ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕ! I! ИЛИ И! 1ДУСТРИ АЛЫ ИЛИ У1И1ВЕРСИТЕ Г
А.И. Мартяков
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
Москва 2008
УДК 681.5
ББК 32.965
М29
Рецензенты:
К. Б. Алексеев, профессор;
каф. автоматики, информатики и систем управления МГИУ
Мартяков Л. II.
М29 Теория автоматического управления: Сборник задач и уп-
ражнений. - М.: МГИУ. 2008. - 147 с.
ISBN 978-5-2760-1347-3
Приводятся задачи на получение временных и частотных харак-
теристик типовых звеньев и систем автоматического управления в це-
лом, использование критериев устойчивости, определение показателей
качества управления.
Сборник может быть полечен студентам, аспирантам, изучающим
теорию автоматического управления, и преподавателям одноименной
дисциплины.
УДК 681.5
ББК 32.965
ISBN 978-5-2760-1347-3
© А.И. Мартяков, 2008
© МГИУ, 2008
Содержание
Предисловие...............................................4
Тема 1.	Виды корней, их представление на плоскости.......6
Тема 2. Функции комплексного переменного
(комплексные функции)....................................  13
Тема 3.	11реобразование Лапласа.........................17
Тема 4. Нахождение оригинала по его изображению..........23
Тема 5. Применение преобразования Лапласа для решения
дифференциальных уравнений..........................     33
Тема 6.	Составление блок-схем систем автоматического
управления...................................... 38
Тема 7.	Получение передаточных функций................  44
Тема 8.	Получение временных функций.....................51
Тема 9.	Построение логарифмических частотных
характеристик (ЛЧХ)..............................59
Тема 10.	Структурные схемы и их преобразование...........67
Тема 11.	Статические и астатические САУ...............   76
Тема 12.	Устойчивость систем автоматического управления...81
Тема 13. Критерий устойчивости Гурвица...................88
Тема 14. Критерий устойчивости Михайлова.................97
Тема 15. Критерий устойчивости Найквиста................  108
Тема 16. Логарифмический аналог критерия Найквиста....... 117
Тема 17. Показатели качества управления..................125
Заключение..............................................139
Приложение...........................................        140
Литера1ура.............................................     147
3
Предисловие
Предлагаемый сборник задач адресован, прежде всего, сту-
дентам специальности 2203 «Автоматизация технологических
процессов и производств» изучающим теорию автоматического
управления. Сборник может служить определенным руково-
дством для проведения семинарских занятий вышеназванного
курса.
Задачи, представленные в сборнике, были апробированы
при проведении семинаров по дисциплинам: «Математические
основы теории автоматического управления» и «Теория авто-
матического управления», в течение ряда лет как самим авто-
ром, так и другими преподавателями. Это позволило устранить
замеченные неточности вычислений и опечатки, нс оказавшие
влияния на основные сведения.
Содержание сборника распределено по темам. В несколь-
ких первых темах автор счел уместным кратко напомнить эле-
менты теории функции комплексною переменного, преобразо-
вание Лапласа, операционное исчисление. Остальные темы по-
священы самой теории линейных непрерывных систем автома-
тического управления, начиная с определения и получения вре-
менных и частотных характеристик, критериев устойчивости и
кончая показателями качества. Автор счел возможным вынести
за пределы настоящего сборника вопросы синтеза корректи-
рующих устройств, поскольку этот пробел возмещается в посо-
бии по выполнению курсовой работы, посвященной синтезу
корректирующих устройств.
Каждая тема начинается с кратких теоретических сведений
ио рассматриваемому вопросу, затем приводится достаточное
количество разнообразных примеров с подробным решением, а
в конце предлагаются задачи для самостоятельного решения и
ответы.
4
Мартяков А.И.
Поскольку некоторые задачи сборника нре;исдаются на заче-
те и экзамене, io в целях достижения положи тельного результата
на них, рекомендуется прорешать задачи соответствующих тем.
В конце сборника приведено Приложение, содержащее 10
оригиальных вариантов контрольной работы, которая может
быть рекомендована для оценки текущих знании и степени ос-
воения студентами теоретических положении.
Сборник может быть использован как краткий самоучитель
по теории автоматического управления студентами других спе-
циальностей. где читаются аналогичные или смежные дисцип-
лины.
Автор выражает искреннюю благодарность профессору
Алексееву К.Б. за предложения и замечания, высказанные при
рецензировании и способствовавшие улучшению сборника.
5
Тема 1: ВИДЫ КОРНЕИ, ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
НА ПЛОСКОСТИ
При решении квадратных уравнений могут возникнуть сле-
дующие случаи, приводящие к различным вилам корней:
а)	уравнение х2 + 5х + 6 = О имеет два различных действи-
тельных корня: Л] = —2 и а2 = _3; уравнение л"—5х + 6 = 0 имеет
также два различных действительных корня: лу = + 2 и х2 = + 3.
Поскольку корни обоих уравнений являются действитель-
ными числами, то их можно представить на числовой оси. Эту'
ось часто называю! действительной и обозначают двумя на-
чальными буквами французского слова Rc[clJ — действитель-
ный.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Re
-I---1---1---1----1--1----1---1---1---1------►
б)	уравнение х2 + 9 = 0 в области действительных значений
корней не имеет. Решение можно представить лд 2 = ±7-9 =
= ± 3 7—1. Вводя обозначение 7-1 = j. называемое в дальней-
шем мнимой единицей, решение можно записать: Л] 2 = ±3/. Для
геометрического представления мнимых чисел была предложе-
на еще одна ось координат, которую провели вертикально через
пулевое значение действительной оси и обозначили ее симво-
лом мнимой единицы j или двумя начальными буквами фран-
цузского слова ImfaginaircJ - мнимый.
Обратим внимание, что из определения мнимой единицы еле-
’3	। о  Л 1 о •(>	। -7 «К ।
дуст: j = — \\j =-j\j = I;j =jj =- l;j -~J'J = I и воооще на-
блюдается периодичность .мнимой единицы с периодом 4. то есть:
Ллг _ ।. -4?* 1 _ • 4л 3 _ t 3	• . у	1	\
J м JJ RJ тЛ где (к-=0,1,2,3,...).
в)	у равнение л“ - 4х + 13 = 0 уже имеет корни, содержащие
как действительную, так и мнимую составляющие: л\2 = 2 ± 3/.
Поэтому такие корни называются комплексными. Математиче-
ский символ ± в данном случае нс обозначает арифметические
действия, а лишь соединение действительной и мнимой частей.
6
Март яков А. И.
Часто комплексное число обозначаю! одной буквой z. Для слу-
чая наших корней можно записать: Г] = 2 + 3J и г2 = 2 — 3/.
Два комплексных числа, имеющих одну и ту же первую со-
ставляющую. но противоположные по знаку вторые компонен-
ты, называются сопряженными. В соответствии с определени-
ем Г) и z2 сопряженные числа.
Две взаимно перпендикулярные (действительная и мнимая)
оси координат образуют комплексную плоскость (рис. 1). на ко-
торой можно отметить расположение всех видов корней (чер-
ными точками отмечены действительные числа, кружочками -
чисто мнимые и крестиками — комплексные). На рисунке видно,
что комплексные и чисто мнимые сопряженные корни на плос-
кости располагаются симметрично относительно действитель-
ной оси.
д1т
Рис. 1
Формы представлении комплексных чисел
Комплексное число записанное в виде г = a + jb являет со-
бой алгебраическую форму представления. Положение точки,
например А (рис. 1), может быть определено в полярной систе-
ме координат углом наклона вектора ОА и его длиной. Расстоя-
ние ОА от начала координат до точки Л называется модулем
комплексного числа ц: mod zi = IrJ = /•] = \^2" 4-32 или в об-
Теория автоматического управления
щем случае г = \(Г +Ь~ . Модуль комплексного числа есть по-
ложительная величина для всех z 0, он определяет длину век-
тора. Очевидно, что модули сопряженных чисел равны.
Аргументом комплексного числа Z| называется угол, об-
разованный вектором ОА и положительным направлением дей-
ствительной оси (рис. 1): arg Г| = $5i - arc/g (3/2) или в общей за-
писи: Arg z - <р + 2/тА' - arctg(b/a) + 2л/< (к - 0. ±1. ±2. ...). Аргу-
мент комплексного числа, отличного от нуля, функция неодно-
значная. Главное значение аргумента обозначают через arg z и
обычно выбирают его в пределах - л- < arg z < it.
Иначе говоря, аргумент комплексного числа - это угол, на
который необходимо повернуть положительную действитель-
ною полуось, чтобы она совпала с вектором комплексного чис-
ла. Угол считается положительным, если вращение положи-
тельной действительной полуоси совершается против часовой
стрелки (рис. 1, вектор имеет положительный аргумент), и
отрицательным — в противном случае. Следует заметить, что
аргумент (р комплексного числа z определяется обратной триго-
нометрической функцией равной <р = arc/g (Im s/Re с), главное
значение которой лежит в пределах (- тг/2< <р < it!2). Поэтому
если вектор комплексного числа располагается во 2-ой или 3-й
четверти комплексной плоскости, то его аргумент подсчитывает-
ся но формуле:
<р = +.1Г I- arc/g (Im r/Re z)	(1)
11люс перед n берется, если считается, что поворот вектора
происходил против часовой стрелки (в положительном направ-
лении), и в противном случае берется минус.
На рис. 1 видно, что действительная часть комплексного
числа есть проекция векгора на ось абсцисс, а мнимая часть
есть проекция того же вектора па ось ординат. В этом случае
комплексное число z = a + jb может быть представлено в т ри-
гонометрической форме:
a = t • cos ip,
b = г • sin (р и
г = г (cos <p+j sin <р).
8
Март яков А. И.
Обратим внимание, что аргументы сопряженных чисел
равны по величине, но противоположны по знаку. Например, на
рис. 1:
= arg г । = arc/g (3/2). а «р?= arg r2 = arc/g (-3/2) = -arc/g (3/2)
и, следовательно, (р\ — — (р2_
Используя формулы Эйлера:
d9 = cos <р + j s‘\i\ <р	(2)
е ™ = cos (р —J .sin (р.	(3)
можем получить показательную форму комплексного числа:
- = Г<Л* н сопряженного ему z = г e iV>.
I Целесообразно запомнить следующие выражения, получае-
мые: путем сложения равенств (2) и (3):
cos^ = е JV)I2
(4)
путем вычитания (3) из (2):
sin <р = (е'” + е '°)/2j
(5)
Ниже приводятся три формы записи комплексных сопря-
женных чисел (или выражений).
Алгебраическая форма:
"1 = « + jb и “2 = a - jb.
(6)
где соответственно a — Re z действительная, a b — Im z мнимая
части комплексного числа;
Тригонометрическая форма:
Z] = г (cos <р +j sin <р)
и z2 = г (cos <р -j sin (р),	(7)
где г = vrr + b2 - модуль комплексного числа, а (р =	+ arc/g
(Im r/Rc z) - аргумент:
Показательная форма:
Zi _ rd9 и z2 = г е19.	(8)
Действия с комплексными числами
Все законы обычной алгебры (распределительный, сочета-
тельный и переместительный) и действия с алгебраическими
выражениями (сложение, вычитание, умножение, деление, воз-
Теория автоматического управления
ведение в степень и извлечение корня) справедливы и для ком-
плексных чисел.
При сложении (вычитании) комплексных чисел лучше ис-
пользовать алгебраическую форму записи, а указанные опера-
ции сводятся к сложению (вычитанию) отдельно их действи-
тельных и мнимых частей.
В частности, сумма двух комплексных сопряженных чисел
равна удвоенной действительной части, а их разность - удвоен-
ной мнимой части.
Геометрически сложение (вычитание) комплексных чисел
сводится к сложению (вычитанию) соответствующих векторов
по правилу параллелограмма или треугольника (рис.2).
Вектор ОС представляет сумму z\ + г2, а вектор ВЛ (или 0D) -
разность Z] - ~2.
Выполнение операций умножения (деления) комплексных
чисел удобнее всего производить, представляя их в показатель-
ной форме записи: z = г
Тогда модуль произведения комплексных чисел равен про-
изведению модулей сомножителей, а аргумент произведения
равен сумме аргументов сомножителей:
(-Г
= <Pl + <P2-
где | z.p z21 = 1\1 2, a arg
10
Мартяков А.И.
При перемножении п одинаковых комплексных чисел, то
есть при возведении числа в п-ю степень, получаем:
- (ге^У’ = г" e’<,v'- гп(cos (рп + jsin (рп) — формулу Муавра (9)
В частности, модуль произведения комплексных сопряжен-
ных чисел равен квадрату модуля одного из сомножителей - г~,
а аргумент произведения равен нулю.
Модуль частного комплексных чисел равен отношению мо-
дулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности
аргументов делимого и делителя:
Z)/r2 = г,-^1 /г2^2 = (п/г2)-е'х*,’0П
где | Z]/ z2 | = г\!гъ arg (z(/ z2) = <fl\- (р2.
В частности, модуль частного комплексных сопряженных
чисел равен единице, а аргумент - удвоенному аргументу де-
лимого.
Задачи для самостоятельной работы:
1.	Сложите комплексные числа:
а)	-3 + 5j и 4—8j;	в) 0 + 2j и 0—5 j;
б)	2 + Oj и 7 + Oj;	г) —2 + 3j и —2—3j.
2.	Получите разность чисел:
а) -5 + 2j и 3-5j:
б)	3 + 2j и -3 + 2j:
в) 3-4j и 3 + 4j;
г) 2] и -7.
3.	Выполните перемножение чисел:
a)	1 —2j и 3 + 2j;	г) -3 + j и -3-j;
б)	-7- 4j и 5 + 8j:	д) -3 + j и -3 + j:
в)	2-7j и - 4-3j:	e)6- j и -5 + j.
4.	Найдите частное от деления:
а)	7—4j на 3 + 2j:
б)	-2 + 5j на —3—4j;
в)	—6 + 2 lj на 4—14j;
г)	4 -7j на I —5j.
11
Теория автоматического управления
5.	Вычислите модуль и аргумент комплексных чисел:
6.	Представьте комплексные числа в показательной и
тригонометрической формах:
a)O+j	B)-l+jV3
6)-2 + 0j	r)-V3/2 + jl/2.
Ответы:
1.	a). l-3j; 6)9;	B)-3j;	r)-4.
2.	a) -8 + 7j; 6) 6: в) -8j: r) -7 + 2j.
3.	a) 7—4j; 6) -3 -76j: в) -29 + 22j; r) 10; д) 8—6 j; e) -29 + 11 j.
4.	a) l-2j; 6)-0,56-0,92j; в)-1,5; i)l,5 + 0^5j.
5.	a) 5,83 и 59°(-301 °); б) Л и 45° (-315°); в) 5 и 126.86° (-233,14°);
г) 2 и 120°(-240°); д) 2 и 210° (-150°); е) 2?2 и 145° (-225°).
6.	а) е 'п/2 и j .sin 90°; б) 2 е и 2-cos л; в) 2 е '2г'/э и
2(cos 120° + j sin 120°); г) сJ?I/6 и (cos 150° + j sin 150°).
12
Тема 2: ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО (КОМПЛЕКСНЫЕ
ФУНКЦИИ)
В теории автоматического управления при описании со-
стояния системы часто используются комплексные переменные,
функции которых, в свою очередь, являются комплексными вы-
ражениями. Комплексную переменную часто обозначают бук-
вой s - а - jco. где о и со - действительные переменные ком-
плексной плоскости, которую будем называть просто
л-плоскостью.
Функции комплексной переменной в общем случае являют-
ся комплексными функциями, вследствие чего они могут быть
представлены в любой из форм записи (алгебраической, показа-
тельной. тригонометрической) аналогично комплексному числу.
Например.
= (7(а со) + J Г'((7. щ),
где - действительная часть, а - мнимая часть
комплексной функции	11а плоскости И' значения U отсчи-
тываются вдоль действительной оси (оси абсцисс), а значения
V - вдоль мнимой оси (оси ординат). Рассмотрим несколько
примеров.
Пример 1. Построить траекторию функции li'(s) = з + 2
при изменении з вдоль мнимой оси от Joo до +j<x>, Так как но
условию <7 = 0, тогда Н '($) ч=1Ь) -jco + 2. Действительная часть
U= 2, а мнимая часть V = со. Значения со изменяются от -со до +со.
Изобразим графики траекторий аргумента s и функции Ji' на
соответствующих плоскостях (рис. 1 ,а и рис. 1,6).
13
Теория автоматического управления
.1®
плоскость S
\траекторияs
liV :
П ПЛОСКОСТЬ W
2 U
О
траектория
\W(j со)
б)
Рис. I
Пример 2. 1 встроить траекторию функции W'(.v) = 2/(.v + 1)
при изменении s вдоль мнимой оеи от -jx> до +/оо. Как и в пер-
вом примере, о= 0. Представим функцию И7 (5)в алгебраи-
ческой форме записи.
где
пум)=—2(	—=_2_
О‘й?+1)(-7<У+1) (О~+\
-2со
йГ + 1
(2)
U(a) = и ГГ<у) =
0)' + I	(0~ + 1
(3)
соответственно действительная и мнимая части комплексной
функции /Г(/со). Поскольку траекторию будем строить в коор-
динатах U{(o) установим связь между ними, исключив в
их выражениях (3) промежуточную переменную &>. Из равенств
(3) можно получить:
U I
— = —и 1^-co U
2 ar +1
— V I'2
откуда следует, что м = и со2 =у7о-
Подставляя со2 в равенство (7, после несложных преобразо-
ваний получим: Г'2 + U2 = 21J или (J2 — 2U + Р2 = 0. Выделяя в
последнем равенстве квадрат разности (U- 1)\ получаем окон-
чательное уравнение окружности со смещенным на единицу
вправо центром:
(JJ- 1)2+ //2= 1.	(4)
14
Март яков А. И.
Рис. 2
Таким образом, траектория функции И (/со) при изменении
со от —оо до т-оо представляет собой окружность (рис. 2) при
прежней траектории переменной 5.
Верхняя часть полуокружности соответствует изменению ш
от - оо до 0. а нижняя - изменению о) от 0 до + х.
Пример 3. Построить графики зависимости модуля и
фазы функции l!'(s) = 2/(s + 1) при изменении s вдоль мнимой
оси от -уоо до +/оо. Как и ранее, (7 = 0. Используя результаты
примера 2, получим формулы для построения графиков:
модуля |И(/7о)| = Л (со) = \-U2 + ГЛ2 = 2/д/йГ + I и
фазы (аргумента) ср - аге /g (- со) - - arc/g со.
Изменяя со в пределах от -со до +</>, получим графики моду-
ля (рис. 3) и аргумента (рис. 4).
-со —СО -2 -I О 1	2	СО—со
Рис. 3
Рис. 4
15
Теория автоматического управления
Задачи дли самостоятельной работы
1.	Получить уравнение и по нему построить траекторию
функции H'(s) = s/(s + 1) при изменении $ вдоль мнимой оси от
л = -усо до 5 = +j<x> (ст = 0) в декартовых координатах I '(го) и
JI (<«).
2.	Получить зависимости модуля и аргумента функции
И'($) = s/(s + 1), если <7 — 0, a s изменяется от -jco до +/оо.
3.	Построить графики модуля А (го) и аргумента ^(го).
Ответы
1.	Уравнение траектории (U- 0,5)" + К" = 0,5"- окружность
со смещенным на 0,5 вправо но оси U центром и радиусом 0,5.
1А плоскость W
2.	Модуль А(со) = Vu- + V' = cn|/ Ver +1.
А(сф
3.	Аргумент ф = arc/g (I / o>).
V M, градус
16
Тема 3: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
В теории автоматического управления анализируется пове-
дение систем в течение времени. Поэтому при математическом
описании систем приходится иметь дело с функциями, аргумен-
том которых является время. Произвольную функцию такого
аргумента будем обозначать /(/). Следует заметить, что время -
величина только положительная, то есть аргумент принимает
значения (> 0.
Прямым преобразованием Лапласа называют математиче-
скую операцию
СЮ
/{/«} =	= Fh).
О
где /(/) преобразуемая функция, именуемая оригиналом;
F{s}~ результат преобразования, называемый изображением:
е ''-ядро преобразования;
s ~ ст +jCl).
Интегральное преобразование (I) служит для определения
изображения, соответствующего оригиналу. Математически
соответствие обозначают /(/) <—F(s).
Наряду с прямым преобразованием Лапласа существует и
обратное, позволяющее найти оригинал по его изображению:
£-,{/-74=J- J =	(2)
Надо сказать, что непосредственное интегрирование изо-
бражения в соответствии с равенством (2) осуществляется до-
вольно редко. Это объясняется тем. что. опираясь на ряд теорем
и составленные таблицы соответствия «изображение-
оригинал». можно сравнительно быстро получить оригинал.
Перечислим основные свойства преобразования Лапласа,
вытекающие из соответствующих теорем.
17
Теория автоматического управления
I.	Линейности'.
£ ЁХ Д(/)г = Ё«< -^U)
Ц'=/ J
(3)
где at- постоянные коэффициенты.
2.	Дифференцирование в области действительной пере-
менной t:
при нулевых начальных условиях.
3.	Интегрирование в области действительной перемен-
ной t
i{J =
i,
(6)
при нулевых значениях постоянных интегрирования.
4.	Смещение действительной переменной t
i {j(t -	= е’° • F(s), 1пёс f (1 -t) — 0 d’dc 0 < t < t
L{j(t + v} =e+TX  F(s), inec / (t - t) = 0 d’dc - r < t < oj	™
где г-действительное неотрицательное число.
5.	Смещение комплексной переменной s:
4'в •/(«}=
ik"/w}= FCs-rj]
(8)
6.	Умножение изображений (свертывание функций в об-
ласти действительной переменной)
18
Март яков А. И.
7.	Умножение оригинала f(t) па независимую действи-
тельную переменную t (дифференцирование в комплексной
области)
• /О)} - _
dF(s)
ds
(Ю)
8.	Деление оригинала (t) на независимую действитель-
ную переменную t (интегрирование в комплексной области)
= J F(.s)ds
(И)
9.	Предельные значения функции (оригинала):
а) начальное значение
/(О) =lim/(/)= lim s-F(s)
>0	5—>М>
б) конечное значение
/(«•)= Пт f(t)= Пт s  F(s)
(12)
(13)
О
Рассмотрим несколько примеров на получение изображе-
ния функций.
Пример 1. /(/) = 1(f) - единичный скачок, равный еди-
нице при всех / > 0 и равный 0 при I < 0.
Пример 2. J(t) = 1(/ - а), а - положительное действи-
тельное число; используя свойство 4, формулу (7,а), получим
изображение /•'($):
£{!(/- а)) = е"7х
II р и м ер 3. /(/) = е а - положи тельное действитель-
ное число
19
Теория автоматического управления
Пример 4. /(/) = sin cot, м - положительное действи-
тельное число. Представим тригонометрическую функцию в
показательной форме записи, используя формулу Эйлера: sin cot
= (е"“ - е и тогда
(О
Пример 5. J(f) — t. 11 олучить изображение можно путем
прямого интегрирования, но воспользуемся свойством 7. фор-
мулой (10).
Пример 6. Получим изображение 5(/)-фуикции. Запи-
шем се в форме предела:
£(/)= Нт —£{[|(/)-|(/-т)]}= Нт
Далее, раскрывая неопределенность типа 0/0, получаем
АДО)} = 1.
Наиболее часю встречающиеся на практике функции и их
изображения представлены в таблице: «оригинал-
изображение».
Таблица
Оригинал-изображение
№
поз.
Оригинал f (t)
Изображение F(s)
Комментарий (ссылка)
2
..—......'
5(t)
Щ-т)
,-13
Свойство 4, форм; ла 7а
sin wt
е- , а - const
1/s
en/s
M(s +a)
1/sz
nf/s" *1
Свойство 4, формула 7а
Свойство 7, формула 10
Используя формулу Эй-
лера
_2 .	2
20
Мартяков А. И.
Продолжение таблицы
2
-tort
Свойства 5 или 7
10
t- sin wt
Свойство 7
2
s
11
cos wt
Используя формулу Эй-
лера
12
t- cos wt
s -
Л~ 212
Свойство 7
13
sin wt
Свойство 5
14
• °'- cos wt
Свойство 5
2- .	2
Задачи дли самостоятельной работы
Получше изображения следующих функций:
15.	/(/) = cos (oiz - а):
16.	/(Z) = c2/-sin (t - 3);
17.	/(z) = c°'cosjz;
!./(/) = Г- sin w/;
2	./(Z) = Zl(Z-a);
3	. /(Z) = 158(7 - 2);
4	./(Z) = zsin 2z:
5	. /(Z) = 3z-ea/, где a - eonsz.;
6	./(Z) = (12z-61(Z))c4';
7	./(Z) = 5e5'-8(z-5):
8	. /(z) = z cos 4z;
9	. /(z) = 0,25 e "!'sin 4z;
10	./(z) = (12z-24l(z))e4,;
ll	./(z) = Zc-“”';
12	./(Z)-c" B, sinZ;
13	. /(z) = 8cos2 z:
14	. /(z) = 8je J'sin z;
18.	/(z) = Л e
19.	/(z) = g-c '‘‘sin gz. где g и a
eonsz:
2O.	/(z) = e5'-l(z);
21.	/(Z) = 0,25z - 0,125sin 2Z;
22.	/(Z) = (Z-2) l(z-2);
23.	/(z) = 6[5(z-3)-sinz];
24.	/(Z)=3(z-2)e\
25.	/(Z)=2sin2(Z-7);
26.	/(Z) = 2sin z cos z- 2z:
27.	/(z) = cos (4/ - 6)e -3,:
28.	/(z)= 13e'2,-8(Z-5).
21
Теория автоматического управления
Ответы:
-as (О
S + СО
3. F(s) = 15е -1';
18. F(s) =
20. F{s) =
24. F(s)
= 6е
6
26. /'(л) = -
22
Тема 4: НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА
ПО ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЮ
Общая форма изображения представляется рациональной
алгебраической дробью вида:
’ т


где а и b действительные постоянные коэффициенты, а т и п
положительные целые числа, определяющие порядок много-
членов числителя и знаменателя. Коэффициент при высшей
степени s в многочлене AXs) приведен к единице путем деления
всех коэффициентов в числителе и знаменателе F{s) на посто-
янную По.
Рассмотрим наиболее час го вст речающийся случай на прак-
тике, когда т < п, то сеть изображение F(s) представляет пра-
вильную дробь.
При этом возможны следующие случаи: 1) все полюсы F(s)
или корни AXs), что одно и то же, простые; 2) некоторые или все
полюсы F(s) кратные.
1. Все п корней Аг($) простые: л...sk, .... 5„ и ни один
из них не является корнем Toma F(s) можно представить в
виде:
F(s) =
(1)
Равенство (1) может быть представлено в виде суммы эле-
ментарных дробей с неизвестными коэффициентами числите-
лей:
23
Теория автоматического управления
Для вычисления любого коэффициента, например А;, обе
части равенства (2) домножают на (л-5,). Множитель (л-s() чис-
лителя имеется и в знаменателе N(s) равенства (2) и потому мо-
жет быть сокращен.
(3)
Если теперь в (3) положить у = 5,. то все слагаемые правой
части, кроме к„ обратятся в 0, а в левой будет число, опреде-
ляющее значение коэффициента.
Таким образом.
Обратим внимание, что в знаменателе правой части отсут-
ствует сокращенный множитель (s Но в таком случае про-
изведение
есть первая производная по комплексной переменной s при 5= v
Следовательно, любой коэффициент к, разложения может быть
найден но формуле:
(5)
Разложение (2) в компактной форме записи примет вил:
Поскольку
(6)
(7)
24
Мартяков А.И.
то учитывая (6) и (7), оригинал, соответствующий изображению
(2), можно найти по формуле:
(8)
Рассмотрим частный случай, когда изображение имеет один
нулевой полюс 5| = 0:
M(s) _M(s) M(s)
(9)
где A’i(s) = (5 - S2)... (s - S\)... (s - s>t), N'i(s) - производная no s, a
коэффициенты:
АДО).
Лг! (0) *
для / = 2,3,...
(Ю)
Оригинал, соответствующий изображению вида (9), нахо-
дится по формуле:
Рассмотрим несколько примеров получения оригиналов по
данным изображениям.
Пример I
где b = conxf.
На основании свойств 1 и 4 найдем оригинал для каждого
слагаемого изображения, используя таблицу «оригинал-
изображение»:
/(0 = (/ + Л)2 + 2/>(t + h) + b1  I (/ + Ь).
25
Теория автоматического управления
Пример 2
F(s) =
5 + 3
(5 + З)2 + со2
-2s ю
Используя свойства 4, 5 и таблицу соозветствия. можно за-
писать оригинал: /(/) = е -3/ • cos со(/ — 2/со) = е ~3‘ • cos {cot — 2).
Пример 3
/•'(s) = 15  е
Число 15 является коэффициентом в изображении. Поэто-
му, с учетом линейности обратного преобразования Лапласа и
воспользовавшись свойством (пли поз. 2 таблицы «оригинал-
изображение»), получим оригинал:
/(/) = 15е)(/-5).
Пример 4
Представим изображение в виде суммы дробей:
Используя формулы (5) или (6). подсчитаем коэффициенты
А‘1 и К 2
и запишем оригинал:
/(/) = 2е '/3 + е “273 = (2е ‘ + в "2,)/3.
II р и мер 5
Здесь изображение имеет один нулевой полюс, а
Aj = (s +	+ UT2). Представим изображение в виде суммы
дробей:
26
Март яков А. И.
а коэффициенты будем искать по формулам (10). В результате полу-
чается: Kj = Ti T2: к2= Ti‘T2‘(Ti-тУ(Ту- Г]); к3= 7рТ2‘(Тг-тУ(7\- Т2).
Оригинал будет равен:
/W=(?ri(/)+e2 c '7|
В). Нахождение оригиналов в случае кратных корней зна-
менателя A(s) рассмотрим на конкретных примерах, в которых
обратим внимание на некоторые приемы.
Пример 6
Если не принимать во внимание смещение комплексной пе-
ременной s, то изображение соответствует табличному ориги-
налу /(/) = при п-2. Далее, опираясь на свойство 5, оконча-
тельно получаем:

Пример 7
Приведем способ получения коэффициентов разложения
изображения, имеющего кратный нулевой полюс второго по-
рядка. Проиллюстрируем его па числовом примере.
11усть изображение имеет вид:
0,8 5+1
S s?(0.2s + l)(0.04s+l)
Не приводя знаменатель к нормированному виду, предста-
вим изображение в виде суммы дробей:
F( у) =	°+1	= 11 +11 +	+ ?4
'	? (0.2s+ 1) (0,04s+ 1) s2 s 0.2s + l 0,04s+l’
Для расчета коэффициента iq домножим обе части равенст-
ва на s“ и затем положим s — 0.
27
Теория автоматического управления
0.85 +1
(О.25 + 1)(О,О45+ l)v_ft
 л и
Однако применить этот прием для определения коэффици-
ента к? невозможно. Для ею вычисления из левой части изо-
бражения вычтем первое слагаемое правой части с уже найден-
ным коэффициентом Kj:
После приведения к общем) знаменателю в левой части и
упрощения дроби порядок знаменателя понизился на единиц) :
0.56-0.0085	_ q2	<?ц
7(0.25+1)(0.045+1) “ Т 0.2 7+1 0.045 + 1 ’
Теперь все остальные коэффициенты К2,кз,К4 могут быть
легко найдены:
_	0.56-0.0085
€2 " (1ЦГГ|Х0Д47+1)|5=о
0.56;
0.56 - 0,008.5
 >
5 (0.045 + 1)
0.56-0.0085
= 0.0076.
ИТ 04
С учетом найденных коэффициентов изображение F(s) при-
мет вид:
0,85 + 1	I 0.56	0,15	0,0076
52 (0.25+1) (0.045+1)~ 52	5	0.25 + 1 0,045+Г
Опираясь на свойство линейности преобразования Лапласа,
запишем оригиналы для каждого слагаемого отдельно с одно-
временной коррекцией коэффициентов третьего и четвертого
слагаемых при приведении знаменателя к типовому виду.
L l {1/.<}=/;
28
Март яков А. И.
£"’ {0.56/s} = 0.56 1(f);
£~11 ~0,Ь I = I-1	= -0,75е"5/
[0.2s + 1J [ $ + 5 J
ллад^1=019е_25,
[0.04$ + 1]	|$ + 25,
И окончательно оригинал будет равеи:/(/) = / + 0.56 • 1(f) -
-0,75е 5/ + 0.19е 25л
Пример 8
Изображение F(s) =
представим в виде
F(s) =
Для вычисления к 1 обе части последнего равенства домно-
жим на (л-З/)". В знаменателе левой части имеется подобный
сомножитель, который сократится. В левой части сократится
знаменатель первого слагаемого, оставив свободным коэффи-
циент кь
Если теперь в (**) положить л = 3/, то в левой части равен-
ства будет некоторое число, в правой - только коэффициент Kj
так как остальные слагаемые обратятся в нуль.
Для определения коэффициента к2 продифференцируем по
комплексной переменной $ выражение (**)
а затем положим значение 5 = 3j.
29
Теория автоматического управления
-24	1
6/3 “ 9 /;
Коэффициент разложения к3 вычисляется аналогично ко-
эффициенгу К|
а для нахождения коэф-
фициента кд используется метод, примененный при определе-
нии коэффициента к2.
Запишем изображение с найденными числовыми коэффи-
циентами разложения
12	_	1	1	1	1
Р + э)2" 3(1-37)2 + 9/(л-3;) 3(.v + 3./)! 9/V + 3/)'
На основании линейности обратного преобразования Лап-
ласа запишем оригинал от каждого слагаемого правой части.
Используя формулы Эйлера, выражения в скобках в ориги-
нале можно представить тригонометрическими функциями
Задачи для самостоятельного решения по нахождению
оригиналов
s2 -16
(л “ + 1 б)
30
Мартяков А.И.
8л + 10
»
s2-3s-28
3(5-1)
4. F(s) =
10. F(s) =
i- f м=
11. F(s) =
13. F(s) =
12. F(s) =
1
ш
(s + l)2 э 4(s + 3)
э
s‘ +1
4
s(s +1) (5 + 2)
14. F(s) =
17. F(s) =
1
(s + 2)2(s + l)
18. F(s) =
21.F(s) =
20. F(s) =
n!
(s +	
22. F(s) =
24. F(s) =
4
(s-l)(s2 + 9.v+ 20)'
Ответы:
!./(/) = 5e2'- cos 3/;
2.	/(/) = 1 cos 4/;
3.	/(/) = / sin 2/;
31
Теория автоматического управления
4.	/(/) = 3cos 2t- l,5sin 2/1
5.	= — 0,4лin 2/ + 0,6sin 3/1
6.	/(/) = е ~7/  cos 3/;
7.	/(/) = 2е“*' + 6е7'1
8.	/(/) = Л е
9.	/(/) = 0,25е -2/ sin 4/;
10.	/(/) = (<? е "5')/32 - (е 3' sin 2/)/16,
11	./(/) = е '(0,5/ - 0,25-1 (/)) + 0,25е \
12.	/(/)=!(/)-!(/-3)1
13.	/(/) = 0.51(7)-2<? ' + 2,5с> 2';
14.	/(/) = sin 2/- /;
15.	/(/) = 7г-е 2,i
16./(/)=l(/)e3'-l(/-2)i
17.	/(/) = 0.5/- е' + 0.125(е ‘ - е ”3');
18.	/(/) = -е2,(/ + 1)+б?
19.	/(/) = 1,5 / sin /;
20.	/(/) = (2/2-е ‘ -2te‘ -I- е е 3')/8;
2!./(/) = 1(/-2)- е 3(/-2,[cos2(/-2) + sin2(/-2)];
22.	/(/)=р	\
15	3 э
23.	/(/) =---/--!(/)+ -е' + — е2‘ 
2	4	3	12
24.	/(/) = е‘ - е~'( cos 2/ + 1,5 sin 2/) i
25.	/(/) = t" • e .
32
Тема 5: ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Преобразование Лапласа позволяет фактически свести реше-
ние дифференциальных уравнений к решению алгебраических.
Методику нахождения решения дифференциальною урав-
нения проиллюстрируем на примерах.
Пример 1
+ 8х(/) = 2-1(/)
В уравнении (1), как и в последующих, в качестве аргумен-
та t принимается время, а зависимую переменную л(/) (или в ка-
ком либо другом обозначении) будем записывать без аргумента /.
В правой части дифференциального уравнения традиционно
указывается функция воздействия, которая также является
функцией времени.
Если не упомянуты начальные условия, то будем считать их
равными нулю. Будем считать, что все исследуемые фунции и
воздействия преобразуемы по Лапласу, иначе имеют изображения.
Преобразуем но Лапласу уравнение (1), используя свойства
линейности и дифференцирования.
.$-2A'(s) + 6&¥($) + 8 A'(s) = Us. откуда получаем изображение
искомой функции:
Решив квадратное уравнение л2 + 6s + 8 = 0, представим
изображение в виде суммы простых дробей:
А ($) = -;-гт---г = — ч—— + ——. а затем, найдя ко-
i(s + 2Xs + 4)	5	5 + 2 5 + 4
эффициенты
33
Теория автоматического управления
s-0
= 0.25.
»
запишем решение л(О дифференциального уравнения как ори-
гинал изображения Л'(з):
л(/) = 0,25 1 (Z) - 0,5е -2/ + 0.25е -4'.
Пример 2. Дано интегрально-дифференциальное урав-
нение
— + 7л + 12[хdt = е 21,
dt
которое после преобразования по Лапласу примет вид:
(2)
Тогда изображение искомой функции примет вид:
Далее определяем значения коэффициентов разложения:
(s + 2)(s + 3)
34
Март яков А. И.
Решение шггщрально-дифференциалыюго уравнения за-
пишется.
Пример 3
Дано:
Преобразуя обе части уравнения (3), получим:
Можно, как и ранее, определить корни знаменателя, кото-
рые являются комплексными, и далее изображение представить
в виде суммы простых дробей с последующим нахождением
оригиналов. 11о рассмотрим другой способ решения.
Дополним знаменатель до полного квадрата суммы.
s2+s+l=[s2+2-0.5s + (0,5)2]+l-(0,5)2 =(s+0,5)2+0,75 =
= (s+0,5)2
После такого представления знаменателя в нем можно об-
наружить знаменатель изображения 5111 или cos. Комплексный
аргумент смещен на 0.5, что соответствует умножению ориги-
нала на экспоненту. Домножим и разделим правую часть изо-
бражения на (V3/2).
Тогда достаточно очевидно, что оригинал, соответствую-
щий такому' изображению, равен:
д(/) = (2/) е 415'sin (73 / 2)/.
35
Теория автоматического управления
Задачи для самостоятельного решения.
1.	х" + 6Л-' + 9л = J(/)i
2.	х" + л- = f + 6/1
3.	л" + 6л' + 5л- = 8е "3
4.	л'" + л' = 10е2/;
5.	л"+л =e”/+2-l(/)i
6.	х" - Зл' + 2л- = 4/2;
7.	х" + Л-' — CO.S /1
8.	х” + 4л = 2 .sin 2/1
9.	л"-9л = 2-1(/)-2/1
10.	л" + л = .sin 2/1
11.	л" + 8л' + 7л- = <>( /-3 )1
12.	л' + 2л + f xdt = 16f e3t dt:
13.	л" + Юл'+ 74л-= <5(/)i
14.	4л" + 8л-' + 5л - <5(/)1
15.	л" + 8л' + 7л- = 2/ + 2-1 (/)1
16.	5л' + 8л- + 4f xdt = 20-1 (/);
17.	2л-'" + 9х" + 10л'= <?(/-9):
18.	л" + 4л- = co.s /•
19.	л" + л - cost + 51п2/;
20.	л" - 4л-' = 4е 2
21.	л'' + Зл' + 2.г = 4/1
22.	2л" + Юл' + 8.v = .sin3/.
Ответы:
1.	л(/) = / е'31:
2.	л(/) = f:
3.	x(t) = - 2е~3'+ е^ + е51;
4.	л(/) = -5-1 (/) + е2/+ 4 со.$ / - 2- .sin /1
5.	л(/) = 2-1 (/) -2,5-cos / + 0.5 sin / + 0,5-е
6.	л(/) = 2 Г + 6 / + 7-1(/) - 8-е'+ е2/;
7.	л(/) = 0,5- (е1- cos t + .sin /)i
8.	л(/) = — 0,5/- co.s 2/ + 0,25 .sin 2/i
36
Март яков А. И.
(2sin /-sin 2/)/3;
—е *(4/ + 1(/)) + е4'.
9.	л(/) =
10.	л(/) =
11.	,v(/) =
12.	л(/) =
13.	л(/):
14.	л(/) =
15.	л(/) =
16.	Л (0 =
17.	Х/) =
18.	л(/) =
19.	л(/) =
20.	л(/) =
21.	д-(/) =
22.	л’(/):
!/-<,	• л-1
-le ’ sinO.s/
7\	i
0,5е 1 -sin 0,5/;
I Oe nM- sin 0,4/;
0J• 1(/- 9) - 0,5-1(/- 9) e’2(,"y) + 0,4-Ц/- 9)е’2Л/'9);
(cos / -cos 2/) / 3;
(3/ sin / + 4sin / -2sin 2/) / 6;
0.5-l(/) + 0,5/'-?';
2/-3-l(/) + 4e'-e-/;
50
3	1
---cos3/-------sin 3/.
100	100
37
Тема 6: СОСТАВЛЕНИЕ БЛОК-СХЕМ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В различных отраслях человеческой деятельности встреча-
ется многочисленное разнообразие систем управления. В них
могут сочетаться взаимодействующие друг с другом и отли-
чающиеся ио принципам действия, конструкции, физическим
параметрам элементы. При создании системы важно представ-
лять последовательность включения и возможность взаимодей-
ствия элементов. Целью настоящего занятия является приобре-
тение навыков составления блок-схемы системы автоматическо-
го управления (САУ) но се функциональной схеме. Сформули-
руем определенную последовательность действий при состав-
лении блок-схем.
1.	В функциональной исходной схеме выделяют отдельные
элементы, представляющие собой конструктивно законченные
самостоятельные изделия.
2.	В каждом таком элементе определяют входные и выход-
ные физические величины.
3.	В соответствии с прохождением сигналов выстраивают
цепочку прямоугольников, обозначающих каждый самостоя-
тельный элемент системы. В направлении прохождения сигнала
прямоугольники соединяются стрелками так, чтобы выходная
физическая величина предыдущего прямоугольника являлась
бы входным сигналом последующего.
4.	В элементе сравнения, изображаемом кружочком, поде-
ленным на четыре сектора, должны сопоставляться физические
величины одной и той же размерности.
Пример 1. На рис. 1 приведена схема автоматического
регулирования температуры двигателя путем поддержания на
определенном уровне температуры охлаждающей ею жидкост и
(в нашем примере температуры воды).
38
Март яков А. И.
=I«W
Рис. I
J тепловой
— двигатель
(Объект \
регулн- г
рованпя I
ОР /
J t.°C- const
Рассмотрим вкратце работу системы регулирования темпе-
ратуры. Задающим устройством является винт, которым уста-
навливается допустимая температура двигателя. Сравниваю-
щим элементом служит сильфон. В замкну том объеме сильфона
находится легко испаряющаяся жидкость. При повышении тем-
пературы давление газа в его замкнутом объеме повышается,
гофры сильфона раздвигаются, перемещая клапан.
При холодном двигателе вода циркулирует по малому кон-
туру: двигатель—термостат-двигатель. Если температура двига-
теля и. следовательно, охлаждающей его воды превысит уста-
новленную задатчиком величину, то давление в сильфоне ста-
нет таким, что клапан перекроет магистраль малого контура.
Охлаждающая вода пойдет по большому контуру через охлаж-
дающий радиатор. Таким образом, поддерживается с опреде-
ленной точностью постоянство температуры двш ателя.
Составим блок-схему рассмотренной системы прямого
действия.
►- задатчик —
клапан
—► :ОР (двигатель)
В схеме задатчик температу ры — винт, поворотом которого
поджимается сильфон (элемент 1 в схеме), задавая гем самым
необходимую температуру /%. Если температура двигателя пре-
высит заданную, то сильфон перемещает клапан на расстояние
39
Теория автоматического управления
х„. перекрывая соответствующую магистраль. Изменение пути
протекания воды фактически приводит к изменению расхода Q
воды, поступающей в двигатель. Информация о действительной
температуре 1°^ двигателя по цепи обратной связи передается
на элемент сравнения (сильфон в термостате), где и сопоставля-
ется с заданной температурой
Пример 2. Рассмотрим систему стабилизации частоты
вращения ротора генератора (рис. 2)
<3
ИД
пн-
заслонка
расход пара г туроиня
теть
тахо -
TCHq>aTop
гене-
j pat op
Рис. 2
Вырабатываемая электродвижущая сила (ЭДС)- Е пропор-
циональна частоте вращения ю ротора генератора. Чтобы она
была постоянной, равной требуемому значению, необходимо на
соответствующем уровне стабилизировать частоту со. Требуе-
мая величина со устанавливается с помощью проградуированно-
го в единицах угловой скорости потенциометра задатчика ПЗ.
Напряжение Un определяет требуемую скорость вращения ро-
тора генератора. Это напряжение непрерывно сравнивается с
напряжением (71Г, поступающим с тахогенератора и несущим
информацию о действительной скорости вращения ротора гене-
ратора (U„ - k„ cd). Если отклонение скорости вращения ротора
генератора больше допустимого значения, то разность
(l/w- С/„), увеличенная в усилителе до Ц1В. заставляет исполни-
тельный двигатель ИД перемещать заслонку, изменяя расход
О пара, поступающего в турбину. При скорости, большей, чем
требуется, заслонка опускается, расход пара уменьшается. При
скорости меньшей заслонка, наоборот, поднимается (расход па-
ра увеличивается). Ротор генератора и якорь тахогенератора со-
40
Март яков А. И.
едннены с валом турбины и, следовательно, все они имеют одну
и ту же скорость вращения.
В блок-схеме приняты следующие обозначения:
Ш - потенциометр - задатчик необходимой частоты вращения со:
требуемое напряжение в некотором принятом масштабе:
{/тг - измеряемое напряжение, пропорциональное генери-
руемому Е (Цг = /л Е. где m масштаб);
ДС/ - U(l) — U„ — отклонение измеряемого напряжения от
требуемого; У- усилитель;
3 - заслонка и ее перемещение х;
О - расход пара;
Т— турбина:
Г- генератор:
Е — генерируемая ЭДС;
ТГ - тахогенератор.
Пример 3. Позиционная система управления мощно-
стью ядерно го реактора (рис. 3)
рейка-шестерня
электронный
Uk усилитель
ядернын
ре&тор
графитовый
стержень
ПОННЗЭШЮН-
ная камера
41
Теория автоматического управления
Рассмотрим упрощенно процессы, происходящие в ядерном
реакторе. Мощность реактора пропорциональна количеству вы-
деленных нейтронов в процессе деления урана. Каждое ядро
урана, поглотившее нейтрон, испускает два-три нейтрона, кото-
рые, в свою очередь, поглощаются другими ядрами урана. Об-
разуется цепная реакция с выделением большого количества
тепловой энергии. Для поддержания динамического равновесия
ценной реакции необходимо, чтобы количество образующихся
нейтронов было равно числу теряемых нейтронов, поглощае-
мых графитовым стержнем, расположенным в активной зоне
реактора. Поскольку число нейтронов пропорционально мощ-
ности реактора, то необходимо определять количество обра-
зующихся нейтронов. Эту функцию выполняет ионизационная
камера, ток i„ которой пропорционален мощности реактора.
Изменение мощности реактора достигается регулированием ко-
личества нейтронов путем перемещения в нужном направлении
графитового стержня. Пусть требуется повысить мощность ре-
актора. Оператор на пульте управления перемещает движок по-
тенциометра ПЗ, подавая на усилитель напряжение ил. Это на-
пряжение сравнивается с напряжением UK от ионизационной
камеры. Разностное напряжение усиливается усилителем и по-
ступает на исполнительный двигатель (ИД), который через ре-
дуктор рейка-шестерня перемещает вверх графитовый стер-
жень. Число поглощаемых стержнем нейтронов уменьшается, в
активной зоне их становится больше, мощность реактора воз-
растает и устанавливается на заданном оператором уровне. Ис-
пользуя описанный принцип работы, составим блок-схему
управления реактором.
В схеме кроме уже традиционных обозначений приняты:
Р~ Ст - редуктор (рейка-шестерня) и графитовый стержень;
Яд. Р - ядерный реактор;
42
Мартяков А. И.
ПК— ионизационная камера;
/„—ток ионизации;
UK - падение напряжения при протекании тока ионизации.
Задачи для самостоятельной работы
По нижеприведенным функциональным схемам составить
блок — схемы систем автоматического регулирования с обозначе-
нием входных и выходных физических координат каждого блока.
Задача 1. Система регулирования температуры печи.
Рис. 4
Задача 2. Система управления поперечной подачей резца
Функциональная схема такой системы приведена на рис. 5.
Рис. 5
43
Тема 7: ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ
В САУ могут присутствовать элементы различной физиче-
ской природы, но описываемые одинаковыми по форме диффе-
ренциальными равенствами. Свидетельством тому могут слу-
жить нижеприведенные дифференциальные уравнения первого
порядка, описывающие процессы:
- в электрической цепи емкостью С:
/(0 = С
dl
где / - ток, U - напряжение. (- время;
-	в гидравлической магистрали с емкостью С
о(,)=А
at
где О — расход жидкости; Др - перепад давления;
-	в теплопередаче (тепловая емкость Ст):
где q - тепловой поток. ДТ- перепад температур.
—	в электрической цепи с индуктивностью L:
dt
-	в пружине сжатия л ':
- жесткость пружины
.'= _L
где д'- скорость сжат ия пружины, к„р
a F- приложенная к пружине сила.
Сходность описания процессов в элементах и системах раз-
личной физической природы и разнообразных конструкций по-
зволяет моделировать подобные процессы с помощью электри-
ческих цепей. Быстрота смены электрической схемы и легкость
изменения ее параметров позволяют анализировать качество
Март яков А. И.
систем на различных этанах их проектирования. В качестве
функциональных преобразователей электрических сигналов
применяются пассивные рсзистивно-ипдуктивно-смкостныс
контуры (R-L-C - цепочки). В таблице, приведенной ниже, да-
стся описание простейших электрических элементов, играющих
в определенном сочетании важную роль. Преобразование Лап-
ласа используется для описания динамических свойств элемен-
тов и устройств систем автоматического управления в форме
передаточных функций.
обозначение
элемента
____	описаниеэлемента_
в дифференциальной в операторной
форме____________________________форме
UR(t) - i(t) R
Us(s)-i(s)R
при Uc (0) - 0
U(s)=Lsi(s)
Ui,
UL(t) =
Примеры получения передаточных функции.
Пример 1. Получим передаточную функцию RC-
пепочки приведенной ниже
Используя 2-ой закон Кирхгофа, составим уравнение для
входной цепи.

где Uc напряжение, возникающее на конденсаторе, причем С/с0) = 0.
По закону Ома изменяется напряжение на выходе цепочки.
45
Теория автоматического управления

Преобразуя по Лапласу равенства (1) и (2) и учитывая опе-
раторную форму записи конденсатора, приведенную в таблице,
получим:
•Г
^лио^5)-
(3)
(4)
Исключая i(i) при совместном решении уравнений (3) и (4),
устанавливаем зависимость выходного напряжения от входного.
(5)
Заметил!, что произведение Л[Ом] С[Ф] имеет размерность
времени (секунда). Обозначая RC = Т и следуя определению пе-
редаточной функции, запишем окончательно:
и•(«)==J±_
l/A6(s)	П + 1
(6)
Полученная математичссая модель (6) получила название
реального (или инерционною) дифференцирующего звена.
Пример 2. Получить передаточную функцию цепочки,
состоящей из катушки с индуктивностью А, и резистора R.
Запишем уравнение для входной цепи в соответствии со
вторым законом Кирхгофа:
С'вх (') = UM + /(/)«,
(7)
46
Мартяков А.И.
где Ui. наводимая в катушке электродвижущая сила. Преобразу-
ем обе части (7) по Лапласу с учетом описания индуктивности в
вышеприведенной таблице.
CW-?) = Lsi(s)+ z(s)R = i(s)(Ls + R\
(8)
Напряжение на выходе цепи в операторном виде представ-
ляется так же, как и в предыдущем примере, уравнением
(7выхС0 = MR	(9)
Опять решая совместно уравнения (8) и (9), получим:
где Т = L/R — постоянная времени. Математическая модель (10)
называется апериодическим, или инерционным, звеном
Пример 3
В данной схеме выходное напряжение представляется па-
дением напряжения на параллельном соединении резистора и
конденсатора Z. Запишем сопротивление Z в операторной фор-
ме. используя таблицу:
* *
R  (10)
R + UCs
R
RCs +1'
Тогда при протекании тока i(0 через сопротивление Z вы-
ходное напряжение определяется равенством:
(П)
Но аналогии запишем равенство, определяющее входное
напряжение:
47
Теория автоматического управления
Выполнив деление равенств (II) на (12), получим переда-
точную функцию исследуемой цепочки, называемую колеба-
тельным звеном:
иф)=---Л----= —5—7—т— = —— ---’ (В)
ЛСЯ.Г + Ь + R LCs~ +	+1 Ts~ + 2dTs +1
где введены обозначения: LC — 'Г и LR — 2d/'.
Пример 4
Рассмотрим механическую систе-
му. представляющую упрощенное опи-
сание движения автомобиля в верти-
кальной плоскости (например, при на-
езде на камень). Па рисунке, представленном ниже, принято,
что на жесткой раме подвешена сосредоточенная масса .1/авто-
мобиля. К подвеске относятся пружина жесткостью «к||р» и
амортизатор с коэффициентом fv учитывающим вязкое (или,
говорят, скоростное) трение. Согласно второму закону Ньюто-
на, уравнение движения в вертикальной плоскости записывает-
ся:

(14)
где /'(/) — воздействующая на автомобиль в вертикальной плос-
кости сила;
/ цр(0 ~	- упругая сила пружины (рессор) жесткостью
«к|1р», пропорциональная перемещению л(0 центра масс;
Faw(/) = fv'dx d! - сила вязкого зрения. пропорциональная
скорости перемещения массы автомобиля (сила, возникаю-
щая в амортизаторе).
Подставляя все составляющие сил в уравнение (14) и остав-
ляя в правой его части только силу воздействия, получим:

(15)
48
Март яков А. И.
После преобразования по Лапласу обеих частей уравнения
(15) оно примет вид:
A'(s)( М? +f„s I- А‘пр) = /-'($)	(16)
Несложные преобразования над равенством (16) приводят к
передаточной функции подвески автомобиля:
(17)
где кп= (1/кпр) - коэффициент передачи подвески. (м/Н);
Г=	~ постоянная времени, с;
2dT = /й/ /<пр и тогда d -fJ2 J М/^ - безразмерный коэффи-
циент демпфирования.
Сравнивая равенства (13) и (17), можно сказать, что подвеска
автомобиля представляется также колебательным звеном.
Задачи для самостоятельной работы
Получите передаточные функции нижеприведенных элек-
тросхсм. Схемы повышенной сложности отмечены значком (*).
R2 иеых
49
Теория автоматического управления
Ответы:
1.	I1'(s) = l/(7V + 2dTs + 1), где Г= JLC, a 2dT= RC.
2.	His) = ksRTs + 1). где л- = R2C. а Г= (Я1 + Я2)С.
3.	И V) = k/(Ts + I), где к = Д2/(Д1 + /?2), а Т= RlRlCltfA + R2).
4.	Hz(5) = ksRTs + 1). где к = R2Z?3C7(/?1 + R2\
а Т= [ЯЗ + (R\R2)/(R\ + R2)}C.
5.	H'(s) = 1/(7* + I). где 7 = RC.
6.	H'(s) = k\7s + 1). где к = R2RR1 + R2). aT = U(Rl + R2).
7.	H\s) = ks/(Ts + 1). где к = RCl, a T = R (Cl + C2).
8.	II (s) = k!(Ts + 1). где k=C1/(C1 + C3), a 7 = RC2 + C1C3/(C1 + C3))
9.	IJZ(5) = 1 /(T^s2 + I). где T = 4LC.
lOJf'Cs) = ks/(7s + 1), где к = T - L'R.
11. ll (s) = T5/( Ts + I), где t=L!R\,T= L(R I + R2)7R 1 R2\
12. H (s) = l/(/V + 2d7s + 1), где T= y/LC, a 2dT= L'R.
50
Тема 8: ПОЛУЧЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИИ
Временными функциями (или характеристиками) являются
переходная /?(/) и импульсная переходная ir(/) функции. По-
следнюю сшс называют весовой функцией. Согласно опреде-
лению переходная функция представляет отклик системы на
воздействие единичного скачка- 1(/).
Весовая функция является также откликом системы на еди-
ничную дельта-функцию - <5(/)(функцию Дирака). Напомним,
что импульсная переходная функция есть дифференциал от пе-
реходной функции, то есть «•(/) = dh(1)ldt. Но следует заметить,
что эта закономерность справедлива, если в передаточной
функции порядок знаменателя больше порядка числителя. В
противном случае в передаточной функции необходимо выде-
лить целую и дробную части путем деления числителя на зна-
менатель, как это сделано в нижеприведенном примере.
Пример 1. Передаточная функция инерционною диф-
ференцирующего звена равна: П7 (5) =
Получить уравне-
ние и построить графики переходной и импульсной переходной
функций.
Его переходная функция определяется выражением
График переходной функции представляет собой убываю-
щую экспоненту. Для частного значения Т = 0.2с график пере-
ходной функции имеет вид (рис. 1):
51
Теория автоматического управления
h(t)
Рис. /
Но переходной функции определяют постоянную времени
Т звена путем проведения касательной к начальной точке дви-
жения до установившегося значения (в нашем примере до ну-
ля). Если считать, что установившееся состояние определяется
с точностью 5% от /?(0). то время достижения установившейся
величины будет равно трем постоянным времени (3Г). Этот от-
резок времени называют временем регулирования /р.
Для получения импульсной переходной характеристики в
передаточной функции заданной выделим целую и дробную
части, поделив числитель па знаменатель:
Далее выполним обратное преобразование Лапласа над по-
лу че 11ны м выражепнем.
При том же значении постоянной времени 7 = 0,2с переда-
точной функции (1) график импульсной переходной характери-
стики, полученный путем математического моделирования,
представлен на рис. 2.
52
Март иное А. И.
гл
Время t. с
о
0.2	0.4
Рис. 2
W(t)
24000
20000
16000
12000
аооо
1ППО
Пример 2. Получить временные характеристики апе-
риодического звена с передаточной функцией Wz(.y)= —-—.
75+1
Переходная характеристика определяется уравнением
из которого видно, что установившееся ее значение А(=с) = /;уст = к.
Следует отметить, что если на вход звена подать ступеньку ам-
плитудой в К] раз большей единицы, то соответственно в К| из-
менится и установившееся значение переходной функции /?(<*)
= Л уст. Для примера, где к = 2 и 7 = 0,2с, переходная характери-
стика будет иметь вид (рис. 3):
Рис. 3
Переходная характеристика, полученная экспериментально,
позволяет определить параметры апериодического звена: коэф-
фициент передачи «к» и постоянную времени Т. Их определе-
ние иллюстрируется построениями, приведенными на переход-
ной характеристике (рис. 3). Коэффициент передачи «к» равен
53
Теория автоматического управления
установившемуся значению характеристики, а постоянная вре-
мени Т может определяться различными способами. Во-первых,
за время t - Т переходная характеристика достигает 63% уста-
новившегося значения. Другой способ определения Т состоит в
том, что переходная характеристика с точностью 5% достигает
установившейся величины /?>ст за время /р= 37'. И, наконец, если
провести касательную к кривой переходной функции в точке
начала координат до пересечения с установившимся значением,
то перпендикуляр, опушенный из точки пересечения на ось вре-
мени. отсечет отрезок, численно равный постоянной времени Т.
Перейдем к получению импульсной переходной функции.
Согласно определению можно записать
С другой с тороны, имеет место соотношение п(/> =
Поэтому при определении импульсной переходной характери-
стики правомерно использовать любую формулу. График им-
пульсной переходной функции (рис. 4) представляет собой экс-
поненту, начальное значение которой равно тг(О) = = к Дно тео-
реме о начальном значении оригинала). 11о этому графику так-
же можно рассчитать параметры апериодического звена.
w(t)
Рис. -4
Путем несложных построений на экспериментально полу-
ченной характеристике, аналогичных гем, что приведены в вы-
шерассмотренном примере, рассчитываются параметры звена.
54
Ma рт я кое А. И.
Пример 3. Определить временные характеристики ко-
лебательного звена с передаточной функцией:
T1 2s2 + 2dTs +1
Переходная функция колебательного звена получается из
равенства
Л(/)=Л-‘
Для получения оригинала представим выражение в фигур-
ных скобках в виде суммы простых дробей
1	1 = /? Лх + С
Т2з2 + 2 dis + \ s~ s T2s2 + 2dTs 4-1'
где коэффициенты разложения А. В и С определяются, напри-
мер, методом неопределенных коэффициентов и равны: А = 1;
В = -72; С = -2dT. С учетом полученных значений коэффициен-
тов изображение можем переписать
7V + 2t77s+1 л s T2s2 + 2dTs +1
Поделив числитель и знаменатель второго слагаемою на / ,
выделим в знаменателе квадрат суммы.
Введем обозначения: d Т = а, а (1 - (?У Т2 - со2. После этою
разложение (*) можно представить в виде:
1 I I	х + сг	а со
N2s2+2dTn+\ л- х (х+а)2 + «у2 со (я+а)2 + сг
Выполнив операцию обратного преобразования Лапласа,
получим переходную функцию
55
Теория автоматического управления
= !(/)-<? /cos(wz+(a6y) sin6y</
Последнее уравнение представляет собой общую запись
переходной функции колебательного звена при различных зна-
чениях коэффициента демпфирования 0 <d< 1. Используя тео-
ремы о предельных значениях оригинала, рассчитаем значения
переходной функции Л(0) и Л(*»).
Л(0) = Нт S ——
т2<-
= 0
Следовательно, переходная функция колебательного звена,
график которой приведен ниже, начинается в начале координат
и с течением времени стремится к 1. Колебательный процесс,
вид которого дан на рис. 5, затухает с периодом колебаний, рав-
ным 7'Л= 2л77л/1—d2 .
h(t)
i.6
1.4
1.2
1
0,8
0.6
0.4
0.2
0	0,3	0,6	0,9	1,2 Время!, с
Рис. 5
Импульсная переходная характеристика и(7) может быть
получена как дифференциал по времени от переходной характе-
ристики.
56
Мартякое А.И.
Характер изменения импульсной переходной функции для
конкретных параметров колебательного звена представлен на
рис. 6.
w(t)
_______ K=l;T=O,O5c:d=O,15
о од о.б 0.9 Время t. с
Рис. 6
Если (1 = 0. то колебательное звено вырождается в консер-
вативное, и в этом случае /?(/) = 1(/) - сох (of, где уже со = 1/Г
График переходной функции консервативного звена будет
представлять незатухающие колебания (рис. 7) относительно I
с амплитудой, равной единице, и периодом 2кТ.
Рис. 7
Импульсную переходную функцию м’(/) консервативного
звена можно получить, продифференцировав по времени его
переходную функцию.
57
Теория автоматического управления
/ч ^(0 • • 1
11'(/) = —— = — sin —
7 dt Т Т
а ее вид представлен на рис.8.
W(t)	K=l;T=0.05c:d=0
О	0,3	0,6	0,9 Время!,с
Рис. 8
Задания для самостоятельного решения
I 1олучите переходную и импульсную переходную функции:
а) интегрирующего звена с коэффициентом передачи, от-
личным от единицы (например к = 2);
б) колебательного звена, в котором к = 2, Т- 0,5с, <7=1.
Ответы к самостоятельной работе:
а)	при к = 2 /?(/) = 2/ и н(/) = 2-1 (/).
б)	//(/) = 2-1 (/) - 2е ~2‘ - 4/ е ~2'; н(/) = 8ле 21.
58
Тема 9: ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (ЛЧХ)
Под логарифмическими характеристиками понимается со-
вокупность логарифмической амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и
логарифмической фазо-частотной характеристик (ЛФЧХ).
ЛАЧХ строится в координатах:
•	по оси ординат - логарифм модуля частотной передаточ-
ной функции, определяемою в размерных единицах - децибе-
лах (дБ), то есть L(co) = = 201g | И'О со) | = 201g Л(со): проще ска-
зать - коэффициент передачи на определенной частоте, выра-
женный в децибелах.
•	по оси абсцисс - логарифм частоты. Igco. Надо сказать, что
для удобства восприятия вдоль оси чаще ставятся действитель-
ные значения частоты, а нс сс логарифм, хотя масштаб остается
логарифм ичес ки й.
При построении ЛФЧХ по оси ординат откладывается зна-
чение сдвига фазы ср(со) в угловых градусах (или в радианах),
ось абсцисс га же.
Более детальное построение ЛЧХ рассмотрим на примерах.
Пример 1. Идеальное дифференцирующее звено
Jf(s) = к‘5’- г#0 к ~ коэффициент пропорциональности. Постро-
ить ЛАЧХ и ЛФЧХ.
Модуль частотной передаточной функции | Иу со) | = Л(со)
= к -со. Цсо) = 201g к со = 201g к + 201g со. 11ервое слагаемое есть
постоянная величина, а второе изменяется пропорционально
логарифму частоты с коэффициентом, равным + 20. Следова-
тельно график ЛАЧХ (аналогичен графику функции у = а + Ьх,
в котором v = Цсо), а = = 201g к, b = 20 и х = 1g со) представляет
собой прямую линию. В этом случае прямая линия строится по
двум точкам. Пусть частота со = 1с-1, тогда £(!) = = 201g к, дБ.
Увеличим частоту в 10 раз (на декаду), то есть о> станет равной
10 с . Тогда А(10) = (20 1g к + 20) дБ. Таким образом, при уве-
личении частоты на декаду ордината получила приращение + 20
59
Теория автоматического управления
дБ. Именно изменением модуля, приходящимся на декаду, и
определяется наклон прямой ЛАЧХ. В нашем случае наклон со-
ставляет + 20лБ/дск. и его просто называют плюс первым на-
клоном - (+1). Логарифмическая фазо-частотная характеристи-
ка y>(lgto) = arc/g ксо/(—>0) = arc/g(—>») = +90° представляет со-
бой прямую линию, параллельную оси частот.
Пусть передаточная функция звена W(s) = 2s. Модуль
А(со) - 2со. ЛАЧХ определяется выражением Цсо) - 20lg2 + 201g со.
Прямую можно построить по двум точкам. Одну получим, по-
ложив со = 1 с’, и £( 1) = 201g 2 = 6 дБ. Другую — взяв со = 10 с ,
получим £(10) = 6 + 20 = 26 дБ. Через них проводится прямая с
наклоном (+1). Фазо-частотна я характеристика — горизонталь-
ная линия, проведенная на уровне +90 градусов (смотри пунк-
тирную линию на рис. 1).
Для упражнения подсчитайте значения ЛАЧХ при следую-
щих значениях со: 100с , 1000 с-1 и 10000 с . Полученные ре-
зультаты сверьте со значениями по графику.
Ь(«),дБ;
Сдвиг фазы,
-2-10	1	2 з 4 1д(о>)
Рис. I
Пример 2. Построить ЛЧХ интегрирующего звена с пе-
редаточной функцией nr(.v) = 2/.v.
Модуль ПУсо) равен А(со) = 2/гд, а ЛАЧХ строится по уравне-
нию Цсо) — 20lg2 — 201g со. Гак как ось частот логарифмическая,
то график представляет собой прямую линию с коэффициентом
60

Март яков А. И.
—20. Наклон прямой установим путем определения приращения.
приходящегося на изменение частоты на декаду, например с
су = 0.1с 1 досо = I с *.
Вычисления показывают, что наклон составляет -20дБ/дск. и
называют его (-1) наклоном. Логарифмическая фазо-частотная
характеристика ^(Igco) = -arc/g (к'су)/(-эО) = -arc/g (—><«) = -90°
представляет собой прямую линию, параллельную оси частот.
Графики ЛЛЧХ и ЛФЧХ приведены на рис. 2.
Ш).ДБ;
<№>),Сдвиг фазы,’
-2-10	1	2	3 1д(о)
Гис. 2
Упразднение. Подсчитайте значения ЛАЧХ для частот о)
равных: 0,01; 10; 100; 1000 с-1 и сверьте их со значениями по
графику.
11 ример 3
1 встроить ЛЧХ апериодического звена И'(л) = к/(Тз + 1).
1(апомним необходимые для этого сведения:
Действительная и мнимая части частотной передаточной
функции апериодического звена соответственно равны:
Цсо) = Re W(/o) = к/( 1 + 7гсо2)-
Г(со) = Im ИЧ» = - к7со/(1 + fco\
а амплитуда равна: Л(су) = |Hz(/cu)| = 4U2 + Г2 =	1 + Т~(О2.
61
Теория автоматического управления
ЛАЧХ определяется но уравнению
[	у 7
Цсо) = 201g к - 201g 1 +Т‘йг , ио с достаточной степенью точ-
ности строится приближенно в виде двух асимптотических
прямых для двух отдельных частотных диапазонов (низкочас-
тотного и высокочастотного), границей которых является час-
тота сопряжения сусопр:
а)	для со < \/Т = бУС01ф. чему соответствует 1 > Теи,
Цсо) ~ 201g к, дБ - постоянная величина, нс зависящая от частоты;
б)	для со > \1Т = соСОпр- чему соответствует 1 < 7со,
I _(w) = 201g к - 201g 7?о, дБ.
Второе слагаемое приближенного равенства определяет за-
висимость амплитуды от частоты и эта зависимость носит ли-
нейный характер при логарифмическом масштабе частоты.
ЛФЧХ определяется уравнением Цсо) = arc/g[ I (oj)]/[C(tu)] =
= -arc/g Тео. Вычислим сдвиг фазы апериодического звена для не-
которых значений частоты: а) со - 0. ^(0) - 0°: б) со - \1Т. срЦ/Т) =
= -45°; в) со г*\ср — 90°.
Получим ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена
И'($) = 2/(0.2s + 1), имеющего конкретные числовые значения
параметров. Коэффициент передачи к = 2, а частота сопряжения
^сопр 1/0.2 5 с
Для значений частоты со < 1/0,2 = 5 с-1 L(co) ~ 201g 2 = 6дБ
(рис. 3);
для диапазона частот со > 5с-1 Цсо) ~ 201g 2 — 201g 0.2ro =
- 6дБ - 201g 0,2 - 201go>. Определение амплитуд для двух значе-
ний частот, удаленных друг от друга на декаду: cot = 5 с-1 и
со, = 50с , даст следующие результат ы:
Ц5) = 201g 2 - 201g 0.2-5 = 6дБ и L(50) = 201g 2 - 201g 0.2-50 =
= —14дБ. Таким образом, при изменении частоты в сторону увели-
чения па декаду произошло снижение амплитуды на 20 = (6 + 14)
дБ. Асимптотическая ЛАЧХ будет представляться двумя прямы-
ми: горизонтальной на уровне 6дБ до частоты сопряжения wconp =
5с-1 и от этой частоты прямой с наклоном (-1). Фазо-частотная ха-
рактеристика (<»(со), изменяясь от нуля по закон} arc/g, на частоте
сопряжения имеет фиксированный сдвиг фазы, равный -45°. а пре-
дельный фазовый сдвиг (при со </-') составит - 90 градусов (рис. 3).
62
Март яков А. И.
Цо),дБ;
9(0)),Сдвиг фазы,9
Рис. 3
Пример 4
Построить асимптотическую ЛАЧХ и примерный вид
ЛФЧХ колебательного звена И7($)= к/[(Т$)2 + 2-dTs + 1 ], в кото-
ром к = 4, Т= 0.2 с., d = 0.8. Частота сопряжения со = I /Т = 5 с-1
условно разделяет всю частотную ось на диапазоны низких
(со < 5 с-1) и высоких (со > 5 с-1) частот. Модуль частотной пере-
даточной функции колебательного звена с приведенными чи-
словыми параметрами определяется равенством:
Л«У) =
7(1-0.22
 со2)2 + (2 0.8 0,2-
Для низкочастотного диапазона L(co) ~ 201g 4 = 12дБ, то есть
до частоты со = 5 с ЛАЧХ представляет горизонтальную ли-
нию, проходящую на уровне 12дБ. При построении ЛАЧХ в об-
ласти высоких частот вторым слагаемым подкоренного выраже-
ния и единицей ввиду их малости по сравнению со слагаемым
(0,22го2)2 можно пренебречь. Тогда Z-(o>) « 201g 4 - 20lg(0.2ro)2 =
= 12 - 40lg0.2 - 401g си. Гак как зависимая от частоты часть
представляет собой прямую линию с коэффициентом -40. го
прямую можно построить по двум точкам. Амплитуду первой
63
Теория автоматического управления
точки определим при значении со = 5 с-1, Л(5) = 12 - 401g 0,2 -
— 401g 5 = 12 + 28 —28 = 12 дБ. Амплитуду второй точки найдем
при десятикратном увеличении частоты, то есть при
со = 50с-1. L(50) = 12 + 28 - 68 = - 28 дБ. Снижение амплитуды,
приходящееся на декаду, составляет 40 дБ. Следовательно,
прямую проводим с наклоном -40дБ/дек., наклон (-2). ЛФЧХ
колебательного звена изменяется по закону arc/g, но выходит за
пределы главного значения этой обратной тригонометрической
функции. Поэтому график строится отдельно до частоты со-
пряжения по формуле:
(р(со) = - arc/g 2dTco/( 1 -Т2со2).
а за частотой сопряжения по формуле:
ср(со) = — тг — arc/g 2dTcol( 1 —Т~ со~).
Характерными значениями сдвига фазы являются: <р(0) = 0°,
<р( 1 /Т) = — 90°.	= — 180°. которые и являются опорными для
приближенного построения ЛФЧХ. Ниже (рис. 4) приведены
графики ЛЛЧХ и ЛФЧХ.
1/<Л).ДБ;
У(со),Сдвиг фазы,*
-1	-0.6	-0.1	0.3	0.7	1,1	1.6	2 1д(«)
0.1	5	100(0 1/с
Рис. 4
64
Март яков А. И.
Пример 5
Построить асимплогическую ЛАЧХ и примерную ЛФЧХ
звена с передаточной функцией ll'(s) = ks /(Ts + 1) при следую-
щих значениях параметров: к = 4. Т = 0.2 с-1. Передаточная
функция представляет собой сочетание элементарных пропор-
ционального (к). идеального дифференцирующего ($) и аперио-
дического [l/(7s + l)J звеньев. Такое сочетание называют ре-
альным (или инерционным) дифференцирующим звеном. Для
построения ЛАЧХ необходимо получить модуль частотной пе-
редаточной функции Известно, что модуль произведения
равен произведению модулей. Поэтому, зная модули простей-
ших звеньев, путем их перемножения получим искомый мо-
дуль, |И7(/а>)| = А(со) = %  ty/V/'&T +1.
ЛАЧХ получается как /.(со) » 20lgx* + 201 geo — 201g	+1.
Следовательно, результирующая ЛАЧХ - Lp(a)) получается гео-
метрическим сложением ЛАЧХ пропорциональною, идеально-
го дифференцирующего и апериодического звеньев. В число-
вом выражении при заданных значениях параметров получим:
Lu(co) = 201g 4=12 дБ ЛАЧХ - пропорционального звена;
Лд(со) - 201gco дБ; ЛАЧХ идсльного днфференцирующегого
звена;
/Jco) = - 201g 7(122 (О2 +1 ЛАЧХ апериодического звена.
Далее строятся ЛАЧХ для отдельных звеньев и с учетом
знаков геометрически складываются (см. графики Ln, L3, L& и Z.p
на рис. 5).
Результирующая ЛФЧХ, определяющая итоговый фазовый
сдвиг - <рР(со), строится как сумма фазовых сдвигов, вносимых
каждым звеном:
^п(0<си<х) = 0°;
(0<to<<®) = + 90°;
ра(0) = 0°; ра(щсопр = 5) = - 45°; ра(«) = -90°;
И в результате на определенных частотах значения сдвига
фазы равны: рр(0) = 90°, ^р(5) = 45°, <рр(г^) = 0° (рис. 5).
65
Теория автоматического управления
L(«), дБ;
9(<й).Сдбиг фазы, *
so
80
70
60
SO
40
30
20
10
о
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-1	-0,6	-0,1	0,3	0.7	1.1	1.6	2 lg(o>)
0,1	5	lOOCrt 1/с
Рис. 5
Задачи дли самостоятельной работы
Построить асимптотическую ЛАЧХ и
ЛФЧХ следующих звеньев:
приближенную
1. 1ф) = 105;
2. 1ф) = 10/s;
X Iф) = 1()/(0,5s + 1);
4. 1ф) = 0.4/(0?2s + 1);
5.1ф)= 10s/(0,2s + 1);
6.1ф)= 10s/(2s+ 1);
7Лф) = 10/[(0,5s)1 2 * 4 + 2 059 0,5s+ 1].
66
Тема 10: СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Существует несколько типовых соединений, позволяющих
облегчить получение передаточных функций.
11 осл едовател ьн ое сосди нон и е.
Передаточная функция последовательного соединения рав-
на произведению передаточных функций звеньев, образующих
цепь:
U) =
G(sj
п
Параллельное соединение.
На входы всех звеньев поступает один и тот же сигнал G(.v),
а выходная величина каждого звена равна zYJs) - G(s)H%s)- Вы-
ходная координа та AV) представляет сумму выходных величин
каждого звена:
п
и тогда передаточная функция парал-
лельного соединения будет равна: 1Г(^) =
п
67
Теория автоматического управления
Встрсчно-параллелыюе соединение
Gfs)
нееднннчная оор.пная связь
В гаком соединении сигналы управления и обратной связи
направлены встречно, а звенья расположены параллельно. Пе-
редаточная функция такой замкнутой системы определяется ра-
венством:
O(s) =
G(.s) 1±И7(л)И7,(л)
В формуле (1) знак « + » ставится, если обратная связь от-
рицательная, и знак «-» в случае положительной. Если обратная
связь единичная, то есть И 2(5) - 1. то вид передаточной функ-
ции замкну гой САУ несколько упрощается:
Для оценки точности СЛУ используют передаточную
функцию ошибки при несдиничной отрицательной обратной
связи
£(*)_ »,(>)
G(s) I + И7, (s) • И7, (л) ‘
Если отрицательная обратная связь единичная, что чаше
бывает, то
ЯГ
11ри преобразованиях, связанных с переносом узла или
сумматора, руководствуются логическими соображениями со-
хранения интересующей величины путем введения дополни-
тельных звеньев. Концентрированное представление возмож-
ных случаев приведено в таблице ниже.
68
Мартяков А.И.
Оп ^ация
Перестановка
сумматоров
Исходная схема
Эквивалентная схема
Перенос сумма-
тора по ходу
сигнала
W,
2=(X+y)-\V1
Перенос (умма-
тора против
хода сигнала
Перенос узла по
ходу сигнала
Перенос узла
прошв хода
сигнала
Анализируя таблицу, можно сделать краткие выводы.
Перемена местами сумматоров, не разделенных звеном, не
изменяет выходного сигнала.
Перенос через звено узла по ходу сигнала, а сумматора про-
тив хода сигнала приводит к введению дополнительного звена с
передаточной функцией, равной обратной передаточной функ-
ции того звена, через которое выполнен перенос.
Перепое через звено узла против хода сигнала, а сумматора
по ходу сигнала приводит к введению дополнительного звена с
передаточной функцией, равной передаточной функции того
звена, через которое выполнен перенос.
Рассмотрим несколько примеров, для которых общим зада-
нием служит получение передаточных функций систем путем
преобразования исходных структурных схем.
69
Теория автоматического управления
Пример 1
W,
Данная стукгурная схема соответствует разомкнутой САУ,
в которой звено JIS включено параллельно звену с передаточной
функцией, равной 1. В дальнейшем единицу писать не будем, а
будет непрерывная линия связи. I (средаточиая функция парал-
лельного соединения равна (Ж2 + 1). Звено W| последовательно
соединено с остальной частью САУ. Тогда искомая передаточ-
ная функция будет равна:
FT = X;G= И7г(И72+ 1).
11 ример 2
Щ-
В исходной системе имеются две образные связи: верхняя -
положительная единичная, а нижняя - отрицательная, содер-
жащая звено с передаточной функцией 1Г3. Запишем передаточ-
ную функцию замкнутой системы для верхнего контура:
Ф\ =	И7]). Так как этот контур дальше последовательно
соединен со звеном И72. то передаточная функция такого соеди-
нения будет равна: Ф\-\¥2 = И7|-П72/(1- И7,). Далее можно видеть,
что имеет место встречно-параллельное соединение, для кото-
рого и запишем искомую передаточную функцию:
а = £ =	И'| И72/(1-И7),	= И7 - И7,
” G ~ 1 + П'\ • И72  Пу(1 - П7!) ” I - И7! (1 - И72 - П'3) ‘
70
Мартяков А.И.
В этой структурной схеме СЛУ имеется четыре встречно-
параллельных соединения и поэтому можно было бы последо-
вательно сворачивать контуры один за другим и в конце полу-
чить результат. Но поступим по другому, преобразовав схему к
следующему виду.
Поскольку звенья И з. №4, ИЛ включены параллельно, то с
учетом знака можно записать передаточную функцию такого
соединения:
И<|ар= И3- И 4- Ид-
Далее с учетом положительного знака обратной связи запи-
сываем передаточную функцию внутреннего контура:
ИЛ
I - ИЛ (И73 - И<| - П'5)'
И окончательно получаем передаточную функцию системы
с главной отрицательной единичной обратной связью.
71
Теория автоматического управления
W,  И
11 р и м с р 4
G
Решение задачи можно получить несколькими способами:
переносом сумматора В по ходу сигнала или переносом узла А
по ходу сигнала. Возможны и другие варианты, например пере-
нос су мматора против хода сигнала.
Преобразуем схему, перенеся сумматор В по ходу сигнала.
W3 «------------ W4
Передаточную функцию схемы получим, последовательно
свертывая сначала внутренний контур, а затем и внешний.
И'1______
1+ /Г. ИЛ
I
Учтем последовательное соединение внутреннего контура со
звеном ИЛ и. свернув внешний контур, получим окончательно:
л = Л =	Н L И J______
G 1 + И7г И73(1 + И'2И74)
II р и м с р 5
Пусть на систему, кроме входного управляющего воздейст-
вия — G, поступает входное возмущающее воздействие (помеха)
- Z. От каждого из воздействий зависит поведение выходной
координаты. Поэтому при исследовании динамических свойств
72
Март яков А. И.
системы приходится определять передаточные функции как по
отношению к управляющему — G, так и к возмущающему — Z
воздействиям соответственно Ф. и Ф:. Следует заметить, что
когда определяется передаточная функция системы по отноше-
нию к одному из воздействий, то другое считается отсутствую-
щим. Представим структурную схему с двумя воздействиями.
На структурной схеме выделены три контура. которые бу-
дем последовательно преобразовывать. Сначала получим пере-
даточную функцию первого из них как параллельное соедине-
ние звеньев: Ф[ = 1 + И'}. Затем свернем второй контур (встреч-
но-параллельное соединение). Фп = И72/(1 + При полу-
чении передаточной функции по отношению к управляющему
воздействию не обращаем внимания на помеху Z. Тота два
контура соединены последовательно со звеном И74 охвачены
отрицательной единичной обратной связью и d>s равна:
О=Л'=	= (п-.+Оиуи;
G 1 + д[ • 6и • 1Г4 I + И'2 • И'3 + (iKj +1)• И'2  И'4 '
Для получения передаточной функции но отношению к
возмущающему воздействию Ф- = Х/Z преобразуем схему с уче-
том полученных передаточных функций контуров I и II. Будем
считать теперь, что отсутствует входное воздействие G.
Теория автоматического управления
Второй сумматор может быть совмещен с первым, а знак
минус будет означать отрицательную обратную связь встречно-
параллельного соединения, позволяющего записать передаточ-
ную функцию Фг.
Х= »4(i + »z2-n;)
z “i+rr,-и;+(1г,+1) дг2-1г4
Задачи для самостоятельной работы
В задачах I и 2 для представленных структурных схем по-
лучить передаточные функции замкнутой системы
Ф($) - X(s)/G(s)h передаточные функции ошибки Ф, = E(s)/G(s).
Задача 1
Задача 2
В задачах 3 и 4 получите передаточные функции
Ф(з) = X(s)/G(s) нижеприведенных структур
Задача 3
Задача 4
74
Март яков А. И.
Задача 5
Для структурной схемы системы, в которой имеется как
управляющее воздействие, так и возмущающее, получить пере-
даточные функции но отношению к каждому из воздействий:
Ф. = A7G и Ф- = X/Z.
г>	-
w5 «
Ответы:
1.	Ф = (ИЛ• 1Г2 -1У ИЛ• ИЛ; Фе = Е. G = I / ИЛ • ИЛ.
2.	Ф = (И') + ИЛ) ИУ[1 + (ИЛ + ИЛ) ИЛ]; Фг =!/[!+ (П\ + ИЛ)-ИЛ];
3.	Ф = ИуИЛ/(1 + И72+ И г ИЛ);
4.	Ф = X G = 1;
5.	= (И-ИЛ ИЛ/П + ИЛ-ИЛ3V4+ ИЛЛГо ИМ;
Ф,= ИЛ\У3/[1 + ИЛ-ИЛЙЛ+ ил-ил-ИЛ].
75
Тема 11: СТАТИЧЕСКИЕ И АСТАТИЧЕСКИЕ САУ
I [апомним определения.
Система называется статической по отношению к задаю-
щему (возмущающему) воздействию, если при стремлении это-
го воздействия с течением времени к постоянной величине
ошибка системы стремится к постоянен величине, пропорцио-
нальной амплитуде воздействия и обратно пропорциональ-
ной добротности (коэффициенту передачи разомкнутой сис-
тем ы).
Система называется астатической по отношению к за-
дающему (возмущающему) воздействию, если при стремлении
этого воздействия с течением времени к пос тоянной величине
ошибка системы стремится к нулю независимо от устано-
вившегося значения задающего (возмущающего) воздействия.
Представим систему, на которую поступают управляющее
G и возмущающее Z воздействия. На структурной схеме (рис. 1)
обозначены G и Z изображения соответствующих воздействий,
а Е и X - изображения ошибки и регулируемой выходной вели-
чины.
Рис. /
Рассматривая воздействие по любому входу независимо от
других, получим передаточные функции ошибки замкнутой
системы по отношению к каждому из входных воздействий.
Для большей наглядности преобразуем структурную схему
(рис. 1) к виду, когда выходной координатой будет считаться
ошибка /у., а на вход поступает только управляющее воздейст-
вие, то есть (Z = 0)(рис. 2).
76
Мартяков А.И.
Рис. 2
Передаточная функция ошибки по отношению к управ-
ляющему воздействию будет равна:
О Н =
Eg(s) _	1
G(s) " l + H'ifs) И 2(5)
В случае, когда на систему nociyiiaer только возмущающее воз-
действие Z, а выходной величиной является ошибка Е: от него,
сгрукзурную исходную схему удобнее преобразовазь к виду (рис. 3):
Рис. 3
Передаточная функция ошибки по отношению к возму-
щающему воздействию Фг-($) определяется формулой:
На основании принципа суперпозиции ошибка системы
равна сумме ошибок от каждого из поступающих на систему
воздействий.
Ошибка системы в установившемся режиме работы может
быть подсчитана с помощью свойства о конечном значении
оригинала.
= £(«>) = lim s • L(.$) = lim s • [L (л) + Е. (.v)]
8—>0	у—>0
Проиллюстрируем на примерах свойства статических и ас-
татических систем.
77
Теория автоматического управления
Пример 1
Для анализа воспользуемся структурной схемой (рис. 1), в
которой принято И/|($) = К1/(Г|5+ 1), Bs(s) = лУ(As + IX входное
управляющее воздействие go’1(0. а возмущающее воздействие
г01(/). Изображения этих воздействий соответственно равны:
6(a) = gofc И Z(a) =
Получим формулы ошибок от каждого из воздействии:
£• (со) = 1 jm s — O (д) = lim	— - —^2—
л-—>0 $	л—>0 (т^+щт^+у+е,^ 1+еге2
-о(^15 + О’?2
Ls) = lim
(ТрУ+ЩД-У+О+е, ?2
Итак, ошибка от управляющего воздействия ек пропорцио-
нальна его амплитуде и обратно пропорциональна добротности
системы (коэффициенту передачи разомкнутой системы).
Ошибка от возмущающего воздействия с: также пропор-
циональна его амплитуде, коэффициенту передачи системы от
точки приложения возмущения до выхода системы (коэффици-
енту передачи разомкнутой системы по возмущению) и обратно
пропорциональна добротности системы.
Следовательно, исследованная САУ является статической
как по отношению к управляющему, так и к возмущающему
воздействиям.
Пример 2. Рассмотрим систему такой же структуры,
как и в первом примере, при тех же входных воздействиях, но
имеющую следующие передаточные функции: (КДа) = K|/(7’|.s- +
IX Wz2(-s) = K2HT2S + 1) $. Обратим внимание, что в 114(5) появи-
лось интегрирующее звено.
Рассчитаем ошибки в такой системе от каждого воздействия.
о ( ч I go л ( \ gofr^’ + lX^+O-x
£„(«')= lim s — O Is I = lim . A-----------— ~----------= 0;
S s-»0	5	(7'1Л + 1)(7'25 + 1)-Л + ?|-^2
6?_(co) = lim s — O (5)= lim --------------------------= ^-.
78
Март яков А. И.
Результаты показывают, что система стала астатической по
отношению к управляющему воздействию и по-прежнему ста-
тична по отношению к возмущающему воздействию.
Пример 3. На систему той же самой структуры дейст-
вуют тс же воздействия, что и в первых двух примерах, но пе-
редаточные функции равны: Hi(s) =	+ !)•$,
JJ2(v) = KiWis + !)• Обратим внимание, что теперь интегри-
рующее звено - в первой передаточной функции до точки при-
ложения возмущения.
Запишем уравнения ошибки относительно каждого из
входных воздействий.
е (oo) = [im s — O £л)= lim	go (^i-J+О Р25 + О 5—_q
»-»0 S	s-»0 (7]5 + l)(r25 + l) s + ^] £2
£.(°°) = Hm s — O (s) = lim ----------+ 0 £2 s--------------_ q
5->o S	(ri5 + l)(7'2.v+l)-5 + ?1?2
Система с такой передаточной функцией в установившемся
режиме стремится работать без ошибок.
Пример 4. Исследуем систему той же структуры с пе-
редаточными функциями И7|($) = К|/(Г15 + 1). IVz{s) = K2/(T2S + l)s.
Управляющее воздействие g(t) = g\t имеет линейно возрастаю-
щий характер с коэффициентом gi, определяющим скорость
входного воздействия. Но этой причине это воздействие назы-
вают воздействием с постоянной скоростью. Изображение тако-
го воздействия имеет вид: G(s) = gi/s2. Возмущающее воздейст-
вие носит характер нееднничного скачка с амплитудой то
естьг(о =-<>• !(/)•
Определим составляющие ошибки системы от каждого воз-
действия:
(5) = lim
g^fo+Qfas + l) g,
Результат свидетельствует, что управляющее воздействие с
постоянной скоростью вызывает в системе в установившемся ре-
79
Теория автоматического управления
жиме постоянную ошибку, пропорциональную скорости входно-
го воздействия и обратно пропорциональную добротности.
Полз ним составляющую ошибки от возмущающего воздей-
ствия:
lim s
Л-И)
Из последнего равенства видно, что возмущающее воздей-
ствие система отрабатывает гоже с постоянной ошибкой. И
окончательно ошибка системы в установившемся режиме опре-
деляется
Задачи для самостоятельного решения
Для систем со структурной схемой, изображенной на рис. 1,
определить составляющие ошибки от управляющего и возму-
щающего воздействий но следующим данным:
I)	Ид(5) = К1/(Г15+ 1) 5, W2(S) = K2/(T2S + 1), g (/) = grt r(0 = r0(/):
2)	IFjCs) =	+ 1) S, ^2(5) = K2/(T2S + 1) 5, g(/) = g) /. r(/) =
3)	= Ki/(TiS + 1 )s, wz2(s) = K2/(T2s + 1),g(0 = g(-/,;(/) = Z) /;
4)	IFi(.v) = /q/(Ti5 + 1), 1Г2(х) = k2/(T2s + 1 )•.$’, g(/) = gi t. r(/) = ->•/;
5)	ll i(s) = KiKT'S + 1 )-5, И 2(S) = K2/(72S + l)-5, g(/) = gi t. 2(1) = £,•/.
Ответы:
-0
€i
gi , -o
Cl
80
Тема 12:УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Устойчивость систем определяется характером их свобод-
ного движения. Поскольку свободное движение описывается
однородным дифференциальным уравнением (правая часть
равна 0), то для оценки устойчивости системы достаточно ис-
следовать свойства его решения. Как известно, решение урав-
нения представляется в виде:
(I)
где С, - постоянные интегрирования, определяемые из началь-
ных условий, .Si - корни характеристического уравнения, t - те-
кущее время.
Характеристическое уравнение

соответствует дифференциальному уравнению n-го порядка с
постоянными коэффициентами Пь... а„, в котором формаль-
но заменены е/'Дх/ <//' на s", dl" 1 на s"-1 и так далее. Ха-
рактеристическое уравнение системы можно получить из сё пе-
редаточной функции, приравняв знаменатель к нулю.
Система считается устойчивой, если при t—отклонение
Ах —И), то есть с течением времени регулируемая координата
стремится к прежней величине. Сходимость каждого слагаемо-
го и, следовательно, всей суммы (1) зависит от показателя сте-
пени экспоненты, представляющего собой произведение корня
на независимую переменную I. Поскольку время всегда вели-
чина положительная, то сходимость решения (1) зависит от зна-
ка корня, а быстрота сходимости - от величины модуля корня.
В общем случае корни бывают действительные, мнимые и
комплексные. Для устойчивости системы (когда отклонение Дх
стремится к нулю) необходимо, чтобы в числе п корней име-
81
Теория автоматического управления
лись бы только действительные отрицательные и ком-
плексные с отрицательной действительной частью.
Если характеристическое уравнение будет иметь хотя бы
один положительный действительный корень или пару со-
пряженных комплексных корней с положительной действи-
тельной частью, то отклонение Дх с течением времени, при
различном характере изменения, будет стремиться к бесконеч-
ности. В этом случае система неустойчивая.
Иначе можно сказать: если все корни характеристического
уравнения системы лежат в левой полуплоскости корней, то
система ус тойчивая.
Между этими двумя противоположными повелениями сис-
темы существует граничное состояние, соответствующее нали-
чию в характеристическом уравнении, по крайней мерс, одной
пары сопряженных мнимых корней. В этом случае изменение
Дх носит характер гармонической функции некоторой частоты
и постоянной амплитуды.
Приведем примеры оценки устойчивости системы по кор-
ням сё характеристического уравнения.
Пример 1. Система (рис. 1) представляет собой после-
довательное соединение ряда звеньев. Определить устойчи-
вость такой САУ.
100(0,05s +1)
(0,005s -1)
0,2s+ 1
X(s)
Рис. I
Решение. Получим передаточную функция такого со-
единения. Она равна
(3)
Для оценки устойчивости запишем характеристическое
уравнение системы, используя знаменатель передаточной
функции (3):
ад = (0.0В + 1) • (0,005s- 1) • (0,2s + ]) = 0 и найдем его
корни, приравнивая каждый из сомножителей к нулю.
82
Мартяков А. И.
(0,01.v + |) = 0 =>.v = - IOO;
(0,005л - 1) = 0 => $ = + 200;
(0,2л + 1) = 0 => 5 = - 5.
Из анализа корней видно, что среди них имеется один по-
ложительный корень s = + 200 (то есть расположенный в правой
комплексной числовой полуплоскости) и. следовательно, вся
система является неустойчивой.
Положительный корень принадлежит апериодическому зве-
ну с передаточной функцией И (л) = I/(0,005s - 1), которое по
этой причине называется неустойчивым.
Пример 2. Система состоит из тех же звеньев, соеди-
ненных параллельно (рис. 2)
G(s)
0,01s +1
100(0,05s +1)
(0,005s -1)
Определить, будет ли устойчиво такое соединение.
Решение. Получим передаточную функцию такого со-
единения
2	1(Ю(0.05л4-1)
0.0 Is+ 1	0.005л-1

(4)
После приведения передаточной функции (4) к общему
знаменателю получается характеристическое уравнение такое
же. как и в примере 1. Следовательно, корни будут те же самые,
а параллельное соединение неустойчиво.
Из вышерассмотренных двух примеров можно сделать вы-
вод: ни последовательное, ни параллельное соединение звень-
83
Теория автоматического управления
ев, среди которых имеется хотя бы одно неустойчивое, не
сделает разомкнутую систему устойчивой.
Пример 3. Определить, станет ли устойчивой система с
пс рсдаточ но й фу н к цис й:
ч	100(0.055 + 1)
И (л) = -----1--------
0.005л- 1
, содержащей неустойчивое аперио-
дическое звено, если охватить её отрицательной единичной об-
ратной связью (рис. 3).
100(0,05s +1)
(0,005s -1)
X(s)
Рис. 3
Решение. Получим передаточную функцию замкнутой
системы
ед
100(0.055 + 1)
0.0055-1 +100(0.055 + 1)
Л но знаменателю которой со-
ставим характеристическое уравнение: 0,0055-1 + 100(0.055 + 1) = 0.
Решение характеристического уравнения даст единственный
корень 5 = —19,78. Так как корень действительный и отрица-
тельный. то, следовательно, замкнутая система устойчива. Та-
ким образом, систему, имеющую в своей структуре неустойчи-
вое апериодическое звено, можно сделать устойчивой.
Пример 4. Определить, при каких соотношениях пара-
метров замкнутой системы (рис. 4): К, !\ Кж,т она будет устой-
чивой.
X(s)
Рис. -/
Решение. Получим передаточную функцию замкнутой
системы
84
Март яков А. И.
Приравнивая знаменатель к
нулю, запишем формулу определения единствсного корня и ис-
следуем, при каких значениях обратной связи замкнутая систе-
ма будет устойчивой:
Л'+££й г
Для устойчивости системы необходимо, чтобы корень был
отрицательным. Поскольку все параметры системы (А*. Т, А*(Л..т)
положительны, то отрицательность корня достигается выполне-
нием неравенства:
J	hi w *< in * Ч ’
Анализируя неравенство, можно сказать, что устойчивость
замкнутой системы не зависит от значений постоянных времени
Г и т, а определяется коэффициентом передачи (добротностью)
К разомкнутой системы и коэффициентом обратной связи К1К.
Пример 5. Проверить, будет ли устойчивой замкнутая
система (рис. 5), если неустойчивое апериодическое звено охва-
тить отрицательной единичной обратной связью.
(0,5s -1)
X(s)
Рис. 5
Решение. Получим передаточную функцию замкнутой
системы
О(л)=
0.5.S- -1 + 1
Решением характеристического уравнения является нулевое
значение корня: 5 = 0. Неустойчивое апериодическое звено, ох-
ваченное отрицательной единичной обратной связью, преврати-
лось в интегрирующее звено.
85
Теория автоматического управления
система, характеристическое уравнение которой имеет ну-
левой корень, называется нейтрально устойчивой.
Задачи для самостоятельной работы
I. Определите устойчивость разомкнутых систем по их пе-
редаточным функциям:
а) /Г(л) =
8 1О*3 * 5 s2
20
+ 0.165 - Г
20
8-10 ^- -0.165 - 1
в) ll'(s) =
0,05s
е) И'(.$
ж) Н (5)
10
0,0452 + I ’
02
0.2552 - 1
2. Определите соотношения между параметрами К и Т сис-
темы, представленной па рис. 6, чтобы система была:
а)	нейтрально устойчивой;
б)	устойчивой.
X(s)
Рис. 6
3. Можно ли сделать систему с передаточной функцией
0 2
И'(5) =---------устойчивой?
0.2552 - 1
86
Март яков А. И.
Ответы:
1.	а) система неустойчивая, гак как один из корней поло-
жительный (5| = 5; = -25);
б)	система неустойчивая, гак как один из корней поло-
жительный; (Sj = -5; s> = 25);
в)	устойчивое колебательное звено: корни характеристи-
ческого уравнения (.?! = -2 + j'4; 52 — —2 —/4) комплекс-
ные с отрицательной действительной частью;
г)	неустойчивое колебательное звено; корни характери-
стического уравнения(5| = 2 + j4: s2 = 2 -_/4) комплекс-
ные с положительной действительной частью;
,1	) неустойчивое колебательное звено; среди действитель-
ных корней характеристическою уравнения (5| = 2 + V24;
s2 = 2 - 724) имеется положительный 5р
е)	так как корни мнимые (5| = 5/; s2 =-5j), то система на-
ходится на границе устойчивости;
ж)	система неустойчивая, поскольку один из действи-
тельных корней (5j = 2; s2~ -2) положительный;
2.	а) при К- 1: от Т не зависит;
б)	при Л*> I: от Т не зависит.
3.	Теоретически передаточную функцию можно предста-
вить в виде произведения двух апериодических звеньев: устой-
чивого и неустойчивого и последнее охватить отрицательной
обратной связью (см. примеры 3,4, 5).
87
Тема 13:КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
Критерий Гурвицы служит для анализа устойчивости сис-
тем выше 3-ю порядка и имеет следующую формулировку.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно*
чтобы при положительности всех коэффициентов характе-
ристического уравнения все определители матрицы Гурви-
ца были бы положительны.
Рассмотрим на примерах его применение.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы п-
го порядка имеет вид:
d0Sn +«ls(n*,) + c/2s(n'2)	)S + tfn =0,	(1)
где cio Я|.a„ - постоянные коэффициенты.
Необходимым условием устойчивости системы является
выполнение требования положительности всех коэффициентов.
Достаточным считается положительность всех определителей
матрицы Гурвица, составляемой по определенному правилу:
1)	вдоль главной диагонали (сверху вниз и слева направо)
записывают коэффициенты характеристического уравнения Ф
до
2)	дополняют столбцы матрицы, начиная с каждого элемен-
та главной диагонали при движении вниз, коэффициентами, ин-
дексы которых убывают, а при движении вверх - коэффициен-
тами. индексы которых возрастают;
3)	места коэффициентов, индексы которых меньше нуля и
больше «/?», заполняются нулями.
88
Мартяков А.И.
^47] «з «5	•	-	0
a0	a2 а4 .	О
О	47, «з	О
«	F	•	•	«	V
0	0..	«„_]	о
I 0	0	. . ^п-2 J
Равенство нулю определителя любого порядка свидетельст-
вует о том, что система находится па границе устойчивости.
Выпишем для примера несколько определителей квадрат-
ной матрицы Гурвица, положительность которых требуется для
устой ч ивости с ис те мы.
Определитель первого порядка: Д, = 4/ > 0
Определитель второго порядка:
(2)
(3)
(4)
= 4/(47,47, -47, 47, -47,£7О + 0 + /7;77о4Г, -0>0
Общий метод вычисления определи гелей путем разложения
по элементам какой-либо строки или элементам какого-либо
столбца рассмотрим на примере вычисления определи геля 4-го
порядка (см. выделенный пунктиром фрагмент в левом верхнем
углу квадратной матрицы 6-го порядка). Для у прощения вычис-
лений определителей в каждом из них выбирают строк} или
столбец с наибольшим количеством нулей. Целесообразно раз-
лагать по элементам первого столбца, так как в нем два нуля.
Каждый элемент столбца умножается на свой минор и на (-1),
степень которой определяется суммой номера столбца и номера
89
Теория автоматического управления
строки расположения элемента. Можно сказать, что каждый эле-
мент столбца домножается на свое алгебраическое дополнение.
'а,	а,	сц	О
«О	«2	«4	а(,
О	Л]	а3
О	а()	а2
О 0 а3
. О	0	ait	а2
О
О
о
«S
«4
О 1
О
о
о
о
«6>
Д4=я|(-1)(И1)
Лл
«I
я»
«4
«3
а1
а6
«4
«5
сь
+ Ц>(-1)
Определитель n-го порядка есть сама матрица и вычисляет-
ся: Д,7 = а„  Д,?_] > 0. Если выполняется необходимое условие.
то для устойчивости системы достаточно чтобы были положи-
тельными (« - 2) определителя, с J21,0 л-
Рассмотрим применение критерия на нескольких примерах.
Пример 1. Определите устойчивость замкнутой систе-
мы, если дана передаточная функция разомкну гой системы:
W(s) =
800
(0.16s +1 )(0.0025s2 + 0.04s +1 )s
Решение. Запишем передаточную функцию замкнутой
системы:
800
(0.16s + l)(0,0025s‘ + 0.04s + is) + 800
Приравнивая к нулю ее знаменатель, получим характери-
стическое уравнение 4-10 "4 s4 + 8.9-10 -3 sJ + 0,2 s2 + s + 800 = 0,
все коэффициенты которого положительны. Поэтому после за-
писи матрицы Гурвица достаточно проверить положительность
определителей второго и третьего порядков, воспользовавшись
формулами (3) и (4).
90
Март яков А. И.
8,9-Ю-3	1	О	О	'
4-1О~4	0,2	800	О
О 8,9 -10 3 I О
к О	4Ю~‘	0.2	800?
Д? = 8,9-10"30.2 - 4-10"4! = 1,38 10 3>0
Вычислим определитель третьего порядка, разлагая по эле-
ментам первой строки:
Дз = 8,9-10-3 (0,2-1 - 8,9-1О-3 800) - 1 (4 I О41 - 0) + 0 = -0.062 <0
Определитель третьего порядка оказался отрицательным,
что противоречит достаточному условию устойчивости. Следо-
вательно, замкнутая система неустойчива.
Пример 2. Проверить устойчивость замкнутой систе-
мы, имеющей следующее характеристическое уравнение:
? + 1.48?+ 4.6 $ + 4 = 0
Решение. Поскольку7 все коэффициенты уравнения 3-го
порядка положительны, то достаточно вычислить определитель
второго порядка.
Д2 = 1.48- 4,6- 1-4 = 2,808 >0.
Вывод: система устойчивая.
При мер 3. Используя критерий Гурвица, определить,
при каком «А» замкнутая система автоматического управления,
структурная схема которой представлена на рисунке 1, будет ус-
тойчивой.
Рис. 1
Решение. Запишем передаточную функцию замкнутой
системы:
91
Теория автоматического управления
280К
(0,1 s +1 )(0,01 s +1 )(О,()() I s +1 )s + 28ОК
и, приравняв знаменатель к нулю, получим характеристическое
уравнение:
ЮЛ4 +1,11-10’У + 0,111? + 5 + 280 К = 0.
Поскольку К величина положительная, то все коэффициен-
ты удовлетворяют необходимому условию. Составим матрицу
Гурвица для вычисления определителей.
411Ю3	1	0	0	А
10"6	0,111	280Н	0
0	1.1 НО’3 1	0
ч 0	10’6	0,111	280Ц;
Д1= 1.1М0"3>0;
Д2= 1.11-10 "3 OJ II -10"6 = 122,21 10-6>0;
Определитель третьего порядка будем вычислять, разлагая
ио элементам третьего столбца:
Д3 = -280К
II О"3
0
1,11 10“\
1 -Д2 = -280К-( 1,1 И О-3)2 +
+ 122,2 МО-6
= -3449880- Ю’10
•К + 122,21-10 (\
Исходя из требования положительности определителя Д3,
вычислим К, при котором система будет устойчивой.
К< 122,21-Ю’6/3449880-10 10 = 0,35
Пример 4. По данному характеристическому уравне-
нию замкнутой системы:
? + 0,8 ? + 2,65 ? + 48.72? +156?+! 342 = 0
определить ее устойчивость.
Решение. Анализируя уравнение, отметим, что не вы-
полняется необходимое условие положительности всех его ко-
эффициентов. Коэффициент при «$ » равен нулю и, следова-
тельно, система неустойчивая.
92
Март яков А. И.
Пример 5. Определить, при каком значении постоянной
времени То замкнутая система (рис.2) будет устойчивой?
Рис. 2
Решение.
сие гемы:
Запишем передаточную функцию замкнутой
140(0,055 + 1)
По характеристическому уравнению системы:
(0,15 + 1) (Та? +1)5+ 140 "(0,05.? + 1) = 0,1 То?3 + (Тй + 0,1) .?2 +
+ 85+140 = 0
Г7}, +0.1
составим матрицу З-ю порядка 0,17}]
140
8
То+0.1
0 >
0
140;
вычислим ее определители. Д1 = Т() + 0.1 >0 => То > - 0.1. По-
скольку постоянная времени нс может быть отрицательной, то
То > 0. Продолжим вычисление определителей, требуя их поло-
жительности.
140Л
= (То + 0,1) -8 - 0,1 То-140 = 0,8 -6Т0> 0
То <0,13
(3).
Окончательный ответ: 0 < Т()< 0,13 (3).
Пример 6. Определить значение добротности «К» пе-
редаточной функции разомкнутой системы:
£(0.5.' + 1)
(0.05.?+1) (0.0055 + 1>2’
0
и
93
Теория автоматического управления
при котором замкнутая система будет устойчивой.
Решение. Получим передаточную функцию замкнутой
системы:
O(s) =
£(0,5s + l)
(0,05s +1) (0.005.V + l)s2 +1- (0,5s +1) ’
запишем характеристическое уравнение:
25- 10"5s4 + 5,5  IO’2 s3 + s2 + 0.5-K.s + К = 0,
по которому составим матрицу, полагая, что необходимое усло-
вие выполняется, то есть «К» > 0.
'5,5 Ю’2	0,5 К 0	0^
25-Ю-5	1	К	0
0	5,5-10’2 0.5-К 0
ч 0	25-1О’5	1	А,
Потребуем положительности всех определи!елей:
А1 = 5,5 10’2>0
= 5.5 • 10 '2 • 1 - 25 • Ю’5 • 0,5 -К> 0 => К< 440
Так как параметр «К» входит и в другие определители, то
продолжим их вычисление.
'5,5-10’2
25 • 10’5
0
0.5  К
I
5,5-10 2
= -А-(5,5 • 10"2)2 + 0,5* А" • Л2 =
= -К• 0,003025 + 0,0275 • К-62.5 • 10-6 - А2 > 0 => д-< 391.6.
Ответ: К < 391,6.
94
Мартяков А.И.
Задачи дли самостоятельной работы
Используя критерий Гурвица:
1.	Определить устойчивость замкнутой системы по се ха-
рактеристическому уравнению:
.? + 7 ? + 33? + 88 ? + 122s + 60 = 0.
2.	Определить, при каких значениях коэффициента а харак-
теристического уравнения:
s5 + 2 ? + 13.? + 28 ? + 50s + а = 0
замкнутая система будет’ устойчивой.
3.	Определить, при каком значении параметра То (рис. 3)
замкнутая система будет:
а)	устойчивой;
б)	находиться на границе устойчивост и.
Рис. 3
Напоминание. Система будет находиться на границе устойчи-
вости, если какой-либо определитель равен 0.
4.	Определить устойчивость замкнутой системы по ее харак-
теристическому уравнению:
2-1О"6s' + 6-10^ .? + 5-1 О"3? + • 1 (Г2 .? + 0,8? + 7s + 50 = 0.
5.	Определить устойчивость замкнутой системы по ее ка-
ра ктеристпчсс кому ура в нет п по:
410'3? + 10"'?+ 1.05?+2.8? +4,3s + 1.6 = 0
6.	Определить устойчивость замкнутой системы по се ха-
рактеристическому уравнению:
10"2 ? + 0,212 ? + 2,42 ? + 36.5 ? + 22,8s2 + 1400 = 0.
7.	Определить устойчивость замкнутой системы по уравне-
нию ее свободного движения:
(2- 1,0’У + 2-10"5.? + ЗЮ"3? + 0,13s + 100) • _Y(s) = 0
95
Теория автоматического управления
8.	Определить устойчивость системы по се характеристиче-
скому уравнению: 10-1s6 + 0,6s5 + 2 s4 + 4,4 s3 + 7s2 + 5s + 40 = 0.
9.	Определить добротность «К» разомкнутой системы с пе-
редаточной функцией:
и,/\	(0,5s 4-1)
(0.05s +1)(0.00 Is + l)s2’
обсспсчиываютую устойчивсть замкнутой системы.
Ответы па задачи самостоятельной работы
1 .Устойчивая.
2.1	1и при каких значениях а система не может быть устой-
чивой, так как /Ь = -2 < 0.
3.	а) система устойчивая при То > 0.026 с.
б)	система будет на границе устойчивости при Тц= 0,026 с.
4.	Система неустойчивая, так как Ад = - 1,76-10 8 < 0.
5.	Система устойчивая, все определители положительные.
6.	Система неустойчивая, так как коэффициент при «s1» ра-
вен нулю.
7.	Система неустойчивая, так как Aj = —3,22-10~8< 0.
8.	Система неустойчивая, так как = -1.96 <0.
9.	Система будет устойчивой при К < 1831,92
96
Тема 14: КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
МИХАЙЛОВА
Критерий служш для анализа устойчивости замкнутых сис-
тем по их амплитудно-фазо-частотной характеристике (гологра-
фу Михайлова).
Формулировка критерия устойчивости сводится к следую-
щему.
Для того чтобы замкнутая система была устойчивой,
необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при
изменении частоты от нуля до бесконечности, начинаясь
(ш = 0) на действительной положительной полуоси, прохо-
дил последовательно п квадрантов против часовой стрелки,
стремясь в последнем к бесконечности, где п — порядок ха-
рактеристического уравнения.
Годограф Михайлова строится в координатах (рис. I) действи-
тельной Р(со) и мнимой О(со) частей характеристического мно-
гочлена D[jco) замкнутой сигемы.
Годографы Михайлова устоГгпгвых
замкнутых сис гем 3. 4 п 5 порядков
со( -0|'®4 Р(.со)
со
Рис. 1
Здесь же показаны примеры поведения годографов устой-
чивых систем 3-го, 4-го и 5-го порядков.
Теория автоматического управления
Годографы Михайлова замкнутых систем:
неустойчивых (1 п 3). на грашще устойчивости (2)
Рис. 2
Пример 1. Используя критерий Михайлова, определить
устойчивость замкнутой САУ (рис.З)
Решение. Запишем передаточную функцию замкнутой
системы
O(s) = -------—--------------
(0,2л + 1X0,0 l.v+l).v +50
Знаменатель передаточной функции является характери-
стическим многочленом D(s) = 0,002s3 + 0,2 Is2 + s + 50. Поло-
жив s = J co. получим комплексную функцию D(jco), которая оп-
ределяет поведение годографа Михайлова при изменении о) от
нуля до оо. Для построения годографа Михайлова представим
комплексную функцию DQw) в алгебраической форме записи и
выделим ее действительную и мнимую части соответственно
Р(то) и Q(co).
1\со) = 50 - 0,21
О(о) = о - 0,002с?
Далее составим таблицу, куда заносятся значения Р(со) и
<9(то), соответствующие дискретным значениям частот о>, по ко-
98
Март яков А. И.
торым определяют последовательность обхода квадрантов го-
дографом.
w	0	1	2	5	10	15	18	20	25	30	50
P(w)	50	49,79	49,16	44,75	29	2,75	-18,04	-34	-81,25	-139	-475
Q(w)	0	0,998	1,984	4,75	8	8,25	6.336	4	-6,25	-24	-200
квад- рант	1	1	1	1	1	1	2	2	3	3	3
По данным таблицы можно сказать, что годограф последо-
вательно обходит три квадранта, что соответствует порядку ха-
рактеристического уравнения и, следовательно, система устой-
чивая. Характер поведения годографа приведен на рис. 4, где
крестиками отмечены дискретные значения частот.
<й=0
50
ад
Гис. 4
Пример 2. С помощью критерия Михайлова опреде-
лить устойчивость системы с пропорпионально-интсгрально-
дифференцнальным (ПИД) регулятором (рис.5)
Гис. 5
Решение. Запишем передаточную функцию замкнутой
систем ы
6(s) =
55.6(o.87s +0.087s2+0.8?)
(0.15s +1 )(0,3s + l)s2 + 55,б(о.87$ + 0,087s2 + 0.87)
99
Теория автоматического управления
и получим характеристический многочлен, раскрыв скобки
знаменателя
£>(s) = 0.045? + 0,45? + 5,84? + 48.4.V + 48,4.
Для построения годографа в Ms) положим 5 =jo). выделим
действительную Р((в) и мнимую Q(o») части и будем изменять w
ОТ 0 ДО се.
P(oj) = 0.045с? - 5,84<? + 48.4
О (си) = -0,45с? + 48,4ft>.
Составим таблицу для записи результатов вычислений 1\о)
и О(о).
	1	2		5	8	9	ю	10,3
P(w)	42,61	26,76	-0,52	-69,5	-141,0	-129,4	-85 6	-64,7
Q(w)	47,95	93,2	133.1	185,8	156.8	107,55	34	6.8
квадрант	1	1	2	2	2	2	2	2
U)	10,4	10,5	10,8	11	11 5	12	13	15
ИМ	-56,82	-48,48	-20,56	0,605	63,11	140,56	346,7	1013
Q(w)	-2,83	-12,73	-44,15	-66.55	-127,8	-196,8	-359,5	-792.8
квадрант	3	3	3	4	4	4	4	4
Анализ результатов позволяет сделать заключение, что го-
дограф характеристического многочлена замкнутой системы
последовательно обходит четыре квадранта и, следовательно,
система устойчивая. Характер поведения годографа Михайлова
представлен на рис. 6. Па кривой крестиком отмечены отдель-
ные дискретные значения частот.
100
Мартяков А. И.
jQ(«)
Рис. 6
Пример 3. Но характеристическому многочлену замк-
нутой системы Г){$) = s4 + 10.5s* + 29sl 2 + 94,5s + 180 определить
устойчивость системы.
Решен и с. 1(оложив в l\s) s = jeo, выделим действитель-
ную Р(о)) и мнимую Q(cv) части: Р(о>) = со4 - 29со2 + 180;
О((и) = -10,5со3 + 94,5со.
Составим таблицу значений Р(со) и Q(a>) соответствующих
некоторым величинам со.
Анализ данных таблицы показывает, что годограф не про-
ходит через второй квадрант. 11ри со = 3 с-1 Р(ю) = Q((o) = 0, то
есть годограф проходит через начало координат (рис.7), нару-
шая тем самым правило обхода - это граничный случай. Систе-
ма находится на границе устойчивости, и в ней возникают неза-
тухающие колебания постоянной амплитуды. Частота колсба-
lNB (nota bene-знак обратить внимание), в данном слхчас нс ясен квадрант, через который
проходит голограф
101
Теория автоматического управления
ним равна частоте, соответствующей точке голографа, лежащей
в начале координат (в нашем случае частота равна 3 с-1).
-108
-20) •
4Т
—40Q 
-500
Рис. 7 (крестиками отмечены значения частот)
Пример 4. Имеется характеристический многочлен
Ш) = (0,09л- + 1 )(0.5776? + 1.3685 + 1)(1.14s + 1)s + 15,
используя который необходимо определить устойчивость замк-
нутой системы.
Решение. 11оложив $ = Jco в многочлене D(s), выделим
действительную Р(со) и мнимую О(со) части:
Р(/со) = 0,851 со4 - 2.598 со2 + 15;
О(со) = 0,0593с? - 2,36324ft? + со
н вычислим их значения для отдельных величин со (см. таблицу
ниже)
U)	I 0	0,4	0,6	0,65	I 0,67
Р(и)	J5	14,6	_14.2	14.05 I	_14.0
	0	_0,25_	0,09	0008 ’	-0,033
квадрант	I 1	1	1	1	4
0.7	0.8	1	2 1	I 6.2	6.3
13,9	13.7	13,3	18.2 I	11172	1252
_-0J	-0.4	-1.3	-15	-13,8	3,89
4	4	4	4	4	1(5)
102
Маршиков А.И.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что го-
дограф, проходя из первого квадранта сразу в четвертый, а за-
тем в первый, нарушает правило обхода. Следовательно, систе-
ма неустойчивая. Примерный вид годографа приведен на рис.8.
Вблизи крестиков на годографе показаны значения некоторых
частот.
jQ(®)
10 0.65J3
1100 12GW
Рис. 8
Более удобным для определения устойчивости является
следствие из критерия Михайлова, которое гласит, что система
будет устойчивой при обесечеиии необходимого условия
(положительности коэффициентов характеристического
уравнения), если корни мнимой Q((o) и действительной Р((о)
частей характеристического многочлена D(j(o) чередуются,
начиная с мнимого, равного нулю.
Эта формулировка отчетливо ясна из рассмотрения годо-
графа Михайлова для устойчивой системы (рис. 1) пятого по-
рядка (/? = 5). Значения частот <О|, съь, соз, 0)4 обращают в О
последовательно мнимую и действительную части характери-
стическою многочлена то есть являются их корнями.
Приведем несколько примеров на применение следствия.
Пример 5. По характеристическому многочлену замк-
нутой системы
ОД =1510'6-? + 10.51 • 10'2? + 1,507 s2 + 64 s + 630
определить устойчивость системы, используя следствие из кри-
терия Михайлова.
103
Теория автоматического управления
Решение. Положив в многочлене 5 =./йл выделим дейст-
вительную Р(си) и мнимую (?((») части и найдем их корни.
Р{со) = 151 О^’-су4 - 1,507со2 + 630	(I)
О(со) = -10,51  10"V + 64 со	(2)
Решая биквадратное уравнение (I), получим корни:
действительной части: СО]Д= ± 20,49; со2д = ± 316,3; (индекс «д»
означает принадлежность корня действительной части Р(со)):
Решая кубичное уравнение (2), определяют корни мнимой
части О(с,):
coiM = 0; ш2м = ± 24,68; (индекс «м» означает принадлеж-
ность корня мнимой части Q(co)).
Поскольку реальная частота величина положи тельная, го
значения корней учитываются только со знаком плюс.
Для определения устойчивости прорапжируем корни обеих
частей по возрастанию, начиная с нулевого корня мнимой час-
ти. и установим, чередуются ли они. coiM = 0; roi t= + 20,49; со2м =
= + 24.68; «>1д= + 316,3. Для наглядности расположим корни на
действительной оси частот в порядке их возрастания (рие.9).
^1д	®2и
0	2^49 24*68
*1Д
31*6,3
(В Д/с
Рис. 9
Анализ расположения корней подтверждает их чередование.
Окончательное заключение: система устойчивая.
Пример 6. 11о характеристическому многочлену
D(s) = 8-Ю"7? + 5.16-10“*/ + 0.06 s2 + s + 1000, используя
следствие из критерия Михайлова, сделать заключение об ус-
тойчивости системы.
Решение. Как и ранее в примере 5, выделим действи-
тельную и мнимую части и найдем их корпи.
Корни Р(со) = 8- 10-7г// - О.Обог + 1000 = 0 равны:
со ,д = ± 158,11; су2д = ± 223.6
Корни О(со) = -5,16Ю‘4со3 + <о = 0 равны:
СУ[М — 0; су2м — 44,02
104
Март яков А. И.
Анализируя расположение всех положительных корней,
можно заметить, что чередование корней мнимой и действи-
тельной частей нарушается, сначала следуют два мнимых
(ф|М = 0;	= + 44.02), а затем два действительных корня
(<У1д = + 158,11; оьд = + 223,6). Следовательно, система неустой-
чивая.
Пример 7. По характеристическому многочлену замк-
нутой системы £)(s) = 0,0025s5 + 0,0032s'* + l,69sJ +l,5s2 + s + 60,
используя следствие определить устойчивость системы.
Решение. Опять выделим действительную и мнимую
части, для которых определим корни.
Р(со) = 0.0032а? - 1,5о? + 60 = 0
Корни: а>|д= ±6,65; col t = ±23,54
О{со) = 0,0025а? -1,69ft? + от = 0
Корни: СУ|М = 0; cv2« = ± 0.63; о?зм = ± 25.99
Частота не может быть отрицательной, поэтому отрица-
тельные значения корней Р(со) О((о) нс принимаем во внимание.
Распологая корни в порядке их возрастания, начиная с корня
мнимой части равною нулю, получаем: со1м = 0; аьм = 0,63;
i= 6,65; б921= 23.54; со3м = 25,99.
Анализ расположения корней в порядке возрастания их чи-
словых значений показывает, что чередование корней мнимой и
действительной частей нарушается и поэтому замкнутая систе-
ма неустойчивая.
Задачи для самостоятельного решения
1.	Применяя критерий Михайлова, проверить устойчивость
замкнутой системы, представленной на:
а)	рис. 10
30(0,06s +1)
(0,008s + 1)(0,00 Is + l)(0,2s + l)s
Рис. 10
105
Теория автоматического управления
б)	рис. 11
(0,5s + 1)(0,01s + l)s
Рис. 11
в)	рис. 12
(0,25s +1)
(0,5s + l)(0,5s2 + l)s
Рис. 12
2.	1 Io характеристическому многочлену замкнутой системы
определить ее устойчивость:
a)	D{s) = 0,0036? + 0.08? + 1. Is + 90;
б)	D(s) = 0.04s3 + 0.5? + 2s + 10;
в)	D(s) = s4 + s3 + 4s2 + s + 1;
r) D(s) = 0.00045s5 + 0.0028s4 + 0.66? + 2,4s2 + 60s + 130:
3.	Используя следствие из критерия Михайлова, определить
устойчивость замкнутой системы по се характеристическому
уравнению:
a)	Z)(s) = 0.4s5 + 2s' + 12? + 80s2 + 80s + 350 = 0;
6)	D(s) = s4 + 2? + 12? + 3s + 10;
в)	D(s) = 0.005s3 + 0,5I ? + s + 130;
r) Z)(s) = 0,00062s5 + 0,0014s4 + 0,076s3 + 0,7? + 1.6s + 5;
д) Z)(s) = ? + 50s2 + 600s + 1000;
e) D(s) = 0,001 s4 + 0,02s3 + 2.08s2 + 8s + 20;
Ответы на задачи самостоятельной работы
1,а) Замкнутая САУ устойчивая, годограф Михайлова, на-
чинаясь на положительной действительной оси (Г(0) = 30), по-
следовательно обходит I, 2, 3. 4 квадранты, устремляясь в по-
следнем в со.
1,6) Система находится на границе устойчивости. Годограф
Михайлова проходи т через начало координа т при си = 14,1421 с-1.
106
Мартяков А.И.
1,в) Система неустойчивая, так как годограф находится
только в первом квадранте.
2,а) Замкнутая система неустойчивая, так как нарушается
обход квадрантов. Годограф последовательно проходит через 1.
4 и 3 квадранты.
2,6) Замкнутая система устойчивая, годограф последова-
тельно проходит через 1, 2 и 3 квадранты, устремляясь в 3-м в
бесконечность.
2,в) Замкнутая система устойчивая, годограф последова-
тельно проходит четыре квадранта, устремляясь в последнем в
бесконечность.
2,г) Замкнутая система устойчивая, годограф последова-
тельно обходит пять квадрантов (1,2,3. 4. 1).
3,а) Система неустойчивая, так как чередование корней
мнимой и действительной частей нарушается (сип, - 0;
С4?2м = 1,78 с-1; го3м = 2,1 с1; «>1Д = 2,236 с-1; льд = 5.916 с1).
3,6) Система устойчивая, корпи й>1м = 0; й)|Д = 0.949 с-1;
£У1М = 1.22 с-1; coi3 = 3,33 с-1 чередуются.
3,в) Система неустойчивая, нарушается чередование кор-
ней: су|Ч = 0; «?2м = 14.14 с-1; ф)д = 16.027 с-1.
3,г) Система неустойчивая, нарушается чередование корней:
бу|м = 0; coiд = 2.69 с-1; йЪм = 5.2 с-1: го5м = 9.78 с-1:	= 22.2 с" .
3,д) Система устойчивая, корни си1м = 0; й?1Д = 4,47 с
= 24,49 с-1.
3,е) Система 4-го порядка устойчивая, корни чередуются.
о>ь, = 0; <О1Д= 3,11 с-1;	= 20 с"1; а>>д = 45,5 с-1.
107
Тема 15: КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
НАЙКВИСТА
Критерий Найквиста служит для исследования устойчиво-
сти замкнутых систем автоматического управления по виду
амплитудно-фазо-частотной характеристики (АФЧХ) разомкну-
той системы. Кривая, которую описывает коней вектора частот-
ной передаточной функции Н'У<и) разомкнутой системы в ком-
плексной плоскости при изменении от от 0 до оо, получила на-
звание голографа Найквиста. Голограф строится в координатах
действительной L\co) = Re JJ(jw) и мнимой Г(бо) - 1m ИУ'со) час-
тей частотной передаточной функции И'(/о>). В большинстве
практических случаев разомкнутая система состоит из устойчи-
вых и нейтрально устойчивых звеньев. Разомкнутая система от-
носится к нейтрально устойчивой (астатической), если помимо
устойчивых звеньев в её передаточной функции имеются интег-
рирующие звенья, число которых определяет порядок астат из-
ма. При выполнении этих условий требование критерия сводит-
ся к следующему.
Замкнутая система автоматического управления будет ус-
тойчивой. если амплшудно-фазо-частотная характеристика ус-
тойчивой разомкнутой статической САУ нс охватывает точ-
ку комплексной плоскости 1Г(/см)(рис. 1,а).
Г одограф Найквиста
статической системы
jV(M)
оо
Г од огр аф Найквис т а
астатической 1-го порядка
системы
jV(a)
<JL)-DO
а)
<й=о U(<o)
U(®)
о
Рис. I
108
Март яков А. И.
Или несколько иная формулировка для астатической системы.
Замкнутая система автоматического управления будет ус-
тойчивой, если амплитудио-фазо-частотная характеристика
нейтрально устойчивой разомкнутой САУ. дополненная дугой
бесконечно большого радиуса, начинающейся на положитель-
ной действительной полуоси и стягивающей угол -90°v, где г
порядок астатизма, нс охватывает точку'	комплексной
плоскости W(ja)) (рис. 1,6).
Если АФЧХ разомкнутой САУ проходит через точку —1 от-
рицательной действительной полуоси, то система находится па
границе устойчивости, а точка называется критической. Для ко-
личественной оценки устойчивости используют понятия запа-
сов устойчивости но амплитуде и фазе (рис. 2)
A iVfco)
Рис. 2
Запас по амплитуде определяется на инверсной частоте, то
есть, когда фазовый сдвиг достигает —180°, и геометрически
представляется отрезком ДК. Геометрически запас по амплитуде
показывает, во сколько раз можно увеличить длину' вектора 0о>„,
чтобы модуль |Hz(/ZoH)| стал равным единице. Рассчитывают за-
пас по амплитуде по формуле ДАТ =	или
ДА = 1/|6’(щ„)|. Часто запас по амплитуде определяют в децибе-
лах: ДА'. дБ = 201g 1/ й(/со11)| = 201g 1/ЩгУц)|- Зайас по фазе Д^>
определяется на частоте среза С)ср (рис.2), как дополнительный
фазовый сдвиг до фазы, равной минус 180°.
109
Теория автоматического управления
При исследовании устойчивости замкнутых систем не обя-
зательно строить всю АФЧХ разомкнутой системы. Обратим
внимание, что фазовый сдвиг разомкнутой системы нарастает
монотонно, достигая своего предельного значения на частоте
(о = «о. Поэтому узнать, охватывает ЛФЧХ точку (- 1,j0) дейст-
вительной оси или нет? можно, если определить значение дей-
ствительной части на инверсной частоте и сравнить с (—
1). Если |	> |—I |. то ЛФЧХ охватывает критическую
точку, если | Г(го„)|< |—1|, то не охватывает. Отметим еще
одно обстоятельство, что на инверсной частоте мнимая часть
становится равной нулю, то есть Г(ш„) = 0. В этом случае про-
цедура определения устойчивости замкнутой! системы сводится
к следующей последовательности действий.
1.	В передаточной функции разомкнутой системы заменяют
5 на jeo и представляют ее в алгебраической форме записи, вы-
деляя U(w) и Г(го);
2.	Приравнивая 1(щ) к 0. вычисляем значение инверсной
частоты (ои;
3.	Вычисляем значение U{o)u) и, сравнивая сс модуль с |-1|,
делаем заключение об устойчивост и системы.
Рассмотрим применение критерия Найквиста на конкрет-
ных примерах.
Пример 1. По передаточной функции разомкнутой ас-
тати ч ес ко й с т юте мы:
,55 + l)(0.0k + l)s
100
определить устойчивость замкнутой системы.
Решение. Получим частотную передаточную функцию
И'($) Is-jro
100
И'(уй)) =
100
(0,5 ja) +1) (0.01 j& +1))ja>	- 0.51 ft?2 + j{G) - 5 10'3 ft/)
Домножнм знаменатель на сопряженное ему выражение,
чтобы избавиться от мнимости.
110
Март яков А. И.

юо
-0,51ог-Дсо-5-10 W
-0,5lor + 4(0-5-10 ’со'
- 0,5 ко2 - До) - 5 • 10 ’’ of
Выделим действительную и мнимую части передаточной
функции:
t/((V) =
-51лг
(-0,51m2)2+(m-5-10 3fi/)2
I'M =
-100й)+0,5й/
(-0,51m2 )2 + (О) - 5 • 10’3 (У3 )2
Приравнивая мнимую часть к нулю, определим числовое
значение инверсной частоты. Так как о>„ принадлежит точке пе-
ресечения ЛФЧХ на участке отрицательной действительной по-
луоси от 0 до —1. то значение о» = 0 не является инверсной час-
тотой. Тогда равенство -lOOrw + 0,5m3 = 0 даст решение
м„ - 14,14 с-1. Вычислим значение действительной части на ин-
версной частоте
С'(14.14) =
-51-200
(-0,51  200)2 + (14,14 - 5 • I О-3 (14,14)3 )2
-10200
10404
= -0,98
Так как |-0,98| < |-1|, то ЛФЧХ нс охватывает критическую
точку и, следовательно, замкнутая сис тема будет устойчивой.
Пр нмер 2. Используя критерий Найквиста, определить
критическое значение добротности «/<» системы с передаточной
функцией:
Решение. Как и в предыдущем примере, получим час-
тотную передаточную функцию и выделим се действительную и
мнимую части.
*
111
Теория автоматического управления
П-G(O)= 7-------------г—
(Л>+ lXojjto+l)jco
^[-l.lco2- j(co- 0,1(0'')]
- l.ko2 + /(co( - O.lco’
- O.Icd')
Сг(<у) =

(-1,1 co2 )2 + ((o - 0,1 of )2
f W) =
£й?(1-0.1й>2)
(-1,1/y2)2 +(rt>-0.1ft/)2
Из равенства Г(<уи) = 0 => 1 - 0,1 сон2 = 0 определяем инверс-
ную частоту' сои = 710. которую подставляем в действительную
часть.
С/(710) =
-1,1£Ю
(-1.1 10)2 + (710-0.1 (V10)5)2
По условию система должна находиться на границе устой-
чивости, поэтому приравниваем правую часть Сг(710) к минус
единице.
-1.1K-I0
Критическое значение добротности равно 11.
Пример 3. Определить устойчивость замкнутой систе-
мы, зная передаточную функцию разомкнутой:
(0.55 + 1X0,15 + 1X0.025 + 1)
Решение. В B'(s) подставляем s = раскрываем скобки,
знаменатель домножасм на сопряженное ему выражение и вы-
деляем действительную и мнимую части:
112
Мартяков А. И.
W(jco) =
50[( 1 - 0,062ft?2) - j (0,62о? - 0,00 ко3)]
(I - 0,062л?2 )2 + (0.62ft?- 0.001ft?3)2
L'(ft?) =
__________50-(1-0,062ft?2)__________
(I - 0,062ft?2 )2 + (0,62ft? - 0,00 Ift?3 )2
4	- 50 (0,62ft?- 0.00Ift?")
I (co) =-------------«------------:--------
(1 - 0,062ft?2 )2 + (0,62ft? - 0.001ft?3 )2
Приравняем правую часть Р(л?) к нулю и найдем значение
инверсной частоты: - 0.62а? + 0,001а?3 = 0 =>а?„ = \620c1. Да-
лее вычисляем значение действительной части на этой частоте.
U(a>c) =
50•(1 - 0,062 • 620)
(1 - 0,062 • 620)2
= -1,335.
Значение действительной части по модулю больше модуля
минус единицы и, следовательно, замкнутая система неустой-
чивая.
Пример 4. Определить устойчивость замкнутой систе-
мы по передаточной функции разомкнутой САУ:
JF(s) =
200 (0,05л 4-1)
(0,1л +1 )(0,015 + 1 >5
Решение. По известному алгоритму определяются дей-
ствительная и мнимая части частотной передаточной функции:
(/(«?) =
K(ft?) =
-12ft?2 - 0,01 ft?4
0,0121й)4 + (ft)-0.00 Ift)3)2
-1,1ft?3-200(ft)~ 0,001ft?3)
0,0121ft?4 + (ft?-0.00 Ift?3)2 ‘
Решая уравнение 1 (ft?) = 0, то есть -1,1 to3 — 200 (ft? — 0,00 ko3) = 0,
получаем, что co = V- 222.2 с-1. Следовательно, в области дейст-
вительных частот мнимая часть никогда нс обращается в ноль
(ЛФЧХ не пересекает ось действительных значений). Эго озна-
чает, что замкнутая система устойчивая.
7 •/
113
Теория автоматического управления
Пример 5. Определить устойчивость замкнутой систе-
мы, если передаточная функция разомкнутой САУ равна:
И' (1?) =------
(45+1)
10
(0.0 U)2 + 2-0.01 0.95 + 1 )Js-
В случае устойчивости определить запас по амплитуде, вы-
разив еп) в децибелах.
Решение. Представим частотную передаточную функ-
цию разомкнутой системы в алтобраической форме записи, по-
ложив 5 = j(i).
и7О)=
[4 • 10"4 со" -4.018ог + j(со-0.0721о?)]
Д4 -10~4-4.018а/ - j(o)-0,0721а/)] _
[4 • 10-4 о)4 - 4,018йг - j(co-0,072 Io? )J ~
_ 10(4 I О-4 co" - 4.018or) - j 10(co - 0.072 Io/)]
(4 • 1 O’4 co" - 4.018or )2 + (co- 0.072 \co" )2
Мнимую часть:
V(co} =
-10(a)-0,072 1ft/)
(4 • 10" ft) - 4.018ft) )"+ (ft)- 0.072 lft/)~
приравняем к нулю для определения инверсной частоты.
-10(со-0.0721 со3) = 0=> со, = 713.87 = 3.724 1/с.
Определим числовое значение действительной части на ин-
версной частоте
(/(3,724) =
____________-10[410~‘ • (3,724 )4-4,018-(3.724)2)___________
[410"’ (3.724)' -4,018-(3,724)2J2+ [3,724-0,0721 (3,724)"]2
--0.1797.
Сравнивая |— 0,1797
I
и I-
U
, устанавливаем, что замкнутая
ю
система будет устойчивой.
114
Март яков А. И.
Определим запас устойчивости ио амплитуде ДА' как воз-
можность увеличения модуля действительной части на инверс-
ной частоте до единицы (фактически увеличение добротности
К = 10). когда система окажется на границе устойчивости.
&К = 1/|{7(й7(~) = 1/ 0,1797 = 5.565 или в размерных единицах
ДАТ, дБ - 201g 5,565 = 14.9 децибел. Запас по амплитуде опреде-
ляет, во сколько раз (или на сколько децибел) можно увеличить
добротность, чтобы система оказалась на границе устойчиво-
сти.
Задачи для самостоятельной работы
1.	Используя критерий Найквиста, определить устойчивость
замкнутой системы по передаточной функции разомкнутой сис-
тем ы:
а) 1Г
400(0.165+1;
2.	Определить с помощью критерия Найквиста, при каком
значении добротности «А*» замкнутая СЛУ будет устойчивой,
если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
115
Теория автоматического управления
3,	На основе критерия Найквиста рассчитайте критическое
значение добротности К, если передаточная функция разомкну-
той САУ равна:
#(0.0125 + 1)
И7(л)=
(45+ 1) (0.02у+ 1)5 ’
4.	Определить запас устойчивости по амплшуде Д/f в деци-
белах, если передаточная функципя разомкнутой системы равна
50
(0.Н +1) (0.01х +1)5
Ответы на задачи самостоятельной работы:
1.	а); б); в); д) - Системы устойчивые;
г) Система неустойчивая, гак как U(cotl) = -2,4;
2.	При А*<37,44.
3.	А;т = 126,57.
4.	ДА* = 6,8 дБ.
116
Тема 16: ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ АНАЛОГ
КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА
Перестроенный годограф Найквиста в логарифмических
координатах в виде двух взаимно связанных характеристик, ам-
плитудной и фазовой, позволяет быстро и наглядно получить
информацию нс только об устойчивости системы, но и о число-
вых значениях се запасов но амплитуде и фазе.
Логарифмические амплигудная и фазовая частотные харак-
теристики (сокращенно, соответственно, Л/\ЧХ и ЛФЧХ) стро-
ятся по передаточной функции разомкнутой системы, в соответ-
ствии с определенным правилом, которое приводится ниже.
Правило построения ЛЧХ
1.	По данной передаточной функции определяем все частоты
сопряжения и отмечаем их на оси частот в логарифмическом мас-
штабе в порядке возрастания (убывания постоянных времени);
2.	Через значение частоты, равное единице (со = 1с'1.1g 1 = 0),
проводи гея вертикальная ось амплтуд с разметкой в децибелах,
на которой отмечается точка L = 20 1g К, дБ. Через эту точку оси
ординат проводится низкочастотная асимптота с нулевым на-
клоном. сели система статическая, или с наклоном
-20 v дБ/дск., где v- порядок астатизма.
3.	На каждой частоте сопряжения, начиная с наименьшей,
изменяю! наклон ЛАЧХ: на —20 дБ/дек, если эта частота при-
надлежит апериодическому звену; на + 20 дБ/дек, если эта час-
тога принадлежит форсирующему (дифференцирующему) звену
1 -го порядка; на -40дБ/дск. если частота сопряжения принадле-
жит колебательному звену; па + 40дБ/дек. если частота принад-
лежит форсирующему (дифференцирующему) звену 2-го по-
рядка, и гак далее.
4.	Исходя из закономерное гей изменения фазочастотных ха-
рактеристик. входящих в передаточную функцию звеньев, стро-
ят примерную фазочастотную характеристику разомкнутой сис-
117
Теория автоматического управления
темы. Опорными точками ЛФЧХ служат частоты сопряжения,
на которых звенья имеют фиксированные фазовые сдвиги.
Пример построения асимптотической ЛЧХ системы с пере-
даточной функцией:
(2.55 +1) [(0.016s) + 2  0.9 0.016s +1 )]s
Передаточная функция состоит из интегрирующего, апс-
риодическо1х), колебательного и форсирующего 1-го порядка
звеньев.
Определим частоты сопряжения в порядке их возрастания:
й?! = 1/2.5 = 0,4 с-'; м2 = 1/0.25 = 4 с’1; со3 = 1/0,016 » 63 с1; и
отметим их расположение на оси частот (рис. 1) в логарифмиче-
ском масштабе, откладывая отрезки от вертикальной оси:
Xi = т„' lg со। = mt„ Ig 0,4 = -0.4/«,„; a? = Ig аъ = 0.6wf„;
д'з = тю- Ig to3 = 1,8ш(,„ где niM выбранный масштаб декады.
L(<o), дБ
-----80-
Pltc. 1
Па оси амплитуд откладываем значение 201g 100 = 40 дБ
(рис. 1). Через это значение в сторону низких частот проводим
асимптоту с —1 наклоном (—20 дБ/дек), так как разомкнутая сис-
тема 1-го порядка астатнзма (одно интегрирующее звено). Далее
на частоте сопряжения cot = 0,4 с-1, принадлежащей апериодиче-
118
Мартяков А.И.
скому звену, изменяем наклон на —1 (наклон будет составлять
—1 + (—]) = —2, то есть -40 дБ/дек.). Следующее изменение наклона
производится па частоте сопряжения су2 = 4с , принадлежащей
форсирующему звену 1-го порядка. Эго звено изменяет наклон
на + 1 (па + 20дБ/дск). И, следовательно, за этой частотой со-
пряжения наклон асимптоты составит: -2 + 1 = -1 и будет про-
должаться до частоты сопряжения см3 = 63 с *. Эта частота со-
пряжения принадлежи! колебательному звену, а оно снижает
ЛЛЧХ сразу на два наклона, поэтому наклон асимптоты далее
составит: -1 -2 = -3 (-60 дБ/дек.).
Построим примерную ЛФЧХ. Известно, что фазочастогные
характеристики изменяются по закону arc/g и имеют отрица-
тельные значения фазы для апериодического и колебательного
звеньев и положительные - для форсирующего звена 1-го по-
рядка. Причем на своей частоте сопряжения каждое звено имеет
фиксированное значение сдвига фазы: апериодическое -45°; ко-
лебательное -90°; форсирующее 1-го порядка + 45°. Допуская,
что всё изменение фазы происходит в пределах двух декад, под-
считаем их приближенные значения на частотах сопряжения.
Так для частоты (о । = 0,4 с-1 фазовый сдвиг составит:
- -90° - 45° = -135° (-90°от интегрирующего звена и
-45°от апериодического звена). Аналогично произведем расчет
сдвига фазы для частоты сопряжения оъ = 4 с у (сиз) = -90° -
-90° + 45° = -135°. Здесь -90° от интегрирующего звена. -90° от
апериодического звена, фаза которого к частоте со2 достигла
практически предельного значения, и +45° от форсирующего
звена на его частоте сопряжения. Далее оценим значение фазы
на частоте сопряжения со 3 = 63 с 1 колебательного звена:
= -90° - 90° + 90° - 90° = -180°. Здесь -90°от интег-
рирующего звена, —90° от апериодического звена, + 90° от фор-
сирующего звена и -90° от колебательного звена на частоте со-
пряжения. Следовательно, вблизи частоты суммарный сдвиг
фазы достигает значения -180°. Частоту, на которой фазовый
сдвиг равен —180°, называют инверсной ю„, потому что знак об-
ратной связи меняется на противоположный. Вместо отрица-
тельной она становится положительной, что ведет к неустойчи-
вости системы. Таким образом, имеем значения сдвига фазы в
119
Теория автоматического управления
грех опорных точках. Плавно соединяя эти опорные точки, при-
держиваясь формы графика arc/g, получим приближенное зна-
чение вила ЛФЧХ (рис. 1).
Совместное рассмотрение ЛАЧХ и ЛФЧХ позволяет сделать
количественное заключение об устойчивости системы, опреде-
ляя запасы устойчивости по амплитуде ДА* и фазе Д^ (рис. 1).
Сформулируем логарифмический аналог критерия 11айквиста.
Замкнутая система будет устойчивой, если ЛАЧХ при-
мет значение 0 дБ раньше, чем ЛФЧХ достигнет значения
-180°.
Иначе, если частота среза меньше инверсной частоты,
то система будет устойчивой.
Рассмотрим несколько примеров определения устойчивости
замкнутых систем методом логарифмических частотных харак-
теристик.
Пример 1. Определить устойчивость замкнутой систе-
мы методом логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ),
если передаточная функция разомкнутой системы равна:
14
(105 +1)(0.55 +1)$
Решение. Определим частоты сопряжения: о>] = 1/10 =
= 0,1с-1: (Di = 1/0.5 = 2 с-1. Выразим добротность в децибелах
L = 201g 14 ~ 23 дБ и что значение отложим на оси амплитуд
(рис. 2). Так как система - первого порядка астатизма, то из точ-
ки 23 дБ на оси амплитуд в область низких частот проводим
асимптоту с наклоном -1. Далее на первой частоте сопряжения
rui = 0.1с-1 изменяем наклон на -1. который станет-2. Этот на-
клон асимптоты сохраняем до второй частоты сопряжения
а>2 = 2 с. на которой еще изменяем наклон на —1. Таким обра-
зом. окончательный наклон ЛАЧХ составит -3.
120
Маршиков А.И.
L(w). дБ
Рис. 2
Перейдем к построению ЛФЧХ. Поскольку система — 1-го
порядка астатизма, то интегрирующее звено даст постоянный
сдвиг по фазе -90°. На первой частоте сопряжения к этому фа-
зовому сдвигу добавится -45° и суммарный фазовый сдвиг со-
ставит-135°. Подсчитаем примерный сдвиг фазы в системе па
второй частоте сопряжения сот = 2 с . К этой частоте апериоди-
ческое звено с постоянной времени Т| = 10 с даст предельное
значение сдвиг а фазы, равное —90°. Фазовый сдвиг, вносимый вто-
рым апериодическим звеном с постоянной времени Т> = 0,5 с, со-
ставит -45°. Тогда примерный суммарный фазовый сдвиг на
частоте сопряжения со, составит:
= -90° -90° -45° = -225°.
По результатам взаимного расположения ЛАЧХ и ЛФЧХ
делаем заключение, что система неустойчивая, так как ЛАЧХ
позже становится равной ОдБ. чем ЛФЧХ достигает значения
-180°(или так как гои< озср).
Пример!. Определить устойчивость замкнутой системы ме-
тодом ЛЧХ по передаточной функции разомкнутой системы:
W (s)
___________IQO(s-t-l)__________
(1 Ол +1 Х(0 fc)2 + 2 - 0,15 +1)]5'
121
Теория автоматического управления
Решение, Рассчитаем частоты сопряжения в порядке их
возрастания: <О| = 0.1с	<л2 = I с - ; о)3 = 10 с . Выразим в де-
цибелах исходный коэффициент передачи 201g 100 = 40 дБ.
В координатах ЛЧХ (рис. 3) отмстим все значения частот и ко-
эффициента передачи. Построение ЛАЧХ начнем с того, что
проведем низкочастотную асимптоту с наклоном -1 из точки,
соответствующей 40дБ. Затем от частоты о>1 до частоты оь про-
водим асимптоту с наклоном -2; на отрезке от иь ДО - с на-
клоном -1 (сказалось форсирующее звено 1-го порядка), а за
частотой - с наклоном -3 (повлияло колебательное звено).
дБ
Рис. 3
Перейдем к построению примерной ЛФЧХ. С этой целью
подсчитаем значения фаз на частотах сопряжения:
(р(со |) = -90°-45° = -
135°;
= -90° -90° + 45° = -135°;
р(го3) = -90° -90° + 90° -90° = -180°;
0(оэ) = -90° -90° + 90°- 180° = -270°.
Учитывая закон изменения фазочастотных характеристик
отдельных звеньев, соединяем точки фаз плавной кривой, пре-
дельное значение которой стремится к -270°.
122
Март яков А. И.
Анализируя взаимное расположение ЛАЧХ и ЛФЧХ прихо-
дим к выводу, н ю замкну гая система находится на границе ус-
тойчивости (боср= (У„).
Пример 3. Построить ЛЧХ САУ по передаточной
функции:
-	200(255+1)
А " (1005+ I)(Ю5 + 1)(.У+ I)
и определить устойчивость замкнутой системы.
Решение. Определяем значения частот сопряжения в по-
рядке их возрастания: = 0,01 с-1; а>2 = 0,04 с-1;	= 0,1 с-1;
бу2 - 1 с'. Выразим исходный коэффициент передачи в децибе-
лах: 201g 200 = 46 дБ. Нанесем все эти величины на соответст-
вующие оси координат (рис 4). Поскольку передаточная функ-
ция разомкнутой системы не содержит интегрирующих звеньев,
то из этого следует, что система статическая и первая низкочас-
тотная асимптота проводится из точки 46 дБ с нулевым накло-
ном. На частоте = = 0,01 с-1 ЛАЧХ изменяет наклон на -1; за
частотой со2 = 0,04 с'1 до частоты (+, = 0.1 с 1 идет опять с нуле-
вым наклоном (за счет форсирующего звена); на отрезке частот
от о>з = 0,1 с до сод = 1 с'1 наклон -1 (влияет апериодическое
звено с постоянной времени = 10 с); за частотой w4 = 1 с-1
ЛАЧХ проводится с наклоном —2. Для опенки устойчивости
можно не строить всю ЛФЧХ. а лишь определить сдвиг фазы па
частоте среза тоср. Предварительно подсчитаем фазовый сдвиг
на ближайшей к частоте среза четвертой частоте сопряжения:
= —90°(от первого апериодического звена) + 90°(от форси-
рующего звена) —90°(от второго апериодического звена) и нако-
нец -45°(на частоте сопряжения сщ от последнего апериодиче-
ского звена, что в сумме составит (/>((01) = -135°. Оценим пре-
дельный фазовый сдвиг, создаваемый всеми звеньями переда-
точной функции на частоте от —♦ со:
X») = -90° + 90° -90° -90° = -180°.
Следовательно, на частоте среза, расположенной между су4
и cd —> да, будет существовать запас по фазе Д</> (рис. 4) и можно
утверждать, что замкнутая система будет устойчивой.
123
Теория автоматического управления
L(w). дБ
i
Рис. 4
Задачи для самостоятельной работы
I. Определить устойчивость замкнутой системы
ЛЧХ по передаточной функции разомкнутой системы:
140
W
(0,25 +1) [(0.02л)2 + 2 • 0.9  0.02л +1)] л'
методом
б) JF(.v)=
100
(5л +1) (0,5л-+1) (0.25 + 1)5-’
а) 1К(л)
в) fl'(s) =
Ответы к задачам самостоятельной работы
1. а) Замкнутая САУ неустойчивая;
б)	Замкнутая САУ неустойчивая;
в)	Замкну гая САУ устойчивая;
г)	Замкну тая САУ устойчивая;
д)	Замкнутая САУ устойчивая.
124
Тема 17: ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА
УПРАВЛЕНИЯ
Устойчивая система автоматического управления может на-
ходиться в двух фазах состояния: переходной и установившей-
ся. 11ервая, называемая переходным процессом, характеризуется
формой и длительностью перехода системы из одною устано-
вившеюся состояния в другое. Для количественной опенки ди-
намики системы в первой фазе были предложены следующие
показатели качества:
- время регулирования /р- определяемое отрезком времени
от начала движения = 0) до момента, когда отклонение
регулируемой координаты x(f) от её конечного значения
х(со) составляет не более наперед заданной величины .</.
То есть |х(со)- х(/р)| < |J| (рис. 1);
— коэффициент перерегулирования <т, равный отношению
максимального превышения конечного значения регули-
руемой координаты к самому конечному значению, вы-
раженному в процентах.
Оба эти показателя качества определяются при подаче на
испытуемую систему единичного скачка - 1(/). Реакция системы
на это воздействие получила название переходной функции и
специальное обозначение h(/). Поэтому, нс обращая внимания на
физическую суть выходной координаты x(f). принимают x(t) =
= h{t). При принятых обозначениях коэффициент перерегули-
рования ст определяют по формуле:
 100%
(1)
125
Теория автоматического управления
x(t)-h(t)
Рис. 1
Приведем несколько примеров на определение динамиче-
ских показателей.
Пример 1. Система, структурная схема которой дана па
рис. 2, имеет переходную функцию (рис. 3). По ней определить:
коэффициент перерегулирования о и время регулирования с
допуском регулируемой величины ±5% от h( /).
Решение. По теореме о конечном значении функции оп-
ределяем конечное значение переходной функции.
I -	9
lim h(t) = h(«>) = lims - 0(s)- - = limO(s) = lim--------= 0,9
•*-><» s	*-»»(3s+ l)(0.4s +1)4-9
Определяя по графику значение Amax и принимая расчетное
Л(»), вычисляем коэффициент перерегулирования по формуле
(D
. 100% = 103 0,9 • 100% = 16.7%
0.9
Отложив, как показано на рис. 3, заданный допуск на пере-
ходной функции (в нашем случае ±5%/г(<х)), определяем время
регулирования. Оно составляет /р = 1.86 с.
126
Мартяков А.И.
Рис. 2
Рис. 3
Пример 2. Переходная функция апериодического звена
является монотонной и описывается уравнением:
t
h(l) = \-е 7. Определить время регулирования, выразив его в
единицах постоянной времени Т, при допустимом отклонении
10% от Л(ос).
Решение. Переходная функция при заданном отклоне-
нии определяется равенством:
_ip
Л(/р)= 1-0.1 =0.9= 1-е т
(2)
Прологарифмировав по натуральному основанию обе части
(2), получим
127
Теория автоматического управления
Еще одним показателем качества работы является ошибка
системы в установившемся режиме работы £(<»). Установив-
шуюся ошибку в системах с единичной обратной связью для
типовых воздействий (кроме гармонического) определяют по
теореме о конечном значении функции:
(3)
где E(s) изображение ошибки;
G(s)~ изображение входного воздействия;
Ф/5) = -j—~ псРадат°1п,ая функция ошибки, a Н'(з) пе-
редаточная функция разомкнутой системы.
Ошибки могут возникать как от управляющих, так и от
возмущающих воздействий, поэтому формулу (3) используют
для подсчета каждой из составляющих с учетом соответствую-
щей передаточной функции ошибки.
Пример 3. Определить составляющие ошибки от управ-
ляющего g(t) = 47 н возмущающего Д/) = 21(/) воздействий в
замкнутой системе, представленной структурной схемой па
рис.4.
s(0,25s+l)
100(0,Is+1)
0,05s +1
X(t)
Рис. 4
Решение. Для получения составляющей ошибки от
управляющего воздействия запишем передаточную функцию
ошибки Ф>^) по отношению к управляющему воздействию,
полагая, что возмущение/(/) отсутствует.

5(0.255 +1) (0.055+1)
5(0,255 +1) (0,055 +1)+200(0.15 + 1)
Изображение управляющего воздействия G(5) = 4/52. Ис-
пользуя формулу (3), получим установившуюся ошибку
128
Март яков А. И.
/ V ..	5(0.255 +1) (0,055 +1)	4
* V=o ,->о	5(0,255 +1)(0.05.V + l)+200(0,ls +1) 52
4
200
= 0.02
Для получения составляющей ошибки от возмущающего
вохтействия преобразуем структурную схему рис. 4 так, чтобы
выходной координатой была ошибка рис. 5, и запишем ее пере-
даточную функцию Ф,/.
Рис. J
ey<t)
- _	100.s(0,255+1)(0.15 + 1)
(Г 5(0,255 +1)(0.055 + 0+ 200(0.15 +1)
Далее используя (3). вычислим установившуюся ошибку от
возмущающею воздействия, изображение которого F(s} = 2!s.
lim 5 •
,«-»о
2	1005(0.255+0(0,15 + 1)
5 5(0.255+1) (0.055 + l)+200(0.l5 +1)
Анализ ошибок позволяет сказать, что но отношению к
управляющему воздействию система ведет себя как статиче-
ская. а по отношению к возмущающему - как астатическая. По-
скольку управляющее воздействие представляет собой воздей-
ствие с постоянной скоростью, то от него получается состав-
ляющая. именуемая скоростной ошибкой. Таким образом,
ошибка системы в установившемся режиме равна
£(оо) = £с +£у =0,02 + 0 = 0.02.
Входное воздействие в общем случае может представлять
собой произвольную функцию, в которой можно выделить не-
которые т иповые составляющие.
Если сходящаяся функция ошибки имеет ограниченное
число экстремумов (функция медленно меняющаяся), то для
129
Теория автоматического управления
оценки точности САУ используют метод коэффициентов оши-
бок
Для установившегося режима работы САУ предаточную
функцию ошибки можно представить в виде ряда Тейлора в ок-
рестности 5 = 0:
(4)
После обозначения: Ф,(0) = Со;
(5)
равенство (4) примет вид:
Изображение ошибки Е(з) = С(з)-Ф,(з) с учетом (6) будет
(7)
Переходя к оригиналам с учетом теоремы о дифференциро-
вании, получим
(8)
130
Март яков А. И.
Анализируя (8), можно отметить, что ошибка содержит со-
ставляющие, пропорциональные самому входному воздействию
и его производным. Первое слагаемое (8) определяет позицион-
ную ошибку, а Со называют коэффициентом позиционной
ошибки. Второе слагаемое с коэффициентом Q оценивает со-
ставляющую, пропорциональную скорости входного воздейст-
вия, и потому Ci называют коэффициентом скоростной ошибки.
Коэффициенты Сэ и С„ соответственно называют коэффициен-
тами ошибки по ускорению и по n-ой производной от входного
воздействия.
Если СЛУ статическая, то Со =
, где К - коэффициент
передачи разомкнутой системы (добротность). В системе пер-
вого порядка асгатизма С(1 = 0, a Cj = UK. В системе 2-го поряд-
ка астатизма Со = С] = 0, а С2 = 2\/К.
Определение коэффициентов ошибок удобнее выполнять не
по формулам (5). а представив ФДх) в виде ряда по степеням s,
поделив многочлен числителя па многочлен знаменателя. В
этом случае числовые значения при соответствующих степенях
5 будут определять коэффициенты ошибок.
Пример 4. Определить три первых коэффициента оши-
бок по передаточной функции ошибки Ф*(з):
С (5) =
s(0.ls + l)(0,01s + l) = 54-0.1 Lr 4-0,001?
s(o.ls + lXo,Ols+l)+4O ” 404-5 + 0.1Is2 + 0,001s3
Решение. 11одслим числитель на знаменатель
5 + 0,1152+0.00153
5 + 0,025s2 + 0.00275s3 + 0,000025s4
40 + 5 + 0,11s2+0001.?
0,025s + 0.002125s2+...
0.085s2 - 0,00175s3 - 0,000025s4
a	»
0.085s2 +0,002125s3 +0.23375 - C3s4 + ...
Полученное частное в виде суммы ограниченного числа
слагаемых определяет передаточную функцию ошибки
О (s) ~ 0,()25s + 0.002125s2 +.... Число слагаемых зависит от не-
131
Теория автоматического управления
обходимого числа коэффициентов ошибки. По условию задачи
требуется найти Со, С] и С2. Сравнивая ряд (4) с частным, мож-
но установить, что Со = 0; С| = 0,025 и С2/2! = 0,002125
=> С, = 0,00425.
Пример 5. С учетом первых трех коэффиниснов оши-
бок, полученных в примере 4, определить закон изменения
ошибки при входном воздействии g(l) = 21(/) + 10/4- 12г.
Решение. Согласно формуле (8)
= 0 + 0.025 (10 + 24/)+0,002125-24 = 0.301 + 0.6/.
Анализируя результат, можно сказать, что ошибку’ образу-
ют две составляющие: постоянная скоростная сек. равная 0.301,
и по ускорению €\ск, изменяющаяся по линейному закону от
времени.
11ри гармонических входных воздействиях установившаяся
ошибка определяется как разность амплитуд входного воздей-
ствия и рс1улирусмой величины на определенной частою. Ам-
плитуда ошибки определяется равенством:
(9)
где gm _ апмлигуда входною гармонического воздействия с
часютой (ор, a W(/7y - модуль частотной передаточной функ-
ции (коэффициент передачи) на рабочей частоте <ор.
II р и м ср 6.
Определить
установившееся значение
ошибки САУ с передаточной функцией разомкнутой системы
100 (0,1255 + 1)
5(0.55+1) (0.0 к+ 1)
при гармоническом входном воз-
действии g(/) = = 20°5in 2/.
Решение. Определим модуль частотной передаточной
функции на рабочей частоте гор - 2 с~ :
132
Мартяков А.И.
100 -0.125JX/ + 1
= 36.445
100 У(о?125 2)2 +1
2 • 7(0.5-2)41 •	1 • 2)2 +1
Тогда ошибка будет равна:
<>	70'"
____от______	~~
1+W(j7ve/) 1 + 36.445
= 0,534'
= 32,047*
Вычисляя ошибку по приближенной формуле (9). получим
для сравнения
«	20f
ет ~ j-= 0.549'
W(j^)	36,445
= 32,926*. Ошибка вычис-
ления в данном примере составляет 2.7%. В будущем без боль-
шой погрешности можно использовать приближенную формулу
(9) при выполнении условия W{ja>d) »1.
Задачи для самостоятельной работы
1. По передаточной функции разомкнутой системы 1Г($) и
графику переходной функции /?(/) замкнутой системы опреде-
лить коэффициент nepepeiyлироваиия о и время ре1улирования
/ при допустимом отклонении процесса от конечного значения
Л(оо) на ±10%:
а) используя данные, приведенные в примере 1.
б) =
S
9
(1.15+1) (0.6s+ 1)
в) IJ'(s) =
и рис.6
и рис.7
г) 1Г($) =
10
(0,2s + l)(0,04s+l)s
п рис. 8.
133
Теория автоматического управления
2. Определить время регулирования /р в единицах постоян-
ной времени Т апериодического звена при допустимом откло-
нении переходной функции от конечного значения:
а)	5%; б) 1%.
О О 4 О 8 1.2 1.6	2	2.4 2.8 3.2 3.6	4 1.С
Рис. 7
134
Март яков А. И.
3.	Определить установившую ошибку в замкнутой системе:
а) с передаточной функцией разомкнутой системы
И (5)
20
(0.25.V +l)(O,OLv+1)л
при входном воздействии g(/)=2/:
б)	с передаточной функцией разомкнутой системы
/ ч	50(v+ 1)
И (5 )= -------------------г------------ при входном
(10 5 + 1)(0.015" + 2 0.9 -0.15+ 1)5
воздействии g(0 = 2-1(0 + 0.57:
в)	с передаточной функцией разомкнутой системы
#'’(5)
40(5 + 1) (0,45 + 1)
(1,65 +1) (0.025 + 1)52
при входном воздействии g(t) =
= 31(0 + 107 +Г;
h(t)
0	0.4 0.8 1.2 16	2	2.4 2.8 3 2 3.6	4 t.C
PltC. 8
г)	со структурой, приведенной на рис. 9 при управляющем
входном воздействии g(t) = 2-1(0 и возмущающем воздействии
/W-0,5-1(0.
Рис. 9
135
Теория автоматического управления
4. Проанализируйте, какой будет установившаяся ошибка в
замкну гой системе, если передаточная функция разомкнутой СЛУ:
а) 1У
300
при входном воздействии g(/)
300
при том же входном воздеи-
стами, что и в предыдущем примере.
5. Определите начальное значение ошибки в замкнутой
САУ (рис. 10) при входном воздействии g(l) = 4-1(/).
g(t) iO.£(b
200
Рис. К)
6. Определить три первых коэффициента ошибок замкнутой
СЛУ с передаточной функцией разомкнутой системы:
200
20
10
7. Определить закон изменения ошибки в замкнутой САУ с
передаточной функцией разомкнутой системы:
.	/	200
при входном воздействий
g(t)= 10-1(0 + 40/ +8г;
.../ X	Ю
при входном воздиствии
136
Март яков А. И.
— при входном воздействии g(i) = 8-1 (/) +
1000(0,85 + 1)
при входном воздействии
при входном воздействий
8.	Определить установившуюся ошибку в замкнутой систе-
ме по следующим данным: передаточной функции разомкнутой
системы 1Г(х) и гармоническому входному воздействию g(/)
с оотвстствс н но:
ч х 100(0,25 + 1)
и g(/) = 25°sin 0,2/:
100	Я - Л I
:------— И g(Z) = 4 51П 0,1/:
в) IV
100 . и е( /) = 10°5in л//2;
и g(/) = 0.2 5in 2л//5.
9.	С какой установившейся ошибкой ст будет работать
замкнутая система, развивающая максимальные скорость
" - 0.98 рад/с-, если передаточная
х' - 0,7 рад/с и ускорение л*
функция разомкнутой САУ
ч	1700(0,065 + 1)
10.	Определить общий коэффициент передачи К» САУ
(рис. И), при котором установившаяся ошибка £(/) на входное
воздействие с постоянной скоростью 20 град./сск. нс превышает
10 угловых минут.
137
Теория автоматического управления
g(0
Рис. 1 /
Ответы к задачам самостоятельной работы
1,а) о = 16.7% и /р = 1.62 с.
б)	a = 26.7% и Zp = 1.2 с.
в)	о = 33,3% и /р = 1.8 с.
г)	о = 48,6% и /р = 1.56 с.
2,	а) /р = 2.99 Т ~ ЗТ;°
б)/р~4,6Г.
3,	а) с(оо) = с)С1 = 0,1;
б)	= 1;
в)	с(сс) - 0.05;
| ) £(эс) = Cg + £f= 0 + 0 = 0.
4,	а) £(оо)->«;
б) с(<л) = 0,005g().
5.	с(0) = 4.
6,	а) Со — 0. С| — 0.0016. Ct — 0,006.
б)	Со = 0, С, = 0,005, С2 = 0,00015;
в)	Со = 0, С| = 0.05, С2 = 0,035;
г)Со = 0, С, = 0,1, С, = 0,024.
7,	a) c(t) = 0,2012 + 0,08/ (можно использовать результаты
задания б,б);
б)	с(/) = 1,12 + / (можно использовать результаты задания 6,г).
в)	с(/)= 0,74 + 1,2/;
г)	е(/) = 0,0173 + 0,006/;
д)	с(/) = 0,0257 + 0,0044/.
8,	а) см = 0,05° = 3,02';
б)	ст = 0.004 рад = 0.23° = 13.8';
в)	£,„ = 0.2° = 12';
г)	с„, = 0,005 рад = 0,288° = 17,3'.
9.	= 0,00096 рад = 0.055° = 3.29'.
10.	А‘о = 120.
138
Заключение
Рассмотренные в сборнике примеры и задачи, по мнению ав-
тора, позволяю г студентам закрепить изученные методы анализа
линейных непрерывных систем автоматического управления, при-
обрести навыки требуемых при исследованиях расчетов.
Развитие и распространение компьютерной техники, а
также разработка математических пакетов программ Excel, Maf-
ia!), Ma/hcad и специальных программных комплексов, напри-
мер, МВТУ, позволяют перейти к машинным методам решения
многих задач роллирования и управления. Численные методы
решения задач на компьютере, несомненно, ускоряют процесс
получения результата, но они не всегда позволяют составить
обобщенную картину анализируемого процесса или системы,
так как результат соответствуй г фиксированным параметрам.
Конечно, использование компьютерной техники является
прогрессивным шагом, но при этом должны измениться сама
концепция и методика проведения семинарских занятий приме-
нительно к изучению теории автоматического управления.
Представляется, что проведение семинаров должно напоминать
программированное обучение, когда студент в диалоговом ре-
жиме выполняет полученное задание, а преподаватель контро-
лирует обоснованность использования, выбранной программы и
метода решения поставленной задачи и оценивает полученный
резу л ы ат.
139
Приложение
Варианты контрольной работы для первого семестра
изучения ТАУ
Вариант 1
Получить изображение функции: f(f) = Г sin col:
Получить оригинал функции:
Решить уравнение: х" + 8л' + 7х = <5(/-3);
Получить передаточную функцию:
Вариант 2
Получить изображение функции: /(/) = /-1(/ — а);
п	.	г-1 \ 3(s-l)
Получить оригинал функции: г
s~ +4
Решить уравнение: х" + Зх' + 2х = 4- 1(f):
Получить передаточную функцию:
о
U вых
о
140
Мартякое А. И
Вариант 3
Получить изображение функции: f(f) = 15-$7 -2);
85 4-10
s2-3s-28
Решить уравнение: х,"4-.х' = 10е2/
Получить передаточную функцию:
1 (олучить оригинал функции: /' (л)
Вариант 4
Получить изображение функции: /(/) = 3/eaf. где a - cons/;
/ \	2
11олучить оригинал функции: F(s) =  -у
Решить уравнение: х' 4- 2х + J xdt = 1 (J е3' dt\
Получить передаточную функцию:
R1
°—|~^~т—ч—0
UM	Пк2 JL иЕЫХ
о-----1 1-----о
Вариант 5
Получить изображение функции: /(/) = (12/-61(/))е4';
Получить оригинал функции: F(s) =—;
(s4-7)2 4-9
Решить уравнение: х" + 10х' 4- 74х = <5(/);
11олучить передаточную функцию:
R
О-------------о
—I— UIia
о---------1---о
141
Теория автоматического управления
Вариант 6
Получить изображение функции: /(/) = /cos 4/;
Получить оригинал функции: F(s)=--------
(s + 2)2 + 16’
Решить уравнение: х"+	+ 7х = 2/ + 2-1(7);
Получить переда точную функцию:
Вариант 7
Получить изображение функции: /(/) - 0.25-е 24in 4/;
Получить оригинал функции: F(s) =-------!---------
s2 + 6s +13 X.v2 + 6s + 5
Решить уравнение: 2х"' + 9а" + 10/ = <5(/ - 9):
Получить передаточную функцию:
L R1
Вариант 8
Получить изображение функции: f(/) = / е
Получить оригинал функции: F(s) =
Решить уравнение: 5а' + 8а + 4j xdt - 20-1(/);
11олучи гь передаточную функцию:
К =ф= ив1П
142
Мартякое А. И
Вариант 9
Получить изображение функции: /(/) = 8 eos2 /:
1 Ъ-Зу
Получить оригинал функции: г\з) =-----;
3
Решить уравнение: 4д" + 8.v' + 5.v = <5(7):
По |учигь передаточную функцию:
Варна из-10
Получить изображение функции: /(/) = Г- е
П	1	гг/ \	+1
Получить оригинал функции: r{s)=
s(s+1)($ + 2)
Решить уравнение: х" - 4х' = 4е2/:
Получи гь передаточную функцию:
L R
143
Теория автоматического управления
Ответы на задачи контрольной работы
Вариант 1
~	2	2^
х 2<ul3s -со )
«
I 1У*
+йГ J
/(/) = 5е2' cos 3
л(/) = - [1(/ - 3)- е-(,-3) -1(/ - 3)  е“7('“3)]
6
1-ф) = кз/(Тз + I), где к = R2C, а Т= (/? 1 + /?2) С
Вариант 2
/(/) = Зе os 2/ - 1,5sin 2/
.v(/) = 2-l(/) + 2e~2'-4e~'
И;(5)= \!(Ts + 1), где T-LR
Вариант 3
F(s) = 15е-2'
/(/) = 2е~,/ + 6с7'
л(7) = -5-1 (/) + с2 ' + 4-eos I - 2- sin t
U'(s) = к/(Гз + 1), где к = W/?l + /?2), а Т= R\R2- C7(R1 + R2)
Вариант 4
л(1)= г2-?
(S-£Z)
Л?) = Г- е
л(/) = -е? '(4/+1(/)) + е’'
U\s) = tsKJs + 1), где т - Л R1, а 7 = L(R\ + R2) /R\ R2
Вариант 5
144
Мартякое А. И
/{() = е ъ  cos 3/
л(/) = у (е-5' • sin 0 5/)
И’(л)= 1/(7л- + 1), где 7 = RC
Вариант 6
/(/) = 0,25с ’2, лт 4/
И’(л) = ks/(Ts + 1), где к=Т - L/R
Вариант 7
/(/) = (е е "*)/32- (е “\sin 2/)/16
л(/) = 0,1  I (/ - 9) - 0,5-1 (/ - 9) с 2(1 “9) + 0,4-1 (; - 9) с 2'{‘~9):
ИV) = k/(Ts + 1), где к = R2/(R] + R2), а Т= U(R\ + R2}
Вариант 8
/(/) = е - 0,25-!(/)) + 0,25е 3/;
л(/)= 10e4>x'-.vin(),4/
II'(s) = ksRTs + 1), где к = /? С1, а Т= /?(С1 + С2)
Вариант 9
х 8s2+16
/(/)=• !(/)-!(/-3)
л'(/) = 0,5<?' sin 0.5/1
145
Теория автоматического управления
Вариант 10
/(/) = 0,5-!(/)-2е "' +2,5с 21;
а'(/) = 0,5-1(0 + 0,5<?*'-<?2'
H'{s) = 1/(7V + 2dTs + 1), где Т= VLC, a 2dT= RC
146
Литература
1.	Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного пере-
менного: Учебник для вузов. — СПб Изд-во «Лань», 2002 —
304 с.
2	Востриков А.С., Французова Г.А Теория автоматического
регулирования: Учебное пособие для вузов - М.: Высшая
школа. 2004. - 365 с.: ил.
3	Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления / 11ср.
с англ. Б.И. Копылова. - М.: Лаборатория Базовых Знаний,
2002 - 832 с.: ил.
4	Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления.
Частотные методы анализа и синтеза: Учебное пособие.
БХВ-11стсрбург, 2004.
5	Мнрошник И.В. Теория автоматического управления Ли-
нейные системы: Учебное пособие. 11нтср, 2005.
6.	Подчукаев В.А. Теория автоматического управления. Ана-
литический метод. Физматлит., 2003.
7.	Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учеб-
ник для ву зов. — СПб.: Политехника, 2003. — 302 с.: ил.
8.	Каганов В.И. Комыотсрныс вычисления в средах Excel и
Mathcad. - М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 328 с.: ил.
9	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. - М.: Наука, 1970.
10.	Дсч Г. Руководство к практическому применению преобра-
зования Лапласа. - М.: Наука, 1965.
11.	Гарднер М.Ф., Бчрнс Дж. 11ереходные процессы в линейных
системах. Государственное издательство	физико-
математической литерату ры. - М., 1961.
12.	Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.:
Наука, 1965.
147
Учебное издание
Александр Иванович Мартяков
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Сборник задач и упражнений
Редактор/?./? Шмат
Компьютерная верстка Н.Р. Сеифетдиновой
Оформление обложки АЛ/. Гришиной
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.002624.03.06 от 30.03.2006
Подписано в печать 25.12,07
Формат бумаги 60x84/16. Изд. № 1-21/07
Усл. печ л. 9,25. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 500 Заказ № 1322
Издательство МГИУ, 115280, Москва, Авюзаводская 16
www izdaLmsiu.ru; e-mail: izdal@msiu ш; тел. (495) 677-23-15
Пи вопросам приобретения продукции
издательства Ml 11> обращаться по адресу:
115280. Москва. Автозаводская, 16
www.izdat.msiu.ni; e-mail: izdat@msiu.ru; тел (495) 677-23-15
Отпечатано в типографии издательства МГИУ