Автор: Куликов Ю.Г. Шеховцова Н.Ф. Зикеева Л.П.
Теги: математика экономика задачи по математике
ISBN: 5-89502-137-9
Год: 2000
Текст
Куликов Ю. Г., Шеховцова Н. Ф.,
Зикеева Л. П.
Зкономико-математические
методьі и модели
раздел «Линейное программирование»
Учебное пособие
для практических занятий
Московский психолого-социальньїй институт
НПО «МОДЗК»
Р ля?
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЬІХ НАУК
МОСКОВСКИЙ ПСИХОЛОГО-СОЦИАЛЬНЬІЙ ИНСТИТУТ
Ю. Г. Куликов, Н. Ф. Шеховцова,
Л. П. Зикеева
Зкономико-математические
методи И МОДЄЛИ
(раздел «Линейное программирование»)
Учебное пособие
для практических занятий
Рекомендовано Координационньїм Советом по психологии
Министерства общего и професіонального образования РФ
к использованию в вузах и школах РФ в качестве
учебно-методической литературьі
Москва — Воронеж
2000
ББК88.4
К90
Ш. А. Амонашвили
А. Г. Асмолов
А. А. Бодалев
В. П. Борисенков
И. В. Дубровина
Л. П. Кезина
Главньїй редактор
Д. И. Фельдштейн
Заместитель главного редактора
С. К. Бондьірева
Члени редакционной коллегии:
М. И. Кондаков
В. И. Лубовский
В. Я. Ляудис
Н. Н. Малафеев
3. А. Малькова
Н. Д. Никандров
А. И. Подольский
В. В. Рубнов
В. А. Сластенин
В. Д. Шадриков
Куликов Ю. Г., Шеховцова Н. Ф., Зикеева Л. П.
К90 Зкономико-математические методьі и модели (раз-
дел «Линейное программирование»): Учебное посо-
бие для практических занятий,— М.: Московский
психолого-социальньїй институт; Воронеж: Издате-
льство НПО «МОДЗК», 2000,— 96 с. (Серия «Биб-
лиотека зкономиста»),
Настоящее учебное пособие предназначено для практических за-
нятий по курсу Зкономико-математические методи и модели со сту-
дентами зкономических спепиальностей.
Вьіполнение предлагаемьіх задач в аудитории и дома обеспечит систе-
матическую работу студентов над курсом.
Пособие состоит из четьірех разделов. В 1-м разделе предлагается
решить задачи графически, во 2-м разделе — с использованием симп-
лекс-метода, в 3-м разделе предлагается составить двойственньїе за-
дачи, в 4-м разделе предлагается сформулировать задачи как задачи
линейного программирования и решить их. К заданиям 4-го раздела
даньї ответьі в конце пособия.
Часть заданий в пособии представлень! 20 вариантами, с тем чтобьі
обеспечить студентов одной группьі индивидуальньїми заданиями.
I8ВN 5-89502-137-9 (МПСИ)
I8ВN 5-89395-219-7 (НПО «МОДЗК»)
© Московский психолого-социальньїй
институт, 2000.
© Издательство НПО «МОДЗК».
Оформление. 2000.
1. Задачи для графического решения
Решите следующие задачи графически.
Задача 1.1.
Минимизируйте функцию Р = -Зхі — 4х2
при ограничениях хн х2 > 0,
Х( + х2 20,
-X! + х2 < 20,
Х| > 10,
х2 > 5.
Задача 1.2.
Минимизируйте функцию Р = -6X1 — 2х2
при ограничениях хн х2 > 0,
2хі + 4х2 < 9,
Зх( + х2 < 6.
Задача 1.3.
Минимизируйте функцию
Р = Хі + х2 при ограничениях Х|, х2 > 0,
Х( — х2= 1,
х2 < 2.
Задача 1.4.
Минимизируйте функцию Р = 2х{ + Зх2
при ограничениях Х|, х2 > 0,
Х| + х2 > 10,
Зхі + 5х2 < 0.
Задача 1.5.
Минимизируйте функцию Р = 50х( + 25х2
при ограниченияххі, х2 > 0,
%! + Зх2 8, Зх| + 4х2 > 19, Зхі + х2 > 7.
Задача 1.6.
Найдите такие х, > 0, х2 > 0, что вьіполняются ограни-
чения 2х] — х2 < 4, хі — 2х2 < 2, х( + х2 < 5 и функция
-X! + х2 минимальна.
Задача 1.7.
Найдите такие неотрицательньїе х(, х2,
что Хі + 2х2 > 6,
2Х| + х2 > 6,7х1 + 8х2 > 56, и минимизируйте функцию
Хі + х2.
Задача 1.8.
Минимизировать следующую функцию Р = 5х, + Зх2
при ограничениях X] > 0, х2 > 0,
0,5х! + 0,25х2 < 40,
0,4Х| + 0,Зх2 < 36,
0,2Х| + 0,4х2 < 36.
Задача 1.9.
Х( + 2х2 —> тах,
Зхі — 2х2 < 6,
-Хі + 2х2 < 4,
Зх, + 2х2 < 12,
Х| > 0.
Задача 1.10.
2Х| + х2 —> тах,
-х1 + х2 < 2,
Х| + 2х2 < 7,
4Х| — Зх2 < 6,
X] > 0, х2 > 0.
Задача 1.11.
7х, + 5х2 -> тіп,
Хі + 5х2> 5,
2х( + х2 > 4.
Задача 1.12.
-Хі + 2х2 —> тіп,
2хі — Зх2 > О,
х1 — х2 < З,
2Х| — х2 = 4.
Задача 1.13.
х( + Ах2 —> тах,
X] + 2х2 < 10,
Зх,+ 2х2< 18,
Х( — х2 >-В,
Сх! — х2 < 8С + 3.
А В С А В С
1 5 7 2 11 .5/ /6 8 X
2 1 6 3 12 3 із/ /2 2
3 5 7 1 13 3/ /4 7 2
4 -1 6 X 14 1 9 1
5 3/ /4 7 1 15 7/ /4 6 3
6 % 10 2 16 -3/ /4 ’Х X
7 4 12 Уг 17 3/ /2 7 1
8 5/ /4 9 X 18 3 6 1
9 -1 6 X 19 4 8 з/ /4
10 5/ /6 7 1 20 -1 X
5
Задача 1.14.
Ахі + х2 -> тіп,
Х| + (В — 3) х2 > В,
(С - 4)х, + х2 > С,
ЗХ| + 2х2 > 11,
Хі > 0, х2 > 0.
А В С А в С
1 У, 5 9 11 7/ /2 5 7
2 5/ /4 4 6 12 9/ /2 6 9
3 9/ /2 7 8 13 У 7 7
4 7/ /4 8 7 14 і/ /і 4 8
5 X 6 6 15 У 8 9
6 У 7 6 16 У 4 9
7 У 8 8 17 /з 8 6
8 5/ /2 4 7 18 з/ /4 5 6
9 із/ /з 5 8 19 У 6 8
10 2/ /3 6 7 20 7 9
Используя метод исключения переменньїх и геомет-
рические построения, найти решения следующих задач
линейного программирования:
Задача 1.15.
8Х| — 2х2 — Зх3 —> тах,
-х1 + Зх2 + х3 < 4,
7х| — 2х3 < 16,
2х( — х2 — х3 = 2,
6
Хі > 0, х2 > 0, х3 > 0.
Задача 1.16.
Хі + х3 — 7х4 + х5 —> тах,
х( — х2 + 6х4 — 2х5 = -7,
х2 — х3 — 4х4 + 6х5 = 24,
Х| + х2 — х3 — Зх4 + 7х5 = 32,
Х| > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0, х5 > 0.
Задача 1.17.
-Х| + х2 + х4 + Зх5 -> тіп,
X] + 2х2 — х3 — 5х4 + 2х5 = -5,
Х| + х2 + х3 — 2х4 + 5х5 = -2,
-2х2 + х3 + Зх4 — Зх5 = 6,
х, > 0, х2 > 0, х3 > 0.
Задача 1.18.
х, + х2 + 2х3 — 9х4 —> тах,
2хі — х2 + х3 — 4х4 < 6,
Х| + 2х2 — х3 + 7х4 = 5,
5Х| + х2 — Зх4 =11,
Зх! + 2х2 + Зх4 =11,
Х| > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0.
7
2. Задачи для решения
с использованием симплекс-метода
Решите следующие задачи, используя симплекс-метод.
Задача 2.1.
Минимизируйте функцию Р = х( + 2х2 при ограниче-
ниях:
X] > 0, х2 > 0,
-Х| + Зх2 < 10,
Х| + х2 < 6,
Х| — х2 < З,
Х| + 4х2 > 4.
Задача 2.2.
Минимизируйте функцию Р = -2х( — х2 при ограни-
чениях:
Х| > 0, х2 > 0,
Х| + 2х2 < 11,
X] + х2 < 6,
х, — х2 < 2,
2х! — 4х2 < 3.
Задача 2.3.
Минимизируйте функцию Р = 3x1 — х2 при ограниче-
ниях:
хі > 0, х2 > 0,
хі + х2 > 1,
хі —х2< 1,
2x1 + х2 < З,
хі + хЗ < 6.
8
Задача 2.4.
Минимизируйте функцию Р = -3x1 — 4x2 при ограни-
чениях:
хі, х2 > 0,
хі + х2 < 20,
-хі + 4x2 < 20,
хі > 10,
х2 > 5.
Задача 2.5.
Минимизировать функцию Р = 2Х| + Зх2при ограни-
чениях:
хь х2 > 0,
Хі + х2 < 10, Зх] + 5х2 < 15.
Задача 2.6.
Минимизировать функцию р = 30х( + 30х2 + 45х3 при
ограничениях Х| > 0, х2 > 0, х3 > 0,
Х| + х2 + х3 = 1,
0,06хі + 0,04х2 + 0,02 х3 < 0,03,
2хі + 4х2 + Зх3 < 3,25.
Задача 2.7.
Минимизировать функцию Р = 3x1 + 6х2 + 2х3 при
ограничениях:
хі, х2, хз 0, Зх! + 4х2 + х3 < 2, X] + Зх2 + 2х3 < 1.
Задача 2.8.
Имеются следующие ограничения:
2Х| + Зх2 + х3 > 6,
Х| + 5х2 + 6х3 > 9,
-Х| + х2 < 2 и функция Р = -X] — 2х2 — Зх3, которую не-
обходимо минимизировать.
9
Задача 2.9.
Найдите такие хь х2, х3 > 0, что для них справедливьі
неравенства:
- х2 + 4х3 > 1,
- Х| + 5х2 < 1,
- Х| + 2х2 + Зх3 < 9,
и минимизируйте функцию Р = 2хі — 2х2 + 4х3.
Задача 2.10.
Минимизируйте функцию Р = 8х! + 19х2 + 7х3 при
ограничениях:
X] + Зх2 + Зх3 < 50, Зхі + 4х2 + Хз < 25.
Задача 2.11.
Минимизируйте функцию Р = -4хі — 5х2 — 9х3 — 11х4
при ограничениях х(, х2, х3, х4 > 0:
X, + х2 + Хз + х4 < 15,
7хі + 5х2 + Зх3 + 2х4 < 120,
Зхі + 5х2 + Юхз + 15х4 < 100.
Задача 2.12.
Минимцзируйте функцию Р = -Зхі — 4х2 - 5х3 при
ограничениях:
х1 > 0, х2 > 0, х3 > 0, X! + х2 + х3 > 4, 2х, + 2х2 + 4х3 < 6.
Задача 2.13.
(4 — 5А)Х| + 10Вх2 + 15Сх3 —> тах,
(2Д + 1)Х| — 4Вх2 — 6Сх3 <13,
(5 - 4А)Х( + 8Вх2 + 12 Сх3 < 23,
-(ЗА + 1 )Х| + 6Вх2 + 9Сх3 < 3.
ю
А В С А в С
1 -1 1 3 11 5 -2 6
2 -1 1 6 12 5 -2 8
3 -1 1 8 13 -3 1 3
4 3 -1 3 14 -3 -1 6
5 3 -1 6 15 -3 1 8
6 3 -1 8 16 1 -1 3
7 -3 2 3 17 1 -1 6
8 -3 2 6 18 1 -1 8
9 -3 2 8 19 3 -2 3
10 5 -2 3 20 3 -2 8
Задача 2.14.
"2Х| 4“ 5х2 7х3 4“ Дх4 4" Зх$ —> гпах,
Зх, 4- Х2 4- 2х3 4- Вх4 4- 4х5 - 15,
-Х| 4- Сх2 — х3 4- 2х4 — х5 = -4,
Х| > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0, Хї > 0.
А В С А В С
1 1 -1 1 11 2 -5 -2
2 0 -7 1 12 -1 -6 -3
3 2 -1 1 13 1 -5 2
4 1 -1 -1 14 6 -7 3
5 1 -5 -2 15 2 -5 2
6 1 -7 2 16 3 -1 -1
7 2 -1 -1 17 -2 -8 І
8 1 2 1 18 -1 -6 3
9 5 -6 1 19 3 -5 -2
10 3 -1 І 20 7 -6 2
11
Задача 2.15.
Хі + х2 + х3 — Зх4 + х5 —> тах,
+ Ах2 + Хз — Зх4 + 4х5 = З,
Х| — Вх2 — х3 + Сх4 = 1,
хь х2, х3, х4, х5 > 0.
А В С А В С
1 -1 5 2 11 2 1 -3
2 0 1 2 12 -3 -2 1
3 -1 0 -3 13 0 2 -3
4 6 1 -2 14 -1 2 1
5 4 2 3 15 -5 3 -3
6 0 2 3 16 -2 1 2
7 -2 -1 1 17 2 3 1
8 -6 2 3 18 -1 3 -5
9 2 -1 3 19 2 1 5
10 -4 1 -4 20 3 -4 1
Задача 2.16.
Хі — Зх2 + Хз + х4 + х5 -> тах,
2х{ + Зх2 + Ахз + 7х4 + 9х5 = В,
X! — х2 + х4 + Сх5 = 2,
Хь х2, Хз, Х4, х5 > 0.
12
А В С А В С
1 -і 5 2 11 -2 8 2
2 -6 12 3 12 -8 12 3
3 2 18 3 13 -3 10 6
4 -4 10 5 14 -7 8 2
5 -3 8 4 15 3 15 4
6 -7 12 6 16 -6 8 2
7 -6 10 3 17 4 19 1
8 2 15 2 18 -1 12 3
9 3 19 1 19 -2 5 2
10 1 19 3 20 5 16 2
Задача 2.17.
Ал| + х2 + х3 + х4 + х5 -> тах,
2хі + Зх2 + 5х3 + 7х4 + 9х5 = В,
Хі — х2 + х4 + 2х5 = С,
хь х2, х3, х4, х5 > 0.
А В С А В С
1 2 8 1 11 4 15 2
2 1 9 1 12 2 16 2
3 5 10 1 13 3 17 2
4 4 11 1 14 5 18 2
5 3 12 1 15 1 19 2
6 3 32 4 16 5 22 3
7 2 33 4 17 1 23 3
8 1 34 4 18 4 24 3
9 5 35 4 19 3 23 3
10 4 36 4 20 2 26 3
із
Задача 2.18.
+ Ал2 — 2х3 + х4 + 2х5 — Хб —> тах,
-Хі + х2 + х3 + (В — 6)х4 + (С + 1)х5 + х6 = З,
2х, + х2 + 2х3 — 2(В + 3)х4 + (2С + 1)х5 + 5хб = 6,
Зхі + х2 + 2х3 — 3(В + 2)х4 + (2С + 1)х5 + 6хб = 6,
Х|, х2, Хз, х4, х5, х6 > 0.
А В С А В С
1 И 4 5 11 -2 3 2
2 -3 3 4 12 -3 4 3
3 -4 2 3 13 -4 5 4
4 -5 1 2 14 -1 2 5
5 -2 5 1 15 -5 1 1
6 -5 4 1 16 -4 4 4
7 -4 3 2 17 -3 3 3
8 -1 2 3 18 -2 2 2
9 -2 1 4 19 -1 1 1
10 -3 5 5 20 -6 5 5
Задача 2.19.
Ах, + х2 + 5х5 + 6хб —> тах,
2хі + х2 + х3 + (В + 1)х4 + (С - 3)х5 — 2хб = 1,
Зх] + Зх2 + х3 + Вх4 + (С — 12)х5 — 1 ІХб = З,
-Х| + 2х2 — х3 — (В + 3)х4 — (С + 11)х5 — 12Хб = 2,
Х|, х2, х3, х4, х5, х6 > 0.
14
А В С А В С
1 -4 2 2 11 -7 6 4
2 -6 3 2 12 -5 3 2
3 -3 2 1 13 -6 5 5
4 -7 4 2 14 -4 3 1
5 -9 3 1 15 -9 6 3
6 -4 3 3 16 -6 4 2
7 -7 5 3 17 -7 2 2
8 -8 6 2 18 -5 4 3
9 -5 4 1 19 -8 5 1
10 -8 7 5 20 -7 3 1
Задача 2.20.
Х| — х2 — х3 + Ах4 —> тах,
-Хі + 2х2 — Хз + х4 < 2,
Вх) + х2 + х3 — 2х4 < 12,
2Х| + Сх2 + 4х3 + 2х4 < 6,
хь х2, х3, х4 > 0.
А В С А В С
1 2 3 -1 11 2 1 2
2 3 1 1 12 3 3 4
3 4 2 -1 13 5 2 -1
4 7 2 3 14 7 1 5
5 8 3 4 15 6 3 8
6 5 2 3 16 3 3 1
7 4 3 6 17 4 1 2
8 6 1 5 18 3 1 0
9 2 2 2 19 4 1 3
10 5 3 7 20 5 2 6
15
Задача 2.21.
Ах, + х2 + 8х3 тах,
X! + Вх2 + х3 > 1,
Х1+Х2 + Сх3<1,
хь х2, х3 > 0.
А В С А В С
1 4/3 4 5 11 7/3 4 3
2 3/2 6 4 12 19/5 6 2
3 7/3 2 3 13 3/2 2 4
4 6/5 3 6 14 5/3 6 5
5 5/4 2 7 15 7/2 5 2
6 3/4 4 6 16 3/2 2 5
7 16/5 3 2 17 7/4 5 4
8 6/5 2 6 18 15/4 7 2
9 9/5 3 4 19 4/3 5 6
10 7/2 4 2 20 7/3 6 3
Задача 2.22.
X, + Зх2- Хз - х4 -> тах,
Ах! — х2 + х3 + Вх4 — 120,
Хі + х2 — х3 + х4 — 0,
X, + х2 + Хз + Сх4 = 120,
X], Х2, Хз, х4 > 0.
16
А В С А В С
1 1 2 2 11 1 0 0
2 3 5 2 12 3 1 0
3 5 8 2 13 5 2 0
4 7 11 2 14 7 3 0
5 9 14 2 15 9 4 0
6 1 5 5 16 І 3 3
7 2 8 5 17 2 5 3
8 3 11 5 18 3 7 3
9 4 14 5 19 4 9 3
10 5 17 5 20 5 11 3
Задача 2.23.
А*! — Зх2 -> тах,
2хі + Вх2 + х3 < 15,
2Х| + 5х2 — 2х3 < О,
Сх| + 2х2 — х3 ~ -З,
х2 > 0, х3 > 0.
А В С А В С
1 10 2 3 11 -1 5 3
2 -1 1 2 12 6 6 4
3 3 5 4 13 10 1 2
4 -3 4 2 14 -3 3 3
5 12 3 3 15 7 3 4
6 -2 2 2 16 -2 5 2
7 2 3 4 17 4 4 3
8 5 5 3 18 12 2 4
9 II 1 4 19 5 3 2
10 7 7 2 20 -1 3 4
17
Задача 2.24.
Х| + Хз + Ах4 + Вхз —> шах,
Х| — х2 + 6х4 — 2х5 = С — 15,
х2 — Хз — 4х4 + 6х5 = 24,
X! + х2 — Хз — Зх4 + 7х5 — С + 24,
Х|, х2, Хз, х4, х5 > 0.
А В с А В С
1 3 5 6 11 1 2 8
2 5 2 7 12 8 4 6
3 1 5 8 13 2 5 7
4 3 -1 6 14 9 5 8
5 4 3 7 15 7 -1 6
6 1 1 7 16 2 2 6
7 6 3 8 17 1 3 7
8 2 1 6 18 7 4 8
9 3 0 7 19 6 2 6
10 5 7 8 20 3 3 7
Задача 2.25.
х1 + 2х2 — хз -> тах,
-X! + 4х2 — 2х3 < А,
Х| + х2 + 2х3 < В,
2хі — х2 + 2х3 < С,
хі > 0, х2 > 0, Хз > 0.
18
А В С А В С
1 5 8 6 11 7 10 8
2 5 9 7 12 7 11 9
3 5 10 8 13 7 13 10
4 5 12 9 14 7 14 11
5 5 13 10 15 7 16 12
6 6 9 7 16 8 11 9
7 6 10 8 17 8 12 10
8 6 12 9 18 8 14 11
9 6 13 10 19 8 15 12
10 6 14 11 20 8 17 13
Задача 2.26.
ЗАх! + 11х2 + 5Вх3 + х4 —> тіп,
_3х| + х2 + (2 + В)х3 - х4 > С,
(2 + А)Х| + Зх2 — 5х3 — Зх4 > 7,
Х|, х2, х3, х4 > 0.
А В С А В С
1 1 1 4 11 3 1 3
2 1 2 1 12 3 2 2
3 1 3 3 13 3 3 4
4 1 4 2 14 3 4 1
5 1 5 4 15 3 5 3
6 2 1 1 16 4 1 2
7 2 2 3 17 4 2 4
8 2 3 2 18 4 3 1
9 2 4 4 19 4 4 3
10 2 5 1 20 4 5 2
19
Задача 2.27.
2хі + х2 — (2 + 12А)х3 + (1 + 6А)х4 — ЗВх5 —> тах,
X! + Зх3 — х4 — 2х5 = 1,
х2 — 2х3 + х4 = 1,
Х( +х2 — (5 + 2А —2В)х3 + (2 +А —В)х4 —(В — 2)х5< -В,
X! > 0, х2 > 0, х5 > 0.
А В А В
1 4 3 11 6 3
2 5 4 12 7 4
3 6 5 13 8 5
4 7 6 14 9 6
5 8 7 15 10 7
6 5 3 16 7 3
7 6 4 17 8 4
8 7 5 18 9 5
9 8 6 19 10 6
10 9 7 20 11 7
Задача 2.28.
Зхі + 2х2 + х3 —> тах,
2х1 — х2 + х3 < 1,
-X! + Х2 — Х3 < 1,
Х| — 2х2 + Зх3 < -6,
X! + Зх2 + х3 < 2,
2Х] + х2 — Зх3 < 12.
Задача 2.29.
19Х| + х2 + 16х3 —> тах,
2х! — х2 + Зх3 < -2,
Зхі — 5х2 + 7х3 < -10,
4х! + Зх2 + х3 < З,
Х| + 2х2 — х3 < З,
Зхі + 2х3 < -1.
20
Задача 2.30.
4хі + 6x2 — Зх3 -+ тах,
-Зхі — х2 + х3 > 1,
-2хі — 4х2 + х3 > 5,
-2Хі + 2хг + Хз < 1,
-Х| — х2 + Хз > З,
2х2 + Хз < 2.
21
3. Составление двойственньїх задач
линейного программирования
Построить задачи, двойственньїе к следующим зада-
чам линейного программирования.
Задача 3.1.
1 7хі — 5х2 + х3 + х4 — 8х5 —> тах,
Зх, — х2 — х3 + 4х4 + 7х5 < 11,
Х| — 5х2 — 5х3 + х4 + 2х5 > -8,
Х| + х2 + Хз + Зх4 — х5 = 4,
Хі > 0, х4 > 0.
Задача 3.2.
4х, — 6х2 — 2х3 + Зх4 + х5 -> тіп,
X] + 2х2 — Зх3 + х4 — Зх5 > -5,
2Х| + Зх2 + х3 + х4 + 2х5 > 1,
-2х, — х2 — х4 — х5 < 3.
Задача 3.3.
Зх2 — 2х3 + х4 —> тіп,
-Хі + х3 — х4 = 5,
2Х] + х2 — 2х3 + 2х4 < 7,
Хі > 0, х2 > 0, Хз > 0, х4 > 0.
Задача 3.4.
4х! + х2 + х3 + 2х4 + х5 -> тах,
4хі + х2 — хз — х4 + х5 > 9,
Х| + х2 — х3 + х4 + 6х5 = 10,
-X! — Зх2 + 5х3 < 1,
X! > 0, х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0.
22
Задача 3.5.
Зхі + 5х2 > 18,
Хі + 9х2 > ЗО,
2Х| + 7х2 > 27,
X! > 0, х2 > 0 и функция 1ІХ] + 44х2 имеет минималь-
ное значение.
Задача 3.6.
2Х| + х2 + 4х3 > 22,
X] + х2 + х3 = 9,
Х| + 2х2 + 2х3 < 18,
X! > 0, х2 > 0, хз не имеет ограничений в знаке и функ-
ция, 5х, + 7х2 + 13х3 имеет минимальное значение.
Задача 3.7.
Х| + 2х2 —> тах,
Зх, — 4х2 [А] 1,
5х] + 6х2 [В] 2,
-7х, + 8х2 [С] З,
х2 > 0.
[А] [В] [СІ [А] [В] [СІ
1 > =8 11 > >
2 > > < 12 = >
3 > > 13 > > а
4 = > > 14 >
5 > = 15 а >
6 = < > 16 = = >
7 > 17 >
8 > 18 >
9 < > 19 =х
10 = 20 = >
23
Задача 3.8.
7Х| + х3 — 4х4 —> тах,
х1 — х2 + 2х3 — х4 < 6,
2Х[ + х2 — х3 < -1,
X], х2, х3, х4 > 0.
Задача 3.9.
Х| + х3 + х5 —> тах,
Хі + 2х2 + Зх3 — х4 — х5 < 6,
Хі — х2 — 2х3 + х4 + х5 < 5,
Х|, хї-> Х3, х4, х5 > 0-
Задача 3.10.
4Х| + 5х2 + 2х3 + х4 + 2х5 -> тіп,
-Зх! + 5х2 + 4х3 + 2х4 + 2х5 = 1,
-4хі — 6х2 — х3 + х4 + 3x5= -1,
хі, х2, х3, х4, х5 > 0.
Задача 3.11.
6х, + Зх2 — х3 — 2х4 —> тах,
ЗХ| + 2х2 + х3 + 4х4 < 0,
2Х| + 2х2 — х3 — х4 = 1,
х2 > 0, х3 > 0, х4 > 0.
24
4. Формулирование задач линейного
программирования для последующего
их решения
Следующие задачи сформулировать как задачи линей-
ного программирования и решить их.
Задача 4.1.
Компания производит полки для ванних комнат
двух размеров — А и В. Агентьі по продаже считают, что
в неделю на рьінке может бить реализовано до 550 по-
лок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала,
а для полки типа В — 3 м2 материала. Компания может
получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовле-
ния одной полки типа А требуется 12 мин. работьі обору-
дования, а для изготовления одной полки типа В —
ЗО мин. Оборудование можно использовать 160 час. в не-
делю. Если прибьіл ь от продажи полок типа А составляет
З долл., а от полок типа В — 4 долл., то сколько полок
надо випускать в неделю, чтобьі получить максималь-
ную прибьіль?
Как изменится производственная программа, если
ринок не сможет принимать в неделю более 450 полок?
Какова в зтом случае будет максимальная прибнль?
Задача 4.2.
Производитель злементов центрального отопления
изготовляет радиаторн четьірех моделей. Ограничения
на производство обусловленн количеством рабочей
сили и количеством стальних листов, из которнх изго-
тавливают радиаторьі.
25
Модель радиатора А В С О
Необходимое количество ра- бочей сильї, человеко-часьг 0,5 1,5 2 1,5
Необходимое количество ста- льного листа, м1 4 2 6 8
Прибьіль от продажи одного радиатора, долл. 5 5 12,5 10
Количество стального листа — не более 2500 м2, коли-
чество человеко-часов — не более 500. Решите зту задачу
с максимизацией прибили в качестве целевой функции.
Задача 4.3.
Фирма производиттри вида продукции (А, В, С), для
вьіпуска каждого из которьіх требуется определенное
время обработки на всех четьірех устройствах І, II,
III, IV.
Вид продукции Время обработки При- бмль, долл.
І II III IV
А 1 3 1 2 3
В 6 1 3 3 6
С 3 3 2 4 4
Пусть время рабстві на устройствах —соответственно
84,42,21 и42часа. Определите, какую продукциюи вка-
ких количествах следует производить. Рьінок сбьіта для
каждого продукта неограничен. Временем, требуемьім
для переключення устройства в зависимости от вида
продукции, можно пренебречь. Рассмотреть задачу мак-
симизации прибьіли.
Задача 4.4.
Фирма производит два продукта А и В, рьінок сбьіта
которьіх неограничен. Каждьій продукт должен бьітьоб-
26
работан каждой из машин І, II и ПІ. Время обработки в
часах для каждого из изделий А и В приведено ниже:
І II III
А 0,5 0,4 0,2
В 0,25 0,3 0,4
Время рабстві машин І, II, III, соответственно, 40, 36
и 36 часов в неделю. Прибьіль от изделий А и В составля-
ет, соответственно, 5 и 3 долл.
Фирме надо определить недельньїе нормьі вьшуска
изделий А и В, максимизирующие прибьіль. Сформули-
руйте зту задачу как задачу линейного программирова-
ния и решите ее.
Задача 4.5.
Прибьіль от изделий А, В, С составляет, соответст-
венно, 3, 4, 5 единиц. Для каждого изделия требуется
время использования станка І и II, которьіе доступньї,
соответственно, 12 и 15 часов вдень:
А В с
1 2 3 3
II 4 1 2
Найдите оптимальний план производства.
Задача 4.6.
Два изделия В1 и В2 последовательно обрабатьівают-
ся на станках N1, 2, 3, 4, 5. Машиннеє время на единицу
изделий на каждом станке указано в таблице. Здесь же
приведена прибьіль от каждого изделия, причем обьем
производства второго вида продукции не должен превьі-
шать 40% общего вьіпуска.
Определить оптимальную программу вьіпуска, обес-
печивающую максимальную прибьіль.
27
Номер полу- фабриката Номер рабочего места При- бнль, руб./ШТ.
1 2 3 4 5
1 4 3 2 3 0 1
2 2 0 6 5 4 1,5
Недельньїй фонд рабоче- го времени, мин. 352 240 330 420 400
Решите задачу графически.
Задача 4.7.
На предприятии могут изготавливать два вида про-
дукции І! и і2. На випуск единицьі продукции і, расходу-
ется 3 единици ресурса, а на единицу продукта і2 — 1 еди-
ница того же ресурса. В плановом периоде в распоряжении
предприятия имеется 300 единиц зтогоже ресурса. Ограни-
чение по випуску продукции первой и висшей категории
качества внглядит следующим образом: -ЗХ| + 4х2 <0. При
ЗТОМ требуется, чтобн продукции І] бьіло випущено не ме-
нее 40 единиц. Предприятие желает получить максималь-
ную прибьіль.
Каждое изделие вида і( дает 3 долл. прибили, каждое
изделие вида і2 дает 4 долл. прибили. Решите зту задачу
графически.
Задача 4.8.
В цехе имеется 6 типов рабочих мест. В соответствии
с оптимальной производственной программой на следу-
ющей неделе в цехе ДОЛЖНЬІ изготовлять 7 типов полу-
фабрикатов. Производство единицьі каждого полуфаб-
риката увеличивает фонд материального поощрения.
Размер прибили от единицн каждого вида полуфабри-
ката, время, затрачиваемое на изготовление каждого по-
луфабриката на каждом рабочем месте, недельний фонд
рабочего времени на каждом рабочем месте указа-
ньі в таблице.
28
Номер полу- фабриката Номер рабочего места Прибмль от единицьі полуфабри- ката, тнс.руб./піт.
1 2 3 4 5 6
1 5 7 15 2 3 14 0,10
2 2 0 6 7 3 2 0,115
3 5 5 4 1 1 10 0,120
4 4 8 7 0 8 5 0,090
5 3 1 7 2 4 0 0,065
6 6 0 4 3 1 8 0,080
7 10 2 1 11 10 7 0,160
Недельньїй фонд рабоче- говремени, I ТЬІС.МИН. 21 18 27 16,8 18,6 24
Випуск полуфабрикатов №5 не должен бьіть меньше
25%, а №7 — не больше 7% от общего обьема производст-
ва. Определите оптимальную программу вьіпуска про-
дукции, обеспечивающую максимальную прибьіль.
Задача 4.9.
Небольшая фирма производит два типа подшипни-
ков А и В, каждьій из которьіх должен бить обработан на
трех станках, а именнотокарном, шлифовальном и свер-
лильном. Время, требуемое для каждой из стадий произ-
водственного процесса, приведено в таблице.
Тип подшипника Время обработки, ч Прибьіль от прода- жи одного подшип- ника, руб.
Токарний станок Шлифо- вальньїй станок Сверли- льньїй станок
А 0,01 0,02 0,04 80
В 0,02 0,01 0,01 125
Полное возмож- ное время рабо- ТЬІ в неделю, ч 160 120 150
29
Фирма хотела бьі производить подшипники в коли-
чествах, максимизирующих прибьіль. Сформулируйте
задачу как задачу линейного программирования и реши-
те ее.
Задача 4.10.
Постройте зкономико-математическую модель для
следующей ситуации. Фирма производит три вида про-
дукции, используя для зтого два вида ресурсов. Техноло-
гическая матрица задана в виде таблицьі:
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Ресурс 1 1 2 0
Ресурс 2 2 3 1
Фирма имеет в своем распоряжении 20 единиц 1-го
ресурса и 25 единиц 2-го ресурса; ценьї, по которьім
предполагает реализовать свою продукцию фирма, рав-
ньі 15, 20, ЗО тьіс.руб. за 1-й, 2-й и 3-й товар, соответст-
венно. Фирма желает получить максимальний доход.
Задача 4.11.
Средства очистки пола оценивают по следующим
трем показателям:
А) очищающие свойства;
Б) дезинфицирующие свойства;
В) раздражающее воздействие на кожу.
Каждьій из зтих показателей измеряется по линей-
ной шкале от 0 до 100.
Продукт на рьінке должен иметь по крайней мере 60
единиц очищающих свойств и по крайней мере 60 еди-
ниц дезинфицирующих свойств по соответствующей
шкале. При зтом раздражающее воздействие на кожу
должно бить минимальньїм. Конечний продукт должен
бить смесью трех основних очистителей, характеристи-
ки которьіх приводятся ниже:
зо
Очиститель Очищающие свойства Дезинфициру- ющие свойства Раздражающие свойства
А 90 зо 70
В 65 85 50
С 45 70 10
Сформулируйте задачу нахождения оптимальной
смеси как задачу линейного программирования и реши-
те ее.
Задача 4.12.
Фирма специализируется на производстве мебели
для жильїх помещений. Она может производить три типа
мебельньїх гарнитуров А, В, С, чтотребуетразличньїх за-
трат труда на каждой стадии производства:
Производственньїй участок Затрати труда, чел-ч
А В С
Лесопилка 1 2 4
Сборочньїй цех 2 4 2
Отделочньїй цех 1 1 2
Втечение недели можно планироватьработу на лесо-
пилке на 360 чел-ч, в сборочном цехе — на 250 чел-ч, в от-
делочном цехе — на 220 чел-ч. Прибьіль от продажи каж-
дого типа гарнитуров А, В, С составляет, соответствен-
но, 900, 1100 и 1500 долл.
А. Определите избьіток чел-ч работьі на лесопилке,
в сборочном цехе, в отделочном цехе.
Б. Для вьіполнения обязательств по организации ин-
терьера гостиниц необходимо производить по крайней
мере 40 гарнитуров типа С еженедельно. Как зто допол-
нительное требование повлияет на план производства?
Как при зтом изменится размер прибьіли предприятия?
31
Задача 4.13.
Фирма производит на фабрике четьіре сорта изделий.
Производство лимитируется временем использования
станков и количеством комплектующих изделий. Изве-
стно также, что суммарное время использования стан-
ков — 90 ч в день, а комплектующих изделий может бьіть
поставлено не более 80 в день.
Производственньїе характеристики Изделие
1 2 3 4
Время использования станка, ч 1 3 8 4
Количество комплектующих изделий 2 2 1 3
Себестоимость изделия, ден. ед. 20 25 40 85
Доход от продажи, ден. ед. зо 45 80 45
Определите производственную программу для полу-
чения максимальной прибьіли.
А. Фирма может увеличить время работм станков до
100 ч, при зтом себестоимость каждого изделия всех че-
тьірех видов увеличится на 10 ден.ед. Какова будет при-
бьіль фирмм в зтом случае? Изменится ли производст-
венная программа?
Б. Беспорядки на заводе одного из потребителей
приводят к тому, что дневной випуск изделия 4 сокра-
щен до 15 единиц. Как зто повлияет на производствен-
ньій план и размер прибьіли фирмьі?
Задача 4.14.
Фирма, внпускающая трикотажньїе изделия, испо-
льзует для производства продукции два вида сьірья. Все
необходимьіе данньїе приведеньї в таблице.
Смрье Запас сьірья, кг Затрати на единицу продукции
свитер пуловер КОСТЮМ
Чистая шерсть 160 0,4 0,2 0,8
Силон 60 0,2 0,1 0,2
Прибьільза изделие, ден.ед. 16 15 22
32
Записать в математической форме условия вмпуска
готовой продукции, если сьірье расходуется полностью,
а прибмль должна бьіть максимальної
Задача 4.15.
Цех производит изделия А и Б. За смену не может ис-
пользоваться более 540 ед. оборудования, более 550 ед.
смрья и более 450 ед. злектрознергии. Расход ресурсов
на одно изделие указан в таблице. От реализации изде-
лия А прибмль составляет80 ден. ед., изделия Б — 70 ден.
ед. Каков должен бьіть минимальньїй вмпуск продук-
ции, чтобм обеспечить прибмль не менее 2800 ден. ед?
Ресурси Изделия
А Б
Оборудование 2 3
Сьірье 1 4
Злектрознергии 2 1,5
Задача 4.16.
В торговом зале необходимо вмставить для продажи
товари Тій Т2. Рабочее время продавцов не превьішает
360 часов, а площадь торгового зала, которую можно за-
нять, не превьішает 120 м2. Каждая реализованная еди-
ница товара приносит прибмль, соответственно, в 50 и
80 ден. ед. Норми затрат ресурсов на единицу проданно-
го товара приведень! в таблице.
Ресурси Товари
ТІ Т2
Рабочее время, ч 0,4 0,6
Площадь, м2 0,2 0,1
Записать в математической форме условия, котормм
должна удовлетворять структура товарооборота, обеспе-
чивающая прибмль не менее 40000 ден. ед.
2. Заказ №3642
33
Задача 4.17.
Компания производит различньїе типи мебели для
кабинетов. Она производит стольї трех типов (1, 2, 3).
Обьем работьі, необходимой для каждой операции, при-
водится в таблице:
Операция Обьем работьі, чел-ч
1 2 3
Изготовление частей 2 3 2
Сборка 1 2 3
Полировка и проверка 1 1 2
Максимум обьема работ в неделю составляет 360
чел-ч на изготовление частей стола, 240 чел-ч — на сбор-
ку и 180 чел-ч — на полировку. Рьінок сбьіта расширяет-
ся, но он недолговечен, а возможности хранения огра-
ничиваютпроизводство 170 столами в неделю. Прибьіль
от продажи столов типов 1, 2, 3 составляет, соответст-
венно, 15, 22 и 19 долл. Определите оптимальний план
производства.
А. Как изменится оптимальний план производства,
если для удовлетворения потребностей ценного клиента
необходимо випускать не менее ЗО столов типа 3 в неде-
лю?
Б. Как изменится оптимальний план производства,
если из-за беспорядков на участке изготовления частей
стола обьем работ в неделю сократился вдвоє?
Задача 4.18.
Фабрика производит два основних типа товара. Из-
делиютипа І требуется 3 единицьі сьірья А и единица сьі-
рья В. Оно приносит прибнль 3 единицн. Изделию типа
II требуется 4 единици снрья А и 3 единицн сьірья В.
Оно приносит прибнль в 2 единицн. Найдите оптималь-
ний план производства, если доступньї всего 20 единиц
сьірья А и 10 единиц сьірья В.
34
Как изменится оптимальний план производства,
если окажется доступной еще одна единица сьірья
А, а затем и еще одна единица сьірья В?
Задача 4.19.
Требуется определить план вьіпуска четьірех видов
продукции ПІ, П2, ПЗ, П4, для изготовления которьіх
необходимьі ресурси трех типові трудовьіе, материаль-
ньіе, финансовьіе. Норми расхода ресурса, количество
каждого вида ресурса указаньї в таблице. Исходя из тре-
бований спроса, заданьї нижние и верхние предельньїе
границн вьіпуска каждого вида продукции. На основа-
ний приведенннх исходньїх данньїх составить матема-
тическую модель для определения плана вьіпуска про-
дукции с целью получения максимальний прибили.
Ресурси Вид продукции Распо- лагае- МЬІЙ ресурс
ПІ П2 ПЗ П4
Трудовьіе 1 2 3 4 40
Материальньїе 6 5 4 3 ПО
Финансовьіе 4 6 8 12 100
Граница: НИЖНЯЯ 12 5 2 3 -
верхняя - - - 3 -
Прибмль 60 70 120 130
Задача 4.20.
Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не бо-
лее 0,03% и с примесью пепла не более 3,25%. Доступим
три сорта угля А, В, С по следующим ценам (за тонну):
35
2*
Сортугля Содержание примеси фос- фора, % Содержание примеси пепла, % Цена, долл.
А 0,06 2,0 зо
В 0,04 4,0 зо
С 0,02 3,0 45
Как их следует смешать, чтобьі удовлетворить огра-
ничениям на примеси и минимизировать цену?
Задача 4.21.
Фирма занимается составлением диетьі, содержащей
по крайней мере 20 единиц белков, ЗО единиц углеводов,
10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле
всего достичь зтого при указанньїх в таблице ценах на
1 кг (или 1 л) пяти имеющихся продуктов?
Хлеб Соя Сушеная рьіба Фрукти Молоко
Белки 2 12 10 1 2
Углеводьі 12 0 0 4 3
Жирьі 1 8 3 0 4
Витаминьї 2 2 4 6 2
Цена 12 36 32 18 10
Задача 4.22.
Рацион кормления коров на молочной ферме может
состоять из трех продуктов — сена, силоса и концентра-
тов. Зти продукти содержат питательньїе вещества — бе-
лок, кальций и витаминьї. Численньїе данньїе представ-
леньї в таблице. В расчете на одну корову суточньїе нор-
ми потребления белка и кальция составляют не менее
200 и 210 г, соответственно. Потребление витаминов
строго дозировано и должно бить равно 87 мг в сутки.
36
Продукти Питательнне вещества
Белок (г/кг) Кальций (г/кг) Витаминьї (мг/кг)
Сено 50 10 2
Силос 70 6 3
Концентрати 180 3 1
Составить самьій дешевий рацион, если стоимость
1 кг сена, силоса и концентрата равна, соответственно,
1, 5, 2 и 6 рублей.
Задача 4.23.
Потребитель решает вопрос о приобретении набора
из двух видов товаров. Полезность единицн первого то-
вара равна 100 единиц, второго — 250 единиц. Сформу-
лируйте задачу потребителя, если ценьї на товари
составляют500 руб. и 700 руб., соответственно, потреби-
тель внделил на приобретение товаров 2 тис. руб, и фун-
кция полезности линейна.
А. Внберите из зтих наборов наилучший в смисле
максимума полезности.
Б. Как изменится решение задачи потребителя, если
доход потребителя возрастет на 10%?
В. Как изменится решение задачи, если цена на вто-
рой товар возрастет на 20%?
Задача 4.24.
Перед проектировщиками автомобиля поставлена
задача сконструировать самий дешевий кузов, исполь-
зуя листовой материал, стекло и пластмассу. Основние
характеристики материалов представлень! в таблице.
Характеристики Материалн
металл стекло пластмасса
Стоимость (ден.ед./м2) 25 20 40
Масса (кг/м2) 10 15 зо
37
Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окна-
ми) должна составлять 14 м2; из них не менее 4 м2 и не бо-
лее 5 м2 следует отвести под стекло. Масса кузова не дол-
жна превьішать 150 кг. Сколько металла, стекла и пласт-
массьі должен использовать наилучший проект?
Задача 4.25.
Обьединение «Комфорт» производит холодильники,
газовьіе плитьі, морозильньїе шкафьі и злектропечи по
цене 200, 180, 250 и 100 ден. ед., соответственно. Посто-
янньїм фактором, ограничивающим обьемьі производ-
ства, является фиксированная величина трудових ре-
сурсов — 12000 человеко-часов в месяц. Вияснилось, од-
нако, что в ближайший месяц дефицитной будет и лис-
товая сталь для корпусов указанннх изделий, поскольку
поставщики смогут обеспечитьлишь7000 м2 зтого мате-
риала.
Требуется составить план производства на данннй
месяц, с тем чтобн максимизировать стоимость вьіпу-
щенной продукции. Известно, что для изготовления хо-
лодильника требуется 2 м2 листовой стали и 3 чел-ч рабо-
чего времени, для газовой плити — соответственно,
1,5 м2 и 3 чел-ч, для морозильного шкафа — 3 м2 и 4 чел-ч,
для злектропечи — 1 м2 и 2 чел-ч.
Задача 4.26.
Участник зкспедиции «Северньїй полюс» укладнва-
ет рюкзак, и ему требуется решить, какие положить про-
дукти. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое
молоко и сахар. В рюкзаке для продуктов осталось лить
45 дм3 обьема, и нужно, чтобн суммарная масса продук-
тов не превосходила 35 кг. Врач зкспедиции рекомендо-
вал, чтобн мяса (по массе) бнло больше муки по край-
ней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по
крайней мере в восемь раз больше, чем сахара. Сколько
и каких продуктов нужно положить в рюкзак, с тем что-
бьі суммарная калорийность продуктов бьіла наиболь-
шей? Характеристики продуктов приведень! в таблице.
38
Характеристики Продукти
мясо мука МОЛОКО сахар
Обьем (дм3/кг) 1 1,5 2 1
Калорийность (ккал/кг) 1500 5000 5000 4000
Задача 4.27.
На звероферме могут вьіращиваться песцьі, чер-
но-бурьіе лисьі, нутрии и норки. Для их питання исполь-
зуются три вида кормов. В таблице приведень! нормьі
расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а также при-
бьіль от реализации одной шкурки каждого зверя.
Вид корма Норма расхода кормов (кг/день) Ресурс кормов (кг)
песец лиса нутрия норка
І 1 2 1 2 300
11 1 4 2 0 400
III 1 1 3 2 600
Прибьіль д.е./шкурка 6 12 8 10
Определите, сколько и каких зверьков следует вьіра-
щивать ферме, чтобьі прибьіль от реализации шкурок
бьіла наибольшей.
Задача 4.28.
Завод изготавливает корпуса холодильников и комп-
лектует их оборудованием, поставляемьім без ограниче-
ний другими предприятиями. В таблице указаньї норми
трудозатрат, затрат материалов для изготовления корпу-
сов, ограничения по зтим ресурсам в расчете на месяц и
прибьіль от реализации холодильников каждой из пяти
марок.
Найти месячньїй план вьіпуска холодильников, мак-
симизирующий прибьіль.
39
Наименование ресурса Марка холодильника Обьем ресурса
1 2 3 4 5
Трудозатратьі (чел-ч) 2 3 5 4 4 9000
Металл (м2) 2 2 4 5 0 8500
Пластик (м2) 1 3 2 0 4 4000
Краска (кг) 1 2 3 3 2 5000
При- бьіль(ден.ед.) 40 70 120 120 50
Задача 4.29.
Распределить группьі профилеразмеров проката
между станами таким образом, чтобьі себестоимость
продукции бнла минимальной. Исходньїе данньїе: пять
групп профилеразмеров проката получают на трех ста-
нах. Фонд рабочего времени станов І, II, III, равен соот-
ветственно, 7200, 8000 и 7500. Остальньїе данньїе приве-
денні в таблице.
Группа профиле- размеров Плановеє задание Производитель- ность станов, т/ч Себестоимость про- ката, тьіс.д.е./т
І II III І II ПІ
1 зо 20 зо 10 80 70 105
2 40 15 15 15 100 96 90
3 100 18 20 18 120 120 120
4 20 15 15 15 85 90 95
5 80 19,5 25 зо 120 ПО 85
Задача 4.30.
Компания производит сверлильньїе станки трех ви-
дов В1, В2, 03. Каждьій вид приносит, соответственно,
10, 10 и 30 долл. прибьіли. Количество станков, которое
может бьіть произведено в течение недели, ограничено
поставками комплектующих изделий Р1, Р2, РЗ, где для
О1 требуется 1 штука Р1,4 штуки Р2 и 2 штуки РЗ, для 02
40
— 2 штуки Р1, 3 штуки Р2 и 3 штуки РЗ, а для ВЗ — 10
штук Р1,10 штук Р2 и 8 штук РЗ. Каждую неделю количе-
ство доступних изделий Р1, Р2, РЗ составляет, соответ-
ственно, 650, 850 и 650 штук.
А. Определите максимальную прибьіль, которую
можно получать в неделю, какое количество станков 1)1,
П2, ВЗ вьігоднее всего производить?
Б. Компания обращается в комиссию по ценам за
разрешением повисить ценьї до такой степени, чтобн
они давали 20%-ное увеличение прибнлей от всех моде-
лей. Рассмотрев вопрос, комиссия разрешает увеличе-
ние цен на станки Вій 1)2, но настаивает на таком огра-
ничении ценьї на станок ВЗ, при котором прибмль от
продажи станка ВЗ уменьшилась бм на 10%. Стоит ли
компании соглашаться с вариантом, предложеннмм ко-
миссией по ценам? Что в зтом случае произойдет с при-
бьілью?
В. Руководство компании связано соглашением, ко-
торое обеспечивает занятость 300 рабочих. Если воз-
можности производства позволяют одному рабочему в
течение недели произвести 1 станок В1 или 1 станок 1)2,
а пяти рабочим — 1 станок ВЗ, то как зто соглашение по-
влияет на новое решение? Канова будет прибмль в зтом
случае?
Задача 4.31.
Чаеразвесочная фабрика вьшускает чай сорта А и В,
смешивая три ингредиента: индийский, грузинский и
краснодарский чай. В таблице приведеньї норми расхо-
да ингредиентов, обьем запасов каждого ингредиента и
прибмль от реализации 1 тонньї чая сорта А и В.
Ингредиентн Норми расхода (т/т) Обьем запасов (т)
Индийский чай 0,5 0,2 600
Грузинский чай 0,2 0,6 870
Краснодарский чай 0,3 0,2 430
Прибьіль от реализации 1 тонни продукции (ден.ед.) 320 290
41
Требуется состав ить план производства чая сорта А и
В с целью максимизации суммарной прибили.
Задача 4.32.
Предприниматель собирается производить сплав,
содержащий 30% свинца, 30% цинка и 40% олова. Пред-
положим, что на рьінке имеются сплавьі А, В, С, В со-
стави и ценьї которьіх приведеньї в таблице. Какое коли-
чество сплава каждого типа следует закупить на каждьій
фунт производимой смеси для минимизации затрат?
Сплав А В с О Е Р С Н І Требуе- мая смесь
% свинца 10 10 40 60 зо ЗО ЗО 50 20 зо
% цинка 10 зо 50 зо зо 40 20 40 зо зо
% олова 80 60 10 10 40 ЗО 50 10 50 40
Стои- мость за фунт, долл. 4,1 4,3 5,8 6,0 7,6 7,5 7,3 6,9 7,3
Задача 4.33.
Необходимо найти оптимальний план развития трех
металлургических предприятий для удовлетворения по-
требностей района в сортовом прокате. Потребность в
прокате задана в динамике (на 1990, 1995 и 2000 гг.). Раз-
работаньї три варианта развития І и по два варианта для
II и III предприятий. Вариантм различаются структурою
и динамикой обьема производства по годам планового
периода, а также приведенньїми затратами на их осуще-
ствление.
Оптимизация плана заключается в виборе из извест-
нмх вариантов развития каждого предприятия таких, ре-
ализация котормх позволяет обеспечить заданную по-
требность в сортовом прокате по годам планового пери-
ода с минимальннми совокупннми приведенньїми за-
тратами.
42
Вариантш развития предприятий І—ІПи
потребность в сортовом прокате
по годам планового периода
Годьі Исходньїе данньїе І II III Заданная потреб- ность в прокате
Вариантьі развития
1-й 2-й 3-й 1-й 2-й 1-й 2-й
1990 Крупний 200 200 450 300 600 — — 500
Средний 250 250 250 1000 500 600 — 1800
Мелкий 250 850 850 150 650 — 600 1000
1995 Крупний 800 800 1300 300 600 — — 1100
Средний 600 1000 1100 800 600 1200 — 1800
Мелкий 250 850 1150 400 1100 — 1100 1250
2000 Крупний 800 800 1300 900 1050 — — 1700
Средний 1000 1000 1500 800 1000 1650 — 3200
Мелкий 700 1200 1 1600 1300 1 1100 1600 2500
Приведенньїе интегральньїе затрати, млн.руб. 450 510 836 531 630 302 288
Для каждого предприятия может бьіть ввібрано не
более одного варианта реконструкции и развития.
43
Задача 4.34.
На конец планового периода в зкономическом райо-
не для удовлетворения потребности зтого района в про-
кате необходимо произвести 1100 ТЬІС. т листового и
1000 тьіс. т сортового проката. Производство проката
возможно на трех предприятиях, для каждого из которьіх
проработаньї по два варианта их реконструкции, разли-
чающихся как затратами на их реализацию, так и струк-
турой производства. Кроме того, установлень! лимитьі
на потребление ресурсов двух видов.
Вариантьі реконструкции предприятий І — III
и ограничения задачи
Исходньїе данньїе І II III Потреб- ностьв продук- ции и лимитьі ресур- сов
Вариантм реконструкции
1-й 2-й 1-й 2-й 1-й 2-й
Про дук- ция, тьіс.т: Листовой прокат 300 100 1000 500 600 200 1100
Сортовой прокат 250 500 100 500 — 700 1000
Димити- руемьіе ресурс ьі: 1-го вида, ТЬІС. т 300 250 500 400 350 650 1200
2-го вида, млн. м3 55 60 190 100 80 90 250
Затрать! на весь вари^ ант, млн.руб. 100 120 190 160 140 210 —
Необходимо ввібрать для каждого предприятия та-
кой вариант реконструкции, при котором обеспечивает-
ся производство листового и сортового проката на трех
предприятиях в размерах, не менее заданньїх, при зтом
минимизируются суммарньїе приведенньїе затратьі на
производство.
Для каждого предприятия в решение включено не
более одного варианта реконструкции.
44
Задача 4.35.
Станок 1 Станок 2 Станок З
я —> 1 мин. —> 3 мин. —> 1 мин. —> деталь 1
Я
2 —> 2 мин ----------------> 4 мин» -» деталь 2
о
ев
-> 1 мин. —> 2 мин. -------------------> деталь З
Цех вьіпускает три вида деталей, которьіе изготовля-
ются на трех станках. На рисунке показана технологиче-
ская схема изготовления детали каждого вида с указани-
ем времени ее обработки на станках. Суточньїй ресурс
рабочего времени станков 1, 2 и 3 составляет, соответст-
венно, 890, 920 и 840 мин. Стоимость одной детали вида
1, 2 и З равна, соответственно, 3, 1 и 2 ден. ед. Требуется
составить суточньїй план производства с целью макси-
мизации стоимости вьіпущенной продукции.
Задача 4.36.
Для производства трех видов изделий(А, В и С) испо-
льзуется сьірье типа І, II и III, причем закупки сьірья
типа І и II ограниченьї возможностями поставщиков.
В таблице приведеньї нормьі затрат сьірья, ценьї на сьі-
рье и на изделия, а также ограничения по закупке сьірья.
Тип сьірья Цена 1 кг сьірья (ден.ед.) Норми затрат сьірья на одно изделие (кг) Ограни- чения по закупке сьірья (кг)
А В С
І 2 1 3 А 3000
II I 4 I 3 -
ПІ В 6 1 5 / 2 /
Цена одного из- делия (ден.ед.) 6В+ 12 / 5В +22 С / 3320 1
Требуется определить план производства продукции
с целью максимизации прибьіли.
45
А в С А В С
1 2 1 17 11 3 3 26
2 2 2 19 12 3 4 26
3 2 3 21 13 4 1 25
4 2 4 23 14 4 1 27
5 3 1 21 15 4 2 26
6 3 1 22 16 4 2 27
7 3 2 23 17 4 3 28
8 3 2 24 18 4 3 зо
9 3 2 25 19 4 4 ЗО
10 3 3 25 20 4 4 32
Задача 4.37.
Бьіла предложена следующая простая модель сель-
скохозяйственного производства на Нарвских островах
для внешнего рннка. Имеются три основньїе культури,
растущие в зтом климате, и вьіращиваться они могут на
одном из двух типов пахотньїх земель. В настоящее вре-
мя для обработки пригодньї 1400000 акров земли типа І и
1200000 акров земли типа II. Разньїе типи культур
по-разному растут на разньїх землях, и подсчитано, что
чистий урожай культури і с земли типа] составляет Вц.
І
3 = 1 3 = 11
1 6 6
2 8 5
3 4 5
Все культури требуют дополнительного орошения
(ирригационного). Имеющаяся ирригационная система
обеспечивает 5600000 м3 водьі в год. Для одного акра ку-
льтури і, внращенной на земле типа], требуется м3
води в год:
46
І
3 = 1 3 = 11
1 2 3
2 3 3
3 3 2
Население, занятое в сельском хозяйстве, составляет
700000 человек. Чтобьі полупить урожай 1, 2, 3 с кажднх
10 акров земли, для вьшолнения различньїх работ по вьі-
ращиванию культур в течение 1 года требуется, соответ-
ственно, 2, 1 и 3 человека.
Определите, какие культури, в каком количестве и
на каких землях необходимо вьіращивать, чтобн полу-
пить максимальний урожай? Каков размер максималь-
ного урожая?
Задача 4.38.
Стандартом предусмотрено, что октановое число ав-
томобильного бензина А-76 должно бить не ниже 76, а
содержание серн не более 0,3%. Для изготовления тако-
го бензина на заводе используется смесь четнрех компо-
нентов. Даннне о ресурсах смешиваемнх компонентов,
их себестоимости и их октановом числе, а также о содер-
жании серн приведеньї в таблице:
Характерне™ ка Компонент автомобильного бензина
№1 №2 №3 №4
Октановое число 68 72 80 90
Содержание серьі, % 0,35 0,35 0,30 0,20
Ресурси, т 700 600 500 300
Себестоимость, ден.ед./т 40 45 60 90
Требуется определить, сколько тонн каждого компо-
нента следует использовать для получения 1000 т авто-
мобильного бензина А-76, чтобн его себестоимость
била минимальной.
47
Задача 4.39.
На участок строящейся дороги необходимо вивезти
20000 м3 каменних материалов. В районе строительства
имеются три карьера с запасами 8000 м3, 9000 м3, 10000
м3. Для погрузки материалов используются зкскавато-
рьі, имеющие производительность 250 м3 в смену в карь-
ерах 1 и 2 и 500 м3 в смену в карьере 3.
Зти карьерьі обеспечивают каменньїми материалами
также ряд других строящихся обьектов. На погрузку ма-
териалов для рассматриваемого участка вьіделен для зк-
скаваторов общий лимит 60 машино-смен с правом ис-
пользования его по усмотрению строителей.
Транспортньїе затрати на перевозку материалов ха-
рактеризуются показателями: для перевозки 10000 м3
материалов из карьера 1 требуется 1000 автомоби-
ле-смен, из карьера 2 — 1350, из карьера 3 — 1700 автомо-
биле-смен. Требуется найти оптимальний план перево-
зок, обеспечивающий минимальнне транспортнне за-
трати.
Задача 4.40.
Цех вьіпускает три вида деталей, которьіе изготовля-
ются на двух станках. На рисунке показана технологиче-
ская схема изготовления детали каждого вида с указани-
ем времени ее обработки на станках.
Станок 1
Станок 2
§ -> 3 мин. —> 6 мин. -> п О -> 9 мин. > ч деталь 1 деталь 2
< м —> А мин. -> 3 мин. -> деталь 3
Задан суточньїй ресурс рабочего времени каждого
станка: В мин. для станка 1, С мин. для станка 2. Стои-
мость одной детали вида 1, 2 и 3 составляет 3, 1 и 2 ден.
ед., соответственно. Требуется составить суточньїй план
48
производства деталей с целью максимизации стоимости
вьіпущенной продукции:
А В С А В С
1 3 600 900 11 5 870 900
2 3 960 600 12 5 930 450
3 3 510 750 13 3 720 900
4 4 690 450 14 3 960 420
5 5 660 900 15 4 660 900
6 5 840 450 16 4 870 450
7 3 660 900 17 5 630 270
8 3 960 510 18 3 600 750
9 4 600 900 19 4 720 900
10 4 780 450 20 4 750 360
Задача 4.41.
В пекарне для вьіпечки четьірех видов хлеба исполь-
зуются мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся
оборудование, производственньїе площади и поставки
продуктов таковьі, что в сутки можно переработать не
более А кг муки сорта І, В кг муки сорта II, С кг маргари-
на, В штук яиц. В таблице приведеньї нормьі расхода
продуктов, а также прибьіль от продажи 1 кг хлеба каж-
дого вида.
Требуется определить суточньїй план вьіпечки хлеба,
максимизирующий прибнль.
Наименован. продукта Норми расхода на 1 кг хлеба (по видам)
1 2 3 4
Мука І (кг) 0,5 0,5 0 0
Мука II (кг) 0 0 0,5 0,5
Маргарин (кг) 0,125 0 0 0,125
Яйцо (шт.) 2 1 1 1
Прибьіль 14 12 5 6
49
А В С О А В С О
1 250 200 60 1380 11 210 180 50 1180
2 290 200 70 1540 12 260 190 60 1380
3 350 200 80 1740 13 300 200 70 1560
4 380 200 90 1880 14 330 210 80 1720
5 290 150 50 1280 15 370 220 90 1900
б 300 150 60 1380 16 220 160 50 1160
7 310 150 70 1480 17 270 210 60 1440
8 330 150 80 1600 18 310 190 70 1560
9 400 150 90 1820 19 340 200 80 1720
10 240 100 50 1080 20 390 180 90 1820
Задача 4.42.
Прядильная фабрика для производства двух видов
пряжи используеттри типа сьірья — чистую шерсть, кап-
рон и акрил. В таблице указаньї нормьі расхода сьірья,
его общее количество, которое может бьіть использова-
но фабрикой в течение года, и прибьіль от реализации
тонни пряжи каждого вида.
Тип сьірья Норми расхода сьірья на 1 тонну пряжи (т) Количество сьірья (т)
Виді Вид2
Шерсть 0,5 0,2 600
Капрон А 0,6 В
Акрил 0,5-А 0,2 С
Прибмль от реализации пряжи (ден. ед.) 1100 900
Требуется составить годовой план производства пря-
жи с целью максимизации суммарной прибили:
50
А В С А В С
1 0,1 620 500 11 0,2 710 400
2 0,1 730 500 12 0,2 880 410
3 0,1 840 500 13 0,2 810 410
4 0,1 650 510 14 0,2 740 410
5 0,1 760 510 15 0,3 660 300
6 0,1 870 510 16 0,3 690 300
7 0,1 790 520 17 0,3 720 300
8 0,2 920 400 18 0,3 750 300
9 0,2 850 400 19 0,3 780 300
10 0,2 780 400 20 0,3 800 300
Задача 4.43.
Предполагается, что с двух складов развозят товари
по трем магазинам, стоимости перевозок единицьі про-
дукции заданьї в виде таблицьі (руб.).
Магазин № 1 Магазин № 2 Магазин № 3
Склад № 1 10 18 15
Склад № 2 16 20 10
Постройте транспортную задачу, если на 1-м складе
хранится 100 ед. продукции, на 2-м — 150 единиц, в 1-й
магазин требуется доставить 70 единиц продукции, во
2-й —80, в 3-й — 100 единиц продукции, соответственно.
Задача 4.44.
Фирма должна отправить некоторое количество пер-
сональних компьютеров с трех складов в пять магази-
нов. На складах имеется, соответственно, 15, 25, 20
компьютеров, а для пяти магазинов требуется, соответ-
ственно, 20, 12, 5, 8 и 12 компьютеров. Стоимость пере-
возки одного компьютера (в долларах) со склада в мага-
зин приведена в таблице:
51
Склад Магазин
$1 82 83 84 85
V/! 1 0 3 4 2
5 1 2 3 3
У/З 4 8 1 4 3
Как следует спланировать перевозку для минимиза-
ции стоимости?
Задача 4.45.
Определить взаимосвязь пунктов поставки и загруз-
ки вагонов при следующей характеристике транспорт-
ної! сети:
Поставщики вагонов Ресурс вагонов, шт. Расстояние до пунктов загрузки, км
1-й 120 2 3 1 4
2-й 65 3 2 4 6
3-й 35 5 3 6 3
Потребность в вагонах, шт. 90 70 40 20
Задача 4.46.
Предположим, что в Портленде (штат Мзн), Сизтле
и Сан-Диего находятся три консервних завода. Зти кон-
сервньїе заводи могут производить, соответственно,
250, 500 и 750 ящиков консервов вдень. Для реализации
продукции в стране имеется пять складов оптовой тор-
говли: в Нью-Иорке, Чикаго, Канзас-Сити, Далласе и
Сан-Франциско. Каждьій склад может продать 300 ящи-
ков за день. Специалист, занятьій распределением про-
дукции, хочет определить число ящиков, которое дол-
жно бьіть доставлено от трех консервних заводов к пяти
сбнтовьім складам так, чтобьі каждьій склад смог би по-
лучить столько ящиков, сколько может продать еже-
дневно, а полньїе транспортнне издержки бьіли би ми-
52
нимальньїми. В таблице указана стоимость транспорти-
ровки каждого ящика (долл.).
Портленд Сизтл Сан-Диего
Нью-Йорк 0,90 2,50 0,60
Чикаго 1,80 1,70 1,80
Канзас-Сити 1,50 1,80 2,50
Даллас 1,00 2,00 1,40
Сан-Франциско 2,70 1,80 1,60
Задача 4.47.
Компании запланировала перемещения многих слу-
жащих на новьіе должности в соответствии с новьім
штатним расписанием. Служащие, которьіх затративает
зта реформа, могут бьіть по квалификации и опиту раз-
деленьї на пить групп 81, 82, 83, 84 и 85, содержащих, со-
ответственно, 2, 5, 4, 8 и 6 служащих. Аналогичньїм об-
разом каждую должность можно отнести к одной из сле-
дующихчетнрехгрупп: Р1, Р2, РЗ и Р4 —по8,3,9и5 дол-
жностей, соответственно. В приведенной ниже таблице
указиваются, какие группьі служащих обладают доста-
точной квалификацией для занятия соответствующих
должностей:
Должность Группа
81 82 83 84 85
Р1 * ♦
Р2 * *
РЗ * *
Р4 * ♦ ♦ *
Задача 4.48.
Требуется транспортировать груз одного вида, нахо-
дящийся у двух поставщиков А1 и А2, к трем потребите-
53
лям В1, В2, ВЗ. Каждьій из поставщиков имеет некото-
рьій запас товаров: А1 — 100 единиц, А2 — 200 единиц.
Каждьій потребитель характеризуется своим спросом на
товарьі: В1 — 80 единиц, В2 — 130 единиц, ВЗ — 90 еди-
ниц. Возможньїе вариантьі транспортировки и стои-
мость перевозки единицьі груза указаньї в таблице:
Поставщик Потребитель Ресурс
В1 В2 ВЗ
А1 7 9 2 100
А2 20 15 16 200
Потребность 80 130 90
Требуется определить, какое количество груза следу-
ет отправить от каждого поставщика каждому потреби-
телю, чтобьі суммарньїе транспортньїе расходьі бьіли
минимальньїми.
Задача 4.49.
В определенньїй день предприятие по перевозке гру-
зов должно забрать грузьі в пяти точках А, В, С, О и Е.
Предприятие располагает пятью грузовиками различ-
ньіхтипов. Стоимость перевозки единицн груза кажднм
типом грузовика до пункта назначения приведена в таб-
лице:
Тип грузовика Стоимость перевозки, цент
А В С О Е
8 ЗО 20 40 10 20
Т зо 10 зо 20 зо
V 40 10 10 40 10
V 20 20 40 20 зо
зо 20 10 зо 40
В пунктах А, В, С, В, Е необходимо забрать, соответ-
ственно, 60, ЗО, 100, 50, 40 тонн груза. Кажднй из типов
54
грузовиков может перевезти за день, соответственно, 40,
60, 20, ЗО, 20 тонн груза, соответственно. Определите
распределение грузов по грузовикам, минимизирующее
общую стоимость.
Задача 4.50.
Компания владеетдвумя фабриками Р1 и Р2, произ-
водящими злектронное оборудование. Фабрики в тече-
ние некоторого периода вьіпускают 16 и 12 тьіс. изде-
лий, соответственно. Компания снабжает трех потре-
бителей СІ, С2 и СЗ, потребности которьіх в течение
одного и того же периода составляют, соответственно,
10, 13 и 7 тьіс. изделий. Стоимость перевозок 1 тьіс. из-
делий потребителю с фабрик приведена в таблице:
Фабрика Потребитель
СІ С2 СЗ
Р1 5 4 6
Р2 6 3 2
Сформулируйте задачу распределения как транспор-
тную и решите ее. Каким образом необходимо пересмот-
реть планьї перевозок, если производственньїе возмож-
ности фабрик Р1 и Р2 возрастут, соответственно, до 20 и
14 тьіс. изделий?
Задача 4.51.
Компания владееттремя заводами А, В, С. Соответ-
ствующие обьемьі производства 6000, 3000 и 3000 еди-
ниц. Компания обязалась поставлять соответственно
1500, 2500, 2700 и 3300 единиц в городаД, Е, Ф, М. При
заданньїх стоимостях перевозок составьте оптимальньїе
планьї перевозок.
55
Город Стоимость транспортировки, цент
А В С
д 1 9 6
Е 4 2 1
Ф 1 2 7
М 9 8 3
Задача 4.52.
Фирма предложила владельцам трех авиалиний пе-
ревозить бригади специалистов в различньїе части све-
та. Стоимость перевозок в фунтах стерлингов приведена
в таблице:
Авиалиния Сидней Калькутта Бейрут Даллас Сан-Паулу
1 24 16 8 10 14
2 21 15 7 12 16
3 23 14 7 14 20
Администрация фирмьі решила, что индивидуаль-
ньіе контрактні на перевозку будут заключаться с владе-
льцами линий 1, 2, 3 в отношении 2:3:2, и уведомила об
зтом управляющего транспортними перевозками, а так-
же известила его о том, что из 70 намеченньїх на следую-
щий год перевозок 10 — в Сидней, 15 — в Калькутту, 20 —
в Бейрут, 10 — в Даллас и 15 — в Сан-Паулу.
Как ему следует распределить индивидуальньїе конт-
рактні на перевозки для минимизации общей стоимости
при условии удовлетворения запросов администрации
фирмьі? Какова минимальная стоимость перевозок,
удовлетворяющих приведенньїм вьіше ограничениям?
Задача 4.53.
Правительственное учреждение получило следую-
щие предложения от фирм Р1, Р2 и РЗ на покупку фор-
менньїх пальто трех размеров 81, 82 и 83:
•>0
Фирма Стоимость одного пальто, долл.
$1 82 83
Р1 ПО 115 126
Р2 107 115 130
РЗ 104 109 116
Должньї бьіть заключеньї контракти на продажи 1000
пальто размера 81, 1500 пальто размера 82, 1200 пальто
размера 83, однако ограниченность производственньїх
мощностей фирм приводит к тому, что общее количест-
во заказов не может превосходить 1000 пальто для фир-
мьі Р1, 1500 пальто для фирмьі Р2 и 2500 пальто для фир-
мьі РЗ. Необходимо, чтобьі зти контракти били заклю-
ченьї с минимизацией общей стоимости, однако ограни-
чения должньї бить распределеньї по фирмам как можно
справедливеє. Как следует распределить заказьі для вьі-
полнения зтих требований?
Задача 4.54.
Сталеплавильная компания располагает тремя заво-
дами МІ, М2, МЗ, способньїми произвести за некото-
рьій промежуток времени 50, 30 и 20 тьіс. тонн стали, со-
ответственно. Свою продукцию компания поставляет
четмрем потребителям СІ, С2, СЗ и С4, потребности ко-
торнх составляют, соответственно, 12, 15, 25 и 36 тис.
тонн стали. Стоимости производства и транспортиров-
ки 1 тьіс. тонн стали с разннх заводов различньїм потре-
бителям приведень! ниже:
Потребитель Завод
МІ М2 МЗ
СІ 15 19 14
С2 19 18 16
СЗ 19 18 20
С4 15 19 18
Определите минимальнне общую стоимость, обье-
мм производства на каждом заводе и плани перевозок.
57
Задача 4.55.
Четьіре сталелитейньїх завода 1, 2, 3 и 4 производят
еженедельно, соответственно, 950, 300, 1350 и 450 тонн
стали определенного сорта. Стальньїе болванки должньї
бьіть переданьї потребителям А, В, С, О, Е, еженедель-
ньіе запроси которьіх составляют, соответственно, 250,
1000, 700, 650 и 450 тонн стали.
Стоимость транспортировки от заводов к потребите-
лям приведена в таблице:
Завод Потребитель
А В с О Е
1 12 16 21 19 32
2 4 4 9 5 24
3 3 8 14 10 26
4 24 33 36 34 49
Какой нужно составить план распределения сталь-
них болванок, чтобьі минимизировать общую стои-
мость?
Задача 4.56.
В некоторой местности в двух пунктах А и В имеется
потребность в дополнительном транспорте. В пункте А
требуется 5 дополнительньїх автобусов, а в пункте В — 7.
Известно, что 3, 4 и 5 автобусов могут бьіть полученьї,
соответственно, из гаражей СІ, С2, СЗ.
Как следует распределить зти автобуси между пунк-
тами А и В, чтоби минимизировать их суммарньїй про-
бег? Расстояния от гаражей до пунктов А и В приведень!
в таблице:
Гараж Расстояние до пунктов, миля
А В
О1 3 4
02 1 3
58
03
4
2
Задача 4.57.
Заводьі.фирмм распол ожени в городах Лидсе и Кар-
диффе. Они доставляют товари на склади городовМан-
честер, Бирмингем и Лондон. Расстояния между отими
городами приведеньї в таблице (расстояния округлень!
до десятков миль):
Манчестер Бирмингем Лондон
Лидс 40 ПО 190
Кардифф 170 100 150
Завод в г. Лидсе вьіпускает в год 800 т товаров, в
г. Кардиффе — 500 т. Манчестерский склад вмещает 400
т, бирмингемский — 600 т, алондонский — 300 т. Каксле-
дует транспортировать товари для минимизации цен на
перевозки?
На дороге Лондон-Кардифф ведутся работьі, удваи-
вающие стоимость перевозок по ней. Как би вьі пере-
смотрели план перевозок?
Задача 4.58.
В области имеются два цементних завода и три по-
требителя их продукции — домостроительньїх комбина-
та. В таблице указанн суточнне обьемьі производства
цемента, суточнне потребности в нем комбинатов и сто-
имость перевозки 1 т цемента от каждого завода к каждо-
му комбинату.
Заводьі Производ- ство це- мента (т/сут) Стоимость перевозки 1 т цемента (ден. ед.)
Комбинат1 Комбинат 2 Комбинат 3
1 40 10 15 20
2 60 20 зо зо
59
Потребно- сти в це- менте (т/сут) 50 20 ЗО
Требуется составить план суточньїх перевозок це-
мента с целью минимизации транспортних расходов.
Задача 4.59.
Пять человек с номерами МІ, М2, М5 способнш
вьіполнить пять заданий с номерами ТІ, Т2, ..., Т5. В
силу разной квалификации на вьіполнение зтих заданий
им потребуется различное время. Как следует распреде-
лить людей по заданиям, чтобьі минимизировать время
вмполнения? Время вьіполнения (в часах ) приведено в
таблице.
Сотрудники Задания
ТІ Т2 ТЗ Т4 Т5
МІ 10 5 9 18 11
М2 13 19 6 12 14
МЗ 3 2 4 4 5
М4 18 9 12 17 15
М5 11 6 14 19 10
Задача 4.60.
В городе А намечено провести городскую олимпиаду
по математике среди школьников, причем отдельно по
семи разделам. Для зтого каждая школа должна предста-
вить на олимпиаду по 7 учащихся для участия по одному
учащемуся в каждом разделе.
Школа N определила 7 учащихся в команду, причем
известно, что каждьій из семи учащихся может за отпу-
щенное время решить правильно следующее количество
задач:
60
Номер участника Количество правильно решенньїх задач по каждому из семи разделов
Номер раздела
1 2 3 4 5 6 7
1 11 15 20 16 13 26 11
2 12 13 22 14 16 29 13
3 14 16 24 22 22 32 16
4 14 12 20 19 20 31 15
5 16 13 22 20 23 34 17
6 13 15 18 14 26 29 18
7 12 11 16 17 17 24 10
Определите, кто и в каком разделе олимпиадьі дол-
жен участвовать.
Задача 4.61.
На новогоднем вечере будет проведем конкурс среди
танцевальньїх пар. Девять юношей идевятьдевушек дав-
но знакомьі друг с другом и знают, кто с кем и как танцу-
ет. Качество исполнения танцев парами по пятибалль-
ной системе в различньїх сочетаниях партнеров оцени-
вается так, как зто показано в таблице:
Андрей Борис Виктор Алексей Дмитрий Є о. о Йван Илья Леонид
Анна 3 4 5 2 4 5 3 2 5
Инна 4 4 2 4 5 4 5 5 3
Галина 2 4 3 5 4 5 3 4 5
Дарья 3 4 5 5 3 4 4 3 3
Мария 4 5 5 3 4 5 3 5 4
Кира 3 2 3 5 4 5 2 3 5
61
Андрей Борис Виктор Алексей | Дмитрий І Георгий Йван Илья Леонид
Ирина 5 2 4 3 2 5 3 4 5
Лариса 3 3 2 5 4 4 5 5 4
Нина 4 5 2 3 4 4 3 5 4
Как нужно составить танцевальньїе парьі, чтобн в
сумме набрать наибольшее количество баллов?
5. Ответьі к задачам 4-го раздела
4. Формулирование задач линейного программирова-
ния для последующего их решения
Задача 4.1.
а) х, — количество вьіпущенньїх полок модели А за
неделю;
х2 — количество вьіпущенньїх полок модели В за не-
делю.
Зх, + 4х2 -* тах,
2х, + Зх2 < 1200,
0,2х! + 0,5х2 < 160,
X] + х2 < 550,
Х| > 0,
х2 > 0.
Решение'. х, = 450, х2 = 100, при зтом будет получена
прибьіль в 1750,0 долл.
б) Зх| + 4х2 -> тах,
2хі + Зх2 < 1200,
0,2х) + 0,5х2 < 160,
X) + х2 < 450,
Х| > 0,
х2 > 0.
Решение'. X! = 216,67, х2 = 233,33, при зтом прибьіль
составит 1583,0 долл.
Задача 4.2.
Х|, х2, х3, х4 — количество радиаторов моделей А, В, С и
В, соответственно.
5х( + 5х2 + 12,5х3 + 10х4 -> тах,
0,5х! + 1,5х2 + 2х3+ 1,5х4< 500,
63
4Х| + 2х2 + 6х3 + 8х4 < 2500,
хь х2, Хз, х4 > 0.
Решение; х, = х3 = х4 - 0, х2 = 1250, при зтом будет по-
лучена прибмль 6250,0 долл
Задача 4.3.
хі, х2, Хз — количество продукции типа А, В, С, соот-
ветственно.
Зхі + 6х2 + 4х3 -» тах,
Х| + 6х2 + Зхз < 84,
Зх, + х2 + Зх3 < 42,
Х| + Зх2 + 2х3 < 24,
2х, + Зх2 + 4х3 < 42,
Х| > 0, х2 > 0, Хз > 0.
Решение; х, = 12%, х2 = 3%, х3 = 0, прибьіль при зтом
будет получена в размере 60,75 долл.
Задача 4.4.
хь х2 — количество продукта А и В, соответственно.
5х, + Зх2 -> тах,
0,5х| + 0,25х2 < 40,
0,4х| + 0,Зх2 < 36,
0,2Х| + 0,4х2 < 36,
Х| > 0, х2 > 0.
Решение; Х| = 60, х2 = 40, прибьіль составит 420 долл. в
неделю.
Задача 4.5.
х,, х2, Хз — количество изделий А, В, С, соответствен-
но.
Зхі + 4х2 + 5х3 —> тах,
2Х| + Зх2 + Зх3 < 12,
4Х| + х2 + 2х} <15,
х( > 0, х2 > 0, х3 > 0.
Решение: х( = х2 = 0 ; х3 = 4,0; прибьіль составит 20,0
единиц.
Задача 4.6.
хь х2 — количество изделий В1 и В2, соответственно.
х, + 1,5х2-> тах,
4хі + 2х2 < 352,
3х1< 240,
2Х| + 6х2 < 330,
Зх, + 5х2 < 420,
4х2 < 400,
х2 > 0,4(Х| + х2).
Решение: х( = 55,0; х2 = 36,67; прибьіль при зтом со-
ставит 110,0 руб.
Задача 4.7.
хь х2 — количество продукции вида і,и і2.
Зх( + 4х2 -» тах,
Зх, + х2 С 300,
х( > 40,
-Зх[ + 4х2 < 0.
Решение: Х| = 80,0; х2 = 60,0; прибьіль составит
480,0 долл.
Задача 4.8.
хь х2, х3, х4 — количество полуфабрикатов каждого из
семи типов, соответственно.
0,І00х| + 0,115х2 + 0,120хз + 0,090х4 + 0,065х5 + 0,080*6 +
+ 0,160x7 —> тах,
5х1 + 2х2 + 5х3 + 4х4+ Зх5 + 6х$ + 10х7 < 21000,
7хі + 5х3 + 8х4 + х5 + 2х7 < 18000,
15Х| + 6х2 + 4х3 + 7х4 + 7х5 + 4х6 + х7 < 27000,
2Х| + 7х2 + х3 + 2х5 + ЗХб + 11х7 < 18600,
З 65
14х, + 2х2 + 10х3 + 5х4 + 8х6 + 7х7 < 24000,
х5 > О,25(х, + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7),
х7 < 0,07(х| + х2 + х3 + х4 + х5 + Хб + х7).
Решение: х, = х4 = х6 = 0;х2 = 1041,180;хз= 1939,615;
х5= 1804,892;
х7 = 360,213.
Задача 4.9.
хьх2 — количество подшипников типа А и В, соответ-
ственно.
80х| + 125х2 —> тах,
О,ОІХ| + 0,02х2 < 160,
0,02Х[ + 0,01х2 < 120,
0,04х| + 0,01х2 < 150.
Решение: х( = 2000,0; х2 = 7000,0; прибьіль составит
при зтом 1035000,00 руб.
Задача 4.10.
х}, хі, ху — количество продукции 1, 2 и 3, соответст-
венно.
15х| + 20х2 + 30х3 —> тах,
Х| + 2х2 < 20,
2х( + Зх2 + х3 < 25,
Х| + х2 + Хз > 0.
Решение: х,=х2 = 0, х3 = 25, прибьіль в зтом случае со-
ставит 750 тьіс. руб.
Задача 4.11.
хн х2, хз — проценти содержания сортов А, В, С, соот-
ветственно.
70х| + 50х2 + Юхз -» тіп,
90хі + 65х2 + 45х3 > 60,
30Х| + 85х2 + 70х3 > 60,
Х| + х2 + х3 = 1.
66
Решение-. Х| = 17/59, х2 = 6/59, х3 = 36/59; при зтом раз-
дражающее воздействие будет оцениваться в 31,35 еди-
ницьі.
Задача 4.12.
хь х2, хз_ количество гарнитуров А, В и С, соответст-
венно.
900х, + 1100х2 + 1500х3-> тах,
х, + 2х2 + 4х3 < 360,
2Х| + 4х2 + 2х3 < 250,
Х| + х2 + 2х3 < 220.
Решение: Х| = 46,67; х2 = 0;х3 = 78,3; прибьіль при зтом
составит 159500,0 долл.
в) К предьідущей модели добавляется ограничение
хЗ > = 40; Х| = 46,67; х2 = 0; х3 = 78,3; прибмль составит
159500,0 долл.
Задача 4.13.
хь х2, х3, х4 — количество изделий 1, 2, 3 и 4 видов, со-
ответственно.
10х| + 20х2 + 40х3 + 40х4 —> тах,
Х| + Зх2 + 8х3 + 4х4 < 90,
2х, + 2х2 + х3 + Зх4 < 80.
Решение: Х] = х2 = х3 = 0; х4 = 22,5; прибмль составит
900 ден. ед.
а) 10х2 + 30х3 + 30х4 -> тах,
х1 + Зх2 + 8х3 + 4х4 < 100,
2х, + 2х2 + х3 + Зх4 < 80.
Решение: = х2 = х3 = 0; х4 = 25; прибьіль в зтом случае
составит 1000,0 ден. ед.
б) 10х| + 20х2 + 40х3 + 40х4 -> тах,
Х| + Зх2 + 8х3 + 4х4 < 90,
2х( + 2х2 + х3 + Зх4 < 80,
х4 = 15.
67
Решение'. х, = 11,25; х2 = 6,25; х3 = 0; х4 = 15,00; при-
бьіль составит в зтом случае 837,5 ден. ед.
Задача 4.14.
Х|» х2, хг — количество свитеров, пуловеров и костю-
мов, которьіе необходимо производить фирме для полу-
чения максимальної! прибьіли.
16Х| + 15х2 + 22х3-> тах,
0,4хі + 0,2х2 + 0,8х3 = 160,
0,2х( + 0,1х2 + 0,2х3 = 60.
Решение: х( = 0, х2 = 400, х3 = 100; при зтом прибьіль
составит 8200,0 ден. ед.
Задача 4.15.
хь х2 — количество продукции А и Б, соответственно.
Хі + х2-> тіп,
80х| + 70х2 > 2800,
2х, + Зх2 < 540,
%і + 4х2 < 550,
2хі + 1,5х2 < 450.
Решение: х, = 35, х2 = 0, значение целевой функции
составит 35.
Задача 4.16.
Х|, х2 — количество товара вида Т1 и Т2, соответствен-
но.
Хі + х2 -» тіп,
0,4х, + 0,6х2 < 360,
0,2хі +0,1х2< 120,
50х| + 80х2 > 40000,
Х| > 0, х2 > 0.
Решение: Х| = 0, х2 = 500, для получения указанной
прибьіли необходимо продавать минимум 500 единиц
товара Т2.
68
Задача 4.17.
Хь х2, Хі — количество столов 1-го, 2-го и 3-го, типов,
соответственно.
15%| + 22х2 + 19х3 —> тах,
2х| + Зх2 + 2х3 < 360,
Хі + 2х2 + Зх3 < 240,
Х| + х2 + 2х3 < 180,
х1 + х2 + х3 < 170.
Решение: Х| = 100,0; х2 = 40,0; х3 = 20,0; прибьіль соста-
вит 2760,0 долл.
а) К. предьідущей модели добавляется ограничение
хз > 30.
Решение: Х| = 90,0; х2 = 30,0; х3 = 30,0; прибьіль в зтом
случае составит 2580,0 долл.
б) 15х, + 22х2 + 19х3 —> тах,
2х, + Зх2 + 2х3 < 180,
х, + 2х2 + Зх3 < 240,
х1 + х2 + 2х3 < 180,
Х| + х2 + Хз < 170.
Решение: х, = 15,0; х2 = 0; х3 = 75,0; прибьіль составит
1650,0 долл.
Задача 4.18.
хь х2 — план производства изделий типа І и II, соот-
ветственно.
ЗхІ + 2х2 -> тах,
Зх| + 4х2 < 20,
Х| + Зх2< 10,
Решение: х, = 6,66; х2 = 0; прибнль составит 20,0 еди-
ниц.
а) Зхі + 2х2 -> тах,
3х1 + 4х2 < 21,
Х| + Зх2 < 10.
69
Решение: Х| = 7,0; х2 = 0; прибьіль — 21,0 единица;
Зх, + 2х2 тах,
3х1 + 4х2 < 21,
х, + Зх2 < 11.
Решение: х, = 7,0; х2 = 0; прибьіль — 21,0 единица.
Задача 4.19.
х,, х2, х3, х4 — количество продукции вида ПІ, П2, ПЗ
и П4, соответственно.
60хі + 70х2 + 120х3 + 130х4 —» тах,
х1 + 2х2 + Зх3 + 4х4 < 40,
6х| + 5х2 + 4х3 + Зх4 <110,
4х| + 6х2 + 8х3 + 12х4 < 100,
х, > 12,
х2 > 5,
х3 > 2,
х4 = 3.
Решение: х, = 12; х2 = 0; х3 = 2; х4 = 3; прибьіль составит
1350 единиц.
Задача 4.20.
Пусть 1 тонна смеси содержит х,, х2, х3 угля типа А,
В и С, соответственно.
ЗОх, + 30х2 + 45х3 -» тіп,
Хі + Х2 + Хз = 1,
0,06х1 + 0,04х2 + 0,02х3 < 0,03,
2Х| + 4х2 + Зх3 < 3,25.
Решение: х, = 1/12; х2 = 1/3; х3 = 7/12; прибьіль соста-
вит 38% долл.
Задача 4.21.
х„ х2, хз, х4, х5 — количество хлеба, сой, сушеной
рьібьі, фруктов, молока, соответственно.
12Х| + 36х2 + З2х3 + 18х4+ 10х5—» тіп,
70
2х] + 12х2 + 10х3 + х4 + 2х5 > 20,
12хі + 4х4 + Зх5 > ЗО,
Хі + 8х2 + Зх3 + 4х5 > 10,
2х{ + 2х2 + 4х3 + 6х4 + 2х5 > 40.
Решение". Х\=хг = 0; х3 = 0,83 кг; х4 = 5,0 кг; х5 = 3,33 л;
стоимость зтого набора продуктов составит 150 единиц.
Задача 4.22.
хь х2, х3 — количество (в кг) сена, силоса и концентра-
тов, соответственно, входящее в рацион одной коровьі.
1,5хі + 2х2 + 6х3 -» тіп,
50хі + 70х2 + 180х3 > 200,
10хі + 6х2 + Зх3 > 210,
2хі + Зх2 + х3 = 87,
X] > 0,
х2 > 0,
х3 > 0.
Решение. Хі = 6 кг; х2 = 25 кг; х3 = 0; при зтом стои-
мость рациона составит 59 руб.
Задача 4.23.
а) Хі, х2— количество товара 1-го и 2-го видов.
1 ООхі + 200х2 —> тах,
500хі + 700х2 < 2000,
X, > 0, х2 > 0.
Решение-. Хі = 0, х2 = 2,86; значение целевой функции
равно 571,43.
б) ЮОхі + 200х2 —> тах,
500хі + 700х2 < 2200,
Хі > 0, х2 > 0.
Решение: Х| = 0, х2 = 3,14; значение целевой функции
628,57.
в) ЮОхі + 200х2—> тах,
71
500х, + 840х2 < 2000,
Хі > 0, х2 > 0.
Решение-. х, = 0, х2 = 2,62; значение целевой функции
равно 523,81.
Задача 4.24.
Хь х2, х3 — используемое количество (в м2) металла,
стекла и пластмассьі, соответственно.
25хі + 20х2 + 40х3 -» тіп,
10Х| + 15х2 + 30х3 < 150,
х, + х2 + х3 = 14,
х, > 0,
Хг>4,
х2 < 5,
х3 > 0.
О 60 Л 10
Решение-. Хі = —; х2 = 4; х3 = —; стоимость кузова при
7 7
зтом составит 351,428 ден. ед.
Задача 4.25.
хн х2, х3, х4 — планируемое к випуску количество хо-
лодильников, газових плит, морозильних шкафов и
злектропечей, соответственно.
200х, + 180х2 + 250х3 + 100х4 —> шах,
2хі + 1,5х2 + Зх3 + х4 < 7000,
Зхі + Зх2 + 4х3 + 2х4 < 12000,
Х| > 0,
х2 > 0,
х3 > 0,
х4 > 0.
Решение-. Хі = х2 = 2000; х3 = х4 = 0; стоимость вьіпу-
щенной продукции составит 760000,0 ден. ед.
72
Задача 4.26.
хь х2, Хз, х4 — масса (в кг) мяса, муки, молока и сахара,
соответственно.
1500хі + 5000х2 + 5000х3 + 4000х4 -» тах,
х, + х2 + х3 + х4 < 35,
X] + 1,5х2 + 2х3 + х4 < 45,
- Хі + 2х2 < 0,
- х2 + х3 < 0,
- хз + 8х4 < 0,
х4 > 0.
Решение'. х( = 16 кг; х2 = Хз = 8 кг; х4 = 1кг; суммарная
калорийность продуктов составит 108000 ккал.
Задача 4.27.
хь х2, Хз, х4 — количество песцов, лис, нутрий и норок,
соответственно.
бхі + 12х2 + 8х3 + 10х4 -» тах,
Хі + 2х2 + х3 + 2х4 < 300,
Хі + 4х2 + 2х3 ‘< 400,
Хі + х2 + Зх3 + 2х2 < 600,
хь х2, Хз, х4 > 0.
Решение'. X! = х2 = 0; х3 = 200; х4 = 500; прибьіль соста-
вит 2100 ден. ед.
Задача 4.28.
хь хг, хз, х4, х5 — количество холодильников пяти ма-
рок, соответственно.
40хі + 70х2 + 120х3 + 120х4 + 50х3-> тах,
2хі + Зх2 + 5х3 + 4х4 + 4х5 < 9000,
2хі + 2х2 + 4х3 + 5х4 < 8500,
Хі + Зх2 + 2х3 + 4х5 < 4000,
Хі + 2х2 + Зхз + Зх4 + 2х5 < 5000,
хь х2, Хз, х4, х5 > 0.
73
Решение. х( = х2 = х3 = х5 = 0; х4 = 1666,67; прибнль со-
ставит 200000,0 ден.ед.
Задача 4.29.
80хц + 70х21 + 105х3і + 100х12 + 95х22 + 90х32 +120хі3 +
+ 120х23 + 120х33 + 85хи + 90х24 + 95х34 + 120хі5+ 110х25 +
+ 85х35 —> тіп,
— хн + — х12 + — х13 + — Х|4 + —ї—х15 < 7200,
20 15 18 15 19,5
— х2і + —х22 + —х23 + —х24 + — х25 < 8000,
ЗО 15 20 15 25
— х31 + —х32 + —х33 + —х34 + —х35 < 7500,
10 15 18 15 ЗО
х,, + х2і + хзі 30000,
Х)2 + х22 + х32 40000,
х13 + х2з + хзз 100000,
х14 + х24 + х34 > 20000,
х,5- + х25 + х35 > 50000.
Решение. х21 = 30000,0; х32 = 40000,0; х23 = 43392,86;
х33 = 56607,14; х)4 = 20000,0; х35 = 50000,0; себестоимость
продукции составит 23650000,0 ден. ед.
Задача 4.30.
хь х2, хз — количество станков Д1, Д2, ДЗ, соответст-
венно.
а) 10х| + 10х2 + 30х3 -> шах,
X, + 2х2 + 10х3 < 650,
4хі + Зх2 + 10х3 < 850,
2хі + Зх2 + 8х3 < 650,
хн х2, х3 > 0.
Решение'. Хі = 100,0; х2 = 150,0; х3 = 0; резерв ресурса
Р1 составляет 250 штук; прибьіль при зтом составит
2500,0 долл.
б) 12Х| + 1 2х2 + 27х3 -» тах,
74
Хі + 2х2 + 10х3 < 650,
4х! + Зх2 + 10х3 < 850,
2х( + Зх2 + 8х3 < 650,
хь х2, х3 > 0.
Решение'. Хі = 100,0; х2 = 150,0; х3 = 0; прибьіль соста-
вит 3000,0 долл.; резерв ресурса Р1 составит 250 штук.
в) Юхз + 10х2 + 30х3 -» тах,
Хі + 2х2 + Юхз < 650,
4х! + Зх2 + 10х3 < 850,
2х( + Зх2 + 8х3 < 650,
х, + х2 + 5х3 > 300.
Решение'. X! = 75; х2 = 100; х3 = 25; прибьіль составит
2500,0 долл.; резерв ресурса составит 125 штук;
Задача 4.31.
Х|, х2, х3 — количество индийского, грузинского и
краснодарского чая.
320хі + 290х2 -» тах,
0,5хі + 0,2х2 < 600,
0,2хі + 0,6х2< 870,
0,Зхі + 0,2х2< 430,
хь х2 > 0.
Решение'. Хі = 600; х2 = 1250; прибьіль составит
554500,0 ден.ед.
Задача 4.32.
хь х2, Хз, .., х9 — количество сплавов А, В, С , ... соот-
ветственно.
4,їх; + 4,3і\+5,&с, + 6,0х4 + 7,6^ + 7,5\ + 7,3*, + 6,9^+7,3х^ -> тіп,
0, ІХі + 0,2х2 + 0,4х3 + 0,6х4 + 0,Зх5 + 0,Зх6 + 0,Зх7 + 0,5х8 +
+ 0,2х9 = 0,3,
0, ІХі + 0,Зх2 + 0,5х3 + 0,Зх4 + 0,Зх5 + 0,4х6 + 0,2х7 + 0,4х8 +
+ 0,Зх9 = 0,3,
75
0,8хі + 0,6х2 + 0,1х3 + 0,1х4 + 0,4х5 + 0,Зхв + 0,5х7 + 0,1х8 +
+ 0,5x9 = 0,4.
Решение'. х2 = 0,6; х4 = 0,4; затрати составят 4,98 долл.
Задача 4.33.
450хи + 510х12 + 836х13+ 53 їх,, + бЗОх^ + ЗО2х31 + 288х,2 -> тіл,
200хп + 200хп + 450х13 + 300х2І + 600х22 > 500,
250х, + 250х12 + 250х13 + 1000х21 + 500х22+ 600х31 > 1800,
250хп + 850х12 + 850х13 + 150х21 + 650х22 + 600х32 > 1000,
800хн + 800х12 + 1300х13 + 300х2І + 600х22 > 1100,
600х„ + 1000х12 + 1100х13 + 800х21 + 600х22+ 1200х31 > 2800,
250хн + 850хі2 + 1150х13 + 400х21 + 1100х22 + 1 100х32 > 1250,
800хп + 800х12 + 1300х13 + 900х21 + 1050х22> 1700,
1000хп + 1000х12 + 1500х)3 + 800х21 + 1000х22 + 1650х31 > 3200,
700хц + 1200х12 + 1600х13 + 1300х21 + 1100х22+ 1600х32 > 2500,
хп +х,2 + х13 < 1,
х12 Х22 С 1,
*31 + Х32 < 1.
Решение'. х,2 = 1; х21 = 1; х31 = 1; хн = хп = х22 = х32 = 0;
таким образом, развитие І предприятия должно осуще-
ствляться по 2-му варианту, II и III — по первьім вариан-
там. При зтом производство проката по контролируе-
мьім годам планового периода будет характеризоваться
следующими данньїми, тьіс. т:
Сорт 1990 г. 1995 г. 2000 г.
Крупний 500 1100 1700
Средний 1850 3000 3450
Мелкий 1000 1250 2500
Интегральньїе приведенньїе затрати при зтом будут
минимальни и составят: 510 + 531 + 302 = 1343 млн. руб.
Задача 4.34.
ЮОхі + 120хп + 190х21 + 160x22 + 140хзі + 210х32-> тіп,
300хц + 100хі2 + 1000х2і + 500х22+ 600х3і + 200х32 > 1100,
250хц + 500хі2 + 100х2) + 500х22 + 700х32 > 1000,
76
ЗООхі । + 250х12 + 500х2і + 400х22 + 350х31 + 650х32 < 1200,
55хі і + 60хп + 190х2і + 100x22 + 80х3і + 90х32 < 250,
Хц + Х|2< 1,
х2, +х22< 1,
х3і + х32< 1.
Решение-. Хі2= 1; х22= 1; хЗІ = 1; Хп = х2і =х32 = 0; затра-
ти составят 420 млн. руб.
Таким образом, реконструкция І и II предприятий
должна осуществляться по 2-му, III — по 1-му варианту.
При зтом производство листового про ката на трех пред-
приятиях составит: 100 + 500 + 600 = 1200 тьіс. т, сорто-
вого: 500 + 500 = 1000 тьіс. т.
Общий расход ресурсов первого вида будет равен 250 +
+ 400 + 350 = 1000 тне. т; второго: 60 + 100 + 80 = 240 млн.
м3; суммарньїе приведенньїе затрать! составят 420 млн.
руб., что является минимальной величиной для задан-
ньіх обьемов производства, лимитов ресурсов и вариан-
тов реконструкции предприятий.
Задача 4.35.
хь хі, хз — количество деталей трех видов, соответст-
венно.
Зхі + х2 + 2х3 -» тах,
Хі + 2х2 + х3 < 890,
Зхі + 2х3 < 920,
Хі + 4х2 < 840,
X], х2, х3 > 0.
Решение: Х| = 0; х2 = 210; х3 = 460; прибьіль составит
1130 ден. ед.
Задача 4.37.
Хц — количество культури і, вьіращенной на землях і.
бхі і + 8х2і + 4х3| + 6x12 + 5х22 + 5х32 -> тах,
Хц +х2, + х3і= 14,
Хі2 + Х22+Х32= 12,
77
2хц + Зх2і + 3*зі + 3*12 + Зх22 + 2х32 = 56,
2х(1 + х21 + Зх3, + 2х12 + х22 + Зх32 = 70.
Решение'. X! і = 10; х31 = 4; х32 = 12; урожай составит 136,0.
Задача 4.38.
Ху(] = 1, 2, 3,4) — количество смеси компонента с но-
мером ].
40хі + 45х2 + 60х3 + 90х4 -» тіп,
х, + х2 + х3 + х4 = 1000,
68хі + 72х2 + 80х3 + 90х4 > 76*1000,
0,35хі + 0,35х2 + 0,Зх3 + 0,2х4 <0,3*1000,
хі < 700,
х2 < 600,
х3 < 500,
х4 < 300.
Реи/еяие:хі = 571;х2 = 0;х3= 143;х4=286; призтомсе-
бестоимость составит 57160 ден. ед.
Задача 4.39.
Примем за единицу измерения количества материа-
лов 10000 м3.
Обозначим через Хі — обьем добьічи материалов в ка-
рьере 1, х2 — в карьере 2, х3 — в карьере 3.
1000х( + 1350х2+ 1700х3-> тіп,
Хі + Х2 + х3 = 2,0 (1)
40х( + 40х2 + 20х3 < 60 (2)
0<Х|<0,8 (3)
0<х2<0,9 (4)
0<х3< 1,0 (5)
Условие (1) отражает потребность в материалах, (2) —
ограничение по наличию ресурса «фонд рабочего време-
ни зкскаваторов»; условия (3) — (5) отражают тот факт,
что добьіча материалов идет в условиях ограниченности
запасов материалов в соответствующих карьерах.
78
Решение-. х1 = 8000 м3; хг = 2000 м3; х3 = 10000 м3; при
зтом будет отработано 2770 автомобиле-смен.
Задача 4.40.
хь х2, х3 — количество деталей трех видов.
Зхі + х2 + 2х3 —> тах,
Зхі + 9х2 + Ах3 < В,
бхі + Зх3 < С.
Задача 4.41.
хь х2, х3, х4 — количество соответствующего видахлеба.
Их, + 12х2 + 5х3 + 6х4 -» тах,
0,5хі + 0,5х2 < А,
0,5х3 + 0,5х4 < В,
0,125х! + 0,125х4 < С,
2х( + х2 + х3 + х4 < В.
Задача 4.42.
Хі, х2 — годовой план производства пряжи вида 1 и
вида 2, соответственно.
1 ЮОх! + 900х2 -» тах,
0,5х| + 0,2х2 < 600,
Ах! + 0,6х2 < В,
(0,5 - А)Х! + 0,2 < С.
Задача 4.43.
ху— количество продукции, перевозимое с і-го скла-
ла в]-й магазин.
10хи+ 18хі2+ 15хіз+ 16х2і + 20х22+ 10х23-»тіп,
Хи + *|2 + х13 = 10(1,
х21 + х22 + х23 = 150,
хц + х2| = 70,
Х|2 + Х22 = 80,
*їз + *23= 100.
79
Решение-. хп = 70, х12 = ЗО, х22 = 50, х23 = 100, при зтом
стоимость перевозок составит 3240,0 руб.
Задача 4.44.
Ху — количество компьютеров, которое должно бнть
перевезено со склада і в магазин].
Хп + Зх13 + 4х14 + 2х15 + 5х2і + х22 + 2х23 + Зх24 + Зх25 + 4хЗІ +
+ 8х32 + х33 + 4х34 + Зх35 -» тіп,
Хч 1 + Х12 + Х13 + х14 + Х15 =15,
х21 + х22 + х23 + х24 + х25 = 25,
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 = 20,
хп + х2, + х31 = 20,
Хі2 + х22 + х}2 = 12,
Хіз + х23 + х33 = 5,
х14 + х24 + х34 = 8,
Хі5 + х25 + х35= 12.
Решение-. Хц= 15,0; Хг2= 12,0; х23= 1,0;х25= 12,0; хзі = 5,0;
х33=4,0; х34 = 8,0; стоимость перевозки составит 121,0 долл.,
на складах останется 3,0 невостребованньк компьютера.
Задача 4.45.
хц — количество вагонов, отправленньїх от і-го по-
ставщика ]-му пункту загрузки.
2хц + Зх12 + хі3 + 4х14 + Зх2і + 2х22 + 4х23 + 6х24 + 5хзі + Зх32 +
+ 6х33 + Зх34 —> тіп,
хп + х12 + х13 + х14< 120,
х21 + х22 + х23 + х24 < 65,
х3і + х32 + х33 + х34< 35,
хп + х21 + х31 = 90,
х12 + х22 + х32= 70,
х13 + х23 + х33 = 40.
Решение'. Хц = 80,Х|3 = 40,х2і= Ю,х22=55,х32= 15, зна-
чение целевой функции — 385,0.
80
Задача 4.46.
Ху — количество ящиков, которое должен получить
і-й склад с]-го завода.
0,90хц + 2,5хп + 0,60хіз + 1,80х2і + 1,70х22 + 1,80х2з +
4- 1,50хзі + 1,80х32 + 2,50х33 + 1,00х4і + 2,00х42 + 1,40х43 +
4- 2,70x51 4- 1,80х52+ 1,60х5з—> тіп,
Хц 4" Х]2 4“ хп= 300,
К21 + Х22 4- Х2з = 300,
хзі + х32 4- х3з = 300,
Х4І + Х« + Х43 = 300,
Х5І + х52 4- Х53 = 300,
Хц 4- Х21 4- х3| 4- Х4, 4- х5| < 250,
х|2 + х22 4- х32 4- Х42 4- Х52 < 500,
хп 4- х2з + Хзз + Х43 4- х53 < 750.
Решение: х13 = 300, х22 = 300, хЗІ = 100, х}2 = 200, х4) =
= 150, х43= 150, х53 = 300, при зтом стоимость перевозок
составит 2040,0 долл.
Задача 4.47.
Ху — количество служащих, назначенньїх на і-ю дол-
жность изі-й группьі.
Хіі 4- х144- х24 4- х25 4- хзі + х34 4- х4і 4- х42 4- х43 4- х45-> тах,
Хі24-хі4=8,
х24 4- х25 = З,
хзі 4-х34=9,
Х4і4-Х«4-Х434-Х45=5,
Хзі 4- Х4, = 2,
х]2 4- х42 = 5,
х43=4,
хи 4- х24 4- х34 = 8,
*15 + х45 = 6.
Решение: Х)2 = 5, х)4 = 1, х25 = 3, х31 = 2, х34 = 7, х43 = 4, х45=
= 1,Хі5=5; на новьіедолжности будут назначеньї 23 чело-
века.
81
Задача 4.48.
Хц — количество груза, перевозимого от і-го постав-
щика ]-му потребителю.
7хц + 9х12 + 2хв + 20х21 + 15х22 + 16х23-> тіп,
Хц + х12 + *!3 < 100,
*21 + *22 + -«23 < 200,
Хц + х21 = 80,
хІ2 + х22 = 130,
Хіз + *23 = 90.
Решение: хн = 10,0; х13 = 90,0; х21 = 70,0; х22 = 130,0;
стоимость перевозок составит 3600,0 единиц.
Задача 4.49.
Лі, — количество груза, которое і-й тип грузовика за-
бираетурго клиента.
30хп + 20х!2 + 40х13 + 10х14 + 20хі5 + 30х2і + 10х22 + ЗОх23 +
+ 20х24+ 30х25 + 40хзі + Юх32+ 10х33 + 40х34+ 10х35 + 20х41 +
+ 20х42 + 40х43 + 20х44 + 30х45 + 30х51 + 20х52 + 10х53 + 30х54 +
+ 40х55 -> тіп,
Хц + х12 + Хіз + х,4 + Х15 < 40,
х2, + х22 + х23 + х24 + х25 < 60,
Хзі + *32 + х33 + х34 + х35 < 20,
Х41 + Х42 + *43 + Х44 + Х45 < 30,
х51 + *52 + *53 + *54 + *55 < 20,
Хц + Х21 + Хц + Х4І + Х51 = 60,
Х12 + х22 + х32 + х42 + х52 = 30,
Х13 + *23 + Х33 + Х4з + Х53 = 100,
Х14 + Х24 + х34 + х44 + х54 = 50.
Решение. Хц = 40,0; х24 = 50,0; х32 = 10,0; х33 = 10,0; х» =
= 10,0; х42 = 20,0; х53 = 20,0; х21 = 10,0; значение целевой
функции — 3200,0.
Задача 4.50.
а) 5хц + 4х!2 + бхіз + 6х2і + Зх22 + 2х23 -> тіп,
Хц + Хі2 + Хіз< 16,
х2| + х22 + х23с 12,
Хц4-х2, = 10,
Х12 "І" Х22 = 13,
х13 + х23=7.
Решение-. Х|। = 8,0; хІ2 = 8,0; х22 = 5,0; х23 = 7,0; сумма
недостающих ресурсов составляет 2 тьіс. изделий ; стои-
мость перевозок — 101,0 единица.
б) 5хі і + 4хп + 6х13 + 6х2і 4- Зх22 + 2х23 -> тіп,
Х|і 4* Х12 4* Хіз С 20,
*21 4- Х22 4- Х23 < 14,
Хц4-Х21= 10,
Хі24-х22= 13,
х134-х23 = 7.
Решение: Хп = 10,0; х12 = 6,0; х22 = 7,0; х23 = 7,0; суммар-
ная стоимость перевозок составит 109,0 единиц.
Задача 4.51.
Хц — количество единиц продукции, поставляемое в
і-й город і-м заводом.
Х| і + 9Х|2 4- бхіз + 4х2і 4- 2х22 4- х2з 4- Хзі 4- 2х32 4- 7х33 4- 9х4і 4-
4- 8х42 4- Зх3з -> тіп,
Хп 4- хп4- хп= 1500,
х2і + х22 4- х23 = 2500,
хзі + х32 + х3з = 2700,
х4і 4" х42 4* х4з= 3300,
Хп 4- х2і 4- х3і 4- х4) < 6000,
Хі2 4* х22 4* Хз2 4" х42 3000,
Хіз 4- х23 4- Хзз 4- х4з < 3000.
Решение: хв = 1500; х22 = 2500; х3! = 2700; х42= 300; х4з =
= 3000; стоимость перевозок составит 11600,0 единиц.
83
Задача 4.52.
ху — количество перевозок, осуществленньїх і-й
авиалинией в .і-й пункт назначений.
24хц + 16хп + 8хп + Юх14 + 14хі5 + 21х2і + 15х22 + 7х23 +
+ 1 2х24 + 16х25 + 23хЗІ + 14х32 + 7х3з + 14х34 + 20х35 -> тіп,
Хц + Х,2 + Х,з + Х14 + Х15 = 20,
*21 + х22 + Х2І + х24 + Х25 = ЗО,
+ *32 + *33 + -«34 + -«35 = 20,
Хц +х2, 4-Хзі = 10,
Х12 + х22 + Х32 = 15,
Хіз + х23 + Х33 = 20,
Хі4 + х24 + х34= 10,
Х15 + *25 + Х35 = 15.
Решение: х14= 10, х15 = 10, х21 = 10, х23 = 15, х25 = 5, х32= 15,
х3з = 5; стоимость перевозок составит 880 фунтов стер-
лингов.
Задача 4.53.
Хц — количество пальто, вьіпущенньїх і-й фирмой ]-го
размера.
110хц + 115х12+ 126хіз + 107х2і+ 115х22 + 130х23 + 104х3і +
+ 109хз2 + ІІ6Х33—> тіп,
*п + *і2 + *із < 1000,
х2, + х22 + х23 < 1500,
х3, + Х32 + хзз < 2500,
•Хц + Х21 + х3і = 1000,
Хі2 + х22 + х32 = 1500,
хц + х23 + Х33 = 1200.
Решение: х2і = 1000, х22 = 200, х32 = 1300, Х33 = 1200; об-
щая стоимость пальто составит 410900,0 долл.
Задача 4.54.
х„ — количество тонн стали, перевозимой і-му потре-
бителю от .і-го поставщика.
84
15хп + 19х12 + 14х13 + 19х21 + 18х22 + 16х23 + 19х31 + 18х32 +
+ 20х33 + 15х41 + 19х42 + 18х43-> тіп,
х, і + х12 + х13 = 12,
х2і + х22 + х23= 15,
х3і + х32 + х33 = 25,
х41 + х42 + х43 = 36,
Хц + х21 + х31 + х41 < 50,
х12+ х22+ х32 + х42< ЗО,
х,3 + х23 + х33 + х43 < 20.
Решение: хн = 7,0; хп = 5,0; х23= 15,0; х32= 25,0; х41 =
= 36,0; суммарная стоимость перевозок 1405,0 ден. ед.
Задача 4.55.
ху — количество тонн стали, перевозимьіе еженедель-
но от і-го завода к ]-му потребителю.
12хц + 16х12 + 21х)3 + 19хц + 32х15 + 4х2! + 4х22 + 9х23 + 5х24 +
+ 24х25 + Зх3і + 8х32+ 14х33+ 10х34+ 26х35+ 24хц + 33х»2+ З6х»3 +
+ 34х44 + 49хі5 -> тіп,
Хц + х12 + х13 + х14 + х15 < 950,
х2і + х22 + х23 + х24 + х25 < 3000,
х31 + х32 + х33 + х34 + х35 < 1350,
х4і + х42 + х43 + х^ + х45 < 450,
Хц + х21 + х3| + х41 = 250,
Х12 + Х22 + х32 + х42 = 1000,
х!3 + х23 + х33 + х43 = 700,
Х|4 + х24 + х34 + Хи = 650,
Хи + х25 + х35 + х45 = 450.
Решение: х22 = 1000, х23 = 700, х24 = 650, х25 = 450, х3| =
= 250; значение целевой функции — 25100.
Задача 4.56.
Ху — количество автобусов, которьіе необходимо на-
править из і-го гаража в з‘-й пункт.
Зхц + 4хі2 + х2і + Зх22 + 4хзі + 2х32-> тіп,
85
Хц + Х12<3,
Х21 + Х22 < 4,
х3і + х32< 5,
хп + х21 +х31= 5,
х12 + х22 + х32 = 7.
Решение-. X] । = 1, хІ2 = 2, х2і = 4, х32 = 5; суммарньїй про-
бег автобусов при зтом составит 25 км.
Задача 4.57.
Хц — количество товаров, перевозимьіх с і-го завода
на ]-й склад.
40хц+ 110х12+ 190хп4- 170х2і+ 100х22+ 150х23->тіп,
Х|। 4" Х12 4~ Хі3 = 800,
х2і 4- х22 4- х23 = 500,
Хн 4- х2, < 400,
Х]2 4- х22 600,
х13 4- х23 < 300.
Решение-. хи = 400, х!2 = 400, х22 = 200, х23= 300; значе-
ние целевой функции равно 125000,0.
40хі і + П0х124- 190х,34- 170х21 4- 100х224- 300х23-> тіп,
при зтом ограничения остаются прежними.
Решение-. хн = 400, х12 = 100, х!3 = 300, х22 = 500, значе-
ние целевой функции составит при зтом 134000,0.
Задача 4.58.
Хц — количество цемента (в тоннах) от і-го цементно-
го завода .і-му потребителю.
10хц 4- 1 5хі2 4- 20Х|3 4- 20х2| 4- 30х22 4- ЗОх23 —> тіп,
Хц4-Хі24-Хі3<40,
Х21 4- х22 4- х23 С 60,
Хн 4- х2і = 50,
Х]2 4" Х22 = 20,
хп 4- х23 = 30.
86
Решение: Хц = 20, х12 = 20, х2) = ЗО, х23 = ЗО; при зтом
суммарная стоимость перевозок составит 2000,0 ден. ед.
Задача 4.59.
Хц — назначение і-го сотрудника на]-ю работу.
10хц + 5хі2+9Х|3+ 18х14+ 11х15+ 13х2!+ 19х22 + 6х23 + 12х24+
+ 14х25 + Зхзі + 2х32 + 4х3з + 4х34 + 5х35 + 18х4і + 9х42 + 12х43 +
+ 17x^4- 15х45 + 11х5і + 6х52 + 14х53+ 19х54+ 10х55-> тіп,
*11 +*12 + Х1з+Хі4+Хі5= 1,
Х21 + х22 + х23 + х24 + х25= 1,
Хзі + Х32 + Х33 + Х34 + Х35 = 1,
х4і + х42 + Х43 + х44 + х45 = 1,
Х51 + Х52 + *53 + Х54 + Х55 = 1,
Хц + х21 + х21 + х41 + хя = 1,
Х|2 + х22 + Х32 + Х42 + Х52 = 1,
Х|3 + х23 + Хзз + Х4з + х53 = 1,
Х14 + х24 + х34 + х44 + Х54 = 1,
Х|5 + х25 + Хзз + Х45 + Х55 = 1.
Решение: Х] і = х23 = х34 = х42 = х55 = 1, значение целевой
функции равно 39.
Задача 4.60.
Хц — назначение і-го участника на участие в]-м разде-
ле олимпиадьі.
11хц + 15х12 + 20х13+ 16х14+ 1 Зхц + 26х|6 + 11х17 + 12х2і + ІЗхгг +
+ 22хгз + 14х24+ 16х25+ 29х26 + 13х27+ 14х31 + 16хз2+24хзз+22хз4 +
+ 22х35+32хзб+ 16х37 + 14X11 + 12хі7+ 20х«+ 19х^ + 20х« + 31хіб +
+ 15х»7 + Ібхзі + ІЗХ52 + 22x53 + 20х54 + 2ЗЛ55 -* 34X56 + 17х57 +
+ І Зхб, + 15хб2 + 18хбз + 14x64 + 26x65 + 29x^6 + 18хі7 + 12х71 +
+ 11х72 + 16х73 + 17х74 + 17х75 + 24х76 + 10х77 -> тах,
Хп + Х12 + Х,з + Х,4 + Х|5 + Х16 + Х17 = 1,
х21 + Х22 + х2з + х24 + х25 + х26 + х27= 1,
Хзі + х32 + Хзз + Х34 + Х35 + Х36 + Х}7 = 1,
Х41 + Х42 + Х4з + Хфі + Х45 + Х46 + Х47 = 1,
Х51 + х52 + Х53 + Х54 + Х55 + Х56 + Х57 = 1,
Хбі + Х62 + Х63 + х64 + Х65 + Х66 + Хб7 = 1,
87
Х71 + х72 + «73 + Х74 + «75 + Х76 + х77~ 1,
Хц + Х21 + Х31 + Х4І + Х51 + Х6, + Х7І = 1,
х12 + х22 + Х32 Х42 + Х52 + -«62 + х72 = 1,
*13 + *23 + *33 + «43 + «53 + «63 + «73 = 1,
Х|4 + Х24 + Х34 + Х44 + Х54 + Х« + Х74 = 1,
«15 + Х25 + Х35 + Х45 + Х55 + Х65 + Х75 = 1,
«16 + «26 + «36 + «46 + «56 + х66 + х76 = 1,
«17 + «27 + «37 + «47 + «57 + «67 + «77 = 1-
Решение-. х12 = 1, х23 = 1, х34 = 1, х47 = 1, х56 = 1, х^ = 1,
х71 = 1, при зтом будетрешено всего 146 заданий.
Задача 4.61.
Ху — пара, составленная из девушки с і-м номером и
юноши с]-м номером.
Зхі і + 4Х|2 + 5х13 + 2х!4 + 4х15 + 5х)6 + Зх)7 + 2хі8 + 5х!9 + 4х2| +
+ 4х22 + 2х2з + 4х24 + 5х25 + 4х26 + 5х27 + 5х28 4" Зх29 + 2х3і +4х32 +
+ Зх33 + 5х34 + 4х35 + 5х36 + Зх37 + 4х38 + 5х39 + Зх4) + 4х42 + 5х43 +
+ 5x44+ 3x45 + 4x16 + 4x47 + Зх48+ Зх49+ 4х5) + 5х52 + 5х53+ Зх54 +
+ 4х55 + 5х56 + 3«57 + 5х58 + 4х59 + ЗХб! + 2Лб2 + ЗХб3 + 5хм + 4X65 +
+ 5x66 + 2X67 + ЗХбв + 5хб9 + 5х7і + 2х72 + 4х73 + Зх74 + 2х75 + 5х76 +
+3х77 + 4х78 + 5х79+Зх8і + Зх82+ 2х83+ 5х84 + 4х85 + 4х86+ 5х87 +
+ 5х88 + 4х89 +4х5і + 5х92 + 2х>3 + Зх94 + 4х95 + 4х96 + Зх>7 + 5х>8 +
+ 4х99 —> тах,
*11 + *12 + ^13 + *14 + *15 + *16 + *17 + *18 + >Сі9 = 1,
Х21 + х22 + х23 + х24 + х25 + х26 + х27 + ^28 + х29 = 1,
ХЗІ + *32 + х33 + х34 З" Х35 + Х36 + Х37 + Х38 + Х39 = 1,
*41 + Х42 + Х43 + Х44 + Х45 + Х46 + Х„ + Х48 + Х49 = 1,
*51 + *52 + -К53 + *54 + -«55 + *56 + *57 + *58 + х59 = 1>
Хбі + *62 + *63 + Хб4 + Хб5 + Хбб + Хб7 + Хб8 + Хб9 = 1,
Х7і + Х72 + Х73 + Х74 + Х75 + Х76 + Х77 + Х78 + Х79 = 1,
*81 + Х82 + -К83 + *84 + -К85 + ХІ6 + *87 + -К88 + *89 = 1,
Х9і + Х92 + Х93 + Х94 + Х95 + Х96 + Х97 + Х98 + Х99 = 1,
*11 + Х21 + -«ЗІ + *41 + *51 + *61 + *71 + -«81 + Х9і = 1,
«12 + Х22 + *32 + *42 + *52 + *62 + *72 + *82 + *92 = 1,
*13 + *23 + х33 + *43 + *53 + *63 + *73 + *83 + *93 = 1,
88
х]4 + Х24 + Х34 + Х44 + Х54 + Хм + Х74 + Х84 + Х94 = 1,
*15 + Х25 + Х35 + Х45 + Х55 + Х65 + Х75 + Х85 + Х95 = 1,
Х]6 "* х26 "* Х36 + Х46 + Х56 + Хм + Х76 + Х86 + Х96 = 1,
Х17 + Х27 + Х37 + Х47 + Х57 + Хб7 + Х77 + Х87 + Х97 = 1,
•*18 + х28 -*38 *" Х48 + Х38 + Хб8 + Х78 + Х88 + Хді = 1,
Х19 + Х29 + Х39 + Х49 + Х59 + Хб9 + Х79 + Х89 + Л99 = 1.
Решение: Хі6 = Х25=Хз4 = Х4з=Х58=Х69 = Х7і =х87= 1, при
зтом сумма полученньїх баллов будет равна 45.
Литература
1. Акулич И.Л. Математическое программирование
в примерах и задачах,— М.: Вьісшая школа, 1986.
2. Аиіманов С.А. Математические модели и методи
в зкономике.— М., 1980.
3. Ашманов С.А. Линейное программирование.— М.,
1981.
4. Горчаков А.А., Орлова И.В., Половников В.А. Мето-
ди зкономико-математического моделирования и
прогнозирования в нових условиях хозяйствова-
ния.-М.: ВЗФЗИ, 1991.
5. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерние зконо-
мико-математические модели,— М.: ЮНИТИ, 1995.
5. Данциг Дж. Линейное программирование.— М.,
1981.
6. Джонстон Д.Ж. Зконометрические методи,— М.:
Финанси и статистика, 1960.
7. КарасевА.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Матема-
тические методи и модели в планировании,— М.:
Зкономика, 1987.
90
Содержание
1. Задачи для графического решения..............З
2. Задачи для решения с использованием симплекс-метода...8
3. Составление двойственньїх задач линейного проірамми-
рования........................................22
4. Формулирование задач линейного программирования
для последующего их решения....................25
5. Ответм к задачам 4-го раздела...............63
министерство оощего ,«^.
;*&/* и пР°ФеСси°нального образования
• " V/Российской Федерации
Московский психолого-социальнмй ииститут й
Свидетельство о государственной аккредитации
№25-0342 от 23 декабря 1998 г.
113191, г. Москва, 4-й Рощинский пр-д, 9а,
тел.{095)954-30-35, факс (095)958-19-00
Е-таі1: ар8п@огс.ги
Приглашаем Вас учиться и работать в Московский
психолого-социальнмй ииститут, ведущий образователь-
иую деятельность с 1991 г. (лицензирована Государствен-
ньім Комитетом Российской Федерации по вмсшему обра-
зованию №16-279 от 17.10.95 г.). В 1998 году МПСИ про-
шел государственную аккредитацию (№25-0342 от
23.12.98 г.).
Его учредителямн являются:
Министерство общего н професіонального
образования РФ;
Московский комитет образования;
Академия педагогических н социальньїх наук;
Министерство национальной политики РФ.
Ииститут располагает филиалами в городах России и
странах СНГ: Рославле (Смоленская обл.), Надьіме (Тю-
менская обл.), Собинке (Владимирская обл.), Барнауле,
Йошкар-Оле, Бишкеке (Респ. Киргизстан), Магнито-
горске, Ижевске, Конаково (Тверская обл.), Одинцово
(Московская обл.), Злектростали (Московская обл.),
Брянске, Ярославле и др.- городах.
Обучение ведется на факультетах: психолого-педаго-
гическом; социальной работн и социальной педагогики;
специальной психологии и коррекционной педагогики;
менеджмента, зкономики и права; лингвистики и меж-
культурной коммуникации.
По окончании обучения вндается государственньїй
диплом.
Формьі обучения: очная, очно-заочная, заочная.
Время обучения: 5 лет и 6 лет, соответственно формам
обучения. Прием документов ведется по адресу институ-
та в течение всего года.
Проводится набор в аспирантуру по аккредитован-
ньім специальностям.
На время обучения студентам очного отделения пре-
доставляется оторочка от служби в Вооруженньїх Силах
РФ.
Институт не претендует на бюджетнеє финансирова-
ние и является некоммерческим научно-образователь-
ньім учреждением вьісшего професіонального образо-
вания. МПСИ не ставитсвоей целью извлечение приби-
ли, что делаетего доступним для людей среднегодостат-
ка. Институт предоставляет льготн в оплате обучения
многодетннм родителям. Содержание и обьем образова-
ния в МПСИ полностью соответствуют государствен-
ннм стандартам образования: основнне курси читаются
профессорско-преподавательским составом, с привле-
чением профессоров ведущих вузов Москви.
В МПСИ составленм и действуют рабочие программм
по повмшеиию психологической подготовки для:
а) руководящих работников образования, атакже промьіш-
леннмх предприятий,
б) руководящих и оперативних работников управлений
внутренннх дел,
в) сотрудников муниципальньїх управлеических структур.
Институт располагает необходимой базой для орга-
низации обучения и проживання в г. Москве и Подмос-
ковье (600—800 человекежемесячно), атакже организу-
ет и проводит внездную курсовую подготовку и занятия
на базе своих филиалов в регионах РФ и странах СНГ.
Подобнне курси, школьї-семинарн, тренинги носят
пролонгированннй характер и регулярно проводятся на
протяжении всего года.
В МПСИ действует компьютерньїй класе, подклю-
ченний к Интернету, ведутея факультативнне занятия
по изучению специального программного обеспечения:
автоматизации бухгалтерского учета, видеографики,
АСУ.
МПСИ предлагает средним общеобразовательнмм и
средним сменньїм школам (гимназиям, лицеям, ПТУ)
организацию дополнительного обучения учащихся по
основньїм направленням, соответствующим профилю
института: психологии и педагогике, социальной рабо-
те, специальной психологии и коррекционной педаго-
гике, клинической психологии идр.
Учащиеся, успешно освоившие учебньїе программьі,
после окончания среднего учебного заведення зачисля-
ются вне конкурса на соответствующий факультет по за-
очной форме обучения.
В МПСИ организованьї и действуют: Психологиче-
ский консультативний центр и Центр интеллектуально-
го развития ребенка, где вьісококвалифицированньїе
психологи предлагаютпомощьучащимся, их родителям,
бизнесменам идр., проводят индивидуальньїе и группо-
вме занятия с использованием методов восстановитель-
ного или формирующего обучения; видеотренинги,
компьютерное тестирование и пр.
Подготовка специалистов различньїх направлений в
МПСИ обеспечивается обширной научной и учебно-ме-
тодической литературой, издаваемой по поручению и
рекомендации Министерства общего и професіональ-
ного образования РФ (письмо №7/3 от 03.09.95 г.). Так,
МПСИ издает серии учебно-методических книг, обье-
диненньїх в «Библиотеку педагога-практика», «Библио-
теку социального работника», «Библиотеку социоло-
га-педагога», «Библиотеку школьного психолога»,
«Библиотеку логопеда». Институт издает журнал «Мир
психологии» (подписной индекс 47110) и 70-томную се-
рию избранньїх произведений «Психологи Отечества».
Приглашаем к сотрудничеству авторов, издательст-
ва, книготорговьіе организации, библиотеки и библио-
течньїе коллекторьі, всех заинтересованньїх лиц.
Деятельность института направлена на повьішение
уровня образованности и духовности нашего общества,
на совершенствование подготовки научньїх и практиче-
ских кадров образования, культури, зкономики, социа-
льной, юридической работьі.
Нет — наркотикам!
Шаг в пропасть... Опасно зто или нет? Сначалатьі ле-
тить, потом разбиваешься. Первая проба наркотика —
начало такого же полета. И конец будет таким же.
На продаже наркотиков зарабатьівают очень много.
Почему же иногда их дают бесплатно? Расчет на то, что
пойманнмй на наркотический крючок будет платить
всю оставшуюся жизнь.
Рьібе червяка дают бесплатно, сажают, как и тебя, на
крючок.
Кстати, а почему торговим «дурью» сами ее не по-
требляют? Подумай!
Нельзя избавиться от наркомании, просто «попро-
сив у нее прощення», как у родителей за плохой посту-
пок. Наркомания не прощает ничего, никогда и никому!
Каждмй наркоман в зтом уже убедился.
Начавший потреблять «дурь» становится ее рабом.
Не верь рабу, правдивим может бьітьтолько свободньїй
человек. Здесь и друг может сказаться врагом.
Избегай потребляющих наркотики: наркотическая за-
раза распространяется незаметно!
Куликов Ю. Г., Шеховцова Н. Ф-,
Зикеева Л. П.
Зкономико-математические методи и модели
(раздел «Линейное программирование»)
Учебное пособие
для лрактических занятий
Технический редактор: И. Л. Карюков
Корректорн: Т. А. Височина
Е. Р. Хекконен
Компьютерная верстка: Н. В. Гайворонская
Издательство НПО «МОДЗК».
394000, г. Воронеж, а/я 179.
Тел.: (073-2) 49-87-35.
Московский психолого-социальньїй институт
113191, г. Москва, 4-й Рощинский проезд, 9а.
Сдано в печать 19.04.2000. Формат 84x108/32. Бумага газетная.
Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 5,04.
Тираж 5000. Заказ №3642.
Отпечатано с компьютерного набора
в издательско-полиграфической фирме «Воронеж»,
394000, г. Воронеж, пр. Революции, 39.
Куликов Ю. Г., Шеховцова Н. Ф., Зикеева Л. П.
Зкономико-математические
методьі и модели
(раздел «Линейное программирование»)
Настоящее учебное пособие предназначено для практических
занятий по курсу «Зкономико-математические методьі и модели» со
студентами зкономических специальностей.
Вьіполнение предлагаемьіх задач в аудитории и дома обеспечит
систематическую работу студентов над курсом.
9 785893 951
851