2, и;| и аффинного преобра-
преобразования *ё', переводящего эти векторы соответственно в и[, Uj, u'3t
доказывается формула
<ul, u;, U3> = detC-<u1( и2, и3>.
Итак, имеет место
Теорема 10-. При аффинном преобразовании плоскости (соот-
(соответственно пространства) площадь ориентированного параллело-
параллелограмма, построенного (в данной плоскости) на двух каких-либо
векторах (соответственно объем ориентированного параллелепипеда,
построенного на трех векторах), умножается на детерминант
преобразования.
Следствие. При аффинном преобразовании плоскости (соот-
(соответственно пространства) отношение площадей параллелограммов
соответственно объемов параллелепипедов) сохраняется.
ГЛАВА IV
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ,
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ
П РОСТРАНСТВО
§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей
Алгебраическим уравнением от переменных х± хп назы-
называется уравнение вида
хл) = 0, A)
в котором левая часть F(x^ xn) есть многочлен от этих пере-
переменных. Степень многочлена F (хг хп) ^называется степенью
уравнения A).
В аналитической геометрии линии на плоскости и поверхности
в трехмерном пространстве принято определять соответственно
как многообразия решений алгебраических уравнений
F(x, /у)-0 для линий,
F(x, у, z) = 0 для поверхностей.
(li)
(la)
Примеры нам известны: прямая линия и плоскость суть соответ-
соответственно нулевые многообразия многочленов первой степени от двух
и трех переменных; известные нам кривые — эллипс, гипербола,
парабола — суть многообразия решений своих канонических урав-
уравнений; сфера с центром в начале прямоугольной системы координат
есть множество решений уравнения
где г есть радиус сферы. Само собой разумеется, для того чтобы
эти определения линий и поверхностей имели смысл, необходимо,
чтобы в плоскости (в пространстве) была выбрана определенная
система координат. При этом, если уравнение A.2), соответственно A3),
определяющее данную линию (или поверхность), имеет степень т,
то говорят, что эта линия (или поверхность) имеет порядок т.
Однако с определением линии и поверхности не псе обстоит
так просто, как кажется на первый взгляд. Множество всех точек
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Ш
плоскости, удовлетворяющих уравнению х2 = 0, совпадает с множе-
множеством точек, удовлетворяющих уравнению х = О, и есть ось ординат
координатной системы, положенной в основу наших рассуждений.
Получается, что прямая линия (в данном случае прямая х = 0)
определяется не только своим «естественным» уравнением пер-
первой степени, но еще и некоторыми уравнениями более высоких
степеней. Однако в аналитической геометрии считают, и к этому
имеются серьезные основания, что уравнение х2 = 0 есть уравне-
уравнение не просто оси ординат, а «дважды взятой оси ординат» —
кривой второго порядка, являющейся парой слившихся прямых,
каждая из которых есть прямая х = 0. Далее, нулевое многообра-
многообразие каждого из многочленов х2-\-у2-\-\ и 2л:2 -J- 3</2 + 7 есть пустое
множество; приравнивая эти многочлены нулю, мы получим урав-
уравнения, не определяющие никаких реальных линий. Это второе
затруднение устраняется пополнением плоскости, соответственно
пространства, так называемыми мнимыми точками, что приводит
к комплексной плоскости и к комплексному пространству, где уже
не будет уравнений с пустым множеством решений.
Уже первое замечание — об уравнении х2 -=- 0 — приводит к важ-
важному утверждению. Ясно, что два пропорциональных между собой
многочлена от данного числа переменных имеют одно и то же
нулевое многообразие. Возникает обратный вопрос: можно ли
утверждать, что два многочлена одной и той же степени (от двух
или от трех переменных), имеющих одно и то же нулевое много-
многообразие, пропорциональны между собой? Оказывается, что ответ
на этот вопрос положителен, если под решениями х, у соответ-
соответственно х, у, z понимать наборы комплексных чисел. Однако это
утверждение представляет собой совсем не очевидную и вовсе не
так просто доказываемую теорему алгебры. Для многочленов вто-
второй степени от двух и трех переменных теорема эта под назва-
названием «теоремы единственности» будет доказана в главе VI (§ 8)
для линий и в главе IX (§ Г>) для поверхностей второго порядка.
Только после того, как эта теорема будет доказана, и после того,
как произойдет пополнение плоскости и пространства мнимыми
точками, определение линии и поверхности второго порядка как
множества точек, являющихся решениями уравнения второй сте-
степени от двух, соответственно от трех, переменных, станет на твер-
твердую почву. Пока же в уверенности, что разыгравшаяся маленькая
драма получит счастливую развязку, мы вынуждены пользоваться
следующим, так сказать, рабочим определением:
Задать алгебраическую линию на плоскости — значит задать
некоторое алгебраическое уравнение A2) с двумя переменными и
некоторую аффинную систему Оху координат на плоскости; тогда
те и только те точки М (х, у), координаты которых в данной
координатной системе удовлетворяют уравнению A2), считаются
лежащими на данной линии (или принадлежащими ей),
118
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
Аналогично для поверхностей: задать алгебраическую поверх-
поверхность в трехмерном пространстве — значит задать алгебраическое
уравнение от трех переменных A3) и систему координат в трех-
трехмерном пространстве. Те и только те точки М = (х, у, г) про-
пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению A3),
называются точками, лежащими на данной поверхности.
При этом мы считаем, что два уравнения тогда и только тогда
определяют одну и ту же линию или поверхность, когда одно из
этих уравнений получается из другого почленным умножением на
некоторый числовой множитель к.
Если на плоскости дана система координат Ое1е2, то левая
часть уравнения A2) —многочлен F{x, у) — определяет функцию
от точки плоскости: каждой точке М, имеющей в данной системе
координат координаты х, у, соответствует число F(M) = F(x, у).
Если мы перейдем к другой системе координат О'е^, то та же
точка М, имевшая в системе Ое^ координаты х, у, получит
в системе Ог[е^ новые координаты х', у', связанные со старыми
формулами преобразования координат:
B)
с матрицей
и детерминантом
сп с12
detC =
фО.
Для того чтобы вычислить значение того же числа F(/И) через
новые координаты х', у' точки М, надо в многочлен F (х, у)
вместо х и у подставить выражения B) этих переменных через
х1 и tf\ от этого многочлен F(x, у) тождественно преобразуется
в многочлен F' (х', у') от новых переменных х', у1:
', у'). C)
j тогда и
03
удовлетво-
удовлетво0а)
Координаты х', у' какой-либо точки М в системе
только тогда удовлетворяют уравнению
F'(x', y') = Q,
когда координаты х, у той же точки в системе О
ряют уравнению
F(x, y)=Q.
Таким образом, задавая какую-нибудь алгебраическую линию
ее уравнением A2) в данной системе координат Ое^, мы сразу
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
119
же можем написать и ее уравнение (Ц) в любой другой системе
координат O'ele^ —оба уравнения A2) и AJ), рассматриваемые
соответственно относительно координатных систем Оехе2 и О'е|е?,
задают одну и ту же алгебраическую линию. При этом, если
алгебраическая линия задана в данной системе координат Оехеа
уравнением A2) степени т, то и во всякой другой системе коор-
координат O'efeg она задается уравнением (Ц) той же степени т.
В самом деле, при подстановке B) каждый член ахруч многочлена
F(x, у) переходит в выражение
а (спх' + с12у'
(cuxr
которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов
дает нам некоторую совокупность членов многочлена F' (*', у'),
каждый из которых имеет степень «Sp + g. Итак, при переходе
от координатной системы Ое^ к координатной системе O'eje^ сте-
степень многочлена F(x, у) не может повыситься. Но она не может
и понизиться, так как тогда при обратном переходе от О'ъ\ъ\
к Ое^ степень мпогочлонл должна была бы повыситься.
Итак, степень ураниепин A), задающего (в какой-нибудь
системе координат) данную алгебраическую линию, есть число,
не зависящее от выбора системы координат; это число и назы-
называется порядком алгебраической линии, задаваемой уравнением A).
Все сказанное о кривых дословно переносится и на случай
поверхностей.
§ 2. Преобразование многочлена второй степени
при преобразовании координат
Так как мы в дальнейшем будем заниматься лишь линиями
и поверхностями второго порядка, то многочлены второй степени
имеют для пас преимущественный интерес.
Каждый Miioi (I'uicii пророй < iciipiiii от двух переменных
F(x, у)^ваихг \'2ailxy-\-a2itf-\-2a1x + 2a?y + aQ A2)
может быть записан в виде
F(x, y) = y(x, y) + 2l(x, y)+a0, (VJ
где
<р(х, У) = апх^ + 2а12ху + а^ B2)
называется квадратичной формой старших членов многочлена
F(x, у), а
— линейной формой многочлена F(x, у).
120
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ tV
Полагая а21 = а12, получаем симметричную матрицу второго
порядка
напиваемую матрицей квадратичной формы
детерминант
6 =
с12
называется дискриминантом формы ф (л:, у).
Подобное же положение вещей мы имеем и в случае много-
многочлена второй степени от трех переменных. Общий вид такого
многочлена есть
F (х, у, z) == апх2 + 2апху + а22у2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 +
причем члены второго порядка этого многочлена образуют квад-
квадратичную форму
Ф(х, у, z)^a11xi + 2ai2xy + a22yi + 2a1!ixz + 2a2.jyz + a33z2, B3)
а члены первого порядка — линейную форму 2/ (х, у, г), где
1(х, у, г)=а1х + агу + аяг,
так что весь многочлен F (х, у, г) может быть записан в виде
F(x, у, г)=эф(дс, у, г) + 2Цх, у, z) + a0.
Нас интересует вопрос, как преобразуются многочлены F (х, у),
соответственно F (х, у, г) при преобразовании координат. Как мы
знаем, каждое преобразование координат слагается из однород-
однородного преобразования, которое^в случае двух переменных х, у
записывается в виде *
х = спх' + с1гу', 1 с Ikii с 12
и из сдвига
х = х -\-х0,
У = У' + Уо-
C)
D)
Однородное преобразование C) соответствует переходу от перво-
первоначального репера Оехе2 к реперу Ое[е? с тем же началом, а пре-
преобразование D) — сдвигу начала координат на вектор 00' = {ха, уо\.
Посмотрим сначала, как преобразуется многочлен F(x, у) при
сдвиге D).
5 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
121
Подставляя в F (х, у) значения х = х' + х0, у — у'-\-уй, полу-
получаем (считая всегда а21 = а1г)
F(x, y)^F(x' + x0, y' + yo)^an(x' + xo)> +
0) +
2а12 (х' + х0) (у' + у0) + ai2 (у' + yof + 2ах
+ 2а2 (у' + уй) +ао = апх'г + 2а12х'у' + a.i2y'*
+ 2 (апх0 + а12у0 + а1)х' + 2 (апх0 + а22у0 + а2) у
+ (hixl + 2а12хоуо
Обозначая преобразованный многочлен через
имеем
= ап,
= «12.
= ai2,
)
aos=F(x', у').
'o, (Ц)
E.)
На эти формулы мы будем много раз ссылаться. Первые три
из равенств E), а именно а'п = а1г, а'12 — а1г, ^2 = ^22. означают,
что при сдвиге D) коэффициенты при старших членах многочлена
F(x, у) не меняются.
Все это можно повторить и для случая трех переменных: мно-
многочлен F (х, у, г) переходит в
F' (х', у', г') = а'пх'2 + 2а'пх'у' + а'ру'г + 2a'iSx'z' +
+ 2a'i3y'z i
^z' +а'о, (Ц)
где
«аз» «;ia^
а\ ¦= апх0Н-atiy{,-
г„ -]- а,,
а'3 =
33г0 + а3,
a'a=F(x0, у0, г0).
E3)
Что касается однородного преобразования C), то нас интере»
суют в первую очередь квадратичные формы (р'(х', у') и ф' (х1, у', z'),
в которые при этом преобразовании тождественно переходят формы
ц>(х, у) и <р(х, у, z). Исчерпывающий ответ на интересующий нас
вопрос дает следующая
Теорема 1. Матрица А' квадратичной формы (р'(х'г у'),
соответственно (р'(х', у', г') выражается через матрицу А фор-
формы ф(лг, у), соответственно ц>(х, у, г) и через матрицу С
до
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. IV
преобразования следующим образом:
А' = С*АС,
F)
где С*, как всегда, есть матрица, транспонированная к С.
Доказательство этой теоремы получается непосредственным
вычислением и оставляется читателю в качестве упражнения.
Так как det С* = det С, то из формулы F) вытекает
det ^' = det Л-(detCJ. G)
Если обе координатные системы, старая и новая, прямоугольны,
то матрица С ортогональна, detC = ±l и
det A' = det A.
Как мы уже отмечали выше, в заданной системе координат
Oeje2 (соответственно Ое^вз) многочлен F (х, у) (соответственно
F(x, у, г)) определяет функцию от точки плоскости (соответст-
(соответственно пространства). Рассмотрим подробнее функции, задаваемые
однородными многочленами от двух или трех переменных второй
степени — такие многочлены в алгебре называются квадратичными
формами. Для сокращения изложения ограничимся лишь случаем
трех переменных.
Начнем со следующего определения. Предположим, что задано
правило, ставящее в соответствие каждой паре векторов и и v
пространства некоторое число ^(u, v); пусть, кроме того, эта
функция линейна по каждому аргументу, т. е.
, v),
v2)
для любых векторов ulf u3, u; vlf v2, v и чисел Хи Хг. Тогда
говорят, что W —билинейная функция от аргументов и и v. Если
векторы и и v относительно базиса е^ е2, е3 записываются в виде
и=х1е1 + хгъг + х3е3, v
то легко видеть, что
или, если положить Чг(ег, е/) = <
ЧЧи, v) =
(8)
Многочлен в правой части равенства (8) называется билинейной
формой от переменных xt, у/. Матрица
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
123
называется матрицей билинейной формы относительно базиса ef,
е2, е3. Билинейная форма называется симметричной, если симмет-
симметрична ее матрица А, т. е. если atj = ajt.
Билинейная функция W (a, v) называется симметричной, если
для любых двух векторов и и v 7(u, v) = 4r(v, и). Тогда afj =¦
= ?(еь е/) = Чг(еу, е,) = пц — матрица А оказывается симметрич-
симметричной. Верно и обратное: если в каком-нибудь базисе билинейная
функция записывается в виде симметричной билинейной формы,
то она симметрична (докажите!).
Любая функция /(u, v) от двух переменных определяет функ-
функцию g(u) от одного переменного, если положить
g(u) = /(u, и).
Функция Ф, полученная по этому правилу из симметричной би-
билинейной функции У:
Ф(и) = ?(и, в),
называется квадратичной функцией, порожденной билинейной функ-
функцией Т.
Для произвольной киадратичной функции Ф существует одна
и только одна порождающая ее симметричная билинейная функ-
функция Y, называемая полярной билинейной функцией от данной
квадратичной.
Действительно, пусть У — какая-нибудь симметричная билиней-
билинейная функция, порождающая данную квадратичную функцию Ф:
Ф(и) = Ч'(и, о).
Поскольку
^( , v) =
то
xV(u, v)
(9)
что позволяет вычислить значение функции *Р для любой пары
векторов u, v, зная значения функции Ф для каждого из векто-
векторов u, v, u+v. Формула (9) называется полярным разложением
симметричной билинейной функции W (и, v).
Если в данном базисе симметричная билинейная функция
^(и, v) записывается в виде
з
^(и. v)= 2] a,jxtyj,
<,/ = !
ТО
124
'АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. IV
т. е. квадратичная функция Ф(и) —Ч^и, и) во всяком базисе
записыиается в виде квадратичной формы, имеющей ту же мат-
матрицу, что и билинейная форма, являющаяся записью функции ?.
Мы закончим этот параграф перечислением некоторых теорем
о билинейных и квадратичных функциях, полные доказательства
которых мы отложим до главы XIV.
Рангом билинейной, а также рангом квадратичной формы на-
называется ранг ее матрицы. Имеет место следующий замечатель-
замечательный результат: все билинейные (все квадратичные) формы, пред-
представляющие в различных базисах одну и ту же билинейную
(соответственно квадратичную) функцию, имеют один и тот же
ранг.
Далее, билинейная, а также квадратичная форма, матрица
которой диагональна, называется канонической формой данной би-
билинейной (соответственно квадратичной) функции. Имеет месте
следующая теорема: для любой квадратичной функции Ф сущест-
существует канонический базис, т. е. базис е,, еа, е3, в котором данная
функция имеет каноническую запись. При этом ео всех канони-
канонических записях квадратичной функции Ф:
Ф (и) = ахх\ + агх\ + а^х1 и = х& + #4е8+д:8ез,
число положительных коэффициентов среди аи аь а3 одно и то
же (оно называется индексом данной квадратичной функции).
§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей
Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат
Ое^а. Мы знаем, что задать аффинное преобразование orf пло-
плоскости—значит задать, наряду с исходным репером Ое1е2, новый
репер O'eje^; аффинное преобразование orf, определенное этим
репером, ставит в соответствие каждой точке М точку М', имею-
имеющую относительно репера O'eJeJ те самые координаты, которые
точка М имела относительно исходного репера Oeie2.
Рассмотрим теперь какую-нибудь линию, определенную в исход-
исходной системе координат Oeiea уравнением
F(x,
О»)
При аффинном преобразовании erf каждая точка М, лежащая на
этой кривой, перейдет в точку М', лежащую на линии, имеющей
то же уравнение Aа), но уже относительно системы координат
В соответствии с этим мы говорим, что при аффинном преоб-
преобразовании erf кривая I, заданная уравнением A2) в системе коор-
координат Ое^, переходит в кривую II, заданную тем же уравне-
уравнением, но в системе координат O'eje,. Очевидно, кривая II пере-
'АФФИННАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
123
ходит в кривую I при аффинном преобразовании erf-1, обратном
к преобразованию drf.
Говорят также, что кривая II является образом кривой I при
преобразовании orf'.
Определение. Две кривые I и II называются аффинно
эквивалентными, если одна из них переходит в другую при неко-
некотором аффинном преобразовании erf.
Легко видеть (читатель должен это проверить), что отношение
аффинной эквивалентности удовлетворяет условиям рефлексивно-
рефлексивности, симметрии и транзитивности. Поэтому, в частности, две кри-
кривые, аффинно эквивалентные одной и той же третьей, аффинно
эквивалентны между собой.
Из сказанного выше непосредственно следует:
Пусть дана алгебраическая кривая I своим уравнением
F(x, y) =
A.)
в системе координат Ое,е2. Тогда аффинно эквивалентными кри-
кривой I будут тс и тольно те кривые II, которые в какой-нибудь
системе координат O'tt\e\ имеют то же уравнение Aа).
Пусть в плоскости дана система координат Оехе2. Тогда, как
мы знаем, всякое аффинное отображение задается формулами
B)
выражающими для каждой данной точки М (х, у) координаты х',
у' преобразованной точки М' (в той же системе Ое^).
Теперь легко решить задачу: пусть дана кривая I своим урав-
уравнением A2) в координатной системе Ое^. Найти в той же си-
системе коордпн.тг Ос,с,, ур.-шнонис icpimon II, в которую перейдет
кривая 1 при данном аффинном нрообра-юиапии B).
Решение просто: ведь надо найти уравнение, которому удов-
удовлетворяют х' и у', связанные с х и у соотношениями B), если
эти х vi у удовлетворяют уравнению A2). Искомое уравнение по-
получится, если выразить х и у через х' и у' из B) и подставить
полученные значения в уравнение A2).
Все сказанное о кривых можно повторить и в применении
к поверхностям.
В следующей главе мы, в частности, решим задачу аффинной
классификации кривых второго порядка, т. е. задачу перечисле-
перечисления всех аффинных классов, на которые распадается множество
всех кривых второго порядка.
В главе IX мы решим аналогичную задачу аффинной класси-
классификации всех поверхностей второго порядка.
'АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
5ГЛ IV
§ 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство
Вся суть аналитической геометрии заключается в том, что,
выбрав (скажем, на плоскости) систему координат Ое^а, мы под-
подмениваем точки плоскости парами (х, у) координат этих точек,
а линии задаем их уравнениями вида
F(x, ?/) = 0.
Однако уже из школьного курса алгебры мы знаем, сколь убогим
получается исследование даже уравнений второй степени с одним
неизвестным, если при рассмотрении их решений пользоваться
лишь вещественными числами. Поэтому неудивительно, что, огра-
ограничиваясь в аналитической геометрии вещественными значениями
координат, мы не построим гармонической теории, так как будем
постоянно натыкаться на досадные исключения, несносные для
математика. Единственный радикальный способ их избежать —это
допустить в качестве возможных значений координат точек любые
комплексные числа.
Мы приходим, таким образом, к следующему построению.
Пусть дана обыкновенная («вещественная») плоскость и про-
произвольная аффинная система координат Ое^ в ней х). Точку М
плоскости мы отождествляем с парой ее координат х, у. Теперь
мы всякую пару х, у комплексных чисел также будем считать
точкой (комплексной) плоскости, а сами числа х, у будем назы-
называть координатами точки М комплексной плоскости относительно
данной системы координат Ое^. При этом точку М (х, у) будем
называть мнимой точкой плоскости, если хотя бы одна из ее
координат есть комплексное число, не являющееся вещественным.
Дальше все идет автоматически. Пара точек М, = (хъ ух) и
Мг(хц, у2), данных в определенном порядке (Mt — первая, М2 —
вторая точка), называется вектором, приложенным к точке М-,
или закрепленным в этой точке, и обозначается через и = М1М2.
Точка Мг называется начальной точкой, а точка М2 —конечной
точкой (концом) вектора МХМ^. Комплексные числа
называются координатами вектора МгМ2-
Два вектора МхМг и М\М'г называются равными, если равны
их соответственные координаты. Таким образом, множество всех
векторов комплексной плоскости распадается на классы равных
между собой векторов (любые два вектора одного класса равны
между собой, никакие два вектора, принадлежащие к разным клас-
классам, не равны между собой). Эти классы, как и в случае вещест-
1) Речь идет при этом лишь об обыкновенных! «вещественных» реперах.
«4]
КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО
127
венных чисел, называются свободными векторами; они обозна-
обозначаются так:
" = {*, у},
где х, у —пара координат какого-нибудь (закрепленного) вектора,
входящего в данный класс равных между собой векторов.
Таким образом, мы можем сказать: любая пара комплексных
чисел х, у определяет, во-первых, точку М — (х, у), во-вторых,
свободный вектор и = {х, у) с координатами х, у. Каждая пара
точек Ml = (xl, yi) и М2=(хг, у2) определяет свободный вектор
и = \х, у} с координатами х = хг — хх, у = у% — уг; точка М1=(х1, у^
и вектор и = {х, у} определяют точку Afa = C*i + *. У1+У) — ко-
конец вектора и, приложенного к точке М±.
Суммой двух векторов и = {х, у] и м' = {л^, у') называется век-
вектор и + a' = {х+х', у+у'\, произведением вектора а = {х, у} ил
произвольное (комплексное) число X называется вектор Яи = {Хх, Ху}.
Вектор 0 = {0, 0} по-прежнему называется нулевым вектором;
вектор — и = {— х, —у} называется вектором, противоположным
вектору и^ \х, //).
Понятия линейной зависимости и линейной независимости вво-
вводятся для векторов с комплексными координатами совершенно
так же, как и в вещественном случае, только, разумеется, в ка-
качестве коэффициентов в линейных комбинациях векторов теперь
допускаются любые комплексные числа. При этом все алгебраи-
алгебраические теоремы о линейной независимости сохраняют свою силу.
В частности, два вектора щ = {х1, #г} и щ = {хг, у2} тогда и
только тогда линейно зависимы, когда координаты одного вектора
пропорциональны координатам другого, т. е. когда
Два линейно зависимых вектора мы будем называть коллинеар-
ными. Важно qw:iy же установить и для векторов с комплекс-
комплексными координатами основное предложение.
Три вектора на комплексной плоскости всегда линейно зави-
зависимы (и, следовательно, один из ыих есть линейная комбинация
двух других).
В самом деле, это утверждение справедливо, если среди трех дан-
данных векторов и1( щ, и3 какие-нибудь два, например о, и и,,
линейно зависимы. Пусть векторы u^l^, r^} и ua = {?ai %} ли-
линейно независимы. Докажем, что тогда всякий третий вектор и =
— {I, 1]} является линейной комбинацией векторов щ н щ:
причем коэффициенты х, и *, в этой линейной комбинации одно-
однозначно определены.
128
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
{ГЛ. IV
В самом деле, из линейной независимости векторов иг = {Щ, tj1}
и иа = {?2, т]2} следует, что
А тогда система уравнений (относительно неизвестных ^ и
(равносильная одному уравнению и==л:1и1 + д;ги2) имеет единствен-
единственное решение относительно хх и ха, что и доказывает наше утвер-
утверждение.
Существенным является следующее
Замечание. Мы определили комплексную плоскость, взяв
обыкновенную, вещественную плоскость с заданной в ней аффин-
аффинной системой координат Ое^. Эта система координат лежит
в основе самого определения комплексной плоскости и будет назы-
называться ее «.основной* системой координат. Начало этой системы
координат есть вещественная точка О = @, 0), а единичными век-
векторами являются векторы ei = {l, 0} и ^={0, 1}. Каждый вектор
комплексной плоскости может быть записан, и притом единствен-
единственным образом, в виде
+ A)
где х и у — комплексные числа.
Задать в комплексной плоскости какую-нибудь «новую» (т. е.
отличную от основной) вещественную1) систему аффинных коор-
координат—значит задать вещественную точку
О'^{а, Ь)
— начало новой системы координат и пару линейно независимых
вещественных векторов
е| = {сц, си} = сие
(все числа c{k, I, k = 1, 2, при этом являются вещественными).
Тогда вектор и, записывающийся в основной системе координат
в виде A), однозначно записывается и в виде линейной комбина-
комбинации векторов t[ и е^:
%. (Г)
Коэффициенты х' и у' в этой линейной комбинации называются
координатами вектора и в системе координат O'ejei (они, как и
в случае вещественных векторов, не зависят от выбора начала О').
Только такие будут рассматриваться.
Sfl
КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО
129
Координаты точки М в системе координат O'eje^ суть координаты
вектора б'М в этой системе координат. При определении этих
координат остаются в силе все рассуждения главы III, и итогом
этих рассуждений являются формулы
B)
т. е. формулы преобразования координат, полученные на стр. 113.
Эти формулы в комплексной плоскости таковы же, как в вещест-
вещественной, и коэффициенты сп, сп; са1, с22; а, Ь в них — веществен-
вещественные числа.
Так же, как в вещественном случае, прямую линию на комп-
комплексной плоскости естественно определить как линию первого
порядка, т. е. задать ее уравнением первой степени
Ах+Ву + С = 0. C)
Из общих теорем об уравнениях первой степени элементарно
выводится, что если прямая задана каким-нибудь уравнением C),
то все уравнения вида
(kA)x+(kB)y+(kC)=*O,
где k — какое-нибудь комплексное число, и только эти уравнения
задают ту же прямую. Если среди этих уравнений имеется урав-
уравнение, все коэффициенты которого kA, kB, kC вещественны, то
прямая C) называется вещественной; в противном случае она на-
называется мнимой.
Например, прямая
есть вещественная прямая; она может быть задана уравнением
2
Прямая
является мнимой.
Вообще, алгебраическая кривая, заданная уравнением
F(x, y)=0,
где F (х, у) — какой-нибудь многочлен от двух переменных, назы-
называется вещественной, если комплексное число %Ф0 может быть
подобрано таким образом, что в многочлене Я/^л;, у) все коэффи-
коэффициенты суть вещественные числа. Может, однако, случиться, что
па вещественной кривой не лежит ни одной вещественной точки.
Так, например, кривая, задаваемая уравнением
130
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
есть Естественная кривая, однако на ней нет ни одной вещест-
вещественной точки. Эта кривая называется окружностью радиуса i (при-
(причина такою названия читателю, вероятно, ясна1).
Кршзая, задаваемая в прямоугольной системе координат урав-
лепием
= 0, D)
называется окружностью нулевого радиуса. Она имеет единствен-
единственную вещественную точку О=@, 0). Эта кривая распадается на
пару мнимых прямых
E)
x-iy =
так так
Среди всех линий на плоскости мы в этом курсе будем рас-
рассматривать, кроме прямых, лишь вещественные кривые второго
порядка и будем всегда задавать их уравнениями
все коэффициенты в которых вещественны.
Пополнение трехмерного пространства мнимыми элементами —
мнимыми точками и мнимыми векторами — происходит совершенно
аналогично введению мнимых точек и векторов на плоскости.
Предполагается, что в обыкновенном («вещественном») трехмерном
пространстве дана произвольная аффинная система координат
Ое1е2е3. Это позволяет каждую точку М пространства отождест-
отождествить с тройкой 11сш,е<Т1нч1П1.1Х чисел, ее координат:
М=(х, у, г).
После этого мы всякую тройку х, у, г комплексных чисел также
объявляем «комплексной» точкой пространства, а сами комплекс-
комплексные числа х, у, г — называем координатами точки М в коорди-
координатной системе Ое^ез. Множество всех комплексных точек обра-
образует комплексное трехмерное пространство. Все вновь присоеди-
присоединенные точки, т. е. все точки М = (х, у, г), у которых хотя бы
одна из трех координат является невещественным числом, назы-
называются мнимыми точками комплексного трехмерного пространства.
!) К сожалению, общепринятая терминология (с которой невозможно не
считаться) в этом пункте непоследовательна: окружность z* + i/a-fl=0 мни-
мнимого радиуса I обычно называется мнимой окружностью; вообще, кривая, за*
даваемая уравнением -j + ?j+l =0, называется мнимым эллипсом, хотя она
согласно только что данному общему определению является действительной
кривой!
КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО
131
Упорядоченная 'пара точек Mi = (xu yu гг), М3 = {хг, у^, г2)
комплексного пространства называется сектором, приложенным
к точке М (или закрепленным в ней). Комплексные числа х =
= л;2~^1> У = У-1~У\.> z = zi — zl называются координатами закреп-
закрепленного вектора. Два Еектора равны, если соответственно равны
их координаты. Классы равных между собой пекторов называются
свободными векторами; они взаимно однозначно соответствуют
тройкам комплексных чисел х, у, z — тройкам координат всевоз-
всевозможных закрепленных векторов, являющихся элементами данного
класса. Свободные векторы обозначаются
u = {*, у, г).
Линейные операции — сложения векторов и умножения вектора на
комплексное число — определяются так же, как и в случае пло-
плоскости, т. е. «покоординатно», только координат сейчас три, а не
две, в этом вся разница. Автоматически вводится и исследуется
также п попятно лпнештм мечаипепмост векторов. Как и в слу-
случае точек, мы lKui.iiui™ естественными лишь те векторы и =
= {х, у, г}, у которых все три координаты х, у, г суть вещест-
вещественные числа. Все остальные векторы называются мнимыми.
Существенно отметить, что в комплексном пространстве, так
же как и в комплексной плоскости, мы рассматриваем наряду
с основной системой координат (введенной при самом определении
комплексного пространства) и другие системы координат О'&'^/^,
но всегда лишь вещественные; это значит, что и новое начало О'
есть вещественная точка пространства и векторы ej, ej, ej суть
вещественные векторы. Поэтому переход от одной координатной
системы к другой задается формулами линейного преобразования,
все коэффициенты в которых суть вещественные числа. Словом,
все происходит так, как п случае плоскости, с единственной разни-
разницей, что вместо ргпморпостн п - 2 теперь имеем п = 3.
Вещественной поверхностью мы называем такую алгебраическую
поверхность, которая задается уравнением
F(x, у, г) = 0
с вещественными коэффициентами.
Замечание. Определенное в этой главе «комплексное» про-
пространство следовало бы называть комплексным пространством
с выделенным в нем вещественным подпространством (которое пе-
переходит в себя при всех аффинных преобразованиях с веществен-
вещественной матрицей С, никаких других мы, как неоднократно упомина-
упоминалось, рассматривать не будем). Такое же замечание можно сде-
сделать, разумеется, н о комплексной плоскости.
132 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
§ 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические
и конические поверхности. Поверхности вращения
1. Распадающиеся линии и поверхности. Если многочлен F (х, у)
есть произведение двух многочленов F1(x, у) и 1'.2(х, у):
F(x, y) = F1(x, y)-F2(x, у),
то те и только те точки лежат на линии
F(x, y) = 0, A)
которые лежат хотя бы на одной из двух линий
FAx, У) = О, B)
/¦,(v, //) П. C)
В этом случае говорят, чш кршил A) /нч muhii'im:i па кривые B)
и C).
Например, кривая второго порядка, заданная уравнением
распадается на пару действительных прямых
х | ц 0 и х - [I О,
а кривая
х* И2 О,
как упомянуто нише, распадается h;i iwipy мнимых прямых
v | м/ О, \ щ о,
называемых сопряженными.
То же имеет место и для поверхностей. Если
F(x, у, z) = F1(x, у, z)-F2(x, у, г),
то попер; ость
F(x, у, г) = 0
распадается па пару поверхностей
F1{x, у, 2) = 0, F2(x, у, z) = 0.
Так, например, поверхность второго порядка
распадается на пару плоскостей
= 0 и х+у — 2 = 0.
2. Цилиндрические поверхности. Определение. Алгебраи-
Алгебраическая поверхность называется цилиндрической (или цилиндром),
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
133
если в некоторой аффинной системе координат она может быть
задана уравнением, не содержащим одну из координат, например
уравнением
fix, y) = 0, D)
не содержащим координату г.
Кривая, определяемая уравнением D) в плоскости Оху, назы-
называется иногда основанием или направляющей цилиндра.
Если точка М — (х, у, г) лежит на цилиндре D) (рис. 71), то
все точки М' = (х, у, г'), где г' совершенно произвольно, тоже
лежат на цилиндре D). Все эти точки
образуют прямую, проведенную че-
через одну из них, например через
точку М0 = (х, у, 0), параллельно
оси Ог. Таким образом, всякая пря-
прямая, проведенная параллельно оси Ог
через какую-нибудь точку Ма =
- - (х, I), 0) цилиндра, всеми своими
точками лежит па цилиндре; пес эти
прямые ii«'i пинаются иПри.и/юициш ци-
цилиндра. Их объединение и образует
множество всех точек, лежащих на
цилиндре.
Обратно, пусть дана алгебраиче-
алгебраическая поверхность 5, обладающая тем
свойством, что всякая прямая, парал-
параллельная некоторому (одному и тому
же) направлению и проходящая через
какую-нибудь точку этой поверхности,
всеми своими точками лежит на ней.
Покажем, что эта поверхность
является цилиндрической. В самом
деле, не ограничивая общности рассуждений, можно предпо-
предположить, что направление, о котором идет речь, есть направление
оси г некоторой системы координат.
Пусть уравнение поверхности S есть F(xt у, г) = 0. Всякий
многочлен F (х, у, г) от трех переменных может быть записан
• виде
/Чл;, у, z)iz=zkg(x, у, z)+f{x, у),
где k^l. Докажем, что в нашем случае g(x, у, г)в=Ь.
В противном случае пусть существуют такие значения х0, у0, z0,
что g(Хо, У& уо) = Аф0. Тогда
F (*о. Уо> г0) =s Л4 + f (х0, Уо)
И существует лишь конечное число значений г, для которых
F (*»» Уо, z) = 0. Пусть гх — одно из них. Тогда точка Мо = (*„, Уо, zt)
Рис. 71.
134 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
лежит на поверхности 5, но прямая
[ГЛ. IV
проходящая через эту точку в направлении оси ?, узко не лезкит
целиком на поверхности S —вопреки нашим предположениям.
Итак, действительно g(x, у, z) = 0, и уравнение пежерхпости S
имеет вид
/( ) °
чем и доказано, что S— цилиндрическая поверхность.
Мы будем и дальнейшем рассматривать лишь цилиндрические
поверхности широт порядка, их (А-поп.'шиямп яилякжя кривые
второю порядки
Рис. 72.
Рис. 73.
3. Конические поверхности. Определение. Конической
поверхностью п-го порядка называется алгебраическая поверхность,
задаваемая в некоторой аффинной системе координат Охуг урав-
уравнением
Ф(х, у, z) = 0, E)
где Ф (х, у, г) есть однородный многочлен (форма л-й степени
от переменных х, у, г).
Легко доказывается следующее основное свойство конических
поверхностей:
(*). Если точка М = (х, у, г) лежит на конической поверхно-
поверхности E) (рис. 72), то и вся прямая ОМ лежит на этой поверх-
поверхности (О при этом есть начало координат).
§51
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ!
135
В самом деле, если точка М'_=(*\ у', г') — какая-нибудь точка
прямой ОМ, то для вектора ОМ' имеем равенство О~М' = ХО~М
при некотором числовом множителе %. А это значит, что х'=Хх,
у'=Ху, г'=%2. Так как Ф(л;, у, г) —однородный многочлен я-й
степени, то Ф(Кх, %у, %,г) = %пФ(х, у, г); так как точка М =»
= (а:, у, г) лежит на поверхности D), то Ф(*, tj, z) = 0, значит,
и Ф(х', у', г') = %пФ{х, у, г) = 0, т. е. точка М' также лежит
на поверхности E). Итак, всякая коническая поверхность сла-
слагается целиком из прямых, проходящих через точку О (рис. 73).
Рассмотрим систему координат Oeae2e3 с началом О и единичными
векторами е1( е2, параллельными плоскости л; вектор е3 опреде-
определим как какой-нибудь вектор 00', конец которого лежит в пло-
плоскости л. Таким образом, в этой плоскости определена коорди-
координатная система О'е^, а сама плоскость л в системе Ое^ез имеет
уравнение z=l. Пусть кривая К, лежащая в плоскости я, имеет
в координатной системе О'е^ уравнение
F(x, ;/) = 0, г = 1 F)
степени /;. Пусп. М (х, //, ?) —кпкая-ннбудь точка поверхно-
поверхности S. 'I uivi.ii прямая ОМ пересекает плоскость л в точке Мо ==
— (хо> Уо> 1)> координаты хп, у9 которой удовлетворяют равен-
равенству
F(x0, уо)=О. G)
Вектор ОМ0 — {х0, ув, 1} является направляющим вектором пря-
прямой ОМ, следовательно, ее параметрическое уравнение имеет вид
х = х„1, )
y=y*t, \
z=\-t. )
(8)
Так как лежащая на прямой (8) точка М = (х, у, г) есть npoin-
вольная точка поверхности S, то мы доказали следующее пред-
предложение: для того чтобы точка М ^(х, у, г) лежала на поверх-
поверхности 5, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлет-
удовлетворяли при некотором / уравнениям (8), где х0, yt удовлетворяют
уравнению F).
Подставляя в G) значения
из (8), переписываем уравнение G) в виде
Именно этому уравнению удовлетворяют все (отличные от точки О)
точки М = (х, у, г) поверхности S. Многочлен F (у. у) есть
136
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
1ГЛ. IV
многочлен й-й степени относительно -, у, значит, многочлен
Ф(Х, У, Z) = 2«
«сть однородный многочлен относительно х, у, г. Среди точек
М — (х, у, г), не лежащих в плоскости г = 0, уравнении
Ф(х, у, 2) = 0 E)
удовлетворяют все точки поверхности S и только они, Само урав-
уравнение E) определяет коническую поверхность порядка и, мно-
множество точек которой получается присоединением к иоперхпости
S точек, лежащих в плоскости 2 = 0 и удовлетворяющих уравне-
уравнению Ф(х, у, г) = 0.
4. Поверхности вращения. Пусть и простраиаие дппа прямо-
прямоугольная система координат Охуг.
Рассмотрим многочлен F(и, г) от двух переменных, одно из
Которых, а именно и, есть х2 + У2, так что
F{u, z)^
\ г).
Очевидно, выражение F (х2-f-t/2, z) тождественно равно некоторой
сумме одночленов от трех переменных х, у, г, т. е. некоторому
многочлену /(х, у, г) от этих переменных.
Если потребовать, чтобы многочлен f(x, у, г) был при этом
второй степени, то в выражение F{x2-\-if, г) аргумент х2 + у2
может входить только в первой степени, a z может входить во
второй и в перпой степени. Итак, общий вид многочлена второй
степени / (х, у, z), допускающею itninioi. f(x, у, z) з= F (x2 -f- у2, г),
есть
f(x, у, z)s
\-с.
Но вернемся к общему случаю многочлена f(x, у, г) любой
степени, допускающего запись вида f(x, у, г) за F (х2 -\- у2, z), и
рассмотрим алгебраическую поверхность S, задаваемую уравне-
уравнением
Пусть точка MQ — (x0, y0, z0) лежит на поверхности (9). В пло-
плоскости 2 = z0, проходящей через точку MQ параллельно плоскости
Оху (рис. 74), возьмем окружность у с центром п — @, 0, zB),
проходящую через точку Мо. Радиус этой окружности, очевидно,
есть r = Yxl + yl, а ее уравнение
х*-\-у* — г\ 2 = г0.
Так как точка Мо лежит на поверхности (9), то F (г2, г) = 0, а
так как во всех точках М — {х, у, г) окружности у имеем xi-\-yi ==
§5]
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
= г2, z = z0, то все эти точки лежат на поверхности (9). Итак,
если данная точка Мо лежит на поверхности (9), то на той же
поверхности лежат и все точки М, в которые попадает точка Ма
при вращении пространства вокруг оси г. Поэтому поверхности,
уравнения которых при
надлежащем выборе пря-
прямоугольной системы коор-
координат могут быть запи-
записаны в виде (9), называют-
называются поверхностями враще-
вращения. В частности, уравне-
уравнение поверхности второго
порядка, являющейся по-
поверхностью вращения, за-
записывается в виде
Рис. 74.
-| 2hz ^ с 0.
Линия, получающаяся при
пересечении поверхности
вращения плоскостью, про-
проходящей через ось вращения (в нашем случае через ось z), на-
называется меридианом этой поверхности вращения. Например, ме-
меридианом йоверхности вращения
является сечение этой поверхности плоскостью у = 0, т. е. линия
F(x2, г) = 0, 0 = 0.
Поверхность вращения описывается при вращении линии, являю-
являющейся ее меридианом, около оси пращения.
Рассмотрим, например, коническую пииерхпопъ
х2 + у2-г2 = 0. A0)
Ее меридианом, лежащим в плоскости у = 0, является пара
прямых
конус A0) описывается при вращении этой пары прямых вокруг
оси г (рис 75).
Рассмотрим в качестве второго примера поверхность, зада-
задаваемую уравнением
9*
(система координат все время прямоугольная). Это снова поверх-
поверхность второго порядка, являющаяся поверхностью вращения. Она
138
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
(ГЛ IV
Рис. 75.
Рис. 76.
Рис. 77.
Рис, 78,
«5)
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
139
получается вращением около оси г параболы
г = х\ у = 0;
вид полученной поверхности вращения совершенно ясен, эта по-
поверхность изображена на рис. 76; она называется параболоидом
вращения.
Поверхности, заданные урав-
уравнениями
Рис. 80.
получаются, как легко проверит читатель, при вращении вокруг
оси z равнобочной гиперболы, лежащей в плоскости и —0 я
имеющей ось г соответственно своей второй и первой осью
(рис. 77, 78).
Читатель сам напишет уравнения поверхностей, получающихся
от вращения эллипса вокруг его осей (рис. 79, 80).
ГЛАВА V
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В § 1 этой главы будет показано, что единственными кривыми
второго порядка являются:
эллипсы (включая так начинаемые мнимы/' :>ллипсы, опреде-
определяемые в надлежащей системе координат уравнениями вида
^ + ^4-1=0)
гиперболы,
параболы
и кривые, распадающиеся на пару прямых (пересекающихся,
параллельных или совпадающих); при этом прямые могут быть
действительные или мнимые сопряженные1); прямая в паре сов-
совпадающих прямых всегда дспстинте.лы1а.
В §§ 2, 3, 4 будет показано, как определить вид кривой по ее
общему уравнению.
В § 5 будет дана аффинная классификация кривых второго
порядка.
Рассмотрим уравнение
где
/¦'(*. У) °.
F (х, у) = аих* + 2alzxy + а22у
A)
— общий многочлен второй степени. Мы хотим найти прямоуголь-
прямоугольную координатную систему, в которой уравнение кривой F(х, у)=0
приняло бы возможно простой — «канонический» — вид.
Начальную координатную систему будем предполагать прямо-
прямоугольной (если бы она не была таковой, мы бы перешли к новой
прямоугольной системе координат и этим преобразовали бы пер-
первоначальный многочлен F (х, у) в новый многочлен, тоже второй
степени, с которого и начали бы наши дальнейшие рассуждения).
г) Две мнимые прямые называются сопряженными, если они могут быть
заданы уравнениями Ах-\-Ву-\-С = 0 и Ах + Ву-\-С — 0, в которых коэффи-
коэффициенты Ли Л, В и В, С и С являются взаимно сопряженными комплексными
числами.
§11
ЛИНИИ ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
141
§1.0 линиях, определяемых уравнениями второй
степени с двумя неизвестными
1. Приведение квадратичной формы от двух переменных к ка-
каноническому виду при помощи преобразований прямоугольных
координат. Первый шаг заключается в том, чтобы поворотом на-
начального прямоугольного репера Оеге2 на некоторый угол а пре-
преобразовать квадратичную форму ц>(х, у) = а11хг-{-2апху-\-аг.гуг
старших членов многочлена
F(x, у) Е=апх2
к каноническому виду
Итак, делаем преобразование координат
х — х' cos a — if sin a, \
v
I/ =x' sin a-\-i/' cos a. )
Получаем чождес iпенно
F (х, у) == ап (л;'2 cos2 а — 2х'у' cos a sin a -f- у'2 sin2 a) -f-
(x'2 cos a sin a — x'y' sin2 a — y'2 sin a cosa + x'y' cos2a)
+ a22(x'2sin2a-f-2;t;'r/ cos a sin a -\-y'2 cos2 a) +
-f- 2axx' cos a — 2axy' sin a-)-2a2*' sina + 2a2y' cos
A)
( /
где
a'u=all cos2a-}-2al;jcoba sma-f-fl.22 sin2 a,
"u=— "и co.sctMiia+H,., (i-osaa —.sin2a)+«Mcosa sin a,
a\ = ax cos a + a2 sin ct,
a\ = — a± sin a + a2 cos a.
C)
Определим угол a требованием, чтобы было aJ2 = 0, т. е. требо-
требованием
a12 cos2 a + (a22 — au) cos a sin a — a14 sinJ a =» 0, D)
причем естественно предположить, что а^^О (при а12 = 0 нечего
было бы делать —форма q>(x, у) уже имели бы вид allx2-{-aistj'1).
Из D) получаем
—«it ±
E)
142
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ V
Так как (ам-апJ + 4а}2>0, то по формуле E) нужный нам угол а
всегда можно определить.
Полагая для сокращения письма а'ц=Я1( а^ — К, сформули-
сформулируем полученный результат.
Поборотом координатной системы Оегс2 на угол а, определяе-
определяемый из E), можно преобразовать квадратичную форму
Ф (х, у) = апх2 + 2а12ху + а22у*
к каноническому виду
а весь многочлен F(x, у) к виду
Р'(х', ^')sX1je'1 + M'1 + 2«;jc'H 2»;.//' | (iu. (Г)
Оба коэффициента V и Яа не могут одновременно быть ну-
нулями: если бы было Xi = Х2 — 0. "то многочлен иторой степени F (х, у)
при преобразовании B) перешел бы в многочлен первой степени,
что, как мы знаем, невозможно.
Итак, возможны два основных случая:
1*^0 1ф0
2° Один из двух коэффициентов Xlt Х2 отличен от нуля, дру-
другой равен нулю.
2. Первый основной случай: Х1ф(), Ъ2ф0. При переносе на-
начала координат в какую-нибудь,точку О' —(*J; у'и), т. е. при пре-
преобразовании
!/' \'Л1 /А.
многочлен F' (х', у') принимает вид
F'(x't у')-Г(хГ, у")~
щ* К^ -\-^У"г + 2 (К< + а\) х" + 2 Ы + а\) у" + а'о, F)
гле свободный член а'о есть
а'о - %xxf + Kyf + 2а\х'п + 2а'^ + ao=F (х'о, у[).
Подберем теперь такие координаты х'й, у'о нового начала О",
чтобы коэффициенты при х" и у" в F) обратились в нуль, т. е.
чтобы
MI + flI-О, Л^ + оЦ-О. G)
Так как К^О. Х,фО, то уравнения G) дают нужные значения
дли *J, у'о. Итак, в системе координат 0%е2 первоначальное урав-
уравнение F(x, y) — v нашей кривой преобразуется к виду
ЛИНИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРбЯ СТЕПЕНИ
143
Переходим к исследованию уравнения (8). Имеем два случая:
Случай А — гиперболический: коэффициенты Хх и ^ разных
знаков.
Случай Б —эллиптический: коэффициенты Jix и Я2 одного и
того же знака.
А. Гиперболический случай. Пусть сначала а'аф0,
один из коэффициентов Хи Х2 имеет тот же знак, что п а'а; пусть
это будет, например, %2; тогда ^ и а', противоположны по знаку.
Переписываем уравнение (8) в виде
(8')
Знаменатель — ~ в первом члене есть положительное число; обо-
обозначаем его через а2, знаменатель — у1 отрицателен; обозначаем
его через — Ьг. Уравнение (8'), т. с. уравнение (8), приняло вид
Это — каноническое уравнение гиперболы.
Если в гиперболическом случае «? = 0, то можно без ограни-
ограничения общности предположить, что V>G> ^a<0; введем обозна-
обозначения %г = а2, Х2 — — Ь2; уравнение (8) переписывается в виде
Это — уравнение пары прямых, пересекающихся в начале коорди-
координат О'. Уравнение (9) считаем каноническим уравнением кривой,
распадающейся на пару действительных пересекающихся прямых.
Б. Эллиптический случай. Теперь А,, и \а одного знака.
Снова предполагаем сплчллл, что а'а=/Л). Гяуш общий знак чисел
\ и Х2 противоположен знаку а'й, то, переписав уравнение (8)
в виде (8'), видим, что оба знаменателя — ^- и —Р- положи-
положительны; обозначив их соответственно через а2 и Ь2, получим
— каноническое уравнение эллипса с полуосями а, Ъ.
•Если же общий знак \ и Х2 совпадает со знаком а'о, то зна-
знаменатели в (8) отрицательны, и мы получаем уравнение
144
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
!ГЛ. V
Это—уравнение «мнимого эллипса», или эллипса с мнимыми по-
полуосями а; и /л"; нет ни одной действительной точки плоскости,
которая б[.1 этому уравнению удовлетворяла.
Пусть теперь в эллиптическом случае а'а — 0. Уравнение (8)
принимает вид
2a
Так как Кх и
писать в виде
одного знака, то это уравнение можно пере-
пере= 0 или в виде (ах"+ Ыу")(ах" -Ыу")- 0. A1)
Это —каноническое уравнение кривой, распадающейся на пару
пересекающихся мнимых сопряженных прямых; оно удоилепю-
ряется единственном дейстштмп.иом точкой (У точкой пересечения
дпух мнимых сопряженных прямых
ах" -\- ibtf - О, ах" — iby" 0.
Итак, в эллиптическом случае уравнение (8) —а значит, и на-
начальное уравнение F) — определяет или обычный эллипс («дейст-
(«действительный»), или «мнимый» эллипс, или пару мнимых сопряжен-
сопряженных прямых с одной общей действительной точкой.
3. Второй основной случай: А,\а {). Пусть из коэффициентов
%l,%i в уравнении (Г) один, например Л,,, отличен от пуля, а Хг — 0.
Тогда в системе координат Oejei уравнение
Р(х, у) -0
прннмм.ат инд
2,0/ | а„ 0.
A2)
Имеются две дальнейшие возможности:
А. а^фО. Тогда уравнение A2) можно решить относительно
у', т. е. представить его в виде
•—наша кривая есть график трехчлена второй степени, т. е. па-
парабола.
Б. a'i — О. Тогда уравнение A2) есть
Это — квадратное уравнение относительно х'; оно имеет два ре-
решения:
f f f f /\Л\
— мы имеем пару параллельных прямых A4) — действительных,
если корни х\ и х'% квадратного уравнения A3) действительны,
мнимых и сопряженных, если таковы корни х\ и х'% уравнения A3).
§2]
ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
145
Наконец, если х\ = х\, то говорят, что уравнение A2), а значит
и уравнение A), определяет пару слившихся (или совпадающих)
действительных прямых.
Подведем общий итог.
Всякая кривая второго порядка есть
или эллипс {действительный или мнимый),
или гипербола,
или парабола,
или пара прямых: пересекающихся [действительных или мнимых
сопряженных),
параллельных (в собственном смысле) (действительных или мни-
мнимых сопряженных),
совпадающих (действительных).
Приведенное доказательство этого результата содержит в себе
и способ определения вида кривой по ее уравнению, однако прак-
практически удобным этот способ не является; удобный способ будет
дан в следующих параграфах.
§ 2. Инварианты многочлена кгорой степени
Пусть дан какой-нибудь многочлен второй степени от пере-
переменных х, у:
F(x, y)^<p(x, у) + 21(х, у) + а0, A)
B)
«аз
Обозначим через S детерминант
Напомним, что детерминант S называется дискриминантом квадра-
квадратичной формы ф (х, I/).
При переходе от прямоугольной системы координат Оху к повой
прямоугольной системе координат О'х'у' многочлен F(x, у) пере-
переходит в многочлен
Так как общее преобразование координат сводится к переносу
начала и к переходу к новой координатной системе с тем же
началом, то рассмотрим отдельно оба этих частных случая. Как
мы знаем (гл. IV, § 2), при переносе начала, т. е. при преобра-
преобразовании х — х'+х0, у — у'+Уа, коэффициенты ап, ап, а22 при
старших членах многочлена Р (х, у) остаются неизменными. Другими
словами, остается неизменной матрица квадратичной формы ф(х, у),
а значит, и ее дискриминант 6.
146
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
!гл. v
Если же новая координатная система имеет то же начало
О'=О, что и старая, то
<р' (*', у') = а'пх'3 + 2а'пх'у'
причем (как мы видели в гл. IV, § 2) имеем
Ki «is I *
k 6
Теперь сформулируем два определения.
Определение 1. Общее (неоднородное) преобразование
называется ортогональным, если ортогональна его матрица
C)
т. е. матрица, составленная из коэффициентов при переменных.
Определение 2. Пусть дана целая рациональная функция 1)
J(аи, ап, а22, аи а.г, ап) от коэффициентов многочлена
F (х, у) 5= а
иху + а22у2 + 2ахх + 2а2у + а0.
При произвольном ортогональном преобразовании C) многочлен
F(x, у) тождественно переходит в
F (х', ,,') = а'Их" + 2a'ltx'ij' f aW + 2а\х' -|- 2а',у' + oj.
Если при этом всегда, т. о. для любого ортогонального преобра-
преобразования C), при любом наборе значений ап, а12, с22> ах, а.г, <зв
J(a'n,
а\,
==</(о11, а12, а22, aL, a2, а0),'
D)
то функция J называется ортогональным инвариантом много-
многочлена F (х, у).
Примером ортогонального инварианта многочлена может слу-
служить
о = о (Оц, й1?, о22, 0,1, сг, а0) =
Точно так же ортогональным инвариантом является и функция
S=S(an, а12, а22> аи аъ а0)
1) Целая рациональная функция (от каких-то переменных |, т], J, ...)—это
просто многочлен от этих переменных, В данном -случае % = ап, ц = ац и т, д.
ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
147
В самом деле, если преобразование C) есть поворот координат-
координатного репера (на какой-то угол а), то из первой и третьей формул C)
§ 1 следует, что
Но функция S, очевидно, не меняется и при отражении
а также при переносе начала координат, следовательно, и при
любом ортогональном преобразовании.
Докажем, наконец, инвариантность функции
А = А(аи, а12, а22, аи а^, аа)= ял аг1 а4
Qi й% Qq
Для этого наряду с многочленом ^(л;, у) рассмотрим квадратич-
квадратичную форму
Ф (х, У, t) — alixi-{-2al2xy-\-a.12y2-!r2alxt-]-2a.lyt-]-aJ2,
а наряду с преобразованием (,'J) рассмотрим преобразование
E)
При этом преобразовании квадратичная форма Ф (х, у, t) переходит
в квадратичную форму
а'22у" + 2а[хГ
Ф (х , у , t) = t
(где коэффициенты а'н, а'п и т. д. те же, что и в многочлене
Р(х', у')). Дискриминант квадратичной формы Ф(л:, у, /) есть наш
Детерминант
И Л|2 О[
При преобразовании E) он помножается на квадрат детерминанта
этого преобразования, т. е. на
О 0 1
СП
= 1,
откуда и следует, что
«I. a'i> ai)=^(fln. а12, ап, alt (ц, а0).
Нами доказана
148
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ V
Теорема 1. Функции
6 =
ап
А=
«и «и
<5ш коэффициентов многочлена A) являются ортогона u>w>mu инва-
инвариантами этого многочлена.
Замечание 1. Из наших рассуждений следует: если много-
многочлен F (х, у) удовлетворяет какому-нибудь из условии б ^0, А = 0,
то при переходе к любой аффинной координатной системе О'х'у'
он преобразуется п многочлен F' (х1, у'), удовлетворяющим тому же
условию (потому что детерминанты 6', А', построенные для /'' (х', у'),
получаются соответственно hi о п А умножением пл положительное
число — квадрат детермппап м преоПрл шп.ишя).
При этом, если квадратичная форма <|>(v, у) старших членов
многочлена F(x, у) является зиакоопределенпой, т. е. если для
любых х, у ф (х, у) имеет определенный знак, то коэффициенты аа
и а32, а значит, и их сумма S = ап-\-а22 сохраняют свой знак
при любом невырожденном линейной преобразовании. Для неопре-
неопределенной формы <р (х, //) это не так.
Из теоремы 1 мы выведем сейчас такое фундаментальное
Следствие. Если каким См то ни Оыю ортогональным пре-
преобразованием
х- -гИх'
Г.,\
-\с,.,у',
| С,if
мы привели форм//
ц)(х, у) «„I'' I J[/,,w/ | а.,л/
к каноническому виду
Ф'(л-', у') = а'пх'*+а'ыУ'\ B')
то коэффициенты а'и и а'^ непременно являются корнями квадрат-
квадратного уравнении
X2-SX + 8 = 0. F)
В самом деле, из инвариантности S и 6 следует, что
6 =
«21 «22
0
G]
т. е. что сумма чисел а'п и a'2i равна 5, а их произведение равно б.
А это и значит, что сами эти числа суть корни уравнения F).
Уравнение F) называется характеристическим уравнением квадра'
§2]
ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
149
тинной формы ц>(х, у). Оно всегда имеет действительные корни,
что сразу следует из того, что дискриминант уравнения F) есть
- 46
(ац + а22J - 4 (ailai2 - a\t) = (ап- а22J + 4а?2 5* 0. (8)
Замечание 2. Зтот дискриминант равен нулю тогда и только
тогда, когда одновременно
au=ai2, fli2 = 0. (9)
Равенства (9) выражают условие, необходимое и достаточное
для того, чтобы корпи характеристического уравнения были равны
между собой.
Мы знаем, что поворотом на угол а (определяемым из фор-
формулы E) § 1) квадратичная форма
Ф {х, у) = апх* + 2аиху + а22г/а
преобразуется в <р'(л;', //) = а'их'*'-\-а[ну'2, причем а'И и а'и всегда
суть корпи характеристическою уравнения ((>). По если корпи
этого уравнения суп, X, и "Lit io мы не :шаем, какой из них есть
коэффициент при х" (т. е. а'п), а какой — коэффициент при у''.
Считая, что корни %t и Х% характеристического уравнения даны,
найдем угол а, на который надо повернуть систему координат,
чтобы форма ф(*, у) перешла именно в Ххх'2 + Х2г/2 (а не в Х2х'г +
+ Ку'2)- Этот угол будет вместе с тем углом наклона новой оси
абсцисс (оси Ох') к старой Ох. Для этого переписываем первые
два равенства C) из § 1:
а'п = Х1 = ап cos2 а
а'п = 0 = — ап cos а sin
а12 cos a sin а + ам sin2 a,
cos2 а — а12 sin2 а -т-а22 cos а sin а.
Умножаем первое т этих равенств па cos а, второе на —sin а и
складываем. Получаем
\ cos a — an (cos3a + cos а sin2 а) + 2а12 cos2 а sin а —
— а12 cos2 а sin а + ^i2 sin3 а+а22 (sin2 а cos а — cos а sin2 а),
т. е.
откуда
^ cos a = аи cos a + а12 sin а,
(Ю)
Это и есть угловой коэффициент новой оси абсцисс! Заметим, что
если а12 = 0, то форма ф (а;, у) уже имеет канонический вид и нет
надобности ни в каком повороте системы координат.
150 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. V
§ 3. Центральный случай
Итак, поворотом первоначальной прямоуголыюй системы коор-
координат па угол а, определяемый из формулы A0) предыдущего па-
параграфа, мы приводим многочлен
F (х, у) =з апх2 + 2апху + аму* -f 2atx + 2агу -\-а0 A)
к виду
V2 + Я.2г/'2 + 2а\х' + 2а& + а0. (V)
Дальнейшее исследование кривой F(х, у) — 0 заключалось
в разборе двух случаев: центрального (когда ?i1=/=0, Х.гф0) и
параболического (когда лишь одно из двух чисел ки Хг отлично
от нуля). Так как kl\2 = fr, то центральный случаи ечть сличай
б =/-0, а параболическим — Л ¦ - 0.
Предположим, что Ь-/ 0. Докажем, чю и атом случае можно
до всякого поворота системы координат Оху переносом начала,
т. е. преобразованием
3]
центральный случай
151
преобразовать многочлен F(x, у) в
B)
A*)
При этом х0, у0 в B), т. е. координаты нового начала О' = (х0, у0)
являются однозначно определенными. В самом деле, подставим
х = 1 + хп, у = г\ + уп " (I) Получим
F(x, //)?-</,,?* \-Ъц,,Ь\ \-а,.,ц* | 2(н11\\, \-ulvt/n \-a,)l-\-
-I- 2 (</,|Л'„ |- и.,,,уп -\ а.) i| + F (х0, уп).
Теперь определяем ха и уп так, чтобы коэффициенты при | и т]
обратились в нуль, т. е. чтобы
а«*о + а*2г/о + й«. = О, /г=1, 2. C)
Так как по предположению
а21 ° 22
то уравнения C) решаются однозначно и дают нам искомые х0, уй.
Теперь, имея корни A,lt ?.2 характеристического уравнения
5 = 0,
нам одгается только определить угол а из формулы A0) преды-
предыдущего параграфа и —посредством поворота координатной системы
О'?т] на этот угол а — преобразовать многочлен A) в
f' ' Ч (I)
Определим свободный член а*. Для этого воспользуемся инва-
инвариантностью детерминанта
кг 0 0
о х2 о
0 0 а*
откуда
Л_
Итак, при переходе от первоначальной системы координат Оху
к новой системе О'х'у' многочлен F(x, у) тождественно преобра-
преобразуется в
F(x', t/') = M'4W4|.
Нами доказана следующая
Теорема 2. Пусть в произвольной прямоугольной системе
координат Оху кривая второго порядка дана своим уравнением
F(x, ;у)=а
| aT,i/-\-2a,x \-2a2y\-au --0,
причем
6 =
ап
Возьмем новую систему координат О'х'у', начало которой есть
точка О' = (х0, (/„), определенная уравнениями C), а ось абсцисс
О'х' наклонена к оси Ох под углом а, определенным уравнением A0)
предыдущего параграфа. В системе координат О'х'у' кривая
F (х, у) = 0 имеет уравнение
V' + V'+{ = 0. D)
Замечание 1. Как нмдпо'пч у раннем п я D), точка О' =(% у0),
являющаяся началом попом координатной системы О'х'у', есть центр
симметрии нашей кривой. Мы увидим в следующей главе, что
в случае б Ф 0 кривая F (х, у) = 0 имеет единственный центр
симметрии. Поэтому кривая F(x, t/) = 0 называется в этом случае
центральной.
Уравнение D) называется приведенным уравнением централь-
центральной кривой. Его исследование быстро доводится до конца.
При Д = 0 уравнение D) имеет вид
Кх'' + Хгу'1 = 0 D')
и определяет пару прямых, пересекающихся в начале координат
О' (т. е. в центре кривой). Эти прямые, действительные при
&=i1A,2<0, мнимые (сопряженные) при б = Я.1Х2>0.
152
РАЗЛИЧНЫЕ БШШ 'КРИВЫ* ВТОРОГО
[ГЛ. V
Пусть Д=т^О, уравнение D) переписывается тогда в виде
у'2
= 1.
E)
¦" "'V2
Имеем два случая:
а) Случай гиперболический. 6 = ^1A,3<0; обозначая
через &! тот из двух корней характеристического уравнения,
внак которого совпадает со знаком Д, полагаем
а*=-ж>°> -*¦—?«>. (в)
получаем уравнение гиперболы
х'2 /у'2
а2 -W~1' (t>^
б) Случай эллиптическим. ft=-X,?i2;>0 числа Х1 и Я2
одного знака, И этот знак совпадает со знаком их суммы 5.
Вели втот знак S противоположен знаку Д, то можно поло-
положить (обозначая через ^ тот из двух корней Я1( Х2 характери-
характеристического уравнения, для которого | ^ | «s; | Яа |)
получаем уравнение эллипса
х'2
и'2
если же знак S совпадает со знаком Д, то полагаем
аг _ А ь2- —
уравнение E) превращается и урлшюппе
мнимого эллипса.
Подведем итог.
В центральном случае, 6=^=0, имеем такие возможности:
(У)
(8)
(8')
Д = 0,
случай вырождения
Гиперболический случай,
6<0
Пара пересекающихся
действительных прямых
Гипербола
Эллиптический случай,
6>0
Пара мнимых сопряжен-
сопряженных пересекающихся
прямых
Эллипс
действительный,
если S и Д раз-
разных анаков
мнимый, если
¦S и А одного
знака
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
153
Замечание 2. Мы видели (замечание 1 § 2), что если много-
многочлен F (х, у) удовлетворяет какому-нибудь из условий 6 = 0,
6^0, 6>0, б<0, Д = 0, Д=^0, Д>0, Д<0, то тому же
условию удовлетворяет и многочлен F' (х', у'), в который пере-
перешел многочлен F(x, у) при переходе от координатной системы
Оху к произвольной аффинной координатной системе О'х'у'. Ана-
Аналогичное утверждение верно и для инварианта S (в случае опре-
определенной квадратичной формы ф (х, у)). Поэтому только что
приведенная таблица, решающая вопрос о том, находимся ли мы
в центральном или нецентральном (параболическом) случае, а также
в эллиптическом или гиперболическом, вырождающемся или невы-
рождающемся случае, сохраняет свою силу при произвольно
выбранной аффинной координатной системе,
§ 4. Параболический случай: 6=0
В любом случае, в том числе и параболическом, можно пово-
поворотом координатной системы на угол а, определяемый ив равен-
равенства A0) § 2, преобразовать ураипсинс
F(x, у) sa апх2 + 2апху -f- avly2 + 2axx + 2а^у + ай = 0 A)
исследуемой кривой к виду
O. (Г)
При этом б ^а.
Так как теперь 6 = 0, то один из корней характеристического
уравнения равен нулю.
Пусть ^ = 0, к2ф0. Тогда S—%1-\-X^ = X2 и уравнение (Г)
может быть написано в виде
F'(x', j/')sS/ + 2a;jc' + 2fl^'+ab = 0. (I*)
В уравнении A0) § 2 плдо положи-п. Я,^0, так что для опре-
определения угла а получается особенно простая формула:
tga = -^l=-^\ B)
Исследование уравнения A*) начнем с вычисления инварианта
А. Имеем
<3l2
ап
0
0
<
0
S
а',
по
откуда
так что а[ тогда и только тогда обращается в нуль, когда Л = 0.
154
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ V
Рассмотрим сначала случай Д = 0, т. е. а[ = О, тогда уравне-
уравнение A*) имеет вид
S'' = Q. D)
E)
Перепишем уравнение D) в виде
Sy'' + 2а& + п(> = 5 (у> + ff + а'а = 0,
где
s ¦
Посредством сдвига
системы координат преобразуем уравнение E) к виду
5^л+а1 = 0. E')
Положим
Теперь возможны три случая:
1 я 2i -^. о ?± ул
1 S > и> S^ ~ ° '
уравнение E') записывается в виде
имеем пару параллельных мнимых сопряженных прямых:
уравнение E') записывается в виде
и определяет пару различных действительных параллельных
прямых;
уравнение E') принимает вид
и определяет пару слившихся прямых.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
155
Переходим ко второму случаю: Д^О, т. е. а[^ФО. Кривая
F(x* У) = 0 имеет в системе координат О'х'у' уравнение
F'(x', y')«V + 2fl^' + 2ai*/+flo = Ol A*)
т. е. является параболой (что нам известно ужо in § 1, п. 3).
Найдем ее параметр р. Для этого сделаем перенос начала
координат
«¦-S+*. 1 F)
</=*! +2/о- I
Внося F) в A*), получаем
F(x', ^) = S48 + 2fl!| + 2E^ + fli)T| + S^4-2a;^ + 2fl^0+flo = 0.
Так как S = Х2Ф®> то, приравнивая коэффициент при т] нулю,
получаем уравнение
G)
Так как а\Ф$, получаем уравнение относительно х0:
Stfi + 2a[xo + 2<4yo + ao = Q, (8)
откуда и определяем х0.
В системе координат О'?п уравнение F(x, у) = 0 принимает
вид ST]24-2a^ = 0 или
Ti» = -2§g. (9)
Меняя, если нужно, положигелыюо направление оси О'\ на
противоположное, всегда можно добиться того, чтобы число
из которого определяем у„:
'/« = — -§-•
После этого приравниваем нулю выражение
было положительным. Окончательно записываем уравнение (9)
в виде
ту> = 2р?, р>0, A0)
где
-т/Га
(И)
Направление оси параболы есть (с точностью до знака) не?
правление оси 0% т. е. направление оси Ох'. Ее угловой
156 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
коэффициент (по отношению к старой системе координат Оху) есть
^12 ^22
Для полного определения расположения параболы нужно знать
еще координаты вершины О' = (х0, у0), а также, в какую сторону
парабола обращена вогнутостью.
Простое решение этих вопросов будет дано в главе VI, § 9.
§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка
Мы сейчас покажем, что аффинная классификация кривых вто-
второго порядка дается самими наименованиями кривых, т. е. что
аффинными классами кривых второго порядка являются классы:
действительных эллипсов,
мнимых эллипсов,
гипербол,
пар действительных пересекающихся прямых,
пар мнимых (сопряженных) пересекающихся прямых,
парабол,
пар параллельных действительных прямых,
пар параллельных мнимых сопряженных прямых,
пар совпадающих действительных прямых.
Надо доказать два утверждения:
А. Все кривые одного наименования (т. е. все эллипсы, все ги-
гиперболы и т. д.) аффинно эквивалентны между собой.
Б. Две кривые различных наименований никогда не являются 1
аффинно эквивалентными.
Докалываем утверждение А.
При аффинном преобразовании
эллипс, заданный уравнением
переходит в окружность х2+у2=1. Аналогично показывается,
что всякая гипербола
аффинно эквивалентна равнобочной гиперболе
*¦-#¦= 1.
Значит, все эллипсы, соответственна все гиперболы аффинно эк-
эквивалентны между собой. Все мнимые эллипсы, будучи аффинно
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
157
эквивалентными окружности х2 + у2 =—1 радиуса i, также аф-
аффинно эквивалентны между собой.
Докажем аффинную эквивалентность всех парабол. Мы дока-
докажем даже больше, а именно, что все параболы подобны между
собой. Достаточно доказать, что парабола, данная в некоторой
системе координат своим каноническим уравнением
i/ = 2px,
подобна параболе
2 2
что очевидно, если подвергнуть плоскость преобразованию по-
подобия
6 = ¦?¦*, n = jy-
Переходим к распадающимся кривым. В § 1 было доказано,
что кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых,
в некоторой (даже ирямо\ i o.ni.uoii) системе координат имеет урав-
уравнение а"у-—6-//=0, если cm.i дет-1ниle/ibihiM, а~х*-|-Ь2у2 —-¦ О,
если она muiimjh.
Делая дополнительное преобразование координат
х = ах', у = Ьу',
видим, что всякая кривая, распадающаяся на пару пересекающихся
действительных, соответственно мнимых сопряженных, прямых,
имеет в некоторой аффинной системе координат уравнение
х2 — у2 = 0, соответственно х2-\-у2 = 0.
Что касается кривых, распадающихся на пару параллельных пря-
прямых, то каждая из них может быть задана уравнением
у2 -Ь2 -О
для действшельных, соошск темно
для мнимых прямых. Преобразование координат х = Ьх'', у —у'
позволяет в этих уравнениях положить b = 1 (или для совпадаю-
щихся прямых Ъ = 0). Отсюда следует аффинная эквивалентность
всех распадающихся кривых второго порядка, имеющих одно и
то же наименование.
Переходим к доказательству утверждения Б.
Заметим прежде всего: при аффинном преобразовании плоско-
плоскости порядок алгебраической кривой остается неизменным. Далее:
исякая распадающаяся кривая второго порядка есть пара прямых,
а при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую,
пара пересекающихся прямых переходит в пару пересекающихся,
158
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ V
а пара параллельных — в пару параллельных; кроме того, действи-
действительные прямые переходят в действительные, а мнимые —в мнимые.
Это вытекает из того, что все коэффициенты в формулах, опреде-
определяющих аффинное преобразование, суть действительные числа.
Из сказанного следует, что линия, аффинно эквивалентная
данной распадающейся кривой второго порядка, есть распадающаяся
кривая того же наименования.
Переходим к нераспадающимся кривым. Опять-таки при аффин-
аффинном преобразовании действительная кривая не может перейти
в мнимую, и обратно. Поэтому класс мнимых эллипсов аффинно
инвариантен.
Рассмотрим классы действительных нераспадающихся кривых:
эллипсов, гипербол, парабол.
Среди всех кривых второго порядка всякий эллипс и только
эллипс лежит в некотором прямоугольнике, тогда как параболы
и гиперболы (равно как и все распадающиеся кривые) простираются
в бесконечность. При аффинном преобразовании прямоугольник
ABCD, содержащий данный эллипс, перейдет в параллелограмм,
содержащий преобразованную кривую, которая, таким образом,
не может уходить в бесконечность и, следовательно, является
эллипсом.
Итак, кривая, аффинно эквивалентная эллипсу, есть непре-
непременно эллипс. Из доказанного следует, что кривая, аффинно
эквивалентная гиперболе или параболе, не может быть эллипсом,
а также, как мы знаем, не может быть и распадающейся кривой.
Поэтому остается лишь показать, что при аффинном преобразовании
плоскости гипербола не может перейти в параболу, и наоборот.
Это, пожалуй, проще всего следует из того, что у параболы нет
центра симметрии, а у гиперболы он есть. По так как отсутствие
центра симметрии у параболы будет доказано лишь в следующей
главе, то мы сейчас дадим второе, тоже очень простое доказатель-
доказательство аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы.
Лемма. Если парабола имеет общие точки с каждой из двух
полуплоскостей, определяемых в плоскости данной прямой d, то
она имеет хотя бы одну общую точку и с прямой d.
В самом деле, мы видели, что существует такая система коор-
координат, в которой данная парабола имеет уравнение
Пусть относительно этой системы координат прямая d имеет урав-
уравнение
Q. A)
По предположению на параболе г/а = * имеются две точки М1 =
= (*и У\) и М% = {хг, г/2), из которых одна, положим Мг, лежит в
положительной, а другая, Ма, — в отрицательной полуплоскости
. 5J
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
159
относительно уравнения A). Поэтому, помня, что х1 = у\, Х2=у\,
можем написать
так что многочлен Ау2-{-Ву-\-С принимает в двух концах у1 и
//2 отрезка [уи у2] числовой прямой значения, протипоположные
по знаку. Но тогда существует значение у = уа, лежащее между
/д и у2, при котором многочлен Ay2-J-By-f-С принимает значение
нуль:
А
Точка М(х0, уй), где xQ = y\, лежит на параболе у2=х, и на пря-
прямой Ах-\-Ву-}-С — 0. Лемма доказана.
Пусть при некотором аффинном преобразовании od гипербола
/( переходит в кривую К'', докажем, что К' не может быть пара-
параболой. Для этого обозначим через d вторую (так называемую
«мнимую») ось гиперболы К. При преобразовании &? прямая d
перейдет в некоторую прямую d', а полуплоскости, определяемые
прямой г/, перейдут и полуплоскости, определяемые прямой d'.
Гипербола К не пмеег пи одном общем точки с примой d, но имеет
общие точки с каждой из двух полуплоскостей, на которые пря-
прямая d разбивает плоскость; кривая К' обладает теми же свойст-
пами относительно прямой d'. Поэтому в силу только что доказан-
доказанной леммы кривая К' не может быть параболой —и утверждение
об аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы доказано.
Имеете с тем закончена аффинная классификация кривых вто-
второго порядка.
ГЛАВА VI
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ lf Асимптотические направления кривых второго порядка
Рассмотрим кривую, заданную в произвольной аффинной си-
системе координат Ое^а уравнением
F(x, */)=зф(х, у) + 21(х, у) + ао = О, A)
где, как всегда,
(р(х, y) = anx
B)
При переходе к новой системе координат Oejea многочлен F(x, у)
тождественно переходит в многочлен F'(x', у'), а квадратичная
форма <p(jc, у) старших членов многочлена F (х, у) тождественно
переходит в квадратичную форму ср'(х\ у') старших членов мно-
многочлена F' (х1, у'). Поэтому квадратичная форма старших членов
уравнения A), задающего данную кривую второго порядка в лю-
любой аффинной системе координат, определяет одну и ту же квад-
квадратичную функцию на множестве свободных векторов плоскости,
задаваемую равенством
Ф(и) = ф(а, р) для и = {ос, р}.
В системе Ое[е'г та же функция Ф(и) запишется в виде
если а', Р' — координаты вектора и относительно базиса е(, е^.
Определение. Вектор и = {а, Р} имеет по отношению к кри-
:ой A) асимптотическое направление, если
Ф (и) е= аиа* + 2а12ар + аггра = 0.
C)
Из сказанного следует, что свойство вектора иметь асимпто-
асимптотическое направление по отношению к данной кривой зависит
только от данного вектора и данной кривой и не зависит от коор-
координатной системы, в которой мы их рассматриваем.
s и
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
161
Из условия C), определяющего асимптотические направления,
легко следует, что всякая кривая второго порядка имеет два
асимптотических направления, которые могут быть действитель-
действительными и различными, действительными и совпадающими или мни-
мнимыми сопряженными. В самом деле, все три коэффициента ап,
а12, а22 не могут быть одновременно равны нулю. Если пцфО,
то для определения асимптотических направлений {ai P} имеем
квадратное уравнение
из которого находим два значения для отношения а: р:
Р Дц
Если известно, что а22 Ф 0, то вместо (Зх) для определения а: р
мы бы написали уравнение
с, I '2а,¦>
= 0,
откуда
— Д12 ± Уа\г —
D.)
Пусть один из коэффициентов аи, а22 равен нулю. Если, на-
например, ац=0, то уравнение C) превращается в
и одним из двух асимптотических направлений является направ-
направление а=^=0, р = 0, соответствующее оси абсцисс.
Наконец, при яМ"(/и-0, а,2ф0 условие C) превращается
в 2а12ар = 0, оно определяет направления а = 0, Р=^0 и а=/=0,
Р = 0, т. е. направления осей координат выбранной нами коорди-
координатной системы.
Дискриминант квадратного уравнения (Зх) или C2) есть
* — — &, где, как всегда,
6 =
ап а12
а12 а22
Итак, асимптотические направления кривой второго порядка
действительны и различны, когда б < 0, т. е. когда кривая — ги-
гиперболического типа; они являются мнимыми и сопряженными
в эллиптическом случае, т. е. когда 8>0; наконец, кривые пара-
параболического типа (б = 0) характеризуются тем, что у них имеются
6 П, С, Александров
162
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
1ГЛ. VI
два совпадающих вещественных асимптотических направления,
а именно (как следует из D2) или D2) при 6 = 0):
а
J
012
E)
Рассмотрим частный случай окружности. Всякая окружность
в любой координатной системе задается уравнением вида
х2 + у* + 2alX + la^j + по = 0,
и всякое уравнение этого вида определяет окружность. Для на-
нахождения асимптотических направлений {а:C} имеем условие
а2 + Р2 = 0, из которого следует, что все окружности имеют одни
и те же мнимые асимптотические направления, а именно направ-
направления, записывающиеся в любой прямоугольной системе коорди-
координат в виде
a:f>=±i. F)
Эти направления называются изотропными направлениями на пло-
плоскости.
Асимптотические направления эллипса, заданного в канони-
канонической для него системе координат уравнением
суть а: р" = ± -у i, как сразу видно из определяющего эти на-
направления условия -j +р- = 0. Так как ни одно действительное
направление не является для эллипса асимптотическим, то всякая
вещественная прямая пересекает эллипс в двух действительных
или мнимых различных или совпадающих точках. При этом ко вся-
всякой вещественной прямой можно найти параллельную ей прямую,
пересекающую эллипс в двух различных вещественных точках.
Для этого достаточно взять прямую, параллельную данной и про-
проходящую через центр эллипса (т. е. через начало канонической
для данного эллипса системы координат).
Для гиперболы
G)
получаем асимптотические направления
Это направления диагсналей основного прямоугольника гиперболы,
т. е. прямых
. ь
0 = ±-х,
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
163
уже названных нами в Главе II асимптотами гиперболы; они и
действительно являются асимптотами в общем смысле: каждое из
уравнений у = ± —, т. е.
X
а
-о и 4-4-=
(8)
несовместно с уравнением G), что делается очевидным, если урав-
уравнение G) переписать в виде
Докажем, что никаких других асимптот, кроме прямых (8),
у гиперболы G) нет.
В самом деле, всякая асимптота должна иметь асимптотиче-
асимптотическое направление, т. е. направляющий вектор {а, ±й}. Прямая
с направляющим вектором {а, Ь) имеет параметрическое уравнение
х --
(9)
Найдем общие точки гиперболы G) и прямой (9). Подставляя зна-
значения х, у из (9) в G), получаем для определения точек пересе-
пересечения гиперболы с прямой (9) уравнение (относительно t)
Это уравнение имеет единственное решение, за исключением слу-
случая, когда
^_^ = 0; (Ю)
по ^
в этом случае оно превращается п противоречивое тождество 0= 1
и прямая (9) допгшителыю оказывается асимптотой. Покажем,
что ее уравнение есть у = — х. В самом деле, система параметри-
параметрических уравнений (9) эквивалентна одному уравнению
а тождество A0) может быть переписано в виде Ьхо — ауо, так что
уравнение A1) получает вид
Итак, единственная асимптота гиперболы G), имеющая направ-
направляющий вектор {а, Ь\, есть давно известная нам асимптота
в*
164
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
(ГЛ. УГ
Совершенно так же доказывается, что единственная асимптота
гиперболы G), имеющая направляющий вектор {а, — Ь}, есть
Ь
асимптота у = х.
Других асимптот у гиперболы нет.
Для параболы
у--2рх = 0
A2)
квадратичная форма ф (х, у) сводится к одному члену у2; асимп-
асимптотические направления р : а определяются из условия
это два слившихся направления, каждое из которых совпадает
с направлением Р = 0, т. е. с направлением оси параболы.
Каждая прямая у = с этого направления имеет с параболой
единственную общую точку (^-, с); таким образом, ни одна из
прямых асимптотического направления не является асимптотой
параболы — у параболы асимптот нет.
Рассмотрим, наконец, случай, когда кривая второго порядка
распадается на пару прямых. Если эти прямые пересекающиеся,
то их можно принять за оси координат некоторой аффинной си-
системы Оху и уравнением пары этих прямых будет
F(x, y)=sxy = Q.
Здесь F(x, у)- ц)(х, у) и леммшотнческне направления опреде-
определяются из уравнения
Это направления а = 0 и р = 0 наших прямых.
Такой же результат мы получим и для кривой, распадающейся
на пару параллельных (в широком смысле) прямых. Взяв систему
координат, ось абсцисс которой является средней прямой между
обеими данными, а ось ординат произвольна, видим, что полу-
получаем каноническое уравнение, — в надлежащей системе координат
эта кривая имеет уравнение
Здесь (как и в случае параболы) ф(*, у)==у2, и мы получаем
пару слившихся асимптотических направлений Р2 = 0, каждое из
которых совпадает с общим направлением двух данных парал-
параллельных прямых.
КАСАТЕЛЬНЫЕ
165
§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой
неасимптотического направления. Касательные
Берем снова кривую второго порядка, заданную (в произволь-
произвольной аффинной системе координат) уравнением
F(х, у) = у(х, y)-{-2l(x, y) + ao = Q, A)
где
Ф (х, у) = аих2 + 2а12ху + a2iy*,
I (х, у) = а1х + а^.
Введем следующие обозначения:
Fk(x, у) = cikix-\-ak2,y-\~ak> k=l, 2.
Решая уравнение A) совместно с уравнением данной прямой
получим
С-0,
B)
C)
a, y0). D)
О (/) =/U4-2/if
где, как показывает легкий подсчет,
Л=Ф(а, р), Я=^(*о, 0o)a + F,(JC«, </0)p\
Мы теперь предполагаем, что
Л = ф(а, р)#0,
так что уравнение C) имеет два корня tu t^. Пусть tt = t2, тогда
прямая B) пересекает кривую A) в двух совпадающих точках и
называется касательной к этой кривой: обе точки пересечения
слились в одну точку касания. Для нахождения уравнения каса-
касательной удобно взять за точку М0 — (х0, уа) прямой B) как раз
ту точку, которая принадлежит и крииой A), и прямой B).
Toi да
и уравнение C) принимает вид
0; C')
оно имеет корень t = 0. Если в точке М0 = (х0, у0) сливаются обе
точки пересечения кривой A) и прямой B), то оба корня урав-
уравнения C) совпадают и равны нулю. А это может случиться лишь
при
B F{ )
откуда
о, Уо)
166 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VI
Следовательно, уравнение B) касательной, переписанное в виде
Х — Хд У—Уо
получает вид
или
(х0,
у — уд
x (х„, у0)
E)
Подставляя в E) значения Fj(лг0, у0), F2(xa, у0), раскрывая
скобки и принимая во внимание, что F(x0, #0) = 0, переписываем
уравнение E) в виде
(аих0 + а1гу0 + аг) х + (апхп + а22у0 + а2)у +ахх0 + а2у0 + ао = 0. F)
2)у +ахх0 + а2у0
Замечание. Для нераспадающихся кривых второго порядка
(для которых F1(x0, ув) и F2(x0, y0) не могут одновременно обра-
обратиться в нуль) уравнение касательной в виде E) совпадает с урав-
уравнением, даваемым в курсах анализа: ведь
Из уравнения E) видим, что угловой коэффициент касательной
есть
М*о. г/о)"
В случае эллипса
уравнение F) касательной в точке Мо = (х0, у0) получает вид
ХрХ . УеУ _ |
что и является самой удобной формой уравнения касательной
к эллипсу в его точке Мо = (ха, у0).
Аналогично в случае гиперболы
из F) получаем
Для параболы
— 2рх = О
f,3) ХАРАКТЕРИСТИКА АСИМПТОТИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИИ 1&?
уравнение F) касательной в точке М0 = (х0, у^ имеет вид
или, после очевидных преобразований,
§ 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой
асимптотического направления. Геометрическая характеристика
асимптотических и неасимптотических направлений
Пусть дана кривая
1 \Л1 У) — "и*
и прямая
=xb + cd, \
= Уо + №, ]
О)
B)
имеющая асимптотическое направление по отношению к кривой A).
Это шлчит, чк>
Уравнение C) предыдущего параграфа, определяющее точки пе-
пересечения прямой B) с кривой A), превращается в
Возможны следующие случаи.
Случай I. ВфО; тогда уравнение C) определяет одну-един-
ственную точку пересечения прямой B) с кривой A).
Случай II. В —0, СфО; прямая B), не имея с кривой A)
ни одной точки пересечения, является асимптотой этой кривой.
Случай III. Л = С = 0; уравнение C) есть тождество 0 = 0,
каждая точка прямой B) лежит па кривой A). Эта кривая рас-
распадается на пару прямых, одной из которых является прямая B).
Итак, прямая, имеющая по отношению к данной кривой вто-
второго порядка асимптотическое направление, либо целиком состоит
из точек, лежащих на данной кривой, либо содержит не более
одной такой точки. Если же прямая имеет неасимптотическое
направление, то она пересекает кривую в двух вещественных (или
мнимых сопряженных) точках, которые, однако, могут сливаться
в одну точку —точку касания.
Но пара слившихся точек геометрически ничем не отличается
от одной точки, поэтому пока мы еще не умеем охарактеризовать
асимптотические (соответственно неасимптотические) направления
геометрически, не прибегая к уравнению кривой. Такая характе-
характеристика дается следующим предложением:
168
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
Теорема 1. Пусть F(x, у) = 0 — кривая второго порядка, не
являющаяся парой слившихся прямых, и {а:Р} есть направление,
неасимптотическое по отношению к кривой A). Тогда существует
прямая направления {а: р}, пересекающая кривую в двух различных
точках Р и Q. При этом, если кривая содержит более одной
действительной точки (т. е. не является мнимым эллипсом или
парой мнимых сопряженных прямых) и направление {а:|3} дейст-
действительно, то действительны и точки Р, Q.
Доказательство. Через каждую точку х0, у0 кривой A)
проведем прямую
B)
неасимптотического направления {а:р"}.
Требуется доказать, что среди прямых B), проведенных через
всевозможные точки (х0, у0) кривой A), имеется по крайней мере
одна прямая, не являющаяся касательной к кривой A) в точке
(х0, у0). Но если прямая B) есть касательная к кривой в точке
(•"ч» Уо)> то> как мы знаем из предыдущего параграфа, должно
быть
= (апа + а21Р) х„ + (а12а + а,2р) у0 + аха + а2р* = 0.
Если это верно для каждой точки (х0, у0), лежащей на кривой
A), то все эти точки должны удовлетворять соотношению
(апа + й12р) х0 + (а21а+aMf>) у0 + (е^а + а$) = 0. D0)
В этом равенстве коэффициенты апа-}-а12$ и апа-\-а22$ при х0 и
у0 не могут быть одновременно равны пулю; в самом деле, умно-
умножая обе части равенств
a2la + a22p = 0,
соответственно на а и р и складывая их, мы получили бы
что означает, что направление {а:Р}, вопреки нашим предполо-
предположениям, является асимптотическим. Итак, равенство D0) есть
уравнение первой степени относительно х0 и уй, которому удов-
удовлетворяют все точки (х0, ув) кривой A); другими словами, все
точки этой кривой должны лежать на прямой
Но среди кривых второго порядка лишь кривая, являющаяся
парой, слившихся прямых, обладает тем свойством, что все лежа-
лежащие на ней точки принадлежат одной прямой; поэтому кривая
ЦЕНТР КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
169
A), обладающая этим свойством, есть пара слившихся прямых,
каждая из которых задана уравнением D) —случай, который мы
исключили.
Итак, существует точка М0 = (х0, у0) кривой A), обладающая
тем свойством, что проходящая через нее прямая d иеасимптоти-
ческого направления {ос:Р} не является касательной; значит, эта
прямая пересекает кривую A) в двух различных точках Мн и My.
Если кривая содержит более одной и, следовательно, беско-
бесконечное множество действительных точек и {а: Р} — действительное
неасимптотическое направление, то, повторяя наше рассуждение
лишь для действительных точек кривой A), видим, что найдется
прямая, имеющая направление {а:$} и проходящая через дейст-
действительную точку Мо кривой и пересекающая ее в двух различ-
различных точках. Но если точка М0 = (х0, у0) действительна, то дейст-
действительной должна быть и вторая точка пересечения Мх. Теорема
доказана.
§ 4. Цсчпр кринои м юрою порядка
Пусть в произвольной аффинной системе координат дана
кривая
F (х, у) = апх* + 2апху+а22у* + 1ахх + Ча$ + а0 = 0 A)
и прямая
B)
пеасимптотического направления; обозначим через М1 = (х1, уг) и
М2 = (*2, уг) точки пересечения кривой A) с прямой B).
Решим следующую задачу: когда хорда, имеющая направле-
направление {а:Р}, делится в точке М0 = (х0, у0) пополам?
Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было
0 —
C)
По
11одставляя эти значения в C), получаем
I-IK как аир (как координаты направляющего вектора прямой
B)) не могут быть равны нулю одновременно, то условие C)
рлвносильно услорию
<i + ', = 0. D)
170 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА,'
Но tv и t2 суть корни квадратного уравнения
значит,
[ГЛ. VI
, и условие D) означает В = 0 или
= 0. E)
ЦЕНТР КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
171
Это и есть условие для того, чтобы точка Ма = (х0, у0) была
серединой отрезка МгМ2, т. е. хорды, высекаемой кривой A) из
прямой B).
Определение центра. Напомним прежде всего, что точкой,
симметричной точке М = (х, у) относительно точки С = (ха, у0),
\У
м
м'
X
Рис. 81.
называется точка М'=(х', у'), обладающая тем свойством, что
точка С есть середина отрезка ММ'. Координаты х', у' точки ЛГ
однозначно определяются из услоинй хи = 2* , уп = —^—. Точка
С называется центром симметрии (или просто центром) данной
линии, если, какова бы ни была точка М, лежащая на этой
линии, точка М', симметричная точке М относительно точки С,
также лежит на данной линии (рис. 81). Эти определения сохра-
сохраняют силу и для комплексной плоскости.
Докажем следующее предложение:
Теорема 2. Для того чтобы точка М0 = (х0, у0) была цент-
центром кривой A), необходимо и достаточно, что%1 координаты
х0, у0 этой точки удовлетворяли следующим уравнениям (называемым
«уравнениями центра»):
F2(x, y) =
1 = 0. 1
(б)
Доказательство. А. Условие необходимо. Пусть
М0 = (х0, у0) есть центр кривой A), и пусть хотя бы одно из
двух чисел F1(x0, y0), F2(xe, j/0) отлично от нуля. Приведем это
предположение к противорсгчию. Рассмотрим равенство E) как урав-
уравнение относительно аир. Переписывая его как пропорцию
видим, что оно удовлетворяется векторами лишь одного направ-
направления, а именно направления
Ро:ао = — F1(x0, yo):Fs(xo, y0).
Между тем для любого неасимптотического направления (а тако-
таковыми являются все направления, кроме двух) условие E) должно
быть выполнено (так как прямая B) этого направления пересе-
пересекает кривую A) в двух точках Мх и М2 и точка Мо есть сере-
середина отрезка МгМ2). Противоречие получено, необходимость нашего
условия доказана.
Б. Условие достаточно. Пусть точка М0 = (х0, у0) удов-
удовлетворяет условию F). Перенесем начало координат в точку
М0 = (х0, //„), т. е. иыполпнм преобразование координат
х х„ | х',
У~ Уо + У'.
Оно переводит уравнение F (х, у) = 0 в уравнение F'(x', y') = Q,
где
/ (х, y) = F'(x', У')
+ а22 (у0
') + 2а, (у0 + у') + а0 =
>% + 2 (anxQ + aiay0 + aj x' +
+ а») у' -f- а'Л = 0
a'0 = F(x0, y0).
Но ввиду равенств F) последнее уравнение имеет пид
F' (х', у')~апх'1 -\-2а^х'у
В этом уравнении отсутствуют члены первой степени, откуда сле-
следует, что новое начало, т. е. точка Мо= (х0, у^, есть центр сим-
симметрии нашей кривой. Теорема доказана.
Из доказанного вытекает, что в центральном случае, т. е.
когда
кривая A) имеет единственный центр симметрии Мщ = ^хЛ, у0),
координаты которого и находятся из уравнений (б).
Если центральная кривая задана своим уравнением в канони-
канонической системе координат, то начало координат и есть, как мы
Iсмерь знаем, единственный центр кривой.
172
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
[ГЛ VI
Заметим вообще, что уравнения F) имеют силу для любой
аффинной системы координат. Поэтому для определения центра
какой-либо кривой мы можем ограничиться рассмотрением ее
уравнения в канонической для нее координатной системе.
Единственным центром пары пересекающихся прямых является
их точка пересечения: это сразу следует из канонического урав-
уравнения
а2х2 -+- b2y2 = д. G)
В параболическом случае мы имеем или параболу, ее канони-
каноническое уравнение есть
ya-2px = 0, (8)
или пару параллельных (в широком смысле) прямых
х*±а* = 0. (9)
Для параболы, заданной уравнением (8), уравнения центра при-
приобретают вид
A0)
= о, 1
= 0. J
Уже первое из этих уравнений противоречиво (так как
поэтому система A0) несовместна — у параболы центра нет.
Для пары параллельных прямых, заданных уравнением (9),
уравнения F) имеют вид
Q-x + 0-y + O
-0,1
=0./
(И)
Они определяют прямую х -0, псе точки которой и являются
центрами симметрии пары прямых (9), что очевидно и геометри-
геометрически: пара параллельных прямых имеет прямую центров (это —
средняя прямая между двумя данными).
§ 5. Диаметры кривой второго порядка
Рассмотрим все прямые, имеющие одно и то же неасимптоти-
неасимптотическое направление {а : р}; на каждой из этих прямых возьмем
в качестве точки М0 = (х0, у0) середину хорды, высекаемой из
этой прямой кривой
F (х, у) = апх* + 2аХ7ху + ашф + 2а,х + 2а2у + а0 = 0. A)
Эти точки М0 = {х0, у0) (координаты х0, у0 теперь уже перемен-
переменные!) удовлетворяют уравнению (§ 4, E))
Fi(x, y)a + F2(x, у) 6 = 0, B)
т. е.
(апх + аггу + at) а + {а^х -f- аг2у + а2) В = 0,
§5]
ДИАМЕТРЫ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
173
которое, группируя по-новому его члены, переписываем в виде
{апа + ai2B) х + (Одо + а22р) у + (ava + аар) = 0. B')
Это уравнение есть уравнение некоторой прямой d, на которой
и лежат середины всех хорд данного неасимптотнческого направ-
направления (рис. 82). Прямая d называется диаметром кривой A),
сопряженным направлению {а: Р}.
Центр (или центры, если их много) кривой A), очепидио, удо-
удовлетворяет уравнению B), каково бы ни было направление {а: Р},
и поэтому лежит на любом диаметре кривой A).
х
Рис. 82.
Только что данное определение диаметра имеет силу для лю-
оой кривой второго порядка (как центральной, так и параболи-
параболической). При этом направляющим вектором диаметра, сопряжен-
сопряженного направлению {а:A[, яшшется исктор {а', Р'}, где а' =
= - (аяа + а2ар), р' = апа + а12р.
Пусть теперь A)— центральная кривая. Возьмем какую-нибудь
прямую d неасимптотического направления, проходящую через
единственный центр Мо = (#о, у0) кривой A); уравнение прямой
d записывается в виде
у0) = 0, C)
где (х0, у0) удовлетворяют уравнениям центра, т. е. уравнениям
F) предыдущего параграфа.
Мы ищем направление {а: Р}, для которого прямая d была бы
сопряженным диаметром, и решаем для этого уравнения
174
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
|ГЛ
ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
17S
Уравнения эти решаются однозначно (так как по предположению
&Ф0) и позволяют переписать C) в виде
(auct + а12Р) (* - х0) + (ода + а22Р) (у - у0) = 0,
что представляет лишь другую запись уравнения B').
В самом деле, переписываем D) в виде
(апа + а120) х
D)
D')
Но ввиду уравнений центра, которым удовлетворяют числа хо,уо,
правая часть равенства D') есть — аха.т- а2р, т, е. D') принимает
вид B').
Итак, всякая прямая d нсасимптопшческого направления, про-
проходящая через (единственный) центр центральной кривой второго
порядка, есть диаметр, сопряженный некоторому вполне опреде-
определенному направлению {а : Р}.
Посмотрим, что дает уравнение B') в случае, когда направле-
направление {a:pj асимптотическое. Тогда уравнение B'), тождественное
уравнению B), есть уравнение асимптоты. Таким образом, естест-
естественно считать асимптоту диаметром, сопряженным своему собст-
собственному направлению (хотя при этом первоначальный, наглядно
геометрический смысл диаметра, сопряженного данному направле-
направлению, утрачивается, так как хорд асимптотического направления
не существует).
Теперь диаметры центральной кривой второго порядка могут
быть определены просто как прямые, проходящие через центр дан-
данной кривой.
Замечание. Из сказанного выше следует, что если направ-
направление данного диаметра неаснмптотическое, то и направление,
ему сопряженное, также неасимптотическое.
§ 6. Взаимно сопряженные векторы (направления).
Диаметры и касательные
1. Взаимно сопряженные векторы. Особое направление. Диа-
Диаметр, сопряженный направлению {а : Р}, имеет направляющий век-
вектор {a', P'}, где
a'= —
a22p), \
. J
Векторы {а, Р} и {а', р"} связаны соотношением
auaa' + a,* («Р' + a'W + а,4рр' = 0,
B)
получающимся, если почленно сложить уравнения A), предвари-
предварительно умножив обе частя первого из них на — р", а второго —
на а'. Но левая часть равенства B) есть не что иное, как сим-
симметричная билинейная форма ^(ot, P; a', P'), полярная к квадра-
квадратичной форме
Ф (ос, Р) ==ana! + 2а12оф + а,^\
Поэтому естественно ввести следующее
Определение. Ненулевые векторы и = {а, р1} uu' = |a', Р'}
(а также определяемые ими направления {а: р1} и \а': [V] называются
взаимно сопряженными относительно квадратичной формы (р (х, у) —
= <з11л:а + 2а1аху + а22*Д если они удовлетворяют уравнению
а|> (u, u') = i|>(a, P; a', P') = anaa' + aia(«P' + Pa') + a22PP' = 0.
Заметим прежде всего: при переходе от координатной
системы Оху к произвольной новой координатной системе Охд
билинейная форма ф(а, Р; а', Р') переходит в билинейную форму
¦ф(Я, Р; а', р ), выражающую ту же билинейную функцию \|з(и, и'),
полярную к квадратичной функции Ф (и), записывающейся в коор-
координатной системе Оху в виде квадратичной формы ц>(а, Р) и п коор-
координатной системе Охц и ппде ср(а, р). Полому бплипеч'шля (функ-
(функция tp(u, и'), обращение1 II пуль Koropoi'i XiipnK'iepii.jyur сопряжен-
сопряженность векторов и и и', в любой координатой системе записывается
п виде билинейной формы, полярной к квадратичной форме стар-
старших членов уравнения F(x, y) = 0, определяющего в этой системе
координат данную кривую второго порядка. Свойство двух векто-
векторов быть или не быть сопряженными относительно формы q> (я, у)
не зависит от выбора той или иной системы координат, а зави-
(ит только от квадратичной функции Ф (и), определенной (в какой-
нибудь системе координат) формой (р(х, у).
Мы будем также говорить, что векторы и и и' (и их направ-
направления) сопряжены относительно данной кривой второго порядка,
если они сопряжены относительно квадратичной формы старших
членов уравнения этой кривой (в какой-нибудь, псе равно в какой
именно, системе коордимач). Это шкикшют "<тм и дальнейшем
писать условие сопряженности, пользуясь какой-нибудь опреде-
определенной, например канонической для данной кривой, системой
координат.
Зная одно из двух сопряженных направлений, например
исправление {а:Р}, другое определяем без труда; для этого пере-
переписываем равенство B) в виде
а' (оца + аиР) Р' К» + амР), B')
что означает пропорцию
Р': а' (аца + а„Р): (аг1а + а22Р), (У)
ипределяющую направление вектора {а1, Р'}. Точно так же выра-
выражается {а, р} через {а', Р'}:
,Р: а = - (auaf +с„р'):
176
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
[ГЛ УГ
Посмотрим, когда два сопряженных между собой направления
сопилдлют. Очевидно, тогда и только тогда, когда
- (а
: (а21а + а2ф) = Р : а,
¦I. с. когда
Другими словами, направление тогда и только тогда совпадает
со своим сопряженным, когда оно является асимптотическим.
Поэтому асимптотические направления называются иначе самосо-
самосопряженными.
Посмотрим, не может ли случиться, что направление {а: р*},
сопряженное направлению {а':{$'}, перестанет быть определенным.
В этом случае направление {а':р"} назовем особым.
Очевидно, пащшшение {а':Р'| будет особым тогда и только
тогда, когда оно удовлетворяет системе уравнений
=0, 1
=0. J
C)
Но вектор {а', Р'} не есть нулевой вектор, поэтому равенства C)
могут иметь место, лишь если
6 =
а21
= 0,
т. е. если кривая F(x, у) = 0 параболическая.
Но это еще не все: умножая обе части первого из уравнений C)
на а', а иторого —на р" и складывая, получаем
т. е. направление {а':{5'} есть асимптотическое направление.
Итак, только для параболитической кривой и для {единствен-
{единственного) ее асимптотического направления сопряженное направление
перестает быть определенным.
С другой стороны, единственное асимптотическое направление
параболической кривой F (х, у) = 0 удовлетворяет условиям
аиа'+а12р'=0,
аг1а'+а22р'=0,
т. е. условию
<jp(a, P; а', Р') = (аи
для любог^ направления {а: Р}.
ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
177
Итак, в случае параболической линии ее асимптотическое направ-
направление сопряжено всякому направлению, т. е. является особым.
Вернемся теперь —в случае любой кривой второго порядка
F(x, t/) = 0 — к уравнению B') § 5:
(Оцо + fl12P) х + (а21а + a22P) У + faa + a2P) = О,
т. е. к уравнению диаметра, сопряженного направлению {а: Р}.
Какова бы ни была кривая второго порядка F(x, y) = 0, ее
диаметр, сопряженный направлению {ос:Р}, имеет направление
{а': р'}, сопряженное направлению {а: Р}. Если кривая F(х, у)=0
центральная, то диаметр, сопряженный направлению {а': Р'},
будет иметь направление {а: Р}.
Два диаметра центральной кривой называются взаимно сопря-
сопряженными между собой, если сопряжены их направления. Каждый
из двух сопряженных между собой диаметров делит пополам
хорды, параллельные другому.
Переходим к параболическому случаю. Если данная кривая
F (х> У)~® распадается на пару параллельных прямых, то у нее —
один-единстнеипый диаметр («средняя» прямая по отношению
к двум данным); этот диаметр является геометрическим местом
середин хорд любого направления, он является прямой центров
нашей кривой A), его направление —особое, оно сопряжено любому
направлению. *
У параболы середины всех хорд данного направления {а: Р}
лежат, как мы видели, на вполне определенной прямой, и прямая
эта имеет асимптотическое направление Р': а' = — аи: alt =m
= —al2:a22, она является диаметром параболы (сопряженным
данному направлению).
Докажем, что в случае параболы всякая прямая асимптотиче-
асимптотического направления есть диаметр, сопряженный некоторому вполне
определенному направлению.
При доказательстве мы вправе выбрать любую систему коор-
координат; возьмем такую, в которой уравнение параболы имеет вид
#2-2p* = 0. D)
Прямые асимптотического направления суть просто прямые, парал-
параллельные оси абсцисс. Пусть
У=т E)
— такая произвольная прямая.
Уравнение B') § 5, т. е. уравнение диаметра, сопряженного
направлению р: а, имеет в нашем случае вид
Рг/ — pa = 0. F)
Для того чтобы оно определяло ту же прямую, что и уравнение E),
необходимо и достаточно, чтобы было^=т, Этим условием отно-
178 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА }ГЛ. VI
шение Р : а = р : т определено однозначно, и наше утверждение
доказано.
Таким образом, диаметры параболы могут быть определены
как прямые асимптотического направления.
§ 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют
сопряженные направления
Пусть дана кривая второго порядка своим общим уравнением
F (х, у) = апх* + 2а12ху + а^у- + 2а,х + 2а2у + аа = 0. A)
Посмотрим сначала, каковы диаметры, сопряженные направлениям
осей координат. Уравнение диаметра, сопряженного направлению
{а:Р}, есть
= 0. B)
Если о = 1, р = 0 (т. е. вектор {а, р} есть направляющий век-
вектор оси абсцисс), то уравнение B) превращается в
0. B')
Если же a — 0, р = 1, то уравнение сопряженного диаметра есть
t = Q. B")
Итак, диаметр, сопряженный направлению оси абсцисс, имеет
уравнение B'), а диаметр, сопряженный направлению оси орди-
ординат, имеет урапненне B").
Предположим теперь, чю ось орлица г имеет произвольное,
неасимптотическое для длиной припои исправление, а ось абсцисс
является диаметром, сопряженным направлению осп ординат.
Тогда уравнение B") есть уравнение оси абсцисс, т. с. выражает
ту же прямую, что и уравнение
Следовательно, коэффициенты
Й-Л. «22. «2
уравнения B") должны быть пропорциональны коэффициентам
0, 1, 0
уравнения оси Ох, а это значит, что
«21 = 0, а^ф 0, а2 = 0.
Следовательно, в нашей системе координат кривая A) имеет урав-
уравнение
C)
ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ
179
Рассмотрим отдельно два случая:
1° Кривая A) —центральная.
2° Кривая A) —параболическая (парабола или пара парал-
параллельных прямых).
В первом случае из того, что ось абсцисс представляет собой
диаметр, сопряженный направлению оси ординат, следует, что
и о:ь ординат имеет направление, сопряженное оси абсцисс.
Если при этом начало координат лежит в центре кривой, то обе
оси координат являются сопряженными между собой диаметрами.
Но тогда ось ординат, будучи диаметром, сопряженным оси
абсцисс, имеет уразнение B'), которое должно быть равносильно
уравнению
х = 0.
Значит, коэффициенты
«11. «12. «1
уравнения B') должны быть пропорциональны коэффициентам
1, 0, 0
уравнения оси Оу, т. с.
следовательно, уравнение C) имеет вид
= 0. D)
Итак, если оси координат образуют пару сопряженных диамет-
диаметров данной (произвольной) центральной кривой второго порядка,
а)
Рис. 83,
то уравнение этой кривой в этой системе координат имеет вид D)
(рис. 83).
Случай распадающейся центральной кривой характеризуется
тем, что в уравнении D) имеем а„ = 0 (центр, т. е, начало коор-
координат, есть точка кривой) (рис. 84),
180
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1ГЛ VI
Пусть теперь кривая (I) (уравнение которой уже приведено
к виду C)) есть кривая параболическая. Тогда alla22 = a\i; но
в уравнении C) коэффициент а12 = 0, значит, anai2 = 0, атак как
ацф®, то ап = 0.
Итак, если в случае параболической кривой ось ординат направ-
направлена по произвольному, неасимптотическому направлению, а ось
Рис. 84.
Рис, 85,
абсцисс есть диаметр, сопряженный этому "вправлению {и, сле-
следовательно, имеющий асимптотическое исправление), то уравне-
уравнение кривой в этой системе координат имеет вид
а22у* + 2сцх + а0 = 0. E)
Если наша крипая распадается па пару параллельных пря-
прямых (рис. 85), то А =¦- 0, т. с.
0 о
0 а2г о
ах 0 ай
= — а\агг — 0.
Так как а^'ФО, то непременно йх = 0, и уравнение E) необхо-
необходимо имеет вид
'~F- F)
Если же наша кривая есть нераспадающаяся параболическая
кривая, то непременно а1Ф§.
Сделаем теперь перенос начала в точку пересечения О' кри-
кривой с осью х, т. е. преобразование координат
где х0 определено требованием, чтобы точка О' = (х0, 0) удовлет-
удовлетворяла уравнению E), т. е. чтобы было
18]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
181
В преобразованной системе координат уравнение E) приобретает
вид
а22у>г + 2alX' + BalXo + a0) = 0,
т. е. вид
2 X' = Q. G)
Найдем точки пересечения оси ординат О'у' с параболой. Для
этого положим в уравнении G) д;'=0; получим апу'2 = 0, т. е.
/А"
Рис. 86.
Рис. 87.
ось ординат О'у' пересекается с параболой в двух сливающихся
точках (совпадающих с точкой О'), и, следовательно, является
касательной к параболе (рис. 86). Если при этом ось абсцисс
перпендикулярна к оси ординат, то, деля пополам перпендику-
перпендикулярные к ней хорды, она окажется осью параболы (рис. 87).
§ 8. Теорема единственности для кривых второго порядка,
О полноте системы ортогональных инвариантов
1. Теорема единственности.
Теорема 3. Если два уравнения'второй степени
F(x, у) = апх2 + 2а12ху + а^у* + 2агх + 2а2у + ай = О, A)
и
F {х, у) = V*2 + 2b12xy + b2^ + 2bxx + 2b2y + bQ = О (I)
удовлетворяются одним и тем же множеством точек С комплекс-
комплексной плоскости, то одно из этих уравнений получается из другого'
почленным умножением на некоторый числовой множитель.
182
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
!гл. vf
Следствие. Если известно лишь, что множество действи-
действительных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям A) и (Г),
одно и то же и состоит более нем из одной точки, то утвержде-
утверждение теоремы 3 остается в силе.
Вспомним, что неасимптотические направления {а:р*} по отно-
отношению к кривой A) характеризуются тем, что имеется прямая
данного направления {а:Р}, имеющая с множеством С ровно две
(различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимпто-
неасимптотическое для одной из двух кривых A) и (I), будет неасимптоти-
неасимптотическим и для другой кривой.
Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направ-
направление {а:р*} для кривых A) и (Г).
Одну из прямых d направления {а:$} примем за ось ординат,
а диаметр, сопряженный направлению ja:P}, —за ось абсцисс
координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параг-
параграфа следует, что уравнения A), (Г) получат в системе координат
О'х'у' вид
F'(x', у') = а'^'2 + а'их'2 + 2а[х' +aJ = O, B)
2 2 0. B)
Здесь агпф0 (и Ь'пФО), в противном случае единичный вектор
{О, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению
имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление.
7 У'4
о'
Множество С0 пусто
Рис. 88.
Множества С0
совпадает с прямой у'-!}
Рис. 89.
Пересечение множества С с осью у' = О обозначим через С0.
Возможны следующие случаи:
1° Множество С0 пусто (рис. 88). Этот случай осуществляется
тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
183
равенств
противоречиво, т. е. когда один какой-нибудь (и тогда каждый)
из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля
постоянной а'о, соответственно Ь'а.
2° Множество С0 совпадает со
всей прямой у' = 0 (рис. 89). Это
происходит тогда и только тогда,
когда каждый из многочленов f (x')t
f(x') тождественно равен нулю.
3° Ни один из случаев 1°, 2°
не имеет места. Тогда множество
С0 состоит из одной точки (рис.
90), или из пары (быть может,
совпадающих между собой) точек
(рис. 91), являющихся парой кор-
корней как уравнении
так и уравнения
C)
C)
Ммооювстдо С0
состоит
из одной точна А
Рис. 90.
Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения C) и C)
имеют одни и те же корни, то при некотором рфО имеем
Ь[ lX" + 2Ь\х' + К ¦¦ fi (flj ,*" + 2а\х' + а',)
и, значит, полагая к =
имеем
'их'* + 2а\х'
'ux'2 + 2a[x'
F(x', у') = Мъу
Докажем, что ?1 = |а. Для этого дадим переменному х' значе-
значение х'=х[, являющееся корнем уравнения
и найдем значения у', удовлетворяющие уравнению
F'(x[, у') = а'пУ'2 + 1=0,
т. е.
184 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ, VI
Значит, точка (х\, у\) принадлежит множеству С; следовательно»
т. е. X —11, и Р'(х', y') = kF'(x', у'), значит, и
Р(х, y) = XF(x, у).
Итак, в случае 3° теорема доказана.
а) Множество С"
состоит издвуз: бещестВен-
мыз; точек А и R
6) Множестве С0
состоит из двух мнимых
сопряженных точен
в) Множество Св
состоит из двух
совпадающих точен А '
Рис. 91.
В случае 2° имеем
Полагая Я = -^-, получим F'(x', y') = %F'(x', у') — утверждение
3
теоремы верно и в этом случае.
Наконец, в случае 1° уравнения B) и B) принимают вид
2; = 0, а'.фО,
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
185
— множество С есть пара прямых, определенная каждым из урав-
уравнений
'=±Y--? или *'=±
Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы было —г- = -рЧ т. е. Ып = Ха'ш
6J = ЯаЦ при Х = —~.
Теорема 3 доказана во всех случаях.
2. О полноте системы ортогональных инвариантов. Будем рас-
рассматривать на плоскости лишь прямоугольные системы координат
с одним и тем же масштабом. Имеет место следующая основная
Теорема 4. Пусть на плоскости даны две нераспадающиеся
на пары параллельных прямых кривые второго порядка С и С,
имеющие в некоторой прямоугольной системе координат Оху соот-
соответственно уравнения
/'(•*. U) -0 D)
F'{x, y) =
D')
Для того чтобы кривые С и С были метрически эквивалентны,
необходимо и достаточно, чтобы после домножения одного из двух
многочленов F(x, у), F'(х, у) на некоторый числовой множитель
k оба эти многочлена имели соответственно одни и те же инва-
инварианты б, А, 5.
Доказательство. Необходимость. Если кривые С и
С метрически эквивалентны, то посредством некоторого движения,
т. е. ортогонального преобразования плоскости, кривая С может
быть преобразована и кривую С. При этом преобразовании инва-
инварианты б, Д, S многочлена /•" (х, у) (будучи ортогональными
инвариантами) не изменятся, а сам многочлен F' (х, у) перейдет
в многочлен G(x, у), имеющий то же нулевое многообразие, что
и многочлен F(x, у), так что в силу теоремы единственности
G(x, y) = kF(x, у) при некотором k Ф 0.
Итак, инварианты многочлена F' (х, у) совпадают с соответ-
соответствующими инвариантами многочлена kF(x, y)~- первая часть тео-
теоремы 4 доказана.
Переходим к доказательству второй части.
Достаточность. Если многочлены F'(х, у) и kF(x, у)
имеют одни и те же инварианты б, Д, 5, то кривые F' (х, у) = 0 и
kF (x, у) метрически эквивалентны. Но кривая kF(x, у) = Ь, оче-
очевидно, совпадает с кривой F(x, y) = 0, чем эквивалентность кри-
кривых F' (х, у) = 0 и F (х, у) = 0 доказана.
186
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'
СИММЕТРИИ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
1ST
Полученный результат иногда формулируют так:
Ортогональные инварианты б, A, S образуют полную систему
ортогональных инвариантов кривых второго порядка, не распада-
распадающихся на пару параллельных прямых.
§ 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго
порядка
Пусть прямая d есть ось симметрии данной кривой второго
порядка С. Возможны два случая:
А. Направление, перпендикулярное к прямой d, является для
кривой С асимптотическим.
Б. Направление, перпендикулярное к прямой d, не есть асимп-
асимптотическое направление для кривой С.
а
А,
с/'
8
с/"
d-d"
Рис, 92.
Рис. 93.
Пусть имеет место случай А. Возьмем какую-либо пару точек Аи
Л, кривой С, симметричных друг другу относительно прямой d.
Так как прямая d' = ЛХЛ2 имеет асимптотическое направление и
в то же время содержит две точки А± и Аг кривой С, то она
вся входит в состав этой кривой: кривая С распадается на пару
прямых d', d", одна из которых d' перпендикулярна к прямой d.
Вторая прямая d" не может быть наклонной к прямой d, так как
в этом случае прямая d, очевидно, не может быть осью симмет-
симметрии фигуры, составленной из двух прямых d', d", из которых
одна перпендикулярна, а другая наклонна к прямой й. Поэтому
прямая d" или тоже перпендикулярна к прямой d, или совпада-
совпадает с ней. В первом случае линия С состоит из двух параллель-
параллельных прямых (ряс. 92), и тогда всякая прямая, к этим прямым
перпендикулярная, является осью симметрии линии С; кроме
того, осью симметрии линии С является и единственный ее диа-
диаметр 6 —средняя прямая между прямыми d' и а".
Во втором случае линия С есть пара взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных прямых d' и d* = d (рис. 93); каждая из этих прямых есть
ось симметрии линии С. Кроме того, осями симметрии являются
две биссектрисы б' и б" двух пар вертикальных прямых углов,
образованных прямыми d и d'. Эти биссектрисы являются (вза-
(взаимно перпендикулярными) сопряженными диаметрами: каждый
из них делит пополам хорды, ему перпендикулярные (и парал-
параллельные второй биссектрисе).
Итак, в случае А кривая распадается на пару параллельных
или на пару перпендикулярных между собой прямых и имеет в
первом случае бесконечно много
осей симметрии, а во вто-
втором — четыре оси симметрии.
Переходим к случаю Б:
напраплепне, перпендикуляр- ^
ное к оси симметрии </, ни
является асимптотическим для
кривой С. Пусть d' — какая-
нибудь прямая, перпендику-
перпендикулярная к прямой d. Кри-
Кривая С пересекает прямую df Рис 94.
в двух точках Ах и Аг (быть
может, мнимых, быть может, совпадающих), симметричных относи-
относительно прямой d, так что прямая d делит пополам хорду AtAt
(рис. 94). Другими словами, прямая d является диаметром кри-
иой С, сопряженным направлению, перпендикулярному к прямой d.
Определение. Направление называется главным относитель-
относительно данной кривой втором порядка С, если .что направление и пер-
пендикулярное к нему являются взаимно сопряженными направле-
направлениями относительно этой кривой. Главное направление относи-
п.елъно кривой С называется также главным направлением квадра-
п ичной функции, определенной квадратичной формой <р (х, у)
старших членов уравнения кривой С в любой прямоугольной сис-
системе координат, а также главным направлением любой такой
квадратичной формы. Диаметр кривой С, сопряженный перпенди-
перпендикулярному к нему направлению, называется главным диаметром
кривой С. Направление главного диаметра, очевидно, является
главным направлением.
Из определения главного направления непосредственно выте-
вытекают такие следствия:
Г Направление, перпендикулярное к главному, тоже является
главным.
188
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
2° Особое направление кривой С является главным для этой
кривой.
В самом деле, особое направление сопряжено всякому направ-
направлению, в том числе и перпендикулярному к нему. Итак, асимпто-
асимптотическое направление параболы является главным для нее направ-
направлением. У параболы все диаметры имеют главное направление,
но, как мы видели в § 6, среди этих диаметров только один со-
сопряжен перпендикулярному к нему направлению, и, следователь-
следовательно, только один является главным диаметром — это ось параболы.
Ось параболы — единственная ее ось симметрии.
Из утверждения 1° следует, что направление, перпендикуляр-
перпендикулярное к асимптотическому направлению параболы, также является
главным направлением. Никакое направление {а: Р}, кроме асим-
асимптотического и перпендикулярного к нему направления, не явля-
являемся главным направлением параболы (так как единственное на-
направление, сопряженное направлению {а:Р}, есть асимптотичес-
асимптотическое направление и оно не перпендикулярно направлению {а:Р}).
Итак, у параболы имеются ровно два главных направления: асим-
асимптотическое и перпендикулярное к нему.
По тем же соображениям и линия, распавшаяся на пару па-
параллельных прямых d и d', имеет два главных направления: общее
направление прямых d и d' и перпендикулярное к этим прямым
направление.
Переходим к центральным кривым. Г.сли направление {а:р}
главное для центральной кривой С, то (перпендикулярное к нему)
сопряженное ему направление (а';р"| тоже главное. Ни одно из
главных направлении центральной кривой не может быть асим-
асимптотическим (потому что в случпе пешралыюй кривой каждое
направление сопряжено одному единственному направлению, а
асимптотическое направление сопряжено лишь самому себе). По-
Поэтому диаметр центральной кривой, имеющий главное направле-
направление, является главным диаметром, а значит, является осью сим-
симметрии кривой. Из сказанного вытекает, что всякая кривая второго
порядка имеет по крайней мере одну пару взаимно перпендику-
перпендикулярных главных направлений.
Из предыдущих рассуждений следует
Теорема 5. За исключением случая, когда данная кривая вто-
второго порядка С есть пара параллельных или пара перпендикуляр-
перпендикулярных между собой прямых, всякая ось симметрии кривой С есть
главный диаметр этой кривой.
Обратно, главный диаметр кривой С, очевидно, есть ось сим-
симметрии кривой С.
Переходим к нахождению главных направлений. Система Koopt
дннат до конца параграфа прямоугольная.
Мы ищем такое направление, чтобы вектор {а, р} этого на-
направления был перпендикулярен к. сопряженному ему вектору
ОСИ СИММЕТРИИ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
189
{а', р'}. По формуле B") § 6 имеем
Условие перпендикулярности векторов {а, Р} и \а' &'} есть
aa'-f-PP' = 0, т. е. -р':а'=а:р, т. е.
(аца + а12р): (а21а + а22р) = а : р.
Это условие означает существование такого X, что
A)
или
B2-Я)р=0. }
Рассмотрим сначала центральный случай: 6=^0- Требуется
найти ненулевой вектор-решение {ос, Р| однородной системы A');
это возможно, лини, мм да ле1ермппапт системы равен пулю, т. е.
= 0.
B)
Взяв в качестве X какой-либо корень уравнения B) и подставив
его в (Г), заключаем —именно в ввиду равенства нулю детерми-
детерминанта B),— что оба уравнения A) эквивалентны между собой
и дают одно и то же направление
р : а = {%-
= аи: (Я-а,,).
C)
Здесь, как только что сказано, Я — какой-нибудь корень уравне-
уравнения B). Но этих корней—два, так как уравнение B) —квадрат-
—квадратное уравнение, которое в развернутом виде есть
X2-SX-t-8 = Q B')
(здесь, как всегда, 5 = си+а22, 6 = аиаю-ашп). Обозначая корни
уравнения B) через \ и Я,а, получаем из C) два главных направ-
направления:
Pi = «х = (К ~ Оц): а12 = Оц : (К -
: а2 = (Х2 — ап): а12 =
— а22);
C2)
мы получили давно известные нам формулы. Эти направления
действительны, так как действительны корни
190
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл in
ОСИ СИММЕТРИИ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
191
уравнения B). Эти корни совпадают в единственном случае, когда
ап = а22 и а12 = 0, т. е. когда рассматриваемая кривая есть окруж-
окружность.
Заметим, что в центральном случае б#0 ни один из корней
л.,, А,2 уравнения B) не равен нулю, так как, подставив 1 = 0
в B), получили бы 6 = 0.
Имеются ли случаи, когда два эквивалентных уравнения (Г)
(т. е. C)) не позволяют определить главное направление? В силу
C) это может случиться, только когда одновременно о12 = 0, К = а1и
i = G22, т. е. снова лишь в случае окружности (й12 = 0, аи=а22). Для
окружности всякий диаметр есть ось симметрии, всякое направ-
направлением лашюе. F-.слп же пиша кривая не есть окружность, то формулы
(,'{) пошомяюг совершенно одиошачпо определить дна главных
панраплеппя. Опп .кшедомо р.'млнчиы, так как в центральном
случае, который мы рассматриваем, являются направлениями двух
взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров. Итак, дока-
доказана
Теорема 6. За единственным исключением окружности (ког-
(когда всякое направление — главное), мы имеем для каждой централь-
центральной кривой второго порядка два и только два главных направле-
направления (и, значит, не более двух осей симметрии с неасимптоти-
чеекчми направлениями).
Дна главных направления центральной кривой перпендикулярны
между собой.
Мы ужи установили непосредственно, что парабола и пара
параллельных прямых имеют дна ншимно перпендикулярных глав-
главных паираи.пешш, одно in которых — асимптотическое. Легко убе-
убедиться и -*гом и посредстмом простою иычпелеппя. В самом деле,
пусть о — О. То1да уравнение B) удонлетиоряется при Л = A.j = 0.
Второй корень уравнения B) не может равняться нулю, так как
тогда было бы ап = a2i, а12 = 0, S = ^ +12 = 0, т. е. S = 2ап = 2а22 =
= 0 —многочлен F(x, у) был бы многочленом не выше первой сте-
степени. Подстановка Х = 0 в уравнения (Г) дает
что сразу приводит к асимптотическому главному направлению
р:а= — ?ii = —^ параболической кривой. Второй корень X2 = S
дает главное направление В': а' = E — ап): а1г = а22: а^ = а12: аи,
перпендикулярное к асимптотическому направлению (^«(пола-
(^«(полагая а = — ап, В = а12, а' —а1г, р'=ац, имеем аа' + РР' = 0)-
Теперь мы легко можем найти по общему уравнению пара-
параболы и уравнение ее оси. Ось параболы имеет угловой коэффи-
коэффициент k = — — = — — и является в то же время диаметром, со-
пряженным к хордам перпендикулярного направления, т. е. хор-
хордам с угловым коэффициентом g = g (или с направляющим
вектором {а, р}, где можно вз'ять a = au, р = й12 или а = а12,
Р — агз)-
Уравнение диаметра, сопряженного хордам с направляющим
лектором {a, P}, есть
Рг(х, y)a + F2(x, г/)р = О.
Значит, полагая а = аи, Р = а12, получаем уравнение оси пара-
параболы в виде
¦i. e.
(«и + а?9) х + а12 (ап + а22) у + а11а1 + й12а„ = 0.
1 !з а\я = апа22 вытекает
I сотому ураинеппс оси перепип.тается и пиде
anSx | a,.2St/-\ «,,«1-|-«i2«a = 0
'i. e. окончате/.ьно в виде
Аналогично, полагая а = я„, р=аи, получаем для оси уравнение
=0,
При а12#0 можно пользоваться любым из этих уравнений. При
./,.! = 0 и ап = 0 (значит, а22=^0) надо пользоваться вторым, при
<i,2 = 0 (и, значит, апф0)~ первым. Получаем соответственно
\равнение оси и перном случае и индс
i о р.тором случае в виде
11айдя уравнение оси параболы, мы сразу же находим и вершину
0 параболы (как точку пересечения параболы с ее осью)
Принимая вершину параболы О' за начало новой системы
1 оординат, ось параболы-за новую ось 0% а касательную в вер-
е —за ось О\ определим положительное направление O'l
i.ik, чтобы в новой системе координат О'Ъц уравнение параболы
имело вид ria = 2p|, р>0.
Для нахождения интересующего нас положительного направле-
направления О? вспомним (гл. V, § 4), что после поворота исходной
192
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VI
101
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
193
системы координат Оху на угол а и последующего переноса начала
координат в точку О' уравнение параболы приняло вид тJ =
= 2(—-Л|, где (гл. V, § 1, формула C)) a^^
Для того чтобы было — ^- > 0, надо на угол а, определяемый
из уравнения tga = — — , наложить дополнительное требование,
заключающееся в том, чтобы числа S и ajcosa-f-oasina имели
противоположные знаки. Найденный таким образом угол а и дает
нам положительное направление оси 0% канонической системы
координат О'%г\.
§ 10. Оскопили теорема об аффинных преобразованиях
Элементарная теория криных второго порядка позволяет дать
простое доказательство одного из важнейших свойств аффинных
преобразований плоскости.
Пусть при аффинном преобразовании &? плоскости кривая
второго порядка К переходит в кривую К'- Так как при аффин-
аффинном отображении отрезок переходит в отрезок, причем середина
отрезка переходит-в середину отрезка, то при преобразовании ©^
центр крпной К переходит п центр кривой К'.
Так как при лффшшом мрсобрячонаппи параллельность пря-
прямых сохраняется, то всякий пучок параллельных хорд кривой К
переходит н пучок параллельных хорд кривой К', середины хорд
перного пучка переходят и середины хорд второго пучка, а зна-
значит, диаметр, сопряженным хордам первого пучка, перехо-
переходит н диамсф, сопряженный хирлам итпрого пучка. Отсюда вы-
вытекает
Теорема 7. Пусть при данном аффинном преобразовании
данная кривая второго порядка К переходит в кривую К', тогда
всякая пара сопряженных диаметров кривой К переходит в пару
сопряженных диаметров кривой К'.
Выведем отсюда следующее основное свойство аффинных пре-
преобразований:
Теорема 8. Всякое аффинное преобразование плоскости явля-
является произведением собственного или несобственного движения и
двух сжатий (растяжений) плоскости, происходящих в двух вза-
взаимно перпендикулярных направлениях.
Доказательство. Возьмем аффинное преобразование а//,
обратное к преобразаванию е^, и рассмотрим какую-нибудь окруж-
окружность К' радиуса 1 с центром О'. При аффинном преобразова-
преобразовании в^-1 окружность К' переходит в эллипс К, а центр О'
окружности К' переходит в центр О эллипса К. При этом вся-
всякая пара взаимно перпендикулярных, т. е. сопряженных, диаметров
окружности К' переходит в пару сопряженных диаметров эллипса К.
При отображении orf, обратно, эллипс К переходит в окруж-
окружность К', центр О эллипса К. переходит в центр О' окружности К\
а всякая пара сопряженных диаметров эллипса /( переходит
в пару сопряженных, т. е. взаимно перпендикулярных, диаметров
окружности К'- Но среди пар сопряженных диаметров эллипса
имеется пара его главных осей (и они взаимно перпендикулярны).
Сделаем эти главные оси эллипса (фокальную и вторую) осями
координат аффинной системы Оху (рис. 95), единичные векторы
которой суть соответственно векторы е1 = ОЛ и e2 = Ofi, ведущие
в соответствующие вершины А и В эллипса (длины векторов elF еа
обозначим через а и о). При на-
нашем аффинном преобразовании &&
пара главных осей эллипса пе-
перейдет в пару сопряженных и,
следовательно, взаимно перпенди-
перпендикулярных диаметров окружности,
которые примем за оси координат
системы О'х'у'. За единичные пек-
торы этой системы примем ра-
радиусы е|, е^ (они имеют длину 1).
При аффинном преобразовании в/t
пара взаимно перпендикулярных
прямых Ох и Оу переходит в
пару взаимно перпендикулярных
прямых О'х', О'у', а отрезки
е1 = ОЛ, ?ъ = ОВ, лежащие на Ох,
Оу и имеющие соответственно
длины а и Ь, переходят в отрезки
el, ej длины 1, лежащие на О'х', О'у'. В чем же состоит аффин-
аффинное преобразование <а^? Очевидно, в движении (собственном или
несобственном), которое переносит пару взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных прямых Ох и Оу соотиетстмеино и пару взаимно перпенди-
перпендикулярных прямых О'х', О'у', и и последующем сжатии или растя-
растяжении вдоль этих последних прямых в отношении а:\ и Ь:\.
Теорема 8 доказана.
Из теоремы 8 вытекает
Следствие. Пусть аффинное преобразование о^ представлено
в виде произведения ортогонального преобразования (т. е. собствен-
собственного или несобственного движения) и двух сжатий с коэффициен-
коэффициентами кг и k2. Тогда отношение длины образа любого отрезка к длине
прообраза этого отрезка заключено между числами кг и k2.
В самом деле, пусть u = {a, P} —какой-нибудь вектор и'—
= {a', P'} —его образ при преобразовании &€. Так как ортого-
ортогональное преобразование не меняет длины вектора, то можно пред-
предположить, что преобразование есть произведение двух сжатий
7 П. С. Александров
Рис. 95.
194
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(ГЛ VI
к осям прямоугольной системы координат с коэффициентами kx и
k2. Без ограничения общности можно предположить, что, напри-
например, l<L^k2. Тогда
Поэтому
|И' \=У a'
Аналогично
т. е.
/4-
М
что и треГхшалось доказать.
Если при этом к1 — к2 = и, то для любого вектора и н его
образа и' имеем
— преобразование of есть преобразование подобия. Итак:
Аффинное прсобрамоиаиие, являющееся произведением ортого-
ортогонального преобра.чоманни и днух сжатии с одним и тем же коэф-
коэффициентом, есть преобразоппино подобия. Отсюда п свою очередь
в виде непосредстиеппого следстппя иытокает
Тсо|I%мп !). Аффинное nfN't)fif}ti:u»uiHtn', отображающее какую-
нибудь vis/ujMHiicnih mi [ihiujmmxvih, cciuii преобразование подобия.
ГЛАВА VII
КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе будут перечислены различные виды поверхностей
второго порядка. В главе IX мы покажем, что каждая из поверх-
поверхностей второго порядка является одной из упомянутых в настоящей
главе, т. е. что мы перечислили все поверхности второго порядка.
Система координат по псей этой главе предполагается прямо-
прямоугольной.
§ 1. Распадающиеся поверхности
Если многочлен второй степени F (х, у, г) есть произведение
двух многочленов первой степени:
F(x, у, z) = (A1
то поверхность F (х, у, г) —0 распадается на пару плоскостей яг
и л2: A1x + B1y + C1z + D1=0 и А2х + В2у + С2г + Ог = 0. Если эти
плоскости пересекаются, то сделаем прямую их пересечения осью
аппликат, а биссекторные плоскости двугранных углов, образуе-
образуемых этими плоскостями, примем за координатные плоскости Oyz
и Oxz прямоугольной системы координат, беря в качестве плоскости
любую плоскость, перпендикулярную к лшшп пересечения данных
плоскостей (рис. (JG). Тшда данные плоскости лх н я2 получат
уравнения Ах + Ву = 0 и Лх — Ву = 0, а поверхность F(x, у, z) = 0,
распавшаяся на эти плоскости, будет поверхностью
(Ах + By)(Ax-By) = 0, т. е. Л2*2-ЯУ = 0. A)
Итак, всякая поверхность второго порядка, распадающаяся на пару
пересекающихся плоскостей, в некоторой системе координат имеет
уравнение A).
Если поверхность распадается на пару паралелльных плоскос-
плоскостей пх и п2, то примем за плоскость Оху прямоугольной системы
координат среднюю плоскость я между плоскостями ях и я2. Начало
прямоугольной системы координат О и векторы et и е^ возьмем
в плоскости я, а вектор вд направим перпендикулярно к плоскости я
(рис. 97); тогда плоскости nt и ла будут сштветственца иметь
7*
1вв РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА |ГЛ. VII
уравнения * —а и 2=»— а; уравнение пары плоскостей я1( «ц будет
t«-fl«-0. B)
Наконец, мы говорим, что уравнение
определяет
Приняв »ту плоскость за плоскость х = 0 новой координатной
системы, мы видим, что всякая поверхность второго порядка,
совпадающих между собой плоскостей
z+D~Q.
V
/ \
У **у^
/
/
/ /
о е, ух
/
Рис. 96.
Рис. 97.
являющаяся парой совпадающих между собой плоскостей, в неко-
некоторой системе координат может быть задана уравнением
2" = 0. C)
Мы увидим (в гл. IX), что поверхность, распадающаяся на
пару мнимых (сопряженных) плоскостей, может быть задана урав-
уравнением
если эти плоскости пересекаются, и уравнением
если они параллельны.
121
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
197
§ 2, Цилиндрические поверхности
Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в неко-
некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической
системе координат уравнением
Fix, У) = О, A)
где F{x, у) —многочлен второй степени
от переменных х и у. Кривая, опре-
определенная уравнением A) в плоско-
плоскости Оху, является направляющей кри-
кривой (основанием) цилиндрической по-
поверхности. Эта кривая может быть эл-
эллипсом, действительным или мнимым,
гиперболой или параболой, в зависи-
зависимости от чего мы и различаем эллипти-
эллиптические (рис. 98), мнимые эллиптиче-
эллиптические, гиперболические (рис. 99) и пара-
параболические (рис. 100) цилиндры., клпо-
ничеекме уравнения ко гори х сошыдаюг
с каноническими уравнениями их на-
направляющих кривых A). Если направ-
направляющая A) есть пара прямых, то ци-
цилиндрическая поверхность вырождается
в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпа-
Рис
-4-
Рис. 99.
Рис. 100.
дающих, действительных или мнимых — в зависимости от соответ-
соответствующего свойства лежащей в основании пары прямых).
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ 1ТОВЫ>ХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ VH
КОНУСЫ ВТОРОГО ПОРЯЖА
§ 3. Конусы второго порярда
Пел Геисп'вителытм шшусом второго порядка понимается
поверхность ггорого ясрядка, которая в некоторой прямоуголь-
прямоугольной системе координат задается уравнением
у2 «,2 ¦&
a2 "Г ft2 c2 —
A)
Это уравнение и система координат, в жсто-рой данный конус им
задается, называются каноническими для этого конуса (рис. 101).
Поверхность, получающаяся от вращения вокруг заданной пря-
прямой б какой-нибудь прямой d, пересекающейся с прямой^, называется
круглым конусом или конусом
в/ннце/нш. Выиедсм уравнение
кру!лого конуса. Для этого
примем прямую & за ось
--}-¦
Рис. 101.
аппликат, точку ее пересечения с прямой d — за начало коорди-
координат, а плоскость, проходящую через прямые й и d, — за плос-
плоскость Охг прямоугольной системы координат (рис. 102). Уравне-
Уравнение прямой d в плоскости Oxz можно записать в виде yyj = tg«,
у = 0, где а —острый угол наклона прямой d к оси Ог. Тогда
800'
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
уравнение поверхности вращения будет
= 0, B)
где /e = tga. Уравнение B) и есть каноническое уравнение круг-
круглого конуса.
Плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает конус B)
по окружности (например, плоскость z=l— по окружности х2-\-
-\-y2 = k2). Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении
получится эллипс (рис. 103) (читателю предлагается проверить это).
Плоскости, параллельные плоскостям Oyz и Oxz, пересекают
конус B) по гиперболам: например, в сечении конуса B) плоскостью
х = Ь получаем крнпую
к2г1 - у2 ^ Ь2,
т. е., полагая л = а,—гиперболу (рис. 104)
C)
Не только эллипс и гипербола, но и парабола являются
плоскими сечениями круглого конуса B). Для простоты положим
k— 1, тогда ураппеппе конуса будет
х'1+уг — га-=0. D)
Докажем, что параболой иплжтсл, например, сечение конуса D)
плоскостью я, заданном уранней нем
Х-7. -|-1= О
(рис. 105). Сделаем нрсоОра кшапме прямоугольных координат:
х' — г' 1 , х'+г' 1
В новой системе координат плоскость л является координатной
плоскостью г'=0, а поверхность D) получает уравнение
поэтому ее сечение плоскостью г' = 0 есть парабола
Итак, и эллипс, и гипербола, и парабола являются сечениями
конуса (даже круглого конуса). Поэтому эти кривые н называются
коническими сечениями. К плоским сечениям поверхностей второго
порядка мы еще вернемся с более общей точки зрения в главе VIII.
Наряду с действительными конусами второго порядка суще-
существуют еще мнимые конусы, которые в канонической для них
8ЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ
201
системе координат имеют уравнение
= 0.
(б)
Единственная действительная точка мнимого конуса есть точка
О = @, 0, 0). Ш дальнейшее изучение интереса для нас не представ-
представляет.
Заметим, наконец, что цилиндрические и конические поверх-
поверхности второго порядка (охватывающие, как мы видели, в виде
частного случая и все распадающиеся поверхности второго порядка)
будут объединены под общим наименованием вырождающихся по-
поверхностей второго порядка; им —в качестве невырождающихся
поверхностей — противополагаются эллипсоиды, гиперболоиды и па-
параболоиды, к определению и краткому описанию которых мы
и переходим.
§ 4, Эллипсоиды и гиперболоиды
Эллипсоидом (тчцгапаспним) называется поверхность, имеющая
в некоторой («канонической» для нее) прямоугольной системе
(«каноническое») уравнение
~Г" U2 ~1 г2 *
A)
Положительные числа а, Ь, с называются полуосями эллип-
эллипсоида A).
Эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда
Другими словами, эллипсоиды суть ограниченные поверхности.
Все плоские сечении j'Viniieotitki iwiummcn полному ограниченными
кривыми второго поржЬхИ, т. е. ;>ллишами.
Общий вид эллипсоида изображен па рис. 106.
Предположим, что а2^Ь2^с2 (изменяя, если нужно, оси
координат, мы всегда можем достигнуть этого). Если а = 1
то сечения эллипсоида плоскостями z = h суть окружности
— 4- ?- — 1 — — —h
(радиуса rh = —yc2 — ft2, вещественного лишь при |h|^с), а сам
эллипсоид получается вращением эллипса —j + -^ = 1, t/ = 0 вокруг
оси г. Так как с<.а, то вращение эллипса происходит вокруг
его второй оси (рис. 107), и полученный при этом элляяеоид
естественно назвать сжатым эллипсоидом вращения. Если же
Ш РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
а > b = с, то сечения эллипсоида плоскостями х = h суть окружности
h2 ' ИЛ /Л'
Радиусы этих окружностей равны гА = —]/аа — Л2 (они вещественны
лишь при
; эллипсоид получается от вращения эллипса
I'm 10G.
Рис. 107.
¦^ + |т =1. у = 0 (или эллипс;: -^ +-?¦ =1, 2= 0) иокруг оси Од;,
т. е. вокруг сто фокллыюи осн. I lojiyicnii.-iti ikiih-|»чпосil. называется
аытчтрпым эллипсоидом орииу
пин (pin-. I0.S).
1 Likdiii'ii, при it Ь г Li
ЛИППШ^ (I) ИПЛЖЧСН С(| ."poll
радиуса а (рис. 109).
Рис. 108.
Рис. 109.
Поверхность, задаваемая в какой-нибудь прямоугольной системе
координат уравнением
*я + ? + 1
ffl
ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ
$03
называется мнимым эллипсоидом. Мнимый эллипсоид не имеет
ни одной вещественной точки.
Однополоетным, соответственно двуполостным гиперболоидом
называется поверхность, имеющая в некоторой прямоугольной
системе координат уравнение
—а + -р 2 = 1 (однополостный гиперболоид (рис. 110)), B)
— -^ — -|j -f -^- = 1 (двуполостный гиперболоид (рис. 111)). C)
Прямоугольная система координат, в которой данный гипер-
гиперболоид имеет уравнение вида B), соответственно C), называется
канонической для этого гиперболоида, а сами уравнения B) и C)
называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Положитель-
Положительные числа а, Ь, с называются полуосями гиперболоидов B) и C).
Конус — + -—• — -^ ~ 0 определяется как общий асимптотический
конус обоих гиперболоидом B) и (.'!) (рис. 112).
Из уравнении B) и C) видно, что начало канонической для
данного гиперболоида системы координат является его центром
симметрии, координатные плоскости прямоугольной канонической
системы —его плоскостями симметрии, а оси координат этой
системы — осями симметрии. Всякий гиперболоид имеет три плоско-
плоскости симметрии.
Если а = Ь = с, то гиперболоид называется правильным.
Плоскость z — h пересекает однополостный гиперболоид B) по
кривой
Полагая 1 -\- \ = Х*,, бндим, что кривая D) есть эллипс
с1'
(а Я,й)»
= 1,
Все эти эллипсы подобны между собой: отношение их полуосей
h = — одно и то же, их эксцентриситеты равны эксцентриси-
эксцентриситету эллипса
являющегося пересечением однополостного гиперболоида B) о
плоскостью г = 0; этот эллипс называется горловым эллипсом данного
однополостного гиперболоида. При а = Ь эти сечения являют-
являются окружностями, а гиперболоид B) делается однополостным
204
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. VII
- Сь
ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ
205-
гиперболоидом вращения —о» получается при вращении гиперболы
^ — -j- — 1, ^ = 0 (или гиперболы -^ — -^ = 1, * = 0) вокруг оси
2, являющейся второй бсью каждой из этих гипербол.
Сечения однополостного гиперболоида B) плоскостями y = h
суть кривые ^у — -^ — 1 — -ja. Полагая XJ = 1 — -^ при | ft | < b
и Д — -gj — 1 при | h | > Ь, видим, что
эти кривые суть соответственно ги-
гиперболы (рис. 113)
Аналогично докачывлем, что се-
сечения однополопкого гиперболоида
B) плоскостями х h суть гиперболы
г2
при |А|<а,
о2'
при |ft|>fl, W = ^-l. Сечение Рис 113.
однополостного гиперболоида B) каждой из плоское гей у
есть пара прямых
уЗ УХ
= J-
Точно так же сечение однополостного гиперболоида B) каждой
из плоскостей х = ±а есть пара прямых
У2 г2 п
Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида
yfl f/2 7^
— — 4- — = 1 C)
с плоскостями, параллельными координатным.
Плоскость г = к при | h \ < с пересекает поверхность C) по мни-
мнимым эллипсам, при |Л|>с — по вещественным. Если а = Ь, то эти
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
эллипсы являются окружностями, а гиперболоид C) есть гипербо-
„ 2а X2
лоид вращения: он получается при вращении гиперболы -^- f =
= 1,# = 0^или ^-^ = 1,х=0
вокруг оси 2 (являющейся фо-
фокальной осью каждой из этих
гипербол). При \h\-c получаем
пару мнимых сопряженных пря-
прямых с одной вещественной точ-
точкой @, 0, с), соответственно
(О, 0,-с).
Плоскости x = h и y = h пере-
пересекают гиперболоид C) по гипер-
гиперболам (рис. 114) (плоскости х =
= ± а, у = ±Ь исключения не
представляют).
Мы определили асимптотиче-
асимптотический конус для обоих гипербо-
гиперболоидов B) и C) как конус
Х2 у2 22
Т« + '«.а — Та" = U- (Э)
Рис. 114.
Сравним сечения плоскости
z = h с каждым из гиперболои-
гиперболоидов B), C) и с конусом E). При этом предполагаем h>c.
Получаем эллипсы, полуоси которых суть
(сечение с однополостным
гиперболоидом B))
соответственно
и, наконец,
ah=a
С '
(сечение с двуиолостыым
гиперболоидом C))
(сечение с конусом (б)).
(8)
Мы видим, что
а'н <а„ «й, Ь1 <Ь„< Ы
Это значит, что в каждой плоскости г—/» эллипс, являющийся
ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ
сечением этой плоскости с конусом E). лежит между эллипсами,
являющимися секняяма той же плоскости с гиперболоидами B)
а C): общий асюштотичесжнй конус обоих гиперболоидов располо-
расположен «между» обоими этими гиперболоидами, как показывает
рис. 115.
Далее, имеем
т. е. выражение, стремящееся к нулю при |Л]-»-оо. Итак, при
|/г|->оо имеем а'н — <a?-»-0 и (аналогично) b'h — bJ,-^O и подавно
flA —ол-»-0, й* — А*-»-0. Следова-
Следовательно, три эллипса, являющиеся
сечениями плоскости z=A с гнаер-
болоидами B), C) и их асимпто-
асимптотическим конусом E), имея об-
общие направления осей и общий
центр, неограниченно сближаются.
Можно сказать, что при
|z|->oo оба гиперболоида B) и
C) неограниченно сближаются со
своим общим асимптотическим ко-
конусом.
Ояределение. Прямая, все-
всеми своими точками лежащая на
данной поверхности, называется
прямолинейной образующей этой
поверхности.
В § 6 этой главы мы пока-
покажем, что у однополостного гипер-
гиперболоида имеются прямолинейные
образующие.
Сейчас мы докажем, что у двуполостного гиперболоида вещест-
вещественных прямолинейных образующих нет. В самом деле, предпо-
предположим, что вещественная прямая d является прямолинейной обра-
образующей гиперболоида C). Прямая d не может пересекаться с пло-
плоскостью Оху (или лежать в ней), так как плоскость Оху не со-
содержит ни одной вещественной точки гиперболоида C). Но прямая d
не может быть я параллельной плоскости Оху, потому что в этом
случае она содержалась бы в пересечении гиперболоида C) с не-
некоторой плоскостью г = А, что невозможно, так как это пересече-
пересечение есть эллипс (вещественный или мнимый) и, значит, не содер-
содержит никакой прямой. Утверждение доказано.
Мы видели, что начало канонической для данной поверхности
системы координат является ее центром симметрии (единствентяя,
Рис. 115.
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
как мы докажем в главе VIII). Поэтому эллипсоиды и гипербо-
гиперболоиды получат в главе VIII общее название центральных невы-
невырожденных поверхностей второго порядка (класс вырожденных
центральных поверхностей составят конусы второго порядка).
§ 5. Параболоиды
Эллиптическим, соответственно гиперболическим параболоидом
называется всякая поверхность, которая в некоторой (канони-
(канонической для данной поверхности) прямоугольной системе координат
Ое^ез имеет каноническое уравнение
ч
для эллиптических параболоидов, A)
для гиперболических параболоидов; B)
при этом р и q — положительные числа («параметры» парабо-
параболоидов).
Общий вид эллиптического параболоида представить себе очень
легко (рис. 116): он расположен весь по одну сторону от пло-
плоскости г = О, а именно в полу-
полупространстве z^0\ сечения
плоскостями z = h, /i>0, суть
кривые — + — = 2h, т. е. эл-
эллипсы
=?+& = ». * = *¦ <3>
Сечения эллиптического па-
параболоида A) плоскостями у = 0
и х. = 0 суть соответственно па-
параболы
х2 = 2pz, у = 0 D)
Рис. 116.
у2 = 2qz, х = 0 E)
— главные параболы параболоида A); при этом параболу D)
условно назовем неподвижной, а параболу E)— подвижной.
Сечение эллиптического параболоида A) плоскостью 2 = 0есть
пара мнимых сопряженных прямых с единственной вещественной
точкой О («вершина параболоида»).
Все эллипсы C), являющиеся «горизонтальными» сечениями
эллиптического параболоида A), подобны между собой —они имеют
§5]
ПАРАБОЛОИДЫ
209
одно и то же отношение полуосей: '-f~=- I/ —, и один и тот же
У2ph г р
эксцентриситет. В частности, если p = q, то все эти эллипсы суть
окружности радиусов Y2ph; параболоид в этом случае есть пара-
параболоид вращения: он получается вращением параболы х2 = 2рг
(расположенной в плоскости у = 0) вокруг ее оси (рис. 117).
Эллиптический параболоид вещественных прямолинейных обра-
образующих не имеет. В самом деле, прямая d, параллельная пло-
плоскости Оху, лежит в некото- ,„'
рой плоскости г = h, следова- |
тельно, все ее точки пересече-
пересечения с параболоидом A) при-
принадлежат эллипсу, по кото-
которому плоскость z = h пересе-
пересекает параболоид (значит, у
нее не более двух общих
точек с параболоидом A)).
Если же прнм.чн </ не па-
параллельна плоскости Охц, то
целая ее полупрямая лежит
в полупространстве z «< О, не
содержащем ни одной точки
параболоида A).
Итак, никакая прямая не
может быть образующей па-
параболоида A). '
Можно дать следующее Рис- 47.
очень наглядное построение
эллиптического параболоида посредством скольжения одной па-
параболы вдоль другой (система координат все время предполагается
прямоугольной).
Возьмем сечение параболоида A) плоскостью х - дг0 (рис. 118);
получим в этой плоскости, снабженной (прямоугольной) системой
координат О0е2е3, где О0 = (х0, О, 0), кривую, уравнение которой
будет
1/2 1-«
или
где
= x0,
F)
G)
Перейдем в плоскости x — xQ от системы координат О0е2е3 к си-
системе координат О'е2е3, где О' = (х0, 0, z0) есть точка пересечения
210
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. VII
плоскости х = х0 с неподвижной параболой
x*=2pz, 0 = 0. D)
Перенеся начало координат системы О^вд в точку О*, мы произ-
произвели преобразование координат
в результате которого уравнение кривой F) получило вид
y'* = 2pz', х = х0; (8)
кривая F) есть та же «подвижная» парабола, но перенесенная
параллельно себе в плоскость х = х0, перенос этот можем осущест-
осуществить так, что першнпа подвижной параболы скользит по непо-
неподвижном параболе in точки О в точку О', а сама парабола при
j, , If. -г, 4
Рис. 118.
этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в пло-
плоскости, параллельной плоскости Oyz. Этот результат мы можем
сформулировать так:
Эллиптический параболоид (заданный уравнением A)) есть по-
поверхность, описываемая при движении одной («.подвижной») пара-
параболы E) вдоль другой, неподвижной D), так, что вершина по-
подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось
подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе,
причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвиж-
неподвижная) обращены вогнутостью в одну а ту оке сторону (а именно
в положительную сторону оси г).
ПАРАБОЛОИДЫ
211
Аналогичный способ построения применим и к гиперболиче-
гиперболическому параболоиду (рис. 119), поверхности, наглядное представ-
представление о которой при первом знакомстве с ней обычно требует от
учащегося некоторого небольшого усилия.
Сечениями гиперболического параболоида B) с плоскостями
у —0 и х = 0 снова являются две «главные» параболы:
неподвижная парабола
0 = 0 D)
x = 0, (9)
и подвижная
обращенные теперь вогнутостью в противоположные стороны: не-
неподвижная — «вверхж (т. е. в положительном направлении оси г),
а подвижная — «вниз» (в
отрицательном направле-
направлении оси г). Сечение плос-
плоскостью х = ха имеет ч си-
системе координат ()„к./?я (где
О0 = (х0, 0, ())) урлшкчше
или
где
г \ \
ZO — Or,'
10)
G)
или, наконец, после пере-
перенесения начала координат
в точку О' = (х0, 0, г„)
(лежащую на параболе х2 =
= 2pz, j/ = 0), уравнение
A1)
Последнее уравнение пока-
показывает, что кривая A0)
есть та же подвижная па-
парабола (9), только сдвину-
сдвинутая параллельно себе по-
посредством скольжения ее вершины вдоль неподвижной параболы из
точки О в точку О'. Отсюда следует, что гиперболический пара-
параболоид (заданный в прямоугольной системе координат уравнением
212
РЛЗЛИЧ71ЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ.
B)) есть поверхность, описываемая подвижной параболой у* =» —2qz,
х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы D) так, что
вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе,
а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время парал-
параллельными себе самим, при югом обе параболы вогнутостью все
время обращены в противоположные стороны: неподвиокная — вогну-
вогнутостью «вверх», т. е. * положи-
положительном направлении оси г, а под-
подвижная — «вниз».
Из этого построения видно,
что гиперболический параболоид
имеет вид седла.
Сечение гиперболического па-
параболоида плоскостью г =¦ 0 «сть
пара (вещественных) прямых
(рис. 120)
Рис. 120.
(являющихся парой образующих гиперболического параболоида).
Ссчсипе плоское ||,ю г*=пфО есть гипербола, уравнение кото-
котором cuii (и ciiucMo координат ОЛс,е2, где 0Л — точка пересечения
оси г с плоскостью z^-h, а векторы clt e.^ те же, чю и в исход-
исходном иклемс Oe,iyij)
V/./i v
z =//.
При h >- 0 (|к11.,| мл.г,1 ом. 'мой i inn pOoJii.i luiip.in(к ii,i по псктору
{1, 0, (.)}, т. е. M,ip;ui./!c\/ibiio оси лчщиг, а при h <.О — парал-
лолыю оси ординат, так что проекции па плоскость Оху гипербол,
получающихся в сечении параболоида B) плоскостями
г = п и z = — h,
являются сопряженными гиперболами в плоскости Оху.
При |/i|->oo эти гиперболы имеют неограниченно возрастаю-
возрастающие полуоси y^2p|/i| и \f2q\h\, отношение которых постоянно
и равно 1/ —, так что все гиперболы, являющиеся горизонталь-
горизонтальными сечениями гиперболического параболоида, подобны между
собой.
§ 6, Прямолинейные образующие
Нас интересуют в этом параграфе лишь вещественные прямо-
прямолинейные образующие только что рассмотренных поверхностей. Мы
видели, что эллипсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллипти-
ПР.ЯМОЛИИЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
213
ческие параболоиды их не имеют вовсе. Докажем, что через каж-
каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического пара-
параболоида проходят (по крайней мере) две (различные) вещественные
прямолинейные образующие.
1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Пусть однополостный гиперболоид задан своим каноническим
уравнением
Перепишем это уравнение в виде
ИЛИ
т)\1 т)-
<П
B)
Рассмотрим теперь пару исщостпепных чисел а, р", не равных одно-
одновременно пулю, и дли каждой такой пары напишем систему
уравнений
C)
В частности, при а ^= 0, р = 0 получаем
а ' с '
а при а — О, р Ф О
D)
E)
Для каждой пары чисел а, р наши уравнения определяют пару
плоскостей, как легко видеть, не параллельных (в широком смысле
слова) и, следовательно, пересекающихся по прямой. Прямая эта
целиком лежит на гиперболоиде A). В самом деле, каждая ее
точка М = (х, у, г) удовлетворяет обоим уравнениям C), а следо-
следовательно, уравнению, полученному почленным перемножением урав-
уравнений C), и, значит, уравнению A). Случай, когда один из мно-
множителей а, р равен нулю, исключения не представляет, так как
точка М = (х, у, г), удовлетворяющая системе уравнений D) или
E), удовлетворяет и уравнению A).
214
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Итак, мы получили семейство прямолинейных образующих
гиперболоида A) (рис. 121). Семейство это назовем семейством I;
оно, очевидно, зависит от одного параметра
и = р : а.
Докажем, что через каждую точку М0 = (х0, у0, г0) гиперболоида (I)
проходит одна-единственная прямая семейства I.
В самом деле, мы ищем прямую C), проходящую через точку
М0 = (х0, yQ, г0) и удовлетворяющую уравнению A), так что для
определения отношения Р : а имеем
уравнения C), которые (после за-
замены х, у, г на хп, у0, г„) могут
быть записаны и ипде следующих
пропорции:
причем выполнено тождество
Рис- 121.
временно
получпкицесся. если подставить
it A) киордми.и'ы х — х0, у = у0,
2=2,, I(><11\it Л/„. И силу тожде-
iiii.i Bп) мы можем для определе-
определения отношения Р:а воспользо-
воспользоваться любым из уравнений CJ,
C2). Первое из них делается
неопределенным, лишь если одно-
и — + — = 0; но в этом случае мы можем
воспользоваться уравнением C2), так как ари 1+у = 0 во вся-
всяком случае 1 — ^=5^0 и, значит, отношение р: а определится из
C2). Итак, если задана точка М0 — (х0, у0, Zo), то однозначно нахо-
находится отношение |5:а, определяющее прямую семейства I, прохо-
проходящую через точку Мо.
Отсюда следует, что никакие две прямые семейства 1 не пере-
пересекаются (так как если бы они пересекались в некоторой точке Ми
то эта точка была бы точкой гиперболоида A), через которую
проходят две прямые семейства I, а такой точки, по только что
доказанному, не существует).
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ
215
Легко проверить, что среда прямых семейства I нет двух па-
параллельных.
Аналогично уравнениям C) можно было бы для любой пары
чисел а', Р', не равных одновременно нулю, написать систему
уравнений
определяющую прямую, лежащую на гиперболоиде A): каждая
точка М — (х, у, г), удовлетворяющая двум уравнениям C'), удов-
удовлетворяет и уравнению, полученному от почленного перемноже-
перемножения этих уравнений, и, значит, удовлетворяет уравнению A).
Итак, уравнения C') также определяют семейство прямоли-
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида A), зависящее
от одного параметра у=Р':а'; это семейство мы назовем семейст-
семейством II (рис. 121).
Совершенно i.'ik >м\ как ш.ппе, ми убеждаемся в том, что через
каждую точку М~(х, у, г) гиперболоида A) проходит одна-един-
одна-единственная образующая семейства II.
Наконец, совместное рассмотрение уравнений C) и C') (для
данных р : а = и и fJ': а' = v) позволяет установить, что каждая
образующая семейства I пересекается с каждой образующей се-
семейства II (или параллельна ей в узком смысле слова). Читателю
предлагается (в виде задачи) провести относящиеся сюда рассу-
рассуждения.
2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида.
Начнем с чисто геометрического рассмотрения вопроса. Пусть дан
параболоид
2г = ^-^. F)
Рассмотрим аффинное преобразование
х
У1>'
У ¦,/— >
У q
Тогда уравнение параболоида примет вид
2г'=*'2-гЛ G)
Рассматриваем сечения параболоида G) плоскостями
У'=х' + с, (8)
у'=-х'+с, (9)
параллельными плоскостям у' = ±х'. Подставляя (8) в G), видим,
что пересечение параболоида G) с плоскостью (8) есть прямая
2г' = — 2сх'-с*, у'=х'-\-с, A0)
216
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ТГОРЯДКА
1ГЛ. VI!
Аналогично, пересечением параболоида G) с плоскостью (9)
есть прямая
A1)
Когда с пробегает все значения от —со до +оо, плоскость (8)
(так же как и плоскость (9)) пройдет через все точки парабо-
параболоида, который, таким образом, оказывается покрытым двумя
семействами прямых I и II, определяемыми уравнениями A0) и
A1) (рис. 122). Через каждую точку М параболоида G) проходит
единственная плоскость вида (8) и единственная плоскость вида
(9), ;i in.мим, и спит ilU'iin.ni iipiiMd.iiiiii'iin.iw ofip.i (ующля каж-
каждою п.-i cc'Meiirni 1 и II. При лом псе образующие семейства I
параллельны плоскости у' = х', а все образующие семейства II
параллельны плоскости у' = — х'.
Можно было бы получить тот же результат и для любого
параболоида, заданного своим каноническим уравнением
2z = ?_?. F)
(только вместо плоскостей у' = ± х' были бы рассмотрены плоско-
Vp VQ I
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида
могут быть аналитически найдены способом разложения на мно-
множители, аналогичным тому, который мы применили в случае
однополостного гиперболоида. Именно, перепишем каноническое
уравнение
прямолинейные ОБРАЗУЮЩИЕ
гиперболического параболоида в виде
217
A2)
и рассмотрим для каждой пары чисел а, р\ не равных нулю
одновременно, уравнения двух плоскостей:
A3)
Эти плоскости пересекаются по прямой, целиком лежащей на
параболоиде F). Прямые A3), каждая из которых определена
отношением р : а, образуют одно семейство прямолинейных обра-
образующих параболоида. Второе семейство получим, если рассмотрим
(для каждой пары чисел а', Р', не равных нулю одновременно)
систему уравнении
A3')
Снова доказываем, что через каждую точку гиперболического
параболоида F) проходит по одной образующей каждого семей-
семейства, что две образующие, принадлежащие к разным семействам,
пересекаются, а принадлежащие к одному и тому же семейству
всегда скрещиваются.
Наконец, очевидно, что образующие семейства I, определяемого
уравнениями A3), параллельны плоскости
X
V7'
о.
а образующие семейства II, определяемого уравнениями A3'),
параллельны плоскости
ГЛАВА VIII
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I
§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы
многочлена второй степени
Рассматриваем общее уравнение поверхности второго порядка
в произвольной аффинной системе координат Охуг:
F(x, у, z) = a
+ 2а±
a3z + а0 = 0.
A)
Как всегда, полагаем
Ф (х, у, г) = апх2 + 2а12
+ 2a13xz + 2a2iyz + ai3z\ B)
Вводим еще следующие обозначения:
А/'-
".•и "»j
A, U2
".•и «a» °3il|
Матрицу AF называем большой матрицей уравнения A), матрицу
Л<р — малой матрицей. Ранги этих матриц называем соответственно
большим и малым рангом поверхности, задаваемой уравнением A),
и обозначаем их соответственно через R и г. Мы сейчас увидим,
что эти ранги не зависят от выбора системы координат, в кото-
которой задается уравнение поверхности. Детерминанты матриц Ар и
Л<р обозначаются соответственно через А и б.
Мы знаем, что при сдвиге начала координат малая матрица,
а значит, и ее детерминант не меняются.
При линейном однородном преобразовании
Cl3
С21 С22
C)
ранг г матрицы А$ не меняется, а детерминант б (как дискрими-
дискриминант квадратичной формы ф(я, у, г)) умножается на с2,
РАНГ И ДЕТЕРМИНАНТ МАЛОЙ И БОЛЬШОЙ МАТРИЦ!*
219
Так как всякое преобразование координат сводится к сдвигу
начала координат и к однородному преобразованию вида C), то
при переходе от системы координат Охуг к произвольной новой
системе координат O'x'y'z' ранг г матрицы Л,, не меняется, а ее
детерминант б умножается на квадрат детерминанта преобра-
преобразования.
Докажем аналогичное утверждение для большого ранга R и
детерминанта А.
Возьмем общие формулы преобразования координат:
у = с21х'
22у'
c23z'
d2,
с21
с13
с23
=сф0.
D)
Наряду с многочленом F(x, у, z) рассмотрим квадратичную форму
Ф(х, у, z, t) = allx2 + 2a^xy + aiiyi + 2al1lxz + 2a.!ayz +
-|- а33г2 + 2а,х1 + 2а.д1 + 2a3z
и преобразование
х = спх' + с12у' + c13z'
z =
+
t'.
D')
'•jl
0
''.•u
0
MJ
'2.1
0
rfl
1
Oi ма fii
On '32 c:i3
Тогда Af есть матрица формы Ф(дг, у, г, t), а Д —ее дискрими-
дискриминант. При преобразовании D') рант R формы Ф остается неиз-
неизменным, а ее дискриминант умножается на квадрат детерминанта
преобразования D*), т. е. на
E)
Мы доказали следующее предложение:
Основная лемма. При преобразовании координат D) ранги
R и г матриц АР и Лф остаются неизменными, а их детерми-
детерминанты А и б умножаются на квадрат детерминанта преобразо-
преобразования D) и, следовательно, сохраняют свой знак.
Замечание 1. Если преобразование D) есть сдвиг начала
координат, то си = с22 = с33= 1, а с12 = с1Я==сп = сгз — с31 =
= сза = 0л так что детерминант E) равен 1. Поэтому при переносе
начала координат не только детерминант 8, но и детерминант А
остаются неизменными.
Замечание 2. Так как детерминант 6 есть детерминант
третьего порядка, то при умножении всех его элементов на — 1
220
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I [ГЛ. VIII
знак б меняется на обратный. Зато знак детерминанта А не меня-
меняется при умножении его элементов (т. е. всех коэффициентов
уравнения A)) на — 1, значит, и на любой вообще множитель
§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью
Пусть даны поверхность второго порядка и плоскость. Пе'-
рейдем к такой системе координат Охуг, в которой данная пло-
плоскость была бы плоскостью Оху, т. е. имела бы уравнение
Запишем и vroi'i системе координат уравнение нашей поверх-
поверхности:
Г(х, у, z)^alix2 + 2alixy-\-a.i.itj*-\-'2al:ixz \-2ariyz +
=0. 0)
и будем решать его совместно с уравнением
2 = 0. B)
Получим уравнение
F(x, y)=zallxi\-2al.ixi/+a.i.ii/ + 2alx + 2a2y + a0^0. C)
Этому уравнению и удовлетворяют точки, одновременно лежащие
на поверхности A) и на плоскости B). Мы мидим, чго, вообще
говоря (т. е. :i;i исключением особою случ.чя ап а,2 = а22 = 0,
который мы cei'm.'ic oijy.nt.iKi p;i i(V|k'm), урлииепне (Л) есть урав-
уравнение шорой cieiieini, опргмгчнкипн' игмморую (лежащую в пло-
плоскости z 0) кримун» шпрот ипридк.!, Koiop.iH и является пере-
пересечением данной поверхности второго порядка с данной плоскостью.
Переходим к случаю
йп = а12 = я22 = 0.
Предположим, что по крайней мере один из коэффициентов alt a2
отличен от нуля. В этом случае пересечение поверхности A)
с плоскостью z = 0 есть прямая
2а±х + 2а2у + а0 = 0.
Пусть теперь не только ап = а12 = а22 = 0, но и
Если при этом и ао = О, то уравнение поверхности A) имеет вид
z Bа13х + 2а23у + a33z + 2а3) = 0
— поверхность распадается на пару плоскостей:
2 = 0, 2а13х + 2023*/+йзз2 + 2а3 = О,
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ
221
бдной из которых является данная плоскость 2 = 0. Найонец,
последняя возможность состоит в том, что
«и — an-flBj-aj-aj-O, но ао^0.
Тогда уравнение (8) приводит к противоречию: ао = О (тог-
(тогда как дано, что ОрУ'О), означающему, что нет ни одной точ-
точки (ни вещественной, ни мнимой), которая лежала бы одновре-
одновременно на данной плоскости н на данной поверхности второго
порядка.
Итак, доказана
Теорема 1. При пересечении поверхности второго порядка
с плоскостью могут представляться лишь следующие случат
(а) поверхность пересекается с плоскостью по кривой второго
порядка;
(б) поверхность пересекается с плоскостью по (вещественной)
прямой линии;
(в) поверхность распадается на пару плоскостей, одной из
которчх явлчетеп данная плоскость (входящая, таким образом,
в состав рассматриваемой поверхности);
(г) поверхность не имеет с плостстью ни одной общей точки
(ни вещественной, ни мнимойI).
Замечание. В случае (а) кривой второго порядка, являю-
являющейся пересечением данной поверхности второго порядка с данной
плоскостью, может быть
(ах) нераспадающаяся действительная или мнимая кривая, т. е.
эллипс (действительный или мнимый), гипербола или парабола;
(а2) пара пересекающихся вещественных прямых;
(а3) пара мнимых сопряженных прямых, имеющих единствен-
единственную вещественную (общую) точку, которая и является единствен-
единственной вещественной точкой,'лежащей одновременно на данной поверх-
поверхности второго порядка и в данной плоскости;
*) Эта теорема с указанными ¦ ней четырьмя различными случаями пред-
представляется довольно урс^ливой; а главе X мы перейдем от обыкновенного
(комплексного) пространстве к проективному пространству, получаемому из
обыкновенного пространства пополнением его бесконечным множеством так
называемых несобственных (или бесконечно удаленных) точек, образующих
в своей совокупности несобственную (или бесконечно удаленную) плоскость
(с лежащими в ней несобственными, или бесконечно удаленными прямыми).
Если рассматривать нашу поверхность в проективном пространстве, то случай
(б) будет состоять в том, что пересечение поверхности е плоскостью является
кривой второго порядка, распавшейся на пару прямых, одна из которых лежит
в несобственной плоскости («ушла в бесконечность»), а случай (г)—в том, что
пересечением является пара совпадающих между собой несобственных прямых.
Таким образом, в проективном пространстве возможны лишь два случая: либо
пересечение поверхности второго порядка с плоскостью есть кривая второго
порядка, либо поверхность распадается на пару плоскостей, одной из которых
является данная плоскость.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОМДКА. I [ГЛ. VHI
(а4) пара параллельных в собственном смысле вещественных
или мнимых сопряженных прямых;
(а„) пара совпадающих вещественных прямых.
б)
Рис. Ш.
Как мы увидим ниже, возможности (а2), (а3), (аб) характери-
характеризуют различные случаи касания данной поверхности второго
порядка с плоскостью (рис. 123).
§ 3. Пересечение поверхности второго порядка
с прямой, Асимптотические направления.
Касательные прямые и касательная плоскость^
Особые точки поверхности второго порядка
То, что говорилось в главе VI о пересечении алгебраиче-
алгебраической кривой с прямой, можно было бы —с несущественными и
очевидными изменениями — повторить и о пересечении алгебраи-
алгебраической поверхности
Р(х, у, г) =
С1 а)
Касательные прямые и касательная плоскость
223
с прямой
Как всегда, мы будем предполагать, что и поверхность AА) и
прямая B) являются вещественными; в соответствии с этим все
коэффициенты в уравнениях Aд) и B) всегда предполагаются
вещественными.
Мы ограничимся случаем, когда данная поверхность Aд) —вто-
—второго порядка, т. е. когда ее уравнение есть
F(x, у, z) = anxt + 2alitxy + aiay!i + 2at3x2 + 2az3yz +
+ аа^1+2а1х+2щу+20^+0^=0. A)
Гтаршие члены многочлена F(x, у, г) образуют квадратичную
форму
ц>(х, у, г) аих* | 2al2.xy | а12у* + 2al3xz-f 2a23yz + a^z2. C)
Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями, которых
будем постоянно придерживаться в этой главе1):
Fj,1x, у, г)=ак^с+аиу-^-аЬяг-{-аь,
1, 2, 3.
D)
Для нахождения точек пересечения поверхности A) с прямой B)
подставим B) в A); после приведения подобных членов получим
уравнение второй степени относительно I, а именно:
/!*» + 25* + С = 0, (б)
где, как легко проверить,
F)
Y
= Fi (х0, у0, 20) a + /\j (х0, у0, 20) Р + F3 (х0, у0, z0) у,
= F{x0,y0, 20).
Уравнение E) есть квадратное уравнение, за исключением того
случая, когда
Ф(о, р, Т) = 0. G)
-к „ . дР dF 3F
*) Читатель, знающий, что такое частные производные —=—, —;—, ~^—
ах ду аг
функции Fix, у, г) от трех переменных, сразу заметит, что Л (х, у, г) ==
1 dF „ , х 1 dF _ , , 1 дР
224
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I [ГЛ. Vllf
Вектор и = {а, р\ у}, удовлетворяющий условию G), называется
вектором асимптотического направления или просто асимптоти-
ческам вектором поверхности A); прямая, направляющий вектор
которой является асимптотическим, называется прямой асимпто-
асимптотического направления для данной поверхности.
Замечание. Повторяя в точности рассуждения § 3 главы
VI, убеждаемся в том, что вопрос о том, является ли данное
направление асимптотическим или нет для данной поверхности
второго порядка, зависит только от этой поверхности и от данного
направления и не зависит от системы координат, в которой задано
уравнение этой поверхности.
Если прямая B) имеет неасимптотическое направление, то
уравнение E) кнлдр.тпюе и имеет два корня tu ^ — веществен-
вещественные различные, или мнимые сопряженные, или совпадающие
(ueiueii ценные). Подианляя эти шлчеппя /, и /2 в равенства B),
получим две точки пересечения (пещестаенные или мнимые, быть
может, совпадающие) прямой B) и поверхности A). Итак:
Если прямая B) имеет неасимптотическое направление, то
она пересекает поверхность (I) в двух точках — различных (дейст-
(действительных или мнимых сопряженных) или совпадающих (действи-
(действительных), получающихся, если подставить в B) любой из двух
корней t ^ /, или t t.t квадратного уравнения E).
Если обе точки пересечения прямой B) с поверхностью A)
сливаются в одну, т. с. урашкчше E) имеет сшшадлющие корни,
то прямая B) называется касательной к поиерхности.
В этом случае ч.ч точку М„ -{хи, !/„, г„) прямой B) возьмем
точку, лежащую ii;i пош'рхнш ш (h,i п>чки и будет точкой при-
коснопенми примни к пимсрмип ш). I ni д,ч (! /'С*",), уа, Z0) = 0 И
ураппеппе (¦'>) принимай цид /1/а | 2IH О, г. о.
2В
Один его корень есть tx = 0, второй t2 = -г-', для того чтобы
он тоже был равен нулю, надо, чтобы было 5 = 0, т. е.
7 = 0. (8)
*о- Уо,
уй,
Это и есть условие, которому должен удовлетворять направляю-
направляющий вектор {а, р*, у) прямой B), проходящий через точку Мо =
= (хо> Уо> го) поверхности A), чтобы эта прямая была касательной
(и тогда она будет касательной в точке Мо).
Имеется бесконечное множество прямых, проходящих через
точку Мо, с направляющими векторами, удовлетворяющими усло-
условию (8), т. е. бесконечное множество касательных к поверхности
A) в данной ее точке Мо. Пусть М = (х, у, г) — произвольная
точка любой из этих прямых. Тогда {х — х0, у — у0, г — го\ есть
S81
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
225
направляющий вектор этой прямой, и он удовлетворяет уравнению
РЛхо, Уо> zo)(x-xo)-\-Fl(xo, y0, го)(у-у0) +
+ Fb(x0, уо. го)(г~г0) = 0. (9)
Итак, все точки М=*(х, у, г) всех касательных, проведенных
к поверхности A) в точке М0 — (х0, у0, г0), удовлетворяют уравне-
уравнению (9); уравнение (9) —первой степени, следовательно, это урав-
уравнение некоторой плоскости, проходящей через точку Мо. Плоскость
эта называется касательной плоскостью к поверхности A) в точке
Мо: она несет на себе все прямые, касающиеся поверхности A)
в точке М0 = (х0, у0, z0). Уравнение (9) и есть уравнение каса-
касательной плоскости к поверхности A) в ее точке М0 = (х0, у0, г0).
В развернутом виде это уравнение записывается так:
(апха + а12у0 + a13z0 + а,) х + (а21х0 + а^уй + а23г0 + а2)у +
+ («31*0 + «зай + аязг0 + аа) г + (агх0 + а^у0 + a3z0+аа) = 0. (9')
Уравнение (9) может быть переписано п виде
ед
через \-gjA и т.
-gjA и т. д. обозначены значения соответствующих
оизо ф F(
где —«Mv»^*«y ivslu, пл
частных производных функции F(x, у, z) в точке М0 = (х0, у0, z0).
В этом виде в курсе анализа записывается уравнение касатель-
касательной плоскости к поверхностям, значительно более общим, чем
поверхности второго порядка (и алгебраические поверхности
вообще).
Особые точки поверхности второго порядка. Воз-
Возникает вопрос: когда уравнение (9) касательной плоскости стано-
становится неопределенным?
Очевидно, это происходит лишь тогда, когда одновременно
Fk(x0, Уо, г0) = аЛ1д:0 + а^0 + а/(зго + аА( = 0, A0)
причем в то же время
Но
Уо,
+ «23*0 + <h) Уо
+ a1xo+a2yo+a3zo-jrao. A1)
Если выполнено A0), то тождество A1) превращается в
F{x0, Уо, z0)^alx0+aiy0+a3z0+a0,
а A0)-в
«1*0+^0 + ^0 + 00 = 0. A2)
8 П. С. Александров
226
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1 1ГЛ. VIII
Это равенство вместе с равенствами A0) показывает, что четверка
чисел (xQ, i/o, 20> 1) образует ненулевое решение системы уравне-
уравнений
= 0, й=1, 2, 3,
\ а
Значит,
«аз a»
= 0.
A3)
Поверхности второго порядка, данные уравнением A), коэффи-
коэффициенты которого щЫшчшшряют условию A3), называются выро-
ждающимися, а точка Mft = (х„, уп, 2„), удовлетворяющая уравне-
уравнениям A0) w A0), называется особой точкой поверхности A).
Из доказанного следует, что только у вырождающихся поверх-
поверхностей могут быть особые точки.
Итак, только в случае вырождающейся поверхности второго
порядка и только в ее особой точке Мо = (*„, у0, г0) касательная
плоскость к поверхности A) оказывается неопределенной. Попутно
мы доказали, что при выполнении условий A0) условия A0) и A2)
вквивалентны между собой.
§ 4. Асимптотические направления, конус
асимптотических нлмрнилемий, прямолинейные
imiiepxiKH icil niopoio порндка
Пусть иектор {а, р1, у) ^"п. вектор асимптотического направ-
направления для поверхности второго порядка
F(x, у, 2) = 0, A)
т. е. пусть ф(а, р, у) = 0. Прямая
B)
имеет вектор {а, C, у} своим направляющим вектором, т. е. есть
прямая асимптотического направления. Тогда коэффициент А
в уравнении E) предыдущего параграфа равен нулю, и само это
уравнение приобретает вид
2Я* + С = 0. C)
Возможны следующие случаи:
1° ВфО; тогда уравнение C), т. е. уравнение E) предыдущего
параграфа, есть уравнение первой степени; единственный его
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
227
корень определяв* единственную точку пересечения поверхности
A) с прямой B).
2° 5 = 0, С ф0; уравнение C) противоречиво (так как при-
принимает вид С = 0 при СфО), уравнения A) и B) несовместны,
прямая B) не имеет с поверхностью A) ни одной общей точки,
ни действительной, ни мнимой. В этом случае прямая B) назы-
называется асимптотой поверхности A).
3° 5 = С = 0; уравнение C) обращается в тождество 0 = 0,
оно удовлетворяется при всех значениях /, все точки прямой B)
принадлежат поверхности A), прямая B) есть прямолинейная
образующая поверхности A).
Доказана следующая
Теорема 2. Прямая B), имеющая асимптотическое направ-
направление по отношению к поверхности A) второго порядка, может
находиться в одном из следующих положений:
1° Она имеет с поверхностью A) единственную и тогда непре-
непременно вещественную общую точку.
2° Она пвлнетеп асимптотой поверхности (т. с. не имеет
с ней ни одной общей точки, ни вещественной, ни мнимой).
3° Она является прямолинейной образующей поверхности (т. е.
всеми своими точками лежит на поверхности A)).
Посмотрим теперь, каковы асимптотические направления поверх-
поверхностей различных видов, определенных в предыдущей главе.
В случае эллипсоида, заданного своим каноническим уравне-
уравнением ~ + -|j + -^- = 1, асимптотические направления {о: р : у} опре-
а* 6s vs
деляются из уравнения -^а~+-р- + -^г = 0; все эти направления
являются мнимыми.
Асимптотические направления однополостного и двуполостного
гиперболоидов, заданных их каноническими урлппештмн
jt2 и- г3 х2
-&+Ь-~ё==1' соответственно _ —_
г2
= 1, D)
суть направления образующих их общего действительного асим-
асимптотического конуса
Эллиптический параболоид
р>0,
E)
F)
имеет асимптотические направления {а: р; у}, удовлетворяющие
уравнению
8*
228
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Т {ГЛ. VIII
все эти направления мнимые, за исключением одного, а именно
направления {0:0:7}, уфО, оси г канонической для данного
параболоида системы координат. Асимптотические направления
гиперболического параболоида
р я
определяются условием
р>0,
G)
это всевозможные направления, коллинеарные какой-либо одной
(или обеим) из плоскостей
Vp~rVq~'"> Vp
Все эти направления действительны.
Все прямые, являющиеся образующими асимптотического конуса
E) обоих гиперболоидов D), суть асимптоты каждого из этих
гиперболоидов; любая другая прямая асимптотического направле-
направления пересекает двуполостным гиперболоид
в единственной точке; г> случае одпополостного гиперболоида име-
имеются, кроме того, и прямолинейные образующие (известные нам
из § 6 предыдущей планы).
Все действительные прямые асимптотического направления по
отношению к эллиптическому параболоиду F) параллельны между
собой (они параллельны оси г) и пересекают параболоид в един-
единственной точке; читатель легко проверит это. У эллиптического
параболоида нет ни действительных асимптот, ни (как мы уже
знаем из предыдущей главы) действительных прямолинейных обра-
образующих.
Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению
к гиперболическому параболоиду G), параллельна одной из двух
плоскостей (8); она или является. прямолинейной образующей
(см. гл. VII, § 6), или пересекает параболоид в одной точке, или,
наконец, не имеет с ним ни одной общей точки (является его
асимптотой).
Асимптотические направления конуса суть направления егр
образующих. Асимптот конус не имеет. Ёсякая прямая, имеющая
по отношению к конусу асимптотическое направление и не явля-
являющаяся его образующей, пересекает его в одной точке.
Переходим к асимптотическим направлениям цилиндрических
поверхностей.
S Ч АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 229
1° Асимптотические направления эллиптического цилиндра
суть направления {а:Р:у}, удовлетворяющие условию
а2 "Г" b2 -U.
среди них действительным является лишь направление {0:0: у},
у Ф 0, оси 2 канонической системы координат.
2° Асимптотические направления гиперболического цилиндра
суть все направления, параллельные одной (или обеим) из двух
плоскостей
3° Асимптотические направления параболического цилиндра
суть все направления, параллельные плоскости у = 0. Прямая,
имеющая асимптотическое направление по отношению к данному
цилиндру, может находиться в любом из трех положений, пре-
предусмотренных теоремой 2: эта прямая может быть образующей
цилиндра, она может быть параллельной образующей и не иметь
с цилиндром ни одной общей точки, наконец (в случае гипербо-
гиперболического и параболического цилиндров), она может пересекать
поверхность в единственной точке.
Асимптотические направления поверхности, распавшейся на
пару плоскостей, суть направления, параллельные одной из этих
плоскостей (или им обеим).
Если все векторы, имеющие относительно данной поверхно-
поверхности A) второго порядка асимптотические направления, прилагать
к какой-нибудь точке Мо, за которую удобнее всего брать начало
данной системы координат, то эти векторы (и их концы) запол-
заполнят коническую поверхность с вершиной Мо; если Л40 = @, 0, 0),
то уравнение этой поверхности есть ц>(х, у, z) = 0. Эта кониче-
коническая поверхность называется конусом асимптотических направле-
направлений данной поверхности.
Если поверхность центральная, то конус асимптотических
направлений с вершиной в центре данной поверхности называется
просто асимптотическим конусом поверхности.
Асимптотический конус гиперболоидов известен нам уже из
главы VII; асимптотическим конусом эллипсоида является мнимый
конус, заданный (в канонической для данного эллипсоида системе
230
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОвЕРХНОСШ* ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1 [ГЛ. VIH
*4 цЯ Л
координат) уравнением -^ + "fi + H*=®- Конус асимптотических
направлений параболоидов
распадается в пару пересекающихся плоскостей, мнимых и сопря-*
женных:
для эллиптического параболоида, и действительных:
Р Я
для гиперболического параболоида.
Асимптотический конус конической поверхности совпадает
с самой этой поверхностью. Наконец, конус асимптотических
Рис. 124.
направлений цилиндрической поверхности есть пара плоскостей —
мнимых и сопряженных (пересекающихся по действительной пря-
прямой), если цилиндр эллиптический; пересекающихся действитель-
действительных, если цилиндр гиперболический (рис, 124, а); совпадающих
(и действительных), если цилиндр параболический (рис. 124, б).
Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отношению
к данной поверхности асимптотическое направление, являются
прямолинейные образующие этой поверхности.
Пряма» B), проходящая через точку М0 — (х0, у0, ze) поверх-
поверхности A), является образующей этой поверхности, если для нее
АСИЯПТОТНЧНСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
231
выполнены условия А=0, В = 0 (условие С = 0 выполнено авто-
автоматически: оно означает, что точка Мо лежит на поверхности A)).
Первое из этих условий, т. е. А — О или
Ф(а, р, v) = 0, (9)
означает, что прямая B) имеет асимптотическое направление;
второе условие 5 = 0, т. е.
y0,
y0,
A0)
()
означает, что прямая B) лежит в касательной плоскости к поверх-
поверхности A) в ее точке Мо. Итак:
Теорема 3. Прямолинейные образующие поверхности A), про-
проходящие через точку Мо этой поверхности, суть не что иное, как
прямые асимптотического направления, проходящие через точку Мо
и лежащие в касательной плоскости к поверхности в этой ее точке.
Замечание 1. Так как мы рассматриваем прямолинейные
образующие, проходящие чореч длимую точку Ма пгшерхпости, то
для их нахождения ikim ii;i(i,o только определить их направляю-
направляющие векторы. По эги иекторы должны удовлетворять условиям A0)
и (9). Из уравнения A0) можно, вообще говоря, одну какую-
нибудь координату, например у, выразить через две другие—а
и Р и подставить полученные для нее выражения в (9); после
этого квадратное уравнение (9) даст нам два значения (действи-
(действительных или мнимых) для отношения а:0; этим и дан способ
фактического нахождения прямолинейных образующих. Так как
они лежат в ^касательной плоскости, то они и составляют ту
(распадающуюся) кривую второго порядка, по которой касатель-
касательная плоскость в точке Мо пересекается с поверхностью A).
Рассуждение это делается несостоятельным, если одно из двух
уравнений (9) и A0) является следствием другого, в частности,
если уравнение A0) обращается в тождество, что имеет место,
если поверхность A) есть конус, а точка М0 = (х0, у0, z0) —его
вершина; тогда
у0, го) =
у0, г<)) =
у0, 2о) =
Если же поверхность распадается на пару пересекающихся пло-
плоскостей, то уравнение (9) эквивалентно двум линейным однород-
однородным уравнениям, определяющим двумерные векторные многообра-
многообразия, соответствующие тем плоскостям, на которые распадается
поверхность A). Если вектор {а, р, у} принадлежит векторному
многообразию, соответствующему той плоскости, в которой лежит
точка (х0, у0, г0), то уравнение A0) есть следствие уравнения (9).
В противном случае уравнения (9) и {10) несовместны.
Если поверхность нераспадающаяся и (в случае, когда она
конус) точка Мо не есть вершина конуса, то все обстоит благо-
благополучно, в чем читатель легко может убедиться, перейдя к к*нв-
232
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1 [ГЛ. VIII
ническим уравнениям соответствующих поверхностей. Полное
исследование случая невырождающеися поверхности дается следую-
следующим предложением:
Теорема 4. Касательная плоскость к невырождающеися поверх-
поверхности второго порядка в данной ее точке Мо пересекается с этой
поверхностью по паре различных прямых. Эти прямые и являются
единственными двумя образующими поверхности, проходящими
через точку Ма.
Доказательство. Возьмем систему координат, началом
которой является данная точка Мо, а плоскостью О'х'у' — каса-
касательная плоскость к нашей поверхности в точке Мо. Так как
начало координат M,,^sO' лежит на поверхности, то ее уравне-
уравнение и выбранной системе координат будет иметь вид
/•¦'(*', у', г')^а'Их'2 + 2а'их'у'+а:,!,'2-\ 2а'пх'г'+
+ 2а'.ау'г' + а'шг'2 + 2а[х' + 2а*у + 2а'гг' = О
(свободный член равен нулю). Уравнение касательной плоскости
в точке М = (О, 0, 0) имеет вид
/^@, 0, 0)x'+F',@, 0, 0)y' + Fl@, 0, 0)z'=0.
Но эта плоскость есть плоскость г' = 0. Значит,
f;(o, о, о) = о, f;(o, о, о) = о. (И)
Так как /^(О, 0, 0) = ai, F;@, 0, 0) = а^, то равенства A1) озна-
означают, что а\ — а\~-0, так что уравнение поверхности имеет вид
у'
2a\ax'z'
у'г'-\ч&Лг'2-\-2а:г' = 0. (Г)
Решая его совместно с уравнением г' = 0, получаем для кривой
пересечения нашей поверхности с (касательной) плоскостью z' = 0
уравнение
aI1*'' + 2aI.xy+aky'*~0. A2)
Это —уравнение распадающейся кривой второго порядка. Если бы
эта кривая была парой совпадающих прямых, то было бы
Но тогда
Д' =
«Si
«i.
«•
«is
Ом
0
0
0
= 0-
= — аъ'
а'„
= 0
и поверхность A), вопреки предположению, была бы вырождаю-
вырождающейся. Теорема 4 доказана. Из нее вытекает такое
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ
233
Следствие. Касательная плоскость к невырождающеися поверх-
поверхности второго порядка в произвольной ее точке Мо пересекает эту
поверхность по паре различных прямых, действительных или мни-
мнимых сопряженных, а именно по паре проходящих через точку Мо
прямолинейных образующих данной поверхности. Эти прямые
имеют асимптотические для данной поверхности направления. Они
действительны, если поверхность есть однополостный гиперболоид
или гиперболический параболоид; они являются мнимыми для дву-
двуполостного гиперболоида и эллиптического параболоида, а также
и для эллипсоидов.
Замечание 2. Аналитическим критерием для того, будут ли
прямолинейные образующие, проходящие через неособую точку
вещественной нераспадающейся поверхности, действительными раз-
различными, мнимыми сопряженными или, наконец, действительными
совпадающими, может служить знак детерминанта А: при Д>0
образующие действительны, при Д<0 они мнимые, при Д = 0
они совпадают.
В самом деле, и i ншефшштпости знака детерминанта Д мно-
многочлена втором степени с тромп переменными относительно пере-
перехода от одной аффинной системы координат к другой (§ 1) выте-
вытекает, что если
Д>0, то и
= 0, то соответственно Д' = 0. Поэтому, если
«it
> 0, и, следовательно,
а'31
Линия пересечения поверхности (Г) с касательной плоскостью
г' = 0, определяемая уравнением A2), есть пара прямых, прохо-
дящих через вещественную точку О'г=гУИо, итак как J1 J2 <0,
то в этом случае линия A2) распадается на пару вещественных
прямых.
Точно так же покажем, что если Д, а следовательно, и Д' —
число отрицательное, то уравнение A2) определяет пару мнимых
прямых.
Предположим, наконец, что Д = 0 и, значит, Д' = 0; тогда
из равенства А' = —
как если бы
вытекает, что
= 0, так
^ Ф0, аг = 0, то уравнение A') определяло бы
коническую поверхность с вершиной в начале координат О', т. е.
в точке Мо, а мы предположили, что точка Мо — неособая, сле-
"j2 =0 и уравнение A2) определяет пару слив-
довательно,
шихся прямых.
Существенно отметить, что вопрос о том, является ли пересе-
пересечение нераспадающейся поверхности второго порядка с касатель-
234
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕИСНОСТетГ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Т
[гл. vm
ной плоскостью к ней в данной неособой точке парой действитель-
действительных (различных или совпадающих) или мнимых прямых, решается
для всех неособых точек поверхности одинаково; мы увидим, что
решение этого вопроса вполне определяется аффинным классом
данной поверхности.
Геометрическая характеристика асимптотиче-
асимптотических и неасимптотических направлений для дан-
данной поверхности второго порядка. Совершенно также,
как в случае кривых, мы доказываем следующее предложение,
аналогичное теореме 1 главы VI (§ 3):
Теорема 5. Пусть
F(x, у, г) = 0 A)
— поверхность второго порядка, не осе точки которой лежат
водной плоскости. Если {а: р1 : у) — направление, неасимптотиче-
неасимптотическое для данной поверхности, то существует прямая smoao направ-
направления, содержащая ровно две различные точки поверхности A).
Напротив, всякая прямая, имеющая асимптотическое для данной
поверхности A) направление {а:$:у), или целиком состоит из
точек, лежащих на поверхности A), или же содержит не более
одной точки, лежащей на поверхности A).
Надо доказать лишь утверждение, касающееся неасимптоти-
неасимптотического направления {ее: C: v}- Через каждую точку (х0, у0, г0),
лежащую на поверхности A), проводим прямую
'/= '
= zb-\-yt
B)
направления {а,:$:у}. Требуется доказать, что не все эти пря-
прямые являются касательными к поверхности A). Предположим
противное: пусть каждая прямая B) касается поверхности A)
в соответствующей точке (х0, у0, г0). Тогда имеет место равенство
BzzzF^Xo, y0, zo)a + F2(xo, y0, zo)$+F3(xo, у0, го)у =
= (апа + а1ар + а13у) х0 + (аа1а + а22Р + ai3y) Уо +
+ (а31а + а32р + «ззУ) *о + (^а + а$ + а3у) = 0.
Среди коэффициентов апа + а1г$-\-а13у, апа + а2$ + а23у,
а31а + а3$-\-а33у при х0, 'у0, г0 по крайней мере один отличен
от нуля; в противном случае мы бы имели одновременно
0, k=l, 2, 3.
Умножая эти равенства соответственно на а, р, у и складывая,
мы бы получили
» + 2а12сф + а^р* -j- 2at3ay + 2а23Ру+«зз?2 = 0,
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
235
т. е. направление {а: 0 : у\ было бы, вопреки нашим предполо-
предположениям, асимптотическим.
Итак, равенство
33у) гв
) = 0 A3)
представляет собой уравнение первой степени относительно х0,
Уо, г„, которому удовлетворяют все точки х0, уп, г0, лежащие на
поверхности A). Все эти точки лежат, таким образом, на пло-
плоскости, определяемой уравнением A3),-вопреки предположению.
Теорема доказана;
§ 5. Центр поверхности второго порядка
Пусть снова даны: произвольная аффинная система коорди-
координат Охуг, поверхность второго порядка с уравнением
Г(х, у, г)- 0 A)
и прямая
= xo-\-at,
B)
пеасимптотического направления.
Точки пересечения прямой B) с поверхностью A) суть точки
Mi = (xu ylt zj и М2 = (хг, уъ z2), где
lt y
C)
a tx и t2 суть корни квадратного уравнения
в котором коэффициенты А, В, С суть
B = Fl(x0, у0, zo)a + F2(xQ, y0, zo)$ + F3(xo, уй, zo)y, \ D)
C = F (х0, у0, 20) J
if, как всегда,
Fk(x<>, Уо, 2a) = aklxu + akly0 + ak320 + ak, k — \, 2, 3. E)
Точка М0 = (х0, у0, га) является серединой отрезка ~ЩМг тогда
if только тогда, когда одновременно
О
= 0,
= 0.
= 0,
236
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1
V4H
т. е. (так как среди чисел а, р, у по крайней мере одно отлично
от нуля) когда U-\-L = 0.
О D
По *i + /2 = ^~. следовательно:
= (х0, у„, г0) есть середина
Тогда и только тогда точка
отрезка МхМг, когда В = 0, т. е. когда
f\(*o. Уо, zo)a + F2(xo, г/0, г0) р + F3 (х0, у0, zo)y = O. F)
Теперь возникает вопрос: нет ли такой точки Мо = (х0, у0, г0),
которая являлась бы серединой всякой хорды, через нее проходя-
проходящей? Заметим, что такой точкой Мо является всякий центр сим-
симметрии нашей поверхности (если он существует).
Итак, мы ищем те точки УИ0 = (л:п, у„, г0), для которой усло-
условие F) выполняется при любом выборе неасимптотического направ-
направления а : р : у.
Докажем, что для искомых точек М0=-(х0, у0, г0) должны
одновременно удовлетворяться равенства
Fi(x0, Уо, zo) = 0, F2(x0, у0, 20) = 0, F3(x0, y0, го)=0. G)
Лемма. Для всякой поверхности второго порядка A) можно
найти три неасимптотических направления, не компланарных
между собой.
В самом деле, рассмотрим множество всех точек М — (х, у, г),
удовлетворяющих уравнению
х* + 2апху-Над2 + 2н|;1\-г + 2апуг + азагг = 0. (8)
у, г)
Точки М (у, ч, г), удшшч'иормкнщк1 -м'очу уравнению, и только
они обладают том счюигшом, чш иск гор ОМ = [х, у, г} имеет
асимптотическое направление.
В плоскости z=l уравнение (8) определяет кривую второго
порядка
^ = 0 (9)
(быть может, если ап = а12 = ам = 0, вырождающуюся в прямую).
Возьмем на плоскости г = 1 три неколлинеарные точки Мх =
= («i. Pi. Yi). Мг=^(а?. Рг. Ya). М3 = (аз^Рз. Уз), не лежаоще на
кривой (9). Тогда ОМ^К р„ Vib 0Ма = {а2, р2, Vi}, OM3=>
= {аз> Рз. Ye} дадут нам три некомпланарных неасимптотических
направления. Лемма доказана.
Итак, пусть {<*!, р1( уг}, {ait p2, ys}, {а3, Р8, VsJ-три неком-
некомпланарных направления, не асимптотических по отношению к по-
поверхности A). Для каждого из них должно по предположению
выполняться равенство F), т. е. должно быть одновременно
о> Уо,
Уо,
Уо,
l, 2,3. A0)
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
237
Но векторы \alt plf уг\, {a2, р2, у2}, {а3, р3, уя\ не компланарны,
т. е. в матрице
|«i Pi Yi J
a2 Ps Ya
«з Рз Ys II
строки, а значит, и столбцы линейно независимы, а это значит,
что в равенствах A0) коэффициенты ^(дго, у0, z0), F2(xu, yt), z0),
^з^о. Уо, zo) должны равняться нулю. Утверждение доказано:
всякий центр симметрии М0 = (х0, у0, z0) поверхности A) удов-
удовлетворяет равенствам
Fk{x0, Уо, го) = О, k=l, 2, 3,
или, в развернутом виде,
= \, 2, 3.
A1)
Докажем теперь обратное предложение.
Всякая точка Ма — (х0, //,„ г0), координаты которой удовлет-
удовлетворяют уравнениям (II), cam, центр симметрии поверхности A).
Для доказательства вспомним (гл. IV, § 2), что при замене
переменных
соответствующей перенесению начала координат в точку Мо —
— (лго. Уо, го). многочлен F (х, у, г) переходит в многочлен
F'(x',y', z') = <p(x', у', z') + 2a[x' + 2a'iy' + 2aiz' +a'a, в котором
коэффициенты а'и а'ъ а^, aj суть
а| = а11*0 + а12г/0+а132о+а1, а^
а5 = а31л:о + аза1/о + а33го + а3, a'a = F(x0, у0, г0).
Итак, если, сохраняя единичные векторы системы координат
Oxyz, мы перенесем ее начало в точку М0—(х0, //„, г0) = 0', удов-
удовлетворяющую уравнениям A1), то в полученной таким образом
новой системе координат O'x'y'z' уравнение поверхности A) будет
F' (х1, у', г') = atlx'2 + 2anx'yr + о^у'2 + 2a13x'z' +
+ 2a23y'z'+a33zt2 + a'0 = 0, (V)
где a'u = F(x0, y0, z0). Из этого уравнения ясно, что новое начало
координат О', т. е. точка Мо, есть центр симметрии поверхности
(Г). Утверждение доказано.
Заметим, что уравнения A1) решаются однозначно тогда и
только тогда, когда
1 "И «13
1 «sj "аз
238
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1 [ГЛ. VIM
т. е. дискриминант квадратичной формы у(х, у, г) отличен от
нуля. Поверхности, удовлетворяющие этому условию, принято
называть центральными: это те поверхности второго порядка,
которые имеют центр симметрии, и притом только один.
Пусть поверхность A) является центральной, т. е. пусть 6=^0
(или, что то же, г = 3), а значит, поверхность A) имеет един-
единственный центр О' = (х0, у0, г0). Положим a'0 = F(x0, y0, г0) и
перенесем начало координат в точку О' = (х0, уй, г0). В получен-
полученной таким образом новой системе координат O'x'y'z' (единичные
векторы которой суть те же, что и в первоначальной системе Охуг)
уравнение A) нашей поверхности принимает вид
у', г''
апх1
+ 2а
A')
Заметим, что большой детерминант Д'= Д многочлена F'(x', у', г')
есть
аи пх2 а13 0
а22 аи О
А =
т. е.
a3i а3г азз О
0 0 0а'
A2)
Итак, в любой системе перинных координат, начало которой
есть едипст|1(Ч1М1.|('| центр щчпр.шытп поверхности A), уравнение
етой поверхности имеет вид
'(x', у', г') = у{*, У', г'
где
у', z') =
Если Д=^0, то и av = -f = F(x0, y0, го)ф0. Разделив с самого
начала обе части уравнения A) на —F(x0, y0, г0), можем пред-
предположить, что а? = — 1, т. е. что уравнение (Г) имеет вид
У', «0-
+ 2alix'y' +a22yri + 2a13x'z' + 2a23y'z''''
Если же Д = 0, то уравнение (Г) имеет вид
<2(х', у', г'J 2
+2a1Bx'z' + 2aiby'z'
'2 = 0.
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
233
В нецентральном случае, т. е. в случае 6 = 0, ранг г матрицы
Iflll Oil «18 |
оц ajg aJS
an <*si аю Ц
не превосходит 2. В этом случае уравнения A1) либо несовместны,
и тогда поверхность не имеет ни одного центра, либо система
этих уравнений совместна, и тогда точки, являющиеся решениями,
заполняют целую прямую (при г = 2) или цел\ю плоскость (пои
г=*1).
Выясним, наконец, когда центр (или один из центров) Л10==
= (х0, Уо, 20) поверхности A) лежит на самой этой поверхности.
Для этого нужно,'чтобы кроме равенств A1) имело место еще
и равенство F (х0, у0, г0) = 0. Как было установлено в § 3, послед-
последнее равенство при выполнении равенства A1) эквивалентна равен-
равенству а1хо + агуо + а3г0+ао = 0. Другими словами, необходимое и до-
достаточное условие для того, чтобы точка Мп = (х0, у0, г0) была
лежащим на поверхности A) центром этой поперхпости, заклю-
заключается в том, чтобы координаты точки удовлетворяли системе
четырех уравнений:
2, З,
A3)
Как мы уже напоминали в § 3, система этих уравнений сов-
совместна, лишь когда равен нулю детерминант
аи
аЛ
ац
Т
«Я
а3
Ol
а»
т. е. когда поверхность A) является вырожденной. Точка
М0 = (х0, у0, z0), удовлетворяя уравнениям A3), есть особая точка
поверхности (см. конец § 3). Итак, лежащий на (вырожденной)
поверхности центр ее является особой точкой поверхности1).
Мы увидим в следующей главе, что особые точки имеются
лишь у следующих поверхностей второго порядка:
1) Конус: единственная особая точка, являющаяся вместе
с тем единственным центром конуса, есть его вершина.
2) Пара пересекающихся плоскостей: прямая пересечения этих
плоскостей есть вместе с тем прямая центров распавшейся поверх-
поверхности, совпадающая с множеством ее особых точек.
3) Поверхность, являющаяся парой совпадающих плоскостей,
вся состоит из особых точек: каждая из них есть центр поверх-
поверхности.
1) Мы видели в § 4, что касательная плоскость в особой точке поверхно-
перестает быть Определенной,
ГЛАВА IX
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА. II
§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления
1. Плоскость, сопряженная данному неасимптотическему на-
направлению. Пусть (в какой-нибудь аффинной системе координат)
дана поверхность второго порядка
F(x, у, z) = q>(*. у, г) + 21(х, у, 2) + ао = 0, A)
где, как всегда,
Ф (х, у, г) = апх2 + 2а12ху + аг2у* + 2а13хг + 2aiayz + аэзгг,
1(х, у, г) = а1х + агу + алг.
Рассмотрим совокупность всех прямых d, имеющих одно и
то же неасимптотическое для данной поверхности направление
Каждая такая прямая а пересекает поверхность A) в двух
точках М?, М^ (вещественных, С»,ш, може!, совпадающих или
мнимых сопряженных), отрезок MdtMt называется хордой, высе-
высекаемой на данной прямой d поверхностью A).
Уравнение прямой d записывается в виде
B)
где М0-=(х0, у0, 20) —какая-нибудь произвольно зафиксированная
точка этой прямой.
Точка М0 = (х0, у0, г0) прямой d тогда и только тогда явля-
является серединой хорды, высеченной из этой прямой поверхностью A),
когда выполнено условие
Fi(x0, Уо, zo)a + F2(xa, y0, zQ)$+F3(x0, y0, zo)v = 0, C)
где, как всегда, положено
k=\, 2, 3. D)
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
241
Перепишем уравнение C), внося в него значения Flt Fit F3 из D)
и отбрасывая индекс нуль у координат. Получим
(апа+ОлР + a3iV) * + (ai2« + <к$ + а32у) у +
a + а2р + аау) = 0. C')
Уравнению C'), которое есть уравнение некоторой плоскости
удовлетворяют все те и только те точки, которые являются сере-
серединами хорд, высекаемых поверхностью A) из всевозможных
прямых направления {<х:$:у}. Другими словами: плоскость C')
есть геометрическое место середин хорд поверхности A), имеющих
направление {а: р : у}; эта плоскость называется плоскостью, сопря-
сопряженной направлению {а:ф:у} относительно поверхности A).
Замечание 1. Плоскость яару, сопряженная данному направле-
направлению, определена геометрически как геометрическое место середин
хорд направления {а: р: у], поэтому она не зависит от выбора
той или иной системы координат.
2. Плоскость, сопряженная асимптотическому направлению;
общее определение диаметральной плоскости. 15 определении пло-
плоскости, сопряженной длимому направлению, предполагалось, что
это направление иеасимптотичсскос Это предположение обосно-
обосновано, так как из прямой асимптотического направления поверх-
поверхность не высекает никакой хорды.
Однако уравнение C') может иметь смысл и для асимптоти-
асимптотического направления {а:р:у}; определенную этим уравнением
плоскость мы будем и в случае асимптотического направления
{а: р • у\ называть плоскостью, сопряженной направлению {а: р : у}.
Наконец, назовем какую-нибудь плоскость диаметральной
плоскостью поверхности A), если существует (хотя бы одно) на-
направление, неасимптотическое или асимптотическое, для которого
эта плоскость является сопряженной относительно поверхно-
поверхности A)
Уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направле-
направлению {а: р . у}, всегда будем писать в виде
0, E)
где
(б)
Замечание 2. Диаметральную плоскость, сопряженную на-
направлению {а:р:у}, будем называть, когда это покажется удоб-
удобным, и плоскостью, сопряженной любому вектору этого на-
направления.
242
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 11
[ГЛ. IX
9. Простейшие свойства диаметральных плоскостей* Пусть
(*о. #о> г0) —точка, являющаяся центром поверхности A) (может
быть, не единственным). Тогда
Fi(x0, Уо, ze) = Fb(x0, Уо, гв) = /га(*0, уъ zo) = 0,
и уравнение C) (или, что то же, уравнение C')) удовлетворено
при любых а, р", у.
Другими словами:
I. Всякая диаметральная плоскость содержит все центры дан-
данной поверхности.
Мы увидим (в § 2, пп. 1 и 2), что если поверхность A) имеет
хотя бы один центр, то верно и обратное предложение:
Всякая плоскость, содержащая все центры данной поверхности,
является ее диаметральной плоскостью.
II. Точка Мо, принадлежаищя всем диаметральным плоскостям
(или хотя бы всем тем из них, которые сопряжены неасимптота-
ческам направлениям), является центром поверхности.
В самом деле, точка М0 = (х0, у0, г0) есть середина проходя-
проходящей через нее хорды любого неасимптотического направления,
а это означает (гл. VIII, § 5), что удовлетворены уравнения
центра
Fi(x0, Уо, 20) = F2(x0, у0, zo) = F3(xQ, y0, го) = О.
III. Если для данного асимптотического направления {а: р.1 у}
существует сопряженная ему плоскость, то она параллельна на-
направлению {а:р":у}. Обратно, если направление {а : р : у\ парал-
параллельно сопряженной ему плоскости, то это направление является
асимптотическим.
В самом деле, непосредственным подсчетом проверяется, что
La + M$ + Ny=B<p(a, p\ у). G)
Условием параллельности вектора {а, р, у] и диаметральной пло-
плоскости
является равенство
т. е. ф (а, р, у) = 0, это равенство означает, что вектор {а: р : у}
имеет асимптотическое направление.
IV. Пусть вектор и = {а, р, у) есть линейная комбинация
векторов u1 = {a1> plf Yi} « Щ = {о^, р2, Ysb m> e-
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
243
Если векторам щ и а, сопряжены диаметральные плоскости пг и щ,
то плоскость A^-f-Xgftj является диаметральной плоскостью,
сопряженной вектору и.
Возьмем уравнения плоскостей, сопряженных соответственно
направлениям {а: Р: у}, \ах: рх: Yi}, {«a: Рг: Y«b Коэффициенты
этих уравнений обозначим соответственно через
L, M, N, Р,
Llt Mlt Nlt Plt
L2, Ma, Л^2, Р2,
причем из самого определения F) этих коэффициентов следует, что
L
Геометрическое содержание полученного важного результата
таково:
IV. Пусть векторам щ, щ сопряжены соответственно плоско-
плоскости Пх1 Л2- Тогда всякому вектору и, компланарному обоим век-
векторам Ux и и2, сопряжена плоскость к, принадлежащая пучку
плоскостей, определенному плоскостями лх и л2.
Значит, если плоскости лх и л2 пересекаются, то плоскость л
проходит через прямую их пересечения, а если они параллельны,
то и плоскость л им параллельна.
4. Особые направления. Посмотрим, не может ли случиться,
что для данного направления не существует сопряженной ему
плоскости. Очевидно, это произойдет тогда и только тогда, когда
в уравнении E) все три коэффициента L, М, N при переменных
х, у, z обращаются в нуль. Тогда система однородных уравнений
L = апа +efliaP + fli3Y = 0>
N ==ая,а + аз2р +fls3Y = О
(8)
определяет направление {а: р : у}.
Определение. Направление {а: р : у} называется особым,
если оно удовлетворяет системе уравнений (8).
В главе VIII, § 1, мы назвали малым рангом поверхности A)
ранг квадратичной формы ср(х, у, г), т. е. ранг г матрицы
1
а23|
1
244
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ. XX
Из определения особого направления непосредственно следует
предложение: поверхность малого ранга г имеет 3 —/¦ и не более
линейно независимых особых направлений.
В частности, центральные поверхности (для них 8^0 и, зна-
значит, г = 3) вовсе не имеют особых направлений.
Умножая первое из уравнений (8) на а, второе на р, третье
на y и складывая, получаем
всякое особое направление является асимптотическим. Итак, только
в нецентральном случае и только асимптотическое направление
может оказаться особым; для всех неособых направлений сопряжен-
сопряженная плоскость существует и определена однозначно.
Посмотрим, какие имеются особые направления поверхностей
различных типов. Параболоиды и центральные цилиндры (вклю-
(включая поверхности, распадающиеся в пару пересекающихся плоско-
плоскостей) суть поверхности, для которых г = 2; у них имеется един-
единственное особое направление. Если эти поверхности даны своими
каноническими уравнениями:
22 = ^ zh у~- (параболоиды),
^2-±|а=±1 (центральные цилиндры),
-0
(миры мрресскающмхея плоскостей),
то их единственным особым направлением является направление
{0:0:1}, т. е. направление оси Ог. В этом сразу убеждаемся,
написав для наших канонических уравнений уравнения (8), опре-
определяющие особые направления; это будут
|а = 0, |р=0, 0 = 0.
В случае центральных цилиндров (и пары пересекающихся плоско-
плоскостей) полученное направление есть направление прямой центров
рассматриваемой поверхности.
Для эллиптического параболоида особое направление является
и единственным вещественным асимптотическим направлением; то
же справедливо и для эллиптического цилиндра. Но во всех че-
четырех случаях (эллиптических и гиперболических параболоидов и
цилиндров) единственное особое направление есть направление
(вещественной) прямой пересечения тех двух плоскостей (вещест-
(вещественных или мнимых), на которые распался конус асимптотических
|4] ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
направлений поверхности, а именно плоскостей:
^0> }Гр'
245
для гиперболического
параболоида;
Уя Ур Уя
+ 4 = о,
-4-0
для эллиптического
параболоида;
для гиперболического
цилиндра;
для эллиптического цилиндра
(вещественного и мнимого).
Для поверхностей, у которых г=\, имеется два независимых
особых направления; значит, особыми являются все направления,
параллельные некоторой плоскости. Так обстоит дело у парабо-
параболического цилиндра
у4 = 2рх
и у пары параллельных плоскостей
И в том и в другом случае уравнения (8) превращаются в
0 = 0, 1р = 0, 0 = 0;
им удовлетворяют все векторы {а, р, у}, у которых Р = 0, а а и
у какие угодно, т. е. все векторы, параллельные плоскости </ = 0.
Так как конус асимптотических направлений параболического
цилиндра вырождается в пару слившихся плоскостей </2 = 0, то
все асимптотические направления параболического цилиндра явля-
являются особыми.
Легко доказывается следующее предложение:
V. Для того чтобы направление {X:\i:v} было особым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было параллельно всякой диамет-
диаметральной плоскости.
В самом деле, пусть дана диаметральная плоскость
Lx-\-My + Nz + P = 0, E)
сопряженная направлению {а: р : у}, так что
.g
Условие параллельности направления {%: ц: v} плоскости E) есть
= 0. (9)
24fi
общая теория поверхностей второго порядка. » (гл. |х
Подставляя в это равенство значения L, М, N из F), рас-
раскрывая скобки и по-новому группируя члены, переписываем ра-
равенство (9) в виде
(ап
v)Y = O. (Ю)
Пели направление {к: fi: v} особое, то выражения в скобках, яв-
являющиеся коэффициентами при а, р, у в равенстве A0), равны
нулю, и условие параллельности направления {к-.р-.х} плоскости,
сопряженной любому направлению {а: р : у}, выполнено. Первое
утверждение предложения V доказано.
Докажем второе утверждение. Итак, известно, что для дан-
данного направления {k:\i:v} и любого (неособого) направления
{<х:Р:у| выполнено условие A0); требуется доказать, что направ-
направление \к: ц: v} особое.
Берем три некомпланарных неасимптотических направления
{«1: Pi: Yib {«г: Рг '• Yz}. {«з: Рз: Тз} — такие существуют для всякой
поверхности второго порядка в силу леммы § 5 главы VIII—и
пишем для них уравнения A0):
(И)
(апк + a21fi + a3lv) ax + (апк+амц + a32v) pt +
-f- (al3k + aM[x + aaav) yx = 0,
(апк 4 аг1ц + aaiv) а2 + (а12Я, + аиц + ая.г\) р, +
+ (а1Як + aM|i + ".r.v) Y2 = 0.
(апк + n.ti\i +nMv) «;i+(fli Д+«и|| +«:wv) p3 +
Ч- ("|.Л -T-"'2:il< + »;WV) уя = 0.
Так как векторы {a,, pV yt\, {а,г, Р2, у2\, {а3, рл, у3} не компла-
компланарны, то строки, а значит, и столбцы матрицы
«а
YiJ
Та
Vail
линейно независимы. Значит,
= 0, k= 1,2,3,
т. е. направление {к : ц : v} особое. Предложение V доказано.
Докажем в заключение этого параграфа следующее предло-
предложение:
VI. Плоскости лх и л2, сопряженные относительно данной
поверхности A) двум различным направлениям {а1:р1:у1} и
{а2: Р2: у2}, тогда и только тогда параллельны между собой, когда
плоскость л, несущая оба направления {at: рх: Yi} и {а2:р2:у2},
параллельна (некоторому) особому направлению поверхности A).
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
247
Доказательство. Обозначим коэффициенты при х, у, г
в уравнении плоскостей, сопряженных направлениям {ai.'Pi:Yib
соответственно {а2: р2: у2}, через Lu Mlt Nu соответственно Lit
Мг, N2; запишем условие параллельности этих плоскостей в виде
пропорции
или
Подставляя сюда значения
U = ana-i
= ana2 4-
= a.na.,-\-
4- »:uYi ¦
получаем после раскрытия скобок и перегруппировки членов
равенства:
fl*i (^i«i + *А) + «*г (*aPi + ^Р2) + «и (КУх + \Уг) = 0,
Л = 1, 2, 3,
по-прежнему выражающие необходимое и достаточное условие
параллельности (в широком смысле слова) плоскостей щ и пг.
Но эти же равенства выражают условие, необходимое и достаточ-
достаточное для того, чтобы направление
(Xjtti 4- Каг): (к^г + Я2р2): (VPi 4- **Уг),
очевидно, лежащее в плоскости л, было особым, т. е. чтобы пло-
плоскость я была параллельна некоторому особому направлению.
Предложение VI доказано.
§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей
различных видов
I. Центральные поверхности (поверхности с единственным
центром). Докажем, что:
Всякая плоскость, проходящая через (единственный) центр
поверхности второго порядка
F(x, у, 2) = 0,
A)
является диаметральной плоскостью, сопряженной некоторому
однозначно определенному направлению {а.: § : у}.
248
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
Доказательство. Предположим, что начало координат
находится в центре поверхности. Тогда уравнение поверхности
записывается в виде
Ф(*. у, z) + ao = O,
а уравнение данной плоскости, проходящей через центр,—в виде
Для определения направления {а:р":у}, для которого эта пло-
плоскость является сопряженной, надо решить систему уравнений
a2la -f a22p + a.i;iy = В,
что и делается однозначно ввиду того, что детерминант этой си-
системы есть 6=^=0.
2. Поверхности с прямой центров и с плоскостью центров.
Поверхности с прямой центров суть «центральные цилиндры», т. е.
цилиндры над некоторой центральной (быть может, распадающейся)
кривой второго порядка. В надлежаще выбранной аффинной си-
системе координат уравнение такой поверхности имеет вид
хг±у2 + ао = 0. B)
Единственным особым направлением поверхности B) является
{как показывает шчкн-редгпнчшая промерка) направление вектора
J0, 0, 1}, т. е. напраплснме осп z пыбранноп координатной системы.
В этой же координатной сипеме уравнение диаметральной
плоскости, сопряженной направлению {а: р" : у), есть
Итак, всякая плоскость, проходящая через прямую центров,
и только такая плоскость является диаметральной плоскостью
нашей поверхности, а направление прямой центров есть (единст-
(единственное) особое направление.
Мы знаем (предложение VI § 1), что всяким двум направлениям,
лежащим в некоторой плоскости, параллельной особому направ-
направлению поверхности второго порядка, сопряжены диаметральные
плоскости,' параллельные между собой. В данном случае для поверх-
поверхности B) эти плоскости совпадают: два направления, не коллинеар-
|ше (единственному) особому направлению поверхности B), т. е.
направлению оси г, лежащие в плоскости, параллельной оси г,
задаются векторами вида
{«» Р\ Vi} и {а, р\ уа},
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
249
где по крайней мере одно из чисел а, р* отлично от 0. Обоим
этим направлениям сопряжена относительно поверхности' B)
диаметральная плоскость ах±фу = 0 (знаки при f>y соответствуют
знакам при у2 в уравнении B)). Конус асимптотических направ-
направлений поверхности х2 — у* + ао = О распался на пару действительных
плоскостей
х-у = 0. (я2)
Каждому направлению, лежащему в одной из этих плоскостей и
коллинеарному оси г, например направлению {1:1: y}» лежащему
в плоскости яа, сопряжена сама эта плоскость.
Если поверхность A) имеет плоскость центров, то эта плоскость
и является единственной диаметральной плоскостью поверхности
A) (так как всякая диаметральная плоскость должна содержать
все центры поверхности). Все направления, параллельные плоскости
центров, являются особыми.
Поверхность, имеющая плоскость центров, распадается на пару
параллельных плоскостей; сама плоскость центров есть средняя
плоскость между двумя плоскостями, составляющими данную
поверхность; направления, параллельные этим плоскостям, суть
асимптотические для нашей поверхности; все они особые.
Остается рассмотреть тривиальный случай двух слившихся
плоскостей я. Здесь каждая точка плоскости я есть центр поверх-
поверхности, значит, имеется одна-единственная диаметральная пло-
плоскость — сама плоскость я. Она есть геометрическое место всех хорд
поверхности, каждая из которых вырождается в пару своих
слившихся концов (и определяется прямой, не параллельной
плоскости л).
Все направления, параллельные плоскости я, являются особыми.
3. Поверхности без центров. Малый ранг такой поверхности
равен или двум (параболоиды), или единице (параболический ци-
цилиндр).
Мы уже видели, что единственным особым направлением
параболоида (гиперболического или эллиптического) является на-
направление прямой пересечения d тех двух плоскостей nt и я2,
на которые распался конус асимптотических направлений пара-
параболоида. В силу предложения V всякая диаметральная плоскость
параболоида параллельна этой прямой d. Докажем, что и, обратно,
всякая плоскость, параллельная единственному особому направ-
направлению параболоида, является его диаметральной плоскостью.
Для этого воспользуйся уравнениями
= 2г C)
— уг = 2г
D)
289 общая теория поверхностей второго гюряд*а. и (гл. пг
соответственно эллиптического н гиперболического параболоидов
в надлежаще выбранной (аффинной) системе координат.
Диаметральная плоскость, сопряженная направлению {а : р": y}»
будет в той же системе координат иметь уравнение
соответственно
ах — р# — у = 0.
Очевидно, всякая плоскость, параллельная оси г, может быть
при надлежаще подобранных а, р\ у задана каждым из этих
уравнений, причем различным направлениям сопряжены различные
диаметральные плоскости.
Итак, диаметральными плоскостями параболоида являются все
плоскости, параллельные (единственному) особому направлению
параболоида, и только они.
Замечание 1. Из доказанного следует, что всякая плоскость,
параллельная диаметральной плоскости параболоида, сама является
диаметральной плоскостью этого параболоида.
Замечание 2. Пусть поверхность A) есть параболоид.
Наряду с ней будем рассматривать пару плоскостей пг и л2, на
которые распался конус асимптотических направлений
Ф (х, у, г) = 0 E)
параболоида A). Обе поверхности A) и E) имеют, очевидно, одни
и те же асимптотические и одно и то же (единственное) особое
направление. Легко проверить также, что плоскости, сопряженные
относительно поверхностей A) и (Г)) одному и тому же направлению
{а:|}:у), параллельны (коэффициенты L, М, N в уравнениях
этих плоскостей будут одни и те же). Но мы видели, что для
поверхности E) плоскостью, сопряженной асимптотическому направ-
направлению, лежащему в данной плоскости я{, i = 1, 2, будет сама эта
плоскость л/. Поэтому диаметральная плоскость параболоида A),
сопряженная (неособому) асимптотическому направлению {а: р : у},
параллельна той из двух плоскостей я,, щ, которая несет на
себе направление {а: р : у}.
Переходим к параболическим цилиндрам. Конус асимптотических
направлений параболического цилиндра
у* = 2рх F)
вырождается в пару совпадающих плоскостей
У* = 0
(«дважды взятая» плоскость у = 0).
Так как у параболического цилиндра имеется двумерное мно-
многообразие особых направлений, то все асимптотические направления
параболического цилиндра являются особыми.
СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
251
Докажем, что диаметральными плоскостями параболического
цилиндра F) являются все плоскости, параллелььые плоскости
у = 0, и только они.
Это непосредственно следует из того, что плоскость, сопряженная
направлению {а: Р : у} относительно поверхности F), имеет урав-
уравнение Ру — ра = 0.
§ 3. Сопряженные направления
Пусть дана поверхность второго порядка, определенная в неко-
некоторой аффинной системе координат уравнением
F(x, у, z) = <p(jc, у, г) + 21(х, у, z)+fl,=0, A)
Ф (х, у, г) г= апх* + 2аху+аг/2 + 2axz + 2ауг+а33г2
1(х, у, z) = a
3xz
Квадратичная форма ф (лг, у, г) определяет билинейную функцию
"•Р (iii, u2) от двух исктороп: если и,, и^ —дна произвольных вектора,
заданных своими координатами в выбранной нами системе коор-
координат Охуг:
«!={«!, Pi, Ylb U2 = {«2. Pi. Ysb
TO
^(Uj, щ) = Ъ(а1г рх, уг; cc2, p2, v4) =
a B)
Билинейная функция ? не зависит от выбора системы коорди-
координат: если мы возьмем другую систему координат Ox'y'z', то век-
векторы Uj и и2 получат координаты aj, Pi, Yti соответственно а'2,
Ра, y'it а форма i|)(a,, p1,, у,; а„, р2> y.z) перейдет в форму
^'(ai> Pi» Yi'> a'i> PI, Yi)> причем если векторы u[p u2 имели в ко-
координатных системах Охуг и Ox'y'z' соответственно координаты аи
Pi, Yi*. <> Pi. Yi и a2, p2, v,; а'ъ Pi, y'%, то
^(«i. Pi. Ъ\ «а, Ра. Ya) = V(«I. PI» Vu «J, PJ, Ya).
так что имеет место тождество
V К и,) = Ц) (а1( рх, Yil «2> К Y.) = V («I, Pi. У'и < К Yi)- B')
В частности, если для каких-нибудь двух векторов щ, и2 имеем
^(Ul ua) = 0, то этот факт не зависит от того, как мы выбрали
координатную систему, в которой задавалось уравнение A) по-
поверхности.
Определение. Два вектора ult щ называются сопряжен-
сопряженными относительно поверхности A) (или относительно квадратич-
квадратичной формы ф(*, у, г) старших членов уравнения этой поверхности
252 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ. IX
в любой системе координат), если для этих векторов
Если векторы uv щ заданы в системе координат Охуг своими
координатами
Ui = K. Pi. Yib «2 = {««. Р2. Y2}>
то условие их сопряженности записывается так:
^(«i. ) = ^ («1. Pi. Yi! «г, Ра. Y2)=an
(a,,«!
a3la,
+a8:,Yi) Ya
= 0. C)
Из симметрии условий C) относительно векторов i^, u2 следует,
что сопряженность двух векторов есть понятие взаимное, не за-
зависящее от порядка, в котором рассматриваются векторы.
Очевидно, далее, что вектор и2, сопряженный векторам ut
и v1( сопряжен и любой их линейной комбинации кщ-\-[1\1.
Отсюда, в частности, вытекает, что из сопряженности векторов
щ и и2 следует и сопряженность любых векторов Т^и, и Х2щ,
т. е. любых векторов, имеющих соответственно тс же направления,
что и векторы щ и и2. Поэтому мы говорим, чго два направления
сопряжены между собой, если пектор одною из этих направлений
сопряжен вектору другого.
Из равенства C), далее, очевидно, вытекает, что особое напра-
направление {o^iPiiYi} сопряжено всякому направлению {a:p:Y}.
Верно и обратное предложение: если направление {at: px i уг} со-
сопряжено всякому направлению {a:p:Y}. mo оно является особым.
Это вытекает из следующего предложения.
VII. Если \ах: рх: Yi} — не особое направление, то сопряженными
ему являются те и только те направления {a: p i y}. которые
лежат в плоскости, сопряженной направлению {аг: рх: Yi}.
В самом деле, уравнение плоскости, сопряженной направлению
K:Pi-!Yib есть
где
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
253
Всякий вектор {a, p, y}> лежащий в этой плоскости, и только
такой вектор {a, p, y} удовлетворяет условию
которое как раз и есть условие сопряженности вектора {alt px, Yij
вектору {а, р, y}-
Из доказанного следует, что свойство направления {а: р : y}
быть или не быть особым относительно данной поверхности
не зависит от выбора той или иной системы координат.
§ 4. Уравнение поверхности второго порядка
относительно координатной системы
с сопряженными направлениями осей
Пусть дана поверхность второго порядка. Возьмем прямую d,
направление которой не асимптотично относительно данной поверх-
поверхности. Если поверхность центральная, то предполагаем, кроме
того, что прями» d проходит череч центр поверхности. Пло-
Плоскость л, сопряженная направлению прямой d, не может быть
параллельной прямой d (так как неасимптотическое направление
не компланарно сопряженной ему плоскости). Плоскость я пере-
пересекает прямую d в некоторой точке О, которую и объявим нача-
началом новой координатной системы. При этом, если поверхность
центральная, то О —ее центр. Осью 2 сделаем прямую d, а осталь-
остальные две оси возьмем в плоскости я.
Плоскость я, будучи плоскостью Оху нашей координатной
системы, имеет уравнение
2 = 0. A)
Пусть в выбранной нами координатной системе уравнение данной
поверхности есть
F (х, у, г) ss ацх2 + 2апху + aiti/ -f 2а1Яхг -|- 2агзуг +
2 + 2 + 2 + 2 + а 0. B)
Так как плоскость A) сопряжена вектору {0, 0, 1}, то ее урав-
уравнение в нашей системе координат должно быть
т. е.
C)
Так как уравнения A) и C) определяют одну и ту же плоскость,
то непременно
ais = 0, «23 = 0. Оз = 0, а
Мы доказали следующее предложение:
ЯИ ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ. IX
Если координатная система выбрана так, что ее ось г имеет
направление, не асимптотическое относительно данной поверхно-
поверхности второго порядка, а плоскость Оху является сопряженной
к направлению оси Ог относительно той же поверхности, то в этой
системе координат данная поверхность имеет уравнение вида
(апх2 + 2а12ху + а22у* + 2alX + 2а2у + ай) + a33z* = 0, D)
где
Пусть теперь наша поверхность центральная. Тогда в урав-
уравнении D) имеем а1 = а2 = 0. От осей Ох и Оу мы требовали пока
только, чтобы они лежали в плоскости, сопряженной направле-
направлению оси Ог. Теперь мы можем, кроме тою, потребовать, чтобы
ось Ох имела неасимптотическое направление. Сопряженную ей
плоскость (она проходит через ось г, так как направления осей
Ох и Oz сопряжены) объявим плоскостью Оуг, так что ось у,
как пересечение плоскостей Оху и Оуг, будет сопряжена и оси г,
и оси х\ итак, все три оси координат имеют теперь попарно соп-
сопряженные направления. Плоскость у = 0, будучи сопряжена век-
вектору {0, 1, 0}, имеет уравнение
а12х + a2iy + а32г + а2 = 0,
так что
Теорема 1. Уравнение центральной поасрхноепш в системе
координат, направлении осей которой попарно сопряжены между
собой, имеет вид
Он*2 + а2гУ2 + а33гг + а0 = 0.
Основным приложением только что полученного результата
является «теорема единственности», доказанная в следующем па-
параграфе.
§ 5. Теорема единственности
Содержание этого параграфа совершенно аналогично содержа-
содержанию § 8 главы VI.
Теорема 2. Два многочлена второй степени Fj (x, у, г)
и F2(x, у, г) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое
многообразие, когда они пропорциональны между собой, т. е. когда
один из них получается из другого умножением на некоторое чи-
число ХфЪ.
Как и в случае многочленов от двух переменных, только одна
половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо дока-
доказать, что два многочлена второй степени Fx(xt у, г) и Ft(xt у, г),
§6]
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
26S
имеющие одно и то же нулевое многообразие Cf1=:Cf, = C, про-
пропорциональны между собой.
Рассмотрим поверхности
F^x. у, г) = 0 A)
F2(x, у, г) = 0.
B)
Берем какое-нибудь направление {а:$:у}, неасимптотическое для
поверхности A); оно будет неасимптотическим и для поверхно-
поверхности B).
Диаметральная плоскость я поверхности A), сопряженная
направлению {<х:Р:у}» будет и диаметральной плоскостью
поверхности B), сопряженной тому же направлению.
Возьмем теперь систему координат О'х'у'г', ось г' которой
имеет направление {а: р* : у\, а две другие оси лежат в плоскости п.
В этой системе координат уравнения A) и B) примут соответст-
соответственно вид
F\(x', у', г')^а'мг'
F'Ax', У1, г')
(V)
B')
где
/J (*', у1) = Ь'их* + 2Ь'^у' + 6^'2 + 261*' + 2Ыу' + К.
Здесь а^ФО (и Ь'азФ0), в противном случае единичный вектор
{0, 0, 1} оси г', удовлетворяя уравнению
ФИ*', у', z')^2 2 *
был бы вектором асимптотического направления для поверхности
A) (соответственно для B)) — попреки нашим предположениям.
Нам надо доказать пропорциональность многочленов Fx(x, у, г)
и F2 (x, у, г), т. е. пропорциональность тождественно равных им
многочленов F[(x', у', z') и F'^(x', у', г'). Для этого обозначим
через С0 пересечение множества С с плоскостью г'=0. Множе-
Множество С0 есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых
обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой)
из многочленов f\(x', у'), f'i{x', у'). Другими словами, это есть
(лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из
cithx многочленов.
Возможны следующие случаи:
1а Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда
п только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из равенств
/!(*'• У') = ®> f'i(x', y') = 0 противоречиво, т. е. когда один какой-
нибудь (и тогда каждый) из многочленов f\{x't у'), /»(*', у')
256
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ. fit
тождественно равен отличной от нуля постоянной ajj, соответст-
соответственно Ь'а.
2° Множество С0 совпадает со всей плоскостью О'х'у'. Это
происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и то-
тогда каждый) из многочленов f[(x', у'), /?(*', у') тождественно
равен нулю.
3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множе-
множество С0 есть множество всех точек кривой второго порядка, опре-
определяемой в плоскости О'х'у' каждым из уравнений
П(х',У') = 0, П(х',у') = 0. C)
В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов
второй степени от двух пс>ременных имеем /?(*', у') = \if\ (x', у')
при некотором рфО. Полагая л. = —J- (что возможно, так как
Щьфи), можем написать
F[(x', у', г') = с4,г'* + П(х',у'),
F't(x', у', г')^Ы^г'г + ^\{х',у').
Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность много-
многочленов F[(x', у', г') и F^(x', у', г') надо только показать, что
(г = А. Так как многочлен f[{x', у') не равен тождественно посто-
постоянной, то существуют значения х'—х',, у' — у\, для которых
f'i(x'u Уд=11)- Найдя такие значения, решаем относительно г'
уравнение
/•К*;, ц\, *')-«:.*"+1=0.
Получаем г\ = Л/ —-. Итак, точка М1 = (х[, y[, г[) принадлежит
г "as
множеству С. Следовательно,
u У'и «i')-*«i(-^;) + |i-l=0, т.е. 1х = %.
Итак, в случае 3° утверждение теоремы 2 доказано.
1) В самом деле, если в многочлене f[ (x1, у') хотя бы один из коэффици-
коэффициентов ап, агг отличен от нуля, например пц Ф 0, то, полагая в уравнении
/[ (*'• У')=°1 значение у'—у[=\> получаем квадратное уравнение для опре-
определения х[. Если a' =aJ8 = O, а[аф0, то уравнение f\ (*', у')==1 можно запи-
записать в виде 2(aJ20 +aO#'+2a?j/'+aJ=l. Полагая в нем у' равным любому
числу у\ Ф т~, получаем уравнение первой степени для определения х[.
Наконец, если в /; (х1, у') все коэффициенты при членах второй степени равны
нулю, то f[ (х', </') = 1 есть уравнение первой степени с двумя неизвестными,,
имеющее бесчисленное множество решений х[, у[.
«61
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
257
В случае 2° имеем
', у1, 2')^
и, следовательно, полагая Х = -^, имеем I:'i{x', if, z')^=
= XF',(x', у', г'); утверждение теоремы 2 верно и в этом случае.
Наконец, в случае Г уравнения (Г), B') принимают вид
F[(x', у', z') = aj2z'4aX = 0, а'0ф0,
FKx', у', г') = 6»г'ЧЫ = 0, 61^=0.
Множество С есть пара плоскостей, определяемая каждым из
уравнений
Для того чтобы эти ypjiiiiii'iiiiH были экпипллсчгшы, очевидно, не-
необходимо и достаточно, чтобы было ¦% = J?-, т. е. b'u = hi'M, Ь'л =
= hi',-, при К=-"'. Теорема 2 доказана во всех случаях.
азз
Аналогично тому, что мы сделали в главе VI, § 8, мы теперь
можем определить поверхность второго порядка как множество
всех точек комплексного трехмерного пространства, координаты
которых в некоторой аффинной координатной системе удовлетво-
удовлетворяют уравнению второй степени F(x, у, z) = 0. При этом два таклх
уравнения определяют в одной и той же системе координат тогда
и только тогда одну и ту же поверхность второго порядка, когда
одно из этих уравнений получается из другого почленным умно-
умножением на некоторое число А. =/=0.
§ 6. Главные направления
В этом параграфе и до конца главы рассматриваются лишь
прямоугольные системы координат.
Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением
F(x, у, г) = ф(д:, у,
, у,
A)
относительно некоторой прямоугольной системы координат Охуг.
Обозначим через Ф(и) квадратичную функцию, записывающуюся
в этой системе координат в виде формы
Ф (и) = ф (х, у, г) = a,iX2 + 2aVixy + а^у2 + 2a13xz + 2а.23уг + азэг2
(если и = \х, у, г}).
9 П. С. Александров
258
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА II
[ГЛ IX
Направление {а:|3:у} называется главным, если оно перпенди-
перпендикулярно ко всем сопряженным ему направлениям. В частности,
всякое особое направление (если оно существует у поверхности A))
uianiioe, потому что сопряжено всякому направлению, в том числе
и всякому направлению, к нему перпендикулярному.
Замечание 1. Так как понятие сопряженности двух направ-
направлений относительно данной поверхности не зависит от выбора
той или иной системы координат, то не зависит от этого выбора и
понятие главного направления.
Замечание 2. Пусть {а : р : у\ — неособое направление, пер-
перпендикулярное к каким-нибудь двум сопряженным ему направ-
направлениям. Тогда направление {а : р : у] перпендикулярно к сопря-
сопряженной ему диаметральной плоскости и, следовательно, является
главным.
Итак, для того чтобы напрап/ичше было главным, достаточно
(и, разумеется, необходимо), чтобы оно было перпендикулярным
к двум сопряженным ему направлениям.
Пусть направление {а: р: у} главное. Если оно особое, то
М = апа + ai2p + «гз? = 0.
jV = fij.a + a32p +0337 = 0.
Если {<х:$:у\ главное, по не особое направление, то оно пер-
перпендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости
1х | My | Nz
0,
М = a21a
и тогда кекь)|> \а, \\, у\ коллипеарсн нормальному вектору
{L, М, N\ плоскости, т. с.
B)
при некотором
Итак, какова бы ни была прямоугольная система координат,
относительно которой поверхность задана своим уравнением A),
всякое главное направление удовлетворяет уравнениям B), причем
для особых направлений имеем k = Q, а для неособыл ХфО.
Обратно, всякое направление {а:Р:у}. удовлетворяющее урав-
уравнениям B), есть главное направление, особое, если А = 0 (и только
в этом случае). Следовательно, вопрос о нахождении глазных на-
направлений есть вопрос о нахождении ненулевого вектора {а, р, y},
удовлетворяющего системе уравнений B) при некотором К, равном
нулю или нет.
§ 61 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Переписываем эту систему уравнений в виде
Она тогда и только тогда имеет ненулевое решение, келда
«11 — А. а12 а13
D(k)=
аг1
гг-Х а23
^32 ^33 — л
=0.
250
B')
C)
Уравнение C) называется характеристическим уравнением квад-
квадратичной формы ф (х, у, г) и выражаемой ею квадратичной функ-
функции Ф(и); левой частью этого уравнения является многочлен
D (\) третьей степени; многочлен этот называется характеристи-
характеристическим многочленом, а корни его — характеристическими числами
фуНКЦии Ф(и) U форМЫ (|>('Г, ,'/, 2).
Многочлен D(X), очен, но, сш, дп< кримнп.шт квадратичной
формы
0,(х, у, z) ц>(х, у, z)-l(
Этот многочлен явллетгя ортогональным инвариантом. Для того
чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при переходе
от одного ортонормального базиса к другому форма x2-\-y2 + z2
переходит в форму х' -\-у' -\- г' и, следовательно, форма <p(x, у, z)—
— к (х2 + у2 + z2) переходит в форму
Ф'(^', у', 2')-к{х'* + у'* + г'\
Из доказанной таким образом ортогональной инвариантности
многочлена D(k) вытекает следующее утверждение:
Если при переходе от прямоугольной системы координат Oxyz
к новой, тоже прямоугольной системе координат Ox'y'z', квадра-
квадратичная форма ф (х, у, z) преобразуете я в квадратичную форму
у', г') =
то при любом к
а'п-к
'2 +2а'пх'г'
- К
3
ап—Ъ
¦23—л а23
аза «зз —
Так как характеристический многочлен D (к) не зависит от
выбора той или иной прямоугольной системы координат, то то же
справедливо для его корней, характеристических чисел ки к2, к9
формы ц>(х, у, z), они вполне определены самой квадратичной
функцией Ф (и) = ф (х, у, г).
260
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ IX
Уравнения B') суть не что иное, как уравнения, определяющие
особые направления формы 6 (х, у, z) = q>(x, у, z) — Х(х2 -{-у2 -\- г2).
Поэтому главные направления формы ц>(х, у, z) — это особые
направления формы Ь(х, у, z). Отсюда мы снова выводим, что
главные направления не зависят от выбора системы координат;
для их определения можно написать уравнения B'), пользуясь
при этом любой прямоугольной координатной системой.
Переходим к доказательству основного факта:
I. Для каждой квадратичной формы <р(х, у, г) существует
прямоугольная система координат Ox'y'z', в которой форма при-
принимает канонический вид
, у, z) = Ax' + ny
Доказательство. Многочлен D (X.) — третьей степени; по-
поэтому по крайней мере один из корней является вещественным;
пусть это будет, например, Хя. Этому корню соответствует веще-
вещественное главное направление, и мы можем с самого начала
предположить, что ось z исходной координатной системы Охуг
имеет именно это направление; тогда ортом его является вектор
{0, 0, 1} и уравнения B') должны удовлетворяться, если в них
подставить а = 0, Р = 0, v = l> TaK чт0 имеем
(ап-ХяH + а,2-0 + а13-1 =0,
-Яя)-0 + аш-1 =0,
т. е. «,:, 0, «._,., 0, «.,., Х:, к inf>p;iiiii(>ii системе координат
квадратичная фупкпнн Ф(и) i;iiiiici,ih;i<toi м ппдо формы
Ф(и) = ф(*, у, z)
Как известно из главы V, § 1, можно поворотом координат-
координатной системы Оху в ее плоскости (вокруг точки О) на некоторый
угол а перевести ее в такую систему Ох'у', в которой квадра-
квадратичная форма а1Хх% + 2апху-{-а.1гуг примет канонический вид
а'пх -\-а'му' . Этот поворот можно рассматривать как поворот
всего пространства вокруг (остающейся неподвижной) оси z на
тот же угол а. В результате получаем прямоугольную коорди-
координатную систему Ox'y'z', в которой функция Ф(и) записывается
в виде
= <р'(*', У, г') = а'их'* + а'пу''
Ф(и) = <р(*, у,
Утверждение I доказано.
Заметим, что если бы не только ось г, но и оси х и у имели
главные направления, то и векторы {1, 0, 0} и {0, 1,0} удовлет-
удовлетворяли бы уравнениям B'), откуда следовало бы, что и а12 = 0.
Итак,
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
261
II. Если оси прямоугольной системы координат Ox'y'z' имеют
главные направления относительно квадратичной функции Ф(и),
то в такой системе координат функция Ф(и) непременно имеет
канонический вид
у', z') =
D)
Докажем теперь следующее утверждение:
III. Если в какой-нибудь прямоугольной системе координат
Ox'y'z' квадратичная функция Ф(и) имеет канонический вид D),
то коэффициенты А, В, С в этом каноническом представлении
непременно равны характеристическим числам функции Ф(и).
В самом деле, в системе координат Ox'y'z' характеристический
многочлен D (X) записывается в виде
А-к о 0
В — к 0
о
С-к
= (А-Х)(В-Х)(С-Х);
его корнями, очешимк), ямлякпея А, В, С, откуда и следует
утверждение.
Так как функция Ф(и) действительна, так же как и рас-
рассматриваемые нами системы координат, то всякая квадратичная
форма, изображающая функцию Ф(и), имеет действительные
коэффициенты; поэтому действительны и коэффициенты в кано-
каноническом представлении функции, т. е. характеристические числа
^1. ^2. ^з- Итак:
IV. Все характеристические числа любой (действительной)
квадратичной функции действительны.
Доказываем теперь утверждение
V. Если в данной прямоугольной системе координат Ox'y'z'
квадратичная функция Ф (а) имеет канонический вид Ф (и) =
= Хгх'2 -\-Х2у'' -\- Х-Лг'', то направления осей этой координатной
системы непременно являю/т я глинными направлениями функции
Ф(и).
Это утверждение вытекает из того, что в системе координат
Ox'y'z' уравнения B'), определяющие главные направления, имеют
вид
E)
и при Х = Х1 вектор {1, 0, 0}, при Х = Х% вектор {0, 1, 0}, при
^ = Xj вектор {0, 0, 1} этим уравнениям удовлетворяют.
Мы убедились сначала в том, что существуют прямоугольные
системы координат, в которых форма <р(х, у, г) принимает кано-
канонический вид; затем мы доказали, что оси всякой такой системы
262
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ IX
координат имеют главные направления. Отсюда следует, что для
всякой квадратичной формы существует по крайней мере одна
трои г, а взаимно перпендикулярных главных направлений. Сейчас
мп полностью выясним вопрос и о числе таких троек. Оказы-
Оказывается, ответ на этот вопрос зависит от кратности корней харак-
характеристического уравнения.
Мы докажем последовательно следующие утверждения:
VI. Простому корню характеристического уравнения соответ-
соответствует одно-единственное главное направление.
VII. Главные направления, соответствующие двум различным
корням характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны.
Непосредственным следствием предложений VI и VII является
предложение
II11. Гели асе три корня харакше/типичс- кого уравнения раз-
различны между собой, то имеются три и только три главных
направления, и они взаимно перпендикулярны.
Другими словами, имеется одна-единственная тройка взаимно
перпендикулярных главных направлений.
Далее, имеет место предложение
IX. Если из трех корней Хи Хъ Х3 два равны между собой и
отличны от третьего, например:
то все направления, перпендикулярные к единственному направ-
направлению, соответствуюи{ему корню К3, являюпня главными направ-
направлениями, соответствующими корню X, X.,. Таким образом, име-
имеется бесконечно мпо.о шрисы iuciumiio перпендикулярных главных
направлении', Mi.mthvi hi ,iiiii\ трое/, кх)ер шиш ccituu пшенное глав-
главное направление е;!, сооишепипшукщее простому ксц ню X[h тогда
как два других направления суть произвольные направления е1( е2,
перпендикулярные между собой и перпендикулярные к направле-
направлению е3.
И наконец,
X. Если все три корня характеристического урс.внения равны
между собой, то каждое направление является главным.
Переходим к доказательствам.
Доказательство утверждения VI. Возьмем прямоугольную
систему координат Oxyz, относительно которой форма ф (х, у, г)
имеет канонический вид. Относительно этой системы координат
уравнения B') принимают вид E).
Пусть Х3 — простой корень, Я,3^^1, X3=j^k2. Тогда система
уравнений E) превращается при Х = Х-Л в
(Xj — Х3) а = 0 (т. е. а = 0),
(К.,- Х3)$=0 (т. е. р = 0), E')
§61
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
263
Единства ni'oj ненулевое направление {a:fi:y}, определяемое этой
системой, есть {0:0:1}.
Доказательство утверждений VII —X.
Пусть Х2^Ха. Так как Хг не может одновременно совпадать
и с L, и с Х3(фХ2), то без ограничения общности можем пред-
предположить, что ХхфХ3 (но, может быть, X1 = Xi). Тогда Х3 ока-
оказывается простым корнем, п ему, как только что доказано, соот-
соответствует единственное главнее направление, записывающееся
в на'лей системе координат в виде {0:0:1}.
Посмотрим, какие направления соответствуют корню к2. При
А = Я2 система уравнений E) превращается в
(Х1-Я4)а = 0,
0-р = 0, E")
(?.., — А.,) у = 0 (т. е. у = 0). .
При Х1фХ^ получ.юм vчшитиепное напраклепне а--0, у = 0,
Рт^О, т. е. {0:1 :0|, и оно перпендикулярно к направлению
{0:0:1}, соответствующему корню >..,.
При А1=Х;! уравнения E") превращаются в
0-а=0,
E'")
им удовлетворяют все векторы вида {а, |1, 0}, т. е. все векторы,
перпендикулярные к вектору е3 = {0, 0, 1}, и только они.
Этим доказано и утверждение VII (значит, и VIИ), и утверж-
утверждение IX.
Наконец, при Д.1 = Я2 = ^3 уравнения E"') превращаются в тож-
тождества
им удовлетворяет любое направление |а:р:у}, чем доказано
утверждение X.
Рассмотрим случай, когда имеется равный нулю корень харак-
характеристического уравнения, например Я3 = 0; как мы знаем, соот-
соответствующее этому корню главное направление является особьш.
Направим по этому направлению ось г, так что вектор {0, 0, 1}
является особым; подставив а = 0, Р = 0, 7 = 1 в уравнения
F)
Л1 ^a
N = а31а -f- а32('> -|- а33у = 0,
264
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ. IX
которые характеризуют особые направления, получим
а]3 = 0, ам = 0, азэ = 0. G)
Итак, в прямоугольной системе координат, в которой ось г
имеет особое направление, форма у(х, у, г) имеет вид
<р(х, у, z) = a11x2 + 2
а после поворота на надлежащий угол имеет вид
<р(ж, у, z) = ff'(x',y',z')^Kix'2 + K2y'2.
Если при этом имеется лишь одно особое направление, то г = 2,
и, значит, kt =}/-- 0, К.г /= 0. Если же имеется дна различных осо-
особых направлении, то их имеется целое днумерное многообразие,
так что можно, например, осям z и у придать взаимно перпен-
перпендикулярные особые направления. Подставляя в уравнения <х = 0,
P=l, y = 0, получим в добавление к G) еще и
а12 = 0, a22 = 0, аза = 0, G')
так что в такой координатной системе будет
Ф(*. у, г) = апх* + 0-уг + 0-з*,
где ап = \ — единственный не равный нулю корень уравнения C).
Все дальнейшие упрощения в уравнении
F(x, у, г)==ф(*, у, z) + 2alx + 2a2y + 2a:iz + at> = 0
достигаются надлежащим переносом начала координат (и в одном
случае еще дополнительным попоротом occii координат).
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения
поверхности второго порядка
Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением
F(x, у, г) = ф(дс, у, z) + 2l(x, у, г)+аа = 0 A)
относительно некоторой прямоугольной системы координат Oxyz.
Как мы видели в § 6, всегда существует по крайней мере одна
прямоугольная система координат Ox'y'z', оси которой имеют
главные направления. В этой системе координат уравнение поверх-
поверхности A) имеет вид
у', z')^Xlx'
ajz'+«o -
(Г)
Начнем с центрального случая: 6=^0, г = 3. В этом случае кг Ф 0,
к2ф0, Х3ф0. Если перенести начало координат 0 системы Ox'y'z'
в единственный центр поверхности A), то уравнение (Г) примет
§7]
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
265
вид
F(x, у, z) = F"(x", у", z")=A,1ji;"* + A,2y! + X,3z"!! + ao=O. (I)
Помня, что большой и малый детерминанты Д и б суть ортого-
ортогональные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться
правей частью уравнения (I), что дает 8 = А^А^, Д = A^A^aii, т. е.
а'а = у (результат, известный нам еще из главы VIII, § 5). Итак,
окончательный вид уравнения A) в выбранной нами прямоуголь-
прямоугольной системе координат есть')
Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового мно-
множителя k) определены уравнением A) поверхности, в какой бы исходной пря-
прямоугольной системе координат Охуг мы его ни задавали. Если та же поверх-
поверхность задана в той же исходной системе координат другим уравнением:
G{x, у, z) = 0,
то в силу теоремы единственности iue коэффициент многочлена G (х, у, г)
получаются из соответствующих коэффициентов многочлепл /¦' (х, у, г) умно-
умножением на некоторое число k Ф 0. Так как при переходе к новой системе
координат О'х'у'г' многочлены F и G тождественно преобразуются соответст-
соответственно в многочлены F' (х\ у', г') и G' (*', у', г'), то и для соответствующих
приведенных многочленов F' и G' сохраняется соотношение G' = kF', так что,
в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы
его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F
умножением на то же k; то же справедливо и для отношения -»- (при 6=^=0).
Последнее ясно и непосредственно: так как детерминант Д —четвертого
порядка, а б—третьего, то при умножении всех коэффициентов многочлена
F (х, у, г) на k детерминант Д умножается на А1, а детерминант б — на А3,
значит, -д- умножается на k. Отсюда следует, в частности, что, умножая, если
нужно, обе части уравнения F (х, у, г)---О на k -—1, можно исогда достиг-
достигнуть того, чтобы (при 6=^0) число , было отриц;нелм1ым (или равным
— 1). Эта нормировка уравнения центральной поверхю.ти совпадает с той,
о которой мы говорили в § 5 главы VIII, так как -^ есть значение многочлена
F (х, у, г) в единственном центре центральной поверхности A).
Теперь имеется две возможности: Д = 0 и Д^=0. Начнем
с первой.
Г Д=0. Получаем конус второго порядка, вещественный,
если среди характеристических чисел \, К2, Х3 имеются числа
разных знаков2). Умножая, если понадобится, обе части уравне-
') Пишем снова х, у, г вместо х", у", г".
2) Здесь целесообразно привести так называемое правило Декарта для
определения знаков корней алгебраического уравнения, все корни которого—
действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей сте-
266
О1.1ЦЛЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 11
[ГЛ IX
ния A) на — 1, можем предположить, что среди его коэффициен-
коэффициентов к,, к2, к3 имеется два положительных и один отрицательный.
Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обо-
обозначая положительные коэффициенты через -у, ,-2, а отрицатель-
отрицательный через —т, можем представить при Д = 0 уравнение (I*)
в виде
*+*!_*-О
а2 | г,2 с2
(причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с с положительными).
Это каноническое уравнение вещественного конуса.
Заметим, что раисчетпо к{ ¦ к^ означает а -Ь; тогда мы имеем
круговой конус или конус «ращении, его сечения плоскостями
z — h суть окружности; если кх ^Х2 = — к3, то уравнение конуса
превращается в
— имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его
оси г под углом -г-.
Если все характеристические числа —одного знака, мы можем
переписать уравнение (I*) при Д = 0 в виде
v2 „2 ,1
Это каноническое урпшк'ппс мнимою конус;1.
2° Пусть тюрь А / О; vm шлчмг, что mi.i имеем невырожден-
невырожденную ПСНТрал;,11ую IHil'OpXHOCT!..
Переписываем тогда уравнение (I*) в виде
д
= 1.
(I*
Возможны четыре случая:
а) Все три характеристические числа имеют один и тот же знак
(тогда тот же знак имеет и б) и Д > 0, тогда можем положить
пени с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано урав-
уравнение ax3-{-bx2-\-cx-{-d = 0. Назовем «переменой знака» пару соседних коэф-
коэффициентов в этом уравнении (т. е. (a, b), (ft, с) или (с, d)), состоящую из двух
чисел различных знаков. Оказывается, что число положителыилх корней урав-
уравнения третьей степени (все корни которого действительны) рлиио числу пере-
перемен знака в этом уравнении. При этом корни считаются пмосте с их кратно-
стями. Доказательство можно найти, например, в «Курсе высшей алгебры»
А. Г. Куроша, § 41, стр. 258 (издание восьмое).
§7]
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
2G7
причем а, Ъ, с всегда считаем положительными. Переписываем
уравнение (I**) в виде
_ i! _ t. - ii = 1
а2 Ь2 с2
— получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.
б) Все три характеристических числа имеют одни и тот же
знак и А<0. Тогда полагаем
— получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида
Q2 "Г Й2 "Г С2 — » •
в) Характеристические числа имеют разные знаки и А < 0.
Предположим, что числа к, п к., имеют одппакош.ю знаки, л кя
имеет знак, им прспмчопо'южнып (знак й совпадает и) таком А.,).
Полагаем
Л-A, _А -Ьг _А_С2
Получаем уравнение
а2 Ь2 "Т" с2 ~ '
— каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. И наконец,
г) Характеристические числа имеют разные знаки и А > 0.
Предположим снова, что числа kY и Х2 имеют одинаковые знаки,
а число Я3 — знак, им противоположный. Тогда, полагая
А .о А ,„ Д
придаем уравнению (I'1') вид
— 4- У- — — — 1
а2 т 62 С2 — ' ¦
Это каноническое уравнение едпополостного гиперболоида.
Итак, каждая центральная поверхность второго порядна есть
либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (дейст-
(действительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостный или одно-
полошный).
Положительные числа а, Ь, с в каноническом уравнении цент-
центральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через
характеристические числа klt ).t, Х3 и детерминанты Д, б, т. е. через
ортогональные инварианты многочлена F (х, у, г), и, значит, не ме-
меняются при переходе от прямоугольной координатной системы
Охуг,.в которой задано уравнение F (х, у, г) — 0 рассматриваемой
поверхности, к любой другой прямоугольной координатной сие-
268
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ. IX
теме. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений,
определяющих в первоначальной системе Oxyz данную поверх-
поверхность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отлича-
отличаются друг от друга только числовым множителем k. Но при умно-
умножении всех коэффициентов многочлена F (х, у, г) на данное число
, , А
k на это же k умножаются и -«-, и все характеристические числа
Ки Х2, Я3; поэтому а2, Ь2, с2, значит, и а, Ь, с остаются неизмен-
неизменными. Итак, полуоси центральной поверхности не зависят ни от
выбора прямоугольной системы координат, ни от того уравнения (из
числа определяющих данную поверхность), которым в этой системе
координат мы нашу поверхность задали; они зависят только от
самой поверхности как геометрической фигуры, т. е. как мно-
множества точек в пространстве.
Обратно, если дано наименование центральной поверхности
и ее полуоси а, Ь, с, то поверхность вполне определена с точ-
точностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две одно-
одноименные поверхности с одними и теми же полуосями имеют одно
и то же каноническое уравнение; значит, отличаться они могут
лишь тем, что первая из них этим уравнением определена в одной
прямоугольной координатной системе, а вторая —в другой; но,
совмещая первую координатную систему со второй посредством
собственного или несобственного движения, мы совместим одну
из наших поверхностей с другой.
Итак, две центральные поверхности тогда и только тогда изо-
метричны между гобои, когда они имеют одно и то же наименова-
наименование и когда их полуоси (счоттчпс/ши/ющие членам канонического
уравнения данных знаков) соответственно равны между собой.
Заметим, что (как непосредственно следует из определений
чисел а, Ь, с) во всех рассмотренных случаях два характеристи-
характеристических числа равны между собой тогда и только тогда, когда
соответствующие две полуоси центральной поверхности равны и
входят в каноническое уравнение поверхности с одним и тем же
знаком.
Мы видели (в гл. VIII), что равенство двух каких-либо полу-
полуосей, например а = Ь, эллипсоида означает, что мы имеем эллип-
эллипсоид вращения (сферу, если а = Ь = с). Поэтому признаком эллип-
эллипсоида вращения является равенство двух характеристических чисел,
а признаком сферы — равенство К1 = Х2 = Х3.
Точно так же однополостный гиперболоид является гипербо-
гиперболоидом вращения, если а? = Ь2, т. е. X1 = Xi, то же верно и для
двуполостного гиперболоида, и для конуса. Итак, равенство двух
характеристических чисел необходимо и достаточно для того, чтобы
центральная поверхность была поверхностью вращения, а равен-
равенство ?ij = X2 = A,3 верно для сферы (действительной или мнимой),
и только для нее.
§7]
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
2G9
Переходим к случаю поверхности A) ранга г = 2. Покажем,
что в этом случае уравнение A) определяет: при А Ф 0 (т. е. /? = 4)
параболоид,
эллиптический, если Д < О,
гиперболический, если А>0,
а при Д = 0, R = 3 — «центральный» (т. е, эллиптический или ги-
гиперболический) цилиндр, вырождающийся при R = г — 2 в пару
пересекающихся плоскостей.
Итак, пусть г = 2. Тогда среди характеристических чисел мно-
многочлена F(x, у, г) два, положим Ях и Х2, отличны от нуля и А.э=0.
В некоторой прямоугольной системе координат Ox'y'z' (с тем же
началом, что и исходная система Oxyz) уравнение A) принимает
вид
у', z')^
'2 + 2а[х' + 2а\у' + 2a'3z
Имеем
X, 0 0 и
О X., О и
О О О <;
а; а? а.^ а0
B)
откуда заключаем, что АфО тогда и только тогда, когда а'3ф0.
Рассмотрим сначала случай, когда Д^О и, следовательно,
дз Ф 0. Перенос начала координат О в произвольную точку О' =
= (jto, у», z'a), т. е. преобразование
переводит многочлен F' (х', у', г') в
F"(x", у", г")^,*-!-^//"'2
+ 2 (Х2у'о + а',) у" + 2а'Л
у? + 2а\х'о +
Определяя *о. у'о и z'o из уравнений
получаем
;' + 2а,'*; + 2а\у'й
у", г") =
Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе коорди-
координат уравнение всякой поверхности ранга г = 2, /? = 4 принимает
вид
V'4^ = 0. (II)
270 ОБЩЛЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА II (ГЛ IX
Из B) получаем
Так как а'3 — вещественное число, то А имеет всегда знак,
противоположный знаку ХгХ2. Другими словами, А положителен,
если характеристические числа Xt и Х2 разных знаков (гиперболи-
(гиперболический случай), и отрицательно, если Хх и Х$ одного и того же
знака (эллиптический случай). Изменив, если нужно, положи-
положительное направление оси г на противоположное, всегда можем
предположить, что знак а', противоположен знаку Xlt так что
уравнение (II) можно переписать в виде (мы отбрасыпаем штрихи
при координатах)
2z=^r+ -!?-Г, (II*)
где —~ есть положительное число, которое мы обозначим через р:
Число — ,- положительно, если знак Х2 совпадает со зиаг ом К,
(т. е. в эллиптическом случае, Д<0), и отрицательно, если Х1 и
Х2 разных знаков (т. е. в гиперболическом случае, Д>0).
Поэтому, полагая в обоих случаях
— _^L —
имеем
г = — =-i в эллиптическом случае,
ц = аЛ в гиперболическом случае.
Соответственно полу тем: в эллиптическом случае уравнение
2г-х- + *
р я
эллиптического, а в гиперболическом случае уравнение
гиперболического параболоида. Параметры р и q параболоида
выражаются через ортогональные инварианты А, А.,, Л,2 и поэтому
не зависят от той прямоугольной системы координат, в которой
было задано первоначальное уравнение A) параболоида. Они не
S 71
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
271
меняются при умножении многочлена F(x, у, г) на числовой
мполитель к (так как при этом А умножается на /г4, а Х1 и к2 — на k),
поэтому они зависят лишь от самой гкн'орхности (рассматриваемой
как множество ее точек) и в сдою очередь определяют ее одно-
однозначно (с точностью до ее положения в пространен не).
Равенство \^=%2 означает, что мы имеем эллиптический пара-
параболоид с равными параметрами р=ц, т. е. параболоид вращения.
Пусть теперь А--0, значит, и д', = 0. Тогда большой ранг
^?s=c3. Уравнение (Г) в этом случае приобретает вид
\х>% + Ь,у'2 + 2а[х' + 2а'2у' + ао = О. C)
Применим к этому у[ внению преобразование параллельного
переноса
Тогда будем иметь
где
а'о = \хо + КУо
Определяя х'о и у'о из уравнений
приведем уравнение D) к виду
D)
'2у'о + а0.
= 0, (III)
причем R-^'Л, ос in </', / 0, и R- 2, если а', -0. Уравнение (I)
задает (в системе координат О'х"у"г") цилиндр над лежащей
в плоскости г" = 0 центральной кривой второго порядка, имеющей
(в прямоугольной системе координат О'х"у) то же уравнение (III).
При R = 3 (т. е. а,=?0) эта кривая нераспадающаяся, при R — 2
она распадается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается
в пару пересекающихся плоскостей. Любая плоскость z" = h пере-
пересекает цилиндрическую поверхность (III) по кривой, имеющей
то же уравнение (III), в плоскости z" = h (в системе координат
с началом О" = @, 0, h) и теми же направлениями осей х" и у",
что и в координатной системе O'x"y"z"). Все эти кривые конгру-
конгруэнтны между собой; достаточно знать одну из них, чтобы цилинд-
цилиндрическая поверхность (III) была определена. Пусть R = 3. Тогда
полуоси а, Ь кривой (III) (называемые также полуосями цилиндри-
цилиндрической поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью
определяют поверхность (III) с точностью до ее положения
272
ОПЩЛЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II
[ГЛ IX
в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы
определить полуоси а, Ь по первоначальному уравнению (I), надо
только определить а'л.
Для определения числа а'о надо найти какую-нибудь точку
прямой центров (из системы определяющих ее уравнений в исход-
исходной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую
часть первоначального уравнения поверхности. Полученный резуль-
результат не зависит от выбора точки на прямой центров.
Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде,
мы получаем и каноническое уравнение
х'л ил
а'2 " Ь1
эчлиитнчсч-кою, соотнес тиеино гиперболического цилиндра, а
также (если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение —~ —
— -ур = 1 мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной
системе координат О'х"уяг". Снова равенство Х1 = Я1! является
признаком того, что наша цилиндрическая поверхность есть
поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр;
его сечения плоскостями, перпендикулярными к образующим,
суть окружности.
Пусть теперь R = r = 2, тогда йЦ = О и уравнение (III) пре-
нрашаетея п уравнение
ч.'иииощсс (и прямоутльном системе координат O'x"y"z") пару
пересекающихся плоскостей (вещественных, если Kt и Х2 разных
знаков; мнимых, если ^ и Я,2 одного знака). При этом отношение
-г1-, характеризующее двугранный угол между плоскостями, пол-
полностью определяется этой парой плоскостей и в свою очередь
полностью ее определяет.
Переходим к поверхностям ранга г=\. Для этих поверхностей
лишь одно характеристическое число, пусть ?^, отлично от нуля
Если ось Оу' прямоугольной системы координат направить
по единственному глазному направлению, соответствующему отлич-
отличному от нуля корню характеристического уравнения, а оси Ох'
и Oz' взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной
к уже выбранной оси Оу' (а в остальном — произвольно), то во
всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности
будет иметь вид
F (х, у, z) = F (х', у', г') = Х2у'2 + 2а[х' + 2а& + 2a3z'+a0 = 0. E)
Для поверхности ранга г = 1 всегда
§71
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
273
Пусть /? = 3; тогда по крайней мере один из коэффициентов
а\, a'i отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов много-
многочлена F'(x', у', г') все детерминанты третьего порядка будут
равны нулю).
Пусть, например, а\фО. Покажем, что в рассматриваемом
случае поверхность 'E) будет параболическим цилиндром. Наша
задача сейчас —найти такую прямоугольную систему координат,
в которой уравнение E) примет канонический вид
(IV)
Для этого произведем поворот координатной системы Ox'y'z' во-
вокруг оси у' на некоторый, пока произвольный, угол а, т. е. сде-
сделаем ортогональное преобразование координат
х' =х" cos а — г" sin a,
У'=У",
71 = х" sin a + z" cos a,
что тождественно прсч)бр,'нуег левую часть уравнения E) в
F'(x", у", z")s=Xiy + 2a'l(x"cosa-z"s\na) + 2a2y" +
+ 2аз (*" sin a + z" cos а) + а0 зз К2у + 2аУ +
+ 2 (а[ cos а -[-аз sin а) х" + 2 (аз cos а — а\ sin а) г" + а0 = 0.
Приравниваем коэффициент при г" нулю, что дает тригонометри-
тригонометрическое уравнение
а'з cos a — a\ sin a — 0,
из которого и определяем а:
В полученной прямоуюлмюй системе координат уравнение E)
приобретает нид
A,,//"' -f 2а'>у" -\- 2Ьх" + а0 = 0, F)
где положено
I) — а\ cos a + а'з sin a.
При этом ЬфО (иначе матрица коэффициентов уравнения F)
имела бы ранг -<2 вопреки предположению, что # = 3).
Уравнение F) есть уравнение цилиндра над параболой, лежа-
лежащей в плоскости г" —0 и имеющей (в системе координат Ох"у")
то же уравнение F). Остается только произвести сдвиг начала
координат (в той же плоскости Ох"у"). Мы получим после этого
сдвига прямоугольную систему координат, в которой уравнение
F) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра
примет канонический вид (IV). Поставленная задача решена.
274 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ IX
Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при
сечении параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной
к его образующим, называется параметром параболического
цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою оче-
очередь определяет его с точностью до его положения в пространстве.
Пусть теперь R^2. Тогда поверхность является парой парал-
параллельных (в широком смысле) плоскостей nlt я2; канонической
системой координат будет произвольная прямоугольная система
координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендику-
перпендикулярна к плоскостям Jij, я2, а две другие оси расположены
в•средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение
пары плоскостей л,, я2 будет
У=±Ь.
G)
К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения
E), в котором теперь непременно ах = а3 — 0 (если хотя бы один
из коэффициентов alt аа был ФО, то мы имели бы параболи-
параболический цилиндр и, значит, R = 3).
Итак, уравнение E) имеет в нашем случае вид
Посредством сдвига начала координат по оси ординат преобра-
преобразуем его в
Х2у + к = 0, (V)
что эквивалентно каноничен.ом\ ур;п мен, ю G).
Общим итогом этот пар.чгрпфл ннляпси
Теорема .4. Каждая поверх/юань, нпрсоглм'мая утеснением
второй степени с вещественными коэффициентами, принадлежит
к одному из следующих семнадцати классов:
1. Эллипсоиды вешретвемные.
2. Эллипсоиды мнимые.
3. Гиперболоиды однополостные.
4. Гиперболоиды двуполостные.
5. Конусы вещественные.
6. Конусы мнимые.
7. Параболоиды эллиптические.
8. Параболоиды гиперболические.
9. Цилиндры эллиптические вещественные.
10. Цилиндры эллиптические мнимые.
11. Цилиндры гиперболические.
12. Цилиндры параболические.
13. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся веще-
вещественных плоскостей.
14. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся мни-
мнимых сопряженных плоскостей.
§8]
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
275
15. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) парал-
параллельных вещественных плоскостей.
!6. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) парал-
/зльных мнимых сопряженных плоскостей.
17. Поверхности, распадающиеся на пару совпадающих вещест-
вещественных плоскостей.
§ 8. Аффинная классификация поверхностей втчрчго порядка
Докажем, что л.обые две поверхности, принадлежащие к какому-
нибудь одному L3 перечисленных в конце предыдущего параграфа
классов, аффинно эквивалентны между собой.
Для этого достаточно показать, что каждая из перечисленных
поверхностей аффинно эквивалентна некоторой простейшей поверх-
поверхности того же наименования.
Возьмем эллипсоид, заданный в канонической (прямоугольной)
системе координат Oxt/z урлг.чепнем
Рассмотрим аффинное преобразование
— а ' У ft ' с '
A)
Это преобразование переводит эллипсоид в сферу, имеющую в той же
(прямоугольной) системе координат Oxyz уравнение
Таким образом, каждый эллипсоид аффинно эквивалентен единич-
единичной сфере, концентрической с данным эллипсоидом.
То же аффинное п|собртсванпе A) переводит однополостный
гиперболоид
-1
ft2
в гиперболоид
двуполостный гиперболоид
_ XL _ У± . *- - 1
а2 "&2 "Г С'1 — 1
— в гиперболоид
— л-2 — г/2 + г2 = 1;
конус
276
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ. IX
У2
— в конус
мнимый конус
— в мнимый конус
Возьмем теперь эллиптический параболоид
1*
и г iiiMeiiiiM к нему а<|м|>1шиос прсобра.чопгшис
Xz=7T' У=ТГ' z'=z- B)
Это преобразование переводит данный параболоид в простейший
параболоид, имеющий в той же системе координат уравнение
То же преобразование B) переводит гиперболический пара-
параболоид
в параболоид
Эллиптическим цилиндр
"о2 "* ~? ~ '
мнимый эллиптический цилиндр
пара мнимых пересекающихся плоскости
гиперболический цилиндр
пара действительных пересекающихся плоскостей
§81
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
аффинным преобразованием
-
а '
У
277
C)
переводятся соответственно в одноименные поверхности, имеющие
в той же системе координат уравнения
Параболический цилиндр
после преобра.-шнпппя
У2 =
получает уравнение
' = рх, tj'-ij, г' = г
у2 = 2х.
Поверхности, распадающиеся на пары параллельных плоско-
плоскостей
аффинно эквивалентны соответственно поверхностям
хг ± 1 = О
(верхний знак -(- соответствует мнимым, нижп"й знач -- дейст-
действительным плоскостям).
Остается докапать, что дне iioiie|)xiioc'iii, прниадлежапию к раз-
различным классам, не могут быть ai|H|)iiiino эквивалентными. Мы
сейчас дадим чисто геометрическое доказательство.
Рассмотрим прежде всего свойство поверхности быть централь-
центральной, т. е. иметь единственный центр симметрии. Так как при
аффинном преобразовании центр симметрии данной фигуры пере-
переходит в центр симметрии преобразованной фигуры, то всякий
аффинный образ поверхности второго порядка с единственным
центром снова есть поверхность второго порядка с единственным
центром2).
Итак, при аффинном преобразовании всякая центральная
поверхность переходит снова в центральную.
') Если бы у преобразованной поверхности было несколько центров, то
при обратном преобразовании все эти центры перешли бы в центры первона-
первоначальной поверхности. А у нее по предположению имеется лишь один центр.
278
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА II
[ГЛ IX
Далее, среди центральных поверхностей невырожденные харак-
характеризуются тем, что их центр не лежит на данной поверхности.
Полому аффинный образ невырожденной (соответственно вырож-
вырожденной) центральной поверхности есть невырожденная (соответ-
(соответственно вырожденная) центральная поверхность.
Невырожденные центральные поверхности суть эллипсоиды,
однополостные и двуполостные гиперболоиды; ни одна из этих
поверхностей не может при аффинном преобразовании перейти
в поверхность другого наименования.
В самом деле, эллипсоид не может быть аффинно эквивалентен
никакой другой поверхности второго порядка, так как среди всех
поверхностей второго порядка лишь эчлипсонды обладт^т срой'т-
вом лежать внутри некоторого пара^л '.снимет (все остальные
rioi.epxiiocT.i ито; ого порядка мр< стирание i в бесколечьость 1)).
Двуполостной и одпопологшый гиперболоиды аффинно не экви-
эквивалентны, так как у двуаолчетных гиперболоидов нет веществен-
вещественных прямолинейных образующих, а у однополостных они есть.
Очевидно также, что при аффинном преобразовании вещественный
эллипсоид не может перейти в мнимый, так же как вещественный
конус не может перейти в мнимый.
Итак, любой аффинный образ центральной поверхности данного
наименования есть необходимо центральная поверхность того же
наименования.
Переходим к нецентральным поверхностям.
Прежде всего очевидно, что аффинный обр;н всякой поверх-
поверхности, распадающейся в пару нересек.топиш'я, соотгегственно
параттельных (п широком пли собственном смысле) плоскостей
есть снова поверхность того ни% наименования, причем сохраняется
и свойство поверхности быть вещественной или мнимой
Остаются параболоиды и цилиндры.
Нецентральная поверхность при аффинном преобразовании
не может перейти в центральную (иначе обратное преобразование
перевело бы центральную поверхность в нецентральную). Поэтому
аффинный образ параболоида или цилиндра не может быть цент-
центральной поверхностью; не может он быть и парой плоскостей.
Далее, аффинный образ параболоида не может быть ни эллип-
эллиптическим, ни гиперболическим цилиндром (так как у параболои-
параболоидов нет ни одного центра, а у названных цилиндров имеется
целая прямая центров).
Гиперболический и эллиптический параболоиды аффшшо раз-
различны, так как у гиперболического параболоида имеются (вещест-
(вещественные) прямолинейные образующие, а у эллиптического парабо-
параболоида их нет.
') Ср. с эиглогичным свойством, выделяющим эллипсы среди всех кривых
второго порядка.
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
279
По этой же причине эллиптический параболоид аффинно отли-
отличен от параболического цилиндра. Аффинная неэквивалентность
гиперболического параболоида и параболического цилиндра выте-
вытекает из того, что асимптотические векторы гиперболического
параболоида заполняют два различных двумерных векторных мно-
многообразия (это все векторы, параллельные одной какой-нибудь из
двух пересекающихся плоскостей), тогда как асимптотические
направления параболического цилиндра образуют одно-единствен-
одно-единственное двумерное векторное многообразие.
Неэквивалентность (какого бы то ни было) цилиндра параболо-
параболоиду вытекает также из того, что у цилиндра все образующие
параллельны между собой, тогда как ни один параболоид этому
условию не удовлетворяет.
Из сказанного следует, что яфф'шным образом эллиптического
(соответственно гиперболического) параболоида может быть только
параболоид того же наименования.
Аффинным обрлчом гиперболического или эллиптического
цилиндра не может fiun, ни параболоид, пи пара плоскостей, ни
центральная поверхность; не может им быть и параболический
цилиндр, у которого нет ни одного центра, тогда как у эллипти-
эллиптического и гиперболического цилиндров имеется прямая центров.
Остается доказать, что эллиптический и гиперболический
цилиндры аффинно различны. Это Еытекает из того, что совокуп-
совокупность вещественных асимптотических векторов гиперболического
цилиндра есть объединение двух двумерных векторных многообра-
многообразий, тогда как многообразие всех вещественных асимптотических
векторов эллиптического цилиндра одномерно.
Аффинная неэквивалентность эллиптического и гиперболиче-
гиперболического цилиндров вытекает также из того, что у эллиптического
цилиндра имеются плоские сечения, являющиеся эллипсами, тогда
как у гиперболического цилиндра таких сечений нет (читатель
должен это доказать).
Из предыдущего анализа вытекает, наконец, что параболиче-
параболический цилиндр аффинно отличен от поверхностей всех других на-
названных выше типов.
Задача аффинной классификации поверхностей второго порядка
решена до конца.
ГЛАВА X
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ ВТОРОГО
ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой
Множество всех прямых и плоскостей трехмерного простран-
пространства, проходящих через данную точку О, называется связкой
с центром О или, кратко, связкой О. Возьмем какую-нибудь плос-
плоскость я, не проходящую через точку О. Тогда через каждую
точку М плоскости я про-
проходит единственная прямая
т = ОМ связки О. Прямые
связки будем называть луча-
лучами. Таким образом, установ-
установлено соответствие, называе-
называемое перспективным соотеет-
спшисм, между всеми точками
плоскости я it лучами связ-
связки О.
При перспективном соот-
соответствии каждой прямой А,
лежашей в плоскости л, со-
соответствует нгкоторая вполне
определенная плоскость связ-
ки — плоскость б, проходя-
проходящая через точку О и пря-
прямую d. Плоскость эта образована всеми лучами, идущими из точки О
в точки прямой d\ мы будем ее обозначать через b = Od (рис. 125).
Итак, при перспективном соответствии точкам плоскости л
соответствуют лучи связки О, а прямым плоскости л — плоскости
связки О.
Назовем луч и плоскость связки О инцидентными между собой,
если данный луч лежит в данной плоскости. Точно так же назо-
назовем точку и прямую на плоскости л инцидентными между собой,
если данная точка лежит на данной прямой. Очевидно, при
перспективном соответствии между связкой О и плоскостью я
инцидентность сохраняется: если на плоскости л точка М инци-
Рис- I25-
П
ПЕРСПЕКТИВНОЕ СООТВЕТСТВИЕ
281
дентна прямой d, то соответствующие луч ОМ и плоскость Od
связки будут также инцидентны можду собой, и обратно.
Возникает вопрос: является ли перспективное соответствие
между плоскостью я и связкой О взаимно однозначным?
Легко видеть, что этой взаимной однозначности нет: лучи связки,
параллельные плоскости я, не соответствуют при перспективном
соответствии никакой точке плоскости я, а плоскость связки,
параллельная плоскости я, не соответствует никакой прямой плос-
плоскости я. Для сокращения речи назовем особым лучом связки
всякий луч, параллельный плоскости я, а особой плоскостью
связки назовем единственную плоскость, принадлежащую этой
связке и параллельную плос-
плоскости я. Особые лучи и осо-
особая плоскость связки не со-
соответствуют никаким точкам
и никакой прямой плоскости
л. В каждой пеоеобпй плос-
плоскости связки имеется един-
единственный особый луч и осо-
особые лучи заполняют всю
особую плоскость связки.
Посмотрим, в каком слу-
случае две плоскости Od и Od'
связки пересекаются по осо-
особому лучу (рис. 126). Так
как особый луч связки не
имеет общих точек с плос-
плоскостью я, то плоскости Od
и Od' не могут иметь общих
точек, принадлежащих плос-
плоскости л, т. е. прямые d и d', лежащие в плоскссти л не имеют
никакой общей точки, следовательно, они параллельны. Обратно,
если две прямые d и d' в плоскости л параллельны, то соответ-
соответствующие им плоскости Od и Od' не могут икеть общих точек, ле-
лежащих в плоскости я, т. е. луч, по которому плоскости Od и Od'
пересекаются, параллелен плоскости я, он является особым лучом.
Итак, две плоскости Od и Od' связки О тогда и только тогда
пересекаются по особому лучу, когда соответствующие им прямые
dud' параллельны.
Представляется естественным пополнить плоскость новыми —
«несобственными», или «бесконечно удаленными», — точками, обра-
образующими несобственную, или бесконечно удаленную, прямую, и
поставить их в соответствие с особыми лучами связки так, чтобы
перспективное соответствие между связкой и пополненной пло-
плоскостью было уже взаимно однозначным. На введенные таким
образом несобственные элементы мы распространим понятие инци-
Рис. 126.
282
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ X
дентности, считая, что данная обыкновенная прямая d плоскости
л инцидентна несобственной точке Мт тогда и только тогда, когда
особый луч, которому точка Мао соответствует, инцидентен пло-
плоскости Od; несобственная прямая, по определению, инцидентна
любой несобственной точке. Итак, при перспективном (теперь
уже взаимно однозначном) соответствии между пополненной пло-
плоскостью и связкой отношение инцидентности сохраняется.
Таким образом, пополнение плоскости несобственными элемен-
элементами (несобственными точками и несобственной прямой) проис-
происходит при соблюдении следующих условий:
1° Каждая прямая d плоскости л пополняется единственной
несобственной точкой (соответствующей единственному особому
лучу плоскости Od).
2° Две прямые d, d' плоскости я тогда и только тогда имеют
общую несобственную точку, когда они параллельны (т. е. тогда
и только тогда, когда плоскости Od и Od' имеют общий особый
луч).
3° Совокупность всех несобственных точек плоскости образует
несобственную прямую [совокупность всех особых лучей связки
образует особую плоскость этой связки).
Пополненная несобственными точками и несобственной прямой
плоскость я называется проективной плоскостью1); мы будем ее
обозначать через п. Перспективное соответствие между проектив-
проективной плоскостью л и связкой есть взаимно однозначное соответ-
соответствие между точками и прямыми плоскости, с одной стороны, и
лучами и плоскостями сия пси, с друти стороны; -по соответствие
сохраняет инцидентность
И? условий 1", 2', И', спорым подчинено пополнение пло-
плоскости несобственными точками, вытекают следующие два свойства
проективной плоскости:
А. Всякие две прямые dud' проективной плоскости пересе-
пересекаются в одной точке.
В самом деле, если прямые dud' собственные и если на
первоначальной обыкновенной плоскости л они пересекаются
в точке М, то эта же точка М является и точкой пересечения
прямых d и а" на проективной плоскости л; так как несобствен-
несобственные точки пересекающихся прямых dud' различны, то точка М
есть единственная общая точка прямых d и d' на проективной
плоскости. Если прямые dud', рассматриваемые на обыкновен-
обыкновенной плоскости п, параллельны между собой, то на проективной
плоскости я они имеют одну и ту же несобственную точку, и
она является их единственной общей точкой.
1) Точнее, проективной плоскостью в ее первом изображсиии или первой
моделью проективной плоскости.
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
283
Наконец, несобственная прямая пересекается со всякой собст-
собственной прямой в несобственной точке этой последней.
Предложение А можно сформулировать так: для всяких двух
различных прямых проективной плоскости имеется единственная
точка, которой обе эти прямые инцидентны.
Этому предложению двойственно предложение
Б. Для всяких двух различных точек на проективной плоскости
имеется единственная прямая, которой обе эти точки инци-
инцидентны.
Это известно, если точки собственные. Предположим, что даны
две точки А к В, из которых одна, положим А, собственная,
а другая В —несобственная. Тогда В есть несобственная точка
некоторой прямой b и всех прямых, параллельных прямой Ъ.
Поэтому, проведя через точку А прямую Ь', параллельную пря-
прямой Ь (а такая прямая единственная), мы и получим прямую,
инцидентную собственной точке А и несобственной точке В.
Наконец, единственная прямая, инцидентная двум несобствен-
несобственным точкам, есть песобстеипая прямая.
Аналитически пополнению плоскости несобственными точками
соответствует введение так называемых однородных координат,
к которому мы сейчас и переходим.
§ 2. Однородные координаты точек на плоскости
и лучей в связке
1. Определение однородных координат. Определение 1.
Предположим, что на плоскости я дана система аффинных коорди-
координат ое^. Пусть М — произвольная точка плоскости, х и у — ее
координаты в системе оъхе.г. Тогда всякая тройка чисел
пропорциональная тройке
X, У, 1,
называется тройкой однородных координат точки М (в данной
аффинной координатной системе ое^).
Решим две простые задачи:
а) по аффинным координатам точки М найти все тройки
однородных координат этой точки;
б) по одной какой-нибудь тройке однородных координат данной
точки найти ее аффинные координаты.
Первая задача решена самим определением однородных коор-
координат: тройки однородных координат данной точки М = (х, у)
суть все тройки хъ х.2, х3, пропорциональные тройке х, у, 1.
Вторая задача состоит в том, чтобы по данной тройке хи xit хя
однородных координат точки М найти ту тройку х, у, 1, кото-
284
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
}ГЛ X
рой тройка хъ хъ х3 пропорциональна. Значит, надо решить
пропорцию
х: у: 1 = х1: х2: х3,
откуда
X, X,
Х= — , У = — ,
х3 ' у х3
A)
Каждая точка М = {х, у) плоскости получила бесконечное
множество троек однородных координат.
Какими свойствами обладает это множество троек?
Во-первых, в нем содержится «запрещенная тройка», состоя-
состоящая из трех пулей, чак как эта тройка не может быть тройкой,
пропорциональной тройке ннда х, у, 1, ни при каких х и у.
Во-вторых, любые две тройки, являющиеся элементами этого
множества, пропорциональны между собой.
В-третьих, всякая тройка, пропорциональная какой-либо тройке,
входящей в наше множество, сама входит в это множество.
Другими словами: множество всех троек однородных координат
какой-либо точки плоскости есть один из классов, на которые рас-
распадается множество всех вообще незапрещенных числовых троек,
если считтаь эквивалентными всякие две пропорциональные между
собой тройки.
Возникает обратный вопрос: всякий ли класс пропорциональ-
пропорциональных троек есть множество троек однородных координат какой-
либо точки плоскости'
Пусть дан какой-нибудь класс гроек К, и пусть х,, х2, х3—
какая-нибудь тройка, входящая и лот класс. Ночможны два
случая:
либо х3Ф§, тогда мы эту тройку хи х2, х3 назовем обыкно-
обыкновенной;
либо х3 = 0, тогда мы назовем тройку xlt х2, x3 особой.
При этом, если в класс входит хотя бы одна обыкновенная
тройка, то все тройки этого класса обыкновенные; если в класс
входит хотя бы одна особая тройка, то все тройки этого класса
особые.
Если класс К состоит из обыкновенных троек, то, взяв какую-
нибудь одну из них, xlt х2, х3, мы можем найти точку М = (х, у)
по формулам A); это и будет точка, для которой хъ х2, х3 является
одной из троек однородных координат, а потому и весь данный
класс К будет классом троек однородных координат точки М-
Если же данный класс состоит из особых точек, то в нем нет
тройки вида х, у, 1, следовательно, такой класс не является
классом, соответствующим какой-либо точке плоскости.
Итак, точки плоскости находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с классами обыкновенных числовых троек.
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
285
Посмотрим, каков геометрический смысл этого соответствия и
что можно сказать об особых классах, т. е. о классах, состоя-
состоящих из особых троек.
Для этого вернемся снова к связке с каким-нибудь центром
О. Возьмем произвольную аффинную координатную систему Ое^е,,
в пространстве с началом в точке О. Координаты какого-нибудь
вектора относительно этой координатной системы будем обозначать
через хх, х2, х3.
Определение 2. Пусть дан произвольный луч связки.
Тройку координат хи х2, х3 любого направляющего вектора этого
луча назовем тройкой однородных координат этого луча (в дан-
данной аффинной координатной системе Ое^ез).
Так как существует бесконечное множество направляющих
векторов данного луча, то каждый луч связки получает бесконеч-
бесконечное множество троек однородных координат. Среди этих троек
нет запрещенной тройки 0, 0, 0, так как она не может слу-
служить тройкой координат никакого направляющего вектора. Все
эти тройки пропорциональны между собой; наконец, если дан
какой-нибудь направляющий век гор \xlt x2, х3] данного луча
и если тройка х\, х\, х'3 пропорциональна тройке хи х2, хя,
то вектор {х\, х\, х'з\ также будет направляющим вектором
того же луча. Итак, множество всех троек однородных коор-
координат произвольного луча связки есть класс пропорциональных
троек.
Нетрудно видеть, что любой класс числовых троек является
классом троек однородных координат некоторого луча связки.
В самом деле, пусть дан произвольный класс и в нем произволь-
произвольная тройка хи х2, х3. Так как эта тройка не состоит из одних
нулей, то она является тройкой координат некоторого вектора и,
отличного от нуля. Этот вектор есть направляющий вектор вполне
определенного луча связки, и, значит, тройка *,, х2, хя и все
пропорциональные ой тройки являются тройками однородных
координат именно этого луча.
Каким же лучам связки соответствуют, в качестве троек их
координат, особые тройки вида хъ х2, О? Очевидно, тем и только
тем лучам, которые лежат в плоскости Ое^.
Это положение вещей позволяет понять геометрический смысл
введения однородных координат на плоскости.
Пусть, в самом деле, дана плоскость я с системой аффинных
координат ое^ на ней. Возьмем аффинную систему Ое^ез в про-
пространстве с началом Офо, с теми же двумя векторами е,, е2,
что и_в системе ое^ на плоскости л, и с третьим вектором
е3 = Оо (рис. 127).
Всякую такую координатную систему Oeie2e3 в пространстве
называем системой, естественно связанной с системой ое^ (в пло-
плоскости л). В системе координат 0ехе2е3 плоскость я, очевидно,
286
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
имеет уравнение
B)
Замечание 1. Если в плоскссти дана аффинная система
координат ое^, то для каждой точки плоскости определены ее
однородные координаты относительно системы оеге2, причем для
собственных точек плоскости
аффинные и однородные коор-
координаты связаны между собой
формулами A). Пополнение
плоскости несобственными точ-
точками состоит в том, что каж-
каждому класс" особых троек вида
х,, х.,, О ставится в соответст-
Рис. 127.
М
вне несобственная точка плос-
плоскости.
В результате этого пополне-
• ния множество всех без исклю-
исключения классов числовых троек
оказывается поставленным во взаимно однозначнее соответствие
с множеством всех точек плоскости.
Точку М с однородными координатами хи х2, х3 записываем
так:
М = (х1: х2: хй).
Замечание 2. Пупь М- тччЛл'нсшти чочка плоскости,
тогда
М (*,:^:0).
Пара чисел xlt хг есть пара координат некоторого не равного
нулю вектора {хъ х2] плоскости; несобственные точки
М = (х1:хг:0) и N = {уг: у2: 0)
совпадают тогда и только тогда, когда тройки х1г х2, 0 и уи у2, 0,
т. е. пары xlt x2 и уи уг, пропорциональны, а это значит, что
векторы {хг, х2], {уи Уг\ коллинеарны, или определяют в пло-
плоскости одно и то же направление (являются направляющими век-
векторами одной и той же прямой).
Таким образом, несобственные точки плоскости взаимно одноз-
однозначно соответствуют направлениям в плоскости (при этом надо
помнить, что два противоположных вектора определяют одно и
то же направление). Несобственные точки называют также беско-
бесконечно удаленными и говорят, что бесконечно удаленная точка
М = (*i: х2: 0) «удалена в бесконечность» в направлении вектора
{хъ хг) (или {—х1:—хг\), т. е. в направлении прямой, имеющей
эти векторы своими направляющими векторами.
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
287
2. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах.
Пусть на плоскости л дана прямая d своим уравнением
а1х + сь1у + аа = 0 C)
в системе координат оеге2.
Найдем уравнение, которому удовлетворяет всякая тройка
однородных координат любой точки прямой d. Для этого, взяв
произвольную точку М = (х, у) прямой d и какую-нибудь тройку
Xi, x2, х3 однородных координат этой точки, выразим аффинные
координаты х и у точки М через ее однородные координаты
хъ х2, х3 по формулам A) и подставим полученные значения
х~ *,• у~т3
в уравнение C). Получим
т. е.
alxl -1-
= 0. D)
Это и есть искомое уравнение.
Обратно, пусть дано уравнение D); предположим сначала, что
в этом уравнении по крайней мере один из коэффициентов alf а2
отличен от нуля. Посмотрим, каковы те собственные точки пло-
плоскости, которые удовлетворяют этому уравнению. Пусть собствен-
собственная точка М плоскости л имеет тройку однородных координат
х1у х2, хя, удовлетворяющую уравнению D). Тогда и всякая тройка
однородных координат точки М удовлетворяет уравнению D); в част-
частности, этому уравнению удовлетворяет и тройка х, у, 1, где
х и у — аффинные координаты точки М. Итак, если однородные
координаты точки М удонжтиорнют уравнению D), то аффинные
координаты х и у этой точки удовлетворяют уравнению C) и, сле-
следовательно, лежат на прямой C).
Но на проективной плоскости л имеется и несобственная
точка, и притом только одна, удовлетворяющая уравнению D).
В самом деле, если хи х2, 0 —тройка однородных координат
несобственной точки, удовлетворяющей уравнению D), то
D')
откуда
: х2 — —
единственная несобственная точка, удовлетворяющая уравнению
D), есть точка
(-аг:а1:0). E)
288
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1ГЛ. X
Тройки класса E) и только они суть тройки координат един-
единственного несобственного луча, лежащего в плоскости Od. Так как
при перспективном соответствии между связкой О и плоскостью я
отношение инцидентности сохраняется, то несобственная точка E)
должна считаться инцидентной прямой d, т. е. эта точка есть
несобственная точка прямой d.
Как и следовало ожидать, две прямые тогда и только тогда
имеют общую несобственную точку, когда они параллельны.
Мы до сих пор рассматривали случай, когда в уравнении D)
по крайней мере один из коэффициентов а1, аг отличен от нуля.
Если оба коэффициента а1 = а2 = 0, то третий коэффициент а3 Ф О
и урагнение D), имея вид а3хя = 0, а3ф0, равносильно ура-
уравнению
х., = 0. F)
Этому уравнению удовлетворяют все несобственные точки плоско-
плоскости и только они. Уравнение F) есть уравнение первой степени,
его и естественно считать уравнением несобственной прямой пло-
плоскости.
§ 3. Координаты прямой, арифметическая проективная
плоскость, общее определение проективной плоскости
1. Координаты прямой. Читателю уже давно известно, что
координаты можно определить не только для точек, но и для
других юомстричоских объектов; например, мы с самого начала
этого «Курса» гонорнм о координатах исктора и только что ввели
понятие однородных координат луча спячки.
Пусть на проективной плоскости п дана прямая своим урав-
уравнением
Тройка коэффициентов аъ а2, а3 вполне определяет уравнение
A) и, следовательно, прямую, выражаемую этим уравнением. При
этом два уравнения A) и
bjX, + Ь2хг + ЬзХ3 = О
B)
тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, если их
коэффициенты пропорциональны между собой, т. е. если
= Ь3: а3.
C)
В самом деле, если уравнения A) и B) определяют одну и ту же
прямую, то всякая тройка чисел хъ х2, х3, удовлетворяющая
одному из этих уравнений, удовлетворяет и другому, т. е. урав-
уравнения A) и B) эквивалентны, но два однородных уравнения A)
§3J
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
589
и B) эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты
пропорциональны.
Определение 3. Тройка коффициентов alt a^, си, любого
уравнения данной прямой d называется тройкой (однородных)
координат этой прямой, а также тройкой координат плоскости
Od связки О (в системе координат Ое^вз, естественно связанной
с системой ое1е2, данной в плоскости я).
Очевидно: «запрещенная» тройка 0, 0, 0 не может быть трой-
тройкой координат никакой прямой. Далее, из только что доказанного
следует:
1. Любые две тройки координат данной прямой пропорцио-
пропорциональны между собой.
2. Если данная тройка а1, а2, а3 есть тройка координат дан-
данной прямой, то и всякая тройка, пропорциональная тройке alt
а2, а3, есть тройка координат той же прямой.
Итак, всякая (нсзапрещенная) тройка чисел может рассмат-
рассматриваться и как тройка однородных координат некоторой точки
на проективной плоскости, и как тройка координат некоторой
прямой. Две тройки определяют при миом одну и ту же точку,
соответственно одну и ту же прямую, тогда и только тогда,
когда они пропорциональны между собой.
Прямую с координатами ult «2, и3 мы обозначаем так:
{u^. U2\ U3}.
Прямая {«j: ы2: н3} и точка (хг: х2: х3) инцидентны, если
Пример. Прямая х = у или хх — х2 = 0 есть прямая {1: — 1 :0};
прямая у=1 или х2 — *3 — 0 есть прямая {0: —f-1: — 1}; прямая
х -=0 (ось ординат) или xv ¦ 0 есть прямая {1 : 0 : 0}; несобственная
прямая хя — 0 есть прямая |0:0:1).
2. Арифметическая проективная плоскость. Теперь читатель
готов к введению следующего определения:
Определение 4. Арифметической проективной плоскостью
называется множество Рар элементов двух родов, называемых
соответственно «арифметическими точкамиъ и «арифметическими
прямыми». И те и другие суть классы пропорциональных между
собой числовых троек, снабженные отметкой, указывающей, имеется
ли в виду «точка» или «прямая»: точки обозначаются, например,
через (х1:х2:х3), а прямые —через {ut: и2: и3]. При этом между
точками и прямыми установлено отношение инцидентности, состо-
состоящее в том, что точка (л^ : х2: х3) и прямая {uL: н2: и3] называются
инцидентными между собой, если
«Л + «2*2 + «3*3 = 0-
D)
10 П. С. Александров
290
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ X
Замечание 1. Ставя в соответствие точкам (хг:х2:х3) и пря-
прямым {м,:ц2:ы3} арифметической проективной плоскости прямые и
плоскости связки О, имеющие в некоторой фиксированной системе
координат соответственно координаты xlt х2, х3 и иъ и2, «,, видим,
что получаем взаимно однозначное соответствие между элементами
арифметической проективной плоскости и элементами связки,
сохраняющее отношение инцидентности (точка и прямая арифметичес-
арифметической плоскости инцидентны между собой тогда и только тогда, когда
инцидентны соответствующие им луч и плоскость связки).
3. Общее определение проективной плоскости. Наконец, мы
можем дать и следующее общее
Определение 5. Проективной плоскостью называется вообще
всякое множество Р, состоящее из элементов двух родов, называемых
соответственно «точками» и «прямыми», и связанных между собой
некоторым отношением, называемым отношением инцидентности
между какой-нибудь «точкой» и какой-нибудь «прямой». При этом
требуется, чтобы существовало сохраняющее инцидентность вза-
взаимно однозначное соответствие между «точками» и «прямыми»
проективной плоскости Р, с одной стороны, и лучами и плоскос-
плоскостями связки, с другой стороны: «точка» и «прямая» проективной
плоскости Р инцидентны между собой тогда и только тогда, когда
инцидентны соответствующие им луч и плоскость связки. В част-
частности, проективной плоскостью является и сама связка, если ее
лучи называть «точками», а плоскости — «прямыми».
Замечание 2. Взаимно одночначное соответствие между эле-
элементами (точками и прямыми) дпух проективных плоскостей, сох-
сохраняющее отношение ипнидснпюеш, пл iuniieic/н и юморфным соот-
соответствием (икшорфч шом) ->\\\\ дпух плоскостей Мы ппдим, что
все проективные плоскости изоморфны связке и, следовательно,
изоморфны между собой. Очевидно также, что всякая проектив-
проективная плоскость изоморфна арифметической проективной плоскости
(так как связка ей изоморфна).
Замечание 3. До тех пор, пока в пространстве не выбрана
аффинная координатная система Ое^ез, все лучи связки О и все
плоскости этой связки (т. е. все «точки» и все «прямые» проектив-
проективной плоскости) равноправны между собой —никаких несобствен-
несобственных «точек» и никаких несобственных «прямых» связка О сама
по себе не знает. Не знает их и проективная геометрия, ко-
которая есть не что иное, как геометрия связки. Лишь после того,
как выбрана система координат Ое^ез с началом в центре связ-
связки, — и этим выбором установлен определенный изоморфизм между
связкой и арифметической проективной плоскостью — можно гово-
говорить о несобственных лучах связки (несобственных точках плос-
плоскости) как о лучах (о точках), третья координата х3 которых равна
нулю; можно говорить и о несобственной прямой {0:0: 1}, которой
все эти точки инцидентны.
$31
ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
291
Поэтому, изучая любую проективную плоскость Р, мы можем
всегда заменить ее по нашему желанию связкой или арифмети-
арифметической проективной плоскостью Рар. Последнее особенно целесо-
целесообразно, если желательно с самого начала выделить несобственные
элементы. При этом удобно и законно представлять себе ариф-
арифметическую проективную плоскость как результат введения одно-
однородных координат (относительно некоторой «исходной» аффинной
координатной системы ое^) на данной обычной плоскости п, как
это мы делали в начале § 2.
Проективную плоскость с выделенной на ней несобственной
прямой называют шффинно-проекпмвной» плоскостью — по причи-
причинам, которые выяснятся в § 6.
4. Комплексная проективная плоскость. Мы ограничимся опре-
определением арифметической комплексной проективной плоскости.
Комплексной арифметической проективной плоскостью назы-
называется множество элементов двух родов, называемых соответственно
комплексными арифметическими точками и комплексными ариф-
арифметическими прямыми'1). И те и другие суть классы пропорцио-
пропорциональных между собой треск, теперь уже произвольных комплекс-
комплексных чисел, снабженных по-прежнему отметкой, указывающей,
идет ли речь о точках или прямых; точки будут обозначаться
через (X!:x2:x3), прямые —через {г^: «2: ма}. Среди всех троек
комплексных чисел лишь одна тройка 0, 0, 0 по-прежнему оста-
остается запрещенной. Точка (соответственно прямая) называется
вещественной {действительной), если среди троек xt, x2, х3, классом
которых она является, имеется тройка, состоящая из действитель-
действительных чисел. Так, точка M = (i:i:i) есть действительная точка:
она может быть записана и в виде М = A : 1 : 1). Все не дейст-
действительные точки (прямые) называются мнимыми.
Между точками и прямыми комплексной проективной плоскости
установлено отношение инцидентности: точка (^ : х2: х3) и пря-
прямая \ul:ui:ua\ называются инцидентными между собой, если
Так же можно говорить и о комплексной связке как о мно-
множестве всех комплексных прямых (лучей связки) и плоскостей,
проходящих через одну какую-нибудь действительную точку О
комплексного трехмерного пространства. В дальнейшем (уже
в следующем параграфе) мы будем предполагать, что в связке О
(вообще говоря, комплексной) дана система координат Ое^ез,
которая всегда будет предполагаться действительной (т. е. не
только точка 0, но и векторы е^ е2, е3 будут всегда веществен-
вещественными). Отождествляя луч связки, имеющий в избранной «исход-
«исходной» системе координат Oete.,e3 координаты хг, х2, хя, с точкой.
') Мы, естественно, будем их называть просто точками и прямыми.
10*
292
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
{хх: хъ: хя), а плоскость связки, имеющую координаты ии и2, и3, —
с прямой ju^MgiMg} арифметической проективной плоскости, мы
и саму связку можем отождествить с арифметической проектив-
проективной плоскостью.
§ 4. Принцип двойственности для проективнной плоскости
Вернемся к условию инцидентности
= 0 A)
точки (х1: х%: х3) и прямой {и1:и2:и3\.
Поставим в соответствие каждой точке (хг: хг: ха) проектив-
проективной плоскости прямую \х1:ха:хя\ с теми же координатами (и,
наоборот, прямой )«,: и.,: ия\ — точку (н, : иг: и3)), т. е. сделаем
взаимно однозначное отображение множества всех элементов (точек
и прямых) проективной плоскости на себя, записывающееся в виде
(x1:xi:x3)<^{x1:xi:xa\. B)
Тогда имеет место следующий очевидный и тем не менее заме-
замечательный факт.
Отображение B) сохраняет отношение инцидентности, т. е.
переводит точку (x1:xi:xs) и прямую {ut: и2: и3}, инцидентные
между собой, в прямую {х1:хг:х3} и точку (иг: щ: и3), по-преж-
по-прежнему инцидентные между собой.
В самом деле, условие инцидентности A) не зависит от того,
считаем ли мы тройки хи х.х, х.л и ни и2, ия тройками координат
точки и прямой или, мноГюрот, прямой и точки, т. е. не зависит
ст тою, какую из двух треск а,, а.,, а., и //,, »и, «., мм заключаем
в круглые, а какую —и фигурные скобки.
Непосредственным следствием этого факта является следующий
Принцип двойственности для проективной пло-
плоскости. Пусть верно какое-нибудь предложение, касающееся точек,
прямых и отношения инцидентности между ними. Тогда будет
верно и двойственное предложение, получаемое, если в данном пред-
предложении поменять слова «прямая» и «точка».
В самом деле, речь идет о предложении, которое может заклю-
заключаться лишь в утверждении инцидентности таких-то прямых
{uL: и2: и3} и таких-то точек (хг: х2: л:3). Эти утверждения выра-
выражаются в тождествах вида A), в которых ничего не изменится,
если мы в формулировке нашего предложения заменим прямые
точками, а точки — прямыми (т. е. заменим фигурные скобки круг-
круглыми и наоборот).
Прежде чем приводить примеры взаимно двойственных пред-
предложений, сделаем следующее общее замечание.
В плоской аффинной геометрии точки и прямые не были рав-
равноправны: плоскость состояла из точек, а прямые определялись
ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
293
как множества точек, координаты которых удовлетворяли урав-
уравнениям первой степени.
Теперь мы можем стать на другую точку зрения: и прямые
и точки суть совершенно равноправные геометрические объекты,
и те и другие взаимно однозначно соответствуют классам число-
числовых троек; эти геометрические объекты связаны между собой основ-
основным отношением инцидентности, выражающимся условием A).
Если мы в A) будем считать прямую {и^. иг: и3] данной, то равен-
равенство A) является уравнением, определяющим множество точек,
инцидентных данной прямой. Если же мы в уравнении A) будем
считать данной точку (х1:х2:х3), то оно превращается в уравне-
уравнение, определяющее множество всех прямых {их'.и^'.щ}, инцидент-
инцидентных данной точке, т. е. пучок прямых с центром в данной точке.
С таким же правом, как мы раньше считали первоначальным
понятие точки, а прямую определяли как множество точек, удо-
удовлетворяющих уравнению A), мы могли бы считать первоначаль-
первоначальным понятие прямой и определять точку как множество инцидент-
инцидентных ей прямых (как пучок прямых), удовлетворяющих тому же
уравнению A). Свое полное выражение это равноправие точек
и прямых проективной плоскости и находит в сформулированном
выше принципе двойственности.
Приведем примеры двойственных в указанном смысле предло-
предложений; их доказательства будут тоже «двойственны»: одно полу-
получится из другого, если в каждый момент доказательства слово
«прямая» заменить словом «точка» с сохранением каждый раз
отношений инцидентности.
Теорема Г. Ко всяким
двум различным прямым а, Ь
имеется единственная точка, им
инцидентная; она обозначается
через (а ¦ Ь) (или просто через а-Ь).
Теорема I. Ко всяким двум
различным точкам А, В имеется
единственная прямая, им инци-
инцидентная; она обозначается через
АВ (или просто через А В).
Доказательство
Пусть ax:a%:as и Ьх: Ь2: Ь3 суть две данные различные
точки I прямые.
Мы ищем всевозможные
прямые точки
инцидентные двум данным
точкам I прямым
ах: а%: а3, Ьх: Ь2: Ь3. Искомые ?х: 1г: ?3 удовлетворяют условиям
3 = 0, C)
= 0, D)
294
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
Ьа b3
:
а3 at
b3 h
Oi a,
bi b\
откуда следует, что
il : jU '¦ bi ~
т. е. что координаты |t: |2: |3 определены с точностью до про-
пропорционального множителя однозначно; значит, существует
единственная
прямая {|!:|2:У I точка (Ёх: 12: у,
инцидентная данным двум
точкам прямым
(я, : а2: я:)), (tj: Ь2: 6j) {д,:а2:а3}, {6,:&2:63}.
Замечание. Теорема 1 выражает хорошо известный чита-
читателю из школьного курса геометрии факт: через всякие две раз-
различные точки проходит одна и только одна прямая. Двойственная
теореме 1 теорема Г в более привычной формулировке звучит
так: всякие две различные прямые пересекаются в одной точке,
собственной или несобственной; в собственной точке они пересе-
пересекаются тогда, когда пересекаются на обычной (не пополненной
несобственными точками) плоскости, в несобственной— тогда, когда
они на обычной плоскости параллельны. На проективной плоско-
плоскости параллельных прямых нет.
Вернемся к доказательству теорем 1 и Г. Единственная пря-
прямая (точка), инцидент».™ двум данным точкам (прямым) а1:аг:а9,
и bl:b3:ba, имеет коордшмпл, определяемые формулами E):
"а
II; «1
'-з *1
"i <h
Если А = (аг: а2: а3) и В = (Ьг: Ьг: Ъг) суть две различные точки,,
то прямая E) есть прямая {|х: |2: |3}, этим двум точкам инцидент-
ная; ее уравнение есть
где %и ls, |з Даны пропорцией E), так что уравнение F) можно-
переписать в виде
*i
= 0.
Уравнение F) или G) есть уравнение, которому удовлетворяюг
координаты всех точек, инцидентных прямой {^ : |а: |а}. Это урав-
уравнение G) выражает тот факт, что первая строка матрицы
\\а а "'I
а.\ а2 а3
ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
295
линейная комбинация второй и третьей, т. е. что
1 = 1, 2, 3. (8)
Давая параметрам X, и \х всевозможные числовые значения (кроме
запрещенной пары значений Я, = |о, = О), будем получать по фор-
формулам (8) тройки однородных координат всевозможных точек М
прямой АВ. Очевидно при этом, что двум пропорциональным
парам К': ц'= К": [i" будут соответствовать пропорциональные
тройки х[: х\: х'3 и х\: х\: х"г. Обратно, если формулы (8) опреде-
определяют для данных значений К', ц', соответственно k", \i", одну и
ту же точку, т. е. две пропорциональные тройки х\, х'ъ х'Л и х"\,
х\, х"ъ, то пары к', \л' и к", \l" пропорциональны: к': |д/ = к": ц".
В самом деле, пусть x[=kx[, xi = kxi, xl=kx'3. Тогда
т. е.
-tik')at = {k\i' -\ie)bh 1 = 1, 2, 3,
откуда следует, что или k" = kk', \x" = k\i', т. е. к" :\i" = к' ip',
или тройки аг, а2, а3 и blt bit ba пропорциональны и, значит,
точки А и В совпадают между собой— вопреки предположению.
Итак, точки прямой {^ : |г: ?3} = АВ взаимно однозначно соот-
соответствуют классам пропорциональных пар значений параметров к,
у,, поэтому система уравнений (8) называется системой парамет-
параметрических уравнений или, для краткости, просто параметрическим
уравнением прямой АВ. Однако следует помнить, что для того,
чтобы написать эту систему уравнений, надо не только знать
самые точки А, В, определяющие нашу прямую, но и выбрать
среди троек однородных координат этих точек определенную
тройку аи а2, ая, соответственно blt b2, b3.
Если a = \al:a2:a3} и b = [b1: b2: Ь3\ суть две различные пря-
прямые, то формулы E) определяют их точку пересечения (а-Ь) =
= (ii: 1г :1з)- Уравнение F) или G) есть уравнение (относительно х1г
х2, х3), которому удовлетворяет любая тройка координат всякой
прямой d = {x1 :х2: хг\, инцидентной точке (a-b) = (\l: ^2 :|3) (т. е.
проходящей через эту точку); другими словами, уравнение G)
есть уравнение пучка прямых с центром (а -Ь). Уравнения (8)
образуют систему параметрических уравнений этого пучка; они
выражают давно известный нам факт, что каждая прямая пучка
есть линейная комбинация двух каких-нибудь прямых этого пучка.
Из доказанного вытекает
Теорема 2. Пусть xlt хг, xs, аъ а^, a3t bu 62, b3 суть про-
произвольные тройки координат каких-нибудь трех
точек. | прямых.
296
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1ГЛ X
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы эти три
точки \ прямые
были инцидентны одной и той же
прямой
(т. е. чтобы три данные точки
лежали на одной прямой),
/почке
(т. е. чтобы три данные прямые
проходили через одну точку)
является равенство G), т. е. выражаемая им линейная зависимость
между (произвольными) тройками координат
хи хъ xa; alt a2, ay, blt b2, b3
данных трех
точек.
прямых.
§ 5. Проективная система координат в связке
и на проективной плоскости
Пусть снова дана связка О (действительная или комплексная),
и пусть, наряду с аффинной системой координат Oeje2e3, дана
вторая система координат OeJe'eJ с тем же началом О, единичные
векторы ei, e^, е? которой получаются из векторов ej, e2, е3 умно-
умножением их на одно и то же число к. Две такие координатные
системы назовем э бивалентными. Всякая тройка чисел хъ х2, х3,
являющихся тропкой координат какого-нибудь иоктора и в одной
из двух эквивалентных координатных систем, будет тройкой коор-
координат коллинеарного вектора Ки (соответственно -у- и) в другой
системе. Поэтому совокупность всех троек однородных координат
какого-нибудь луча связки будет в двух эквивалентных коорди-
координатных системах одной и той же.
Легко доказать и обратное утверждение. Если относительно-
двух координатных систем Ое^ез и Ое^е^ в связке О каждый
луч этой связки имеет одни и те же однородные координаты, то
системы Ое^вз и Ое^ез эквивалентны.
В самом деле, так как луч, несущий вектор ej, имеет в системе
Oeje^ тройку координат {1, 0, 0}, то в обеих системах Ое^е,,
и Ое^ез тройками координат этого луча являются все
тройки вида {Хъ 0, 0}, %гф0, и только они, откуда, в частно-
частности, следует, что вектор ej имеет в системе Oe^eg координаты Klt
0, 0, где \ Ф 0, так что е{ = Х^. Аналогично е^ = Я,2е2, eJJ = Я3е3.
Остается доказать, что %1 = Х2 = Х3. Но луч, несущий вектор е' =
= ej-f-ej + e3, имеет по предположению в обеих системах Ое^ез и
Ое^е^ез одну и ту же координатную запись {1:1:1}, так что мы
имеем для самого вектора е' равенство е' = К (ех + е2 + е3) при.
ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
297
некотором кфО. Так как, с другой стороны, е' = Х^ + ^е2 + Х3е3,
то Х = Х1 = к2 = 'К3, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Из приведенного доказательства вытекает,
что для эквивалентности двух координатных систем Оехеаеа и
Oeje^ei в связке О необходимо и достаточно, чтобы три коорди-
координатных луча {1:0:0}, {0:1:0}, {0:0:1} и «единичный луч»
11:1:1} одной системы имели бы ту же координатную запись
{1:0:0}, {0:1:0}, {0:0:1} и {1:1:1} и в другой системе коор-
координат.
Вводим теперь следующее
Определение 6 (первое определение проектив-
проективной системы координат). Задать в связке О систему проек-
проективных координат — значит задать в пространстве какую-нибудь
систему аффинных координат с началом О. При этом две экви-
эквивалентные системы аффинных координат, по определению, задают
в связке одну и ту же систему проективных координат.
Другими словами: система проективных координат в связке
с центром О есть класс эквивалентных между собой аффинных
координатных систем с началом О.
Посмотрим, как определить этот класс геометрически.
Чтобы задать аффинную систему координат с началом О, можно,
вместо того чтобы задавать сами единичные векторы ОЕ1 = е1,
ОЕ% — е2, ОЕ3 = еа, задать несущие их прямые ОЕХ = Xlt OE2 = %it
бЕ3 = %з (оси координат) и точку Е = A, 1, 1). Проекции Ех,
Е2, Е3 этой точки Е на оси координатх) и определят единичные
векторы б?1 = е1, б?2=е2, О?3 = ез. причем ОЁ—ОЕ^ОЕ^'ьОЕ^
Точка Е называется единичной точкой данной аффинной системы
координат. Очевидно, две аффинные системы координат с нача-
началом О тогда и только тогда эквивалентны, когда у них одни и
те же оси, а единичные точки лежат на одном и том же луче —
на «единичном» луче Е связки.
Поэтому определение 6 может быть сформулировано и следую-
следующим образом:
Определение 6' (второе определение проектив-
проективной системы координат). Задать проективную систему
координат в связке— значит задать в этой связке три некомпла-
некомпланарных координатных луча Хъ Xit Xa и четвертый, «единичный-»
луч ?,_не компланарный ни с какими двумя из координатных
лучей Xv X2, ХЛ.
Пусть в связке О дана проективная система координат
ХуХ%Х3Е. Спрашивается: как найти класс эквивалентных между
собой аффинных координатных систем, определяющих (в смысле
1) Здесь (и далее) проекции на какую-либо координатную ось берутся
вдоль плоскости, несущей две другие оси координат.
298
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
ГГЛ X
eCv-L
первого определения) данную проективную систему координат?
Для этого возьмем на единичном луче Е данной проективной
координатной системы ХХХ2Х3Е произвольную точку Е (рис. 128),
обозначим через Elt Ег, Еэ ее проекции на оси координат (т. е-
на лучи Xlt Х2, Х3), получим векторы е1=О?1, е2 = бЁ2, е3=0?3.
Аффинная координатная система Оехе.2е3 и все системы Ое^ез,
ей эквивалентные, и образуют, очевидно, класс, определяющий
данную проективную систему ХХХ2Х3Е. Каждая система Ое^е^
_ входящая в этот класс,
получается, если на том
же единичном луче Е взять
какую-нибудь точку ?' и
се проекции Е\, Е'2, Е'ъ на
лучи Х1У Х2, Х3.
Из этого построения
ясна и роль единичного-
луча Е проективной коор-
координатной системы: если-
г брать разные тройки век-
t торов el, е.2, ез, лежащих
соответственно на коорди-
координатных осях Хи Х2, Ха,
и не связывать эти тройки1
требованием, чтобы сумма*
пекторон каждой тройки
С)\лл;\ поправляющим век-
¦]()|)ом одного и того же-
(для исел троек) луча
связки О, то будем получать различные, вообще говоря, не экви-
эквивалентные между собой аффинные координатные системы.
Тройки координат произвольного луча связки О в аффинной коор-
координатной системе Ое1е2е3 или, что то же, в любой аффинной коор-
координатной системе, эквивалентной системе Ое^е,,, и называются,
по определению, тройками_ проективных координат этого луча-
в проективной системе ХгХ2Х3Е. _
В частности, координатные лучи Хъ Х2, Х3 и единичный луч Е
получают в системе Х^^ХзЕ соответственно координатную запись
^ = A:0:0), Х, = @:1:0), Х3 = @:0:1), ? = A:1:1).
Далее, любая тройка коэффициентов ult ы2, и3 любого уравнения.
7 I
Pur. I2H.
произвольной плоскости связки О относительно системы коорди-
координат Ое^вз является, по определению, тройкой проективных^коор-
проективных^координат этой плоскости в проективной системе координат ХгХ2Х3Е.
Все это переносится посредством изоморфного, а именно пер-
перспективного отображения и на плоскость Р = к, получаемую попол-
ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
299
яением обычной плоскости я несобственными точками. Все оста-
останется по-прежнему, только вместо «луч связи О» надо говорить
-«точка плоскости Р%, а вместо «плоскость связки О» —«прямая
плоскости Р». Координатные лучи Xlt X2, Х3 превращаются в точ-
точки Хъ Х2, Х3 (рис. 129); эти точки принято называть вершинами
.координатного треугольника, состоящего из трех точек Xlt X2, Х3
и трех прямых Х±Х2, Х2Х3, Х3ХЪ инцидентных парам эгих точек;
эти прямые называются -
¦сторонами координатного \3
треугольника. Единичный
.луч Е делается единичной
точкой Е. Четыре точки
Xlt X2, X3, E называются
фундаментальными (или
базисными) точками дан-
данной проективной коорди-
координатной системы на плос-
плоскости.
Замечание 2. Пусть
.я — плоскость трехмерного
пространства с заданной
в ней аффинной системой
координат оехе2. Построим
в пространстве аффинную
-систему координат Ое^е^
естественно связанную с
системой oete2 на плос-
плоскости я. Система Oexe2e3
определит на проективной
плоскости я, происшедшей
от пополнения плоское!и я
несобственными элементами, проективную систему ^оординат
Х^ХгХъЕ (рис. 130), причем проективная плоскость л отобра-
отображена на связку О естественным изоморфизмом, а именно пер-
перспективным отображением. Очевидно, что проективные коор-
координаты точек плоскости я относительно системы ХгХ2Х3Е суть
не что иное, как их однородные координаты относительно аффин-
аффинной системы координат ое^. Поэтому только что определенная
нами на проективной плоскости я проективная система координат
ХгХ2Х3Е называется однородной системой координат, соответству-
соответствующей данной аффинной координатной системе ое^ на л. Из
вершин координатного треугольника ХХХ2Х3 вершины
Рис. 129.
суть, очевидно, несобственные точки соответственно оси абсцисс
.и оси ординат системы о&хе2 («точки, удаленные в бесконечность
300
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
в направлении соответственно прямых ох и otp), тогда как точка
Х8 = @:0: 1) есть начало координат системы ое^, а точка ? =
= A :1:1) —точка плоскости л, имеющая в системе координат
^ координаты х = у = 1.
Прямая Х3Хг (т.е. прямая, инцидентная точкам Х3 и Хх) есть
ось абсцисс, а прямая Х3Х2 — ось ординат координатной системы
2, прямая ХгХ2 есть несобственная прямая.
Рис. 130.
Вообще, если проективная система координат определена вер-
вершинами координатного треугольника Хи Х2, Х3 и единичной точ-
точкой Е, то прямая XsXi должна иметь такие координаты ult и2, и3г
чтобы точки Х3 = @:0:1) и Х1 = A:0:0) удовлетворяли урав-
уравнению
откуда сразу вытекает, что и3 = иг = 0 (тогда, как, естественно,
третья координата ы2 отлична от нуля). Итак, прямая Х3ХХ имеет
координаты 0:1:0. Аналогично заключаем, что прямые Х3Х2 и
ХХХ2 имеют соответственно координаты 1:0:0 и 0:0:1.
Итак, наряду с формулами
Х1 = A:0:0), 1
Х2 = @ :1: 0),
Х8=@:0:1),
дающими координатную запись вершин Хъ Х2, Х3 координатного
треугольника, имеем следующую координатную запись сторон
«51
ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
301
этого треугольника:
ад= {0:1:0},
Х3Х2= {1:0:0},
ХЛ={0:0:1}.
Отождествляя каждую точку плоскости я с классом троек ее
однородных координат, мы превращаем плоскость я в арифмети-
арифметическую проективную плоскость с данной в ней основной, «приви-
«привилегированной», проективной координатной системой Х^^Х^Е, где
точки Хх, Х2, Х3, Е, как точки арифметической проективной пло-
плоскости, даны своей записью A). Эта система координат называ-
называется системой однородных координат на арифметической проек-
проективной плоскости.
Пусть в связке О (или какой-нибудь плоскости Р, изоморфно
отображенной на соязку О) даны две проективные координатные
системы —исходная Х|Х.2Х.,/: и «новая» система X'tX^X^E'; новая
система задана кякнми-то тройками координат ее фундаменталь-
фундаментальных точек Xj, X!j,, X',, Е' относительно исходной системы:
Xi — (cu : с21: с31),
Х2 = (с12: с22: с32),
Хз = (ci3: саз: с33),
F = (ej: е2: е3).
B)
Требуется написать «формулы преобразования координат», вы-
выражающие координаты хъ х2, х3 любой точки М относительно
исходной системы координат, через координаты х\, х\, х\ той же
точки в «новой» системе координат.
Предположим сначала, что трейки координат B) каждой из
точек XI, Х'ъ Xj, E' выбраны согласованными, т. е. так, что имеет
место векторное равенство
\Сц, с21, с31}-f-{c12, с22, с32} + {Схз, с23, с33} = {е1; е2, е3}; C)
тогда, считая векторы')
г> сзг}>
счя> сзз/ B'}
единичными векторами аффинной системы координат в связке О,
видим, что эта аффинная координатная система задает именно
проективную систему Х\Х'гХ'ъЕ' и что, следовательно, проектив-
проективные координаты какого-либо луча т связки О (и соответствующей
ему точки М плоскости Р) в системе XIXjX3?' суть не что иное,.
как координаты того же луча в аффинной системе Ое^е^.
Данные своими координатами в системе Oeje2e3.
302
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
Вернемся теперь к системе
Выберем на луче Е какой-нибудь вектор О? = е=^0 и возь-
мом его проекции ОЕи ОЕ2, 0Ея на лучи Хи Х2, Х3. Тогда
(Je^e;, есть аффинная система координат в связке, задающая
проективную систему Х^Х^^Е. Каждая тройка л:г, хг, х3 проек-
проективных координат в системе ХхХ2Х-лЕ луча т есть тройка коор-
координат в аффинной системе Ое^ез некоторого направляющего век-
вектора и этого луча 1).
С другой стороны, тройка координат х\, х'ъ х'3 луча т в си-
системе Х!ХаХз?' есть тройка координат (в аффинной системе коор-
координат Oejeaea) какого-то направляющего вектора и'= Ы того же
луча т. Поэтому из B') и из формул преобразования аффинных
координат получаем (имея в виду, что координаты Еектора и
в системе Oeje^ суть г-х\, -=гх'*< г*»)' что
г -У г */
т. е. что
— 2_i CtlXh
= 1, 2, 3.
D)
Зто и есть формулы перехода от проектинпой п:п мы Х^^^Е
к проективной системе X\X\X'J-' н предположении, что для коор-
координатной тлппеп фупдлмоптл ш.пых точек Х\, Л'., Xj, IV выбраны
(относительно спетом и Х,А',Х.,/:) спгллсомлппмс тройки коорди-
координат B').
Предположим теперь, что выбраны какие угодно, может быть,
и не согласованные между собой, тройки координат B) точек
XI, Х.2, Х'а, Е'. Тогда их надо заменить определяющими те же
точки согласованными тройками, т. е. надо найти такие отличные
от нуля множители \, Х2, Ха, чтобы
, \с21,
и чтобы, кроме того, имело место векторное равенство
^1 1С11> C21t C3l}+^2lC12> С22> С32/ Ч" ^3 {С13. С23> С331 ~ \К1> К2
B")
C')
г) Выбор другого вектора е = 0? на луче Е привел бы к аф|шиной системе
координат, эквивалентной системе Oeie2e3; каждая тройка координат луча т
в одной из этих координатных систем была бы тройкой координат того же
луча и в другой системе, так что для последующих рассуждений не имеет
значения, какой именно вектор е взят на луче В,
8 5]
ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
303
Но векторное равенство C') равносильно системе уравнений (отно-
(относительно Xlt >4, Ха)
з
/ , ь/уЛу — с/, I 1, Z, О. {О )
Детерминант d этой системы отличен от нуля (так как столбцы
матрицы коэффициентов линейно независимы), поэтому система
C") решается однозначно по правилу Крамера. При этом ни од-
одно из чисел Х1У J^, X3 не равно нулю. В самом деле, имеем,
например,
6l С12 Си
Если бы числитель этой дроби был равен нулю, то столбцы
стоящего в числи том1 дотерминлптл были бы линейно зависимы,
что невозможно, так клк чти столбцы суть тройки координат не
коллинеариых между собой точек /;'', Х^, Х'л.
Найдя из уравнений C") значения \1У к2, Х3 и подставив их
в B"), получим координатную запись B) точек Х[, Х^, Хз, Е'
уже посредством согласованных троек координат и формулы пре-
преобразования координат:
где
i, / = 1, 2, 3.
Замечание 3. Пусть па проективной плоскости Р задана
некоторая ирииилсгпронанная («исходная») прооктипиая система
координат, например, на арифметической проективной плоскости
задана исходная система однородных координат. Координаты
какой-нибудь точки в этой исходной системе будем обозначать
через *!, х2, ха. Тогда переход к какой-нибудь новой системе
координат определяется просто некоторой невырождающейся мат-
матрицей С —матрицей коэффициентов в формулах D) или D').
Поэтому можно, не вдаваясь в приведенные выше «геометриче-
«геометрические» рассуждения, просто сказать: задать на арифметической
проективной плоскости систему проективных координат х[, х\,
х'3 — значит задать невырожденную матрицу С. В определенной
этой матрицей новой системе координат точка М получает в ка-
качестве координат всевозможные тройки вида
*=1.2, з,
E)
304
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
где матрица коэффициентов D есть обратная матрица к мат-
матрице С коэффициентов в D), так что формулы D) и E) эквива-
эквивалентны между собой и выражают взаимно однозначное соответст-
соответствие : гжду классами троек старых «однородных» и новых «проек-
«проективных» координат какой-либо точки проективной плоскости.
§ 6. Проективные преобразования и отображения
проективной плоскости
1. Определение и аналитическая запись проективных преобра-
преобразований. Пусть на проективной плоскости Р задана определенная
(«исходная») система проективных координат. Без ограничения
общности можно предположить, например, что есть арифметиче-
арифметическая проективная плоскость с системой однородных координат
на пей. Задать на плоскости Р проективное преобразование —
значит задать некоторую новую проективную систему координат;
этим определится преобразование плоскости Р, состоящее в том,
что каждой точке М плоскости, координаты которой в исходной
системе пусть будут л^ : д:2: х3, ставится в соответствие точка М'
плоскости, имеющая те же координаты х1: х2: х3, но уже в новой
системе координат. Читатель видит, что это определение проек-
проективных преобразований совершенно аналогично определению аф-
аффинных преобразований, данному в главе III.
Из этого определения непосредственно следует, что преобразо-
преобразование проективной плоскости Р, обратное к нроектшшому преоб-
раэоваиию, есть прооктшшоо iipc<>f>p;i юпмино Очевидно также,
что ТОЖД1ЧТИ0ШКН1 нрообрл кш.ишг luioiKiHi'ii /' осп. проективное
прсобразонаине.
Если новая система координат задана матрицей С, то, как
непосредственно следует из формул преобразования координат,
данных в предыдущем параграфе, точка М', имеющая в новой
системе координат координаты хг, х2, х3, будет иметь в старой
системе координаты
з
^ t=l, 2, 3. A)
Поэтому проективное преобразование можно определить как
преобразование, ставящее в соответствие каждой точке М =
= (xt: х2: х3) проективной плоскости точку AV = (х\: х\: х'3), где
координаты х\, х\, х'3 даны формулами A), причем детерминант
матрицы С преобразования A) не равен 0. Система координат
при этом все время одна и та же1).
1) Множитель X, в правой части равенств A) позволяет по одной какой-
нибудь тройке координат точки М' найти любую тройку координат этой точки.
ПР jC!fTIIC:'L.IE ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
305
Задается проективное преобразование любой неособой невы-
невырожденной матрицей С. Поэтому, считая исходную («однородную»)
систему координат раз навсегда данной, мы будем обозначать
проективное преобразование той же буквой, что и задающую его
матрицу.
Если проективные преобразования от? и <:М задаются соответ-
соответственно матрицами А и В, то произведение матриц А и В задает
проективное преобразование, являющееся произведением преобра-
преобразований @,-4 и :?&. Отсюда следует, что произведение двух проек-
проективных преобразований есть проективное преобразование.
Аналогично, если проективное преобразование сё задается мат-
матрицей С, то матрица С задает проективное преобразование, об-
обратное к преобразованию <?'; преобразование, обратное к проек-
проективному, есть проективное преобразование. Так как, наконец,
тождественное преобразование, очевидно, является проективным,
то из доказанного вытекает
Теорема 3. Совокупность всех проективных преобразований
проективной плоскости гс/пь гриппа (подгруппа группы всех преоб-
преобразований проективной плоскости).
При проективном преобразовании V множество точек М =
= (*!: х2: х3) какой-либо прямой d = {их: и2: и3}, определенной
уравнением
0, B)
переходит в множество точек М', координаты которых в некото-
некоторой новой проективной системе координат удовлетворяют тому
же уравнению B) и которые поэтому образуют некоторую прямую
d'. Уравнение этой прямой d' в исходной системе координат
получится, если подставить в B) вместо координат х17 х2, х3
какой-нибудь точки М их значения, выраженные через коорди-
координаты х\, х'.ь х', (в той же исходной координатной системе) точки
М'^ЪМ. Эти значения получаются, если решить уравнения A)
относительно хи х2, х3, т. е.
21
! I
, 2, 3,
C)
где матрица D коэффициентов dlh есть матрица, обратная к С.
Очевидно, формулы C) равносильны формулам A). Внося C)
в B), получим
(dnx\ + d22x'i
3 {d31x[ + d32x't + d33xf3) = 0
или
(duut + d21u2
гиъ + d3iu3) x's
'г = О.
306 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Полагая
ы-=
t, /=1, 2, 3,
[ГЛ. X
B')
видим, что при проективном преобразовании %? всякая прямая d
с координатами ult щ, и3 переходит в прямую d' с координатами
«1, и\, и'г. Так как образом прямой при проективном преобразо-
преобразовании всегда является прямая, то проективные преобразования
называются иначе коллинеарными преобразованиями (или, короче,
коллинеациями): они сохраняют коллинеарность точек*).
2. Основная теорема о проективных преобразованиях плоско-
плоскости. Докажем сначала следующее предложение. Пусть при про-
проективном преобразовании o/f проективной (арифметической) плос-
плоскости четверка фундаментальных точек Ylt У2, У3, E некоторой
проективной системы координат переходит в четверку точек Уи
У'ъ Y'it Е'. Так как никакие три из точек Y'u У^, У'ъ Е', по
только что сказанному, не лежат на одной прямой, то эти четыре
точки определяют снова проективную систему координат. Пусть
М — произвольная точка проективной плоскости, М' — ее образ
при преобразовании cf. Тогда М' имеет относительно системы
Y'iY'tY'^E' me же координаты, какие точка М имела относительно
системы YlY2Y3E.
В самом деле, пусть координатная запись точек У,, У2, Y3y
Е в исходной системе координат Х1Х2Х,/^ есть
У, г (rt| : a.t: ti,), Y.t
У., (г, : с,: ся),
причем в каждой скобке тройки координат выбраны согласованно,
т. е. так, что
{аи а2, a3\ + {blt b2, ba} + {clt са, с3\ = {&1, е2, е3}.
Тогда, по сказанному в § 5 (формулы B) и D)), однородные
координаты xlt x2, хя произвольной точки М связаны с коорди-
координатами ух, у2, у3 той же точки в системе УгУгУ3Е соотношениями
^xk = a)ly1 + bl!y2 + cky3, k=l, 2, 3. D)
Проективное преобразование &>? задано тем, что, наряду с исход-
исходной (однородной) системой координат ХхХгХ3ё, дана некоторая
проективная система Х^Х'^Х'^', так что тройки координат точки
М' относительно системы Х[Х'9Х'Я<^' суть не что иное, как тройки
координат хг :хг :х3 точки М в исходной однородной системе.
!) Верно и обратное утверждение: всякое преобразование (вещественной) про-
проективной плоскости, сохраняющее коллинеарность точек, есть проективное
преобразование.
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
307
Это верно для любой точки М. Гак как, в частности, точки
У',, У.2, Уд, Е' суть образы точек У,, У2, У3, Е при преобразо-
преобразовании оА, то тройки координат точек Y\, Y\, У'ъ, Е' отно-
относительно системы Х\Х'гХ'1$' пропорциональны тройкам однородных
координат точек Ух, У2, У3, Е, т. е. соответственно тройкам аи
а2, а3\ Ьъ b2, b3; си с2, с3 и ги е2, е3. Значит, формулы преоб-
преобразования координат, соответствующие переходу от системы
X[X!,Xz<$' к системе У[У!У'^Е', hvo;ot ту же матрицу коэффици-
коэффициентов, что и преобразование D). Поэтому, обозначая через у\: у\: у'ъ
координаты точки М' в системе У!У.2Уз?' и помня, что в системе
Х\Х',Х\ё' координаты точки М' суть хх: х2: х3, будем иметь
=\, 2, 3.
D')
Так как и D) и D'), рассматриваемые как уравнения относи-
относительно уи у2, //:,, соответственно у'и у\, у^ однозначно разрешимы,
то мы видим, что тройки координат точки М' и системе У1У^У',?'
совпадают с тропками координат сочки М и системе YtY.2Y3E.
Наше утиерждечие докл i.'iuo.
Из доказанного утверждения мы выведем следующий основной
факт:
Теорема 4. Пусть Ух, У2, У3, Е и Y[, Y'it Y'it E'-две
четверки точек проективной плоскости, удовлетворяющие тому
условию, что никакие три точки, принадлежащие одной и той же
четверке, не коллинеарны между собой. Тогда существует одно и
только одно проективное преобразование А проективной плоскости,
переводящее каждую из точек одной четверки в соответствующую
точку другой {т. е. Ух в Y\, У2 в Y[b Y3 в У'ъ и Е в ?').
В самом деле, рассматривая данные четверки как четверки
фундаментальных точек двух проективных координатных систем
и станн в соответстмпо ьпжгон точке1 М ту точку М', которая
относительно коорднпатней системы Y\Y\Y'Ji' имеет те самые
тройки координат, которые точка М имела относительно системы
YiYzYzE, мы получим проективное преобразование, переводящее
соответственно точки Yu У2, У3, Е в точки Y\, У'ъ Y'3, E'.
Это преобразование единственно, так как, по только что дока-
доказанному, при всяком проективном преобразовании &#, переводя-
переводящем точки Ух, У..,, У3, Е соответственно в точки Y\, Y'it Y'z, E',
тройки координат точки <?ЛМ относительно системы У\У'^У'ЪЕ'
суть не что иное, как тройки координат точки М относительно
системы У^УгУ3Е.
Замечание I. Непосредственными следствиями теоремы являются такие
простые утверждения:
1° Существует бесконечно много проективных преобразований плоскости,
переводящих данные три ее неколлинсарные точки Л, В, С в любые три некол-
линеарные точки А', В', С. Тем более существует бесконечно много проективных
преобразований, переводящих одну заданную точку в другую,
308
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
Т Существует бесконечно много проективных преобразований плоскости,
переводящих пару заданных прямых d, g в пару заданных прямых d', g'^
Достаточно взять любые две точки А, В на прямой d, две точки С и D на
прямой g, а также точки А', В' на прямой d', точки С, D' на прямой g'
и построить проективное преобразование, переводящее точки А, В, С, D
соответственно в А', В', С, D'.
Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, пере-
переводящих одну из двух данных прямых в другую, а также отображающих
любую данную прямую саму на себя.
Предполагая, что в плоскости выбрана определенная система проективных
координат, запишем, в частности, преобразование, отображающее одну из коор-
координатных прямых на другую, положим прямую ^ = 0 на прямую х3=0. Таким
преобразованием является, например, преобразование
у'
*2,
Запишем в качестве второго примера преобразование, переводящее любую
прямую {ау: а2: а3] в одну из координатных прямых, например, предполагая,
что a-i Ф 0, в прямую хх = 0. В качестве такого преобразования можно взять
3. Задание проективных преобразований проективной плоскости
аффинными преобразованиями трехмерного пространства. Проек-
Проективную плоскость рассматриваем как связку с центром О. Данное
проективное преобразование <><? задается переходом от исходной
проективной системы координат А*,.V.J.V,1/'' к попой системе коор-
координат Х\Х\Х'гР.'. Порем и К.71.-КЧЧ- :k|k|iiiiiim>ix координатных систем
с началом О, акпннчтиующнх проомчпиюм координатной системе
ХхХ2ХаЕ, какую-нибудь определенную систему Ое^ез, а в классе
аффинных систем, соответствующих проективной координатной
системе Х[Х'гХ^Е', — какую-нибудь систему Oele^. Аффинное преоб-
преобразование, задаваемое переходом от системы Ое^вз к системе
Oejejejl, переводит каждый луч т = 0М связки О в луч
erfm = ОМ',
являющийся образом луча ОМ при преобразовании erf, и в этом
смысле определяет в связке О заданное в ней проективное преоб-
преобразование erf.
Обратно, каждое аффинное преобразование erf трехмерного
пространства, задаваемое переходом от (какой-нибудь) аффинной
координатной системы Oeje2e3 к (какой-нибудь) координатной
системе Ое1е?ез (с тем же началом О), определяет проек-
проективное преобразование erf связки 0^ _задаваемое переходом
от проективной системы координат Х^^Х^Е (состоящей из
класса всех аффинных систем, эквивалентных системе Ое^вз)
к проективной координатной системе Х\Х'%Х'ЪЕ' (состоящей из
«6J
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
309
всех аффинных систем, эквивалентных системе Ое^е,). Спраши-
Спрашивается: когда два аффинных преобразования erf' и erf" (оставля-
(оставляющих неподвижной точку О) определяют одно и то же проектив-
проективное преобразование erf связки О? Без ограничения общности
можно предположить, что оба преобразования <?/' и erf" опре-
определены переходом от одной и той же аффинной системы коорди-
координат Ое^вз соответственно к системам Ое^еЦ и Ое,"е.1ез. Для того
чтобы они определяли одно и то же проективное преобразование,
очевидно, необходимо и достаточно, чтобы системы OeJe^eJ и Ot[t\tl
были эквивалентны, т. е. чтобы существовало такое ^^О, что-
ej = 5ie,", е^ = ta9', eg = ле3".
Но тогда аффинное отображение arf" получается из аффинного
отображения erf' умножением его на растяжение (гомотетию)-
с центром О и коэффициентом растяжения X. Итак, доказана
Теорема 5. Всякое проективное преобразование связки О
порождается некоторым аффинным преобразованием трехмерного
пространства, оставляющим неподвижной точки О; обратно,
всякое аффинное преобразование пространства, оставляющее непод-
неподвижной точку О, порождает некоторое проективное преобразова-
преобразование связки О; два аффинных преобразования (оставляющих непод-
неподвижной точку О) тогда и только тогда порождают одно и то же
проективное преобразование связки О, когда каждое из этих аффин-
аффинных преобразований получается из другого последующим растяже-
растяжением пространства с центром О.
4. Подгруппа проективно-аффинных преобразований. Проектив<
ное преобразование проективно-аффинной плоскости (т. е. проек-
проективной плоскости с выделенной в ней несобственной прямойх))
называется проективно-афинным, если оно отображает несобствен-
несобственную прямую саму на себя (т. е. отображает всякую несобствен-
несобственную точку на несобственную).
Замечание 2. Для того чтобы проективное преобразование было проек-
тивно-аффинным, достаточно, чтобы оно отображало две какие-нибудь несобст-
несобственные точки Mi и М2 на несобственные же точки М\ и М'2: тогда и несоб-
несобственная прямая, будучи инцидентной точкам Мх и Мг, отобразится на прямую,
инцидентную несобственным точкам М\ п М'а, т. е. на несобственную прямую..
Замечание 3. При проективно-аффинном преобразовании ?f
всякая собственная точка М отображается на собственную точку
М'.
В самом деле, пусть точка М' — 'ёМ несобственная. В силу
взаимной однозначности отображения ff точка М', будучи образом
собственной точки М, не может быть образом никакой несобст-
несобственной точки. Поэтому из сделанного предположения следует,
J) Можно ограничиться рассмотрением арифметической проективной плос-
плоскости с несобственной прямой *3 = 0 на ней.
310
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
что при отображении S3 несобственная прямая отображается на
свою истинную часть, что невозможно, так как при проективном
преобразовании всякая прямая (как множество инцидентных ей
точек) отображается на прямую.
Итак, при проективно-аффинном отображении ?f проективной
плоскости происходит отображение множества всех собственных
точек плоскости на себя, т. е. происходит некоторое преобразо-
преобразование 2?0 той аффинной плоскости, от пополнения которой несоб-
несобственными элементами произошла данная проективная плоскость.
Докажем, что это преобразование ^0 является аффинным.
Предполагаем, что данная проективная плоскость есть арифме-
арифметическая проективная плоскость с несобственной прямой хя = 0.
Рассмотрим сначала какое-нибудь проективное преобразование
&\ задаваемое формулами
х\ = X 2] C4xh
=1, 2, 3,
A)
выражающими однородные координаты х\, х'ъ х'3 точки
через однородные координаты х1г х2, х3 точки М.
Предположим, что при преобразовании *8 образом несобствен-
несобственной точки всегда является несобственная же точка. Тогда, пола-
полагая в последнем равенстве A)
будем при любых значениях х, и х.л нсегда иметь х'л -0. Но это
возможно лишь тогда, когда
^1 == ^32 == "•
Так как детерминант матрицы С отличен от нуля, то
с33фО,
так что преобразование A) записывается в виде
х[ = X (СцДСх + c12*2 + с13х3).
Х-2 — X (C2iXi -J- С22^2 -\- Ci3X3),
detC =
Сц
С21
0
Cl2 С13
с22 ci3
0 Со,
— сзз
Сц С) j
/^ р
ь21 С22
0.
E)
Перейдем к аффинным координатам собственных точек арифме-
арифметической проективной плоскости. Для этого поделим левую и
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
31*
правую части равенств E) на лс^^зз-^з; получим
Л — ill Л I _?ia_ ^2^ , _?is_
*3 C2l Xl . t-22 xi I _?23_.
С3Э
Сзз
полагая
X
_ *1
Хз
ап =
. У =
Си
= Сзз"'
сзз'
х2
Хз'
«i2:
»22 =
х' =
__?12_
Сзэ '
. с22
у'
. «13
«23 =
г'
У'=^г,
С13
. с2Э
"^'
получим
ап
о22
F)
х'= ап
у'= <h,
Итак, проективпо-яффмнпое преобразование, рассматриваемое
на множестве собственных точек плоскости, есть аффинное преоб-
преобразование.
Обратно, если дано аффинное преобразование
{/¦ =
плоскости, то, переходя к однородным координатам, можем,
написать
4
А ,
"И "« J + «23-
Отсюда
так что
G>
что дает при х3 = 0 непременно *з = 0, — получаем проективное
преобразование, оставляющее на месте несобственную прямую,
т. е. проективно-аффинное преобразование. Доказана следующая
Теорема 6. Всякое проективно-аффинное преобразование, рас-
рассматриваемое лишь на множестве собственных точек проективной.
плоскости, есть аффинное преобразование.
•312
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
Обратно, всякое аффинное преобразование посредством формул
¦G) может быть распространено на всю проективную плоскость
паким образом, что получится проективно-аффинное преобразова-
преобразование проективной плоскости.
Отсюда легко следует, что совокупность всех проективно-аффин-
ных преобразований есть подгруппа группы всех проективных преоб-
преобразований проективной плоскости, изоморфная группе всех аффин-
аффинных преобразований (обыкновенной аффинной плоскости)I.
Иногда доказанную теорему кратко, но неточно формулируют
так: аффинные преобразования суть проективные преобразования,
ери которых несобственная прямая отображается на себя.
В заключение покажем, какой вид имеет в аффинных коор-
координатах любое проективное преобразование, если его рассматри-
рассматривать лишь па множестве собственных точек плоскости.
Итак, пишем снова формулы проективного преобразования A)
и переходим к аффинным координатам, для чего переписываем
.эти формулы в виде
cu —
Хз
Хз
Хз
К> ^iL+Cn^ + c*
и полагаем и них
X i X л . X. f X j
л=-^. y^^rr, x'=^, y'=-±.
Получаем
х =
У ' =
С31Х+С32У+СЗЗ'
(8)
"Это и есть формулы, дающие проективное преобразование собст-
собственных точек плоскости в аффинных координатах. Эти формулы
перестают действовать для точек, лежащих на прямой с31х +
+ Сз2«/ + с33 = 0. т. е. на прямой с31х1 + с32хг-{-с39х3 = 0.
Но, как показывает последняя из формул A), эти точки при
нашем преобразовании переходят в точки вида (дг{: х'%: 0), т. е.
в несобственные точки плоскости; естественно, что мы не можем
шайти аффинных координат этих точек.
!) То, что проективно-аффинные преобразования образуют группу, без
-труда выводится из самого их определения.
«61
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
313
Пусть дано какое-нибудь проективное преобразование плос-
плоскости, не являющееся проективно-аффинным. Оно переводит несоб-
несобственную прямую в некоторую обыкновенную прямую d. Пусть
при этом несобственные точки A:0:0) и @:1:0) оси абсцисс
и оси ординат какой-нибудь (хотя бы прямоугольной) координат-
координатной системы переходят соответственно в точки Ог и О2 прямой
d. Тогда два несобственных пучка прямых х = а и у — Ь, парал-
параллельных (на обыкновенной плоскости) соответственно оси ординат
и абсцисс выбранной прямоугольной координатной системы,
перейдут соответственно в пучки с центрами Ot и О2, а квадратная
сетка, изображенная на рис. 131, а, перейдет в сетку четырех-
четырехугольников, изображенную на рис. 131, б. Эти рисунки, а также
сделанный на их основе рис. 132 помогут читателю составить
себе наглядное представление о том, что может происходить при
проективном преобразовании.
5. Проективные отображения одной плоскости на другую.
Перспективные отображения. До сих нор мм рассматривали лишь
проективные преобржюмгшпя, т. о. проективные отображения
какой-либо проективной плоскости па себя. Однако легко опре-
определить и взаимно однозначные проективные отображения одной
проективной плоскости Р на другую Р'. Для того чтобы задать
такое отображение, надо задать на плоскостях Р и Р' по про-
проективной координатной системе Х1Х2Х3Е и XW'^X'zE', этим опре-
определится отображение *ё плоскости Р на плоскость Р', которое
каждой точке М плоскости Р стазит в соответствие ту точку М'
плоскости Р', которая в системе Х'\Х'2Х'зЕ' имеет те самые тройки
координат, какие точка М имела в системе ХХХ2Х3Е.
Пусть л и я'—две плоскости в трехмерном пространстве;
пополняем их соответствующими несобственными точками до про-
проективных плоскостей л л л'. Берем какую-нибудь точку О, не
лежащую ни в одной из двух плоскостей л п л'. Каждой точке
М проективной плоскости л ставим в соответствие ту собственную
или несобственную точку М' плоскости л', в которой эту пло-
плоскость л' пересекает луч т = 0М связки О (рис. 133). Получен-
Полученное таким образом отображение плоскости л на плоскость л'
называется перспективным отображением с центром перспек-
перспективы О.
Легко видеть, что всякое перспективное отображение является
проективным. В самом деле, возьмшвевязке О какую-нибудь,
систему проективных координат Х^^ХзЕ. Она определит в пло-
плоскости л проективную систему Х^Х^Х^Е, а в плоскости л' — систему
Х'хХ^Х'гЕ'. Очевидно, и точка М плоскости я (в системе ХХХ2ХЪЕ),
и точка М' плоскости л' в системе Х'хХ'чХ'гЕ' будут иметь те
самые_ координаты, которые луч т — 0М = 0М' имеет в системе
XXXE
314
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
1ГЛ. X
КРИВЫЕ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
315-
1
(
\
1—
1
' f
\
-
V
1
1
f
\
\
\
1
1
б)
I И.
Замечание 4. Важность перспективных отображений вытекает из сле-
следующей теоремы, выражающей один из основных фактов проективной геометрии:
Всякое проективное отображение плоскости я на плоскость я' либо отобра-
отображает несобственную прямую плоскости я на несобственную прямую плоскост»
я' (и, следовательно, сводится к аффинному отображению плоскости я на>
Рис. 133.
плоскость я'), либо может быть осуществлено посредством собственного или
несобственного движения плоскости я и пространстве, пополнения перемещенной
плоскости л' до прьектпмои нлоскоаи я' и последующего перспективного
отображения плоскости л на плоскость я'.
Доказательство этой 1еоремы читатель может найти в книге А. С. Пархо-
Пархоменко и П. С. Моденова «Геометрические преобразования» (М , Изд. МГУ,
1961). Эта книга вообще может быть рекомендована читателю, желающему
в доступном изложении подробнее ознакомиться с основными свойствами про-
проективных преобразований.
§ 7. Кривые второго порядка на проективной плоскости.
Теорема единственности
Алгебраической кривой порядка п на проективной плоскости
(действительной или комплексной) называется множество всех
точек этой плоскости, координаты которых в некоторой проектив-
проективной системе координат удовлетворяют уравнению вида
Ф(х1, х2, ха) =
A)
316
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ. X
где Ф(хи хг, х3) есть однородный многочлен (форма) степени п
от переменных хи хг, х3, коэффициенты которого мы будем всегда
предполагать действительными.
При переходе от одной проективной координатной системы
к другой координаты испытывают однородное линейное преобра-
преобразование, переводящее форму Ф (xlt х2, ха) в форму Ф' (х[, х'% х'з)
тсй же степени п от новых координат, поэтому данное выше
определение порядка кривой не зависит от выбора той или иной
системы проективных координат. Если не оговорено противное,
мы будем считать, что на плоскости выбрана привилегированная
система координат и что х1: х2: х3 являются координатами по
отношению к этой системе.
Проще всего представить себе при этом данную проективную
плоскость как арифметическую проективную плоскость или, что
сводится к тому же, но нагляднее, как проективную плоскость
я, происшедшую от пополнения несобственными точками обычной
плоскости я с аффинной системой координат oejea на ней,
а систему проективных координат на проективной плоскости я—
как однородную систему, соответствующую аффинной системе
oe^j. Тогда несобственные точки (x1:xi:x3) характеризуются
условием
0
которое и является уравнением несобственной прямой. При пер-
перспективном отображении плоскости я па сиязку О координаты
xt: хг: хя какой-нибудь точки М плоско* ти л переходят в коорди-
координаты луча т ОМ имя ikm, :i урлниеиие (I) прекращается в уравне-
уравнение конической поверхности с вершиной и центре связки О, сече-
сечением которой плоскостью я и является кривая, определенная
в этой плоскости тем же уравнением A). Мы будем рассматривать
лишь кривые второго порядка, так что левая часть уравнения
A), задающего данную кривую, будет всегда квадратичной фор-
формой и уравнение кривой будет иметь вид
Ф (хи х%, х3) = anx\ + 2а12х1х2 + аггх\ + 2а13х1х3 +
-f- 2а23х2х3 + a33xl = 0. B)
В силу только что сказанного кривые второго порядка суть
плоские сечения конуса второго порядка.
Кривая второго поряцка называется невырождающейся, если
левая часть ее уравнения есть квадратичная форма ранга R — 3.
Посмотрим чем отличаются кривые второго порядка, опреде-
определенные на проективной плоскости я от давно известных нам кри-
кривых на аффинной плоскости я.
Возьмем аффинную систему координат ое^, соответствующую
данной однородной системе ХхХгХ3. Тогда множество X собствен-
собственных точек проективной плоскости я, удовлетворяющих уравнению
КРИВЫЕ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
317
{2), совпадет с множеством точек аффинной плоскости я, коорди-
координаты которых
(относительно системы оехе2) удовлетворяют уравнению
F (х, у) а апх* + 2а12ху + a22ya + 2а13х + 2а23у + а33 = 0. C)
Множество X пусто в том и только в том случае, когда уравне-
уравнение C) противоречиво, т. е. когда а33фО, а все остальные коэф-
коэффициенты пц, й12, йм, а13, а23 равны нулю. В этом случае уравнение
B) превращается в
т. е. в 4 = 0, и является уравнением дважды взятой несобствен-
несобственной прямой. Итак:
Теорема 7а. Если все точки кривой B) несобственные, то
кривая B) есть дважды взятая несобственная прямая; тогда ее
уравнение непременно имеет вид B,„).
Предположим теперь, что кривая B) содержит все несобствен-
несобственные точки плоскости и хотя бы одну собственную. В силу только
что доказанного в этом случае хотя бы один из коэффициентов
йп, ап, а22, а13, а23 отличен от нуля.
По нашему предположению, всякая несобственная точка
(#!: х2: 0) удовлетворяет уравнению B), т. е. равенство
Ф(хи х2, O)
есть тождество, верное для любых значений xlt x2. Это значит,
что
и уравнение B) имеет вид
2alsxlx3 + 2a2Sx2x3 + a33xl = 0,
т. е.
ха Baiaxt + 2а23хг + а33х3) = 0, B^)
в котором по крайней мере один из коэффициентов а13, а23 отли-
отличен от нуля.
Кривая B) в этом случае распадается на пару различных
прямых: несобственную прямую х3 = 0 и собственную прямую
2а13х1 + 2а23х2 + а33х3 = 0.
Итак:
Теорема 76. Если кривая B) содержит все несобственные
точки плоскости и хотя бы одну собственную, то она распадается
на пару различных прямых, из которых одна есть несобственная
прямая. Уравнение B) в этом случае непременно имеет вид B^).
318
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
(ГЛ. X
Очевидно и обратное утверждение: если уравнение B) имеет
вид B?j), то кривая B) распадается на пару прямых: на несоб-
несобственную прямую
0
и на прямую
=0;
это вторая прямая оказывается несобственной тогда и только
тогда, когда а13 = а2з = 0 (и тогда непременно а33Ф0).
Предположим теперь, что не все несобственные точки плоско-
плоскости лежат на кривой B) (т. е. что несобственная прямая не содер-
содержится в кривой B)). Тогда среди коэффициентов аи, ап, а23
по крайней мере один отличен от нуля и уравнение B) опреде-
определяет на аффинной плоскости л с координатной системой ое^
некоторую кривую второго порядка.
Для определения несобственных точек кривой B) подставляем
в уравнение B)
*3 = 0.
Получаем
anx\ + 2aux1x2 + ai2xl = 0. D)
Это уравнение определяет два значения (действительные различ-
различные, мнимые сопряженные или совпадающие действительные) для
отношения хг: х». Итак:
Теорема 7в. Кривая второго порядка B), не содержащая
несобственную прямую, имеет лишь две несобственные точки: дей-
действительные (быть может, анпшОающие) или мнимые сопряженные.
Так как нсктор {*,, х2\, удовлетворяющий уравнению D),
есть вектор асимптотического направления кривой C), то несоб-
несобственные точки кривой второго порядка, не содержащей несобст-
несобственную прямую, суть точки, удаленные в бесконечность в одном
из двух направлений, асимптотических для данной кривой.
Из доказанного легко следует
Теорема 8 (теорема единственности). Если два урав-
уравнения
Ф(хъ х2, ж3)==
= апх\ + 2а12х1х2 + аг2х\ + 2al3xlxs + 2а23х2х3 + Озз4 = 0 B)
*1, Х2, Х3) =
= а'пх\ + 2а'пх1х2 + а'пх\
+ 2а'ах2х3 + а'язх] = 0, B')
рассматриваемые относительно одной и той же системы проек-
проективных координат, определяют одну и ту же кривую второго
порядка, то одно из двух уравнений B), B') получается из другого
почленным умножением на некоторый числовой множитель X.
КРИВЫЕ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
319
Доказательство. Без ограничения общности можем пред-
предположить, что выбранная проективная координатная система есть
однородная система, соответствующая некоторой аффинной коор-
координатной системе ое^. Рассматриваем три случая.
1° Кривая у состоит из одних несобственных точек. Тогда
в силу теоремы 7а оба уравнения B) и B') имеют вид
а'зз4 = 0,
и утверждение теоремы 8 доказано.
2° Кривая у есть пара прямых, одна из которых есть несоб-
несобственная прямая ха = 0, а другая — собственная прямая d. Тогда
по теореме 76 уравнения B) и B') имеют соответственно вид
= 0
хл Bо'„х1 -|- 2а'их2 -|-а'ах.л) -= 0,
а прямая d определяется каждым из уравнений
2а13хх + 2а23х2 + а33х3 = 0
и
2^^ + 2a'i3x.2 + амЯз = 0,
из чего следует, что при некотором К Ф 0
Так как, кроме того,
то утверждение теоремы единственности доказано и в случае 2°.
3° Кривая у не содержит несобственной прямой. В этом случае
кривая у, определяемая уравнениями B) и B'), имеет две (быть
может, слившиеся) несобственные точки и только ими отличается
от кривой второго порядка, определяемой на плоскости oeje2 урав-
уравнениями
= 0, C)
33=0. C')
Ф (ж, у, \) = ап
Ф' (х, у, \) = а'п
Так как кривые C) и C') по предположению состоят из одних и
тех же точек, то в силу теоремы единственности главы VI, § 2, коэф-
коэффициенты уравнения B'), т. е. коэффициенты формы Ф' (xlt x2, х3),
получаются из соответствующих коэффициентов уравнения B),
т. е. из коэффициентов формы Ф^, х2, х3), умножением их на
некоторый числовой множитель КфО. Теорема 8 доказана.
320
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
|ГЛ. X
§ 8. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
Касательные; асимптоты
Пусть дана кривая второго порядка у своим уравнением
+ 2а23х.,х3 + ctssxl = О A)
и прямая, заданная двумя своими точками Р = (рх: р2 '• Рз) и
Q — (Qi- Яг: Яз) и имеющая, следовательно, параметрическое урав-
уравнение
(параметры X, \i принимают всевозможные числовые значения, за
исключением случая, когда Х==--0, и. — О одновременно).
Найдем точки пересечения кривой A) и прямой B). Для этого
подставим значения х1г х.г, ха из B) в уравнение A). Получим
после приведения подобных членов уравнение
АК2 + 2ВХ\1 + С\12 = 0. C)
Обозначая через W (хъ х.г, х3; уи у2, у3) билинейную форму,
полярную к квадратичной форме Ф(*1, х2, хя), имеем, как нетрудно
вычислить,
у4=Ф(/з,,
=Ч'(/),, />.2, /).,; г/,, г/.,, </я), С=
и Яг, q3). D)
Если в уравнении C) все три коэффициента обращаются в нуль,
то это уравнение обращается в тождество, означающее, что при
любых значениях К и |х точка с координатами B) лежит на кри-
кривой A), т. е. вся прямая B) входит в состав кривой A) (кото-
(которая в этом случае является распадающейся).
За исключением этого случая, из однородного уравнения C)
всегда определяются два — действительные, мнимые или совпадаю-
совпадающие—значения для отношения К: \i, которые обозначим через
К'Н и ^2: М-2- Внося эти значения в равенство B), получим две
точки пересечения кривой A) с прямой B).
Посмотрим, при каких условиях эти две точки пересечения
сливаются в одну точку, т. е. прямая B) касается кривой A).
Без ограничения общности можем взять в качестве точки Р —
= (Pi '¦ Рг '¦ Рз) именно точку касания прямой B) и кривой A). Тогда
двойная точка пересечения кривой A) и прямой B) должна полу-
получиться при значениях ^=^0, (х = 0, так как точка Р~(Pi'. p2- Рз)
взята на кривой A), то в уравнении C) надо положить
§ 81 КАСАТЕЛЬНЫЕ, АСИМПТОТЫ
уравнение C) примет вид
или
321
0. E)
Это уравнение должно иметь корень \x. = Q своим двойным корнем.
А это означает, что и уравнение
должно иметь корень ц = 0, т. е. что 2ВК = 0. Но так как (при
(л = 0) заведомо Х-фО, то условие, чтобы прямая B) касалась
кривой A) в точке Р, есть
Рг, Рз". Яи
или
Я\ + {о-1\Рх + ОггРг + ЯмРз) Яг +
+ UhiPr + я-иРа + а.мря) qa = Q F,,)
для любой точки Q D\'<li'<l:\) примой B). [кул-ому уравнение
F,), в кото|)ом теперь естегтеипо однородные координаты про-
произвольной точки Q обозначать чере) ху, х2, хя (вместо qu q2, q.A),
есть уравнение касательной к кривой A) в точке Р = (р, :р2: p.J.
Это уравнение мы переписываем в виде
^(Pi. Рг. Рз- хи х2, х3) = 0 F)
или, подробнее, в виде
р3) х, + (а21р, + ai2p2 + а23р3) х2 +
= 0. G)
Итак, касательная к кривой A) в ее точке Р = (pt: р2: р3)
есть прямая G), т. е. прямая с координатами
+ йззРз-
Не может ли случиться, что всякая прямая, проходящая через
точку P = (Pi' р2' Рз) кривой A), пересекает эту кривую в двух
совпадающих точках (или целиком содержится в нашей кривой)?
Очевидно, это происходит тогда и только тогда, когда уравнение
F9) удовлетворяется для любой точки Q = (qx: q2: q3), что в свою
очередь означает, что все коэффициенты этого уравнения равны
нулю, т. е. что
11 П, С, Александров
+ а32р2
322
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[ГЛ X
Точка Р = (рх: р2: р3). удовлетворяющая системе равенств F*),
называется особой или двойной точкой кривой A). Если кривая
A) нераспадающаяся, то детерминант системы уравнений F*) от-
отличен от нуля, система не имеет ни одного ненулевого решения,
нераспадающаяся кривая не имеет особых точек. Если кривая A)
распадается на пару различных прямых dlt d2, то из геометрических
соображений ясно, что сна имеет единственную особую точку,
а именно точку пересечения Р прямых dlt d2.
Из доказанного следует, что эта точка Р непременно удовле-
удовлетворяет системе уравнений F*). Наконец, у кривой, являющейся
парой совпадающих прямых, все точки особые. Формально алгеб-
алгебраическое .доказательство этих утверждений предоставляется
читателю.
Посмотрим, какая прямая является касательной к кривой A)
в ее несобственной точке
= (о:р:0).
(9)
Так как Р — несобственная точка кривой A), то {а, 0} есть вектор
асимптотического направления. Подставляя Pi = a, р2 = р\ /?3 = 0
в уравнение G), получаем уравнение искомой касательной:
(апа + a
2 + (а31а + а32Р) *з = 0. A0)
Но мы видели в главе VI (§ 3, стр. 168, формула D)), что урав-
уравнение асимптоты есть
(а11а + а,аР)ж+(оя|а + «мР)// + («Я|а + аа2Р) = 0 A0')
при условии, что \а, \\\ сеть иск гор ленмитотче-ского направления.
Переходя н уравнении (Ю1) от обыкновенных координат к одно-
однородным, получаем как раз уравнение A0) —касательной в несобст-
несобственной точке кривой A). Итак, асимптоты кривой второго порядка
суть касательные к зтой кривой в ее несобственных точках.
Мы видели, что кривая второго порядка (не содержащая несоб-
несобственную прямую) имеет две (быть может, совпадающие) несобст-
несобственные точки, удаленные в бесконечность в асимптотических для
данной кривой направлениях. Поэтому кривые эллиптического типа
(эллипс и пара мнимых прямых) пересекают несобственную прямую
в двух мнимых сопряженных точках; кривые гиперболического типа
(гипербола и пара действительных пересекающихся прямых) пере-
пересекают несобственную прямую в двух различных действительных
точках.
Наконец, парабола и пара параллельных прямых имеют с несоб-
несобственной прямой пару слившихся точек пересечения: парабола
касается несобственной прямой. В соответствии со сказанным выше
естественно считать несобственную прямую асимптотой параболы.
Восстанавливается полная гармония:
КАСАТЕЛЬНЫЕ, АСИМПТОТЫ
323
эллипс имеет две мнимые сопряженные асимптоты,
гипербола — две действительные,
парабола имеет две слившиеся с несобственной прямой асимптоты.
Найдем несобственные точки окружности.
Систему координат oexe2 на плоскости л предполагаем прямо-
прямоугольной. Тогда уравнение A) изображает окружность, если
Поэтому несобственные точки окружности суть точки, координаты
которых хх:х2 удовлетворяют уравнению
= 0,
или, сокращая на аи = а^г,
т. е.
(
или
x2:xt---= ±i.
Итак, все окружности имеют одни и те же несобственные
точки
(l:t:0) A1)
Эти точки называются круговыми (или циклическими) точками
(арифметической комплексной) проективной плоскости я, снабжен-
снабженной однородной системой координат, соответствующей прямоуголь-
прямоугольной системе координат на плоскости л. Круговые точки удалены
в бесконечность в изотропных направлениях.
Докажем, что всякая крипая второго порядка, проходящая
через дне круговые точки, есть окружность (с действительным,
мнимым или нулевым радиусом).
В самом деле, подставляя в уравнение A) координаты
x1=l, x2 = ±i, х3 = 0
круговых точек, получим
ап ± 2a12i — а22 = 0.
Так как ап,ап,а22 — действительные числа, то из этого равенства
следует ап — а22 = 0, а12 = 0, откуда в свою очередь вытекает, что
кривая A) есть окружность.
Итак:
Теорема 9. Среди всех кривых второго порядка окружности
характеризуются тем, что они проходят через две круговые точки.
13*
324
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
(ГЛ. X
Выведем отсюда следующее очень важное предложение:
Теорема 10. Среди всех проективных преобразований плоско-
плоскости Р = п преобразования подобия1) характеризуются тем, что
они не только отображают на себя несобственную прямую, но
отображакт ее так, что каждая из двух круговых точек отобра-
отображается на ту же самую или на другую круговую точку.
Доказательство. Если данное проективное преобразование
1? есть преобразование подобия, то, будучи аффинным преобразо-
преобразованием, оно отображает несобственную прямую на себя. Так как
при преобразовании W каждая окружность К переходит в неко-
некоторую окружность /(', то пересечение окружности К с несобствен-
несобственной прямой, состоящее из пары круговых точек, переходит в пере-
пересечение окр\жн<сти К' с несобственной прямой, т. е. снова
в пару кругоеых точек. Итак, при преобразованиях подобия
несобственная прямая отображается на себя и каждая круговая
точка или остается неподвижной, или переходит в другую круго-
круговую точку.
Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Если данное проективное пре-
преобразование переводит несобственную прямую в несобственную,
то оно является аффинным; если оно, кроме того, переводит кру-
круговые точки в круговые, то оно переводит всякую кривую вто-
второго порядка, проходящую через круговые точки, в кривую вто-
второго порядка, также проходящую через круговые точки, т. е,
переводит всякую окружность в окружность. Л тогда, как было
доказано в главе VI, прсобгачоплнио яплистси преобразованием
подобия.
Следствие. Пели при данном аффинном преобразовании ?f
плоскости л хотя бы одна окружность К переходит в окружность
К', то преобразование *§ есть преобразование подобия.
В самом деле, дополним аффинное преобразование ?? до про-
проективного преобразования с& проективной плоскости п. При пре-
преобразовании "т§ несобственная прямая &&> отображается на себя.
Пара круговых точек (как пересечение прямой d^ с окружностью
К) отображается на пересечение прямой d&> с окружностью /(',
т. е. на пару круговых точек. Значит, по теореме 10 преобразо-
преобразование 'ё есть преобразование подобия.
Определение 7. Множество, состоящее из двух элементов:
несобственной прямой и пары круговых точек на ней, —называ-
—называется абсолютом евклидовой геометрии.
х) Следовало бы сказать: «проективные преобразования, являющиеся пре-
образованиями подобия, если их рассматривать на обыкновенной плоскости п
(состоящей из собственных точек проективной плоскости Л)» — см. § 6, п. 4
этой главы. Упомянув об этом один раз, мы освобождаем себя от дальнейшего
повторения аналогичных замечаний,
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ
325
Название это основано на том, что евклидова геометрия по
преимуществу является геометрией подобия: все теоремы, каса-
касающиеся «формы» тех или иных фигур (а не их размеров), суть
теоремы, выражающие те или иные свойства фигур, сохраня-
сохраняющиеся при преобразовании подобия. Мы доказали, что абсолют
ках бы «управляет» всеми этими свойствами, потому что преобра-
преобразования подобия — это как раз проективные преобразования,
сохраняющие абсолют.
§ 9. Проективная классификация кривых второго порядка
Пусть дана кривая второго порядка
Ф(*1, х.2, х3) = апх\-\-2апх1х2 + а22х$ + 2а13х1х3 + 2а23х2х3 + а33х1 = 0
A)
на проективной плоскости л.
Предположим сначала, что квадратичная форма Ф(хи х2, х3)
имеет ранг 3, т. е. что кршшя A) нераспадающаяся. Тогда невы-
невырожденным линейным однородным преобразованием
Х\ — Cllx\
xi — спх\
ха =
*з Н~ сз:Л
B)
форма Ф(^!, х2, х3) может быть приведена к форме Ф' (х\, х'.ъ х',х),
имеющей один из следующих видов:
,2 ,2 ,4
Ху -\- Х% — Хя ,
- X, - X, + Х-х ,
/'-' /¦! /2
Х\ — Х-1 ~— X) •
Здесь третья и четвертая строчки получаются соответственно из
второй и первой умножением на — 1. Так как нас интересуют
не сами формы Ф(хи х2, х3), а уравнения, полученные прирав-
приравниванием этих форм нулю, и так как формулы B) суть формулы
перехода от однородных координат хг: х2: х3 к проективным коор-
координатам х\: х\: х'з, то мы можем высказать следующее предложение:
Всякая нераспадающаяся кривая второго порядка в надлежаще
выбранной системе проективных координат получает одно из сле-
следующих уравнений:
C)
326
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
[гл. хг
Разрешая уравнения B) относительно х[, x'it x'3 (что возможно»
так как detC=?O), получаем
х[ = dnxx + d1Qx2 + dlsx3,
¦ СЦзА'з,
Эти формулы мы можем рассматривать как формулы проективного>
преобразования плоскости: каждой точке X с однородными коор-
координатами х1: хг: х3 в силу формул D) соответствует точка X'
с однородными координатами х[:х^:х'3. При этом, если xlt x2, xs
удовлетворяют уравнению
Ф(*1, Х2, Х.л),
то х[, х'ь Хз удовлетворяют уравнению
Ф'(х[, xl х'3). A'>
Другими словами, при проективном преобразовании, опреде-
определяемом формулами D), кривая A) переходит в кривую
Следовательно, полученный результат может быть сформулирован
и так:
Надлежаще подобранным проективным преобразованием всякая
нераспадающаяся кривая второго порядка у может быть преобра-
преобразована в кривую у' одного из двух следующих видов:
aK^a.1+a;j,=O E)
или
х\ + х\-х\ = Ъ. F)
При этом 'уравнения всех кривых рассматриваются в одной
и той же системе проективных координат; мы будем ее считать-
системой однородных координат на проективной плоскости л,
а именно системой, соответствующей данной аффинной системе
координат на плоскости п.
Кривая вида E) не содержит действительных точек; она назы-
называется мнимым овалом.
Кривая вида F) при переходе к неоднородным координатам;
в системе ое^ получает уравнение
Если система координат се^ прямоугольная, то кривая G) —
просто окружность.
Итак, всякая действительная нераспадающая кривая второго
порядка проективным преобразованием шжет быть преобразована
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ
327
« окружность. Следовательно, любые две действительные нерас-
нераспадающиеся кривые второго порядка могут быть переведены друг
в друга; все такие кривые образуют один и тот же проективный
класс — класс действительных овальных кривых.
Как следует из результатов, установленных в § 7, действи-
действительная овальная кривая является эллипсом, гиперболой или
параболой в зависимости от того, как она расположена относи-
относительно несобственной прямой: эллипсы пересекают несобственную
прямую в двух различных мнимых точках, гиперболы —в двух
различных действительных точках, параболы касаются несобствен-
несобственной прямой. Найдем проективное преобразование, переводящее
гиперболу
х*-у2 = 1 (8)
в окружность
= 1 G)
{система координат ое,е2 прямоугольная).
Для этого перепишем уравнение (8) в однородных координатах
xJ-*S-*S = O (9)
и сделаем проективное преобразование:
Х3 =
A0)
Гипербола (8) переходит при этом преобразовании в кривую,
состоящую из всех точек М' — (х\:х'^:х'г), удовлетворяющих урав-
уравнению
х?-х?-х? = 0. A1)
Так как в уравнении A1) через х\, х^, х'я обозначены координаты
переменной точки в тех же однородных координатах, то нет
надобности обозначать эти координаты штрихованными буквами:
просто при проективном преобразовании A0) кривая (9) перехо-
переходит в кривую
или, в неоднородных координатах, в окружность
Полученный результат естественно вытекает из того, что при
преобразовании A0) несобственная прямая
перешла в прямую ^ = 0, а в несобственную прямую х3 = 0
перешла прямая ^=0, т. е. ось ординат, с которой гипербола
328
ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
|ГЛ X
(8) не имела общих действительных точек. Поэтому преобразован-
преобразованная кривая не будет пересекать в действительных точках сбраз
оси ординат, т. е. несобственную прямую; она будет вся распо-
расположена в конечной части плоскости.
Возьмем параболу
у2 = 2* A2)
или, в однородных координатах,
При проективном преобразовании
„* у. „
Хз — xi "T" " *з
(при котором x1 = -^x'i + -^x'u лса = лсд, *3 =
переходит в кривую с уравнением
tf-u1-*о=о,
т. е.
A3)
(И)
— Jti+дсз) кривая A3>
или, в прямоугольных координатах, в кривую с уравнением
Кривая эта представляет собой окружность. Итак, проективное
преобразование A4) переводит параболу у2 = 2х в окружность G).
Переходим к случаю, когда форма Ф(хг, х2, х3) имеет ранг 2.
Тогда эта форма преобразованием B) приводится к одному иа
двух видов:
,2 ,2
Х\ — Xt .
Кривая A) проективным преобразованием D) переводится либа
в кривую
*? + *! = О, т. е. (Xi +а,) (*!-«,)= О, A5)
либо в кривую
х\-х\ = 0, т. е. (х1+х2)(х1-х.2) = 0. A6)
Кривая A5) есть пара мнимых прямых; их уравнение в неод-
неоднородных координатах есть
х -ь iy - 0, x — iy^Q.
9| ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ
Кривая A6) есть пара действительных прямых
329
Наконец, если ранг формы Ф^, х2, ха) равен 1, то эта форма
преобразованием вида B) приводится к виду
х\\
Зто значит, что некоторым проективным преобразованием D) кри-
кривая A) переводится в кривую
*; = о
— в пару совпадающих прямых.
Итак, имеет место следующая
Теорема 11. Невырождающаяся кривая второго порядка у
есть овал (действительный или мнимый); некоторым проективным
преобразованием она переводится соответственно в действитель-
действительную окружность
т. е.
или в мнимую окружность
т. е.
4-у»-1=0,
+ У2 +1=0.
Вырождающаяся кривая второго порядка есть пара прямых,
действительных (быть может, совпадающих) или мнимых сопря-
сопряженных.
В то же время все перечисленные пять типов кривых проек-
тивно различны: очевидно, пи одна n:i них не может быть пере-
переведена в другую посредством проективного преобразования.
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛАВА XI
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определение линейного пространства
Определение 1. Линейное пространство над полем k(k=R
или С) есть множество V произвольных элементов, называемых
векторами, удовлетворяющее следующим условиям («аксиомам
линейного пространства»):
1. Для любых двух векторов их и и2 определен вектор и,.
называемый суммой векторов их и и2 и обозначаемый через t^-ft^.
При этом для любых двух векторов щ и и2 имеем
u1+u2 = u2 + u1 (свойство коммутативности слоокения), A)
а для любых трех векторов uly u2, ua
(Uj -f- u2) + u3 = щ -\- (u2 -f- u3) (свойство ассоциативности
сложения). B)
2. В множестве V iiMLvrcn элемент 0, называемым нулевым
вектором, удовлетворяющий для любого вектора и условию
3. Ко всякому вектору и имеется вектор —и, называемый
противоположным вектору и и удовлетворяющий условию
u + (— u)=0. D>
4. Для любого вектора и и любого числа А. е k определен
вектор Аи, называемый произведением вектора и на число А.. При
этом для любых двух векторов u1( u2 имеем
к (иг -f- u2) = кщ -f- ки2 (первая дистрибутивность); E).
для любого вектора и и любых двух чисел \ и А.3 имеем
(Х1-\-Х2)а = к1и + Х2и (вторая дистрибутивность) F)
и
Яа (к2и) = (к,к3) и кассации* аишоспь умножения на число). G)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
331
Наконец,
lu = u. (8)
Вот и все аксиомы линейного пространства.
Если поле коэффициентов /e = lR, то линейное пространство
над k называется вещественным линейным пространством. В слу-
случае k = С мы имеем комплексное линейное пространство.
Укажем на некоторые простейшие следствия аксиом линейного
лространства.
1° Из того, что вектор 0, удовлетворяющий условию 0 + u = u
¦для любого вектора и, существует, вытекает, что он единственный.
В самом деле, пусть существуют два нулевых вектора
О' и 0", так что для любого вектора и имеем
O' + u = u, 0" + u = u.
В частности,
О'+ 0" = 0", 0" + 0' = 0'.
В силу коммутативности сло.ксчшя отсюда вытекает, что 0'=0",
что и требовалось до'ла кпъ.
2° Из того, что к каждому вектору и существует противопо-
противоположный ему вектор —и, удовлетворяющий условию D), вытекает,
что этот противоположный вектор единствен 1).
В самом деле, пусть к данному вектору и имеются два «про-
«противоположных» вектора и' и и", так что
Прибавим к обеим частям первого из этих двух равенств по век-
вектору и". Получим
(
Но и" + и = 0, поэтому
О-Ьи'= +
т. е. и' = и".
Замечание. Из аксиомы 2 следует, что линейное простран-
пространство всегда есть непустое множество векторов. Но состоять из
одного нулевого вектсра 0 оно может. В этом «нулевом» линейном
пространстве действия таковы:
0 + 0 = 0, Х0 = 0 при любом к.
Определим теперь разность ^вух векторов, полагая
ul
u, =
u2),
•так что u — u = 0 для любого и. Так как для чисел ^ и Ij
всегда к1 + (—к2)=к1 — к2, то из F) следует
(kl — ki)u = k1u — k2u. F')
]) Свойства 1°, 2° вытекают из того, что линейное пространство есть
группа по отношению к сложению.
332
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ XI
При Хг—Х2 отсюда следует
О • и = О (9V
для любого вектора и.
Далее,
(—1)и = -и (8')
для любого вектора и.
В самом деле, принимая во внимание (8) и (9), имеем
u + (—l)-u = l-u + (-I)-о = [!+(-l)].u = 0-u=0,
откуда в силу аксиомы 3 следует (8).
Пусть L — некоторое линейное пространство над полем к, щ, ...
..., ип е /.. Выражение вида
л, 11,-|- ... +Хаи„
называется линейной комбинацией векторов иъ ... t un.
Линейная комбинация
векторов Uj, u2, .... u,g/, называется нетривиальной, если
в ней хотя бы один из коэффициентов \, ..., \п отличен от нуля.
Линейная комбинация вида
O-Uj-f-0 ua+... +0 и,
называется тривиальной; она, очевидно, раина пулевому вектору.
Определенно 2 Сти.сми некто/ав и,, и,, .. , и„ называемся
линейно :ишисилп)й, сип < цщгапвисш \отн пи othiu нетривиальная
комбинация этих нектаров, равная нулевому вектору. В противном
случае, т. е. если только тривиальная линейная комбинация бан-
h',ix векторов равна нулевому вектору, векторы называются
линейно независимыми.
Докажем несколько простых, но важных предложений о ли-
линейной зависимости; они имеют чисто алгебраический характер и
постоянно применяются.
1. Если среди векторов ult .... и„ есть хотя бы один нулевой
вектор, то вся система векторов линейно зависима.
В самом деле, если, например, и, = 0, то, положив ^ = 1,
Я2= ... =а„ = 0, получим нетривиальную линейную комбинацию
2. Если среди векторов иь ..., и„ некоторые образуют линей-
линейно зависимую систему, то и вся система и,, .... и„ линейно
зависима.
В самом деле, пусть векторы и1г ..., ир, р<п, линейно
зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбина-"
ция л^-f- ... +).рир, равная нулевому вектору. Но тогда, пола-
ОПРЕДЕЛЕНИР ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
333
гая лр+1 = 0, ..., ая=0, получим также нетривиальную линейную
комбинацию
иР+1+...+0-и„,
равную нулевому вектору.
Непосредственным логическим следствием предложения 2
является
2'. Если система векторов щ, ..., ип линейно независима, то
и всякая ее подсистема линейно независима.
3. Если система их, ..., и„ линейно зависима, та по крайней
мере один из векторов ult ..., un равен линейной комбинации
остальных.
В самом деле, пусть
Ки„ = 0,
где по крайней мере один коэффициент отличен от нуля. Пусть,
например, У^фО. Тогда последнее равенство можно переписать
в виде
т. е. Uj есть линейная комбинация векторов и2> ..., и„.
Обратно:
А. Если среди векторов щ, ..., ии один какой-нибудь есть-
линейная комбинация остальных, то система и1( ..., и„ линейно
зависима.
В самом деле, если, например, и„ = Х1и1+...+Х„_1ия-1, то
нетривиальная линейная комбинация Xji^H- ... +Хя_1и„_1 + (— l)tv
равна нулевому вектору.
Следующее часто применяемое предложение усиливает предло-
предложение 3:
5. Если система векторов и,, и._,, ..., и„ линейно :uicuc,i^,i,
а система и1з и2, ..., un t линейно неimuctiwi, то вектор и„ ;,и«
линейной комбинации векторов и1? ..., ил х.
В самом деле, так как система щ, ..., и„ линейно зависима,
то существует нетривиальная линейная комбинация a,u,+ .._
...+K-iUa 1 + Ки„, равная нулевому вектору; в ней %пф0,
так как в противном случае векторы щ, и2, .... и„ j были бы
линейно зависимы. Следовательно, и„ = { — ^)ui +••¦ + ( г^)и« ь
\ А/ \ Ая /
что и требовалось доказать.
Примеры.
Г Одним из важнейших примеров линейных пространств
является так называемое л-мерное арифметическое пространства
k" (k = U или С). kn — это множество всевозможных упорядоченных
последовательностей из п элементов вида
(alt ..., ап),
334
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ XI
где а/ е к, п — фиксированное целое число. Две последователь-
последовательности называются равными, если равны их соответствующие эле-
i\:ei!.\,i. Операции сложения последовательностей и умножения
последовательности на число определяются по формулам
ban),
(аъ .... a
Ьп).
Легко проверить выполнение всех аксиом A) —(8). Таким обра-
образом, кп является линейным пространством над полем к.
2° Множество Мтл (к) матриц с т строками и п столбцами
над полем к образует линейное пространство над к относительно
операций сложения матриц и умножения матрицы на ччсло. Пос-
Поскольку числовые последовательности длины п можно рассматри-
рассматривать как матрицы из Мьп (к), то /г-мерное арифметическое про-
пространство k" есть линейное пространство матриц М1Л {к).
Закончим этот параграф важнейшим понятием изоморфизма
между двумя линейными пространствами U и V. Два линейных
пространства U и V над одним и тем же полем коэффициентов
к называются изоморфными, если между их элементами можно
установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором
сумме векторов пространства U отвечает сумма соответствующих
векторов V, а произведению числа на вектор пространства U
отвечает произведение того же числа на соответствующий вектор
пространства V.
Взаимно однозначное соответствие, обладающее указанными
свойствами, начинается илшорфи imom.
Из определения изоморфизма следует, и частности, что для
любых двух векторов us!/, veK, соответствующих друг другу
при данном изоморфизме:
A0)
будем иметь
O-u«->O-v
и
(— 1)U ¦*(— 1)V.
Так как 0 • и есть нулевой вектор пространства U, а 0 • v —¦
нулевой вектор пространства V, то из A0) следует, что при изо-
изоморфном соответствии между двумя линейными пространствами
их нулевые векторы соответствуют друг другу.
Так как (—1)и = —и, (— l)v = — v, то*из A1) вытекает: если
то
U «-» V,
(-u)-(-v).
A2)
РАЗМЕРНОСТЬ. БАЗИС КООРДИНАТЫ
335
Читатель легко выведет из доказанного следующий общий факт.
Гхли при данном изоморфизме между линейными простран-
пространств ми U и V имеем
A3)
¦* v2
то при любых числах a.j, X2, ..., л.т
З^щ + л.2иг +.
& имеем
+ ... + Xmvm.
A4)
Отсюда в свою очередь легко вытекает, что при изоморфном
соответствии между двумя линейными пространствами линейно
зависимые системы векторов одного пространства соответствуют
линейно зависимым системам другого (и, значит, линейно неза-
независимым системам одного пространства соответствуют линейно
независимые системы другого).
§ 2. Размерность. Базис. Координаты
1. Базис. Если в линейном пространстве V над полем к имеется
хотя бы один отличный от нуля вектор и (а следовательно, име-
имеются и векторы Яи при любом Я), то в V имеется по крайней мере
одна линейно независимая система векторов; такой системой во
всяком случае является система, состоящая из одного вектора и.
Предположим теперь, что в данном линейном пространстве V
существует линейно независимая система, состоящая из п векто-
векторов, и нет никакой линейно независимой системы, состоящей из
большего, чем п, числа векторов. Тогда мы говорим, что V есть
п-мерное линейное пространств пая к, а число п называем его
числом измерений или рашерностуо над к Если тачого числа п
нет, то линейное пространство назывался бесконечномерным. В бес-
бесконечномерном линейном пространстве существуют линейно неза-
независимые системы, состоящие из любого сколь угодно большого
числа векторов.
Бесконечномерные линейные пространства существуют1); более
того, значение их в современной математике чрезвычайно велико;
но изучаются они в функциональном анализе.
]) Например, рассмотрим множество всех целых рациональных функций
(многочленов) Р = Р{х) с действительными коэффициентами
Р (x) = aoxn + aiXn~l + ... + an (n произвольно);
мы причисляем к ним и все константы Р (х) = аа (многочлены нулевой степени),
в том числе и многочлен, тождественно равный нулю, Р (х) = 0. При сложе-
сложении многочленов, а также при умножении многочлена на любое действительное
X получаем снова многочлен; сложение многочленов и умножение их на
336
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(Г Л X!
Определение 3. Пусть V есть n-мерное линейное прост-
пространство. Всякая линейно независимая система, состоящая из п.
векторов пространства V, называется базисом этого пространства.
Теорема I. Если elt е2, ..., ея — базис линейного простран-
пространства V над полем, k, то всякий вектор а этко пространства
единственным образом может быть представлен в виде линейной
комбинации
базисных векторов et, е2, ..., е„. Однозначно определенные коэффи-
коэффициенты Ху, x.t, ..., xne^k называются координатами вектора и
относительно базиса е,, е2 е„.
Л о к а ч а те л и ст но. Тач как в V не существует линейно
независимой системы, состоящей in n \-1 векторов, то система
и, вк е2, ..., е„
зависима, тогда как е,, е2 е„ — независимая система. Поэтому
и --= xxtx + х2е.2 + ¦ ¦ ¦ + х„еп.
Если бы существовало второе такое представление
u = i/ie, + у2е2 + • ¦ • + У,fin.
то было бы
(*i - !/i) *i + (xt-y2)et + ... + (хп - у„) е„ ----- О,
откуда, вследствие линейной независимости системы е1( е2, ..., ея,
вытекает, что хх--цх, ..., х„ уп.
Теорема 1 доказана.
Пусть даны два вектора
и =
u' =
+ х2е2
действительнее число удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства;
нулевым вектором в этом пространстве является многочлен, тождественно
равный нулю. Докажем, что линейное пространство всех многочленов беско-
бесконечномерно. Действительно, частным случаем многочленов являются и одно-
одночлены, например, одночлены
Р0(х)=\, РАх) = х, Р-Ах) = к2 />„(*) = *".
где п — любое натуральное число. Но эти одночлены образуют линейно неза-
независимую систему векторов линейного пространства всех многочленов. В самом
деле, пусть какая-нибудь линейная комбинация наших векторов Ро, Plt .... Рп
с коэффициентами с0, ct, ..., сп равна нулевому вектору; это значит, что
•есть многочлен, тождественно равный нулю; но тогда все коэффициенты
с0, ..., сп должны равняться нулю. Таким образом, в линейном пространстве
всех многочленов можно найти линейно независимую систему, состоящую из
любого числа элементов, что и требовалось доказать.
§21
РАЗМЕРНОСТЬ БАЗИС. КООРДИНАТЫ
337
Согласно правилам вычислений с векторами, содержащимся з акси-
аксиомах линейного пространства, имеем
и + и' = (*] + х\) е, -f... + (х„+х'„) ч.,
т. е. при сложении векторов их соответственнее координаты
складываются.
Точно так >;<е, если вектор
и = х^ + х2е2 -t-... + хпсп
умножается на число Ъ, то получается
Ха = Хх^ + Хх.2е2 +... + Ххпип
— при умножении вектора на число X все координаты вектора
умножаются на это число.
2. Переход от одного базиса к другому. Пусть et, .... ея;
е|, ..., е^ — два базиса линейного простра ктва L. Обозначим
координаты произвольного вектора и относительно этих базисов
соответственно через а-,, ..., хп и х\, ..., х'„, так что
n, A)
'я. (Г)
Пусть координаты векторов е»;, i=l, ..., п, относительно базиса
et, .... е„ равны соответственно си, ..., cnt, i=l, ..., п, так что
t'i=cu^-{-... +с nltn. B)
Подставляя B) в (Г), получаем
и =
\ П I П
) = S ( S
/ I = I \k = I
i=l * = I * = I \ i = I / I = I \k = I /
Поскольку координаты х, ..., л;л вектора и относительно базиса
elt ..., е„ определены однозначно, то
л
v W г г' 1 — 1 и ("^
Эти формулы — «формулы преобразования координату) — выражают
координаты л\, ..., хп произвольного вектора и относительно
базиса et е„ через координаты х\, ..., х'п того же вектора
относительно базиса е', ..., е„. Матрица
^11 ^12 ••• ^1л
С%1 С'22 ¦ • • ^2/г / Л \
— (.*/
сп\ сл2 ••• спп II
называется матрицей преобразования координат, соответствующего
перехода от базиса ех, ..., е„ к базису е! е,',. Матрица этого
перехода есть транспонированная матрица С* к матрице С.
338
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ XI
§ 3. (есрема об изоморфизме между любыми двумя
линейными пространствами одной и той же размерности
Теорема 2. Для того чтобы два конечномерных линейных про-
пространства над одним и тем же полем k были изоморфны между
собой, необходимо и достаточно, чтобы они имели одну и ту же
размерность над k.
Доказательство. Условие необходимо. Из сказанного
в конце § 1 об изоморфизме следует: если в одном из двух изо-
изоморфных между себей пространств имеется линейно независимая
система, состоящая из п векторов, и нет линейно независимой
системы, состоящей из большего числа векторов, то то же спра-
справедливо и для второю пространства.
Дру! ими словами: дна пзоморфнпх между собой пространства
имеют одну и ту же размерность.
Условие достаточно. Чтобы убедиться в этом, докажем, что
всякое /г-мерное линейное пространство U над полем k изоморфно
п-мерному арифметическому пространству kn. Пусть иъ и2, ..., и„ —
произвольный базис пространства U. Тогда каждый вектор u ?E U
однозначно записывается в виде u = xlii1+x2u2Jr.. .-\-хпип. Ставя
в ссответствие вектору и = А'1и1 + *2и2 + -. .~\-хпип е V вектор
v = {^!, х2, ..., хп\ еk", мы и получаем искомое изоморфное ссот-
ссответствие между пространствами U и kn (доказательство непосред-
непосредственно вытекает из того, что при сложении двух векторов net/,
u' g[/ их соответственные координаты складываются, а при умно-
умножении вектора п е7" II на какое-нибудь число X на то же А, умно-
умножаются И КООрДПП.М I.I lCKIOp.l II)
Замечание '1л< к<м<
u2 = 0 Ul + 1
то при только что установленном изоморфизме между векторными"
пространствами U и kn базис щ, и2, ..., и„ пространства U пере-
переходит в систему векторов
^ = {1, 0, ..., 0},
^ = {0, 1, ..., 0},
е„ = {0, 0 1}
пространства ka, и эта система векторов образует базис простран-
пространства /г".
Вообще пусть U и V — два изоморфных линейных простран-
пространства. При (произвольно выбранном) изоморфном соответствии
$4]
ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
339
и <-* v между пространствами U и V любому базису и1( и,, .., и„
пространства U соответствует некоторый базис \х, v2, ..., vn про-
пространства V и всякому вектору и =л:1и1-|-х2щ+ ... +хпип про-
пространства U соответствует вектор v — xlv1 + x2\i-{-... +хп\п про-
пространства V, имеющий относительно базиса vt, v2 \п те самые
координаты, которые вектор и имеет относительно базиса alt u2, ...
..., ип. Обратно, выбирая в двух «-мерных пространствах по
произвольному базису и^ и2, .... ия и vx, v2, ... , vn и сопоставляя
друг с другом всякие два вектора u = xtut -f-x2u2-f-... -\-хпип^.и
и v = .VjVj -\-х2\г -f-... -\-х„уп е V, имеющие относительно этих бази-
базисов одни и те же координаты хи х2, ..., х„, получим изоморфизм
между пространствами U и V.
§ 4. Подпространства линейного пространства.
Дальнейшие теоремы о линейной зависимости
векторов и о базисе линейного пространства
1. Определение подпространства линейного пространства.
Пусть в линейном пространстве V дано множество векторов L,
удовлетворяющее следующим условиям:
1° Каковы бы ни были векторы щ и и2 из L, их сумма также
принадлежит множеству L.
2° Каковы бы ни были вектор и из L и число X, вектор Хи
также принадлежит множеству L.
Всякое множество L, удовлетворяющее этим двум условиям,
называется подпространством линейного пространства V. Условия
1° и 2° в своей совокупности, очевидно, эквивалентны одному
условию:
3° Всякая линейная комбинация X1ulJrX2ui-{- ... +Xkuk век-
векторов и,, .., ufc, пршпдпежащих множеству L, есть вектор, при-
принадлежащий этому множа ту.
Поэтому подпространстзо линейного пространства V может
быть определено как множество L, удовлетворяющее условию 3й.
Замечание 1. Пусть все этементы линейного пространства
U являются в то же время эаементами линейного пространства
V, причем линейные операции над векторами в U те же самые,
как и в объемлющем пространстве V. Тогда U, рассматриваемое
как множество векторов пространства V, очевидно, удовлетворяет
условиям 1°, 2°.
Очевидно и обратное: всякое множество U s V, удовлетворя-
удовлетворяющее этим условиям, есть линейное пространство, элементы кото-
которого суть векторы из V, причем линейные операции в U те же,
что и в У.
Замечание 2. Очевидно, все пространство V, а также про-
пространство, состоящее из одного нулевого вектора, являются под-
подпространствами пространства V.
340
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ ХГ
Пусть теперь В — какое-нибудь, совершенно произвольное,
кснсчисе или бесконечное, множество векторов пространства V,
Рассмотрим множество В, состоящее из всех векторов, являю-
являющихся линейными комбинациями всевозможных векторов, принад-
принадлежащих множеству В. Очевидно, множество В удовлетворяет
условиям Г и 2° и поэтому является подпространством простран-
пространства V. Это подпространство называется подпространством, поро-
порожденным множеством В или линейной оболочкой (или линейным
замыканием) множества 5; множество В в свою очередь называется
множеством, порождающим пространство В, или множеством или
системо 1 обра •ующих пространства В.
Может, разумеется, случить:?!, чтл пространство В совпадет
со всем простран твом V, например, если В есть какой-нибудь
базис пространства V. Итак, всякий базис пространства V яеля-
ется системой его образующих, притом линейно независимой. Мы
скоро докажем и обратное предложение: всякая линейно незави-
независимая система образующих конечномерного линейного простран-
пространства является его базисом.
Пример. Пусть на плоскости даны две пересекающиеся
прямые dy и d.}\ обозначим через Lx множество всех векторов,
коллинеарных прямой dlt а через L2 — множество всех векторов,
коллинеарных прямой d2; каждое из этих двух множеств явля-
является (одномерным) подтространством пространства V всех векто-
векторов плоскости, но объединение В = L, U L2 множеств LY и L2
линейным пространством не является (почему?)- Между тем век-
векторное пространство /J, порожденное множеством В, есть все
пространство V.
Следующее очень важное предложение почти очевидно:
Теорема 3. Если подпространство L конечномерного линей-
линейного пространства V имеет ту же размерность, что и V, то
оно совпадает со всем V.
Доказательство. Пусть L и V имеют одну и ту же раз-
размерность п. Возьмем в L линейно независимую систему из п
векторов иь ..., и„; эта система является базисом обоих про-
пространств: L и V. Поэтому каждый вектор иеУ, будучи линей-
линейной комбинацией векторов щ ип (содержащихся в L),
принадлежит подпространству L, т. е. V ? L, и, значит,
V=L.
2. Теорема Штейница «о замене». Теперь будет доказана од-
одна из основных теорем, касающихся линейных подпространств
и линейной независимости векторов в них, так называемая
Теорема Штейница «о замене» (теорема 4). Пусть
дано линейное пространство V, порожденное (конечным) множе-
множеством своих элементов
ь и2, .... и„
A)
5 ¦»]
ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
341
Пусть, кроме того, в V дана линейно независимая система, состо-
состоящая т п векторов
v,, v2, .... vn. B)
Тогда непременно п^т и среди векторов иг, и2, ..., ит молено
какие-то п векторов вычеркнуть и заменить векторами v,, v2, ...
• • ¦ ,vn, так что получится вновь совокупность векторов, пороокдаю-
пороокдающая пространство V.
Докажем эту теорему посредством индукции по п. П\сть
дана система векторов A), порождающая линейное пространство
V, и линейно независимая система B), состоящая из одного век-
вектора v,eV; это означает просто, что в V дан вектор v,^=0.
Тогда прежде всего п = 1 ^ т.
Так как v,eK, a V состоит из линейных комбинаций гек-
ТОрОВ Up . . . , U,n, ТО
v--c,u,-f ... +rinum, (Г)
причем по крайней мере один из коэффициент?!; г,, .... с,„ ст,--'-
чен от нуля; пусть, например, с5=^=0. Тогда вектор ut e ть линс-й-
ная комбинация вектора v, и векторов и2, ..., ит, а именно:
1
г, ст
- ~ u2 - ... - ™ ит.
' '3
Всякий вектор uel/ есть линейная комбинация векторов и,, ...
.... ит:
и = й1и1+ ... +ати,„.
Заменяя в этом равенстве Uj через его выражение C'), получим
равенство вида
и - /J,v, -(-/j2u.2 |- ... -\'bmum,
показывающее, что вектор и е V есть линейная комбинация 1>ек-
тора vx и векторов щ, ..., um. Итак, при п=\ теорема Штен-
ница доказана.
Докажем ее теперь для п, предполагая ее уже доказаннс и
для га—1. Система векторов \lt v2, ..., vn.lt как подсистема ли-
линейно независимой системы B), линейно независима: она состоит
из га —1 элементов; поэтому по предположению индукции некото-
некоторые га—1 из векторов A) —пусть это будут векторы u1? u2, ...
..., и„_г — могут быть заменены векторами \t vn_!, так что
в результате получится совокупность векторов
Vj, v2> ..., vn-!, un, ..., um, D)
пораждающая пространство V. Так как вектор \„ принадлежит
этому пространству, то он является линейной комбинацией
vn = c1v1+ ... +сп !УЛ 1 + с„и„+... +стит E)
342
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ XI
векторов D). Если мы докажем, что в E) хотя бы один из коэф-
коэффициентов с„, ...,сп отличен от нуля, то это будет, прежде всего,
означать, что среди векторов A) имеется хоть один и,, номер
которого t3= я, т. е. будет доказано равенство т^п. Но если
бы все коэффициенты с„, ..., ст были нулями, то соотношение E)
означало бы, что система B) линейно зависима вопреки предполо-
предположению. Итак, действительно т^п и среди коэффициентов с„, ...
..., ст по крайней мере один—пусть это будет сп — отличен от
нуля. Но тогда E) может быть переписано в виде
u(, = f-v(,-Clv1-...-^ivB1-^lulll|-...-cf um, F)
означающем, что и„ есть линейная комбинация векторов
Vi vn> и„,ь ..., um. G)
Пусть теперь и — произвольный вектор из V. Он является
линейной комбинацией векторов D); если в этой комбинации за-
заменить Еектор и„ его значением F), то вектор и также выразится
в виде линейной комбинации векторов
т. е. система векторов G) порождает все пространство V. Теорема
«о замене» доказана.
Самым важным ее утверждением является, пожалуй, неравенство
т^п, заслуживающее быть выделенным п нндс особей теоремы.
Теорема 5. В линейном пространстве, порожденном т век-
векторами Uj, ..., и,„ (ш с сисшшпцем и i лпнейитх комбинаций этих
векторов) не может существовать линейно независимой системы, со-
состоящей более чем из т векторов.
Другими словами, размерность линейного пространства не
может превосходить числа элементов какой-нибудь произвольной
системы образующих этого пространства.
Теперь в двух словах доказывается
Теорема 6. Линейно независимая система образующих В
линейного пространства L является его базисом.
В самом деле, пусть число элементов в данной системе обра-
разующих В есть т, а размерность пространства L есть п. Так
как система В независима, тот<п. С другой стороны, мы только
что видели, что га <; т. Значит, т = п, система В есть линейно
независимая система, состоящая из п векторов «-мерного прост-
пространства, т. е. базис этого пространства.
Теорема 7. Всякая система образующих В пространства Ь
размерности п > 0 содержит базис этого пространства.
Доказательство. Скажем, что линейно независимая сис-
система векторов
V! vp) (8)
§4]
ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА
343
принадлежащих В, максимальна в В, если, пополняя ее произ-
произвольным вектором veS, получим уже линейно зависимую систему.
Построим в В максимальную систему. Для этого выберем в В
какой-нибудь вектор vx Ф О (он существует, так как мы предпо-
предположили, что размерность L положительна). Если линейно неза-
независимая система, состоящая из одного вектора v1( максимальна
в В, то наше построение закончено. Если нет —выбираем в В
такой вектор v2, чтобы система vb v2 была линейно независима.
Если она максимальна, то построение закончено. Если нет —полу-
—получаем линейно независимую систему трех векторов v1( v2, v3 и
так далее. Так как пространство L имеет конечную размерность
п, то после конечного числа шагов придем к линейно неза-
независимой системе
vb v2, ..., vm (9)
векторов из В, которая будет максимальной в В.
Покажем, что эта система (9) и есть базис (и, следовательно,
состоит из п элементов: т = п).
На основании предыдущего для этого достаточно доказать,
что (9) есть система образующих всего пространства V, т. е. что
всякий вектор ugF есть линейная комбинация векторов (9).
Пусть сначала u e В. Тогда в силу максимальности системы (9)
в В система u, vb v2, ..., vm линейно зависима, а так как (9) —
линейно независимая система, то и есть линейная комбинация
векторов (9). Пусть теперь и — произвольный вектор, взятый в К;
так как В есть система образующих пространства V, то вектор и
есть линейная комбинация
u = X1v/1 + l.iw2 + ... + Kws A0)
каких-то векторов w,, w3, ..., wf из В; по каждый из векторов,
принадлежащих В, значит, и каждый из векторов wb w2, ..., w^
есть линейная комбинация векторов vI; ..., vm. Подставляя
в равенство A0) вместо каждого вектора W; его линейное выра-
выражение через векторы v^ ..., \т, мы выразим и и в виде линей-
линейной комбинации векторов (9). Утверждение доказано.
Доказано также равенство т = п\ его можно формулировать
так:
Теорема 8. Размерность конечномерного линейного простран-
пространства V равна максимальному числу линейно независимых векторов
в произвольном множестве образующих пространства V.
Замечание 3. Попутно мы доказали и следующее предло-
предложение.
Теорема 9. Всякая линейно независимая система векторов
пространства Ln может быть дополнена до базиса простран-
пространства L".
344
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ XI
§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая)
сумма подпространств
Пусть Li и Lj—два подпространства пространства L"; их
объединение В = Z.? U Lj (т. е. множество векторов, принадлежа-
принадлежащее хотя бы одному из двух пространств Lf, Ll) порождает под-
подпространство La, состоящее из всех векторов и вида ulJrii2. где
и, <= Ц, u,gLj. Пространство Ll называется (алгебраической)
суммой пространств L'l p L\ и обозначается через L\ = L"\-\-L\.
Обозначим через D пересечение подпространств Щ и L\ (т. е. мно-
множество [.[' П /Л псеч векторов, содержащихся и в Ц, и в L»).
Множество D еоп. линейное пространств (подпространство про-
пространства L" и каждого ш пространств L{' и Ll). Это следует из
того, что всякая линейная комбинация 'kiul-\-.. .-\-kkuk любых
векторов ult ..., ил, принадлежащих множеству D = Lp (] Ll, содер-
:¦: -тся как в L,, так и в L\, значит, и в D. Обозначим размер-
размерность пространства D через d (мы уже обозначили через р, q, s
размерность пространств L", L\, L])- Докажем важную формулу
A)
Пусть Uj, ..., urf — про1пволын.[й базис пространства D; будучи
линейно ne'iauMCHMOii ингемои пскторои, лежащих как в прост-
пространстве /.,', i а к п it npiK inane me l.'i, система и urf может
быть дополнена до базиса Uj, ..., urf; urf+1, ..., ир пространства Ll
и до базиса ut urf; vrfu, ..., \q пространства Ll-
Рассмотрим систему векторов
ud; urf+1, .... up; vrf+l \q.
B)
Каждый вектор ugL? есть линейная комбинация векторов ux, ...
..., ud; urf+1 up; каждый вектор veLj есть линейная ком-
комбинация векторов u, ud; vdn, ..., sq\ значит, каждый век-
вектор v g L' и и ё Li1 есть линейная комбинация векторов системы B);
то же, естественно, имеет место и для каждого вектора w = u + v,
где и е Li, v e Ll, т. е. для каждого вектора w e L\. Итак,
множество всех векторов B) есть система образующих простран-
пространства La-
Докажем, что эта система линейно независима и, следовательно,
¦есть базис пространства L\\ так как число векторов B) есть
.d + (р — d) + (q — d) = р + q — d, то формула A) этим будет доказана.
АЛГЕБРАИЧР.СКАЯ СУММА ПОДПРОСТРАНСТВ
Итак, пусть
ii4-..-
+i»d+i+- ¦ -+К»р 4- Kk + iVrfn +... + Jijv,=0. C)
Требуется доказать, что
Л) = .. . = Ка = Ad -)_ i = . . . = Кр = Л,у _(. | = . . . = Aq = U.
Полагаем
так что weLt и переписываем C) в виде
= — XjU, — ... — AdUrf — Ad + ,Ud+1 — ... — X'pUp, E)
откуда следует, что вектор w является линейной комбинацией
векторов и„ .... urf; udn up и, значит, содержится и в L,.
Поэтому w e Lf П L' — D, так что
Из D) и F) следует, что
4- ¦ • •
-... — Ajv, = 0.
G)
Так как система векторов Uj, ..., ud; v,+1, ..., \q линейно неза-
независима (она есть базис пространства Ll), то все коэффициенты
в равенстве G) равны нулю, так что, в частности,
\' \* л /е\
Ad + ] ==... = hq = U (О}
и равенство C) принимает вид
А,и, 4 • ¦ • 4- а,/ч„ 4- К i iud i, 4- • • ¦ 4- ^;.uP =- 0.
Система векторов ии .... urf; udM, ..., up (являясь базисом про-
пространства Li) линейно независима, поэтому
что вместе с (8) дает нам искомое равенство C„). Формула A)
доказана.
Определение 4. Алгебраическая сумма
L\ = lX + L\ (9)
двух подпространств (пространства L") называется прямой суммой
этих подпространств, если пересечение D = Lff\Ll состоит из
одного нулевого вектора (и, следовательно, имеет размерность
¦346 ЛИНЕЙНЫЕ" ПРОСТРАНСТВА {ГЛ XI
Для прямой суммы (9) формула A) превращается в
s^P + q- (Ю)
Теорема 10. Если сумма (9) прямая, то для каждого век-
вектора we/,3 существует единственное представление в виде
w = u + v, где ueLf, veLj. A1)
В самом деле, если бы существовало два представления этого
вила
w = u,+v1) w = u2 + v2l A2)
то было бы tij + v, — иа-)-v2 и, значит,
U.S-U, -=Vj-V2.
Вектор w' = u2 — Uj = vx — v2 отличен от нуля (иначе оба пред-
представления совпадали бы); он содержится и в Lf (так как w' =
= u2 — и,), и в L\ (так как w' = v1 — v2) вопреки предположению,
что Ц П Ll состоит лишь из нулевого вектора.
§ 6. Теорема о ранге матрицы
Пусть
Им
Л -
Мт. „
— произвольная матрица
Определение 5. Рангом матрицы А называется наиболь-
наибольшее число г такое, что в матрице А содержится невырождаю-
щаяся матрица Р порядка г.
Матрица, состоящая из одних нулей, и только такая матрица
имеет ранг 0. Матрица имеет тогда и только тогда ранг 1, когда
среди ее элементов имеются отличные от нуля и когда в то же
время всякие две ее строки и всякие два ее столбца пропорцио-
пропорциональны между собой. Далеко идущим обобщением последнего
утверждения являются следующая
Теорема 11 (теорема о ранге матрицы). Ранг матри-
матрицы А является наибольшим таким числом г, что в матрице А
имеется г строк (г столбцов), образующих линейно независимую
систему.
Из этой теоремы, в частности, следует, что максимальное число
линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу
ее линейно независимых столбцов — факт замечательный и неожи-
неожиданный.
§61
ТЕОРЕМА О РАНГЕ МАТРИЦЫ
347
Доказательство. Пусть ранг матрицы А равен г. Требу-
Требуется доказать, что в матрице А имеется г столбцов (строк), обра-
образующих линейно независимую систему, и что всякие г +1 столб-
столбцов (строк) образуют линейно зависимую систему. Доказательства
для строк и столбцов одно и то же, проведем его для столбцов.
Раз ранг матрицы равен г, то в ней имеется минор Р с отлич-
отличным от нуля детерминантом. Не ограничивая общности рассуж-
рассуждений, можно предположить, что этот минор Р является главным:
«11
аг1
Я/-+1
ат\
...
...
1 • ¦ •
del/
alr
аГГ
ат,
йц
ап
«i,/-+i
аг.г+1
аг+1,г+1
й/я,г+1
... а1г
... агг
...
• • •
...
Ф
а1п
агп
ar+i,n
&тп
0.
Так как (let P Ф 0, то векторы
Wi = Ki ап), .... wr = {alr, .... а„\
(столбцы минора Р) линейно независимы и подавно линейно неза-
независимы векторы
Vi = {au, ..., аг1 ат1], .... \ir = \av, .... arr, .... amr\
(столбцы матрицы А).
В самом деле, если бы существовало линейное соотношение
V, + Vi + ¦ • • + KVr = 0,
то это значило бы, что при любим i -1, 2, ..., г т имело
бы место
= 0. A)
В частности, соотношения A) выполнены при ? = 1, 2 г, т. е.
что ввиду независимости векторов v/lt w2 w, означает, что
коэффициенты Xt kr все равны нулю.
Итак, во всякой матрице А ранга г имеется линейно незави-
независимая система, состоящая из г столцбов. Первое утверждение тео-
теоремы доказано.-
Переходим к доказательству второго утверждения: всякие г + 1
столбцов матрицы А (ранга г) линейно зависимы. Предполагаем
снова, что отличен от нуля детерминант углового минора порядка
¦348
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ XI
г матрицы А. Вспомним, что среди векторов, являющихся линей-
линейными комбинациями ганных г векторов, нельзя найти более г
линейно независимых; поэтому достаточно доказать, что каждый
столбец
va = \a\h, o,ih, ..., amf,\
матрицы А является линейной комбинацией первых г столбцов:
v, = jau> ..., ат1\, \2 = {aVi, .... ат\ \г = \а1г атг\.
Разумеется, при доказательстве этого утверждения можно пред-
предположить h>r. Взяв любое Is^m, построим детерминант
11 • ¦ ¦ О1Г <7(/,
аг1 ... arr arh
аи ... air aih
и докажем прежде всего, что при любом i он равен нулю. В самом
деле, если i<^r, то этот детерминант имеет две одинаковые
строки —на 1-м и (г + 1)-м месте —и поэтому равен нулю. Если
же 1>г, то Di есть детерминант некоторого минора (л + 1)-го
порядка матрицы А, и он равен нулю, так как ранг матрицы А
по предположению есть г. Итак, Dt = 0 при любом i?~.m.
Разложим детерминант D; по элементам последней строки.
Коэффициенты этого разложения суть адъюнкты члемептов (г-[-1)-й
•строки детерминанта Dh а именно:
"I.! ¦ ¦¦ "l/ "l/i
ап
ar,k_l
alr alh
arr arh
наконец,
au
an ... ar
= det
— адьюнкта последнего элемента alh в (г + 1)-й строке.
Существенно, что эти коэффициенты Аг, .... Аг+1 не зависят
от I, поэтому их и можно было обозначить через At Arlrl.
У\ы имеем
(для любого
l, 2 /и).
§ л
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Эти ссот|1оц:ения, написанные для всех t = l, 2, ..., т, выра-
ж;и'/т равенство
A^i + А2\2 + ... + Лг\г + Ar+jv,, = О,
в котором заведомо коэффициент /b+1=det P отличен от нуля
и которое поэтому можно разрешить относительно v,,:
Мы представили произвольный столбец vA матрицы в виде
линейной комбинации первых г столбцов этой матрицы и этим
закончили доказательство теоремы о ранге матрицы.
Замечание. Из приведенного доказательства следует, что
при подсчете ранга матрицы можно, найдя некоторый не равный
нулю детерминант, перебирать лишь «окаймляющие» его детерми-
детерминанты.
§ 7. Системы линейных однородных уравнений
Рассмотрим систему однородных уравнений
klt, = 0, k = 1, ..., т,
A)
/ = i
с коэффициентами ак], принадлежащими палю k. Вектор v =
= ,*!,..., хп\ арифметического л-мерного прсстранстга k" 2) назы-
называется решением системы A), если, подставив в A) значен'ля
tl=x1, ..., tn = xn, получим тождество 0=0.
Если вектор \ = \xlt ..., хп\ есть решение системы A), то
решением этой системы является и вектор ^v при любом X е k;
если v и v' — решения системы (I), то и вектор v + v' есть реше-
решение. Отсюда следует, что множество всех векторов v — \хъ ..., хп\
арифметического пространства kn, являющихся решениями сис-
системы A), есть линейное подпространство X<=,kn, называемое
пространством решений системы A). Найдем базис этого прост-
пространства и определим его размерность.
Мы уже знаем, что однородное уравнение
i=0 (Г)
называется линейной комбинацией уравнений A), если век-
вектор \alt ..., ап) есть линейная комбинация строк матрицы
*) Вместо арифметического пространства kn можно взять любое я-мерное
линейное пространство Ln с выбранным в нем раз навсегда базисом е^ ... , е„.
Тогда каждый вектор \ = x1el-\-...-\-xntn также можно записать в виде v =
{}
350
коэффициентов
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XI
"ii
а21
... а1п
... ain
щ ат2 • • ¦ ап
(т. е. если левая часть уравнения A') есть линейная комбинация
левых частей уравнений A)).
После этого линейная независимость системы однородных линей-
линейных уравнений и связанные с ней понятия определяются автома-
автоматически. В частности, рангом системы уравнений A) называется
ранг матрицы B); он равен максимальному числу уравнений сис-
системы A), образующих линейно независимую подсистему.
Две системы линейных уравнений (с п неизвестными) назы-
называются эквивалентными, если они имеют одно и то же простран-
пространство решений X ?= kn.
Пусть система уравнений A) имеет ранг г. Возьмем в ней
какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему;
без ограничения общности можно предположить, что такую под-
подсистему образуют первые г уравнений
/г=1, .... г,
C)
/"=!
системы A); остальные уравнения системы A) являются линей-
линейными комбинациями уравнений системы C), почтому всякое реше-
решение системы C) есть и решение спстемыA); очсиидпо и обратное
утверждение:, всякое решение системы A) есть решение подсис-
подсистемы C). Итак, система однородных линейных уравнений A)
эквивалентна (всякой) своей максимальной линейно независимой
подсистеме C). Будем решать систему "C). В матрице
а12 ... а1п
¦ • ¦ аг
D)
г строк, и они образуют линейно независимую систему; значит,
ранг матрицы D) равен г и в ней имеется г столбцов, образующих
линейно независимую систему. Без ограничения общности можем
предположить, что эта линейно независимая система образована
первыми г столбцами, Тогда отличен от нуля детерминант
ап аг
¦§ 7] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ
Перепишем систему C) в виде
an'i +• • ¦ + di4r — — fli, /4-i'/-+i — ¦ • • — alntn,
351
C')
... — arntn
и дадим переменным /,+1, ..., tn какие-нибудь числовые значения:
так что правые части уравнений C') суть известные числа. Так
как детерминант системы C') отличен от нуля, то система C')
однозначно решается по правилу Крамера: t1 = x1, ..., tr = xr.
Итак, каждому набору чисел E) однозначно соответствует решение
\х1У .... *,, |,+1, .... |„} F)
системы C) (являющееся решением и системы A)). Возьмем,
в частности, следующие наборы E)):
1, 0, .... 0, EJ
0, 1, .... 0, EЯ)
0, 0 1. EЯ_)
Им будут соответствовать следующие решения системы C'):
VaHJtY1 хГ, 1, 0, .... 0},
vt={x?>, ..., х<?\ 0, 1, ..., 0},
v —
х{п~г) 0 0 I»
G)
Докажем, что векторы-решения G) образуют базис простран-
пространства X всех решений A). Прежде пссчо докажем, что иекторы G)
линейно независимы. В самом деле, пусть
Расписывая это равенство соответственно по (г+1)-й, (г-|-2)-й, ...
..., /г-й координате входящих в него векторов G), получим
т. е. Ji1 = X2 = ... = Jin_/. = 0, что и требовалось доказать.
Остается доказать, что каждое решение
V = [Xi, Xit . . ., Xr, . . ., Хп)
352 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА |ГЛ XI
есть линейная комбинация решения G). Рассмотрим вектор
v« = v - хг+1\1 -... - хп\п г. (8)
Очевидно, (г + 1)-я, (г + 2)-я, ..., n-я координаты этого вектора
равны нулю, так что вектор v0 имеет вид
vo = j?,, .... lr, 0, 0, 0, .... 0}.
Так как вектор v0 есть линейная комбинация векторов-решений
v, v1( ..., хп-г системы C), то и v0 есть решение этой системы.
Значит, подставляя в эту систему координаты вектора v0, т. е.
полагая/х = |j, . ..,/, = !,, tn.1 = ... = ta = Q, превратим систему C)
в систему тождеств
г
V] a,,,li = 0, k= 1, ..., г,
1=1
означающую, что вектор j^, ..., \г\ есть решение системы одно-
однородных уравнений
2 V/ = °. й=1 г- (9)
/=1
Но детерминант этой системы не равен нулю, поэтому нуле-
нулевое решение ?J = ... = !r = 0 есть единственное решение чтой си-
системы и вектор v0 —нулевой. Значит, произвольное решение v
системы A) есть линейная комбинация
решений v,,..., v,, ,. »i и решения, (Чдучп линейно нечависимыми,
образуют бачис пространен);] X. Паша цель доспи нуга—доказана
следующая основная
Теорема 12. Пусть дана система A) линейных однородных
уравнений с п неизвест ними. Пусть Ln — арифметическое п-мерное
пространство (или любое п-мерное линейное пространство с фик-
фиксированным базисом elt e2, ..., ел). Если ранг системы A) равен
г, то множество всех векторов
V = \Х^, Х%, . .., Ха\,
являющихся решениями системы A), есть (п-г)-мерное подпро-
подпространство просп/ранства L".
Из теоремы 12 сразу Еытекает важнейшее
Следствие. Для того чтобы система однородных уравнений
A) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы
ранг системы был меньше числа неизвестных.
В частности:
1° Всякая система однородных линейных уравнений, в которой
число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевое ре-
решение.
§71
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ
353
2° Система, состоящая из п однородных уравнений с п неизвест-
неизвестными, тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда де-
детерминант системы равен нулю.
Рассмотрим еще отдельно случай системы из п независимых
однородных линейных уравнений с п-\-\ неизвестными; ранг такой
системы равен п, следовательно, пространство решений одномерно:
если
v = \ХЪ • • • > Хп> xn+l\
— одно какое-нибудь ненулевое решение данной системы, то все
решения имеют вид v = %v0. Без ограничения общности можно
предположить, что детерминант минора, состоящего из первых
столбцов матрицы нашей системы, отличен от нуля. Тогда, запи-
записывая данную систему в виде
«1А + • • • + alntn = — alt я+1/л+1,
(Ю)
и давая неизвестному /„,, пропчиолмюс- значение t,,n = лп+1( мо-
можем определить и значения неизвестных <1 = л:1, ..., tn = xn по
правилу Крамера, а именно:
At
%1 — л Xn+li
лн11
где А{ есть умноженный на (— 1)'+1 детерминант матрицы, полу-
полученной вычеркиванием из матрицы
|вЯ1 ... апп ая, я+11
данной системы i-ro столбца. Итак, решениями системы являются
все векторы v = {Si 5«п|. гЛе
?i • ?2: • • •: ?'Н 1 ~ Л1: Л.,:...: /1„,,.
Сформулируем теперь и докажем теорему, обратную к тео-
теореме 12.
Теорема 13. Пусть дано линейное пространство L" раз-
размерности п с фиксированным базисом еи е2, ..., ел. Всякое р-
мерное подпространство L? пространства L'1, О^р^п, есть
пространство решений некоторой системы линейных однородных
уравнений с п неизвестными ранга q = n — р, а именно линейно
независимой системы из q уравнений.
Доказательство. Пусть в пространстве LP дан какой-
нибудь базис, состоящий из векторов
Ср— \cpli срг> •••> срп\-
(И)
12 П. С, Александров
354 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. XI
Без ограничения общности можно предположить, что детерминант
Если
X —
р, . . . , Хп
— произвольный вектор пространства LP, то матрица
<-рр
имеет ранг р; поэтому координаты вектора х удовлетворяют сле-
следующей системе п—р уравнении:
<pl
Хр+1
Xi ... Хр
Сц •¦• С]р С\,
Cpl ¦ • ¦ rVl> ср,
= 0,
=о,
= 0.
Эти п — р уравнений линейно независимы, так как в матрице,
составленной из коэффициентов этих уравнений, минор порядка
п — р, состоящий из последних п — р ее столбцов, имеет детерми-
детерминант, отличный от нуля. Он имеет диагональный вид, причем на
главной диагонали стоит одно и то же число.
Вместе с тем мы получаем способ построения одной из систем
уравнений пространства Lp, если нам известны координаты век-
вектора, составляющего его базис.
§ 8. Комплексификация и овеществление
В этом параграфе мы описываем способ перехода от вещест-
вещественного линейного пространства к комплексному (комплексифика-
(комплексификация вещественного пространства) и обратный переход (овещест-
(овеществление комплексного пространства).
Пусть L — вещественное линейное пространство. Рассмотрим
множество L$, состоящее и з всех формальных сумм вида х 4- iy,
где х, y^L, j — мнимая единица.
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ И ОВЕЩЕСТВЛЕНИЕ
355
Две формальные суммы хл -f- iyx и х2 -\- iy2 считаются равны-
равными, если Хх — хг и У\=у2-
Введем в множестве L^ операции сложения и умножения на
комплексное число правилами:
(*i 4- Ч/i) + (х2 + iy2) = (хг + х2) + i (г/j f у.2),
\{х + iy) = (а + (р) (х + iy) = (ах-$у) + i (ay + p\v);
здесь % = a-\-i$ — произвольное комплексное число. Легко прове-
проверить, что множество L<rj с определенными таким образом линей-
линейными операциями превращается в комплексное линейное прост-
пространство. Нулевым вектором этого пространства является формаль-
формальная сумма 0 + tO. Пространство Lq называется компмксификацией
вещественного линейного пространства L.
Теорема 14.
1° Система векторов иъ ... , и/г пространства L линейно неза-
независима или линейно зависима одновременно с системой векто-
векторов Uj-1-iO, ..., uft-f-?'O пространства L$.
2° Размерность над полем С пространства L? равна размер-
размерности над |R пространства L.
Доказательство.
1° Пусть векторы иг u^eL линейно независимы. Рас-
Рассмотрим равенство
К (их + ГО) + ... +ЯА (u* + tO) = 0,
где ?i1 = a1-f-iPii •••, Я,й = ай-f-ipft — комплексные числа. По
определению операций в пространстве L$, имеем
откуда а,их |-... | акик ^ О, р\и, |-... -}- $ии,г = 0. Следовательно,
все коэффициенты а, и Р/ равны пулю, т. е. векторы o1-\-i0, ...
..., uk 4- iO линейно независимы в пространстве L<q. Обратно,
пусть векторы
at 4- tO, ..., uft 4- гО
образуют линейно независимую систему в Ljtj. Если бы существо-
существовала нетривиальная линейная комбинация c^u, -j-.. .4-ccftuft eL,
а1; ..., ci;seR, обращающаяся в нуль в L, то в нуль обраща-
обращалась бы нетривиальная линейная комбинация
К 4- ГО) К 4- ГО) 4-... 4- (ак 4 *0) (иА 4- ГО) е Lc>
что невозможно.
2° Пусть ех е„ — некоторый базис пространства L. Со-
Согласно п. Г теоремы векторы е,4-ГО, ..., е„4-ГО образуют ли-
линейно независимую систему в комплексном линейном пространст-
12*
356
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. ХГ
ве L$. Для того чтобы доказать, что векторы et -|— /0, ..., е„ -+- J0
образуют базис пространства L$, достаточно показать, что любой
вектор из L$ есть линейная комбинация из векторов е! + '0, ...
..., en-{-i0. Пусть u-|-iveLc Тогда u и v принадлежат прост-
пространству L и, следовательно, линейно выражаются через его базис:
u = a1e1 + ... + a«eB, v = p\e, +¦ • • + Р«е„.
Поэтому
и -\- (V = (а^ + • • ¦ + а„е„) + » (Р^ + • • • + Р«е„) =
= (aiei + 'Ра) + ¦ ¦ ¦ + (а«е„ + фпеп) =
- (at -f *px) (e, -f- «0) + ... + («„ + <Р«) (е. + *0),
что и требовалось доказать.
В качестве несложного упражнения предлагаем читателям
показать, что комплексификацией «-мерного вещественного ариф-
арифметического пространства R" является n-мерное комплексное
арифметическое пространство С".
Пусть теперь S — некоторое комплексное линейное пространство.
Множество векторов, образующих S, можно рассматривать в то же
время и как вещественное линейное пространство Sp, в котором
1) операция сложения совпадает со сложением в пространст-
пространстве S;
2) для любого вещественного числа а и любого вектора и
аи =(т-\-Ц))и,
где пряная часть есть пропчпсдоимс псктора и па число a-\-iO,
определенное и S (проверьте!).
Переход от комплексного пространства S к вещественному про-
пространству Sp> называется овеществлением комплексного простран-
пространства S.
Теорема 15.
Пусть S — n-мерное комплексное линейное пространство,
$U —вещественное линейное пространство, полученное из S овещест-
овеществлением.
Тогда
V если alt ..., и^ —линейно независимая (соответственно
линейно зависимая) система векторов пространства S, то и1г
ш1г ..., ufr, iak — линейно независимая (соответственно линейно
зависимая) система векторов пространства Spx);
2° вещественная размерность пространства Sp равна 2л;
при этом всякому базису ех е„ пространства S соответст-
соответствует базис ег, ielt .... ея, /е„ пространства S^.
1) Произведение Шу определяется по правилу, заданному в S, и является
элементом пространства S, следовательно, и элементом пространства Sf
§81
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ И ОВЕЩЕСТВЛЕНИЕ
357
Доказательство.
1° Пусть ult .... ufe e S — некоторая линейно независимая
система векторов. Предположим, что в Sp существует нетриви-'
альная линейная комбинация v
4- Pii
*. Pi • • • .
R),
обращающаяся в нуль. Поскольку
Uj -f... + «*"* 4" Pft'Uft = (ai + '°)ui +
4- (pi 4- Ю) Ш! +... 4- (ak 4- Ю) щ 4 (P* 4- >0) ш* =
то в S существует нетривиальная линейная комбинация векто-
векторов ul7 ... , ufr, обращающаяся в нуль. Полученное противоречие
доказывает линейную независимость в Sp векторов ии ialt ...
.... и*, iuft.
Обратно, пусть векторы ult tul7 .... uk, tuft линейно незави-
независимы в Sp. Рассмотрим в S равенство
ь1и1+...4-М* = о, A)
где Я,у = а/4»Р/1 /=1. ¦¦•. й, — комплексные числа. Имеем
^и, 4" • • • + М* = («1 4- »Р.) «1 + • • • + (a* + Ф*)и* =
= ajUj 4- iPiUi 4- • • • + aftu* + iPftuft =
= ctiUj 4- pxiu, 4 • • • 4" a*u* + Pftiu*.
откуда следует, что равенство A) выполняется тогда и только
тогда, когда все Х/ = 0. Таким образом, векторы ux, ...,uk ли-
линейно независимы в S.
2° Пусть elf ... ,е„ — базис пространства S. Так как векторы
е,, ie,, ..., е„, (е„ B)
линейно независимы в S^, то для того, чтобы доказать, что векто-
векторы B) образуют базис Sr, достаточно показать, что любой вектор
из Sp есть линейная комбинация векторов B). Пусть ueSg-
некоторый вектор. Как множество S^ совпадает с S, поэтому и
можно рассматривать как элемент пространства S. В пространстве
S вектор и представляется в виде линейной комбинации
Имеем
u = (a14-iPi)e,4---. + (an 4- Ф„)ея =
= aje, 4 Pi»^ 4" • ¦ • + a»e« + P«'e«i
чтр завершает доказательство теоремы 15.
Г Л А В А XII
АФФИННОЕ и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Определение я-мерного аффинного пространства
В трехмерном пространстве мы имели дело и с точками, и
с векторами; каждые две точки А, В, данные в определенном
порядке, однозначно определяли вектор и = АВ; каждый вектор
и мы могли приложить к любой точке М, и это определяло нам
точку Л/ —конец вектора и, приложенного к М. Прикладывая
вектор и одновременно ко всем точкам пространства, мы получали
вполне определенное преобразование —сдвиг всего пространства
на вектор и. При получающемся таким образом взаимно одно-
однозначном соответствии между векторами и определенными ими пре-
преобразованиями пространства (сдвигами) сумме двух векторов соот-
соответствует сумма производимых ими сдвигов. Поэтому мы пришли
к возможности отождествлять (свободные) векторы с производимыми
ими сдвигами прострапстиа.
Все это мы хотим теперь обобщить с трех па произвольное
число п измерений
Определение 1. Аффинное п-М?рное пространство R" над
полем k есть множество, состоящее из элементов двух родов:
«точек» и «векторов» пространства, о природе которых мы не
делаем никаких предположений. При этом предполагаются выпол-
выполненными следующие четыре условия — «аксиомы п-мерного аффин-
аффинного пространства» '):
I. Множество всех векторов пространства Rn есть п-мерное
линейное пространство над к, которое будем обозначать через V
и называть пространством трансляций аффинного простран-
пространства Rn).
II. Каждые две точки А, В (данные в определенном порядке)
определяют единственный вектор
и = АВ.
A)
1) Они были впервые сформулированы одним из наиболее выдающихся
математиков первой половины текущего столетия Германом Вейлем (Her-
(Hermann Weyl, 1885-1955),
Si]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
359
III. Если даны произвольный вектор и и произвольная точка
А, то существует единственная точка В такая, что
и = А~В.
Другими словами: точка А и вектор и определяют единствен-
единственную точку В таким образом, что вектор, определенный (по ак-
аксиоме II) парой точек А и В, есть именно вектор и.
Пара «точка А и вектор и» называется «вектором и, прило-
приложенным к точке А» (или «закрепленным» в этой точке); сама
точка А называется начальной точкой приложенного к ней век-
вектора и, а точка В называется концом вектора и (приложенного
к точке А). Мы видим, что закрепить вектор и в точке А— зна-
значит записать его в виде A). Иногда нам будет удобно говорить,
что вектор АВ есть вектор, ведущий из точки А в точку В.
Формулируем, наконец, последнюю аксиому:
IV. Если их = АВ и и2-=--ВС, то
и.+и2 = ЛС.
B)
Выведем первые следствия из этих аксиом, но сначала сделаем
несколько замечаний, удобных для дальнейшего.
1. Если АВ = АС = w, то С = В — это непосредственно следует
из аксиомы III.
2. При любом выборе точки А вектор А А есть нулевой век-
вектор 0. _^
В самом деле, если 0=АВ, то для любого вектора и = МА
должно быть u + 0 = u, т. е. МА + АВ = МА или МВ = МА,
а это в силу утверждения 1 означает В = Л и 0 = ЛЛ.
3. Если и = ЛВ, то — U---/M.
В самом деле, — и есть единственный вектор, удовлетворяющий
условию u-f-( — u) = 0, но ЛВ-|-ВЛ = ЛЛ = 0, откуда и следует
Ш = - и.
4. Если даны вектор и и точка В, то существует единственная
точка Л такая, что АВ — м.
В самом деле, возьмем вектор —и и приложим его к точке
В, т. е. найдем ту единственную точку Л, для которой — и =
= 'В~Л; тогда и = — (-и)=А6. Если ~А7В = и, то -и = ВЛ',
откуда (в силу утверждения 1) заключим, что А' = А.
В силу аксиомы III и утверждения 4 имеет место утверждение
5. Произвольно данный вектор и порождает вполне опреде-
определенное взаимно однозначное отображение множества всех точек
пространства R" на себя.
Это отображение, называемое сдвигом пространства R" на век-
вектор и, состоит в том, что каждой точке Л <= i?" ставится в соот-
360
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XII
ветавие конец В приложенного к точке А вектора и=АВ. При
сдвиге (в силу аксиомы IV) сумме векторов соответствует сумма
произведенных ими сдвигов пространства.
Пусть u = PQ — какой-нибудь вектор, и пусть при сдвиге на
вектор v точки Р и Q переходят соответственно в Р' и Q'; это
значит, что \ = РР' —QQ'. Докажем, что тогда P'Q' = PQ = u. Но
Р~Р' +PrQ' +QrQ = ~PQ, т. е. v + P'^' + (-v) = u, или Р^' = и,
что и требовалось доказать.
§ 2. Системы координат. Арифметическое аффииое
пространство. Изоморфизм всех л-мерных
пространств между собой
Система координат в я-мерном аффинном пространстве Rn над
полем k, по определению, состоит
из некоторой точки О («начало координат-»)
и из базиса е^ е2) .... ел пространства трансляций V" дан-
данного аффинного пространства R".
Координаты какого-нибудь вектора и в этой системе коорди-
координат суть координаты этого вектора относительно базиса ег, е2, ..., е„;
они не зависят от выбора начала координат.
Координатами произвольной точки М пространства называются
координаты вектора ОМ.
Вектор и с координатами х{, х2, ..., х„ обозначаем через и =
- {jc(, х.,, .... v,,j, точку М с коордпи.илмм х„ хг, ..., хп обо-
обозначаем мере t
М^(хо х.2, .... хп). A)
Таким образом, запись A) означает то же, что и запись
ОМ = {*1. х2 хп\. (V)
Так как координаты данного вектора относительно данного
базиса определены однозначно, то и координаты данной точки М
относительно данной системы координат (совпадая, по определе-
определению, с координатами вектора ОМ) также определены однозначно.
Пусть дан какой-нибудь вектор
причем и = {х1, х2,^.., хп\, А = (а1,_а?, ..., ап), ? =
=(&1А. .^ЛО^Тотда О А ={аи а2, ..., ап}, OB = {blt Ьъ Ьп].
Но О А -\-АВ = ОВ; так как при сложении векторов их коорди-
координаты складываются, то последнее равенство равносильно системе
равенств
bl, i = l, 2, ..., п,
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
361
т. е.
i=l, 2,
п,
B)
— при любом закреплении вектора и его координаты равны раз-
разностям между соответствующими координатами концевой и на-
начальной точек вектора.
Или, другими словами: прилагая вектор и = \хи х2, .... хп\
к точке А = {аи а2, ..., а„), получим и = АВ, где
В = {а1 + х1, а2 + х2, .... ап + хп).
Переход от одной системы координат Oe],e2...en к другой
O'ejea ... ei производится совершенно так же, как при п = 3;
соответствующие формулы отличаются от трехмерных формул
лишь тем, что теперь матрицы С и С* суть матрицы любого по-
порядка п.
В качестве важнейшего примера n-мерного аффинного про-
пространства построим «-мерное арифметическое пространство Ап над
полем k следующим образом1). И точка, п пекторы этого про-
пространства суть наборы и.» /) чисел х,, х2, .... xneik, отмеченные
дополнительным значком, указывающим, является ли данный на-
набор точкой или вектором; за этот значок можно принять, напри-
например, скобки — круглые в случае точек, фигурные — в случае век-
векторов. Итак, М = (х1, х2, ..., хп) есть точка, a \x = {xlt x2, .... хп)
есть вектор пространства Ап.
I. Векторы и = {х1, х2, ..., хп) при этом образуют арифмети-
арифметическое линейное пространство V"; это значит, что
{хъ х2, .... xn} + {ylt у2, .... уп} = {
А, {#!, Х2, ..., Хп\ = \kXv, AJC2, ..., ЛХП\,
0-{0, 0 0}.
Связь между точками и векторами, описываемая аксиомами II —
IV, осуществляется следующим образом:
II. Пара точек А=(аъ а2, .... ап) и В = (ЬЪ b.2,..., bn) опре*
деляет вектор
и = АВ = {Ь1-а1, Ь2-аг, .... Ъп-ап}.
III. Точка А = {аъ а2, ..., ап) и вектор и = {х1, х2, .... хп)
определяют точку
!) Этот пример, как мы увидим в этом же параграфе, на самом деле ис-
исчерпывает все содержание понятия n-мерного аффинного пространства: несколь-
несколькими строками ниже мы определим изоморфизм двух аффинных пространств и
докажем, что все и-мерные аффинные пространства изоморфны пространству
Ап и, следовательно, изоморфны между собой.
362
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XII
При этом аксиома IV выполнена (так же как, очевидно,
выполнены и аксиомы I, II, III).
Пусть дано взаимно однозначное отображение множества всех
точек и векторов аффинного пространства А соответственно на
множество всех точек и векторов аффинного пространства В,
являющееся изоморфным отображением пространства трансляций
пространства А на пространство трансляций пространства В и удов-
удовлетворяющее, кроме того, следующему условию:
(#) Если при данном отображении точки Л, и Л2 простран-
пространства А отображаются соответственно на точки Вх и fi2 простран-
пространства В, то и вектор и = А^А2 отображается на вектор v = ЪгВ2.
Такое отображение называется шюморфным отображением
аффинного пространства А на аффинное пространство В. Прост-
Пространства А и В называются изоморфными между собой, если одно
из них можно изоморфно отобразить на другое. Так как изомор-
изоморфизм между аффинными пространствами включает в себя изомор-
изоморфизм их пространств трансляций, то, очевидно, всякие два изо-
изоморфных аффинных пространства имеют одну и ту же размерность.
Докажем, что и, обратно, два аффинных пространства, имеющих
одну и ту же размерность, изоморфны между собой. Этот изо-
изоморфизм мы получим, построив изоморфное отображение произ-
произвольного /г-мерного аффинного пространства Rn на арифметическое
/г-мерное пространство Л". Для этого возьмем в R" какую-нибудь
систему координат Ое^... е„. Тогда каждая точка М и каждый
вектор и пространства Rn однозначно записываются в виде
Мг=(х„ хг, ..., х„), 11 = 1*,, хг х„\,
и сама эта запись устанавливает взаимно однозначное отображе-
отображение множества всех точек и множества всех векторов простран-
пространства R" соответственно на множество всех точек и всех векторов
пространства Аа, удовлетворяющее, очевидно, условию (*). Изо-
Изоморфизм между любым пространством R" и пространством Ап,
а значит, и между любыми двумя я-мерными аффинными прост-
пространствами Л" и В" этим доказан.
§ 3. r-мерные плоскости л-мерного аффинного
пространства; r-мерные параллелепипеды
1. Прямая в «-мерном пространстве. Определение 2.
Пусть в n-мерном аффинном пространстве R" дана точка Л =
= (ах, аг, .... ап) и ненулевой вектор u0 = {at, a2, ..., ап\. Этими
данными определено множество я1, состоящее из всех точек М,
являющихся концевыми точками всевозможных векторов вида Ыо,
где ? —произвольное число из поля k, приложенных к точке А.
Так определенное множество л1 называется прямой, проходящей
ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
363
через тючку Л (в пространстве R") и имеющей (или «несущей на
себе») направляющий вектор и0.
Точка М = (xL, х2, ..., хп), являющаяся концом вектора
ЛЛ4 =/и0) приложенного к точке Л, имеет, очевидно, координаты
A)
Эта система равенств, в которой параметр t пробегает все дей-
действительные или комплексные значения, дает нам все точки пря-
прямой я1 и только точки прямой я1; поэтому система A) называется
параметрическим уравнением этой прямой; единственное число —
«уравнение», не «уравнения» объясняется (как и в случае п -— 3)
тем, что система ураипений A) представляет собой координатную
запись всего лишь одного векторного уравнения
AM = tAB, где АВ^щ, (Г)
которому удовлетворяют все точки прямей л1 и только они. До
конца п. I мы будем предполагать, что R" — аффинное простран-
пространство над полем вещественных чисел.
Пусть Л = (alt ..., ап) и В = (Ьх Ьп) — две его произвола
ные точки; построим прямую, проходящую через точку Л и имею-
имеющую вектор АВ своим направляющим вектором. Это будет пря-
прямая, проходящая через две точки Л и В; она единственная — ее
параметрическое уравнение будет (Г) или
*! =al+t(b1-a1),
х2 ---¦ а2 +t(b2- a2),
B)
xn==an-]-t(bn- an). )
При / = 0 получим точку Л, при /=]— точку В; точки, полу-
получающиеся из (Г) или B) при t, удовлетворяющем неравенству
0=^=^:1, по определению, образуют замкнутый отрезок АВ
нашей прямой. При 0</<1 получаем открытый отрезок пря-
прямой я1.
Равенства B) можно переписать в виде
i = l, 2, .... п. B')
B")
или, полагая s = 1 — t, в виде
*! = sa{ + tblt
х2 = sa2 + tb2,
хп = san + tbn,
364 АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
что мы кратко записываем так:
[ГЛ XII
B)
Здесь числа s и / пробегают всевозможные действительные зна-
значения, связанные между собой лишь равенством
Эти числа s н t называются барицентрическими координатами
точки М (на прямой) в системе барицентрических координат,
состоящей из пары точек А и В.
Точки открытого отрезка АВ при этом, очевидно, характери-
характеризуются тем, что 0<*<1 (значит, и 0<s<l), т. е. что и s,
и t положительны.
Как известно из механики (в случае /г = 3), точка с положи-
положительными барицентрическими координатами s и t есть центр тяжести
масс s и t, помещенных соответственно в точках А и В. Отсюда
и название «барицентрические координаты» (barycentrum — центр
тяжести); поэтому равенство B) выражают словами, говоря, что
точка М есть взвешенная сумма точек А и В (числа s и t суть
«веса», с которым точки А и В входят в сумму M = sA-{-tB).
2. Общее определение r-мерной плоскости и-мерного аффинного
пространства R". Вернемся к определению прямой на стр. 362.
Если вектор и0 отличен от нуля, то множество всех векторов вида
/и0 есть одномерное линейное пространство, а именно одномерное
линейное подпространстно пространства V", и каждое одномерное
подпространство VcV" сосмоит m всех век-юрой вида iua при
некотором иоу 0. Поэтому данное иыше определение прямой может
быть кратко сформулировано так:
Прямая я1 есть множество всех точек М, получаемых, если
к какой-нибудь фиксированной точке А е Rn прилагать все векторы,
принадлежащие некоторому одномерному подпространству прост-
пространства трансляций аффинного пространства R".
Непосредственным обобщением этого является
Определение 3. Пусть дано какое-нибудь/--мерное О^г^п,
линейное подпространство V пространства V" трансляций «-мер-
«-мерного аффинного пространства R". Будем прилагать всевозможные
векторы veV' к какой-нибудь фиксированной точке А е R";
множество полученных точек М — концов векторов AM =vEVr-
есть, по определению, г-мерная плоскость пг (заданная точкой А
и r-мерным линейным пространством V). Векторы v этого про-
пространства Vr называются векторами, лежащими в плоскости пг.
Беря в линейном пространстве V какой-нибудь базис щ, ...
..., аг, можем, очевидно сказать:
Всякая /--мерная плоскость nr <= Rn задается точкой А и
линейно независимой системой, состоящей из г векторов и1( ...
ПЛОСКОСТИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
365
..., и, пространства R", как множество точек, получаемых, если
к точке А прилагать векторы вида
где коэффициенты tt tr пробегают независимо друг от друга
всевозможные значения из поля k. Полученная плоскость пг назы-
называется r-мерной плоскостью, натянутой на точку А и векторы
В такой форме наше определение является непосредственным
обобщением задания обыкновенной плоскости в трехмерном прост-
пространстве точкой и парой неколлинеарных векторов.
Пространство всех векторов v e V, лежащих в плоскости лг,
есть множество всех векторов вида v = PQ, где Р и Q суть точки
плоскости пг.
В самом деле, пусть^у е1" и Pen'; приложим вектор v к
точке Р; получим v=PQ, надо доказать, что Q е пг. Но
PQ = РА + AQ,
т. е. AQ = PQ — PA = PQ + AP. По предположению v = PQeKr,
а так как Реяг, то и АР <= V; поэтому AQ e V^ т. е. Qe пгш
Пусть, обратно, Р е nr,Q e nr; докажем^что PQ e 1/^Имеем
PQ = pa + aq = _ а Р*+ AQ. Так как н'АР^У, и AQe=Vt
то и PQ e Vr, чем утверждение доказано.
Из доказанного следует, что точки плоскости пг и векторы,
лежащие в этой плоскости, удовлетворяют (при действиях над
векторами и точками, определенными в Rn) аксиомам /--мерного
аффинного пространства. Другими словами: всякая r-мерная пло-
плоскость пространства Rn, рассматриваемая как множество лежащих
в ней точек и векторов, является r-мерным аффинным подпрост-
подпространством пространства R". Обратно, пусть Рг есть r-мерное аффин-
аффинное подпространство аффинного пространства Rn (т. е. г-мерное
аффинное пространство, точки и векторы которого суть соответ-
соответственно точки и векторы пространства Rn, причем соотношения,
связывающие векторы, а также векторы и точки в Рг, суть те же
самые, которые для этих векторов и точек установлены в Rn).
Тогда, прилагая к какой-нибудь точке А ^ Рг все векторы аффин-
аффинного пространства Рг, получим в силу аксиом II и III все точки
М е Рг и только точки М е Рг, так что Рг есть /--мерная пло-
плоскость пространства R".
Итак, понятие r-мерной плоскости гс-мерного аффинного про-
пространства совпадает с понятием /--мерного аффинного подпрост-
подпространства пространства /?". При этом OsgrsSra. При г = 0 получим
нульмерную плоскость, состоящую из единственной точки А; в
ней лежит лишь нулевой век гор. При г = п единственной /--мерной
плоскостью пространства Rn является само пространство Rn.
366
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
{ГЛ. XII
Очевидно, одномерными плоскостями пространства R" являются
лежащие в R" прямые.
По определению r-мерной плоскости, натянутой на точку А
и векторы Цц .... иг, ее точки М = (х1 х„) удовлетворяют
следующему векторному уравнению:
M=*t1u1 + ttui + ... + t,ur, C)
где параметры tlt t2, ..., tn пробегают независимо друг от друга
все значения из поля k. Пусть
a,2',
Если приравнять между собой, при каждом 1 = 1, 2, ..., п, i-e
координаты векторов, образующих левую и правую части уравне-
уравнения C), то получим следующую систему уравнений, эквивалент-
эквивалентную уравнению C):
х2 — аг = <
D)
хп - ап = а{ % + a?U + ¦¦¦+<&%¦ )
Уравнение C) или эквивалентная ему спсюма D) называется
параметрическим уравнением г-мерной плоскости.
Если в случае вещественного аффинного пространства в урав-
уравнении C) или эквивалентной ему системе D) рассматривать лишь
значения параметров tlt..., tr, принадлежащие сегменту [0, 1],
то полученные точки М образуют множество, называемое (г-мерным)
параллелепипедом, натянутым на точку А, и приложенные к ней
векторы щ, ..., иг.
§ 4. Геометрически независимые системы точек.
Барицентрические координаты. Симплексы
Все аффинные пространства, рассматриваемые в этом параграфе,
предполагаются вещественными.
Начнем со следующей простой леммы.
Пусть 0<:р <ir ^n. Всякая р-мерная плоскость ярв я-мер-
ном аффинном пространстве R" содержится в некоторой г-мерной
плоскости.
В самом деле, возьмем в л? какую-нибудь линейно незави-
независимую систему, состоящую из р векторов ux up. Так как
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
3G7
р < г sc n, то эта система может быть дополнена до линейно
независимой системы, состоящей из г векторов \хг,..., и„, ир+1 иг.
Эти векторы порождают г-мерное подпространство Vr линейного
пространства V" всех векторов, лежащих в Л". Произвольная
точка А и линейное пространство V определяют г-мерную
плоскость лг, очевидно, содержащую плоскость лр.
Пусть в пространстве R" дано множество, состоящее из конеч-
конечного числа, г+1, точек
q, «ii • ¦ ¦, Ar.
A)
Рассмотрим всевозможные векторы A{Aj, ведущие из любой из
этих точек в любую другую. Подпространство, порожденное всеми
этими векторами (в пространстве всех вообще векторов, лежащих
в R"), обозначим через V (Ао, ..., Аг), его размерность — через
р = р(А0, ..., Аг). Так как
A~[Aj = A'lAl + AoAj = — А~оА[ + A0Ah
то все векторы AtAt линейно выражаются через векторы, ведущие
из одной какой-нибудь фиксированной точки A), например из
точки Ло, во все остальные, так что множество, состоящее из
векторов
и^ДЛ. ••¦, и, = А,Х. B)
является системой образующих пространства V (Ло, ..., Аг), мак-
максимальное число линейно независимых среди них равно размер-
размерности р всего пространства V (Ао Аг) и, значит,
Нумерацию точек A) выберем так, чтобы первые р среди векто-
векторов Uj, т. е.
и1 = А^Л1, и2 = ЛоЛ2, ..., ир = А0Ар, C)
составляли линейно независимую систему. Тогда р-мерная плос-
плоскость я = я (Ао Ар), натянутая на точку Ао, и векторы C),
содержа все векторы B), содержит и все концы этих векторов,
т. е. все точки A). Не существует плоскости размерности <Lp,
которая содержала бы все точки A), так как тогда в этой плос-
плоскости лежали бы и все векторы C), что противоречит их линей-
линейной независимости. Всякая плоскость, содержащая все точки A),
содержит как точку Ао, так и векторы C), значит, содержит и
плоскость я, натянутую на них. Итак, доказано следующее пред-
предложение:
Пусть дано конечное множество точек
^0> ^ll • • • > ™Г A)
368
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XII
пространства Rn. Тогда определено наименьшее число р =
=р(Ап,Аъ..., Аг), являющееся размерностью плоскости простран-
пространства R", содержащей все эти точки A); это число (которое можно
было бы назвать «мерой независимости» точек A)) равно наиболь-
наибольшему числу линейно независимых среди векторов, ведущих из
какой-нибудь определенной точки системы A) (например, из
точки Ал) во все остальные точки этой системы. При этом имеется
одна-единственная р-мерная плоскость, содержащая все точки A),
и эта р-мерная плоскость лр = п (Ао, ..., Ат) называется плоскостью,
натянутой на точки Ао, Alt ..., А,.
Дополним этот результат следующим определением:
Если р(А0, Аъ ..., Аг) = г, т. е. если мера независимости
точек Ао, Ait ..., Аг имеет наибольшее возможное значение г,
то точки Ао, Alt ..., Аг называются геометрически независимыми
(или просто независимыми) между собой в пространстве R".
Из предыдущего следует:
Точки Ло, Аъ ..., АГ тогда и только тогда геометрически
независимы, когда векторы A0Al7 А0А2, ..., АОАГ линейно неза-
независимы, или, что то же, когда точки A) (векторы B)) не лежат
ни в какой плоскости размерности < г.
Во всякой л-мерной плоскости пространства Rn можно (беско-
(бесконечным числом различных способов) выбрать независимую систему
из г+1 точек; всякая независимая система из г + 1 точек п-мер-
ного аффинного пространства Rn содержится в единственной г-мер-
ной плоскости этого пространства.
Рассмотрим в пространстве Rn независимую систему из л + 1
точек, заданных своими координатами (л какой-нибудь системе
координат пространства Rn):
Аг
D)
Единственную r-мерную плоскость, содержащую эти точки, обо-
обозначим через пг.
Положим
Ui — AQA1, u2 — А0А% ur — A0Ar.
Тогда
nt = (a[-a\, ai-ai .... a^~-a°n),
1, 2 r.
Плоскость nr натянута на точку Ао и векторы их ur, поэтому
координаты хъ хг, ..., хп любой точки M — (xv ..., х„) плоскости
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ЗОТ
лг однозначно записываются в виде
А = 1, 2 п. E)
Давая параметрам Xt, ..., "Кг всевозможные действительные
значения, получим из уравнений E) всевозможные точки М —
= (*!, ..., Х„) ПЛОСКОСТИ Лг И ТОЛЬКО ТОЧКИ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ.
Положим
Тогда система равенств E) переходит в систему равенств
х2 =
F)
что мы кратко переписываем в виде одного равенства
М = К0А0 + К1А1+... + КгАг F)
— точка М есть взвешенная сумма точек Л„, Ах, ..., Аг, взятых
соответственно с весами 7^, %ъ ..., \г. Веса Я,о, Ки ..., К в равен-
равенстве (8) пробегают всевозможные действительные значения, связан-
связанные единственным соотношением
т. е.
G)
Для каждой точки М еяг единственным образом определяются
удовлетворяющие условию^ G) числа L,, Хг, ..., Хг — веса точки
М во взвешенной сумме F).
Обратно, всякий набор чисел Хо, ..., К, удовлетворяющих
условию G), однозначно определяет по формулам F) или F) точку
М, если дана независимая система точек Ао, Лх, ..., Аг.
Коэффициенты Яо, \, ..., "Кг в представлении F) или (8) назы-
называются барицентрическими координатами точки М относительно
системы точек Ао, Ах Аг в r-мерной плоскости пг, опреде-
определенной этими точкамиJ).
!) Таким образом, система барицентрических координат в какой-либо г-мер-
ной плоскости лг аффинного пространства Rn задается любой независимой
совокупностью г+1 точек Ао, Alt ..., АГ этой плоскости. Понятие барицент-
ричсч-ких координат ввел немецкий геометр А. Ф. Мебиус A790—1868),
370
АФФИННОЕ Л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ XII
Множество тех точек Меи', все барицентрические координаты
которых (относительно системы AQ, Аъ ..., Аг) положительны, назы-
называется r-мерным открытым симплексом с вершинами Ао, Аг, ..., А/,
точки, барицентрические координаты которых относительно той же
системы Ао, Аъ ..., Аг неотрицательны, образуют, по определе-
определению, замкнутый симплекс с вершинами Ао, Ах, ..., Аг. Очевидно,
замкнутый симплекс содержит в
себе открытый симплекс с теми
же вершинами.
Мы уже видели, что одно-
одномерный симплекс с вершина-
вершинами Ао, At есть просто отрезок
А0А1 (открытый, соответственно
замкнутый).
Легко доказать, что дву-
двумерный симплекс с вершинами
Ао, Alt A2 есть просто откры-
открытый треугольник Л0Л1Л2 (т. е.
Рис. 134. множество всех внутренних
точек этого треугольника).
В самом деле, всякая внутренняя точка М треугольника есть
внутренняя точка единственного отрезка вида А0М', где М' есть
(внутренняя) точка отрезка АХА^ (рис.134).
Поэтому
где
¦\' = \, (8')
+ |л,= 1. (8")
Подставляя (8") в (8'), получим
т. е.
где
При этом все числа Л,о, Xlt K^ положительны и
Обратно, пусть М = Х0Л0 + Х1Л1 + Х2Л2, причем Х0>0,
0 и А0 + Х1 + ^г=1- Можно написать
Mi + Ma),
М = Х0А0 + (%,
S 4] БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 371
где
значит,
Точка 111А1~\-\12А2 = М' есть внутренняя точка отрезка А1А2,
и /И = Х0Л0 + (Х1 + А.2)ЛГ', где_А,0 -f- (Ax -f- Х2) = 1, так что М есть
внутренняя точка отрезка А0М', т. е. внутренняя точка треуголь-
треугольника АдАуАъ.
Читагечю предоставляется самому убедиться, (основываясь на
только что доказанном и продолжая рассуждать аналогичным
образом), что трехмерный открытый симплекс с вершинами Ао, Аъ
А%, А3 есть (открытый) тетраэдр AaAlA2A3.
Замечание. Множество X тсчгк n-мерного пространства
Rn называется выпуклым, если, каковы бы ни были две точки Р и Q
этого множества, оно содержит н все точки отрезка PQ.
Все пространство Rn, а также всякая лежащая в нем плоскость,
является выпуклым множеством. Выпуклым множеством является
также и симплекс любого числа измерений (как открытый, так
и замкнутый), а также любой параллелепипед (пусть читатель
докажет все эти утверждения). Выпуклым является также как
пустое множество, так и всякое одноточечное множество, т. е.
множество, состоящее лишь из одной точки. Имея в виду пос-
последнее утверждение, читатель легко докажет важную теорему:
пересечение любой (конечной или бесконечной) совокупности вы-
выпуклых множеств, лежащих в данном R", есть выпуклое множество.
Всякое множество X, лежащее в R", содержится в некотором
выпуклом множестве (за которое можно взять, например, все
пространство R"). Поэтому можно говорить о (непустой) сово-
совокупности всех выпуклых множеств Z э X, содержащих данное
произвольное множество X cz Rn. Следовательно, определено и
выпуклое множество X, являющееся пересечением всех выпуклых
множеств Z, содержащих данное множество X. Множество X
называется «выпуклым замыканием» (или выпуклой оболочкой) мно-
множества X. Оно является наименьшим выпуклым множеством,
лежащим в данном R" и содержащим данное множество X.
Последнее утверждение имеет следующий смысл: каково бы
ни было выпуклое множество У, содержащее множество X, мно-
множество У содержит и X. Полезным упражнением для читателя
было бы доказательство следующей важной теоремы. Пусть X —
конечное множество точек аа, ..., а„ образующих в R" геомет-
геометрически независимую систему. Тогда выпуклое замыкание X
множества X есть замкнутый симплекс с вершинами а0, а1г..., аг.
372
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
(ГЛ. Х1Г
§ 5. Системы линейных уравнении
В главе XI мы рассматривали лишь системы однородных
линейных уравнений, теперь рассмотрим любые системы. Итак,
пусть дана система т уравнений первой степени с п неизвестными:
«11*1 + «12*2 + • • • + <hntn = Ьи
«21*1 "+" «22*2 + • • • ~Ь «2я*л = ^2>
ntn = bm.
A)
Решением этих уравнений является, как и в случае однородной
системы, всякий набор чисел хи ..., х„, обращающий при под-
подстановке t1=x1 tn = xn систему A) в систему числовых тож-
тождеств. Но, в отличие от случая однородной системы, мы теперь,
в общем случае, будем решение хь ..., хп рассматривать не как
вектор, а как точку М = (xlt ..., хп) арифметического простран-
пространства Rn (или, что приводит к тому же, любого и-мерного аффин-
аффинного пространства с заданной в нем системой координат). В част-
частном случае, когда система A) оказывается однородной, мы будем
отождествлять точку М = (хъ х2, ..., хп) с вектором ОМ =
= {хъ х«_, ..., >„}, что позволит нам по-прежнему гопорить о реше-
решениях однородных систем как о векторах.
Матрицей системы A) будем по-нрожмому пгпынать матрицу
ап ап ... а1п
1
B)
ат\
¦ • ¦ ат
составленную из коэффициентов при неизвестных; ее ранг назы-
называется рангом системы уравнений A).
Матрица
аи
C)
¦¦¦ап
называется расширенной матрицей системы A)(или, когда невоз-
невозможны недоразумения, — просто «расширенной матрицей»). Систе-
Система A) называется линейно независимой, если совокупность
всех строк расширенной матрицы C) есть линейно независимая
системе!.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
373
Если заменить правые части в уравнениях A) нулями, то
получится однородная система уравнений
alntn = О,
0о>
«21*1 + «22*2 + ¦ • • + «2Л*П = О,
л=о,
называемая однородной системой, соответствующей системе A).
Начнем с некоторых совершенно простых, но важных предло-
предложений. Прежде всего, в отличие от однородных систем, которые
всегда имеют по крайней мере одно решение, а именно нулевое —
{О, 0, .... 0}, неоднородная система может не иметь ни одного
решения; в этом случае система называется несовместной. При-
Примером несовместной системы может служить система
Х\ ~Т Х2 = 1 >
Менее тривиален следующий пример. Пусть в трехмерном про-
пространстве даны плоскость
Ax + By + Cz + D = 0 (I)
и прямая, определяемая уравнениями
Тогда три уравнения
тогда и только тогда несовместны, когда прямая (II) парал-
параллельна (в собственном смысле) плоскости (I).
В этом случае все векторы, лежащие на прямой (II), лежат
и в плоскости (I); матрица системы (III) имеет ранг 2; расширен-
расширенная же матрица имеет ранг 3 (если бы она имела ранг 2, то пря-
прямая (II) лежала бы в плоскости (I)).
Имеет место
Теорема 1. Для того чтобы система уравнений A) была
совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А
системы был равен рангу расширенной матрицы Ах.
В самом деле, если система A) совместна и имеет решение
(*!, .... хп), то вектор Ь = {й1, .... Ьп\ есть линейная комбинация
векторов-столбцов яь t = l, 2, ..., п, матрицы А, а именно:
Ь = х1&1-]ГхЛаЛ [-...-[ хаяп.
374
АФФИННОЕ п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
(ГЛ. XII
В этом случае вектор b содержится в линейном пространстве
V, порожденном векторами я.ъ а2, ..., а„, так что обе системы
векторов
яи а2, .... а„ D)
alt аа, .... а„, b
D')
являются системами образующих одного и того же пространства.
По теореме 8 главы XI максимальное число линейно независимых
элементов, содержащихся соответственно в D) и в D'), одно
и то же. А это значит, что максимальное число линейно незави-
независимых столбцов в матрицах А и Л, одно и то же, ранги этих
матриц равны.
Если система A) не имеет решения, то вектор b = {blt b2, ..., bn\
не является линейной комбинацией векторов-столбцов а^ ..., а„
матрицы А.
Возьмем какую-нибудь максимальную линейно независимую
подсистему системы а^ ..., а„; пусть она состоит из г векторов
&i, например из а1( ..., &г. Это означает, что ранг матрицы А
равен г. Так как вектор Ь, не будучи линейной комбинацией
векторов а1( ..., а„, тем более не является линейной комбина-
комбинацией векторов а1? ..., ап то система alt ..., ar, b есть линейно
независимая система, состоящая из г+1 столбцов матрицы Alt
так что ранг этой матрицы больше1) ранга г матрицы А. Теорема
1 доказана.
Лемма. Пусть (а , а„) - какое-нибудь определенное реше-
решение системы (i). Нсякое решение (xlt ..., хп) системы A) может
быть записано в виде
xl = a1 + l1, ..., хп = ап + Ъп, E)
где {?1? ..., \„] — какое-нибудь решение однородной системы A0).
Обратно, всякая точка М = [хх, ..., хп), получаемая по фор-
формуле E) из фиксированного решения (ах ..., ап) системы A)
и любого решения (%lt ..., \п) системы A„), является решением
системы A).
Теперь в двух словах доказывается
Теорема 2. Пусть A) есть совместная система ранга г.
Тогда множество ее решений М = (хъ х2, ..., хп) есть плоскость
п-мерного пространства, имеющая размерность р = п — г.
Обратно, всякая р-мерная плоскость п-мерного пространства
есть множество всех решений некоторой (линейно независимой)
системы, состоящей из г = п — р уравнений первой степени с п
неизвестными [имеющей, очевидно, ранг г).
г) Нетрудно оид^ть, что он равен r-\-s
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
375
Доказательство. Системы A) и A0) имеют ранг г; мно-
множество всех решений системы A0) есть р-мерное, р = п-г, век-
векторное пространство. Пусть М0 = (а1, .... а„) — какое-нибудь опре-
определенное решение системы A). Тогда все решения системы A)
получаются в виде E), где {%г, \ъ, .... |„} - какой-нибудь вектор
из V; другими словами, все решения М = (хъ ..., х„) системы
A)_(и только они) суть концевые точки всевозможных векторов
МОМ = {|Ь ?а, ..., \п\ (= V, приложенных к точке Мо. А это
и значит, что множество всех решений системы A) есть р-мерная
плоскость (натянутая на точку Мо и какие-нибудь векторы
Щ Up, образующие базис пространства V).
Первое утверждение теоремы 2 доказано.
Доказываем второе утверждение. Пусть лр есть р-мерная
плоскость я-мерного аффинного пространства Rn. Предполагаем,
что в R" выбрана некоторая система координат, тогда все точки
М и все векторы и пространства R" записываются их координа-
координатами: M = (xlt х2 хп), и = {^, ?а, ..., \п\. В плоскости я"
берем произвольную точку М0 = (а1, ..., ап). Тогда любой вектор
u = {Ei In} плоскости лр и только вектор, лежащий в пло-
плоскости пр, может быть записан в виде и = М0М; этим равенством
установлено взаимно однозначное соответствие между всеми век-
векторами и и всеми точками М, лежащими в плоскости xtp; при
этом, если и = {|1( .... \п\, a M = (xlt x2 хп), то
11 = х1-а1, ..., \п = хп-ап. E')
Но множество всех векторов, лежащих в плоскости л^ (будучи
р-мерным подпространством линейного пространства V), есть
множество решений |1 = л:1-а1, ..., |л = хл-ал некоторой одно-
однородной линейно независимой системы из г = п — р уравнений с п
неизвестными; пусть эта система есть
+... + a2nln = О,
F)
anli + ar2l2 + ... + arnln = 0
или, если заменить ^ ?„ их значениями E),
flu (*i - <h) + "и (Ч - a2) +... + aln (xH - an) = 0,
an (x1 -
ar2 (x2 -a2)
rn (xn -an) = 0.
F')
Вектор u = A'!0M = {^1, ..., \n) тогда и только тогда удовлетво-
удовлетворяет системе F), если его конец М = (хъ х2, .... хп) удовлетво-
удовлетворяет системе F'), в которой неизвестными служат уже хъ хг, ..., хп.
Но все равно, сказать ли, что вектор MJW = {xl — o.lt .,., хп — ап\
376
АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XII
лежит в плоскости пр (т. е. удовлетворяет системе F')) или что
в этой плоскости лежит его конец; поэтому множество всех точек
M = (xit х2, ..., хп), удовлетворяющих системе F'), совпадает
с множеством всех точек плоскости лр. Полагая
апах + а12а2 + ... + а1пап = Ъь
Г2а2 +... + агпап = br,
можем представить систему F') в виде
«1А + «12*2 + ¦¦¦ + аыхп = blt
а.пхх + а.12х2 + ... + а2пхп = Ь2,
апх1 + аггх
ггх2
пхп = Ъг.
G)
Это и есть искомая независимая система из г = п — р уравнений,
множество решений которой есть множество всех точек данной
р-мерной плоскости и которая поэтому называется общей систе-
системой уравнений данной плоскости.
Замечание (о параллельности). Плоскость я размерности
р и плоскость п' размерности р', р^р' ^п — 1, в /г-мерном про-
пространстве R" называются параллельными между собой (в широком
смысле), если пространство V всех векторов, лежащих в плоско-
плоскости л, содержится в пространстве V всех векторов, лежащих
в плоскости л'. Если две параллельные (в широком смысле) пло-
плоскости лил' имеют хотя бы одну общую точку Мо, то одна из
двух плоскостей -тп, размерность которой меньше,—целиком
лежит в другой. Доказательство может быть предоставлено чита-
читателю. В частности, если обе параллельные (в широком смысле)
плоскости имеют одну и ту же размерность, то они либо совпа-
совпадают между собой, либо не имеют ни одной общей точки. Во
втором случае эти плоскости называются параллельными в соб-
собственном смысле слова. Для (я— 1)-мерных плоскостей в и-мерном
пространстве получаем условия параллельности, которые совер-
совершенно аналогичны условиям параллельности обыкновенных дву-
двумерных плоскостей в трехмерном пространстве.
Плоскости размерности п — 1 в «-мерном пространстве R"
часто называются гиперплоскостями «-мерного пространства.
Каждая гиперплоскость задается одним линейным уравнением
.1 = 0 (8)
между координатами точек n-мерного пространства Rn, и каждое
уравнение вида (8) определяет некоторую гиперплоскость в Rn.
Два уравнения этого вида тогда и только тогда эквивалентыь
между собой (т. е. определяют одну и ту же гиперплоскость)
когда их коэффициенты пропорциональны.
§51
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
377
Каждая гиперплоскость вещественного аффинного пространства,
заданная уравнением (8), разбивает пространство на два полупро-
полупространства: одно состоит из всех точек М = (хь х2, ..., хп),
в которых многочлен
L(xlf x2, ..., хя) = а]
принимает положительные значения, другсе —из тех точек, в кото-
которых этот многочлен принимает отрицательные значения. Про две
точки Р = {ръ р2 рп) и Q = (qv q2, ..., qn) говорят, что они
лежат по одну или по разные стороны от гиперплоскости (8),
в зависимости от того, принадлежат ли они к одному или к
разным полупространствам, определяемым данной гиперплоскостью.
Существенно отметить следующие факты: если две точки Р
и Q принадлежат к одному полупространству (лежат по одну
сторону от гиперплоскости (8)), то к тому же полупространству
принадлежат и все точки отрезка PQ. Другими словами: каждое
полупространство является выпуклым множеством. Если же точки
Р и Q принадлежат к разным полупространствам (лежат по раз-
разные стороны от гиперплоскости (8)), то отрезок PQ пересекает
гиперплоскость (8) ровно в одной точке.
ГЛАВА XIII
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Определение и простейшие свойства линейных
отображений
Пус1ь erf: U ->¦ V — отображение линейного пространства U
в линейное пространство V, ставящее в соответствие каждому
вектору и пространства U вектор v = erfu пространства V.
Определение 1. Отображение erf называется линейным,
если оно удовлетворяет следующим двум условиям («условиям ли-
линейности»):
1) Для любых дзух векторов щ и и2
arf (их + и2) = &€щ 4- &rfu2.
2) Для любого вектора и и любого числа к имеем
<>/(Хи) Х( /и).
Из условии 1), 2) сразу следует, что при линейном отобра-
отображении всякая линейная комбинация Х^ +... + ктит каких-либо
векторов Ui,..., ияеС/ переходит в линейную комбинацию
Vi + ... + KnVm векторов vx = erfult.... vm = erfum <= V с теми же
коэффициентами >.lt..., кт.
Линейные отображения линейного пространства в себя назы-
называются линейными операторами.
Установим простейшие свойства линейных отображений.
Г При линейном отображении нулевой вектор 0и простран-
пространства U переходит в нулевой вектор 0v пространства V:
orfuu = (V.
(где и — произвольный вектор про-
про0rf = 0v. Отсюда непосредствен-
непосредственВ самом деле, 0(/ =
странства U). Значит, erf
но следует
2° Если векторы щ,..., и„ линейно зависимы, то и их образы
\1 = <?/?их,..., \п = от?ип также линейно зависимы («линейная зави-
зависимость векюров сохраняется при всяком линейном отображении»).
s и
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
379
Но тогда по только что доказанному и
+¦¦¦
В самом деле, если щ,..., и„ линейно зависимы, то сущест-
существуют такие числа Я1(..., Хп, не все равные нудо, что
= 0
векторы ф€иъ ..., еЛип линейно зависимы.
Следствие. Пусть es? — линейное отображение простран-
пространства U на пространство V и векторы v1(..., \k образуют ли-
линейно независимую систему в V. Тогда в U существует линейно
независимая система, состоящая из k векторов щ,..., мк отобра-
отображающихся соответственно в \ъ ..., \к:
&€и{ =vlf ..., ет€ик = чк.
В самом деле, для каждого вектора уёУ существует по
крайней мере один такой вектор u e U, что &^и = х (ведь е4 —
отображение на все пространство V). Поэтому можно найти в U
такие векторы Uj,..., uft, что оЛ\хх =\г,..., &€ик = \к. Система
и1(..., ик линейно независима (в противном случае в силу 2° си-
система v1( ..., V* была бы зависима).
Из доказанного вытекает, лалее:
Если m-мерное пространство U линейно отображено на «-мер-
«-мерное пространство V, то т^п. В самом деле, по предположению
в V существует линейно независимая система, состоящая из п
векторов; но тогда такая система существует и в (У, так что
т^п.
3° Пусть &>? есть взаимно одно тачное линейное отображение
линейного пространства U на линейное пространство V. Тогда
определено обратное отображение и// ' пространства V на про-
пространство U.
Докажем, что оно также есть линейное отображение. Докажем,
в самом деле, что отображение &# 1 удовлетворяет обоим усло-
условиям линейности.
Пусть vx и v2 — произвольные векторы из V, пусть v = vx4-v2.
Надо доказать, что &# lvl-\-ed 1x2 = a?g 'v. Пусть u = a^~1\l +
+ &€~х\г. Тогда, вследствие линейности преобразования erf, имеем
=v и и =
^v, значит,
т. е. v1 + v2 = e^u, но Vi +
что и требовалось доказать.
Положим u = orf'x\. Тогда erf и = v и в силу линейности отоб-
отображения orf
orf\\x = Xorfu = К\;
380
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. XII!
значит, о^~1в^Х\х =в^-1"к\, т. е. ku =
подставить в этосравенство и = а^~г\).
~xXv, или, наконец (если
что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что взаимно однозначные линейные
отображения одного линейного пространства на другое суть не
что иное, как изоморфные отображения (изоморфизмы), рассмот-
рассмотренные нами в главе XI.
В частности, взаимно однозначные линейные отображения (изо-
(изоморфизмы) линейного пространства U на себя называются линей-
линейными преобразсланиями. Из доказанных в главе XI свойств изо-
изоморфизмов следует, что при линейном преобразовании всякая ли-
линейно независимая система векторов переходит в линейно неза-
независимую, а всякий базис пространства U переходит в базис это-
этого пространства.
§ 2. Матрица линейного отображения
Пусть еЛ есть линейное отображение m-мерного линейного
пространства V на n-мерное линейное пространство V. Мы знаем,
что тогда п^т.
ет — какой-нибудь базис пространства U.
векторы е1( е2 ет переходят соответствен-
соответствена^е4, ..., »/е,я. Каждый кектор
2
Пусть вц е2
При отображении
но в векторы ^
переходит при отображении &# в вектор
C5 U
A)
^1 B)
Таким образом линейное отображение о4 линейного пространства
V полностью определено — формулой B), — если заданы образы
в^ец а^е2 а^ет векторов е,, е2 ет, образующих какой-
нибудь базис пространства U.
Пусть fx, ..., f„ — базис пространства V. Векторы
„.., <зЛет ^ V линейно выражаются через базис fx, ..., fn:
k = 1 m.
Матрица
«am
аат\
МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
381
столбцы которой есть координаты векторов &^е1( .. , а^ет в ба-
базисе f,, .... fn, называется матрицей отображения erf: U-+V
относительно базисов {еи ..., ет\ aU и {flF .... fnj e I/. Если
и = х^ + ... + хтът — некоторый вектор из U, то координаты
уи ..., уп вектора e/ueF относительно базиса f1( ..., fn вычис-
вычисляются следующим образом. Имеем
U
*=i
Поскольку координаты вектора однозначно определены, то
т
У! = 2 ai«x>» i=x п-
Запишем координаты векторов и и а^и относительно базисов
et, ..., em и fj, ..., \п соответственно в виде столбцов. Тогда
равенства C) означают, что координатный столбец вектора оА'хх
в базисе fx> ..., fn равен координатному столбцу вектора и в ба-
базисе ех ет> умноженному на матрицу А отображения аЛ:
U -*¦ V:
<hm
Уп
В частности, если <>4: t/->-t/— линейный оператор в «-мер-
«-мерном пространстве U, то в любом базисе еь ... , е„ ему соответ-
соответствует квадратная матрица А = || atJ || относительно этого базиса.
Этим важнейшим частным случаем мы сейчас и займемся.
Мы установили взаимно однозначное соответствие между ли-
линейными операторами пространства U и квадратными матрицами
порядка п. Однако для этого потребовалось сначала выбрать
в U некоторый базис еь ... , е„. Изменив его, мы изменим
соответствие. В результате одному и тому же линейному опера-
оператору о^€ в различных базисах будут отвечать различные матрицы
А, А'. Найдем связь между ними.
Пусть ех ел и el, ..., е', —два базиса в пространства U,
S — матрица перехода (ej, ..., е,',) = (е, en) S. Обозначим
через X, Y соответственно столбцы координат векторов и, а^и
в базисе ег. ..., е„. Аналогично через X', У обозначим столбцы
координат векторов u, arfxx в базисе t[, ..., с„.
382 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. XIII
Из правила преобразования координат следует, что
Согласно C) действие оператора А задается матричными равен-
равенствами
Y = AX, Y' = A'X'.
Значит, SY' = ASX', откуда Y' = S MSX', т. е.
/l' = S-MS. D)
Матрицы А и А', связанные соотношением D), называются по-
подобными.
Таким обра юм, матрицы линейного оператора оЛ в различ-
различных базисах подобны между собой, причем подобие осуществля-
осуществляется матрицами перехода от одного базиса к другому.
§ 3. Действия с линейными операторами
Г Рассмотрим в линейном пространстве L два линейных опе-
оператора а/ И аб.
Суммой линейных операторов &6 и а® называется отображе-
отображение а^ + е59 пространства L на себя, определяемое равенством:
для любого вектора u
Покажем, что orf-\- 'ti — линейный оперлтор. Действительно,
+J/,i) (аи+ М -г-/(аи I И I '-(аи | (W)
= а
(и) + P(a^ + <^) (v),
что и требовалось.
Найдем матрицу линейного оператора &#-\-S3. Пусть в неко-
некотором базисе elf ..., е„ операторы ок ,33 имеют матрицы А, В.
Обозначим матрицу оператора а^ -{-S3 в этом базисе через С.
Пусть X — координатный столбец вектора ueL, a V —коорди-
—координатный столбец вектора {&# -\-<?@)и.
Поскольку {ф2 + S3) и = а^м. + <$и, то
У = СХ = А X + ВХ = (А + В)Х,
т. е. С = А+В. Следовательно, матрица суммы операторов равна
сумме их матриц.
2° Отображение, полученное в результате применения к век-
вектору ueL сначала оператора &?: L-+L, а затем умножение полу-
получившегося вектора а^и на число Я,е/г, называется произведе-
произведением % на &>? и обозначается через %о^. Таким образом,
3]
ДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
383
Так же как в случае суммы линейных операторов, убеждаемся,
что %вр€ — линейный оператор. В качестве очень простого упраж-
упражнения предлагаем читателю доказать, что матрица операто-
оператора \о/1 равна произведению числа \ на матрицу А оператора od.
Обозначим через (д: L-+L — «нулевой» оператор в L, определя-
определяемый формулой
для любого вектора
Имеют место следующие очевидные соотношения:
1) a (pW) = (оф) а^, O-s^ = 0, \-e? = orf,
2)
3)
4)
5) (а
6) а (
4- а^) -= а«// 4- а;//,
которые покаарлвают, что множество End (L) всех линейных опе-
операторов пространства /. является линейным пространством над
полем k коэффициентов пространства L.
3° Пусть &?yAJ,] — два линейных оператора в пространстве L.
Применяя к произвольному вектору uet сначала оператор S3, а
затем od, мы получим некоторый вектор
Отображение, переводящее вектор и в вектор v, назовем компо-
композицией операторов д^ и S3 (в указанном порядке ) и обозначим
через а^-гЯЗ или просто черсм oY,Jd. Компоги'цпя о /* Is линей-
линейных операторов является лииошшм оператором Доигтптелыю,
e?S3 (аи 4- Pv) = a^ (?3 (аи + Pv)) = ^f (а Jdw 4- р J/8v) =
(и
v),
что и требовалось.
Легко проверить, что матрица композиции двух линейных
операторов равна произведению матриц этих операторов (в том
же порядке).
Если orf, S3 и сб — три линейных оператора, то имеют место
соотношения:
2)
3)
384
линейные отображения
1ГЛ. XIIJ
Обозначим через S — тождественный оператор, задаваемый пра-
правилом
Su = u для любого вектора и.
4) arfS = Serf = erf.
Свойства 1) — 4) композиции и 2) —4) операций сложения
показывают, что множество End(L) всех линейных операторов
пространства L является ассоциативным кольцом с единицей
относительно операций сложения и композиции.
4° Если для линейного оператора erf: L-+L существует такой
оператор <?@: L-+L, что
&rf<?® = <ffioj# = &, A)
то аВ называется обратным оператором по отношению к erf,
а сам оператор erf называется обратимым. Легко видеть, что
каждый обратимый оператор имеет только один обратный. Дейст-
Действительно, если arf имеет два обратных оператора <Шг и Si%,
то, взяв в левой и правой частях равенства
= S
композицию с оператором <ШХ, действующим слева, и пользуясь
ассоциативностью композиции, получим
= <?31S или $3Х = <&&%.
Оператор, обратный к erf, обозначается через <?4~х. Соотно-
Соотношения A) симметричны, поэтому (^У) = <>/.
В § 1 этой главы мы поклгииш, что в'/'1 —линейный оператор.
Кроме того, очевидно, а также следует из результатов § 1, что
оператор arf обратим тогда и только тогда, когда он является
взаимно однозначным отображением пространства L на себя.
Так как композиция операторов erf и erf Л взятых в любом
порядке, есть тождественный оператор 6, матрица которого, оче-
очевидно, есть единичная матрица Е, то произведение матриц опе-
операторов erf и erf1 есть Е. Отсюда вытекает, что матрица опера-
оператора erf~l, обратного к оператору srf, есть матрица А'1.
§ 4. Ядро и образ линейного оператора
Пусть arf — некоторый линейный оператор в линейном про-
пространстве L.
Ядром оператора arf называется множество всех векторов
ueL таких, что arfu = Q.
Образом оператора erf называется множество всех векторов
пространства L, имеющих вид erfw, где и пробегает пространст-
пространство L. Ядро оператора orf обозначается через Кеге^, образ опе-
оператора arf обозначается \vaarf.
§4]
ЯДРО И ОБРАЗ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
385
Теорема 1. Ядро и образ оператора arf являются линей-
линейными подпространствами в L.
Доказательство.
1) Пусть иь u2^Kerarf. Следовательно, erfu1 = erfa2 = O.
В силу линейности оператора erf для любых K1,K2^k(k = R или С)
erf(\ Ui
т. е. %хих + %2щ^ Кег &rf.
Согласно определению 1 §4 главы XI это означает, что
^ — подпространство линейного пространства L.
2) Предположим, что и1( щ е Im erf. Тогда существуют такие
векторы v1( v,gL, что erfv1 = u1, arfv% = \\%. Следовательно, для
любых чисел А1, к2 е k линейная комбинация V^-H^iia e Im arf>
ПОСКОЛЬКУ К1и1 + 12Щ = %1 erfVx + %2 erfV2 = erf (Vl + ^V2).
Теорема доказана.
Размерность ядра Кег erf называется дефектом оператора а4',
а размерность образа Im о Л — рангом оператора arf.
Теорема 2. Сумма ранга и дефекта линейного оператора erf
равна размерности пространства L.
Доказательство. Обозначим через г размерность образа
Im erf и через d размерность ядра Кег arf оператора arf. Выберем
в линейном подпространстве Ini &rf с L некоторый базис elt..., е,
и обозначим через fx,..., ir элементы из L, переводящиеся опера-
оператором arf соответственно в е, е^.
Векторы fi f, линейно независимы, так как из равенства
вытекает, что
а это возможно лишь в случае, когда Я, —... -= Хг = 0. Рассмотрим
в L подпространство Llt порожденное векторами f, \г. Векторы
ft tr линейно независимы и поэтому являются базисом под-
подпространства Li. Следовательно, размерность Lx равна г.
Покажем, что пространство L является прямой суммой своих
подпространств L, и Кег erf. Согласно определению для этого доста-
достаточно показать, что
L = Li + Кег arf и Li П Кег erf = {0}.
Покажем, что L = L1 + Ker erf. Для этого возьмем произвольный
вектор ueL и положим v = e/uelnia^. Вектор v линейно
выражается через еь ..., с/.
Пусть
= U —
13 П, С, Александров
386
Так как
то
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. XIII
-f-... + К erf\r = ^eL +... + К*г = V,
= &#vl — erfwx — v — v = 0.
Следовательно, w2 е Кег orf'. Итак, мы показали, что вектор и
представляется в виде
где wt e Llt w2 е Кег оЛ', а это и означает, что L = Lx-\- Кег оА'.
Покажем теперь, что Lt П Кег е^ = {0}. Пусть и — некоторый
вектор, принадлежащий одновременно Lx и Кег о/?. Так как
u e Llt то и представляется в виде
так как u e Кег а/, то
r = 0.
= 0, т. е.
Но, как уже указывалось, последнее равенство возможно тогда и
только тогда, когда Яа = ... = Л,, = 0. Следовательно, и = 0, что
и требовалось.
Итак, мы показали, что L —прямая сумма подпространств Lx
и Кег а4'. Поскольку сумма прямая, то размерность L равна сумме
размерностей подпространств Ьг и Кег вт?, т. е. сумме ранга
и дефекта линейного оператора е?/.
Теорема 2 доказана.
Следующее утверждение является обращением теоремы 2.
Теорема 3. Пусть L — п-мерние линейное пространство. Ка-
Каковы бы ни были подпространства Ьъ L2 cz L, сумма размерностей
которых равна п, существует линейный оператор a/Z\ L-+L,
для которого Кег &? = Llt Im orf = L2.
Доказательство. Обозначим размерности пространств Lx и
L2 соответственно через dHr = n — d.B подпространстве L2 выберем г
линейно независимых векторов flt..., fr.
Затем выберем в пространстве L базис е^ ...е„так, чтобы пер-
первые d векторов его лежали в подпространстве Lv Такой выбор
возможен на основании теоремы 9 § 4 главы XI.
Определим оператор orf равенствами
= 0,
i = 1,..., d,
г.
Покажем, что оператор &# удовлетворяет условиям теоремы.
Прежде всего очевидно, что Im а? является подпространством,
порожденным векторами fx,..., ir и, следовательно, совпадает с L2.
Далее, из определения оператора &? вытекает, что Lt с Кег о/ё'.
$5]
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
?87
Для завершения доказательства теоремы нам остается установить
обратное включение Кег <&€ с Lx.
Предположим, что для некоторого вектора
u=
= 0. Из определения оператора <зЛ вытекает, что
= i
= 2j ai erfti —
i = l i
Так как векторы !,,..., ir линейно независимы, то все
Следовательно,
d
Теорема З доказана.
Выясним, как сиязан ранг оператора &€ с рангом его матрицы
в произвольном базисе пространства L.
Теорема 4. Ранг оператора в/?, действующего в пространстве
L, равен рангу его матрицы А в любом базисе {с^..., е„} про-
пространства L.
Д о к а зате л ьст во. Если elv.., е„ — базис линейного про-
пространства L, то образ Ima/ сператора &rf совпадает с подпростран-
подпространством в L, порожденным векторами е^ех,..., <з^е„. Ранг оператора
&>€, т. е. размерность линейной оболочки векторов e^ej,..., а/е,„
равен максимальному числу линейно независимых векторов в
системе &*#et,..., еу/е„. Поскольку в столбцах матрицы А опера-
оператора о/? стоят координаты векторов ы/е,,..., й/е„ относительно
базиса ej,..., еи, то число линейно независимых иекторов в системе
е^е*, k=l,..., n, равно числу линейно независимых столбцов
в матрице А, т. е. ее рангу.
Теорема доказана.
§ 5. Инвариантные подпространства и собственные векторы
линейного оператора
Определение 2. Пусть erf — линейный оператор в линей-
линейном пространстве L" над полем k. Подпространство Lo простран-
пространства L" называется инвариантным подпространством для опера-
оператора о?', если для любого вектора ueL0 имеем 8/п?[0 (т. е.
если оператор &? отображает пространство ?овсебя: &^Los.La).
Рассмотрим, в частности, случай одномерного инвариантного
подпространства Ц ? L". Тогда для всякого вектора u e Ц имеем
13*
388
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЛ.СНИЯ
(ГЛ. XIII
т. е.
A)
где X — некоторое вещественное число.
Определение 3. Всякий отличный от нуля вектор и, удо-
удовлетворяющий равенству A) (при некотором числе X), называется
собственным вектором оператора arf, а число X (однозначно
определенное равенством A)) называется собственным значением
оператора erf, соответствующим данному собственному вектору и.
Замечание. Про собственный вектор и, удовлетворяющий
равенству A) при данном X, говорят, что он соответствует собствен-
собственному значению X. При этом из самого условия A) следует, что
каждый собственный псктор оператора о4 соответствует лишь
одному собственному значению, тогда как данному собственному
значению соответствует бесконечное множество коллинеарных
между собой собственных векторов, но могут соответствовать
и линейно независимые между собой собственные векторы.
Мы видим, что каждый (отличный от нуля) вектор одномер-
одномерного инвариантного подпространства данного оператора erf есть
собственный вектор оператора erf. Очевидно и обратное: одномер-
одномерное подпространство, порожденное данным собственным вектором
оператора orf, есть инвариантное подпространство этого оператора.
Непосредственно из определения собственных векторов выте-
вытекает следующее предложение:
Если базис пространства L" состоит из собственных векторов
elf..., е„ данного оператора о-/, соотпегстиующих собственным
значениям
Xi,..., Хп,
то в этом базисе оператор erf имеет матрицу А диагонального
вида:
О
к,
Л =
О
B)
Обратно, если в некотором базисе е1(..., ея матрица оператора
имеет вид B), то е1(..., е„ являются собственными векторами
оператора erf, а Хъ..., Хп суть соответственно их собственные
значения. Будем разыскивать собственные векторы и собственные
значения оператора erf и, следовательно, его одномерные инва-
инвариантные подпространства.
Выберем в пространстве La какой-нибудь базис elf е2, ..., е„,
относительно которого оператор erf имеет матрицу
«. У — 1 »- C)
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
389
Тогда для вектора и = х^ +...-f xntn с координатами хи ...
,.., хп вектор erfu будет иметь координаты
*=1 п. D)
Условие для того, чтобы вектор и был собственным вектором
с собственным значением X, есть
оУСU = AUJ A)
расписывая это условие покоординатно, получим уравнения
т. е. уравнения
• 4- а1пхп = 0,
¦...+ а2пхп = 0,
-... + (аял-к)хя = 0.
E)
Это — система однородных линейных уравнений относительно коор-
координат хи х2 хп вектора и; нас интересуют лишь ненулевые
векторы —решения системы E); они существуют тогда и только
тогда, когда детерминант системы E) равен нулю, т. е. когда X
удовлетворяет уравнению л-й степени
ап —
а21
а1л
а23 —
= 0.
F)
Обозначим детерминант, составляющий левую часть уравнения F),
через De(X). Значок е при D(X) поставлен потому, что мы постро-
построили детерминант, пользуясь базисом е = [е^ е2, ..., е„].
Очевидно,
F')
Докажем, что в действительности многочлен De(X) от выбора
базиса в пространства L" не зависит, т. е. что для любого дру-
другого базиса е' = [е[, ..., е^] пространства L" имеем
Пусть матрица перехода от базиса et е„ к базису ej, ..., еп
есть матрица С. Относительно базиса ej, ..., е'п оператор erf
имеет матрицу
390
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. XII*
так что
А'-кЕ = С-1 АС - ХЕ = С-1 АС - ХС~1ЕС =
= С-МС - С-ЧЕС = С (А - ХЕ) С
и
De' (X) = det (Л' - Я?) = det С det (Л - ХЕ) det С =
чем наше утверждение доказано.
Итак, многочлен п-й степени
... а1я
ап1 ап2 ... апп—К
(б*>
не зависит от выбора того или иного базиса пространства L\
т. е. от того, какой именно матрицей Л записан данный опера-
оператор о/?; он зависит лишь от самого этого оператора и потому
называется характеристическим, многочленом оператора ed'. Урав-
Уравнение F), т. е. уравнение D(X) = 0, называется характеристи-
характеристическим уравнением оператора оЛ (и матрицы Л, представляющей
этот оператор в любом базисе ех, .... е„); корни уравнения F)>
называются характеристическими числами оператора а/1 и era
матрицы Л.
Каждое число X, являющееся собственным значением какого-
либо собственного вектора оператора ^ /, есть корень характе-
характеристического многочлена D (%), т. е. характеристическое числа
оператора &^. Обратно, если X есть корень уравнения F), то,.
подставляя его в уравнения E), сможем получить ненулевое ре-
решение и = {хи ..., х„} системы уравнений E), т. е. собственный
вектор оператора е^, соответствующий собственному значению X.
Поэтому характеристические числа оператора &# являются соб-
собственными значениями.
Кратностью собственного значения X линейного оператора ©^
называется кратность, с которой X входит в качестве корня в ха-
характеристический многочлен оператора в/1.
Пример. Рассмотрим в трехмерном пространстве над полем к
(k = R, С) с базисом еи е2, е3 оператор, задаваемый в этом базисе
матрицей
111 1 01|
Л= о 1 11
II1 0 11
Найдем собственные значения и собственные векторы опера-
оператора erf.
si
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
391
Вычислим прежде всего характеристический многочлен D (X)
¦оператора оЛ'. Имеем
1-А, 1 О
О
1
1-А, 1
О 1-3
= _ (X _ 2) (л2 -
Корни многочлена D{X) равны соответственно
7—9 1 —Lj-i?i
Aj — Z, Л2 — о ' о
х - l i
Если поле k = R, то Хх = 2 будет единственным собственным зна-
значением оператора аЛ'. Если поле k = С, оператор а^^имеет три
( / ltV3\
о 1
= 2, л2 =
>?1з =
собственных значения
Найдем собс1 венные векторы оператора а# в случае поля
вещественных чисел IR. Для этого составляем систему E), которая
в нашем случае есть
= 0, 1
Решая эту систему, получаем х1 = х2 = х3. Следовательно,
вектор u = at1 + ае2 + ае3 при произвольном вещественном а будет
собственным вектором оператора а^.
В случае поля комплексных чисел С получаем три системы
линейных уравнений
= 0,
, = 0,
-*» = 0.
G)
хЛ
(8)
(9)
392
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. XIIJ
Решение системы G) есть
Х1 — Х2 ~ Х3 = а<
где а — произвольное комплексное число. Решение системы (8)
задается формулами
х _
Х1
- b, x2 = —
Ъ, х3 = Ь,
b — произвольное комплексное число. Аналогично решение системы
(9) есть
Кз" 1 — ( /з"
_
xi —
с —произвольное комплексное число. Таким образом, собственные
векторы оператора erf могут быть представлены в виде
¦ се, —
2
1-J Кз
а, Ъ, с —произвольные комплексные числа.
Исследуем различные возможности, которые могут предста-
представиться при решении характеристического уравнения.
1° Случай поля А = С. В этом случае в силу основной теоремы
алгебры характеристическое уравнение иотда имеет корень ko^k.
Следовательно, и комплексном линейном пространстве всякий
линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
2° В случае вещественного поля k = R характеристическое
уравнение D(X) = 0 может вовсе не иметь корней в поле R. В этом
случае линейный оператор не имеет вещественных собственных
векторов. Например, преобразование плоскости, задаваемое в пря-
прямоугольной системе координат равенствами
х' = х cos а — у sin a,
у' = х sin a + у cos a
(поворот вокруг начала координат), не имеет вещественных соб-
собственных векторов. Действительно, характеристическое уравнение
для оператора поворота имеет вид
cos а — X —sin а
sin а cos а — X
откуда A,]i2 = cosa± i sina = e±ta, и если a=/=kn, k = 0, ztl, zL'.
то это уравнение не имеет вещественных корней.
4 5]
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
393
Теорема 5. Всякий линейный оператор &€ в вещественном
линейном, пространстве L" имеет инвариантное подпространство
размерности 1 или 2.
Доказательство. Если характеристический многочлен D(X)
оператора &4 имеет хотя бы один вещественный корень, то этот
оператор имеет хотя бы один собственный вектор, а следовательно,
имеет и одномерное инвариантное подпространство (этим пектором
порожденное).
Требуется доказать, что если среди корней многочлена D (X)
нет вещественных, то оператор orf имеет двумерное инвариантное
подпространство. Это вытекает из следующего вспомогательного
лредложения:
Лемма. Если X0 = a + Pt, $фО, есть корень многочлена D(X),
то существуют два линейно независимых вектора и и v, которые
в своей совокупности порождают инвариантное подпространство
оператора г у/ (имеющее, очевидно, размерность 2).
Итак, остается доказать лишь лемму.
Берем какой-нибудь базис е,, ..., е„ пространства L" и под-
подставляем в уравнения E) значение X-=*X0 = a-\-$i. Тогда этим
уравнениям удовлетворяет набор комплексных чисел
xi = li + ir\i> ¦ • ¦. хп = In + Щп,
которые не все равны нулю. Отсюда уже следует, что из векто-
векторов
по крайней мере один отличен от нуля; то, что они оба отличны
от нуля и, более того, линейно независимы, будет доказано
несколькими строками ниже. Набор комплексных чисел {хъ .... хп]
есть решение системы E) при X = XQ, так что имеет место система
числовых тождеств
+ *"Пя) +• • .
== (ot -h p/) (|2 + (Tia),
{In + Щп) =
Приравнивая в этих тождествах соответственно их вещественные
я мнимые части, получаем, во-первых, систему тождеств
=l, .... п,
394 линейные отображения
во-вторых, систему тождеств
л
т. е.
= аи — Pv
[ГЛ. ХНГ
A0)
Другими словами, векторы &/и и о^\ принадлежат векторному
подпространству Р <=, Ln, порожденному векторами и и v. Докажем,
что и и, и v отличны от нуля. Предположим, что и = 0; тогда по
доказанному \ф0. Вставляя эти значения и и v в первое из
равенств A0), получим
0 = — Pv,
итак как v=?0. то р = 0, что противоречит условию леммы. Пусть
теперь v = 0 и, следовательно, и^О; тогда из второго равенства
A0) получим
0 = 011,
откуда снова р = 0 — вопреки условию леммы.
Докажем, наконец, что векторы и и v линейно независимы.
Предположим противное, тогда v = feu при некотором кфО и
равенства A0) принимают вид
о/ко — Pu -j-a/eu.
Переписывая второе из этих равенств в виде
и вычитая из него первое равенство A0), получим
откуда снова следует Р = 0, что противоречит условию леммы.
Лемма, а следовательно, и теорема 5 доказаны.
Пусть 1 = К0 — некоторый корень характеристического уравне-
уравнения кратности г^1. Возникает вопрос: какова размерность соот-
соответствующего собственного пространства или, иначе, сколько
линейно независимых решений имеет система уравнений E) при
Я = Х0? Нетрудно показать, что размерность собственного под-
подпространства, отвечающего собственному значению Хо, не превос-
превосходит кратности корня Ко. Полный ответ на вопрос о размер-
размерности собственных подпространств мы получим в главе XV, опре-
определив каноническую форму матрицы линейного оператора &?.
ГЛАВА XIV
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ
ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Линейные функции
Задать числовую функцию / на n-мерном линейном простран-
¦стве L" над полем коэффициентов k — значит дать правило, поз-
позволяющее поставить в соответствие каждому вектору ugL" неко-
некоторое число /(и) из поля k (значение функции / для этого век-
вектора и).
Если в пространстве задан некоторый базис elt ..., ел, поз-
позволяющий каждый вектор u e= L" записать в виде
и = л;^ + *2е2 +., . + л;лелн= {хи х2, .... хЛ, (\)
то возникает задача: выразить для каждого вектора A) значение
/(и) через координаты xL, ..., хп вектора и (посредством некото-
некоторой формулы).
Определение 1. Функция /, определенная на пространстве
Ln, называется линейной, если она удовлетворяет условиям:
1° /(ui + u2) = /(u1) + f (u2) для любых двух векторов иъ щ ее L".
2° /(Хи) = А,/(и) для любого вектора ugL" и любого числа
Эти условия могут быть заменены одним условием:
/ (J^Uj -f- К2щ) = XJ (ux) + ^2/ (иг)> B)
из которого следует и общее условие:
/ (К* + ¦¦¦ + Кип) = Kf (Щ) + ¦ ¦ ¦ + Kf (и„)
лля любых векторов щ ил из Ln и любых чисел Xlt ..., К„.
Для любого вектора и=ж1е1 + ... + А;лел значение функции /
•есть f(o) = xJ(e1)-\-... + xnf(en). Обозначим значение функции/
векторов ех, ..., ел через
/ (ei) = alt f (e2) = а,, ..., / (е„) = ап. C)
:л (для и=л:1е1+...-|-л:лел). D)
Тогда имеем
396
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV*
Правая часть равенства D) есть однородный многочлен пер-
первой степени, или линейная форма от переменных xlt х2, ..., хп.
Итак, если в пространстве L" задан базис ех, е2, ..., е„, то
линейная функция f записывается в виде линейной формы D),
выражающей значение /(и) через координаты вектора и (относи-
(относительно этого базиса).
Важно заметить с самого начала: линейная функция (и вообще
всякая числовая функция) в пространстве L" не зависит от выбо-
выбора того или иного базиса в этом пространстве. «Функция» — это
значит: каждому вектору и поставлено в соответствие число /(и);
это число определено, как скоро определен вектор и; выбор базиса
в пространстве Ln здесь ни при чем. Но запись D) в виде
линейной формы, естественно, зависит от выбора базиса: если
вместо базиса еь еа, ..., ел возьмем другой базис е{, е'ъ ..., е'п,
то вектор и относительно базиса е'и е^ е'п будет иметь уже
другие координаты х[, x'it ..., х'п и
Полагая &i = /(ei), .. •. bn = f(e'n), видим, что относительна
базиса ej, ... ,е'п та же функция /(и) записывается в виде линей-
линейной формы:
f(u) = b1x'1 + b2x'i + ... + bnx'n D')
(для и = х\е,\ + ...+х'пъ'п)-
Естественно спросить: как выражаются коэффициенты bL,..., Ъп че-
через коэффициенты аъ ..., а„, если известно, что векторыej, ..., е„
«нового» базиса даны сьонми координатами относительно «старого»-
базиса еь ..., е„:
n, / = 1 п.
Ответ дается автоматическим вычислением:
bi = f(ec) = clif(e1) + ... + cnif(en) для t = l п,
т. е.
i = с^йх -f c2ia2 + ... + cnian.
Мы видим, что
•— при переходе от базиса ех, ..., е„ к базису е[, ..., е„ коэф-
коэффициенты линейной формы D) преобразуются так же, т. е. посред-
посредством той же матрицы, как базисные векторы.
Рассмотрим множество (Z/1)* всех линейных функций, опреде-
определенных на линейном пространстве L" над полем k. В множестве
§ и
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
397
(L")* естественным образом определены операции сложения функ-
функций и умножения функции на число из поля k:
где /, gG=(L")*t ueL", Я,е=*.
Теорема 1. Множество (Ln)* всех линейных функций, задан-
заданных в пространстве L" над полем k, образует линейное прост-
пространство над полем k.
Доказательство. Покажем прежде всего, что сумма двух
линейных функций /, g e (L")* является линейной функцией. Пусть
u, veL", i^k. Тогда
Таким образом, линейность суммы доказана. Аналогично для
произведения а/ линейной функции / па число а е k имеем
- а ¦ / (и) + a ¦ / (v) = (а/) (и) + (a/) (v),
(a/) (Xu) = a • / (Я,и) = a ¦ X /(u) = Яа/ (и) = X (a/) (a).
Таким образом, мы показали, что f-\-g и а/ являются линей-
линейными функциями, т. е. принадлежат множеству (La)*.
Нулевым элементом пространства (Ln)* является линейная
функция 9 (и), равная нулю для любого вектора и е L". Функ-
Функция (—1)/ является противоположной для функции /.
Легко проверяется, что для (/,")* выполняются все аксиомы
линейного пространства, откуда и следует теорема 1.
Определение 2. Линейное пространство (L")*, состоящее
из всех линейный функций, определенных на пространстве L",
называется сопряженным пространству Ln.
Теорема 2. Если линейное пространство L п-мерно, то
сопряженное ему пространство L* также п-мерно.
Доказательство. Пусть ег, ..., е„ — некоторый базис в L.
Разложим по этому базису произвольный вектор ueI:
u=*1e1-f-...-f.*:Ben.
Тогда любой элемент /
сывается в виде
!*, т. е. линейная функция на L запи-
запи/(«) = /
= 2 xj (e,) - 2 xtah
398
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
гдеа/ = /(и), и однозначно определяется набором чисел (а1 ап)
из поля k. Этот набор можно интерпретировать как вектор
арифметического пространства k". При сложении линейных функций
и умножении функции на число складываются и умножаются на
число коэффициенты этих функций. Следовательно, L* изоморфно
арифметическому пространству к" и поэтому п-мерно. Теорема 2
доказана.
Пусть L «-мерное линейное пространство над полем k и
(elv. , е„) — некоторый базис в L. Рассмотрим в пространстве L* п
линейных функций f1, ..., fn, задаваемых правилом
р (е,) = бг/, I, у = 1, ..., п.
Функции f1, ..., f" линейно независимы в L*. Действительно,
пусть
для некоторых аъ ..., а„е^. Тогда aj1 (е;) + ... + anfn(еу) = О
для любого базисного вектора в/, / = 1, ..., п. Из определения
функций р получаем
«i/1 (еу) + ... + anfn (еу) = а А/ + . • • + «А, = а, = О,
что доказывает их линейную независимость. Любая функция f e
еL* выражается в виде линейной комбинации функций f1, ...
..., /". Действительно, как мы уже выяснили, функция f одноз-
однозначно определяется своими значениями aj — flt/) на базисных
векторах еъ ..., е„ из L. Но эти же значения на векторах ег, ...
..., е., принимает линейная функция aj] \-...a,J". Поэтому / =
= aj1 -\- ... -\-anf", что и требовалось.
Итак, мы показали, что функции fl, ..., f" линейно незави-
независимы и порождают пространство /_,*, т. е. образуют базис этого
пространства.
Определение 3. Базис {f1, ..., f"} пространства L*, состо-
состоящий из линейных функций, удовлетворяющих уравнениям /' (еу) =
= 8i}, где {ех е„} —базис в L, называется базисом, дуальным
к {et ея}.
Замечание. Построив дуальный базис в L*, состоящий из
п элементов, мы тем самым получили новое доказательство тео-
теоремы 2. Понятие дуального базиса позволяет дать полезную интер-
интерпретацию линейной формы D)
f(u) = a1x1+ ...+anxn.
В этой форме числа xlt ..., хп — суть координаты вектора ueL
в базисе е1? ..., еЯ) а числа а€ а„ — координаты линейной
функции f eL* в дуальном базисе f1, ..., fn.
Понятие линейной функции на L" допускает наглядную гео-
геометрическую реализацию. Рассмотрим некоторое аффинное прост-
§ И
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
399
ранство Ап над полем k, для которого линейное пространство L"
является пространством трансляций. Выберем некоторую точку
О е А" и будем считать, что векторы из Ln отложены из точки
О. Значением функции / в точке В будем считать ее значение на
векторе и = 05. Тем самым функция / определена в А".
Имеют место следующие утверждения:
1° Множество точек из А", в которых линейная функция f
принимает постоянное значение, образует плоскость в Ап размер-
размерности п — 1.
2° Любая плоскость размерности п — 1 в Ап является геомет-
геометрическим местом точек, в которых некоторая линейная функция
сохраняет постоянное значение.
3° Плоскости, соответствующие разным значениям одной и
той же линейной функции /, параллельны.
Для доказательства этих утверждений достаточно записать
равенство
f(B) = f(OB) = c
в координатном виде
/(B)==a1Jf1+... +anxn = c
и воспользоваться результатами главы XII.
В заключение этого параграфа дадим определение сопряжен-
сопряженного оператора. Пусть &d\ L-+L — линейный оператор в прост-
пространстве L.
Определение 4. Оператор &&*: L*-+L* в сопряженном
пространстве L* называется сопряженным к оператору е^, если
для любых ueL, /el* выполнено равенство
Покажем, что е^* — линейный оператор в пространстве L*. Пусть
f, g^L*, и eL-произвольный вектор. Имеем
) («О+ («***) 00-
В силу произвольности вектора и отсюда следует, что
Для произведения а/ линейной функции / и числа оеА анало-
аналогично получаем
(а/)) (и) = (а/) (е^и) = а • /(e*fи) = а • е*Г*/(и) = (avf*f) (и),
откуда
что и требовалось доказать.
400
ЛИНЕЙНЫЕ. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
Оставляем читателю в качестве упражнения доказательство
следующего утверждения. Если А — матрица оператора о.4 в базисе
е1( ..., е„, то матрицей сопряженного оператора arf* в "уальном
базисе f1 f" является транспонированная матрица А*.
§ 2. Билинейные функции и билинейные формы
Рассмотрим теперь функцию от двух переменных векторов и,
v пространства L", т. е. предположим, что дано правило, ставя-
ставящее в соответствие каждой паре u, v векторов пространства L"
некоторое число ^(u, v). Предположим, кроме того, что эта функ-
функция является линейной по каждому из своих аргументов, т. е.
что выполнены следующие условия:
, v),
Va)
(каковы бы ни были векторы ub u2, u; v, vlt v2 и числа Хъ %2).
Тогда говорят, что W есть билинейная функция.
Спрашивается: если векторы и и v заданы своими координа-
координатами относительно данного базиса elf ..., е„ пространства Ln, так
что 0=^!+ ... +хпеп, v = ^1e1+ ... +#„е„, то как выразится
значение билинейной функции Т через координаты xL хп и
уь ..., уп векторов u, v? Огвет очень прост. Ведь
(u, v) =
+х„еп,
A)
Положим теперь lF(e,, e/
что и дает ответ на поставленный вопрос.
Многочлены вида
. Тогда из A) вытекает, что
хп; yt
линейные по каждому из двух рядов переменных
БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
401
называются билинейными формами от переменных xt, yt (точнее,
от двух рядов переменных хи ..., х„; уи ..., у„). Матрица
аХп
или матри-
апХ а„2 ... а,
п
называется матрицей билинейной формы У^
цей билинейной функции B) относительно базиса е1( .... е„. Били-
Билинейная форма называется симметричной, если симметрична ее
матрица А (т. е. если alh = aki).
Вернемся к общему понятию билинейной функции ^(u, v).
Эта функция называется симметричной, если ее значение не
меняется при перестановке аргументов, т. е. если для любых
двух векторов и и v имеем lF(u, v) = 4f(v, u). Тогда, в частно-
частности, aij — ^l(t.i, e/-) = 4f(e/, е*) = % — матрица оказывается симмет-
симметричной. Обратно, если в каком-нибудь базисе данная билиней-
билинейная функция записывается в виде билинейной формы с симмет-
симметричной матрицей, то значение функции ^(u, v), равное значению
многочлена
не меняется при замене в этом много-
члене одного из двух рядов переменных xlt ..., хп; yL, ..., уп
другим, что означает равенство ^(u, v) = 4r(v, и), т. е. симмет-
симметричность функции *?(u, v). Итак, симметричная билинейная функ-
функция записывается в любом бизисе в виде симметричной билиней-
билинейной формы. Обратно, если билинейная функция в каком-нибудь
бизисе записывается в виде симметричной билинейной формы,
то она симметрична (и, следовательно, ее записью во всяком
базисе будет симметричная билинейная форма).
Каждая функция f(u, v) от двух переменных определяет функ-
функцию g от одного переменного, если положить
g(u) = f(u, a).
Функция Ф, полученная по этому правилу из симметричной били-
билинейной функции W:
Ф(и) = Т(и, и),
называется квадратичной функцией, порожденной данной билиней-
билинейной функцией W.
Теорема 3. Для каждой квадратичной функции Ф сущест-
существует лишь одна порождающая ее симметричная билинейная функ-
функция W, называемая полярной билинейной функцией от данной
квадратичной.
402
линейные, билинейные и квадратичные функции ггл xiv
Доказательство. Пусть W — какая-нибудь симметричная
билинейная функция, порождающая данную квадратичную
функцию:
Ф(и) = ?(и, и).
Для доказательства единственности функции V достаточно дока-
доказать формулу
Y(u, у) = |{Ф(и + у)-Ф(и)-Ф(у)}, C)
позволяющую вычислить значение функции W для любой пары
векторов u, v, зная значения функции Ф для каждого из векторов
u, v, u + v. Подлежащую доказательству формулу C) можно пеое-
писать в виде
Ф(и + у) = Ф(и) + 2?(и, \) + Ф(\) C')
или (по определению функции Ф) в виде
Но в таком виде она непосредственно вытекает из билинейности
и симметрии функции W (u, v):
, v) =
v, v) =
vL-?(v, v),
что и требовалось доказать.
Если в данном базисе симметричная билинейная функция
Ч' (u, v) записывается в виде
АЛЯ
то, очевидно,
и)=
Для и =
i, !ft = 1
Многочлен вида
aikxixk, все члены которого суть одно-
*=i
члены alkxixk второй степени, есть не что иное, как однородный
многочлен второй степени, или квадратичная форма (от перемен-
переменных хх, ..., хп). Мы при этом предполагаем, что пц, = аы, что
не представляет ограничения общности (при ац, Ф aki мы бы заме-
заменили каждый из этих коэффициентов их полусуммой), так что
фактически коэффициент при х{хь в
ПРИ
есть
§ 3] МАТРИЦА БИЛИНЕЙНОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Симметричная матрица
403
д _
|а„1 ani
называется матрицей квадратичной формы
atkxtxk, ее
I, 4 = 1
д
детерминант называется дискриминантом квадратичной формы.
Мы получили следующий результат: квадратичная функция
Ф(и) = Чг(и, и), порожденная данной билинейной функцией W,
во всяком базисе записывается в виде квадратичной формы, имею-
имеющей ту же матрицу, что и билинейная форма, являющаяся
записью функции Y.
Другими словами: квадратичная функция Ф и ее полярная
функция *? во всяком базисе записываются в виде форм (квадра-
(квадратичной, соответственно билинейной), имеющих одну и ту же
(симметричную) матрицу. Поэтому билинейная форма, имеющая
ту же матрицу, что и данная квадратичная, называется поляр-
полярной формой от данной квадратичной.
§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы
и ее преобразование при переходе
к новому базису
В пространстве L" с заданным базисом ех, ..., е„ линейная
функция записывается в виде линейной формы, а билинейная —
в виде билинейной формы.
Чтобы задать линейную форму, достаточно задать набор ее
коэффициентов аЛ, ..., ап; для того чтобы задать билинейную
(или квадратичную) форму, надо задать ее матрицу
1
аи
ап1 а„2
Мы выяснили в § 1, как преобразуется набор коэффициентов
аи ..., ап линейной формы при переходе от базиса ех, ..., ел
к новому базису е| е„. Спрашивается: как при переходе от
базиса ej, ..., ел к базису ej, ..., е„ преобразуется матрица А
билинейной формы? Мы сейчас дадим ответ на этот вопрос.
Теорема 4. Пусть билинейная функция W (u, v) записывается
относительно базиса tt е„ в виде билинейной формы
v)=
при
/и = *А+..
... +Уп*п
B)
404
ЛИНЕЙНЫЕ. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
с матрицей А, а относительно базиса е[, ..., е'п в виде билиней-
билинейной формы
B')
с матрицей А'. Пусть
k=\ п.
Полагая
и мсем
С =
-П
«-1П
!=1, ..., П.
В
обозначениях имеет место формула
А' = С*АС,
C)
D)
E)
F)
где С*, как всегда, есть транспонированная матрица к С (т. е.
матрица коэффициентов в C)).
Прежде чем доказать формулу F), укажем на некоторые ее
непосредственные следемшн.
Так как clot С* - ¦ <!et С, то
det 4' = det Л (del СJ.
Таким образом, доказана
Теорема 5. При линейном преобразовании E) дискриминант
п
квадратичной формы Ф(и) = ^ aikx{xk для и=*1е1 +... +хпеп
I. *= 1
умножается на квадрат детерминанта матрицы преобразования
D) и, следовательно, сохраняет свой знак.
Доказательство формулы F). Возьмем матрицы
Х = \
G)
состоящие из одного столбца и и строк.
Транспонированная к X матрица X* состоит из одной стро-
строки и я столбцов:
X* =(х1 ... х„).
§ 3] МАТРИЦА БИЛИНЕЙНОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 405
Умножая матрицу А на матрицу Y, получим матрицу
(8)
¦ •¦ +аПпУп
состоящую снова из одного столбца и п строк, а умножая X*
на матрицу AY, получим уже матрицу X*AY, состоящую из одной
строки и одного столбца, т. е. из одного элемента
... +а2Пуп)+ ...
... +аппуп),
который есть не что иное, как наша билинейная форма
t|3(*i Хп\ Ни ••¦> Уп)-
Итак, билипепмяя форма \<р (изображающая функцию ?(u, v))
может бы'и. .чатк-емт и виде следующего произведения матриц:
Ч' (н, v) == хПх„ ..., ха; //, у„) = ХМУ. (9)
Запишем нреобра-юнгшие E) в виде матричного равенства
ч
Хп
__ Q
г/i
Уп
\\У[
= С\\ :
II уп
т. е.
и, значит,
= СХ', У = СК',
A0)
(П)
Х*=(Х')*С*.
Подставим A0) и A1) и (9), получим тожд<ччпо
?(u, v) = tl)(^, .... х„; ylt ..., уя) = Х*АУ=.(Х'У(С
Но в. силу (9) с заменой А на С*ЛС матричное произведение
(Х')*(С*АС)У
представляет собой билинейную форму г|з' от переменных х\, ...
..., х'п; у'и ..., у'п с матрицей С*АС и
при
( и = x[t\
\ v = f/iei
... +X'nt'n,
Так как матрица формы $'(х[, ..., х'п; у\,
чена через А', то формула F) доказана.
.., у'п) была обозна-
406 ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. XIV
Подставляя в предыдущие формулы всюду u=v и, следова-
следовательно, У1 = хъ .... уп = х„; у\ = х\, .... у'п=х'п, получаем
Следствие. Пусть квадратичная функция Ф(и), определен-
определенная в Ln, записывается относительно базиса elF е2, ..., е„ квадра-
квадратичной формой ф(#1, ..., х„) с симметричной матрицей А:
O(u)=s<f>(xlt ..., хп)=
при и=
...+хпеп,
а относительно базиса е[ с'„— квадратичной формой
ф'(х\ х'п) с матрицей А':
(\1)--.ц>'(х\ х'п)=
при и =
... +х'пе'п,
причем переход от базиса ех, ..., ея к базису е[, ..., t'n дается
формулами C). Тогда
А' = С*АС. F)
§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы
(билинейной и квадратичной функции)
Рангом билинейной (а также рангом квадратичной) формы на-
называется ранг ее матрицы. Одна и та же билинейная (квадратич-
(квадратичная) функция Ф(и) в пространстве /." представляется, в зависи-
зависимости от выбора того или иного б.тшсл, различными билинейными
(соответственно квадратичными) формами, матрицы которых свя-
связаны формулой F) § 3. Однако имеет место замечательный факт:
у всех этих матриц ранг один и тот же. Итак, имеет место
Теорема 6. Все билинейные (все квадратичные) формы, пред-
представляющие в различных базисах пространства L" одну и ту же
билинейную (соответственно квадратичную) функцию, определенную
в этом пространстве, имеют один и тот же ранг. Его естест-
естественно назвать рангом соответствующей функции.
Для доказательства этой теоремы достаточно убедиться в том,
что матрицы, образующие левую и правую части равенства F) § 3,
имеют один и тот же ранг. Так как при этом С и С* суть невы-
невырожденные матрицы, то достаточно доказать следующее вспомога-
вспомогательное предложение:
Теорема 7. Умножая произвольную матрицу А (слева или
справа) на невырожденную квадратную матрицу Q, мы не меняем
ее ранга.
Доказательство этой теоремы, как мы увидим, опирается
на следующее предложение, с доказательства которого мы и
начнем.
РАНГ БИЛИНЕЙНОЙ И КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
407
Теорема 8. Ранг произведения матриц не превосходит ранга
каждой из перемножаемых матриц.
Теорему 8 достаточно доказать для произведения двух матриц.
Итак, пусть
А =
1
Яд
an
«ml
fll2
022 ¦
al2
a,n2 ¦
¦• p
•• alp
¦¦ «me
в =
>р\
Oph
'Jpq
= AB.
Тогда
с ik -=
A)
Записывая это равенство для данного k и любого 1=1, 2, ..., т,
видим, что fe-й столбец матрицы С есть линейная комбинация
всех р столбцов матрицы А (с коэффициентами blk, bik, ..., bpk).
Эго верно для каждого k, так что столбцы матрицы С являются
линейными комбинациями столбцов матрицы А.
Так как ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно
независимых столбцов, то из только что сказанного вытекает,
что ранг матрицы С не превосходит ранга матрицы А.
Аналогично (опираясь все на то же равенство A)) мы дока-
доказали бы, что ранг С не превосходит и ранга В. Теорема 8 доказана.
Теорема 7 является легким следствием теоремы 8. В самом
деле, пусть Л —матрица ранга г, состоящая из m строк и п
столбцов. Пусть Q, — невырожденная матрица порядка п, Q2 —
невырожденная матрица порядка т. Тогда определены матрицы
С1 = AQj и C2 = Q2A; докажем, что их ранги гг и г2 совпадают
с рангом г матрицы А.
Прежде всего по теореме 8 имеем
Но
и, значит,
т. е. r = rlt r = r%. Теорема 7, а следовательно, и теорема 6
доказаны.
408 ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
§ 5. Существование канонического базиса для всякой
квадратичной и всякой билинейной функции
(«приведение квадратичных форм к каноническому виду»)
Квадратная матрица
0
aih — 0, если i Ф k,
A)
все элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны
нулю, называется матрицей диагонального вида или просто диа-
диагональной матрицей.
Квадратичная, а также билинейная форма, матрица которой
имеет диагональный вид, называется формой канонического вида,
или просто канонической формой, или канонической записью (ка-
(каноническим представлением) данной квадратичной функции или
квадратичной формы.
Теорема 9. Для каждой квадратичной и для каждой сим-
симметричной билинейной функции, определенной в пространстве Ln,
существует канонический базис, т. е. базис еъ .... е„, в котором
данная функция имеет каноническую запись.
При этом число отличных от нуля среди коэффициентов ап, ...
..., апп во всякой канонической записи равно рангу функ-
функции.
Мы знаем, что каждая симметричная билинейная функция
является полярной функцией от одной м только от одной квад-
квадратичной функции и что обе эти функции во всяком базисе имеют
одну и ту же матрицу. Поэтому достаточно доказать теорему 9
для квадратичных функций. Заметим прежде всего, что ранг мат-
матрицы диагонального вида A), очевидно, равен числу отличных
от нуля ее членов а1Ъ ..., апп. Поэтому, если квадратичная фун-
функция в каком-нибудь базисе имеет каноническую запись, то число
отличных от нуля коэффициентов в этой записи равно рангу
функции— второе утверждение теоремы 9 есть следствие первого.
Переходим к доказательству первого утверждения. Тривиальный
случай, когда Ф(и) = 0 для всех ugL", оставляем в стороне.
Пусть в пространстве L" дана квадратичная функция Ф, за-
записывающаяся в некотором базисе ех е„ в виде Ф (и) =
= ц>(хи ..., *„)= 2 aikxtxk для и =#1e1+ ... + xntn. Пусть,
1",*=!
наряду с базисом е^ ..., е„, дан второй базис е{, ..., е'„.
Для каждого вектора uei* имеем и = х1е1 + ... +л:мем = х[е[ + ¦ • •
,..+х'„е'п, причем координаты хи ..., х„ и х\, ..., х'п вектора и
соответственно в базисах ех е„ и е[ е'п связаны
$ 5) СУЩЕСТВОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО БАЗИСА 40*
формулами преобразования координат:
я
ХЬ = 2 c»Jx'h '
Тогда
л
Ф(и)= 2 aikXiXh= __
Базис еи ..., е„ и, следовательно, представление функции Ф в ви-
л
де формы ф(*1, ..., х„)= 2 aikXiXk считаем данными; задача
состоит в том, чтобы подобрать базис е|, ..., t'n или, что то же
самое, формулы преобразования переменных B) таким образом,
чтобы матрица
На:. а'.
а\п
\
=СМС
\
квадратичной формы ф' (х[, ..., х'п) = ^ а\*#;'**, представляющей
«, * = 1
функцию Ф, в этом базисе имела диагональный вид, т. е. чтобы
было а/А = 0 для любых 1фк. Будем рашать эту задачу индук-
индукцией по числу переменных — мы увидим, что все дело сведется
к простой алгебраической выкладке1).
При п — 1 форма ф имеет вид ф (хг) = апх2, и этот вид уже
является каноническим. Предположим, что теорема 9 доказана
для т<.п. Докажем ее при т — п. Предположим сначала, что
п
в форме ф (*!, ..., хп) = ^] aikxixh хотя бы один коэффициент вида
I. h- I
аи, т. е. коэффициент при квадрате одного из переменных, отли-
отличен от нуля. Без ограничения общности можем предположить,
что апф0. Тогда выражение
-а-~ (flii*i + ai2*2 + • • • + alnxnf C)
является однородным многочленом второй степени, т. е. квадра-
квадратичной формой от п переменных xlt ..., хп, в которой члены,
содержащие хи суть в точности те же, что и в форме ф (xlt ..., х„).
Поэтому разность
J) Излагаемый ниже метод доказательства теоремы 9 принадлежит вели-
великому французскому математику Лаграижу (J. L. Lagrange, 1736—1813),
410
ЛИНЕЙНЫЕ. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
есть квадратичная форма уже от п — 1 переменных хг, ..., хп,
которую мы обозначим через <Pi(*2. •••. х„):
= ф (*i хп) - — (апхх
xn
xnf.
В силу индуктивного предположения существует линейное преоб-
преобразование переменных х2, .... х„:
п Хп,
приводящее форму q>i(x2, .... *п) к каноническому виду
Поэтому имеет место равенство
(а^ +
Ф (хх хп) =
Теперь положим
nxf
'пх'п2.
что позволяет нам записать D) в виде
Ф(xlt ...,*„) = а\х? + а'1Х\2 +
а'пх'п
D)
E)
(б)
— форма ф(*1, ..., я„) приобрела относительно переменных х'и ...
..., х'п канонический пид; переход от переменных л-, хп к пере-
переменным х\ х'п есть линейное преобразование переменных
с невырожденной матрицей. В самом деле, разрешая E) относи-
относительно xit получим
v — у' irl*v "In v.
E')
Подставляя сюда вместо х2, ..., хп их выражения Bп^1) через
Лз, ..., х'п, можем —после приведения подобных членов —перепи-
—переписать E) в виде
ах'а,
-±-ф 0,
что вместе с Bn_j) дает нам искомые формулы преобразования
переменных
.. .-\-С2пХп,
Хп-
%i "Г • • • т СппХп
( УЩ1 ГПЮИЛШП! КЛНОМИМЬСМЯ'О ЬЛ.1ИСЛ
-111
с детерминантом
detC =
Итак, преобразование B„) приводит форму ф(^1, ..., х„) к кано-
каноническому виду F) и решает, таким образом, поставленную задачу
и предположении, что хоть одно аи^0.
Остается рассмотреть случай, когда все аи = 0. Таким образом,
для всех отличных от нуля коэффициентов щкформы ф(xlt ,,.,«,) =
л
= 2 aikXiXk имеем 1фк. Среди этих коэффициентов имеются
i,k = \
отличные от нуля (иначе было бы Ф(и) = ф(*ъ ..., хп) = 0 —
тривиальный случай, исключенный выше). Итак, пусть, например,
0
12
Тогда ф (xlt ...,х„) — 2ai2xlx2 + члены, каждый из которых содер-
содержит хотя бы одно из переменных х6 хп 1).
Сделаем преобразование
G)
детерминант которого есть
1 —1 0 ... о
1 1 0 ... 0
о о 1 ... о
о
0 0 ... 1
1 —1
1 1
Хп>
= 2=^0.
Преобразование G) переводит форму ф (хг хп) в форму
ф' (х'и ..., х'п), которая состоит из 2a12(x\ — x'i)(x'l + x'i), т. е. из
2а12х[* — 2а12х'^, и из членов, содержащих по крайней мере одно
из переменных х'л х'п; ни один из этих членов не может сокра-
сократиться ни с 2а1гх'х, ни с 2а12х?, поэтому форма ф (x't х'п)
содержит х'\, с коэффициентом 2а12, отличным от нуля; значит,
ф' (х[, ..., х'п) по предыдущему приводится к каноническому виду
линейным преобразованием переменных х[, ..., х'п к каким-то
В самом деле, в форме V aikxixk членами, не содержащими ни одногэ
из переменных х3, ..., ха, являюгея лишь ацх\, 2a12t1xa, а22л;|; в наших пред-
предположениях аи = О2а = 0 и остается только 2a12x1xi%
412
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
новым переменным х\, ..., х"п. Переход от первоначальных пере-
переменных хъ ..., хп к переменным х\, ..., х"п (слагаясь из двух
невырожденных линейных преобразований) является невырожден-
невырожденным линейным преобразованием, приводящим форму ц>(х1 ..., хп)
к каноническому виду. Теорема 9 доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 9 видно, что квад-
квадратичную форму с вещественными коэффициентами можно привести
к каноническому виду с помощью невырожденного линейного пре-
преобразования, которое имеет вещественные коэффициенты.
§ 6. Нормальный вид квадратичной формы
Пусть квадратичная функция (l'(u) приведена к каноничес-
каноническому виду
Ф (и) =
A)
где ап, ..., аггФ0, г — ранг Ф(и). Если функция Ф(и) задана
в комплексном линейном пространстве L", то мы применяем линей-
линейные преобразования с комплексными коэффициентами.
Пусть
= xlt
если К, г,
если i > г.
Тогда Ф (и) может бить продггаплсма н нпде
"'(и) -У\ \-!Ji I-...-I yh
^ '
C)
где yL, ..., уг, уг11, ..., уп — новые координаты вектора и. Выра-
Выражение C) называется нормальным видом квадратичной функции
Ф (и). Принимая во внимание, что преобразование B) невырож-
невырождено, мы получаем, что
Всякая квадратичная функция в комплексном пространстве
с помощью невырожденного линейного преобразования может быть
приведена к нормальному виду C).
Рассмотрим теперь квадратичную функцию в вещественном
линейном пространстве и ограничимся вещественными линейными
преобразованиями. Так как среди коэффициентов аи могут быть
отрицательные, положим
г = V М xh если
¦ =Xi, если
D)
Если первые k коэффициентов а«>0, а остальные коэффициенты
ан < 0, то из A) и D) получаем
-...-#. E)
¦«71
ЗАКОН ИНЕРЦИИ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
413
Выражение E) называется нормальным видом, функции Ф (и)
в вещетвенном пространстве. Итак, квадратичная функция в веще-
вещественном пространстве с помощью невырожденного вещественного
линейного преобразования может быть приведена к нормальному
виду E).
В следующем параграфе будет доказано, что в вещественном
линейном пространстве число положительных и число отрицатель-
отрицательных членов в выражении E) не зависит от способа приведения
квадратичной функции Ф (и) к нормальному виду.
§ 7. Закон инерции для вещественных квадратичных форм
Пусть Ф (и) — квадратичная функция в вещественном прост-
пространстве L". Рассмотрим в L" базис е5 ел, в котором Ф (и)
записывается в виде квадратичной формы нормального вида
Ф(и) = ф((/1, ..., уп) = У* + . ¦ ¦ + Ук— yl + i — ¦ ¦ ¦ — у;. Число р=? по-
положительных и число q =/¦ — k отрицательных членов в этой форму-
формуле называется соответственно положительным и отрицательным
индексом формы ср. Разность а = p — q между положительным и
отрицательным индексами называется сигнатурой квадратичной
формы <р.
Теорема 10. Положительный и отрицательный индексы веще-
вещественной квадратичной формы <р не зависит от выбора базиса,
в котором она принимает нормальный вид.
Доказательство. Пусть е!, ..., е'„ — еще один базис в L",
в котором функция Ф (и) принимает нормальный вид
-zJ,+ ,-...-2,. A)
Здесь (?j, ..., zn) — координаты вектора и в базисе ej е'п.
Предположим, что кфт. Г>ез ограничения общности можем счи-
считать, что/г>ш. Пусть С = (с(/) — матрица преобразования коор-
координат при переходе от базиса {ех е„} к базису {е| е^}.
Имеем
(= Л <ЗД> k = \, ..., п, det||cl7
B)
Подставим выражение B) в формулу A). В результате мы полу-
получаем нормальный вид функции Ф (и) в переменных уи ..., уп,
т. е. имеем тождество
z} + ... + zS,-zJk-M-..--2?^tf+... + $-$ + i-•¦¦-#. C)
Рассмотрим систему однородных линейных уравнений
= 0, / = 1(..., т. D)
414
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
В этой системе число неизвестных k больше числа уравнений т.
Следовательно, система D) имеет ненулевое решение у], ..., у|.
Подставим это решение в тождество C), положив дополнительно
Тогда 2?Ч- • - + 2m- «m + l - • ¦ • ~ 2? = (у}J+. . .+ (УкJ- ОдНЭКО В ЭТОМ
равенстве для l^i^m на основании B)
поэтому
E)
Левая часть выражения E) строго положительна, а правая либо
отрицательна, либо равна нулю. Получившееся противоречие
показывает, что k не может быть больше т. Аналогично показы-
показывается, что k не может быть меньше т. Следовательно, k—m,
что завершает доказательство теоремы.
Следствие. Сигнатура вещественной квадратичной формы ф
не зависит от выбора базиса, в котором форма Ф имеет нормаль-
нормальный вид.
§ 8. Положительно определенные квадратичные
функции и формы
В этом параграфе мы будем рассмлтрнпгпъ только веществен-
вещественные пространства.
Определение 5. Квадратичная функция Ф(и) и представ-
представляющая ее в любом данном базисе квадратичная форма
*„)=
аЧх1х1
называются положительно определенными, если для любого век-
вектора и^О значение функции Ф(и) положительно. Итак, квад-
квадратичная форма
положительно определена, если она обращается в нуль, лишь
когда обращаются в нуль одновременно все переменные xlt ..., хп,
и положительна, если значение по крайней мере одного перемен-
переменного отлично от нуля.
Предложение. Если квадратичная функции Ф (и) поло-
положительно определена, то во всяком представлении ее в виде
§ 8] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
квадратичной формы
415
все коэффициенты att при квадратах переменных положительны.
В самом деле, если положим аи==^0, то, полагая
имеем
вопреки предположению. В частности, положительны все коэф-
коэффициенты Klt X.2, ..., Хп в каноническом представлении
положительно определенной функции Ф (и). Обратно, из того,
что все Я-j, ..., Хп положительны, очевидно, следует, что Ф(и)>0
для любого u = x'te\-{-... + x'ne'n, т. е. что функция Ф(и) положи-
положительно определена.
Итак, имеет место
Теорема 11. Для того чтобы квадратичная функция Ф(и)
и квадратичная форма
в пространстве Ln была по-
. /
ложительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее
ранг и сигнатура совпадали с размерностью пространства L".
Замечание. Дискриминант положительно определенной
квадратичной формы
положителен.
Так как при переходе от одного базиса к другому дискрими-
дискриминант квадратичной формы сохраняет свой знак, то достаточно
рассмотреть дискриминант
канонического представления данной положительно определенной
квадратичной формы, который (так как все л^>0), очевидно,
положителен.
Теорема 12 (критерий Сильвестра). Для положи-
положительной определенности квадратичной функции Ф(и) [и формы
4>(х) = 2 ai/x'xj) необходимо и достаточно, чтобы детерминанты
всех главных миноров ее матрицы были положительны.
416
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. XIV
Доказательство. Необходимость. Предположим, что
форма (р(*) положительно определена. Возьмем произвольный
базис et ея пространства L" и обозначим через L* линейную
оболочку базисных векторов е^ ..., еь l*<:k^n. Рассмотрим
нашу квадратичную форму на подпространствах L?t. Если jteLj,
то х = (х1 хк, 0 0),
Форма ф(л;) на подпространстве Lk положительно определена, так
как она положительно определена на всем пространстве L". Сле-
Следовательно, дискриминант Д4 формы ф(х), рассматриваемой на
L", положителен:
... ахк
Aft =
.. akk
но дискриминант Ак является детерминантом главного минора
порядка k, lsg;ftsgrt, матрицы квадратичной формы ф(*). Необ-
Необходимость условия, тем самым, доказана.
Достаточность. Пусть все ЛА>0, 1 «=;&«?/г. Исходя из
базиса elf ..., е„, построим новый базис е[, ..., е„, в котором
форма ф(л;) имеет канонический вид. С этой целью положим
„ея.
A)
Для того чтобы получить канонический вид квадратичной формы ф,
изображающей квадратичную функцию Ф, достаточно для любого
k, l<Zk^n, выполнить условия
-\,
B)
где ty — полярная билинейная функция, соответствующая квадра-
квадратичной функции Ф. Тогда коэффициенты aki вследствие симмет-
симметричности матрицы квадратичной формы также обратятся в нуль
и отличными от нуля окажутся лишь коэффициенты при квадра-
квадратах числовых аргументов. Для выполнения условий B) достаточно
потребовать, чтобы
V(L) 0 Ui^-1, k=l п. C)
§ 8] ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Действительно, в этом случае
Переходим к построению базиса с'„ .... е'п. Для упрощения вы-
выкладок прибавим к условиям C) дополнительное условие
Пусть k = \. Тогда условия C) исчезают и остается лишь усло-
условие 4f(elt ej) = 1, из которого получаем
Если положить Ао = 1, то сп можно записать в виде
Предположим теперь, что мы уже определили все коэффициенты
cijt входящие в первые ft—1 строк уравнений A). Для нахожде-
нахождения коэффициентов ckj, l</<?, получаем систему уравнений
Ч^, e'k) = 0, .... 4я(е*-!, е*) = 0, W(ек, е*) = 1, E)
Эту систему можно представить в виде
^ll^frl I ^12^Й2 ~Г* • • ¦ ~l @lkCfck == ^»
* ' " " F)
@k-l, l^Al "т" @k-l, 2^ft2 *T~ • • • ~l &к—1, k^kk — ^»
fl*iC/u + a*2c*2 + • • • + аккскк = 1 •
Детерминант системы F) равен Aft и отличен от нуля в силу
условия теоремы. Следовательно, существует единственное реше-
решение ск1, ..., скк этой системы, представляющее искомые коэффи-
коэффициенты.
Покажем теперь, что преобразование, задаваемое формулами A),
невырождено. Для этого вычислим, исходя из системы F), коэф-
коэффициент С/(. Применяя правило Крамера, получим
«11 ••• «1.А-1
1
Учитывая, что матрица преобразования A) треугольная, вычислим
ее детерминант d:
__ До ^ An_i _ J_
nn"" д, д2 ¦- ¦ д„ дя ¦
а —
Следовательно, d^O и преобразование A) невырождено.
14 П, С, Александров
418
ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. XIV
Вычислим теперь коэффициенты квадратичной формы в базисе
el, .... e«. Достаточно вычислить лишь диагональные коэффици-
коэффициенты, так как остальные равны нулю по построению базиса
ej, ..., е„. Имеем
Следовательно, в этом базисе
Если х' Ф О, то хотя бы одна из координат х) Ф 0, и поэтому
ф(х')>0. Теорема доказана.
ГЛАВА XV
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
§ 1. Жорданова форма
В главе XIII мы установили, что при любом выборе базиса
в пространстве L линейному оператору orf\ L-+L, действующему
в этом пространстве, гоответствует квадратная матрица А, при-
причем при переходе к другому базису матрица А заменяется подоб-
подобной ей матрицей A' = S 1ЛЯ, где S — матрица перехода.
В приложениях линейной алгебры важное значение имеет
задача о нахождении такого базиса, в котором матрица А опера-
оператора q4 имела бы максимально простой вид.
Выясним прежде нечто, когда матрица оператора <&^ диаго-
нальна.
Теорема 1. Матрица оператора а /: L -»- L диагональна
тогда и только тогда, когда базис (е1( ..., е„) пространства L
состоит из собственных векторов o/d.
Доказательство. Пусть {е^ ..., ега} — собственные векторы
оператора e^f. Тогда
=l, .... п,
и, следовательно,
А =
X, 0 ... О
о я,2... о
о о ... х„
в базисе (е1( ..., е„) диа-
диаОбратно, если матрица А оператора
гональна, т. е.
аи 0 ... О
Д== 0 й22 ... О
О 0 ... апп
п
то а^е(= ^ а^еу = а,;е,, т. е. векторы е* являются собственными
векторами оператора &€. Теорема доказана.
14*
420
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
(ГЛ. XV
Как уже указывалось в главе XIII, над полем вещественных
чисел оператор может вообще не иметь собственных векторов и,
тем самым, базиса из собственных векторов. Над полем комплекс-
комплексных чисел любой оператор имеет собственные векторы, однако
число линейно независимых собственных Еекторов может быть
меньше размерности пространства. Значит, и над полем комплекс-
комплексных чисел базис из собственных векторов существует не всегда.
В последующих параграфах этой главы мы изучим вопрос о нахож-
нахождении в классе подобных матриц матрицы наиболее простого вида.
Из сказанного выше очевидно, что решение этого вопроса суще-
существенно зависит от поля k, над которым определено линейное
пространство и, тем самым, в котором берутся коэффициенты
матриц.
В оставшейся части главы XV мы будем предполагать, что
* = ©.
Пусть L — я-мерное комплексное пространство с базисом
е, ..., е„. Рассмотрим в этом базисе оператор F, задаваемый
формулами
Fea=
Fe3 =
Матрица этого оператора в базисе ех е„ обозначается через
Jn (X) и называется п-мерной жордановой клеткой, соответствую-
соответствующей числу X. Итак,
X 1 0 0 ... 0 О
(X) =
О X 1 0 ... О О
О О X 1 ... О О
О 0 0 0 ... А. 1
О О О О ... О X
На главной диагонали жордановой клетки стоят числа X, на парал-
параллельной ей соседней сверху диагонали — единицы, все остальные
элементы жордановой клетки —нули.
Определение 1. Матрица А имеет каноническую жорда-
нову форму, если вдоль ее главной диагонали расположены жор-
А.-МАТРИЦЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
421
даноЕЫ клетки, а все остальные элементы матрицы А — нули:
О
О
Ah)
или Х, =
При этом не исключается возможность, что ki =
для некоторых номеров I, /.
Ниже мы докажем, что в комплексном линейном простран-
пространстве L для каждого линейного оператора а>? существует базис,
в котором матрица оператора имеет каноническую жорданову
форму. При этом с точностью до перестановки жордановых кле-
клеток каноническая форма матрицы единственна.
§ 2. ^-матрицы. Элементарные преобразования Х-матриц
Определение 2. Х- матрицей называется квадратная матрица
Р (X), коэффициенты которой суть комплексные полиномы неза-
независимой переменной X. Максимум степеней полиномов, являю-
являющихся коэффициентами ^.-матрицы Р (X), называется ее степенью.
Очевидно, что любая Я-матрица Р(X) степени'г может быть
представлена в виде
где Ро, ..., Рг — квадратные матрицы с комплексными коэффи-
коэффициентами той же размерности, что и Р(Х).
Если Q(X) = Q^XS-{-QjX1-1-^...-\-Qs, Qo=^0, —также Х-матрица,
то Р (X) = Q (X) тогда и только тогда, когда г = s и коэффициенты
при соответствующих степенях X равны, т. е. Pi=Qt, i—\, 2, ..., г.
Если detQdT^O, то степень произведения P(X)Q(X) А,-матриц
Р (X) и Q(X) в точности равна r-\-s, поскольку коэффициент при
старшей степени X143 равен произведению матриц P0Q0, a P0Qe
«е может обратиться в нуль при условии Р0=ф0 и detQo^=O.
Однако если детерминанты detP0 и detQ0 коэффициентов при
старших степенях равны нулю, то степень произведения может
оказаться меньше r-J-s.
Пусть, например,
"<ЧХГ n-li'.Mi?
Тогда
J>(X)Q(X) =
1 о
о х+\
о in 1 о
О 1 ЦП 0 к+1
о о
0 1
X + l 0
0 Х+1
1 01
0 1
422
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
[ГЛ. XV
Степень произведения P(X)Q(X) может уменьшаться более чем
на единицу, что видно из следующего примера. Положим
X 111
1 —1
-X X
1 (
1 (
' 11
) 1
0
I
r
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
— 1
0
Тогда \
Наиболее важным примером Ji-матрицы является характери-
характеристическая матрица А — ХЕ произвольной квадратной матрицы А.
Очевидно, что степень А — ХЕ равна 1.
Для А-матриц, аналогично матрицам с числовыми коэффици-
коэффициентами, определено понятие детерминанта. Однако, в отличие
от числовых матриц, детерминанты А-матриц принимают значения
в кольце комплексных полиномов от X.
Например, детерминантом матрицы А — ХЕ является характе-
характеристический полином fA (X) = det (A — ХЕ) матрицы А.
Назовем А-матрицу Р(Х) обратимой, если существует такая
А-матрица Q(X), что P(X)Q(X) = Q(X)P(X) = E. Из этого определе-
определения следует, .что detР(X)¦ detQ (а) = 1, т. е. что детерминанты
detP(X) и detQ(X) — полиномы .нулевой степени (комплексные
числа). Верно и обратное утверждение, если det Р (X) е С,
detP(A)=^0, то А-матрица Р(Х) обратима (докажите!).
Определение 3. Обратимая А-матрица называется элемен-
элементарной.
Определение 4. Элементарными преобразованиями А-матрицы
А (X) = (ау(X)) называются операции над строками и столбцами
матрицы А (X) следующих типов.
Тип I. Операция прибавления к i-й строке (столбцу) матрицы
А (X) /-й строки (столбца), умноженной на некоторый полином р (а).
Тип II. Операция перестановки двух строк (столбцов).
Тип III. Операция умножения строки (столбца), на некоторое
число кФ§.
Эти преобразования можно представлять себе как умножение
л-матрицы А (X) на некоторые подходящие элементарные матрицы.
Тип I. Обозначим через Etj квадратную матрицу порядка п,
у которой на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит еди-
единица, а все остальные элементы нулевые.
Положим Pii = E + p(X)Elj, где 1Ф] и р(к) — полином. Тогда
det||P,y||=l и
Р„А (X) = (Е + р (X) Е„) А(\) = А (X) + p(X)Ei,A (X) =
= 2 а„ (X) ЕРЧ + р (X) 2 а,9 (X) Elq.
р, я
Следовательно, РцА (X) получается из А (X) прибавлением к t-й
§3]
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Х-МАТРИЦЫ
423
строке /-и строки, умноженной на р(л). Аналогичная операция
на столбцах эквивалентна умножению матрицы А (X) справа
на Р]{.
Тип II.
ПустЬду=?-?„-?,,+?,,+?,,, 1ф}. Тогда det \Щ\ = (— 1)'+'
и QVA (X) = 2 а„ (X) ЕРЯ - ? ац (X) Е1д -
- 2 а]д (X) Е,9 + 2 а/в (X) Eiq + ? aig (X) Elr
Я q q
Таким образом, матрица QtjA (X) получается из А (X) перестанов-
перестановкой i-й и /-й строк. Аналогично матрица А (X) QtJ получается
из А (X) перестановкой г-го и /-го столбцов.
Тип III. Это преобразование задается умножением слева (справа)
на матрицу
R = E + (k-l)Ern
где г —номер строки (столбца). Обратные матрицы к матрицам
элементарных преобразований равны
РТ/ = Е-р(Х)Е„, Qt/ = Q,,, R'1 =
§ 3. Нормальная форма ^-матрицы
~l- 1)Е„.
Определение 5. ^--матрица В(X) называется эквивалентной
Я-матрице А (X), если матрица В (X) получается из А (X) с помо-
помощью конечной последовательности элементарных преобразований.
Любая Я-матрица В (X), эквивалентная матрице А (а), имеет вид
B(X)-P(l)A(X)Q(X),
где Р (X) и Q (X) — произведения элементарных матриц. Поскольку
матрицы, обратные к матрицам элементарных преобразований,
элементарны, то матрица А (а) эквивалентна матрице В (X). Кроме
того, если Я-матрица А (X) эквивалентна Я-матрице В (X), а В (X)
эквивалентна Я-матрице С(Х), то А (X) эквивалентна С (X). Таким
образом, введенное отношение на множестве Я-матриц фиксиро-
фиксированного порядка п является отношением эквивалентности.
Определение 6. Назовем рангом л-матрицы А (X) порядок
максимального минора, детерминант которого является ненуле-
ненулевым полиномом от X.
Лемма. Ранг Х-матрицы А (X) не изменяется при элементар-
элементарных преобразованиях.
Доказательство. Если detP=^=0, то по теореме о ранге
матрицы А (X) Р и РА (X) имеют одинаковый ранг.
Лемма. Наибольший общий делитель элементов Х-матрицы
не меняется при элементарных преобразованиях.
424
КАНОНИЧЬСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
[ГЛ XV
Доказательство немедленно следует из определения элементар-
элементарных преобразований.
Теорема 2. Любая к-матрица А (к) ранга г элементарными
преобразованиями может быть приведена к диагональному виду
О
P(k)A(k)Q(k) =
О
A)
причем коэффициенты при старших степенях полиномов аг (к)
равны 1, и каждый полином at(k) является делителем al+1(k), ...
..., а, (A.), i = l, 2 г —1. Здесь Р (к) и Q (к) — матрицы-
элементарных преобразований.
Диагональная к-матрица A) называется нормальной формой.
Доказательство. Покажем прежде всего, что если элемент
матрицы А (к) минимальной степени т не является делителем.
всех элементов А (к), то А (к) эквивалентна матрице, минимальная
степень элементов которой меньше т. Пусть ард (к) — элемент
матрицы А (к) с минимальной степенью т. Предположим, что
ард(к) не является делителем элемента ар1{к) для некоторого i,
тогда мы можем положить
где степень полинома a',,i (к) строго меньше hi. Вычитая из 1-го
столбца q-и столбец, умноженный па 1>(к), мы получим эквива-
эквивалентную Я,-матрицу, на пересечении р-н строки и ?-го столбца
которой находится элемент a'Pi(k) степени, меньшей чем т. Те же
самые рассуждения применимы в случае, если ард (к) не является
делителем любого элемента aig(k) из q-то столбца.
После конечного числа таких преобразований мы получим
матрицу, у которой элемент минимальной степени, скажем, эле-
элемент kpq (к), является делителем всех элементов, расположенных
в той же самой строке и том же самом столбце. Однако поли-
полином kPa(k) может не быть делителем некоторого другого эле-
элемента hj(k). Если это обстоятельство имеет место, рассмотрим
элементы б,, (Я,) = с (Я,) ?«, (Я,), ktg(k) = d(k)kpg(k), где с (к) ad (к) —
некоторые полиномы. Прибавляя к /-му столбцу <?-й столбец,
умноженный на 1 — с (к), получим следующие элементы, стоящие
на местах с координатами (р, /) и (?, /):
k'Pi (к) = kPJ(\) + (l-c (к)) kpg (к) = kpg (к),
kit (*¦) = *|/ (*) + A - с (*)) К = к„ + A - с (к)) d (к) kpg.
Если степень элемента А?/(Я.) не меньше степени элемента kpg (к) =
г= k'Pj(k), то k'pj(k) имеет минимальную степень и не является дели-
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Х-МАТРИЦЫ
425
телем элемента k\j(k), находящегося в том же самом столбце.
В этом случае минимальная степень может быть уменьшена спо-
способом, списанным выше. Итак, если kpg(k) не является делителем
некоторого элемента кц(к), то исходная Я,-матрица эквивалентна
матрице, минимальная степень элементов которой меньше мини-
минимальной степени km (к).
Описанный выше процесс сопоставляет матрице А (к), элемент
минимальной степени т которой не является делителем всех эле-
элементов, эквивалентную матрицу А' (к), минимальная степень эле-
элементов которой меньше т. Если элемент минимальной степени
матрицы А'(к) не является делителем всех остальных ее элемен-
элементов, процесс повторяют снова. Так как каждый шаг понижает
минимальную степень, то через конечное число шагов мы полу-
получим матрицу В' (к) = || bq (к)\, эквивалентную А (к), в которой
элемент минимальной степени делит все остальные элементы. Пере-
Переставляя строки и столбцы матрицы В' (к), можно добиться того,
что минимальный элемент будет стоять в левом верхнем углу
матрицы. Положим Ь'п (к) = аг (к), тогда Ь'ц (к) = yt (к) Ь'и (к), Ь'п (к) =
= &j(k)b\i(k). Вычитая первый столбец, умноженный на yt (к), из
i-ro столбца, и первую строку, умноженную на 8f (к), из/-й строки
^t, / = 2, 3 п), мы превратим все элементы первой строки и
первого столбца, кроме Ь'и(к), в нули. Следовательно, мы полу-
получили эквивалентную матрицу
4(А) 0 0 ... о
О 6И(Я) Ь23(Х) ... Ь2пA)
О Ь32(к) Ь33(к) ... Ъ3п(Х)
О bni(k) Ьп3(к) ... Ьпп(\)
в которой ах(Я) делит все полиномы by (к). Коэффициент при
старшей степени к полинома а1 (к) может быть сделан единицей
при помощи преобразования третьего типа.
Доказательство теоремы теперь может быть легко получено
индукцией по порядку п матрицы А (к). Для Я,-матриц порядка 1
теорема тривиальна. Предположим, что теорема верна для любых
Я,-матриц порядка п— 1. Тогда матрица, образованная элемен-
элементами b,j(k), i, / = 2, 3, ..., п, может быть элементарными пре-
преобразованиями приведена к диагональному виду
| «а (А)
О
о
где ос2 (к), .... <xs(k) удовлетворяют всем условиям теоремы.
.Поскольку при элементарных преобразованиях наибольший общий
426
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕПНОГО ОПЕРАТОРА
[ГЛ. XV
делитель Я-матрицы не изменяется, то все полиномы <ц(к), ...
..., as(k) делятся на аг(к).
Кроме того, элементарные преобразования, превращающие
матрицу ptj (A,)!, i, / = 2, 3, ..., п, в диагональную матрицу,
являются элементарными преобразованиями матрицы В (к), в кото-
которой преобразуются лишь последние п — 1 строка и п— 1 столбец.
Поскольку первая строка и первый столбец матрицы В (к) нуле-
нулевые (кроме элемента ^(к)), то эти элементарные преобразования
не изменяют первой строки и первого столбца. Так как элемен-
элементарные преобразования сохраняют ранг Х-матрицы, то s — r и,
следовательно, А (к) приведена к требуемому виду. Теорема
доказана.
Из доказательства теоремы 2 легко извлекается практический
способ для приведения Я,-матрицы к нормальной форме. Для этого
нужно, пользуясь элементарными преобразованиями, сначала
уменьшить степень полинома, стоящего в первой строке и первом
столбце, и обратить в нуль остальные элементы первой строки и
первого столбца. Затем применяем тот же способ к оставшемуся
минору и т. д.
Из теоремы 2 вытекает, что каждый класс эквивалентных
^-матриц содержит по крайней мере одну ^-матрицу, имеющую
нормальную диагональную форму. Покажем теперь, что такая
матрица в каждом классе эквивалентности единственна.
Определение 7. Полиномы а( (к), г = 1, ..., г, называются
инвариантными множителями Я-матрицы А (к). Обозначим через
Ds(k) наибольший общий делитель детерминантов всех миноров
порядка s ^-матрицы А*(к) с коэффициентом при старшей степени к,
равным 1. Элементарные преобразования типа 1 либо но изменяют
данный минор, либо превращают его в сумму исходного минора и
некоторого минора того же порядка. Преобразования типа II по-
попросту переставляют миноры данного порядка друг с другом, а
преобразования типа III умножают данный минор на константу,
отличную от нуля. Следовательно, эквивалентные матрицы име-
имеют одинаковые множители Ds (к). Принимая это во внимание,
мы немедленно получаем из диагональной формы Х-матрицы,
что
s=l г,
Ds = 0, s>r.
Следовательно, с^ (к) = п ,?..
Вышеизложенные результаты можно выразить следующим об-
образом:
Теорема 3. Лее к-матрицы эквивалентны тогда и только
тогда, когда они имеют одинаковые инвариантные множители.
Таким образом, мы доказали, что в каждом классе эквивалентных
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Х-МАТРИЦЫ
427
k-матриц существует и единственна матрица, имеющая нормаль-
нормальную диагональную форму.
В случае Я-матриц первого порядка теорема 3 может быть
существенно усилена.
Теорема 4. Если Ak-\-BuCk-\-D — невырожденные к-матрицы
первого порядка, имеющие одинаковые инвариантные множители,
и если det (С) Ф О, то существуют такие невырожденные числовые
матрицы Р и Q, что
Доказательство. По теореме 3 существуют такие эле-
элементарные Я-матрицы Р (к) и Q (к), что
P(k)(Ak + B)Q(k) = Ck + D. B)
Так как det (С) Ф 0, то существуют такие Я-матрицы Р1 (к) и Qx (к)
и числовые матрицы Р и Q, что
O(k)=Q1(k)(Ck + D)+Q.
Подставляя выражение для Р (к) и Q(k) в уравнение B), получим
Поскольку
(Ак + В) Q (к) = Р-1 (к) (Ск + D),
P(k)(Ak + B) = (Ck + D)Q-4k),
равенство C) можег Г>ыть записано следующим образом:
C)
D)
Здесь R (к) = Рх (к) ¦ Р-1 (к) +- Q-i (к) Q1(A.) -Р^ЩАЬ + В) Qt (к). Если
R (к)фО, то, так как det (С) Ф 0, степень правой части
равенства D) по меньшей мере равна 2, в то время как степень
левой части равна 1; следовательно, R(k) = 0, т. е.
Так как Х-матрица Ck + D невырождена, то матрицы Р и Q также
невырождены. Теорема 4 доказана.
Важным частным случаем теоремы 4 является тот случай,
когда Я-матрицы имеют вид А — кЕ, В — кЕ. Из уравнения
P(A-kE)Q = B-kE
428
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
(ГЛ XV
следует, что PAQ — XPQ — В + ХЕ = 0, т. е. что
PAQ = B, PQ = E.
Поэтому А = P^BQ'1 = Р^ВР; другими словами, числовые матрицы
А и В подобны. Обратно, если матрицы А к В подобны,
то Х-матрицы А — ХЕ и В — ХЕ эквивалентны. Таким образом,
мы доказали теорему.
Теорема 5. Две числовые матрицы А и В подобны тогда^
и только тогда, когда их характеристические матрицы А —1Е и.
В — ХЕ имеют одинаковые инвариантные множители.
§ 4. Теорема о приведении матриц оператора
к канонической форме
Предположим, что детерминант d (X) == det (ЛЛ, + В) Х-матрицы-
АХ-{-В — ненулевой полином. Пусть Х^ ..., Xs — корни полинома
d(X), т. е.
= (X - а,I»» (х - >,)«•... (Я - л,)"*-
В этом случае инвариантные множители Я-матрицы АХ-\-В, будучи
делителями полинома d(k), имеют вид
ах = (X - Л,)» (X - КГ13 ¦•¦(*- Х,)"Ч
а2 = (X - X,)" (X - Л,)т« ... (X - Х,)т«
где ^mij = mj. Так как полином cty является делителем поли-
нома о/+1, то
m1,<m2i<....^mri, i = l, 2 s.
Определение 8. Полиномы (X — Xjf'f, для которых /п;/г>0,
называются элементарными делителями Х-матрицы АК + В.
Элементарными делителями матрицы С называются элементар-
элементарные делители ее характеристической матрицы С — %Е.
Возьмем некоторую Х-матрицу Ак-\-В, det (АХ + В) Ф 0 и выпи-
выпишем все ее элементарные делители. Если при этом какой-нибудь
элементарный делитель входит в несколько инвариантных мно-
множителей, то выпишем его столько раз, во сколько инвариантных
множителей он входит.
Докажем, что система элементарных делителей определяет
матрицу АХ + В, det (АХ + В) Ф 0, с точностью до эквивалент-
эквивалентности. Пусть порядок матрицы АХ-\-В равен п, а элементарные
S А]
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
429
делители суть
(Х-Х,)"Ч (Х-^Г* (Ь-Х/Ч
(Х-Х/Ч (Х-Х2)т* (X-X/V,
(Х-х/Ч (х-х,)"Ч..., (x-xj'v,
ти < ГП.Ц <... sg mUjl, i = 1, 2 t.
A)
Поскольку det (AX-{-В) фО, матрица АХ-\-В имеет п ненулевых
инвариантных множителей ос^Х), ..., а„(Х). Если разложить их
на множители, получатся указанные элементарные делители A).
Так как а„ (X) делится на ах (X) ап-г (X), то в аП (X) входят
элементарные делители, принадлежащие всем биномам X — Хх, ...
..., X —X/ и притом в максимальных степенях. Следовательно,
ая(Х)- (X-X,)mV...(X-X,)mV.
Среди оставшихся элементарных делителей максимальные должны
войти в а„ , (X), поэтому
«„_, (X) - (X - xj'% ••'... (х - м
1-'
Продолжая этот процесс, получим все непостоянные инвариантные
множители, скажем
а ,(*,), ат(Х)
), оя(Х),
1.
Полагаем а1(Х) = ... = а,_1(Х) = 1. Таким образом, мы однозначно
восстановили инвариантные множители матрицы АХ-\-В и на
основании теоремы 3 определили матрицу АХ-{-В с точностью до
эквивалентности.
Применяя эти рассуждения к харакюристпческой матрице и
используя теорему 5, получаем следующее важное утверждение:
Теорема 6. Две числовые матрицы А и В подобны тогда и
только тогда, когда их элементарные делители совпадают.
Теорема 7. Пусть Xv Xv — произвольный набор комплекс-
комплексных чисел, не обязательно различных, тх, ..., ms — положительные
целые числа, сумма которых равна п. Пусть
А =
О
О
— блочно-диагональная матрица порядка п., на диагонали которой
расположены жордановы клетки Jm (X,), j = I,... ,s. Тогда матрица
Л? — А имеет элементарные делители (X —XJ™1 (\ — Х^)*-
430
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
[ГЛ. XV
Доказательство. МатрицакЕ — А представляется в блочно-
диагональном виде
«,—'«,D)
0
0
где Ет— единичная матрица порядка т.,, / = 1,
XEm/—Jmi(ki) имеет вид
s. Блок
Х-Х/ -1
Х — Х/ — 1
О
0
-1
х-%,
поэтому det (ЬЕту - Jm, (Я,,)) = (Я. - X,)"/. Наибольший общий дели-
делитель детерминантов миноров первого порядка матрицы кЕт^ —
— Jm (Я./) равен ±1, следовательно, инвариантные множители
кт1Ет/ - Jm. (к,) суть 1,1 1, (Я, - kj)ml, и эта матрица с помощью
элементарных преобразований может быть приведена к виду
0
0
I
(Х-Х,)
Если мы применим эти элементарные преобразования к соответ-
соответствующим строкам и столбцам матрицы кЕ — А, то результат их
действия будет таким же, как и для блока кЕт^— Jm.(k/), так
как все остальные элементы в строках и столбцах этого блока
равны нулю. Кроме того, эти преобразования, очевидно, не
затрагивают других блоков. Применяя этот процесс ко всем бло-
блокам матрицы кЕ — А и переставляя, если необходимо, строки и
столбцы, мы приведем ее к форме
О
(Х-Х2)тг
О
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
43!
Изменяя, в случае необходимости, обозначения, мы можем счи-
считать, что
к1 =... = кр = a, т
и к{ Ф а для i > р. Тогда множитель Dn (к) содержит бином К — а.
р
в степени ^ mi- Детерминант каждого минора порядка п — L
1
содержит по меньшей мере р — 1 из множителей
(к-afi, (к-а)т*, ...,(к-а)тР. B)
В одном из таких детерминантов отсутствует максимальная сте-
степень (к — а)тр, следовательно, Dn^{k) содержит А, —а в степени
р-1
,, Поэтому инвариантный множитель ап содержит Я, —a
1
в точности в степени т,,. Аналогичным образом детерминанты
миноров порядка п - 2 содержат по меньшей мере р — 2 из сом-
сомножителей B) и одни из этих детерминантов не содержит сомно-
сомножителей (к — a)"'i> ' и (к — а)"'р максимальных степеней. Поэтому
p--j
бином к — а содержится в Dn 2(к) в степени 2 т<> а в инвари-
i
антном множителе «„_! —в степени тр^. Продолжая этот процесс,
мы видим, что B) являются элементарными делителями матрицы А.
Исследуя аналогичным способом остальные корни, мы полу-
получаем полный набор элементарных делителей
(k-Kfi (к-КГ;
что и требовалось.
Суммируя все вышеизложенное, мы получаем основную тео-
теорему этой главы:
Теорема 8. Каждая квадратная матрица с коэффициентами
в поле комплексных чисел С подобна матрице, имеющей жорданову
каноническую форму. Две матрицы, имеющие жорданову форму,
подобны тогда и только тогда, когда они составлены из одина-
одинаковых жорданоеых клеток и отличаются друг от друга лишь рас-
расположением клеток на главной диагонали.
Приведенные рассуждения дают алгоритм для нахождения
канонической жордапсвой формы произвольной матрицы А еУИ„(€).
Для этого достаточно вычислить ее характеристическую матрицу
А — kE, привести ее элементарными преобразованиями к нормаль-
нормальному диагональному виду и разложить диагональные многочлены
на множители. Это даст нам элементарные делители матрицы А,
по которым однозначно, с точностью до порядка жордановых кле-
клеток, определяется каноническая жорданова форма.
Г Л к В А XVI
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Положительно определенные эрмитовы функции
в линейном пространстве
Определение 1. Эрмитовой функцией в линейном прост-
пространстве Е над полем k (k = R или С) называется функция ^(u, v)
двух векторных аргументов u,ve?, обладающая следующими
свойствами:
B)
C)
D)
v),
v2),
v),
u), где ux, u
2, vx,
а черта означает операцию комплексного сопряжения.
Замечания. 1. Если /г—R, то эрмитова функция —это
в точности ciiHMPiрпчная билинейна)! функции. 2. Из свойства
D) вытекает, чтоЧг(иДу) -\vV(u, v) и что vlf(u, и) — вещественное
ЧИСЛО.
Определение 2. Эрмитова функция V называется положи-
положительно определенной, если ^(и, и)>0 для любого ненулевого
вектора и е ?.
Замечание. Во всей главе мы под ^(u, v) всегда будем
понимать положительно определенную эрмитову функцию.
Определение 3. Пусть W — положительно определенная
эрмитова функция в пространстве Е, u, v e E. Назовем векторы
и, v ортогональными относительно W, если ^(u, v) = 0. Система
векторов их, ..., uf называется ортогональней, если при i, fe =
= 1, 2, ..., s, 1фк, любые два вектора щ, ик этой системы орто-
ортогональны; если при этом T(ii/, U|) = 1, t = l, ..., s, то система
векторов Uj, ..., u^ называется ортонормальной.
Лемма. Всякая ортогональная относительно Y система отлич-
отличных от нуля векторов ии ..., us пространства Еа линейно неза-
независима (и, значит, s^n).
Доказательство. Пусть v = Ji1u1-f-... + X,uJ = 0, Xf ей.
Покажем, что при любом ; = 1, ..., s fy = 0. Так как v = 0, то
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЭРМИТОВЫ ФУНКЦИИ
433
, U() = 0, поэтому
2
/=1
l u,).
(=1
Поскольку ^(u(, и()?=0, то Х/ = 0, что и требовалось доказать.
Теорема 1. В линейном пространстве Е" существует базис,
ортонормальный относительно любой наперед заданной положи-
положительно определенной эрмитовой функции W (u, v).
Доказательство. Пусть в линейном пространстве Еп дан
какой-нибудь базис щ, ..., иП. Мы прежде всего построим попарно
ортогональные между собой отличные от нуля векторы vx vn,
являющиеся линейными комбинациями векторов и^ ..., и„. Постро-
Построение будет вестись по индукции. Положим v1 = u1. Ищем теперь
такое число Хг, чтобы вектор
был ортогонален к вектору vb т. с. чтобы
4'(v3, Vl) = ?(u,, Vi)-|-Vlr(vi,
Так как lIr(v,, v^^O, то из условия
V{vlt
число Хх определяется однозначно:
Так как
и векторы ux и u2 линейно независимы, то д
Предположим теперь, что построена ортогональная система
отличных от нуля векторов vx, ..., \к д, являющихся линейными
комбинациями векторов их иЛ х. При любых Хх ^х
вектор
является, очевидно, линейной комбинацией векторов \ik, vx, ...
..., vA_x и, значит, линейной комбинацией векторов uk, ux uA_x:
при этом вектор ик входит в линейную комбинацию A') с тем же
коэффициентом 1, с которым он входил в комбинацию A); зто
происходит от того, что векторы vx, ..., vft_x суть линейные ксм-
бинации одних лишь векторов их, ..., uft^x.
Найдем теперь такие Я,х, ..., ift_x, чтобы вектор A) был орто-
ортогонален к каждому из векторов vx, ..., vft_x, т. е. чтобы для
434 ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
каждого i = l, 2, ..., k— 1 выполнялось условие
[ГЛ. XVt
условие B) может быть записано в виде
откуда и определяется однозначно %t. Остается доказать, что.
\кф0. В линейную комбинацию (Г) вектор ик входит с коэффи-
коэффициентом 1; поэтому (Г) есть нетривиальная линейная комбинация
линейно независимых между собой векторов щ щ; значит,
укФ0. Индукция заканчивается на k-=n построением ортого-
ортогональной (значит, линейно независимой) системы векторов vlt ...
..., vn в я-мерном пространстве Еп, поэтому vb ..., vn есть орто-
ортогональный базис пространства Еп. Положим, наконец, е; =
¦\i при t=l, 2, ..., п. Тогда
v,)
v,-)
е„ является ортонормальным, и теорема 1 до-
до— базис е1;
казана.
Теорема 2. Всякую ортогональную (ортонормальную) отно-
относительно данной функции ^? (u, v) систему векторов щ ат
пространства Еп можно дополнить до базиса пространства Епу
ортогонального (ортонормального) относительно функции ^(и, v).
Доказательство. Пусть векторы и,, ..., и,„, т ¦ -п, уже
являются попарно ортогональными. Построение, проведенное
в доказательстве теоремы 1, дует
В самом деле, Vj = uv Предположим, что равенства v; = и{
доказаны для i = 1, ..., k — 1, где k^m. Докажем, что vk = ик.
В наших предположениях равенство A), определяющее вектор
vA, превращается в
Vft = «А + КЩ +¦¦¦ + VlU ft-n
а условия B') для определения %и ..., K-i — в
W(uk, n,) + ^V(uh u,) = 0, * — 1, 2 ft— 1. C)
Но так как Kk^m, то 4r(uft, u;) = 0; кроме того, ^(щ, u;) ФОУ
так что C) означает просто, что Я,, = 0 при всех i ^ k — 1, т. е.
vft = uft.
Замечание. Описанный выше переход от произвольного ба-
базиса ult ..., а„ пространства Еп к базису vlf ..., vn ортогональ-
ортогональному (относительно некоторой функции ^(u, v)) принято назы-
называть ортогонализацией (базиса ult ..., и„).
¦S П
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЭРМИТОВЫ ФУНКЦИИ
435
Этот процесс ортогонализации с различными его обобщениями
имеет в математике очень большие и разнообразные применения.
Теорема 3. Пусть базис ех е„ пространства Еп оргпо-
нормален относительно функции Чг(и, v). Для того'чтобы базис
ej, ..., е'п также был ортонормален (относительно той же функ-
функции), необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода от базиса
elt .... е„ к базису е| е^, была унитарной (ортогональной,
если пространство Еп вещественно).
Доказательство. Пусть
= ^j a/*e/>
k=\ п.
Тогда
*. t
k.l
Поэтому условие 4f(eJ, е/) = б(/ тождественно с
k
= б(/, т. е. с условием унитарности (ортогональности в вещест-
вещественном случае) матрицы
А =
Теорема 3 доказана.
Так как матрица А является матрицей линейного преобразо-
преобразования, переводящего базис е е„ и базис е|, ..., е^, то мы
можем сформулировать теорему 3 следующим образом:
Теорема 3'. Все унитарные (ортогональные в вещественном
•случае) матрицы и только они являются матрицами линейных
преобразований, переводящих один ортонормальный (относительно
какой-нибудь функции W (u, v)) базис пространства Еп в другой
ертонормальный (относительно той же функции) базис.
Замечание. В любом ортонормальном базисе et, ..., е„
пространства Еп функция W (и, v) принимает вид
(u, v)=
D)
где u = ? xfii, v = 21 У fit-
Обратно, если в некотором базисе е^ ..., е„ для любых век-
векторов u, v е Еп функция W (a, v) имеет вид D), то данный базис
ортонормален относительно Т (u, v).
436 ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [I Л. XVI
§ 2. Евклидовы и унитарные пространства
и их простейшие свойства
Определение 4.
1° Ввести в вещественном линейном пространстве Е" евклидову
метрику — значит определить в этом пространстве положительно
определенную симметричную билинейную функцию ^(u, v). Про-
Пространстве Еп с евклидовой метрикой называется евклидовым п-
мерным пространством.
2° Аналогичным образом ввести в комплексном пространстве
Еп унитарную метрику — значит определить в нем положительно
определенную эрмитову функцию 4r(u, v). Пространство Еп
с унитарной метрикой называется унитарным п-мерным про-
пространством .
Так как в вещественном линейном пространстве положительно
определенная эрмитова функция —это в точности положительно
определенная симметричная билинейная функция, то евклидово про-
пространство можно рассматривать как частный случай унитарного
пространства.
Те понятия и утверждения, которые не зависят от поля коэф-
коэффициентов и, значит, аналогичны для евклидовых к унитарных
пространств, мы изложим, в целях экономии места, лишь в уни-
унитарном случае. В ситуациях, когда результаты существенно зави-
зависят от выбора поля коэффициентов, будут приведены веществен-
вещественный и комплексный вариант соответствующих утверждений.
Определение П. Значение функции Mr(u, v) дпч двух дан-
данных векторов u, v на млиаотся их скалярным произведением в дан-
данном унитарном пространстве и обозначается 4epej (u, v).
Из только что данного определения скалярного произведения
(u, v) следует, что оно обладает следующими свойствами:
1° (U,V) = (V, U).
2° A4 + u» v) = (ult v
3° (Ы, v) = X(u, v).
u» v).
4° Число (u, u) для всех векторов и Ф О положительно, для
и = О равно нулю. Оно называется скалярным квадратом вектора и.
Определение 6. Число
называется длиной вектора и в унитарном пространстве Е". Только
нулевой вектор имеет длину, равную нулю. Если в данном орто-
ортогональном базисе еъ ej, ... ,е„ имеем
U = {*1> Х2, •¦•» Хп),
т. е.
СВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
u = Х& + *2е2 +... + хяе„,
437
то, очевидно, | и | = V ХуХг + х2х2 +... + хпхп.
Теорема 4. Для любых двух векторов u, v п-мерного уни-
унитарного пространства Е'1 имеет место неравенство Коши—Буня-
ковского
|(и, v)|<|u|.|v|, A)
причем равенство достигается лишь в случае, когда векторы и и
v коллинеарны.
Доказательство. Достаточно доказать это неравенство
для векторов, отличных от нуля. Положим a = (u, v). Простая
Еыкладка показывает, что
|a. B)
Если a = 0, т. е. (u, v) = 0, то неравенство A), очевидно, выпол-
выполняется. Если а^=0, положим
Я,=>=—7^-j5 (пфО по предположению).
При таком выборе X из B) получается неравенство
откуда следует неравенство Коши — Буняковского A). Очевидно, что
равенство в формуле A) достигается тогда и только тогда, когда-
|?iu + v|2 = 0, т. е. когда v = — "ku. Теорема доказана.
Из неравенства Коши — Буняковского легко вытекает так назы-
называемое «неравенство треугольника для векторов», а именно:
|. C)
Для доказательства C) напишем тождество
|u+v|2 =
, u + v) = (u, u
, V) =
= |u|2+2Re(u,
D)
Так как Re (u, v)^| (и, v)|, то из D), пользуясь неравенством
Коши—Буняковского, выводим
| и + v |2 = | и |2 + 2Re (u, v) + ] v |2 < | и |2 + 21 (u, v) | + ] v
т. е.
Определение 7. Величиной угла между двумя отличными
от нуля векторами u, v в n-мерном евклидовом пространстве
438
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVI
.называется число ф, 0:
: л, определенное условием
СОБф:
|и|-|
E)
Из неравенства Коши — Буняковского следует, что угол ф (в преде-
пределах 0 «^ ф^я) однозначно определен. При этом ф = ~ (т. е. век-
векторы и и v перпендикулярны или ортогональны между собой)
тогда и только тогда, когда
(u,v) = 0.
Теперь мы можем сказать, что ортонормальный базис в я-мер-
ном евклидовом пространстве есть просто система из п попарно
перпендикулярных (ортогональных) между собой ортов, т. е. век-
векторов длины 1.
Унитарная метрика в линейном пространстве позволяет ввести
метрику в аффинном пространстве.
Определение 8. Ввести унитарную (евклидову в вещест-
вещественном случае) метрику в n-мерное аффинное пространство А" —
значит ввести ее в линейное пространство Еп трансляций аффин-
аффинного пространства. Аффинное л-мерное пространство с введенной
в нем унитарной (соответственно евклидовой) метрикой называется
п-мерным унитарным (соответственно евклидовым) аффинным
пространством.
Определение 9. Координатная система Ое^ ... е„ в про-
пространстве Ап, единичные векторы ег, ... , е„ которой образуют
ортонормированный базис пространства трансляций Е", называ-
называется прямоугольной пли ортогональной системой координат в А".
Для каждой пары точек А, В из Ап определим рассто-
расстояние р(А, В), полагая
р(А, В) = \АВ\.
Очевидно, что р(Л, В) = р(В, А) и р (Л, Л)=0. Если точки А и В
заданы своими координатами в какой-нибудь прямоугольной сис-
системе координат:
А = (xv х2 хп), В = (уи у2 .... уп),
то для вектора А В имеем
-х1, уг-х2, .... уя-хп\,
так
что
... +(Уп-хп){уп-хп).
Подкоренное выражение в формуле для р(Л, В) квадратичное
относительно разностей координат точек А я В, обычно называют
.метрической формой пространства Л".
S3]
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
439
Из неравенства треугольника для векторов в пространстве
трансляций вытекает так называемое неравенство треугольника
для точек в аффинном пространстве:
р(А, В) + р(В, С)>р(А,С).
§ 3. Подпространства унитарных и евклидовых пространств.
Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция
Так как функция (u, v), т. е. скалярное произведение любых
двух векторов унитарного пространства Еп, определена, в част-
частности, и для векторов, лежащих в произвольно данном подпрост-
подпространстве пространства ?", то всякое подпространство унитарного
пространства есть унитарное пространство.
Пусть Ер есть подпространство унитарного пространства ?"..
Назовем вектор и е Еп ортогональным к подпространству Ер,
если он ортогонален ко всякому вектору v, лежащему в этом
подпространстве. Так как никакой отличный от нуля вектор не
ортогонален к самому себе, то ни один отличный от нуля вектор,
ортогональный к подпространству Ер, не лежит в этом подпрост-
подпространстве. Из линейности скалярного произведения следует, далее,
что вектор и, ортогональный ко всем векторам \г vp, обра-
образующим какой-нибудь базис подпространства Ер, будет ортогона-
ортогонален и ко всему подпространству Ер.
Далее, если векторы ии ..., ик ортогональны к подпространст-
подпространству Ер, т. е. ортогональны к любому v ge Ер, то тем же свойством
будет обладать и всякий вектор u = )^1u1+ ¦•• +Kuk, являющийся
линейной комбинацией векторов и1( ..., uft. Отсюда сразу вытекает
следующее утверждение.
Предложение. Множество всех векторов u e E", ортого-
ортогональных к подпространству Ер <г Еп, образует линейное подпрост-
подпространство (Ep)L пространства Еп. Подпространство (EP)L называ-
называется ортогональным дополнением к подпространству Ер или
аннулятором подпространства Ер в Еп.
Мы уже заметили, что нулевой вектор является единственным
вектором, лежащим одновременно в подпространстве Ер и его
ортогональном дополнении (ЕрI.
Возьмем в подпространстве Ер какай-нибудь ортонормаль-
ортонормальный базис
*i, e2, .... ер A)
и дополним его до ортонормального базиса
^i, ... > вр| вр+i, ... , ея (zf
всего пространства Е".
Векторы ер+1, ..., ея (будучи ортогональными ко всем векто-
векторам elt ..., ер, составляющим базис подпространства Ер) ортого-
440
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVI
яальны ко всему подпространству Ер и, следовательно, лежат
в (ЕрI. Отсюда следует, что подпространства Ер и (Ep)L в своей
•совокупности порождают все пространство Еп, а так как пересе-
пересечение Ep(](Ep)L ссстоит из одного нулевого вектора, то Еп есть
прямая сумма подпространства Ер и его ортогонального дополне-
дополнения (Ep)L. Пусть q — размерность ортогонального дополнения^I.
Докажем, что
Я = п-р. C)
Для этого достаточно показать, что ортонормальная система
ep+i, .... е„, D)
состоящая из п — р векторов, образует базис пространства (fI.
Система D), будучи ортонормальной, линейно независима, поэто-
поэтому остается доказать, что каждый вектор veE.(Ep)L является
линейной комбинацией векторов D).
Но это почти очевидно. Если
то
т. е.
что и требовалось доказать.
Формула C) эквивалентна основной теореме о системах одно-
однородных уравнений: достаточно пепомпить, что анпулятор под-
подпространства Ер а Е", снабженного каким-нибудь базисом
tp+1 + ... +xntn
= (v. ei) = 0, •. •, хр = (v, ер) = 0,
ар — { ар1> ар2> • • ' I &рп II
совпадает с аннулятором этого базиса, т. е. с пространством
решений системы уравнений
Таким образом, дав прямое доказательство формулы C), мы этим
заново и очень просто доказали основную теорему о системах
¦однородных линейных уравнений.
Пусть Ер — некоторое подпространство унитарного простран-
пространства Еп,и е Е". Предположим, что вектор и разлагается в сумму
«3J
ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
44!
где vx e Ер, а \2^(ЕРI. Тогда вектор vx называется ортогональ-
ортогональной проекцией вектора и на подпространство Ер. Ортогональная
проекция единственна. Действительно, пусть вектор и, наряду
с разложением E), допускает другое разложение, скажем, ц =
= Wi -f- w2, где wx <= Ep, w2 e (Ep)L. Тогда vx - v/x = w2 — va, по-
поэтому
|V, - W,!2 = (V! - Wj, Vx - Wi) = (W2 - Vai Vx - W,) = 0, F>
поскольку w2 — w2 e (EP)L, \1 — w1^.Ep. Из равенства F) выте-
вытекает, что Vi^v/t, что и доказывает единственность ортогональ-
ортогональной проекции.
Если Ап — аффинное унитарное пространство, Ар — плоскость
размерности р в нем, то точка Р с радиус-вектором OP = v1 на-
называется ортогональной проекцией точки М <=Л" такой, что-
Предложение. Ортогональная проекция Р точки М аффин-
аффинного пространства Ап на плоскость Ар является кратчайшей в
Ар точкой к М.
Доказательство. Пусть w-=0Q —произвольный вектор
из пространства трансляций Ер плоскости Ар. Покажем, что
u-w|
|v2i,
причем равенство достигается лишь в случае, когда w = V!, т. е.
когда Q=~P. Положим v1 — w = w'. Тогда u — w = v1 + v2 — w =
= w'+v2 и
Л v2) =
= w
и' 12
так как (w',v2) —0 из-за ортогональности векторов w' и v2. Сле-
Следовательно, j u — w I - = [/1^,' j2"_j_"[^"[a . | va |, причем равенство до-
достигается лишь тогда, когда w' = 0 (т. е. когда Q = P). Предло-
Предложение доказано.
Решим теперь следующую задачу. Обозначим через Т линей-
линейное подпространство в Е", натянутое на некоторую линейно не-
независимую систему векторов elt ... , em. Найдем ортогональную
проекцию v данного вектора иеЯ" на подпространство Т.
Пусть v = u1e1+ ... -\-vmtm. Для нахождения коэффициентов vk,
k=l, ..., m, запишем условие ортогональности вектора u —v
каждому из векторов е7, / = 1 т. Имеем
(u-v,e,) = 0. G)
Подставим в уравнение G) координатное выражение вектора v. Тогда
(u -
ft> e,) =
- ^ o» (e», e;) = 0,
-442
т. е.
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1 т.
[ГЛ. XVI
(8)
Детерминант системы (8) является дискриминантом положительно
определенной квадратичной формы (х, х) на линейно независимых
векторах ех ет и, значит, не равен нулю. Следовательно,
система (8) однозначно разрешима и задает искомую проекцию v.
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве
1. Сопряженные операторы. В параграфе 1 мы установили, что
скалярное произведение (х,а) векторов унитарного пространства
Е при фиксированном а является линейной функцией от х. Тем
самым, каждому вектору ае? ставится в соответствие линейная
функция, определенная на Е, причем различные векторы задают
различные функции и все линейные функции на Е получаются та-
таким способом (докажите!).
Воспользуемся этим результатом, чтобы для любого линейного
оператора &# построить однозначно определенный новый опера-
оператор еЛ*, называемый сопряженным по отношению к е?'.
Пусть &tf: E-+E — некоторый линейный оператор. Выберем
в Е произвольный вектор у и рассмотрим выражение
, у),
Поскольку
+ рх2), у) =
, у) =
то / — линейная функция. Поэтому /(х) можно представить в
виде
где вектор а однозначно определен функцией /(х). Если зафик-
зафиксировать оператор erf, а менять вектор у, то для каждого уе?
получится свой вполне определенный вектор а. Оператор, пере-
переводящий у в а, обозначается erf* и называется сопряженным
к orf\ таким образом, е^*у = а. Следовательно,
х, у) = (х,
для любых х,уе?.
A)
Свойство A) однозначно характеризует сопряженный опера-
оператор erf*. Действительно, если какой-либо оператор <?@ обладает
тем же свойством
, У) = (х,
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
443
для любых х, у, то имеет место следующее равенство:
(х, в^*у)-(х, <#у) = (х, erf* у-^у) = О.
Это означает, что вектор erf* у—<Ш у ортогонален ко всему про-
пространству Е, поэтому
erf* y = S3y для всех уе?, т. е. &rf*=SS.
Покажем теперь, что оператор es?* линеен. На основании A)
имеем
(х, е^
х, у2) =
= (х,
2) для любых х.
Следовательно, a^*(ay1 + f>y^ — ae^*y1 + ^ ет?*у2, т. е. опера-
оператор &/* линеен.
Операция перехода к сопряженному преобразованию обладает
следующими свойствами:
A)
B)
C)
D)
Доказательство этих свойств мы оставляем читателю.
Выясним, как связаны матрицы сопряженных операторов. Вы-
Выберем в пространстве Е ортонормированную систему (е^ .... е„)^
Пусть
= l п.
i -1
Умножая эти равенства скалярно на в/ и пользуясь ортонорми-
рованностью базиса (elt .. , е„), получим
, е,) = atj,
ь е,) = §if.
Отсюда
щ, = (s^e,,e/) = (е,,
Следовательно, если матрица оператора а/1 есть /4, го матрицей
сопряженного оператора &4* служит матрица А*, транспониро-
транспонированная и комплексно-сопряженная к А. Такая матрица называ-
называется эрмитово-сопряженной к матрице А.
Теорема 5. Если оператор &# имеет в ортонормированием
базисе матрицу А, то сопряженный оператор erf* будет иметь
в этом же базисе эрмитово-сопряженную матрицу А*.
444
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVI
2. Нормальные операторы. Определение 10. Оператор о/?
в унитарном пространстве называется нормальным, если он ком-
коммутирует со своим сопряженным, т. е. если
Из теоремы 5 вытекает, что те и только те линейные опера-
операторы унитарного пространства нормальны, матрицы которых в ор-
тонормированных базисах удовлетворяют соотношению
АА* = А*А.
Теорема 6. Всякий собственный вектор а нормального опе-
оператора а//, принадлежащий собственному значению X, является
одновременно и собственным вектором оператора &#*, принадле-
принадлежащим комплексно сопряженному собственному значению X
Доказательство. Нам дано:
т. е.
— k S)а = 0.
Следовательно,
— b§)u, а)
¦откуда (а#* — Х&)а = 0, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Собственные векторы, принадлежащие различ-
различным собственным значениям нормального оператора ok', ортого-
ортогональны.
Доказательство. Пусть о//а = Х&, о//.Ь = (i b, Хф\1. Тогда
X (а, Ь) = (Аа, Ь) =
= (а,
= (a, цЬ) = |t (a, b),
т. е. (Х-ц)(а, b) = 0, (a, b) = 0.
Теорема 8. В унитарном пространстве Е для каждого нор-
нормального оператора а? существует ортонормированный базис,
qocmoящuй из собственных векторов оператора &#. Матрица А
имеет в этом базисе диагональный вид.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве Е какой-
jjh6o собственный вектор at=/=0 оператора &? и обозначим через
Ег подпространство в Е, ортогональное к ах. Если
то
alf х) = ^ (ах, х) = 0,
т. е. подпространство ?t инвариантно относительно &&. Из инва-
инвариантности ?х следует, что в нем найдется некоторый собствен-
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
445
ный вектор а2 оператора о/б. Обозначим через Е'$ подпростран-
подпространство всех Еекторов из Е, ортогональных к а2, и положим Е2 =
= Е1[\Ег'. Нескольку Elt E./ инвариантны относительно опера-
оператора eV, то инвариантным будет и подпространство Е2, в кото-
котором поэтому снова найдется ненулевой собственный вектор а3
оператора &>?. Продолжая этот процесс, получим искомый ор-
тегональный базис (ах, ... , а„) пространства Е, состоящий из соб-
собственных векторов оператора вЛ'.
3. Унитарные и симметричные операторы. Определение 11.
Неособый линейный оператор U унитарного пространства Е назы-
называется унитарным, если для всех э,Ье? выполнено соотношение
(а, Ь) = (#а, ПЪ).
Из равенства B) следует, что
(а, Ь) =
откуда
= (U*U&, Ь),
B)
C)
Обратно, из соотношений C) следует, что оператор U обратим
и что
(а, Ь) = (U*U&, Ъ) = {U&, Uh).
Таким образом, линейный оператор U тогда и только тогда
унитарен, когда сопряженный оператор U* совпадает с обратным.
В частности, соотношения C) показывают, что унитарные
операторы являются нормальными. В случае, когда поле опре-
определения пространства Е — поле вещественных чисел, унитарный
оператор U называется ортогональным оператором.
Выберем в пространстве Е какой-либо ортонормированный
базис, и пусть # —унитарный оператор в Е. Если матрица опе-
оператора U равна U, то согласно § 4, п. 1, матрица сопряженного
оператора равна U*. Следовательно,
U U*=E.
D)
Обратно, если в ортонормированной системе координат матрица
U линейного оператора U удовлетворяет соотношению D), то
оператор U удовлетворяет соотношению C) и, следовательно, яв-
является унитарным. Матрицы, удовлетворяющие соотношению C),
называются унитарными. Таким образом, мы установили, что
всякий унитарный оператор имеет в ортонормированном базисе
унитарную матрицу, обратно, если линейный оператор в некото-
некотором ортонормированном базисе имеет унитарную матрицу, то он
является унитарным оператором.
Унитарные операторы обладают следующим характеристиче-
характеристическим свойством:
446
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. ХУГ
Линейный оператор U в унитарном пространстве унитарен
тогда и только тогда, когда он не меняет длин векторов.
Пусть {еь ..., е„} —ортонормированный базис в унитарном
пространстве Ew.Il — унитарный оператор в этом пространстве.
Так как унитарный оператор не меняет длин векторов и пере-
переводит ортогональные векторы в ортогональные, то система векто-
векторов {7ltv ..., 21е„)будет снова ортонормированным базисом в Е. Об-
Обратно, допустим, что некоторый оператор U переводит ортонор-
ортонормированный базис (е1? ..., е„) снова в ортонормированный базис
(#е1?'..., 2ltn). Рассмотрим в Е произвольные векторы
а=
b=
Имеем
(а, Ь) =
| 2 рАе*)= 2
(На, Щ=(и ( 2 а*е*), U I 2
т. е. (а, Ь) = (#а, 21Ъ). Следовательно, оператор U унитарен.
Итак, для того чтобы линейный оператор U бил унитарен,
необходимо и достаточно, чтобы U переводи./! ортонормированный
базис в ортонормирований.
Отсюда непосредственно вытекает следующее
Предложение. Матрица перехода от одного ортонормиро-
ванного базиса к другому унитарна, и, обратно, если один из
базисов ортонормирован, а матрица перехода унитарна, то дру-
другой базис ортонормирован.
Для доказательства достаточно заметить, что матрица пере-
перехода от одного базиса к другому совпадает с матрицей линейного
оператора, переводящего первый базис во второй.
Завершим наше рассмотрение унитарных операторов следующим
предложением:
Для каждого унитарного оператора U в унитарном простран-
пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица U
оператора U имеет вид
•Pi О
О
«Фя
где (plf ф2, ..., фи — вещественные числа.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
447
Доказательство. Поскольку унитарный оператор норма-
нормален, то из теоремы 8 вытекает существование базиса, в котором
матрица V оператора U имеет диагональный вид
I^i ОII
О'¦¦•.. , Ь/еС, /=1 п.
К\\
Так как UU* = E, то для всех /=1, ..., п Х/Х/ = 1, откуда Xt =
Определение 12. Линейный оператор &# унитарного про-
пространства Е называется эрмитовым или симметрическим, если s^f
совпадает со своим сопряженным оператором eV*.
Таким образом, если &4 — симметрический оператор, то
, у) = (х, а^у). E)
Обратно, если для любых х, уе? линейный оператор &€ удов-
удовлетворяет условию E), то <&€ симметричен.
Из условия e^=-r>^*t очевидно, следует равенство odosZ* —
= ad*Q7$', т. е. симметрические операторы являются нормальными.
Предложение.
1° Сумма симметрических операторов, а также произведение
симметрического оператора на вещественное число являются снова
симметрическими операторами.
2° Композиция двух симметрических операторов тогда и только
тогда является симметрическим оператором, когда эти операторы
перестановочны.
Доказательство.
1° Если &??, SB — симметрические операторы, а —веществен-
—вещественное число, то
п'Щ* = OJf * + j-M* = а? + <т,
2° Из
Обратно, если
= ?3* следует
то
§ 5. Структура произвольного линейного оператора
в евклидовом пространстве
В этом параграфе мы установим простейшую форму, которую
может иметь вещественная матрица ортогонального оператора
в евклидовом пространстве.
448
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVI
Теорема 9. Пусть Ер —инвариантное подпространство
евклидова пространства Еа по отношению к ортогональному опе-
оператору &€'. Тогда ортогональное дополнение E? = (Ep)L к Ер
также инвариантно по отношению к &#.
Доказательство. Покажем прежде всего, что оператор &#
переводит инвариантное подпространство Ер на себя.
Пусть {еь ..., ер} — какой-нибудь ортонормированный базис
инвариантного подпространства Ер. Тогда векторы ej = &^tlt ...
..., t'p = erftp лежат в Ер и взаимно ортогональны; так как их
число равно р, то сни образуют ортонормированный базис Ер.
Пусть w =
'i — произвольный вектор из Ер, тогда вектор
и =
также лежит в Ер и e^u = w. Итак, всякий вектор w
е Ер является образом некоторого вектора и е Ер, т. е. оператор
в^ переводит подпространство Ер на себя.
Пусть теперь v — произвольный вектор из ортогонального
дополнения Еч к подпространству Ер. Покажем, что &€\ е Eq,
т. е. что (e^v, u) = 0 для любого и е Ер. Для этого возьмем
вектор w = е^"хи е Ер. Тогда (v, w) = 0, т. е. (e^v, e^w) =
= (e^v, и) = 0, что и требовалось доказать.
Теперь мы располагаем всеми средствами, чтобы доказать ос-
основной результат этого параграфа —теорему о структуре ортого-
ортогональных операторов.
Теорема 10. Для каждого ортогонального оператора &^
в евклидовом пространстве П" существует ортонормированный ба-
базис, в котором матрица А оператора имеет вид
0
COS ф1 — Sin ф1
sin ф| cos ф!
о
cos фй — sin ф*
sin ф^ cos фа
Доказательство. Доказательство будем вести индукцией
по размерности п евклидова пространства Еп. При п = 1 из опре-
определения вытекает, что е^и = ± и, т. е. матрица имеет указанный
вид. При п = 2 мы получаем поворот или отражение в двумерной
плоскости. Как было установлено в главе III, поворот в
§5]
линейные операторы в евклидовом пространстве
449
плоскости задается матрицей
а отражение — матрицей
cos a — sin а
sin а cos а
1 0|
0—1
Итак, при л г^ 2 теорема доказана.
Предположим, что она доказана для всех евклидовых прост-
пространств размерности <и, и докажем ее для Еп.
Имеются лишь две возможности:
1° Оператор ор€ имеет хотя бы одно вещественное характери-
характеристическое число.
2° Оператор ф€ не имеет вещественных характеристических
чисел.
В случае 1° оператор &4 имеет собственный вектор, соответ-
соответствующий характеристическому числу Х = ±1. Этот вектор опре-
определяет подпространство Е\. Рассмотрим ортогональное дополнение
Et~] к инвариантному подпространству Е\. Оно тоже инвариантно
по отношению к оператору &#.
Так как ограничение оператора o/Z на подпространство Е"~1
продолжает быть ортогональным, то согласно предположению
индукции в Ei~] существует такой ортонормированный базис
е2, ..., е„, что матрьца ограничения о/ё на ?"~' имеет в нем
канонический вид, который мы обозначим через Л2. Взяв в Е\
собственный вектор ег длины 1, получим, что в базисе ех, ..., е„
матрица А имеет вид
1 ± 1 о |
А = \
который является каноническим ипдом, пли превращается в него
после изменения нумерации векторов et, ..., е„.
В случае 2° оператор &// имеет инвариантное двумерное под-
подпространство Е\. В Е\ существует базис е1? е2, в котором матрица Аг'
оператора в? (рассматриваемого лишь в Е\) имеет вид
. | cos ф — sin ф
1 | sin ф cos ф
Рассуждениями, вполне аналогичными проведенным в п. 1°,
получаем, что матрица оператора о/l в некотором базисе имеет вид
cos ф — sin ф
sin ф cos ф
0
,где матрица Л2 уже приведена к каноническому
Теорема 10 доказана.
16 П, С, Александров
виду.
ГЛАВА XVII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Всюду в этой главе мы будем рассматривать лишь веществен-
вещественные аффинные пространства.
§ 1. Аффинные преобразования
Определение 1. Афинным преобразованием f: Ап-*-Ал
л-мерного аффинного пространства А" называется такое преобра-
преобразование этого пространства, при котором каждая точка с коорди-
координатами (*! х„) в некоторой системе аффинных координат
переходит в точку с численно равными координатами в некоторой,
вообще говоря, другой системе аффинных координат.
Возьмем в аффинном пространстве Ап какой-нибудь вектор
u = M^Mv При аффинном преобразовании точки Мо, Мх перехо-
переходят соответственно в точки М'<», М[, имеющие относительно нового
репера те же координаты, которые точки Мо, Mt имели относи-
относительно старого. Следовательно, при аффинном преобразовании
пространства А" вектор и переходит в вектор и', имеющий отно-
относительно нового репера те же координаты, которые вектор и имел
относительно старого репера. Отсюда в свою очередь получаем,
что при аффинном преобразовании равным векторам соответствуют
равные, так что аффинное преобразование аффинного простран-
пространства порождает преобразование линейного пространства тран-
трансляций.
Это преобразование линейно, т. е.
{доказывается переходом к координатам). Так как при аффинном
преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нуле-
нулевой, то из сказанного выше следует, что при аффинном преобра-
преобразовании сохраняется линейная зависимость векторов.
Далее, обратное преобразование к аффинному преобразованию
есть аффинное преобразование.
Действительно, если данное аффинное преобразование /: Ля-> А"
задается переходом от рецера С^...еп к реперу O'eJ...eJ,, то аф-
аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера O'eJ...eJi
S 1]
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
451
к реперу Oej.-.e,,, является, как легко видеть, преобразованием,
обратным к /.
При аффинном преобразовании / каждая линейно независимая
система векторов иъ ..., щ переходит в линейно независимую —
в противном случае при аффинном преобразовании f~l, обратном
к /, линейно зависимая система uj,..., и* перешла бы в линейно
независимую, что, как мы знаем, невозможно.
Из определения аффинного преобразования следует, что при
данном аффинном преобразовании, определенном переходом от
репера Ое^-.е,, к реперу O'eI...eJ,, множество всех точек, коор-
координаты которых в координатном репере Оех... е„ удовлетворяют
некоторой системе уравнений, переходит в множество точек, коор-
координаты которых в системе O'eJ... е„ удовлетворяют той же системе
уравнений. В частности, при аффинных преобразованиях /п-мер-
ные плоскости A ^ т sg п) переходят в /и-мерные плоскости. При
этом сохраняется параллельность.
Пусть аффинное преобразование аффинного пространства
задается переходом от репера 0ех... е„ к реперу О'е[ ...е'п. Пред-
Предположим, что векторы ej, ..., е'„ заданы своими координатами
относительно старого репера
л
I -I
причем det \\cjk\\ Ф О, а координаты точки О' относительно старого
репера суть (ах, ..., ап). Тогда координаты (х[, .... х'п) любой
точки М относительно старого репера связаны с координатами
(&. • • • f in) той же точки М относительно нового репера соотно-
соотношениями
= 1 п-
Нам даны: произвольная точка М с координатами (хг ха)
относительно старого репера и ее образ М', имеющий относи-
относительно нового репера те же координаты (хх, ..., хп), которые
точка М имела относительно старого репера. Требуется найти
координаты точки М' относительно старого репера. Решение этой
задачи дается формулами A), в которые вместо (|j, ..., l'n) нужно
подставить координаты точки М' в новой системе, т. е. (хг хп).
Тогда в левой части A) получим искомые координаты (^,..., х'п)
точки М' в старой системе, т. е.
= 1 п.
B)
Формулы B) выражают координаты точки М'— образа точки М
при аффинном преобразовании — через координаты точки М (те
1В*
452
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVII
и другие координаты берутся при этом относительно одного и
того же «старого» репера).
Обозначим через х, х' и а соответственно столбцы координат
точек М, М' и О' относительно репера Се^-.е,,, и пусть С=||с/АЦ.
Тогда формулы B) можно переписать в матричном виде
C)
С — невырожденная матрица. Если аффинное преобразование /
задано в виде C), то обратное к нему аффинное преобразование f~x
записывается, как
х = С-1х'-С-1а. D)
Частными случаями аффинных преобразований C) являются
преобразования
х'=Сх, E)
переводящие в себя начало координат О и называемые центро-
аффинными преобразованиями с центром О, а- также преобразо-
преобразования
х'=х + а, F)
называемые переносами или трансляциями. Каждому центроаф-
финному преобразованию взаимно однозначно соответствует линей-
линейный оператор &^ с матрицей А, называемый оператором центра-
аффинного преобразования, а каждому переносу взаимно одно-
однозначно соответствует вектор а, называемый вектором переноса.
Центроаффииные преобрачпн.шпн обрпчуюг группу шпопмельно
композиции преобргионампи. ДсПсшшо.пмю, муеи, х' -Ах и х" =
= Вх'— два центроаффинных преобразования. Тсмда их компози-
композиция имеет вид
т. е. снова является центроаффинным преобразованием. Тождест-
Тождественное преобразование, очевидно, является центроаффинным пре-
преобразованием. Обратным преобразованием для центроаффинного
преобразования E) является центроаффинное преобразование
Очевидно, что группа центроаффинных преобразований изоморфна
группе обратимых операторов «-мерного линейного пространства.
Переносы также образуют группу относительно композиции,
изоморфную группе векторов n-мерного линейного пространства
по сложению. Действительно, композиция переносов х'=х + а и
Х'=х + Ь имеет вид х' =х + (а + Ь), т. е. является переносом
с вектором а + 6. Тождественное преобразование есть перенос на
нулевой вектор а = 0, а обратным к переносу х'=х + а служит
перенос х' —х — а.
§ и
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
453
Композиция двух аффинных преобразований х' = Ах + а и
х'= Вх-\-Ь также является аффинным преобразованием
+ Ва-\-Ь.
Композиция аффинных преобразований, очевидно, ассоциативна.
Как было ранее установлено, обратное преобразование для аффин-
аффинного преобразования также есть аффинное преобразование. Поэтому
аффинные преобразования образуют группу относительно компо-
композиции; группы центроаффинных преобразований и переносов, оче-
очевидно, являются подгруппами этой группы.
Теорема 1. Для однозначного задания аффинного преобразо-
преобразования в п-мерном аффинном пространстве достаточно указать,
в какие точки переходят п +1 точек, не лежащих в одной гипер-
гиперплоскости.
Доказательство. Пусть /: А"-+¦ А" — некоторое аффинное
преобразование. Выберем п-\-1 точек Мп, Mv ...,Mn, не лежа-
лежащих в одной гиперплоскости. Обозначим через Nk = / (Mh) образы
точек Ми, k = Q, 1, ..., п. Свяжем с точками (М{, Мъ ..., Мп) и
(Nn, Nlt .... Nn) аффинные^реперы^приняв точки Мо и No за
начала О и О', а векторы М0М* и N0Nh — 3a базисные векторы eft
и е?. Векторы е^ ..., е„ линейно независимы. Действительно, если бы
векторы ej е„ удовлетворяли нетривиальному соотношению
то координаты точек (Мо, М„ .... Мп) были бы связаны линейным
уравнением, т. е. точки (Мо, Л^ Мп) лежали бы в некото-
некоторой гиперплоскости. Таким образом, мы построили два аффинных
репера Ое^.-е,, и O'e[...t'n. Эти реперы определяют аффинное
преобразование, которое переводит точки (Мо, Mlt ..., Мп) в точки
(No, Nlt ..., Л/„). Точки Мо и Nn имеют в обеих системах оди-
одинаковые координаты Xi = Q, i =--!,..., п. Точки М,, и Nh имеют
в обеих системах одинаковые координаты л;( = 6,ь i=I,..., п.
Это преобразование является единственным аффинным преоб-
преобразованием, переводящим точки (Мп, М1г ..., М„) в точки
(Na, Nv ..., Nn), поскольку построенные выше аффинные ре-
реперы являются единственными реперами, в которых эти точки
имеют указанные координаты, а аффинное преобразование, опре-
определяемое двумя реперами, также единственно. Следовательно,
построенное нами преобразование совпадает с исходным преобразо-
преобразованием f. Теорема доказана.
Все аффинные преобразования можно разделить на два класса.
Аффинные преобразования, матрицы которых имеют положитель-
положительные детерминанты, называются аффинными преобразованиями пер-
первого рода. Аффинные преобразования, матрицы которых имеют
отрицательные детерминанты, называются аффинными преобразо-
преобразованиями второго рода. Так как оператор переноса — единичный
454
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVII
оператор Е, то переносы являются аффинными преобразованиями
первого рода.
Оставляем читателю в качестве легкого упражнения доказа-
доказательство следующего утверждения:
Аффинные преобразования первого рода образуют подгруппу
в группе всех аффинных преобразований.
Пусть точка Мо n-мерного аффинного пространства А" с коор-
координатами хй = (х\, ..., х°п) остается неподвижной при аффинном
преобразовании х' = Сх + а. Тогда координаты х° точки Мо удов-
удовлетворяют соотношениям
или
(Е-С)х° = а.
Отсюда следует, что если det (Е — С) ф О, то
*<> = (?-С)-1 а. . G)
Таким образом, мы установили, что аффинное преобразование,
для которого матрица (Е — С) обратима, имеет единственную
неподвижную точку. Если же det (E — С) = 0, то аффинное пре-
преобразование может иметь много неподвижных точек или не иметь
ни одной неподвижной точки — таким примером является перенос,
для которого Е — А = 0.
Аффинное преобразование, имеющее в координатной записи
вид
х'-а^-Л(х-а), (8)
называется гомотетией с центром в точке М с координатами а.
Два множества в аффинном пространстве, переводимые друг в
друга гомотетией, называются гомотетичными.
§ 2< Движения аффинного евклидова пространства
Предположим теперь, что рассматриваемые нами аффинные
пространства снабжены евклидовыми метриками.
Определение 2. Движением аффинного евклидова прост-
пространства называется такое преобразование этого пространства,
при котором не изменяются расстояния между точками.
Теорема 2. Движение аффинного евклидова пространства
в координатах записывается в виде
х' = Сх+а, A)
где С— ортогональная матрица.
Доказательство. В основе доказательства лежит следу-
следующая
ДВИЖЕНИЕ АФФИННОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
465
Лемма. Пусть ОА_и ОЁ —два вектора, приложенных к од-
одной и той же точке, а О'~А?, O'W—ux образы при данном движе-
движении. Тогда скалярные произведения (ОА, ОВ) и (t^A*, Oil') равны.
Доказательство леммы. Имеем /Г8 = АО + ОВ. Поэтому
(АВ, АВ) = (Ад+ОВ, AU+OB),
т. е.
, ОЁ) + \ОВ\*.
Поскольку \~АО\ = \бА\ и (АО, ОВ)= -(ОА, 63), то
2(ОЛ,
B)
Формула B) верна для любых трех точек О, А, В, так что
имеем
2 (О'A7, WW) = | WJ! |2 +10'W\* -1 /ТВ7"!». B0
Правые части равенств B) и B') равны, так как движение со-
сохраняет расстояния. Поэтому равны и левые части, т. е.
(ОМ7, O'~W)=*(flA, Щ, C)
что и требовалось доказать.
Пусть теперь 0^...^, где ek = OSTk, й = 1 п,— какой-
нибудь ортонормальный репер. При нашем движении точка О пе-
переходит в О', а единичные векторы ек = 0Шк — соответственно
в единичные векторы ек'=>0'Мк. Так как векторы ек попарно
ортогональны, то по лемме векторы е? также ортогональны.
Следовательно, наше движение переводит ортонормальный репер
О еа е8... е„ в ортонормальный репер О' е,' е/ ... е„'. Координаты
(xt хп) любой точки Р в координатной системе Ое1е!...еп
суть скалярные произведения
х* = @Т, ОЙ*), 6=1
*=-!,..., п.
Координаты образа Р' точки Р в системе О' е/ ... е„1 суть ска-
скалярные произведения
х^фЧ*, аШ), k=i,...,n.
Поэтому в силу леммы х% =>хк, т. е. точка Р'— образ точки Р
при данном движении имеет в новой координатной ортогональной
системе те же координаты, которые точка Р имела в старой.
Опираясь на рассуждения предыдущего параграфа, получаем, что
456
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVII
движение задается формулой
х' =
D)
где С — невырожденная матрица. Поскольку линейный оператор
"ё', соответствующий матрице С, переводит ортонормальный базис
{ец .... е„ } в ортонормальный базис { е/, ... , е„'}, то согласно
предложению на стр. 446 С — ортогональная матрица. Теорема
доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекает новое
определение движения. Движение —это такое преобразование
аффинного евклидова пространства, при котором каждая точка
с координатами (х1 х„) в некотором ортопормальном репере
переходит в точку с численно равными координатами в некото-
некотором новом ортонормальном репере. Следовательно, движение
является аффинным преобразованием. Если при некотором дви-
движении множество X переходит в множество Y, то множество Y
переходит в множество X при обратном движении, и в этом слу-
случае множества X и У называются конгруэнтными множествами.
Важным примером движения в аффинном евклидовом прост-
пространстве Е является отражение от данной m-мерной плоскости
пт d E. Отражением от плоскости пт называется преобразование
пространства Е, ставящее в соответствие произвольной точке
М е Е такую точку М' е Е, что прямая ММ' пересекает плос-
плоскость лт под прямым углом и точка пересечения прямой ММ'
и плоскости пт является серединой отрезка ММ'. Предлагаем
читателю показать, что отражение от фикспроп.чпппй плоскости
пт сохраняет расстояние между точками, т. е. инлиечеи движе-
движением. Частным случаем отражения от /rz-мерной плоскости явля-
является отражение от точки, т. е. от нульмерной плоскости. Следо-
Следовательно, отражение от фиксированной точки Р — это преобразо-
преобразование аффинного евклидова пространства, ставящее в соответст-
соответствие произвольной точке М такую точку М', что точка Р лежит
на прямой ММ' и делит пополам отрезок ММ'.
Частными случаями движений A) являются движения
*'=Сж, E)
переводящие в себя начало координат и называемые вращениями
вокруг точки О, а также переносы
х' —
Вращения образуют группу относительно композиции, изо-
изоморфную группе ортогональных операторов. Действительно, ком-
композиция вращений х'=С1х и х' =Сгх имеет вид х' = (С2 С^х,
т. е. является вращением с матрицей Са Cv Тождественное
преобразование, очевидно, является вращением, обратным преобра-
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
457
зованием для вращения E) является вращение
х'=с-1х = С* х. F)
Группа вращений аффинного евклидова пространства
является подгруппой группы центроаффинных преобразований.
В предыдущем параграфе мы доказали, что аффинные преоб-
преобразования «-мерного аффинного пространства образуют группу
относительно композиции. Совершенно аналогично показывается,
что множество движений «-мерного аффинного евклидова простран-
пространства является группой относительно композиции. Эта группа
является подгруппой группы аффинных преобразований; группы
вращений и переносов, очевидно, являются подгруппами группы
движений.
Так как движение является частным случаем аффинного пре-
преобразования, для задания движения достаточно указать, в какие
точки переходят « + 1 точек «-мерного аффинного пространства,
не лежащих в одной гиперплоскости. Эти системы точек должны
быть конгруэнтны, т. е. если движение задается точками (Ми
М2,..., Мп+1) и (Mi -Мл+i). т0 должны выполняться следу-
следующие равенства:
p(M,,Mk) = p(M'it M'k), i,k=\ я+1.
Аналогично аффинным преобразованиям все движения аффин-
аффинного евклидова пространства делятся на два класса: движения
первого рода и движения второго рода. Так же, как для аффин-
аффинных преобразований, показывается, что движения первого рода
и их частный случай — вращения первого рода — образуют груп-
группы относительно композиции.
§ 3. Классификация движений
В главе XVI (теорема 10) мы установили, что матрица С
ортогонального преобразования может быть приведена к канони-
каноническому виду
С =
0
A)
458
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. ХУЛ
где С* —матрица второго порядка C* =
I
I^f f1*1 фй I- Канони-
II sin ф? cos ф/( |
ческий вид ортогональной матрицы позволяет получить пол-
полную классификацию движений аффинного евклидова простран-
пространства.
Рассмотрим вначале вращения аффинного евклидова простран-
пространства. Простейшими вращениями являются вращения с матрицами
С = Е и С = — Е. В первом случае вращение является тожде-
тождественным преобразованием, во втором случае вращение имеет вид
х' = — х, т. е. является отражением относительно начала ко-
координат.
Если в матрице A) имеются лишь две первые подматрицы,
то вращение имеет вид
= — xf,
B)
и, значит, является отражением от fe-мерной плоскости, зада-
задаваемой уравнениями
Если в матрице A) имеются лишь подматрицы Clt ..., С/,, т. е.
если матрица С имеет вид
10
01
с Л
C)
то вращение, определяемой матрицей С, имеет единственную
неподвижную точку. Для того чтобы установить этот факт, доста-
достаточно заметить, что характеристический многочлен матрицы С
является произведением характеристических многочленов матриц
Cft, lsg&sSr, и, значит, не имеет вещественных корней. Враще-
Вращение, задаваемое матрицей C), называется поворотом вокруг
начала координат.
I-1 01
0 "-Ц
а кратность собственного числа 1 равна т, то вращение назы-
называется поворотом вокруг т-мерной плоскости. Если же в матрице
II 01
"¦-. |, а кратность собственного
0 1|
числа — 1 равна т, то вращение называется поворотным отраже-
отражением от (п — т)-мерной плоскости.
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
4S9
Произвольная ортогональная матрица вида A) может быть
представлена в виде произведения
0
— 1
— 1
о
0
—1
0
о
0
откуда вытекает, что произвольное вращение аффинного евкли-
евклидова пространства является композицией поворота вокруг некото-
некоторой т-мерной плоскости (в частном случае, вокруг точки) и отра-
отражения от некоторой k-мерной плоскости.
Переходим к описанию общих движений
аффинного евклидова пространства. Если С = Е, движение пред-
представляет гобой перенос х' =х-\-а. Если же С = — Е, то
х'= — х + а. D)
Для того чтобы установить геометрический смысл последнего
преобразования, напомним, что а = (а1, ..., а„) суть координаты
точки О' относительно системы Ot^... е„, х = \хх х„) — коор-
координаты точки М, х'=(х[, ..., Jti) — координаты ее образа М'.
Обозначим через Р точку с координатами ¦тга = \-<га1' •••»-о"йп)
и перепишем равенство х = — х-\-а в виде
*'~~2а="~\Х~~2а)'
E)
Равенство E) эквивалентно равенству РМ' = — РМ, откуда сле-
следует, что D) есть отражение от точки Р.
460
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVII
В случае, когда матрица С имеет вид
1
о
1
с=
о
—I
—I
движение записывается формулами
F)
или, что эквивалентно,
i- k,
Движение F) является композицией отражения от плоскости
х, = О, I «s; i sg; n, и переноса вдоль этой плоскости. Такое дви-
движение называется переносным отражением.
Если матрица С имеет вид
С =
о
о
сг
то, как указывалось выше, матрица Е — С невырождена, и по-
поэтому движение обладает единственной ноподмижиоп точкой, ко-
координаты которой ппкоцягся in (формулы
Такое движение может быть записано в виде
х'-х° = С(х-х°)
и представляет собой вращение вокруг точки Ро с координатами
X = (Xi, . . . , Xnj.
Если в матрице С отсутствует подматрица
il—1
о
0|
—1
то движение имеет вид
к
— k.
G)
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ
461
Формулы x'i= 2 cuXi-\-at,
ной плоскости, причем матрица
, задают движение в й-мер-
/ = 1 имеет вид
F1
П
I Сг
т. е. движение в «-мерной плоскости есть вращение. Следова-
Следовательно, движение G) является композицией поворота вокруг (п — k)-
мерной плоскости д;; = 0, t = l, ..., k, и переноса в направлении,
параллельном этой плоскости. Такое движение называется винто-
винтовым движением.
Если матрица С имеет вид
—1
—1
о
0 '¦ с
то С можно записать в виде произведения двух ортогональных
матриц
С = АВ,
1
где
—1
О
О
1
о
О
Следовательно, в этом случае
ЛВх \-ЛЛ hi Л
/Иа),
т. е. наше движение есть композиция bhhtoboi о движения х' =
= Вх-\-А~1а и отражения от плоскости х'— Ах.
Мы получили полную классификацию движений л-мерного аф-
аффинного евклидова пространства. Если я = 2, то все движения
сводятся к переносу, повороту, отражению или переносному отра-
отражению — утверждение, известное как теорема Бернулли — Шаля.
Покажем в заключение, что каждое движение аффинного евк-
евклидова пространства можно реализовать в виде композиции отра-
отражений от гиперплоскостей.
Теорема 3. Каждое движение п-мерного аффинного евклидова
пространства является композицией не более п +1 отражений от
гиперплоскостей.
Доказательство. Пусть /: Ап-> А" — некоторое движение.
Выберем в Ап п + 1 точек Мо, ..., Мп, не лежащих в одной гипер-
462
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XVII
плоскости, и обозначим через M'k=f{Mk), k = 0, 1 я, их
образы при движении f. Построим гиперплоскость симметрии щ
для точек Мо и MS и отразим точки MJ, М[, M'it ..., М'„ от
этой гиперплоскости. При этом отражении точка Мо перейдет
в точку Мо, а точки М\, MJ, ..., М'п — в некоторые точки
Mi, ..., Мп. Построим теперь гиперплоскость ях симметрии точек
М[ и Mi. Покажем, что плоскость ях содержит точку Мо. Для
этого рассмотрим пересечение двумерной плоскости треугольника
MQMiM[ с гиперплоскостью nv Так как p(M0M1) = p(MoMi) =
= р (М0М[), то треугольник М0МхМ1 равнобедренный и, значит,
плоскость треугольника MQMxM"i пересекается с гиперплоскостью
щ по высоте треугольника МОМХМ[, выходящей из вершины Мо.
Отразим точки Ml, ..., М'„ от гиперплоскости пг. При этом точка
Mi перейдет в точку Мъ а точки MJ, ..., М"п перейдут в новые
точки M'i', ..., М'п. Гиперплоскость яг содержит точки Мо и Мь
так как она пересекает двумерные плоскости треугольников
M0M2M'i' и МгМгМ'% по высотам, исходящим соответственно из
вершин Мо и Мх. Повторяя эту процедуру k раз, мы получим гипер-
гиперплоскость яА, являющуюся гиперплоскостью симметрии для точек
Мк и Mi*+1). Рассматривая плоскости равнобедренных треуголь-
треугольников MjMkM^+n, / = 0, 1, .... k— 1, мы видим, что они пере-
пересекаются с гиперплоскостью пк по высотам, исходящим из вер-
вершин Мо, Mlt ..., Мл-!. Следовательно, гиперплоскость я* содер-
содержит точки Л10, Mlt ..., Мк-г- После отражения от гиперплоскости
яА точка М[к+1) перейдет в точку Мк, а точки Mji*+i'\ ... ,М{„+1>
перейдут в некоторые новые точки Mj?f i2), ..., М),*2). Значит,
если k = n, то гиперплоскость я„ совпадает с гиперплоскостью,
натянутой на точки Мо, Мъ ..., Mn-V После отражения от гипер-
гиперплоскости ял точка Mi"+I) перейдет в точку Мп. Следовательно,
композиция
где Snk — отражение от гиперплоскости nk, переводит точки М«,
М\, ..., М'п в точки Мо, Мх, ..., Мп, т. е. является отображе-
отображением, обратным к /:
Поскольку S^ = Snk, то
f — ($яп •...
Теорема З доказана.
ГЛАВА XVIII
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В п-МЕРНОМ
АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Общая теория гиперповерхностей второго порядка
1. Уравнение гиперповерхности. Гиперповерхностью второго
порядка в п-мерном аффинном пространстве Ап называется мно-
множество точек из А", которые в произвольной аффинной системе
координат удовлетворяют уравнению
F(xlt ...,
b,x,+c = 0.
Предполагается, что коэффициенты aif удовлетворяют условию
Так же как в случае п = 2 и п = 3, обозначим через <р (xlt .... ха)
квадратичную форму 2 а^*/ и через /(дех, ..., хп) — линейную
л
форму 2] ^«Л''> Тогда уравнение A) можно переписать в виде
Обозначим через Av матрицу ||а/;|| квадратичной формы <р (xlt..., хп)
и через Ар—матрицу
Ар-
bi ... bn
b'n
с
Детерминанты матриц Ар и А9 обозначим соответственно через
Д и 6. Гиперповерхность второго порядка A), детерминант Д кото-
которой не равен нулю, называется невырожденной. Если же детер-
детерминант Д = 0, гиперповерхность называется вырожденной.
464 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
При сдвиге
[ГЛ XVIII
B)
начала координат уравнение A) переходит в уравнение
F(x[, .... х'п)=Т,
t,i=\
или в эквивалентное ему уравнение
ацща, + 2 Yj Ь,щ + с = 0. C)
Отсюда следует, что при сдвиге B) коэффициенты квадратичной
формы ф не меняются.
Покажем теперь, что ранги R и г матриц AF и Лф не зави-
зависят от выбора системы координат. Это очевидно для матрицы Лф,
поскольку, во-первых, ее ранг не меняется при произвольном
однородном линейном преобразовании и, во-вторых, всякое коор-
координатное преобразование сводится к сдвигу и однородному линей-
линейному преобразованию. Чтобы доказать независимость ранга R
матрицы Ар при преобразовании координат
xk = Ц сщх\ + dk, det Но/ll Ф 0,
D)
рассмотрим квадра1ичпую форму
л
Ф(*! хп, t) = 2
и преобразование
t= г.
Тогда Ар есть матрица формы Ф, а преобразование E) не изме-
изменяет ее ранга R.
2. Взаимное расположение гиперповерхности и прямой. Рас-
Рассмотрим взаимное расположение гиперповерхности A) и прямой
xk = xl + rkt. F)
Подставляя координаты xk в уравнение гиперповерхности A),
получим уравнение второй степени относительно к
0, G)
§ 1]
где
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
465
= /-(л;5, .... *„).
Если ф(/ч гп)= ^ ауг1г/?:®, то уравнение G) —квадрат-
ное уравнение относительно / и, значит, имеет два решения:
вещественных различных, вещественных совпадающих или комп-
комплексно сопряженных. В этих случаях гиперповерхность и прямая
имеют соответственно две общие точки, одну общую точку и ни
однсй общей точки. В первом случае говорят, что гиперплоскость
и прямая пересекаются в двух точках, во втором случае —что
прямая касается гиперплоскости.
В последнем случае за точку (х\, ..., хЪ) прямой F) возьмем
точку касания. Тогда C = F(x\ яга) = 0 и уравнение G) при-
примет вид
Один его корень ^ = 0, другой t2 = — А\ чтобы он тоже был
равен нулю, надо, чтобы было В = 0, т. е.
или, если обозначить
через Ft(x\ х"п),
(8)
Отсюда, аналогично трехмерному случаю, получается уравнение
касательной гиперплоскости
Если прямая F) такова, что
л
ф (Гх Гп) = 2 аИГ1Г1 = °>
(9)
A0)
466
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
|ГЛ. XVIII
то она называется прямой асимптотического направления, а век-
вектор (rlt ..., г„) —вектором асимптотического направления (или
просто асимптотическим вектором) гиперповерхности A).
Если выполнено условие A0) и ВфО, то уравнение G) имеет
единственный корень. Этот корень определяет единственную точку
пересечения гиперповерхности A) с прямей F). Если выполнено
A0) и 5 = 0, а С =7*= 0, то уравнение G) противоречиво —прямая
F) не имеет с гиперповерхностью ни одной общей точки. В этом
случае прямая F) называется асимптотой гиперповерхности A).
Если же А = 0, 5 = 0, С = 0, то все коэффициенты уравнения G)
нулевые и оно тождественно удовлетворяется при всех значе-
значениях t. Следовательно, все точки прямой F) принадлежат гипер-
гиперповерхности A). В этом случае прямая F) называется прямоли-
прямолинейной образующей гиперповерхности A).
3* Центр гиперповерхности. Определение 1. Точка Мо,
лежащая на гиперповерхности A), называется ее центром симмет-
симметрии, если при отражении от точки Мо гиперповерхность A) пере-
переходит в себя.
Пусть Мо = (*2, ..., .*?) —центр симметрии гиперповерхности
A). Тогда для любой прямой
X/i == Xfi -p rk* i \vf
проходящей через точку Мо, точки Мх и М2 пересечения этой
прямой с гиперповерхностью находятся на равном расстоянии от
точки Мо по разные стороны от нее. Поэтому tt = — tlt т. е.
*i + *a = 0 для любого направляющего вектора \rlt ..., rn). Сле-
Следовательно, для любого вектора {г,, ..., г„)
откуда
Ft(x\ *Я) = 0, t = l п. (II)
Итак, всякий центр симметрии М0 = (лг?, ..., Хп) гиперповерх-
гиперповерхности A) удовлетворяет системе уравнений A1), или, в развер-
развернутом виде,
A2)
Если гиперповерхность F) обладает единственным центром
симметрии, то этот центр симметрии называется центром гипер-
гиперповерхности, а сама гиперповерхность называется центральной.
Из системы уравнений A2) вытекает, что гиперповерхность A)
является центральной тогда и только тогда, когда б = det АФО
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
4в7
Если же гиперповерхность A) имеет много центров симметрии
или не имеет ни одного центра, то она называется нецентральной
гиперповерхностью.
4. Диаметральная гиперплоскость. Особые направления. Со-
Сопряженные направления. Пусть дана гиперповерхность второго
порядка __
F(Xl, .... xn) = y(Xl хп) + 21(хи ..., хп) + с = 0. (Г)
Рассмотрим совокупность всех прямых d, имеющих одно и то же
неасимптотическое для данной гиперповерхности направление
{гъ ..., г„}. Каждая такая прямая d пересекает гиперповерхность
в двух точках М*, Mi (вещественных, быть может, совпадающих
или мнимых сопряженных); отрезок M^Mi назовем хордой, высе-
высекаемой из данной прямой гиперповерхностью (Г), Выше мы уста-
установили, что точка М0 = (х1, ..., х"п) прямой d тогда и только
тогда является серединой хорды, высеченной из прямой
xk = 4 + rkt
гиперповерхностью (Г), когда выполнено условие
или, в развернутом виде,
2«
A3)
Это уравнение, по-новому группируя члены и опуская индекс
нуль у координат, можно представить в виде
A4)
Мы получили уравнение гиперплоскости в А", которому удов-
удовлетворяют те и только те точки, которые являются середина-
серединами хорд, высекаемых гиперповерхностью (Г) из всевозможных
прямых с направляющим вектором {гх г„}. Гиперплоскость
A4) называется гиперплоскостью, сопряженной направлению
\г1г ..., гп) относительно гиперповерхности (Г).
Выше мы предполагали, что направление {rlt ..., г„} неасимп-
неасимптотическое, поскольку из прямой асимптотического направления
гиперповерхность не высекает никакой хорды. Но уравнение A4)
имеет смысл и для асимптотического направления: определенную
этим уравнением гиперплоскость мы по-прежнему будем называть
гиперплоскостью, сопряженной направлению {rlt ..., г„}.
468
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. XVIГ Г
Определение 2. Гиперплоскость называется диаметральной
гиперплоскостью гиперповерхности (Г), если существует хотя бы
одно направление, для которой эта гиперплоскость является со-
сопряженной относительно гиперповерхности (Г).
Уравнение диаметральной гиперплоскости будем записывать
в виде
LkXk + Lo — О,
где
— 2j akjrj>
A5)
A6)
Так же как в случае трехмерного пространства, устанавли-
устанавливаются следующие свойства диаметральных гиперплоскостей:
Г Всякая диаметральная гиперплоскость содержит все центры
данной гиперповерхности.
2° Если гиперповерхность имеет хотя бы один центр, то вся-
всякая гиперплоскость, содержащая все центры данной гиперповерх-
гиперповерхности, является ее диаметральной гиперплоскостью.
3° Точка Мо, принадлежащая всем диаметральным гипер-
гиперплоскостям, является центром гиперповерхности.
В том и только в том случае, когда все п коэффициентов Lt
в уравнении A5) обращаются в нуль, для данного направления
{ги ..., гп) не существует сопряженной ему гиперплоскости.
Определение .3. Пап/нишнпг {г,, ..., г„\ называется
особым, если оно удогло:порист пичемс yp;i
A7)
k=\ п.
Из определения особого направления немедленно вытекает,
что гиперповерхность ранга г имеет не более п — г линейно не-
независимых особых направлений. В частности, центральные гипер-
гиперповерхности вообще не имеют особых направлений.
Поскольку для особого направления
LkTb =
=<f>(rlt .... Гя) = 0,
k,
то всякое особое направление является асимптотическим. Значит,
только в нецентральном случае и только асимптотическое направ-
направление может оказаться особым.
Квадратичная форма q>(xlt ..., хп) гиперповерхности
0 A')
S П
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
469
определяет свою полярную билинейную форму и билинейную
функцию ^(щ, и2): если и1 = {г1, ..., rn}, u2 = {s1, .... sn}, то
A1!, u,)=
Легко видеть, что эта билинейная функция не зависит от выбора
системы координат.
Определение 4. Векторы щ = {г,, ..., гп\ и u2 = {Sj, ...sn)
называются сопряженными относительно гиперповерхности (Г),
если для этих векторов lF(ut, u2)=0.
Из этого определения следует, что особое направление сопря-
сопряжено любому направлению. Точно так же, как в случае двумер-
двумерной поверхности второго порядка, показывается, что если направ-
направление {rlt ..., г„} сопряжено всякому направлению, то оно
является особым.
Пусть нам дана некоторая гиперповерхность второго порядка
(Г). Возьмем произвольную неасимптотическую относительно
данной гиперповерхности прямую d. Для центральной гиперпо-
гиперповерхности предположим дополнительно, что прямая d проходит
через центр этой гиперповерхности. Гиперплоскость а, сопряжен-
сопряженная направлению прямой d, не параллельна d и пересекает
прямую d в некоторой точке О. Эту точку О будем считать на-
началом новой координатной системы. Заметим, что если гиперпо-
гиперповерхность центральная, то точка О —ее центр. Осью х„ сделаем
прямую d; остальные оси выберем в гиперплоскости а. Гипер-
Гиперплоскость а, таким образом, в новой координатной системе имеет
уравнение
хп = 0. A8)
Пусть в выбранной нами координатной системе уравнение гипер-
гиперповерхности имеет вид
а п
F(xu ..., х„)= 2 ailxixl + 2 ^ />/*, +с = 0.
с, / = 1 i — i
Поскольку гиперплоскость (Г) сопряжена вектору {0, 0, ..., 0, 1},
то ее уравнение в нашей системе координат должно быть
ainxt + Ьп = 0.
A9)
Так как уравнения A8) и A9) определяют одну и ту же гипер-
гиперплоскость, то
= 0, а„
= 0.
470
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. XVHI
Следовательно, в этой системе координат данная гиперповерхность
имеет вид
л-1 л-1
с, i=\ i = \
причем аЛп'Ф0.
Пусть теперь наша гиперповерхность центральная. Тогда мы
можем потребовать, чтобы ось х1 имела неасимптотическое направ-
направление. Сопряженная ей гиперплоскость проходит через ось хп,
так как направления осей хх и х„ сопряжены. Гиперплоскости,
сопряженные осям хх и хп, пересекаются по некоторой (п — 2)-пло-
скости. Возьмем в этой плоскости некоторую неасимптотическую
прямую и объявим ее осью хг. Повторяя эту конструкцию, мы
получим систему координат, оси которой имеют попарно сопря-
сопряженные направления. Плоскости xk = 0 сопряжены направлениям
{0, 0 1, 0 0}
и, значит, имеют уравнения
откуда следует, что не равны нулю лишь коэффициенты ап, а22,...
..., апп и, может быть, коэффициент с.
Итак, уравнение центральной гиперповерхности в системе
координат, направления осей которой попарно сопряжены, имеет
вид
Так же как в случае двумерной поверхности второго порядка,
основным приложением полученного результата является сле-
следующая
Теорема (теорема единственности). Два многочлена
второй степени F1 (xlt .... хп) и F2(xu ..., хп) тогда и только
тогда имеют одно и то же множество решений, когда они про-
пропорциональны между собой.
Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказатель-
доказательству ее двумерного варианта (см. гл. IX) и оставляется читателю
в качестве упражнения.
5. Главные направления. В этом пункте рассматриваются лишь
ортогональные системы координат. Рассмотрим уравнение гипер-
гиперповерхности второго порядка
t .... дг„) + с = О (Г)
$21
КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
471
относительно некоторой ортогональной системы координат. Как
было доказано в главе XIII, для квадратичной формы
л
<p(*!, .... Хп)= Yi a»XiXl
I, /=1
существует такой ортогональный базис, в котором она имеет диа-
диагональный вид
причем все коэффициенты kt К„ суть вещественные числа.
Направления координатных осей этого базиса называются глав-
главными направлениями. Уравнение гиперповерхности (Г), записан-
записанное в координатах yv ..., уп, имеет вид
f = К1У1 +...+ Kyi + 22%i + С = 0 B0)
и называется уравнением гиперповерхности, приведенным к глав-
главным направлениям.
6. Приведение к центру. Пусть гиперповерхность A) цент-
центральна. Если начало координат выбрано в центре этой гипер-
гиперповерхности, то говорят, что уравнение гиперповерхности приве-
приведено к центру. В этом случае в формулах A2) дс/ = О, / = 1, ...
..., п, откуда следует, что Ь1 = Ьг= ... = Ь„ = 0. Обратно, если
в уравнении гиперповерхности A) bt= ... =6„ = 0, то в силу
A2) х\= ... =х°п = 0 и центр гиперповерхности совпадает с нача-
началом координат. Итак, необходимым и достаточным условием того,
что уравнение центральной гиперповерхности приведено к центру,
является равенство нулю коэффициентов bt уравнения при первых
етепенях координат.
§ 2. Классификация гиперповерхностей второго порядка
Рассмотрим гиперповерхность второго порядка, заданную урав-
уравнением
F(xu .... л:л) = ф(а;1, ...,
относительно некоторой ортогональной системы координат Oxt.. ,хп.
Как было установлено выше, всегда существует по крайней мере
одна ортогональная система координат Оух...уп, оси которой
имеют главные направления. В этой системе координат уравнение
гиперповерхности имеет гид
F'iyi Уп)=Ку1+ ¦¦¦ +КУп + 2Ь\У1+ ... +2b'nyn + c = 0. A)
1. Центральные гиперповерхности. Перенесем начало коорди-
координат О системы Oy^..-Уп в центр гиперповерхности A). Тогда урав-
уравнение A) примет вид
=0. (Г)
472
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. XVIII
В случае центральной гиперповерхности с уравнением (Г) детер-
детерминант S матрицы Лф равен
а детерминант Д матрицы AF —
Так как в случае центральной гиперповерхности 8=#=0, то
с' = Д/б.
Итак, окончательный вид уравнения A) в выбранной нами орто-
ортогональной системе координат есть
Kyi+ ¦¦¦ +Ку'п+ *-= о
B)
{мы пишем снова уи ..., у„ вместо у[, ..., у'п). Имеется две возмож-
возможности Д#0 и Д = 0. В первом случае гиперповерхность называ-
называется невырожденной, а во втором случае —вырожденной.
В случае невырожденной центральной гиперповерхности введем
обозначения
с'
1Г
C)
Тогда, если числа \г имеют одинаковые знаки, противоположные
знаку с', уравнение B) переписывается в виде
I.
D)
Гиперповерхность D) называется эллипсоидом. Если коэффици-
коэффициенты %i имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком с', то
уравнение B) примет вид
"§- + ••• +-§=-!• E)
Уравнению E) не удовлетворяет ни одна вещественная точка
аффинного пространства. Гиперповерхность E) называется мнимым
эллипсоидом.
В случае, когда коэффициенты kt при i^m имеют знаки, про-
противоположные знаку С', а коэффициенты Xt при i>m имеют
знаки, совпадающие со знаком с', то уравнение B) переписывается
в виде
¦ "т Ущ -\- 1 &п 1
" ¦ • I .«? „о ¦ • • ^~~ _о ^ ¦
Гиперповерхность F) называется гиперболоидом индекса т.
5 2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
473
Рассмотрим теперь случай вырожденной центральной 1ипер-
Обо значим -х—
поверхности второго порядка. Обозначим ly- через щ. Если
коэффициенты Я( имеют одинаковые знаки, то уравнение B) можно
переписать следующим образом:
Этому уравнению удовлетворяет только одна точка — начало коор-
координат О = @, ..., 0). Если же коэффициенты "kt при t<m имеют
один знак, а при i > m — противоположный знак, то уравнение
B) превращается в
К
~=0.
(8)
Если точка (alt ..., ап) удовлетворяет уравнению (8), то
этому же уравнению удовлетворяют все точки вида (Яах, . ., Хап)
при любом К. Гиперповерхность (8) называется конусом с верши-
вершиной в точке О индекса т, если 2т^п (сличай, когда 2т > п,
сводится к этому случаю заменой знаков). Иногда уравнение G)
называют уравнением мнимого конуса с вершиной в точке О.
Итак, каждая центральная гиперповерхность второго порядка
является либо конусом индекса т с вершиной в точке О (веще-
(вещественным или мнимым), либо эллипсоидом (вещественным или
мнимым), либо гиперболоидом индекса т.
2. Параболоиды. Рассмотрим теперь нецентральные невырож-
невырожденные гиперповерхности второго порядка.
Так как Д = det Af, где
Л,-
А,
Ь„ с
то нецентральная гиперповерхность певырождена только в том
случае, когда ранг матрицы Лф равен п—1, так как детерминант
Д не может быть отличен от нуля, если ранг матрицы Лф меньше,
чем п — 1.
Как и прежде, рассмотрим уравнение нашей гиперповерхности
в системе координат Oy^-..уп, оси которой имеют главные нап-
направления. Так как ранг матрицы А<р равен п—1, то п—1 иа
диагональных элементов ^ отличны от нуля. Без ограничения
общности можно считать, что отличны от нуля первые п — 1 коэф-
коэффициентов Kt, г = 1, ..., п—1, а Х,„ = 0. Итак, уравнение нашей
гиперповерхности можно записать в виде
КУ\ + • • • + К-гУ1 -. + 2
= 0.
(9)
474
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(ГЛ. XVIII
Вычтем из уравнения (9) слагаемое 2Ьпу„. В результате мы полу-
получим уравнение
п — 1
М + • • • +К-1Уп-1 + 2 ^ by,+с = 0, A0)
определяющее центральную гиперповерхность второго порядка
в (п — 1 )-мерном аффинном пространстве с координатной системой
Оуг...уп-i- Приведем уравнение гиперповерхности A0) к ее центру.
В результате этого преобразования уравнение (9) перейдет в урав-
уравнение
Параллельный перенос
п -. )' + 2Ьп {у'п) + С = 0.
преобразует уравнение A1) к уравнению
К{У\?+ ... +K-i(y'n-iF + 2bny'n = 0. A2)
Обозначим -^- через plt i = 1, ..., п — 1, и опустим штрихи
у переменных в уравнении A2). Если все числа X, в этом урав-
уравнении имеют один и тот же знак, то оно принимает вид
Pi T
Уп- 1
рп-\
=±2yn,
или, после изменения, если необходимо, направления координат-
координатной оси Оуп, вид
Гиперповерхность A3) носит название эллиптического параболо-
параболоида.
В случае, если коэффициенты X, при isgm имеют один знак,
а при I > т — противоположный знак, то уравнение A2) можно
записать в виде
Pi
Рт
Ртл-1
Рп-1
A4)
или привести к этому виду изменением направления оси Оуя.
Гиперповерхность A4) называется гиперболическим параболой-
я—1
дом индекса тъ предположении, что /nag % '» поскольку случай
л-1
т > —у— приводится к этому умножением всех членов уравне-
уравнения на — 1 и изменением направления оси Оу„.
$2}
КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
475
Убедимся, что параболоиды действительно являются невырож-
невырожденными гиперповерхностями второго порядка. В случае эллипти-
эллиптического параболоида A3) матрица AF имеет вид
0
о -1
—1 0
Следовательно,
Д =
J_
Pi
АР =
1
01
Ч
0
1
Рп-1
1
Рп-1
0
0
О -1
—1
0
Pl-.-Pn-l
#о.
Для гиперболического параболоида A4)
Ар-
0
J_
Рт
1
Pm+i
о
0 —1
—1 0
и поэтому
д =
Pl-.-Pn-l
фо.
3. Вырожденные гиперповерхности. Вырожденная гиперповерх-
гиперповерхность является нецентральной гиперповерхностью, причем ранг
матрицы ее квадратичной формы г<я. Уравнение вырожденной
гиперповерхности, приведенное к главным направлениям, имеет вид
A5)
Вычитая из левой части уравнения A5) линейную форму
476
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. XVIII
мы получим уравнение центральной гиперповерхности второго
порядка в r-мерном аффинном пространстве
A6)
Приводя уравнение A6) к центру, мы преобразуем исходное урав-
уравнение A5) к следующему виду:
A7)
Предположим сначала, что в уравнении A7) хотя бы один из
коэффициентов bt отличен от нуля. Тогда параллельный перенос
переводит уравнение A7) в уравнение
A8)
Совершим теперь поворот в (п — г)-мерной плоскости у'{ = ...= у" =
= 0, переводящий вектор с координатами {br+1 Ьп) в вектор
с координатами \Ь, 0 0}. При этом повороте уравнение A8)
переходит в следующее уравнение (мы опускаем штрихи у перемен-
переменных):
Ку\-У---'\ Кф I Щ,п -С A9)
В уравнение A9) не входят переменные г/,+2,... ,уп. Гиперповерх-
Гиперповерхность второго порядка, задаваемая этим уравнением, называется
параболическим цилиндром с r-мерным основанием или, короче,
с r-основанием. Это название объясняется тем, что уравнение A9)
является уравнением параболоида в (г+1)-мерной плоскости
уг+2 = ... = уа = 0. В том случае, когда этот параболоид эллипти-
эллиптический, наша гиперповерхность называется параболическим цилинд-
цилиндром индекса 0. В случае, когда параболоид — гиперболический
индекса т, наша гиперповерхность называется параболическим
цилиндром индекса т.
Пусть теперь в уравнении A7) все коэффициенты bt равны
нулю. Значит, уравнение A7) в этом случае имеет вид
Kyi + ¦ • • + Ку2г + с = 0 B0)
{штрихи над переменными и свободным членом мы опускаем). Так
как в уравнение B0) не входят переменные угп = - ¦ - = Уп, то это
уравнение также является уравнением цилиндра. Если коэффициент
и уравнение B0) есть уравнение эллипсоида в г-мерной
§2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
477
плоскости 2/т = .. . = уп = 0, то гиперповерхность B0) называется
эллиптическим цилиндром с (г— \)-основанием. Если уравнение B0)
является уравнением гиперболоида в r-мерной плоскостиуг+1 = ...
... = уп = 0, то гиперповерхность B0) называется гиперболическим
цилиндром с (г—\)-основанием, причем в случае, когда гипербо-
гиперболоид в r-мерной плоскости имеет индекс т, цилиндр называется
гиперболическим цилиндром индекса т. Если уравнение B0) есть
уравнение мнимого эллипсоида в r-мерной плоскости уг+1 = ...
.. .= уп = 0, то гиперповерхность B0) называется мнимым цилиндром
с (г—\)-основанием.
Если свободный член с в уравнении B0) не обращается в нуль,
а ранг г=1, то уравнение B0) принимает вид
X1i/? + c = 0. B1)
С С
В случае, когда -г-<0, обозначим у- = — а2; в случае, когда
-^->0, обозначим -?- = а2. В этих обозначениях уравнение B1)
переписывается в виде
у\ = а2, если -г— < 0,
у\ = — а2, если ~ > 0.
B2)
B3)
Уравнение B2) является уравнением пары параллельных гипер-
гиперплоскостей
уг = а и у1 = — а.
Уравнение B3) по аналогии с уравнением B2) называется урав-
уравнением пары мнимых гиперповерхностей
yt = ia и у1 — — ia.
В случае, когда с = 0 и уравнение B0) является уравнением
конуса в r-мерной плоскости 1/г+1 = ... = г/„ = 0, гиперповерхность
B0) называется конусом с (п — г)-мерной вершиной. Этот конус
называется конусом индекса т, если т^г — т (случай, когда
т>г — т, приводится к этому случаю умножением всех членов
уравнения на —1). При г = п, когда вершиной конуса является
точка, конус называется конусом с точечной вершиной.
Если с = 0 и уравнение B0) есть уравнение мнимого конуса
в r-мерной плоскости yrk.l=... = yn = Qt то этому уравнению
удовлетворяют лишь точки (п — г)-мерной плоскости ух =... = уг = 0.
В этом случае гиперповерхность B0) называется мнимым конусом
с (п — г)-мерной вершиной.
478
ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1ГЛ. XVIII
Пусть теперь в уравнении B0) с = 0 и г = 2, т. е. это урав-
уравнение имеет вид
0. B4)
В зависимости от знаков коэффициентов ^ и ^ уравнение B4)
можно переписать в одной из двух форм:
id. + ll = 0
У* у* — п
B5)
B6)
Уравнение B6) есть уравнение пары пересекающихся гиперпло~
скостей
Ух Уг
B7)
Уравнение B7) по аналогии с предыдущим называется уравне-
уравнением пары мнимых пересекающихся гиперплоскостей
ax Oj
B8)
Если в уравнении B0) с = 0 и г = 1, то оно записывается в виде
tf-0, B9)
т. е. есть уравнение пары слившихся гиперплоскостей.
ГЛАВА XIX
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ л-МЕРНОГО ПРОЕКТИВНОГО
ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые
Начнем с того, что вкратце повторим для я + 1-мерного про-
пространства то, что в начале главы X было сказано для трехмер-
трехмерного.
Возьмем в п+1-мерном аффинном пространстве #n+1 какую-
нибудь точку О и рассмотрим множество всех проходящих через
точку О прямых, двумерных плоскостей, трехмерных плоско-
плоскостей, ..., я-мерных плоскостей пространства R1*1. Это множество
называется связкой с центром О в пространстве Rn+1, мы будем
обозначать его одной буквой О. Между различными элементами
связки — ее прямыми, 2-плоскостями (k -f-1)-плоскостями — уста-
установлено отношение инцидентности: ft-плоскость инцидентна (k + 1)-
плоскости, если она содержится в ней.
Отношение инцидентности симметрично: если прямая d инци-
инцидентна плоскости я, то говорим, что и плоскость я инцидентна
прямой d, и т. д. Прямые связки называются, когда это удобно,
ее лучами.
Мы можем переименовать связку О я + 1-мерного пространства
в «-мерное проективное пространство Р", соответственно переиме-
переименовывая лучи fe+1-плоскости связки в точки, ..., fe-плоско-
сти проективного пространства Р", — совершенно аналогично тому,
что мы делали в случае проективной плоскости и связки трех-
трехмерного пространства. Всякая аффинная система координат
Ое1еа...ея+1 пространства Rn+1, начало которой есть центр О
данной связки, называется аффинной координатной системой
в связке О.
Любая упорядоченная последовательность из ге + 1 чисел xlt...
• •¦, *я+1. являющаяся координатами какого-нибудь направляющего
вектора и данного луча т связки О, называется набором коорди-
координат луча т (в аффинной системе координат Ое^ ... ел+1). Оче-
Очевидно, что все наборы координат луча т образуют класс пропор-
пропорциональных между собой числовых наборов и, обратно, всякий
класс пропорциональных между собой числовых наборов из я + 1
480
n-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
(ГЛ. XIX
чисел хъ ... ,хп+1 является классом наборов координат (относи-
(относительно данной системы координат Ое^ ... еп+1 некоторого луча
связки О).
Если при этом предполагать, что исходное (п+1)-мерное аф-
аффинное пространство является комплексным, то в нем рассматри-
рассматривается и связка, состоящая из всех комплексных прямых, й-пло-
скостей и гиперплоскостей, проходящих через данную действи-
действительную точку О. Так получается комплексная связка О, или,
после соответствующего переименования ее элементов, комплексное
проективное пространство.
В предположении, что в комплексной связке выбрана система
координат Оех ... е,1+1 (начало и единичные векторы которой всегда
предполагаются действительными), мы получим, как и выше,
взаимно однозначное соответствие между всеми лучами комплек-
комплексной связки О и всеми классами пропорциональных наборов
(хг:...: хп+1), состоящих теперь уже из произвольных комплексных
чисел хь ..., хп+1. Лишь набор, состоящий из одних нулей, как
всегда, оказывается запрещенным. Отождествляя каждый луч
связки с классом наборов его координат относительно данной,
раз навсегда выбранной аффинной координатной системы Оех... еи+1,
мы приходим к понятию арифметического проективного прост-
пространства, точками которого являются всевозможные классы про-
пропорциональных между собой наборов чисел — действительных в слу-
случае действительного и комплексных в случае комплексного про-
проективного пространства.
Гиперплоскости, т. е. (п - 1)-мррпие плоскости и л-мерном
проективном пространстве, опрело ипотси каким-либо линейным
однородным уравнением
«2*
2*2
= 0
A)
относительно однородных координат х1 xnJrl; множество точек
М = (х1:х2:...: хп+1), удовлетворяющих этому уравнению, и обра-
образуют гиперплоскость, определенную данным уравнением A). Коэф-
Коэффициенты «!, н2 мл+1 произвольного уравнения A) данной
гиперплоскости определены с точностью до общего числового
множителя, эти коэффициенты называются координатами данной
гиперплоскости.
Множество точек М = {х1:х2:...:хпП), удовлетворяющих сис-
системе из п — г линейно независимых однородных уравнений
=l, ..., П — Т,
B)
называется r-мерной плоскостью или, короче, r-плоскостыо «-мер-
«-мерного проективного пространства. Так как ранг системы B) равен
г +1, все ее решения хъ .... хп+1 суть линейные комбинации ка-
каких-нибудь независимых решений р('\,..., pn+i,1 = 1, ..., г + 1. Это
§ 2] ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ 481
позволяет получить параметрическое представление г-плоскости:
'/¦+11
C)
В частности, параметрическое представление прямой в я-мерном
проективном пространстве имеет вид
** = Р*А + <7*Ц, k = l, .... п + \,
где Р = (рх р„+1) и Q = (qv .... qn+1) — некоторые фиксирован-
фиксированные точки, а Я, и ц пробегают всевозможные числовые значения,
кроме запрещенной пары значений Л, = ц = О. Множество всех
гиперплоскостей гс-мерного арифметического проективного про-
пространства, так же как и множество всех его точек, находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством всех классов,
состоящих из пропорциональных между собой наборов из п +1
чисел. Точка (х1:...:ха+1) и гиперплоскость («х:...: ип+1) арифме-
арифметического проективного пространства называются инцидентными
между собой, если они связаны равенством A). Так же как и
в случае проективной плоскости, имеет место равноправие между
точками и гиперплоскостями проективного пространства, выра-
выражающееся в следующем принципе двойственности. Если верно
какое-нибудь утверждение, касающееся точек и гиперплоскостей
проективного пространства и тех или иных соотношений инци-
инцидентности между ними, то, заменяя в данном предложении слово
«точка» словом «гиперплоскость» и сохраняя инцидентность, мы
получим формулировку двойственного утверждения.
Предлагаем читателю в качестве весьма полезного упражне-
упражнения установить общий принцип двойственности в я-мерном про-
проективном пространстве, вытекающий из равноправия между т-пло-
скостями и (п — т — 1)-шюскостями.
§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования
1. Проективные координаты. Две аффинные системы координат
О&! ... ел+1 и Ое\ ... e'n+i в связке О (л +1)-мерного аффинного
пространства Rn+1 называются эквивалентными между собой, если
имеется такое число X =? 0, что
= А,е
„+1.
Относительно двух эквивалентных координатных систем всякий
луч связки (всякая точка проективного пространства) имеет одни
и те же наборы координат.
16 П. С. Александров
482
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
n-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1ГЛ. XIX
Как и в случае связки в трехмерном пространстве, класс
эквивалентных между собой аффинных координатных систем
в связке О пространства Rn+1 называется системой проективных
координат в связке О.
Наборами координат любого луча т (любой гиперплоскости а)
в связке относительно данной системы проективных координат
являются, по определению, наборы координат этого луча (этой
гиперплоскости) относительно любой аффинной системы координат
(в связке О), определяющей данную проективную координатную
систему. Переименовав связку в проективное пространство и повто-
повторяя рассуждения § 5 главы X, убеждаемся в том, что каждая
проективная координатная система в проективном пространстве Рп
задается я + 2 точками, из которых никакие я+1 не лежат
в одной гиперплоскости:
я +1 вершиной
координатного симплекса и «единичной» точкой Е. Эти я + 2 точек
называются фундаментальными точками данной координатной
системы.
В арифметическом я-мерном проективном пространстве имеется
привилегированная система координат, определенная точками
Х,-@:0:1:...:0) Хп+1 = @ : 0 :...: 1) ? = A : 1 :...: 1).
Относительно этой «иринилегиропанпой», или «однородной», системы
координат наборами координат любой точки арифметического про-
проективного пространства как раз и служат те числовые наборы,
классом которых и является, по определению, данная точка М =
Если наряду с исходной «привилегированной», или «однород-
«однородной», системой координат в арифметическом пространстве дана
«новая»"проективная система координат X[X% ... Х'а+\Е' какими-
нибудь наборами однородных координат своих фундаментальных
точек
•:С" + 1'*)'*=1 "¦• ' • A)
то, предварительно умножив, если необходимо, каждый из на-
наборов
Clb Cik,. .., Cnk, Cn + 1,k, k=\, ..., Я + 1,
на надлежаще подобранные"числовые множители \, К2,.,., А,„ + 1,
всегда можно предположить, что я+ 2 набора A) являются
согласованными между собой в смысле векторного равенства
lcll> ^ni- • ¦ > сп + l>if "Г {С12> С22>- • • i Cn + li2f "Г- ¦ ¦
. • ."Г"
+ I
f =
48*
(см. об этом гл. X, § 5).
В этом предположении однородные координаты xlt x2,..., хп + 1
произвольной точки М связаны с проективными координатами
той же точки относительно системы координат Х\ Х'ц.. .Х'п + гЕ' фор-
формулами преобразования координат
п + 1
k=l,..., n
(X —произвольный числовой множитель). Матрица коэффициен-
коэффициентов C = ||cjy|| в этих формулах не вырождена.
Таким образом, переход от исходной («однородной») системы
к новой системе проективных координат в n-мерном проективном
пространстве Р" осуществляется невырожденной матрицей по-
порядка п +1. Сам переход от старых координат к новым осущест-
осуществляется формулами B).
2. Проективно-аффинное пространство. До сих пор у нас
не было основания для выделения среди точек, прямых, fe-плос-
костей и гиперплоскостей проективного пространства несобствен-
несобственных, или бесконечно удаленных. Проективное пространство, в ко-
котором какая-нибудь одна гиперплоскость выделена и названа
«несобственной», называется проективно-аффинным пространством;
^-плоскости, лежащие в несобственной гиперплоскости, также на-
называются несобственными. Повод для выделения в «-мерном про-
проективном пространстве его несобственных элементов тот же, как
и в случае проективной плоскости.
Пусть в (я + 1)-мерном аффинном пространстве Rn + 1 дано
я-мерное подпространство R" и в нем — аффинная система коор-
координат оех.. .е„. Назовем аффинную систему координат Ое^. .е„ + х
пространства Ra + 1 естественно связанной с координатной систе-
системой oej.. .е„ я-мерного пространства Rn, если начало О системы
Oev. .е„ + j не лежит в пространстве Rn. Первые п единичных век-
векторов %,..., е„ в системе Оех.. .ея + г те же, что и в системе
оеь..е„, а последний вектор ел + 1 есть вектор tn + 1 = Oo. Очевидно,
что в системе координат Oev. .en + 1 уравнение подпространства
Rn пространства Rn + 1 есть
%п + 1 — 1 •
Возьмем теперь в #л + 1 связку О с центром О. Если М — произ-
произвольная точка гиперплоскости R", координаты которой в системе
16*
484
rt-MEPHOE ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
oex.. .ея суть ?lt... ,|„, то координаты этой точки в системе 0ег.. .е„ +
суть
\
Поэтому наборами координат луча т = ОМ связки О являются
все наборы х1,...,хп + 1, пропорциональные набору ?х ?„, 1.
Все такие наборы называются наборами однородных координат
точки М «в системе однородных координат, соответствующей аф-
аффинной координатной системе oet.. .е„». Таким образом, однород-
однородные координаты хх хп + 1 точки М связаны с ее аффинными
координатами |х>... ,\п в системе оех.. .е„ пропорцией
так что аффинные координаты 1ц...,!,, выражаются через одно-
однородные по формулам:
xi
xi t
„ >• • • > 5л
*1
Соответствие между точками М гиперплоскости и лучами т = ОМ
связки О называется перспективным соответствием. При этом соот-
соответствии каждой точке М гиперплоскости Rn, имеющей однород-
однородные координаты хъ... ,хп+1, соответствует луч связки, имеющий
те же координаты в системе Ое^. .е„+1.
Обратно, каждому лучу т = (хг:...: хп+1) связки, у которого
последняя координата хл+1ф0, соответствует точка М гиперплос-
гиперплоскости Rn с теми же координатами х1:...: хпп. Однако лучам
связки т = (х1:...:хп^), у которых x,,{i- 0, по соответствует ни-
никакая точка М гиперплоскости R". Чтобы перспективное соответ-
соответствие между связкой О и гиперплоскостью Rn сделать взаимно
однозначным, нужно дополнить гиперплоскость несобственными
точками, которым и приписать наборы однородных координат
#!,..., хп, 0. Пополненная таким образом гиперплоскость пре-
превращается в проективное пространство Pn = Rn, которое, естест-
естественно, делается арифметическим, если отождествить каждую его
точку М с классом наборов ее однородных координат. Таким об-
образом, арифметическое проективное пространство естественно рас-
рассматривать как проективное пространство, происшедшее от попол-
пополнения несобственными элементами обыкновенного «-мерного аффин-
аффинного пространства с заданной в нем системой аффинных координат
oev. .е„. Несобственные точки этого пространства суть точки
(хх:...: хл+1), у которых хл+1 = 0. Эти точки образуют несобствен-
несобственную гиперплоскость, уравнение которой есть
3. Проективные преобразования. Проективные преобразования
n-мерного проективного пространства определяются совершенно
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
485
так же, как проективные преобразования проективной плоскости.
Задать в n-мерном проективном пространстве проективное преоб-
преобразование—значит задать, наряду с исходной координатной систе-
системой (например, однородной системой координат арифметического
пространства), некоторую новую систему проективных координат;
определяемое этим преобразование состоит в том, что каждой точ-
точке М пространства ставится в соответствие точка, имеющая в но-
новой координатной системе те самые координаты, которые точка
М имела в исходной системе координат.
Замечание. Совершенно так же определяются и проектив-
проективные отображения одного проективного пространства на другое.
Из определения проективного преобразования следует (так же
как в случае плоскости), что проективное преобразование можно
определить как такое преобразование, которое ставит в соответ-
соответствие каждой точке М = (х1:...:хп+1) арифметического проектив-
проективного пространства точку М', однородные координаты которой суть
л + 1
1=1
1 = 1,..., я + 1.
C)
При этом матрица коэффициентов C = ||Q/||J>+j.1 есть невырожденная
матрица. Поэтому задать проективное преобразование «-мерного
проективного пространства —значит задать невырожденную мат-
матрицу (tt-f-l)-ro порядка.
Совершенно аналогично теореме 4 главы X доказывается основ-
основная теорема о проективных преобразованиях (п +1 )-мерного про-
проективного пространства, а именно, следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть Л1(..., Л„+1, В и А[ Лп+1, В'—два
набора из л+ 2 точек п-мерного проективного пространства, удов-
удовлетворяющих тому условию, что никакие из п-\-\ точек, принад-
принадлежащих одному из этих двух наборов, не лежат в одной и той
же гиперплоскости. Тогда существует единственное проективное
преобразование пространства Рп, переводящее первый набор точек
¦во второй, т. е. переводящее точки Ах, А2,..., Ап+1, В соответ-
соответственно в точки А[, А'ъ..., А'п+ь В'. Это преобразование ставит
в соответствие каждой точке М пространства Рп ту точку М',
которая в проективной системе координат А[...Л„+1 В' имеет
¦те же самые координаты, которые точка М имела в системе
А.. Ля+1 В.
Из этой теоремы вытекают следствия, аналогичные следствиям
теоремы 4 главы X, в частности, утверждение, что посредством
проективного преобразования /г-мерного проективного простран-
пространства можно (и притом бесконечным числом способов) перевести
любую данную гиперплоскость л в любую другую я'. При этом
преобразовании гиперплоскость я проективно отображается на
плоскость я'.
486
n-MEPHOE ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
1ГЛ. XIX
Из определения проективного преобразования следует, что ком-
композиция двух проективных преобразований пространства снова
является проективным преобразованием. Так как преобразование,
обратное к проективному, очевидно, также является проективным,
то из сказанного вытекает основной факт:
Теорема 2. Проективные преобразования проективного про-
пространства образуют группу (подгруппу в группе всех преобразова-
преобразований пространства).
Впрочем, теорема 2 легко выводится непосредственно из опре-
определения проективных преобразований посредством матриц: если
проективное преобразование Sf задается матрицей С, то обратное
преобразование 'ё'1 задается матрицей С~1\ если преобразования
?fx и ^2 задаются соответственно матрицами Сх и С2, то компо-
композиция этих преобразований задается произведением их матриц.
Непосредственно переносится на пространство и все сказанное
в главе X, § 6, о проективно-аффинных преобразованиях.
Наконец, и для пространства имеют силу формулы, аналогич-
аналогичные формулам для проективной плоскости, дающие запись (в аф-
аффинных координатах) образов собственных точек пространства при
проективном преобразовании его, а именно:
k=l п.
§ 3. Гиперповерхности второго порядка в л-мерном
проективном пространстве. Теорема единственности
Алгебраической гиперповерхностью в п-мерном проективном про-
пространстве называется мноокество точек, задаваемое в какой-нибудь
проективной системе координат уравнением
Ф (хъ
(I)
где Ф (xlt я2,... ,хп+1) — однородный многочлен (форма) от перемен-
переменных *!,..., Хп+1.
При переходе к другой системе проективных координат х{ x'n+i
координаты хг *л+1 испытывают однородное линейное преоб-
преобразование с невырожденной матрицей С, тождественно преобразу-
преобразующее форму Ф (xlt..., хп+1) в форму Ф' (х[ х'п+1) той же сте-
степени, что и форма Ф (*!,..., хп+1); степень уравнения (I), зада-
задающего данную гиперповерхность, не меняется при переходе к дру-
другой системе координат, она называется порядком данной гипер-
гиперповерхности.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
487
Мы будем рассматривать лишь гиперповерхности второго по-
порядка и в соответствии с этим будем предполагать, что левая
часть уравнения (I) есть квадратичная форма и уравнение гипер-
гиперповерхности будет иметь вид
Ф (хъ .... хп+1) = ? at,Xix, = 0.
A)
Без ограничения общности можно считать, что aij = a1i (если это не
n+i
так, нужно рассмотреть форму ^ &*/*'•*>» где btl=
Как всегда, билинейную форму, полярную к форме
Ф (*!,.... хп+1), обозначаем через W (xlt ..., *„+1; ух уп+1) или,
сокращенно, через
Мы будем предполагать, что проективное пространство Рп есть
результат пополнения несобственными точками л-мерного аффин-
аффинного пространства R" с выбранной в нем аффинной системой
координат oej.-.e,,, порождающей раз навсегда заданную систему
однородных координат. В соответствии с этим будем писать Pn = Rn.
Если не оговорено противное, будем предполагать, что уравнения
рассматриваемых гиперповерхностей заданы именно в этой одно-
однородной системе координат. Это не помешает нам, разумеется, счи-
считая эту систему координат исходной, привлекать произвольные
другие проективные системы координат.
Множество X собственных точек гиперповерхности A) совпа-
совпадает с множеством точек аффинного пространства R", координаты
которых в системе ое^.-е,, удовлетворяют уравнению
B)
Множество X пусто в том и только в том случае, когда an4-i,n+i ф,
а все остальные коэффициенты ац равны нулю. В этом случае
уравнение A) превращается в уравнение
fln+l,n+l*n + l=0 (loo)
дважды взятой несобственной гиперплоскости.
Теорема Зх. Если гиперповерхность A) состоит из одних
несобственных точек, то уравнение A) необходимо имеет вид A<х)
и определяемая этим уравнением гиперповерхность есть дважды
взятая несобственная гиперплоскость.
488
П-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
{ГЛ. XIX
Переходим ко второму случаю: пусть все несобственные точки
проективного пространства принадлежат гиперповерхности A),
и пусть эта гиперповерхность, кроме того, содержит по крайней
мере одну собственную точку. Тогда по крайней мере один и*
коэффициентов аф i, /=1, .... п, а1<п+1 ал,л+1 отличен
от нуля. По предположению всякая несобственная точка
(х1:х2:...:хп:0) удовлетворяет уравнению A), так что равенство
Ф(х1г
х„,0) = 2 al/Xlx! = 0 является при любых х1г ..., хл
числовым тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае
а.ц = О для всех i, ) = 1, .... п
и уравнение A) имеет вид
хл+1
2 2j at. я+1*< + Оя
0;
г( 1 ю
наша гиперповерхность распадается на пару гиперплоскостей, иа
которых одна есть несобственная гиперплоскость х„п = 0, а другая
имеет уравнение
п
2 ^J a'- »+1*' ~^~ яя+1,п+1#я+1 = 0»
1 = 1
в котором по крайней мере один из коэффициентов alin+i, а%пп, ••»
• ••.ал,п+х отличен от нуля и которое поэтому определяет некоторую
собственную гиперплоскость.
Теорема 32. Если гиперповерхность A) содержит всю несоб-
несобственную гиперплоскость, но не совпадает с ней, то она распа-
распадается на пару гиперплоскостей, из которых одна есть несобствен-
несобственная, а другая — собственная гиперплоскость. Уравнение A) в этом
случае имеет вид A?о).
Наконец, если гиперповерхность A) не содержит несобственной
гиперплоскости, то в ее уравнении по крайней мере один из коэф-
коэффициентов
Щ], i, /=1, ..., п,
отличен от нуля. Тогда уравнение B) определяет в аффинном-
пространстве Ra гиперповерхность второго порядка, совпадающую
с множеством X всех собственных точек гиперповерхности A).
Эта последняя получается пополнением гиперповерхности B)
всеми несобственными точками (л^: ...: хп : 0), удовлетворяющими
уравнению A), переходящему при л;„+1 = 0 в уравнение
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
489
Поэтому несобственные точки гиперповерхности A) суть не
что иное, как несобственные точки, удаленные в бесконечность
в направлениях, асимптотических для гиперповерхности B).
Совершенно так же, как в случае кривых, мы выведем из дока-
доказанных результатов следующую теорему единственности для ги-
гиперповерхностей второго порядка.
Теорема 4 (теорема единственности). Если два
уравнения
л + 1
Ф (х1г х2, ..., *„+1) = 2 а^х/^О A)
.'./ = !
и
Ф'(Хъ Х2, .... Хпп)=
A')
определяют одну и ту же гиперповерхность Г второго порядка
в п-мерном проективном пространстве Р" = Rn, то коэффициенты
в обоих уравнениях A) и (Г) соответственно пропорциональны
между собой.
Доказательство, как и доказательство аналогичной теоремы
для кривых, состоит в разборе трех возможных случаев.
1° Все точки гиперповерхности Г несобственные. Тогда урав-
уравнения A) и (Г) имеют вид ап^ипПх2п^ = 0, соответственно
ял+1,п+1Х„+1 = 0, и утверждение доказано.
2° Гиперповерхность Г содержит несобственную гиперплос-
гиперплоскость, но не совпадаете ней. Тогда уравнения A) и (Г) имеют вид
/
хпп 2
V
= 0,
соответственно
Тогда гиперповерхность Г распадается на пару гиперплоскостей,
из которых одна — несобственная гиперплоскость *„+1 = 0, а дру-
другая — собственная гиперплоскость, определяемая любым из двух
уравнений
1 = 1
= 0.
490
А-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
Поэтому соответствующие коэффициенты в этих двух уравнениях про-
пропорциональны, так как остальные коэффициенты в уравнениях
A) и (Г) равны нулю, то утверждение теоремы единственности
доказано и в рассматриваемом случае.
3° Остается последний случай: гиперповерхность Г не содер-
содержит несобственной гиперплоскости. Тогда множество X собствен-
собственных точек гиперповерхности Г определяется в аффинной коорди-
координатной системе оег ... е„ из уравнений
2
i,t=\
Каждое из этих уравнений определяет в аффинном простран-
пространстве R" одну и ту же гиперповерхность второго порядка. Поэтому
в силу результатов главы XVIII соответственные коэффициенты
в уравнениях B) и B'), а значит, и в уравнейиях A) и (Г) про-
пропорциональны.
§ 4. Проективная классификация гиперповерхностей
второго порядка
Как известно, посредством линейного преобразования
п + 1
Хк = 2j ck)x'h k=l я + 1|
квадратичная форма Ф(*1, ..., хп+1) может быть тождественно
преобразована к каноническому виду, т. е. к виду
для форм ранга k, где все коэффициенты ех, еа, ..., ek равны ±1.
При этом индекс формы Ф, т. е. число положительных коэффи-
коэффициентов, в любом каноническом представлении данной формы
Ф (хи .... хп+1) одно и то же.
Для форм ранга k индекс может принимать значения k, ..., 1,0.
Однако при умножении формы на (—1) форма ранга k и индекса
г переходит в форму ранга k и индекса k — r. Поэтому гиперпо-
гиперповерхность второго порядка, заданная в однородных координатах
уравнением
Ф(*х хл+1) = 0, A)
4}
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
491
где форма Ф имеет ранг k, может быть в некоторой новой проек-
проективной системе координат задана уравнением вида
0 B)
{мы опускаем штрихи у переменных), где все zt равны itl и число
положительных среди них равно k, k—\, ..., —^— . Всего таких
уравнений имеется, очевидно, [-у + ' ¦ Формулы линейного пре-
преобразования сё мы можем понимать по нашему желанию или как
формулы перехода от одной координатной системы к другой, или
как формулы, определяющие проективное преобразование простран-
пространства. Поэтому полученный результат мы можем сформулировать
и так: всякая гиперповерхность Г второго порядка ранга k мо-
может быть превращена проективным преобразованием в гиперпо-
гиперповерхность Г', уравнение которой имеет вид B) в первоначальной
однородной координатной системе.
Так как посредством дополнительного проективного преобра-
преобразования всегда можно любую из координатных гиперплоскостей
Х{ = 0, i = l, .... я + 1. перевести в любую другую, то без огра-
ограничения общности мы можем предположить, что в каноническом
уравнении B) гиперповерхности ранга k члены с положительными
коэффициентами предшествуют членам с отрицательными. Поэтому
мы имеем следующий результат:
Всякая гиперповерхность второго порядка Г ранга k может
быть посредством проективного преобразования пространства
Pn = Rn переведена в гиперповерхность Г', уравнение которой в той
же исходной системе координат имеет один из следующих видов:
х\+х\+.. .
-•••-4 = 0,
Легко подсчитать, что для гиперповерхности ранга k имеется
ровно j-yl+l таких уравнений.
Подсчитаем общее количество S (п) канонических видов гипер-
гиперповерхностей второго порядка в и-мерном проективном пространстве
п+1 л+1
Ш
492
n-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
Если п четно, т. е. п — 21, то S = /a + 3/ +1, если п нечетно, т. е.
п = 2/ —1, то S = /2 + 2/. в частности, на проективной плоскости
(я = 2) мы получаем 5 различных канонических форм; в трехмер-
трехмерном проективном пространстве — 8 различных канонических форм.
Перенося на проективный случай терминологию, к которой
мы привыкли в аффинной геометрии, мы скажем, что две гипер-
гиперповерхности проективно эквивалентны, если посредством проек-
проективного преобразования пространства одна из этих гиперповерх-
гиперповерхностей может быть переведена в другую. Это же определение
может быть,_ очевидно, сформулировано и так: две гиперповерх-
гиперповерхности Yl и Г2 проективно эквивалентны, если существуют две
проективные системы координат I и II такие, что уравнение гипер-
гиперповерхности Гх в системе I таково же, как уравнение гиперпо-
гиперповерхности Г2 в системе II.
Выше мы установили, что каждая гиперповерхность второго
порядка в п - мерном проективном пространстве попадает в один
из S (п) классов гиперповерхностей, каждый из которых опре-
определен соответствующим уравнением. Из самого определения этих
классов следует, что все гиперповерхности, принадлежащие
к одному из классов, проективно эквивалентны между собой.
Поэтому для того, чтобы показать, что полученные S (п)
классов образуют полную проективную классификацию веществен-
вещественных гиперповерхностей второго порядка, надо лишь убедиться
в том, что всякие две гиперповерхности, принадлежащие к раз-
разным классам, проективно не эквивалентны между собой.
Теорема 5. Если (]\(х *„,,) -0 и <Г>У(лг^ ..., хя+т) = 0
суть уравнения в проективной системе координат I двух проек-
проективно эквивалентных гиперповерхностей второго порядка, то фор-
формы Фг и Ф2 имеют один и тот же ранг и одну и ту же абсо-
абсолютную величину сигнатуры.
В самом деле, пусть при проективном преобразовании, пере-
переводящем гиперповерхность аг в гиперповерхность а2, проективная
система координат I переходит в проективную систему координат Г.
Тогда гиперповерхность с2 имеет в системе координат Г то же
уравнение, которое гиперповерхность аг имела в системе I, т. е.
уравнение Ф^, .... х'п+1) = 0.
Но при переходе от системы координат I к системе Г урав-
уравнение Ф2(х1г ..., хп+1) = 0 гиперповерхности с2 тождественно преоб-
преобразуется в какое-то уравнение Ф?(х[, ..., х'„+1) = 0 той же гипер-
гиперповерхности сг2. Итак, гиперповерхность а2 имеет в одной и той
же системе координат Г два уравнения: <&i(x'lt ..., х'п+1) = 0 и
Фа (х[, ..., х'п+1)=0. Значит, формы Ф! (х[,.... х'пхх) и Фа (х\, ..., х'яп),
как левые части уравнений одной и той же гиперповерхности ста
в одной и той же системе координат Г, могут отличаться лишь
постоянным множителем, так что их сигнатуры совпадают, а ин-
«4]
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ
493
дексы могут отличаться лишь знаком. В то же время форма
Фа(х| х'„+1) получилась из формы Ф^ х„+1) тождест-
тождественным преобразованием (переходом от переменных хъ ..., хп+1
к переменным х\ лсл+1), значит, ранг и индекс форм Ф2 и Фа
одни и те же; поэтому ранги форм Фх и Ф2 совпадают, а сигна-
сигнатуры могут отличаться лишь знаком. Теорема доказана.
Из этой теоремы немедленно следует, что всякие две гиперпо-
гиперповерхности, принадлежащие к различным классам, проективно раз-
различны между собой.
Рассмотрим, в качестве примера, поверхности второго порядка
в трехмерном проективном пространстве Р3. Из всего сказанного
выше следует, что существует ровно восемь различных проектив-
проективных классов таких поверхностей:
xl = O, (K2)
x\+x\-xl-xi = 0, (КЗ)
= О, (К4)
= 0, (К5)
(Кб)
х]-х\ = 0, (К7)
х] = 0. (К8)
Посмотрим, какие поверхности содержатся в каждом из перечис-
перечисленных классов.
Класс (К8) состоит, очевидно, из поверхностей, каждая из
которых есть пара слившихся плоскостей.
Класс (К7) состоит из поверхностей, распадающихся на пару
вещественных различных плоскостей, а класс (Кб) —из поверхно-
поверхностей, распадающихся на пару мнимых сопряженных плоскостей.
Переходим к остальным классам. Для определенности и удоб-
удобства предположим до конца предпринятого нами исследования,
что система однородных координат, являющаяся исходной в про-
пространстве Р3 = $3, соответствует прямоугольной системе координат
ое^ез пространства R3.
Класс (К5) состоит из поверхностей, называемых веществен-
вещественными коническими поверхностями; все поверхности этого класса
проективно эквивалентны поверхности, определяемой в однородных
координатах уравнением
*i+*i-*i=0. (K5)
Собственные точки этой поверхности в системе координат
удовлетворяют уравнению
494
п-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
(ГЛ ХГХ
Зто уравнение обыкновенного вещественного круглого конуса. По-
Поверхность
0, (K4)
которой проективно эквивалентны все поверхности класса (К.4),
содержит единственную действительную точку @:0:0:1). При
переходе к неоднородным координатам в системе ое^вз уравнение
{К4) переходит в уравнение мнимого конуса хг+у2-\-гг = 0. По-
Поэтому все поверхности класса (К4) называются мнимыми коничес-
коническими поверхностями.
Переходим к поверхностям классов (Kl), (K2), (КЗ). Класс
{К1) состоит из поверхностей, проективно эквивалентных поверх-
поверхности, задаваемой уравнением
0 (Kl)
или, в неоднородных координатах,
*a + f/a + za + l=0. (I)
Это уравнение мнимого эллипсоида, в прямоугольной системе
oexe2e3 —даже мнимой сферы. Поверхности класса (К1) не содер-
содержат ни одной вещественной точки. Они называются мнимыми
овальными поверхностями.
Поверхности, образующие класс (К2), называются действи-
действительными овальными поверхностями; это поверхности, проективно
эквивалентные поверхности
x]-\-xl + xl-xl 0
или, в неоднородных координатах, поверхности
(К2)
В прямоугольной системе- координат ое1е2е3 уравнение (II) опре-
определяет обыкновенную действительную сферу. Итак, все поверхно-
поверхности класса (К2) суть поверхности, проективно эквивалентные
шаровой поверхности. Так как все прямолинейные образующие
поверхности шара мнимые, то действительные овальные поверхно-
поверхности (и тем более мнимые овальные поверхности) не имеют дейст-
действительных прямолинейных образующих.
Класс (КЗ) состоит из поверхностей, проективно эквивалентных
поверхности
(III)
или, в неоднородных координатах,
— 2a— 1=0.
Это однополостный гиперболоид.
SS]
ПРОЕКТИВНО АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
495
Поверхности класса (КЗ) называются кольцевидными. Название
объясняется тем, что всякая поверхность класса (КЗ), будучи
проективно эквивалентной однополостному гиперболоиду целиком
покрыта, как и этот последний, каждым из двух семейств своих
прямолинейных образующих. Но прямая в проективном простран-
пространстве есть замкнутая линия, поэтому прямолинейные образующие
однополостного гиперболоида (и всякой проективно эквивалентной
ему поверхности), будучи замкнутыми линиями, и придают всей
покрытой ими поверхности кольцеобразную форму — однополост-
ный гиперболоид, пересекаясь с бесконечно удаленной плоскостью
по действительному овалу, смыкается в бесконечности в кольцо.
Приведем, простой алгебраический критерий, позволяющий
судить, будет ли данная невырождающаяся поверхность овальной
или кольцевидной. Если поверхность ранга 4
{Хг, Х2, Хв, Xt) — U F)
есть действительная овальная поверхность, то дискриминант Д
формы Ф^, х2 х3, Xi) отрицателен.
Для кольцевидных и мнимых овальных поверхностей этот ди-
дискриминант положителен.
В самом деле, дискриминант квадратичной формы Ф при ли-
линейном преобразовании (??) переменных умножается на квадрат
детерминанта преобразования и, значит, сохраняет свой знак.
Так как в данном случае число переменных равно 4, т. е. чет-
четному числу, то знак дискриминанта Д не меняется и при умно-
умножении формы Ф на любой числовой множитель. Поэтому доста-
достаточно проверить сформулированный выше критерий после приведе-
приведения уравнения A) к каноническому виду (Kl), (K2) или (КЗ),
что не представляет затруднений. Рекомендуем читателю перенести
результат этого примера на случай гиперповерхностей второго
порядка в произвольном я-мерном проективном пространстве.
§ 5. Проективно-аффинная классификация поверхностей
второго порядка в трехмерном пространстве
В этом параграфе мы опишем распределение по проективным
классам поверхностей различных аффинных классов. Чтобы не
усложнять изложения, мы ограничиваемся случаем трехмерного
пространства и настоятельно рекомендуем читателю обобщить ре-
результаты этого параграфа на случай n-мерного проективного про-
пространства.
Очевидно, все мнимые эллипсоиды принадлежат классу (К1)
мнимых овальных поверхностей, а все действительные эллипсо-
эллипсоиды—классу (К2) действительных овальных поверхностей. Одно-
полостные гиперболоиды, как мы только что видели, являются
поверхностями класса (КЗ); каждая поверхность второго порядка
496
rt-MEPHOE ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
(ГЛ. XIX
должна попасть в один из классов (К1) — (К8), в частности, это
относится к двуполостным гиперболоидам и параболоидам. Но и
(двуполостные) гиперболоиды, и параболоиды суть действительные
поверхности ранга R = 4, поэтому каждая из этих поверхностей
находится в одном из классов (К2) или (КЗ).
Гиперболические параболоиды, имея действительные прямоли-
прямолинейные образующие, не могут находиться в классе (К2), значит,
они содержатся в классе (КЗ).
Наоборот, эллиптические параболоиды и двуполостные гипер-
гиперболоиды лишены действительных прямолинейных образующих, им
нет места в классе (КЗ), и они попадают в класс (К2).
Итак, среди поверхностей пространства Р3 = R3 все 'действи-
'действительные эллипсоиды, все двуполостные гиперболоиды и все эллип-
эллиптические параболоиды после пополнения их несобственными точ-
точками оказываются действительными овальными поверхностями,
т. е. образуют класс (К2).
Однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды
являются кольцевидными поверхностями, они заполняют собой
класс (КЗ).
Переходим к поверхностям ранга 3. В пространстве R3 это
конусы, действительные и мнимые, а также всевозможные цилин-
цилиндры второго порядка. В проективном пространстве Pa = R3 все
эти поверхности попадают в классы (К4) и (К5). При этом цилин-
цилиндры над невырождающимися действительными кривыми второго
порядка попадают в класс (К5), цилиндры над мнимыми эллипсами
содержатся в классе (К4). Итак, п проективном пространстве все
цилиндрические поверхности стамопитси конусами; так как все
образующие цилиндра параллельны между собой, то в проективном
пространстве все образующие данного цилиндра проходят через
одну и ту же несобственную точку — вершину той конической
поверхности, в которую, по пополнении несобственными точками,
превратится наш цилиндр.
Наконец, поверхности, распадающиеся на пару плоскостей,
находят в Р3 свое естественное место в классах (Кб), (К7), (К8).
Однако в классах (Кб) и (К8) содержатся, кроме того, поверхно-
поверхности, не представленные поверхностями второго порядка в R3 (т. е.
не получающиеся из них посредством пополнения их несобствен-
несобственными точками). Именно в классе (Кб) имеется поверхность, рас-
распадающаяся на пару плоскостей, из которых одна собственная,
а другая несобственная, в классе (К8) имеется дважды взятая
несобственная плоскость.
За исключением этих двух случаев, каждой поверхности вто-
второго порядка Г в проективном пространстве Р3 = R3 соответствует
в R3 вполне определенная поверхность второго порядка Г, а именно
поверхность, состоящая из всех собственных точек поверхности Г.
«51
ПРОЕКТИВНО-АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
497
Для краткости мы часто будем называть поверхность Г «аффинной
поверхностью» соответствующей поверхности Г.
Замечание. Результаты, изложенные в этом параграфе,
могут быть получены и простым вычислением.
Покажем, что двуполостные гиперболоиды и эллиптические пара-
параболоиды принадлежат к классу (К2), а гиперболические парабо-
параболоиды—к классу (КЗ).
Для этого перейдем в уравнении двуполостного гиперболоида
к однородным координатам; получим
Проективное преобразование
х{
хг,
4 =
переводит эту поверхность в поверхность
т. е. в шаровую поверхность х2 + у2 + г2—1 =0.
Переходим к параболоидам. Их уравнения
при переходе к однородным координатам превращаются в
Проективное преобразование
х\ = xlt
*з =
Х3-\- ~2~Я
т. е.
i = xu
! = Х'ъ,
1 • I 1 ,
-^Хъ -+¦ у^,
Хз — Х4,
498
n-MEPHOE ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
переводит эти поверхности в поверхности
*? + х\ — *з + х\ = в (в случае эллиптического
параболоида);
х\ — х\ — х\-\-х\ = Ъ (в случае гиперболического
параболоида).
Первая гз них —овальная, вторая — кольцевидная поверхность.
Покажем теперь непосредственным вычислением, что все
цилиндры относятся к проективному классу конических поверхно-
поверхностей. Для гиперболического и эллиптического цилиндров
это сразу следует из того, что их уравнения после перехода
к однородным координатам превращаются в
х! + хЗ-х? = 0, A)
соответственно в
лс?-*3-*? = О. B)
Проективное преобразование
о = Хп,
соответственно
х,,
переводит поверхности A), B) соответственно и
JC) -\-Хч —X3 = U И JC3 —X2 —X\ = U,
т. е. (отбрасывая штрихи и умножая второе уравнение к- — 1 з
Случай цилиндра над мнимым эллипсом читатель разберет сам.
Наконец, параболический цилиндр у2 = 2хв однородных коорди-
координатах получает уравнение х\ — 2хг дс4 = 0 или после преобразования
координат
Х2,
хх = — х\ 4- хъ
уравнение х'\ -\-х? — x'i =0. Это уравнение конической поверх-
поверхности.
ности.
5 51
ПРОЕКТИВНО АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
499
Переходим к проективно-аффинной классификации, т. е.
к разбиению совокупности поверхностей второго порядка в проек-
проективном пространстве P3 = R* на классы поверхностей, эквивалент-
эквивалентных между собой по отношению к прооктишю-аффииним преобра-
преобразованиям (см. § 2).
По существу'), проективио-аффииная классификация поверх-
поверхностей второго порядка Г в /?:( совпадает с аффинной классифи-
классификацией соответствующих аффинных поверхностей Г в R3. Если
Г\ и Г2 — две поверхности, принадлежащие к одному и тому же
проективно-аффинному классу в R3, то соответствующие им
поверхности Гх и Г2 в R3, очевидно, аффинно эквивалентны.
Однако если существует аффинное отображение ed пространства R3,
переводящее поверхность Г! в поверхность Г2, то при этом отобра-
отображении направления, асимптотические для поверхности Гь перей-
перейдут в направления, асимптотические для поверхности Га; поэтому
проективно-аффинное преобразование а^, являющееся продолже-
продолжением аффинного преобразования erf на все пространство R3, пере-
переводит несобственные точки поверхности Гх в несобственные точки
поверхности Г2 и отображает первую из этих двух поверхностей
на вторую. Итак, две поверхности Fi и Гг проективного простран-
пространства R* тогда и только тогда принадлежат к одному и тому же
проективно-аффинному классу, когда соответствующие аффинные
поверхности Г\ и Г8 принадлежат к одному и тому же аффинному
классу.
Мы покажем, что проективно-аффинный класс поверхности
-второго порядка Г в проективном пространстве R3 или (что то
же) аффинный класс поверхности Г в R3 полностью определяется
проективным, классом данной поверхности и проективным классом
той кривой второго порядка, которая является пересечением дан-
данной поверхности с несобственной плоскостью.
Итак, посмотрим, по каким кривым поверхности различных
проективно-аффинных классов пересекаются с несобственной пло-
плоскостью. Заметим прежде всего следующее: мы видели, что если при
данном проективном преобразовании пространства какая-нибудь
плоскость п отображается на некоторую плоскость л', то это ото-
отображение плоскости л на плоскость л' есть отображение проектив-
проективное. В частности, производимое проективно-аффинным преобразо-
преобразованием преобразование несобственной плоскости является проектив-
проективным преобразованием. Отсюда следует, что всякие две поверхности,
принадлежащие к одному и тому же проективно-аффинному классу,
пересекают несобственную плоскость по проективно эквивалентным
1) То есть за исключением случая, когда поверхность содержит иесобствен-
вую плоскость.
500
n-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
кривым второго порядка. Поэтому для определения проективного-
класса кривых, по которым несобственную плоскость пересекают-
кривые данного проективно-аффинного класса, достаточно взять
какую-нибудь поверхность этого класса, например поверхность,
задаваемую простейшим каноническим уравнением поверхностей
данного класса. Этим уравнением будет для действительных кону-
конусов уравнение х2-{-у2 — 22 = 0 или, в однородных координатах,
*! + *!-4 = 0; (К5)
для мнимых конусов x2 + y2 + z2 = 0 или, в однородных коорди-
координатах,
*? + 4 + 4 = 0; (К4).
для эллипсоидов х2 + у2 + г2 = ± 1 или, в однородных координатах,
и т. д.
Заметим, во-вторых, что по сказанному в§ 3 несобственные точки
данной поверхности второго порядка совпадают с несобственными
точками ее асимптотического конуса.
Как следует из простейших канонических уравнений (К.5)
и (К4) канонических поверхностей, действительный, соответственно
мнимый конус пересекается с несобственной плоскостью по дей-
действительному, соответственно по мнимому овалу. В главе VIII,
§ 4, мы выяснили, каков конус асимптотических направлений
поверхностей любого аффинного типа.
Конус асимптотических направлении эллипсоида является мни-
мнимым, а конус асимптотических направлений как двуполостного,
так и однополостного гиперболоида — действительным конусом;
конус асимптотических направлений параболоида вырождается
в пару различных плоскостей; действительных для гиперболиче-
гиперболического и мнимых сопряженных для эллиптического параболоида.
Итак, эллипсоид, как действительный, так и мнимый, пересе-
пересекается с несобственной плоскостью по мнимому овалу. Гипербо-
Гиперболоиды, как однополостный, так и двуполостный, пересекаются
с несобственной плоскостью по действительному овалу. Парабо-
Параболоиды касаются несобственной плоскости по паре различных прямых:
действительных в случае гиперболического, мнимых и сопряженных
в случае эллиптического параболоида1). Таким образом, в приме-
!) Таким образом, гиперболоиды могут быть определены как невырождаю-
щиеся поверхности второго порядка, пересекающиеся с несобственной пло-
плоскостью по действительному овалу; среди этих поверхностей однополостные
гиперболоиды являются кольцевидными, а двуполостные —овальными. Пара-
Параболоиды могут быть определены как невырождающиеся поверхности, касаю-
касающиеся несобственной плоскости: при этом гиперболические параболоиды
являются кольцевидными, а эллиптические —овальными поверхностями, в соот-
§51
ПРОЕКТИВНО-АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОПЕРХПОСЛТЙ
Б01
нении к невырождающимся поверхностям мы уже доказали наше
основное утверждение: проектинно-аффипимй тип такой поиерх-
ности полностью определен ее проективным классом и проективным
классом ее пересечения с несобственной плоскостью.
Переходим к поверхностям ранга 3. Мы ужо видели, что дей-
действительный конус пересекается с несобственной плоскостью по
действительному овалу, а мнимый — по мнимому.
Остаются цилиндры. Как мы видели и § 4 главы VIII, конус
асимптотических направлений всякого цилиндра вырождается в пару
плоскостей: действительных и различных для гиперболического
цилиндра, мнимых и сопряженных для эллиптического. Конус
асимптотических направлений параболического цилиндра вырожда-
вырождается в пару совпадающих плоскостей. В соответствии с этим все
цилиндры дают в пересечении с несобственной плоскостью кривую,
распадающуюся на пару прямых, другими словами, все цилиндры
касаются несобственной плоскости; при этом гиперболические ци-
цилиндры касаются несобственной плоскости по паре различных дей-
действительных прямых, эллиптические — по паре мнимых сопряжен-
сопряженных прямых, параболические цилиндры касаются несобственной
плоскости по паре совпадающих прямых.
Чтобы наглядно представить себе всю картину, возьмем самый
обыкновенный круглый конус и три плоскости а, а', а", прохо-
проходящие через его вершину н расположенные следующим образом.
Плоскость а пересекает конус по паре его образующих. На
рис. 135, а плоскость а есть плоскость рисунка. Единственной
действительной точкой конуса, лежащей в плоскости а', пусть
является его вершина (рис. 135, б), так что плоскость ее' пересе-
пересекает конус по паре мнимых сопряженных прямых. Наконец, пло-
плоскость а" возьмем так, чтобы она касалась конуса по его обра-
образующей, которая, дважды взятая, и является пересечением пло-
плоскости а" с нашим конусом (рис. 135, в). Представим себе теперь
три проективных преобразования erf, о//', erf" пространства Р3,
переводящих соответственно плоскости а, а', а" в несобственную
плоскость. Каждое из этих преобразований превратит наш конус
в цилиндрическую поверхность: преобразование erf — в гипербо-
гиперболический, преобразование erf' — в эллиптический, преобразование
erf" — в параболический цилиндр.
Переходим к поверхностям, распадающимся на пару плоскостей.
Пара различных действительных плоскостей х2 — у2 = 0, соответ-
соответственно х2 — 1 = 0 записывается в однородных координатах в виде
х\ — х\ = 0, соответственно х\ — х\ = 0. Пересечение с несобствен-
ветствии с чем касание первых происходит по паре действительных, а касание
вторых —по паре мнимых сопряженных прямых, Наконец, эллипсоиды суть
невырождающиеся поверхности (содержащие или нет действительные точки),
пересечение которых с несобственной плоскостью происходит по мнимому овалу.
¦502 n-MEPHOE ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО ГГЛ. XIX
яой плоскостью есть в первом случае пара различных прямых
«о втором — пара совпадающих прямых
Точно так же пара мнимых сопряженных плоскостей
jc\-{-x\ = 0, соответственно х\ -\~х\ — 0, в пересечении с несобственной
плоскостью дает в первом случае пару мнимых сопряженных
дарямых
jcx + ixt = 0, xt = 0,
SB]
ПРОЕКТИВНО-АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
S03L.
во втором — пару совпадающих (действительных) прямых
х\ = 0, хл = 0.
Итак, выяснение вопроса о характере расположения поверх-
поверхностей различных аффинных классов относительно несобственно»'
плоскости закончено. Закончена и проективно-аффинная класси-
классификация поверхностей, так как из сделанного разбора всех пред-
представляющихся случаев вытекает, что аффинный класс каждой по-
поверхности взаимно однозначно соответствует паре, состоящей из
проективного типа данной поверхности и из проективного типа
ее пересечения с несобственной плоскостью.
Заметим, что проективный класс пересечения поверхности дан-
данного аффинного класса с несобственной плоскостью легко уста-
установить и непосредственно, не обращаясь к конусу асимптотических,
направлений: достаточно взять простейшее уравнение поверхности
данного аффинного класса для эллипсоида х2-\-у2-\-г2 = ± 1,
для однополостного, соответственно диумолостпого гиперболоида.
х2 + уа — га= ± 1, для параболоидлн 2г - - х2 i'jA перейти затем
в этих уравнениях к однородным координатам и, наконец, поло-
положить *4 = 0.
Таким образом, получаются следующие крииые пересечения
с несобственной плоскостью х4 — 0:
*i+*! + *a = 0, *4-0 для эллипсоида (действительного и мни-
мнимого),
x'+x'i — х» = 0, х4 = 0 для однополостного и двуполостного-
гиперболоидов,
х\±х\ = 0, *4 = 0 для параболоидов.
Уравнения цилиндров в однородных координатах записываются*
в виде
x]-\-xlqz x\ = 0 для эллиптического цилиндра
(действительного и мнимого),
х\ — л:, — х| = 0 для гиперболического цилиндра,
х\ — 2xxxt = 0 для параболического цилиндра;
из уравнений видно, что пересечения с несобственной плоскостью*
дают: пару действительных прямых
¦** — х\ = 0, *4 = 0 для гиперболического цилиндра,
пару мнимых прямых
*i+*9 = 0, #4 = 0 для эллиптического цилиндра,
пару совпадающих прямых
Xj = 0, *4 = 0 для параболического цилиндра.
Итогом всего исследования является следующая таблица:
604
в-МЕРНОЕ ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
[ГЛ. XIX
Таблица поверхностей второго порядка
А. Невырожаающиеся поверхности (поверхности ранга 4)
Аффинный класс и его
представитель
Проективный класс
поверхности
Проективный класс пересе-
пересечения поверхности с несоб-
несобственной плоскостью
1) Действительные
эллипсоиды
2) Мнимый эллипсоид
3) Двуполостные гипер-
гиперболоиды
4) Однополостные гипер-
гиперболоиды
5) Эллиптические пара-
параболоиды
6) Гиперболические
параболоиды
7) Действительный конус
Действительная оваль-
овальная поверхность
Мнимая овальная поверх-
поверхность
Действительная овальная
поверхность
Кольцевидная поверх-
поверхность
Действительная оваль-
овальная поверхность
Кольцевидная поверх-
поверхность
Действительная кониче-
коническая поверхность
Мнимый овал
Мнимый овал
Действительный овал
Действительный овал
Пара мнимых сопряжен-
сопряженных прямых
Пара различных действи-
действительных прямых
Действительный овал
Б. Поверхности ранга 3 (конические и цилиндрические)
8) Мнимый класс (од-
(одна действительная
точка)
9) Действительный эл-
эллиптический цилиндр
10) Мнимый эллиптиче-
эллиптический цилиндр
11) Гиперболический ци-
цилиндр
12) Параболический ци-
цилиндр
Мнимая коническая по-
поверхность (одна дейст-
действительная точка)
Действительная кониче-
коническая поверхность
Мнимая коническая по-
поверхность (одипгтпен-
11НЯ дсйспние.'П.п.-ш
точка — нссобс i itcinuiii)
Действительная кониче-
коническая поверхность
Действительная кониче-
коническая поверхность
Мнимый овал
Пара мнимых сопряжен-
сопряженных прямых
Пара мнимых сопряжен-
сопряженных прямых
Пара действительных
различных прямых
Пара совпадающих (дей-
(действительных) прямых
В. Поверхности проективного ранга 2 и 1 (пары плоскостей)
13) Пара действительных
пересекающихся
плоскостей
14) Пара мнимых пере-
пересекающихся пло-
плоскостей
15) Пара действительных
параллельных пло-
плоскостей
16) Пара мнимых парал-
параллельных плоскостей
17) Пара (действитель-
(действительных) совпадающих
плоскостей
Пара действительных
различных плоскостей
Пара мнимых различных
плоскостей
Пара действительных
различных плоскостей
Пара мнимых различных
плоскостей
Пара (действительных)
совпадающих плоско-
плоскостей
Пара различных действи-
действительных прямых
Пара различных мнимых
прямых с действитель-
действительной точкой пересечения
Пара (действительных)
совпадающих прямых
Пара (действительных)
совпадающих прямых
Пара (действительных)
совпадающих прямых
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 23
Аксиомы аффинного пространства 358,
359
— линейного пространства 330, 331
Аннулятор 439
Асимптота кривой второго порядка 163,
164, 168, 174, 322
— поверхности второго порядка 227,
228
Асимптоты гиперболы 79
Базис 20, 24, 25, 89, 336, 360
— билинейной и квадратичной функ-
функции канонический 408
— координатной системы 89, 360
— ортогональный 92, 93, 433
— ортонормальный 433
Векторы сопряженные относительно
поверхности 251
Величина угла между дг'мя векторами
в я-мерном евклидовом пространстве
437, 438
Вершина конической поверхности 135
— кривой второго порядка 72, 75, 79,
191
— эллипса 75
Вид билинейной формы канонический
408
— канонический ортогонального опе-
оператора 448
унитарного оператора 44(i
— квадратичной формы канонический
408
Вращение аффинного нростринстии -15G
— плоскости 36
Вектор 9
— асимптотического направления
160—164, 224, 227
— вещественный 131
— единичный 13, 20, 23, 25
— закрепленный 359
— замыкающий 12
— линейного оператора собственный
388
— мнимый 131
— нулевой 9
— ортогональный к подпространству
439
— переноса 452
— поверхности асимптотический 224,
466
— прямой направляющий 41, 44, 46
— свободный 10
Векторы базисные 20
— взаимно сопряженные 175
— инвариантные 388
— коллинеарные 18, 20, 21
— компланарные 18, 20, 21
Гипербола 75, 83, 143
Гиперболоид 203
— d «-мерном аффинном пространстве
472
— двуполостмый 203
— индекса т 472
— однополостный 203
— правильный 203
вращения 205
Гиперплоскость 376
— диаметральная 467
Гомотетия 454
Группа аффинных преобразований 452
— вращений 456, 457
— движений 456, 457
— переносов 456, 457
— центроаффинных преобразований 452
Движение 105, 454
— винтовое 461
— я-мерного аффинного евклидова про-
пространства в координатах 454
506
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение несобственное (второго рода)
Ч457
— собственное (первого рода) 457
Деление отрезка в данном отношении
26, 27
Дефект линейного оператора 385
Деформация непрерывная 97
Диаметр кривой второго порядка 173,
174
Диаметры взаимно сопряженные 177
— гиперболы 177
— главные 187
— параболы 178
— центральной кривой сопряженные
177
— эллипса 177
Директриса параболы 70
Директрисы гиперболы 80, 81
— эллипса 80, 81
Дискриминант квадратичной формы 403
Длина вектора 9
— отрезка 9
Дополнение алгебраическое 344
— ортогональное 439
Единица измерения длин 13, 27
Зависимость векторов линейная 22, 332
Закон инерции для вещественных квад-
квадратичных форм 413
Замыкание выпуклое 371
— линейное 340
Значение вектора алгебраическое 13
— линейного оператора собственное
388
— проекции вектора алгебраическое 24
№оморфизм аффинных пространств 362
— линейных пространств 334
— проективных плоскостей 290
Инварианты многочлена второй степени
ортогональные 146, 147
Индекс квадратичной формы 413
функции 413
Инцидентность точек прямых, плоско-
плоскостей, гиперплоскостей 280, 479
Касательная плоскость 225
Классификация гиперповерхностей вто-
второго порядка аффинная 471
— кривых второго порядка аффинная
156
проективная 325
проективно - аффинная
325—329
— поверхностей второго порядка аф-
аффинная 275
— — проективная 493
проективно-аффинная 495
Клетка жорданова 420
Комбинация векторов линейная 13, 332
— — нетривиальная 21, 332
Комплсксификация вещественною ли-
линейного пространства 355
Композиция операторов 383
Конус асимптотический 205, 229
— асимптотических направлений 229
— вращения 266
— вырожденный индекса т 477
— мнимый 266
с (л — г)-мерной вершиной 477
— с вершиной в точке индекса от 173
Координаты барицентрические 369
— — точки на прямой 364
— вектора в л-мерном аффинном про-
пространстве 360
— —линейном пространстве 336
— — на прямой 13
— ги1нм>1111()< not in и га мерном проек-
1ИШЮМ iipiK i p пи ' in 4HU
— однородные в пространстве 4 0
— — гиперплоскости 480
— — прямой 289
— плоскости в проективном простран-
пространстве 480
связки 480
— проективные луча связки 285
га-мерной связки 479
— точки однородные 283
— — полярные 37, 40
прямоугольные 28, 29
цилиндрические 40, 41
Кривая вещественная алгебраическая
116
— второго порядка невырождающаяся
316
Кривые аффинно эквивалентные 125
— второго порядка изометрические 185
метрически эквивалентные 185
касательная гиперплоскость 465 Лемма Шаля 13
— к кривой второго порядка 165, 166 Луч связки 280
поверхности второго порядка 224 особый 281
предметный указлтгль
Г.07
Матрица аффинного преобразования
451, 452
— билинейной формы 401
— — функции 401
— квадратичной формы 403
функции 403
— линейного оператора ЗЯО, 381
— ортогональная 93
— перехода 89
— поверхности второго порядка боль-
большая 218
малая 218
— преобразования координат 90
— системы линейных уравнений 350,
372
— — расширенная 372
Меридиан поверхности вращения
137
Многообразия векторные 22
Многочлен характеристический 390
Множество выпуклое 371
Наклон вектора к вектору 37
оси 37
Направление кривой второго порядка
особое 177
— поверхности второго порядка особое
243, 252
— самосопряженное 177
Направления, взаимно сопряженные
относительно гиперповерхности
469
— для гиперповерхностей второго по-
порядка в га-мерном пространстве со-
сопряженные 469
— — кривой второго порядка сопря-
сопряженные 175
поверхности второго порядка со-
сопряженные 251, 252
— изотропные 162
— кривой второго порядка асимптоти-
асимптотические 160
главные 18
— поверхности второго порядка асимп-
асимптотические 224
— — главные 258
Направляющая конуса 135
— цилиндра 133
Направляющие косинусы 81
Начало координат 23, 25, 37, ЗбО
Неравенство Коши — Буи яковс кого
437
— треугольника для векторов
437
точек 438
Oflnпочки пммукллн H7I
— лнпгйнни 1140
Odpn i чиш'ншн п iiiirpinopn |H1
Of П
|
личп кит и |||,|Гни|A||Д|| |'i ,47
одними и» пин (i I him Ii6i> 1ППДЛ
— IIIII1I |JXMIII III II lOlllll (I IHllMlllUn
207, VII
Odi.cM (ipnt'ii 1111 >< i м 111111 < 11 < > ипрп1! ii ii'ini-
11СД/1 M
OlirilU'l lll'lrillll KIIMII'II'HI ИПК1 Л1ШГИ
пою npoi ipiiiu inn .IMI
Онорлор липой ft .I7M
— нормальный 444
— ортогональный 445
— самосопряженный 447
— симметрический 447
— сопряженный 442
— унитарный 445
— эрмитов 447
Операции над векторами лимгПниг
9—13
Ордината 24
Ориентация 102, 103
Орт 27
Ортогонализация 434
Оси гиперболы 75, 76
— эллипса 72
Ось 13
— абсцисс 23, 25
— аппликат 25
— гиперболы вторая 76
первая 75
фокальная 75
— координат 23, 25
— ординат 23, 25
— параболы 71
фокальная 71
— полярная 37, 39
— симметрии кривой шорою пинидк»
186, 187
— эллипса вторая 72
первая 72
({окальпая 72
Отношение нскюроп I')
Отображение шЫжнпое 4Г>0
— изоморфное ЛМ, MV2
— линейных просфипегн линейное 37ft
— ПерСПСК ГИ1Н1(№ ПЛОСКОСТИ Hd ПЛО-
ckoiti. М'А
Отражение относительно гиперплоско-
гиперплоскости 401
плоскости 448
— — А-плоскости 458
прямой 458
точки 458, 459
508
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Отражение переносное 460
— поворотное от fe-мерной плоскости
458
Отрезок 363
— замкнутый 363
— направленный 9
— открытый 363
Парабола 69, 70, 84
Параболоид 208
— в л-мерном аффинном пространстве
473
— вращения 209
— гиперболический 208
индекса т 474
— эллиптический 208, 474
вращения 209
Параллелепипед аффинного простран-
пространства г-мерный 366
— ориентированный 34
Параллельность в широком смысле сло-
слова 376
— двух плоскостей 58, 59
— — — в л-мерном пространстве 376
прямых в пространстве 61, 62
— прямой и плоскости 58
Параметр параболического цилиндра
274
— параболы 71
— фокальный гиперболы 85, 86
— — параболы 86
— — эллипса 85, 86
Параметры параболоидов 208
Перенос параллельный 456
Пересечение гиперповерхности второго
порядка с прямой 464
— кривой второго порядка с прямой
165
— поверхности второго порядка с пло-
плоскостью 220
Перпендикуляр из точки на прямую
53, 55
— общий к двум прямым 55
Перпендикулярность двух векторов 32
— — плоскостей 67
— прямой и плоскости 67
Плоскости в аффинном пространстве
г-мерные 364
— в проективном пространстве 480
Плоскость арифметическая проектив-
проективная 289
— бесконечно удаленная 483, 484
— вещественная 129
— диаметральная поверхности второго
порядка 240
Плоскость комплексная 126
проективная 291
— мнимая 129
— несобственная 483, 484
— проективная 282
— проективно-аффинная 309
— связки особая 281
— центров 239
Поверхности аффинно эквивалентные
125 \
— второго порядка аффинно эквива-
эквивалентные 275
— вырождающиеся 201, 226
— распадающиеся 132
Поверхность 116
— алгебраическая 116
— вещественная 131
— вращения 136
— второго порядка 218
в проективном пространстве
495
вырождающаяся 201
— действительная овальная 494,
496
невырождающаяся 201
— кольцевидная 494, 496
— коническая 134
— мнимая овальная 494, 496
— центральная 238
— цилиндрическая 132, 133
Поворот вокруг начала координат 458
Подпространстпо евклидова простран-
пространств 4!Jf)
|
— линейного пространства 339
— унитарного пространства 439
Полуоси гиперболоидов 203
— гиперболы 75
— центральных поверхностей 267
— цилиндрической поверхности 271
— эллипса 72
— эллипсоида 201
Полуось эллипса большая 72
малая 73
Полуплоскость положительная 48
Полупространство положительное 62
Полюс полярной системы координат
37, 39
Порядок алгебраической кривой 116
— — поверхности 116
Преобразование аффинных координат
89, 90, 91
— координат на комплексной плоско-
плоскости 129
— проективно-аффинное в я-мерном
проективном пространстве 486
на плоскости 309—312
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
509
Преобразования аффинные 450
несобственные (второго рода)
453
— — собственные (первого рода) 453
Принцип двойственности для л-мерного
проективного пространства 481
проективной плоскости 292,
293, 294
Проекция вектора на плоскость 15
— прямую 15
— ортогональная 441
— точки на плоскость 15
— — — прямую 14, 15
Произведение вектора на число 12
— векторное 34
— операторов 383
— скалярное 81, 82, 436
— смешанное 35
Пространство арифметическое аффин-
аффинное 361
линейное 333—334
проективное 480
— аффинное 358—359
— евклидово 438
— линейное 330
— проективно-аффинное 483
— унитарное 438
Прямая бесконечно удаленная 281, 2Н2
— в л-мерном аффинном простргшстис
362
— несобственная 281, 282
— центров 239
Равенство векторов 9
Радиус полярный 38, 40
Радиусы фокальные эллипса 73
Разложение вектора 20, 21
Размерность линейного пространстпа
335
Ранг билинейной формы (функции) 406
— квадратичной формы (функции) 406
— линейного оператора 385
— поверхности второго порядка боль-
большой 218
— — малый 218
— системы уравнений 350
Расположение гиперповерхности и пря-
прямой в аффинном пространстве 464
— двух прямых в пространстве взаим-
взаимное 60, 61
на плоскости взаимное 45
Расстояние между двумя прямыми 52
точками 28, 29
— от точки до плоскости 67, С8
прямой (на плоскости) 52
Расстояние фокусное гиперболы 75
эллипса 72
Репер 89
— прямоугольный 91
Связка в л-мерном пространстве 479
— комплексная 291
— прямых и плоскостей 281
Сдвиг 358
Сигнатура вещественной квадратичной
формы 413
Симплекс 370, 371
— замкнутый 370
— координатный 482
— открытый 370
Система векторов максимальная ли-
линейно независимая 343
— инвариантов кривой второго по-
порядка полная 185
— координат {1Ax1I in и а п и пространстве
24, 25
— — — на плоскости 23
—- — и нросктшшом пространстве 482
— — K.'iiiQHM'KXKiDi для гиперболоидов
20.4
__ _ гиперболы 71
— — — — конуса итириго порядка
19Н
— — — — параболоидов 208
— — — — параболы 69
¦— — — — эллипса 72
эллипсоида 201
на плоскости и в пространстве
23, 24, 25, 27
полярная 37, 39—40
однородна» 283, 284
— — ортотплльния 438
— — проективная 297
Сумма векторов 11
— операторов 382
— подпространств 344
алгебраическая 344, 345
— прямая 345
Сфера 29
Теорема Бернулли — Шаля 461
— единственности для гиперповерх-
гиперповерхностей второго порядка 470
кривых второго порядка 181
поверхностей второго поряд-
порядка 254
— о приведении матрицы к жордано-
вой форме 431
510
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема о разложении движения л-мер-
ного аффинного пространства в
композицию отражений 461
ранге матрицы 346
— об изоморфизме линейных прост-
пространств 338
— Сильвестра (критерий Сильвестра)
415
— Штейница 340
Точка бесконечно удаленная 286
— кривой второго порядка двойная 322
— особая 322
— поверхности второго порядка двой-
двойная 487
особая 487
Точки геометрически независимые 368
— фундаментальные 482
Трансляций пространство 358
Трансляция 452
Углы Эйлера 104
Угол между двумя векторами 29
— — плоскостями 67
прямой и плоскостью 66, 67
прямыми 53
Уравнение гиперповерхности второго
порядка общее 463
— диаметральной гиперплоскости 468
— каноническое гиперболического па-
параболоида 208
гиперболоида двуполостного 203
— — — однополостного 203
гиперболы 77
конуса второго порядка 198
— — мнимого конуса второго поряд-
порядка 200, 201
— эллипса 143—144
эллипсоида 202, 203,
параболы 69
— — эллипса 73
эллипсоида 201
— — эллиптического параболоида 208
— касательной гиперплоскости 465
— — к кривой второго порядка 165,
166
плоскости к поверхности второго
порядка 225
— кривой второго порядка общее 140
— плоскости 56, 57
— поверхности второго порядка общее
218
— прямой 41, 43, 44
— — в векторной форме 47
— — нормальное 51
— характеристическое 390
— центра кривой второго порядка 170
Уравнение центральной гиперпоЕерхно-
сти второго порядка 471
— — поверхности второго порядка 237
Уравнения параметрические плоскости
56
прямой 47, 362
Условие параллельности двух плоско-
плоскостей 58, 59
— — прямой и плоскости в широком
смысле 58
прямых 46
— перпендикулярности двух векторов
32
прямых 53, 55
Фокус параболы 70
Фокусы гиперболы 75
— эллипса 72, 73
Форма билинейная 401
симметричная 401
— жорданова матрицы 420—421
— квадратичная 402
— линейная 395, 396
— нормальная Х-матриц 424
— полярная от данной квадратичной
403
Функция билинейная 400
симметричная 401
— квадратичная 401
— линейная 395
— эрмитова 431
— — положительно определенная 431
Центр вращения 460
— гиперболы 76
— гиперповерхности второго порядка
466
— кривой второго порядка 169
— поверхности второго порядка 235
— связки 280, 479
— симметрии эллипса 75
Цилиндр 132, 133
— гиперболический 197, 269, 272
с (/¦ — 1)-мерным основанием
477
— круглый 272
— мнимый с (г — 1)-мерным основа-
основанием 477
эллиптический 269, 272
— параболический 197, 269, 273
индекса т 476
с r-мерным основанием 476
— эллиптический 157, 269, 272
— — с (/¦ — 1)-керным основанием 477
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
511
Числа характеристические 390
Эквивалентность кривых проективная
326, 327
— поверхностей проективная 491, 493
Эксцентриситет гиперболы 76
— параболы 84
— эллипса 72
Эллипс 72, 83, 84
— действительный 143
Эллипс мнимый 144
Эллипсоид 201
— в n-мерном аффинном пространстве
— вращения вытянутый 202
сжатый 201
— действительный 201, 472
— мнимый 203, 472
Ядро линейного оператора 384