АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. Ф. ИОФФЕ
Д. А. ВАРШАЛОВИЧ, А. Н. МОСКАЛЕВ, В. К. ХЕРСОНСКИЙ
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
УГЛОВОГО МОМЕНТА
АППАРАТ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3/у-СИМВОЛЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ЛЕНИНГРАДСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ЛЕНИНГРАД - 1975

УДК 530Л
Квантовая теория углового момента. Варшалович Д. А. Моска-
Москалев А. Н., Херсонский В. К. Изд-во «Наука», Ленингр. отд.,
Л., 1975, 1 — 439.
Книга представляет собой справочное издание по квантовой теории
углового момента и аппарату неприводимых тензоров. Она содержит
как основные результаты теории, так и обширный материал, необхо-
необходимый для практических расчетов. Детально обсуждаются различные
математические свойства ?>-функций Вигнера, спиноров, сферических
функций и шаровых тензоров, коэффициентов Клебша—Гордана, 6/-и 9/-
символов, а также различные суммы и интегралы от произведений этих
функций. Даны алгебраические и численные таблицы. Книга предна-
предназначена для специалистов, работающих в области атомной, молеку-
молекулярной и ядерной физики, квантовой химии, кинетики, физики плаз-
плазмы и квантовой оптики и радиофизики. Она может быть полезна также
для студентов старших курсов физических специальностей. Библ. — 130
назв. рис. — 16, табл. — 78.
Ответственный редактор
Д. А. ВАРШАЛОВИЧ
„ 20402-569
055@21 75 3'®"'* © Издательство «Наука», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга посвящена одному из основных разделов квантовой механики — теории углового
момента и аппарату неприводимых тензоров. Исходные идеи теории были высказаны М. Борном,
В. Гайзенбергом, П. Иорданом, П. Дираком и В. Паули. Однако математический аппарат в его
современном виде разработан Е. Вигнером и Дж. Рака, которые применили к задачам квантовой
механики методы теории групп. Этот аппарат оказался весьма универсальным и в настоящее время
широко используется не только в атомной и молекулярной физике, но и в теории ядра и элемен-
элементарных частиц.
Укажем круг основных задач, при решении которых успешно используется эта теория, —
расчет атомной, молекулярной, ядерной структур; вычисление энергии основных и возбужденных
состояний; определение тонкого и сверхтонкого расщеплений уровней различных квантовомеха-
нических систем; вычисление вероятностей радиационных переходов и расчет сечений различных
процессов, включая упругое и неупругое рассеяния, всевозможные распады и реакции (химические
и ядерные); определение угловых распределений и поляризации частиц.
В настоящее время этот аппарат находит все более широкое применение в решении практи-
практических задач в связи с развитием таких областей, как квантовая химия, кинетика, физика плазмы,
квантовая оптика, радиофизика и астрофизика.
Основные идеи и выводы теории углового момента изложены в книгах М. Роуза [31], А. Эд-
мондса [16], У. Фано и Дж. Рака [18], А. П. Юциса, И. Б. Левинсона, В. В. Ванагаса [44],
А. П. Юциса и А. А. Бандзайтиса [45], Д. Бринка и Дж. Сэчлера [9]. Однако значительное число
формул и соотношений, необходимых для практических расчетов, не вошло в эти книги, а разбро-
разбросано по разным изданиям, приведено в виде приложений к статьям, посвященным совсем другим
вопросам, так что найти их довольно трудно. Еще большая трудность в использовании результа-
результатов работ состоит в том, что каждый автор применяет свою систему фаз, исходных определений
и обозначений.
Авторы данной книги ставили целью собрать и представить в единой системе фаз и определений
обширный материал по квантовой теории углового момента. Поэтому в книгу включены не только
основные результаты теории, но и многочисленные формулы и соотношения, необходимые для
практической работы.
Настоящее издание носит справочный характер. Это определяет лаконичный характер изло-
изложения материала. Большая часть приведенных формул и соотношений дается без доказательств.
Подробный их вывод можно найти в литературе, список которой помещен в конце книги. Он раз-
разделен на три части: в первой указаны книги и обзоры, во второй — статьи по отдельным вопросам,
в третьей •— таблицы. В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт. Многие
главы можно читать независимо от остальных. Параграфы имеют двойную нумерацию, первое число
означает номер главы, второе — номер параграфа. Сквозная нумерация формул ведется в преде-
пределах одного параграфа. При ссылке на формулу этого же параграфа указывается только ее номер,
например C), B7), на формулы из другого параграфа — номер главы, параграфа и формулы,
например 4.2 A7). Аналогичная система принята при ссылках на отдельные пункты, например
4.2.5. Для удобства в конце книги приведен список всех используемых обозначений с указанием
страницы, где дано определение' соответствующих величин.
Авторы полагают, что широкий круг специалистов найдет здесь немало нового и полезного для
своей работы. Материал сформулирован и расположен так, что им смогут пользоваться также
лица, менее знакомые с теорией.
1*

ВВЕДЕНИЕ
Величины, описывающие физическую систему, удобно классифицировать по характеру их
преобразований при повороте и инверсии системы координат в трехмерном пространстве, т. е. по
отношению к преобразованиям группы R3 трехмерных вращений и группы инверсии Р3, являю-
являющихся подгруппами О3 — полной ортогональной группы преобразований трехмерного простран-
пространства. Такая классификация существенно упрощает вычисление различных физических величин
(средних значений энергии, электрических и магнитных мультипольных моментов, вероятностей
переходов и т. д.).
Трансформационные свойства величин относительно преобразований группы R3 проявляются
либо при поворотах самой физической системы относительно фиксированных координатных осей,
либо при повороте координатных осей, связанных с системой отсчета, при неподвижной физиче-
физической системе.
Преобразование инверсии Р3 определяет поведение различных величин при переходе из правой
системы координат в левую или обратно.
Существует большой класс физических величин, которые по своей природе являются инвариант-
инвариантными относительно преобразования системы координат. В частности, вее свойства замкнутой
физической системы не должны зависеть от поворотов системы отсчета. Этот факт является прояв-
проявлением изотропии физического пространства. Как следствие этого фундаментального свойства
пространства интегралом движения такой физической системы будет ее полный угловой момент /.
(момент количества движения).
Аналогичная ситуация имеет место в отношении инверсии системы координат. За исключением
процессов, обусловленных слабым [3-распадным взаимодействием, описание всех процессов —
атомных, молекулярных и ядерных — не зависит от того, используется правая или левая система
координат. Как следствие такой зеркальной симметрии, состояния атомов, молекул, ядер и эле-
элементарных частиц можно характеризовать определенной четностью.
Точнее говоря, квантовая система характеризуется набором четырех коммутирующих опера-
операторов: гамильтонианом Н, оператором квадрата углового момента I2, оператором его проекции
на произвольно выбранную ось квантования /, и оператором четности Рг, которые и определяют
ее волновую функцию ^er:ajm (r) в соответствии с системой четырех уравнений
Индексом а обозначена совокупность всех остальных квантовых чисел, соответствующих внутрен-
внутренним степеням свободы, г представляет совокупность всех аргументов функции.
Величины е, п, /, т будут интегралами движения не только замкнутой системы, но и системы,
находящейся во внешнем поле, обладающем центральной симметрией. Даже в случае нецент-
нецентральных полей етс/т-представление оказывается весьма удобным для практических вычислений.

ВВЕДЕНИЕ
Каждому из значений егох/ отвечает B/+1) функция, соответствующая различным значениям
квантового числа т. Они описывают состояния системы, различающиеся лишь ориентацией в про-
пространстве.
При повороте системы координат B/-J-1) функция ^imjm (г) с различными т. преобразуются ли-
линейно друг через друга, не затрагивая функций с другими значениями квантовых чисел:
*„*,»> (г') = 2 *W» W D™' («• ?• 7).
т
где коэффициенты преобразования D3mm, (a, C, у) являются элементами матрицы конечного вра-
вращения в /-представлении. Эти матричные элементы представляют собой функции углов Эйлера
а, р, f> определяющих поворот системы координат. Они называются обобщенными сферическими
функциями или ^-функциями Вигнера.
Если система с угловым моментом / и его проекцией т состоит из двух подсистем с моментами/х
и /2, то ее волновая функция fj^jm может быть построена из волновых функций подсистем по
формуле
v ч) = 2 СЙ.,Л. *Л-. с-о *Л., (д.
Величины С^™т0гт,1 называемые коэффициентами векторного сложения (коэффициентами
Клебша—Гордана), играют важную роль в квантовой механике. С их помощью можно построить
волновые функции сложных систем (ядер, атомов, молекул). Однако при этом возможны различные
схемы связи угловых моментов. Преобразование волновых функций при переходе от одной схемы
связи к другой осуществляется с помощью 6j-, 9j- и других Зщ-символов.
Волновые функции W .т являются частными случаями неприводимых тензоров. Понятие непри-
неприводимого тензора одно из основных в теории углового момента. Неприводимым тензорам ранга X
называется совокупность любых B5i+l) величин З^, преобразующихся при повороте системы
координат по закону
V-'
Многие физические величины сами являются неприводимыми тензорами. Например, энергия —
тензор нулевого ранга (скаляр), спин и магнитный момент — тензор первого ранга (вектор),
квадрупольный момент — тензор второго ранга и т. д. В общем случае любые физические вели-
величины и соответствующие им операторы могут быть представлены в виде линейной комбинации
неприводимых тензоров (мультипольное разложение).
Использование неприводимых тензоров для описания физических величин существенно облег-
облегчает задачу вычисления матричных элементов, т. е. выражений типа
*f ¦ fr) dr
где интегрирование понимается в обобщенном смысле — интегрирование по всем непрерывным
переменным и суммирование по дискретным переменным.
Согласно теореме Вигнера-Эккарта, вся зависимость таких матричных элементов от ориента-
ориентации системы координат, т. е. от ищексов то, то', р., определяется коэффициентом Клебша-Гордана
sVe'jl' || <&x || eita/>.
Инвариантный множитель <^?'7r'a/7/|Q^x||?7ca/^> называется приведенным матричным элементом.
Теорема Вигнера-Эккарта позволяет свести задачи вычисления вероятностей процессов, угловых
распределений, поляризаций и т. д. к вычислению стандартных сумм произведений коэффи-
коэффициентов векторного сложения.
Все это делает аппарат квантовой теории углового момента универсальным и чрезвычайно удоб-
удобным для проведения различных практических расчетов.

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО
И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Теория угловых моментов и неприводимых тензоров, по существу, является развитием класси-
классического векторного и тензорного исчисления. В настоящей главе приведены определения и основ-
основные соотношения векторного и тензорного исчисления, используемые в последующих главах.
Подробное изложение этих вопросов имеется в книгах [11, 34, 35].
1.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОРТЫ
В квантовой теории углового момента широко используются декартовы, сферические и цикли-
циклические координаты.
1. Декартовы координаты
В декартовой системе координат положение точки в пространстве определяется заданием трех
чисел х, у, z, т. е. трех расстояний до координатных плоскостей (рис. 1.1). Радиус-вектор данной
точки г может быть записан в виде
г = хех + уе^ + гег. A)
Рис. 1.1. Декартова система коор-
координат.
Рис. 1.2. Сферическая система координат.
Ковариантные декартовы орты ех, еу, ег образуют вещественный ортонормированный базис
eiVk = bik> (l> k = x, у, z), B)
е? = е„ (» = *, у, z). C)
Контравариантные декартовы орты е* (i = х, у, z) совпадают с ковариантными
е'=е4. D)

1.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОРТЫ
В дальнейшем будет использоваться только правая система координат. В правой системе
координат
l*>iXek] = eme,, (i, k, l = x, у, z), E)
4ki — l^iXeklei. F)
В развернутой записи
[e*Xej,] = e,, [еиХег] = ех, [e,Xe*]=V G)
2. Сферические координаты
В сферической системе координат положение точки в пространстве определяется величинами
г, &, », где г — длина радиуса-вектора, & — полярный угол, ср — азимутальный угол (рис. 1.2).
Углы & и ср называются сферическими углами вектора г. Декартовы и сферические координаты
связаны соотношениями
x = r sin Ь cos <p, r = Va;2 -+- у2 + г8, 0 < г < оо,
у = г sin ft sin <p, ft = arc cos , , 0 < ft < гс, (8)
2 = г cos ft, у = arc cos . ===, ltg<p=—), 0<y<2it.
Радиус-вектор г записывается в виде
r = rer. (9)
Ковариантные сферические орты er, e9, ef изображены на рис. 1.2. Они образуют веществен-
вещественный ортонормированный базис
\; = е,! (а = г, », Т). ' (И)
Контраварианпгные сферические орты ег, е9, е? совпадают с ковариантными
е« = ев (а = г, Ъ, f). A2)
Орты ег, еа, е? образуют правую систему
Сферические орты ег, еа и е? в отличие от декартовых ортов зависят от углов &, <р, что необхо-
необходимо учитывать при дифференцировании векторов.
— —о — _ —
л л j
= 0, A4)
д д д
^er==e?sin0, ^e9 = e?cos», ц е? = — er sin Ь — e8 cos Ь.
Действие оператора V (см. 1.3) на сферические орты дается формулами
(*-е,.)=7"' (V-e»)=-ctg&, (V.ef) = 0, A5)
[VXer]=0, [VXe,]=|e,, [V X e,] =7-ctg»er--^ee. A6)
3. Циклические координаты
В теории угловых моментов широко используются циклические координаты.
Ковариантные циклические координаты х^, где [J.= ±l,0, определяются соотношениями
х+1 ~ ~ 7Т(ж + iy) ='~ 7f r sin Ь е*?>
ж0 == 2 = r cos &, A7)
1 1
*-i = -jf (« — <у) = ~j= r sin fte-'f.

8 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Контравариантные циклические координаты х^, где ^=+1,0, определяются следующими
соотношениями:
1 1
х+1 = — -= (х — iy) — — -= г sin »e-"P,
Связь между ковариантными и контравариантными циклическими координатами имеет вид
*'" = (~1I"ж-11' *|*!=(~)|1'ж ""• (tx= ±1, 0). A9)
Циклические ковариантные орты ett, где i*=±l, 0, определяются соотношениями
J_
ео = ег, B0)
1 1_
Циклические контравариантные орты е^, где jx= + 1,0, определяются следующими соотношениями:
+i —I
е° = ег, B1)
Ковариантные и контравариантные циклические орты связаны между собой так:
e>i=(-l)iie.|1, е|1=(-1)'1е-11)
((*—±1, 0). B2>
Циклические орты образуют комплексный ортонормированный базис
V'^V^V,. (^,v = ±l, 0). B3>
Векторные произведения циклических ортов выражаются через коэффициенты Клебша—Гордана
(см. гл. 8)
S X ev = i ]/1СЦ.иех,
(fi. v, Х=±1, 0), B4>
Эти же формулы можно записать в виде, аналогичном E):
eit X ev = J?|tvxex>
(I*, v, X=+l, 0), B5)
е|1Хе' = й|.,хех,
где е л = -(-1, если индексы [х, v, X образуют четную циклическую перестановку из -\-1, 0, —1;
е х = —1, когда индексы [х, v, X образуют нечетную перестановку из -j-1, 0, —1; и 6^ = 0,
если хотя бы два индекса равны.
В развернутой записи
e+iXeo=ie+1, e0Xe_1 = Je_1, e+1 X e_j = ie0,
e°Xe+1 = te+1, e^XeO^ie-1, e-1Xe+l = ie°.
Циклические ковариантные и контравариантние компоненты (см. 1.2) ортов е^ и е11 даются
формулами
[е|1]а=(-1Г80-р1. [^1*=^. B7)

1.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОРТЫ
4. Спиральные орты
Из сферических ортов er, ed, e тоже можно образовать циклические комбинации
ej =er, е'° =ег, B8)
eli =~jf (ea — *е,,), е' = ^= (е9 + fe?).
Орты е^ ([х= +1,0) будем называть ковариантными спиральными орЫами, а орты е'^([х =
= ±1»0) — контравариантными спиральными ортами (терминология поясняется ниже в 6.3. 6).
Для спиральных ортов е^ и е'11 справедливы те же формулы B2)—B6), что и для цикличе-
циклических ортов е^, е>\
5. Связь между различными ортами
а. Декартовы и сферические орты
е.х = er sin & cos cp + е^ cos & cos cp — e^ sin cp,
ey = er sin & sin cp + e§ cos 9 sin cp + e,p cos cp, B9)
ег = er cos 9 — eg sin &.
Декартовы и циклические орты
Декартовы и спиральные ковариантные орты
1 1
ех — —е+х -^= (cos 9 cos cp -j- i sin cp) -J- ej sin 9 cos у + elx -r= (cos 9 cos у — ? sin <p),
1 1
ey = —e^i —p= (cos & sin cp — i cos cp) -j- ej sin 9 sin ф -f" elx -^= (cos 9 sin cf + ? cos ip), C1)
e^ = e+i -:= sin 9 -{- ej cos 9 — el^ -^= sin 9.
Декартовы и спиральные контравариантные орты
1 1
еЛ = ^—e'+1-r=(cos9 cosip — I sin cp) + e'° sin 9 cos <p + e'-1 -т= (cos Ocosip-|- i sin ip),
r=(cos9 cosip — I sin cp) + e sin 9 cos <p + e-т=
1 1
eff = —e'+1 —= (cos 9 sin cp -j- i cos q>) -\- e'° sin 9 sin у -f- e' -r= (cos 9 sin cp — г cos?), C2)
% = e'+1 -^= sin & + e'° cos & — e' -r= sin 9.
б. Сферические и декартовы орты
er = ех sin 9 cos ? + ey sin 9 sin <p + e, cos 9,
e» = еЛ cos 9 cos <? + ey cos 9 sin cp — e, sin 0, C3)
e? = ~-ex sin cp + ey cos y.
Сферические и циклические ковариантные орты
ег = —е+1 ^= sin ве-'т + е0 cos 9 + e.j -^= sin 9e'>,

10 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1 1
= — е+1 -= cos Ое"'? — е0 sin 0 -f e_x -r= cos 0e'>, C4)
= e+i тг е""р+е-г W е"р"
Сферические и циклические контравариантные орты
ег = —е+1 -/=: sin & е'? + е° cos 9 + е -j= sin be~iui,
1 1
еа = —e+l -j= cos 9 eVcP — e° sin 9 + e -j= cos 9e~*'?, C5)
Сферические и спиральные орты
ег = е0
er = e0 = e °
в. Циклические и декартовы орты
1
е+1=~ W
е» =ег, C7)
1 . . . 1 . . .
Циклические ковариантные и сферические орты
e+i = —еГ f= sin Ъе'ч — ee ^= cos Эе'т — е? ^= е'т,
е0 = er cos & — еа sin 9, C8)
e-i = ег -/= sin 9 е-> + еа ^= cos 9е-'? — е? -^= е"'?.
Циклические контравариантные и сферические орты
е+» = -er -j= sin »e-<!P - ed ^= cos ae-<!P + е,, -^= е"'?,
е» = er cos 9 — ee sin 0, C9)
1 1 i
е = er ^= sin 9е<? + ee y= cos ве'т + е«р -^= е'т.
Циклические ковариантные и контравариантные орты
е0 =е», е» =е0, D0)
е_! = —е+1, е = —е+1.
Циклические ковариантные и спиральные ковариантные орты
, 1 + cos а . , sin а . , 1 — cos a
sin 9 , sin 9
я л' ,—»^^_ | я' ЛПС Н А

1.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ОРТЫ И
1 — cos d . sin & . 1 + cos *
2 е 9 + е ~*9 + l ^
Циклические контравариантные и спиральные ковариантные орты
+i r 1 — cos 9 _( t sin 9 _( , 1 + cos 9 _.
_x 1 +cos * .•„ , sin * .¦.. , 1 — cos -4
Циклические ковариантные и спиральные контравариантные орты
,,, 1 — cos Ь ,0 sin & . , , 1 + cos * .
e+1 = -e+1 г e'f-eO-^e'V-e-1-1-^ в1».
,., sin 9 ,„ , , sin &
e°=e ~W + e s e 7Г' D3)
,+11 + cos 9 ,0 sin 9 ,_, 1 — cos &
e_j = -e +1 —1~2 ,e-"f + e ° -^=- в"** - e ~x 3^ e—p.
Циклические контравариантные и спиральные контравариантные орты
,^ 1 + cos 9 . ,n sin 9 , 1 — cos 9
e+1 = e+1—— e-"f-e"-=rc-'»-(-e ч 2^ e '
,,, sin 9 ,n , . sin &
e°=e "vf + e cos*-e ~w ¦
,^, 1 — cos 9 ,osm» ,_, 1 + cos Ь
e-J = e+1 2^ e'f + e u—^e"P + e x—L-2 e'f.
Формулы D1)—D4) могут быть записаны в компактном виде с помощью О-функций Вигнера
(см. гл. 4)..
eii = 2 D-->-v- @- 9) ?) ev= 2 (~~1)v ^J-ii С' *• ?) е'*'
V V
V V
(fi, v = ±l, 0).
г. Спиральные ковариантные и декартовы орты
1 1 1
е'+1 = —ех —j= (cos 9 cos <p — i sin у) — ey -j= (cos 9 sin <p -\- i cos <p) + ег -т= sin 9,
VZ Тл Va
ej = ex sin 9 cos <p + ey sin 9 sin ^ + ег cos 9, D6)
1 1 1
e!_i = ex —j= (cos 9 cos <p + 2 sin <p) + ey -r= (cos 9 sin <p — г cos <f) — ег-^= sin9.
V^ V ju V Zi
Спиральные контравариантные и декартовы орты
м., 1 1 1
в "*"== —Vx~7r=- (cos ® cos <р + i sin tp) — еу -у= (cos 9 sin 9 — ' cos 9) + e*T7? sin»,
e'°= e^ sin ft cos <f + ey sin 9 sin <p + ег cos ft, D7)
e' = e;c-j=(cos 9 cos 9— i sin <p) + e«~7=(cos 9 siny -f- f cos<p) — ег~йг sin&.

12 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Спиральные и сферические орты
), е'+1 = --/=(ей- ie9).
е'о =ег, е'° =ег, D8)
1 > 1
eli=^=(ee-ie?), e -1=-^=
Спиральные ковариантные и циклические ковариантные орты
1 4- cos & . sin & 1 — cos Ь
е'+1 = е+1 -^ е-* + е0 -^=- + e_t g
1 — cos & . sin & 1 4- cos Ь
r"pe+ e
2
Спиральные контравариантные и циклические ковариантные орты
, , 1 — cos & . sin & 1 + cos]9 .
е +1 = -аи 2 e~l<? + е" 1JT ~ e-x 2 е"Р>
, . 1 + cos & . sin a 1 — cos &
e -1 = -e+1 ^2 «-? - «o ~jf - e_! 2
Спиральные ковариантные и циклические контравариантные орты
_ eo ™» _ e-
Спиральные контравариантные и циклические контравариантные орты
.41 = e+i i±??il ,*, + ео ^ + е
1 — cos 9 . sin 9 i 4- cos ft
*? °^-1-1^ e~"p.
D9)
sin & . . „ , sin 9 . /r^
./о "Г e0 C0S * + e-l JTT в ' ^ U'
е'о =-e^^e'-P + eOcos» + e-^e---P) E1)
E2)
e = e2e? — e°= ^-e1^
[ Формулы D9)—E2) могут быть записаны в компактном виде с помощью D-функций Вигнера
(см. гл. 4).
«? = 2 ^ (Т. ». 0) е, - 2 (-1)' D4 (»• *' °> е''
е'11 = 2 (-1) ^,4 (?, », 0) ev = 2 (-1)"*' ^>1,-р. (Т. ». 0) V, E3)
V V
(Р, v = ±l, 0).
Спиральные ковариантные и контравариантные орты
ej =e'°, e'° =ei, E4)

1.2. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 13
1.2. ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ
Векторами и т?нзорами называются величины, компоненты которых определенным образом
преобразуются при поворотах системы координат. Закон преобразования декартовых компонент
векторов и тензоров рассмотрен ниже в 1.4 (формулы D6)—E1)), закон преобразования цикли-
циклических компонент векторов и неприводимых тензоров обсуждается в гл. 3.
1. Компоненты векторов
Всякий вектор может быть разложен по базисным ортам, т. е. представлен в виде
А = 2лве« = 2л«ев- A)
а а
Величины Аа называются ковариантными компонентами вектора, а Аа — контравариантными
компонентами.
Ла = А.еа, Ла = А-еа. B)
В декартовых координатах
А = Ахех + Ауеу + Агег = А*ех + А »еу + А*ег. C)
Ковариантные декартовы компоненты векторов не отличаются от контравариантных.
В сферических координатах
А = А гег + Айеь + А9е9 = А гег + Л»е» + А ?ег D)
Ковариантные сферические компоненты векторов не отличаются от контравариантных.
В циклических координатах
А = Л+!е+1 + Л°е0 + А~Ч_г = Л+1е+1 + Аое° + А^е'1. E)
Ковариантные и контравариантные циклические компоненты векторов связаны соотношениями
A^={-i)*A-r; А* = (-1)»А_у, (р= ±1, 0). F)
Если А—вещественный вектор, т. е. А* = А, то
Al = A», Л* = Л11, (ji—±1, 0). G)
Если А — комплексный вектор, то
л; = (А*)>\ Л^ = (А\, ((*=+1, 0). (8)
Разложение вещественного вектора А по циклическим ортам
Разложение произвольного вектора А по спиральным ортам
А = А '+ЧХ + А 'Ч + A '-hi, = А ;1в'+1 + А'ое'° + Л^е'. A0)
Для спиральных компонент векторов справедливы те же формулы F)—(9), что и для циклических.
Связь между компонентами векторов в различных системах координат такая же, как связь
между соответствующими ортами. Она дается формулами 1.1B9)—1.1E4), в которых следует
произвести замену еа -» Аа и е" -> А*. В частности,
==

14
Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Матричная форма записи соотношений между декартовыми, циклическими контравариантными
и сферическими компонентами векторов дана в табл. 1.1 и 1.2.
ТАБЛИЦА 1.1
МАТРИЧНАЯ ФОРМА СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРОВ
Декартовы координаты
Циклические координаты
Сферические координаты
А = Ахех + Ауеу + Агег
Связь с циклическими
компонентами
Ay \=M(x,y,
,Am/
Связь со сферическими
компонентами
Ау | = М (х, у, z <- г, 9,
\А,
А =
А°е0
Связь с декартовыми
компонентами
А" \=M{+l,0,-l<-x,y,z)l Ay
1-7 \а.
Связь со сферическими
компонентами
'А+Л
А» =Л
,0,-1«-г,»,Т) А
А = Агег ^9
Связь с декартовыми
компонентами
Ад | = .
уА„
'А,
АЬ
.А,
Связь с циклическими
компонентами
=М(г,»,<р*-+1,0, -1) А»
ТАБЛИЦА 1.2
МАТРИЦЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ДЕКАРТОВЫ, ЦИКЛИЧЕСКИЕ КОНТРАВАРИАНТНЫЕ
И СФЕРИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРОВ
(х, у, г < j-1, 0, —1)
+1 0 —1
/1 1 I
\
о 1 о
М(+1, 0, -1 «- х, у, г)
-? i «A
0 0 0 1
-Ч w if °/
М (х, у, г <— г, », <р)
г Ь <р
а; / sin & cos tp cos 8 cos <f — sin <p
i/1 sin a sin ^> cos ft sin <p cos <p
z \ cos Ь — sin ft 0
M (r, », <p «— x, y, z)
x у z
r I sin Ь cos <p sin ft sin <p cos & ^
ft I cos & cos <p cos & sin tp — sin a
<p\ —sin tp costp 0 у
+1 /—^т
м
г
sin»
vT
cos
sin ft
v'JT
(+1.
a
0, —1 «-
8-
cos 9
V'2"
•—sin
cos a
V'2 ь
- r, 8
a
»<p
¦ ?)
V2
0
г
-<? ^
M(r, a, <p <—и. o, -i)
+i о -l
/ sin a . sin a .
г1——р=г-е<9 cos a —=-e-"P
_sina

1.2. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ 15
Циклические компоненты вещественного вектора А, не зависящего от спиновых переменных и
не содержащего дифференциальных операций, имеют вид
sin & sin 9
40 = | А| cos»,
где $, <р — сферические углы вектора А.
Формулы A2) могут быть записаны через сферические функции (см. гл. 5):
=±1, 0). A3)
Выражение для декартовых компонент вектора А через сферические функции имеет вид
лх = У y IAI <уi-i <». ?) - y»+i (»• ?)> >
2. Скалярное произведение векторов
В произвольных координатах скалярное произведение векторов А и В определяется формулой
В декартовых координатах
A.B = AxBx + AtlB9 + A,Bt. A6)
В сферических координатах
А^Вг A7)
Формула A7) справедлива, если векторы А и В не являются дифференциальными операторами,
так как сферические орты зависят от углов &, <р (см. 1.1).
В циклических координатах
В раскрытом виде
A^B^. A9)
Выражение для скалярного произведения через спиральные компоненты векторов имеет вид, ана-
аналогичный A8)—A9). Скалярное произведение векторов не меняется при повороте системы координат.
3. Векторное произведение векторов
В декартовых координатах
еж еу ег ^-,
[АХВ](е„ B0)
Ах
вх
еу
АУ
By
А*
вг
где
[АХЩХ = АуВг-АгВу,
[АХЩу=АгВх-АхВг, B1)

16
Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Формула B1) может быть записана в компактном виде
[АХВ](= 2Е«*'Л*Вг> (г> к' 1 = х' У' 2)-
ы
В сферических координатах
er e9 e9 ^
fAXB]aea,
Br В» В.
a=r,
где
B2)
B3)
B4)
е0 e_j
Ло Л_!
Во B_j
= — i
, 0
ti=±l, О
Формула B4) справедлива, если А и В не являются дифференциальными операторами.
В циклических координатах
1 ео е
Л+1 ЛО Л
1 ВО В-1
где
[А X В]+1 = i (А0В+1 - Л+1В0) = i (Л-'ВО _ ЛОВ-'),
[А ХВ]0= «H-i^+i
[АХВ]_1= iU-A-
[А X в]+1 = * (^оВ-1 — 4_!В0) = г (Л+»В» — .
[А X В]» = I (А_гВ+1 - А+1В_г) = i (A*B-i - А-'В*), B7)
[А X Щ-1 = i (Л+1В0 - А0В+1) = t (ЛОВ - А~1В0).
Формулы B6)—B7) могут быть записаны в компактном виде через коэффициенты Клебша—Гор-
дана (см. гл. 8):
B5)
B6)
х, v, \=±l, 0).
B8)
Для спиральных компонент векторного произведения тоже справедливы формулы B5)—B8).
4. Произведения трех и более векторов
АХ[ВХС] = В(А.С)-С(А.В),
[А X В] • [С X D] = (А • С) (В . D) - D . D) (В . С),
[А X В] X [С X D] = В (А • [С X D]) - А (В • [С X D]) =С (А • [В X D]) - D (А • [В X С]).
А • а А • b A • с
(А.[ВХС])(а.[ЬХс])= В. а В-Ь В-с
С • а С • Ь С • с
= (А • а) (В . Ь) (С • с) — (А • а) (В . с) (С • Ь) — (В . Ь) (А . с) (С • а) —
— (С • с) (А • Ь) (В . а) + (А • Ь) (В • с) (С • а) + (А • с) (В . а) (С • Ь).
5. Тензоры bih и &ш
B9)
C0)
C1)
C2)
C3)
Наиболее употребительными декартовыми тензорами являются симметричный тензор второго
ранга bik и полностью антисимметричный тензор третьего ранга еш.
Тензор bile называется Ь-символом Кронекера. Он определяется формулой
Компоненты тензора Ь{к не меняются при повороте системы координат и при ее инверсии.

1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
17
Тензор (точнее псевдотензор) г(к1 называется также тензором Леей—Чиеита. Он антисиммет-
антисимметричен по отношению к перестановке любой пары индексов. Поэтому компонента еш равна нулю,
если среди i, к, I есть хотя бы два одинаковых индекса. Отличны от нуля только компоненты, все
индексы которых различны. Компоненты тензора еш имеют вид
еш = 0, (i = x, у, z) C компоненты),
е«» = еш = еш=°» (г'> к = х, у, z) A8 компонент), C5)
гху* = V* = г**у = ~г«*У = —*»** = ~г*у* = 1 F компонент).
Компоненты тензора еш не меняются при повороте системы координат и при ее инверсии.
Тензор еш обладает следующими свойствами. Произведение двух тензоров еш и srtt выражается
через определитель
8fcr 8fc» 8J
8/r 8J» 8,
Сумма по одной паре индексов
Сумма по двум парам индексов
Сумма по трем парам индексов
А A»
2
2
i, к, I
Для произвольной 3X3 матрицы (Aik), (i, k = x, у, z) справедливо соотношение
Ахх Аху Ахг
А А
ух у у yz
C6)
C7)
C8)
C9)
D0)
¦¦, *.
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
1. Оператор V
Оператор Гамильтона V (набла) является векторным дифференциальным оператором.
Декартовы компоненты оператора V
v^, Vy=|, v,=?.
Они выражаются через сферические координаты по формулам
д cos & cos <p д sin 9 1?
cos a sin ip д cos у д
A)
Разложение оператора V по циклическим ортам
C)
2 Д. А, Варшалович и др.

18 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
где циклические компоненты оператора V даются формулами
1 (д д\
1_/д_ _0\
В сферических координатах циклические компоненты V выражаются следующим образом:
ei(f ( . д cos» д i д
д sin & д
*'? ( . . д cos & d i
Разложение оператора V по сферическим ортам имеет вид
V = erVr + eaVa+e,pV(p, F)
где
В формуле F) существен порядок сомножителеЁ, так как сами орты er, ee, e зависят от углов Ь, ср.
Оператор V может быть записан в виде
где Vg — угловая часть оператора v n^r/r — орт со сферическими углами $, <р. Оператор V»
действует только на переменные Ь, ср. В сферических координатах он имеет всего две состав-
составляющие
(VB)» = 35» (у2)?=Ж»-^' (9>
Оператор Vg может быть представлен как
Vs = -mX?, (Ю)
где L — оператор орбитального углового момента (см. 2.2).
2. Оператор Лапласа
Оператор Лапласа Д является скалярным дифференциальным оператором
Д = У2. A1)
В декартовых координатах Д имеет вид
дг д2 д2
В сферических координатах
1 д f д) 1 д ( д) 1 Э2
Оператор Д может быть записан в виде
1 A4)

1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ 19
где Дв — угловая часть оператора Лапласа
Угловая часть оператора Лапласа выражается через оператор орбитального углового момента 1<
по формуле
де=— ?2. A6)
3. Дифференциальные операции со скалярами и векторами
Градиент скалярной функции Ф (г) является вектором, выражающимся через оператор V по
формуле
(r) = 4^(r). A7)
Компоненты вектора градиента в различных координатах могут быть получены с помощью фор-
формул A)—G) для компонент оператора V. Если Ф зависит только от г = |г| (центральное поле), то
УФ(г) = п^^-, A8)
где п = г/г.
Производная по направлению, заданному единичным вектором и, от скалярной функции Ф (г) —
скалярная величина, связанная с оператором V формулой
Дивергенция векторного поля А (г) является скалярной величиной — скалярным произведением
оператора V и вектора А.
div А = у . А. B0)
Выражение для дивергенции через декартовы компоненты вектора
дАх у дАг %i дАг
divA = —т—+~з—4-~~а = 7 "з— . B1)
дх ' оу ' dz ^J дх, * '
В циклических компонентах формула для дивергенции имеет вид
Р—±1,0
где циклические компоненты V даются формулами D)—E). В сферических компонентах дивер-
дивергенция выражается следующим образом:
1 д 1 д 1 *Af
Ротор векторного поля А (г) является вектором — векторным произведением оператора V и
вектора А.
rotA = VX-A~ B4)
Декартовы компоненты ротора даются формулами
дАг дАу_
¦Чг-^дТ' <25>
дАу дАх_
2*
[rotA]2 = -*T-^

20
Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
или в компактной записи
дА,
[rot A],- = ^2j?<fc/^-, (i, k, l=x, y, z).
B6)
kl
Ротор может быть записан также в виде определителя
rotA =
JL A. JL
дх ду dz
A.
B7)
Циклические ковариантные компоненты ротора даются формулами
[rot AUl =
или в компактной записи через коэффициенты Клебша—Гордана
Ротор может быть представлен в виде определителя
rot A=i
Vo V_x
B8)
B9)
C0)
Сферические составляющие ротора
trot Ak=гж
V
C1)
Краткая сводка формул, приведенных выше, дается в табл. 1.3.
Дифференциальные операции второго порядка
div grad Ф = V • (УФ) = ДФ,
rot grad Ф = V X (V*) = О,
divrotA=V • [VX А]=0,
rot rot А = V X [V X А] = V (V • А) — ДА = grad div A — ДА.
C2)
C3)
C4)
C5)
1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Произвольный поворот координатной системы относительно начала координат полностью
определяется заданием трех вещественных параметров. В качестве параметров, характеризую-
характеризующих поворот, наиболее часто употребляются углы Эйлера а, C, f. Среди других наборов парамет-
параметров, служащих для описания поворота системы координат, широко применяются следующие:
а) направление оси поворота п (в, Ф) B параметра) и величина угла поворота <о A параметр),
б) параметры Кэли—Клейна.
1. Характеристика поворотов с помощью углов Эйлера
Произвольный поворот системы координат S {х, у, z) -> S' {xr, у', z'} может быть получен
с помощью трех последовательных поворотов вокруг координатных осей (рис. 1.3)
!а — поворот вокруг оси z на угол а @ «S а < 2л),
б — поворот вокруг новой оси yt на угол р @ < р «S тг),
в — поворот вокруг новой оси г2=г' на угол у @ ^ -f < 2тг).

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
21
г
dr
ds*
dV
ЧФ
(V.A)
ДФ
Декартовы координаты
exdx -J- &t/dy -\- e^dz
dx2 + dy2 + dz2
dxdydz
дФ дФ дФ
x дх ' У cty ' г dz
оА~ у дА
дх ' ду "¦" <?z
da
ех е„ е,.
^4Ж ^а, Л
& д*Ф д*Ф
2+ dj/2+ с
ТАБЛИЦА 1.3
Циклические координаты
—2dx+ldx_x 4" dxodxo
a ^ Ф . 1 d ^ Ф
p T7 Л
-п.
I:, X lz
¦1 -1 ~P 0 0
1
1 д
r dr
Сферические координаты
err
dr* 4. r2rf^2 ^_ ri
r2 sin &dr
<)Ф 1 <?Ф
d Id
<Эг<'ЛЛ + г sin» •<?»('
i г i алг
/ „ (?ф\ 1 д /
е? г sin &d
sin2 »<У
1
"vrsin»
4a sin Ь) ^
1 v) —— j
. «дФ\ ,
V dr) r«sin» <J»V, Й»У
P
<?Ф
1 <?4,,
"rein»" rfy
1 д^Ф
' r2 sin» Ь ' <*j>2
Этот же поворот системы координат S {х, у, z} ¦
другой последовательности поворотов (рис. 1.4)
(а — поворот вокруг оси z на угол у @ < у < 2 л),
б — поворот вокруг старой оси у на угол {3 @ <f! =
в — поворот вокруг старой оси г на угол а @ < а
Углы а, J3, у здесь такие же, как и в первом случае.
а
' W, у', z'} может быть получен с помощью
),
2я).
Рис. 1.3. Последовательность по-
поворотов системы координат по
схеме А.
Относительная ориентация исходных S {х, у, z} и новых 5" {х', у', z'} координатных осей,
получившаяся в результате поворота с помощью любого из двух указанных способов, показана
на рис. 1.5.
Углы а, р, f называются углами Эйлера. Они полностью характеризуют поворот системы коор-
координат. Обратный поворот, переводящий систему координат S' {х', у', z'} в систему S {ж, у, z),
описывается углами Эйлера —у, —р, —а или, что эквивалентно, углами п—у, р, —я—а. Иногда
произвольный поворот системы координат получают с помощью другой последовательности вра-
вращений:
а) поворот вокруг оси z на угол а'.
б) поворот вокруг новой оси хх на угол 0'.
в) поворот вокруг новой оси z2=z' на угол у'.

22
Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Углы a', J3', f' описывают тот'же поворот системы координат, что и углы Эйлера я, |3, Y> если
л тс
При повороте системы координат длина векторов остается постоянной, но меняются, вообще го-
говоря, сферические углы Ф, ср, определяющие направление этих векторов относительно коордияат-
6 S
а
z=z1
2=2.
Рис. 1.4. Последовательность поворотов системы координат по схеме В.
ных осей. Связь углов Ь, ср и У, ер', характеризующих направление произвольного вектора в ис-
исходной S {х, у, z) и повернутой S' {х, у', z'} системах координат, дается формулами
cos Ь' = cos Ь cos fJ + sin & sin P cos (tj> — a),
cto Ь sin 8 B)
Ctg (?' + 7) = Ctg (? - a) COS 8 - sJ^T^ •
Обратные соотношения имеют вид
cos & = cos $' cos 3 — sin в' sin 3 cos (?' + f)
ctg b' sin 3
-«) = ctg (y'
cos
C)
2. Характеристика поворотов
с помощью направления оси поворота и угла поворота
Произвольный поворот системы координат S {х, у, z) -> S' {х', у', z'} может быть получен
с помощью одного поворота на угол <о @ ^ <о ^ л) вокруг оси, направление которой п не сов-
совпадает, вообще говоря, с осями координат и характеризуется сферическими углами в, Ф
(О <^ 0 <^ л, 0 ^ Ф < 2п), одинаковыми в системах S {х, у, z) и S' {х', у', z'} (рис. 1.6).
Углы <о, 0, Ф полностью определяют относительную ориентацию исходных S {х, у, z) и но-
новых S' {х', у', z'} координатных осей. Поворот на углы —<о, п—в, тг+Ф эквивалентен повороту
на углыш, в, Ф. Обратный поворот, переводящий систему координат S' {х', у', z'} в S {х, у, z},
описывается углами —«>, в, Ф или, что эквивалентно, углами a>, it—в, тс+Ф.
Направляющие косинусы орта п(в, Ф) одинаковы в исходной системе S {х, у, z) и новой си-
системе S' {х1, у', z1}:
п • ех = п • е'х = sin в cos Ф,
п • ъу = п ¦ е'у = sin в sin Ф, (Ц
п • ег = п • е^ = cos в.
Для векторов, направление которых не совпадает с направлением п, сферические углы Ь, <р
меняются при повороте системы координат. Связь углов &, <р и &', <р', характеризующих направ-
направление произвольного вектора в исходной S {х, у, z) и повернутой S' {х1, у', z') системах коорди-
координат, дается формулами
cos %' = cos & (cos ш sin2 9 + cos2 в) + sin"^ sin в [A — cos oo) cos в cos (<? — Ф) + sin w sin (? — Ф)], E)
cos'(!fi — Ф) [cos о» cos2 в + sin2 в] — sin (? — Ф) sin &> cos в — ctg % (cos u> — 1) sin всоз в
g " '== cos (f — Ф) sin a) cos © + sin (f — Ф) cos » — ctg Ь sin ш sin 0 *

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
23
Обратные соотношения имеют вид
cos 9 = cos Ь' (cos ш sin2 в + cos2 в) + sin Ь' sin в [A — cos ») cos в cos (?' — Ф) — sin w sin (?' — Ф)], F)
cos (y' — Ф) [cos ш cos2 в -f- sina в] + sin (y' — Ф) sin a> cos в — ctgb' (соз м — 1) sin в cos 9
c*g (<? ~ ф) = ~ cos (?' — Ф) sin w cos в — sin (?' — Ф) cos w — ctg Ь' sin ы sin в '
Использование параметров to, n (в, Ф) для описания поворотов позволяет записать формулы
преобразования радиус-вектора г в компактном векторном виде (см. 1.4.6)
Г' = Г COS (О + П (ПГ) A — COS со) -j- [П X '] Sin (О,
г = г' cos (о + п (пг') A — cos ш) — [п X г'] sin о». ^
Формулы тE) и F) получаются при проектировании G) на координатные оси.
со
Рис. 1.5. Углы Эйлера а, р, у.
Рис. 1.6. Поворот системы координат на угол ш
вокруг оси п (9, Ф).
3. Характеристика поворотов
с помощью унитарных матриц размерности 2x2.
Параметры Кэли—Клейна
Радиус-вектору произвольной точкиx=xex-\-yey-\-zez='^xiei можно сопоставить эрмитовскую
матрицу X размерности 2x2:
' 1-х, у, ж
где 3(A=х, у, z) —транспонированные матрицы Паули B.5D)). При этом
—det X =г2 = х2 + у* -j-г».
(8)
Повороту системы координат S {х, у, z}-> S' {zr, у', z'} соответствует унитарное преобра-
преобразование, переводящее матрицу X в матрицу X':
X' = UXU-1. (9)
Матрица U, осуществляющая это преобразование, имеет размерность 2x2. Она унитарна и
имеет определитель, равный единице:
U+=U~l, det?fs=l. A0)
Унитарность матрицы U следует из вещественности радиуса-вектора г, а условие det U=l
обеспечивает сохранение длины радиуса-вектора при повороте системы координат.

24
Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В силу условий A0), матрица U имеет вид
где а и Ъ — комплексные числа, удовлетворяющие условию
(И)
*|*=1. A2)
Таким образом, матрица U зависит от трех вещественных параметров. Величины а и Ъ назы-
называются параметрами Кэли—Клейна. Они однозначно характеризуют поворот системы координат.
Обратное утверждение несправедливо, так как
параметры —а и —Ь описывают тот же пово-
поворот, что и а, Ъ. Обратному повороту системы
координат iS" {x', у', z'}-> S {х, у, z} соот-
соответствует матрица
fa*-by
\Ь* а )
A3)
Параметры Кэли —Клейна допускают и дру-
другую интерпретацию поворота системы коорди-
координат. Рассмотрим сферу единичного диаметра с
центром в начале координат. Каждой точке на
этой сфере с координатами х, у, z (причем х2-\-
S V -j- г/2 + г2 = -т-J можно сопоставить точку на ком-
комплексной плоскости ?=?-[-г т), являющуюся сте-
стереографической проекцией точки х, у, z (рис. 1.7).
Величина С связана с координатами х, у, z
соотношением
1
Рис. 1.7. Стереографическая проекция точки на сфере»
' x — iy'
A4)
Повороту системы координат, при котором координаты точки на сфере х, у, z переходят в х', у', z',
соответствует дробно-линейное преобразование в плоскости комплексной переменной
A5)
Коэффициентами этого дробно-линейного преобразования являются параметры Кэли—Клейна а, Ь.
4. Связь между различными способами
описания поворотов системы координат
а. Связь углов ю, в, Ф с углами Эйлера а, р,
Углы со, в, Ф выражаются через углы Эйлера а, |3, у по формулам
COS ~о~== COS -Q- COS —2
tge=-
tg-f-
A6)
sin ¦

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 25
Обратные соотношения имеют вид
Р . ю
sin у = sin в sin у,
tg —у- = cos в tg у, A7)
я —7 - я
-2~=ф-Т-
При переходе от переменных а, р, у к переменным а>, в, Ф и наоборот полезны следующие
соотношения:
да д*( cos в д$ sin* в sin и
~д^~"д^~ 2оов,1* "^"^ 3"Р *
^ ^Т 1 ^ 2sin26sin*-y
ды дш . дш * 2
dQ дв sine дв cos 6 sin 6
да ~д7 ш ' dB sin 8 '
2tgy
Якобиан преобразования
Элемент объема группы трехмерных вращений
dR = sin $dad$d"[ = 4 sin2 у do sin вйвйФ. B1)
Полный объем группы трехмерных вращений
Sf г г г ш г г
dR = I da \ sin p dp \ df == 4 I sin8 у йш \ sin вов l йФ = 8п2. B2)
0 0
б. Связь параметров Кэлй — Клейна а, Ъ с углами Эйлера а, р,
Параметры а, Ъ выражаются через углы Эйлера а, р, у по формулам
Р. -=?
а = cos ~2 г ,
Ь = sin ye
~
Обратные соотношения имеют вид
P P
= |a|2 — | b |2, cosy=|a|, sin-s-=l
B4)
-)~T Re a а — -у Re Ь

26 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Параметры а и Ъ выражаются через D-функции Вигнера (см. гл. 4):
a==D\lSa' Р- Т). b = D\l/2(a, р, Т). B5)
При этом унитарная матрица U, согласно A1), совпадает с транспонированной матрицей поворота
Й1'(а, р, у) для спиновых функций частиц со спином 1/2 (см. 2.5C2)).
в. Связь параметров Кэли — Клейна a, be углами со, в, Ф
Параметры Кэли-^Клейна а, Ъ выражаются через углы to, в, Ф следующим образом:
О) Ш
а = cos  i sin -у cos в,
B6)
6 = —i sin -j- sin 9e .
Обратные соотношения имеют вид
(О
cos ш = 2 (Re аJ— 1, cos ~2~ = Re a,
Im а
B7)
Imb
Унитарная матрица С/, согласно A1), совпадает с транспонированной матрицей поворота О^*((о; 0, Ф)
для спиновых функций частиц со спином 1/2 (см. 2.5C6)).
5. Оператор поворота
Преобразование различных квантовомеханических^ величин при повороте системы координат
определяется действием на них оператора поворота Z5(a, [3, у) или О (to, в, Ф).
Волновые функции (векторы состояний) W и операторы О1 в повернутой системе координат
выражаются через соответствующие величины Ф", О в исходной системе координат по формулам
W = А (а, р, Т) У, 0' = /> (а, C, Т) 0 [/> (а, р, Т)], B8)
«" = 17((о; в, ФI\ <9' = 0' (со, в, $)O[U{o>; 9, Ф)]. B9)
Если в качестве параметров, характеризующих поворот, выбраны углы Эйлера а, [3, у, то опе-
оператор поворота /5 (ос, р, у) может быть записан в виде
Aia,bi)—-*'i+f'*-*J: C0)
или в эквивалентном виде
3{а, р, 7)ee-taV'pV-T/,. C1)
Здесь /€ — проекция оператора полного момента количества движения (см. гл. 2) на ось I. Экви-
Эквивалентность C0) и C1) следует из того, что, согласно B8),
Л (., о, о)Г>=е-«Ч-^Л
е-Ъ**' = ?)(а, р, 0) в-'Л [^ (a, p, 0)]-1 = e-t"**e-i9*»e-i'l**e#*»ei"*:
Если в качестве параметров, характеризующих поворот системы координат, выбраны направле-
направления оси поворота п @, Ф) и угол поворота to, то оператор поворота V может быть записан в виде
tf(a>; в, Ф)=е-<ощ-?, C3)
где J — оператор полного момента количества движения (гл. 2). Заметим, что б (а, |3, у) =
= t7(to; 0, Ф).
Оператор поворота, записанный в виде C0), C1) или C3), является унитарным оператором
?>+(а, р, Т) —[?(«. Р, 1)]-1 = ?>(ъ-Ъ р, -т:-а) = ^(-т, -р, -а), C4)
СГ+(ы; в, Ф) = [г?^>; 9, Ф)]-1 = СГ(М; я —9, тс + Ф) = #(—ш; в, Ф).

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 27
Матричными элементами оператора Е) между состояниями с определенными значениями полного
момента и его проекции на ось z являются ^-функции Вигнера (см. гл. 4).
= 8„, DJM,M(a, р, т). C5)
Матричными элементами оператора В между состояниями, волновые функции которых — декар-
декартовы орты e((i = x, у, z), являются коэффициенты матрицы поворота а(к (см. 1.4.6):
<,е(\?>{а, р, т) | еку = aik, (i, k = x, у, z). C6)
Действие оператора поворота на различные волновые функции и операторы квантовомеханических
величин рассмотрено в главах 3, 5—7.
6. Преобразование векторов и тензоров
при повороте системы координат. Матрица поворота а
Произвольный вектор А может быть записан в виде столбца
Х=[аЛ, C7)
\л z /
где Ах, Ау и Аг — декартовы компоненты вектора А. В этом представлении декартовы орты ех, еу,
ег имеют вид
C8)
Действие оператора поворота на векторы, записанные в таком виде, эквивалентно действию не-
некоторой матрицы а размерности 3X3, которая является одним из представлений оператора поворота
C9)
Матрица а является вещественной, унитарной и ортогональной. Вещественность матрицы а озна-
означает
а* = а, a*ih = aik, (г, к = х, у, z). D0)
Унитарность матрицы а
а+а = аа+ = 1 D1)
наряду с ее вещественностью а*=а приводит к условию ортогональности
а-а = аа = 1, D2)
где а —матрица, полученная из а транспонированием. Формула D2) означает, что коэффициенты а{к
удовлетворяют шести независимым условиям
2а>'*а« =8*г> ('• *' 1 — х< У' z)> D3)
>
или эквивалентным им условиям
Условия D3) или D4) приводят к тому, что только 3 из 9 коэффициентов aik являются независи-
независимыми. Это согласуется с тем, что произвольный поворот системы координат полностью характе-
характеризуется тремя вещественными параметрами.
Определитель матрицы а равен 1:
det a = аих а„„ а„ =1.
D5)

28 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Связь декартовых ортов е'{ повернутой системы координат S' с ортами ек исходной системы
координат S дается формулой
2 ('' к = х> У> 2)- D6)
2
к
Закон преобразования декартовых компонент вектора выражается следующим образом:
Здесь Ак — компоненты вектора А в исходной системе координат, А'{ — компоненты этого же
вектора в повернутой системе координат. Условия D3) и D4) обеспечивают сохранение длины век-
вектора А при повороте.
Для декартовых компонент тензора и-го ранга (и —целое) закон преобразования имеет вид
А'нч...*п— 2 a.-i*i4**---
Обратное преобразование, соответствующее повороту S' -> S, осуществляется с помощью транс-
транспонированной матрицы а=а~1. Формулы, обратные D6) —D8), выражающие величины в исходной
системе координат S через те же величины в повернутой системе координат S', записываются как
е* = 2а**е»' (*• к==х' у' 2)' D9)
«
Л* = 2а<*А'' (*• к — х< У' 2). E0)
»
АК^...ь» = 2 а'Ла<-А"-а*ЛЛ*'*¦=• ••*'»' (tl) **• '*' к2, ..., in,ktt = x, у, z). E1)
Vl... 'Я
Элементы матрицы поворота а{к могут быть вычислены по формуле
(г, к — х, у, г). E2)
Таким образом, коэффициенты aik являются косинусами углов между ортами исходной и повер-
повернутой систем координат. Эквивалентное определение aik через компоненты радиус-вектора г в исход-
исходной и повернутой системах координат имеет вид
= ^- = — (х'. =ж 2) E3)
Матрица поворота а выражается через углы Эйлера по формуле
(cos a cos р cos 7 — sin a sin 7 —cos a cos р sin 7 — sin я cos 7 cos a sin 3\
sin a cos p cos 7 -f- cos a sin 7 — sin a cos p sin 7 + cos a cos 7 sin a sin p J E4)
—sin p cos 7 sin p sin 7 . cos 8 /
Обратная матрица а получается из E4) транспонированием или, что эквивалентно, заменой углов
Эйлера а, |3, т -*¦ —7> —Р» —а- Выражение матрицы поворота а через углы 0, Ф, характеризую-
характеризующие направление оси вращения, и угол поворота со имеет следующий вид:
(A — cos со) sin2 в cos2 Ф -)- cos со
A — cos со) sin2 в cos Ф sin Ф -f- sin со cos в
A.— cos со) sin в cos в cos Ф — sin со sin в sin Ф
A — cos ы) sin2 в cos Ф sin Ф — sin со cos 0 A — cos со) sin 0 cos 0 cos Ф + sin со sin в sin Ф\
A — cos со) sin2 в sin2 Ф -f- cos со A — cos со) sin в cos 9 sin Ф — sin со sin в cos Ф I. E5)
A — cos со) sin в cos в sin Ф -J- sin со sin в cos Ф A — cos со) cos2 в -)- cos со /
Формулу E5) можно написать и как разложение
Z1 ° °\ / п1 п*пу пЛ\ ( ° —п* пу \
а — cos to 0 1 О I + A — cos ш) пупх пу пупг + sin J л, 0 — пх , E6)
\0 0 1/ \«.«„ пп., пЪ ) \-п„ пг 0 /

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 29
где пх, пу, пг — проекции орта п, характеризующего направление оси поворота D). Из E6) полу-
получается следующее выражение для матричных элементов aik:
atk = cos <•> Ь1к -\- (I — cos со) ntnk — sin ы ztjcini> («\ &» l = x, y, z). E7)
Обратная матрица а получается из E5) и E6) транспонированием, а также, что эквивалентно,
заменой со, в, Ф ~>—со, в, Ф или со, в, Ф-*¦ со, л — в, п-\-Ф. Формулы, обратные E7), позво-
позволяющие выражать углы со, 0, Ф через матричные элементы atk, имеют вид
[S 1] =у (а;ЕД. + ayy + <*« — 1),
пх sin ш = sin ы sin 8 cos Ф =у (агу — ауг),
i E8)
Пу sin а) = sin ы sin 9 SIP Ф = -J" {ахг — azx)y
пг sin a) = sin ш cos в = -^ (аух — axf>),
re<sinco= — y^jE.^au;, («, к, l = x, y,z).
kl
Выражение матрицы поворота а через параметры Кэли—Клейна а, Ь:
— 6*2) -g- (—a2
i I • E9)
— a*2 — 6*2) у (a2 + 62 + a*« -f 6*2) i(aJ* — a*b) ' V '
—{ab + a*b*) i (ab — a*b*) aa* — 66*
Отметим, что параметрам а, Ъ и —a, —Ь соответствует одна и та же матрица поворота.
Частные случаи матрицы поворота a
а. Поворот на угол W вокруг оси х:
,10 0 v
«¦х (*") = 0 cos W — sin W . F0)
\0 sin ЧГ cos WJ
б. Поворот на угол W вокруг оси у:
г cosW 0 sin Wv
S('F)= ° * ° • F1)
\—sinW 0 cosW/
в. Поворот на угол Ф вокруг оси z:
(cos I" —sinW 0\
sin W cos I1 0 J . F2)
0 0 1/
В случае поворота, характеризуемого углами Эйлера а, [3, у, матрица поворота в соответствии
с формулой C1) может быть представлена в виде
а = «п И = «, (<*) яу (?) а, (т). F3)
Формула F3) является частным случаем сложения поворотов системы координат (см. 1.4.7).
7. Сложение поворотов
Рассмотрим два последовательных поворота системы координат. Пусть первый поворот пере-
переводит систему б1 {ж, у, z}b S' {ж', у', z'}, а второй —систему S' {х\ у', z'}bS" [х", у", z"}.
Выразим параметры, характеризующие результирующий поворот б1 {х, у, z}-+S" \x", у", z" },
через параметры, характеризующие повороты S {х, у, z}-> S' {#', у', z'} и S' \х', у', z'} -»¦
-> S" {х", у", z"}.

30 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
а. Описание поворотов с помощью углов Эйлера
Пусть оба поворота производятся по схеме В (стр. 21), первый поворот S {х, у, z}->
-> <S" {х1, у', z'} характеризуется углами Эйлера av J3,, ft, второй S' {х'', у', z } ~>
-*¦ S" {х", у", z"} —углами Эйлера я2, |32, т2, а результирующий поворот S {х, у, z}->
-*¦ S" {х", у", z"}—углами Эйлераос, |3, у. Углы результирующего поворота а, C, г/, также как
углы первого поворота ах, C17 ft и второго поворота а2, |32, Тг, отсчитываются от положения исход-
исходной системы координат S {х, у, z}.
Оператор результирующего поворота имеет вид
Л (а, р, т) = Л(а„ р„ т.)/>(«!, Pi, Ti) F4)
или в развернутой записи
e-t«J,e-<f}9e-i-{Jt _ е-'^е-<А^е-'тАе-Ч^е-<А-''уе-<тЛ. F5)
В формуле F5) /,. является проекцией оператора полного момента на ось i исходной системы ко-
координат S {х, у, z). Углы результирующего поворота a, J3, у выражаются через углы av fiv yx
и ctg, p2, ^2 п0 формулам
ctg (я — а„) = cos p2 ctg (Ol + T2) + ctg pi ginS('°^Ta)>
cos C = cos Pj cos C2 — sin px sin fi2 cos (a, -)- fz), F6)
— Ti) = cos pt ctg К + 7а) + ctg p2
sin
При вычислении углов результирующего поворота оказываются полезными также следующие со-
соотношения:
sin (а — а,) _ sin G — Ti) _ sin (аг + ?а)
sin^ ~ sin ^2 ~~ sin|3 » (bl>
cos pi = cos p cos pa -f- sin p sin p2 cos (a — a2),
cos p2 = cos p cos Bj + sin p sin pXl'cos G — 7j), F8)
cos P = cos Pi cos 82 — sin Pj sin p2 cos (ax -J- f2),
cos G — 71) = cos (ax -)- 72) cos (a — a2) + sin (ctj -)- 72) sin (a — a2) cos pi2,
COS (a — a2) = COS (ctj -\- f2) COS G — 7J + sin (otj -f- 72) sin G — 7j) COS pt, F9)
COS (ctj 4" 7г) = COS G — 7i) COS (a — a2) — sin G — 75) sin (a — a2) COS p.
3-Й. a,4-7i + »-'°i
lg
. P — Рг . °i + 72 + 7 - 7i
tg—2~ tg 2
G0)
Формулы F7)—G0) допускают простое истолкование в терминах геометрии на сфере. Каждый
поворот можно полностью охарактеризовать, указав на сфере точку, через которую проходит новая
ось z', и направление орта оси х', лежащего в плоскости, касательной к сфере в данной точке.
Определение углов результирующего поворота в этом случае сводится к построению соответствую-
соответствующего сферического треугольника (рис. 1.8). Соотношения F7)—G0) являются формулами синусов,
косинусов и тангенсов для сферического треугольника.
Другое выражение для углов результирующего поворота получается в том случае, когда
повороты производятся по схеме В (стр. 21), но углы Эйлера ос2, |32, уа, характеризующие вто-
второй поворот S' {х', у', z'}-> S"{x", у", z"}, отсчитываются от положения системы S'{x', у',
z'}, а не исходной системы S. В этом случае оператор результирующего поворота имеет вид
Л (в, р, 7) = ?'(а„ р„ Т,)Л(»1, Pi, Tl). G1)

1.4. ПОВОРОТЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
31
где штрих означает, что оператор второго поворота отнесен к системе координат <S" {х', у', z'}.
Согласно формуле B8), оператор 3' связан с оператором в исходной системе координат соотноше-
соотношением
?'(«2, р,, Т2) = Д(аг, р1; Ъ)?(«2, р2, Т2)[^К, Pi. Ъ)]- G2)
Подставляя это выражение в G1), получим
?>(а, р, 7)-=Л(а„ рх, ТГ,) Л (а,, |32, Ti). G3)
т. е. оператор результирующего поворота отличается от F4) порядком сомножителей. Таким обра-
образом, при подобном способе описания последовательных поворотов, углы Эйлера результирую-
результирующего поворота а, C, у будут даваться фор- z
мулами F6)—G0), в которых нужно про-
произвести замену индексов 1^2. Наконец,
если последовательные повороты произво-
производятся по схеме А (стр. 20), т. е. каждый
поворот совершается вокруг соответствую-
соответствующей новой оси, то оператор результирую-
результирующего поворота имеет вид G3). В этом слу-
случае углы Эйлера результирующего поворо-
поворота а, р, Т также даются формулами
F6)—G0), в которых произведена замена
индексов 1 ^± 2.
б. Описание поворотов
заданием оси поворота
п(в,ф) и угла поворота со
Пусть первый поворот S {х, у, z) -*¦
S1 {х1, у1, z1} производится вокруг оси щ
на угол cdj, а второй поворот S'{x', у1, z1}
-> S" {х", у", z") вокруг оси п2 на угол со 2.
Результирующий поворот S {х, у, z)
-*¦ S"{x", у", z") можно рассматривать х
как один поворот вокруг оси п на угол со.
Оператор результирующего поворота имеет Рис- 4-8- Сложение поворотов ^терминах сферической гео-
вид
e-iwn-$ _ e-iwjn2-J e-«o),n,-J ,y4)
^
Угол результирующего поворота ш и направление оси результирующего поворота п даются форму-
формулами
cos ~ = cos -j" cos -j- — (щ • n2) sin -у sin —,
(d со, o>2 co2 со, «! (d2
n sin у = щ sin -y cos -y -(- n2 sin -y cos — — [П] X n2] sin — sin -y.
G5)
Из G5) видно, что результирующий поворот не зависит от порядка, в котором производились оба
поворота, (т. е. операторы поворотов коммутируют) тогда и только тогда, когда пг X п2 = 0, т. е.
оси обоих поворотов параллельны или антипараллельны. В этом случае
со = сог + о>2.
Если направление осей поворота пг, п2, и п задано сферическими углами в1, Фг, в2, Ф2 и в,
Ф соответственно, причем сферические углы отсчитываются от положения исходной системы ко-
координат S {х, у, z), то
cos
@ 0)i AH AI СОа
у = cos -у cos -у — sin -у sin -у [cos 9Х cos 92 -f- sin 9j sin 02 cos (Ф1 — Ф2)],
О) @, AJ ОJ A),
sm у cos 6 = sm -у cos -у cos Эх -\- sin -у cos -у cos 62 -\-
-f- sin-у sin
G6)
2
у sm &x sm в2
sm
t —Ф2

32 Гл. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
sin в1 (ctg -у- cos Фх — cos в2 sin Фх J + sin в2 ( ctg —?• cos Фа -f- cos ®i s^n *
ctg ф = - ± - .
sin 6j (ctg-тг- sin Ф1 -f- cos 62 cos $ij-f- sin 62( ctg-^- sin Ф2 — cos 6j cos Ф2)
Если направление осей поворота n^n задано сферическими углами в1? Фг и в, Ф в исходной
системе координат S {х, у, z}, а направление оси второго поворота п2 задано сферическими уг-
углами в2, Ф2 в промежуточной системе координат S' {х', у', z' }, то углы со, в, Ф результирующего
поворота будут даваться формулами G6), в которых нужно произвести замену индексов 1 ^ 2,
аналогично тому, как это имело место при задании поворотов с помощью углов Эйлера.
в. Описание поворотов с помощью параметров Кэл и—К л е й н а
Пусть первый поворот S {х, у, z}->?' {х', у', ъ'} характеризуется параметрами Кэли —
Клейна а17 &х A.4.3), а второй поворот S' [х', у', z'} -> S" {х", у", z"} —параметрами а2, Ь2.
Результирующий поворот S {х, у, z}->5"' {х", у", z"} характеризуется параметрами а, Ь,
где
а = а1аа —fcffc2,
6 = 4Ь2 + 6Л. ( '
Матрица U A1), описывающая результирующий поворот, является произведением матриц, опи-
описывающих первый и второй повороты:
U(fl, b) = U(a2, b2)U(ul, Ъх). G8)
г. Теорема сложения для матрицы поворота а
Произведем два последовательных поворота системы координат S {х, у, z) -> S' {х', у', zr}->
-> S" {х", у", z" }. Матрица а, осуществляющая преобразование декартовых компонент векторов
и тензоров (см. 1.4.6) и соответствующая результирующему повороту S {х, у, z}->
-* S" {х", у'.', z"}, является произведением матриц а A) и а B), соответствующих первому и
второму повороту. Порядок сомножителей а A) и а B) зависит от способа отсчета углов, характе-
характеризующих повороты. Если все эти углы отсчитываются от положения исходной системы коорди-
координат S {х, у, z}, т. е. оператор результирующего поворота дается формулой F4), то
о = оB)оA) G9)
или в матричном виде
а,-*=2<г17B)агй.A), (i, к, 1 = х, у, г). (80)
l
Выражение матриц поворота через углы, определяющие повороты, дается формулами E4) и E5).
При этом углы, описывающие результирующий поворот, выражаются через углы, характеризую-
характеризующие первый и второй повороты, по формулам F6) и G6). Если углы, характеризующие первый
поворот S -> S' и результирующий поворот S -> S", отсчитываются от положения исходной си-
системы координат S {х, у, z}, а углы, характеризующие второй поворот S' -»• S", отсчитываются
от положения промежуточной системы координат S' {х', у', z'}, т. е. если оператор результирую-
результирующего поворота дается формулой G3), то
а = аA)аB) (81)
или в матричном виде
а,-* = 2<г,7A)агй:B), (г, к, 1=х, у, г). (82)
I
При этом связь углов, описывающих результирующий поворот, с углами, соответствующими
первому и второму поворотам, дается формулами F6) и G6), в которых нужно произвести замену
индексов 1 -$. 2.

Глава 2
ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
2.1. ОПЕРАТОР ПОЛНОГО УГЛОВОГО МОМЕНТА
1. Определение
Оператором полного углового момента количества движения J в квантовой механике называется
псевдовекторный оператор, осуществляющий преобразование волновых функций (векторов со-
состояний) и квантовомеханических операторов при бесконечно малом повороте системы координат
(формулы A) и B)).
Изменение произвольной волновой функции W при повороте системы координат на бесконечно
малый угол 8и) вокруг оси п можно представить в виде
1F-*^' = A — i8wn-J)W. A)
Оператор л, входящий в это выражение, называется оператором полного углового момента.
Преобразование квантовомеханического оператора 0 при бесконечно малом повороте имеет вид
д-*6' = д — Z8wn-[J, О]. B)
Оператор поворота системы координат на конечный угол также выражается через оператор пол-
полного углового момента (см. формулы 1.4 B9), 1.4 C0), 1.4 C2)). Оператор полного момента ?
является эрмитовским оператором
J+ = l C)
Для декартовых и циклических компонент оператора J условие эрмитовости имеет вид
(Л)+=Л. (* = *.». 2); (^.)+=> = (-i^Лц, ({i = ±i. о). D)
Собственными функциями операторов J2 и Iг являются шаровые тензоры (см. гл. 7).
2. Коммутационные соотношения
Из определения оператора полного углового момента A) и формул для сложения поворотов
(см. 1. 4. 7) можно получить коммутационные соотношения, которым удовлетворяет оператор I.
Эти коммутационные соотношения могут быть записаны в виде
'¦¦ [(a-J), (Ь. J)] = /.[aXb]. J, .E)
где а и b — произвольные постоянные векторы. Коммутационные соотношения для оператора пол-
полного момента можно также записать в символическом виде
«J. F)
Декартовы компоненты оператора 1 удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Ju Л] = ^«гЛ. [J2. Л[ = 0 (г, к, 1 = х, у, z). G)
Соотношения G) можно получить из E), выбирая в качестве векторов а и b декартовы орты: а=е,.,
b=ek (i, k=x, у, z).
В развернутой записи соотношения G) имеют вид
[Sx,Jx] = iJy, $y\ = Vr f.] = o,
Л. Зу\ = —[?у> fj = i-fz, [•?*> JA=— [Л> К\ = — iJv> (8)
3 Д. А. Варшалович и др.

34 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Оператор квадрата полного момента I2 выражается через декартовы компоненты Jo (i=x, у, z)
по формуле
г
Циклические ковариантные компоненты оператора J удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям
[Л. Л1= — ^С^Л. [J2. ^1=0, (ц. v, Х=+1, 0). A0)
Соотношения A0) можно получить из E), выбирая в качестве векторов а и Ъ циклические кова-
ковариантные орты: а = е^, b=ev, (p, v = +l, 0). В развернутой записи соотношения A0) имеют вид
I*-* 0» ^ —11 == IV—1» •* 0J ^^ ** — 1»
[S2, J+l\ = [J2, Jo] = [J2, /_x] = 0.
Для контравариантных циклических компонент оператора J коммутационные соотношения запи-
записываются следующим образом:
[fv-, Р] = vT С1^иР-, [J2, /^] = 0, ((х, v, Х=+1, 0), A2)
или в развернутом виде
[S+1, /+1] = [f°, /°] = [/-', /-1] = О,
[/•«, /0] = _ [/0, /+.j = /+1, [/«, /-1J = _ [S-*, /«] = /О,
[Ja, ./+4 = [J", /oj^fj^ /-i]=o.
Оператор квадрата полного момента I2 выражается через циклические компоненты / , (р = +1, 0)
по формуле
3. Инверсия координат. Обращение времени
Оператор полного момента J является аксиальным вектором и не меняется при инверсии ко-
координат (г-»-— г).
При обращении времени (t->—t) оператор полного момента I меняет знак:
PifiPT1=-Ji, {i = x, У, z),
^Л1=-4 (^=±i.o).
В A5) и A6) Рг и Pt являются операторами инверсии координат и обращения времени соот-
соответственно.
4. Полный угловой момент системы. Орбитальный и спиновый моменты
Полный угловой момент t системы, состоящий из N подсистем с угловыми моментами 1A),.
1B), . . •, 3(Л0. представляется в виде векторной суммы
N
я=1

2.2. ОПЕРАТОР ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА 35
Для такой системы справедливы следующие коммутационные соотношения:
[/,• («). h (n')] = ibttn,EikJ,(n),
(г, А:, 1 = х, у, z), A8)
[Л / /
(p., v, Х=±1, 0). A9)
Частным случаем A7) является представление оператора полного момента в виде суммы опера"-
торов орбитального момента L и спинового момента S.
* = ? + §. B0)
Свойства операторов t и S рассмотрены ниже B.2 и 2.3). Коммутационные соотношения операто-
операторов орбитального момента L и полного момента J:
[ft, Lkl — Kiktb!, (г, А:, 1-х, у, г),
[¦?,» А] = -^2"С^хЛ, (щ v, Х = ±1, 0). f)
В развернутой записи соотношения Bi) имеют вид
Л, ^1 = - [f?, 4i = ^4. 14. 4[=—|Л.?*1 - -А. B2)
[/«, ?+1] = [Л, ?0] = I-^-i. ^-х) = о,
К+п iol = — Ко. 4i] = —?+1» К+1» ?-il =—К-1> ?+il = —Lo, B3)
fjo> -^-i] = — [•'-i> Ail== —?-i>
Коммутационные соотношения между операторами спинового момента S/и полного момента J по-
лучаются^ из B1)—B3) заменой момента L -> S. Операторы орбитального момента L и спинового
момента S коммутируют между собой:
[^ 4]= 0, (i, * = *, у. z),
[?,,, i,]=0, ((х, v=+l, 0). ( J
2.2 ОПЕРАТОР ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА
1. Определение
В классической механике орбитальный момент количества движения частицы L дается фор-
формулой
A)
где г — радиус-вектор положения частицы, р — ее импульс.
В квантовой механике оператор орбитального момента количества движения частицы L полу-
получается из соотношения A) заменой r-»f ир-»р, где ? и р — операторы координат и импульса
частицы.
В координатном представлении $ = г, р = —iV,
t = -f[rXV]. B)
В импульсном представлении f = iVp, p = p,
L = -/[pXVp]. C>
Приведенные ниже формулы справедливы как в координатном, так и в импульсном представ-
представлении. В формулах для явного вида L (см. 2.2.3) для перехода в импульсное представление ну-
нужно произвести замену г->р, V = -^->Vp = ~.
Оператор L является эрмитовым, чисто мнимым оператором
?+ = ?, ?* = -?. D)
а*

36 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Для декартовых компонент оператора L соотношения D) принимают вид
Х+ = Х,., Ц = -1,, (»• = *, у, z). E)
Для циклических компонент оператора соотношения D) имеют вид
(?[1)+ = (-i)f- (?+)_„,= (-1)" ?-ц.
(ц=±1,0). F)
(%)*= (-1)" (?*)-^ = (-i)"+l ?-ц.
Оператор орбитального момента L осуществляет преобразование скалярных (бесспиновых) волно-
волновых функций при повороте системы координат. Л случае поворота системы координат на беско-
бесконечно малый угол 8(о вокруг оси п вектор г переходит в г-|-ог, где §г = —8и>[пХг]> а скалярные
волновые функции преобразуются по формуле
•F (г) -* W (г + 8г) = A -f Sr • V) W (г) = (I — (Зшп • t) W (r). G)
В случае поворота системы на конечный угол ш вокруг оси п скалярные функции преобра-
преобразуются с помощью оператора e~ia>a'1', который^ является частным случаем оператора поворота
1.5 C2). Собственными функциями операторов L2 п Lz являются сферические функции Ylm(&, cp)
(глава 5), зависящие от сферических углов &, <р.
2. Коммутационные соотношения
Оператор орбитального момента L удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что
и оператор полного момента !.лСоответствующие формулы для коммутаторов получаются из фор-
формул 2.1E) — 2.1A4) заменой J^>L.
Коммутационные соотношения оператора L с операторами координат ? и импульса р имеют
' следующий вид.
Декартовы компоненты
[Z,-, xk) = Uik,xlt
(i, к, 1 = х, у, z). (8)
При этом сами операторы ? и р удовлетворяют коммутационным соотношениям
[?,-, ?к]=0, [Pt, Рк\=0, [?{, P,.] = ttik, (i, k = x, у, z). (9)
Циклические компоненты
[?„,, ^] = -^С1^Л.
(p., v, Х=±1, 0). (Ю)
fV/>,] = -^2 С\\иръ
Для циклических компонент операторов г и р коммутационные соотношения имеют вид
[?^, ?ч]=0, [/)„, Д]=0, [?^, Р,] = \-, (-W, (^ *=±1, 0). A1)
Формулы (8) и A0) являются отражением векторного характера операторов г и р.
Коммутационные соотношения для квадрата орбитального момента
]-MLXp1- ( ]
Операторы г2 и р2 коммутируют с оператором L:
Коммутационные соотношения для оператора L и операторов полного момента
мента S были рассмотрены ранее (формулы 2.1.B1)—2.1.B4)).
J и спинового
момента S б (ф 2121J1B4)

2.2. ОПЕРАТОР ОРБИТАЛЬНОГО МОМЕНТА 37
3. Явный вид оператора
Декартовы компоненты оператора L даются формулами
В компактной записи формулы A3) имеют вид
Декартовы компоненты оператора L выражаются через сферические углы 8, » по формулам
д д
n sp-^a" + ctg 8 cos ?-^
= (^—cosy-^-+ctg» sin cp-^-J, A5)
Циклические компоненты оператора L
L+1 = i0V+1 — a+1V0,
?o = *-iv+i—*+iv-i.
i_i = з;_1 Vo xo\_1.
В компактной записи формула A6) имеет вид
^=-^2CbVvVx, (,х, v, ). = ±1, 0).
v, X
Циклические компоненты оператора L выражаются через сферические углы &, <р по формулам
Сферические компоненты оператора L
I д д
Lr = 0, ^ = -^г^- — , Lv = -i-^-. A9)
Оператор квадрата орбитального момента L2 выражается через компоненты оператора L по
формуле
B0)
l2=2 (-1)"- tj^,.=-?+i?-i + ?Л - ?-i?«-
Оператор L2 имеет вид
Он совпадает с точностью до знака с угловой частью оператора Лапласа 1.3.A5)
L2 = -4ffi. ¦ B2)
Оператор L2 является эрмитовским вещественным оператором

38 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Представление орбитального момента Ь в виде дифференциального оператора является только од-
одним из возможных представлений. Наряду с ним используется также представление оператора Ь
в виде набора трех матриц (по числу компонент вектора Ь). Матричные элементы оператора орби-
орбитального момента Ь приведены в главе 13.
2.3 ОПЕРАТОР СПИНОВОГО МОМЕНТА
1. Определение
Оператор спинового момента частицы S принято представлять в виде трех (по числу компонент
вектора S) квадратных матриц размерности B5+1) X B5+1), где S —значение спина частицы.
Эти матрицы действуют на спиновые функции (см. гл. 6) и удовлетворяют между собой тем же
коммутационным соотношениям, что и компоненты оператора полного углового момента B.1).
Оператор спина S является эрмитовским оператором
§+ = §. A)
Для декартовых компонент оператора S условие эрмитовости A) имеет вид
(Si)+ = Si, (i = x, У, '), B)
а для циклических компонент
(^)+ = (-1)^-„.. (И=±1. 0). C)
Поведение оператора S при комплексном сопряжении зависит от представления, в котором он
записывается (см., например, 2.6.2). Собственными функциями операторов S2 и $0 являются спи-
спиновые функции Xsms (см. гл. 6), зависящие от спиновой переменной а, имеющие B5+1) компоненту
я описывающие поляризационное состояние частицы.
2. Коммутационные соотношения
Коммутационные соотношения для оператора спина S даются формулами 2.1 E)—2.1 A4),
если в этих формулах произвести замену I -> S. Коммутационные соотношения между оператором
спина S и орбитального момента Ь были рассмотрены выше в разделе 2.1.4. Оператор спина S
коммутирует с оператором координат частицы f и импульса р.
[?{, а*] = 0, [&it /Ы=0, (*, к = х, у, г), D)
[S^, a,]=0, f^, А,]=0, (ц, v=+l, 0). E)
3. Явный вид
Циклические компоненты оператора спина S могут быть выражены через базисные спиновые
функции is™ (глава 6) по формуле
т, т'
Декартовы компоненты оператора спина S могут быть получены из F) с помощью соотношений
Формулы F) и G) не зависят от выбора представления для спиновых функций, а явный вид
спиновых матриц зависит от него. В случае произвольного спина S проще всего написать явный
вид спиновых матриц в представлении циклического базиса. В этом представлении базисные спи-
спиновые функции %sm имеют вид
Хв» («)=««». («. * = -S, -S + 1, ..., -S-l, S), (8)
а матричные элементы спиновых матриц даются формулой
(^U = ^(H1)C^, К o' = -S, -S + l, ...S-l, S). (9)

2.4. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 39
При этом расположение элементов в матрицах соответствует следующей нумерации строк и
столбцов:
(
::
• • ¦ A~s-s/
Явный вид спиновых матриц в частных случаях спина 1/2 и 1 приведен ниже в 2.5 и 2.6.
4. Шпур от произведений спиновых матриц
Вычисление шпуров от произведений декартовых компонент спиновых матриц для произволь-
произвольного спина S производится по следующим формулам (где I, к, I и т. д. принимают значения х,
У' z):
Sp {Si} = 0,
Sd (S S S)-
Sp {SiSj.Sj} = S(S + i^2S + i) ?s E + 1) + -1] (ЬлЬи + 8V8W) + [S (S + 1) _ 2] 8„
Для циклических компонент оператора спина S имеют место следующие соотношения (р, v, X
и т. д. принимают значения +1, 0):
1\ 5(^+1)BД + 1)
J (-1) Cl^
v
Sp [S^SJf} =
+ [S (S + 1) - 2] (-l)i"* S^
2.4. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
1. Определение
При описании поляризационного, т. е. спинового состояния частиц широко'используются так
называемые поляризационные операторы. Поляризационными операторами TL1? (S) (где
M=—L, —L-\-l, .... L—1, L, a L=0, 1, . . ., 2S; L и M —целые) называются матрицы,
которые действуют на спиновые функции (см. гл. 6), имеют размерность B5+1) хB?+1) и пре-
преобразуются при поворотах системы координат по представлению DL, т. е. являются неприводимыми
тензорами ранга L (см. гл. 3). Для того чтобы Тщ (S) при поворотах системы координат преобразо-
преобразовывались должным образом, необходимо, чтобы они удовлетворяли следующим коммутационным
соотношениям с циклическими компонентами спина *?,.({*=+1, 0):
[¦V ?ьм E)] = s/L (L + 1)С\*Х1?Ь^ (S). A)
Нормировку поляризационных операторов выберем так, чтобы
SP {Т1м (S) Tvw (S)) =8Ы,8ЖЛГ) B)
а фазовые множители —
flx(,S) = {-lffL_1[(S). C)

40 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Условия A)—C) однозначно определяют вид поляризационных операторов. Совокупность поляриза-
поляризационных операторов Tlm{S) при —L^.M<JL, 0^.L ^2S образует полную систему, состоящую
из 2 B? -f-1) = B? -f- 1J линейно независимых квадратных матриц размерности BS -|- 1) • BS -|- 1).
2. Явный вид
Поляризационные операторы TLm(S) могут быть построены из произведений спиновых матриц
по формуле
Тш (S) = NL (S) (§ • V)L {rLYLM (», ?)}, D)
где S — оператор спина, Nl (S) — нормировочный множитель
21!
Заметим, что величины^ Tim(S) не зависят от г, хотя вектор г и фигурирует в правой части
формулы D). Операторы Тщ (S) могут быть выражены через базисные спиновые функции iSm
(глава 6):
TLM (S) —у 26' + 1 J?| Cs
* m, m'
Обратное разложение имеет вид
жцтСвтШ^ш^). G)
Явный вид матриц fLM (S) зависит от выбора представления для спиновых функций. В частности,
в представлении циклического базиса матричные элементы tLn{S) даются формулой
+ l cbIik. («. «'=-¦S, S + 1 S). (8)
При L = 0 операторы tLm{S) пропорциональны единичной матрице размерности BS -f- l)xB?-f-1)
f(S) /. ' (9)
При ? = 1 операторы fLM (S) пропорциональны циклическим компонентам оператора спина
SM, (M=+l, 0). A0)
l) ж ~ ^
Поляризационные операторы для спина S = 1 рассмотрены в 2.6.
3. Поведение Тш{$) при преобразованиях системы координат
а. Инверсия системы координат (г—»-—г)
Поляризационные операторы Tlm (S) не меняются при инверсии системы координат
A1)
б. Поворот системы координат
При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, C, у, поляризационные опе-
операторы преобразуются по формуле
f'LM,(S) = ?>(a, р, 7) tLM,(S) [?> (а, р, 7I-1=2Д**'(в' Р- ?)*!*(*).
ж
где D(a, р, у) — оператор поворота (см. 1.4.5), Z)i-jp — /)-функции Вигнера (гл. 4).

2.4. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 41
4. Разложение по поляризационным операторам
Как отмечалось выше B.4.1), поляризационные операторы Tlm(S) образуют полную систему
линейно независимых матриц. Произвольная квадратная матрица А размерности BS-\-i)\{2S-\-\),
где S — целое или полуцелое число, может быть разложена по поляризационным операторам Тъш (¦$%
т. е. представлена в виде сумм
i=H AtMfLM(S), A3)
где коэффициенты разложения ALM даются формулой
iK{S)A). (Щ
Если А — эрмитовская матрица, т. е. А+ = А, то
Ниже рассмотрены некоторые примеры таких разложений.
а. Разложение Клебша—Гор дана для поляризационных операторов
Произведение двух поляризационных операторов Г^ж, {S) и fL^Mi (S) может быть представлена
в виде суммы Клебша—Гордана
(S). A6).
б. Разложение оператора поворота
Если интересоваться только преобразованием спиновых функций и спиновых операторов при
повороте системы координат, то в общих формулах для оператора поворота 1.4. C1) и 1.4. C3)
можно заменить оператор полного момента J на оператор спина S. Такой модифицированный опе-
оператор поворота будем отмечать индексом S наверху. Если поворот системы координат описывается
с помощью углов Эйлера а, C, у, то для оператора поворота Ds (а, C, у) имеет место следующее
разложение:
'Vj^M^ „Sm nS 1„ Л y\ f I V\ H7V
L, M, m, m'
В том случае, когда поворот описывается с помощью направления оси поворота п(в, Ф) и угла
поворота ш, разложение оператора поворота 0s(m; в, Ф) имеет вид
2S L
L=0 "T" M=—L
где функции х|(ш) — обобщенные характеры (см. 4.15).
5. Коммутаторы и антикоммутаторы
Поляризационные операторы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
' f 1 + (-l^+^Ч {Jl ^2 JSj С^4ж7?зЖч (S). B0>
Соотношение A) является частным случаем формулы A9) при Lx = i.

42 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
6. Вычисление следа от произведений поляризационных операторов
bLObMO, B1)
SP { fllMl (S) Т1Л (S)} = (-i)a%iLbMi_Mt, B2)
SP { TLiMi (S) Т1гЩ (S) fLzMs (S)) = (-1)*****, v'BL1 + l)BL2 + l)C^f?>2 g1 ^ ^8} . B3)
В общем случае
чп/f ,4\f ,ч\ t
^ 0Ж1+Ж,+Ж3+...-1-Жя, O^J ^V^m^IASm+n, • • • °?яЖяЗш+[1,я_1> B4)
где
2.5 СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ДЛЯ СПИНА 5=1/2
1. Явный вид
В случае спина S = 1/2 оператор спина S представляет собой набор трех квадратных матриц
размерности 2x2.
Декартовы компонент*! оператора спина S в представлении циклического базиса выражаются
следующим образом:
Циклические компоненты оператора спина имеют вид
6 -L(Oi\ Л I/1 °\ в J_/00\
Кроме спиновых матриц, рассматривается также единичная матрица
Вместо оператора спина S широко применяется матрица Паули $, связанная с S соотношением
/§ = |Э. D)
Из формул A) и B) следует, что спиновые матрицы обладают следующими свойствами:
?t = S{, {i = x, у, z), E)
S+ = (-l)*S_V4, (ji=±i, 0), F)
^ = 4, S\ = -Sy> S* = St, G)
^ = ^» (J*==±i. 0). (8)
2. Коммутаторы и антикоммутаторы
Декартовы компоненты оператора спина удовлетворяют соотношениям
[$1,$к\ = ьш$и {Sit Sk}=-jbikl, (i, к, 1 = х, у, z). (9)
.Для циклических компонентой соотношения имеют вид
(!*. v, Х«±1,0).

2.5. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ДЛЯ СПИНА 5=1/2 43
3. Произведение спиновых матриц
Четыре матрицы Sx, Sg, Sg и / (или «У+1, So, S_i и /) образуют полный набор двумерных
квадратных матриц, по которым может бить разложена любая функция, содержащая оператор
спина (S = 1/2). В частности, произведения спиновых матриц могут быть представлены в виде
суммы спиновых матриц и /. Произведения декартовых компонент (индексы i, к, I и т. д. прини-
принимают значения х, у, z)
^А 87 А
Si$Ji ==-§- ert// + T {Sfikt - Skbn + 6flik), A2)
Формула A1) в подробной записи имеет вид
Произведение циклических компонент
-i 2 ^o 0J~~ 4 ~ 2 0>
l
-T^-^W-^fciA. ft*, v, X=±i. 0), E+1)» = 0, (^"-O, A1 = 2, 3, ...).
(^^-(т)"^. (»-0, 1, 2, ...),
§ • § = §¦ = S* + ^ + si=-i+1^_t + ioio - 4^+1 = т /. (is)
Произведения операторов S и векторов а и Ь, коммутирующих с S:
(§ • а) (§ . Ь) =¦!¦(¦ • ЪI +у(§ • [а ХЬ]), B2)

44 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
(8 • а) [8 X Ь] =4" [а X Ь] / + -j {(8 . Ь) а - (а • Ь) 8}, B4>
[[§Ха]Х[§ХЬ]]=4"[аХЬ]/+у{(§-Ь)а + (§-а)Ь}. B5>
Если п — единичный вектор (п2 = 1), то
8 D)*8.п), fc = 0, 1, 2, ... B6)
4. Функции от спиновых матриц
eaS< = I ch у + 25, sh у, B7>
y , sh (<*?<) = 2.S,-shy, B8>
ea(?° = 1 ch у + 2S0 sh у , ea§ = 1 + aS_^ B9>
ch (aS+1) = /, ch {aS0) = / ch у , ch (ai_i) = /, C0>
sh (a<?+i) = a«S+i, sh (<*?„) = 2S0 sh у , sh (a^_i) = я5_1# Ciy
5. Операторы поворота системы координат
а. При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, спиновые функции
и спиновые матрицы в случае ?=у преобразуются с помощью оператора поворота 1L* (а, р, у),
являющегося частным случаем выражения 1.4.C1):
,*+т
cos -к- е
У/, (а и у) — е-{лВ'.е-*?8»-е-(^' = \ " I /32V
J [а, р. 7)—е *е е —| „_v о4.т |. \эбу
Обратная матрица
sin j e
C3>
р ,г±1 о -<—
cos ye 2 sin ye 2
- Р '=? Р -=?
—sm у е z cos у е
Матричные элементы оператора Й1г(а, C, у) являются .D-функциями Вигнера D'j^M, (a, p, у) (гл. 4).
Разложение оператора ?>!*(а., р, у) по спиновым матрицам имеет вид
Ai/ Р «+ Т , . Р а — Т - Р я — Т - Р <*-Ил
Z)'»(о, 8, -г) = cos "о" cos —о—I + 2г Sln "о" sm —о— sx — 2i sin Т cos —о— ^w — 2i" c°s т sin —g— >>г. C4)
ai/ P а-1-7. /- Р ~г^- P « + 7- /- P '^^
^ (a. P. 7) = cos у cos—y^ 1 4- v2 sin у e ^ 5+1 — 2i cos у sin—^—^o+^sinye S_x. C5)
б. При повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п (в, Ф) и
углом поворота <о, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S == 1/2 преобразуются
с помощью оператора поворота 0^'(<о; 9, Ф), являющегося частным случаем 1.4. C3):
/ (о , fc) . fc) . \
cos -s- — i sm -5- cos в —s sin -5- sin бе ф \
171/.(и;в,Ф) = в-'»П-» = | ^ * \. C6>
W .д. CO CO I
— isin -n- sin 6e* cos ~o~ + i sin -s- cos в /

2.5. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ДЛЯ СПИНА 5=1/2 45
Обратная матрица
о; в, Ф)Г1 = [г71/а(ы; е, Ф)]+ = tL* (со; тс —в, тс + Ф) = О'1' (—о; в, Ф) =
/ СО (О О* .-
cos -у + i sin -j cos в i' sin у sin вв
i sin у sin ве*ф cos у — i sin у cos В y
C7)
Разложение оператора O''*(w; в, Ф) по спиновым матрицам имеет вид
#г/г(со;е, ®) = e-<M1-§=/cosy — 2i(n- §) sin у. C8)
Углы <d, 0, Ф связаны с углами Эйлера a, J3, у по формулам 1.4.A6) —1.4.A7), причем
>?>4>(а, р, 1) = 171Л(«; в, Ф). C9)
в. Действие оператора поворота I?1* (а, р, у) на спиновые матрицы дается формулами
S't = />V. (а, р, 7) 5, [tf/. (а, р, Т)Г = 2 «й^*. С * = *.?. ^).
где а<л — матрица поворота (раздел 1.4.6).
^ = />'/, (а> р, 7) ^ |^V, {а> р, т)]-1 = ^ Д1„ (а, р, 7) iv;
v
здесь Z)^ — /^-функции Вигнера (гл. 4).
6. Вычисление шпуров от произведений спиновых матриц (S^1/^
Для декартовых компонент оператора спина имеют место соотношения (г, к, I и т. д. = х, у, г)
Sp {<?,-}= О,
1
Sp {SfStS^j} = ^ (8ifc8o. - 8^8^+В^г), D2)
Sp {StSkS,SjSm} = •—- (8,fc
При вычислении шпуров от произведений большого числа спиновых матриц удобно пользоваться
формулой приведения. Обозначим
Ttlit.,.in=Sp{StiSttmJta), (»>3). D3)
Тогда
Ти*г...<п=ТЬнчТни--Чп+~2%^'Т(,(>...(я- D4)
В случае четного п, можно пользоваться также формулой
1
г<1/,...<я = т{8<лг<л...*»""8«-л2'<л-'« + ••• +\*.т 'Л- •••»-.}• D5)
Для циклических компонент оператора спина имеют место соотношения (j*, v, X и т. д. = ±1, 0)
v

46 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Sp {&,&&?,) --Цг^ {(-1) VA-p - (-1)' V-A-* + (-1)' VA*b
Формула приведения для циклических компонент оператора спина имеет вид
гр \ *' ? Т /ill). ip
где
W..m-sp(^A,..A.}-
В случае четного тг можно пользоваться также формулой
2.6. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ДЛЯ СПИНА 5=1
1. Спин S=l
В этом случае оператор спина <? и поляризационные операторы fL1[(L = O, 1, 2; —L^,M^,L)
являются квадратными матрицами размерности 3X3. Поляризационный оператор fw пропорцио-
пропорционален единичной матрице:
где
/=@10). B)
0 0 1
Поляризационные операторы ^]^ пропорциональны циклическим компонентам спиновых
*1Ж=-^$ж, (* = 0. ±1). C)
Операторы У2ж(-^ = 0, +1, +2) выражаются черев циклические компоненты спиновых матриц
по формуле
Поляризационные операторы ^2Jf эквивалентны симметричному декартову тензору второго ранга
со следом 0:
1 / 4
&*=&<# 2 $«=о. F)
Тензор ^<s называется квадрупольным. Он имеет 5 линейно независимых компонент. Его компо-
компоненты связаны с компонентами Т2м соотношениями
^2±2 — ~2 (Qxx Qggi. 2i<?a;y),

2.6. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ СПИНА 5=1 47
Обратные соотношения имеют вид
Qxx = ~2 ( ^22 + *2-2) ~^~ *20> Ожу — Qyx = " ( ^2-2 ^22)>
2. Явный вид
Явный вид спиновых матриц и поляризационных операторов зависит от выбора представления
для базисных спиновых функций (гл. 6). Наиболее часто употребляются представления цикличес-
циклического и декартового базисов.
а. Представление циклического базиса
Декартовы компоненты оператора спина S
/О 1 0\ /0 —1 0\ /1 0 0\
й = * (l 0 1 , ? _-* [l 0-1, ?,= @ 0 0 1. (9),
^ Vo 1 о/ ^ Vo 1 о/ Vo о -1/
Циклические компоненты оператора спина S
/0 1 0\ /10 0\ /0 0 0\
/0 1 0\ /10 0\ /0 0 0\
= - 00 11 io= оо 0), ?-1 = 1100].
Vo 00/ Vo о —l/ Vo 1 о/
Порядок нумерации строк и столбцов указан в 2.3 A0).
Матричные элементы оператора спина Sa в циклическом базисе даются формулой
(•V»', — ^2 С{%[р, ([!., с, а' = +1, 0).
Спиновые матрицы в представлении циклического базиса удовлетворяют соотношениям
?*•=?<, (« = », у, z),
?*=? t <?+ = ( lj^iL ((j,= +l, 0).
Квадрупольный тензор Qik (г, к = х, у, z) в представлении циклического базиса имеет вид
1Z ° 3\ 1 Г1 ° ~3\ 1 fi °
\ 3 0 —1/ \—3 0 —1/ \0 0 1/
. /О о -1ч t /о 1 0\ ,о -1 о- A5>
Qxy=Gyx=~2~ (о о о] <?«—^ = "~7=[i о — 11 Qyz — Qzy--
\1 0 0/ 22\0-4 0/'
Компоненты квадрупольного тензора (^ в представлении циклического базиса удовлетворяют со-
соотношениям
Qtk = Qik, {U к = Х, у, 2), A6)
причем матрицы Qxx, Qyy, Qzz, Qxz, ^ — вещественные, а матрицы Qxy, Qyx, Qyz, Qzy — чисто
мнимые. Поляризационные операторы TLm в представлении циклического базиса имеют вид
1 /100\
f i_/o in ¦ A7)
Vo о 1/

48 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
•0 1 Ox l /10 Ох ^ i /0 0 Ох
Л«=—7Г °01 . Г»=7Г 00 °Ь Tl~1=W 10° • ' A8)'
Vo о о/ \о о -1/ \о 1 о/
0 0 1ч ,0-10ч ,1 0 On
?,„= ооо , ?.i = 7TГ 01 . ^=7ГГ0>
Vo о о/ . Vo о о/ Vo о i/
/О О 0\^ /0 0 On A9)
fM = (ooo .
Vl 0 0/ .
Матричные элементы поляризационных операторов в циклическом базисе даются формулами
f, (о, о' = +1, 0; — L < Л/ sg ?). B0)
Поляризационные операторы Tlm в представлении циклического базиса вещественны:
f** = 7* ^21)
и удовлетворяют соотношениям
f tu = (—1)ж ^?_jf B2)
б. Представление декартового базиса
Декартовы компоненты оператора спина S
/0 0 Ох / 0 0 in /0 —г 0ч
^=@ 0— i\ Sff = l 0 0 о) '^=И 00 . B3)
Vo i 0/ • V—? 0 0/ Vo О О/
Матричные элементы "операторов St в декартовом базисе можно записать следующим образом:
{Si)ki — —Uiki> (h k, l = x, г/, z). B4)
Циклические компоненты оператора спина S
0 0 1ч /0 —i 0v /00 1ч
о о/), so = h оо , ^-1=7Г 00-'К B5>
ч_1 _г о/ Vo о о/ V—1 i о/
Спиновые матрицы в представлении декартового базиса удовлетворяют соотношениям
E^)+ = (—1 )v- S_^, 5* = (—iI+v- S^p, ((«. = ±1, 0), B6)
(^»)+ = ^<» Si=—Si> (' = *» У. z). B7)
Квадрупольный тензор Q^it, k = x, у, z) в представлении декартового базиса имеет вид
/-2 0 Ох /1 0 Ох /1 0 Ох
Qxx== — I OlOl ^ = j 0-2 0 1 ^« = -3-01 О I
\ 0 0 1/* \0 0 1/ Vo 0 —2/
i / 0 -1 On ,00 -1ч /0 0 Оч B»)
^у=^=-1 _i о;о 1 ^=<?« = у 0° о , <5У,= <5^=-g- о о — 11
V о оо/ V—1 оо/ Vo -1 о/
Матричные элементы Qik в декартовом базисе можно записать в виде
. ?• 1/~- .«ь ^^е.
A' к' 1' т==Х> У' Z)" B9)
Матрицы Qik в декартовом базисе эрмитовы и вещественны-
Cik = Qa, C*k = Q(k, ('> ^ = г, у, г). C0)

2.6. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ СПИНА 5=1 49
Поляризационные операторы tm в представлении декартового базиса имеют вид
Л 0 0\
?оо = 77Н0 1 0), C1)
?1+1 = Т( 0 <м), Г10 = 7ГИ 00). ^-1 = Т( °°-Ч, С32)
?M = \\-i iO), f»1+1=4@0 l), Г20 = -^@1 0
0 0 0/ \l j 0/ \0 0 —2/
C3)
•*2-l 9
C4)
2
Поляризационные операторы Tlm в декартовом базисе удовлетворяют соотношениям
Переход от представления циклического базиса к представлению декартового базиса и обратно
для спиновых поляризационных операторов осуществляется при помощи унитарной матрицы U:
Л (циклический базис) = UA (декартовый базис) С/,
Л (декартовый базис) = U~lA (циклический базис) U,
где Л — любой из спиновых или поляризационных операторов (т. е. S., S , Qik, Фш),
' —0
C7)
у/2 vT / \ 0 1 0
Матрица U совпадает с матрицей М{-\-\, 0, —\<г-х, у, г), а матрица С/ — с матрицей
М(х, у, z, <-+1, 0, —1) (см. табл. 1.2).
Формулы, которые приведены во всех пунктах этого параграфа, кроме формул пункта 2, не
зависят от выбора представления для спиновых и поляризационных операторов, если не сделано
специальных оговорок.
3. Произведения спиновых и поляризационных матриц
В случае спина S=l 9 матриц f lm (L=0, 1, 2; —L <^ M <^ L) или, что эквивалентно, мат-
матрицы /, S, Qilc образуют полный набор 3x3 квадратных матриц, по которым может быть разложена
любая функция, содержащая спиновые и поляризационные операторы и, в частности, произведе-
произведения спиновых и поляризационных матриц.
Произведения декартовых компонент матриц S и Q(lc (индексы i, к, I и т. д. принимают
значения х, у, z):
a) ^ = jW + fi^i + <?*f C8)
В частности,
§2=^|+1у2+^| = 2/> C9)
[S{, Sk] = SfSk - Sj( = UiklSt, D0)
{i,, ?к}~${$к+ ?Ji = 1-likl+2Qik. D1)
4 Д. А. Варшалович и др.

50 Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
б)
&W J + -J (ZiJcmQlm + 4lmQlcm + •*!-<?<¦)• D2)
В частности,
SfS^SfS^biJcSf (суммирование по i не производится), D3)
SfSkSk + SkSkS( = S{ -f- 8jS«?s (суммирование по А: не производится), D5)
=т ^ -i(?^'
1 - D7)
t D8>
1 л D9)
гж1'ж = SgSySi = "J ^г + 'Ужу»
В)
5,?» = !; + ^, (п = 1, 2, ...), S}*i = §t, (» = 0, 1, 2, ...). E0)
В частности, если п — единичный вектор,
¦ E1)
(§.nJ*+1 = (§.n), (Ы0, 1, 2, ...).
г)
(BA+S^'8i) + y(^m&m + ^m^m), E2)
{ ~ (««»<?„ + •„«<?*»). E3)
Д)
~ У ^ijcQlm — " S/mV<fcj + "g" t8»/8*:»!;M^ + ^imsklp^p + 8Sieim^'S'^ + SfcmEj;^^). E4)
Произведение циклических компонент оператора спина S и поляризационных операторов Тьж
(Г, v = ±l, 0):
а)
V»=4 (-1)' w - тг С$*А+Ci"f «»• E5)

2.6. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ СПИНА S=i 51
В частности,
ГО ОТ *—— О О О О \/О Л^1Х С /^7\
4
б) .....
с>2 Т СЗ О4 Об __ —0 yCQ\
$i-\i+Y%tm (во)
S^ = Sl (n = l, 2, ...). 5e«+1 = i!o, (n = 0, 1, 2, ...). F1)
B) ^
В частности,
^iif^oo=^oo^z,Jf — =" ?lm, (i = °. !> 2; ~L^M<L), F3)
^ц-'гЛГ ==~ Y К X ^ »*~Г 2 l|i2JfY 2ЛГ» V^l
Л2МЛ2Х—\— ' 4 M—N "T" О F 9 ° 2if2JV° u. "T" 9 F 4 u 2 Jf2JV "* 2A • V '
4. Функции от спиновых матриц
i . '
е"*' = -о- A + 2choO-f-sba<y,- + (cha — 1)Ф,-,» ('^а;, 2/> г, суммирование по i не производится), F7)
ch (aS4) = -g- A + 2 ch a) 1 + (ch a — 1) &„ F8)
Sh (a-S^) = Sh a ?{. F9)
*^+i T \ о t ^ /7П\
e*^!=-3-(l+2ch<iO + sh<ii!0 + |/'-|- (cha — 1) f20, G1)
e«*-i = / + ^ _|_ A_ f 22) G2)
Sh (я5+1) = aS+i, Sh (я50) = Sh aSv Sh (a<S_i) = a^.,, G3)
¦rl,,b^nf' G4>
4*

52
Гл. 2. ОПЕРАТОРЫ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
5. Операторы поворота системы координат
а. При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, спиновые функции
и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью оператора поворота В1 (а, р, у),
являющегося частным случаем выражения 1.4.C1):
а, В, 7)=
G5)
В представлении циклического базиса
Р. Т) =
sin В
—=Де~П
cos 8
1 —
. 14- cos В
G6)
Матричными элементами /^(а.р,?) в этом представлении являются D-функции Вигнера
?>W'(«. Р, Т) И- гл. 4).
В представлении декартового базиса
(cos В cos a cos 7 — sin a sin T —cos P cos a sin T — s^a a cos T sin P cos a \
cos В sin a cos 7 4- cos a sin 7 —cos В sin a sin 7 -f- cos a cos 7 sin p sin a 1 G7)
—sin В cos 7 sin В sin 7 cos 3 /
Матричными элементами Gx{ol, p, у) в этом представлении являются коэффициенты матрицы по-
поворота aik(cu. 1.4.6). Обратный поворот системы координат осуществляется с помощью матрицы
[fr (а, В, 7)]-1 = [^ (». В, Т)]+ = Л1 (-7, -Р. -«Ы>1 (я-а; Р, -«-«). G8)
б. При-повороте системы координат, характеризуемом направлением оси поворота п(9, Ф) и уг-
углом поворота ш, спиновые функции и спиновые матрицы в случае S = 1 преобразуются с помощью
оператора поворота О1^; в, Ф), являющегося частным случаем 1.4. C3):
tf1 (со; 0, Ф) = е-'шп>§. G9)
В представлении циклического базиса
'1 1
¦ cos со A 4- cos2 0) — г sin со cos 0 4- ~2
1 (со; 0, Ф) = I -j=- sine е'ф [(cos со — 1) cos 0 — i sin со]
-т=
P=- sin в е *ф [(cos со — 1) cos 0 — i sin со]
cos со sin2 0 4- cos2 0
у (cos со — l)sin2ee'2<1>
1
у (cos со — 1) sin2ee~'2*
— —т=- sin 0 е~{ф [(cos со — 1) cos в 4-1 sin w]
Ч
(80)
— —j=- sin в е*ф [(cos со — 1) cos 0 + i sin ш] у cos со A -J- cos2 0) -f- i sin a> cos в -f- у sin2 в /
В представлении декартового базиса
(A — COS со) sin2 0 COS2 Ф 4" COS со
A — cos со) sin2 в cos Ф sin Ф 4- sin со cos в
A — cos со) sin 0 cos 9 cos Ф — sin со sin 9 sin Ф
A — cos со) sin2 9 cos Ф sin Ф — sin со cos 0 (f — cos со) sin 0 cos 9 cos Ф -f- sin w sin 9 sin Ф
(f — cos <o) sin2 9 sin2 Ф 4-cos со A — cos со) sin 9 cos 9 sin Ф — sin со sin 9 cos Ф
A — cos со) sin в cos в sin Ф 4- sin со sin 9 cos Ф A — cos a>) cos2 в 4- cos w

2.6. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ СПИНА S=l 53
Обратное преобразование осуществляется с помощью матрицы
lO1^; 0, 4>)]-i = [ffi(a>; в, Ф)]+ = г71(-«; в, Ф) = г?1(а>; я-в, я + Ф). (82)
Разложение оператора поворота 01(&; в, Ф) по спиновым матрицам и поляризационным операто-
операторам имеет вид
г?1 (ш; 0, Ф) = -д- B cos <о -f 1) /— i sin ш(n-§) + (cos <o —1)^ п(пк${к (83)
(см. также 2.4. A7) и 2.4. A8)).
Углы <о, 9, Ф связаны с углами Эйлера а, |3, у по формулам 1.4 A6), 1.4. A7), причем
fr(a, р, 7) = Р1 К ®. •)• (84)
в. Действие оператора поворота .б1 (а, р, т) на спиновые матрицы дается формулами
S\ = Я» (а, р, f) ^ [Л1 («х, р, Т)] = 2 ««А. (85)
к
Q'ik = ,6' (а, 8, 1) Qik [Л» (а, р, 7)]-1 == ^ ву«*|<?у|. (86)
Л'
где а<Л. — матрица поворота (см. 1.4.6), (г, к, /, 1 = х, у, z)
^ (^. ^ = ±1> °) (87)
f i» = .S1 (a, P, if) f?jr [Л» (e, p, T)] = 2 DLM,M (a, p, f) f»?Jff (-L < M, M' < ?), (88)
где DLMM, (a, p, у) — ?>-функции Вигнера (см. гл. 4).
6. Вычисление шпуров от произведений спиновых матриц
Для декартовых компонент спиновых матриц St и Qile имеют место следующие соотношения
(г, к, I и т. д.=а;, у, z)\
= 0, Sp
f / 2
SP {У»'**?»»»} = ~2 yifikm + 8<m8A:Z ~ "
Sp {SiSuStS^ = 8,Л8,СТ + 8,.m8w.
Для циклических компонент оператора спина ?^ имеют место соотношения (fi, v, X и т. д. = +1, 0)
/1 1 1\ (90)
SP {VA> = - ^ ^ v J = H1I^ ^ C^v.
sP {S^SASfi = (-l)^ (VA-p + W'-x).
sp {^n, • • • ^ци} = °. ес^и i*i + ih + • • • +1*» ^ o. (91)
Вычисление шпура от произведения поляризационных опрраторов Tlm {L = 0, 1, 2;
производится по формулам 2.4. B1)—2.4. B4), в которых нужно положить 5 = 1.

Глава 3
НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ
1. Определение
В аппарате квантовой механики большую роль играют величины, называемые неприводимыми
тензорами, которые при повороте системы координат преобразуются так же, как собственные
функции оператора углового момента. Неприводимым тензором ранга J (J — целое или полу-
целое) называется величина 'Sflj, имеющая 2/+1 компонент ЭД.ш (где М = —/, —/-(-1,. . . /—1, /),
которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям с циклическими компонен-
компонентами оператора полного углового момента:
|Л» ЭДш] = + 7f e±iS U(J + l)-M(it±i) <3RJlt±v (t)
В компактной записи
[
Из этих соотношений следует
= eim \/J(J + l) C%$*0lJX+V. B)
C)
Величина 8 в A), определяющая относительные фазы различных компонент JJIjm, произвольна.
Положим ее равной нулю, т. е. e±i9=l, и выберем положительное значение квадратного корня
Линейные соотношения A) определяют компоненты неприводимого тензора '3Rjm с точностью до
произвольного скалярного множителя, общего для всех компонент, который может быть вещест-
вещественным или комплексным числом, функцией или оператором. Общую фазу компонент тензоров 'SRjm
в случае целого ранга / выбирают так, чтобы
Это совпадает с обычным выбором фаз у сферических функций (глава 5). Однако для квантовоме-
ханических[приложений иногда удобно переопределить неприводимые тензоры
$Rj = \iJc$lj. , E)
Тогда будет выполняться следующее соотношение
Выбор фазы F) применяется для тензоров как целого, так и полуцелого ранга /. Такой выбор
фазы для тензорных операторов и для волновых функций, описывающих начальное и конечное
состояние \а> и |Ь> приводит к следующему соотношению для матричных элементов эрмитовых
<zOlj=&lj операторов

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ 55
2. Ковариантные и контравариантные компоненты
Произвольный неприводимый тензор *ffij ранга / может быть разложен по полной системе
единичных ортонормированных неприводимых тензоров ejx ранга /
ef • eJ'M> = bJJ'bMX" (8)
Тензоры ejM могут быть сконструированы, например, из базисных спиновых функций. Разложение
тензора ISlj имеет вид
ж м
Величины ^DIjm являются ковариантными компонентами тензора 'zUlj, а величины <ffl*f — контра-
триантными компонентами». Они связаны следующими соотношениями
^=(^)*=:(-1)-жэл/-*>
3?(«)*Mf-*«
3. Преобразование неприводимых тензоров
при повороте системы координат
При повороте системы координат, определяемом углами Эйлера я, C, у, компоненты неприво-
неприводимого тензора t^SlJM и 'ЗЯ^ преобразуются линейно. Коэффициентами этого преобразования
являются D-функции Вигнера (гл. 4).
(a, p, 7)9И„»(Х)[Я(«, р, r-S^WDirl», Р. т).
A1)
Здесь Z и X' — совокупность всех аргументов тензора в исходной и повернутой системах коор-
^динат соответственно.
4. Преобразование неприводимых тензоров
при инверсии системы координат
Преобразование компонент неприводимого тензора при инверсии системы координат г -*• —г
позволяет в общем случае представить неприводимый тензор Sffij целого ранга / в виде суммы
двух тензоров, обладающих определенной четностью
A2)
Тензоры ЗК^*1' при инверсии системы координат преобразуются следующим образом:
A3)
Тензор 'Ш^ с четностью ^ = (—1)J называется истинным (или полярным) неприводимым тен-
тензором ранга /, а тензор ЭД^) с четностью «j- = (—1)/+1 — неприводимым псевдотензором (или
аксиальным тензором) ранга /. Соотношения A2) и A3) справедливы также для тензоров 'Wi.j.
5. Двойные тензоры
Двойным тензором Wjxj2 A,2) рангов 7Х и 7а называется величина, имеющая B/i-f-l) B7а + 1)
компонент WjtitijtMt A.2), зависящая от переменных, соответствующих двум подсистемам 1 и 2,
и удовлетворяющая следующим коммутационным соотношениям:

56 Гл. 3. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
[f±1 A), WJiMAM2 A,2)] = + ^=у'/1(/1 + 1)-Д/1(М1±1) WJvMaUiMj A,2),
[Л A), *V,jyA A>2)] = ^
[Лы B), ^Wa A.2)] = + ^ V/2(/2 + l)-r^2(/l/2±l) ^WA±1 A,2), A6)
[Л B), Ww^(i,2)-\ = MJVW^A,2). A7>
Здесь I A) и I B) — операторы полного момента количества движения подсистем 1 и 2 соот-
соответственно.
При повороте подсистемы 1 или 2 двойной тензор WjlXtrtxt(i,2) преобразуется по представ-
представлению D^ или DJi соответственно.
*W,*, t1'- 2) =-2 WJiXAltt A,2) Z)^ К, fa 7i).
ж,
', H. 2') = 2 * ^
6. Примеры неприводимых тензоров
Приведем некоторые примеры неприводимых тензоров, встречающихся в данной книге.
а. Операторы угловых моментов 1, L, S (гл. 2) являются неприводимыми тензорными опера-
операторами ранга 1.
б. Поляризационные операторы TLm(S) B.4) — неприводимые тензорные операторы ранга L.
в. Сферические функции Ylm (&, tp) (гл. 5) — неприводимые тензоры ранга I.
г. Спиновые функции частицы со спином S (гл. 6) — неприводимые тензоры ранга S.
д. Шаровые тензоры У^(&, tp) (гл. 7) — неприводимые тензоры ранга /.
Для всех упомянутых выше величин справедливы результаты, приведенные в этой главе.
7. Неприводимое тензорное произведение
Неприводимое тензорное произведение 2j ранга / двух неприводимых тензоров ЭД^ и 9^
рангов Jx и 7а определяется как величина, компоненты которой 2JM выражаются через компо-
компоненты tyftj M и 9^j- M по формуле
Неприводимое тензорное произведение обозначается следующим образом:
?</={9R/i®cRji}i,. B1)
Прямое произведение двух неприводимых тензоров *ffij и 9^ определяется как совокупность
B/х + l)B72-f-l) величин (fflJ м 9^ х. Оно приводимо, т. е. может быть разбито на части, кото-
которые при поворотах системы координат преобразуются независимо друг от л руга. Другими словами,
прямое произведение может быть представлено в виде суммы неприводимых тензоров 2JM.
'i ж- <22>
Существенно, что неприводимое тензорное произведение &JM удовлетворяет такому же соотноше-
соотношению F), что и сомножители <ЗЛ Т „ и 9{.„.
4 ' Jl^i J3M2
Это свойство является специфическим для тензоров типа <ЗУ1Г Тензорное произведение 2JM не удов-
удовлетворяет соотношению D), которому удовлетворяют сомножители QfljM и 9^/лг.

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ 57
Введем некоторые определения и обозначения, которые будут широко использоваться при рас-
рассмотрении произведений некоммутирующих тензорных операторов.
Коммутатор компонент двух неприводимых тензоров ^mjm определяется формулой
Коммутатор неприводимого тензорного произведения $$ffi дается формулой
Я$ ={ША® 91/.U- (-l)/rhW{91,,® ЭЛ/,W B5)
Величины &?^2 сами являются компонентами неприводимого тензора. Они имеют вид
Для коммутирующих тензоров
{9»,,® 91/,}«= (-l)/l+w{^,® 9R/,W- B7)
Для некоммутирующих тензоров
/4^ улг + *№. B8)
Отсюда видно, в частности, что неприводимое тензорное произведение ранга 7 тензора ($lJ самого
на себя равно нулю, если 7 = 2G — п) — 1 и компоненты тензора коммутируют, т. е.
{«ЭЛ,® <¦»?,}, = О, B9)
если 7 = 27 — 1, 27—3, ... и $%Jx = 0
8. Скалярное произведение неприводимых тензоров
Скалярное произведение двух неприводимых тензоров (zUlJ и 9^ одинакового ранга 7 опреде-
определяют следующим образом:
D31, • 9?Л = У,(—1)~МсЖ,мУ1т „ == Y, 9Лт9^== Y, <3KrM-9<J-f. C0)
M MM
Скалярное произведение двух неприводимых тензоров (ЙУ?/ и 9^^- определяется формулой
м Х ~Х м Ш Х м
Заметим, что .
(ЭД, • 9^j) = (—1 )~J(§fcj • Vlj). C2)
Скалярное произведение лишь множителем отличается от неприводимого произведения равга 0,
которое имеет вид
Связь между скалярным и тензорным произведениями ранга 0 дается формулами
Скалярное произведение двойных тензоров имеет вид
<Й>/Л A.2) • &ад A,2)) = 2 (-1)А~М1+^~М^АМЛм2 A.2) ^.-jr^jr, A-2). C6)
i!f jtf

58 Гл. 3. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
3.2. СВЯЗЬ АППАРАТА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ
С ВЕКТОРАМИ И ТЕНЗОРАМИ
1. Векторы и неприводимые тензоры
Произвольный вектор А является неприводимым тензором первого ранга. Его циклические
компоненты можно рассматривать как компоненты неприводимого тензора Ах ранга I, для которого
выполняется соотношение А\ = (—1)^Аг .
А1п_~А^, А1» = А». A)
Полярный вектор — истинный тензор I ранга, при инверсии системы координат его компоненты
меняют знак. Аксиальный вектор является псевдотензором I ранга, при инверсии системы коор-
координат его компоненты не меняют знак.
Из двух векторов А = Аг и В = Вх можно организовать три неприводимых тензорных произ-
произведения рангов 0, 1, 2:
Если один из векторов А и В полярный, а др,угой аксиальный, то {А^В^д,,— псевдоскаляр,
(Ах ® Bi}. — полярный вектор, {Ai ® В1}2 псевдотензор второго ранга. Если же А и В — оба
полярные или аксиальные векторы, то {А1®В1}00 — скаляр, {Ах 0 Bj}.^ — аксиальный вектор,
{Ai ® Bj}2 — истинный тензор второго ранга.
а. Неприводимое тензорное произведение ранга 0 отличается от скалярного произведения век-
векторов А и В численным множителем
{AjIgB^^-1-— (А. В). B)
Скалярное произведение неприводимых тензоров Ах и Blt введенное в 3.1.8, совпадает со скаляр-
скалярным произведением векторов
(А1.В1) = (А.В). C)
; б. Неприводимое тензорное произведение ранга 1 выражается через векторное произведение
векторов А и В:
{А1®В1}1 = -^[АХВ]. D)
Компоненты тензорного произведения ранга 1 выражаются через циклические компоненты векто-
векторов А и В по формуле
,^ [АХ В]„ =
2
в. Компоненты тензорного произведения ранга 2 связаны с циклическими компонентами век-
векторов А и В следующим образом:
|JL, V
В развернутой записи соотношения F) имеют вид
х}2+1 = ^= (А+1В0 + 40В+1),
=—. (А+1В.г + 2А0В0 + А.ф^), G)
} (АВ + AB)

3.2. СВЯЗЬ АППАРАТА НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРОВ С ВЕКТОРАМИ И ТЕНЗОРАМИ 59
Из трех коммутирующих векторов Ах, В1? d можно построить следующие неприводимые тензор-
тензорные произведения рангов 0 и 1:
(8)
(9)
A0)
A1)
Кроме того, возможны произведения, отличающиеся от (8)—(И) схемой связи векторов. Вопросы,
относящиеся к изменению схемы связи в тензорных произведениях рассмотрены ниже (см. 3.3).
Из четырех коммутирующих векторов Ац В1( Сх и JI можно построить следующие неприводи-
неприводимые тензорные произведения рангов 0 и 1.
{{A1(g)B1}0(g){C1(g)D1}0}0 = -o-(A. B)(D-C), A2)
}1 ® {d ® Djjo), = _ -i= [A X В] (С • D), A3)
1}1
=
В1}0 ® {С, ® BjJt = - j= (A • В) [С X D], A4)
{{А, ® BJ, ® {С, ® DjjOo = ^7§ ((А ¦ С) (В • D) - (А • D) (В . С)}, A5)
D]— yB(D-[AXC])-yA(D.[BXC])}, A7)
B]—yC(B.[DXA])—4-»(B-[CXA])J, A8)
= ^{y(A.C)(B. D) — y(A.B)(C- D)+'y (A • D) (B • C)} , A9)
{(A • C) [BX D] + (A • D) [BXC] + (B . C) [AX D] + (B • D) [AXC]}. B0)
Изменение схем связи в произведениях четырех неприводимых тензоров рассмотрены ниже (см. 3.3).
Произведения, составленные из компонент одного и того же вектора обладают следующим
свойством:
я={А1®...{А1®{А1®А1}/1},!1...}гя. B1)
Если вектор Ах не содержит спиновых переменных и дифференциальных операторов, то такие
произведения можно выразить через сферические функции (гл. 5)
! А \-У,ятя(Ь, ?)П
»=2
где &, f — сферические углы вектора А, ^ = 1. В частности, если Z2 = 2, Z3 = 3, ...1„ = п, то
... {{Аг ® А,}2 ® А,}.... ® Ад}ят = К(а>4+1) 11 'А'" У-(9> ?)' B3)
2. Декартовы тензоры второго и третьего ранга
Произвольный декартов тензор второго ранга ТAс, (г, к = х, у, z) является, вообще говоря,
приводимым и может быть представлен в виде суммы трех неприводимых членов:
а) тензора, пропорционального единичному Eik—Ebilc;

60 Гл. 3. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
б) антисимметричного тензора Aik =—Aki;
в) симметричного тензора со следом, равным нулю, Sik = Slci, ^
' B4)
B5)
B6)
B7)
Величина Е инвариантна относительно поворотов системы координат. Она является неприводимым
тензором нулевого ранга
<По = #- B8)
Антисимметричный тензор А.к эквивалентен аксиальному вектору cdv
kl
Из компонент тензора Aik можно построить неприводимый псевдотензор первого ранга
<*Г1О = *Я=*АЯ,, C0)
<*Ч» = + Tf «* ± Шу) = + 71(Л^ * iA**]-
Из компонент симметричного тензора Sik со следом, равным нулю, можно построить неприводимый
тензор второго ранга
Г ,j
^±1 = + У -J (Ягх ± iS2U), C1)
Таким образом, из 9 компонент тензора Tik можно построить один тензор нулевого ранга (одна
компонента), один псевдотензор первого ранга (три компоненты) и один неприводимый тензор
второго ранга (пять компонент).
Из двадцати семи компонент тензора третьего ранга Tikl можно построить один псевдотензор
нулевого ранга оГ00 (одна компонента), три тензора первого ранга оГ^ (всего девять компонент),
два неприводимых тензора второго ранга аГ2 (всего десять компонент) и один неприводимый тензор
третьего ранга dfV (семь компонент), причем построение неприводимых тензоров первого и второго
рангов неоднозначно.
3. Запись дифференциальных операций в
виде неприводимых тензорных произведений
Дифференциальные операции над скалярами и векторами и векторами (см. 1.3.) могут быть
записаны в виде неприводимых тензорных произведений оператора у и соответствующего скаляра
или вектора
C2)
= -v'3jV1(g)A1}0, C3)
= -tv'2{V1<g>A1}1) C4)
. C5)
= -V3{V1<g){V1<g)A1}0}1, C6)
l, C7)
1<8>У1}0Ф, C8)
rot grad Ф = —i V2 {Vj <g) {Vj <g) Ф}1}1 = 0, C9)
divrotA=iV/6{V1®{V1(g)A]}]}0 = 0. D0)

3.3. ИЗМЕНЕНИЕ СХЕМЫ СВЯЗИ В НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ 61
Оператор V (см. 1.3.1.) может быть представлен в виде
V=n|:—у [пхЬ], D1)
а его циклические компоненты в виде
Здесь Yx — неприводимый тензор, компонентами которого являются сферические функции Y1 (n)
(гл. 5), а ?^ = ?1 — оператор орбитального момента (см. 2.2).
При разложении в ряд Тейлора скалярной функции Ф(г) возникают сколь угодно большие
степени оператора V.
Ф (г + 8г) = е Eг-V) Ф (г) = Ф (г) + (8г ¦ V) Ф (г) + 2J (8г • YJ Ф (г) + ... =
j
= Ф (г) + Ьг (и • V) Ф (г) + jy (8гJ (и • VJ Ф (г) 4- .... D3)
Здесь и = уг—г, a (u-V)=-^—оператор дифференцирования по направлению и (см. 1.3). Вели-
d"
чины (и • V)bss-j-j можно записать в виде тензорных произведений
(u.V)"-(-l)" 2 (-!)'" ({•••{{u1®u1}/2®u1},3...®u1},B.{...{{V1®V1};2®V1};3...®V1}/J. D4)
h> '31 ... ln
Входящие сюда многократные тензорные произведения орта и могут быть выражены через сфери-
сферические функции по формулам B2), B3).
3.3. ИЗМЕНЕНИЕ СХЕМЫ СВЯЗИ
В НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ
Неприводимое тензорное произведение двух неприводимых тензоров определено в 3.1.7. С по-
помощью тех же соотношений можно построить и неприводимое произведение трех и более неприво-
неприводимых тензоров. Однако при этом возможны различные последовательности и различные схемы
связи перемножаемых тензоров.
Изменение схемы связи тензоров без изменения их последовательности осуществляется ве-
вещественной (при выбранном здесь определении коэффициентов векторного сложения) и ортого-
ортогональной матрицей, которая осуществляет прямое и обратное преобразование. При изменении по-
последовательности тензоров необходимо учитывать правила коммутации 3.1. B4)—3.1.B8). В фор-
формулах приведенных ниже используется обозначение
2
h
1. Соотношения, общие для коммутирующих
и некоммутирующих тензоров
Изменение схемы связи тензоров без изменения их последовательности в неприводимых тен-
тензорных произведениях трех и четырех тензоров
B)
{Pa ® {Q6 ® (Rrf ® S.}/}a}*, C)

62 Гл. 3. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРЫ
({Ра ® <Ы* • (Rrf ® S,},,) =Ь1^!!1И? ({{Рй 0 qb)c 0 Rrfb . Se) = (-!)-"+«^ (Pe • {Q6 ® (Rrf ® S,},}.), D)
.},},}*, E)
_е+йп_в
a i
Соотношения, приведенные в этом пункте, применимы как в случае произведений коммутирую-
коммутирующих, так и в случае произведений некоммутирующих тензоров.
2. Соотношения для коммутирующих тензоров
Изменение схемы связи в неприводимых произведениях трех и четырех коммутирующих между
собой тензоров:
"а/в ==
(8)
¦}»). (9)
?а ® {{R<z ® Se}/ <S> Qi}*}* = (—1)а+*-* {{Q6 ® (Rrf (g) Se]
{S« ® Rd}/}*®xp<i}fc = (-l)«+»+<*+«-* (((Q, ® R^^
Q»}A®Pa)fc. A0)
fa b c)
A1)
A2)
A3)
J
IT fa b c\
Все остальные перестановки можно получить, используя соотношение 3.1. B7) и соотношения (И)
и A4). Произведение (Pe®Q6}4 ортогонально тензору Qj при а = 26 — 1,26 — 2, ...
Qi)=0. A5)
3. Соотнощения для некоммутирующих тензоров
Изменение схемы связи в неприводимых тензорных произведениях трех и четырех некоммути-
некоммутирующих между собой тензоров (определение коммутатора дано в 3. 1.B6))
{/ d l}{Q»®{Pa®Rrfb}/ + {^J®Rd}/, A6)
h
<{P« ® %)o ' H,) == (-0-Щ (Q» • (P« ® H.}»> + («S* • H,), A7)
A8)

3.3. ИЗМЕНЕНИЕ СХЕМЫ СВЯЗИ В НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ 63
(Р. • {Qb ® ИЛ) = (-IJ6"' щ (Q* • <р« ® R<*M + (-i)"^ щ (*3* ¦ в*). A9)
«г
2
hq
{ }K
я
ft e
/-»ne4J/ {" j;}g; fq} {pa ® {лм ® Sebb, B0)
({Pa ® Ъ)с 2 '
6 g}{P«®{^®Se}A},, B2)
(_1)e+i+W» __ |d e «I (Pe . {Rd 0 {Q6 0 Se}g}a)
Другие соотношения для некоммутирующих тензоров можно получить, используя вышеприведен-
вышеприведенные формулы.

Глава 4
Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. D-функции Вигнера DJMX, (a, C, т) определяются как матричные элементы оператора пово-
поворота 3 (а, C, т) в JM-представлении
OM\6(a,^,-<)\J'M'} = bjjrDJMM,(a, ?, Т). A)
При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, т, ковариантные компо-
компоненты неприводимого тензора ранга /, в частности волновые функции t|v# системы с определенным
угловым моментом / и проекцией М, преобразуются с помощью D-функций по формулам
«
где Ь, tp — совокупность сферических углов в исходной системе координат S, а У, <р' в повернутой
системе 5'. Углы &, <р и &', <р' связаны между собой соотношениями 1.4 B) и 1.4. C). Аналогично
а и о' — совокупность спиновых переменных в исходной и новой системах координат соответ-
соответственно.
Обратное преобразование S'-*S осуществляется обратной матрицей [D(a, |3, "()УЖХ„ для ко-
которой в силу унитарности оператора поворота
?-!(*, р, 7) =?+(*, р, Т) C)
справедливо следующее соотношение:
[^-'(я, P. T)li*» = 0?,(«, 8. т). D)
Преобразование волновых функций при обратном повороте S1 -»• 5 имеет вид
Условие унитарности для /)-функций Вигнера можно записать в виде
Я'—-J
Матрица DJXX, (а, р, у) является унимодулярной
detlj^ij,, (в, р, Y)|| = +l. G)

4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
65
2. Совокупность 2J -{-1 функций fjjf представляет собой базис, по которому можно разложить
произвольную функцию с определенным моментом /:
J
(с,.
(8)
Коэффициенты Cf являются контравариантными компонентами неприводимого тензора ранга / и
преобразуются с помощью функций 1У^,а(а, р, у). Действие оператора 6 {л, р, т) на Ф/(д, <р) можно
рассматривать либо как изменение базисных функций, обусловленное поворотом системы коорди-
координат, либо как обратный поворот физической системы (табл. 4. 1) при неизменных базисных функциях
j / j
M=-J \X'=-J
j i J
= V I V D{r,v(a, В, -г) Cf I .*•,„,(&, <p) = (C'r. 4«r(a, <?)). (9)
Волновая функция 1"/ инвариантна по отношению к двум совместным операциям — повороту
физической системы и такому же повороту системы координат
= 1,
ТАБЛИЦА 4.)
так что
Операция
Поворот системы координат при
неподвижной физической системе
Поворот физической системы при
фиксированных координатных
осях
Последовательность
поворотов, углы а
оси вращения
I
a(z)
-а (г)
-г(*)
II
-Hvi)
ш
7(«')
а (г)
т(«)
(И)
D-функции Вигнера являются комплексными
функциями [трех -вещественных аргументов
а, р, Y. заданных в области
0 < о < 2л, 0 < Р «S л, 0 < 7 < 2л- A2)
Они однозначны, ограничены и непрерывны вместе со всеми своими производными.
В ряде случаев'удобно изменить или расширить область определения аргументов ?)-функции.
Это можно сделать с помощью свойств симметрии (см. 4.4). Например, для матрицы обратного пре-
преобразования S' -> S справедливо соотношение
-1 (а,
(—г, -р, -а).
A3)
Это соответствует тому, что обратное преобразование системы координат S' ~> S может быть по-
получено как посредством поворота, характеризуемого углами Эйлера
«'—*-7, р'=р, 7' = -* -«, A4)
так и с помощью поворота, характеризуемого углами Эйлера
«' = -1. Р' = -Р. т' = -«. A5)
Преобразование волновых функций B), осуществляемое с помощью DJMM, (а, р, т) можно ин-
интерпретировать четырьмя различными способами (табл. 4.1.). Это обусловлено следующими об-
обстоятельствами. Во-первых, в силу A1), .D-функции Вигнера описывают как поворот системы коор-
координат, так и поворот физической системы. Во-вторых, как отмечено в 1.4, поворот, характеризуе-
характеризуемый углами а, C, т> можно осуществить двумя различными способами: либо вращением относи-
относительно исходных координатных осей AЛ.(А)), либо вращением относительно повернутых
осей A.4. (В)) (см. стр. 20—21).
4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ 1/хм, («, 0, т) И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
1. DJMJl,(а, р, у) являются собственными функциями трех операторов, определяющих трехмер-
трехмерное вращение:
5 Д. А. Варшалович и др.

66 Гл. 4. D-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Эти операторы можно рассматривать как операторы углового момента симметричного волчка. Опе-
Оператор Iг, определяет проекцию углового момента на ось z' вращающейся системы, а ]г — на ось z
неподвижной системы.
г (»• Р. Т) = ~м'°мм- К Р. "Г). B)
1 д/ д\ . Л/2 — 2ММ' cosb + M'2
iEJ-^(Sin^J + sin'p
Граничные условия
Oijf'(a±2b:. P. 7) = Джж<(а. I3' 7).
^ijr, К Р. 7 ± 2&тс) = °Jmm' (а> ?' Т). C)
flijr'-K Р ± 2Ая> Т) = DJMM, (а, р, Т),
где
А = 0, 1, 2, 3, ... при /—целом,
к = 0, 2, 4, 6,... при 7—полуцелом.
2. Функции DJMM,(ct, [3, 7) также можно определить следующими дифференциальными урав-
уравнениями:
I=Aaijp(«. Р. т) = (-i)l+v v/ (/ +1) с^-;_.Х
—MDJj,M, (a, p, 7), v = 0,
E)
Величины /v являются ковариантными циклическими компонентами оператора углового момента f,
определенными в неподвижной системе координат S:
F)
Величины Jn являются контравариантными компонентами оператора углового момента, определен-
определенными во вращающейся системе координат S', связанной с волчком.
Оператор квадрата углового момента f2 выражается через /v и Jn по формулам
f'* + Wo - /'+'/'-' = j\ (Jo + 1) _ 2f_J+1 =
1) _ 2/+1Лх = /'° (i'° + 1) - 2J'^J'~K (8)

4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 67
Компоненты /v и JIV~ связаны соотношениями
'f'*(a, 8, 7) = 2^(а' Р- ^)^(а' Р. !)•
* (9)
/'>, р, Т)»_Д(_Т, -р, _«), /"(в, р, 7) = Л,Сь Р. «)•
Коммутационные соотношения для циклических компонент / „ и /» имеют вид
[J^, Jv] = —v2 С!^),/^,,
[^, ./'4=0,
где
Jl, V = l, 0, —1.
Коммутационные соотношения для декартовых компонент J имеют вид
К»! ¦* ft] ='eift!-' Ji
[¦'«' "'fcl = isikl*l< M2)
[Л, Л] = о,
где
i, к, 1-х, у, z.
Связь I и I' с орбитальным моментом L:
при a = <f, р = Ь, х==0
/У(У. ». 0)=Z,(», Т). где v = +l, 0, -1,
Л (У. », 0)=Z,-(8. Т). где « = *, у, г, ( '
при а = 0, Р = &, Т = <р
i'v(o, 8, Т)-=?"(», у), где v = +l, 0, -1,
f't@, 9, т) = ?И». Т). гДе ' = *. У- г-
3. Дифференциальные уравнения B) определяют .D-функции Вигнера с точностью до произ-
произвольного нормировочного и фазового множителя. Для диагональных элементов матрицы поворота
DJUJl, этот множитель можно определить с помощью естественного условия
Джж'(°. °. °)=8жж'. A5)
После этого нормировочные и фазовые множители у недиагональных элементов определяются
с помощью дифференциальных соотношений D) и E), связывающих между собой .D-функции с pas-
личными индексами М, М'. Заметим, что при таком выборе фаз имеет место соотношение
DJMM,@, *, 0) = (-1)/+ЛГ8ж_л,,. A6)
4. Разные авторы используют в качестве матрицы поворота разные функции. Это связано
с различным подходом к следующим вопросам:
1) используется правая или левая система координат;
2) поворачивается ли координатная система при неподвижной физической системе или на-
наоборот;
3) вокруг каких осей производятся повороты, в каких последовательности и направлении от-
считываются углы а, |3, у;
4) рассматривается матрица преобразования ковариантных или контравариантных компонент*
5) выражаются ли с помощью матрицы поворота неприводимые тензоры в повернутой системе
координат через неприводимые тензоры в исходной системе или наоборот;
6) как выбирается относительная фаза недиагональных матричных элементов в соотноше-
соотношениях D), E).
.D-функции, рассматриваемые в данной книге, совпадают с ?>-функциями, используемыми,
например, Эдмондсом [64], Роузом [30], Ньютоном [28] и др. Связь Ь-функций с аналогичными
функциями других авторов указана ниже в табл. 4.2.
5*

68 Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
4.3. ЯВНЫЙ ВИД D-ФУНКЦИЙ ВИГНЕРА
Функции DJMK, (а, |3, у) представляются в виде произведения трех сомножителей, каждый из
которых, зависит только от одного угла Эйлера:
DJMU> (я> Р» Т) =- «-**»«?*, (Р) е~ш'\ A)
где йях, (Р) — вещественные функции, явный вид которых приведен ниже.
1. Выражения dJUM, ф) в виде конечных тригонометрических сумм
2
к | (/ — М — к) ! (/ — М' — к) ! (М + М' + к) !'
к
(P)=- (~i)J+X W +M)l[J-M)l[J +M')! (/ -M')
' k\(J -\-M —k)\(J +M' —к)\[к — М — М')\
к
til- (?) = Ш +М) ! (/ — М) ! (/ + Л/')! (/ — М') I]'/' X
2 (cos -о") (sin-^-)
У~г' ft I (/ +M—k)l(J — M' —k)\(M' —M + k)l
к
nu, (P) = (—1)*-*'
/ 6 \2J-2k-3t+M' I ft \2к+Я-М'
r,,., VCOSTJ (Sin-2J
xZi(
k\(J ~M—k)l(J + M'—k)\(M—M'+k)\" <5)
к
В формулах B)—E) суммирование производится по всем целым неотрицательным значениям к, при
которых под знаком факториала стоят неотрицательные числа. Каждая из этих сумм содержит
iV-j-1 членов, где N — наименьшее из чисел J -\-М, I — М, J -\-M', J — М'. Формулы B)—E)
не являются независимыми и сводятся одна к другой заменой индекса суммирования. Сравнение
этих формул между собой позволяет выяснить свойства симметрии функций dJMjr, ф) (см. 4.4.1.).
Формулы B)—E) являются частными случаями более общей формулы
/ \/ 3 V
N/ XT! 1COST/ (Sin7
(ml-lrmt=M)
где Ix — /2 = Af', | /x — /21 ^ I ^ ^"i ~b ^2» в остальном /х и /2 произвольны. Суммирование в F)
проводится по всем значениям тх и т2 целым или полуцелым, положительным или отрицательным,
при которых коэффициенты Клебша-Гордана отличны от нуля. В частности, формула B) получается
из F) при
^+^г / (/Л/') Л/

4.3. ЯВНЫЙ ВИД Д-ФУНКЦИЙ ВИГНЕРА 69
2. Выражения dJMMi ф) в виде производных
i-cos$) 2 A+cos?) ~Х
Х(.соГ^ [A ~ C°S ^~"A + C°S ^+*'J' G)
if— ул f JW4- jw '
(P) = (-^Mjr[ (i + M)[ {(j+m'] 1 (/ - лп i Г (* -cos P)"(»+cos W" X
X (d cog p)J+Jf [A ~ cos p)J+if' A + cos &-«'], (8)
. (?) - (-1)^Ж' ^[(Г+^У-^Ц^г),]' A " cos pi"»- A + cos W~7- X
l
X (d cl р)у-ж/ [A ~ C°S P)^ A + C°S ?
Ш'-М М+М'
f>fa - cos p)J+Jf A + cos p)'-*]. A0)
(dcosf
При конкретных вычислениях удобнее пользоваться той из формул G)—A0), в которой степень
производной наименьшая.
3. Интегральные представления dJMM, ф)
X He* 2 cosy + ie ' 2 sin у I ( e * 2 cos у + ie* 2 sin у j e'^dy. A1)
Формула A1) может быть записана в виде контурного интеграла
d»' (Р) = —2T-L(/ + ^ I (/ - М') 1J HZC0S2 + isinTJ (" sin T+cosy)
lli
^. A2)
Контур интегрирования по z в A2) представляет собой окружность единичного радиуса с центром
в начале координат.
4. Связь dJMMi (p) с полиномами Якоби
Функции dJMM, (P) выражаются через полиномы Якоби Р<&- *' по формуле
где индексы полиномов Якоби s, p, v связаны с 7, М, М1 соотношениями
A4)
Величина \wlt' определяется формулой
1 при М'
(—\)м'~м при М'

70 Гл. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
5. Выражения dM№ (р) через гипергеометрические функции
%жж> Г (s + Р> + v) ! (s + u) ! ТА / 8 \р-/ SV /
^i' Г (s + Iх 4-v)! (s + Iх) П1/г / PW PV
г (P) = — L « 1 (« + v) I J (Sin TJ (COS TJ
V(s + u. + v) ! (s + v) 17/,/ B\iw fly / B\
L ^ J (sinTj (cost) F{-s> * + ^ + v+1; v + 1; cos*!), A8)
' (P) = 71 L ,ц, + ^I J (sin i) (cos y) F (, + v + i. -»- w v + i; cos^ |), A9)
% + ^ + v) ! (s-\-u.) 17/,/ SNP-/ S\2s+v
«i(*+v)i J (sinTj (cost)
r (—1)*^jrjr'r(s+!J' + v) ! (s + v) [7/,/ SWf/ By / B\
<ж/ (P) = —71 L sT{s + l)J J (sin t) (cos iJV'—K' + i: -ctg» f), Bi)
/ 1 \
F^.,-.-r.-2.-t-T.—^. B2)
B\28+v / 1 \
-5-1 Fl — s, — s — v; — 2s — a — v; — ц-I • B3)
sin-S-l (cos
Входящие сюда величины s, [x, v и Ежж» даются формулами A4) и A5).
4.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
1. Из явного вида функций dJMM, ф) (см. 4.3. B)—4.3. E)) следует, что они вещественные и удов-
удовлетворяют соотношениям
dJMM' (?) = (-1)Ж~Ж'<*-Ж-ж, (?) = (-if~M' dJM,a (В) = dJ_M,_M (В),
*кж> HP) = (-1)Ж"Ж' <ж' (Р) = <-ж 0).
4ж^ (« - Р) = (~i)J-M' dim. (?) = (-if+M^M, C), A)
> n — целое.
*жж> (P ± B" +!)«) = (-1)* B'm) JM' P) I
2. Из A) получаются следующие свойства симметрии функций DJMM, (a, P, f):
^*Я' (я' Р. 7) = ^_ж-я' К Р. Т) =^H'(J. Р. Т) = еД_*ж_ж< (я- Р. Т) =
= ?Яж'жСь Р- a) =4^jr,_jr(T, р, a) =«4Z>lf'jrG. P. *) =0?V,-jrG. Р. *) =
= Е°жж'(а. -Р. 7) = ^_ж_лг' (я. "Р. Т) = «|0j?jr'(«. -Р. ?) =^-*ж-ж'(я. ~Р. Т) =
= ДЖ'ж(Т, -Р, «) =в^ж,_жG, -8, a) =i]Z)i*jrG, -3, а) = tDJJu,_M (Ь -3, а) =
= е<°-ж-Ж' (-я- Р. -Т) =40ijr.(-«, Р. -Т) =ечО^-*'(-*. Р. -Т) =0j?jr,(-e, P. -7) =
= Д-Ж'-ж(-Т. Р, -») =^^,ж(—г, 8, -а) = чОЗг-* (-7. Р» -а) = гй1Г'Ж (~7. Р. -а) =
= DJ_M_M,(~a, -В, -Т) = ^]<ж'(-«. -P. -T) = 1^V_jr,(-». -Р. -Т) = ^жж'(-Я. -Р. -7) =
= ?Д-Ж'-ж (-Т. -Р. -а) = I^i'jr (~7. -Р. -«) = е^-*лг'-ж (-7, -Р, -«) = О^, (~7. ~Р. -«). B)
где
е = (-1)ж'-ж, rj = e-*2Jf«-.-2Jf'T- C)
Свойства периодичности ^^ж, (а, Р, у) по аргументам (а, р, у) имеют вид (д — целое)
я?-ж'К Р±2я«. 7) = (-1Jв/^жж'(а. Р. 7).
DJmm' (а- Р ± B" + 1) *. 7) = (-1)* Bя+1) ¦'-*' ^ж_ж' (». % -7).

4.5. МАТРИЦА ПОВОРОТА В (<о, 0, Ф)-ПРЕДСТАВЛЕНИИ 71
Dkm' (« ± ™> P. Tf) = (-i)±2"M DJMM, (a, р, 7), D)
DXK,{*, Р, T±n«) = (-i)**n*'DMX,(a, p, Y).
Отметим также следующее свойство:
DJmw E, Р, 7) = в"" ^ <if- («, P. f) в""'(М)- E)
Некоторые свойства симметрии функций DJMM, могут быть получены как следствие формулы сло-
сложения поворотов (см. 1.4.7). Рассмотрим примеры.
а. Переход от матрицы преобразования S {х, у, z}-^>-S!{x', у', z'} к матрице преобразования
S {х, у, z} -> S1 {х1, —у', —z1} эквивалентен замене углов Эйлера (а, |3, у) на (а-j-я, я —13, —у)>
а с другой стороны, сводится к дополнительному повороту Rx, вокруг оси х' на угол —я. Поэтому
= i-l)JDK_x,{a, p, 7)- F)
б. Переход от матрицы преобразования 5' {х, у, z) -*¦ S! {х', у', z'} к матрице преобразования
S {х, у, z}-*S' {—х', у', —z'} эквивалентен замене углов Эйлера (a, J3, у) на (а — я, я — j3, п — у),
а с другой стороны, сводится к дополнительному повороту Ry> вокруг оси у1 на угол —я. Следо-
Следовательно,
М"
= (-l)J+*'Dx_x,(a, p, 7). G)
в. Переход от матрицы преобразования S {х, у, z}^>S'{x', у', z1} к матрице преобразования
S {х, у, z) —*¦ S1 {—х1, —у1, z1) эквивалентен замене углов Эйлера (а, [3, у) на (а, C, у — п), ас дру-
другой стороны, сводится к дополнительному повороту Rjgr вокруг оси z1 на угол —я. Отсюда
М"
Отметим, что Ё.„'Йугйх> = 1.
4.5. МАТРИЦА ПОВОРОТА В (со, в, Ф)-ПРЕДСТАВЛЕНИИ
1. Определение
В ряде случаев поворот системы координат удобнее описывать не углами Эйлера а, |3, Yi а Уг"
лами ш, в, Ф, характеризующими направление оси поворота п (в, Ф) и величину самого поворота
(см. 1.4.). Матричные элементы оператора поворота в переменных ш, 9, Ф будем обозначать
ияя,р»; 9, Ф):
ияя, (со; в, 9) = <ш[е-'т'* \ JM'}. A)
При повороте системы координат, задаваемом углами «, в, Ф, компоненты неприводимого тензора
ранга / преобразуются с помощью UJUM, по формуле
WJM, (9', у') = ^ Зйлг (», р) иях, (со; в, Ф). B)
м
В (<о, в, Ф)-представлении углы 0, <р и &', «р', характеризующие произвольное направление в исход-
исходной и повернутой системах координат соответственно, связаны соотношениями 1.4 E), 1.4 F).
2. Явный вид функции Uxxi (ш, в, Ф)
а. Произвольный поворот, характеризуемый углами ш, в, Ф, можно представить как резуль-
результат трех последовательных поворотов.
1. Поворот, при котором ось z совмещается с направлением п (в, Ф). Этому повороту соответ-
соответствуют углы Эйлера а=Ф, |3=в, у=—Ф.

72 Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
2. Поворот вокруг направления п (в, Ф) на угол «, которому соответствуют углы Эйлера
в=ш, р=0, т=0.
3. Поворот R (Ф, —©, —Ф), обратный первому повороту, описывается углами а=0, C=—©,
Т=—-Ф-
Это позволяет связать функции UJMM, (со; в, Ф) с D-функциями Вигнера:
UJXM,{»; в, Ф) = У.О'ШМ„(Ф, в, -Ф)е-{К'вЧ}ЯшЯ, (Ф, -в, -Ф). C)
С помощью C) можно найти явный вид функций UJMM, (со; G, Ф) при конкретных значениях /.
б. Функции UMM, (со; 9, Ф) можно также построить непосредственно из элементов матрицы
UlJjM, с помощью соотношения 4.6. A0), если воспользоваться связью параметров Кэли—Клейна a, b
с углами со, 9, Ф (см. 1.4.B6)). При этом получаем
Uмм- ("I 9> ф) =
V >'
при М + М' ^ 0,
D)
,,-2\S
\(s-M — M')\(J+M
8
при М + М'<0,
где использованы следующие обозначения:
(О (л) (л)'
у = sm ~2 sin в, u = cos у — i sin -^ cos в. (о)
Сумма распространяется на все целые положительные значения s, при которых выражения,
стоящие под знаком факториала, неотрицательны.
в. Вид функций UJMM, (ш; 9, Ф) можно найти также, производя замену переменных в ^-функ-
^-функции Вигнера. При этом нужно учесть соотношения 1.4.A6), 1.4.A7), связывающие углы ш, 9, Ф
с углами Эйлера a, J3, у. Замена переменных приводит к следующему выражению для UJxa, (со; в, Ф):
(м . М+М'
1 — i tg -л- cos в \
г? <мЛЪ- F)
Функция dJMM, (?) определена в 4.3, угол ? дается соотношением
sin -g- = sin -тг sin в. G)
г. Функцию UJMM, (со; 9, Ф) можно разложить по сферическим функциям углов 9 и Ф. Такое
разложение имеет вид
ияя, (И; в, Ф) = 2 (-*)" 57TI
где функции х{ ((В) — обобщенные характеры порядка X неприводимого представления ранга 7. Яв-
Явный вид и свойства этих функций даны в 4.15.
Из формулы (8), видно, что вся зависимость элементов матрицы UMM,(m; 9, Ф) от индексов
М и М' определяется коэффициентами Клебша-Гордана.
3. Дифференциальное уравнение
Функции UJMM, (со; в, Ф) являются собственными функциями трех операторов 7г, 7^ и J2, со-
соответствующими собственным значениям —М, —М' и 7 G -j" !)• Эти операторы в переменных шг
в, Ф имеют вид

4.5. МАТРИЦА ПОВОРОТА В (со, 0, Ф)-ПРЕДСТАВЛЕНИИ 73
Г д I1 ш . д 1 д 1
e=-i [cos в-^ - y^ctg-y sm в ж + у • ^J, (9)
; i[6te
T^J A0)
ln2
L 4sin22" j
Таким образом, функции UJMM, (со; 9, Ф) являются решениями дифференциального уравнения II
порядка
[J2 _ / (/ + 1)] U>MM, (ш; 0, Ф) =0 A2)
с граничными условиями
мм' - мм', Aз)
= жи**'<ш; в> ф)
= 0.
4. Ортогональность и полнота
Совокупность функций UJMM,(u>; 9, Ф) при всех 7, целых и полуцелых, образует полную си-
систему ортогональных функций трех переменных ш; 9, Ф, заданных в области
0<6<тг, 0<Ф<2тг, 0<(о<2тг, A4)
объем которой равен 16п2.
а. Условие ортогональности и нормировки
4 J dc sin- f J dO sin О \йФи%я.(«; В, Ф) U% ,(»; в, Ф)»^^,»^,^^. A5)
0 0 0
0 0 0
б. Условие полноты
„q
4 sin в sin2 у
5. Свойства ?/?*¦ (ю.в.Ф)
а. Матрица обратного преобразования
[?/-' (»; в, Ф)]^, = ?/^, (_И; в, Ф) = ?/^ж, (»; тг - в, тг + Ф). A7)
б. Комплексное сопряжение
и ?*' (и; е- ф) = ^ifif (<¦>: « - в. « + ф) = Pi** (-«; в, Ф). (is)
в. Изменение знака аргументов (четность)
ffi*'(-<->; е. ф) = (-1)лг"ж'^ж'-ж(ш; в. Ф),
^iif (»; -в, Ф) = (-1)*-*' ?/^ж, (со; в, Ф), A9)
и'мм,(*; в, -Ф) = иж,я1»; в, Ф).
г. Периодичность
ияя,(а+4к; в, Ф)=^,(со; в, Ф),
UJMM> (»: е + 2*. Ф) = Ui,, (со; в, Ф), B0)
ffjrjrK е- *+**)=• Uяя, («; в, Ф).

74 Гл. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Изменение аргументов на полупериод
UJmm' («-> + 2л; е- ф) = (-1J'7 Uitir К е- ф). UJmm> B* - »; в, Ф) = (-I)*1"*' ^jt^jt (<о; в, Ф).
C^rjf' К в + ^, Ф) = (-1)м-м' UJ_M,_M (со; в, Ф), ияя, (со; тс - в, Ф) = ?/^,_ж (со; в, Ф), B1)
t/^, (со; в, Ф + тс) = (-1)*"*' ??,, К в, Ф), f/^, (со; в, я - Ф) = (-1)*-*'^,, (со; в, Ф),
д. Перестановка индексов М, М' и изменение их знака
ия,я(*>; в, Ф) = ?/^ж, (со; в, -Ф) = г/^лг,(ы; тг-в, тг + Ф),
^jr_jr' (»: ©. ф) = (-1)*-*' Uijr. (со; тг - в, те + Ф), B2)
t/^, (ш; в, Ф) = (_!)¦>-*' Ц*_ЯЯ,Ы 6lf Ф1) = (-1)'/+1Гг/^_лг,(ш1; в!, Фх),
где углы и), 9, Ф и ш1, в2, Ф2 связаны соотношениями
сог со
cos ~2~ = 6m ~2 sin в sin Ф,
СОч СО
sin -у cos вх = —sin -g- sin в cos Ф, B3)
со
ctg фх = — tg y cos e;
CO COi
cos -j = sm ~2~ sin вг sin *x,
sin у cos в = —sin -тр sin вх cos Фх, B4)
COi
= — tg— COS в1;
sin2 -y- sin2 ex + sin2 y sin2 6 = 1. B5)
Значительное число соотношений для функций DJMM, (a, p, у) остается справедливым и для
функций С/^лр (ч>; 9, Ф). Так, например, разложение Клебша—Гордана
^ К в, Ф) С™м,лш, B6)
аналогичдо разложению 4.6. A).
Теорема сложения
2 ишм" ы ©2. *2) ffW (»i; ©i, *() = <ж' (»; в. ф) B7)
М"
аналогична теореме 4.7. A). В соотношении B7) все углы шг 9Х, Фх, ш2, 92, Ф2, и ш, 9, Ф отсчиты-
ваются от положения исходной системы координат и связаны соотношением 1.4.G6).
6. Явный вид функций UMlli (ш; 9, Ф)
при частных значениях индексов и аргументов
1. Ось поворота п(9, Ф) совпадает с одной из координатных осей:
а) с осью х(в =y> ф = °)
UJmw (»: Т . о) = DKX, (f, со, - !) = (-i)M-M> dJMM, (со), B8)
б) с осью г/(е=|, ф=~)
. . B9)
Вжж'@. со, 0) = 4лг (со),

4.6. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ Д-ФУНКЦИЙ С ОДИНАКОВЫМИ АРГУМЕНТАМИ 75
в) с осью z (в = 0)
tfjwK С Ф) = 8жж'«~Шш- C0)
2. Малый поворот вокруг направления п(9, Фцих^у):
UJMM,(oy, в, Ф) =ВЖЖ, A - totf cos в) -^-е~{ф sin в sl(I-M') (I + М) у ж,+1 _
е^(/-Л/)(/+Л/)8жж,_1. C1)
3. Явный вид Ujmm, (ш; В, Ф) при М, ЛГ = ±7:
, / ш ш \2J , / ш со \2J
?/jj(m; в, Ф) = 1 cos-g" — ? sin-g- соэв) , U_j_j (ш; в, Ф) = ( cos у + г sin -у соэв] ,
4 Ч C2)
г / Ы .*W г / A) .„A2-*
^j-j (м;в.ф)=(—l sin y sin 0e~ ) » ^iw (ы; 9> ф)—(—'sin уsin ве ) •
4. Явный вид UJMM,(m, 9, Ф) при / = 1/2, 1, 3/2, 2 дан в разделе 4.22.
4.6. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ D-ФУНКЦИЙ
С ОДИНАКОВЫМИ АРГУМЕНТАМИ.
1. Разложение Клебша—Гордана. Произведение двух .D-функдий DJ^ N (a, [3, у) и ^ж^ (а> Р> Т
может быть записано в виде следующей суммы, называемой рядом Клебша—Гордана:
где C-tj^jx —коэффициенты Клебша—Гордана (см. гл. 7). В сумме A) содержится 2/ —f— 1
член, где /=min {/1? /2 }• Разложение A) является частым случаем разложения произвольной
функции по D-функциям Вигнера (см. 4.10).
2. С помощью разложения Клебша—Гордана A) и свойств ортогональности коэффициентов
Клебша—Гордана 7.1.(8) можно вычислять некоторые суммы произведений ?)-функций с одина-
одинаковыми аргументами. В формулах, приведенных ниже, величина {/1/2*^3} означает 3/-символ,
определенный соотношением
а утл ( 1, если /1+/а_4-78 —целое и l/i —/s| < 78</^/а,
{ 0 в остальных случаях.
Величина {^х^^^з} симметрична относительно любой перестановки аргументов Jv /2, 73.
&Ъ ^ ^* = 5^ {7Х727} DJMN («, р, т). C)
Формула C) является обратной формуле A)
2 В^,^ (а, 3, Т) B^jJVi (а, 3, Т) D\Ni (а, р, т) С^у, = С^ЖЛЯЬЯМ, F)
2 #?ЛЛг,л?«- (а, 3, 7) Di^ (а, 3, Т) Д^л (а, р, т) C^j^ = 8j,8w {7Х 72 7), G)
лглг
= 8/A^J7!/2/12} {^12/3^} ^iff (a- h T). (8)

76 Гл. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
3. Формулы типа C) и (8) допускают обобщение на случай произведения любого числа 2)-функций
к , к
»>i. .... ™к '=1 » 1 i-i > * i=l * t
«и .... «к
где 7,- (? = 1, 2, ..., Л) — любые значения моментов, совместимые с правилами векторного сложения
Ji = J1 + J2+ ••• +Ji. М{ = щ-\-тг-\- ... -fmt-, TV ,• = nx -f- n2 -f- ... + n(, (/ = 1, 2, ...A).
При этом предполагается /0= -^о — Mo — iV0 = 0. В частности, полагая в (9) /j = /2= • •. =Jk —
= 1/2, 7t41 = 7<-j-A/2), получаем для целого или полуцелого 7 = 7й = й;/2
Э**(«. Р. Т). (Ю)
(y_M)!(/+iV)!(/-iV)! жлч ' г> "
Аналогично, полагая в (9) /1==/2= ... =/ft = 1; 7t41 = 7,--j- 1» получаем для целого 7 = 7fc =
ТГ И -±. Ьт Л A -\- Ья Л D^ п (а, 3, f) D^ п {а, 3, f) ... D^ „ |
BZ)! _nj , о .л
Формулы типа A0), A1) могут быть использованы для вычисления 2)-функцйй Вигнера. Так, учи-
учитывая, что индексы т, п в A0) могут принимать только значения +1/2, и вводя обозначения
d#Vi(«, в, т)=в, д;/2_1/2(*, з, 7)=_ь*, |
1'де й, & — параметры Кэли—Клейна (см. 1.4.), получаем из A0) выражение для 2)-функций Виг-
Вигнера в виде
(а)Р (ЬI ta*V (—&*)*
Здесь сумма берется по всем целочисленным значениям р, ^г, г, s, удовлетворяющим условиям
Р — Ч — г + s = 2Л/, A4)
— г — s = 2/V.
Условия A4) приводят к тому, что только одно из чисел р, q, r и s является независимым, так
что сумма A3):—однократная. Из A3) можно получить приведенные ранее выражения для ^-функ-
^-функций 4.3. B)—4.3. E). Например, формула 4.3. B) получается из A3), если в качестве независимой
переменной суммирования выбрать г, формула 4.3. C) — если независимой переменной суммирования
является р, и т. д.
4. Условие равенства единице определителя, составленного из функции DJMN (a, {3, у) (см- 4.1. G)),
может быть записано в виде следующей суммы:
2(-lfDJ_jMl(a, В, T)^+1Jri(«, В, Т) ...DJJM2J+i(a, 3, -,) = !, A5)
где индексы Мг, М2, . . ., M2j+i получаются всеми возможными перестановками Р из последо-
последовательности —/, —/+1» • • • J—1, J- Суммирование в A5) производится по всем перестановкам
Р, (— 1)F означает +1 для четных и —1 для нечетных перестановок.
4.7. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ В-ФУНКЦИЙ ВИГНЕРА
1. Произведем два последовательных поворота системы координат S {х, у, z}-*.
-> S' {х', у', z'} -> S" {х", у", z"}. Пусть первый поворот S -»¦ S' характеризуется углами
Эйлера ац р1? Yn второй поворот S' -*¦ S" —углами Эйлера a2, |32, f2, а результирующий по-

4.7. ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ В-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА 77
ворот S -*¦ S" — углами Эйлера а, р, у. Выразим D-функции от углов результирующего пово-
поворота через D-функции от углов первого и второго поворотов. При этом имеются 2 возможности
(см. 1.4.7.).
а. Если оба поворота производятся по схеме (В) (см. 1.4.1), и углы результирующего поворота
а, р, у, так же как углы первого поворота alt &, yx и второго поворота а2, $%, у2, отсчитываются
от положения исходной системы координат S {х, у, z), то оператор результирующего поворота
дается формулой 1.4.F4), и формула сложения имеет вид
2 dmm»(«2, Pi. ъ)&ш„м, К. Pi. Ti) = aiar.(«. P. Tf)- A)
При этом углы a, р, у выражаются через углы <Xj, $х, у2 и а2, |3g, y2 по формулам 1.4.F6)—1.4.G0).
б. Если оба поворота производятся по схеме (В), но углы о^, f^, y2 и а, {3, у отсчитываются
от положения исходной системы координат S {х, у, z}, а углы <*2, C2, у2 — от положения системы
S! {x!, у', z'} или, если последовательные повороты производятся по схеме А (см. 1.4.1), то опе-
оператор результирующего поворота дается формулой 1.4.G3), и формула сложения имеет вид
j
2 ВЖЖ"(Я1> Рь Tfi) DJW,M, (as, В2, y2) = Д^ж, (а, р, f). B)
ifW
При этом углы a, p, у выражаются через углы a1( рх, у2 и а2, р2, у2, по формулам, получаемым
из 1.4. F6)—1.4.G0) путем замены индексов Iii2.
Частные случаи формул A) и B):
.г
2 °мм-> («. Pi. T) Djpjp (-?, р2, Т) = DJMM, (a, h + р,, Т), C)
Ж"=-/
Ф — произвольное;
j j
"V д^ w (я, В "{) DJ^, цг,, (а, 3, 7)= *У D'irxrrr (я, р ч) D^,/ ,( т 3 а) = В^ ,@ 0 0):=8 г. D)
Ы =—J if".=—,/
2. Формула сложения для функций dJMM, ф) имеет вид
j
M"=-J
где
sin В,
Ctg a = COS Px Ctg tp -\- ctg 32 -^tj— ,
cos 3 = cos 8j cos B2 — sin px sin 32 cos tp, F)
sin 82
ctg f = cos 32 ctg f -f- ctg Pi —: .
Рассмотрим некоторые частные случаи формул E) и F). Если ср = 0 и |32 •-)- [32 < те, то a = 0,
J3 = j3j -f- j32, у = 0, поэтому
j
Если ср = 0 и Pi -f" Pz ^* я> то a == я» Р = 2я — Pj — р2, у — те, поэтому
аМШ» (Pi/ "if'if' (^2) = (— J ) tfЖЖ' (^л — Pi — Р»)- (b)
Если ср = те, р2 ^ р2, то a = 0, Р = рх — Р2, у = те, а следовательно,
j
if»—J
В частности, при рх = р2 из (9) следует
j
2 (-1)М"'М'dJMW (?)

78 Гл. 4. ^-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Если ср=-— то формула E) принимает вид
j
(~l) aMM"\?\)aM"M'\?1) —e aMM' IP/ e >
X''~-J
где
ctg a == ctg B2 sin p!,
cos В = cos 8X cos B2, A2)
ctg if = ctg Pi sin B^.
3. Полагая в A) углы aj = a2, ^ = |32, Yi —Y2 и используя разложение Клебша—Гордана 4.6A),
получаем
2^\ rJm+m" nJ , о . rJm"+m' rW ,, к -,
J=0, 1, ... m"
где
cos p = cos2 3 — sin2 p cos (a -f- f),
В частности, при a = у = 0 имеем a = Y = 0> Р = 2j3, поэтому
^J Ljmjm"am+m"m"+m' \?> L jm"jm' — amm' W)-
J=0, 1, .-.. >«''
4. Из формулы E) можно получить интегральное представление для произведения двух функ-
функций dJMM' (теорема умножения)
2»
* мм» (Pi) 4"if' (Pi) = 4 i е((Гт-Ы'Ч1. C) d?, A6)
-2«
где a, {3, у выражаются через fjj, ^2 и ср по формулам F).
5. С помощью формул сложения A), B) можно вычислять некоторые суммы произведений D-
функций с разными аргукентами. Кроме приведенных выше сумм A) и B), укажем некоторые,
сводящиеся к характерам группы вращений (см. 4.14):
8тГB/+1)у1
D P T)ai(<4 P i) = /№^) = /W) —A7)
2i
мм1 sin ~2
где
« Pi h ai + Tfi + a2 + T2 . Pi . P» ai — 7i — a2 +
cos y = cos y cos y cos 2 ~~ sm ~2 sm T cos 2
P1 + P2 1+72 Т1 + 2 Pi Рг . i + 7a .
= cos 2 cos 2 C0 2 "~ COS 2 Sln 2— Sln
2 Sln 2— Sln 2
^ijf'K Pi. Ti)?iVK, P., 7t) = XJ(^i^J
sin -g-
где
Pi P2
" cos -
al ~Ь Tl — a2 T2 Pi P2 al — Tl — a2 "f" T2
+ s'n "V s*n "" cos
Pi P2 l Ь Tl 2 T2 Pi P2
cos -9" = cos -9" cos -j- cos 2 + s'n "V s*n " cos2
8. — 32 a, — a2 t, — у„ ' S. 4- B2 . a, — a2 у, —
= cos 2 cos ' 2 2 cos " 2 '2 — cos J sin 2 sin 2
Выражение B0) получается из A8) заменой (a2, j32, Y2)~*"("~T2» —?2>—a2). Путем последовательного
применения формул A), B) можно вычислять также суммы, сводящиеся к характерам от произве-
произведений трех и более поворотов, типа ^(^i -^2 -^з) и т- Д-

4.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ DJMM, (а, р, 7) С РАЗНЫМИ ИНДЕКСАМИ 79
6. Отметим также следующую сумму произведений трех d-функций от разных аргументов [89],
не сводящуюся к формуле сложения:
/ 3
(
) = wf cos
Рис. 4.1. Геометрическое истолкование углов,
входящих в формулу 4.7 B1).
где суммирование проводится от минимального 7, допустимого значениями проекций Mv М2, М37
до бесконечности,
1 COS 3g COS В2
В = cos 33 1 cos pi ,
cos В2 cos рх 1
1 при х > О,
О при т<0.
Углы \, 82, 83 могут быть вычислены по формуле
cos By cos pfc — cos 3,.
B2)
B3)
cos 8« =' sin Pj, sin [
Они обладают следующим свойством
, (i ф j ф к).
._. 2 о.
sin 5, = sin 8/
Геометрический смысл углов 8Х, 82, 83 и их связь с углами Cj, |32, рз пояснены на рис. 4.1
4.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ DJMMi (я, Р, 7) С РАЗНЫМИ ИНДЕКСАМИ
1. Рекуррентные формулы, связывающие 1Ушт и Дй/.
B4)
B5)
COS PD^, (a, 3, 7) = -S ;
sine,
"/)'
(a В ,Ь
V[(M
VG 4
- iy-
(
- M)
1 —
/
>
J Л
(J
J
M)
{I
M2\ [(/ + IJ — AT2] J+1
-1):B/ + 1) жл*
+ Л/+ 1) G2 —Ж'2) ,_j
B7 + 1) "•»«¦'
(J + M-\-\) j n
+ 1) лгж'Кс l)
, (a, 3, 7),
«, P, Tf)
A)
(/ + 1) B/ + 1)
B)

80 Гл. 4. В-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
^G — М)A— М
3, т)== J /B7
7(/ + 1) ^лглг'Г. P' "~
~ G + 1) B7+1)
V(/2 — ЛГа) G+ЛГ')(/+Л/'
иМП' \*' ¦' I'
— Л/2) (/ — Л/') (У — М' + 1) , ,
/B/ + 1) — ЛЙ'(«. 3, Т)-
лгж' Iя- ¦' V -г
71Г+Т)
¦
' G + 1) B7 + 1) ^ifJif' (а> Р> Т). \')
<«-VDJ (а В Л ^ + ^) G + ^ + 1) (/- М') G-М'+ 1) ,,
+ l)(J + W)(J-M + l)nJ
7 G + 1) имм> \а> Р> I/ "Г
V(/Af)(/Af+l)G+Af)(/+A/+l) ,+1
+ G + 1) B7 + 1) °им> \а> Р. 7)»
>,_11Г,+1 (а, р, Tf) = 7 B7 + 1) -°лглг' (а' Р»
G
+ (/+ 1) B7 + 1) ^лглг'(а» Р. Т)> (»)
Формулы A)—(9) могут быть получены, например, из разложения Клебша—Гордана (см. 4.6.A)),
если положить в нем 7^ = 1.
2. Рекуррентные формулы, связывающие DJMX, и DJ^k
cos fe 2 ^/2»'+./, («. Р. Т) = —" 27Т1 °*^'(а> *' Т)
К P. f), (Ю)

4.8. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ DJMU, (а, В, ?) С РАЗНЫМИ ИНДЕКСАМИ 81
sin f e 2 О^я'-./, («• P. Tf) = 2Г+1 °ж&' («• P. T) +
b (-. P. T). (H)
cos -jj- e 2 ?>Jtf_v,tf'-¦/, («. P. T)
27+T °жЬ (a- P. T). A2)
sin 1-
2/
-Л?&<«. Р. T)-
*> P. If)- A3)
Формулы A0)—A3) выводятся, например, из разложения Клебша—Гордана (см. 4.6.A)), если поло-
положить в нем /1 = 1/2. Из формул A0)—A3) можно получить также следующие соотношения:
.«+т
—^———^
DJMM, (в. Р, 7) = Y J-M' cos Те'~ДяЖ
V J-M' sinTe 'Т°М,У^''' Р' 7)'
A4)
<~
^Я'(а- Р» Т) = / /jjTj?> «1п Т е<~ДжЛж'-./2 (', Р.
cos т в""т^/,*--«/, (a> p« if)» (^' ^ -')• (is)
3. Рекуррентные формулы, связывающие DJum и
')(У-Л/Ч-1) О^, (a, fS, 7) е-Т
M')(J +M' +l)DJMM,+1(a, p, 7)в*Т,
4" •(/ + Л#) (J - Л/
+ 1) DJM+1M, (а, р, 7) е'«,
. 1 /(/ + Л/') (У — М' + 1) 1 + cos В . ,
е'"=[/ \;М)(у+М + 1) ^2 ' e-^jf,.! («, Р, Т)
М' sin В .
Л ц ,„. (". 3, т)—
!)
)(Н{) sp . ,
(l-M)(J+M + i) 2 е'т°жж'+1 (а- P. Tf). A8)
' +М') (У — М' + 1) 1 — cos p _{ j
М' sin p ,
M)(jMTT)DMM'{a' Р> т) +
+) + о8
1) 2^ е тДлглс'+1 (а> Р> Т). A9)
6 Д. А. Варшалович в др.

82 Гл. 4. О-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
1+cosp .
+ i) 2
Л/ sin p j
1 / (J —M)(J +Л/ + 1) 1 — COS P . ,
" ' ('-"')('+*'+7) 2^ еШ°м+гм> («. P, 7). B0)
• i/ (У+ А/)(У —Л/ + 1) 1—
P. )->T f/jV
M sin 13
(J-M)(J+M+\)
4.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ?)-ФУНКЦИЙ
Ниже приведены формулы, позволяющие выразить производные от DJMM> через сумму D-функций
с другими индексами / или М, М'.
д , (У +1) ^(У2 — М2) (У2 — М'2) .. ' ММ' ,
sin Р ^ DJ0M, (a, р, т) = ;BУ+1) °ЙЯ' (а> Р» 7) - у (/ + 1) Д^Ж' (а. Р. Т) +
+ G + 1) B7
«. Р. Т) = - у ^
4" ^J-M)(J+M + i)e*«DJ^lu, (а, р, т), B)
(а, Р, т) = у V(y+A/')(/-^' + l) e-'U^,^ (a, p, т) -
^(УЛ/')(
(а, р, 7), C)
sinDJMM'(a< P- Tf) - \/(J + M) G -A/ + 1) е-"Д^1Ж, (a, p, 7), D)
Af' — Л/cosB , , . ,
^ Cfli(« P Т) + ^(УЛ/)G + Л/ + 1)е«^(а, p, 7), E)
*- P. T) =^—i?j^ СИ' (a- P» T) + \/(У+/И')(^-Л/' + 1) e-*4>iJ,,_1 (a, p, T), F)
-д .
— D тл-и, (а, В, ~\) = —
д . М — lvi wa !¦> • ,—^—^—^-^— т
^8 #1пг («• Р. Т) == ihTp °**' (д. Р. Т) - ^(У - Л?') (У + Л?' + 1) е'Т^ЖЧ1 (а, р, 7), G)
J О^ж, («, Р. Т) = -MDJKM, (а, Р, Tf), (8)
д , Г г,
Щ Омы' (а' Р> 7) = -iM'DJMU, (а, р, 7), (9)
(см. также 4.2.1. и 4.2.2).
4.10. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ Я-ФУНКЦИИ
Функции 1УМН, (а. Р> т) ортогональны в общем случае только при интегрировании по удвоен-
удвоенному объему группы трехмерных вращений (т. е. по объему группы SU2), поскольку функции
DJXX, (а, Р, у) при полуцелых / имеют период An, a не 2тс. Удвоение объема может быть достигнуто
путем удвоения области интегрирования либо по углу а, либо по углу т. Таким образом, удвоен-
удвоенному объему группы трехмерных вращений будем сопоставлять одну из следующих областей
изменения углов Эйлера:
7,: 0<а<4тс, 0 sj В < л, 0<т<2л: ж
V2: 0 < а < 2л, 0 < В < и, 0 < 7 < 4л. B)

4.10. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ Д-ФУНКЦИЙ 83
Полный объем области Ух или F2 равен 16 и2. Условие ортогональности и нормировки функций
Dmm' (а> Р» Т) имеет вид
4х it 2х
j da j dp sin В j «*TOi*jf,, («, P. T) DJiilPi (a, 3, 7) =
о о
= j da j dB sin В j d^D^ («. P. T) Oi.ff-, («. ?- V) = 2Л + 1 V2^A5^Y C)
¦2Л-
0 0 0
В том случае, когда оба индекса Jx и J2 одновременно либо целые, либо полуцелые, ортогональ-
ортогональность /^-функций имеет место при интегрировании просто по объему группы трехмерных враще-
вращений, т. е. по области изменения аргументов
V: 0<а<2тс, 0 < В < тс, 0 < ? < 2тс. D)
Полный объем области V равен 8 п2. При этом условие ортогональности и нормировки имеет вид
2ic % 2х
J da j dp sin В j dT?>^, (a, В, i) 0?iJf#i (a, 3, 7) = zjj+i hjfaxpXx'*," <5)
0 0
Условие ортогональности в виде E) наиболее часто используется в физических приложениях,
где, как правило, условие его применимости выполняется автоматически.
Для функций dJHM, ф) условие E) дает
те
( d3 sin SdJMM, (P) dj;M, C) = jj-^ *„. F)
о
Функции DJmw (a- Р> Т) образуют полную систему функций. Если рассматривать область Ух (или V2)
изменения аргумента а, |3, у, (см. A)), то условие полноты имеет вид
со J J
2 2 2 ife^^V^i. Pi, TiHijr,(«2. 3„ T.) = »(«i-«i)s(cos3l-cosp1)8(Tl-Tl). G)
J=o, ч„ l,... лс=—/ лс'=—/
Любая функция /(a, |3, у), заданная в области Vx (или F2) изменения аргументов a, p, у и
квадратично интегрируемая в этой области
J J J dadQ sin 3d7 | / (a, p, т) Г < ». («)
к.( г»)
может быть разложена в данной области в ряд по D-функциям Вигнера следующего вида:
/кр,т)= 2 2 2 eiif-oi*'(«. ?. т). о)
J=0, '/г. 1. - • • M=:—J M'=—J
Коэффициенты разложения aJMM, даются формулой
"ijr = Чб^ S S S dad? sin №/ (a' P' T) fli**'(a> '8> T)l
и удовлетворяют соотношению
2 Hii 2 i^r
.7=0, 'A, 1, ... M=-J M'=-J V^V,)
6*

84 Гл. 4. О-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Если рассматривать только область V (см. D)) изменения углов я, р, у, то любая функция
/(я, [3, у), заданная в области V, может быть разложена в этой области как в ряд, содержащий
DJmm>{o; Pi т) только с целыми /, так и в ряд, содержащий D3uw («, C, т) только с полуцелыми /.
/(«, Р. 7) = 2 2 2 ^жж-О'жж- («» Э. Т). /12)
/целые (или M=—JM'=-J * '
J полуцелые)
Коэффициенты bjrjr даются формулой, имеющей одинаковый вид как в случае целых, так и
в случае полуцелых /.
2х тс 2ic
2/ +1 Г Г f r
г'=~Ф~ ] da ] d$ sin P J d^ (a> 8> If) -°яж' (a> P> I)- A3)
"лог 8л
0 0
Отличие разложения по целым / от разложения по полуцелым / проявляется вне области V.
Коэффициенты разложения A2) удовлетворяют соотношению
J J 2ic x 2*
J целые (или м=—tm'=—j oo о
J полуцелые)
4.11. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ DJMiI, (a, p, 7) ИЛИ d^, (p)
1. Интегралы от произведений /^-функций
da J d^ sin p J d^D^jf, (a, p, 4) = 5л8Ж05Я'08л2> G ~ Целое), A >
0
da J dS sin p J dlDi,,,, (a, ?, 7) л?,и», («, P, Tf) = (-1)*^**» зТ^П" V,8-*,*^,, B)
00 0
(/1+ /2 — целое),
2it x 2n
j da J dp sin S j dfD^V2 (a, B, 7) D\M, (a, 8, T() = гТ^Л ^.Л^.^Я'.Ж',, (З)
0 0
(Л + /2 — целое),
2я
da J dS sin В j diD>ijt,t (a, p, T) OjlJri («, 8, T) ^^S (», P. T) - (-1)*"-*• JT^ CWAC^W D)
0 0 0
Gx+72+7s— целое),
da
0 0
5 dB sin 6 j dil/fa^ (a, 3, 7) О^ж,г (a, 2, 7) D^^^ (a, p, 7) = 2/^+ 1 C^jr^C^^^, E)
0 0
(/] -j- /2 -f- /g — целое).
Формулы A)—E) имеют место, если выполнены условия, указанные в скобках. Если в A)—E)
удвоить область интегрирования по углу а или углу у и одновременно умножить на 2 правую
часть, то указанные в скобках ограничения можно снять (см. 4.10).
Интегралы от произведений четырех и более .D-функций могут быть сведены к интегралам,
приведенным выше с помощью разложения Клебша—Гордана (см. 4.6.1)
2. Для функций «йг*'(Р) из A)—E) следует
%

4.12. СУММЫ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЙ О-ФУНКЦИЙ 85
\ <*8 sin ?Jmm' (Р) dMM' (Р) = гПрГЬ-"'>
те
\ dp sin pdj^ (?) 4,jp, (Р) <*?>3 (Р) Ч+глЧ'+жуг-, =
о
3. При М, М'^0 и М~^М' имеет место формула
S/ а \ж-Ж'+1 / р \ж+Ж'+1 1 / Я\ж-ж'+1/ й \ж+Ж'+1 ,
dp^sin-g-J (c0S"jJ Amw (P)= ^/f/ i Hsui|j (COS"J d*+ijf (P)-(9)
Аналогичные формулы при М^М' или при Л/ и Л/' отрицательных можно получить из (9) с по-
помощью свойств симметрии dJMM' ф) (см. 4.4A)).
4.12. СУММЫ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИИ />-ФУНКЦИЙ
В приведенных ниже формулах R означает совокупность углов Эйлера а, C, у, dR^ sin pdfidadif,
1 dRf(R)= \ da \ dp sin p ( d?/(a, p, 7). A)
00 0
В этих обозначениях формулы имеют вид
2 \ dRDJ?M (Л) DJ%,M, (Л)=8л28//,1 B)
, (Л)о^,ж (Л) = (-^ал,,, C)
J dRD\Uz (Л) Cj , (Л) flj (Л) = 8*« {/!/,/J, D)
все
E)
Л, n S ЙЛ1^>. (Л1)д*'.*'. (*i) °^ж3 (до J ^2о^>2 (д.) о^,^, (д2) oi.jr, (д8) х
х S «*л3о^>, (Д3) л?>, (Д3) ^^ж2 (Д3) = (8тс2K {« ^ ^Г - F)
dRiDJMM (Д1) ^ V, (Д0 Я&*', (ДО ( ^2»i'ж' (Л2) DJlMi (Л2) О^ ,, (Л2) X
X j <*ЛХ'„Ж„ (Д3) D%^ (Л3) О^,А (Л3) J dRiD\Ni (Л4) D^ (Л4) Д^„ я> (Л4) D^ (Д4) =
i^i* (до Di-N' (до «i;*, («о S ««s^jr (д8) о** (д2) d%n, (д2) х
«се ж, ж
Все и,,
X J dfl^^, (Л3) ©4Л (Л3) О^ (Л3) = (8^)з ( / / /, 1,
1л /2 у3^
(8)

86 Гл. 4. D-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
n \ dR^^ (Rx) D\N2 (Д,) D\Un (Д1} J dR2D\^ (Д,) я?Л (Дв) D^» (Л,) X
X J <^3D^,3 (Л3) ^>21 (Л3) О'жж (Л3) J dR,DXMi (Д4) />?л (Д4) D*^ (Д4) X
Все
X J <«X>2 (д6) °*>( (Дб) *>?>„ (Л5) = («^-aN /з Л Ju •
l Лз h* J >
(9)
Если в формулах E)—(9) сначала выполнить интегрирование с помощью 4.11D) — 4.11 E), то
получим формулы для суммирования произведений коэффициентов Клебша—Гордана (см. 8.7).
Если же, наоборот, в формулах E)—(9) сначала выполнить суммирование, то получим представ-
представления для 6/- и 9/-символов в виде, интегралов от характеров (см. 9.3 и 10.3).
4.13. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Функции dJMM, ({3) могут быть получены, как коэффициенты разложения в степенные ряды или
конечные суммы некоторых функций, называемых производящими функциями. Ниже приведены
некоторые из таких производящих функций.
1. Производящая функция для йМм'{$) с заданными /, М1
cos \ e'f12 + i sin |- е-'*1*У (i sin у e'^'2 + cos |-
(J—M)\(]+М)\ ~ч
В частности, из A) получаются следующие разложения:
при ср = О
j r
~ i (J — ¦"/ ) ! (J —г~ Л* ) ' if if
/ \ I V / / -\ Ж— Ж
е = ZJ У U -М)\A Ч-М)! \~ч "MM'K?h B)
ПрИ Ср ^ 71
J
e-tJ?= У.
м=
2. Производящие функции для д?мм'($) с заданными М, М1.
В формулах, приведенных ниже, индексы s, p., v связаны с /, М, М1 соотношениями 4.3.A4),
величины \мм> даются формулой 4.3. A5), величина R имеет вид
R = Vl - 2г cos p + г2, |*|<1. D)
(f + ti)|(f + v),
^ S!(s + ;x + v)! ? d
8=0
„Fx (; 1 -f (x; —t sin2 yj 0Fi (^; 1 + v; t cos2 yj =
U.+V
^ ^,-M.r.2 (?), F)
•s ! fs 4-u) ! (s + v) !fs-4-!x-4-v)! ЖЖ
е=о [(S + ^ !(s + v) !(S + !x+v)!
t ± • 9 Г
—гJ

4.14. ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 87
f**} (В), G)
З\м-/Ву/ 1 — г — R\ f i-\-t — R
^) (cosyj /ЦХ + v + l»; 1 + J; j^ ^ fx + v + 1 X; 1fv; ^
-^) (cosyj 2/ЦХ,
В формуле (8) X — произвольное целое.
4.14. ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
1. Определение
Характером неприводимого представления ранга J группы вращений называется величина у? (В),
определяемая формулой
XJ№= 2 -DJMM]{R), A)
M=-J
где R — любая совокупность параметров, описывающих поворот.
В отличие от DJMM, характер xJ(R) является инвариантом, т. е. не зависит от выбора системы
координат. Функция XJ(-^) имеет наиболее простой вид, когда поворот R характеризуется углами
ш, 0, Ф (см. 1.4.2). В этом случае характер зависит лишь от угла поворота ш и не зависит от
углов 0, Ф, определяющих направление оси поворота:
Х/(Л) = Х/И- B)
2. Явный вид iJ iR) и связь с другими функциями
smy
j j
2— iMu) X~l и*-
e = > cos Мы,
п=0
, x1 B/ +1) ! / (o W-2n / („\2m
XJ (-) = 2 (~1)B Bn + 1) ! B/ - 2n) 1 (cos TJ \!™T) • <6)
n=0
X-/H = 2y+i / Mx cos[B/+1)-|], G)
!22J
!22J Г d
XH = ~ - , ,
D/ + 1) ! sin y \ d (cos y
Связь с гипергеометрическими функциями
-7, 7 + 1; 3/2; sin2-f)>

88 Гл. 4. О-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
(-2I, 2G + 1); 3/2; sin2-^). A0)
Связь с полиномами Чебышева II рода
XJH = ^(cosy). A1)
Связь с полиномами Гегенбауэра
*¦'(<¦>) = <?,(cos у). A2)
Связь с полиномами Якоби
Интегральное представление
г / (о
\ Icos 1"
1
27 4-1 г / (о «W
\ Icos 1 + г'г sin у/
Для того чтобы выразить характеры xJb°) чеРез углы Эйлера а, C, ]¦> можно воспользоваться
соотношением
cos -й- = cos -g- cos
й- = cos -g- cos—2—•
3. Свойства характеров
Характеры у? (R) в отличие от ТУии, (R) являются вещественными функциями
Характеры, соответствующие прямому и обратному повороту, равны между собой
Характеры инвариантны относительно поворота системы координат и ее инверсии
где U и U'1 — прямое и обратное преобразования системы координат из группы ортогональных
преобразований.
Характер произведения поворотов RXR% ... Rn инвариантен относительно их циклической пере-
перестановки
XJ (Л,Л2 ... Л.) = xJ (Л, ... ВД). A9)
В частности,
xJ(fl1i?2) = x/№-Ri). B0)
несмотря на то, что повороты i?x и i?2 не коммутируют.
Произведение двух характеров разлагается в ряд Клебша—Гордана
2>Х/(Л). B1)
где {JlJ%J} = l, если выполняются условия треугольника (см. 4.6.2), во всех остальных случаях
{7JtJ} = 0.
При замене / -»• / ^ —7 — 1 характер изменяет знак
Х'/(Л)=-Х/(Л)- B2)

4.14. ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 89
Характер x'i03) является четной периодической функцией угла поворота со:
Х/(" + 4«) = Х/И. B3)
/(w + 2*) = (-lJVH-
Теорема сложения. Характер поворота, являющегося результатом сложения двух после-
последовательных поворотов, ~/f (R1R2) можно представить в виде суперпозиции произведений обобщен-
обобщенных характеров исходных поворотов Xx(-^i)" Хх№) (см- 4.15):
2J
4?"i 21 -4- 1
x'H = 2i (-1)Х|27+Т хх <Ml> 4^ р>- <cos 0ia)- <24>
х=о
где coj, ш2, ш — углы поворотов, соответствующие Rv R2, R^R2 и связанные соотношением 1.4G5),
012 — угол между осями поворотов Rt и R2;
cos в12 ^ (i)j • n2) = cos ©j cos 62 4- sin 6j sin 62 cos (Фх — Ф2). B5)
4. Дифференциальное уравнение
Характеры XJ(W) являются решениями однородного дифференциального уравнения II порядка
-з—jj- ^J (со) 4- ctg у • ^— %J (ш) + 7 G + 1) XJ (ш) = 0 B6)
с граничными условиями
X'(O) = 2/ + 1, B7)
X (ы ± 4-itre) = x (ы), где п — целое.
5. Дифференциальные соотношения
/B/
B7-й)
где Хк(ш) — обобщенные характеры (см. 4.15);
+V2H-(^ + i)cos-Jx/H- C0)
6. Алгебраические соотношения
X'+V. (а,) = 2 cos у • xJ (ш) - Х-72 (<*), C1)
C2>
XJ' И + ХЛ («) = 2х 2 (<*) cos | (/х - ]2) yj. C3)
Соотношения C2) и C3) справедливы при 72 -f- /2 целом.
X 2 (Ш) = 2 cos ^ х 2 (»), C4)

90 Гл. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
где / — целое, положительное.
—2 sin2 у xJi (<о) Х^ Н = cos IGi -Ь 72 -г 1) Ч — cos |Gj — /а) «]. C5)
В частности,
2 sin2у [х-/(«)]2 = 1—cos[B/+l)a>], C6)
(^) C7)
7. Ортогональность и полнота
Характеры у^ (ш) представляют собой полную и ортонормированную систему функций одной
переменной ш, задаваемой в интервале 0 ^ ш <С 2я.
Условие ортогональности и нормировки имеет вид
2х
S ХЛ (<¦>) ХЛ («) sin2 у йш = «V,- C8)
о
Условие полноты
со
xJK)xJ(-4)= со, • CS))
i sin2 -5-
J=o,y,i, ... 2
8. Интегралы, содержащие характеры
2х
и
2х
sin2 у
COS у — COS -
о
В формуле D2) интеграл понимается в смысле главного значения.
'¦<* sin2 у XJl Н X 2 И = Чзд,
21
о
9. Суммы и ряды, содержащие характеры
а. Конечные суммы
D2)
D3)
sin2 -f хЛ (") ХЛ Н ХЛ И = « {^1 Vi). D4)
Г Ш1 . Г
^Ц sin G2 + 7i + 1) у | sin G2 — Ух —f-1) „ > -•¦-• -• ¦
\ XJH = ^Г =L = X 2 ИХ1 И. D5)

4.14. ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ. ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 91
* B/0 + 3) sin ГB70 + 1) у] - B/0 + 1) sin ГB7О + 3) у]
2, B/-m)xjh= L -—z • <46)
J=o, 1, 2,... 4 sin3 у
В формуле D5) суммирование ведется либо только по целым, либо только по полуцелым зна-
значениям 7 в зависимости от того, целые или полуцелые /х и /2. В формулах, следующих ниже,
суммирование ведется как по целым, так и по полуцелым значениям /.
2 xjh=-^ ^—^ —' («)
i sin у sin -?
* B/0 + 2) sin ГB/0 + 1) yl - BУ0 + 1) sin ГB7О + 2) у]
2 B/ + i)xJH = ~ п D8)
/=0,1,1,... 4 sin у sin»-J
г 00 Г (О П
* D/04-3)smy-sin|D/0 + 3)yJ
2 fx (w)]2 = ^; » D9)
j=o, Vs. i, ... 4 sin3 у
J=o, Чг, з. • •. 2 (cos у — cos — I
sin у - cos ГB/о + 1) у] sin [(/„ + 1) Ш] + sin ГB70 + 1) yl cos [(/„ + 1) a.'J
= != =^ ; ^ ZJ . E1)
Ш / CO (O\ x '
2 sm у (cos -y- — cos у I
б. Бесконечные ряды
2 Х'И = Цг. («#0), E2)
J=O, V«ii.... 4 sin2 X
2
j=o, V2, l, ... sin2 у
Введем обозначение i?2 = 1 — 2i cos у -j- i2, где 11К 1: E4)
2
"i-^1 л w — д« » E6)
•/=0,7,71....
-f2Y(o,) = E7)
feo.'A.L... R 1/ 2fl— tcos4-f Л)

92
Гл. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
sin
[t sin у)
2
/=о, Vs, i....
си
У —*—
Zj 2/-f 1
2i*siny \ 1_te2
V. Г BJ + V) <2V(a,) / "Уч„/Л 1 + 1. ±. I Ш2
jZl T(v) B/ + l)!~\~ 2/ 2М-2' 2*2' I ш_
E9)
F0)
F1)
2 'VHxJK)= ^-Ц^
J=o,y2, i,... 1 + t2 — 4* cos ~ cos -j- + 2B (cos ы + cos ш')
F2)
10. Частные значения % (<o) при определенных значениях аргументов
(—if при / целом,
^2 / = 1/2, 9/2, 17/2, . . .
1 /=0, 1, 4, 5, 8, 9, ...
0 7 = 3/2, 7/2, 11/2, 15/2, ...
-1 / = 2, 3, 6, 7, 10, И, ...
— V2 7 = 5/2, 13/2, 21/2, ...
11. Явный вид xJ («>) ПРИ частных значениях индексов
X2 Н = 16 cos* тг — 12cos2y+l,
Х6/2 (ш) = 32 cos8 у — 32 cos3 у + 6 cos у.
F3)
F4)
F5)
F6)
F7)
F8)
F9)
G0)
G1)
G2)
4.15. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРЫ
НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
1. Определение
1. Пусть функция xJ(@) является характером неприводимого представления ранга / группы
вращений. Введем функцию Хх(ш)> связанную с xJ(@) следующим дифференциальным соотно-
соотношением:

4.15. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 93
B7 —
inir)
\
d Y
d)
\ d cos "o"
где X — целое число, удовлетворяющее условию 0^X^27. Функцию Хх(ш) назовем обобщенным
характером порядка X неггриводимого представления ранга /. Подчеркнем, что обычный и обоб-
обобщенный характеры связаны между собой аналогично тому, как связаны обычные и присоединен-
присоединенные полиномы Лежандра. При Х = 0 функция х((ад) тождественно совпадает с xJ(w)'
2. Явный вид функций ххН
Представление Xx(U)) B в и Д е тригонометрических сумм
B/ —
^И = —П
B/ —X)!
2/—).
! B/— s) ! f"
Х.)| cos[
f" col
[B/-X-2«)TJ
D)
см. также A).
Представление Хх (ш) в виДе производных
( d \x+i
B7—X)!
a cos ~2
Связь с полиномами Гегенбауэра С*„(х)
¦^ (о) = BХ) !! V2/ + 1 У BJ , ^ !_Л ; (sin yj C^lx (cos у) •
Связь с полиномами Якоби P^i3) (х)
V27+1 VB7 — X) ! B/
D/+ 1I1
! л9г_х / <ЛХ ала Хл
2 (sinTJ p№" Х+
B/
V2J
2/ — X — четное,
B7 — X —1) Щ27+Х + 1) !!
( cos тг 1 ( sin. — J Р* "К/** I
2/ — X — нечетноэ.
М
Хх (¦
Представление х{(ш) в виДе гипергеометрических функций
l (siD f )^ (~2У + X, 2У + X + 2; X + |; sin^),
E)
F)
G)
(8)
(9)

94
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Хх («¦>) = ¦
BХ
27 4-1 i ^B7 + л+1) ! / «V/ Ш\и-2Х / 1 3 (о\
r+inrO B7 - х) I (sin у) (cos т) F \-2} +х- -2/ - у; х+у; -tg2 т) • A3>
Т+~Т B7) 1 ix
г'ш »ш\Х ш
(—2/ + X, \-\-i; —27;
— X — 1) !! B7 +
XI
при 2/ — л четном,
(-1)
_,.
1/B7 — X) !
Г B7 — X —
— X) !! B7 + X -fljTl
_( . __
1) !! B7 + X) !! cos 2 Vsm 2
Х +1
при 2/ — X нечетном,
/B7+Х + 1) ! /
B7-х)! i8111
при 27 — X четном,
B7-х)! «"
при 2/ — X нечетном.
Интегральные представления
2 X!
B7 + 1) B.7 +Х + 1)
B/-Х)!
•B7 + 1) B7 + X + 1) 1 B7 — X) !
2 B7) 1
1 ГГ ф "I / «Ь ш \Х
гщ I cos B7 + 1) ~2 I cos у — cos -s-) ?%
\ Рх (х) cos у + ix sm у их.
A4)
A5)
A6)
A8)
3. Свойства функций ххН
х(* И = хх» = (-1)хх{ (-<¦>),
х^ (Ш + 21И.) = (-1JJ« Х( (»), Хх B« - <¦>) = (-1JJ-X Хх М-
Частные значения
Х((О) = B7 + 1) 5Х0) Х( B*) = (-1J/B7 + 1) 5Хо,
х{М-И-1
- —X —1) N B7
BJ-\)llB1
J~l четном'
при 27 — X нечетном.
A9)
B0)
B1)

4.15. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 95
Рекуррентные соотношения
Обобщенные характеры удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:
л \ х -f 1
л™1 ЛК —у~ X Хт1
BХ + 1) ctg у х{И = VBJ + i)*-V х(_, («¦>) + VB/+ lJ_(x+lJ х{+1 (<¦>)• B3)
Эти соотношения повволяют найти все 2/ -f- 1 функций х{(ш) п0 одной известной x&r^)-
Асимптотика
При / -> оо и одновременно со -> 0 так, что 1(о = х остается конечным, имеет место следующее
соотношение:
i^m-gTqrrxJ («¦>)== М*). B4)
ш->0
где /х (ж) — сферическая функция Бесселя.
При со -*¦ О
1 -i/ B/ + X+1)!
+ 1I1 У V + 4> BУ-У ' B5)
4. Дифференциальное уравнение
Функции Хх(ш) являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка
=0 B6)
и, Г UX4- 1) Л
L 4sin2y J
с граничными условиями
х( @) = B/ + 1) Sxo, Х^ Bк) = (-1)" B/ + 1) 5Х0. B7)
5. Ортогональность и полнота
Совокупность функции Хх(@) образует полную систему ортогональных и нормированных функ-
функций одной переменной со, заданной в области 0 ^ со <[ 2л.
Условия ортогональности и нормировки
5 <*ш sm» у х{> И Х{« (<»)==»*/,/,• <28>
и
Условие полноты
со
/=0,72,1,... sin2-^
6. Теорема сложения обобщенных характеров
В случае, когда поворот Л(о>; в, Ф) является результатом двух последовательных поворотов
i?1(co1; &!, Фх) и Л3(<оа; ®2> Фг)> обобщенные характеры этих поворотов связаны следующим
соотношением:

96 Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Sin-о
¦ш [ B/ — к)! / Sln 2
= V B/ + Л + ~^ ^
)! / 2 1 V
2/ + 1) ~^ ^ 2b1)'B' + 1)mcosX)x?(«1)X^2)) C0)
\ sin -^ sm -^ sm х / гх
где Р^ (cos у) — присоединенный полином Лежандра от косинуса угла между осями поворотов
(в Фх) и п2(в2, Ф2),
cos х = (Щ • Щ) = cos вх cos в2 + sin вх sin в2 cos (Фх — Ф2). C1)
Угол результирующего поворота определяется соотношением
cos ~2 = cos ~2 cos ~2 — sin -^ sin -^ cos Х- C2)
7. Некоторые суммы, содержащие обобщенные характеры
а. Суммы по X
2/
X=0
2~~~ . 21 -\-1 j JM
X=0, 2, ...
X • X-l 2X+1 J JH _
X=l, 3, ...
В формулах C3)—C5) 7 — произвольное целое или полуцелое число, большее или равное \М\.
2\-\-1(к — \)\\ , ,„
__.,..... '' C6>
Х=0, 2, ...
21
22Х+1
27ТТ
Х|
!! (к — т — 1) И
2
Х=|т|
(X -\- т — четное),
<
2Х 2Х + 1 | ^(А + М'— М — 1) !! (X— Af'-f Л* — 1) М j JM, }
(—^ 2J + IV (к+М'— М) II (к— М' + М) !! Хх(р)С,гжХж,_ж = йлг^, C), C8)
(X -f- Л/' — М — четное),
б. Суммы по /
2/+v4-l)! X^(") 2/_ (-<Sin^) , C9)
B/v)! 'гттт -Bv)!! л^«)
,-
2
J=v/2
где Rz — l —

4.15. ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРЫ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ 97
+ 1) B7 — v)! B7 + v + 1) !
— v) x' H
D2)
(f sin t
l)B7-v)!B7+v
k *+j 3 / fsinT
— * cos —) \ \ 1 — t cos ~2
Здесь А; — произвольное число.
Функции, стоящие в правой части формул C9)—D4), можно рассматривать как производящие функ-
функции для ХхП-
8. Явный вид функций xxN
при частных значениях параметра X
а. При Х = 2/, 2/ — 1, 2/—2, 2/ — 3 обобщенные характеры имеют следующий явный вид:
1)\\ (sin тГ'
. 1 / D7) !! / ш W-i <й
-i (щ) = V2/ + 1 у D7-1)!! (sin yj cos T'
а^/Ч^'п (^п yJJ [47 cos» -j- l], D7)
, . j Г D7 — 2) !! / ыЧа'-зГ ш «1
Xiw, (») = ^27^1 |/ 6 D/_ з)М (sin yj j_47 cos" -j - 3 cos yj. D8)
б. При X = 0, 1, 2 функции ХхС'0) имеют вид
ю
sinB7 + l)T cos/u)_cos(/
X^H- — = \
ш 1 — COS (
sin ~2
(O 0)
l)TsinT-sin7a> _t 7 8in
•7G + 1) 1-cos
[[3-27B7-l)Sin2y]sinB7 + l)-| 3 ^ cog J(o
E1)
Обобщенные характеры выражаются через производные от х^М п0 ш:
x^H = xJH,
\J] G + 1) dc0 '
7 Д. А. Варшалович и др.

98 Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
<52>
B/ + 5) !
•5 [6/
B/ — 4) ! Г .
CG-1) /(/ + !)(/ +2) XJ
9. Явный вид хх(<°) при частных значениях /=0,1/2,1,3/2,2
=7f sinT>
H = 1+2 cos (о,
(ft)) = V^ sin ft),
-,/2"
(ft>) = J/ y(l —cosu);
ft) Ш / ft) \
3/2 x°'2 (m) = ^ cos ш cos "== ^ cos ~ \^ cos2 ~2 — ^ /'
B + 3)i iF«l) 153)
cos T = -^r sin у sin »,
8 / . ft)\» ft) 4
7f (^n yj cos T = -^
4 to 8
i (* )
4 to 8 / <o\s
хз2 (w) = Trffsin T (* - соз"ш) =7frT lsin T/
Xo(m) =1* cos2u + 2 cos со — 1,
x5 (w) = f/ "з" sin ft> (i + ^ cos ft>),
Xl (ft>) = у у C + cos w — 4 cos2«),
Xl (ы) = 2 I/ — sin ft) A — cos со),
4.16. ВИДЙ^, (a.p.f) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ УГЛОВ а.рл
В формулах, приведенных ниже, ге и I — целые числа.
DJMM,{0, 0, 0) = bMH,f A)
DJMU, (а, +2гетх, "() = ЬХМ, (—iJnJe~iM(-a+i\ C)
^лглг (а> i Bп + J) л> 1) — 5-iifiif' (~~1
. / те \ „ „, ,я„ ,т„, 1 i/ (/ + ^f) ! (/ — Л/)!

4.17. ВИД DJMX, (a, р, 7) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
99
В частности, при целочисленных значениях / из E) получаем
1+т
l-m
2
¦ e-im1,
1)
(-1)
Квадраты ?)-функций при {3 = п/2 могут быть представлены в виде
[М-*. ОТ-
ЧКЧ-W
1=0,2,4,...
Таблицы численных значений 1Уия, (О, —, 0)~dJMM, Г-jJ при 0^ 7 <^ 5 даны в 4.21.
4.17. ВИД DJMM, (а, р, Т) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
1. М=0 или М' = 0, A=1—целое)
(«. Р. 7) - (-1)"
р'я) =
В частности,
. P. If) = Pi (cos р),
/Ц1 + :
sin 1
P. T)-
1)
2 cos 9
F)
G)
(8)
A)
B)

100
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
2. М== ± 1/2 или М = +1/2 (/—полуцелое)
В частности,
±Т-Уз-ъ *!,-*>$> If)}»
2/ + 1 sin -y
+ f' 7 ^-7,4-7,-лг №> a))«
D?h./, («. P. If) =
sin y
sin y
Р- ¦)
р
cos ~2
Г {P*V, (cos P) - PJ-4> (cos W )>
7+
(«. P. f) =«
Г {^^ (cos P) + ^-v» <cos P)}.
+ p'j-4, (cos P)}.
i/rJ/l («. P, 7)
p
,-2+r cos у
2
(¦<)
3. lf= +1 или M'=±\, G= Z—целое)
В частности,
sin
m sin рУ,_т (p, a) ±
?n («, P. 7) = e
4i-i («, P. 7) =
1 + cos S
(p> a) e-<aJ .
(cos p) + A T cos p) P? (cos 3)},
cos S
(cos P) ± A ± cos p) PJ (cos p)}.
E)

4.18. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ DJMX, (а, р, т)
101
4. М= ± (/—1) или М'=± (/—1)
**. С Р. т) = (-1)—1
- ») ¦ (cos В*"" (sin У""
(а, Р, Т, = (_1)*-1
cos
Явный вид
5. М= ±1 или М' — ±1
djju(«, е, -т)°/(/ +
B/)
{J+M)l[l
B7)
(J+M)\(j
B7)
{J+M)\[i
B7)
!
'-M)\
!
г — М) !
!
Г — Д/) 1
!
(p) при /=0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5 дан в 4.21.
I)"*(-sin l
(8)
4.18. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ DJXM, {а, 3,
1. ВИД /%ж,(а, р, Т) При
^ «•
¦x
+ U^J-
Индексы s, p., v связаны с /, М, М' соотношениями 4.3A4), величина 1Мм> дается форму
лой 4.3A5).
Если 7 —*¦ оо, а р—>0, так что 7C—»- const, то
B)
Ллгж' («, Р. Т)» в-«-"Т/ж_^ (/?),
где 7я(ж) — функция Бесселя.
2. Вид /%ж,(а, р, т) при р<1 и «-К1-
C)

102
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
ТАБЛИЦА 4.2
Автор, работа,*
год
Эдмондс[1в],
1958
Роуз[31], 1957
Бринк, Сэчлер
[»], 1968
Месси **, 1960
Тинкхэм f38],
1964
Ньютон [28J,
1969
Балдин, Голь-
данский,
Розенталь [3],
1968
Де Шалит,
Тальми [**],
1963
Долгинов [14],
1961
Давыдов [И],
1963
Бор, Моттель-
сон18], 1971
Вигнер [«],
1961
Роуз[30], 1955
Эдмондс[64],
1957
Фано, Рака[18],
1959
Берестецкий,
Лифшиц,
Питаевский [•],
1968
Гельфанд,
Минлос, Ша-
Шапиро [2(>], 1958
Любарский рв],
1958
Виленкин Г41],
1965
Юцис, Банзай-
тис[46], 1965
Последователь-
Последовательность поворотов,
углы и оси
вращения
То же
» »
» »
» »
» »
* »
То же
» »
e<J.e<V9e<-it.
То же
» »
То же
» »
Вид преобразования из системы в
4fJM (9, <р) =
«¦/*»(»'.?')
ш
То же
» »
» »
» »
То же
То же
Я'
if
систему
Р («. 8- Т)
/jp(»'. ?')
Г'(а. Р, Т)
IP («. Р. Т)
if («, Р.Т)
Связь функций, используемых в работе
(левая, часть), с D-функциями данной
книги (правая часть)
О$р(«. P. i)=DJMM,(a, P, 7)
То же
» »
» »
» »
^лг'(а. Р. Т)=-»1глг'(-а. -Р. -Т)
То же
Лйр(«, P. T)=-^iJr(-«,-p1-T)
То же
!>&(-. Р,Т)-^(-Т. -Р.-)
rjfjp(«.P.T) = (-<) ^jrjP(e.p,T)
л5гж»(«. P. T) = (-0if-if'^W(a. P. D
^(«.Р.7)-(-0*-*Ь'„(^р.Т)
* Во всех перечисленных в таблице работах использовалась правая система координат и отсчет углов
производился по правому винту. Всюду, кроме [**], рассматривался поворот системы координат, а не физи-
физической системы.
** Messiah A., Mecanique Quantique. Paris, 1959.

4.20. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ dJMM, (Р) при у < 1 < 5
103
При те—
2(v
3. Вид 1Ухм,(а, р, у) Для бесконечно малых поворотов
а. Поворот вокруг оси х на угол е (е<^1)
8 А/ «О (/ М' 1)
' — M') (/ + М' + 1) — fbxx,_1 V{1 + М') (J—M'+ 1). E)
5. Поворот вокруг оси у на угол е (е<^1)
lim — [рхх, @, е, 0) — 5лглг»1 = —*
•-И)
1
в. Поворот вокруг оси 2 на угол в (s <^ 1)
lim — [DXM, (e, 0, 0) - Sjfjp] = -
б—^0
-W + 1). F)
б—^0
г. Поворот вокруг произвольного направления п(9, Ф) на угол
lim — [pJxx, (а, р, 7) — &лглг'] == —'
--j sin в е"<ф V(/-M')(/ + M' + l) »„,+! -4" sin в в'* •(/ +М') {J -М' + 1) 5ЯЛГ,_г (8)
—iM cos
В формулах E)—(8) J является оператором полного углового момента (см. 2.1).
4.19. СОПОСТАВЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ JD-ФУНКЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ РАЗНЫМИ АВТОРАМИ
В работах разных авторов использовались различные определения поворотов и /^-функций.
Их связь с определениями, принятыми в данной книге, дана в табл. 4.2.
4. 20. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ dJxx, (Р) ПРИ 1/2 < / < 5
В таблицах, представленных ниже, dXXi ф) даны как функции аргумента C при цедых / и
аргумента C/2 при полуцелых 7. При 7^5/2 формулы приведены только для тех функций djiit' (P)»
у которых М > 0, а | М' | ^ М. Функции dXX' (Р) при М <^ 0 или | М' | > М могут быть получены
из этих формул с помощью свойств симметрии 4.4.
Формулы для явного вида функций йлгаг (Р) при частных значениях I имеются также в рабо-
работах [116, 129J.
Таблицы численных значений ймм'ф) приведены в работе [114].

104
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
ТАБЛИЦА 4.3
ТАБЛИЦА 4.4
dMM' (Р)
М ^Ч
1/2
-1/2
1/2
cos —
р
smy-
-1/2
— sin-
cos -
P
2
P
2
\ м-
м \
1
0
1
1
1 + cos p
2
sinP
• 2
1 — cos 8
2
0
sin p
cos р
sinP
</~
-1
1 — cos р
2
sin p
1 4- cos p
2
ТАБЛИЦА 4.5
3/2
1/2
-1/2
— 3/2
1
уГТ
•"Г
3/2
cos3 -
sin у
8
sin3 -
в
2
- COS2
- cos -
в
2
В
2
3
~
1/2
в
— v 3 sin у
B 1
cos у1 3 cos5
cos2
9
p / 8
—sin у C sin2 у
. a p
cos -
1
— iL
P
2
0
— 1
/T sin2 -
/2
P
¦9* cos
в / в
sin — ( 3sin* y
p / 3
cos у C cos2 у
/— В
\/ 3 sin -^
- cos2
p
2
-2)
-2)
в
2
-3/2
-sin3 у
V 3 sin2 у cos у
,— в p
— V 3 sin у cos2 у
8
cos3 у
ТАБЛИЦА 4.6
X
2
1
0
—1
2
2
A 4- cos PJ
4
sin 3 A 4- cos P)
2
sin P A — cos^P)
2
A — cos PJ
4
1
sin p A 4- cos p)
2
2COS2 p 4- cos p — 1
2
Г о
1/ sin p cos P
2cos2p—cosp —1
2
sin p A — cos 8)
2
0
]/ 2 sinPc°s^
3 cos2 p — 1
2
У ~ sin p cos P
2 Г 2 ^
—1
sin p A — cos p)
2
2cos2P —cosp—1
2
— 1/ 3 sin p cos p
2 cos2 p 4- cos p — 1
2
sin P A 4- cos P)
2
—2
A — cos PJ
4
sin P A — cos S)
2
sin P A 4- cos P);
2
A 4- cos PJ
4

4.20. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ dJMM, ф) при у «S / «S 5
105
ТАБЛИЦА 4.7
M'
5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
—5/2
М = 5/2
р
cos6 у
. р р
— V 5 sin -it cos4 -s-
, a a
/TO sin8 у cos3—
. p з
— V 10 sin3 у cos2 y
p p
v 5 sin4 у cos —
В
-sin6 у
M'
3/2
1/2
-1/2
—3/2
M'
1/2
-1/2
М = Щ2
В / 8 \
cos3 у A — 5 sin2 у)
. в p / a \
— V2 sin у cos2 у 12 — 5 sin2 yj
— V~2" sin2 у cos у B — 5 cos8 yj
В / 8 \
sin3 у A — 5 cos'y 1
M=l/2
P / P ?\
cos у ( 3 —12 cos2 у + 10 cos* у J
В / 3 3 \
— sin у ( 3 —12 sin2 у + 10 sin* у J
ТАБЛИЦА 4.8
л/'
3
2
1
0
—1
2
—3
М'
2
1
Ж = 3
-g- A + cos ЗK
- ^А. sin 3 A + cos ВJ
. *? sin2 3 A + cos P)
8
^sinas
4
V 15. sin2 3 A — cos P)
8
— 6_sinP(l — cospJ
8
-g- A - cos pK
M = 2
— -j- A + cos P)aB — 3 cos 8)
-10 sin p A — 2 cos p — 3 cos2 P)
8
M'
0
—1
2
M'
1
0
—1
Л/'
0
M = 2
\/ on
^u sin2p cosp
— Ц®- sin p A + 2 cos p — 3 cos2 p)
О
— A — cos PJB + 3 cos p)
M = i
— -g- A + cos P) A + 10 cos p — 15 cos2 P)
^ sin p A — 5 cos2 P)
4
— -g- A — cos P) A — 10 cos p — 15 cos2 p)
M=0
— — cosp C — 5 cos2 P)

106
Гл. 4. D-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
ТАБЛИЦА 4.9
М'
7/2
М'
7/2
5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
-5/2
—7/2
М'
cos
3
7 у
— vT"
cos*
-у
sin
ft ft
/35" cos* у sin«-y
ft ft
sin*-y
cos» у
^ ft Э
— Vr2Tcos2ysin8y
.__ В 8
V 7 cosy sin* y
-1/2
—3/2
—5/2
V 5 cos2 у sin3 -|" (з — 7 cos2 y
— VT cos у sin* -^2 — 7 cos2 -y J
sin»-y (l-7 cos»-y)
3/2
1/2
-1/2
—3/2
cos« у A0 — 30 cos2 у + 21 cos* y)
8 8/ 8 8 \
¦^15 cos2ysin-yB —8 cos2-y +7 cos*-yj
, 8 8 / в 8 \
V 15 cos у sin2 -y (^2 - 8 sin2 у + 7 sin«-yj
—sin? у (lO — 30 sin» -y-+21 sin* у)
5/2
3/2
1/2
cos8 y^l —7sin2-y)
О ft / ft \
¦ /T cos* у sin -y ^2 — 7sin2yJ
•T cos3 у sin2 у (з - 7sin2 у)
M'
M = 1/2
1/2
-1/2
—cos
8 / 8 В 8 \
у D — 30 cos2 у + 60 cos* -y — 35 cos* у J
8 / 8 В 8 \
у \i — 30sin2 у + 60sin*-j — 35sin'y-J
ТАБЛИЦА 4.10
' (P)
/И"
Л/'
4
3
2
1
0
-^-A +cos 8)«
sin» 8A+ cos Й»
sin* a (i + cos 8)
1
2
—3
—4
Sin3S(l-cos8)
^ 7 sin2 8A — cos
8
sin 8A-cos Й)?

4.20. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ dJMM, (Р) при у < / < 5
107
ТАБЛИЦА 4.10 (продолжение)
М'
3
2
1
0
-1
-2
-3
М'
2
1
ж=з
— -g- A + cos P)s C — 4cos p)
^ sin p A + cos PJ A — 2cos P)
8
— -LJ— sin2 p A + cos P) A — 4cos P)
^ sin3 p cos p
4
1 ' - sin2 p A — cos P) A + 4cos P)
— —p- sin p A — cos PJ A + 2 cos P)
-g- A — cos PK C+4 cos P)
M = 2
-j- A + cos PJ A — 7 cos p + 7 cos2 P)
iA. sin p A + cos P) A + 7 cos p — 14 cos2 8)
8
At'
0
—1
2
Ж'
1
0
—1
At'
0
M = 2
' 1U sin2 p A 7 cos2 P)
8
* sinp(l cosp)(l 7cosp 14 cos2 P)
8
-?- A — cos pJ A+7 cos P + 7 cos2 p)
M=l
-g- A + cos P) C — 6 cos p—21 cos2 p + 28 cos3 P)
0 sin p cos P C — 7 cos2 p)
— -g- A — cos P) C + 6cos p—21 cos2 p — 28 cos3 P)
M = 0
-g- C — 30 cos2 p + 35 cos4 P)
ТАБЛИЦА 4.11
At'
9/2
7/2
5/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
-5/2
-7/2
—9/2
Ж = 9/2
P
cos» ~y
p p
—3cos8 -у sin -tj-
8 p
6cosT -j- sin2 -j-
. p p
—2 V 21 cos6 -j- sin3 •%¦
.88
3 у/ 14 cos8 -j- sin4 -j-
, 8 P
—3 \^14 cos4 -j- sin8 -y
, P P
2 V/21 cos? -j- sin» -y
8 3
—6cos2 -j- sin? -y
p p
3cos -y sin8 -у
—sin» -y-
M'
7/2
5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
-5/2
—7/2
M'
5/2
Ж = 7/2
cos?-|-(l-9sin2-y)
В В / В \
—2 cos6 -y sin -y B — 9 sin2 -уJ
Й ft / Й \
2 \/T cos? -y sin2 -y (i — 3sin2-yj
, 8 P / P \
— v' 14 cos4 -y sin3 -y (^4 — 9 sin2 y-J
. . а в / В \
— vU cos3 -y sin4 -y D — 9 cos2 -yj
2 у^гТ cos2 -y sin8 у (l - 3 cos2 -y)
@ В / В \
—2cos -y sin* -y B — 9 cos2 -yj
p / a \
sin7 -y (^1 — 9 cos2 -yj
M = 5/2
p / p 8\
cos6 -y B1 — 56 cos2 -y- + 36 cos* у)

108
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
ТАБЛИЦА 4.11 (продолжение)
М'
3/2
1/2
-1/2
-3/2
—5/2
М'
3/2
М = 5/2
3 0/ В В\
— v'21 cos4y sin у (^5 — 16cos2y+12cos4yJ
. 3 3/ 3 8\
v44 cossy sin2 у (^5 — 20 cos2 у+18 cos4 у]
— VIA cos2 у sins -| E — 20 sin2 у + 18 sin4 у )
8 8/ В 3\
V^21 cosy sin4y E—16 sin2y + 12sin4yj
8 / В В \
—sin» -y B1 — 56sin2 -y + 36sin4уj
M = 3/2
3-/ 8 3 3\
—cos3y B0—105 cos2y -f 168 cos4y— 84 cosey \
M'
1/2
-1/2
—3/2
M'
1/2
—1/2
M = 3/2
,— 38/ 3 3 3\
v 6 cos2 у sin уE — 35 cos2 у -f 70 cos4y—42 cos6 -g 1
• cosysin2yf5—35sin2y+70sin4y— 42sin6-|)
—sin" jB0 —105sin2 y + 168sin4-| — 84siney)
M=l/2
P / 8 3 8
cos у E —60 cos2y + 210 cos* у — 280 cos6 у -f
3 \
+ 126 cos8 у J
. 8 / ft 8 3
—sin у [5 — 60sin2y+ 210 sin4у—280 sineу +
+ 126 sin8-|)
ТАБЛИЦА 4.12
dMM> (?)
M'
5
4
3
2
1
0
—1
—2
q
4
-5
Ж = 5 Ж'
2- A + cos В)»
J Л{\
-Jl_^.sinHl+cos8L
3 i 5 . sin2 3 (l + cos 8K
\J Of)
- v 7 sin3 8 A + cos 3f
-^-sin4P(l + cosP)
- ',7 -»
-^lsin4p(l-cos8)
- ^ sinS8(l-cos3J
3V15 sin2 3A- cos ep
- ^2° sin 8 A _ cos 3L
-32-(l-cos3)»
4
3
2
1
0
—1
—2
—3
—4
W
3
Ж = 4
-^A + со8,3LD-5со8 8)
3^2 sin 8 A + cos 3)s C 5cos3)
— 2 ;„3 sin2 В A + cos 8)» B 5 cos 3)
Id
-L±L sin3 8A + cos 3) A — 5 cos 8)
16
3vr^sin4Scos3
16 ' v
— ^^ sin3 3A — cos 3) A + 5 cos 3)
16
2V^3 sin2 3A — cos 8J B+ 5 cos 3)
16
— 3 ^ 2 sin 8 A — cos 8)8 C + 5 cos 3)
1L(l_Cos8LD + 5cos3)
M = 3
-^- A + cos 8K A3 - 54 cos 8 + 45 cos2 3)

4.21. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ dJXM, fy) при у < 7 < 5
109
ТАБЛИЦА 4.12 (продолжение)
M'
2
1
0
« см со
1 1 1
М'
2
1
0
М = Ъ М'
— —Ё- sin p A + cos PJ A — 12 cos p +15 cos2P)
l/ ДО
— v™ sin2 3 A + cos P) A + 6 cos p 15 cos2P)
35 sins|5 A 9 cos23)
J АО
— ^ sin2 p A — cos P) A — 6 cos p 15 cos2p)
— \У sin p A — cos PJ A + 12 cos p + 15 cos2 p)
1
-gj A — cos pK A3 -f 54 cos p + 45 cos2 P)
M = 2
•j- A + cos PJ A + 3 cos p — 18 cos2p + 15 cos3p)
— 7 sinp(l + cosp)(l —3cosp 9cos2p+15cos3P)
О
— fu sin2 p cos p A 3 cos2 p)
О
—1
—2
M'
1
0
—1
M'
0
M = 2
^2- sin p A —cos P) A + 3 cos 8 — 9 cos2 p —15 cos3P)
8
— -j A — cos 8J (l — 3 cos p — 18 cos2 8 — 15 cos3 P)
M = l
1
¦Jq A + cos P) A + 28 cos p — 42 cos2 8 —
— 84 cos3 p + 105 cos* 3)
— 30 sin p A — 14 cos2 p + 21 cos4 P)
16
-jg- A — cos P) A — 28 cos p — 42 cos2 p +
+ 84 cos3 p + 105 cos1 P)
M = 0
¦g- cos p A5 — 70 cos2 P + 63 cos* P)
4.21. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ dJMM, (^) ПРИ у < / < 5
С помощью dJuw \-j) можно вычислять значения /^-функций Вигнера для произвольных углов
а, р, у по формуле
мм>
—1 е
M"=-J
' \ 2
Эта формула может быть получена с помощью последовательного сложения поворотов. Ниже при-
приведены таблицы di,, (у) для значений 7 = 1/а. 1» 3/2. 2, 5/2. 3. 7/г> 4> 9/2. 5 (табл. 4.13—4.22).
ТАБЛИЦА 4.13
ТАБЛИЦА 4.14
ТАБЛИЦА 4.15
N. М'
М ^ч
1/2
-1/2
1/2
1//Т
-1/2
-1//Т
м \.
1
0
—1
1
1/2
1//T
1/2
0
-1//2"
0
1//2"
—1
1/2
-1//2"
1/2
N. М'
М N.
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2 v/T
\/~Ъ12^~2
fWI'2^~г
1/2 /Т
1/2
-•/2/2
—1/2/2
1/2/2
•"з/гу'!
-1/2
•/2/2
—1/2^1
—1/2/2
/з/2>/1
—3/2
—1/2/2
/3/2/2
-/3/2/2
1/2/2

110
Гл. 4. Я-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
ТАБЛИЦА 4.16
lMM'
> (у)
\ M>
A
CSI
1
0
—1
—2
CSI
1/4
1/2
/3/2 /2
1/2
1/4
1
-1/2
-1/2
0
1/2
1/2
0
/3/2/2
0
-1/2
0
/3/2 /1
-1/2
1/2
0
-1/2
1/2
—2
1/4
-1/2
/3/2/1
-1/2
1/4
ТАБЛИЦА 4.17
4jt^
л
5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
-5/2
5/2
1/4/
•/4/2
•3/4
•3/4
•3/4 /2
1/4/2
3/2
-•3/4 •!
—3/4/2
—1/4
1/4
3/4 /
•3/4 • 2
1/2
•3/4
1/4
-l/2/S
-1/2 /2
1/4
•3/4
-1/2
-•3/4
1/4
1/2/2
—1/2^2
-1/4
•3/4
—3/2
•3/4/2
—3/4^2
1/4
1/4
—3/4/2
•3/4 • 2
—5/2
—1/4/2
•3/4/2
-•3/4
•3/4
-•3/4 ^
1/4 • 2
ТАБЛИЦА 4.18
d* -^
3
2
1
0
—1
CSI
—3
3
1/8
/T/4/T
/FT/8
•T/4
/FT/8
•T/4 /2"
1/8
2
-•T/4VT
-1/2
—•T/4 •T
0
/T/4/T
1/2
/T/4 VT
1
/FT/8
/T/4/T
-1/8
-•T/4
-1/8
/T/4/T
/FT/8
0
-/T/4
0
•T/4
0
-•T/4
0
/574
—1
• 3-5/8
—/T/4 •T
-1/8
•T/4
-1/8
-•T/4 •T
•FT/8
CSI
-VT/4/2"
1/2
-/T/4 /2"
0
/T/4/T
-1/2
• /T/4 /T
—3
1/8
-•T/4 •T
•FT/8
-•T/4
/FT/8
—•T/4 vT
1/8
ТАБЛИЦА 4.19
7/2
5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
—5/2
-7/2
7/2
1/8 VT
•Т/в^Т
•ТТ/8^Т
•TT/svT
•ТТ/8^Т
•Т^Т/в^Т
VT/s^T
1/8^2
5/2
—•7/8^2
—5/8 •Т
—з •l/s •"!
— •T/s •Т
•Т/8^Т
з^Т/вуТ
5/8 vT
• 7/8^2
3/2
•ТТ/8 vT
3 •T/S VT
1/8/2"
-•зТ5/8/Т
—•з~3/8^Т
1/8/Т
3 •Т/в /~
• 3-7/8 •г
1/2
—•5-7/8 •г
—•Т/8 •Т
—vT3/8^T
3/8 •Т
—3/8vT
—/з^З/в/Т
/T/evT
• 5 • 7 /8 • 2
-1/2
• 5 • 7 /8 vT
—•Т/8 •!"
-/3TS/8/T
3/8 vT
3/8 /Т
—vTTE/evT
-•Т/8 •?
•5-7/8/2
—3/2
—vTT7/8^T
з •T/s vT
-1/8/2"
—vT3/8^T
•зТ5/8^Т
1/8/Т
-3 •l/S /2
• 3 ¦ 7 /8 • 2
-5/2
•778/2"
—5/8 •Т
3 •Т/в /Т
—•Т/8 •Т
-/Т/8 /Т
3 /Т/8 •Т
—5/8/2"
vT/s •г
—7/2
-1/8 •!"
•Т/8 •"
—уТ7/8^Т
/5^7/8 /Т
—•5Т7/8/2"
/JPT/evT
—•7/8 v^"
1/8/2

4.21. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ dJMM,(j) цри -j
111
т
со
см
1
о
см
со
X
1/16
-1/4
1
1
1/16
1
3/8
ir
1
-V7/8
|см
V7/4
-3/8
1
со
VT/8
1/4
I
t
1/4
1
VT/8
CSI
[см
«I
со
VT/
-3/8
3/8
h
—1/4
-VT/8
CSI
°
|eg
1
CO
[CM
?
1
о
leg
1
.00 И
-VT
VT/4
leg
¦5. -
1
t
°^
22. "^
(CM
—1/41
1/4
тч eg
1 1
—1/4 V 2
00
1
v'T
Iе*"
1
-VT/8
00
VT/4
3/8
CO
1
1/16
leg
1/4 V
I
1
1
i/i6
4
3
eg
|
CM
I
1
CM
in"
CO
I
1
Si
1
1
<M
со"
CM
in" '
7/2
eg
CD
TH
CD
"со"
leg
3/8
1
778
1 •
|co
CD
ЧН
7
§
CO
~>
со
1
[см
jO
CO
CD
CO
1
1
CD
"^"
CD
•**
"со
J.
CD
¦ 1
[eg
•22.
in
i?
Ico
1
CD
Г/16
00
1
•22.
/16 V 2
1
1
CD
CO
eg^
00
)
[CM
Icm
^>
T
о
00
h
о
I
Tn^
1
1
00
CO
eg_
Д"
CO
CO
I
1*7
|co
1
о
h
CM
CO
|co
1
378 |
CM
c?
->
-->—„
CO
1
^r
CO
eg
CO
CD
•22.
i^"
¦22.
[со
1
1
[CM
•^2.
7
+
•22.
->.
1
/T/16 1
"Г
|
Vie
CO
CM
¦*¦¦
7i6
CO
—
1
00
5"
1
1
(*»
"со"
fc
"со
left
1
7/8
1
7/16
Vie
CO
CM
1
I
Г
[со
1
1
|CO
о
1см
Ico
'Г/в |
[см
-1/2
t-
CO
->
00
>
CM
1
t
•22.
CO
•22.
in
jeg
¦G.
О
¦jo.
1
f
1
о
JCM
CM
'r
[см
00
00
CO
CM
1
CD
7
t-
1
1
leg
00
7
lg
Ico
1
CO
1
7i6
jc.
CO
i
•22,
m
CD
t—
[csi
CO
t
CD
"со
eg
•22.
CO
t
00
•
CO
t-
CO
CO
00
¦>
CM
00
CO
CM
¦>.
CD
tH
1
CO
1st
CO
CO
CM
1
CD
¦
••-»
CM
1

ТАБЛИЦА 4.22
X
5
4
3
2
1
0
—1
—2
—3
—4
—5
5
1/32
V5716 VT
3 VT/32
V3T5/8VT
V3 • 5 • 7/16V2
3 VT/16
V3 • 5 • 7/16V2
V3T5/8VT
3 VT/32
VT/16 VT
1/32
4
—VT/16 VT
-1/4
—9/16 VT
-VT/4
-V3T7/16
0
VF7/16
VT/4
9/16 VT
1/4
VT/16 VT
3
3 VT/32
9/16 VT
13/32
VT/8 VT
-V3T7/16V2
-V5T7/16
-V3T7/16V2
VT/sVT
13/32
9/16 VT
3 VT/32
2
—V3T5/8VT
-VTA
—VT/8 VT
1/4
VT/8
0 -
-VT/8
-1/4
VT/8 VT
VTA
V3T5/8VT
1
V3 • 5 • 7/16V2
V3T7/I6
—V3.7/I6V2
—VT/8
1/16
V3T5/8VT
1/16
—VT/8
—V3.7/16V2
VTT/16
V3 • 5 • 7/16V2
0
-3V7/16
0
V5TT/I6
0
0
V3T5/8 VT
0
-V5T7/16
0
3 VT/16
-
V3 • 5 • 7/16V2
-V3T7/I6
-V3T7/I6V2
VT/8
1/16
-V3T5/8VT
1/16
VT/8
-V3T7/16V2
-V3T7/16
V3 • 5 • 7/16 VZ
-2
—V3-5/8V2
VT/4
—VT/8 VT
-1/4
VT/8
0
—VT/8
1/4
VT/sVT
-VT/4
V3T5/8VT
—3
3 VT/32
—9/16 VT
13/32
— V 0 /0 V 2i
V5T7/16
-V3T7/16V2
-VT/8VT
13/32
-9/16 VT
3 V^~5~/32
—4
—VT/16 VT
1/4
-9/16 VT
VT/4
-V3TT/16
0
V3T7/16
-VT/4
9/16 VT
-1/4
VT/16 VT
—5
1/32
—VT/16 VT
3 VT/32
—V3T5/8VT
V3 • 5 • 7/16V2
—3 VT/16
V3 • 5 • 7/16V2
—V3~T/8VT
3 VT/32
Vr/16 VT
1/32
4.22 ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ ДЛЯ UJMJ[, (ш; в, Ф) ПРИ / = 1/2, 1, 3/2, 2
ТАБЛИЦА 4.23
ТАБЛИЦА 4.24
\ w
1/2
-1/2
T 7 /a / • С
\J iV «jy 1 CO. v
1/2
cos у — i sin у cosw
—isin -it sin вегФ
-1/2
—isin у sin ве~г
cos у -\- i sin у cos в
M N.
1
0
-1
^cosy-
—iVT sin
X ^cos у -
— (sin
1
w \2
г sm у cos 61
у sin 8ег'ф X
@ \
- i sin у cos 81
2 /
и
— iVT
x(cos
1 -
—iVl
x(cos
«;в,
0
@
smy
T~'
- 2sin2
sin 2
CO
y + i
Ф)
sin
sin
@
ве гФ Х
CO \
~2 cosO 1
у sin28
- sin
sin
ве^Х
у cosej
— 1
— ( sin у sin ве~гФ J
—iVTsin 4sin8e~i<bX
/со со \
X (cos ТГ+ t sin -g- cos6 1
/со со \2
(cos ~2 + ^ sin " C0S^J

4.22. ТАБЛИЦА ФОРМУЛ ДЛЯ UJMM, (со; в, Ф) при /=1/2, 1, 3/2, 2
113
eg
со"
I
eg
со"
¦I
X
ад
CD
3
Ф
3 |csi
Я
X
.s
'3
•3 3 см
X
Ф
CO
8
3 |rg
3 eg
X
Ф
3 |eg
CO
+
3 leg
X
CD
.3
CO
3 |«M
a
•3
ф
3 |eg
m
о
о
X
X
3 leg
Ъ
3|eg
eg
X
X
•в
CD
и
з |см
'со
3 |eg
I 3h
I 8
"~^ X
X
ф
3|eg
_Я
'со
[со
3|csi
.3
'
3 |ед
с»
X
x V
I i
Ф 3 |eg
.3 a
- -3
.3 I
? T
X
ф^
Гз
со
ф
со
о
о
3 |ед
.3
СО
X
3 |ед
a
ф
X
ф
.3
со
3 |ск|
'Й
X
X
ф
.3
СО
З|см
X
ф
I
з|<м
•в
X
ф
"со
3|см
(со
З|ед
'3
3|ед
X
X
ф
'Я
ф
3|ед
I
з|см
X
¦I
3 |ем
.3
со"
is
.3
*со
3 |ед
Я
X
я
з|см
с

3|см '
a 3lf
v^ 8
— о
X
X
Ф
» 3 |eg
.3 -3
со со
3|ем ~
"I. З[см
I X
X
Ф
я .3
 м
3|eg J
.3 3h
е5 g
X
Ф
3 eg
8 Д. А. Варшалович в др.

114
ГЛ. 4. Д-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
В
ч
W
X
©
ф
ф
3
о
3 \со
В,
'й
.3 3 ем
СО
о
о
3 |см
'со
X
X
©
ф
_я
'й
***
СО
8
3 |см
Я
'Й
З|см '-
X
3 ем
X
X
©
ф
X X
[со
X
X
X
•а
ф
3 |ем
3 |см
X
X

Глава 5
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Сферическая (шаровая) функция Y,m ($, <р) есть однозначная непрерывная комплексная функ-
функция двух вещественных переменных & и % заданных в интервалах 0^ &^ я, 0 ^ у ¦< 2 к. Она
характеризуется двумя параметрами I та. т, которые принимают значения 1=0, 1,2,... и
т=1, 1—1, 1—2, . . . — I. Таким образом, при заданном I имеется B1+1) независимых функций,
соответствующих различным значениям т. Функция Ytm ($, 9) и все ее производные однозначны,
непрерывны и ограничены по модулю.
Важная роль сферических функций в квантовой механике определяется тем, что они являются
собственными функциями оператора орбитального углового момента. Они характеризуют угловое
распределение частиц, обладающих орбитальным моментом 1, квадрат которого равен I (Z+1),
а проекция на ось квантования равна т.
1. Коммутационные соотношения
Сферические функции Ylm ($, у) являются компонентами неприводимого тензора ранга I (гл. 3).
Поэтому они определяются своими коммутационными соотношениями с оператором орбитального
момента
j^, Ylm (Ь, г)] = ъ
где L^ (9, 9) —циклические компоненты оператора L (см. 2.2 A8)).
Трем коммутационным соотношениям, отвечающим р=1, 0, —1, соответствуют три уравнения,
которые можно представить в следующем виде:
2. Дифференциальные уравнения
Из коммутационных соотношений A) следует, что У,м(&, у) являются собственными функциями
операторов L2 и Ьг\
L*Ylm (»,?) = 1 (i + i)Ylm (*,<e),
U
или в развернутом виде
Уравнения D) инвариантны относительно любого из следующих преобразований:
а) j_W = _i_-l;
б) &_¦_.» (или & -> п — &);
в) пг -*> —т, <р -> —у.
8*

116 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Граничные условия
Уравнения D) являются уравнениями второго порядка и при фиксированных значениях пара-
параметров I и т имеют два линейно независимых решения. Однако лишь одно из них является
регулярным, т. е. удовлетворяет условию | Ylm(§, <p)|2<^oo, тогда как другое обращается в бес-
бесконечность при & = 0 и & = п.
В квантовомеханических приложениях основной интерес представляют регулярные решения,
которые и будут рассмотрены ниже. Выбор регулярного решения определяется следующими
граничными условиями:
Ylm {'
Ниже рассматриваются лишь функции Ylm (&, <р) с целочисленными значениями параметров I
и т (причем | т | ^ I), поскольку только при таких значениях параметров удовлетворяются условия E).
4. Нормировка
а. Дифференциальные уравнения D) и граничные условия E) однородны и поэтому определяют
Г/От(&, <р) лишь с точностью до произвольного комплексного множителя, абсолютная величина
которого определяется из условия нормировки.
Условие нормировки и ортогональности функций Ylm (&, <р)
••Яг тс
Ч J db sin iYjm (ft, y) YVm, (в, ?) = Ьи,Ьтя,. F)
о о
б. Иногда вместо YХт (&, <р) используют функции С1т(§, <р) (см., наиример, [9, 24J), отличаю-
отличающиеся от YJm(&, <p) нормировочным множителем
¦ZfjYim(b, у). G)
Функции С1т(Ъ, <р) удовлетворяют условиям
2 С1т (в, у) Сг_т (в, 9) (-1)- = !, С1т @, 0)=5то,
Для этих функций условие нормировки и ортогональности имеет вид
2тс тс
j йЪ sin &qm (в, ?) С,,,, (в, у) = -Щ^ 8и,5„,т,. (9)
5. Выбор фаз
а. Разности фаз функций Y[m (&, ср) и Ylm, (&, <р) с яг = т' + 1 определяются коммутационными
соотношениями A). Пользуясь этими соотношениями, можно найти для каждого I относительные
фазы всех B1 -f- 1)-функций Ylm(b, <p) с различными значениями т.
Общий фазовый множитель можно фиксировать, задав фазу одной из функций Ylm(&, у) при
каком либо определенном значении аргументов, например
о о
Y,o{0, 0)=
При этом для комплексно сопряженных функций Y*lm(&, <p) будут справедливы следующие соот-
соотношения:
(-1)тУг-т (». ?)• (И)

5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 117
Из соотношений A0) и A1), в частности, следует, что функции Уго($, <р) вещественны при любых
значениях аргументов, а функции Ylm (&, <р) с т ^= 0 вещественны лишь при <р = 0, п]т, 2п/т,
Ьп/т, ... и т. д.
Указанный выше выбор фаз соответствует широко используемому определению, принятому,
например, Кондоном и Шортли [10] и др.
б. Иногда пользуются модифицированными сферическими функциями
?,„(&, 9) = 1'У,„ (»,*), A2)
для которых
?*т (». 9) = (~l)'+m Yt_m (в, у). A3)
Такой выбор фазы используется, например, в работах [6, 18].
Уравнение D) и условия E), A0), A1) полностью определяют вид функции Ylm (&, <р). Цело-
численность параметров I и т обеспечивает однозначность сферических функций.
6. Зональные, секториальные и тессеральные гармоники
Иногда вместо сферических функций Ylm (&, <р) используют их линейные комбинации
1 ,/Z+l (I — m)\
Щт (», 9) = у [У,. (», 9) + Y?m (&. 9I = К ~4S (I + W) 1 cos m<fpf (cos »)•
M" i {I + и) I sin
В отличие от Ylm (&, <p) функции ulm (&, <p) и vlm (ft, tp) вещественны. Функции ulg (&, tp) назы-
называются зональными гармониками, поскольку параллели, на которых и1о (Ь, <р)=0, разбивают всю
сферу на (Z+1) зону. Функции ип (&, ср) и vu (&, ср) называются секториалъными гармониками,
так как меридианы, на которых ип (&, ф)=0;ИЛи и„ (&, ^)=0, разбивают всю сферу на 21 секторов.
Функции и1т (&, <р) и vlm (&, <р) при т=^=0 и to=^=Z называются тессералъными (или клеточными)
гармониками, потому что система параллелей и меридианов, на которых и,т {Ь, ср)=О или
vim (*> tP)=0, делит всю поверхность сферы на 2т (I—т-\-1) клеток. Клетки, соответствующие
положительным и отрицательным значениям функции, чередуются в шахматном порядке.
7. Уравнения, решения которых выражаются через Угт(&, <р)
а. Решениями уравнения Лапласа в сферических координатах
v2/ (г, а, ?) = о A5)
являются функции
3im(r, », 9) = r'Y,m(», 9) и 9*,m(r, в, V) = r-l^Ylm(b, <p),
вазываемые регулярными и иррегулярными (в соответствии с их поведением в точке г = 0) те-
телесными гармониками. В декартовых координатах функции Зг„ (г, ^, <р) представляют собой
гармонические однородные по х, у, z полиномы степени I
'¦"' A6)
где p, q, r — целые положительные числа, удовлетворяющие условиям p-\-q-j-r~l, p — q = m.
б. Решениями волнового уравнения Гельмгольца в сферических координатах
[V2-)-/с2] / (г, 9, <у) = 0 A7)
являются функции типа zt (кг) Y 1т(&, ср), где z, (Ar) = l/ ~:Zi^{kr) есть сферические функции
13есселя, Неймана или Ханкеля I и II рода порядка I. Функции
Ъы (г, Ь, <f) = i'ii (кг) Ylm (&, 9) и ?n;m (г, », у) = i'«, (ftr) У,т (», ?)

118 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
называют стоячими сферическими волнами, регулярными и иррегулярными в точке г = 0. Функции
SBJ С"- ». 9) = Щ" (*г)У/„(». ?) и S}« (г, », j) = i'AJ» (Аг)Угт(», «р)
называют бегущими сферическими волнами, сходящимися и расходящимися из точки г = 0. При
к -> 0 уравнение A7) переходит в уравнение A5). Соответственно
ЗлЖ ». т)-*3|«(г, ». ?), а 91,., (г, в, j>)->9t,m(rt в, ?).
в. Решениями уравнения
являются функции
я» с.». т)=»*у|-(». *)•
В точке г = 0 функции /"т(г, &, у) регулярны при в^Ои иррегулярны при /г<^0. При re = Z
или п==—I — 1 уравнение A8) переходит в уравнение A5). Соответственно
П»(г> ». Т) -З,-(г, ». ?). УЙГ1 К ». Т)"= ^1»(г- э- ?)• A9)
Отметим, что приведенные уравнения наряду с перечисленными выше решениями, регулярными
по &, имеют решения, иррегулярные по Ь, которые содержат вместо Fim(&, у) ~ Рр (соз Ь) е<т?
функции Qf (cos &)е<я"р(где Pf (х) и Qf (х) — присоединенные функции Лежандра I и II рода [4, 27]).
5.2. ЯВНЫЙ ВИД СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
Сферические функции Ylm(b, 9) можно представить в виде произведения двух функций, одна
из которых зависит только от <р, а другая только от &. Они выражаются через присоединенные
полиномы Лежандра Pf (cos &) по формуле
ъ). A)
Сферические функции Ylm (&, 9) равны нулю при \m\^>l (I, m — целые), тогда как Р-Н (cos Ь) =f= 0
при | m | > Z. Для функций F,m (&, у) с | m | ^ Z справедливы приведенные ниже выражения [ 4, 22> 27].
1. Дифференциальные выражения для УШ(Ь, <р)
2/
eim<p •, [21 +1 (г — m)!
^ О)
ги (&, У) = — К 4, (/ + m) 1 (i - m) ! (ctg т) (з15^) fd + cos 9)'-(cos 9 - 1)'-], D)
(•. f) = (-1)- ~ К teu+SjT^n (*« У)"" (а^п)' Kcos 9 + 1)'*- (cos 9 - I,»-]. E)
Сферические функции Ylm(&, <p) могут быть представлены в виде производных от полиномов
Лежандра
F)
(m>0)
Формулу F) можно применять не только при т ^ 0, но и при т < 0, если полагать
р. р. р.
\~d~) / (f1) ^ \ I • • • \ / (Н1) ^f1 • • • ^f1 • С')
ii 1 М

5.2. ЯВНЫЙ ВИД СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 119
2. Представление У!т(Ь, <р) в виде степенных рядов
тригонометрических функций от аргумента &/2
В приведенных ниже формулах суммирование производится по целочисленным значениям s,
при которых под знаком факториалов стоят неотрицательные числа. Величина ?т0 определена сле-
следующим образом:
_( (-1)" прит>0,
im0~{ 1 ирит^О. <8)
sin 2
*,.(•. »)-м
I /2*4-1
Vsin27
)
4тс A — 1
(cos2)
(г-*)!
Im
in,
—да)!
! (cost)
/21+1 (l — m)\
47C (Z + m)
B1 — s)\ lcos~27
/ а\2
1 (cos y)" 2 Г '
! (I — s) ! (I — I m | — s) I »
(9)
A0)
(И)
A2)
A3)
A4)
A5)
(-«•(ctg-5)
3. Представление F,m(&, ?) в виде степенных рядов
тригонометрических функций от аргумента &
В формулах, приведенных в этом пункте, индекс суммирования s пробегает либо только четные,
либо только нечетные значения в соответствии с условиями, указанными под знаком суммирования.
Суммирование производится по таким значениям s, при которых факториалы, стоящие в знамена-
знаменателе, не обращаются в бесконечность.
lm
Lm)l X
Xi
s=\m\,
S)l\(i — s)!! ^sin °'
при Z — т четном,
COS»
— s —
(sln
при I — m нечетном.

120
Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
21 + 1
{ l-\m\
X i
l-t-m-s
8=0, 2, ...
cos 9
(-I)"
i — s) !! {I — m — s) II' si! (sin 8-)"
при I — m четном,
пъ — 1) !! {I — m — 1) !! B1 — s) I!
«=i,s,...
(l + m — s) !! (I — m— s) I! (* —1) I! (sin»)8
при I — m нечетном,
l+m—8
«=|4. H+2, •••
Y!m (». 9) = e'mcp |/ —4^- (l + m)\(l-m)\ (sin 9)' ^J (-1)'
l+m-s
(l + m + s — l)l\ (cos 8)"
(Z — m— s)\l ' s{
l-\-m — s четное.
1 (tg 9)»
(s+ m) !! (s — m) !! ' (I — s) I'
(ctg »)'
A8)
1
(i -|-m_ s) !! (/ — m — s) I) s\
s
l-\-m — s четное.
Квадрат модуля сферических функций можно записать в виде следующей суммы:
A9)
B0)
B1)
B2)
4. Представления Угт(&, <р) в виде гипергеометрических рядов
от тригонометрических функций аргумента &/2
С T) =
+ l; -in-4
B3)
). B4)
т)» B5>
(tgtI (cost)"f(~
1m'• -г:
B7)
•. rt = (-1)'-
] (ctg 1
I, -l;
l; -rtg-1) .

5.2. ЯВНЫЙ ВИД СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 121
5. Представление Ylm(&, <p) в виде гипергеометрических рядов
от тригонометрических функций аргумента &
X
2* + 1
—
¦(-
COS 1
l-lml
1; sin2»)
при 2 + та четном,
=ЦЫ 1±Ц1±1
B9)
при 2 + та нечетном.
», у) = в'»? ]/
Г
2* + *
4тс (г + .та) ! (Z — от) I
B1 - 1)! 1 (sin *у X
X
l+m-l
(-1)
— l
при I +m четном,
¦та —1 21 — 1 1 \
2 ' 2 '' sin2»/
при I + та нечетном.
-1)
2
:Ti(Z-f m) ! (I — m) [
(sin »)"
Z+m-l
-1)
при i + та четном,
3
21 Л-1
4тс (Z + m) ! (I — m) !
Z_m z_m_i 2/ — 1 1
1, г + ^2. JL. C0S2 ft
при Z + /re нечетном.
Bг — 1) !!(cos»)'(tg»)mX
.2
(-1)
г+m-i
г —от
^
(sin»)'X
¦; y; -ctg2»)
при I + от четном,
1 ; у; -ctg2 »
при Z + т. нечетном.
6. Связь У/т (&, <р) с гипергеометрическими рядами
от экспоненциальных функций
У1т (Ь, Т) = -
! (Z - от)
X
C0)
C1)
C2)
C4)
C5)

122 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4**-
11 3 e~*V + z
7. Связь F/m@, ?) с другими специальными функциями
а. Связь Ylm(b, <р) с D-функциями Вигнера Охж>{а, Р, т) (см- гл- ^)
где ? — произвольный угол.
б. Связь Y 1т (Ь, <?) с полиномами Якоби Р$*№ (х)
в. Связь У,в(^, <р) с полиномами Гегенбауэра С* (ж)
8. Представление F,~(&, <p) в виде
неприводимого тензорного произведения произвольного вектора г
/I {...{{r®
где г —длина вектора г, а &, ср — сферические углы, характеризующие его направление.
5.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Представление F,m(&, <p) в виде интегралов,
пределы которых зависят от Ь [4,22,27]
cos$ cos $ cos9
C6)
= (-1)- yZL±l Din, [Ь », х) - /^- ^й (т. ». х). C7)
т)! (l ~ го)! (sin &г' р'щ>| l"!l) (cos ft)* C8>
(», f) = ?«oe<mtp V =±±. 7 W B1 m | - 1) I! (sin »)'-' С «... (cos»). C9)
D0)
cc cos
а) Уш (». ?) =i'm*J/ g^-^t.™))'i (^»MГ S J * ' ' S Р' (C0S *) (d C0S *)" (W > 0)- A>
11 1
Эту формулу можно рассматривать как обобщение дифференциального соотношения 5.2 F)
на случай /ге<0.
б) Формулы Мблера—Дирихле
П . , Г21+1 (t-m)l /sm»\»'f cos[Bг + *) т]d+
У|- (». т) = (-1Г -г е'т? 1^ Т' ГГь^Г Bm -f)« (—) —" ^1 • (- > 0). B)
у (cos ф — cos *) 2
(COS» — COS ф)

5.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 123
(ft, 7) = (-1Гe'm* J^^T"а^Ш(т-1I (шаьг \ Р'(cosф) [cos¦ ~cos*г"гd cos*'
cos*
2. Представление Ylm($, <р) в виде определенных интегралов в конечных
пределах [4,22,27]
1С
/-(- Am - /~21 -1-1 1 f
а) Уim (&. ?) = i=?— е<Я1!р |/ 4л (г + го) ! (г — го) I д J fcos * - г sin 9 cos ф]' cos (тф) <% E)
о
(cos»:F*sJn*cos<|0'« ()
При <р = 0 комплексное сопряжение не меняет значения правой части равенства, поскольку Ylm (&, 0)
вещественно.
б) У im (*» ?) =—2^~ 1/ —4" (* + т) ' С — "О 1 7Т J ^cos * i г sin ft cos (^ —?)]' eim^dty, G)
о
„ 2«
( + 0m l/ 2Z + 1 r „ . ,
Yim (ft, ф) = ~^ — I/ 7—r:—: . , ., r-r-1 ! \ [cos ft + i sin ft cos (ф —фI~ etm4di/. (8)
о
Соотношения G) и (8) являются модификацией формул E) и F).
1С
iin ft)m f ,
t .. .. \ (cos ft + i sin ft cos i/)l~m (sin ^Jm dty, (m > 0), (9)
(—l)m . |,^2!+1 (Z + m)! (sin»)m f (sin
*!»,(»> W— % e *У 47t (l — m)lBm — l)U J (cos»+isix)
0
Формулы (9) и A0) переходят друг в друга при замене переменных интегрирования по формулам
cos Ь cos х + i sin % cos ft cos ф — t sin 9
COStl'~ cosu-fisin&cosx' cos cos ft — i sin ft cos ф * ^ '
Такое преобразование эквивалентно «зеркальной» симметрии, т. е. замене I на 1 = —1 — 1.
3. Представление Y,m($, <p) в виде определенных интегралов в бесконечных
пределах [4,22,27]
„.„_=i
w/, У-, - f (Sht)*»dt
|oJ (cos ft + i sin ft ch *)'+"•+! oJ (cos ft — i sin ft ch *)'-h»+i j • ^ - '•
6) ^«(ft, ?) = (—l)me*'m
где Jm(x) — функция Бесселя порядка ш.

124 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
в) Квадрат модуля сферических функций | Y 1т (&, 9) |z можно представить в виде следующего
интеграла:
A5)
5.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
1. Приведенные Ниже свойства симметрии сферических функций связывают между собой Ylm($, f)
с разными значениями аргументов Ь, ср и параметров I, т. Они позволяют расширить область из-
изменения аргументов и обобщить определение Ylm(&, <p) на случай отрицательных значений I.
а. Комплексное сопряжение
П» (». т) = У1т (». -т) = (-1
б. Изменение знака иг:
У|—(». т) = (-1)"У1-(». -?) = (-1)те-<2и«РУгя,(», 9). B)
в. «Зеркальная» симметрия (замена I на Z = —I — 1):
У,т(»)Т) = (-1ГУ(и(9,т). C)
г. Замена аргументов % -> п — 0 и <р —>- л: —|— <р:
Yim (« -».?) = (-1)г+т У;т (», ?). D)
^(«.Н^^НГУы!».?), E)
У„й (*-»,* + ?)=» (-1)' У|1Н (», Т). F)
д. Изменение знака аргументов:
У1т(-Ъ, ?) = (-i)mYlm(b, <?), G)
У;«,(&. -<Р) = (-1)тУг-т(&. ?). (8)
У/» (-». -Т) = У1-« (».*)• (9)
е. Периодичность по 9 и tp:
2. Следующие соотношения для Угт(&, <р) можно получить, комбинируя указанные выше свойства
симметрии:
Ylm (», ч) = (-1) е2'»'=РУ,.т (», ?) = e»"-?yjm (», у) = (-1)" Y*t.m (», 7) =
= (-1)т Уг_т (», -?) = е2"»-РУ,т (», -г) = (-1)»" е^.-^у.^ (ft
= У/-,» (-», -Т) = (-1)т е2<я«РУгт (-9, -<?) = е2<'и-РУ^и (-», -Т) = (-lI» У^и (-», -f). A2)
5.5. ПОВЕДЕНИЕ Ylm (», 9) ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Преобразование системы координат в трехмерном пространстве, не нарушающее ортогональ-
ортогональность координатных осей, в общем случае можно представить как результат действия трех опера-
операций: поворота системы координат, ее инверсии и параллельного переноса.

5.5. ПОВЕДЕНИЕ Ylm (9-, у) ПРИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 125
1. Поворот
Сферические функции Ylm (Ь, <р) являются ковариантными компонентами неприводимого
тензора ранга I, поэтому при повороте системы координат S {х, у, z}-> S' {х', у', z'}, харак-
характеризуемом углами Эйлера а, [3, f (см. 1.4), сферические функции преобразуются следующим
образом:
?> («, Р. 1) Уш> (», ?) = Ylm. (&', <р') = ^ У*т (»• Ф) Д4т' («. Р. Т). A)
«г
Здесь DLm' (а, |3, т) — функции Вигнера (гл. 4), О, <р и У, tp' —сферические углы радиус-вектора
в исходной системе координат S и в новой системе координат, S' соответственно. Углы &', <р' вы-
выражаются через углы ¦&, tp и углы Эйлера а, C, у по формулам 1.4 B).
2. Инверсия
При инверсии системы координат относительно ее начала сферические функции преобразуются
следующим образом:
№ «) = (-1)'У,-(»,*). B)
3. Параллельный перенос
При параллельном переносе системы координат S {х, у, z}-> S' [х', у', z'} координаты
каждой точки пространства преобразуются по формуле г'=г—а, где вектор а (а, 9, Ф) характе-
характеризует величину и направление сдвига системы. Сферические функции при этом преобразуются
следующим образом:
v
f (a) Yrm, (», v) = Yrm, (»', ?') = ^ (-1)''+I ("?-) (т) (Y' (»• Т) <S> YrM (в, Ф)}„т,. C)
Здесь f (a) =e~a-v — оператор сдвига, {Y',, ® Y;J/1B — неприводимое тензорное произведение (см. 3.1),
Сферические координаты векторов г (г, Ь, <р) и т'(г', &', tp') связаны соотношениями
г'2 = г2 + а2 — 2га cos co12,
г cos ft — a cos в
ft' 4
cos ft' =
,
a2 — 2ra cos co12
r sin ft sin tp — a sin в sin Ф
^ ^ r sin ft cos tp — a sin в cos Ф '
где
cos co12 = cos ft cos в -|- sin ft sin в cos (? — Ф). E)
4. Частные случаи преобразования системы координат
а. Поворот вокруг координатных осей на угол тс
г'-г, j
'=7t—ft, I У;я,(тс — ft, 2л — ?) = (—1)гУ,_т(», -р), F)
j
У,,,^-», it-т) = (-1I— У;-т(»,?), G)
y,m(ft, я + т) = (-1)"У,ш(», у). (8)
вокруг
вокруг
вокруг
оси
оси
оси
V
Z
г'
ft'
?'
г'
Ь'
•—1
= г,
= тс
= %
... у*
= ft
— *
— ft
— 9

126 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
б. Поворот системы вокруг оси z на произвольный угол %
»' = ». Ki»,(».T-l) = «"™^M(»,T). (9)
' = ? —X.
в. Поворот системы координат на малый угол « (со<^ тс/2) вокруг произвольного направления
п(в, Ф)
t)Ylm (». ?)«: У,*, («, 7) - fa (m cos в Ylm (»,
[в"** ^(»4-1)-"»(»» + 1) Ylm+1 (», ?) + е(* VI A+1)-ш (ш-
г. Отражение системы координат относительно экваториальной плоскости 0 = тс/2
г'-г j
?' = ?> J
д. Отражение системы координат относительно меридианальной плоскости <р = <р0 и (р = тс —J— а=0
г' = г, |
»'=». [ У1»(». 2?о-?) = ei2""Po(-l)»У,_ (», Т). A2)
tp' = 2tpc — tp, j
5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ
1. Совокупность сферических функций YJm (&, <р) при всех целых неотрицательных значениях I
и целых значениях т таких, что |/re|^Z, образует полную систему функций двух вещественных
переменных Ь и ер, определенных в области О^-8-^тг, 0^<р<^2тг. Эта система представляет со-
собой ортонормярованный базис.
Условие полноты системы функций Ylm($, <p)
00 I
2 2 ^(*. ?)^«(*'. ?') = 5 (?-?') 5 (cos»-cos»'). (I)
г=о m=—i
Условие ортогональности и нормировки функций
j df j d» sin 9 У?т (», 7) У//т, (9, 7) = 5;;,5fflm,. B)
о о
Произвольную функцию / (Ь, <p), определенную в области изменения аргументов 0
О <; ср ¦< 2тс и удовлетворяющую условию
2ir it
d» sin & |/(9, rt|«<<», C)
О О
можно разложить в ряд по сферическим функциям
то 1
/(». Т) = 2 2 тУ!т(Ь, ?). D)
(=0 т=—/
Коэффициенты разложения а,т определяются соотношением
S sin »y?m (a, E>

5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ГАРМОНИКАМ 127
Это соотношение можно рассматривать как интегральное преобразование функции / от непрерыв-
непрерывных переменных Ь, <р к дискретным переменным I, т. При этом функция Ylm($. <р) ^&| >
играет роль матрицы преобразования. Выражение E) можно записать в виде
, F)
где
<1т | /> = а1т, Aт \ Ц} = Y*lm (Ц), <fr | /> = / (», 7)•
Под дважды повторяющимся переменным, как обычно, подразумевается интегрирование или
суммирование по всему интервалу их изменения.
Преобразование F) унитарно, так что
<я
т. е. коэффициенты аш удовлетворяют условию Парсеваля
N | aim |2 = I dtp I ad sin ft j / (ft, <p) | . (8)
2
'=0 m=—г
Разложение D) по сферическим функциям широко примевяется при решении различных задач
и называется разложение по мулыпиполям, а коэффициенты разложения а1т называются мулъти-
полъными моментами.
2. Разложение произведений сферических функций.
а. Прямые произведения сферических функций одинаковых аргументов
V /ft «,\ Y /ft ^ — > I/ l'1T'M IT ; /-W rLM v ,a . /Qv
Соотношение (9) называется разложением Клебша—Гордона. Обратное ему соотношение записы-
записывается следующим образом:
Произведения трех и большего числа сферических фувкций имеют вид
у,„,...»>•„., с. rt у,.»,«», rt - 2
LML'M'
X ClfilI0CL'0ls0Chm,lam/'L'M'l
У»,-, (»• *) У/2т2 (». ?) X • • • X У,яЯ,я (9,
где
03)
причем /уо = Д/о = О,
б. Неприводимые тензорные произведения сферических функций. Произведения такого вида
определевы в 3.1.
A4)

128 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В частности, при ix = /2 =.../„ = 1 и Lk = к (к =-. 1, 2, . . ., п)
>. ?)},®Yx(», у)},... - -¦ - ¦ 'Г 3"
4^=42»-И)" У'»» (*' ^)-
Заметим, что при разложении произведений сферических функций удобно использовать функции
С1т($, <р), включающие дополнительный множитель 1/' „ ¦?¦ (см. 5.1.4).
5.7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Рекуррентные формулы для сферических функций Ylm (&, ср) можно получить, например, из
разложения Клебша—Гордана 5. 6 (9):
2т ctg Wlm (», 7) = v'HI + lJ-mfa + lJe-'fY, м+1 (», f) + ^ (/ + 1) - т (т- 1) e'fУ, )и_х (», т), A)
{"?i' ?
sin ЬУ1
B1 -1) B1 + 3) cos2 VYlm (», у) = BZ -
+ 3)
», T) — (a-1) )/Ц +;!j7m«(ii^+ff + m +3)
Vl (I + 1) - m (m + 1) У, m+1 (», y) + B1 + 3) ^"^У •(' ~ " ~2У^ ~ W ~ 2) У,_а m+1 (», y), F)
- B» -1) rt(J + l)-m(»-.l) У, т-г (», <P) - BZ + 3)

5.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ 129
5.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1. Действие оператора орбитального момента t на Yim(b, 9)
Циклические компоненты оператора Ь (см. 2.2A8)) действуют на Ylm(b, <p) по формулам
или в более компактной записи
V»- (»• Т) = ^ЩП) CfS^y, m^ (», f). B)
Оператор квадрата орбитального момента Ь2 действует на Ylm (d, <р) следующим образом:
(b, f) = i (I + i)Ylm (»l9). C)
2. Производные от У/т(&, ?) первого и второго порядка
V(» )
D)
д
—от ctg ftyjm (ft, <р) —• v I (I -j- 1) — m (m — 1) Yt m-1 (%, if) e*f =
1 1
-s-VZ (I-\-I) — m (m + i) Ylm+1 (ft, tp) e-'f —-p-Vi (I -f 1) — ттг (от— :
sin »-^- У;т (ft, 7) = -sin»
= г cos Wlm (ft, 7) - У||-=4 (I2 - m?) Уг_х „ (ft, ?) =
IJ
= г КB1 + 1)(И + 3) У'« - ^' T) ~ С + 1) ]/ B< + i7Bl - 1) У'~1 - (»• ?)• F)
У^ y) [Z(i + 1)lS]y(^ )«Л»У(» ) G)
9 Д. Л, Варшалович и др,

130 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Операции векторного дифференцирования
а. Градиент функции f(r)Ylm(&, <р), где /(г) — произвольная функция от г = |г|, можно
разложить по шаровым векторам (см. 7.3)
Соотношение (9) в развернутой записи имеет вид
v0 [/ И уш (». ?)] = УщтШТЩ(w-Т*) y'«™ (»• f) +
+ F BZ-lTB/ + l) (^f + ¦Ц^-/) Y'-i - (»• T). A0>
v±i t/ (г) Угт (». ?)] = У 2B1 + 1) BГ+3) (~dF-Tf) YM «±i (». ?) -
~\ 2 B1 — 1) B1 + i) \dF+ 2 '/;Уг-1т±1(&. ?)- О1)
где Vo ±1 — циклические компоненты оператора V (см. 1. 3).
Частные случаи формулы (9). При f(r) = jt(kr), где /,(х) — сферические функции Бесселя
порядка I
у V [/, (ftr) У ,я (». 7)] = j/^I /m (*г) Y{« (9, r) + ]/-ЩП U-i (кг) Yfci (», т). A2)
При /(r) = r*
V [r'Ylm (Ь, <?)] = ПB1 + 1) r'-»Yfc» (», у). A3)
При /(г) = Г'
V [1-МУ,„, (», у)] = V/(Z + 1) B1 + 1) r-*-"Yf« (», f). A4)
б. Дивергенция функции f(r)ltYlm(&, <p) равна нулю при произвольной функции /(г):
(», f)] = 0. A5)
в. Ротор функции f(r)tjYlm(&, <р), где/(г) — произвольная функция г, можно выразить через
градиент соответствующей скалярной функции и представить в следующем виде:
A6)
В частности, при f(r) = jl(kr)
rot [/, (*r) t7/m (9, T)J = iV [(ftr/,.! (fcr) - J/, (*r)) У|я, (9, ?)] + Ir*1/, (*r) Угт (», f). A7)
При /(r) = rJ
rot [r'?yJm (», 7)J = г (I + 1) W BJ + 1) r'-'Yfc» (», T). A8)
При /(r) = r-/
rot [г-*-»?У,я (», f)] = -« V(i + l)Bi + l) r-*"«Yf« (». y). A9)
Некоторые дополнительные формулы векторного дифференцирования функций, содержащих
Ylm(b, <f), приведены в 7.3.6.

5.9. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Ylm (», <р) 131
5.9. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ Ylm (Ь, ?)
1. Интегралы от произведений сферических функций
по полному телесному углу
\ d» sin bYlm (», <р) = у/Ш Ь1аЬт0. A)
о
<*& sin bYhmi (&, <р) Y*^ (», г) = blitbmim2_ B)
о о
2it it
Sf
dip \ d& sin &У;,Ш1 (*i <p) Yt m {§, <p) = (—I)* 8j ; S_m m # C)
о о
2it it
О О
О О
2* %
l<f \ d& sin (
о о
-l/"Bl1 + i)Bla + i)Bli+l)(h h l,\(h h l,\
<5)
Интегралы от произведений трех и более сферических функций можно вычислить, сводя их
к интегралам от произведения меньшего числа сферических функций с помощью разложения
Кл^бша—Гордана 5.6(9).
2. Фурье-образы некоторых выражений, содержащих Кт(»,<р)
со 2it я
dr г« 5 d9 \ d» sin be***], [qr) Ylm (», ?) =
О 0 0
со
dr r* \ df j d& sin 9e'krL [/, (gr)
о oo
со 2it it
\ dr r J df J d& sin ae'kr [V x t] ^'(?r) F'"> (&I ^)= 2lzH'~1 ~ J" [k X tk] Угт (»ft, <pft). (8)
0 0 0
Здесь /, (ж) — сферическая функция Бесселя; &к и срд. — сферические углы вектора к, Ь п Ьк —
операторы орбитального момента в координатном и импульсном представлении:
t = _i[rXV], ?k = -qkXVk]. (9)
3. Интегралы по углу S, содержащие сферические функции
S Уы (».
о

132 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Г Л'г21-\ 1 (i-j-w)l n\eimf
\ (sin ft)m+I (cos 8)" Y[m (ft, <j>)d8=l/ —т ТТИ—П"(—W 1—li i _l—i <> n /re ? i—\T\> ("»in>0). A2)
n
J [_('i ~ *») (ii 4- i, + 1) - s-^Ta s j y,lWl (», <p) У;jOT2 (», ?) d (cos ft) =
a
= [cos ft (h - l2) Yhmi (ft, ?) Y,2M2 (ft, ?) + (I, + m2) Ylim (ft, ?) yw mj (ft, 9) -
-(h + Щ) Yh_t m> (ft, <f) Yhmi (», ?)] |. A3)
a
5.10. НЕКОТОРЫЕ СУММЫ, СОДЕРЖАЩИЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Суммы по индексу т (I—фиксировано)
2
|У|»(». Т) Iя 4JT- • A)
т=~1
B)
У B1-1) B1 + 3) Yl~1 - (&
2 (ТО" v ,„ , 1 Лг + 1 (cos 8 + t sin ft cos
^ V^(f - m) ! (ITW 'm ( ' У) = У "^ Л
2. Суммы по индексу I (m — фиксировано, иг>0)
В формулах, приведенных ниже [27J используется обозначение
i? = Vl — 2t cos ft -i- *2.
(-1)' (—! + ,,)
n 1
00
B1 + 1) (J -% ! (i + m) ! ' ТГ
(—sin fte'T)*" / ' ft\ /
^ W + 1; {СО82Т)»РЧ; ro+1;

5.11. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
133
со
Х(
ге! (-!
2-т! A-
4я
B/ + 1) (/ — т) ! (г
8e<T)i»J?L 2l»+l
1 (—sin &
2Mm 1 Д21*
ro
Zi \
CO
/=m, m-f-2, ...
TO
•^
l=m+l, m+3, ...
00
Sr" -I/" 4tt B/ 4
/=»
lit B/ -f 1) A -j- m) !
(I-m)l
CO
CO
sin &e*f)m
t cos &)"+
+ m)!
— n; m
00
/=»J
(
— m) 1
(re +
\l +
A +
+ 1;
4л
B^-f-
Г
-1-1)
(I-
21 +
(I
)
V)Y,
l-
\n
I
m
1
(I
¦1]
(/ •
!)
F*(
m(
-m) !
+ 1
2 '
-re)
-t-
2
-m)
(cos 8
Л2
A + '
m) !
<) z; A
re
2
1(г
-R
!
.!
j
тг) !
!)Y
i
— 1
="/
—
@
'¦г(
'ы
<
\
1
',-я-
У-г
m-(-
,(,
].^
t)Yt,
! @ J
(&, <j
411 r
. + .:¦
re-1) I
2m +i
o»+
/ft „\
/
') — y—
xy sin
/ f sin $ л
* * Im \ » 9j
[_n; m+1;
y2i2 sin'
4Д*
- (—t sin &е<?)«
— (—t sin &е'>
P) ( ft.»
{ COS -g" e'TJ z.
3 ^ LI 1 An
-j- у — 2xy cos Э- /
sin&isin&^e''0089'1
f}, (
Bi
1 — "¦
2
/•
» e»7 cos
)mCOS
'T)m Si!
I*KD.
тг — re) ! (re — i
2m (m !J
; J» (I' I*-
(|*|<i).
[t cos 9),
a («cos»),
„(asin-j),
(8)
)! x
:t). (9)
A0)
A2)
A3)
A4)
1), A5)
A6)
/=m
5.11. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Ниже приведены производящие функции [4, 22] для Угт(&, ср), разлагающиеся в бесконечные
ряды по / при фиксированном то ^ 0
(—1)" ^Л |/ 4тс (Z-f т) 1
Bт — 1) !!(sin&)m 2i ' " F 2Z + Г (I — m) I У'"> (&) °)' I' I < *•
со
A)
Bm— 1
Г 4л
( + )
' (i — m)
где
В частности,
R = VI — 2t cos » + f2.
2
B)
1=0

134 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[A + R )a — ta]~m (—1)CT -y ¦,/ Ы
R = 21» (sin »)» 2i ' ~">n V Bl+l)(l + m)\(l-m)\ Y'™ <&1 °)« ' * '< L C)
Производящие функции для F/m(&, ip), разлагающиеся не в степенные ряды, а в ряды Фурье,
имеют вид [4]
g^r 2Уятг
где
при х > О,
. О при х < 0.
В частности, при щ = 0
— cos & - vcos » — cos ф ^
*С2ш>1 og
5.12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ Угт (», ?)
1. Асиптотика У/т(&. ?) при больших значениях параметра I
Сферическую функцию Ylm($, cp), где е^&^эт —е(е>0) и О^ср<2эт при Z>1
и |> — t можно аппроксимировать выражением [41
Более точная формула имеет вид [22]
4m2 — 3
+
Поправки Of-y-j и О\-тЛ — функции м и %.
При J^>1, Z^>w^0 справедливо следующее неравенство:
|У|±»(». ?)i<4(sin*) m+ •
2. Асимптотические выражения для У*т(*> ?)
в окрестности значений 9 = 0, я и и/2
При 0<&<е, где е<1,
е±'""Р
При it — e^&^rc, где

5.13. ВИД ФУНКЦИИ Ylm (&, 9) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ 135
e±'""l> 1/ 2г + * . (г + m) ! /_?L__lA I i _ — v- ' -/ - у-- ' -' | _: :_) ,i (^
ml К 4Л (l — m)l\ 2 ) I1 3(m+l) ^2/1" (b>
При-^ e^fl-^-— -j-s, где е<^1, вид асимптотического выражения для Ylm(&, <f) зависит от
того, четно или нечетно значение I -f- та. Если I -j- та — четно,
Если I -j- та — нечетно,
Р)
В случае малых & функцию У1т (&, ср) можно аппроксимирозать формулой Мак Дональда [4]
У; -» (». ?) = V -^^ 7г—^ТТ е~'т<р A + т)cos тТ™ X
Г ^r7L ^t Illy \ [_Y Zi / Z ^j
X {/„ («) + (sin TJ[f- /„« (a) - /m+2 (a) + -g- Jm+1 (a) ] + О [(sin -j)*]f . (8)
Здесь a = B^-f-l) sin у, /x(a) — функция Бесселя порядка X.
3. Асимптотика при т — фиксированном, Z-^-оои а—*О, Z& — конечном
Справедливо следующее соотношение:
Y, -т (», <Р) * Y^ e-'^Jm (Щ. (9)
5.13. ВИД ФУНКЦИИ Ylm (ft, 9) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
1. Функции Ylm(&, f) при i == 0, 1, 2, 3, 4, 5 даются формулами, приведенными ниже. Гра-
Графики этих функций изображены на рис. 5.1.
V йГsin
Ki sin
]/ ^ i2 Э<2<р )/ ? t1 - cos
|/ ^Г cos *sin *e<tp = — т К "IF"sin
|/ ^ & i &Ч>
У2 _х (», <р) = у |/ -^- cos & sin &е-Ч> = у |/-Зу^- sin
- cos

И т=1
Ы т=1 1=2 т=2
Рис. 5.1. Функции Ytm (», 0) в полярных ко-
координатах.
Угол * отсчитывается от вертикали, «+» и «—ъ
указывают знак функции Yjffl (*, о) в соответ-
соответствующем интервале углов.
1=3 т=0
1=3 т=1 1=3 т=2 1=3 т=3
1=4 т=3 Ы т=4
1=5т=1 1=5щ=2 1=5 т=3 1=5' т=4 1=5 т=5

5.13. ВИД ФУНКЦИЙ Ylm (9, <f) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ 137
cos &sin2*в'а1р = "И" г 3 'L'? (cos&~ cos
7*"
^— (sin 9 +5 sin 39)
— 3)cos»==-jg-|/' — C cos 9 +5 cos 39),
1-м ^~Ч 7*
cos2 9 - 1) sin 9е-> = gj |/ —^— (sin & + 5 sin 3»)
3 -t (». <р) = -j К ~г^ cos & sin2 ae"<2ip=~Ш У 3 '2V ? (cos & -cos з*) «""*
3 -з (». <Р) = "з"}/ —jf~ sin» V-"^ = -^- у ~1 C sin & — sin 39) е-'»*.
+4 (»» ?) = 1ё" |/ —2^Г" sin* ае'"" = J28 К IF <3 ~" 4 cos 2& + cos 49)е'4*»
- -g- \ —^- sin8 & cos Ъе*9* = - "^ |/ -^"
4 +8 (»,?) = - -g- \ —^- sin8 & cos Ъе*9* = - "^ |/ -^" B sin 2» - sin 4»)
Yt-+a (», <Р) = "g У з^ sin2 & G cosa> & - 1) e<atP = -щ- j/-^- C + 4 cos 29-7 cos 48) в'2?,
У4+1 (». <P) = — -%У — sin & G cos» 9 — 3 cos &) ev? = - -|j-1/ |-B sin 29 + 7 sin 4») e'f,
4 -1 (»i 9) = -g-1/ — sin 9 G cos» 9 — 3 cos 9) e-*P = -^ j/ — B sin 29 + 7 sin 4») er't,
i -2 (». ?) =-g ]/' 2^Г sin2 9 G cos2 9—1) e"*2? = -^ |/ -^ C + 4 cos 29 - 7 cos 4») е~(
t -3 (». ?)=¦§¦)/ -^-sinS *cos &e"<?!p=ж y^ir B sin 2& -sin 4
^Г sin* &е"<49 = 158 Г "^Г C - 4 cos 2& + cos
i +6
(». ?) = - -3Y У 7~1Г sin' &е>'6? = 12 Г IT A0 sin 9 — 5 sin 39 + sin 59) e'6*,
6 +4 (9, 4) = -jj |/ -^2^ sin* » cos 9e*«tP = ^g |/ ^ B cos 9 — 3 cos 39 + cos 5») в'*?,
(9, <p) = — -32" |/ —^ sin» 9 (9 cos2 9-1) e'w = — 5J5 KlT F sin »+ 13 sin 39 - 9 sin 59)
D)
E)
5«
1 1 /"З • 5 • 7 * 11 1 1 /155
(*. <P) = "g- у 2i sin2 9 C cos? 9 — cos ») e'2? = j^s |/ -j^" B cos 9 + cos 3» - 3 cos 59) eiaf,
(». 4") = — ^ У "^~~lir^" sin & <21 cos*в — 14 cosa» 4- 1) e*"P = — 2§g V^^T B sin & -4- 7 sin 39 + 2i sin 59) в*?,
(*. f) = 16 V ~к~ F3 c0s8& — 70cos»»-|- 15 cos 9) = 256 У ~ C0 cos & + 35 cos 39+63cos 59), F)
У6-1 (». ?) = Те" V ~2^— sin * B1 cos*a — 14 cos2 Ь + l) е"'9 = 256 |/ ^Г B sin » + 7 sin 39 + 21 sin 59) e"'?,

138 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
У i2 9 C 3 * *) i2f У ~21Г
-г (*• <Р) = -§" У 2л — sin2 9 C cos3 *. ~ cos *) e~i2f = Ш У ~~21Г '2 cos а + cos 3* — 3 cos
Ув _3 (», <р) = -gj |/ —^— sin3 » (9 cos2 » — 1) е-<з? = gj2 |/— F sin » + 13 sin 39 — 9 sin 5») e~'S?,
F6 _4 (», <p) = -A. j/ 5 ' ^' И gin* » cos »e-'<P == Jg J/ ^ B cos » - 3 cos 3» + cos 5») е"'4?,
^i6»->BlP=gj2|/ —A0 sin » — 5 sin 3» 4- sin 5») e~ibf.
2. При |m| = 0, 1, 2, 3, 4 и произвольном значении I, целом и положительном, функции
Ylm (&, <р) выражаются через полиномы Лежавдра Pt (cos &) следующим образом:
G)
г Ц1 + 1)
1) L 21 — 1
2B14-1) „ , вч
l ±з (9. <Р) = + (sin»)8 У 4тс Bi + 1) ' (*-3)i LBZ — 3) B1 — 1) Р'-3 (C0S ^ ~ Bi-3)BJ + 3) P'"x (C0S
- i)Bl + 5) P'+1 (C0S ft) ~ B1 + 3H2i + 5) Pl+3 CCOS 9)]'
e±**f -ш.г 1 B 4 4)! Г 1
г±4(». ?) = (Sin »)« F 4u BZ 4-1) ' (i — 4) I L Bi — 5) Bi - 3) {21 - 1) P'-* (cos Ь) ~
/ Ct i О 7 I Л \
~ {21 — 5) B1 — 1) B1 4. 3) P'-2 ^C0S *) + B1 — 3) BZ — 1) B1 4- 3) B< + 5)
4 11
~ Bi - 1) B1 4 3) B1 + 7) P<+" (COS *) + B1 + 3) B1 4 5) B/ + 7) P'+* (COS *)J* A1)
3. При |m| = A I — 1, I — 2, I — 3, I — 4, I — 5 и произвольном значении I, целом и положи-
положительном, функции Ylm (Ь, <р) имеют следующий явный вид:
¦B14-1)"
flT" (sin *)'"' Н2г - 1) cos2 » - 1], A4)
~^|| (sin »)'-• cos ft [B1 - 1) cos2 & - 3], A5)
б^ '{IfeiHr(sin *}'X
X [Bг — 1) BZ - 3) cos* » — 6 B/ — 3) cos2 » + 3], A6)
X
X [BZ — 1) B1 — 3) cos* » — 10 B1 — 3) cos2 » 4.15]. A7)

5.15. НУЛИ ФУНКЦИЙ Y,m(&, <p) и -^-У/т(», <f) 139
5.14. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ Y[m (&, <р) И ^grYjm(&, <j>) ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ АРГУМЕНТОВ
A)
. .. . ,. - , - (l + m— 1) !! (I — m— 1) 1!
'(.({/,)-И) в*"У-5- (I + m)ll * (I-m)ll при г + ^четном, (а)
л при Z -j- m нечетном.
C)
V|- (±«». ?) = 5mo (-1)-' ^ ^^. D)
2.
'n"im"". E)
при Z -f- m нечетном,
F)
при l+m четном,
+?f
?6f• w
5.15. НУЛИ ФУНКЦИЙ У,т(», <р) И^Угт(», <р)
При изменении угла & от 0 до я сферические функции Y,m(&> ?), так же как и их производ-
производные -гя- YJm (&, ср), обращаются в нуль при определенных значениях угла &. Число нулей по &
функций Y[m(&, <p) и ¦^-У,т(&, ?), т. е. число корней уравнений
У|-(». ?)=0 и ¦^¦У|»(», ?) = 0, A)
конечно в промежутке [0, те], причем все эти корни вещественны и среди них нет кратных. Ниже
д
Ж
нули функции Ylm(&, <р) будут обозначаться Ьа, а нули -xrYlm(&, <f) — через &р. Функции F,m@, ср)
и -ТЯ- F/m (d, <p) не имеют нулей по ср.
1. Функция Ylm (&, ср) при т = 0 имеет I нулей внутри интервала @, тс) а при т=^=0 имеет
(I — т) нулей внутри интервала @, п) и еще два нуля при &а = 0 и &а = п. Все эти нули рас-
расположены симметрично относительно значения & = тс/2. Поэтому, когда (I — т) — нечетно,
Г 0
Нули функции y,ffl(w, ср) при та т^ 0 определяются следующими уравнениями:
при т = + Z cos2 &„ = 1;
m=±(Z — 1) cosa»e=l, 0;
1 B)
m=±(j-2) cosa&e=i, 2;
m=±(i —3)

140
Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
при m=+(Z— 4)
т=±{1 — 5)
««•».= 1. з±2^з(*-2)/(и-з) ;
B« — 1)
Численные значения углов fte, при которых У/т(&, <р) = 0 для 2 = 0—^—5, приведены в табл. 5.1.
Для I ^ 1 приближенные значения &а можно найти из соотношения
7 Г2 I то I — 3 4Z + 2 I от I — I ~\
где л; — целое число из промежутка —'¦—j , j—! |.
4 2. Функция ^g У,m (9, <р) при та = 0 имеет (Z — 1) нулей внутри интервала @, и) и еще два
нуля при 9р = 0 и &8 = тс, а при та^О имеет (Z—те-f-l) нулей внутри интервала @, тс) и два
нуля при Фя = О и &„ = "» если \т\^2. Все нули функции -^ У,м@, ср) расположены симметрично
относительно значения & = я/2. Поэтому, когда (Z — m-f-1) — нечетно, ^Flm(9, ср) = 0 при & = эт/2.
Нули функции ^ Y[m (&, <р) при т
при т=+г
m=±(l-l)
определяются следующими уравнениями:
cosa&p==0; I (I >2);
a» 1(Z3
m=±(Z-2)
ra = +(l —'
Ы — 4
3 = zBZ-n:°: M*>*);
~ 8 ± 2 ^Ш3 T
г B* -1)
Численные значения нулей функции -ж У 1т (&, <р) даны в табл. 5.1.
ТАБЛИЦА 5.1
НУЛИ ФУНКЦИЙ Ylm (», Т) и -4 Угт (», <р)
- 3) . n.
B)
(в град.)
(в град.)
(в град.)
(в град.)
1 0
1 ±1
2 0
2 +1
2 +2
3 0
3 ±1
3 +2
3 +3
90
0; 180
54.7; 125.3
0; 90; 180
0; 180
39.2; 90; 140.8
0; 63.4; 116.6; 180
0; 90? 180
0; 180
0; 180
90
0; 90; 180
45; 135
0; 90; 180
0; 63.4; 116.6; 180
31.1; 90; 148.9
0; 54.7; 125.3; 180
0; 90; 180
4 0
4 +1
4 +2
4 ±3
4 +4
5 0
5 ±1
5 +2
5 +3
5 ±4
5 +5
30.6; 70.1; 109.9; 149.4;
0; 49.1; 90; 130.9; 180
0; 67.8; 112.2; 180
0; 90; 180
0; 180
25; 57.4; 90; 112.6:155
0; 49.9; 73.4; 106.6; 130.1;
180
0; 54.7; 90; 125.3; 180
0; 70.5; 109.5; 180
0; 90; ISO
0; 180
0; 49.1; 90; 130.9; 180
23.9; 69; 111; 156.1
0; 50.9; 90; 129.1; 180
0; 60; 120; 180
0; 90; 180
0; 49.9; 73.4; 106.6;
130.1; 180
19.6; 56.1; 90; 123.9;
160.4
0; 32.9; 72.1; 107.9;
147.1; 180
0; 46.9; 90; 133.1; 180
0; 63.4; 116.6: 180
0; 90; 180
Корни уравнения -^- Ylm (&, <р) = 0 определяют значения Ь&, при которых функция Ylm (&,
достигает максимума или минимума. Нули функций Y 1т (&, <р) и -L- Ylm (&, <р) чередуются между
собой.

5.16. БИПОЛЯРНЫЕ И ТРИПОЛЯРНЫЕ ГАРМОНИКИ 141
Все функции Ylm (&, 0) и Yl+a m+l (&, 0) при /ге>0,/re-{-s>0 имеют одинаковое число
максимумов, минимумов и нулей, т. е. представляются топологически одинаковыми графиками
(рис. 5.1). Их различие состоит лишь в том, что с ростом l-\-s положение всех максимумов, миниму-
минимумов и нулей Yl+S m+s (&, 0) смещается в направлении &= п/2.
5.16. БИПОЛЯРНЫЕ И ТРИПОЛЯРНЫЕ ГАРМОНИКИ
В прикладных задачах часто приходится иметь дело с функциями, зависящими от двух и трех
направлений. Удобным базисом для разложения таких функций являются биполярные и три-
полярные гармоники.
1. Биполярными сферическими гармониками называют неприводимое тензорное произведение
двух сферических функций разных аргументов;
{*,, (»i. *) ® Y,, (»„ Ъ))ш = S *!.* А-//,», (»!' *i) У'.-. (*»' Л)' (*)
Совокупность биполярных "сферических гармоник с различными значениями Z1? Z2, Lts. M пред-
представляет собой полную ортонормированную систему функций, зависящих от двух направлений
и обладающих простыми трансформационными свойствами при повороте и при инверсии системы
координат.
Условие ортогональности и нормировки
j J dQ,dQ2 {Yh (Q.)
где
Q = {», <p}, J dQ = J d<f | d» sin ».
о о
Условие полноты имеет вид
где
8 (Q — Q') = 3 (cos 8 — cos »') 8 (<p — <p').
Условие замкнутости
1 {Y,, @,) (8) Yiz @,)}длг |» = t (^>, . D)
При повороте системы координат биполярные гармоники преобразуются по формуле
? («. P. T) (Y,, (Qi) <8» Yfj (Q,)}LJP = {YJt (OJ) ® Yfi (Qj)}iJP = 2 ^„' («, P. T) {Yi, (Sj) ® Yi, (
где 2J^{&J-, f't) и О,.^{&;, cpj связаны соотношениями 1.4B), 1.4C).
При инверсии системы координат биполярные гармоники приобретают фазу
A- (Y,, (Q,) ® Ylt (Q,)}^ = (-i)h+h {Yh (Ox) ® Yh (О,)}„. F)
Разложение Клебша—Гордана для произведения биполярных гармоник имеет вид
где
I B?»-j-±/ rt.u „ _ri,u ._ );, г« ^1 ^gj
L' L" LI

142 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Важным частным случаем биполярных гармоник являются гармоники с L =
= ^b^L (Yj (Qi). Y/ B2)) 8jJj
где скалярное произведение, согласно формуле 3.1 C0), имеет вид
(Y, (Ох) • Y, (Q,)) = 2 У*™ (®г) Ylm (Ot). A0)
2. Триполярными сферическими гармониками называют неприводимое тензорное произведение
трех сферических функции разных аргументов
В случае триполярных сферических гармоник в отличие от биполярных возможны разные схемы
связи угловых моментов Ix-f (I2 + Is)is, = L'(li + la)i,,+ 13=Ьили AХ+1вIм-f- 1а=L. Переходмежду
различными схемами связи рассмотрен в 3.3.
Совокупность триполярных сферических гармоник представляет собой полную ортряормировэн-
ортряормировэнную систему функций, зависящих от трех направлений.
Условие ортогональности и нормировки
j j j dQ1dQtdQa {Y,f (О,) ® (Y,2 (О,) ® Y,t @,)h>Ljr {Y,,, (О,) <g> {Y,,, (О,) ® Y,,, (O,))»,)*,,,-
= blil\bltl'1bl3l'3h\'bLL'bMM'» A2)
Условие полноты
2 <Y(i (^l) ® {Yfj (^2) <8>Y/, (Q»)}x}ljt (Yi, (Qi) ® {?,г Ba) <8> Yit (q'u))x)*lm = 8 (si — Qi)8 (S2 — 05)8 @3 — Qj). A3)
xeV
Условие замкнутости
2UY
| =
A4)
При повороте системы координат триполярные гармоники преобразуются по формуле
Ь К Р. 7) {Y(i (Qx) ® {Yfi @.) (8) YJf (Q,)}x}ur,= {Y(j (Si) ® {YZj (QJ) ® Yfj @,)}x}LJP ==
= 2 Dmm' («• P. f) (Y,f (Qi) <8» (Y;j (Q.) ® Yh {Qs)h)LM, A5)
где 2< = {&й <рЛ и Qf = {&,., cpj связаны соотношениями 1.4B), 1.4C). При инверсии системы
координат триполярные гармоники приобретают фазовый множитель
Pr (Y(j (Oi) ® {Yi2 (О,) ® Y,, (Q3)}x}?jf= (-i)''+'»+'« (Y(i (О,) (8) {Yfj (Q.) ® Y,a (Q3))X}LX. (Щ
Разложение Клебша—Гордана для произведения триполярных гармоник имеет вид
{Y,,, (Si) <g> {l,.t (О,) ® Y,,s @,)}^}^, {\l% (Qx) ® {Y,,f (Q.)
= 2 сЬЛч"М" 2 e'vW'L' ^rv'sX-'i» {Y(l B.) ® {Y
где ^^^
hhi+L 1/BЦ + 1) №- 1) BIJ + 1) BQ + 1) B^ + 1) B^^ + 1) BL' + 1) B?'-M) ^
f
X VB3i' + 1) B1" + 1) BX. + 1) c»>V,o^%»v>C'v»»V I X' X" Mr» 'S '4- A8)
U' I" L j (Г I' I j

5.17. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ДВУХ ВЕКТОРОВ
143
Важным частным случаем триполярных гармоник являются скалярные гармоники с
<*,, Pi) <8> {Yi3 Р.) <8» Yi8 (S3)>x>oo = (-1)г'+'2+Ч/г 2 (mx m, m3) У<>"- (Qx) Уг'""(Qa) У<»»
5.17. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ДВУХ ВЕКТОРОВ
1. Функцию /(гх, г2), зависящую от двух произвольных векторов т1(г1, &х, срх) и г2 (г2, &2, <р2),
можно разложить в ряд по биполярным гармоникам (см. 5.16)
, г,) =
A)
Функция /(гх, га) может быть дана как в переменных гх и г2, так и в переменных R и г, где
— r2,
= 7Г (R — ')•
B)
Сферические координаты векторов R(i?, 9, Ф)
и г (г, Ь, ср) связаны со сферическими координа-
координатами векторов гг (rv blt срх) и г2 (г2, Ь2, ср2) следую-
следующими соотношениями:
R2 = Г\ + г\-\-
COS U)i2,
COS v =
Г] COS fti + Г2 COS »2
V ri + ^i + 2гЛ cos Mi
Ti sin &i sin <pi + r2 sin
* rj sin *i cos 9i -f- r2 sin
r2 = r\ + r\ — 2rjr2 cos »i2,
COS &! — Г2 COS ft2
C)
cos w =
~ 2Г1Г2 C0S
tg<p = -
sin ft] sin <pt — ra sin ft2 si
sin &i cos <pj — r2 sin Ъа cos % *
Здесь <b12 — угол между векторами г2 и г2 ~
(рис. 5.2),
cos ш12 = cos $i cosl&2 + sin *i sin *2 °os (?i — %
Соотношения, обратные (З), имеют вид
4rf = Л2 + г2 + 2Дг cos ш,
Л cos в -f- r cos ft
D)
Рис. 5.2. Связь векторов R и г с векторами гх и г2.
4г| = Л2 + г2 — 2Дг cos со,
COS 8, =a -
?a _|_ r2 _j_ 2Rr COS со
Л sin в sin Ф -\-r sin 9- sin <p
cos ft» =
R cos в — г cos Ь
Уда _|_ r2 _ 2ДГ COS со '
Л sin в sin Ф — r sin Ь sin <p
E)
' Д sin в cos Ф 4- r sin ft cos <p ' 8 9i д sjn @ COs Ф — r sin Ь cos <p"
Здесь «в — угол между векторами R и г (рис. 5.2),
cos со = cos в cos & 4- sin ® sin * °os (Ф — ?)• F)
Отметим, что выражения для сферических координат R и г переходят одно в другое при замене г2
на —г2, т. е. при замене &2->тг — &2, ср2 -> u -J- ср2. Поэтому разложения функций ^(R, г) и F (г, R),
отличающихся между собой лишь заменой аргументов R ^ г, связаны между собой. Если
F(R, r) = /(rlf r,) =
ТО
= /(n, -r2)=
G)
(8)

144 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Среди различных функций / (tv г2) особую роль играют функции, инвариантные относительно
поворота системы координат. Такие функции зависят лишь от трех переменных гг = | тг |, г2 = | г21,
(гхг2) = rxr2 cos <в12 или, что равноценно, R = | тг -{- г21, г = | тг — г21 и (R • г) = Rr cos o>.
Разложение этих функций, очевидно, будет содержать биполярные гармоники толькр нулевого
ранга ?, = 0, т. е. только.скалярные произведения (Y, (Q2) • Y, (Q2)) (см. 5.16A0)). Это разложе-
разложение эквивалентно разложению по полиномам Лежандра, зависящим от cos ш12, вследствие теоремы
сложения сферических гармоник
214-1
(Y,^). Y,(Q1))=-^-i'/(cosa.11). (9)
3. Примеры разложения функций, зависящих от г^:
(Ю)
A2)
A3)
В этой формуле индекс суммирования I принимает значения 1 = 0, 2, ..., п — 2, п при п — чет-
четном или 1 = 1, 3, ..., п — 2, п при п — нечетном.
Разложение экспоненциальной функции имеет вид
со
еЦтгъ) = 4л ^ i'fi (ГЛ) (Y, (Si) • Y, (Qt)), A4)
1=0
где /, (х) — сферическая функция Бесселя.
Произвольная функция / (гх • г^, которая может быть представлена в виде степенного ряда
/(*•*)-2 «.<*•*>". A5)
разлагается в ряд по сферическим функциям вида
/ (ri • г2) = 2 U (гл) (Yi (Qi) • Yi (Q2)b A6)
A7)
(r,
('i
В общем случае [69]
гщ 4л
Т2)*=4>1
4л
•'2K=5-'-!'-i
при целых
(i-i • г2) — 4w
(Yi №- 9.) ¦ У г (».. Н
[(Yo^^.Yo^,,
(Y! (*i, <fi) • Yj (»2, <f,
положительных п
i
))>
»>+4<Y.(.l.*,.Y1
i)) + y(Ys(»i. ft)-Yi
f l)!!(Y/(ai> ft)'Yj(
(*2. %))J»
(»¦. ft))]-
&2. ?2))ф
2
1=0
где коэффициенты разложения /, (г1г2)*определяются формулой
2
4. Примеры разложения функций, зависящих от г = |г1 — г2|: разложение функции 8 (г, г2)
имеет вид
со
S (rx - r2) =-^7Г2-' 2 (Y, @,) • Y, @,),. A8)
Формула A8) является следствием условия полноты системы функций Ylm(&, <p) (см. 5.6 A)).
Разложение функции Грина для скалярного уравнения Гельмгольца может быть записано в виде
со
eikr V1
— = Шк 2, U (*ri) Щ" №*) (Y( (О,) • Y( (О,)), A9)
г=о

5.17. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ДВУХ ВЕКТОРОВ 145
где jt(x) и М1) (х) — сферические функции Бесселя и Ханкеля I рода. Формула A9) справедлива
при r1<^rv Если гх^>г2, то в ней нужно произвести замену г1'^.г2. Разложение A9) является
частным случаем следующего разложения [70]:
.0 (кг) = 4* J] /, (кП) г, (Ar.) (Y, (Qx) • Y( (Q,)), B0)
1=0
(ri < г*)>
где z, (x) = I/ y^i+'/,(x) — любая из сферических функций Бесселя, Неймана или Ханкеля I
и II рода.
Важным частным случаем формулы A9) является разложение функции Грина для скалярного
уравнения Лапласа, получающееся из A9) при к = 0
2
Формула B1), также как и A9), справедлива при гг<^г2. Если гг^>г2, то в B1) следует произ-
произвести замену гх <i г2. Разложение B1) можно записать также в симметричном виде, справедливом
как при Tj <^ г2, так и при гх ^> г2:
B2)
Несколько примеров разложений других степеней г.
со
j^ B1 -j- 1) V2 V
CO
?=^ 2 Ш(Y'(Bi' •Y' ^»«
1 4л
Эти формулы справедливы при г1<^г2. Если г^^>г2, то в них следует произвести замену rx^tг2.
Разложения B1)—B5) являются частными случаями разложений, рассматриваемых ниже.
5. Разложение функций г"^!^ — v2Y (n — целое, положительное или отрицательное) имеет вид
со
1
21 -(- 1 а" (Г1> гг) (^/(Si) ' Y/(Sa)). B6)
где коэффициенты разлон<ения ant (r1( г2) даются следующими формулами [97]:
ч 2 Л ЛЛ' /га 1га 3 г\\
«7(г„ '¦,) = -7ГГ-^(р-) ^('-у. "У"У.' '+у; Pf). B7)
B8)
(ri < г,),
2 Л r{ (rl — rf)M+2 / га 3 . л
/in
Д- А. Варшалович и др.

146 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Зге rg т]\
+ Ь3 J B9)
2 /I \ пъ , ( п 1га
и+1
i \ ¦ Z I ' "v *' rV f ra
~r N Z-L _! pi л ; :: ц.. л т. щл \
При гх>г2 в формулах B7)—C0) нужно заменить тх-$.г2. Выражения для коэффициентов а'\ (rv r2),
справедливые как при гх<^г2, так и при rl'^>r2, имеют вид
\ 2Ji (г^у (I п I ге.1 3/ 2ггг„ \2\
«7(ri, г2)=—грг ~1F\2~T' У"~Т + У; l + Y' Krl + rt))' C1)
C2)
7#>/
V2//
При.четных положительных и ряд B6) обрывается при 1 — п/2, превращаясь в конечную сумму.
Сравнение B7) и B8) показывает, что коэффициенты разложения функций г" и г " связаны
соотношением
^iJ ai Vi> r2l- C3)
(т + 2\
Заметим, что все разложения, приведенные в 5.17.4 и 5.17.5 остаются справетливыми при замене
r^l^ — г2| на /? ^= | гх —|— г21, если коэффициенты разложения дополнительно умножить на (—1)'.
6. Сферические волны, т. е. функции вида zL (кг) YLlf {Ь, ср), где г (г, Ь, •р)^^ — г2, zL(x) =
= 1/ 5-Zi + i/,(ar), и ZL+i/2(x) — любая цилиндрическая функция порядка L-j-y, разлагаются по
биполярным гармоникам ранга L [70] (см. 5.16.1):
Ч (И YLM (», 9) = Y2UTI 2 ih~h~Z ^{2h + 1] B'2 + i] ^'.оЛ, (kr^\ (kr*) iYiSQi) Ф Y/2 (Q2)}i.,/, C4)
(ri < r2)
В случае ^ > r2 в формуле C4) следует произвести замену г: -^t г2. Выбирая в качестве zt (кг)
сферическую фувжцию Бесселя jL(kr) и устремляя &->0, получаем разложение [22, 96]
i
r1TL C5)

5.17. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ДВУХ ВЕКТОРОВ
147
Аналогично, выбирая в качестве zi(кг) сферическую функцию Неймана га&(кг) и устремляя к-*-О
получаем разложение [22, 96]
(».?)=
ш 2 (-Ч'
Например, циклические компоненты вектора г/г3 разлагаются по формуле
? = *™ 2 (~1)! V Т' F^" <Y'-» (Ql> ® Y< (Q^ V
7. Разложение функций гяУьм(^, <?) по биполярным гармоникам ранга L имеет вид
= 4*
/„
C7)
C8)
где суммирование ведется по всем целым положительным значениям 1Х и Z2, разрешенным прави-
правилом сложения моментов (l1-f-l2 = L) и законом сохранения четности (/г —|— i2 — ^ — четное число).
Коэффициенты разложения aff (rv r2) для разных значений N, L даются формулой [98]
X
Если гг > г2, то выражение для а^ (г1( г2) получается из C9) заменой r1 ^t r2, Zj ^t i2 и дополни-
дополнительным умножением на (—1) . Выражение C9) для коэффициентов разложения может быть также
записано в следующих видах [78], в зависимости от значений N и L.
При /V — целом, N — Ъ — четном, N — L>0, т. е. при N = L, L-\-2, L-f-4, ...
D0)
О при lx -j-12 > Л'.
При N — целом, N — L — четном, N — L^L—2, т. е. при N = L — 2, L — 4, ? — 6, ...
~i~ 1"+^тЧ!! it i2
При N — целом, N — L — нечетном и гг <| г2
_ г. | - (г,
In (ri + г.)].
JV+i+1
(?2)!!Г1Г2
при n — ^ ¦+- г2 -f-1 > О,
при /v - /j + г2 +1 < о.
10*

148 Гл. 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Если гх>г2, то выражение для afr^(rv r2) получается из D2) заменой r^~$-r2, lx~<tL и дополни-
дополнительным умножением на (—II. Важно подчеркнуть, что, если iV^—3, коэффициенты а^A\, г2)
имеют добавки, содержащие 8(гх — г2) и ее производные, которые дают конечный вклат; при инте-
интегрировании разложения C8). Эти добавки имеют вид [78]
°^f2 (ri> r2)s = (—P (? _ дг _2) П ,2j^| (—1)*3(ij_Sj) !(/a—*j)| X
1 1 / д \-я—1-ч-* \Ъ (г, — г,Л
X BSl)HB^)l!-^fe) L^te^J" D3)
Наконец, при N — нецелом
(g)Г (iV + /, + /2 + 3)
Заметим, что все разложения, приведенные в 5.17.6 и 5.17.7, остаются справедливыми при замене
г (г, г>, »), где г = гх — г2, на К(Л, в, Ф), где R^Ti-J-rj, если коэффициенты разложения до-
дополнительно умножить на (—I)'2.

Глава 6
СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
6.1. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ
1. Определение
Спиновые функции описывают поляризационные состояния частиц * с определенным спином,
т. е. с определенным собственным (внутренним) моментом количества движения.
Спиновые функции х (а) можно рассматривать как функции от дискретной спиновой перемен-
переменной о, которая имеет смысл проекции спина на ось z и может принимать 25+1 значение: о= —S,
—S-\-l, . . ., S—1, S, где S —спин частицы (S —целое или полуцелое неотрицательное
число). При этом величина \х (<з)|2 представляет собой вероятность того, что в данном состоянии
проекция спина на ось z равна о.
Спиновую функцию принято записывать в виде столбца, состоящего из 2S-\-\ элемента:
хЧ : |- A)
Элементы этого столбца дают значение спиновой функции у (а) при соответствующем значении
спиновой переменной о, а сами величины х (°) называются контравариантными компонентами
спиновой функции х (см- ниже 6.1.4).
При такой форме записи операторы, действующие на спиновые переменные, представляются
в виде квадратных матриц размерности B?-fl) X BS+1), а суммирование по спиновой перемен-
переменной заменяется матричным умножением. Эрмитовски сопряженная функция х+ представляется
в виде етроки
Для того чтобы величины \х (а) |2 можно было рассматривать как вероятности иметь z-компоненту
спина равную о, они должны удовлетворять условию нормировки
s
a—S
Это же условие может быть записано в матричном виде
Описанное выше представление спиновых функций называется представлением циклического
базиса. В случае целочисленного спина наряду с представлением циклического базиса иногда
используется представление декартового базиса. Это представление для частиц со спином 1 рас-
рассмотрено ниже (см. 6.3).
* Название «частица» используется для обозначения как элементарных частиц (электронов, протонов и т. д.),
так и сложных систем (атомов, ядер), которые в рассматриваемых явлениях ведут себя как единое целое.

150 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
2. Базисные спиновые функции
Базисными спиновыми функциями называются спиновые функции состояний с определенным
значением спина и его проекции на ось z. Базисные функции iSm являются собственными функци-
функциями операторов S2 и §г, где S — оператор спина (см. 2.3):
& S E)
Из этого определения следует, что зависимость базисных функций xSm (а) от спиновой переменной
о дается формулой
XSm (°) = 8ma- F)
Иными словами, контравариантные компоненты базисных спиновых функций %Sm имеют вид
Fxs 1а== ^т • G)
Если записывать базисные функции в виде столбцов, то
:\ А А
- Xfia-i= i - • ¦ ls-s = \ : (8)
о [о \о
,о/ \о/ \1/
Совокупность 25-f-l базисных функций xSm с m = S, 5 — 1, . . ., —5, образует полную систему
ортонормированных функций. Условие ортогональности и нормировки базисных функций
XsmXSm'= mm" (Щ
Условие полноты системы базисных функций можно записать в матричном виде
S
m=-S
где / — единичная матрица размерности B5 -J- 1) X B5 -\- 1).
Матричные произведения базисных функций вида XsnXtm' являются квадратными матрицами
размерности B5-(-1) X B5-|-1) и могут быть разложены по полному набору поляризационных
операторов f ш E) (см. 2. 4). Это разложение имеет вид
' 2L -*- 1 Sm
L
Матричные элементы циклических компонент оператора спина S^ (р. = +1, 0) между базисными
функциями даются формулой
Xtm'SyXSm — ^S (S "i~ !) CSm 1^ A2)
при этом отличными от нуля будут следующие матричные элементы:
1),
Для декартовых компонент оператора спина St (I = х, у, z) отличные от нуля матричные
элементы имеют вид
<!
XJ S ls = + ±J(S + m)(S + m^l), A4)

6.1. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 151
Матричные элементы поляризационных операторов fiX(S) между базисными функциями записы-
записываются следующим образом:
f.%m'TLM (S) У-Sm = У 2S -f 1 СsZlM• A5)
При повороте системы координат базисные функции %Sm преобразуются с помощью оператора
поворота Ds(a, fJ, if) (формула 2.4 A7)), если поворот характеризуется углами Эйлера а, |3, -у,
или с помощью оператора поворота Us (ш; в, Ф) (формула 2.4A8)), если поворот характеризуется
направлением оси поворота п (9, Ф) и углом поворота ш:
г'вп,' = 6S (а, C, Т) Хя»' = 2 Д?»' ("• Р- Т) Хвт>
A6)
2^1( 0 Ф)
Х^,. = #*(«; в, Ф)хв«' = 2^1„'(«>; 0. Ф)Хв1В,
где Dsmm, — /)-функции Вигнера (гл. 4), величины ?/?т, определены в 4.5. Функции х^т, описы-
описывают состояние, в котором частица имеет спин S и проекцию спина т' на новую ось z'. Они
являются собственными функциями операторов S' и S'z:
Здесь S' — оператор спина в повернутой системе координат.
¦у;=2^кр.тL о*,v=±i,о). (is)
V
3. Спиральные базисные функции
Спиралъностью называется проекция сцина на направление импульса частицы. Для частиц
со спином S сдиральность X может принимать 25+1 значение: Х=5, 5—1, . . ., —-6'+1, —5.
Спиральными базисными функциями %s\ (&, f) называются собственные функции операторов
S2 и S-n, где S —оператор спина, п=р/| р| —направление импульса частицы, & и ср —сфери-
—сферические углы орта п:
§2ХяД». 4P) = -SE + l)Xa(». т).
. T) = ^Xa(». ?)•
Функция j^sx (9, tp) описывает состояние со спином 5 и определенной спиральностью X.
Спиральные функции xsi ($, <f) можно выразить через базисные функции %Sm, поворачивая
систему координат так, чтобы новая ось z' была направлена по импульсу частицы или, что то же
самое, по орту п (#, ср). Такому повороту соответствуют углы Эйлера а=<р, р=&. Третий угол
Эйлера у (угол поворота вокруг новой оси z') может быть выбран произвольно. В дальнейшем
для простоты будем полагать у— 0. При таком выборе у орты повернутой системы координат е'х,
%¦> е» будут совпадать со сферическими ортами е8, е , ер соответственно (см. 1.1.2). Пользуясь за-
законом преобразования базисных функций xsm при повороте A6), получаем
Ха(». т) = 2^(ЧР.».0)Хвт.
B0)
_m@, Ь, ф)Хл(», ?).
Для эрмитовски сопряженных функций имеем
Х& (», 9) = 2 (-DX-m ^-,«-х (?. ». 0) xjm.
B1)
xL = 2 (-1)""" DL (о, ft, ?) xSx (», ?)•

152 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Из F), G) и B0) следует, что контравариантные компоненты спиральных базисных функций имеют вид
[Xsx(*> ?)]* = D& (?> *» 0)>
(о, >. = — 5, —5 + 1, ... 5 — 1, 5) B2)
Совокупность 2S-\-l спиральных функций Xskft' f) c ^- — S* S — 1* • • •> —S, также как и сово-
совокупность функций Xsm> образует ортонормированный базис. Условие ортогональности и нормировки
для спиральных функций
Х?х (*> ?) Xsx' (*• ?) = hv B3)
Условие полноты системы спиральных функций
2 *ях (*• ?^х^ (*• ^ = ^' B4)
х
Произведения спиральных функций вида Xsx (^» f) Xsx' (^» f) являются матрицами размерности
B5-J-1) X B5-}-1), которые Могут быть разложены по поляризационным операторам fiuiS)
(см. 2.4):
"V11 f 2L + 1 «г
2
LM
Матричные элементы поляризационных операторов между спиральными состояниями вычисля-
вычисляются с помощью формулы
В частности, диагональные матричные элементы имеют вид
4. Спиновые функции общего вида
Спиновая функция общего вида A) для частицы со спином S может быть разложена по базис-
базисным функциям iSm, т. е. представлена в виде
2
S
Х= 2 «-Хв». B8)
где ат = х(т) — контравариантные компоненты неприводимого тензора ранга S. Разложение
эрмитовски сопряженного спинора у^ по базисным функциям у?т имеет вид
2 («*)*XJ»- B9)
Отметим, что в общем случае (ат)*=^=ат, т. е. соответствующий неприводимый тензор не явля-
является вещественным. Условие нормировки D) налагает на коэффициенты ат условие
2
S
Произведение спиновых функций yyf является матрицей размерности BS -|- 1) X B5 —j— 1) и
может быть разложено по поляризационным операторам tLu {S) (см. 2.4):
2S L
=2 2
i=0 M=-L

6.1. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЧАСТИЦ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ 153
где коэффициенты разложения выражаются через компоненты ат по формуле
s
В частности, P00=l/\/2S+ 1.
Величины Plm(M = —L, —L-f-1, . .. L) являются ковариантными компонентами неприводи-
неприводимого тензора ранга L. Они представляют средние значения поляризационных операторов Tlm(S)
в состоянии, описываемом спиновой функцией у:
1+Tlm(s)X = Plm- C2)
При комплексном сопряжении величины Рьш преобразуются по формуле
(PlmT=(-VMPl-m- C3)
Из равенства ХХ+ХХ+= ХХ+ следует, что коэффициенты Рщ удовлетворяют условиям
+ 1) BL2 + i)[g * s] C™MihMPLiMPL2Mi, C4)
откуда, в частности, следует условие нормировки
2S L
2 2 |^ж|2 = 1- C5)
?-0 M=-L
При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, р, у, спиновая функция у
преобразуется с помощью оператора поворота /5s (а, р, т) (формула 2.4 A7))
х' = Яв(*. Р, 7) Х- C6)
Спиновую функцию в повернутой системе координат ^' можно разложить как по базисным функ-
функциям y_Sm исходной системы координат, так и по базисным функциям -/Sm повернутой системы
координат.
Х'= 2 «'mXSm= 2 «mXsm. C7)
m=-S m=-S
где ат и а'т — компоненты спииовой функции в исходной и повернутой системах координат соот-
соответственно. Связь базисных функций %Sm и %'Sm дается формулой A6). Закон преобразования ком-
компонент ат при повороте системы координат имеет вид
«'-= 2 д-(а' -8- ^а"'
C8)
*п = 2 <« (а' ?' Т) «"".
в соответствии с общим законом преобразования контравариантных компонент (см. 4. 1. 2).
5. Поляризационная матрица плотности
С помощью спиновых функций можно описывать не любое поляризационное состояние частиц,
а только полностью поляризованное (чистое) состояние.
Частично поляризованное состояние, являющееся иекогерентной статистической смесью чистых
состояний, описывается не спиновой функцией х, а поляризационной матрицей плотности р.
Поляризационная матрица плотности р для частиц со спиндм S является квадратной матри-
матрицей размерности BS-\- 1) X B?-f-1), элементы которой определяются формулой
Р,0' = <Х(°)Х*(°')>е C9

154 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
или в матричном виде
Р = <ХХ+>е. D0)
где <^ у означает статистическое усреднение. В частности, для чистых состояний
Р = ХХ+- D1)
Поляризационная матрица плотности эрмитова
р+ = р, т. е. &, = ?..„, D2)
и нормирована условием
Spp = l, т. е. 2р~=1- D3)
В силу условий D2) и D3) матрица плотности для частиц со спином S определяется B6r-j-lJ —
-—1 ==¦ 45 (S -j- 1) вещественными параметрами.
Среднее значение любого поляризационного оператора Т в состоянии, описываемом поляриза-
поляризационной матрицей плотности р, вычисляется по формуле
D4)
Отметим также следующее свойство матрицы плотности
Sp {р2} < 1, D5)
где знак равенства относится только к чистым состояниям, для которых
Р2 = Р- D6)
Матрица плотности р может быть разложена по поляризационным операторам Tlx(S), т. е. запи-
записана в виде
Р=2 2 {-iftL_MTLU(S). D7)
Величины tLM носят название поляризационных моментов. Они представляют собой средние зна-
значения поляризационных операторов Tlm(S) в состоянии, описываемом матрицей плотности р:
D8)
Поляризационные моменты tIlM связаны с элементами матрицы плотности соотношениями
в
¦\f2L-\-i -V ч '
Чш = У 2^+Т 2l Сшж?т» D9)
и, <r'=-S
Р«' = 2 V~W+T С^м^ч- E0)
В частности,
При комплексном сопряжении
t* =<—i)Ml
Свойства поляризационных моментов для чистого (т. е. полностью поляризованного) состояния
рассматривались выше (формулы C1)—C5)). Для полностью неполяризованного состояния все
моменты, кроме t00, равны нулю, т. е.
Рвеноляр — 2S -1- 1 ' (° ^
где / — единичргая матрица.
Величины thU являются ковариантными компонентами неприводимого тензора ранга L и при
повороте системы координат преобразуются по формуле 4.1. B).

6.2. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1/2 155
6.2. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ S = 1/2
1. Базисные спиновые функции
Базисные функции у,. т(т= +1/2) являются собственными функциями операторов S2 и Ss:
___3_
1г т 4 Ы A)
Функция х,, т описывает состояние, в котором частица имеет спин 1/2 и проекцию спина на ось z,
равную т.
«Зависимость базисных функций Хи т(с) от спиновой переменной а (а = +1/2) в представлении
циклического базиса дается формулой
Согласно формуле 6. 1 A), базисные спиновые функции у^. т могут быть записавы в виде:
/i\ /o^
xv, v,=l
Зрмитовски сопряженные функции ^+ т имеют вид
Часто используется следующее обозначение базисных функций:
Условие ортогональности и нормировки
у_+ тф. т=Ьт,т. F)
Условие полноты системы базисных функций
^ X'/, тX'"/, т ~ * • G)
где / — единичная матрица размерности 2x2.
2. Разложение произведений базисных функций
Величина у ту+ т, является матрицей 2x2, матричные элементы которой даются формулой
Разложение произведений базисных функций по спиновым матрицам
1 —
X'/ Хч '=:Tf^mm'"^— 'ЗСЛи т'^а.' (9)
где $ ((а=+1, 0) — циклические компоненты оператора спина (см. 2.5). В развернутой записи
формула (9) имеет вид
?а+ = XVl -7**7* V, = ^ iS V/F^

156 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
3. Действие оператора спина на базисные функции
Декартовы компоненты оператора спина «У,- (см. 2. 5) действуют на базисные функции соответ-
соответственно формулам
S*Xl/i 'А = ~2~ Х'А -У*' S^h -'А= Т Х'А 'А'
1 1
szX'/21/2 = " X'/j i/,» ^*X7, -7, = " Xi/, _i/2-
Циклические компоненты оператора спина S (см. 2. 5) действуют на базисные спиновые функции
следующим образом:
Формула A2) в развернутой записи имеет вид
, V,
v,
A3)
Из соотношения A2) следует, что для произвольного вектора а матричные элементы оператора S • а
имеют вид
[§ • a]as, = х$, ,§ • aX,/f., = (-II" -у- С;Л Т/,.^, A4)
где а_„([1=±1, 0) — ковариантные циклические компоненты вектора а (см. 1.2).
4. Преобразование базисных функций
при повороте системы координат
Базисные функции ^,, т являются ковариантными ортами. При повороте системы координат S —»• S'
они преобразуются с помощью оператора поворота D '(а, C, у) (формула 2.5 C2)), если поворот
характеризуется углами Эйлера а, [3, у, или с помощью оператора поворота O^(w; в, Ф) (фор-
(формула 2.5 C6)), если поворот характеризуется направлением оси поворота"п (в, Ф) и углом пово-
поворота ш:
ti/, *,' = #'•(*• ?' 7)Х./.«' = 2х./,»в!^»' (*' Э. Tf)'
A5)
х.'Лт' = ^1/2(«; в, ф)х./1Я.' = 2х./,»^1»'К 0. ф)-
ш
где ?*^2т, (а, Р, т) — ^-функции Вигнера (гл. 4), U'J^m, определены в 4. 5.
Функции z'/s»»' являются спиновыми функциями состояния, в котором частица имеет спин 1/2
и проекцию спина т' на новую ось z'. Функции х'ит' являются собственными функциями опера-
операторов S'2 и $', где S' — оператор спина в повернутой системе координат (формулы 2.5 D0) и
2.5D1)):
ft,2 , ^_ ,
S Xi/2 m'— 4 Х7а '"'' A(^)

6.2. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1/2 157
Явный вид базисных спиновых функций в повернутой системе координат
cos -тг е
¦ i z; 1
A7)
1 -sin -V е
если поворот характеризуется углами Эйлера а, [3, у,
cos у — i sin у cos в \ / —i sin -g- sin ве
—i sin -5- sin ве / \cos -5- + f sin -5- cos 9,
если поворот характеризуется углами ш, в, Ф.
Для функций ху, т' справедливы соотношения ортогональности и полноты F), G), а также фор-
формулы (9)—A3), если в них произвести замену 3-+Sf.
5. Спиральные базисные функции при S = 1/2
Спиральные базисные функции ;?/>*(*» <р) (^=+1/2) описывают состояние, в котором частица
имеет спин 1/2 и проекцию спина на направление импульса п (Ь, ср) = у—- (т. е. спиральность)
равную X. Функции у_х х (&, ср) являются собственными функциями операторов S2 и S • п
Согласно A5), спиральные функции ¦/_, х (&, ср) связаны с базисными функциями-j;,, m соотношениями
¦'" о » B0)
Для эрмитовски сопряженных спиноров формулы B0) принимают вид
„ X /,„,
Xft, ж = 2 М) * Л/1» (°- »¦ Т) Xv, X (». ?)•
X
Явный вид спиральных функций
B2)
B3)
Спиральные функции ^ x (&, ср), также как и функции ^ да, образуют ортонормировавный базис.
Условие ортогональности и нормировки для спиральных функций
Xfcx'(». T)xVlx(ft. ?)=Vx, B4)
Xi/2 % (», f) = ! cos у e z , sin у e M , x>/2 -v2 (a. ?) = I—sin у е , cos -у е

158 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
а условие полноты
?*/,х(». ?)Х$,х (»•?) = /• B5)
Разложение произведений спиральных функций с одинаковыми аргументами Ь, ср имеет вид
Xv, х (». Т) Х^2Х' (». Т) =Т W + V3 ^ ф 1A^ (T, », 0) ?. B6)
В развернутой записи
1 /1 + cos » sin be-
—sin a (cos a -f i)
sin;
B7)
—sin a (cos 9 — l)e-'>\
1/1 —cos» —sin9e~'ci!
Матричные элементы циклических компонент оператора спина S (\i — +1, 0) между спиральными
состояниями даются формулой
+ _ ^+v^i 'Ax- 1
В развернутой записи формула B8) имеет вид
= ycos*¦ <+ I ^o I -> = - Tsin8-
<_|so|-> = —jooe»,
Здесь использована краткая форма записи
<+ | ^ I +> = Xk./, (». ?) Vy2 у, (», ?)¦ <+ I ^ I -> - Ху,./, (». ?) ^Ду2 -д/, (». ?) и т." д.
Матричные элементы декартовых компонент оператора спина S( (i = ж, у, z) между спираль-
спиральными состояниями имеют вид
<+ I $х I +> = у sin ь cos ?> <+ I Sx | — > = у (cos а cos ? + i sin?),
<+l^l+> = -2"sin*sin(p, <-f|^|—> = y
<4 |4М> » <Hil>

6.2. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1/2 159
<— | Sx | +> = у (cos Ь cos у — i sin <р), <— | ^ | — > = — у sin u cos у,
1 1
<— I ^ I +> = у (cos 9 sin у + ' cos ср), <— | ^ | — > = — у sin a sin у,
<- I <?* I +> = - у sin », <- | 4 | -> = - у cos ».
Отметим, что для диагональных матричных элементов оператора спина имеет место формула
хйх(», rt§xVlx(». ?) = М». ?)• C1)
6. Произвольная спиновая функция частицы с 5 = 1/2
Произвольная спиновая функция &, частицы со спином 1/2 может быть разложена по базисным
функциям х, т, т. е. представлена в виде
х.Л= 2 а>2»= -vj- C2)
При этом эрмитовская сопряженная функция ytjt выражается формулой
Коэффициенты ат (т= +1/2) являются контравариантными компонентами спинора ^ (см. ниже).
Условие нормировки спиновой функции
налагает на коэффициенты ат (т= +1/2) условие
Величина ат является амплитудой вероятности того, что в состоянии у частица имеет проекцию
/2
спина на ось z, равную т.
Частные случаи
а. Спин частицы направлен по оси z:
а2 = 1, а 2 = 0, -^ = ^,^ = 11. C5)
б. Спин частицы направлен против оси z
«V, = 0, a*l* = l, XVa = Xl/2_,/2 = Q. C6)
в. Спин частицы направлен по орту п (&, <р)
cos у е I
* 4 I
sin у е z /
г. Спин частицы направлен против орта п (&, ср)
' » -• -•N
о1/» = ¦ - sin у е 2 , а-'/' = со? у е 2 , ' Xl/j = Ху2 -7г (», ?) ?= ( _ f | C8)
91 *' тг
cos-тт.е "

160 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
В общем случае спиновая функция C2) описывает состояние, в котором спин частицы направ-
направлен по орту п, декартовы компоненты которого даются формулами
x (''*a-% nf = 2lm{al'*a-'l')y я, = | «V. |» _ | e->/. |». C9)
При зтом циклические компоненты орта п определяются по формуле
или в подробной записи
»+1 = -Й«'/.'.Л Яо = | а'/'Iя-la""/'Is, п_х = ^а-11>'а1>. D1)
Произведение спиновых функций вида fyXfi может быть разложено по спиновым матрицам
§, D2)
где п — направление спина частицы C9)—D1).
Матричные элементы оператора спина S выражаются через направление спина п по формуле
Преобразование спиновых функций при повороте системы координат S->S' осуществляется с по-
помощью операторов поворота Й1г(а., р, у) (см. 2.5 C2)) или ?7'/s(u>; в, Ф) (см. 2.5 C6)) в зависи-
зависимости от способа описания поворота:
Xl'A = Л'Л (в, р, -г) Xl/2 = 0V« («; в, Ф) Х,Л. D4)
Спиновые функции в повернутой системе координат ;/, могут быть разложены как по базис-
базисным функциям у^. т исходной системы координат, так и по базисным функциям у^. т повернутой
системы координат:
где а — компоненты спинора в исходной системе координат, а'т — компоненты этого те спинора
в повернутой системе координат. Связь базисных функций ¦?, т и у,, т дается формулами A5).
Закон преобразования компонент ат имеет вид
" ,, (m, «= + -5-). D6)
т
Таким образом, компоненты ат являются контравариантными компонентами (см. 4.1. 2),
7. Поляризационная матрица плотности
Поляризационная, матрица плотности для частиц со спином 1/2 может быть записана в виде
(/ + 2Р§> D7)
где вещественный вектор Р называется вектором поляризации, S — оператор спина.
Вектор Р является удвоенным средним значением оператора спи па
P = 2<§> = 2Sp{?S). D8)

6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1 161
Длина вектора Р называется степенью поляризации, она меняется в пределах от 0 (для неполяри-
зованного состояния) до 1 (для чистого, т. е. полностью поляризованного состояния):
О < | Р | < l.f D9)
Циклические компоненты [вектора поляризации выражаются через элементы матрицы плотности
по формуле
*,=^ 2 ??:>„, E0)
или в развернутом виде
P+1 = -V2P_I/aV2) Po = pVi,/i-p_v,j/i. Р_х = ^2^_ъ. E1)
Декартовы компоненты вектора поляризации даются формулами
1Р* = */, -V, + P-V» V.» РУ = * (pV, -7, - P-V, '/J. P> - P'A «A ~ 4. -V <52>
Для чистого состояния, описываемого спиновой функцией у^., матрица плотности р имеет вид
E3)
а вектор поляризации Р совпадает с ортом п (см. формулы C9)—D1)). Для неполяризованного
состояния
1
6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1
1. Базисные спиновые функции
Базисные функции Xim (m=±l, 0) являются собственными функциями операторов S2 и S/.
2fcl = «x?»- A)
Функция Xim описывает состояние, в котором частица имеет спин 1 и проекцию спина на ось z,
равную т. Три базисных функции Xim (ш=+1, 0) можно рассматривать как три циклических
ковариантных орта ет (см. 1.1), записанных в випе столбца. Наряду с у1т используются базисные
функции Xi(i — X> У' z)> являющиеся декартовыми ортами е<:
__ _1 . i_
10 — Аг> Ху— WS Ш-1-rXllb \Ч
Как функции Xim (™>= +1> 0), так и функции Xi (i — x> У> 2) образуют ортонормированный базис.
Условие ортогональности и нормировки имеет вид
Xi«'Xlm = 5m'm> itlk = ?«« C)
Условие полноты системы базисных функций записывается следующим образом:
2 XimXfm = A 2' Х<Х?=А D)
«п=±1, 0 »=«, у, г
гд6 / — единичная матрица размерности 3X3.
При описании спинового состояния частиц с S = l используются как представление цикличе-
циклического базиса, так и представление декартового базиса.
\\ Д. А. Варшалович и др. jq*

162 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Представление циклического базиса
В представлении циклического базиса зависимость функций Xi™(°) от спиновой переменной а
(а= +1, 0) дается формулой
Xin,(°) = 8ma. E)
Согласно 6.1 A), базисные спиновые функции уЛт могут быть записаны в виде
0 х,-, = (о),
а эрмитовски сопряженные функции %+т, как
ХЬ = A. 0, 0), xlo = (O, 1, 0), xti = @, 0, 1). G)
Функции Xi (i — х> У' z) B представлении циклического базиса имеют вид
и-Ц о). *-я0. ь-0. «
xS = -^(-l. 0, 1), Xj = —7f (I, 0, 1), Х+=@, 1, 0). (9)
Из формул F) и (8) следует, что в представлении циклического базиса функции xlm вещественны:
X!m=Xlm> (ОТ=±1, 0), A0)
а функции х4 (г = х, у, z) удовлетворяют соотношениям
х?=х*. г*у=— Xs> х*=х^. (ii)
Вид спиновых матриц и поляризационных операторов в представлении циклического базиса дается
формулами 2.6 (9)—2.6 B2).
Представление декартового базиса
В представлении декартового базиса спиновая переменная а принимает три значения о = х, у, z,
а зависимость от нее функций Х»-.(а) дается формулой
ХЛ°)=8«- A2)
Поэтому базисные спиновые функции х< (I — х, у, z) в представлении декартового базиса записы-
записываются в виде (ср. 1.4 C7)) ^
х,-(о), x,=Q, х,= 0,
Х4= A,0,0). Xj= @,1,0), xf = F. 0,1). A4)
При этом базисные функции jjlm (wi= +1, 0) имеют вид
X,— Щ. Х,. = (о), Х-.-^(->). 05)
xii = —^| A. -<. 0). хй = (о, о, 1), xj_1 = _L(i, /, о). Aб)
Из A3) и A5) следует, что в представлении декартового базиса функции у_{ нещественны:
Х* = Х* (i = x, у, z), A7)
а функции Xim удовлетворяют соотношениям
x!- = (-l)"Xi-»(m=±l. 0). A8)

6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1 163
Спиновые матрицы и поляризационные операторы в представлении декартового базиса даются
формулами 2.6 B3)—2.6 C5).
Переход от представления циклического базиса к представлению декартового базиса и обратно
для спиновых функций осуществляется при помощи унитарной матрицы U размерности 3x3:
X (цикл, базис) = U% (декарт. базис),
X (декарт. базис) = ?7~1х (цикл, базис). '
Явный вид матрицы U дается формулой 2.6 C7). Формулы, которые будут приведены ниже,
не зависят от выбора представления, если не делается специальных оговорок.
2. Разложение произведений базисных функций
Произведения базисных функций вида ХшУлт' и lilt являются матрицами размерности 3x3
и могут быть разложены по полной системе поляризационных матриц /, S ([а = +1, 0), Т2м (М =
= ±2, +1, 0) или эквивалентной ей системе /, *S\, Qik(i, k = x, у, z) (см. 2.6). Эти разложения
имеют вид
XimXt»' = у Lm-I + 7f С»' 'А + \ ? Ci»' з* f*x • B°)
l.i Л
iiii = YbikI + ~jzikiSi— Qik. B1)
В 1>азвернутой записи эти формулы имеют вид
_1_1. 1 Л 11» 1.
ХпХи = у I + -j ^о + -^г т20 = у / -f y s* + у <?«.
XiiXf-i = f 22 = у (<?« -
у ?.i + ^g ^2-i=Y7
у r2o = y/-Q«. B2)
= - у ^+i + 7f ^.i = TTf D + гЛ - 2<5« - 2«?y,),
Xi-iXh = ^2-2 = у (<?« - <?w - 2i&y),
Zi-iXi+o = У ^-i - 7f ^2-1 = Y7f D ~ '^y - 2&« + 2i<J,,,),
Xi-iXi-t = у ^ — у ^o + 7g" ^20 == у * — у ^^ H- у (?«.
kxkx 3 1 2 2~2 2 i22'Tv/g-'2O yJ Чэ-Х'
X^Xj^ у (^"o — ' 2-2 ~\~ ^22) —~2$г Qiy
Xxti = Y7f (s-i + -y+i) -- у (Л-i - ^i) = - у -^ - Q,,,
ХуХя = — У (^"o + ^2-2 — ^22) =: — у $г — Qxyi
7.»-$ = -jl + У f 2-2 H- у ?22 + 7^ T20 = у / .:- <?w, B3)
11
*

164 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Xyt
t = -JJf (S-i - S+1) - у (f,_! + f 21) = у Sx - <
1Л л. i
A 4i У
( ¦* 2—1 ~Т~ ^21/ —¦ о"
3. Действие оператора спина на базисные функции
Циклические компоненты оператора спина S^ (jj- = +1, 0) и его декартовы компоненты S(
(t = х, у, z) действуют на базисные функции соответственно формулам
с „ Jo /-lm' v
SiXk=i?iklXl-
В подробной записи действие оператора спина на базисные функции дается формулами
l-i — —Хю>
5oXu = Xu. 50Хю = 0, 50Xi_i = —Xi-i. B5)
5_iXn^Xio» 5_iXio = Xi-b 5_1Xi_i = 0.
1 й _ J_ л 1_
— lXx, 50хг = 0, B6)
1 л i 1
==T7o"(Xi-i Xn)> "«Xi-i^— ,/o Xioi » '
B8)
^Xi-i = —Xi-i-
4. Действие оператора квадрупольного момента на базисные функции
Операторы Т2м (М = +2, +1, 0) и Qik(i, k = x, у, z) действуют на базисные функции по
формулам
2МXlm = У "з" СшШХшм
/
Т
1/2 x ^
В развернутой записи
22X11 — 0> •'22X10 — u> ¦< 22X1-1 — X11»
1 л 1
== J7T Xlll ^2lXl-l == ,/0" XlOl

6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1
165
- vw ли.
ф
^20X10 [/ 3 X101
7*2-2x10=0,
^2-lXl-l =0.
^2-2x1-1 == 0.
C0)
1
у (x*
x— 2
' 2oXx ^ ,/jr Хж'
*2-lXy ~~2 Xz>
X2 == " (Хж ~г
1
C1)
= 2 X1-1— g Xn>
1 1
= — 2" ^i-1 ~ T
— 3 Хи>
QxyXn = 2 X1-11
* i_
QxzXn — g \j~2 ^10>
QyzXn —
3 Xio>
3 Xio>
— 3 Xio>
= г, ,/;r (Xn ~ Xi-i),
<?«
=*Xi-i =
yXl-1=
rXl-l =
1
= 2
= —
-Xu
TXii
Xi-i>
1
6 X1-11
C2)
L.v, ^ — -=- Y
3 A*'
: а Хз
A — —
QxyXx — — 2 %y
it
A _i.
QxxXy— g Xy
2
"yyXy= "з~.
QzzXy = " Xy
6 Y — — — •
Чхуку 2 '
yzXy — — 2
. __1_
ЧххХг — 3 Xz>
6 У ~ -У
4xzkz—— ? kx'
= — ~2 Xy
C3)
5. Преобразование базисных функций при повороте системы координат
Базисные функции х1т (т— +1, 0) являются ковариантными циклическими ортами, а базис-
базисные функции Xt (I = х> У' z)"~ декартовыми ортами. При повороте системы координат они преоб-
преобразуются с помощью оператора поворота З1 (а, C, у) (формулы 2.6G5)—G8)), если поворот ха-
характеризуется углами Эйлера а, р, у, или с помощью оператора поворота O1(w: в, Ф) (формулы
2.6 G9)—(83)), если поворот характеризуется углом поворота ш и направлением оси поворота
п(в, Ф):

.166
Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
i»' = &1 («. ?. т) xi»r = 2
m=±l,0
C4)
Здесь Dxmmt(а, р, у) = ?)-функции Вигнера (гл. 4), a art — матрица поворота (см. 1.4.6).
Функции Xim' описывают состояние, в котором частица имеет спин 1 и ^проекцию спина т' на
новую ось z'. Функции x'im' являются собственными функциями операторов S'2 и S'z, где S' —опера-
—оператор спина в повернутой системе координат (формулы 2. 6 (85) и 2. 6 (87))
Ли' lm" ^
В представлении циклического базиса функции Хш' имеют вид
Хп =
а функции /f даются формулами
cos В cos *t — i sin *r .
¦ ^= e~'a
—sin 8 cos
cos В cos 7 -j- i sin
/l—cos8 .
/ =—- Й-* (
o-T)
1 -|- cos 3 .
\ 2 е'
, cos 3 sin i -j- i cos 7
vT e "
sin В sin f
cos 3 sin т — i cos f .
¦ t= ela
sm
x;=
В представлении декартового базиса эти функции имеют вид
/-
cos В cos a —
— i sin a , \
= e~'1 \
2 >
\/2
cos В sin a -j- i cos a
7Т е"'т
sin В
(sin В cos a
sin 3 sin a | , xi-i =
cos S
i 3 cos а -4- г sin ct
cos 3 sin a — i cos a .
/cos 3 cos a cos f — sin a sin f\
У.х — I C°s S sin a cos 7 -f cos a sin 7
\ —sin 8 cos "i '
/ — cos 3 cos a sin 7 — sin a cos 7\ /sin В cos a\
7^ = I —cos В sin a sin 7 -f- cos a cos -j I' xi = I sin P sin a
^ s'n Э sint 7 / \ cos 3 ЧУ
C6)
C7)
C8)
C9)
Выражения для базисных функций в повернутой системе координат в случае, когда поворот ха-
характеризуется углами ш, 0, Ф могут быть получены с помощью явного вида оператора поворота
Ol(w, в, Ф) (формулы 2. 6 (80), (81)).
6. Спиральные базисные функции при *S = 1
Спиральные базисные функции Xn(^> f) (^=+l> 0) описывают состояние, в котором частица
имеет спин 1 и проекцию спина на направление импульса п(&4 <р) = р/|р| (т. е.^спиральность)
равную X. Функции Xix(^» f) являются собственными функциями операторов S2 и Sn:
§*Xu(». *) = 2xn (».*), D0)
§"Xix (8, 9) = ^Xn (&. ?)•
Согласно 6. 1 B0) спиральные базисные функции могут быть получены из базисных функций ¦/Лт
с помощью поворота системы координат:

6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ 5=1 167
D1)
0, ft, T)xn(», ?).
Для эрмитовски сопряженных функций соотношения D1) принимают вид
», Т) = 2 (-l)x-mOim-x (?, », 0) xim,
D2)
)
Спиральные функции Xix(^> ?) можно рассматривать как ковариантные спиральные орты е^ (см. 1. 1.4),
компоненты которых записаны в виде столбцов
XU(», f)=ei(b=±l, 0). D3)
Из спиральных функций xix(i>, <р) (Х=+1, 0) можно составить линейные комбинации х<(^> ?)
(i = x, у, z)
Ху (».?) = -jf (Xi-i (». ?) + Xn (9, ?)}, D4)
Х.(». ?) = Хю(». ?)•
Функции х< (^> ?) (^ = а;' J/> z) совпадают со сферическими ортами (см. 1.1.3):
1х (», ?) = еа, ху (». ?) = е?, х, (». ?) = е,. D5)
Следует подчеркнуть, что функции Xi(^> ?) описывают состояния, не обладающие определен-
определенной спиральностью. Эти функции связаны с введенными ранее базисными функциями %к (к =
— х, у, z) соотношениями
х<(». ?)==2а*>(?' а- °)х*.
к D6'
где матрица поворота а<л.(а> |3, у) дается формулой 1.4E4). Связь между эрмитовски сопряжен-
сопряженными функциями х«"(*К <р) и /J также дается формулой D6) вследствие вещественности матрицы aki.
Совокупность трех спиральных функций Xix(^> f) с ^ = +1,0 или, эквивалентно, совокупность
функций Х{ (*» ?) с i~x, у, z образует ортонормированный базис. Условие ортогональности
и нормировки для спиральных функций имеет вид
Xfc(». ?)XiX' (».*) = Sxv,
D7)
xt(». rtx* (».?) = »«¦
Условие полноты системы спиральных функций
2 хи(». *)х& (».?) = Л
x=±i,o D8)
2 х<(». ?)х*(». ?) = '.
iz=X,y, 2
Явный вид спиральных функций /1Х(д, <р) и функций Х( (&, <р)
а. Циклический базис
Xn (».?)= | -^f I Xio (»,?) =

168 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
cos» ,„ч , i ,.., , sin» _4f.
X»(». ?) = | -sin» |, X,(». ?)=| 0 |, X#(». T) = | «»* I* E°)
б. Декартов базис
/cos» cos <p—г sin 94 /sin» cos 94 / cos » cos 9 -f- * sin <f>\
Xn (»i <?) = — ~jf I cos » Sin 9 + i cos 9 I, Xw (»> ?)= I sin » sin 9 I, X1-1 (». <f)—~jf~ ( cos » sin 9 — * cos 9 I, E1)
\ —sin» / V cos» ) V —sin» /
(cos»cosif\ /—sin 94 /sin»cos<p\
cos » sin 9 I, tg (a« <?) = I cos 9 I, x* (»> ?) = I sin * sin f I" E2)
—sin» / \ 0 / Vcos»/
В представлении декартового базиса эти функции удовлетворяют соотношениям
Xu(».^) = (-DXXi-x(». ?)• (^-±1. 0), E3)
Разложение произведений спиральных базисных функций по матрицам спина и квадрупольного
момента (см. 2.6) имеет вид
1 _ 2
1.1 V1 - l/~5 "V m Л /с/ч
Хп(*> ?) Xii» (»> ?) —Т8хх'^ +"Т^^Н'Ь /1 ^1.» (?> а> 0) <Уц.-+- V тСйвд 2л dmn (f' »• °) Г2Я. E4)
Аналогичное разложение для функций х,- (^> ?) записывается в виде
0 , (9, », 0) S ^ о • (9» »> 0) <*яй (Т> »• ^) Утя» E5)
где ат1(а, р, у) — матрица поворота (формула 1.4E4)).
Матричные элементы оператора спина между спиральными состояниями Хп(^> ?) и состояниями
Х< (&, <р) вычисляются по формулам
Xix (»» ?) ^цХп' (»» <р) = (—l)»4-v v^2" CJ^,lvZ?Lu._v (<p, », 0), E6)
X? (». ?) ^iXft (&. f) = -' 2 E«m0lm (?. »» 0). E7)
В частности, средние значения оператора S в состоянии со спиральностью X имеют вид
Х&(», 9)§Xix(»» ?) = Xn(», 9I (X=±l, 0). E8)
Средние значения оператора спина S в состоянии х<(^> ?) равны нулю:
X? (». ?) ht (». ?) = 0, (* = *. У, г). E9)
Матричные элементы операторов квадрупольного момента ^2лг (М=+2, +1, 0) и Q{k(t, k =
— х, у, z) вычисляются с помощью формул
». Т)
X? (». ?) ^«Х* (». <?) = - у {«к (?> »¦ °) «mfc (?' »• 0) + "г* (?. ». 0) amj (?, », 0) ->- у 8«»|И} • F1)
В частности, средние значения квадрупольных операторов Т^м в состоянии со спиральностью X
даются формулой
(Х=±1, 0; Ж=±2, ±1, 0).

6.3. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ S = l 169
7. Произвольная спиновая функция частицы с S=l
Произвольная спиновая функция Xi частицы с 5 = 1 может быть разложена по базисным функ-
функциям, т. е. представлена в одном из следующих видов:
Xi = 2 o"Xi- = 2 (-!)"«—Xi-=• 2 а'Х<- F3)
т=±1,0 ш=±1,0 i=x,g,*
Разложение эрмитовски сопряженной функции xi" Дается формулами
Л1 — ?i V" ; Aim ?i \ Ч У
При этом в циклическом базисе функция Xi имеет вид
= 2 (°m)*xi"m= 2 МГС-Гх*.- 2 аЖ-
1
F5)
а в декартовом базисе
+0+1)uKl+0+l)y
Величины а являются контравариантными циклическими компонентами некоторого комплексного
(в общем случае) вектора а, ат — ковариантными циклическими компонентами вектора а, а о, —
декартовыми компонентами этого вектора. Вектор а часто называется вектором поляризации
частицы со спином 1.
При комплексном сопряжении компоненты этого вектора преобразуются по формулам
(«")•-(а*)., («-)•=(«•)", К-)*=(О<. F7)
Нормировка спиновой функции
Xfxi = l F8)
налагает на компоненты вектора а условие
I а+х |а -Ы «° |а -Ы «-112 = I «+1 Is -Ы «о Iя -Ы «-! I2 = Г «Л »2 -Ы «у Iй Ч- |«, I2 = 1, F9)
или в компактной записи
[а|» = а* - а = 1. G0)
Произведение спиновых функций вида XiXi может быть разложено по матрицам спина § и квад-
рупольного момента Т^м или Qtk (см. 2. 6)
1
Ж=~2 G1)
или в компактной записи
1 1
где (Р2 • Т2) означает скалярное произведение двух неприводимых тензоров второго ранга
(см. 3.1.C1)).

170 Гл. 6. СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
Вещественный вектор Р выражается через" вектор поляризации а по формуле
P=i[aXa*b G3)
а его компоненты имеют вид
(та, п, р. = ±1, 0),
m,n
D V * /• 7 7 V G4)
Циклические и декартовы компоненты вещественного неприводимого тензора второго ранга Р2
выражаются через компоненты вектора поляризации а по формулам
2 ci»2ir(«")•«". (т> "=±1. °; м=±2, ±1, о),
т, п G5)
2
Sj (ik = x, у г),
Вектор Р и тензор Р2 являются средними значениями оператора спина и оператора квадру-
польного момента соответственно в состоянии ^ с данным вектором поляризации а.
-Р2Лг. G6)
Piic-
Преобразование спиновых функций ^г при повороте системы координат S —> S' осуществляется
с помощью операторов поворота D1 (а, |3, у) (см. 2.6G6)—G7)) или О1^; G, Ф) (см. 2.6 (80)—(81))
в зависимости от способа описания поворота:
Xi = ?' (а, ?, т) Xi = tf1 (»; в, Ф) xi. G7)
Спиновые функции в повернутой системе координат у^ могут быть разложены как по базисным
функциям %1т, ^ исходной системы координат, так и по базисным функциям /Jm, %'f повернутой
системы координат:
-,г "^^ ~'mv ^1 ™т..'
/л = 2j Хгт— 2j Xi™'
m=±l,0 m=±l,0
Xi= 2 (-1)ma-mXim= 2 (-ira-»xi««. G8)
m=±l, 0 m=±l,0 * '
Xi= 2 a'i1i= 2 a<'x«-
Связь базисных функций в исходной и повернутой системе координат дается формулами C4).
Компоненты вектора а в исходной и повернутой системе координат связаны соотношениями
а'т = 2 °тп («. Р. 7) «я- «я = 2 D». (a. P. T) «'m.
а* = 2 аИсак' ак =
Тс i
(та, и=+1, 0; i, к = х, у, z).

Глава 7
ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
7.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ТЕНЗОРОВ
1. Определение
Шаровыми тензорами (или тензорными сферическими гармониками) YfM (Ь, <р) называются
величины, являющиеся собственными функциями операторов Р, Jг, L2, S2, где L — оператор орби-
орбитального момента B.2), S — оператор спина B.3), J = L -j- S — оператор полного углового мо-
момента B.1).
Шаровые тензоры характеризуют угловое распределение и поляризацию частиц со спином St
находящихся в состоянии с определенными значениями полного углового момента /, его проек-
проекции М и орбитального момента L. Величина S (значение спина) называется рангом шарового тен-
тензора. Именно в этом смысле говорят о шаровых спинорах (при ?=1/2), шаровых векторах (при
5=1) и т. д. Следует, однако, подчеркнуть условный характер этого названия, так как закон
преобразования шаровых тензоров при поворотах системы координат характеризуется не вели-
величиной S, а величиной / (см. подробнее 7.1.4).
Согласно общим правилам сложения моментов, шаровые тензоры можно построить из сфериче-
сферических функций YLm (fr, <р) (собственных функций L2, Lz) и спиноров xSa (собственных функций S2, Se)
по формуле
У1Л (а, ?) = 2 cJLMmSaYLm (», 9) Xsa. B)
т, а
Таким образом, шаровые тензоры являются неприводимыми тензорными произведениями
ранга / сферических и спиновых функций
Индексы /, S являются целыми или полуцелыми неотрицательными числами, индекс L принимает
только целочисленные неотрицательные значения. При заданных / и S индекс L может иметь
B5+1) значение L=\J—S\, \J —S+l |, . . ., J+S. Индекс М принимает значения M=—J,
-J+1, . . ., J-i, J.
Шаровые тензоры при фиксированных значениях индексов являются функциями трех пере-
переменных: сферических углов *, ср @ <! *<! п, 0 <; <р < 2те) и спиновой переменной S, от которой
зависит функция xs* (t=—S, —S+l, . . ., S—l, S). Спиновая переменная ? явно не выписы-
выписывается, поскольку шаровые тензоры, как и спиновые функции xs<7. представляются в матричном
виде (Г^(&, <р) — в виде столбцов, a Y^(b, <р) — в виде строк, содержащих BS -f-1) компоненту).
Суммирование по спиновой переменной заменяется матричным умножением.

172 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
Шаровые тензоры Y^(b, f) образуют полную, ортогональную и нормированную систему тен-
тензорных функций ранга S в области изменения аргументов 0^&<Гте, 0^?<]2я (см. 7.1.8).
Совокупность B5-j-l) шаровых тен&оров У^(Ь, ср) с одинаковыми индексами /, М и S, но
разными L образует комплексный ортогональный базис
Yjm + (». <?) • У% (а> Т) = °. если L' Ф « D)
2. Компоненты шаровых тензоров
а. Циклические контравариантные компоненты шаровых тензоров, согласно B), выражаются
через сферические функции по формуле
[YL/M (», ?)f = С™_^УLM^ (», 9), E)
([х = _5, ..., 6'-1, 5).
Циклические ковариантные компоненты шаровых тензоров могут быть определены соотно-
соотношением
[YLA (», ?)]„ = (-I)"-11 [YLA (», ?)Г. F)
При таком определении циклические ковариантные компоненты шаровых тензоров имеют вид
• ?)• G)
Однако в случае тензоров целого ранга 5 часто используется другое определение ковариантных
компонент (см., например, 7.3.2)
[Yjm (». ?)]„ = (-i)" И (». t)J*; (8)
при этом
И ^ 11й . ?)¦ (9)
Отметим, что остальные формулы, приведенные в разделе о шаровых тензорах, не зависят от
определения ковариантных компонент, если не делается специальных оговорок.
б. Разложение шаровых тензоров по спиральным спиновым функциям Xsx (^> f) (см- 6.1.3)
имеет вид
Yjm С*. ЧР) = 2 Гу« (». ?)]'" Ха (», ?). (Ю)
x=-s '
где спиральные контравариантные компоненты шаровых тензоров даются формулой
га (<>• *>г
Если спиральные ковариантные компоненты определять по формуле
то
rat». ^i^Hi^-'F'^i1^^^ (о,», 9).
Если же определять ковариантные компоненты (в случае целых S) выражевием
[yjm (». ?)jx=(-i)x га (»• *)Т"*.
то
(»• ^i-tf+^Y^^C^DLiV, Ъ, ?). A5)

7.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ТЕНЗОРОВ 173
3. Комплексное сопряжение
Циклические компоненты шаровых тензоров при комплексном сопряжении преобразуются по
формулам
A6)
Спиральные компоненты шаровых тензоров при комплексном сопряжении также преобразуются
по формулам A6).
4. Поведение шаровых тензоров
при преобразованиях системы координат
а. Инверсия системы координат
Оператор инверсии Рг действует на шаровые тензоры по формуле
где г) — фазовый множитель, описывающий внутреннюю четность данного тензора.
б. Поворот системы координат
При повороте системы координат S {х, у, z}-> S' {х', у', z'}, характеризуемом углами Эй-
Эйлера а, C, Y» шаровые тензоры преобразуются по формуле
1
Yj^W, tp') =5 t> (а, |3, т) Yjjji, (&, tp) = У] DJMM, (a, |3, 7) Y*)M (*• <()• A8)
Здесь М — проекция полного момента на старую ось z; M' — проекция полного момента на новую
ось z'; $, tp — сферические углы вектора п в исходной системе координат S, &', tp' —сферические
углы того же вектора в повернутой системе координат iS". Связь между &', <р' и $, <р дается форму-
формулами 1.4B), 1.4C). Величины DJMM,(a,, 9, у) — матричные элементы оператора поворота, т. е.
D-функции Вигнера (гл. 4). Отметим, что закон преобразования шаровых тензоров определяется
значением полного момента /, а не спина S. В этом смысле название «ранг шарового тензора»,
применяемое для величины S, носит чисто условный характер. Истинным рангом шарового тен-
тензора является величина /. J
5. Дифференциальные уравнения
а. Шаровые тензоры являются собственными функциями оператора Ь2, т. е. удовлетворяют
уравнению
{Де -\- L(L -\- 1)\ Yjx (9, tp) = 0, A9)
где Д3 — угловая часть оператора Лапласа (см. 1.3.2).
В развернутой записи это уравнение имеет вид
1 d f n д TS- 1 1 <?2 ТЯ ТЯ
sin & "дЬ Ism Ш м (в' Щ "^ sln^ fa? YJX (*• f) +^ (^+ 1) У/лг (*i ?)=0. B0)
б. Компоненты тензоров г Yju (&, <р) являются гармоническими полиномами порядка L, т. е.
удовлетворяют уравнению Лапласа
Мг?у5ж(». ?)}=0. B1)

174 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
в. Величины zL (кг) Yj? (&, ср) — решения уравнения Гельмгольца
(Д + ft») \zL (кг) YL/U (», 9)} = 0. ( B2)
Здесь
ч(кг) = У^-2^ъ(кг), B3)
a 2?+i/2 — любая из цилиндрических функций с полуцелым индексом.
6. Действие оператора V и операторов угловых моментов
на шаровые тензоры
В формулах, приведенных ниже, т = {г, Ь, ср}. Ф(г) — произвольная функция от r = |r|, t —
оператор орбитального момента, S — оператор спина, J = L -\- S — оператор полного углового мо-
момента, V , L и т. д. — циклические компоненты соответствующих операторов (t*=+1.0).
а) > >
V, {Ф (г) YLA <», т)} = (-DJ+I+S VBy + D(^l) {^ - V ф И} 2 {i + 1 w} ^*ГУ
= (_l)i+i ф (r) ф/ + 1)Д-E + 1)BА' + 1) ^ (-1)J'+S{^ ^. J.} Сда^"*^ (». T). B8)
+ ^ Ф (г)} J [L J_ 1 У? ^} СЙГ^У"-, (». т). B4)
В частности,
^Уй (». 9) = M)M+S+1 ЯТ+1 2 ^' №) {/, ? У C?»*yj;^ (». ?), B5)
где
f ? \T+1, если // = L-i-f,
(t-fl)vT, если L' = L— 1, B6)
0, если Z/ =?? + l.
ф (r) VBy + 1)L(L + 1)BL + 1) 2 {[ JL 1} Cj'/^Y^ (», ?). B7)
^, {* (r) YLA (». ?I = ф С)
А (ф (r) У^я (»• ?)} = ф @ ^ (у/я (»• ?)} = ф С) V/(/ + l)C^№+i, (». ?)¦ B9)
б)
(г • V) {Ф (г) У" (», ?)}=г ^^ У^ (». 9), C0)
(г-Ь){Ф (г) У «(»,?)}= 0, C1)
(г • S) {Ф (г) У^ (», Т)} =гФ (г) (-lj^+s V/6'('b' + l)B6' + l)BL-hl) 2 [I
В развернутой записи формула C2) имеет вид
(

7.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ШАРОВЫХ ТЕНЗОРОВ 175
{(г)У#(&, т)} = (г.§){Ф(г)у?(&, ?)}. ^ C4)
В)
(J + L + S + 2) (J + L - S + 1) (/ - L + S) (-/ + &.+ S + 1)
(§ • t) {Ф (г) Yl/M (», 9)} = у {/ (/ + 1) - ^ (^ + О -'« (S + 1)У Ф W У^Я (». Т). C6)
(§-1){Ф(г)У^(»,Т)}=4"{/(/ + 1)—Ь(? + 1-) + 5E + 1}Ф(г)У54(».т). C7)
(t • J) {Ф (г) У" (», ?)} =у {/ (/ + 1) + Ь (L + 1) - 5 (Л1 + 1)} Ф (г) YLA @, 9)- C8)
7. Суммы шаровых тензоров
J3 формулах C9)—D2) предполагается, что S — целое, а ковариантные компоненты шаровых тен-
тензоров определены по формулам (8), (9):
2 y«, (».») cy«<». ^=K(MfaB/(+if1)c^y«(a> ?)> D0)
M=-J
8. Условия ортогональности, нормировки и полноты
Совокупность шаровых тензоров YJm (&, <р) данного ранга S при всех положительных целых
(в случае целого S) или полуцелых (в случае полуцелого S) вначениях / @<J!/<co), при L —
= | 7 — S \, |7 — 5 4~ 11> •••» / 4~ ^ — 1» J -\-S и при М = —/, —/ 4~ 1> • • • / — 1» / образует
ортонормированную полную систему тензорных функций в области углов O^&^t, 0 ^ ср <^2п.
Условие ортогональности и нормировки для шаровых тензоров
\ \ У У'Ж+1 (*' f) YJM (9> f) Sm adadcP~8W8^^'S??'- D3)
о о
Условие полноты для шаровых тензоров
J+S J
2 2 2 IyJm($> 9)]^[У^м (а'> ?')]v* = VvS(cosa— cos Ъ')Ь (<р— <f'), D4)
J L=\ J-S | M=-J
(fi; v = —5, ..., S—1, S).

176 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
9. Разложение по шаровым тензорам
Всякий тензор F$ (&, <р) ранга S, зависящий от углов Ь, <р, компоненты которого FSp. (Ь,
удовлетворяют условиям
Fs (&, <p) |2 dQ < со, ((x = —5, . . ., S — 1, S), D5)
можно разложить в ряд по шаровым тензорам Y^ (&, ср), т. е. представить в виде
Fs (&, <р) = 2 AjlmYjm (9, у). D6)
Л,*
Коэффициенты разложения даются формулами
4ЛЖ = j dQYj^ (Ь, ср) ^ (8, <р)- D7)
Они удовлетворяют соотношению
S I ajlm \2== \ dQ\Fs (%, tf) I2. D8)
7.2. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ
1. Определение
Шаровыми спинорами ЩШ{Ь, ср) называются шаровые тензоры ранга у (см. 7.1.1).
qjx (a> *?) = Yjm'(®> ?)• A)
Шаровые спиноры pQj^ (*, у) являются собственными функциями операторов Р, 1г, t2, S2, где
Ь — оператор орбитального момента B.2), S — оператор спинового момента для спина 1/2 B.5),
* * ' > — оператор полного углового момента B.1).
(».?)= Л«5*(». ?)•
Шаровые спиноры выражаются через сферические функции YLm (Ъ, <р) (см. гл. 5) и спиновые
функции Ху, (см. 6.2) для частиц со спином 1/2 по формуле
Олг (». Т) = 2 с?» V, .yi« <а' Т) Х«/, .• C)
то
Индекс / принимает полуцелые, а индекс L — целые неотрицательные значения. При заданном
значении / величина L может принимать два значения L=/±—. Индекс М принимает 27 + 1
значений М ¦=—/, —J-\-1, ... J—1, /. Шаровые спиноры ортогональны и нормированы
в области изменения аргументов 0^.8-^я, 0<^<р<2я (см. 7.2.7).
2. Компоненты шаровых спиноров
а. Разложение шаровых спиноров по базисным спинорам Хи р. имеет вид
^Jьлf(». ?)= 2 [°лг (».*)?*/„. D)
7

7.2. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ
177
где \QjuT — контравариантные компоненты шарового спинора.
Контравариантные компоненты шарового спинора Q^M (&, ср) выражаются следующим образом:
Р&г (». ?)? = Сш-» ./, Jlm-v. (»• *)• E)
В частности,
J — M 4-1
V, м- у,
». 9).
F)
G)
,_ ,Л ш + ,Л
Ковариантные компоненты шарового спинора Qjx'(b, <p) связаны с контравариантными компонен-
компонентами соотношением
и имеют вид
В частности,
1/2 (». т)J_Vl=
м+ V,
^- % м - Vj (». т) •
б. Если записывать &. в в виде столбцов
то шаровые спиноры 2^я(&1 ?) будут следующими:
2G
/2хО-х-ж @, а, т) XVjx (». 9).
(8)
(9)
A0)
A1)
A3)
в. Разложение шаровых спиноров 2^(9-, <р) по спиральным спинорам ^,. х (&, ip) (см. 6.2.5)
имеет вид
12 Д- А. варшалович и др.

178 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
или в развернутой записи
A5)
3. Комплексное сопряжение. Обращение времени
а. Мы пользуемся представлением, в котором базисные спиноры ^ вещественны: ^,* =^,, ,
Поэтому шаровые спиноры S^. (ft, <р) при комплексном сопряжении преобразуются по формуле
й1ж(а. Т). A6)
где 2x2 матрица 1Ьу имеет вид
/ 0 1\
й'=(-ю} A7)
На компоненты шаровых спиноров комплексное сопряжение действует по формулам
[2« (». ?)% = № (». 9)]„ = (-1)/+1+Я ^ (», T)f = (-1^*-^/. [2*_я (», ?)]_„., A8)
[2*я (». ?)Г = [2^я (». Т)]11 = (-i)J+L~X [Qj-м (». ?)]„ = (-l)**-*-^/' [Qjj, (», T)]-^. A9)
б. Оператор обращения времени, согласно Вигнеру, действует на спиноры по формуле
P^jm (». Т) = V#* (». Т) = (-l^^^M-if (». 9)- B0)
4. Поведение шаровых спиноров
при преобразованиях системы координат
а. Инверсия системы координат
(». T)=Qjjf (я - », « + т) = (-1)Е 2^я (». Т). B1)
б. Поворот системы координат
При повороте системы координат, характеризуемом углами Эйлера а, |3, у, шаровые спиноры
преобразуются по формуле
QljM'@'> *') = ¦*>(«. Р. ТJ^ж'(». Т)= 2 °кжЛ** h т)^JJr(». ?)• B2)
2
Здесь Ддглг — матрица поворота (см. гл. 4); М'—проекция полного момента на новую ось z';
Ь, f — сферические углы радиус-вектора г в исходной системе координат; &', <р' — сферические
углы того же вектора г в повернутой системе координат. Связь &', ср' с &, <р дается форму-
формулами 1.4B), 1.4C).
5. Действие оператора V
и операторов угловых моментов на шаровые спиноры
Для шаровых спиноров справедливы общие формулы 7.1B4) — 7.1C8), в которых следует
положить S = 1/2. Кроме того, имеют место следующие соотношения, в которых S — оператор
спина B.5), L — оператор орбитального момента B.2), J = t -j- S — оператор полного момента,
п — орт со сферическими углами &, f.
а) (§ • n) QLm (Ь, Т) = - -j Qj'm (», т), B3)

7.2. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ
179
где
В развернутой записи
б)
где U = 2J —
В развернутой записи
в)
/ — ir, если ?=/-]--«-,
1 1
/ 4 ~2 > если L= I — -s-.
(8 • п)
г (§ . V)
», т) = - у ^Й1^ (», ?).
если ? = / 4- ~%
если L = / — тг
9).
(§ • V) 0#
Л Л у 1 I
В развернутой записи
COS MJM (t. ^^
6. Рекуррентные соотношения
л
Q5; p.
27
sin
». ,)¦¦
B4)
B5)
B6)
B7)
B8)
B9)
C0)
C1)
C2)
C3)
12*

180
Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
Здесь V дается формулой B4). Формулы C1)—C3) являются развернутой записью соотношения
»• 9) = (-J+b+1/ V 2 (
где n ({i=+l, 0) — циклические компоненты орта n(&, <p).
7. Условия ортогональности, нормировки и полноты.
Разложение по шаровым спинорам
Совокупность шаровых спиноров QjM(&, <р) при всех положительных полуцелых значениях
7 (-j ^ / < оо V при L = 7 + -^ и М = —7, —7 +1, .. •, 7 образует полную систему спиноров
в области углов 0<^&<^тс, 0^.f <^2п. Условие ортогональности и нормировки для шяоовых
спиноров имеет вид
it 2it
db sin
о о
LJM
Условие полноты для шаровых спиноров можно записать следующим образом:
C6)
2
—4, M=—J
где / — единичная матрица размерности 2x2.
Произвольный спинор х (&» ?)» удовлетворяющий условию
может быть разложен в области
в ряд по шаровым спинорам
хж
где коэффициенты разложения Ajm даются формулой
it 2х
Ajm= \ ^ sin 9 \ dfQjx (&, ср) ^ (9, ср).
о о
CV)
C8)
C9)
8. Разложение Клебша-Гордана для произведений шаровых спиноров
^i (». ?) й^ч (». ?)=2 (-
x
X
B/, + 1) B/2
(Щ
:.2-
(». 9).
D1)
L J I '
где S — оператор спина, Yj^ — шаровые векторы (см. 7.3).

7.2. ШАРОВЫЕ СПИНОРЫ 181
9. Квадратичные комбинации шаровых спиноров
Величины вида 2JJ (*, <р) &jm (#, <р) характеризуют угловые распределения частиц со спином 1/2
в состояниях с полным моментом 7, проекцией полного момента М и орбитальным моментом L.
Эти величины не зависят от орбитального момента L и азимутального угла <р.
Введем обозначение
WJM (ft) = Q% (», ?) Q^ (», ?). D2)
Имеет место соотношение
*0* (»)= 2G + 1) ((/ + М + *> I ^+V, *+¦/, (»• *> I* + (/-«+ 1) I У^Л ж-./2 (»• Ч) I1} =
= ^- {(/ + Л/) | Г^д *J/f (», ?) Г + (/ - Щ \ Yj_>/t я+.л (8, ?) Р}. D3)
Разложение Wjn(&) по полиномам Лежандра имеет вид
J-Чг
WJM (») = 2 а« t-7' M) р
где
12
2 2
V ~ Т Ч ") ' B») ! 1 /
B») ! 1 /
4Л^ТТ (/_!_„), (»!J Г B
В частности,
- 2») !
1 5 / G-4- 1) —ЗД/»
«о (Л Л)=45Г» а1G'Ж) = "ШГ /(/4-1) '
27 3 (У2 + 27 — 5М2) (Л — 5Ж2 — 1) — iOM2 DM2 — i)
о,(/, Л/) = ,256л • (J- — 1) 7 G -S--1) G + 2)
Величины WJJt($) нормированы так, что
J
При частных значениях М имеем
W W
D7)
Свойства симметрии Wjm (*):
WJM (9) = Wj_M (Ь) = WJM (я — 8) = Wj_M (ti — Э). D8)
При & = 0 и 0 = те имеем
/2/ + 1 1
'к/ж \"^ — V? jm v ' — I D9)
I 0 в остальных случаях.
>--A (cos ») J» + (/ + 4"У |Pj37, (cos »)ja}, E0)
= 2* B7 +
B/ — 1) ! (sm8J/ "
±y-i) (»)=*J ry IN 12 A + ^ (' - 1) cos2»}, E1)
К)

182
Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
ТАБЛИЦА 7.1
КВАДРАТИЧНЫЕ КОМБИНАЦИИ ШАРОВЫХ СПИНОРОВ
J
1
2
3
2
3
У
5
2
5
2
5
2
7
У
7
У
7
2
7
2
9
У
9
У
to| со
9
2
9
2
И
2
11
У
И
У
И
2
11
2
И
2
м
1
2
1
2
3
У
1
У
со |см
5
У
1
У
3
2
5
2
7
У
1
2
3
2
5
У
7
У
9
У
1
У
3
2
5
2
7
2
оз |см
и
2
1
1
3
87cSlnn
jg^ {5 cos* ft — 2 cos2 ft + 1}
3
5«- sin* »
1
g^ {175 cose a — 165 cos* ft -f 45 cos2 Ь -|- 9}
15
g^ sin2,» {21 cos* a _ 6 Cos2 ft -b 1}
5
35
. f AA'i nricB Л ftj5j5 nricifi 1 I DCM nriLif 1 IP 1JLJ,t (\ 1 n~\
oco— \fral COS" tJ — D« COSDtJ -|- лУ4 COS* tj — OD COS^ v -f- У}
15
j2^ sin2 » {147 cose ft — 105 cos* & -f 21 cos2 ft + 1}
35
j2^ sin* ft {45 cos* » — 10 cos2 Ь -f 1}
35
512tc Sln "{"•:'cos-*4-1}
315
g
gj2^ {4851 cos1» » — 9555 cos** a + 6510 cose a — 1750 cos* a -f 175 cos2 ft + 25}
105
, ,, , ciTi ** 4 ^*^П7 рпгЯ Л 14S1 jtrLcfiiT ' 1 ^R rncl Л 4 *^ л no** ^ I 4 1
rin ЫП- tT \ ?ij 1 LUa" U — ОВД СОЬ" " —}— 1-iD OUb* v — 1Z COS'1 v —p 1 )¦
105
1094 ^^^ ** \^УС) COSD tJ — ?00 COS^ с -j- fto COS^ w -|- 1}
315
1024тсSlu ^ cos ' '
63
1024л Sln8»{99cos2»+l}
693
102471 Sm

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 183
|п""'8'
Формулы для WJX{b) при / = 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/2 и 1/2<М</ приведены в табл. 7.1'
При М < 0 следует воспользоваться соотношением Wjjf (9) = ИО_лг (9).
7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ
1. Определение
Шаровыми векторами (или векторными сферическими гармониками) Yjm (¦9-, ср) называются
шаровые тензоры ранга 1 (см. 7.1.1)
Yj,(», T)syJi(», ?). A)
Шаровые векторы У^ж(9, <р) являются собственными функциями операторов J2, /г, ?Д S2, г, е
Ь — оператор орбитального момента B.2), S — оператор спинового момента для спина 1 B.6),
! — ?<-{-§ — оператор полного углового момента B.1).
Согласно 7.1 B), шаровые векторы Yjm можно записать в виде
YJM (», ?) = 2 С?» Л» (»• ?) ••• - C)
Здесь Cbmi» — коэффициенты Клебша—Гордана (гл. 8), YLm — сферические функции (гл. 5). Вели-
Величины ея (спиновые функции > частицы с 5 = 1) являются циклическими ковариантными ортами
(см. 1.1.3). Индексы J и L — целые неотрицательные числа. При заданном значении J величина L
может принимать три значения L = J, / + 1. В частном случае, когда J = 0, величина L имеет
только одно значение L = i. Индекс М принимает значения М = —/, —7-f-l,..., J — 1, /.Три
вектора Yjm($, f), имеющие одинаковые /, М, но разные L, образуют комплексный ортогональ-
ортогональный базис, т. е.
*&'(», 9) • yjm(^> ?) = 0, если ЬфК. D)
Наряду с шаровыми векторами Yjm (&, ср) широко применяются шаровые векторы YJM (&, <р),
у которых индекс X принимает три значения X = 0, +1. Шаровые векторы Yjm (ft, <р) в отличие
от векторов YJm (&. ?) не являются, вообще говоря, собственными функциями оператора L2, но зато
определенным образом ориентированы относительно орта п = г/г, у которого 9- и <р — сферические
углы. Векторы Y^ (9, ср) и Yjm (9, <р) являются поперечными векторами относительно п, а вектор
Yj~m ' (&, <р) — продольный вектор:
ч •?#(», ?) = n.Y^ (».?)= О,
nXYy (», ?)=0. ()
Векторы YjjiJ (9, <р) называются иногда векторами электрического типа, а векторы Yjm (9, <р) —
векторами магнитного типа.
Поперечные шаровые векторы имеют вид
? F)

184 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
Продольный жаровой вектор выражается следующим образом:
*Й?Ч*. ?) = пУ/ж(», ?). G)
В формулах F) Ve — угловая часть оператора V (см. формулы 1.3(9)—1.3A0)), Ь — оператор
орбитального момента. Три вектора Y$tf(&, ср) с разными значениями X, но одинаковыми J, М
образуют ортогональный базис
Y&1* (», ?) • Y$ (». ?) = 0, если ). ф V. (8)
Векторы Y/ж (&, ср) являются линейными комбинациями векторов Y^ (&, <р) с разными значениями ?.
Связь между векторами Yj-ж и Yj# дается соотношениями
(», ?) = J/ 27^n *jm (»• ?) + У W^rj y^1 (a, ?),
г-1,„ . i/T+Г
Обратные соотношения имеют вид
J/ 27qri YSi15 (». ?)•
Как шаровые векторы Y/я (&, ср), так и шаровые векторы Yjm (^> <р) образуют полную, ортого-
ортогональную и нормированную систему векторов в области изменения аргументов 0^9-^я, О^ср<^2я.
(см. 7.3.12).
2. Компоненты шаровых векторов
а. Разложение шаровых векторов Y/^(9, <p) по циклическим ковариантным ортам е (;х= +1, 0)
имеет вид
где [Yjj(f(9-, ср)]11 — контравариантные циклические компоненты вектора Yjjr(&, cpj, a [Yjjf(&, cp)]^ —
ковариантные циклические компоненты.
Контравариантные циклические компоненты векторов Yjm(&, ср), согласно 7.1E), имеют вид
Олг(». ?)?= С^^^ (», ?). A2)
Ковариантные циклические компоненты векторов YJm($> <p) связаны с контравариантными ком-
компонентами соотношением
[Y^ (», ?)], - (-1I1 [Y^ (», у)]-» A3)
и даются формулой
№ ] ^, ?). A4)
В более подробной записи соотношения A2), A4) имеют вид

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 185
Г
21A + 1) J
*-^ 9).
б. Разложение шаровых векторов Yj-^ (&, cp) по циклическим ковариантным ортам e ({i= il, 0)
имеет вид
& S№ ^Ц^ ?)]-,V A8)
где [YjJif(&, cp)]11 — контравариантные циклические компоненты вектора Y^jr, a
ковариантные циклические компоненты.
Контравариантные циклические компоненты векторов Yjjf(&, cp) записываются следующим
образом:
F 7 г„ .. .. . i/Z + l
A9)
Ковариантные циклические компоненты векторов Y5^ связаны с контравариантными компо-
компонентами соотношением
В развернутой записи выражения для циклических компонент векторов Yjm($, sp) имеют вид
7-М
) J
Г(/ + M + i) (J + M + 2)/ТА
+ L2 G+ 1) B7 + 1) B/ +3) J Ymm+i^' ?)•
=y yjjr (». ?), B2)

186 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
2 B/+i) B7+3)
». ?) Jo - [B/1Л Л J*
7/. ,. ,
/4Л) J ^ *
гG-лг + 1)G + ЛГ + 1O/, B3)
¦•"L B/ + 1) B/ + 3) J YJ+i ш ^' fl'
2 vf-
2 B/ + 1) B7 + 3) J
в. Разложение шаровых векторов Yjm (&, <p) по ортам сферической системы координат ег, ee,
(см. 1.1.2) дается формулой
». ч) = I Yjy (», T)]r er + [Y^ (», ?)]й е^ + [Y^ (», ?)]? в?. B4)
Сферические компоненты векторов Y/У (&, <р) имеют вид
г
2 F 7 (/ + 1) е ?у/Jtf+i (э> ?) ~ 2 К 7G + 1) е?У«-1 (»> ?)> B5)
°. B7)
г. Разложение шаровых векторов Улг(&, ср) по спиральным ортам е^ (&, <р) (см. 1. 1.4) имеет вид
Vjm (». Т) = S № (», f)]'v в,' (». ?) = 2 (-Dv I^ju (». ?)]-, < ((». Т). B8)
где [Yjx (Ь, ср)] v — контравариантные спиральные компоненты, вектора YjM (&, <р) а [YJm (&, tp)]v —
ковариантные спиральные компоненты.
Контравариантные спиральные компоненты векторов YjM (ft, <p) записываются следующим
образом:
Ковариантные спиральные компоненты векторов Yjm($, <p) связаны с контравариантными
компонентами соотношением
Lyjm (». 9)% = М Г [Yjr (», »)]'-* C0)

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 187
и даются формулой
Ok (», 9)% = (-l)J+i+'+1 j/^f1 C?01X-if @. ». «Р). ¦ C1)
В развернутой записи выражения для спиральных компонент векторов Yk(&, <p) имеют вид
Й?
Ok (», ?)]'+1 = ~Ok (», <f)]U = - /т^ Д-i -ж @, », ?),
№(», ?)]'° = №(»¦ ?)]i = 0, ' C3)
1 (». ?)]'" = Ok1 (»• ^Зо = У^^о-л,(О, а, <р), C4)
(а- т)]'=-ok1 (». ?)]ii=
д. Разложение шаровых векторов Y,/#(&, ср) по спиральным ортам е'-,(Ь, <р) (;л.= ±1, 0)
Контравариантные спиральные компоненты [Y^]'v u ковариантные спиральные компоненты
, <p)]i имеют вид
C6)
(», ?)]'° = [?!>% (», Т)Jo = 0, C7)
та
s! (». ?)]'+1 = -[Yy (», ?)]:х=о,
^1 DJ0_M @, ft, ?), C8)
j;x = o.

188 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
3. Комплексное сопряжение
Шаровые векторы Yjx ($, <?) и Yjx (^, <p) являются комплексными векторами. При комплекс-
комплексном сопряжении они преобразуются по формулам
C9)
Действие комплексного сопряжения на циклические компоненты шаровых векторов дается фор-
формулами
L U № '?л^ ) Л^* Lj_M (», 9)f, D0)
Y^, (». и],,, D1)
(», y)]"!1 = (-1)'^ [Y^ (». »)]„. D3)
4. Поведение шаровых^ векторов при преобразованиях системы координат
а. Инверсия системы координат
/Л/\
б. Поворот системы координат
При повороте системы координат, характеризуемом эйлеровыми углами а, р, ^ (см. 1.4), шаро-
шаровые векторы преобразуются по формулам
' (»', ?') =Л (а, р, 7) Yty, (а, ?) =2 flijr («. Р. т)
ж
2
ж
Здесь DifM'is*-, P> f) — матрица поворота (гл. 4); М' — проекция полного момента на новую ось z';
9-, ср — сферические углы вектора г в исходной системе координат; &', ср' — сферические утлы
того же вектора г в повернутой системе координат. Связь &', <р' с &, <р дается формулами 1.4B),
1.4C).
5. Дифференциальные уравнения
а. Шаровые векторы У^лг (&, ср) являются собственными функциями оператора Ь2, т. е. удовле-
удовлетворяют дифференциальному уравнению
Ж*' If {Sin ^ A Y« (»•'>}+ И $ Y« (».?) + M? + i) Y^ (», ?) = 0. D6)
Это уравнение можно записать и в виде
{Д2 + ?(? + !)} у^ж (&, Т) = 0, D7)
где Ac=Ve — угловая часть оператора Лапласа (см. 1.3A5)).
б. Величины rLYjx(b, f) являются решениями уравнения Лапласа
Это означает, что все компоненты векторов rLYjM(b, ср)—[гармонические полиномы порядка L.

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 189
в. Величины zL(kr)YjM(§, у) являются решениями уравнения Гельмгольца
(Д + **) [zL (kr) Yjx (», ?)} = 0. D9)
Здесь
где ZL^/t(kr) — любая из цилиндрических функций ранга L-f-y.
6. Дифференциальные соотношения
В приведенных ниже формулах /(г) — произвольная функция от г = |г|
а) V {/ (г) у„ (», т)) = grad {/ (г) YJM (», ?)} =
V • [/ (г) Y&1 (», ?)] = div [/ (г) Yji1 (». ?)] = -
в) V X [/ (r) Y&1 (», ?)] = rot [/ (г) УЙг1 (». ?)] = i V 27TT
V X [/ (r) YJm (&, T)] = rot [/ (r) YJ, (», <p)] =
V X [/ (r) Y^1 (a, ?)] = rot [/ (r)
V X f/ (r) Y^ (ft, 7) j = rot [/ (r) Y$ (», ?)] = ' (^ + T")/ (r) Y^ (», 9),
V X [/ (r) Y^ (», 9)] = rot f/ (r) Y@> (», 9)] =
|/ M Y#> (»,- 9),
/()Y^»
E1)
(г • V) {/ (г) Yj, (», ?)} = г ^ / (г) У*» (», ?),
d C2)
(г • V) {/ (г) ?ДО (», T)} = r5/ (r) Y<y (», ^
jm (». ?)] = div G (г) Y^ (», ?)] = 0, E3)
ji1 (», ?)] = div [/ (r) y^1 (a, ?)]
, ?)] =sdiv[/(r) Y^ (a, ?)j = _^/(/ + i) 1 /(г) Уд. (a, ?),
V • [/ (r) Y$ (», T)] = div [/ (r) Y<°> (», ?)] = 0, E4)
», 7)] s div [/ (r) Y#> (», ?)] = {- + y) f (r) YJM (», ?).

190 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
г. В прикладных задачах часто приходится иметь дело с функциями вида
FJM (г) == Zj {kr) YJM (&, <р),
где zL (кг) =у 7yj^ Zl+-ll (^r)' ^l+'l ftr) — одна из Цилиндрических функций, к — некоторый пара-
параметр. Для функций этого частного вида соотношения а), б), в) сводятся к следующим соотношениям:
к &™{<-ш\'>)—Г 27 + 1^-1
У Jj^i zj+i (*r)
27TIF^ (r) + V 27TT
У 27П
E9)
тdiv \fjm (')} = - /гттт 2^ ^r> y« (*• v) = - Vir+iF™ w-
У rot (Fj« (r)} = t /гТТТ Zj (kr) yJjm (8> т) = l Vw+i
= -' У 2Г+1 zJ+i ^ Y« (». ?) + г ]/
с) +« Vitti *# о.
гrot № о}=-* Kst+i zj w Y« (». ?) = -* /я^т F« w•
7. Действие операторов угловых моментов на шаровые векторы
Операторы угловых моментов действуют на шаровые векторы по общим формулам 7.1 B7)—
—7.1B9), в которых нужно положить 5 = 1. Кроме того, имеют место следующие формулы,
где S — оператор спина, L — оператор орбитального момента, J = L -|- S — оператор полного
момента, п — орт со сферическими углами &, ср.
I + L) (-J + L -\- 2) {] — L -
1JMV>4) = -TV BL + 1) BL + 3)
2) (/+ ?-1) (-7+L +!)(./-? + 2)
BL - 1) BL + 1) Y«
Б частности:
(9.п)
(§ • п) у^ж (а, *) = -]/ 27^"Т y^1 (», 9) - VirjlY^ (».?). F2)
(8 • n) Y^1 (Ь, ?) = - /^4
8 • n) Y№ (ь, ?) = -Y^y. (а, ?), (ел)

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 191
б)
BL + 1) B? + 3)
В частности:
г C • V)_ Y&1 (в, ?)=-(/+ 2)
г (8 • V) Yj^ (», ?) = / )/Г27^Т Y&1 (»,?)-(/ + 1) V 2Г+Т Y™ (»• »)'" <65>
' r (8 . v) y# (». ?) = (/-Y^
r (8 • V) Yft (»,. ?) = -Y# (», f) - V/(/ + l) Y^' (», ?), F6)
г (8 • V) Y^P (», f) = V/ (/ + 1) YiSJ- (», ?).
B) (St.) Yjjf (». ?) = j {/ (/ + 1) - L (L + 1) - 2} Y^ (», ?). F7)
В частности:
(8 • t) Y^1 (». 9) = - С + 2) Y^1 (», 9),
(8 • 1) Yj* (», ?) = -Y^ (», ?), F8)
(S . t) Y^1 (», ?) = (/- 1) Y^1 (», ?).
(§ • fc) Y<y (», ?) = -Y^ (», ?) + V/(/ + l)Y#J (8, ?),
(8.t,)Y^(», T) = -Yj^(», ?), F9)
(8 • fc) Y Ц) (», ?) = ^/(/+1) Y^y (8, 7) - 2YJ]/' (», r).
8. Функциональные соотношения между шаровыми векторами
В приведенных ниже формулах п — орт со сферическими углами &, «р
a) nY,V (», 9)
»• T). G0)
6) n • Y*1 (» ?) )/ T
n • Y^ (», у) = 0, G1)
• Y« (», f) =
, T) = 0, G2)
в)
f 1 / I X ГТ/п М / ' Г^ Т

192 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
:», ?)=о.
9. Суммы шаровых векторов
1 ,_
1 _ G5)
2 yv<9' -
Отсюда получаются следующие соотношения:
1
Z-i * 1л ( » 9) I *JM \ » ?) === * ' ")
(>•=—1
. . >. 9)^ = 0. G7)
В развернутой записи эти соотношения имеют вид:
. ?) = 0, G9)
Аналогично, для векторов Yi^(&, <p) справедливы следующие соотношения:
j j
2 Y*jM (». ?) Y^y (». ?) = 2 y« <9' ?) Y^ <э' ?) = 0.
M=—J M=—J
j (80)
2 Г«(».

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 193
(81)
Jf=-J
г) В приведенных ниже формулах а — произвольный комплексный вектор, п — орт с направ-
направляющими углами ft, <p.
j
a • a |2}, (82)
j
a I1}. (83)
лг=-
= -^Г {(^ + П I a I2 + (/ — 1) I n - a |2}, (84)
2 (a • YJM (»• *))* (a • YJif (a- *0 = -' J{2L+i) n • [a* X a], (85)
.
2 (a ' ^i1 <9> ?))*(a • YJM (». ?)) = 7<L+1) (I a P - 3 I n • a |=}, (86)
T
2
j
2 (a • Y^ (9' *))*(a • Y« (•• T)) = -г ^7 Bfa+ 1} n • [a* X a], (87)
mj
2
m=-j
J
2 (a • YJJM (», ?))* (a • Y^ (9, <p)) = -г G + 1gi27 + 1) n • [a* X a], (88)
J
2
J
2 (a • Y# (9, ?))* (a • Yj« (», ?)) = -^T^ {I a |2 - 3 | n • a p},
f
(89)
2 (a • Y'* (9' ?0*(a • YJM (&. ?)) == -* 8^ ¦ n • [a* X a.] (90)
д) Для векторов Yj^ (&, 9) аналогичные соотношения имеют вид
j
fa-
j
2 |a-*5S}(», rtp-^flai'-ln-.H, (92)
2, I a • YSi1} (». ?) P= -4^ In • »t2' (93)
2 (a • Y$ (», ?))* (a • Y^ (», ?)) = - J ^gf^ n • [** X a], (94)
13 Д- Ж Варшалович ж др.

194 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
2 (а • YJM №. ?))* (а • ?5ж} (»• ?)) = °. (95)
J
(a • Y$ (9, ?))*(a • Y^ (9, ?)) = — i ^ n [a* X a], (96)
^ (a • Y$ (9, ?))* (a • Y^ (», ?)) = 0, (97)
S (a • Y^1] (a> *))* (a ¦Y^ <9> ?))=°- (98)
M——J
J
2 (a ¦ Y^] (a> ?))*(a ¦ Yj^ (a> ?))=°- (")
M=—J
10. Разложения Клебша—Гордана для произведений шаровых векторов
1 Г B/, + 1) B/2 + 1) B/-1 + 1) BЛ2 + 1) iLl L* L\ тп тм
47tBL+l)
^, (»- ?) X Y^ (», 9) = г ]/-^ B/, + 1) B/2 + 1) BLX + 1) BL2 + 1) X
J L 1
11. Интегралы, содержащие шаровые векторы
Обозначения \ /(&, f)dQ— \ db sin & \ d<pf($, <?).
о о
J e*kl"YJif (a' ?) da = iL/iT-JL (kr) yjm (a*' 9k)' (Ю2)
где
k_ ft 9 r- r 9 -x -l/^/
J
l№h'?ifc)~ '{J +1} f'-'+i(*r)+/-/-1 (Ar)lY^'{h' 9к)}> A03)
= W7j (ftr) Y^ (»t, ?fc) = Ш% (кг) Y^ (»*, fk), A04)
J «""'YSi15 (», f) dQ = 4»^ {j/J^T /j+i (*«¦) YS (»* Ы + Т^ТТТ/ (Ar) *
/ .J—1
{^(Ч1) RV (И +i (*)] Y5U (»*, ?fc) - [(/ + 1) /j+i (ftr) - Jij_x (kr)] Y^) (»*, Tt)J. A05)

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ 195
f~& (I06)
'lme-
12. Условия ортогональности, нормировки и полноты
Совокупность шаровых векторов Y^J!f(&, <$>)> ПРИ всех положительных целых значениях 7
^ / <^ со), L=J, / ;fc 1 и целочисленных значениях М(|М|^7) образуют ортогональную нор-
нормированную полную систему векторных функций в области углов О^&^тс, 0^<р<^2я.
Условие ортогональности и нормировки для векторов Y^ (&, у)
\ \ YJ'l' (». ?) YJif (»• ?) Sin 9d9d? = 8/'J8?'t5if'Ж¦ A09)
0 0
Условие полноты для циклических компонент векторов У^Л(&, f)
2 2 2 №<». ?I№(»'• ?')]*=8»(«в»-о»пи?-?')-
Аналогично, совокупность шаровых векторов Y^ (&, tp) также образует ортонормированную полную
систему векторных функций. Условие ортогональности и нормировки для векторов
имеет вид
5 5 *## (». ?) у5У (».
о о
Для циклических компонент векторов YjV (&, <j>) условие полноты можно записать следующим
образом:
оо 1 J
2 2 2 [Ysy с9- ?)] (Y5V (*'. ?')i*=° „° (°os ^—c°s9') о (?—?')• (из)
J—0 X=^l M=—J ^ ¦> p-v
13. Разложение по шаровым векторам
Всякий вектор F (&, tp), зависящий от углов &, tp и удовлетворяющий условию
J |F(», <p)|2<ffi<co, A13)
где
13»
= J <*» sin 8- J d<f,
о о

196 Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
можно в области О^&^те, 0^<j><[2ie разложить в ряд по шаровым векторам Y^,.(&, <р) или
Yfy($, f), т. е. представить как
*(». ?) = 2 ^*YJJr (•• 9) (Н4)
JLM
или в виде
Коэффициенты разложения даются формулами
Полезно также иметь в виду следующее правило. Если скалярная функция Ф (rlt г2) от гх (rlf bv ft),
г2(г2, &2» Та) разлагается в ряд по сферическим функциям вида
* ('1. '») = 2 AL (rV Г2) Y*lm (»„ Ъ) Ylm ft. ft), A17)
то для векторной функции F (г2) Ф (гх, г2) разложение по шаровым векторам Y%M (&1( ft) будет
иметь вид
F (г,) Ф (г„ г,) = 2 Al (ri- ra) [F (r2) • YL*M (»„ ft)] Y^ (»„ ?1). A18)
Ниже приводятся примеры разложений.
а. Разложение плоской волны
Пусть к = (к, Ък, fk), г = (г, ft, ?). Тогда
e (k) e*kr = 47t 2 l h ^ {s (k) ' YJM (h> ?*)} Y^jf (э. ?)• (H9)
Здесь /? (ж) = 1/ ^- / i (x) — сферическая функция Бесселя.
Разложение по векторам Y^(&, у) имеет вид
лм
где
= 27TT tf' " /j«(Лг) ~(/ + ^'« ^r)]s <k) * Y^* <8*' **> ~
- V/(/ + l) f/J+1 (ftr) + /^ (ftr)] e (k) • У#1- (»„ ft)jf A21)
= tofVj (Лг) s (к) • Y^ (»ft> n) = 4^ (fcr) 8 (k) • Y W* (»», ft), A22)
• л) + УгПГх h-i (*r) • (k) • *?Г (Ь.
= 27+1 ^7 <7 + *> l^+i (йг) + fi-i (ftr)]e (k) • W (»*. ft) -
- [(/ + 1) /,,„ (ftr) - 1 ¦ 1j_x (ftr)] . (k) ¦ y^i* (Ьк, Л)}. A23)
Если волна поперечная, т. е< к-е(к) = О, то А$з=0.

7.3. ШАРОВЫЕ ВЕКТОРЫ
19?
б. Разложение функции Грина для уравнения Лапласа
Пусть т = (г, Ь, <р), R =;(Д, в, Ф). Тогда
1 ^
|R-ri ^Ы2л
(Н) • Y* (в, Ф)] Y^ (», ?),
где
RL-
Rl
при
при
A24)
A25)
где
Здесь
в. Разложение функции Грина для уравнения Гельмгольца
' (Н) е|'н_гГ| = ^Й ^ ^i (Д- О {J (R) Y« @. ф)| YJM (»• ?).
jL(kr)h'»(kR) при г<Д,
h<»(kr)jL(kR) при г>Д.
A26)
A27)
— сферическая функция Ханкеля.
14. Вид шаровых векторов при & = 0 и & = ^
Если & = 0 или & = тс, то шаровые векторы Y^ (&, tp) и Y^.(&, a>) отличны от нуля только
для значений проекций М, равных +1 или 0. При этом
если M=
/J +1
^ е0, если Л/ = 0.
г/ @, ?) = (_1)^Y^K ^)=\-МУ21^Г^, если Ж=+1,
в остальных случаях,
если М = +1,
если Л/ = 0.
@, ?) = (-1
@. ?) = (-
@, ?) = (-!
0 в остальных случаях.
W
5 ви- если М= +1,
0 в остальных случаях.
т {¦*> <f) = \ f 47t
0 в остальных случаях.
(
A28)
A29)
A30)
A31)
A32)
A33)

198
Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
15. Квадраты модулей шаровых векторов
Квадраты модулей шаровых векторов |У$(&, ср)|2 представляют интерес для физических при-
приложений. Они характеризуют, в частности, угловые распределения частиц со спином 1 в состоя-
состояниях с полным моментом /. Эти величины не зависят от азимутального угла <р и совпадают при
X. = 1 и X = 0. Введем обозначения
|2 =
Имеют место следующие соотношения:
2/
+ (/ + M) (J - M + 1) | У/лг_х (9, 9) p}f
{ '
A35)
Разложения TV/S (ft, tp) по полиномам Лежандра имеют вид
Wjir(») = 2 «»(Л ЛОР*, (cos в),
я=0
где
rJM
(/-re) !(re!J У {2J + 2re + l)
(/-re) ! (re!J
B7 ~
В частности:
ao(J, M) = bo(J, M) = ^,
"
27 [/ (J 4- 1) — 1QJ [3 (P + 2/ -
- 5Д/г - 1) - ЮйР (Ш2 - 1)]
27 [3 (/a + 2/ - 5M2) (/' - 5Л^^ - 1) -
ё;
- 1I
Величина
нормирована так, что
2
2/
2i
LT Г
A39)
A44)

7.4. СВЯЗЬ С ОБОЗНАЧЕНИЯМИ ДРУГИХ АВТОРОВ 199
Свойства симметрии WJx (&)
Wji, (») = WJLX (») = wjm (* - ») = ^/-jr (* - ») •
W]M (») = ^]_ж (9) = И^ (*-») = WJ.* (*-»). A45)
При & = 0 и & = те имеем
2/ + 1
—п при М =+1,
8* * -* A46)
О в остальных случаях,
2/+1
, —у— при М = 0,
@) = Щ Н { Ы
0 в остальных случаях.
Значения Wfi11^) ПРИ / =0, 1, 2, 3, 4, 5 и 0^М< / приведены в табл. 7.2. При М<0 сле-
следует воспользоваться соотношением Wj-ш = ^ж.
Кроме того, при частных значениях М имеют место формулы
wjo W = aJu + 1)j sin2 9 lp'-> <cos 9)]2'
v ^ A48)
1 B/ + 1) Ifsin»)^
^7 !(/-!)! A + C0S2&)'
7.4. СВЯЗЬ С ОБОЗНАЧЕНИЯМИ ДРУГИХ АВТОРОВ
В левой части приведенных ниже соотношений стоят шаровые тензоры, спиноры и векторы
в обозначениях других авторов, в правой части — соответствующие им величины в наших обо-
обозначениях.
ТТТ аровые тензоры
Берестецкий, Долгинов, Тер-Мартиросян [55]:
11 «ля целых L<
полуцелых L
Ньютон [28]: Я*д fK
Шаровые спиноры
Ахиезер, Берестецкий [2]: QJlm = Щт-
Берестецкий, Долгинов, Тер-Мартиросян [55]: YQ? = Щ^~-
Берестецкий, Лифшиц, Питаевский [6]: Q ¦lm = i1Q'.m.
Шаровые векторы
Ахиезер, Берестецкий [2]: Y^=Y^))
Блатт, Вайскопф[7], Роуз [30]: T^ = (—l
Берестецкий, Долгинов, Тер-Мартиросян [55]: Y^ = —Y^+x.
Джексон [23]: Xlm = Y^.
Ньютон [28]: Y# = ?Г$х, Y& = iMY?l Y^ = iJY^\ Y^
Берестецкий, Лифшиц, Питаевский [6]: Y$ = ^Y$, Y^ =

200
Гл. 7. ШАРОВЫЕ ТЕНЗОРЫ
ТАБЛИЦА 7.2
ЗНАЧЕНИЯ WjM (9) И
(9).
J
0-.
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
м
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
1/4*
3
3
15
•7Г-- Sln2 9 COS^ 9
5
jg^ A — 3 cos2 9 + 4 cos* 9)
777- A — cos* 9)
21
jrj- sin2 9A—5 cos2 9J
7
-^g^- A + 111 cos2 9 — 305 cos* 9 + 225 cos6 9)
35
j2jT^ sin2 9A—2 cos2 9 + 9 cos* 9)
105
45
g^ sin2 9 cos2 9 C — 7 cos2 9J
9
25g^ (9 — 153 cos2 9 + 855 cos* 9 — 1463 cose 9 + 784 cos» 9)
9
jTjg- sin2 9 A + 50 cos2 9 175 cos* 9 + 196 cose 9)
63
2^ sin* 9A + cos2 9+16 cos* 9)
63
gj2^ sin2 9 A — 14 cos2 a -j- 21 cos* 9J
11
Yq24^ A + 813 cos2 9 —7070 cos* 9 + 21378 cos6 9 —
— 26019 cose 9 + 11025 cos"» 9)
77
25^ sin2 » A — 20 cos29 + 150 cos* 9 — 324 cose 9 + 225 cos» 9)
231
2o|g^ sin4 »A + 31 cos2 9 — 129 cos* 9 + 225 cose 9)
231
j7j2^ sin» 9A + 6 cos2 9 + 25 cos* 9)
1155
2048* — 3<1 + ^" )
1/4*
3
5
15
-t^j- sin2 9 cos2 9
15 ¦
7
16^.cos2 9 C — 5 cos2 9J
21 .
o4tu
105
32* s * cos2 *
35
9
2gg^ C — 30 «os2 9 + 35 cos* 9J
g^ sin2 9 cos2 9 C — 7 cos2 9J
45
315
g^ sin» 9 cos2 9
315
.-..- sin8 9
512*
^~ cos2 9 A5 — 70 cos* 9 + 63 cos* 9J
тг^. sin2 9 A — 14 cos2 9 + 21 cos* 9J
¦j2g- sin* 9 cos2 9 A 3 cos2 9J
365
gj^J sin8 9 cos2 9
693 ¦
1024tt:

Глава 8
КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА
И 3/т-СИМВОЛЫ
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Коэффициенты Клебша—Гордана, являющиеся коэффициентами векторного сложения, осу-
осуществляют разложение приводимых представлений группы вращений на неприводимые. Все
остальные коэффициенты векторного сложения могут быть представлены в виде сумм произведе-
произведений коэффициентов Клебша—Гордана. Все это определяет их широкое использование в квантовой
теории углового момента.
1. Коэффициенты Клебша—Гордана С1™т^т^ представляют собой амплитуду вероятности
того, что угловые моменты ]х и j2 с проекциями т1 и т2, связаны в суммарный угловой момент j
с проекцией т. В соответствии с правилами векторного сложения Ji-f ]2=] отличны от нуля лишь
коэффициенты, для которых выполнено условие треугольника
l/i-/sl</«?/i + /2, A)
а также условие
"»1 + т2 = т- B)
Кроме того, в дальнейшем предполагается, что аргументы коэффициентов Клебша—Гордана
удовлетворяют условиям *
а) j\, /2, / — целые или полуцелые неотрицательные числа,
б) тх, тг, т — целые или полуцелые, положительные или отрицательные числа, C)
в) \mi\ </i> \m2\<h> \т\ <J>
г) д-j-roj, j2-j-mt, j + m, )г + /2 + ; — целые неотрицательные числа.
Абсолютная величина коэффициентов Клебша—Гордана определяется соотношением
2* it 21C
иг», л-.,?^-^15da \ ^sin >8 S
0 0 0
Фазы коэффициентов могут быть определены различными способами. Общепринятым является
выбор фаз, предложенный Кондоном и Шортли [10], при котором коэффициенты С^т^т^ веще-
вещественны. В качестве дополнительных условий, однозначно определяющих фазу коэффициентов, можно
указать следующие:
2ic % 2-п:
где
При таком выборе фаз коэффициенты Клебша—Гордана удовлетворяют следующим соотношениям;
Исключение составляют коэффициенты, рассматриваемые в 8.4.5.

202 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША-ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
Коэффициенты Клебша—Гордана образуют унитарную матрицу, осуществляющую преобразование
от представления ]1т1, ]2Щ к представлению jjjm и обратно,
Соотношение унитарности
2W»* fj'm' __g g
(8)
.^J Л1"! ЛЮ1 Д«Ч Л> mi им )Л2»!2
Произведение двух неприводимых тензоров 'ЗЯ^т, и 9^ysm, может быть разложено в ряд по непри-
неприводимым тензорам. Коэффициентами этого разложения являются коэффициенты Клебша—Гордана
л»)
Обратное разложение
2. Sjm-символы. Иногда вместо коэффициентов Клебша—Гордана пользуются Sjm-символами
Вигнера [НО], обладающими более простыми свойствами симметрии. Они определяются соотно-
соотношениями
Обратное соотношение имеет вид
З/те-символ представляет собой амплитуду вероятности того, что три угловых момента ]х, j2 и ]3
с проекциями т^, т2 и т3 соответственно складываются в полный угловой момент, равный нулю.
( h h /з\_ Vr/V ГОО
j'm'
Фазовый множитель т\ = (—.l^i~J'2+-;3 выбран так, чтобы циклическая перестановка моментов jv /2
и ;3 не изменяла значения 3/т-символа.
В дальнейшем при обозначении аргументов коэффициентов Клебша—Гордана и Зутге-символов
будут использоваться также латинские буквы (а, Ъ, с и т. д.) для обозначения моментов и гре-
греческие (а, C, у и т. д.) — для обозначения их проекций.
3. В.п-символы Редже. 3/те-символы Вигнера могут быть представлены в виде квадратной
таблицы \Rik\ размерности 3x3 (г, к=\, 2, 3). Эта таблица называется R-символом Редже [94].
а ъ с\ — \я я
Q 21 2
21
A4)
где
i?n = —а-\-Ъ-\~с, Л]2 = а — Ъ + с, Д13 = а + Ь — с,
Обратные соотношения имеют вид
2а =#21 4" #з1 = #12 +#1з> 2а = #2i — #31 ^#32 — #22 + #зз~"#гз>
26 = Л22 "Ь#32 = #11 ~Ь #13' 23=i?22 — #32 =#31 — #21 +#33 — #23>
2С =#23+ #33 ==#11 +#12' 2f =Л23 —Л33 = #31 —#21 +#32 ~#22-

8.2. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 203
Все 9 элементов Rik представляют собой целые неотрицательные числа, удовлетворяющие
условиям
2 *<* = '. 2Л'* = /- <17>
1 к
где
J = a + b + c. A8)
8.2. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ
И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
В приведенных ниже формулах предполагается, что аргументы коэффициентов Клебша—Гор-
дана и 3;т-символов удовлетворяют условиям 8.1 A)—8.1 C). Входящий в эти формулы А-символ
имеет вид
Г (а + Ъ - с) ! (а - Ь + с) ! (-а + Ь + с) I 17.
= L (^ + 6 + с + 1)! J " '
Он симметричен относительно перестановки моментов а, Ь, с. Численные значения Д-символа
для моментов у^а, Ъ, с^5 приведены в табл. 8.12. Если один из моментов равен нулю, то
Д-символ имеет вид
A@) {2)
1. Представление в виде алгебраических сумм
С% 4p = V а+рД (аЬс) [(а + а) ! (а - а) ! F + Р) | (Ь _ р) | (с + 7) I (с _ 7) I Bс + !)]'/• X
(—1)*
p — °
г ! (а + 6 — с — z) ! (а — а — г) ! F + р — г) ! (с - 6 + a -f г) ! (с — а — р + г) !
(Ван-дер-Варден [40], Рака [91]),
(«be) Г (а - а) 1 F - S) ! (с + -у) ! (с - т) ! Bс + 1) 1 "А
| J
т,<х+р (с + а—6) !(с —а + 6) ! |_ (а + а)! F + 3)!
гЦа-а-,)Цс-т-г)\\ь-с + а +
F
l) Т/,
— р) ! J
X
2
(с + 6 -f a — г) ! (а — а + z) I
°T>c<+3 (a — 6 4_ с) I (a_(_fr_c) ! [ F + 8) I (с — f) ! J
— z) ! (а + Ъ — с + г) !
Х
2(_1)*+Р+* Bс — z) ! (а + Ъ — с + г) !
z!(c--a+6-z)!(c+T-li!(a-T-p + z)! (Мадовуидар [82]), F)
^{aЪc)(a + b+c + i)[r (а - а) ! (с + ?) ! Bс + 1) 7А _
—°т,с<+.з (a_6_j_c)! L(a + c) ! F + fs) ! F — 3) ! (с — 7) ! J X
2A) Bс — г) ! (с + 6 + а — z) !
2!(c-a+6-z)!(c + 7-z)!(a + 6 + c+l-z)! (Бандзайтис, Юцис [51]), G)
а _ ^'Ч* Г (д + «) ' (а - «) ' (с + Т) I (с - Т) 1 Bс + 1) Т^ ^
<к«4р— A(abc)L (b + p)!(b — p) ! J Х
2 (_!)»-«+* (a + Ь — 7 — z) ! F + с — a — г) !
2 (_!)»-«+* (a + Ь — 7 — z) ! F + с — a — г) !
.ifa-^-zii^-T-^Ua + b + c + l-»)! (^Д^тис, Юцио [51]). (8)

204 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
В формулах C)—(8) суммирование проводится по всем целым неотрицательным значениям z, при
которых величины, стоящие под знаком факториала, являются неотрицательными числами.
2. Коэффициенты Клебша—Гордана можно представить в виде квазибинома (и + v){lt) [48]
Д(оЬс)
Г (с — у) ! (с + т) ! Bс-|- 1) 17=
Для вычисления квазибином необходимо раскрыть по формуле бинома Ньютона, а степени заме-
заменить квазистепенями
( + lW u<fc-"y<*>. A0)
\z I
z
Квазистепени (или обобщенные степени) определяются формулами
" =" -Г(В-2+1)'
„(-Dm = (в + z)<*> = Г(« + 1) *
В случае целого положительного z
и{г) = и (и — 1) ... (ц — z -j- 1),
3. Коэффициенты Клебша—Гордана связаны с исчислением конечных разностей [41]
17»
A2)
— -^) ! (c+a —6) ! (с —a
а-а)^-т»-[7
7/.
+ l) ! J X
где разность k-го порядка по аргументу а вычисляется по формуле
к
В частности,
(Я) (п-м A5)
Конечные разности являются аналогами операторов дифференцирования, а квазистепени — разност-
разностными аналогами обычных степеней. При этом коэффициенты Клебша—Гордана являются раз-
разностными аналогами /3-функций Вигнера[20, 58]. Чтобы продемонстрировать эту аналогию, введем
обозначения
1 1
) = Ъ, р = с — а, v = S, P=-5-(a + 6 + c), Q = а + а - у (а + Ъ + с). A6)
Тогда формулу C) можно записать через квазистепени следующим образом:
ц) ! A
{Р-
Y а + Ь + с + 1 су _ Г (/ + н.) ' (/ - н.) ! (I + у) ! (/ - ^ ! Т/.
2
H1
Если в A7) заменить квазистепени на обычные степени и ввести угол б по формуле
= -р-, cos-9-=L/ 9р , sin у— I/ 9Р , A8)

8.2. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
205
то выражение A7) перейдет в формулу для /3-функций Вигнера, эквивалентную формуле 4.3.D),
(Р _ Q)J+v-+* (p 4- Q)J-+-*
= Г
[
(Р —
- (Р — <
(Р
' I1/' V , t
z ! (/ - (j. - 2) ! (jf + v - 2)
-f 2) ! •
A9)
Эта аналогия позволяет связать между собой рекуррентные соотношения, свойства симметрии и др.
.D-функций и коэффициентов Клебша—Гордана [58]. Поскольку квазистепени к(г) переходят в обыч-
обычные степени и? при и^> z, u^>l, коэффициенты Клебша—Гордана в пределе больших моментов
асимптотически переходят в D-функции (см. 8.9.1).
4. Коэффициенты Клебша—Гордана можно выразить через биномиальные коэффициенты [126]:
2j W 26
— 2c)\J -2c
2а
2с
B0)
где 7 = а -(- Ъ -\- с.
5. Связь с гипергеометрическими функциями. Коэффициенты Клебша—Гордана выражаются
через обобщенные гипергеометрические функции SF2 от единичного аргумента
__ М«Ь?) Г(а + «I(Ь-3I(с + 7)'(с-7IBс+1O''.
6 — с) ! (—6 + С + а) !
J
X
—а — b + с, —а-\-а, —6 — 3
—а + с —8 + 1, — Ь
с+а
(обе) F + с - а)
) ! (—а + 6 + с) ! F — с -+- a)
Г (а + а) ! F - 3) ! (с 4- j) 1 Bс + 1) 7/,
! [ (« — «) ! (Ь + ?) ! (с — 7) ! J X
I Ч (_а
а — 6 — с, а — а+1, —с — ¦/
а—Ъ — Т + 1> —Ь — с — а
! F — Ь) ! (с -
(Роуз [30]),
! J
:) ! (а — с — р) ! [
(а 4- а) ! (а - а) ! F - 8) ! Bс 4- 1O/.
(_а + 6+с)
[а—Ь — с, о + й — ? + 1, —с —
—2с, а — с — 3 + 1
1 .
т ¦ а+° *
(а —
(а — а)\ Bс + 1)
-с)! L(« + «)!(b + P)!F-P)!(c
[а — 6 — с, —о — 6 — с — 1, •—с —
—2с, —6 —с —а
'-7I -Г
7/
X
— Р)
i) 7/.
— 7) ! J
1
, — Ъ —
B1)
B2)
B3)
B4)
B5)
B6)
Формулы B1)—B6) являются записью в виде обобщенных гипергеометрических функций фор-
формул C)—(8) соответственно.
Согласно [36], все функции 3F2 от аргумента 1, вырождающиеся в конечные суммы, являются
коэффициентами Клебша—Гордана. Коэффициенты Клебша—Гордана выражаются через производ-
производные от гипергеометрической функции по формуле [46]
*.
¦ (a+6 — с) ! (—й + 6 + с) ! (й — 6 + 7)
Г (Д + Д) !(«-«) t(»+E)l(c + Tf)
! L F — Р)!(с — •/) !
B7)

206
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
6. Явный вид 3/те-символов Вигнера можно получить, используя выражения для коэффициентов
Клебша—Гордана. При записи формул C)—(8) через элементы .R-символа (см. 8.1.3) выражения
для 3/т-символов принимают вид [45]
а Ь
П (*«
i, У=1
(/+1)!
X
X ?,(-
а Ъ с
а р Т
z ! (Яи - z) ! (Д22 - Z) ! (Д31 - г) ! (Я33 - Л22 + z) ! (Дп _ Д22 + г) ! '
г /? |д |д,|/? |д |
B8)
Э 7
/
Г (^ + 1)' Д.1! Д» 1 Д»1' Дзз! 7/
L Л12!Д21!Д221Д23!Д32! J
B9)
-. C0)
В этих формулах R(k — элементы й-символа, 7=а-)~&-}~с-
7. 3/т-символы Вигнера можно представить в виде квазнбиномов, которые вычисляются по
формулам A0)—(И).
—Ге-»™.
В качестве и и у можно использовать любой из следующих наборов величин [45]:
а) и =
б) ц=
в) и=
8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
C4)
C5)
1. Коэффициенты Клебша—Гордана можно представить в виде следующих интегралов [41]
(где / = а 4- Ь + с):
(_1)а-»+Р г (с + т) ! (J —2с) ! G + 1) !Bс + 1)
(а — а) ! (a -j- a) I F — 3) ! (Ь + ;-,) ! (с — -f) '• (^ — 2а) '• (^ " Щ
гГ
х
X j A х) |
—1
^ [A
dx,
! Bс+ 1) 7Л
X
(я — а) ! (а + а) ! F — ?) ! (ь +,'¦*) ! (с —
X
—1
B)

8.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 207
В частности, при а = C = у = 0
G — 2Ъ) ! (/ — 2с) ! (/ + 1) I Bс+ 1
2. Интегралы, содержащие .D-функции Вигнера,
+ с + 1) !(о + Ь —с) 1Bс +1O/
J
j(i-^^p-aKi-^]^. О)-
—1
Bа) I B6)! J )«ЛЬ(Д)/>!и(Л)ЛГ.-»(Д). D)
где R — совокупность углов Эйлера (см. 4.12).
(о + а) ! (о — а) ! (Ь + 3) ! (Ь — 3) !
1 а-3
Г / 1 ~ COS 6 \~Т
X j (sin6)a+i(i+oosoJ ^_aT F) d (cos 6) (Аким, Левин [46]). E)
j
—l
3. Интеграл от сферических функций
При целочисленных а, Ь, с и 7 = я -(- & -J- с = 2g — четном (т. е. g — целом)
! J "? J
о о
4. Интегральное представление для произведения коэффициентов Клебша—Гордана
2с + 1
В частности,
ТС
= Щ~^ \ Ж sin »Pe (cos 9) Ръ (cos ») Pe (cos &). (8)
8.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ
1. Свойства симметрии коэффициентов Клебша—Гбрдана и 3/т-символов наиболее просто фор-
формулируются, когда эти коэффициенты представляются в виде Л-символов Редже (см. 8.1.3).
Л-символ Редже допускает следующие преобразования симметрии: |94]
а) перестановки столбцов
где
+ 1 для циклических перестановок (четное число перестановок),
(—1)J для нециклических перестановок (нечетное число перестановок),
причем
б) перестановки строк
1-й 11 -Й12 ^isll | ^il -й|2 ^is|
•йн Д22 ^23= г |-й)ы -й*» ^fc3 ; C)
¦Й31 ^32 ДязИ II-йд й/2 Л/зИ

208 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША-ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
в) транспонирование
Lffjl i?22 •Ям| = |-Я» Я22 Я32 • , D)
Эти преобразования симметрии связырают между собой 6 X 6 X 2 = 72 различных (в общем слу-
случае) коэффициента.
2. Приведенные выше соотношения эквивалентны следующим свойствам симметрии 3/т-символов:
а) перестановке столбцов 3//га-символов [110] (соответствует перестановкам столбцов символа
Редже)
/а Ъ с\ (be а\ /с а Ь\ /а с Ь\ 1Ъ а с\ /с Ь а\
б) замене знаков проекций моментов [110] (соответствует перестановке второй и третьей строк
символа Редже)
/а Ъ с\ ( а Ь с\
I I = ( j\o+4+c I ) • F)
\а р 7/ \—а —? —V '
а также свойствам симметрии Редже [94]
в)
Ъ 4-е + а а4-с4-Р
а Ъ с\ ,12 L ^-i
а 3 i) ' \ Ь+с-а а4-с-3 ...... I 1'^
\а- тг Ь- 2~^ с—-2
(это соответствует перестановке первой и третьей строк символа Редже);
64-С — а
a b c\ I 2
Ь — с — а
-Ь + с з 'I
(соответствует транспонированию символа Редже).
Из этих свойств симметрии следует, что 72 различных в общем случае 3/те-символа будут
равны между собой по абсолютной величине. Их можно разбить на шесть групп (по 12 коэффи-
коэффициентов в каждой), соответствующих треугольникам различной формы, но одинакового периметра
7 = a -f- b -\- с. Все 3/т-символы, входящие в одну г.руппу, связаны между собой классическими
свойствами симметрии E), F). В равенстве (9) приведено по одному элементу из каждой группы:
6 + 3 — с— 7 Ь — р — с 4- Т
—а — а -\- с -г- f —a -f- a -f с —
2 2
а — 6 — В а — а — b 4- В
(9)
г" "гстр и Q »т°т1 _;
2
3. Для коэффициентов Клебша—Гордана справедливы следующие соотношения:

8.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 209
/-Ь-Р _ (__\\а-а 1/ f?_+A jp
aac~T—^— ' Г 26 \ 1 "Т «-«—
1 aac~T—^— ' Г 26 -\- 1 "Т
/ l J/1|1 Cft, „. A0)
б)
сП4-э- (И)
в)
С<ы.Ь?,= ^a'V 4'Э'1 A2)
где
2а' = (а + а) + (Ь + 3), 2а = (а' + а') + (У + ?'),
2<х' = (« + «) - (Ь + Р). 2а = (а' + <х') - (Ъ' + 8'),
2Ь' = (а-а) + (Ь-8), 26= (а' - а') + (&' - ?').
23' = (в-а)-F-8), 28=(а'-<х')-F'-3'), ( }
с' = с, с = с',
i' = a — 6, f = a' — V.
г)
где
2а' = F - 3) + (с + т). 2а = F' - 3') + (с' + 7'),
2а' = 2(а+а)-(Ь-р)-(с + 7), 2а = 2 (а' + а') _ F' - 8') - (с' + т'Ь
2b' = (a-a) + (c + i), 2Ь = (а'-а') + (с'+т'),
28' = 2F + 8)-(а-а)-(С + 7), 23 = 2 F' +3') - (а' - а') - (с' + 7'), (li))
2с' = (а - <х) + F - 3), 2с = (а' - ос') + F' - 3'),
2f = (а - а) + F - 3) _ 2 (с -7), 2-, = (а' - а') + {У - 3') - 2 (с' - 7').
4. «Зеркальная» симметрия. -Исходные формулы, определяющие 3/т-символы и С^,ь=, допу-
допускают обобщение на случай отрицательных целых и полуцелых значений а, Ь, с. При этом имеют
место следующие соотношения [45], в которых использованы обозначения с = — с — 1, ¦f==—-f
и т. д.:
а. GooTFronieHiiH для 3/те-символов
/а Ъ с\ , (a b с\ о (а Ъ с\ (а Ъ с\
\а 8 Т/ \а 8 Т/ \«М/ \«Рт/
З/те-Символы с отрицательными значе!гаями индексов обладают свойствами симметрии 8.4E)—8.4F),
если в фазовых множителях этих формул вместо a, b и с подставлять —а, —b и —с соответ-
соответственно.
б. Соотношения для коэффициентов Клебша—Гордана
iLaScy—y 2а + 1 °«т *? ~ Г 2а + 1 ѫà 5?" I17)
Из формул A7) следует
A9)
B0)
14 Д- А. Варшалович и др.

210
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
При составлении таблиц коэффициентов Клебша—Гордана удобно использовать
симметрию в виде
«зеркальную»
B1)
5. Трансформационные свойства 3/т-символов и коэффициентов Клебша—Гордана относи-
относительно преобразований системы координат и инверсии времени. Коэффициенты векторного сло-
сложения не являются инвариантными относительно указанных преобразований, хотя и не зависят
явно от координат и времени.
а. Поворот системы координат. При повороте системы координат изменяются значения проек-
проекций угловых моментов, причем так, что 3/т-символы и коэффициенты Клебша—Гордана в новой
системе координат представляют собой суперпозицию этих величин, определенных в исходной
системе.
(а Ъ с\ (а Ь с\ 'V? la Ъ с\
( ) ^ U J
' (л)
B2)
2
б. Инверсия системы координат. З/т-Символы и коэффициенты Клебша—Гордана не изме-
изменяются при инверсии системы координат, поскольку угловые моменты являются псевдовекторами.
-. la b c\ fa b c\
р Гс
B3)
в. Инверсия времени. При обращении времени меняется знак проекций всех угловых моментов
(изменение направления вращения)
[а Ъ с\ ( а Ъ с\ .._.,.. /а Ь с1
B4)
43
8.5. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
1. Частные значения моментов а, Ъ, и с
а) с = 0 или & = 0:
1
Са1 00
б) с = а
Формулы, эквивалентные C) (г, п — целые)
_ ГBа)!B6I(а+6+ ;
~ \_{2а + 26) ! (а + а) ! (а — а) ! F + р) ! F — {
о+Ъ-п+1 —
+i 4 4+l —
Ca-k-b a—b+tt-1 —
2а \ / 26
n — i)\i — :
2а -|- 26'
и —1
2а W 26
i — n){i — I
A)
B)
C)
D)
E)

8.5. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША-ГОРДАНА ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧ. ИНДЕКСОВ 211
В частности,
в) с = а-\-Ъ — 1:
а+Ь —
ЬЪ —
aab-b —
2а) ! B6) !
В частности,
Ba + 26 — 1) Ba — 1) ! B6 — 1) ! (a + 6 + a + 3 — 1) ! (a + 6 — a — 3 — 1)
(a + a) ! (a — a) ! F + 3) ! F — 3) ! Ba + 26) !
a a
a hn ° == ^> если ~r~ =¦ —''
.•' 6
О+4-1 а+Ь-1 — 1/
ГBа) ! B6) ! Bа — 26 — 1I7*
i-i — [ Bа+26)! J *
г) с = а —
(а + а) 1(а-аI B6) 1Bа-2Ь +1I "Г/,
Bа + 1) ! F + 3) ! F — [3) ! (а— 6 + а + Й) ! (а - 6 — а — 3) ! J •
Формулы, эквивалентные A3) (I, n — целые),
/ 26 \/ 2a —26
2a — 26 + 1 I i — 1 / \2a — n +
'a a^n+i Й->•+l==^
Laa-n+i b-b-i+1 — ( — 1^
2a + 1 /2a
U - i .
I 26 \/2a —:
2a — 26 + 1 \—i + 1 j [ n — :
2a +1
2a '
n — i
В частности,
д) c = a —
В частности,
e) c = a
1 / 2a — 26 + 1
Га-b a-b — I/ HI—
baa b-b — У 2a + 1
6> Г Bа
^) [_Ba ^ 2) !
F + 9) ! F - Э) ! (a - 6 + a + 3 + 1) ! (a - 6 - a - Й + 1) !
Ba — 26 + 3) 26
Bа + 2) Ba+ 1) J *
2fl Ba-1J6 B6-1) -]¦/,[-/ 2a \/ 26 W 2a + 26 - 4 \"|->/,
J [[ )[ )[ Ц
X
2a-2\/26-2\_ / 2a - 2 W 26-2 X / 2a - 2 W 26-2
В частности,
-,+»-¦. «-4 _ Г Bа) ! B&) ! Bа + 26-3) "Г/,
'eo*-S — [_ 2 Ba+ 26 — 1) ! J '
F)
G)
(8)
(9)
A0)
A1)
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
14*

212
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА и 3 /т-СИМВОЛЫ
/К} с ~' — w
6+2 Ч> П2& ~ ^ 2Ъ Bа ~ 26 + 5) Bа — 26 + 4) Bа — 26 + 3O/2 Г/ 2а W 26 W 2а —26 + 4 \1-7i
С^г$ а Р—[_ 2Bа+1)Bа + 2)Bа + 3) J [\а _ aj F _ з) [а - Ъ - а - 8 +2)\ Х
)(а 'l^2! )( а )~н -¦ )( а )}• B1)
В частности,
,-S+2 „-» _ Г Ba-26+5) 26B6-1O/,
«"»-J ~LBa+l)Ba + 2) Ba + 3) j '
B2)
з) а = 6, a = fi:
О, если 2a + с = 2g + 1
¦ — с^ !
(с —7) ! Bgr— 2c) !7/2
! J ' если 2a + c = 2^ (8- Целое) B3)
We
где
(-1) [а+2)-
-Ba+e + 2) Ba - c) ! (c + 2a) j(c - 2a) !
2 Bа
7.2.+7, р-2а + <1/.
где
с— 1
2 )¦
Bа-е)
! (c-2a + l) !7Л
к) b =
-«.«-«««- L(a + a+2)(a + c(+l)
2a
7/,
aa a+1 а
I/,
где
(-1)
+ 1) Ba + с + 2) Ba - с + 1) 1 (с + 2a) 1 (с - 2a)
с (c + 1) Ba +
B4)
B5)
B6)
B7)
B8)
B9)

8.5. ЯВНЫЙ ВИД КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧ. ИНДЕКСОВ 213
с(с+1) + Bа + 1)Bа + 2) Г(е + 2а + 1) ! (с - 2а- 1) ! 7/.
+1 а+1 - /c + i V/c + 1 \.L (a + e + 2)(a + a + l) J
{с+2а)\(с-2а)\ 7/,
J *
а , _ е(С+1)-Bа-1)Bа + 2) Г (с+ 2а - 1) 1 (е-2а+1) 1 7/.
Г (с+ 2а -
где
с-1
Формулы B4)—C1) получены Стоуном J107].
2. Частные значения проекций моментов
а) a = р = -у = 0:
( 0, если a + Ь -f- с = 2g + 1,
^J ' есЛИ * + 6 + с = 2* (^-Делое). C2)
В частности,
(д + ЬIГBаIBЬI7/.
[ !j '
ГBЬIBа-2Ь + 1I7/,
Bа+1) J "
б) у = с или cL = a:
! 7/.
c) ! (a _ a) ! F - P) ! J '
l(c + T)' 7/,
F + p) !(c —i)! J *
В частности,
. C7)
2с + 17/,
\\ C8)
7А
2а - 1) ! Bс + 1) ! (а + Ь - с) (-а + Ь + с + 1O/,
J '
(а — 6 +с)
ГBаIBС + 1)!(а + Ь-с + 1)(-а + Н^O/г ,А1,
-а-\— [_ (o + 6 + C + l) ! (а —6 + с) !2с J ' ^'
= <2с>! [Bс — fr) f B^4- й Ч- 1) I T*' D2)
b)\ 7/.

214 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНЬЫ КЛЕБША-ГОРДАНА и 3 /тя-СИМВОЛЫ
в) у = с — 1 или а = а — 1:
Oet^ = W-i (-1)""* «6 - ') (Ь + 3 + 1) - (а - а) (а + а + 1)} X
Г Be+l)Bc-l)l(fl.+ b-c)l(a + a)'-F+?)l "T/.
Х[(а + 6 + с + 1) ! (а —6 + с) !(—а + &4-с) ! (а —а) ! F — 3) !J ' D4>
CVar-г 83 = 5 Э.в-» <<с - If) (с + "Г + 1) - F + ?) F - ? + 1)} X
Г Bе+1)Bа-1I(-а + Ь + еI(Ь-3I(е + Т)! "Т/,
L(a + b +с +!) ! (а —6+с) ! (а + 6 —с) ! F-h 3) ! (с —7) lj ' ( '
В частности,
СУ^ = 0, D6)
c:vlc-T = ()' D7)
Г Bс + 1) Bс — 1) ! 12а — 1) ! ~У/,
С°А-\ъа = Ъ,с-а{« (* + 1) - Ь F + 1) + с (с+^-гас)^^^!)/^.^); j • D8)
8.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ К ЛЕВША— ГОРДАНА
1. Общие рекуррентные соотношения
ГF + Р - 2*) ! (с + Т) '¦ (а + Ь - с) ! (-а + & + с) '¦ (а + Ь + с + 1) ! Bс + 1) f/,
с«а*Э—1_ F 4-й) ! (с —Т) ! (а —6 + с) ! J Х
А
-а* ь-к ?~к (с 4- /с — с') ! (с 4- с' 4- /с 4- 1) ! (с' + /<: — с) !
X\_ {е, _ л + т) ! (_в + 6 + с, _ к) ! {а + ь _ с, _ к) , (а + ь + с. __ А + 1} , J (Юцис, Бандзаитис [45]), A)
где к — целое или полуцелое, О^А:<С "Г : . В зависимости от выбора числа к формула A) при-
приводит к разным рекуррентным соотношениям.
Па + Ъ + с + 1) ! (а - 6 + с) ! (а + 6 - с) ! F + 6) I (Ь - 3) ! (а - Ъ + а - 3) ! (а - Ъ - а + 3) ! 7А ,
<-й**13 — [_ (_a-f-6-f с) ! (а + а) ! (а — а) ! . J X
2 B6'+ 1) (&+ 4")!
,Т (-а + Ь + С + П!(Ь'+23IF'-2»1 7Л
X |_(а _ 6 + с 4- у '+ 1) ! (а - 6 4- с - 6') ! (а - 6 - с + b') \ J (Стоун [107]). B)
Здесь а — Ъ^\а — j3|^>0, V—целочисленные, причем Ъ'-\-2Ъ — четное и а — b-\-c~^b' ^
^ | —a-f-6-f- с |, 2Ь>&'>|23|.
Формула A) может быть записана с помощью квазпстепеней в виде [45)
к
^Г 2 (~i)k+k' 6-ВД-^ & + 1)(к-к'} (с - V -Ь А- + А')(*+^ (« 4- Ъ - с)С*+*'> X
X (-«, 4- 6 + c)(k~kl) (a + b + c + l)^-1'^ (a-b + c + k + k'f:+k'> Bс 4- 2ft' 4" 1) F' X
V i=-i , C)
А Bс 4- к 4- /с' + 1рА+1) (/с + /с')(А-+^
где
( 0, если 6 —целое,
a ! 1 Ъ — -/. I
I -тг, если 6 — полуцелое.

8.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА 215
2. Соотношения, в которых индексы а, 3, у меняются на 1
[(с + Т) (с + 7 + 1)Г/2 C'Jll = {(а + а) (а ± а + 1)]V. С°\±1 ь$ + [F + 3) F + В + 1)]'/. сЯ ъ \
В частности, при | у j = с
j
1
при |а| = ||3| = —
при | а | = | В | = 1, а -[- 6 -}- с — четном
B6
, _ а (а + 1) [с (с + 1) - а (а + 1) + Ь (Ь + 1)] + Ь {Ь + 1) [с (с + 1) + а (а + 1) - Ъ (Ъ + 1I
°Г41 в06° 2 [а (а + 1) 6 F + 1) (с - 1) С (с + 1) (с + 2)j^ '
3. Соотношения, в которых индексы а, Ь, с и а, |3, 7 меняются на 1/2
+ [(а ± а + 1) (-а + 6 + с) (а - Ъ + с + 1)]'/. 0%,,^^,^,
Bа + 1) [6 + В + I]1/. СЯ 4^ [(а + а) (а - 6 + с) (-а + Ь + с + 1)]'А СЦ^ а±1/г
± [(« + « + 1) (а + Ь - с + 1) (а + 6 + с + 2)]V. СД,,, а±1/а }+7грР/2»
[(-а + Ь + с) (а- й + С + 1)|V. СЛгр = |(«- « + 1) (Ь-,3)]'/г С^А_А4_Vj
+ [(а + а + 1) F + p)jV. СД,/г a+1/j ^л(м/>, •
[(а - 6 + С) (-в + Ъ + с + I)]1/. СЯ 4Э = [(а - в) (Ь - .В + l)]'/« CJL,, ^ 4+1Д
+ [(„ + а) F + 3 + 1I'/! Сл „_,/2 s+1/s p+Vs,
(9)
(И)
A2)
_ ?) (_fl
+ fF ± 8 + 1) (a - b + C)]
V. С^
+ [F + 3) (a ^ 6 + с + 1)]V.
F + p,]V. ^^
,1/2 ±
В частности, из формул (9)—A0) следует
Ba-)-1) B6+1)
Bo+l)B6 +
J
A5)
A6)
l }
ш
' { >

216 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
если a •+- b -j- с — нечетное;
гсо _гсо [(-а + Ь + с)(а-Ь+с+1П/г Г(а-Ь + е) (-а + Ь + е+1O/,
b«±>/,i>*/i — ^а+'А о 6--А о |_ Bа+1)Bб + 1) J — с а-у, О A+'/a о [_ Bа+1)B6+1) J '
если а —{— Ь —j— с — четное.
4. Соотношения для коэффициентов с а=р=т=О
(р — целое, 2g = a + b + c)
гсо _™о (g-a)\(g-b)\ rBg-2a-2p)lBg-26 + 2pI7/,
'-a+j.os-j.o —LeOjOD,_a_p),(ff_6+pI [_ Bg-2a)l B^ — 26)! J *
В частности, из B0) следует
7/,
2) J •
_ a) I (» _ м ! (g _ C) !
-2p) I (-a + 6 + c + 2p) I (a + b +с+1I 7/
J
7/.
J '
В частности, из B2) следует
) 7/,
2)J #
_ eQ
— t-a* И
5. Соотношения, в которых a, 6, с меняются на 1
Bа + 1)<[(а + 1J-а2Нд:+6-е)(" + Ь-с + 1)(" + Ь + Д + 1)(" + Ь + с + 2)}'/аС1«43. B4)
^22Н
~ а(а+1) (« (« + 1) + Ь (Ь + 1) - с (с + 1)}
1)Bа
p, B5)
1)}^С^1я^, B6)
7/,
J X
2с (с—
4(c—lJBc —3)Bc —

8.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА 217
6. Соотношения, в которых а, Ъ, а, р меняются на 1
Т) а ± а) (а + а - 1) (-«+ 6 +с) (~а
+ 2a (a+ 1) Ke ± «) (« T « + *) (-« + 6 + с) (а - 6 + с + 1) (а + Ь - e) (a -f 6 + с + ^Г'^Яда J fS±l +
2(а+1)Bо + 1) [(а + а + Щ" + а + 2)(°+ Ь-с)(а + Ь - с + 1)(а + Ъ + с + 1)(а + 6 + с + 2)] V^ а„ , ?±1. B8)
Кб т р) F ± р + i)lv* c2»p =-
± 2аBа + 1) [(« ± «) (« ± « - 1) (-« + Ь + с + 1) (« - * + с) (а + * - е) (а + Ь + с + 1)]'/»
- 2а (/+1) <« (« + !) + Ь (Ь + 1) - с (с + 1)} [(« + «) (« + « + I)]72С?.и » э±1 +
[( + 1)( + 2)( + Ъ )( 6+ 1)( + Ъ + 1)( + Ъ + + 2)]'^C^. B9)
(а ± а)(Я ± а ~
± 2а(а + 1) f(a ± аНа + а + ^Н" + Ь + с + !)(а - Ъ
7. Соотношения, в которых с, Ъ, у, р меняются на 1
Г(_я + 6 + с) (а - Ь + с) (а + Ъ - с + 1) (а + Ь + с + 1) Bс - 1O/. ^ _
L Bс + 1) J с««*|3 —
= [F + Р) (Ь - Р + 1) (с + 7) (с + Т - I)]72 C?b|Li - 2? [с« - 72]'А C^jJ -
- [F - Р) (* + Р + 1) (с - 1) (с - 1 - 1)]'/« С*Л^\. C1)
_ 1 Г(с ± т) (с ± т - 1) (а - 6 + с) (а - Ь + с + 1) (д + Ь - с) (а + Ь - с + 1OА ^„-i xti .
2cL Be —l)Be + i) J "'P'i
l)Bc
Bc — 1) Bc •
1
Ь (Ъ + 1) + с (с + 1)} [(с ± 7) (с Т Т + 1)]1/!СТ?ри
(с + 7 + 1) (с + )( + + + )( + + )( + )( + +
J
-Bc - 1) Bc + 1)
J 6«*»И

218
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /та-СИМВОЛЫ
+
2с (/+ 1)
± Т) (^ + Y + 1) (-« + Ь + с + 1) (а - й + с) (а + 6 - с + 1) (а + 6 + с + 2)\^C°J
8. Рекуррентные соотношения для символов Редже
Рекуррентные соотношения для Д-символов удобны потому, что каждое такое соотношение
эквивалентно целому набору разных по виду соотношений для коэффициентов Клебша—Гордана,
если учитывать свойства симметрии Д-символов (см. 8.4) и связь Д-символов с коэффициентами
Клебша—Гордана (см. 8. 1). Ниже приведены некоторые из этих соотношений [86, 103], в которых
з з
использовано обозначение 7=2 ^« = 2Rtk = &-\-b-\-c.
Лц #12 #13
#21 #22 3
#31 Я32 #33
ЦЛц-1 Я
12
Я
-[#22#3з]'/2 #2
13
"Я 3
\Яц —
ТЗД
Им
+ 1 #i2 #i3
1 #22 #23
Дпп #44
#22-1#23
#32 #зз — 1I
= 0.
Я
+
Л1
#21 #22 1 #2
#31 #32 #3
#11 #12 Я13+ 1 |
#21 #22 #23-1 [ = 0.
21 #22 #23
Т> ТУ
Л81 2
#11 #12 Я13||
#21 #22 #23 - (#22 +#23) [#ЗзГ
#
31
#
- [#23^31
33|
#1
1#31-
#12
#32
#ц-:
#21
#31
#13
#1
#13
#23
#33-^
#11 #12 1
#21 #22 ^
#31 #32 .#3
l#i
¦2 Л18
#22 - 1 #23
= 0.
I
#11 #12 + :
#21 #22 — '¦
#31 #32
= 0.
#13 —
#23 +
#33
Я:
31
Я» - 1
|#„-1 #1
(#22 — #3з) [#11#2зЯз2| #21
II Л81
#¦3
#23 —
#32 — 1 #:
33
(#11-Л22)[#12#21#33]
—¦ 1
12 —
22
32
h
1
И R
#13
#23
Я33-
I7'
1
#п
#21
#31 —
= 0.
#12
¦#22 —
1 #32
C5)
C6)
C7)
C8)
я,
л,
¦+
C9)
8.7. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
Формулы суммирования произведений коэффициентов векторного сложения удобно записывать
через 3/тга-символы, а не через коэффициенты Клебша—-Гордана, поскольку 3/т-символы обла-
обладают более простыми свойствами симметрии. Такого рода формулы даны в 12.2. Однако в практи-

8.7. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА 219
ческих вычислениях наряду с 3/т-символами широкое применение находят коэффициенты
Клебша—Гордана. Поэтому в данном параграфе приведены наиболее часто используемые формулы
суммирования произведений коэффициентов Клебша—-Гордана, причем для удобства сюда вклю-
включены варианты этих формул, отличающиеся перестановкой верхних и нижних индексов.
Так же как и в гл. 12, здесь использовано обозначение
1. Суммы, содержащие один коэффициент Клебша—Гордана
2Сйи = П|8и, A)
а
2(-1Г"с#я^=ПАо. B)
а
2 (-1)е+Т С% 4р [(а + а) I (а - а) ! (Ъ + 3) ! F - 3) ! (с + Т) ! (с - 7) IpV, = 0. C)
2. Суммы произведений двух коэффициентов Клебша—Гордана
2
1Г^ 5*6'5.Si3''
ь
I II^+T — 8
Ъ * s
'—П ccc'°yy
2*
2
с?
i C?a bpCal' ig' = 8aa'8№'> (9)
2ТТ2Г*!3 Л6Р' ТТ2Х Й
11е^оа1Г(^<ш> сТ =u4u«a'u3?" (Ю)
«T
V
3. Суммы произведений трех коэффициентов Клебша—Гордана
V Г°1 Гег rdS -, ГГ Гге \п Ь С\
38 >e ' "J
A1)
./*/• A3)
A4)
, (a b c\
/ j\a-a?<nf Cee haC^ = X II Ces I \ A5)

220
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /тге-СИМВОЛЫ
2
o0S
2
2
пЯ?,
( l)s+|3C°Ta b?Cf8p SC;
{ 1)я~« Qc~i Qez „Q3
1 \\b+$ paa. pee p
\ Ч Ь 4-p cib dS b$U
r>rfS х И- C*s
(a b с
fAefd
(а Ъ с\
\е f d)
la b с)
\e f d)
(a b. cj
Me f d\
где
4. Суммы произведений четырех коэффициентов Клебша—Гордана
(с b a\
J I
ТТ V Г*" Г** J / Р d I
(c b a\
С»* ^СЦал \fed\,
I
2<
If e d
U gk.
( с b a
2 C3 *J>$**
2
*« y-^CJS „
fc Ь al
2
-^ n
%ч
adee
¦S'
&x
Го Ь с'
Ici a)
( с b a)
t|/ e d[,
^•2
2 (-1)мг+-.с2
f с 6 al
Ckl •_ C*| J / e d i ,
" 1/**]
(с Ъ а\
2Гкх Гкх \ f j\
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)
B2)
B3)
B4)
B5)
B6)
B7)
B8)
B9)
C0)

8.8. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
221
5. Сумма произведений коэффициентов Клебша—Гордана и 6/-символа
К—1
\ — С1 C
, , I — ьаа. 6C° аа /<р>
I а>
( uc+d+fn
f?
«T
С 1\2< TT
су
/?
/6 a cl—г"т
c f b
a b c'
e f ,
а Ъ с \
e f d]
a b e)
d с f
a b
e f ,
b?,
X / «ч«+д'-р odd rcf res
_^ \ *) Д uaoL h$y /if
6. Суммы произведений коэффициентов Клебша—Гордана и 9/-символа
C1)
C2)
C3)
C4)
C5)
C6)
C7)
C8)
2 I
"dgjbд
Г с Ъ а\
| е d 1 =
0}
дт\
(с 6 а)
I 1
\ е
су
I .
I1 g
( с Ъ а\
Si \
Гкх rdi fa
I c b a'
2
21
adjj
(eba\
rc1 \f jl r,
gj
%
L ее f?b dS a*-
C9)
D0)
D1)
D2)
D3)
Формулы, содержащие большее число коэффициентов Клебша—Гордана в левой части, могут быть
получены из приведенных выше с помощью соотношения ортогональности (формула 8.1 (8)).
8.8. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Коэффициенты Клебша—Гордана являются коэффициентами разложения в степенные ряды или
конечные суммы некоторых функций, называемых производящими функциями. Ниже приведены
примеры таких производящих функций. При этом используется обозначение / = a -f- Ъ -f- с.
1. Определитель Редже в степени / [94, 106]
и1 и2 из
W] W2 W3
д.
A)

222 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /то-СИМВОЛЫ
Здесь Rn — элементы /?-символа (см. 8.1.3), связь /?-символа с коэффициентами Клебша—Гор-
дана дается формулами 8.1A4) и 8.1A1).
2. Произведение биномов [94]
ГG + !)!(/- 2а) ! G - 26)! G - 2с) П7° у *Г%^з+т _,_т ...
— 2а)!G-
2c+l J ^J v ' [(a + a)!(a_a)!(b + 3)!(fe--:)!
а P T
C
3. Экспоненциальная функция
exp {x-i (tj — <3) + x2 (*s — <i) + *з (*] — <г)} =
' Д («бе) [Bc _|- 1) (a + a) ! (a _ a) ! F + 8) ! F — 3) ! (c + T) ! (c - T) !]'/• C"a bC' D)
[Bc _|- 1) (a + a) ! (a _ a) ! F + 8) ! F — 3) ! (c + T) ! (c - T) !]'/
fit, ^t, G
a, P,t
где Д (abc) дается формулой 8.2A).
4. Гипергеометрическая функция [46]
6 + T + l. 0-
' — 2а) ! G — 2с) ! (с — ¦() ! G -J- 1) ! J (а — Ь + f)l
—2c) ! J an'W-
5. ,0-функция Вигнера
I cos -у I I sin -х-1
' ш 6p [(a + a) ! (a — a) ! F + 3) ! F — 3) !]'/> '
a -f- Ь, в остальном а и b произвольны.
6. Производящая функция [101] для коэффициентов Cfob0
а_ь Г G + 1) ! П7' „с0 ц/-2^^-26ш7-2С
)" [_ 2с + 1 J «060[G_2а)!(/-2й)!G-2С)!]'/2
abc
8.9. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
Асимптотические формулы для коэффициентов Клебша—Гордана позволяют с хорошей точ-
точностью вычислять значения этих коэффициентов даже ири не очень больших значениях индексов.

8.9. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 223
1. Асимптотическое выражение для
справедливое при а, суЪ (Эдмондс[64], Брушард, Толхук[60])
где 8 = с — а, Ь — угол между моментом с и осью z,
0,>,0), A)
2c+ 1 "«T'/j'/i ' 2 V 2c+ 1 ''«T'/j-Vi ' uu""' 1 '
В частности,
СЛи~8*,т-«(-1)ь[F + 8) i F_8),] '(cosy) + (sin T) , C)
cVk ep «= V с-аЩ с_а @, 0, 0) = 83| e_a5Pj c_a, D)
При а, с^>Ь^>1 в формуле A) можно использовать асимптотические выражения для .D-функ-
ции Вигнера (формулы 4.18A)—4.18D)). Тогда коэффициенты Клебша—Гор дана принимают вид
(-1)МГ2
L
Ь mb? ~ ГЙ — Ml I -Ti F + 5) ! F — 5) ! J V'sIlT» '
если f) > 8, 8 > 0.
Г Ъ it / 1 \"|
g°I*B~75—"orrl-r /^ I n\ j /ft _ o\ j ' j ' V~T ' '10^
если 8 > p, 8 > 0.
2. Асимптотическое выражение для P
справедливое при а, Ъ, с, у > а + Ъ — у (Аким, Левин [46])
/,« , ¦ ,„+*-„ [с + Т + 1)Ь~Р Г Bс + 1) (а - 6 + с) 1 (д - а) 1 F + Э) I (с - Т) I (с + Т) I IV ,m
^оабЗ^^ а) (а —6 —а) ! [(а-f &—с)! (—а + 6+с)! (а + 6 + c + l) ! (а+а) ! (й— B)!j * ^^
3. Полуклассическая формула для Ccalb?,
справедливая при а, Ь, с^>1 (Понзано, Редже [89])
СЦьр ~ (-lJb+c+T+1 j/^J^ C°S [/l81 + h%i + /з63 ~ ™2?1 + TOlT2 + TJ' <12)
где
jjsa + j, /2 = 6 + -, 73 = c + -, m,=a, m2 = 3, m3 = —7, A3)
^ /| + /I/I) + 4 (/?m2m3 + 7

224
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА и 3 /т-СИМВОЛЫ
0 /| — т\ /| — т\ 1
16 /|-ш| Ц~т% О 1
1 1 10
Если иг1=иг2=иг3=0, то выражение A4) сводится к A5):
COS
(/? - тЯ) [4/?/f - (ft -
1 ii — /I — п — 2,mkmi
A4)
A5)
A6)
A7)
Индексы i, к, I в A6), A7) образуют циклическую перестановку из 1, 2, 3. Величины, входящие
в эти формулы, имеют наглядный геометрический смысл. Три стороны /х = а-\
z
Рис. 8.1. Геометрическая интерпретация
параметров, входящих в асимптотическую
формулу 8.9 A2).
Рис. 8.2. Сложение моментов в клас-
классическом пределе.
образуют треугольник, ориентированный в пространстве так, что проекции его сторон на ось z
равны тъ т2 и т3 соответственно (рис. 8.1). S —площадь проекции треугольника на плоскость
х, у. Если построить трехгранную пирамиду с боковыми гранями, параллельными оси z, такую,
что ориентированный треугольник будет одним из сечений этой пирамиды, то 0. будет углом между
нормалью к плоскости треугольника и нормалью к боковой грани пирамиды, проходящей через
сторону jfj а ср^ — углом между нормалями к двум боковым граням, противолежащим стороне j(
(+2)
В частности, при а = |3 = -с =
имеем вх= в2
a+b-с
в3=-д-
со
4. Формула, определяющая вероятность сложения угловых моментов
в классическом пределе (Брушард, Толхук [60]), справедливая при j\, /2, />1
Квадрат коэффициентов Клебша—Гордана (CJ.mm . m J есть вероятность того, что при сложе-
сложении угловых моментов ji и j2 с проекциями т1 и т2 соответственно образуется угловой момент j
с проекцией т. Эта же величина равна вероятности того, что моменты jx и j2, складывающиеся
в суммарный момент j с проекцией т имеют проекции т1 и т2 соответственно.

8.10. КОРНИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ 225
При заданном векторе j и заданных длинах векторов jt и j2 возможным положениям конца век-
вектора jx соответствует окружность (рис. 8.2). Искомая вероятность пропорциональна длине участка
окружности, заключенного между плоскостями z=m1 и z=m1+i, и равна
~r /1/ ~r lil ) — * (/iitgin + Jl^ixm — fBim2)j /2. A9)
Формула A9) верна только в среднем, так как при больших значениях моментов коэффициенты
Клебша—Гордана быстро осциллируют (ср. 8.9A2)).
При т1=т2=тп=0 и )\-\-J—j —четном
B0)
8.10. КОРНИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
т (а Ъ с\
Коэффициенты Клебша—Гордана C^i3 и соответствующие им З/те-символы I I обра-
обращаются в нуль, если не выполняется условие треугольника, т. е. если с > а-\-Ъ или с < \а—Ъ |,
а также, если у=^=а+ р. Кроме того имеются нетривиальные случаи, когда коэффициенты Клебша —
Гордана и Sjm —символы равны нулю, хотя условия а-\-Ъ ^ с ^ \а—Ъ\ и т=а+р выполнены.
Это приводит к дополнительным правилам отбора, запрещающим квантовые переходы, амплитуды
которых пропорциональны соответствующим коэффициентам Клебша—Гордана.
Укажем наиболее важные случаи соотношений между индексами, при которых коэффициенты
Клебша—Гордана обращаются в нуль.
а) CgQb0 = 0, если J = а-\-Ь-\- с — нечетно;
б) С« = °. Са,т = 0. Стй~а = °> если / = 2а + с- нечетно:
в) c°aJ-iaI"j-зь = °> если J = а + ъ + с — нечетно;
г)
Д) С?#1Т = ° при ±=-±±1;
е) СС№=° ПРИ а(в + 1)-
в частности
3)
в частности
-, с 0—1 _
(ab с\
Ниже перечислены конкретные 3/т-символы I , равные нулю по нетривиальным
\а. р —Y/
причинам, для которых J=a-{-b-{-c ^ 17. Они расположены в порядке возрастания / и так, что
а <[ Ъ <; с. Остальные корни можно получить, используя простейшие свойства симметрии Sjm-
символов, связанные с перестановкой моментов а, Ъ, с и изменением знака проекций а, В, у
(см. 8.4 E) и 8.4 F)). Таким образом, каждому 3/иг-символу, приведенному в таблице, можно
сопоставить 12, в общем случае, различных по виду 3/т-символов или коэффициентов Клебша
Гордана, равных нулю. При этом связь 3;иг-символов с коэффициентами Клебша—Гордана имеет
вид
15 Д. А. Варшалович и др.

226 Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛББША—ГОРДАНА И 3 /«-СИМВОЛЫ
Gil)
-Gil)-.
/1 2 2\ /3/2 3/2 2 \
U 0 oj ' U/2 1/2 -1j '
_ /1 3 3\ /2 2 3\ /2 2 3 \ /2 5/2 5/2\
V.0 О ОУ * V0 0 oj ' ill -2/ ' \-1 1/2 I/2J *
Т-Я /23 3 V f3/23 ?
\0 2 -2) ' \1/2 1 -
V f М
0 2 -2) ' \1/2 1 -3/2
1 4 4\ /2 3 4\ /3 3 3
j lJ U
J = U
J = 13
/3 3 3 N
' [l 1-2J'
/ 2 7/2 7/2\ /5/2 3 7//2\ /5/2 5/2 4 \ /5/2 5/2 4 \
V—1 1/2 1/2/* U/2- 0 —3/2/' U/2 1/2 — 1 j' U/2 3/2 — 3J'
/1 5 5\ /2 4 5\ /2 4 5 \ /3 3 5\ /3 3 5 \ /3 3 5 \
\0 О О) ' U 0 0/ ' \1 2 -3/' VO 0 OJ ' ll 1 -2/' U 2 -4/'
/3 4 4N / 3 4 4\ /2 9/2 9/2\ /3 7/2 9/2 \ /7/2 7/2 4 \
[0 0 oj' \—2 1 lj' I—1 1/2 1/2/' \2 1/2 —5/2/' U/2 1/2 —lj'
/7/2 7/2 4 \ /3/2 9/2 5 \ /5/2 4 9/2 \
U/2 3/2 —3J ' U/2 3/2 —2) ' U/2 3 —7/2/ "
/1 6 6\ /2 5 6\ /3 4 6\ /3 5 5\ /35 5\ /4 4 5\
lo 0 oj' Vo 0 oj' lo 0 oj' [0 0 oj' 1-2 1 1 j' lo 0 oj'
/4 45N /4 4 5\ /2 11/2 ll/2\ /7/2 9/2 5\ /7/2 4 11/2 \
ll 1 —2J' U 2 -4J' 1-1 1/2 1/2 j' 15/2 -1/2 -2J" 1б/2 1 —7/2J '
/ 4 9/2 9/2\ / 4 9/2 9/2\ /7/2 7/2 6 \ /7/2 7/2 6 \ /7/2 7/2 6 \
1—1 1/2 1/2J ' 1—3 3/2 3/2j' ll/2 1/2 -1 j ' U/2 3/2 —3J ' (,5/2 5/2 — 5J'
/3 5 6\ /3 56\ /3 5 6 \ /4 4 6 \ /4 5 5 \ /4 5 5 \
ll -1 OJ' \2 1 -3J ' ll 4 -b)' lo 2 -2) ' ll 3 -4J' I2 1 -3J'
/3 9/2 13/2 \ /5/2 5 13/2 \ /5/2 5 13/2 \ /4 9/2 11/2 \ /3/2 6 13/2 \ /5/2 11/2 6N
ll 3/2 —5/2/ ' U/2 1 —3/2/ ' 1з/2 3 —9/2/ ' lo 7/2 —7/2/ ' \i\2 2 —5/2/ ' \Ъ\2 1/2 — 2J '
/2 6 7 N /3 5 7\ /3 6 6\ /3 6 6 N / 3 6 6\
' Il3-4J' l0 0 0)' loOOJ' 10 5-5J' 1-2 1 1 j'
N /4 5 6 \ /4 4 7\ /4 4 7 \ /4 4 7 \ /4 4 7 \ /5 5 5\
j ' 1з О -3J ' lo 0 oj' ll 1 -2J' U 2 -4J ' 1з 3 -ej ' lo 0 0j '
_
T ,. /1 7 7\. /2 6 7
4 5 6
o 0 o
/5 5 5N /5 55\ /2 13/2 13/2\ /4 9/2 13/2 \ /4 11/2 ll/2\ /4 11/2 11/24
ll 1 -2J' I22-4J' 1-1 1/2 1/2 j' 13 3/2-9/2J' 1-1 1/2 1/2 j' 1-3 3/2 3/2 j'
/9/2 5 11/2 \ /9/2 9/2 6 \ /9/2 9/2 6 \ /9/2 9/2 6 N
U/2 0 —3/2J ' U/2 1/2 -1 j ' U/2 3/2 -sj ' U/2 5/2 -5J "
_ m /1 8 8\ /2 7 8\ /3 6.8\ /3 6 8 \ /3 7 7\ / 3 7 7\ /4 5 8\ /4 6 7\
r~ lo 0 oj' lo 0 oj' lo 0 oj' U 4 -ej' Vo 0 oj' 1-2 1 lj' lo 0 oj' lo 0 oj'
/5 5 7\ /5 5 7 \ /5 5 7 \ /5 5 7 N /5 6 6\ / 5 6 6N / 5 6 6\
U 0 OJ ' ll 1 -2) ' U 2 -4J ' U 3 -6/ ' VO 0 OJ ' 1-2 1 1 j ' 1-4 2 2} '
I 2 15/2 15/2N /3 13/2 15/2 \ I 4 13/2 13/2\ / 4 13/2 13/2\ /5 11/2 13/2 \ /7/2 6 15/2 \
1—1 1/2 1/2 j ' U 3/2 —7/2 j ' 1—1 1/2 1/2 j ' 1—3 3/2 3/2 j ' U 1/2 —5/2/ ' U/2 5 —13/2 j '
/9/2 6 13/2\ / 9/2 6 13/24 /11/2 11/2 6 \ /11/2 11/2 6 \ /11/2 11/2 6 \ /9/2 11/2 7 \
ll/2 -5 9/2 j ' 1-7/2 1 5/2 j ' 11/2 1/2 -1 j ' \ 3/2 3/2 -3/ ' 1 5/2 5/2 -5j ' U/2 1/2 —4J'
/3/2 15/2 8 \ /9/2 9/2 8\ /9/2 9/2 8\ /9/2 9/2 8\ /9/2 9/2 8\ /9/2 5 15/2 N
U/2 5/2 -3J ' U/2 1/2 -1 j ' U/2 3/2 —3J ' U/2 5/2 -5J ' U/2 7/2 -7J ' U/2 2 -H/2J '

8.12 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
227
8.11. СВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3/т-СИМВОЛОВ
С ОБОЗНАЧЕНИЯМИ ДРУГИХ АВТОРОВ
[43],
[15],
Cro,m, ~ Ван-дер-Верден [40],
(fihmim2 I /i/aM) — Кондон и Шортли [10],
^>' (mim») — ®0K [68],
XU, ™, h, h, mi) —Бойс [59],
С (/те; m.im2) — Блатт, Вайскопф [7],
7а ' —
ТПя 7Ть\
Юцис, Бандвайтис [45],
(h h h\_
(—1
С {iihh miirii) — Роуз [30],
i/«"*« I Gi/«) /TO> — фано I66!'
Ui)ti»> Jnjmtnij)—Рака |ylj,
(/1/2/a. mim2m3)—Фано, Рака [18],
(-1)Л~Л+Л5ЛИ1ЛИ1ЛЖ1-Ландау, Лифшиц [25],
-Фано [66],
| — Швингер [101J,
Uihmim2 I /з — "h) — Любарский [26],
8.12. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
Ниже приведены таблицы алгебраических формул для коэффициентов Клебша—Гордана
i3 с Ь—1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, 4, 9/2, 5. При Ь=3, 7/2, 4, 9/2, 5 даны формулы только
для тех коэффициентов, у которых |3 ^ 0. Значения С^ с р<0 могут быть получены из при-
приведенных формул с помощью свойства симметрии
Алгебраические таблицы для коэффициентов Клебша—Гордана имеются также в следующих
работах: а) коэффициенты с 6=1/2, 1, 3/2, 2 [10],Ь=5/2 [121, 125], 6=3 [117, 130], 6=7/2, 4,
9/2, 5 1126].

ТАБЛИЦА 8.1
ТАБЛИЦА 8.2
а+ 1/2
а —112
i = 1/2
Гс-тг + 17/.
L 2c4 2 J
1 = —1/2
+ n/
2 J
a+1
a — I
1 = 1
Bc-lJc
2c (c + 1)
Г(с - If
L
2)Bc+3)
т
1O1,
ЭТА
L Bс-1) с
7
(с
[c(c
(с+ 1) Bс 4 3) J
Be-lJc
+ T + 1) (e — TfO/
J
Г
2c(c
O/
J
Bc+ 2) Bc+3)
ТАБЛИЦА 8.3
3 = 1/2
, p=-l/2
a + 3/2
a+1/2
a-1/2
0-3/2
0 + 3/2
a+ 1/2
a —. 1/2
4—3/2
-с
Bc —2) Bc —1) 2c
Bc -1) 2c Bc + 2) J
3 (c + 7) (c - 7 + 1) (c - T + 2O/,
2c Bc + 2) Bc+3) J
Bc + 2) Bc + 3) Bc 4 4)
ТАБЛИЦА 8.3 (продолжение)
= —3/2
"(с — y — 2) (с — y — 1) (с —
Bс — 2) Bс — 1) 2с
"(с + 7+1)(с-7-1)(с-7O/2
Bс-1) 2с Bс+ 2) J
]'¦
2с Bс 4 2) Bс 4 3)
O/.
J
Bс + 2) Bс+ 3) Bс+ 4) J
0 + 2
o + l
a
o — l
a — 2
Bc - 2) Bc - 1) 2c
с +1
7/,
J ,
Г с — f 4 1 ¦ 7/a
~(с + 3lf) L2c Bс 4-2) Bс 4 3) J
Ис + t + 1) (с - f + 1) (с - 7 + 2) 7/,
Bс + 2.) Bс + 3) Bс 4 4)
Bс —2) Bс —1) 2с
-Т
с 4-2)
Г
L.
7
3 (с + 7 + 1) (с + 7 + 2) (с - f + 1) 7/.
J
Bс + 2) Bс + 3) Bс 4- 4)
7/
J
ТАБЛИЦА 8.4
1 = 2
3 = 1
"(с + 7 - 3) (с + 7 - 2) (с 4 7 - 1) (с + 7O/'
-Е
Bс —3) Bс —2) Bс —1) 2с
с + т - 2)(е + Т-1)(е + 7)(с-
7/
j
Bс-2)Bс-1)с(с
¦ 7 + 2O/.
2 Bс — 1)с(с+1)Bс + 3)
(с+7)(с-7 + 1)(с-7 + 2) (с - 7 + 3O/.
— 7 + 4)'
Bс + 2) Bс+ 3) Bс+4) Bс+5)
(с + 7 - 2) (с + у - 1) (с + 7) (с - ТO/,
Bс —3)(с —1)Bс —1)с J
Г-
2,J ill
(с+-2т)Г I" T
+Y)(c-7+l)
l)c(c+l)Bc +
-г
(с+1) Bс 4-3) (с 4-2) Bс 4 5)

ТАБЛИЦА 8.4 (продолжение)
1==— 2
а + 2
а+1
а
а —1
Bс - 3) Bс — 2) Bс — 1) с
3(c+f)(c-Y)
[Bс-1)с(с
c(c+l)Bc
-г
(с + 27 +
Bс — 3)(с — 1)Bс — 1)с
(с —7 — 1) (с — -
- Т/.
— 2)Bс —1)с(с
3 (с+ 7 + 1) (с-7) 7/.
2Bс-1)с(с+1)Bс
(с + 1) Bс+ 3) Bс+ 4) Bс+ 5) J
-Р
с + 7 + 1)(с + 7+2) (с + 7+3) (с-
(с+1)Bс+3)(с f 2)Bc + 5)
ТАБЛИЦА 8.5
•г
¦г
'(с-7-3)(с-7-2)(с-7-1)(с-7OА
Bс —3) Bс —2) Bс —1) 2с
:(с + 7 + 1) (с ~ 7 - 2) (с - 7 - 1) (с - '
т
¦т
Bс —2) Bс —1) с (с+ 1)
Г + 1) (с + f + 2) (с — f — 1) (с — 7)Т»
2Bс-1)с(с + 1)Bс
: — тЛ'Л
п/
с(с + 1)Bс + 3)Bс+4)
¦ + 1)(с + 7 + 2) (с + 7 + 3) (с + 7 + 4O/.
Bс + 2) Bс М-3) Bс+ 4) Bс+ 5)
7/i
J
8 = 3/2
а+5/2
а+ 3/2
а+ 1/2
о-1/2
а-3/2
а —5/2
(с + 7) ! Bс - 5) 1 ТУ.
5 (с + 7) ! (с-7+1)Bс+1)Bс-4)П/,
10 (с + 7) ! (с - 7 + 2) 1 Bс + 1) Bс - 3)
(с+7 — 3) ! (с — 7) !Bс + 3) !
10 (с + т)! (с — 7 + 3) 1 Bс + 1) Bс — 2)
(с-7)!Bс+5) !
Г(С - 7 + 5) 1 Bс + 1) П/,
L (c-7)!Bc+6)! J
-Cc~i
¦ + 7I (с-7) Bс-5I
(с + 7-4)!Bс)!
Г (с + 7) ! Bс + 1) Bс - 4) 1 ТУ,
¦3)|_ (c + 7-3)JBc + 2)! J
; (с + 7)! (с - 7 + 1) Bс + 1) Bс-3I7/.
„, [2 (с + 7) (с - 7 + 2) ! Bс + 1) Bс - 2) П/,
(с + 57 - 3) |_ (с_-г)!Bс + 4)! J
Г5 (c + f + 1) (c - т + 4) I Bc + 1) !
L (c-f)!Bc + 6)!
7/.
J
1= — 1/2
fl + 5/2
а+ 3/2
а+ 1/2
о—1/2
а-3/2
а —5/2
Ю(с+7I(с-7IBс-5I 7/.
(c + 7-3)l(c-7-2)lBc)lJ
¦7 — 2)! Bс+ 2)!
¦(с + 7)Bс + 1)Bс-3)
_2C,
Bс + 3) !
Г — !) —.(с — 7) (с — 7 + 2)} У Bс + 4) I
" 2 (с + 7 + 1) (с —7+2) ! Bс + 1) Bс — 1) П1,
7/.
(с - 7) ! Bс ,
7 + 2I(с-7 + 3IBс+ 1) ! 7/»
' + 7) ! (с - 7) I Bс + 6) !
т
10 (с
(с - Tf) I Bc - 5)
hJ
(c + 57 + 1)
f-2)!(c-Y-3)!Bc)
2-(с + 1) (с ~ If) ¦' Bc + 1) Bc - 4) 17/.
J
(c_7_2)!Bc
B, + i, - (c - , - 1) (c - , + 1),
3)
2 (c + T + 2) ! (c - т + 1) Bc + 1) Bc - 1) 17/,
Ю(с+7 + 3I(с-7+2)!Bс + 1)
(с + 7) ! (с - 7) ! Bс + 6) !
]"

230
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША-ГОРДАНА И 3/т-СИМВОЛЫ
СМ
5"
a t
_. CM
CM I
+ z
CM
см —
7 i
I sj
- I
со
+
+
-I- »-
+
4- ~~
H-
r +
+
+
CO
I
см
со"
-p
e
CM
a
1
e
<
S
+ cr
ZL ES
CO О
+
+
+
+ +
CD о
I CM
-^ 4.
CM,
CM
+
cb
I
CM
7 + ?
CO CM
1 +
CM
+
+
CM
+
+
+
+
CM
- +
+
+
CM
I
+
+
со
+
CO CM -rt
a e e
¦«-! CM CO
I I I
e e e

с
а + 3
а + 2
а + 1
а
1
а — 1
а 2
_ О
а — о
р-1
Г 15 (с+ 7)! (с-7I Bс-6I 7/,
L(e+7-4)!(e-7-Z)!Bc)lJ
3 + 1} Г Ю (с + 1) 1 (с — 7) Bс + 1) Bс _ 5) 1
.."" . !И"*С>'"!' .*т«+7)^-т+1Т)№2+1)№
"{-(-+1) "id 1) -}|_ Bс + 4)!
ГЮ(с + Т + 1)(с-7+3)!Bс + 1)Bс-1)
l- + J»>L (е-7IBс + в)|
Г15(с + 7 + 2I(с-7 + 4IBс + 1)!7/,
L (с + 7I(е-ТIBс+7)! J
.]'• •
¦т
'[
гзо
—2 {(с — l)(c-t
я Г зо (с 4
ТАБЛИЦА 8.6 (продолжение)
Р=о
5 (с + f)! (с — f) ! Bс — 6)! 7Л
(c + 7-3)l(c-7-3)lBc)lJ
(с + 1) ! (с- 1) ! [2с + 1) Bс -5) ! 7/.
с + Т-2I(с-7-2)!Bс+2I J
J| Л. rBc+T)t2c3-3)|-
f/,
1}ГЗ(с + 7+1)(с-т + 1)Bс + 1)Bс-2)
.^ajMc-. + ^Hi+^c-l)
(Д'^+з! ц7Л+2Зт2с + 1) 1 ТА
(с + тI(с-7)К2с+7)! J
-Г
¦^
17/.
J
ТАБЛИЦА 8.7
о + 7/2
а+5/2
а+ 3/2
а+ 1/2
а-1/2
а-3/2
а-5/2
а —7/2
;с + 7IBс-7I7/.
с ц. f — 7)! Bс) 1 J
7 (с + 7) »(с - 7 + ЦBс + 1)Bс - 6) 17/.
(с + ¦( - 6) 1 Bс + 2) 1 J
Г 21 (с + 7) 1 (с- 7+ 2) I Bс + 1)Bс -5) 1 7/.
L (с + 7-5I(е-7IBс+3I J
Г 35 (с + Y) 1 (с - -у + 3) 1 Bс + 1) Bс - 4) 11'/,
L (c4-y-4)!(c-iIBc + 4I
Г 35(с+ 7) I (с- ч + 4) I Bс + 1)Bе -3) 1 fl,
I (c + 7-3)l(c-7)lBc + 5)l
--,)Bс-7I 7/,
Г
L
_Eс _
(йс
/о 7 ,
Cс - 7^ +
-6)!Bc)l
7I 7/,
J
6I7/,
! J
т_4)!Bс + 3)!
1I7/
J
¦г
¦]'¦
-3)!(c-T)!Bc
~l + ?1f ~
4iT
ж—у
— 2)! (с — 7) ! Bс + 5) 1
«с + 7,-5)Г 3(с + т)(с-т+4)!Bс+1)Bс-2Н 7/.
L (с —^ i) I Bс + 6) I J
J
if
(e-7)lBc + 8)

232
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3;т-СИМВ0ЛЫ
I
+
csf SS
+ I
I
+-
N CM
+
—» -—•'
I «
•2- +
+
со
Т
I
о
CO
I
г—
00
со
+
+
I
г—
+
CSI
ю"
+
с^
со
+
в
4-
в
1
а
CSI
со"
1
?1
ю"
1
с^
1
а
5~ +
СО тЛ
+ +
7 5-
i со
+
1 д-
+ z
см ю
+
+
+
со
+
I ¦+¦ + ^
»
с-
+
о
см
со"
С^ CSI
со ю"
I I
в в

8.12. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОР ДАНА
233
см см
I +
?1
см
КГ
It
CM
_. о
2?'
CO I
I f.
if
I I
T i>
a 7
Ш CO.
-^ I I I
~ -S" .$¦ 2.
I 4- 4- ~
CO ,,
1
2.
i?
4-
+
1
1
oo" сч
r +
— г—
у -—-
г—
ft CM
?2.
CM Сч
f~ CM
I +
г- !~
+ I
u
CM
со" —
CM '
' U
CM
p- —
I -
+
СО S-
I
CM I
— CM
00 •
+
см
I
со esi
+ +
*ч-< CM CO ft
t
+
4-?2.
f-CM
со
I
CM
_ I
«a
4
CM
CO
a +
+
_. 4-
4-
CM CO
¦ ' +
O3
I
7 z-
+ I
o" _|_
4 -S-
Z si
00 со
4
1
Nt CO CM -rt
в в в а
¦*H CM CO ft

ТАБЛИЦА 8.8 (проЗоЛженуе)
а + 3
а + 2
а+1
а
а—1
а —2
а —3
—8I
7('+7)MC-7)JBc+l)Be-7I7/.
J
7/
J
2 {3 (с + т - 2) (с + 7 + 1) (C - 4? + 2) + 20T B? - 1) G - 1)} [(C
2 B, - 1) C (c - 1) (c + 2) - 7, (T - 1)}
-2{3(с-т)(с-Т + 3)(с+'4Т-1)-20тBт-1)(т-1)}[
(e - 1 + 2)
~
+ 7)l(e-7)lBc+9)!
7/
J
- 3)! 7/
J"
+ *)'Bс + 1)Bс-1I 7
_Y)|Bc + 8)! J
а + 4
а + 3
а + 2
а + 1
а —2
а-3
а —4
70(с + -(I(с--ГIBс-8I 7/
(c + T—4) 1(е —-г —4)lBe)lJ
7/.
J
2 (Ic
-2{(с-
7/.
J
— 7^2 — 5} [^ Bс + 4) ! J
2 C (с» + 2с - 5т») (с2 - 5?» - 1) - 10ц» (^ - 1)}[ BС ^с^Т ^ ' J'
35 (с + т + 3) I (с — т + 3)! Bс + 1) Bс — 1) 1 7/»
Г70 (с + т+ 4)! (С - т + 4)! Bс + 1)! J/,

ТАБЛИЦА 8.9
C = 7/2
а+ 9/2
а+ 7/2
а+ 5/2
а+ 3/2
а+1/2
а —1/2
а—3/2
а-5/2
а — 7/2
а —9/2
; + 7IBс-9IТА
: + 7 - 9)! Bc) ! J
(c + 7)l(c-7+l)Bc + l)Bc-8)
(c + 7-8)lBc
+ T)!(c_T+2)!BcH
-]'¦
21 (c + 7) I (c — 7 + 3)!Bc+l)Bc —6)! 7/»
т
(c + 7— 6) I (c — 7)!Bc + 4)!
14 (c + 7) ! (c - 7 + 4) ! Bc + 1) Bc - 5) I 7/.
-]"
-[¦
(c + 7-5)!(c-7)lBc+5)l
14(c+7)l(c-7 + 5)!Bc + l)Bc-4)! 7/.
(с + 7 - *) I (с - Т) I Bс + 6) !
21 (с + f) ! (с - 1 + 6) I Bс + 1) Bс - 3) I
(с + 1 - 3) I (с - t) I Bс + 7) !
¦Г
-2)l(c-7)lBc
(c + T) (c - 7 + 8) I Bc + 1) Bc - 1) IT/,
(c - 7) I Bc + 9) I J
r (c — 7 + 9) I Bc + 1) I 7/.
f 7)! (c- 7) Bc -9) I7A
(c+7-8)!Bc)!
-8I7/.
2 Ec — 97 + 12)
-2 (c - З7 + 5) [-
(С
7_6)!Bс+3)!
21 (c
14 (c + 7) ! (c — 7 + 3) ! Bc + 1) Bc — 5) [7/2
(c+7-4)!(c-7)lBc+5)!
: (c + 7) I (c - 7 + 4) I Bc + 1) Bc - 4) ! 7/,
¦T
r Г 14 (с + 7) I (с - 7 + 4) I Bc + 1) Bc - 4) ! T,
(C + 97~15)L (c + 7-3)!(c-7)M2c + 6)l J
5, ,„ , о, м Г 21(c + 7)l(c-7 + 5)lBc + l)Bc-3)! 7/.
-2(c + 37-4)|_ (c + T_2)|(c_7)|Bc + 7)! J
2 Ec + 97 —
(с_7)!Bс
(в_7IBв
(с-к)! Bс+ 10)!
7/.
J
1I7А
J
а+ 9/2
а+ 7/2
а+ 5/2
а + 3/2
а+ 1/2
г (е + т)Ис_тIBе-9I 7,
bL(c+7-7)l(C-7-2)!Bc)l J
-2 Ec - 97 + 5) [-^^
_6)|Bс+2I
-7 + 2)D7-5)_7B7-1)}[
-г
21 (c + 7) i (c - 7 + 1) Bc + 1) Bc - 6) I 7/,
.. + 37 - 5) - 3 G - 1,B7 - 1» p^+_T)-(C-T + 2)lBc + l)Bc^5>!
r-4)lBc
) l(c — 7 4
(c + 7-3)l(c-7)lBc + 5)l
¦г

ТАБЛИЦА 8.9 (продолжение)
= 5/2
а —1/2
а —3/2
а —5/2
а-7/2
а —9/2
+ 9Т)[-
-i1
7+l)(c-7
1)Bе -
(е_т)|Bе+9)!
>y
а+ 9/2
а+ 7/2
а+ 5/2
а+ 3/2
а+ 1/2
а —1/2
а—3/2
а —5/2
а — 7/2
а —9/2
Г 21 (с + 7) ! (с — 7) I Bc — 9)! 7Л
![(с+т_6)ЦС-7-3)!Bс)| J
7^
J
Г - 5) I (c - 7 - 2) ! Bc + 2;
" 21 (c + 7)! (c — 7) Bc + 1) Bc —7I7/.
Г (с + y) ! Bс + 1) Bс — 6) ! 7/.
2 {(с + 1) (С + 2) Dс - 15) - 21Т (с - ,) Bf - 3) - 21ц (Т - 4)} [ К (Тj.\ _ 3^1 Bс + 4) 1 J
Г 6 (с + 7) I (с — у + 1) Bс + 1) Bс — 5) ! 7/,
-2{(c2-4)(c-77+6)-7-rG-l)(C-3t+4)}[ (е + Т~ 2) I Bе + 5) 1 ~J
Д
2 (с (, _ 1) Dс + 19) - 21, B, - 3) (с + Т + 1) + Щ h - 4))
^
2 ((с + Т) D7 - 3) + 7 B7 + 1)}
2* (с + 7 + 1) (с - ТГ + 4) 1 Bс + 1) Bс - 2) I7/i
J
(е_7)!Bс+8)
7/
J
(e + H)l(e-7)lBe + 9)!

TAB ЛИЦА 8.9 {продолжение)
а + 9/2
а+7/2
а+ 5/2
а+3/2
а+ 1/2
а —1/2
а —3/2
а —5/2
а — 7/2
а-9/2
(c + Y)l(c-T)!Bc-9)! 7/.
T-5)l(c-T-4)lBe)lJ
14 (с + Т) ! (с - Т) ! Bс + 1) Bс - 8) ! 7/,
J
) ! 7/
! J
2 {3 (с2 - 772 - 4) (с*.- 7Т2 -
(c + 7-2
27 Bc + 5) Cc2 - 772 - 5) - 847*}
- 5)
-2 {3 (с2 + 2С - 7Т2 _ 3) (С2 + 2с - 772) - 27 Bс - 3) (Зс2 + 6с - 7Т* - 2) - 847*}
Bc + 5)! J
:-7 + l)Bc + l)Bc- 4)! 7/,
Bc+ 6)!
— 7 + 2)! Bc + l)Bc — 3)! 7/.
^
14 (с + 7 + 3) I (с - Т + 4)! B-е + 1) Bс - 1)!
J
Г
L
14(е+ 7 + 4) I (с - 7 + 5)! Bс + 1) I J
J
(c+7)l(c-7)!Bc
ТАБЛИЦА 8.10
J
а+5
а+4
а + 3
а+2
а + 1
Г(с+7IBс-10)! 7/,
L(c + 7-10)lBc)! J
10 (c + 7) I (c - 7 + 1) Bc + 1) Bc - 9) 17/.
7/
J
7/.
J
(c + 7-9)!Bc + 2)!
5(c + 7)!(c-7f 2)lBc+l)Bc-8)! 7/,
(c + 7-8)l(c-7)!Bc + 3)l
30(c + 7)!(c-7 + 3)lBc + l)Bc
(c+T_7)|(c-7)!Bc + 4)!
f 7)' (c -7 + 4)lBc+l)Bc-6)!7/*
-[-
!7/г
J
7-6)l(c-7)!Bc + 5)!
7)!(с-7 + 5)!Bс+1)BС-5)! 7/,
! J
ri0(c + 7)l(c-7)Bc-10)l 7/,
L (c + 7-9)!Bc)! J
(Зс -5Т+7)
-4Bс-
-9)!7Л
2), J
2(с+7I(с-7+1)Bс + 1)Bс-8I7Л
(C+Y_7)!BC+3)I J
J
6)!7/
J
7-5)l(c-7)!Bc
6G-
-4)|(с-7)|Bс

ТАБЛИЦА 8.10 (продолжение)
а — 1
а —2
а-3
а —4
d-5
-4)!(c-7)!Bc + 7)!
30 (с + 7) I (с — 7 + 7) I Bc + 1) Bc — 3) 1
(c + 7-3)l(c-7)!Bc+8)!
(c+7-2)l(c—7)lBc-
'10(c + y)(c — 7 + 9) I Bc + l)Bc — 1) !7/.
_ (c-7)lBc+10)! J
(c — 7 + 10)! Bc + 1)!
Г (с — Т +
4 Bс + 57-
-4)П
(с+1_3)!(с_т)!Bс4-7)! J
3(c4-t)l(e-t+6)!Bc4-l)Bc-3)l
J
(в-тIBе + 9I
(с-Т)! Bс+ 10)!
1 = 3
а + 5
а + 4
а + 3
а + 2
а+1
а
S-1
а-?
а — Ъ
а —4
а-5
Г 5(с + 7I(С-7IBс-10)! 7/
dL(c+7-8)l(c-7-2)!Bc)!j
-d (dc - i>7 + 3)
2(с+7I(с-7)Bс+1)Bс-9I7/.
J
7-7)! Bс+ 2) I
7/
J
Г
-7 + 5)lBO+l)BC-3)l
(c-7)!Bc
T
(с-7)!Bс+10I
7)l(c-7)lBc
7/,
J

8.12. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША-ГОРДАНА
239
a
_ -f-
8
2. i
_. CNI
I i
О —•
— *P
' CO
CO CM
+ -
+
EL
5"*
+ -H.
+
а
а
+
P
Я
+
+
+
+
CD
+ ?
+
+
»- ci-
+
+ i
г
ю
%
г—
го
% t
35"
+
с —1I
SI
+
Bc
S"
+
1
1
+
CO
•10)
-t-
1
о
^^
^-
+
I B.
>-
1
_.
CO
+
*-
[
о
CO
+
i
a
см со si< ю
I I I I
a a a a
II
II
OQ-
U
0I
•v-l
|
CM
_
1
1
u
__
_J_
u
о
CM
1
—1
i
1
i
1
1
1
О
I
Ю
ь
3
1
1
l)Bc
+
CM
.—.
1
1
о
1
u
CM
—
CM
1
u
CM
CO
1
1
1
1
1
+
-—'
, !
-—-
-t-
1
с
_-*
si
a
00*
1
1
+
1
1
5?
—1
со"
Si
с?
1
1
г—
1
—
1
1
-\-
i
о
со
г-
ю
¦
+
со
+
и
р~ ' 1
7
а
»-
о
?
о
t-
-4)!
-г
ё.
со*
1
^-
о
1 "¦'
*-
о
+
с?
+¦
ю
о
о
со"
;
U
см
-|-
в
?-
1
ё.
«(-С
а
U
ill
—1
Bс 4
1
7
о
_)
+
г-
X
-чН
см
_J_
^-
!?•
>-
5?
со
1
о
со_
с?
+
г
"*1^
_
г»
h
*-*
-f-
а
Ю
1
1
+
-|-
1
_«_
?-
-|-
—)
+ 6I
о
1
^^
со
4-
о
о
N.
S
г
о
U
^*
¦4
!(.
с>
а-'
в

с
¦ а —
а —
а —
а —
1
2
3
А
Ъ
2 {с (с — 1) (с + 3) (с + 147 + 16) — 14
Г 21 (с -
Г 210 (с +
L (с
.(« +
и +
7 + <
+ ?)
>
l)f(c +
3) 1 (с -
i)l(c-
(с-7)
27-2)(Зс-
р7с+V+
7 + 5) ! Bс +
Y + 6) ! Bс +
! Bс+11) !
37 + 8)+28YEc7 +
txc-1
T + 4)"iB
1) Bс - i
1) ! 7/.
J
J
+ 3) 1 Bc 4
1 Bc + 8)
с + 1) Bc -
)! 7/,
J
ТАБЛИЦА 8.10 (продолжение)
57-2) +
-l)Bc-3)!l/,
-2I7/,
а+ 5
а+4
а + 3
а + 2
а + 1
а
a — i
а —2
а — Ъ
а —4
а — Ъ
Г
-2((с - 3) (с + 1) - 972} [
Г 7(e + 7)l(e-7)lBe-10)l 7/.
b [_ (с -4- f — 5) !(c — 7 — 5)! Bc)! J
" 70 (c + 7) I (c — 7) ! Bc + 1) Bc — 9)
7 - 4) ! (c - 7 - 4) ! Bc + 2) 1
35 (c + 7) ! (c — 7) ! Bc + 1) Bc — 8) 17/,
J
Г 210 (с + 7) ! (с — 7) ! Bc + 1) Bc — 7) ! TV*
-47<(c-2)(e+l)-37»-l}[ (e+T-2) I F-7-2) 1 Be + 4) I J
2 {(C - 1) (c + 1) (c2 - 1472 — 4) + 2I72 G2+ 1)} Г
47 {5c (c + 1) [3c (c + 1) — I472 — 10] + 2I72 (З72 + 5) + 12}
-2 {c (c + 2) [(c + 1J — U72 — 4] -
30 (C + 7) (c - 7) Bc + 1) Bc - 6) I 7/.
Bc + 5) !
|
-7 + 2)Ц2б+1)Bб--3I1/.
J
70 (е
(с+ 7)! (с-7)! Bс+ 10)!
±f
T
(е+ 7I (в-7) 1Bе

8.13. ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША-ГОРДАНА
241
8.13 ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОР ДАНА
у которых
В табл. 8.11 приведены численные значения коэффициентов Клебша—Гордана
а, Ь, с ^ 3.
Значения даны в виде как простых, так и десятичных дробей. Коэффициенты Клебша—Гордана
объединены в группы в зависимости от значения индекса с. Индексы a, a., b, p коэффициентов,
приведенных в таблице, удовлетворяют условиям: а) а ^ Ь, а ^ 0; б) если а=Ъ, то а'^ |3.
Остальные коэффициенты Клебша—Гордана с а, Ь, с <^ 3 сводятся к табличным с помощью про-
простейших свойств симметрии.
учСС+З / Л \й+6—С /^С(Х+3 / А \й+6— С ПС"ОС—3 /1С— Я—3
Таблицы численных значений коэффициентов Клебша—Гордана имеются также в работах [126,
127]. В работе [127] даны в виде десятичных дробей коэффициенты, у которых 1/2 <^ а <Г 4,
1/2 <^ Ъ, с ^ 9/2. В работе [126] приведены в виде простых дробей коэффициенты, у которых
1/2 ^ Ь ^ 6, а=5, 11/2, 6. Численные значения З/тга-символов имеются в работе [113].
ТАБЛИЦА 8.11
а
0
1/2
1
1
3/2
• 3/2
2
2
2
5/2
5/2
/
5/2
•J
О
3
3
,3
а
1/2
1
1
3/2
3/2
3/2
2
2
2
2
а
0
1/2
1
0
3/2
1/2
2
1
0
5/2
3/2
"/
1/2
')
О
2
1
0
а
1/2
1
0
3/2
1/2
1/2
2
1
1
0
ъ
0
1/2
1
1
3/2
3/2
2
2
2
5/2
5/2
/
5/2
п
О
3
3
3
b
0
1/2
1/2
/
1
1
1
3/2
3/2
3/2
3/2
Р
0
-1/2
—1
0
—3/2
-1/2
—2
—1
0
-5/2
—3/2
-1/2
—2
—1
0
Р
0
-1/2
1/2
— 1
0
—1
—3/2
-1/2
—3/2
1/2
?.0а+3
1
l/v'2"
l/v'T
1/2
-1/2
l/v'5"
-l/v'5"
l/v'5"
1/^2Тз
l/vTHi
i/vTTa
l/v'T
-1/v'f
1/v'f
-l/v-f
1.000000
0.707107
0.577350
0 577Я50
0.500000
—0.500000
0.447214
—0.447214
0.447214
0.408248
—0.408248
0.408248
0 Я77964
—0.377964
0.377964
—0.377964
1
v'2/3
—i/vT
l/v'2
-l/VT
' I/V2T3
V'2/5
—V3/2 • 5
1/VTT5
l/v'5
1.000000
0.816497
—0.577350
0.707107
—0.577350
0.408248
0.632456
—0.547723
0.316228
0.447214
a
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
a
1/2
1/2
1
1
1
A
1
1
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
a
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3
2
2
1
1
0
а
1/2
1/2
1
0
1
A
1
0
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
2
1
b
2
2
2
2
2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
b
1/2
1/2
0
0
1
1
1
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
1
1
—2
—1
—2
0
—1
-5/2
-3/2
-5/2
-1/2
-3/2
1/2
1/2
-1/2
0
0
0
A
1
0
-1/2
1/2
-1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
—1
0
or*
i/vs-
-2/^3^5
1/^3 ¦ 5
1/vT
—v'2/3 • 5
¦ ^2/7
у'З/З . 7
2/Йт?
—v'2"/v^T7
-l/v'T
1
l/v'2"
1
1
l/v'2
l/v'2
0
V'3/2
-1/2
l/v'2"
V'3/2 • 5
3/BvT)
—v'2/5
-1/B^5")
^3/5
—V3/2 • 5
0.577350
-0.516398
0.258199
0.447214
—0,365148
0.534522
—0.487950
0.218218
0.436436
—0.308607
—0.377964
1.000000
0.707107
1.000000
1 000000
± • \J\J\JVJ\J\J
0.707107
0.707107
0.000000
0.866025
—0.500000
0.707107
0.547723
0.670820
—6.632456
—0.223607
0.774597
—0.547723
16 Д. А. Варшалович и др.

242
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША-ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
ТАБЛИЦА 8.11 (продолжение)
a
2
2
2
2
2
2
2
2
5/2
5/2
¦5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
со со
a
1
1
1
3/2
3/2
a
1
0
0
2
2
1
1
0
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
5/2
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3
2
2
1
1
1
0
0
3
3
2
2
1
1
0
a
1
1
0
3/2
1/2
Ь
1
1
1
2
2
2
2
2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
6
1/2
1/2
1/2
0
0
P
—1
1
0
-1
—2
0
—1
0
—3/2
-1/2
—3/2
1/2
-1/2
—3/2
-3/2
-5/2
-1/2
—3/2
1/2
-1/2
—2
—i
—2
0
-1
—2
1
0
—2
—3
—1
—2
0
—1
0
1/2
-1/2
1/2
0
0
v^3/2 • 5
l/v/275
—V2/5
l/vT
^2/5
—V^/2^5
—1/^2^5
0
1/^2"
1/vT
•з~/B v^")
—у'з/г-б
1/B v^)
1/vT
vT/v/2^7
-2 V2Hb^7
—3/^2 -5-7
3/^5^7
1/^2-5-7
^3/7
-V2/7
1/vT
^2 • 3/5 ¦ 7
—2 vT/v'S • 7
l/\/5 • 7
—у'з/б^Т
3/^5^7
vT/^vT)
3/B vT)
-vT/fcv'f)
-1/vT
у'зУу'гТТ
1/B Vf)
0
1
l/v'iF
v'^/v'J
1
1
0.547723
0.316228
—0.632456
0.447214
0.632456
—0.547723
—0.316228
0.000000
0.707107
—0.547723
0.447214
0.387298
—0.547723
0.223607
0.377964
0.597614
—0.478091
—0.358569
0.507093
0.119523
0.654654
—0.534522
0.377964
0.414039
—0.478091
0.169031
—0.292770
0.507093
0.327327
0.566947
—0.422577
—0.377964
0.462910
0.188982
0.000000
If
1.000000
0.577350
0.816497
1.000000
1.000000
a
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
a
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
2
1
1
0
2
2
1
1
1
0
0
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3
2
2
1
1
1
/\
и
0
3
3
2
2
b
1
1
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
«j it-»
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
P
0
—1
1
0
—1
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
—1
0
—1
1
0
—1
-1
2
0
—1
—2
1
0
—1
—2
—3/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
—3/2
-5/2
-1/2
—3/2
дат
v^/vT
—>/21>Гь
1/^!П>
2 \/2"/\/зТ5
2/^5"
-1/^5"
у'з'/у'Ь"
vf/v^
0
vf/vT
1/vT
-1/vT
\/2"/^3~
-г/у'з • 5
vf/vT
1/^3^5
-vT/v'b"
1/vT
v'J/v'y
2 V2/\f3~n
-2 v/3"/V5T7
—^2/^3-5-7
4v'2/V3-5-7
3/^5~7
-v'2~/v'5T7
-v's'/v's^T
2/\/5 • 7
2/v/y
-v'^/v'T
WT
2/\/5 • 7
—2 у'з /^5 • 7
2/v/E!
—l/v5•7
зД'-ГТ
\/3 /^2 ¦ 7
^51^2 ¦ 7
-v'^/v'T
-1/C7
0.774597
0.632456
—0.632456
0.258199
0.730297
0.894427
—0.447214
0.774597
—0.632456
0.632456
0.632456
0 632456
0.000000
0.632456
0.447214
—0.447214
0.816497
—0.516398
0.632456
0.258199
—0.632456
0.447214
0.534522
0.617213
—0.585540
—0.138013
0.552052
0.507093
—0.239046
—0.487950
0.338062
0.755929
—0.534522
0.534522
0.338062
—0.585540
0.338062
—0.169031
0.507093
0.462910
0.597614
—0.534522
—0.218218

8.13. ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША-ГОРДАНА
243
a
3
3
3
3
3
3
3
a
1
1
1
1
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
a
2
1
1
1
1
0
0
a
1
1
1
0
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
2
1
0
2
2
1
1
1
0
0
2
2
2
1
1
1
0
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
b
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
b
1
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
P
—5/2
1/2
-1/2
-3/2
—5/2
3/2
1/2
P
1
0
—1
0
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
0
0
0
0
-1
1
0
—1
1
0
0
—1
—2
1
0
—1
0
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
II
1
ДОзЛ
зД'бТТ
—1/^3 -5-7
—VT/V^ -3-5
1/^2^7
—^ini^in
2/^5^7
" c!
i
l/v'2"
l/v'O
vT/vT
1
1/2
V'3/2
l/v'2"
l/v'2"
l/v'2"
1/2
0
1/2
1
1
1
vT/vT
1/V3
-l/VJ
1/^2^3
l/v/2
—l/v'2"
0
ДОТ .
дот
v^/vT
-ДОТ
-l/v^T7
1/^2Т7
—vT/VT
ДО2Т3
—1/^2^3
ДОз"
-l/v'3"
l/v'2"
0.487950
0.507093
—0.097590
—0.483046
0..267261
—0.414039
0.338062
1.000000
0.707107
0.408248
0.816497
1.000000
0.500000
0.866025
0.707107
0.707107
0.707107
0.500000
0.000000
0.500000
1.000000
1.00000D
1.000000
0.816497
0.577350
-0.577350
0.408248
0.707107
—0.707107
0.000000
0.534522
0.654654
0.534522
—0.654654
—0.267261
0.267261
—0.534522
0.912871
—0.408248
0.816497
—0.577350
0.707107
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
Q
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3"
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
a
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3
2
2
i
±
1
1
0
0
3
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
0
3
3
3
2
2
2
1
6
3/2
3/2-
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
1
1
1
4
X
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
P
-1/2
—3/2
1/2
—1/2
—3/2
3/2
1/2
. .„
-3/2
-1/2
—3/2
-5/2
1/2
-1/2
—3/2
1/2
-1/2
—1
0
_j
л
1
0
—1
1
0
—1
2
0
—1
—2
1
0
—1
—2
2
1
0
—1
2
—3
0
—1
—2
1
ТАБЛИЦА 8.И
(проволмеение)
V/2T5/V/3T7
v/57v/2~7T
—2 v'2 /V/3^T
l/v'2 -3-7
v^/vY
1/vT
—5/B VT^)
1/^277"
3/B vT)
^/B vT)
V/57V/2T7
5/B ^3~Г7)
-3/B П)
-l/VT
1/B Viw)
0
—2/^3^7
ДОГ
-v^/vfl
v/2"H>/v/3T7
1/^Я~7
1/ о •
—2 VT/VsTl
v^"/vT
1/^7"
-ДОТ
^5/v^T7
^/^277
—v'syVin
0
v^/v^T?
VJ/v^T^
-1/vT
—1/^7
vT/vT^
-1/V/2T7
ДОТ
0
^/^27177
5/B ^3~Т7)
5/B V3T7)
—\/5 /V3 • 7
0
v'J/v'T
0.690066
0.597614
—0:617213
0.154303
0.654654
0.377964
—0.545545
0 267261
0.566947
0.422577
0.597614
0.545545
—0.566947
—0.377964
0.109109
0.000000
—0.436436
0.845154
—0.487950
0.690066
0 218218
—0.617213
0.534522
0.377964
—0.654654
0.597614
0.597614
—0.597614
0.000000
0.597614
0.462910
—0.377964
—0.377964
0.462910
—0.267261
0.534522
0.000000
0.345033
0.545545
0.545545
—0.487950
—0.422577
0.000000
0.534522
16*

Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА И 3 /то-СИМВОЛЫ
ТАБЛИЦА 8.11 (продолжение)
1/V2 -3-7
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
2
2
1
1
0
2
2
2
1
1
1
1
0
0
5/2
3/2
1/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
1/2
.1/2
1/2
5/2
5/2
5/2
3/2
1
1
1
1
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
0
—1
1
0
—1
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
0
0
0
0
—1
1
0
—1
1
0
1
0
—1
—2
1
1
1/
2/V/5"
2/V7"
—3
4/VJP7
0.154303
—0.327327
0.436436
1.000000
0.632456
0.316228
0.774597
0.774597
0.547723
1.000000
0.447214
0.894427
0.632456
0.774597
0.755929
0.676123
0.414039
-0.654654
0.169031
0.597614'
0.621059
-0.717137
-0.292770
1.000000
1.000000
1.000000
0.845154
0.534522
-0.534522
0.507093
0.676123
-0.676123
0.169031
0.717137
0.597614
0.654654
0.462910
-0.654654
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3
2
2
1
1
0
3
3
2
2
2
1
1
1
1
0
0
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
.2
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
—2
2
1
0
—1
2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
—3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
-5/2
1/2
-1/2
-3/2
—5/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
—5/2
5/2
3/2
1/2
—1/^2.5-7
3 ^3/^2 -5-7
v'J/v'iTT
-2 v^2 /V5 • 7
О
• 5 • 7
1/vT
^5/7
^2/7
2/vT
3/B •f)
^37B ^7")
-vT/B v/5")
—1/^2-5-7
-5-7
—2
2
-3-7
-3-5
5-7
—0.119523
0.414039
0.621059
0.462910
—0.414039
—0.478091
0.000000
0.621059
0.925820
—0.377964
0.845154
—0.534522
0.755929
—0.654654
0.731925
0.566947
—0.597614
0.267261
0.654654
0.327327
—0.591608
—0.119523
0.621059
0.507093
—0.414039
0.487950
0.617213
0.487950
—0.597614
—0.267261
0.267261
0.597614
0.534522
-0.169031
—0.478091
—0.169031
0.534522
—0.345033
0.483046
0.276026

8.13. ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА
245'
ТАБЛИЦА 8.11 (продолжение)
3/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
2
'2
2
1
1
1
0
0
2
2
2
2
1
1
1
0
5/2
5/2
3/2
3/2
1/2
1/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
1/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
¦ 3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
1
О
—1
1
О
—1
1
о
1
о
I
—2
1
О
—1
о
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
1/2
-1/2
-3/2
-5/2
l/v'2"
1/vT
1/B v'5~)
3/B v^)
1/V3
1/vT
l/v'2"
l/v'2 • 3
vT/vT
l/v'2
1Д2 •г)
—v^3 /B у'г)
1/B VJ)
7/B v-z ¦ 3 • 5)'
l/v'2
1/B
1/vT
l/V3~
V5"/B-3)
1.000000
0.707107
0.447214
0.223607
0.774597
0.670820
1.000000
0.577350
0.258199
0.816497
0.730297
0.447214
0.632456
0.774597
0.707107
0.707107
0.547723
0.316228
0.000000
0.447214
0.632456
0.000000
1.000000
0.408248
0.912871
0.577350
0.816497
0.707107
0.790569
0.645497
0.353553
0.612372
0.288675
0.639010
0.547723
0.707107
0.129099
0.447214
0.670820
0.527046
0.645497
0.577350
0.372678
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
У
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3
2
1
0
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
3
3
3
см см
2
2
1
1
1
1
1
0
0
0
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
0
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3/2
1/2
-1/2
—3/2
1/2
-1/2
0
0
0
A
0
—1
1
0
-.1
1
0
—1
1
0
0
—1
-2
1
0
—1
—2
2
1
0
—1
—2
2
1
0
0
—1
2
о
1
0
-2
1
0
—1
0
—2/3
-1/B VI)
l/v^.3.5
7/B • 3 vT)
-1/2 —2/CvT)
1/2
-1/2
1/vT
v/57B vT)
—^57B V7!)
1/B vT)
l/v'2
—l/v'2"
0
v'5
•57B vT)
0
1/2
—1/^2-3-5
—0.666667
-0.288675
0.182574
0.521749
—0.516398
—0.298142
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
0.S66025
0.500000
-0.500000
0.577350
0.645497
-0.645497
0.288675
0.707107
-0.707107
0.000000
0.645497
0.645497
0.408248
—0.645497
0.000000
0.500000
0.577350
0.408248
—0.500000
—0.387298
0.182574
¦ 0.632456
0.577350
—0.182574
—0.516398
0.408248
0.577350
0.577350
0.408248
-0.577350
—0.408248
0.000000
0.408248
0.000000
—0.408248
—0.408248
0.000000

246
Гл. 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША-ГОРДАНА И 3 /т-СИМВОЛЫ
ТАБЛИЦА 8.12
ЧИСЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Д (а, Ь, с) С у <о, Ь,
а
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
2
2
2
Ь
1/2
1
3/2
2
5/2
3
7/2
4
9/2
1
1
3/2
3/2
2
2
5/2
5/2
3
3
//2
7/2
4
4
9/2
5
3/2
3/2
2
2
5/2
5/2
3
3
7/2
7/2
4
9/2
2
2
2
с
1
3/2
2
5/2
3
7/2
4
9/2
5
1
2
3/2
5/2
2
3
5/2
7/2
3
4
//2
9/2
4
5
9/2
5
2
3
5/2
цг
3
4
7/2
9/2
4
5
9/2
5
2
3
4
1
Д(аЬс)
^273
2^3"
2^5"
V2-3-5
^2ТзТ7
2V2-7
2-3^2
3^2-5
V2-5•11
2^2-3
^2-3-5
143 N3
СО| СО
сл| ел
2V2-3-
^3 • 5 ¦ 7
V2 • 3 • 5
2^2-3-
4^3-7
2-3^7
5
• 7
7
2 • 3 V^2 • 7
2-3^2^5
4 • 3 vV
3V5-11
3V2-5-
2 v^2 • 3 •
2-3^5
2 V5-7
2 \/3 ¦ 5 •
2V2-5-
2 ^2 • 3 •
2 • 3 v^2 •
2 - 3 V2 •
2 V^2 • 3 •
2 • 3 V2 •
2 V2¦3 •
2 • 3 ^2 •
г-зу'з-
3 V^2 - 5 -
4V2-5-
3 у/2 • 5 •
11
5-
7
7
5-
7
3-
5-
5-
5-
5-
5-
7
7
;
11
7
7
7
7
11
11
11
Д (abc)
0.408248
0.288675
0.223607
0.182574
0.154303
0.133631
0.117851
0.105409
0.953463-10-1
0.204124
0.182574
0.129099
0.129099
0.912871-10-1
0.975900-10-1
0.690066-10-1
0.771517-Ю-1
0.545545-10-1
0.629941-10-1
0.445435-10-1
0.527046-10-1
0.372678-10-1
0.449467-10-1
0.317821-10 i
0.275241-10-1
0.745356-10-1
0.845154-10-1
0.487950-10-1
0.597614-10 i
0.345033-10-1
0.445435-10-1
0.257172-10-1
0.345033-10-1
0.199205-10-1
0.275241-10-1
0.158910-10-1
0.129750-10-1
0.398410-10-1
0.298807-10-1
0.398410-10-1
а
CM CM CM
CM CM
2
2
2
2
2
2
2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
7/2
7/2
7/2
7/2
4
4
4
4
9/2
5
6
5/2
5/2
5/2
О
3
3
7/2
7/2
4
it-
9/2
5
5/2
5/2
5/2
3
3
7/2
7/2
4
9/2
3
3
3
7/2
7/2
4
4
9/2
5
7/2
7/2
4
9/2
4
4
9/2
5
9/2
5
с
5/2
7/2
9/2
3
4
5
7/2
9/2
4
5
9/2
5
3
4
5
7/2
9/2
4
5
9/2
5
3
4
5
7/2
9/2
4
5
9/2
5
4
5
9/2
5
4
5
9/2
5
5
5
1
Д(abc)
4V3¦5 • 7
2-3^2-5-7
2-3VET7
2 - 3 ^3 • 5 • 7
4-3^5^7
^2-3-5 -7-11
2 - 3 V2 • 3 • 5 • 7
2V2-3-5-7-11
2-3^5.7-11
4 - 3 V2 • 5 -11
4-3^3-5-11
3 V2-3-5-11 -13
4-3V^T7
2-3-5vT
2-3^7-11
2-3-5^2-7
2-3^5-7-11
2-3V2-5-7-11
2.3^2-5-7-11
4-3^5-7-11
4-3V5-11-13
4 • 5 V^2 • 3 ¦ 7
3-5^2-7-11
4-3^3-7-11
2-5V2-3-7-11
2-3V2-3-5-7-11
4-3V2-5-7-11
2-3 V5-7-11 -13
4V3-5-7.11 -13
4V2-3-5- 7-11•13
2-3-5 V2-7 • 11
2-3V2-3-7 • 11-13
2-3 V^2 - 5 - 7-11 -13
2- 7 V2 -3-5 -11 -13
3-5V2-7-11-13
4-3-7^11-13
2-3-7V5-11-13
3-5-7V2-11-13
2-3-7V3-5-11-13
8-3-7^3-11-13
Д {abc)
0.243975-10-1
0.199205-10-1
0.281718-10-1
0.162650-10-1
0.140859-10-1
0.208063-.10-1
0.115011-10-1
0.104031-10-1
0.849412-10-2
0.794552-10-2
0.648749-10-2
0.508921 -10-2
0.140859-20-1
0.125988-10-1
0.189934-10-1
0.890871-10-2
0.849412-10-2
0.600625-10-2
0.600625-10-2
0.424706-10-2
0.311649-10-2
0.771517-10-2
0.537215-10-2
0.548293-10-2
0.465242-10 2
0.346771-10-2
0.300312-10-2
0.235584-10-2
0.204022-10-2
0.144265-10-2
0.268608-10-2
0.215058-10-2
0.166583-10-2
0.109054-10-2
0.148997-10-2
0.995526-10-3
0.890426-10-3
0.563155-10-3
0.514088-10-3
0.287384-10-3

Глава 9
6/-СИМВ0ЛЫ
И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. 6/-Символы Вигнера [110] определяются через коэффициенты преобразования между различ-
различными схемами сложения трех угловых моментов. Угловые моменты jj, j2, j3 можно связать
в полный момент j с проекцией т тремя разными способами:
1) jl + J3 = J12. jl2 + j3 = j.
И) J2 + J3 = J23. jl + J23 = J. A)
I") ji + Js = Jis. Jis + h = j.
Состояния, соответствующие схеме связи I, обозначим как | }\}й (/12) ]3]пг)>. Они являются соб-
собственными состояниями операторов j\, j\, /•§, fj2, /2, ft и имеют вид
Состояния, соответствующие схеме связи II, — собственные состояния операторов /?, /§, /§,
?2 fi f
J23> J ' Jf
2 Cfe
Аналогично состояния, соответствующие схеме связи III, являются собственными состояниями
операторов /f, /|, f% ffs, /2, fg и имеют вид
17,/з (Аз) himy = ^ ^,Т«„ Л»,6^'".1},». I /i«i. /^2- />з>. D)
Состояния, отвечающие каждой из схем связи, образуют полный набор. Переходу от одной
схемы связи к другой соответствует унитарное преобразование, которое связывает состояния
с одинаковыми значениями полного момента j и его проекции т. Коэффициенты этого преобразо-
преобразования U отличаются от бу'-символов только нормировочным и фазовым множителями. Выделение
этих множителей производится для того, чтобы 6/-символы обладали более простыми свойствами
симметрии (см. 9.4).
¦о п ¦ п \fl h Jl2\
Ьолее точно Ь]-символы Вигнера \ . . . \ определяются следующим соотношением
<Hh (/и) him | /lt Цг (/„) j'm'> = bjj,bnm.U у,/,//,; ;-,2/23) =
E)
US
Отсюда можно получить [92, 64]
<jd* (/it) W» I А/з (
(J ; J} F)
01. Wl (/it) /"« I /l/з (/li) MJ

248 Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Из определения 6/-символов E) следует, что они могут быть выражены через коэффициенты
Клебша—Гордана по формуле
!)...(¦ (8)
¦Чз I J2S)
Здесь суммирование проводится по mv пг2, т3, т12, га23, значения т и т' фиксированы. Это соот-
соотношение однозначно фиксирует как величину 6/-символов, так и их фазу. 6/-Символы, как и
коэффициенты Клебша—Гордана, вещественны.
Правила векторного сложения налагают определенные ограничения на значения моментов,
с- (/1/2/121
входящих в ©/-символы \ . . . \ ¦
17з/ /23J
а. Значения всех моментов являются целыми или полуцелыми неотрицательными числами
(исключение из этого правила рассматривается в 9.4).
б. Для каждой из следующих троек моментов (/1/2/12). (/12/3/)» (/з/з/гз) и Огз/i/) должны выпол-
выполняться условия треугольника (см. 8.1 A)).
Унитарность преобразования, отвечающего переходу к другой схеме связи, означает, что
6/-символы удовлетворяют условию ортогональности и нормировки
2B/12 + 1) B/23 + 1) I'1 H h2\ {'.' Н U,2\ = V у' , (9)
Jn
> B/is+l) B/23 + 1)
ZJ l/з / h3) l/s / /23
/23
В дальнейшем для обозначения аргументов 6/-символов будем использовать латинские буквы
а, Ъ, с и т. д.
2. Вместо б/'-символов Вигнера часто используются коэффициенты Рака [91], отличающиеся
от 6/-СИМВОЛОВ только выбором фазы:
; cj). (И)
Коэффициенты Рака были введены независимо от 6/-символов и получили широкое распростране-
распространение в спектроскопии. Их фаза выбрана такой же, как у коэффициентов преобразования между
схемами связи I и II (формула E)).
3. 6/-Символы и коэффициенты Рака могут быть представлены в виде таблицы |i?,-J| размер-
размерности 3x4 A=1, 2, 3; а = 1, 2, 3, 4). Эта таблица называется R-символом (Шелепин [105]).
1
¦Я 21 -Я 22 -Й23 -Я24
1 2 3 -4
где
1
(d e /
(abed; с/), A2)
Лп=.—c + d-j-e, R12— b + d — f, Rl3 = a + e — f, Ли = а + Ь —с,
R21 = —b + d + f, Л22=. c + d-e, R23 = a-b+c, R2i = a—e + f, A3)
Rsi = —a + e+f, R32=—a+b+c, Rn=c —d + e, Ral=b — d+f.
Обратные соотношения имеют вид
2а = Rls -\- i?24 = Rn + R23> 2d = iJn -\- i?22 = -^i2 + ^211
26 = Л12+Л34 = Ли + Л32, 2е = Ли+Лзз = Л13 + Лз1, A4)
2C = R22 -|-i?33 = Л23 -J- #32> 2/ = i?
Bee 12 элементов /?Vo, являются целыми неотрицательными числами. Разности между соответ-
соответствующими элементами строк и столбцов постоянны.
R^-R^R^-P^, (.; k = u 2f 3. а> р = 1) 2> з, 4). A5)

9.2. ЯВНЫЙ ВИД 6/-СИМВ0Л0В И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 249
Имеют место следующие соотношения:
3 3
2 Ra = 2 (d + е + /) - а - Ь - с, j? дя = 2 (« + с + е) - 6 - <* - /,
2 Д« = 2 F + с + d) - а - е - /, 2 Я« = 2 (а + 6 + /) - с - d - е,
Используется также следующая параметризация элементов таблицы Ri% [451:
ДЙ = А,-Яв. A7)
Здесь параметры Л^, 2?а — целые неотрицательные числа:
A2 = a\c + d+f, B2 = a + e}f,
A3 = b + c -\-e+f, B3 = b + d + f,
Bi = c+d + e,
причем
2 2 c + i + e+/). A9)
Обратные соотношения имеют вид
2a — A1-JrA2 — B3—Bi, 2d = Al + А2 — B} — В2,
- Bl - B3, B0)
2c = As-\- A3 — B2 — j5s, 2f = A2-\-A3 — B1 — Bt.
С помощью -R-символов наиболее просто формулируются свойства симметрии 6/-символов и коэф-
коэффициентов Рака.
9.2. ЯВНЫЙ ВИД б^-СИМВОЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
\аЬ с\
6/-Символы {, > равны нулю, если хотя бы для одной из троек моментов (abc), (cde), (aef)
Iй е f)
и (bdf) не выполняется условие треугольника 8.1 A). Если все условия треугольника выполнены,
то для 6/-символов справедливы формулы, приведенные ниже. Соответствующие формулы для
коэффициентов Рака можно получить, используя связь зтих коэффициентов с 6/-символами 9.1 A1).
1. Выражения для 6/-символов в виде конечных сумм
В этих выражениях суммирование проводится по всем целочисленным неотрицательным значе-
значениям п, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные числа. Величины Д (abc)
даются формулой 8.2A). Численные значения Д (abc) приведены в табл. 8.12.
(п Р> \
= Д (abc) Д (cde) Д (aef) Д (bdf) X
I," e /J
VV . (-!)"(» + !)! ._ ,
X /i („ ь . .. w i—~—_ , _ ,,, * ,, ! , , , T-ji—, , , , ———Г| v- (Рака
П ч^/| iJij \t/*r i it \ I
Х(^. с \ d -\- J — п) ! (о-|-с-]-е-|-/ — п) !
Заменой индекса суммирования n^>a-\-b-\-d-\-e — п формула A) может быть приведена к виду
С) = (—1 )«+*+<««Д (abc) Д (cde) A (aef) Д (bdf) X
d e /J
(-l)'(a + b + d + e + l-n)l
п ! (а + Ъ — с — и) ! (—с + d + е — и)! (а + е — / — п) ! (b + d — f — п) ! X
" \/ / „ i J i J i „\ I / t i I J i „\ I

250
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Другие выражения для 6/-символов, не сводящиеся к A) и B), имеют вид [45, 50]
[d в )
(-a + Ь + с + п) ! (с - d + е + в) 1 (g - с + d + / - в) !
( *' в ! (а — е + /— в) I (— Ь,+ d + f — п) ! (—а + 6 — d + е + в) ! {Ь + с + е — / + 1 + в) I '
C)
(—1)
- Ь + 4 + е - в) ! (-6 + с + е + / - в) 1 (а + с + «* + / + 1 — я)
(аЬс
\de
в ! (а — 5 + с — в) I (—6 + <* + / — п)!(а + е + / + 1— п) ! (с + d + е + 1 — в) I '
Д (abc) Д (cde) A (ae/) Д (М/) (а + е + / + 1) I (Ъ + * + / + 1) !
с1 , ^4+^ Д (abc) Д
f)~( > [a + b-e)l(a-
^Х, (+ + f + )( + f + )(+c + f)
х Zi ( ' в ! (g + е — / — в),! F + d — / — в) ! (—а -f с — d -f- / + п) ! B/ + 1 + в) ! '
п
(а
~( '
X
B6 — в) ! F + с — е + / — n)!
— я) !
¦ в) 1 (а -f 6 + с -f- 1 — re) ! {b + d + / + 1 — n) I '
F)
2. Формула Баргадана [53]
d e I
-^3
r
4
! JJi
<r=i
G)
Здесь /?<а— элементы /{-символа (см. 9.1.3), Вл даются формулой 9.1A8), х{, ул— переменные
3 4
суммирования, п = 2 ж< 4~ 2 У*- Суммирование проводится по всем целым неотрицательным зна-
чениям х-о ул, удовлетворяющим условиям х.-\-уа = Ria. Эти условия сводят число независимых
переменных суммирования до одной. В написанной сумме содержится г -\-1 слагаемое, где
г = min {Ritt}. Если в качестве независимой переменной суммирования выбрать п (целое, неотри-
неотрицательное), то xt = At — п, ул = п — Бл, где А0 Вл определены в 9.1.3. При этом формула Барг-
мана переходит в формулу Рака A).
3. Связь с обобщенными гипергеометрическими функциями
6/-символы выражаются через гипергеометрические функции 4F3 от единичного аргумента
Д {abc) Д {cde) Д (ае/) Д {bdf) {a -
\d е
{а Ь с
d e
с)
, _ С) ! (_с + d + е) ! (а + е - /) ! F + d - /) ! (-а + с - d + f) ! {-b + с - е + f) I
-а— Ь-\-с, с—d — e, —a — e-\~f, —b—d-\-f
— d-\-f-\-l, —b -j- с — e-\~f-
Д {aef) Д {bdf) {—a + b + c) ! (c — d -f e) ! (g — с + d + f)
—а — b -f- с, с — d ¦
—а — b — d — e — 1, —a-
1 , (Роуз [30])
abc
d e f
Д {abc) Д {cde) (a — e + /) ! (—b + d + /) ! (—a -f 6 — d + e) ! F + с -f e — f + 1) 1
[—a+b + c + l, с — d-f-e-j-1, —a + e—/, b — d — /
—u -}- с -— d — /, —a -j- b — d -J- e -j- 1, b -f- с -|- e — / -|- 2
A (abc) Д (fed/) (a — 6-fd-|-e)!(—fe-f-c+e+/)!(a4-c + d4-/4-l)!
_i 1 \ t X
X
X
(8)
(9)
Г-а + 6-с, b-d-f, —a-e-f-1, -c-d-e-1 ]
X* 4 -a + b-d-e, b-e-e-f, -a-e-d-f-l J'
A0)

9.2. ЯВНЫЙ ВИД 6/-СИМВ0Л0В И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 251
- + 1) I (b + d 4 / + 1) ! (a ¦+¦ с -f d — /) !
X (a + 6 - c) ! (a - 6 + с) Ц-с + d 4 e) ! (c + d - e) ! (a 4- e - /) ! F 4- d - /) ! (-a + с - d 4- /) ! B/ + 1) ! X
, -a + c-d + f + i, 2f+2
a b с
= (i )+/X
oe/J
Д (абс) Д (cde) Д (ae/) Д (W) B6) ! F + с — e + f) ! F + с + e + / + 1) !
c) ! (c - d + e) ! (c + d - e) ! (a - e + /) I (-a + e + /) ! F
Га — 6 — с, —b + d — f, —a — b — c — i, —b — d — f — 1
X (-a + 6 + c) ! (a + 6 - c) ! (c - d + e) ! (c + d - e) ! (a - e + f) ! (-a + e + f) ! F -\- d - /) ! F - d + f) ! X
XA
—26, —b — c + e — f, —b — c—e — f—l
]¦
Формулы (8)—A2) являются записью в виде обобщенных гипергеометрических функций фор-
формул B)—F) соответственно.
4. Связь 6/-СИМВ0Л0В с 3/т-символами
6/-Символы могут быть записаны как сумма произведений коэффициевтов Клебша—Гордана
{формула 9.1 (8)) или 3/ттг-символов. Связь 6/-символов с 3/ттг-символами имеет вид
а Ь с) V? , , . (abc\(ae f\ ( dbf\fd e c\
В формуле A3) суммирование проводится по всем проекциям моментов а, C, у, 8, s, <p, при этом
число независимых индексов суммирования равно 3. Некоторые другие суммы З/яг-символов, при-
приводящие к 6/-символам, рассмотрены в гл. 12.
5. Представление 6/-символов в виде квазибиномов
6/-символы могут быть записаны в виде квазибиномов [45, 99], которые определены в 8.2. 2.
Такое представление широко используется при составлении алгебраических таблиц 6/--символов.
Введем следующие обозначения:
-b + d+f, FsRl2 = b+d-f,
E = Ri2 + i?21 + i?34 + 1 =6 + d -f /+ 1. ( '
Тогда зависимость 6/-символов от кг и кг имеет вид
(а Ъ с | _ (Ь -\- к2 Ь с
\d e /J^l d d + kx f
l?_X—V. I lu [>)(""~*г).
Величины и и у могут выбираться разными способами в зависимости от того, какая из фор-
формул в 9. 2.1 записывается в виде квазибинома [45].
Формулам A) и B) соответствуют
v = (c — kJWFM (E + k1 + Aa)Ci>. l '
Формуле C) отвечают
a = (с + *оа) ДМ) (О + А2 fc1), .
у = (с — кг) я) (F + к2 + А,) С"» и1'1'
ИЛИ
v = Bd+ с

252 Гл. 9. 6/-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Формуле D) соответствуют
в = Bd +с + А,+ 1)«>(Д-А,+ *,)")?(!),
p = Bi — c-f/c,)'-1» В'' (E + kz+kJ^K ( '
Формуле E) отвечают
и = (с + Д^)'-1' (В - *, + *i)A) (D+k,^ ft,)'-1»,
. у = (с —^(d ^b + c-Ma + ip'^i —e + fci)*-1'
или
и = (с + *!)») B6 - с + A-2)'-i) Bd - с + А,)'».
у=(с + *2)()-?1A)^A)-
Формуле F) соответствуют:
в=Д<1>?»>B6 + е + *2 + 1)т,
»=(D+ *,-*,)(-!> (Я+ *, + *,)<-" B6-с + *,)(-*> (
ИЛИ
u=(c + fti)A)B6+c + ft2 + l)")Bd+C + fc1 + l)<1',
Выражение A5) для 6/-символов справедливо в том случае, когда показатели квазистепеней
2Лс2, к2 — кг и к2-\-кх являются неотрицательными целыми числами, т. е. когда к2~^\кг\~^О. Если
какой-нибудь из показателей является отрицательным числом, то в соответствующей квазистепени
нужно произвести замену
'Ч ^'^ <° B4)
9.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 6/-СИМВ0Л0В
Квадраты бу'-символов выражаются в виде интегралов от характеров представлений группы
вращений [110].
(a be]2 1 г
lie /I (oTi j j
Здесь
X* (R) = 2 Diim (R) = S D'"m (a' ?> T)
— характер представления с весом j (см. 4.14),
2х t 2x
\ / (i?) dR ==\ da\ sin 3i3 \ if/ (a, 13, f).
оо о
Для 6/-СИМВОЛОВ частного вида имеют место следующие интегральные представления:
а " "' v~i( ' --¦ '-• Х^ЛГ'Л,), B)
в
h (Щ
о 6 cWa e /Wi 6 /Wi e c| _
а Ъ с] [а Ъ с] [а Ь с]~~
\ dRtdRzdRsdRidRa11 (Ri) Xе №) Xf (нз) Ха (Ri) Xa (Rb1R3Rz) Xb (RbRiR2Ri) X" (Ri1RbRiRs)- D)

9.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 6/-СИМВОЛОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ РАКА
253
9.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 6/-СИМВОЛОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ РАКА
1. Свойства симметрии 6/-символов и И^-коэффициентов наиболее'просто формулируются, когда
эти коэффициенты записаны в виде Л-символа (см. 9.1.3).
Величина Л-символа не меняется при произвольной перестановке как строк, так и столбцов
этого символа [105]:
л„
Л21
Л31
R
R
R
12
22
32
R
R
R
13
23
33
R
R
R
14
24
34
=
л
R
R
/I
к\
п
/"> р D
IX ,(>2 П уз -tt |4
ЛА-2 ЛАз ЛА4
Л,2 i?,3 Я,4
=
= Л2а Л2з Л2
A)
Другими словами, величина /^-символа не меняется при любых перестановках между собой как
параметров А{, так и параметров Ва (см. 9.1.3). Эти соотношения симметрии связывают 3! Х4 ! = 144,
вообще говоря, различных коэффициента Рака.
2. Указанные свойства симметрии /^-символа эквивалентны следующим свойствам симметрии
б/'-символов.
а. Классические свойства симметрии [110|. Величина 6/-символа не меняется при
перестановке столбцов, а также любых двух элементов верхней строки с расположенными под
ними двумя элементами нижней строки.
. la b c\ la с Ь) 1Ъ ас) (be a) lc a b\ lc Ъ а)
(d e n\d f ej=\e d f\~~\e f dj = I/ d e\~ \f e d}^
a e f\_(af e)_{e a f\
d b cf Id с b\~\b d c)
e f a] _jf a e) jf e a
b с d) ~ \c d bj [c b d
Idee) Idee
= U b 1\=\а f b
_\d b 1\_id f b)
(a e с) \а с e\
e d c\ lee d\
b a f]~\b f aj
b / dy
e с а)
Ibd /i
le a c\
ic d e\ Ice d\
I/ a b) =t/ b «J =
f d b\ If b d\
с a ej \c e a)
B)
Эти соотношения связывают между собой 3 ! X 4 ==¦ 24 6/-символа.
б. Свойства симметрии Редже [95]. Эти свойства имеют функциональный характер, т. е.
они не сводятся к простой перестановке параметров в 6/-снмволе»
fa Ъ с\ (a si — b S] — с\ |s2 — a b s2 — c|
\d e f) \ds1 — es1—fj {s2 — des2 — fj
где
\s3 — d s3 — e f
1
(s2 — d s3 — e Sj — /
\ss — a sx — b s2 — i
C)
Эти свойства особенно удобно использовать, когда величина st равна одному из параметров
6/-символа.
Ь"? Комбинируя свойства симметрии Редже с классическими свойствами симметрии, получим все
144 соотношения симметрии.
3. Для коэффициентов Рака соотношения симметрии имеют следующий вид.
а. Кл"ассические свойства симметрии [91]
W (abed; cf) = W (deba; cf) = W (edab; cf) = W (bade; cf) =
= W (aebd; fc) = W (dbea; fc) == W (bdae; fc) = IV (eadb; fc) =
= е1И/ (acfd\ be) — t^W (dfca; be) = zxW (fdac; be) = ttW (cadf; be) —
= t1W(afcd; eb) = tiW (defa; eb) = i
= t^W (cbef; ad) = e2W (febc; ad) = i
= hW (cebf; da) = e2W (fbec; da) = i
(cdaf; eb) = txW (fade; eb) =
(efeb; ad) = e2W (befe; ad) =
(bfee; da) = z2W (ecfb; da),
где
E)
F)

254 Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
б. Свойства симметрии Редже
W (abed; cf) = W(s3 — a, s3—6, s3 — е, s3 — d; cf) = e.1W(a, «i — 6, st — e, d; sl — c, sr—/) =
= e.2W(sa — d, sr — e, Sj — b, s3 — a; s2 — /, s2 — c). G)
Здесь slt s2, s3 даются формулой D), a sx и s2 — формулой F).
4. «Зеркальная» симметрия. Формулы для 6/-символов могут быть обобщены на случай
отрицательных целых или полуцелых значений моментов. При этом б/'-символы удовлетворяют
следующим свойствам симметрии [45] относительно замены моментов / ->• —/ — 1:
\аЪ с\ \йЪ ь\-1_\\чЛйЬ С1 -r_n?,+i/a 5 б\-
\def\- \Зё}}-( 1} jie/j ( 1> \3ё])~
yd e /I \d в f\ \d e f) \d ё
f. (п о с^ (a b с\ E b с\ .ч (a b c\
\d e fj \d ё fj \3 e fj \d ё //"
Здесь
а = —а—1, 5s—Ъ—1 и т. Д.,
Аналогично для коэффициентов Рака получаем
W (abed; cf) = —W (abed; cf) = W(dbed; cf) = —W (abed; cf) =
= (_1)Ф|+1 W (abed; cf) = (-1)*' W (abed; cf) = i (—1)*» W (abed; cf) = i (—I)** W (abed; cf) =
= i (—I)*3 W (abed; cf) = i (—1)^ W (abed; cf) = (^l)^ W (abed; cf) = (—1)*'+1 W (abed; cf). A0)
Здесь
A1)
9.5. ЯВНЫЙ ВИД 6/-СИМВОЛОВ ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
1. Один из индексов равен нулю
Для 6/-символов имеют место следующие соотношения:
(О Ъ с) . 84с8о/ (a b
Bе + 1)' 10 е /J \/B6-j-l) Bс + 1)'
|d e fj ~ i/Ba-\- 1) Bd -f 1)' id 0 fj ~ v^Ba + l) Bc -f 1) * * '
b °\ {,)t»»f ь»ьь«< \а b
\d e fj ^Bа + 1)Bсг + 1) \d e Oj v ; VBa + 1) B6
Для коэффициентов Рака соотношения имеют вид
; с/)=
W (abOd; cf) = . , W (abeO; cf) ==
V " VBo + l)Bc + l) ^ ' "
W (abed; Qf)=(—\)a»-f , "*'*' W (abed; rf)) ^ (—na+b-e r'"'r>'"i
V ' VBa + l)Bi + l)' ' K ' y/Ba+i)Bb + l)
При этом предполагается, что остальные моменты удовлетворяют «условию треугольника».

9.5. ЯВНЫЙ ВИД 6/-СИМВОЛОВ ПРИ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ 255
2. Один из индексов равен сумме двух других
Если один из индексов 6/-символа равен сумме двух других, входящих с ним в одну триаду
(abc), (cde), (aef), (bdf), то с помощью классических свойств симметрии 6/-символов (формулы 9.4 B))
все эти случаи могут быть сведены к следующему:
п а~^ ) = (—i)a+b+d+e W (abed; a + bf) = (—i)a+b+d+e X
d e f )
Ba) ! B6) ! (a + 6 + д1 + e + 1) ! (a + 6 — d + e) \ (a + b + d — e) ! (—a + e + /) ! (—6 + d + /) ! T/>
C)
Некоторые частные случаи формулы C):
' I / А \а+6н-^н-е - 1 • \ ) • \ Т ~~г I ¦ \ \ ~1~ / ...
ал_е1[ > LBa + 26 + l) ! Ba + 2e + l) ! (—a — 6 + d + e) ! (—a + 6 + d — e) !J ' w
с:.;:м='-"—x
( + ) ( + +) (+ ^) ( + + - e
a b a + b) Ba)lF + e)l
) Ba)lF + e)l
j~"( ' Ba + 26 + 1) ! (-6 + e) ! '
a 6 a + 6 1 ,
~( '
a e a + b-i}~( ' Ba + 26) ! (-6 + e) ! L Ba + 26 + 1) (-6 + e + 1)
a 5 a + 6| _ Ba) I B6) !
aft / |~( '
a 6 a + 6|= 2a+34 Ba) ! B6) 1
ba f ) [Ba-/)lBa + / + l)lBft-/)!Bft +
a. b a + 6) , Ba) ! B6) !
a b a + b ) , Ba) ! B6) !
a 6 a + 6 — 1Г Ba+ 26)! '
a 6
a 6 a + 6 1 , 26
Il H)WiBa + l)Ba+2). (->»-!). A3)
а 6 а + b\ 1
T l (lJ(e+S+«)A4)
ееа + е/ ( ' [Ba + 26 +1) Ba + 2e +1)]/: y '
3. Один из индексов меньше суммы двух других на единицу
Если один из индексов 6/-символа на единицу меньше суммы двух других, входящих с ним
в один треугольник (abc), (cde), (aef), (bdf), то с помощью классических свойств симметрии
6/-СИМВОЛОВ (формулы 9. 4 B)) все эти случаи могут быть сведены к следующему:
а Ь a + 6 — 1) , ,
\ = (~i)a+b+d+s W (abed; a + 6 — 1 /) =
d e f J
. 2 {ab (a + 6) + (a + 6) / (f + 1) - ad (d + 1) - be (e + 1)} X
Bа - 1)! B6 - 1)! (a + 6 + d + e)! (a + 6 — d + e - 1) 1 (a + 6 + d - e - 1) ! (-a + e + /)! (-6 + d + /) ! 1 lh
a+e — /) ! (a —e + /) ! (a+ e+f+t) ! F + d-/)! F —d + /}! (u + rf + f + l) |J '
A5)

256 Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Некоторые частные случаи формулы A5):
а Ь а + Ь — 1
= (_1)«+*+л+«2 {a (a + 6 + e - 1) (a + 6 + e) - ad (d 4- 1) - 26e} X
d e a -f- e — lj
Г B6 — 1) ! Be — 1) ! (a + 6 + d — e — 1) ! (a — 6+d+e— 1) ! П'Л
XLBa+26) ! Ba+2e) ! (—a — 6-f-d + e + l) ! (—a + 6 + d — e+1) !j '
(a 6 a 4- 6 — 1) Ba — 1) !
I ~ I /_1\2«+S+e9 (h I9.ti.-i- 6— 1W 2я.4- 61 — he. I p. 4-11 - ^-^-^ '
—1) 1B6 — 1) !
f)[(a + b + f + 1)[, A8)
}{r{(+){ + )} B.-1IB6-1)! ir, A9)
a / j ^ ' Urnvir> MBa-/)!Bo + /+i)lB6-/)lB6+/+l)l]/« l '
a b a -f 6 — 11 2 a+J+e [" 26 . 2e "T/,
+ b + e_iea + e-l) = ("-1'2<<Z+ +" LBa + 26) Ba + 26 - i) Ba + 2e) Ba + 2e - 1) J ' B0)
Другие частные случаи даются формулами E), G), A1).
4. Индексы a, b, d, e попарно равны
Если а = Ъ и d = е или а = е и Ъ = d, то 6/-символы Вигнера могут быть представлены
в виде [56J
{" " CJ = (a } = (—lJ«+2jW(aa66; с/) = (—lJa+2jW (абаб; /с) =
F 6 /J [6а cj
где с — целое число, Fc(a, /, b)=Vc(b, f, а). Величины Ve, согласно 9.6F), удовлетворяют
рекуррентному соотношению
2с+ 1 с
TVi = 7TTFl^~c<2c + 1)F<>-7Tr[4a(a + 1) + 1~c21 [«(b + i) + i-c2J vc^. B2)
Введем обозначения
a = e(e+l), 6 = 6F+1), x==f(f+l) — а(а-\- 1) — 6 F+ 1) = / — а — Ь. B3)
Тогда для частных значений с функции Fo имеют следующий вид:
V0(a, f, b) = U B4)
F,(a, /, Ь) = — 2г, B5)
V2(a, f, b) = 6x24-&x — 8ab, B6)
V3 (a, /, 6) == — 20z3 — 80ж2 — 16z [3 + a + b — 3a5] + 8056, B7)
F4 (a, /, 6) = Wx* 4- 700ж3 +Ч0ж2 [39 -f- 5a + 5S — 6a6] +
+ 80ж [9 -f- 6a -f 66 — llab] — 4856 [27 4- U 4- 46 — 2a6], BS)
- Ba) ! Ba —1) ! Ba+26) ! (—a +6 + /) !
Ья-iK /. 6) —(-1) + +/2va +/-6} B6_2a + l)!(a-r6-/)!(a <29)
(a < 6 + у) ,
B6) ! B6 — 1) ! Ba + 26) ! (a — 6 +/) !
Vu-г ia, U 6) = (-i)-"**/2 {62 + / - a} Ba _ 26 ^ ('+ 6 J;) ,, (Ja+'Д/} , G+6 + /+ 4) ! ' ^

9.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
257
. , Bа) ! Bа) ! Bа 4- 26 + 1) ! (—а + Ъ + /) !
а, Т, О} — ( 1) Bfc —2а) ! (а + Ь — /) ! (а — Ь + f) ! (a + b + f
(а, /, 6) = (_1
+ f+l) ! '
(а < 6),
B6) ! B6) ! Bа 4- 26 + 1) ! (а — 6 + /) !
; |
C2)
При частных значениях / имеем
B6) ! Bа + с + 1) !
о (а, в - 6, 6) = ;2а + 1IB»-сI ' <а >
B
Vc (а, 6 - а, 6) = ;2
Vc(a, а-6 + 1, 6) = 2{
(а < 6),
B6 — 1) ! Bа-I- с-1-1) !
6) = 2{26(а + 1)-(а-6 + 1)с(с + 1)} Bя + 2) I B&-T) 1 '
(а > 6 —1),
Bа — 1) ! B6 + с 4-1) !
7, (в. &-« + !. 6) = 2{2аF+1)+(а-6-1)с(С+1)}1 B& + 2) ! Bа - с) 1 '
Vc(a, a + b-l, 6) = (_l)«+i 2 {(а + 6) с (с + 1) - 2а6}
Bа) ! B6) !
2а — 1) ! B6 — 1) !
Vt (a, a+b,b) = (-1)' Bfl ^ ^ , B;_
См. также формулы (9) и A9).
C3)
C4)
C5)
C6)
C7)
C8)
9.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
1. Соотношения, в которых индексы меняются на 1/2
1а 6 с)
- e)]V
» e
a 6 — -s- c — -^
К
1
d e }
c — T
d e—2 f
6-- c-~
2 2
A)
[(-a
17 Д. А. Варшалович и др.
Г "О" " "О" С
d~~2 e + 1

258
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
1 1
jb — Y с
C)
1
1
1
1
1
Ъ с
е f
be
ef
b с
e f
_1
1
1
1
1
~ 2
1
"" 2
1 1
D)
2. Соотношения, в которых индексы меняются на 1
Bс + 1) {2 [а (а + i) d (d + 1) + Ь (Ь + 1) е (е + I) - с (с +1) / (/ +1)] -
[а (а + 1) + 6 F + 1) - с (с + 1)] [d (d + 1) + е (е + 1) - с (с + 1)]} J" * ^ j
= -с [(а + Ь + с + 2) (-а + Ь + с + 1) (а - Ь + с + 1) (а + 6 - с) X
- (с + 1) [(а + Ь + с -Ь 1) (-а + Ь + с) (а - Ь + с) (а + b - с + 1) X
E)
Для 6/-СИМВ0Л0В частного вида из E) следуют соотношения:
+ с[Bа + с + 1)Bа-е + 1)B6 + е + 1)BЬ_с+1)]1-'. j" ^Д
F)
6 /

9.8. АСИМПТОТИКА 6 /-СИМВОЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ МОМЕНТОВ 259
9.7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
6/-СИМВ0ЛЫ являются коэффициентами разложения в степенной ряд производящей функции
f(xia) 1^3], зависящей от 12 переменных т4к B = 1, 2, 3, <х = 1, 2, 3, 4):
1=1
Показатели степени Ria являются элементами Л-символа и связаны с моментами а, Ъ, с и т. д„
соотношениями 9.1 A3)—9.1 A4). Нормировочные константы N имеют вид
- 4
II
»=1
Т-4 ' B)
jgn<
где Ва даются формулами 9.1 A8).
Суммы произведений 6/-символов Вигнера, 3jm- и 9/-символов даны в гл. 12.
9.8. АСИМПТОТИКА 6^-СИМВОЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ МОМЕНТОВ
1. Асимптотическая связь 6/-символов и коэффициентов Клебша—Гордана
При 7?^>1 и произвольных а, Ь, с и т. д. имеет место асимптотическая связь
(a b с
\d + R
где <x = f — e, p = d —/, T = d —e.
Для 6/- и 3/т-символов это соотношение имеет вид [47]
a be) (_1)д+»+е+2(Д+«+/) / а b с \
l + R e + R f+Rj^ v^ [e-f f-d d - e) ' B)
Для Л-символов, соответствующих коэффициентам Клебша—Гордана и 6/-символам, асимптота
ческая связь имеет вид
—с —|— <i —[— е —|— 2if b -\- d — / а -)- е — / а -\- b — с\\
—b-\-d-\-f-[-2R с-\-d — е a — b-\-c a — e-|-/ %
—а + е + / + 2Л —а-\-Ь+с с — d -\- e b — d-\-f\\
—а-\-Ъ-\-с а — Ъ-\-с а-\-Ь—с\\
a+e—f b — d + f c-\-d — e\\. C)
а — е -f / b-\-d — f c — d + ej
В частности, при d = e = / = O из A) следует формула [60]
(а Ь с) (—1)"
R R R) V2R Bc+1) "° 6U
2. Асимптотические выражения для 6/-символов
D)
[а Ь с\
Асимптотические свойства ©/-символов j А при больших значениях моментов связаны с гео-
геометрическими свойствами тетраэдра, имеющего своими ребрами отрезки a-f--j, Ъ-\--тг, и т. д.
(рис. 9,1).
а. Формула Понзано—Редже [89] (квазиклассическое приближение для 6/-символов). Если
а, Ь, с, d, e, />1, то
\<, *=i /
17*

260
Гл. 9. 6/-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
Здесь
/23 = / + ~% > /24 = e + 2 ' ^34 — ^ + 2 '
1 ik ~=~ 1ki> /tt ~~ •
F)
V — объем тетраэдра, Qi]e — угол между внешними нормалями к двум граням, примыкающим
к стороне jilc.
Объем тетраэдра может быть вычислен по формуле
О /Щ ih Из
ih о iu ih
G)
l
23C!J
Hi fu 0 /I, 1
/1з /Is /Ь О 1
11110
Углы 0jfc определяются из соотношения
ifb+T
(8)
Здесь S{ — площадь треугольника, противоположного вершине
Р{ (см. рис. 9.1).
Рис. 9.1. Тетраэдр, связанный Величины S{ могут быть вычислены по формуле Герона.
с асимптотикой 6 /-символов. Например,
0 Й, Яз
1
=75 (/12 + /is + In) (hi + /13 — hi) (/12 — /is + hi) (—/12 + /13 + Ju) = ~ Та
16
Приведенная выше асимптотическая формула E) справедлива, если
нельзя построить тетраэдр с ребрами jik, то формула принимает вид
/is fit о l
1110
). Если V2
(9)
а о с
d e f
2тс| V
= cos Ф ехр {—
где
«, fc=i
т. е.
A0)
A1)
В этом случае 6/-символы экспоненциально малы, даже если все условия треугольника выполнены.
В переходной области V*<=&Q формулы E), A0) мало пригодны и лучше пользоваться соотно-
соотношением [89].
[" !12"'/(П5'] {cos®Ai(«) + sin<bBi(i:)}, A2)
i У
где Ai (z) и Bi (z) — функции Эйри [27J,
*
]J
при
при
A3)
Формулы Понзано—Редже дают хорошую точность даже при небольших значениях моментов
а, Ь, с и т. д.

9.8. АСИМПТОТИКА 6/-СИМВОЛОВ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ МОМЕНТОВ
261
б. Формула Эдмондса [16]. Если /, т, п — произвольные целые или полуцелые числа, а а, Ь,
с ^>/, тга, п, то
Ъ С) {-1)«+Ь+с+/+т
Ь + т а + и /J VBo + 1) B6 + 1)
1 1
где <2?я(в) — матрица поворота (гл. 4), в — угол между ребрами тетраэдра а-{-п-\--^ и b-\-m-\--j
(рис. 9.2),
cos в =
g (а + 1) + 6 (& + 1) — с (с + 1)
A5)
В частности, если zre = ?г = 0, a, b, c^>f, f — любое целое число, то A4) переходит в формулу
Рака [93]
(а Ь с] (—i)a+6+c+/
Nl + iHafi)*/*"»8)- A6)
Рис. 9.2. Угол 0, входящий в асим-
асимптотическую формулу 9.8 A4).
Рис. 9.3. Геометрическая интерпретация углов, входящих
в формулы 9.8 B0)—9.8 B3).
где р —полином Лежандра. Если к тому же / велико, т. е. а, Ь,
воспользоваться асимптотикой для полиномов Лежандра. При этом
Эту же формулу можно записать в виде
(аЬс\ (—
\Ъ a f
где объем тетраэдра равен
cos
(ср. с формулой E)).
в. Если а, 6, с, d, e, /^>1, те, и, р, то
(a b с\( а Ь с
\А е f)\A+m e + n f + р
Здесь V — объем тетраэдра (формула G)),
в(У)
cos
1, если
0, если
1, то в A6) можно
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)

262 Гл. 9. 6/-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
8^— угол между внешними нормалями к граням тетраэдра, проходящим через сторону 1(-\--у
(рис. 9.3), где lt = d, I2 = e, ls = f. Углы 8, можно вычислять по формуле
cos 0 - C0S ?'* C0S У» - C0S ?*' B2\
где индексы i, к, l получаются циклической перестановкой индексов 1, 2, 3.
В формуле B2) ?<fc = <Pfci является углом между ребрами тетраэдра /.--f--,- и ^"Ь^о" (рис. 9.3),
где 1фк=^1, причем ]\^а, /2 = Ь, /3 = с.
г. В частности, при т = п=:р=--0 из B0) получается формула Вигнера [43]
К Ь. «. d, в,/>1). B4)
Эта формула справедлива только в среднем, так как при больших значениях моментов 6/-символы
быстро осциллируют.
д. Если а, Ъ, с и т. д. фиксированы, а /?—>со, то [89]
ab-\-R c-\-R\^ r jiinf (a —6 -f c) ! (a — e +/) ! (c + d —e) ! (—6 + d + f)\ 7/,sign(e+/-i-«)
d е + Д / + Д
+ /) ! 7/
-f)\]
B5)
Здесь \
<p = a-\- d-\- min {6 + e,
Г 1 при x > О,
signx= 26
I, —1 при х<0.
9.9 СВЯЗЬ 6>СЙМВОЛОВ ВИГНЕРА
С АНАЛОГИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДРУГИХ АВТОРОВ
Рака [91]:
W (abed; с/) = (—l)«+»+^+e \а с\ .
(d e f)
Ян [73]:
U (abed; cf) = VBc+l) B/+1) PF (abed; с/) = (_!)«+*>+<*+<> у/Bс + 1) B/ + 1) Г °\ .
Биденхарн, Блатт, Роуз [56]:
Z(abed; cf) = ;-«"+/ v/Bo + 1) B6 + 1) Bd + 1) Be + 1) C{? e0W (абей; с/).
9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ б^-СИМВОЛОВ
fa 6 с]
В таблицы включены формулы для 6/-символов | Л, у которых индекс о принимает значе-
ния -j, 1, -g, 2, —, 3, у, 4. Используются следующие обозначения:
s ==a -f 6 -(- с,
Х=-а(а+1) + Ь{Ь+1) + с(с + 1).
Таблицы алгебраических формул для 6/-символов и коэффициентов Рака имеются также
в работах [3, 45, 56].

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6 /-СИМВОЛОВ
263
ТАБЛИЦА 9.1
I а Ь С
I 1/2 е f
= с- 1/2
6-1/2
(s + 2) (s - 2а + 1)
г}"
: — 2c + 1) (s — 26) ТА
¦г
(s — 2c) (s — 26+1)
(-1)8 2L*(z
ТАБЛИЦА 9.2
а 6 с
1 е 1
f
6 + 1
6
Ъ— 1
1
V-1) 2
1 Г
(-*> 2 L
(g + 2) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a -| 1)
6 B6 + 1) F + 1) Bc + 1) (c + 1) Bc + 3)
(g — 2c — 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 26 + 2)
B6 - 1) 6 B6 + 1) Bc + 1) (c + 1) Bc + 3)
7/,
)J
7/.
J
6+1
b
6 — 1
1
-1' 2
1 Г
(-1' 2 L
2 LB6-lNB6 + l)cBc+
O/.
J
6 + 1
6
6—1
— 2c + 1) (s — 2c + 2) (s — 26 — 1) (s — 26) ТА
1)F+1) B6 + 3) Bc — l)eBc+l) J
lj(i-
(-1>*tL B
(-1)' T{.b Bb+ I) (b+ 1) Be - I) c Be + 1) J
, J. Г s (s + 1) (s — 2a — 1) (s — 2a) ТА
<~1>* 2 L B6 — 1) 6 B6 + 1) Bc — 1) с Bc + 1) J
ТАБЛИЦА 9.3
a b
(
{
3/2 е
= с + 3/2
6 + 3/2
6+1/2
6—1/2
— 3/2
«Г
(g + 2) (s + 3) (s + 4) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2) (s — 2a + 3) 7A
B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6 + 4) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) Bc + 4) J
3 (s + 2) (g + 3) (s — 2c) (g — 26 + 1) (g — 2a + 1) (s — 2a + 2) 7/,
26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) Bc + 4) J
p3 (s + 2) (s - 2c - 1) (t - 2c) (s - 26 + 1) (s - 26 + 2) (s - 2a + 1)
[ ' L B6 —1J6 B6+1) B6+ 2) Bc+ 1) Bc+ 2) Bc+3) Bc+ 4)
~ (s — 2c — 2) (s — 2c — 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 26 + 2) (s — 26 + 3)
B6 - 2) B6 — 1) 26 B6 + 1) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) Bc + 4)
:-*)• [-

264
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
ТАБЛИЦА 9.3 (продолжение)
f
= с+1/2
6+3/2
6 + 1/2
6 - 1/2
6 — 3/2
3 (S + 2) (s + 3) (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2) 7Л
B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6 + 4) 2c Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
„. , Г (» + 2)(«-2a + l) 7/.
— zoc; [_ 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) 2c Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
+ 2F+1)С}|-7;П—
. 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) 2с Bс + 1) Bс + 2) Bс + ;
(s— 2c) {s — 26+1)
7/i
Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
Г 3 (s + 1) (« - 2c - 1) (s - 2c) (s - 26 + 1) (s - 26 + 2) (, - 2a) 7/.
[_ B6 —2) B6 —1J6 B6 + 1) 2c Bc+1) Bc+ 2) Bc+ 3) J
e = с — 1/2
6 + 3/2
6+1/2
6-1/2
6—3/2
Г
( } L
3 (s + 2) (s - 2c + 1) (s ~ 2c + 2) (s - 26 - 1) (s - 26) (» - 2fl + 1) 7/.
J
B6 + 1) B6+ 2) B6 + 3) B6+ 4) Bc —1) 2c Bc+ 1) Bc+ 2) J
8+i {ЗА' + 26 (с + 1)} [ 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc — 1) 2c Bc + 1) Bc + 2) j
- 2 F+
Г 3
{2b _ 1} 2b {
B;g ^j^ 2c {2c+i) Bc+2)
-2fl-l)(«-2fl) 7/.
J
B6 — 2) Bb — 1) 2й B6 + 1) Bc — 1) 2c Bc + 1) Bc + 2) J
e = с — 3/2
6+3/2
6 + 1/2
6—1/2
6 — 3/2
e Г
(s — 2c + 1) (s — 2c + 2) (s — 2c + 3) (s — 26 — 2) \s — 26 — 1) (s — 26) 7/i
B6 + 1) B6 + 2) Bb + 3) B6 + 4) Bc — 2) Bc — 1) 2c Bc + 1) J
г з (S + l) (s — 2c + 1) (s — 2c + 2) (s — 26 — 1) (s — 26) (s — 2a)
* L 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc — 2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
3 (s + 1) s (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a — 1) (s — 2a) Ih
B^ — 1) 26 B6 + 1) B6 + 2) Bc — 2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
7/.
J
Г (»-1)«(« + 1)(«-2д-2)(«-2в-1)(«-2а) 7
l~1J [ B6 — 2) B6 — 1) 26 B6 + 1) Bc — 2) Bc — 1) 2c Bc + 1) J
ТАБЛИЦА 9.4
J. 6 c|
I 2 e / J
6 + 2
6 + 1
6
6 — 1
6-2
(-!)•[-;
5)!(S-2a+4)lB6)lBc)!
1) ! (s — 2a) ! B6 + 5) ! Bc + 5)
Г (s + 4) ! (s -2c) (s -26 + 1) E -2a + 3IB6-1)! BcJ_[7-/.
1 ' L (s + l) ! (s —2a) ! B6 + 4) ! Bc + 5) !
¦ 6 (s + 3) ! (s — 2c) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2a + 2) ! B6 — 2) ! Bc) !
! 7/
J
K
(s + 1) ! (S _ 2c — 2) ! (s — 26) ! (s - 2a) ! B6+3) ! Bc + 5) !
„Г(« + 2)(»-2еI(«-2Ь + 3I(«-2а + 1)B>-3IBеI
I (s —2c —3) ! (s —26IB6 + 2) ! Bc+5)!
Г (s-2c)!(s-26+4)!B6-4)!Bc)! 7/.
1 1J L (s — 2c — 4) ! (s — 26) ! B6 + 1) ! Bc + 5) ! J
V,

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6/-СИМВОЛОВ
265
ТАБЛИЦА
лжение)
1
6 + 2
6+1
6
6 — 1
6 — 2
4) ! (» — 2с + 1) (s — 26) (s — 2а + 3) ! B6) ! Bс — 1) I 7/
(—l)»+i 2 ^ (s + 1) ! (s — 2o) ! B6 + 5) !_Bc + 4) !
f-(s + 3) ! (s — 2a+ 2) ! B6 — 1) ! Bc — 1) !
(_l)»+i 4 {X - be) у (s + 1)!(s_2a)!B6 + 4)!Bc+4)! J
Г
(_1). 2
с}
6 (« + 2) (« - 2с) E - 26 + 1) (s - 2а + 1) B6 - 2) ! Bс - 1) ! 7/.
J
BС
— 2с) ! (s — 26 + 2) ! B6 — 3) ! Bс —
7/
J
: + 1) (s — 2c) ! (s — 26 + 3) ! (s — 2a) B6 — 4) ! Bc - 1) ! 7/.
(s — 2c — 3) ! (s — 26) ! B6 + 1) ! Bc + 4) ! J
6 + 2
6 + 1
6
6 — 1
6 — 2
t Г 6 (s + 3) 1 (s — 2c + 2) ! (s — 26) ! (s — 2a + 2) ! B6) 1 Bc — 2) 1 7/»
* ' s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! B6 + 5) ! Bc + 3) ! J
6 (S + 2) (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a + 1) B6 — 1) ! Bc — 2) !
B6 + 4) ! Bc + 3) !
/ A \g о m v i V л /. t/i. I d \ _ / _ ] л^1 -Л ' * ^
I—1) i,
,.,+1,,„ ,
-1) 2{А-6-
Г
( ' L
6(«
(X— 1)— 46 F+ 1) С (C + 1
Г6 (s + 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a) B6 — 3) ! Bc — 2) !
)|_ B6 + 2) ! Bc + 3) !
! (s — 2c) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! B6 — 4) ! Bc — 2) ! " 7/2
Т
s — 1) ! (« — 2с — 2) ! (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! B6 + 1) ! Bс + 3) !
7/
J
е = с — 1
6 + 2
6 + 1
6
6 — 1
6 — 2
(-1) ^
(s + 2) (« - 2с + 3) ! (s - 26) ! (, - 2а + 1) B6) ! Bс - 3) ! 7/.
J
(s —2с) ! (s—26 —3)! B6 + 5)! Bс + 2)!
7/
J
. „MA
(-1)« 4
6 (с + 1)}
(s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! B6 •
6 (s + 1) (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a) B6 — 2) ! Bc — 3)
B6 + 3) ! Bc + 2) !
1"
\ 4
(« + 1) ! (s - 2c) (s - 26 + 1) (, - 2a) ! B6 - 4) ! Bc - 3) !
(S_ 2) 1(, — 2a — 3)! B6+1)! Bc + 2) !
7/»
J
e = c —2
6 + 2
6 + 1
b
6 —1
6-2
Г (s-2c + 4)!(s-26)!B6)!Bc-4)! 7/,
1 x> L (s —2c) ! (s —26 —4) ! B6 + 5) ! Bc+ 1) ! J
Г (» + 1) (* - 2c + 3) ! (s - 26) 1 (, - 2a) B6 - 1) ! Bc - 4) ! 7/,
' L (« — 2c)! (s — 26 — 3) Ц26 + 4)! Bc+ 1)! J
. Г 6 (s + 1) ! (s — 2c + 2) ! (s — 26) ! (s — 2a) ! B6 — 2) ! Bc — 4) ! 7/1
(-!)«[¦
(—1)*
(s —l)!(s —2c)!(s —26 —2)! (s — 2a — 2)! B6 + 3)! Bc+l)!
(s + 1) ! (« - 2c + 1) (s - 26) (s - 2a) ! B6 - 3) ! Bc - 4) ! 1V,
(s —2)!(s —2a —3)! B6 + 2)! Bc J
!)!(»- 2а) ! B6 - 4) 1 Bc - 4) !
J"
! 1
J
Г («
1 L (s —
3) ! (s — 2a — 4) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !

266
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
К
3
¦|т см
I
1 +
_ в
см см
- I
-о см
+
+
О
- i
CO
+
+
" I
+
CM
+
+ а
+ I
+
-V см
¦л I
I
CM I
I
+ 2.
"S. 3"
О во
CM 2-
+ I
+ "
I
Й.1
+¦
CM I
I
CM I
I
CM
+
+
CM
+ :
+ ¦
+
I
со"
+
S X
CM
I
CSI
со"
CM
CM CS1
4~ CO* LO
I I I
c-q
1ГЭ
см
СО
+ + + I I I
bO
bO
hO

ТАБЛИЦА 9.5 (продолжение)
f
= с+1/2
6—1/2
6 — 3/2
6-5/2
(-1)» 2 {5Х* + 2Z B6с - 6 + Зс - 4) - 2с F + 1) B6с -,- 46 - 2с + 1)}
(s — 2г) (s — 2Ь + 1) BЬ — 3) ! Bс — 2) ! 7/i
L — J
Г
(-!)•" EДГ + 2F+1) (с - 3)} [
ш Г 10 E + 1
B6 + 3) ! (L + 4) !
2 (s + 1) (s — 2с) ! (s — 2Ь + 2) ! (s — 2а) B6 — 4) ! Bс — 2) ! 7/.
^ ;5-2с-2)!EЛб)!B6 + 2)!Bс + 4)! ~J
7/
J
10 E + 1) ! (s — 2с)! (s — 26 + 3) ! (s — 2а) ! B6 — 5) ! Bс — 2) ! 7/,
!(* —2с —3) I (s—26) ! (s— 2а— 2)! B6+1) ! Bс + 4)! J
е = с — 1/2
6 + 5/2
Ь + 3/2
6+1/2
Ь —1/2
6-3/2
6 — 5/2
Г 10 (» + 3) ! (» - 2с +3) I (s -26) ! (, -2^+2) ! B6) ! Bс -3) ! 7/,
(—!) |_ (s + l)!(s— 2с) !(s— 26 — 3) !(s— 2а) !B6-f-6) ! Bс + 3) ! J
, ..,,.у , _.. , ..,Г2A+2)(«-2с + 2I(«-26I(«-2а + 1)BЬ-1IBс
(-1)» {5Z + 26 (с + 4)} [^ (s_2c)!(s_26-2)!B6
7/,
J
(-1). 2
1). 2 EХ2 -
+ 2Х B6с + 36 - с - 4) - 26 (с + 1) B6с - 2Ь + 4с + 1)) [ <«" 2с + ^
+ Ц (^
2X B6c + 36 + Зс + 7) — 2 F + 1) (с + 1) B6c - 26 — 2c — 3)} Г
— 2c) (i — 26 + 1) (s — 2a) ! B6 — 4) !
7 f ~ ^ '
3)f
- 2 F + 1) (с + 4)}
(s_i)!(s_2a-2)!B6 + 2)
- 3)
10 (s + 1) ! (s - 2c) 1 (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! B6 - 5) I Bc — 3) ! 7/,
(~1)* I (s — 2) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
e = с — 3/2
6 + 5/2
6 + 3/2
6+1/2
6—1/2
6 — 3/2
b —5/2
<—*)
5 (s +2) (s - 2c + 4) 1 (s - 26) 1 (. - 2a + 1) B6) I Bc - 4) ! 7/.
J
7/
J
(-i)'»{5X+2(b-3)(c+
(s —2c) ! (s —26 —4) ! B6 + 6) ! Bc + 2) !
г (S _ 2c + 3) 1 (s — 2b) I Bb — 1).! Bc — 4) ! 7/>
{5Z + 66 (c + 1)} [ }. _ 2c)T(;_ 26 - 3) 1 B6 + 5) 1 Bc + 2) rj
2 Is + 1) (s — 2c + 2) ! (s — 26) ! (s — 2a) B6 — 2) ! BC
^ (s,2c)V-26-2) I B6 + 4) .1(^+2I
Г
— 4) ! 7/
(s __ i) ! (s _ 2a - 2) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
(s + 1) 1 (s — 2a) I B6 — 4) ! Bc — 4)
!7/2
J
Г (s + 1) 1 (s — 2a) I B6 — 4) ! Bc — 4) | 7/,
(-1)'^ {5X - 6 F + 1) (c + 1)} [ (, L 2) /(. L 2a - 3) 1 B6 + 2) I Bc + 2) ! J
(s + l)!(s— 2c) (s-26+ !)($-2a) ! B6 — 5) ! Bc— 4I7/,
J
(s - 3) ! (s — 2a - 4) ! B6 + 1) ! Bc + 2)
17/
J

268
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
I
I
+
-о
CM
CM I
I
cn|
I
.|CM
I
p +
со
+
I I
со" —
+ *
? I
5 -
I +
ъ CM-
I I
1Л
+
CM_ CM^ CM^
S" CO" LO~
I I I
s
к
i— 2L
l>- —
'CM
+
^ CM
I I
ОЭ
ОЭ
1+
+ Г
о .
CM vf
~ I
5
+ ¦
" to
c^T —
I I
I I
d- +
I I
V I
CO CM ^H
CN CO
I I

ТАБЛИЦА 9.6 (продолжение)
1
= с+2
6 + 2
6+1
Ь
6 — 1
6-2
6 — 3
(-1)»" 2
(_!)• {ЗХ - 2с F - 2
(-1) г{Л + 1
30
Г (s + 5) 1 (s - 2a + 4) 1 B6 - 1) I Bc - 1) 1 TV,
~46e'|_ (s+1) !(s —2a) ! B6+6) ! Bc + 6) ! J
(в+ 1I (в-2а) ! B6 + 5) ! Bс + 6) !
- 2с) ' (* - 2*> + 2) ! (s - 2а + 2) ! B6 - 3) ! Bс -
- 1) ! 7/.
(S + 1) ! (S _ 2с - 2) !(s-26) ! (s-2а) ! B6+4) ! Bс+ ())! J
,, гт-l-^T 10(s + 2)(s-2c)!(s-26 + 3)!(s-2a + l)B6-4)!Bc-l)!7/
+ 2с F + 3)} |_ («_2е-3I(*-2*) 1B6+3)! Bс + 6) ! J
Г (s — 2с) ! (s — 26 + 4) ! B6 — 5) ! Bс — 1) ! Т7>
(-l)W 2 {ЗХ + 4с (Ь + 1)} [;>_2eL!1)I(«-2b)M26+2)li2C + 6)lJ
в Г 6 (s + 1) (s — 2с) ! (s — 26 + 5) I (s — 2а) B6 — 6) ! Bс — 1) 1 ТУ»
"^'L (s —2с —5) ! (s—26)! B6 + 1) ! Bс-| 6) ! J
6 + 3
6 + 2
6 + 1
6
6 — 1
Ъ-2
6-3
15 (s + 5) ! (s - 2c + 2) I E *- 26) .' (s - 2a + 4) ! B6) I Bc - 2) ! TV,
(s + 1) ! (S — 2c) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! B6 + 7) ! Bc + 5) ! J
10 (s + 4) ! (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a + 3) ! B6 — 1) 1 Bc — 2) ! 7/,
(s + 1) ! (S - 2a) ! B6 + 6) ! Bc + 5) !
T
Г (s + 3) ! is — 2а + 2) ! B6 — 2) ! Bс — 2) I Иг
(-1)» A5Х* _ 1QX B6с _ 6 - с + 2) - 46с Fс + 76 + 7с + 4)} [( (Г+\) 1 (, - 2Т) ! B6 + 5) ! Bс + 5) J
(_l)«+i 2 {5 (X + с - 2) (X + с) — B6 — 1) B6 + 3) с (с
— 2с)
1)B6 —3)! Bc —2)
B6 + 4) ! Bc + 5) I
(—1)* {15X* + 10X B6c - 6 + 3c — 3) — 4 F + 1) с Fc + 76 — 6c + 3)} Г |* ~ 2^—^Т^-^
Г 10 is -i- 1 W.9 — 2e^ I (s — 2,
^ \ f
f
Ю С + 1) С - 2с) I (* - 2й + 3) I (« - 2д) B6 - 5) I Bс - 2) I ТУ,
(s_2c-3)!(S-26)!B6 + 2)!Bc + 5)! J
15 (g + 1) 1 (s — 2c) I (s — 26 + 4) I (s — 2a) ! B6 — 6) ! Bc — 2) 1
(—1)" I (s — 1) ! (S — 2c — 4) ! (s — 26) 1 (s — 2a — 2) ! B6 + 1) ! Bc + 5)
¦]"
6 + 3
6 + 2
6 + 1
( l>
B6) ! Bc - 3) ! TV,
J
(S + 1) | (s — 2c) ! (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! B6 + 7) ! Bc + 4)
TV
J
(-1)
!Т/2
J
—2c).!(s-26 —2) ! (s —2a)!B6+6) !Bc

ТАБЛИЦА 9.6 (продолжение)
f
Ь
6—1
Ь-2
6 — 3
- 20X2 - 4Z [36 F + 1) с (с + 1) — 6 F + 1) — с (с + 1) - 3] + 206 F + 1) с (с -f I)} [~
(_l)«+i4{5X
(-1)" 2 {5 (X - 6 - 1) (X - 6 - 3) - (б2 — 1) Bс - 1) Bс +
3)}[
3(s
B6 — 3) ! Bс—3) ПА
B6+4I Bс+ 4) IJ
8 — 2с) (8 — 26 + 1) (s — 2а) B6 — 4) ! Bс -^ 3) ! 7А
3) ! Bс + 4) ! j
(s + 1) ! (s - 2с) I (s - 26_+2) ! (s —2а) ! B6 - 5) ! Bс — 3) ! 7/.
4)!J
Г 5 (s + 1) I (8 - 2с) ! (8 — 26 + 3) 1 (s — 2а) ! B6 — 6) ! Bс - 3) ! 7А
( '8 L (s - 2) ! (s - 2с - 3) I (s — 26) ! (s — 2а — 3) ! B6 + 1) ! Bс + 4) ! J
— 1) ! (s — 2с — 2) ! (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! B6 + 2) ! Bс + 4)
5 (s + 1) ! (s —2с) 1(8 — 26 + 3) !(s — 2а) ! B6 — 6) ! Bс — 3)
е = с — 1
6 + 3
6 + 2
Ь+1
6
6 — 1
6 — 2
6-3
(~ '
8 Г 15 (s + 3) ! (s - 2с + 4) ! (8 — 26) ! (s — 2а + 2) ! B6) I Bс - 4) ! 7/.
L !! ! !2 3) ! J
L
!(s—2с) !(s-26 — 4) ! (s - 2а) ! B6 + 7) !Bс
4) ! 7/
3) ! J
(с + 3)}
?A
J
(—1)" 2 {5 (X — с — 3) (X — с — 1) — B6 —
(-1)» {15X2 - 10X- B6c + 36 +
(.-2с) I (.-26-3I B6 + 6) !Bс + 3I
(* — 26) 1 B6 — 2) ! Bс — 4) ! 7/,
— 1)}
3 (s + 1) (s — 2с + 1) (s — 26) (s — 2а) B6 — 3) ! Bс — 4) ! 7А
B6 + 4) ! Bc + 3)
3c + 6) - 4 F + 1) (c +1) Fc - 66 - 6c - 9)} [ (> ^ + \^ _j^ 2~ ^^
"^^ Г
1
(-1
(c + 3))
(s —
- 26
(« - 2a) ! B6 - 5) ! Bc - 4)
(s — 2) ! (s — 2а — 3) ! B6 + 2) ! Bс + 3) !
15 (s + 1) ! (8 - 2с) ! (s — 26 + 2) I (s - 2а) ! B6 - 6) ! Bс - 4) !
(s — 3) ! (s — 2с — 2) ! (s — 26) ! (. — 2а — 4) ! B6 + 1) ! Bс + 3)
-т
Ц2Г+3) !
e = c— 2
6 + 3
6 + 2
6 + 1
6
6—1
( 1J
-2д + 1)BЬIBр-5I 7А
J
— 2c) ! (s — 26 — 5) ! B6 + 7) 1 Bc + 2) !
7А
J
, u+19/4v , ,hl , .„ Г (* ~ 2c + 4) ! (s - 26) ! B6 - 1) ! Bc - 5) ! 7A
(-)•« 2 {3X + 46 (c + 1)} |(s_2eI(s_2b_4) j
{ЗХ + 2 F - 2) (c + 1)}
10 (' + 1) (* -- 2c + 3) I (s - 26) ! (s-2a) B6-2) ! Bc - 5) ! 7A
J
7A
J
(s — 2е) ! (s — 26 — 3) ! B6 + 5) ! Bс + 2) !
3 (s + 1) ! (s — 2с + 2) ! (s - 26) ! (g — 2а) ! B6 — 3) ! Bс - 5)! 7/.
— 1) ! (s — 2с) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2а — 2) ! B6 + 4) ! Bс + 2)
г 10 (s + 1) ! (s — 2с + 1) (8 - 26) (8 - 2а) ! B6 — 4) ! Bс - 5) ! 7^
'(. (8 — 2) ! (8 — 2а — 3) ! B6 + 3) ! Bс + 2) !
-т

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6 /-СИМВОЛОВ
271
см
I
I
г 7
сЗ
ем
+
+
-О
см
+ '
-а
CN|
I
+ ~
^ +
со
^^
ем
с<| со
I I
А -О
1+т
со
+ ¦
- +
сг +
ё
I ^Г
л +
ем
5" I
I -
ZL +
¦1ю
I
1 I Т I
CO СЧ1 -rt
^н СМ СО
I I I
¦о -о -о
00 л
ъ +
-о
. С<|
+
I +
1+ ZL
л
+ I
+
+
|+ §|«
in"
I
SI
+
И
¦ем
|см
1
•о
С<|
I +
|см
I
+
1П
со
+
со
+;
I 1 I
С<|
in"
СО -rt -гЧ
со"

ТАБЛИЦА 9.7 (продолжение)
1
е = с + 7/2
6-5/2
6 — 7/2
(-!)•+'[¦
7 (s + 2) (s — 2с) ! (s — 26 + 6) I (s - 2а + 1) B6 - 6) ! Bс) !
s _ 2с — 6) ! (s — 26) ! B6 + 2) ! Bс + 8) !
(s-2с) !(s-26 +7) 1B6-7I Bс)!
(S _ 2с - 7) 1 (s - 26) ! B6 + 1) ! Bс + 8) !
J
е = с + 5/2
6 + 7/2
6 + 5/2
6 + 3/2
6+ 1/2
6 — 1/2
6 — 3/2
6 — 5/2
6 — 7/2
( *) L
7 (s + 7) ! (s — 2с + 1) (s — 26) (s — 2а + 6) 1 B6) I Bс — 1) ! ~\Ч,
(s + 1) I (s — 2a) ! B6 + 8) 1 Bc + 7) 1
/ 4w/,v ,n -л Г (* + 6) ! (s ~ 2a + 5) 1 B6 - 1) 1 Bc - 1) 1 J.
(-1) (/л-ivcbj^ (s + i) I. (s —2a) 1B6 + 7) 1 Bc + 7) 1 J
ГЗ(« + 5) ! (s —2c) (s —26
— 2c C6 - 5)} ' - V ' K — —
т
(s+l)!(S-2a)lB6+6)!Bc +
(-i:
/ l\»+i
(s + 1) 1 (s — 2c — 2) 1 (s — 26) ! (s — 2a) 1 B6 + 5) ! Bc + 7) !
(s -|- 3) 1 (s - 2c) 1 (s - 26 + 3) 1 (s - 2a + 2) 1 B6 - 4) ! Bc -
(, _|_ 1) [ (s _ 2c — 3) ! (* — 26) 1 (s — 2a) \ B6 + 4) ! Bc + 7) 1
1 7/.
J
J
1I7/,
_ 2c — 4) I (s - 26) ! B6 + 3) ! Bc + 7) !
- 2c) I (^ - 26 + 5) ! B6 - 6) 1 Bc - 1) 1 7/.
10c F + 1)} [ |; _ 2eL 5) 1 (Г- 26) 1 B6 + 2) I Bc + 7) 1 ]
+ 1) (s — 2c) 1 (s — 26 + 6) 1 (s — 2a) B6 — 7) 1 Bc — 1) I 7/.
(s _ 2c — 6) ! (s — 26) ! B6 + 1) 1 Bc + 7) 1
*-]"
f
e = с + 3/2
6 + 7/2
6+5/2
6 + 3/2
6+1/2
6 — 1/2
6-3/2
Г 21 (» + 6) ! (» - 2c + 2) I (t - 26) 1 (» - 2a + 5) 1 B6) ! Bc - 2) 1 ]'/,
( ' L (s+1) l(s —2c) 1 (s-26-2) !(s-2a) ! B6 + 8) ! Bc + 6) ! J
15 (s + 3)! (s — 2c) (s — 26+1) (s —2a + 2) ! B6—3) 1 Bc—2)! 7Л
(s + 1) ! (s — 2a) 1 B6+5) 1 Bc-
7Л
¦(Tg4a^->+.u-^-«.,.,>-.-q+W + u + ^[»^^}:it%^?^^,'ir+V?''b"<T
(-1У {21X* + 6X F6c - 36 + 9c - 8) + 4c (b + 1) Fc - 116 + 12c - 6)} [ g _ ^ ,
g j J'
J

ТАБЛИЦА 9.7 (продолжение)
е = С + 3/2
oo ——————
И 6 — 5/2
и Ь-7/2
¦а
В
(Зс - 5)}
-2)
(s_2c_4)!(S-26)lB6 + 2)!Bc + 6)!
f Г 21 (s + 1) ! (s - 2с) 1 (s - 26 + 5) 1 (s — 2a) i B6 - 7) ! Bc - 2) I 7/,
' L (s - !) '¦ (* — 2c - 5) ! (* — 26) ! (s - 2a - 2) ! B6 + 1) [ Bc + 6) I J
]'¦
6 + 7/2
6 + 5/2
b + 3/2
6+1/2
6-1/2
6-3/2
6 — 5/2
6 - 7/2
s Г 35 (s + 5) ! (s - 2c + 3) 1 (s — 2b) 1 (s - 2a + 4) ! Bb) 1 Bc - 3) 17/,
(~1)8 L (s + 1) ' (s — 2c) I (s — 2b — 3) I (s ~ 2a) 1 Bb + 8) ! Bc + 5) 1 J
Г 5 (s + 4) ! (s — 2с + 2) 1 (s — 26) 1 (s — 2a + 3) 1 B6 — 1) 1 Bc — 3) ! 7/,
(—1)«{7X—26(c-8)}|^ (s + i)!(s_2c)[(s-26 — 2) 1 (s — 2a) ! B6 + 7) ! Bc+5) ! J
(_1)« GX2 — 2X B6c - 96 - с + 8) — 46 [6 (с2 + Зс — 4) + Зс2 + 2с + 2]} X
Г 15 (s + 3) ! (s — 2с + 1) (s — 26) (s ~ 2а + 2) ! B6 - 2) ! Bс - 3) 1 "к
Х L (s + 1) I (s — 2а) I B6 + 6) ! Bс + 5) ! J
(—1)» C5Х3 — 10Ха C6с — 36 — Зс + 17) — 20Х C62с2 + 662с + 66с2 — 262 — 2с2 + 6 + с — 6) + 86с C62с2 + 362с + 36с2 — 662 — 6с2 +
,„, ,,„. , ,Q , _Г(* + 2)(8-2а+1)B6-3)!Bс-3)
136с + 196 + 19с + 22} |_ B6 + 5)!Bс + 5)!
¦ 10Х2 C6с - 36 + 6с - 20) — 20Х C62с2 + 662с - 26й - 5с2 + 126с - 56 + 7с - 9) - 8 F + 1) с C62с2 + 362с + 36с2 —
1 (s — 2с) (s - 26 + 1) B6 - 4) 1 Bс - 3) 1 7/,
LJ.
- 662 - 6с2 - 76с — 316 + 9с - 3)} Г-
B6 + 4) ! Bс + 5) 1
(-1)» {7Х2 + 2Х B6с - 96 + Зс - 17) - 4 F + 1) [6 (с2 + Зс - 4) - 2с2 + с — 6]} X
Г 15 (s + 1) (s — 2с) 1 (s — 26 + 2) ! (s — 2а) B6 — 5) ! Bс — 3)
Х L (s — 2с — 2) 1 (s — 26) ! B6 + 3) ! Bс + 5) !
5 (s + 1) ! (s — 2с) ! (s — 26 + 3) ! (s — 2а) 1 B6 — 6) ! Bс — 3) ! ~]1г
i — 1) 1 (s — 2с — 3) 1 (s — 26) 1 (s — 2а — 2) I B6 + 2) ! Bс + 5) 1,
- 2с) ! (s — 26 + 4) ! (s — 2а) 1 B6 — 7) ! Bс — 3)
(_!).+! {1Х + 2 F+1) (с-
г?
(« — 2) 1 (s — 2c - 4) 1 (s - 26) I (s - 2a - 3) ! Bb + 1) 1 Bc + 5) !
]'¦
= c — 1/2
6 + 7/2
6 + 5/2
6 + 3/2
(-l)«+i {7X + 26 (с
35 (s + 4) 1 (s - 2с + 4) ! (s — 26) ! (s - 2а + 3) 1 B6) 1 Bс - 4) ! 7/,
5 (s + 3) ! (s - 2с + 3) I (s — 26) 1 (s - 2а + 2) 1 B6 - 1) 1 Bс - 4) ! ТА
[s — 2с) ! (s — 26 — 4) 1 (s — 2а) ! B6 + 8) ! Bс + 4)
Г!
+ 9)} [" (s _|_ t) I (s _ 2с) 1 (s"^26 — 3) I (s - 2a) 1 B6 + 7) I Bc + 4) !
(_l)«+i {7x2 + 2X B6c + 116 — с - 9) - 46 [6 (с2 — с — 6) + Зс2 + 4с + 3]} X
Г 15 (s + 2) (s — 2с + 2) ! (s — 26) ! (s — 2а + 1) B6 — 2)! Bс — 4) 1 Т/,
Х L (s — 2с) 1 (s - 26 - 2) I B6 + 6) 1 Bс + 4) ! J

ТАБЛИЦА 9.7 (продолжение)
е = с — 1/2
6 — 1/2
6-3/2
6 — 5/2
6-7/2
(_l)«+i C5X3 + 10Х2 C6с + 66 — Зс — 20) — 20Х C62с2 + 66с2 - 562 — 2с2 4- 126с + 76 — 5с - 9) - 86 (с + 1) C62с2 + 362с + 36с2 —
Г (s — 2с + 1) (s — 26) B6 — 3) ! Bс — 4) I 7/,
- 66* - 6с* - 76с + 96 - 31с - 3)} |_i B6+ 5I Bс+ 4)» LJ
(_l)«+i C5X3 _ ЮЛ'2 C6с + 66 + 6с + 26) — 20X C62с2 — 562 — 5с2 — 126с — 176 — 17с — 21) + 8 F + 1) (с + 1) C62с2 + 362с + 36са -
(s + 1) (s — 2а) B6 — 4 ! Bс — 4)
+
- 662 - 6с2 + 136с - 216 - 21с - 18)}
! 7/»
B6 + 4) 1 Bc + 4) !
(-1)» {7X2 _ 2X B6c + 116 + 3c + 20) - 4 F + 1) [6 (c2 - с - 6) - 2c2 - 5c - 9]} X
15 (s + 1) ! (s — 2c) (s — 26 + 1) (g — 2a) J B6 — 5) ! Bc — 4) 1 7/1
(s —1I (s—2a —2) 1B6 + 3) I Bc+4)
: + 9
X
'-]'¦
: — 2) ! (g — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! B6 + 2) ! Bc + 4)!
f Г 35 (s + 1) 1 (s — 2c) ! (g — 26 + 3) ! (g — 2a) ! B6 — 7) ! Bc — 4) 1 7/,
(~1)" L (s — 3) ! (g — 2c — 3) I (s — 26) 1 (g — 2a — 4) ! B6 + 1) 1 Bc + 4) 1 J
I'"
е = с - 3/2
6 + 7/2
6 + 5/2
Ь + 3/2
6 + 1/2
6 — 1/2
6 — 3/2
6-5/2
6 — 7/2
f Г 21 (* + 3) 1 (s - 2с + 5) 1 (s — 26) 1 (s - 2а + 2) 1 B6) 1 Bс - 5) 1 7/,
(—1)fL (s + l) !(g — 2с) |(s_26 — 5) 1 (s— 2а) ! B6 + 8) ! Bc + 3) ! J
(-1)' {7X + 26 Cc + 8)}
3 (» + 2) (s - 2c + 4) 1 (s - 26) ! (s - 2я + 1) B6 - 1) 1 Bc - 5) I 7/.
(s_2c)!(g-26-4)!B6 + 7)!Bc + 3)! 7J
6XF6c + 96-3c-8) + 46(c + l)Fc + 126 — llc-6)} ~r o , .', ' \, ~ , ,9fc
|_ \S — ZiC\ \ iS ~~" ?0 —~ Oj 1 IZO
(-1)" {7X2 + 2X B6c + 36 - 9c - 17) - 4 (c + 1) [c F2 + 36 - 4) - 262 + 6 — 6]} X
15 (g + 1) (g — 2c + 2) 1 (g - 26) 1 (g — 2a) B6 — 3) ! Bc — 5) 1 7/,
(g—2c)!(s —26-2)lB6 + 5)!Bc+3)! J
(—1)» GX2 — 2X B6c + 36 + tic + 20) — 4 (c + 1) [c F2 — 6 — 6) — 262 — 56 — 9j} X
15 (g + 1) ! (s — 2c + 1) (g - 26) (g - 2a) 1 B6 - 4) 1 Bc - 5) 1 7/,
(s — 1)! (s-2a — 2) ! B6 + 4) lBc + 3) 1 J
1 (s - 2a) 1 B6 - 5) 1 Bc -
X
(—I)8 {21X2 — 6X F6c + 96 + 9c + 17) + 4 F + 1) (c + 1) Fc + 126 + 12c + 18)} \T^ZI
(-l)s+1{7X-2F+l)Cc + i
Г 21 (s + 1) ! (s - 2c) 1 (s - 26 + 2) ! (g — 2a) 1 B6
^ ' L(s — 4) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) 1 (s — 2a — 5) ! B6 + 1) I Bc+~3)
(g — 2a — 3) !
3 (s + 1) 1 (g - 2c) (s — 26 + 1) (s - 2a) 1 B6 - 6) 1 Bc ¦
(s — 3) 1 (s — 2a — 4) ! B6 + 2) 1 Bc + 3) 1
7) ! Bc — 5) 1 7/,
3)U
3L^ + 3) 1
]"
5)
1 7/,
J
e=c — 5/2
6 + 7/2
(~1}
2)(»-2е+6I(»-26I(«-2а
(s-2c)!(s-26-6) !B6 + 8) !Bc + 2)
'.Т'/
J

ТАБЛИЦА 9.7 (продолжение)
1
е = с — 5/2
6 + 5/2
6 + 3/2
6+1/2
6 — 1/2
6-3/2
Ь —5/2
6-7/2
г (s-2c + 5)l(s—26IB6 —1) ! Bс - 6) ! I/,
{7Х + 106(с + 1)} [A_2сOE-26-5)!B6+7)!Bс + 2I J
C6 - 5) (с +
¦ 2c) ! (s - 26 - 5) ! B6+ 7) ! Bc +
¦ 1) (s - 2c + 4) 1 (s — 26) 1 (s — 2a) B6 - 2) 1 Bc - 6) ! 7/,
(s — 2c) I (s — 26 — 4) ! B6 + 6) ! Bc + 2) i
¦J
1Ъ ЯМ 4-тГ 5(» + 1I(«-2е + 3I(»-2ЬI(«-2а)!BЬ-3IBС-6I Т
F - 8) (с + 1)} [(»_!) I (, _2с) ! (* - 26 - 3) 1 (« - 2а - 2) I B6+5) ! Bс + 2) ! J
(-1)
(s + 1) 1 (s - 2c + 2)! (s - 2b) I (s — 2a) ! B6 - 4) 1 Bc - 6) 1 7/,
— 2) ! (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a — 3) ! B6+4) ! Bc+2) 1J
i (s + 1) ! (s _ 2c + 1) (s - 26) Is - 2a) 1 B6 — 5) ! Bc — 61
(-l)»+i GX - 10 F
(c
(s _ 3) ! {s _ 2a - 4) ! B6 + 3) I Bc + 2) !
(s +!)!(»-2a) 1B6-6) I Bc-6)! 7/,
7/
Г 7 (s + 1) I (s - 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a) 1 B6 - 7) 1 Bc - 6) 1 f/.
~1> L (s—5) !(e —2o —6)!B6 + l)lBc + 2)l J
e = с — 7/2
6+7/2
6 + 5/2
6 + 3/2
6 + 1/2
6-1/2
6-3/2
6-5/2
6-7/2
(» -2c+ 7) 1(» -26) I B6)! Bc -7)!
Г
Г (»
(—1) L(s— 2c) !(s-26 — 7) ! B6+8)! Bc+ 1) !
(s + 1) (s — 2c + 6) I (s - 26) ! (s - 2a) B6 - 1) ! Bc
I"
7I
(-1)» [
(-1)» [-
(-II ["
(-1)»
(s — 2c) ! (s — 26 — 6) ! B6 + 7) ! Bc + 1) !
21 (s + 1) ! (s — 2c + 5) ! (s — 2b) I (s — 2a) 1 B6 — 2) ! Bc — 7) !
(s _ i) ! (S _ 2c) ! (s - 26 - 5) ! (s - 2a - 2) ! B6 + 6) ! Be + 1)
35 (s + 1) 1 (s - 2c + 4) 1 (s — 26) ! (s - 2a) 1 B6 - 3) ! Bc - 7) I
(s — 2) ! (s — 2c) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2a — 3) ! B6 + 5) ! Bc + 1)
35 (s + 1) ! (s — 2c + 3) ! (s — 2b) ! (s — 2a) ! B6 - 4) ! Bc — 7) !
(s — 3) ! (s — 2c) I (s — 26 — 3) ! (s — 2a — 4) I B6 +_4) [ Bc + 1)
21 (s + 1) ! (s — 2c + 2) 1 (s — 2b) ! (s - 2a) 1 B6 - 5) 1 Bc - 7)
(s _ 4) ! (s — 2c) I (s — 26 — 2) ! (s — 2a — 5) 1 B6 + 3) ! Bc + 1)
s + 1) ! (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a) ! B6 — 6) ! Bc — 7) !
(s — 5) ! (s — 2a — 6) ! B6 + 2) ! Bc + 1) !
1) 1 (s — 2a) 1 B6 — 7) ! Bc — 7) I
-I"
-Г
(-i)'[-(Fz:
6) ! (s - 2a - 7) ! B6 + 1)! Bc+ 1) I
]'"

ТАБЛИЦА 9.8
I a b с Л
И е / j
6 + 4
6 + 3
6 + 2
6 + 1
6
6—1
6 — 2
6-3
6-4
-J
!)•« 2
(-1)*
_1)«+1
(_l)«+i 2
„Г (s + 9) 1 (s — 2a + 8) ! B6) 1 Bc) !
(-1) [ (» + 1) ! (s - 2a) ! B6 + 9) I Bc + 9)
' 2 (s + 8) ! (s - 2c) (s - 26 + 1) (s - 2a + 7) i B6 - 1) ! Bc)
(s + 1) ! (s - 2a) ! B6 + 8) ! Bc + 9) !
7 (s + 7) ! (s — 2c) 1 (s — 26 + 2) ! (s — 2a + 6) ! B6 — 2) ! Bc) 1
(s + 1) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a) ! B6 + 7) ! Bc + 9) !
14 (s + 6) ! (s - 2c) ! (s - 26 + 3) 1 (s - 2a + 5) ! B6 - 3) ! Bc)
(s + 1) ! (s — 2c — 3) ! (s — 26) ! (s - 2a) ! B6 + 6) ! Bc + 9) !
70 (s + 5) ! (s — 2c) 1 (s — 26 + 4) ! (s — 2a + 4) ! B6 — 4) ! Bc) !
(s + l)!(s — 2c — 4)l(s— 26) ! (s — 2a) !B6+5) ! Bc + 9) !
Г 14 (s + 4) ! (s — 2c) ! (s — 26 + 5) 1 (s — 2a + 3) ! B6 — 5) ! Bc
Г
]¦'•
! Bс) ! "Г/,
(g + 1) ! (g — 2с — 5) ! (g — 26) ! (s — 2а) ! B6 + 4) ! Bс + 9) I
7 (g + 3) ! (s — 2с) 1 (s — 26 + 6) 1 (s — 2а + 2) ! B6 — 6) ! Bc) ! 7/,
(s + 1) ! (s — 2c — 6) ! (s — 26) ! (s — 2a) ! B6 + 3) ! Bc + 9) !
2 (s + 2) (s — 2c) 1 (s — 26 + 7) I (s — 2a + 1) B6 — 7) ! Bc) !
¦Г
(g _ 2c — 7) ! (s — 26) ! B6 + 2) ! Bc + 9) !
! (s - 26 + 8) 1 B6 - 8) ! Bc
Г (s-2c)
(~~1} I (s — 2c —
8) ! (s — 2b) I B6 + 1) ! Bc + 9) I
f
f
6+4
6+3
6 + 2
6 + 1
6
6 — 1
6-2
г 2 (s + 8) I (s - 2c + 1) (s - 26) (s - 2a + 7) ! B6) ! Bc - 1) ! 7/,
' JL (g+ !)!(«—2a) I B6+ 9) I Bc+8) I J
(_ 1)«+14{2X —
LJ.
(s + 1) ! (s — 2a) ! B6 + 8) ! Bc + 8)
14 (S _[_ 6) ! (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a + 5) 1 B6 — 2) ! Bc — 1) !
(s + 1) ! (s - 2a) ! B6 + 7) I Bc + 8) !
(
(-1
l)!(s-2c-2) l(s-26)!(s-2a) ! B6 + 6) !Bc + 8)
J
17A
J
(s + i) ! (S __ 2c — 3) I (s — 26) ! (s — 2a) ! B6 + 5) ! Bc + 8)
7 (s + 3) 1 (s — 2c) 1 (s - 26 + 4) 1 (s - 2a + 2) ' B6 — 5) ! Bc — 1) 1 7/,
(s _|_ 1) ! (S _ 2c — 4) ! (s - 26) ! (s — 2a) ! B6 + 4) ! Bc + 8) ! J
14 (S + 2) (s — 2c) ! (s - 26 + 5) ! (s — 2a + 1) B6 - 6) ! Bc - 1) ! T/,
(s — 2c — 5) 1 (s — 26) ! B6 + 3) ! Bc + 8) !

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6 /-СИМВОЛОВ
277
00
4-
ем оо
+
-о
• см
I «
CS1
I
X
ем
+ I
ем см
ем
см~
+
о
ем
1
1
ел
СМ
|
|
со
""—'"
>¦—«ч
о
CS]
1
см
1
со
—.
со*
+
- х
- х
00
I
со
+
1 I
+
ОО
~ ++
+
X
X
-9 ем
Ci
см X
см см
СМ 00
+ I
-О „о
«Ч, СМ
см см
LO СО
I +!
м ем
ч-
ем
ем
X
ем
I
X
X
ем
X
~ X
+
со
+
+
i СМ
i
ем ем
+
1 ем
X —
I •*
X
СГ I
X
ем
X
А ^ь
см со
I I

ТАБЛИЦА 9.8 (продолжение)
6 + 1
6-1
6 — 2
6-3
6 — 4
(_l)«+i 4 {14X» — 7X2 C6c — 36 — Зс + И) — 2Х F62с2 + 3362с + 336с2 — 186с — 1162 — 11с2 + 136 + 13с — 30) + 46с C62с2 + 662с +
Г (s + 3) ! (s — 2а + 2) ! B6 — 3) ! Bс — 3) ! 7Л
+ 66с2 + 56с - 962 _ 9с2 + 176 + 17с + 20)} [К (Т+1) \ (,-2Т) 1B6 + 6) 1 Bс + 6) 1 J
(—1)«4 {7Х3 + 7Х2 (Зс — 7) — 2Х F6ас2 + 1262с + 66с2 + 126с — 462 — 19с2 — 46 + 32с — 27) — 4с C62с2 — 62с + 36с2 — 6с - 1662 —
«2 *ы . о -т Г 5 (s + 2) (s ~ 2с> (« - 26 + 1) (» - 2а + 1) B6 - 4) 1 Bс - 3) 1 7/»
- 6с2 - 166 + 9с - 3)} [ B6 + 5)!Bс + 6)! J
(_l)«+i 4 A4Х? _j_ 1Х» C6с — 36 + 6с — 14) — 2Х F6V + 3362с — 216с2 + 846с — 1162 — 38с2 — 356 +-64с — 54) — 4с F + 1) C62с2 +
j. «.._!_ 71. аи .0 2 «,.,4» -» Г (s ~ 2с) ! (» - 26 + 2) 1 B6 - 5) ! Bс - 3)
+ We + 76с - 962 - 12с2 - 356 + 18с - 6)} [ (s _ 2с - 2) ! (s - 26) ! B6 + 4) ! Bс + Ь)
(_1)« 2 {14Х2 + IX B6с — 66 + Зс — 11) - 2 F + 1) [26 (с — 1) (с + 10) — 11с2 + 13с — 30]} X
Г 2 (s + 1) (s — 2с) 1 (s - 26 + 3) ! (s - 2а) B6 — 6) ! Bс — 3)
Х|_ (s—2с-3) ! (s—26) ! B6+3) ! Bс + 6) I
7 (g + 1) ! (s - 2с) ! (s - 26 + 4) ! (s — 2а) 1 B6 - 7) ! Bс — 3)
(_1).+1 4 {2Х+ F + 1) (с-!
f — 1) ! (* — 2с — 4) I (« — 26) ! (s - 2а - 2) ! B6 + 2) ! Bс + 6) !
(-1) 2
14 (» + 1) I (s — 2с) i (s — 26 + 5) 1 (s — 2а) ! B6 - 8) ! Bс - 3) 1 7/,
(S _ 2) ! (s - 2с — 5) ! (s - 26) ! (s - 2а - 3) ! B6 + 1) ! Bс + 6) J
1 7/
) I J
6+4
6 + 3
6+2
6+1
6 — 1
6-2
Г 70 (s + 5) ! (s — 2с + 4) ! (s - 26) 1 (s - 2а + 4) 1 B6) 1 Bс - 4) ! 7/,
(~ ^ L (« + 1) I (s - 2с) ! (s - 26 — 4) ! (s - 2а) ! B6 + 9) ! Bс + 5) ! J
(S + !) ! (S _ 2c) ! (S — 26 - 3) ! (s - 2a) ! B6 + 8) ! Bc + 5) I
П7,
J
-1)' 4 {7XS + 7Х2 C6 — 7) — 2Х F62с2 + 662с + 126с2 + 126с — 1962 — 4с2 + 326 — 4с — 27) — 46 C62с2 + 362с — 6с2 — be— 662 — 16с2 +
.96__16с-3)}|— ,'7h j_ m SU2r X s\ I '~~^ J2
B6 + 6)!Bc
(—1)" 2 {35X* — 350X» — 20X2 [66 F + 1) с (с + 1) — 56 F + 1) — 5c (с +1) — 39] + 40* [176 F + 1) с (с + 1) — 66 F + 1) —
fj 4) ! Bс 4) ! 7/«
(_l)«+i 4 {7X3 _ 7X2 C6 + 10) — 2X F62c2 + 662c — 1962 — 10c2 — 706 — 10c — 78) + 4 F + 1) C62c2 + 362c + 76ca + 76c - 66a — 12c2 —
лп„ Г5 (« + 1) (s - 2c) (« -26+ 1) (s-2a) B6-5) ! Bc-4) 1 7/.
- 216 - 12c - 18)} {_ ¦ {26+4)!Bc+5)!
Г 10 (s + 1) I (s — 2c) I (s — 26 + 2) 1 (s - 2a) ! B6 — 6) ! Bc —4) ! 7/,
X I (s — 1) ! (s - 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a - 2) 1 B6 + 3) ! Bc + 5) ! J

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6 /-СИМВОЛОВ
279
со
4-
4-
-Ч1
4-
+
4-
4-
4-
4-
-о
см
4-
-Ч1
+
СМ
f
в
ем
I
i I
X
-3
см
I I
CM
СМ и
Si
+
¦* ^—
I -
-о со
со |
4- -°
* см
* +
4- I
4- ?2-
cq "H
Г 4-
— о ем
I д
I ~ ?
X
cq
4-
u
Ob
I
in
о ю
1 cq
-o —-
о —
¦о1 .—,
I I
il
oo
со
2 +
r x
I
4-
4-
X
см
X
CD
+
•о
о
1Я CM
i I
if
I ^
% z.
CD '
X I
I 2
2 I
+ eg
« I
X
c
И
о
см
8
X
4-
2 4"
ч -Ч1
i. 4-
I ___<
О 1Л
42, CM CM
+
+ S"
см 4. -^T
¦rt ' CM
4-
X
X
см
4-
4-
4-
4- л
CM *"
CM
со" I
I I
со
4-
.4-;
X
CD
+
4-
4-:
I !
4-
4-
I
¦o
CM
I

ТАБЛИЦА 9.8 (продолжение)
= с —2
6 + 3
6 + 2
6 + 1
6-1
6 — 2
6-3
6 — 4
(-1)'2{2Х+6Bс
7 (s + 3) ! (s - 2c + 6) ! (s - 26) 1 (s — 2a + 2) 1 B6) ! Bc — 6) ! 7/.
(s + 1) ! (s - 2c) 1 (s - 26 - 6) ! (s - 2a) ! B6 + 9) ! Bc + 3) ! J
14 (s + 2) (s — 2c + 5) I (s - 26) I (s — 2a + 1) B6 - 1) 1 Bc — 6)
(s — 2c) ! (s — 26 — 5) 1 B6 + 8) ! Bc + 3) !
Т
(—1)» 2 {14Z2 + IX (Abe + 66 — 2c - 5) + 46 (c + 1) B6c + 106 - 8c — 5)} X
г (S _ 2c + 4) ! (s — 26) ! B6 - 2) 1 Bc - 6) 1 7/»
X L (s - 2c) ! (« — 26 - 4) ! B6 + 7) ! Bc + 3) ! J
(—1)»2 A4Х2 + 7Х B6с + 36 — 6с — 11) — 2 (с + 1) [2с F — 1) F + 10) — 1162 + 136 — 30[} X
1 2 (s + 1) (s — 2е + 3) ! (s — 26) 1 (s — 2а) B6 — 3) 1 Bс — 6) ! 7/.
(s — 2с) ! (s — 26 — 3) ! B6 + 6) ! Bс + 3) ! J
(-!)• 2 {7X2 _ 1Х Dс + 7) - 46 F + 1) (с+ 1) (с - 2) + 18 (с + 1) Bс + 3)} X
X
10 (» + 1) 1 (s — 2с + 2) 1 (s - 26) ! (s — 2а) ! B6 - 4) I Bс - 6) ! 7/.
! J
¦ — 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a — 2) ! B6 + 5) ! Bc + 3)
(-1)» 2 {14X2 — IX B6c + 36 + 8c + 14) — 2 (c + 1) [2c F + 2) F — 9) - 1162 — 356 - 54]} X
1) ! (S— 2c+ 1) (s - 26) (s — 2a) !J26 — 5) 1 Bc - 6) ! 7/*
X
[j
(s — 2) ! (s — 2а — 3) ! B6 + 4) ! Bс + 3) !
Г (s+1) ! (s — 2a) ! B6 —6) ! Bc —6) ! 7/.
-1)» 2 {14X* - IX D6c + 66 + 6c + 11) + 4 F + 1) (c + 1) B6c + 106 + 10c + 15)} [ (s_3) , (, _ 2a _ 4) ! B6 + 3) 1 Bc + 3) ! J
1) ! (s — 2c) (s — 26 + 1) (8 — 2a) ! B6 — 7) ! Bc — 6)
( ir+
(-1)
14(8+1, ,
' (s — 4) 1 (s — 2a^5) I B6+~2) ! Bc
7 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 + 2) 1 (s — 2a) ! B6 — 8) 1 Bc — 6) 1
[s — 5) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a — 6) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
= с— 3
6+4
6 + 3
6 + 2
6+1
l~lj J
2 (» +2) (» -2с + 7) 1 (»-26) I (« -2а+ 1) B6) ! Bс-7) ! 7/,
(s —2с) ! (я-—26 —7) I B6+ 9)! Bс+ 2) I J
l)
_2ib_4) !(s_2a_2) , Bb+ 6I Bc+ 2) I
7/,
J

9.10. ТАБЛИЦЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМУЛ ДЛЯ 6 /-СИМВОЛОВ
281
со
I
I I
Сч|
+
+1
Сч| D~
+ I
О О
esi esi
fg <o
+¦
+
со
1
•Я1
i
о
S"
1
1
1
X
С4!
+
-о
1
X
CS1
5
I
^
+
+
+
|е^1
I
Сч| л
CS1
со
+1
¦ оо
еч I
со' _.
1 а
I л
-о —
~ 1
i -
CD _
I '5"
~ I
Ю *9
II
•я1
+
со
+
+
со
I
I
¦о

282
Гл. 9. 6/-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
9.11. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 6^-СИМВОЛОВ С ИНДЕКСАМИ, НЕ ПРЕВЫШАЮЩИМИ 3
В таблицах приведены численные значения 6/-символов
а Ь с
de f
с индексами а, Ъ, с, d, е, / ^ 3,
причем в табл. 9.9 собраны 6/-символы, у которых четыре полуцелых индекса (a, b, d, e),
в табл. 9.10 — три полуцелых индекса (d, e, /), а в табл. 9.11—6/-символы, у которых все индексы
целые. Численные значения даны в виде как простых, так и десятичных дробей. Рассмотрены
только случаи, когда все индексы отличны от нуля. Если хотя бы один из индексов равен нулю,
то для вычисления б/-символа следует воспользоваться формулами 9.5 A).
На индексы б/'-символов, приведенных в табл. 9.9—9.11, наложены следующие условия.
Табл. 9.9: 1) а, Ъ, d, e —полуцелые, с, / —целые;
2) а > Ь, d, e и с > /;
3) если а=Ъ, то d ^ е; если с=/, то Ъ ^ е.
Табл. 9.10: 1) а, Ъ, с —целые, d, e, / —полуцелые;
2) а > Ъ > с,
3) если а=Ъ, то d ^ е; если Ь=с, то e^f.
Табл. 9.11: 1) все индексы целые;
2) а > Ь, с, d, е, /; Ъ > с, е, /;
3) если а=Ь, то d ^ е; если Ъ=с, то е ^ /; если a=d, то с ^ /.
ТАБЛИЦА 9.9
a
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
b
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
с
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
3/2
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
1/2
3/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
e
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
3/2
3/2
3/2
5/2
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(a b с |
{ d e f ]
1/2-3
-1/3
—1/2-2-3
vT/2 • 3 vT
1/2-3
—11/2-2-3-5
-1/2-2
—1/2-5
—1/2-2-3-5
y/T/2-Ь у/Т
1/3-5
—31/2-3-5-7
1/2^275
1/2.2
—1/2^5"
1/2-2-5
—l/y/J^b
vT/2 ¦ 3 y/W
—1/2V2-3-5
у/Т/2 • 2 V/3~3
1/3^5"
у/Т/2 • 5 ^3"
—13/2 -3-5 4^277
1/2-2-5
—VT/2 • 5 ^3"
—VJ/Ь VT
23/2 -3-5-7
0.166667
—0.333333
—0.083333
0.263523
0.166667
—0.183333
—0.250000
—0.100000
—0.016667
. 0.187083
0.066667
—0.147619
0.158114
0.250000
—0.223607
0.050000
—0.258199
0.197203
—0.091287
0.170783
0.149071
0.152753
—0.115813
0.050000
—0.152753
—0.106904
0.109524
a
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
b
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
3/2
1/2
1/2
с
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
d
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
e
3/2
5/2
3/2
5/2
3/2
5/2
3/2
3/2
3/2
5/2
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
5/2
3/2
3/2
1/2
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
fa b c|
1 d e f }
3/2-2-5
V^5 /2 • 4 V^7
1/2^273
—V2~73 vf
—^275 y/T
1/2-3-5 ^277
—1/2-5
1/2-5
y/g" /g y/7"
—11/2-3-5-7
1/2-2-5
—1/2-5
3/2-2-5
-1/5
—1/2-3-5
3/2-2-5
y/T/2 ¦ 5 y/T
—1/2-5
1/3-5
-47/2 • 2 • 3 • 5 • 7
—^2 /5 у/д
—1/2-5^3-7
—1/2 - 5
2-2/5-7
—1/2-2-3-5
1/2-2-5
1/2^2-5-7
1/2-3
0.150000
0.140859
0.204124
—0.178174
—0.163299
0.008909
—0.100000
0.100000
0.130931
—0.052381
0.050000
—0.100000
0.150000
—0.200000
—0.033333
0.150000
0.187083
—0.100000
0.066667
—0.111905
—0.163299
—0.021822
—0.100000
0.114286
—0.016667
0.050000
0.059761
0.166667

9.11: ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 6/-СИМВОЛОВ
283
a
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
b
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
с
3
3
3
3
3
3
3
3
3
d
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
5/2
e j
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
5/2
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
{
—1/^3-5
—у/1/Ъ y'7
11/2-2
—2 уТ/з
23/2 - 3
3 • 3/2 •
У'З/2 VI
—у/ЩЬ ¦ 7
—29/2 • 2
a
-7
5
/5
5
5 •
У'
3
6
e J
• 7
7
1
• 5-7
f j
—0.097590
—0.106904
0.120020
—0.159364
0.109524
0.128571
0.146385
—0.034993
—0.069048
a
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
b
3/2
1/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
с
3
3
3
3
3
3
3
3
3
d
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
5/2
e
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
5/2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
ТАБЛИЦА 9
\d
1/2-2-5-
1/2-3-7
—1/5-7
—1/3-7
71/2 -2-2
3 • 3/2 • 2•
1/2-7
—1/2 • 5
79/2 -2-3
b
e
7
• 3-5-
5-7
•3-5-
.9
С
f
7
7
продолжение)
}
0.007143
0.023810
—0.028571
—0.047619
0.084524
0.064286
0.071429
—0.100000
0.062698
ТАБЛИЦА 9.10
a b
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
с
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d
1/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
e
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
/
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
5/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
(a b с |
\d e t)
-1/3
-1/2-3
уТ/2 • 3 у'2"
—1/3^2^5
—1/2^2-5
y/Tfe • 3 уТ
—1/3 уТ^
1/2 у/J
—1/2уТПз
1/2 у/2 • 3 • 5
—уТ/5 у'з"
-1/2 уТ
у/Т/2 • 5 у'2"
—у/Т/3 - 5 у/1
—1/2 • 5 у'г^З
1/2-5
—1/2 у'5
—1/3 у'5
А /О \/о . С
х/ ?л V ?t * О
^7~/2 ¦¦ Ч ^*S*
—3/2 • 5 /vT
1/5^2"
—1/2-3 .5уТ
—1/2-5^3"
у/Т /2 • 5 у'гТз
— 1/5 У'2"
у/Т/3 • 5
—11/2-3 -5уТ
1/5 у/Т
—0.333333
—0.166667
0.263523
—0.105409
—0.158114
0.197203
—0.056344
0.288675
—0.204124
0.091287
—0.163299
—0.223607
0.187083
—0.124722
—0.040825
0.100000
—0.142539
—0.223607
—0.149071
—0.158114
0.197203
—0.212132
0.141421
—0.023570
—0.057735
0.108012
—0.141421
0.176383
—0.138587
0.075593
a
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
ъ
2
to to
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
с
2
to to
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
е
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
1/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
3/2
1/2
3/2
5/2
3/2
1 d
у/Т/2 • 5 уГ.
0
1/2-5
—1/2 у/2~1
—уТ/5 у'з'
1/71/F3
1/7 1/2~Тз
-'' 1/3 уТ
1/2 vT
—1/3 у'5"
шу'гЛ
1/2-5
—2 • 2 уТ/3
1/V2 -3-5
—у/2~/Ь У'З"
у'з'/бУТ
1/2 • 5 У'З
—1/5 уП
1/зуТПГ
—2 • 2 • 2/3 •
3 у/ъ1Ъ ¦ 7
—1/5^
—1/5 у'2"
1/5 У'2
—1/5 уТ
—l/VF^f
1/5 у/Т
уТ/5 • 7
—3/5 • 7 уТ
Ъ
е
5уТ
Т
5-7
у/2
0.187083
0.000000
0.100000
-0.133631
—0.163299
0.058321
0.058321
0.235702
0.223607
—0.149071
0.089087
о.юоооо-
-0.142539
0.182574
-0.163299
0.130931
0.021822
—0.053452
0.039841
—0.076190
0.104978
-0.141421
—0.141421
0.141421
—0.141421
—0.169031
0.075593
0.040406
—0.060609

284
Гл. 9. 6 /-СИМВОЛЫ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА
a
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
b
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
с
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d
5/2
5/2
5/2
1/2
1
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
e
5/2
5/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/2
3/2
5/2
5/2
5/2
3/2
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
5/2
—1/V2
13/2-
{
3
5-
—3 • 3/2 •.
_y/2fe
-V5/2
-1/vT
Vl /2
-1/V2
V3"/2
17/2-
-V2/7
^7
•3
-2
3
v^
/3
3-
^5
а Ь
d e
5-7
7У1Г
5-7 v'2"
vf
•3^5"
• 5-7
T5T7
7
7v/2T5
/}
—0.069007
¦ 0.107222
-0.090914
—0.178174
—0.140859
-0.169031
0.098601
—0.069007
0.103510
—0.150585
0.127997
—0.090351
a
3
•3
3
3
3
to со
3
0
0
3
3
3
3
3
b
3
3
3
3
3
CO CO
3
Q
0
3
3
3
3
3
с
2
2
2
2
2
CM CM
2
0
z
3
3
3
3
3
d
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
. °l
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
e
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
'
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
/
5/2
3/2
5/2
5/2
3/2
5/2
1/2
3/2
410
b\l
3/2
3/2
1/2
3/2
5/2
ТАБЛИЦА 9.10
(продолжение)
( a b с |
\d e f)
V3 /2 V5 • 7
V375 VT
VJ/2 -2-5VT
1/V3-5-7
3VW/5 ¦ 1 v'2"
—17/2-5-7 vT3
1/7
—11/2-2-5-7
Л /О О С 7
—1/Z • О * 0 • /
—vT/7 V/2T5
—^5 /7 v'2 - 3
1/2-7 v'2-3-5
17/2-3-7 ^2-3-5
0.146385
0.130931
0.032733
0.097590
0.104978
-0.099146
0.142857
—0.078571
—0.078246
—0.117369
—0.130410
0.013041
0.073899
a
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
b
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2.
2
2
2
2
2
2
с
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
.
d
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
e
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
/
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
f а Ь
I d e
1/2-3
1/2-3
1/2-3-5
—1/2 viT
1/2 • 3 vT
—1/2-5
1/2-3
^772 ¦ 5 ^3"
Vf/2 • 5 v'JT
—1/2 • 5
—3/2.5.7
1/3 vT
1/5
1/5V/3"T7
1/3-5
1/3-5-7
-V275 ^3"
0
-v/275 VT
2-2/5-7
-1/5-7
1/2-7
ТАБЛИЦА
c 1
/ ) ¦
0.166667
0.166667
0.033333
—0.223607
0.074536
—0.100000
0.166667
0.152753
0.152753
—0.100000
—0.042857
0.149071
O.2OO0OO
0.043644
0.066667
0.009524
—0.163299
0.000000
—0.106904
0.114286
—0.028571
0.071429
a
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
9.11
b
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
с
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
d
1
1
2
2
2
3
3
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
3
3
e
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
3
3
2
2
2
2
3
3
3
/
2
3
2
1
2
1
1
2
3
2
3
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
( a 6 с
\ d e /
—vT/3 vT
l/2-3v^T7
—1/V3 -5-7
-2 ^273 V^5T7
1/^2-5-7
-1/3-7
11/2-2-3- 7
V275 VT
1/2^2^7
V3/5 JT
—1/2 v'2 • 5 • 7
2 ^2^3/5 • 7
—v^/5 • 7 v'2"
—11/2-5-7^2^3
2/5 -.7
^3~/7 V2~5
—1/2 ¦ 5
—3/2 -2-7
19/2-2-3-5-7
-y/3/7 vT
—^3~/2 • 7 ^5"
—1/7 vT
2/7 ^3^5
1/2-7
1/2 -3-7
-1/2.7
)
J
—0.178174
0.044544
—0.097590
—0.159364
0.119523
—0.047619
0.130952
0.106904
0.133631
0.130931
—0.059761
0.139971
—0.034993
—0.064153
0.057143
0.078246
—0.100000
—0.107143
0.045238
—0.110657
—0.055328
—0.101015
0.073771
0.071429
0.023810
—0.071429

Глава 10
9/-СИМВОЛЫ
(КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1. 9/-СИМВОЛЫ Вигнера [110] можно определить как коэффициенты преобразования между раз-
различными схемами сложения четырех угловых моментов. Угловые моменты j1; j2, j3 и j4 можно
связать в полный угловой момент j с проекцией т следующими тремя способами:*
И) jl + J3= JI3' J2 + J4 = J24, Jl3 + Ja* = j; A)
Состояния, отвечающие схеме связи I, обозначим | /х/2 (/12) j3ji (/84) jrri). Они являются собственными
состояниями операторов If, if, if, j|, jf2, if^, j2 и ft и имеют вид
2 JnrnKy3imsliTZ},n,^Zi,mt I /3«3- /4«4>. B)
Здесь I/jTOj, /2m2, /3w3, /4те4): обозначает собственное состояние операторов /J и ji0 (i = i, 2, 3, 4).
Состояния, соответствующие схеме связи II, являются собственными состояниями операторов if,
if. ii, !42. &> il*, I2 и ;г и имеют вид
w?lw2m3w*4
Аналогично состояния, соответствующие схеме связи III, — собственные состояния операторов Ц,
l|, Ii, $4> Зн> Э|з' З2 и /г и выражаются следующим образом:
I/iM/m) АЛ (/*,)/»>= 2 ^/"«„y»».»^:»,/.»^",".-.!^111»' /2W2' '•"••• ;'^>- <4>
mUm28
Состояния, отвечающие каждой из схем связи, образуют полный нвбор. Переходу от одной
схемы связи к другой соответствует унитарное преобразование, которое связывает состояния с оди-
одинаковыми значениями полного углового момента / и его проекции тине зависит от т.
9]~символы Вигнера [110J, или коэффициенты Фано [66]
связаны с коэффициентами преобразования следующим соотношением:
if/i /« /1»
</i/2 (/и) /3/4 (/з4> im \ hh (h3) hh (Ы) i'rn'y = bjj,bmm, [B/12 + 1) B/18 + 1) B/M + 1) B/M + 1)] 4 f3 h Ы
I /is /24 /
E)
* Кроме приведенных, возможны и другие схемы связи четырех угловых моментов, например: Ji4jjJi2.
Ji2+J3=Ji23, iiss3+J4== J- Однако коэффициенты преобразования между такими схемами связи сводятся к произведе-
произведениям 6 /-символов и рассмотрены в гл. 9 (см. также 3.3).

286
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
Используя это определение, имеем
</i/2 (/12) /з/* (/s*) j™ I /1/4 (/u) /2/3 (/23) 1'т'У =
J_ I /l /2
12
(_1)Л**«-л. [B/12 + 1) B/i4 + 1) B/23 + 1) B/34 +1)] * \ U /з /34 \,
4 /23 /
</l/3 (/is) /2/4 (/24) /"» I /1/4 (/u) /2/3 (/23) /'»»'> ~
J. [/l /3 /13
' tB/i3 + 1) B/i4-fl) B/24 + 1) B/23+I)]2 /4 /2 /24 \.
(/l4 /23 /
Из определения 9/-символов следует, что они могут быть представлены в виде суммы произ-
произведений коэффициентов Клебша—Гордана
Jlm\ J2m2 j$msjim4 Ji2ml2 Jii7n3i jl^l 3$тЪ J2m2ji'mi J 13m 1$ J2im24
/l /2 /l2
= bj'bn,m' [B/l. + 1) B/13 + 1) B/24 + 1) B/34 + 1)] 4 /3 /4 /34 \ .
I /18 /24 /
(8).
Это соотношение однозначно фиксирует как величину 9/-символов, так и их фазу. 9/-символы
вещественны. В дальнейшем для обозначения аргументов 9/-символов будем также использовать
латинские буквы а, Ъ, с и т. д.
В соответствии с правилами сложения угловых моментов в квантовой механике, аргументы.
9/-символа
abc
d e
g
должны удовлетворять следующим условиям.
а. Аргументы а, Ъ, с и т. д. являются целыми или полуцелыми неотрицательными числами:
(9/-СИМВ0ЛЫ с отрицательными аргументами рассмотрены в 10.4. 3).
б. Тройки аргументов (abc), (def), (ghj), (adg), (beh), (cfj) должны удовлетворять условиям тре-
треугольника 8.1 A).
9/-Символы удовлетворяют условиям ортогональности и нормировки
а Ъ с) а Ъ с'
1
i)Bh+l){d е / d e f'^ = bo^ff,{abc}{def}{cfj}-^iYW:fVji
cf
abc
def
S h / j
abc)
d e П =
g' V A
{adg} {beh} {ghj}
(9)"
A0)
Эти условия следуют из унитарности преобразования между схемами связи.
2. 9/-символы могут быть представлены в виде таблицы \\rik, r'ik\\ размерности 3x6 (Шеле-
пин [105], By [111]), которую будем называть г-символом.*
(И),
a
d
g
b
e
h
fr
/J
Гц
^21
Г31
Г12
'"за
Г32
''is
Г23
ГЗЗ
r
11
r'ti
r31
r'n
r22
ru
r23
»-33
* Приведенная здесь таблица \\rik, r'ik\\ отличается от г-символа, введенного Шелешшым.

10.2. ЯВНЫЙ ВИД 9 /-СИМВОЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ 287
где
Гц = — а + Ь + с, rla—a — Ь + с, rls=a + b —с,
Гц = — d -f- е + /, r22 = d — e-\-f, r28 = d + e — /,
r = g + h j,
+ j
g 3i \ — h, r'S3 — с + f — j.
Обратные соотношения
2A = r31 + г33 = ^2 + r^, A3)
2c = ru + r12 == Kj 4- Г33, 2/ = r21 -|- r22 = r'ls + Г33, 2/ = r
Все восемнадцать элементов rik, r'ik являются целыми неотрицательными числами. Независимыми
являются только девять из них. Элементы rik и r'ik обладают следующими свойствами:
з
- 2
^1 ^j
i,k=l i,k=l
где
7. A5).
10.2. ЯВНЫЙ ВИД ^-СИМВОЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
Ниже приведены выражения для 9/-символов в виде конечных кратных сумм, а также дана их
связь с коэффициентами Клебша —Гордана, 3/иг-символами и 6/-символами. Выражение 9/-символа
в виде обобщенного гипергеометрического ряда до настоящего времени не известно. Удобные вы-
выражения в виде квазибиномов для 9/-символа удается получить только при некоторых соотноше-
соотношениях между аргументами.
9/-символы
(а Ъ Л
ч
равны нулю, если хотя бы для одной из троек аргументов (abc), (def), (ghj), (adg), (beh) и (cfj).
не выполняются условия треугольника. Если все условия треугольника выполнены, то для 9/-сим-
9/-символов справедливы формулы, приведенные ниже.
1. Выражение 9/-символа в виде четырехкратной суммы
d е / 1 - А (аЪс) Д Ш) Д №) Д (g*/) v
ghA A (adg) Д (cfj) X
l (b - e + h) ! (-b + e + h) !
X

288 Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
2, Ba — x) ! B6 — у) ! Bd — z) ! Be — t)
( l) xlylzltl
X
xyzt
x + t)'
(a-\-b — с — ж)! F + e — Л — y)\ (d -\- e — f — z)! F -f- e — ? + / — t)[ (a-\- d-^ g — x — z)\ (e —
x {c-d + e+f+z-t)\
В этой формуле суммирование производится по всем целочисленным неотрицательным значе-
значениям х, у, z, t, при которых в знаменателе не появляются факториалы отрицательных чисел.
2. Формулы By [111]
/ll /l2 /is I
/21 /22 /23 I = д (/n/ia/is) д (/21/22/23) д (/31/32/33) д (/11/21/31) X
/si /32 /33 J
X Д (/12/22/32) д (/13/23/33) 2 (-If<+Ш5+Юв з (" + iy , B)
II^'II».1
p, 5=1 0=1
где
3 6
n= 2 vm+ 2M«- <3)
p,y=l o=l
В этой формуле суммирование проводится по пятнадцати переменным vpg(p, ? = 1, 2, 3), (ма(а =
= 1, 2, ..., 6), на которые наложены следующие условия, уменьшающие число независимых пере-
переменных до шести:
«1 + м4+ ^21 + -'з1==ГХЬ
W3 + шв + ^22 + ^32 = Г12,
W2 + М6 + V23 + V33 == Г13. M2 + М6 + VU + V12 = Г13>
«3 + Ш5 + vll + V31 = Г2Ь W3 + M6 + V22 + ^23= r21.
«2 + M4+ V12 + ''32 = r22. «2 + w4+ V21 +^23 = Г22. D)
<°i + Me + vis + V33 = Г2з> Mi + Me + V2i + ""гг = '"гз.
M2 + Мв + vll + V21 = Г31. «2 + Мв + V32 + "3 = '-31>
Ш1 + M6 + V12 "Г V22 = Г32. «1 + «6 + V31 + "3 = Г32.
«S + M4 + V13 + V23 = r33. «3 + M4 + V31 + VS2 = r'33.
Отметим, что величины чря и тл — вещественные и неотрицательные целые числа.
Имеют место следующие соотношения:
з зз з
2урч=п- 2гря< 2v=7i-2rjp- E)
q=l q-1 q=l g=l
П + Ш1 + M4 — VU = /l2 + he + /si + /31. П + M3 + M6 — ^21 = /22 + /23 + /ll + /31.
n + мз + Me — vi2 = /11 + /is + /22 + /32. re + Ш2 + «4 — -"гг = hi + /as + /12 + /32.
re + co2 + co5 — v13 = /u + /12 + /аз + /зз> re -)- mj + <oe — v23 = /21 + /22 + /is + /зз>
re + (o2 + «e — V3i = /за + /вз + /11 + /21.
П + Ml + Ш6 ^32 = /si + /S3 + /l2 +/22.
n + мз + Ш4 — V3s = /31 + /32 + /13 + /аз-
Конкретный выбор независимых переменных суммирования может быть сделан разными спосо-
способами. При этом получаются существенно различные по виду выражения для 9/-символов. Приве-
Приведем некоторые из них:

10.2. ЯВНЫЙ ВИД 9 /-СИМВОЛОВ И ИХ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
289
f/п in /is
/ai /м /гз
I /з1 /за /зз
= Д (/11/12/13) Д (/21/22/23) Д (/31/32/33) Д (/11/21/31) Д.(/12/22/32) Д (ЛзЫзз) X
— Я+— 2
2 ¦
(-D
G)
П (**-WIT
jo,2=l «=1
,-Ui
где
Z81 222 Z28 l = | Z3-|-Z5 Zjs + Zj
Z8-f 2,. Z2+Z5\
1
231 гвз /
hi = /11 + /as + /32. ^4 = /11 + /aa + /38t
^2 = /81 + ha + /l3. К = /21 + /si + /18>
Й3 = /21 + /l2 + /ЗЗ. A6 = /si + /l2 + /2&-
3
(8)
(9)
A0)
Суммирование производится по всем я^^О, целым и полуцелым.
f/ii /ia /is
/и /2а /2з =д (/11/12/13) Д (/2i/'aa/2s) Д (/м/зг/зз)'
, /si /32 /зз
X
П (*я-/я)'пB
р, г=1 p=i L \ 0=1
Суммирование проводится по всем целым и полуцелым неотрицательным
выше.
/и /ia /лз I
/ai /а2 /23 [ = Д (/11/12/13) д (/и/Was) Д (/si/Wss) д (/11/21/31) д (/i2/Wsa) Д (/Vss/ss) X
/31 /32 /зз I
A1)
и Л даны
где
X ^| / з
*« П*,1 *41(*6 + **I(*в + *«I П
A2)
Х2
A3)
Сувширование проводится по всем цельш неотрицательным ха ^ О,
tpl = iqr + Jrp — Jpp — Jgq< (Р?>дфГ = 1, 2, 3),
19 Д. А. варшалович и др.
A4)

290
Гл. 10. 9;-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
3. Связь 9/-символов с коэффициентами Клебша-Гордана и 3/тп-символами [110]
a b с 1 1
d e f [ = [Bс + 1) B/ + 1) Bg + 1) Bh + i)\"» B; + l)-t 2 С^В^^Л^^Х.^Аа, (*5>
a b с]
W>
а Ь с
d e f
g h j
^ /a b c\/
a b c\(d e f\ (g h f\ fa d g\(b e h\ Iс 1 /\
At v)m
8 тДз е р.
A6)
A7)
Имеют место также следующие формулы [45J:
а Ъ с
d e f
g h i
X
A(abc)A(def) Ug + h + / + 1)! (g-h + f) П»
'&(adg)A(cfj) l BЛ + 1) J
(e+/-/")l (a+ d-g) I
X
X
X
X;
la b с
d e f
x
x
--
X ^^
4. Связь Эу-символов с 6/-символами и коэффициентами Рака [110, 74]
(I9)
а Ь С
« Ь c)(d e f) (g h я
/ j x\\bxh\{x a d\,
a b с
d e }
g h j
; xb)W(aegf; xd)W(chfg; xj).
B0)
B1)
Выражения для 9/-символов при некоторых частных значениях параметров приведены в раз-
разделе 10.9.

10.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 9 /-СИМВОЛОВ 291
10.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Э^-СИМВОЛОВ
1. Можно указать следующее интегральное представление, содержащее гипергеометрическую
ФУНКЦИЮ 3F2l
' а Ъ с\
| (-j)cH-b-e-g-k+j Д (дЪс) Д (def) Д (ЪеЬ)
d е >\— 2»+'+'и-1 ' b(adg)H(cfj)b(ghj)
g h j
(~1)ж+у Bа - «) 1 (-а + Ь + с + х) 1 (-а - в + f + g + x) 1 Bd - у) 1 (с - Д + в + / + У) 1
74-a:)l(d + e-/-y)l X
[ ^' -«-е + / + ^ + 1 + ^. d-e-f-y; «-
2. Интегральные представления 9/-символов, содержащие D-функции Вигнера
а Ь с
def
g A 1
С* - (- ¦ i>«-/-w* H2/ + У (а + Ь - с) \ (а + Ь + с + 1) \ (d+ e -f)\ (d+ e + f+ i)\]* „
J dR1dR1dRtB^[(R1, Rt, R3) D^ (Rt) D{_d,9(Rt) Df.^R^. B)
В этой формуле у, <p, (a — произвольные,
dR* =-&? sin P**1^*^*. С = 1. 2, 3). C)
Интегрирование производится в обычных пределах. Величины B^(Rlt R2, R3) имеют вид
д о \ T>a+d-gr>*b+e-kria-d+gri*b-e+kri-a?d+gri*-b+e+h ii.\
¦"». Я,) = Д12 Вп Bsl »Bsl Bsi "Bsi T , D)
-7("*) . P< fa Vto-T*) Pj . pft --s-OT.-Tft)!
Bik = e * \ \ sin -у cos -j- e - —cos -?- sin -у е / =
J 1 №№). E)
Коэффициенты 5<ft обладают следующими свойствами:
№«)•' = 2 (-i)y~m ^^ (Д4) ^i-m (Я*) = (-1JУ ^-у (л^!1), F)
|Д«| = 8т-^-, (8)
где
cos Qik = cos pj cos pft -f- sin ${ sin p& cos G^ — 7&). (9)
19*

292
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
В частном случае при a = b, d = e, g = h из формулы B) получаем [63]
,,1„\ X
X \ dQj
Здесь
Ql5 Qs, Q8) Pe (cos fr) jP, (cos p2) />y (cos
A0)
A1)
A2)
3. Выражения для 9/-символов в виде интегралов от характеров неприводимых представлений
группы вращений (см. 4.14)
( а Ъ
су 1
(R3)
X
X Xе
a a b\
а а с
[bed
I1) Xе
A3)
A4)
10.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 9^-СИМВОЛОВ
1. 9/-СИМВОЛ обладает следующими свойствами симметрии [74]. Абсолютная величина 9/-сим-
вола не изменяется при произвольной перестановке столбцов или строк, а также при его транспо-
транспонировании относительно главной диагонали. Если перестановка столбцов или строк нечетная, появ-
появляется фазовый множитель (—1)й, где R — сумма всех параметров 9/-символа. В случае четной
перестановки фазовый множитель равен единице. При транспонировании фаза 9/-символа не меняется.
а. Перестановка столбцов
[ ]
б. Перестановка строк
в. Транспонирование
I/ll /l2 /lS
21 1гг /м ,
/Sl /32 /3S j
, /ll /l2 /13 j
/21 /22 /23 >
[/31 /32 /33)
I hi hk hi
2, Jut J21
hi hk hi
in in 113 ]
ikl Jk2 iks j
\ in in in J
Здесь
/11 /12 /13 I f /11 /21 /31 \
/21 /22 /23 \=~=\ ^!2 '22 /32 } ¦
in /32 /33) I /13 /23 /зз)
1 для четного числа перестановок
(циклические перестановки),
(—1)й для нечетного числа перестановок
(нециклические перестановки),
r= 2 /.*•
A)
B)
C)
D)

10.4. СВОЙСТВА СИММЕТРИИ 9 /-СИМВОЛОВ
293
Все перечисленные свойства симметрии независимы и связывают между собой следующие
3 ! X 3 ! X 2 = 72 9/-символа:
cab
d e
F)
По горизонтали расположены Э^-символы, отличающиеся перестановкой столбцов, а по вертикали —
перестановкой строк. Нижние шесть строк связывают транспонированные 9/-символы.
2. Указанным свойствам симметрии 9/-символа соответствуют следующие свойства симметрии
таблицы lrik, r'ik$ (см. 10.1.2).
а. Перестановке строк 9/-символа соответствует перестановка строк таблицы
I*. ~ ^ ~' ~' ~' II 111. * *• ~' w' ~' II
Г11 Г12 '13 '11 '12 '13 г« г«2 'Я '«1 W2 г<3
Г21 Г22 Г28 Г21 Г22 Г23 = е rkl rk2 rk3 rftl r'k2 г'кА ' (')
Г31 Г32 Г33 Г31 Г32 Г33 II llril Г12 Г13 ГП ГЬ ГЫ1
фазовый множитель в определен выше (формула D)).

294
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
б. Перестановке столбцов 9/-символа отвечает одновременная перестановка соответствующих
столбцов в обеих частях таблицы rik
и r'tk:
I гп 'и rn r'n r'12 r[s
I Г21 Г22 Г28 Г21 Г22 Г23
I Г31 Г32 r8S Г31 Г32 Г33
гн
|
4i Г2к
(8)
r3l I
в. Транспонированию 9/-символа соответствует транспонирование обеих частей таблицы г{к
с одновременной их перестановкой:
иг.
Г12 Г,д
Г21 Г31
Г21 Г31
Г21
rsi
Г23 = rl2 Г22 Г32 Г12 Г22
ik
(9)
Г13
Г33
Г28
3. «Зеркальная» симметрия. Этот тип симметрии проявляется при обобщении 9/-символов на
случай отрицательных целых и полуцелых значений аргументов. При этом для 9/-символов спра-
справедливы следующие соотношения [45], в которых а = —а — 1, Б ^ —Ъ — 1 и т. д:
= —ji)e
В этих формулах
A0)
A1)
4. При получении алгебраических формул и численных значений 9/-символов удобно использо-
использовать следующие соотношения, вытекающие из свойств симметрии зеркального отражения [45]:
A2)
A3)

10.5. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
295
d e
g h
d e
ld + Ъ
J
f 1 = 1 (_l)y+»—J d
} {
j
f l=(—
1 I
ё
*
?!¦
g h j )
d + Ь е-г /-cpl
d e / l=(-
* h j j
g
+
d
ё
h
C+Ь
A4)
A5)'
A6)
A7)
A8)
I * л ,- J I ? h / J
10.5. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ 9^-СИМВОЛОВ
1. Рекуррентные соотношения для 9/-символов могут быть получены, например, с помощью
следующей формулы [77]:
!
|
(l)
A 3
^ = y > 1» "Т
и т. д.], раскрыть сумму и записать 6/-символы в явном виде. Таким способом получены соот-
соотношения B)—E).
2. Связь четырех 9/-символов. Нижеследующие соотношения получаются из формулы A) при
Х = у. Значения а' и /' для каждой из формул различные.
а 6 с -j- "о"
i e /
1
а Ь с-т
<* е /
а-у 6 с
1 1
d — -^ e f — ^
B)

296
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
1
а Ъ c + y
d e f
g * /
а Ь с — ~2
d e f
1 1
d + -s" e /4- тг
g h )
1
a + -я- b с
d-~2 e /+T
a 6 c + -s-
a b с — -я-
a 2" 6 с
g
1
~2 b c
1 1
Соотношение, получающееся при а' = а-\-—, f = f—^", эквивалентно D).
[g(g+l)+ <*(<*+*)-g(g + *)ir
2 ' ' ~' 2
3. Связь пяти 9/-СИМВОЛОВ [45].
abc + 1) (die — 1
d e f
g h i
(db, fj)
_f
l)-e(e +
1I
d(d-{-l)
[Л (a + 1) - b (b + 1) + с (с + 1)] [с (с + 1) +/ (/ + 1) ~ / (/ +
a b c)
? * / )
C)
E)

10.5. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
297
где
Aq(pr, s
+ q)(p-r + q)
Это соотношение получается, если в формуле A) положить X=l, a' = a, f' = f.
Другого типа соотношения, связывающие пять 9/-символов, имеют вид [75]
[i±i
¦p
[fctt
-P
J
1 1
b ~2 c
+ /a-U d4-—4- 2) (a
d e f
1 и i •
~Тh~Y'
J_ J_ 1
d e f
1 1
g — ~2 " "b Y '
1)
11
1 1
+Yb+Yc
del
1 1
(-6 +
+ e + *O/i
J
j_ l
d e f
1 1
Y h~~2
(a b c)
] ]* ' f\
] \
У 8 h U
(g + h-J) (b + e + h+i)(b + h - e) II,
Г
d e f
s~Yh~Yi
1 1
d e /
1 i
+L "—F
¦J"
2) (g + h-j + l)(-b
i. i.
d e /
1 . 1 .
1 1
i — "Я" 6 — "ЯГ С
i e /
1 1
(a -f- b -f с + 1) (a -f 6 — c)
а Ь cl
F)
G)
(8)

298
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
/ + 1) (g - h + D (~b + e + h + 1) (b + с - *) ?/.
J
f(g + >
']'
• -h + j
(b-e + h) 7/,
1 1
"о" Ъ — тг с
е f
1 1
_1_ 1 1
d e t
1 1
7/,
J
1 1
+ T 6"T. c
d e f
h +
f\
' a b с
g hi
(9)
4. Имеет место также рекуррентное соотношение другого типа, связывающее шесть 9/-символов:
[(а + Ь +1J- (с + 1J]7Ч(с + IJ - (а - бJ]'/* г/ + / - с 4
Bс+ 1)
а 6 с + 1 |
d e f U
g я / ;
fa 6 с 1
[(Д + е + IJ - (/ + тЪ [(/ + IJ - (d - еJ]'/' [с - f + j + П'А j d e , > 1 -
B/ + 1) L с-/ + / J I , I
iJ-a+iJiv'K/ + iJ-(g- ЩЧ1'--
B/ + 1)
\g я / J
fab с
j d e /
I. g я / + 1
}_
_Г
L
7/.
J
X
X
2c+ 1
(a 6 с —11
l^r -c + f + i 7/. de / i +
я у
[(g+ Л +1)»-у"»]'/'»»-(g-*)»]'/» Г e + /-/ 7/J"! * И
2/ + 1 U+/-/ + 1J I , . ' J| '
g я J —
A0)
5. Более простые рекуррентные соотношения можно получить в тех случаях, когда параметры
9/-символа удовлетворяют некоторым соотножениям.

10.5. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
299
а. Два столбца (или две строки) 9/-символа одинаков^:
2c+ 1
(а а с -\- 1
Igg / J
|a а с —
. *_[Ba + c + l)Ba-c + l)(-c+/4-/+l)(c-/ + 7)(c + f-/)(<: + / + / + l)IVab d /
^c+ 1
a a c
I
а а с
+ *_[(M+/ + l)(M-/ + l)(-c+/ + /)(c-/ + / + l)(c + /-/)(c+/ + / + l)]l/»Jd df-i
f+ \gg i
б. Один из индексов в триаде равен сумме двух других [45]:
J
а Ъ с
j
[g
h
, Г(
+L
с + 1) (а ~Ь + с + 1) (a + b - с) (а + Ъ + с
Bс+ 1) Bс+ 2)
Bf + i)Bf+2)
в. Один из индексов 9/-символа равен 0 или 1 [32, 75]:
Ь с \
е
igg*.
J
O/.
J
ab c-fl
я т .
е
ab c
g g 0)
+ 3) Bd + с + 2) B* - с)]1'*
а а с
g g 1 )
{а а с
d dc-i
yg g i
(а а с
\\d d с
[
g g oj
[c Bc + 3) (d -f- e + с + 2) (—
Ia b с |
d e c —1 > =
I
A1)
A2)
A3)
A4)
A5)

300
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
где а^=Ъ и
или a^=d и Ъ^=е одновременно. В частности,
а Ъ с
d e с
~2 1
2с+ 1
с -Y (а - d) Bа + 1) + F - е) B6 + 1)
-IX
X
с Bс - 1) (d + е - с) (-d + е + с + 1) (d - е + с + 1) (d + е + с + 2)
a b c
dec — 1
2 2 i
A6)
10.6. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ^-СИМВОЛОВ
В качестве производящей функции для 9/-символов можно рассматривать [111] следующую
функцию восемнадцати переменных zik, т'(к (?, к = 1, 2, 3):
3 6 -1
где ард и 6а задаются таблицами
(ап а12 а13\ /т21
«21 а22 а23 I ^ I Т11
зз
12 1*4 ^22 ^42 ^11 1*^ 21
?2 T23 TI2 T32 T21 ^гЗ Tl3 T33
32 T33 ^12 ^22 ^31 ^33 ^13 ^23
'''SI T3l ^22 T22 T13 T13
T21 T21 T12 Tl? T33 T33
B)
^2? Т33 Т
33
~T21 ^21 X32 T32 ~J3 T13
\—T31 ^З! Х12 T12 T23 ^23/
C)
При этом
2'--
Т22
D)
Если функцию A) разлагать в ряд по степеням zik и x'ik, причем рассматривать показатели
степеней как соответствующие элементы таблицы \\rik, r'ik\\, то коэффициенты разложения будут
совпадать с 9/-символами с точностью до нормировочных множителей.
Такое разложение имеет вид
3
¦ 2j '
p,q=l
¦=
г, г'
~ 3 1
n(
—
' 3 ^
л 1 /
3
p, o=l
/3 \
! 23 r«P + 4
\9=1 /
г ! гр? !
6 c)
\def\ П (Ww ('«)""•
U h if p'q=1
10.7. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ^-СИМВОЛОВ
1. Асимптотическое выражение для 9/-символа, справедливое при а, Ъ, с, d, е, /, g, h,
имеет вид
fa 6 с)
L U 2в (Д) (-1)"+"-^Ь- cos [(d-A) »,+ (a-/) 82 + (Ь-/) »,]
f
}
B/ + 1) BА + 1) B/

10.8. ЯВНЫЙ ВИД 9 /-СИМВОЛОВ ПРИ НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ ИНДЕКСАМИ 301
В =
К '
В этой формуле
1 cos ft3 cos ¦
COS &з 1 COS ;
-COS &! COS &2 1
fl цри ?>0,
|o ири В < 0.
Углы o^ о2, 83 определяются следующими соотношениями:
cos &i cos ft3 — cos »2 sin 82 sin Ь1
cos 8j =
cos o2 =
cos 83 =
В свою очередь углы &v &2, &3 можно вычислить по формулам
sin ftj
cos 82 cos I
sin ft2
COS &! COS f
sin ;
>»-
sin i
h-
h
COS ft.
*3
COS &3
sin 83
sin 5j
sin 82 ~~
sin 53
sin ft3'
sin ft2
sin »t'
sin ft8
B)
2 Va (a +1N F + 1)
^
cos ft, =
10.8. ЯВНЫЙ ВИД ^-СИМВОЛОВ ПРИ НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ ИНДЕКСАМИ
1. Две строки (или два столбца) 9/-символа одинаковы
В этом случае 9/-символ отличен от нуля, если сумма индексов третьей строки (или столбца)
есть четное число [49]:
(а ъ с\
j j
га Ъ cj. = O, если g -\-h-\- j = 2k -\-i,
\s h )}
(a a c| A)
d f\ = 0, если с+/ + / = 2& + 1,
ill
2. Один из индексов 9/-символа равен сумме двух других индексов
из той же триады
Выражение для 9/-символа может быть записано в виде двукратной суммы
(а Ьс)
d e Л = .
+ d h /J
Ba)lBd)l 7/.
J
X
i (abc) Д (beh) Д (def) Д (с//)
— h) ! (е + / — d) ! (с + / — /).! (а
7/
J
X
(-1)*+* Bс - х) I Bе - у) 1 (/ + / - с + х) ! (h + 6 — е + у) 1
: !у ! (с + / — ; - х) ! F + е - h - у) ! (с - е - а + k — х + у) ! (е — с — d + / + х — у) ! *
B)
*у

302
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
Эту же формулу можно записать в виде однократной суммы, содержащей коэффициенты
Клебша—Гор дана [104].
(a + b + с + 1) ! (/ + e + d + 1) ! (/ + с +f + 1) !
j—c + x)\ Bc — x) !
{Г
' x\{f-\-c — j — x) ! [_(b + c —о —*)!(е+/ —с —d+a;)[J °s «-a-* «/-<*-«
a;
Формулу B) можно также записать в виде квазитринома, определяемого соотношением
C)
D)
*. У
где Л'*', ?(J" и ?(*-*-#) — квазистепени (см. 8.2A1)).
Формула B) приобретает вид [45]
j а 6 cj v ' v
d e /l=(-l)»+«~*
а + d A /J
X
F — с + а)(-1><*+«-»-./+<*) F + с — a
(е - d + /) ! (d - e + /) ! (d + e - f) ! (в + d + f + 1) ! (f - j + c) ! X
X (e + h - b) ! (e - h + b) ! (/ + / - c) ! F + e + h + 1)^'^ X
X
—Г'"-
E)
Если один из индексов 9/-символа равен разности двух других индексов из той же триады,
выражение для 9/-символа можно получить из формул, приведенных здесь, либо используя
свойства «зеркальной» симметрии (см. 10.4.3)
be) I a b с
F)
] d e /l=i(—i)d+h-b-j+e\ d e/
(a — d h j) \a + d h j
либо производя переобозначение индексов с последующей их перестановкой:
( а Ъ с) (d+g b с ( d e f\
j d e A > \ d e f =| g h A
la-d A/) a=d+s I g hj [d + gbc]
G)
Всюду ниже формулы для 9/-символов, у которых один из индексов в любой из триад равен
разности двух других, будут опущены, за исключением отдельных случаев.
В пунктах 3—6 приведены формулы, являющиеся частными случаями формул B)—E).
3. 9/-символы, содержащие две триады, в каждой из которых один из индексов
равен сумме двух других индексов
В этом случае имеется пять вариантов формул, не сводящихся друг к другу переобозначе-
переобозначением и перестановкой индексов. Соответствующие формулгы [45, 104] даны ниже.
6 с)
е А= Д (a + d Ь + е /) Г Bа) 1 BЬ) ! Bd) 1 Bе) !'
J п
\a+d b + e /j
7/a
J
х-
+ с + i) ! (d + е + / + 1) I (с + / + / + 1) !
(-iyBf-z)\(j + c-f + z)\
X
(8)

0.8. ЯВНЫЙ ВИД 9 /-СИМВОЛОВ ПРИ НЕКОТОРЫХ СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ ИНДЕКСАМИ 303
Формулу (8) можно записать также через коэффициент Клебша—Гордана
/ U
ya -f- a 6 -|_ e /j
Bа) ! B6) ! Bd) 1 Bе) \ (д + Ъ+d + e+ j+ l) I (a+.d + e+ Ъ — j)
(a + 6 — с) !(d + e + / + l) ! (d + e — /) ! B; + 1) J X
a-b/d-e' (9/
(d + g b с )
\ \
g he+t
d e f \-(-*)*+*-*-'[ Bc)\Bf).lBd)lBg)\ f/, (d + e-f)\
\ L J
\
\
(beh) ?l (def) (d + e + f + i) \ (b + e -\- h + i) \ (d + g + b + с + 1) \
Be - x) \ (h + Ъ- e + x) \ (d + g + e + c- h- x) \
x\(b + e—h-x)\(d-\-e-f-x)\ '
\d ea
a + й ft
X (f + j - a - b) \ (h + j - a- d) \ (b + e + h+ 1) { (d+ e + f+ 1) \
d e f 1- b^+bfpb^ + dhi) Г Bb)lBd)l 7/,
( AFeft)A(«feO LBa + 26+l)!|Ba + 2d + l)!j X
J d ," f j - f_nH^-* 1Ba ~ 26)! Ba ~ 2d)! B6)'Bd) l]Vl >>
1 ,, . I t±(a-bfi)l±(a.-dhi)b.(beh)b(def)X
\a — aft 7 j
—1) I (a —
°t j
de t j_, „ам-д b(a + b + fgh) Г Ba) ! B6) ! B/) ! f/,
' ( A(ad«r)AFeft)A(A!/) L Be + 26 + l)Ba+2ft + 2/ + l)l J
(a + Ь + g + h + / + 1) ' (g - « + d) I (e - 6 + A) I (d + e - /) !
X
4. ^'-символы, содержащие З триады, в каждой из которых
один из индексов равен сумме двух других индексов
Ниже приведены простейшие варианты таких формул, не сводящихся друг к другу.
а Ъ а-\- 6|
Л в d+i[= д W) A (beh) 'Ja~-
Г Ba) ! B6) ! Bd) ! Bе) 1 Bg) I Bft) ! 7/,
X| !?„ _i_ oh _i_ 1 'i 1 (M _u Чв _l ^\ i Bb- -L 2ft •

304
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
(с + Ъ Ь с
j й ' л +
g n g +
Л
F + е + h + 1) ! (d- b - с + g)\
() (
xLB6+2c+l) !
B6) ! Bc) ! Bd) ! Be) ! Bg) ! B&) I 7/
j
a b a+6
g h a + 6 + /
(a + <
a 6 c)
d d + f
/-a)
2h
. (a + 6 + g + fe + / + 1) ! (e - 6 + fe) !
eh) ¦ (g+h-a-b-f)\(b+e+h+l)\
Ba) ! B6) 1 Be) !
K
7/,
!j '
+ 1) Be + 2/ + 1) ! Ba+26+ 2/ -
@ + 6 + 2d + / + /+1I (a - 6 + c) ! (/ + с - /) !
Д (с//)
5. 9/-СИМВОЛЫ, содержащие четыре триады, в каждой из которых один
из индексов равен сумме двух других индексов
а Ъ a+6
а е 1
Ba + 26 + d + е
Ba+ 26 + 1) Ba + 2i + l) ! Be + 26
7/.
J '
Bc) ! Bd) ! Bf) !
X
7/,
! J '
/ l
a + 6 + /j
+
ft
vr w)! <2g)! <2fe
XL Ba + 26 + l)Ba + 26 + 2/ + l) ! Ba
( a b a+6 )
J d b,h f j_ t^jha + da + b + f) Ba
\a + d h a + b+f]
+ fe-/)
! B6+2Л+1)
! J '
w
Ba +26 + 1) Ba + i
( a b a+6
«+g+f f
h a+6+/
Ba + 2b + 2/ + l) ! J '

10.9. ЯВНЫЙ ВИД 9 /-СИМВОЛОВ ПРИ НЕКОТОРЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ 305
I d d + t п f 1-Д(« + Ь + /. « + <*. ») Ba + b + d + h + f + l)\(h-b + d + f)\
I xj Г Л *(b*+tf) ' (b + d + /+A+l)!(A+d-/-6)! X
(a + d A
B6) ! Bd) ! Bd) !
TV,
J '
XL Ba + 26 + l)Ba + 2d + l) ! Bd + 2/+ 1) ! Ba+2b + 2/+
(a 6 a + 6 1
l lf<yrt*-, b(a + b+f,g,d + f + b) {2b + 2f + a+d + g+i)l
X
\g
Ba) ! Bd) !
"T/i
J >
a 6 а+Ь |
T .bJi Д(а,/, 6 + А)Д(а,й, a
A a + 6+/)
ft-/)! Г Bа)!B/IBа + 26 + 2А + 2/+1)! "«,
i LBa + 26 + 1) Ba + 26 + 2/ + 1) B6 + 2ft + 1) !j ¦
( a b a + b)
\ eA-f e f {-(-ni-tof^/M/. b + e, a + e + /) (/ + / + 6 + a + 2e + 1) |
(a+e-J-/fe-f-e/J
B/) ! B6) ! B6) !
7/,
! J "
! Ba+ 26 + 1)
6. 9/-СИМВОЛЫ, содержащие пять или шесть триад, в каждой из которых
один из индексов равен сумме двух других индексов
а Ъ а+Ъ
1=
tBa +26 + 1) Bd + 2e + 1) Ba+2i +1) B6 + 2e +
d e d + e 1= : * B7)
] tB +26 + 1) Bd + 2 + 1) B+2i +1) B6 + 2 + l)^"
В частности, из B7) следуют B8), B9):
(а 6 a + 6 ]
\а 6 a + 6 1 = 1 _ B8)
Ba26 2a+26J Ba + 26 + 1) [Da + 1) D6 + 1)] ^' ^
(a a 2a\
la a 2a\ = - B9)
] Da + ip« v '
[2a 2a Aa)
i a b a+b )
\a + g a + g + f f i= tiff C0)
• g а+ъ + + b+f] [Ba + 2g+l)Ba + 26 + l)Ba + 26 + 2/ + l)Ba + 2g + 2/ + l)|/»
В частности,
( a b a+6 )
a + b a + b + f f Н
10.9. ЯВНЫЙ ВИД 9]-СИМВОЛОВ ПРИ НЕКОТОРЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ИНДЕКСОВ
1. Один из индексов равен нулю
В этом случае 9/-символ сводится к 6/символу [110].
(а Ь с)
Id е А = 5.Д, (-1)И*-М+У fa , С] = V5?* К2с + 0 (% + i)]J/l ^ (Ьс^й; ее). A)
Ь Л О] [Bc + l)(% + l)l'/'U d?J
20 Д- А. Варшалович и др.

306
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
С помощью свойств симметрии получаем
ГО с с)
(с е d\ Idee) la Ъ с
е ЬК = Ы g а\ = {е d c> = -ju с с\ = {с ° c\ = {g 8 и>=Чс b a\ = ta с by=^={d e с
da] [eg b] \b ас] [g a d] yb g e] [e d C) @ g g] [g 0 g
(_l)b+d+ofg fa 6 c] W (begd; ae)
~ [Bc+1) B^-f 1)]1/2 \e d g
с 0 c\ tg g 0) (g b el (a g d| ("bo
, = ^d g a> = ^e d c} = |o с cj = {c 0 c\ =
g e]
(a b с
[g
В частности, если два индекса равны нулю, то
(а Ь с\
Id О Д =
\g h oj
Если три индекса равны нулю, то
ia b с
Id e f
(—1)"*
B6 + 1) Bс+1) *
iO 0 0 И'1«т1Мд' + -11^Т1I|
@ 6 с)
[g h Oj
2. Один из индексов 9/-символа равен единице [32]
a 6 с)
ia Ъ с)
id е с\= (—
{g g lj
la be
d e с
2) Bg + 1) 2# Bc -(- 2) Bc + 1) 2 • ф \e d g\ '
2
¦ + 1) (-6 + e + g + 1) F + e + g + 2) F + e - g)
+ [(a-d + g + l)(-a + d-\-g+l)(a+d + g + 2)(a-\-d-l
e b с
a d g
e b с
(a b c + l)
\ d e с s
U + l 8 1 J
1 l
Y; Ъ, c+j
1 l\(a b c + i
T; e, c + T)[e ^ +
/ 1
1 [a, c + y| e,
l\(abc)
e d
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
Величина Aq(k,[s.;c, v) определена формулой 10.5F).
3. Одна из триад есть A/2, 1/2, 1)
В этом случае 9/-символы могут быть выражены через 6/-символы по формуле [16J
(—1J0 (а Ь с\( е d П (—1
(a be
| d e f
(l/2 1/2 1
с /
1/2 1/2
' (а Ъ с
1 Ь/2 g e/ U/2 g а\ ~  Bc"+lf \e d щ

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ 307
Имеются также следующие соотношения, связывающие 9/- и 3/те-символы [9]:
Если d, е, с — целые и d -f- e -f- с — четное, то
[6 Bс + 1) Bd + 1) Bе -f !)]'/«
Если d, е, с — целые и d-\-e-\-c — нечетное, то
( а Ь с
° °ojii/2i/2 т
И [(dg)Ba + l) + (eb)Bb + l) + c + l] f с)
~( ' [6 (с + 1) Bс + 1) Bс + 3) Bd + 1) Be + l)jV. U/2 -1/2 0) '
(а
Bе + 1)]V.
<а Ь с
° °%/2 1/2 1
H..M.L 1(Д - a) Ba + 1) + (е - Ь) Bfe + 1) - с] / а 6 с\
= (—1) 2 [6сBс + 1)Bс —l)Bd+l)Be + l)]'/» U/2 -1/2 Oj'
10.10. СВЯЗЬ ^-СИМВОЛОВ ВИГНЕРА
С АНАЛОГИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДРУГИХ АВТОРОВ
Величины типа 9/-символов Вигнера разные авторы определяли различным образом: Фано [66],
Фано, Рака [18]:
(a b с\ (а Ь с\
d e f\=\d e /I.
Арима, Хори, Танабе [49]:
й е М=Ь е А.
\
Швингер [101]:
(a b c\ (a b c\
й е М=Ь е А.
8 h /7 \g k I)
(а Ь с)
(_l)«+.-e-*iS (abde; cfgh; /) = Id e A.
U h /j
Ян, Хоуп [74J:
(a b c)
X (abde; cf; gh; /) =1^ ^ j
[Bс + 1) B/ + 1) B* + 1) BЛ + i)lVl
Кеннеди, Клиф [79]:
(a b с\ (а Ъ с\
d e f\=U e А-
8 h // [g h j)
10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9]-СИМВОЛОВ
Ниже приведены алгебраические формулы 9;-символов, представленных в форме
(а-\-Х Ь —(— fx c-f-v)
j
a b с >,
Р Т I
20»

308 Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
в которых индексы а, р, у/ и X, j*, v принимают целые или полуцелые значения, лежащие в сле-
следующих интервалах;
0<а<3, 0 < р < 2, 7 = 0,1,
—а < X *S а, — р *g fi < p, —7 < v < 7-
При этом даны формулы только для тех 9/-символов, у которых а ^ J3. Формулы, соответствую-
соответствующие значениям <х<р, могут быть получены из приведенных здесь с помощью соотношений сим-
симметрии 9/-еимволов.
Алгебраические формулы для 9/-символов имеются также в работах Матсунобу и Такебе[120|
и Юциса и Бандзайтиса [45], где индексы принимают следующие значения.
1. В работе [120]: а, р = 1/2; т = 0,1; v = 0, ±1; X, р. = ±1/2.
2. В работе [45]: 0<а<3; О<C<2; т = 0,1;
0<Х<а; 0<ix<P; v==0, ±1.
В таблицах использованы следующие обозначения:
10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ^-СИМВОЛОВ
Ниже приведены таблицы численных значений 9/-символов
a b с \
а е f >
g h 1 I
в виде простых и десятичных дробей для случаев
(g, A, /) = (i/2, 1/2, 0) или A/2, 1/2, 1).
Остальные индексы 9;-символа могут принимать целые и полуцелые значения из промежутка
0 < а, 6, с, d, е, / < 4.
Каждая из таблиц соответствует 9/-символу, у которого индексы а, Ъ, d, e принимают зна-
значения, лежащие в указанном промежутке, а индексы си/ фиксированы.
Все таблицы разбиты на две группы. В первую группу включены таблицы 9/-символов, у кото-
которых индексы си/— полуцелые, во вторую — таблицы для целых индексов си/.
Расположение таблиц внутри каждой из групп указано ниже.
Расположение таблиц 9/-с и м в о л о в
с, / — иолуцелые
с
1/2
3/2
5/2
7/2
1/2
3/2
1/2
3/2
5/2
/
1/2
3/2
5/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
с
3/2
5/2
7/2
5/2
7/2
/
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
J
1
1
1
1
1
с
0
1
2
3
4
1
0
1
2
/
0
1
2
3
4
0
1
1
1
с, 1-
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
целые
с
1
2
3
2
3
4
3
4
/
2
2
2
3
3
3
4
4
;
1
1
1
1
1
1
1
1
Таблицы численных значений 9/-символов имеются также в работах [120, 113, 128].
а. В работах [120, 113] приведены коэффициенты с g, ft=l/2; /=0, 1, а, Ь=0, 1, 2, 3, 4;
d, е=1/2, 3/2, 5/2, 7/2; с, /=0, 1, 2, 3, 4, 5. При этом в [120] значения 9/-символов даются в виде
простых дробей, а в [113] —в виде простых и десятичных дробей.
б. В работе [128] приведены 9/-символы, у которых все индексы целые и принимают следую-
следующие значения:
1 = 1, а, Ъ, с, /<6, d, в < 11.

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
309
ТАБЛИЦА
0 + А.
а
1/2
6 + ?А
6
1/2
10.1
с
1/2
-1/2
1/2
-1/2
2)(s-2c +
L2 Bа + 1) Bа + 2) B6 + 1) B6 + 2) Bс + 1)
Г (s — 26+1) (s — 2а
¦I'"
2 Bа + 1) Bа + 2) B6 + 1) 26 Bс + 1)
(S _ 26) (s — 2a + 1) 7/.
_ 2 • 2а Bа + 1) B6 + 1) B6 + 2) Bс + 1)
Г (« + !)(»-2с) lh
[_2-2аBа + 1J6 B6+1) Bс+ 1) J
ТАБЛИЦА 10.2
а + к 6 + fJ. с + v >
Г
а
I 3/2
6
3/2
0 J
(=0
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
21 Bа+ 1) Bа
1 Г 3(»
2Т
(s + 2) (s + 3) (s + 4) (s - 2с + 1) (s - 2с + 2) (s - 2с + 3) "Т/,
- Ь 2) Bа + 3) Bа + 4) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6 + 4) Bс + 1) J
2) (s + 3) (s — 2с + 1) (s — 2с + 2) (s — 26 + 1) (s — 2a) 7/,
Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba + 4) 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1) J
J_ Г 3 (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 26 + 2) (s — 2a — 1) (s — 2a) 7/,
2 LBa + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba + 4) B6 - 1) 26 B6 + 1) B6 + 2) Bc + 1) J
i_ Г (s — 26 + 1) (s — 26 + 2) (s — 26 + 3) (s — 2a — 2) (s — 2a — 1) (s — 2a) 7A
2 L Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba 4- 4) B6 - 2) B6 - 1) B6) B6 + 1) Bc + 1) J
3 (s + 2) (s + 3) (s — 2c + 1) (s — 2c + 2)(s — 2b) (s — 2a+ 1)
_1_Г
~ 2 L
2a Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6 + 4) Bc + 1)
7/»
J
• _1_ 9 /I I ini ^ — 6U -г 1Ц' — *") 7/s
+ za^ + i^L2aBa + l) Ba + 2) Ba+3) B6 — 1J6B6 + 1) B6 + 2) Bc+ 1) J
J_ Г 3 (s + 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 26 + 2) (s — 2a — 1) (s — 2a) 7/,
T|_2a Ba + l)Ba + 2) Ba + 3) B6 — 2) B6 — 1J6B6 + l)Bc + l) J
2a Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) 26 B6+1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1)
(s — 2b + 1) (s — 2a)
l)Ba + 2) Ba+ 3) B6 — 2) B6 — 1J6B6 + l)Bc-
3 (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26 — 1) (s — 26) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2)
1
-J{3Z.
Ba — 1) 2a Ba
2b (a+ 1)}
1) Ba + 2) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6 + 4) Bc + 1)
(s — 26) (s — 2a+1)
Г
2 {3Z - 2 (a + 1) F + 1)} [ Bo _
Ba —1) 2a Ba+ 1) Ba + 2) 2b B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3)Bc + l)
(s + l)(s-2c)
1"
3s (s + 1) (s — 2c — 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a)
B6+2) Bc
7/.
J
rf
Ba — 1) 2a Ba + 1) Ba + 2) B6 — 2) B6 — 1) 26 B6 + 1) Bc + 1)
1 Г (s — 26 — 2) (s — 26 — 1) (s — 26) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2) (s — 2a + 3) 7/,
~~2~L Ba —2) Ba —1) 2a Ba+ 1) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) B6+ 4) Bc+ 1) J
1 Г 3 (s + 1) (s — 2c) (s — 26 — 1) (s — 26) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2) 7/2
~2~LBa — 2) Ba — 1) 2a Ba + 1) 26 B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1) J
_1_ Г 3s (s + 1) (s — 2c — 1) (s — 2c) (s — 26) (s — 2a + 1) 7/«
~ 2
J_
"
Ba — 2) Ba — 1) 2a Ba + 1) B6 — 1) 26 B6 + 1) B6 + 2) Bc + :
(s — 1) s (s + 1) (s —2c — 2) (s —2c —1) (s — 2c)
Ba —2) Ba —1) 2a Ba+1) B6 — 2) B6 — 1J6B6 + 1) Bc-

310
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.3
а + А. Ь —[— jjl с +
а Ъ с
{ 1/2 1/2 1
1/2
-1/2
1/2
-1/2
Г (s + 2) (s + 3) (s - 2b + 1) (s - 2a + 1) 7/,
L 3 Ba + 1) Ba + 2) B6 + 1) B6 + 2) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
(s + 2) (s — 2c) (s — 26 + 1) ($ — 2b + 2) 7/*
3 Ba + 1) Ba + 2) 26 B6 + 1) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3)
(s + 2) (s — 2c) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2)
2a Ba + 1) B6 + 1) B6 + 2) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3)"
r — 2c — 1) (g — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a + 1) 7/,
•3) J
3 • 2a Ba + 1) 26 B6 + 1) Bc + 1) Bc + 2) Bc + i
1/2
-1/2
1/2
-1/2
. _. Г (s+2)(s-2c , .,
<a °> I 6 Ba + 1) Ba + 2) B6 + 1) B6 + 2) с (с + 1) Bc + 1)
(a+ 6+:
(a + 6 + 1
(s — 26 + 1) (s — 2a) 7/.
6 Ba + 1) Ba + 2) 26 B6 + 1) с (с + 1) Bc + 1) J
(s - 26) (s - 2a + 1) 7/.
6 • 2a Ba + 1) B6 + 1) B6 + 2) с (с + 1) Bc + 1) J
, Г (» + l)(s-2e) 7/.
- a> L 6 • 2a Ba + 1) 26 B6 + 1) с (c + 1) Bc + 1) J
1/2
-1/2
1/2
-1/2
(s — 2c + 1) (s — 2c + 2) (s — 26) (s — 2a)
3 Ba + 1) Ba + 2) B6 + 1) B6 + 2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
i(s — 2a — l)(s — 2a) 7Л
Г
3Ba
Ba + 2) 26 B6 + 1) Bc — 1) 2c Bc + 1)
(s + 1) (s — 2c + 1) (s — 26 — 1) (s — 26)
3 • 2a Ba + 1) B6 + 1) B6 + 2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
Г s (s + 1) (s — 26) (s — 2a) 17
|_ 3 • 2a Ba + 1) 2b B6 + 1) Bc — 1) 2c Bc + 1) J
ТАБЛИЦА 10.4
(a+X 6+Ц c+v)
| a Ь С \
I 3/2 1/2 1 j
7/
J
1/2
-1/2
1/2
-1/2
(s + 2) (s + 3) (s + 4) (s — 2c + 1) (s - 26 + 1) (s — 26 + 2)
2a + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba + 4) B6 + 1) B6 + 2) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3)
s + 2) (s + 3) (s - 26 + 1) (s — 26 + 2) (s - 26 + 3) (s - 2a) 7/.
2 I Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba + 4) 26 B6 + 1) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
: + 36-Зс_Г (s + 2) (s + 3) (s - 26 + 1) (s - 2a + 1)
2 L3-2aBa+1)Ba+2)Ba + 3) B6 + 1) B6+2) Bc+ 1) Bc+ 2) Bc + 3)
36 + 3c - a + 3 Г (s + 2) (s - 2c) (s - 26 + 1) (s - 26 + 2) 7/.
3 • 2a Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) 26 B6 + 1) Bc + 1) Bc + 2) Bc + 3) J
J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
311
ТАБЛИЦА 10.4 (продолжение)
1/2
-1/2
1/2
-1/2
с — 36
^b
(s + 2) (s — 2с) (s — 2а + 1) (s — 2а -+- 2)
3 Bа ¦
а 4-36 4-Зс 4-4
(:
1) 2a Ba + 1) Ba 4- 2) B6 4- 1) B6 4- 2) Bc 4-1) Bc 4- 2) Bc ¦
(s— 2c — l)(s— 2c) (s— 26-f-l) (s—2a 4-1) 7/,
2 L3Ba—1) 2a Ba4-1) Ba4-2) 26 B6 4-1) Bc 4-1) Bc 4-2) Bc 4-3)
If (s — 2c — 1) (s — 2c) (s _ 26) (s — 2a 4-1) (s — 2a + 2) (s — 2a 4- 3) 7/'
т
2 L Ba — 2) Ba — 1) 2a Ba 4-1) Bb + 1) B6 4- 2) Bc 4-1) Bc 4- 2) Bc 4- 3)
2) (s — 2c — 1) (s — 2c) (s —2a 4-1) (s — 2a 4- 2) 7Л
т
1 Г (s 4-1) (s —2c-
T L Ba — 2) Ba —
1) 2а Bа 4-1J6 B6 4-1) Bс 4-1) Bс 4" 2) Bс 4-3) J
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
(s4-2) (s4-3) (s —2c4-i)(s —2c-f-2) (s —
—2а)
Г
L 2 Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) Ba + 4) l2^ + 1) B6 + 2) 2c Bc + 1) Bc + 2)
(S 4- 2) (s — 2c -f-1) (s — 26 4-1) (s — 26 4- 2) (s — 2a — 1) (s — 2a) 7A
J
I"
r
~ L
2 Ba 4
— 2a Ba 4- 6 4- 3)}
7A
J
1) Ba 4- 2) Ba 4- 3) Ba 4- 4) 26 B6 4-1) 2c Bc + 1) Bc 4- 2)
(s 4- 2) (s — 2c 4-1)
c B(, + 1} B(. + 2)
{3Z — 2a Ba — 6 + 2)}
E — 26 4-1) (s — 2a)
3 • 2a Ba 4-1) Ba 4- 2) Ba 4- 3) 26 B6 4- 1) 2c Bc 4- 1) Bc 4- 2)
(s — 26) (s — 2a 4-1)
\a — 1) 2a Ba 4- 1) Ba 4- 2) B6 4-1) B6 4- 2) 2c Bc 4- 1) Bc + 2)
(»+!)(«-2c)
7/,
J
7/i
J
4- 2 (a 4-1) Ba — &)} ^ 2 4 3 ^ _ ^ 2д ^ + ^ Ba+~2) 26 B6 4-1) 2c Bc -
•1) (s — 2c) (s —26 — 1) (s — 26) (s — 2a 4-1) (s — 2a 4-2)
1) Bc + 2)
Г (»4-l) (« — 2c) (s— 2b — 1) (s — 26) (s — 2a4-1) (s — 2a+ 2) 7A
~ L 2 Ba — 2) Ba — 1) 2a Ba 4-1) B6 4- 1) B6 4- 2) 2c Bc 4- 1) Bc 4- 2) J
Г s (s 4-1) (s —2c —1) (s— 2c) (s — 26) (s—2a 4-1) "T/i
L 2 Ba — 2) Ba — 1) 2a Ba 4-1) 26 B6 4- 1) 2c Bc 4-1) Bc 4- 2) J
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
1/2
-1/2
T

3s-
36 — 3c —
7/.
J
(s 4- 2) (s — 2c 4- 1) (s — 2c + 2) (s — 2c + 3) (s — 2a — 1) (s — 2a)
Ba 4-1) Ba 4-2) Ba 4-3) Ba 4-4) B6 + 1) B6+2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
(s — 2c 4- 1) (s — 2c + 2) (s — 26 4-1) (s — 2a — 2) (s — 2a — 1) (s — 2a) 7/«
Ba 4-1) Ba 4- 2) Ba 4- 3) Ba 4- 4) 26 B6 4-1) Bc — 1) 2c Bc 4-1) J
2a 4- 3 Г (s — 2c 4- 1) (s — 2c 4- 2) (s — 26) (s — 2a)
Ba 4-1) Ba 4-2) Ba 4-3) B6 4-1) B6 4-2) Bc — 1) 2c Bc 4-1)
(s 4-1) (8 —2c 4-1) (s — 2a — 1) (s — 2a) 1/-.
-t*
2
3c 4-36 —a 4-2
2a Ba 4-1) Ba 4- 2) Ba 4- 3) 26 B6 4- 1) Bc — 1) 2c Bc 4-1)
(s 4- 1) (s — 2c 4-1) E — 26 — 1) (s — 26)
¦I"
a 4-
2
36 —
3c
, 3 Ba — 1) 2a Ba 4-1) Ba 4- 2) B6 4- 1) B6 4- 2) Bc — 1) 2c Bc 4-1)
¦1 Г s (s 4-I) (s—26) (s—2a)
3 Ba — 1) 2a Ba 4-1) Ba 4- 2) 26 B6 4-1) Bc — 1) 2c Bc 4-1)
(s 4-1) (s — 26 — 2) (s — 26 — 1) (s — 26) (g — 2a 4-1) II:
Ba —2) Ba — 1) 2a Ba 4-1) B6 4-1) B6 + 2) Bc — 1) 2c Bc + 1)
i_ Г (s — 1) s (s + 1) (s — 2c) (s — 26 — 1) (8 — 26) 7A
2 L Ba — 2) Ba — 1) 2a Ba + 1) 26 B6 + 1) Bc — 1) 2c Bc + 1) j
•I"

312
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО}
ТАБЛИЦА 10.5
а + л. 6 + ;л с + v
a b с
\ 3/2 3/2 1
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
Г 3(8 + 5) \(s — 2c+ 2) !(s —26+ !)(* —2а+1)BяI B6) 1 Bc) 1 TV,
[ 2 • 5 (s + 1) ! (s — 2c) 1 Ba + 4) i B6 + 4) ! Bc + 3) I J
Ba)
3(s
B6—1I Bc) 17/,
Bc + 3)! J
Bb — 2) 1 Bc) 1
• 5 (s + 1) ! (s — 26) ! Be + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 3) !
-2) (s —2c) (s — 26 + 4) ! (s —2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc)
(s+4) ! (s— 2c+1) (s — 26 + 2)
— 26) 1 Ba + 4)
3) I (s — 26 + 3) ! (s — 2a) Ba)
7,
2 • 5 (s — 2b) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
¦ (s + 4) ! (s — 2c + 1) (s — 2a + 2) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc
— (a - 6b + 6C)^ 2 • 5 (s + 1) ! (s — 2a) 1 Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc + 3) !
{(
— 2c) (s + 6c + 9) — 2 (s — 26) (s — 2a)} Г-
s + 3)lE —26+l)(8 — 2a+l)Ba —1IB6 —1)! Bc)!
2 • 3 • 5 (s + 1) ! Ba + 3) ! B6 + 3)
s — 26+2)! Ba—1)
Bc + 3) !
—2)!
4
— (a + JO + dc + d)
~ <a + ib ~ 6c +
(*" 2c) ! (» - 26 + 3) I (« - 2a) Ba - 1) ! B6 - 3) ! Bc) ! 1
2 . 5 (s _ 2c — 2) ! (8 — 26) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
(« + 3) 1 (« - 26) (« - 2a + 3) 1 Ba - 2) 1 B6) ! Bc) !
2 • 5 (s + 1) i (s - 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 4) ! Bc + 3)
)
! 7/,
! J
„, ,. , -. 9( 9Mf 9 »r(«-2c)l(»-2»+l)(« + )()()()
-2)(a+b-7e-7)-2(«-2b)(«-2a)}[ 2 • 3 • 5 E - 2c - 2) ! Ba + 2) 1 B6+2) ! Bc + 3) !
(s + l) <5 - 2c' ! (^ - 26 + 2) ! Ba - 2) I B6-3) I Bc) ! 7/,
- Cft - a + 6c
2 • 5 (s — 2c — 3) ! (s — 26) ! Ba + 2) ! B6 ¦
2c) (s — 26) 1(8 — 2a + 4) ! Ba — 3)! B6)
l)!Bc + 3)
3 (s + 2) (8 — 2c) (s — 26) 1 (s — 2a + 4) ! Ba — 3)! B6) ! Bc) 1 7/.
• 5 (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 1) I B6 + 4) ! Bc + 3) ! J
(s — 2c) ! (g — 26) (g — 2a + 3) ! Ba — 3) 1 B6 — 1) ! Bc)
2-5(s— 2c — 2)! (s-2a) ! Ba + 1) ! B6+ 3) !Bc + 3)
[8 + 1) (s — 2c) ! (s — 2a + 2) ! Ba — 3) 1 B6 — 2) 1 Bc) !
2 • 5 (s — 2c — 3) ! (s — 2a) 1 Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc 4- 3)
2c) ! (s — 26 + 1) (g - 2a + 1) Ba - 3) ! B6 - 3) ! Bc) '
c) ! 7/
3)! J
{0 + M + °
3 (s + 1) ! (s
) ( ) ( )
2 • 5 (s - 1) ! (s — 2c — 4) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
4-
¦3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
Ca-
1 7/,
2) ! J
Г 3 (8 4- 4) ! (« - 2c 4- 3) ! Ba) ! B6) ! Bc - 1)
{" ~ ' L & (s + 1) •' (s — 2c) ! Ba + 4) ! B6 + 4) ! Bc + 2)
(g+3I (8 —2c+2) l(s — 26+1) (s — 2a) Ba) 1B6 — 1) lBc —1) 17/,
5 (s + 1) 1 (s — 2c) ! Ba + 4) ! B6 + 3) ! Bc + 2) ! J
(s + 2) (s ~ 2c + 1) (g — 26 + 2) I (s — 2a) ! Ba) 1 B6 — 2) I Bc — 1) 1 7/.
5 (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 2) ! J
Г 3 (8 — 26 + 3) I (8 — 2a) I Ba) i B6 — 3) ! Bc — 1) t 7/,
(a + ь + !) L 5 (g _ 26) ! (e — 2a — 3) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
,_ ' , ,. Г (« + 3) 1 (8 - 2c + 2) ! (8 - 26) (s - 2a + 1) Ba - 1) i B6) I Bc - 1) ! 7/,
F0 — a + d) ^ 5 (s + 1) ! (s — 2c) ! Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc + 2) 1 J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
313
ТАБЛИЦА 10.5 (продолжение)
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
(а - 6) CZ - 2а6)
E+2)(з-2с
?
(s + 1) (s - 2с)
3-5 Bа+ 3) 1 B6 + 3)! Bс+ 2)!
s — 26 + 1) (s — 2а) Bа — 1) ! B6 — 2) ! Bс — 1) ! 7/,
3-5 Bа + 3) 1B6 + 2) I Bc + 2)l ~J
— 26 + 2) I (8 — 2а) 1 B6 - 3) ! Bа — 1) ! Bс - 1) !,Т/,
J
„
+4)
5(s-26) ! (s - 2а — 2) !Bа + 3)! B6+1) !Bс + 2)! J
(« + 2) (« - 2с + 1) (« - 26) ! (s - 2а + 2) 1 Bа - 2) 1 B6) 1 Bс - 1) 1 7/,
5( 2) ! ( 26 2) ! B + 2) ! BЬ + 4) ! B+2) ! J
5(s— 2а) ! (s — 26 — 2) ! Bа + 2) ! BЬ + 4) ! Bс+2) !
1){32+26(а
17/,
J
F -
-(a-
3 • 5 Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
Г (я + 1) (s — 2c) Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! 7/,
a) {AZ - 2 (a + 1) F + 1)} [^ 3-5Ba+2)!B6 + 2)!Bc + 2)! J
+ 1) I (s — 2c) ! (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 2) I Bb — 3) ! Bc — 1) ! 7/1
5 (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 2) !
3 (s — 26) ! (s — 2a + 3) ! Ba — 3) ! Bft) ! Bc — 1) !
гГ
5 (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 4) ! Bc + 2)
(s + 1) (s — 2c) (s — 26) ! (s — 2a + 2) ! Ba — 3) ! B6 — 1) ! Bc — 1) ! Т/а
5 (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 2) ! J
E + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 3) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! 7/»
Г
5 (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
3 (s + 1) ! (s - 2c) ! Ba — 3) ! B6 - 3) ! Bc - 1) ! 7/,
5 (s — 2) ! (s — 2c — 3) f Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 2) .'J
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-[
3 (s + 3) ! (8 — 2с + 4) ! (8 — 26) (8 — 2а) Bа) ! B6) ! Bс — 2) !
- (да - b + dc + d)
(За + 6+Зс+4)[^
3 E
. 5(s + l) ! (s — 2c) ! Ba + 4) !
(s + 2) (8 — 2c+ 3) ! (s ¦
Г
B6 + 4) ! Bс + 1) !
2а) ! Bа) ! B6 — 1) ! Bс — 2) !
. 5 (S _ 2c) I (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 3) ! Bc + 1)
« - 2c + 2) ! (s - 26 + 1) (, - 2a) ! Ba) ! B6 - 2) ! Bc - 2)
Г_
2-5(s-2c)! (s - 2a - 3) ! Ba + 4) 1B6 + 2)! Bc + 1)
1) (s — 2c + 1) (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc — 2) ! II:
! 7/.
! J
) ! 7/,
! J
2 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 4) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
(s -1- 2) (s — 2c + 3) ! (s — 26) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc — 2) !
> • 5 (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc + 1)
{(s + 1) (a+ 6 —7c+ 2) — 2 (s —26+1) (s —2a+ 1)} X
s — 2c + 2) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc — 2) ! 7/:
]"
C6 — a + 3c + 3)
X
X
7/
[~(8
2 ¦ 3 • 5 (s — 2c) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
{(s — 26) F — a + 7c — 1) — 2 (s + 2) (s — 2c)} X
I) (s — 2c+ 1) (s —2a) ! Ba— 1) ! B6 — 2) ! Bc — 2) ! 7A
7/
J
-36
_ C6 + a + 3c + 4)
2 • 3 • 5 (s — 2a — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 1) !
Г (8 + 1) I (8 — 26 + 1) (8 — 2a) 1 Ba — 1) ! B6 - 3) ! Bc - 2)
— 3c)[ 2-5 (s — 1) ! (s — 2a — 3) ! Ba+3) ! B6 + 1) ! Bc+ 1) !
l)Ba-2)!B6)!Bc
+ )()( + )()()(
2 • 5 (s - 2c) ! (s - 26 — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 4) ! Bc +
— {(s —2a) (a— 6 +7c — 1) — 2(s + 2)(s — 2c)} X
8 + 1) (s - 2c + 1) (s — 26) ! Ba - 2) ! B6 - 1) ! Bc - 2) !
2-3-5 (s — 26 — 2) ! Ba+ 2) ! B6 + 3) ! Bc+ 1) !
7/.
J
2)!7/,
J
1) !
7/,
J

314
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.5 (продолжение)
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
X
{(s — 2c 4- 1) (a 4- 6 + 7c) — 2 (s — 26 4-1) (s — 2a 4- 1)} X
" (s 4- 1) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc — 2) !
•3(8.
2 • 3 • 5 (s — 1) ! Ba 4- 2) ! B6 4- 2) Г Bc 4- 1) !
Г (S 4- 1) ! (S — 2c) (s — 2a) I Ba — 2) I B6 — 3) ! Bc — 2) ! 17:
' L 2 • 5 (s — 2) ! (s — 2a — 2) ! Ba 4- 2) ! B6 -f- 1) ! Bc 4- 1) !
1) (s — 2c 4- 1) (s — 26) ! (s — 2a 4- 2) ! Ba — 3) ! B6) ! Bc — 2) ! 7/,
7/
J
— F 4- 3a
2 • 5 (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba 4-1) ! B6 4- 4) ! Bc + 1) ! J
(s 4-1) ! (s — 26) I (s — 2a 4-1) Ba — 3) ! B6 — 1) I Bc — 2)
2 • 5 (s — 1) ! (s — 26 — 3) ! Ba 4-1) ! B6 4- 3) ! Bc -j- 1) !
r + 1) ! (s — 2c) (s — 26) I Ba — 3) ! B6 — 2) I Bc — 2) \\f/-.
-*>P
• 5 (s — 2) ! (s — 26 — 2) ! Ba 4-1) ! B6 4- 2) ! Bc 4-1) !
(s 4- 1) I (s — 2c) I (s — 26) (s — 2a) Ba — 3) ! B6 — 3) ! Bc — 2) I
2 • 5 (s — 3) ! (s — 2c — 2) ! Ba 4-1) ! B6 4-1) ! Bc 4-1) !
J
ТАБЛИЦА 10.6
I 5/2
b
3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
(s 4- 6) ! (s — 2c 4- 3) ! (s — 26 4- 2) ! Ba) ! B6) ! Bc) I 7/
2 • 3 (s 4-1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! Ba 4- 6) ! B6 4- 4) ! Bc 4- 3) 1 J
(s 4- 5) 1 (s — 2c 4- 2) ! (S — 26 4- 3) ! (s — 2a) Ba) ! B6 — 1) ! Bc)
2 (s 4- 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! Ba 4- 6) ! B6 4- 3) ! Bc + 3) !
(s 4- 4) I (s — 2c 4-1) (s — 26 4- 4) I (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) I Bc) ! 7/,
2 (s 4- 1) ! (s — 26) ! (s ¦— 2a — 2) I Ba 4- 6) ! B6 4- 2) ! Bc + 3) ! J
(s 4- 3) I (s — 26 4- 5) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc) ! 7/2
. 2 • 3 (s 4- 1) ! (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba 4- 6) ! B6 + 1) ! Bc 4- 3) ! J
Г (s+5) I (s— 2c_4-2) ! (s —26 4-1) (s — 2a 4-1) Ba — 1) I B6) ! Bc) ! 7/.
( ~a C)L 2-3 • 5 (s 4-1) !(s—2c)! Ba 4-5) !B6-(-4) ! Bc 4-3) ! J
Г (s4-4)!(s— 2c4-l)(s— 26^2)! Ba~ 1)! B6 — 1)! Bc)! 7/.
BaCa-6-3cL-5(8-2c)(8-2a4-l)}^ 2 . 5 (s + lf ! (s _ 26) ! Ba+5) ! B6 + 3) ! Bc + 3) ! J
г (s + 3)!(s — 26 4-3)! (s —2a) Ba —1)! B6 —2)! Bc)! ~tl,
{2aCa4-b-3C4-l)+5(8-2c)(8-2a4-l)}[B+(sYl) I («-2b) 1 Ba +5) I B6+2) ! Bc+ 3) 1 J
(a
- oc 4- D)
Г
+ 2) (s - 2c) (s - 26 4- 4)
5) I B6+2) ! Bc+ 3)
(s - 2a) ! Ba - 1) 1 B6 - 3) ! Bc) !
2 • 3 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba 4- 5) ! B6 4-1) ! Bc 4- 3) !
{Bc — 26 — 1) (a — 26 4- 2c) — (s — 2c)[(s — 26 4- 1)} X
г (д + 4) I (8 - 2c 4- 1) (8 — 2a 4- 2) ! Ba - 2) ! B6) I Bc^
XL
TV,
J
3 • 5 (s 4-1) ! (s — 2a) ! Ba 4-4) ! B6 4-4) ! Bc 4-3) !
(a Ba — 1) Cc — 3a — 6) — 4 (s — 2c) (S — 2a 4-1) Ba — 1) 4- (s — 2c — 1) (s — 2c) E6 4- 5c — a 4- 8)} X
Г (8 4-3) 1(8 — 26 4-1) (8— 2a 4-1) Ba -2) 1 B6-1) ! Bc) ! 7/,
X L 5 (8 4-1) ! Ba 4- 4) ! B6 4- 3) ! Bc 4- 3) ! J
— (a Ba _ 1) Cc — 3a 4- 6 4- 1) — 4 (s — 2c) (s — 2a 4-1) Ba — 1) 4- (s — 2a 4-1) (s — 2a 4- 2) X
|~ (s 4- 2) (s — 2c) (s — 26 4- 2) I Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc) I 7A
5 (s — 26) ! Ba 4- 4) ! B6 4- 2) ! Bc 4- 3) !
{Bc 4- 26 4- 1) (a 4- 26 4- 2c 4- 2) 4- (s 4- 2) (s - 2a 4-1)} X
(s — 2c) I (s — 26 4- 3) ! (s — 2a) Ba — 2) I B6 — 3) I Bc) 1 7/,
3 • 5 (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! Ba 4- 4) ! B6 4-1) ! Bc 4- 3) ! J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
315
ТАБЛИЦА 10.6 (продолжение)
— {Bс — 26 — 1) Bс — 26 — о — 1) — (s — 2с) (s — 26 + 1)} X
Г (s -f 3) ! (8 — 26) (s — 2а + 3) 1 Bа — 3) ! B6) ! Bс) ! 7/»
Х I 3 • 5 (s -f- 1) ! (s — 2а) ! Bа -f 3) ! B6 + 4) ! Bс -f 3) ! J
{(а + 1) Bа + 1) (Зс + За _ 6 + 3) - 4 (» + 2) (¦ - 26 + 1) Bа -f 1) + (« - 26 + 1) (« - 26 + 2) X
Г (s + 2) (i-2с) (s - 2а + 2) ! Bа - 3) ! B6 ->¦ 1) ! Bс) 1 Jh
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
5(з-2
!B6
3)!
1 Jh
J
{(a 4-1) Ba 4- 1) (Зс 4- За 4- 6 4- 4) - 4 (s 4- 2) (s - 26 4-1) Ba 4- 1) 4- (s + 2) (» + 3) X
-' - ¦ • < - --.--- « ¦ i) Ba —3) ! B6 — 2) ! Bc) !"['/,
X Ec + a -56 4- 4)} [- '5 (s - 2c - 2) ! Ba 4- 3) ! B6 4- 2) \ Bc 4- 3) !
{Bc 4- 26 4-1) B6 — a 4- 2c 4- 1) 4- (s 4- 2) (s — 2a 4-1)} X
г (g 4- 1) (S — 2c) ! (s — 26 4- 2) ! Ba — 3) ! B6 — 3) ! Bc) ! 7/,
*• [.3 • 5 (s — 2c — 3) ! (s — 26) ! Ba 4- 3) ! B6 4-1) 1 Bc 4- 3) ! J
Г (, + 2) (8 - 2c) (8 - 26) ! (8 - 2a 4- 4) .1 Ba - 4) 1 B6) ! Bc) I
(D& 4- a — Dc 4- l) ^ 2 . 3 . 5 (s _ 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba 4- 2) ! B6 4- 4) ! Bc 4- 3) !
— {Ba 4- 2) Ca + 6 4- 3c 4- 3) — 5 (s 4- 2) (s — 26 4- 1)} X
E6-
{( 4 ) ( + + 4 ) ( 4 ) ( 4 )}
Г (s — 2с) ! (8 — 26) (s — 2а 4- 3) 1 Bа — 4) ! B6 — 1) ! Bс) ! 7/»
[2 • 5 (s — 2с — 2) ! (s — 2а) ! Bа + 2) ! B6 4" 3) ! Bс + 3) ! J
{Bа 4- 2) (За - 6 4- Зс 4- 2) - 5 (s 4- 2) (s - 26 4- 1)} X
Г (, + 1) (« - 2с) I (« - 2а + 2) I Bа - 4) ! B6 - 2) ! Bс) ! f/,
Х [_2 • 5 (s — 2с — 3) ! (s — 2а) ! Bа 4- 2) ! B6 4- 2) ! Bс + 3) ! J
g 4-1) I (» - 2с) ! E - 26 + 1) (s - 2а 4- 1) Bа - 4) ! B6 - 3) ! Bс) ! 7/,
2-3-5(s —!)!(* —2с —4) !Bа4-2) 1B64-1) !Bс 4-3)! J
(s - 2с) ! (s — 26) ! (s — 2а 4- 5) ! Bа - 5) ! B6) ! Bс) 1 7/i
3) ! J
Г (s - 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a 4- 5) ! Ba - 5) ! B6) ! Bc) !
~ L 2 • 3 (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba 4-1) ! B6 4- 4) ! Bc 4- 3)
г (g 4- 1) (g _ 2c) I (8 — 26) ! (s — 2a 4- 4) 1 Ba — 5) ! Bb — 1) ! Bc) !
L 2 (s — 2c — 3) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba 4- 1) ! B6 4- 3) ! Bc 4- 3) !
Г (s 4- 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) (s — 2a 4- 3) ! Ba — 5) ! B6 — 2) I Bc) !
~L 2(s — 1) ! (s — 2c — 4) ! (s— 2a) !Ba4-l) ! B6 4-2) ! Bc 4-3) !
(s 4-1) ! (s — 2c) ! (s - 2a 4- 2) ! Ba — 5) ! B6 - 3) ! Bc) ! 7/,
2 • 3 (s — 2) ! (s — 2c — 5) ! (s — 2a) ! Ba 4- 1) ! B6 4- 1) ! Bc 4- 3) ! J
1A,
J
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
Г (s4-5) ! (s— 2c 4-4) !(s —26 4-1) (s —2a): Ba) 1B6) !Bc — 1) 1
T
3 (s 4- 1) 1 (s — 2c) 1 Ba 4- 6) ! B6 4- 4) ! Bc 4- 2) !
(s -f- 4) I (s — 2c 4- 3) ! (s — 26 4- 2) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 1) !]Bc — 1) 1 17:
(s 4- 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba 4- 6) ! B6 4- 3) ! Bc + 2) !
(s 4- 3) 1 (s — 2c 4- 2) ! (s — 26 + 3) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) 1 Bc — 1) 1 7Л
(s 4- 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba 4- 6) ! B6 4- 2) ! Bc + 2)
s 4- 2) (s — 2c 4-1) (s — 26 4- 4) 1 (8 — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) 1 Bc — 1) I
3(s —26) ! (s —2a —4) ! Ba 4-6) ! B6 4-1) ! Bc 4- 2) !
— 1)! 7/i
j
X
X
7/
J
{3 (s — 26) (s — 2a — 1) — 2 (s 4- 4) (s — 2c) 4- 2a Ba + 5)} X
(s 4- 3) [ (S _ 2c 4- 2) ! (8 — 26 4- 1) (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc — 1) !
5(s4-l) ! (s —2c) ! Ba 4-5) ! B6 4-3) ! Bc 4-2) !
{ _ 3 (s 4- 1) (s — 2c 4- 2) 4- 2 (s — 26 4- 3) (s — 2a 4- 1) 4- 2a Ba 4- 5)} X
Г (s4-2) (s—2c 4-1) (8 —26 4-2) 1 (s —2a) ! Ba—1) ! B6 — 2) ! Bc — 1) !
L 5 (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba 4- 5) ! B6 4- 2) ! Bc 4- 2) !

316
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.6 (продолжение)
{ - 2 (а + 6 + 1) (За + 56 + 5с + 5) + 5 (s + 1) (s + 2)} X
Г (s — 26 + 3) ! (s — 2а) ! Bа — 1) ! B6 — 3) ! Bc — 1) ! 7/."
X L 3 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
{4 (s + 4) (s — 2c) — 6 (s — 26 — 1) (s — 2a) — 6 Ba — 1) (a + 2)} X
(s + 3) ! (s — 2c + 2) ! (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 2) !.B6) ! Bc — 1) !
2-3-5(s + l) ! (s —2c) ! Ba + 4) ! B6+4) ! Bc+2) !
{(s + 3) (* - 2c) [- (s + 4) (s - 2c - 1) + 2 Ba - 1) (a + 2)] - (s - 26) (s - 2a) (a + 36 + 3c 4- 5) X
(« + 2) <» - 2c 4- 1) Ba - 2) 1 Bb - 1) 1 Bc - 1) 1
2-5Ba + 4)! B6 + 3) ! Bc+2) !
2) (s -2a + 1) [(s - 26 + 3) (s - 2a + 2) + 2 Ba - 1) (a + 2)] - (s + 1) (s - 2c 4- 1) X
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
3/2
1/2
-1/2
-3/2
?
36 4
-I"
- {(s - 26
X(a-
+3c
l)(«-2q)Bq-2)lBft-2)lBC-l)|-jv
J
J
} X
7/,
J
2 • 5 Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
D (S — 26 + 3) (s — 2a + 1) — 6s (s — 2c + 1) + 6 Ba — 1) (a + 2)} X
(8 + 1) (8 — 2c) (s — 26+2) I (s —2a) ! Ba —2) ! B6 — 3) I Bc —1) ! 7/,
2 • 3 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
D (s - 26 + 1) (s - 2a + 3) - 6 (s + 1) (s - 2c + 2) + 6 Ba + 3) (a - 1)} X
+ 2) (s — 2c + 1) (s — 26) ! {$ — 2a 4- 2) ! Ba — 3) ! B6) I Bc — i) !'
2 • 3 • 5 (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc + 2) !
{(s - 2a + 2) (s - 26 + 1) [(s - 2a + 3) (s - 26 + 2) + 2 Ba + 3) (a - 1)] - (s - 2c + 1) (s + 1) X
Г Is — 26) Is — 2a + 1) Ba — 3) ! B6 — 1) ! Bc — 1) ! 7/»
X(-a + 36 + 3c + 4)(a- m"-"IJ ^ ^—^ —K- — '-
{(.+2)(.-2c-l)[
X Cc - a - 36 + 1) Cc + a -,- u» -r u,^ 2 ¦ 5 Ba +3) ! B6 + 2) ! Bc + 2) 1
_ {4 (s + 2) (s — 2c — 2) — 6 (s — 26) (s — 2a — 1) — 6 Ba + 3) (a — 1)} X
s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 + 1) (s —2a) Ba — 3) ! B6 — 3) ! Bc — 1)
3& 4- Зс)} Г-
2 • 5 Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
(s + 3) (s — 2c — 2) + 2 Ba + 3) (a — 1)] — (s — 26) (s — 2a) X
• + 1) (s — 2c) Ba — 3) ! B6 — 2) ! Bc -
Г
2 ¦ 3 • 5 (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! Ba + 3) ! Bb + 1) ! Bc + 2) !
B (a + 6 + 1) Ec + 56 + 3a + 8) - 5 (s + i) (s + 2)} X
—2a+ 3) ! Ba —4) ! B6) ! Bc —1) !
I 7/,
J
r (g—26) ! (s —
L 3 • 5 (s — 26 — 3) !
7/,
! J
(s — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 4) ! Bc + 2)
{ _ 3s (s — 2c + 1) + 2 (s — 26 + 1) (s — 2a + 3) + 2 (a 4- 1) Ba — 3)} X
(g + 1) (8 — 2c) (8 — 26) ! (s - 2a + 2) ! Ba - 4) ! B6 - 1) ! Bc - 1) !
]'¦
X
5 (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
_ C (s - 26 - 1) (s - 2a) - 2 (s + 2) (s - 2c - 2) + 2 (a + 1) Ba - 3)} X
1 (8 + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 4) 1 Bb — 2) 1 Bc — 1) 1 7/,
5 (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc + 2) ! J
B (a — 6) E6 — 3a + 5c + 2) + 5 (s — 2a) (s — 2a + 1)} X
(s + 1) ! (s — 2c) ! Ba — 4) ! B6 — 3) ! Bc — 1) ! 7/»
. 3 • 5 (s — 2) ! (s — 2c — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
' (8 + 1) (s — 2c) (s — 26) ! (s — 2a + 4) ! Ba — 5) I B6) ! Bc — 1) ! 7Л
3 (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 4) ! Bc + 2) ! J
(s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a 4- 3) ! Ba — 5) ! B6 — 1) ! Bc — 1) I 7/.
(s — 1) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 2) ! J
(s + 1) I (s — 2c) ¦! (s - 26) ! (s _ 2a + 2) ! Ba - 5) ! B6 — 2) ! Bc - 1) ! 7/.
(s — 2) ! (s — 2c — 3) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 2) ! J
(s + 1) I (s — 2c) ! (8 — 26) ! (s — 2a + 1) Ba — 5) ! B6 — 3) ! Bc — 1) I
3(s —3) ! (s —2c —4) ! Ba-i-l) ! B6 + 1) ! Bc + 2)
¦]*

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
317
ТАБЛИЦА 10. В (продолжение)
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
-1/2
—3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
г (s + 4) ! (s — 2c + 5) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6) 1 Bc — 2) !
|_2-3(s + l) l(s— 2c) ! (8— 2a — 2) I Ba+ 6) ! B6 + 4) ! Bc + 1) !
• (s + 3) 1 (s — 2c + 4) ! (s — 26 + 1) (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 1) ! Bc — 2) !
2(s + l) l(s — 2c) ! (s — 2a — 3) ! Ba+ 6) !B6 + 3) I Bc + 1) !
¦ (S + 2) (s — 2c + 3) ! (s — 26 + 2) 1 (s — 2a) ! Ba) I B6 — 2) ! Bc — 2) !
¦I"
2 (s — 2с) ! (s — 26) ! (s — 2а — 4) ! Bа + 6) ! B6 + 2) ! Bс + 1) !
(s — 2с + 2) ! (s — 26 + 3) ! (s — 2а) ! Bа) ! B6 — 3) ! Bс — 2) !
!_ 2 • 3 (s
— E6 — a + 5c + 3)
{2a Ca —6 + Зс+З) —5(s + i)(s — 26)}
г!
2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 5) 1 Ba + 6) ! B6 + 1) ! Bc + 1) 1
s + 3) ! (s — 2c + 4) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 1) ! B6) 1 Bc — 2)
2 • 3 • 5 (s + 1) ! (s — 2c) ! Ba + 5) 1 B6 + 4) ! Bc + 1) 1
(s + 2) (8 — 2c + 3)! (s — 2a)! Ba — 1)! B6 — 1)! Bc —
2 • 5 (s — 2c) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc +
r(s— 2c + 2) 1 (s — 26— l)(s— 2a)! Ba —1IB6 — 2)! Bc-
{2aCa + 6+3c+4)-5(8 + l)(8-26)}[t2,5(s_^!(g_2a^3)!B^5)!('2;; + 2)!^e_1
(» + 1) (8 - 2с + 1) (s - 26 + 2) 1 (s - 2а) ! Bа - 1) ! B6 - 3) 1 Bс - 2) !
2-3-5(s — 26)!(s — 2а — 4) ! Bа+ 5) ! B6+1) ! Bс +1) !
2)MV.
1)IJ
¦2mv,
i) ij
¦Г
л
Г(,+2)(»
[_ 3-5(s —
X
— 2c + 3) ! (s — 26) ! Ba — 2) I B6) ! Bc — 2) ! 7/,
¦2c) ! (s — 26 — 2) !Ba + 4)!B6+4)!Bc + l)! J
{a Ba — 1) Ca + 6 + 3c + 3) — 4 (s + 1) (s — 26) Ba — 1) — s (s + 1) E6 — 5c — a + 3)} X
1 (s — 2c + 2) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 2)! B6 — 1) ! Bc — 2) ! 7/i
5(s —2c) ! Ba + 4) ! B6 + 3) !Ba + l) ! J
{a Ba — 1) Ca — 6 + 3c + 2) — 4 (s + 1) (s — 26) Ba — 1) + (s — 26 — 1) (s — 26) E6 + 5c + a + 2)} X
(s + 1) (s — 2c + 1) (s — 2a) 1 Ba — 2) ! B6 — 2) I Bc — 2) 1 ]V.
5(s— 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc+ 1) ! J
{Bc — 26 + 1) Bc — a — 26) — (s — 26) (s — 2c + 1)} X
Г (8 + 1) I (8 — 26 + 1) (8 — 2a) 1 Ba - 2) ! B6 - 3) ! Bc - 2) ! 7/.
XL 3-5(s —1)! (s —2a —3) ! Ba + 4) !B6 + l) !Bc+l) ! J
- {B6 + 2c + 3) (a + 26 + 2c + 3) + (s + 1) (s - 2a)} X
Г (8 - 2c + 2) ! (s - 26) ! (s - 2a + 1) Ba - 3) ! B6) 1 Bc - 2) 1 7/,
XL 3-5(s — 2c) ! (s — 26 — 3) ! Ba+ 3) ! B6 + 4) ! Bc+ 1) ! J
— {(a + 1) Ba+ 1) F — 3a+3c)— 4 (s — 2c + 1) (s — 2a) Ba + 1) — (s — 2a — 1) (s — 2a) X
¦ (я + l) (s — 2c + 1) (s — 26) ! Ba - 3) I B6 — 1) ! Bc — 2) ! 1'/.
5(s —26 —2) ! Ba+ 3) ! B6+ 3I Bc+ 1) !
— {(a + 1) Ba + 1) Cc — b — 3a — 1) — 4 (s — 2c + 1) (s — 2a) Ba + 1) — (s — 2c + 1) (я — 2c + 2) X
(s + 1) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 3) ! B6 — 2) ! Bc — 2)
Х (а_ 56- 5с -
5 (s — 1) ! Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 1) !
{Bc — 26 + 1) (a — 26 + 2c + 1) — (s — 2c + 1) (s — 26)} X
! (s — 2c) (я — 2a) ! Ba — 3) ! B6 — 3) I Bc — 2)
'-I
-f
Hi-
— 2) !(s — 2a — 2) ! Ba+ 3) ! B6+1) ! Bc+ 1) ! J
.,, Г (» + 1) (8 - 2c + 1) (« - 26) ! (8 - 2a + 2) 1 Ba - 4) 1 B6) ! Bc - 2) 1 7/,
lOD + a+DC~T~D)L 2-3-5(s— 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba+2) ! B6 + 4) ! Bc+ 1) ! J
— {2 (a + 1) Ca + b — 3c) + 5 (s — 2c + 1) (s — 2a)} X
Г (s + 1) ! (s — 26) ! (s - 2a + 1) Ba - 4) ! B6 - 1) ! Bc - 2) ! 7/,
XL 2-5(8 — 1) ! (s — 26 — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc+ 1) ! j
{2 (a + 1) Ca - 6 — 3c — 1) + 5 (s - 2c + 1) (s - 2a)} X
Г (s + 1) ! (s — 2c) (s — 26) ! Ba — 4) ! B6 — 2) I Bc — 2) 1 7/,
Xl_2-5(s-2) ! (s — 26 —2) ! Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc+ 1) ! J
s + 1) I (s - 2c) ! (s - 26) (8 - 2a) Ba - 4) ! B6 - 3) ! Bc — 2) 1
2 • 3 • 5 (s — 3) ! (s — 2c — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
(a —56

318
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.6 (продолжение)
3/2
1/2
-1/2
—3/2
— 26) ! (s — 2а + 3) ! Bа — 5) ! B6) ! Bс — 2) !
. 2 ¦ 3 (s — 1) ! (s — 26 — 5) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 4) ! Bc + 1)
¦(s + 1) 1 (s —2c) (s—26) 1 (s — 2a+ 2) I Ba,—5) ! B6 — 1) ! Bc — 2) !
rf
-[
2 (s - 2) ! (s - 26 - 4) ! (s - 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
+ 1I(8- 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a + 1) Ba - 5) ! Bb — 2) ! Bc — 2) ! 7/.
J
2(s — 3) !(s — 2c — 2) ! (s —26 — 3) ! Ba+1) ! B6 + 2)! Bc+ 1) !
(s + 1) ! (s - 2c) ! (s - 26) ! Ba - 5) ! B6 - 3) ! Bc - 2) 1
2 • 3 (s — 4) ! (s — 2c — 3) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 1)
7/
J
7/,
! J
ТАБЛИЦА 10.7
а+ >. Ь +- (л c + v
а 6 с
1 1 О
1
О
-1
1
о
—1
1
о
—1
+ 2) (s + 3) (* - 2с + 1) (s - 2с + 2)
h
т
3 Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1)
Г 2 (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a)
L 3 Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) 26 B6+1) B6 + 2) Bc + 1)
(s _ 2b + 1) (8 — 26 + 2) (s — 2a — 1) (s — 2a)
3 Ba + 1) Ba + 2) Ba + 3) B6 - 1) 26 B6 + 1) Bc + 1)
2 (8 + 2) (8 — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a + 1)
3 • 2a Ba + 1) Ba + 2) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1)
2Z
[3 • 2a Ba + 1) Ba + 2) 26 B6 + 1) B6 + 2) Bc + i)p>
2 (8 + 1) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a)
-[¦
т
.3-2aBa + 1) B6+2) B6-
(s — 26 — 1) (s —26) (8-
-1J6B6 + 1)Bс
2а+ 1) E — 2а + 2)
. 3 Ba — 1) 2a Ba + 1) B6 + 1) B6 + 2) B6 + 3) Bc + 1)
2 (s + 1) (8 — 2c) (s — 26) (s — 2a 4-1)
3 Ba — 1) 2a Ba + 1) 26 B6 + 1) B6 + 2) Bc + 1)
s (s + 1) (s — 2c — 1) (s — 2c)
-Е
Г
, 3 Ba — 1) 2a Ba + 1) B6 — 1) 26 B6 + 1) Bc + 1)
ТАБЛИЦА 10.8
+ ^ 6 + fl C + V
a 6 с
2 2 0
(s + 5) ! E—2с + 4) ! Ba) ! B6)
rl"
1.5 (s + 1) ! (s —2c>J Ba+5) ! B6 + 5) ! Bc + 1),
(8 + 4) ! (s — 2c+ 3) ! (s —26 + 1) (s —2a) Ba) ! B6 — 1) ! 7/.
L 5(s + l) ! (s —2c) !Ba + 5) ! B6 + 4) ! Bc+ 1)
6 (8 + 3) ! (s — 2c + 2) 1 (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) !
. 5 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc
(s + 2) (s - 2c + 1) (8 - 26 + 3) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) !
5 (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 5) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
Г
-I"
:T

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9/-СИМВОЛОВ
319
ТАБЛИЦА 10.8 (продолжение)
—2
2
1
0
—1
—2
2
1
0
—1
—2
2
1
О
-1
—2
2
1
О
—1
—2
г (s - 26 + 4) ! (s - 2a) 1 Ba) ! B6 - 4) ! 7Л
L 5 (s - 26) ! (s - 2a - 4) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 2) J
Г (s + 4) ! (s — 2c + 3) ! (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 1) ! B6) !
L 5(s + l) ! (s — 2c) ! Ba+ 4) ! B6 + 5) ! Bc+ 1)
(s + 3) I (s — 2c + 2) 1 Ba — 1) ! B6 — 1) I 14,
(s + 1) ! (s —2c) ! Ba+4) I B6+4) ! Bc+l) J
4 {Z + a F + 1)}
5 Ba + 4) ! B6 + 3)! Bc+ 1)
(s _ 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba - 1) ! B6 — 3) !
5 (g — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
2c) (s — 26 + 3) ! (s — 2a) ! Ba — 1) ! B6 - 4) ! 7/,
¦]"
г L 5 (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Bo + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 1)
6 (s + 3) ! (s - 2c + 2) ! (s - 26) 1 (s — 2a + 2) ! Ba - 2) ! B6) !
5 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 3) ! B6 + 5) ! Bc + 1)
6 (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26) (g — 2a + 1) Ba — 2) ! B6 — 1)
5Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc+ 1)
Ba — 2) ! B6 — 2) !
if
¦]"
T
1J.
2{3Z(Z-i)-ia(a + i)b(b+4)l^r+3)H2b + 3)rBc
6 (» + 1) (» — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 2) ! B6 — 3) !
5 Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
6(s + l)!(s-2c)!(s-26+2) ! (s — 2a) !Ba-2) 1 B6 — 4)! lh
. (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 1)
Г (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26) ! (s — 2a + 3) 1 Ba — 3) ! B6) !
~2L 5 (s - 26 - 3) ! (s — 2a) I Ba + 2) ! B6+5) ! Bc + 1)
(s — 26) ! (s — 2a + 2) ! Ba - 3) ! B6 - 1) !
T
— 2{Z — e—
(s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 4) ! Bc + i
J 6 (s + 1) (s — 2c) (s - 26) (s — 2a + 1) Ba - 3) ! B6 — 2)
5 Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 1)
T
¦3I
(s + 1) ! (s — 2c) \(s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 3) ! B6 — 4) !
5 (s — 2) ! (s — 2c — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc +1)
(s — 26) ! (s — 2а + 4) ! Ba — 4) ! B6) !~|7
J
J
~|7
J
5 (s - 26 - 4) ! (* - 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 5) ! Bc + 1)
s + 1) (s — 2c) (s — 26) ! (s — 2a + 3) ! Ba — 4) ! B6 — 1) ! 7/,
J
7/
J
5(s —26 —3) ! (s— 2a) ! Ba+1) ! B6 + 4) ! Bc+ 1)
6 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a + 2) ! Ba — 4) ! B6 — 2) I
i (s — 1) ! (g _ 2c — 2) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 1)
' (s + i) ! (s — 2c) ! (s - 26)(s - 2a + 1) Ba - 4) ! B6 — 3) ! Ih
Г
L
5(s—2) ! (s —2c —3) ! Ba+l) !B6 + 2) !Bc +
(s + 1) !(s-2c) ! Ba-4)! B6-4) !
5 (s — 3) ! (s — 2c — 4) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 1)
7/
J
7/,
J

320
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.9
а + Х 6 + jj. с + •
a 6 с
1
1
1
1
0
—1
1
О
]
1
О
—1
(s -f 4) ! (s — 2с + 1) {s — 26 + 1) (s — 2а + 1) Bа) ! B6) ! Bс) ! Т/з
J
3(s+l)!Ba + 3) !B6 + 3)!Bc + 3)!
Г 2(s+3) ! (s — 26 + 2) ! Bа) I B6 — 1) ! Bс)
! !¦/„
3) ! J
_ 3 (s -+- 1) ! (s - 26) ! Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc +
+ 2) (s — 2c) (s — 26 + 3) ! (s — 2a) Ba) ! B6 — 2) ! Bc) !
3 (s — 26) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 3) I
2(s+3) 1 (s — 2a +2) ! Ba — 1) 1 B6) 1 Bc) 1
Г
2(с
. 3 (« + 1) ! (. - 2o) ! Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 3) !.
: + 2) (s — 2c) (s — 26 + 1) (s — 2a + 1) Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc) !
3Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc + 3) !
2(8 —2c) ! (S - 26 + 2) ! Ba—1)! B6-2)! Bc) I 7/,
(s — 2c — 2) ! (s — 26) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
(s + 2) (s — 2c) (s — 26) (s — 2a + 3) ! Ba — 2) 1 B6) ! Bc) ! 7/.
3(s —2o) ! Ba + l) ! B6+3) ! Bc + 3) ! J
2(s —2c) 1 (s — 2a+2) ! Ba — 2) 1B6 — 1) ! Bc) ! 7/,
(s _ 2c — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 3) ! J
E + 1) (s — 2c) ! (s — 26 + 1) (s — 2a + 1) Ba — 2) 1 B6 — 2) ! Bc) !
3 (s — 2c — 3) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
v = 0
1
0
—1
1
0
—1
1
0
—1
a-b)[-3
2(s+3) ! (s — 2c + 2) ! Ba) ! B6) ! Bc — 1) !
3 (s + 1) ! (s — 2c) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
(s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba) ! B6 — 1) ! Bc — 1) ! 7A
2F + 1)
26
3 Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
2 (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) ! Bc — 1) !
+ ) L 3 (s — 2&) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 2) !
(s+2)(s—2c+l) (s—26) (s—2a+l)Ba—1) ! B6) ! Bc —1) !
3Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc+ 2) !
0
s + 1) (s —2c) (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! 7/,
J
Г
2a
3 Ba+ 2) !B6 + l)! Bc+ 2)!
, , ,J 2(s-26)!(s-2a + 2)!Ba-2)!B6)!Bc-l)!
— (« + 6 + 1) ^ 3 (s _ 26 _ 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) I B6 + 3) ! Bc + 2) !
(s + 1) (s — 2c) (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 2) ! Bb — 1) 1 Bc — 1) I
г
a) I
3Ba+l)!B6 + 2)!Bc+2)!
l)!(s-2c)!Ba-2)!B6-2)!Bc-l)!
T
f/,
2(s + l)!(s2c)!Ba2)!B62)!Bcl)! f/
3 (S _ 1) I (S _ 2c _ 2) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
1
0
—1
1
•[¦
2) !
-{a-
¦(«¦
F.
(s + 2) (8 — 2c + 3) ! E — 26) (s — 2a) Ba) ! B6) ! Bc ¦
3 (s — 2c) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
Г 2 (s -2c + 2)! (s -2a)! Ba)! B6-1)! Bc -2)!
' c + ' |_ 3 (s — 2c) I (s — 2a — 2) 1 Ba + 3) I B6 + 2) ! Bc
- 1) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a) ! Ba) ! B6 -
3(s—2a —3) ! Ba+ 3) ! B6 + 1) ! Bc+ 1) !
2 (s — 2c + 2) ! (s — 26) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc — 2) !
3 (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
1) !
2) ! Bc - 2) !

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
321
ТАБЛИЦА 10.9 (продолжение)
0
0
1
1
1
0
—1
1
0
—1
Г (s + 1) (я — 2c + 1) (s — 26) (я - 2a) Ba - 1) ! B6 - 1) ! Bc - 2) 1 7/2
2c[ Ba+ 2) ! B6 + 2) ! Bc+ 1) ! J
2 (s + 1) ! (s — 2a) ! Ba —1) ! B6 — 2) ! Bc — 2) !
-[¦
3(s — 1) ! (s — 2a — 2) ! Ba+ 2) ! B6 + 1) ! Bc+ 1)
(я+1)(я-2с + 1)(я—26) !(д —2a+l)Ba-2) ! B6) 1 Bc — 2) I T/«
Г
(а~ с)[_3
3 (s
2(s
26 — 3) ! Bа + 1) ! B6 + 3) ! Bс + 1) !
l) ! (я — 26) 1 Bа — 2) ! B6 — 1) ! Bс — 2)
-I"
]/»
. 3 (я — 1) ! (s - 26 - 2) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 1) ! J
' (я + 1) I (я — 2c) (я — 26) (я — 2a) Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc — 2) ! 7/,
3 (s — 2) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 1) ! J
V-
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
—1
—1
2
2
-2
1
0
—1
1
0
—1
1
0
—1
1
0
—1
1
0
Г (s + 5) ! (я — 2c + 2) ! (s — 26 + 2) ! Ba) ! B6) ! Bc) !
(_ 5 (я + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc + 3)
2(s+4) ! (s —2c+l)(s—26 + 3) ! (я — 2a) Ba) ! B6 — 1) ! Bc) !
(я + 3) ! (s — 26 + 4) ! (я — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) ! Bc) !
2F-,
[_ 5 (s + 1) 1 (s — 26) ! (я~— 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 3)
(я + 4) ! (я - 2c + 1) (я - 26 + 1) (s - 2a + 1) Ba - 1) 1 B6) ! Bc
5 (s + 1) ! Ba + 4) ! B6 + 3) ! Bc + 3) !
.,.,. ч . , , . w , . n Г 2 (< + 3) I (« - 2b + 2) I Bд - 1) I B6 - 1) I Bc) I 7/,
2 {6 F - c) + (a + 6 - c) (c + 1)} |_ 5 (s + 1} 1 (s _ 26) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 3) ! J
Г (я + 2) (я — 2c) (я — 26 + 3) ! (я — 2a) Ba — 1) ! B6 — 2) ! Bc) I 7/2
2F + c+l)|^ 5 (я— 26) ! Ba+ 4) ! B6+1) !Bc+3) ! j
,,,,. ., Г (я+ 3)! (я-2a+ 2)! Ba-2) 1B6)! Bc)! 7/,
2 {3 F - c)a - a (a + 1)} ^ 2 .3 . 5 (s + j) ! (s _ 2a) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 3) I j
2{a(a+l) + 36F + l) — 3c(c + 2)— 3}
2 {3
1)}
+ 1) — a (a
— 2 F — с) Г-
2 {6 F — c) — (a — 6 + с + 1) (с
5 (я + 1) ! (я — 2a) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc
(я+2) (я — 2c) (я — 26 +1) (я—2a+1) Ba—2)! B6 — 1)!Bc)!
3 • 5 Ba + 3) t B6 + 2) ! Bc + 3) !
! Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc) !
_ 2c _ 2) 1 (J _
)! 7/,
c + 3) , J
(s + 2) (s - 2c) (s - 26) (s - 2a + 3) ! Ba - 3) ! Bb) ! Bc) I 77.
5 (s — 2a) ! Ba+ 2) ! B6 + 3) 1 Bc+3) ! J
77
J
.„Г 2
1)} [_ 5 E
1Bа-3IBй-1IBеI
+
7/
J
— 2c-2) !(s-2a) ! Ba+ 2) !B6+2) I.Bc + 3)I
(я + 1) (я — 2c) ! (я — 26 + 1) (s — 2a + 1) Ba — 3) ! B6 — 2) ! Bc) I 7/.
5 (s — 2c — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
Г (я — 2c) ! (я — 26) ! (я — 2a + 4) ! Ba — 4) ! B6) ! Bc) ! 7/,
1.5 (я — 2c — 2) ! (я — 26 — 2)! (я — 2a) ! Ba+ 1) ! B6 + 3) ! Bc+3) ! J
2 (я + 1) (я - 2c) ! (s — 2b) (я — 2a + 3) ! Ba — 4) ! B6 — 1) ! Bc) П/г
5 (я — 2c — 3) ! (я — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 3) ! J
(s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 2a + 2) ! Ba — 4) ! B6 — 2) I Bc) 1 7/,
5(я — 1) ! (s— 2c — 4) !(s — 2a) ! Ba+1) ! B6+1) ! Bc+3) ! J
21 Д. А. Варшалович и др.

322
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.10 (продолжение)
1
о
—1
1
о
—1
1
о
—1
1
о
-1
1
о
—1
2 {с
4 (с — 6) (с
4) 1 (8 - 2с + 3) 1 (s — 26 + 1) (s — 2а) Bа) ! B6) ! Bс - 1) 1 7/»
5(8 + 1) ! (s — 2с) ! Bа+5) ! B6 + 3) ! Bс + 2) ! j
г (g + 3) ! (s — 2с + 2) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2a)' 1 Bа) ! B6 — 1) ! Bс — 1) ! 7/,
— 2[_5(s + l) ! (s — 2с) ! (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 5)! B6 + 2I Bс + 2) 1 J
2 (s + 2) (s - 2с + 1) (s - 26 + 3) ! (s - 2а) ! Bа) ! B6 - 2) ! Bс — 1) ! 7/,
5(s — 26) !(s — 2а — 3) ! Bа+ 5) ! B6 + 1) ! Bс + 2) !
м , , ь I wi. I . п ¦ 2 (« + 3) 1 (« - 2е + 2) I Bа - 1) 1 B6) ! Bс - 1) !
_ 6) + (а - 6 + с) F + 1)} [ 5 (S _}_ 1) ! (S _ 2с) ! Bа + 4) ! B6 + 3) ! Bс + 2)
! 7/
! J
(8 + 2) (s — 2с + 1) (s — 26 + 1) (s - 2а) Bа - 1) 1 B6 — 1) ! Bс - 1) 1
5 Bа + 4) 1 B6 + 2) ! Bс + 2) !
Г 2 (s — 26 + 2) ! is — 2а) ! Bа — 1) ! B6 — 2) 1 Bс — 1) !
2{с(с + 6+1)-6(8 + 1)}[5;5_26O(;_2а_2;ц2а + 4) 1B6 + 1) l|2c + 2)l
(s + 2)(s — 2с +
Ik
J
— 26)(s— 2а+1)Bа—2)!B6)!Bс—
1J _ в(в+1) -3e(c-r I,/ L 3-5Bо + 3) 1B6 + 3) ! Bс + 2)
2 VJ {а (а + 1) [а (а + 1) + 26 F + 1) + 2с (с + 1)] - 3 F - сJ F + с + IJ} X
Bа — 2) ! B6 — 1) 1 Bс —1)
•г
х
ы
— 2 {362 — а(а + 1) — Зс (с + 1)}
5Bа+3) 1B6+ 2)! Bс+ 2)
[s + 1) (s — 2с) (s - 26 + 1) (s - 2а) Bа - 2) 1 B6—2)! Bс —1) I
3-5Bа+*3)!B6 + 1)!Bс + 2)!
Г 2(s-26)l(8 — 2а + 2)! Bа— 3) ! B6I Bс — 1) ! 7/а
2 {с (с - 6) - (а + 6 - с + 1) F + 1)} j_5(s_2b_2)|(s_2a)!Ba + 2)!B6 + 3)!Bc + 2)! J
— 4 (с-6) (с
2 {с (с-6+1)+ 6 (а-6 +
Г
Г
— 2 [_
— 2с) (s — 26) (s — 2а + 1) Bа — 3) ! B6 — 1) ! Bс — 1) !
5 Bа+ 2) 1B6 + 2)! Bс + 2)!
2 (s + 1) 1 (s — 2с) 1 Bа - 3) ! B6 — 2) ! Bс — 1) !
5(s — 1) ! (s — 2с — 2) ! Bа+ 2) ! B6 + 1) 1 Bс + 2) 1
I"
(s + 1) I (s — 2с) ! (s - 26) ! (а — 2а + 2) ! Bа — 4) ! B6 - 1) 1 Bс — 1) ! ~iU
5 (s - 1) ! (s - 2с - 2) ! (s — 26 - 2) ! (s — 2a) ! Bа + 1) ! B6 + 2) ! Bс + 2) ! J
¦ 2 (s + 1) ! (s — 2с) ! (s — 26) (s — 2а + 1) Bа — 4) 1 B6 — 2) ! Bс — 1) !
5 (s — 2) ! (s — 2с — 3) ! Bа + 1) 1 B6 + 1) ! Bс + 2) !
г 2 (s + 1) (s — 2с) (8 — 26) 1 (s — 2а + 3) ! Bа — 4) ! B6) ! Bс — 1) !
|_ 5 (s— 26 — 3) ! (в — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 3) ! Bс + 2) !
1
0
—1
1
О
—1
1
(8 + 3) ! (s — 2с + 4) ! (s — 2а) ! Bа) ! B6) 1 Bс — 2) !
5 (s + 1) ! (s — 2с) 1 (s — 2а — 2) ! Bа + 5) 1 B6 + 3) ! Bс + 1) !
s + 2) (s - 2с + 3) ! (s — 26 + 1) (s - 2а) 1 Bа) ! B6 — 1) ! Bс - 2) !
5 (s — 2с) 1 (s — 2а — 3) 1 Bа + 5) 1 B6 + 2) ! Bс + 1) 1
г (s — 2с + 2) 1 (s — 26 + 2) 1 (s — 2а) 1 Bа) 1 B6 — 2) ! Bс — 2) !
|_5(s-2c) l(s — 26) l(s —2о —4) 1 Bа+5) 1 B6+1) 1 Bс + 1)!.
[s + 2) (s - 2с + 3) ! (s - 26) (8 - 2а) Bа - 1) 1 B6) ! Bс - 2)
5 (s — 2с) ! Bа + 4) 1 B6 + 3) ! Bс + 1) !
: + 2) I (» — 2a) ! Bа — 1) 1 B6 — 1) ! Bс — 2)
ТА
J
2 {Ъ (с + 6 + 1) - с (s
— Z (с — Ь)
5(s-2c)!(s-2a-2)!Ba + 4)!B6 + 2)!Bc + l) !
(s + 1) (s - 2с + 1) (s - 26 + 1) (s - 2а) ! Bа- 1) 1 B6 - 2) ! Bс - 2)
5 (s —2а—3) ! Bа+4) ! B6 + 1) ! Bс + 1) ! '
ТА
J
! 7/,
j

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
323
ТАБЛИЦА 10.10 (продолжение)
0
1
1
1
2
2
2
-1
1
0
—1
1
0
—1
2 {3F — c)a — a (a
(s + 1) ! (s — 2a) ! Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc — 2) !
2 • 3 • 5 (s — 1) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 1)
: + 1) (s — 2c + 1) (s — 26) ! (s — 2a +.1) Ba — 3) ! B6) ! Bc — 2)
5 (s — 26 — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
,,.,. ,,, , . , , Г 2 (s + \) ! (S - 26) I Ba - 3) ! B6 - 1) ! Bc - 2) !
2 F F - с + 1) + с (a + 6 - с)} [ 5 (s - 1) ! (s - 26 - 2) ! Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
¦ + 1) ! (s — 2c) (s — 26) (s — 2a) Ba — 3) ! B6 — 2) 1 Bc — 2) !'
_2F
-r
'-]'¦
2 (с
- 6) [¦
5 (s — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
s + 1) 1 (8 — 26) ! (s — 2a + 2) ! Ba - 4) ! B6) ! Bc - 2) ! 7/2
— 1) ! (* — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 1) ! J
2 (s + 1) ! (s — 2c) (s — 26) ! (s — 2a + 1) Ba — 4) ! B6 — 1) ! Bc — 2) !
5(s— 2) !(« — 26 — 3) !Be+l) ! B6 + 2) ! Bc+ 1) !
(s + 1) 1 (s — 2c) 1 (s — 26) I Ba — 4) 1 B6 — 2) 1 Bc — 2) !
. 5 (s — 3) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
ТАБЛИЦА 10.11
а + X 6 + jj. c + v
а 6 с
2 2 1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
0
—1
2
2
1
0
1
0
0
—1
—2
2
1
2c + 3) ! (s - 26 + 1) (s - 2a + 1) Ba) ! B6) ! Bc)
(S + 6) ! (s
3-5 (s + 1) ! (s -2c)! Ba + 5) 1B6 + 5)! Bc + 3) !
(8 + 5)!(s-2c+2)!(s-26 + 2)!Ba)!B6-l)
+ Bc — 2a — :
J
Bc)! Ту.
! (s — 2c) ! (s —26) ! Ba+5) ! B6+4) ! Bc + 3) ! J
2 (s + 4) ! (s — 2c + 1) (s — 26 + 3) ! (s — 2a) Ba) ! B6 — 2) ! Bc) I Jh.
- Zc +
г
г> I 3 •
5 (s + 1) ! (s — 26) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc + 3) !
(s + 3) ! (s — 26 + 4) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc)
(» + 2)
5 (s + 1) ! (s - 26) ! (s - 2a - 2) ! Ba + 5) ! B6 + 2) ! Bc + 3)
s — 2c) (s — 26 + 5) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 4) ! Bc)
f
rj"
Г (*
2 B6 — a — 2c) -s-^
4 {(s - 2c) (s + с + 2) - 3a6} Г
3 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 3) 1 Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
I ! (S _ 2a + 2) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc) !
rf
(S ^_ i) ! (S _ 2c) ! (s — 2a) ! Ba + 4) ! B6 + 5) ! Bc + 3)
(s_+ 4)_!js_— 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a + 1) Ba— 1)! B6—1) I Bc)!
3-5(s + l) I
2(s-
Ba + 4) ! B6
3) 1 (s — 2b
4) ! Bc + 3) !
! Ba — 1) ! B6 — 2) I
17/*
— 2 B6 + a + 2c + 2)
Bc - 26 —
4 {(s - 2a + 1) (a - 6 + 2c + 1) - 3e F + 1)} X
(S + 2) (s — 2c) (s — 26 + 3) ! (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 3) ! Bc) ! T/.
3 • 5 (s — 26) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 3) ! J
(8-2c) ! (8-26 + 4) !(8-2a)!Ba-l)! B6-4)! Bc) 1
5(s_2c —2) ! (s —26)! (s — 2a — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc+3)
2 (s + 4) ! (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a + 3) ! Ba — 2) ! B6) ! Bc)) !
5(s —2a) ! (s + 1) ! Ba+3) ! B6 + 5) ! Bc + 3) !
(s + 3)! (s — 2a + 2)! Ba —2)! B6 — 1)!
ТУ,
3)! J
21*

324
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.11 (продолжение)
-2
2
1
—1
-2
2
1
О
—1
2
3(s
(s —2c)(s —
—2a+l)Ba —2) ! B6-2) ! Bc) !
-BС + 26+1
B6 + а —2с +
5 Bа + 3) ! B6 + 3) ! Bс -f- 3) !
2 {(b + с + 1) F + 1 - Z) + (с + 1) (s + 2) (s _ 2а + 1)} X
Г 2 (s — 2с) ! (s — 26 + 2) ! Bа — 2) ! B6 — 3) ! Bс) ! 7А
X I 5 (s — 2с — 2) ! (s — 26) ! Bа + 3) ! B6 + 2) ! Bс + 3) ! J
2 (S + 1) (s — 2с) ! (s — 26 + 3) ! (s — 2а) Bа — 2) ! B6 — 4) ! Bс) ! 7А
5 (s — 2с — 3) ! (s — 26) 1 Bа + 3) ! B6 + 1) ! Bс + 3) !
(s + 3) ! (s — 26) ! (s, — 2а + 4) ! Bа — 3) ! B6) ! Bс) 1
т
Г
L 3 •
7/,
J
-4{(s + 2)(s — Зс)—3(а
2 (а — 26 — 2с — :
5 (s + 1) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2а) ! Bа + 2) ! B6 + 5) ! Bс + 3)
4 {(« - 26 + 1) F - а + 2с + 1) - 36 (а + 1)} X
Г (s + 2) (s — 2с) (s — 26) (s — 2а + 3) ! Bа — 3) ! B6 — 1) ! Bс) ! 7А
Х[ 3-5(s —2а) ! Bа + 2) ! B6 + 4) ! Bс + 3) ! J
- 2 {(а + с + 1) (а + 1 - Z) + (с + 1) (S + 2) (s - 26 + 1)} X
2 (s — 2с) 1 (s — 2а + 2) 1 Bа — 3) 1 B6 — 2) ! Bс) 1 7/,
(s — 2с — 2) ! (s — 2а) ! Bа + 2) ! B6 + 3) ! Bс + 3) ! J
s+1) (s —2с)! (s —26 + 1) (s — 2д+1) Bа —3)! B6 — 3) !Bс)Г
3 • 5 (s — 2с — 3) ! Bа + 2) ! B6 + 2) ! Bс + 3) !
1) ! (s — 2с) ! (s — 26 + 2) ! Bа — 3) I B6 — 4) ! Bс) !
(s
3 • 5 (s — 1) ! (s — 2с — 4) ! (s — 26) ! Bа + 2) ! B6 + 1) ! Bс + 3) !
s + 2) (s — 2с) (s — 26) ! (s — 2а + 5) ! Bа — 4) ! B6) ! Bс) !
3 • 5 (s — 26 — 3) ! (s — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 5) ! Bс + 3) !
(s _ 2с) ! (s — 26) ! (s — 2а + 4) ! Bа — 4) ! B6 — 1) ! Bс) !
(s — 2с — 2) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 4) ! Bс + 3) !
s + 1) (к — 2с) 1 (s — 26) (s — 2а + 3) ! Bа — 4) ! B6 — 2) ! Bс) 1 7/»
5 (s — 2с — 3) ! (s — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 3) ! Bс + 3) !
Г (« + 1) I (« - 2с) I (« - 2а + 2) I Bа - 4) I B6 - 3) ! Bс) !
2 \la~ b + Zc + 1>l3-b{s — 1) ! (s— 2с — 4) ! (s— 2а) ! Bа+ 1) ! B6 + 2) ! Bс + 3)
(s + 1) ! (s — 2с) ! (s — 26 + 1) (s — 2a+l) Bа — 4) ! B6 — 4) ! Bс)
—Т1
3)! J
3 • 5 (s — 2) ! (s — 2c — 5) ! Ba -f-1) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
2
1
0
—1
-2
2
1
0
—1
г 2(s+5)!(s-2c + 4)!Ba)!B6)!Bc-l)! -f/.
^ (а — й) [ з ¦ 5 (s + 1) ! (s — 2с) ! Bа + 5) ! B6 + 5) ! Bс + 2) ! J
Г 2 (« + 4) 1 (s - 2с + 3) 1 (« - 26 + 1) (s - 2а) Bа) ! B6 - 1) ! Bс - 1) I
Z {Za — 6 + Z) ^ 3 • 5 (s + 1) ! (s — 2с) ! Bа + о) ! B6 + 4) ! Bс + 2) !
г (s + 3) ! (s — 2с + 2) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2а) ! Bа) ! B6 — 2) ! Bс — 1) !
2 Bа + 3) [_ 5 (s + 1) ! (s — 2с) I (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 5) ! B6 + 3) ! Bс + 2) ! .
Г 2 (s + 2) (s - 2с + 1) (s - 26 + 3) ! (s - 2а) ! Bа) ! B6 - 3) ! Bс - 1) ! 7А
2Bа+6 + 3)^ 3-5 (s — 26) ! (s — 2а — 3) ! Bа+ 5) ! B6 + 2) ! Bс+2) ! J
2 (s — 2b 4- 4) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 4) ! Bc — 1) !
-r
2 B6
• 5 (s — 26) 1 (s — 2a — 4) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 2)
4) ! (s — 2c + 3) ! (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 1) ! B6) ! Bc — 1) !
Г 2 (s
' a + 2) [_ 3-5 (s+1) ! (s — 2c) ! Ba+ 4) ! B6 + 5) ! Bc+ 2) !
_ Г 2 (« + 3) ! (« - 2c + 2) ! Ba - 1) ! B6 - 1) I Bc - 1) 1 7/,
4 F - a) (a6 - Z}^ 3.5(s + i) !(s_2c)!Ba+4) !B6 + 4) !Bc + 2) ! J
4 (Z + a) (a + 1)
(« + 2) (s - 2c + 1) (« - ,26 + 1) (s - 2a) Ba - 1) ! B6 - 2) ! Bc - 1) !
5Ba + 4)!B6 + 3)!Bc
- 26 + 2) !J^- 2a) !Ba
2)!
B6-3) 1 Bc — 1) !
^
- 2a - 2) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc + 2)
•r

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
325
ТАБЛИЦА 10.11 (продолжение)
2
2
1
0
1
2
2
1
О
j
2
2
1
О
1
2
J
+ д>
2 (« + 1) (» ~ 2с) (« - 26 + 3) ! (« - 2а) ! Bа - 1) ! B6 - 4) ! Bс - 1) !
3-5.(s — 26) ! (s — 2а — 3) ! Bа + 4) ! B6 + 1) ! Bс + 2) !
(« + 3) ! (« - 2с + 2) I (« - 26) ! (« ¦*- 2а+ 2) ! Bа - 2) ! B6) ! Bс - 1) ! Ту,
5 (s + 1) ! (s — 2с) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2а) ! Bа + 3) ! B6 + 5) ! Bе + 2) ! J
(« + 2) (« - 2с + 1) (« - 26) (s - 2а + 1) Bа - 2) ! B6 - 1) ! Bс - 1) ! ТА
J
5Bа + 3) ! B6+4) !Bс
О
2)
J
- Ъ - 1) 6 Г
~ 3) '
2 B6 —
+ а + 3)
5Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
(s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba — 2) ! B6 — 4) ! Bc — 1) ! ТА
5 (s — 1) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 1) ! Bc + 2) !
2 (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26) ! (s — 2a + 3) ! Ba — 3) ! B6) ! Bc — 1) !
3 • 5 (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 5) ! Bc + 2) !
_ 4 (а + 6 + 1) {Z + 6 (а + 1)} [ 3 ¦ 5
1 (s + 1) (s — 2с) (s — 26) (s
2 (s — 26) ! (s — 2а + 2) ! Bа — 3) ! B6 — 1) ! Bс — 1) I
- 26 - 2) ! (s - 2а) ! Bа + 2) ! B6 + 4) ! Bс + 2)
ТА
J
ТА
J
¦ 2a + 1) Ba — 3) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! ТА
// j.vr/ i 4WJ. , п г»
4 (а - 6) {(а + 1) F + 1) - Z}
5 Bа+ 2) ! B6 + 3) ! Bс + 2) !
2 (« +lj I («-2с) I Bа - 3) I Bй - 3) I Be-1)
ТА
J
2 Bа +
. 5 (, - 1) ! (, - 2с - 2) ! Bа + 2) ! B6 + 2) ! Bс + 2)
2 (« + 1) ! (s - 2с) ! (« - 26 + 1) (s - 2а) Bа - 3) ! B6 - 4) ! Bс - 1) !
3-5(s — 2) ! (s — 2с — 3) ! Bа+ 2) ! B6 + 1) ! Bс + 2) !
Г 2 (s — 26) ! {s — 2а + 4) ! Bа — 4) ! B6) ! Bс — 1) ! ТА
2 (а + 6 + 1) L з . 5 (s — 26 - 4) ! (s — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 5) ! Bс + 2) ! J
2 (s + 1) (s — 2с) (s —26) ! (s — 2а + 3) ! Bа — 4) ! B6 — 1) 1 Bс — 1) ! ТА
ТА
! J
ТА
J
-f
3-5 (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba+1) ! B6+4) ! Bc + 2) !
Г (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! {s — 2a + 2) ! Ba — 4) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! ТА
a~iS>\_5(s — 1) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba+ 1) ! B6 + 3) ! Bc + 2) ! J
2 (s + 1) ! (s— 2c) ! (s— 26) (s — 2a+ 1) Ba — 4) ! B6 — 3) ! Bc —1)
¦ 2 F — 2a
3 • 5 (s — 2) ! (s — 2с — 3) ! Bа + 1) ! B6 + 2) ! Bс 4- 2)
2(«+1I(«-2еIBа-4)!Bй-4IBе-1I ТА
! J
2(+1IBIB4)!Bй4)Bе)
(о — "¦) L з . 5 (s — 3) ! (s — 2с — 4) ! Bа + 1) ! B6 + 1) ! Bс + 2)
(s + 4) ! (s — 2с + 5) ! {s — 26) (s — 2а) Bа) ! B6) ! Bс — 2)
-г
3 . 5 (s + 1) ! (s — 2c) ! Ba + 5) ! B6 + 5) ! Bc + 1) !
9/9 * , 9 .-.Г (s+3)!(s-2c+4)!(s-2a)!Ba)!B6-l)!Bc-2)! ТА
— z tza ° "t~ zc "i~ ^ [ 3 ¦ 5 (s + 1) ! (s — 2c) I (s — 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 4) ! Bc + 1) ! J
' 2 (s + 2) (s — 2c + 3) ! (s — 26 + 1) (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) ! Bc — 2) ! ТА
— 2 Ba+6
-2
2 B6 — a
•4{(« + l)(«
+ 2c + 3) [
:» + !)(«¦
5 (s — 2c) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc + 1)
(S _ 2c + 2) ! (s — 26 + 2) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc — 2) ! ТА
! J
3-5(s-2c) ! (s - 26f!
2с + 1) (s — 26 + 3) !
- 2a — 4) ! Ba + 5) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
! - 2a) ! Ba) ! B6 - 4) ! Bc - 2) !
3 • 5 (s — 26) ! (s — 2a — 5) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
f + 3) 1 (s — 2c + 4) ! (s — 26) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc — 2)
— 3c) —За6}Г-
т/.
5(s + l) ! (s —2c) ! (s—26 —2) ! Ba+ 4) ! B6+5) ! Bc+ 1) ! J
(s + 2) (s — 2c + 3) ! (s — 26) (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc — 2) !
3 • 5 (s — 2c) ! Ba + 4) ! B6 + 4) ! Bc + 1) !
2 (s — 2c + 2) ! (s — 2a)! Ba — 1)! B6 — 2)! Bc — 2)! 7/,
ТА.

326
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.11 (продолжение)
—1
—2
2
1
О
—1
—2
2
1
О
—1
—2
2
1
О
-1
-2
— 4 {За (Ь + 1) — (s — 26) Bс + 6 — а + 1)} X
(g -f 1) (s — 2с + 1) (s — 26 -f-1) (s — 2а) ! Bа — 1) ! B6 — 3) ! Bc — 2) ! T/.
3-5(s—2а —3) ! Bа + 4) ! B6 + 2) ! Bc + l) ! J
-2Ь + 2I(«-2аIBд-1)!-Bй-4IBе-2I "Т/
J
о , Г (« + 1I(«-2Ь
а ^c)[_3.5(s_i) ! (s_
2{(Z + 6)F + c+l
2cBZ + 2c —
2{(Z —6 —1)(
26) ! (s —2а —4) ! Bа+ 4) ! B6 + 1) ! Bс+ 1) !
2 (s + 2) (s — 2с + 3) I (s — 26) ! (s — 2а + 1) Bа — 2) ! B6) ! Bс — 2) ! 1'Л
5 (s — 2с) ! (s — 26 — 3) ! Bа + 3) ! B6 + 5) ! Bс + 1) I J
г 2 (s — 2с + 2) ! (s — 26) ! Bа — 2) ! B6 — 1) ! Bс — 2) !
-c(s + l)(s — 2а)} [_ 5 (s — 2с) ! (s— 26 — 2) ! Bа + 3) ! B6 + 4) ! Bс + 1) !
3 (s + 1) (s — 2с + 1) (s — 26) (s — 2а) Bа — 2) 1 B6 — 2) 1 Bс — 2) ! 7'А
5 Bа+ 3) ! B6 + 3) ! Bс+ 1) ! J
2(s + i)! (s —2а)! Bа —2)! B6 — 3)! Bс —2)! 7/'
J
6) + c(s — 2с + 1) (s-
(s — 1)! (s — 2а — 2)! Bа + 3)! B6 + 2)! Bс + 1)! J
Г 2 (« + 1) 1 (s - 2с) (« - 26 + 1) (s - 2а) 1 Bа - 2) I B6 - 4) 1 Bс - 2) 1 >
(Zc-Zb + i)^ 5(s—2) !(s — 2а-3) ! Bа + 3) ! B6 + 1) ! Bс + 1) ! J
6)
(g — 2с + 2) ! (s — 26) ! (s — 2а + 2) ! Bа — 3) ! B6) ! Bс — 2) !
- 4 {36 (а + 1) - (s - 2а) Bс + а - 6 + 1)} X
' 7/'
1I J
х Г (s + 1) (s - 2с + 1) (s — 26) ! (s — 2а + 1) Bа — 3) ! B6 — 1) ! Bс — 2) !
3 • 5 (s — 26 — 3) ! Bа + 2) ! B6 + 4) ! Bс + 1) 1
s + 1) ! (s — 26) ! Bа — 3) ! B6 — 2) ! Bс — 2) !
(s — l)!(g — 26—2)!Bа + 2)!B6 + 3) !Bс
4 {(« - 2с + 1) (s + с + 2) - 3 (а + 1) F + 1)} X
1 (s + 1) ! (s — 2с) (s — 26) (s — 2а) Bа — 3) ! B6 — 3) ! Bс — 2) ! 1/,
X
zo + a +
{т
3-5 (s— 2) ! Bа+ 2) ! B6 + 2) ! Bс+ 1) ! J
(s + \) I. (S _ 2с) ! (s — 2а) ! Bа — 3) ! B6 — 4) I Bс — 2) !
5 (s — 3) ! (s — 2с — 2) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 2) ! B6 + 1) ! Bс + 1)
-]'¦
Г
~2l
Bc-2a
(s + 1) (g — 2c + 1) (s — 26) ! (s — 2a + 3) ! Ba - 4) ! B6) ! Bc — 2) ! 7/,
J
3 • 5 (s — 26 — 5) ! (s — 2а) 1 Bа + 1) 1 B6 + 5) 1 Bс + 1) ! J
г (s + 1) ! (g — 26) ! (g — 2а+ 2) ! Bа — 4) ! B6 — 1) ! Bс — 2) ! 7/,
|_ 3 • 5 (s — 1) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2а) ! Bа + 1) ! B6 + 4) ! Bс + 1) ! J
2 (a + 1) ! (s — 2с) (s — 26) ! (s — 2а + 1) Bа — 4) ! B6 — 2) ! Bс — 2) ! 7'/'
5 (s — 2) ! (s — 26 — 3) ! Bа + 1) ! B6 + 3) ! Bс + 1) ! J
— 26) ! Bа - 4) ! B6 — 3) ! Bс - 2) ! JU
¦ 5 (s — 3) ! (s — 2с — 2) ! (s — 26 — 2) ! Bа + 1) ! B6 + 2) ! Bс + 1) ! J
(S + 1) I. (S _ 2с) ! (s — 26) (s — 2а) Bа — 4) 1 B6 — 4) 1 Bс — 2)
3 ¦ 5 (s — 4) ! (s — 2с — 3) ! Bа + 1) ! B6 + 1) ! Bс + 1) !
-]"
ТАБЛИЦА 10.12
i(a + X 6+fJ. c + v
j a 6 с
I 3 2 1
-Г
(s + 7) I (s — 2с + 4) ! (s — 26 + 2) 1 Bа) I B6) ! Bс) !
7 (s + 1) ! (s — 2с) ! (s — 26) ! Bа + 7) ! B6 + 5) ! Bс + 3)
s + 6) ! [s — 2с + 3) ! (s — 26 + 3) ! (g — 2а) Bа) ! B6 — 1) ! Bс) ! 7/-
7 (s + 1) ! (s - 2с) ! (s - 26) ! Bа + 7) ! B6 + 4) 1 Bс + 3) ! J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
327
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
0
-1
-2
2
1
—1
—2
2
—1
—2
№
! (s— 2c + 2) ! (s-26 + 4) \.(s — 2a) ! Ba) ! B6-2) ! Bc)
1) ! (s - 2c) ! (s — 26) ! (s - 2a - 2) ! Ba + 7)! B6 + 3) ! Bc + 3)
+ 4) ! (s — 2c + 1) (s — 26 + 5) I (s — 2a) 1 Ba) ! B6 — 3) ! Bc) 1 7/.
(s + 1) ! (S — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 7) ! B6 + 2) ! Bc + 3) !
(s+3) ! (s - 26 + 6) ! (s — 2a) I Ba) ! B6 — 4) ! B^ !
]"
-]"
77.
J
C6 —a—3c) P
7 (s + 1) ! (« - 26) ! (s - 2а - 4) ! Bа + 7) ! B6 + 1) ! Bс + 3) !
2 (« + 6) ! (s — 2с + 3) 1 (s — 26 + 1) (s — 2а + 1) Bа — 1) I B6) 1 Bс) 17/,
3 - 7 (s + 1) ! (s — 2с) ! Bа + 6) ! B6 + 5) ! Bс 4- 3) !
w
- с) (s -
3) (s
Г2(8
- 2с)} [_ 3 . 7
1Bа-1)!B6-1)!Bс)!ТА
6)! B6 + 4)! B 4 3) ! J
(« + 1)! (« - 2е) I (« - 26)! Bа 4" 6)! B6 + 4)! Bс 4- 3) ! J
2 {а (а 4- 2с + 5) + 3 F - с) F 4- с 4-1)} X
s 4- 4) 1 (s — 2с 4- 1) (s — 26 4- 3) 1 (s — 2а) Bа — 1) 1 B6 — 2) I Bс)
7 (s + 1) ! (s — 26) ! Bа + 6) ! B6 + 3) ! Bс + 3) !
2 {3 (с 4- 6 + 1) (s - 2с 4-1) - (а + 3) (s - 2а + 1)} X
2(s + 3) ! (s— 26 4-4) ! (s — 2а) ! Bа— 1) ! B6 — 3) ! Bс) ! 7/.
J
-г
Г
L 3 ¦ 7
s + 1) ! (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 6) I B6 + 2) ! Bс + 3)
а 4-4с 4-d)
« + 2) (« - 2с) (, - 26 + 5) 1 (« - 2а) 1 Bа - 1) ! B6 - 4) I Bс)
3-7 (s — 26) ! (s - 2а - 3) ! Bа+6) ! B6 + 1) ! Bс +3) !
1'А
J
{(s — 2с — 1) (s — 2с) — 8 (s — 2с) (s — 26) + 6 (s — 26 — 1) (s — 26)} X
V Г (s + 5) ! (s — 2с + 2) ! (s — 2а + 2) 1 Bа — 2) ! Bb) ! Bс) ! 7/.
X|_3.5-7(s+l) ! (s — 2c) !(s— 2a) ! Ba 4-5) ! B6+5) !Bc + 3) ! J
{(s — 2c — 1) (s — 2c) (s — 2a + 2) Ba + 4) Ba + 5) — 2 (s — 2c) (s — 2c + 2) (s — 2a + 1) X
X Ba - 1) Ba + 5) + (s - 2c + 2) (s - 2c + 3) (s - 2a) 2a Ba - 1)} X
Г (a + 4) I (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a + 1) Ba — 2) ! B6 — 1) ! Bc)
XL 3.5-7(s + l) ! Ba+ 5) ! B6 + 4) ! Bc + 3) !
—2c) (S_2a+1) Ba+ 5) [(s — 2c — 1) (s — 2a + 2) Ba +4) — 2 (s — 2c+1) (s — 2a) Ba — 1)] +
+ 2a Ba — 1) (s — 2c + 1) (s — 2c + 2) (s — 2a — 1) (s — 2a)} X
(s + 3) ! (s — 26 + 2) ! Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc) ! 7/.
J
7/i
J
7/
J
5 • 7 (s + 1) ! (s — 26) ! Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc + 3)
{(s — 2a + 1) Ba + 5) [(s — 2c — 1) (s - 2a + 2) Ba + 4) - 2 (s - 2c) (s — 2a - 1) Ba - 1)] +
+ 2a Ba — 1) (s — 2c + 1) (s — 2a - 2) (s - 2a — 1)} X
' (s + 2) (s — 2c) (s — 26 + 3) I (s — 2a) Ba — 2) ! B6 — 3) ! Bc)
3 • 5 - 7 (s — 26) ! Ba + 5) I B6 + 2) ! Bc + 3) !
{(, _ 2a + 1) (, _ 2a + 2) + 8 (s + 1) (> - 2a + 1) + 6s (s + 1)} X
(s —2c) ! (s — 26 + 4) ! (s — 2a) ! Ba — 2) ! B6 — 4) ! Bc) ! 7/,
Г (
XL
7/.
J
X
3 • 5 • 7 (s — 2c — 2) ! (s — 26) ! (s — la — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 1) ! Bc + 3)
2 {a (a + 1) — 5 (b — с + 1) F — с) — 2} X
(s + 4)!(s-2c + l)(s
T
— 26) (s — 2a + 3) ! Ba — 3) I B6) ! Bc) I 7/i
2a) ! Ba+ 4) ! B6 + 5) I Bc + 3) ! J
X
5-7 (s + l) ! (s
{(s — 2c — 1) (s — 2c) Ba + 3) Ba + 4) [(s — 2c — 2) (s — 2a + 3) Ba + 2) — 3 (s — 2c + 1) X
(s — 2a + 2) Ba — 2)] + (s — 2c + 1) (s — 2c + 2) Ba — 1) Ba — 2) [(s — 2c) (s — 2a + 1) Ba + 4K —
3)l(s-2a + 2)!Ba-3)lB6-l)!Bc)!
— (s - 2c + 3)
2a). 2a]} [y^
! (s-2a) ! Ba + 4) ! B6 + 4) ! Bc + 3)
7/,
J

328
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
2 {[с (с + 2) + а (а + 1) - 6 F + 1)] • [Юс - 10Z + 4 Bаа + 2а + 1)] — 2с (с + 2) Bа — 1) Bа + 3) +
+ Bа + 4) Bа _ 2) [а (а + 1) + 36 F + 1) - Зс (с + 2) - 3]} X
• 3 (s + 2) (s — 2с) (s — 2b + 1) (s — 2а + 1) Bа — 3) ! B6 — 2) ! Bс) ! 7/»
—2
—1
—2
2
1
X
2 • 5 • 7 Bа + 4) ! B6 + 3) ! Bс + 3)
— (s — 2c + 1) (s — 2a — 2) 2a]} l-^yf
{s — 2a + 1) (s — 2a + 2) Ba + 3) Ba + 4) [(я — 2c — 2) (я — 2a + 3) Ba + 2) — 3 (s — 2c — 1) X
X (« — 2a) Ba — 2)] + (s — 2a — 1) (s — 2a) Ba — 1) Ba — 2) [3 (s — 2c) (s — 2a + 1) Ba + 4) —
(s — 2c) ! (s — 26 + 2) ! Ba — 3) 1 Bb — 3) ! Bc) ! 7/.
- 2c — 2) ! (s — 26) ! Ba + 4) ! B6 + 2) ! Bc +3I J
- 2 {a (a + 1) - 5 F + c) F + с + 1) - 2} X
¦f l)(s — 2c) ! (я — 26 + 3) ! (s— 2a) Ba— 3) ! B6 — 4) ! Bc) ! 7/,
5 • 7 (s — 2c — 3) ! (s — 26) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
{(я — 26 + 1) (s — 26 + 2) — 8 (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) + 6 (s — 2c + 1) (я — 2c + 2)} X
Г (s + 3) ! (я — 26) I (я — 2a + 4) ! Ba — 4) ! B6) ! Bc) ! 7/i
X I 3 • 5 • 7 (s + 1) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 3) ! B6 + 5) ! Bc + 3) ! J
— {(* — 26 + 1) Ba — 3) [(s + 3) (s — 26 + 2) Ba — 2) — 2 (s + 2) (s — 26 — 1) Ba + 3) | +
+ Ba + 2) Ba + 3) (я + 1) (s - 26 — 2) (s — 26 - 1)} X
¦ (s + 2) (я — 2c) (я — 26) (я — 2a + 3) ! Ba — 4) ! B6 — 1) ! Bc) ! 7/,
3 • 5 • 7 (s — 2a) ! Ba + 3) 1 B6 + 4) ! Bc + 3) I J
¦1) Ba —3) [(s+ 2) (я — 26+2) Ba — 2) — 2 (я + 1) (s — 26) Ba+ 3)] +
4- Ba + 2) Ba + 3) я (я + 1) (s — 26 — 1) (я — 26)} X
Г (я — 2c) 1 (s — 2a + 2) I Ba — 4) 1 B6 — 2) ! Bc) ! 7/,
X L 2 • 5 • 7 (я — 2c — 2) ! (s — 2a) 1 Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 3) ! J
— {(s + 2) Ba — 3) [(s + 3) (s — 26 + 2) Ba — 2) — 2s (s — 26 + 1) Ba + 3)] + Ba + 2) Ba + 3) X
Г (я + 1) (я - 2c) ! (s — 26 + 1) (8 — 2a + 1) Ba — 4) ! B6 - 3) 1 Bc) I 7/.
s — 2b'{_ 3-5- 7(s — 2c — 3) ! Ba+ 3) ! B6 + 2) ! Bc + 3) ! J
{(я + 2) (я + 3) + 8 (s + 2) (я - 2a) + 6 (s - 2a - 1) (я - 2a)} X
(s + 1) !(я —2c)l (я-26+ 2)! Ba — 4IB6 — 4) 1 Bc) 1 7/»
3.5.7 (s — 1) ! (s — 2c — 4) ! (s — 26) ! Ba+ 3) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
(s + 2) (я — 2c) (s - 26) ! (я — 2a + 5) ! Ba - 5) ! Bb) ! Bc) ! 7/,
_ _j
{(s + 3)(s-26
X(s —
X
! — 26 — 3) ! (я - 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 5) ! Bc
2 {3 (s + 1) F - c) + (a- 2) (я - 26 + 1)} X
Г 2 (я — 2c) l(s — 26I (я — 2a+4)!Ba— 5IB6 — 1) I Bc) ! 7A
X I 3 • 7 (s - 2c - 2) 1 (s — 26 — 2) 1 (s — 2a) I Ba+ 2) 1 B6 + 4) 1 Bc + 3) 1 J
2 {(a + 1) Bc - a + 4) - 3 F - c) F -f- с + 1)} X
¦ (я +_l)_(s - 2c) 1 (я — 26) (s - 2a + 3) ! Ba - 5) 1 B6 - 2) ! Bc) 1 7A
X
7 (S_2c — 3) I (я —2a) ! Ba+2) ! B6 + 3) ! Bc+3) 1
2 {(я + 2) (а - 2) - 3 (я - 26) (с + 6 + 1)} X
I la — 2c) 1 (я — 2a + 2) ! Ba — 5) ! B6 — 3) ! Bc) 1
2(я+1) !
-?
Г 2(s4-
X [_ 3 . 7 (S _ i) [ (S _ 2c — 4) I (я — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 2) I Bc + 3)
Г (S + i) ! (S - 2c) ! (я - 26 + 1) (я - 2a + 1) Ba — 5) 1 B6 - 4) ! Bc) 1 7/
_ (a _ 36 - 3c - 2) ^ 3 • 7 (я - 2) ! (я - 2c - 5) ! Ba + 2) ! B6 + 1) ! Bc + 3) ! J
Г (я — 2c) 1 (я — 26) 1 (я — 2a+ 6) 1 Ba - 6) 1 B6) 1 Bc) 1 7/.
[_7(s — 2c — 2) ! (я — 26 — 4) !(я — 2a) 1 Ba+1) ! B6 + 5) !Bc + 3) 1 J
г (S + 1) (S — 2c) ! (я - 26) 1 (s - 2a + 5) 1 Ba - 6) ! B6 - 1) 1 Bc) 1 7/.
~2l_7(s-2c-3) 1 (я-26-З) ! (s_2a) ! Ba+ 1) ! B6+4) 1 Bc + 3) ! J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
329
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
—2
Г 2-3(8 + 1)!
L 7• (s — 1) ! (s — 2с — 4) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba
-»[J
— 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a + 4) ! Ba — 6) ! B6 — 2) ! Bc) !
1) ! B6 + 3) ! Bc+ 3) I
1) I (s — 2c) ! (s — 26) (s — 2a + 3) ! Ba — 6) ! B6 — 3) ! Bc) ! ТА
J"
3(s —2) ! (s —2c —5) !(s— 2a) ! Ba+1) ! B6 + 2) ! Bc + 3) I
' (8 + 1) ! (s — 2c) ! (s — 2a + 2) 1 Ba — 6) ! B6 — 4) ! Bc) !
.7 (s — 3) ! (s — 2c — 6) I (s — 2a) ! Ba+1) ! B6 + 1) ! Bc + 3) !
2
1
О
-1
-2
2
—2
1)
ТА
J
2 (s + 6) ! (s — 2с + 5) ! {s — 26 + 1) (s — 2а) Bа) ! B6) ! Bс
7(s + l) !(s — 2с) ! Bа + 7) ! B6 + 5) ! Bс + 2) !
Г 2 (8 + 5) ! (s - 2с + 4) ! (s — 26 + 2) ! (s - 2а) ! Bа) ! B6 — 1) ! Bс — 1) 1 17,
L7(s-h 1) '- <s — 2с) ! (s — 26) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 7) ! B6 + 4) ! Bс + 2)! J
Г 2
— 2[_7
Г 3 (s + 4) 1 (s — 2c + 3) ! (s — 26 + 3) I (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! T/i
— 2 [_ 7 (s + 1) ! (s - 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 7) ! B6 + 3) ! Bc + 2) ! J
¦ 2 (s + 3) ! (s — 2c + 2) ! (s — 26 + 4) ! (s — 2a) 1 Ba) ! B6 — 3) ! Bc — 1) 1 ТА
(g + 1) ! (s —2c) ! (s —26) ! (s — 2a — 4) ! Ba+ 7) ! B6+2) ! Bc+ 2) ! J
• 2 (s + 2) (8 — 2c + 1) (8 — 26 + 5) ! (s — 2a) I Ba) ! B6 — 4) 1 Bc — 1) 1 ТА
7 (s — 26) ! (s — 2a — 5) ! Ba + 7) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
Г (s + 5) ! (s — 2c + 4) ! Ba — 1) ! B6) ! Bc — 1) ! 17,
2 {(s - 2a) Ba - 36 + 3c) + (a 4- 3) (s - 26)}[_ 3. 7 (, + 1} , (s _ 2c) , Ba + 6) , {2b + 5) , Bc + 2) ! J
X
X
4 {a B6 - a - 1) - 3 (c - 6) (c + 6 + 1)} X
: + 4) ! (s — 2c + 3) ! (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc — 1) !
3 • 7 (s + 1) ! (s — 2c) ! Ba + 6) ! B6 + 4) ! Bc + 2) !
— 2 {3 (Z + 2a) — a Ba + 6)} X
¦ 2 (s + 3) ! (s — 2c + 2) ! (s — 26 + 2) I (s — 2a) 1 Ba — 1) 1 B6 — 2) 1 Bc — 1)
7 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) I (s — 2a — 2) ! Ba + 6) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
4 {3 (c - 6) (c + 6 + 1) - а B6 + a + 3)} X
f 2) (s — 2c + 1) (s —26 + 3) 1 (s — 2a) 1 Ba— 1) ! B6 — 3) ! Bc — 1) !
7/,
J
X
3 • 7 (s — 26) ! (s — 2a — 3) ! Ba + 6) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
2 {(s + 1) (a + 3) - (s - 2c + 1) Ba + 36 + 3c + 3)} X
г (g — 26 + 4) !(s — 2a)!Ba-l) ! B6 — 4)! Bc— 1) ! ТА
X I 3 • 7 (s — 26) ! (s — 2a — 4) ! Ba + t>) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
{5 (s + 5) (s — 2c) — 10 (s — 26 — 1) (s — 2a) — 4 Ba — 1) Ba + 5)} X
¦ 2 (s + 4) ! (s — 2c + 3) 1 (s — 26) (s — 2a+ 1) Ba — 2) 1 B6) ! Bc — 1) !
3 ¦ 5 • 7 (s
— {30Z2 — 4Z [8a
Г 2(s +
X|_3-5-7
1) ! (s — 2c) ! Ba + 5) ! B6 + 5) ! Bc + 2) 1
3a2 -|- Ha — 56 + 10a&J + 8a6 [4a2 + a — 76 — a6 — 9]} X
3) ! (s — 2c + 2) ! Ba — 2) I B6 — 1) ! Bc — 1) !
'(s + 1) ! (s —2c) ! Ba+ 5) ! B6 + 4) ! Bc
B (Z + a) [4 Ba + 5) Ba — 1) + 15 (Z + a — 2) — 6 B6 — 1) B6 + 3) a (a + 2)} X
Г (s + 2) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a) Ba — 2) ! B6 — 2) ! Bc — 1) ! ТА
XL 5-7 Ba + 5) ! B6 + 3) ! Bc+ 2) ! J
— {30Z2 — 4Z [8a2 + a + 56 — 10a& + 5] — 8a (b + 1) [4a2 + 2a + 76 + a& — 2]} X
Г 2(8 —26 + 2) ! (8 —2a)iBa —2) ! B6—3) !Bc —1) ! ТА
* I 3 • 5 • 7 (s — 26) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 2) ! Bc + 2) I J

330
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
-2
—2
—1
-2
X
X
— {10s (я —2c+ 1)—5 (я—26 + 4) (я —2a+ 1)—4 Ba —1) Ba+5)}X
" 2 (я + 1) (s — 2c) (я — 26 + 3) ! (я — 2a) ! Ba — 2) ! B6 — 4) ! Bc — 1) 1 7Л
3-5-7 (я — 26) ! (я— 2a — 3) ! Ba+ 5) ! B6 + 1) ! Bc + 2) ! J
2 {(a - 3) (a + 4) - 56 F + 3) + 5c (c + 1)} X
2 (s + 3) ! (я — 2c+2) ! (я — 26) ! (я — 2a + 2) ! Ba — 3) ! B6) ! Bc — 1)
5-7(я + 1) ! (s —2c) 1 (я —26 —2) ! (я — 2a) ! Ba+4) ! B6 + 5) ! Bc + 2) !
{(Z + 6) [20 (Z + 6 — 2) — 6 Ba — 2) Ba + 4)] — 46 F + 2) Ba — 1) Ba + 3)} X
2 (я + 2) (s — 2c + 1) (я — 26) (я — 2a + 1) Ba — 3) ! B6 — 1) 1 Bc — 1) 1 7/»
5-7 Ba+4) !B6 + 4) !Bc + 2) ! J
2 {(я — 26 — 1) (я — 26) (я — 2a — 1) (я — 2a) [s (я — 26 + 2) — 2 F + с + ас + 2)] + 8 (a + 2) X
X (с — 6) (s + 2) (я — 2с) (я — 26) (я — 2а) + (s + 2) (s + 3) (s — 2с — 1) (s — 2с) [я (я — 26 + 3) —
Г 3Bа — 3) ! B6 — 2) 1 Bс — 1) ! 7/'
- 2 (а + 26 + «с)]} [ 5-7 Bа+ 4) ! B6 + 3) ! Bс + 2) ! J
_ {(Z — 6 — 1) [20 (Z — 6 — 3) — 6 Bа — 2) Bа + 4)] — 4 F + 1) F — 1) Bа — 1) Bа + 3)} X
 (я-1-1) (я —2с) (я —26 + 1) (я — 2а) Bа — 3) I B6 — 3) ! Bс — 1) ! 7/.
X
X
2 (я.
5 • 7 Bа + 4) ! B6 + 2) ! Bс + 2) !
2 {(а - 3) (а + 4) - 5 F + 1) F - 2) + 5с (с + 1)} X
-1) ! (я — 2с) ! (я — 26 + 2) 1 (я — 2а) ! Bа — 3) ! B6 — 4) ! Bс — 1) !
г
5 • 7 (я — 1) ! (s — 2с — 2) ! (я — 26) ! (я — 2а — 2) ! Bа + 4) ! B6 + 1) ! Bс + 2) !
{10 (я + 1) (я — 2с + 2) — 5 (я — 26 + 1) (я — 2а + 4) — 4 Bа + 3) Bа — 3} X
Г 2 (я + 2) (я — 2с + 1) (я — 26) ! (я — 2а + 3) ! Bа — 4) ! B6) ! Bс — 1) ! 7/»
Х L 3 • 5 • 7 (я — 26 — 3) ! (я — 2а) ! Bа + 3) ! B6 + 5) ! Bс + 2) ! J
{30Z2 — 4Z [8 (а + IJ — 11 (а + 1) — 156 — Юаб] — 86 (а + 1) [4 (а+ IJ — а + аб — 66 — 10]} X
Г 2 (я — 26) ! (я — 2а + 2) ! Bа — 4) ! B6 — 1) ! Bс — 1) ! 7/»
-^ L 3 • 5 • 7 (я — 26 — 2) ! (я — 2а) ! Bа + 3) ! B6 + 4) ! Bс + 2) ! J
— {2(Z — a— 1) [4Bа + 3) Bа — 3) + 15 (Z — а - 3)] — 6 B6 — 1) B6 + 3) (а+1) (о—1)}Х
Г (я + 1) (я — 2с) (я — 26) (s — 2а + 1) Bа — 4) ! B6 — 2) ! Bс — 1) ! 7/>
Х |_ 5 • 7 Bа + 3) ! B6 + 3) ! Bс + 2) ! J
— {30Z2 —4Z [8 (а+1J—(а+1) A — 106) + 5 F + 1)] + 8 (а + 1) F + 1) [4 (а+ IJ — а — 10 +
Г 2(я + 1) ! (s — 2с) ! Bа-4) ! B6 — 3) ! Bс— 1) ! 7/.
+ F + 1) F — а)]}[_з-5-7(я —1) ! (s — 2с — 2) ! Bа+3) ! B6 + 2) ! Bс + 2) ! J
— {5 (я + 2) (я — 2с — 3) — 10 (я — 26) (я — 2а — 1) — 4 Bа + 3) Bа — 3)} X
• 2 (я + 1) ! (я — 2с) ! (s — 26 + 1) (я — 2а) Bа — 4) 1 B6 — 4) ! Bс — 1) ! II,
3-5-7 (я — 2) ! (я — 2с — 3) ! Bа+ 3) ! B6+ 1) ! Bс + 2) ! J
2 {(я + 1) (Зс — 36 — 2а — 2) + (я — 2с + 1) (а — 2)} X
Г (s — 26) ! (s — 2а + 4) 1 Bа — 5) ! B6) ! Bс — 1) ! 7/,
Х L 3 • 7 (в — 26 — 4) ! (я — 2а) ! Bа + 2) 1B6 + 5) ! Bс + 2) ! J
- 4 {3 (с - 6) (с + 6 + 1) - (а + 1) B6 + а)} X
(я + 1) (я — 2с) (s — 26) ! (s — 2а + 3) 1 Bа — 5) 1 B6 — 1) 1 Bс — 1) ! 7Л
3 • 7 (я — 26 — 3) ! (я — 2а) ! Bа + 2) ! B6 + 4) ! Bс + 2) ! J
- 2 {3 (Z - 2а - 2) - (а + 1) Bа - 4)} X
2 (я + 1) ! (я — 2с) ! (я — 26) ! (s — 2а + 2) ! Bа — 5) ! B6 — 2) ! Bс — 1) ! 7/,
s — 1) ! (я — 2с — 2) ! (я — 26 — 2) ! (я — 2а) ! Bа + 2) ! B6 + 3) ! Bс + 2) ! J
X
4
X

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
331
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
—1
—2
2
1
0
—1
—2
X
- 4 {3 (с - Ъ) (с + Ъ + 1) - (а + 1) (а - 26 - 2)} X
(s + 1) ! (s — 2с) I (я — 26) (s — 2g 4-1) Bа — 5) ! B6 — 3) ! Bс
-1)!
3 . 7 (s — 2) ! (s — 2c — 3) ! Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc + 2) !
¦]л
2 (s + 1) (з — 2с) (s — 26) ! (s — 2а + 5) '¦ Bа — 6) ! B6) ! Bс — 1) ! ТА
J
ТА
J
Г
2E
(s —2с) ! (s — 26I (s — 2а + 4) ! Bа — 6) ! B6 — 1) 1 Bс — 1) !
-'[¦
7 (s — 3) ! (s — 2c — 4) ! (s — 26 — 2) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 2)
2 (s + 1) I (s — 2c) 1 (s — 26) (s — 2a + 1) Ba — 6) ! B6 — 4) ! Bc — 1) !
7 (s — 4) ! (s — 2c — 5) ! Ba + 1) ! B6 + 1) ! Bc + 2) !
7 (S _ i) ! (S _ 2c — 2) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 4) ! Bc 4- 2) !
3 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a + 3) ! Ba — 6) ! B6 — 2) ! Bc — 1) !
7 (s — 2) ! (s — 2c — 3) ! (s — 26 — 3) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 3) ! Bc + 2) !
2 (s 4-1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a + 2) ! Ba — 6) ! B6 — 3) ! Bc — 1) !
2
1
О
^1
—2
2
1
—1
—2
[т
5)
' (s + 4) ! (s —2c
s — 2с + 6) ! (s — 2а) ! Bа) ! B6) ! Bс — 2) ! 7/*
(s — 2а — 2) ! Bа 4- 7) ! B6 4- 5) ! Bс + 1) ! J
E — 26+ 1) (s — 2а) ! Bа) ! B6 — 1) ! Bс — 2) ! 7/>
-2с)
-5)
*L 7(s + l) ! (s —2с) ! (s —2а —3) ! Ba+7) ! B6 + 4) ! Bс + 1)! J
• 2 • 3 (s 4- 3) ! (s — 2с 4- 4) 1 (s - 26 4- 2) 1 (s — 2a) ! Ba) ! B6 - 2) ! Bc — 2) ! 7/
7 (s 4-1) ! (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 4) ! Ba + 7) ! B6 4- 3) ! Bc + 1) !
_|_ 2) (s — 2c 4- 3) ! (s_— 26 + 3)_! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 3) ! Bc — 2) !
Г
— C6 — a 4- Зс 4- 3)
X
7 (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 5) ! Ba + 7) ! B6 + 2) ! Bc + 1) !
г E — 2c + 2) ! (s — 26 + 4) ! (s — 2a) ! Ba) ! B6 — 4) ! Bc — 2) 1 7/»
|_7 (s — 2c) ! (s — 26) ! (s — 2a — 6) ! Ba + 7)! B6 + 1) ! Bc + 1)! J
2 (s + 4) ! (s — 2c + 5) ! (s —26) (s — 2a) Ba — 1) ! B6) ! Bc — 2) ! 7A
3-7(s + l)! (s — 2c) ! Ba 4-6) ! B6 4-5) ! Bc 4-1) !
2 {(» 4-1) (a 4 3) - 3 (s - 26 + 1) F 4- с + 1)} X
2 (s 4- 3) ! (s — 2c 4- 4) ! E — 2a) ! Ba — 1) ! B6 — 1) ! Bc — 2) ! 7/»
3 . 7 (S _|_ 1) ! (s _ 2c) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 6) ! B6 4- 4) ! Bc + 1) ! J
г (S _[_ 2) E — 2c 4 3) 1 (s — 26 + 1) (s — 2a) ! Ba — 1) ! B6 — 2) 1 Bc — 2) ! 7/.
L 7 (s —2c) ! E —2a-3) ! Ba 4-6) ! B6 4-3) ! Bc+ 1) ! J
x[-
_ Cc — a — 36) Г
2 {a (a - 2c 4- 3) 4- 3 F - c) F 4- с 4-1)} X
_[_ 2) E — 2c 4 3) 1 (s — 26 + 1) (s — 2a) ! Ba — 1) ! B6 — 2) 1 Bc — 2) !
7 (s —2c) ! E —2a-3) ! Ba 4-6) ! B6 4-3) ! Bc+ 1) !
2 {(s - 26) (a 4- 3) 4- 3 (s 4- 2) F - c)} X
2 (s — 2c 4- 2) ! (s — 26 4- 2) ! (s — 2a) ! Ba — 1) ! B6 — 3)! Bc — 2) ! 7/
J
7/
J
3 • 7 (s — 2c) 1 (s — 26) ! (s — 2a — 4) ! Ba + 6) ! B6 + 2) ! Bc + 1)
2 (s + 1) (s — 2c + 1) (s — 26 + 3) ! (s — 2a) ! Ba — 1) ! B6 — 4) ! Bc — 2)
3 • 7 (s — 26) ! (s — 2a — 5) ! Ba + 6) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
{s (s + 1) + 8 (s + 1) (s - 2a + 1) + 6 (s - 2a + 1) (s - 2a + 2)} X
(s + 3) ! (s — 2c+ 4) ! (s — 26) 1 Ba — 2) 1 B6) ! Bc — 2) !
-1"
_
3 • 5 • 7 (s 4- l)T(s^- 2c)T(s — 26^-~2) ! Bа~+~5) | B6 + 5) ! Bc+~l)
{(s + 1) Ba + 5) [s (s - 26 - 1) Ba + 4) — 2 (s + 3) (s - 26) Ba - 1)] + 2a Ba - 1) (s + 3) X
(s + 2) 1 (s - 2c + 3) 1 (s - 26) (s - 2a) Ba - 2) ! B6 - 1) 1 Bc - 2) ! fh
3-5-7 (s-2c) !Ba + 5)! B6 + 4) !Bc+l) ! J
X (* 4- 4) (» - :
J

332
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.12 (продолжение)
{s (s + 1) (* - 26) Ba + 5) [(* - 26 - 1) Ba + 4) - 2 (» - 26 + 1) Ba - 1)] + (s + 2) (s + 3) X
v? (9 iw, ofc . 1W «, ¦ «^ Г (^ - 2c + 2) ! (s - 2a) ! Ba- 2) ! B6 - 2) ! Bc - 2) ! 7/,
X2eBe-l)(«-2b+l)(«-26 + 2)}[2.5 .7(,_2c)|(,_2a-2)lBa + 5)lB6 + 3)JBC + l)!j
—1
—2
• 2c) ! (s — 2a — 2) ! Ba + 5) ! B6 + 3) 1 Bc + 1) ! J
{[s (s — 26 — 1) Ba + 4) — 2 (s + 1) (s — 26 + 2) Ba — 1)] (s — 26) Ba + 5) + (s + 2) 2a Ba — 1) X
: + 1) (s — 2c + 1) (s — 26 + 1) (s — 2a)! Ba — 2)! B6 — 3)! Bc|—2)! 7/.
3 • 5 • 7 (s — 2a — 3) ! Ba + 5) ! B6 + 2) ! Bc + 1) 1 j
X (s — 26 + 2) (s — 26 + 3)}
{(« — 26 — 1) (s — 26) — 8 (s — 2с) (s — 26) + 6 (s — 2с — 1) (s — 2с)} X
г E + 1) ! (s — 26 + 2) 1E— 2а) ! Bа- 2) ! B6-4) ! Bс- 2) ! ТУ,
X[_3-5(s—1) ! (s —26) ! (s —2а —4) ! Bа + 5) 1B6 + 1) ! Bc + l)lJ
X
2 {a (a + 1) - 5 F + с + 1) F + с + 2) - 2} X
(s + 2) (s — 2c + 3) ! (s — 26) ! (s — 2a + 1) Ba — 3) ! B6) ! Bc — 2) ! 7/2
5 • 7 (s — 2c) ! (s — 26 — 3) ! Ba + 4) ! B6 + 5) ! Bc + 1) !
-Г
1
Bа
— 1) (s — 26 — 2) Bа+ 2) — 3 (s +2) (s — 26 — 1) Bа —2)] +
+ (s + 2) (s + 3) Ba - 1) Ba - 2) [(« + 1) (s - 26) Ba + 4) • 3 - (s + 4) (s - 26 + 1) 2a]} X
E — 2c + 2) ! (s — 26) ! Ba — 3) ! B6 — 1) ! Bc — 2) !
• 7 (s — 2c) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 4) ! B6 + 4) ! Bc + 1)
X
T/,
— 4 {[6 F + 1) + a (a + 1) + (c + 1) (c — 1)] Da2 + 4a — 5Z — 5c — 3) — (c + 1) (c — 1) Ba -
X Ba + 3) + 2 (a + 2) (a - 1) [a (a + 1) + 36 F + 1) - 3 (c + 1) (c - 1) - 3]} X
¦ 3 (s + 1) (s — 2c + 1) (s — 26) (s — 2a) Ba — 3) ! B6 — 2) 1 Bc — 2) ! 7/1
2 • 5 • 7 Ba + 4) ! B6 + 3) ! Bc + 1) !
X
-]"¦
—1
—2
{(S _ 26 — 1) (s — 26) Ba + 4) Ba + 3) [3s (s ~- 26 + 1) Ba - 2) - (s — 1) (s — 26 — 2) X
X Ba + 2)] + (s - 26 + 1) (s - 26 + 2) Ba - 1) Ba - 2) [(» + 2) (, _ 26 + 3) 2a -
(s + l)!(s —2a) !Ba — 3) ! B6 — 3) ! Bc — 2) !
/,
- 2 (a (a + 1) - 5 (c - 6) (s - 6 + 1) - 2} X
г (S + 1) ! E - 2c) (s — 26 + 1) (s — 2c) ! Ba — 3) 1 B6 — 4) ! Bc - 2) !
X L 5 • 7 (s - 2) ! (s - 2c — 3) ! Ba + 4) ! B6 + 1) ! Bc + 1) !
+ {(s - 2a) (s — 2a - 1) + 8 (s + 2) (s — 2a) + 6 (s + 2) (s + 3)} X
г (S _ 2c + 2) 1 (s — 26) 1 (s — 2a + 2) ! Ba - 4) ! B6) 1 Bc — 2) 1
XL 3 • 5 • 7 (s — 2c) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba + 3) 1 B6 + 5) ! Bc + 1) !
"I"
— {(s - 2a) Ba - 3) [(s — 2c + 2) (s - 2a - 1) Ba — 2) - 2 (s - 2c + 1) (s — 2a + 2) Ba -f- 3)] +
+ (s - 2c) (s — 2a + 2) (s — 2a + 3) Ba + 2) Ba + 3)} X
(S + 1) (s - 2c + 1) (s - 26) ! E - 2a + 1) Ba - 4) ! B6 - 1) ! Bc - 2)
3 • 5 • 7 (s — 26 — 3) ! Ba + 3) ! B6 + 4) ! Bc + 1) !
7/,
J

10.11. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ 9 /-СИМВОЛОВ
333
ТАБЛИЦА 10.12 (.продолжение)
{(s — 2c+ 1) (* — 2a) Ba — 3) [(s — 2c 4- 2) (s — 2a — 1) Ba — 2) — 2(s — 2c) (s — 2a + 1) Ba + 3)) +
+ Ba + 2) Ba + 3) (s — 2c — 1) (s — 2c) (s — 2a + 1) (s — 2a + 2)} X
Г (s + 1) ! (s — 26) ! Ba — 4) ! B6 — 2) ! Bc — 2) ! 7/,
X L 2 ¦ 5 • 7 (s — 1) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 3) ! Bc + 1) ! J
— \
-2
—1
—2
—1
—2
— {(s —2c+l)Ba —3) [(s — 2c + 2)(s — 2a — 1) Ba — 2) — 2 (s — 2c — 1) (s — 2a) Ba+ 3)] +
+ Ba + 2) Ba + 3) (s — 2c — 2) (s — 2c — 1) (s — 2a + 1)} X
(s + 1) ! (s — 2c) (s — 26) (s — 2a) Bg — 4) ! B6 — 3) I Bc — 2) ! 7/,
3 • 5 • 7 (s — 2) ! Ba + 3) ! B6 + 2) ! Bc + 1) ! J
X
{(s — 2с + 1) (s — 2с + 2) — 8 (s — 2с + 1) (s — 26 + 1) + 6 (s — 26 + 1) (s — 26 + 2)} X
(s 4-1) ! (s - 2с) ! (s - 2а) ! Bа — 4) ! B6 - 4) ! Bс - 2) I
! J
— (Зб +
• 5 • 7 (s — 3) ! (s — 2с — 2) ! (s — 2а — 2) ! Bа + 3) ! B6 4-1) ! Bс + 1)
2а 4- 3) 1 Bа — 5) ! B6) ! Bс — 2)
4
2 (s -(- 1) (s — 2с 4-1) (s — 26) ! (s ¦
3 • 7 (s — 26 — 5) ! (s — 2а) ! Bа 4- 2) ! B6 4-5) ! Bс 4- 1)
¦I"
X
X
Г 2(^4-1
|_3.7(S-
2 {3 (» - 2c) F + с + 1) - (> - 2a) (a - 2)} X
1) ! (s — 26) ! (s — 2a + 2) I Ba — 5) I B6 — 1) ! Bc — 2) ! ТА
1) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba + 2) ! B6 + 4) ! Bc + 1) ! J
- 2 {(а - 2) (а + 2с + 1) + 3 F + с) F - с 4-1)} X
4-1) ! (s — 2с) (s — 26) 1 (s — 2а + 1) Bа — 5) ! B6 — 2) ! Bс — 2)
7 (s — 2) ! (s — 26 — 3) ! Bа + 2) •' BЬ + 3) ! Bс + j) !
2 {3 (s - 2a + 1) F - c) + (s - 2c + 1) (a - 2)} X
2 (S + 1) ! (S — 2b) ! (s — 2c) ! Ba — 5) ! B6 — 3) ! Bc — 2) ! 7/.
X| а . 7 (S — 3) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 2) ! Ba + 2) ! B6 + 2) ! Bc + 1) ! J
(s — 26) (s — 2a) Ba — 5) 1 B6 — 4) ! Bc — 2)
(а — 3&4-3с4-
..[¦
2 (s 4- i) ! (s — 2с)
3 • 7 (s — 4) ! (s — 2с — 3) ! Bа + 2) ! B6 + 1) ! Bс 4- 1)
t + 1) ! (s— 26) ! E— 2a+ 4) ! Ba —6) ! B6) ! Bc —2) !
2Г(» + 1)П«-
¦~z|_ 7(s — 2) ! (s — 26 — 5) ! (s — 2a) ! Ba+ 1) ! B6 + 4) ! Bc+ 1) !
7 (s — 1) ! (s — 26 — 6) ! (s — 2a) ! Ba + 1) ! B6 + 5) ! Bc + 1) ! J
(s + l)l(s-2c)(s —26) !(s — 2a+ 3) ! Ba — 6) ! B6 — 1) ! Bc — 2) ! 7/,
2 ¦ 3 (s + 1) ! (s — 2c) ! (s — 26) 1 (s — 2a + 2) ! Ba — 6) 1 B6 — 2) ! Bc — 2) I 7/,
7 (s — 3) ! (s — 2c — 2) ! (s — 26 — 4) ! (s — 2a) ! Ba 4-1) ! B6 4- 3) ! Bc + 1)
s _|_ i) ! (S — 2c) ! (s — 26) ! E — 2c 4-1) Ba — 6) ! B6 — 3) ! Bc — 2) 1
7 (s — 4) ! (s — 2c — 3) ! (s — 26 — 3) ! Ba + 1) ! B6 + 2) ! Bc + 1) !
Г (s + 1)! E —2c) ! (s —26) 1 Ba —6) 1B6 —4) ! Bc —2) ! T/,
|_7(s— 5)! (s — 2c — 4)! (s — 26 — 2) !Ba + l) !B6 + l) ! Bc+l) ! J

334
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА 10.13
a
0
1
1
2
2
3
3
4
a
1
1
0.
1
1
2
0
1
1
2
2
1
1
2
2
3
1
2
2
3
3
2
2
CO CO
4
B
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
1/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
ъ
0
1
1
2
2
3
3
4
Ь
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
CO CO
CO CO
3
e
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
fa Ь
Id e
( 1/2 1/2
1/2
1/B/3")
1/B /27з)
1/B /275)
1/B/з75)
1/B/3-7)
1/D/7")
1/D-3)
f a b
\d e
I 1/2 1/2
1/B-3)
1/B-3)
-1/B-3)
1/C/2-3
-1/B-3/27з)
1/B • 3 /2")
1/B-3)
1/B-3/273)
/57D • 3 /3")
1/D- 3/5")
1/B /2-3-5)
1/B - 3 /2 )
-1/D-3/5")
/3"/D • 5)
-1/B-3-5/2")
1/B ¦ 3 /5")
1/B/2-3-5)
1/B-3-5/2")
/7/C - 5 /27"з)
1/B-3/3-5-7)
1/B-3/7")
1/B • 3 /5")
—1/B-3/3-5-7)
/5"/C • 7 /3")
-1/D-3-7)
1/D /FT)
0 ¦*
1
[
oi
0.500000
0.288675
0.204124
0.158114
0.129099
0.109109
0.094491
0.083333
1 1
0 )
0.666667
0.666667
— 0.666667
0.136083
—0.068041
0.117851
0.666667
0.068041
0.107582
0.037268
0.091287
0.117851
—0.037268
0.086603
—0.023570
0.074536
0.091287
0.023570
0.072008
0.016265
0.062994
0.074536
—0.016265
0.061475
—0.011905
0.054554
a
2
3
3
4
3
3
4
a
2
2
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
d
3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
ъ
3
3
3
3
4
4
4
b
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
iab
d e
I 1/2 1/2
1/B.3/7")
1/D-3-7)
3/(8 - 7)
1/(8 -3/3-7)
1/D V3T7)
—1/(8-3/з77)
/57/(8 - 9 /3")
(a b
d .
' 1/2 1/2
1/B - 5)
1/B - 5)
-1/B/2-3-5)
1/B • 5 /2")
-1/C • 5 /2")
1/B.3/5")
1/B/2.3-5)
1/DV375)
1/D-5)
/7 /B - 3 • 5 /2 )
1/B.3/577)
1/B /2-5-7)
-1/B-5)
1/B-5/2")
-1/D-5)
/7 /D - 5 vT)
-—1 /\Z • О Vz • 0^
1/E /271)
-1/D-5/7")
1/D-5)
1/B-5)
1/C-5/2)
/7/B -3-5 /2")
1/B-5/275)
l/B-5/377)
/3~/B ¦ 5 /2T7)
1/B-3-5/273)
1 )
ol
0.062994
0.011905
0.053571
0.009092
0.054554
—0.009092
0.047439
2 )
2
0 )
0.100000
0.100000
—0.091287
0.070711
—0.047141
0.074536
0.091287
0.064550
0.050000
0.062361
0.028172
0.059761
—0.100000
0.070711
—0.050000
0.059161
П AQ1R9Q
0.053452
—0.018898
0.050000
0.100000
0.047141
0.062361
0.031623
0.05Ш0
0.021822
0.046291
0.013608

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
335
a
1
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
a
3
3
n
A
3
3
4
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
d
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
5/2
7/2
С/9
Of ?
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
T / 9
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
ь
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
ь
0
0
л
1
1
1
1
1
1
1
1
A
1
2
2
2
2
2
2
e
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
A /O
1/Z
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
Q /O
OJZ
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
la Ь
d e
I 1/2 1/2
1/B • 3 VF)
-1/B - 3 V5T7)
1/E v'fTf)
—1/B.5^377)
1/G v'JTs)
—1/D-7 V'5")
^57D • 3 V3-7)
1/B v/2 • 5 • 7)
1/D-5 Vf)
Уз7B • 5 уТГ?)
1/D-7^5")
vT/(8 • 7)
1/(8 v/37577)
1/D-5)
—1/B • 3 • 5 V2 - 3)
vT/D • 3 vlP?)
—1/(8^3 -5 -7)
v/ll/(8 ¦ 3 ЯТЬ)
< а Ъ
d .
1 1/2 1/2
1/B-7)
1/B-7)
A }(*) Q v/t"^
lf\A • О * ' }
1/C-7)
-1/D-7)
1/D V3T7)
1/B V2 - 5 • 7) I
1ДЗ v2 -5 • 7)
VW/B - 3 • 7 v'2")
У^"/D • 7 V'F)
1/D-3^277)
—1/B V'2 • 5 • 7)
1/B • 5 V'f)
-1/B - 5 V'f)
^37B • 7 VJTB)
—1/D • 7 v'2")
2 )
2
0 >
0.074536
—0.028172
0.053452
—0.021822
0.045175
—0.015972
0.040663
0.059761
0.018898
0.046291
0.015972
0.039930
0.012199
0.050000
—0.013608
0.040663
—0.012199
0.035681
M
:
0 '
0.071429
0.071429
n OfiOQQA
0.047619
—0.035714
0.054555
0.059761
0.039841
0.037646
0.043741
n П99979
U . UZZiZ / Z
—0.059761
0.037796
—0.037796
0.039123
—0.025254
0.038575
a
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
ft
4
3
4
3
3
4
d
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
"/ ш
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
7/2
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
b
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
0
1
1
1
1
1
e
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
I
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
g
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
ТАБЛИЦА 10.13
la b
d e
•¦ 1/2 1/2
1/B • 3 v'f)
1/C V2 - 5 - 7)
1/B ¦ 5 V'f)
1/B-5 v'f)
1/G^2-3-5)
1/D-7)
1/D • 3 V3 • 7)
-1/B-7)
1/C - 7)
— V5 1B ¦ 3 ¦ 7 v'2 )
v7 J/B • 7 ^273)
-1/G V2 • 3 • 5)
^5~/B • 7 V/3T7)
—1/B-7^277)
v/TI/B-3 -7^273)
1/B - 7)
1/D-7)
V3~/D-7V/2")
1/D ¦ 7 v'2")
/ Vх * /
1/D-7)
1/B-7^2-7)
vTT/D • 7 v/277)
1/D-7 vXl)
1/D •O)
-1/D-3^277)
1/D V2-3-7)
—1/D ¦ 3 V377)
vTT/B -3-7 v/273)
—1/D • 7 ^2~7з)
vT/D • 3 V'2 • 3 • 7)
Г а Ь
I d e
1
I 1/2 1/2
1/B - 9)
—1/D-3 VT)
^57D • 9 v/T)
1/B • 3 vTrf)
•5/D - 3 V/2 • 3 • 7)
v7/D - 9 V/2T3)
(продолжение)
3 )
3
o,i
0.062994
0.039840
0.037796
0.037796
0.026082
0.035714
0.018185
—0.071429
0.047619
—0.037646
0.039123
—0.026082
0.034853
—0.019090
0.032238
0.071429
0.035714
0.043741
0.025254
0.035714
0.019090
0.031657
0.014580
0.054554
—0.022272
0.038576
—0.018185
0.032238
—0.014580
0.028753
4 1
0 '
0.055556
—0.048113
0.035861
0.044544
0.028753
0.030003

336
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
a
2
3
3
4
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
a
1
0
1
1
2
1
2
d
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
• 7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
ъ
0
1
1
1
1
2
2
e
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
fa b
d e
I 1/2 1/2
-1/B-ЗУз~5).
1/B-ЗУ2-3-7)
—1/D У2 • 5 • 7)
УГТ/D • 9 У2~5)
1/B-ЗУз"П5)
1/B-9 У5")
1/(9 У2^7)
У1Т/D • 3 УЗ • 5 - 7)
1/D - 3 УЗ~5)
—1/B-3 У2^7)
1/B-ЗУ2-3-7)
•—1/(9 У2Т7)
УП/B -9-7)
— У5"/B -3-7 УгГз)
1/B • 3 У2 ¦ 3 • 7)
1/D-3 УЗ")
У5 /D • 3 У2 • 3 • 7)
1/D У2 - 5 • 7)
УТТ/D ¦ 3 УЗ • 5 • 7)
У5~/B -3-7 УЗГз)
1/D- 7 У2)
У5~/D ¦ 9 У2Т7)
-1/B-9)
— УТ/D • 9 У2Т3)
УП/D • 9 У2~^5)
-1/D-ЗУз~5)
1/B - 3 У2 ¦ 3 • 7)
— У5~/D • 9 У2Г7)
УТз/D • 27 vT)
С 0 ь
1 d е
1 1/2 1/2
-1/B-3)
1/B-3)
1/C У2 • 3)
—1/D • 3 У3~)
-1/D-3)
1/D-3)
1/D Уз-5)
м
0 >
—0.043033
0.025717
—0.029881
0.029134
0.043033
0.024845
0.029696
0.026972
0.021517
—0.044544
0.025717
—0.029696
0.026322
—0.021735
0.025717
0.048113
0.028752
0.029881
0.026972
0.021735
0.025253
0.016600
—0.055556
0.035860
—0.030003
0.029134
—0.021517
0.025717
—0.016600
0.023607
1 \
° 1
1 '
—0.666667
0.666667
0.136083
—0.048113
—0.083333
0.083333
0.064550
a
2
3
2
3
3
4
3
4
a
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
CL
1
1
0
1
2
0
1
2
2
d
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
d
1/2
1/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
7/2
5/2
7/2
7/2
1,2
3/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
5/2
b
2
2
3
3
3
3
4
4
ъ
0
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
0
0
1
1
1
1
1
1
1
e
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
ТАБЛИЦА 10.13
С а Ь
d e
' 1/2 1/2
-1/(9 У2Т5)
-1/B-9)
1/B-9)
1/(9 Vf)
-1/(8 Уз~7)
-1/(8-3)
1/(8-3)
УГ/(8 - 9)
г a b
d e
1 1/2 1/2
1/B УЗ")
1H2 ¦ q\
ч к* а/
1/9
-1/9
УЬ7B - 9 У1Г)
1/B • 5 У2 • 3)
1/C - 5)
-1/C-5)
У7 /B • 3 • 5 УЗ)
-У5~/B - 3 - 7 УЗ)
1/C-7)
-1/C-7)
1/D-7)
—vT/D • 27)
la b
{ d S
I 1/2 1/2
1/C У2~з)
-1/B • 3 У2ТЗ)
1/C УгТз)
1/D-3)
1/D-3 УЗ~)
1/B-ЗУ2Т!)
1/D-3)
1/C V2.3.5)
—1/D - 3 УЗ")
(продолжение)
м
1 1
—0.035136
—0.555556
0.555556
0.041996
—0.027277
—0.041667
0.041667
0.031056
0 1
;
i ¦*
0.288675
0 0г1г}556
0.111111
—0.111111
0.087841
0 040825
0.066667
—0.066667
0.050918
—0.030738
0.047619
—0.047619
0.035714
—0.024498
1 >
0.136083
—0.068041
0.136082
0.083333
0.048113
0.068041
0.083333
0.060858
—0.037268

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
337
ТАБЛИЦА 10.13 (продолжение)
а Ь 1
d e i
1/2 1/2 1
а Ъ 2
d e 1
1/2 1/2 1
1
1
2
3
1
2
3
О
2
2
3
4
2
3
4
1/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
7/2
3/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
5/2
7/2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
1
1
2
1
1
2
2
3
0
1
1
2
2
3
1
2
2
-1/D-3 УЗ)
1/C V2-3-5)
1/D-3 Уз")
1/B-ЗУ2-3-о)
1/D-ЗУ 5")
1/D-3 УТ)
1/C У2-5-7)
1/B • 3 У2 - 3 • 7)
1/C У;Г~5~7)
1/D-ЗУ2~Пз)
1/B-ЗУ2-3-7)
1/D.зУ1Гз)
1/(9 У1Г7)
1/D-ЗУ2~7)
1/@ УЗТТ)
—0.048113
0.060858
0.048113
0.030429
0.037268
0.048113
0.039841
—0.025717
—0.03042!)
0.039841
0.034021
0.022272
0.025172
0.034021
0.029695
—0.022272
0.029696
а Ь 2
d e 1
1/2 1/2 1
3/2
1/2
3/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
1/9
1/D-9)
1/D УЗТ5)
-1/D-9) __
-1/B • 9 У2 • 5)
-1/B ¦ 5 У2Тз)
—1/B-3^2-5)
1/D У1ГЗ)
1/B-5У2Тз)
У7/B • 5 У2 • 3 • 5
VT/D • 3 • 5 Уб")
1/B-3-5)
-1/D - 3 - 5)
—У7 /D - 3 • 5 У5 )
—1/C • 5 Уу~5)
—0.091287
0.111111
0.027778
0.064550
—0.027778
—0.017568 ]
—0.040825
—0.016667
—0.052705
0.091287
0.064550
0.040825
0.048305
0.019720
0.033333
—0.016667
—0.019720
—0.017213
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
2
3
3
4
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5<2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
—2/C • 5 УЗ • 7)
—1/D-3 У5^7)
—1/D - 3 vT)
1/B-зУ2~5)
1/B-3-5)
o//q с; х/ч 7\
УГ/(з-7УЬ")
1/D • 7 У2~3)
1/D-зУ2^7)
—1/D-3 УГ^7)
-1/D-7У2~3)
— 1/D ¦ 7 У2^3)
—1/D • з У;Г7)
1/D-3 VF)
1/D-ЗУ2Т7)
1/D-ЗУ2^7)
У1Т/D ¦ 27 У2~)
—0.029096
—0.014086
—0.037268
0.052705
0.033333
0.029096
0.030117
0.014580
0.022272
—0.014085
—0.014580
—0.014580
—0.022272
0.037268
0.022272
0.022272
0.021715
а Ь 1
d e 2
1/2 1/2 1
1
1
2
2
0
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
3/2
3/2
3 2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3,2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
1/B - 3 v'2)
1/D-3 УЗ")
-1/D-3-5)
1/C-5)
1/B-3 УГ)
-1/D - 3 УЗ")
-1/B-3-5
УТ/D-3-5)
1D-3-5)
1/B-3-5 v'2")
-1/B-5^2-3-5)
Ут"/D • 5 УЗ~3)
1/E У3^7)
-1/C-5)
У7"/D-3-5)
—У7~/D • 5 У1П)
У2"Т7/(9 .5 Уо~)
-2/(9 - 5 У7")
1/B-5У2~1)
22 Д- А- Варшалович и др.
0.117851
0.048113
—0.016667
0.066667
0.117851
—0.048113
0.068041
—0.023570
0.044096
—0.016667
0.023570
—0.018257
0.034156
—0.015430
0.043644
—0.066667
0.044096
—0.034157
0.037185
—0.U16798
0.026726

338
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
а
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
3
3
4
Я
2
2
1
2
2
3
1
2
2
3
3
0
1
1
2
3
3
4
0
1
1
2
d
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
. 3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
3/2
1/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
1/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
ь
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
ь
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
е
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2'
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
1 а Ь
d е
к 1/2 1/2
-1/B ¦ 5 v'2 • 3 • 7)
2/(9 • 5 vT)
-1/(9-7)
1/D-7 v'2)
A H/. . Q \/У .4.7^
X /yt • О » ^. • О • //
-1/E V3T7)
l/B-bV2~l)
—1/D-7 vT)
1/D-7 VT)
—1/D-3 v'2-3-7)
—1/D-3 V2-3-7)
1/D-3V2-3-7)
— ^7/D.9^2.3.5)
1 а Ь
\ d e
I
1 1/2 1/2
1/B-5^2")
—1/C • 5 V2 )
1/D ^3~5)
1/D-3-5)
2/(9-5)
1/(9 v'2-5)
1/D VTT5)
1/C-5^2")
—V7/D ¦ 9 ¦ 5)
Vb/B ¦ 0 v/FT)
—1/B- 3 v'frr?)
l/B-5vT)
-1/D-3-5)
1/C-5 vT)
1/D- 3 vT)
1/B-3. 5 vT)
1/B ¦ 5 ^2~7)
1/B-3-5^2")
1/C-5^2")
2/(9-5)
vT/D -9-5)
1/D-3^5")
1 1
2
1 )
—0.015430
0.016798
—0.015873
0.025254
—0.012859
—0.043644
0.026726
—0.025254
0.025254
—0.012859
—0.012859
0.012859
—0.013418
2 !•
i/
0.070711
—0.047140
0.064549
0.01lN(i7
0.044444
0.035136
0.064550
0.047140
—0.014699
0.033201
—0.028172
0.070711
—0.016667
0.047140
0.037268
0.012599
0.026726
0.023570
0.047140
0.044444
0.014699
0.037268
а
3
3
4
1
1
2
2
3
4
1
2
2
3
4
2
2
Q
О
3
а
3
2
2
2
2
3
3
4
1
1
2 "
2
3
3
4
1
1
2
d
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
3/2
5/2
7/2
d
5/2
3.2
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
7; 2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5,2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
b
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
/
4
4
b
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
e
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7,2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7,0
7/2
1,2
1 2
1/2
1/2
3,2
3 2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3,2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
ТАБЛИЦА 10.13
( a b
a e
1 1/2 1/2
1/E^2-3-7)
—1/D.5^3^7)
7/D.9.5^3)
-1/(9 ^2~5)
V5 1B ¦ 9 v'2 • 7)
-1/B.3.5^Т)
1/E v'2-3-7)
l/D-3v'2T5)
V/5/D.9\'2-3-7)
1/B-3 V^T?)
1/B-5 V'2-7)
l/D-5V3~7)
1/D-3^275)
1/C V2- 3- 5 ¦ 7 )
— 1/B-3- 5 \/2~)
7/D -9-5 V3")
к/^НА О v/O "J \
— vo/^4 - ;l VZ • 0 • 7)
1/C \/2-:j-5- 7)
-
>¦ 1/2 1/2
-1,'B-3VT)
1/C-5)
1/B-9-5)
1/(9 v'7)
-1/B-3. 5 vT)
-1/(9.5V7")
-2/(9 . 7)
-1/D.3-7 v'2)
—1/D^2.3-7)
1/C-5)
1/B-3-5 V'2")
1/B-5^5")
V2~/C • 5 vT^j)
2/E • 7 ^3")
V/3"/D ¦ 5 • 7 V2")
1/D.3 4/277)
-1/B-9.5)
-1/(9-5^7)
—V2"/C • 5 V^T?)
(продолжение)
2 )
2
1 J
0.030861
—O.OlOilll
0.022453
—0.035136
0.033201
—0.01259»
0.030861
0.A20352
0.009584
0.028172
0.020726
0.010911
0.021K52
0.0231102
—0.023570
0.022453
— ().U)X>8'i
0.0231H2
'i \
•\
1 J
—0ДШ299'i
0.(.'li(i(i(i7
0.011111
().< I'll il'.IO
—0.A23570
— O.(H!83!!9
—0.031746
—0.0!)8'il8
—0.038576
O.(nili(jfi7
0.023570
0.0'i'i721
0.OJ5936
0.032ШИ
0.008748
0.022272
-0.ОШИ
—0.008399
—0.015936

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
339
ТАБЛИЦА 10.13 (продолжение)
a
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
a
2
2
3
3
1
2
2
3
3
1
2
2
3
d
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2"
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
5/2
5/2
/
5/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5'2
b
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
b
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
e
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
(a b
d e
I 1/2 1/2
-1/B-5^-5-7)
-1 /E • 7 V2")
-1/C.5.7)
-1/(9 У'З ¦ 7)
1/B-3 vT)
1/(9 VT)
2/(9-7)
2/E • 7 v/3 )
1/E-7 v'2")
1/B-7 V'7)
1/C-7^2^7)
v'TT/tg • 7 VFli)
1/D-3-7 vT)
— V/3"/D - 5 • 7 v'2")
-1/C-5-7)
-1/C-7 v'2-7)
— l/D-7V/FT)
—уТТ/D -3-7 vTHJ)
1/D^2-3-7)
1 /D - 3 vT^)
1/(9 ViTT)
у'ПЯ^уТГз)
^11/D.3-7^2-3)
v'll/D-3v'2-3-5-7)
( a b
I d e
' 1/2 1/2
1/B • 3 VT)
1/(9 vT^S)
-1/B-9-7)
1/C-7)
l/Dv'3T5)
-1/D-3-5)
2/(9-5)
-v'2 /(9 - 7 v'5 )
1/B-7 vTHJ)
1/D - 3 - 5)
—1/D-5 v'5-7)
2/C ¦ 5 vlP?)
1/П .5.7^
'/r J 4
3 )
2
1 J
—0.009759
—0.020203
—0.000523
—0.024246
0.062994
0.041996
0.031746
0.032991
0.020203
0.026997
0.012726
0.021492
0.008418
—6.008748
—0.009238
—0.012727
—0.009545
—0.016119
0.038576
0.022272
0.024246
0.02145J
0.016119
0.019072
2 }
0.074536
0.035136
—0.007937
0.047619
0.064550
—0.016667
0.044444
—0.010039
0.029161
0.016667
—0.008452
0.022537
a
3'
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
a
3
3
2
3
3
4
2
2
d
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
5/2
7/2
5/2
/
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
b
0
0
1
1
1
1
i
1
e
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/7
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
г a b
{ d e
t 1/2 1/2
уТ/D • 7 vT)
—1/D-3 ^3-5-7)
1/B-3 v'5")
—1/(9 VTT5)
2/(9 - 5)
—2/C • 5 V5 - 7)
1/E V/5T7)
-1/B-5.7)
1/G^2-3-5)
—1/(9 v'2 ¦ 3 • 5 • 7 )
— 1/B-9-7)
^2 1(9 ¦ 7 v'5")
-1/C-5-7)
1/B-5-7)
-1/G V2-3-5-7)
1/C.7V7)
—1/(9-7 vT)
-1/C-7)
1/B-7 vTlJ)
— ^1/D ¦ 7 vT)
1/G V2- 3-5)
-1/C-7 vT)
Vl 1/(8-7 v'7)
-^11/(8-3-7^3)
—1/D-3^3-5-7)
1 /(9 v'2 • 3 • 5 • 7 )
—1/(9-7^3")
v'll/(8-3-7^3)
—1/(8-3 v/зЛ)
i- 0 d i
1 d e 3
1J6 i-\u ]
1/C-7)
-1/D-7)
1/(9 VT)
1/(9-7)
5/(8-3-7)
1/(8 V/3T7)
1/C v'2 • 5 ¦ 7)
-1/B ¦ 9 v'2 • 5 • 7)
2 \
3 1
1 >
0.027664
—0.008133
0.074536
—0.035136
0.044444
—0.022537
0.033806
—0.014286
0.026082
—0.007667
—0.007937
0.010039
—0.009524
0.014286
—0.005)858
0.017998
—0.009164
—0.047619
0.020161
—0.027664
0.026082
—0.017998
0.022385
—0.01135)8
—0.008133
0.007667
—0.009164
0.011398
—0.009092
)
1
0.047619
—0.035714
0.041996
0.015873
0.029762
0.027277
0.039841
—0.006640
22*

340
Гл. 10. 9/-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
a
3
3
4
1
2
3
3
4
1
1
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
4
0
1 '
1
2
2
3
4
1
1
2
2
3
3
a
4
3
3
.4
d
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
d
7/2
i
5/2
7/2
7/2
ь
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
. b
0
1
1
1
e
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
/
1/2
1/2
1/2
Г а Ъ 3
| d e 3
I 1/2 1/2 1
5 vT/D ¦ 9 ¦ 7 vT)
—1/D • 7 \r2~H)
1/D-3 ^2^7)
1/C^2-5-7)
l/D-3v7)
l/D-7V2-3-5)
1/D • 7 v'2")
1/D • 3 v'2 • 3 • 7)
1/(9 vT)
1/B-9 ^2-5-7)
1/D-3vT)
1/G v'2- 3-5)
-1/(8-3-7)
vT/(8 ¦ 9 ^3)
1/C-7)
-1/(9 - 7)
5 v'5 /D ¦ 9 ¦ 7 v'2 )
-1/D - 7 v'2 - 3 • 5)
1/G v'2 ¦ 3 • 5)
1/D-3 v'l^l)
^11/D -9-7 ^2^3)
1/D-7)
5/(8-3-7)
1/D-7^2^3)
l/D-7vT)
1/(8-3-7)
1/D-3^2-7)
1/C-7 \?2~H)
—1/(8 v^3 ¦ 7)
1/D-3 v'2 • 7)
-1/D-3 v'2-3-7)
vT/(8 ¦ 9 vT)
—^11/D-9-7 V2-3)
l/C-7V2-3)
I a b i
I d с
I 1/2 1/2
1/D-3^3")
1/C-7)
1/(8-3-7)
v'5 /(8 • 9)
)
1
0.031372
-0.014580
0.022271
0.039841
0.031497
0.006521
0.025254
0.012859
0.041996
0.006640
0.031497
0.026082
—0.005952
0.021216
0.047619
—0.015873
0.031372
—0.006521
0.02C082
0.022272
0.005373
0.035714
0.029762
0.014580
0.025254
0.005952
0.022272
0.019440
—0.027277
0.022272
—0.012859
0.021216
—0.005373
0.019440
i
—0.048113
0.047619
0.005952
0.031057
a
3
3
4
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
a
3
3
4
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5,2
5/2
7/2
7/2
d
7/2
7/2
7/2
b
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
b
0
1
1
e
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5 2
7/2
7/2
7/2
7 2
7/2
7/2
7/2
7/2
7,2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1/2
1/2
1,2
ТАБЛИЦА 10.13
la b 4
\ d e 3
' 1/2 1/2 1
-vT/D-3 -7 v'2")
-1/D-3-7^2^3)
—^57D • 9 ^2~ТЗ)
1/E V3T7)
1/D-5 V/3T7)
Vo7D • 7 V^li)
1/D • 3 • 7 V'2")
^11/D • 9 ^2^7)
-l/D-5v^T7)
-1/(9-5 \/3- 7)
—vT/(9 • 7 vTT-J)
-1/(8-3-7)
-v/ll/(8-9v/7)
1/C-7)
v'5 /D • 3 • 7 v'2 )
vT/D • 7 vT~3)
*T/(9 • 7 V2T3)
\'5-11/(9-7 ^3-7)
V/ll/D-3-7\/2^7)
^!ГТТ/D ¦ 9 ¦ 7 v'J)
—1/(8-3-7)
—1/D.3-7 ^2~3)
— 1/D-3-7 v'2")
— 1/(8-3-7)
— vTT/D -3-7 V/2T7)
-1/B-3-7 V/2T7)
—vT/B • 9 • 7 v/2")
1/D- 3vT)
V5~7(8 ¦ 9)
vT/D ¦ 9 \72Тз)
\'\ 1/D -9 v'2 -7)
vTf/(8 • 9 v'7")
v'5- 11/D- 9- 7 V2)
v'.") /B ¦ 9 ¦ 7 v'2 )
N^13/B. 27 vTT7)
lab.
\ d e i
I 1/2 1/2 i
1/D^3^7)
1/(8 v^TT)
-1/(8-27)
продолжение)
)
)
—0.018823
—0.004860
—0.025358
0.043644
0.010911
0.032603
0.008418
0.024622
—0.010911
—0.004849
—0.014490
—0.005952
—0.017411
0.047619
0.018823
0.032603
0.014490
0.025688
0.010552
0.020810
—0.005952
—0.004860
—0.008418
—0.005952
-0.010552
—0.006363
—0.012548
0.048113
0.031057
0.025358
0.024622
0.017411
0.020810
0.012549
0.017845
i 1
J
0.054554
0.027277
—0.004630

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
341
a
2
3
3
4
2
3
3
4
1
2
2
3
О
4
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
d
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
b
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Q
S
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
e
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
(a b 3 1
d e 4 ,
* 1/2 1/2 1 ^
1/B-3 ^277)
-1/D - 3 ¦ 7 VT)
Vb/4 ¦ 7 /2~7з)
-/37D • 27 VTl)
1/D • 3 /О)
-1/D -3-7 /2~7з)
/57D -3-7/2")
-1/D-3/2-3-5-7)
1/B ¦ 3 VT1)
-l/D-3vT77)
1/C /37577)
—l/(9-7vT)
v/F7TI/(8 ¦ 3 - 7 Vb)
—/П/(8 • 9 /577)
1/D-3- 7 /f)
—1/D -3-7 /2з)
1/(9- 7 V2")
— 1Д9•7 V7 j
/5711/D -3-7 /2 - 3 • 7)
—/57D -9-7/2")
1/D /377)
-1/(8 /377)
/57D • 7 /573)
—/5"/D -3-7/2")
/5-11/(8-3-7/3)
-/5-11/D-3-7/2-3-7)
/ГТ/B -3-7 /277)
-1/B-3-7/273)
—1/(8-27)
/Г/D • 27 /2~7)
-1/D- 3/2- 3-5- 7)
/11/(8 ¦ 9 /57У)
-/57D -9.7/2)
1/B-3-7/273)
—/51B -27/2-3-7)
0.044544
—0.008418
0.032603
—0.005533
0.014086
—0.004860
0.018823
—0.005750
0.044544
—0.014086
0.032530
—0.011224
0.025487
—0.007786
0.008418
—0.004860
0.011224
—u.uuoayy
0.013623
-0.006274
0.054554
—0.027277
0.032603
—0.018823
0.025486
0 013623
0.021105
—0.009720
—0.004630
0.005533
—0.005751
0.007786
-0.006274
0.009720
—0.006390
a
4
3
4
3
3
4
2
3
3
4
2
3
3
4
1
2
2
3
4
1
1
2
2
3
4
0
1
1
2
2
3
3
d
7/2
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
b
0
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
e
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
ТАБЦИЦА 10.13
I a b k
I d e i
I 1/2 1/2 1
/57D • 9 /3")
/57(8 ¦ 9)
1/(8-9)
/5 /D ¦ 3 /2 • 3 • 7)
—1/D-9/277)
/77D ¦ 9 V275)
1/D-9)
1/D -9/2-5-7)
/3/D • 5 /277)
/11/D -9-5 VTH)
1/D-9)
1/C/2- 3-5- 7)
—/Tl/(8 -9-5/7)
7/(8 -9-5)
/57D • 3 /2-3-7)
—1/D-9/2-5-7)
1/C/2-3-5-7)
1/D-9/2")
1/D • 9 V2 ¦ 5 • 7)
/57(8 • 9) ¦
1/D-9/2T7)
/3 /D -5/2-7)
/П/(8 -9.5/7")
1/D-9/2")
1/(9/2-3-7)
/57D • 9 /3 )
-1/(8-9)
/7/D ¦ 9 vT75)
-/П/D -9-5 /27з)
7/(8 -9-5)
-1/D-9/2-5-7)
1/(9/2-3-7)
(n родолжение)
)
)
0.035861
0.031056
0.013889
0.028753
—0.007424
0.023241
0.027778
0.003320
0.023146
0.007522
0.027778
0.023002
—0.003482
0.019444
0.028527
—0.003320
0.023002
0/019641
0.003320
0.031057
0.007424
0.023146
0.003482
0.019642
0.017145
0.035861
—0.013889
0.023241
—0 007522
V • '-' ^-* 1 I/mm
0.019444
—0.003320
0.017145

СО СО to Ю
О СО Ы Ы " >* О
?. СО Js. CO CO CO CO tO СО tO tO tO to **¦ tO !-*¦*-*¦>-*¦ ^ О
CO CO _l^
_СЯ _СЛ _W _CO _>-»_*»¦ _СЛ _CO _CO _>-^ _CO _CO
tO 73 tO N5 TnS tO M Ы 'Й М tS5N5
ч <] ui <i ел 01 _сл ел со о i со со о; со
N5tS5 tOtS5tOtS5tS51S5 l37~~ ТТЗ
_сл .ел _сл _co _co ,co _co _co _co jw _co _co _co _co _co _co -i^^J-i^J^ -^ -^
tototo to to to to to to to totototototo totototo toto
^-3 *~1 Ч <1<1О1 ОИЛ СЛ СЛ СЛ CO CO CO CO CO CO **.**.**. h^-b*.
toto totototototo totototototo totototototo toto
tototo tototototototo
js. js. cocococococo totototototo
Si-
"> *- js. ^
"I ^1 <- a
сл1 ел' toi >-
to oo
to en|
CO
СЛ
to
CO
-a to to со to со cc N5 to oi
о
о
СЗ
ОЗ
js.
О
о
со
м
М
о
о
to
on
о
ел
оз
о <z> <z>
I I I
о о о о о о
оооо о о
оооо
N3 О^ СО
к-л. о^ СЛ
5D Ol v] O5 !О
о
СО
to
00
-о
о
en
ел
о
to
о
CD
СО
аз
CD
ел
to
ел
о
о
о
to
ел
"S3
JS. CO CO tO tO
СО СО tO tO "• COCOtOtOCOtO
JS.tOCOtO
J>-COCOtO
tn w и
-j_oi_oicoenoi
^J ^O О"* О"' "^ **J O~i CJ~i CO ^1 ^J Ol O"* CO CO
To~toto~to loTototoTo toto~tototo"to
COCOCOCOCOCOCO COCOCO ^CO _CO CO _h^ _K^ ^H* h^. ь*. ь*
To^o^o^o^olo^o Totsstotototo totsstsstotoTo
_--^J —J —J —Л —J СЛСЛСЛСЛСЛСЛ СЛСЛО1СЛ
toTSTSto^o toTolSToT-oTo ТЗТоТЗ^о
to to to to to to to
cocotocoto cocococococo totototss
ь*. СО Н*.
__^ < < ^
oo to со ^-- -^, to
си со
oo toj ь
to о
col -j
ОЧ
<, 00
CO
ОС
00
<^
to
'o?
00
CO
<-
to
CO
to
CO
-<^
CO
Ol
CO|
to
CO
CO CO
Js Js
to со со
CO Js. Js.
O'l
*^
On
СП
tO|
<-
-^_
ОС
.
"S3"
m
to
oo
Cv
tT>'
-^_
00
<.
CT.
.
00
<
1O|
'
)/c
CO 0C DC
CO ?
5-
-^.
00 00 CO to
C'l со
-j| ел
ю| to
col cj'
tO|-
2 g
^J JS.
О 00
1-» tO
О i-»
О О О О
I I I
о о о о о о
О О О О
о о о о о ооо
О О О С С
ho Js. ijs. м>- ^J
00 -J CO CO Js-
i-». — CO CO tn
~J Js. О О CO
to ^^ ^ •¦* оз
о
Ol
о
CO
to
Js-
o
о
o>
CO
о
Js-
co
о
CO
о
js-
CO
CO
о
о
to
СГ.
с
а:
to
CO
ec
с
1
аз
о
аз
со
to
с
со
S
ее
со
со
о
00
ее
со
со
о о о о
о *. -^ о'
to W " "
00 «• ь» О
to ю o
I» со
со аз !-» со
со to оо js. со
Js. оз
О м.
00 ОЗ
со оо
о о о
Ь р о
to
оооо
О ь»
СО !-»•
*. to аз
js. со со
g 2
о
со
о о
сл to
аз со
со сл
>¦*¦ о Js. о

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
343
a
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
CSI
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
a
3
4
3
3
A
f CSI
3
3
4
d
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
Ь
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
b
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
e
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
e
0
0
1
1
\
1
1
1
1
1
Г а Ь 5/2 |
] d e 5/2 [
' 1/2 1/2 0
-1/C-4)
V7 /C -4/3-5)
—1/B - 3 /375)
1/C-5 vT)
— 1/D- 5 vU")
1/D /57)
—1/F v'2 • 5 - 7)
1/(9 - 2 vT)
1/C-4)
/Ё7C -4/3-7)
1/C v'2 • 3 - 7)
1/B-3^577)
1/D /577)
1/D-7/3")
/57B .3-7/2")
1/B-9 /2~77)
1/B • 3 /7)
—/57C • 8 /2~77)
3/(8 V2 • 5 • 7)
—1/F/2.5-7)
/5 /B - 3 • 7 /2")
-/37A6-7)
/5-11/C-1б/3~77)
1/(8 /2~7з)
1/C ¦ 8 /2~7з)
1/(9-2/2")
1/B-9/277)
/5-11/C-16/3-7)
1/C-16/3")
[ a b 7,
)
—0.083333
0.056927
—0.043033
0.047141
—0.028867
0.042258
—0.019920
0.039284
0.083333
0.040663
0.051434
0.028172
0.042258
0.020620
0.037646
0.014848
0.062994
—0.024901
0.044821
—0.019920
0.037646
—0.015465
0.033716
0.051031
0.017010
0.039284
0.014848
0.033716
0.012028
2 1
| d с 7,2 [
' 1/2 1/2 0
-1/16
1/16
1/D ОТ)
/37A6 /7~)
/7/C • 16 /3")
—1/(8 /2T3)
1/(8 VFT)
—1/(8 /J77)
/5~/C • 8 /275)
—0.062500
0.062500
0.054555
0.040916
—0.051031
0.033408
—0.033408
0.038036
a
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
a
0
1
0
1
1
d
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
/ —
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
b
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
b
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
e
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
e
0
0
1
1
1
ТАБЛИЦА ia.14
(продолжение)
С о ь 7,2 ~t
Id e 7/2 \
* 1/2 1/2 0 '
1/D-5)
/3 /E ¦ 8 /2 )
1/(8 /2T7)
1/(8/2.7)
1/(8/2-3-5)
-1/(8 /273)
/37E • 8 /2 )
-1/B-3-5)
1/C-4/7")
—1/A6/7)
/ГТ/C • 16 /5")
1/D /3~7)
1/(8 /277)
1/C-4 /7)
1/B-3-7) •
/11/G-16)
/57C-16/7)
—1/16
/з7Aб/7)
1/(8/277)
—1/A6/7)
/ГТ/G-1б)
-1/G-8)
1/(8 /3 - 7)
1/A6)
/7/(з • 16 /з~)
/57C ¦ 8 /2~7з)
1/(8/2-3-5)
/П/C-1б/5~)
/5~/C .1 g /7)
1/(8 /377)
1/(8-9)
0.050000
0.030619
0.033408
0.033408
0.022822
—0.051031
0.030619
-0.033333
0.031497
—0.023623
0.030901
0.054555
0.033408
0.033408
0.031497
0.023810
0.029613
0.017607
—0.062500
0.040916
—0.033408
0.033408
—0.023623
0.029613
—0.017857
0.027277
0.062500
0.031823
0.038036
0.022822
0.030901
0.017607
0.027277
0.0K889
1 а Ь 1/2 1
d e 1/2 |
1 1,2 1/2 1 >
1/4
1/C-4)
1/C • 4)
5/D - 9)
-1/B-9)
0.250000
0.083333
0.083333
0.138889
—0.055556

344
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
a
1
1
2
1
2
to to
2
3
2
3
3
coco
4
3
4
a
1
1
1
2
0
1
1
2
1
2
2
3
1
2
2
3
2
3
3
4
2
3
3
4
3
4
d
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
5/2
.7/2
7/2
7/2
7/2
d
1/2
1/2
3/2
3/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
ь
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
b
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
e
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
(a. b 1,12 1
d * 1/2 [
¦- 1/2 1/2 1
-1/B-9)
7/(9-8)
1/C-8)
1/C-8)
3/E-8)
—1/C-2-5)
—1/C-2-5)
11/E-4-9)
1/D-9)
1/D-9)
13/G-4-9)
-1/B-3-7)
-1/C-2-7)
5/G-16)
1/C-16)
1/C-16)
17/A6-27)
—0.055556
0.097222
0.041667
* 0.041667
0.075000
—0.033333
—0.033333
0.061111
0.027778
0.027778
0.051587
—0.023809
—0.023809
0.044643
0.020833
0.020833
0.039352
la b 3/2 I
j d e 1/2 [
I 1/2 1/2 1
1/B-3)
-1/B-9)
-1/D-9)
-1/C-4)
1/B • 3 /2~)
/57B • 9 /2")
/5"/D • 9 /I)
1/C ¦ 4 /I)
—1/C-4/2^5)
-1/D-5/2") '
- 1/B-3-5/2")
—1/B - 3 /2^5)
1/D /3~5)
/77C-4-5)
/77B-5-9)
/27C • 6 /5")
-1/B-9/T)
-/57G • 9 (/2")
—/57C -4.7/2")
—1/D/2-3-7)
1/B ¦ 3 /2T7)
1/B-7/2~1)
/3~/G-8/2~)
/5"/C • 8 /2~77)
—1/C ¦ 8/2~з)
)
0.166667
—0.055556
—0.027778
—0.083333
0.117851
0.087841
0.043921
0.058926
—0.026352
—0.035355
0 023570
—0.052705
0.064550
0.044096
0.029397
0.035136
—0.020998
—0.025097
—0.018823
—0.038576
0.044543
0.029161
0.021870
0.024901
—0.017010
—0.019367
a
1
0
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
4
3
3
4
a
1
2
1
1
2
2
0
1
1
2
2
3
d
3/2
1/2
1/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
3/2
5/2
5/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
5/2
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
d
3/2
3/2
1/2
3/2
3/2
5/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
b
1/2 '
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
ь
1/2
1/2
1/2
1,2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
e
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
e
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ТАБЛИЦА 10.14
продолжение)
( а Ь 1/2 1
Id e 3/2 >
I 1/2 1/2 1 1
1/B-3 /2~)
1/B-3)
-1/B-9)
/5 /B • 9 /2 )
-1/D-9)
/5 /D • 9 /2")
-1/C-4/2^5)
1/D/375)
-1/C-4)
1/C-4/2")
-1/D-5/2")
/77C-4-5)
—1/B -3-5/2")
/7/B-5-9) ¦
—1/B-9/7")
1/B-3/277)
—1/B - 3 /2T5)
1/(9 /273)
—/57G • 9 /2")
1/B - 7 /27з)
-/57C -4-7/2")
/3"/G • 8 /2")
—1/C-8/273)
-1/D/2-3-7)
/5"/C • 8 /772)
—/577/(8 • 27 /2~)
0.117851
0.166667
—0.055556
0.087841
—0.027778
0.043921
—0.026352
0.064550
—0.083333
0.058926
—0.035355
0.044096
—0.023570
0.029397
—0.020998
0.044543
—0.052705
0.035136
—0.025097
0.029161
—0.018823
0.021870
—0.017010
—0.038576
0.024901
—0.019367
t a b 3/2 j
Id e 3/2 \
I 1/2 1/2 1 >
/57C-8)
1/(8/5")
/57B • 9 /2")
-1/(8-9)
7/C-5-8)
—1/B-5/273)
/5"/C • 8)
-1/(8-9)
7/D -9/2-5)
1/C-4-5/2")
/37E-8)
1/(8 /375)
0.093170
0.055902
0.087841
—0.013889
0.058333
—0.040825
0.093170
—0.013889
0.061489
0.011785
0.043301
¦ 0.032275

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
345
а
0
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
2
3
3
4
а
2
2
2
3
1
1
2
2
3
d
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
/
5/2
7/2
7/2
d
3/2
3/2
5/2
5/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
ь
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
ь
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
е
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Г а Ь 3/;
| d е 3/i
1 1/2 1/2 1
1/(8^5)
7/C-5.8)
1/C.4.5^2")'
3/D ¦ 5 /275)
—/7/C ¦ 5 • 8 /5~)
11/C-5-8 vT)
—1/B-5^2^7)
—1/B-5^2^3)
/з~/E • 8)
—/7/C • 5 • 8 /5")
11/B-5.9^275)
1/E- 9 /7")
13/C-5.8^277)
1/(8 v'2-3-5)
1/(8/зТЗ)
11/C-5-8 vT)
1/E-9/7")
13/B -7-9 /ITS)
-1/G • 8 /2з)
V5"/C • 8 /277)
-1/B-5^277)
13/C -5-8 V277)
—1/B -4-7 ^27з)
/57(8 ¦ 7 /2")
1/C.8/2.3.7)
1/(8/2.3-5)
/5"/C • 8 V2T7)
1/C-8/2-3-7)
17/(8-27 /2~5)
^ 1
J
0.055902
0.058333
0.011785
0.047434
—0.009860
0.034647
—0.026726
—0.040825
0.043301
—0.009860
0.038650
0.008399
0.028953
0.022822
0.032275
0.034647
0.008399
-0.032627
—0.007290
0.024901
—0.026726
0.028953
—0.007290
0.028235
0.006429
0.022822
0.024901
0.006429
0.024888
( а 0 5^1
| d e 3/2 >
!• 1/2 1/2
1/B • /2-3-5)
-1/B-5/273)
—1/B-5-9)
-1/B-9)
1/C-4)
1/C-4/275)
/f/D • 5 /275)
/77D-5-9)
1/(9 /273)
>
0.091287
—0.040825
—0.011111
—0.055556
0.083333
0.026352
0.054006
0.014699
0.035136
a
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
2
3
3
4
а
2
1
2
2
1
2
2
d
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
5/2
3/2
3/2
5/2
3/2
3/2
5/2
ь
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
•7/2
7/2
7/2
7/2
ь
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
e
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
e
0
1
1
1
1
1
1
ТАБЛИЦА 10.14
Г а Ь 5/1
| d e 3/;
*¦ 1/2 1/2 1
-1/C-4.5)
-1/C-4-5/5")
—/7/D -5/2-3-5)
-1/D • 5 /375)
—1/E/2-3-7)
-1/D.5/377)
-1/C • 4 /5")
1/B-3/5")
/77B .3.5/3")
/7~/B -3-5 /273)
/77B -3.5/5)
1/C-5/275)
1/E/67?)
1/D • 5 /377)
1/C • 4 /3~5)
—1/B-3/2-3-5-7)
-1/B-3-5/7")
-1/B-3. 5 vf)
—1/B-7/573)
-1/C-4-7)
-/5/D.9/7)
1/B-3/277)
1/B-5/271)
1/B-5/277)
1/D -7/2")
/57G • 8 /271)
/11/C-8/2-3-7)
—1/B • 9 V2 • 3 • 5)
—/5 /(9-4/2-3-7)
—l/C-8/277)
—/IT/(8 - 9 /271)
продолжение)
»l
J
—0.016667
—0.011785
—0.024152
—0.012910
—0.030861
—0.010911
—0.037268
0.074536
0.050918
0.036004
0.039441
0.021082
0.030861
0.010911
0.021517
—0.011501
—0.012599
—0.012599
—0.018443
—0.011905
—0.023477
0.044544
0.026726
0.026726
0.025254
0.016301
0.021324
—0.010143
—0.009584
—0.011136
—0.014567
fa b 3/2 1
Id e 5/2 \
I 1/2 1/2
1/B-3/5")
1/C-4)
-1/C-4-5)
/7/B • 3 • 5 /J)
1/C-4 /27~5)
-1/C-4-5/2)
/7/B -3-5 /273)
1 I
0.074536
0.083333
—0.016667
0.050918
0.026352
—0.011785
0.036004

346
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
ТАБЛИЦА iO«14 (продолжение)
a
3
3
0
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
.1
1
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
a
2
3
2
2
3
3
d
5/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
d
5/2
5/2
3/2
5/2
5/2
7/2
ь
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
ь
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
e
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
e
0
0
1
1
1
1
С a b 3/2 •>
Id e 5/2 >
I 1/2 1/2 1 >
— 1/B-3/2-3.5-7)
1/B -3/277)
1/B/2-3-5)
-1/B -5/2773)
/7/D - 5 /2~3)
—/7 /D-5/2-3-5)
/7/B -3-5/5")
—1/B-3-5/7)
1/B-5 /277)
-1/B -5.9)
/7/D-5-9)
-1/D -5/3-5)
1/C-5 \/J7b)
-1/B-3-5/7)
1/B-5/277)
—1/B -9/2-3-5)
-1/B-9)
1/(9 /271)
—1/E /2-3-7)
1/E /2-3-7)
-1/B-7/375)
l/D-7/f)
—/5/D-9 V2-3.7)
— l/D-5/J77)
1/D • 5 /377)
—1/D-7-3)
/57G - 8 /2~3)
—1/C-8/277)
-1/D-3/5")
1/C-4/375)
—/57D • 9 /7)
/11/C-8/2-3-7)
—/TT/(8 ¦ 9 /2~73)
—0.011501
0.044544
0.091287
—0.040825
0.054006
—0.024152
0.039441
—0.012599
0.026726
—0.011111
0.014699
—0.012910
0.021082
—0.012599
0.026726
—0.010143
—0.055556
0.035136
—0.030861
0.030861
—0.018443
0.025254
—0.009584
—0.010911
0.010911
—0.011905
0.016301
—0.011136
—0.037268
0.021517
—0.023477
0.021324
—0.014567
{ a b 5/2 \
d e 5/2 |
!• 1/2 1/2 1 >
/7/C - 4 /375)
/57C - 4 /з77)
/7/B - 3 • 5 /3")
-1/C-4-5)
1/D-7)
-/5 /B-3-7/3)
0.056927
0.040663
0.050917
—0.016667
0.035714
—0.030738
a
1
2
'2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
Q
О
Q
О
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
м
3
3
4
1
2
2
3
3
4
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7 /9
l\&
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7 /O
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
O/Z
7/9
I/A
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
r /0
DjZ
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
ь
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
r> /0
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
б/г
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
т/9
O/Z
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
1
1
1
1
1
A
1
2
2
2
2
2
rt
2
2
2
2
2
2
9
?1
9
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
<J
0
3
3
4
4
4
4
4
4
Г a b 5/2 \
id e 5/2 }
1 1/2 1/2 1
/7/C-8/5)
1/C -8-5 /3")
1/B - 5 /7)
1/C-7 /f75)
11/C-7-8/273)
/57C • 8 /2~77)
/7/B -3-5/3")
1/C-5-8/3")
9/(8-5/577)
-1/C • 5 /2 ¦ 3 ¦ 5 - 7)
ll/B-3-5.7/3")
—3 V3 /(t> - 7 ¦ 8 /2 )
13/(8-9/2-5-7)
/7/C • 4 /371)
-1/C-4-5)
1/B-5/7)
— 1/C-5/2-3-5-7)
11/C-4-5/577)
1/D • 0 ¦ 7 Vd )
A *~> //0 *~l Г Г7 - /л i\ \
13/B • i ¦ 5 ¦ 7 V2 ¦ 3)
1/B • 3 /2 ¦ 3 ¦ 5 - 7)
/57D • 3 /3~7)
1/D-7)
1/C-7/2-5)
11/B-3-5.7/3")
1/D-5-7/3")
13/C-4-7/577)
—1/B- 3-7 /2 -3-7)
/57B -3-7 /2773")
-/5/B • 3 • 7 /3")
11/C-7-8/273)
3 /3"/E • 7 • 8 /2 )
13/B-3- 5- 7/2773)
— 1/B-3-7/2-3-7)
15/G-16/577)
/iT/G -9-16)
/5/C-8/2-7) ,
13/(8-9/2.5-7)
1/B-3/2-3-5-7)
/Г/B -3-7 /27з)
/ТТ/G-9-16)
17/(9-16/577)
0.049301
0.004811
0.037796
0.015058
0.026731
0.024901
0.050918
0.004811
0.038032
—0.004600
0.030242
—0.013122
0.021581
0.056927
—0.016667
0.037796
—0.004600
0.030989
0.004124
0.025272
0.011501
0.040663
0.035714
0.015058
0.030242
0.004124
0.026160
—0.003674
0.021735
—0.030738
0.026731
-0.013122
0.025272
—0.003674
0.022638
' 0.003290
0.024901
0.021581
0.011501
0.021735
0.003290
0.019955

10.12. ТАБЛИЦЫ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 9 /-СИМВОЛОВ
347
ТАБЛИЦА 10.14 (продолжениг)
a
3
3
3
4
2
2
3
3
4
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
d
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5; 2
5/2
7/2
7/2
3,2
5/2
5/2
7/2
7/2
1,2
3/2
3,2
5,2
5,2
7/2
7/2
1/2
3,2
3/2
5,2
5,2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3,2
5,2
5/2
7/2
7,2
3/2
3,2
5/2
5/2
7/2
7/2
b
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
.5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
/
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
0
1
1
1
1
. 1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
r a b 7/2 \
Id e 5/2 [
I 1/2 1/2 1
1/B-3 v7)
-1/C-7-8)
-1/C-8)
1/B-3 vTO)
1/B-3 \/2-3-5-7)
V^5 1B -3*7 \^2~)
1/(8-7 /1П"з)
/5"/C • 8 /2~~7)
-1/B-5^2-3-7)
-l/C-4-5\/f)
—1/D-7/3")
— 1/G ¦ 8 /2Г3)
-/57C-8/2-7)
1/B-9)
1/B-9 /7)
1/B - 5 /7 )
1/B-5^2.3-7)
1/B-7 /2T3)
1/G-8/3")
/5- 11/(8-9/3-7)
— 1/B-7-9)
_/57D • 7 • 9 /2~)
-1/D • 7 /2~3)
—1/B-3-7/2-5)
—vT/B -3-7 V2T7)
-1/D-7/377)
— /5-11/D-7-9/3)
1/D /JT?)
1/D-7)
/57G ¦ 8 /2~)
/57C ¦ 4 • 7 vf)
/5"ШC -4-7 /277)
/П/G • 8 /3- 7)
/lT/C- 7- 8)
—1/C-8/2-3-7)
1 //'q 0 v/o 4 . 7N
l/^O-OVi-O / у
1 К A Q v/5 7^
— 1/^1 ¦ a V *s • / у
—vTT/D -7-9 /2")
—/57C -7-8/3")
—/57(8 • 9 \/7)
0.062994
—0.030738
—0.005952
—0.041667
0.052705
0.011501
0.037646
0.007290
0.024901
—0.015430
—0.006299
—0.020620
—0.007290
—0.024901
0.055556
0.020998
0.037796
0.015430
0.029161
0.010310
0.022477
—0.007937
—0.006274
—0.011294
—0.007529
-0.014229
—0.007794
—0.016991
0.054555
0.035714
0.028235
0.028235
0.018823
0.023596
0.012924
0.019742
—0.006429
П DDR499
П ПП7Л9Л
—0.009306
-0.007684
—0.011738
a
3
2
3
3
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
1
1
2
2
3
3
4
d
7/2
5/2
5/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
b
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
la b 5/2 I
d e 7/2 |
I 1/2 1/2 1
1/D \/3~7)
1/B-9)
— 1/B-7-9)
1/D-7)
1/B- 9 s/T)
- \/5 /D • 7 ¦ 9 v'2 )
vT/G • 8 \/2 )
-1/C-8^2-3-7)
1/B • 3 /2T5)
—1/B • 5 V2-3-7)
1/B-5 vT)
—1/D ¦ 7 V2~5)
vT/(8 • 7 /2 )
—1/C-8^2-3-7)
1/B-3 V2-3-5-7)
—1/C-4-5 vT)
1/B-5^2-3.7)
— 1/B-3-7/2~П>)
V5~7C -4-7 V2~)
—1/D • 9 /2~Л)
1/B-3/7)
—V5~/C -2.7/3")
V57B • 3 ¦ 7 v'2")
-1/D - 7 /3")
1/B- 7 V2-3)
\/5~7B -3-7 \/2 • 7)
^5- 11/C- 4- 7 v'2 -7)
¦ 1 A i tit г"Т *"Ч л / Л \
—VI 1/D • 7 • 9 V2)
—1/C-7-8)
1/G-8^2^3)
-1/(8 • 7 \/2Тз)
1/G - 8 \/3~)
— 1/D ¦ 7 viTT)
vTT/G • 8 /ЗЛ)
-\/5"/C ¦ 7 - 8^3")
— 1/C ¦ 8)
/v /
/11 -5/(8- 9/3-7)
—/5-11/D-7- 9/з)
/11/C-7-8)
—/57(8 • 9 /7)
J
0.054555
0.055556
—0.007937
0.035714
0.020998
—0.006274
0.028235
—0.006429
0.052705
—0.015430
0.037796
—0.011294
0.028235
—0.006429
0.011501
—0.006299
0.015430
—0.007529
0.018823
—0.007424
0.062994
—0.030738
0.037646
—0.020620
0.029161
—0.014229
0.02359G
—0.00930b
—0.005952
0.007290
—0.007290
0.010310
—0.007794
0.012924
—0.007684
—0.041667
0.024901
—0.024901
0.022477
—0.016991
0.019742
—0.011738

348
Гл. 10. 9 /-СИМВОЛЫ (КОЭФФИЦИЕНТЫ ФАНО)
а
3
4
3
3
4
2
3
3
4
2
2
3
3
4
1
2
2
3
3
4
1
1
d
7/2
7/2
5/2
7/2
7/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
3/2
ь
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
3/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
е
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
f о Ъ 7/2 1
Id e 7/2 }
1 1/2 1/2 1
/з"/A6 /f)
/77C-1б/з")
1/D-7)
—5/C • 7 • 16)
11/A6-27)
1/(8 /177)
1/G • 8 /2~7з)
11/C-7-8^273)
5 /5"/(8 • 27 /277)
/3/D - 5 /7")
-1/C- 5-8 /гЛ)
11/D-6-7/ITS")
—1/G-8^273)
13/(8 • 9 /2-5-7)
1/(8 /177)
—1/C -5-8 /277)
11/B-5-9/3T7)
1/D-7-9/з")
13/C • 7 • 16 /з")
/11/C.16/3-5-7)
1/D-7)
1/G-8/2-3)
J
0.040916
0.031823
0.035714
—0.014881
0.025463
0.033408
0.007290
0.026731
0.013834
0.032733
—0.002227
0.026731
—0.007290
0.021581
0.033408
—0.002227
0.026671
0.002291
0.022338
0.006743
0.035714
0.007290
a
2
2
3
3
4
0
1
1
2
2
3
3
4
0
1
1
. 2
2
3
3
4
d
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
7/2
ь
5/2
5/2
5/2
5/2
5/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
7/2
e
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
ТАБЛИЦА 10.14
(продолжение)
fa Ь 7/2 \
Id e 7/2 }
' 1/2 1/2 1
11/C-7-8/273)
1/D-7.9/3")
13/B -7-9 /377)
—/lI/C-7-16/377)
5 /57C- 7-16/3")
/37A6/7")
-5/C-7-16)
11/C-7-8/273)
—1/G ¦ 8 /273)
13/C-7-16/3")
-/Щз.7.16/377)
5/G • 8 /377)
1/G-8.9)
/77C-16/3")
11/A6-27)
5 /5"/(8 • 27 /277)
13/(8-9/2-5-7)
/11/C-16/3-5-7)
5 V57C -7-16 /3")
1/G-8-9)
17/(8 • 27 /377)
)
0.026731
0.002291
0.022515
-0.002154
0.019211
0.040916
—0.014881
0.026731
—0.007290
0.022338
—0.002154
0.019484
0.001984
0.031823
0.025463
0.013834
0.021581
0.006743
0.019211
0.001984
0.017175

Глава 11
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Решение задач, в которых в той или иной мере фигурируют угловые и спиновые переменные,
связано с вычислением выражений, представляющих собой многократные интегралы от произве-
произведений сферических функций и D-функций Вигнера и многократные суммы произведений коэффи-
коэффициентов Клебша—Гордана, 6;- и 9/-символов. Эти выражения часто оказываются весьма громозд-
громоздкими. Из-за большого числа переменных трудно увидеть сразу связи входящих в них величии,
выявить симметрию и другие общие свойства, определить инвариантность этих выражений по от-
отношению к тем или иным математическим преобразованиям.
Использование графической техники существенно облегчает общий анализ выражений такого
типа. Графическое представление компактно и более наглядно. На графике видны все связи между
элементами, а также симметрия всего выражения и отдельных его частей. Более того, в боль-
большинстве случаев применение графических методов расчета значительно упрощает конкретные
вычисления.
Удобный графический метод суммирования 3/тп-коэффициентов был развит Левинсоном [80],
Юцисом, Левинсоном, Ванагасом [44] и Юцисом, Бандзайтисом [45]. Видоизмененный вариант
этого метода предложен Бринком и Сэчлером [9]. Существенно иная, но менее удобная графиче-
графическая техника дана также в работах [24, 105]. Подробное изложение графического метода представ-
представлено в книге Эль-База и Кастеля [17], которые расширили область применения метода для слу-
случаев непрерывных переменных. К сожалению, во всех перечисленных работах имеются существен-
существенные различия в выборе фаз и обозначений, в правилах определения знаков и др.
В этой главе даны унифицированные правила графической техники. В параграфах 11.1 и 11.2
определены элементы графиков, т. е. приведено графическое изображение различных функций
и указан способ изображения основных математических операций. В параграфе 11.3 сформули-
сформулированы используемые в процессе графических вычислений правила действия над графиками и ука-
указаны соответствующие этим действиям математические операции. Для удобства пользования все
определения и правила собраны в таблицы. Общая схема применения графического метода, опре-
определяющая последовательность операций в процессе конкретных вычислений, приведена в послед-
пем параграфе A1.4), поскольку она существенно опирается на материал, данный в предшествую-
предшествующих параграфах.
11.1. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
В основу графического метода положено однозначное соответствие между элементами графика
и величинами, входящими в аналитическое выражение. Каждому аналитическому выражению
сопоставляется график и, обратно, по виду графика можно написать соответствующее ему одно
и только одно аналитическое выражение. Каждой аналитической операции соответствует определен-
определенное преобразование графика. Благодаря этому все вычисления можно делать не в аналитической,
а в графической форме.
1. Основные элементы графиков
Сопоставление аналитического и графического представлений особенно удобно, если аналити-
аналитическое выражение записано в форме Дирака. Исходными понятиями квантовой теории в форму-
формулировке Дирака являются «кет» | ф> и «бра» <ф|, т. е. квантовомеханический вектор состояния и
эрмитово сопряженный ему вектор. В графическом представлении «бра» и «кет» изображаются
в виде направленных отрезков линий, привязанных одним концом к основанию (точке или чер-
черточке).

350 Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
«Кет» | ф>, т. е. ковариантныи или стандартный вектор состояния, изображается линией с од-
одной стрелкой, идущей от основания.
«Бра» <ф|, т. е. контравариантный или контрастандартный вектор состояния, изображается
линией с двумя стрелками, направленными к основанию.
Сплошной (нежирной) линией изображается вектор состояния, характеризуемого определен-
определенным угловым моментом j и его проекцией т:
Такие линии на графике называются j-линиями.
Пунктирной линией представляется вектор состояния, характеризуемого определенным на-
направлением Q {&, tp}:
Такие линии на графике называются Q-линиями.
Двойной пунктирной линией изображается совокупность углов Эйлера а, р, у или углов а>;
в, Ф, характеризующих /?-поворот системы. Такие линии на графике называются R-линиями.
Повороты системы координат играют определяющую роль в теории углового момента.
= = === /?.
Значение аргументов jm, Q или R указываются непосредственно над соответствующей линией,
поэтому длина линии, ее изогнутость и расположение на графике не играют роли. Например:
' — эквивалентно — 1 и < *,
Существенно лишь число стрелок и их направление по отношению к основанию.
Квантовомеханические векторы состояний можно нормировать по-разному. На графике это
отражено в характере основания, из которого исходит изображающая его линия. Величина \jm>,
представляющая вектор состояния, нормированный на единицу,
изображается на графике линией, исходящей из основания в виде черточки. Величина \}т), пред-
представляющая вектор состояния, нормированный на B;-|-1)~1,
., bJ/',,,,,,'
(jm\jm) = 2/ + 1 '
изображается линией, исходящей из основания в виде точки. Условия полноты для системы функ-
функций |/то> и | jm) имеют вид:
jm jm
Величина |Q> представляет вектор состояния, нормированного на 8-функцию, т. е.
Она изображается линией, исходящей из основания-черточки. Величина | Q) представляет вектор
состояния, нормированного так, что
и изображается пунктирной линией, исходящей из основания-точки. Для функций | Qy и | Q)
условия полноты имеют вид
dQ

11.1 ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ 351
2. Графики основных функций
В квантовой механике все функции и операторы, зависящие от угловых и спиновых переменных,
могут быть заданы в Q- или в /m-представлении, соответствующем определенной ориентации R си-
системы координат. В соответствии с этим любую функцию и матричный элемент любого оператора
можно изобразить в виде блока с входящими или выходящими из него Q-, /-и Д-линиями, характе-
характеризующими значения всех его спиновых и угловых переменных. График сложного выражения
будет представляться комбинацией таких блоков, связанных между собой Q-, j- и Д-линиями.
Стандартное графическое изображение различных функций представлено в табл. 11.1—11.3,
а графическое представление их свойств —в табл. 11.10—11.14.
Сферическая функция Ylm {Q)=(Q,\lm} представлена в виде соединения сплошной и пунктир-
пунктирной линий, соответствующих | 1т) и <[Q |.
i a b с\
3//п-Символ Вигнера I = @0 | aabftc^) изображается тремя выходящими из одного узла-
точки сплошными линиями, соответствующими |аа>, \bf) и \cfy. Знак узла (плюс или минус)
определяет циклический порядок считывания аргументов, т. е. последовательность связи момен-
моментов. Плюс соответствует считыванию против часовой стрелки, минус — считыванию по часовой
стрелке.
3/-, 6/- и 9/-СИМВОЛЫ Вигнера изображаются замкнутым графиком в виде не имеющей свобод-
свободных концов связки трех, шести и соответственно девяти сплошных /-линий с индексами, характе-
характеризующими аргументы этих функций. Стандартный вид таких графиков не однозначен, поскольку
индексы на линиях могут быть переставлены, а знаки узлов и направления стрелок — изменены
без изменения значения графика. Эта неоднозначность отражает то обстоятельство, что каждый
из Зи/-символов может быть представлен в виде несколько различных сумм произведений 3jm-
символов, различающихся между собой перестановкой угловых моментов, последовательностью
их связи и знаками их проекций.
Матрица оператора поворота R в й-представлении {Q' \R\Q > и в /яг-представлении
<[]пг | В | j1 т'У = ьц,О'пт, (R) изображается в виде соединения трех линий, очна из которых днойная
пунктирная, соответствующая переменным R, а две другие — либо пунктирные, соответствующие
(Q' | и |Q), либо сплошные, соответствующие (jm | и \j'm'). Знак такого соединения, как и выше,
определяет порядок считывания аргументов, т. е. какое из двух состояний при повороте является
начальным, а какое — конечным. При знаке плюс считывание идет против часовой стрелки, а при
знаке минус — по часовой стрелке. Таким образом, изменение знака соединения соответствует
переходу от поворота R к обратному повороту R'1.
Матричный элемент неприводимого тензорного оператора ,й|Г,,|ф'^> изображается в
виде блока с тремя линиями, соответствующими /ф|, | ф'> и | XfA. При этом внутри блока указы-
указывается символ оператора, а в тех случаях, когда он зависит еще от каких-либо аргументов или
квантовых чисел, приводится и значение этих величин.

352
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА
ИЗОБРАЖЕНИЕ
Аналитическое представление
«Кет»
О |
«Бра»
Н.1
ФУНКЦИЙ
Графическое представление
jm
jm
jm
., Jm
Символы Кронекера
Скалярное произведение
ЦтЦ'т') = -щ-
«Кет»
IЩ
«Бра»
8-функции Дирака
Скалярное произведение
<Q | Q'> = 8(Q — Q')
(Q | Q')=4ti5(Q —Q')
Сферические функции
Коэффициенты Клебша—Гордана
-O-
1
?2
-¦» — _.
n
S3
si,
— 9» (-
Im
Im
— »¦ — ¦
+--!
Jzmz
hmz
/
rJzmz
JM
\j'tmf \Ътг

11.1 ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ
353
ТАБЛИЦА 11.1 (продолжение)
Аналитическое представление
Графическое представление
З/то-символы Вигнера
h h /3U@0
m1 т% m^J
«Метрический тензор»
hmz
jm jm'
jm.
ТАБЛИЦА 11.2
ИЗОБРАЖЕНИЕ ИНВАРИАНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Аналитическое выражение
Графическое представление
Bа + 1)
0
?>
\ь
ЪаЬЪЬе
Ba+ 1)
а ,
ЗУ-символ
{о 6 с}
a i 6.
23 Д- А. Варшалович и др.

354 Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.2 (продолжение)
Аналитическое выражение
Графическое представление
6;-символ
а Ъ с
ABC
С\аЪ/А = '
Э/'-символ
Ч
аз
'3 i "г
12/-символ I рода (стр. 397)
а1 а2 а3 ai
b\ b2 ^з b±
Cj C2 Cg C4
+ = а,
X
C3+C2
12;-символ II рода (стр. 395)
о2 а2 а3 ai
h h h bi
C][ c2 c3 c4
V
C3 i
—
/a
«J
+
«it
-
a
4
—
У
C3
4
«¦
«J
«Г
V
ТАБЛИЦА 11.3
ИЗОБРАЖЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Аналитическое выражение
Графическое изображение
Матричные элементы неприводимых тензорных операторов в 2-представлении и в /т.-представлении
I 14- О
где 1 — совокупность всех квантовых чисел, кроме / и т.
Для обобщенно эрмитовых операторов
<7а I
М-у'-у
I S3'

11.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ
355
ТАБЛИЦА 11.8 (продолжение)
Аналитическое выражение
Графическое изображение
Для обобщенно эрмитовых операторов
*
Я/г
яцчп'
Приведенный матричный элемент
—ТО (А ТО
Матричные элементы оператора поворота в Й-представлении и в /'то-представлении (Д-функции Вигнера)
а'
f Й' | D {R) | fQy = 8ут8 (Q' — RQ)
И "
(Л)
II О
II"
II
11 л
5'
jm
j'm'
и
II о
II"
11.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ ТЕОРИИ
Выражения, возникающие при расчетах, основанных на квантовой теории углового момента,
обладают следующим общим свойством. Они имеют билинейный характер типа скалярного произ-
произведения |ф> <ф|, в котором суммирование или интегрирование проводится по всей области из-
изменения переменных jm, Q (&, ч^или R (а, р, у) (так называемые внутренние переменные). Бла-
Благодаря этому свойству выражений их аналитический вид не меняется при повороте системы коор-
координат. Это свойство отражает независимость описания физических процессов от выбора системы
координат и по существу является следствием изотропии трехмерного физического пространства.
При повороте необходимо учитывать изменения значения лишь внешних переменных, т. е. таких
переменных т, Q {&, <р} и R (a, p, f), по которым нет суммирования или интегрирования. Из-
Изменение же внутренних переменных можно не учитывать.
Таким образом, в реальных задачах, связанных с теорией углового момента, приходится иметь
дело лишь с инвариантным суммированием по угловым моментам j и их проекциям тис полным
инвариантным интегрированием по сферическим углам Q {Ь, <р} и переменным R (а, Ъ, у), харак-
характеризующим поворот системы. Только к выражениям такого типа и применим излагаемый в этой
главе графический метод вычислений.
В данном параграфе указаны способы графического изображения математических операций,
используемых в теории угловых моментов, тогда как сами правила действия над графиками даны
в следующем параграфе. Краткая сводка результатов приводится в табл. 11.4.
23*

356
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
1. Умножение
Произведение двух величин 9Я и 9Z на графике изображается в виде двух не связанных между
-собой блоков, один из которых представляет величину 9Л, а другой 9t. Взаимное расположение
я ориентация этих блоков на графике не существенны. Например, произведение
(А В С\ I А В С ]
а Ъ
)
с/
изображается как
2. Инвариантное суммирование по проекции углового момента
Суммирование по проекции т углового момента / (m=j, j—1, . . ., —;') билинейного выра-
выражения типа скалярного произведения
графически изображается соединением (замыканием) свободных концов линий, соответствующих
У и <jm\, на графике, представляющем выражение, стоящее под знаком суммы
у
т
т
jm jm
_
ал
3
Связующей линии приписывается индекс j и на ней ставится стрелка, направленная в ту же сто-
сторону, что и стрелки исходных связываемых линий. Рассматриваемая сумма будет инвариантна
относительно поворота системы координат лишь в том случае, когда один из сомножителей, стоя-
стоящих под знаком суммы, имеет ковариантную по jm, а другой — контравариантную по jm форму.
.Это означает, что на графике одна из соединяемых линий должна обязательно иметь одинарную,
а другая — двойную стрелку, направленную в ту же сторону.
Таким образом, изображенная выше связка /-линий двух блоков, соответствующих <^ |90? \jrri)
и <^jm УЗХ \У, по существу представляет собой скалярное произведение неприводимых тензоров
у сто эдт
Z^ Jm У ¦
m=-J
Например, сумма произведений двух 3//ге-символов по двум проекциям моментов а и Ъ
(аЬ с\(аЪ с'\ V^ . ..„и^.^, / а Ъ с\(аЬ с'
т / а Ъ
[-* -з -
а з
изображается в виде
су
асе аи,
(- +.
с'у' су
c'f
' ьрьр ъ
Графики, различающиеся между собой лишь направлением стрелки на связующей /-линии,
соответствуют выражениям, отличающимся лишь фазовым множителем (—lJ'', поскольку
от m
Важным примером сумм по магнитным квантовым числам являются Зга/-символы Вигнера,
которые представляют собой инвариантные суммы произведений двух, четырех, шести и т. д.

11.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ ТЕОРИИ
357
3//ге-символов; причем суммирование выполнено по всем проекциям, так что соответствующие
Зге/-символам графики имеют замкнутый вид, не имеют внешних, входящих или выходящих
линий (табл. 11.4).
ТАБЛИЦА 11.4
Зл/-СИМВОЛЫ ВИГНЕРА
Аналитическое выражение
Графическое
представление
3/-СИМВОЛ
V-i
( h к к \ ( h к к \ = ^ (_1}A-im-A-*+W h к к \( h /2 к \ = { h
/з}
6/-СИМВОЛ
V-iH
/3
H
—H-i —X
kl h k3
X
1 *2 л)={? JIM
—*1 г2 —Рз/ I. *1 *2 *3 J
V ( h /2 h\(ki h
4 H '
9/-СИМВОЛ
h\(h ki h \(h h l2\(h h h
l
h h h
—*• J 1—^-3 —X3 —
X
ul 2 3
'l ^2 '3
3. Суммирование по угловому моменту
Сплошной жирной /-линией, соединяющей два блока на графике
J
Л
A
изображается полная инвариантная сумма по угловому моменту / и его проекции т от билиней-
билинейного выражения типа скалярного произведения
2 2
j=0 m=-j
Весовой статистический множитель N, равен B/ —f- 1) в случае суммирования величин типа 3/тп-сим-
волов, 6/-и 9/-СИМВОЛОВ, функций типа Сjm (Q) = у 2 " 1 YJm (Q) или Pj (cos Ь). При сум-

358
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
мировании по / величин типа cimm .m> U(j1j2i3]\; //') или Yim(Q), нормированных на единицу,
весовой множитель N j равен единице. Например,
ах
Ъ
Ъ' е
В' е
?
Y,m (Щ Y*lm (Q') = <Q |
S2
Si'
lm
А В С\(А В С
а Ъ с\\а Ъ с'
Коэффициент Клебша—Гордана С^6^ можно представить в виде суммы по c'-f' произведения двух
3/те-символов (см. табл. 11.10а)
аи
С/
4. Инвариантное интегрирование по углам, характеризующим направление
Инвариантное интегрирование билинейного выражения типа скалярного произведения
J <| Ж \Q> dQ <Q | 911>
по угловым переменным Q {&, cp} в пределах полного телесного угла Qo = 4я графически изобра-
изображается соединением свободных концов пунктирных линий, соответствующих | Q^> и <^2 |, на гра-
графике, представляющем подинтегральное выражение
Ж
т
—+. —
На связующей пунктирной линии ставится стрелка, направленная в ту же сторону, что и
стрелки исходных линий | Qy и <(Q |.
Результирующий график сопоставляется интегралу от произведения функций, нормированных
так, что
=1. Например,
Lm
S3
I'm!
В тех случаях, когда используются функции, нормированные не на единицу, а на Qo, в интег-
интеграл, соответствующий графику, следует вводить нормировочный множитель 1/QO.

11.2. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ ТЕОРИИ
359
5. Инвариантное интегрирование по параметрам,
характеризующим поворот
Инвариантное интегрирование билинейного выражения типа скалярного произведения по
параметрам R {а, р, т} или R {ш; 9, Ф}, характеризующим поворот системы, по всей области
изменения этих параметров До= \ йД = 16тс2
ТАБЛИЦА 11.5
ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ ТЕОРИИ
Аналитическая операция
Графическое представление
Умножение
т
Инвариантное суммирование по проекции углового момента
Скалярное произведение неприводимых тенворов
О
m
Полное суммирование по угловому моменту и его проекции
jm
2
Условие полноты
I /п*> Nj <jm | = 1
: = lan
31
Неприводимое тензорное произведение двух неприводимых тензоров
X </
©
JM
Полное инвариантное интегрирование по углам Q {$, <р), характеризующим направление
' | ЭД | й> dQ <Q I 91 I >
Условие полноты
j | Q> dQ <Q | = 1
Полное инвариантное интегрирование по переменным R, характеризующим поворот
s-
ал
т
I =
ал
Условие полноты
!Ш
.3

360
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
графически изображается соединением двойных пунктирных линий, соответствующих R и R'
на графике подинтегрального выражения.
Я
272
-Э?
Отметим, что интегралы от произведения трех сферических функций или трех D-функций Виг-
нера всегда сводятся к интегралам от произведения двух сопряжённых функций благодаря разло-
разложению Клебша —Гордана.
11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
В данном параграфе сформулированы правила действия над графиками: деформация графиков,
изменение знака узлов и направления стрелок, правила разбиения графика на блоки и правила
их связывания, графический метод суммирования по угловому моменту, замена пунктирных ли-
линий сплошными и правила стирания с графика линий с /=0 и R=\.
1. Деформация графика
В случае сложного выражения соответствующий график имеет много внешних и внутренних
линий. Внутренними линиями графика называются линии, оба конца которых привязаны к узлам.
Внешними называются такие линии, у которых один конец привязан к узлу, а другой конец сво-
свободен. Все математические преобразования выражения, не меняющие его значения, связаны с ви-
видоизменением внутренних частей графика, внешние линии при этом остаются неизменными. В тех
случаях, когда внутренняя структура графика (или части графика) несущественна, его изобра-
изображают в виде блока с теми же внешними линиями. Именно внешние линии определяют общие свой-
свойства графика (блока) при повороте системы координат. Например, замкнутый график, т. е. график,
не имеющий внешних линий, является инвариантом относительно поворота системы координат.
В частности, инвариантами являются 3/-, 6/-, 9/-символы Вигнера.
Длина линий, их кривизна и ориентация на графике, как указано в 11.1.1, не имеют значения.
Поэтому любой график можно произвольным образом поворачивать и деформировать; необходимо
лишь менять знаки узлов, если при этом изменилась циклическая последовательность моментов,
соответствующих этим узлам. Такая операция не меняет значения графика, т. е. исходный и ре-
результирующий графики будут представлять одно и то же выражение. Такого рода графики назы-
называются тождественными, или эквивалентными. Например:
Два графика называются топологически подобными, если их можно совместить друг с другом
путем поворотов, непрерывной деформации или путем отражения. Топологически подобные гра-
графики имеют одинаковое число узлов и одинаковое число сплошных и пунктирных линий, но могут
различаться направлением стрелок на этих линиях и знаками узлов.
Выражения, соответствующие двум топологически подобным графикам, равны по модулю,
но могут различаться фазовым множителем. Этот фазовый множитель можно определить сведе-
сведением одного графика к другому, последовательно меняя, где нужно, знаки узлов и направления
стрелок на линиях в соответствии с правилами, изложенными в 11.3.2 и 11.3.3. Таким путем, гра-
график, топологически подобный графику какой-либо известной функции, можно привести к стан-
стандартному виду и определить фазу выражения, соответствующего исходному графику. Изменение
знаков на графиках, представляющих 3/-, 6/- и 9/-символы, дано в табл. 11.6.
2. Изменение знака узла
При изменении на графике знака узла, объединяющего три линии (/l/Je)» T- е- ПРИ изменении
циклической последовательности связи этих моментов, соответствующее графику, аналитическое
выражение приобретает дополнительный фазовый множитель, равный (—lyJ

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
361
Рз
Поэтому изменение знака всех узлов, объединяющих сплошные /-линии графика, меняет фазу
всего выражения на (—l)^-^ где Jo — алгебраическая сумма моментов всех внутренних /-линий
графика, Jx — алгебраическая сумма моментов всех внешних /-линий. Так, например,
су
3. Изменение направления стрелок на внешних /-линиях графика
Направление стрелок на внешних /-линиях графика определяет ковариантный или контра-
вариантный характер /лг-зависимости соответствующего графику выражения. Связь ковариантных
и контравариантных компонент неприводимого тензорного оператора ранга / можно задать с по-
помощью антисимметричного символа , = (—1)'+т8„1_т», который играет роль метрического
\ ТТЬТТЬ I
тензора в B/+1)-мерном пространстве функций \]т}. Преобразование функции, ковариантной
по jm к контравариантной по jm и обратно, осуществляется путем свертывания этой функции с ме-
метрическим тензором, т. е. умножением на I Аи суммированием по m или т!. Например,
\ ТТЬТТЬ /
S
т
и обратно
jrn'jm'jm
т
т
jm1 jm'jm
jm
Поэтому в случае замены на внешней /-линии графика одинарной стрелки, направленной наружу,
на двойную, идущую в противоположную сторону стрелку, в аналитическом выражении, отвечаю-
отвечающем исходному графику, меняется знак проекции т -> —т и приобретается дополнительная*фаза>
равная (—\у~т при неизменных буквенных индексах на графике. Например:
а Ъ

362
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
При замене на внешней /-линии графика двойной стрелки, направленной внутрь на одинарную
противоположно идущую стрелку при неизменных буквенных индексах на графике, в аналити-
аналитическом выражении, отвечающем исходному графику, меняется знак соответствующей проекции
—т -» т и приобретается дополнительная фаза, компенсирующая множитель (—i)j~m. Например:
2Ц.
а Ъ в
-а' р
а Ъ с
4. Изменение направления стрелок на внутренних /-линиях графика
При изменении на графике направления стрелки на внутренней/-линии, отвечающей моменту/,
аналитическое выражение, соответствующее этому графику, приобретает дополнительный фазо-
фазовый множитель, равный (— 1JJ, поскольку
Vin-
В случае замкнутого графика, представляющего произвольный 3/г/-символ, изменение направ-
направления всех стрелок на обратное меняет фазу всего выражения на (—1)'2/», где /0 — алгебраическая
сумма всех моментов, входящих в замкнутый график (табл. 11.6). Однако изменение направления
стрелок на трех внутренних /-линиях, объединенных в один узел (/l/Vs)» не меняет фазу выраже-
выражения, поскольку (—iyUi+J*+J!>) = 1. Например:
+ В + + В +
Одновременное изменение знака всех узлов и направления всех стрелок на /-линиях в замкну-
замкнутом графике, не меняет его значения.
5. Связывание блоков
Ниже приведены графические правила умножения, т. е. связывания блоков.
Правило Hv Если два несвязанных между собой графика-блока, представляющих сомно-
сомножители 9Ли9?, имеют хотя бы по одной одинаковой /-линии, то их можно объединить, связав
в один общий график, представляющий результат умножения. Связывание происходит следующим
образом:
J
ЗЛ
31
И -- б
т
Здесь необходимо, чтобы хотя бы один из двух связываемых блоков не имел внешних линий. Это
графическое правило умножения блоков эквивалентно операции, представляемой следующим
равенством:
/2 </т 1<ЭЙI }т>\ X B dm' I ^! im">\ = B/ + 1) 2 ОI ш I im'> <>т' I ^ I }т>-
\т ) \т' j mm'
Правило П2. Если два несвязанных между собой графика-блока, представляющих сомно-
сомножители 93? и <zll, имеют хотя бы по одному одинаковому узлу, объединяющему три /-линии, соответ-
соответствующие моментам (JJJa), то эти графики-блоки можно связать в один общий график, представ-
представляющий произведение 9Лх9?, по следующему правилу:
271

11.3 ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
363
ТАБЛИЦА 11.6
СВОЙСТВА СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ Зп/-СИМВОЛОВ
3/-символы {а Ь с)
Изменение знаков узлов, направления стрелок и перестановка индексов
ка+6+с
с —
с = {-1fS*1
с =
с — I-
Х2а
+¦
Изменение знаков узлов
6/-СИМВ0ЛЫ
а Ь с
ABC
Изменение направления стрелок
Перестановка индексов

364
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА И.6 (продолжение)
  
Э/'-символы -i cx c2 cs
Ui ь2 63.
Изменение знаков узлов
о = f-/r° «f
Jo
Изменение направления стрелок
с, =
Перестановка индексов
где /0 = аг + а2 + а3
Ь3 + сг -f- c2 + с3
'г г "г
°г х
Это графическое правило также справедливо лишь при условии, что хотя бы один из двух связы-
связываемых блоков является инвариантом, т. е. не имеет внешних линий. Оно основано на следующем
аналитическом соотношении:
У. <00 ЭД| hm1hm2j3m3>[h H h )] X Г У, (h, '\ h \<кт^кшУ3т'3 \
= {/1/2/3} 2 <00 I ^ I к

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
365
Отметим, что правило Пг представляет собой частный случай правила П2, когда один из момен-
моментов /v, /2, /3 равен нулю. Приведем примеры:
+ +,
'b
a
С С
ч- +
+¦ = +
f _
>+=+
к
в
с
+
\
b
/
г
v
А
—
V
А
Отметим, что объединяемые /-линии могут быть не только внутренними, ной внешними для одного
из сомножителей линиями графика.
аа
6. Разбиение графика на отдельные блоки
Инвариантная re-кратная сумма по проекциям /%, т2, . . ., тп моментов ]\, /2, . . ., /я вида
2 <00 | ЭД | /in»! ... />„> </хт, ... ]„т„ | Ж |>,
являющаяся скалярным произведением двух неприводимых тг-кратных тензоров и ЧЛ}^г jn и 9^,у2 уя
рангов Д, /2, . . . /„> может быть представлена:
а) в случае в^4в виде fc-кратной суммы по моментам Хх, Х2, . . ., Xh, где к=п—3, произ-
произведения двух сомножителей
б) в случае п ^ 3 непосредственно в виде произведений этих сомножителей
При этом необходимо, чтобы хотя бы один из двух исходных тензоров не зависел от каких-либо
еще проекций угловых моментов, кроме указанных mlt m2, . . ., тп. Другой сомножитель может
зависеть от проекции каких-либо еще моментов или углов. Множители c$ljlj1.,.jn{X1X2 . .. Хк) и
^fl(XtXi ... Хк) определяются соотношениями типа
X (хк L-i h
U m. -
7з

366
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
причем в силу указанного условия величина <$ljjl...jn {Х^Х^- • -Хк) является инвариантом, ска-
скаляром.
В графическом представлении такое преобразование соответствует разбиению исходного гра-
графика на блоки, представляющие отдельные сомножители. Важно, чтобы один из блоков не имел
дополнительных внешних линий, кроме линий, соединяющих рассматриваемые блоки.
-
ж
.11
¦?*
in-i
Jn
зл
к
*,/,
Правила разбиения графика на блоки и наиболее важные частные случаи, соответствующие одной,
двум, трем, четырем связывающим блоки /-линиям даны далее в табл. 11.9.
Последовательно применяя правила, приведенные в табл. 11.9, можно разбить график на целый
ряд инвариантных сомножителей, например
в_
А
В В
-А
X
Наиболее важным случаем разбиения графиков на блоки является операция выделения внешних
линий графика, при которой вся зависимость исходного выражения от внешних переменных вы-
выделяется в виде простейшего множителя, представляющего собой стандартную функцию типа
С}тт . т или Bjmm, (R). Такое выделение зависимости от внешних переменных по существу пред-
представляет собой теорему Вигнера—Эккарта, которая подробно обсуждается в пункте 11.4.2.
7. Графический метод суммирования по угловому моменту
Сумма по угловому моменту / представляется на графике, согласно 11.2.3, сплошной жирной
линией с индексом /. Такая сумма легко вычисляется графически, если к обоим концам жирной
линии примыкают одинаковые /-линии.
Правило 2. Если- моменты ]\ и /2, соответствующие паре/-линий, примыкающих к одному
концу жирной линии /, равны моментам /-линий, примыкающих к другому ее концу, тогда эту
жирную линию можно изъять (стереть) с графика, соединив попарно концы примыкавших к ней
одинаковых линий следующим образом:
При такой операции значение графика не меняется. Аналитически это соответствует следующему
соотношению
где
jm
Например:
h h j
m1
m
<hh;
' X

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
367
аа
асе
а а.'
—»¦
Вр
Вр'
(а Ъ
BХ + 1) \Ь' d e \={abc] {bde} Щ+Г)
[с е X)
В тех случаях, когда моменты /, по которым идет суммирование, т. е. сплошные жирные линии
с одинаковыми индексами фигурируют в двух или более несвязанных между собой блоках графика,
следует сначала эти блоки связать, пользуясь правилами умножения блоков 11.3.5, так чтобы полу-
получилась одна жирная /-линия, и лишь затем производить графическое суммирование по;, согласно
правилу 2. Это приводит к дополнительным правилам суммирования по ;, представленным далее
в табл. 11.9. ,'
Суммирование по / можно выполнить графически и в тех случаях, когда к концам жирной
/-линии, примыкают одинаковые пунктирные линии. Например:
In,
Si'
2 B7 + 1) DJMM, (Д,) DJM,M (Д2) = 16**8 (i?, - i?2),
JMM'
=-= ==;+
1 z
= =====0= = = =
Все приведенные в этом пункте правила суммирования по угловому моменту и его^проекции
по существу являются следствием условия полноты системы функций
2
jm
8. Замена^внутренних пунктирных линий сплошными жирными
Пунктирную внутреннюю Q-линию, которой соответствует инвариантное интегрирование по
углам Q {&, tp}> всегда можно заменить сплошной жирной /-линией, которой соответствует ин-
инвариантное суммирование яо моменту / и по проекции т, поскольку
jm
где
>= \ \
| Q> <Q |

368
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Таким образом, все внутренние пунктирные линии графика могут быть заменены сплошными
жирными /-линиями. Поэтому при формулировке действий с графиками достаточно было опреде-
определить их только для графиков, содержащих лишь одни сплошные внутренние линии.
9. Изъятие из графика /-линии с / = 0
7-линия, соответствующая угловому моменту /=0, представляет на графике фиктивную зави-
зависимость. Состояние с /=0 вообще не зависит от угловых переменных Q {&. tp}. Поэтому сплошную
линию 7=0 можно изъять (стереть) с графика. Значение (величина) графика при этом не меняется.
Однако на графике остаются узлы, к которым была привязана линия /=0. Эти узлы также можно
выделить из графика в виде отдельного, несвязанного с остальным графиком, блока, соответ-
соответствующего сомножителю
V2/7TT'
Фаза множителя К зависит от знака узла и направления стрелок на линиях. Если знак узла на
графике таков, что он соответствует циклической последовательности моментов (]\ ,/, ;2) и стрелка
на линии ]\ направлена к узлу, а стрелка на линии /2 — от узла, то линии j\ и /2 объединяются в об-
общую линию со стрелкой, направленной в ту же сторону, что и на исходных линиях j± и ;2. При этом
знак в выражении для множителя К будет положительным.
5=0
у \h
т
5i + + h
В других случаях фазу К можно определить с помощью правил 11.3.2, сводя график к стандарт-
пому виду, рассмотренному выше.
т.
Наиболее важные частные случаи Зтг/-символов, где некоторые из моментов равны нулю, даны
в табл. 11.7.
10. Изъятие с графика .й-линии с Д = 1
Двойная пунктирная .й-линия, соответствующая нулевому повороту /?=1, представляет на
графике фиктивную зависимость. Такую линию можно изъять (стереть) с графика, замкнув между
собой примыкавшие к R концы линий, если стрелки на этих линиях направлены в одну и ту же
сторону. Значение графика при этом не изменится.
R-1
т
Si'
В табл.11.8 приведены примеры графиков и формул, в которых фигурирует поворот Л=1.
Правила действия над графиками резюмированы в табл. 11.9.

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
369
ТАБЛИЦА 11.7
УГЛОВОЙ МОМЕНТ 7 = 0
Аналитическое выражение
Графическое представление
/m-Символы
/а 0 Ь\ ЬаЬ I а \
\а 0 Э/ </2а+1 W/
-3
/а Ь 0\ ЬЛ / а ч *<А,-р
\а р 0/ ^20+1 \Р<*/ У/2а + 1
{ 1} \-аО Э/~У2^П
• V—а Р О/^,:-.. V2a + i
{ а Ъ 0 }=йй4
О О О
а Ъ с
V 2а
6 6' О J l ' \/ {2а+1)
V Bа + 1)BЬ +1)
да:
ах да
да
асе Ь/3 Ь/3 + аа да i/J ar
fla
Bp ал а а 8р
c=0
aa Sp Ip aa. act > Sp
» 7—•• = -• 1 «¦= *> *•
иу-Символы
\ О I' L-
6, ^ j
24 Д- А. Варшалович и др.
а 6 С
d e f
6' -6'
\\y:
+
.t >+

370
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.8
НУЛЕВОЙ ПОВОРОТ
При
т. е
При
т. е.
j
т. е.
т. е.
Аналитическое выражение
8(Q'
<jm\D(
8 (Q"_ Д-JQ'
. <Q" ] i?-11 ?
Zj DL,m, (
mr m m' \
— RQ) = b (Q' — Q),
\R | Q,y = (Q.' \ Q>.
l)|/'m'> = </m|7'm'>.
) dQ'b (Q' — flQ) = 8 (Q" — Q),
2')(Q' \ R | Q> = <Q" | Q>.
'X/'m' | Z> (Д) | /m> = </m" 1 /m>.
5?"
Л
Графическое
и
ii
+
и
и
n
52'
и
II
II
'м
и
52
;V
52
=2-
j
представление
52'
52" 52'
' 52
¦n" jm
—»¦
52
j'm'
_ ?2
+ jm
ТАБЛИЦА 11.9
ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЯ НАД ГРАФИКАМИ
Аналитические соотношения
Графические операции
где
Инвариантное интегрирование
по направлениям
<Q I
7M>
Условие полноты
Замена пунктирной внутренней Q-линии сплошной
жирной /-линией
А
зп
хп.

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
371
ТАБЛИЦА 11.9 (продолжение)
Аналитические соотношения
Графические операции
Инвариантное суммирование по угловому
моменту и его проекции
I
B/ + 1) </,/,; Ш\<ЗЯ1 hh\ 'My =
2 <'i
B/ + 1) </,/,;
X
2 </
2 BУ + 1) </,/2; JM№\ Ш I My X
JMM'M*
X
= 2 <;'i
I 9И I /
Здесь
,; JU\4St\JJtl Шу =
n,t M
Представление произведения в виде инвариантной
суммы произведений, если хотя бы один
из сомножителей является истинным инвариантом
/у </
= B/
2 <im' i ^ i im'>)=
>2'
mm'
X
Упрощение выражения в случае углового
момента / = 0
Изъятие с графика сплошной жирной /-линии
v y\
=
/
-^
\
яг
*
я
Связывание блоков при наличии у них одинаковых
моментов, если хотя бы один из блоков не имеет
внешних линий
3
О
_
-
an
h
h
h
Стирание с графика /-линии с / = 0
24*

372
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.9 {продолжение)
Аналитические соотношения
Графические операции
Упрощение выражения при нулевом повороте R = 1
2 О I <ЗЛ I Гтп'У </'ш' | В @ 0 0) | /т> =
¦Преобразование одно-, двух- и трехкратной суммы
по проекциям в произведение. Необходимо, чтобы
в исходном выражении под знаком 2 один из двух
сомножителей не зависел от кахих-либо дополни-
дополнительных внешних переменных /атгаа, обозначаемых р, g
P> =
X
2 <0 01 ЭД | /iMj /2m2
=<o n gji li /i /i /з> < л /2 /, g ii я ll
где приведенные матричные элементы
\ 911 p> =
= 2
/2 h
m2 m
/1 /2 /3
71^ W.% 171$
x
X
Преобразование п-кратной суммы по проекциям при
п > 4 в /t-кратную сумму по моментам, где к = п — 3.
Необходимо, чтобы в исходном выражении под зна-
знаком 2 один из двух сомножителей не зависел от
каких-либо дополнительных внешних переменных
2 O'i
=2B/-
где
mm
Ж/
M)
аналогично для
Стирание с графика Д-линии с R = 1
j
Г
Разбиение графика на блоки. Необходимо, чтобы
в исходном графике один из блоков не имел
дополнительных внешних линий, кроме разрезаемых
Я1
я . =\т
к
-
л
Мл
1 .
У 1
-И
зп
Я
Разбиение графика на блоки. Необходимо,
чтобы в исходном графике один из блоков не имел
дополнительных внешних линий, кроме разрезаемых
h
h
h
—1*
*
=
зп
Jt h
л- -
J J
>
31

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
373
ТАБЛИЦА 11.9 (продолжение)
Аналитические соотношения
Графические операции
?m <001
-2
i>i... hmb 11 $t | p> =
!<0||ЭД||/1г;У45>Х
где
2
//. h /,,\ /г_,//» /з Л.\//« /б /«\
Wi m2 М12/ \М]2 — т3 M4J \m4 m5 Mib) '
аналогично для
2 <° ° i ^
fH\ * * * Wig
Bg II 9t || p>.
-g'
где
г 7 7 Ч _ "V
' is' з4' гл/ — ^j
x//i h Ju\fh h Зм\Мь н h*\(ii2 /34 /6в\
аналогично для ^гЛи'бв? ll^llP>-
7.
Jt
Я
Л J
an
31
TAB ЛИЦА 11.10
3/ш-СИМВОЛЫ ВИГНЕРА
Аналитические соотношения
Графическое представление
Изменение циклической последовательности связи моментов
Jimi Ззтз
V -
h тг j2 тг
Эрмитово сопряжение
(к /2 ia\ = {_1)MMjJh /i /Л
\l»! 7П2 1»з/ \77l3 TO2 I»!/
/i /1 /3
—7?li 771% 7Yls
¦^ , \»»i w2 m'J\mt m^)\mt m'J {m,^ —m2 —mj
у f )( )( )(
~ , \m'\ ml/ \m2 mJ \m3 m3 I \m'\ m2 m
\m'tm „
\—771! —77J2 —TTlg/ ^771! 77J2 7?l
j1m1 j3m3 j1m1 j3m3
]гтг Згт2
j,mi j3ms j1m1 j3mj
2гтг

374
Гл.
11.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Аналитические соотношения
КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ
УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.10 (продолжение)
Графическое представление
Ортогональность и нормировка
2 (h h h\(h к 7з\
\т1 т2 т3/ \т1 т2 ту
J2
3$
Узт'з
Полнота
m2 m3/ \mi m2 m3
/l к
tnim'x °m2mr2
1гтг
ТАБЛИЦА 11.10а
СВЯЗЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ КЛЕБША—ГОРДАНА С 3/та-СИМВОЛАМИ
Аналитические соотношения
^™_
__ / l^^1 ^ B/ -4-1W 11 I =
( ? U f \
= (-l)v. V2/ + 1 (-I)*1- (_M m teJ ==
Графическое
V jm
¦ K1
X +
представление
hmz
+ \
/
¦J. ^

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
375
ТАБЛИЦА 11.11
МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР в B/ -f 1)-МЕРН0М ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ |/т>
|/mjm'>
v
m'
Аналитические соотношения
_ m
-1M'M>-
| /m' /m> = (-
( ' )-(_!,*-»
'( 1 ) = (-1)у-т5я
1P|/«M'>-
= (—1J^ (JTfl jfflf j
/w | ^= \}тп f /^^
? ¦*—
m'
Графическое
jm jm'
jn' jm
Jfllr JPZ
jm' jm'
представление
jm
jm'
7TJT
jm"
jm'
jm.
jm'
' jm
jm jm"
Свертка с метрическим тензором преобразует ковариантные компоненты
неприводимого тензора в контравариантные и обратно
E
m"
Г
m
ж
jm'
«•
jm
jm г
an
ж {¦
—j
Скалярное произведение неприводимых тензоров записывается с помощью метрического тензора
J
= 2
= 2
mm'
2 <i ал i/и><м isi i>=(-1)ч2<JmI w i><i & I/
m
m
= 2
т
m
jm
= Z
mm'
m
jm jm jm' jm'
= г
ftm'
-2H
jm' j'm' jm jm
m
= s
m
jm jm
mm'
mm.'
m
m
jm' jm' jm jm
jm jm jm'jm
M

376
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.12
СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
Аналитические выражения
Графическое представление
if 4я
C,m (Q) = I/ ovj-r У/т B) = (Q | Zm),
S2
2 С1т («У C*lm (О,) = Р, (cos «„),
где to,-j. угол между направлениями Q, и Qk.
Скалярное произведение (Теорема сложения)
si, г
10 10
Условие полноты
Ортогональность и нормировка
Sl1 S22
Интеграл от произведения трех гармоник
M
Разложение Клебша—Гордана
52 .
Сумма скалярных произведений трех гармоник
13D l3m3 I3.m3
= Л (cos ш21) Р,
S2
Si
'Я.

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
377
ТАБЛИЦА 11.13
D-ФУНКЦИИ ВИГНЕРА
Аналитические соотношения
Графидеское представление
(Л))' = 2 (Д
(JJ) - (-
Комплексное сопряжение
j™ Jm'
>?т_т-(Л).
in- + ;>' j/ If
\\R
Обратное преобразование
m, (Л))" О> я, (Д) =
Унитарность
(*) = W
Jm
¦»—
j™
A.
=
*¦ -
Sr
11/?
2 ^
Jm
j™
' 7/
R
Ортогональность и нормировка
УГ
2 B; + 1J
У=0, Vs, 1 m, от'
8 (Q' - ЛО) =
Полнота
I = 16**8 (Д, _ Д2).
Связь с матрицей поворота в Q-представлении
lmmf
,{fl)=^ir\ J
02) 5 (Q - Л-ЗД') C,,m, (C).
| Л1 Q'> <Q' | I'm'),
52
IIя
32,
11 Я
I'm'
".я

378
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.13 (продолжение)
Аналитические соотношения
Графическое представление
Разложение Клебша—Гордана и связанные с ним соотношения
hmi% ,
** , (R)(h h Г
тзт* 'Uinis
hm'i
2 Mi H /,\ y, (S)Djt ,
h h'
Юхт2тЗ
_/7"i /2 7з\
l /2 «
«\ у,
m
jjm'3
*&
V
J1m1 ,
кт'г
•Jimi
¦Нт'г
'Jjm3
- J
V/" "+
h
----л /?
Интеграл от трех D-функций
J tn^fi
JD
/sU/i /2 /8\
mj \m[ т'2 т'а) '
h
Теоремы сложения
J3m3 Jimi
I
m
2 D m
jm"
jm + jm"

11.3. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ГРАФИКАМИ
379
ТАБЛИЦА 11.13 {продолжение)
2
x
>
X
>
3
1
',¦"
U12
2.
//«
U31
mltn'l
.2
Аналитические
/l /2 /3 ^
323/
Д 23» si
¦w . т
V Ж*
ml —«81/ \^2.
BA-
x»
m'!
/1
M)B;24
2 (-1
-Л/12/ \Д/[
)^
1 /2
/•
2 ma
p \
>'«
соотношения
m\(RJDm,™
/D Z?—1\ T\J%
1 ¦** J "^ tn.
\ O^S ( 4
2/ nijffl j V *
Vi+1){'L
^>.(лв)(,
1
/3
hi
•
/3
m3
2)D4S3™'3(^3)X
X
-M'3)x
/L)x
<
»' m') =
Графическое представление
\ h + Л
+> * i; ' ¦
/ 5 h
Зг^г "*3
J
зтз
+
Л
2
Т
fh ,
(- »,
V"""""
"г
=
\ J2m't
Ьз^21
R,
6
23 в J23
7.
Ъ й» и
V
Лт< „Д
Jj'/ "'i:
^——i--
/
"г
I
1
Л H
"h
33 m>3
\3гз
\
-1*—¦—:
" Л2
..«2
'\
v4
4.
Лт2
2J
ТАБЛИЦА 11.14
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Аналитические соотношения
Графическое представление
Теорема Вигнера—Эккарта
_^ *
где
— приведенный матричный элемент.
1М «f J'M
J/И «« JM'
тгг'

380
Гл. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.14 (продолжение)
Аналитическое выражение
Графическое представление
Приведенный матричный элемент неприводимого тензорного произведения операторов
х
I
г"
¦Ли- Ж
Я г'>'
Приведенный матричный элемент неприводимого тензорного произведения двух операторов,
зависящих от переменных I и II подсистем соответственно в /]/2» ^^-представлении
/a h
J I' k
S
7"
000
- ?
7"
ЗПуг"
Матричный элемент скалярного произведения двух неприводимых тензоров,
зависящих от переменных I и Л подсистем, соответственно в ;'i j^; ./^-представлении
A) • Э14 B)) | тдало =
х 2 (т/i
7"
и) (fit !i ^* ii т'/i).
J'M'
J'M'
Приведенный матричный элемент неприводимого тензорного оператора,
зависящего от переменных лишь I подсистемы, в /i/2; /М-представлении
BУ +1) X
X
J к /'1
., . .
i 72 7iJ
>г QU

11.4. РЕЗЮМЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
381
ТАБЛИЦА 11.14 (продолжение)
Аналитическое выражение
Графическое представление
Приведенный матричный элемент неприводимого тензорного оператора,
зависящего от переменных лишь II подсистемы, в ;'i;2; /^-представлении
= (-i)JM*J+*bJJi,y/{2J + 1) BГ + 1) X
ЭД*Ит'Д).
\ }
т(г)гг'
11.4. РЕЗЮМЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
Выше были изложены принципы графического метода, определены отдельные элементы, даны
графическое изображение различных функций A1.1) и графическое представление математических
операций A1.2). Затем были сформулированы правила действия над графиками A1.3). Наконец,
в данном параграфе резюмированы на основе вышеизложенного наиболее важные положения ме-
метода — перечислены общие свойства графиков, сформулирована в графическом представлении
обобщенная теорема Вигнера—Эккарта и в заключение указана общая схема применения графи-
графического метода.
1. Общие свойства графиков
1) Любой график можно произвольным образом поворачивать и деформировать, помня лишь
о необходимости изменения знака узлов при изменении циклической последовательности моментов,
сходящихся в этих узлах. Допустимы не только непрерывные, деформации графиков типа их растя-
растяжений или изгибов, но и их дискретные преобразования типа отражения или инверсии. Такие
преобразования не меняют значения графика, т. е. все возможные графики, полученные путем
таких преобразований, соответствуют одному и тому же аналитическому выражению.
2) Угловой момент / и его проекция т остаются неизменными вдоль любой сплошной линии
графика, какие бы сложные блоки не были встроены в эту линию. Существенно лишь, чтобы эти
блоки не имели других внешних линий, кроме рассматриваемой /-линии. Вследствие этого значе-
значения суммарного момента / и его проекции М в любом сечении графика остаются неизменными.
3) Суммарный угловой момент любого графика (или блока), представляющий собой векторную
сумму моментов, отвечающих всем внешним по отношению к этому графику (блоку) линиям,
равен нулю:
Поэтому блокам с одной сплошной внешней /-линией отвечает /=0, а блокам с двумя сплошными
внешними линиями /х и /2 отвечает /i=/2, и т. д. В каждом элементарном узле графика, связываю-
связывающем три /-линии, /i+/2+73=0 и m1+m2+m3=0 в силу свойств 3//п-символа.
По этой же причине равны нулю выражения, соответствующие графикам или блокам, для ко-
которых алгебраическая сумма всех моментов, соответствующих внешним /-линиям /х+/а+ • • • +7„>
представляет собой полуцелое число.
4) Любые графические преобразования, не меняющие значения соответствующего аналити-
аналитического выражения, связаны лишь с изменением внутренних линий графика (блока). Число,
характер (сплошные или пунктирные) и индексы внешних линий графика при этом не изме-
изменяются. (Исключение составляют лишь случаи /-линий с /=0 и .й-лияий с R=l, которым соответст-
соответствует фиктивная зависимость). Именно внешние линии определяют общие свойства графика (блока)
при повороте системы координат.

382
ГЛ. 11. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
2. Обобщенная графическая теорема Вигнера-Эккарта
В ряде случаев вся зависимость выражения от внешних переменных выделяется в виде про-
простейшего стандартного множителя типа CJ^m^ или DJMM,(R). На графике выделение такого мно-
множителя производится по правилам разбиения на блоки в 11.3.6. Приведем примеры.
1) Замкнутый график, т. е. график, не имеющий внешних линий, является инвариантом от-
относительно поворота системы координат.
2) График, имеющий лишь одну внешнюю линию фактически также является инвариантом,
так как в изотропном пространстве невозможно задать само по себе одно направление, поэтому
зависимость от зтого направления является фиктивной и соответствующая ему внешняя линия на
графике может быть изъята по правилу исключения линий с /=0:
<00 |
= bJobmo <00 | ЭД | 00>.
>+
j'0
3) График, имеющий две сплошные внешние линии, соответствующие
от нуля лишь при условии /1=/а и т1=т2'
1 отличен
321
т
т
+ Ji+ >
Jimi
1гтг
4) График, имеющий три сплошные внешние линии, соответствующие | ^щ), \ ]'2Щ) и | ]'
пропорционален 3/т-символу
матричным элементом.
<00 |
. Коэффициент пропорциональности называют приведенным
где
т1 т2 т3
J3m3
5) График, имеющий четыре сплошные внешние линии, отвечающие моментам /
и /4т?г4, представляется в виде суммы произведений двух 3;яг-символов
m
m3
где
J2m2
-. S №
т
h
т2
h
i )<hmihmi
1 CW
f- 777 - 7 .
т)
m
d
h Г
mi m
j3m3

11.4. РЕЗЮМЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА
383
ТАБЛИЦА 11.15
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ВИГНЕРА—ЭККАРТА
Аналитическое выражение
Графическое представление
<00 | ЭД | lrri> = <00 | Ш | 00> 8/08юО.
ffifr
где
= ^2?( (C0S ви)
где (i)]2 — угол между направлениями 2Х и
Рг (COS <o12) = 2 <Q
где
X O'i^j |
H H
= 2
X
(-!)'•-(
Д i2
1 = 0
ж
j
W jm
j
w С
J
¦ « ¦¦
Ж
SZ i 1 jm ?2 j jm
—•-= »--
Si
f , ,Я^ i2, I S22
Ш
Jim1 J3m3
bA\h
M
Jz тг S21 jf
Я1
Jzmz
h
Si,

384
ГЛ. И. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА
ТАБЛИЦА 11.15 (продолжение)
Аналитическое соотношение
Графическое представление
X
'' ;'3
х
X
=2'
JM
X
M,
7П§ ТПд
JM)X
hmz
J3m3
U 1\
.4, M)
Jimi
Jsmj
V
<
>
3. Общая схема применения графического метода вычисления
Цель вычисления состоит в том, чтобы преобразовать исходное выражение к такому виду, при
котором вся его зависимость от ориентации системы координат была бы выделена в виде простого
стандартного множителя типа С.т , т или DJMM, (R), зависящего исключительно лишь от внешних
переменных, а оставшаяся часть выражения, инвариантная относительно вращения системы коор-
координат, представлена в виде произведения или, если это невозможно, в виде суммы по моментам
произведений стандартных инвариантных функций типа 3;-, 6/- и 9/-символов.
Графический метод вычисления состоит из следующих этапов.
1) Исходное аналитическое выражение изображают в виде графика, используя при этом графи-
графическое представление различных функций и операций, данное в 11.1 и 11.2.
2) Исключают из графика все фиктивные /-линии с /=0 и Д-линии с R—1 в соответствии с пра-
правилами 11.3.9 и 11.3.10.
3) Последовательно соединяют все несвязанные между собой блоки, в которые входят общие
жирные суммируемые /-линии, в соответствии с правилами графического перемножения бло-
блоков 11.3.5.
4) Заменяют все внутренние пунктирные Q-линии сплошными жирными /-линиями в соответ-
соответствии с правилами интегрирования 11.3.8.
5) Производят графическое суммирование по угловым моментам, т. е. исключают жирныо ли-
линии и производят соответствующую пересвязку оставшихся линий по правилу 11.3.7.
6) Разбивают полученный график по правилам 11.3.6 на отдельные блоки, каждый из которых
соответствует топологически одной из стандартных функций. При этом сначала выделяют зави-
зависимость от внешних линий, а затем, если необходимо, оставшийся инвариантный множитель пред-
представляют в виде произведения (или суммы произведений) стандартных Зга/-символов.
7) Изменяют, пользуясь правилами 11.3.2 и 11.3.3, знаки узлов и направления стрелок с тем,
чтобы каждый из полученных блоков был тождественно равен соответствующему стандартному
графику, приведенному в табл. 11.1, 11.2. При этом определяют фазу всего выражения.
8) Результирующее графическое выражение записывают в аналитическом виде.
Иногда используется упрощенный вариант графического метода без указания знака узлов и
направления стрелок. При этом графики носят в основном лишь иллюстративный характер, так как
фазу выражения по ним определить нельзя.

Глава 12
СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
В конкретных расчетах часто приходится вычислять суммы произведений 3//п-, 6/-, 9/- и др.
символов, в которых в качестве переменных суммирования выступают как сами моменты, так
и их проекции. Суммирование по этим двум типам переменных всегда можно разделить и произво-
производить последовательно и независимо. Удобнее вначале производить суммирование по проекциям
моментов. Формулы, по которым производится такое суммирование, представлены в 12.1. В ре-
результате суммирования по проекциям появляются инварианты типа 6/- и 9/-символов. Дальней-
Дальнейшее суммирование 6/- и 9/-символов производится в соответствии с формулами, приведен-
приведенными в 12.2.
12.1. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 3,/т-СИМВОЛОВ
Ниже приведены суммы произведений З/т-символов по проекциям моментов. Формулы сопро-
сопровождаются графическими иллюстрациями, из которых видна связь моментов, входящих в эти фор-
формулы. Формулы разбиты на группы по числу З/пг-символов под знаком суммы. Внутри каждой
группы формулы расположены в порядке возрастания числа проекций, по которым нет суммиро-
суммирования, т. е. по числу внешних линий графика. В приведенных соотношениях число З/т-символов
под знаком суммы не превышает шести. В пределах зтого числа сомножителей даны суммы, соот-
соответствующие различным схемам связи угловых моментов.
Формулы записаны в таком виде, что каждой проекции т=, по которой производится сум-
суммирование, соответствует множитель (—iy~mj, а сама проекция входит в суммируемое выражение
два раза с противоположными знаками. Это отражает инвариантный характер суммирования
(см. 11.2). К такому виду можно привести любую инвариантную сумму по проекциям с помощью
свойств симметрии 3/т-символов (см. 8. 4).
Всюду используется следующее обозначение:
. A)
1. Сумма, содержащая один З/яг-символ
2. Суммы, содержащие два З/яг-символа
a,bM,, C)
—а ф */\—ф —* a
1
25 Д- А. Варшалович и др.

386
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
дх
аа
аа'
аа
D)
аа о/
аа
?Г
»фр
dS
т
bj3 dS
3. Суммы, содержащие три З/т-символа
о ")(ib г)(гс р)=( а b c)labc),
2/a b p\/ p с q\ tq d e\_
aa
ace
E)
(в)
G)

12.1. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 3/тв-СИМВОЛОВ
387
4. Суммы, содержащие четыре 3/иг-символа
* р'Д-р«'«Д-в-ф-^/~
р «
»¦ *
r\(r s p\ (
_p)(p 0 J(_
{a
Г
-ir«4(e _, 8)( ){ J{
Ja p g'
(8)
(9)
A0)
25*

388
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
V (—1)P-'
5. Суммы, содержащие пять 3/т-символов
/r t 3\ 1ч Р и\ /и a v\ tv s т\ I
\P т —*A* ф -v/\v а -|хД|х о -р/\-
\ —
A2)
era
ara
/v a q\ (a r t\ (t s p\ /s с и\ /и b r\ /a b c\ (a b c\ (a p q\
A3)
a
¦су
2<-
z+u-i(p a Л( Q * r\trbs\ls p u\/u С t
Ц a x/ V—x —с —p/ \p p о/ \—о —ф —v/ \v if т.
а Ь с
-a -fj -f
fa 6 c]
p sal
у \/ V
x ra a—7
cy
b r\ [г с s\ (s d t\ ft e
) ) )
xe yMyc d)fa bx)\xe Л[yc
A4)
A5)

12.1. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 3 /да-СИМВОЛОВ
389
С
aot
ах
vjitX
6. Суммы, содержащие шесть 3/т-символов
A6)
;}{:;:){;::н::% ««.
>
(-1)'*-- {a p g
A8)
и v Q'\(t s P\( t s P'\(Q & a\( Q' P' a'\
A9)

390
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
фхрсг
аа.
aqP)( Pt S)(g UV)( Vr q)( rU
o/ U -T
B0)
асе
а'а Ч'
a -хДх p -
s
-о
r
-p -
a' UY.
а г sWo r e
B1)
фхр»
^ » ')('*")( v p rMrgu)( a f a'W
щ
a p q
t v s
B2)
а« >/ v \l^- а - «fc' У уд"
s
Asx/t
, /V a q\ la и
lf« -хДх v -
v s\ Is d p\ I и b r\ I r с v
iw».
b r\ I r с
If
8 рД-р т -
С Х Ь\ (" * Л =
B3)

12.1. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 3/m-СИМВОЛОВ
391
а а
9
s и
аа
dS
су
су
2 (а ц b\(d у с\ (а у ЬЛ (d у с) (а р q] (v s s
к ' хУ\а —1) У\Ь 1) i)\r и х) \т v х) \g и х) \р d x)
are
аа
/~ТГо\
су
-1) рДа 1 V V и, х) \r v х) \ ^ [
аа. bji
\ 1 и
s и
dS
2,
S\L^O
dS
су
и p\/vb rt/r с
)( ) \ )
8 ?/\-S Pi/I» » BJlr » oj'
B4)
B5)
B6)

392
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
2 мг
9\(Я* r\(rc ,\(,* р\/и Ъ t \ ft d v \
—¦*.) \% v -р/ \р т -о/ \«> —ф/ \-v p —с/ \х 8 -(А,/'
t»-lt
XffTi
У) {V с d
t X
B7)
и асе
су dS
B8)
2 ("I)
P-W-*+r-H,-.+t-T+»-i
a Я \(q b r \(r с s \(s d t\(t e и \lu f p\
» -*/ U P -pj \P f -e/ U 8 -t/ It . _v/ lv <p -4-j
хуг
в *JU P r
B9)
ff

12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
393
__/
xyz
tc
X
a b x\fx с V \fV f * \/z d e\(a b xUx с yUy f ijj, d e
* \/z d e\(a b xUx с yUy f ijj, d e\
—СДС В ejjr p qj\s p r)\u s p}\t и s}'~
aa
atx
a x b\(e у d\[c z f\t x у г\(а x b) (e у d)
1 «At t V \-A -1 -t/ tr ?
dS
C0)
iP"/f. C1)
r s c\
ace.
12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6j- И ^-СИМВОЛОВ
Ниже приведены суммы произведений Зге/'-символов. Формулы сопровождаются графическими
иллюстрациями, поясняющими связь моментов, входящих в эти формулы. Формулы разбиты на
группы по числу сомножителей в произведении, т. е. по числу Зтг;-символов, стоящих под знаком
суммы. Эти группы расположены в порядке возрастания числа сомножителей. Внутри каждой
группы суммы идут в порядке увеличения числа индексов суммирования, а при одинаковом числе
индексов суммирования — в порядке увеличения числа 9/-символов. Индексы суммирования на-
напечатаны заглавными буквами. Они принимают все возможные значения, допустимые условиями
треугольника. Так же как в 12.1, используется обозначение
Некоторые из приведенных ниже сумм содержатся в работах [24, 44}.
1. Суммы Зге/-символов
A)
X \Ь
© ©

394
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
а \Х )а
= (—,1J<!{аЬс},
(а Ъ е|
d -a
(a b e]
I i vl a
[f eX)
e^T^f
d = a\ с
b )d
2. Суммы произведений двух 3/г/-символов
а. Один индекс суммирования
Ь Х\(с d X\ 5
- а[ d
Р о b
x
by
B)
C)
E)
F)
G)
(8)

12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
395
где # =
cdpj\e f qj'
a4
/
s
\
X
/
\
/
/
\
s
/
g s
b с
-f/-fp-f g,
/
\
/
\
\
X
/
\
/
a 6 pi fe / p
d q\L h ff|
r s Xj [r s X)
га е d h-\
—/ Ь с / ^
Lp s r gJ
a/
b с
d\
P
s
4
я
/h
где
6i 62 Ьз &4 - 12/-
ci c2 c3 c4J
(9)
A0)
A1)
символ II рода [45J, определяемый соотношением C3). Этот символ равен нулю, если не
выполняются условия треугольника хотя бы в одной из восьми триад: {^б^}, {а3б!с2}, {aj62c3}, .„.,,. ч . „„.
{a463c2}, {a264c3}, {a464c4}, или не выполняются условия четырехугольника хотя бы в одной из тетрад: {ala2a9ai),
{б!б26864}, {cic2c3c4}. Это означает, что сумма A1) обращается в нуль, когда хоть один из моментов в соответствую-
соответствующей триаде или тетраде оказывается больше алгебраической суммы всех остальных моментов, либо полная
сумма этих моментов есть полуцелое число.
12 /-символ II рода обладает следующими свойствами симметрии:
[а1 а2 аз а4~1 Га4 а8 а2 а1~\ Г^1 62 63 64"| ГС4 С2 Сг Ci~l TOj d2 п3 а4"!
h 62 63 64 = 64 Ъ3Ъ2 6j I = cj c2 cs ct J = 64 62 63 6X = 62 &! 64 b3 \.
Cj C2 c3 c4J Lc4 c3 c2 Cj J Luj a2 a3 а&-1 "-а4 п% я3 aj_l Lc3 c4 c^ c2_l
Используя эти свойства, можно преобразовать сумму (И) к существенно иному виду. Например:
(abp](efp] x ^ (apb^dsb)
A2)

396
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
Г /ivf
л л
г -
q^i^h
б. Два индекса суммирования
(а ЪХ\(аЪХЛ
cdY \\cdY\
Uf j)[g h ])
= [a
e
и
f[ J
h d
!a b X\ 1л Ь X\
cdy|bcy|
e f i) [g h }}
в. Три индекса суммирования
0
A3)
A4)
A5)
A6)

12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
397
= {abc}{def),
b )c [d
e V
3. Суммы произведений трех Зя/'-символов
а. Один индекс суммирования
где Я==а4-b-\-c-\-d-\-e-\-f-\-p-\-q-\-r,
f
\b /
/e \
с
\o /
У
/e\
X
X
d
X
d
V /
X
Л \
d q e|,
Р сЬ)
A7)
A8)
X
X X
(ах а, а, аЛ
где j&i b% Ьг ьЛ — 12/-снмвол I рода [45], определяемый соотношениви C2). Этот символ равея нулю, если не
1С! С» С, cj
выполняется условие треугольника хотя бы в одной из восьми триад: {a^a^}, {аф^}, {036,04}» (a464Ci}> {«чМг)»
{c262cs}, {cab3c4,}, {ctbtaii, или не выполняются условия четырехугольника хотя бы в одной из двух тетрад:

398
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
{,sis}, {<haic2ci}- Это означает, что сумма B0) обращается в нуль, когда хотя один из моментов j{ будет превос-
превосходить алгебраическую сумму всех остальных моментов в соответствующей триаде или тетраде.
12 /-Символ I рода обладает следующими свойствами симметрии:
iax a2 a3 аЛ ia2 a3 a4 cA fa4 a3 a2 аЛ
\&i 62 b3 Ь4{^=\Ьг b3 64 6j/='63 62 &i 64/.
lci C2 c3 c4j ^2 c3 c4 arj ic4 e3 c2 cx)
Используя эти свойства симметрии 12/-символа I рода, можно преобразовать сумму B0) к существенно иным видам.
Имеется 16=8X2 различных вариантов. Например:
[chYj
gY\(chY
a p)\l a e
б. Два индекса суммирования
2 la Ъ XWe d X\(a b q 1 _ la Ъ q
d p)\a b y\\c d
a a
d
4 —
2<-
XY
С С
a b I|jity)(aiij
с d p)\d b
B1)
B2)
B3)
a
a
X'
b
b t
i
d
d b
P
и
(abp
[q t d)
с \p
B4)
/\
p
д
3
\ V
Л

12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
399
a f X
I
2
a f X\
d\
f
.7
j
h
X
e
а Ь s)(c d s) (e
}{}
B5)
B6)
B7)
X X
Y Y
& ~
в. Три индекса суммирования
s4i)ilc--ji"
B8)
с.
\
X
/
d
\
\
P
/
ye
2
B9)

400
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
Г
d_
Ь
xrz
(a b p\ (b d Y\
[q Y Z) \l к q)
XYZ [qYZ,\ghp
d{ f
b dY
e / Z\ = jp{dfh}ic e g
) к q)
a b p
с е
IS /
h
f )h
4. Суммы произведения четырех Зл/-символов
а. Один индекс суммирования
bX\{cd Х) Iе f X}{8 h X\ -
(s k b (a d e h)
где R:==
C1)
C2)

12.2 СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
401
Свойства симметрии 12/-символов I рода указаны на стр. 398.
rabefn
\dhegl,
Lp q s r J
C3)
= ч
р
к
р
е
ч
s
Свойства симметрии 12/-символов II рода указаны на стр. 395.
б. Два индекса суммирования
а Ъ е\(а е f \ (с g p\jbgq
d X Y j \g X Y) \f d Xj\e d Y
a b cjja e /J
g p q) \d p q) '
2
i
abc\
ab X
[p д r\
(X Y rUa b XUe dY)
\J hgjihg ejXj g /J=(~:
eb К
f d
P 9
(а с p\
Xfeg}'
C4)
C6)
26 Д- А.: Варшапович и др.

402
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
с g l\ (f Ъ к
\v г Z) yt q Z
.C7)
в. Три индекса суммирования
" {Аг Ла ASJ (^ с Л8 AaJ (С Д, ASJ \e A2 AXJ (.Oj Og 0a)
Хг/Л^1
О
^ х3
X
а Ь с)
а
= 1а \Ь )с
ь
ь'
/*\
V
—,
d
Г
d
d'
&
ye f g
C9)

12.2. СУММЫ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 6 /- И 9 /-СИМВОЛОВ
403
Ь{ d
е[ f
у.
\1
к?
/ri
С'
с
D1)
D2)
D3)
26*

404
Гл. 12. СУММЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЕКТОРНОГО СЛОЖЕНИЯ
D4)

Глава 13
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
НЕПРИВОДИМЫХ
ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
13.1. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА—ЭККАРТА
И ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этом параграфе даны формулы для вычисления матричных элементов неприводимых тензор-
тензорных операторов произвольного вида
= J Vn,J.m,<$l]aFnJmte- A)
Здесь ^?UI — компонента неприводимого тензорного оператора ранга к, а хРп-т — функции, опи-
описывающие состояние квантовомеханической системы с определенными угловыми моментами / и его
проекцией на ось квантования т (га — совокупность остальных квантовых чисел характериэующих
состояние системы).
Согласно теореме Вигнера —Эккарта зависимость матричного элемента от ориентации системы
координат, т. е. от проекций т, т' и х, определяется 3/тга-символом или коэффициентом Клебша —
Гордана.
Инвариантный множитель </г//' | <3Kfc | nfy называется приведенным матричным элементом.
При таком определении приведенный матричный элемент единичного оператора имеет вид
ОТ |] 1 ]| »/> = V2FM Wyv C)
2
Используя определение B), можно получить следующие правила сумм для матричных элемен-
элементов неприводимых тензорных операторов:
ВД{%^ D)
E)
2 I <»'/'«' I ^Ь I *jm> I2 = I О'/' II ^* II «/> Р- G)
тт'х
В этом параграфе, так же как и в гл. 12, будет использовано следующее обозначение:

406 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
3. Матричные элементы произведений
неприводимых тензорных операторов
Из двух неприводимых тензорных операторов Paix и Qb? можно построить прямое произведение
Ра«.'$ь$ и неприводимое произведение {Ра®О»Ьт Pai*ra с (см. гл. 3).
Матричные элементы прямого тензорного произведения можно записать в виде
гZ jX °«f™*? IT <пГ ИP« II n^> <n^ II0» II »/>¦ (8)
Часто бывает полезным другое выражение для тех же матричных элементов:
0 (9)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения:
l 0*11 «/>• (Ю)
Матричные элементы скалярного произведения двух тензоров ранга а получаются из формулы A0),
если положить с = 0 ив соответствии с 3.1.C4) домножить полученноз выражение на величину
(-1Г"ПЙ:
<п'Гт' | (Ра • Q.) \nim> = ljjfinn,^^{-i)-M><n-n$a\ni1i><*iiA§A*f>- (")
Я1У1
Из трех неприводимых тензорных операторов Раа, <^4р, йй8 можно образовать следующие произве-
произведения:
Перестановка операторов позволяет построить другие произведения, которые отличаются от
выписанных здесь только на величины, представляющие собой коммутаторы переставляемых
операторов.
Матричные элементы прямого произведения трех тензорных операторов:
A)
<n'j'm' | Ра% ¦ Qb? ¦ Rdi I njiriy = ^ '-^ > П <"'>' N P« И n^> <re^ II Q* И /2) <»¦/¦ || ft«f 1 и;> X
jl .fib, hh
X 2 CiXa,CJ/:nm\bfj/:h- A2)
Вычисление матричных элементов произведений (Ря ® Qj}^ • Rdb и Рм • {Q6 0 R^},. сводится к по-
последовательному применению формул (8)—A0).
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения трех тензоров имеют вид
<n'i'm' \{{Va® Q6L® К)/? I nim> = (-1)/+^T5~7C^%X
X У, (-1 )Л ( п br °. \ Ii °. { ) <«'/' II Pa II «l/l> <«l/l II Ob I /2> <«,/, || К || «/>. A3)
Вычисление матричных элементов тензорного произведения (Pa ® (Q4 ®R<f}c} л, можно свести
к формуле A3) с помощью 3.3.A).
Матричные элементы скалярного произведения:
¦ К) I »/"> = «//.«»»»(-1J^с т|г X
X 5 ( a Ь. °. \ <п'] || Рй || п,Л> <»,;, || 0* || n2j2y <»,/, || ftc || «;>. A4)

13.1. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА—ЭККАРТА И ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 407
Из четырех неприводимых тензоров PM, Qb^ Rdb, $„ можно построить следующие типы тен-
тензорных произведений:
а)
б)
в)
г)
Произведения с другим порядком сомножителей сводятся к приведенным здесь с помощью
правил коммутации.
Матричные элементы прямого произведения операторов:
1 Х^ ~ А
(п' }'т' | PttaQb3^db^es I п}ТПУ == (—lJa+24-2if2« _ ^ (п'У || Рв | filjl} (,nlJl II Об I n2li} ^re2/2 II "(f II nds} X
JJtj,
V /и / II § II аЛ > Г->'т' rJimi „rJimi rJ3m3
Матричные элементы произведений типа б) и в) вычисляются с помощью формул (8)—A4).
Матричные элементы неприводимых тензорных произведений:
X {*, ." .'Н ' ! f ) <и'>" И Р« И ni^> <ге^ И Q* И ге^'2> <»Л И fti И геа/з> <ил || §е || я/>, | A6)
n,n,n3
X <«'/' || Pa II »i/i> <»i/i II Oi I »*/*> <«t/t II ft,; || »,/,> <%/3 II §/ IIФ.
Вычисление матричных элементов неприводимого тензорного произведения {Р
&§}к}/}кх можно свести к формуле A6) с помощью 3.3.E).
ab c)ld e
7 ,'h\\i /,
И1Я2П3
.АЛЛ
X <»'/' || Ра II »i/i> <»i/i II Q* II »i/i> <»i/i II fti II »з/з> <»i/i I §e И »/>, A8)
X<»'.
4. Матричные элементы операторов,
зависящих от переменных двух подсистем
Если квантовомеханическая система состоит из двух подсистем 1 и 2, состояние каждой из
которых определяется совокупностями квантовых чисел (п^^т^ и (n2j2m2) соответственно, воз-
возможны Два представления матричных элементов.
а. Угловые моменты обеих подсистем не связаны. Тогда
где ФПц,т, и Фпг/гт, — волновые функции, описывающие состояния каждой из подсистем. Такое
представление матричных элементов будем называть (n1jlm1; п2/2от2)-представлением.

408 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
б. Угловые моменты ]х и ]2 связаны в полный угловой момент J = Jх —J- jа с проекцией т =
= т1-\-т2. Тогда
<nyinj/y'm' | Р A, 2)|n1/1«1/I/m>= J П',,-,»',^'»' (*. 2) Р A, 2) VniJtfhJtJm A, 2) ЛцЬ,, B1)
здесь
= S
Такое представление матричных элементов будем называть (?г1717г2727/?г)-представлением.
В общем случае имеем
Рт{{, 2)\n1jlml; n.
. 2) || пи\п<Ы>. B3)
Часто оператор А{\, 2), зависящий от переменных двух подсистем, имеет вид прямого или
неприводимого произведения двух операторов РяаA) и Qb?{2), каждый из которых зависит от
переменных лишь одной из подсистем
A(i, 2) = Р„ A) - <?v B) или A(i, 2) = {Pa(l)®QbB)}or
Для прямого произведения операторов имеем
*h II P« A) II »./i> <«2/2 IIQ4 B) II «2/2>. B4)
Для неприводимого тензорного произведения получаем
n^^ I {P« (!) ® Об B)}^
J'd\
^;^ <re{/i И Pa A) || nlhy <ny't 1Q6 B) || «2/2>. B5)
Матричные элементы скалярного произведения операторов имеют вид
?«(!)•&, B)) | «J^i; «2/>2> = -jp— 2 (-1)-^^',™^!'^X
X <«{/i II Ря A) II »h/i> <«2/2 II Q* B) II «2/2>. B6)
Если угловые моменты jx и ;2, соответствующие различным подсистемам, связаны в полный
угловой момент / с проекцией т, матричные элементы B4)—B6) видоизменяются следующим
образом:
<n[ii»M'm' I Ра* (*) • <5*Э B) | n1/1nji/i»>= (-1)^* Пу X
{а Ъ с \
1'х1кП, B7)
/i /о 7 ^
A) ® Q6 B)}0Т | n,/1n1/1/iB> = (-1JС ПсуС^>; /I /J
Wi i% i
а Ъ с
i/i II P« (!) II »i/i> <«2/2 II04 B) || «2/2>, B8)
<__/-f ; '',*/Mf I /D />l\ f\ /owl * « • j«4 S; 5; I A\ VI+SrYj't I ^ ' I y« ',*/ II D /4 \ II » ^ \ /иr i1 II Л /O\ II » ¦; ч /ОП\
l/г 72 I)
Матричные элементы прямого тензорного произнедения трех операторов, каждый из которых
зависит от переменных одной из подсистем, вычисляются с помощью последовательного приме-

13.1. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА-ЭККАРТА И ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 409
нения формул B4), B7) и (8). Если же два из трех сомножителей образуют неприводимое тен-
тензорное произведение, нужно воспользоваться также формулами B5), B8), (9) и A0).
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения трех тензорных операторов
имеют вид
l)\\N
B)}.
' fNJ
(gift
|T2res
/ /?¦
A)}..
njx'm
1' riimj
l/l> <«2/2
!/2/n»> =
lQ»B)»i
(—1 )*-"-'
fd a
|., .
i-ii-J
X <n[Ji II Pa A) II NJ> < NJ || % A) || »,/,> <n'2j'2 || Q6 B) || n2j2>, C0)
' | {{Pa A) ® Q4 B)}, ® ftd A)},, | »1/inJ1/iB> = (_l)*-»-^W.' nejF,C^'t X
!)( " lU Л<^Я1|РAI|^О<Л'/||ЙЛ011/></ 1|0BI/> C1)
C2)
Матричные элементы произведения вида (f*a(l) <Э {QjB) <Э ^d(^)}/)k вычисляются с помощью
формулы 3.3.A), а произведения {{?„A) <g) ftd(l)},j(8) Q4B)}/t — с помощью формул B5), B8) и A0).
Матричные элементы приводимых произведений четырех тензорных операторов вычисляются
последовательным применением формул, данных выше.
Приведем выражения матричных элементов неприводимых тензорных произведений четырех
тензорных операторов
п
;/Jm? | {{Ра A) ® Q4 B)}e ® {Ad A) <g> §
y
^ , 7 , , X
X <Ki[ || Pa A) || tfi/,> <iV1/11| ftrf A) I nlhy <»J/J I 06 B) И /V2/2> <Л-2У2 1 S, B) || n2/2>, C3)
(.n'JinU'J'm' | {{Pa A) ® Q4 B)}, (8) {йй A) §
X <nl;'{ I Pa A) II ^i^> <Nih II fti A) II »i/i> <n'Ji II Q4 B) || N272y </V2/2 || §e B) || n2;2>, C4)
ym' | ({Pa A) ® Q4 B)}e • {ft* A) <g> §. B)},) | nl]in2j2jm> = Ъу,.Ът,т {-if^J'^J,-J-b-du2 x
a g\le b M
\l Mx
X <n[j[ || Pa A) II AV,> ^x/x 1 йй A) || «!/!> <nJ/J || Qj B) || 7V2/2> </V2/21| §e B) || «2/2>, C5)
<«J7>I; n&m'. | {{{Pa A) ® 0* B)}e ® К A)}/ <g> §«
f^_
п
X S \, ,) i, r
i ' /' '' /2 •'2

410 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТО РОВ
' | {{{Ра A) ® Q*, B)}, ® Й<* A)}/® §. B)}tx I и,/,1Ч/,/'»»> =
2 (« d AWb e gU') '}h\ у (d a hUe b g
J Д Jl У! Ji «) ZU \ ,r _. т / I -¦/ .¦ r ( X
\ j , ¦
i'/i (i Pa A) I #i/i> <Wi II К A) II »i/i> <»5/2 II 0* B) || N2J2y </V2/2 И §e B) || nj?, C7)
<bI/I»S/57'ib' I ({{Pa A) ® Q» B)}e ® ftd A)}/ • §/ B)) | ni;>2;2/m> = •
X <»i7iII Pa A) II ЛГ,/,><ЛГ1/11|ftrf A) I n,/,> <nj;j || Q4 B) || /V2/2> <Л'2/2 И §, B) || я,/,). C8)
Матричные элементы неприводимых тензорных произведений с другими схемами связи опера-
операторов можно вычислить, применяя формулы для пересвязки четырех неприводимых тензоров
3.3 C) и 3.3 E).
Если волновые функции и операторы, используемые при вычислениях, зависят от переменных
большего числа подсистем, определение матричных элементов сводится к последовательному при-
применению приведенных выше формул.
5. Матричные элементы операторов,
зависящих от переменных одной из подсистем
Пусть /^(l) — оператор, зависящий от переменных подсистемы 1. Матричные элементы такого
оператора диагональны по квантовым числам, определяющим состояние подсистемы 2.
Дальнейшее вычисление сводится к применению формул, приведенных выше.
Если состояние определяется полным угловым моментом j = ]х -j-12 и его проекцией т, то
матричные элементы имеют вид
nihn2hl m \рш (ч I nl]ini]i]m} = u ¦, -bn, n (—\y J ^2 Vlj^jmai ., ., \\n\h II va \ч \\nUi>- {Щ
J lJZ (j a ]v)
Матричные элементы прямого тензорного произведения операторов:
т' I Р/м. A) Qbi [Ц I nlhniiiim)> = 8Я» п 8 ji j ( — l)j2+J Jl+' a+~ П • У ^tfi3jmc-!pCa4. 43 I ., ., f X
¦TT ' () c hi
. <iV/ || С
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения двух операторов
X 2 {! I Cr) <«i/i II P« (^ II ^> <^ll Об A) II «i/i>. D2)
Qa A)) I *4hn2hJm> = bn,2nbr2jbrdbrjZm m X
X TP~ (-1)"'1 2 (-1)"/<"i'i И P« (V II ^7> </V/ И 0« A) II »i/i>- D3)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения трех операторов:
n[j[n'2j'2j'm' I {{Pa A) ® Q6 A)}. <g> ft, (l)}/? | п1/1Й2/2/т> = 8й,2Я25у,гЛ (-l)^WW'Kny/cC^;? {^ ^ J J X
X У. (-if't b/T)iiC {}<n[n\\Va(l)\\Kih><n1I1\\Qb(l)\\lV2J2><N2J2\\Ud(i)\\n1h>, D4)
NM ' Ui /l lJ lh h 2J

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 411
\j'm' | ({Ря A) ® Qb A)}е ¦ Rc A)) I «i/i«2/2/m> = bn'1nfij',jfij>tj,bj'jbm>m (-l)-e+2^ X
/l ^^^ \ " 2 7l • 1 J
Матричные элементы неприводимого тензорного^произведения четырех операторов:
г' I {{Ря A) ® Q» A)}. ® F^ A) ® §. A)}/}*, I »i/in,/Jm> = 8«'1Я.,»ЛЛ (-1)У+'/'1+Л"'"/ ^,/kjCJ^icx X
Q4 A) II ^2^> W21| ftd A) I N3I3y (N3IS || Se A) И в^, D6)
' | ({Pa A) ® Q6 A)}, . {&d A) ® §е A)}„) | nJlnJ1lTii>=!blt.i,bJ,ijbJ,ijbj./im,m X
X <iV2/21 ft,, A) И Л'з^3> </V3731| §e A) И Я1/,>, D7)
{{{Pa (l) ® Q4 (i)}e ® ft,, (l)}/ <8> §. (i)}*, I »i/i»«/^»> = «,'Л»Лл ЫИ1+л+'+/+с n/cfc,c^m;x x
h h I \ V j-2+/, /a 1 ellii e /We /i| ,. -
X <Nih II Qb A) II 'V27a> <iV2/211 &d A) || /V3/3> <,V3731| Se || »,/!>, D8
<»,Vi«J/i/'i»' | ({{Pa A) ® Q* A)}, (8)^^ A)}/ • §/) I »i/i«»/V'«> = «»',^V.y,8/',A8/78»'» (-1)"~/"Л X
X <^2^2 ||fti A) II Л
Матричные элементы тензорных произведений с другой связью операторов можно получить
из вышеприведенных формул, используя правила пересвязки и коммутации неприводимых тен-
тензоров (гл. 3).
13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В данном параграфе приведены матричные элементы следующих операторов и их тензорных
произведений:
а) единичного оператора I;
б) единичного векторного оператора 11 = 6^
в) операторов градиента ^ = VX и I7"a = (^a)i;
г) оператора полного углового момента J = Jx;
д) оператора орбитального момента L = Lx;
е) оператора спинового момента § = §];
ж) оператора сферической функции ^;m(fr> <p).
Все матричные элементы вычисляются с помощью формул, приведенных в параграфе 13.1.
Волновые, функции, описывающие состояние системы, в общем случае могут зависеть как от
пространственных переменных г, Ф, ср, так и от спиновых ?. Они могут быть представлены в виде
Ф (г, », ?; Е) = Wn (г) У/и, (ЭД lsms (?) = <r, »,?;S| я, ^ и; *ms>, A)
I ж m —орбитальный момент и его проекция; s ж ms —спиновый момент и его проекция; п —
совокупность остальных квантовых чисел, не определяющих спин-угловое состояние системы.
Функции A) определяют (nlmsms) — представление матричных элементов оператора.

412 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Если угловые моменты L и S связаны в полный угловой момент J с проекцией М, волновые
функции, описывающие состояние системы имеют вид
Ф (г, », г, ?) = *„ (г) 2 C\limYlm (», <?) Xams (?) = ЧГп (г) Y% (», ?) = <г, », г, 5 I «, Л : J, My. B)
mm g
Волновые функции B) определяют (га&/Л/)-представление матричных элементов оператора.
Если оператор действует только на переменные г, S-, ер, вычисление его матричных элементов
в (п2т«тв)-представлении сводится к вычислению матричных элементов в (и2т)-лредставлении:
<n'l'm'; s'm',\<$lkx(r, »> <?) I nlm; smsy = ise,im m, <п'1'т' \$1ы(г, Ь, <f)\nlm}. C)
s s
Если же оператор зависит только от спиновых переменных ?, имеем аналогичное соотношение
<пЧ'т'\ sms | 91кх E) | nlm; ш,) = Ьи,Ьтт, <_n's'm'g | 9?ta E) | nsms>. D)
Поэтому всюду ниже матричные элементы операторов, зависящих только от пространствен-
пространственных или только от спиновых переменных, будут вычислены в (nlm)- или в (ивдга^-представлениях
соответственно. л
Для вычисления матричных элементов операторов 9J?tx (r, S-, ер) и §ikx (?) в (га&/М)-представ-
лении нужно воспользоваться формулами
(n'l's'J' \\ Жк || nlsJy = 5SS, (_1)^'-м+* n/J( {^ Sk Jv j <n'Z' || =Ж* || ni>. E)
F)
Если некоторый оператор Rm (г, ¦&, <p; I) действует как на пространственные г, S-, <р, так и на
спиновые % переменные, матричные элементы такого оператора даны в (и^/Л/)-представлении.
Вычисление матричных элементов оператора Йаа в (тг^ишп^-лредставлении можно произвести
либо используя следующее связующее соотношение:
<П'1'т'; s'm's\Rm(r, », Г, Z)\nlm; smgy= ^ C^e, Cf%,m. (nTs'J'M' | йяа (г, 9, ?; ?) | и1»7Л>, G)
Jjf *
либо пользуясь непосредственно соответствующими формулами предыдущего параграфа.
Ниже для упрощения записи опущены аргументы операторов в выражениях для матричных
элементов. Кроме того, опущен индекс п всюду, где это несущественно.
2. Матричные элементы единичного оператора I
Единичный оператор I представляет собой неприводимый тензорный оператор ранга 0, не дей-
действующий на переменные г, Ф, tp, %. Поэтому в любом представлении отличны от нуля и равны еди-
единице только диагональные по всем квантовым числам матричные элементы
<X'|I|X> = <V|b> = 8u,. (8)
Соответственно приведенные матричные элементы единичного оператора имеют вид
^ГТ /rT V/2JT"l5n,o(,,,. (9)
3. Матричные элементы единичного вектора й(Ь, ер)^й1(&, ер)
Единичный векторный оператор йх(&, <р) действует только на переменные &, <р- Матричные
элементы циклических компонент оператора йх (ft, <p) в Aт^представлении имеют вид
где

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 413
Учитывая соотношения E), получаем приведенный матричный элемент в (/«/^представлении.
<!'.'/' || щ || isjy = 8„, (-l)'^1'^ v'B7 + l)By-t-l)B/ + l)C^0{/Z, J ',}. A2)
Матричные элементы A0) отличны от нуля только в том случае, если V = 1 ± 1.
В развернутой записи соотношение A0) с учетом A1) имеет вид
/A + m + l){l ± т+2)
—2B1 + 1) B1+3) S«'"¦"'
/(; — то + 1) (I + т + 1)
BZ +l)BJ + 3) Ьт'т<
<7 — 1т' | й1з:11 Zm> = — у 2 B/ + 1) B1 — 1) Sm'm±i>
- 1т'
Остальные матричные элементы циклических компонент оператора п1(&, <р) равны нулю.
Матричные элементы декартовых компонент оператора йх (&, tp):
(i'm±i\nx\im>=^-jy '±(а + !на±+"з)' ~'h>w±TV '(a + D^'D'Vi-i. (">
Остальные матричные элементы декартовых компонент оператора fij(&, <p) равны нулю.
Матричные элементы прямого произведения циклических компонент двух операторов йг(Ь, у):
г 2i + i
^J q&Ci* „??•?. A7)
Эти матричные элементы отличны от нуля только в том случае, если V = 1, I ±2.
Матричные элементы прямого произведения декартовых компонент двух операторов йх (&, tp)
выражаются через матричные элементы A7) по следующим формулам:
<1'т ± 2 | пхйх \lm} = -j (I'm ± 2 | П1±1й1±111т},
(I'm | пхпх 11т> = - (I'm | /?1±1nlw
<г'те + 2 | йулу 11т.у = — <г'те + 21 Й1±
(I'm | йу«у | Zm> = — (I'm | /?1±1Й1Т111т>,
(I'm | й^й^ | lm> = <Z'm | filou10 | Zm>, A8)
<Z'm ± 2 | Й^Й^ | Zm> = + у (I'm ± 2 | Й1±1Й1±111т>,
(I'm ± 1 | ПХЛШ \lm}= + -^- (I'm ± 1 \
(I'm ± 1 | ЙуЙя | lm} = -^- <Z'm + 1 | Й1±1Й1о |
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения к единичных векторных опера-
операторов fix (&, <р):
Д l^fc A9)

414 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
где q1=i. В частности, если <72 = 2, qz = 3, <^ = 4, • • •> qk = к, то
<Тто' |{...{{fii®fli},®fii},® ... ®в1Ы1т>= \ Bк Jt) ,, |Цр\ Cf^oCfX-' B0)
Из формулы A9) следуют два очевидных равенства
4. Матричные элементы оператора V(r, 8-, 9)==^ (г, &, ф)
Оператор Vx (г, S-, tp) действует только на переменные г, S-, ср. Матричные элементы циклических
компонент этого оператора можно представить в виде
<^Л^>сут%, B1)
где
<пЧ> |[ $, || niy = vT+T^^,,,,»,, I+1 - У/ТВ,,,,.?,,,^. B2)
Величины ^1я'/'я/ и В„ч'„1 в формуле B2) представляют собой следующие интегралы:
03
1 B3)
ЧР"Я/ (г) — радиальная часть волновой функции.
Приведенный матричный элемент оператора Vx (г, Ь, tp) в (и/5/М)-представлении можно полу-
получить, если в формуле E) под оператором <$1к понимать оператор Vj.
Матричные элементы B1) отличны от нуля только в том случае, если V = 1 + 1.
В развернутой записи соотношение B1) с учетом B2) можно представить в виде
1т' | V1±11 nlm>= |/ —2BZ + l)Bi + 3) А*'i+i,mbm>m±i>
А»'/
B1 4-I) B1+3)
-1) BJ 1) «''-'iii »'я±ь
Остальные матричные элементы равны нулю.
Матричные элементы декартовых компонент оператора Vx (г, Ь, tp):
<n'I'i» ±1|^| ШтУ= 4-yV К" B1 + 1) B1+3)ГЛ' 4»'т,.Л'1+1 +
1 i/(l + m-l) (l + m)
±2V B1 4-i) B1 — i) a*'i-i,nibi>i-i> B5)
•!• ill* 1 I V ' l/'(t±>>t+1)(t±>>t+2) , > l.
I m±\\wy\nimy— 2 у BZ-f-1) BZ + 3) A"' l+i,m°i'i+i ~ 2
BZ-f-1) BZ + 3) A"' l+i,m°i'i+i ~ 2 У B2 + l)B2 — 1)
<re / то | vf|

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 415
Остальные матричные элементы равны нулю.
Более простой вид имеют матричные элементы угловой части оператора V(V, &, <p). В соот-
соответствии с 1.3.A0)
и не зависит от г. Матричные элементы циклических компонент оператора Фе = (^s)i определяются
из соотношения
где
<Г II (*в)х 1 г> = ~ {* ^Н^т + (' + О ^Wib B7)
Формулу B7) можно получить из B2), если произвести следующую формальную замену:
A.'i:.i-+~l* *.'i;.i-*l + L- B8)
Аналогично формулы B4), B5) окажутся справедливыми для оператора (VqI; если в них
произвести ту же замену B8).
Матричные элементы прямого произведения циклических компонент двух операторов
Матричные элементы прямого произведения декартовых компонент двух операторов (Ve^ связаны
с матричными элементами прямого произведения циклических компонент формулами A8), в кото-
которых надо произвести замену п(пк -> (Vs)( (\a)k (i, k~x, у, z).
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения двух операторов (Vs)a:
В частности, для скалярного произведения операторов (V^ получаем известный результат
(I'm' | ((^ • (?е)х) | Ыу^-Ъ^Ь^Л (I + 1).
Матричные элементы прямого произведения циклических компонент операторов йх(&, ср) и (V2)x:
= _8„,
Матричные элементы прямого произведения (^qV^i, отличаются от вышеприведенных на величину
которая представляет собой матричный элемент коммутатора прямого произведения компонент
операторов щ(Ь, <р) и (Vs)x.
4/ C2)
Матричные элементы произведения декартовых компонент операторов йг (&, <р) и (^s)i можно
получить путем преобразования этих произведений в произведения циклических компонент с по-
помощью формул 1.2.A1) и последующего вычисления по формуле C1).

416 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов fij (&, ср) и (^s)i^
^'0 /7" И/V \ II/\ f41\
I»
Приведенный матричный элемент оператора (Ve)x в выражении C3) дается формулой B7).
^ | Imy - (-1)*<I'»' | Л& (п„ (?a)x) | lm>. C4)
Второй член в формуле C4) представляет собой матричный член коммутатора неприводимого
тензорного произведения операторов йг(Ь, <р) и (\q)v
2 л Г~Ък
Щ\ («х- (?2).) = 7Г S*o + 2 F IF y»x (»• ?) «и- C5)
Соответственно
5. Матричные элементы оператора полного углового момента J^^
Оператор полного углового момента J = t-T-S действует как на пространственные, так и на
спиновые переменные.
Его матричные элементы имеют вид
/l'<r'T'M'\f I J« ТМ\ — - — CfJ'M' ,„-.
где <J'.'/' || Ji 1 Ш> = S»,S,,,^, V/ (/ + 1) BУ + 1). C8)
Будем использовать сокращенную запись матричных элементов C7) и C8), отбрасывая квантовые
числа I и s. Тогда
где <7'||J1||/> = SJJ,V7(y + l)B7 + l). D0)
В развернутой записи матричные элементы C9) с учетом D0) изображаются следующими фор-
формулами:
2
</* I л. I
Остальные матричные элементы равны нулю. Выпишем также ненулевые матричные элементы
декартовых компонент оператора 1Х.
<JM±l\fx\ JM} = -^V(J ±M + 1)(J+ М),
AМ ± 11 Sy I JM> = + j VG + Л/ + 1) G + Д/), D2)
Матричные элементы оператора квадрата полного углового момента
J Ъ„Ъим,1 G +1). D3)
Матричные элементы прямого тензорного произведения циклических компонент двух операторов
<7'М' | ЛА I 7Л/> = 7 (У + 1) C^L^^i/S^. D4)

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 417
В развернутой записи ненулевые матричные элементы имеют вид
± 21 Л±,Л±11 IM> = T *V ± ^ +2) (/ ± М + 1) G + М - 1) G
1 7Ж> = - у G ± М) G + М + 1),
Ненулевые матричные элементы произведения декартовых компонент:
+ 2 | Jjx | 7М> = т V(/ ± Af+2) (/ ±Ж+1)(/+Л/-
/Л | 7М> = у [7 G + 1) - М*],
+ 2 | //у | JM) = - j ^(У + М + 2) (У ± Ж + 1) G + М - 1) G + М),
AМ\ЗуЗу | /М> = -| [7 G + 1) - М%
± 2 | ^/у | JM) = + ^ vV + Л/ + 2) G ± Ж + 1) G + М - 1) (/ + М),
+ 2 | fgfx | 7Д/> = + \ у/A ± М + 2) (/ + Л/ + 1) G + М - 1) G +
= ^- ^G ± Л/
<JM±i\ fjx | 7М> = ^Ц^- </(J ±M+l)(J + M),
<7Л/ + 1 | SyJ,, | 7M> = + -J M <J(J + M 4- 1) (J + M),
± 1 I fjg I IM> = + -|- (M ± 1) ^G ±7^4-1) G + Л/).
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения двух операторов
7 G 4-1) VBA + i) B/ + i) {J J ^J C^. D7)
Отсюда, в частности, следуют два очевидных равенства
<7'М' | (J • 1) | 7М> = 8д,^ж,7 G 4- 1),
<7'М' | [J X 3
Матричные элементы прямого произведения компонент операторов щ (Ь, f) и 1Х:
*
D5)
= (I's'I'M' | Й!/ь | is7M> - <l's'J'M' | #lia, (n1(l, 7lv) | is/M>. D9)
27 Д- А. варшалович и др.

418 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Коммутатор прямого произведения компонент операторов пх (&, <р) и Jx имеет вид
Яхрд, (й,„, Л,) = - УДр CtfgY,^ (9, ?). E0)
Поэтому
<y,'J'lf | %ь (Й1A, Л,)
{7, г}
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов щ (&, <р) и *i:
С1'0
Woi
i) B* + 1) / (/ + 1) X
Коммутатор неприводимого тензорного произведения операторов fij ($, <р) и Jx имеет вид
*fc (fln ^) = -У^- Ylx (ft, ?) 8W> E3)
а его матричные элементы
^C'j'Jfrk.i. E4)
Тогда матричные элементы произведения {Лх^й^й» могут быть вычислены по формуле
| >. E5)
Выражение E5) можно также переписать в виде
<У»ТМ' | {h ® щ}кх | isJM) = H)ltIW4M1 Sss, •B1 + 1)BЛ + 1)B/' + 1)B/ + 1) X
ХУУ (У +1)СШО j j,\\j, , ,,\CJMkx- (Щ
Матричные элементы прямого тензорного произведения циклических компонент операторов
\ и 1Х:
{J, } <Г I (Vs)l| Г> Cj/;V111C^;. E7)
Как и в предыдущем случае,
( = <Г.'/'Л' I (Vs)l^b I UlMy - (I's'I'M' I Hlfly ((V^, 7b) I isJMy. E8)
Коммутатор прямого произведения компонент операторов (Vg)x и Jx имеет вид
*i!U,((^)v А,) = -^^ь(^)х, E9)
а его матричные элементы
* J} C\^CJJ«^ <Г || V|| г F0)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов (Va)i и
Г
Для неприводимого тензорного произведения {Jx (g) (Va)^,^ имеем
</'«'7'ilf' | {S1 ® (V^)^ | isIMy == (-l)fc <Z'S'7'M' | {(?s)x ® 1,}кх | isJM} +
t J F2)

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 419
Коммутатор неприводимого тензорного произведения операторов (Vs^ и 1г имеет вид
*M**)v 3г) = -<2(^)иЪы, F3)
а его матричные элементы
,Ьк1 ^2B7+1) ^, ' ',} <l' || (t^JI i> C^. F4)
Выражение для матричного элемента неприводимого тензорного произведения
можно также записать в виде
(I's'J'W | {Jx <g) (V^}^ | ;5/Ж> = (_1)«+*'-'+*+18„, v^fc + 1) B/
X V74T+1) {', [ *} {), \ )] <1' II (V9)l|| l> СЖ. F5)
6. Матричные элементы орбитального момента t^tx
Этот оператор действует только на пространственные переменные &, <р- Его матричные эле-
элементы имеют вид
<! т \L4\ lm> = ^2l, +1 C,mlll, F6)
где
(}' || tx || 1} = 8,,, W(< + l)Bi + l). F7)
Формулы C9)—D7), полученные для оператора полного момента J1( оказываются справедливы
и для оператора орбитального момента, если в них произвести замену
Приведенный матричный элемент в (/8/)-представлении дается формулой
l)BJ'+l)l(l + l)Bl+l) J'/f * ' J . F8)
Матричные элементы прямого произведения операторов йг (&, <р) и Lx:
21' -1-1 ^/OlOV/m
Коммутатор прямого произведения этих операторов имеет вид
G0)
а его матричные элементы
"' """"' G1)
Матричные элементы прямого произведения ^щ определяются формулой
2i< л. i ^/ою^г'т+М'^гтци • G2)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов й^й, у) и Lx:
19 tx),, I lm> = (-1)"^ С|-'х J/ B/С+2^+
G3)
G4)
27*

420 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Обе эти формулы связаны соотношением
{I'm' | {щ (g) tj}^ | Imy = (—l)k {I'm' | {?x (g) пг]kx | ?m> + <!'m' | ^ (ft,, ?x) | ?m>, G5)
*n . G6)
где
> = —1/ 20>, | . CjOlO^'m'lx. G7)
Матричные элементы прямого произведения операторов (Ve)j и Lx:
Матричные элементы G8) и G9) отличаются на величину матричного элемента коммутатора пря-
прямого произведения операторов Lu и (V2)lut.
(80)
?ci«*J»,. (81)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов ?х и (Vs)^
L»;) (82)
}fcz | Imy = (-1)''+'+* v^B* + 1) V (V + 1) X <Г II (V2)x|| i> |J, J *} CJX (83)
Коммутатор произведения {(Vs)x (g) L1}fcjt имеет вид
^((^)i,?1) = -v/2(^)b8,1, (84)
а его матричные элементы
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов Lx и
,,588,^X B/+ 1) X
X V{2k + l){U + l)l{l+l)J{T + l) {^ ^ ^) {7, ' ^} , (86)
„ | ШМУ= (-l)e+'-/'+*+18,.,»f,.Сии', X
X ^Bй + 1) J (J + 1) Bi + 1) /' G' + 1) B7' + 1) B/ + 1) {^ *7 *, j {'7, ^ ^ } . (87)
Коммутатор неприводимого тензорного произведения {L2 (g) Ij}^ имеет вид
JSfc(fci. *i) = -V2AAi, (88)
а его матричные элементы
(I's'l'M' | ЛЙ, (U, Jx) | I.7Af>= (-1)^+I»/I,8,,,8M V2B7 + l)Bi+l)i(i + l) {',, ^ ^} C^lx- (89)
Матричные элементы прямого тензорного произведения операторов Ьх и лх можно получить,
используя разложение прямого произведения по неприводимым произведениям

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 421
2 § (90)
il's'J'M' \f^Lu\lsJMy^^C^u<l's'J'M' | (Jx^t.bJi^M). (91)
kx
Коммутатор прямого произведения операторов Lx и j\ ииеет вид
*V, (^ Л,) = - ^2" С\$; U^, (92)
а его матричные элементы
<l's4'M' | Я111Ь (Д^, /ь) | ZS/A/> = (-l)8+J+'5n,8JS, s/2BJ + i)Bl + l)l(l + i) ^, * "[} С^С?Й^. (93)
7. Матричные элементы оператора S^Sl
Этот оператор действует только на спиновые переменные. Его матричные элементы имеют вид
<s>mi]S^s^<0Mc';m% (94)
<»' || 8, |1 s> = 8SS, V,(, + l)B» + l)• (95)
Формулы C9)—D7), полученные^ для матричных элементов оператора Jj, оказываются спра
ведливыми и для оператора спина Sv если в них произвести замену
Приведенный матричный элемент оператора спина Sx в (?s/^представлении, согласно F) и (95),
дается формулой
§, || isjy r= (_1)'+»ьг+1 ,и/,и> ^(. + 1)B* + 1)B/ + 1)BУ' + 1) J^ ^ 'J. (96)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов Sx и коммутирующих
с ним операторов fi^ft, tp), (^e)i» f<i имеют вид
<!'*ТМ' | (fix <g> §х}^ | ЫМУ = 5„, VBfe + 1) B/ + i) BJ + i)B« + 1) . (• + 1) CJ^X is 1st, (97)
B/ + 1) B* + 1) s (s + 1) <!' (| (t^ || i> C^ {* I s \, (98)
Матричные элементы неприводимого тензорного произведения операторов §х и 1Х:
X
B/ + 1) Г (/' + 1) B7' + 1) X
x v.(. + i,B. + {' J *}{•
Коммутатор неприводимого тензорного произведения оаераторов Sj и Jj:

422 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
X V2* (. + 1) Bs + 1) BУ + 1) J* , J '} С#&. A03)
J* , J '
а его матричные элементы
Матричные элементы прямого произведения оператора Sj и операторов fij(&, у), (V»)i, Lx, ^
можно вычислить, используя формулы (97)—A01). Для этого необходимо прямое произведение
операторов разложить по непроизводимым произведениям с помощью формулы 3.1.B2).
8. Матричные элементы оператора сферической функции ??„= Г?,(&> у)
Этот оператор зависит только от пространственных переменных &, <р. Его матричные элементы
имеют вид
A04)
где
Если использовать в качестве операторов функции Civ (&, ^>) = 1/ Г?, (&, ср), то
A06)
A07)
Матричные элементы произведения коммутирующих операторов йг(&, у) и Y^:
2Г+3
/^ rl'-l Or-l'-l m+irl'm I /4ПЯ\
21' 1 ^lOLO^lmLt ^/'-1 т+и liij > \lyJol
Матричные элементы произведений операторов ^в и YL:
BL' + 1) Bt + 1) i,.,
+ 1) LimL'-,'X
A09)
T U T^ p' 21' + 3 '0?0 °/m Lt °/'+l m+v ljij
Коммутатор прямого произведения операторов fis)lv_ и tLi
Коммутатор неприводимого произведения этих операторов

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 423
Матричные элементы этих коммутаторов имеют вид
ГПТТгПГП
IX
v"Vr?'Or/'O r?'i4-V''m' I1 ' M
Матричные элементы произведений операторов Ьх и Yj}
?^Ь1) ^;VLir^:r+v 1A, ()
fc(mL'/@i0b, ^ j,|- I11')
Коммутатор прямого произведения операторов Ьх и YL
Коммутатор неприводимого произведения операторов Lj и YL
Матричные элементы этих коммутаторов:
A20)
tI'O r<l'm' g A2\\
Матричные элементы произведений коммутирующих операторов S1 и YL:
l's'J'M'IS 9 \шт-Ъ 1Л2/ + 1)(И + 1)BД + 1)*(* + 1I2Г+1)
X (_!)*+*« x ^ ^2FR) С?*^С**% Is 1 .1, A22)
* [/A /'J
B7 + 1) BL' + 1) BL + 1) B^ + 1) s (s + 1) Bs + 1)
1'0 rJ'M'
U 1)
Матричные элементы произведений операторов Jx и YL:
v rJ'M+vrJ'M' rl'O
/ j J'

424 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Коммутаторы произведений:
^lli Iv (•'ill» *L») == -^itt lv (^114 *Lv)>
*iV(*i» ^) = ^,,(Ц, tL).
Матричные элементы коммутаторов:
а,
X
Матричные элементы некоторых более сложных произведений, одним из сомножителей кото-
которых является оператор Y^:
/~B? + 1) B1 + 1) Bft + 1) B1" + 1)
9 ИтЪ-У I iV'*"** V
L'-i'l"
I /Iя и /Ф ^ n/"'\
L'l"
L't'
4r. BГ
{2k
4itB/'
Z'v'
v- pL't' pl'm' yil'O J1 1 /if II /# \ || г/ч
X C}'-;9 2 (-1)"' ^'(b'+i)BL'+l) Cjo°bo {J, ^, *, J {J; J ?} <Г [| (f ^ || L'>, A33)
B7 + 1) B* + l)e(*+l)B + l)
X 7, VB/! + l) (^l + i)(-jM LitJiMlkxLL0lOLLioiO), г г \\ I» * '
fZ,j 1 I'
s J \ I

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
425
X
fBL + 1) B7 + 1) B1 + 1) B* + 1) BF + 1) « (* + 1) Bs + 1)
—"
81,),,
s 7
X
I 1 I
JAM, y 1 v [Jl к J')
® §x}fc ® tb}F? I lsJM> = (-1
X
. Л /BL + 1) B1 + 1) B7 + 1) Bk + 1) BF + 1) s (« + 1) Bs + 1) у
X p • 4^ ^1 (^'i +!) t-io го X
J.L,
X
7i L
I lsJm> = (-1 )y+fc+? X
X
t s J-A [L к F
B/
x 2 ^Ж
X
^ C&u X
-1/B1+ 1) (И + 1) Bft + 1) » (« + 1) Bs + 1) V (Г + 1) BГ + 1) B/ + 1)
Г
4ic
X
Г.1!'I
72 A 7'j
28 Д. А. Варшалович и др.
(.35)
A36)
A39)
; ^Jp^' JJjJ, 1Д},
A42)

Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
(I's'J'M' | {(L1®^ l
л[{2Ь +1) B1 + 1) Bfc+ 1) Bf + 1) «(« + !) B» + 1) V (Г + 1) BГ + 1) B/ + 1),
X р 4тГ " X
l
';
A43)
){2k + i)V (V + i){2V + l)y
J,
A 1 к \ [V s 1Л (L к F I
A45)
LJML->CJ,M,
, (« s /) fl 1 iUs Г J.)
-4) ' U L I'} {/' /, /J {/'I..}'
X U L I} {/' /, /J {/'I..}
XV A-rr Л y->\ \J\ -r !) (^¦'1 + 1) X
Л
l I fc Ws Z' /,Wi A
Коммутаторы тензорных произведений операторов в формулах A28)—A47) могут быть пред-
представлены в общем виде следующими выражениями:
Ybv)}, A48)
Вычисление матричных элементов этих коммутаторов сводится к применению полученных
выше формул.
9. Матричные элементы некоторых скалярных и векторных произведений
Для скалярного и векторного произведения операторов п, ^2 из формулы C3) получаем
<1'т' | (п • Фе) 11ту = 0, A50)
'т' | [fl X ^ | Ш> = i ^ЦЦЛ) Cl;:^bHf. A51)

13.2. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОСНОВНЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ 427
Формула A48) является следствием ортогональности операторов п и V9. Формулу A49) можно
получить сразу, если учесть что
Матричные элементы скалярного и векторного произведений оператора J и операторов й и Vs
получаются из формул E2)—E6) и F1)—F5)
il's'1'М' | (fi Л) | lsJMy = \,sbJrJlM,M (_l)»+''^+l •/(/ + 1)B/ + 1)B*-M) ОДо [17\\,], A52)
<l's'J'M' | [ft X J], I lsJM>= у (~i)J+t+l' {Г (Г + 1) _ 7 G + 1) _ 2} v'Bi + l)By+l) X
Скалярное произведение операторов п и J коммутативно, а векторное некоммутативно.
жТМ' | IJX<4, I lsJM> = y (_lf+^'+' {/' (/' + 1) - 7 (/ + 1) + 2} ^B/ + 1)B/+1)С|й,{ ), \ \,
Аналогично получаем
XI
X Jlx I i«/A0 = -g- (-1)J+S+Z'+1 v/Br+l)B/+l) {/' (/' + 1) - 7 (/ + 1) - 2} X
x
Так же как и в предыдущем случае, скалярное произведение векторных операторов V2 и I
коммутативно, а векторное некоммутативно.
l's'J'M' | [! X V]x I ШМ> = 1 (-l)J+'+'' {/' (/' + 1) - 7 G + 1) + 2} VBi' + 1)B/ + 1) X
Матричные элементы скалярного и векторного произведений оператора L и операторов й и Vc
можно получить из формул G3)—G7) и (82)—(85).
Для скалярных произведений имеем
A58)
Эти результаты являются следствием ортогональности векторов n, Vq и L.
Векторные произведения [й X L] и [Vg X L] не коммутативны. Поэтому
1'и>' | [ft X t]x I ^> = —j- С С + 1) - I (' + 1) - 2] |/|±^ С|йоС{^'х = i <Z'm' | (V9)u | гт>, A59)
<I'm' | [t X fll, | Im> = 4 "' ^ + П - 4^ + 1) + 2] j/l^ ОДоСЙ;, A60)
а также
X t] I "»>
28*

428 Гл. 13. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Матричные элементы скалярного и векторного произведения операторов t и 1, можно полу-
получить из формул (86)—(89).
Скалярное произведение коммутативно:
«'.-/'*'|<? • 3) |шму=»,„ w«W 'С + Ц + КН-В —(« + DAбз)
ТЗекторное произведение некоммутативно:
(I's'J'M' | [t X 3] J W«) = j (-l)*+Z+J+1V/Ve t' С + 1) - '' (/' + 1) + 2] X
X V B/+ 1L1 + 1) (И + 1) { lr\ \ j С#?„ A64)
Q's'J'M' I [I X t], I isJM} = у (-l)*+'+/+1S,,,5,,e [/' G' + 1) - 7 G + 1) + 2J X
X VB7 + i)l(l + l)BJ + l) { Jr J, j Cjj*',. A65)
Матричные элементы скалярных и векторных произведений оператора спина S и коммутирую-
коммутирующих с ним операторов fi, Vffl и L можно получить из формул (95)—(99).
I'm'J'M' | (fi • §) | isJM} = (-l)I+wJ»№8jnr'8..» ^(« + l)B» + l)BI + l)C/ffo|j Д* j, A66)
<rs'/'M' | (t9 • S) I й/Л/>= (-1)'+8+17+18л,8жж,Вм, ^(» + 1)B» + 1)BГ+1) X
's'l'M' | (t • 8) | «S/A/> = в,,,»,.^»,лр -J [у G + 1) - I (I + 1) - • (• + 1I, A68)
(I's'J'M' | in X 8], | ШМУ = J (-lfw+%,, VBi + 1)B/ + 1) X Cf&, X
X i [(/' - г') С' + r +1) - (/ - г) (/ +1 +1)] {'' г7' * j сйГ[„ A69)
x §lx I г«/л/> = ((-i)r+J+s+48, Aa' + i)B7 + i) x {7г ^ J} X
^jc^, A70)
[t, X Si], I Ь/М> = г (-1)'+J+S V(Z/ + 1) i (I +¦ 1) B1 +¦ 1) 8f,,8M, X
х1[(Гг)(' + г + 1)('г)(' + г +
Матричные элементы скалярного и векторного произведений операторов S и J:
Q's'l'M' | (8 • 1) | ZS/M> = в!,,»..,»^»,,, у [' С + 1) + « (• + 1) - I (* + 1)], A72)
Скалярное произведение коммутативно. Векторное произведение некоммутативно.
(I's'J'M' | [§ X 3]г | ШМу= 1. (-i)l+sU'+%,rou. [J (/ + 1) - 7' G' +1) +2] X
\ \ } C?ftx, A73)
(I's'J'M' | [J X S]J UJMy = \ (-1Iм+^+1в„Л.' f (/' +1) -7 G +1) +2] X
X VB7 + 1) •(» + !) B.+ 1) { *, ^ Jg j С^'%. A74)

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
1. Орты, векторы
е*> ejr> ег — Декартовы орты (стр. 6),
ег, е&, е? — сферические орты (стр. 7),
e±i' ео — ковариантные циклические орты (стр. 7),
е*1, е° — контравариантные циклические орты (стр. 8),
Ах, Ау> Ах — декартовы компоненты вектора А (стр. 13),
Аг, А$, А9 — сферические компоненты вектора А (стр. 13),
А+г, Ао — ковариантные циклические компоненты вектора А (стр. 13),
Л , А0 — контравариантные циклические компоненты вектора А (стр. 13),
А'±1, А'о — ковариантные спиральные компоненты вектора А (стр. 13),
АГ±1А10—контравариантные спиральные компоненты вектора А (стр. 13),
М(г, у, 2^1+1, 0, —1) )
М (г Ъ <о~?-х и z) \ матРиДы> определяющие связь декартовых, циклических и сфериче-
' ' [ ских компонент векторов (и ортов) (стр. 14).
М(-\-1, 0, —1 ^г, &, ср) I
2. Повороты системы координат
a, J3, у — углы Эйлера (стр. 20),
п (в, Ф) — единичный вектор в направлении оси поворота (стр. 22),
m — угол поворота вокруг направления п (в, Ф) (стр. 22),
a, b — параметры Кэли—Клейна (стр. 23),
В (a, J3, у) — оператор поворота, выраженный через углы Эйлера (стр. 26),
О (<&; 0, Ф)—оператор поворота, выраженный через углы 0, Ф, определяющие на-
направление оси поворота, и ш — величину поворота (стр. 26),
а — матрица преобразования декартовых компонент векторов и тензоров
при повороте системы координат (стр. 27),
Щгм' (а> Р» Т) ) матрицы, осуществляющие преобразования неприводимых тензоров ранга /
,„ , „ .. при поворотах системы координат, которые определяются углами Эйлера а, C, у
мм' \w> "» ) ) (стр. 64) и углами ш, 0, Ф (стр. 71) соответственно,
XJ(R)—характер неприводимого представления группы вращения (стр. 87),
X{(R) — обобщенный характер (стр. 92),
R — совокупность параметров, характеризующих поворот (а, В, y) или (ш; в, Ф),
dR — sin 8dadj3dY = 4 sin2 j dvadQdQ — элемент объема группы трехмерных
вращений.
3. Другие преобразования системы координат
/ — оператор единичного преобразования,
Рт — оператор инверсии координат,
Pt — оператор обращения времени,
Т (а) — оператор сдвига системы координат (стр. 125).

430 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
4. Математические символы и операции
V — оператор градиента (стр. 17),
Д — оператор Лапласа (стр. 18),
Vs—угловая часть оператора V (стр. 18), .
Да—угловая часть оператора Д (стр. 19),
(т\ __ т!
\а)п = (а—1) 1— '
(а)(н) — квазистепень (стр. 204),
(a-\-b)in>—квазибином (стр. 204),
(а-\-b-\-c)in)—квазитрином (стр. 302),
Д"— конечная разность (стр. 204),
8 (х) — 8-функция Дирака,
в (х) — тета-функция (в (х) = 1 при х > 0 и 0 (х) = 0 при х < 0),
sgn х = | 0, х = 0,
<] г <^ 0
oik — 8-символ Кронекера (стр. 16),
etki—тензор Леви—Чивита (стр. 17),
_[ 1 Ь>а,
^аь \/ \)ь~а Ъ <Г а
dQ = sin ft d& dy — элемент телесного угла.
5. Операторы угловых моментов и родственные им операторы
J — оператор полного углового момента (стр. 33),
L — оператор орбитального момента (стр. 35),
S — оператор спинового момента (стр. 38),
а—матрицы Паули (стр. 42);
L+, S+, J+ — эрмитово-сопряженные операторы,
Tlm(S) — поляризационные операторы ранга L (стр. 39),
Qif, — квадрупольный тензорный оператор (стр. 46),
^*'i»'3...<« — слеД произведения п спиновых матриц (стр. 45),
U — матрица, осуществляющая преобразование спиновых поляризационных
операторов от представления циклического базиса к представлению де-
декартового базиса (стр. 49).
6. Неприводимые тензоры
—ковариантные компоненты неприводимых тензоров 9D?j и <~?flj соответ-
соответственно (стр. 54),
¦— контравариантные компоненты неприводимых тензоров <3Rjh 2)?/(стр. 55),
A, 2) —компоненты двойного тензора Wj^ A, 2) (стр. 55),
l—прямое произведение неприводимых тензоров (стр. 56),
J — компоненты неприводимого тензорного произведения {93?j, (§) <3b,}j
(стр. 56),
j • 'zftj) — скалярное произведение неприводимых тензоров (стр. 57),
9^j2jfJ—коммутатор прямого произведения неприводимых тензоров (стр. 57),
&jm2 — коммутатор неприводимого тензорного произведения (стр. 57).

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ 431
7. Собственные функции операторов угловых моментов
-сферическая функция (стр. 116),
? 1т ($, <р) — модифицированная сферическая функция (стр. 117),
Х8а — спиновая функция (стр. 150),
X'sx — спиральные спиновые функции (стр. 151),
Yjm№* f)— шаровые тензоры (стр. 171),
й^ж (&, ф)—шаровые спиноры (стр. 176),
<р)> Y^y (&, ср) — шаровые векторы (стр. 183),
Wjx{&) — квадратичные комбинации шаровых спиноров (стр. 181),
— квадраты модулей шаровых векторов (стр. 198).
8. Коэффициенты векторного сложения
{аЪс} — 3/-символ (стр. 75),
Д (abc) — треугольный Д-символ (стр. 203),
lab c\
I—3;>гг-символ Вигнера (стр. 202),
J*J6p — коэффициент Клебша—Гордана (стр. 201),
\а Ъ с)
s > — 6/-СИМВОЛ Вигнера (стр. 247),
(а, е f)
W (abed; ef)—коэффициент Рака (стр. 248),
a b с |
d e f \ — 9/-СИМВОЛ Вигнера (стр. 285).
g h j)
9. Матричные элементы
| njm) — вектор состояния с угловым моментом / и проекцией т, п — совокуп-
совокупность остальных квантовых чисел;
<$Якх — неприводимый тензорный оператор ранга к;
¦(n'j'm' j 'ЗЛ)jJ njmy — матричный элемент неприводимого тензорного оператора (стр. 405);
¦(n'j1 W3R)cl\niy — приведенный матричный элемент неприводимого тензорного оператора
(стр. 405).
10. Некоторые специальные функции
Рг (х) — полином Лежандра,
Pf (x) — присоединенный полином Лежандра,
Г (х) — гамма-функция,
F (а, Ь; с; х)—гипергеометрическая функция,
«2,
а2> •
обобщенная гипергеометрическая функция.
Р1^'^(х)—полином Якоби,
С) (х) — полином Гегенбауэра,
Un(x)—полином Чебышева,
LJ,e) (х) — полиномы Лагерра,
Ai (x), Bi (х) — функция Эйри,
7ч(х) —функция Бесселя порядка v,

432 СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
iV, (х) — функция Неймана порядка v,
"' (х), Я{2) (ж) — функции Ганкеля порядка v I и II рода соответственно,
Zv (х) — любая цилиндрическая функция,
h (х) == у gj Jiv/, (x) — сферическая функция Бесселя,
п{ (х) = 1/ y Nuijt (ж) — сферическая функция Неймана,
hlil)(x), h\n (x) — сферические функции Ганкеля.

ЛИТЕРАТУРА
I. Книги, сборники, обзоры
1. А ] d ег К. Beitrage zur Theorie der Rictungskorrelation. — Helv. Phys. Acta, 1952, 25, № 3, p. 235—258.
2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М., Физматгиз, 1959,656 с.
3. Б а л д и н А. М., Гольданский В. И., Максименко В. М., Розенталь И. Л. Кине-
Кинематика ядерных реакций. М., Атомиздат, 1968, 456 с.
4. Bateman H., ErdelyiA. Higher transcendental functions. V. 1—3. N. Y.—Toronto—London, McGrow—
Hill Book Co, Ink., 1953. Русс, дерев.: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.
М., «Наука», т. 1, 1965, 294 с; т. 2, 1966, 295 с; т. 3, 1967, 300 с.
5. В а у m a n В. F. Some lectures on groups and their applications to spectroscopy. Copenhagen, 1957. Русс.
дерев, под ред. А. 3. Долгинова: Б е й м а н Б. Лекции по применению теории групп в ядерной спектро-
спектроскопии. М., Физматгиз, 1961, 228 с.
6. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория.
Ч. 1. М., «Наука», 1968, 480 с.
7. В 1 a 11 J. M., Weisskopf V. F. Theoretical nuclear physics. N. Y.—London, 1952. Б л а т т Дж.,
Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М., ИЛ, 1954, 658 с.
8. Bohr A., Mottelson В. R. Nuclear structure, V. 1. W. A. Benjamin Inc. N. Y.—Amsterdam, 1969. Русс.
перев. под ред. Л. А. Слива: Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра. Т. 1. М., «Мир»,
1971, 456 с.
9. В г i n k D. M., S a t с h I e r G. R. Angular momentum. Clarendon Press. Oxford, 1968, 160 p.
10. С о n d о n E. U., S h о r 11 e у Q. W. The theory of atomic spectra. Cambridge, 1935. Русс, перев. под ред.
В. Б. Берестецкого: Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров. М., ИЛ, 1949, 440 с.
11. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М., Изд. АН СССР, 1951, 426 с.
12. Д а в ы д о в А. С. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963, 748 с.
13. Деформация атомных ядер. Под ред. Л. А. Слива. М., ИЛ, 1958, 383 с.
14. Долгинов А. 3. Угловые корреляции при радиационных переходах ядра. — В кн.: Гамма лучи. Под ред.
Л. А. Слива. М.—Л., Изд. АН СССР, 1961, с. 523—681.
15. Е с k a r t С. The application of group theory to the quantum dynamics of monatomic systems. — Rev. Mod.
Phys., 1930, 2, № 3, p. 305—380.
16. Edmonds A. R. Angular momentum in quantum mechanics. New Jersey, Princeton Press, 1957, 146 p.
17. E 1 - В a z E. Traitement graphique de l'algebre des moments angulalaires. Paris, Masson, 1969, 179 p.
18. F a n о U., R а с a h G. Irreducible tensorial sets. N. Y., Academic Press, 1959, 171 p.
19. Фок В. А. Начала квантовой механики. Л., 1932, 251 с.
20. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Ло-
Лоренца. М., Физматгиз, 1958, 368 с.
21. Гольдстейн Г. Классическая механика. М., ГИТТЛ, 1965, 588 с.
22. Н о b s о n E. W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. Cambridge University Press, 1931. Русс.
перев. Г о б с о н Е. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., ИЛ, 1952, 476 с.
23. J а с k s о n J. D. Classical electrodynamics. N. Y.—London; John Wiley & Sons Inc., 1962. Русс, перев. под
ред. Э. Л. Бурштейна: Джексон Дж. Классическая электродинамика. М., «Мир», 1965, 702 с.
24. J u d d В. R. Operator techniques in atomic spectroscopy. N. Y., McGraw-Hill. 1963, 242 p.
25. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. 2-е изд. М., Физматгиз, 1963, 704 с.
26. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике. М., Физматгиз, 1958, 354 с.
27. Magnus W., Oberhettinger F., Soni R. P. Formulas and theorems for the special functions of
mathematical physics. N. Y., Springer—Verlag Berlin—Heidelberg, 1966, 508 p.
28. Newton R. G. Scattering theory of waves nad particles. N. Y.—San Francisco—St. Louis—Toronto—London—
Sydney. McGraw-Hill Book Co. Русс, перев. под ред. А. М. Бродского и В. В. Толмачева: Ньютон Р.
Теория рассеяния волн и частиц. М., «Мир», 1969, 607 с.
29. Quantum theory of angular momentum. Ed. by L. C. Biedenham and H. Van Dam., N. Y.—London, Academic
Press, 1965, 332 p.
30. R о s e M. E. Multipole fields. N. Y., John Wiley & Sons Inc., London, Chapman & Hall Ltd., 1955. Русс.
перев. под ред. И. С. Шапиро: Роуз М. Поля мультиполей, М., ИЛ, 1957, 132 с.

434 ЛИТЕРАТУРА
31. Rose M. E. Elementary theory of angular momentum. N. Y., John Wiley & Sons Inc., London, Chapman &
Hall Ltd.. 1957, 248 p.
32. D e - S h a 1 i t A., T a 1 m i I. Nuclear shell theory. N. Y.— London, Academic Press, 1963, 573 p.
33. S 1 a t e r J. С Quantum theory of atomic structure. V. 11. N. Y., McGraw-Hill, 1960, 439 p.
34. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М., Физматгиз, 1958, 655 с.
35. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 2. М., Физматгиз, 1958, 336 с.
36. С м о р о д и н с к и й Я. А., Ш е л е п и н Л. А. Коэффициенты Клебша —Гордана с разных сторон. —
УФН, 1972, 106, № 1, с. 3—45.
37. С о б е л ь м а н И. И. Введение в теорию атомных спектров. М., Физматгиз, 1963, 640 с.
38. Spectroscopic and group theoretical methods in physics. Racah memorial volume. Amsterdam, North—Holland
Publ. Co., 1968, 462 p.
39. T i n k h a m M. Group theory and quantum mechanic. N. Y., McGraw-Hill, 1964, 340 p.
40. Van der Waerden B. L. Die gruppentheoretische Methode in der Quantenmechanik. Berlin, Springer,
1932. Русс, перев. под ред. Я. И. Френкеля: Ван-дор-Варден Б. Л. Метод теории групп в кванто-
квантовой механике. Харьков, ГНТИ Украины, 1938, 198 с.
41. В и л е н к и н Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М., «Наука», 1965, 588 с.
42. W a t s о n G. N. A Treatise on the Theory of Bessel functions. V. 1. Cambridge, Univ. press 1945, 804 p. Русск.
перев.: В а т с о н Г. Н. Теория бесселевых функций. М., ИЛ, 1949, 798 с.
43. Wigner E. P. Group theory. N. Y.—London, Academic Press, 1959. Русс, перев. под ред. Я. А. Смородин-
ского: В и г н е р Е. Теория групп. М., ИЛ', 1961, 443 с.
44. Ю ц и с А. П., Лев и неон И. Б., В а н а г а с В. В. Математический аппарат теории момента коли-
количества движения. Вильнюс, 1960, 243 с.
45. 10 ц и с А. П., Бандзайтис А. А. Теория момента количества движения в квантовой мехашше. Виль-
Вильнюс, 1965, 463 с.
II. Статьи по отдельным вопросам
46. Аким Э. Л., Левин А. А. Производящая функция для коэффициентов Клебша—Гордана. — ДАН СССР,
1961, 138, № 3, с. 503—505.
47. Alder К., Bohr A., Huus Т., Mottelson В., Winther A. Study of nuclear structure by ele-
electromagnetic excitation with accelerated ions. — Rev. Mod. Phys., 1956, 28, № 4, p. 432—542.
48. A n s a r i S. M. R. Quasi-binomial representation of the Clebsch—Gordan coefficients. — Nuov. Cim., 1965,
38, № 4, p. 1883—1886.1
49. А г bin a A., H о r i e H., T a n a b e Y. Generalized Racah coefficient and its application. — Prog. Theor.
Phys., 1954, 11, № 2, p. 143—154.
50. Бандзайтис A. A., ffiv каускас К. П., Матулис А. Ю., Ю ц и с А. П. К расчету 6/-коэф-
фициентов. — Лит. физ. сб., 1964, 4, № 1, с. 35—43.
51. Бандзайтис А. А., Ю ц и с А. П. Еще раз о формулах для коэффициентов Клебша-Гордана. — Лит.
физ. сб., 1964, 4, № 1, с. 45—49.
52. Бандзайтис А. А., Каросене А. В., Юцис А. П. К вычислению 9/-коэффициентов. — Лит.
физ. сб., 1964, 4, № 4, с. 457—466.
53. В а г g m a n n V. On the representations of the rotation group. — Rev. Mod. Phys., 1952, 34, № 4, p. 829—845.
54. Берестецкий В. Б. Электромагнитные поля мультиполей, ЖЭТФ, 17, № 1, с. 12—18, 1947.
55. Берестецкий В. Б., Долгинов А. 3., Тер-Мартиросян К. А. Угловые функции частиц
со спином. — ЖЭТФ, 1950, 20, № 6, с. 527—537.
56. Biedenharn L. С, Blatt J. M., Rose M. E. Some properties of the Racah and associated coeffi-
coefficients. — Rev. Mod. Phys., 1952, 24, № 4, p. 249—257.
57. Biedenharn L. C. An identity satisfied by the Racah coefficients. — J. of Math. & Phys., 1953, 31, № 4,
p. 287—293.
58. В i n с е г А. М. Interpretation of the symmetry of the Clebsch—Gordan coefficients discovered by Regge. —
J. Math. Phys., 1970, 11, № 6, p. 1835-1844.
59. В о у s S. F. Electronic wave functions IV. — Proc. Roy. Soc, 1951, A 207, № 1134, p. 181—197.
60. В r u s s a r d P. J., T о 1 h о e k H. A. Classical limits of Clebsch—Gordan coefficients, Racah coefficients
and ?>„{„(?. ». <M-functions. 1957, Physica, 23, № 10, p. 955—971.
61. Д о л г и н о в А. 3. Релятивистские сферические функции. — ЖЭТФ, 1956, 30, № 4, с. 746—755.
62. Д о л г п н о в А. 3., Топтыгин И. Н. Релятивистские сферические функции. II. — ЖЭТФ, 1958, 37,
№ 11, с. 1441—1451.
63. Д о л г и н о в А. 3., Москалев А. Н. Релятивистские сферические функции. III. — ЖЭТФ, 1959, 37,
№ 12, с. 1697-1707.
64. Эдмондс А. Угловые моменты в квантовой механике. — В кн.: Деформация атомных ядер. М., ИЛ, 1958,
с. 305—351.
65. Elliott J. P. Theoretical studies in nuclear structure. V — Proc. Roy. Soc, 1953, A 218, № 1134, p. 345—370.
66. F a n о U. Statistical matrix techniques and their application to the directional correlation of radiation. — US
Nat. Bureau of Atandards, Report 1214, 1951.
67. F о с k V. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. — Zs. f. Phys., 1936, 98, № 3, p. 145—154.
68. Фок В. А. Новый вывод векторной модели. — ЖЭТФ, 1940, 10, с. 383—392.
69. F о n t a a a P. R. Symmetric expansion of one- and two-center Coulomb potentials. — J. Math. Phys., 1961, 2,
№ 6, p. 825—828.
70. Friedman В., R u s s a k J. Addition theorems for spherical waves. — Quart, of Appl. Math., 1954, 12,
№ 1, p. 13—23.
71. Happer W. A partial-wave expansion of the finite rotation operator. — Ann. of Phys., 1968, 48, № 3, p. 579—
591.

II. СТАТЬИ ПО ОТДЕЛЬНЫМ ВОПРОСАМ 435
72. Innes F. R., U f f о г d С. W. Microwave Zeeman effect and theory of complex spectra. — Phys. Rev. 1958
111, № 1, p. 194—202.
73. J a h n H. A. Theoretical studies in nuclear structure. II. — Proc. Roy. Soc, 1951, A 205, № 1081, p. 192—237.
74. J a h n H. A., Hope J. Symmetry properties of the Wigner 9/-symbol. — Phys. Rev., 1954, 93, № 2, p. 318—
321.
75. Jang S. Relationships among the Wigner 9/-symbols. — J. Math. Phys., 1968, 9, № 3, p. 397—402.
76. Каросене А. В., Савукинас А. Ю., Б а ы д з а й т и с А. А., Визбарайте Я. П.,
Ю ц и с А. П. 6/-коэффициенты с отрицательными параметрами. — Лит. физ. сб., 1964, 4, № 2, с. 187—196.
77. Каросене А. В., Алишаускас С. И., БандзайтисА. А. 9/-коэффцциенты с одним из пара-
параметров, равным единице. — Лит. физ. сб., 1964, 5, № 1, с. 13—21.
78. К а у К. G., Т о d d H. D., S i 1 v e r s t о n e H. J. Dirac delta functions in the Laplace-type expansion of
rnYim (&) ^ _ j of chem. Phys., 1969, 51, № 6, p. 2359—2362.
79. Kennedy J. M., Cliff M. J. Transformation coefficients between LS aad JJ coupling. Chalk River Report
CRT, Ontario, 1957.
80. Л е в и н с о н И. Б. Сумма произведений коэффициентов Вигнера п их графическое изображение. — Тр
Физ.-техн. инст. АН Лит. ССР, 1956, 2, с. 17—30.
81. L о и с k J. D. New recursion relation for Clebsch— Gordan coefficients. — Phys. Rev., 1958, 110 № 4 p 815—
816.
82. Majumdar S. D. The Clebsch-Gordan coefficients. — Prog. Theor. Phys., 1958, 20, № 6, p. 798—803.
83. M a j u m d a r S. D. Coupling of three angular momenta. — Acta Phys. Acad. Scient. Hung., 1969 26 №4
p. 311—318.
84. M a p ii e о в М. С. Разложение матриц конечных вращений по коэффициентам Клебша—Гордана. — ЯФ
1967, 5, № 6, 1321—1323.
85. М е 1 v i n M. A., Swamy N. V. V. J; Evaluation of certain physically interesting integrals and hypergeo-
metric sums. — J. of Math. & Phys., 1957, 36, № 2, p. 157—163.
86. M i с u M. Recursion relation for the 3/-symbols. — Nucl. Phys., 1968, A 113, № 1, p. 215—220.
87. Moses H. E. Irreducisble representation of the rotation group in terms of the axis and angle of rotation. — Ann.
of Phys., 1966, 37, № 2, p. 224—226.
88. Петра тень Г. И. Решения векторных предельных задач математической физики в случае шара —
ДАН СССР, 1945, 46, № 7, с. 291—294.
89. Р о n z a n о G., R e g g e T. Sem[classical limit of Racah coefficients. — In: Spectroscopic and group
theoretical methods in physics. Amsterdam, North—Holland Publ. Co., 1968, p. 1—58.
90. R а с a h G. Theory of complex spectra. I. — Phys. Rev., 1942, 61, № 3, p. 186—197.
91. R а с a h G. Theory of complex spectra. II. — Phys. Rev., 1942, 62, № 9, p. 438—462.
92. R а с a h G. Theory of complex spectra. III. — Phys. Rev., 1943, 63, № 9, p. 367—382.
93. R а с a h G. Directional correlation of successive nuclear radiations. — Phys. Rev., 1951, 84, № 5, p. 910—912.
94. R e g g e T. Symmetry properties of Clebsch—Gordans coefficients. — Nuov. Cim., 1958, 10, № 3, p. 544—545.
95. R e g g e T. Symmetry properties of Racah's coefficients. — Nuov. Cim., 1959, 11, № 1, p. 116—117.
96. Rose M. E. The electrostatic interaction of two arbitrary charge distributions. — J. of Math. & Phys. 1957
37, № 3, p. 215—222.
97. S а с k R. A. Generalization of Laplace's expansion to arbitrary charge distributions. — J. of Math. & Phys.
1957, 37, № 3, p. 215—222.
98. S а с k R. A. Three-dimensional addition theorem for arbitrary functions, involving expansions in spherical
harmonics. — J. Math. Phys., 1964, 5, № 2, p. 252—259.
99. Sato M. General formula of the Racah coefficient. — Prog. Theor. Phys., 1955, 13, № 4, p. 405—414.
100. Савукинас А. Ю., Каросене А. В., Бандзайтис А. А., Ю ц и с А. П. Симметрия зер-
зеркального отражения в теории момента количества движения. — Лит. физ. сб., 1964, 4, № 4, с. 467—478.
101. Sch winger J.On angular momentum. — In: Quantum theory of angular momentum. Ed. by L. С Bieden-
harn & H., van Dam, 1965, p. 229—279.
102. Sharp W. Racah algebra and the contraction of groups. AECL-1098, Ontario, 1960.
103. Sharp R. T. A generalized Regge identity for Wigner coefficients.—Nuov. Cim., 1967, 47, №4, p. 860—868
104. Sharp R. T. Stretched Z-coefficients. — Nucl. Phys., 1967, A 95, № 1, p. 222—228.
105. Шелепин Л. А. О симметрии коэффициентов Клебша—Гордана. — ЖЭТф, 1964, 46, № 3, с. 1033—1038.
106. Шолепин Л. A. S [/„-симметрия в теории коэффициентов Клебша—Гордана. — ЖЭТФ, 1965, 48, № 1
с. 360—367.
107. Stone A. P. Expressions for certain Wigner coefficients. — Proc. of Phys. Soc, 1957, 70 A, № 12, p. 908—909.
108. Talman J. D., True W. W. An identity involving 9/-coefficients. — Can. J. Phys., 1964 42, № 6
p. 1081—1086.
109. W i g n о г Е. On representation of certain finite groups. — Am. Journ. of Math., 1939, 63, № 1, p. 12—17.
110. Wigner E. P. On the matrices which reduce the Kronecker products of representations of simply reducible
groups. — In: Quantum theory of angular momentum. Ed by L. С Biedenharn & H. van Dam, 1965, 87—133.
111. W u A. Structure of the Wigner 9/-coefficients in the Bargmann approach. — J. Math. Phys., 1972, 13, N° 1
p. 84—90.
112. Ю ц и с А. П., Савукинас А. Ю., Бандзайтис А. А., Каросене А. В., Нашле-
н а с Э. П. Коэффициенты Клебша—Гордана с отрицательными квантовыми числами момента количества
движения. — Лит. физ. сб., 1964, 4, № 2, с. 173—185.
III. Таблицы
113. А р р е 1 Н. Numerical tables for 3/-, 6/-, 9/-symbols. Landolt-Bernstein (Group 1). V. 3. Berlin—Heidelberg—
N. Y., 1968.
114. В e h k a m i A. N. Tables of rotational wavefunctions d'MK, J < 13 and / < 25/2.— Nuclear data tables
1971, 10, № 1, p. 1-48.

436 ' ЛИТЕРАТУРА
115. Biedenharn L. С. Tables of the Racah coefficients. ONRL—1098, April 1952.
116. Buckmaster H. A. Tables of angular momentum transformation matrix elements d , (p) (J=2, 4, 6). —
Can. J. Phys., 1964, 42, № 2, p. 386—391.
117. F a 1 к о f f D. L., С a 11 a d а у С. S., Sells R. E. Transformation amplitudes for vector addition of an-
angular momentum, (j3mm'\j3JM). — Can. J. Phys., 1952, 30, № 3, p. 253—256.
118. I s h i d z u T. Tables of the Racah coefficients. Tokyo, Pan-Pacific Press, 1960.
119. Kumar K. Tables of certain Clebsch—Gordan coefficients and of matrix elements. — Can. J. Phys., 1957,
35, № 3, p. 341—345. (Errata, 1957, 35, № 10, p. 1401).
120. Matsunobu H., Takebe H. Tables of [/-coefficients. — Prog. Theor. Phys., 1955, 14, № 6, p. 589—
605.
121. Melviu M. A., S w a m у N. V. V. J. Algebraic table of vector, addition coefficients for /=5/2. — Phys.
Rev., 1957, 107, № 1, p. 186—189.
122. Morita M., Morita R., Tsukamoto T. Clebsch—Gordan coefficients for /=5/2, 3 and 7/2. —
Suppl. Prog. Theor. Phys., 1963, № 26, p. 64—74.
123. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Левитан Ю. Л. Таблицы коэффициентов Рака. М.,
ВЦ АН СССР, 1962, 320 с.
124. R о t e n b e r g M., Bivins R., Metropolis N., Wo о ten J. К. The 3/- and 6/-symbols.
London, Crosby Lockwood, 1959.
125. S a i t о R., Morita M. Clebsch-Gordan coefficients for /= 5/2. — Prog. Theor. Phys. 1955, 13, № 5, p. 540—
542.
126. Shimpuku T. General theory and numerical tables of Clebsch—Gordan coefficients. — Suppl. Prog. Theor.
Phys., 1960, № 13, p. 1-136.
127. Simon A. Nimerical tables of the Clebsch—Gordan coefficients. ORNL—1718, 1954. Русск. перев. в кн.:
Деформация атомных ядер. Под ред. Л. А. Слива. М., ИЛ, 1958, с. 353—379.
128. Виабарайте Я. И., Глембоцкий И. И., Карааия Р. И., Строцките Т. Д., Улду-
к и т е В. И. Таблицы 9/-коэффициентов для целых значений параметров с одним параметром равным еди-
единице. М., ВЦ АН СССР, 1968, 552 с.
129. Wolters G. F, Simple method for the explicit calculation of d-functions. — Nucl. Phys., 1970, В 18, № 2,
p. 625—653.
130. Y a m a d a M., Morita M. On the p-ray angular correlations. — Prog. Theor. Phys., 1952, 8, № 3, p. 431—
442.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Сгр.
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. Элементы векторного и тензорного исчисления 6
1.1. Системы координат. Орты 6
1.2. Векторы, тензоры 13
1.3. Дифференциальные операции 17
1.4. Повороты системы координат 20
Глава 2. Операторы угловых моментов 33
2.1. Оператор полного углового момента 33
2.2. Оператор орбитального момента 35
2.3. Оператор спинового момента 38
2.4. Поляризационные операторы 39
1
2.5. Спиновые матрицы для спина S=-s- 42
2.6. Спиновые матрицы и поляризационные операторы для спина 5=1 46
Глава 3. Неприводимые тензоры 54
3.1. Определение и свойства неприводимых тензоров 54
3.2. Связь аппарата неприводимых тензоров с векторами и тензорами 58
3.3. Изменение схемы связи в неприводимых тензорных произведениях 61
Глава 4. /)-функции Вигнера 64
4.1. Определение 64
4.2. Дифференциальные уравнения для DJM M, (a,8, -у) и граничные условия 65
4.3. Явный вид D — функций Вигнера gg
4.4. Свойства симметрии 70
4.5. Матрица поворота в (<о, G, Ф)-представлении 71
4.6 Суммы произведений Д-фуякций с одинаковыми аргументами ... 75
4.7. Формула сложения для Д-функций Вигнера 76
4.8. Алгебраические соотношения для D^M, (a, [3, f) с разными ин-
индексами 79
4.9. Дифференциальные соотношения для /)-функций 82
4.10. Ортогональность и полнота системы D-функций 82
4.11. Интегралы, содержащие функции DJMM, (a, 3, ¦() или dJUM, (|3) ... 84
4.12. Суммы интегралов от произведений Х>-функций 85
4.13. Производящие функции 86
4.14. Характеры неприводимых представлений группы вращений ... 87
4.15. Обобщенные характеры неприводимых представлений группы
вращений до
4.16. Вид Djmm, {а, р, ?) при частных значениях углов <*, f), -у . . . . д8

4.17. Вид DJMM,(a., p, f) при частных значениях индексов 90
4.18. Асимптотические выражения для DJMM, (a, p, f) 101
4.19. Сопоставление определений ^-функций, используемых разными
авторами ЮЗ
4.20. Таблицы формул для dJMM, (|3) при -у < / < о ЮЗ
4.21. Таблицы значений dJMM, КН при -у < / =?; 5 109
4.22. Таблицы формул для UJUM,{w; в, Ф) ори / = -у, 1, у. 2 . . . . 112
Глава 5. Сферические функции 115
5.1. Определение 115
5.2. Явный вид сферических функций и их связь с другими функциями 118
5.3. Интегральные представления сферических фупкций 122
5.4. Свойства симметрии ' 124
5.5. Поведение Ylm (ft, <р) при преобразованиях системы координат . . . 124
5.6. Разложение функций по сферическим гармоникам 126
5.7. Алгебраические соотношения 128
5.8. Дифференциальные соотношения 129
5.9. Некоторые интегралы, содержащие Ylm (ft, <f) 131
5.10. Некоторые суммы, содержащие сферические функции 132
5.11. Производящие функции 133
5.12. Асимптотические выражения для Ylm (9-, <р) 134
5.13. Вид функции Ylm (9-, <p) при частных значениях индексов .... 135
д
5.14. Значение функции Yim (Ь, <р) и zzYi,n (Э-, tp) при частных значениях
аргументов 139
5.15. Нули функций Ylm(b, <f) и ^ Yш (Э, <?) 139
5.16. Биполярные и триполярные гармоники 141
5.17. Разложение функций, зависящих от двух векторов 143
Глава 6. Спиновые функции 149
6.1. Спиновые функции частиц с произвольным спином 149
1
6.2. Спиновые функции при S =-~ 155
6.3. Спиновые функции при S=\ 161
Глава 7. Шаровые тензоры 171
7.1. Общие свойства шаровых тензоров 171
7.2. Шаровые спиноры 176
7.3. Шаровые векторы 183
7.4. Связь с обозначениями других авторов 199
Глава 8. Коэффициенты Клебша—Гордана и 3/т-символы 201
8.1. Определение 201
8.2. Явный вид коэффициентов и их связь с другими функциями . . . 203
8.3. Интегральные представления 206
8.4. Свойства симметрии 207
8.5. Явный вид коэффициентов Клебша—Гордана при частных значениях
индексов 210
8.6. Рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша—Гордана 214
8.7. Суммы произведений коэффициентов Клебша—Гордана 218
8.8. Производящие функции 221
8.9. Классический предел и асимптотические формулы для коэффициен-
коэффициентов Клебша—Гордана 222
8.10. Корни коэффициентов векторного сложения 225
8.11. Связь коэффициентов Клебша—Гордана и 3/т-символов с обозна-
обозначениями других авторов 227
8.12. Алгебраические таблицы коэффициентов Клебша—Гордана . . . 227
8.13. Численные значения коэффициентов Клебша—Гордана 241

Глава 9. 6/-символы и коэффициенты Рака 247
9.1. Определение 247
9.2. Явный вид 6/-СИМВ0Л0В и их связь с другими функциями .... 249
9.3. Интегральные представления 6/-символов 252
9.4. Свойства симметрии 6/-символов и коэффициентов Рака 253
9.5. Явный вид 6/-СИМВ0Л0В при частных значениях индексов .... 254
9.6. Рекуррентные соотношения 257
9.7. Производящая функция 259
9.8. Асимптотика 6/-символов при больших значениях моментов . . . 259
9.9. Связь 16/-СИМВОЛОВ Вигнера с аналогичными функциями других
авторов 262
9.10. Таблицы алгебраических формул для 6/-снмволов 262
9.11. Таблицы численных значений бу-символов с индексами, не пре-
превышающими 3 282
Глава 10. 9;-символы (коэффициенты Фано) 285
10.1. Определение 285
10.2. Явный вид 9/-СИМВОЛОВ и их связь с другими функциями .... 287
10.3. Интегральные представления Э/'-символов 291
10.4. Свойства симметрии 9/-символов 292
10.5. Рекуррентные соотношения для 9/-символов 295
10.6. Производящая функция для 9/-символов 300
10.7. Асимптотическое выражение для 9;-символов 300
10.8. Явный вид 9/-символов при некоторых соотношениях между ин-
индексами 301
10.9. Явный вид 9/-символов при некоторых значениях индексов . . . 305
10.10. Связь 9/-СИМВОЛОВ Вигнера с аналогичными функциями других
авторов 307
10.11. Алгебраические формулы для 9/-символов 307
10.12. Таблицы численных значений 9/'-символов 308
Глава 11. Графический метод квантовой теории углового момента .... 349
11.1. Графическое представление различных функций . 349
11.2. Графическое представление основных операций теории 355
11.3. Правила действий над графиками 360
11.4. Резюме графического метода 381
Глава 12. Суммы коэффициентов векторного сложения 385
12.1. Суммы произведений Зуте-символов 385
12.2. Суммы произведений 6/- и 9/-символов 393
Глава 13. Матричные элементы неприводимых тензорных операторов . . . 405
13.1. Теорема Вигнера—Эккарта и вычисление матричных элементов 405
13.2. Матричные элементы основных тензорных операторов 411
Список обозначений ,.. 429
Литература 433

ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ВАРШАЛОВИЧ,
АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ МОСКАЛЕВ,
ВАЛЕРИЙ КЕЛЬМАНОВИЧ ХЕРСОНСКИЙ
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Утверждено к печати
Ордена Ленина Физико-техническим институтом
имени А. Ф. Иоффе АН СССР
Редактор издательства Н. К. Шарова
Художник Я. В. Таубвурцель
Технический редактор О. Н. Скобелева
Корректоры Л. М. Агаджанова, Л. Б. Жукоборская,
Л.В.Субботина и К.С.Фридлянд
Сдано в набор 9/Х 1974 г. Подписано к печати 30/IV 1975 г. Формат бумаги 84xlO8Vis.
Бумагам2. Печ. л. 27'/г = 46.20 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 48.08. Изд. №5581. Тип. зак. № 1534.
М-04108. Тираж 2900. Цена 3 р. 62 к.
Ленинградское отделение издательства «Наука». 199164, Ленинград, В-164, Менделеевская линия, :д.1
1-я тип. издательства «Наука». 199034, Ленинград, В-34,9 линия, д. 12

ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
о *
26
41
54
96
273
337
351
366
401
427
427
429
Стропа
Формула B5)
» A8) ,
» G)
C7)
6+1/2
2 графа справа,
12 снизу
4 »
3 »
Формула C5)
1 сверху
То же
12 сверху
Напечатано
«= Д\ ,/,(«, ?.Т>
gium.S
(mJM)
Хх(»)
22}
1 D-3-5)
B; +1)
(_1)а-Н-И+<Ч-«+/-у-Р
A48)
A49)
А10
Должно быть
а=°Ь/^ •¦<>
(Wjm)
xi(»)
22)}
-1/D-3-5)
ГХц.
B/ +IJ
^Ц-с+Ь+c-d+e+f-g-p
A50)
A51)
.4'°
Д. А. Варшалович и др.