Текст
                    ПС. АЛЕКСАНДРОВ
КУРС
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
И ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ
Допущено Министерством высшего
н среднего специального обравоввния СССР
в качестве учебника для студентов
фиаихо-математинеских специальностей вузов

МОСКВА «НАУКА.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
j е 7 о

22.1B1.S A 40 УДК 516 Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, Главная редакция физико-ма- тематической литературы, 1979, 512 с. Книга представляет собой учебник по объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры для университетов. Наряду с традиционной тематикой книга содержит основные све- дения из многомерной аналитической геометрии, включая аффин- ную классификацию гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, в книге излагаются простейшие понятия геометрии н-мерного проективного пространства. Книга рассчитана на студентов-математиков и студентов-фи- зиков университетов и пединститутов, а также на все категории читателей, серьезно интересующихся математикой, Табл., илл. 133. 20203-132 053(02)-79 1702040000 @ Главная редакция физико-математической литературы издательстве «Наука», 1979.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................................................ 7 ЧАСТЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .................................. 9 Глава I. Простейшие понятия аналитической геометрии ................... 9 § 1. Векторы на плоскости и в пространстве ........................ 9 § 2. Проекции .................................................... 14 § 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты сектора относительно данного базиса ................................... 18 §4. Координаты на плоскоеiи и в пространстве..................... 23 § 5. Прямая линия в плоскости .................................... 41 § 6. Плоскость и прямая в пространстве ........................... 55 Глава II. Парабола. Эллипс. Гипербола ................................ 69 § 1. Парабола .................................................... 69 § 2. Эллипс ...................................................... 72 § 3. Гипербола ................................................... 75 § 4. Директрисы эллипса и гиперболы ............................... 80 § 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах ........................................ 85 Глава III. Преобразование координат. Движения и аффинные преобра- зования ........................................................... 89 § 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой ... 89 § 2. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой. 91 § 3. Ориентация пространства (плоскости) ......................... 96 § 4. Углы Эйлера ................................................ 103 § 5. Определение движения и аффинного преобразования плоскости и пространства ........................ 105 §6. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоско- сти и пространства. Основные свойства аффинных преобразо- ваний .................................................. ..... 107 §7. Аналитическое выражение аффинных преобразований ............ 113 Глава IV. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плос- кость и комплексное пространство ................................. 116 § 1. Определение алгебраических линий и поверхностей ............ 116 § 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат ................................................. . 119 § 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей............... 124 § 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство......... 126 § 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и кони- ческие поверхности, Поверхности вращения................... . 132 !•
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава V. Различные виды кривых второго порядка .................... 140 §1.0 линиях, определяемых уравнениями шорой степени с двумя неизвестными .............................................. 141 § 2. Инварианты многочлена второй степени ..................... 145 § 3. Центральный случай ....................................... 150 §4. Параболический случай: 6 = 0 ............................. 153 § 5. Аффинная классификация кривых второго порядка ........... 156 Глава VI. Общая теория кривых второго порядка ..................... 160 § 1. Асимптотические направления кривых второго порядка .... 160 § 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотичес- кого направления Касательные .................................. 165 § 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая Характеристика асимптотических и неасимптотических направлений ............................... 167 § 4. Центр кривой второго порядка ............................. 169 § 5. Диаметры кривой второго порядка .......................... 172 § 6. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и каса- тельные ...................................................... 174 § 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления ................................................... 178 § 8. Теорема единственности для кривых второго порядка. О полноте системы ортогональных инвариантов ............................. 181 § 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка 186 § 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях............. 192 Г лава VII. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка ........................................................... 195 § 1. Распадающиеся поверхности ................................ 195 § 2. Цилиндрические поверхности ............................... 197 § 3. Конусы второго порядка ................................... 198 § 4. Эллипсоиды и гиперболоиды ................................ 201 § 5. Параболоиды .............................................. 203 §6. Прямолинейные образующие ................................. 212 Глава VIII. Общая теория поверхностей второго порядка. 1 .......... 218 § I. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена вто- рой степени ................................................... 218 § 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью . . . 220 § 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптоти- ческие направления. Касательные прямые и касательная плос- кость. Особые точки поверхности второго порядка ............... 222 § 4. Асимптотические направления, конус асимптотическик направ- лений, прямолинейные образующие поверхностей второго поряд- ка .......................................................... 226 § 5. Центр поверхности второго порядка ........................ 235 Глава IX. Общая теория поверхностей второго порядка. II ........... 240 § 1. Диаметральные плоскости. Особые направления .............. 240 § 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов . . . 247 § 3. Сопряженные направления .................................. 251 § 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно коорди- натной системы с сопряженными направлениями осей.............. 253 § 5. Теорема единственности ................................... 254 § 6. Главные направления ...................................... 257 § 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка .................................................. 264 § 8. Аминная классификация поверхностей второго порядка . . . 275
ОГЛАВЛЕНИЕ Глава X- Проективная плоскость. Кривые второго порядка на проек* тивной плоскости ..........................................• • • • • § 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой . . . § 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке § 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость, общее определение проективной плоскости ...................... § 4. Принцип двойственности для проективной плоскости . . . . . § 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости ................................................ § 6. Проективные преобразования и отображения проективной плос- кости ........................................................ §7. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема единственности ............................................... § 8. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты .................................................... § 9. Проективная классификация кривых второго порядка......... 280 281 283 288 292 296 304 315 320 325 Ч Л С Т Ь II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Глава XI Линейные пространства .............................................. 380 § I. Определение линейного простр,’11111 B.T ............................ 330 § 2 111 iMepihieii,. b.i ше. К’оортипаiы ...............• ........... 335 §3. Теорема об июморфизме между любыми двумя линейными про- егрансптами одной и той же размерности . . . ._........................... 338 § 4. Подпространства линейного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе линейного про- § 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств 344 § G. Теорема о ранге матрицы .................................. 346 § 7. Системы линейных однородных уравнений .................... 349 § 8. Комплексификация и овеществление ......................... 354 Глава XII. Аффинное «-мерное пространство ......................... 358 § 1. Определение «-мерного аффинного пространства ............ 358 § 2. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство. Изоморфизм всех «-мерных пространств между собой............. 360 S3, г-мерпыс плоскости «-мерного аффинного пространства; г-мерпые парпллелспипсды ........................................... 362 §4. Геомс!рически независимые сисшмы точек. Барицентрические координаты Симплексы ...................................... 366 § 5. Системы линейных уравнений ................................ 372 Глава XIII. Линейные отображения ................................ 378 S 1. Определение и простейшие свойства линейных отображений 378 * 2. Матрица линейного отображения ............................. 380 § 3 Действия с линейными операторами.......................... 382 § 4. Ядро и образ линейного оператора ......................... 384 §5. Инвариантные подпространства и собственные векторы линей- ного оператора ............................................... 387 Глава XIV. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линей- ных пространствах ................................................. 395 § 1. Линейные функции ........................................ 395 § 2. Билинейные функции и билинейные формы ................... 400 § 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразова- ние при переходе к новому базису.............................. 403
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадра» тичной функции) ............................................... 408 §5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции («приведение квадрантных форм к каноническому виду>) ........................................ 408 § 6. Нормальный вид квадратичной формы ......................... 412 §7. Закон инерции для вещественных квадратичных (форм .... 413 § 8. Положительно определенные квадратичные функции и формы 414 Глава XV. Каноническая форма линейного оператора ................... 419 § 1, Жорданова форма............................................ 419 § 2. Х-матрицы. Элементарные преобразования Х-матриц............ 421 § 3. Нормальная форма Х-матрицы ................................ 423 § 4. Теорема о приведении матриц оператора к канонической форме 428 Глава XVI. Евклидовы и унитарные пространства....................... 432 § 1. Положительно определенные эрмитовы функции в линейном пространстве................................................... 432 § 2. Евклидовы и унитарные пространства н их простейшие свойства 436 § 3. Подпространства унитарных и евклидовых пространств. Ортого- нальное дополнение. Ортогональная проекция ................ . 439 § 4. Линейные операторы в унитарном пространстве ............... 442 § 5. Структура произвольного линейного оператора в евклидовом пространстве................................................. 447 Глава XVII. Преобразования аффинного пространства................... 450 § 1. Аффинные преобразования ................................... 450 § 2. Движения аффинного евклидова пространства ......... 454 § 3. Классификация движений .................................... 457 Глава XVIII. Гиперповерхности второго порядка в «-мерном аффинном пространстве ...................................................... 463 § 1. Общая теория гиперповерхностей второго порядка ............ 463 § 2, Классификация гиперповерхностей второго порядка ........... 471 Г ла в а XIX. Элементы геометрии «-мерного проективного пространства 479 § 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые .......... 479 § 2. Проективные координаты. Проективные преобразования .... 481 § 3. Гиперповерхности второго порядка в «-мерном проективном пространстве. Теорема единственности .......................... 486 § 4. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка 490 § 5. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка в трехмерном пространстве............................. 495 Предметный указатель................................................ 505
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга представляет собой учебник объединенного курса аналитической геометрии и линейной алгебры для университетов. Книга состоит из двух частей. Первая часть посвя- щена собственно аналитической геометрии и включает в себя порш,io десять глав книги. Во второй части (главы XI —XIX) изла1ается обязательный материал из линейной алгебры и основные сведения из многомер- ной аналитической геометрии, включая простейшие поня- тия геометрии «-мерного проективного пространства. Исходя из реальных целей университетского препо- давания, а также будучи стесненным требованиями объема, я отказался от дублирования материала, вхо- дящего в обязательный университетский курс алгебры. В первую очередь это относится к теории определите- лей и матриц, а также к некоторым частным вопросам теории систем линейных уравнений. Книгу эту, предназначенную для университетских студентов-первокурсников, я старался писать так, чтобы она была доступна каждому студенту —при единствен- ном условии, что он вообще склонен к математике и желает серьезно заниматься ею. Из вещей, не входящих в программу средних клас- сов общеобразовательной школы, этот «Курс» предпо- лагает лишь знание комплексных чисел, так что книга может служить и целям самообразования; я думаю, что она доступна всем тем учащимся старших классов сред- ней школы, которые любят математику, интересуются ею и готовы шаг за шагом ее изучать, не стремясь
в ПРЕДИСЛОВИЕ во что бы то ни стало начинать это изучение с пости- жения так называемых «последних слов науки». Приношу искреннюю благодарность рецензентам этой книги — профессору Льву Дмитриевичу Кудрявцеву и академику АН ГрузССР Георгию Северьяновичу Чого- швили за ценные советы и замечания, которые немало послужили улучшению предлагаемой читателю книги. Кроме того, я очень благодарен Алексею Серапионо- вичу Пархоменко за чрезвычайно ценные советы по пер- вой части этой книги. Его советы и предложения ока- зали большое влияние на ее окончательное формирование. Наконец, я благодарен моему ученику, научному сотруднику кафедры высшей геометрии и топологии Московского университета кандидату физико-математи- ческих наук В. И. Зайцеву за многообразную помощь, оказанную им при моей работе над этой книгой. П. Александров Москва, 27 декабря 1978 г.
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ГЛАВА 1 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ § 1. Векторы на плоскости и в пространстве I. Определение. Ajii сбр.1ические операции над векторами. Направ- ленным отреиа'м n.iiiiiHii icii упорядоченная пара точек Р и Q пространства I lepii.iii hi двух точек называется началом направ- ленного отрпка, в'1 оря я — его концом. Направленный отрезок называют короче вектором. Вектор с началом Р и концом Q обозначается через PQ, точка Р называется точкой приложения вектора PQ. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуле- вым вектором и обозначается через 0 = АА (точка А при этом любая). Направление нулевого вектора не определено. Расстояние между точками А и В называется длиной или модулем вектора АВ', модуль вектора АВ обычно обозначается через | АВ |. Определение (равенство векторов). Вектор АВ равен век- тору CD, если выполнено одно из следующих условий: 1° А = В н С = D. __ 2° А У=В; точки С и D принадлежат прямой АВ, причем ,001 = = |АВ | и точка D лежит с той же стороны от С, с какой точка В — от А (рис. 1). 3° А, В, С, D — четыре различные точки, никакие три из кото- рых не принадлежат одной прямой; прямые АВ и СО параллельны, и прямая АС параллельна прямой BD (рис. 2). Равенство векто- ров АВ и CD записывается так: АВ —CD. Отметим следующие свойства отношения = между векторами: 1. АВ = CD (отношение = рефлексивно). 2. Если AB = CD, то CD = AB (отношение— симметрично). 3. Если AB = CD и CD = EF, то AB — EF (отношение = тран- зитивно).
’О ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНЛЛИТИ'1Г< КОП ГГОМЕТРИЙ [ГЛ, t Выполнимость свойств 1—3 часто формулируют и следующем виде: отношение = есть отношение эквивален тное i и. 4. Если ДВ = СО, то | ДВ| = | СО!. 5. Для любых трех точек А, В и С существует единственная точка D такая, что AB = CD. Рассмотрим некоторый вектор АВ и обочп.шнм чере) и мно жество всех векторов, равных вектору АВ. Эго множество назьт вается классом эквивалентности, порожденным вектором АВ. Если CD принадлежит и, т. е. если ^Ь — АВ, то каждый вектор из н равен вектору CD и все векторы, равные вектору CD, принадле- Л В С В Рис. 2. Рис. 1. жат и. Следовательно, и будет также и классом эквивалент- ности, порожденным вектором CD. Класс эквивалентности и представляет собой новый математи- ческий объект, и мы называем этот обьект свободным вектором, порожденным каждым из равных между собой векторов, состав- ляющих данный класс. Мы будем часто писать и — АВ = CD —... и понимать под и как любой из равных между собой векторов АВ, CD и т. д., так и весь образованный ими'класс, т. е. свободный вектор. Определим теперь линейные операции над свободными векто- рами (сложение и умножение на число). 1° Сложение векторов. Пусть даны свободные векторы иг и и2. Приложим вектор их к какой-нибудь точке О: получим и,=ОЛ. Затем приложим и2 к точке А: получим и3 = ДВ. По определе- нию, вектор ОВ = и3 называется суммой векторов щ и иа (рис. 3), т. е. ОВ = бЛ4-4В Единственный элемент произвола, содержащийся в этом определе- нии, есть выбор точки О —точки приложения вектора их. Прила-
§ 1] ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ П гая вектор Uj к какой-нибудь другой точке О' (рис. 4), получим вектор О'А'— ОЛ — щ-, построим вектор Д'В' = и2; вектор О'В' = = О'А' 4- А'В', очевидно, равен вектору ОВ = ОЛ4-ЛВ. Если дан вектор и = ОЛ, обозначим через —и свободный век- тор, порожденный вектором АО. Тогда свободный вектор и + (— и) представляется вектором 00 и, д значит, равен 0. Х\ Рис. 3. Рис. 4. Теорема 1. Сложение векторов обладает следующими свойст- вами: 1. Для любых двух векторов и и v существует единственный вектор иД-v, называемый суммой векторов и и у. 2. Для любых и и v u + v=v4-u (коммутативность сло- жения). 3. Для любых u, v и w (u4-v) + w = u-|-(v + w) (ассоциатив- ность сложения). 4. Существует единственный вектор 0, называемый нулевым вектором, такой, что 0 4-u = u для всех и. 5. Для любого вектора и существует единственный вектор — и такой, что иД-(—и) = 0. Вектор —и называется вектором, про- тивоположным вектору и. Ассоциативность сложения векторов позволяет говорить о сумме трех векторов u14-ua4-u3, понимая под этим вектор v = th + (u2 + u3) = (и2 + u2) 4- и3. По индукции может быть определена и сумма любого числа век- торов И1 + . • . + Ил,
12 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГГЛ. I причем из ассоциативности следует, что, например, в случае четырех векторов мы имеем и1 + U2 + Из + Щ — U1 + (и2 + 1>3 + щ) = = (щ + U3) -f- (u3 -f- щ) = (ux U.. U:>) + u4. При этом в силу коммутативности можно произвольно менять порядок слагаемых. Из сказанного вытекает следующее удобное на практике правило сложения любого числа векторов («правило замыкающего вектора»). Для того чтобы сложить дан- ные п векторов, надо записать их в любом порядке: Uj, u2, .... u„, приложить первый вектор к ка- кой-нибудь точке О, а каждый следующий вектор —к концу пре- дыдущего, так что u4 = OAlf и2 = А4А2, •••> чп -Ап—1АЯ (рис. 5). Тогда сумма Uj-j-Ua-(-«•« . .. + u„ есть замыкающий век- тор ОАп. 2° Умножение вектора на число. Определим теперь произведе- ние вектора и на число X. Это произведение тоже является век- тором и обозначается через Хи. Если и =5^0 и Х>0, то выберем точку А, вектор и = АВ, при- ложенный к точке А, и такую точку С, что С лежит на прямой АВ по ту же сторону от точки А, что и В и | AG | = X | АВ ]. Тогда Хи —свободный вектор, порожденный вектором АВ. Если и#=0 и Х<0, положим Хи = — ((— X) и). Наконец, положим 0и = 0 для любого вектора и; Х0 = 0 для любого числа X. Теорема 2. Умножение вектора на число обладает следую- щими свойствами: 1. Для любого вектора и и любого числа X существует и един- ствен вектор Хи. 2. (Хх Х2) и = Хти -|- Х2и для всех чисел Х1 и Х2 и всех и. 3. (XjX2) и = Хх (Xju) для всех чисел )чи^и всех и.
$ n ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 13 4. X (их 4-u2) = Xux 4-Хщ для любых векторов щ и и2 и любого числа X. 5. 1 • u = и для любого вектора и. Выражение ^-iui + Х2и2 4~ • 4~ Хлил, где и1э ил —векторы, a Xj.........Хл— какие-нибудь веществен- ные числа, называется линейной комбинацией векторов «х, и2, ... ..., ил с коэффициентами Х1Э Х2, ..., Хл. При п = 1 получаем просто вектор вида XiUj. 2. Ось. Координата вектора на оси. Пусть на прямой дан единичный вектор, т. е. вектор, который принят за единицу изме- рения длин, а его направление объявлено положительным на всей этой прямой. Тогда мы говорим, что наша прямая превращена в ось. Можно, очевидно, сказать и так: ось есть прямая, на кото- рой выбрана единица измерения длин и одно из двух направлений названо полом шмелиным. Если это сделано, то всякий вектор длины единица и положительного направления и будет единичным век- тором данной оси. Отношение любого вектора и на данной оси к единичному век- тору этой оси называется алгебраическим значением или коорди- натой вектора и на данной оси. Алгебраическое значение век- тора АВ будем обозначать (АВ). Из этого определения непосред- ственно вытекают следующие предложения. 1. Два вектора на данной прямой равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. 2. рели два вектора имеют одну и ту же длину, но противо- положны по направлению, то их алгебраические значения имеют один и тот же модуль, но противоположны по знаку. (АВ)-\-(ВА) =0. 3. Координата единичного вектора равна 1. Имеет место следующее предложение, являющееся лишь гео- метрическим истолкованием правила сложения чисел (с произ- вольными знаками). 4 (лемма Шаля). При любом расположении точек А, В и С на оси имеет место числовое равенство (АВ) 4- (ВС) = (АС). В самом деле, если две из трех точек А, В, С совпадают (напри- мер, А = В или А = С), то равенство (АВ) 4- (ВС) = (АС) сводится к тождеству (АС) = (АС) или к тождеству (АВ) 4- (ВА) = 0,
14 простейшие понятия аналитической ГЕОМЕТРИИ [ГЛ t Пусть все три точки А, В, С попарно различны. Тогда одна из них лежит между двумя другими у). Если В лежит _между 4 и С, то | (ДВ) | + | (ВС) | = | (ДС) | и векторы АВ, ВС и АС имеют одно и то же направление, их алгебраические значения имеют один и тот же знак, значит, число (ДС) равно сумме (АВ)-)-(ВС), т» е. доказываемое равенство справедливо. Пусть теперь С лежит между А и В. Тогда по только что еамеченному (ДС) + (СВ) = (ДВ), т. е. (АС) = ( АВ) —(СВ). Поскольку — (СВ) = (ВС), то равенство (ДС) = (ДВ) + (ВС) снова справедливо. Аналогично доказывается и третий случай, когда А лежит между В и С. § 2. Проекции Пусть на плоскости дана прямая d и прямая d', не параллель- ная прямой d. Через произвольную точку Д плоскости проводим прямую с/д, параллельную прямой d' (рис. 6); она пересекает прямую d в точке Ад, называемой проекцией точки А на прямую d вдоль (или параллельно) прямой d'. i) Это утверждение может служить примером одной из аксиом, принимаемый без доказательства при аксиоматическом построении геометрии,
§ Л ПРОЕКЦИИ 15 Если в пространстве даны прямая d и плоскость б*, не парал- лельные между собой, то для каждой точки А определены: 1) проекция Ad на прямую d вдоль плоскости 6' —это точка пересечения прямой d с плоскостью д'л, проведенной через точку А параллельно плоскости 6* (рис. 7); 2) проекция Лб< на плоскость 6' вдоль прямой d — это точка пересечения плоскости 6' с прямой dA, проведенной через точку А параллельно прямой d (рис. 8). Если дан вектор АВ, то, беря проекции Аа и Bd его начала и конца, получим вектор AaBd, называемый проекцией вектора Л72 на прямую d вдоль прямой d' (рис. 9) (соответственно вдоль плоскости б' (рис. 10)). Аналогично вектор Аь'Вь’ есть проекция вектора АВ на пло- скость д' (вдоль прямой d) (рис. 11). Проекция вектора АВ па прямую d (па плоскость 6') обозна- чается через npdAS (npa. АВ),а иногда (когда невозможны недо- разумения) и просто через пр АВ. Перечислим простейшие свойства проекций. 1. Проекция вектора АВ равна нулю (т. е. является нулевым вектором) тогда и только тогда, когда данный вектор параллелен той прямой или плоскости, вдоль которой происходит проектиро- вание (рис. 12). 2. Проекции любого вектора на две параллельные прямые {пло- скости) равны между собой (рис. 13). 3. Проекции двух равных векторов равны. Пусть даны векторы и^ОА, и2 = А2' и их замыкающий век- тор u = 03' = u1-|-us. Тогда при проектировании на прямую d (вдоль какой-нибудь прямой d’ или плоскости б') или на
.... .итпиГСКОИ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ I t6 Рис- 12.
ПРОЕКЦИИ 17 ПЛОСКОСТЬ 6' (вдоль прямой d) (рис. 14) пр^и^О^Л,, пр4и2 = Л<,Д1 npdu = 0d4d, т. е. nprf (Uj + u2) = npdUi + npdu2. Вообще проекция замыкающего вектора данных, п векторов un и2,... ..., и„ есть замыкающий вектор проекций данных векторов, или: 4. Проекция суммы двух (или более) векторов есть сумма про- екции этих векторов (рис. 14). Без труда доказывается формула пр (Xu) = X пр и (1) (надо рассмотреть отдельно случаи Х>0, Х<0, Х = 0). Из (1) и п. 4 вытекает пр (XiUi +...+X„u„) = Хх пр Ui +...+Хл пр ия. (2) Полученные результаты кратко объединяются в следующем пред- ложении:
18 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. t Линейные операции над векторами (т. е. сложение векторов и их умножение на число) переместительны с операцией проекти- рования. § 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительно данного базиса 1. Коллинеарные и компланарные векторы. Несколько векто- ров называются коллинеарными (соответственно компланарными) между собой, если все они, будучи приложенными к одной и той же точке, оказываются лежащими на одной прямой d (рис. 15) (соответственно в одной плоскости л (рис. 16)). В этом случае говорят также, что рассматриваемые векторы коллинеарны пря- мой d (компланарны плоскости л). Теорема 3. 1. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору. 2. Если несколько векторов коллинеарны между собой, то они и подавно между собой компланарны. 3. Каждый вектор коллинеарен самому себе. 4. Всякие два вектора между собой компланарны. 5. Пусть щ —какой-нибудь ненулевой вектор. Тогда все векторы вида 1и1( где X, — любое вещественное число, и только векторы этого вида коллинеарны вектору их. 6. Пусть на плоскости даны две прямые и d2, пересекаю- щиеся в некоторой точке О. Тогда любой вектор и = ОЛ есть сумма своих проекций их и и2 на эти прямые (проекции берутся на каждую из двух прямых вдоль другой прямой).
§ 3] КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ 19 7. Пусть через точку О пространства проходят три прямые, не лежащие в одной плоскости. Тогда любой вектор и = дА есть сумма своих проекций иъ u2, и3 на эти прямые, причем проекции берутся на каждую прямую вдоль плоскости, несущей две другие прямые. Доказательство. Утверждения 1—4 являются непосред- ственными следствиями определений коллинеарности и компла- нарности. Доказательство утверждения 5. Если их — какой-нибудь ненулевой вектор, то, по определению умножения вектора на число, вектор Xuj коллинеарен вектору ut. Обратно, пусть Uj и и2 — два коллинеарных вектора. Прилагая их к одной точке О, получим векторы и и2 = ОД2, лежащие на одной прямой. Пусть вектор их = 0. Тогда | | 0, и поэтому определено вещественное число X, обозначаемое u2: и называе- мое отношением вектора и2 к вектору их. По определению, I | |6Л| ’ в знак X берется положительным, если векторы ОАГ и ОА2 на- правлены в одну и ту же сторону, и отрицательным — если они направлены в противоположные стороны. Если и2 = 0, то Х = 0. Таким образом, если u2:u1 = X, то, по самому определению умножения вектора на число, имеем u2 = Xu1. Утверждение 5 до- казано. Доказательство утверждения 6. Утверждение очевидно, если вектор и лежит на одной из наших прямых, например на dlt тогда u = Uj, u2 = 0. Пусть вектор и не лежит ни на одной из двух данных пря- мых. Пусть O/ij и ОА2 суть проекции вектора и = ОА на каждую из наших прямых вдоль другой прямой. Тогда О А есть диагональ параллелограмма, построенного на и ОД2 = и2, и и =а = и2, что и требовалось доказать. Доказательство утверждения 7. Можно ограничиться случаем, когда вектор и = ОуТ не лежит ни в одной из плоскостей, несущих две какие-нибудь из наших трех прямых. Тогда проекции вектора и = 6А на каждую прямую (вдоль плоскости, несущей две другие прямые) образуют три ребра 6Alt ОА2, ОАа параллелепипеда с диагональю ОА и О А = OAi О А 2 -J- Oj43. Теорема 3 доказана.
20 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. I Из теоремы 3 вытекает следующая основная теорема: Теорема 4. Пусть в плоскости даны два неколлинеарных вектора ет и е2. Тогда каждый вектор и есть линейная комбинация и=х1е1 + х2е2 (1) векторов ej и е2 и коэффициенты хг и х2 определены однозначно как алгебраические значения проекций вектора и на оси, несущие соответстеенно единичные векторы и е2 (проекция на каждую ось берется вдоль другой оси). Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора е1( е2, е3. Тогда каждый вектор и есть линейная комбинация и = х1е1+х2е2+х3е3 (2) векторов е1( е2, е3, в которой коэффициенты х1; х>, х3 определены однозначно как алгебраические значения проекций вектора и на оси, определенные единичными век- ЬУ торами еп е2, е3 (проекция А на каждую ось берется вдоль Л»----------плоскости, определенной двумя /\ J другими осями). / \ / Доказательство совершен- / \ Ег! но одинаково в обоих слу- / и\ / чаях — плоскости и простран- / \ /е2 ства. Ограничиваемся случаем / \ / плоскости. Приложим векто- I_________\! ,,__________ры et и е2 к какой-нибудь dl et Е; х точке О (рис. 17); получим I ОЁ1 = е1( О£.? = е2. Тогда Рис. 17. вектор и = ОХ есть сумма своих проекций щ = ОА1 и и2 = ОЛ2 на прямые, несущие векторы е2 и е2, причем векторы iij и и2 однозначно определены условием и = их + и2 и требованием коллинеарности векторов щ и и2 векторам е2 и е2. Из этого последнего требования вытекает, что и, -= луе^ и2 = = х2е2, где и х2 определены однозначно как алгебраические значения векторов u2, u2 на соответствующих осях (несущих со- ответственно векторы ех и е2). Итогом всего сказанного является следующее Основное определение. Любая пара неколлинеарных век- торов е1? е2 на плоскости и любая тройка некомпланарных век- торов еи е2, е3 в пространстве, данных в определенном порядке, называется базисом множества всех векторов, лежащих соответст- венно в плоскости или в пространстве', сами векторы еп е2, е3 называются базисными или единичными векторами. Однозначно
§ 3] КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ векторы 21 определенные коэффициенты хь хг [соответственно xt, хг, х3} в представлениях и = ххех + х2е2, (32) u “ ^ех 4- х2е2 + х3е3 (З3) называются координатами вектора и относительно данного базиса (хх — первая, х3 — вторая, х3 — третья координата). Каждая координата вектора и есть алгебраическое значение проекции вектора и на ось, несущую соответствующий базисный вектор. Равенства (32) и (З3) записываются часто в виде и = {х1( х2} (30 и U = {хъ х3, х3}. (30 Сделаем два важных замечания. Замечание 1. Мы знаем, что проекции равных векторов равны, поэтому равные векторы имеют (относительно данного базиса) соответственно равные координаты. Обратно, если даны координаты хх, х2 (соответственно хх, х2, х3) вектора, то дан и вектор и = ххех4-х2е2 (соответственно и = ххе1-|-х2е2-|--х8е3) как сво- бодный вектор. Другими словами, представления (32), (З3) ка- саются свободных векторов, они не зависят от точек приложения векторов. Замечание 2. Мы знаем, что при умножении вектора на какое-либо число к на это же Л умножается и проекция вектора (на любую ось); мы знаем также, что проекция суммы двух век- торов равна сумме проекций этих векторов. Отсюда и из опре- деления координат вектора следует: При умножении вектора на данное число к на это же число к умножаются и координаты вектора. Каждая координата суммы двух векторов есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов. Другими словами, если u = ххех -f- х2е2, v = y1e1 + y3e3, то u + v«(x1+y1)e1 + (x!t + z/2) е2, Mi = (Xxx)ex-|-(^2)e2. 2. Линейная зависимость И независимость векторов. Линейная комбинация Xitii + Х2иа +'••• +Х„и„ векторов ux, u2, ..., u„ называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов Хх.......отличен от нуля. Ли- нейная комбинация вида О • u х -f- 0 и2 . -ф- 0 ия называется тривиальной-, она равна нулевому вектору.
22 простейшие понятия аналитической геометрии [ГЛ. t Система векторов ub и2....un называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная комбинация этих векторов. В противном случае векторы называются линейно неза- висимыми. Предлагаем читателю доказать следующие простые, по важные утверждения о линейной зависимости. 1° Если среди векторов ид, ..., и„ есть хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима. 2° Если среди векторов их...и„ некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система иг, ..., и„ линейно за- висима. 3° Если система их, .... un линейно зависима, то по крайней мере один из векторов их..... un равен линейной комбинации остальных. Геометрический смысл линейной зависимости векторов заклю- чается в следующем: (а) система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны; (Ь) система, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда данные три вектора компланарны; (с) всякие четыре (или более) вектора в пространстве линейно зависимы. Определение. Векторное многообразие есть такое непустое множество V векторов, что любая линейная комбинация векторов, принадлежащих этому множеству, также принадлежит ему. Наи- большее число векторов, образующих линейно независимую си- стему в данном многообразии, называется размерностью этого многообразия. Предложение. Пусть V — какое-либо векторное многообра- зие. Возможны лишь следующие случаи: (А) V состоит из одного лишь нулевого вектора, тогда размер- ность V равна нулю. (Б) V состоит из всех векторов, коллинеарных какой-либо пря- мой, тогда размерность V равна 1. (В) V состоит из всех векторов, компланарных некоторой пло- скости, тогда размерность V равна 2. (Г) V состоит из всех вообще векторов трехмерного простран- ства, тогда размерность V равна 3. Доказательство. Заметим прежде всего, что всякое век- торное многообразие V содержит нулевой вектор. В самом деле, по определению векторного многообразия множество V непусто, т. е. содержит хотя бы один вектор и, но тогда, по определению векторного многообразия, вектор 0 - и = 0 также содержится в мно- жестве V. Может случиться, что все множество V состоит из одного ну- левого вектора, тогда мы находимся в случае (А).
*4 КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВА 23 Пусть в V содержится хотя бы один вектор eL=#0. Тогда в V содержатся и все векторы вида х^, где xt — любое вещественное число. Если все множество V этими векторами исчерпывается, то это множество есть многообразие размерности 1, состоящее ив всех векторов, коллинеарных вектору еР Тогда мы находимся в слу- чае (Б). Предположим, что в множестве V имеется вектор еь не кол- линеарный вектору еР Тогда в V содержатся и все векторы вида х^ + х^, т. е. все векторы, компланарные плоскости, несущей два неколлинеарных вектора и е2. Если все множество V исчер- пывается этими векторами, то мы находимся в случае (В). Если же в множестве V имеется хотя бы один вектор е3, не компланарный паре векторов е1; е2, то в V содержится тройка некомпланарных векторов еь е2, е3, а следовательно, содержится и всякий вектор и вида u = Xjej + х2е2 + х3е3. По теореме 4 всякий вектор и пространства может быть пред- ставлен в таком виде, и мы находимся в случае (Г). Предложе- ние доказано. § 4. Координаты на плоскости и в пространстве I. Аффинная система координат на плоскости. Аффинная система координат на плоскости задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней не- коллинеарных векторов ех = = ОД и е2 = 0Е2(рис. 18), дан- ных в определенном порядке: е2 есть первый, а е2 — второй век- тор; векторы е, и е2 опреде- ляют две оси, пересекающиеся в точке О, — первую и вторую оси координат — и являются, по определению, единичными векторами этих осей. Первая ось называется также осью аб- сцисс или осью Ох, а вторая — осью ординат или осью Оу дан- ной координатной системы. Сама система координат обозначается через Ое^ или через Оху. Пусть М — какая-нибудь точка плоскости; обозначим через Мх и Мя проекции точки М соответственно на первую и вторую ось координат (проекции на каждую ось берутся вдоль другой оси) (рис. 19), Алгебраические значения векторов ОМХ и ОМд назы-
24 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОккВТРИИ [ГЛ t ваются соответственно первой и второй координатой (абсциссой и ординатой) точки М. Любая пара чисел х, у однозначно определяет точку М, для которой х является первой, а у —второй координатой. Точка М с координатами х, у обозначается так: М = (х, у). Система координат включает в себя базис еп е2 множе- ства всех векторов на плоскости. Координаты произвольного век- тора и относительно базиса еь е2 называются координатами вектора и относительно системы координат Ое^; они являются алгебраическими значениями проекций вектора и на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 20). Вектор и с координатами х, у обозначается так: и = {х, у\\ тогда и = хет + уе2. Условие х = 0 характеризует векторы, коллинеарные оси ординат, а условие у = 0 характеризует векторы, коллинеарные оси абсцисс. Очевидно, координаты любой точки М в данной системе коор- динат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат. Два вектора АВ и CD равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Если A=-(xt, 4/J, В = (х2, у2), то для координат х, у век- тора АВ имеем х = х2 — xlt У = У2~ Ух.- 2. Аффинная система координат в npocipancme. Все сказан- ное с очевидными изменениями применяется и к случаю простран- ства. Аффинная система координат в пространстве состоит из
f Я КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 25 точки О («начало координат») и приложенных к этой точке трех некомпланарных единичных векторов еь е2, е3 (рис. 21), данных в определенном порядке (ej —первый, е2 —второй, е3 —третий). Каждый из этих векторов определяет проходящую через начало О ось, единичным вектором которой он является; эти оси назы- ваются первой, второй и третьей осью координат или соответ- ственно «осью Ох» (осью абсцисс), «осью Оу» (осью ординат) и «осью Ох» (осью аппликат', последнее название, впрочем, употребляется нечасто). Каж- дые две координатные оси оп- ределяют проходящую через них координатную плоскость. Так, оси Ох и Оу определяют координатную плоскость Оху или Ое^ и т. д. Первой, второй, третьей координатой данного вектора и называются соответствующие его координаты относительно бази- са ех, е2, е3, т. е. соответствую- щие коэффициенты в представ- лении и = хе! + z/e2 + ze3. Они равны алгебраическим зна- чениям проекций вектора и на Рис. 21. оси, определенные соответственно векторами е^ е2, е3 (проекции на каждую ось берутся вдоль плоскости, несущей две другие оси). Координаты вектора не зависят от выбора начала координат О. Координаты точки М суп,, по определению, координаты век- тора ОМ (рис. 22). Если Мх, Му, Л1Х суть проекции точки М, а их = ОЛ4х, \1у = 0Ми, и., = ОМг — проекции вектора ОМ на оси координат, то координаты х, у, г точки М суть алгебраические значения векторов ОМх = их, ОМи = иу, ОМг = иг. Тогда ux = xej, ua = уе2, иг = гез, ОМ = u = xej + уе2 + ге3. (1) Векторы, коллинеарные данной координатной оси, характеризуются тем, что равны нулю их координаты, соответствующие двум дру- гим осям. Мы уже знаем, что при сложении векторов их одноименные координаты складываются, а при умножении вектора и на число А на это А умножается каждая координата вектора и. Отсюда сразу
26 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГГЛ Т следует, что два вектора тогда и только тогда коллинеарны, когда координаты одного из них пропорциональны координатам другого. Каждая упорядоченная тройка чисел х, у, г однозначно опре- деляет точку М. пространства, тройкой координат которой она является. Для получения этой точки М надо приложить к точке О вектор +ге3 = ОМ, т. е. взять диагональ параллелепипеда, построенного на векторах х^ — 0Мх, уе2 = ОМУ, ге3 = 0Мг. Точка М с координатами х, у, г обозначается так: М =(,v, t), г). По опре- делению координат точки М, вектор ОМ имеет те же координаты, что и его конец М. Вообще, если A ~(xt, уи zj и В = (х2, уг, z2), то вектор АВ имеет координатых = хг —хъ у — уг —yY, z = z2 — zv 3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть в пространстве или па плоскости дана прямая d и на ней направленный отре- зок ~АВ, Даны два произвольных вещественных числа а и ₽, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. По определению, точка М делит отрезок АВ в отношении а : Р, если ЛМ:МВ==а: р. Задача состоит в том, чтобы по данным а и р и по координатам точек Л и В найти координаты точки М. Лемма. Пусть на плоскости (соответственно в пространстве) даны две прямые d и d' и прямая (соответственно плоскость) 6, не параллельная ни одной из прямых d, d'. Пусть А', В', М‘— произвольные три точки на прямой d'; обозначим через А, В, М
§4 КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 27 их проекции вдоль 6 на прямую d. Тогда Тлг _ лл? /2\ Wff ~ мв' { Доказательство этой леммы оставляем читателю в качестве упраж- нения. Если обозначить через Ах, Вх, Мх проекции точек А, В, М на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что AM: МВ = а: 0 = АЖ: ЛЖ = (АХМх): (МХВХ). Но (на оси Ох) имеем (ДхЛ'/х) = х —xIt (МХВХ) — х2 — х, так что (х —х^ : (х2—х) = а: 0, откуда ax2-{-flXi а+Р и аналогична ац> | ф/, aZa + PZt У- а + Р ’ а-Н ’ что дает во всех случаях определенную точку М = (х, у, г) пря- мой, за исключением случая аД-р = 0, т. е. «:р = —1 (когда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удален- ную», точку нашей прямой). При а = р точка М будет серединой отрезка АВ и для коор- динат середины отрезка мы получаем следующие формулы: х1+х» У1 + ^2 г1+г2 — 2 . У— 2 » 2 ’ (3) Если a ф- р 0 и (3 =£ 0, то, полагая = К, можем переписать получи иные форму/п.1 в виде Х~~~с+Г> У~-1+Г> z=s 1-н • 4. Прямоугольная система координат на плоскости и в про- странстве. Задание прямоугольной системы координат на плоскости или в пространстве прежде всего предполагает, что выбрана одна определенная единица длины, посредством которой измеряются длины всех отрезков (на плоскости или в пространстве). Такую единицу длины будем называть масштабом-, считая его раз навсегда выбран- ным, мы называем ортом всякий вектор, длина которого равна 1. После того, как масштаб выбран, прямоугольная система коор- динат определяется (как частный случай общей аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы (^ и на плоскости; е„ еа> еа в пространстве) были взаимно перпендику- лярными ортами.
28 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. I Замечание. Далее в этом пункте мы будем предполагать, что система координат прямоугольная. Все проекции также пред- полагаются прямоугольными. Пусть дан вектор и = [х, у\ (рис. 23). Приложим вектор и к началу координат: и ~ ОМ. Длину вектора и ОМ обозначаем чере> [ и |= | О/Vf Обозначая через Л4Ч1 Ми нроекцпн точки па оси координат, имеем х~ — (ОЛ1л), у (ОМц) и (по теореме Нифаюра) | ОМ l^lOMj^-l-iOM^'1, т. е. | u i2 = | ОМ |2 = хъ + г/2. Аналогично в пространстве для вектора и -={х, и, г} имеем I и |* =x2-f-^2 + z2 — квадрат Олины вектора равен сумме квадратов его координат. Отсюда непосредственно вытекает формула дин расстояния ()(Л1(1 /Иа) между двумя точками (рис. 24): ^i“-(*i. Уъ 2i). Ма = (х„ у.г, г.,). Так как УИ^а-- {х2 — xlt уг — yt}, то р (УИХ, Мг) = | MlMt | = + Vi^x^ + (i/t - у\у.
§ 4] КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 29 Аналогично в пространстве для точек = ylt zj, M2 = (x2, i/2, z2) имеем p (Mlt M2) = [ M±M21 = + V(x2 - Xj)2 + (r/2 - yj2 + (z2 - zj2. Пусть на плоскости дана система прямоугольных координат. Рассмотрим на этой плоскости окружность с центром С = (а, Ь) и радиусом г (рис. 25). Эта окружность есть множество всех точек М (х, у) плоскости, расстояние которых от точки С равно г. Другими словами, необходимым и достаточным условием, чтобы точка М = (х, у) лежала на нашей окружности, является условие р(С, М) = г, т. е. У(х-а)* + (у-Ь)* = г. (5) Так как л>(), то уравнению (5) эквивалентно (х-а)2 + (у-Ь)2 = г2. (6) Уравнение (6) называется урав- нением окружности с центром Рис. 25. С = (а, Ь) и радиусом г. В про- странстве с данной прямоугольной системой координат сфера (ша- ровая поверхность) с центром С = (а, Ь, с) и радиусом г опреде- ляется как геометрическое место точек М = (х, у, z), расстояние которых от точки С равно г. Поэтому уравнение (х — а)2 4- (у — b)2 + (z — с)2 = г2 (6') выражай необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка М (х, у, z) лежала на пашей сфере: уравнение (6') есть уравнение сферы с центром С = (а, Ь, с) и радиусом г. 5. Угол между двумя векторами. Пусть (в пространстве или на плоскости с выбранным раз навсегда единым масштабом) даны два вектора щ и и2, отличных от нулевого. Прилагая их к какой- нибудь точке О пространства так, что и1 = ОА, и2 = ОВ (рис. 26), получаем угол (в самом элементарном смысле слова) между этими векторами (или несущими их полупрямыми, исходящими из точки О). Обозначим этот угол через <р; он лежит в плоскости, несущей прямые ОА и ОВ, и по величине заключен между Ойл. Считая, что каждый из векторов иъ и2 задает положительное направление на несущей его прямой, мы каждую из этих прямых превращаем в ось и, следовательно, можем говорить об алгебраическом зна- чении (прямоугольной) проекции каждого вектора на ось, несущую
30 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ I другой вектор: аз при, и2, аз npu,Ui. Эти алгебраические значения положительны, если угол ср острый (рис. 27, а); они отрицательны, если угол ср тупой (рис. 27, б), л и равны нулю, если <p = -g-. Из подобия прямоуголь- ных треугольников ОАА' и ОВВ' заключаем, что Щ.-Ж1 т е Ж~ IW |азпри1и2| _ | аз npUjUj | W “ I “1 ( Так как, кроме того, азпрЦ1и2 и аз npu,U! имеют один и тот же знак (положительный, если угол <р острый, отрицатель- ный, если этот угол тупой), то азnpuu2 _ азпр^ . I »i I Рис. 27. жет быть принято за определение косинуса угла <р между векторами и2 и и2: аз тгр и4 аз пр и, c°s’’—(7> Как видно из рис. 27, это определение cos ср совпадает с опреде- лением, известным из тригонометрии.
1 fl КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 31 Из формулы (7) вытекает аз npU1u2 = | ua [ cos q> (8) —’алгебраическое значение проекции одного вектора на ось, опреде- ленную другим, равно длине проектируемого вектора, умноженной на косинус угла между двумя векторами. 6. Направляющие косинусы. Пусть и = {х, у, г} — какой-нибудь ненулевой вектор, а, 0, у — углы между этим вектором и ортами et, е2, е3 координатных осей (рис. 28). Тогда cos a, cos0, cosy на- зываются направляющими косину- сами вектора и. Так как х = азпре1и, у== = аз пре,и, z = аз пре,и, то в силу формулы (8) имеем х = | и | cos а, у = J и | cos 0, г = | и | cos у. (9) В частности, если и есть орт, то |и| = 1 и x = cosa, ^ = cos0, z = cosy — координаты орта равны его направляющим косинусам. Далее из (9) получаем | u |2 = x2 + i/2 + z2 = ) u j2 (cos2 а + cos2 0 + cos8 у), откуда, сокращая на | и |2 =£ 0, имеем cos2 а + cos2 0cos8 у = 1 (10) — сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора и =/= Ф 0 равна 1. Пусть даны произвольные три числа т], £, удовлетворяющих равенству £2 + г)2 + £2=1. (10') Отложим на осях координат векторы ОС1( ОС2, ОС3, алгебраичес- кие значения которых соответственно равны числам g, t], £, и построим на этих векторах (прямоугольный) параллелепипед. Исходящая из точки О диагональ ОС этого параллелепипеда имеет длину, равную £2 + т]г + £2= И и является ортом с координатами 5 = cos a, r] = cos0, £ = cos у. Итак, любая тройка чисел т], £, удовлетворяющая уравнению (10), является тройкой координат («направляющих косинусов») некоторого орта в пространстве. 7. Скалярное произведение двух векторов. Введем теперь сле- дующее фундаментальное определение: скалярным произведением
32 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ Г двух векторов ub и2 называется число (щ, и2), равное произведе- нию длин этих векторов на косинус угла <р между ними: (Uj, u2) = |u1|-|u2|cosq>. (11) Скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор пола- гается равным нулю. Свойства скалярного произведения: I- (Ui. u2) = (u2, uj. II. (Цц и2) = 0 тогда и только тогда, когда векторы их и и2 перпендикулярны между собой. Если ux = и2 = и, то ф = 0, cos ф =» = 1, I Ux I = I и21 = I н |. Итак, III. (и, и) = |и \г — скалярное произведение вектора на самого себя («скалярный квадрат вектора») равно квадрату его длины, скалярный квадрат равен нулю для любого нулевого вектора и поло- жителен для всякого вектора, отличного от нулевого. Подставляя значение созф из (7) в (11), получаем IV. (иь и2) = | u2 J аз npU2 Uj — | Uj | аз npU1u2 — скалярное произве- дение двух векторов равно произведению длины одного из них на алгеб- раическое значение проекции другого вектора на ось, несущую первый. В частности, для любого вектора и={х, у, г} и координатных ортов ех, е2, е3 имеем (u, ej = аз прс,и = х и т. д., т. е. V. х = (и, вх), у = (и, е2), г = (и, е3) — координаты любого век- тора в прямоугольной системе координат равны скалярным произ- ведениям этого вектора на орты осей координат. Из равенства IV вытекает: каково бы ни было вещественное число X, имеем (Xut, u2) = | u21 аз приДи, = |u21X аз npu,Ux = X | u21аз npUiUi, t. e. VI. (Xtix, u2) = X(ux, u2) — числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения. Из того же равенства IV вытекает далее (iij + и2, v) = | v | аз npv (iii + fa) = I v | аз npvUx +1 v | аз npvu2, т. е. VII. (Ui + u2, v) = (u„ v) + (u2, v) (12) — свойство дистрибутивности относительно сложения. Из VI и VII следует, что скалярное произведение двух линей- ных комбинаций векторов можно вычислить по правилу умноже^ ния многочленов, например: (XxUx + Х2и2 4- X3u3, mvx + |i2v2) == = MHi(Ui> Vx) + X2p.x(u2, Vx) + k3llifa3, v,) + Х,ц2(u„ v.,)4- + X2p,(u2, v2) + ^al4(u3, v2).
$ 4] КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 33 Пусть на плоскости U1={X1. У1}> «2 = К %}• Это значит, что Ui = ^iei +//ie2, ua = x2ea + (/2e2. Тогда в силу V —VII имеем (Ui, u2) = (x1e1 + z/1e2, х2е1+уаеа) = = x1xa(eI, е1) + «/1х2(е2, ej + x^ (еь еа) (е3г е2). Но векторы ег и е2 суть взаимно перпендикулярные орты, так что (et, еа) = (еа, ег) = 0 и (elr еа) = (ег, е2) = 1; значит, (ub u.1)=x1x2+ylyi. (13J В пространстве для Щ = {хх, i/i, zj, ua = {x2, уг, ?а} совершенно так же получаем (u„ И..)~xlx.i + //|//2 + г(г2. (133) Эти формулы очень важны и имеют многочисленные примене- ния. В частности, они позволяют определить угол <р между двумя векторами Ui = {x!, ylf zt] и u2 = {x2, z/2, z2} по координатам этих векторов: для этого достаточно переписать формулу (11) в виде и подставить в нее значение длины векторов u1( и2 и их скаляр- ного произведения (133). Получаем cos <р = , ~1Хг+У1У2+^гг = -. (14) Vxl+y^zl-Vxl + yl + zl ' ’ (корни в знаменателе берутся положительные). Легко получить также формулу, дающую алгебраическое зна- чение проекции произвольного вектора и =-{х, у, г} на ось с направ- ляющими косинусами cos a, cos 0, cos у. Для этого переписываем формулу (И) в виде I u81 cos ф = ^“а)-, т. е. в виде (Ui, и,) азпрц,и2= . Если u2 = u = {x, у, z}, u1 = e = {cosa, cosfJ, cosy}, т. e. |uil = |e| = l, то мы получаем аз npeu = x cos a + z/cos 0-|-z cos у. (15) Эта формула очень удобна в применениях.
W ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. t 8. Векторное произведение. Рассмотрим в пространстве прямо- угольную систему координат Ое1е1^е3. Пусть u, v, w — тройка некомпланарных векторов, данных в определенном порядке (в том, в каком они написаны). Приложим их к точке О: и = ОЛ, v — OB, w = OC и построим на них параллелепипед. Пусть в системе координат Ое^ез u = {xi, уъ Zj], v = {x2, у2, z2}, w = {х3, уя, г3}. Оставляем читателю в качестве упражнения доказательство следующего предложения: объем параллелепипеда, наткнутого на векторы и = ОА, v = OB, w = OC, равен | <t«, v, w) |, где (и, V, w) = Xi У1 ?1 Уз г2 ^я Ул ^'1 Определение. Объемом ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах u, v, w, называется число (u, v, w). Если (u, v, w)>0, то говорят, что репер Ouvw ориентирован положительно относительно репера Oeje2e8; в противном случае репер Ouvw называется отрицательно ориентированным относительно Ое^е2е3. Определение. Векторным произведением вектора и на век- тор v называегся вектор п, модуль которого равен произведению модулей векторов и и v на синус угла ер между ними: |п| = |и|Х х | v | sin <р; этот вектор перпендикулярен к плоскости л, в которой лежат векторы и и v, если их отложить от одной точки; он нап- равлен так, что упорядоченная тройка векторов u, v, п имеет положительную ориентацию. Векторное произведение вектора и па век гор v обозначается через [и, v]. Свойства векторного произведения: I. Векторное произведение [u, v] равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и и v коллинеарны. 11. [и, v] = —[v, и]. III. [Хи, vj = [u, Xv] = X[u, v], где k — произвольное вещест- венное число. IV. [(и' + и"), v] = [u', v] + [u", v], [и, (v' + v")] = [u, v'] + [u, v"]. V. Скалярное произведение вектора [и, v] на какой-нибудь век- тор w равняется объему ориентированного параллелепипеда, на- тянутого на векторы и, v, w: ([и, v], w) = (u, v, w). Свойства I —III являются непосредственными следствиям] определения вектора [и, V].
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 35 Доказательство свойства V. Предположим сначала, что век- торы u, V, w компланарны. Тогда правая часть равенства ((о, v], w) = <u, v, w) обращается в нуль. Докажем, что и левая часть равна нулю. Эго очевидно, если векторы и и v коллине- арны — тогда [«> V] = 0, значит, и ([u, v], w) = 0. Пусть и и v неколлинеарны, и пусть л —несущая их плоскость. Поскольку векторы u, v, w компланарны, то и w лежит в плоскости л, Но вектор [u, v] перпендикулярен к плоскости л, значит, ([u, v], w) = 0. Итак, в случае компланарности векторов u, v, w равенство ([и, v], w) = (и, v, w) верно — обе его части равны нулю. Пусть теперь векторы и, v, w не компланарны. Положим n = [u, v] и будем считать параллелограмм, построенный на век- торах и и V, основанием параллелепипеда, построенного на век- торах u, v, w. Площадь этого параллелограмма равна | п |, так что формула ([u, v], w) = (и, v, w) переписывается в виде <u, v, w> = | п | • аз np„w. С другой стороны, скалярное произведение ([u, v], w) может быть записано в виде ([u, v], w) = (n, w) = |n|-a3npow, что и требовалось доказать. Замечание. Формула (u, V, w) = ([n, v], w) может служить определением функции (u, v, w), которая при таком подходе к ней называется смешанным произведением трех векторов и, v, w. Пусть теперь в какой-нибудь прямоугольной системе коорди- нат Ое1е2е3 имеем u = {*i> tjt, z(}, v = {x2, у2, z2}. Найдем координаты X, Y, Z вектора n = [u, v]. Так как система координат прямоугольная, то Х = (п, ex) = ([u, v], ei) = (u, v, еД и аналогично Y = <u, v, е2), Z = <u, v, eg). Но ел = {1, 0, 0}, е2 = {0, 1, 0}, е3 = {0, 0, 1}; поэтому & 21 I» , । X == xt yt г2 = \У1 1 . 10 0 'У2 2 * Аналогично Zi *1 о __ й й х» I * I х2 Hi
36 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. I Другими словами, если в прямоугольной системе координат Оехе2е3 векторы и и v даны в виде и = {хх, zx}, v = {x2, у2, z2}, то век- тор [u, v] может быть записан в виде разложенного по элементам первой строки детерминанта: [U, V] = е1 *1 е2 еа У1 Zi Хг Уч г2 Доказательство свойства IV. Вследствие свойства II достаточно доказать одну какую-нибудь из формул IV, например первую. Пусть и' = {х', у', г'}, и" = = {V', у", z"}, v = {x, у, г}. Тогда и'4-и" = 4-х", у' + у", z'4-z"}, и мы имеем что и требовалось доказать. 9. Угол от одного вектора до другого на плоскости. Враще- нием плоскости вокруг данной ее точки О (центр вращения) мы будем называть движение этой плоскости по себе самой, заклю- чающееся в том, что точка О остается неподвижной, а все осталь- ные точки перемещаются по лежащим в нашей плоскости окруж- ностям с центром О. Вращение плоскости вокруг центра О можно производить в двух направлениях: по часовой стрелке и против нее. Предположим, что в плоскости задана прямоугольная система координат Оехе2. Посредством вращения вокруг точки О орт ех можно совместить с ортом е2 двумя способами: повернув его п Зл на угол у в одном или на угол 2 в противоположном направ- лении. Мы условимся считать положительным то из двух направ- лений вращения, которое переводит орт ех в орт е2 посредством поворота на у. Таким образом, если на плоскости дана прямо- угольная система координат, то определено и положительное направление вращения. Пусть на данной плоскости одно из двух возможных направ- лений вращения выбрано в качестве положительного. Возьмем на нашей плоскости два вектора и и v. Приложим оба вектор; к одной и той же точке О, так что u = 6А; v = ОВ.
»4 КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ вг Назовем углом от вектора и до вектора v или наклоном век- тора v к вектору и тот угол ф, на который в положительном направлении надо повернуть вектор и так, чтобы его направле- ние совпало с направлением вектора v. Этот угол изменяется от 0 до 2л. Если и —единичный вектор какой-либо оси, то угол от вектора и до вектора v называется углом наклона или просто наклоном вектора v к данной оси. Пусть в плоскости дана прямоугольная система координат. Для угла наклона а вектора v = {£, г]} к оси абсцисс имеем, очевидно, cosa = i-X, 81па = Д;. |v| |v( Если векторы их и и2 наклонены к оси абсцисс соответственно под углами ах и а2, то угол <р от вектора их до вектора и2 есть, очевидно, Ф = а2 — ах. Пусть ux = {xx, yt}, и2 = {х2, у,}. Тогда sin ф = sin (а2 — ах) = sin а2 cos ах — cos а2 sin ах = ад—ад I uiI • I U2 I ’ cos ф = cos (a2 — ax) = cos a2 cos ax -|- sin a2 sin ax = _ (ui> ua) |ux|.|ua| |ux|.(m2|* 10. Полярная система координат на плоскости. Для определе- ния системы полярных координат на плоскости надо задаты 1° Масштаб (т. е. единицу измерения длины), 2° Направление вращения в плоскости, считаемое положи- тельным. 3° Точку О (называемую «началом» или полюсом системы коор- динат). 4е Полупрямую Ох, исходящую из точки О (рис. 29) (эта полупрямая называется полярной осью). Положительное направ- ление на полупрямой задается вектором ОЕ (где Е — любая ея точка, отличная от точки О). Если, таким образом, выбрана полярная система координат, то для каждой точки М (рис. 30) плоскости определены ее полярные координаты, а именно: I) угол наклона ф вектора ОМ к полярной оси (т. е. угол от вектора ОЁ до вектора ОА1); 2) расстояние г точки М от начала О (т. е. длина вектора Угол ф называется полярным углом точки М или первой поляр» ной координатой этой точки. Полярный угол определен для всех точек М плоскости (и заключен между О и 2л), за единственным
38 простейшие понятия аналитической геометрии 1ГЛ ! исключением точки О, для которой он делается неопределенным. Число г называется полярным радиусом или второй полярной координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отлич- ной от О, положителен; для точки О он равен пулю. Иногда бывает целесообразно считать полярный угол точки определенным лишь с точностью до слагаемых вида 2Ал, где Л —любое целое число, т. е. считать наряду с данным <р и всякое число ф-|-2Лл за значение полярного угла: если дано произ- вольное положительное г и произвольное не ограниченное никаким дополнительным условием действительное число <р, то, взяв л Масштаб на полярной оси вектор ОЛ длины г и повернув ею в положи- тельном направлении вокруг точки О на ую/i <|, получим вектор ОМ, конец которого будет иметь полярные координаты (риг. Точку М, полярные координаты которой равны данным ф и г, будем обозначать так: М=<ф, г). Если на плоскости дана полярная система координат, то этим определена и некоторая прямоугольная система координат: за мас- штаб и начало координат в этой прямоугольной системе берем масштаб и начало полярной системы; полярную полуось объявляем положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с ее направлением). Так как в определение поляр- ной системы входит и направление положительной) вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол у в положительном направлении. Полученную таким образом прямоугольную систему координат будем называть системой, определенной данной полярной системой (рис. 31}.
«я КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВ® 39 Обратно, если дана какая-нибудь прямоугольная система коор- динат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней масштаб и начало данной прямоугольной системы и тре- буя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем враще- нием, которое переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом на угол -у. Очевидно, если мы для полученной таким образом полярной системы координат угольную, то вернемся к ис- ходной прямоугольной си- стеме. Итак, каждой полярной системе координат соответ- ствует вполне определенная прямоугольная система, и обратно. Посмотрим, как связаны между собой координаты х, у и <р, г какой-нибудь точ- ки М плоскости в обеих си- стемах. Имеем очевидные формулы: Х = ГС°8Ф, | У = Г51Пф. J Они позволяют перейти от полярных координат точки М к прямоугольным. Но они же переход по формулам построим определенную ею прямо- позволяют произвести и обратный r2 = X2-(-y2, COS ф = — = ------ * - , sin ф = — = — у г + (17) 11. Полярная система координат в пространстве. Для ее оп- ределения необходимы следующие элементы (рис. 32): lq Плоскость (называемая далее основной) с выбранной в ней полярной системой координат: начало О, полярная полуось Ох (с положительным направлением ОЕ), масштаб, принимаемый качестве единого масштаба для всех измерений отрезков во всем пространстве,
40 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ Г 2° Выбор на прямой Oz, перпендикулярной к основной пло- скости, одного из двух ее ортов в качестве положительного (что дает нам на этой прямой систему координат с началом (9). Основная плоскость разбивает пространство на два полупро- странства; то из них, которое содержит положительный орт пря- мой Oz, считаем положительным. Теперь (для каждой точки М пространства (не лежащей на прямой Oz) определяются ее координаты в данной системе поляр- ных координат, а именно: а) полярный радиус р точки М, т. е. длина вектора \ОМ имеем всегда р?-0; только для точки Л4=О имеем р = (); б) долгота <р точки М — это полярный угол ортогональной проекции Мо точки М на основную плоскость относительно дан- ной в этой плоскости полярной системы координат; долгота изме- няется в пределах 0 sg <р < 2л; _ в) широта тр точки М — это угол между вектором ОМ и его проекцией на основную плоскость, считаемый положительным, O-.gipsgj-, для точек М положительного полупространства и отрицательным, — 2 ^gip==g0, для точек отрицательного полу- пространства. Та же полярная система координат в пространстве позволяет для каждой точки М пространства определить и так назы- ваемые цилиндрические координаты ее, а именно: полярные коор- динаты ф, г (в основной плоскости) точки Л40 (проекции точки М на основную плоскость) и аппликату, или высоту точки М над основной плоскостью, т. е. координату точки Mt (ортогональной
§ 51 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В плоскости 41 проекции точки М. на ось Oz) относительно системы координат, данной на этой прямой (рис. 33). Полярная система координат в пространстве определяет пря- моугольную систему, состоящую из прямоугольной системы Оху, порожденной в основной плоскости заданной в ней полярной системой, и оси Oz. Без труда устанавливаются следующие соотношения, связы- вающие полярные координаты р, <р, и прямоугольные коорди- наты х, у, z в пространстве: х = р cos ф cos ф, у = р cos ф sin ф, z = p sin ф. Эти формулы поиюляют выразить х, у, г через р, ф, ф, и об- ратно. Что касается соотношений между цилиндрическими и прямо- угольными координатами точки М, то аппликата z в обеих этих системах одна и та же, а связь между ф и г цилиндрической системы и х, у прямоугольной дается уже известными нам фор- мулами х = г cos ф, у = г sin ф. § 5. Прямая линия в плоскости 1. Уравнение прямой. Определение. Всякий ненулевой вектор, коллшнйьрмый данной прямой, называется-ее направля- ющим вектором.
42 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ 1 Так как всякие два направляющих вектора иъ и2 одной и той же прямой коллинеарны между собой, то один из них получается из другого умножением на некоторое число =/=0. Предположим, что в данной плоскости раз навсегда выбрана некоторая аффинная система координат. Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельной одной из координатных осей. Если прямая d параллельна осн ординат, то ее направляющими векторами являются все векторы вида {0, ц} и только они (здесь >) —про- извольное число =/=0j. Точно так же ненулевые векторы вида |Jj, ()| и только эти векторы являются направ- ляющими векторами любой прямой, параллельной оси абсцисс. Пусть прямая d параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке А — (а, 0) (рис. 34). Тогда все векторы ОМ, где М — произвольная точка прямой, при проектировании на ось абсцисс (вдоль оси ординат) переходят в один и тот же вектор ОА; для всех точек М нашей пря- мой (и только для них) имеем х = а. Это и есть уравнение прямой, параллельной оси ординат. Анало- гично прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение у = ь. При этом параллельность понимается в широком смысле — сама ось ординат имеет уравнение х = 0, а ось абсцисс у = д. Имеет место следующее простое предложение: Для всех направляющих векторов и = {х, у} данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение у: х ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение It, назы- ваемое угловым коэффициентом данной прямой. В самом деле, если и1==[х1, уг\ и и2 = {х2, у2} —два направ- ляющих вектора данной прямой d, то u2 = Xu1, т. е. одновременно х2 = ^х1( Уз ° ^У1, и, значит (так как хг=А=0, х2#=0), Уз'Хз^у^.Ху Найдем теперь уравнение прямой d, не параллельной оси ординат. Обозначим угловой коэффициент прямой d через fe, а точку ее пересечения с осью Оу через Q = (0, Ь) (рис, 35).
4 Я ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В плоскости 43 Если Л1 = (х, у) —произвольная точка прямой d, отличная от точки Q, то вектор QAl = {x, у — Ь} есть направляющий вектор прямой d и, следовательно, X Другими словами, все точки М = (х, у) прямой d удовлетво- ряют уравнению y = kx + b. (I) Обратно, всякая точка Л41 = (х1, yj, удовлетворяющая урав. нению (1), лежит на прямой d: в самом деле, существует един ственная точка М с абсцис- сой хг, лежащая на прямой d, и эта точка, имея ту же абс- циссу jq, что и точка М1г удовлетворяет уравнению (1) и, значит, имеет ординату — kx, + b — ту же, что и точка Mi. Значш, М' /И,, т. е. точка Л11 лежит на пря- мой d. Итак, уравнению (1) удов- летворяют все точки прямой d и только они, а это и значит, что уравнение (1) есть уравнение прямой d. Пусть мы каким бы то ни было способом нашли Рис. 35. уравнение вида (1), которому удовлетворяют все точки данной прямой d и только они. До- кажем, что тогда непременно b есть ордината Q пересечения d с осью ординат, a k есть угловой коэффициент этой прямой. Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пере- сечения прямой d с осью ординат надо в уравнение (1) подста- вить х = 0, получаем у = Ъ, т. е. Q = (О, Ь). Далее, при любом выборе отличной от Q точки М = (х, у) прямой d вектор ОМ = — {х, у — Ь} есть направляющий вектор этой прямой, и, следо- вательно, ^^- — k есть угловой коэффициент прямой d. Итак, существует единственное уравнение вида (1), являющееся уравнением данной прямой d (не параллельной оси ординат). Это уравнение — первой степени; так как и прямая, параллельная оси ординат, определяется уравнением первой степени х»а, то мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется не- которым уравнением первой степени, связывающим координаты ее точек.
44 простейшие понятия аналитической геометрии Верно и обратное утверждение: каждое уравнение первой сте- пени относительно х и у Ах+Ву + С = <} (2) является уравнением некоторой прямой. Доказательство. Возможны два случая: В=0 и В=/=0. Рассмотрим первый случай: В—0. Тогда уравнение (2) имеет вид Лх + С = 0 (2) и А^О (иначе не было бы уравнения, а было бы верное или неверное тождество С = 0); следовательно, т. е. уравнение (2) является уравнением некоторой прямой, парал- лельной оси ординат. Переходим ко второму случаю: В=/=0. Тогда уравнение (2) переписывается в виде А С В х В и определяет прямую d, пересекающую ось ординат в точке Q = = (0, — g-j и имеющую угловой коэффициент k — — -ц, что и требовалось доказать. Замечание. Так как /г = — у, то вектор и0 = { - Л, /1} есть направляющий вектор прямой (2). Зто утверждение верно и при В = 0 (т. е. для прямых, ппрвллелыилх осн ординат). Отсюда следует, что направляющими векторами прямой d, определенной уравнением (2), являются все векторы “ = {£. П}. где £ =— XS, г] = М (при каком-нибудь Z/-0). Очевидно, эти векторы удовлетворяют уравнению Л^ + Вц = 0. Обратно, если вектор u = {g, t]} удовлетворяет этому уравнению, то £:т]== — В: А, т. е. и есть направляющий вектор прямой d; случай прямой, параллельной оси ординат, исключением не яв« ляется. Другими словами; все векторы и = {£, i]}, удовлетворя- ющие уравнению и только они коллинеарны прямой, определенной уравнением. (2),
§ 5J ПРЯМАЯ линия в плоскости 45 2. Расположение двух прямых на плоскости, Пусть теперь даны два уравнения; Ах + Ву-\-С^=0, (2) А'х+В'у+С = 0. (2') Посмотрим, когда прямые d и d', определяемые этими уравне- ниями, параллельны в широком смысле, когда они совпадают, когда параллельны в собственном смысле (т. е. не имеют ни одной общей точки). Ответ на первый вопрос получается сразу: прямые d и d' тогда и только тогда параллельны в широком смысле, когда их направляющие векторы и0={—В, Л} и и^ = {—В', А'} колли- неарны, т. е. когда имеет место пропорция (—В): Д = (—В'): А', а следовательно, и пропорция А':В' = А:В. (3) Если эта пропорция может быть продолжена до пропорции А' :В' :С' = А:В\С, (4) то прямые d и d' совпадают: в этом случае все коэффициенты одного из двух уравнений (2), (2') получаются из коэффициентов другого умножением на некоторое X и, значит, уравнения (2) и (2') эквивалентны (всякая точка М = (х, у), удовлетворяющая од- ному уравнению, удовлетворяет и другому). Обратно, если две прямые d и d' совпадают, то имеет место пропорция (4). Докажем это сначала в случае, когда наши прямые парал- лельны оси ординат. Тогда В — В'=0, и нам нужно доказать только равенство С':А' = С:А. Но последнее равенство (в кото- ром А' 5^=0, /4#=0) вытекает из того, что обе (совпадающие) пря- мые пересекают ось абсцисс в одной и той же точке с абсциссой С' _ _ С ~ А' “ А 1 Пусть теперь совпадающие прямые d, d' не параллельны оси ординат. Тогда они пересекают ее в одной и той же точке с ор- С' с динатой — gz = — ~в , и мы имеем пропорцию В': С — В : С, ко- торая вместе с пропорцией (3) (выражающей параллельность пря- мых d и d' в широком смысле) и дает нам искомую пропор- цию (4). Параллельность в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смысле (т. е. выполнено усло- вие (3)), но нет совпадения (т. е. не выполнено (4)). Это озна- чает, что пропорция А':В' = А :В
4S ПРОСТЕЙШИЙ понятия АНАЛИТИЧЕСКОЕ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. I имеет место, тогда как Л':В'»С'=#=Л»В1С. (5) Совокупность двух соотношений (3) и (5) обычно влшсывают в виде одной формулы А’ = В' С” (6) Подведем итог всему доказанному: Теорема 5. Всякая прямая d на плоскости, снабженной аф- финной системой координат, определяется некоторым уравнением первой степени между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = Ъ (2) является уравнением некоторой (единственно!!) прямой d-, при этом все векторы u={£, л}, коллинеарные этой прямой, и только они удовлетворяют однородному уравнению Al- + Bi\ = 0, (7) так что, в частности, вектор и0=>{—В, Я} является направля- ющим вектором нашей прямой. Два уравнения Ах + Ву + С = 0, (2) А'х + В'у + С = 0 (2') тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, когда А' :В' -.С'^А:В:С. (4) Пропорция А': В' = А : В (3) выражает условие, необходимое и достаточное, чтобы уравнения (2) и (2') определяли прямые, параллельные в широком смысле. Для параллельности в собственном смысле необходимым и до- статочным является требование, чтобы выполнялось условие (3) без выполнения условия (4), что записывается и в виде (6). Пусть дана какая-нибудь точка Л40 и вектор ue=#0, который считаем приложенным к точке Л1о: во = M0Mlt Эти данные определяют прямую d как геометрическое место кон- цов всевозможных векторов вида ЛМ4==ГЛМ*м (8) где t пробегает все вещественные числовые значения. Вектор u0=t == A40Afu очевидно, является направляющим вектором прямой Я,
(9) S4 ПРЯМАЯ линия в плоскости -47 Можно сказать, что наша прямая есть геометрическое место всех точек М, удовлетворяющих уравнению (8), а само это уравнение можно назвать уравнением прямой в векторной форме (или век- торным уравнением прямой). Ясно, что каждая прямая может быть задана, таким образом, какой-нибудь своей точкой Мй и на- правляющим вектором и0=Л70/И1. Существенным преимуществе»! уравнения (8) является то, что оно позволяет задать прямую не только на плоскости, но и в пространстве. Записав векторное уравнение прямой в координатах, мы получим ее параметрическое уравнение. На плоскости оно имеет вид х — х0 = at, У~Уо = Ы, где Мо = (х0, yQ), {а, Ь} — координаты направляющего вектора «0 = ^10^!. Система уравнений (9) равносильна одной пропорции = о°) называемой каноническим уравнением прямой на плоскости. Если прямая задана двумя своими точками Ма и А11( то ее направляющий вектор u0 = имеет координаты а = х1 — х0, b = yL — y0 и уравнение (10) превращается в *—*<1 У—ffo '}j. Х1 — Х0 У1 — Уо' ' ' Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0 = (xQ, у0) и M-i = (xY, уг). В пространстве параметриче- ское уравнение записывается в виде х — л„ - at, у — у0 = Ы, 2 —20 = d. Эта система равносильна пропорции х—х0 _ у—уо = г—гр а Ь с (теперь уже трехчленной), называемой каноническим уравнением прямой в пространстве. Если прямая в пространстве задается двумя своими точками Му = (хй, у0, sB) и Л11 = (х1, t/i, Zj), то для ее направляющего век- тора и0 =/WgMj = {а, Ь, с} имеем я = — х0, Ь — уу — уа, с — гх — 2й <12) (13)
48 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ. I и пропорция (13) превращается в пропорцию Х—ХО = у—уа _ z—z0 ,1 *1 —*0 У1 — Уа Z1 —Zo’ ' 1 которая и определяет прямую (в пространстве), проходящую через две заданные точки. 3. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на пло- скости, Пусть на плоскости дана прямая d своим уравнением Ах + By + С = 0. (15) Для всех точек М — (х, у) этой прямой и только для этих точек трехчлен F (х, у) = Ах + By + С обращается в нуль; если же точка М = (х, у) не лежит па прямой (15), то для нее либо F (х, у)>0, либо F(х, у)<0. Мы говорим, что прямая (15) разбивает плоскость на две полуплоскости; одна из этих полуплоскостей определяется как множество всех точек М = (х, у), для которых F (х, у)>0, а другая —как множество всех тех точек М = (х, у), для которых F (х, г/)<0; первая полу- плоскость называется положительной по отношению к данному уравнению (15) нашей прямой, а вторая — отрицательной. Если ту же прямую d задать каким-либо другим уравнением А'х В’у-\- С — 0, (15') то имеется такое число X, что А' Х/1, /Г \В, (.' = ^С, так что, обозначая левую часть уравнения (15') через Л'(х, у), имеем /'(х, у) = ХГ'(х, у). Отсюда сразу следует, что при Х>0 положи- тельная и отрицательная полуплоскости для уравнения (15) сов- падают с положительной и отрицательной полуплоскостями отно- сительно уравнения (15'), а при Х<0 эти полуплоскости меняются местами: положительная полуплоскость относительно уравнения (15) делается отрицательной для уравнения (15') и наоборот. Н) всегда две точки, принадлежащие к одной или разным полуплос- костям относительно одного из двух уравнений (15), (15'), сохра- няют это свойство и при переходе к другому уравнению. Имеет место следующая Теорема 6. Если точки М0 = (ха, yQ) и M1 = (xl, yt) лежат в разных полуплоскостях, определенных прямой (15), то отрезок jW0ML пересекает эту прямую в некоторой точке М' (рис. 36, а); если же точки Мо и Мх лежат в одной и той же полуплоскости, то в этой же полуплоскости лежит и весь отрезок МиМ{ (рис. 36, б). Доказательство. Пусть точки А40 и лежат в разных полуплоскостях. Напишем уравнение прямой, проходящей через
§ 5] ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В плоскости 49 точки Ма и Мг, в параметрической форме: х = х0-|-^, У = Уо+^» где за направляющий вектор и0 = {а, У} взят вектор A40Afi, так что а = х2 — х0, Ь = у1 — уп. Поэтому те и только те точки М = (х, у) нашей прямой принадле- жат отрезку МОМГ этой прямой, для которых 0 sg ^/sg 1. Посмотрим, какие значения принимает трех- член F (х, у), когда точка М = (х, у) пробегает нашу прямую. Для этого подста- вим в трехчлен F (х, у) зна- чения х и у из равенств x = x0-\-at, У = Уо + 1>(- Получаем F (х> У) = Ву0-[-С)-{- + (Да-|-ВЬ) t. Обозначая константы Лх0-|- + Дг/0-|-С и Аа-±-ВЬ соот- ветственно через р и А, видим, что трехчлен F (х,у) превратился в линейную функцию от переменного I: F (х, у) =А^4- и. При f=0 уравнения пря- мой дают нам координаты хв, у0 точки Д, а при t= 1 (напомним, что а = хх — - х0, b = уг — у0) - коорди- наты хъ уг точки Мр Так как по предположению числа Д(х01 у0) и F (xlt знака, то и значения линейной функции AZ-f-p, при имеют разные знаки, а тогда для некоторого ного значения f, 0<Д' <; 1, которому соответствует = (х', у') отрезка /ИоМр ; F(x, у) обратятся в нуль. Тогда точка М' является точкой пере- сечения отрезка МоЛД и прямой (15) —первое утверждение тёо- ремы доказано. у,) разного / = 0 и / = 1 промежуточ- точка М' =; функция XZ-J-p, и, значит, трехчлен
50 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [Г.Л. I Доказываем второе утверждение. Помня, что а — х1 — х0,Ъ = ~ У1 — Уо> представляем F (х, у) в виде F (х, у) = (Лхо-|-Вуо + С)-|-[Д (Xj — х0)-|- О (yt — у»)]/, т. е. F(x, у) = (1 — i)F(x0, y0) + tF(xi, у,). Если 0</<1, то числа как t, так и 1— t положительны, по- этому если F(x0, у0) и F (*i, У1) одного знака, то чшло / (х, у) =ч = (1 — /)F(x0, y0) + tF(x1, yj будет иметь тот же шик, что и оба числа F(x0, у0) и F(xlf yj —любая точка М отрока Л1„Л/[ при- надлежит топ же полуплос- кости, что и обе ючки Ма и /И,. Теорема 6 полностью дока >аиа. 4. Прямая на плоскости в прямоугольной системе ко- ординат. Нормальное урав- нение прямой на плоскости. До сих пор предполагалось, что на плоскости дана про- извольная аффинная система координат. Предположим теперь, что эта система координат прямо- угольная. '1огда уравнению всякой прямой па плоскости может бы и, придан лак назы- ваемый нормальный вид. Рассмотрим орте, перпен- дикулярный к нашей пря- мой d, причем если прямая d проходит через начало коор- динат, то понимаем под е про- ’ извольный из двух взаимно противоположных ортов, перпен- дикулярных к прямой d, а если эта прямая не проходит через начало координат, то обозначаем через е тот из этих двух ортов, который направлен от начала координат О к прямой (рис. 37). -Отсюда следует, что на оси, несущей вектор ON (или, что то же, юрт е), имеем (ON) =аз пре ON = р >_• О, (16) где р есть .расстояние от начала координат до прямой d. Обозна- чая координаты орта е через £ и гр имеем £ = cosa, ц = since, где а —угол наклона орта е к оси абсцисс. Итак, e = {cosa, sin a).
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В плоскости 51 Пусть М ~(х, у) — какая-нибудь точка плоскости. В том и только в том случае, когда точка М лежит на прямой d, ее (орто- гональная) проекция на прямую ON совпадает с точкой N, а про- екция вектора ОМ совпадает с вектором ON. Следовательно, для всех точек М = (х, д) прямой d и только для этих точек выпол- нено условие азпре0М = р. (17) Так как бМ — {х, д} и e«={cosa, sin а}, то аз пре ОМ = х cos a + у sin a, так что условие (17) переписывается в виде уравнения х cos ау sin а — р = 0. (18) Вто уравнение и называется нормальным уравнением прямой d. Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение Лх4-Ву + С = 0 (19) вашей прямой d. Так как уравнения (18) и (19) являются уравнениями одной it той же прямой в одной и той же системе координат, то суще- ствует такое числа А, что коэффициенты уравнения (18) полу- чаются на коэффициентов уравнения (4) умножением на А: cos a = Ак, sin а = ВХ, (ВО) — р = СА. ( Последнее из уравнений (20) (в случае С 5^0) позволяет сразу Определить знак А: так как р>0, то СА = —р<0 • знак X противоположен знаку С. Для определения модуля числа А возводим каждое из двух первых уравнений (20) в квадрат и складываем. Получаем (Д® В2) А® = cos® a sin® a = 1, откуда 1^1 “/л2 + В»‘ Число Ь, модули которого есть 1 /А’+В’1 а знак противоположен знаку С, называется нормирующим множителем уравнения (19), яри О =* 0 зная \ можно выбрать произвольно. Умножая оба части уравнения (19) на нормирующий множи- тесь А, мы превращаем это уравнение в нормальное уравнение (18) той же прямой,
52 ПРОСТЕЙШИЕ понятия аналитической геометрии [ГЛ. ! Заметим, что вектор {Л, В} = п всегда перпендикулярен к пря- мой (19). Это вытекает из того, что векторы е и п = {Л, В] кол- линеарны, а вектор е перпендикулярен к прямой d, определяемой уравнением (19). 5. Расстояние от точки до прямой (на плоскости). Под рас- стоянием от точки Мо плоскости до прямой d, лежащей в этой плоскости, понимается длина перпендикуляра, опущенного из точки Мо на прямую d. Т е о р е м2 /. Пусть в плоскости, снабженной прямоугольной системой координат, задана прямая d своим нормальным уравне- нием х cos а +1/sin а — р = 0. (21) Тогда расстояние р(/И0, d) произвольной точки у0) от прямой d равно числу | х0 cos а уа sin а — р |. Доказательство. Через точку Мо проведем прямую d', параллельную прямой d, и рассмотрим ось, несущую приложен- ный к началу координат орт e = {cosa, sin а}; эта ось перпенди- кулярна к обеим прямым d и d' и пересекает их соответственно в точках W и N'. Длина вектора NN', ранная модулю его ал- гебраического значения (NN') на определенной выше оси, и есть искомое расстояние р(7И0, d) между Точкой Мо и прямой р(М0, d) = |^Af')l- Имеем на той же оси т. е. где (ON') —(ON) |-(iVA/'), (Л/АГ) = (ОАГ)-(ОЛ/), (ON') = аз пре ОМо = х0 cos а + у0 sin а, (ON) = p. Следовательно, (NN') xucasa-[-yos\na — р, р (Л40, d) ----1 (NN') | = | x0 cos a-|- y0 sin a - p |, что и требовалось доказать. Если прямая d задана своим общим уравнением Ах -|- By -|- С — О, то для определения ее расстояния от точки Л40 — (хи, уп) сначала привести уравнение прямой к нормальному виду, умножить обе его части на у В результате получается надо т. е.
» 51 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ • ПЛОСКОСТИ 5? формула (Мо, ' 1 Va*+b* 6. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости, Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между любым на- правляющим вектором одной и любым направляющим векто- ром другой прямой (рис. 38). Очевидно, это определе- ние дает нам не один, а два угла, дополняющих друг друга до л, т. е. оба смеж- ных угла, образуемых двумя пересекающимися прямыми, Предположим, что наши прямые dj и d2 даны их урав- нениями (в прямоугольной системе координат) 4* Вку С -- О, Рис. 38. k = 1,2. (1,11) Тогда в качестве направляющих векторов этих прямых мы можем взять, например, векторы Ui = {—Blt Л]}, и2 = {—Ва, Л2}. (22) Угол <р между векторами щ и и2 дается косинусом: cos <р = т----------------z— • Если Л1Л2 + ^1В2>0, то мы получаем по этой формуле ост- рый угол между прямыми г/, и dt. Если Л,Л2 0 то тупой. Равенство Л1Л2 + В1В2 = 0 (23) выражает необходимое и достаточное условие для перпендикуляр- ности прямых dk и da. Если на плоскости выбрано положительное направление вра- щения, то можно говорить об угле от первой прямой до второй, понимая под этим снова угол от любого направляющего вектора первой до любого направляющего вектора второй прямой (рис. 39). Так определенный угол 0Ь 2 определен с точностью до слагаемых вида kn, где k — целое. Обозначая через а,, соответственно а2, угол наклона к оси абсцисс любого направляющего вектора соответственно первой и
54 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ второй прямой (т. е. угол от орта оси абсцисс до соответствую- щего направляющего вектора), мы также получаем углы, опреде- ленные с точностью до слагаемых вида krt. При этом все время то шоегыо до слагаемых вида kit имеем 0, ?= a, -at, откуда мн 0. 2= sin ос., cos а, — cos ci„ sin a., ) 1,2 J 1 2 "I (24) cos 0L 2 = cos a2 cos -f-sin a2 sin at. ) Беря снова направляющие векторы Ui = {—fii, ЛЬ «2=!— Л. ЛЬ получаем Л/ — Bi .. , s।и а.1 — -; 1 , cos а.1 = —г—-— (i — 1,2) ^aI+bI и, подставляя эти значения в формулы (24), находим sin Q — —Л2В1 У А* + Bj • У^А^ + Bj .2gx COS 0 — АЛа + ВгВа 1,2 /4!+b;-KaS+35 = (26)
»6] ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 55 Если один из векторов u1( и2 заменить на противоположный, то изменится знак как у синуса угла (вследствие изменения направ- ления вращения на противоположное), так и у косинуса (полу- чается угол, смежный с рассмотренным): знак же тангенса угла от первого вектора до второго при такой замене не меняется. Если прямые (I) и (II) даны своими уравнениями с угловым коэффициентом: y = klx-{-b), 2, где kv = tgan &2 = tg“a> то tg 9i. 2 = tg (a« - «i) =• 14-tgaJgi т. е. (26') Если прямые (I) я (II) взаимно перпендикулярны, то можно положить a8 = aI + ^-, значит, tga.2 = — ctgat, т. е. k2 —— или ^^2 =—1 (условие перпендикулярности). (23') Формулы (26) и (25) можно получить и пользуясь общими урав- нениями прямых (I) и (II) —подставляя в формулы (26) и (23') яначения угловых коэффициентов § 6. Плоскость и прямая • пространств* 1. Параметрическое и общее уравнения плоскости. Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую-нибудь ее точку Л40 = (л„, //„, г») и два произвольных прило- женных к этой точке иеколлинеарных вектора (рис. 40) Uj == {alt bu cj — Л4оЛ11 и и2 = Ь2, Сд} ** Рассмотрим мно- жество, состоящее на всех векторов и, являю- щихся линейными комби- нациями векторов их и и3; Ярилагая векторы и к Точке Мо, получим всевозможные закрепленные векторы вида А40М =sul4-fui,
56 простейшие понятия аналитической геометрии [ГЛ т где sat — произвольные вещественные числа; концы М этих век- торов и заполняют плоскость, проходящую через точку А40 и два приложенных к ней вектора их и и2. В координатной форме уравнение (1) переписывается так: х — х0 = sax + ta2 y-y0 = sbl + ib2, 2 — z0=sc1+/c2. (1) Давая в этих уравнениях переменным s и t всевозможные число- вые значения, получим все точки нашей плоскости и только точки этой плоскости. Поэтому векторное уравнение (1) (или равносиль- ная ему тройка числовых уравнений (I)) называется параметри- ческим уравнением плоскости. Уравнения (1) выражают линейную зависимость столбцов матрицы I х — х0 at а2 У—Уо 61 Ь2 t I 2 — Zo С2 С2 что в свою очередь эквивалентно равенству х — ха у—уа г—гп 41 61 С1 а2 Ь2 с2 (2) = 0 или уравнению Л (х-хи) + 5(«/-£/0)4-С'(г-г0) = 0, (3) где Л = Р‘ С1|, Я-|с‘ "1|, С-|“1 М. (4) I 62 с21 I са а21 I а2 b21 Таким образом, уравнение (3) представляет собой необходимое и достаточное условие, чтобы точка М = (х, у, г) принадлежала пло- скости, определяемой уравнением (1), т. е. уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через точку Мп = (х0, у0, г0) и через пару неколлинеарных векторов их == {ах, 6х, cj, u2 = {п2, b.2, с2}. Задача. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки Af0 = (x0, у0, г0), Mx = (xx, r/i, гх), М2 = (хг, у2, г,). Искомая плоскость содержит точку Мо и неколлипсарные векторы AVVfx = {xx-x0, У1 — У0, zx-z0} и Л40А42 = {х2-х0, у2 - yv,z2 - г0}; ее уравнение, следовательно, есть (2), т. е. х — х0 у —Уо Х1—Хв У1—У0 х2-Ха уг— уа 2 —г0 21 — 20 г2 — ?о = 0,
5 6] ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 57 что может быть переписано и в виде X У 2 1 *0 Уо ZO 1 *1 J/l Zj 1 х2 уг za 1 Мы установили, что всякая плоскость есть множество всех точек Л4=(х, у, г), являющихся решениями некоторого уравне- ния первой степени с тремя неизвестными, а именно уравнения (3). Верно и обратное утверждение; множество всех точек М = (х, у, г), координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени, есть плоскость. Итогом всего сказанного выше является следующая теорема: Теорема 8. Всякая плоскость в пространстве, снабженном аффинной системой координат, есть множество всех точек, удов- летворяющих некоторому линейному уравнению Ax-^-ByA-CzA-D — Q. (5) Обратно, множество всех точек М = (х, у, г), являющихся реше- ниями произвольного уравнения вида (5), есть плоскость. Определение. Всякое уравнение (5), которому удовлетво- ряют все точки данной плоскости, называется уравнением этой плоскости. 2. Условие компланарности вектора плоскости. Связь между уравнением плоскости (5) и соответствующим однородным уравне- нием ЛЦ-Вг]+С£ = 0 (6) дается следующим предложением: Теорема 9. Для того чтобы вектор п = {|, т], £} был комп- ланарен плоскости Ах\Ву |-Сг-|-О — 0, (5) необходимо и достаточно, чтобы было + + = (6) Доказательство. 1 ° Пусть вектор и = {£, т], £} компланарен плоскости (5). Берем какую-нибудь точку М0 = (х0, у0, z0) этой плоскости и прилагаем к ней вектор и; получаем вектор с нача- лом в MQ и концом Л1==(х0 + £, //0 + 1Ъ г0-Н), лежащим в пло- скости (5), значит, Ях0 4* Ву0 + Сгй -|-1) = О, А (х0 + 1)+В (у0+ г|)-]-С(г0 + ^)4-0=0. ( о) Вычитая, получаем Л£4-Вг14-С£ = 0. (6)
58 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. f 2° Пусть и = {£, л, £} удовлетворяет уравнению (6). Прилагая вектор и к какой-нибудь точке Д4в = (х0, у0, г0) плоскости (5), по- лучим вектор Af0Af, конец Л1 = (х04-£, y0 + r|, г0 + £) которого в силу (5) и (6) лежит в плоскости (5). Так как и начало Мо этого вектора лежит в плоскости (5), то и весь вектор лежит в этой плоскости. Теорема доказана. Следствие. Прямая х—хв _ у—ул _ 2—г0 а Ь с ' ' тогда и только тогда параллельна (в широком смысле) плоскости Ах + By + Сг + D = 0, (5) когда Ла + В^ + Сс = 0. (8) Если, кроме того, выполнено условие 4-Д*/о 4~Сго + D = 0, (50) то (и только в этом случае) прямая (7) лежит в плоскости. В самом деле, условие (8) означает, что направляющий век- тор {а, Ь, с} прямой (7) компланарен плоскости (5), а условие (50) означает, что точка УИ(, — (х0, у0, г(1) прямой (7) лежит в этой пло- скости. 3. Взаимное расположение двух плоскостей. Если две плоскости параллельны (в широком смысле), то всякий вектор, компланар- ный одной из них, будет компланарен и друюй плоскости. Две параллельные в широком смысле плоскости имеют одно и то же множество компланарных им векторов. Обратно, если у двух пло- скостей лд и л2 одно и то же многообразие компланарных им векторов V, то они параллельны в широком смысле слова, если, кроме того, эти плоскости различны, то они не имеют ни одной общей точки (т. е. параллельны в узком смысле слова): если бы плоскости л1 и л.2 имели общую точку М(), то, прилагая к этой точке все векторы многообразия Е, мы бы получили все точки каждой из плоскостей л, и л.2 и эти плоскости были бы тождест- венны. Итак, две плоскости, определяемые соответственно уравне- ниями Ах By Сг -|- D = 0 (9) и А'х + В'у + С'г + D’ = 0, (9') параллельны в широком смысле слова тогда и только тогда, когда они определяют одно и то же многообразие компланарных им
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 69 векторов, т. е. когда уравнения Л£ + Вт1+С£ = 0 (10) и Л'£Ч-В'П4-С'£ = О (Ю') имеют одно и то же множество решений. А это, как мы видели, бывает тогда и только тогда, когда | А': А =В': В = С':С. I______________________ Если, более того, (И) (12) A':A=B':B = C':C = D':D, то уравнения (9) и (9') равносильны, определяемые ими плоско- сти совпадают. Обратно, если плоскости (9) и (9') совпадают, то совпадают многообразия компланарных им векторов, т. е. выпол- нено (11), и, следовательно, при некотором X А' = Ы, В' = ХВ, С'=ХС. Докажем, что тогда и £)' = XD, т. е. имеет место пропорция (12). В самом деле, если М0 = (х0, у0, z0)— какая-нибудь точка совпа- дающих между собой плоскостей (9) и (9У), то имеем тождества Ах0 + Й1/0-1-Сг0 = — D, А'х0 В'у0 + С г0 = — D, в которых Д'=ЛА, В'=АВ, С' = ХС, а следовательно, и £>'=W. Утверждение доказано. Итак, пропорция (12) является необходимым и достаточным условием для совпадения плоскостей (9) и (9'). Наконец, н<|раллеи1,П(кт1. плоскостей (9) и (9') в собственном смысле означает, чю имеет место параллельность в широком смысле, но нет совпадения плоскостей. Другими словами, верна пропорция (11), но неверна пропорция (12), а это значит, что A':A=B':B = C-.C=£D':D. (13) Итогом всему является Теорема 10. Дна уравнения первой степени (9) и (9') Ах By А~Сг A- D = Q, A'x + B'y + C'z+D' = 0 тогда и только тогда определяют одну и ту же плоскость, когда выполнено условие А' ;А = В' -,В~С -.C = D' -.D. (12)
60 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (ГЛ 1 Уравнения (9) и (9') тогда и только юогда определяют две плоскости, параллельные в широком смысле слова, когда выполнено условие (И). Наконец, эти уравнения тогда и только тогда определяют две плоскости, параллельные в собственном смысле, когда имеет место (13). 4. Прямая как пересечение двух плоскостей. Взаимное распо- ложение двух прямых в пространстве. Пусть две плоскости, за- данные уравнениями Хх -|- By -j- Сг -f- D = 0, (9) X х-р^ У~\~С z+D' =0, (97) не параллельны, т. е. X : В : С =/= X'! В' : С'. Тогда но крайней мере один из трех детерминантов Нв. сф Нс- И Нл- £| отличен от нуля, и уравнения (9) и (9') совместны; чтобы найти их совместное решение, т. е. точку М0 = (х0, у0, г0), принадле- жащую обеим плоскостям (9) и (9'), достаточно в предположении, |Д S |^п что, например, с - К, =/= 0, взять произвольное значение z = г0 и решить по правилу Крамера систему уравнений Ах + By - — D — Сг(), А'х [-В'у Czu. Итак, пусть Л1о (х0, у„, z(l) есть какая-нибудь точка, принадле- жащая обеим плоскостям (9) и (9'). Все остальные точки М, общие двум нашим плоскостям, найдутся, если приложить к точ- ке Мо всевозможные векторы и = ЛГ0Л7 = {£, П, Й, лежащие одновременно как в одной, так и в другой плоскости, или, что то же самое, всевозможные векторы-решения системы однородных уравнений Х£ + ВЛ + С£ = 0, (10) X'g + B'n + C'£ = O. Так как X : В : С =^= X': В’: С, то все эти векторы коллинеарны одному из них, например, вектору и0 = {а, Ь, с}« Все общие точки наших двух плоскостей суть точки М, опреде- ляемые векторным уравнением
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 61 они образуют прямую, проходящую через точку Мо и имеющую вектор и0 = {а, Ь, с} своим направляющим вектором. Каноническое уравнение этой прямой есть Х — Хд _ у —уд = Z—Zg а Ь с ’ где а, Ь, с заданы равенствами IB С I . |С А I \А В I а |В' С'|’ Ь |С' А' I’ В'р Две прямые х—Хд _ у—уд = г —гр1 ... а b с ' ' и х-х'д _ у-у'д _ г-г'д а’ Ь’ с' ' ' могут быть или не быть компланарными. Положим М0 - (Хр, t/д, ?р), Л4„ = (Х||, Уд, г0). Для компланарности прямых (I) и (Г) необходимым и достаточ- ным условием является компланарность трех векторов МОМ;={Х;-ХО, Уд-Уа, Zg-Zg}, u0 = {а, Ъ, с}, tip = ja', b', с'}, т. е. равенство Хд Хд Уд уд Zg Zg а Ь С а' Ь' с' Следовательно, прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости то| да и только тогда, koi да последнее равенство не имеет места. Найдем уравнение плоскости, содержащей две компланарные прямые (I) и (Г). Предположим сначала, что прямые (I) и (Г) пересекаются и что Л10 = (х0, у0, г0) — их точка пересечения. Тогда плоскость, в которой лежат обе наши прямые, есть плоскость, проходящая через точку Л1,, = (xft, у0, г0) и два приложенных к ней неколлинеарных вектора b, с} и ц^ = {а', Ь', с'}. Урав- нение этой плоскости имеет вид X — Хд У —IJg Z — Zg a b t = 0, (2') а' Ь' / оно и дает ответ на поставленный вопрос.
62 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. Г Пусть теперь прямые (I) и (Г) параллельны. Тогда векторы Но и и,, коллинеарны, следовательно, уравнение плоскости (2') обра- щается в тождество и ничего нам не дает. Чтобы определить урав- нение плоскости, содержащей две данные параллельные прямые (I) и (Г), заметим, что эта плоскость содержит точку Мо =- — (хо< Уо< Zo) одной из наших прямых, ее направляющий вектор и0={п, Ь, с} и вектор М0М'0 = {х'о — хв, у'0 — у0, z'0 — z0}. Поэтому уравнение искомой плоскости есть х—х0 у—уа г—20 Уо Уо = 0. а 5. О двух полупространствах, определяемых данной пло- скостью. Этот вопрос совершенно аналогичен вопросу о двух по- луплоскостях, определяемых данной прямой на плоскости. Пусть плоскость л задана уравнением F (х, у, z)=z Ax + By + Cz + D^b. (14) Плоскость л разбивает пространство на два полупространства, одно из которых состоит из всех точек М = (х, у, г), для кото- рых F (х, у, z)>0, другое —из всех точек М = (х, у, г), для ко- торых F (х, у, г)<0. Первое полупространство называется поло- жительным, второе — отрицательным по отношению к данному уравнению (14) плоскости л. При переходе к какому-нибудь дру- гому уравнению той же плоскости оба полупространства могут или остаться неизменными, или поменяться местами: положитель- ное полупространство для одного уравнения сделается отрица- тельным для другого. Первый или второй случай наступает в за- висимости от знака того множителя, на который надо почленно помножить одно уравнение, чтобы получить другое. Имеет место утверждение, аналогичное теореме 6. Теорема 11. Если точки Л40 = (х0, у0, г0) и М1 = (х1, ylt zx) лежат в разных полупространствах, определяемых плоскостью (14), то отрезок M0Mi пересекает плоскость; если же точки Мо и лежат в одном и том же полупространстве, то в этом же по- лупространстве лежит и весь отрезок Л1ОЛ4Х (рис. 41). Наглядный смысл этой теоремы таков же, как в случае ана- логичной теоремы о двух полуплоскостях, определяемых на пло- скости данной прямой. Плоскость (14) не может быть параллельна сразу всем трем координатным осям. Пусть, например, она не параллельна оси Oz. Тогда каждая точка Л40 = (х0, у0, г0), не ле- жащая на плоскости (14), лежит «выше» или «ниже» этой пло- скости—в следующем смысле. Через точку Л40 = (х0, уп, гп) про- ходит единственная прямая, параллельная оси Oz; она пересекает плоскость (1) в некоторой точке Л41 = (х1, уъ гх) (рис. 42). Если z0>z1, то говорим, что точка Мй — (х0, yQ, г0) лежит выше пло-
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 83 скости (1); если же 20<гъ то говорим, что точка Мо лежит ниже плоскости (14). Теорема 12. Все точки пространства, лежащие выше пло- скости (14), образуют одно из двух полупространств, на кото- рые эта плоскость разбивает пространство-, все точки, лежащие ниже плоскости (14), образуют второе полупространство. Наконец, имеет место следующая теорема. Теорема 13. Если плоскость л задана уравнением (14), то вектор п = {Л, В, С}, приложенный к какой-либо точке Мо => — (хо> Уо> го) этой плоскости (рис. 43), направлен в положитель- ное полупространство относительно уравнения (14).
Ь4 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ I 6. Плоскость в прямоугольной системе координат. Предпола- гаем до конца главы, что система координат прямоугольная. Теорема 14. Пусть плоскость л задана (в прямоугольной системе координат) своим уравнением Ах-)- By 4-С? 4-0 = 0. (15) Тогда вектор п = (А, В, С| перпендикулярен к плоскости л. В самом деле, если и = {£, т], ^ — произвольный вектор, ле- жащий в плоскости п, то (п, u) = А%4- Вт| 4- Ct, = О, что означает, что вектор п перпендикулярен ко всякому вектору, лежащему в плоскости л, т. е. перпендикулярен к плоскости л, что и требовалось доказать. Проведем теперь через начало координат О перпендикуляр («нормаль») ON к данной плоскост л (рис. 44); через N обозна- чаем точку пересечения плос- кости л с этой нормалью. Если плоскость л проходит через начало координат (т. е. О = N), то положительное на- правление па нормали выби- раем произвольно; в против- ном случае считаем положи- тельным направление вектора ON (г. е. направление от на- чала координат к плоскости л) Орг этого направления л обо тачаем через ею направ- ляющие косинусы — через cos a, cos р, cosy, так что e = {cosa, cos р, cosy}. На оси ON алгебраическое значение вектора ON есть число р^О, равное расстоя- нию плоскости л от начала координат. Пусть М = (х, у, г) — какая-нибудь точка пространства. В том и только в том случае, когда она лежит в плоскости л, ее ортогональная проекция па ось орта е есть точка N, а проекция вектора ОМ есть вектор ON. Следовательно, для всех точек М — (х, у, г) плоскости л и только для них имеем азпре 0М=р
« 6) ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 65 Но левая часть этого равенства есть х cos а + у cos Р + г cos у, так что точки М = (х, у, г) плоскости л и только они удовлет- воряют уравнению х cos а + у cos р 4-г cos у — р = 0, (16) которое есть, следовательно, уравнение плоскости л; оно назы- вается нормальным уравнением этой плоскости. Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение Лх4-В«/4-Сг4-О = 0 (15) плоскости л. Как, отправляясь от этого уравнения, получить нор- мальное уравнение той же плоскости? Так как уравнения (15) и (16) определяют одну и ту же пло- скость л, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т. е. cos а = 2.4, • cosp=-Afl, cos у = AC, (17> — p — kD при некотором X. Из равенств (17) определяем X, а именно: из первых трех равенств (17) имеем X2 (Л2 4- В2 4- С2) = cos2 а 4- cos2 р 4- cos2 у = 1, откуда |X|=^=L=(18) Знак X определяем лишь в случае 0=^0 из четвертого равен- ства (17): так как р>0, то XD<0 и, следовательно, X имеет знак, противоположный знаку D. Определенно. Чпс/io А, имеющее модуль е уа2+в2 + с> и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нор- мирующим множителем уравнения (15). При 0 = 0 можно знак X выбрать произвольно. Мы установили: для того чтобы из произвольного («общего») уравнения плоскости (15) получить нормальное уравнение плоско- сти (16), надо обе части уравнения (15) помножить на норми- рующий множитель этого уравнения. Аналогично случаю прямой на плоскости, нормальное уравне- ние плоскости позволяет определить расстояние любой точки про- странства до этой плоскости. Теорема 15. Расстояние р(М0, л) от точки Л40 = (х0, у0, г0) до плоскости л, данной своим нормальным уравнением (16), равно 3 П. С. Александров
66 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ГГЛ | модулю числа, получаемого, если в левую часть уравнения (17) под- ставить х = х0, у = у®, 2 = ze, т. е. р (Мо, л) = | xe cos а + уа cos 0 + z0 cos у - р |. Если плоскость л задана общим уравнением (15), то расстоя- ние от точки Мв = (х0, у0, z0) до этой плоскости находится по формуле р (Мо, л) = Лхд4~ ДУе~Ь^го4~ Д I /Аг + В2+Са 7. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя пло- скостями. Угол между прямой d и плоскостью л есть, по опре- делению, угол ф между этой прямой и ее проекцией на пло- скость л. Это определение дает не один, а два угла (острый и тупой), дополняющих друг друга до л (рис. 45); каждый из этих углов заключен между Ойл. В зависимости от выбора направляющего вектора прямой d и нормального вектора к плоскости л имеем всего четыре угла (рис. 46), образующих две пары вертикальных углов. Обозначим через <р угол между любым направляющим вектором и прямой d и любым вектором и, нормальным к плоскости. Так как угол ф заключен между 0 и л, то его синус неотрицателен, причем, как легко видеть, всегда sintf = | cos <р |. Если прямая d дана уравнением Х — Хо _ У — Уо _ Z — 2q а Ь с (19)
§ 6) плоскость И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 67 а плоскость л — уравнением Ах By Cz -f- D — 0, (20) то угол ф между векторами и0 = {а, Ь, с} и п = {Л, В, С} нахо- дится по формуле Аа + ВЬ + Сс COS ф = г - ; /A24-B2 + C2-Ka2 + b*+c3’ значит, Sinф = . _|Ла + ДЬ + Сс| _ /Л2 + В3 + Са-/а2 + Ь2+с2* Условие перпендикулярности прямой (19) и плоскости (20) есть условие параллельности векторов и0 и п, т. е. a _ _____с_ А ~ В ~ С ‘ За угол между двумя плоскостями Ax + By + Cz + D^-0 (20) и А'х + В’у + С'z + D' = 0 (20') принимаем угол ф между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами (что опять дает два угла, острый и тупой, дополняю- щих друг друга до л), например между п = {Л, В, С}, п' = {Л', В’, С’}. Получаем ЛА' + ВВ' + СС' COS ф — —— , - . Va2+b2+c^-V а,2+в,2+С'2 Условием перпендикулярности двух плоскостей (20) и (20') явля- ется ЛЛ' + ВВ' + СС' = 0. Рассмотрим в заключение следующую задачу. Задача. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки Л41 = (х1, уг, Zj) на прямую d (не проходящую через точку AiJ, данную уравнением х—Хр _ у—у0 _ 2—г0 а b с ' и найти его длину. При этом под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую d, понимается прямая, проходя- щая через точку и пересекающая прямую d в некоторой ее точке М3 под прямым углом. Длина отрезка называется
68 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ;гл I длиной перпендикуляра. Для решения поставленной задачи, во-первых, проводим плоскость через точку и прямую d. Эта плоскость, неся на себе векторы и0 = {а, Ь, с}, M0M1=u1={x1-x0, yL-y0, zx-z0} и содержа точку Мо, имеет уравнение х—х0 у—уа г—г0 Х1 — Ха У1 — уа 21 — г0 а Ь с = 0. Во-вторых, проводим плоскость через точку М, - (xlt ylt zt) перпендикулярно к прямой d. Уравнение этой плоскости есть а (х -xj + Ь (у-yj+dz-Zt) ----- 0. Пересечение этих двух плоскостей даст искомую прямую, прохо- дящую через точку Мь пересекающую прямую d и перпендику- лярную к ней. Длину перпендикуляра, опущенного из точки Alj на прямую d, найдем как высоту параллелограмма, построенного на векто- рах MqMj и и0, отложенных от точки MQ, считая основанием сторону и0. Площадь S этого параллелограмма есть абсолютная величина векторною произведения вектора па вектор и0, а длина его основания есть |и„ |; поэтому для расстояния р (Mlt d) имеем Р(ЛЪ, 11X^1’ и»11 ’ ~ I I Иа2 + Ь2+с2
Г Л А В A II ПАРАБОЛА, ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в кото- рой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определен- ный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом. § 1. Парабола Парабола известна читателю из курса средней школы как кри- вая, являющаяся графиком функции у = ах2 + &х+с. (1) (Ь 4дс ~ - Ь2 \ — —I называется вершиной пара- болы. В частности, если д = с = О, то У = ах2, (2) и вершина параболы находится в начале координат. Поменяем названия осей, т. е. перейдем к новой системе коор- динат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс — старая ось ордппа'1. В эюй новой системе уравнение (2) запишется в виде //- - 1 х или, если число — обозначить через 2р, в виде у2 = 2рх, р>0 (рис. 47). (3) Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы: прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (3), называется канонической системой координат (для этой параболы). Установим геометрический смысл коэффициента р. Для этого возьмем точку f=(M’ (4)
70 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА [ГЛ. II называемую фокусом параболы (3), и прямую d, определенную уравнением р_ 2 * х — — (5) Эта прямая называется директрисой параболы (3) (см. рис. 47), Пусть М = (х, «^ — произвольная точка параболы (3). Из урав- нения (3) следует, что х^О. Поэтому расстояние точки А4 от директрисы d есть число j + х- (6) Расстояние точки М от фокуса F есть Г--1 (/ + Итак, все точки М параболы равноудалены or ее фокуса и директрисы: г = 6л. (7) Очевидно обратное: каждая точка М, удовлетворяющая условию (7), лежит на параболе (3). Мы доказали, что каждая парабола (3) сыпь геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса /•' и от директрисы а этой параболы.
$ 11 ПАРАБОЛА 71 Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффи- циента р в уравнении (3): число р равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы. Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямай d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует, парабола с фокусом F и директрисой d. Для этого проведем череЗГ Точку F прямую g (рис. 48), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозна • -и через D; расстояние |DF | обозначим через р. Прямую g пр _рзтим в ось, приняв на Пей направление DF в качестве полож -/лого. Эту ось сделаем Осью абсцисс прямоугольной системы __рд1нат, началом которой является середина О отрезка DF. да F = 0р> о) и прямая d получает уравнение х — ' /ь мы можем в выбранной Системе координат написать к' ^иическое уравнение параболы: //2 = 2рх, (3) причем точка F будет фокусом, а прямая d— директрисой пара- болы (3). Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы. Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фоку- са» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы). Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через р, мы можем всегда найти прямоугольную систему коорди- нат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид Уг -= 2рх. (3) Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой. Расстояние р между фокусом и директрисой параболы назы- вается фокальным параметром или просто параметром параболы. Прямая, проходящая через <|юкус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы — это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, отно- сительно которой уравнение параболы имеет вид (3). Если точка М = (х, у) удовлетворяет уравнению (3), то этому уравнению удовлетворяет и точка М' = (х, — у), симметричная точке М отно- сительно оси абсцисс.
Т2. ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА [ГЛ. П Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы. § 2. Эллипс Определение. точек плоскости, су:, и F2 (рис. 49) cct. Эллипсом называется геометрическое место с оасстояний которых от двух данных точен "тоянное число; это число мы обозначаем через 2а. Точки Ft и F2 на1 зываются фокусами эллипса! расстояние между ними обо* значается через 2с и назы- вается фокусным расстоя- нием. Число а называете^, большой полуосью эллипса (по причинам, которые выяснятся в дальнейшем). Середина О отрезка f\F2, соединяющее^ фокусы, называется центром эллипса, а вся прямая f\F2 называется его фокальной или первой осью. Прямая, перпендикулярно к фокальной проводящая через центр эллипса оси, называется второй осью эллипса. Пусть М — какая-нибудь точка эллипса. Так как 2а = |/',1М| + *Т\l’2M | | Г’,6, |= 2с, то а ^с. Однако если а =с, то получаем совокупность всех точек М, для которых | /цМ | l-'iFaM | =|FiFa|, т. е. отрезок /'V'V Этот случай мы в дальнейшем рассматривать не будем и поэтому будем предполагать, что а>с. Число с е = — а называется эксцентриситетом эллипса; оно всегда < 1. Эксцентри- ситет эллипса равен пулю тогда и только тогда, когда фокусы эллипса совпадают: В этом случае эллипс превращается в геометрическое место точек М, расстояние которых от точки Fi^- F., равно а, т. е. в окружность радиуса а с центром 0 = F1=±! — F2; под осью окружности понимаем всякую прямую, проходя- щую через ее центр О. Пусть нам дан эллипс; значит, даны его фокусы 1\ и F2 и дана его большая полуось а. Значит, нам известно п число c<a, равное половине расстояния между фокусами. Построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической системой (для данного
эллипс 73 эллипса). Ее начало О есть центр эллипса, а ось абсцисс совпа- дает с фокальной осью. Положительным направлением на ней считаем направление вектора FrF2. Положительное направление на оси ординат выбираем произвольно. В этой системе координат имеем Ех = (—с, 0), Е2 = (с, 0); фокус Fi условно называем левым, фокус F2 — правым. Предположим теперь, что М = (х, у) — произвольная точка эллипса. Пусть г1 = р(/?1, Л4) и r2 = p(F2, М) — расстояния точки М до фокусов Flt соответственно F2. Числа гх и г2 называются фокальными радиусами точки М. Имеем гх = /(х+с)2 + у2, г2 = У(х-с)2 + у*. Точка М — (х, у) является точкой эллипса тогда и только тогда, когда гх4-га = 2а, (1) т. е. /СИ г)'2-| у2 |-/(х-с)2Н-у2 = 2а. (1') Это уравнение и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем уравнение (1) к виду, который называется кано- ническим уравнением эллипса. Для этого перенесем второй ради- кал в правую часть. Возведя после этого обе части уравнения в квадрат, получаем (х + с)3 + у2 = 4а2 — 4а /(х — с)2 + у2 + (х — с)2 + у2 (2) или (после очевидных преобразований) (а2 — с2) х2 + а2у2 = а2 (а2 — с2). (3) Так как a'z-c, io число а2 <2 поло?кп юлыю; обозначим его через Ь2, называя чист Ь= -|- |Лг - < ~ ма ton. полуосью эллипса. Теперь равенство (3) можно переписать в виде Ь2 х2 + а2 у2 = а2 Ь2 или — +—= 1 а* ~ 62 (4) Покажем теперь, что уравнение (4) действительно есть урав- нение нашего эллипса, ведь пока мы доказали только, что каждая точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению (Г), удовлетворяет и уравнению (4). Остается доказать обратное утверждение, а именно, что каждая точка Л4=(х, у), удовлетворяющая уравнению (4), есть точка эллипса, т. е. что для нее выполнено условие гх + г2 = 2а.
74 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА {ГЛ. П Итак, пусть М = (х, «^ — произвольная точка, удовлетворяю- щая уравнению (4). Найдем расстояния rlt г2 точки М от фокусов и F2. Имеем Г1 = + У(Х+С)2 + У2, (5) причем из (4) имеем f/2 = ba(l-^). (6) Но Ь2 = а2 —с2, поэтому у2 = а2 — с2 — х2 + ~ х2. v ' а3 Это значение у подставим в (5); получим ri = + У 2сх + а24-^ х2 = 4- |/7а 4- a х)’, откуда г! = —(а+^ х) = ±(а + ех). (7) Слева — положительное число г,; справа надо взять такой знак, чтобы правая часть была тоже положительной. Но из (4) следует, что |х| а; кроме того, 0 с<1; значит, |«’х| < а, т. е. всегда a-\-ex>Q, так что справа в (7) надо взять зпак4-> и мы получаем Точно так же г,- а-\-ех. (I) г2 = а — ех. (Н) Из (I) и (II) получаем г14-г1 = 2я, точка М = (х, у} принадлежит нашему эллипсу. Итак, мы доказали, что уранение (4) действительно есть урав- нение эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса. Кроме того, е = = ± = /Г^. (8) у а2 а ’ а ' ' ' Из уравнения (4) легко накодятся некоторые свойства эллипса. Прежде всего, если точка Л4 = (х, у) лежит па пашем эллипсе, т. е. удовлетворяет уравнению (4), то тем же свопе гном обладает и точка Л4' = (х, —//) (рис. 50), симметричная точке М относи- тельно оси абсцисс, а также точка М" — ( — х, у), симметричная точке М относительно оси ординат. Итак, обе оси эллипса являются его осями симметрии.
5 з) ГИПЕРБОЛА 75 Центр эллипса является его центром симметрии', в самом деле, при нашем выборе системы координат центр есть начало коорди- нат О; если точка М = (х, у) удовлетворяет уравнению (4), то и точка М* = (— х, — у), симметричная точке М относительно центра О, также удовлетворяет уравнению (4), откуда утверждение следует. Заметим, наконец, что— в силу уравнения (4), ко- торому удовлетворяют все точки эллипса, —для каж- дой точки М = (х, у) эл- липса имеем ^<1 у- а? ' ’ Ьг т. е. |х| \у\^Ь—весь эллипс лежит в прямо- угольнике, ограниченном прямыми x--zLa, параллельными (второй и первой) осям эллипса и отстоящими от них соответствено на расстояние а и Ь. Этот прямоугольник называется основным пря- моугольником для данного эллипса. Точки Лх = ( — а, 0), Л2 = («,0), а также точки Вг = (0, — Ь), Вг = (О,Ь), т. е. точки пересечения эллипса с его осями, назы- ваются вершинами эллипса. Таким образом, у эллипса (не являющегося окружно- стью) имеется четыре вер- шины. § 3. Гипербола Определение. Гипер- болой называется геометриче- ское место точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух фиксированных точек /;j и F.t (рис. 51) есть положитель- ная постоянная. Эту постоянную обозначим через 2а. Число а будем называть первой полуосью гиперболы. Точки Fr и F2 назы- ваются фокусами гиперболы. Расстояние между ними обозначается через 2с и называется фокусным расстоянием. Середина отрезка F\F2 называется центром гиперболы. Прямая, на которой лежат
76 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА (ГЛ II фокусы гиперболы, называется фокальной или первой осью гиперболы. Прямая, проходящая через центр перпендикулярно к первой оси гиперболы, называется ее второй осью. Из рис. 51 ясно, что I ЛЛг1^11 MFi | — | MF211, т. е. с^а. Если с = а, то мы получаем точки М, для которых или |Ж|-|Ж| = |Ж|. или |Ж|-|Ж| = Ж|- Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок F\F2 до всей прямой. Поэтому случай с -а в дальнейшем рассмат- ривать не будем, т. е. предполагаем, что О а. Как и в случае эллипса, число называем эксцентриситетом гиперболы и обозна- чаем через е. Имеем Пусть нам дана i ппербо'ы, т. е. даны ее фокусы F\ и F2, а также числа а п с. Построим па плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической (для данной гиперболы). Il.eia/io этой системы координат лежит в центре О гиперболы, ось абсцисс совпадает с фокальной осью гиперболы. За положительное направлен не оси абсцисс примем направление вектора Toi да /•', ( -с, О), F2 — (c, 0). Пусть М — (х, ^ — произвольная точка i иперболы. Обозначим через г1 = р(Е1, М) и r2 = p(F2, М) расстояния точки М = (х, у) соответственно до фокусов Ft и F2. Числа и г2 называются фокальными радиусами точки М. Имеем Г1 = /(* + с)2 + г2 = ]Л(х-с)3 + у2. (1) Точка М -- (х, у) есть точка гиперболы тогда и только тогда, когда I П - О I = 2а (2) или г1 — г2 — ± 2а. Если принять во внимание равенства (1), то имеем У(х \-с)2+у*-У(х~с)2+у2 = И. 2а. (3) Это уравнение и есть уравнение нашей гиперболы в выбранной системе координат.
5 3J ГИПЕРБОЛА 77 Преобразуем уравнение (3) к виду, который называется кано- ническим. Для этого уединим первый радикал. Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получаем (х+с)2 -{- у2 = 4а2 ± 4а У(х — с)2 + у2 + (х — с)2 + у2 или (после простых преобразований) (с2 — а2) х2 — а2у2 = а2 (с2 — а2). (4) Так как с>а, то число с2 —а2 положительно; обозначим его через Ь2, считая b = + ]/ с2 — а2. Равенство (4) можно переписать в виде Ь2х2 — а2у2 = а2Ь2 или X2 _ & _ 1 с? Ь* (5) Осталось показать, что уравнение (5) действительно есть урав- нение пашей I пперболы; как и в случае эллипса, еще надо дока- зать, что каждая точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению (5), удовлетворяет и уравнению (2). Пусть Л4=(х, ^ — произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (5). Найдем фокальные радиусы и г2 точки М. Имеем Г1^у (х + с)2+у2, (1х) л1 = ±(а + ех). (6Х) Совершенно аналогично имеем г, = ± (а — ех). (62) Так как/, иг2- положишльпые числа, то надо знак перед скобками выбрать так, чтобы и правые части равенств (6Х) и (62) были по- ложительными. Для этого исследуем различные возможные случаи, представляемые равенствами (6Х) и (62). Из уравнения (5) нахо- дим прежде всего, что | х | 2s а > 0. Поэтому имеем два основных случая: в зависимости от того, лежит ли точка М = (х, у) в пра- вой полуплоскости х>0 или в левой х<0. Так как е> 1, то в обоих случаях имеем | ех | > а. (7) При х>0 внутри скобки в (6Х) стоит положительное число, поэтому скобку надо взять со знаком +, и мы получаем г1 = а + ех при х>0.
78 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА [ГЛ II Из (7) следует, что при х>0 внутри скобки (62) стоит отрица- тельное число, скобку надо взять со знаком —, так что га =— a-j-ex при х>0. (11+) Из (1+) и (11+) следует, что при х>0 имеем т\ — гг = 2а, и точка М = (х, у), удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе. Пусть х<0; из (7) следует, что теперь внутри скобки (6) стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять внак —, так что = — а — ех при х<0. (I ) Зато внутри скобки в (6) стоит теперь число положительное, вначит, г2 = а — ех при х<0. (II-) Имеем г.2 — = 2а. Итак, во всех случаях всякая точка, удовлетворяющая уравне- нию (5), лежит на гиперболе — мы доказали, что уравнение (5) действительно является уравнением пашей гиперболы. Оно назы- вается каноническим уравнением гиперболы. Формулы (I), (II) линейно выражают фокальные радиусы лю- бой точки гиперболы через ее абсциссу. Заметив, что c2 = a2-j-62, получаем eI_4 = 5bt^ = i + ms, (s) да д2 \ а / ’ v ' е = + (9) Из уравнения (Г>) вытекает (как и в случае эллипса), что обе оси гиперболы являются ее осями симметрии, а центр гиперболы есть ее центр симметрии. Переписывая уравнение гиперболы (5) в виде 1 62 — а2 и замечая, что его левая часть всегда ^0, видим, что для точек X2 гиперболы должно быть -2 — 1 ^0, т. е. | Ssa. Другими словами, в полосе — а < х < а, ограниченной прямыми х = ± а (на рис, 52
S 3] ГИПЕРБОЛА 79 эта полоса заштрихована), в частности на второй оси х = 0, не содержится точек гиперболы: все они лежат или вправо от пря- мой х = а, или влево от прямой х = — а, кроме двух точек At =s = (— а, 0), А2 = (а, 0), лежащих на самих этих прямых и являю- щихся точками пересечения гиперболы с ее фокальной осью. Эти две точки назы- ваются вершинами гиперболы. Итак, гипербола распа- дается на две ветви: «правую», для точек которой абсцисса х^а, и «левую», для точек которой х^ — а. Чтобы ближе познако- миться с общим видом гипер- болы, надо определить пря- мые, называемые ее асимпто- тами. Как и в случае эллипса, основным прямоугольником ги- перболы называется прямоугольник, ограниченный прямыми, па- раллельными второй и первой осям гиперболы и отстоящими от них соответственно на расстояния а и b (рис. 53). В канонической системе координат уравнения тогда как уравнение самой гиперболы имеет вид х2 у2_____ а2 — fc2— (Ю) Диагонали основного пря- моугольника суть прямые, имеющие своими уравнениями <И> Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Прямую у — -~х будем на- этих прямых суть х = ±а, у = ±Ь, зывать первой, а прямую у = — х — второй асимптотой. Возьмем какое-нибудь значение переменного х, х^а. Ему соответствует в верхней полуплоскости точка М гиперболы с абс- циссой х (см. рис. 53) и точка М' (первой) асимптоты с той же абсциссой х: М = (х, у), М.’— (х, у').
80 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА [ГЛ ц При этом У = уУ^2-а2» У' = ЪХ’ При неограниченном возрастании х разность , _ ab У x+Vx^—a* ' оставаясь положительной, монотонно убывает и стремится к пулю, т. е. точки М и М’, уходя в бесконечность, неограниченно сбли- жаются между собой. При этом точка М гиперболы все время остается под точкой М' асимптоты. На нижней полуплоскости положение аналогично, что следует из симметрии фигуры, составленной из гиперболы н пары ее асимптот, относительно оси гиперболы. Мы исследовали взаимное расположение точек гиперболы и пары ее асимптот при х_-~а. Каргина при x-=z — а получается по симметрии. В целом общий вид гиперболы ясен из рис. 53. § 4. Директрисы эллипса и гиперболы Директрисой эллипса (гиперболы), соответствующей данному фокусу F, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной и а оси кривой, отстоящая от центра на расстояние -- и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 54 и 55). Таким образом, и у эллипса (не являющегося окружностью), и у гиперболы — две директрисы. Если взята каноническая для данной кривой прямоугольная система координат, то уравнение директрис dlt d2 (соответствую-
S ч ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ 81 щих фокусам Flt F2) будет соответственно (11) (к) Для эллипса е<1, поэтому директрисы эллипса удалены от центра на расстояние, большее а, т. е. расположены за пределами основного прямоугольника (см. рис. 54). Для гиперболы е>1, поэтому директрисы гиперболы удалены от ее центра на расстояние, меньшее а, они пересекают основ- ной прямоугольник и проходят между центром и соответствующей вершиной гиперболы (см. рис. 55). Заметим, наконец, что расстояние А директрисы от соответ- ствующего ей фокуса есть 1) в случае эллипса А а А =-------ае = а е б2, е а ’ 2) в случае гиперболы . а е2 — I 1 А = ае-= а-= — е ее Ь1 а ‘ Итак, для эллипса и для гиперболы имеем д = 1Л е а (2)
82 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА [ГЛ. II Если в случае гиперболы (при данном а) фокусное расстоя- ние с, а значит, и эксцентриситет е = ~ увеличиваются, то (острый} угол между асимптотами уменьшается, а директрисы все более приближаются ко второй оси (и сближаются между собой). Если в случае эллипса (при данном а) фокусное расстояние 0, с а значит, и эксцентриситет е = — уменьшаются, то эллипс стано- вится все более похожим на окружность, а его директрисы ухо- дят все дальше и дальше от второй оси (и друг от друга). Нако- нец, для окружности е = 0 и директрисы исчезают («уходя в бес- конечность») — окружность не имеет директрис. Пусть дан какой-нибудь эллипс или гипербола С; один из фокусов кривой С обозначим через F, соответствующую ему ди- ректрису — через d. Для произвольной точки М обозначим через г расстояние этой точки М от точки F, через б — расстояние точки М от прямой d. Докажем, что для всех точек М кривой С имеем (3) Достаточно доказать это равенство для случая, когда F = FZ— первый (левый) фокус (система координат — каноническая). Тогда имеем r = |a + ex|, fi = |x + y|, откуда Итак, равенство (3) имеет место для всех точек кривой С. Докажем обратное утверждение: если для какой-нибудь точки Л4 = (х, у) плоскости выполнено равенство (3), то точка М лежит на кривой С. В самом деле, пусть снова F — левый фокус кривой С, т. е. F = (—с, 0), а прямая d имеет уравнение Тогда г2 = (х+с)2 + у2, По предположению для точки М выполнено условие (3), так что 62 — а2 ’ т. е. (а2 — с2) х2 4- а2у2 = а2 (а2 — с2). (4)
S 4J ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ 83 Если кривая С —эллипс, тое = -^-<1, а2 — с2 = Ь2 и уравнение (4) переписывается в виде *1 . yL cP "Г Ь* = 1 — точка М лежит на эллипсе С. Если же кривая С —гипербола, то е = -£ > 1, с2 — а2 = Ь2 и уравнение (4) можно написать в виде а2 62 — точка М лежит на гиперболе С. Итак, доказана следующая теорема: Как эллипс, так и гипербола С с эксцентриситетом е есть гео- метрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих следую- щему условию: отношение расстояния точки М до произвольно выбранного фокуса кривой к расстоянию точки М до соответст- вующей этому фокусу директрисы равно е. Пусть теперь на плоскости даны точка F, прямая d, не про- ходящая через эту точку, и положительное число е=/=1. Докажем, что при е < 1 существует эллипс и при е > 1 — гипер- бола с эксцентриситетом е, фокусом F и соответствующей ему директрисой d. В самом деле, опустим из точки F перпендикуляр FD на пря- мую d и обозначим через А точку, делящую отрезок FD в отно- шении е, а через Д' —точку, делящую тот же отрезок FD в отно- шении —е, что гЛ ГЛ' --г ~С, - -7- AD A'D (5) Нетрудно показать, что тогда середина О отрезка АА? делит отрезок FD в отношении —е2: т, е. OF = e2OD. (5') Из равенств (5) и (5') следует, что точки F, D и А лежат по одну сторону от точки О. Выберем прямоугольную систему координат Оху с началом в точке О и положительным направлением OF оси Ох. Пусть в этой системе F = (c, 0), D = (d, 0) Д=(а, 0).
84 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА (ГЛ It Так как точки A, F и D лежат на положительном луче оси Ох, то все три числа а, с и d являются положительными, причем С Й_т+Г- (б) с = е2 • d. Чтобы установить, что точка F и прямая d являются фокусом и директрисой кривой с центром О, первой полуосью а и эксцен- триситетом е, достаточно показать, что а , ае — с, ~ = d. е Имеем и a c-\-ed e2d-j-ed е (1+е)-е ~' (l-f-ej-е ' Утверждение доказано. Эксцентриситет эллипса (не являющегося окружностью) есть положительное число e<Zl; эксцентриситет iвперболы е>1. Определим эксцентриситет для всякой параболы, положив его равным е=1. Теперь любое положительное число е является эксцентриситетом или эллипса, или параболы, или гиперболы, и мы получаем следующий результат: Класс кривых, являющихся эллипсами (кроме окружности), параболами или гиперболами, может быть определен следующим образом: Каждая кривая С этого класса (и только кривая этого класса) есть геометрическое место точек М, для которых отношение расстояния гм точки М от некоторой фиксированной точки F («фокуса кривой С») к расстоянию 6м точки М от некоторой фиксированной прямой («директрисы кривой С») есть постоянное положительное число е, е = —^- (для всех точек М кривой С), 6м называемое эксцентриситетом кривой С. Кривая С есть эллипс, если е < 1, парабола, если е=1, гипербола, если е > 1.
5 5) фокальный параметр 85 § 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах 1. Фокальный параметр. Пусть С —эллипс или гипербола. Проведем через какой-нибудь фокус F кривой С прямую, перпен- дикулярную к ее фокальной оси. Эта прямая пересечет кривую С в двух точках Р и Р'. Длину полученной таким образом хорды РР' обозначаем через 2р; величина р называется фокальным пара- метром кривой С. Фокальный параметр окружности, очевидно, равен ее радиусу. Возьмем каноническую для данной кривой С систему коор- динат, тогда фокальный параметр кривой С равен модулю орди- наты каждой из точек Р, Р'. Вычислим его. Если кривая С —эллипс — + — = 1 а2 ' б« ’ то для любой точки М (х, у) этого эллипса У = ± ~ V п2-хЛ.' Подставляя сюда абсциссу фокуса F, т. е. х — ±с, получим для ординат точек Р, Р' значения у = ± — У а2 — с2 = ± —. J а ' а Итак, фокальный параметр эллипса есть Для точки М = (д', у) iпперболы х2 _ У2 = ] а? 6а 1 имеем У = ± V х2 —а2. Для х = ±с получаем . & ! /~~s-----------------------s , b2 у — ± — Ус2 — а2 = ± —. J а ’ а Фокальный параметр гиперболы также есть
86 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА 1ГЛ. И Вспомним, что мы нашли (§ 4) для расстояния Д между фокусом и соответствующей директрисой как эллипса, так и гиперболы выражение Теперь мы видим, что это расстояние Д может быть выражено и через фокальный параметр: A = f (2) и это выражение годится не только для эллипса и гиперболы, но и для параболы (для которой, как мы знаем, е=1 и Д = р), Таким образом, для всех наших кривых (кроме окружности) фокальный параметр р может быть определен как число р = е&, где Д—расстояние от фокуса до директрисы, а е — эксцентриситет. 2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Получим уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно поль- зуются в астрономии и во многих вопросах механики. Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса (рис. 56), правый в случае гиперболы (рис. 57) и в единственный фокус в случае параболы (рис. 58)); полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d. Для любой точки М нашей кривой обозначаем через г рас- стояние от М до фокуса F, через 6 —расстояние от М до d. Наша кривая С есть геометрическое место точек М, для которых 4- = е, т. е. о г = ед. (3)
« 5] ФОКАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР 87 Но г есть полярный радиус точки М. Вычислим 6. Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через Мх проекцию точки М на эту ось, видим, что 6 есть длина вектора DMX, лежащего па осп абсцисс (канонической системы). Для алгебраических значений векторов на этой оси имеем (DMX) = (DF) + (FMX), (4) но (DF) = |D7) = f, тогда как (FMX) = г cos <р, где ф — угол наклона вектора FM к полярной оси, т. е. поляр- ный угол точки М. На кривой С (в случае гиперболы на правой
88 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА , [ГЛ. II ее ветви) (DMX) = | DMX | = 6. Подставляя в равенство (4) найден- ные значения входящих в него величин, получаем с р , p+«r COSO) 6 = — -4-rcos<p = —----- е т е Наконец, подставляя это значение 6 в (3), имеем г = р + er cos <р, или 1—ecosq) (5) Эгр и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) гиперболы в йолярных координатах.
Г Л A В A III •• ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Аффинная координатная система, или аффин- ный репер в пространстве'), есть тройка некомпланарных векто- ров еп е2, ея, данных в определенном порядке и Приложеййых к точке О —началу репера. Тройка векторов ен е2, е3 называется иногда базисом репера или Координатной системы. Если наряду с репером который будем условно назы- вать «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом е{, е2, ез, то возникает общая задача преобразования координат: nd координатам произвольной точки А1 (произвольного вектора и) в ОДЙой из двух систем координат найти координаты той же 1очки (того же вектора) в другой системе. Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы ef, е2, ез своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты i, k~l, 2, 3, в равенствах з еА'= У а^. i= 1 (1) Матрица А* = ац а21 «31 0-12 а23 032 U13 023 Озз называется матрицей перехода от базиса е1( е2, е3 к базису е(, е2, ез, а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы е(, е2, ез линейно независимы, то детерминант J) Мы излагаем случай пространства! случай плоскости отличается от него только большей простотой.
90 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ГЛ. III матрицы А* отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырожденная матрица. Так как векторы е[, е'>, е'] образуют базис, то каждый из векторов еи е2, е3 в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векто- ров е[, е2, е3: з ez= ^a'kic'k k=i (П «—уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых еди- ничных векторов еъ е2, е3. Посмотрим, как связаны между собой координаты х, у, г и х’, у’, г’ произвольной точки М (произвольного вектора и — = ОМ) в старой и повой координатных системах. Вектор и = 0М записывается, во-первых, как линейная комби- нация векторов еь е2, е3 с коэффициентами х, у, г и, во-вторых, как линейная комбинация векторов е[, е2, е3 с коэффициентами х', у', г’, так что имеем тождество u = xeL -ф z/e2 4- ze3 = x'ef -ф у'е2 + z'e3. Вносим в это тождество выражения е[, е2, е3 из (1); получаем u = xej + г/еа -ф ze3 = (aux' -ф а12у' -ф a13z') ej -ф -ф (a2]X' 4-a22f/r 'фАзз2') е2 4” (£г31Л'Л А~а32&' А~аззг ) ез- Но вектор и единственным образом представляется как линейная комбинация векторов е2, е3, следовательно, коэффициенты при векторах е^ е2, е3 в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е. х = апх'+а12/-фа13г', у — а21х' -ф ai2y’ -ф а23г', 2 = a3i«' 4“ О32У' 4“ аззг' • (2) Эти формулы и выражают старые координаты х, у, г точки М (вектора и) через новые. Матрица alt а12 <г13 А = а21 а22 а23 I а31 аЭ2 а33 (3) дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А* перехода от базиса ех, е2, е3 к базису е[, е^, е3. Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. 2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера Oeie2e3 к реперу О'е1е2е3 сводится к комбинации двух случаев:
§ 2) ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 81 переноса начала и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами Oeje2e3 и О'е'Хед еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' = (х0, у0, 20) и базис еь е2, е3; координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через х", у", z". Тогда х = х0 + х", у = уй + у', z = z0 + z", где //", г" выражаются через х', у', г' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, г (слева) соответственно заменить на х", у", г"). Получаем окончательно: в пространстве-. х = х0 + aiXx' + а12у' + а13г', У = Уо + a2ix' + а22у' + OjaZ', z — г0 + я31х' + а32у' -ф- а33г'; на плоскости х = х0 + апх' + а12у', 1 У^Уч+а21х' + а22у'. J (4S) (42) Это и есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица a2i e23- а^з O31 а32 азз коэффициентов alfe в равенствах (43) соответственно (4а) называется матрицей преобразования координат. § 2. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой 1. Случай прямоугольного репера на плоскости. Можно огра- ничиться реперами с общим началом. Базис прямоугольного репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть прямоугольными или ортонормальными. Лемма. Пусть Ое1е2 и Oeje2 — два ортогональных репера на плоскости с общим началом О. Тогда поворотом репера Ое^ в несущей его плоскости вокруг точки О на некоторый угол а можно перевести репер Още2 либо в репер Oeje'2, либо в репер Ое-(—е2) (рис. 59 и 60). Другими словами-, репер Ое^е2 получается из репера Оехе2 либо поворотом, либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой, несущей вектор е(). Доказательство. Репер Ое^ определяет некоторое поло- жительное направление вращения плоскости, а именно то наирав- п / Зя \ ление, в котором угол от орта ех до орта еа равен (а не -у).
92 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ГЛ Ш Обозначим через а угол от орта ех до орта ej. Повернув репер (в его плоскости) в положительном направлении на угол а, мы совместим орт еа с ортом ej; тогда орт е2, будучи перпенди- кулярен к орту Сц либо совместится с ортом е", (рис. 59), либо Рис. GO. совместится с противоположным ему ортом — е'2 (рис. 60). Утверж- дение доказано. Из доказанного следует, что относительно базиса е,, еа орт ej имеет координаты cos a, sin а: ej = {cosa, sin а}, тогда как для е2 имеем две возможности: либо e2 = <cos(a+-2-), sin(a + yj>,
$ 2] ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 93 т. е. ej = {—sin a, cos а}, либо — в2 = {—sin а, cos а}, и тогда ej = {sina, —cos а}. Матрица перехода от базиса еъ еа к базису е{, е2 имеет вид: в первом случае С=| cosa sina|, det С = I, (I) || — sin a cos a || ' ' во втором ' C = |cosa sinall detC = — 1. (II) Базисы en e2 и e[, e2 называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированны ми. Так как det С --= 1 в случае одноименных, detC = —1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так: Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно- именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детер- минант отрицателен. Формулы преобразования координат даются матрицами, транс- понированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы: х = х' cos a — у' sin а, 1 , . , , ? в случае одноименных базисов, у — х sin a-]-//cosa J х = х' cosa-j-//' sina, ) , . , } в случае разноименных базисов. у = х sin а — у cosa J 2. Ортогональные матрицы. Прямоугольные (ортогональные) реперы в пространстве. Дадим следующее Определение. Квадратная матрица С любого порядка п называется ортогональной, если транспонированная к ней мат- рица С* является ее обратной матрицей: С* = С-». (1) Через Е обозначаем, как всегда, единичную матрицу. Тогда равенство (1) эквивалентно каждому из равенств СС* =Е, С*С = Е. Если расписать равенство СС* = Е, приравнивая каждый эле- мент матрицы СС* соответствующему элементу матрицы Е, то
94 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 1ГЛ lit получатся (для всех i=l, 2, п\ j = \, 2, п) соотноше- ния спсл +... + cincjn = 0 (при i =£}), с?, 4-.. . + *#> = 1> называе- мые соотношениями ортогональности (точнее, ортонормальности) по строкам. Точно так же, расписывая поэлементно равенство С*С = Е, получим соотношения ортогональности по столбцам: С1А/ + ..-+сяА; = 0 (при iy=/), с?,4-...4-с^ = 1. Нами доказана Теорема 1. Ортогональность матрицы С в смысле равен- ства (1) эквивалентна как ортогональности по строкам, так и ортогональности по столбцам. Теорема 2. Детерминант всякой ортогональной матрицы С равен ±1. В самом деле, detC-detC х = det £ — 1, но для ортогональной матрицы С 1 = С*, значит, det С 1 = det С* = det С, и мы получаем (detC)® = l, detC = ±l. Геометрический смысл понятия ортогональной матрицы вто- рого или третьего порядка заключается в следующем: Теорема 3. Ортогональные матрицы и только они являются матрицами перехода от одного ортогонального базиса к другому. Доказательство. Если матрица |Сц Сг$ ^21 ^22 СЭ1 Г.Ч2 с13 с23 с33 ортогональна и в пространстве дай произвольный ортогональный базис еь е2, е3, то, полагая е1 — С11е1 4" С12е2 + С13е3> = ^21е1 4" С22е2 4" С23е3> е3 = с31е1 4" С32е2 + ^33е3 > (2) получим снова ортогональный базис е^, е2, е3 в самом деле, равенство единице скалярного квадрата каждой строки матрицы С означает, что каждый из векторов ej, е2, е3 есть орт, а требова- ние равенства нулю скалярного произведения двух различных строк означает, что любые два из этих ортов перпендикулярны между собой. Обратно: если С есть матрица перехода от ортогонального базиса еп е2, е3 к ортогональному базису е{, е2, е3, то строки матрицы С выражают векторы е^, е2, е3, поэтому их скалярные квадраты равны 1, а скалярные произведения двух различных строк равны нулю —матрица С ортогональна (по строкам). Тео- рема 3 доказана.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ Замечание. Координаты сп, с12, с1а орта ej относительно репера е1( е2, е3 суть направляющие косинусы этого орта, т. е. его скалярные произведения с ортами ej, е2, е3, так что сн — (ei> ei)> с12 — (еь ез)> с1э — (еь ез) и аналогично ^21 = (е2> ®1)> C31=(e3i Ci), Саг — (е-ь е2), с23 — (е2, е3), ^32 = (e3i ег)> сзз=(ез> е3). Отсюда сразу следует, что столбцы матрицы С суть орты еъ е2, е3, записанные их координатами относительно базиса ej, е2, е3. Ортогональность по столбцам означает, таким образом, что орты еп е2, е3 образуют ортогональный базис, транспонированная матрица С* есть матрица перехода от базиса ej, е^, ej к базису е1; е2, е3 (поэтому она и совпадает с обратной!). Итак, если в пространстве дан произвольный ортогональный базис е,» е2, е3, то для всякой ортогональной матрицы С суще- ствует такой (однозначно определенный) ортогональный базис е{, е2, что элементы cik матрицы С суть косинусы углов между векторами е( и е£, i, k=\, 2, 3. В точности такое же утвержде- ние (с заменой п = 3 на п = 2) верно, разумеется, и для плоско- сти, в чем легко убедиться, если записывать координаты х, у какого-нибудь орта е не в виде x = cosa, у = sin а, а в виде ска- лярных произведений х = (е, e1) = cosa, у — (е, e1) = cosp (где а, Р — углы между ортом е и координатными ортами е2 и еД Тогда рассуждения для плоскости будут дословно теми же, что и в слу- чае пространства. Однако для матриц второго порядка верна и следующая Теорема 4. Для всякой ортогональной матрицы С второго порядка можно найти такой угол а, что С -| cosa sl”“il, если detC = l, (I) || — sin a cos a || ’ ’ ' ’ и q __ || cos a —1| sin a sin a || — cos a || если det C = — 1. (П) В самом деле, матрица С есть матрица перехода от произ- вольного ортогонального репера Ое±е2 к некоторому ортогональ- ному реперу ОеХ- Репер Ое,е2 получается из репера Ое^ или поворотом на некоторый угол а (угол наклона вектора к век- тору е2), или поворотом с последующим отражением относительно прямой, несущей вектор е[. Мы видели, что в первом случае матрица С имеет вид (I), во втором случае —вид (II).
96 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ГЛ. Ill § 3. Ориентация пространства (плоскости) Назовем в пространстве (или на плоскости) два координатных базиса (два репера) одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант; в противном случае (т. е. если детерминант матрицы перехода отрицателен) назовем базисы разноименными. В случае ортого- нальных базисов на плоскости это определение и его геометриче- ский смысл нам уже известны из § 2. Одноименность двух бази- сов еп е2, е8 и ej, е2, е8 будем иногда записывать так: е^вз^ Покажем, что данное определение одноименности удовлетво- ряет так называемым аксиомам равенства, т. е. требованиям реф- лексивности (е1е2е8 ~ е^вз), симметрии (из е,е2е8 ~ следует е{е2е8 ~ е1е2е8) и транзитивности (из С|е2е8~е;е2е2 и eje^eg ~ ~e1'ee'ej следует е^^ей). Рефлексивность вытекает из того, что матрица перехода от базиса eje2e8 к нему самому (т. е. матрица тождественного преоб- разования) есть единичная матрица, имеющая детерминант 1. Симметрия вытекает из того, что детерминанты матрицы и обратной к ней матрицы С-1 имеют один и тот же знак. Для того чтобы убедиться в транзитивности, рассмотрим три базиса: I. ер е2, е3, II. ер е2, е3, III. е^, е2, е3. Если обозначить матрицы перехода от I к II, от II к III и от I к III соответственно через Сп, Сщ, Сш, то C}n=CniCn, зна- чит, и det Сш = det Сщ det Сп, откуда утверждение следует. Из сказанного следует: Множество всех базисов пространства (плоскости) распа- дается на попарно не пересекающиеся классы, обладающие тем свойством, что все базисы, принадлежащие одному какому-нибудь классу, одноименны, а всякие два базиса, принадлежащих различ- ным классам, разноименны между собой. Докажем, что число этих классов равно двум. Для того чтобы убедиться, что имеется по крайней мере два класса, возьмем какой-нибудь базис ех, е2, е8 и заметим, что матрица перехода от е1( е2, е8 к elt е2, (—е8) есть II1 0 0II О 1 0 ; ||о о — 1 у ее детерминант равен —1, значит, базисы ер е2, е3 и е(, е2, (—е3) разноименны, они принадлежат к различным классам. Теперь мы покажем, что всякий базис ej, е2, е3 принадлежит к одному из двух классов: либо к классу, содержащему базио е1( е2, е8, либо к классу, содержащему базис еп е2, (—е8). Дру-
8 3J ОРИЕНТАЦИЯ 97 гими словами, докажем, что всякий базис ej, el, el, не одно- именный базису вц е2, е3, одноименен базису е1( е2, (—вз). В самом деле, матрица перехода от ev е2, е3 к ej, el, е3 имеет (в силу разноименности этих базисов) отрицательный детерминант: матрица перехода от elt е2, (—е3) к еп е2, е3 имеет детерминант — 1; значит, матрица перехода от е1( е2, (—е3) к ej, el, е'л (будучи произведением двух названных матриц) имеет положительный детерминант. Утверждение доказано. В каждом из двух классов базисов имеются ортогональные базисы. В самом деле, берем какой-нибудь ортогональный базис еп е2, е3. Он содержится в одном из наших двух классов; орто- гональный базис е1( е2, (— е3) содержится тогда во втором классе. Два базиса, получающиеся один из другого одной транспози- цией (т. е. перестановкой двух каких-либо из трех векторов, образующих данный базис), всегда разноименны. В самом деле, пусть базис el, el, el получается из базиса е^ е2, е3 перестанов- кой двух каких-нибудь векторов этого последнего, например век- торов ej и е2, так что el “ е2> е3 = ея. Тогда соответствующая матрица перехода 0 1 °11 1 0 0 О 0 1| имеет детерминант —1. Поэтому два базиса, получающихся один из другого произ- вольной перестановкой их векторов, одноименны, если эта пере- становка четная, и разноименны, если перестановка нечетная: базисы е1( е2, е3; е2, е3, е3, et, е2 входят в один класс, а базисы ^2» Cj, е3, е3, е2, ej? е^, е3, е2 — в другой. Введем теперь следующее весьма важное определение. Скажем, что базис е1( е2, е3 переходит в базис ej, el, el по- средством непрерывной деформации, если для каждого числа t, принадлежащего некоторому отрезку a ^t^b, дан базис е*, е£, а именно: з ez= £ = 1> 2, 3, к =1
98 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ГЛ. Ш так что все координаты с‘п, и т. д. являются непрерывными функциями от t на отрезке a^t^b, причем при t = a мы полу- чаем исходный базис ей, е3, т. е. ^=1, C8i=0- cfl = О, IS ’ CSs=1> са =0, за ’ С?а = 0> <й = °> а при t = b получаем базис ej, ej, е3: з ^'=2С?Л> 1.2,3. s;=i Теперь предположим, кроме того, что базис е', е', е( приложен к точке Oz = (x', у', г'), где х‘и, у1", г' суть также непрерывные на отрезке а=С t^b функции от t, причем х“ — у“ = г“ = 0, х% = = хв, y* = t/0, 2»=zfll О'= (х0. Уо. z0). Тогда мы говорим, что репер Oe1e2es переходит в репер О'е,'е.Х посредством непрерывной деформации. Наглядный смысл этих определений таков. Считая параметр t временем, изменяющимся от начального момента t = a до конечного t=b, мы имеем непрерывно меняю- щийся («деформирующийся») во времени репер О,е'е'е', начальное состояние которого (при t = a) есть наш исходный репер Oejeae3, а конечное — репер О'е^е.Х (в который превратился репер Ое1е2е3 в результате процесса деформации, длившегося отрезок времени a^t *£._Ь). Имеет место следующее очевидное предложение. Если базис е2, е3 переходит в базис ej, е2, е3 посредством деформации, которая длится, положим, отрезок времени s^b, а базис ej, е£, е3 переходит в базис ef, е2, е3 посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени b^t^c, то базис е1; е2, е3 переходит в е[, е£, е3 посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени Далее, если базис е1( е2, е3 переходит посредством непрерыв- ной деформации в базис ej, е2, е3, то и базис е£, е,, е3 переходит посредством непрерывной деформации в базис е1( ва, е3. Действительно, положим Г = (a-j-b) — i и з е* = 2 4»ег л=1 Тогда при i' — a получаем i = b и, следовательно, e{,fl = ej и т. д., при i’ = b имеем t = a, значит, е** = е“ и т, д.
ОРИЕНТАЦИЯ 99 Аналогичные предложения, разумеется, верны и для деформа- ции реперов. Замечание. Обычно за отрезок a^t^b берут единичный отрезок Osgf 1. Докажем следующее основное предложение: 1а. Если базис е2, е3 переходит в базис е,, е2, е3 посред- ством непрерывной деформации, то оба базиса одноименны. В самом деле, положим D(C = си (0 си (0 с1з (0 Cji (О С22 (0 С23 (0 С31 (0 С32 (0 Сзз (0 a-szt ^b\ надо доказать, что числа D(a) и D(b) — одного и того же знака. Но детерминант D(t), будучи многочленом от своих элементов cu(/), с12(/), ..., являющихся непрерывными функциями от t, есть непрерывная функция от t на всем отрезке a^t^b. Если бы ее значения в концах этого отрезка имели разные знаки, то существовало бы промежуточное значение tn, a<tn<_b, для кото- рого 0. Но этого не может быть, так как D (tQ) как детер- минант матрицы перехода от базиса еп е2, е3 к базису е'а, е£>, е'« всегда отличен от нуля. Теперь мы докажем обратное предложение: 16. Всякие два одноименных базиса {репера) могут быть пере- ведены друг в друга непрерывной деформацией. План доказательства таков. Мы сначала доказываем, что вся- кий репер может быть непрерывной деформацией переведен в пря- моугольный. После этого доказываем, что всякие два одноимен- ных прямоугольных репера могут быть переведены друг в друга движением в пространстве, т. е. специальным видом непрерывной деформации. Предположим, что мы доказали оба эти факта. Пусть Oeje2e3 и OeXe;i —Два произвольных одноименных репера, Ое1е?е3~ /~O'eJe2e3; переводим их непрерывной деформацией соответственно в прямоугольные реперы Ое1е2е3 и О'е'е'е'. Тогда Ое1е2е3~Ое1е2е3~ ~ O'eje2e3 ~ 0Хе18э, следовательно (по свойству транзитивности), Ое1е2е3~ О'е^е&з. Но одноименные реперы Ое^ва, O'e'te&a орто- гональны; значит, по сделанному предположению они могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией. Переводим теперь непрерывными деформациями последовательно в Ое^вз, (А) Ов&зрз в O'eJeX. (Б) O'eleX в O'eJeX (В) (последнее возможно: раз существует деформация, переводящая O'e^eJeJ в О'е[еХ, то существует, как мы видели, и деформация,
100 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ переводящая O'e'te^ в O'eje^). В результате трех последователь- ных деформаций (А), (Б), (В) получаем искомую деформацию, переводящую Ое1е2е3 в O'eje^. Основное предложение доказано. Переходим к выполнению намеченного плана. Доказываем первое утверждение: всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в ортогональный. Докажем это утверждение сначала для плоскости. Пусть Oeje2 — данный репер, eQt = ОЕ1}, е3 = ОЕ|. Построим ортогональный репер Ое}е2 так, чтобы орт е} = ОЕ} лежал на оси, несущей вектор ej — ОЕ°, а орт = ОЕ$ (перпендикулярный к е?) лежал в той же полуплоскости (из двух полуплоскостей, определяемых прямой OEj), в которой лежит вектор ej = О£2. Тогда, если угол <р, 0<(р<л, между векторами е, и e'j острый (рис. 61, а), то он весь лежит внутри прямого угла между ОЕ\ и ОЕ',, а если угол <р тупой (рис. 61, б), то он, наоборот, содержит прямой угол между OEj и ОЕ\. Для каждого t, обозначим через E‘i, соответственно через Е2 точку отрезка EJE}, соответственно Е§Е^, делящую этот отрезок в отношении /:(!—/). При любом i, 0</<1, вектор ej = OE{ лежит на полупрямой ОЁ}, несущей вектор е?, а вектор ej лежит внутри треугольника ОЕ!)Е^, имею- щего с полупрямой ОЕ? единственную общую точку О. Поэтому векторы ОЕ{, ОЕ^ при любом t не коллинеарны, т. е. образуют репер Oejej, непрерывно меняющийся при изме- нении t от 0 до 1 и осуществляющий непрерывный переход (деформацию) от репера Ое“е2 к реперу Oeje). Переходим к случаю пространства. В плоскости Ое^’е1) произ- ведем те же построения, как и выше. Обозначим через е3 = ОЕз
ОРИЕНТАЦИЯ нм орт, перпендикулярный к плоскости Ое}е2 и направленный в ту же сторону от этой плоскости, что и вектор е3 (рис. 62). В полной аналогии с предыдущим случаем обозначаем через £', точку отрезка Е^Е^, делящую этот отрезок в отно- шении при любом i, Таким образом, опреде- лены вектор ОЕз = ез и репер Ое^Х, непрерывно зависящий от t и осуществляющий при изменении t от 0 до 1 непрерывный переход от данного репера Ое^е'К к прямоугольному реперу Oe;eie3. Пер- вое утверждение доказано. Переходим к доказательству второго утверждения. Всякий прямоугольный репер Ое^ез может быть посредством непре- рывного движения, являющегося, как было сказано выше частным случаем непрерывной деформации, переведен во всякий другой одноименный с ним прямоу! ольный репер О'е^Х- Посредством сдвига на вектор 00' можно прежде всего сов- местить начала О и О' обоих реперов; поэтому можно ограничиться случаем, когда оба репера имеют общее начало О. Теперь начи- наем с того, что совмещаем орты е3 = О£3 и е3 = О£3. Для этого проведем через эти орты (имеющие общее начало О) плоскость ОЕ^Е'ц (рис. 63) и восставим к этой плоскости в точке О пер- пендикуляр d. Совершим теперь поворот репера Ое1е2е3 (как твердого тела) вокруг прямой d на угол б, О^б^л, между ортами е3 и ej в таком направлении, чтобы орт ез = О£3 совме- стился с ортом еь = ОЕ'3. Этот поворот переведет орты е1 = ОЕ1 и е2=О£2 в какие-то взаимно перпендикулярные орты е* и е?,
102 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ГЛ. II» лежащие в плоскости, перпендикулярной к орту ОЕ'Я (и прохо- дящей через точку О), т. е. в плоскости ОЕ[ЕЯ. Теперь остается поворотом репера OefeJeJ вокруг прямой, несущей орт e3, сов- местить орт е* = ОЕ* с ортом ОЁ[. Этот поворот, оставляя пару ортов OEi и ОЕ* в их плоскости (которая есть плоскость ОЕ[ЕЯ) и совмещая орт ОЕ* с ортом OE'i = e{, переведет орт ОЕ* (с кото- рым еще ранее был совмещен орт OlQ в орт, перпендикулярный к ОЕ[ = е’ь т. е. либо в е'г, либо в ( — е2). Но вторая возможность исключена, так как реперы Ое^е., и OeJ( —е))ез разноименны и поэтому не могут быть совмещены движением в пространстве. Утверждение доказано. Вместе с ним завершено доказательство и следующего резуль- тата (верного как для плоскости, так и для пространства): Теорема 5. Для того чтобы два репера {два базиса) были одноименны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было непрерывной деформацией перевести в другой. Если данные реперы прямоугольны, то их можно перевести друг в друга даже движением в пространстве. Если реперы разноименны, то их нельзя перевести друг в друга даже никакой деформацией, значит, и подавно никаким движением. Эту теорему можно сформулировать следующим образом. Теорема 5'. Два прямоугольных репера {на плоскости или в пространстве) тогда и только тогда одноименны, когда один из них может быть переведен в другой непрерывным движением (в плоскости, соответственно в пространстве). Пусть Ое^е^ и O'eJe.X — два прямоугольных разноименных репера. Тогда реперы Oeie2es и О'еХ(—еа) одноименны и, например, первый из них может быть движением переведен во второй. Но репер O'eje^—е3) является зеркальным отражением репера О'е;е,вз относительно плоскости О'е'^. Поэтому имеет место Теорема 6. Если ортогональные реперы Ое1е2е3 и О'е&е» разноименны, то один из них может быть переведен в другой посредством движения со следующим за ним (или предшествующим ему) зеркальным отражением. Доказательство следующего замечания можно в качестве упраж- нения предоставить читателю. Замечание. Беря зеркальные отражения относительно произ- вольной плоскости всех базизов (реперов) одного какого-нибудь класса в пространстве, получим все базисы (реперы) другого класса. Аналогичный результат, разумеется, имеет место и в плоскости, Определение. Ориентировать плоскость или пространство — значит один из двух классов базисов (реперов) объявить поло- жительным (а другой — отрицательным). Тогда и всякий базио (репер) называется положительным или отрицательным в зависи-^ мости от того, к какому классу он принадлежит.
14) УГЛЫ ЭЙЛЕРА 103 Для того чтобы ориентировать (плоскость или пространство), достаточно задать один какой-нибудь базис и объявить положи- тельными все с ним одноименные базисы. § 4. Углы Эйлера Вернемся к теореме 5; пас интересует утверждение этой тео- ремы, касающееся возможности перевести посредством движения данный прямоугольный репер в любой другой прямоугольный репер, одноименный с данным. Мы можем легко дополнить эту теорему установлением тех геометрических элементов (тех «пара- метров»), которые определяют положение второго репера Ое^еХ относительно первого Ое]е2е3 (мы предполагаем сначала, что у обоих реперов одно и то же начало О). Из рассуждений, проведенных на стр. 101—102, вытекает, что по- ложение репера Ое'^е'з вполне определено, если известны: прямая d (перпендикуляр, восставленный в точке О к плоскости Oe^') и два угла: угол 0, па который надо повернуть репер Ое^вз вокруг прямой d, чтобы совместить орт ея с ортом е3, и угол того пово- рота, который после этого надо сделать, чтобы совместить вектор е* (в который перешел вектор ej после первого поворота) с век- тором ej (после этого второго поворота репер Ое^ез, как мы видели, оказался полностью совмещенным с репером Oeje^e3). Рассмотрим ближе всю картину. Прежде всего прямая d, проведенная через начало О перпендикулярно к плоскости (?е3е3, есть, очевидно, прямая пересечения плоскостей и ОеХ> Плоскость Ое^, в которой, таким образом, лежит прямая d, ориентирована самим данным в ней репером Ое^; поэтому поло- жение прямой d определено наклоном какого-либо ее направляю- щего вектора к вектору За направляющий вектор прямой А. примем такой ее орт ef (рис. 64), что репер одноименен с репером Угол от орта е( до орта е[ (в ориентированной плоскости Oeje2) мы обошачим через тр, Тогда пово- ротом репера Ое^ вокруг оси, несущей орт е3 (ось аппликат координатной системы Oeje,e3), на угол -ф в положительном направ- лении вращения *) мы совместим орт вх с ортом е[. При этом повороте орт е2 перейдет в какой-то орт ej, а орт е3 останется на месте. Теперь совмещаем вектор е3 с вектором е3 посредством крат- чайшего поворота на некоторый угол 9, OsgSsgn, вокруг пря- мой d, несущей орт е[. Так как репер Oe3e3ef одноименен с репером 4) Под положительным направлением вращения вокруг какой-нибудь (направленной) оси мы в этом параграфе всегда понимаем направление враще- ния, определенное репером На нашем рисунке направление вращения — против часовой стрелки для зрителя, стоящего вдоль орта этой оси, ногами — в начале, головой —в конце орта,
104 Ш’Г.ОВРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ГЛ. Ill Ое^е,,, то этот поворот происходит в положительном направле- нии. Он переводит репер Ое^ез в репер Oe"te!”e't, причем плос- кость Ое|е2 совместилась с плоскостью Oeje2. Нам остается только сделать поворот репера OeJe^'X вокруг оси Ог' (несущей орт е.'|) па угол <р от вектора до вектора ej (в ориентированной Рис. 64. плоскости Ог{е.), в которой лежат оба вектора е(’ и ej), тогда и вектор е'г' совместится с вектором е2. Три угла: ф, 0гСф<2л, от е, до ef в плоскости Ое^, О, ОьСб-Сл, от е3 до е;( в плоскости Ое3е3, <р, 0 sC ср < 2л, от ej до в плоскости Ое\е'2, называются эйлеровыми углами репера OeJe.X относительно репера Cteie2e3. Зная репер Oeie2e3 и эти углы тр, 9, <р, мы сразу же можем определить единственный репер Oe'^e^, имеющий эти углы своими эйлеровыми углами и одноименный с репером Ое^ед. В самом деле, мы сначала совершаем поворот репера Ое^ед вокруг оси, несущей вектор е3 (ось аппликат координатной системы Ое1е2е3) на угол тр в положительном направлении. Этот поворот переводит орт ej в орт е^, определяющий ось d (и весь репер Ое^ез —в Ое^авд). После этого совершаем поворот репера Ое;'е2е3 вокруг оси d на угол 0 в положительном направлении. При этом орт е3 перейдет в некоторый орт ед, орт ej останется па месте, а орт е2 перейдет в новый орт е2"; репер Ое^е^ перейдет в (прямо- угольный) репер Ое[е2"ед. Наконец, делаем поворот па угол ср в положительном направлении вокруг оси орта е3. Этот поворот, оставляя орт е3 на месте, переведет орты , ej" в некоторые
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 105 орты е{, е^, а весь репер (значит, и Ое^вз) —в одно- значно определенный предыдущим построением прямоугольный репер Ое^е-а (одноименный с Ое^вз). Для репера OeJeX его углы Эйлера (относительно исходного репера Ое^ез, остающегося фиксированным) являются независи- мыми параметрами (определяющими этот репер); «независимость» означает, что этим параметрам мы можем давать совершенно произвольные значения (в пределах изменения 0sC<p<2n, 0=g; =Сб=сл, 0^<р<2л каждого из них); каждому набору значений параметров соответствует вполне определенный репер § 5, Определение движения и аффинного преобразования плоскости и пространства Определение. Движением плоскости (пространства) назы- вается всякое преобразование, которое может быть задано следую- щим образом. Берется некоторый (произвольный) «исходный-» прямоугольный репер Ое,е2 на плоскости (соответственно прямо- угольный репер в простраштве); наряду с ним задается «новый» прямоугольный репер O'efa (соответственно O'e^eX) с тем же масштабом, что и первый. Этими данными определяется преобразование плоскости (пространства), состоящее в том, что каждой точке М ставится в соответствие точка М', имеющая относительно второго репера те же ебмые координаты, которые точка М имела относительно исходного репера (рис. 65). Если первый репер одноименен со старым, исходным, то дви- жение называется собственным (рис. 65, а), в противном случае движение называется несобственным (рис. 65, б),,
100 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [гл иг Из определения движения сразу следует, что при движении сохраняется расстояние между любыми двумя точками. В самом деле, пусть даны какие-нибудь две точки и М2 своими коор- динатами в исходной системе координат Ое^: М1 = (х1, уг), Мг = (х2, у2). Расстояние между ними есть число ptMx, М2) = ]/(х1-ха)4+(£/1-[/2Л При данном движении точки Мг и М2 переходят в точки М{, М2, имеющие те же координаты х1( ylt соответственно х2, у2, но только в новой системе координат O'efez. Так как эта новая система тоже прямоугольна и имеет тот же масштаб, что и старая, то рассто- яние между точками М\ и М2 выражается (в той же единице длины) тем же числом p(Mi, M2) = /(x1-x2)2 + (f/i-«/2)a, что и расстояние между точками и М2, На неизбежно возникающий вопрос: Что получится с нашим определением движений, если отка- заться от требования прямоугольности систем координат, в это определение входящих? отвечаем: получится определение аффинных преобразований. Итак, пусть снова в плоскости (в пространстве) задана —на этот раз совершенно произвольная аффинная —система координат Оеге2 (соответственно Если, наряду с этой («старой», или «исход- ной») системой координат, задать также совершенно произвольную
4«1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 107 «новую* аффинную координатную систему O'efeS (соответственно О'е’^е'з), то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке М плоскости (соответственно пространства) ста- вится в соответствие точка М', которая в новой координатной Рис. 67, системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в ста- рой системе (рис. 66 и 67). Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным. Очевидно, движения являются частным случаем аффинных преобразований. Рис. 66 и 67 помогут читателю составить себе наглядное пред- ставление о том, что может происходить при аффинном преобра- зовании. § 6. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований Возьмем на плоскости (или в пространстве) какой-нибудь век- тор (рис. 66). При аффинном преобразовании точки М9, Mt переходят соответственно в точки Мо, M'i, имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки Ме, имели относительно старого. Так как координаты вектора получаются вычитанием координат его начальной точки из координат его конца, то координаты вектора MqM{ относительно нового репера те же, что и координаты вектора относительно старого репера. Итак:
108 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ГЛ III ветствовать вектор u'4-v' Г При аффинном преобразовании вектору и = М0М1 ставится в соответствие вектор и'= М'оМ\, имеющий относительно нового репера те же координаты, которые вектор и имел относительно t тарого. Отсюда сра »у следует, что при аффинном преоб- разовании ранным векто- рам соответствуют равные, так что: 2° Аффинное преобра- зование плоскости (прост- ранства) порождает взаим- но однозначное отображе- ние на себя (преобразование) множества V всех свобод- ных векторов плоскости (соответственно простран- ства). Это преобразование об- ладает следующим свойст- вом линейности-, если при данном преобразовании век- торам u, v соответст- вуют векторы u', v', то вектору u-J-v будет соот- , а вектору Zu — вектор Хи' (доказы- вается сразу переходом к координатам). Из свойства линейности вытекает, далее: 3° Если при данном аффинном преобразовании векторам иь ... ..., ил соответствуют векторы и[...... нА, то всякой линейной комбинации XiUx + X2u2 + ... + Хли„ векторов иь .... и„ соответствует линейная комбинация Xxu[ + X2u2 4~ ... +ХлиА векторов uj, ..., иА (с теми же коэффициентами ..........К)- Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, оче- видно, соответствует нулевой, то из доказанного следует: 4° При аффинном преобразовании линейная зависимость векто- ров сохраняется (и, значит, всякие два коллаж 1рных вектора пере- ходят в коллинеарные, всякие три компланарных вектора перехо- дят в компланарные). 5° Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.
t «J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 109 В самом деле, если данное аффинное преобразование плос- кости задается переходом от репера Оехе2 к реперу О'е[ег, то аффин- ное преобразование, задаваемое переходом от репера О'е(е2 к реперу <?е1е2, есть, как легко видеть, преобразование, обратное к преоб- разованию orf. То же и для пространства. Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зави- симость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независи- мость векторов. 6° При аффинном преобразовании ах? всякая линейно независи- мая система векторов ult u2, ... переходит в линейно независи- мую— в противном случае при аффинном преобразовании е^-1, обратном к е+, линейно зависимая система u'i, 112, ... перешла бы в линейно независимую, что, как мы знаем, невозможно. Так как репер есть система линейно независимых векторов (двух на плоскости, трех в пространстве), приложенных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер перехо- дит в репер. Более того, имеет месю предложение 7° При аффинном отобрашенни (заданном переходом от репера I к реперу Г) всякий репер 11 переходит в репер II' и всякая точка М (всякий вектор и) переходит в точку М' (в вектор и') с теми же координатами относительно репера II', какие точка М и вектор и имели относительно репера II. Доказательство в случае плоскости и в случае пространства одно и то же. Ограничимся случаем плоскости. Пусть II есть репер 0^62, а 1Г — репер о'с1е£. Докажем сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор и имеет относительно репера o\s2 координаты *Ъ то и = £82 + 1182. Но тогда образ вектора и есть, по свойству 3°, вектор и'=£81' + т]82, имеющий координаты £, т] относительно репера o'efej. Пусть точка М имеет координаня £, <| относительно репера ое^. Тогда оМ = = ^е1 + 'П82, так что, по предыдущему, относительно репера 0'8182 вектор о'М', а значит, и точка М' имеют координаты £, т). Утвер- ждение доказано. Доказанное утверждение является существенным: из него сле- дует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь репера к реперу O'eJeJ, мы можем задать его, взяв в качестве исходного любой репер ог1г2 и указав тот репер o'ejsj, в который он должен перейти. В качестве приложения только что сделанного замечания дока- жем, что произведение двух аффинных преобразований и есть аффинное преобразование. В самом деле, пусть аффинное преобразование задается переходом от репера I к реперу II, Аффинное преобразование
40 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ <а^2 мы можем, по только что доказанному, задать переходом от репера II к какому-то реперу III. Тогда аффинное преобразова- ние, задаваемое переходом от репера I к реперу II, есть, очевидно, произведение преобразования на преобразование Продолжаем перечисление простейших свойств аффинных преоб- разований и отображений. Три точки Мг, М3 тогда и только то_гда коллинеарны (т. е. лежат на одной прямой), когда векторы jWjA12 и М^М3 кол- линеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вытекает: 8° При аффинном отображении (плоскости или пространства) прямая переходит в прямую. Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта. Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе Ое^) переходит в точку М', имеющую те же координаты во вто- рой системе O'ejez. Отсюда следует: 9° При данном аффинном отображении (определенном перехо- дом от репера Ое^ к реперу O'efej) множество всех точек, коор- динаты которых (в координатной системе Ое^) удовлетворяют некоторому уравнению, переходит в множество точек, координаты которых в системе O'eJej удовлетворяют тому же уравнению. В частности, прямая с уравнением Ах 4-By 4-С = О (1) (в системе Ое^а) перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, но только в системе координат O'ejej. Точно так же при аффинном преобразовании пространства (определенном переходом от репера Ое^вз к реперу О'е^ез) плоскость, имеющая в системе Ое^ед уравнение Ах 4- By -f- Cz D — 0, (2) переходит в плоскость, имеющую то же уравнение (2), но только в системе координат О'е[е2ез. Прямая, заданная в пространстве своим «общим уравнением» Ах -|- В1У+Сгг+Dr = О, А%х 4- В$у 4~ C2z -f- £)2 = О или той или иной его специальной разновидностью, например каноническим уравнением __ 9-9» _ а 9 с ’
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 111 при данном аффинном преобразовании перейдет в прямую, имею- щую те же ураажамя, но только в системе координат О'е{е^. Итак, доказана Теорема 7. При аффинном преобразовании плоскости, соот- ветственно пространства, прямые переходят в прямые, плоскости переходят в плоскости. При этом сохраняется параллельность. В самом деле, если две прямые (или две плоскости, или пря- мая и плоскость) параллельны, то их уравнения относительно репера Ое1е2е3 удовлетво- ряют известным условиям параллельности; но образы этих прямых (плоскостей) имеют те же уравнения от- носительно репера O'eJejea и, значит, удовлетворяют тем же условиям парал- лельности. Теорема 8. При аф- финном преобразовании плоскости (пространства), переводящем прямую d в прямую d', отрезок МйМк прямой d переходит в от- резок Л<оЛ11 прямой d', а точка М прямой d, деля- щая отрезок M0Alj в дан- ном отношении А, перехо- дит в точку М' прямой d', делящую отрезок MqM в том же отношения 1 (рис. 69). Доказательство. Так как при положительном X мы полу- чаем точки, лежащие внутри отрезка Л1(,Л41 (соответственно MqM'i), а при отрицательном — вне этою отрезка, то из второго утвержде- ния теоремы 8 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы S, ограничиваясь случаем плоскости. Пусть (в системе координат CejeJ имеем &)> %), М=(к, у)- Так как точка М. делит отрезок в отношении X, то _ _щm * - Ц-А 1 У------Г+Г" w (в пространстве к этим равенствам присоединится еще равенство 2 = ррИ данном аффинном преобразовании точки * /
112 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ , (ГЛ. III ’ Mlt М перейдут в точки Мо, М{, М с теми же координатами, что и у точек Мо, Mlt М, но только в координатной системе О'е1е2. Эти координаты связаны по-прежнему соотношениями (3), из которых следует, что М! делит отрезок МоМ{ в отношении X. Этим теорема 8 доказана. Докажем в заключение этого параграфа следующее предло- жение: Теорема 9. Существует одно и только одно аффинное пре- образование плоскости, переводящее данную тройку неколлинеарных точек О, А, В этой плоскости в (произвольную вторую) тройку неколлинеарных точек О', А', В' той же плоскости. Аналогично существует одно и только одно аффинное преобра- зование пространства, переводящее данную четверку некомпланар- ных точек О, А, В, С в (произвольную) вторую четверку некомпланарных точек О', А', В', С. Доказательство в обоих случаях, плоскости и пространства, одно и то же. Ограничимся случаем плоскости. Берем координатную систему с началом О и единичными век- торами е^ОЛ, е2 — ОВ, а также координатную систему с. началом О' и единичными век- торами e'i = O'A', С2==О' В'. Этим определено аффинное преобразование еЛ, переводящее каж- дую точку М, имеющую в системе Ое^а координаты х, у, в точку М' с теми же координатами, но в системе O'ejea. В частности, точка О = (0, 0) перейдет в О', точка А = (1, 0) —в точку А', точка В = (0,1) — в точку В', а векторы ег = ОЛи е2 = ОВ перейдут соответственно в е[ = О'А' и ^ = 0'6', Таким образом, преобразование удовлетворяет требованиям теоремы. Оно есть единственное аффинное преобразование, удов- летворяющее этим требованиям. В самом деле, всякое аффинное преобразование, переводящее точки О, А, В соответственно в О', А', В', переводит векторы ех, еа соответственно в ej, е2 значит, совпадает с преобразованием orf.
tn 'АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 113 § 7. Аналитическое выражение аффинных преобразований Пусть аффинное преобразование плоскости задается переходом от репера Ое^ к реперу O'eje2. Покажем, как вычислить в исходной системе координат Oeje4 координаты преобразованной точки М' по координатам данной точки М (рис. 70). Векторы ej, е2 даны своими координатами относительно старого репера: е1 = С11е1 4~С21е2> I 1 , Q m е2 = Ci2e1+c22e2> I сл с22 Кроме того, известны координаты а, b нового начала О. Тогда координаты х', «/' любой точки М' относительно старого льеяера связаны с координатами | , if той же точки М' относи- тельно нового репера соотно- шениями + 1 (2. if = c2i&'+с2211'4-ft. J Нам даны: произвольная точка М с координатами х и у относительно старого репера и ее образ М', имею- щий относительно нового ре- пера те же координаты х, у, которые точка М имела от- носительно старого репера. Требуется найти координаты точки М' относительно ста- рого репера. Решение этой Рис. 70. задачи дастся формулами (2), в которые вместо if надо подставить координаты точки М.' в новой системе, т. е. х и у; тогда в левой части будут искомые координаты х', у' точки М' (в старой системе), и мы получим х'^сцх+с^ + а, */' =с21х+с22!/ + &, I С11 с‘а 1=^0. I С21 с22 I (3) Это и есть формулы, дающие координаты преобразованной точки Л4* по координатам точки Л4 (те и другие координаты берутся при этом относительно одного и того же «старого» репера). Обратно, если дана невырожденная матрица c-l Z 21
114 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ и два числа а, Ь, то, ставя в соответствие каждой точке М = (ж, у} точку ЛГ = (х', у'), где х' и у' определены по формулам (3), мы получим аффинное преобразование плоскости — оно определен^ переходом от исходного репера Ое^ к реперу O'eje,, где = 4- = ^12^1 4“ ^22^2* Итак, мы можем определить аффинное преобразование плоскости как такое преобразование, которое ставит в соответствие каждой точке М = (х, у) точку М' = (х', у'), координаты х', у' которой находятся из координат х, у точки М по формулам (3): система координат — одна и та же. Аффинное преобразование вполне опре- деляется системой координат матрицей коэффициентов С и числами а, b в формулах (3). Так же доказывается и аналогичный результат для простран- ства: Аффинное преобразование пространства вполне определено, если в пространстве даны аффинная система координат Ое1е^е3, невы- рожденная матрица С11 Си Сц II С = С21 с22 Саз > СЭ1 Сц2 Сээ [I называемая матрицей аффинного преобразования, и три числа а, Ь, с; определенное этими данными преобразование состоит в том, что каждой точке М = (х, у, г) ставится в соответствие точка М' = (х', у', г'), где х' = 6’цх4-С12</ 4-с)а2 4- а, У* ~ С21Х 4" с2-гУ 4“ смг 4" (4) z'=c31x4-cS!,y4-c33z4-c. Система координат — одна и та оке. Замечание. Матрица аффинного преобразования, очевидно, является транспонированной к матрице перехода от исходного репера к реперу, задающему данное аффинное преобразование. Поэтому аффинное преобразование будет собственным или несоб- ственным в зависимости от того, имеет ли матрица этого преобра- зования положительный или отрицательный детерминант. Выведем из только что доказанного одно важное следствие (сначала для плоскости). Пусть на плоскости с выбранной на ней прямоугольной систе- мой координат даны два вектора: e^fxj, &}, us = |x2, у2}. Мы знаем, что ялощадь ориентированного параллелограмма, натяну- того на эти векторы, есть <-*-«>-I: и
'АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 115 При аффинном преобразовании плоскости с матрицей С век- торы иъ и2 переходят соответственно в uj = {xj, у{}, и, = {х®, у^}, где Xh = cuXh ~STcl‘i.yhi । 2^ J/h = Г2^Хд ~|~ C.^Jh так что 11'4=1 c2i*i + c22?/t I *’ 2 | cllAj+f12!/2 C2lX'i+^22^2 | Но справа стоит произведение детерминантов I С11 c12 I I Х1 Pl I C21 C22 I | X2 Pt поэтому <uj, «0 = det C • <ult tr2>. Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат. Тогда для любых трех векторов и,, и2, и;| и аффинного преобра- зования переводящего эти векторы соответственно в uj, u2, u2, доказывается формула (nJ, Uj, Ua> = det C • <u1( u2, u3>. Итак, имеет место Теорема 1Q. При аффинном преобразовании плоскости (соот- ветственно пространства) площадь ориентированного параллело- грамма, построенного (в данной плоскости) на двух каких-либо векторах (соответственно объем ориентированного параллелепипеда, построенного на трех векторах), умножается на детерминант преобразования. Следствие. При аффинном преобразовании плоскости (соот- ветственно пространства) отношение площадей параллелограммов соответственно объемов параллелепипедов) сохраняется.
ГЛАВА IV АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ, КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ П РОСТРАНСТВО § 1. Определение алгебраических линий и поверхностей Алгебраическим уравнением от переменных Xj.....хп назы- вается уравнение вида F (хх...хл) = 0, (1) в котором левая часть F (хх...хп) есть многочлен от этих пере- менных. Степень многочлена F (хх....хп) называется степенью уравнения (1). В аналитической геометрии линии на плоскости и поверхности в трехмерном пространстве принято определять соответственно как многообразия решений алгебраических уравнений F(x, у)=- 0 для линий, (12) F (х, у, г) = 0 для поверхностей. (13) Примеры нам известны: прямая линия и плоскость суть соответ- ственно нулевые многообразия многочленов первой степени от двух и трех переменных; известные нам кривые — эллипс, гипербола, парабола — суть многообразия решений своих канонических урав- нений; сфера с центром в начале прямоугольной системы координат есть множество решений уравнения х2 + у2 + z2 = г2, где г есть радиус сферы. Само собой разумеется, для того чтобы эти определения линий и поверхностей имели смысл, необходимо, чтобы в плоскости (в пространстве) была выбрана определенная система координат. При этом, если уравнение (12), соответственно (13), определяющее данную линию (или поверхность), имеет степень т, то говорят, что эта линия (или поверхность) имеет порядок т. Однако с определением линии и поверхности не все обстоит так просто, как кажется на первый взгляд. Множество всех точек
5 Ц ОПРЕДЕЛЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТЕЙ плоскости, удовлетворяющих уравнению хг = 0, совпадает с множе- ством точек, удовлетворяющих уравнению х = 0, и есть ось ординат координатной системы, положенной в основу наших рассуждений. Получается, что прямая линия (в данном случае прямая х = 0) определяется не только своим «естественным» уравнением пер- вой степени, но еще и некоторыми уравнениями более высоких степеней. Однако в аналитической геометрии считают, и к этому имеются серьезные основания, что уравнение х2 = 0 есть уравне- ние не просто оси ординат, а «дважды взятой оси ординат» — кривой второго порядка, являющейся парой слившихся прямых, каждая из которых есть прямая х = 0. Далее, нулевое многообра- зие каждого из многочленов х2 + у2+1 и 2х2 + 3z/2 + 7 есть пустое множество; приравнивая эти многочлены нулю, мы получим урав- нения, не определяющие никаких реальных линий. Это второе затруднение устраняется пополнением плоскости, соответственно пространства, так называемыми мнимыми точками, что приводит к комплексной плоскости и к комплексному пространству, где уже не будет уравнений с пустым множеством решений. Уже первое замечание — об уравнении х1 —0 — приводит к важ- ному утверждению. Ясно, что два пропорциональных между собой многочлена от данного числа переменных имеют одно и то же нулевое многообразие. Возникает обратный вопрос: можно ли утверждать, что два многочлена одной и той же степени (от двух или от трех переменных), имеющих одно и то же нулевое много- образие, пропорциональны между собой? Оказывается, что ответ на этот вопрос положителен, если под решениями х, у соответ- ственно х, у, z понимать наборы комплексных чисел. Однако это утверждение представляет собой совсем не очевидную и вовсе не так просто доказываемую теорему алгебры. Для многочленов вто- рой степени от двух и трех переменных теорема эта под назва- нием «теоремы единственности» будет доказана в главе VI (§ 8) для линий и в главе IX (§ 5) для поверхностей второго порядка. Только после того, как эта теорема будет доказана, и после того, как произойдет пополнение плоскости и пространства мнимыми точками, определение линии и поверхности второго порядка как множества точек, являющихся решениями уравнения второй сте- пени от двух, соответственно от трех, переменных, станет на твер- дую почву. Пока же в уверенности, что разыгравшаяся маленькая драма получит счастливую развязку, мы вынуждены пользоваться следующим, так сказать, рабочим определением: Задать алгебраическую линию на плоскости — значит задать некоторое алгебраическое уравнение (12) с двумя переменными и некоторую аффинную систему Оху координат на плоскости; тогда те и только те точки М (х, у), координаты которых в данной координатной системе удовлетворяют уравнению (12)> считаются лежащими на данной линии (или принадлежащими ей),
118 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Аналогично для поверхностей: задать алгебраическую поверх- ность в трехмерном пространстве — значит задать алгебраическое уравнение от трех переменных (1а) и систему координат в трех- мерном пространстве. Те и только те точки Л1 = (х, у, г) про- странства, координаты которых удовлетворяют уравнению (13), называются точками, лежащими на данной поверхности. При этом мы считаем, что два уравнения тогда и только тогда определяют одну и ту же линию или поверхность, когда одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторый числовой множитель 1. Если на плоскости дана система координат Ое^, то левая часть уравнения (1г) —многочлен F (х, у) — определяет функцию от точки плоскости: каждой точке М, имеющей в данной системе координат координаты х, у, соответствует число F(M) = F(x, у). Если мы перейдем к другой системе координат O'efa, то та же точка М, имевшая в системе координаты х, у, получит в системе Ое{е£ новые координаты х', у’, связанные со старыми формулами преобразования координат: jc = Ciix'+<W/'4-Ci, 1 У — спх’ + С22У' + С2 I с матрицей Z->_I Гн С12 II I си см II и детерминантом detC = |Cu ?2Uo. I см сгз I Для того чтобы вычислить значение того же числа F (М) через новые координаты х', у’ точки М, надо в многочлен F (х, у) вместо х и у подставить выражения (2) этих переменных через х' и у*; от этого многочлен Е(х, у) тождественно преобразуется в многочлен F' (х1, у') от новых переменных х', у1: F(M)szF(x, y)^F(cu^ -Vc^y14-^, ciXx' -{-Ску' +сг) = ^F'(x',y'). (3) Координаты х', у' какой-либо точки М в системе O'ele^ тогда и только тогда удовлетворяют уравнению F'(x',y') = 0, (12 когда координаты х, у той же точки в системе Oete2 удовлетво- ряют уравнению F(x, y)=Q. (12 Таким образом, задавая какую-нибудь алгебраическую линию ее уравнением (12) в данной системе координат Ое^, мы сразу
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 119 же можем написать и ее уравнение (10 в любой другой системе координат О'е(е2 — оба уравнения (12) и (10, рассматриваемые соответственно относительно координатных систем Оеге2 и O'eJeO задают одну и ту же алгебраическую линию. При этом, если алгебраическая линия задана в данной системе координат Оехе2 уравнением (12) степени т, то и во всякой другой системе коор- динат О'е(е2 она задается уравнением (10 той же степени т. В самом деле, при подстановке (2) каждый член axpyq многочлена F(x, у) переходит в выражение а (сцх' + cJ2y' + сх)р (с21х' + с22у' + с2)9, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов дает нам некоторую совокупность членов многочлена F* (хг, у'), каждый из которых имеет степень + Итак, при переходе от координатной системы Oeie2 к координатной системе О'е[е£ сте- пень многочлена F(x, у) не может повыситься. Но она не может и понизиться, так как тогда при обратном переходе от О'е(е'2 к Ое^ степень многочлена должна была бы повыситься. Итак, степень уравнения (1), задающего (в какой-нибудь системе координат) данную алгебраическую линию, есть число, не зависящее от выбора системы координат; это число и назы- вается порядком алгебраической линии, задаваемой уравнением (1). Все сказанное о кривых дословно переносится и на случай поверхностей. § 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат Так как мы в дальнейшем будем заниматься лишь линиями и поверхностями второго порядка, то многочлены второй степени имеют для нас преимущественный интерес. Каждый мне» очлен второй < leiieini от двух переменных F(x, у)^а^хг |-2л12хг/Н-п22у2 + 2а1х + 2а2(/ + а0 (12) может быть записан в виде F(x, у) = <р(х, у) + 21(х, у)+а0, (Ц) где 4>(х, у) = а11х2 + 2а12ху + а22уг (22) называется квадратичной формой старших членов многочлена F(x, у), а 1(х, у) — а1х-[-а2у — линейной формой многочлена F{x, у).
120 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ (V Полагая а21 = а12, получаем симметричную матрицу второго порядка А = || “и М ||aai а22 II называемую матрицей квадратичной формы <р (х, у) = anxa + 2а12ху + а22у2; детерминант 6 = 1а“ С12| I а21 а22 I называется дискриминантом формы <р (х, у). Подобное же положение вещей мы имеем и в случае много- члена второй степени от трех переменных. Общий вид такого многочлена есть F (х, у, z) s aux2 + 2а12ху + а22у2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z2 + + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0, (13) причем члены второго порядка этого многочлена образуют квад- ратичную форму <р(х, у, z) = axxx2-\-2ai2xy-}-a22y2-sr2ai3xz-Y2a23yz-Fa33z2, (23) а члены первого порядка — линейную форму 21 (х, у, г), где 1(х, у, г) =а1х + а2у-|-а3г, так что весь многочлен F (х, у, г) может быть записан в виде F (х, у, г)==<р(х, у, z)-{-2l(x, у, г) + а0. Нас интересует вопрос, как преобразуются многочлены F (х, у), соответственно F (х, у, г) при преобразовании координат. Как мы знаем, каждое преобразование координат слагается из однород- ного преобразования, которое^в случае двух переменных х, у записывается в виде "" , c = ||?i ?2Ц> detC^O, (3) Ц ^21 С23 П и из сдвига Х = Х'+Хо, j (4) У = У'+Уо- ) Однородное преобразование (3) соответствует переходу от перво, начального репера Ое^ к реперу Ое[е2 с тем же началом, а пре- образование (4) — сдвигу начала координат на вектор 00' — {х0, у0\. Посмотрим сначала, как преобразуется многочлен F (х, у) при сдвиге (4). х = с11х'+с12у', У = С21Х' 4" >
5 2) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 121 Подставляя в F (х, у) значения х = х' + х0> у = у'+уо, полу- чаем (считая всегда п21 = а12) F (х, y)^F(x' + х0, у'+у0)^ац(х'+х0)2+ + 2а12 (х' + х0) (у' + у0) + а22 (у' + у0)2 + 2аг (х' + х0) + + 2а2(у' +уо) -\-а0 = апх' 2а12х у' ф- а22у + + 2 (йцХо + апУо + ai) х' + 2 (а21х0 + п22у0 + а2) у' 4~ + anxl + 2а12хоуо + а22у^ + 2агх0 + 2щу0 + а0 = F (х', у'). Обозначая преобразованный многочлен через F'(x', y') = a’lix,'i-\-2a'l2x'y'-ra'i2y'2 + 2a’1x' + 2a!1y'-\-a’l), (12) имеем ан — йн> й12 “ й12> П22 = а22, a; = aii^o + «i2//n + «i. |-«2> Иц /' (х0, z/u). (5г) На эти формулы мы будем много раз ссылаться. Первые три из равенств (5), а именно ан = ац, а(2 = а12, а22 = а22, означают, что при сдвиге (4) коэффициенты при старших членах многочлена F(x, у) не меняются. Все это можно повторить и для случая трех переменных: мно- гочлен F (х, у, г) переходит в F'(x', у', z') ^а’пх'2 + 2а'пх'у' -\-а22у'г + 2a'i2x'z' + + 2a23y'z' -f-ngaZ' 4*2ajx' 4-2a2z/' -)-2a2z' Ч-nJ, (1з) где Пц z/ц, /Z|, (712, <z.12 ~а22, ~ an^t> I' H|3z() -j- z(|, 4Z2 = o2^Xq 4“ a22ijQ -j- п2зЗд -f- n2, йэ = a:nxo + азгУо + аззго + a3, a’B=F(x0, ya, Zo). 13 ZZ2'3 “a23> fl13 — a33t (53) Что касается однородного преобразования (3), то нас интере* суют в первую очередь квадратичные формы <р'(х', у') и <р' (х', у', z'), в которые при этом преобразовании тождественно переходят формы <р(х, у) и <р(х, у, z). Исчерпывающий ответ на интересующий нас вопрос дает следующая Теорема 1. Матрица А' квадратичной формы ф'(х', у'), соответственно fp'(x', у', г') выражается через матрицу А фор- мы <р (х, у), соответственно <р (х, у, z) и через матрицу С
122 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. IV преобразования следующим образом: А' = С*АС, (6) где С*, как всегда, есть матрица, транспонированная к С. Доказательство этой теоремы получается непосредственным вычислением и оставляется читателю в качестве упражнения. Так как det С* = det С, то из формулы (6) вытекает det А' = det A- (det С)«. (7) Если обе координатные системы, старая и новая, прямоугольны, то матрица С ортогональна, detC = ±l и det А' = det А. Как мы уже отмечали выше, в заданной системе координат Ое^ (соответственно Ое^ед) многочлен F {к, у) (соответственно F (х, у, г)) определяет функцию от точки плоскости (соответст- венно пространства). Рассмотрим подробнее функции, задаваемые однородными многочленами от двух или трех переменных второй степени — такие многочлены в алгебре называются квадратичными формами. Для сокращения изложения ограничимся лишь случаем трех переменных. Начнем со следующего определения. Предположим, что задано правило, ставящее в соответствие каждой паре векторов и и v пространства некоторое число ¥ (u, v); пусть, кроме того, эта функция линейна по каждому аргументу, т. е. ¥ (^Uj + k2u2, v) = \¥ (Up v) + ^¥ (u2, v), ¥(u, X1v1 + k2v2)=X1¥(u, vJ+W, v2) для любых векторов un u2, u; vn v2, v и чисел X1( Z2. Тогда говорят, что ¥ — билинейная функция от аргументов и и v. Если векторы и и v относительно базиса ег, е2, е3 записываются в виде u = Xjej + х2е2 + x3e3, v = у^ + z/2e2 -J- z/3e3, то легко видеть, что ¥(u, v)= jj Xty^fa, е7), i, /=i или, если положить ¥ (ej, е7) = aif, з (u, v)= S aijXiVj. (8) I* / * 1 Многочлен в правой части равенства (8) называется билинейной формой от переменных Xi, У/. Матрица
t 21 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 123 называется матрицей билинейной формы относительно базиса е2, е3. Билинейная форма называется симметричной, если симмет- рична ее матрица А, т. е. если a{J = aji. Билинейная функция ¥ (u, v) называется симметричной, если для любых двух векторов и и v ¥ (u, v) = ¥(v, и). Тогда ац =* = ¥ (еь еу) = ¥(еу, е() = а.ц — матрица А оказывается симметрич- ной. Верно н обратное: если в каком-нибудь базисе билинейная функция записывается в виде симметричной билинейной формы, то она симметрична (докажите!). Любая функция f(u, v) от двух переменных определяет функ- цию g (и) от одного переменного, если положить g(u) = /(u, и). Функция Ф, полученная по этому правилу из симметричной би- линейной функции ¥: Ф(и) = ¥(и, и), называется квадратичной функцией, порожденной билинейной функ- цией ¥. Для произвольной квадратичной функции Ф существует одна и только одна порождающая ее симметричная билинейная функ- ция ¥, называемая полярной билинейной функцией от данной квадратичной. Действительно, пусть ¥ — какая-нибудь симметричная билиней- ная функция, порождающая данную квадратичную функцию Ф: Ф(и) = ¥(и, и). Поскольку ¥(u-(-v, u-f-v) = ¥(u4-v, u)4-¥(u-j-v, v) = = ¥(u, u)+2¥(u, v)-|-¥(v, v) = Ф(u) + 2¥(и, у)-)-Ф(у), TO ¥(u, v) (9) что позволяет вычислить значение функции ¥ для любой пары векторов u, v, зная значения функции Ф для каждого из векто- ров u, V, u-f-v. Формула (9) называется полярным разложением симметричной билинейной функции ¥ (u, v). Если в данном базисе симметричная билинейная функция ¥ (u, v) записывается в виде з ¥(u. v)= 2 UuXtyj, i,i=\ то 3 Ф(и)= 2 ttijXiX,,
124 'АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. IV т. е. квадратичная функция Ф(и) = '?(и, и) во всяком базисе записывается в виде квадратичной формы, имеющей ту же мат- рицу, что и билинейная форма, являющаяся записью функции Т. Мы закончим этот параграф перечислением некоторых теорем о билинейных и квадратичных функциях, полные доказательства которых мы отложим до главы XIV. Рангом, билинейной, а также рангом квадратичной формы на- зывается ранг ее матрицы. Имеет место следующий замечатель- ный результат: все билинейные (все квадратичные) формы, пред- ставляющие в различных базисах одну и ту же билинейную (соответственно квадратичную) функцию, имеют один и тот же ранг. Далее, билинейная, а также квадратичная форма, матрица которой диагональна, называется канонической формой данной би- линейной (соответственно квадратичной) функции. Имеет место следующая теорема: для любой квадратичной функции Ф сущест- вует канонический базис, т. е. базис еа, е3, в котором данная функция имеет каноническую запись. При этом во всех канони- ческих записях квадратичной функции Ф: Ф (u) = + a^cl, и = + хаеа+х8ез, число положительных коэффициентов среди ar, аг, я3 одно и то же (оно называется индексом данной квадратичной функции). § 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Оехеа. Мы знаем, что задать аффинное преобразование пло- скости—значит задать, наряду с исходным репером Ое1е2, новый репер О'еХ; аффинное преобразование , определенное этим репером, ставит в соответствие каждой точке М точку М', имею- щую относительно репера О'е('е2 те самые координаты, которые точка М имела относительно исходного репера Оехег. Рассмотрим теперь какую-нибудь линию, определенную в исход- ной системе координат Oeje2 уравнением F(x, у) — 0. (12) При аффинном преобразовании каждая точка М, лежащая на этой кривой, перейдет в точку М', лежащую на линии, имеющей то же уравнение (1а), но уже относительно системы координат О'еХ- В соответствии с этим мы говорим, что при аффинном преоб- разовании кривая I, заданная уравнением (12) в системе коор- динат переходит в кривую II, заданную тем же уравне- нием, но в системе координат О'е^е,. Очевидно, кривая II пере-
|3] 'АФФИННАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 125 ходит в кривую I при аффинном преобразовании е^-1, обратном к преобразованию о4. Говорят также, что кривая II является образом кривой I при преобразовании &£. Определение. Две кривые I и II называются аффинно эквивалентными, если одна из них переходит в другую при неко- тором аффинном преобразовании . Легко видеть (читатель должен это проверить), что отношение аффинной эквивалентности удовлетворяет условиям рефлексивно- сти, симметрии и транзитивности. Поэтому, в частности, две кри- вые, аффинно эквивалентные одной и той же третьей, аффинно эквивалентны между собой. Из сказанного выше непосредственно следует: Пусть дана алгебраическая кривая I своим уравнением F(x, у) = 0 (12) в системе координат Ое,е2. Тогда аффинно эквивалентными кри- вой I будут те и только те кривые II, которые в какой-нибудь системе координат O'eJej имеют то же уравнение (12). Пусть в плоскости дана система координат Ое1е2. Тогда, как мы знаем, всякое аффинное отображение задается формулами х^Сцх + c^y + Ci, I у' = с2]х + с22у+с2, J ( ' выражающими для каждой данной точки М (х, у) координаты х', у' преобразованной точки М' (в той же системе Ое^). Теперь легко решить задачу: пусть дана кривая I своим урав- нением (12) в координатной системе Oe^j. Найти в той же си- стеме координат OC|i‘a уравнение кривой II, в которую перейдет кривая 1 при данном аффинном преобразовании (2). Решение просто: ведь надо найти уравнение, которому удов- летворяют х' и у', связанные с х и у соотношениями (2), если эти х и у удовлетворяют уравнению (12). Искомое уравнение по- лучится, если выразить х и у через х' и у' из (2) и подставить полученные значения в уравнение (12). Все сказанное о кривых можно повторить и в применении к поверхностям. В следующей главе мы, в частности, решим задачу аффинной классификации кривых второго порядка, т. е. задачу перечисле- ния всех аффинных классов, на которые распадается множество всех кривых второго порядка. В главе IX мы решим аналогичную задачу аффинной класси- фикации всех поверхностей второго порядка.
12в АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ !ГЛ IV § 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство Вся суть аналитической геометрии заключается в том, что, выбрав (скажем, на плоскости) систему координат Ое^, мы под- мениваем точки плоскости парами (х, у) координат этих точек, а линии задаем их уравнениями вида F(x, у) = 0. Однако уже из школьного курса алгебры мы знаем, сколь убогим получается исследование даже уравнений второй степени с одним неизвестным, если при рассмотрении их решений пользоваться лишь вещественными числами. Поэтому неудивительно, что, огра- ничиваясь в аналитической геометрии вещественными значениями координат, мы не построим гармонической теории, так как будем постоянно натыкаться на досадные исключения, несносные для математика. Единственный радикальный способ их избежать —это допустить в качестве возможных значений координат точек любые комплексные числа. Мы приходим, таким образом, к следующему построению. Пусть дана обыкновенная («вещественная») плоскость и про- извольная аффинная система координат Ое^ в ней х). Точку М плоскости мы отождествляем с парой ее координат х, у. Теперь мы всякую пару х, у комплексных чисел также будем считать точкой (комплексной) плоскости, а сами числа х, у будем назы- вать координатами точки М комплексной плоскости относительно данной системы координат Ое^. При этом точку М (х, у) будем называть мнимой точкой плоскости, если хотя бы одна из ее координат есть комплексное число, не являющееся вещественным. Дальше все идет автоматически. Пара точек М, = (xn t/J и jM2(x2, у2), данных в определенном порядке (Mi —первая, М2 — вторая точка), называется вектором, приложенным к точке М, или закрепленным в этой точке, и обозначается через и = М1М2. Точка называется начальной точкой, а точка М2 — конечной точкой (концом) вектора МХМ2. Комплексные числа x = x2-xl, y = y2-yt называются координатами вектора MiM2- Два вектора М1ЛТ2 и называются равными, если равны их соответственные координаты. Таким образом, множество всех векторов комплексной плоскости распадается на классы равных между собой векторов (любые два вектора одного класса равны между собой, никакие два вектора, принадлежащие к разным клас- сам, не равны между собой). Эти классы, как и в случае вещест- !) Речь идет при этом лишь об обыкновенных, «вещественных» реперах,
Ml КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО 127 венных чисел, называются свободными векторами-, они обозна- чаются так: и = {х, у}, где х, у — пара координат какого-нибудь (закрепленного) вектора, входящего в данный класс равных между собой векторов. Таким образом, мы можем сказать: любая пара комплексных чисел х, у определяет, во-первых, точку М.=(х, у), во-вторых, свободный вектор и = {х, у\ с координатами х, у. Каждая пара точек А(1 = (х1, у^ и Л12=(х2, р2) определяет свободный вектор и = {х, у) с координатами х = х2 — х1( у = уг — уг', точка Л4Х= (хь у[) и вектор и = {х, у} определяют точку Л12 = (х14-х, /4+#) —ко- нец вектора и, приложенного к точке Суммой двух векторов и = {х, и ы' = {У, у'\ называется век- тор и + м' = {х-}-ж', у+у'\, произведением вектора и = {х, р} на произвольное (комплексное) число X называется вектор Xu = {Хх, Xji}. Вектор 0 = {0, 0} по-прежнему называется нулевым вектором; вектор —и = {—х, —у} называется вектором, противоположным вектору и {х, //|. Понятия линейной зависимости и линейной независимости вво- дятся для векторов с комплексными координатами совершенно так же, как и в вещественном случае, только, разумеется, в ка- честве коэффициентов в линейных комбинациях векторов теперь допускаются любые комплексные числа. При этом все алгебраи- ческие теоремы о линейной независимости сохраняют свою силу. В частности, два вектора и1 = {х1, уг} и и2={х2, у2\ тогда и только тогда линейно зависимы, когда координаты одного вектора пропорциональны координатам другого, т. е. когда I*1 N = 0. |Ха №1 Два линейно зависимых вектора мы будем называть коллинеар- ными. Важно сразу же установить и для векторов с комплекс- ными координатами основное предложение. Три вектора на комплексной плоскости всегда линейно зави- симы (и, следовательно, один из них есть линейная комбинация двух других). В самом деле, это утверждение справедливо, если среди трех дан- ных векторов ub u2, и3 какие-нибудь два, например «ц и и*, линейно зависимы. Пусть векторы ^ = 1^, т^} и иа = {£я, t|2} ли- нейно независимы. Докажем, что тогда всякий третий вектор и =а — {£, 1]} является линейной комбинацией векторов их и «ц: u=x1u1-|-x1u4, причем коэффициенты хх и х2 в этой линейной комбинации одно- значно определены.
128 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. IV В самом деле, из линейной независимости векторов щ = {|п %} и ua = {U Па} следует, что I!1 П1!=^0. IЬ *1а! А тогда система уравнений (относительно неизвестных xt и х2) В = &1Л1 “Ь Т1 = *1Л-|-П2*3 (равносильная одному уравнению и — х^щЧ-хщз) имеет единствен- ное решение относительно хг и х2, что и доказывает наше утвер- ждение. Существенным является следующее Замечание. Мы определили комплексную плоскость, взяв обыкновенную, вещественную плоскость с заданной в ней аффин- ной системой координат Ое1е.2. Эта система координат лежит в основе самого определения комплексной плоскости и будет назы- ваться ее «основной» системой координат. Начало этой системы координат есть вещественная точка О = (0, 0), а единичными век- торами являются векторы в! = {1, 0} и ег={0, 1}. Каждый вектор комплексной плоскости может быть записан, и притом единствен- ным образом, в виде и = хе! + 1/еа, (1) где х и у — комплексные числа. Задать в комплексной плоскости какую-нибудь «новую» (т. е. отличную от основной) вещественную1) систему аффинных коор- динат—значит задать вещественную точку О'== (я, Ь) — начало новой системы координат и пару линейно независимых вещественных векторов eJ ~ {С1 If ~ С11е1 + С21е2> еа = {с12, с22} = tjaCj -j- c22es (все числа с^, I, k—\„ 2, при этом являются вещественными). Тогда вектор и, записывающийся в основной системе координат в виде (I), однозначно записывается и в виде линейной комбина- ции векторов ej и е2: u = x'e;-f-y% (Г) Коэффициенты х' и у' в этой линейной комбинации называются координатами вектора и в системе координат O'eje2 (они, как и в случае вещественных векторов, не зависят от выбора начала О']. «) Только такие будут рассматриваться.
(2) § fl КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО 129 Координаты точки М в системе координат O'eje2 суть координаты вектора б'М в этой системе координат. При определении этих координат остаются в силе все рассуждения главы III, и итогом этих рассуждений являются формулы х = с11х' + с12у' + а, у = с21х' + с22у' + Ь, т. е. формулы преобразования координат, полученные на стр. 113. Эти формулы в комплексной плоскости таковы же, как в вещест- венной, и коэффициенты сп, с12; са1, саа; а, b в них — веществен- ные числа. Так же, как в вещественном случае, прямую линию на комп- лексной плоскости естественно определить как линию первого порядка, т. е. задать ее уравнением первой степени Ах+ By -[-С = 0. (3} Из общих теорем об уравнениях первой степени элементарно выводится, что если прямая задана каким-нибудь уравнением (3), то все уравнения вида (fe А) х+(kB) у + (feC) =» 0, где k — какое-нибудь комплексное число, и только эти уравнения задают ту же прямую. Если среди этих уравнений имеется урав- нение, все коэффициенты которого kA, kB, kC вещественны, то прямая (3) называется вещественной', в противном случае она на- зывается мнимой. Например, прямая 2tx+3ty — ! = 0 есть вещественная прямая; она может быть задана уравнением 2х 4~3у —1=0. Прямая *4-^ = 0 является мнимой. Вообще, алгебраическая кривая, заданная уравнением Е(х, f/)=0, где F (х, у) — какой-нибудь многочлен от двух переменных, назы- вается вещественной, если комплексное число 1=^0 может быть подобрано таким образом, что в многочлене ХЕ(х, у) все коэффи- циенты суть вещественные числа. Может, однако, случиться, что на вещественной кривой не лежит ни одной вещественной точки. 'Гак, например, кривая, задаваемая уравнением 4-1=0,
130 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ есть Естественная кривая, однако на ней нет ни одной вещест- венной точки. Эта кривая называется окружностью радиуса i (при- чина такою названия читателю, вероятно, ясна1). Кривая, задаваемая в прямоугольной системе координат урав- нением х2+у2 = 0, (4) называется окружностью нулевого радиуса. Она имеет единствен- ную вещественную точку О=(0, 0). Эта кривая распадается на пару мнимых прямых х + «У = 0, х —й/ = 0, (5) так так x2 + y2^(x + iy) (x — ity). Среди всех линий на плоскости мы в этом курсе будем рас- сматривать, кроме прямых, лишь вещественные кривые второго порядка и будем всегда задавать их уравнениями F(x, у)==0, все коэффициенты в которых вещественны. Пополнение трехмерного пространства мнимыми элементами — мнимыми точками и мнимыми векторами — происходит совершенно аналогично введению мнимых точек и векторов на плоскости. Предполагается, что в обыкновенном («вещественном») трехмерном пространстве дана произвольная аффинная система координат Ое^ея. Это позволяет каждую точку М пространства отождест- вить с тройкой вещественных чисел, ее координат: М = (х, у, г). После этого мы всякую тройку х, у, г комплексных чисел также объявляем «комплексной» точкой пространства, а сами комплекс- ные числа х, у, z —называем координатами точки М в коорди- натной системе Ое1е2е3. Множество всех комплексных точек обра- зует комплексное трехмерное пространство. Все вновь присоеди- ненные точки, т. е. все точки М = (х, у, г), у которых хотя бы одна из трех координат является невещественным числом, назы- ваются мнимыми точками комплексного трехмерного пространства. !) К сожалению, общепринятая терминология (с которой невозможно не считаться) в этом пункте непоследовательна: окружность 1 =0 мни- мого радиуса i обычно называется мнимой окружностью; вообще, кривая, за- № У® даваемая уравнением + ^+1=0. называется мнимым эллипсом, хотя она согласно только что данному общему определению является действительной кривой!
КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО 131 Упорядоченная 'пара точек Mt = (хп уи zj, Л12=цхг, tfa, г2) комплексного пространства называется сектором, приложенным к точке М (или закрепленным в ней). Комплексные числа х = = х2 —хп у = Уч — У1, z = z2 — zr называются координатами закреп- ленного вектора. Два вектора равны, если соответственно равны их координаты. Классы равных между собой векторов называются свободными векторами', они взаимно однозначно соответствуют тройкам комплексных чисел х, у, г — тройкам координат всевоз- можных закрепленных векторов, являющихся элементами данного класса. Свободные векторы обозначаются и = {х, у, г}. Линейные операции —сложения векторов и умножения вектора на комплексное число — определяются так же, как и в случае пло- скости, т. е. «покоординатно», только координат сейчас три, а не две, в этом вся разница. Автоматически вводится и исследуется также и понятие линейной неkibiiciimociп векторов. Как и в слу- чае точек, мы щнываем вещественными лишь те векторы и = = {х, у, г], у которых все три координаты х, у, г суть вещест- венные числа. Все остальные векторы называются мнимыми. Существенно отметить, что в комплексном пространстве, так же как й в комплексной плоскости, мы рассматриваем наряду с основной системой координат (введенной при самом определении комплексного пространства) и другие системы координат O'eje^ei, но всегда лишь вещественные', это значит, что и новое начало О* есть вещественная точка пространства и векторы ej, ej, е, суть вещественные векторы. Поэтому переход от одной координатной системы к другой задается формулами линейного преобразования, все коэффициенты в которых суть вещественные числа. Словом, все происходит так, как в случае плоскости, с единственной разни- цей, что вместо размерности п - 2 теперь имеем п = 3. Вещественной поверхностью мы называем такую алгебраическую поверхность, которая задается уравнением F(x, у, z) = 0 с вещественными коэффициентами. Замечание. Определенное в этой главе «комплексное» про- странство следовало бы называть комплексным пространством с выделенным в нем вещественным подпространством (которое пе- реходит в себя при всех аффинных преобразованиях с веществен- ной матрицей С, никаких других мы, как неоднократно упомина- лось, рассматривать не будем). Такое же замечание можно сде- лать, разумеется, н о комплексной плоскости.
132 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ § 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения 1. Распадающиеся линии и поверхности. Если многочлен F (х, у) есть произведение двух многочленов Ех(х, у) и у): F(x, y) = F1(x, y)-F2(x, у), то те и только те точки лежат на линии F (х, у) = 0, (1) которые лежат хотя бы на одной из двух линий FAx, у)-0, (2) /2 (V, у) 0. (3) В этом случае говорят, чю кривая (I) /х'<tiiuktenun па кривые (2) и (3). Например, кривая второго порядка, заданная уравнением х2 — у2 = 0, распадается на пару действительных прямых х | у 0 и х -- у О, а кривая х2 |- у2 О, как упомянуто выше, распадается па пару мнимых прямых v | iii О, \ и/ О, называемых сопряженными. То же имеет место и для поверхностей. Если Е(х, у, z) = F1(x, у, z)-FAx, У, z), то поперм ость Е(х, у, z) = 0 распадается па пару поверхностей Ех(х, у, z) = 0, F2(x, у, z) = 0. Так, например, поверхность второго порядка х2 + 2ху + у2 — z2 — О распадается на пару плоскостей x-|-i/-|-z = 0 и х+у —2 = 0. 2. Цилиндрические поверхности. Определение. Алгебраи- ческая поверхность называется цилиндрической (или цилиндром),
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 133 если в некоторой аффинной системе координат она может быть задана уравнением, не содержащим одну из координат, например уравнением f(x, t/) = 0, (4) не содержащим координату г. Кривая, определяемая уравнением (4) в плоскости Оху, назы- вается иногда основанием или направляющей цилиндра. Если точка Л4 = (х, у, а) лежит на цилиндре (4) (рис. 71), то все точки М' — (х, у, г'), где г' совершенно произвольно, тоже лежат на цилиндре (4). Все эти точки образуют прямую, проведенную че- рез одну из них, например через точку М0 = (х, у, 0), параллельно оси Ог. Таким образом, всякая пря- мая, проведенная параллельно оси Ог через какую-нибудь точку Мо = - - (х, у, 0) цилиндра, всеми своими точками лежит па цилиндре; псе эти прямые па шшаются оГщим/ющими ци- линдра. Их объединение и образует множество всех точек, лежащих на цилиндре. Обратно, пусть дана алгебраиче- ская поверхность S, обладающая тем свойством, что всякая прямая, парал- лельная некоторому (одному и тому же) направлению и проходящая через какую-нибудь точку этой поверхности, всеми своими точками лежит на ней. Покажем, что эта поверхность является цилиндрической. В самом деле, не ограничивая общности рассуждений, можно предпо- ложить, что направление, о котором идет речь, есть направление оси z некоторой системы координат. Пусть уравнение поверхности S есть F (х, у, z) = 0. Всякий многочлен F (х, у, г) от трех переменных может быть записан • виде F(x, у, z)^zkg(x, у, z)+f(x, у), где k >= 1. Докажем, что в нашем случае g (х, у, г) 0. В противном случае пусть существуют такие значения х0, у0, г0, что g(Xo, у,» = Тогда Р (х0, у0, z0) ssA^ + f (х0, у0) И существует лишь конечное число значений г, для которых F (*<>» Уо, А = 0» Пусть 21 — одно из них. Тогда точка Мо = (ха, уй,
134 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ. IV лежит на поверхности S, но прямая х = х0, У=*У0, проходящая через эту точку в направлении осп ?, уже не лежит целиком на поверхности S —вопреки нашим предположениям. Итак, действительно g(x, у, г) = О, и уравнение поверхности S имеет вид f(x, у) = 0, чем и доказано, что S — цилиндрическая поверхность. Мы будем в дальнейшем рассматривать лини, пи'шидрпческие поверхности вюрою порядка, и.х (л-нованпямп являюня кривые второю порядка. Рис. 72. Рис. 73. 3. Конические поверхности. Определение. Конической поверхностью п-го порядка называется алгебраическая поверхность, задаваемая в некоторой аффинной системе координат Oxyz урав- нением Ф(х, у, г) = 0, (5) где Ф(х, у, г) есть однородный многочлен (форма п-й степени от переменных х, у, г). Легко доказывается следующее основное свойство конических поверхностей: (*). Если точка М = (х, у, г) лежит на конической поверхно- сти (5) (рис. 72), то и вся прямая ОМ лежит на этой поверх- ности (О при этом есть начало координат).
$ 5] РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ! 135 В самом деле, если точка М' = (х', у', z') — какая-нибудь точка прямой ОМ, то для вектора ОМ' имеем равенство О7Й' = ХбЛ1 при некотором числовом множителе X. А это значит, что х' = Кх, у' = /-у, г'= \г. Так как Ф(х, у, г) —однородный многочлен п-й степени, то Ф(Хх, %у, Хг) = Х"Ф(х, у, г); так как точка М =* = (х, у, г) лежит на поверхности (4), то Ф(х, у, z) = 0, значит, и Ф(х', у', г') = ХлФ(х, у, z) = Qi, т. е. точка М' также лежит на поверхности (5). Итак, всякая коническая поверхность сла- гается целиком из прямых, проходящих через точку О (рис. 73), Рассмотрим систему координат Ое1е2е3 с началом О и единичными векторами elt е2, параллельными плоскости л; вектор е3 опреде- лим как какой-нибудь вектор 00', конец которого лежит в пло- скости л. Таким образом, в этой плоскости определена коорди- натная система О'е^, а сама плоскость л в системе Ое^вз имеет уравнение z=l. Пусть кривая К, лежащая в плоскости л, имеет в координатной системе О'е^ уравнение F (х, у) = 0, z = 1 (6) степени Пуен. М (х, у, ?) —какая-нибудь точка поверхно- сти 3. Тогда прямая ОЛТ пересекает плоскость л в точке ЛТи = = (х0, уа, 1), координаты xQ, уа которой удовлетворяют равен- ству yQ)=0. (7) Вектор ОЛ40 = {х0, у6, 1} является направляющим вектором пря- мой ОМ, следовательно, ее параметрическое уравнение имеет вид х = х</, y=y9t, z = 1 /. (8) Так как лежащая на прямой (8) точка М = (х, у, г) есть произ- вольная точка поверхности S, то мы доказали следующее пред- ложение: для того чтобы точка М ^(х, у, г) лежала на поверх- ности 3, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлет- воряли при некотором t уравнениям (8), где х0, ув удовлетворяют уравнению (6). Подставляя в (7) значения X Ул из (8), переписываем уравнение (7) в виде r(i, х)-о. Именно этому уравнению удовлетворяют все (отличные от точки О) точки А/ = (х, у, z) поверхности 3, Многочлен F (т»’f’) есть
136 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ {ГЛ, IV многочлен п-й степени относительно у, значит, многочлен Ф(Х, у, 2) = 2й/'(у, *сть однородный многочлен относительно х, у, г. Средн точек М — (х, у, г), не лежащих в плоскости z = 0, уравнении Ф(х, у, 2) = 0 (5) удовлетворяют все точки поверхности S и только они, Само урав- нение (5) определяет коническую поверхность порядка п, мно- жество точек которой получается присоединением к поверхности S точек, лежащих в плоскости 2 = 0 и удовлетворяющих уравне- нию Ф (х, у, г) = 0. 4. Поверхности вращения. Пусть в iipocTpaiieiiic дана прямо- угольная система координат Oxyz. Рассмотрим многочлен F (и, г) от двух переменных, одно из Которых, а именно и, есть х2 + у2, так что F(u, z') = F(x2 + y2, z). Очевидно, выражение F (х2 + у2, z) тождественно равно некоторой сумме одночленов от трех переменных х, у, г, т, е. некоторому многочлену f(x, у, г) от этих переменных. Если потребовать, чтобы многочлен f (х, у, г) был при этом второй степени, то в выражение F(x2-i-y2, z) аргумент ха + «/3 может входить только в первой степени, a z может входить во второй и в первой степени. Итак, общий вид многочлена второй степени [(х, у, z), допускающею запись /(х, у, z)s=F(х3-{-у2, z), есть f(x, у, z)=sF(x2 + y2, z) =s Л (л2 + у2) \-az3 + 2bz |-с. Но вернемся к общему случаю многочлена /(х, у, z) любой степени, допускающего запись вида f(x, у, z)=s*F {х2-\-у2, z), и рассмотрим алгебраическую поверхность S, задаваемую уравне- нием F(x3 + y2, z) = 0. (9) Пусть точка Мо = (х0, у0, г0) лежит на поверхности (9). В пло- скости z = z0, проходящей через точку Мо параллельно плоскости Оху (рис. 74), возьмем окружность у с центром Q = (0, 0, z0), проходящую через точку Мо. Радиус этой окружности, очевидно, есть г = ]/xJ + j/o> а ее уравнение x2 + y2 = r2, z = z0. Так как точка Мо лежит на поверхности (9), то F(r2, z) = 0, а так как во всех точках М = (х, у, z) окружности у имеем ха4-уа =
§ 5] РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 137 — г2, z = z0, то все эти точки лежат на поверхности (9). Итак, если данная точка Мо лежит на поверхности (9), то на той же поверхности лежат и все точки М, в которые попадает точка Ма вокруг оси z. Поэтому поверхности, при вращении пространства уравнения которых при надлежащем выборе пря- моугольной системы коор- динат могут быть запи- саны в виде (9), называют- ся поверхностями враще- ния. В частности, уравне- ние поверхности второго порядка, являющейся по- верхностью вращения, за- писывается в виде А (х2 + у2) + az2 + -| с 0. Линия, получающаяся при пересечении поверхности вращения плоскостью, про- ходящей через ось враще! зывается меридианом этой (в нашем случае через ось г), на- ерхности вращения. Например, ме- ридианом йоверхности вращения Р(х2+у2, г) = 0 является сечение этой поверхности плоскостью у = 0, т. е. линия F (х2, z) = О, у = 0. Поверхность вращения описывается при вращении линии, являю- щейся ее меридианом, около оси вращения. Рассмотрим, например, коническую поверхность х2 + у2-г2 = Ъ. (10) Ее меридианом, лежащим в плоскости у = 0, является пара прямых х2 — г2 = (х + z) (х—г) = 0, у = 0; конус (10) описывается при вращении этой пары прямых вокруг оси г (рис. 75). Рассмотрим в качестве второго примера поверхность, зада- ваемую уравнением (система координат все время прямоугольная). Это снова поверх- ность второго порядка, являющаяся поверхностью вращения. Она
138 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ (ГЛ IV
4 5J РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 139 получается вращением около оси г параболы z = x2, у = 0', вид полученной поверхности вращения совершенно ясен, эта по- верхность изображена на рис. 76; она называется параболоидом Рис. 79. Рис. 80. получаются, как легко проверит читатель, при вращении вокруг оси г равнобочной гиперболы, лежащей в плоскости и-0 и имеющей ось z соответственно своей второй и первой осыо (рис. 77, 78). Читатель сам напишет уравнения поверхностей, получающихся от вращения эллипса вокруг его осей (рис. 79, 80),
ГЛАВА V РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В § 1 этой главы будет показано, что единственными кривыми второго порядка являются: эллипсы (включая так называемые мнимые эллипсы, опреде- ляемые в надлежащей системе координат уравнениями вида $ + < + 1=0), гиперболы, параболы и кривые, распадающиеся на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих); при этом прямые могут быть действительные или мнимые сопряженные '); прямая в паре сов- падающих прямых всегда действительна. В §§ 2, 3, 4 будет показано, как определить вид кривой по ее общему уравнению. В § 5 будет дана аффинная классификация кривых второго порядка. Рассмотрим уравнение /•' (х, у) О, где F (х, y)saux2 + 2a12xi/ + a22r/a4-2a1x-|-2a2(/ + a0 (1) — общий многочлен второй степени. Мы хотим найти прямоуголь- ную координатную систему, в которой уравнение кривой F (х, г/)=0 приняло бы возможно простой — «канонический» — вид. Начальную координатную систему будем предполагать прямо- угольной (если бы она не была таковой, мы бы перешли к новой прямоугольной системе координат и этим преобразовали бы пер- воначальный многочлен F (х, у) в новый многочлен, тоже второй степени, с которого и начали бы наши дальнейшие рассуждения). г) Две мнимые прямые называются сопряженными, если они могут быть заданы уравнениями Aje-|-B{/-|-C = O и Ах-|-В(/ + С = 0, в которых коэффи- циенты А и А, В и В, С w С являются взаимно сопряженными комплексными числами.
£ i] ЛИНИИ ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 141 §1.0 линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными 1. Приведение квадратичной формы от двух переменных к ка- ноническому виду при помощи преобразований прямоугольных координат. Первый шаг заключается в том, чтобы поворотом на- чального прямоугольного репера Ое^е2 на некоторый угол а пре- образовать квадратичную форму <р(х, у) = апх2 ф- 2а12ху ф- а.12у2 старших членов многочлена F (х, y)^allx2 + 2altxy + a2iy2 + 2a1x + 2a2y-j-a0 (1) к каноническому виду ф-а24у • Итак, делаем преобразование координат х - х' cos а — у' sin а, | . 1 \ > i (^) // —X SIIKZ-I-// cnsrz. J Получаем 'юждсч тепио F (х, у) = ап (х'2 cos2 и — 2х'у' cos a sin а ф- у'2 sin2 а) ф- ф- 2а12 (х'2 cos а sin а — х'у' sin2 а — у'2 sin а cos аф-x'z/ cos2 а) ф- ф-а22 (х'2 sin2 а ф- 2х'у' cos а sin а ф-t/'2 cos2 а) ф- ф-2агх' cos a — 2aty' sin аф-2а2х' sina-(-2a2y' cos a-(-aos = F' (x', y') = a'ltx'2 + 2a'I2x'y' ф- a22y’2 ф- 2a[xr ф- 2а2у' ф-aQ, где a'tl = a1L сО82аф-2а12 cos a sin аф-п22 sin2 a, /zj2 =— cos <t. '.in <t-1-a।. (cos2a — sin2 а)ф-«и cos a sin a, (t',s =nt, sura— 2H|.j cos a sin а ф-п2Л cos2 a, = a± cos а ф- a2 s i пи, a2 = — a± sin а ф- a2 cos a. (3) Определим угол а требованием, чтобы было aJ3 = 0, т. е. требо- ванием а12 cos2 а ф-(а22 — ап) cos a sin a — а1а sin® a = 0, (4) причем естественно предположить, что 0 (при а1а = 0 нечего было бы делать —форма <р(х, у) уже имела бы вид аих2ф-п22у2). Из (4) получаем to a = —ац ~ ^а2—а11)24-4а,а <г. ё 2«и ‘ }
142 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ V Так как (ам — a1])24-4ai2> 0, то по формуле (5) нужный нам угол а всегда можно определить. Полагая для сокращения письма аи=Хь «22 —X,, сформули- руем полученный результат. Поворотом координатной системы Оеге2 на угол а, определяе- мый из (5), можно преобразовать квадратичную форму ф (х, у) = апх2 + 2а12ху + а22у* к каноническому виду ф'(*'. /)==М'2+М'2, а весь многочлен F (х, у) к виду F’(x', //')sX]x'a + X2p'2 + 2(/;x'Н 2а',у' | (1') Оба коэффициента Хг н Х2 не могут одновременно быть ну- лями: если бы было 7ц = Х2 — 0, то многочлен второй степени F (х, у) при преобразовании (2) перешел бы в многочлен первой степени, что, как мы знаем, невозможно. Итак, возможны два основных случая: 1’ 0, ?.2 =f= 0. 2’ Один из двух коэффициентов 2ц, Х2 отличен от нуля, дру- гой равен пулю. 2. Первый основной случай: Xj /=(), Х2 У-(). При переносе на- чала координат в какую-нибудь, точку О' — (х\\ у'и), т. е. при пре- образовании х' - •• х” -|- X,', у' 1Г-\ //,, многочлен F' (х', у') принимает вид y')~F"(x", у”)- •= ХхХ"2 -|-Xzi/" + 2 (A,1Xg + а,) х" -f- 2 (Х2р^ 4- а\) у" 4~ аа, (6) где свободный член а'п есть aj =* + Х2Ро + 2Я]Х^ + 2а2роafl = F(x(), у0). Подберем теперь такие координаты х'а, у'9 нового начала О", чтобы коэффициенты при х“ и у" в (6) обратились в нуль, т. е. чтобы V«4'a'i=Q, Х2уЛ-а2 = 0. (7) Так как 0, X, =#= О, то уравнения (7) дают нужные значения для xj, ya. Итак, в системе координат О^еа первоначальное урав- нение F(x, нашей кривой преобразуется к виду Xjx" -f- (8)
ЛИНИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 143 Переходим к исследованию уравнения (8). Имеем два случая: Случай А — гиперболический: коэффициенты lt и разных знаков. Случай Б — эллиптический: коэффициенты 1Х и 12 одного и того же знака. А. Гиперболический случай. Пусть сначала а„=^=0, один из коэффициентов 1ц 12 имеет тот же знак, что и а';, пусть это будет, например, 12; тогда lj и а', противоположны по знаку. Переписываем уравнение (8) в виде _£L + _£L=1. (8') __ ^0 __ ^*0 Xi 12 Знаменатель — в первом члене есть положительное число; обо- значаем его через а2, знаменатель — отрицателен; обозначаем его через —Ь2. Уравнение (8'), т. е. уравнение (8), приняло вид г® _ у’2 = , „•Г Ьг — Это — каноническое уравнение гиперболы. Если в гиперболическом случае а£ = 0, то можно без ограни- чения общности предположить, что li>0, < 0; введем обозна- чения 12 = а2, 12 = — Ь2\ уравнение (8) переписывается в виде а2х”2 — Ь2у"2 = 0, т. е. {ах" + {ах" — by") = 0. (9) коорди- кривой, Это — уравнение пары прямых, пересекающихся в начале нат О'. Уравнение (9) считаем каноническим уравнением распадающейся на пару действительных пересекающихся прямых. Б. Эллиптический случай. Теперь и 12 одного знака. Снова предполагаем сначала, что -/-<). Если общий знак чисел Xi и 12 противоположен знаку а#, то, переписав уравнение (8) в виде (8'), видим, что оба знаменателя — и — р- положи- А1 Аз тельны; обозначив их соответственно через а2 и Ь2, получим ^4.^-1 а» “ — каноническое уравнение эллипса с полуосями а, Ь. •Если же общий знак 1] и 12 совпадает со знаком aj, то зна- менатели в (8) отрицательны, и мы получаем уравнение (10)
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. V Эго—уравнение «мнимого эллипса», или эллипса с мнимыми по- луосями а: и Ы‘, нет ни одной действительной точки плоскости, которая бы этому уравнению удовлетворяла. Пусть теперь в эллиптическом случае Уравнение (8) принимает вид M"W=o. Так как и одного знака, то это уравнение можно пере- писать в виде агх^ + b‘>-у'л = 0 пли в виде (ах"-\-biy") (ах" — Ыу") - О, (II) Это —каноническое уравнение кривой, распадающейся на пару пересекающихся мнимых сопряженных прямых-, оно удовлетво- ряется единственной действительной точкой О1 точкой пересечения двух мнимых сопряженных прямых ах” + iby" - 0, ах" — iby" - 0. Итак, в эллиптическом случае уравнение (8) —а значит, и на- чальное уравнение (6) — определяет или обычный эллипс («дейст- вительный»), или «мнимый» эллипс, или пару мнимых сопряжен- ных прямых с одной общей действительной точкой. 3. Второй основной случай: АДЯ--О. Пусть из коэффициентов в уравнении (Г) один, папримерА|, отличен от пуля, a Z2 = 0. Тогда в системе координат Оед\ уравнение F(x, у) 0 Принимает вид Г(х', у') кзХ|Л'’ -| 2njx'2а'1у' | 0. (12) Имеются две дальнейшие возможности: А. Тогда уравнение (12) можно решить относительно у’, т. е. представить его в виде у’ — рх'г-гдх’ + г, —-наша кривая есть график трехчлена второй степени, т. е. па- рабола. Б. a'i — Q. Тогда уравнение (12) есть Z1x'2-f-2aJx'-|-ao = O. (13) Это — квадратное уравнение относительно х'; оно имеет два ре- шения: х'= xj, х'=Х2 (14) — мы имеем пару параллельных прямых (14) — действительных, если корни xj и х2 квадратного уравнения (13) действительны, мнимых и сопряженных, если таковы корни х{ и xj уравнения (13).
§ 2] ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ Н5 Наконец, если х{=Ха, то говорят, что уравнение (12), а значит и уравнение (1), определяет пару слившихся (или совпадающих) действительных прямых. Подведем общий итог. Всякая кривая второго порядка есть или эллипс (действительный или мнимый), или гипербола, или парабола, или пара прямых: пересекающихся (действительных или мнимых сопряженных), параллельных (в собственном смысле) (действительных или мни- мых сопряженных), совпадающих (действительных). Приведенное доказательство этого результата содержит в себе и способ определения вида кривой по ее уравнению, однако прак- тически удобным этот способ не является; удобный способ будет дан в следующих параграфах. § 2. Инварианты многочлена второй степени Пусть дан какой-нибудь многочлен второй степени от пере- менных х, у: F (х, y)=stp(x, y) + 2l(x, у) + а0, (1) <р(х, y)~a11x2,-)-2alixy + a22yi, 1(х, у)^щх + агу. (2) Обозначим через S детерминант g _ I ам аи I | Я21 я22 I Напомним, что детерминант 8 называется дискриминантом квадра- тичной формы <Р (х, у). При переходе от прямоугольной системы координат Оху к повой прямоугольной системе координат О’х'у' многочлен F (х, у) пере- ходит в многочлен F'(x', /)е=ф'(х', /)4-2Г(х', у') 4-4 (Г) Так как общее преобразование координат сводится к переносу начала и к переходу к новой координатной системе с тем же началом, то рассмотрим отдельно оба этих частных случая. Как мы знаем (гл. IV, § 2), при переносе начала, т. е. при преобра- зовании x==x'4-x0, у = у' 4-у0, коэффициенты ап, а12, а22 при старших членах многочлена F (х, у) остаются неизменными. Другими словами, остается неизменной матрица квадратичной формы <р(х, у), а значит, и ее дискриминант 6.
146 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1ГЛ. V Если же новая координатная система имеет то fee начало О'—О, что и старая, то <₽' U', уг) = а'цх'1 + 2a'i2x'y' 4- а'12у'\ Г{х', y') = a{x'+atf, причем (как мы видели в гл. IV, § 2) имеем Я’ _ I ail С12 I _. |й11 Я12 |_Я | <*21 0^2 ] ^21 «2! I Теперь сформулируем два определения. Определение 1. Общее (неоднородное) преобразование А'-Но 1 У --^..^'+<’.,,//4 сг / называется ортогональным, если ортогональна его матрица I?1 ? II’ к С21 И т. е. матрица, составленная из коэффициентов при переменных. Определение 2. Пусть дана целая рациональная функция г) J(«n, а12, «22> «i> «2. ао) от коэффициентов многочлена F (х, у) = «пх2 + 2а12ху + а22уг + 2арс 4- 2агу + а0. При произвольном ортогональном преобразовании (3) многочлен F (х, у) тождественно переходит в F (х', у') -= щ,х'“ -h 2а\2х'у' f a'l2y'‘ -|- 2а\х' -|- 2a'ty' + а'о. Если при этом всегда, т. е. для любого ортогонального преобра- зования (3), при любом наборе значений ап, о12, а22, at, а2, ав J(a'u, а\ъ йи, а',, а2, ai) = J(an, а12, а22, аь а2, ав),' (4) то функция J называется ортогональным инвариантом много- члена F (х, у). Примером ортогонального инварианта многочлена может слу- жить 6 = 6(«n, д1?, а22, «!, а2, я0) = I u ls I. | а21 «82 i Точно так же ортогональным инвариантом является и функция S=S(an, а12, а22> alt а^, о0) = а214*а.22. Ч Целая рациональная функция (ат каких-то переменных g, q, J, ...)—это просто многочлен от этих переменных, В данном случае £ = nllt q=alt и т, д.
8 5] ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 147 В самом деле, если преобразование (3) есть поворот координат- ного репера (на какой-то угол а), то из первой и третьей формул (3) § 1 следует, что S' = S. Но функция S, очевидно, не меняется и при отражении х = х', у = — у', а также при переносе начала координат, следовательно, и при любом ортогональном преобразовании. Докажем, наконец, инвариантность функции А— A (flu, cii2> 0-22.1 «11 Oj, &2, О,у) — «21 «1 «12 «22 at «1 «2 «о Для этого наряду с многочленом F(x, у) рассмотрим квадратич- ную форму Ф(х, У, t)-alix2-{-2al2xy-1t-a22y‘t-]-2aixt-]-2a.iyt-]-aut2, а наряду с преобразованием (3) рассмотрим преобразование х = с11х'+с12у' + с1Г, 4?=смх'+с1му'4-с/, = Ox'4-Оу'4-1 Г, (5) При этом преобразовании квадратичная форма Ф (х, у, t) переходит в квадратичную форму Ф'(х', у', 1') = а'11Х'г + 2а'12х'у' + а22у'1 + 2а'1Х'1'+2а'2у'1'+а^'3 (где коэффициенты а'и, а'^ и т. д. те же, что и в многочлене F(x', У'))- Дискриминант квадратичной формы Ф(х, у, I) есть наш Детерминант «II «12 «I А «21 «22 «2 • ^0 При преобразовании (5) он помножается на квадрат детерминанта этого преобразования, т. е. на С11 с12 1 ^21 ^22 &2 О 0 1 С11 С12 С21 С22 откуда и следует, что A(Ojb л», Ль ®в) = Д (^11> ^12г ®22т Лд, Од). Нами доказана
148 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ V Теорема 1. Функции S=«ll+a22> 6= I 011 °12 1 22 I «21 «22 «II «12 «1 ^22 ^2 «I «2 «О л = От коэффициентов многочлена (1) являются ортогона юными инва- риантами этого многочлена. Замечание 1. Из наших рассуждений следует: если много- член F (х, у) удовлетворяет какому-нибудь из условий 6 * О, А==0, то при переходе к любой аффинной координатной системе О'х'у' он преобразуется в многочлен F' (х', у'), удовлетворяющий тому же условию (потому что детерминанты 6', Л', построенные для /’' (%', у'), получаются соответственно nt Л и Л умножением па положительное число — квадрат детермпнанia прсобра ювапня). При этом, если квадратичная форма <р( V, у) старших членов многочлена F (х, у) является зпакоопределенпой, т. е. если для любых х, у <р (х, у) имеет определенный знак, то коэффициенты и а32, а значит, и их сумма S = an + n23 сохраняют свой знак при любом невырожденном линейной преобразовании. Для неопре- деленной формы <р (х, у) это не так. Из теоремы 1 мы выведем сейчас такое фундаментальное Следствие. Если каким бы то ни было ортогональным пре- образованием .¥ -CuV'-l-C,.,//, I/ Г., \' I с...у’ мы привели форму <[)(х, у) I -ФЕ’! I «22!/j к каноническому виду <Р'« у') = а'их'а+а'^у'3 (2') то коэффициенты а', и а'23 непременно являются корнями квадрат- ного уравнения X2-SX + 6 = 0. (6) В самом деле, из инвариантности S и б следует, что S = а11 4" а22 — а11 4* а«2> «11 «12 «21 «22 а'.. О I , , О a'J = a^’ т. е. что сумма чисел а'п и д33 равна 5, а их произведение равно б. А это и значит, что сами эти числа суть корни уравнения (6). Уравнение (6) называется характеристическим уравнением квадра-
§2] ИНВАРИАНТЫ МНОГОЧЛЕНА ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 149 тичнои формы <р (х, у). Оно всегда имеет действительные корни, что сразу следует из того, что дискриминант уравнения (6) есть S2 — 43 = (ац ф- а22)2 — 4 (апа22 — а?2) = г - а22)2 ф- 4а?2 Ss 0. (8) Замечание 2. Этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда одновременно «п=б?,2, й12 = 0. (9) Равенства (9) выражают условие, необходимое и достаточное для того, чтобы корпи характеристического уравнения были равны между собой. Мы знаем, что поворотом на угол а (определяемым из фор- мулы (5) § 1) квадратичная форма <р (х, у) = аих2 ф- 2а1аху ф- а22г/2 преобразуется в <р' (х', у') = а'их'! + а.^у'2, причем о,', и а'2г всегда суть корни характеристическою уравнения ((’>). По если корпи этого уравнения суть А, и А2, то мы ие знаем, какой из них есть коэффициент при х'! (т. е. а'п), а какой — коэффициент при у’\ Считая, что корни Aj и А2 характеристического уравнения даны, найдем угол а, на который надо повернуть ежте лу координат, чтобы форма <р(х, у) перешла именно в А±х'2 ф- A2z/2 (а не в А2х'2 ф- ф- AjZ/'2). Этот угол будет вместе с тем углом наклона новой оси абсцисс (оси Ох') к старой Ох. Для этого переписываем первые два равенства (3) из § 1: a'ti = Ах = ап cos2 а ф-2й12 cos «sin а ф-й22 sin2 а, а\2 = 0 = — ап cos a sin а ф-й12 cos2 а — а12 sin2 а +а22 cos а sin а. Умножаем первое из этих равенств па cos а, второе на —sin а и складываем. Получаем Ах cos а = ап (cos3 а ф- cos a sin2 а) ф- 2й12 cos2 a sin а — — Й12 cos2 a sin а ф-й12 sin3 а -j-a22 (sin2 a cos а — cos a sin2 а), т. е. Ах cos а = а11 cos а ф-а12 sin а, откуда tg а = 21^*1.. (Ю) и12 Это и есть угловой коэффициент новой оси абсцисс! Заметим, что если й12 = 0, то форма <р (х, у) уже имеет канонический вид и нет надобности ни в каком повороте системы координат.
150 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. V § 3. Центральный случай Итак, поворотом первоначальной прямоугольной системы коор- динат на угол а, определяемый из формулы (10) предыдущего па- раграфа, мы приводим многочлен y)^aux‘i-Js-2alixy + ai^-{-2alx-[-2a.yj-\-a0 (1) к виду XjX' + Х2у' -^-2алх' -j-2a^y' -f-aa. (1') Дальнейшее исследование кривой f(x, у) — 0 заключалось в разборе двух случаев: центрального (когда 0, >,^0) и параболического (когда лишь одно из двух чисел A.,, Z2 отлично от нуля). Так как А.Д, = б, то центральный случай есть случай б=А(), а параболический— Л - 0. Предположим, что б-/ 0. Докажем, чю в этом случае можно до всякого поворота системы координат Оху переносом начала, т. е. преобразованием х-5+х. 1 U-H+lh,) преобразовать многочлен F (х, у) в л) = а1|^ + 2о,/-т|-[-О2.2^ + «’. (1*) При этом х0, у0 в (2), т. е. координаты нового начала О' = (х0, у0) являются однозначно определенными. В самом деле, подставим * = Б+*о> // = П + у<» " (1) Получим F(x, y)^(tlttf |-2п,..^| H'rPl’ I 2(»!,»•„ |-n,)B-h -|-2(n,l.v„ I-о,) >1-HF(Xo, y„). Теперь определяем xQ и yn так, чтобы коэффициенты при | и rj обратились в нуль, т. е. чтобы йкЛ + а^уо + а^О, £=1,2. (3) Так как по предположению б = I а" 012 I # 0, I а21 ° 22 I то уравнения (3) решаются однозначно и дают нам искомые х0, у0. Теперь, имея корни Xlt Х2 характеристического уравнения X.2-SX.+6 = 0, нам остается только определить угол а из формулы (10) преды- дущего параграфа и — посредством поворота координатной системы O'|iq на этот угол а — преобразовать многочлен (1) в F'(x', /) = М'2 + М'3 4-а*. (I)
§ 31 центральный случая 151 Определим свободный член а*. Для этого воспользуемся инва- риантпостью детерминанта а и а21 Я1 а12 ^22 Й1 <*2 о а* 0 = Х^а^ — 8а*, Д = О о о о откуда * А а° = ~8 Итак, при переходе от первоначальной системы координат Оху к новой системе О'х'у' многочлен F (х, у) тождественно преобра- зуется в F (х', t/,) = X1x,’+M'‘ + 4' Нами доказана следующая Теорема 2. Пусть в произвольной прямоугольной системе координат Оху кривая второго порядка дана своим уравнением F(x, //)г=апха-|-2</12х«/ | а,.,у2 \-2агу-\-а0 --0, причем 6ku I а21 Ом I Возьмем новую систему координат О'х'у', начало которой есть точка О' = (х0, у»), определенная уравнениями (3), а ось абсцисс О'х' наклонена к оси Ох под углом а, определенным уравнением (10) предыдущего параграфа. В системе координат О'х'у' кривая F (х, у) = 0 имеет уравнение Xjx' -j-X2y' +-у = 0. (4) Замечание 1. Как впднопз уравнения (4), точка О' •= (х0, у0), являющаяся началом поной координатной системы О’х’у', есть центр симметрии нашей кривой. Мы увидим в следующей главе, что в случае 6=^=0 кривая F (х, у) = 0 имеет единственный центр симметрии. Поэтому кривая F (х, t/) = 0 называется в этом случае центральной. Уравнение (4) называется приведенным уравнением централь- ной кривой. Его исследование быстро доводится до конца. При Д = 0 уравнение (4) имеет вид VW‘ = 0 (4') н определяет пару прямых, пересекающихся в начале координат О' (т. е. в центре кривой). Эти прямые, действительные при &=%Д2<0, мнимые (сопряженные) при 6 = Х1%2>0,
152 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ .КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. V Пусть А#=0, уравнение (4) переписывается тогда в виде 6Л2 Имеем два случая: а) Случай гиперболический. 6 = к1А.3<;0; обозначая через тот из двух корней характеристического уравнения, »нак которого совпадает со знаком А, полагаем п2 = — 4->0, -Ьа = — 4-<0, (6) OAj ОАд ' получаем уравнение гиперболы б) Случай эллиптический. 6 —числа и одного знака, и этот знак совпадает со знаком их суммы S. Вели «тот знак S противоположен знаку А, то можно поло- жить (обозначая через тот из двух корней Хх, Х2 характери- стического уравнения, для которого |?ч|^|^2|) «2 __________________л fe2 =_______Л- О а 8Л1 и’ 6?.2 и’ получаем уравнение эллипса х’2 и'2 ^ + 1^ если же знак S совпадает со знаком А, то полагаем а2 = — Ь2 = — уравнение (5) превращается в уравнение а'2 (7) (7') (8) — = 1 *2 (8') имеем такие возможности: мнимого эллипса. Подведем итог. В центральном случае, Д = 0, случай вырождения Д 0 Гиперболический случай, 6<0 Пара пересекающихся действительных прямых Гипербола Эллиптический случай, 6>0 Пара мнимых сопряжен- ных пересекающихся прямых действительный, если S и Д раз- пых анаков Эллипс М11имый1 если S и Д одного знака
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 153 Замечание 2. Мы видели (замечание 1 § 2), что если много- член F (х, у) удовлетворяет какому-нибудь из условий 6 = 0, 6 =# 0, 6>0, 6<0, Д = 0, Д=^0, Д>0, Д<0, то тому же условию удовлетворяет и многочлен F' (х', у'), в который пере- шел многочлен F (х, у) при переходе от координатной системы Оху к произвольной аффинной координатной системе О'х'у'. Ана- логичное утверждение верно и для инварианта S (в случае опре- деленной квадратичной формы <р (х, у)). Поэтому только что приведенная таблица, решающая вопрос о том, находимся ли мы в центральном или нецентральном (параболическом) случае, а также в эллиптическом или гиперболическом, вырождающемся или невы- рождающемся случае, сохраняет свою силу при произвольно выбранной аффинной координатной системе. § 4, Параболический случай: 8=0 В любом случае, в том числе и параболическом, можно пово- ротом координатной системы на угол а, определяемый из равен- ства (10) § 2, преобразовать уравнение F (х, у) в= опх2 4- 2а1йху 4- + 2йхх -}- 2а^у + а0 = 0 (1) исследуемой кривой к виду F' (х\ ^,)=^?^1Л, 4*2й1Х' + 2а$у' -J-о.^ = 0. (!') При ЭТОМ 6 = кДа. Так как теперь 6 = 0, то один из корней характеристического уравнения равен нулю. Пусть Aj==0, Ха#=0. Тогда S=X14-Xa = %a и уравнение (Г) может быть написано в виде F' (х', у') = 8у'г + 2а[х' 4-2й^' 4-flo = O. (1*) В уравнении (10) § 2 надо положить Х,=0, так что для опре- деления угла а получается особенно простая формула: tga = — ^=-^. (2) <212 <222 Исследование уравнения [1*) начнем с вычисления инварианта Д. Имёем Д = Оц 012 а1 0 0 а! 0 S а2 До = — af • S, а21 а22 Дд «0 откуда ef = =— Д 3 ’ аЦ =s (3) так что тогда и только тогда обращается в нуль, когда Д = 0.
154 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ V Рассмотрим сначала случай Д = О, т. е. а[ = 0, тогда уравне- ние (1*) имеет вид Sy,, + 2a'iy' + a0 = Q. (4) Перепишем уравнение (4) в виде Sy + О-а^у' -J- а0 — S (у' 4-ао = О, (5) где ,1 #0 = «о —g*, Посредством сдвига х" = х', системы координат преобразуем уравнение (5) к виду 5/‘+а$ = 0. (5') Положим Теперь возможны три случая: 1° 4>о> 4 = О о уравнение (5') записывается в виде y" = ±bi, имеем пару параллельных мнимых сопряженных прямых: 2е $<0, $=— уравнение (5') записывается в виде у" = ±Ь и определяет пару различных действительных параллельных прямых; 3° $ = 0, О уравнение (5') принимает вид и определяет пару слившихся прямых.
$ 4] ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ 155 Переходим ко второму случаю: Д=#0, т. е. Кривая F (х, */) = 0 имеет в системе координат О'х'у' уравнение F'(х', y') = Sy'' + 2а[х' -\-2а'11)' +«0 = 0, (1*) т. е. является параболой (что нам известно ужо из § 1, п. 3). Найдем ее параметр р. Для этого сделаем перепое начала координат х'•=£ + *<>. | <6) У' = П + Уо- ) Внося (6) в (1*), получаем F (х', у'1) = Stj2 + 2«[£ + 2 (Sy0 + «-г) г] + Syl + 2пД0 + 2а^у0 +«о = 0. Так как S = X2+=0, то, приравнивая коэффициент при ц нулю, получаем уравнение из которого определяем у0: После этого приравниваем нулю выражение Syl + 2a'iX0 + 2а&0+аа. Так как a't^=0, получаем уравнение относительно х0: S//J + 2а(х0 + 2о^0+До = 0, (8) откуда и определяем х0. В системе координат уравнение F (х, р) = 0 принимает вид Sr]2 + 2«Jg = 0 или т12 = -2^. (9) Меняя, если нужно, положительное направление оси на противоположное, всегда можно добиться того, чтобы число было положительным. Окончательно записываем уравнение (9) в виде Л2 = 2р1, р > 0, (10) где ___ ₽ = (П) Направление оси параболы есть (с точностью до знака) на? правление оси О'ё, т. е. направление оси Ох’. Ее угловой
156 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА коэффициент (по отношению к старой системе координат Оху) есть tga = —= —-2. Д12 а22 Для полного определения расположения параболы нужно знать еще координаты вершины О' = (хй, у0), а также, в какую сторону парабола обращена вогнутостью. Простое решение этих вопросов будет дано в главе VI, § 9. § 5. Аффинная классификация кривых второго порядка Мы сейчас покажем, что аффинная классификация кривых вто- рого порядка дается самими наименованиями кривых, т. е. что аффинными классами кривых второго порядка являются классы:, действительных эллипсов, мнимых эллипсов, гипербол, пар действительных пересекающихся прямых, пар мнимых (сопряженных) пересекающихся прямых, парабол, пар параллельных действительных прямых, пар параллельных мнимых сопряженных прямых, пар совпадающих действительных прямых. Надо доказать два утверждения: А. Все кривые одного наименования (т. е. все эллипсы, все ги- перболы ит. д.) аффинно эквивалентны между собой. Б. Две кривые различных наименований никогда не являются 1 аффинно эквивалентными. Доказываем утверждение А. При аффинном преобразовании х' = дх> у'-тУ эллипс, заданный уравнением х2 у8 _ , a2 "Г b2 b переходит в окружность х2+#2=1. Аналогично показывается, что всякая гипербола а2 62 аффинно эквивалентна равнобочной гиперболе х2 — у2 = 1. Значит, все эллипсы, соответственна все гиперболы аффинно эк- вивалентны между собой. Все мнимые эллипсы, будучи аффинно
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 157 эквивалентными окружности x2-f-y2 =— 1 радиуса i, также аф- финно эквивалентны между собой. Докажем аффинную эквивалентность всех парабол. Мы дока- жем даже больше, а именно, что все параболы подобны между собой. Достаточно доказать, что парабола, данная в некоторой системе координат своим каноническим уравнением у2 = 2рх, подобна параболе У2 = 2х, что очевидно, если подвергнуть плоскость преобразованию по- добия . 1 1 Переходим к распадающимся кривым. В § I было доказано, что кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых, в некоторой (даже прямо\i олыюй) системе координат имеет урав- нение а2х'2—Ь2у2=О, если она jienciiniie/ibiiaH, а2х2 -|- b2y2 — О, если опа мнимая. Делая дополнительное преобразование координат х = ах', у = Ьу', видим, что всякая кривая, распадающаяся на пару пересекающихся действительных, соответственно мнимых сопряженных, прямых, имеет в некоторой аффинной системе координат уравнение л-2 —у2 = 0, соответственно х2-\-у2 — §. Что касается кривых, распадающихся на пару параллельных пря- мых, то каждая из них может быть задана уравнением у2 -Ь2 -О для действик’льиых, сошвеи rneniio z/2 + ft2 = 0 для мнимых прямых. Преобразование координат х = Ьх', у —у' позволяет в этих уравнениях положить b = 1 (или для совпадаю- щихся прямых (? = 0). Отсюда следует аффинная эквивалентность всех распадающихся кривых второго порядка, имеющих одно и то же наименование. Переходим к доказательству утверждения Б. Заметим прежде всего: при аффинном преобразовании плоско- сти порядок алгебраической кривой остается неизменным. Далее; всякая распадающаяся кривая второго порядка есть пара прямых, а при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую, пара пересекающихся прямых переходит в пару пересекающихся,
158 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ V а пара параллельных — в пару параллельных; кроме того, действи- тельные прямые переходят в действительные, а мнимые —в мнимые. Это вытекает из того, что все коэффициенты в формулах, опреде- ляющих аффинное преобразование, суть действительные числа. Из сказанного следует, что линия, аффинно эквивалентная данной распадающейся кривой второго порядка, есть распадающаяся кривая того же наименования. Переходим к нераспадающимся кривым. Опять-таки при аффин- ном преобразовании действительная кривая не может перейти в мнимую, и обратно. Поэтому класс мнимых эллипсов аффинно инвариантен. Рассмотрим классы действительных нераспадающихся кривых: эллипсов, гипербол, парабол. Среди всех кривых второго порядка всякий эллипс и только эллипс лежит в некотором прямоугольнике, тогда как параболы и гиперболы (равно как и все распадающиеся кривые) простираются в бесконечность. При аффинном преобразовании прямоугольник ABCD, содержащий данный эллипс, перейдет в параллелограмм, содержащий преобразованную кривую, которая, таким образом, не может уходить в бесконечность и, следовательно, является эллипсом. Итак, кривая, аффинно эквивалентная эллипсу, есть непре- менно эллипс. Из доказанного следует, что кривая, аффинно эквивалентная гиперболе или параболе, не может быть эллипсом, а также, как мы знаем, не может быть и распадающейся кривой. Поэтому остается лишь показать, что при аффинном преобразовании плоскости гипербола не может перейти в параболу, и наоборот. Это, пожалуй, проще всего следует из того, что у параболы нет центра симметрии, а у гиперболы он есть. Но так как отсутствие центра симметрии у параболы будет доказано лишь в следующей главе, то мы сейчас дадим второе, тоже очень простое доказатель- ство аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы. Лемма. Если парабола имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, определяемых в плоскости данной прямой d, то она имеет хотя бы одну общую точку и с прямой d. В самом деле, мы видели, что существует такая система коор- динат, в которой данная парабола имеет уравнение t/2 = x. Пусть относительно этой системы координат прямая d имеет урав- нение Лхф-В1/ + С = 0. (1) По предположению на параболе у2 = х имеются две точки = = (хп У1) и Ма = (х2, г/а), из которых одна, положим Мр лежит в положительной, а другая, Ма, — в отрицательной полуплоскости
§ 5J АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 159 относительно уравнения (1). Поэтому, помня, что х1 = у2, х2=У2, можем написать •Л1/1+ В//1+ С > 0, Bi/2 + С < О, так что многочлен Ay2-f-By + C принимает в двух концах yt и у2 отрезка [уь t/2] числовой прямой значения, противоположные по знаку. Но тогда существует значение у = уа, лежащее между /д и у2, при котором многочлен Ау2-\-Ву-\-С принимает значение пуль: Ау^ + ВУо + С = 0. Точка М. (х0, у0), где х0 = у^, лежит на параболе у2=х, и на пря- мой Ах + Ву + С — 0. «Йемма доказана. Пусть при некотором аффинном преобразовании оЛ гипербола /( переходит в кривую /('; докажем, что К' не может быть пара- болой. Для этого обозначим через d вторую (так называемую «мнимую») ось гиперболы К. При преобразовании прямая d перейдет в некоторую прямую d', а полуплоскости, определяемые прямой с/, перейдут в полуплоскости, определяемые прямой d'. Гипербола К не имеет ин одной общей точки с прямой d, но имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, на которые пря- мая d разбивает плоскость; кривая К' обладает теми же свойст- вами относительно прямой d'. Поэтому в силу только что доказан- ной леммы кривая К' не может быть параболой —и утверждение об аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы доказано. Имеете с тем закончена аффинная классификация кривых вто- рого порядка.
ГЛАВА VI ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА § h Асимптотические направления кривых второго порядка Рассмотрим кривую, заданную в произвольной аффинной си- стеме координат Оехе2 уравнением F(x, «/)sq>(x, у)4-2/(х, y) + afl = 0, (1) где, как всегда, ф(х, у) = а11х24-2д12ху + а22у3, 1(х, у^а^х + а^у. V) При переходе к новой системе координат Ое{е2 многочлен F (х, у) тождественно переходит в многочлен F'(x', у'), а квадратичная форма <р (х, у) старших членов многочлена F (х, у) тождественно переходит в квадратичную форму ф'(х', у') старших членов мно- гочлена F' (х', у'). Поэтому квадратичная форма старших членов уравнения (1), задающего данную кривую второго порядка в лю- бой аффинной системе координат, определяет одну и ту же квад- ратичную функцию на множестве свободных векторов плоскости, задаваемую равенством Ф(и) = ф(ос, ₽) для u = {а, Р}. В системе Ое[е2 та же функция Ф(и) запишется в виде Ф(и) = ф'(а', р'), если а*, Р'— координаты вектора и относительно базиса ej, е2. Определение. Вектор u = {а, Р} имеет по отношению к кри- вой (1) асимптотическое направление, если Ф(и) = аиаа + 2а12аР4-а22Ра = 0. (3) Из сказанного следует, что свойство вектора иметь асимпто- тическое направление по отношению к данной кривой зависит только от данного вектора и данной кривой и не зависит от коор- динатной системы, в которой мы их рассматриваем.
§ 1J АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 161 Из условия (3), определяющего асимптотические направления, легко следует, что всякая кривая второго порядка имеет два асимптотических направления, которые могут быть действитель- ными и различными, действительными и совпадающими или мни- мыми сопряженными. В самом деле, все три коэффициента аи, п12, а22 не могут быть одновременно равны нулю. Если то для определения асимптотических направлений {а 10} имеем квадратное уравнение аи ) + 2п12 + а22 = О, (Зх) из которого находим два значения для отношения а: 0: а — Д12 ± У а$а — ОцОм ,, > 0 “ ан ’ ( J Если известно, что п22 =Н= 0, то вместо (Зх) для определения а: 0 мы бы написали уравнение ПИ I 2</12^j =0, (32) откуда 0 _ — Д12 ± Уaia — ап°аа /я \ а а22 ' Пусть один из коэффициентов ап, а22 равен нулю. Если, на- пример, ап=0, то уравнение (3) превращается в 0(2а12а + а220) = О, и одним из двух асимптотических направлений является направ- ление а=И=0, 0 = 0, соответствующее оси абсцисс. Наконец, при йц--яи-0, п|2=/= 0 условие (3) превращается в 2а12а0 = О, оно определяет направления а = 0, 0=#О и а=/=0, 0=0, т. е. направления осей координат выбранной нами коорди- натной системы. Дискриминант квадратного уравнения (3J или (32) есть П12 —апа22 = — б, где, как всегда, g___I аП Й12 I 1 а12 а22 I Итак, асимптотические направления кривой второго порядка действительны и различны, когда б < 0, т. е. когда кривая — ги- перболического типа; они являются мнимыми и сопряженными в эллиптическом случае, т. е. когда 6>0; наконец, кривые пара- болического типа (б = 0) характеризуются тем, что у них имеются 6 П, С, Александров
162 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА' [ГЛ. Vt два совпадающих вещественных асимптотических направления, а именно (как следует из (4J или (42) при 6 = 0): а а12 а12 /Г, р “ аи~ а„ • W Рассмотрим частный случай окружности. Всякая окружность в любой координатной системе задается уравнением вида х2 + У2 + 2ajX + 2^ + аи = 0, и всякое уравнение этого вида определяет окружность. Для на- хождения асимптотических направлений {ос: р} имеем условие а2 + 02 = 0, из которого следует, что все окружности имеют одни и те же мнимые асимптотические направления, а именно направ- ления, записывающиеся в любой прямоугольной системе коорди- нат в виде а: Р = ± i. (6) Эти направления называются изотропными направлениями на пло- скости. Асимптотические направления эллипса, заданного в канони- ческой для него системе координат уравнением X2 . I/2 . а2 ‘ i2 11 суть а: р = ± у z, как сразу видно из определяющего эти на- аа В2 правления условия + ^ = 0. Так как ни одно действительное направление не является для эллипса асимптотическим, то всякая вещественная прямая пересекает эллипс в двух действительных или мнимых различных или совпадающих точках. При этом ко вся- кой вещественной прямой можно найти параллельную ей прямую, пересекающую эллипс в двух различных вещественных точках. Для этого достаточно взять прямую, параллельную данной и про- ходящую через центр эллипса (т. е. через начало канонической для данного эллипса системы координат). Для гиперболы х2 _ (р a2 ft2 получаем асимптотические направления Р : а = ± b : а. Это направления диагоналей основного прямоугольника гиперболы, т. е. прямых
I IJ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ *63 уже названных нами в Главе П асимптотами гиперболы; они и действительно являются асимптотами в общем смысле: каждое из , ь уравнении у = ± —, т. е. X , у п X и п ,п. ---и 4 = о и--------т- = о, (8) а ‘ b а b ' ' несовместно с уравнением (7), что делается очевидным, если урав- нение (7) переписать в виде (х_ х- _ JL\ — 1 \а + 6 Д а Ь) '* Докажем, что никаких других асимптот, кроме прямых (8), у гиперболы (7) нет. В самом деле, всякая асимптота должна иметь асимптотиче- ское направление, т. е. направляющий вектор {а, ±6}. Прямая с направляющим вектором {а, Ь} имеет параметрическое уравнение х -x^-at, 1 } (9) У-УО + Ы. / Найдем общие точки гиперболы (7) и прямой (9). Подставляя зна- чения х, у из (9) в (7), получаем для определения точек пересе- чения гиперболы с прямой (9) уравнение (относительно t) а2 Ьг' \а b / Это уравнение имеет единственное решение, за исключением слу- чая, когда £-? = 0; (10) в этом случае опо превращается в противоречивое тождество 0=1 и прямая (9) действительно оказывается асимптотой. Покажем, ь п что ее уравнение есть у = — х. В самом деле, система параметри- ческих уравнений (9) эквивалентна одному уравнению а(у-у0) = Ь(х-х0), (И) а тождество (10) может быть переписано в виде bxQ — ay0, так что уравнение (11) получает вид . ft ay — bx, т. е. у = — х. Итак, единственная асимптота гиперболы (7), имеющая направ- ляющий вектор {а, Ь}, есть давно известная нам асимптота f =—х. * а 6*
164 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА' [ГЛ. VI Совершенно так же доказывается, что единственная асимптота гиперболы (7), имеющая направляющий вектор {а, —&}, есть b асимптота у =----х. а а Других асимптот у гиперболы нет. Для параболы t/2 —2рх = 0 (12) квадратичная форма ф (х, у) сводится к одному члену у2; асимп- тотические направления 0 : а определяются из условия 02 = О; это дйа слившихся направления, каждое из которых совпадает с направлением 0 = 0, т. е. с направлением оси параболы. Каждая прямая у = с этого направления имеет с параболой 7^2 \ единственную общую точку = , с ; таким образом, ни одна из \*р / прямых асимптотического направления не является асимптотой параболы — у параболы асимптот нет. Рассмотрим, наконец, случай, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Если эти прямые пересекающиеся, то их можно принять за оси координат некоторой аффинной си- стемы Оху и уравнением пары этих прямых будет F (х, у)==ху = 0. Здесь F (х, у)- ф(х, у) и асимшотпческпе направления опреде- ляются из уравнения сф = 0. Это направления а = 0 и 0 = 0 наших прямых. Такой же результат мы получим и для кривой, распадающейся на пару параллельных (в широком смысле) прямых. Взяв систему координат, ось абсцисс которой является средней прямой между обеими данными, а ось ординат произвольна, видим, что полу- чаем каноническое уравнение, — в надлежащей системе координат эта кривая имеет уравнение у2±Ь2 = 0. Здесь (как и в случае параболы) ф(х, у)==у2, и мы получаем пару слившихся асимптотических направлений 02 = 0, каждое из которых совпадает с общим направлением двух данных парал- лельных прямых.
$ 2] КАСАТЕЛЬНЫЕ 165 § 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотического направления. Касательные Берем снова кривую второго порядка, заданную (в произволь- ной аффинной системе координат) уравнением F (х, у)==ср(х, у) + 21(х, г/) + ао = О, (1) где <р (х, у) = апх2 + 2а12ху + а22у2, I (х, у) = а1х + а2у. Введем следующие обозначения: Fk(x, y) = aklx + ak2y + ak, fe=l, 2. Решая уравнение (1) совместно с уравнением данной прямой x = xQ + at, | У = Уо + №, J 1 ' получим 0(/) = Л/Ч-2ДИ С- 0, (3) где, как показывает легкий подсчет, Л=ф(а, р), B=F1(^o. Уо)а + Дг(*о> Уа) 0. C = F(xa, yQ). (4) Мы теперь предполагаем, что Л=ф(а, Р) ф О, так что уравнение (3) имеет два корня /2. Пусть tr = t2, тогда прямая (2) пересекает кривую (1) в двух совпадающих точках и называется касательной к этой кривой: обе точки пересечения слились в одну точку касания. Для нахождения уравнения каса- тельной удобно взять за точку М0 — (х0, уа) прямой (2) как раз ту точку, которая принадлежит и кривой (1), и прямой (2). Toi да %) = 0 и уравнение (3) принимает вид t(At + 2B) = 0; (3') оно имеет корень t = 0. Если в точке М0 = (х0, у0) сливаются обе точки пересечения кривой (1) и прямой (2), то оба корня урав- нения (3) совпадают и равны нулю. А это может случиться лишь при Д = Л(^о. Уо)а + Д2(^о- Уо)0=О, откуда п . о _ Рг (*о. Уо) 1 Р “ F1 (Хо. Уо)
166 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ.ХП Следовательно, уравнение (2) касательной, переписанное в виде х—хв _ у—уа а р 1 получает вид х—хд _ у — уд Рг (х0, Уо) Fi (х0, у0) или Л(*о> Уо)(х-хо) + Р2(хо, уо)(у-уо)=О. (5) Подставляя в (5) значения Fi(xa. у0), F2(xa, у0), раскрывая скобки и принимая во внимание, что F(x0, yQ) = Q, переписываем уравнение (5) в виде (ппх0 + <Я12</о + ai) х + (a2ixo + а22г/0 + а2) у+axxQ + а2у0 + а0 = 0. (6) Замечание. Для нераспадающихся кривых второго порядка (для которых F1 (х0, ув) и F2 (х0, ув) не могут одновременно обра- титься в нуль) уравнение касательной в виде (5) совпадает с урав- нением, даваемым в курсах анализа: ведь с / \ 1 6F с » 1 dF F\ (х, У) = ~к-^г , F« (х, = 1' ’ 2 дх • я/ 2 ду Из уравнения (5) видим, что угловой коэффициент касательной есть £ = А = Уч) « Fi (*о, Уо)' В случае эллипса уравнение (6) касательной в точке Л40 = (х0, у0) получает вид Хрх .УоУ _ I аа "Г bi что и является самой удобной формой уравнения касательной к эллипсу в его точке Мо — (х0, у0). Аналогично в случае гиперболы из (6) получаем ХрХ УоУ а* Ь* Для параболы у*-2рх = 0
f 31 ХАРАКТЕРИСТИКА АСИМПТОТИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИИ 167 уравнение (6) касательной в точке Ма= (х0, Уа) имеет вид -рх + уоу-рХо^О, или, после очевидных преобразований, УоУ = Р(х+хо). § 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений Пусть дана кривая F(x, y)=a11x2-j-2alixy + aMyt + 2a1x-i-2aiy+a0~Q (1) и прямая ’*+* 1 I 1 ' имеющая асимптотическое направление по отношению к кривой (1). Это значит, ню Л = <р(а, Р) = ааа24-2а1га₽ +ам0г = О. Уравнение (3) предыдущего параграфа, определяющее точки пе- ресечения прямой (2) с кривой (1), превращается в 2В/4-С = 0. (3) Возможны следующие случаи. Случай!. Вт^О; тогда уравнение (3) определяет одну-един- ственную точку пересечения прямой (2) с кривой (1). Случай II. В —0, Су=О; прямая (2), не имея с кривой (1) ни одной точки пересечения, является асимптотой этой кривой. Случай III. Д = С = О; уравнение (3) есть тождество 0 = 0, каждая точка прямой (2) лежит на кривой (1). Эта кривая рас- падается на пару прямых, одной из которых является прямая (2). Итак, прямая, имеющая по отношению к данной кривой вто- рого порядка асимптотическое направление, либо целиком состоит из точек, лежащих на данной кривой, либо содержит не более одной такой точки. Если же прямая имеет неасимптотическое направление, то она пересекает кривую в двух вещественных (или мнимых сопряженных) точках, которые, однако, могут сливаться в одну точку —точку касания. Но пара слившихся точек геометрически ничем не отличается от одной точки, поэтому пока мы еще не умеем охарактеризовать асимптотические (соответственно неасимптотические) направления геометрически, не прибегая к уравнению кривой. Такая характе- ристика дается следующим предложением:
168 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VI Теорема 1. Пусть F (х, у) = 0 — кривая второго порядка, не являющаяся парой слившихся прямых, и {а:0| есть направление, неасимптотическое по отношению к кривой (1). Тогда существует прямая направления {а: 0}, пересекающая кривую в двух различных точках Р и Q. При этом, если кривая содержит более одной действительной точки (т. е. не является мнимым эллипсом или парой мнимых сопряженных прямых) и направление {а: 0} дейст- вительно, то действительны и точки Р, Q. Доказательство. Через каждую точку х0, уй кривой (1) проведем прямую х = х04-а/, у=*уй + № (2) неасимптотического направления {а:0}. Требуется доказать, что среди прямых (2), проведенных через всевозможные точки (х0, у0) кривой (1), имеется по крайней мере одна прямая, не являющаяся касательной к кривой (1) в точке (х0, У о)- Но если прямая (2) есть касательная к кривой в точке (х0, Уо)> то, как мы знаем из предыдущего параграфа, должно быть B = Fi(x0, Уо)а + ^2(^о, f/o) ₽ = = (ппа + а210) х0 + (а12а + а220) у0 + aLot + а20 = 0. Если это верно для каждой точки (ха, у0), лежащей на кривой (1), то все эти точки должны удовлетворять соотношению (апа + с120) х0 + (а21а+а220) у0 + (а^ + п20) =0. (40) В этом равенстве коэффициенты апа4-а120 и а21а-|-а220 при х0 и у0 не могут быть одновременно равны пулю; в самом деле, умно- жая обе части равенств апа + а120 = 0, о21а + а220 = 0, соответственно на а и 0 и складывая их, мы получили бы апа2 + 2а12а0 + а2202 = 0, что означает, что направление {а: 0}, вопреки нашим предполо- жениям, является асимптотическим. Итак, равенство (40) есть уравнение первой степени относительно х0 и уа, которому удов- летворяют все точки (х0, у0) кривой (1); другими словами, все точки этой кривой должны лежать на прямой (апа + а120) х + (а21а + а220) у + + а20) = 0. (4) Но среди кривых второго порядка лишь кривая, являющаяся парой слившихся прямых, обладает тем свойством, что все лежа- щие на ней точки принадлежат одной прямой; поэтому кривая
I 4] ЦЕНТР КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 169 (1), обладающая этим свойством, есть пара слившихся прямых, каждая из которых задана уравнением (4) —случай, который мы исключили. Итак, существует точка М0 = (х0, у0) кривой (1), обладающая тем свойством, что проходящая через нее прямая d пеасимптоти- ческого направления {а:Р} не является касательной; значит, эта прямая пересекает кривую (1) в двух различных точках Мн и ML. Если кривая содержит более одной и, следовательно, беско- нечное множество действительных точек и {а: Р} —действительное неасимптотическое направление, то, повторяя наше рассуждение лишь для действительных точек кривой (1), видим, что найдется прямая, имеющая направление {а: Р} и проходящая через дейст- вительную точку Мо кривой и пересекающая ее в двух различ- ных точках. Но если точка М0 = (х0, у0) действительна, то дейст- вительной должна быть и вторая точка пересечения Мг. Теорема доказана. § 4. Цешр кривой в юрою порядка Пусть в произвольной аффинной системе координат дана кривая F (х, У) = аих2 + 2а12ху+а22уа + 2.ахх + 2а2у + а0 = О (1) и прямая х = х0 + а/, | У = У<, + № J 1 ' неасимптотического направления; обозначим через ЛТ1 = (х1, yt) и Л42 = (х2, у2) точки пересечения кривой (1) с прямой (2). Решим следующую задачу: когда хорда, имеющая направле- ние {а: Р}, делится в точке М0 = (х0, у0) пополам? Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было „ _ Х1+х2 _ У1+У2 — —2— » " о ~~ —2— * V3) Но Х^Хо + ^1, У1 = Уо + ^1. x2 — x0-j-at2> 1/2 = Уо + Р4- 11одставляя эти значения в (3), получаем амл=0, рА+Д.=0. I ак как аир (как координаты направляющего вектора прямой (2)) не могут быть равны нулю одновременно, то условие (3) равносильно условию 4 + 4 = 0. (4)
170 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА) , (ГЛ. Щ Но tt и t2 суть корни квадратного уравнения Af2 + 2Bt + C = 0; _2Д значит, /14* = —д—, и условие (4) означает В = 0 или Л(*о. Ув)а + ^2(*<и Уо)й = О- (5) Это и есть условие для того, чтобы точка Л40 = (аг0, уй) была серединой отрезка М1М2, т. е. хорды, высекаемой кривой (1) из прямой (2). Определение центра. Напомним прежде всего, что точкой, симметричной точке М = (х, у) относительно точки С = (х0, уй), называется точка М'=(х', у'), обладающая тем свойством, что точка С есть середина отрезка ММ’. Координаты х', у' точки М' Х-\ х' Ч+У' -г однозначно определяются из условии —, уа = —Точка С называется центром симметрии (или просто центром) данной линии, если, какова бы ни была точка М, лежащая на этой линии, точка М', симметричная точке М относительно точки С, также лежит на данной линии (рис. 81). Эти определения сохра- няют силу и для комплексной плоскости. Докажем следующее предложение: Теорема 2. Для того чтобы точка Мо = (х0, у0) была цент- ром кривой (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты х0, у0 этой точки удовлетворяли следующим уравнениям (называемым «уравнениями центра»): Л (*> У) = atlx + а12у 4- й1 = 0, I > (QI F2(x, z/)sa21x + a22i/4-a2 = 0. J Доказательство. А. Условие необходимо. Пусть Л40 = (х0, Уа) есть центр кривой (1), и пусть хотя бы одно из двух чисел F1(x0, у0), F2(xe, у0) отлично от нуля. Приведем это
«fl ЦЕНТР КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 171 предположение к противоречию. Рассмотрим равенство (5) как урав- нение относительно аир. Переписывая его как пропорцию Р:а = —Л(хо, у0):Л^о. У9), видим, что оно удовлетворяется векторами лишь одного направ- ления, а именно направления Р0:а0 = — Fi(x0, y0):F2(x0, уй). Между тем для любого неасимптотического направления (а тако- выми являются все направления, кроме двух) условие (5) должно быть выполнено (так как прямая (2) этого направления пересе- кает кривую (1) в двух точках и М2 и точка Мо есть сере- дина отрезка MtM2). Противоречие получено, необходимость нашего условия доказана. Б. Условие достаточно. Пусть точка Л4в = (х0, у0} удов- летворяет условию (6). Перенесем начало координат в точку Л4а = (х0, у(|)> т. е. выполним преобразование координат х х„ | х’, У- Уа-\~У'- Оно переводит уравнение F (х, у) = 0 в уравнение F'(x', y') = Q, где / (х, y) = F’(x’, у')=ап(х0 + х'У + 2а12(х0 + х')(у{> + у') + + а.22 (у0 + у' )а + 2аг (ха+х') + 2а, (у0 + у') + а0 == 4- 2а12х'у' + а,,!/'8 + 2 (аих0 + а12у0 + aj х' + + 2 (й~цХ0 + а„ув + а,) у' 4- яа = О 11 a'0 = F(x0, yj. По ввиду равенств (6) последнее уравнение имеет вид F' (х', у') a, tx‘1 -|- 2акл'у' -|- а22у'2 + а'о = 0. В этом уравнении отсутствуют члены первой степени, откуда сле- дует, что новое начало, т. е. точка Мо~ (ха, у^, есть центр сим- метрии нашей кривой. Теорема доказана. Из доказанного вытекает, что в центральном случае, т. е. когда 6 = 1а“ I а21 o2i I кривая (1) имеет единственный центр симметрии = у0), координаты которого и находятся из уравнений (6). Если центральная кривая задана своим уравнением в канони- ческой системе координат, то начало координат и есть, как мы iciiepb знаем, единственный центр кривой.
172 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА' [ГЛ VI Заметим вообще, что уравнения (6) имеют силу для любой аффинной системы координат. Поэтому для определения центра какой-либо кривой мы можем ограничиться рассмотрением ее уравнения в канонической для нее координатной системе. Единственным центром пары пересекающихся прямых является их точка пересечения: это сразу следует из канонического урав- нения а2х2 ± Ь2у2 = 0. (7) В параболическом случае мы имеем или параболу, ее канони- ческое уравнение есть у2 — 2рх = 0, (8) или пару параллельных (в широком смысле) прямых xazEa2 —0. (9) Для параболы, заданной уравнением (8), уравнения центра при- обретают вид О-х + О-у —р = 0, ) > ПО) О-хЧ-1-£/4-0 = 0. / 1 1 Уже первое из этих уравнений противоречиво (так как р=/=0), поэтому система (10) несовместна — у параболы центра нет. Для пары параллельных прямых, заданных уравнением (9), уравнения (6) имеют вид 1-х-(-0-£/+0 = 0, 1 0 х-(-0 • у-|-0 =0. J 1 ’ Они определяют прямую х -0, все точки которой и являются центрами симметрии пары прямых (9), что очевидно и геометри- чески: пара параллельных прямых имеет прямую центров (это — средняя прямая между двумя данными). § 5. Диаметры кривой второго порядка Рассмотрим все прямые, имеющие одно и то же неасимптоти- ческое направление {а : р}; на каждой из этих прямых возьмем в качестве точки А40 = (х0, у0) середину хорды, высекаемой из этой прямой кривой F (х, у) =; апх2 + 2а12ху + а22у2 + 2арс + 2а2у + а0 = 0. (1) Эти точки М0 = (х0, у,,) (координаты х0, у0 теперь уже перемен- нее!) удовлетворяют уравнению (§ 4, (5)) Pi(x, y)a + F2(x, у) 0 = 0, (2) т. е. (aux 4- а12у + at) a 4- (a21x -f- а2гу 4 a2) p = 0,
§51 ДИАМЕТРЫ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 173 которое, группируя по-новому его члены, переписываем в виде (аиа + а^Р) х + (а21а + а22Р) у + (ага + а2Р) = 0. (2') Это уравнение есть уравнение некоторой прямой d, на которой и лежат середины всех хорд данного неасимптотнческого направ- ления (рис. 82). Прямая d называется диаметром кривой (1), сопряженным направлению {а : р}. Центр (или центры, если их много) кривой (1), очевидно, удо- влетворяет уравнению (2), каково бы ни было направление {сс: Р|, и поэтому лежит на любом диаметре кривой (1). Только что данное определение диаметра имеет силу для лю- бой кривой второго порядка (как центральной, так и параболи- ческой). При этом направляющим вектором диаметра, сопряжен- ного направлению {а: р}, является вектор {а', Р'}, где а' = = - (а?1а + а22Р), Р' = апа + а12р. Пусть теперь (1)— центральная кривая. Возьмем какую-нибудь прямую d неасимптотического направления, проходящую через единственный центр Л40=(х0, кривой (I)4, уравнение прямой d записывается в виде Л(х —х0)+ /?(# —уо) = О, (3) где (х0, у0) удовлетворяют уравнениям центра, т. е. уравнениям (6) предыдущего параграфа. Мы ищем направление {а: Р}, для которого прямая d была бы сопряженным диаметром, и решаем для этого уравнения аиа + а12р = Л, aiUa + aa2p = fi.
17< ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ VI Уравнения эти решаются однозначно (так как по предположению 8#=0) и позволяют переписать (3) в виде (апа + ап0) (х - х0) + (а21а 4- а220) (у - уа) = 0, (4) что представляет лишь другую запись уравнения (2'). В самом деле, переписываем (4) в виде (апа 4- а120) х + (а^а 4- а^) у = = (ац« 4- а^Р) х0 4- (<22i« 4- а22₽) Уа- (4') Но ввиду уравнений центра, которым удовлетворяют числа х0,у0, правая часть равенства (4') есть — ага — а£, т, е. (4') принимает вид (2'). Итак, всякая прямая d нсасимптотического направления, про- ходящая через (единственный) центр центральной кривой второго порядка, есть диаметр, сопряженный некоторому вполне опреде- ленному направлению {ct: 0}. Посмотрим, что дает уравнение (2') в случае, когда направле- ние {а: 0} асимптотическое. Тогда уравнение (2'), тождественное уравнению (2), есть уравнение асимптоты. Таким образом, естест- венно считать асимптоту диаметром, сопряженным своему собст- венному направлению (хотя при этом первоначальный, наглядно геометрический смысл диаметра, сопряженного данному направле- нию, утрачивается, так как хорд асимптотического направления не существует). Теперь диаметры центральной кривой второго порядка могут, быть определены просто как прямые, проходящие через центр дан- ной кривой. Замечание. Из сказанного выше следует, что если направ- ление данного диаметра неасимптотическое, то и направление, ему сопряженное, также неасимптотическое. § 6. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные 1. Взаимно сопряженные векторы. Особое направление. Диа- метр, сопряженный направлению {а : 0}, имеет направляющий век- тор {а', 0'}, тде а'= — (а21а4-а220), 1 0Л = Яц« 4~aiaP- J Векторы {а, 0} и {а', 0'} связаны соотношением аиаа' 4- а12 (а0' 4- а'0) 4- а,200' = 0, (2) получающимся, если почленно сложить уравнения (1), предвари- тельно умножив обе части первого из них на —0', а второго —
§ 6} ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 175 на а'. Но левая часть равенства (2) есть не что иное, как сим- метричная билинейная форма ф(а, 0; а', 0'), полярная к квадра- тичной форме Ф (а, 0) ==апа! + 2а12а0 4- п220’. Поэтому естественно ввести следующее Определение. Ненулевые векторы и = {а, 0} и и' — {а', 0'} (п также определяемые ими направления {а: 0} и |а': 0'} называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы <р (х, у) — — а11ха4-2а1аху4-а22£/2, если они удовлетворяют уравнению ф (и, и') = ф(«, 0; а', 0')^а11аа' + а1.2(а0' + 0а')-|-а2200' = О. Заметим прежде всего: при переходе ат координатной системы Оху к произвольной новой координатной системе Оху билинейная форма ф(а, 0; а', 0') переходит в билинейную форму ф(Я, 0; а', 0'), выражающую ту же билинейную функцию ф(и, и'), полярную к квадратичной функции Ф (и), записывающейся в коор- динатной системе Оху в виде квадратичной формы <р(а, 0) и в коор- динатной системе Оху в виде <р(а, 0). Полому билинейная функ- ция ф(и, и'), обращение в пуль которой xapaiciepiuyer сопряжен- ность векторов и и и', в любой координатной системе записывается в виде билинейной формы, полярной к квадратичной форме стар- ших членов уравнения F(x, у) = 0, определяющего в этой системе координат данную кривую второго порядка. Свойство двух векто- ров быть или не быть сопряженными относительно формы ф (х, у) не зависит от выбора той или иной системы координат, а зави- t ит только от квадратичной функции Ф (и), определенной (в какой- нибудь системе координат) формой ф(х, у). Мы будем также говорить, что векторы и и и' (и их направ- ления) сопряжены относительно данной кривой второго порядка, если они сопряжены относительно квадратичной формы старших членов уравнения этой кривой (в какой-нибудь, все равно в какой именно, системе координач), Эго позволяет нам в дальнейшем писать условие сопряженности, пользуясь какой-нибудь опреде- ленной, например канонической для дайной кривой, системой координат. Зная одно из двух сопряженных направлений, например направление {а: 0}, другое определяем без труда; для этого пере- писываем равенство (2) в виде а' (аиа4-а1а0) = — 0' (а21а + а220), (2') чю означает пропорцию 0': а' = — (аиа + ап0): (а21а + а220), (2") определяющую направление вектора {а', 0'}. Точно так же выра- жается {а, 0} через {а', 0'}: ,0; а = — (аиа' 4-fln0'): (аиа' + ам0').
176 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА'' (ГЛ УГ Посмотрим, когда два сопряженных между собой направления совпадают. Очевидно, тогда и только тогда, когда - (Опа + а120): (а21а + а22Р) = 0 : а, т. е. когда апа2 + 2а12а0 + а220а = 0. Другими словами, направление тогда и только тогда совпадает со своим сопряженным, когда оно является асимптотическим. Поэтому асимптотические направления называются иначе самосо- пряженными. Посмотрим, не может ли случиться, что направление {а: 0}, сопряженное направлению {а': 0'}, перестанет быть определенным. В этом случае направление |а':0'} назовем особым. Очевидно, направление {а':0'| будет особым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет системе уравнений Яц00' + ai20z =0» | ,3. ^220' = 0. j Но вектор {а', 0'} не есть нулевой вектор, поэтому равенства (3) могут иметь место, лишь если 6 = НП 0 I 021 022 I т. е. если кривая F (х, у) = 0 параболическая. Но это еще не все: умножая обе части первого из уравнений (3) на а', а второго —па 0' и складывая, получаем ппа'аЧ-2П|2а'0' Ч-п2.2Р'® = 0, т. е. направление {а':0'} есть асимптотическое направление. Итак, только для параболитической кривой и для (единствен- ного) ее асимптотического направления сопряженное направление перестает быть определенным. С другой стороны, единственное асимптотическое направление а й] 2 0,22 Р' С1ц Й21 параболической кривой F (х, у) = 0 удовлетворяет условиям апа' +п120' =0, а21а' 4-а220'= 0, т. е. условию <jp (а, 0; а', 0') ==(апа' + а120') а-На21а'4-а220') 0 = 0 для любого направления {а: 0}.
§61 ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 177 Итак, в случае параболической линии ее асимптотическое направ- ление сопряжено всякому направлению, т. е. является особым. Вернемся теперь —в случае любой кривой второго порядка F (х, р) = 0 —к уравнению (2') § 5: (апа + а120) х + (а21а + а220) у + (а^ + а20) = О, т. е. к уравнению диаметра, сопряженного направлению {а: 0}. Какова бы ни была кривая второго порядка Fix, у) = 0, ее диаметр, сопряженный направлению {а: 0}, имеет направление {а': 0'}, сопряженное направлению {а: 0}. Если кривая F(х, у)=0 центральная, то диаметр, сопряженный направлению {а': 0'}, будет иметь направление {а: 0}. Два диаметра центральной кривой называются взаимно сопря- женными между собой, если сопряжены их направления. Каждый из двух сопряженных между собой диаметров делит пополам хорды, параллельные другому. Переходим к параболическому случаю. Если данная кривая F(x, */) = 0 распадается на пару параллельных прямых, то у нее — один-единстненпый диаметр («средняя» прямая по отношению к двум данным); этот диаметр является геометрическим местом середин хорд любого направления, он является прямой центров нашей кривой (1), его направление —особое, оно сопряжено любому направлению. * У параболы середины всех хорд данного направления {а: 0} лежат, как мы видели, на вполне определенной прямой, и прямая эта имеет асимптотическое направление 0': а' = — аи•. а12 = = —а12:а22, она является диаметром параболы (сопряженным данному направлению). Докажем, что в случае параболы всякая прямая асимптотиче- ского направления есть диаметр, сопряженный некоторому вполне определенному направлению. При доказательстве мы вправе выбрать любую систему коор- динат; возьмем такую, в которой уравнение параболы имеет вид z/2-2px = 0. (4) Прямые асимптотического направления суть просто прямые, парал- лельные оси абсцисс. Пусть У = т (5) — такая произвольная прямая. Уравнение (2') § 5, т. е. уравнение диаметра, сопряженного направлению 0 : а, имеет в нашем случае вид 0// —ра = 0. (6) Для того чтобы оно определяло ту же прямую, что и уравнение (5), необходимо и достаточно, чтобы было^=т, Этим условием отно-
178 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА }ГЛ. VI шение 0 : а = р : т определено однозначно, и наше утверждение доказано. Таким образом, диаметры параболы могут быть определены как прямые асимптотического направления. § 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления Пусть дана кривая второго порядка своим общим уравнением F(x, y) = allx2 + 2aJ2xy + aMy2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0. (1) Посмотрим сначала, каковы диаметры, сопряженные направлениям осей координат. Уравнение диаметра, сопряженного направлению {а: 0}, есть («! + о120) х + (а2|а + а220) у ф- (+а - F «2Р) = 0. (2) Если а = 1, 0 = 0 (т. е. вектор {а, 0} есть направляющий век- тор оси абсцисс), то уравнение (2) превращается в + ++ + «1 = 0. (2') Если же а — 0, 0 = 1, то уравнение сопряженного диаметра есть н.21х + «22у+«2 = 0. (2") Итак, диаметр, сопряженный направлению оси абсцисс, имеет уравнение (2'), а диаметр, сопряженный направлению оси орди- нат, имеет уравнение (2"). Предположим теперь, чю ось ординат имеет произвольное, неасимптотическое для данной кривой направление, а ось абсцисс является диаметром, сопряженным направлению осн ординат. Тогда уравнение (2") есть уравнение оси абсцисс, т. е. выражает ту же прямую, что и уравнение f/ = 0. Следовательно, коэффициенты «21 > «22 > «2 уравнения (2") должны быть пропорциональны коэффициентам О, 1, О уравнения оси Ох, а это значит, что «21=0> «22 «2 = 0. Следовательно, в нашей системе координат кривая (1) имеет урав- нение a1iXi + aa2'/2 + 2aiX + ao = O. (3)
4 Л ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ 179 Рассмотрим отдельно два случая: Г Кривая (1) —центральная. 2° Кривая (1)— параболическая (парабола или пара парал- лельных прямых). В первом случае из того, что ось абсцисс представляет собой диаметр, сопряженный направлению оси ординат, следует, что и ось ординат имеет направление, сопряженное оси абсцисс. Если при этом начало координат лежит в центре кривой, то обе оси координат являются сопряженными между собой диаметрами. Но тогда ось ординат, будучи диаметром, сопряженным оси абсцисс, имеет уразнение (2'), которое должно быть равносильно уравнению х = 0. Значит, коэффициенты Яц> ^12> ^1 уравнения (2') должны быть пропорциональны коэффициентам 1, О, О уравнения осн Оу, т. е. апУ=0, а12 = 0, ах = 0; следовательно, уравнение (3) имеет вид аих24-а2#-|-ао = 0. (4) Итак, если оси координат образуют пару сопряженных диамет- ров данной (произвольной) центральной кривой второго порядка, Рис. 83, то уравнение этой кривой в этой системе координат имеет вид (4) (рис. 83). Случай распадающейся центральной кривой характеризуется тем, что в уравнении (4) имеем ae = 0 (центр, т, е, начало коор- динат, есть точка кривой) (рис. 84).
180 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ VI Пусть теперь кривая (1) (уравнение которой уже приведено к виду (3)) есть кривая параболическая. Тогда апа22 = а^; но в уравнении (3) коэффициент а12 = 0, значит, апа22 = 0, атак как а22#= 0, то ап = 0. Итак, если в случае параболической кривой ось ординат направ- лена по произвольному, неасимптотическому направлению, а ось абсцисс есть диаметр, сопряженный этому ••оправлению (и, сле- довательно, имеющий асимптотическое направление), то уравне- ние кривой в этой системе координат имеет вид а3# + 2а1х + ао = 0. (5) Если паша кривая распадается на пару параллельных пря- мых (рис. 85), то Д=--0, т. е. 0 0 0 агг 0 — ~ ^1^22 — 0 0 «о Так как я22'=И=0, то непременно ^=0, и уравнение (5) необхо- димо имеет вид аг2у2 + аа = 0, у = ±У - (6) Если же наша кривая есть нераспадающаяся параболическая кривая, то непременно ^#=0. Сделаем теперь перенос начала в точку пересечения О' кри- вой с осью х, т. е. преобразование координат х = х'+х0, У~У'> где х0 определено требованием, чтобы точка О' — (х0, 0) удовлет- воряла уравнению (5), т. е. чтобы было а22 • 0 + 2fljX0 + а0 = 0.
§ 8J ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 1В1 В преобразованной системе координат уравнение (5) приобретает вид а22у'а + 2ajx' + (2^X0 + а0) = О, т. е. вид а22у'1 2-\-2а1Х'= 0. (7) Найдем точки пересечения оси ординат О'у' с параболой. Для этого положим в уравнении (7) х'=0; получим а22у'а = 0, т. е. ось ординат О'у' пересекается с параболой в двух сливающихся точках (совпадающих с точкой О'), и, следовательно, является касательной к параболе (рис. 86). Если при этом ось абсцисс перпендикулярна к оси ординат, то, деля пополам перпендику- лярные к ней хорды, опа окажется осью параболы (рис. 87). § 8. Теорема единственности для кривых второго порядка, О полноте системы ортогональных инвариантов 1. Теорема единственности. Теорема 3. Если два уравнения'второй степени F (х, у) = аих2 + 2а12ху + а22у2 -f- 2а±х + 2а2у + а0 = 0, (1) и F (х, y) = bilx2 + 2b12xy + b22y2-]-2b1x + 2b2y + bQ = 0 (t) удовлетворяются одним и тем же множеством точек С комплекс- ной плоскости, то одно из этих уравнений получается из другого’ почленным умножением на некоторый числовой множитель.
182 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. Vf Следствие. Если известно лишь, что множество действи- тельных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям (1) и (Г)» одно и то же и состоит более чем из одной точки, то утвержде- ние теоремы 3 остается в силе. Вспомним, что неасимптотические направления {сх: [3} по отно- шению к кривой (1) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {а:0}, имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимпто- тическое для одной из двух кривых (1) и (1), будет неасимптоти- ческим и для другой кривой. Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направ- ление {а:0} для кривых (1) и (1). Одну из прямых d направления {ос: [3} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {ос: Р}, — за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параг- рафа следует, что уравнения (1), (1) получат в системе координат О’х’у' вид F'(x’, у') = а^,!1 + а'цх'2 + 2а[х' 4-aJ = 0, (2) F’(x', у’) = Ь'^у'2 + 6цх'2 + 2b'ix' + Ь; = 0. (2) Здесь а^у=0 (и Ьад=#0), в противном случае единичный вектор {О, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению <р'(х', y')^a'ux’2 + a'ity'2 = 0, имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Рис. 88. Рис. 89. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через С°. Возможны следующие случаи: Г Множество С° пусто (рис. 88). Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из
1 81 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 183 равенств f(x') = aiix'2-i-2a'ix' +а^ = 0, f (х') = bnx'24-2bi'x' 4-bo = O противоречиво, т. е. когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а0, соответственно о0. 2° Множество С° совпадает со всей прямой у' — 0 (рис. 89). Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f (х'), f(x') тождественно равен нулю. 3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С° состоит из одной точки (рис. 90), или из пары (быть может, совпадающих между собой) точек (рис. 91), являющихся нарой кор- ней как уравнения а'цх'2+ 2а1х' +aJ = O, (3) так и уравнения Ь\\х' 4*2b[xt-J-b'o = 0. (3) Рассмотрим ближе этот случай, имеют одни и те же корни, то при bi tx'1 + 2b(x' + bo ss p (г Так как уравнения (3) и (3) некотором р=#0 имеем 1 >х' 4" 2aix' До) и, значит, полагая Х = —имеем F' (х', у') ss а’ну'14- (а\,х'2 4- 2«(х' + ?(х', у') = Ka'2ty'2 + 11(а'цх'2 + 2а[х' +а’о). Докажем, что Х = р. Для этого дадим переменному х' значе- ние x'=x'i, являющееся корнем уравнения а{\х'2 4- 2а|х' 4~ «»= 1, и найдем значения у', удовлетворяющие уравнению F' (х1, у')=а'^у'2 + 1 =0, т. е.
184 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ, VI Значит, точка (х{, у\) принадлежит множеству С\ следовательно, A' (xi, t/i) = Xa^2 + p-1 -U)4-p, = 0, т. е. X — р, и F' (х', — (х', у'), значит, и F(x, y) = KF(x, у). Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем F'(x', у')=«мг/'2, <4#=0, F'(x', у') = Ьму'2, Ь'^0. Полагая К — получим F' (х', y') = KF' (х', у') — утверждение а23 теоремы верно и в этом случае. Наконец, в случае Г уравнения (2) и (2) принимают вид F'{x', 1/')Е=аад/2+а' = 0, я£у=0, F'{x', у') = Ьму’2 + Ь1=1),
S 8] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 185 — множество С есть пара прямых, определенная каждым из урав- нений y’-±V—^ ми Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было -4- = -^-, т. е. б;2 = Ха2.2, ^22 *22 Ь'й = Ка'9 при — Теорема 3 доказана во всех случаях. 2. О полноте системы ортогональных инвариантов. Будем рас- сматривать на плоскости лишь прямоугольные системы координат с одним и тем же масштабом. Имеет место следующая основная Теорема 4. Пусть на плоскости даны две нераспадающиеся на пары параллельных прямых кривые второго порядка С и С, имеющие в некоторой прямоугольной системе координат Оху соот- ветственно уравнения F(x, у) -О (4) и F'(x, у) = 0. (4') Для того чтобы кривые С и С' были метрически эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы после домножения одного из двух многочленов F (х, у), F' (х, у) на некоторый числовой множитель k оба эти многочлена имели соответственно одни и те же инва- рианты б, Д, S. Доказательство. Необходимость. Если кривые С и С' метрически эквивалентны, то посредством некоторого движения, т. е. ортогонального преобразования плоскости, кривая С может быть преобразована в кривую С. При этом преобразовании инва- рианты б, Д, S многочлена F' (х, у) (будучи ортогональными инвариантами) не изменятся, а сам многочлен F' (х, у) перейдет в многочлен G(x, у), имеющий то же нулевое многообразие, что и многочлен F(x, у), так что в силу теоремы единственности G (х, y) = kF(x, у) при некотором k =/= 0. Итак, инварианты многочлена F' (х, у) совпадают с соответ- ствующими инвариантами многочлена kF (х, у) —первая часть тео- ремы 4 доказана. Переходим к доказательству второй части. Достаточность. Если многочлены F'(х, у) и kF(x, у) имеют одни и те же инварианты б, Д, 5, то кривые F' (х, у) = 0 и kF (х, у) метрически эквивалентны. Но кривая kF (х, у) = 0, оче- видно, совпадает с кривой F(x, у) = 0, чем эквивалентность кри- вых F' (х, у) = 0 и F (х, у) = 0 доказана.
186 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА' Полученный результат иногда формулируют так: Ортогональные инварианты 6, A, S образуют полную систему ортогональных инвариантов кривых второго порядка, не распада- ющихся на пару параллельных прямых. § 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка Пусть прямая d есть ось симметрии данной кривой второго порядка С. Возможны два случая: А. Направление, перпендикулярное к прямой d, является для кривой С асимптотическим. Б. Направление, перпендикулярное к прямой d, не есть асимп- тотическое направление для кривой С. Пусть имеет место случай А. Возьмем какую-либо пару точек Аи Аг кривой С, симметричных друг другу относительно прямой d. Так как прямая d'= ALA2 имеет асимптотическое направление и в то же время содержит две точки и Аг кривой С, то она вся входит в состав этой кривой: кривая С распадается на пару прямых d', d", одна из которых d' перпендикулярна к прямой d. Вторая прямая d" не может быть наклонной к прямой d, так как в этом случае прямая d, очевидно, не может быть осью симмет- рии фигуры, составленной из двух прямых d', d", из которых одна перпендикулярна, а другая наклонна к прямой d. Поэтому прямая d" или тоже перпендикулярна к прямой d, или совпада- ет с ней. В первом случае линия С состоит из двух параллель-
©Си симметрии И ГЛАВНЫЕ направления 187 ных прямых (рис. 92), и тогда всякая прямая, к этим прямым перпендикулярная, является осью симметрии линии С; кроме того, осью симметрии линии С является и единственный ее диа- метр б —средняя прямая между прямыми d' и d*. Во втором случае линия С есть пара взаимно перпендикуляр- ных прямых d' и <f = d (рис. 93); каждая из этих прямых есть ось симметрии линии С. Кроме того, осями симметрии являются две биссектрисы б' и б" двух пар вертикальных прямых углов, образованных прямыми d и d'. Эти биссектрисы являются (вза- имно перпендикулярными) сопряженными диаметрами: каждый из них делит пополам хорды, ему перпендикулярные (и парал- лельные второй биссектрисе). Итак, в случае А кривая распадается на пару параллельных пли на пару перпендикулярных между собой прямых и имеет в первом случае бесконечно много осей симметрии, а во вто- ром — четыре оси симметрии. Переходим к случаю Б: направление, перпендикуляр- ное к оси симметрии </, не является асимптотическим для кривой С. Пусть d' — какая- нибудь прямая, перпендику- лярная к прямой d. Кри- вая С пересекает прямую d' в двух точках Ах и (быть может, мнимых, быть может, совпадающих), симметричных отн оси- пл ь но прямой d, так что прямая d делит пополам хорду AiAt (рис. 94). Другими словами, прямая d является диаметром кри- вой С, сопряженным направлению, перпендикулярному к прямой d. Определение. Направление называется главным относитель- но данной кривой второго порядка С, если это направление и пер- пендикулярное к нему являются взаимно сопряженными направле- ниями относительно этой кривой. Главное направление относи- тельно кривой С называется также главным направлением квадра- п ичной функции, определенной квадратичной формой <р (х, у) старших членов уравнения кривой С в любой прямоугольной сис- теме координат, а также главным направлением любой такой квадратичной формы. Диаметр кривой С, сопряженный перпенди- кулярному к нему направлению, называется главным диаметром кривой С. Направление главного диаметра, очевидно, является главным направлением. Из определения главного направления непосредственно выте- кают такие следствия: Iю Направление, перпендикулярное к главному, тоже является главным.
188 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. VI 2° Особое направление кривой С является главным для этой кривой. В самом деле, особое направление сопряжено всякому направ- лению, в том числе и перпендикулярному к нему. Итак, асимпто- тическое направление параболы является главным для нее направ- лением. У параболы все диаметры имеют главное направление, но, как мы видели в § 6, среди этих диаметров только один со- пряжен перпендикулярному к нему направлению, и, следователь- но, только один является главным диаметром — это ось параболы. Ось параболы — единственная ее ось симметрии. Из утверждения 1° следует, что направление, перпендикуляр- ное к асимптотическому направлению параболы, также является главным направлением. Никакое направление {а: 0}, кроме асим- птотического и перпендикулярного к нему направления, не явля- ется главным направлением параболы (так как единственное на- правление, сопряженное направлению {а: 0}, есть асимптотичес- кое направление и оно не перпендикулярно направлению {а:0}). Итак, у параболы имеются ровно два главных направления: асим- птотическое и перпендикулярное к нему. По тем же соображениям и линия, распавшаяся на пару па- раллельных прямых d и d', имеет два главных направления: общее направление прямых d и d' и перпендикулярное к этим прямым направление. Переходим к центральным кривым. Если направление {а: 0} главное для центральной кривой С, то (перпендикулярное к нему) сопряженное ему направление ]а': 0'| тоже главное. Ни одно из главных ir.iiipaHJieiiinI централ! ной кривой ие может быть асим - птотпческим (потому что в случне пен i ралыюй кривой каждое направление сопряжено одному единственному направлению, а асимптотическое направление сопряжено лишь самому себе). По- этому диаметр центральной кривой, имеющий главное направле- ние, является главным диаметром, а значит, является осью сим- метрии кривой. Из сказанного вытекает, что всякая кривая второго порядка имеет по крайней мере одну пару взаимно перпендику- лярных главных направлений. Из предыдущих рассуждений следует Теорема 5. За исключением случая, когда данная кривая вто- рого порядка С есть пара параллельных или пара перпендикуляр- ных между собой прямых, всякая ось симметрии кривой С есть главный диаметр этой кривой. Обратно, главный диаметр кривой С, очевидно, есть ось сим- метрии кривой С. Переходим к нахождению главных направлений. Система коор? динат до конца параграфа прямоугольная. Мы ищем такое направление, чтобы вектор {а, 0} этого на- правления был перпендикулярен к сопряженному ему вектору
§9] ОСИ СИММЕТРИИ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 189 {а', р'}. По формуле (2") § 6 имеем - Р': а' = (а1Ха-{-й12Р): (а21ао22р). Условие перпендикулярности векторов {а, Р} и {а', р'} есть аа'-|-РР' = 0, т. е. — Р':а'=а:р, т. е. (аца + а12р): (а21а + п22р) = а: р. Это условие означает существование такого X, что апа + а12р=Ха, 1 а21а-|-а22р =Х₽ J или (au —Х)а-|-а12р = 0, 1 п2Х® И- (^22 — X) p 0* J Рассмотрим сначала центральный случай: 6у=0. Требуется найти ненулевой вектор-решение {ос, Р[ однородной системы (1'); это возможно, лишь koi ди дец'рмипант системы равен нулю, т. е. I flll X ^12 _ Л 7П\ |а21 а22-Х|-и' W Взяв в качестве % какой-либо корень уравнения (2) и подставив его в(1'), заключаем — именно в ввиду равенства нулю детерми- нанта (2,)— что оба у рвнения (1 Эквивалентны между со би“ и дают одно и то же направление Р : а = (X ап): а12 — о2Х: (% — (3) Здесь, как только что сказано, X — какой-нибудь корень уравне- ния (2). Но этих корней—два, так как уравнение (2) —квадрат- ное уравнение, которое в развернутом виде есть Л1 2 —SX4-6=0 (2') (здесь, как всегда, S = cu-|-a22, 6 = апа22 — al2). Обозначая корни уравнения (2) через Хх и Х2, получаем из (3) два главных направ- ления: Pi: ах = (Хх аи): а12 — а21: (Xj — а22) (Зх) и Р2: а2 = (Х2 пХ1): а12 = а21: (Х2 д22); (32) мы получили давно известные нам формулы. Эти направления действительны, так как действительны корни 1 _ X ± Ksa—4d _ X + /(а11-а22)2+4а?а Л1>2 2---------------------------
190 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл Vi уравнения (2). Эти корни совпадают в единственном случае, когда оп = а22 и Oj2 = 0, т. е. когда рассматриваемая кривая есть окруж- ность. Заметим, что в центральном случае 5=/=0 ни один из корней X], Х2 уравнения (2) не равен нулю, так как, подставив Х = 0 в (2), получили бы 6 = 0. Имеются ли случаи, когда два эквивалентных уравнения (1') (т. е. (3)) не позволяют определить главное направление? В силу (3) это может случиться, только когда одновременно о12 = 0, X = Оц, Х = о22, т. е. снова лишь в случае окружности (а12 = 0, оп=о22). Для окружности всякий диаметр есть ось симметрии, всякое направ- ленно I ланноо. Если же паша кривая не есть окружность, то формулы (3) поиюняюг совершенно однозначно определить два главных направления. Они заведомо раошчпы, так как в центральном случае, который мы рассматриваем, являются направлениями двух взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров. Итак, дока- зана Теорема 6. За единственным исключением окружности (ког- да всякое направление — главное), мы имеем для каждой централь- ной кривой второго порядка два и только два главных направле- ния (и, значит, не более двух осей симметрии с неасимптоти- чески ми направлен и я мп). Два главных направления центральной кривой перпендикулярны между собой. Мы уже установили непосредственно, что парабола и пара параллельных прямых имеют два взаимно перпендикулярных глав- ных направления, одно п i которых — асимптотическое. Легко убе- диться в этом и посредством простою вычисления. В самом деле, пусть 6=0. То1да уравнение (2) удовлетворяется при X = Xj = O. Второй корень уравнения (2) не может равняться нулю, так как тогда было бы Оц = а22, oi2 = 0, S - Xj -|- Х2 = 0, т. е. S = 2ои = 2о22 = = 0 — многочлен f (х, у) был бы многочленом не выше первой сте- пени. Подстановка Х = 0 в уравнения (1') дает aua-|-ai2p = 0, о21а + а220 = 0, что сразу приводит к асимптотическому главному направлению 0 :а =— — = —— параболической кривой. Второй корень X2 = S 012 022 дает главное направление 0': а' = (S — оп): а1г = а22: а12 = а12: оп, перпендикулярное к асимптотическому направлению 0: а (пола- гая а = — ап, ₽ = ai2, а'~а12, 0'=оп, имеем аа' + 00'=О). Теперь мы легко можем найти по общему уравнению пара- болы и уравнение ее оси. Ось параболы имеет угловой коэффи- циент k =----- = —11 и является в то же время диаметром, со- 012 а21
5 9J ОСИ СИММЕТРИИ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 191 пряженным к хордам перпендикулярного направления, т. е. хор- дам с угловым коэффициентом ~ ~ (или с направляющим вектором {а, 0}, где можно взять а = ап, 0 = Д2 или а = а12, 0 = ata)- Уравнение диаметра, сопряженного хордам с направляющим вектором {а, 0}, есть Л(*. i/)a + Fs(x, </)0 = О. Значит, полагая a = cu, p = a12, получаем уравнение оси пара- болы в виде Fi(x, y)an + F2(x, i/)fl12 = 0, •I. е. (aii + a?2) х + a12 (ап + a22) у Д- a хД- а - 0. 1 !з «?2 = «цП22 вытекает «пД «и = ац(«п + а22). I сытому уравнение осн переписывается и виде «н,8’х | </|2.8'/а1 <z12«3 = 0, 'I. е. окончательно в виде аих+«^+-^Ф^ = 0. Аналогично, полагая а = п12, р = о.и, получаем для оси уравнение ^+«^+-^-^=0. При а12=/=0 можно пользоваться любым из этих уравнений. При </|2 = 0 и ац = 0 (значит, а22=#0) надо пользоваться вторым, при </.2 = 0 (и, значит, ян -£ 0) — первым. Получаем соответственно \равнение оси в первом случае в виде Ог24*4-О2 = 0, ।о втором случае в виде апх+<Zi = 0. Найдя уравнение оси параболы, мы сразу же находим и вершину о' параболы (как точку пересечения параболы с ее осью). Принимая вершину параболы О' за начало новой системы । оординат, ось параболы —за новую ось 0'1-, а касательную в вер- шине—за ось 0% определим положительное направление i.ik, чтобы в новой системе координат O'£t] уравнение параболы имело вид г]а = 2р|, р>0. Для нахождения интересующего нас положительного направле- ния О'| вспомним (гл. V, § 4), что после поворота исходной
192 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VI. системы координат Оху на угол а и последующего переноса начала координат в точку О' уравнение параболы приняло вид г]2 = = 2^—где (гл. V, § 1, формула (3)) aJ = aj cosa + a2sina. Для того чтобы было — > О, надо на угол а, определяемый из уравнения tga =— — , наложить дополнительное требование, dig заключающееся в том, чтобы числа S и a!cosa-|-a2sina имели противоположные знаки. Найденный таким образом угол а и дает нам положительное направление оси 0'% канонической системы координат О'£г[. § 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях Элементарная теория кривых второго порядка позволяет дать простое доказательство одного из важнейших свойств аффинных преобразований плоскости. Пусть при аффинном преобразовании плоскости кривая второго порядка К переходит в кривую К'- Так как при аффин- ном отображении отрезок переходит в отрезок, причем середина отрезка переходит-в середину отрезка, то при преобразовании центр кривой К переходит в центр кривой К’ Так как при аффинном преобразовании параллельность пря- мых сохраняется, то всякий пучок параллельных хорд кривой К переходит в пучок параллельных хорд кривой К.', середины хорд первого пучка переходят в середины хорд второго пучка, а зна- чит, диаметр, сопряженный хордам первого пучка, перехо- дит в диаметр, сопряженный хордам второго пучка. Отсюда вы- текает Теорема 7. Пусть при данном аффинном преобразовании данная кривая второго порядка К. переходит в кривую К', тогда всякая пара сопряженных диаметров кривой К переходит в пару сопряженных диаметров кривой К'. Выведем отсюда следующее основное свойство аффинных пре- образований: Теорема 8. Всякое аффинное преобразование плоскости явля- ется произведением собственного или несобственного движения и двух сжатий (растяжений) плоскости, происходящих в двух вза- имно перпендикулярных направлениях. Доказательство. Возьмем аффинное преобразование s^-1, обратное к преобразаванию е^, и рассмотрим какую-нибудь окруж- ность К' радиуса 1 с центром О'. При аффинном преобразова- нии а^-1 окружность К' переходит в эллипс К, а центр О' окружности К' переходит в центр О эллипса /(. При этом вся- кая пара взаимно перпендикулярных, т. е. сопряженных, диаметров окружности К' переходит в пару сопряженных диаметров эллипса К.
t 101 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 193 При отображении orf, обратно, эллипс К переходит в окруж- ность К.', центр О эллипса К. переходит в центр О' окружности /<', а всякая пара сопряженных диаметров эллипса 7< переходит в пару сопряженных, т. е. взаимно перпендикулярных, диаметров окружности К.'. Но среди пар сопряженных диаметров эллипса имеется пара его главных осей (и они взаимно перпендикулярны). Сделаем эти главные оси эллипса (фокальную и вторую) осями координат аффинной системы Оху (рис, 95), единичные векторы которой суть соответственно векторы ej = ОА и е2= ОВ, ведущие в соответствующие вершины А и В эллипса (длины векторов е1, еа обозначим через а и Ь). При на- шем аффинном преобразовании пара главных осей эллипса пе- рейдет в пару сопряженных и, следовательно, взаимно перпенди- кулярных диаметров окружности, которые примем за оси координат системы О'х'у'. За единичные век- торы этой системы примем ра- диусы е[, е2 (они имеют длину 1). При аффинном преобразовании пара взаимно перпендикулярных прямых Ох и Оу переходит в пару взаимно перпендикулярных прямых О'х', О'у', а отрезки е! = ОЛ, еа = ОВ, лежащие на Ох, Оу и имеющие соответственно длины а и Ь, переходят в отрезки ej, еа длины 1, лежащие на О'х', Рис. 95. О'у'. В чем же состоит аффин- ное преобразование Очевидно, в движении (собственном или несобственном), которое переносит пару взаимно перпендикуляр- ных прямых Ох и Оу соответственно в пару взаимно перпенди- кулярных прямых О'х', О'у', и в последующем сжатии или растя- жении вдоль этих последних прямых в отношении а\ 1 и b\ 1. Теорема 8 доказана. Из теоремы 8 вытекает Следствие. Пусть аффинное преобразование представлено в виде произведения ортогонального преобразования (т. е. собствен- ного или несобственного движения) и двух сжатий с коэффициен- тами Aj uk2. Тогда отношение длины образа любого отрезка к длине прообраза этого отрезка заключено между числами и k2. В самом деле, пусть u = {a, Р} — какой-нибудь вектор и'= = {а', Р'} —его образ при преобразовании Так как ортого- нальное преобразование не меняет длины вектора, то можно пред- положить, что преобразование есть произведение двух сжатий 7 П. С. Александров
194 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ VT к осям прямоугольной системы координат с коэффициентами и /г2. Без ограничения общности можно предположить, что, напри- мер, kL^k2. Тогда — Р' = &2р. Поэтому | u' I = Vet'2 Н- £'2 = 2skt ]/а2 + р2 = А?! I и |. Аналогично что и требовалось доказать. Если при этом k1 — k2 = k, то для любого вектора и н его образа и' имеем |и| —преобразование ость преобразование подобия. Итак: Аффинное преобразование, являющееся произведением ортого- нального преобразования и двух сжатий с одним и тем же коэф- фициентом, есть преобразование подобия. Отсюда в свою очередь в виде непосредственного следствия вытекает Теорема 9. Лффинние преобризппание, отображающее какую- нибудь (11\/>умнтпи> ни нкрущноешь, есть преобразование подобия.
ГЛАВА VII КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе будут перечислены различные виды поверхностей второго порядка. В главе IX мы покажем, что каждая из поверх- ностей второго порядка является одной из упомянутых в настоящей главе, т. е. что мы перечислили все поверхности второго порядка. Система координат во всей этой главе предполагается прямо- угольной. § 1. Распадающиеся поверхности Если многочлен второй степени F (х, у, г) есть произведение двух многочленов первой степени: F (х, у, г) = (Apc-f-13$ + ^2 -f-DJ (Агх + + + D2), то поверхность F (х, у, г) —О распадается на пару плоскостей лг и л2: А±х A-Bty A-Crz A-= 0 и A2x-j-B2i/4-CJz-|-D2 = 0. Если эти плоскости пересекаются, то сделаем прямую их пересечения осью аппликат, а биссекторные плоскости двугранных углов, образуе- мых этими плоскостями, примем за координатные плоскости Oyz и Oxz прямоугольной системы координат, беря в качестве плоскости любую плоскость, перпендикулярную к линии пересечения данных плоскостей (рис. 96). Тен да данные плоскости п л2 получат уравнения Ах A- By = 0 и Ах — Ву = 0, а поверхность F (х, у, z) = 0, распавшаяся на эти плоскости, будет поверхностью (Ах A-By) (Ах — By) = 0, т. е. А2х2 — Вгу2 = 0. (1) Итак, всякая поверхность второго порядка, распадающаяся на пару пересекающихся плоскостей, в некоторой системе координат имеет уравнение (1). Если поверхность распадается на пару паралелльных плоскос- тей п2 и л2, то примем за плоскость Оху прямоугольной системы координат среднюю плоскость л между плоскостями л2 и я2. Начало прямоугольной системы координат О и векторы в! и возьмем в плоскости л, а вектор вд направим перпендикулярно к плоскости л (рис. 97); тогда плоскости лх и л2 будут соответственно иметь 7*
И6 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (гл. VII уравнения х — а и 2 =— а; уравнение пары плоскостей я1( «ц будет ж»-а« = 0. (2) Наконец, мы говорим, что уравнение (Ах -f- By Cz -J- D)* = О определяет пару совпадающих между собой плоскостей Ах -J- By 4~ Cz 4" D = 0. Приняв ету плоскость за плоскость 2 = 0 новой координатной системы, мы видим, что всякая поверхность второго порядка, являющаяся парой совпадающих между собой плоскостей, в неко- торой системе координат может быть задана уравнением z2 = 0. (3) Мы увидим (в гл. IX), что поверхность, распадающаяся на пару мнимых (сопряженных) плоскостей, может быть задана урав- нением Л«х|4-В2^ = 0, если эти плоскости пересекаются, и уравнением г»4-аа = 0, если они параллельны.
5 21 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 197 § 2, Цилиндрические поверхности Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в неко- торой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением Fix, у) = 0, (1) где F(x, у) — многочлен второй степени от переменных х и у. Кривая, опре- деленная уравнением (1) в плоско- сти Оху, является направляющей кри- вой (основанием) цилиндрической по- верхности. Эта кривая может быть эл- липсом, действительным или мнимым, гиперболой или параболой, в зависи- мости от чего мы и различаем эллипти- ческие (рис. 98), мнимые эллиптиче- ские, гиперболические (рис. 99) и пара- болические (рис. 100) цилиндры, кано- нические уравнения которых совпадают с каноническими уравнениями их на- правляющих кривых (1). Если направ- ляющая (1) есть пара прямых, то ци- линдрическая поверхность вырождается в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпа- дающих, действительных или мнимых — в зависимости от соответ- ствующего свойства лежащей в основании пары прямых).
198 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ VII § 3. Конусы второго порядка Пгд действительным конусом второго порядка понимается поверхность ьторого порядка, которая в некоторой прямоуголь- ной системе координат задается уравнением х2 а2 Ь2 с3 (1) Это уравнение и система координат, в которой данный конус им задается, называются каноническими для этого конуса (рис. 101). Поверхность, получающаяся от вращения вокруг заданной пря- мой 6 какой-нибудь прямой d, пересекающейся с прямойб, называется Рис. 101. круглым конусом или конусом вращении. Выведем уравнение крутого конуса. Для этого примем прямую д за ось аппликат, точку ее пересечения с прямой d — за начало коорди- нат, а плоскость, проходящую через прямые б и d, — за плос- кость Охг прямоугольной системы координат (рис. 102). Уравне- I х I ние прямой d в плоскости Oxz можно записать в виде ^ = tg-a, у = 0, где а —острый угол наклона прямой d к оси Oz. Тогда
рй<>
800' РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII уравнение поверхности вращения будет х2 + У2 — k2z2 = 0, (2) где /e = tga. Уравнение (2) и есть каноническое уравнение круг- лого конуса. Плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает конус (2) по окружности (например, плоскость z = 1 — по окружности х2 + -\-y2 = k2). Если немного наклонить эту плоскость, то в сечении получится эллипс (рис. 103) (читателю предлагается проверить это). Плоскости, параллельные плоскостям Oyz и Oxz, пересекают конус (2) по гиперболам: например, в сечении конуса (2) плоскостью х — Ь получаем кривую L2z2 — у2 ~ Ь2, т. е., полагая &= а, — гиперболу (рис. 104) г2 _ I/2 _ а2 Ь2 ~ Не только эллипс и гипербола, но и парабола являются плоскими сечениями круглого конуса (2). Для простоты положим k— 1, тогда уравнение конуса будет х~-\-у2 — za-=0. (4) Докажем, что параболой является, например, сечение конуса (4) плоскостью л, заданной уравнением x-z -|-1= О (рис. 105). Сделаем нреобра юванпе прямоугольных координат: В новой системе координат плоскость л является координатной плоскостью z' = 0, а поверхность (4) получает уравнение у’2 — 2x'z' — х’ V 2 = 0, поэтому ее сечение плоскостью z' = 0 есть парабола y'2 = x'V2. Итак, и эллипс, и гипербола, и парабола являются сечениями конуса (даже круглого конуса). Поэтому эти кривые и называются коническими сечениями. К плоским сечениям поверхностей второго порядка мы еще вернемся с более общей точки зрения в главе VIII. Наряду с действительными конусами второго порядка суще- ствуют еще мнимые конусы, которые в канонической для них
I я 8ЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ 201 системе координат имеют уравнение ^ + ^ + ^вв‘°- (5) Единственная действительная точка мнимого копуса есть точка О = (0, 0, 0). Ш дальнейшее изучение интереса для нас не представ- ляет. Заметим, наконец, что цилиндрические и конические поверх- ности второго порядка (охватывающие, как мы видели, в виде частного случая и все распадающиеся поверхности второго порядка) будут объединены под общим наименованием вырождающихся по- верхностей второго порядка; им —в качестве невырождающихся поверхностей — противополагаются эллипсоиды, гиперболоиды и па- раболоиды, к определению и краткому описанию которых мы и переходим. § 4. Эллипсоиды и гиперболоиды Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая в некоторой («канонической» для нее) прямоугольной системе иллппинят («каноническое») уравнение — + — + — = 1 (1) аз т Ь2 -г са * • Положительные числа а, Ь, с называются полуосями эллип- соида (1). Эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда — йСлСй, —Ь^у^Ь, —c^CZsCc. Другими словами, эллипсоиды суть ограниченные поверхности. Все плоские сечении mi 'шнсоида явниотея полному ограниченными кривыми второго порядка, in. е. иллитими. Общий вид эллипсоида изображен па рис. 106. Предположим, что а2:^Ь2^с2 (изменяя, если нужно, оси координат, мы всегда можем достигнуть этого). Если а = Ь=/=с, то сечения эллипсоида плоскостями z = h суть окружности — 4- -^ = 1 — — 2 =Л а2 а2 С2 ’ П (радиуса гл = — №, вещественного лишь при | h | с), а сам Х2 г2 эллипсоид получается вращением эллипса = 1, у = 0 вокруг оси z. Так как с<_а, то вращение эллипса происходит вокруг его второй оси (рис. 107), и полученный при этом эллйжоид естественно назвать сжатым эллипсоидом вращения. Если же
ЭД РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. VII а > b — с, то сечения эллипсоида плоскостями x — h суть окружности г>2 "г ~ 1 x = h. Ь Г' — Радиусы этих окружностей равны rk = —у а2 — № (они вещественны лишь при \h | =Са); эллипсоид получается от вращения эллипса 4- 4т — 1. Ч = 0 (или эллипса Д + -гт = ।. ’= ()) вокруг оси Ох, а2 1 Ь' 4 а2 Ь2 1 J г. е. вокруг его фокальной оси. Полученная новсрчносчь называется fibirii<itii/mbiAt :>ллиiuvikIom пршцг ИНН (рис. 10В). Рис. 109. ] 1ак(и in ।, при а b с i.i ЛIII icon /( (I) ЯНЛЯС1СЯ с<| срой радиуса а (рис. 109). Рис. 108. Поверхность, задаваемая в какой-нибудь прямоугольной системе координат уравнением . у* . z* _ аа + i>s + — - 1,
» 4] ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ 203 называется мнимым эллипсоидом. Мнимый эллипсоид не имеет ни одной вещественной точки. Однополостным, соответственно двуполостным гиперболоидом называется поверхность, имеющая в некоторой прямоугольной системе координат уравнение ip + 3? “ 72 = 1 (однополостныи гиперболоид (рис. 110)), (2) — = 1 (двуполостный гиперболоид (рис. 111)). (3) Прямоугольная система координат, в которой данный гипер- болоид имеет уравнение вида (2), соответственно (3), называется канонической для этого гиперболоида, а сами уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями гиперболоидов. Положитель- ные числа а, Ь, с называются полуосями гиперболоидов (2) и (3). Конус ~ — 0 определяется как общий асимптотический конус обоих гиперболоидов (2) и (3) (рис. 112). Из уравнений (2) и (3) видно, что начало канонической для данного гиперболоида системы координат является его центром симметрии, координатные плоскости прямоугольной канонической системы —его плоскостями симметрии, а оси координат этой системы — осями симметрии. Всякий гиперболоид имеет три плоско- сти симметрии. Если а = Ь — с, то гиперболоид называется правильным. Плоскость г — h пересекает однополостныи гиперболоид (2) по кривой X2 . у2 , , h2 , ... -ts 4" "zj = 1 4" z — h. (4) д« 1 р* * с* ’ ' • Полагая 14--- = видим, что кривая (4) есть эллипс х2 । у2 , («W 2~П' Все эти эллипсы подобны между собой: отношение их полуосей b Ь = — одно и то же, их эксцентриситеты равны эксцентриси- тету эллипса X” 1 У* 5 _ Л ^+ь2 = 1. 2 = °. являющегося пересечением однополостного гиперболоида (2) с плоскостью z = 0; этот эллипс называется горловым эллипсом данного однополостного гиперболоида. При а = Ь эти сечения являют- ся окружностями, а гиперболоид (2) делается однополостным
204 РЛЭЛИЧНЫВ ВИДЫ ЧОИИНО'-™ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. VU Рис. ПО.
ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ 205' Рис. 113. гиперболоидом вращения — он получается при вращении гиперболы — -j- — 1, у = 0 (или гиперболы = 1, х = 0) вокруг оси z, являющейся второй бсью каждой из этих гипербол. Сечения однополостного гиперболоида (2) плоскостями y = h суть кривые — 1 — Полагая XJ = 1 — при |й|<Ь и 11 — ~ — 1 при | h | > Ъ, видим, что эти кривые суть соответственно ги- перболы (рис. 113) гаг-таги1, v=h и 2» X» _ . _ . "TO5" 11 У п- Аналогично докатываем, что се- чения однополост кого гиперболоида (2) плоскостями х /1 суть гиперболы у2 z3 , г. G-W (сЛл?-1’ Х~П при |Л| <а, Ц = 1 г2 У2 _ I , (^л)2 (bkhy Х~П при | h | > а, Ц = — 1. Сечение однополостного гиперболоида (2) каждой из плоскостей у — de b есть пара прямых х3 г2 „ , , -т — т = 0, у = zb Ь. а2 с2, ’ J Точно так же сечение однополостного гиперболоида (2) каждой из плоскостей х = ±а есть пара прямых у2 г2 п , = х = ±а. Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида X2 _ у2 . Z2 _ . С2 (,2 *Г С3 1 (3) с плоскостями, параллельными координатным. Плоскость z = h при |й|<с пересекает поверхность (3) по мни- мым эллипсам, при —по вещественным. Если а = Ь, то эти
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII эллипсы являются окружностями, а гиперболоид (3) есть гипербо- , лоид вращения: он получается яри вращении гиперболы = = 1,5 = 0^или -J - -§ = !, *=0j вокруг оси 2 (являющейся фо- кальной осью каждой из этих гипербол). При | h |. = с получаем пару мнимых сопряженных пря- мых с одной вещественной точ- кой (0, 0, с), соответственно (О, 0,-с). Плоскости x = h и y — h пере- секают гиперболоид (3) по гипер- болам (рис. 114) (плоскости х = = ± а, у = ±Ь исключения не представляют). Мы определили асимптотиче- ский конус для обоих гипербо- лоидов (2) и (3) как конус у2 //2 уЧ * л. У. _ Д_ = о а2 Л- й2 сз Сравним сечения плоскости z = h с каждым из гиперболон- ........ , (5). При этом предполагаем h>c. Получаем эллипсы, полуоси которых суть дов (2), (3) и с конусом (5) а’н = а соответственно ah *=а и, наконец, аЛ=а 41' С bh Мы видим, что (сечение с однополостным гиперболоидом (2)), (сечение с двуполостным гиперболоидом (3)) (сечение с конусом (б)). (6) (7) (8) - 1 Это значит, что a'h <ah«fht b" <bh<b‘h. в каждой плоскости z=h эллипс, являющийся
ЭЛЛИПСОИДЫ И ГИПЕРБОЛОИДЫ сечением этой плоскости с конусом (5). лежит между ел литками, являющимися сечениями той же плоскости с гиперболоидами (2) и (3): общий асимптотический конус обоих гиперболоидов располо- жен «меифу» обоими этими гиперболоидами, как показывает рис. 115. Далее, имеем аь-въ=а 2 |2 Рис. 115. этой т. е. выражение, стремящееся к нулю при \h\~+oa. Итак, при |й|->оо имеем а£ —а£->-0 и (аналогично) b/j —Ьл->0 и подавно йл —ал~>0, й* —Следова- тельно, три эллипса, являющиеся сечениями плоскости z=k с гипер- болоидами (2), (3) и их асимпто- тическим конусом (5), имея об- щие направления осей п общий центр, неограниченно сближаются. Можно сказать, что при |z|->oo оба гиперболоида (2) и (3) неограниченно сближаются со своим общим асимптотическим ко- нусом. Ояределеиие. Прямая, все- ми своими точками лежащая на данной поверхности, называется прямолинейной образующей поверхности. В § 6 этой главы мы жем, что у однополостного болоида имеются прямолинейные образующие. Сейчас мы докажем, что у двуполостного гиперболоида вещест- венных прямолинейных образующих нет. В самом деле, предпо- ложим, что вещественная прямая d является прямолинейной обра- зующей гиперболоида (3). Прямая d не может пересекаться с пло- скостью Оху (или лежать в ней), так как плоскость Оху не со- держит ни одной вещественной точки гиперболоида (3). Но прямая d не может быть и параллельной плоскости Оху, потому что в этом случае она содержалась бы в пересечении гиперболоида (3) с не- которой плоскостью z — h, что невозможно, так как это пересече- ние есть эллипс (вещественный или мнимый) и, значит, не содер- жит никакой прямой. Утверждение доказано. Мы видели, что начало канонической для данной поверхности системы координат является ее центром симметрии (единственным, пока- гипер-
£08 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА как мы докажем в главе VIII). Поэтому эллипсоиды и гипербо- лоиды получат в главе VIII общее название центральных невы- рожденных поверхностей второго порядка (класс вырожденных центральных поверхностей составят конусы второго порядка). § 5. Параболоиды Эллиптическим, соответственно гиперболическим параболоидом называется всякая поверхность, которая в некоторой (канони- ческой для данной поверхности) прямоугольной системе координат Ое,е2ез имеет каноническое уравнение 2г — для эллиптических параболоидов, (1) 2г = х2 р „2 — для гиперболических параболоидов; (2) при этом р и (/ — положительные числа («параметры» парабо- лоидов). Общий вид эллиптического параболоида представить себе очень легко (рис. 116): он расположен весь по одну сторону от пло- скости г = 0, а именно в полу- Рис. 116. пространстве 0; сечения плоскостями z = h, /i>0, суть X2 I Ч2 П1 кривые — -\-~ = 2п, т. е. эл- липсы = z = h. (3) 2/ift 1 2qn ' ' Сечения эллиптического па- раболоида (1) плоскостями у = 0 и х = 0 суть соответственно па- раболы х2 = 2/эг, у = 0 (4) и у2 = 2qz, х = 0 (5) — главные параболы параболоида (1); при этом параболу (4) условно назовем неподвижной, а параболу (5) — подвижной. Сечение эллиптического параболоида (1) плоскостью г = 0есть пара мнимых сопряженных прямых с единственной вещественной точкой О («вершина параболоида»). Все эллипсы (3), являющиеся «горизонтальными» сечениями эллиптического параболоида (1), подобны между собой —они имеют
$ 5] ПАРАБОЛОИДЫ 209 посредством скольжения одной па- „ V 2qh -• Г о одно и то же отношение полуосей: |/ —, и один и тот же эксцентриситет. В частности, если р = q, то все эти эллипсы суть окружностй радиусов )/2р/г; параболоид в этом случае есть пара- болоид вращения: он получается вращением параболы x2 = 2pz (расположенной в плоскости у = 0) вокруг ее оси (рис. 117). Эллиптический параболоид вещественных прямолинейных обра- зующих не имеет. В самом деле, прямая d, параллельная пло- скости Оху, лежит в некото- рой плоскости г = h, следова- тельно, все ее точки пересече- ния с параболоидом (1) при- надлежат эллипсу, по кото- рому плоскость z =/г пересе- кает параболоид (значит, у нее не более двух общих точек с параболоидом (1)). Если же прямая <1 не па- раллельна плоскости Оху, то целая ее полупрямая лежит в полупространстве z < 0, не содержащем ни одной точки параболоида (1). Итак, никакая прямая не может быть образующей па- раболоида (1). Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида раболы вдоль другой (система координат все время предполагается прямоугольной). Возьмем сечение параболоида (1) плоскостью х ^х0(рпс. 118); получим в этой плоскости, снабженной (прямоугольной) системой координат О0е2е3, где Оа = (хи, 0, 0), кривую, уравнение которой будет или у2 = 2q (г - z0), х = х0, (6) где го=2Т’ V Перейдем в плоскости х — х0 от системы координат О0е2е3 к си- стеме координат О'е2е3, где О' = (ха, 0, г0) есть точка пересечения
210 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII плоскости х = х0 с неподвижной параболой x2=2pz, у = 0. (4) Перенеся начало координат системы О^вз в точку О*, мы произ- вели преобразование координат У = у’, 2 = z’4-z0, в результате которого уравнение кривой (6) получило вид у'* = 2рг', х = хд; (8) кривая (6) есть та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость х = хд, перенос этот можем осущест- вить так, что вершина подвижной параболы скользит по непо- движной параболе и< точки О в точку О', а сама парабола при этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в пло- скости, параллельной плоскости Oyz. Этот результат мы можем сформулировать так: Эллиптический параболоид (заданный уравнением (1)) есть по- верхность, описываемая при движении одной («подвижной») пара- болы (5) вдоль другой, неподвижной (4), так, что вершина по- движной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и oct подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвиж- ная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси г).
ПАРАБОЛОИДЫ 211 Аналогичный способ построения применим и к гиперболиче- скому параболоиду (рис. 119), поверхности, наглядное представ- ление о которой при первом знакомстве с ней обычно требует от учащегося некоторого небольшого усилия. Сечениями гиперболического параболоида (2) с плоскостями р = 0 и х = 0 снова являются две «главные» параболы: неподвижная парабола х2 = 2рг, г/ = О и подвижная у2 =—2qz, х = 0, (4) (9) обращенные теперь вогнутостью в противоположные стороны: не- подвижная — «вверх» (т. е. в положительном направлении оси г), а подвижная — «вниз» (в отрицательном направле- нии оси г). Сечение плос- костью х=--ха имеет в си- стеме координат (где О0 = (д-0, 0, ())) уравнение v- =-2z 4 Р или (/ = -2?(2-2о), | х = х0, J где Z° = 2p’ (7) или, наконец, после пере- несения начала координат в точку О' = (х0, 0, г0) (лежащую на параболе х2 — — 2pz, у = 0), уравнение z—2?Л 1 х = х0. J Последнее уравнение пока- зывает, что кривая (10) есть та же подвижная па- Рис. 119. рабола (9), только сдвину- тая параллельно себе по- средством скольжения ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в точку О'. Отсюда следует, что гиперболический пара- болоид (заданный в прямоугольной системе координат уравнением
212 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ГЛ. УГГ (2)) есть поверхность, описываемая подвижной параболой у' = —2qz, х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы (4) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время парал- лельными себе самим, при втом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны', неподвижная — вогну- тостью <вверх», т. е. в положи- тельном направлении оси t, а под- вижная — «вниз>. Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла. Сечение гиперболического па- раболоида плоскостью z = 0 есть пара (вещественных) прямых (рис. 120) / * । У \ / а__f \=л TV Рис. 120. (являющихся парой образующих гиперболического параболоида). Сечение плоинн п.ю есть гипербола, уравнение кото- рой ос н, (в спиеме координат Оле,е2, где Oh — точка пересечения оси г с плоскостью z^-li, а векторы е1г еа те же, что и в исход- ной системе OcjC/'j) При h > 0 <||ока >п,п.in ои. 4ioi'i i ши pOoin.i ii.iiip.ni in ii.i no вектору 11, 0, 0}, т. e. параллельно oni «нкцпсс, а при //<0 —парал- лельно оси ординат, так что проекции на плоскость Оху гипербол, получающихся в сечении параболоида (2) плоскостями z = h и z — — h, являются сопряженными гиперболами в плоскости Оху. При | h | -> сл эти гиперболы имеют неограниченно возрастаю- щие полуоси y^p^hl и отношение которых постоянно и равно ~, так что все гиперболы, являющиеся горизонталь- ными сечениями гиперболического параболоида, подобны между собой. § 6, Прямолинейные образующие Нас интересуют в этом параграфе лишь вещественные прямо- линейные образующие только что рассмотренных поверхностей. Мы видели, что эллипсоиды, двуполостные гиперболоиды и эллипти-
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 213 ческие параболоиды их не имеют вовсе. Докажем, что через каж- дую точку однополостного гиперболоида и гиперболического пара- болоида проходят (по крайней мере) две (различные) вещественные прямолинейные образующие. 1. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида^ Пусть однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением Перепишем это уравнение в виде — 1 а4 с2 “1 ьг или (!') Рассмотрим теперь пару вещественных чисел а, р, не равных одно- временно нулю, н дли каждой такой нары напишем систему уравнений В частности, при а=£0, 0=0 получаем а при а — 0, р 0 1 + О | N <Э- -С 1! II р р (5) Для каждой пары чисел а, р наши уравнения определяют пару плоскостей, как легко видеть, не параллельных (в широком смысле слова) и, следовательно, пересекающихся по прямой. Прямая эта целиком лежит на гиперболоиде (1). В самом деле, каждая ее точка М = (х, у, г) удовлетворяет обоим уравнениям (3), а следо- вательно, уравнению, полученному почленным перемножением урав- нений (3), и, значит, уравнению (1). Случай, когда один из мно- жителей а, р равен нулю, исключения не представляет, так как точка М=(х, у, г), удовлетворяющая системе уравнений (4) или (5), удовлетворяет и уравнению (1).
214 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII Итак, мы получили семейство прямолинейных образующих гиперболоида (1) (рис. 121). Семейство это назовем семейством I; оно, очевидно, зависит от одного параметра и = р : а, Докажем, что через каждую точку М0 = (х0, у^, 20) гиперболоида (1) проходит одна-единственная прямая семейства I. В самом деле, мы ищем прямую (3), проходящую через точку — у0, 20) и удовлетворяющую уравнению (1), так что для z определения отношения 0 : а имеем Рис. 121. временно 1+^ = 0 и ~ + у уравнення (3), которые (после за- мены х, у, г на х0, i/0, z(1) могут быть записаны в виде следующих пропорции: р:а=(«+^М1+?)'(3J = <3>> причем выполнено тождество С+Ь):(1+^- -г)’ (ад получающееся, если подставить » (I) координаты х —х0, у=у0> z=z0 lo'ihii А10. В силу тожде- ств (2„) мы можем для определе- ния отношения 0: а воспользо- ваться любым из уравнений (Si), (32). Первое из них делается неопределенным, лишь если одно- = 0; но в этом случае мы можем воспользоваться уравнением (32), так как при 1+у = 0 во вся- ком случае 1 — у¥=0 и, значит, отношение ₽:сс определится из (32). Итак, если задана точка Л10 = (х0, у0, zj, то однозначно нахо- дится отношение 0:а, определяющее прямую семейства 1, прохо- дящую через точку Мо. Отсюда следует, что никакие две прямые семейства 1 не пере- секаются (так как если бы они пересекались в некоторой точке Л1и то эта точка была бы точкой гиперболоида (1), через которую проходят две прямые семейства I, а такой точки, по только что доказанному, не существует).
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ образующие 215 Легко проверить, что среда прямых семейства I нет двух па- раллельных. Аналогично уравнениям (3) можно было бы для любой пары чисел а', 0', не равных одновременно нулю, написать систему уравнений \а с‘ (3') 0'(—— —) = а' (1+ г \ а с у \ 1 о j > определяющую прямую, лежащую на гиперболоиде (1): каждая точка М — (х, у, г), удовлетворяющая двум уравнениям (3'), удов- летворяет и уравнению, полученному от почленного перемноже- ния этих уравнений, и, значит, удовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнения (3') также определяют семейство прямоли- нейных образующих однополостного гиперболоида (1), зависящее от одного параметра у---Р':и'; это семейство мы назовем семейст- вэм II (рис. 121). Совершенно гак же, как выше, мы убеждаемся в том, что через каждую точку М = (х, у, г) гиперболоида (1) проходит одна-един- ственная образующая семейства II. Наконец, совместное рассмотрение уравнений (3) и (3') (для данных 0 : а = и и 0': се' = о) позволяет установить, что каждая образующая семейства I пересекается с каждой образующей се- мейства II (или параллельна ей в узком смысле слова). Читателю предлагается (в виде задачи) провести относящиеся сюда рассу- ждения. 2. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Начнем с чисто геометрического рассмотрения вопроса. Пусть дан параболоид 2г = —-Д (6) Р q 4 7 Рассмотрим аффинное преобразование г X г У г X У = 47=’ z =z' V Р V q Тогда уравнение параболоида примет вид 2г'=х'2 — г/'2. (7) Рассматриваем сечения параболоида (7) плоскостями у'=х' + су (8) У' = — х'+с, (9) параллельными плоскостям у' = ±х'. Подставляя (8) в (7), видим, что пересечение параболоида (7) с плоскостью (8) есть прямая 2г' = — 2сх' — с2, у'=х' + с, (10)
216 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ТНТРЯДКА (ГЛ. VII Аналогично, пересечением параболоида (7) с плоскостью (9) есть прямая 2г' = + 2сх' — с2, у'— ~ х' + с. (11) Когда с пробегает все значения от — оо до 4-оо, плоскость (8) (так же как и плоскость (9)) пройдет через все точки парабо- лоида, который, таким образом, оказывается покрытым двумя семействами прямых I и II, определяемыми уравнениями (10) и (И) (рис. 122). Через каждую точку М параболоида (7) проходит единственная плоскость вида (8) и единственная плоскость вида Гн. г,".’. (9), ;i iii.i'ini, и (чини ।псин.in прими,iiiiieiiii.iii обра |ук>|цая каж- дою из ссмейст 1 п II. При лом все образующие семейства I параллельны плоскости у' = х', а все образующие семейства II параллельны плоскости у' = — х'. Можно было бы получить тот же результат и для любого параболоида, заданного своим каноническим уравнением 2z = ^ Р (6) ч (только вместо плоскостей у' = ± х' были бы рассмотрены плоско- сти V р Уч ) Прямолинейные образующие гиперболического параболоида могут быть аналитически найдены способом разложения на мно- жители, аналогичным тому, который мы применили в случае однополостного гиперболоида. Именно, перепишем каноническое уравнение 2г = —— — (6) ре ' 1
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 217 гиперболического параболоида в виде /2L -L -£-W—_= 2г (12) и рассмотрим для каждой пары чисел а, 0, не равных нулю одновременно, уравнения двух плоскостей: (13) Эти плоскости пересекаются по прямой, целиком лежащей на параболоиде (6). Прямые (13), каждая из которых определена отношением р : а, образуют одно семейство прямолинейных обра- зующих параболоида. Второе семейство получим, если рассмотрим (для каждой пары чисел а', Р', не равных пулю одновременно) систему уравнений Снова доказываем, что через каждую точку гиперболического параболоида (6) проходит по одной образующей каждого семей- ства, что две образующие, принадлежащие к разным семействам, пересекаются, а принадлежащие к одному и тому же семейству всегда скрещиваются. Наконец, очевидно, что образующие семейства I, определяемого уравнениями (13), параллельны плоскости X 77 = о, а образующие семейства II, определяемого уравнениями (13'), параллельны плоскости X 77 о. У VI
ГЛАВА VIII ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I § 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени Рассматриваем общее уравнение поверхности второго порядка в произвольной аффинной системе координат Охуг‘. F(x, у, z) = anxaH-2a12xz/ + a22t/2 + 2a13x2 + 2a23z/z-|- 4-aaeZa + 2a1x4-2a2f/ + 2a3z + ao = 0. (1) Как всегда, полагаем <р(х, у, г) = а11х2 + 2а12ху+а12у3 + 2а13хг + 2а23уг + алзг2. (2) Вводим еще следующие обозначения: ви ап а13 а3 "л Даа °а.1 ".и "«i ня "i u.j п3 и„ Он "л aii оа2 °31 "зз а3з Матрицу Ар называем большой матрицей уравнения (1), матрицу А^ —малой матрицей. Ранги этих матриц называем соответственно большим и малым рангом поверхности, задаваемой уравнением (1), и обозначаем их соответственно через 7? и г. Мы сейчас увидим, что эти ранги не зависят от выбора системы координат, в кото- рой задается уравнение поверхности. Детерминанты матриц Ар и А<р обозначаются соответственно через А и 6. Мы знаем, что при сдвиге начала координат малая матрица, а значит, и ее детерминант не меняются. При линейном однородном преобразовании X = СцХ' Ci2y -ф с13г', У = ^21^ 4* С2зУ "Ь ^232 > z =c3iX -|~ с32у 4-c3Sz , Сц С12 С13 с21 С22 С2э С31 С32 Сзз = С =7^0, (3) ранг г матрицы Лф не меняется, а детерминант 6 (как дискрими- нант квадратичной формы <р(х, у, г)) умножается на с2.
РАНГ И ДЕТЕРМИНАНТ МАЛОЙ И БОЛЬШОЙ МАТРИЦ» 219 Так как всякое преобразование координат сводится к сдвигу начала координат и к однородному преобразованию вида (3), то при переходе от системы координат Охуг к произвольной новой системе координат O'x'y'z' ранг г матрицы /1,,, не меняется, а ее детерминант 6 умножается на квадрат детерминанта преобра- зования. Докажем аналогичное утверждение для большого ранга R и детерминанта Д. Возьмем общие формулы преобразования координат: х— СцХ 4* ^12// 4* ci.-<2 4“ у = с21х' + с22у' 4* c23z' + d2, Z = Cal)d + C32y' + C3jZ' + dg, С11 C12 C13 C21 <22 <23 c8l CS3 = cy=0. (4) Наряду с многочленом F(x, y, z) рассмотрим квадратичную форму Ф(х, у, г, t) = allx2 + 2alixy + ai2y2 + 2aiaxz + 2a2ayz + -|- a33z2 2axxl 4- 'Za.yjt 4- 2a3zt -J- aot2 и преобразование X = Cnx Н~с1зг + <^4', у=с21х'4^'+г23г'4-^', z = c^x' 4- c^y' 4- C^z' 4- dat', 1 ’ t'. Тогда Af есть матрица формы Ф(х, у, z, t), а А —ее дискрими- нант. При преобразовании (4') ранг R формы Ф остается неиз- менным, а ее дискриминант умножается на квадрат детерминанта преобразования (4'), т. е. на сп C|j <13 .1 C|| Cia <"13 <21 <?- <2.3 <3.1 <21 Си <32 '/3 — <22 <2.1 (5 0 0 0 1 <;ii <32 c:i3 Мы доказали следующее предложение: Основная лемма. При преобразовании координат (4) ранги R и г матриц Др и Аф остаются неизменными, а их детерми- нанты А и 6 умножаются на квадрат детерминанта преобразо- вания (4) и, следовательно, сохраняют свой знак. Замечание 1. Если преобразование (4) есть сдвиг начала координат, то Сц — с22 = саа 1, а = саа = с2, = = с3^ == = с32 = 0, так что детерминант (5) равен 1. Поэтому при переносе начала координат не только детерминант fi, но и детерминант А остаются неизменными. Замечание 2. Так как детерминант в есть детерминант третьего порядка, то при умножении всех его элементов на — 1
220 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Т [ГЛ. VIH знак в меняется на обратный. Зато знак детерминанта А не меня- ется при умножении его элементов (т. е. всех коэффициентов уравнения (1)) на —1, значит, и на любой вообще множитель X 0. § 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью Пусть даны поверхность второго порядка и плоскость. Пе- рейдем к такой системе координат Охуг, в которой данная пло- скость была бы плоскостью Оху, т. е, имела бы уравнение 2 = 0. Запишем в этой системе координат уравнение пашей поверх- ности: /•' (х, у, г) hze at j х2 + 2а12ху -|- а.,.,у'2 ~i-2i>t 3xz ф 2a230z + a33z2 + 2a1x + 2a2y + 2a3z + ao = 0, (1) и будем решать его совместно с уравнением 2 = 0. (2) Получим уравнение Е(х, y)_-ttux'2 |-2ol2x//4-a22y24-2alx4-2o2(/4-n0 = 0. (3) Этому уравнению и удовлетворяют точки, одновременно лежащие на поверхности (1) и па плоскости (2). Мы видим, что, вообще говоря (т. е. за исключением особою случая и,, п|2 = а22 = 0, который мы сейчас ендельпо р.ч Ии-рем), уравнение (3) есть урав- нение второй пенсии, oupe/ie/iHioiiiec пскоюрую (.лежащую в пло- скости z 0) кривую Biopoio порядка, коюрая и является пере- сечением данной поверхности второго порядка с данной плоскостью. Переходим к случаю Оц — Ojg ~ @22 " Предположим, что по крайней мере один из коэффициентов о1; а2 отличен от нуля. В этом случае пересечение поверхности (1) с плоскостью 2 = 0 есть прямая 2о1х + 2а2у + а0 = 0. Пусть теперь не только ап — а12 = а22 = 0, но и fli = а2 ~ 0- Если при этом и а0 = 0, то уравнение поверхности (1) имеет вид 2 (2а13х 4- 2о230 4- а332 4- 2«3) = 0 — поверхность распадается на пару плоскостей: 2 = 0, 2а13х 4- 2о230 4-а33г 4- 2а3 = О,
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ 221 Одной из которых является данная плоскость 2 = 0. Наконец, последняя возможность состоит в том, что <11 “ <13 ” <м ” ai— но ао 0. Тогда уравнение (3) приводит к противоречию: ао = О (тог- да как дано, что <у/»0), означающему, что нет ни одной точ- ки (ни вещественной, ни мнимой), которая лежала бы одновре- менно на данной плоскости и на данной поверхности второго порядка. Итак, доказана Теорема 1. При пересечении поверхности второго порядка с плоскостью могут представляться лишь следующие случаи: (а) поверхность пересекается с плоскостью по кривой второго порядка: (б) поверхность пересекается с плоскостью по (вещественной) прямой линии: (в) поверхность распадается на пару плоскостей, одной из которая является данная плоскость (входящая, таким образом, в состав рассматриваемой поверхности): (г) поверхность не имеет с плоскостью ни одной общей точки (ни вещественной, ни мнимой)1). Замечание. В случае (а) кривой второго порядка, являю- щейся пересечением данной поверхности второго порядка с данной плоскостью, может быть (аг) нераспадающаяся действительная или мнимая кривая, т. е. эллипс (действительный или мнимый), гипербола или парабола; (а2) пара пересекающихся вещественных прямых; (а3) пара мнимых сопряженных прямых, имеющих единствен- ную вещественную (общую) точку, которая и является единствен- ной вещественной точкой,'лежащей одновременно на данной поверх- ности второго порядка и в данной плоскости; 1) Эта теорема с указанными ней четырьмя различными случаями пред- ставляется довольно уродливой; в главе X мы перейдем от обыкновенного (комплексного) пространства к проективному пространству, получаемому из обыкновенного пространства пополнением его бесконечным множеством так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) точек, образующих в своей совокупности несобственную (или бесконечно удаленную) плоскость (с лежащими в ней несобственными, или бесконечно удаленными прямыми). Если рассматривать нашу поверхность в проективном пространстве, то случай (б) будет состоять в том, что пересечение поверхности е плоскостью является кривой второго порядка, распавшейся на пару прямых, одна из которых лежит в несобственной плоскости («ушла в бесконечность*), а случай (г)—в том, что пересечением является пара совпадающих между собой несобственных прямых. Таким образом, в проективном пространстве возможны лишь два случая: либо пересечение поверхности второго порядка с плоскостью есть кривая второго порядка, либо поверхность распадается на пару плоскостей, одной из которых является данная плоскость.
WL ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. { (ГЛ. VMt (а4) пара параллельных в собственном смысле вещественных или мнимых сопряженных прямых; (а4) пара совпадающих вещественных прямых. Как мы увидим ниже, возможности (а2), (а3), (а8) характери- зуют различные случаи касания данной поверхности второго порядка с плоскостью (рис. 123). § 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка То, что говорилось в главе VI о пересечении алгебраиче- ской кривой с прямой, можно было бы —с несущественными и очевидными изменениями — повторить и о пересечении алгебраи- ческой поверхности F(x, у, г) = 0 (1а)
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 223 с прямой x = x04-af, У = Уо+К z = z0+yt. . (2> Как всегда, мы будем предполагать, что и поверхность (1А) и прямая (2) являются вещественными; в соответствии с этим все коэффициенты в уравнениях (1д) и (2) всегда предполагаются вещественными. Мы ограничимся случаем, когда данная поверхность (1 а) — вто- рого порядка, т. е. когда ее уравнение есть F(x, у, z) = anxt + 2a1^y + a^ + 2at3?tz-F2a^z-Y + ^33^+201*+204^+20*2 4-0#=(1) Старшие члены многочлена F (х, у, г) образуют квадратичную форму ф(х, у, г) ппха | 2п1а.ту | о22//а + 2a13xz + 2а23«/г + йзз2а. (3) Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями, которых будем постоянно придерживаться в этой главе* 1): у, гу^а^+а^+а^+ац, £=1, 2, 3. (4) Для нахождения точек пересечения поверхности (1) с прямой (2) подставим (2) в (1); после приведения подобных членов получим уравнение второй степени относительно I, а именно: Л^ + 2В/ + С==0, (8) где, как легко проверить, А— ф(а, р, у) = яиа2 + 2(iJ2c$ Hb-jP34-2п13ау + + 2а230у + а33у2, В = Л (хо> Уо, 20) a + F2 (х0, у0, г0) Р + F3 (х0, у0, z0) у, С — F (х0, у0, г0). Уравнение (5) есть квадратное уравнение, за исключением того случая, когда ф(а, Р, ?) = 0. (7) . дР dF dF Читатель, знающий, что такое частные производные функции F (х, у, г) от трех переменных, сразу заметит, что Fl(x, у, г) = 1 dF Г , ! dF _ , к 1 dF 2 дх ’ г}~ 2 du ’ У' 2 дг *
224 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, t [ГЛ. VHt Вектор u = {а, 0, у}, удовлетворяющий условию (7), называется вектором асимптотического направления или просто асимптота- ческам вектором поверхности (1); прямая, направляющий вектор которой является асимптотическим, называется прямой асимпто- тического направления для данной поверхности. Замечание. Повторяя в точности рассуждения § 3 главы VI, убеждаемся в том, что вопрос о том, является ли данное направление асимптотическим или нет для данной поверхности второго порядка, зависит только от этой поверхности и от данного направления и не зависит от системы координат, в которой задано уравнение этой поверхности. Если прямая (2) имеет неасимптотическое направление, то уравнение (Г>) квадратное и имеет два корня it, ^ — веществен- ные различные, пли мнимые сопряженные, или совпадающие (вещеовенные). Подаавляя эти значения /, и /2 в равенства (2), получим две точки пересечения (вещественные или мнимые, быть может, совпадающие) прямой (2) и поверхности (1). Итак: Если прямая (2) имеет неасимптотическое направление, то она пересекает поверхность (1) в двух точках — различных (дейст- вительных или мнимых сопряженных) или совпадающих (действи- тельных), получающихся, если подставить в (2) любой из двух корней t ^tt или t /2 квадратного уравнения (5). Если обе точки пересечении прямой (2) с поверхностью (1) сливаются в одну, т. е. уравнение (5) имеет совпадающие корни, то прямая (2) называется касательной к поверхности. В этом случае за точку (-*'<>, //<>> ?о) прямой (2) возьмем точку, лежащую па iionepxnoi in (ил ючка и будет точкой при- косновении примой к поцерч|ц« hi). I oi да С /• (х0, уп, zo) = O и у равнение (!>) при ппмае i вид /1/“ | 2/1/ О, г. е. t(At + 2B) = O. Один его корень есть = 0, второй для того чтобы он тоже был равен нулю, надо, чтобы было В = 0, т. е. Л(х0, Уо, zu)a + F2(xa, у0, z0) 0 + Еа (х0, у0, zo)y = O. (8) Это и есть условие, которому должен удовлетворять направляю- щий вектор {а, 0, у} прямой (2), проходящий через точку Мо = = (х0, у0, г0) поверхности (1), чтобы эта прямая была касательной (и тогда она будет касательной в точке Мо). Имеется бесконечное множество прямых, проходящих через точку Мо, с направляющими векторами, удовлетворяющими усло- вию (8), т. е. бесконечное множество касательных к поверхности (1) в данной ее точке Мо. Пусть М = (х, у, г) — произвольная точка любой из этих прямых. Тогда {х —х0, У~ Уо, г~ го} есть
I 8J КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ 225 направляющий вектор этой прямой, и он удовлетворяет уравнению Л(*о» Уй> 20)(х-х0)Ч-Р4(хо. Уо, 2иЦу-у0) + + F3(x0, Уо, 20)(2-z0) = 0. (9) Итак, все точки М = (х, у, г) всех касательных, проведенных к поверхности (1) в точке M0 = (x0, у0, г0), удовлетворяют уравне- нию (9); уравнение (9) —первой степени, следовательно, это урав- нение некоторой плоскости, проходящей через точку Мо. Плоскость эта называется касательной плоскостью к поверхности (1) в точке Ма‘ она несет на себе все прямые, касающиеся поверхности (1) в точке М0 = (х0, Уо, г0). Уравнение (9) и есть уравнение каса- тельной плоскости к поверхности (1) в ее точке 2И0 = (х0, у0, г0). Ё развернутом виде это уравнение записывается так: (Й1Л 4- о12у0 + 4* <2i) х + (й21х0 -J- а^оУо 4- a23z0 4- а2) у 4- 4" (аз1*о + йзгМ) + аззго + аз) 2 + (ЙЛ 4~ й21/о 4~ аз2о 4“ йо) =0. (9') Уравнение (9) может быть переписано в виде (двх )0 (Х ~ Х|1) Н ( 2 )о (,/ - У,1) + ( дг )о(Z - = °’ fdF\ , где через 1^-1 и т. д. обозначены значения соответствующих частных производных функции F (х, у, z) в точке Л40 = (ха, г/0, г0). В этом виде в курсе анализа записывается уравнение касатель- ной плоскости к поверхностям, значительно более общим, чем поверхности второго порядка (и алгебраические поверхности вообще). Особые точки поверхности второго порядка. Воз- никает вопрос: когда уравнение (9) касательной плоскости стано- вится неопределенным? Очевидно, это происходит лишь тогда, когда одновременно Fk(Xo, у о, z0) = a*1x04-a/(2t/04-aMz04-aA = 0, (10) причем в то же время F(Xo, Уо, 2о) = О. (10) Но Г(х0, Уо, 2b)Mali*o4-Wo4-«is2o4-«i)*o4- 4- (а^Хо 4- а^уо 4- йгз2о 4" а2> Уа 4" (Алхо + 4" ^зз2» 4" в») го 4* 4-йл4-адо4-йз2о4-ао- (И) Если выполнено (10), то тождество (11) превращается в F(x0, уо, z0)== ад>4- a2«/o4-032o4-«o, а (10)-в a1xo4-flut/04-a3Zo4-ao = 0« (12) 8 П. С. Александров
226 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. 1 (ГЛ. VIII Это равенство вместе с равенствами (10) показывает, что четверка чисел (х0, уо, z0, 1) образует ненулевое решение системы уравне- ний ( ailx + all2y + ata2 + allt = 0, ft = l, 2, 3, ( atx-t-а^у-f-аагaoi = 0. Значит, а11 Я12 01 Д _ а21 ^22 С23 = 0 (13) flgl Ода Одд Од 01 Од Од Од Поверхности второго порядка, данные уравнением (1), коэффи- циенты которого удовлетворяют условию (13), называются выро- ждающимися, а точка М„ = (х0, уп, г(|), удовлетворяющая уравне- ниям (10) и (10), называется особой точкой поверхности (1). Из доказанного следует, что только у вырождающихся поверх- ностей могут быть особые точки. Итак, только в случае вырождающейся поверхности второго порядка и только в ее особой точке MQ = (х0, у0, 20) касательная плоскость к поверхности (1) оказывается неопределенной. Попутно мы доказали, что при выполнении условий (10) условия (10) и (12) эквивалентны между собой. § 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие понерхпослей aiopoio порядка Пусть вектор (а, Р, у} есть вектор асимптотического направ- ления для поверхности второго порядка F (х, у, z) = 0, (1) т. е, пусть <р(а, р, у) = 0. Прямая х = х0 + а/, У “ Уо + РЛ 2=20 + yi! . (2) имеет вектор {а, р, у} своим направляющим вектором, т. е. есть прямая асимптотического направления. Тогда коэффициент А в уравнении (5) предыдущего параграфа равен нулю, и само это уравнение приобретает вид 2Bt + C = 0. (3) Возможны следующие случаи*. 1° В =5>t0; тогда уравнение (3), т. е, уравнение (5) предыдущего параграфа, есть уравнение первой степени; единственный его
>4 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 227 корень определяет единственную точку пересечения поверхности (1) с прямой (2). 2е В —О, С =/=0; уравнение (3) противоречиво (так как при- нимает вид С = 0 при С^О), уравнения (1) и (2) несовместны, прямая (2) не ймеет с поверхностью (1) ни одной общей точки, ни действительной, ни мнимой. В этом случае прямая (2) назы- вается асимптотой поверхности (1). 3” В = С = 0; уравнение (3) обращается в тождество 0 = 0, оно удовлетворяется при всех значениях I, все точки прямой (2) принадлежат поверхности (1), прямая (2) есть прямолинейная образующая поверхности (1). Доказана следующая Теорема 2. Прямая (2), имеющая асимптотическое направ- ление по отношению к поверхности (1) второго порядка, может находиться в одном из следующих положений: 1° Она имеет с поверхностью (1) единственную и тогда непре- менно вещественную общую точку. 2° Она является асимптотой поверхности (т. с. не имеет с ней ни одной общей точки, ни вещественной, ни мнимой). 3° Она является прямолинейной образующей поверхности (т. е. всеми своими точками лежит на поверхности (1)). Посмотрим теперь, каковы асимптотические направления поверх- ностей различных видов, определенных в предыдущей главе. В случае эллипсоида, заданного своим каноническим уравне- нием ~ = 1, асимптотические направления {а: р : у} опре- деляются из уравнения — = все эти направления являются мнимыми. Асимптотические направления однополостиого и двуполостного гиперболоидов, заданных их каноническими уравнениями х2 , у’’- г3 1 х2 у1 . z3 . ... + соответственно - —= 1, (4) суть направления образующих их общего действительного асим- птотического конуса Эллиптический параболоид f + y = 2z, р>0, 9>0, (6) Г *7 имеет асимптотические направления {а: р: у}, удовлетворяющие уравнению 4 4-^=0; Р <7 8*
228 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ГЛ. VI и все эти направления мнимые, за исключением одного, а именно направления {0:0:7}, у=/=0, оси г канонической для данного параболоида системы координат. Асимптотические направления гиперболического параболоида у-^ = 2г, р>0, <7>0, (7) определяются условием Р!=0- Р Q это всевозможные направления, коллинеарные какой-либо одной (или обеим) из плоскостей Все эти направления действительны. Все прямые, являющиеся образующими асимптотического конуса (5) обоих гиперболоидов (4), суть асимптоты каждого из этих гиперболоидов; любая другая прямая асимптотического направле- ния пересекает двуполостпый гиперболоид _ Л! = 1 аа Ь2 т С2 1 в единственной точке; в случае одпополостного гиперболоида име- ются, кроме того, и прямолинейные образующие (известные нам из § 6 предыдущей главы). Все действительные прямые асимптотического направления по отношению к эллиптическому параболоиду (6) параллельны между собой (они параллельны оси z) и пересекают параболоид в един- ственной точке; читатель легко проверит это. У эллиптического параболоида нет ни действительных асимптот, ни (как мы уже знаем из предыдущей главы) действительных прямолинейных обра- зующих. Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к гиперболическому параболоиду (7), параллельна одной из двух плоскостей (8); она или является прямолинейной образующей (см. гл. VII, § 6), или пересекает параболоид в одной точке, или, наконец, не имеет с ним ни одной общей точки (является его асимптотой). Асимптотические направления конуса суть направления его образующих. Асимптот конус не имеет. Всякая прямая, имеющая по отношению к конусу асимптотическое направление и не явля- ющаяся его образующей, пересекает его в одной точке. Переходим к асимптотическим направлениям цилиндрических поверхностей.
S 4i АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 229 1° Асимптотические направления эллиптического цилиндра —+ — = 1 суть направления {а: 0 : у}, удовлетворяющие условию среди них действительным является лишь направление {0: 0: у}, у 0, оси г канонической системы координат. 2° Асимптотические направления гиперболического цилиндра дЗ *2 суть все направления, параллельные одной (или обеим) из двух плоскостей х + ^0, = а ' b ’ а b 3° Асимптотические направления параболического цилиндра У2 = 2рх суть все направления, параллельные плоскости </=0. Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к данному цилиндру, может находиться в любом из трех положений, пре- дусмотренных теоремой 2: эта прямая может быть образующей цилиндра, она может быть параллельной образующей и не иметь с цилиндром ни одной общей точки, наконец (в случае гипербо- лического и параболического цилиндров), она может пересекать поверхность в единственной точке. Асимптотические направления поверхности, распавшейся на пару плоскостей, суть направления, параллельные одной из этих плоскостей (или им обеим). Если все векторы, имеющие относительно данной поверхно- сти (1) второго порядка асимптотические направления, прилагать к какой-нибудь точке Л1о, за которую удобнее всего брать начало данной системы координат, то эти векторы (и их концы) запол- нят коническую поверхность с вершиной Мо; если Ма = (Ь, 0, 0), то уравнение этой поверхности есть <р(х, у, ?) = 0. Эта кониче- ская поверхность называется конусом асимптотических направле- ний данной поверхности. Если поверхность центральная, то конус асимптотических направлений с вершиной в центре данной поверхности называется просто асимптотическим конусом поверхности. Асимптотический конус гиперболоидов известен нам уже из главы VII; асимптотическим конусом эллипсоида является мнимый конус, заданный (в канонической для данного эллипсоида системе
230 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ГЛ. V!H координат) уравнением 4- ~ = 0. Конус асимптотических направлений параболоидов 2г = —± — Р Ч распадается в пару пересекающихся плоскостей, мнимых и сопря- женных: Р ' <7 для эллиптического параболоида, и действительных: *-^ = 0, р <7 для гиперболического параболоида. Асимптотический конус конической поверхности совпадает с самой этой поверхностью. Наконец, конус асимптотических направлений цилиндрической поверхности есть пара плоскостей — мнимых и сопряженных (пересекающихся по действительной пря- мой), если цилиндр эллиптический; пересекающихся действитель- ных, если цилиндр гиперболический (рис. 124, а); совпадающих (и действительных), если цилиндр параболический (рис. 124, б). Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отношению к данной поверхности асимптотическое направление, являются прямолинейные образующие этой поверхности. Прямая' (2), проходящая через точку Л10 = (х0, уй, ze) поверх- ности (1), является образующей этой поверхности, если для нее
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 231 выполнены условия Л=0, В = 0 (условие С = 0 выполнено авто- матически: оно означает, что точка Af0 лежит на поверхности (1)), Первое из этих условий, т. е. А = 0 или Ф(а> Р. V) = 0. (9) означает, что прямая (2) имеет асимптотическое направление; второе условие В = 0, т. е. Л(*о. Уо, z0)a + F2(x0, у0, Zo)$ + F3(xo, у0, zo)y = O, (10) означает, что прямая (2) лежит в касательной плоскости к поверх- ности (1) в ее точке Мо. Итак: Теорема 3. Прямолинейные образующие поверхности (1), про- ходящие через точку Л40 этой поверхности, суть не что иное, как прямые асимптотического направления, проходящие через точку Мо и лежащие в касательной плоскости к поверхности в этой ее точке. Замечание 1. Так как мы рассматриваем прямолинейные образующие, проходящие через данную точку Л)о поверхности, то для их нахождения нам п;гю только определить нх направляю- щие векторы. Но эгп векторы должны удовлетворять условиям (10) и (9). Из уравнения (10) можно, вообще говоря, одну какую- нибудь координату, например у, выразить через две другие—а и 0 и подставить полученные для нее выражения в (9); после этого квадратное уравнение (9) даст нам два значения (действи- тельных или мнимых) для отношения а: 0; этим и дан способ фактического нахождения прямолинейных образующих. Так как они лежат в ^касательной плоскости, то они и составляют ту (распадающуюся) кривую второго порядка, по которой касатель- ная плоскость в точке А1о пересекается с поверхностью (1). Рассуждение это делается несостоятельным, если одно из двух уравнений (9) и (10) является следствием другого, в частности, если уравнение (10) обращается в тождество, что имеет место, если поверхность (1) есть конус, а точка А40 = (х0, у0, г0) — его вершина; тогда Fi(x0, у0, z0) = Fi(x0, уа, z3) = F3(x0, у0, ^ = 0. Если же поверхность распадается на пару пересекающихся пло- скостей, то уравнение (9) эквивалентно двум линейным однород- ным уравнениям, определяющим двумерные векторные многообра- зия, соответствующие тем плоскостям, на которые распадается поверхность (1). Если вектор {а, 0, у} принадлежит векторному многообразию, соответствующему той плоскости, в которой лежит точка (х01 у0, 20), то уравнение (10) есть следствие уравнения (9). В противном случае уравнения (9) и (10) несовместны. Если поверхность нераспадающаяся и (в случае, когда она конус) точка 7И0 не есть вершина конуса, то все обстоит благо- получно, в чем читатель легко может убедиться, перейдя к кано-
232 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I [ГЛ. VIII ническим уравнениям соответствующих поверхностей. Полное исследование случая невырождающейся поверхности дается следую- щим предложением: Теорема 4. Касательная плоскость к невырождающейся поверх- ности второго порядка в данной ее точке Мо пересекается с этой поверхностью по паре различных прямых. Эти прямые и являются единственными двумя образующими поверхности, проходящими через точку Мо. Доказательство. Возьмем систему координат, началом которой является данная точка Л40, а плоскостью О'х'у' — каса- тельная плоскость к нашей поверхности в точке Ма. Так как начало координат Л4(| = 0' лежит на поверхности, то ее уравне- ние в выбранной системе координат будет иметь вид F' (х', у', z') zz a'Six'2 2а'11х'у' «Д//'2 -Д 2a't3x'z' + —2ai3y z -j- a33z 2iZ|X -Т 2а^у 2a3zf == О (свободный член равен нулю). Уравнение касательной плоскости в точке М = (0, 0, 0) имеет вид FJ(O, 0, 0)х'+^(0, 0, 0)y' + F'3(0, 0, 0)z'=0. Но эта плоскость есть плоскость г' = 0. Значит, Fi(0, 0, 0) = 0, ЛДО, 0, 0) = 0. (И) Так как /’’5(0, 0, O) = af, F*(0, 0, 0) = «.j, то равенства (11) озна- чают, что а\ — а[—-0, так что уравнение поверхности имеет вид F’(x', у', г')^а'цх'2 1 2a'tix'y' | а^у'2 | 2а',Лх'г’+ + 2а'иу'г' -|- а-иг'2 -|- 2a3z' = 0. (1') Решая его совместно с уравнением г' =0, получаем для кривой пересечения нашей поверхности с (касательной) плоскостью z' = 0 уравнение а'^х'2-\-2а'^х'у' +d^y'2 = 0. (12) Это —уравнение распадающейся кривой второго порядка. Если бы эта кривая была парой совпадающих прямых, то было бы I a'll a'lS I _Q I a»i aas I Но тогда aii ai» a'a 0 Д'= аа» аз» 0 ______________fZ,2|a** a'li I_Q aai aaa aaa aa 8 I a4i asa I 0 0 aj 0 И поверхность (1), вопреки предположению, была бы вырождаю- щейся. Теорема 4 доказана. Из нее вытекает такое
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 233 Следствие. Касательная плоскость к невырождающейся поверх- ности второго порядка в произвольной ее точке Мо пересекает эту поверхность по паре различных прямых, действительных или мни- мых сопряженных, а именно по паре проходящих через точку Мо прямолинейных образующих данной поверхности. Эти прямые имеют асимптотические для данной поверхности направления. Они действительны, если поверхность есть однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид-, они являются мнимыми для дву- полостного гиперболоида и эллиптического параболоида, а также и для эллипсоидов. Замечание 2. Аналитическим критерием для того, будут ли прямолинейные образующие, проходящие через неособую точку вещественной нераспадающейся поверхности, действительными раз- личными, мнимыми сопряженными или, наконец, действительными совпадающими, может служить знак детерминанта А: при Д>0 образующие действительны, при Д<0 они мнимые, при Д = 0 они совпадают. В самом деле, m инвариантности знака детерминанта Д мно- гочлена второй степени с 1ремя переменными относительно пере- хода от одной аффинной системы координат к другой (§ 1) выте- кает, что если Д = 0, то соответственно Д' = 0. Поэтому, если Д>0, то и Д' =—I > 0, и, следовательно, I01,1 а‘,2|<0. I aai ass I I aai ава I Линия пересечения поверхности (Г) с касательной плоскостью г' = 0, определяемая уравнением (12), есть пара прямых, прохо- дящих через вещественную точку 0'= Л1о, и так как Г,11 <0, Iаг 1 аа а I то в этом случае линия (12) распадается па пару вещественных прямых. Точно так же покажем, что если Д, а следовательно, и Д' — число отрицательное, то уравнение (12) определяет пару мнимых прямых. Предположим, наконец, что Д = 0 и, значит, Д' = 0; тогда из равенства Д' = — а'? | | вытекает, что | | = 0, так как если бы г" #=0, ^ = 0, то уравнение (1') определяло бы I aai ааа I коническую поверхность с вершиной в начале координат О , т. е. в точке Л40, а мы предположили, что точка Мо —неособая, сле- довательно, Г}1 а}‘ =0 и уравнение (12) определяет пару слив- |aal aS3| шихся прямых. Существенно отметить, что вопрос о том, является ли пересе- чение нераспадающейся поверхности второго порядка с касатель-
234 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Г {ГЛ. Vllt ной плоскостью к ней в данной неособой точке парой действитель- ных (различных или совпадающих) или мнимых прямых, решается для всех неособых точек поверхности одинаково; мы увидим, что решение этого вопроса вполне определяется аффинным классом данной поверхности. Геометрическая характеристика асимптотиче- ских и неасимптотических направлений для дан- ной поверхности второго порядка. Совершенно также, как в случае кривых, мы доказываем следующее предложение, аналогичное теореме 1 главы VI (§ 3): Теорема 5. Пусть F(x, у, z) = 0 (1) — поверхность второго порядка, не все точки которой лежат водной плоскости. Если (а : р : у} — направление, неасимптотиче- ское для данной поверхности, то существует прямая втого направ- ления, содержащая ровно две различные точки поверхности (1). Напротив, всякая прямая, имеющая асимптотическое для данной поверхности (1) направление {а: р: у}, или целиком состоит из точек, лежащих на поверхности (1), или же содержит не более одной точки, лежащей на поверхности (1). Надо доказать лишь утверждение, касающееся неасимптоти- ческого направления {а:р:у}. Через каждую точку (х0, у0, г0), лежащую на поверхности (1), проводим прямую х = х« + а/, '/ = //,, +1'/. 2 = Z„+y/ (2) направления {а:р:у}. Требуется доказать, что не все эти пря- мые являются касательными к поверхности (1). Предположим противное: пусть каждая прямая (2) касается поверхности (1) в соответствующей точке (х0, у0, г0). Тогда имеет место равенство B^Fx(xQ, у0, г0)а + Е2(х0, у0, z0)$+F3(x0, у0, г0)у = s (аиа+аир + а13у) х0 4- (д21а+а22Р + о23у) у0 4- + (а31а + а32р + а33у) г0+(а2а + а2р + а3у) = 0. Среди коэффициентов аиа + а12р 4-0isV> а21а 4-а22Р4-а2зУ> а31а4-а32р +азз? при х0, 'у0, z0 по крайней мере один отличен от нуля; в противном случае мы бы имели одновременно «А1а4-«*2₽4-а*зТ = 0. ^=1, 2, 3. Умножая эти равенства соответственно на а, р, у и складывая, мы бы получили апа« 4- 2а12ар 4- -J- 2а13ау -f- 2аяРу 4- а33уг = О,
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 235 т. е. направление {а: 0 : у} было бы, вопреки нашим предполо- жениям, асимптотическим. Итак, равенство 4" aisP 4" ai&)хо + (я«1а 4" ^220 4" ^аз?) Уо 4" + (о31а + а32р + а33у) ze + (аха 4- 0^0 4- ад») = 0 (13) представляет собой уравнение первой степени относительно х0, Уо, 20, которому удовлетворяют все точки х0, у0, za, лежащие на поверхности (1). Все эти точки лежат, таким образом, на пло- скости, определяемой уравнением (13),— вопреки предположению. Теорема доказана; § 5. Центр поверхности второго порядка Пусть снова даны: произвольная аффинная система коорди- нат Охуг, поверхность второго порядка с уравнением F(x, у, ?)-0 (1) и прямая х = х0 ф at, У = Уо+№, 2 = г0 + у( (2) пеасимптотического направления. Точки пересечения прямой (2) с поверхностью (1) суть точки М1 = (Х1» У1> *1) и М2 = (х2, уъ г2), где х1 = х0 + аЛ. Л = Уо + 0/1, Zi = Zo+y4, *2 = *о + а*2> Уг = У0 + &2, Z^Zo + yfj, а и /2 суть корни квадратного уравнения Д?Ч-2ВМ-С = 0, в котором коэффициенты А, В, С суть Л=<р(а, ₽, у), B = F1(x0, у0, z0)a + F2(x0, у0, z0)₽ + F3(x0, уа, za)y, C = F(x0, уо, z0) (3) (4) и, как всегда, Fл (*о> Уа> го) = ЯаЛ 4* O!*2i/o 4" а*зго 4-й*» k = 1, 2, 3, (5) Точка Afo = (*o, f/o, го) является серединой отрезка М^М.^ тогда п только тогда, когда одновременно aIl+k = o, 0/l±k = o, yA+^ = 0, м
236 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА I (гл vm т. е. (так как среди чисел а, р, у по крайней мере одно отлично от нуля) когда ^4-/2 = 0. 11о + /2 =------. следовательно: Тогда и только тогда точка М0 = (х0, уй, 20) есть середина отрезка М±М2, когда B = Q, т. е. когда Л(*о. Уо, z0)a-j-F2(x0, у0, z0)P + F3(x01 у0, zo)y = O. (6) Теперь возникает вопрос: нет ли такой точки Мо = (х0, у0, г0), которая являлась бы серединой всякой хорды, через нее проходя- щей? Заметим, что такой точкой Мо является всякий центр сим- метрии нашей поверхности (если он существует). Итак, мы ищем те точки 2И0 = (хп- У», z0), для которой усло- вие (6) выполняется при любом выборе пеасимптотического направ- ления а : р : у. Докажем, что для искомых точек Mo=>(a:o, у0, г0) должны одновременно удовлетворяться равенства Fi(x0, у», го) = 0, F2(x0, у0, zo) = O, F3(x0, у0, го)=0. (7) Лемма. Для всякой поверхности второго порядка (1) можно найти три неасимптотических направления, не компланарных между собой. В самом деле, рассмотрим множество всех точек М — (х, у, г), удовлетворяющих уравнению Ф(х, у, z)^saliXi + 2al2xy + a2.iy2-(-‘2al:l\-z + 2a1..lyz + a3azi = 0. (8) Точки М (г, г/, г), удопленюряющие -ному уравнению, и только они обладают тем свойством, чго век гор ()М = {х, у, z\ имеет асимптотическое направление. В плоскости z= 1 уравнение (8) определяет кривую второго порядка аиха + 2а12ху + а22г/2+2а13х + 2а23у + а33 = 0 (9) (быть может, если ап = а12 = а22 = 0, вырождающуюся в прямую). Возьмем на плоскости г = 1 три неколлинеарные точки М.± = = (“1. Pl. Т1). М2 = («2. Рг. va). Л43 = (а^рз, у3), не лежащие на кривой (9). Тогда 0М1 = [а1, рр уД, 0М2 = {а2, р2, уа}, 0М3 — = 1аз, Рз. Уз} дадут нам три некомпланарных неасимптотических направления. Лемма доказана. Итак, пусть {аь р1( уД, {ag, р2, у2}, {а3, р8, у8}-три неком- планарных направления, не асимптотических по отношению к по- верхности (1). Для каждого из них должно по предположению выполняться равенство (6), т. е. должно быть одновременно Fi(x3, у0, z0)ai, + F2(Xa, у0, 20)Р* + + /7з(*о> Уь, 2o)T*=0, fe = l. 2, 3, (10)
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 237 Но векторы {аъ 0Х, уД, {а2, 02, у2}, {а3, 03, у3} не компланарны, т. е. в матрице «1 Pi Yi а3 Pi Ya а3 р3 Ya строки, а значит, и столбцы линейно независимы, а это значит, что в равенствах (10) коэффициенты Уо, ?о). F2(x0, у», г0), F3 (xo,J/o> zo) должны равняться нулю. Утверждение доказано: всякий центр симметрии М0 = (х0, у0, z0) поверхности (1) удов- летворяет равенствам Fk(x0, уо, zo) = O, k=l, 2, 3, или, в развернутом виде, а1цХ0 + а^Уо + 4" аь = 0, k = 1, 2, 3. (П) Докажем теперь обратное предложение. Всякая точка Мп — (хп, у„, г„), координаты которой удовлет- воряют уравнениям (II), сеть центр симметрии поверхности (1). Для доказательства вспомним (гл. IV, § 2), что при замене переменных х = х' + х0. У = У'+Уо, 2=z' + z0, соответствующей перенесению начала координат в точку Мо — = (х0, Уо, z0), многочлен F (х, у, г) переходит в многочлен F' (х', у', г') = <р(х', у', z') + 2a'1x' + 2a^'4-2a32'+aj, в котором коэффициенты а\, а2, а3, а'о суть а1= аиЛо 4" а1ъУо 4* а1зго + ai, Оа = ^21*0 + ^агУо 4" аазго 4* я2, а8 = аз1Л'о4"йза!/о4”аззго4_аз> ao — F{Xo, Уо, го)- Итак, если, сохраняя единичные векторы системы координат Oxyz, мы перенесем ее начало в точку Л40=(х0, у(„ г0) = О', удов- летворяющую уравнениям (11), то в полученной таким образом новой системе координат O'x'y'z' уравнение поверхности (1) будет F' (%', у', г') = аих'2-J- 2а1ах'у' + а^у'2 + 2а13х'г' -f- + 2a23y'z'+a33z'2 + ao = O, (V) где a'o = F(xo, у0, г0). Из этого уравнения ясно, что новое начало координат О', т. е. точка Мо, есть центр симметрии поверхности (Г). Утверждение доказано. Заметим, что уравнения (11) решаются однозначно тогда и только тогда, когда он flij Д1з бе аа а33 =И=0, а31 а33 овд
238 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. f [ГЛ. vnr т. е. дискриминант квадратичной формы <р(х, у, г) отличен от нуля. Поверхности, удовлетворяющие этому условию, принято называть центральными-, это те поверхности второго порядка, которые имеют центр симметрии, и притом только один. Пусть поверхность (1) является центральной, т. е. пусть 8#= О (или, что то же, г = 3), а значит, поверхность (1) имеет един- ственный центр О' = (х0, у0, г0). Положим a'(l = F(x0, уа, г0) и перенесем начало координат в точку О' = (х0, у0, г0). В получен- ной таким образом новой системе координат О'х'у'г' (единичные векторы которой суть те же, что и в первоначальной системе Охуг) уравнение (1) нашей поверхности принимает вид F'(x', у’, г’) ^аих'2-[-2(112х'у'-1~а2.,у'2-1-2а,3х'г'+ -|-2п..)'/г'-|-п:нг'2 + ^ = 0. (1') Заметим, что большой детерминант Д'= А многочлена F' (х', у’, z') есть Яц <212 а13 О Д = 021 012 023 ? = а£8, а31 а32 а33 О О О О а'„ т. е. aj = —= F(x0, Уо, ги). (12) Итак, в любой системе перинных координат, начало которой есть единственный центр цеи1ра<п,пой поверхности (1), уравнение ©той поверхности имеет вид F'(x', у', г') = ф(х', у', г')+-у = 0, где <р(х', у', z') = a11x'24-2a12xV + a22y'24-2a13x'z'+2a23y'z,4-a33z'2. Если Д=#0, то и aj = -y = /’(xo, у0, zo)=#0. Разделив с самого начала обе части уравнения (1) на —F (х0, у0, z0), можем пред- положить, что aj = —1, т. е. что уравнение (Г) имеет вид <₽« у', г')=а s Oix%' Ч~ 2й12х'у' + <z22y'2 + 2a13x'z' -f- 2ai3y'z' -j-a^z' — 1 • Если же Д = 0, то уравнение (1') имеет вид Ф« у', z')saux'24-2a12xV + а32у'2 + 4- 2alax'zr + 2a23y'z' + a33z'2 = 0.
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 23Э В нецентральном случае, т. е. в случае 6 = 0, ранг г матрицы |а»1 aii °1з II аа °зз С31 °3i Я33 У не превосходит 2. В этом случае уравнения (11) либо несовместны, и тогда поверхность не имеет ни одного центра, либо система этих уравнений совместна, и тогда точки, являющиеся решениями, заполняют целую прямую (при г = 2) или целую плоскость (при г = 1). Выясним, наконец, когда центр (или один из центров) Л40 = = (х0, Уо> 2о) поверхности (1) лежит на самой этой поверхности. Для этого нужно,'чтобы кроме равенств (11) имело место еще и равенство F (х0, у0, г0) = 0. Как было установлено в § 3, послед- нее равенство при выполнении равенства (11) эквивалентно равен- ству а^о + агу0 + ^зго+ао = 0- Другими словами, необходимое и до- статочное условие для того, чтобы точка Л40 = (х0, у0, z0) была лежащим на поверхности (1) центром этой поверхности, заклю- чается в том, чтобы координаты точки удовлетворяли системе четырех уравнений: ( ^А + а*,2г/о + Цлз2о4-а* = О, 4 = 1, 2, 3, I ал 4-адо+ад)+ав=о. * ' Как мы уже напоминали в § 3, система этих уравнений сов- местна, лишь когда равен нулю детерминант Оц ЙЦ С13 01 д _ Оя flri 4г Оя сзг азз я# о^ О2 О3 Оо т. е. когда поверхность (1) является вырожденной. Точка Л10 = (.Го, уп, гц), удовлетворяя уравнениям (13), есть особая точка поверхности (см. конец § 3). Итак, лежащий на (вырожденной) поверхности центр ее является особой точкой поверхности1). Мы увидим в следующей главе, что особые точки имеются лишь у следующих поверхностей второго порядка: 1) Конус: единственная особая точка, являющаяся вместе с тем единственным центром конуса, есть его вершина. 2) Пара пересекающихся плоскостей: прямая пересечения этих плоскостей есть вместе с тем прямая центров распавшейся поверх- ности, совпадающая с множеством ее особых точек. 3) Поверхность, являющаяся парой совпадающих плоскостей, вся состоит из особых точек: каждая из них есть центр поверх- ности. 1) Мы видели в § 4, что касательная плоскость в особой точке поверхно- сги перестает быть определенной,
ГЛАВА IX ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II § 1. Диаметральные плоскости. Особые направления 1. Плоскость, сопряженная данному неасимптотическему на- правлению. Пусть (в какой-нибудь аффинной системе координат) дана поверхность второго порядка F(x, у, г) = <р(х, у, г) + 21(х, у, z) + ao = 0, (1) где, как всегда, <р (х, у, г) = апх2 4- 2а12ху + а22у2 + 2a13xz + 2а23уг + a33z2, 1(х, у, гУ^с^х+а^+^г. Рассмотрим совокупность всех прямых d, имеющих одно и то же неасимптотическое для данной поверхности направление Каждая такая прямая d пересекает поверхность (1) в двух точках /И?, М2 (вещественных, бып> молам, совпадающих или мнимых сопряженных), отрезок называется хордой, высе- каемой на данной прямой d поверхностью (1). Уравнение прямой d записывается в виде х = х0-|-а/, У = Уо + &, Z=20 + yt, (2) где Л40 = (х0, у0, г0) —какая-нибудь произвольно зафиксированная точка этой прямой. Точка Л40 = (х0, t/о, г0) прямой d тогда и только тогда явля- ется серединой хорды, высеченной из этой прямой поверхностью (1), когда выполнено условие ?1(х0, у0, z0)a4-F2(xe, Уо, Zo)₽+F3(x0, Уо, z0)y = Q, (3) где, как всегда, положено Fk(x0, Уо, z0) = aftlx0 + aA2y04-W84-«A. 2, 3. (4)
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 241 Перепишем уравнение (3), внося в него значения Flt F2, F3 из (4) и отбрасывая индекс нуль у координат. Получим (аиа+а^р + а31у) х + (а12а + + а32у) у + + (а13а + амр + а33у) z + (ata + а2р + а3у) = 0. (3') Уравнению (3'), которое есть уравнение некоторой плоскости удовлетворяют все те и только те точки, которые являются сере- динами хорд, высекаемых поверхностью (1) из всевозможных прямых направления {а:Р:у}. Другими словами: плоскость (3') есть геометрическое место середин хорд поверхности (1), имеющих направление {а: р : у}; эта плоскость называется плоскостью, сопря- женной направлению {сс.: р : -у} относительно поверхности (1). Замечание 1. Плоскость лару> сопряженная данному направле- нию, определена геометрически как геометрическое место середин хорд направления {а: р: у}, поэтому она не зависит от выбора той или иной системы координат. 2. Плоскость, сопряженная асимптотическому направлению; общее определение диаметральной плоскости. В определении пло- скости, сопряженной данному направлению, предполагалось, что это направление пеасимптотичсскос Это предположение обосно- вано, так как из прямой асимптотического направления поверх- ность не высекает никакой хорды. Однако уравнение (3') может иметь смысл и для асимптоти- ческого направления {а:р:у}; определенную этим уравнением плоскость мы будем и в случае асимптотического направления {а: Р • у} называть плоскостью, сопряженной направлению {а: р : у}. Наконец, назовем какую-нибудь плоскость диаметральной плоскостью поверхности (1), если существует (хотя бы одно) на- правление, неасимптотическое или асимптотическое, для которого эта плоскость является сопряженной относительно поверхно- сти (1) Уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направле- нию {а: р . у}, всегда будем писать в виде Lx + M.y-\-Nz-\-P = (5; где £ = аца + а12Р4-а13у, Л4 = а21а + а22р + а28у, N = а31а 4- а32р + а33у, Р=а1а+а2р + а3у. Замечание 2. Диаметральную плоскость, сопряженную на- правлению {а: р: у}, будем называть, когда это покажется удоб- ным, и плоскостью, сопряженной любому вектору этого на- правления.
242 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. И [ГЛ. IX 3. Простейшие свойства диаметральных плоскостей, Пусть (х0, у0, 20) — точка, являющаяся центром поверхности (1) (может быть, не единственным). Тогда Fj (х0. Уо, ze) = Fi6(x0, у^ z0) = Fa(xo, у0, zo) = 0, и уравнение (3) (или, что то же, уравнение (3')) удовлетворено при любых а, р, у. Другими словами: I. Всякая диаметральная плоскость содержит все центры дан- ной поверхности. Мы увидим (в § 2, пп. 1 и 2), что если поверхность (1) имеет хотя бы один центр, то верно и обратное предложение: Всякая плоскость, содержащая все центры данной поверхности, является ее диаметральной плоскостью. II. Точка Мо, принадлежащая всем диаметральным плоскостям (или хотя бы всем тем из них, которые сопряжены неасимптоти- ческим направлениям), является центром поверхности. В самом деле, точка М0 = (х0, у9, г9) есть середина проходя- щей через нее хорды любого неасимптотического направления, а это означает (гл. VIII, § 5), что удовлетворены уравнения центра Уо, z0) = F4(x0, г/0, z0) = F3(x0, уй, zo) = 0. III. Если для данного асимптотического направления {а: р: у} существует сопряженная ему плоскость, то она параллельна на- правлению {а:Р:у}. Обратно, если направление {а : 0 : у} парал- лельно сопряженной ему плоскости, то это направление является асимптотическим. В самом деле, непосредственным подсчетом проверяется, что La4-AiP4-Vys=<p(a, р, у). (7) Условием параллельности вектора {a, р, у} и диаметральной пло- скости Lx + Му -|- Nz 4- Р = О является равенство La + Mp + My = 0, т. е. <р (а, р, у) = 0, это равенство означает, что вектор {та : р : у} имеет асимптотическое направление. IV. Пусть вектор и = {а, р, у) есть линейная комбинация векторов рь уД и иа = {а2, ра, уа}, т. е. а = XjtXi 4~ Р — XtPj 4- XtPa, Т = >1У14-^У«.
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 243 Если векторам их и и, сопряжены диаметральные плоскости Hj и л4, то плоскость является диаметральной плоскостью, сопряженной вектору и. Возьмем уравнения плоскостей, сопряженных соответственно направлениям {а: 0: у}, {cq : 0Х: Yi}, {а4: 0а: у4}. Коэффициенты этих уравнений обозначим соответственно через L, М, N, Р, Llt Mlt Nlt Рх, l2, мг, n2, p2, причем из самого определения (6) этих коэффициентов следует, что L = “К М = XjAf 1 -|- ХаЛ1а, р- >.tpt । кгр2. Геометрическое содержание полученного важного результата таково: IV'. Пусть векторам ux, иа сопряжены соответственно плоско- сти ль л2. Тогда всякому вектору и, компланарному обоим век- торам их и иа, сопряжена плоскость л, принадлежащая пучку плоскостей, определенному плоскостями лх и ла. Значит, если плоскости лх и ла пересекаются, то плоскость л проходит через прямую их пересечения, а если они параллельны, то и плоскость л им параллельна. 4. Особые направления. Посмотрим, не может ли случиться, что для данного направления не существует сопряженной ему плоскости. Очевидно, это произойдет тогда и только тогда, когда в уравнении (5) все три коэффициента L, М, N при переменных х, у, z обращаются в нуль. Тогда система однородных уравнений L = апа +#а1а0 + а13у = О, М = аа1а + 0^0 4- аазу = О, А, = а31а + аз20+а3эТ = 0 . (8) определяет направление {а: 0 : у}. Определение. Направление {а: 0 : у} называется особым, если оно удовлетворяет системе уравнений (8). В главе VIII, § 1, мы назвали малым рангом поверхности (1) ранг квадратичной формы <р (х, у, г), т. е. ранг г матрицы — ан а14 а13 aai ам а2з я» азз
244 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ. IX Из определения особого направления непосредственно следует предложение: поверхность малого ранга г имеет 3 —г и не более линейно независимых особых направлений. В частности, центральные поверхности (для них 6^0 и, зна- чит, г = 3) вовсе не имеют особых направлений. Умножая первое из уравнений (8) на а, второе на 0, третье на у и складывая, получаем La. + Л40 + Ny = <р (ос, 0, у) = 0; всякое особое направление является асимптотическим. Итак, только в нецентральном случае и только асимптотическое направление может оказаться особым', для всех неособых направлений сопряжен- ная плоскость существует и определена однозначно. Посмотрим, какие имеются особые направления поверхностей различных типов. Параболоиды и центральные цилиндры (вклю- чая поверхности, распадающиеся в пару пересекающихся плоско- стей) суть поверхности, для которых г = 2; у них имеется един- ственное особое направление. Если эти поверхности даны своими каноническими уравнениями: 2z = у zk у (параболоиды), (центральные цилиндры), х2 - и2 п , «. ui- h‘ (чары пересекающихся плоскостей), то их единственным особым направлением является направление {0:0:1}, т. е. направление оси Oz. В этом сразу убеждаемся, написав для наших канонических уравнений уравнения (8), опре- деляющие особые направления; это будут — а = 0, — 0=0, 0 = 0. Р ' <1 г ' В случае центральных цилиндров (и пары пересекающихся плоско- стей) полученное направление есть направление прямой центров рассматриваемой поверхности. Для эллиптического параболоида особое направление является и единственным вещественным асимптотическим направлением; то же справедливо и для эллиптического цилиндра. Но во всех че- тырех случаях (эллиптических и гиперболических параболоидов и цилиндров) единственное особое направление есть направление (вещественной) прямой пересечения тех двух плоскостей (вещест- венных или мнимых), на которые распался конус асимптотических
14] ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 245 направлений поверхности, а именно плоскостей: 4= + -у= — 0, -т= — 4L = 0 для гиперболического ' 1 ГР ' 1 параболоида; X , it) л X iy п ~г= 4- -2= = 0, -*= — -г2-= = 0 для эллиптического г р ' ч ' Р г q параболоида; = 0, —-------|- = 0 для гиперболического а а цилиндра; X , ill п X ill г. ----------------------1—2- = 0, —-----------= ® для эллиптического цилиндра °---------------------(вещественного и мнимого). Для поверхностей, у которых г=1, имеется два независимых особых направления; значит, особыми являются все направления, параллельные некоторой плоскости. Так обстоит дело у парабо- лического цилиндра у2= 2рх и у пары параллельных плоскостей 1/г = С. И в том и в другом случае уравнения (8) превращаются в 0 = 0, 1-0 = 0, 0 = 0; им удовлетворяют все векторы {а, 0, у}, у которых 0 = 0, а а и у какие угодно, т. е. все векторы, параллельные плоскости «/ = 0. Так как конус асимптотических направлений параболического цилиндра вырождается в пару слившихся плоскостей у2 = 0, то все асимптотические направления параболического цилиндра явля- ются особыми. Легко доказывается следующее предложение: V. Для того чтобы направление {X: ц: v} было особым, необхо- димо и достаточно, чтобы оно было параллельно всякой диамет- ральной плоскости. В самом деле, пусть дана диаметральная плоскость Lx+My + Nz + P = 0, (5) сопряженная направлению {а: 0 : у}, так что £ = апа4-а1204-а13у, М = a 4- 0220 4-^зТ. W=O3ia 4-03204-0,3?, Р = а1а4-а204-аз?. Условие параллельности направления {%: ц: v} плоскости (5) есть U4-Mh4-Wv = 0, (9)
246 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ. (X Подставляя в это равенство значения L, М, N из (6), рас- крывая скобки и по-новому группируя члены, переписываем ра- венство (9) в виде (Дц% + а21р 4" O31V) а + (^12^+ °22Н + #32V) Р + + (а13%+а23р. + а^)у = 0. (10) Если направление (%: р:v} особое, то выражения в скобках, яв- ляющиеся коэффициентами при а, Р, у в равенстве (10), равны нулю, и условие параллельности направления {1: ц: v} плоскости, сопряженной любому направлению {а:р-. у}, выполнено. Первое утверждение предложения V доказано. Докажем второе утверждение. Итак, известно, что для дан- ного направления (Х:р: v} и любого (неособого) направления {а : Р : у| выполнено условие (10); требуется доказать, что направ- ление {X: р.: v} особое. Берем три некомпланарных неасимптотических направления {«1 Pi Vi}. {«2 Рг '• Уг}. {«з: Рз: Уз}— такие существуют для всякой поверхности второго порядка в силу леммы § 5 главы VIII—и пишем для них уравнения (10): (йцХ + Й21Р 4“ a31V) а1 4“ (й12^4~ a22P + fl32v) Pi + 4- (^13 X 4- агаР + assv) 7i — (aHA + a21p 4- a8Iv) a2 4- (a12X 4- 4- a82v) p2 4- 4“ («laA. 4- a2.l|l -h H;|;|V) y2 = 0, (onX + п21ц 4-«slv) «;i4-(«iaA4-<uji 4-H3«v) P3 4- + ("iA4-fl2.iP 4- fbi.-i’w) 7з =0- (11) Так как векторы (a,, р1? yj, {a2, P2, y2}, {a3, P3, y3} не компла- нарны, то строки, а значит, и столбцы матрицы «1 Pi Vi а2 Рз Та ®з ₽з Тз линейно независимы. Значит, 01^4-0^ + ^ = 0, 6=1, 2, 3, т. е. направление {X : р : v} особое. Предложение V доказано. Докажем в заключение этого параграфа следующее предло- жение: VI. Плоскости и л2, сопряженные относительно данной поверхности (1) двум различным направлениям {ctj: : yi} и {а2: Р2 '• Уг}. тогда и только тогда параллельны между собой, когда плоскость п, несущая оба направления {eq: рх: у4 и {«2:Р2:_ у2}, параллельна (некоторому) особому направлению поверхности (1).
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ 247 Доказательство. Обозначим коэффициенты при х, у, z в уравнении плоскостей, сопряженных направлениям соответственно {ct2: ₽2: у2}, через Llt Mlt Nit соответственно Lit М2, N2‘, запишем условие параллельности этих плоскостей в виде пропорции Ь2 Д4» N 2 At' ИЛИ ^1^-1 "Ь ^2^2 — 01 Х-,Л4-, -j~ Х2Л42 = О, 1 -j- 2 ~ 0. Подставляя сюда значения Ll = П1 1Г/-1 + а12РJ + а13?1> ^2 — Я11а2 ~Ь а12Рг + й13?2, А?! = fl2Ia1 + a,2p, Ч-ц,,Y1. М. = а2Ха2л..,02 Ч-ад2, Д\ = -|- о..,.,Pj -I- ад,, N2 = n31rz2 + </32|i2 Ч-ад2, получаем после раскрытия скобок и перегруппировки членов равенства: aAi (%!«! + AjO^) + #*2 P“i Pi +^гРг) + (^iVi + ^2 V2)= Л = 1, 2, 3, по-прежнему выражающие необходимое и достаточное условие параллельности (в широком смысле слова) плоскостей nj и л2. Но эти же равенства выражают условие, необходимое и достаточ- ное для того, чтобы направление (Х,ах + ^2аг) '• (^iPi + ^гРг): (^171 + ^2Уг)> очевидно, лежащее в плоскости л, было особым, т. е. чтобы пло- скость л была параллельна некоторому особому направлению. Предложение VI доказано. § 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов 1. Центральные поверхности (поверхности с единственным центром). Докажем, что: Всякая плоскость, проходящая через (единственный) центр поверхности второго порядка F(x, у, г) = 0, (1) является диаметральной плоскостью, сопряженной некоторому однозначно определенному направлению {а: р : у}.
248 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. П Доказательство. Предположим, что начало координат находится в центре поверхности. Тогда уравнение поверхности записывается в виде <р(х, у, z) + ao = O, а уравнение данной плоскости, проходящей через центр,—в виде Ах-\-Ву + Сг = 0. Для определения направления {а: р: у}, для которого эта пло- скость является сопряженной, надо решить систему уравнений а11а + а12р + а13у = Л, л21а -I- а22р + а2Яу = В, аЯ1а 4-азгР + а33у = С, что и делается однозначно ввиду того, что детерминант этой си- стемы есть 6^=0. 2. Поверхности с прямой центров и с плоскостью центров. Поверхности с прямой центров суть «центральные цилиндры», т. е. цилиндры над некоторой центральной (быть может, распадающейся) кривой второго порядка. В надлежаще выбранной аффинной си- стеме координат уравнение такой поверхности имеет вид х2± г/а4-ао = 0. (2) Единственным особым направлением поверхности (2) является (как показывает непосредственная проверка) направление вектора {0, 0, 1}, т. е. направление оси z выбранной координатной системы. В этой же координатной системе уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направлению {а: р : у}, есть ах ± р«/ = 0. Итак, всякая плоскость, проходящая через прямую центров, и только такая плоскость является диаметральной плоскостью нашей поверхности, а направление прямой центров есть (единст- венное) особое направление. Мы знаем (предложение VI § 1), что всяким двум направлениям, лежащим в некоторой плоскости, параллельной особому направ- лению поверхности второго порядка, сопряжены диаметральные Елоскости,' параллельные между собой. В данном случае для поверх- ости (2) эти плоскости совпадают: два направления, не коллинеар- ные (единственному) особому направлению поверхности (2), т. е. Направлению оси г, лежащие в плоскости, параллельной оси г, задаются векторами вида {а, р, у!} и {а, р, у2},
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ 249 гда по крайней мере одно из чисел а, р отлично от 0. Обоим этим направлениям сопряжена относительно поверхности' (2) диаметральная плоскость ах±0у = О (знаки при $у соответствуют знакам при у2 в уравнении (2)). Конус асимптотических направ- лений поверхности х2 — у2 + а0 = 0 распался на пару действительных плоскостей x+y = Q, (nJ х-у = 0. (л2) Каждому направлению, лежащему в одной из этих плоскостей и коллинеарному оси г, например направлению {1:1 :у}, лежащему в плоскости ла, сопряжена сама эта плоскость. Если поверхность (1) имеет плоскость центров, то эта плоскость и является единственной диаметральной плоскостью поверхности (1) (так как всякая диаметральная плоскость должна содержать все центры поверхности). Все направления, параллельные плоскости центров, являются особыми. Поверхность, имеющая плоскость центров, распадается на пару параллельных плоскостей; сама плоскость центров есть средняя плоскость между двумя плоскостями, составляющими данную поверхность; направления, параллельные этим плоскостям, суть асимптотические для нашей поверхности; все они особые. Остается рассмотреть тривиальный случай двух слившихся плоскостей л. Здесь каждая точка плоскости л есть центр поверх- ности, значит, имеется одна-единственная диаметральная пло- скость — сама плоскость л. Она есть геометрическое место всех хорд поверхности, каждая из которых вырождается в пару своих слившихся концов (и определяется прямой, не параллельной плоскости л). Все направления, параллельные плоскости л, являются особыми. 3. Поверхности без центров. Малый ранг такой поверхности равен или двум (параболоиды), или единице (параболический ци- линдр). Мы уже видели, что единственным особым направлением параболоида (гиперболического или эллиптического) является на- правление прямой пересечения d тех двух плоскостей rtj и л2, на которые распался конус асимптотических направлений пара- болоида. В силу предложения V всякая диаметральная плоскость параболоида параллельна этой прямой d. Докажем, что и, обратно, всякая плоскость, параллельная единственному особому направ- лению параболоида, является его диаметральной плоскостью. Для этого воспользуйся уравнениями х2+у2 = 2г (3) и х2 — у2 - 2г (4)
280 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНбСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ. ОС соответственно эллиптического и гиперболического параболоидов в надлежаще выбранной (аффинной) системе координат. Диаметральная плоскость, сопряженная направлению {а : 0 : у}, будет в той же системе координат иметь уравнение ax + 0z/-y = O, соответственно ах — 0# — у = 0. Очевидно, всякая плоскость, параллельная оси z, может быть при надлежаще подобранных а, 0, у задана каждым из этих уравнений, причем различным направлениям сопряжены различные диаметральные плоскости. Итак, диаметральными плоскостями параболоида являются все плоскости, параллельные (единственному) особому направлению параболоида, и только они. Замечание 1. Из доказанного следует, что всякая плоскость, параллельная диаметральной плоскости параболоида, сама является диаметральной плоскостью этого параболоида. Замечание 2. Пусть поверхность (1) есть параболоид. Наряду с ней будем рассматривать пару плоскостей nj и л2, на которые распался конус асимптотических направлений <р (х, у, z) = 0 (5) параболоида (1). Обе поверхности (1) и (5) имеют, очевидно, одни и те же асимптотические и одно и то же (единственное) особое направление. Легко проверить также, что плоскости, сопряженные относительно поверхностей (1) и (5) одному и тому же направлению {а: 0:у), параллельны (коэффициент)a L, М, N в уравнениях этих плоскостей будут одни и те же). Но мы видели, что для поверхности (5) плоскостью, сопряженной асимптотическому направ- лению, лежащему в данной плоскости л{, i — 1, 2, будет сама эта плоскость пг. Поэтому диаметральная плоскость параболоида (1), сопряженная (неособому) асимптотическому направлению {а: 0 : у}, параллельна той из двух плоскостей лх, л2, которая несет на себе направление {а: 0:у}. Переходим к параболическим цилиндрам. Конус асимптотических направлений параболического цилиндра у*=>2рх (6) вырождается в пару совпадающих плоскостей № = 0 («дважды взятая» плоскость у — 0). Так как у параболического цилиндра имеется двумерное мно- гообразие особых направлений, то все асимптотические направления параболического цилиндра являются особыми.
СОПРЯЖЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 251 Докажем, что диаметральными плоскостями параболического цилиндра (6) являются все плоскости, параллельные плоскости у —О, и только они. Это непосредственно следует из того, что плоскость, сопряженная направлению {а: ₽ : у} относительно поверхности (6), имеет урав- нение Ру — ра = 0. § 3. Сопряженные направления Пусть дана поверхность второго порядка, определенная в неко- торой аффинной системе координат уравнением F (х, у, z) = <p(x, у, z) + 2/(x, у, z)4-oa=0, (1) Ф (х, у, z) s апха + 2а12ху4-а22у* + 2а13хг + Ъц^уг+а33г2, I (х, у, г) atx + + а3г. Квадратичная форма ср(х, у, г) определяет билинейную функцию ¥(1Ц, u2) от двух векторов: если и,, и2 —два произвольных вектора, заданных своими координатами в выбранной нами системе коор- динат Oxyz: = Pi, Yi}, u2 = {a2, p2, y2}, TO ^(Uj, ръ yr; a2, p2, y2) = = auaia2 + a12 (сцр2 + + a22pip2 + a13 (afl, + «гУ1) + + (Pi % + Ра%) + <%э'й'й- (2) Билинейная функция ¥ не зависит от выбора системы коорди- нат: если мы возьмем другую систему координат Ox'y'z’, то век- торы иг и о2 получат координаты aj, Pi, yj, соответственно оц, р2, у2, а форма ![)(«!, Pi, Ун а„, р2, у2) перейдет в форму ф' (сц, PI, у!; a2, PJ, у2), причем если векторы 1ц, и2 имели в ко- ординатных системах Oxyz и Ox'y'z' соответственно координаты а1г Р1> ?1‘, «'1, Pl, У'1 « «2, Ра, Ъ; «а, Ра, Та, ТО Ф(«1. Pi, Yil «а, Рг, Уг) («I, PL Ть <4, Ра, Уа), так что имеет место тождество ¥(111, и2)^ф(а1, рь ур a2, р2, у2)==ф'(а;, pl, yj; a2, Р£, у2). (2') В частности, если для каких-нибудь двух векторов ub и2 имеем ¥(11!, и2) = 0, то этот факт не зависит от того, как мы выбрали координатную систему, в которой задавалось уравнение (1) по- верхности. Определение. Два вектора ux, и2 называются сопряжен- ными относительно поверхности (1) (или относительно квадратич- ной формы ф(х, у, z) старших членов уравнения этой поверхности
252 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. П [ГЛ. IX в любой системе координат), если для этих векторов Т(И1, и2) = 0. Если векторы ах, u2 заданы в системе координат Охуг своими координатами «1 = {«1. Pi. Vi}» «2 = {«2. Рг. Тг}. то условие их сопряженности записывается так: ^(Up ua)ssрх, Ti; oc2, p2, + + «гзРгРз + «13 (“1?2 + «2?1) + «23 (Pl?2 + PiVl) + «ЗзТ1?2 s (anai +a12Pi 4-«i3Vi) a2 + («2i«i +«22₽i +«23Ti) ₽2 + + («aiai 4* «32Р1 + «auVt) ?2 — s= (ana2 + aI2p2 + a13b)«i + («2i«2 + «22Р2 + «23Y2) Pi + + (a3la24-a3.2p2 + a33y2)y1 = 0. (3) Из симметрии условий (3) относительно векторов щ, и2 следует, что сопряженность двух векторов есть понятие взаимное, не за- висящее от порядка, в котором рассматриваются векторы. Очевидно, далее, что вектор и2, сопряженный векторам Ui и v1( сопряжен и любой их линейной комбинации Xu^P-Vi- Отсюда, в частности, вытекает, что из сопряженности векторов их и и2 следует и сопряженность любых векторов и Х2и2, т. е. любых векторов, имеющих соответственно те же направления, что и векторы их и и2. Поэтому мы говорим, что два направления сопряжены между собой, если вектор одною из этих направлений сопряжен вектору другого. Из равенства (3), далее, очевидно, вытекает, что особое напра- вление {«1: Pi :?1} сопряжено всякому направлению {ос: р Верно и обратное предложение: если направление {«!: рг s уг} со- пряжено всякому направлению то оно является особым. Это вытекает из следующего предложения. VII. Если {ax: pi: Vi} — не особое направление, то сопряженными ему являются те и только те направления {a: р 1 у}, которые лежат в плоскости, сопряженной направлению {ai.'PiiYi}. В самом деле, уравнение плоскости, сопряженной направлению {«1 = 0i-'Ti}> есть Lx 4- Му + Nz + P = Q, где L = ацСС1 + ai2Pi + а13У1. Л1 = 0^1 +й22р! +«23?1. N =a3iai+fl32pi+a33Ti, = «i®i + «аР14" «з?1.
$ 4] УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 253 Всякий вектор {а, 0, у}, лежащий в этой плоскости, и только такой вектор {а, 0, ?} удовлетворяет условию La + Л10 4- Ny = О, которое как раз и есть условие сопряженности вектора {аъ 0Х, уг} вектору {а, 0, у}. Из доказанного следует, что свойство направления {а: 0 : у} быть или не быть особым относительно данной поверхности не зависит от выбора той или иной системы координат. § 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей Пусть дана поверхность второго порядка. Возьмем прямую d, направление которой не асимптотично относительно данной поверх- ности. Если поверхность центральная, то предполагаем, кроме того, что прямая d проходит через центр поверхности. Пло- скость л, сопряженная направлению прямой d, нс может быть параллельной прямой d (так как неасимптотическое направление не компланарно сопряженной ему плоскости). Плоскость л пере- секает прямую d в некоторой точке О, которую и объявим нача- лом новой координатной системы. При этом, если поверхность центральная, то О —ее центр. Осью z сделаем прямую d, а осталь- ные две оси возьмем в плоскости л. Плоскость л, будучи плоскостью Оху нашей координатной системы, имеет уравнение z = 0. (1) Пусть в выбранной нами координатной системе уравнение данной поверхности есть F (х, у, г) з== ацх2 + 2а12ху 4- па2ра 4- 2h13xz -|- 2агзуг 4- 4* a33z2 4- 2a1x 4* 2a2y 4~ 2a3z 4- и0 = 0. (2) Так как плоскость (1) сопряжена вектору {0, 0, 1}, то ее урав- нение в нашей системе координат должно быть (au 04~ai2• 04-ап• l)JC4"(a2i,04'O22,04'a23" + (аз1 • 0 4~ азз 0 4~ азз 1)2 4* Я1 0 4" й2 • 0 4- аз • 1 == О, т. е. ai3x4-w+o332+o3 = 0- (3) Так как уравнения (1) и (3) определяют одну и ту же плоскость, то непременно 013— О, О23 = 0, flg = О, С!33 =£ 0. Мы доказали следующее предложение:
2М ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, И [ГЛ. IX Если координатная система выбрана так, что ее ось 2 имеет направление, не асимптотическое относительно данной поверхно- сти второго порядка, а плоскость Оху является сопряженной к направлению оси Oz относительно той же поверхности, то в этой системе координат данная поверхность имеет уравнение вида («и*2 4- 2а12ху + a22t/a + 2«гх 4- 2щу 4- а0) 4- а33г2 = 0, (4) где «зз ^=- 0. Пусть теперь наша поверхность центральная. Тогда в урав- нении (4) имеем «1 = «2 = 0. От осей Ох и Оу мы требовали пока только, чтобы они лежали в плоскости, сопряженной направле- нию оси Oz. Теперь мы можем, кроме тою, потребовать, чтобы ось Ох имела неасимптотическое направление. Сопряженную ей плоскость (она проходит через ось z, так как направления осей Ох и Oz сопряжены) объявим плоскостью Оуг, так что ось у, как пересечение плоскостей Оху и Оуг, будет сопряжена и оси г, и оси х; итак, все три оси координат имеют теперь попарно соп- ряженные направления. Плоскость у = 0, будучи сопряжена век- тору {0, 1, 0}, имеет уравнение ai2x 4- а22у 4- а32г 4- а2 = 0, так что «12 = 0, «32 = 0, «2 = 0. Теорема 1. Уравнение центральной поверхности в системе координат, направления осей которой попарно сопряжены между собой, имеет вид «цХ2 4- «22у2 4- a33z2 + «0 = 0. Основным приложением только что полученного результата является «теорема единственности», доказанная в следующем па- раграфе. § 5. Теорема единственности Содержание этого параграфа совершенно аналогично содержа- нию § 8 главы VI. Теорема 2. Два многочлена второй степени Fx (х, у, г) и F2(x, у, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собой, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое чи- сло Х^=0. Как и в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо дока- зать, что два многочлена второй степени у, г) и Ft(xt у, г),
§ Б] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 255 имеющие одно и то же нулевое многообразие Cp, = CFt = C, про- порциональны между собой. Рассмотрим поверхности Л(х, У, Z) = 0 (1) и F2(x, у, z) = 0. (2) Берем какое-нибудь направление {ct:0:y}, неасимптотическое для поверхности (1); оно будет неасимптотическим и для поверхно- сти (2). Диаметральная плоскость п поверхности (1), сопряженная направлению {а: р*.у}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (2), сопряженной тому же направлению. Возьмем теперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {а: : у}, а две другие оси лежат в плоскости л. В этой системе координат уравнения (1) и (2) примут соответст- венно вид ГДх', у’, 2') = а;аг'а + /'1(х', у') = 0, (!') F't(x’, у’, 2')^Ьэ32'2+^(х', у') = 0, (2') где f’i (х', у') ^а'пХ1* + 2а'цх'у' + а'ззу'а + 2a,lx' + 2а^у' -f-aj, ft(x', y') = bttX' + 2b'iix'y' + bi2y' + 2Ь1х/ + 2Ь'зУ' + Ь#. Здесь Пм=#0 (и &з3=#=0), в противном случае единичный вектор {О, 0, 1} оси г', удовлетворяя уравнению Ч\(х', у', г') = а’пх'2 + 2а'пх'у' + a2iy'3 + a^z'3 = 0, был бы вектором асимптотического направления для поверхности (1) (соответственно для (2))—вопреки нашим предположениям. Нам надо доказать пропорциональность многочленов /^(х, у, г) и F2 (х, у, г), т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F\(x’, у', г') и F2(x’, у', z'). Для этого обозначим через С® пересечение множества С с плоскостью z'= 0. Множе- ство С® есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов fi(x', у'), f't(x', у'). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х’у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов. Возможны следующие случаи: 1а Множество С° пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из равенств )i (x't у') = 0, fs(x', у') = 0 противоречиво, т. е. когда один какой- нибудь (и тогда каждый) из многочленов fi(x', у'), у')
256 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. П [ГЛ. IX тождественно равен отличной от нуля постоянной а£, соответст- венно Ь'а. 2° Множество С° совпадает со всей плоскостью О’х*у*. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и то- гда каждый) из многочленов А(х', у'), f't(x', у') тождественно равен нулю. 3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множе- ство С° есть множество всех точек кривой второго порядка, опре- деляемой в плоскости О'х’у' каждым из уравнений А (х’> у') = О, А (х’, у') = 0. (3) В этом случае в силу теоремы единственности для многочленов второй степени от двух переменных имеем А(х', у’) s yf\ (х', у’) при некотором (i#=0. Полагая Х = -^- (что возможно, так как 0), можем написать F\{x', у', z') = a^z'* + f’i(x',y'), F’tix’, у', z') = Xzz.^z'2 + |хА(х',у'). Для того чтобы доказать в случае 3° пропорциональность много- членов F[(x\ у', г’) и F'<i(x’, у', г') надо только показать, что ц = А. Так как многочлен f[(x', у’) не равен тождественно посто- янной, то существуют значения x'=xf, y’ = y'i, для которых f'i(x'lt f/i) = l1). Найдя такие значения, решаем относительно z' уравнение /'i W, у\, г’) = </*-)-1 = 0. Получаем z'i = "|/ — 4-. Итак, точка = у{, zj) принадлежит множеству С. Следовательно, F’tix'i, у{, + ц-1^0, т.е. ц = Итак, в случае 3° утверждение теоремы 2 доказано. 1) В самом деле, если в многочлене f[ (х', у') хотя бы один из коэффици- ентов aLi, а22 отличен от нуля, например Пц 0, то, полагая в уравнении fi (*'• /)=* значение у' = у{=1, получаем квадратное уравнение для опре- деления х{. Если a,]=aj8 = 0, то уравнение (х'< У') = 1 можно запи- сать в виде 2 x'+2af(/'4-aJ = I. Полагая в нем у' равным любому числу у{ =/=—-Дс, получаем уравнение первой степени для определения х{. Наконец, если в (х', у') все коэффициенты при членах второй степени равны нулю, то Ц (х', у') = 1 есть уравнение первой степени с двумя неизвестными, имеющее бесчисленное множество решений х[, у{.
«6] ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 257 В случае 2° имеем F\ (х', у', г') saj3z'2, а33 Ф О, Г3(х', у', z') = b'Mz'2, Ьм=#О и, следовательно, полагая Х = ^, имеем /\(х', у’, азз = ХА[(х', у', г'); утверждение теоремы 2 верно и в этом случае. Наконец, в случае 1° уравнения (Г), (2') принимают вид F[(x', у’, г') = a33z'2 4- а’л = 0, aJ#=O, F’t(x', У'> г'М^'Ч^О, bJ=#=O. Множество С есть пара плоскостей, определяемая каждым из уравнений z'~±д[ — ~ или г' = ±~]/' — V а',, у ь;, Для того чтобы эти у равнения были эквивалентны, очевидно, не- обходимо и достаточно, чтобы было = 1^-, т. е. Ь'Л2=)м'Лз, Ь'„ = ал< "за = Ха'> при Х= Теорема 2 доказана во всех случаях. азз Аналогично тому, что мы сделали в главе VI, § 8, мы теперь можем определить поверхность второго порядка как множество всех точек комплексного трехмерного пространства, координаты которых в некоторой аффинной координатной системе удовлетво- ряют уравнению второй степени F(x, у, г) — 0. При этом два таких уравнения определяют в одной и той же системе координат тогда и только тогда одну и ту же поверхность второго порядка, когда одно из этих уравнений получается из другого почленным умно- жением на некоторое число Ху=0. § 6. Главные направления В этом параграфе и до конца главы рассматриваются лишь прямоугольные системы координат. Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением F(x, у, z) = (p(x, у, z) + 2/(x, у, г) + ао = 0 (1) относительно некоторой прямоугольной системы координат Oxyz. Обозначим через Ф(и) квадратичную функцию, записывающуюся в этой системе координат в виде формы Ф (и) = ф (х, у, г) = Я)tx2 4- 2а12ху + а22у2 + 2а13хг + 2а23уг + а33га (если и = {х, у, г|). 9 П. С. Александров
258 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 11 [ГЛ IX Направление {а:р:у< называется главным, если оно перпенди- кулярно ко веем сопряженным ему направлениям. В частности, всякое особое направление (если оно существует у поверхности (1)) I данное, потому что сопряжено всякому направлению, в том числе и всякому направлению, к нему перпендикулярному. Замечание 1. Так как понятие сопряженности двух направ- лений относительно данной поверхности не зависит от выбора той или иной системы координат, то не зависит от этого выбора и понятие главного направления. Замечание 2. Пусть (а : р : у} — неособое направление, пер- пендикулярное к каким-нибудь двум сопряженным ему направ- лениям. Тогда направление {« : р : у} перпендикулярно к сопря- женной ему диаметральной плоскости и, следовательно, является главным. Итак, для того чтобы направление было главным, достаточно (и, разумеется, необходимо), чтобы оно было перпендикулярным к двум сопряженным ему направлениям. Пусть направление {а : р : у) главное. Если оно особое, то L == П) ta 4- ОргР -j- п,:)у = о, М а21а 4- а22р + а23у = О, W щ,а 4- а32р 4- а^у = 0. Если {а:Р:у} главное, по не особое направление, то оно пер- пендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости 1х | Му \ Nz \ Р 0, и тогда вектор [о., р, у) коллинеарен нормальному вектору {L, М, (V| плоскости, т. е. L = апа 4- «12р 4- а18у = Ха, М = а21а 4- а22р + а23у = Хр, /V е= аЭ1а 4- ^ззР + ам7 = М’ (2) при некотором Х-/=0. Итак, какова бы ни была прямоугольная система координат, относительно которой поверхность задана своим уравнением (1), всякое главное направление удовлетворяет уравнениям (2), причем для особых направлений имеем Х = 0, а для неособых Х#=0. Обратно, всякое направление {«.: р: у}, удовлетворяющее урав- нениям (2), есть главное направление, особое, если Х = 0 (и только в этом случае). Следовательно, вопрос о нахождении главных на- правлений есть вопрос о нахождении ненулевого вектора {а, Р, у), удовлетворяющего системе уравнений (2) при некотором X, равном нулю или нет.
§ 6J ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 259 Переписываем эту систему уравнений в виде (ап-Х)а + а120 + а13у =0, • а21а + (а22-Х)Р + а23у =0, а31а + «32₽ + («зз - М Т = 0- (2') Она тогда и только тогда имеет ненулевое решение, ко; да О(Х) = «i i — X «21 «31 «12 «13 «22 — X «23 «32 «33 — X (3) Уравнение (3) называется характеристическим уравнением квад- ратичной формы <р (х, у, 2) и выражаемой ею квадратичной функ- ции Ф(и); левой частью этого уравнения является многочлен D (X) третьей степени; многочлен этот называется характеристи- ческим многочленом, а корни его — характеристическими числами функции Ф(и) и формы (р (г, у, г). Многочлен D (X), очен . по, еш> дискриминант квадратичной формы Мм у, 2) ф(х, у, z) -k(x2 + y2 + z2). Этот многочлен является ортогональным инвариантом. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при переходе от одного ортонормального базиса к другому форма х2 + уа + 2* переходит в форму х'2у'* + г' и, следовательно, форма <р(х, у, г)— — К (х2 У2 + z2) переходит в форму ф'« у’, 2')-X(x'a + t/'24-z'2). Из доказанной таким образом ортогональной инвариантности многочлена D (X) вытекает следующее утверждение: Если при переходе от прямоугольной еистемы координат Oxyz к новой, тоже прямоугольной ст теме координат Ox’y’z', квадра- тичная форма ф(х, у, г) преобразуется в квадратичную форму ф'(х', у', г')^а’пх'2+ 2а'пх’у'+ а'му'Л+2а\3х'2'+2а'^у'г'+a^3z'‘, то при любом X СЦ1 X «12 «13 «21 «22 X «33 «31 «32 «33 X «11 X «12 «13 «21 «22—X «23 «31 «32 «33 — X Так как характеристический многочлен D (X) не зависит от выбора той или иной прямоугольной системы координат, то то же справедливо для его корней, характеристических чисел Хр Х2, Х9 формы ф(х, у, z), они вполне определены самой квадратичной функцией Ф (и) = ф (х, у, г). й*
260 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. И [ГЛ IX Уравнения (2') суть не что иное, как уравнения, определяющие особые направления формы 6(х, у, z) = <p(x, у, z) — X(x2-i~y2A-z2). Поэтому главные направления формы ф(х, у, z) — это особые направления формы 0 (х, у, г). Отсюда мы снова выводим, что главные направления не зависят от выбора системы координат; для их определения можно написать уравнения (2'), пользуясь при этом любой прямоугольной координатной системой. Переходим к доказательству основного факта: I. Для каждой квадратичной формы ф(х, у, г) существует прямоугольная система координат Ox'y'z', в которой форма при- нимает канонический вид <р (х, у, г) = Ах’’ + Ry'* + Cz'. Доказательство. Многочлен D (X) — третьей степени; по- этому по крайней мере один из корней является вещественным; пусть это будет, например, Х3. Этому корню соответствует веще- ственное главное направление, и мы можем с самого начала предположить, что ось z исходной координатной системы Охуг имеет именно это направление; тогда ортом его является вектор {0, 0, 1} и уравнения (2') должны удовлетворяться, если в них подставить а = 0, 0 = 0, у = 1, так что имеем (йц — Х3) 0 + п12 0 Н-а13 • 1 =0, a2i 0 + (а22 — Ха) 0 -ф с23 -1 =0, а31 0 + аЯ2 0 + (аза - Х3) 1 = 0, т. е. П|3 0, n.j., 0, X., в избранной системе координат квадратичная функция Ф(и) щписынаегся в виде формы Ф(и) = ф(х, у, z) = а12х2 А~‘2а12ху А-а22у2-\-X3z2. Как известно из главы V, § 1, можно поворотом координат- ной системы Оху в ее плоскости (вокруг точки О) на некоторый угол а перевести ее в такую систему Ох'у', в которой квадра- тичная форма aux3 + 2a12xz/4-a22i/a примет канонический вид а'пх' А-а'му’ . Этот поворот можно рассматривать как поворот всего пространства вокруг (остающейся неподвижной) оси z на тот же угол а. В результате получаем прямоугольную коорди- натную систему Ox'y'z’, в которой функция Ф(и) записывается в виде Ф(и) = ф(х, у, г) = ф'(х', у’, г') = а;1х'2 + 4у1 + Х3а'г. Утверждение 1 доказано. Заметим, что если бы не только ось г, но и оси х и у имели главные направления, то и векторы {1, 0, 0} и {0, 1,0} удовлет- воряли бы уравнениям (2'), откуда следовало бы, что и а12 = 0. Итак,
§ 6] ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 261 II. Если оси прямоугольной системы координат Ox'y'z' имеют главные направления относительно квадратичной функции Ф(и), то в такой системе координат функция Ф(и) непременно имеет канонический вид Ф(и) = <р'(х', у', z') = Ах'г A-By'1-\-Cz'. (4) Докажем теперь следующее утверждение: III. Если в какой-нибудь прямоугольной системе координат Ox'y'z' квадратичная функция Ф(и) имеет канонический вид (4), то коэффициенты А, В, Св этом каноническом представлении непременно равны характеристическим числам функции Ф(и). В самом деле, в системе координат Ox'y'z' характеристический многочлен D (X) записывается в виде о О(Х)- Д-Х О о о в-х о о С-Х = (Л-1)(В-А)(С-Х); его корнями, очевидно, являются А, В, С, откуда и следует утверждение. Так как функция <J>(u) действительна, так же как и рас- сматриваемые нами системы координат, то всякая квадратичная форма, изображающая функцию Ф(и), имеет действительные коэффициенты; поэтому действительны и коэффициенты в кано- ническом представлении функции, т. е. характеристические числа Xi, Х2, Х3. Итак: IV. Все характеристические числа любой (действительной) квадратичной функции действительны. Доказываем теперь утверждение V. Если в данной прямоугольной системе координат Ox'y'z' квадратичная функция Ф (и) имеет канонический вид Ф (и) = = X:|Z'\ то направления осей этой координатной системы непременно являюпия главными направлениями функции Ф(и). Это утверждение вытекает из того, что в системе координат Ox'y'z' уравнения (2'), определяющие главные направления, имеют вид (Х-! — Х)а = 0, ' (К-Х)р = О, (5) а3-х)Т=о и при rk = 'kl вектор {1, 0, 0}, при Х = Х2 вектор {0, 1, 0}, при Х = Лз вектор {0, 0, 1} этим уравнениям удовлетворяют. Мы убедились сначала в том, что существуют прямоугольные системы координат, в которых форма <р (х, у, г) принимает кано- нический вид; затем мы доказали, что оси всякой такой системы
262 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ IX координат имеют главные направления. Отсюда следует, что для всякой квадратичной формы существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных главных направлений. Сейчас мн полностью выясним вопрос и о числе таких троек. Оказы- вается, ответ на этот вопрос зависит от кратности корней харак- теристического уравнения. Мы докажем последовательно следующие утверждения: VI. Простому корню характеристического уравнения соответ- ствует одно-единственное главное направление. VII. Главные направления, соответствующие двум различным корням характеристического уравнения, взаимно перпендикулярны. Непосредственным следствием предложений VI и VII является предложение VIII. Гели все три корня характерце тичв' кого уравнения раз- личны между собой, то имеются три и только три главных направления, и они взаимно перпендикулярны. Другими словами, имеется одна-единственная тройка взаимно перпендикулярных главных направлений. Далее, имеет место предложение IX. Если из трех корней Х2, 7.а два равны между собой и отличны от третьего, например: Xj = у\2 Х3, то все направления, перпендикулярные к единственному направ- лению, соответствующему корню Е3, являются главными направ- лениями, соответствующими корню 7., Е,. Таким образом, име- ется бесконечно мно.о ш/юск нлиамио перпендикулярных главных направлении: каждая и> -пин троек содержат единственное глав- ное направление е;!, соответствующее простому ко/ ню Х3, тогда как два других направления суть произвольные направления е1л е2, перпендикулярные между собой и перпендикулярные к направле- нию е3. И наконец, X. Если все три корня характеристического уравнения равны между собой, то каждое направление является главным. Переходим к доказательствам. Доказательство утверждения VI. Возьмем прямоугольную систему координат Oxyz, относительно которой форма <р(х, у, г) имеет канонический вид. Относительно этой системы координат уравнения (2') принимают вид (5). Пусть 7.:| — простой корень, 7.я=^74, Т.3#=%2. Тогда система уравнений (5) превращается при Т = ЕЛ в (Xj — 7.3) а = 0 (т. е. а = 0), (A.2-M₽=0 (т. е. ₽ = 0), (5') 0 • у = 0.
§ 61 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 263 Единственное ненулевое направление {a: fi: у}, определяемое этой системой, есть {0:0:1}. Доказательство утверждений VII —X. Пусть Х2Д=л3. Так как Xj не может одновременно совпадать и с к, и с ?i3(#=X2), то без ограничения общности можем пред- положить, что ?.!=/= Д (но, может быть, Л1 = Х2). Тогда Х3 ока- зывается простым корнем, и ему, как только что доказано, соот- ветствует единственное главнее направление, записывающееся в нащез системе координат в виде {0:0: 1}. Посмотрим, какие направления соответствуют корню Х2. При Л = Л2 система уравнений (5) превращается в (%! - Х2) а = 0, 0-р =0, (2., —Х,)у=О (т. е 7=0). (5е) При 2.!^=/.., получаем сипитвениое направление а---0, 7=0, Р=#0, т. е. {0:1:0}, и оно перпендикулярно к направлению {0:0:1}, соответствующему корню X,. При уравнения (5") превращаются в 0 • а = 0, 0-₽ = 0, (Ха — кц) y=0; (5"') им удовлетворяют все векторы вида {а, р, 0}, т. е. все векторы, перпендикулярные к вектору е3 = {0, 0, 1}, и только они. Этим доказано и утверждение VII (значит, и VIII), и утверж- дение IX. Наконец, при 2.1 = Х2 = Х3 уравнения (5'") превращаются в тож- дества 0-а--(), 0-Р =0, 0-7 = 0; им удовлетворяет любое направление {а:р:у}, чем доказано утверждение X. Рассмотрим случай, когда имеется равный нулю корень харак- теристического уравнения, например 23 = 0; как мы знаем, соот- ветствующее этому корню главное направление является особым. Направим по этому направлению ось z, так что вектор {0, 0, 1} является особым; подставив а=0, р =0, у = 1 в уравнения L == йпа -{- п12р -|- а13у — 0, М s«21a 4-п22р +<щ3у = 0, N = а31а а32р 4- п33у = 0, . (6)
264 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. И [ГЛ. IX которые характеризуют особые направления, получим ^1з = 0> ^2э= й33 = 0. (7) Итак, в прямоугольной системе координат, в которой ось г имеет особое направление, форма <р (х, у, г) имеет вид ф(х, у, z) = ai1xi + %al2xy-!t-a2iyi+Q z2, а после поворота на надлежащий угол имеет вид ср (х, у, 2) = у' (х', у', z') = kjx'2 + А.2у'г. Если при этом имеется лишь одно особое направление, то г = 2, п, значит, Xf =/ О, Х.2 >0. Если же имеется два различных осо- бых направления, то их имеется целое двумерное многообразие, так что можно, например, осям г и у придать взаимно перпен- дикулярные особые направления. Подставляя в уравнения а = 0, 0=1, у = 0, получим в добавление к (7) еще и G12 = 0, й22 = О, О32=0, (7 ) так что в такой координатной системе будет ср(х, у, г) = апх2 + 0-у2 + 0 г2, где an = — единственный не равный нулю корень уравнения (3). Все дальнейшие упрощения в уравнении F (х, у, г) = ср (х, у, г) -|- 2а(х 2а2у 2(/3г ф- «„ = 0 достигаются надлежащим переносом начала координат (и в одном случае еще дополнительным поворотом осей координат). § 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением Е(х, у, z) = cp(x, у, г) + 2/(х, у, г)+ао = 0 (1) относительно некоторой прямоугольной системы координат Oxyz. Как мы видели в § 6, всегда существует по крайней мере одна прямоугольная система координат Ox’y’z', оси которой имеют главные направления. В этой системе координат уравнение поверх- ности (1) имеет вид F’ (х', у', z'j^T^x' Н-Х^’ -J-X3zz -|-2djX-)-2й2У-|- + 2a;)z' -f- а0 - 0. (1 ) Начнем с центрального случая: 6=#0, г = 3. В этом случае Х1у=0, Х2У=0, Х3у=0. Если перенести начало координат О системы Ox’y’z’ в единственный центр поверхности (1), то уравнение (1') примет
§ 71 ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 265 ВИД F (х, у, z) = F”{xT, у", г")=)./Ч^М/та;=О. (I) Помня, что большой и малый детерминанты А и 6 суть ортого- нальные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться правей частью уравнения (I), что дает 6 = Х1Х2Х3, А = Х1Х.Д.1а', т. е. а« = -у (результат, известный нам еще из главы VIII, § 5). Итак, окончательный вид уравнения (1) в выбранной нами прямоуголь- ной системе координат есть *) M1 2+W+V2+y=o. (I*) Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового мно- жителя ft) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной пря- моугольной системе координат Охуг мы его ни задавали. Если та же поверх- ность задана в той же исходной системе координат другим уравнением: G {х, у, z) = 0, то в силу теоремы единственности не коэффициент! многочлена G (х, у, г) получаются из соответствующих коэффициентов многочлена !•' (х, у, г) умно- жением на некоторое число k ф 0. Так как при переходе к новой системе координат О'х'у'г' многочлены F и G тождественно преобразуются соответст- венно в многочлены F' (х', у', г’) и G' (х', у', г’), то и для соответствующих приведенных многочленов F' и G' сохраняется соотношение G' = kF', так что, в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F умножением на то же ft; то же справедливо и для отношения у (при 6=/=0). Последнее ясно и непосредственно- так как детермии нт Д—четвертого порядка, а б—третьего, то при умножении всех коэффициентов многочлена F (х, у, г) на k детерминант Д умножается на ft4, а детерминант б —на ft3, Д , значит, -у умножается на ft. Отсюда следует, в частности, что, умножая, если нужно, обе части уравнения F (х, у, г) ----0 на k -—1, можно всегда достиг- нуть того, чтобы (при б 0) число было отрица 1елы1ым (или равным — 1). Эта нормировка уравнения центральной поверхности совпадает с той, о которой мы говорили в§5 главы VIII, так как у есть значение многочлена F (х, у, г) в единственном центре центральной поверхности (1). Теперь имеется две возможности: Д = 0 и Д#=0. Начнем с первой. 1° Д=0. Получаем конус второго порядка, вещественный, если среди характеристических чисел Х2, Х3 имеются числа разных знаков2). Умножая, если понадобится, обе части уравне- 1) Пи(пем снова х, у, г вместо х", у", z". 2) Здесь целесообразно привести так называемое правило Декарта для определения знаков корней алгебраического уравнения, все корни которого— действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей сте-
266 ОЫЦЛЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. И [ГЛ IX ния (1) па — 1, можем предположить, что среди его коэффициен- тов X,, Х2, Ха имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обо- ,, 1 1 зиачая положительные коэффициенты через fe-2, а отрицатель- ный через —с4> можем представить при А = 0 уравнение (I*) в виде । У2. _ = о а2 'ft2 с2 (причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с с положительными). Это каноническое уравнение вещественного конуса. Заметим, что равенство Xj /.2 означает а -Ь; тогда мы имеем круговой конус или конус вращения, его сечения плоскостями z = h суть окружности; если X, ^Х2 = —Х3, то уравнение конуса превращается в х2 4- у2 — г2 = О — имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его оси г под углом —. Если все характеристические числа —одного знака, мы можем переписать уравнение (I*) при Д = 0 в виде Это каноническое уравнение мнимою kiiiivit. 2° Пусть теперь А /’ <>; уп> тачиг, что мы имеем невырожден- ную центральную поверхность. Переписываем тогда уравнение (I*) в виде + + О"» ех, '’>/< Возможны четыре случая: а) Все три характеристические числа имеют один и тот же знак (тогда тот же знак имеет н 6) и А > О, тогда можем положить А- — а2 — = Ь2 -- == с2 «Л, ’ SZ.2 ’ ’ пени с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано урав- нение ах3 + 6х2 + сх + d = 0. Назовем «переменой знака» пару соседних коэф- фициентов в этом уравнении (т. е. (a, ft), (ft, с) или (с, d)), состоящую из двух чисел различных знаков. Оказывается, что число положительных корней урав- нения третьей степени (все корни которого действительны) равно числу пере- мен знака в этом уравнении. При этом корни считаются вместе с их кратно- стями. Доказательство можно найти, например, в «Курсе высшей алгебры» А. Г. Куроша, § 41, стр. 258 (издание восьмое).
§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 2G7 причем а, Ь, с всегда считаем положительными. Переписываем уравнение (I**) в виде _ *2 _ У2 _ г2 _ 1 а2 Ь2 С2 — 1 — получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида. б) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак и А<0. Тогда полагаем — получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида х2 I । г2 _ 1 а2 "Г 62 "Г С2 — 1 • в) Характеристические числа имеют разные знаки и Л < 0. Предположим, что числа X] п Л., имеют одинаковые знаки, а Хя имеет знак, им протпвоио'южлплй (знак б совпадает со таком Хд). Полагаем А __ „А .., Л „ --- /1 — 1)~ := г/ 6Л,-’ 6ЛЯ ’ бЛл Получаем уравнение _ £ । ^_i а2 &2 С сз 1 — каноническое уравнение двуполостного пшерболоиаа. И наконец, г) Характеристические числа имеют разные знаки и Ад>0. Предположим снова, что числа Xj и Х2 имеют одинаковые знаки, а число Ху —знак, им противоположный. Тогда, полагая А А ,» Д „ — - Л- — 6Х, ’ &2 ’ fiX-i ’ придаем уравнению (l'4) вид у- д_ У2 _ £ = 1 "Г ~62 С2 Это каноническое уравнение одпополостного гиперболоида. Итак, каждая центральная поверхность второго порядка есть либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (дейст- вительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостным или одно- полистный). Положительные числа а, Ь, с в каноническом уравнении цент- ральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через характеристические числа Х2, Х3 и детерминанты А, б, т. е. через ортогональные инварианты многочлена F (х, у, г), и, значит, не ме- няются при переходе от прямоугольной координатной системы Охуг,.в которой задано уравнение F (х, у, z)^=0 рассматриваемой поверхности, к любой другой прямоугольной координатной сис-
268 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ. IX теме. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений, определяющих в первоначальной системе Oxyz данную поверх- ность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отлича- ются друг от друга только числовым множителем k. Но при умно- жении всех коэффициентов многочлена F (х, у, г) на данное число k на это же k умножаются и у, и все характеристические числа Хц Х2, Х3; поэтому а2, Ь2, с2, значит, и а, Ь, с остаются неизмен- ными. Итак, полуоси центральной поверхности не зависят ни от выбора прямоугольной системы координат, ни от того уравнения (из числа определяющих данную поверхность), которым в этой системе координат мы нашу поверхность задали', они зависят только от самой поверхности как геометрической фигуры, т. е. как мно- жества точек в пространстве. Обратно, если дано наименование центральной поверхности и ее полуоси а, Ь, с, то поверхность вполне определена с точ- ностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две одно- именные поверхности с одними и теми же полуосями имеют одно и то же каноническое уравнение; значит, отличаться они могут лишь тем, что первая из них этим уравнением определена в одной прямоугольной координатной системе, а вторая —в другой; но, совмещая первую координатную систему со второй посредством собственного или несобственного движения, мы совместим одну из наших поверхностей с другой. Итак, две центральные поверхности тогда и только тогда изо- метричны между собой, когда они имеют одно и то же наименова- ние и когда их полуоси (соответствующие членам канонического уравнения данных знаков) соответственно равны между собой. Заметим, что (как непосредственно следует из определений чисел а, Ь, с) во всех рассмотренных случаях два характеристи- ческих числа равны между собой тогда и только тогда, когда соответствующие две полуоси центральной поверхности равны и входят в каноническое уравнение поверхности с одним и тем же знаком. Мы видели (в гл. VIII), что равенство двух каких-либо полу- осей, например а = Ь, эллипсоида означает, что мы имеем эллип- соид вращения (сферу, если а = Ь = с). Поэтому признаком эллип- соида вращения является равенство двух характеристических чисел, а признаком сферы — равенство Х1 = Х2=Х3. Точно так же однополостный гиперболоид является гипербо- лоидом вращения, если а2 — Ь2, т. е. Z1 = X2, то же верно и для двуполостного гиперболоида, и для конуса. Итак, равенство двух характеристических чисел необходимо и достаточно для того, чтобы центральная поверхность была поверхностью вращения, а равен- ство >.1=?.2 = Х3 верно для сферы (действительной или мнимой), и только для нее.
§ Л ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 2G9 Переходим к случаю поверхности (1) ранга г = 2. Покажем, что в этом случае уравнение (1) определяет: при Д#=0(т. е. R = 4) параболоид, эллиптический, если Д < О, гиперболический, если Д>0, а при Д = 0, R = 3 — «центральный» (т. е. эллиптический или ги- перболический) цилиндр, вырождающийся при R = r-^2 в пару пересекающихся плоскостей. Итак, пусть г = 2. Тогда среди характеристических чисел мно- гочлена F (х, у, г) два, положим Xj и Х2, отличны от нуля и Хд=0. В некоторой прямоугольной системе координат Ox'y'z' (с тем же началом, что и исходная система Oxyz) уравнение (1) принимает вид F'{х', у’, z'y^^x'2 Д-^у'2-{-2а[х' -\-2а\у' -\-2a^z' -}-a0 = Q. Имеем (2) откуда заключаем, что Д#=0 тогда и только тогда, когда Пз#=0. Рассмотрим сначала случай, когда Д#=0 и, следовательно, аз =/= 0. Перенос начала координат О в произвольную точку О' = = (хи, у<>, г»), т. е. преобразование х' = х" + Хо, У' = У" + у'», г' = z" + zo, переводит многочлен F'(x’, у', г') в F"(x", у", z")^Kix''2-\-kly"'1 | 2(Х,х6 | а\)х" + + 2 (^-гУо + Oi) У + 2a;1z Х.2уц22aJxQ-|- + 2я^ + 2dAz'Q + а0 = 0. Определяя х'й, у'(> и Zq из уравнений %iXo+я'] =0, ^2*4+—0, М*» 4* +2alx0-|-2a2z/04-2a3Zo4-a0 — 0, получаем F"(x", у", z") = K1x"*+K2y’t+2a’iz" = 0. Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе коорди- нат уравнение всякой поверхности ранга г = 2, R = 4 принимает вид (П)
270 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА II [ГЛ IX Из (2) получаем I аз I = Т/” - тт- у Л1Л2 Так как а'3 — вещественное число, то Д имеет всегда знак, противоположный знаку Другими словами, Л положителен, если характеристические числа и Х2 разных знаков (гиперболи- ческий случай), и отрицательно, если и Я.2 одного и того же знака (эллиптический случай). Изменив, если нужно, положи- тельное направление оси г на противоположное, всегда можем предположить, что знак а3 противоположен знаку так что уравнение (И) можно переписать в виде (мы отбрасываем штрихи при координатах) 2z=4r+Jir Xi Х2 а, где —есть положительное число, которое мы обозначим через р: Число — °'- положительно, если знак Х2 совпадает со зпа! ом к к (т. е. в эллиптическом случае, Д<0), и отрицательно, если Xj и 12 разных знаков (т. е. в гиперболическом случае, Д>0). Поэтому, полагая в обоих случаях I = 4“ I ~ Дг’ имеем q = — в эллиптическом случае, д = в гиперболическом случае. Л-2 Соответственно полу iae?i: в эллиптическом случае уравнение 2г + Р q эллиптического, а в гиперболическом случае уравнение гиперболического параболоида. Параметры р и q параболоида выражаются через ортогональные инварианты Д, X,, и поэтому не зависят от той прямоугольной системы координат, в которой было задано первоначальное уравнение (1) параболоида. Они не
9 71 ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 271 меняются при умножении многочлена F (х, у, г) на числовой множитель k (так как при этом А умножается на /г4, a kj и k2 — на fe), поэтому они зависят лишь от самой поверхности (рассматриваемой как множество ее точек) и в свою очередь определяют ее одно- значно (с точностью до ее положения в пространстве). Равенство Х1=Х2 означает, что мы имеем эллиптический пара- болоид с равными параметрами /?=- q, т. е. параболоид вращения. Пусть теперь Д--0, значит, и а\ = 0. Тогда большой ранг 7?=sc3. Уравнение (1') в этом случае приобретает вид кгх'2-j-)^у’2 + 2aix'-j-2a2y'+ ао = О. (3) Применим к этому у[ внению преобразование параллельного переноса х’ ~х" + хо, у' ~ У" + J/o, г' = г". Тогда будем иметь -j- У-у.]"1 + 2 (ZjXq + п[) х’ 2 (Х2Уо + йо) У” + Оо = 0, (4) где йо = ^iXq2 Х2г/о2 -р 2й[хо + 2й2г/о + а#. Определяя х'о и у'а из уравнений /^х’ + а{ = О, ^2У(1 + а2 = О, приведем уравнение (4) к виду X-jX -р ку/ +й» = 0, (III) причем /?=<!, сети а', / 0, и /?- 2, если а'} -0. Уравнение (I) задает (в системе координат O'x”y"z") цилиндр над лежащей в плоскости г" =0 центральной кривой второго порядка, имеющей (в прямоугольной системе координат О'х”у") то же уравнение (III). При /? = 3 (т. е. йзт^О) эта кривая нераспадающаяся, при R = 2 она распадается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается в пару пересекающихся плоскостей. Любая плоскость z"=h пере- секает цилиндрическую поверхность (III) по кривой, имеющей то же уравнение (III), в плоскости z" = h (в системе координат с началом О" = (0, 0, h) и теми же направлениями осей х” и у", что и в координатной системе O'x"y"z"). Все эти кривые конгру- энтны между собой; достаточно знать одну из них, чтобы цилинд- рическая поверхность (III) была определена. Пусть R = 3. Тогда полуоси а, b кривой (III) (называемые также полуосями цилиндри- ческой поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью определяют поверхность (III) с точностью до ее положения
272 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ГЛ IX в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы определить полуоси а, b по первоначальному уравнению (I), надо только определить а'й. Для определения числа а'о надо найти какую-нибудь точку прямой центров (из системы определяющих ее уравнений в исход- ной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую часть первоначального уравнения поверхности. Полученный резуль- тат не зависит от выбора точки на прямой центров. Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде, мы получаем и каноническое уравнение эклиптическою, соответственно гиперболического цилиндра, а ^«2 также (если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение —— ---= 1 мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной системе координат O'x"y"z". Снова равенство является признаком того, что паша цилиндрическая поверхность есть поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр', его сечения плоскостями, перпендикулярными к образующим, с\ть окружности. Пусть теперь R = r — 2, тогда й3==0 и уравнение (III) пре- вращается в уравнение задающее (в прямоуюлыюй системе координат О'х"у”г") пару пересекающихся плоскостей (вещественных, если и разных знаков; мнимых, если и одного знака). При этом отношение Xi « у=, характеризующее двугранный угол между плоскостями, пол- ностью определяется этой парой плоскостей и в свою очередь полностью ее определяет. Переходим к поверхностям ранга г=1. Для этих поверхностей лишь одно характеристическое число, пусть отлично от нуля и = Х3 = 0. Если ось Оу' прямоугольной системы координат направить по единственному главному направлению, соответствующему отлич- ному от нуля корню характеристического уравнения, а оси Ох' и Ог' взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной к уже выбранной оси Оу' (а в остальном—произвольно), то во всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности будет иметь вид F (х, у, z)=F'(x', у', z') =Х2у'2 + 2а'\х' + 2а'2у' + 2а'зг' + ао==О. (5) Для поверхности ранга г=1 всегда R^3.
§ 7] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 273 Пусть /? = 3; тогда по крайней мере один из коэффициентов а'\, а\ отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов много- члена F'(x', у', г') все детерминанты третьего порядка будут равны нулю). Пусть, например, аз=#0. Покажем, что в рассматриваемом случае поверхность '(5) будет параболическим цилиндром. Наша задача сейчас —найти такую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (5) примет канонический вид уа-2рх. (IV) Для этого произведем поворот координатной системы Ox'y'z' во- круг оси у' на некоторый, пока произвольный, угол а, т. е. сде- лаем ортогональное преобразование координат х' =х" cos a — z" sin а, у'=у", ?' = х" sin а + z” cos а, что тождественно преобртуег левую часть уравнения (5) в F" (х", у”, z") ?.2у"2 -ф 2а{ (х" cos а — z" sin а) + 2а2у" 4- 2аз (х” sin а 4~ z" cos а) 4- «о 33 Ку"* + ^у" + 4- 2(а[ cos а 4-из sin а) х"4-2 (аз cos а — sin а) z"4-«o = 0. Приравниваем коэффициент при z" нулю, что дает тригонометри- ческое уравнение аз cos а — а[ sin а = 0, из которого и определяем а: В полученной прямоу!ольпой системе координат уравнение (5) приобретает вид 4- 2а'>у” 4- 2Ьх" 4- п0 = 0, (6) где положено b а\ cos а 4~ Пз sin а. При этом />=4=0 (иначе матрица коэффициентов уравнения (6) имела бы ранг -=~2 вопреки предположению, что 7? = 3). Уравнение (6) есть уравнение цилиндра над параболой, лежа- щей в плоскости z" — 0 и имеющей (в системе координат Оху") то же уравнение (6). Остается только произвести сдвиг начала координат (в той же плоскости Ох!'у"). Мы получим после этого сдвига прямоугольную систему координат, в которой уравнение (6) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра примет канонический вид (IV). Поставленная задача решена.
274 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II [ГЛ IX Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при сечении параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется параметром параболического цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою оче- редь определяет его с точностью до его положения в пространстве. Пусть теперь R =С2. Тогда поверхность является парой парал- лельных (в широком смысле) плоскостей nx, л2! канонической системой координат будет произвольная прямоугольная система координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендику- лярна к плоскостям Лц л2, а две другие оси расположены в • средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение пары плоскостей л,, л2 будет г/=±/д (7) К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения (5), в котором теперь непременно а1 = а3 = 0 (если хотя бы один из коэффициентов аъ ая был =£0, то мы имели бы параболи- ческий цилиндр и, значит, 7? = 3). Итак, уравнение (5) имеет в нашем случае вид ^.у' 4~ ‘дару’ ф- ср — 0. Посредством сдвига начала координат по оси ординат преобра- зуем его в W'2+£=o, (V) что эквивалентно каноническому ур;п ш’п, ю (7). Общим итогом этою параграфа являекш Теорема 3. Каждая поверхность, определяемая уравнением второй степени с вещественными коэффициентами, принадлежит к одному из следующих семнадцати классов: 1. Эллипсоиды вещественные. 2. Эллипсоиды мнимые. 3. Гиперболоиды однополостные. 4. Гиперболоиды двуполостные. 5. Конусы вещественные. 6. Конусы мнимые. 7. Параболоиды эллиптические. 8. Параболоиды гиперболические. 9. Цилиндры эллиптические вещественные. 10. Цилиндры эллиптические мнимые. 11. Цилиндры гиперболические. 12. Цилиндры параболические. 13. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся веще- ственных плоскостей. 14. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся мни- мых сопряженных плоскостей.
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 275 15. Поверхности, распада;ощиеся на пару (различных) парал- лельных вещественных плоскостей. 16. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) парал- лельных мнимых сопряженных плоскостей. 17. Поверхности, распадающиеся на пару совпадающих вещест- венных плоскостей. § 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка Докажем, что любые две поверхности, принадлежащие к какому- нибудь одному из перечисленных в конце предыдущего параграфа классов, аффинно эквивалентны между собой. Для этого достаточно показать, что каждая из перечисленных поверхностей аффинно эквивалентна некоторой простейшей поверх- ности того же наименования. Возьмем эллипсоид, заданный в канонической (прямоугольной) системе координат Oxyz уравнением 1. а- 1 1Я ' с- Расемотрим аффинное преобразование Это преобразование переводит эллипсоид в сферу, имеющую в той же (прямоугольной) системе координат Oxyz уравнение х2 + у2 -ф z2 = 1 - Таким образом, каждый эллипсоид аффинно эквивалентен единич- ной сфере, концентрической с данным эллипсоидом. То же аффинное преобразование (1) переводит однополостный гиперболоид + _ £ = 1 fi2 * bi в гиперболоид х2~фу2 — г2 = 1; двуполостный гиперболоид _ ___| г3 _ 1 д2 -Ь2 ж сг — в гиперболоид — х2 — у2 -ф г2 = 1; конус
276 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. И 1ГЛ. IX — в конус х2 + у2 — z2 = 0; мнимый конус — в мнимый конус х2 + Уг + z2 = 0. Возьмем теперь эллиптический параболоид * + = 2z Р у п грпменпм к нему а<[х|>иппос преобразование г' = г- ® Это преобразование переводит данный параболоид в простейший параболоид, имеющий в той же системе координат уравнение х2 + у2 = 4.2. То же преобразование (2) переводит гиперболический пара- болоид х2 У2 о Р <1 в параболоид г2 — = 2z. Эллиптический цилиндр £ _]_ У1 = 1 п2 ’ Ь2 *’ мнимый эллиптический цилиндр т2 - а2 ' i>2 пара мнимых пересекающихся плоское left гиперболический цилиндр х2____________________________= 1 а2 пара действительных пересекающихся плоскостей = 0 а2 Ь*
§ 8] АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 277 аффинным преобразованием х' = —, у' = -f-, z' — z (3) а ’ а Ь ’ ' переводятся соответственно в одноименные поверхности, имеющие в той же системе координат уравнения Х2+уг= 1, хг_|-&а = _ 1, х2 + У2 = О, х2 — у2 = 1, х2 — у2 = о. Параболический цилиндр У2 = 2рх после преобразования х' = рх, у —у, z'= z (1) получает уравнение у2 = 2х. Поверхности, распадающиеся на пары параллельных плоско- стей х2 ±: а2 = 0, аффинно эквивалентны соответственно поверхностям х2±1=0 (верхний знак соответствует мнимым, пижн”й знак — дейст- вительным плоскостям). Остается доказать, что две поверхности, принадлежащие к раз- личным классам, не могут быть аффинно эквивалентными. Мы сейчас дадим чисто геометрическое доказательство. Рассмотрим прежде всего свойство поверхности быть централь- ной, т. е. иметь единственный центр симметрии. Так как при аффинном преобразовании центр симметрии данной фигуры пере- ходит в центр симметрии преобразованной фигуры, то всякий аффинный образ поверхности второго порядка с единственным центром снова есть поверхность второго порядка с единственным центром *). Итак, при аффинном преобразовании всякая центральная поверхность переходит снова в центральную. *) Если бы у преобразованной поверхности было несколько центров, то при обратном преобразовании все эти центры перешли бы в центры первона- чальной поверхности. А у нее по предположению имеется лишь один центр.
278 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА II [ГЛ IX Далее, среди центральных поверхностей невырожденные харак- теризуются тем, что их центр не лежит на данной поверхности. Полому аффинный образ невырожденной (соответственно вырож- денной) центральной поверхности есть невырожденная (соответ- ственно вырожденная) центральная поверхность. Невырожденные центральные поверхности суть эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды; ни одна из этих поверхностей не может при аффинном преобразовании перейти в поверхность другого наименования. В самом деле, эллипсоид не может быть аффинно эквивалентен никакой другой поверхности второго порядка, так как среди всех поверхностей второго порядка лишь этлипсопды обладают свойст- вом лежат!, внутри исчоторого пара г'л' .епнпоча (все щ. тыльные поьсрхпости второго порядка npi стирают 1 в бесконечность1)). Двуполостным и однополостями гиперболоиды аффинно не экви- валентны, так как у двуполостных гиперболоидов нет веществен- ных прямолинейных образующих, а у однополостных они есть. Очевидно также, что при аффинном преобразовании вещественный эллипсоид не может перейти в мнимый, так же как вещественный конус не может перейти в мнимый. Итак, любой аффинный образ центральной поверхности данного наименования есть необходимо центральная поверхность того же наименования. Переходим к нецентральным поверхностям. Прежде всего очевидно, что аффинный обр;н всякой поверх- ности, распадающейся в пару пересекающихся, соответственно парат тельных (в широком пли собственном смысле) плоскостей есть снова поверхность того же наименования, причем соьрапмстся и свойство поверхности быть вещественной или мнимой Остаются параболоиды и цилиндры. Нецентральная поверхность при аффинном преобразовании не может перейти в центральную (иначе обратное преобразование перевело бы центральную поверхность в нецентральную). Поэтому аффинный образ параболоида или цилиндра не может быть цент- ральной поверхностью; не может он быть и парой плоскостей. Далее, аффинный образ параболоида не может быть ни эллип- тическим, ни гиперболическим цилиндром (так как у параболои- дов нет ни одного центра, а у названных цилиндров имеется целая прямая центров). Гиперболический и эллиптический параболоиды аффинно раз- личны, так как у гиперболического параболоида имеются (вещест- венные) прямолинейные образующие, а у эллиптическою парабо- лоида их нет. *) Ср. с аналогичным свойством, выделяющим эллипсы средн всех кривых второго порядка.
§ 8] АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 279 По этой же причине эллиптический параболоид аффинно отли- чен от параболического цилиндра. Аффинная неэквивалентность гиперболического параболоида и параболического цилиндра выте- кает из того, что асимптотические векторы гиперболического параболоида заполняют два различных двумерных векторных мно- гообразия (это все векторы, параллельные одной какой-нибудь из двух пересекающихся плоскостей), тогда как асимптотические направления параболического цилиндра образуют одно-единствен- ное двумерное векторное многообразие. Неэквивалентность (какого бы то ни было) цилиндра параболо- иду вытекает также из того, что у цилиндра все образующие параллельны между собой, тогда как ни один параболоид этому условию не удовлетворяет. Из сказанного следует, что аффинным образом эллиптического (соответственно гиперболического) параболоида может быть только параболоид того же наименования. Аффинным образом гиперболического или эллиптического цилиндра не может бы и. пн параболоид, пи пара плоскостей, ни центральная поверхность; не может им быть и параболический цилиндр, у которого нет ни одного центра, тогда как у эллипти- ческого и гиперболического цилиндров имеется прямая центров. Остается доказать, что эллиптический и гиперболический цилиндры аффинно различны. Это вытекает из того, что совокуп- ность вещественных асимптотических векторов гиперболического цилиндра есть объединение двух двумерных векторных многообра- зий, тогда как многообразие всех вещественных асимптотических векторов эллиптического цилиндра одномерно. Аффинная неэквивалентность эллиптического и гиперболиче- ского цилиндров вытекает также из того, что у эллиптического цилиндра имеются плоские сечения, являющиеся эллипсами, тогда как у гиперболического цилиндра таких сечений нет (читатель должен это доказать). Из предыдущего анализа вытекает, наконец, что параболиче- ский цилиндр аффинно отличен от поверхностей всех других на- званных выше типов. Задача аффинной классификации поверхностей второго порядка решена до конца.
ГЛАВА X ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ § I. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой Множество всех прямых и плоскостей трехмерного простран- ства, проходящих через данную точку О, называется связкой с центром О или, кратко, связкой О. Возьмем какую-нибудь плос- кость л, не проходящую через точку О. Тогда через каждую точку М плоскости л про- —--------------------------------7 ходит единственная прямая т = ОМ связки О. Прямые связки будем называть луча- ми. Таким образом, установ- лено соответствие, называе- мое перспективным соответ- ствием, между всеми точками плоскости л и лучами связ- ки О. При перспективном соот- ветствии каждой прямой d, лежа шей в плоскости л, со- ответствует некоторая вполне определенная плоскость связ- ки — плоскость 6, проходя- щая через точку О и пря- мую d. Плоскость эта образована всеми лучами, идущими из точки О в точки прямой d; мы будем ее обозначать через Ь — Od (рис. 125). Итак, при перспективном соответствии точкам плоскости л соответствуют лучи связки О, а прямым плоскости л — плоскости связки О. Назовем луч и плоскость связки О инцидентными между собой, если данный луч лежит в данной плоскости. Точно так же назо- вем точку и прямую на плоскости л инцидентными между собой, если данная точка лежит на данной прямой. Очевидно, при перспективном соответствии между связкой О и плоскостью л инцидентность сохраняется: если на плоскости л точка М инци-
S 11 ПЕРСПЕКТИВНОЕ СООТВЕТСТВИЕ 281 дентна прямой d, то соответствующие луч ОМ и плоскость Od связки будут также инцидентны между собой, и обратно. Возникает вопрос: является ли перспективнее соответствие между плоскостью л и связкой О взаимно однозначным? Легко видеть, что этой взаимной однозначности нет: лучи связки, параллельные плоскости л, не соответствуют при перспективном соответствии никакой точке плоскости л, а плоскость связки, параллельная плоскости л, не соответствует никакой прямой плос- кости л. Для сокращения речи назовем особым лучом связки всякий луч, параллельный плоскости л, а особой плоскостью связки назовем единственную плоскость, принадлежащую этой связке и параллельную плос- кости л. Особые лучи и осо- бая плоскость связки не со- ответствуют никаким точкам и никакой прямой плоскости л. В каждой исособой плос- кости связки имеется един- ственный особый луч и осо- бые лучи заполняют всю особую плоскость связки. Посмотрим, в каком слу- чае две плоскости Od и Od' связки пересекаются по осо- бому лучу (рис. 126). Так как особый луч связки не имеет общих точек с плос- костью л, то плоскости Od и Od' не могут иметь общих точек, принадлежащих плос- кости л, т. е. прямые d и d', лежащие в плоскости л не имеют никакой общей точки, следовательно, они параллельны. Обратно, если две прямые d и d' в плоскости л параллельны, то соответ- ствующие им плоскости Od и Od' не могут иметь общих точек, ле- жащих в плоскости л, т, е. луч, по которому плоскости Od и Od’ пересекаются, параллелен плоскости л, он является особым лучом. Итак, две плоскости Od и Od' связки О тогда и только тогда пересекаются по особому лучу, когда соответствующие им прямые dud' параллельны. Представляется естественным пополнить плоскость новыми — «несобственными», или «бесконечно удаленными»,—точками, обра- зующими несобственную, или бесконечно удаленную, прямую, и поставить их в соответствие с особыми лучами связки так, чтобы перспективное соответствие между связкой и пополненной пло- скостью было уже взаимно однозначным. На введенные таким образом несобственные элементы мы распространим понятие инци-
282 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ X дентиости, считая, что данная обыкновенная прямая d плоскости л инцидентна несобственной точке тогда и только тогда, когда особый луч, которому точка М!Х1 соответствует, инцидентен пло- скости Od; несобственная прямая, по определению, инцидентна любой несобственной точке. Итак, при перспективном (теперь уже взаимно однозначном) соответствии между пополненной пло- скостью и связкой отношение инцидентности сохраняется. Таким образом, пополнение плоскости несобственными элемен- тами {несобственными точками и несобственной прямой) проис- ходит при соблюдении следующих условий'. Г Каждая прямая d плоскости л пополняется единственной несобственной точкой {соответствующей единственному особому лучу плоскости Od). 2° Две прямые d, d' плоскости л тогда и только тогда имеют общую несобственную точку, когда они параллельны {т. е. тогда и только тогда, когда плоскости Od и Od' имеют общий особый луч). 3° Совокупность всех несобственных точек плоскости образует несобственную прямую {совокупность всех особых лучей связки образует особую плоскость этой связки). Пополненная несобственными точками и несобственной прямой плоскость л называется проективной плоскостью1); мы будем ее обозначать через л. Перспективное соответствие между проектив- ной плоскостью л и связкой есть взаимно однозначное соответ- ствие между точками и прямыми плоскости, с одной стороны, и лучами и плоскостями свяжи, с друзой стороны; это соответствие сохраняет ппцпдепгноегь И? условий Г’, 2', 3', ьоюрым подчинено пополнение пло- ское ги несобственными точками, вытекают следующие два свойства проективной плоскости: А. Всякие две прямые dud' проективной плоскости пересе- каются в одной точке. В самом деле, если прямые d и d' собственные и если на первоначальной обыкновенной плоскости л они пересекаются в точке М, то эта же точка М является и точкой пересечения прямых d и d' на проективной плоскости л; так как несобствен- ные точки пересекающихся прямых d и d' различны, то точка М есть единственная общая точка прямых d и d' на проективной плоскости. Если прямые d и d', рассматриваемые на обыкновен- ной плоскости л, параллельны между собой, то на проективной плоскости л они имеют одну и ту же несобственную точку, и она является их единственной общей точкой. Точнее, проективной плоскостью в ее первом изображении или первой моделью проективной плоскости.
§2] ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ 283 Наконец, несобственная прямая пересекается со всякой собст- венной прямой в несобственной точке этой последней. Предложение А можно сформулировать так: для всяких двух различных прямых проективной плоскости имеется единственная точка, которой обе эти прямые инцидентны. Этому предложению двойственно предложение Б. Для всяких двух различных точек на проективной плоскости имеется единственная прямая, которой обе эти точки инци- дентны. Это известно, если точки собственные. Предположим, что даны две точки А и В, из которых одна, положим А, собственная, а другая В —несобственная. Тогда В есть несобственная точка некоторой прямой b и всех прямых, параллельных прямой Ь. Поэтому, проведя через точку А прямую Ь', параллельную пря- мой b (а такая прямая единственная), мы и получим прямую, инцидентную собственной точке А и несобственной точке В. Наконец, единственная прямая, инцидентная двум несобствен- ным точкам, есть несобственная прямая. Аналитически пополнению плоскости несобственными точками соответствует введение так называемых однородных координат, к которому мы сейчас и переходим. § 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке 1. Определение однородных координат. Определение 1. Предположим, что на плоскости л дана система аффинных коорди- нат ое^. Пусть М — произвольная точка плоскости, х и у — ее координаты в системе оеге2. Тогда всякая тройка чисел Х1, пропорциональная тройке х, у, 1, называется тройкой однородных координат точки М (в данной аффинной координатной системе ое^). Решим две простые задачи: а) по аффинным координатам точки М найти все тройки однородных координат этой точки; б) по одной какой-нибудь тройке однородных координат данной точки найти ее аффинные координаты. Первая задача решена самим определением однородных коор- динат: тройки однородных координат данной точки М = (х, у) суть все тройки х1; х.г, х3, пропорциональные тройке х, у, 1. Вторая задача состоит в том, чтобы по данной тройке х1У х2, хя однородных координат точки М найти ту тройку х, у, 1, кото-
284 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ }ГЛ X рой тройка хь х2, х3 пропорциональна. Значит, надо решить пропорцию х: у: 1 = хх: х2: х3, откуда Каждая точка М = (х, у) плоскости получила бесконечное множество троек однородных координат. Какими свойствами обладает это множество троек? Во-первых, в нем содержится «запрещенная тройка», состоя- щая из трех пулей, так как эта тройка не может быть тройкой, пропорциональной тройке вида х, у, 1, ни при каких х и у. Во-вторых, любые две тройки, являющиеся элементами этого множества, пропорциональны между собой. В-третьих, всякая тройка, пропорциональная какой-либо тройке, входящей в наше множество, сама входит в это множество. Другими словами: множество всех троек однородных координат какой-либо точки плоскости есть один из классов, на которые рас- падается множество всех вообще незапрещенных числовых троек, если считтаь эквивалентными всякие две пропорциональные между собой тройки. Возникает обратный вопрос: всякий ли класс пропорциональ- ных троек есть множество троек однородных координат какой- либо ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ’’ Пусть дан какой-нибудь класс гроек /(, и пусть xt, х2, х3— какая-нибудь тройка, входящая в лот класс. Возможны два случая: либо х3#=0, тогда мы эту тройку хь х2, х3 назовем обыкно- венной', либо х3 = 0, тогда мы назовем тройку xlt х2, х3 особой. При этом, если в класс входит хотя бы одна обыкновенная тройка, то все тройки этого класса обыкновенные; если в класс входит хотя бы одна особая тройка, то все тройки этого класса особые. Если класс К состоит из обыкновенных троек, то, взяв какую- нибудь одну из них, хп х2, х3, мы можем найти точку Л4 = (х, у) по формулам (1); это и будет точка, для которой хь х2, х3 является одной из троек однородных координат, а потому и весь данный класс К будет классом троек однородных координат точки М. Если же данный класс состоит из особых точек, то в нем нет тройки вида х, у, 1, следовательно, такой класс не является классом, соответствующим какой-либо точке плоскости. Итак, точки плоскости находятся во взаимно однозначном соот- ветствии с классами обыкновенных числовых троек.
§ 2) ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ 285 Посмотрим, каков геометрический смысл этого соответствия и что можно сказать об особых классах, т. е. о классах, состоя- щих из особых троек. Для этого вернемся снова к связке с каким-нибудь центром О. Возьмем произвольную аффинную координатную систему Ое1е2е3 в пространстве с началом в точке О. Координаты какого-нибудь вектора относительно этой координатной системы будем обозначать через хп х2, х3. Определение 2. Пусть дан произвольный луч связки. Тройку координат хо х2, х3 любого направляющего вектора этого луча назовем тройкой однородных координат этого луча (в дан- ной аффинной координатной системе Ое1е2е:|). Так как существует бесконечное множество направляющих векторов данного луча, то каждый луч связки получает бесконеч- ное множество троек однородных координат. Среди этих троек нет запрещенной тройки 0, 0, 0, так как она не может слу- жить тройкой координат никакого направляющего вектора. Все эти тройки пропорциональны между собой; наконец, если дан какой-нибудь направляющий вектор {Xj, х2, x3f данного луча и если тройка х[, х\, х'3 пропорциональна тройке х1( х2, х3, то вектор {хь х2, х2} также будет направляющим вектором того же луча. Итак, множество всех троек однородных коор- динат произвольного луча связки есть класс пропорциональных троек. Нетрудно видеть, что любой класс числовых троек является классом троек однородных координат некоторого луча связки. В самом деле, пусть дан произвольный класс и в нем произволь- ная тройка хь х2, х3. Так как эта тройка не состоит из одних нулей, то она является тройкой координат некоторого вектора и, отличного от нуля. Этот вектор есть направляющий вектор вполне определенного луча связки, и, значит, тройка х,, х2, х3 и все пропорциональные ей тройки являются тройками однородных координат именно этого луча. Каким же лучам связки соответствуют, в качестве троек их координат, особые тройки вида хь х2, 0? Очевидно, тем и только тем лучам, которые лежат в плоскости Ое^. Это положение вещей позволяет понять геометрический смысл введения однородных координат на плоскости. Пусть, в самом деле, дана плоскость л с системой аффинных координат oeje2 на ней. Возьмем аффинную систему Ое^е-, в про- странстве с началом О#=о, с теми же двумя векторами еь е2, что и в системе ое,е2 на плоскости л, и с третьим вектором е3 = Оо (рис. 127). Всякую такую координатную систему Oeie2e3 в пространстве называем системой, естественно связанной с системой oeje2 (в пло- скости л). В системе координат Ое^Сз плоскость л, очевидно,
286 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X Рис. 127. имеет уравнение х8=1. (2) Замечание 1. Если в плоскости дана аффинная система координат ое^, то для каждой точки плоскости определены ее однородные координаты относительно системы ое^, причем для собственных точек плоскости аффинные и однородные коор- динаты связаны между собой формулами (1). Пополнение плоскости несобственными точ- ками состоит в том, что каж- дому класс’' особых троек вида X,, х,, 0 ставится в соответст- вие несобственная точка плос- кости. В результате этого пополне- ния множество всех без исклю- чения классов числовых троек оказывается поставленным во взаимно однозначнее соответствие с множеством всех точек плоскости. Точку Л1 с однородными координатами xlt х2, х3 записываем так: М = (хг: х2: х3). Замечание 2. Пусп> М -- несобственная точка плоскости, тогда М Пара чисел xlt х2 есть пара координат некоторого не равного нулю вектора {х2, х2\ плоскости; несобственные точки М = (хг: х2: 0) и N = (уг :у2:0) совпадают тогда и только тогда, когда тройки xlt х2, 0 и ylt у2, 0, т. е. пары х1г х2 и ylt у2, пропорциональны, а это значит, что векторы {Xj, х2\, {ylt у2\ коллинеарны, или определяют в пло- скости одно и то же направление (являются направляющими век- торами одной и той же прямой). Таким образом, несобственные точки плоскости взаимно одноз- начно соответствуют направлениям в плоскости (при этом надо помнить, что два противоположных вектора определяют одно и то же направление). Несобственные точки называют также беско- нечно удаленными и говорят, что бесконечно удаленная точка М ~ (Xj: х2:0) «удалена в бесконечность» в направлении вектора х2} (или {—Xj: — х2}р т. е. в направлении прямой, имеющей эти векторы своими направляющими векторами.
§ 21 ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ 287 2. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах. Пусть на плоскости л дана прямая d своим уравнением а1х + а2у + а8 = 0 (3) в системе координат ое^. Найдем уравнение, которому удовлетворяет всякая тройка однородных координат любой точки прямой d. Для этого, взяв произвольную точку М = (х, у) прямой d и какую-нибудь тройку хп х2, х3 однородных координат этой точки, выразим аффинные координаты хну точки М через ее однородные координаты хг, х2, х3 по формулам (1) и подставим полученные значения в уравнение (3). Получим я*'+а*>-|.аз^0, т. е. а1х1-|-а2х2 + яэх3 = 0. (4) Это и есть искомое уравнение. Обратно, пусть дано уравнение (4); предположим сначала, что в этом уравнении по крайней мере один из коэффициентов аъ а2 отличен от нуля. Посмотрим, каковы те собственные точки пло- скости, которые удовлетворяют этому уравнению. Пусть собствен- ная точка М плоскости л имеет тройку однородных координат Xt, х2, х3, удовлетворяющую уравнению (4). Тогда и всякая тройка однородных координат точки М удовлетворяет уравнению (4); в част- ности, этому уравнению удовлетворяет и тройка х, у, 1, где х и у —аффинные координаты точки М. Итак, если однородные координаты точки М удовлетворяют уравнению (4), то аффинные координаты х и у этой точки удовлетворяют уравнению (3) и, сле- довательно, лежат на прямой (3). Но на проективной плоскости л имеется и несобственная точка, и притом только одна, удовлетворяющая уравнению (4). В самом деле, если хь х3, 0 —тройка однородных координат несобственной точки, удовлетворяющей уравнению (4), то ajXt ф-а2х2 = 0, (4') откуда Xj. х2 — о2: единственная несобственная точка, удовлетворяющая уравнению (4), есть точка (— аг: : 0). (5)
288 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X Тройки класса (5) и только они суть тройки координат един- ственного несобственного луча, лежащего в плоскости Od. Так как при перспективном соответствии между связкой О и плоскостью л отношение инцидентности сохраняется, то несобственная точка (5) должна считаться инцидентной прямой d, т. е. эта точка есть несобственная точка прямой d. Как и следовато ожидать, две прямые тогда и только тогда имеют общую несобственную точку, когда они параллельны. Мы до сих пор рассматривали случай, когда в уравнении (4) по крайней мере один из коэффициентов а}, а2 отличен от нуля. Если оба коэффициента = а2 = 0, то третий коэффициент а3 О и урагненне (4), имея вид п3х3 = 0, аа=/=0, равносильно ура- внению х.,=0. (6) Этому уравнению удовлетворяют все несобственные точки плоско- сти и только они. Уравнение (6) есть уравнение первой степени, его и естественно считать уравнением несобственной прямой пло- скости. § 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость, общее определение проективной плоскости 1. Координаты прямой. Читателю уже давно известно, что координаты можно определить не только для точек, но и для других Iеометрическнх объектов; например, мы с самого начала этого «Курса» говорим о координатах вектора и только что ввели понятие однородных координат луча спячки. Пусть на проективной плоскости л дана прямая своим урав- нением atxA + а2х2 а3х3 = 0. (1) Тройка коэффициентов alt а2, а3 вполне определяет уравнение (1) и, следовательно, прямую, выражаемую этим уравнением. При этом два уравнения (I) и 4- Ь2х2 4- Ь3х3 = 0 (2) тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, если их коэффициенты пропорциональны между собой, т. е. если b1:a1 = b2:a2 = b3:03. (3) В самом деле, если уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же прямую, то всякая тройка чисел х2, х3, удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и другому, т. е. урав- нения (1) и (2) эквивалентны, но два однородных уравнения (1)
5 3J ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 589 и (2) эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны. Определение 3. Тройка коффициентов а1, а2, а3 любого уравнения данной прямой d называется тройкой (однородных) координат этой прямой, а также тройкой координат плоскости Od связки О (в системе координат Oe^-fo, естественно связанной с системой ое^, данной в плоскости л). Очевидно: «запрещенная» тройка 0, 0, 0 не может быть трой- кой координат никакой прямой. Далее, из только что доказанного следует: 1. Любые две тройки координат данной прямой пропорцио- нальны между собой. 2. Если данная тройка ап а2, а3 есть тройка координат дан- ной прямой, то и всякая тройка, пропорциональная тройке а1г. а2, а3, есть тройка координат той же прямой. Итак, всякая (нсзапрещенная) тройка чисел может рассмат- риваться и как тройка однородных координат некоторой точки на проективной плоскости, и как тройка координат некоторой прямой. Две тройки определяют при .ином одну и ту же точку, соответственно одну и ту же прямую, тогда и только тогда, когда они пропорциональны между собой. Прямую с координатами uit и2, и3 мы обозначаем так: {«i: н2: н3}. Прямая {«J: и2: и3] и точка (xt: х2: х3) инцидентны, если и1х14-и2х24-и3х3 = 0. Пример. Прямая х = у или хг — х2 = 0 есть прямая {1: — 1 :0}; прямая у=1 или х2 — х3 — 0 есть прямая {0:4-1: — 1}; прямая х -=0 (ось ординат) или xt 0 есть прямая {1:0: 0); несобственная прямая х3-0 есть прямая {0:0:1}. 2. Арифметическая проективная плоскость. Теперь читатель готов к введению следующего определения: Определение 4. Арифметической проективной плоскостью называется множество Рар элементов двух родов, называемых соответственно «арифметическими точками» и «арифметическими прямыми». И те и другие суть классы пропорциональных между собой числовых троек, снабженные отметкой, указывающей, имеется ли в виду «точка» или «прямая»: точки обозначаются, например, через (хх: х2: х3), а прямые—через {ut: и2:и3}. При этом между точками и прямыми установлено отношение инцидентности, состо- ящее в том, что точка (Xj: х2: х3) и прямая {uL: н2: и3} называются инцидентными между собой, если «Л 4- и2х2 4- и3х3 = 0. (4) 10 п. С. Александров
290 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ X Замечание 1. Ставя в соответствие точкам (Xj:х2:х3) и пря- мым {u,:u2:u3} арифметической проективной плоскости прямые и плоскости связки О, имеющие в некоторой фиксированной системе координат соответственно координаты хп х2, х3 и ult и2, и3, видим, что получаем взаимно однозначное соответствие между элементами арифметической проективной плоскости и элементами связки, сохраняющее отношение инцидентности (точка и прямая арифметичес- кой плоскости инцидентны между собой тогда и только тогда, когда инцидентны соответствующие им луч и плоскость связки). 3. Общее определение проективной плоскости. Наконец, мы можем дать и следующее общее Определение 5. Проективной плоскостью называется вообще всякое множество Р, состоящее из элементов двух родов, называемых соответственно «точками» и «прямыми», и связанных между собой некоторым отношением, называемым отношением инцидентности между какой-нибудь «точкой» и какой-нибудь «прямой». При этом требуется, чтобы существовало сохраняющее инцидентность вза- имно однозначное соответствие между «точками» и «прямыми» проективной плоскости Р, с одной стороны, и лучами и плоскос- тями связки, с другой стороны: «точка» и «прямая» проективной плоскости Р инцидентны между собой тогда и только тогда, когда инцидентны соответствующие им луч и плоскость связки. В част- ности, проективной плоскостью является и сама связка, если ее лучи называть «точками», а плоскости — «прямыми». Замечание 2. Взаимно однозначное соответствие между эле- ментами (точками и прямыми) двух проективных плоскостей, сох- раняющее отношение пнипден i шк гп, па и.шаеiся томорфным соот- ветствием (и юморфи imom) з1 их двух плоскостей Мы видим, что все проективные плоскости изоморфны связке и, следовательно, изоморфны между собой. Очевидно также, что всякая проектив- ная плоскость изоморфна арифметической проективной плоскости (так как связка ей изоморфна). Замечание 3. До тех пор, пока в пространстве не выбрана аффинная координатная система Ое^^з, все лучи связки О и все плоскости этой связки (т. е. все «точки» и все «прямые» проектив- ной плоскости) равноправны между собой— никаких несобствен- ных «точек» и никаких несобственных «прямых» связка О сама по себе не знает. Не знает их и проективная геометрия, ко- торая есть не что иное, как геометрия связки. Лишь после того, как выбрана система координат Ое^ед с началом в центре связ- ки, — и этим выбором установлен определенный изоморфизм между связкой и арифметической проективной плоскостью — можно гово- рить о несобственных лучах связки (несобственных точках плос- кости) как о лучах (о точках), третья координата х3 которых равна нулю; можно говорить и о несобственной прямой {0:0: 1}, которой все эти точки инцидентны.
8 3] ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ 291 Поэтому, изучая любую проективную плоскость Р, мы можем всегда заменить ее по нашему желанию связкой или арифмети- ческой проективной плоскостью Р,р. Последнее особенно целесо- образно, если желательно с самого начала выделить несобственные элементы. При этом удобно и законно представлять себе ариф- метическую проективную плоскость как результат введения одно- родных координат (относительно некоторой «исходной» аффинной координатной системы ое^) на данной обычной плоскости л, как это мы делали в начале § 2. Проективную плоскость с выделенной на ней несобственной прямой называют «аффинно-проективной» плоскостью — по причи- нам, которые выяснятся в § 6. 4. Комплексная проективная плоскость. Мы ограничимся опре- делением арифметической комплексной проективной плоскости. Комплексной арифметической проективной плоскостью назы- вается множество элементов двух родов, называемых соответственно комплексными арифметическими точками и комплексными ариф- метическими прямыми'). И те п другие суть классы пропорцио- нальных между собой троек, теперь уже произвольных комплекс- ных чисел, снабженных по-прежнему отметкой, указывающей, идет ли речь о точках или прямых; точки будут обозначаться через (XjiXjiXg), прямые —через : и2: и3}. Среди всех троек комплексных чисел лишь одна тройка 0, 0, 0 по-прежнему оста- ется запрещенной. Точка (соответственно прямая) называется вещественной (действительной), если среди троек х,, х2, х3, классом которых она является, имеется тройка, состоящая из действитель- ных чисел. Так, точка M = (i:i:i) есть действительная точка: она может быть записана и в виде А4 = (1 : 1 : 1). Все не дейст- вительные точки (прямые) называются мнимыми. Между точками и прямыми комплексной проективной плоскости установлено отношение инцидентности", точка (х2". х2". х3) и пря- мая {ui'. и2: и3\ называются инцидентными между собой, если ЩХ} ^2-^2 «3*3 == О" Так же можно говорить и о комплексной связке как о мно- жестве всех комплексных прямых (лучей связки) и плоскостей, проходящих через одну какую-нибудь действительную точку О комплексного трехмерного пространства. В дальнейшем (уже в следующем параграфе) мы будем предполагать, что в связке О (вообще говоря, комплексной) дана система координат Ое^ез, которая всегда будет предполагаться действительной (т. е. не только точка 0, но и векторы еп е2, е3 будут всегда веществен- ными). Отождествляя луч связки, имеющий в избранной «исход- ной» системе координат Oete,e3 координаты хг, х2, х3, с точкой *) Мы, естественно, будем их называть просто точками и прямыми. 10*
292 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ. X (х,: xt: х3), а плоскость связки, имеющую координаты ult и2, и3, — с прямой {Ui'.Ug-.Ug} арифметической проективной плоскости, мы и саму связку можем отождествить с арифметической проектив- ной плоскостью. § 4. Принцип двойственности для проективнной плоскости Вернемся к условию инцидентности «1%! + и2х2 + и3х3 == 0 (1) точки (хг: х2: х3) и прямой {«1:па:и8}. Поставим в соответствие каждой точке (xt: х2: х3) проектив- ной плоскости прямую {х1:ха:хя} с теми же координатами (и, наоборот, прямой {z/(: и._: — точку (ut : и2: и3)), т. е. сделаем взаимно однозначное отображение множества всех элементов (точек и прямых) проективной плоскости на себя, записывающееся в виде (хх: ха: х3) {хх: ха: х8}, (2) Тогда имеет место следующий очевидный и тем не менее заме- чательный факт. Отображение (2) сохраняет отношение инцидентности, т. е. переводит точку (х1:х2:х3) и прямую {ut: и2: и3}, инцидентные между собой, в прямую {Xj: х2: х3} и точку (иг: и2: и3), по-преж- нему инцидентные между собой. В самом деле, условие инцидентности (1) не зависит от того, считаем ли мы тройки х,, ха, х3 н nt, ti2, ия тройками координат точки и прямой нлн, наоборот, прямой и точки, т. е. не зависит ст тою, какую из двух троек л,, х.,, х., и //,, и2, //3 мы заключаем в круглые, а какую —в фигурные скобки. Непосредственным следствием этого факта является следующий Принцип двойственности для проективной пло- скости. Пусть верно какое-нибудь предложение, касающееся точек, прямых и отношения инцидентности между ними. Тогда будет верно и двойственное предложение, получаемое, если в данном пред- ложении поменять слова «прямая» и точка». В самом деле, речь идет о предложении, которое может заклю- чаться лишь в утверждении инцидентности таких-то прямых («i: и2: и3} и таких-то точек (Xj: х2: х3). Эти утверждения выра- жаются в тождествах вида (1), в которых ничего не изменится, если мы в формулировке нашего предложения заменим прямые точками, а точки — прямыми (т. е. заменим фигурные скобки круг- лыми и наоборот). Прежде чем приводить примеры взаимно двойственных пред- ложений, сделаем следующее общее замечание. В плоской аффинной геометрии точки и прямые не были рав- ноправны: плоскость состояла из точек, а прямые определялись
1 Я ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ 293 как множества точек, координаты которых удовлетворяли урав- нениям первой степени. Теперь мы можем стать на другую точку зрения: и прямые и точки суть совершенно равноправные геометрические объекты, и те и другие взаимно однозначно соответствуют классам число- вых троек; эти геометрические объекты связаны между собой основ- ным отношением инцидентности, выражающимся условием (1). Если мы в (1) будем считать прямую {up. u2: и3} данной, то равен- ство (1) является уравнением, определяющим множество точек, инцидентных данной прямой. Если же мы в уравнении (1) будем считать данной точку (х1\х2,.х3), то оно превращается в уравне- ние, определяющее множество всех прямых {uj: ua: и3}, инцидент- ных данной точке, т. е. пучок прямых с центром в данной точке. С таким же правом, как мы раньше считали первоначальным понятие точки, а прямую определяли как множество точек, удо- влетворяющих уравнению (1), мы могли бы считать первоначаль- ным понятие прямой и определять точку как множество инцидент- ных ей прямых (как пучок прямых), удовлетворяющих тому же уравнению (1). Свое полное выражение это равноправие точек и прямых проективной плоскости и находит в сформулированном выше принципе двойственности. Приведем примеры двойственных в указанном смысле предло- жений; их доказательства будут тоже «двойственны»: одно полу- чится из другого, если в каждый момент доказательства слово «прямая» заменить словом «точка» с сохранением каждый раз отношений инцидентности. Теорема 1. Ко всяким двум различным точкам А, В имеется единственная прямая, им инци- дентная; она обозначается через АВ (или просто через АВ). Теорема 1'. Ко всяким двум различным прямым а, b имеется единственная точка, им инцидентная; она обозначается через (а Ь) (или просто через а-Ь). Дока зательство Пусть ах: а2: а3 и bY: &2: Ь3 суть две данные различные точки | прямые. Мы ищем всевозможные прямые | точки 11: : ?з> инцидентные двум данным точкам | прямым zij:а2: а3, bt:b2: b3. Искомые : £2: |3 удовлетворяют условиям 4“ я212 -f- g3£3 = 0, (3) + Ь£2 Ь3£3 = 0, (4)
294 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X откуда следует, что t .е .t _|°2 аз| .рз <311 | а, 1 _ b3|-|fc3 bxl-l^ Ь2|’ (5> т. е. что координаты : S2: £3 определены с точностью до про- порционального множителя однозначно; значит, существует единственная прямая I точка (^ : с2: |3), инцидентная данным двум точкам прямым («> :«а:«•)). {atа.,-.а3}, {b1:b2:b3}. Замечание. Теорема 1 выражает хорошо известный чита- телю из школьного курса геометрии факт: через всякие две раз- личные точки проходит одна и только одна прямая. Двойственная теореме 1 теорема 1' в более привычной формулировке звучит так: всякие две различные прямые пересекаются в одной точке, собственной или несобственной; в собственной точке они пересе- каются тогда, когда пересекаются на обычной (не пополненной несобственными точками) плоскости, в несобственной— тогда, когда они на обычной плоскости параллельны. На проективной плоско- сти параллельных прямых нет. Вернемся к доказательству теорем 1 и Г. Единственная пря- мая (точка), инцидентная двум данным точкам (прямым) a^a^a* и bi:b.i’.b.}, имеет координаты, определяемые формулами (5): Si :^а:В3 —17,2 I ''2 “з| |'-3 I I "2 I Если X = (aj:a2:a3) и В = (Ьг: Ь2: Ь3) суть две различные точки,, то прямая (5) есть прямая : |2: |3}, этим двум точкам инцидент- ная; ее уравнение есть + %,зхз — 0. (6Х где gi, g2, с3 даны пропорцией (5), так что уравнение (6) можно- переписать в виде Х1 х2 х3 йд Лз bi bj dj = 0. (7> Уравнение (6) или (7) есть уравнение, которому удовлетворяюг координаты всех точек, инцидентных прямой : £2: Ея}. Это урав- нение (7) выражает тот факт, что первая строка матрицы 11 Xi х2 Хз а1 С2 а3 Il ^3
'«fl ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ 295 ^есть линейная комбинация второй и третьей, т. е. что xz = Azzz + p&z, / = 1, 2, 3. (8) Давая параметрам А и ц всевозможные числовые значения (кроме запрещенной пары значений А = р. = О), будем получать по фор- мулам (8) тройки однородных координат всевозможных точек М прямой АВ. Очевидно при этом, что двум пропорциональным парам к' : |х' = А": ц" будут соответствовать пропорциональные тройки х{: х'2: х3 и х\: х2: х3. Обратно, если формулы (8) опреде- ляют для данных значений А', ц', соответственно X", р.", одну и ту же точку, т, е. две пропорциональные тройки х[, х2, х3 и хГ, х2, Хз, то пары X', ц' и X", р" пропорциональны: А': р/ = А": ц". В самом деле, пусть x”t=kx{, x2=kx't, Хз=/гх'3. Тогда A"az + p"6z = k (\'at + p'6z), т. e. (A"-/eA')nz = (/qi'-|i’)/>z, Z = 1, 2, 3, откуда следует, что или А" = йА', ц" = Ар', т. е. А": р" = А/: р', или тройки а^, а2, а3 и blt b2, Ь3 пропорциональны и, значит, точки А и В совпадают между собой — вопреки предположению. Итак, точки прямой : £3| = АВ взаимно однозначно соот- ветствуют классам пропорциональных пар значений параметров А, р, поэтому система уравнений (8) называется системой парамет- рических уравнений или, для краткости, просто параметрическим уравнением прямой АВ. Однако следует помнить, что для того, чтобы написать эту систему уравнений, надо не только знать самые точки А, В, определяющие нашу прямую, но и выбрать среди троек однородных координат этих точек определенную тройку Я], а2, а3, соответственно Ьь Ь2, Ь3. Если а = {а1:а2:а3} и b = {Ь1: Ь2: Ь3\ суть две различные пря- мые, то формулы (5) определяют их точку пересечения (а-Ь) = = (Si: :Ь)- Уравнение (6) или (7) есть уравнение (относительно хъ х2, х3), которому удовлетворяет любая тройка координат всякой прямой d = {%!: х2: х3}, инцидентной точке (a- b) = (|х: : g3) (т. е. проходящей через эту точку); другими словами, уравнение (7) есть уравнение пучка прямых с центром (а-b). Уравнения (8) образуют систему параметрических уравнений этого пучка; они выражают давно известный нам факт, что каждая прямая пучка есть линейная комбинация двух каких-нибудь прямых этого пучка. Из доказанного вытекает Теорема 2. Пусть хъ х2, х3, alr а2, а3, blt b2, Ь3 суть про- извольные тройки координат каких-нибудь трех точек, | прямых.
296 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ К Необходимым и достаточным условием для того, чтобы эти три- точки ! прямые были инцидентны одной и той же прямой (т. е. чтобы три данные точки лежали на одной прямой), точке (т. е. чтобы три данные прямые проходили через одну точку} является равенство (7), т. е. выражаемая им линейная зависимость между (произвольными) тройками координат х,, х2, х:<; а}, а2, а3\ blt b2, Ья данных трех точек. | прямых. § 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости Пусть снова дана связка О (действительная или комплексная), и пусть, наряду с аффинной системой координат Oeje2e3, дана вторая система координат Ое}е'е3 с тем же началом О, единичные векторы е(, е2, е3 которой получаются из векторов еп е2, е3 умно- жением их на одно и то же число X. Две такие координатные системы назовем э бивалентными. Всякая тройка чисел хь х2, х3, являющихся тройкой координат какого-нибудь вектора и в одной из двух эквивалентных координатных систем, будет тройкой коор- динат коллинеарного вектора lu ^соответственно у и) в другой системе. Поэтому совокупность всех троек однородных координат какого-нибудь луча связки будет в двух эквивалентных коорди- натных системах одной и той же. Легко доказать и обратное утверждение. Если относительно- двух координатных систем Ое1е2е3 и Ое}е2е3 в связке О каждый луч этой связки имеет одни и те же однородные координаты, то системы Оехе2е3 и Ое{е2е3 эквивалентны. В самом деле, так как луч, несущий вектор е}, имеет в системе Ое}е2е3 тройку координат {1, 0, 0}, то в обеих системах Ое^ез и Ое}е2е3 тройками координат этого луча являются все тройки вида {Хп 0, 0}, ^#=0, и только они, откуда, в частно- сти, следует, что вектор е} имеет в системе Ое1е2е3 координаты А.1Т 0, 0, где Ах =И= 0, так что е{ = ^е^ Аналогично е2 == ^е2, е3 = ?^е3. Остается доказать, что Х1 = Х2 = Х3. Но луч, несущий вектор е' = ==ej4-es + e3, имеет по предположению в обеих системах 0eje2e3 и Ое}е2е3 одну и ту же координатную запись {1:1:1}, так что мы имеем для самого вектора е' равенство е' = Л (ех -}- е2 + е3) при.
J 5] ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 297 некотором 1=/=0. Так как, с другой стороны, е'= + ^е2 + Х3е3, то X = Хх = Х2 = Х3, что и требовалось доказать. Замечание 1. Из приведенного доказательства вытекает, что для эквивалентности двух координатных систем Оехе2е3 и OeJeX в связке О необходимо и достаточно, чтобы три коорди- натных луча {1:0:0}, {0:1:0}, {0:0:1} и «единичный луч» {1:1:1} одной системы имели бы ту же координатную запись {1:0:0}, {0:1:0}, {0:0:1} и {1:1:1} и в другой системе коор- динат. Вводим теперь следующее Определение 6 (первое определение проектив- ной системы координат). Задать в связке О систему проек- тивных координат — значит задать в пространстве какую-нибудь систему аффинных координат с началом О. При этом две экви- валентные системы аффинных координат, по определению, задают в связке одну и ту же систему проективных координат. Другими словами: система проективных координат в связке с центром О есть класс эквивалентных между собой аффинных координатных систем с началом О. Посмотрим, как определить этот класс геометрически. Чтобы задать аффинную систему координат с началом О, можно, вместо того чтобы задавать сами единичные_векторы ОЕХ = ех, СШг = е2, ОЕ3 = е3, задать несущие их прямые О£х = Xlt ОЕ2 = zY2, ОЕ3 — Х3 (оси координат) и точку Е = (1, 1, 1). Проекции £х, Е3, Е3 этой точки Е на оси координат1) и определят единичные векторы 0Е1 = е1, ОЕг=е2, 0Е3 = е3, причем 6S=0E14-0E2->-0Ea. Точка Е называется единичной точкой данной аффинной системы координат. Очевидно, две аффинные системы координат с нача- лом О тогда и только тогда эквивалентны, когда у них одни и те же оси, а единичные точки лежат на одном и том же луче — на «единичном» луче Е связки. Поэтому определение 6 может быть сформулировано и следую- щим образом: Определение 6' (второе определение проектив- ной системы координат). Задать проективную систему координат в связке— значит задать в этой связке три некомпла- нарных координатных луча Xlt Х2, Х3 и четвертый, «.единичный» луч £,_не компланарный ни с какими двумя из координатных лучей Xlt Х2, ХЛ. Пусть в связке О дана проективная система координат ХхХ2Х3£. Спрашивается: как найти класс эквивалентных между собой аффинных координатных систем, определяющих (в смысле !) Здесь (и далее) проекции на какую-либо координатную ось берутся вдоль плоскости, несущей две другие оси координат,
298 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ X первого определения) данную проективную систему координат? Для этого возьмем на единичном луче Е данной проективной координатной системы XjXgXgE произвольную точку Е (рис. 128), обозначим через Elt Ег, Е3 ее проекции на оси координат (т. е. на лучи Х2, Х3), получим векторы е1=ОЕ1, е2 = ОЁ2, е3=ОЕ3. Аффинная координатная система Oeje.2e3 и все системы Ое'^е'д, ей эквивалентные, и образуют, очевидно, класс, определяющий данную проективную систему XiX2X3E. Каждая система Oeje2e3, _ входящая в этот класс, получается, если на том \ же единичном луче Е взять \ . какую-нибудь точку £' и ----------т---/ се проекшп! Е£, Е2, Е3 на лучи XХ"2, Х3, Из этого построения ясна и роль единичного- луча Е проективной коор- динатной системы: если- брать разные тройки век- X, торов ej, е2, е3, лежащих соответственно на коорди- натных осях Xlt Х2, Х3, и не связывать эти тройкит требованием, чтобы сумма- векторов каждой тройки была направляющим век- тором одного и того же- (для всех троек) луча связки О, то будем получать различные, вообще говоря, не экви- валентные между собой аффинные координатные системы. Тройки координат произвольного луча связки О в аффинной коор- динатной системе Ое1е2е3 или, что то же, в любой аффинной коор- динатной системе, эквивалентной системе и называются, по определению, тройками^ проективных координат этого луча- в проективной системе Х2Х2Х3Е. _ _ _ В частности, координатные лучи Хх, Х2, Х3 и единичный луч Е получают в системе Л^Л^ХзЕ соответственно координатную запись Х1 = (1:0:0), Х2 = (0:1:0), Х3 = (0:0:1), £ = (1:1:1). Далее, любая тройка коэффициентов ult и2, и3 любого уравнения. ^1*^1 “4“ ^2^2 Ч” МдХд = О произвольной плоскости связки О относительно системы коорди- нат Ое^^з является, по определению, тройкой проективныик2о2,- динат этой плоскости в проективной системе координат Х^^дЕ. Все это переносится посредством изоморфного, а именно пер- спективного отображения и на плоскость Р = получаемую попол-
ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 299 нением обычной плоскости я несобственными точками. Все оста- нется по-прежнему, только вместо «луч связи О» надо говорить -«точка плоскости Р», а вместо «плоскость связки О»—«прямая плоскости Р». Координатные лучи Хь Х2, Х3 превращаются в точ- ки Xlt Х2, Х3 (рис. 129); эти точки принято называть вершинами .координатного треугольника, состоящего из трех точек X,, Х2, Х3 и трех прямых ХхХ2, Х2Х3, Х3ХЪ инцидентных парам этих точек; эти прямые называются сторонами координатного треугольника. Единичный -луч Е делается единичной точкой Е. Четыре точки Х1( Х2, Х3, Е называются фундаментальными (или базисными) точками дан- ной проективной коорди- натной системы на плос- кости. Замечание 2. Пусть .л — плоскость трехмерного пространства с заданной в ней аффинной системой координат ое^. Построим в пространстве аффинную -систему координат 0е^3, естественно связанную с системой оеге2 на плос- кости л. Система Ое^ед определит на проективной плоскости я, происшедшей Рис. 129. от пополнения плоскости л несобственными элементами, проективную систему координат XiXjXgE (рис. 130), причем проективная плоскость л отобра- жена на связку О естественным изоморфизмом, а именно пер- спективным отображением. Очевидно, что проективные коор- динаты точек плоскости л относительно системы ХгХ2Х3Е суть не что иное, как их однородные координаты относительно аффин- ной системы координат ое^. Поэтому только что определенная нами на проективной плоскости л проективная система координат ХхХ2Х3£ называется однородной системой координат, соответству- ющей данной аффинной координатной системе оехе2 на л. Из трех вершин координатного треугольника ХхХ2Х3 вершины X^liOiO), Х2 = (0:1:0) суть, очевидно, несобственные точки соответственно оси абсцисс .и оси ординат системы оехе2 («точки, удаленные в бесконечность
300 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X в направлении соответственно прямых ох и оу»), тогда как точка’ Х3 = (0 : 0: 1) есть начало координат системы ое^, а точка Е = = (1 :1:1)— точка плоскости л, имеющая в системе координат ое^ координаты х = у = 1. Прямая Х3Хх (т.е. прямая, инцидентная точкам Х3 и XJ есть ось абсцисс, а прямая Х3Х2 —ось ординат координатной системы ое^, прямая ХГХ2 есть несобственная прямая. Вообще, если проективная система координат определена вер- шинами координатного треугольника Xlt Х2, Х3 и единичной точ- кой Е, то прямая ХаХг должна иметь такие координаты и2,м3г чтобы точки Х3 = (0:0:1) и Х1 = (1:0:0) удовлетворяли урав- нению «Л + «Л + ад = °. откуда сразу вытекает, что «3 = и1 = 0 (тогда, как, естественно, третья координата и2 отлична от нуля). Итак, прямая Х3Хх имеет координаты 0:1:0. Аналогично заключаем, что прямые Х3Х2 и ХГХ2 имеют соответственно координаты 1:0:0 и 0:0:1. Итак, наряду с формулами Х1==(1:0:0), Х2 = (0:1:0), X,= (0:0:1), (1> дающими координатную запись вершин Хь Х2, Х3 координатного треугольника, имеем следующую координатную запись сторон
5 51 ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 301 этого треугольника: ЛзХх= {0: 1: 0}, Х3Х2 = {1:0:0}, ХД3 = {0:0: 1}. (1') Отождествляя каждую точку плоскости л с классом троек ее однородных координат, мы превращаем плоскость л в арифмети- ческую проективную плоскость с данной в ней основной, «приви- легированной», проективной координатной системой ХхХ2Х3£, где точки Хх, Х2, Х3, Е, как точки арифметической проективной пло- скости, даны своей записью (1). Эта система координат называ- ется системой однородных координат на арифметической проек- тивной плоскости. Пусть в связке О (или какой-нибудь плоскости Р, изоморфно отображенной па связку О) даны две проективные координатные системы — исходная Х|Х2Х.,£ и «новая» система Х{Х2Х3£'; новая система задана какими-то тройками координат ее фундаменталь- ных точек Х{, Х2, Х3, Е' относительно исходной системы: Xi = (Гц : с21: с31), Х2 = (с12: с22: с32), Х3 = (с13: с23: с33), Е — (8Х: е2: 83). (2) Требуется написать «формулы преобразования координат», вы- ражающие координаты х1( х2, х3 любой точки М относительно исходной системы координат, через координаты х{, x'it х', той же точки в «новой» системе координат. Предположим сначала, что трейкн координат (2) каждой из точек Х{, Х2, Х3, Е' выбраны согласованными, т. е. так, что имеет место векторное равенство {сп, С21, С31}-}-{С12, С22, С3г} 4" {с13, С23> сзз} = {е1> е2> е3}; (3) тогда, считая векторы *) = {^11, С21> с31}1 е2 = {^12> ^22> С3г}> е3 = {С13> С23> С33} (2) единичными векторами аффинной системы координат в связке О, видим, что эта аффинная координатная система задает именно проективную систему Х{Х2Х$£' и что, следовательно, проектив- ные координаты какого-либо луча т связки О (и соответствующей ему точки М плоскости Р) в системе Х{Х2Х3£' суть не что иное, как координаты того же луча в аффинной системе Ое{е2е3- 1) Данные своими координатами в системе Ое^ез-
302 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ. X Вернемся теперь к системе Ое^ед. Выберем на луче Е какой-нибудь вектор ОЕ = е#=0 и возь- мем его проекции ОЕъ ОЕ2, 0Е3 на лучи Xlt Х2, Х3. Тогда Ое^-^з есть аффинная система координат в связке, задающая проективную систему Х]Х2Х3Е. Каждая тройка хг, х2, х3 проек- тивных координат в системе ХгХ2Х3Е луча т есть тройка коор- динат в аффинной системе Ое(е2е3 некоторого направляющего век- тора и этого луча *). С другой стороны, тройка координат х{, х2, х'3 луча т в си- стеме Х[Х2Х3Е’ есть тройка координат (в аффинной системе коор- динат Ое^еа) какого-то направляющего вектора ti' = Xu того же луча т. Поэтому из (2') и из формул преобразования аффинных координат получаем (имея в виду, что координаты вектора и „ , , , 1,1,1 в системе Ое^ез суть rXj, -.-х2, г ААЛ /=। х3 , что т. е. что з Ajq = У ctlx'i, £ = 1, 2, 3. /=| (4) Это и есть формулы перехода от проективной скс: мы Х1Х2Х3Е к проективной системе X[X'tX3F' и предположении, что для коор- динатной записи фундамента /и,них гочек XJ, А'., Хл, Е' выбраны (относительно системы XiX ,X.tE) согласованные тройки коорди- нат (2'). Предположим теперь, что выбраны какие угодно, может быть, и не согласованные между собой, тройки координат (2) точек XJ, Х2, Хз, Е'. Тогда их надо заменить определяющими те же точки согласованными тройками, т. е. надо найти такие отличные от нуля множители А2, А3, чтобы Xi = (^iCn, Х2 = (X2Cj2, ^2^22» Хз = (^-зС13> \}С2з, ^1^31), ^2сзг)> ^зсзз) (2") и чтобы, кроме того, имело место векторное равенство |Сц> С21> Сз1}+МС12, ^22 • ^Зг} "Ь ^3 {^13> С23> С3з}=)81> К2> Ез}‘ (3 ) J) Выбор другого вектора е = 0Е на луче Е привел бы к афринной системе координат, эквивалентной системе Ое!е2е3; каждая тройка координат луча т в одной из этих координатных систем была бы тройкой координат того же луча и в другой системе, так что для последующих рассуждений не имеет значения, какой именно вектор е взят на луче £.
§ 5] ПРОЕКТИВНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 303 Но векторное равенство (3') равносильно системе уравнений (отно- сительно Х2, Х8) з = i=l, 2,3. (3*) /=1 Детерминант d этой системы отличен от нуля (так как столбцы матрицы коэффициентов линейно независимы), поэтому система (3") решается однозначно по правилу Крамера. При этом ни од- но из чисел Хз, Х8 не равно нулю. В самом деле, имеем, например, 61 С12 Си 62 Сда Сдз 1 6з с32 С33 Если бы числитель этой дроби был равен нулю, то столбцы стоящего в числителе детерминанта были бы линейно зависимы, что невозможно, так как эти столбцы суть тройки координат не коллинеарных между собой точек Е', Х2, Найдя из уравнений (3") значения Хп Х2, Х3 и подставив их в (2"), получим координатную запись (2) точек XJ, Х'ъ Х3, Е' уже посредством согласованных троек координат и формулы пре- образования координат: з = 2 с'их'ь (4') /=1 где ^7=Х,с;/, i, / =1, 2, 3. Замечание 3. Пусть па проективной плоскости Р задана некоторая привилегированная («исходная») проективная система координат, например, па арифметической проективной плоскости задана исходная система однородных координат. Координаты какой-нибудь точки в этой исходной системе будем обозначать через х1( х2, х3. Тогда переход к какой-нибудь новой системе координат определяется просто некоторой невырождающейся мат- рицей С —матрицей коэффициентов в формулах (4) или (4'). Поэтому можно, не вдаваясь в приведенные выше «геометриче- ские» рассуждения, просто сказать: задать на арифметической проективной плоскости систему проективных координат х'ь х2, х3 — значит задать невырожденную матрицу С. В определенной этой матрицей новой системе координат точка М получает в ка- честве координат всевозможные тройки вида з х(' = Х У, dyXj, i=l, 2, 3, (5) /=1
304 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ (ГЛ. X где матрица коэффициентов D есть обратная матрица к мат- рице С коэффициентов в (4), так что формулы (4) и (5) эквива- лентны между собой и выражают взаимно однозначное соответст- вие : ежду классами троек старых «однородных-» и новых «проек- тивных» координат какой-либо точки проективной плоскости. § 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости 1. Определение и аналитическая запись проективных преобра- зований. Пусть на проективной плоскости Р задана определенная («исходная») система проективных координат. Без ограничения общности можно предположить, например, что есть арифметиче- ская проективная плоскость с системой однородных координат на пей. Задать на плоскости Р проективное преобразование — значит задать некоторую новую проективную систему координат; этим определится преобразование плоскости Р, состоящее в том, что каждой точке М плоскости, координаты которой в исходной системе пусть будут х1:х2:х3, ставится в соответствие точка М' плоскости, имеющая те же координаты х1:х2: х3, но уже в новой системе координат. Читатель видит, что это определение проек- тивных преобразований совершенно аналогично определению аф- финных преобразований, данному в главе III. Из этого определения непосредственно следует, что преобразо- вание проективной плоскоеги Р, обратное к проективному преоб- разованию, есть проективное преобра юпапие Очевидно также, что тождественное преобра lon.iiiiie ii/kkkouii Р есть проективное преобразование. Если новая система координат задана матрицей С, то, как непосредственно следует из формул преобразования координат, данных в предыдущем параграфе, точка М', имеющая в новой системе координат координаты x1F х2, х3, будет иметь в старой системе координаты з xi = А У CijX/, t=l, 2, 3. (1) /=i Поэтому проективное преобразование можно определить как преобразование, ставящее в соответствие каждой точке М = = (xt: х2: х3) проективной плоскости точку ЛГ = (xf: х2: Хз), где координаты x't, х2, х3 даны формулами (1), причем детерминант матрицы С преобразования (1) не равен 0. Система координат при этом все время одна и та же1). >) Множитель X в правой части равенств (I) позволяет по одной какой- нибудь тройке координат точки М' найти любую тройку координат этой точки.
§6] ПГЭСКТИГП'ЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 305 Задается проективное преобразование любой неособой невы- рожденной матрицей С. Поэтому, считая исходную («однородную») систему координат раз навсегда данной, мы будем обозначать проективное преобразование той же буквой, что и задающую его матрицу. Если проективные преобразования и задаются соответ- ственно матрицами А и В, то произведение матриц А и В задает проективное преобразование, являющееся произведением преобра- зований и ЛИ. Отсюда следует, что произведение двух проек- тивных преобразований есть проективное преобразование. Аналогично, если проективное преобразование задается мат- рицей С, то матрица С-1 задает проективное преобразование, об- ратное к преобразованию преобразование, обратное к проек- тивному, есть проективное преобразование. Так как, наконец, тождественное преобразование, очевидно, является проективным, то из доказанного вытекает Теорема 3. Совокупность всех проективных преобразований проективной плоскости есть группа (подгруппа группы всех преоб- разований проективной плоскости). При проективном преобразовании V множество точек М = = (xi:x2:x3) какой-либо прямой d = : и2: и3\, определенной уравнением 4-н2х24-ад) = 0, (2) переходит в множество точек М', координаты которых в некото- рой новой проективной системе координат удовлетворяют тому же уравнению (2) и которые поэтому образуют некоторую прямую d'. Уравнение этой прямой d’ в исходной системе координат получится, если подставить в (2) вместо координат х1т х2, х3 какой-нибудь точки М их значения, выраженные через коорди- наты x'i, х2, х', (в той же исходной координатной системе) точки Л4'-=ЙМ. Эти значения получаются, если решить уравнения (1) относительно х1( х2, х3, т. е. з « = 1,2,з, (3) /= I где матрица D коэффициентов dtll есть матрица, обратная к С. Очевидно, формулы (3) равносильны формулам (1). Внося (3) в (2), получим ui + <^12^ 4~ d13x2) 4- и2 (d2lx't 4- d22x2 4-d23x3) 4~ 4- и3 (d31x't 4- d32x2 4- d33x3) = 0 или (duwi 4- й21и2 4- d31u3) xj 4- (d12u14- d22u2 4- d32u3) x2 4~ 4" (^i3ui + ^2з«-'2 4" ^ззиз) %з = 0.
306 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X Полагая з u'i= /=1,2,3, (2'> i = i видим, что при проективном преобразовании всякая прямая d с координатами ult и2, и3 переходит в прямую d' с координатами u'i, и2, и3. Так как образом прямой при проективном преобразо- вании всегда является прямая, то проективные преобразования называются иначе коллинеарными преобразованиями (или, короче, коллинеациями)-, они сохраняют коллинеарность точекг). 2. Основная теорема о проективных преобразованиях плоско- сти. Докажем сначала следующее предложение. Пусть при про- ективном преобразовании orf проективной (арифметической) плос- кости четверка фундаментальных точек Уг, У2, У3, Е некоторой проективной системы координат переходит в четверку точек Y'h Уз, У'з, £'• Так как никакие три из точек У,', У2, Уа', Е', по только что сказанному, не лежат на одной прямой, то эти четыре точки определяют снова проективную систему координат. Пусть М — произвольная точка проективной плоскости, М' — ее образ при преобразовании . Тогда М' имеет относительно системы У;У2У3Е' те же координаты, какие точка М имела относительно системы У1У2У3Е. В самом деле, пусть координатная запись точек У,, У2, У3, Е в исходной системе координат X|X2X3rf есть У| (н, : . Из), У2 (1ц ; Ь.г: 1>я), У ,, (ct : с2: с3), O i : '•z: причем в каждой скобке тройки координат выбраны согласованно, т. е. так, что {й1, а%, й3}-|-{/?|, &2, ^2> С3( = ®2> Тогда, по сказанному в § 5 (формулы (2) и (4)), однородные координаты хг, х2, х3 произвольной точки М связаны с коорди- натами г/1; у2, Уз той же точки в системе У1У2У3Е соотношениями + bky24*cky3, k=\, 2, 3. (4) Проективное преобразование задано тем, что, наряду с исход- ной (однородной) системой координат XjX2X3^, дана некоторая проективная система XJXPQa', так что тройки координат точки М‘ относительно системы Х^Х2Х3^' суть не что иное, как тройки координат х2:х2 :х3 точки М в исходной однородной системе. !) Верно и обратное утверждение: всякое преобразование (вещественной) про- ективной плоскости, сохраняющее коллинеарность точек, есть проективное преобразование.
§6] ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 307 Это верно для любой точки М. Так как, в частности, точки Y'lt Y’2, Y3, Е' суть образы точек У,, У2, У3, Е при преобразо- вании аУ, то тройки координат точек Y\, Y\, Y3, Е' отно- сительно системы X^X'iX'iS" пропорциональны тройкам однородных координат точек Уп У2, У3, Е, т. е. соответственно тройкам а1г а2, а3; blr b2, b3; ct, с2, с3 и st, е2, е3. Значит, формулы преоб- разования координат, соответствующие переходу от системы X'iX'>X3£' к системе Y\Y',Y3E', имеют ту же матрицу коэффици- ентов, что и преобразование (4). Поэтому, обозначая через у{: у2: у2 координаты точки М' в системе У;У2УзЕ' и помня, что в системе X'yX'iX'ja' координаты точки М' суть х1:х2:х2, будем иметь = + £=1,2,3. (4') Так как и (4) и (4'), рассматриваемые как уравнения относи- тельно yv, у2, уя, соответственно у\, y't, у3 однозначно разрешимы, то мы видим, что тройки координат точки М' в системе У{У2У3.Е' совпадают с тройками координат гонки /И в системе YjYgYgE. Наше утверждение дока кию. Из доказанного утверждения мы выведем следующий основной факт: Теорема 4. Пусть У,, У2, У3, Е и Y't, Y'>, У3, Е'—две четверки точек проективной плоскости, удовлетворяющие тому условию, что никакие три точки, принадлежащие одной и той же четверке, не коллинеарны между собой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование А проективной плоскости, переводящее каждую из точек одной четверки в соответствующую точку другой (т. е. У2 в Y\, У2 в У2, У3 в У, и Е в Е'). В самом деле, рассматривая данные четверки как четверки фундаментальных точек двух проективных координатных систем и ставя в соотвгтствпе каждой точке М ту точку М', которая относительно координатш й системы YiY^Y-J:' имеет те самые тройки координат, которые точка /И имела относительно системы У1У2У3£, мы получим проективное преобразование, переводящее соответственно точки Уп У2, У3, Е в точки Y'It У2, У3, Е'. Это преобразование единственно, так как, по только что дока- занному, при всяком проективном преобразовании &Y, переводя- щем точки Уп У.,, У3, Е соответственно в точки Y't, У2, У3, Е', тройки координат точки &Y М относительно системы Y\Y2Y2E' суть не что иное, как тройки координат точки М относительно системы У1У2У3Е. Замечание 1. Непосредственными следствиями теоремы являются такие простые утверждения: 1° Существует бесконечно много проективных преобразований плоскости, переводящих данные три ее неколлинеарные точки А, В, С в любые три некол- линеарные точки А', В', С. Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, переводящих одну заданную точку в другую,
308 ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ [ГЛ. X 2° Существует бесконечно много проективных преобразований плоскости, переводящих пару заданных прямых d, g в пару заданных прямых d', g\ Достаточно взять любые две точки А, В на прямой d, две точки С и D на прямой g, а также точки А', В' на прямой d', точки С, D' на прямой g' и построить проективное преобразование, переводящее точки А, В, С, D соответственно в А', В', С, D'. Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, пере- водящих одну из двух данных прямых в другую, а также отображающих любую данную прямую саму на себя. Предполагая, что в плоскости выбрана определенная система проективных координат, запишем, в частности, преобразование, отображающее одну из коор- динатных прямых на другую, положим прямую Xj = 0 на прямую х3=0. Таким преобразованием является, например, преобразование х, = х3, х2, = Запишем в качестве второго примера преобразование, переводящее любую прямую {aL : а2: а3} в одну из координатных прямых, например, предполагая, что а! =/= 0, в прямую Х! = 0. В качестве такого преобразования можно взять х' = нА 4* а3х2 4~ о3х3, х' = х2, х'а = ХЭ. 3. Задание проективных преобразований проективной плоскости аффинными преобразованиями трехмерного пространства. Проек- тивную плоскость рассматриваем как с