Qrundlehren der mathematischen Wissenschaften 2?
Lars Hormander
The Analysis of Linear Partial
Differential Operators I
Distribution Theory and Fourier Analysis
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983
Л.Хёрмандер
Анализ линейных
дифференциальных
операторов
с частными
производными
В четырех томах
Том 1
Теория распределений
и анализ Фурье
Перевод с английского под редакцией
М. А. Шубина
Москва «Мир» 1986

ББК 22.162
Х39
УДК 517.9
Предисловие редактора
перевода
Хёрмандер Л.
X 39 Анализ линейных дифференциальных операторов с част-
частными производными: В 4-х т. Т. 1. Теория распределений и
анализ Фурье. Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 464 с, ил.
Первый том фундаментальной монографии крупного шведского математика,
знакомого советским читателям по переводам его книг и статей, посвящен теории
распределений и анализу Фурье и дает систематическое изложение современного
состояния в данной области.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов универси-
университетов.
1702050000—316
041@1)—86
22—86, ч. 1
ББК 22.162
Редакция литературы по математическим наукам
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983
All rights reserved. Authorized translation
from English language edition published
by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York
© перевод на русский язык, «Мир», 1986
Имя шведского математика Ларса Хёрмандера не нуждается
в рекламе ни для кого из специалистов по уравнениям с част-
частными производными и смежным вопросам анализа. Он давно
уже является одним из классиков и признанных лидеров в этой
области. Его книги •> и работы написаны сжато, но при этом
четко, замкнуто и полно. По ним можно изучать соответствую-
соответствующие разделы теории, и притом с уверенностью, что ничто суще-
существенное не будет упущено. Не является исключением и настоя-
настоящая книга, вышедшая на английском языке в 4-х томах. Многие
западные математики называют ее библией уравнений с част-
частными производными. Как и все книги Хёрмандера, она исклю-
исключительно богата материалом, причем это богатство не всегда
отражено в оглавлении. Например, первая глава содержит срав-
сравнительно новое доказательство классической теоремы Данжуа —
Карлемана о квазианалитических классах, вторая глава — тео-
теорему Уитни о продолжении гладких функций, четвертая — изло-
изложение теории плюрисубгармонических функций и т. д.
Стиль, в котором написаны книги и работы Хёрмандера, не
назовешь легким: их чтение требует серьезной работы практи-
практически иад каждой строкой. Однако читателя, преодолевшего все
эти трудности, ждет большая награда: он овладеет современной
и трудной техникой и сможет после этого сам работать в изучае-
изучаемой области. Существенно, что при этом вследствие замкнутости
изложения ему практически не придется обращаться к другим
источникам — это свойство книг и многих статей Хёрмандера
достигнуто им .благодаря тщательнейшему продумыванию мате-
материала и отбору используемых результатов других авторов.
В итоге Л. Хёрмандер, как правило, полностью описывает и до-
доказывает в своих книгах и статьях большое число результатов
других авторов, причем чаще всего в более совершенном виде,
чем в первоисточниках.
При работе над книгой переводчики и редактор старались
возможно точнее следовать оригиналу. В частности, это относится
и к терминологии: при переводе выбирались термины, наибо-
наиболее близкие к использованным в оригинале, даже если они не
являлись самыми употребительными в литературе на русском
!) На русском языке вышли четыре книги Хёрмандера — см. литературу
в конце книги.

в Предисловие редактора перевода
языке. По этой причине мы пользовались термином «распреде-
«распределение», а не эквивалентным ему термином «обобщенная функ-
функция», и термином «аналитическая функция» вместо «голоморф-
«голоморфная функция» (для функций одного или нескольких веществен-
вещественных переменных, разлагающихся в окрестности каждой точки
в сходящийся степенной ряд, используется термин «вещественно
аналитическая функция»). Более того, вместо термина «осцил-
«осциллирующий интеграл», уже вошедшего в литературу на русском
языке, в качестве перевода английского «oscillatory integral»
здесь употребляется термин «осцилляторный интеграл», более
соответствующий английскому термину и сути дела. Мы надея-
надеялись, что такое отношение к терминологии, принятой автором,
у которого учились и учатся многие математики, облегчит чита-
читателю дальнейшее чтение литературы на английском языке, так
как большинство авторов, несомненно, будет следовать в тер-
терминологии Л. Хёрмандеру — одному из главных законодателей
в этой области.
Переводчики и редактор старались, по возможности, не ме-
мешать читателю примечаниями. Текст книги настолько концентри-
концентрирован, что поясняющие его примечания могли бы занять слиш-
слишком много места; кроме того, мы не хотели лишать читателя
возможности и удовольствия развить свою аналитическую тех-
технику, расшифровывая трудные места.
Поскольку литература по линейным уравнениям с частными
производными необозрима, а чтение книги не предполагает ни-
никаких предварительных знаний (исключая стандартные универ-
университетские курсы анализа и алгебры), мы решили не добавлять
ничего к списку литературы, составленному самим Хёрмандером.
Появление новой книги Л. Хёрмандера — крупное событие
в математической науке. Нет сомнений, что она будет полезна
очень многим категориям читателей и долго будет служить всем,
кто хочет изучить излагаемый в ней один из самых важных и
самых разработанных разделов математики. Автору прекрасно
удалось продемонстрировать красоту и содержательность совре-
современной теории линейных уравнений с частными производными.
Вполне доступная начинающим, эта книга доведет настойчивого
читателя до вершин теории.
Перевод первого тома осуществлен В. И. Авербухом (пре-
(предисловие, введение и главы 1—7) и П. Е. Берхиным (главы 8
и 9).
Перевод книги выполнялся в тесном контакте с автором,
приславшим для русского издания ряд исправлений. Издатель-
Издательство, переводчики и редактор выражают за это Л. Хёрмандеру
глубокую благодарность.
Предисловие
к русскому изданию
Русское издание содержит некоторые изменения по сравнению
с английским. Исправлены ошибки, которые обнаружил я сам,
и, кроме того, внимательные переводчики, возглавляемые проф.
М. А. Шубиным, сделали много других уточнений. Тщательная
работа переводчиков произвела на меня большое впечатление,
и я весьма признателен им за сотрудничество, благодаря кото-
которому в последующие английские издания можно будет внести
ряд улучшений. Наконец, я хотел бы поблагодарить издатель-
издательство «Мир» за решение осуществить этот перевод, который де-
делает мою книгу доступной более широкому кругу читателей.
Юрсхольм, август 1985 г.
Ларе Хёрмандер
9 апреля 1985 г.
М. А. Шубин

Предисловие
В 1963 г. в серии Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
вышла моя книга, озаглавленная «Линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы с частными производными»1}. Некоторые ее части
благополучно выдержали испытание временем, другие же с по-
появлением методов, использующих псевдодифференциальные опе-
операторы и интегральные операторы Фурье, довольно скоро уста-
устарели. Поскольку эта область быстро развивается, довести эту
книгу до уровня сегодняшнего дня было трудно. Однако новые
методы, по-видимому, уже достаточно созрели, и такая попытка
стоила затраченных усилий.
Прогресс в теории линейных дифференциальных уравнений
с частными производными за последние тридцать лет был до-
достигнут во многом благодаря теории распределений (обобщен-
(обобщенных функций), созданной Лораном Шварцем в конце сороко-
сороковых годов. Она подытожила большой опыт, накопленный к тому
времени при изучении дифференциальных уравнений с частными
производными, и стала идеальной основой для дальнейшего раз-
развития теории. «Линейные дифференциальные операторы с ча-
частными производными» начинались с краткого изложения тео-
теории распределений, потому что двадцать лет назад она была
еще незнакома многим аналитикам. Затем сразу шло изложение
самых общих известных результатов о дифференциальных опе-
операторах с частными производными. Таким образом, предпола-
предполагалось, что читатель в какой-то мере знаком с классической
теорией, хотя явно эта последняя и не привлекалась. Сейчас,
пожалуй, уже нет необходимости включать в книгу изложение
основ теории распределений, а вот предполагать знакомство с
классическими вопросами теории дифференциальных уравнений
с частными производными представляется неразумным, посколь-
поскольку современное изложение этих вопросов встречается весьма
'> Русский перевод этой книги опубликован издательством «Мир> в
1965 г. — Прим. ред.
Предисловие 9
редко. Далее, методы, разработанные для исследования особен-
особенностей решений дифференциальных уравнений, позволили рас-
рассматривать значительную часть этого материала как следствия
далеко продвинутой теории распределений. Поэтому вместо того
чтобы совсем опустить теорию распределений, я решил отвести
весь первый том этой книги широко развернутому ее изложению.
Название книги изменено так, чтобы оно отражало общее ана-
аналитическое содержание этого тома. Особый упор сделан на ана-
анализ Фурье, в частности на результаты, относящиеся к Методу
стационарной фазы и анализу Фурье особенностей. Излагаемая
теория всюду иллюстрируется примерами, взятыми из теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Эти
рассеянные по тексту примеры должны дать сведения из клас-
классической теории, достаточные для того, чтобы служить введе-
введением к систематическому изложению теории дифференциальных
уравнений в последующих томах. Том 1 должен также послу-
послужить введением в гармонический анализ. Цель главы о гипер-
гиперфункциях в конце тома — дать выдержанное в духе теории
распределений Л. Шварца введение в этот предмет и в анали-
аналитическую теорию дифференциальных уравнений с частными
производными. Основные результаты в этой области, принад-
принадлежащие главным образом школе Сато, остались, однако, за
пределами книги.
Второй и третий тома будут посвящены теории дифференци-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (т. 2) и с пе-
переменными коэффициентами (т. 3). Подробнее их содержание
будет описано в предисловиях к иим. Том 2 выйдет почти одно-
одновременно с томом 1, а том 3 появится, надеюсь, немногим позже,
чем через два года 1К
В работе такого рода нелегко дать правильные ссылки на
первоисточники. Многие идеи и методы медленно развивались
в течение столетий, и полное раскрытие их становления — это
уже задача'историка математики. Но и результаты более недав-
недавнего времени доставляют много трудностей при попытках точно
установить приоритет, а вопросы приоритета обычно восприни-
воспринимаются очень остро. Поэтому у меня1 было искушение вообще
опустить ссылки на первоисточники. Я решил все же не делать
этого, а дать в конце каждой главы небольшое число ссылок на
недавние работы по теме главы и близким темам. Иногда ука-
указываются и более ранние работы. Надеюсь, это будет полезно
читателю, которого интересует происхождение излагаемых ре-
результатов. Надеюсь также, что те, кто сочтут мои ссылки на
И Фактически книга вышла в четырех томах.— Прим. ред.

10 Предисловие
первоисточники совсем не соответствующими истине, сообщат
мне об этом, чтобы я смог внести поправки в следующие из-
издания.
Улучшению этой книги способствовали многие мои коллеги и
ученики, и я хотел бы поблагодарить их всех. Изложение теории
аналитического волнового фронта во многом выиграло благо-
благодаря замечаниям Луи Буте де Монвеля, Пьера Шапира и
Йоханнеса Шёстранда. Андерс Мелин и Рагнар Сигурдссон из
Лундского университета прочитали значительную часть ру-
рукописи и высказали ценные критические замечания, а профессор
Ван Роухвай из Цзилиньского университета прочитал значи-
значительную часть корректур. Весьма полезной была обстоятельная
и конструктивная критика книги на семинаре по ее изучению
в Копенгагенском университете, который вела Герда Грубб.
Нильс Йёрген Кокхольм принимал самое активное участие в
работе этого семинара, а также прочитал все дорректуры. При
этом он нашел целый ряд ошибок и предложил много усовер-
усовершенствований. Его помощь была для меня неоценимой.
Наконец, я хочу выразить признательность издательству
«Шпрингер», которое на протяжении ряда лет всячески поощ-
поощряло мои намерения, касавшиеся этой книги, и с неизменным
терпением содействовало их осуществлению на первоклассном
техническом уровне.
Лунд, январь 1983
Ларе Хёрмандер
Введение
В дифференциальном исчислении мы почти сразу сталкиваемся
с тем неприятным фактом, что не всякая функция дифференци-
дифференцируема. Цель теории распределений — устранить этот изъян: в
сущности, пространство распределений — это наименьшее рас-
расширение пространства непрерывных функций, в котором опера-
операция дифференцирования всегда выполнима. Быть может, жела-
желательность такого расширения очевидна и сама по себе, но мы
все же рассмотрим несколько примеров-того, как это неудобно,
когда нельзя дифференцировать.
Наш первый пример относится к преобразованию Фурье, ко-
которое будет изучаться в гл. 7. Для всякой интегрируемой функ-
функции v на вещественной прямой ее преобразование Фурье Fv—
это непрерывная функция, определенная формулой
(Fv)(l)=
, |e=R.
Преобразование Фурье обладает тем важным свойством, что
A) F{Dv)==MFv,
если обе части определены; здесь Dv(x) = —idv/dx и Mv(x) =
xv(х). В первой из этих формул оператор умножения М опреде-
определен всегда, поэтому то же самое должно было бы быть верным
и для D. Между прочим, вторая из формул A) подсказывает
тогда, что оператор F следовало бы определить и для функций
полиномиального роста.
Далее, рассмотрим некоторые примеры из теории дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными, также демон-
демонстрирующие потребность в более общем определении производ-
производной. Классические решения уравнения Лапласа
B)

12 Введение
Введение 13
или волнового уравнения (в двух измерениях)
C) dfiv/dx2 — df1v/dy2 = 0
— это дважды непрерывно дифференцируемые функции, всюду
удовлетворяющие уравнению. Легко показать, что равномерные
'пределы классических решений уравнения Лапласа также яв-
являются классическими решениями. У волнового же уравнения
•классическими решениями служат все функции вида
D) v(x,y) = f(x + y) + g(x-y)
с дважды непрерывно дифференцируемыми / и g, и равномер-
равномерными пределами этих решений будут все функции вида D) с
непрерывными fag. Все эти функции следовало бы поэтому
признать решениями уравнения C), так что понятие классиче-
классического решения слишком ограничительно.
Рассмотрим теперь соответствующие неоднородные уравне-
уравнения:
E)
F)
dit>/dxi-dflv/dyi =
где F— непрерывная функция, равная нулю вне некоторого
ограниченного множества. Если F непрерывно дифференцируема,
то решение уравнения F) дается формулой
G)
v(x,y)=
Но эта формула определяет непрерывно дифференцируемую
функцию v, даже когда F всего лишь непрерывна. Ясно, что
нужно считать такую функцию v решением уравнения F), даже
если у нее нет вторых производных. Аналогично уравнение E)
имеет классическое решение
(8) и (х, у) =
F (|, ц) log ((x -
- nJ) d% rfrj.
если F непрерывно дифференцируема. И снова формула (8) оп-
определяет непрерывно дифференцируемую функцию и, даже
когда F всего лишь непрерывна, и хорошо бы иметь возмож-
возможность принять_ы в качестве решения уравнения E) также и в
этом случае.
Затруднения, проиллюстрированные в их простейшей форме
предыдущими примерами, устраняются уже введением понятия
слабого решения, которое предшествовало теории распределе-
распределений. Идея состоит в том, чтобы переписать рассматриваемое
уравнение в виде, где бы неизвестную функцию и не приходи-
приходилось более дифференцировать. Возьмем для примера уравнение
F). Если и — его классическое решение, то
F)' J J (д^и/дх2 - сРи/ду2) Ф dx dy = J J F<p dx dy
для каждой непрерывной функции ср, равной нулю вне некото-
некоторого компактного (т. е. замкнутого и ограниченного) множе-
множества. Обратно, если F)' выполняется для всех таких <р, которые,
скажем, дважды непрерывно дифференцируемы, то выполнено
F). В самом деле, если бы F) не выполнялось в некоторой точ-
точке (хо,уо), то мы могли бы взять ненулевую функцию ф, всюду
неотрицательную и равную нулю вне малой окрестности точки
{хо, Уо), и заключить, что F)' тоже не выполняется. Для таких
«пробных функций» <р можно два раза проинтегрировать по ча-
частям в левой части F)' и получить эквивалентную формулу
и (д2фх2 - д2фу2) dx dy = J J FФ dx dy.
F)"
Итак, если функция и дважды непрерывно дифференцируема,
то F) равносильно справедливости F)" для всех пробных
функций ф, т. е. дважды непрерывно дифференцируемых функ-
функций ф, равных нулю вне некоторого компактного множества.
Но F)" имеет смысл и тогда, когда и всего лишь непрерывна,,
и и называют слабым решением уравнения F), если выполнено
(б)). Легко проверить, что указанные выше недостатки клас-
классических решений устраняются, если допустить слабые непре-
непрерывные решения.
Функция F однозначно определяется по и,- если только F)"
вообще выполняется. Однако для произвольной непрерывной
функции и может и не существовать непрерывной функции F,
такой что функционал
и (д2фх2 - &фу2) dx dy
(9) L (ф) =
представим в виде
A0)
Теория распределений идет дальше понятия слабого решения,
принимая "к рассмотрению выражения L вида (9), даже если
они не представимы в виде A0). Распределение — это любое
такое выражение, линейно зависящее от пробной функции ф
(и ее производных). В случае когда его можно записать в виде
A0), оно отождествляется с функцией F. Оказывается, на
распределения можно распространить все основные операции
" Заметим, что в вариационном исчислении дифференциальные уравне-
уравнения естественным образом появляются именно в слабой форме.

14 Введение
Введение 15
анализа. В частности, всегда определена операция дифферен-
дифференцирования.
Приведем еще некоторые примеры подобных • выражений,
встречающиеся в физике. Прежде всего рассмотрим единичную
точечную массу, сосредоточенную в точке а вещественной оси.
Ее можно трактовать как предельный случай массы, равномер-
равномерно распределенной на интервале (а — е, а + е) с плотностью
1/2в (при е-»-0). Соответствующий функционал запишется так:
а+г
= J <f(x)dx/2*.
При е-»-О мы имеем Le(qp)-»-(p(a), так что выражение
L(qp)=(p(a) должно представлять единичную массу в точке а.
Такая интерпретация является, конечно, стандартной в теории
меры.
Далее, рассмотрим диполь в точке 0 с моментом 1. Его мож-
можно определить как предел пары точечных масс 1/6 в б и —1/6
в 0 при 8-»-0. Таким образом, речь идет о пределе функцио-
функционала
пределений на многообразиях. Использованное выше выражение
«особенность» умышленно расплывчато; фактически мы рас-
рассмотрим особенности как с С°°-, так и с аналитической точек
зрения. Полученные результаты приведут к важным обобщениям
теории распределений, изложенным в гл. 3—6. Например, можно
определить ограничение распределения и на подмногообразие У,
если и не имеет особенностей на нормалях к У. Кроме того,
дается много приложений к вопросам регулярности и единствен-
единственности решений дифференциальных уравнений. Аналитическая
теория продолжается в гл. 9, посвященной гиперфункциям. Они
определяются точно так же, как и распределения, только при
этом используются вещественно аналитические пробные функ-
функции. Главная новая трудность связана здесь с тем фактом, что
среди таких пробных функций не существует функций, которые
бы обращались в нуль всюду вне некоторого компактного мно-
множества.
при 6—»-0, равном Л1(ф)==ф'@). Этот функционал дает, таким
образом, подходящее описание для диполя.
Можно продолжать в том же духе и определить распределе-
распределения как пределы функционалов вида A0). Однако мы не станем
так делать, а последуем по пути, подсказываемому определе-
определением слабой производной. Таково было первоначальное опреде-
определение Шварца, и оно имеет то преимущество, что позволяет из-
избежать вопроса о том, когда указанные пределы определяют
одно и то же распределение.
Формальное определение распределения дается в гл. 2 после
достаточно подробного обсуждения свойств пробных функций
в гл. 1. Затем в гл. 3 изучается операция дифференцирования
распределений; в' § 4.4 показано, что мы действительно полу-
получаем минимальное расширение пространства непрерывных функ-
функций, в котором всегда выполнима операция дифференцирования.
В гл. 4—б понятия свертки, прямого произведения и компо-
композиции распространяются с функций на распределения. Глава, 7
посвящена анализу Фурье функций и распределений. Выбор
материала во многом отличается от принятого в стандартных
руководствах, поскольку он диктовался тем, что требовалось
в следующих главах. Особенно обстоятельно изложен метод ста-
стационарной фазы. В гл. 8 обсуждается проблема анализа Фурье
особенностей распределений. Оказывается, эта проблема ло-
локальна, и потому ее можно исследовать также для случая рас-

рас1
Пробные функции
Краткое содержание главы
Как отмечалось во введении, в теории распределений прихо-
приходится систематически иметь дело с гладкими «пробными функ-
функциями». В этой главе собраны основные факты, которые надо
знать о таких функциях. В качестве вступления в § 1.1 дан крат-
краткий обзор дифференциального исчисления. Он написан в рас-
расчете на читателя, уже знакомившегося с материалом прежде,
но, быть может, с другими акцентами и в других обозначениях.
Читателю, которому изложение покажется трудным,, рекомен-
рекомендуем сначала изучить какой-нибудь более подробный современ-
современный курс дифференциального исчисления для функций несколь-
нескольких переменных, а искушенный читатель может приступить
сразу к § 1.2. Помимо основных обязательных фактов мы вклю-
включили в § 1.3 и 1.4 описание ряда более тонких конструкций, ко-
которые будут время от времени использоваться в книге, но не
так уж важны для главной темы. Нетерпеливый читатель может
поэтому опустить § 1.3 начиная с теоремы 1.3.5, а также тео-
теорему 1.4.2, лемму 1.4.3 и остаток § 1.4 начиная с теоремы 1.4.6.
1.1. Обзор дифференциального исчисления
Сначала мы рассмотрим функции одной вещественной перемен-
переменной, но со значениями в банаховом пространстве. Итак, пусть
/ — открытый интервал вещественной прямой R и V — банахово
пространство с нормой, обозначаемой || ||. Отображение
/: I-*-V называется дифференцируемым в точке лее/, с произ-
производной (или дифференциалом) f'(x)^ V, если
A.1.1) ||(f(* + *)-fU))/A-/'(jt)||-».O при Л-*0.
Соотношение A.1.1) можно переписать в следующей эквивалент-
эквивалентной форме:
A.1.1)' ||/(* + Л)-/(*)-Г(*)Л|| = °(|Л|) при А-*0.
1.1. Обзор дифференциального исчисления 17
В случае V = 'Rn, когда можно записать f = (fi, ..., /л), диф-
ференцируемость /, разумеется, равносильна дифференцируе-
мости каждой компоненты fj. Для векторнозначных функций тео-
теорема о среднем значении заменяется следующей теоремой:
Теорема 1.1.1. Если отображение f: I-+-V дифференцируемо в
каждой точке интервала I, то
A.1.2) \\f(y)-f(x)\\^\y-x\suv{\\f'(x±t(y-x))\\,
Доказательство. Пусть М > sup{||/'(* + t(y — х))||,
Положим
х,
\,- \\f (x + t(y - x))- f(x)\\^Mt\ x - y\).
Множество Е замкнуто ввиду непрерывности f и содержит точку
О, а потому в нем имеется наибольший элемент s. Если />$и
/ — s достаточно мало, то
\Hf(x + t(y-x))-f(x)\\
< И f (х +1 (y-x)) -f(x + s (y-x)) \l + \\f(x + s(y-x))-f (х) ||
<,M\{t — s){y — х)\ + Ms\y — х\ = Mt\y — х\.
Следовательно, s = 1, что и доказывает теорему. '
Замечание. В случае когда f лишь непрерывно на [д:, у] и диф-
дифференцируемо внутри этого интервала, справедливо неравенство
A.1.2) с супремумом, взятым по 0< t <. 1; оно получается как
предел неравенств A.1.2), примененных к меньшим интервалам.
Для всякого 5eV применение неравенства A.1.2) к отображе-
отображению x-*-f(x) — xv дает неравенство
A.1.2)'
\\f(y) — f(x) — v(y — x)\\^\y — x\ sup \\f'(x + t(y — x)) — v\\,
0<t<l
которое часто оказывается более полезным, особенно в случае,
когда v = /'(*).
Следствие 1.1.2. Пусть отображение f непрерывно на интервале!
и дифференцируемо вне некоторого его замкнутого подмножества
F, на котором f = 0. Если д: е F и f'(y)->0 при I\F з у^-х,то
производная f (x) существует и равна 0.
Доказательство. Если y^F, то f(y)—f(x)e=O. Если уф-F, то
пусть 2 — ближайшая к у точка из Ff\[x,y]. Тогда A.1.2)' дает
I! f(y)~f (х)|| = || f (у) — f (z)||<!I у — zI sup ||f'(z + t(y — z))||,
o<v<i —¦
что есть о(\у — д:|) при у-*-х.
2 Зак. 821

18 1. Пробные функции
1.1. Обзор дифференциального нечисления 19
Пример 1.1.3. Если Р — многочлен и f(x) = P(l/x)e~l/x при
х> О, f(x) — O при х^О, то функция f непрерывна. Ее произ-
производная при хФО является функцией того же самого вида
с Р(\/х), замененным на (Р{\/х) — Р'(\/х))/х2, поэтому произ-
производная /'@) существует и равна 0.
Пусть U — еще одно банахово пространство и X — открытое
подмножество в U. Для отображения из X в V мы определяем
дифференцируемость по аналогии с A.1.1)'.
Определение 1.1.4. Отображение f: X-+ V называется дифферен-
дифференцируемым в точке xel, если существует элемент f'(*)e
L(U, V), такой что
A.1.1)" \\f(x + h)-f(x)-f'(x)h\\ = o(fth\\), h^Q.
Здесь L(U, V) — пространство всех непрерывных линейных
отображений из U в V, представляющее собой банахово про-
пространство с нормой
= sup ||Тх||, T
A.1.2)"
\\f(y)-f(x)-T(y-x)\\^\\y-x\\ sup
Обозначим через С1(Х, V) множество всех непрерывно диффе-
дифференцируемых функций из X в V, т. е. множество всех.функций/,
которые дифференцируемы в каждой точке и для которых функ-
функция J[3jc-»-f(j()G L(U, V) непрерывна.
Если функция f дифференцируема лишь в каждой точке дан-
данного прямолинейного отрезка [л:, у] = {х + t(y — х); 0 ^ / г^ 1},
то для всякого Г1({/Т)
t(y-x))-T\
Это вытекает из A.1.2)', поскольку f(x-\-t(y — л:))—Tt(y — х)
дифференцируемо по /на [0, 1] с производной
V (х + / (У - х)) {у - х) - Т (у - х).
Теорема 1.1.5. Если ^^С1(Х, V) и ff->f, f',-+g локально
равномерно в X, то f^Cl(X, V) и f' — g.
Доказательство. Применив к ft неравенство A.1.2)" с Т = ^(х)
и устремив / к оо, получим
\\f(y)-f(x)-g(x)(y-x)\\^\\y-x\\ sup
0<t<l
-x))-g(x)\\.
Это доказывает, что функция f дифференцируема в точке х
с f'(x) = g(x). Поскольку g непрерывна, теорема доказана.
Теорема 1.1.6. Пусть f и g—непрерывные функции на X со зна-
значениями в V и L(U,V) соответственно и отображение /-»-
f(x-{-ty) для всех х, у е U дифференцируемо по t с производ-
производной g(x-\- ty)y, если x + ty^X. Тогда f е С1 и f = g. Доста-
Достаточно предполагать, что указанное условие выполняется для
всех у из некоторого множества У с: V, замкнутая линейная обо-
оболочка которого совпадает с U.
Доказательство. В силу A.1.2)', для малых \\y\\
+ y)-f(x)-g(x)y\\^\\y\\ sup
0<t<l
ty)-g(x)\\,
чем доказано первое утверждение. Чтобы установить второе, до-
достаточно показать, что множество всех у, для которых выпол-
выполнено условие теоремы, линейно и замкнуто. Это следует из
A.1.2)'. Подробности предоставляем читателю.
Если f — непрерывное линейное отображение U-+-V, то оно,
конечно, дифференцируемо и f'(x)= f для каждого х. Более об-
общим образом, пусть U\, ..., Uk — банаховы пространства и
L(UU ..., Uk', V)—пространство всех полилинейных отображе-
отображений (или полилинейных форм)
которые непрерывны, т. е. удовлетворяют условию
= sup
ilIK
Будучи наделено этой нормой, L(U\, ..., Uk', V) становится ба-
банаховым пространством. Отображение
дифференцируемо в каждой точке (х\, ..., xk), и производная
в этой точке равна
b x2, .... xk)
u у2, .... xk)+ ... +/(*,, х2, .... xk_i, yk).
Другим важным примером С'-отображения служит отобра-
отображение /, сопоставляющее каждому обратимому элементу
TL(U, V), где U и V — банаховы пространства, его обратный
(V, U). То что Т~1 — обратный элемент, означает, что
TT~l = idv, Т^Т=-\Аи.
Для всякого S(=L(U,V) мы имеем (T + S)T~l = idv+ ST-\
поэтому если ||S||||7'-1||<: 1, то правым обратным к Г-f-S слу-

20 1. Пробные функции
жит оператор
1.1. Обзор дифференциального исчисления 21
г-1 (idK + st~T = ? г-1 (- ST-y.
о
Аналогичным образом убеждаемся, что он будет и левым об-
обратным. Итак, f(T)—T~l определено на некотором открытом
множестве и
так что f дифференцируемо в Т и f'(T)S = —T-^ST-1. Следова-
Следовательно, / непрерывно, а потому и /' непрерывно.
Теперь рассмотрим вопрос о дифференцируемости сложной
функции. Пусть X, как и прежде, — открытое подмножество ба-
банахова пространства U и f — отображение из! в банахово про-
пространство V, образ (множество значений) которого содержится
в открытом множестве У, на котором определено другое отобра-
отображение g, принимающее значения в третьем банаховом простран-
пространстве W. Если / дифференцируемо в точке х,, a g дифференци-
дифференцируемо в точке y = f(x),To h = g о f дифференцируемо в точке х и
A.1.3)
' (х) = g' (у) У (х) (цепное правило).
Доказательство очевидно. Из A.1.3) следует, что АеС, если
Производную у можно рассматривать как отображение
XXU-3(x, t)-L>(f(x), f'(x)t)eYXV,
линейное по второй компоненте, которую можно представлять
себе как касательный вектор. Тогда цепное правило утверж-
утверждает, что если дана коммутативная диаграмма
с f, ge=C\ то h
диаграмма
С1 и имеет место другая коммутативная
Л'
Вместо у часто пишут df, особенно когда / вещественно-
значно. Если / определено на некотором открытом множестве
в R" и мы запишем / = ?//?/, где е> — эт0 /"и стандартный ба-
базисный единичный вектор, то
(df) (t) = (df) (? ?t) = Zt,df (e,) = I (df/дх,) t,.
Ho tj — (dxj) (t), поэтому мы можем переписать последнее ра-
равенство в виде
df = I, (df/дх,) dx,.
Ввиду цепного правила эта формула остается справедливой,
когда Xj являются на самом деле функциями от z e Z и / тоже
рассматривается как функция на Z, так что обе части послед-
последнего равенства суть линейные функции на Z. Это называется
свойством инвариантности дифференциала.
Теперь докажем теорему об обратной функции, которая по-
показывает, что дифференциальное исчисление действительно вы-
выполняет свою роль — сводит изучение произвольных уравнений
к изучению линейных.
Теорема 1.1.7. Пусть X — открытое подмножество в U, fe
С1(Х, V), хо^Х, f(xo) = yQ. Для того чтобы существовало ото-
отображение g^Cl(Y,U), где Y — некоторая окрестность точки
у0, такое что a) f°g = idv вблизи у0, или Ъ) g°f = idy вблизи
xOt или с) f°g = idy вблизи у0 и g°f = idu вблизи х0, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовало линейное отображение
А е L(V, U), такое что соответственно
a)'
Ъ)' Af'(x0) =
с)' f'(xo)A = i
Условие с)' равносильно биективности f'(x0), и из него следует,
что g однозначно определено вблизи у0. Если V (соотв. U)
конечномерно, то условие а)' (соотв. Ъ)') равносильно сюръек-
тивности (соотв. инъективнбсти) f'(xo).
Доказательство. Необходимость сразу следует из цепного пра-
правила A.1.3). Докажем достаточность. Прежде всего заметим,
что если f о g-, = id вблизи у0 и g2 ° f = id вблизи х0, то g\ —
g2°f°gi — g2 вблизи у0. Это доказывает утверждение о един-
единственности в случае с) и сводит все к доказательству утвержде-
утверждения о существовании в случаях а) и Ь). Заменяя / на f °A, со-
соответственно на A of, видим, что достаточно разобрать случай,
когда U = V и f'(xo)— id. Выберем б > 0 так, чтобы
|in*)-id||<l/2 при ||х-хо||<в.
При ||лг, — д;0|К б, / = 1,2, имеем в силу A.1.2)"
A.1.4) ||f (*,) - f (х2)- (хх -

22 1. Пробные функции
1.1. Обзор дифференциального нечисления 23
Следовательно, / инъективно в шаре {х; \\х — ХоН^б}. Чтобы
решить уравнение /(*) = # при \\у— уо\\ < 6/2, положим
A.1.5) xk = xk_l-\-y-f{xk_l), ?=1,2
при условии, что это правило дает точки с \\хк—хо||< б. Имеем
h-i — f (xk_2)) II
Если k > 1 и \\Xj — xoll < б при / < % то
II xk — 4-1II = II **-i —
<li^-i-
в силу A.1.4). Следовательно,
так что точки xk определены при всех k и образуют последова-
последовательность Коши. Для ее предела х выполняется оценка
\\х — Xoll< б, и при &->-оо равенство A.1.5) дает f(x) = y.
Для того чтобы доказать, что обратная функция g(y) = x,
которая, как мы только что установили, определена при \\у —
Уо\\ < 6/2, принадлежит С1, положим
g (У) = х,
Это означает, что f (x-\-h) = у-\-k и f(x) = y. Следовательно,
Ввиду A.1.4), ЦА-Л1КЦА/2Ц, поэтому ЦАЦ/2 <||*||< 2||Л||. По-
Поскольку ||f (х)~Ч1<2, мы получаем
А = П*Г'* +о(||*II);
это доказывает, что g дифференцируема, причем ее производная
равна g'(y)= f'(g(y))~l и, значит, является непрерывной функ-
функцией от у.
Определим теперь производные (или дифференциалы) выс-
высших порядков и пространство Ск{Х, V), где, как и прежде, X—
открытое подмножество банахова пространства U, a k — любое
целое >1. Это делается по индукции, а именно f^Cfc(X, V),
если f(=Cl(X, V) Hf'e Cfc-l(X, L(U, V)). Производная f" от f
называется второй производной от /, и т. д.;
, L(U, L(U L(U
Векторное пространство L{U,L(U, ..., L{U,V))) изоморфно
как банахово пространство пространству L(U, ..., U; V) =
L*(t/, V) всех ^-линейных отображений из U в V. Действительно,
мы всегда имеем
L(U, L{U» .... U,; V)) = L([/, V» ..., U,; V),
ибо если / — элемент из пространства в левой части равенства
и для /, замененного на /—1, это равенство уже установлено,
то отображение
будет элементом из пространства в правой части, и все его
элементы могут быть так получены. Описанное соответствие,
очевидно, линейно и сохраняет норму.
Обозначим через L*(C/, ^пространство всех симметричных
^-линейных форм из U в V, т. е. форм, значение которых в точке
(Х{, ..., хк) не меняется при перестановке аргументов х\, ..., хк.
Теорема 1.1.8. Если f e Ск, то /<*> — симметричная полилинейная
форма, т. е. порядок, в котором берутся «частные производные-»,
несуществен.
Доказательство. Положим AyF(х) = F(x-f у) — F(x). Повтор-
Повторным применением A.1.2)" получаем, что для всякой полилиней-
полилинейной формы L
к
*«к
•••> УнЦ
sup
yu
,)-
yk)\
/,(*/„ ...,
Выбирая L = fw(x), заключаем, что
A.1.6) lAVk...A
yu..., укЦ=о(\\У1\\...\\ук\\).
Очевидно, что /(*> вполне определяется этим соотношением, и,
поскольку Аук ... AyJ(x) не зависит от порядка, в каком бе-
берутся разности, Отсюда следует, что форма /(Л>(*) симметрична.
Из A.1.3) легко выводится по индукции, что А = g of ^ С*,
если g e С*. Действительно, если это уже доказано для мень-
меньших значений *, то мы имеем g' о f е С*-1 и /' е С*-1, а отобра-
отображение взятия композиции линейных отображений
L(V, W)XL{U, V)-*L(U, W)
является непрерывным, а значит, бесконечно дифференцируе-
дифференцируемым. Теорема об обратной функции (теорема 1.1.7) также
остается справедливой, если в ней всюду заменить С1 на Ск.

24 1. Пробные функции
1.1. Обзор дифференциального исчисления 25
Действительно, отображение
L(U, V) =э Т ->T~l е= L (V, U)
принадлежит классу С* там, где оно определено, причем его
k-я производная в точке Т равна
(сумма берется по всем перестановкам индексов 1, ..., k). По-
Поэтому, используя тот факт, что g'{y) = f'(g{y))~l, и рассуждая,
как при доказательстве теоремы 1.1.7, мы получим по индук-
индукции, что g е С*, если f e Ck.
Если f e С* в некоторой окрестности прямолинейного отрезка
[х, х -\- у], то имеет место формула Тейлора
A.1.7)
; у, .... y)lji
y, У,---, y)(l-t)h-ldt!(k-l)L
Она получается по индукции интегрированием по частям, по-
поскольку
. у
; у у).
Из формулы Тейлора следует, в частности, что
|
A.1.8)
; У,
при
Предположим теперь, что функция / определена на открытом
множестве X a R". Из теоремы 1.1.6 вытекает, что f e Ск тогда
и только тогда, когда все частные производные
д df
dxil '" dxi,
порядка j ^ k определены и непрерывны. Из теоремы 1:1.8 мы
знаем, что порядок, в котором берутся производные, не играет
роли. Вводя обозначение д,- = d/dxj, мы можем поэтому записы-
записывать эти частные производные в виде
где а=(аь ..., а„) — мультииндекс, т. е. набор из п неотрица-
неотрицательных целых чисел и да — д*1 ... <?"". Положим |ot| = 22а^;
это — порядок соответствующей производной. Заметим, что
/(V У У)= Zkldaf(x)ya!al,
|о|-*
где а! = а,! ... ап! и уа = у*1 ... у°". Таким образом, "формулу
Тейлора можно записать в виде
= ? daf(x)ya/a\
A.1.7)'
1 a l=fe
Вот одно приложение этой формулы, которое часто бывает по-
полезным:
Теорема 1.1.9. Если f<=Ck(B), где B={xeR", |x|<#}
и Л>1, то f(x)~f(O) = Zxifi(x), где fj^Ck-l(B), aa//@)
A.1.9)
pl^/j^pl/fl, \a\<k.
в в
Доказательство. Ввиду A.1.7)' при k=l можно взять
// е С*-1, поскольку подынтегральное выражение принадлежит
классу С*-1. Оценка A.1.9) очевидна.
Всякий линейный дифференциальный оператор
аа(х)да
S
можно записать в виде Р(х, д), где
1) ? а(I
|a|<m
— многочлен по | е R". Примем соглашение записывать коэф-
коэффициенты всегда слева от операторов дифференцирования. За-
Заметим, что
Р(х, g) = e-<*.
Формула Лейбница для дифференцирования произведения при-
принимает вид
A.1.10) Р (х, д) (uv) = ? (Р(о) (х, д) и) dav/a\,

26 1. Пробные функции
1.2. Существование пробных функций 27
где Р{а)(х, t) = diP(x, |). В самом деле, отображение «->•
Р(х, d)(uv) при фиксированном v есть дифференциальный опе-
оператор, и
feCco(R). Поэтому функция
Wl *>Р (х, д) {е'х' bv) =
v = Z P{a) (x, I) dav/a\
по формуле Тейлора. Мы будем ссылаться на A.1.10) как на
формулу Лейбница.
1.2. Существование пробных функций
Для всякого открытого множества X в R" будем обозначать че-
через Ck(X) пространство всех k раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых комплекснозначных функций на X; здесь k — произвольное
неотрицательное целое число. Положим, далее,,
где пересечение берется по всем таким k. Во введении мы ви-
видели, что есть потребность в функциях следующего типа.
Определение 1.2.1. Обозначим через Со{Х) пространство всех
функций иеС* (X) с компактным носителем. Элементы из С" (X)
называются пробными функциями.
Определение 1.2.2. Для всякой функции «gC(X) ее носителем
suppw называется замыкание в X множества {х е X; и(х)фО};
другими словами, supp и — это наименьшее замкнутое подмно-
подмножество в X, для которого и = 0 на X\supp и.
Если продолжить функцию и^Со(Х) на R", положив ц=0
на R"\X, то мы получим, конечно, функцию H3Co(Rn). Таким
образом, мы можем рассматривать Со (X) как подпространство
в Со (R"), расширяющееся вместе с X. Далее, для произвольного
подмножества McR" мы можем определить С*(М) как мно-
множество всех элементов из С* (R") с носителем, содержащимся
в М. В случае k = 0 мы будем иногда отпускать индекс k.
Лемма 1.2.3. Существует неотрицательная функция ф е С" (R")
cqp@)>0.
Доказательство. Положим f(tf) = exp(—\/t),t>0, и /(tf) = 0,
/^0. Из примера 1.1.3 мы знаем, что f^Cl(R), а повторное
применение того же самого рассуждения показывает, что
обладает требуемыми свойствами.
При помощи сдвига и изменения масштаба мы получаем не-
неотрицательную Со°-функцию
A.2.1) *-ф((х-*о)/в),
которая положительна в точке хо и носитель которой лежит в
шаре радиуса б с центром в хо. Теперь мы можем доказать факт,
уже отмечавшийся во введении.
Теорема 1.2.4. Если f,g^C(X) и
A.2.2) $/<pdx=$OTAc, Ф«=СГ(*),
то f = g.
Доказательство. Для h = f — g имеем
A.2.3) ^h(fdx = 0, <pc=C"{X).
Взяв вещественную и мнимую части, видим, что h можно счи-
считать вещественнозначной, при условии что и ф тоже берутся
вещественнозначными. Допустим, что Н(хо)ФО. Тогда можно
выбрать неотрицательную функцию феС"(Х) с ф {х0) Ф0 и но-
носителем, настолько близким к хо, чтобы функция ф/г имела по-
постоянный знак, а это противоречит A.2.3). Следовательно, /г = 0
тождественно, как и утверждалось.
Более общий, но менее элементарный результат того же рода
доставляет .
Теорема 1.2.5. Если f, g — локально интегрируемые функции на
X и выполнено A.2.2), то f = g почти всюду в X.
Доказательство. Снова достаточно показать, что если h удовлет-
удовлетворяет A.2.3), то А=0 почти всюду. Для этого воспользуемся
теоремой Лебега, утверждающей, что
НтГ" ) \h(x)-h(y)\dy = O
для почти всех х. Если теперь функция феСо* имеет носитель
в единичном шаре и \ <pdx= 1, то при х^Х и малых t
= j (A (x) - h (у)) Ф ((* - у)Ц) dy/tn + \ h (у) Ф ((х - у)Ц) dy/Г.

28 1. Пробные функции
1.3. Свертка 29
Второй интеграл в правой части равен нулю по предположению,
а первый стремится к нулю вместе с t для почти всех х, откуда
следует, что h (х) = 0 почти всюду.
Замечание. Эта теорема непосредственно вытекает также из тео-
теоремы 1.3.2.
Лемма 1.2.3 — все, что нужно, чтобы можно было начать
строить теорию распределений. Однако в дальнейшем при раз-
развитии теории понадобится ряд более тонких конструкций проб-
пробных функций, и мы опишем их в следующих двух параграфах.
В качестве свидетельства того, насколько богато пространство
С~ {К), докажем уже сейчас классическую теорему Бореля, ко-
которая иногда будет нам полезной.
Теорема 1.2.6. Для / = 0, 1, ... пусть fj^C™{K), где К — ком-
компактное подмножество в R", и пусть I — компактная окрестность
нуля в R. Тогда можно найти функцию f e С" {К X П> такую что
d'f (х, t)/dt] = f,(x} при t = О, / = 0,1,....
Доказательство. Выберем функцию g e Со" (/). у которой
di(g(t)—l)/dt> = 0 при t=0 и / = 0, 1, ... . Например, если
(—е, е) с /, мы можем воспользоваться функцией ф из лем-
леммы 1.2.3 с носителем в @, е) и \ ($(t)dt = 1 и взять в качестве g
решение уравнения g'(t)= <р(—t)—q>(t), имеющее носитель в /.
Далее, функция
gt(x, 0 =
принадлежит С™ (К X /)> и
A.2.4) \д^](х, 0|<2-у при |о
если е/ достаточно мало. Действительно, приняв t/&j за новую
переменную, мы видим, что
где at — порядок производной по t. Для малых е/ мы получаем
отсюда A.2.4), поскольку at <. j. Следовательно, модифициро-
модифицированный ряд Тейлора
равномерно сходится. Равномерно сходятся и ряды, полученные
из него почленным дифференцированием. Ввиду теоремы 1.1.5
отсюда следует, что f^C™(KXI) и
d'f (х, О/а/' = Z d'gk (x, t)ldt! = f, (х) при * = 0.
1.3. Свертка
Если функции и и v принадлежат C(Rn) и хотя бы одна из них
имеет компактный носитель, то их свертка и * v есть непрерыв-
непрерывная функция, задаваемая формулой
(u*v)(x)=\u(x-y)v(y)dy,
Таким образом, u*v — это суперпозиция сдвигов и, взятых с ве-
весами v (у) dy, поэтому можно ожидать, что и * о наследует такие
свойства и, как дифференцируемость. С другой стороны, беря
х — у в качестве новой переменной интегрирования в A.3.1), мы
видим, что
A.3.2) и* v = v*и,
так что и свойства у тоже должны наследоваться. Причина ком-
коммутативности A.3.2) станет, быть может, более ясной, если за-
заметить, что из A.3.1) вытекает соотношение
A.3.1)'
из которого в свою очередь следует A.3.1) по теореме 1.2.4. Со-
Соотношение A.3.1)' показывает, что A.3.2) попросту выражает
коммутативность сложения в R". Аналогично ассоциативность
сложения приводит к соотношению
A.3.3)
(и * v) * w = и * (у * w),
справедливому при условии, что все функции и, v, w, кроме,
быть может, одной,,имеют компактный носитель. Нетрудно, ко-
конечно, и прямо вывести A.3.3). из A.3.1). Полагая в A.3.3)
w = 1, получаем
A.3.4)
\ (и * v) dx = \ и dx \ v dx,
при условии что и и v имеют компактный носитель.
Если ИЕС',а»е С0, причем хотя бы у одной из этих функ-
функций носитель компактен, то можно продифференцировать под
знаком интеграла в A.3.1) и заключить, что u*v^Cl и
A.3.5) , d{(u*v)
, /=1, .... я.
Ввиду соотношения коммутативности A.3.2) можно было бы
с равным успехом дифференцировать не первый, а второй со-
сомножитель, v, при условии что v e С1. Отсюда следует, что если
СС' С* и
*v) при |а|</, |p|<ft.
A.3.6) аа+р(а * v) = (даи) *

30 1. Пробные функции
1.3. Свертка 31
Приведенные выше утверждения могут быть усилены раз-
разными способами. Например, ясно, что u*v будет непрерывной
функцией, если и е Со, a v лишь локально интегрируема. От-
Отсюда мы заключаем, что если и е Со, то для локально интегри-
интегрируемой v имеем и * v e О. Итак, установлена следующая
Теорема 1.3.1. Если и^С!0, то u*v^.C1 при в е LL и u*v
е С/+* при v е= С*.
Свертку можно использовать для того, чтобы аппроксимиро-
аппроксимировать данную функцию более гладкими функциями, — метод, из-
известный под названием регуляризации:
Теорема 1.3.2. Пусть 0<ср<= С™, J<pdx=l. Если ue=Co(R"),
то иф = и*феСо°°(Рл). При suppqp-»•{()}
A.3.7) . ¦ sup|d°u-d%|->-0 для |а|</;
еГ (Rn) и Ср-^у в LP-норме при
если »s №), то
р< оо.
Доказательство. Ввиду A.3.6) и теоремы 1.3.1 достаточно дока-
доказать A.3.7) для случая а =0. Но если носитель ф лежит в шаре
М<б,то
\u(x)-uv(x)\ = \\(u(x)-u(x-y))q,(y)dy\
sup \и(х) — и(х — у)\,
а величина в правой части стремится к нулю вместе с б равно-
равномерно по х, поскольку функция и равномерно непрерывна. Так
как || аф \\Lp O| v \\Lp и Со плотно в V, отсюда сразу следует по-
последнее утверждение теоремы.
Иногда полезно знать более точно, как сходятся регуляриза-
регуляризации. Приведем один-результат такого рода:
Теорема 1.3.3. Пусть сеС' (R") и ф е= С^ (R"), $ ф dx = 1. Тогда
функция
A.3.8) и (х, t) = J v (х - iy) ф (у) dy
принадлежит классу Сш на множестве {{х, /)е R"+l, ?=И=0}, а
функция tku(x,t) принадлежит Cft+/(R"+I) для всякого неотри-
неотрицательного целого k. При t = 0
A.3.9) dlt{fu(x, 0) = 0 для i<k;
Доказательство. Поскольку и(х, t)^>~v(x) при /->0 по теоре-
теореме 1.3.2, мы сразу получим A.3.9) из формулы Тейлора, если
покажем, что tku (x, t) e Ck+l. Докажем это для произвольной
функции ф е С". То, что и е С, немедленно получается, если
продифференцировать под знаком интеграла в A.3.8). Поэтому
в случае кфЬ можно предполагать наше утверждение уже до-
доказанным для всех меньших значений k. При t =ф 0 имеем
tku (x, t) = ik \t Г" 5 v (у) ф ({х - у)Ц) dy.
Дифференцируя и производя обратную замену переменных, по-
получаем
di(tku(x, 0) = /*-' J v{x-ty)d&(y)dy,
dt (tku (x, t)) = /*-i \ v {x - ty) ((k - n)ф (y) -
)) dy.
Ввиду следствия 1.1.2 это верно и при / = 0; значит, производ-
производные первого порядка от tku(x, t) принадлежат Ck~l+l, что и до-
доказывает теорему.
Следствие 1.3.4. Для любых заданных и,- е Cft-'(R"), 0 ^ / ^ k,
можно найти такую функцию «е Ck(Rn+l), что
A.3.10) dk(x, t) = Ui(x) при / = 0, / = 0 k.
Доказательство. Для г = 0, ..., k мы докажем по индукции, что
можно найти функцию и = аг, удовлетворяющую A.3.10) при
0 ^ / s^ г. Можно взять и°(х, t)= uo(x). Пусть функция иг~1
уже подобрана. Нам надо выбрать ur = ur~l + U так, чтобы
diU = 0, j<r, dtU = Vr = ur — dtu-1 при / = 0.
Поскольку vr e Ck~r, мы получим функцию U с этими свойствами
при помощи теоремы 1.3.3.
Регуляризация функции не слишком сильно увеличивает ее
носитель, так как
A.3.11)
suppи * v с suppи + supp v = {х + у; х е suppи, je supp v}.
Это сразу следует из A.3.1) или A.3.1)'.
При применении теоремы 1.3.2 мы должны, конечно, ссылать-
ссылаться на факт существования пробных функций, доказанный в лем-
лемме 1.2.3. Однако пробные функции на R можно также построить
при помощи сверток, отправляясь. от простейших ступенчатых
функций, и мы сейчас обсудим это построение, поскольку оно
дает важную количественную информацию.

32 1. Пробные функции
Положим
На(х) = а~1 при 0 < х < а и #„(.*) = О в остальных точках.
Для всякой непрерывной функции и свертка
х
J u(t)dt
принадлежит С1 и ее производная равна (и(х) — и(х — а))/а,
поэтому и * #о е C*+1, если и е С*.
Теорема 1.3.5. Пусть а0 ^ а\ ^ ... — последовательность поло-
положительных чисел, для которой
а =
оо.
о
Положим
Uk = #а0 * ... * Нак.
Тогда «ft^Co"'(R) имеет носитель в [О, а] и сходится при fc-*oo
к некоторой функции u^C™(R) с носителем в [О, а], такой что
\ и их — 1 и
A.3.12) |«
Доказательство. Функция «i равна нулю всюду вне интервала
[О, Qo + Qi]> возрастает с коэффициентом наклона 1/aoai на
Рнс. 1. Функции ик для k < 6 прн До = 1,
1.5/Д/+ !)¦
[О, ai], постоянна на [ai, ao] и линейно убывает до нуля на
(a0, ao + Qi) (см. рис. 1), так что она непрерывна. Следова-
¦,*-!
тельно, «ft е Со , согласно сделанному перед формулировкой
теоремы замечанию, и ее носитель лежит в интервале [0, а0 + ...
1.3. Свертка 83
Ч
-(- Ok] в силу A.3.11). Вводя обозначение
(тви)(*) —и(х — а)
(позднее мы увидим, что это тоже свертка), получаем
Так как \.Hadx=\, то из A.3.4) следует, что
A.3.12)' К|<2//(а0 ... a,), J |^)|&<2//(а„ ... в|_,).
ибо свертка и*у всегда может быть оценена величиной
sup\u\^\v\dx. Далее, . •
I Uk+m — Um | = J Um * Ham+l * ... * H om+ft — Um j
в силу доказательства теоремы 1.3.2, так что цт имеет равно-
равномерный предел и. Аналогично имеет равномерный предел и про-
производная
и т. д. Вв:1ду теоремы 1.1.5 отсюда следует, что и^С°°, и
A.3.12)'дает A.3.12). Поскольку \ukdx=^\ для каждого k в
силу A.3.4), мы имеем \ и dx = 1.
Лишь на последнем шаге мы использовали предположение о
сходимости ряда 2 а,-. Однако если он расходится, то предель-
предельная функция ц должна быть тождественно равна нулю. Это вы-
вытекает из приводимой ниже леммы, которая показывает, на-
насколько точной является в действительности конструкция тео-
теоремы 1.3.5. s;j
Лемма 1.3.6. Если функция и^Ст{(—оо, Т]) равна нулю на
отрицательной полуоси и а,- — такие положительные числа, не-
возрастающие с увеличением номера \, что Т ^ а\ -f • • • + am,
то
A.3.13) |«(х)|< Z 22/supa, ...a,\uU){y)\ при
/ё7 у<х
Здесь J ={/; 1 < ¦/ < m a a/+i < a/ или.]' = m}.
3 Зак. 821

.34 1. Пробные функции
1.3. Свертка 35
Доказательство. Формула
и = На * аи' -f xau,
использованная при доказательстве теоремы 1.3.5, дает для
IK-nt— 1
A.3.14) «(/) = Яа/+1 *а/+1и<'+1> + та/+1 «<>¦>.
Это позволяет нам, отправляясь от / = 0, записать и как конеч-
конечную сумму членов вида
A.3.15) Та. • . . Та. На, * . • . * На,
*1 *t '
(Последнее условие гарантирует, что Taft[ • • • TOfc есть сдвиг по
меньшей мере на а\ + ... +.а«.) Действительно, скажем, что
A.3.15) — правильный член типа (i, /), и будем представлять
его точкой (г, /)-е R2. Рассмотрим произвольный член, отвечаю-
отвечающий (i, /) e Z, где
z = {(*'. /); 0 < t < т, 0 < / < т, a/+i >ai+i}.
Применяя к нему A.3.14), получим два новых члена. Поскольку
a/+i ^ a»+i, тот из них, который отвечает второму члену в
A.3.14), будет правильным типа (г + 1, /¦), причем (/ + 1» /)е^,
за исключением случая г+ 1 =ш,, ибо a/+2 ^ a»+i. Другой член
будет правильным типа (t, / + 1). причем (i, /-|-1)eZ, за
исключение*! случаев, когда j-\-\=пг — и, значит, /-j-le/ —
нли же а/+2 <. a«+i; поскольку a(+i ^ сц+i, мы имеем в последнем
случае i + 1 <; / + 2 и a/+2<a/+i, а значит, /+1е/. Таким
образом после конечного числа шагов мы представим и в виде
суммы членов A.3.15), у которых либо i^m, либо /е/ и
j -f I ^ /• (На рис. 2 такие (i, j) представлены свободными кон-
концами стрелок.) Число членов типа (/, /•) не больше 2i+!, по-
поскольку каждый такой член отвечает возрастающему пути от
(О, 0) к (i, /) по точкам решетки, так что имеется i + / шагов
с максимум двумя выборами на каждом из них. Так как
I 2i+l < 22',
а члены с i = m равны нулю на @, Г), то неравенство A.3.13)
тем. самым доказано.
Если опустить в лемме 1.3.6 предположение Т ^ а\ + ... + ат
н положить с = Т/{а\-\- ... -\-ат), то можно применить лемму
1.3.6 к функции и(сх), определенной при х ^ а,\ + ... -\-ат-
Это даст i
A.3.13)' |и(х)|< 2 Dc/supdi ... а,1и(/)(г/)| при х^Т.
Отсюда следует, что если
A.3.16) |U</>(je)|<tf'/(ai ••• а,) при /е/ и х<7\
то
A.3.17)
при
Действительно,
= 4сК/( 1 — 4сА:) <
при
< 1.
Применяя A.3.17) с К = 2 к интегралу от функции и из тео-
теоремы 1.3.5, мы видим, что носитель и не' может уместиться в
интервале длины, меньшей 2lajl6, ибо 8с/A—8с) <; 1 при
20
17
15
Рис. 2. Множество Z и допустимые «ходы»
для пг = 20, / = {1, 3, 7, 15, 17, 20}.
с < 1/16. Таким образом, если отвлечься от фиксированного
скалярного множителя, то конструкция теоремы 1.3.5 совер-
совершенно точна.Мы заключаем,далее,что если ?а, = оо и A.3.16)
выполняется для всех /, то и = 0. Фактически мы докажем сей-
сейчас теорему Данжуа — Карлемана в полном объеме.
Пусть Мо = 1, М\, М2, ... — заданная последовательность
положительных чисел. Обозначим через См([а, Ь]) множество
3*

36 1. Пробные функции
1.3. Свертка 37
всех функций «еС°°([а, Ь\), таких что для некоторого К
A.3.18) \иЩх)\^К'+1М, при а<х<& и / = 0,1
Определение 1.3.7. Класс См называется квазианалитическим,
если для всякой функции и^См([а, Ь]) условие ы('>(л:) = 0 при
всех j в некоторой точке х е [о, Ь] влечет и = 0 на [а, Ь).
Положим
A.3.19) '~Li=lniM)!k
*>/
(наибольшая неубывающая миноранта последовательности
Мь ) и обозначим через М) наибольшую логарифмически вы-
пуклую миноранту последовательности М/:
всех /, то, в силу формулы Тейлора, для каждого х e[a, b]
A.3.20)
при
Отсюда следует, что MJ2^M*f-iM*i+u / > 0, а значит, А1 / > 0
для всех /, за исключением случая, когда М) = 0 йри каждом
/>0. Далее,
A.3.21)
/=1, 2,-...,
— невозрастающая последовательность. (В случае Л1/ =
полагаем а/ = + °°-)
мы
Теорема 1.3.8 (Данжуа — Карлеман). Следующие условия рав-
равносильны:
0) класс См квазианалитичен;
(ii) El/Ly-oo;
(Щ
(iv) Xa/ = °°.
Доказательство. Рассмотрим сперва сравнительно неинтересный
случай, когда L\ ^ L < оо при всех /, т. е. lim M^ki <! Z, для
некоторой последовательности kf-*-oo. Заставляя I в A.3.20)
пробегать эту последовательность и полагая там k — 0, получим
откуда следует, что ar'^L. Таким образом, выполнены усло-
условия (ii) — (iv); "Если и удовлетворяет A.3.18) н «(/)(хо) = О при
k'+i
\u(x)\^Kk'+i\x-x0\kiMkj/kjl^0 при /-оо.
Таким образом, (i) тоже выполнено.
Предположим теперь, что L/->oo при /->-оо, т. е. Nl)lk —*оо
при &-»-оо. Тогда точки (k, logMk) лежат выше прямой со
сколь угодно большим коэффициентом наклона, так что М] по-
положительны и а,->-0. Таким образом, 7={/; a/+i < а/} есть
бесконечное множество точек, в которых график log Ml как
функции от kl) имеет излом. Отсюда ясно, что Af/ = Af/ при
j е 7; аналитически это следует из того, что для k <z ji< /
Поскольку
MJ.
то му ^ 1/а; при / е 7. Если ^ < / е 7 и k^ i <. j влечет
i ^ 7, то а* = а,- при fe ^ i ^ /; поэтому Li ^ L/ ^ 1/а/ = 1/а;,
а следовательно, Z-,- ^ 1/а/ при всех /. Это показывает, что
(iv) =>- (ii) - Поскольку log M'/ — выпуклая функция от /, обра-
обращающаяся в нуль при / ^0, то коэффициент наклона Г logM/
хорды, выходящей из точки @,0), не убывает, т. е. (M*l) не
убывает. Следовательно, Ls ^ {М}I1', откуда следует, что (Щ-=>
(iii). Если (iv) не выполняется, то в силу теоремы 1.3.5 в
С™ ([а, Ь]) найдется функция иФО, для которой
М) < Ki+lMh
) (х
а, =
так что не выполняется (i). Таким образом, (i) =*-(iv). С другой
стороны, если (iv) выполнено, то мы можем применить A.3.17)
с гп, равным некоторому элементу из 7. Действительно, фигури-
фигурирующее в A.3.16) множество / (определенное в лемме 1.3.6)
совпадает в этом случае с множеством всех элементов ^т из
7, так что A.3.16) следует из A.3.18), ибо Afy == AfJ = 1/а, ... а,
при/е7. Итак, (iv)=*-(i). Наконец, импликация (iii)=»-(iv) вы-
вытекает из доказываемого ниже неравенства Карлемана.
Лемма 1.3.9 (неравенство Карлемана). Для любых а, > 0
о:з.22)
" Продолженной по лннейаостн на нецелые значения k. — Прим. перев.

38 1. Пробные функции
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 39
Доказательство. Вводя вспомогательные числа с, > О, которые
будут выбраны ниже, имеем в силу неравенства для среднего
арифметического и среднего геометрического
)ш
(а, ... апI/п = (с, ...
... спап)
Если теперь взять cm = (m + l)m/mm~\ то (сх ... спI/п = п+1,
и мы получаем
оо оо
X (а, ... an)m < ? cmajn (я + 1)< ? cma Jm < ? eam>
1<m<n 1 1
чем и доказано A.3.22).
В случае Мп = п\ из формулы Тейлора следует, что для вся-
всякой функции /еСм([а, i]
при х, у е [а, Ь] и \х — у\ < г для некоторого г. Таким образом,
в этом случае теорема 1.3.8 вполне элементарна. Заметим, что
выписанный выше ряд Тейлора абсолютно сходится для всех
jcgC, с \х — y\<Lr и задает аналитическое продолжение f на
множество
{zeC; \z — у\<г при некотором y^[a,b]}.
Обратно, если F — аналитическая функция в некоторой комп-
комплексной окрестности отрезка [а, Ь\, то ограничение F на [а, Ь]
принадлежит классу См([а, В]) в силу неравенств Коши. По-
Поэтому этот класс называют классом вещественно аналитических
функций. Очевидно, что предыдущие замечания применимы и к
функциям многих переменных.
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы
В теории распределений часто бывает нужно заменить данную
функцию функцией с компактным носителем, принимающей те
же значения на некотором большом компактном множестве. Это
делается с помощью умножения на «срезающие функции» типа
той, которая строится в следующей теореме.
Теорема 1.4.1. Для любого открытого множества X в R" и любого
его компактного подмножества К можно найти функцию
qieC"(X), удовлетворяющую условию 0 ^ q> ^ 1 и такую, что
<р = 1 в некоторой окрестности К,..
Доказательство. Выберем е > 0 настолько малым, что
A.4.1) |* — у|>4е при х<=К, У^СХ,
и пусть v — характеристическая функция множества
^2е = (у; I х — у | ^ 2е для некоторого х е К}.
Согласно лемме 1.2.3, существует неотрицательная функция
Х^С^(В), где Б —единичный шар, такая что \%dx=l. Тогда
функция /в (*) = 8~пх(л:/е) имеет носитель в шаре {х; |*|< е} и
\%edx=l, а потому
в силу теоремы 1.3.1 и A.3.11), и 1—ф=;=A—»)*Хе равняется
нулю на Кг ввиду A.3.11). Тем самым теорема доказана.
Для дальнейших ссылок заметим также, что
Таким образом,
A.4.2)
где Са зависит лишь от а,п и выбора нормы в R". Используя
теорему 1.3.5, можно получить более точный результат, который
мы и приведем для полноты, поскольку он иногда оказывается
лолезен. Однако читатель может сразу перейти к теореме 1.4.4,
не теряя -нити изложения.
Теорема 1.4.2. Пусть X — открытое множество в п-мерном век-
векторном пространстве V с нормой || \\ и К — его компактное под-
подмножество. Если
d = lnf{||x-y||; x(=CX, у^К}
и
00
— положительная невозрастающая последовательность с
2 d/ < d, то можно найти функцию феС™(X), удовлетворяю-
удовлетворяющую условию 0 ^ ф г^ 1, равную 1 в некоторой окрестности К
и такую, что . '
A.4.3)
Здесь С зависит лишь от размерности п.

40 1. Пробные функции
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 41
Доказательство. Предположим сперва, что F=Rn и 1М|=
max|x/|. Пусть и— функция из теоремы 1.3.5 при а/ = dj+i. По-
Положим h@ = u(i+ ?dj/2). Тогда |/1<?|d,|/2 при / е= suppA,
и для всякого /
Теперь мы можем применить доказательство теоремы 1.4.1 с
6 = 1 И
взяв в качестве v характеристическую функцию множества
{у; \\х — y\\^.d/2 для некоторого хе/С}.
В результате получим, что
или, если перейти от частных производных к полной,
; у и ..., yk) | < Bn)ft || yt || ... || yk ||/d, .:. dk,
чем теорема 1.4.2 для рассматриваемого случая и доказана. Пе-
Переход к евклидовой норме, а от нее к произвольной норме
можно выполнить с помощью следующей леммы, которая дает
A.4.3) с С = 2я2.
Лемма 1.4.3. Для любого выпуклого симметричного относительно
0 тела в п-мерном векторном пространстве V можно найти эл-
эллипсоид В с центром в 0, такой что
Доказательство. Пусть В — эллипсоид максимального объема,
содержащийся в К- Выберем координаты так, чтобы_ он был
единичным шаром. Нам надо показать, что К <= В Vя • С этой
целью_предположим, что К содержит точку (/, 0, ..., 0) с
t > V" > и докажем, что в таком случае В не может быть мак-
максимальным. Касательный конус к В с вершиной в (t, 0, ..., 0)
касается В в точках с х\ = \/t, поэтому та часть В, где \хх \ >
l/t, лежит во внутренности множества К, ввиду его выпуклости
н симметричности относительно нуля. Рассмотрим теперь эл-
эллипсоид
имеющий тот же объем, что и В. Определяющее этот эллипсоид
неравенство при е | 0 можно записать в виде
или
(х? + у2 - 1) A + е)< 8 (их? - 1) + О (е2).
Для малых е>0 правая часть отрицательна при |xi|
/V^O/ так что эта часть эллипсоида лежит во внутренности
Рис. 3.
К. Но то же самое верно и в отношении_остальной части эллип-
эллипсоида, поскольку там \xt |^AД+ l/Vn)/2 > l/t (см. рис. 3).
Следовательно, В не максимален.
Эквивалентная формулировка леммы 1.4.3 состоит, очевидно,
в том, что для любой нормы | | в V можно найти евклидову
норму || ||, такую что
Для того чтобы можно было делать заключения о распреде-
распределении, исходя из локальных предположений, необходимо уметь
записывать произвольные пробные функции как суммы пробных
функций с малыми носителями.
Теорема 1.4.4. Пусть Хи ..., Хк —открытые множества в R* и
Ф е С~ f U X)). Можно найти функции ер,- е С" (X;), / = 1, ..., k,
такие что
A.4.4)
-В случае qp
: 0 можно взять все <р,- ^ 0.

42 1. Пробные функции
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 43
Доказательство. Мы можем подобрать компактные множества
Ки ...,_Kk, такие что К] сХ} и suppф с: \j К]- (Действитель-
(Действительно, каждая точка из supp ф имеет компактную окрестность, со-
содержащуюся в некотором X/. По лемме Бореля — Лебега'можно
выбрать конечное число таких окрестностей, покрывающее весь
эиррф. Объединение тех из них, которые содержатся в X,-, даст,
компактное множество KjcXj.) Далее, используя теорему 1.4.1,
мы можем выбрать функции Ф/ е С" (Xj), удовлетворяющие
условиям 0 ^ -фу ^ 1 и г^; = 1 на Kj. Тогда функции
обладают требуемым свойством, поскольку
Ф/ — Ф = — ф 11 и — %) — ">
так как в каждой данной точке либо ф, либо какая-нибудь из
функций 1—фу обращается в нуль.
Комбинируя теоремы 1.4.4 и 1.4.1, получаем следующий ре-
результат:
Теорема 1.4.5. Пусть Хи ..., Xk — открытые множества в R" и
К — компактное подмножество в и X]. Можно найти функции
причем равенство вы-
вы<f>jeC™(Xj), такие что Ф/^0 и
полняется в некоторой окрестности К-
Замечание. В теоремах 1.4.4 и 1.4.5 можно было бы допустить
и бесконечное число открытых множеств X,-, при этом в заклю-
заключениях теорем лишь конечное число функций ф; будут отличны
от тождественного нуля. Действительно, в силу леммы Бореля —
Лебега, для того чтобы покрыть supp ф и К соответственно, до-
достаточно конечного числа множеств Xj.
Про функции ф/ из теоремы 1.4.5 говорят, что они образуют
разбиение единицы на К, подчиненное покрытию компакта К
множествами Xj. Иногда требуются бесконечные разбиения еди-
единицы, и для полноты мы дадим один простой и один довольно
сложный примеры таких разбиений.
Теорема 1.4.6. Для всякой окрестности X куба
где g пробегает все точки целочисленной решетки? т. е. все
точки с целочисленными координатами.
Доказательство. По теореме 1.4.1 мы можем выбрать функцию
i|> e С" (X), такую что O^\J>^1 и t|> = 1 на К. Поэтому функция
является периодической С°°-функцией, которая всюду ^1, так
что функция <p(x) = ifr(x)/x?(x) обладает требуемым свойством.
Теорема 1.4.6 дает разбиение единицы, подчиненное покры-
покрытию пространства R" сдвигами X + {g} множества X. А сейчас
построим разбиения единицы, отвечающие покрытиям выпуклы-
выпуклыми центрально-симметричными открытыми множествами, кото-
которые могут меняться как по форме, так и по размеру. Эти от-
открытые множества удобно описывать в терминах соответствую-
соответствующих норм.
Определение 1.4.7. Пусть X — открытое множество в конечно-
конечномерном векторном пространстве V и II IU — норма в V для лю-
любого ле! Скажем, что в X задана медленно меняющаяся
метрика, если верна следующая импликация:
A.4.5) х<=Х и ||i/-x|Lc<l=fi/eX и И1„<С[М1*, oeV,
где постоянная С ^ 1 не зависит от х, у, v.
Заметим, что если С\\х — у\\к < 1, то ||* — у\\у <. 1, а потому
можно найти неотрицательную функцию ф
(X), такую что
Заменяя норму || ||* на С|| \\х, получаем
A.4.5)' C-1||o||«<||t;|(r<C||o||, при \\х-,
Пример 1.4.8. Пусть X — открытое множество в V и d(x) — лип-
шицева функция, положительная на X и равная нулю на V\X,
причем
\d(x)-d(y)\^]\x-y\\ при х,у<=Х,
где || ||—некоторая фиксированная норма в V. Тогда формула
\\v\\x = 2\\v\\/d(x)
задает медленно меняющуюся метрику на X, поскольку если
\\х — у\\х< 1, то \\х — у\\ <d(x)/2, откуда следует, что \d{x)~
d(y) | < d(x)/2 и d(x)/2 < d(y)< 2d(x). Для любого заданного
открытого множества X^V в качестве d(x) всегда можно
взять расстояние до множества F — СХ, определяемое равен-
равенством
d(x)= inf || л; — г/ Н-
y<3F

44 1. Пробные функции
Теперь покажем, • как с помощью медленно меняющейся
метрики можно построить сперва покрытие, а затем и подчи-
подчиненное ему разбиение единицы.
Лемма 1.4.9. Пусть е < 1/С. Выберем в X какую-нибудь макси-
максимальную последовательность х\, хг, ... со свойством
A.4.6) || Хц — xv||x
При
Тогда шары
где еС < R ^ 1, образуют покрытие X, причем ни одна точка не
принадлежит более чем N =BС2/е+ 1)" различным шарам В*.
Доказательство. Существование указанной максимальной после-
последовательности следует из того факта, что множество, удовлетво-
удовлетворяющее условию A.4.6), обязано быть дискретным. Для всякой
точки х е X либо || х — xv \\х^ < в, либо \\х — xvIU < e при неко-
некотором v, причем в последнем случае \\х — хч \\Ху < Се, так что в
обоих случаях х е В*. Если х е В*, то мы имеем, поскольку
/?<1
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 45
Как и в доказательстве теоремы 1.4.4, положим
Очевидно, что ? <Pv = 1 на I. Ни одна точка не принадлежит
носителю более чем N функций t|v Заметим теперь, что если
для некоторой нормы мы имеем в точке х
при k = 0, 1, ... и / — 1, 2, то та же самая оценка справедлива
и для /1/2, но только уже с постоянной А\ +А2. Это следует,из
того факта, что dj не возрастают, и из правила дифференциро-
дифференцирования произведения. Следовательно,
; yv ...
Итак, доказана
Теорема 1.4.10. Для всякой медленно меняющейся метрики на
открытом ^множестве X в п-мерном векторном пространстве V
можно выбрать последовательность xv e X, такую что шары
и, кроме того, при \i ф v
Следовательно, шары
{у; ||y-*vll*<
р
отвечающие тем v, для которых xefiv, попарно не пересе-
пересекаются, и все они содержатся в шаре
{У, ||*-i/IL<C + e/2C}.
Поэтому число таких v не превосходит отношения мер этих ша-
шаров, которое равно BС2/е + 1)п.
Возьмем в = 1/2С и для всякого v выберем неотрицательную
функцию ^veCo°(fiv). равную 1 в шаре В\,2 и удовлетворяю-
удовлетворяющую для заданной невозрастающей последовательности dj с
X dj=1 оценке
Это возможно по теореме 1.4.2, причем в качестве С\ можно
взять утроенную постоянную из A.4.3). Так как ИуН^СИуН
для каждой точки * е supp г^, мы получаем
образуют покрытие X, причем пересечение любого множества
этих шаров, состоящего более чем из N = DС3+ 1)" шаров,
пусто. Далее, для всякой невозрастающей последовательности
dj с Х^/=1 можно выбрать неотрицательные функции
<pv е С™ (Bv), удовлетворяющие условию 2L Фу = 1 на X и такие,
что для всех k
A.4.7) |ф<*>(*; ylt .... !fc)K<*CCi)*|yiL — \Уш{]*х ¦¦¦ dk>
где С — постоянная из A.4.5), а Cj/З — постоянная из A.4.3),
гак что С\ зависит лишь от п.
Замечание. Числа d/ могут — это не приводит ни к каким изме-
изменениям в доказательстве — быть функциями от х, при условии
что они будут медленно меняться по отношению к рассматривае-
рассматриваемой медленно меняющейся метрике, т. е.
ОЛ.б)' d,(y)^Cd,(x) при х<=Х и \\у — *||*<1.
Полезным дополнением к теореме 1.4.1 оказывается иногда
приводимое ниже следствие теоремы 1.4.10.
Следствие 1.4.11. Пусть Fo и Fi — два замкнутых множества в
R". Существует такая функция феС°°(С(Fof)Л)), что ф = 0
вблизи Fo\.(Fof\Fi), ф = 1 вблизи Fi\'(F0 П Л) » (в обозначе-

46 1. Пробные функции
Примечании 47
ниях теоремы 1.4.10)
A.4.8) |ф<*>(*; у, yk)\<CS\yl\...\yk\d(x)-h/dl...dM.
Здесь
d(х) = max(d(х, Fo), d(x, F,)), d(x, F,) = m\n\\x-y||.
При этом если F\ компактно, то в качестве <р можно взять функ-
функцию с ограниченным, носителем.
Доказательство. Функция d(x) липшицева с постоянной Лип-
Липшица 1, поэтому \\v\\x = 2\\v\\/d(x) будет медленно меняющейся
метрикой на C(Fof)Fi) (пример 1.4.8). Шар
A.4.9)
{у, 11*-
не может пересекаться одновременно с fo и с Fb ибо если d(x)
— d(x, Fj), то для у из этого шара \\х —y\\x^d(x, F,)/2, a
значит d(y, F{)~^ d(x, F/)/2. Образовав разбиение единицы в
соответствии с теоремой 1.4.10, мы можем поэтому взять в ка-
качестве ф сумму всех функций q>v, носители которых пересекаются
с Fi. В случае когда F\ компактно, d(x, Fo)<. 2d(x, Ft) при до-
достаточно больших \х\. Следовательно, для таких х выполняется
неравенство d(x) <2d(x, Fi) и, значит, шар A.4.9) не может
пересечься с Fi. Таким образом, supp ф оказывается ограни-
ограниченным.
Примечания
Как уже отмечалось в «Кратком содержании главы», § 1.1 со-
содержит лишь классический материал, и мы не будем обсуждать
историю излагаемых там вопросов. Использование пробных
функций, рассматривавшихся в § 1.2, также имеет давние тра-
традиции в вариационном исчислении. Так, теорема 1.2.4 весьма
близка к лемме Дюбуа-Реймона, которая приводится в лю-
любом вводном изложении этого предмета. Теорема 1.2.6 принад-
принадлежит Борелю (Borel [1]). Более тонкие теоремы продолже-
продолжения— это следствие 1.3.4 и приводимая в следующей главе тео-
теорема 2.3.6.
Конструкция бесконечно дифференцируемых функций, осно-
основанная на использовании повторных сверток и примененная
нами при доказательстве теоремы 1.3.5, имеет древние корни в
гармоническом анализе. Ее систематически и в явном виде упо-
употреблял Мандельбройт (Mandelbrojt [1,2]), который припи-
приписывает саму идею Брэю (Н. Е. Bray), не опубликовавшему своих
результатов. Затем этот метод появился снова в работе Эрен-
прейса (Ehrenpreis [3]) по операторам,свертки, и с тех пор он
часто использовался в теории дифференциальных уравнений с
частными производными (см. Hormander [21, 27, 30)). Коэн
(Cohen [2]) заметил, что данное Бэнгом (Bang [1]) доказа-
доказательство теоремы Данжуа — Карлемана можно изложить в ана-
аналогичных терминах. В нашем доказательстве использован ва-
вариант его подхода в сочетании с рассуждениями из работы
Mandelbrojt [2]. Понятие квазианалитичности будет играть роль
в § 8.4. Пожалуй, стоит упомянуть здесь, что проблема характе-
ризации квазианалитических классов берет начало в теории диф-
дифференциальных уравнений с частными производными (см. На-
damard [I, p. 37]).
Непрерывные разбиения единицы на компактных множествах
были введены Дьёдонне (Diendonne [1]), и на самом деле не-
некоторое время был в ходу термин «разложение Дьёдонне». Кон-
Конструкция, использованная в доказательстве теоремы 1.4.4, заим-
заимствована из третьего издания классической монографии Г. Вейля
о римановых поверхностях (Weyl [2]), где главным изменением
по сравнению с предыдущими изданиями было как раз привле-
привлечение разбиений единицы. Однако лемма о покрытии 1.4.9 и
разбиение единицы из теоремы 1.4.10 идут по существу от
Уитни (Whitney [1]), откуда видно, что весьма сложные раз-
разбиения единицы использовались еще за несколько лет до за-
заметки Дьёдонне. Лемма Уитни в ее первоначальной форме поя-
появится ниже как лемма 2.3.7. Один более общий вариант этой
леммы был дан Тревом (Treves [5]). Результаты § 4.1 в их
полной общности нужны в общей теории псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных операторов (гл. 18). Комбинация этих идей с применением
повторных сверток в § 1.3 является, по-видимому, новой в пол-
полной ее общности, но отдельные частные случаи можно, найти,
например, у Андерссона (Andersson [1]).

2.1. Основные определения 49
Определение и основные
свойства распределений
Краткое содержание главы
Мы уже видели во введении, как различные трудности в теории
дифференциальных уравнений с частными производными и в
анализе Фурье приводят к необходимости расширить простран-
пространство непрерывных функций до пространства распределений.
В § 2.1 мы даем явное и точное определение этого понятия, ис-'
пользуя свойства пробных функций, доказанные в гл. 1. Кроме
того, там вводится слабая топология в пространстве распреде-
распределений. В § 2.2 мы распространяем на распределения понятие
носителя и показываем, что распределения можно определять
локально, при условии что все локальные определения согласо-
согласованы. Помимо того доказывается, что для всякого данного рас-
распределения и можно единственным образом определить и(ср)
для всех ф е С00, таких что пересечение supp и П supp ф ком-
компактно. В § 2.3 весьма обстоятельно изучается проблема оценки
м(ф) через производные ф на одном лишь носителе и. Самым
глубоким результатом является здесь теорема продолжения
Уитни (теорема 2.3.6). Различные вытекающие из нее резуль-
результаты редко будут нужны нам, поэтому читатель может при же-
желании пропустить весь конец этого параграфа, начиная с тео-
теоремы 2.3.6.
2.1. Основные определения
Во введении наши рассуждения привели нас к рассмотрению вы-
выражений вида
B.1.1)
L (Ф) =
x,
Со°° (X),
где /аеС(Х) и число слагаемых конечно. Здесь X — открытое
множество в R". Однако одна и та же форма L может иметь
много различных представлений такого рода, поэтому в приводи-
приводимом ниже определении мы просто выделяем одно очевидное
свойство выражения B.1.1).
Определение 2.1.1. Распределение и на X—это линейная форма
на Со (X), удовлетворяющая условию: для всякого компакта
Kcz X существуют такие постоянные С и к, что
B.1.2)
|O|<*
sup|deq>|.
Множество всех распределений на X обозначается через SD'(X).
Если в B.1.2) можно использовать одно и то же целое число k
для всех К, то говорят, что и— распределение порядка не выше
k '). Будем обозначать множество всех таких распределений че-
через 3>'к(Х). Их объединение 2>'Р (X) = (J 2>'k (X) есть простран-
пространство распределений конечного порядка.
То что и— линейная форма на С™(Х), означает, конечно,
что и есть функция из С™(Х) в С, удовлетворяющая условию
и (ар + ЬМр) = аи (ф) + Ъи (ip); а, 6еС; «р, ipeC"(*).
Замечание. Происхождение традиционного обозначения 3)'{Х)
связано с тем, что Лоран Шварц использовал обозначение 3) (X),
а не С" (X).
Сумма B.1.1) определяет распределение порядка не выше k,
если /а = 0 при |а| > к. Она определяет распределение и тогда,
когда является лишь локально конечной, т. е. для каждого ком-
компактного множества имеется только конечное число_ функций fa,
не равных на нем нулю тождественно. Позднее мы увидим, что
фактически все распределения могут быть представлены в виде
B.1.1).
Пример 2.1.2. Для всякой точки Хо^Х формула и(ф) = дау(хо)
определяет распределение порядка |aj. To, что порядок не
меньше, следует из того, что если взять ^еСц с ^@) = 1 и
положить щ(х) = (х — хо)аг|5((х — *o)/S), то ы(ф6) = <х! и
suplAel<C6|a|-|pl->0 при й-*0, |р|<|а|.
Более общим образом, для любой последовательности х, е X,
не имеющей предельных точек в X, и любой последовательности
мультииндексов <х;- формула
1) Если и — распределение порядка ие выше k, но ни при каком мень-
меньшем целом числе / не является распределением порядка ие выше /, то гово-
говорят, что и — распределение порядка (точно) k. — Прим. перев.
4 Зак. 821

50 2. Определение и основные свойства, распределений
2.1. Основные определения 51
задает распределение на X, потому что компактное подмноже-
подмножество в X может содержать лишь конечное число точек */. В силу
первой части примера, ае^Ц) тогда и только тогда, когда
последовательность |«/| ограничена, и порядок распределения
равен в таком случае тах|а/|.
Условие непрерывности B.1.2) из определения 2.1.1 гаран-
гарантирует, что и «хорошо ведет себя» при действии на функции,
зависящие от параметра:
Теорема 2.1.3. Если у(х, у)е С00 (XX У), где У — открытое мно-
множество в Rm> и существует компактное множество KczX, такое
что Ф (х, у) = 0 при хфК, то для любого распределения и <=
3'Х
г/->и(ф(-, у))
есть С°°-функция от у и
Доказательство. При фиксированном у имеем в силу формулы
Тейлора
ф (х, у + Л) = ф (х, у) + ? h, <Эф (х, у)\дуг + t|> (x, у, А),
sup\dax$(x, у, h)\ = 0(\h?) при А-^0, Va.
X
Следовательно,
для некоторой функции ф/ ^ С™ GС)
откуда видно, что функция г/-»-и(ф(-, у)) дифференцируема и
д
и (ф (¦," уУ)== и [dtp (•, УIоу/).
Повторное применение этого результата доказывает теорему.
Условие непрерывности B.1.2) часто формулируется как
условие секвенциальной непрерывности:
Теорема 2.1.4. Линейная форма и на С™(Х) является распреде-
распределением тогда и только тогда, когда ы(ф/)-»-0 при j-*-oo для
всякой последовательности ф/ е С" (X), сходящейся к нулю в
том смысле, что sup|d°4p,-|-»-0 при каждом фиксированном а и
существует такой компакт KczX, что supp ф/ с К при всех /.
Доказательство. Очевидно, что условие B.1.2) влечет условие,
указанное в теореме. Обратно, предположим, что существует
компактное множество К^-Х, такое что условие B.1.2) не вы-
выполняется ни при каких С и k. Взяв С = & = /, заключаем, что
Поскольку это неравенство не нарушится, если умножить ф/ на
постоянную, можно считать, что ы(ф/) = 1. В таком случае мы
имеем |даф/|г^ 1// при у^|а|, так что Ф/->-0, но и(ф/) к 0 не
сходится. Таким образом, указанное в теореме условие тоже не
выполняется, чем наше утверждение и доказано.
Третья эквивалентная форма условия непрерывности такова:
Теорема 2.1.5. Линейная форма и на С™ (X) является распреде-
распределением тогда и только тогда, когда существуют функции paS
С(Х), такие что
B.1.3)
1«(фI<1]5ир|ро<Эаф|,
и на каждом компактном множестве в X все функции, кроме ко-
конечного числа, тождественно равны нулю. Взять ра = 0 при
ja|>»& можно в том и только том случае, если и — распреде-
распределение порядка не выше k.
Доказательство. Достаточность условия B.1.3) очевидна. Обрат-
Обратно, пусть ие2)'(Х). Возьмем возрастающую последователь-
последовательность компактов Kj с X, такую что всякое компактное подмно-
подмножество в X содержится в некотором К/, и выберем такие X/ е
еС™(Х),что X/ = 1 на К/ (теорема 1.4.1). Полагая % = х/ — Х/-Г
при / > 1 и -ф! = Xi, имеем
если
число;слагаемых здесь, очевидно, конечно. Поскольку носитель
функции Tji/ф содержится в носителе функции г|>/, определение
2.1.1 дает
оо оо
| и (ф) | ^ ? Iи (Ф/ф) I ^ 2 Cj sup sup | с
1 ] |a|<fty
для подходящих С/ и неубывающих kj. Дифференцируя произве-
произведение и учитывая, что 2j 2 =1, получаем
Функции
Ра № =
sup
sup . 2'+*

52 2. Определение и основные свойства распределений
2.1. Основные определения 53
непрерывны на X, так как d^iSp/ = 0 на Kt при / > i, а значит,
верхние грани берутся фактически лишь по конечным множе-
множествам индексов / и р. Далее, ра = 0 на /С,- при |<х|>&,. По-
Поскольку
2i+kiCt |
при
мы получаем | ы (ф) j ^ sup sup | ра<?аф J, откуда и следует B.1.3).
а
Приведем теперь в некотором смысле двойственную форму
условия B.1.3), весьма близкую к B.1.1). Пусть С{Х)—про-
С{Х)—пространство всех непрерывных функций на X, стремящихся к нулю
на границе, т. е. сколь угодно малых вне компактных подмно-
подмножеств в X. Это — банахово пространство с max-нормой, и двой-
двойственным к нему пространством служит пространство всех огра-
ограниченных мер на X. Пусть В — пространство всех совокупно-
совокупностей U = {иа} сйае С(Х) при каждом а и нормой
||?/|| = 1 sup| uj.
Всякая линейная форма L на В с нормой ^1 представима в виде
где d\ia—мера на X с общей массой, не превышающей 1. Усло-
Условие B.1.3) означает, что отображение
есть линейная форма с нормой, не большей 1, определенная на
линейном подпространстве пространства В. По теореме Хана —
Банаха ее можно продолжить до линейной формы L на всем В
с нормой, не большей 1; это означает, что существуют меры
На с \|d(io|-^l, такие что
U (ф) = L ({ра<Эаф}) =
Полагая dva = pad\ia, получаем
B.1.1)' Ы(Ф)
причем совокупность носителей мер d\a локально конечна.
Как было описано во введении, отождествим пространство
всех непрерывных функций на X с некоторым подпространством
в 3)Г(Х), сопоставив каждой непрерывной функции f распре-
распределение
B.1.4) СГ(*)эф-
которое также будем обозначать через /. Это законно, ибо тео-
теорема 1.2.4 гарантирует, что две функции, задающие одно и то же
распределение, совпадают между собой. Более общо, мы можем
провести такое отождествление и для f из Ь\0С(Х)~ простран-
пространства всех функций, интегрируемых на компактных подмноже-
подмножествах в X, взятого по модулю функций, почти всюду равных
нулю. Действительно, теорема 1.2.5 гарантирует, что функции,
задающие одинаковые распределения, будут в одном и том же
классе эквивалентности. Мы можем, далее, отождествить произ-
произвольные меры с распределениями порядка 0, так как имеет
место
Теорема 2.1.6. Если и е ЗУк (X), то можно единственным образом
продолжить и до линейной формы на Со (X), для которой усло-
условие B.1.2) остается справедливым при всех <р^-С0(К) и неко-
некоторой постоянной С.
Доказательство. Из теоремы 1.3.2 следует, что для всякой функ-
функции ф е Со (X) мы можем найти последовательность функций
Ф^,еС™(Х) с носителями в некоторой фиксированной компакт-
компактной окрестности К носителя ф, такую что
B.1.5) У sup |да(Ф-ф,) |-»0, v^oo.
Таким образом, мы должны положить ы(ф)= lim u(q>v). Этот
предел существует, поскольку из B.1.5) следует ввиду B.1.2),
что при v, \i-*- оо
|и(ф,) —u(q>,»)l = l«(q>v — ФцI <С S зир|(9а(ф?-фA)|-> 0.
I о |< ft
То, что предел не зависит от выбора последовательности, сразу
получается, если перемешать две рассматриваемые последова-
последовательности. Применяя B.1.2) к фу и устремляя.v к оо, заключаем,
что B.1.2) справедливо для всех Ф^С* с носителем во вну-
внутренности К, чем теорема и доказана.
Так как меры могут быть определены как линейные формы
на С®(Х), удовлетворяющие условию непрерывности B.1.2) при
k = 0, то мы тем самым отождествили S)'°(X) с пространством
всех мер на X. Если какую-либо интегрируемую функцию f
отождествить сперва с мерой fdx, как это принято в теории
интегрирования, а затем меру fdx отождествить с соответствую-
соответствующим распределением, результат, очевидно, будет такой же, как
и в случае, когда мы непосредственно отождествляем / с распре-
распределением.
Положительное распределение — всегда мера:

54 2. Определение и основные свойства распределений
2.1. Основные определения 55
Теорема 2.1.7. Если распределение и на X таково, что
для всех неотрицательных феСо™ (X), то и — положительная
мера.
Доказательство. Нам надо показать, что и является распреде-
распределением порядка 0. С этой целью заметим, что для любого ком-
компактного множества К cz X теорема 1.4.1 дает нам функцию
% е Со° (X), удовлетворяющую условиям 0 ^ х ^ 1 и х = 1 на К.
Ясно, что
||>0
для всякой вещественнозначной функции ф е Со" (К)- По пред-
предположению отсюда следует, что
или, эквивалентно, что
B.1.6) |
Применив это неравенство к функции Re е'\, где 6 — веществен-
вещественное число, и подобрав 8 так, чтобы eidu(q>) было вещественным,
получим B.1.6) также и для комплекснозначных ф; значит,
)/0
Очевидно, что ?Ь'(Х) является векторным пространством с
естественно определенными операциями сложения и умножения
на комплексные числа:
Ф«=СГ(Х), и,-е=2У(Х), а7е=С.
Мы будем всегда наделять 3)'(Х) слабой топологией (назы-
(называемой также «-слабой (или слабой*) топологией), т. е. топо-
топологией, определяемой семейством полунорм
где ф — произвольный фиксированный элемент из С" (X). Таким
образом, Ui^-u означает, что
для всех феСо°(Х). Время от времени мы будем использовать
следующее свойство полноты пространства З)'(Х):
Теорема 2.1.8. Пусть и/ — последовательность в 3)'(Х). Если
предел
существует для каждой функции феСо°(X), то uef (X). Та-
Таким образом, Uj-*-u в <?>'(X) при /-»-оо. Далее, соотношение
B.1.2) выполняется для всех и,- с постоянными С и k, не зави-
зависящими от /, и «/(ф/)—*- «(ф), если Ф/->Ф в С™ (X).
Доказательство. Для всякого компактного подмножества К в X
пространство Со" (К) является пространством Фреше с тополо-
топологией, задаваемой полунормами
(Полнота пространства С~ (К) в этой топологии вытекает из
теоремы 1.1.5.) Для-каждого из распределений и,- выполняется
соотношение B.1.2) (с постоянными С и k, априори зависящими
от /), поэтому ограничение ы; на Со (К) представляет собой
непрерывную линейную форму на С" (К)- Из B.1.7) следует,
что при каждой фиксированной функции у^Со'(К) последова-
последовательность и/(ф) ограничена. Следовательно, в силу принципа
равномерной ограниченности (теорема Банаха — Штейнгауза),
соотношение B.1.2) выполняется для всех щ с постоянными С
и k, не зависящими от /. Устремляя / к оо, получаем, что B.1.2)
справедливо для предельного распределения и. Если ф/ -*¦ ц> в
Со' (X), то supp ф/ с: К для некоторого компактного подмноже-
подмножества К в X и всех /. Значит, в силу равномерности B.1.2),
и/(ф/~ ф)-*, чем и доказано, что И/(ф/)—*и(ф).
Ввиду критерия сходимости Коши для ,С, существование пре-
предела B.1.7) означает в точности, что и/(ф) — ы/г(ф)-»-0 при
Д ^-»-сх). Следовательно, эквивалентная формулировка теоремы
2.1.8 состоит в том, что всякая последовательность и, в ЗУ(Х),
такая что U/ — Uk-*-0 при /, k-*-oo, должна иметь некоторый
предел и в 3)'(Х).
Теорема 2.1.9. Если щ^2)'(Х), щ ^ 0 и и,^-и в 2>'{Х), то
и ^ 0 и U/-+U в слабой топологии пространства мер, т. е.
д всех ФеС°(Х).
B.1.7)
и (ф) = lim и, (ф)
/
Доказательство. То, что и ^ 0, очевидно, и теорема 2.1.7 пока-
показывает, что щ и и — меры. Кроме того, из доказательства тео-
теоремы 2.1.7 вытекает, что для каждого компакта /СсгХ справед-
справедлива равномерная оценка
|«/(ф)|<Ск5ир|ф|, феС»(Ю, V/.
Отсюда следует, что соотношение ы;-(ф)-»-м(ф), выполненное для
феС(Д остается справедливым для всех ф из замыкания F
множества С™ (К) в Со (К)- В силу теоремы 1.3.2, F содержит

56 2. Определение и основные свойства распределений
2.1. Основные определения 57
все непрерывные функции с носителями, лежащими во внутрен-
внутренности К, что и доказывает теорему.
Дадим теперь ряд простых примеров, показывающих, что
означает сходимость распределений в различных конкретных
случаях. Эти примеры иллюстрируют также тот факт (мы дока-
докажем его в гл. 4), что всякое распределение есть предел некото-
некоторой последовательности функций из Со-
Пример 2.1.10. Пусть о е Со°° (R"), Положим ие (х) = e~nv (х/е).
Тогда
«е (ф) — \ e~*v Ше) q>(x)dx = \v (х) ф (ex) dx -^ ф @) \ v (x) dx
при е->0
для всех 9gC"(R"). (Ср. с теоремой 1.3.2.) ¦
Пример 2.1.11. Пусть w еСГ(R*)- Предположим, что
\ xaw(x)dx = 0 при \a\<k, и положим ue(x) = e-n~kw{xje).
Тогда для всех феС™ (R")
~k
ие (Ф) = J ф (ех) в~kw (x) dx =
+ О (вЛ w (x) dx-> ? d\@)^xaw(x)dx/a\ при е->0.
/ |O|-Jt
Пример 2.1.12. Если tit(x) = tNeitx, jteR, где N — натуральное
число, то
щ (ф) = J tNeiixy (х) dx = i
=
(x) dx = ...
Пример 2.1.13. Если ut\x) = teitx, x > 0, и м*(х) = 0, x s^ 0, то
ut (ф) = J te"> (x) dx = гФ @) +
о о
oo
= up @) - ф' @)/t — J e"V (x)
0
для всех феС0°°(К).
' (х) dx
^ -> /ф @) при < -> oo
Пример 2.1.14. Пусть ut(x) = tllkeitxk, jteR, где ^ — целое
число > 1. Чтобы найти предел щ при /—> сх>, рассмотрим сна-
сначала функцию
В случае х > 0 заменим интегрирование по отрезку веществен-
вещественной оси интегрированием по отрезку прямой argz — n/2k и со-
соответствующей круговой дуге, на которой, как легко видеть,
Imzft ^ c|z|ft-' Imz, где с > 0. В результате получим
F(х)
Следовательно,
при х->оо.
Fix)-
DO
\ e~ykdy для четных /fe,
о
— e~nii2k \ e~"* rfу для нечетных
при х-+ — оо.
Далее, для фе=СГ(Кп)
Щ (Ф) = J <'V (x/1/ft) Ф (х) dx = -
Ф' (хуах
— F(— оо))ф@) При
Здесь
2 cos (л/2/г) \ е~** dy при нечетных k,
о
оо
С g-ifi fiy при четных fe,
так что множитель при ф@) отличен от нуля. (Используя
гамма-функцию, которая будет определена ниже в § 3.2, по-
последний интеграл можно записать в виде Г(A+ &)/&).) Отме-
Отметим различие со случаем k = 1.

58 2. Определение и основные свойства распределений
2.2. Локализация
Если ycXcR" и ие2)'A), то можно сузить (ограничить) и
до распределения uy на У, положив
Наша следующая цель — доказать тот менее тривиальный факт,
что распределение однозначно определяется своими ограниче-
ограничениями на множества из данного открытого покрытия:
Теорема 2.2.1. Если аей)'(Х) и каждая точка из X обладает
окрестностью, ограничение на которую распределения и равно О,
то и = 0.
Доказательство. Пусть феС™(X). Для всякой точки хе supp<p
можно найти открытую окрестность УсгХ, такую что ограни-
ограничение а на У равно 0. По лемме Бореля — Лебега можно вы-
выбрать конечное число таких открытых множеств У/ сг X, покры-
покрывающее supp ф. Но по теореме 1.4.4 функция ф допускает тогда
представление ф=?ф/, гДе Ф/^со°(У/)- Имеем ы(фу)==0,
откуда и следует, что и (ф) = ? и (фу) = 0.
Ввиду теоремы 2.2.1 естественно обобщить определение 1.2.2
следующим образом:
Определение 2.2.2. Для ие2У(Х) носитель распределения и,
обозначаемый через supp и, — это множество всех точек из X,
у которых не существует ни одной открытой окрестности, огра-
ограничение на которую распределения и равно 0.
Таким образом, X\supp и представляет собой открытое мно-
множество, состоящее из всех точек, обладающих окрестностями, на
которых и равняется нулю, так что и равно 0 на всем Jt\suppu
по теореме 2.2.1 и .X\supp и содержит всякое открытое множе-
множество, на котором и равно 0. Итак,
<2.2.1) и(ф)=»0, если и<=?>'(Х), ф<=СГ(Х)
и supp ufl supp ф= 0.
С понятием носителя тесно связано понятие носителя сингу-
сингулярности (или сингулярного носителя):
Определение 2.2.3. Для ие2)'A) носитель сингулярности рас-
распределения и, обозначаемый через sing supp и, — это множество
всех точек из X, у которых нет ни одной открытой окрестности,
ограничение на которую распределения и является С°°-функ-
цией.
2.2. Локализация 59
Поскольку каждая точка из X\singsupp« обладает окрест-
окрестностью, на которой и представляет собой С00-функцию, из тео-
теоремы 2.2.1 следует, что ограничение и на X\singsuppu явля-
является С°°-функцией. Ни для какого большего, чем A\singsuppu,
открытого множества это уже не верно.
Теперь дополним теорему 2.2.1 теоремой существования:.
Теорема 2.2.4. Пусть Xi, ie/, — произвольное семейство откры-
открытых множеств в R". Положим X = (JX,-. Если Ui^S)'(Xi) и
щ = U/ «a Xi П X/ для всех i, } е /, то существует одно и только
одно распределение ае^)'(Х), такое что ш есть ограничение
и на Xi для всякого L
Доказательство. Утверждение о единственности — это в точности
теорема 2.2.1, и утверждение о существовании по существу вы-
вытекает из того же самого доказательства. Для распределения и
с требуемыми свойствами мы должны иметь
B.2.2) и(ф) = ? щ(фг), если Ф=?ф<, ф< е С™ (Х(),
причем число слагаемых в последней сумме конечно. По тео-
теореме 1.4.4 каждую функцию феС"(Х) можно записать в виде
такой суммы, и мы покажем, что ? tit (ф^) не зависит от выбора
такого представления. Это будет доказано, если мы покажем,
что ? ф* = 0 влечет ? и{ (фг) = 0. Положим К = U supp ф,; это —
компактное подмножество в X. Опираясь на теорему 1.4.5, вы-
выберем функции tyk^C™(Xk), такие что ?^=1 на К, при-
причем число слагаемых конечно. Ясно, что Ф^Ф,- s С™ (Xk f) Xi); по-
поэтому
Следовательно,
= 1.-1.«*(ф*Ф*) =
После того как доказано, что формула B.2.2) однозначно
определяет линейную форму на С" (X), надо показать, что эта
форма обладает свойством непрерывности, требуемым от рас-
распределений. Возьмем произвольное компактное множество
К <=¦ X и, как и выше, выберем функции $k e С<Г (¦*&)' такие
что ?,i|>ft = 1 на К, причем число слагаемых конечно. Если
феС"(/С), то мы имеем ф = ?фф*, где фф6 еС"(Xk), поэтому
B.2.2) дает
и (ф) = Z Щ (ф-ф&).
Поскольку каждое из и* удовлетворяет условию B.1.2) и макси-
максимум модуля производных произведения ф"фл можно оценить

60 2. Определение и основные свойства распределений
2.3. Распределения с компактным носителем 61
через максимум модуля производных функции ф, мы заключаем,
что
sup|dacp|,
чем и завершается доказательство. Между прочим, оно показы-
показывает, что если ш е ЯЬ'к для всех I, тонне ЗЬ'к.
Замечание. Из проведенного доказательства вытекает, что если
«ve2)'(I), v = l, 2, ..., и для каждого i последовательность
ограничений wv на X,- имеет предел щ ^ &>'(Xt), то и сама по-
последовательность uv имеет предел в 3)'(Х). Действительно, при-
применив B.2.2) к каждому uv, мы найдем, что иу(ф) имеет предел
"(ф). удовлетворяющий условию B.2.2). Непрерывность и сле-
следует из второй части доказательства или же из теоремы 2.1.8.
Для ие/,{ос(Х) форма
и (ф) = \ ыф dx,
очевидно, имеет смысл при всех ф е С°°(Х), таких что
B.2.3) supp и f) supp ф <Ш X.
(Запись А ш X означает, что А компактно и содержится в X.)
Докажем теперь, что таким образом можно расширить область
определения любого распределения.
Теорема 2.2.5. Пусть «efjX) и F — относительно замкнутое
подмножество в X, содержащее supp и. Существует одна и толь-
только одна линейная форма й на {ф; феС°°(Х), F(] эиррф <g= X},
такая что
(i) м(ф) = и(ф), если феС„мA),
(И) й(ф) = 0, если феС°°(Х) и /7Лзиррф=0.
Область определения й будет, конечно, наибольшей в слу-
случае, когда F = supp и, но утверждение о единственности понадо-
понадобится нам и в случае других множеств / .
Доказательство, а) Единственность. Пусть феС"(X) и Ff|
йиррф = /С — компакт в X. По теореме 1.4.1 можно найти функ-
функцию i|> = С™ (X), такую что г|) = 1 в некоторой окрестности К-
Тогда ф = фо ~f" Фь где фо = 'фф^Со (X), а ф1=A—Ф)ф> так
что F П supp ф1 = 0. Используя (i) и (ii), получаем
б (ф) = й (ф0) + и (ф,) = и (ф0),
чем единственность й и доказана.
Ь) Существование. Как мы видели в а), каждую функцию
феСоо(Х), для которой пересечение ^П^РРФ компактно,
можно записать в виде Ф=фо+фь где фоеС"(Х) и Пррф!
= 0. Если ф = Фо "Ь ф[ — другое такое разложение, то X = Фо —
<р; е= Со°° (X) и Fflsuppx = .Fnsupp^1 — ф[) = 0, а потому, в
силу B.2.1), 0 = и (эс) — и (ф0) — и (ф^ Следовательно, формула
Л(ф) = и(фо) однозначно определяет линейную форму п, кото-
которая, очевидно, обладает всеми требуемыми свойствами.
Начиная с этого места будем писать и(ф) вместо ы(ф) и тем
самым считать, что и(ф) определено для всех ые^)'(Х) и
всех феС°°(Х), удовлетворяющих условию B.2.3). Ввиду сим-
симметричности этого условия мы будем иногда писать <ы, ф>
вместо и(ф).
2.3. Распределения с компактным носителем
Как мы видели, если ае2)'(Х) имеет компактный носитель, то
.м(ф) можно определить для всех it>eC°°(I). Пусть i|)eC"(X)
и ф = 1 в некоторой окрестности носителя и. Тогда
и (Ф) = и (фр) + «(A - +) Ф) ==«(Фф). феС00 (X).
Поэтому в силу B.1.2)
<2.3.1) |и(ф)|<С Е sup i <9> |, фбЕС°°(Х),
|o|<ft К
где К — носитель ф, а С, k — постоянные. Обратно, предполо-
предположим, что линейная форма v на С°°(Х) такова, что для некото-
некоторых постоянных С и k и некоторого компактного множества
LczX
<2.3.2)
о(ф)|<С
|
Тогда ограничение формы v на С~(Х) будет распределением и
с носителем, содержащимся в L. Поскольку из B.3.2) следует,
что v (ф) = 0, если L П supp ф = 0, то мы заключаем на основа-
основании теоремы 2.2.5, что и(ф)=м(ф) для всех феС°°(Х). Итак,
доказана
Теорема 2.3.1. Множество всех распределений на X с компактным
носителем совпадает с пространством, двойственным к простран-
пространству С00 (X), наделенному топологией, задаваемой полунормами
Ф-> ? sup | ааф |,
|о|<* К
где К пробегает множество всех компактных подмножеств в X,
a k — множество всех целых чисел ^ 0.

62 2. Определение и основные свойства распределений
Для пространства С°° (X), снабженного этой топологией,
Л. Шварц использовал обозначение &(Х). Соответственно про-
пространство всех распределений с компактным носителем на X
обозначается через &"(Х). Из доказательства теоремы 2.3.1 вы-
вытекает, что &' (X) отождествимо с множеством всех распределе-
распределений из <§"(Rn), у которых носители содержатся в X. По-
Поэтому мы можем применять символ &"(А) и в случае, когда
А — произвольное подмножество в R", для обозначения множе-
множества всех распределений из $"(Rrt), у которых носители содер-
содержатся в А. Далее, положим &"t{A)—&'(A){\2>"t(Rn).
Наименьшее k, которое годится в B.3.1), равно, конечно,
порядку распределения и. В качестве К можно взять любую
окрестность носителя и, но, как правило, не-сам этот носитель.
Пример 2.3.2. Пусть К — компактное множество в R", не пред-
ставимое в виде объединения конечного числа компактных связ-
связных множеств. Тогда найдется распределение и^&"(К) по-
порядка 1, для которого условие B.3.1) не выполняется ни при
каких С и k. Действительно, из сделанного предположения вы-
вытекает, что можно найти последовательность попарно непересе-
непересекающихся непустых компактных подмножеств /С/ в К, такую что
множество /Г\ (К\ U • ¦ • U Ki) компактно для любого /. Выбе-
Выберем x,^Kj, и пусть JCo — предельная точка последовательности
{xj}. Положим
и (ф) = ? rttj (ф (*,) — ф (*„))>
где nt/ — положительные числа, такие что
Такая последовательность т/ существует, поскольку liminf|x/—
xq I = 0. Ясно, что
|и(ф)Юир|ф'|;
следовательно, и — распределение. С другой стороны, допустив,
что для и выполнено B.3.1), и выбрав функцию ф еС°°, равную
1 в некоторой окрестности множества Ki U • • • U Kj и 0 вблизи
K\(Ki U ... UК/), а значит, и в Хо, мы получим
что приводит при / -*¦ оо к противоречию.
Хотя B.3.1), вообще говоря, и не верно при К = supp и, тем
не менее можно доказать, что левая часть этого неравенства
должна равняться нулю, если равна нулю правая:
2.3. Распределения с компактным носителем 63
Теорема 2.3.3. Пусть ией1' — распределение порядка ^ k,
B.3.3) <Эаф(ж) = 0 при |аЮ и JcesuppM.
Тогда ы(ф) = 0.
Напомним, что м(ф) было определено нами в теореме 2.1.6
для всех феС?, и, как и в теореме 2.2.5, имеется единственное
продолжение и на все феС, для которого ы(ф) = 0, если
supp и П supp ф == 0. Ясно, что оценка B.3.1) остается справед-
справедливой для всех <р s С*, если в качестве К взята произвольная
окрестность носителя и.
Доказательство. В силу теоремы 1.4.1 и сделанных после ее до-
доказательства замечаний можно выбрать функцию Хе^С",
такую что Хе = 1 в некоторой окрестности носителя и, Хе = 0
вне множества
Ме — {у; | х — у К е для некоторого х е supp м}
и
Поскольку suppM и supp(l —Хе)ф не пересекаются, то
U (ф) = U (фХе) + U (ф A — ;
откуда, используя B.3.1), получаем
е|а1-*8ир|<Э°ф|.
|o|+TP
?
м.
Для того чтобы установить, что правая часть стремится к 0
вместе с е, нам надо доказать, что
<2.3.4)
Мг
при
Ввиду определения множества Ме, для каждого у е М^ мож-
можно подобрать xssuppu так, чтобы |*—г/|^е. Это дает
B.3.4) для случая |а|==&, так как производная дац> равномерно
непрерывна и равна нулю на suppu. В случае |а|<& в силу
формулы Тейлора имеем для у е Ме
поскольку производные от ф порядка < k обращаются в нуль
в точке х. Выполняя дифференцирование, получим сумму

64 2. Определение и основные свойства распределений
2.3. Распределения с компактным носителем 65
членов, содержащих множители (у— х)&, \$\ = k—[сх], и част-
частные производные от ф порядка k, чем B.3.4) и доказано.
Важным следствием теоремы 2.3.3 является
Теорема 2.3.4. Всякое распределение и порядка k, носителем
которого служит одноточечное множество {у}, имеет вид
ы(Ф)= ? аад\(у), Ф
1а|<*
B.3.5)
Доказательство. Разлагая ф в ряд Тейлора
|o|<*
имеем да^(у) = О при |а|^&, а значит, ы(г|з) = О по теореме
2.3.3. Отсюда следует B.3.5) с аа = и(( — у)а/а1) (здесь •
обозначает переменную).
Между прочим, теорема 2.3.4 объясняет, почему пределы в
примерах 2.1.10, 2.1.11, 2.1.13 и 2.1.14 имели вид B.3.5).
Имеется аналог теоремы 2.3.4 для случая, когда точка за-
заменяется на подпространство, но доказательство в этом случае
сложнее:
Теорема 2.3.5. Пусть х==(х',х") — разбиение переменных в R" на
две группы. Всякое распределение и на R" порядка k с компакт-
компактным носителем, содержащимся в плоскости ¦ х' = 0, имеет вид
B.3.6) . "(ф)= ^И«(ф«).
где иа — распределение от х"-переменных порядка k — | а | с
компактным носителем, а =(а', 0) и
Доказательство. Пусть ф е С°°. Запишем разложение Тейлора
по х'-переменным:
Ф(*)= ? д°ф@. х")х'а/а\ + Ф(х).
|'|<fc »0
Поскольку д<хФ (х) = 0 при х1 = 0 и | a | ^ k, то и (Ф) = 0. Таким
образом, ы(ф) имеет вид B.3.6) с
иа (¦) = » (¦(*") *'%0-
Не очевидно лишь то, что иа—распределение порядка k — |a|,
а не «полного» порядка k. Чтобы доказать это, заметим, что
Иа(Ф) = м(ф) для всех феС°°, таких что
B.3.7) Ф(д:) = 11з(л:")л:/а/а! + О(|л:/|6+1) при ^->О.
lYl<ft К.
Следовательно,
Последовательно применяя следствие 1.3.4 к каждой из х'-пере-
х'-переменных по отдельности, получим, что для любой функции ¦ф е
C*-i«i можно найти функцию ф е С*, удовлетворяющую условию
B.3.7). Доказательство следствия 1.3.4 показывает, что для вся-
всякой функции i|>eC°° можно найти функцию феС°°, такую что
для любого данного компактного множества К a R"
ipk*-|oi
'0 >
чем и завершается доказательство.
Для полноты рассмотрим в заключение один метод продол-
продолжения функций, более общий, чем даваемый следствием 1.3.4, и
приведем получаемые с его помощью результаты, касающиеся
структуры распределений с заданным носителем.
Для всякой функции не Ck(Rn) обозначим ее тейлоров мно-
многочлен порядка k в точке у через Uk(x,y) или, короче, через
и(х,у):
и(х,у)= Z даи(у)(х-у)а/а\.
Остаточный член будем обозначать через R(x, у), так что и(х)
= и(х, y)-\-R(x, у). Отметим, что производная
daxR(x, у) = даи(х)-
I
определяется значениями производных от и лишь в точках х
и у. В силу формулы Тейлора частное |д"/?(я, у)\1\х — у\
непрерывно на R" X R"» если на диагонали определить его как 0.
Теорема 2.3.6 (теорема продолжения Уитни). Пусть К—ком-
К—компактное множество в R" и иа, |<х|^&, — непрерывные функции
на К- Положим для | а \ ^ k
II (г п\= '¦ /«ч ^ '¦ t,.\t~ .,\P/ailiv .. |lnl-*
KJa \A> У)
при х, у е К и хФу, Uа {х, х) = 0 при х е К. Если все функции
Uа, | а | ^ k, непрерывны на К У. К, то можно найти функцию
i/eC'JR"), такую что dav(x) = ua(x) при х^К, \a\s^Lk. При
этом v можно выбрать так, чтобы
B.3.8) Г sup.|dao|<C( E 'sup?/a+
|aT<fe V|a|<ft KXK
где постоянная С зависит лишь от К.
5 Зак. 821

66 2. Определение и основные свойства распределений
2.3. Распределения с компактным носителем 67
Выше мы уже убедились в необходимости указанного в тео-
теореме условия. Доказательство достаточности опирается на сле-
следующую лемму:
Лемма 2.3.7. Существует разбиение единицы 1 = 2 Ф/ «а
такое что ни одна точка не принадлежит носителям более чем
N функций ф/, диаметр носителя ф/ не превосходит удвоенного
расстояния от этого носителя до К и
B.3.9) Id^W
где d(x)— расстояние от х до К.
Доказательство. Это — частный случай теоремы 1.4.10 с метри-
метрикой, выбранной, как в примере 1.4.8 при F = К.
Доказательство теоремы 2.3.6. Выберем для каждого / точку
уу^К, находящуюся на минимальном расстоянии от suppq>/.
Обозначим через и(х, у) ожидаемый тейлоров многочлен для v
в точке у ^ К-
и{х,у)= Е иа(у)(х-у)а!а\
|о|<6
И ПОЛОЖИМ
с(*) = ZФ/(*)«(*> У/)> хфК; v(x) = uo(x), x^K-
Для каждого х выберем точку х* е К, для которой \х — х* | =
d{x). Если х лежит в носителе функции <р/, то расстояние от
виррф,- до К не превосходит d(x), а диаметр этого носителя не
превосходит Id (х); поэтому | х — «/; | ^ 3d {х) и | х* — у, \ ^ Ad (x).
Мы утверждаем, что для произвольной точки у из К
B.3.10) \v(x)-u(x, y)\ = o(\x-y\k)
равномерно по у. В случае х^ К. это следует из непрерывности
Uo(x,y). В противном случае воспользуемся тем фактом, что
\v(x)-u(x, #) К ? Ф/(*) I«(*. yt) — u(x, у)\.
Здесь \х — yj\s^3d{x)s^2>\x — у\, если ф/(д:)=^0. При |y|^&
имеем
B.3.11) \дЦи(х, уд-Щх, у2))\
= o((\x-yi\ + \yi-y2\)k-^[), yu у2е=К,
поскольку d\(u{x, t/i) — u(x, у2)) есть многочлен по х степени
ft-|Yl и
, yi)-u(x, y2))xmyi\
При y = 0 соотношение B.3.11) дает B.3.10); общий случай по-
понадобится нам позднее.
Из B.3.10) вытекает, что функция v непрерывна, а в случае
k~^\, что она и дифференцируема во всякой точке у^ К, с про-
производной dxu(x, у) \х=у. Для х ф. К и k > 0 получаем дифферен-
дифференцированием
B.3.12) d4v (х) = Е djv, (x) u (х, у,) + ? Ф/ (*) дчи (х, у,). '
Положим иv (я) = Z Ф/М dv« (*, #/). хфК, и vv (x) = ыОу (х),
х е К, где av = @, ..., 1,0, ...) (единица на v-м месте). Пусть
наше утверждение уже доказано для k, замененного на k—1.
Тогда vv e Ck~l. Если мы докажем, что первая сумма в B.3.12)
и ее производные порядка ^й— 1 стремятся к 0 при х-*-К, то
отсюда будет вытекать ввиду следствия 1.1.2 (точнее, его обоб-
обобщения на случай п переменных), что производная dvv непре-
непрерывна, а фактически принадлежит классу С*-1, и что dav = ua
на К, | ос | ^ k.
Для х ф К мы имеем при |(J| + |yI^? и Р=^=0
? д\ (х) д%1 (х, у,) = Z д%, (х) д! (и (х, у,) -и(х, х%
так как ?дРФ/(•*) = () при р Ф 0. Учитывая, что \х — #/|^
, получаем из B.3.11) и B.3.9)
чем и доказано утверждение о первой сумме в B.3.12).
Последняя оценка и тривиальная оценка для
Еф;(х)д"«(*> У;)
дают, если принять во внимание и константы,
У \dav(x)\^C(l + d(x)f( ?' supf/a+ E sup |ц, Г).
Если теперь опустить в определении функции v те члены, для
которых supp ф/ находится от К на расстоянии >1, то мы н(е
изменим v в области, где d{x) < 1, но сделаем v(x) = Q там, где
d(x) > 3, так что будет выполняться B.3.8).
Следствие 2.3.8. Для всякого распределения и порядка k с ком-
компактным носителем К справедлива оценка
B.3.13) |и(ф)КС
(laf
I sup \дач>(х)
X ФУ
131
+ ?
I4
)
ф(
5*

68 2. Определение и основные свойства распределений
2.3. Распределения с компактным носителем 69
Доказательство. Применив теорему-2.3.6 с иа = да(р\к, мы полу-
получим функцию v, для которой u(v— <р) = 0, в силу теоремы 2.3.3.
Следовательно,
1ИК ?
Jot К
и потому B.3.13) вытекает из B.3.8).
Пример 2.3.2 показывает, что первую сумму в правой части
B.3.13) нельзя опустить, если К не является конечным объеди-
объединением компактных связных множеств. Из теоремы Банаха мы
знаем также, что для того, чтобы всякая линейная форма, не-
непрерывная относительно полунормы в правой части B.3.13),
была непрерывна относительно полунормы У\ sup|da<p|, необ-
|a|«ft К
ходимо и достаточно, чтобы первая сумма в этой правой части
оценивалась через вторую. Одно необходимое условие для этого
дает следующая
Теорема 2.3.9. Пусть К— компактное связное множество в R".
Предположим, что оно удовлетворяет условию
B.3.14) sup
|
х ф у
sup|dal>|,
1 К
Тогда существует постоянная С, такая что любые две точки
х, у е К можно соединить в К спрямляемой кривой длины
С'\\
Доказательство. Фиксируем две точки х0, уо ^ К. Рассмотрим
какую-нибудь связную открытую окрестность X множества К и
обозначим через d(y) точную нижнюю грань длин ломаных, сое-
соединяющих хо с у и лежащих в X. Положим u(y) = mm(d(y),
d(y0)). Ясно, что и(хо) — О, u(yo) = d{yo) и
B.3.15) \и(х)-и(у)\^\х-у\, если [х,у]<=Х.
Определим ыф, как в теореме 1.3.2, взяв в качестве <р функцию
со столь малым носителем, чтобы свертка ыф была определена
в некоторой окрестности множества К- Ввиду B.3.15)
в некоторой окрестности компакта К, если |* — у\ достаточно
мало; следовательно, | д,-ыф | ^ 1 на К. При ¦§ = щ получаем из
B.3.14)
I «ф (*о) — "ф (Уо) КI *о — Уо IС (d (у0) + п);
Полагая supp(p^-»-{0}, заключаем, что
При \х0 — уо\<: 1/2С отсюда следует, что d(yo) ^ 2пС\х0 — уо\.'
Для всякого е > 0 множество
Кг = {х\ \х — у\<г при некотором у^К]
является связной окрестностью К, поскольку К связно. Следова-
Следовательно, это множество содержит ломаную длины <2nC|jc0 —
#о|+е, соединяющую х0 с уо. Представляя ее в параметриче-
параметрическом виде как функцию длины вдоль ломаной, мы получим при
е-*0 некоторую кривую длины ^2пС|а:о — уо\, соединяющую х0
с уо и лежащую в К, при условии что |дс0 — Уо\ ^ 1/2С. Так как
К компактно и связно, это доказывает теорему.
Условия, указанные в примере 2.3.2 и теореме 2.3.9, являются
также и достаточными:
Теорема 2.3.10. Пусть К — компактное множество в R" с конеч-
конечным числом связных компонент, такое что любые две точки х,у
из одной и той же компоненты можно соединить в К спрямляв'
мой кривой длины ^.С\х — у\. Тогда для всякого распределе-
распределения и порядка k с supp и с: К справедлива оценка
B.3.16) |»(ф)|<С X sup|da<p|, <peECft(R").
|a|«ft К
Доказательство. Пусть s->-x(s) — кривая в К с х@) = у, пара-
параметризованная длиной s. Тогда для функции
Fa (s) =
= д°Ф (х (s)) - У, , да+% (у) (х (s) -
выполняется неравенство
B.3.17) ftH
У sup 1 (?ЭФ 1, |
I рТ=* ^
При |a| = /fe это очевидно. Если |a|</fe и'B.3.17) уже дока-
доказано для более высоких порядков производных, то мы заклю-
заключаем, что
sup|A|.
к
B.3.17)' д\(х)-
I э \"
Поскольку Fa@) = 0, получаем B.3.17) с С, замененным на Сп.
Если обозначить через d(x,y) нижнюю грань длин кривых в К,
соединяющих у с х, то B.3.17) дает
ада+\(у)(х-у)&/$\\
<Cd(x, yf
При d(x,y)
B.3.17)'.
C\x — y\ оценка B.3.16) следует из B.3.13) и

70 2. Определение н основные свойства распределений
Примечания 71
Теорема 2.3.11. Пусть К — компактное множество в R" с конеч-
конечным числом связных компонент, причем любые две его точки х,
у, лежащие в одной компоненте, можно соединить спрямляемой
кривой в К, длина которой не превосходит С\х — y\v, у ^ 1.
Тогда для всякого распределения и порядка k с supp и а К и
любого целого числа т, такого что my ^ k, справедлива оценка
B.3.18) |и(ф)|<С Е sup|A>|, феС™.
Доказательство. Используем оценки B.3.13) и B.3.17)' с k, за-
замененным на т, учитывая, что
|а|)<|д: — у\к |а| при \х — у\<\
овлетворяющие условиям
иногда называют регулярными в смысле Уитни.
\х-У?
(поскольку у ^ 1).
Множества, удовлетворяющие условиям теоремы 2.3.11,
Примечания
Как отмечалось во введении, используемое здесь определение
распределения принадлежит Шварцу (Schwartz [1]). Одно из
его достоинств в том, что оно подсказывает естественный способ
доказательства теорем существования для дифференциальных
уравнений, основанный на теории двойственности (теорема
Хана — Банаха). Развивая сходные идеи, Соболев [1] еще
раньше продвинулся весьма далеко вперед по пути к построению
теории распределений.
Другие пространства пробных функций приводят к другим
пространствам распределений. В гл. 7 мы определим простран-
пространство 9", промежуточное между <lf'(Rn) и 3)'(Rn), используя
в качестве пространства пробных функций некоторое подпро-
подпространство & в С°°(РП), выделяемое определенными глобальными
условиями. В роли пространства пробных функций, приводящего
к пространству распределений со свойствами, аналогичными
свойствам распределений Шварца, может выступать любой не-
квазианалитический класс функций. Такая теория была развита
Бёрлингом (Beurling [1]; см. также Bjorck [1]). В качестве
пробных функций можно использовать и квазианалитические
классы функций, но вопросы локализации становятся в таком
случае гораздо более трудными. В гл. 9 мы рассмотрим типич-
типичный случай — класс вещественно аналитических функций. Даже
и пространства целых аналитических функций могут оказаться
пригодными в качестве пространств пробных функций для спе-
специальных целей (см. Гельфанд, Шилов [1]), но тут мы уже до-
довольно далеко уходим от интуитивного понятия обобщенной
функции.
Топология в Со" (X), задаваемая полунормами в правой
части B.1.3), является индуктивным пределом топологий в
Со"(К), когда компактное множество К, возрастая, стремится к
X, и, значит, представляет собой 2?&~-топологию (см. Dieudonne,
Schwartz [1]). Мы избегали этой терминологии, чтобы не по-
поощрять распространенное одно время заблуждение, что знаком-
знакомство с теорией ^^"-пространств необходимо для понимания
теории распределений. Удобная явная форма полунорм, данная
в B.1.3), заимствована у Гординга и Лионса (Garding, Lions
[1]); она время от времени будет существенным образом ис-
использоваться в дальнейшем изложении (см., например, § 10.7).
Проблема оценки ы(ф) через значения функции ф и ее про-
производных на одном лишь носителе и была исследована в трак-
трактате Schwartz [1], где даны пример 2.3.2 и теоремы 2.3.10,
2.3.11, лишь в чуть ином виде. Следствие 2.3.8 и теорема 2.3.9
были доказаны в статье Glaeser [1] (см. также Hormander
[5]). Ключевой пункт здесь — это, конечно, теорема продолже-
продолжения Уитни 2.3& (Whitney [1]). Результаты Уитни в действи-
действительности сильнее и покрывают также случай продолжения
С°°-функций. В этом случае продолженная функция v уже не за-
зависит линейно от исходных данных иа. Линейное продолжение
С^-функций с полупространства на всё пространство было по-
построено Сили (Seeley [2]).

3.1. Определения и примеры 73
Дифференцирование
и умножение на функции
Краткое содержание главы
Наш интерес к теории распределений в значительной мере объ-
объясняется теми ограничениями, которые связаны с классическим
понятием дифференцируемое™. В этой главе мы убедимся, что
дифференцирование распределений, действительно, всегда воз-
возможно. Кроме того, мы обсудим вопрос об умножении распре-
распределений. Эта операция определена уже не всегда, если только не
предполагать один из сомножителей гладким.
Операции дифференцирования распределений и умножения
их на гладкую функцию определяются в § 3.1. Для примера рас-
рассмотрен вопрос о дифференцировании функций с простыми раз-
разрывами; эти рассмотрения приводят нас к формуле Гаусса —
Грина и к интегральной формуле Крши. В качестве приложе-
приложения последней мы, несколько отвлекаясь от основной темы, об-
обсуждаем вопрос об обобщенных граничных значениях (гранич-
(граничных значениях в смысле теории распределений) аналитических
функций. В порядке дальнейшей иллюстрации операций умно-
умножения и дифференцирования распределений в § 3.2 довольно
подробно обсуждаются однородные. распределения. В § 3.3
строятся фундаментальные решения для некоторых классиче-
классических дифференциальных операторов второго порядка. В заклю-
заключительном § 3.4 собраны вычисления ряда интегралов, в част-
частности гауссовых интегралов, используемых в этих построе-
построениях.
3.1. Определения и примеры
Если и — непрерывная функция, для которой частная производ-
производная дки всюду определена и непрерывна, то, как легко полу-
получается интегрированием по частям,
(dku) ф dx = — ^ udk<f> dx, <р е= Со°° (X)
(ср. с обсуждением слабых производных во введении). Если
/ — непрерывная функция, то
J (/и) Ф dx = J и (/Ф) dx, Ф е СГ (X),
где fq>— снова пробная функция, в случае когда /еС°°. По-
Поэтому следующее определение — обобщение классического:
Определение 3.1.1. Для всякого распределения и^З)'(Х) пола-
полагаем
C.1.1)
и для всякой функции / е С°°(Х) полагаем
C.1.2) (
Очевидно, что формулы C.1.1) и C.1.2) задают распределе-
распределения dkU и/ис носителем, содержащимся в supp и, и что отобра-
отображения u-*-dku и u-**fu непрерывны.
Замечания. 1) Утверждение о единственности из теоремы 2.2.5
(с F = suppu) показывает, что C.1.1) и C.1.2) верны для всех
Ф е С°°(Х), удовлетворяющих условию supp и Л виррф Ш X.
2) Произведение fu определено для всех и, f^3)'(X), таких
что
C.1.3)
sing supp и П sing supp f = 0.
Действительно, X можно покрыть открытыми подмножествами
У, для каждого из которых u^C°°(Y) или /еС°°(У), так что
наше произведение определяется на У по формуле C.1.2), если
/еС°°(У), и по формуле
если u^C°°(Y). В случае когда как /, так и и принадлежат
C°°(Y), оба эти определения совпадают с определением поточеч-
поточечного произведения uf; поэтому мы имеем однозначно определен-
определенное произведение (/«)ге^'(К). Его ограничением на Z с: У
будет, конечно, {fu)z- Согласно теореме о локализации 2.2.4,
отсюда следует, что существует единственное распределение
fu<^*E)'(X), ограничение которого на У равно (fu)r для каж-
каждого У.
3) Если/еСЧЛ"), и(=2)'(Х) и
C.1.3)'
то в соответствии с определениями, данными в конце § 2.2, мы
имеем

74 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 75
ибо «(/)= ы(ф/) = (/ы) (ф) = (/ы) A) для всякой функции
(f^Co'(X), равной 1 вблизи suppuf)suPPf- Ввиду предыдущего
замечания мы можем поэтому, используя эту формулу, распро-
распространить определение <ы,/> на все и, f^?Df(X), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям C.1.3) и C.1.3)'.
4) Из теоремы 2.1.6 следует, что формула C.1.2) задает рас-
распределение fu^3>'k{X), если |еС'A) и ие=2>'к(Х). Преды-
Предыдущие замечания применимы, конечно, и к этому случаю, но
формулировки здесь более громоздки.
Как и для гладких функций, для распределений можно ме-
менять порядок взятия производных:
djdku = dkd;ii, и^ЗУ (X).
В самом деле, согласно данному определению, для любой функ-
функции ф е Со° (X)
(djdku) (ф) = — (dku) (<Э/ф) = и (dkdj4) = и (дДф) = (дкд,и) (ф).
Поэтому мы можем использовать обозначение даи для частных
производных от распределений точно так же, как и в случае
функций. Повторное применение соотношения C.1.1) дает
C.1.1)' (д°ы)(ф) = (-1)|а|и(даф), ?eC"U).
Для распределений сохраняет силу обычное правило дифферен-
дифференцирования произведения
C.1.4) dk (fu) = (dkf)u + f(dku); fe=C°°(X), и*=Ф'(Х);
действительно, написанное равенство означает, что
- " (fdk<p) = и Ш) Ф) - и (дк (/Ф)), Ф е= Со (X),
а это так, поскольку dk(fcp) = (dkf)(p +
Пример 3.1.2. Функция Н на R, задаваемая правилом Н(х)=1
при х> 0, Н(х) = 0 при х ^ 0, называется функцией Хевисайда.
Ее производная в смысле распределений по определению равна
Мера Дирака Ьа в точке oeR" определяется формулой
другими словами, это единичная масса, сосредоточенная в точке
а. В этих обозначениях Н' = бо. Производные от меры Дирака
равны
поэтому теорема 2.3.4 означает, что единственными распределе-
распределениями с носителем в точке а являются линейные комбинации
меры Дирака ба и ее производных.
Теорема 3.1.3. Пусть и — функция на открытом множестве
A'cR, принадлежащая С](Х\{д:о}) для некоторого хо^Х.
Если функция v, равная и' при х Ф х0, интегрируема в некоторой
окрестности х0, то пределы
ы(*0±0)= lim u(x)
Х-*-Ха±0
существуют и
Доказательства. Если х0 < у и интервал [х0, у] содержится в X,
то
у
u(x) = u(y)-\v(t)dt, xo<x<y,
х
откуда видно, что существует и (хо + 0). Аналогично, существует
и и(хо — 0). Имеем
и' (Ф) = - и (Ф') = lim (- \ и (х) Ф' (х) dx
= lim Лг(*0-т-е)ф(*0+е)—и(х0—е)ср(х0—г)+ \ v \х) ф (х) dx
<1
для ф е Со° (X). Тем самым теорема доказана.
Заметим, что, поскольку и' — v = 0 на Х\{д:о}, то, очевидно,
разность и' — v должна быть распределением с носителем в хо,
а значит, должна представлять собой линейную комбинацию
меры Дирака 6*0 и ее производных. Это дает качественное объ-
объяснение вида производной и'.
Теорема 3.1.3 показывает, что при поточечном дифференци-
дифференцировании можно потерять существенную информацию в точках
разрыва. При дифференцировании в смысле распределений этого
уже не происходит:
Теорема 3.1.4. Пусть и^З)'(Х), где X — открытый интервал ве-
вещественной прямой R. Если и' =0, то и — константа.
Доказательство. Равенство и' = 0 означает, что

76 3. Дифференцирование и умножение на функции
Для всякой функции ф е Со° (X) уравнение <р' = ф имеет един-
единственное решение
равное нулю слева от носителя -ф. Оно принадлежит С
тогда и только тогда, когда оно равно нулю и справа от этого
носителя, т. е. когда интеграл
/(¦)= \
равен 0. Следовательно, ы(ф) = 0, если /(ф) = 0, откуда следует,
что ы(\|)) = С/(-ф) при некоторой постоянной С. Действительно,
выберем какую-нибудь функцию т|зоеСо°(Х) с 7(г|зо)= 1. Тогда
интеграл от ф — 7(г|зI|зо будет равен 0, а потому
0 = и (ф - / (ф) Фо) = и (Ф) - / (Ф) и (Фо).
Значит, м = С = и(фо), как и утверждалось.
Следствие 3.1.5. ?слы и^З)'(Х), где X <=:R, и
где аеС°°(Х), го и
классическом смысле.
С1(Х). Таким образом, u'
= f в
Доказательство. Предположим сперва, что а — 0. Поскольку /
имеет первообразную ?еС'(Х) и (и — о)' = и' — v' = f — f = 0,
из теоремы 3.1.4 следует, что ы — v = С, а значит, веС1, В слу-
случае произвольного л пусть ? — какое-нибудь нигде не обращаю-
обращающееся в нуль решение уравнения Е' = Еа; можно взять
Е = exp \ a dx, так что Е е С°°. Имеем
—¦ (Еи) = Еи' + E'u=zE(u' + au) = EfeBC,
поэтому ?веС', а следовательно, «еС,
Это следствие остается справедливым, и если и ==(ыь ..., и*)
и f = (fi, ..., /ft) имеют по k компонент, а а — произвольная
k X ^-матрица С°°-функций. Надо только в предыдущем доказа-
доказательстве взять в качестве Е какую-нибудь обратимую k X /fe-мат-
рицу, удовлетворяющую уравнению Е' = Еа. Так как обыкно-
обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков сводят-
сводятся к системам уравнений первого порядка, мы можем теперь
получить
3.1. Определенна и примеры 77
Следствие 3.1.6. Пусть и «= З)'(Х), X с= R. Если
где коэффициенты а,- е С°° (X), то меС (X), га/с что написан-
написанное уравнение выполняется в классическом смысле.
Доказательство. Полагая и,- = uu~l), I ^j ^ m, получаем си-
систему уравнений
В силу сделанного выше замечания по поводу следствия 3.1.5,
щ е С1 (Ху Следовательно, и е Ст.
Перейдем теперь к случаю нескольких переменных. Сначала
докажем аналог теоремы 3.1.4.
Теорема 3.1.4'. Пусть и е 2D' (Y X I), где Y —открытое множе-
множество в R" и I — открытый интервал в R. Если дпи = 0, то
и (Ф) = \ «о (ф (¦ > хп)) dxn, ф е Со (УХ /),
где uo^&>'(Y). Таким образом, и представляет собой распреде-
распределение ы0 °т хг = (х\, ..., хп-\), не зависящее от хп.
Доказательство. Выберем ф0 еС0°°(/) с \ г^ (t) dt=\ и положим
Очевидно, что щ^&'{У). Если для феСом(УХ/) положить
(/Ф)(л:')=$Ф(*'. xn)dxn,
то точно так же, как в доказательстве теоремы 3.1.4, мы имеем
где ФеСП^Х^ Следовательно,
и (<р) = и ((/фH) = «о (/ф) = \ "о (ф (•. хп)) dxn;
последнее равенство вытекает из теоремы 2.1.3, примененной к
Теперь докажем один слабый, но полезный аналог след-
следствия 3.1.5.

78 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 79
Теорема 3.1.7. Пусть и и f — непрерывные функции на Ха R".
Если dju = f в смысле теории распределений, то д,и(х) суще-
существует во всякой точке х е X и равняется f(x).
Доказательство. Можно считать, что / = п и Х=УХ/, как
в теореме 3.1.4', ибо наше утверждение локально. Пусть Т —
фиксированная точка в /. Положим
хп
»(*)=5 fix', t)dt.
т
Тогда дп(и — v)=f — f = 0 в смысле теории распределений; по-
поэтому из теоремы 3.1.4' и ее доказательства вытекает, что
и(х)—v(х) = ы0{х')у где ы0 — некоторая непрерывная функция.
Поскольку функция v (х) + «о (хг) поточечно дифференцируема
по хп с производной f, теорема доказана.
Обобщим теперь пример 3.1.2, продифференцировав характе-
характеристическую функцию открытого множества в R" с С1-грани-
С1-границей.
Определение 3.1.8. Пусть У с: X — открытые множества в R".
Говорят, что У имеет С'-границу в X, если для каждой гранич-
граничной точки Хо е X множества У можно найти С'-функцию р, опре-
определенную в некоторой окрестности Хо точки Хо, такую что
PUo) = O» dp(jco)^=O, Y{]X0 = {x^X0; p(x)<0}.
Используя разбиение единицы, легко показать, что в этом
случае существует функция реС1 (X), такая что р = 0, dp Ф О
на границе dY множества У в X и У Л X = {х е X; р(д:)<0}.
Мы предоставляем читателю доказать этот факт в качестве
упражнения. В данный момент для нас важнее заметить, что
если, скажем, др/дХ\Ф0 в х0, то С'-отображение
(*i хп)->(р(х), х2 хп)
в некоторой окрестности точки хо имеет обратное, также класса
С1. Отсюда следует, что условие р = 0 равносильно условию
х\ = г|з(а:'), где феС1 и х' = (х2, ..., хп). Если dp/dxi S 0в д;0,
то множество У определяется неравенством х\ ^ ^>{х') в некото-
некоторой окрестности Х'о точки х0.
Рассмотрим характеристическую функцию Ху множества У.
Ясно, что djXy имеет носитель, лежащий в dY. Чтобы вычислить
д/Ху в Х'о, заметим, что если функция ЛеС™ равна нулю в ин-
интервале (—оо,0) и единице в интервале A,оо), а множество
У (}Х'О определяется неравенством х\ > iH*'), то
В Хо
как поточечно, так и в смысле теории распределений; поэтому
в последнем смысле
д,хУ = lira v/tf ((дс, - ф (*О)/е)/в,
8»0
где v = (l, —d^ldx'). Таким образом, для у^С
(д,Ху, Ф> = Ига \ v,h' ((*, - t (x'))/e) в~\ (х) dx
(а:/). x')dx'
(ср. с теоремой 1.3.2). Учитывая, что евклидов элемент поверх-
поверхности dS на dY имеет вид A +\$'\2)mdx', a v/(l +1г|/12)'/2 = п
есть единичный вектор внутренней нормали к dY, заключаем, что
C.1.5) djXy^njdS
в Х'о, а значит, и во всем X.
Если f=(f\, ..., fn) — векторное поле с компонентами из
С(Г(Х), то из C.1.5) следует, что
div / dx = (ху, 2 д/fi) = - ? <^/Xy, f,) = ~ J </, n) dS.
dY
dY
Формула
C.1.6)
\di\fdx = - J</, n)dS
Y dY
называется формулой Гаусса — Грина. В силу теоремы 1.3.2 она
верна для всех / е С? (X). Легко проверить, что фактически фор-
формула C.1.6) верна для всех непрерывных / с компактным носи-
носителем в X, у которых дивергенция div /, определенная в смысле
теории распределений, оказывается принадлежащей Ll(Y). Од-
Однако мы оставим и это как упражнение читателю. Формулы
C.1.5) и C.1.6) совершенно равносильны, поэтому если бы мы
предположили формулу C.1.6) известной, то можно было бы
дать чуть более короткое доказательство формулы C.1.5).
Теорема 3.1.9. Пусть У czX — открытые подмножества в R", та-
такие что У имеет ^-границу dY в X, и пусть и е СЦХ). Если Ху
обозначает характеристическую функцию множества У, dS —
евклидова поверхностная мера на dY и п — единичный вектор
внутренней нормали к этой границе, то
C.1.7) di(uxY) = (dtu)xY + unjdS.
Доказательство. Для и^С°°(Х) равенство C.1.7) следует из
C.1.5) и C.1.4). Всякая функция й^Со(Х) является по

80 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 81
теореме 1.3.2 пределом некоторой последовательности функций
из Со" (X), сходящейся в Со (X); поэтому формула C.1.7) справед-
справедлива для всех таких и, а значит, и в указанном в теореме об-
общем случае, поскольку эта формула имеет локальный характер.
Наше доказательство формулы C.1.5) сохраняет силу и для
случая, когда функция г|з липшицева; только нормаль п будет
в этом случае определена не всюду, а почти всюду относительно
меры dS. Отсюда следует, в частности, что формула C.1.6) при-
применима к кубам, — факт, который совершенно элементарно про-
проверяется и непосредственно. Этот факт полезен при доказатель-
доказательстве следующего результата.
Теорема 3.1.10. Пусть Р = ^О/(х)д, + Ь{х), где a, s С1 и
Ъ е С0, — линейный дифференциальный оператор с частными
производными первого порядка в X с: R". Если функция и диф-
дифференцируема в каждой точке множества X и существует не-
непрерывная функция /, такая что Ри(х) = f(x) для всех х^Х,
то Ри = f в смысле теории распределений.
Доказательство. Пусть (pGC0°°U). Нам надо доказать, что
и (frp - ? д, Цф)) dx = J /ф dx.
Для произвольного куба / со сторонами, параллельными осям
координат, положим
( )x+ $«(a,/l)q>rfS,
/ di
где п — внутренняя единичная нормаль, а (а,п) — евклидово
скалярное произведение. В силу C.1.6), Fu{I) = 0, если be С1 '>.
Для произвольной и мы сначала покажем лишь, что
C.1.8) lim F(l)/m(I) = 0
Ха^ I, m(/)->0
при всяком фиксированном хо е X. С этой целью обозначим че-
через v тейлорово приближение первого порядка к и в х0, так что
v (х) — и (х) = о (| х — хо |). Тогда
= J (/ - Pv) 4>dx +$(«-»)(? д, (а,Ф) - 6Ф) dx
i i
(u — v)(a, n)q>dS,
di
'> div (ка<р) равна подынтегральному выражению в интеграле по / в фор-
формуле, определяющей f(/). —Яриж. первв.
где Fv определено, как Fu, но только с f, замененным на Pv.
Ясно, что
/ {х) — Pv {х) ->¦ 0 при х^>х0, sup|M — v\ = o(s(I)),
где s(I) — длина ребра куба /. Тем самым C.1.8) доказано.
Из C.1.8) следует, что F(I) = 0 для всех /. В самом деле,
отправляясь от произвольного куба /о, мы можем разбить его
на 2" кубов со сторонами вдвое меньшей длины, и по крайней
мере для одного из этих кубов 1\ должно выполняться нера-
неравенство
\F(I{)\>\F{h)\l2n,
поскольку функция F(I) аддитивна, т. е. F(Io) равняется сумме
F(I\), где 1\ пробегает все малые кубы. Таким образом мы мо-
можем найти стягивающуюся последовательность кубов // с
m(I,+i)= m(Ij)/2n, такую что
IF(/о) |/т(/о)<| F(/,) |/т(/,) < | F (/2) !/m(fs)< ....
У всех этих кубов имеется общая точка х0, поэтому предел
выписанных выше отношений равен 0, согласно D.1.8). Следо-
Следовательно, /?(/о) = О. Выбирая /0 настолько большим, чтобы
supp ф с= /о, получаем требуемое равенство. Теорема доказана.
Доказательство предыдущей теоремы построено по образцу
классического доказательства того факта, что если и — диффе-
дифференцируемая функция на Ха С =iR2 и du пропорционально dz
в каждой точке, то и — аналитическая функция. Записывая
г = х + iy, мы имеем для всякой дифференцируемой функции v
на С.
dv = dv/дх dx + dv/ду dy = dv/dz dz + dv/dz dz,
где
д/dz = 1 (д/дх - фу), djdz = | (д/дх + id/dy).
Условие на и состоит, следовательно, в требовании, чтобы
ди/дг = 0 в каждой точке; как было выше показано, отсюда
следует, что du/dz — Q в смысле теории распределений. В § 4.4
мы увидим, что такие распределения являются аналитическими
функциями в обычном смысле и, в частности, принадлежат
классу С°°. Тем не менее уже сейчас мы сделаем ряд дальней-
дальнейших замечаний об аналитических функциях и операторе д/dz.
Прежде всего отметим тот факт, что если Y а X с: С — от-
открытые множества, такие что У имеет С'-границу в X, то
C.1.9) 2 J дфг dxdy = — i <j yd (x + iy), ф <= С» (X),
У dY
6 Зак. 821

82 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 83
где С'-кривая дУ ориентирована так, "чтобы множество У распо-
располагалось слева от нее. Для доказательства этого факта заме-
заметим, что если s — длина дуги на дУ, то (dx/ds, dy/ds) есть еди-
единичный касательный вектор к 6Y, а (—dy/ds, dx/ds) —единич-
—единичная внутренняя нормаль. Взяв /=(q>, iy) в C.1.6), получим,
следовательно,
2 \ d<f/dz dxdy = — \ (— ф dy/ds + «р dx/ds) ds
Y dY
dY
= — i ^ ф (dx + i dy).
dY
Формулу C.1.9) можно записать также в виде
C.1.10) (дХу/dz, <р) = -1
dY
Пусть ?е У. Применим к функции y(x,y)/(z— ?) формулу
C.1.9) с У, замененным на Y\De, где ЬЕ — круг радиуса е с
центром в ?, причем е мало. Получим
dy{x,y)ldz{z-i)-'dxdy
dY
дп„
где кривая <9Z)E ориентирована как граница йг, а не У\/)е. Мы
повсюду пишем z = х + iy. Так как
5
-2Г1Л = ФB) \ (z-®-ldz + O(z),
dD
Б
то, устремляя е к 0, приходим к интегральной формуле Коша
C.1.11)
+ BяО"' \ Ф (х, у) (z - S) dz, ф е Cj (J), S s У.
ar
(Заметим, что функция (*, */)->-(jc + iy — ?)-' локально инте-
интегрируема.) В частности, при У = X криволинейный интеграл
отсутствует и C.1.11) означает, что для функции Ei(x,y)==
я-1 B — ?)-'
C.1.12)
В свою очередь полная формула C.1.11) следует из C.1.12) и
C.1.10), поскольку
ввиду C.1.4) и принципов локализации, изложенных в § 2.2, ибо
в каждой точке хотя бы один из сомножителей гладок.
Теперь обсудим вопрос о существовании для аналитических
функций граничных значений в смысле теории распределений.
Теорема 3.1.11. Пусть I — открытый интервал в R и
Z = {ze=C; Re2e=/, 0<Im2<v>
— его «односторонняя комплексная окрестность-». Если f — ана-
аналитическая функция в Z, такая что для некоторого неотрица-
неотрицательного целого N
при у-^+0, т. е.
то f(- +iy) имеет предел
Доказательство. В случае N >0 выберем какое-нибудь zq e= Z и
рассмотрим интеграл
Z
2GZ,
взятый вдоль некоторого пути в Z. Этот интеграл задает анали-
аналитическую функцию, не зависящую от выбора пути, F'(z) = f(z),
и, выбирая путь из точки zq в точку z идущим сначала горизон-
горизонтально, а затем вертикально, мы получим (если интервал / огра-
ограничен, как это можно предположить)
l-
Cloglmz + C,
при
при
N>\,
JV=1.
В случае N = I отсюда сразу следует, что интеграл от F непре-
непрерывен в Z, поскольку log/ — интегрируемая функция от t вбли-
вблизи 0. В общем случае мы заключаем после JV+ 1 интегрирова-
интегрирований, что f(z)= G<"+1)(z), где функция G непрерывна в Z и ана-
литична в Z. Это показывает, что
Hm f(-+iy)= lim
iy)/dxN+1 = d"+iG(-)/dxtf+l
чем теорема и доказана.
6*

84 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 85
Другое доказательство, дающее полезную формулу для f0,
проводится следующим образом. Положим для q>^Co+l(/)
ф(*. у)= Е
Это JV-я частичная сумма для тейлорова разложения по у, ко-
которым бы обладало аналитическое продолжение ф, если бы оно
существовало. Ясно, что Ф(х, 0) = ц>(х) и
2 дФ/dz = (д/дх + idjdy) Ф = ф<"+]> (х) (iy)"/N\.
Зафиксируем Y, удовлетворяющее условию 0<У<7- Если
0 < # < у— Y> то в СИЛУ формулы C.1.9), примененной к
Ф()П + 1)
0<Iraz<y
где dk — мера Лебега в С. Записывая z = x-\-itY, 0 < t < 1,
получаем
C.1.13)
f (x + «У + /
(ЛГ+1) (jc) (iYf+1tN
(jc) (iYf+1tN/Nl dx di.
Подынтегральное выражение в двойном интеграле допускает
равномерную оценку при «/-»- -\-0, поэтому
1
+ J J f (ж + UY) <р("+1)(х) (iYf+i tNlN\ dx dt при у -> + 0.
о
Мы часто будем использовать символ /(* + Ю) для обозна-
обозначения только что определенного обобщенного предела. Анало-
Аналогично будем записывать как f(x — ДО) такой же предел со сто-
стороны нижней полуплоскости.
Теорема 3.1.12. Пусть I — открытый интервал в R м
Z± = {z^C; Rez^I, 0< ±Imz<v}-
Если f — аналитическая функция в Z = Z+\J Z~, такая что
|f(z)|<C|Imzr\ ге2,
то повторный интеграл
C.1.14) F(<p)*
существует • и определяет распределение из 2t)'N (Z U I), для ко-
которого
C.1.15) (dF/dz, Ф> = у(/(-+Ю)-/(- -tO), Ф(., 0)),
При этом F = f в Z.
Доказательство. Первое доказательство теоремы 3.1.11 показы-
показывает, что F = GW,rRe\G(z)\^C'log(C'/\z\), а значит, G<=Ll.
Интегрирование по частям дает
F (Ф) = (-1)* J J G (х + iy) д»<р (х, уудх" dx dy, Ф е С» (Z U /),
чем доказано первое утверждение теоремы. Если ф е C^+1 (Z U
/), то
(dF/dz, ф> = - (F, 5ф/5г) = lim U f (jc + /г/) dq> (x, y)/dz dx dy
, -e)dx)
чем доказано C.1.15).
Пример 3.1.13. В силу C.1.15),
(х + и) — (х — ЮУ[ = - 2я/б0,
поскольку d(l/z)/dz = nb0, о согласно C.1.12). Здесь б0, о — мера
Дирака в С, сосредоточенная в точке 0.
В случае когда /(• +Ю) = /(- — ДО), мы имеем dF/dz = 0.
Как уже говорилось, мы покажем в § 4.4, что отсюда следует,
что распределение F задается аналитической функцией. Таким
образом, f является ограничением на Z некоторой аналитиче-
аналитической функции в Z U / тогда и только тогда, когда оба эти пре-
предела совпадают.
Предположения теоремы 3.1.11 нельзя существенно ослабить:

86 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.1. Определения и примеры 87
Теорема 3.1.14. Если функция f аналитична в прямоугольнике Z,
определенном в теореме 3.1.11, и lim f{--\-iy) существует в
2t>'k (I), то для любого интервала J i
l/fzJKCdmzr', z^Z',
где Z' — произведение J и, скажем, интервала @, у/2).
Доказательство. Выберем функцию феСо°(К2)> которая равна 1
вблизи Z' и носитель которой лежит в {z; Re z e /, | Im z\ < у}.
Пусть ? = g + гт) е 2'. В силу интегральной формулы Коши,
примененной к функции /ф и множеству {z; Imz > Im 5/2},
= - я-'
f(x + iy) d<p (x, y)jdz (z - ?)"' dx dy
+ Bш)-' J Ф(х, л/2) U -1 - Щ/2У1 f (x + г'л/2) dx.
Из предположения теоремы вытекает наличие равномерной по
О < у < у/2 оценки, выражающей принадлежность распределе-
распределений f(- -fit/) к 2H)'k, поэтому последний интеграл оценивается
величиной
С, Z sup | dS (ф (jc, л/2) (jc — Е — /л/2)
)
I Ti
Г*
Двойной же интеграл просто ограничен по т\. Тем самым тео-
теорема доказана.
Теорема 3.1.11 имеет аналог для аналитических функций не-
нескольких переменных:
Теорема 3.1.15. Пусть X — открытое множество в Rn, Г — откры-
открытый выпуклый конус в Rn и для некоторого у > О
Z = {z 6= С"; Re z e= X, Im z <= Г, | Im z |< у).
Если f — аналитическая функция в Z, такая что
C.1.16) |f(z)|<C|Imzrff. 2GZ,
то /(• -fit/) ыжеег «ре<Эел fu^2)'N+l(X) при Т^у-+0. Если
fo = 0, то f = 0.
Доказательство. Выберем и зафиксируем УеГ с |У|<7-
Можно считать, что 0 ф. Г, поскольку в противном случае утвер-
утверждение теоремы тривиально; поэтому мы можем подобрать С,
такое что
Действительно, достаточно проверить это для t = \, а в этом
случае надо просто заметить, что —УфТ, ибо иначе точка О
принадлежала бы Г. Положим теперь для ф е Co+i (X)
C.1.18) Ф(х,у)= ? д\(х) (iy)a/al
Тогда при j/еГи М + |У|< Y
C.1.19) \<p(x)f(x + iy)dx=\<$(x, Y)f(x + iy + iY)dx
+ (N+\) 5J f(x + iy + itY) ? d\(x)(iY)afa\(ffdxdt.
Действительно, эта формула, очевидно, инвариантна относи-
относительно линейных замен переменных, поэтому можно предполо-
предположить, что точка У лежит на положительной полуоси х\. А тогда
формула C.1.19) получается применением формулы C.1.13) при
фиксированных х2 хп с последующим интегрированием по
этим переменным. В силу C.1.16) и C.1.17), tN\f(x+ iy -\-
itY) | ^ С, так что подынтегральное выражение в двойном
интеграле имеет интегрируемую мажоранту. Следовательно,
f(- -\-iy) сходится в 5)'"+1 к /9, где
C.1.20) (f0, ф) = J Ф (х, Y) f (x + IY) dx
fix + OY) ^ d\(x)(iY)a/altffdxdt.
o<t<i
Предположим теперь, что /0 = 0. Возьмем t/еГ, фёС
и образуем
F (w) = 5 ф (х) f (х + wy) dx — 5 ф (х — Re wy) f(x + i Im wy) dx.
C.1.17)
при 1/еГ
> 0.
Это аналитическая функция от w при 0-<1тау|г/|<;у и
| Re ну j \у\ < d, где d — расстояние от supp ф до дХ. Поскольку
fo = 0, то F и все ее производные стремятся к 0, когда Im w -*¦ 0.
Следовательно, F остается аналитической и при j Re w\ \y\ < d,
если при Im w < 0 положить F = 0. Ввиду единственности ана-
аналитического продолжения отсюда следует, что F — 0 тожде-
тождественно. Значит, / = 0 в Z, чем и завершается доказательство.
Замечание. Если /о = 0 на некотором непустом открытом под-
подмножестве Хо в X, то мы по-прежнему получаем, что f(z) — O
для всех точек zeZ, у которых Rez^X0. Следовательно.
/ = Ов2и/о = Ов1,в случае когда X связно.

88 3. Дифференцирование и умножение на функции
В заключение докажем аналог теоремы 3.1.4 для операции
умножения.
Теорема 3.1.16. Если и<=2)'(Х) и Xjti = O, / = 1 п, то
и = сб0, где с — некоторая постоянная.
Доказательство. Очевидно, что носитель и — в 0. Всякую функ-
функцию ф е С°°(Х) можно по теореме 1.1.9 записать в виде
откуда
и (Ф) = Ф @) и A) + Е (х,и, Ф/> = сФ @). .
3.2. Однородные распределения
Для всякого комплексного числа а с Rea>—1 функция х+
на R, заданная формулой
ха при х > 0,
0 при х<0,
локально интегрируема и потому определяет распределение.
(Мы считаем log* вещественным при х > 0, и этим ха одно-
однозначно определяется для х > 0.) Ясно, что
C.2.1) хха=х«+1 при Rea> —1,
при Rea>0.
и по теореме 3.1.3
C.2.2) -^
Мы хотим распространить определение х^_ как распределения
на все йеС так, чтобы по возможности сохранялись указан-
указанные свойства. То, что некоторые отклонения от этих свойств все
же неизбежны, видно из того, что при а = 0 левая часть C.2.2)
равна H'(x)=8q (пример 3.1.2), правая же должна равняться0.
Для феС0°°(Р) функция
а->/а(ф) = (*«, Ф>=5 xa(f(x)dx
о
аналитична при Re а > —1, поскольку ее дифференциал равен
оо
da [ ха log xq> (x) dx.
о
Далее, C.2.2) означает, что
C.2.2/ /д(ф0=-й/д_1(ф) при Rea>0, <pe=Co(R),
3.2. Однородные распределения 89
поэтому при Re а > —1 и любом целом А > 0
C.2.3) /в(ф) = (— l)ft/a+*tow)/((a+ 1) ... (а + А)).
Правая часть аналитична в полуплоскости Re а > —А — 1 всюду,
кроме точек —1, —2, ..., —А, где она имеет простые полюсы.
Таким образом, если а не является отрицательным целым чис-
числом, то мы можем определить /а(ф) с помощью аналитического
продолжения по а, или, эквивалентно, с помощью C.2.3) при
любом А>—1 — Re а. Ввиду C.2.3), так полученное 1а будет
распределением порядка ^А. Обозначим его снова через *+.
В полюсе а — —А вычет функции а-»-/а(ф) равен
lim (a-
при
так что
C.2.4) (a-\-k)xa+->(-l)k-lttok-"/(k-\)l
Вычитая из 1а (ф) сингулярную часть, получим при а + k =
е->-0
= (-If \ U8 - 1)ф<*>(ж)/((е + 1 - А) ... е)dx
о
+ ф(*-')@)A/((А-1-е)...A-е))-1/(А-1)!)/е
~>—\ (logx)<pW(x)dx/(k— 1)! + Ф(*~1)@)(? 1
о " V 1
Поэтому положим
оо
C.2.5) *;*(<р) = -$ (log*)Ф<*>(*)<**/(*-!)!
о
Соотношение C.2.1), или, что то же самое,
C.2.1)' (*+' *Ф) = (*++1» Ф>
сохраняет силу для всех ае С. Действительно, будучи верным
при Rea>—1, оно ввиду аналитичности продолжения верно
при всяком а, не являющемся отрицательным целым числом,
значения же обеих частей при а = —k получаются устремле-
устремлением а к —k после предварительного вычитания члена C/(a-{-k),
что должно дать одинаковый результат в обеих частях. Также

90 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.2. Однородные распределения 91
и C.2.2) сохраняет силу, если а не есть отрицательное целое
или 0. Если к — неотрицательное целое число, то, ввиду C.2.4),
lim (*
-Л— lim
fl-^-ft
= lim i
a-»-ft-l
(a-\
так что, опуская члены вида Сб<*>/(а + k), которые должны со-
сократиться, мы получаем
<3.2.2)'
Это легко получить и прямо из C.2.5) простым вычислением.
Изложенные выше рассуждения по существу принадлежат
Марцелю Риссу. Есть более старый способ определения распре-
распределения ха+, восходящий к Адамару и состоящий в том, что
сначала из области интегрирования выбрасывается некоторая
окрестность особой точки 0. А именно, образуем — теперь для
любого аеС —
оэ
На. г (ф) = \ A (X)dx, ф 6= Со°° (R).
е
Предположим, что а не является отрицательным целым числом,
и пусть k — наименьшее целое ^0, такое что & + Rea>—1.
Интегрируя по частям k раз и выражая ф'^е) через производ-
производные от ф в 0 с помощью формулы Тейлора, получим тождество
вида
оо
<3.2.6) На. г (Ф) = (-1 )* \ xa+k ф"> (
ft-1
Никаких других разложений вида
На. е(ф) = Во
где число членов в сумме конечно и Re^/^O, %,ф0, не суще-
существует. Действительно, справедлива
Лемма 3.2.1. Если Со, ..., Ск и Ki, ..., %k — различные комп-
комплексные числа, удовлетворяющие условиям Re Я-/ ^ 0 и "Kj Ф 0,
то соотношение
'0,
0,
влечёт Со = ... = Ck = 0.
Доказательство. Допустим сперва, что все %; чисто мнимые. За-
Заменим е на ге~( и устремим е к 0 по некоторой последователь-
последовательности, такой что в"*' имеет предел — обозначим его у/ — Для
каждого /". Тогда | у/1 = 1 и
для всех вещественных /, а значит, и для всех комплексных t.
Когда /-»-оо по мнимой оси, один из членов «подавит» осталь-
остальные, поэтому написанное выше равенство возможно, только если
все Cj = 0. В общем случае, когда max Re К,- = а > 0, имеем
следовательно, все коэффициенты здесь должны быть нулевыми,
чем и завершается доказательство.
Итак, согласно лемме 3.2.1, члены в разложении C.2.6) с
Rea + l + /^0 однозначно определены, поэтому будет закон-
законным отбросить эти сингулярные члены и определить конечную
часть интеграла
гх как
k))dx.
Это согласуется с нашим предыдущим определением (х+, ф^
по формуле C.2.3). В случае когда а — отрицательное целое,
a = —k, используется несколько иная процедура. В этом случае
i-k.. (Ф) = 7F=
7F=T)T
k-2
k-\
ft-2
Л/Ф</>@)е/+1-* - -JSSl-tfb-i) @) + о A)

92 3. Дифференцирование и умножение иа функции
3.2. Однородные распределения 93
Чтобы определить конечную часть, надо отбросить не только
линейные комбинации степеней е~х с Re А, ^ О, X Ф О, но также и
некоторое кратное loge. Такое отбрасывание (которое можно
оправдать при помощи соответствующего аналога леммы 3.2.1)
снова дает C.2.5). Однако понятие конечной части здесь более
тонкое: если заменить е, скажем, на 2е, то она изменится Щ
Функция х% однородна степени а при Rea>—1. Это озна-
означает, что для t > О
\(tx) tdx = ta (ха+,
где q>t(x) = tq>(tx). Аналитические продолжения обеих частей
должны совпадать, поэтому
<3.2.7)
, Ф) = f (ха+, Ф#) при Ф е= C0°°<R),
если а не является неотрицательным целым. Если же а = —k,
то, в силу C.2.5), ;
ОО
Г* {х~+\ Ф<> = - \ log *Ф<*> (lx) d (tx)/(k - 1)!
о
о
Следовательно,
<3.2.8) (*;\ Ф) = Г*<*;*, V/) + logV*-n@)/(A- 1)!,
так что однородность в этом случае частично утрачивается.
Помимо ха+ нам придется также использовать функцию
( 0 при х>0,
*~~ll*le при л: < О
{Rea>—1). Это — отражение функции х?+ относительно на-
начала координат:
(ха_, Ф) = (
ф), где ф(дс) = ф(—д
поэтому ясно, что все сказанное по поводу определения *°. при
произвольном комплексном а остается верным и для *!•
По теореме 3.1.11 функция га, определенная в C\R- как
ea\ogzt где Взята та ветвь log 2, которая вещественна при zeR+,
имеет на вещественной оси граничные значения (х ± ДО)" со
стороны верхней и нижней полуплоскостей соответственно. Ясно,
что при Re a > О
<3.2.9) (х ± 1-0)а = х% + е±я1аха_.
Но <(jf±iO)°, ф> для всякой пробной функции ф есть целая
аналитическая функция от а (как предел целых аналитических
функций). Следовательно, C.2.9) сохраняет силу для любого а,
не являющегося отрицательным целым. При а -»—к, где k — по-
положительное целое число, мы получаем, принимая во внимание
{3-2.4) и выкладки, предшествовавшие определению C.2.5),
х% -(-
а поскольку
при a->—k,
отсюда следует, что при а-*—k
_ l)|(fl+ k))
- 1)!
(-1)* X~k
1)* X~k.
В C.2.9) при а->-—k должно произойти сокращение сингуляр-
сингулярных членов, и мы приходим к равенству
Из этого равенства вытекает, в частности, что
<3.2.П) (jc + /0)-ft-(jc-/0)-fc *^
это согласуется с примером 3.1.13 (где k = l). Фактически ра-
равенство C.2.11) для произвольного k получается из того же ра-
равенства для k = 1 дифференцированием, ибо
<3.2.12) ~(x±i0)a = a(x±i0)a-K
Арифметическое среднее двух распределений C.2.10) иногда
обозначают через х~к, так что
<3.2.10)' x~k = ((x + i0)~
= х+к
(- l)fc Jtl*.
1) Это следует из соотношения log 2е = log 8 + log 2. — Прим. перев.
Из C.2.12) и того очевидного факта, что x(x±iO)a —
(х ± Ю) "+1, следует, что
d
dx — — .— —

94 3. Дифференцирование и умножение на функции
В силу C.2.5)
3.2. Однородные распределения 95
?"Чф) =
-ф) = -$ log
= - J (log\x\W(x)dx.
Следовательно,
C.2.13)
Поскольку <р(я) — ф(—х) = О(х) при х-+0, интегрирование по
частям дает, далее,
оэ
x-lD>)=\(<P(x)-<p(-x))dxlx = lim \ <p(x)dx/x.
— J е->0. ¦>
Последний предел, в котором «снимается» стягивающаяся к О
симметричная окрестность особой точки, называется интегралом
в смысле главного значения •>. Таким образом,
C.2.14) (х-1, ф) = 11
= PV\<p(x)dx/x, (p
Трудности, с которыми мы столкнулись при обсуждении
функции х^, когда а—отрицательное целое, связаны с наличием
множителя а в C.2.2). Их можно избежать, произведя некую
«перенормировку». Прежде всего заметим, что C.2.2)' прини-
принимает особенно простой вид, если <р' = —<р, т. е. q>(x) = e~x. Эта
функция не является функцией с компактным носителем, но она
так быстро убывает на +оо, что доказательство формулы
C.2.2)' сохраняет для нее силу. Положим
C.2.15)
r(a)==\jxa-le-xdx, Rea>0;
в наших прежних обозначениях это 1а-\{ег'). Равенство C.2.2)'
означает, что
C.2.16)
= аГ(а) при Rea>0.
Используя C.2.16), можно аналитически продолжить Г (а) до
мероморфной функции на С с простыми полюсами в целых чис-
числах г=:02>, н формула C.2.16) остается верной всюду вне этих
° По-английски principal value. Отсюда обозначение PV§-—Прим. перев,
2) Эта функция называется гамма-функцией. — Прим. перев.
полюсов. Вычет в полюсе —k ^ 0 равен
= lim Г(а+
... (а + k —
Игл
a-y-k
Разумеется, это просто C.2.4) с k -\- 1 вместо k, примененное к
е~х. В § 3.4 мы докажем, что
Г (а) Г A — а) == л/ sin (па).
Отсюда следует, что гамма-функция не имеет нулей, а потому
отношение ха+ к Г(а+ 1), обозначаемое через #}_:
<3.2.17) Х°=*°/Г(а+1), Rea>-1,
аналитично по а при Re a > — 1. Поскольку C.2.2)' в сочетании
-с C.2.16) дает
<3.2.2)"' %\ W) = -Х+~' (Ф)»
то ясно, что 0С+ можно аналитически продолжить на все йёС,
причем с?5с+/^* = ЗС+~1- Замечая, что %°+ = Н, получаем
<3.2.17)' X;* = 6<fe-1>> A=l, 2
Теперь перенесем некоторые из полученных результатов на
случай R". Прежде всего заметим, что если функция
ие L}oc(Rn \о) однородна степени а, т. е. u(tx)— Ри(х) при
0
<3.2.18)
= /"<«, <р#) при
t>0,
к обратно, из этого соотношения вытекает, что и однородна.
Если Re a > —п., то и интегрируема в некоторой окрестности О,
так как в полярных координатах (х—га, |<о|= 1) мы имеем
[ u<ra>) | = rRea | «(«в) |, dx = r"-1 dr da,
где dot — поверхностная мера на единичной сфере. В этом слу-
случае и задает распределение в R" и соотношение C.2.18) спра-
справедливо для всех ф е Со° (R")-
Определение 3.2.2. Распределение и в Rn\0 называется одно-
однородным степени а, если для него выполняется C.2.18). Если и
является распределением в R" и C.2.18) выполняется для всех
<р е С™ (Rn), то говорят, что и однородно степени а в R".
Проблема, которую мы сейчас хотим обсудить, — это про-
продолжение однородных распределений с Rra\0 на Rra; как мы

96 3. Дифференцирование и умножение иа функции
3.2. Однородные распределения 97
знаем из случая и= 1, такое продолжение не всегда возможно.
Прежде всего представим соотношение C.2.18) в другом виде.
Продифференцируем его по t, опираясь на теорему 2.1.3, и поло-
положим t = 1. Это даст
C.2.19) (а + п) (и, ф) + (и, ЯФ) = 0, Ф е Со°° (Rn \ О),
где Я = ^ Xjdj — радиальное векторное поле. Докажем, что из
C.2.19) вытекает, что
C.2.20) u(iJ>) = 0, если
и J r
о
a+n~
4(r*)dr=0;
поскольку последний интеграл — однородная функция от х сте-
степени —а — п, можно считать в этом интеграле |jc|=1. Импли-
Импликация C.2.19) =*-C.2.20) будет установлена, если мы покажем,
что уравнение
(а + п) ф + Яф = $
имеет решение феСо°(Н"\О). В полярных координатах это
уравнение запишется в виде
¦§р(га+п<р (гю)) =
+п-1
Поэтому то решение, которое равно нулю при малых г, будет
равно нулю и при всех достаточно больших г. Тем самым тре-
требуемая импликация доказана, а поскольку
п~' (ф(гх) - f+\(rtx)) dr = O, фЕСГ (R" \ 0),
мы видим, что соотношения C.2.18) — C.2.20) равносильны. За-
Замечая, что
(и, Яф)= ?<*/«> <fyp> = —Z (d/X/U, ф) = — {Хи, ф> — п(и, ф),
мы можем, далее, переписать C.2.19) в виде
C.2.19)' ки = аи
(тождество Эйлера для однородных «функций»). В частности,
применяя следствие 3.1.5, мы заключаем, что однородные рас-
распределения" в случае п = 1 —это просто кратные |*|а на каждой
полуоси. Ясно также, что если ф— однородная С°°-функция на
Rn\0 степени Ь, то фи однородно степени а -\- Ь. Так как
kdfU = djlu — djU = (a— l)dfu,
дифференцирование понижает степень однородности на единицу.
Теорема 3.2.3. Пусть и ^3)'(Rn\Q) однородно степени а. Если а
не является целым числом ^ —п, то и обладает единственным
продолжением и е 2)' (Rn), однородным степени а. Для всякого
однородного многочлена Р имеет место равенство (Ри)' — Рй; ес-
если аф 1 —п, то (d]U)' — d]u. Отображение
непрерывно.
Доказательство, а) Единственность. Разность двух однородных
продолжений есть распределение с носителем в 0 и, следова-
следовательно, представляет собой линейную комбинацию производных
от бо. Но д«бо однородно степени —п — |а|, поскольку
так что всякое однородное распределение с носителем в 0 обя-
обязательно является однородным целой степени ^я.
Ь) Существование. Если и — функция и <р е С" (Rn \ О), то
(и, ф) =
00
S \ -
О |w|=-rl
(©) ra+n~i ф (гса) dr d®.
Это наводит на мысль, что для произвольной функции ф
C"(R") стоит ввести
C.2.21) (Ra<P)(x)=*(ta++n-\ Ф(/*)>, O=^JteRn.
Из C.2.7) следует, что Rafp — однородная функция степени
—п — а. В силу теоремы 2.1.3, Ra есть непрерывное отображе-
отображение из Со° (К) в С°° (Rrt \ 0) для каждого компактного множе-
множества К с R".
Выберем и зафиксируем функцию -ф е С" (Rn \ 0), такую что
C.2.22)
Например, в качестве ty(x) можно взять функцию, зависящую
только от |*|, для которой C.2.22) выполняется для какого-
нибудь одного х. Тогда ф/?вф ^ С" (Rn \ 0) и
Ra
(X) = J t^-^ (tx) (Ra<p) (tx) dt
0
eo
= (Л.Ф) (x) J ¦ (tx) dt/t = (RaV) (x).
7 Зак. «21

98 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.2. Однородные распределения 99
Из C.2.20) вытекает поэтому, что u(tyRaop) при любых ф не
зависит от выбора ф и что u(i!pRa<f)= ы(ф) при ф е С<Г (Rn \ 0)_
Таким образом, формула
C.2.23)
(й, ф) =
определяет распределение « в R", являющееся продолжением и.
Отображение и^*-й, очевидно, непрерывно. Поскольку
(Reft)(х) = {Л+ "-', Лр Ш) = /п-1-(а+п-1)^ф (х) = raR& (x),
снова в силу C.2.7), то (й, <pt) = t~a ("> ф)> так что и однородно.
Наконец, заметим, что {Ри)' — Рй и (dtu)' — д/й суть одно-
однородные распределения степени ^ а + deg P и а — 1 соответствен-
соответственно, имеющие носитель в 0, а потому они должны равняться нулю
ввиду наших предположений. Тем самым доказательство тео-
теоремы завершено.
Формула C.2.23) определяет продолжение й распределения
и и в случае, когда а есть целое число —п — k =s^ —п, но в этом
случае продолжение может уже зависеть от выбора ф. Далее,
и может оказаться неоднородным. Действительно, в силу C.2.8),
= (r-k-K t\(trx))
ft-\ <p(r*))-log/ |тФ (
= ?+п (R-.n-k<V (x) - log (Фк (лг)),
где Ф* — однородная часть степени k тейлорова разложения для
ф. Следовательно,
C.2.24) <«, ф) = Г*-п(«, ф1> -flog / У <и, дс"ф>д»ф(ОУо!.
|аТ=*
Любое другое продолжение и имеет вид ?/ = «+ 2ипадаЬй, где
сумма распространяется на конечное число слагаемых. Замена
и на U не изменяет логарифмического члена в C.2.24), а приво-
приводит лишь к появлению нового члена
который будет равен нулю, если аа = 0 при |а|т??. Таким об-
образом, ослабленное свойство однородности C.2.24) улучшить
нельзя. В частности, мы получаем, что однородное продолжение
существует тогда и только тогда, когда
C.2.25) (и, ха^) =
при \a\ = k = —n —
То что C.2.25) не зависит от выбора ф, ясно из предыдущего
результата, но в этом можно убедиться еще н так. Если v — од-
однородное распределение степени —п в Rn\0, то о (if) ввиду
C.2.20) не зависит от выбора функции if, удовлетворяющей
условию C.2.22), поэтому мы можем положить
S{v) = (v, ф>
для таких ф. В случае когда v — непрерывная функция, полу-
получаем, вводя полярные координаты,
S(v)= \\ v(ю)ф(юг)dadr/r = \ v((a)do>,
1»|-1 |u|-l
т. е. S(v) есть интеграл от v по единичной сфере. (В действи-
действительности евклидова метрика здесь ни при чем, с равным успе-
успехом можно было бы проинтегрировать кронекерову форму
по границе любой С'-гладкой окрестности точки 0.) Распределе-
Распределение хаи в условии C.2.25) как раз однородно степени —п, а по-
потому мы можем записать это условие в виде
C.2.25)' S(xau) = 0 при |a| + degu = — п.
Мы можем также переписать C.2.24) следующим образом:
C.2.24)' <и, Ф) = Г" <и, ф,> + log / ? S (Л) <Э°ф @)/а1.
|О|=*
Заметим, что если и однородно степени а и а не есть целое
число ^—п., то C.2.23) можно записать в виде
C.2.23/ (и, ф) =^ S (иЯвФ) = S (« (ta++n-\ Ф (/.)», Ф е С? (R"),
поскольку uRa<f в этом случае однородно степени а — п — а==
—п. Однако когда а = —п — k является целым числом ^—«,
то C.2.23) зависит от выбора ф. Наш выбор и с фиксированной
функцией ф гарантирует, что
C.2.26)
(Ри)' =
для всякого однородного многочлена Р. Действительно, если сте-
степень Р равна яг, то
(в силу C.2.1)'), а значит,
(PU, ф) = (п,
') Через degP обозначается степень многочлена Р. — Прим. перев.
7*

100 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.2. Однородные распределения 101
Условие C.2.25) автоматически выполняется в случае одно-
однородного и степени а = —п — k, где k — целое ^0, если и имеет
четность, противоположную четности k. Под этим мы понимаем,
что вместо C.2.18) имеет место более сильное соотношение
C.2.18)' {и, q>) = sgnt-t"(u, <ft) при <peC"(Rn\0),
для любого t ф 0. Разумеется, достаточно предполагать, что в
дополнение к C.2.18) выполнено C.2.18)' при t = —1. В случае
когда и — функция, C.2.18)' означает при t = —1, что
\u(x)<f(x)dx=(-l)i+a+n J u(x)<p(-x)dx=(-lI+k
т. е. что «(*) = (—1)*+1м(—jc).
Из C.2.18)' всегда следует C.2.25). Действительно, если
функция if четна и удовлетворяет условию C.2.22), а <р(*) =
.•^(jt), \<x\ = k, то ф_1=(—1)п+*ф = (—1)дф, так что C.2.18)'
дает <ы, ф> = —<«, ф>, т. е. <м, ф> = 0. Таким образом, и допу-
допускает однородное продолжение. Мы утверждаем, что существует
единственное продолжение ы, удовлетворяющее C.2.18)' при
всех фЕ Co°(Rra), и что это продолжение задается формулой
C.2.23)" (и, <p) = S{u _
Здесь fe+n-1 определяется формулой C.2.10)'. Единственность
очевидна, ибо если | а \ = k, то
\да60, ф) = Г ~п{да6а, ф,),
а потому обычная неопределенная часть продолжения имеет не-
неподходящую четность. Из второго равенства в C.2.10)' следует,
что функция <fe+"-1, ф(^-)> в правой части C.2.23)" равна (на-
(напомним, что а -\- п = —к)
(Г*~\ ф(*•)) = <*;*"', ф(/•) + (-1)* ф(-*•))•
Поэтому если U — продолжение распределения и, определенное
формулой C.2.23), то C.2.23)" означает, что
2<й, ф> = (U, Ф) + (-I)*4-"-1 (U, Ф_,>, ФеСо (R").
Следовательно, C.2.23)" действительно задает распределение.
В случае когда ф е C~(Rra \ о), правая часть последнего равен-
равенства в силу C.2.18)' равняется 2<?/, ф>, так что u = U в Rn\0.
Наконец, C.2.18)' с и, замененным на ы, справедливо для всех
Ф е С" (Rn) и / = — 1, поскольку
2 {и, ф_1) = (^/, Ф-1)-Ь(—1) (?Л ф) = 2 (—1) (й, ф).
В итоге мы доказали следующий результат:
Теорема 3.2.4. Всякое распределение ue25'(R"\0), однородное
целой степени а = —п — k ^ —п, допускает продолжение
iiG2)'(R"}, удовлетворяющее C.2.24)'. Этим требованием и
определяется однозначно с точностью до линейной комбинации
производных порядка k от бо- Возможен согласованный выбор
продолжений, при котором C.2.26) выполняется для всякого
однородного многочлена Р. Однородное продолжение существует
тогда и только тогда, когда справедливо C.2.25)'. Если и удов-
удовлетворяет C.2.18)', то существует единственное продолжение й,
удовлетворяющее тому же условию при всех феСо°(Кп)- Оно
задается формулой C.2.23)".
Замечание. В случае когда и однородно целой степени а=—п—
k~>—п и удовлетворяет C.2.18)', его единственное однородное
продолжение также задается формулой C.2.23)".
Мы воздержимся от обсуждения разности д<й — (dtu)' в об-
общем случае, так как она зависит от выбора if. Укажем, однако,
один полезный случай, когда ip не играет роли:
Теорема 3.2.5. Пусть и\, ..., ип ^&>'(R*\0) все однородны сте-
степени 1 — п в Rn\0 и удовлетворяют там условию X dfUj = 0. То-
Тогда
где ф/(х) = Xj/\x\2 (\х\ обозначает евклидову метрику).
Доказательство. Мы знаем, что распределение Х^/"/ однородно
степени —п и имеет носитель в 0; поэтому 2 д/И/ = сЬ0 при не-
некоторой постоянной с. Если феСо°(Кп) и ф@)=1, то
с = Z (д,й,, ф> = — Z <«/» д/Ф>-
Выберем ф(*) = х(|л:|), где x^Co°(R) и %=1 вблизи 0. Тогда
-fyp = *>/(*)¦(*)• Ф(*)в-Х'( 1*1I*1.
а поскольку
то условие C.2.22) выполнено, так что1' —<и/, д;чр> = S(ij>/U/)
по определению S.
') Точку над щ можно не ставить, так как dfq e C~ (Rn \ 0). — Прим.
перев.

102 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.3. Некоторые фундаментальные решения
Как мы видели в § 3.1, интегральная формула Коши тесно свя-
связана с тем фактом, что дЕ/дг = 60 для E = \/nz. Интегрирова-
Интегрирование (взятие первообразной) функции на R есть не что иное, как
взятие ее свертки с функцией Хевисайда Я, a dH/dx = во. Это —
два примера фундаментальных решений:
Определение 3.3.1. Распределение E^S>'{Rn) называется фун-
фундаментальным решением для дифференциального оператора
Р=^1аада с постоянными (комплексными) коэффициентами,
если РЕ = б0.
Фундаментальные решения играют весьма важную роль при
исследовании вопросов существования и регулярности решений
дифференциальных уравнений. Такие приложения будут обсуж-
обсуждены в § 4.3, после того как мы изучим понятие свертки распре-
распределений. Там нам будет удобно иметь в своем распоряжении
некоторые примеры фундаментальных решений, которые мы сей-
сейчас и представим.
Теорема 3.3.2. Положим для х
Е(х)
•-Й
Г1 log 1*1
при п = 2,
лгГ7(л-2)с„ при п>2,
где \х\ обозначает евклидову норму, а сп — площадь единичной
сферы. Обобщенная производная д/Ё задается локально инте-
интегрируемой функцией xi\x\-n/cn, и
ш
C.3.1) Де = >,а/с = о0.
Доказательство. Для феС"(R")
(д.Е, ф> = — (Е, д/ф) = — lim \ Е(х) д,<р (х) dx
е->0. '
= U (лг) д,Е (х) dx + lim [ E(x)q> (x) x,j\x\ dS
\x\-e
по формуле Гаусса. Поверхностный интеграл есть О(е) при
л>2н O(elog(l/e)) при п = 2, поэтому предел в правой части
равен 0. Таким образом, д/Е задается локально интегрируемой
функцией djE (х) (для п > 2 это следует также' из теоремы
3.2.3). При хфО
Л? (лг) = (п | х Г" - 2 пх] | х fn~2)/cn = 0.
3.3. Некоторые фундаментальные решения 103
Следовательно, в силу теоремы 3.2.5 и того факта, что
1-м сп) — if
К этому заключению можно было бы прийти и без привлечения
теоремы 3.2.5:
= lim \ div(?gradq> —
— Egrady,
е->0
Заметим, что при л = 2 мы имеем Д =4д2/дгдг и
4дЕ/дг = zj\z\2 я = 1/яг,
так что мы возвращаемся к нашему старому результату
дA/яг)/дг = 60.
Рассмотрим теперь уравнение теплопроводности в R"+1.
Теорема 3.3.3. Обозначим переменные в R"+l через (х, OeR"
X R и положим *
' Dя/)" п'2 ехр (— | х |2/4/) при (>0,
При /г^О.
Функция Е локально интегрируема в R"+l, Е & С°° (Rn+l\0), и.
C.3.2)
Доказательство. То, что Е принадлежит классу С°° на R"+1\0,
вытекает из следствия 1.1.2, как и в тесно примыкающем сюда
примере 1.1.3. В силу приводимой ниже формулы C.4.1)" ин-
интеграл от Е(х, t) по х равен 1 при каждом ?>0, поэтому Е
локально интегрируема и задает распределение. При t > 0
следовательно, (d/dt — АХ)Е имеет носитель в 0. Для
Wdt. - Ая) Е, Ф) = - (Е, дф/д/ + ДхФ>
— Е (х, t) (dq>/dt + Дхф) dx dt = lim \ E (x, e) q> (x, e) dx
e-+0*J . e->0
Цх, 1)ф(л/ех, e)dx = <
по теореме о мажорируемой сходимости. Теорема доказана.

104 3. Дифференцирование и умножение на функции
3.3. Некоторые фундаментальные решения 105
Теперь мы хотим рассмотреть тесно связанный с предыду-
предыдущим оператором оператор Шрёдингера id/dt-\-&.x или, более
общим образом, операторы вида
C.3.2)'
= d/dt- У Aikdfdk,
/. я = 1
где симметричная матрица A=(Ajk) постоянна и detA^O. По
аналогии с теоремой 3.3.3 будем искать решение в виде
Е(х, t) = crnl2exp(-(Bx, x)/t)
при t > 0, где В — другая симметричная матрица. Имеем
д,Е = -2Е {Bx),lt, djdkE = -2EB,Jt + 4Е (Вх), (Bx)Jf,
LE = B tr В А - n/2) E/t + ((Bx, x)-4 (ABx, Bx)) E/f.
Чтобы последнее выражение равнялось нулю, надо выбрать В
так, чтобы 4ВАВ = В, т. е. В = А~Х14. Поскольку Е экспонен-
экспоненциально возрастает при J-+-+0, если только не выполнено усло-
условие Re В ^ 01\ мы должны принять это условие.-Но Re(Bx, x}
— Яе(Ау, уУ, если х = 2Ау, следовательно, это равносильно
предположению, что Re/l^O. Однако и тогда мы не обяза-
обязательно получим локально интегрируемую функцию при п>\\
в связи с этим нам понадобится следующая
Теорема 3.3.4. Если В — симметричная невырожденная матрица
с Re В Зг 0, то
C?3.3) (ntynl2(detB)m^e~lBx-x>lt(p(x)dx->(p@) при
для всех q>eCo"(R"). Для любого четного целого
C.3.4)
?
(J \da<v\
Здесь (det5)l/2 определяется, как объяснено в § 3.4.
Отложим на минуту доказательство теоремы и дадим ее не-
немедленное следствие:
Теорема 3.3.5. Пусть А — симметричная п X п-матрица с Re A
и det.4 фО. Тогда формула
C.3.5)
, t)dx).
11 Напомним, что матрица Re Л, получаемая взятием вещественных ча-
частей у всех элементов матрицы А, в случае симметричной матрицы А удов-
удовлетворяет соотношение <(Rei4)*, .*> = Re<i4x, 5>, дсвС". — Прим. перев.
ФеСо°(Rn+1), задает распределение в R"+l порядка<я+1 и
C.3.6) LE = 60,
где L — оператор, определенный формулой C.3.2)'.
Доказательство этой теоремы получается очевидной моди-
модификацией доказательства теоремы 3.3.3, если иметь в распоря-
распоряжении теорему 3.3.4. Поэтому мы предоставим доказать ее чи-
читателю, а сами перейдем к главному шагу в доказательстве
теоремы 3.3.4.
Лемма 3.3.6. Пусть В удовлетворяет предположениям теоремы
3.3.4. Тогда
C.3.7)
если ^@)==0 при |а|<2/. Здесь / = 0, 1, .... 0< / < 1 и
1, dayk@) = 0 при |a|+ l<2j и
Доказательство. Для / = 0 оценка C.3.7) очевидна, поэтому
предположим, что / > 0 и что для всех меньших значений / наша
оценка уже доказана. Мы можем записать функцию ф в виде
где
Действительно, при | х | > 1/2 можно-Дыло бы взять ф^ = xkq>/\ x f,
а при | х | < 1 — использовать функций4^, даваемые теоремой
1.1.9. Если XеСо" имеет носитель р единичном шаре и %(х)= 1
при | х | < 1/2, то функции
Ф, (х) = X (*) Ф°» (х) + A - ЗС (х)) tf\ (х)
будут обладать требуемыми свойствами. Полагая С = В~1/2,
имеем
имеем
, х)/дх{,
так что интегрирование по частям дает
(x) dx =

106 3. Дифференцирование и умножение на функции
Поскольку dq>k/dxi удовлетворяют условиям леммы с /, заменен-
замененным на /—1, справедливость оценки C.3.7) вытекает теперь из
предположения индукции.
Доказательство теоремы 3.3.4. Прежде всего заметим, что до-
доказательство оценки C.3.7) проходит и для всех тех ф е С21,
у которых носитель не обязательно компактен, но производные
быстро стремятся к 0 на с». В частности, она верна для таких
функций, как ехр(—(hx, х>), где X, — диагональная матрица с
положительными диагональными элементами Я/. В силу C.4.1)"
dx =
(det (В
Дифференцируя это равенство соответствующее число раз по
соответствующим Л/ и полагая затем Л/ = 1, получаем
)\()m, t->0.
Кроме того,
I е-<вх, x>itxae-\x\*Aх — ог если хотя бы одно из ay нечетно.
Запишем теперь функцию ср из теоремы 3.3.4 в виде
где Г — многочлен степени k — 1, a ty имеет в точке 0 нуль по-
порядка k. Это означает просто, что Г — тейлоров многочлен для
Ф(*)е'*12. Так как
М(д\)
и коэффициенты Г оцениваются через производные ср в 0, оценка
C.3.4) вытекает из C.3.7) с 2/ = k и ср, замененной на г?. Ис-
Используя тейлоров многочлен степени k -f 2, а не k — 1, приходим
к C.3.3).
Как мы увидим в гл. 7, предыдущие результаты легче полу-
получить с помощью преобразования Фурье.
3.4. Вычисление некоторых интегралов
Чтобы не прерывать основную линию изложения, мы отложили
некоторые элементарные вычисления до этого параграфа. Суть
3.4. Вычисление некоторых интегралов 107
дела состоит в изучении интеграла
R"
=( J e
Cdt\ ,
где \х р = х\-\- ... + х\. Если обозначить площадь единичной
сферы S"-1 с R" через сп, то, вводя полярные координаты, мы
получаем
(
V
о о
При п = 2 правая часть равна я, так что
C.4.1)
откуда следует, что в общем случае
C.4.2) с„ = 2я»/2/Г(п/2).
При /1 = 3 это дает 4я = 2я3./2/ГC/2); следовательно, 2ГC/2)
= я1/2, или
C.4.3) Г A/2) = я"».
Таким образом,
C.4.4) с2а = 2пп1(п-\)\, c2n+1 = 2"+V/(B/M^l)...3-l).
Объем Сп единичного шара в R" равен сп/п, что видно, напри-
например, из формулы Гаусса, примененной к радиальному вектор-
векторному полю х. Следовательно,
C.4.5) С2п = лп/п\, C2n+1=2'l+V/(Bft+l)B/i-l)...3.1).
Из C.4.1) с помощью замены переменной получаем
C.4.1)' [ e~at'dt = (n/a)m, a > 0.
Более общо, если А — симметричная положительно определен-
определенная «X «-матрица, то
C.4.1)"
Это немедленно следует из C.4.1)', когда А диагональна, а мы
всегда можем привести А к диагональному виду ортогональным

108 3. Дифференцирование и умножение на функции
Примечания 109
преобразованием. Далее, множество Я, состоящее из всех сим-
симметричных матриц А, для которых матрица Re Л положительно
определена, есть открытое выпуклое множество в п(п-\-1)/2-
мерном комплексном векторном пространстве симметричных
п X n-матриц. Если А е Я, то det А Ф 0, поскольку Ах = 0,
х е С", влечет
0 = Re (Ax, x) = ((ReA)x, x), а значит, х = 0.
Так как Я выпукло, имеется единственная аналитическая ветвь
функции Яэ Л —»-(det A)l/2, такая что (det.4)I/2>0 для веще-
вещественных А. Но обе части C.4.1)" аналитичны по А^Н, по-
поэтому мы заключаем, что C.4.1)" справедливо для всех /4 еЯ.
По непрерывности квадратный корень (det ЛI/2 однозначно
определен и для А, принадлежащих замыканию Я. Действи-
Действительно, если det А Ф 0, то мы имеем две аналитические ветви
этого квадратного корня в окрестности А, лишь одна из кото-
которых согласуется с определением, выбранным в Я. Вычислим
(deti4)l/2 для случая, когда A=iB есть чисто мнимая невы-
невырожденная матрица. При этом вычислении мы можем считать
матрицу В диагональной, ибо вещественное ортогональное пре-
преобразование не изменяет значения (det/4)I/2 для А^П, раз
оно не изменяет его для вещественных А. Итак, предположим,
что (Вх, х) = S bjx), где все Ь, ф 0. Тогда
и то значение нашего квадратного корня, которое положительно,
когда все Ь, равны нулю, имеет аргумент
где каждое слагаемое заключено между —я/2 и я/2. При е -*- 0
эта величина стремится к
Сумма Ssgnfy называется сигнатурой sgnB матрицы В. Та-
Таким образом, мы доказали, что
C.4.6)
(det (Ш)I/я = | det В \ш ехр (яг (sgn B)/4).
Изредка нам придется также использовать некоторые свой-
свойства гамма-функции. Прежде всего заметим, что для любых
а>0 и 6>0
где
C.4.8)
В (a, b)=
Функция В(-, ') называется бета-функцией. Взяв скалярное
произведение обеих частей C.4.7) с функцией е~\ получаем в
силу определения гамма-функции
Т(а)Т(Ъ) = В(а, Ь)Т(а
В (a, b) = T(a)T(b)/T(a
т. е.
C.4.9)
Поэтому, используя обозначение C.2.17), можно переписать ра-
равенство C.4.7) в виде
C.4.10)
vb — I ш
C.4.7)
хь+-1 = В(а, b)xa++b~\
В силу единственности аналитического продолжения это равен-
равенство окажется справедливым для всех, вообще a, b e 1С", после
того как в § 4.2 будет определено понятие свертки распре-
распределений.
Произведя замену t =1/A+5), получим при 0<а<1
В (а, 1 -а)= [ f-l(l-tyadt=\s-a(l+s)-1ds.
О О
Интегрируя s-"/(l+s) KaK функцию на С с разрезйм вдоль
R+ сначала от R — Ю до 0, затем от 0 до R + ДО и наконец по
окружности |s| = 7? от i? + iO до R — Ю, приходим, положив
R—*-<x>t к равенству
В [а, 1 — а) A — е~Ша) = 2me~nia,
которое можно переписать в виде
C.4.11) Г(а)ГA— а) = В(а, 1 — а) = я/sin (па).
В силу аналитического продолжения это равенство справедливо
для любых нецелых а.
Примечания
В § 3.1 мы просто переписали ряд основных фактов веществен-
вещественного и комплексного анализа на языке теории распределений.
Обсуждение граничных значений аналитических функций будет
продолжено в гл. 8, где это понятие играет важную роль. Про-
Проведенное в § 3.2 исследование функции х^_ восходит к Адамару

НО 3. Дифференцирование и умножение на функции
(Hadamard [1]) и Марцелю Риссу (М. Riesz [1]). Однородные
распределения от нескольких переменных также впервые были
рассмотрены ими. Такие распределения были весьма обстоя-
обстоятельно изучены Гельфандом и Шиловым [2]. Читатель может
найти в их книге дополнительные сведения и примеры. Мате-
Материал § 3.3 и 3.4 тоже вполне классический. По поводу доказа-
доказательства того факта, что произведение распределений, обла-
обладающее разумными алгебраическими свойствами, не всегда
можно определить, отсылаем читателя к статье Schwartz [3].
Свертка
Краткое содержание главы
В § 1.3 мы определили свертку и\ * и2 двух непрерывных функ-
функций «1 и ы2, одна из которых имеет компактный носитель. Это
определение применимо без изменений к случаю, когда и\ е 3)'
(соотв. 8'), а ы2еС"(соотв. С°°); при этом ы^Мг^С00- Рас-
Рассмотрению таких сверток посвящен §4.1. Как и в случае функций,
свертка дает эффективный метод приближения распределения^
С°°-функциями. Часто с его помощью удается распространить
утверждения о гладких функциях на случай распределений, осо-
особенно когда речь идет о вопросах, где имеется инвариантность
относительно сдвигов. В качестве иллюстрации этого положения
в § 4.1 проводится обсуждение выпуклых, субгармонических и
плюрисубгармонйческих функций.
В § 4.2 дается определение свертки двух распределений,
у одного из которых носитель компактен. Свертка определяется
так, чтобы сохранялась ассоциативность:
(Щ *У2)*ф==«1 *(И2*ф), ф^Со°.
Легко проверяется, что при этом
supp (ы, * и2) с: supp «! + supp щ.
Параграф 4.3 посвящен доказательству теоремы о носителях,
утверждающей, что в случае, когда у обоих распределений и\
и Ыг носитель компактен, знак включения можно заменить зна-
знаком равенства, если взять выпуклые оболочки носителей. Стан-
Стандартные доказательства этого факта опираются на теорию ана-
аналитических функций, и мы рассмотрим их позднее. Поэтому чи-
читатель может не разбирать конец доказательства теоремы 4.3.3,
а подождать до § 7.3.
Цель § 4.4 — представить основные методы, используемые
при выводе результатов о существовании и гладкости решений
дифференциальных уравнений в частных производных с
постоянными коэффициентами из свойств соответствующего

112 4. Свертка
4.1. Свертка с гладкой функцией 113
фундаментального решения. Это — важное приложение теории
свертки. Заключительный § 4.5 посвящен ^-оценкам для свер-
сверток. Помимо оценок, связанных с неравенством Гёльдера, мы
доказываем потенциальные оценки типа Харди — Литтлвуда —
Соболева и устанавливаем с их помощью связь между ^-клас-
^-классами (или гёльдеровскими классами) данной функции и ее про-
производных. Эти оценки особенно важны при изучении эллипти-
эллиптических дифференциальных уравнений. Мы дополним их в § 7.9,
когда будем иметь в своем распоряжении анализ Фурье.
4.1. Свертка с гладкой функцией
Свертка и * <р распределения и
определяется формулой
3)' (R") и функции ф е Со" (R")
где правая часть обозначает результат применения и к ф (х — у)
как функции от у. В случае когда и— непрерывная функция,
это определение, очевидно, совпадает с нашим прежним опре-
определением A.3.1), и свойства свертки, установленные в § 1.3,
сохраняют силу и для распределений:
Теорема 4.1.1. Если «e®'(R") и <p<=C~(Rn), то ы * ф е= С°° (R")
и
D.1.1) вирр(й*ф)с:8иррк + 8иррф.
Для любого мультииндекса а
D.1.2) да(ы*ф) = (даи)*ф = ы*(даср).
Доказательство. Из теоремы 2.1.3 следует, что и«феС" и
да (и * ф) = и * даф.
Этим доказано D.1.2), ибо второе равенство в D.1.2) непосред-
непосредственно вытекает из определения даи. Что касается D.1.1), то
заметим, что и * ф (х) может быть отлично от нуля, только если
х — ys supp ф для некоторого у е supp и, а это означает, что
х е supp и -f- supp ф. Последняя сумма есть замкнутое множе-
множество, поскольку носитель ф компактен. Теорема доказана.
Говорить о коммутативности свертки в данном асимметрич-
асимметричном контексте не приходится, но имеет место важная ассоциа-
ассоциативность:
Теорема 4.1.2. Если u<=2)'(Rn) и q>, if <= СГ (R")> to
(и * ф) * ф = и * (ф * if>).
Это — простое следствие приводимой ниже леммы.
Лемма 4.1.3. Если ф е Со (R") и if1 e Co (R"), то римановы суммы
D.1.3)
eZ
<p(x-kh)hnq(kh)
сходятся к (f>*y(x) в Со при h-*0.
Доказательство. Носитель суммы D.1.3) содержится в компакт-
компактном множестве supp ф + supp ф. Поскольку функция (х,у)-*-
ф (* — У) Ф {у) равномерно непрерывна, сумма D.1.3) равномерно
сходится к ф*1|з(х) при h-*-0. Дифференцируя эту сумму соот-
соответствующее число раз, получим то же утверждение для произ-
производных, поскольку с?а(ф*11>) = (даф)*1|) при |а|^/. Тем самым
лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.1.2. В предположениях теоремы
имеем в силу леммы 4.1.3
ft->0
= limУ (и*у)(х-kh) hn$(kh)= [(u*q>)(x-y)$(y)dy,
ft->o *-' J
Со.
чем наше утверждение доказано даже для любых
Теперь мы можем доказать аналог теоремы 1.3.2 для распре-
распределений:
Теорема 4.1.4. Пусть 0<феС", Jq>dx=l. Если »g25'(R"),
то йФ = и*ф,е C°°(R") и мф-»-м в 2>'(Rn) при зиррф->-{0}.
Доказательство. Чтобы пояснить дальнейшие вычисления, заме-
заметим, что и(ф) = о*it>@) для i|3eC0x>(Rn), где -ф(лг) = лр(— ж).
Поэтому
~ и * V * 'Ф @) = м (ф * ф).
Ввиду теоремы 1.3.2, ф * $ -»• -ф "в С" при supp ф->{0}; следо-
следовательно, «(p(ij))-+-к(^), что и требовалось доказать.
Теорема 4.1.4 показывает, что 2)'{Rn) можно было бы опре-
определить, пополняя С°(^")или даже C°°(Rn) так, как подсказы-
подсказывают примеры из физики, о которых говорится в конце введе-
введения. Это верно и для Ф'(Х), где X — произвольное открытое
множество в R":
Зак. 821

114 4. Свертка
4.1. Свертка с гладкой функцией 115
Теорема 4.1.5. Для всякого ие2)'A) существует последова-
последовательность Uj^C^(X), такая что щ-^и в 2)'' (X).
Доказательство. Выберем последовательность X/^CJTUQ, та-
такую что на любом компактном подмножестве в X все функции
из этой последовательности, начиная с некоторого номера /,
равны 1. Затем выберем функции ф/ ^ С<Г (R")t удовлетворяю-
удовлетворяющие предположениям теоремы 4.1.4 и имеющие столь малый но-
носитель, что
D.1.4)
и |jk|<1// для jcesuppcp/. Так как %jue.&r{X)a&'(Rn), мы
можем образовать
и, = (х/Ы) * ф/.
В силу D.1.4) и D.1.1) это будет функция изСо°(Аг). Для ^е
С"(Х) имеем, как и в доказательстве теоремы 4.1.4,
"/ СФ) = (Х/«) (Ф/ * Ф) = и (%, (ф; * ^)).
Поскольку носитель ф, * ^ содержится в любой окрестности но-
носителя >|) при всех достаточно больших /, то Х/(Ф/*Ф)= Ф/*Ф
при таких у, откуда следует, что «,(tf>)-v«(ij)), как и утверж-
утверждалось.
Замечание. То, что С™{Х) плотно в 2?>'{Х), вытекает также из
теоремы Хана —"Банаха, ибо пространство, двойственное к
2)'(Х) (наделенному слабой топологией), совпадает с С™(Х)
в силу известного элементарного результата о слабых тополо-
топологиях. Отметим еще, что с помощью теоремы 4.1.5 можно полу-
получать для распределений различные формальные правила вычис-
вычислений вроде C.1.4), если известно, что эти правила верны для
С°°-функций.
Для ие2)'(Х) и ()
множестве
D.1.5) {х;х — у^Х при
которое близко к X, если ср имеет малый носитель, близкий к 0.
Все свойства, установленные выше для случая X = R", с оче-
очевидными видоизменениями сохраняют силу и для общего случая.
Используя регуляризацию при помощи свертки, часто удается
сводить вопросы, касающиеся распределений, к соответствую-
соответствующим вопросам для гладких функций. Дадим ряд важных при-
примеров.
Теорема 4.1.6. Если и, v^2)'(X), где X — открытый интервал
в R, то и' ^ 0 тогда и только тогда, когда и задается неубы-
неубысвертка и*ср определена на
вающей функцией, a v" ^ 0 тогда и только тогда, когда v за-
задается выпуклой функцией, т. е. непрерывной функцией, удов-
удовлетворяющей соотношению
D.1.6) V(tx + (l-t)y)^tv(x) + (l-t)v(y); 0<t< 1; х,у<=Х.
Доказательство, а) Предположим сначала, что и, tie C°°, Тогда
из условия ы' ^ 0 вытекает, что
при
В частности, мы видим, что v' является неубывающей функ-
функцией, а значит,
= \ v' (х + ty) dt
. Следовательно,
— неубывающая функция от у при
если
/^1 и х, х + у^Х,
а это равносильно выпуклости v. Обратные утверждения оче-
очевидны. Заметим еще, что если 0<т|з+^СГ(К+). \ ^+ dx= 1, то
функция
и * ф+ (л-) = J и {х - гу) i|>+ (у) dy i>
(там, где она определена) есть неубывающая функция от а; и
невозрастающая функция от е, а если 0^ij)eеСо°(R), \ifdx =
1 и фе четна, то
v * Ф!(х) = ^v (х — гу)$е(у)dy
у>о
есть выпуклая функция от л; и неубывающая функция от е при
е > 0, поскольку
Ь) В общем случае выберем ф, как в теореме 4.1.4, и обра-
образуем регуляризации ыф = и * ф, v9 = и * ф. Предположим, что
1} Здесь использовано обозначение <р8 (х) = Б~"<р (х/е) для функции q>
на R ". — Прим. перев. ч
8*

116 4. Свертка
4.1. Свертка с гладкой функцией 117
и' $г 0, у" $г 0. Тогда ы^ = ы'*ср>0, у? = а" * <р > 0, так что
йф * т|з+ (#) есть неубывающая функция от л и невозрастающая
функция от е, а аф * Ф| (*) — выпуклая функция от х, неубываю-
неубывающая с ростом е. Полагая suppq>-»-{0}, заключаем, чтои*^
и у * ipg обладают теми же самыми свойствами. Поэтому при
е|0мы получаем
" * Фе+ t «с V * ^е I V0>
где Ыо не убывает, а Уо удовлетворяет D.1.6), и
(и, %) =
Отсюда следует, что функция «о всюду конечна, ибо иначе она
равнялась бы + оо на некотором интервале, и у0 тоже конечна,
ибо иначе в силу D.1.6) она равнялась бы —с» на некотором
интервале. Далее, из условия D.1.6) вытекает непрерывность у,
поскольку
Таким образом, и0 и Vo обладают указанными в формулировке
теоремы свойствами. Обратно, если и и v задаются соответ-
соответственно неубывающей и выпуклой функциями, то таковы же
б ф С ^ 0 '^ ^ 0
ущй у фуц,
будут и функции ыф и уф. Следовательно, «ф ^ 0 и v'^ ^ 0,
откуда при supp ср->- {0} получаем и' ;> 0 и v" ^ 0.
Теорема 4.1.7. Пусть v^2)'(X), где X — открытое множество в
R*. Если
D.1.7)
R",
го у задается непрерывной выпуклой (г. е. удовлетворяющей
D.1.6) на каждом прямолинейном отрезке в X) функцией, и
обратно.
Доказательство. Можно считать, что X выпукло. В случае когда
иеС°°, условие D.1.7) означает в точности, что
если
ty*=X,
а потому наше утверждение следует из теоремы 4.1.6. Если
0 < ф е С" — четная функция с \i!pdx = l, то
= \ У (х —
тоже будет выпуклой функцией, которая не убывает с ростом е.
Поэтому в случае когда про v известно лишь, что оно принад-
принадлежит 2)'(Х), мы можем рассуждать точно так же, как при
доказательстве теоремы 4.1.6. Функция Уф удовлетворяет D.1.7),
так что Уф » фе есть выпуклая функция, не убывающая с ростом
е, а значит, и v*y$>e выпукла и не убывает с ростом е. Предел
Уо этих функций при е \ 0 задает у и удовлетворяет D.1.6), сле-
следовательно, функция Уо всюду конечна и полунепрерывна сверху
(как предел невозрастающей последовательности непрерывных
функций). Отсюда следует, что у0 непрерывна, поскольку для
всех достаточно малых \у\
vo(x + hy)-vo(x)^h(vo(x)-vo(x-y))^-Ch, 0 < h < 1 о.
Обратное утверждение очевидно.
Докажем теперь аналог второй части теоремы 4.1.6 для
функций нескольких переменных.
Теорема 4.1.8. Пусть X — открытое множество в Rn. Если рас-
распределение и&З)' (X) вещественно и Аи^О, то и задается
субгармонической функцией и0, т. е. полунепрерывной
сверху функцией со значениями в [—с», с»), такой что
М (х, г)= ^ ы0 (х + га) d(a/cn (сп = ^ da\
есть неубывающая функция от г для х^Х и 0 ^ г < d(x, CX)
(расстояние от х до дХ). Обратно, если и0 — полунепрерывная
сверху функция со значениями в [—оо, с»), не равная тож-
тождественно —с» ни на какой связной компоненте X, и если ио(х)
^.М(х,г) при r<d(x, CX), то ы„е L^iX) и для распределе-
распределения и, задаваемого Ыо, выполнено соотношение Аи ^ 0. Функция
«о однозначно определяется распределением и в каждой точке.
Для всякого компактного подмножества К в X справедлив прин-
принцип максимума:
Доказательство. Предположим сперва, что иеС™ и Аи
Возьмем 0<г</}и положим
!0 при \x\>R,
e{R) — E(x) при r<\x\<R,
e{R) — e(r) при |х|<г,
Так что v0 полунепрерывна н снизу. — Прим. перев.

118 4. Свертка
4.1. Свертка с гладкой функцией
где Е — функция, определенная в теореме 3.3.2, Е(х) = е(\х\).
Ясно, что функция v непрерывна и grad v есть функция, равная
grad v = — grad Е при г <\x\<R
и 0 в остальных точках. По теореме 3.1.9
Av = div grad v = <— grad E, — x/ \x |> dSR + (— grad E, x/\ x |) dSr
где dSr и dSn— евклидовы поверхностные меры на сферах
[jc| = г и \x\-R. Если d(x, СХ) > R, то, поскольку Аи ^ О
0
,
С",
— неубывающая функция от е. В этом легко убедиться, введя
полярные координаты.
С другой стороны, для и е С"*
и(х + гю) da = jj (и (х) + г ? Ю/д/Ы (х) + ^- J] <»/MA" W
п + О (г3)).
R) — M(x, г);
этим доказано, что М(х, г) не убывает по г при г >• 0, а значит,
по непрерывности, и при г ^ 0. Заметим, что если 0<^ С"
\ ¦ф rfjc = 1 и >|з есть функция от | х \, то
и * Фе (х) = 5 ы (х — ъу) у(у) dy
Действительно, \ @/@^^@ = 0 при j ф k, a
\ (йу d@ = П~' \ V СО; do» = С^П.
¦Следовательно,
Ди(х) = Пт2и(М(х, г) — и(*))//*>0, если ы(х)<М(х, г).
г->0
Пусть теперь и^2)'(Х) и Аы^О. Для всякой функции q>,
удовлетворяющей условиям теоремы 4.1.4, и, = ияреС™ и
АЫф ^ 0 там, где йф определена. Поэтому
— неубывающая функция от е, и, устремляя supp q> к {0}, мы
заключаем, что и * фе — неубывающая функция от е, причем
— неубывающая функция от г иа интервале [0, а), где она
определена. Следовательно,
при
О,
где ы0 — полунепрерывная сверху функция, для которой- М (х, г)
есть неубывающая функция от г при 0<Ir < d(x, CX), и
(и, X)=\uo(x)x(x)dx при
Значит, u0<=Llloc(X).
Предположим теперь, что «о — полунепрерывная сверху
функция на связном открытом множестве X, такая что ио{х)^
М(х, г) при 0 < г < d (х, СХ), причем иоФ—оо. Тогда если
Uo\x)~>—с», то и0 интегрируема в шаре с центром х и любым
радиусом г < d(x, СХ). Поэтому открытое множество Хо czX,
состоящее из всех точек, в окрестности которых и0 интегри-
интегрируема, является и замкнутым; в самом деле, если хеХ—* пре-
предельная точка множества Хо, то найдется точка у е Хо, такая
что ио(у) > —оо и I х — у | < d (у, СХ). Таким образом, Хо = Хг
а потому и0 е LJoc. Для функции -ф, выбранной, как выше,
ввиду предположения о средних по сферам и
lim щ * фе (х) < и0 (х)
е->0
ввиду полунепрерывности щ сверху. Следовательно,
«o*tW-*«oW при е->0,
так что функция uq однозначно определяется задаваемым ею-
распределением. Поскольку ио * -фе наследует от Ыо свойство,
касающееся средних по сферам, то
при е->0.
При доказательстве принципа максимума можно считать,
что sup Мо = О. Тогда ио(х) = О для некоторого х^К, так как
Л
щ полунепрерывна сверху. Если расстояние ст х по дК равно г,
то
«0
\ С?СО.
1
По определению г для некоторого (оо мы должны иметь х-\-
га>0^дК. Если ио(х + га0) <. 0, то ы0 < 0 в некоторой окрест-
окрестности точки х + гщ, а поскольку « < 0 в X, отсюда следует, что

120 4. Свертка
4.1. Свертка с гладкой функцией 121
\ u0 (x + rco) da < 0. Полученное противоречие показывает, что
«о (л + rcoo) ^ 0, а значит, supM0 = 0. Доказательство завершено.
дК
Для дальнейших ссылок приведем здесь одно свойство суб-
субгармонических функций, доказательство которого тесно примы-
примыкает к доказательству предыдущей теоремы:
Теорема 4.1.9. Пусть v,- — последовательность субгармонических
функций на связном открытом множестве X с R", равномерно
ограниченных сверху на любом компакте. Тогда
a) если последовательность Vj не сходится к —оо равно-
равномерно на каждом компактном подмножестве в X, то у нее су-
существует подпоследовательность vik, сходящаяся в L\M (X) !);
b) если v — субгармоническая функция и v/-*-v в 2D'(X), то
v,-+v в L\JX) и
D.1.8) Tim vt(x)^v(x), x<=X,
причем почти всюду левая и правая части равны и конечны;
более общо,
D.1.9)
Hm sup(v, — f)<!sup(v — f)
I-*» к к
для каждого компакта К сг X и каждой непрерывной функции
f на К.
Доказательство, а) Ввиду сделанного предположения найдутся
последовательности /* и х^ такие что все Xk принадлежат не-
некоторому компактному подмножеству в X и последовательность
Ojk(xk) ограничена. Можно считать, что х&-*- хо^ X, и, упро-
упрощая обозначения, принять, что /* = k. Мы утверждаем, что для
всякого замкнутого шара В с: X с центром х0 последователь-
последовательность интегралов \ vk dx ограничена снизу. Действительно, для
в
всех достаточно больших k существуют замкнутые шары Bk с
центром Xk, такие что В a Bkcz X и m(Bft)-»-m(B). Поэтому
последовательность
— J vkdx
Bk\B
Bk\B
ограничена снизу. Поскольку функции Vk равномерно ограни-
ограничены сверху на В, отсюда следует, что последовательность
перев.
То есть сходящаяся в Ll(K) на каждом компакте
. — Прим.
ограничена. Если
, то среднее значение функции
в
Vk в шаре с центром х и радиусом г есть неубывающая функция
от г, принимающая конечные значения при малых положитель-
положительных г. Мы заключаем, что для всякого такого шара, содержа-
содержащегося в X, последовательность /Лнорм функций Vk на этом
шаре ограничена. Рассуждения, использованные при доказатель-
доказательстве теоремы 4.1.8 для установления того факта, что иое ij0CU).
показывают теперь, что последовательность Vk ограничена в
Ц^Х). Следовательно, найдется ее подпоследовательность v!k>
сходящаяся в смысле слабой сходимости мер к некоторому пре-
пределу v с Av = lim Av/k !> 0 (теорема 2.1.9). В силу теоремы 4.1.8,
v является субгармонической функцией, поэтому из Ь) будет
следовать, что Vjk-+v в LJ^..
b) Выберем if>, как в доказательстве теоремы 4.1.8. Тогда
О/(*)<»/* *«(*)-* °»11'в(*) при /->-оо
равномерно на всяком компактном подмножестве в X, если S
достаточно мало. Пусть 0 ^ % е Со°- Имеем
dx при /->оо,
причем для каждого е > 0 подынтегральное выражение в левой
части положительно при больших /. Следовательно,
lim \ |о — v,|хЛс<2 \ |o*ibe + e— v]%dx.
/->» J J
Ввиду произвольности е и б отсюда вытекает, что v -*¦ v/ в
Цх. По теореме Дини
sup (v, — /)< sup (v, * фб — f)
К К
p(je /)<p(y — /) + 8, б<бе,
К К
что доказывает неравенства D.1.8) и D.1.9). Пусть опять 0
СГ). По лемме фату
Um \o,xdx=\ vxdx.
Используя D.1.8), заключаем, что lim о/ (х)= v (x) почти всюду.
Доказательство завершено.
Пример 4.1.10. Если f—аналитическая функция на ХаС, то
функция log|/| субгармонична и на любой компоненте X, на

122 4. Свертка
которой f Ф О,
где z/ — нули /, а т,- — их кратности.
Доказательство. Вблизи точки, где / ф 0, можно выбрать анали-
аналитическую ветвь g функции log /; следовательно, log | /1 = Re g —
гармоническая функция. В некоторой окрестности нуля Z/ можно
лаписать
f(z) = (z-Zj)mlg(z), log I f B) 1 = m; log 12 — Z/1 + log | ff B) |,
где ?(г,)=И=0. В силу теоремы 3.3.2 отсюда следует, что Alog|f|
= 2nmfiZj в этой окрестности.
Для всякого натурального N функция log(|/|1/'Ar) =
N~l log|f| тоже, конечно, будет субгармонической с лапласианом
2я ? (ntf/N) 6г/. Любую меру можно аппроксимировать мерами
такого вида, поэтому весьма правдоподобно, что субгармониче-
субгармонические функции на А'сгС можно аппроксимировать функциями
вида \og(\f\1/f/). Мы еще вернемся к этому вопросу в § 15.1.
Теорема 4.1.11. Пусть X — открытое множество в LCra. Всякое ве-
вещественное распределение ме2)'A), такое что
D.1.10) ^wiWkd^uldZjdZk^O в X при всех te»eCra,
задается некоторой плюрисубгармонической функцией
Uo, т. е. полунепрерывной сверху функцией, для которой функ-
функция С. э/->-«o(z +to) субгармонична всюду, где определена,
для любых z, w e .С.™. Обратно, всякая такая функция и0, не
равная тождественно —оо ни на какой связной компоненте мно-
множества X, принадлежит L\oz и задает распределение, удовле-
удовлетворяющее условию D.1.10). Функция и0 определяется по и
однозначно.
Доказательство. В случае когда и е С°°, утверждение очевидно.
Заметим, что если в D.1.10) взять в качестве w базисные век-
векторы и сложить полученные неравенства, то мы придем к не-
неравенству
Аи>0.
Поэтому для доказательства теоремы в общем случае годится
без всяких изменений метод аппроксимации с помощью регу-
регуляризации, использованный при доказательстве теоремы 4.1.8.
Проверить это предоставляется читателю в качестве упраж-
упражнения.
Для примера рассмотрим функцию « = log|f|, где f ^0 —
аналитическая функция на открытом множестве X с= С". Вблизи
4.1. Свертка е глвдкой функцией 123
точки, в которой / Ф0, можно выбрать аналитическую ветвь g
для log/, так что log|/| = Reg и сумма в D.1.10) равна нулю.
Таким образом, носитель этой суммы лежит в множестве нулей
функции /. Пусть 0 является нулем функции / порядка, скажем,
k. Тогда в тейлоровом разложении
однородный член f* степени k не равен тождественно нулю, и
мы вычислим D.1.10) вблизи 0 для тех w, для которых fk(w)
ф0. Этого будет достаточно, поскольку всякая квадратичная
форма (в том числе и форма, коэффициентами которой служат
распределения) вполне определяется конечным числом своих
значений. Пусть w — единичный вектор вдоль «оси» z\. Поло-
Положим z' =(г2, .... zn). При фиксированном z"
где t/(z')—малые решения уравнения f(?, z') = 0, a m/ — крат-
кратности этих нулей, которые ^ k, ибо д f/dz\ ф 0. «Считающая>
мера в правой части непрерывно зависит от z7, так как
log|/(zi, г') | непрерывно зависит от г' (в топологии простран-
пространства распределений; см. теорему 4.1.9), и для феСо°с носите-
носителем, близким к О,
D.1.11) (с?lo
dzu Ф>= ±
O, z')dK{z%
где dK — мера Лебега в С"-
Теперь мы различаем два случая:
(i) mi s= k, функция li(z') аналитичиа и f(z)
(ii) m\ < k всюду, за исключением точек z' из некоторого
множества меры нуль.
Один из этих случаев непременно имеет место. Действи-
Действительно, нуль порядка k функции f является нулем функции
и теорема о неявной функции показывает, что z\ = %(/), где
? — некоторая аналитическая функция. Имеются две возмож-
возможности: либо
/ = df/dz{
= 0 при z, = ? (z'),
и тогда реализуется случай (i), либо одна из этих функций не
равна тождественно нулю, и тогда мы имеем случай (ii). В слу-
случае (ii) выбросим из области интегрирования в D.1.11) мно-
множество, на котором mi = k- Повторяя это рассуждение конечное

124 4. Свертка
число раз, пока не придем к случаю (i) и порядок нуля уже
нельзя будет больше понизить, получаем следующий результат:
Теорема 4.1.12. Пусть f Ф О— аналитическая функция на откры-
открытом множестве X cz С", Z — множество всех ее нулей г0, таких
что в некоторой окрестности Zq
где g(zo)=H=O, ft(zo) = O и dh(zo)/dz=?O, и dS — евклидова по-
поверхностная мера на Z. Тогда dS локально интегрируема в X1) и
где вблизи
В частности, A log | /1 = 2nmdS.
Доказательство. Остается только заметить, что в указанном
выше случае (i) равенство D.1.12) следует из D.1.11), по-
поскольку dS =A + \dt>1/dz'\2)dX(z').
Всякая плюрисубгармоническая функция на 1с С, разу-
разумеется, будет субгармонической как функция на X с: R2", но у
тшюрисубгармонических функций имеются и некоторые допол-
дополнительные свойства:
Теорема 4.1.13. Если и — плюрисубгармоническая функция на
JTczC" и ц — положительная мера Аи, то
_2-2я
— неубывающая функция от г при 0 < г < d (?, СХ).
Доказательство. Можно считать, что ? = 0. а) Предположим
сперва, что и принадлежит классу С°° и является функцией
лишь от \г\. Запишем m(z) = F(|z|2). Ясно, что FeC" и из
плюрисубгармоничности и следует, что
для любых z, шеСД так что F'(s)^0 и F'(s)'+sF"(s)^t 0.
Таким образом, sF'(s)—положительная неубывающая функция
конечна, нли, что эквива-
эквива" То есть мера dS любого компакта К
лентно, конечен любой интеграл \ q> dS, где q> е С§ (X). — Прим. ред.
z
4.1. Свертка с гладкой функцией 126
от s. (Отметим, что это условие не зависит от п.) Далее,
J J Аы dx dy = 4 J (nFf (s) + sF" (s)) d (C2asa),
|z|<r 0
где C2n — объем единичного шара в R2". Следовательно,
\\
г2"
последнее равенство вытекает из C.4.5). Это, действительно,
неубывающая функция от г. Позднее мы воспользуемся ра-
равенством
D.1.13) ^ (Au/2n)dxdy/r2a-2C2ll_2 = 2r2F'{r2).
\г\<г
Ь) Пусть по-прежнему и принадлежит классу С°°, но зависит
теперь не только от \г\. Для всякого унитарного преобразова-
преобразования I) функция u(Uz) также будет плюрисубгармонической с
лапласианом (Au)(Uz). Следовательно, функция
где dU—мера Хаара на унитарной группе, будет плюрисубгар-
плюрисубгармонической С°°-функцией от одного |г| и
\ Av dxdy = \ Аи dx dy,
\г\<г \г\<г
поэтому наше утверждение следует из уже рассмотренного слу-
случая а). Заметим, что для всякой четной невозрастающей на по-
положительной полуоси функции ф е Со" (R)
R>0
\x\<Rr
есть неубывающая функция от г.
с) В общем случае образуем в соответствии с теоремой
4.1.4 регуляризации щ функции и. Имеем иф->м в Ф', а зна-
значит, Д«ф->-Дм в 3)'. Следовательно,
_2-2п
— неубывающая функция от г. Когда ij>, возрастая, стремится
к характеристической функции интервала (—1, 1), получаем
утверждение теоремы.

126 4. Свертка
Общепринято и удобно использовать следующую нормировку:
D.1.14) в(и, г, Е) = (гя»-«С8в_8Г1 \ Аи/2я;
4.2. Свертка распределений 127
ввиду теоремы 4.1.13 это — неубывающая функция от г.
Предложение 4.1.14. Если и — плюрисубгармоническая функция,
такая что функция еи однородна степени k^O, то 6(ы, г, 0) = k.
Доказательство. Усредняя по унитарной группе, как в части Ь)
доказательства - теоремы 4.1.13, сводим дело к случаю, когда
и — функция от \г\, и, значит, u(z) = klog\z\+С. В этом слу-
случае F(s) = (k/2)log s + С, а потому 0(ы, г, 0) — k в силу
D.1.13).
Теорема 4.1.15. Если f — аналитическая функция на Хс=СЛ не
равная тождественно нулю ни на какой связной компоненте X,
то
D.1.15) в (log | f |, г, t,)-*k при г->0 для всех t&X,
где k—'порядок нуля в точке ?. Если f — многочлен, то предел
того же выражения при г-*-оо равен степени этого многочлена.
Доказательство. Можно считать, что ? = 0. Согласно определе-
определению k,
f(z) = fk(z)+O(\z\k+i) (z->0),
где fk — однородный многочлен степени k, не равный тожде-
тождественно нулю. Положим
Ясно, что Fr локально равномерно сходится к /* при г->0, так
что log | /-"г | —>- log J /д. | в ?)' ввиду теоремы 4.1.9. Следовательно,
то же самое верно и для лапласианов, и мы заключаем, как в
части с) доказательства теоремы 4.1.13, что при г->-0
e(iog|/u I,
, i, o)=k;
последнее равенство вытекает из предложения 4.1.14. Но
в (log I Fr |, 1, 0) = в (log |f), г, 0);
это сразу получается, если заменить log|/| его гладкой аппрок-
аппроксимацией. Тем самым D.1.15) доказано. В случае когда f —
многочлен, мы можем устремить г не к 0, а к оо и получить в
качестве предела старший однородный член многочлена, откуда
и следует последнее утверждение теоремы.
4.2. Свертка распределений
Чтобы определить свертку двух распределений, мы восполь-
воспользуемся свойствами свертки
Со"(Rn) эф->а*феС00(R")>
определенной в § 4.1 для u^3>'(Rn). Из D.1.2) очевидным
образом следует, что ы»ф/-»-0 в Coo(Rn), если Ф/-»-0 в Co°(R")
(по поводу определения сходимости в этих пространствах см.
соответственно теоремы 2.3.1 и 2.1.4). Для всякого fte R" вве-
введем оператор сдвига тл по формуле (тлф) (х)=у(х — п) (заме-
(заметим, что это — свертка с 8h). Ясно, что
и * (тЛф) = тА (и * ф).
Таким образом, и* коммутирует со сдвигами. Обратно, спра-
справедлива
Теорема 4.2.1. Пусть U — линейное отображение из Co°(R") в
C^R"), непрерывное в том смысле, что ?/ф/->-0 в C°°(Rn),
когда Ф/->-0 в. Co°(R")' Если U коммутирует со всеми сдви-
сдвигами, то существует единственное распределение и, такое что
Доказательство. Если такое распределение существует, то мы
должны иметь и(Ф)=?/ф@). (Напомним, что ф(л:) = ф(—я).)
Далее, линейная форма
в силу сделанного предположения о непрерывности является
распределением. Оно и будет искомым распределением и. Дей-
Действительно, из того факта, что (?Лр) @) = (ы*ф) @), получаем,
заменяя ф на Тлф и используя предположенную перестановоч-
перестановочность С Xh,
(f/ф) (_ h) = (т„?/Ф) @) = (?/т„Ф) @) = (и * тйФ) @) = (и * Ф) (- А),
откуда следует, что ?/ф = ы*ф, феСо°^"). Теорема доказана.
Если ие^'(К"), то, как вытекает из D.1.1), ф->ы»<р яв-
является непрерывным отображением из С" (^") в Со° (R"). т. е.
последовательности, сходящиеся к нулю, переводятся в такие же
последовательности. Кроме того, свертка и * ф определена в этом
случае для любых ф е C°°(R") и задает непрерывное отобра-
отображение из C°°(Rn) в С°°(РЯ).
Существует единственный способ определить свертку двух
распределений и\ и «2, у одного из которых носитель компактен,

128 4. Свертка
4.2. Свертка распределений 129
так, чтобы ассоциативность
(Щ * Щ) * ф = И] * («2 * ф)
продолжала иметь место для всех ipeCo"(R")- Действительно,
отображение
(Rn)
«,*
ф)
линейно, перестановочно со сдвигами и непрерывно, будучи ком-
композицией двух таких отображений. Следовательно, существует
единственное u^?D'(Rn), такое что
D.2.1) «1 *(«2*ф) = « *ф, феСо"^").
Определение 4.2.2. Свертка и\ * и2 двух распределений и\ и и2,
одно из которых имеет компактный носитель, определяется как
единственное распределение и, для которого справедливо D.2.1).
В силу теоремы 4.1.2 это определение согласуется с опреде-
определением предыдущего параграфа в случае, когда щ^С™, а в
силу простой модификации теоремы 4.1.2 оно согласуется с ним
и в случае, когда Hie#"(Rra), u2 e C°°(R"). Рассмотрим не-
несколько более общий случай:
Теорема 4.2.3. Если щ е= ?>к (R"), и2 <= Ск (R") (или щ е= %'к (R"),
«2eCfe(R")). то щ*и2 есть непрерывная функция х-*-
щ(и2(х— •)).
Доказательство. Обозначим эту функцию через и. Ничего не из-
изменяя в доказательстве теоремы 4.1.2, получаем, что если ф е
С",
д р
2Ь'Ь (R"), ы2 s Co (Rn), то
Этим доказано первое утверждение теоремы, а второе устанав-
устанавливается точно так же.
Из данного выше определения следует, что свертка ассоциа-
ассоциативна, т. е.
щ * («г * и3) = («1 * «г) * «з>
если все распределения щ, кроме, быть может, одного, имеют
компактный носитель.
Теорема 4.2.4. Свертка коммутативна, т. е.
если у одного из распределений и\, и2 носитель компактен.
Имеет место включение
Доказательство. Для того чтобы установить, что два распреде-
распределения Vi и v2 равны, достаточно показать, что
= v2 * (ф * ^) при
С".
D.2.2)
supp («1 * «2) cr supp «1 + supp щ.
В самом деле, тогда (t»i »ф)*ф =(v2*q>)*ty по теореме 4.1.2,
а значит, vi * ф = Уг * ф и, следовательно, fi = у2. Имеем
(«1 * «г) * (ф * -ф) = «1 * (и2 *(Ф * ^)) = «I * ((«2 * ф) * ¦Ф)
= и, • ($ * («г * ф)) = (щ * ф) * («2 * ф).
Помимо теоремы 4.1.2 мы воспользовались здесь коммутатив-
коммутативностью свертки функций. Тем же путем получаем
(«г * «l) *(ф * ¦Ф) == («2 * "l) * ('Ф * ф) = («2 * ф) * («1 * ¦Ф)
= («1 * «2> * (ф • "Ф)-
Таким образом, «i*m2 = «2*wi. Чтобы доказать последнее
утверждение, выберем ф, как в теореме 4.1.4, н заметим, что
ПОСКОЛЬКУ (Ы1*Ы2)*ф = «1*(«2* ф). ТО
SUpp ((Uj * «2) *ф) с SUPP "l + SUPP  + SUPP Ф
в силу D.1.1). При 5иррф->{0} получаем D.2.2). Теорема до-
доказана.
Из D.2.2) следует, что если, скажем, и2 имеет компактный
носитель, то свертка щ*и2 определена вблизи данной точки х
и тогда, когда щ известно лишь в некоторой окрестности мно-
множества {a:}— supp«2- Поэтому если щ^З)'(Х), то свертка
щ*и2 определена на множестве
{х; х — у^Х для всех t/esuppua}.
Теорема 4.2.5. Для любых двух распределений щ, и2 в R", у од-
одного из которых носитель компактен,
D.2.3) sing supp («1 * «2) с= sing supp щ + sing supp^.
Доказательство. Пусть Иге^". Выберем функцию Ч е Со°, рав-
равную 1 вблизи sing supp «2, и запишем и2 в виде «2 = ^2 + ^2,
где t»2 = ф«2, а о>2 = A — 'Ф) «2 е Со°- Тогда «i*^2eC°°, ui*v2
является С°°-функцией на множестве
{х; {х} — supp о2 с: С sing supp «i}.
Отсюда следует, что
sing supp щ * и% = sing supp щ * v2 с: sing supp щ + supp v2,
и, поскольку supp v2 c= supp 1J3 можно взять сколь угодно близ-
близким к sing supp «2, мы получаем D.2.3).
9 Зак. 821

130 4. Свертка
4.2. Свертка распределений 131
Дифференцирование можно толковать как свертку, ибо
D.2.4) даи = (да60) * и, ue«'(R").
Действительно, в силу D.1.2) для любой функции <peC"(R")
(даи) *ф = и * {д\) = « • (б0 * (д\)) = и * (д%) * ф,
чем D.2.4) и доказано. Отметим, в частности, что свертка с бо
есть тождественный оператор. Для всяких двух распределений
«ь «2, у одного из которых носитель компактен, справедливы
равенства
D.2.5) да (и, * «г) = (дащ) *и2 = и1* дащ.
В самом деле, если записать дифференцирования как свёртки
с да6о, то это сразу следует из ассоциативности и коммутатив-
коммутативности свертки. Более общо, для любого дифференциального
оператора с частными производными
Р=Цаада
с постоянными коэффицентами аа е С, (число слагаемых ко-
конечно) справедливы равенства
D.2.4)' Ри = (РЬ0)*и, be2)'(R"),
D.2.5)' P(Ui*aj)
Докажем теперь локальный вариант теоремы 4.2.3, содержа-
содержащий теорему 4.2.5.
Теорема 4.2.6. Пусть «ie2)'(R") и «2e3"(R"). Свертка щ*и2
принадлежит классу Ck вблизи точки х, если для всякой точки
у еsuppи2 можно указать целое число />0и открытую окрест-
окрестность Vy этой точки, такие что щ е Фч ( {х} — Vy), а и2^
Ck+i(Vy) или же «1 е Ck+i({x} — Vy), a u2<=2>'i(Vy).
Доказательство. Можно считать, что х = 0 — иначе нужно про-
просто произвести соответствующий сдвиг распределения и\. Из
теоремы 4.2.3 и D.2.5) следует, что если ф. t|jeC"(Kj,), то
(ф«,) *(iJ3«2)eCo (R )• Выберем открытое покрытие Wu ..., WN
носителя распределения и2, такое мелкое, что Wyf\ №ц=И=0 вле-
влечет Wv U Wft с: Vy для некоторого у. Пусть ф?еСо°( Wv) и 2Фу =
1 вблизи носителя щ,. Тогда ы2= Xфv«2 и
«1 * "г = @ — Е Фц) «i) * «2 + S (Фи) * (фу"г)-
V, И
Те слагаемые в последней сумме, для которых supp ф? П
supp фц ф 0, принадлежат классу Ck, поскольку supp фу О
ррфцу при некотором у. Все прочие слагаемые равны
нулю в некоторой окрестности 0 в силу D.2.2). Тем самым тео-
теорема доказана.
Часто свертку щ * и2 можно определить и в тех случаях,
когда ни «1, ни «2 не имеют компактного носителя. На самом
деле все, что нужно, — это чтобы отображение
D.2.6) supp щ X supp «г э (х, y)->x-\-y<=Rn
было собственным, т. е. чтобы прообраз каждого компакта был
компактом. Это требование выглядит весьма естественным в
свете определения свертки функций при помощи формулы
A.3.1)'. Итак, предположим, что щ — произвольные распреде-
распределения, для которых отображение D.2.6) является собственным.
Тогда для всякого ограниченного^ открытого множества X в R"
существует такая постоянная С, что
D.2.7) xesuppw,, t/esupp«2, * + */<= ЛГ=Н*|<С ц |#|<С.
Отсюда вытекает, что ограничение на X свертки (ф1«1)*(ф2«2)
не зависит от выбора функций Ф/ е С" (R"), при условии что
Ф/ = 1 в некоторой окрестности шара {я; |л:|^С}. Действи-
Действительно, предположим, что мы изменили функцию фЬ добавив к
ней функцию ifi, равную нулю вблизи этого шара. В силу D.2.2)
supp (iM,) * (Фг"г) <= supp AМ1) + supp ((^щ).
Ввиду D.2.7) правая часть не содержит ни одной точки множе-
множества X, поэтому
В X.
Таким образом, мы можем определить свертку щ * и2 в X как
указанное выше ограничение. Заметим, что в силу теоремы 2.2.4
эти локальные определения в совокупности определяют и\ * и2
как элемент из 3) (Rn)- Более общо, если X — наибольшее
открытое множество, на прообразе которого отображение D.2.6)
является собственным, то свертка и\ * и2 определена в X и оста-
остается верным соотношение D.2.2).
В качестве примера заметим, что если M/eiU'(R), / = 1^2„
и supp w;-crR+, то свертка и\*и2 определена и supp(«i*«2)c:R+.
Более общим образом, пусть Гсг R" — замкнутый выпуклый ко-
конус, собственный в том смысле, что он не содержит ни одной
прямой. Тогда при любом С множество
{(х, у)^ГХГ, \х +
ограничено. Действительно, если (х,-, у/) е Г X Г и |/ + #/|^,
[л:/|->-оо, то можно перейти к подпоследовательности, для ко-
которой л://|л:/|->хе Г, а значит, #//|*/|-»-— хе Г. Но тогда
9*

132 4. Свертка
4.3. Теорема о носителях 133
прямая Rx лежит в Г, вопреки предположению. Следовательно,
для всякого такого конуса свертка распределений, принадлежа-
принадлежащих множеству
{we0'(Rn), supp«c=r},
всегда определена и превращает это множество в алгебру.
4.3. Теорема о носителях
В этом параграфе мы докажем для носителя свертки включе-
включение, противоположное D.2.2). Без определенных ограничений
это нельзя сделать. В самом деле, если мы возьмем щ = I, а в
качестве и2 — функцию с \ щ dx = 0, то получим щ * и2 = 0.
Поэтому приходится предполагать, что как щ, так и и2 имеют
компактный носитель. Однако и этого мало: если «i — характе-
характеристическая функция ограниченного открытого множества X,
a supp u2 а В, где В — некоторый шар 1\ то
supp «! * «2 с: (дХ) + В,
но множество в правой части не содержит X -f- supp u2, если
шар В достаточно мал. Это вынуждает нас брать выпуклые обо-
оболочки носителей, и мы сделаем небольшое отступление, чтобы
обсудить это понятие, а уже затем вернемся к основной теме.
Определение 4.3.1. Для всякого компактного подмножества Е
в R" через chE обозначается его замкнутая выпуклая оболочка,
т. е. пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержа-
содержащих Е.
Эквивалентное определение: chE — это замыкание выпук-
выпуклого множества центров тяжести
По теореме Хана — Банаха если уф chE, то можно разделить
у я chE гиперплоскостью (х, |>=с так, что <лг, Б> <С с. для
х-е chE, но {у, ?> > с. Положим
D.3.1) ЯЕ (|) = sup <jc, g)= sup
p
х е= Е
Как мы только что видели, уф chE влечет (у, |> >Яя(|) при
некотором Б, поэтому ch Е совпадает с множеством всех х е К",
таких что
D.3.2) (х, 1)<Я?A), geR".
') И опять-таки \ u%dx = 0. Прим. ред.
Функцию Не называют опорной функцией (для) множества Е.
Будучи точной верхней гранью линейных функций, она обла-
обладает следующими свойствами:
D.3.3)
? (т,),
Б, т) t= R".
Далее, Не{\)<. оо для всех |е R", поскольку Е ограничено, и
из D.3.3) видно, что Не выпукла.
Теорема 4.3.2. Для всякой выпуклой положительно однородной
функции Н на R" существует ровно одно выпуклое компактное
множество К, такое что Н = Нк, а именно
D.3.4)
К={х;{х,
Доказательство. Мы уже доказали, что если К выпукло и Я =
Нк, то К должно задаваться формулой D.3.4), Поэтому остается
только проверить, что НК=Н для К, заданного этой формулой.
В силу определения К, Нк ^ Я. Положим
G = {(|, t)gR"+1;
Это — замкнутое выпуклое множество, поскольку функция Я
выпукла, а значит, непрерывна. Следовательно, для любой
точки т) е R" существует полупространство, содержащее G и
такое, что точка (л, #(л)) лежит на его граничной гиперпло-
гиперплоскости. Таким образом, мы имеем для некоторой точки (у, /)е
Rn+l\0 и некоторого seR
(У,
при (|, т) €= G; (у, t|> + *Я (л) = а.
В этом неравенстве т можно заменить любым большим числом,
поэтому / ^ 0. Если бы t = 0, то мы получили бы <#, |> ^ а
для всех Б е R"» что невозможно, поскольку тогда бы и у = 0.
Следовательно, f > 0. Так как Я положительно однородна, мно-
множество G инвариантно относительно умножения на положитель-
положительные скаляры, откуда следует, что а<0и что
Значит, х = —у Ц еКи
Нк 01) > (х, Л> = Я (л) - а/* ^ Я (л),
чем и завершается доказательство.
Для любых двух компактных подмножеств
опорная функция их суммы
и Кг в R

134 4. Свертка
очевидно, дается формулой
Нк,+Кг = Яд, + Нк.г-
Далее, для всякого компактного множества К и всякого t
полагая
получаем
, т. е.
-Шк(-\
при
при
t > О,
t < 0.
Наконец, если Ко.— произвольное семейство компактных мно-
множеств, содержащихся в некотором фиксированном компактном
множестве, и К— замыкание объединения множеств из этого
семейства, то
Нк = sup HK
а "
Обратно, если правая часть конечна при всех |, то она является
опорной функцией некоторого выпуклого кмпактного множества
К', содержащего Ка для каждого а, и, следовательно, справед-
справедливо записанное выше равенство. Таким образом, имеется про-
простой способ переходить от операций над множествами к опера-
операциям над опорными функциями.
Теперь сформулируем главный результат этого параграфа —
теорему о носителях:
Теорема 4.3.3. Для любых ии «2e^'(R")
D.3.5) ch supp «i *щ = ch supp щ + ch supp щ.
Доказательство. То что левая часть содержится в правой, сле-
следует из D.2.2), поэтому достаточно показать, что
D.3.6) supp И] + supp щ cz ch supp щ * щ.
При этом можно считать, что ы/^Со- В самом деле, если
функция ф выбрана, как в теореме 4.1.4, а D.3.6) уже установ-
установлено для сверток гладких функций, то
supp («1 * ф) + supp («2 * ф) с= ch supp («! * ф * «2 * ф)
с= ch supp («i * и2) + ch supp ф * ф,
и при 5иррф-э-{0} мы получаем D.3.6) в общем случае. Пока-
Покажем, что D.3.6) для Щ ^ СТ вытекает из следующего включе-
включения, отвечающего частному случаю щ = и2 = и:
D.3.7) 2 supp и a ch supp и* и, - a^C™(R"),
а потом докажем само это включение.
4.3. Теорема о носителях 135
При фиксированных щ, a2EC*(R°) положим для / = 0,1,...
U supp (p,«i) *
где Р\ и Р2 — многочлены. Ясно, что Ко — ch supp u\ * и2, и
D.3.6) будет установлено, если удастся показать, что Kj= Ко
при всех /. Действительно, это означает, что
supp (pi«i) * (р2Иг) с= Ко
для любых многочленов р/, а значит, и для любых целых ана-
аналитических функций Pi, поскольку последние суть пределы своих
многочленов Тейлора. Возьмем
где Е определено, как в теореме 3.3.3, а X/ — точки, в которых
Щ (xl) ?= 0. При t \ 6 получаем
supp и, (Xi) щ (х2) 6Xl * Ьъ <= /Со»
откуда и следует, что supp щ + supp u2 сг Ко-
Для того чтобы доказать, что К,- = Ко при всех /, достаточно
показать, что
D.3.8) 2K,<=Ki-
В самом деле, из D.3.8) вытекает, что если Я/ — опорная функ-
функция множества /С/, то
а значит, Hj+k ^ #/_i +(&+ 1) (Я/ — HS-{). Поскольку Н!+к ма-
мажорируется суммой опорных функций для supp щ и supp ы2, мы
заключаем, что Я/ — Я,-_1 ^ 0. Но Я/_1 ^ Я/, ибо Kt-i с: К/,
следовательно, Я/ = Я/_1 при всех / > 0, что и требовалось до-
доказать.
Включение D.3.8) означает, что если degpi + degp2 ^ /, то
2 supp (piUx) * (р2«2) с= /C/_i -Ь Кц.1-
Чтобы установить это последнее включение, достаточно, в силу
D.3.7), показать, что
. Поло-
ПолоD.3.9) supp (p,Ui) * ОэдО * (Pi«i) * (Р2Щ) с= К i-\ +
Доказывая D.3.9), можно считать, что pi(x) =
жим ?2(х) = Xvp2(x). У свертки
* (Р2«2)) ==

136 4. Свертка
4.4. Роль фундаментальных решений 137
носитель лежит в Kf-i, поэтому у ее свертки с (p\U\)*(p2Un) но-
носитель лежит в Ki-i + Ki cz Ki-i + Kj+i. Но и у
(<7l«l) * (Ч2Щ) * (Pl«l) * (P2«2) = ((?l«l) * (P2«2)) * ((Pl«l) * (?2«2))
носитель лежит в Kj-i + Kj+\, чем включение D.3.9) и доказано.
Оставшееся за нами доказательство включения D.3.7) осно-
основано на следующих леммах:
Лемма 4.3.4. Если ueCo°(Rra) и й{х) = и{— х), то
D.3.10) ||и*й||2 = ||ы*ы||21.
Доказательство. Для всякой функции g^C™
D.3.11) \\g\\h = g*g@),
поэтому обе части D.3.10) равны и*п*и*п@).
Лемма 4.3.5. Для всякого компакта К в R"
D.3.12)
Доказательство. Последовательное интегрирование по частям по
каждой переменной дает формулу
и(х) =
— Ух) ... (хп — yn)d2i... д\и(у)dy,
из которой и следует D.3.12).
Завершение доказательства теоремы 4.3.3. Используя D.3.10)
и D.3.12), получаем с учетом D.3.11)
||B||?,<sup|««2|<C||(d, ... дпи)*(д{ ...dnu)\\Lt
= сЫ...д2пи*и||L,, ие=Со (К).
Заменяя здесь и на функцию «g, задаваемую формулой
и замечая, что
да (щ * щ) (х) = е01'1) F + д)а (и * и) (х),
приходим к неравенству
\e2{x-l>\u(x)\2dx^C ^ —*"- 1а"Г 2"й|-а I2'V/2
где Н—опорная функция для supp«*«. Заменяя ? на /с и по-
полагая f-»-+oo, заключаем, что
2<ж, |><Я(Б), если и(лг)^О.
Следовательно, 2<х, |> ^ Я(|) для х е supp ы, что и доказывает
включение D.3.7), а с ним и теорему 4.3.3.
4.4. Роль фундаментальных решений
Прежде всего напомним, что дифференциальный оператор с по-
постоянными коэффицентами в R —это конечная сумма
где ateC. В соответствии с определением 3.3.1 распределение
E^3)'(Ra) именуется фундаментальным решением для Р, если
D.4.1) . Р? = 60.
В § 3.3 были построены фундаментальные решения для ряда
операторов. Позже мы докажем (теорема 7.3.10), что у каждого
оператора есть фундаментальное решение.
Важность фундаментальных решений объясняется следую-
следующими двумя соотношениями, вытекающими из формул D.2.5)':
D.4.2) ' Е*(Ри) = и, «Gr(R"),
D.4.3) p(E*f) = f, f<=8'{Rn).
Таким образом, оператор свертки с Е является и левым, и пра-
правым обратным к оператору Р. Из D.4.3) вытекает, что уравне-
уравнение Ри = f имеет решение для любого fe ^'(R"), а с помощью
D.4.2) оказывается возможным, скажем, получать информацию
об особенностях и, располагая информацией об особенностях
Ри:
Теорема 4.4.1. Если у Р имеется фундаментальное решение с
sing supp ? = {0}, то для всякого открытого множества X в R"
D.4.4)
sing supp ы== sing supp Ри,
Доказательство. Всегда верно, что sing supp Pu a sing supp и.
Если и е 8', то в силу D.4.2) и теоремы 4.2.5
sing supp и = sing supp E * (Ри) с sing supp Pu,
так что для и^&' наше утверждение доказано. Далее, для про-
произвольного открытого относительно компактного подмножества
У в X, выбирая функцию ty^Co'(X), равную 1 на этом

138 4. Свертка
подмножестве, получаем
У Л sing supp Ри = У Л sing supp
= У Л sing supp "фы = У Л sing supp и,
откуда и следует D.4.4).
Примерами операторов, к которым применима теорема 4.4.1,
служат оператор Коши — Римана, оператор Лапласа и оператор
теплопроводности; для них в § 3.3 были построены фундамен-
фундаментальные решения, имеющие особенность лишь в 0. Заметим, что,
взяв X = -Rn, а и равным фундаментальному решению Е для
рассматриваемого оператора, мы получим, что D.4.4) влечет
sing supp ? = {0}. В § 11.1 мы охарактеризуем операторы, к ко-
которым применима теорема 4.4.1; они называются гипоэллиптиче-
скими. А сейчас, повторяя доказательство теоремы 4.4.1, пока-
покажем, что для всех таких операторов справедлив аналог теоремы
Стилтьеса — Витали:
Теорема 4.4.2. Пусть Р удовлетворяет предположениям тео-
теоремы 4.4.1. Если и/^С (X), Ри/ = 0 и щ-*-и в 2)'(Х) при
/
, то ы<= С00(X) ищ
щ
ив С°°(Х).
Доказательство. Поскольку Ри = Игл Рщ = 0, то «еС()
в силу теоремы 4.4.1. ПоэтЪму можно считать, что и = 0. Если
выбрать У и \|>, как в доказательстве теоремы 4.4.1, то /;-=
Р(г|)«/)->-0 в <§' и supp ft с suppchp с X\Y. На произвольном
компакте К с: У
дащ (х) = даЕ * ff (х) = fj {даЕ (х— ¦)) -> 0 равномерно при j-*°o,
что и доказывает теорему.
Для операторов Коши — Римана и Лапласа мы имеем фун-
фундаментальные решения, которые вещественно аналитичны в
R"\{0}, т. е. аналитичны в некоторой окрестности этого мно-
множества в С". В таких случаях можно усилить теорему 4.4.2:
Теорема 4.4.3. Предположим, что Р имеет фундаментальное ре-
решение Е, вещественно аналитическое в Rra\{0}. Тогда у всякого
открытого множества X с= R" существует такая открытая окре- ¦
стность Z а,Сп, что каждое решение в X уравнения Ри = 0
можно продолжить до аналитической функции в Z. Если Ри,- = 0
в X и щ-*-и в 2)'{Х), то последовательность таких продолже-
продолжений функций щ — и на Z сходится к 0 равномерно на компакт-
компактных подмножествах множества Z.
Доказательство. Пусть Zo — открытое множество в С", такое что
Zo nJR* = R"X{0} и Е аналитично в ZO. Выберем У, if, как в
4.4. Роль фундаментальных решений 139
доказательстве теоремы 4.4.1, и положим f = P(tyu). Тогда
u(x) = E*f(x)=\E(x-y)f(y)dy, *е=У.
Правая часть определена и аналитична на множестве
D.4.5) {г;1?ег<=У и z — t/eZ0 при г/esuppi
являющемся окрестностью множества У в С". Мы можем вы-
выбрать Zo так, чтобы
а тогда тем же свойством будет обладать и множество D.4.5).
В таком случае всякая аналитическая функция на множестве
^4.4.5) однозначно определяется своими значениями при веще-
вещественных аргументах, и, варьируя *|з и У, мы получаем аналити-
аналитическое продолжение решения и на объединение Z всех открытых
множеств вида D.4.5). Этим доказано первое утверждение тео-
теоремы, а второе устанавливается аналогично.
В гл. 7 и 8 мы покажем, что теорема 4.4.3 применима тогда
и только тогда, когда оператор Р эллиптичен, т, е.
\a\=m
где пг обозначает порядок оператора Р.
Следствие 4.4.4. Пусть Р удовлетворяет предположениям тео-
теоремы 4.4.3 и X — связное Открытое множество в R". Если реше-
решение иеЖ'(X) уравнения Ри = 0 равно нулк) на некотором от-
открытом непустом подмножестве в X, то и = 0.
Доказательство. Это следует из единственности аналитического
продолжения.
Мы можем теперь доказать обобщение классической аппрок-
симационной теоремы Рунге:
Теорема 4.4.5. Пусть Р удовлетворяет предположениям теоремы
4.4.3 и У czXcz R" — открытые множества, такие что Х\ У не
представимо в виде дизъюнктного объединения F[}K, где К ком-
компактно и непусто, a F замкнуто в X. Тогда всякое решение
u^C°°(Y) уравнения Ри=0 является пределом в C^iY) неко-
некоторой последовательности ограничений на Y решений того же
уравнения в X.
Доказательство. В силу теоремы Хана — Банаха, достаточно по-
показать, что если распределение ше^Г'(У) ортогонально всем
решениям уравнения Ри = 0 в X, то оно ортогонально всем его

140 4. Свертка
4.4. Роль фундаментальных решений 141
решениям в У. Положим
(Ё, Ф> = <?, ф),
где ф(*)=ф(—х). Ясно, что Ё(х)=*Е(—х) при хФО, поэтому
распределение Е аналитично при х Ф 0. Далее, *РЁ = бо, где
Тогда предел
y-ltanf
— транспонированный к Р оператор, т. е.
<*Pv, и) = {v, Ри) при веГ (Y), и
Положим теперь
о = Е * до.
Тогда *Pv = до. Поэтому если мы покажем, что а
сюда будет следовать, что
Ри = 0 в У=><ю, u) = (*Pv, u) = (v
°(У).
), то от-
оти теорема будет доказана.
Но и является аналитической функцией вне М = supp до. При
Х
dav(x) = {daxE(--x), до> = 0
для каждого а, поскольку
r — x) = {J при у^л.
Следовательно, v = 0 во всякой связной компоненте О множе-
множества СМ, содержащей точки из СХ. Если О — связная компо-
компонента множества СМ, содержащаяся в X и ограниченная, то
множество /( = О|"|(Х\У)с=Х\У ограничено и замкнуто, ибо
дО <= дМ с= У с= X. Значит, К компактно, a F = (СО) Г) (Х\ У)
замкнуто в X; поэтому К = 0, и, следовательно, О czY. Таким
образом, у = 0 в каждой связной компоненте множества СМ,
не содержащейся в У, за возможным исключением неограничен-
неограниченной компоненты, если она является подмножеством в X. Тем
самым теорема доказана для случая, когда X не содержит окре-
окрестности бесконечности.
Повторно используя уже доказанную часть теоремы, убе-
убедимся, что для любого шара В каждое решение уравнения
Ри = 0 в В является пределом некоторой последовательности
решений щ этого уравнения в R". Действительно, пусть В =
BoczB\ с:B2cz ... — последовательность концентрических ша-
шаров, радиусы которых стремятся к бесконечности. Существует
последовательность ы}, такая что P«j = O в В, и «}-+о в В, и
далее можно последовательно найти решения ukt в Bk, такие что
существует во всем R" и Рщ =0. Кроме того,
\щ-и}\^2-' в Во,
чем и доказано сделанное утверждение.
Возвращаясь к доказательству самой теоремы, мы видим,
что если supp до содержится, скажем, в шаре радиуса R с цент-
центром в 0, то
v{x) = (E{-— x), до> = 0 при \x\>R,
так как функция у-*-Е(у — х) есть предел в C°°{{y; \y\<R})
последовательности решений в :R", ортогональных к до по пред-
предположению. Итак, v = 0 и в неограниченной компоненте мно-
множества СМ, чем и завершается доказательство.
Замечание. В случае когда предположение теоремы 4.4.5 относи-
относительно множества Х\У не выполняется, эта аппроксимационная
теорема неверна, ибо всякая последовательность решений щ в X,
сходящаяся в У, должна была бы тогда сходиться и на откры-
открытом множестве Y[)K = X\F. Дело в том, что, взяв функцию
<fi^C™(X\F), равную 1 в некоторой окрестности О множества
К, мы имеем на О
но у функции fi = P(<pUj) носитель лежит в supp dtp cz X\ (F[}
К) = У, поэтому последовательность щ сходится к некоторому
решению в Y\}0. Однако для хо^К решение и(у) = Е(у — х0)
уравнения Ри = 0 в У нельзя продолжить до решения в Y\jK,
поскольку для такого продолжения U разность до = ы—U рав-
равнялась бы нулю в У11^\{л:о}, что невозможно, так как Рдо = дх,
в Y[}K (мы предполагаем, что оператор Р не есть константа).
Наконец, докажем одну теорему существования, в которой
используются как D.4.2), так и D.4.3):
Теорема 4.4.6. Пусть Р удовлетворяет предположению теоремы
4.4.3 и X — открытое множество в R". Тогда для всякого
f е 3)'(Х) существует и е 2)'(Х), такое что Ри = /.
Доказательство. Обозначим через X/ множество всех точек
хеХ с |*| </, находящихся от СХ на расстоянии >1//.Усло-
>1//.Условие теоремы 4.4.5 выполнено для У = X/. Действительно, для
всякой точки хеК расстояние между нею и произвольной точ-
точкой i/gCX должно превышать 1//, поскольку отрезок с кон-
концами у я х должен содержать точ^и из X/, и |л:| < /, поскольку

142 4. Свертка
4.4. Роль фундаментальных решений 143
точка х должна принадлежать некоторому отрезку с концами,
лежащими в X,-. Выберем функцию ф/ <= С" (X), равную 1 на X,,
и положим Vj = E*(<f>,f). В силу D.4.3),
Pv, = Vlf=>f в X,.
Теперь нам надо подправить о/ так, чтобы существовал предел
при /->оо. С этой целью заметим, что vj+\ —»/ удовлетворяет
в Xj уравнению Р(»/-н — &/) = 0. Поэтому, согласно теореме4.4.5,
найдется функция w,- е= С°° (X), такая что Pw, = О и
Тогда предел
и = lim (v,— ?
существует в Ж>'(Х) и удовлетворяет уравнению Pu = f. В са-
самом деле, на множестве Xk мы имеем при / > Л + 1
v vV
' — la W{ = la (vi + l — Vi — '
i<i k+l
-?
При /->оо первая сумма в правой части равномерно стремится
на Хь к некоторому решению v уравнения Pv — О, откуда и сле-
следует наше утверждение, ибо Pvk+\ = f в Х^.
Теперь легко показать, что все распределения представимы
в виде B.2.1):
Теорема 4.4.7. Для всякого f^2)'(X), XcR", существуют
fa^C(X), такие что совокупность множеств supp/a локально
конечна и
В случае f
ным.
число слагаемых в сумме можно взять конеч-
конечДоказательство. Так как х™/т\ служит фундаментальным ре-
решением для оператора (d/dx)m+l на R при любом целом неот-
неотрицательном т, то произведение
будет фундаментальным решением для P = (di ... dn)m+l в R",
причем E^.Ck при k <. т. Следовательно, если /s^"*(Rra),
то u = ?*/g C(R") удовлетворяет уравнению Ри = f. В общем
случае, действуя, как при доказательстве теоремы 2.1.5, выбе-
выберем сперва какое-нибудь разбиение единицы 1 = ?ф; на X, а
затем для каждого / функцию X/&С^° (ЛТ), равную 1 вблизи
носителя функции if/. Если т/ больше, чем порядок распреде-
распределения %jf, то, как мы только что видели, существует функция
и,- е= C(R"), такая что (д, ... dn)m'+l uj = %jf. Поэтому
</, Ф> = ? Ш> */Ф> = ? <"/. ± Ci ... <Э„)т/+1 (^/Ф)).
Выполняя дифференцирования, получаем искомое представле-
представление.
В качестве приложения теоремы 4.4.7 докажем такое обоб-
обобщение следствия 3.1.6:
Теорема 4.4.8. Пусть Х= YX.IczRn, где Y — открытое множе
ство в R", а / — открытый интервал в R, и пусть иЖ
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
где а,- — дифференциальные операторы по х'= (х\, ..., xn-i)
с коэффициентами из С°°(Х), a f — непрерывная функция от
хк^1 со значениями в 3)'(Y). Тогда и является Ст-функцией
от Хп^.1 со значениями в 2D'{Y).
Доказательство. Если допустить векторнозначные и и матрично-
значные коэффициенты, то дело сводится к случаю m = 1, точно
так же, как это было для следствия 3.1.6. Поэтому будем далее
считать, что т = \. Уменьшая, если надо, У и /, мы можем в
силу теоремы 4.4.7 записать и в виде конечной суммы
и= ? даиа,
D.4.6)
где цае С(Х), а из доказательства этой теоремы следует, что и
/=
|o|=iFTon=o
(просто рассматриваем хп как параметр и применяем это дока-
доказательство к остальным переменным). Если «0 = 0 для всех а
с ал > 0, то и и дпи = f — ары — непрерывные функции со значе-
значениями в 2E)'(Y). В противном случае пусть v — наименьшее це-
целое число, такое что иа = 0 при |<х„| > v. Тогда
dnu = f- аф.=? д% - ? аЛ = ? dava=дп ? дava,
где va и Va — непрерывные функции, причем va = 0 при ап > v,
Va = 0 при ап > v — 1. Действительно, представление с функ-
функциями va получается, если последовательно «протащить» коэф-
коэффициенты оператора а0 через каждый оператор частного диф-
дифференцирования; напомним, что в а0 входят лишь производные
по х'. Чтобы перейти к представлению с Va, просто выделяем

144 4. Свертка
4.5. Основные ^-оценки для сверток 14S
один множитель дп, если ап > 0, или берем первообразную от
va по х„, если ап = 0. Для w = u— ЛдаУа имеем dnw =0. Сле-
Следовательно,
В силу теорем 3.1.4' и 4.4.7. Таким образом,
причем в каждом члене ап ^ v—1. Повторяя рассуждение v
раз, получим аналогичное представление, для которого ап = 0
в каждом члене, чем теорема и доказана.
В случае когда для и существует представление D.4.6) с иа>
непрерывными в УХ1, проведенное выше доказательство дает
больше:
Теорема 4.4.8'. В дополнение к условиям теоремы 4.4.8 предполо-
предположим, что и можно продолжить до распределения в УХЛ где
J — некоторая открытая окрестность интервала I, a f непрерывна
в 7 (как функция со значениями в 2D'(Y)). Тогда и является
Ст-фунщией на Т со значениями в @>'(Y).
Заметим, что теорема 3.1.11 —в сущности лишь частный слу-
случай последней теоремы, в котором речь идет о решениях уравне-
уравнения Коши — Римана. Теорема 4.4.8' весьма важна, поскольку
она позволяет дать интерпретацию граничных условий типа
и = и0 при хп = х0,
где хо — концевая точка интервала /, a uq^3)'(Y). Кроме того,
она доставляет возможность однозначно продолжать и до рас-
распределения в УХК» полагая и как функцию от хп равным 0
вне /.
4.5. Основные //-оценки для сверток
В этом параграфе используется обозначение
\\u\\p=(\\u(x)\pdx)Up
для aeL^R"), 1 ^ р < оо. Чтобы не возникало вопросов о
сходимости, мы обычно предполагаем, что «еСц и в таком#
случае пишем ||и||„> = sup|uj. Следующее неравенство по суще-
существу представляет собой неравенство Гёльдера, к которому оно
и сводится в частном случае k == 2.
Теорема 4.5.1. Для любых ии ..., и*
D.5.1) \щ*щ*..
= k-l и
если
D.5.2) 1/р,+ ... +
Доказательство. Рассмотрим сперва крайний случай, когда
pi = с» для некоторого /, скажем р\ = то. Тогда р,- = 1 для всех
/ ф 1 и неравенство D.5.1) проверяется непосредственно. С дру-
другой СТОРОНЫ, еСЛИ ПОЛОЖИТЬ l/pj — tj И Vi = \Uj\pj, ТО ЯСНО, ЧТО
D.5.1) равносильно неравенству
D.5.3)
v\l*
*^*@)<1 при 0<0/6= Со,
где Os^/s^l и ?</ = &— I. Левая часть этого неравенства —
выпуклая функция от /, поскольку выпукла по t функция
П Vj (xrfi = exp (E h log v, (x,)). Далее,
где ё/ — вектор, у которого /-я координата равна 0, а все осталь-
остальные 1. Так как 0^1 — t,- ^ 1 и ^A — i/)= 1, то справедли-
справедливость нашего неравенства следует из того, что оно верно в слу-
случае t = ei, разобранном в начале доказательства.
Следствие 4.5.2. Если lsS^p/^то, / = 1, ..., k, и
то
D.5.4} || щ * ... * uk ||, < || щ ||Р) ... || uk \\Pk.
Доказательство. Обозначая свертку в левой части через и, имеем
для любой функции !/еС0
| и * v @) |< || щ \\Pl ...\\uk \\Pk || v ||?„ 1/<7 + \/q' - 1,
в силу D.5.1) с & + 1 сомножителями. Неравенство D.5.4) сле-
следует поэтому из теоремы об обращении неравенства Гёльдера.
В частности,
D.5.5) Ци*А||,<С||и||р,
если l^p^^^'oo и k^Lr, где 1/г=1 + 1/<7—1/р. При
q = оо, как видно из обращения неравенства Гёльдера, оценка
D.5.5) может выполняться, только если k e Lr. To же верно и
для р=1, ибо в силу неравенства Гёльдера и его обращения
оценка D.5.5) равносильна оценке
Ю Зак. 821

146 4. Свертка
4.5. Основные 2>-оценки для сверток 147
а значит, сохраняет силу, если заменить в ней q и р на р' и q',
где 1 /р + 1 /р' = 1, l/q-\- \/q' ==l. Отсюда следует, в частно-
частности, что наш результат D.5.5) неприменим ни к какой однород-
однородной функции к при г < оо. В самом деле, если, скажем,
D.5.6)
то интеграл \k(y)rdy расходится на оо, когда г/а^.1, или
в 0, когда г/а ^ 1. Тем не менее мы докажем сейчас неравен-
неравенство Харди — Литтлвуда — Соболева, утверждающее, что оцен-
оценка D.5.5) остается справедливой и для этой функции k, как
если бы она принадлежала La, за исключением крайних слу-
случаев, в которых, как мы знаем, оценка D.5.5) выполняться не
может:
Теорема 4.5.3. Если 1<а<оо, 1<р<<7<°°"
D.5.7) 1/р+1/а=1 + 1/<7,
то
D.5.5)' [| йа *« И, <СР, а || ы[|р, «еС0,
где ka — функция, заданная формулой D.5.6).
Доказательство теоремы основано на нескольких леммах.
Ниже 1/а + 1/а' = 1,
Лемма 4.5.4. Если. 1 ^ р < а', то
D.5.8) \\ka*a\\oo^Cp,a\\uC\\utPla\ u<=Lp(\L°°.
Доказательство. Для всякого R > О
] \yrnla\ti(x-y)\dy+ J \yfnla\u(x-y)\dy
\y\<R \y\>R
так как
\
\y\>R
при некотором конечном d, ибо р' > а. Если мы сбалансируем
слагамые, выбрав R так, чтобы Rnlp = || и||р/|| иIL, то получим
^!''о/ = ||«11?/а'||и|1;Р'0'. откуда и следует D.5.8). *
Далее нам понадобится следующая фундаментальная лемма
Кальдерона и Зигмунда о покрытии:
Лемма 4.5.5. Пусть ueL'fR") и s — положительное число. Су-
Существует представление функции и в виде суммы
оо
D.5.9) « = »+Е%
где все слагаемые принадлежат L1,
почти всюду
D.5.10) И^
D.5.11) laW
и для некоторой последовательности попарно непересекающихся
кубов lk
D.5.12) Wk(x) = Q при
D.5.13) . s?
. l
В случае когда и имеет компактный носитель, носители функции
v и всех функций wu содержатся в некотором общем компакт-
компактном множестве.
Доказательство. Разобьем все пространство Rn на кубы объема
> s~l\\u\dx, так что среднее значение |ы| в каждом кубе <s.
Разобьем каждый куб на 2п равных кубов, и пусть /ц, /12,
/13, ... —те из полученных таким образом открытых кубов, сред-
среднее по которым от |ы| не меньше s*\ Имеем
D.5.14)
\u\dx<2nsm(Ilk).
'.ft
Действительно, если куб /^ был получен разбиением куба /,
то, как следует из описанной конструкции,
sm
Положим
D.5.15)
< \ I и | dx
hk
| и | dx < sm (I) = 2п stn (/lfe).
= \
при
lk,
hh
u(x) — v(x) при хе=/1Ь
О при x&Ilk.
Теперь произведем новое подразбиение всех кубов, не вхо-
входящих в число кубов Iik, выберем новые кубы /21> /22, ..., сред-
Число таких кубов конечно. — Прим. перев.
10*

148 4. Свертка
4.5. Основные ^-оценки для сверток 149
ние по которым от \и\ не меньше s, и распространим опреде-
определения D.5.15) на эти кубы. Продолжая так и далее, получим
попарно непересекающиеся кубы~//ь и функции Wjk, перенуме-
перенумеруем их в виде последовательностей. Если дополнить определе-
определение функции v, положив v(x)= и(х) при хф.0 = \Jh, то, оче-
очевидно, D.5.9) будет выполнено. Чтобы доказать D.5.10), заме-
заметим, что
S (Ifl + lofcUufOj \u\dx.
'* 'к
Поскольку наши кубы попарно не пересекаются, Wk равно нулю
вне Ik и v = и на СО, мы немедленно получаем D.5.10). Далее,
в силу D.5.14) неравенство D.5.11) справедливо для каждого
hgO, Если же хф.0, то найдутся сколь угодно малые кубы,
содержащие х, среднее по которым от |и| меньше s. Следова-
Следовательно, |н(л:)|^5 во всякой точке Лебега функции и в СО, а
значит, почти всюду. Соотношения D.5.12) верны по построе-
построению, а, складывая неравенства D.5.14), мы получаем и D.5.13),
поскольку наши кубы попарно не пересекаются. Доказательство
завершено.
Причина, по которой мы хотели, чтобы функции w^ имели
нулевой интеграл, — в следующей лемме:
Лемма 4.5.6. Если у функции w gL1 носитель лежит в кубе I,
\ w dx = 0 и I* — удвоенный куб, т. е. куб с тем же центром
и в два раза большей стороной, то
D.5.16) ( \ |*а* о,№Y/a «^Hi-
«^HiДоказательство. Можно считать, что |[u||i = 1. Разложим и в со-
соответствии с леммой 4.5.5. В силу D.5.8) с р = 1
( \
ve/*
Доказательство. Можно считать, что центр куба / находится
в точке 0; длину его ребра обозначим L. Используя теорему о
среднем, получаем
\ = \\(ka(x-y)-ka(x))w(y)dy\
< CL | х Г1-п1
откуда и следует D.5.16), ибо
s
Лемма 4.5.7. Оператор ka* является оператором слабого типа
A, а) в том смысле, что
D.5.17) m{x;\ka*u(x)\>t}f^Ca\\u\ri, bsL'.
Выберем s так, чтобы Csl/a = t/2. Тогда \ka *u(x) \ > t влечет
?l*e*i»*l>*/2. Для О=\}1% имеем (ввиду D,5.13), D.5.10)
и D.5.16))
m(O)<2n/s, \ Q>a*a,fe|)arf*<C
со
Отсюда вытекает, что
m {х; ? | ka * wk [ > t/2} < 2n/s + С (t/2ya < С'Га,
чем D.5.17) и доказано.
Оценка D.5.17) служит неким заменителем оценки D.5.5)',
сохраняющим силу и при р = 1. Используя прием Марцинке-
вича, покажем теперь, что вместе с леммой 4.5.4 она дает тео-
теорему 4.5.3:
Доказательство теоремы 4.5.3. Можно считать, что ||ы||р = 1. По-
Полагая
m{t) = m{x; \ ka *u(x)\ > t),
имеем
оо оо
[[ ka * и % = - ^ f dm {t) = q\ t"~'m (t) dt,
о о
так что нам надо оценить m(t). Расщепим функцию и по
«уровню» s, который будет выбран позднее:
и = v + w, причем v = и там, где | и | ^ s, w — u там где | и | > s.
В силу D.5.8) и D.5.7)
Выберем s так, чтобы
Тогда \ka*u(x) |> t влечет \ka*w(x) \ > t/2, а потому D.5.17)
дает
m (t) < m {x; [ ka * w (x) | > t/2} = CTa || w II?,

150 4. Свертка
и мы получаем, используя неравенство Минковского '>,
4.5. Основные L^-оценки для сверток 151
\ \u\dxYdt
u(x)\ )
<s<lu{x)\
Интеграл по / (неопределенный) пропорционален f-0, так как
q > а. При s = |u(*)| эта величина пропорциональна
Поэтому
чем и завершается доказательство оценки D.5.5)'.
В качестве приложения докажем сейчас теоремы вложения
Соболева, для вывода которых в действительности теорема
4.5.3 и предназначалась первоначально. Сперва дадим один ло-
локальный вариант:
Теорема 4.5.8. Пусть ибй)'(^), где X — открытое множество
в R", « 1 < р < я. Если djU е Ц0С{Х), /= 1, ..., п, то ug
LioC{X), где q определяется равенством
D.5.18) \/p=\/q+l/n.
Доказательство. Пусть Е — фундаментальное решение для опе-
оператора Лапласа, указанное в теореме 3.3.2. Положим Ej =
djE = xi\x\-n/cn. Тогда
IЕ, (х) | < | х Гп1а/сл, где 1/а = 1 - 1/п,
и теорема 4.5.3 дает (поскольку Со плотно в If)
D.5.19) П?/*о||,<С||рЦ,, oez/n*'.
Выберем функцию %^С7(Х), равную 1 в некотором большом
открытом подмножестве Y в X. Имеем
'> Имеется в виду неравенство
Здесь ?,.(x(fl,«))eL« в силу D.5.19), а Е{ *(ид,%)е=
в силу теоремы 4.2.5, поэтому ие/,'Ос(Д чем теорема и дока-
доказана.
Теперь дадим глобальный вариант теоремы 4.5.8:
Теорема 4.5.9. Пусть iiG^'(RB) и 1 < р < п. Если д,и^
Lp{Rn), /=1, ..., я, то найдется постоянная С, такая что
и — С е Lq (Rn), где q определяется формулой D.5.18).
Доказательство. Используя обозначения из доказательства тео-
теоремы 4.5.8, положим
и докажем, что dkV = dku, k = \, ..., п, — отсюда будет следо-
следовать, что v — и есть константа. Здесь L/->-?,-*feL' обо-
обозначает непрерывное продолжение отображения свертки с ?/,
определенного на Со. Выберем функцию xsCo°(R"), такую что
O^x^l и ][ = 1 в некоторой окрестности нуля, и положим
?/ (х) = % (ex) Ej {x). Мы утверждаем, что для w^V
E)*w-+Es*w в L'(Rn) при в-»0.
Поскольку \Е)*а>1,^С||а>||р, где С не зависит от е, достаточно
доказать это для w е Со. Но тогда Е) * w = Ej * w на любом ком-
компактном множестве при малых е, а \е) *w\-^\Ej\*\w\^L4,
поэтому наше утверждение следует из теоремы о мажорирован-
мажорированной сходимости. Таким образом,
v = lim Е) * djU, dkV = lim ? Е) * dkd,u == Hm ^ djE] * dm
E->-0 E->0 8-*0
(сходимость в 0'). Далее,
? djE) = x (ex) A? + e ? X/ («) ?/ = 60 + e ^ X/ («f) ?,,
где X/ = ^/X- Ho L'-норма свертки (х,(ел:)?;)*5йЫ остается рав-
равномерно ограниченной при е-*-0, следовательно, d^v = dku, что.
и требовалось доказать.
Когда р, возрастая, приближается к п, показатель q стре-
стремится к сю, и в предельном случае наш результат теряет силу •>.
Однако при р~> п справедлив некий его заменитель, основанный
на следующем дополнении к теореме 4.5.3:
Теорема 4.5.10. Пусть функция бе C'(Rn\0) однородна степени
—п/а, 1 ^ р ^ оо и
D.5.20) 0<Y = n(l —1/а
получающееся предельным переходом из неравенства треугольника в про-
пространстве La. — Прим. перев.
'> Заметим, что в случае п = р = 1 он верен. — Прим. перев.

1S2 4. Свертка
Примечания 153
sup\k*u(x)-k*u(y)\\x-y\-y^C\\u\\p,
Тогда
D.5.21)
Доказательство. Рассматриваемая свертка является функцией,
поскольку
D.5.22) ( \ \k(y)f dy\IP>^CRin-np'la)»" = CRy.
Доказывая D.5.21), мы можем считать, что у = 0, и будем ис-
использовать обозначение h =\x\. Имеем
k * и (х) - k * и @) = jj (k (х — у) — k (- у)) и (у) dy.
Разобьем этот интеграл на два — интеграл по шару \y\<2h и
интеграл по его дополнению. Первый <.C'h?\\u\\p в силу D.5.22).
Чтобы оценить второй, воспользуемся тем фактом, что |/г(я +
У) — k(y)\^Ch\y\-x-n/a. Это неравенство вытекает из теоремы
о среднем (ср. с доказательством леммы 4.5.6). Его правая часть
принадлежит L*>' на оо, поскольку
п- р'(I + п/а) = р'пA/р'-1/а)-р' = р'(у-1)<0.
Следовательно,
J \k(x-y)-k(-y)fdyYP'^Ch\
\y\>2h )
чем D.5.21) и доказано.
Упомянутый заменитель теоремы 4.5.9 выглядит так:
Теорема 4.5.11. Пусть u^3>'{Rn) и р > п. Если dju^Lp(Rn),
/=1, ..., п, то и является непрерывной функцией и
D.5.23)
sup | и (х) - и (у) |/| х - у \у
хфу
? || д,и \\р,
где y = 1 — п/р.
Доказательство. Рассмотрим свертку
v (х) = 5J] (Е, (х-у)- Е, (- у)) д,и (у) dy,
представляющую собой модификацию свертки, использованной
в доказательстве теоремы 4.5.9. Из теоремы 4.5.10 и ее доказа-
доказательства вытекает, что v — непрерывная функция и что справед-
справедливо неравенство D.5.23) с и, замененным в левой части на v.
Повторяя доказательство теоремы 4.5.9 и учитывая тот факт,
что LP'-норма функции е%;(ех)Е,- в силу D.5.22) есть O(e1~v),
получим, что
казана.
= dku для каждого k. Тем самым теорема до-
доПриводимый ниже локальный вариант теоремы 4.5.11 дока-
доказывается точно так же, как теорема 4.5.8, только со ссылкой
на теорему 4.5.10 вместо теоремы 4.5.3.
Теорема 4.5.12. Пусть ие2)'A), где X — открытое множество
в Rn, и р>п. Если djU^.LpiQC{X), j= I, ..., п, то и является
гёльдеровой функцией порядка у = 1 — п/р, т. е.
D.5.24) sup
хф у, х, yi
\и(х)-и(у)\/\х-у\у<оО для КШХ.
Повторно применяя предыдущие теоремы, получаем теоремы
вложения Соболева в полном объеме:
Теорема 4.5.13. Пусть ие2)'A), где X — открытое множество
в Rn, 1 < р < оо и m — натуральное число. Предположим, что
ЛеLiodX) при \а\ = пг. Тогда при |а|<;т
(i) d°ueLfocW, если q < оо и 1/р < \/q + (m — \a\)/n,
(и) даи является гёльдеровой функцией порядка у, если
0<v <1 и
Доказательство. Утверждение (i) получается из теоремы 4.5.8
индукцией по убывающему |а|. Чтобы до'казать (И), достаточно
ввиду теоремы 4.5.12 показать, что д/даие LfOc> / = 1> •••> п,
если n/q = 1 —у. Но в таком случае
так что это следует из (i) или из предположения теоремы.
Соответствующий глобальный результат совершенно анало-
аналогичен, только в (i) и (п) знаки ^ заменяются знаками =, и
мы опустим его формулировку.
Примечания
Описанные в § 4.1 приложения метода регуляризации к изуче-
изучению выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических
функций предназначены в основном для того, чтобы проиллю-
проиллюстрировать пользу этого метода, но некоторые из полученных
результатов понадобятся нам в гл. 15 и 16. Более подробное из-
изложение затронутых вопросов теории выпуклых функций и мно-
множеств читатель может найти в классическом руководстве Бонне-

154 4. Свертка
зена и Фенхеля (Bonnesen, Fenchel [1])!). В. гл. 16 мы продол-
продолжим исследование субгармонических и плюрисубгармоническйх
функций, используя формулы представления из теории потен-
потенциала. По теории субгармонических функций имеется недавно
вышедшая монография Hayman, Kennedy [1], а насчет теории
плюрисубгармоническйх функций читатель может справиться в
книге belong [1]. Теорема 4.1.12 по сути дела восходит к Пуан-
Пуанкаре (Poincare [1]), а теорема 4.1.15 принадлежит Лелону
{belong [2]).
Определение свертки распределений в § 4.2 мы дали, следуя
Гельфанду и Шилову [1]. Определение самого Л. Шварца будет
дано в § 5.1. Теорема о носителях из § 4.3 в одномерном случае
принадлежит Титчмаршу (Titchmarsh [1]). Простой способ
обобщить ее на я-мерный случай был предложен Лионсом
(Lions [1]). Большинство доказательств этой теоремы в той
или иной степени опирается на теорию аналитических функций
(см. § 16.3). Микусиньский (Mikusinski [1]) изобрел способ рас-
рассуждения (которым мы здесь и воспользовались), сводящий
дело к случаю свертки с одинаковыми сомножителями. В этом
случае теорема о носителях является следствием теоремы
Пэли — Винера (теоремы 7,3.1). Мы дали прямое элементарное
доказательство, использующее лишь свертки. Сходное рассуж-
рассуждение встречалось у Микусиньского (Mikusinski [2]).
Сделанные в § 4.4 замечания об использовании фундамен-
фундаментальных решений будут в систематической форме развиты в
гл. 10 и 11, поэтому здесь мы воздержимся от обсуждения этих
результатов. Оценки §4.5 для случая п=\ принадлежат Харди и
Литтлвуду (Hardy, Littlewood [1]). Соболев [2] довольно слож-
сложным способом, использующим сферическую симметризацию, свел
/г-мерный случай к одномерному. Позднее Дю-Плесси (DuPlessis
[1]) заметил, что имеется совсем простой способ такого сведе-
сведения, основанный на неравенстве, связывающем среднее геоме-
геометрическое и среднее арифметическое. Здесь мы предпочли дать
доказательства в духе Зигмунда (Zygmund [1]), применимые
и в близкой ситуации, которая будет обсуждаться в § 7.9. Клю-
Ключевой момент этих доказательств —лемма о покрытии, принад-
принадлежащая Кальдерону и Зигмунду (Calderon,"Zygmund [1]), а
в одномерном случае фактически Ф. Риссу (F. Riesz [1]). Об-
Обстоятельное изложение результатов, родственных теоремам вло-
вложения Соболева, читатель найдет в работе Nirenberg [4].
Весьма простой вывод теорем вложения из максимальной тео-
теоремы Харди — Литтлвуда можно найти в статье Hedberg [1].
" Или в книге Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1973. — Прим. перее.
Распределения
в произведениях пространств
Краткое содержание главы
В гл. 3 мы не могли определить произведение произвольных рас-
распределений. Однако, как мы сейчас увидим, это всегда можно
сделать, если рассматриваемые распределения зависят от раз-
различных переменных. А именно, для произвольных распределе-
распределений щ ^S)'(Xj), где Xj — открытое множество в R ' (/ = 1,2),
мы определим в § 5.1 произведение щ ®м2 ^S)'{Xi X Х2) — рас-
распределение в Х{ X Х2 <= Rrtl+. В случае когда щ — функции, это
будет функция Хх У^Х2^{хих2)^-щ(х{)и2{х2).
С другой стороны, каждую функцию К^.С{Х\У^Х2) можно
рассматривать как ядро интегрального оператора Ж:
(.Жи) (*,) = ^ К (хь х2) и (х2) dx2,
отображающего, скажем, С0(Х2) в C(Xi). Охарактеризовать
все операторы, обладающие такими ядрами, нелегко. В теории
же распределений имеется весьма удовлетворительный аналог
такой характризации. Это так называемая теорема Шварца о
ядре, утверждающая, что распределения Д"<= &)'(Х\ X Х2) на-
находятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными
линейными отображениями Ж из С™(Х2) в 2)' (Х{). Она доказы-
доказывается в § 5.2. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 8.2. Полу-
Полученная к тому времени довольно точная классификация особен-
особенностей позволит нам обсудить вопрос о регулярности распреде-
распределения Жи и о его определении для случая, когда и не является
гладкой функцией.
5.1. Тензорные произведения
Пусть Xj — открытое множество в R, /=1,2, и м/ <= C(Xj).
Функция т ® и2 на Х\ X Х2 <= Rni+n\ задаваемая формулой
(«1 ® щ) (*ь х2) = щ (xi) щ (х2),
Х(,

156 5. Распределения в произведениях пространств
5.2. Теорема о ядре 157
называется тензорным произведением функций щ и и2. Чтобы
распространить это определение на распределения, заметим, что
и,® щеС^Х^) и
Таким образом, щ AЧ) определено и
(и, ® щ) (ф, ® ф2) dxi dx2 =
2,
Теорема 5.1.1. Для любых распределений щ е
существует единственное распределение и <= ,2)'
чго
С~ (Л"/).
/) /= 1,2,
X Дг). га/сое
E.1.1) ' ы
При этом
E.1.2) и(ф) =
здесь предполагается, что щ действует на последующую функ-
функцию как на функцию лишь от х\. В случае когда и,- е <%', / = 1,2,
та же формула справедлива для феС°°. Распределение и назы-
называют тензорным произведением распределений ui и и2
U Пишут U = U\ ® U2.
Доказательство, а) Единственность. Нам надо показать, что если
)A
ы(ф,®ф2) = 0 для q>j(=C
то и = 0. С этой целью возьмем функции ify
=1 и
для
ДЯ> такие что
fy, и положим
В силу теоремы 4.1.4 для всякого YшХхХ.Х2 мы имеем
u*We-+u в ^)'(У) при е->0. Но ы*Чге = 0 в У при малых е,
поскольку ^e(xi — yi,x2 — У2) есть произведение функции от yi
и функции от у2. Поэтому и = 0 в У, а значит, и в X.
Ь) Существование распределения и и формула E.1.2). Пусть
Kj — компактное подмножество в Xj. Тогда
sup |
Если феС„"№
принадлежит C
Следовательно,
то
по теореме 2.1.3 и
sup I
Полагая ы(ф) = Ы1(/ф), получаем распределение и, удовлетво^
ряющее равенству E.1.1) и первому равенству E.1.2). Тем же
путем получим распределение и, для которого выполнено E.1.1)
и равны первый и третий члены в E.1.2). Следовательно, в силу
уже доказанной единственности, для и выполняются оба ра-
равенства E.1.2). Заключительное утверждение теоремы доказы-
доказывается аналогично. Заметим, что
E.1.3) supp щ ® «2 = supp щ X supp Uj.
Пример 5.1.2. Тензорное произведение бО[ X &а2 мер Дирака б0/
в точках ai<=Xf есть мера Дирака ба в точке а = (а\, а2)^
Х\ X Х2. Теорему 2.3.5 можно теперь переформулировать сле-
следующим образом: если kg SD'(Х\ Х-Хг) — распределение по-
порядка k и supp и с= Xi X {^2}, а2 е Х2, то
где a — мультииндекс, отвечающий Х2-переменным, и "ое
Прямой проверкой можно убедиться, что формула A.3.1)'
пригодна для определения свертки и в общем случае. В самом
деле, если щ, u2^?D'(Rn) и одно из этих распределений имеет
компактный носитель, то
E.1.4) (Ы[ ®«2)(ф(д:1 + х2)) = (и{ *«2)(ф)> Ф е С1" (R"),
так как
щ (ф (х, + х2)) — («2 * ф) (— х{)
(напомним, что ф(л:) = ф(—х)), а потому левая часть E.1.4)
равна и\ *(и2*Ф) @) = (ui * ы2)* Ф@)). Равенство E.1.4) можно
было бы принять в качестве определения свертки распределе-
распределений. Однако нам было удобно уже иметь в своем распоряжении
свертку при доказательстве теоремы 5.1.1.
5.2. Теорема о ядре
Каждая функция К^С(Х\Х,Х2) задает интегральный опера-
оператор Ж из С0(Х2) в C(Xi) по формуле
, Ф е Со
= J К («„ х2) Ф (х2)

158 5. Распределения в произведениях пространств
5.2. Теорема о ядре 159
Мы покажем сейчас, что если ограничиться функциями ф из Со"
и позволить Жц> быть распределением, то это определение мож-
можно распространить на произвольные распределения К- Начнем
с того очевидного наблюдения, что в случае, когда К^
С(Х:ХХ2),
E.2.1) {Жу, я|>> = #(Ч>®ф); *еС„юA,), фбЁСо"^).
Теорема 5.2.1 (теорема Шварца о ядре). Каждое распределение
K^2t>'{X\ У.Х2) определяет по формуле E.2.1) линейное ото-
отображение Ж из С™(Х2) в 3)' (Xi), непрерывное в том смысле,
что Ж<р{-*-0 в S)'(X\), если <р,--»-0 в С"(Х2). Обратно, для каж-
каждого такого линейного отображения Ж существует одно и только
одно распределение К, для которого выполнено E.2.1). Его на-
называют ядром отображения Ж.
Доказательство. Если К^З>'(Х] ХХ2), то формула E.2.1) за-
задает распределение Жу, поскольку отображение i|>-> K(ty ® q>)
непрерывно, и Ж непрерывно, поскольку отображение <р->
/C(ij>®<p) непрерывно. Переходя к обратному утверждению, за-
заметим прежде всего, что единственность устанавливается точно
так же, как в теореме 5.1.1. Доказательство существования нач-
начнем с того замечания, что для любых компактных множеств
Kj с X/ найдутся постоянные С, N,-, такие что
E.2.2)
V sup|(9>| У sup|dp<p|;
Действительно, билинейная форма
С (К,) X С (К2) э (ф, Ф)
по предположению непрерывна по <р (соотв. по ф) при фиксиро-
фиксированном ф (соотв. ф), а всякая раздельно-непрерывная билиней-
билинейная форма на произведении пространств Фреше непрерывна.
Пусть Y,- ш Xj. Выберем компактные множества К/, являю-
являющиеся окрестностями множеств ?/, и положим для (хи х2)^
Yi X Y2 и малых е > О
E.2.3) Ке («„ х2) = е-*—(Ж% ((Xl-- )/e), Ь ((*! - • )/е)),
где функции if/ — такие же, как в доказательстве теоремы 5.1.1.
Заметим, что если бы мы уже знали, что распределение К,
удовлетворяющее E.2.1), существует, то Ке равнялось бы
K*y?t:'> и, следовательно, стремилось бы к К при е->0. Наша
дальнейшая программа — показать, что Ке действительно имеет
1) ?е было определено в доказательстве теоремы 5.1.1. — Прим. перев.
предел в 0D'{Yi X Y2) при е-»-0, а затем проверить, что для
этого предела выполнено E.2.1).
Значение Ке(х\, х2) определено при всех е, меньших чем
минимальное из расстояний от У/ до СК/> и в силу E.2.2)
E.2.4) |Kf(*It
при
t, /=1,2,
где ц = Ni + N2 + п\ + п2. Покажем, что Ке имеет предел в
Ж>'*+1 (Y\ X У2) при е-»-0 (последующее рассуждение весьма
близко к использованному при доказательстве теоремы 3.1.11).
Заметим, что для всякой функции ^ е C°°(Rn)
-»^ (х/в)), где ^ (*)=-
E.2.5) JL (в-«
В самом деле, ввиду тождества Эйлера для однородных функций
1ТГ ^ (№
откуда и следует E.2.5). Далее, из условия непрерывности
E.2.2) вытекает, что мы можем дифференцировать E.2.3) как
по е, так и по х,- «под знаками» < > и Ж, и ввиду E.2.5) это
дает
i, х2)/де=
i. x2)jdxv,
где #v пробегает все координаты точки (х\, х2). Здесь 1Л опре-
определяется точно так же, как Ке, только функция ifi или -ф2 за-
заменяется на ее произведение с —ху, поэтому E.2.4) справедливо
и для Ье- Повторяя эту процедуру, заключаем, что
есть сумма производных /-го порядка от функций, удовлетво-
удовлетворяющих оценке вида E.2.4), а, следовательно, множество рас-
распределений е>ЧСр ограничено в ^''(Vt X Уг) при каждом /. За-
Зафиксировав малое б > 0, запишем формулу Тейлора
- б)^1 \
о
и устремим е к 0. Поскольку при е < б

160 5. Распределения в произведениях пространств
5.2. Теорема о ядре 161
то для
(Кг, Ф>
Доказательство. Для оператора E.2.6)
при
где
. Рассмотрим
Пусть теперь ф/ЕС
(Ке, Ф1 ® ф2) ==
Вводя обозначение фу, в {х}) = е""/^ (—
. x2)<pl(xl)y2(x2)dxldx2
( • — Ж2) ф2 (Ха),
получаем
— *i) ф! (* ,)
Приближая интеграл римановыми суммами, заключаем, как и
при доказательстве леммы 4.1.3, что интегрирование можно вы-
выполнить «под знаками» < > и Ж, а значит,
(Ке, ф! ® Ф2> = (Ж (ф2 * %, е). Ф1 * tl, e>-
Так как Ф/* ф/, е-> Ф/ в С~(У;) при е->0, то ввиду E.2.2) пра-
правая часть последнего равенства стремится к (Жу2, ф1> при
е->0. Таким образом,
(Ко, ф1®ф2> = <^ф2. Ф1> ДЛЯ ф/еС^СКу),
а поскольку Y] — произвольные относительно компактные под-
подмножества в X,; доказательство этим и завершается.
Пример 5.2.2. Ядром тождественного отображения Ж: Со"(Х)->-
С™(Х), где X — открытое множество в R", является распреде-
распределение
(К, Ф) = J Ф (х, х) dx, Ф е Со°° (Л" X АО,
носителем которого служит диагональ {(л:, д;), х<=Х}.
Теорема 5.2.3. Ядро непрерывного линейного отображения
Ж: С^° (X) -> ЗЬГ (X) имеет носитель на диагонали произведения
ХХ.Х тогда и только тогда, когда
E.2.6) Хф=2>а<5аф.
где аа ^ Ф' (X) и число слагаемых в сумме локально конечно.
Поэтому его ядро задается формулой
<*, Ф)=Е<Оа. дауФ{х,у)\х.у)
и, очевидно, имеет носитель на диагонали. Обратно, если у ядра
К оператора Ж носитель лежит на диагонали, то, как следует
из теоремы 2.3.5,' К имеет указанный выше вид, чем теорема и
доказана.
Операторы, описанные в теореме 5.2.3, сохраняют носители.
Более общим образом, справедлива
Теорема 5.2.4. Если tfe=0'(JiX*2) и Ж ~ соответствующий
оператор, то
E.2.7) supp Жи <= supp К ° supp и, «gC
Здесь supp К <= -^1 X ^2 рассматривается как отношение,
действующее на множество supp и сг Х2, т. е. значок композиции
понимается в следующем смысле:
supp К о М = {Xi е Хх; Зх2 е М, (хи х2) е supp К}-
Для компактных М это множество замкнуто, ибо suppiC —
замкнутое множество.
Доказательство. Предположим, что Xi ф supp К * supp и. Тогда
найдется окрестность V точки х\, такая что Vrfl(suPP^C°suppM)
= 0. ЕслиоеСЛУ), то
(supp v ® и) П supp К = 0,
а значит, {Жи, и> == 0. Следовательно, Жи = 0 в V.
Пример 5.2.5. Пусть f: X\-*-X2 — непрерывное отображение и
Жу =ф<>/ для ф^С"(Х2). Ядро отображения Ж задается фор-
формулой
(К, Ф> = \ Ф (х, f (х)) dx, Ф s С?'(Х, X ^2)>
так что носитель К совпадает с графиком /.
Оператор E.2.6) допускает естественное продолжение на все
Ф е &', если коэффициенты аа принадлежат С°°. Общие условия
на гладкость коэффициентов, достаточные для существования
таких продолжений, будут даны в гл. 8, а здесь мы приведем
лишь один элементарный пример:
11 Зак. 821

162 5. Распределения в произведениях пространств
Примечания 163
Теорема 5.2.6. Если Ке C°°(XiXX2), го отображение Ж, опре-
определенное формулой E.2.1), можно продолжить до непрерывного
линейного отображения из <?'(Х2) в C°°(Xi), а именно по фор-
формуле
E.2.8) Жи(х,) = и(К(х1, ¦)), и<=$'(Х2), *,<=*,.
Обратно, всякое непрерывное линейное отображение Ж из
&'{Х2) в C°°(Xi) задается таким образом при помощи некото-
некоторого ядра К е C°°(Xi Х-^г).
Доказательство. Пусть К е С°°. То, что формула E.2.8) задает
отображение &'(Хъ)-*-C^Xi), вытекает из теоремы 2.1.3, а его
непрерывность следует из теоремы 2.1.8. Обратно, пусть нам за-
задано непрерывное линейное отображение Ж: ^f'(X2)->-C°o(Xi).
Тогда
(
есть непрерывная функция от х2 со значениями в C°°(Xi). Рас-
Рассматривая соответствующее разностное отношение, убеждаемся,
что функция К непрерывно дифференцируема по х2, причем
(У, дХ2)К (•, х2) = - Ж (у, д) ЬХг.
Повторяя это рассуждение, находим, что К^ C°°(Xi XX2). Со-
Соотношение E.2.8) справедливо, поскольку оно выполняется для
конечных линейных комбинаций мер Дирака, а эти комбинации
плотны в <$'.
Примечания
Тензорное произведение распределений было определено
Л. Шварцем в его монографии Schwartz [1], а теорема о ядре
была анонсирована чуть погодя в докладе Schwartz [2]. В обоих
случаях ключевым моментом было разложение пробных функ-
функций на Xi X Х2 в сумму тензорных произведений пробных функ-
функций на Х\ и на Х2. В связи с этим превлекалось к рассмотрению
топологическое тензорное произведение пространств Со (Xi) и
С~{Х2), и этот аспект подчеркивается в данном самим Швар-
Шварцем доказательстве теоремы о ядре (Schwartz [4]). Эренпрейс
(Ehrenpreis [4]) предложил более элементарное доказатель-
доказательство, в котором указанное разложение осуществлялось с по-
помощью разложения в ряд Фурье (см. также Gask [1]). Мы же
использовали здесь тот факт, что регуляризацию произвольной
пробной функции на XiS(.X2, выполненную при помощи произ-
произведения двух пробных функций на соответствующих простран-
пространствах Rrtl и RrtI, можно рассматривать как суперпозицию тен-
зорных произведений пробных функций на Х\ и на Х2. Чтобы
иметь возможность воспользоваться этим рассуждением, нам
пришлось определить свертку прежде тензорного произведения.
Отметим интересное добавление к теореме 5.2.3, принадле-
принадлежащее Петре (Peetre [2]): всякое линейное отображение
Ж: С"(Х)-*-С°°(Х), такое что supp Ж с supp и для всех и
еС"(Д представляет собой дифференциальный оператор с
С°°-коэффициентами, т. е. имеет место E.2.6) соне СГ- Заме-
Заметим, что непрерывность Ж не предполагается, — она вытекает
из предположения о носителях.
11*

6
Композиция
с гладкими отображениями
Краткое содержание главы
Если задано отображение f: R" -»¦ Rm, то всякую функцию и на
Rm можно «поднять» на R", а именно образовать композицию
ко/. В § 6.1 мы покажем, что эту операцию можно распростра-
распространить на все распределения и, если отображение / принадлежит
классу С°° и его производная сюръективна. (Как будет обна-
обнаружено в § 8.2, такую композицию можно определить и для
более общих отображений /, в случае когда в некотором точном
смысле известно расположение особенностей и.) В качестве пои-
мера в § 6.2 показывается, как, используя степени веществен-
вещественных квадратичных форм, строить фундаментальные решения для
однородных дифференциальных операторов второго порядка
с вещественными коэффициентами. В § 6.3, опираясь на тот
факт, что можно брать композиции распределений с диффеомор-
диффеоморфизмами, мы определяем распределения на С'-многообразиях —
просто как распределения в локальных координатах, ведущие
себя надлежащим образом при заменах координат. В 4 6.4,
продолжая обсуждение многообразий, мы даем краткий обзор
исчисления дифференциальных форм на многообразии, завер-
завершающийся изложением теории Гамильтона — Якоби для диф-
дифференциальных уравнений первого порядка. Эти результаты не
понадобятся нам вплоть до гл. 8. Геометрические понятия, свя-
связанные с теорией Гамильтона — Якоби, будут значительно более
глубоко рассмотрены в гл. 21.
6.1. Определения
Пусть Xj — открытое множество в R ', j = 1, 2, и f: Xi-^-X2 —
отображение класса С°°. Мы хотим распространить определение
композиции
6.1. Определения 165
на распределения и так, чтобы получающееся отображение
ЗУ' (Хо) =э и -> и о f «= S)' (XJ
было непрерывным. Из теоремы 4.1.5 следует, что если это
вообще можно сделать, то лишь единственным образом. Однако
на f заведомо придется наложить определенные условия:
Теорема 6.1.1. Если u/of-^O в ЗУ{Х{) для всякой последова-
последовательности И/ е С~(Х,)> сходящейся к 0 в 2)'(Х2), то отображение
/ открыто, т. е. f(V) открыто в Х2 для любого открытого V с= Х\.
Если aeC0°°ft) влечет и»/еС*(Д то отображение f явля-
является собственным.
Доказательство. Второе утверждение очевидно, ибо для каж-
каждого компактного подмножества К в Х2 можно подобрать функ-
функцию и, равную на нем 1, и заключить, что «»/ = 1 на множестве
^(К), которое, следовательно, обязано быть компактным, если
«о/еС0°°A|). Докажем первое утверждение. Допустим, что /
не открыто. Для определенности предположим, что 0 е Х\,
/@) = 0 и V — компактная окрестность нуля в Х\, такая что
f(V) не является окрестностью нуля в Х2. Выберем последова-
последовательность точек yi^f(V), сходящуюся к 0, и положим |«//| = 8/.
Далее, возьмем какую-нибудь неотрицательную функцию и е
Co°(Rnj), равную 1 в единичном шаре, и положим ив(у) =
е~п'и(у/в). Тогда usof(x)^e~n> при С\х\<.е. Поскольку u8of
^гО, отсюда следует, ввиду, например, теоремы 2.1.9, что иг°[
не стремится к 0 в S)'(Xi) при е->-0. Но последовательность
la
сходится к 0 в &'(Х2) при п2 —
() р
разом подобранных числах a/,a- Действительна,
и надлежащим об-
об{v"r q>) = ер-»- J ф (в{у) и {у) dy— Yj ai, a (- df Ф (Уд
da4,(yj)l(s,y-yi)au(y)dy/al
|а|<ц
2
1а|<ц
С0 (Х2) =э и -*>и о f
и надо просто взять
«/. a = (-!)' " ' еГП'
Заменяя распределения дабу их гладкими аппроксимациями
с носителем в C/(V)> получим последовательность »^-»-0

166 6. Композиция с гладкими отображениями
6.1. Определения 162
в 2?>' (Х2)? такую что О/°/ = ме °/ в V. Эта последовательность
не сходится к 0 в Ф'(Х\), чем теорема и доказана.
Если f открыто, то производная f (х) сюръективна для всех
х из некоторого открытого плотного подмножества в Х\. Об-
Обратно, в силу теоремы о неявной функции f открыто, если f (x)
сюръективна для всех х. Покажем, что в этом случае можно
определить композицию / с распределениями:
Теорема 6.1.2. Пусть Х{ с R !, / = 1, 2, — открытые множества
и f: Xi-+X2 — отображение класса С°°, у которого производная
f (х) сюръективна для всех jcg^i. Тогда существует единствен-
единственное непрерывное линейное отображение /*: 2Ь'(Х2)-+2)'(Х{),
такое что f*u = uoft когда ueC°(X2). Для каждого k оно пе-
переводит 2>'к(Х2) в &>'k(Xi). Распределение f*u называют об-
обратным образом распределения и при отображении f или
поднятием^ и при помощи отображения f.
Доказательство. Как уже было замечено, единственность сле-
следует из теоремы 4.1.5. Докажем существование. Для произволь-
произвольной фиксированной точки хо е Х\ возьмем какое-нибудь С°°-ото-
бражение g: Я i-> R" (например, линейное отображение), та-
такое что прямая сумма
f®g: Xl=*x-»{f{x), g(x))<=Rn' = R
имеет в хо биективную производную. По теореме об обратной
функции найдется открытая окрестность Y\ с Х\ точки хо, су-
сужение на которую отображения f®g является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом ее на некоторую открытую окрестность Y2 точки (/(*о),
g(x0)). Обозначим обратный диффеоморфизм через А. Для лю-
любых и^С°(Х2) и <peC~(Fi), производя замену переменных,
получаем
J (Ги) Ф dx = J и (f (х)) Ф (х) dx=[u (у') Ф (А (у)) I det Л' (у) \ dy;
мы пишем здесь у = {у', i/")eR'R'""'11. Следовательно,
F.1.1) (Ги)(ф) = («®1)(Ф), где Ф (у) = ф (А 00I det А'@I
A в тензорном произведении — это функция 1 на Rni~n!)- Пусть
теперь ae2)'(Z2). Выберем последовательность " Щ^С™(Х2),
такую что ы/-»-к в 2>'{Х2). Из замечания после теоремы 2.2.4
вытекает, что последовательность f*Uf сходится в 2)'{Х) к не-
некоторому распределению /*«, задаваемому на Y\ формулой
F.1.1). Таким образом, эта формула дает локальное определе-
'' В оригинале pullback. — Прим. перев.
ние f*u, и из нее сразу вытекает непрерывность отображения
и ->/*«. Теорема доказана.
Замечание. Из проведенного доказательства видно, что в слу-
случае, когда f — всего лишь класса С*+1, отображение f* опреде-
определено и непрерывно на ЗУ*. Действительно, ф -*- Ф — непрерыв-
непрерывное отображение из Со в Со- (Одна «лишняя» производная у f
нужна, потому что в det А' входит производная от f.)
Поскольку мы определили f*u непрерывным продолжением,
исходя из случая функций к, ясно, что сохраняют силу обычные
правила вычисления:
F.1.2) д}Ги = ? d,fkf'dku,
F.1.3) Г (аи) = (fa) (f и),
u<=2D' (X2) (цепное правило),
aeC~(A-2), u<=®'(X2).
Здесь предполагается, что f удовлетворяет предположениям тео-
теоремы 6.1.2. Если имеется еще одно С°°-отображение g: X2-*-X3
с сюръективной производной, то
На практике часто бывает удобно вместо f*u использовать
обозначения u(f), u°f или даже u(f(x)), так как формулы
F.1.2) — F.1.4) выглядят тогда более привычно. Однако при
этом следует всегда помнить, что речь идет об обобщении по-
поточечного определения, задаваемом формулой F.1.1).
Пример 6.1.3. Если f — диффеоморфизм Х1^>-Х2 открытых мно-
множеств в R", то /*6j,=|detf (*) |-'бж, где f(x) = y. Это следует
из F.1.1) с k = f~1.
Пример 6.1.4. Если Mtx = tx,x(=Rn,t>0,To
Таким образом, соотношение C.2.18) с t, замененным на \/t,
означает, что
M*tu = tau в R"\0,
а это не что иное, как обычное определение однородности сте-
степени а.
Теорема 6.1.5. Пусть р — вещественнознапная функция из С°°(Х),
Хс: Rn.EcAu\9f\ = CL\dp/dx,\s)U2?=0 в тех точках, в которых
р = 0, то р*б0 = dS/1 р' |, где dS — евклидова поверхностная
мера на поверхности {х; р(*) = 0}.
Доказательство. Пусть р(хо) = О, и пусть для определенности
др(ха)/дх\ ф 0. Тогда в некоторой окрестности точки хо

168 6. Композиция с гладкими отображеииямн
применима формула F.1.1) с
h~l(x) = (p(x), х2 хп).
Точка h (О, у% .... уп) = (^ (#2, • • •, уп), Уъ .... Уп) лежит на
поверхности р = 0, и для «реС"(Y), где У — указанная выше
окрестность точки хо,
<р*б0. ф) = ^ (ф//1 ^iPI)°Л(°> ^2. • • • > Уп)dy2 ... dyn-.
Поскольку р (if, г/2, • • •, #*) = 0, то для / = 2, ..., /г
Следовательно,
/ п \1/2
Iр'I = Iа,Р|м, м = [\ + ?т/ду,у) .
Так как на рассматриваемой части нашей поверхности, задавае-
задаваемой при помощи параметров г/г Уп, мы имеем dS = ЬЛйуч...
,dyn, то теорема доказана.
Из F.1.2) следует, что для функции Хевисайда Н
Тем самым мы получили другое доказательство формулы Гаус-
Гаусса— Грина C.1.5). Распределение р*б0 называют простым слоем
на поверхности р = 0, а его производные — кратными слоями.
Последние по сути дела представляют собой поднятия при по-
помощи р производных от б0. Действительно, пусть
— дифференциальный оператор с С°°-коэффициентами. Опреде-
Определим операторы Lk следующим образом: L° = L, L*+1=[Lft, p],
т. е.
Lk+iu = Lkpu — pLku.
Очевидно, что Lk — дифференциальные операторы убывающего
порядка. Мы утверждаем, что
F.1.5)
L (ир'б0) = ? (Lku) p
и е= С°°,
где число слагаемых в сумме локально конечно. В самом деле,
заменой переменных дело сводится к случаю р(х) = х\, а тогда
можно считать, что L = d?, и мы имеем Lk = dr?~kml/(m — k)\,
так что формула F.1.5) превращается в формулу Лейбница для
дифференцирования произведения.
6.2. Некоторые фундаментальные решения 169
6.2. Некоторые фундаментальные решения
Пусть А — вещественная невырожденная квадратичная форма
на R", так что дА/дх ф 0 при х ф 0. Тогда для всякого f e
2)'(R) на R"\0 определено распределение A*f. В случае когда
f однородно степени а, распределение f(A) = A*f однородно сте-
степени 2а. Действительно, если Mtx = tx при х^ R", t > 0, то
M'tA'f = (AMtT f = (PA)* f == A'mbf = t2aA*f,
где ms обозначает оператор умножения на s, действующий на R.
В силу теоремы 3.2.3, если 2а не является целым числом ^ —п,
то f(A) допускает единственное продолжение на всё R", одно-
однородное степени 2а, и мы будем обозначать его тем же символом
/(Л), когда не может возникнуть недоразумений.
Запишем
= Okj) и введем дифференциальный оператор
где (bjk)—матрица, обратная к (а;*). Вычислим B(d)A*f на
Rn\0 для случая, когда f однородно степени а. Поскольку
dkf(A) = dA/dxkf'(A),
dfaf (A) = 2а1кГ (А) + (дА/дх,) (dA/dxk) f" (A)
и ^ b,k дА/дх, = 2xk, то
В (д) f (А) = 2л/' (Л) + ААГ (Л) - g (Л),
где ввиду C.2.19)'
g = 2л/' + Щ" = B« + 4 (а - 1)) /'.
Правая часть равна 0 при а =B — «)/2, так что B(d)f(A)
равно 0 в R"\0 для такого а. Таким образом, когда f однородно
степени B — п)/2, распределение В(д)f(A) однородно степени
—п и имеет носителем {0}, а значит, является некоторым крат-
кратным меры Дирака б0. Сейчас мы вычислим это кратное для че-
четырех различных f:
Теорема 6.2.1. Пусть указанная выше форма А имеет с иг на-
ТУРУ (п+> п~)> т- е- п+-{-п- = п и А — положительно (соотв.
отрицательно) определенная форма на некоторой «+- (соотв.
п--)мерной плоскости. При п > 2
F.2.1) В(д)(А ± Ю)B-")/2 = (
F.2.1)' В (д) AYtn)l2 =
det Л Г1/0
sin (пп±/2) | det А\~]'2 б0,
где сп — площадь единичной сферы в R".

170 6. Композиция с гладкими отображениями
6.2. Некоторые фундаментальные решения 171
Доказательство. Достаточно проверить, что
F.2.1)+ В(д)(А + i0f-n)'2 = B - rt) сп| det Л fl'V"l-/8do.
Действительно, комплексное сопряжение дает вторую формулу
F.2.1). Две формулы F.2.1)' переходят одна в другую при за-
замене А на —А. В силу C.2.9)
ха+ (e"ia — e-nia) = (х — iO)aе**" — {х + Ю)а
Re a > 0.
Следовательно, поскольку Г (а + 1) Г (— а) = — я/sin (па) и
у°+ = (Л1 (- а)/2я) ((х - Ю)а enia -(х + Ю)а e~nta), Re а > 0, а ф Z+.
Аналитическим продолжением это равенство распространяется
на все a f^ Z+. Замечая, что
B — л) с„Т (гг/2 — 1)/я = — 4я<»-2)/^,
а
яш_/2 + ш A — л/2) = яг A — л+/2),
заключаем, что F.2.1)' следует из F.2.1).
Докажем сначала, что для всякой комплексной формы А с
положительно определенной вещественной частью
F.2.1)" B(d)Al2'n)l2 = B-n)cn(detA)-ll260,
где (det Л)-'/2 понимается, как в § 3.4. Здесь ЛB~л)/2 обозначает,
конечно, однородное продолжение на R" функции А (х)<2-")/2 на
R"\0, где —я/2 < &TgA(x)<in/2. Ввиду единственности ана-
аналитического продолжения достаточно установить F.2.1)" для
случая, когда сама А положительно определенная. В этом слу-
случае существует линейная биекция Т пространства R" на себя,
такая что обратный образ Т*А формы А при Т будет евклидовой
метрической формой. Равенство F.2.1)" вытекает поэтому из
теоремы 3.3.2. Действительно, в силу этой теоремы обе части
F.2.1)" имеют один и тот же обратный образ при Т, ибо
| det Л Г1/2 Г6О = | det Л Г1/21 det 7T1 60 = 60.
Пусть теперь форма Л вещественна и иевырожденна. При-
Применим F.2.1)" к Ae(x) = — iA{x)+e\x\2, e > 0. При е->0
(det ЛеГ!/2^ I det Л Г e"MsgnA)/4
(см. C.4.6)), B,-*-.iB и
л,2-П>/2 = (е-Я„2 {А + еЦх |2)),2-Л)/2 ^ .- ,^„/4 {А + .0)B-„,/2
в iZ)'(R"\O) ввиду приводимой ниже леммы 6.2.2. В силу тео-
теоремы 3.2.3, для однородных продолжений будет иметь место
сходимость в &'(R"), а потому F.2.1)+ следует из F.2.1)".
Лемма 6.2.2. Пусть F — функция класса С°° на XX.J, sde Xcz
R" — открытое множество, a J — окрестность нуля в R. Пусть,
далее, f, I и Z— такие же, как в теореме 3.1.11. Если F(*,0)e/
и dF(x, 0)/дхФ0 прих(=Х,а F(xfe)ezZ при x(=X,0<e<=J,
Tof(F(;B))-+F(',0)*f(-+iO) лр«е->+0.
Доказательство. Утверждение леммы является локальным и ин-
инвариантно относительно замен координат, поэтому можно счи-
считать, что F(x, 0) = xi. Из доказательства теоремы 3.1.11 мы
знаем, что_ f = GC+1', где функция G аналитична в Z и непре-
непрерывна в Z. Выполняя интегрирования по частям по х\, полу-
получаем, что для феС<Г№
Ф (х) f (F (х, в)) dx = \ Ф (х) &»+"(F (х, в)) dx
= \G{F (x, e)) E, (- dF (х, в)/д*,Г1)*+1 Ф (х) dx
G(F(x,0))(-df+lq>(x)dx
\
при е^-0, чем лемма и доказана.
Поделив любое из равенств F.2.1), F.2.1)' на постоянную
в его правой части, получим некоторое фундаментальное реше-
решение Е для оператора В(д), однородное степени 2 — л. (Как
легко проверить, равенства F.2.1)' остаются верными и при
л+ = л_= 1, так что они дают фундаментальные решения так-
также и в этом случае.) Рассмотрим теперь частный случай волно-
волнового оператора в Rn+1:
? = с~2д2/дР — А,
где /eR, с — скорость света, а А — оператор Лапласа по
j;eR". В наших прежних обозначениях это оператор В(д), от-
отвечающий форме
Л=с?-|д:р.
Согласно F.2.1)', одним из фундаментальных решений волно-
волнового оператора служит (n ^ 1)
Его носитель лежит в двойном конусе, определяемом условием
Л ^ 0. Положим
{2Е при t > 0,
0 при с/<|х|.

172 6. Композиция с гладкими отображениями
6.2. Некоторые фундаментальные решения 173
Эти два определения согласуются друг с другом на перекрытии
областей определения и задают распределение в Rn+1\0, одно-
однородное степени 1 — п. Будем обозначать тем же символом его
однородное продолжение на все пространство. Тогда
где ?- = s*E+, a s обозначает отражение относительно начала
координат. Далее, Q ?+ = П ?_ = б0, так что ?+ и ?_ оба
являются фундаментальными решениями. Носитель первого ле-
лежит в переднем конусе (том, в котором t^O), а носитель вто-
второго—в заднем (где t^O). В случае когда п нечетно и от-
отлично от 1, носителями этих фундаментальных решений служат
в силу C.2.17)' границы соответствующих конусов.
Мы можем вычислить А*%Ч~пI'2 при t > 0, используя фор-
формулу F.1.1) с А, обратным к отображению
(*, х)-*{А, х).
Имеем
h(s, x) = ((s + \x\2f'2/c, x), |deU'|=BCr'(s + l*Pr1/2-
Следовательно, для функций ф, на носителе которых t > 0,
F.2.4)
где
F.2.5)
Положим
F.2.6)
= J Ф
= r
х f)m/c, x)(s + \x \2y
ф (t, m) da ').
n~2
1 со 1 = 1
Переходя в F.2.5) к полярным координатам, получаем
Ф (s) = J Ф ((s + r*)U2/c, r) dr (s + г2)-112
= с J ф (/, (с? - sI'2) dt.
4'
Таким образом, в соответствии с теоремой 4.4.8, ?+ является
непрерывной функцией от t > 0 со значениями в S"(Rn), зада-
задаваемой формулой
F.2.4)' <?+@, +> = ^-^С4-1(х(Гжда, Ъ((с2?- -I/2)>.
" При п = 1 интеграл здесь понимается как сумма ф(/, г) -\-y(t, —г).—
Прим. пррев.
где
F.2.6)'
1 со 1 = 1
ir) = 0, reR.
Поскольку %°+ = Н, 5С+1/2 = л:+1/2я/2, X~v = f>^~n для целых
v > 0, то
F.2.7)
МО. !>> =
сBя)
"'
при п==1,
с при п=2,
при n—2v+l.
Из теоремы 4.4.8' мы знаем, что Е+ (t) и E'+(t) = dtE+(t) имеют
пределы в &' при /-»¦ + (), и
Ф) =
Ф
ибо это равенство справедливо для у^С™ (Rn+ \0) и распре-
распределение в правой части однородно степени 1 — п. Используя тот
факт, что ?+ представляет собой фундаментальное решение,
можно проверить, что ?+ (+0) = ,>, Е'+ (+0) = с2би.
Теорема 6.2.3. Рассмотренный выше волновой оператор обладает
единственным фундаментальным решением Е+ (соотв. Е-) с но-
носителем в переднем конусе, задаваемом неравенством
ct~^\x (соотв. в заднем конусе, задаваемом неравенством
ct ^— х|). В случае когда п нечетно и отлично от 1, носите-
носителем этого фундаментального решения служит граница конуса.
Доказательство. Остается доказать лишь утверждение о един-
единственности. Мы установим даже более сильное утверждение, а
именно что не существует отличного от Е+ фундаментального
решения с носителем в полупространстве t ^ 0. Любое такое
фундаментальное решение должно иметь вид Е+ + и, где и яв-
является решением уравнения Ои = 0 и удовлетворяет условию
t ^ 0 на supp и. Но тогда
вычисление законно, потому что отображение
supp E+ X supp и еэ ((*, 0» (У> s)) -> {х + у, t + s)
— собственное (см. конец § 4.2). Действительно, ограниченность
t + s влечет ограниченность t и s, поскольку t ^ 0 и s^O, a

174 6. Композиция с гладкими отображениями
6.3. Распределения на многообразии 175
так как |лг|^с^, то из ограниченности х + у следует тогда
ограниченность х и у. Доказательство завершено.
Указанные в теореме 6.2.3 фундаментальные решения на-
называются соответственно опережающим и запаздывающим, а
фундаментальные решения, даваемые равенством F.2.1),—
фейнмановскими. Знание фундаментальных решений позволяет
быстро решить задачу Коши для волнового уравнения:
Теорема 6.2.4. Для произвольных^, ф, е С°° (Rn) uf<=C°° (R++1),
где Rl+l={(t, x); />0, xeR"}, задача Коши
F.2.8)
= f в
= qn при t =
имеет единственное решение ueC°°(R++1). Оно дается формулой
F.2.9) u(t, -) = c-2?+(/)*?1 + C-2?;@*?0
t
+ \E+(t-s)*f(s, -)ds.
о
Доказательство. Если функция KeC°°(R++1) является реше-
решением задачи F.2.8) с / = 0 и ф0 = qpi = 0, то функция «о, равная
и в R++l и нулю в R"+1 \R++1, будет удовлетворять уравнению
П«о=О в Rn+1. Из доказательства теоремы 6.2.3 вытекает, что
uq должна тогда равняться нулю. Тем самым единственность
доказана. Далее, формула F.2.9) задает решение задачи
F.2.8), принадлежащее С°° (R++ ). В самом деле, то что us С00,
следует из того факта, что функция E+{t) и все ее производные
по t непрерывны при t ^ О как функции со значениями в <&'.
П ?( + 0) 0 Е'(+0) 2б
р
Поскольку
и ^ как функ
= 0, Е'+(+0) =
то
-)ds,
t
s, ¦)ds=\El(t-s)*f(s, .)ds + c\*f(t,
Отсюда видно, что Du = f, ибо П?'+ = 0при f > 0. Выполне-
Выполнение граничных условий проверяется непосредственно, если за-
заметить еще, что ?+ (+0) = с2Д?'+(+0) = 0. Теорема доказана.
К рассмотрению задачи Коши мы вернемся в гл. 12.
6.3. Распределения на многообразии
Возможность брать композиции распределений с диффеомор-
диффеоморфизмами позволяет нам определить распределения на произ-
произвольных С°°-многообразиях. Сначала напомним определение мно-
многообразия.
Определение 6.3.1. Под n-мерньш многообразием понимается
отделимое топологическое пространство со счетной базой, каж-
каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной неко-
некоторому открытому множеству в R". Под С°°-структурой на мно-
многообразии X понимается семейство ?F" гомеоморфизмов у, откры-
открытых множеств Ху. cz X на открытые множества X* с= R" (эти
гомеоморфизмы называются локальными системами координат),
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) для любых х, у! е &~ отображение
F.3.1) х'х-': х(*„№)-**'№«№)
(открытых множеств в R") бесконечно дифференцируемо (в ча-
частности, это относится и к обратному отображению);
(И) иХи = Х;
(iii) если щ — гомеоморфизм открытого множества ХосХ
на открытое множество в R" и отображение
XV: хо(ХоГи„)^х(*оГик),
равно как и обратное к нему, бесконечно дифференцируемо для
всякого у. е W, то Ко е &~.
Многообразие, наделенное С°°-структурой, называется С°°-
многообразием (или многообразием класса С). Множества X
называют координатными окрестностями, а декартовы коорди-
координаты точки х(х), leX,,, — локальными (С°°-) координатами
в Хк.
Условие (iii) определения 6.3.1 до некоторой степени избы-
избыточно. Дело в том, что если семейство #" удовлетворяет усло-
условиям (i) и (ii), то его можно одним и только одним способом
расширить до семейства &~', удовлетворяющего всем трем усло-
условиям. Действительно, единственным таким семейством &г' бу-
будет множество всех гомеоморфизмов %' открытых множеств X*'
в X на открытые множества в R", таких что отображение F.3.1)
и обратное к нему бесконечно дифференцируемы для любого
у. е &~. Несложная проверка этого утверждения предоставляет-
предоставляется читателю. (Ясно, что всякое расширение семейства 'ЯГ, удов-
удовлетворяющее (i), содержится в этом семействе SF'. То что #"'
удовлетворяет уловиям (i) и (ii) и содержит &~, вытекает из

176 6. Композиция с гладкими отображениями
6.3. Распределения на многообразии 177
того факта, что SF удовлетворяет (i) и (И).) Таким образом,
С°°-структуру можно задать при помощи произвольного семей-
семейства 3F, удовлетворяющего лишь условиям (i) и (и), но опуска-
опускание условия (ш) приводит к тому, что имеется много семейств,
задающих одну и ту же С°°-структуру. Каждое из таких семейств
называется С°°-атласом, и два атласа называют эквивалент-
эквивалентными, если они задают одну и ту же С°°-структуру.
Определение 6.3.2. Пусть X — многообразие класса С°°. Говорят,
что функция и на X принадлежит С (X) или Z,foc(X), если для
всякой системы координат х сложная функция (к~1)*и, опреде-
определяемая формулой
(*-')'«(*) = «(*"'(*)). ^1, '
принадлежит соответственно Ск{Хц) или Lfoc(Zx).
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения прове-
проверить, что достаточно потребовать, чтобы композиция иоуг1 при-
принадлежала С* (Хк) или LfocCKx) для всякого х из некоторого ат-
атласа. Заметим еще, что если для данной функции v на Х^ с ком-
компактным носителем положить
( V °Х
Но
на ХК,
в остальных точках,
то«е Ск(Х) тогда и только тогда, когда v e Ск(ХК); аналогич-
аналогичное утверждение верно и для Lfoc- Мы будем не совсем кор-
корректно обозначать и через v° к.
Чтобы мотивировать наше определение распределения на X,
дадим теперь чуть иное описание Ск(X). Пусть це С*(X). По-
Положим для всякой системы координат х
Тогда м„ принадлежит Ск(Хк), и поскольку для любой пары х, х'
систем координат м = м„ ° и = иК> ° к' в Х^ П Хкг, то
@.3.2) Ия' = Цяо(ХоХ ) В X (ЛЧ[|ЛЧ').
Обратно, если для каждой системы координат х задана функция
и„ на Хм таким образом, что для любых двух систем координат
х и х' выполнено F.3.2), то существует одна и только одна функ-
функция и на X, такая что ыч = и°хг1 для всякого х, и и^Ск(Х)
тогда и только тогда, когда ««еС'^ц) для всех х. По ана-
аналогии с этим описанием функции из Ск(Х) как системы функций
ихеС'D), удовлетворяющей условию F.3.2), введем следую-
следующее определение распределения на многообразии:
Определение 6.3.3. Пусть X—многообразие класса С°°. Если для
каждой системы координат х в X задано распределение ых е
Ф'{Ян), такое что
F.3.3) (v = («.O4 в *'(Х*ПХЛ
то мы называем систему распределений ыи распределением и
на X. Множество всех распределений на X обозначается через
2'Х. Аналогично определяется 2)'к(Х).
- Удобно использовать для распределений ту же запись
им = иох~\ что и в рассмотренном выше случае, когда и было
непрерывной функцией на X. Таким образом, ?)'(X) предстает
как расширение пространства С°(Х), если отождествлять функ-
функцию и е С°(Х) с системой функций и„ = и °к~1. Следующая тео-
теорема показывает, в частности, что определение 6.3.3'совпадает
с нашим прежним определением, когда X — открытое подмно-
подмножество в IR".
Теорема 6.3.4. Пусть $~ — произвольный атлас многообразия X.
Если для каждого иеУ задано распределение и^^0'(Хк)
и для любых х и х' из SF выполнено F.3.3), то существует одно
и только одно распределение ме^'(Х), такое что и°у-1 = ик
для всех xef.
Доказательство. Пусть ф — произвольная локальная система ко-
координат в X. Прежде всего заметим, что существует одно и
только одно распределение U$ ейO^), такое что для каждого
Это следует из теоремы 2.2.4 ввиду принятых нами предполо-
предположений. В частности, если фе^", то [/ц, = ы^, ибо можно взять
v. = rf. Далее, непосредственно проверяется, что распределения
U+ удовлетворяют условию F.3.3). Следовательно, они опре-
определяют распределение и с требуемыми свойствами. Тем самым
теорема доказана, поскольку единственность и очевидным обра-
образом вытекает из предыдущего.
У читателя мог возникнуть вопрос, почему мы не определили
0'(Х) как пространство непрерывных линейных форм на Со'(Х).
Дело в том, что для f e С(Х) н <реСо°(Я) нет никакого инва-
инвариантного способа проинтегрировать произведение /ф, с тем
чтобы отождествить f с такой линейной формой. Тем не менее
мы получили бы нечто весьма близкое к ЗЬ'(Х). Действительно,
пусть « — непрерывная линейная форма на Со(Х). Тогда и оп-
определяет распределение им ^.ЗУ'(ХК) по формуле
12 Зак. 821

178 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 179
(фои полагается равным 0 вне Хк). Для феС"(х'(^П4'))
«*' (ф) = « (Ф ° *') = V (ф о 0|>i ° х) = Кч (ф о $,),
где ifi = x'ox-'. Ввиду F.1.1) это означает, что
F.3.4) K)/ = |deta|)'|(l>X) в х'(Х„(\ХЛ
где if =xox'-'. Обратно, пусть заданы распределения ы„ в К*,
удовлетворяющие условию F.3.4) для всех х из некоторого ат-
атласа !?". Выберем разбиение единицы 1 = 2 5С/> такое что каж-
каждая функция %} принадлежит С™(ХК.) при некотором X/ е ^*.
Т
Тогда
и (ф) =
ф
есть непрерывная линейная форма на СТ{Х). Мы предостав-
предоставляем читателю в качестве упражнения проверить при помощи
теоремы 6.1.2, что ?/„ = «„ для всякого хе?", Таким образом,
непрерывные линейные формы и на Co'iX) можно отожде-
отождествить с системами распределений u4e^'(A"M), удовлетворяю-
удовлетворяющими условию F.3.4). Такие системы называют обобщенными
плотностями. В случае когда все ыч являются непрерывными
функциями (соотв. функциями класса С00), мы говорим, что и
является непрерывной плотностью (соотв. плотностью класса
С00). Если и — распределение, а ф — плотность класса С°°, то,
как следует из F.3.3) и F.3.4), фм будет обобщенной плот-
плотностью, так что определено
(U, ф) = <фИ, 1)
при дополнительном условий, что ф имеет компактный носи-
носитель. Снова предоставляем читателю в качестве упражнения
проверить, что это позволяет отождествить 2)'(Х) с простран-
пространством непрерывных линейных форм на Со°-плотностях.
Как только зафиксирована какая-нибудь строго положитель-
положительная С°°-плотность а на X, можно при помощи отображения
отождествить распределения с обобщенными плотностями, а
функции — с плотностями. Так обстоит дело в случае XcR",
где для проведения такого отождествления используется мера
Лебега. Другой важный случай — римановы многообразия.
6.4. Касательное и кокасательное расслоения
Теперь, после того как мы ввели понятие С°°-многообразия, об-
обсудим некоторые .основные факты, относящиеся к дифферен-
дифференциальному исчислению на многообразиях. Они не понадобятся
нам вплоть до гл. 8. Всюду ниже X обозначает С°°-многообразие.
Определение 6.4.1. Векторное пространство ТХ(Х) касательных
векторов к X в точке х — это пространство всех вещественных
обобщенных плотностей t на X порядка 1 с носителем в х и
с *A) = 0.
В оправдание этого определения заметим, что в случае
X cr Rn мы имеем в силу теоремы 2.3.4
для некоторых U, ..., <.,gR, т. е. ?(ф) есть производная функ-
функции ф в точке х по направлению вектора (tu ••>, tn), так что t
естественно рассматривать как касательный вектор в точке х.
Если X — произвольное многообразие и точка х лежит в коорди-
координатной окрестности Хм, то ^(ф)= /(ф°х) имеет вид
t" (Ф) =
Ф
Таким образом, ТХ(Х) всегда есть векторное пространство раз-
размерности п = dimX, и сказанное выше позволяет отождествить
U Тх (X) с Хк X R". Если %еХ„П Х„>, то
{{*, Ф> = (Л Ф о /> = I tidk (Ф о /) (и (х)), Ф s С" (х' (Хк Л ХХ')),
где / —х'ои: х(Л"иП-^ч')-»-и'(-^чП^х')- Следовательно,
i, т.е. **' = П
Это — отображение класса С°°, и поэтому атлас, состоящий из
отображений
U Тх(Х)^{-+(х(х),1*)<=ХмХПп,
задаёт на Т(Х) структуру С°°-многообразия, Эти наблюдения
можно подытожить, сказав, что Т(Х) представляет собой век-
векторное расслоение над X со слоем размерности п:
Определение 6.4.2. Вещественное векторное С°°-расслоение над
X со слоем размерности N — это С°°-многообразие V, для кото-
которого заданы
(i) С°°-отображение я: V-*-X, называемое проекцией,
(и) структура векторного пространства в каждом слое
ух = п-Цх),
(iii) локальные изоморфизмы между V и произведениями от-
открытых подмножеств в X на R".
12*

180 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 181
В более развернутом виде условие (ш) означает, что для
каждой точки х^Х существуют такая ее открытая окрестность
У и такое С°°-отображение if многообразия V\Y = лг'(У) на
УХ R", что if также принадлежит классу С00, if(V*) =
{JXR* Для всех *е Y и составное отображение
является линейным изоморфизмом. В случае расслоения Т(Х)
мы как раз определили изоморфизмы
—•—1 у ^ V V Р» ^ V \У Оп
Jb Ли —*" Лх /\ Г\ —*" Лх /\ BN
с такими свойствами. Расслоение Т(Х) называется касательным
расслоением (для) многообразия X.
Пусть V— произвольное векторное расслоение над X. Выбе-
Выберем открытое покрытие {X,}is/ многообразия X, такое что для
каждого i существует С°°-отображение if* прообраза n~l(Xi) на
XiX'Rw. обладающее указанными выше свойствами. Тогда ото-
отображения
можно рассматривать как С°°-отображения из Х{ f| Xj в группу
GL(N,R) всех обратимых NXN-матриц с вещественными эле-
элементами, и справедливы соотношения
/с.,, ?</?/» = id на Xi[\X,,
F.4.1) v
gilejkeki = № на ЛгПл/П^б-
Систему таких матриц g*/ размера N~X N, элементами которых
служат Сот-функции, называют системой матриц перехода. Рас-
Расслоение V можно восстановить по иим, образуя множество V
всех троек (г, х, t)^ /X-^XR", таких что x^Xt, и полагая
тройки (г, *, ?) и (if, x', f) эквивалентными, если х = л:' и
t' = gi'it. Из F.4.1) следует, что это действительно отношение
эквивалентности, и легко проверяется, что V, профакторизован-
ное по этому отношению эквивалентности, будет векторным рас-
расслоением. Это расслоение изоморфно V, если gu были получены
исходя из локальных тривиализаций векторного расслоения V,
как объяснялось выше. Такой подход к векторным расслоениям,
прямо приспособленный для вычислений, будет нам иногда весь-
весьма удобен.
Итак, векторное расслоение — это семейство векторных про-
пространств Vx, х е X, гладко меняющихся с изменением х. Для
У с= X сечением и расслоения V над У называется всякое отобра-
отображение Уе(/->и(|/)еУ9, т. е. сечение к — это такое отображе-
отображение из У в V, для которого я о и = id. Поскольку V является
С°°-многообразием, для & = 0, 1, ... или &=оо корректно опре-
делено множество Ck(Y, V) всех сечений класса С*. Если, как
выше, рассмотреть покрытие X = [Дг с локальными тривиали-
зациями if,- «сужений» V \Xi, то «,- = г|)гомеС*(У П^. RN) и
F.4.2) «,
Обратно, любая система функций ы,е Ck(Y(]Xi, RN), удовлетво-
удовлетворяющая условию F.4.2), задает некоторое сечение векторного
расслоения. Соответственно можно определить и, скажем, про-
пространство обобщенных сечений Й)'(У, V) (для открытого У) как
пространство всех систем распределений и,- ^SD'(Y f] XitRN),
удовлетворяющих условию F.4.2). Можно было бы допустить и
распределения «,-, принимающие комплексные значения (строго
говоря, это означает, что мы комплексифицируем расслоение V;
определение комплексного векторного расслоения получается
заменой R на С в определении 6.4.2).
Примеры. 1) Линейное расслоение1' Q над X — это векторное
расслоение, отвечающее системе 1 X 1-матриц перехода, зада-
задаваемых формулой
= | det (к
| о у!
в Хм- П Хк>
для произвольных координатных окрестностей Хк и Хк> в X. Се-
Сечения Q суть плотности, введенные в § 6.3.
2) С°°-сечения и расслоения Т(Х) над У называются вектор-
векторными полями класса С°° на (или в) У. Для всякого такого век-
векторного поля и отображение С1(У)Эф^-и(ф) есть дифферен-
дифференциальный оператор первого порядка на У без постоянного
члена, т. е. аннулирующий константы.
Рассмотренное выше отображение из Т(Х)\Х в Хк X Rre
представляет собой частный случай весьма общей конструкции.
А именно, пусть Xi, X2 — многообразия класса С°° и /: Xi->Z2 —
отображение класса С°°. Тогда можно определить отображение
f»: T(Xi)^-T{X2), отображающее ^(Xi) в TfW(X2), по фор-
формуле
(fj) (Ф) = t(ffof), ф <= С" (Х2), t e T (*,)¦
Если ввести в Х\ и в Х2 локальные координаты, то матрицей,
отвечающей линейному оператору /*: ТХ{ХУ)^>'Т^Х)(Х2), будет
просто матрица Якоби отображения / в точке х, вычисленная
в этих координатах; поэтому мы будем иногда писать f вместо
f». В частности, если /: R^-X — кривая на многообразии X, опи-
описанная конструкция определяет касательный вектор /'еГ(Х
к этой кривой как образ вектора d/dt на R.
') Вообще, линейным расслоением называется векторное расслоение с
одномерным слоем. — Прим. ред.

182 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 183
Для всякого векторного расслоения V можно рассмотреть
двойственный объект V'= [} V'. Очевидно, что это тоже век-
торное расслоение, поскольку всякая тривиализация V задает
и тривиализацию V'. Матрицами перехода для V служат *gftl.
В частности, мы получаем таким образом расслоение Т*(Х),
двойственное к Т(Х). Оно называется кокасательным расслое-
расслоением многообразия X. Для любой заданной функции фЕ Ck(X),
k>Q, отображение
T(X)t
(производная ф в точке х) есть элемент пространства Т*Х(Х)
(обозначаемый через ц>'(х) или dq>(x)), так что ф определяет
С^^-сечение с?ф (или ф') расслоения Т*(Х). Произвольное се-
сечение расслоения Т*(Х) называется {-формой на X.
Рассмотрим Т*(Х) в локальных координатах. Пусть
и(*) =
— локальная система координат. Как было показано выше, мы
можем отождествить Т (X) \х с Хк X R" и считать (х, t) каса-
касательным вектором
Далее, для ^ е R" мы имеем </, t) = (E,tid/dxi)(Edllxl), поэтому
в соответствующей тривиализации расслоения Т*(Х) форме
^?,jdXj в точке х отвечает пара (х,-%). Если рассматривать х/
и |,- как функции на Хк X R", то и Jji/rfjC/ можно рассматри-
рассматривать как дифференциальную форму на этом произведении. Ее
значение на касательном векторе t к ^ХХ R" равно <я»^, |>, где
я— проекция Хх X R" —*¦ Хк. Таким образом, мы инвариантно
определим на Т* (X) некую 1-форму со, положив ее значение на
касательном векторе t в точке у е Т*(Х) равным
(t,<o) = (n,t, у).
В стандартных локальных координатах на Т*(Х) эта форма
записывается так: a— ^^.dx,. Она называется канонической
{-формой на Т*(Х)..
Для всякого С*-отображения /: Х1^>-Х2 можно построить
отображение
называемое поднятием (или взятием обратного образа) 1-форм
при помощи f, полагая для 1-формы и на Х2 и касательного
вектора t e Т(Х)
(I, fu) = (fj, и).
Например, если феС'^.то ф' будет отображением Х-*~Т*(Х),
и мы можем при помощи этого отображения поднять канониче-
каноническую 1-форму со с Т*(Х) на X. Как ясно из локального коорди-
координатного представления формы со, получится 1-форма
F.4.3) (ф')*© = с?ф.
Фактически это другая характеризация 1-формы со.
Пусть У — подмногообразие класса Сто в X. Конормальное
расслоение N(Y) (для) подмногообразия У определяется как
(здесь я —проекция расслоения' Т*(Х)). Если ввести на X ло-
локальные координаты x = (xi, ..., хп), в которых У задается
уравнениями Х\ = ... =xk=0, то N(Y) будет задаваться в
соответствующих координатах на Т* (X) уравнениями Х\ = ...
= Xft = |fc+i= ... =|„г=0. Следовательно, N(Y) — векторное
расслоение полной размерности п. Из определения 1-формы
со или из ее координатного представления сразу видно, что огра-
ограничение со на N(Y) равно 0. Расслоение N(Y) двойственно к рас-
расслоению на У со слоем Ty(X)/Ty(Y), называемому нормальным
расслоением. Это последнее вряд ли нам где-нибудь понадобит-
понадобится, и потому мы часто будем опускать приставку «ко» в слове
«конормальное», когда это не может вызвать недоразумений.
Другой важный пример векторных расслоений над X — это
расслоение АкТ*(Х), слой которого в точке х состоит из всех
антисимметричных ^-линейных форм на ТХ(Х). Для любых
Б,, .... lk^T'x(X) форма
Гх(*)*э(/„ ..., tk)-»deHtt, li)lj=l
является элементом пространства АкТх(Х), обозначаемым через
Si Л ... Л Б*, и такие элементы порождают весь слой. Можно
однозначно определить билинейное отображение
AkT'x(X) X А1ГХ(X)-> Ak+lTx(X),
называемое (внешним) произведением и обозначаемое тем же
символом д, такое что произведение форм Si Л • • • Л Б* и
%Л ••• Л T)i равно Si л • • • Л S* Л Л1 Л • • • Л Щ- Сечения
класса С°° расслоения АкТ*(Х) называются ^-формами на X.
Всякую /fe-форму можно записать в виде линейной комбинации
форм специального вида
F.4.4) /0 dfx Л ... Л dfk\ f, e= C°° (X),
причем функции fu ..., fk могут быть даже выбраны из числа
локальных координатных функций. Существует единственный
дифференциальный оператор первого порядка d, переводящий

184 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 185
/fe-формы в (k + 1)-формы, такой что
d(Udfxh ... Arfffc) = dfoArf/iA ... Adfk.
Справедливо равенство йР = 0. При А>0 для любой &-формы
f с df = 0 можно локально найти (k — 1) -форму и, для которой
f = du (С"°°-функции рассматриваются как 0-формы). Если
ф: Y^>-X — отображение класса С°° и / — форма на X, то точно
так же, как и в случае 1-форм, можно определить гр*/, и
поскольку это верно для 0-форм (инвариантность дифферен-
дифференциала), а значит, и для форм вида F.4.4).
Многообразие X называют ориентированным, если для него
задан атлас, такой что для любых и, %' из этого атласа яко-
якобиан композиции к о и'-1 положителен всюду, где определен.
Если X имеет размерность л, то для всякой л-формы / на X
(x-l)*f = fKdxlA ... Adxn в Хк,
где %{х) = {хи •¦•, хп). Так как для произвольных локальных
координат
то в случае, когда и и %' принадлежат атласу, задающему ори-
ориентацию, мы получаем закон преобразования F.3.4), ибо фигу-
фигурирующий в написанном выше равенстве якобиан в этом случае
положителен. (Заметим, что, с другой стороны, каждая м-форма
/, отличная от 0 во всякой точке, определяет ориентацию, зада-
задаваемую атласом, состоящим из всех к, для которых /к > 0. При
этом говорят, что X ориентировано условием / > 0.) Следова-
Следовательно, / определяет обобщенную плотность, которая как линей-
линейная форма на Со" записывается так:
Если теперь рассмотреть &-форму / и ориентированное ^-мерное
подмногообразие У в X, то правило
(подразумевается, что в правой части ф и f подняты на У при
помощи отображения включения Y<=~X) задает обобщенную
плотность с носителем в У. Далее, если / — произвольная
(k—1)-форма, то
(это очевидно, когда носитель ф лежит в некоторой координат-
координатной окрестности). Пусть М — открытое подмножество в У с глад-
гладкой границей дМ и компактным замыканием Л!. Устремляя ф
к характеристической функции множества М, получаем, как
в §3.1,
F.4.5) \df— \f (формула Стокса).
М дМ
Здесь граница дМ ориентирована следующим образом: берем
на У локальную систему координат уи ..., yk с У\ =0 на дМ и
У\ < 0 в М; если она принадлежит положительному атласу для
•М, то г/г, • • •, Уk принадлежит положительному атласу для дМ.
На этом завершим наш краткий обзор дифференциального
исчисления на многообразиях; читателю, совсем незнакомому
с этим предметом, стоит обратиться к какому-нибудь более под-
подробному изложению либо самому восполнить недостающие под-
подробности. Однако мы сделаем еще ряд замечаний о том, как по-
появляются кокасательные расслоения при изучении дифференци-
дифференциальных операторов.
Пусть X — многообразие и Е, F — два (комплексных) век-
векторных расслоения на X. Линейный дифференциальный опера-
оператор Р, определенный на сечениях расслоения Е и отображаю-
отображающий их в сечения расслоения F, — это линейное отображение
С°° (Х,Е)^-ССО(Х, F), которое является дифференциальным опе-
оператором в обычном смысле, если записать его с помощью ло-
локальных координат на I и локальных базисов для Е и F.
А именно, пусть х\, ..., хп — локальные координаты в ХКаХ и
еь ..., eN (соотв. /i, ..., fit) — сечения расслоения Е (соотв.i7),
образующие базис в каждой точке множества ХК. Тогда указан-
указанное выше условие состоит в том, что если и = 2 ukek — сече-
сечение расслоения Е и Ри= ?(?*")/f/> то (в ХК)
где
— дифференциальный оператор в локальных координатах. Это
условие, очевидно, не зависит от выбора локальных координат
и локальных базисов для Е и F. Говорят, что Р — оператор по-
порядка ^т, если в этой сумме |а|^т. Главный символ р(у)
оператора Р порядка т в точке у е Т* (X) с локальными коор-
координатами х, | определяется как линейное отображение из Ех
в Fx, х = пу, задаваемое в базисах ek, // формулой
F.4.6)

186 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 187
Это определение в действительности не зависит от выбора ло-
локальных координат и базисов, поскольку оно означает, что если
<реС°°(Х) и (х, ф'(*)) = у, то для любого сечения и расслоения
Е мы имеем в х
<6.4.6)'
те'*"
р (у) и = lim Гте'*"Р
а правая часть последнего равенства определена инвариантно.
(Впоследствии мы слегка видоизменим определение р, введя
множитель im, но сейчас это не играет роли.) Чтобы убедиться
в эквивалентности определения F.4.6) и бескоординатного опре-
определения F.4.6)', надо просто заметить, что при вычислении вы-
выражения F.4.6)' в локальных координатах ненулевой вклад по-
получается лишь тогда, когда все т производных падают на экспо-
экспоненту.
Если Р — скалярный дифференциальный оператор, т. е. диф-
дифференциальный оператор из Ст(Х) в Ссо(^'), то р представляет
собой функцию, определенную на Т*(Х). Ее нули, лежащие вне
нулевого сечения кокасательного расслоения, называются харак-
характеристиками оператора Р, а множество всех этих нулей — его
характеристическим множеством. Поверхность в X, задаваемая
уравнением ф = с, называется характеристической (в точке х),
если р (х, ф' (х)) — О всякий раз, когда <р(х) = с (соответственно
в данной точке х), т. е. если конормальное расслоение для этой
поверхности (в данной точке х) содержится в характеристиче-
характеристическом множестве оператора Р. Обсудим теперь проблему интег-
интегрирования характеристического уравнения р (х, ф' (х)) = 0, т. е.
проблему построения функций, у которых все поверхности уровня
являются характеристическими. При этом обсуждении мы раз-
разрешим р быть любой вещественнозначной С°°-функцией на
Т*(Х), иначе говоря, будем игнорировать то свойство главного
символа, что он является однородным многочленом в каждом
слое.
Обозначим сечение ф' расслоения Т*(Х) через |. Оно долж-
должно удовлетворять двум условиям:
(i) содержаться в множестве нулей функции р,
(ii) быть сечением вида ф'.
Но в силу F.4.3) условие (ii) влечет
dq> = |V
Следовательно,
F.4.7) <*?\» = ГЛ» = 0.
Обратно, если выполнено F.4.7), то |*ю локально является фор-
формой вида с?ф, и мы получаем локально решение характеристиче-
характеристического уравнения р (х, ф'(х)) = 0. Дифференциальная форма
F.4.8) o = d®
называется симплектической формой на Т*(Х). Она играет ос-
основную роль в последующих рассмотрениях. (Позднее мы по-
посвятим целую главу 21 изучению геометрии, связанной с этой
формой.) В стандартных локальных координатах х, \ на Т*(Х)
F.4.8)' а = ? d\, Л dx,.
Это означает, что значение симплектической формы на паре ка-
касательных векторов к Т*(Х) с координатами \t',%') и (/", т")
равно
F.4.8)"
\
Эта билинейная форма невырожденна, т. е. обращается в нуль
при всех (f, х") тогда и только тогда, когда (/', т7) = 0. По-
Поскольку а = da>, то, конечно, da = 0.
Мы можем теперь дать новую интерпретацию соотношения
F.4.7). Пусть s={(x, g(x))}cr Т*(Х) — график нашего сечения.
Он представляет собой n-мерное многообразие, параметризован-
параметризованное посредством х, и F.4.7) означает в точности, что ограниче-
ограничение формы а на 5 равно 0, т. е. поднятие а на S при помощи
включения S<=+T*(X) равно 0. Иными словами, касательная пло-
плоскость к S во всякой точке у ортогональна самой себе в смысле
билинейной формы а. Так как а невырожденна, то аннулятор
произвольного А-мерного подпространства в ТУ(Т*{Х)) относи-
относительно а должен иметь размерность 2п — k, так что касатель-
касательная плоскость к 5 в любой точке совпадает со своим аннуля-
тором.
Итак, из (i) и (ii) следует, что n-мерное многообразие
5 ={(х, К*))}с: Т*(Х) удовлетворяет условиям
(i)' р = 0 на 5,
(ii)' ограничение формы а на 5 равно 0, т. е. касательная
плоскость к многообразию 5 во всякой его точке является сво-
своим собственным аннулятором относительно о.
Обратно, если S удовлетворяет условиям (i)', (ii)' и огра-
ограничение проекции я на 5 есть диффеоморфизм 5 на X, то S
представляет собой сечение, удовлетворяющее (i) и (ii). Таким
образом, условия (i)', (ii)' — это чуть обобщенный геометриче-
геометрический вариант нашей проблемы.
Из того факта, что р = 0 на S, следует, что dp = 0 на каса-
касательных плоскостях к 5. Чтобы воспользоваться этим наблюде-
наблюдением, определим на Т*(Х) векторное поле Нр по формуле
F.4.9) (t, dp) = a {t, Hp), t<=T(T* (X))
(это возможно, поскольку форма а невырожденна). В локаль-
локальных координатах равенство F.4.9) означает, что если t = (tx, tt)

188 6. Композиция с гладкими отображениями
6.4. Касательное и кокасательное расслоения 189
И Нр = (hx, hx), то
(tx, dpjdx) + (tit др/dt) = (tb hx) - (ix, h),
т. e. hxz=dp/d\, /f6 =—др/дх. Таким образом, в локальных ко-
координатах
Векторное поле Нр называется гамильтоновым векторным по-
полем, отвечающим функции р. Из (i)' вытекает, что
a(t, Яр) = 0, если y(=S и t(=Ty(S),
поэтому, ввиду (ii)', вектор Нр должен лежать в касательной
плоскости к 5. Следовательно, S порождается интегральными
кривыми векторного поля Нр, т. е. решениями гамильтоновой
системы
F.4.11) dx,/dt = dp (х, l)ldl,, dl,/dt = -др (x, l)ldx,
(в локальных координатах). Заметим, что из F.4.11) следует,что
dp_
dt
др_
дх,
dXj
IF
d\
dt
, _ (
т. е. функция р постоянна на таких кривых. Если р обращается
в нуль в какой-нибудь одной точке интегральной кривой, то она
тождественно равна нулю на ней; в таком случае кривая назы-
называется бихарактеристикой для р.
Теорема 6.4.3. Пусть So — подмногообразие размерности п — 1
в Т* (X), такое что
(a) р = 0 на So,
(b) ограничение формы а на So равно 0, т. е. касательное
пространство к многообразию So в каждой его точке ортого-
ортогонально самому себе относительно а,
(c) векторное поле Нр не является касательным к многооб-
многообразию 5о ни в какой его точке.
Тогда объединение всех бихарактеристик функции р, прохо-
проходящих через So, образует п-мерное многообразие, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям (i)' и (ii)' в некоторой окрестности So.
Доказательство. Пусть Ф(^У — значение в момент t решения
гамильтоновой системы F.4.11), удовлетворяющего начальному
условию Ф@)у = у. ОН0 определено для всех достаточно малых
/. Поэтому отображение
определено в некоторой окрестности множества 50Х{0}. и в
каждой точке этого множества производная этого отображения
инъективна, ибо ее образ содержит как Нр, так и Т(So), а по-
потому имеет размерность л в силу условия (с). Следовательно,
образ достаточно малой окрестности множества SoX{0} пред-
представляет собой «-мерное многообразие S. Поскольку a(t,Hp) =
<?, dp>=0 для t^T(So) и а(Нр, Нр) = 0, из (Ь) вытекает, что
условие (ii)' выполняется на So, а условие (i)' выполнено на S,
так как 5 представляет собой объединение бихарактеристик.
Остается доказать, что (ii)' справедливо на всем 5. Для этого
достаточно установить, что
F.4.12) Ф(/)*ст = а,
ибо тогда из того факта, что ограничение а на 5 равно 0 на
So, будет следовать, что оно равно 0 и на Ф(/Mо, а значит, на
всем 5.
Чтобы доказать F.4.12), заметим прежде всего, что
ф (S + O = Ф(я)Ф@-
Следовательно, если мы покажем, что производная от <D(t)*o по
t равна 0 при t = 0, отсюда будет вытекать, что она равна 0
при всех t, а значит, выполнено F.4.12). Вычисление производ-
производной при t = 0 проведем в локальных координатах. Поскольку
Ф@(*. l) = (x + tdp(x, 1Iд\, l-tdp(x, l)!dx) + O(fi),
то
Ф НУ о = Z (dl, - t d dpjdxi) л (dx, + * d др/dl/) + О (t2)
= or + * (? dl,A d dp/dl, — d др/дх, л dx,) + О (Р)
= a — td2p + O(tz) = a + O (P).
Этим завершается доказательство равенства F.4.12) и теоремы
6.4.3. Одновременно мы доказали, что разрешающие операторы
Ф(/) гамильтоновой системы F.4.11) представляют собой ка-
канонические преобразования:
Определение 6.4.4. С°°-отображение Ф из Qi с: Т* (X) в Q2 с:
7*(Х) называется каноническим (или симплектическим) преоб-
преобразованием, если Ф*а = а.
Заметим, что1) Ф*а" == а" и что а" есть 2п-форма на Т*(Х),
нигде не равная 0, ибо в локальных координатах а" =
nldli f\'dx\ a • • • A^lnAdxn- Таким образом, форму ап можно
использовать для того, чтобы ориентировать Т*(Х), и мы за-
заключаем, что производная канонического преобразования всегда
биективна.
Теорема 6.4.3 дает решение геометрического варианта задачи
с начальными значениями для уравнения р(х, ц>'(х)) = 0.
') Ниже а" = а Л ... Л а (п раз). — Прим. перев.

190 6. Композиция с гладкими отображениями
Примечания 191
Следующая теорема — более привычный аналитический вариант
этого результата:
Теорема 6.4.5. Пусть р — вещественнозначная С"-функция, опре-
определенная в некоторой окрестности точки (О, Ti)er*(R"), такая
что
F.4.13) р (О, л) = 0, др (О, i\)№n Ф О,
и ф — вещественнозначная Сх'-функция на Rn~\ такая что
<р', и поскольку вдоль этих кривых
F.4.16) ^=У^М--д±-ЛВ-4Я
Тогда в некоторой окрестности точки Og Rn существует един-
единственное вещественнозначное решение ф уравнения
F.4.14) р(х, <р'(х)) = О,
удовлетворяющее граничным условиям
F.4.15) <р(*', 0) = i|>(x'). ду@)/дх = 1\.
Здесь x'=(xi, ..., дгл-i).
Доказательство. По теореме о неявной функции уравнение
р(*', о, а^оо/а*', Е„) = о
имеет единственное решение |п=|л(х/) с |л@) = т)я при до-
достаточно малых |лс'|. Множество
S0 = {(x',0,dWx',tn(x'))}
представляет собой (п — 1) -мерное многообразие, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) теоремы 6.4.3. Условие (с) также вы-
выполнено, поскольку ;с„-компонента др/д\п вектора Нр отлична от
0. Следовательно, для поверхности 5, даваемой теоремой 6.4.3,
ограничение проекции я на 5 имеет сюръективную производную
в точке @, т)), так что вблизи точки OgeR" эта поверхность
является сечением расслоения T*(Rn). Тем самым мы получаем
вблизи нуля некоторое решение ф уравнения F.4.14), такое, чтл
(х, ф'(д;))е=5; в частности,
Таким образом, ф(д^, 0)=л|)(х')+ С, а потому ф — С обладает
всеми требуемыми свойствами. Единственность решения выте-
вытекает из предшествовавшего теореме 6.4.3 обсуждения различных
способов формулировки условия F.4.14). Теорема доказана.
Иногда бывает нужно решать одновременно два уравнения
р(х, ф'(х)) = 0, q(x, Ф'(*)) = О.
Поскольку интегральные кривые гамильтонова поля Нр должны
лежать на поверхности 5, задаваемой графиком производной
dt Z-Л dt. dxj dx
то скобка Пуассона функций р и q
F.4.17)
> dq\
п^У
тоже должна равняться 0 на 5. Повторяя это рассуждение,
можно доказать, что и кратные скобки Пуассона {р, {р, q}}, ...
должны равняться 0 на 5. Модифицируя доказательство тео-
теоремы 6.4.3, нетрудно показать, что если скобка {р, q) тожде-
тождественно равна 0 на множестве {(х, I); p(x, ?,) — q(x, |) = 0} и
dp, dq линейно независимы, то существует поверхность S, удов-
удовлетворяющая условию (i)' для р и q, равно как и условию (и)',
которая проходит через заданное многообразие So размерности
я — 2, удовлетворяющее условиям (а), (Ь) и подходящему ва-
варианту условия (с). Мы не будем здесь продолжать обсужде-
обсуждение этого вопроса, потому что обстоятельное его изложение
будет дано в гл. 21. Однако понятие скобки Пуассона играет
важную роль в гл. 8, и стоит подчеркнуть, что в силу F.4.16)
скобка Пуассона двух функций на Т*(Х) определена инва-
инвариантно.
Примечания
Как было отмечено в конце § 6.3, в случае когда X — многооб-
многообразие, пространство З)'(Х) можно определить как двойственное
к пространству С°°-плотностей на X с компактным носителем.
Это частный случай теории потоков де Рама (de Rham [П),
которая занимается также изучением обобщенных дифференци-
дифференциальных форм любой степени. Поэтому результаты § 6.1 по су-
существу содержатся в теории де Рама, ибо композиция с отобра-
отображением f, имеющим сюръективную производную, может быть
после замены переменных в области определения f локально
расщеплена в тензорное произведение с функцией 1 от соответ-
соответствующей части новых переменных. Формула F.1.5) взята,
правда, из статьи John [5].
Аналогично тому как в § 1.1 мы дали краткий обзор диффе-
дифференциального исчисления, в § 6.3 и 6.4 мы напомнили понятия
многообразия, касательного расслоения и кокасательного рас-
расслоения, а также общее понятие векторного расслоения и исчис-
исчисления дифференциальных форм. Этого достаточно, чтобы объяс-
объяснить наши обозначения, но читателю, не имевшему прежде дела
с этими предметами, придется хотя бы посмотреть где-нибудь

192 6. Композиция с гладкими отображениями
подробное изложение теории дифференциальных форм. Помимо
книги де Рама (de Rham [1]) он может обратиться, например,
к руководствам Warner [1] или Sternberg [1].
В § 6.4 изложена, кроме того, теория Гамильтона — Якоби
для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Мы избрали геометрический способ изложения, ведущий к поня-
понятиям гамильтонова векторного поля, бихарактеристики и скобки
Пуассона, которые все понадобятся для некоторых результатов
§ 8.5. Эти понятия лежат в основе симплектической геометрии,
пронизывающей значительную часть современной теории линей-
линейных дифференциальных операторов в частных производных с
переменными коэффициентами. Мы специально посвятим целую
главу 21 изложению всей той части симплектической геометрии,
которая нужна для реализации нашей программы.
Читатель может спокойно отложить изучение § 6.3 и 6.4 до
того момента, когда он доберется до третьего тома. В большой
мере именно для того, чтобы сделать это возможным, мы пред-
предпочли определить композицию распределений с отображениями,
не привлекая понятия распределения на многообразии, хотя в
концептуальном плане обратный порядок изложения имел бы
определенные преимущества.
7
Преобразование Фурье
Краткое содержание главы
Преобразование Фурье функции и е L1 определяется формулой
йA)=
В § 7.1 мы распространяем это определение на все и, принад-
принадлежащие 9" — пространству умеренных распределений. Это наи-
наименьшее подпространство в ЗУ, содержащее L1 и инвариантное
относительно операций дифференцирования и умножения на
многочлены. В том, что такое распространение оказывается воз-
возможным, нет ничего удивительного, поскольку при преобразо-
преобразовании Фурье операции дифференцирования и умножения на ко-
координаты переходят одна в другую. (См. также введение.)'
Правда, технически удобнее определить 9" как пространство,
двойственное к пространству 9" быстро убывающих пробных
функций. Доказав формулу обращения Фурье и основные пра-
правила вычислений с преобразованиями Фурье, мы изучаем в
§ 7.1 преобразование Фурье функций из L2, распределений с
компактным носителем, однородных распределений и плотно-
плотностей на подмногообразиях. В качестве приложения исследуются
фундаментальные решения эллиптических уравнений. Параграф
7.2 посвящен формуле суммирования Пуассона и разложениям
в ряды Фурье. В § 7.3 мы возвращаемся к изучению преобразо-
преобразования Фурье — Лапласа распределений с компактным носите-
носителем. После доказательства теоремы Пэли — Винера — Шварца
здесь даются такие приложения, как существование фундамен-
фундаментального решения у любого дифференциального оператора с по-
постоянными коэффициентами, теорема Асгейрссона о средних зна-
значениях и формула Кирхгофа для решений волнового уравнения.
В § 7.4 исследуется преобразование Фурье — Лапласа распре-
распределений, не обязательно имеющих компактный носитель. В част-
частности, мы вычисляем преобразование Фурье — Лапласа опере-
опережающего фундаментального решения волнового уравнения.
13 Зак. 821

194 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в & и в 9" 195
Преобразование Фурье доставляет удобный метод приближения
С°°-функций аналитическими функциями. Используя этот ме-
метод, мы доказываем в § 7.5 подготовительную теорему Маль-
гранжа, предварительно напомнив ее классический аналитиче-
аналитический аналог — подготовительную теорему Вейерштрасса.
В § 7.6 рассматриваются преобразование Фурье гауссовых
функций и операторы свертки, задаваемые такими функциями.
Это подготавливает почву для проводимого в § 7.7 довольно об-
обстоятельного изучения метода стационарной фазы, который слу-
служит основным средством иследования псевдодифференциальных
операторов и интегральных операторов Фурье в гл. 18 и 25. Во
многих доказательствах этого параграфа существенную роль
играет подготовительная теорема Мальгранжа. В качестве при-
приложения метода стационарной фазы в его простейшей форме
мы вводим в § 7.8 понятие осцилляторного интеграла. Это по-
позволяет придать точный смысл соотношениям типа
Предположив, что / непрерывна, и выбрав какую-нибудь функ-
функцию g^.C™, для которой \fgdy=l, заключаем, что
и соответственно упростить обозначения. Наконец, в § 7.9 мы
продолжаем начатое в § 4.5 получение //-оценок для операто-
операторов свертки. Даются некоторые приложения таких оценок, ка-
касающиеся регулярности решений эллиптических дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Хотя эти резуль-
результаты весьма важны при изучении нелинейных эллиптических
дифференциальных уравнений, в этой книге они не играют су-
существенной роли, и читатель может пропустить § 7.9, не теряя
общей линии изложения.
7.1. Преобразование Фурье в д> ив/
Цель анализа Фурье в R"—разложить произвольную функцию
в сумму (обычно не дискретную, а непрерывную) характеров.
Под характером понимается собственная функция операторов
сдвига, т. е. такая функция f, что для всякого i/eR"
при некотором с(у). Следовательно, если /@) = 0, то f равня-
равняется 0 тождественно. Исключая этот неинтересный случай, мы
можем нормировать / так, чтобы /@)= 1. Полагая х = 0, полу-
получаем f(y)= c(y), так что
G.1.1)
= f(x)f(y),
(теорема 1.3.1). Дифференцирование G.1.1) по у дает прл
djf = atf, где at = dtf @).
Поскольку f@)= 1, отсюда следует, что
я
G.1.2) f(x) = exp(x, а), где (х, а)= ? х<аг
Обратно, экспонента G.1.2) удовлетворяет условию G.1.1), так
что мы нашли все непрерывные характеры.
Какие именно характеры требуются для разложения данной
функции и, зависит от свойств этой функции. Мы в основном
будем рассматривать функции и распределения, достаточно хо-
хорошо ведущие себя на бесконечности, и потому будем исполь-
использовать лишь ограниченные характеры, т. е. будем брать а в
G.1.2) чисто мнимым.
Определение 7.1.1. Для всякой функции fe/,'(R") ее преобра-
преобразованием Фурье называется ограниченная непрерывная функция
f на R", определяемая формулой
G.1.3)
Если / тоже окажется интегрируемой, то / восстанавливается
по f с помощью формулы обращения Фурье
G 1.4)
Таким образом, f(|) есть плотность характера ei<x-& в гармо-
гармоническом разложении функции f. Чтобы изучить свойства преоб-
преобразования Фурье и, в частности, доказать формулу G.1.4), рас-
рассмотрим сперва функции из некоторого подкласса класса С°°,
содержащего С":
Определение 7.1.2. Через 9" или ^(R") обозначается множество
всех феС°°(R"), таких что
G.1.5) sup|;cpda<p(*)l<°°
X
для любых мультииндексов аир. Топология в &, задаваемая
полунормами, равными всевозможным левым частям G.1.5),
превращает ЗР в пространство Фреше.
13*

196 7. Преобразование Фурье
Важность класса 9* объясняется следующим результатом, в
котором вместо операторов <Э/ мы используем операторы
D, = — id,,
что гораздо удобнее, когда речь идет о преобразовании Фурье.
Заметим, что D,9'с9", х,9>cz.91 и 9>aLl.
Лемма 7.1.3. Преобразование Фурье ф->-Ф непрерывно отобра-
отображает 9" в 9". Преобразованием Фурье функции /);ф служит
)', а преобразованием Фурье функции хщ> служит —D/ф-
Доказательство. Дифференцирование G.1.3) дает
(оно законно, поскольку получающийся интеграл равномерно
сходится). Следовательно, феС°° и ?)аф есть преобразование
Фурье от (—х)ац>. Далее, интегрируя по частям, получаем
G.1.6)
. Следова-
Следова(интегрирование по частям законно, так как фе
тельно,
sup | Ер?>?ф F) | < С sup A +1 х |)"+11 Dp ((- *)a Ф (x)) |,
x
где C= \ A +| я!)-" dx, так что преобразование Фурье не-
непрерывно отображает 9" в 9". Равенство G.1.6) при а = 0 по-
показывает, что ?рф есть преобразование Фурье от 0&у, чем и
завершается доказательство.
Лемма 7.1.4. Если линейное отображение Т: 9?^-9? удовлетво-
удовлетворяет условиям
Гй,ф = D,Tcf>, TXjfp = XjTq>, j = 1, ..., n, q>(=9>,
то Tq> = сф, где с — некоторая постоянная.
Доказательство. Если ipG?1 и ф(«/) = 0, то функция ф пред-
ставима в виде
Ф (*) =
— yj) Ф/ (х),
где ф/е^. (Действительно, теорема 1.1.9 гарантирует суще-
существование такого представления с ф/ е С°°, а при дг?=г/ можно
было бы взять ф/(х) = ф(*) (^/ — #/)|лс — у|~2 — эта функция
ведет себя на бесконечности как функция из 93. Сочетая эти два
выбора при помощи разбиения единицы, получаем ф/ с нуж-
нуж7.1. Преобразование Фурье в 9> и в 9" 197
ными свойствами.) Следовательно, и
Гф (х) = 2j (Xj — у,) Гф/ (х) = 0 при х = у.
Отсюда вытекает, что для всех феР1
где с не зависит от ф. Выбирая функцию ф, всюду отличную от
О, заключаем, что с е С°°. Далее,
О = DjTy — TDtf =
ф е 9,
значит, функция с должна быть постоянной.
Теорема 7.1.5. Преобразование Фурье F: ф->-ф есть изоморфизм
пространства 9" на себя, обратный к которому задается форму-
формулой обращения Фурье G.1.4).
Доказательство. В силу леммы 7.1.3, F2 отображает 9" в 93 и
антикоммутирует с В/ и Xj. Вводя обозначение Rq>(x) = q>(—х),
заключаем на основании леммы 7.1.4, примененной к Т = RF2,
что RF2 = с. Чтобы определить с, можно взять функцию ф (х) =
ехр(—|х|2/2), принадлежащую 93. Для нее (*/+ iD;-)Ф = 0, а
потому (—D/ + *?;) ф (?) = 0> У^1,---> я- Следовательно, ф =
йф, где Ci = <р@) = Bя)л/2, ввиду C.4.1)'. Таким образом, F2<p =
с^р, а значит, с = с<!=Bя)я, чем и завершается доказатель-
доказательство.
Другой интересный способ определения постоянной с, фигу-
фигурирующей в этом доказательстве, состоит в следующем. Рас-
Рассмотрим случай п = 1 (в общем случае надо просто ниже вместо
f взять произведение /i(xi) ... fn(xn)). Разбивая интеграл
G.1.3) на два — по отрицательной полуоси и по положительной
и интегрируя по частям, получаем /(?) = F+(|)+ ^-A), где
оо оо
F+ (D=\f (х) е-1* dx = f (ОМ + Г (WitJ + \ f" (х) е
о
при g->oo
о
F_ F) = \ f (х) е-** dx = -f @)/i| +0A6 Г2)
— оо
при ?-*оо
Предположим, что / е С™. Тогда F_ и f^. будут целыми ана-
аналитическими функциями. Если обозначить через уя окружность
|?| = У?, ориентированную против часовой стрелки, а через
Yf — ее полуокружности в верхней и нижней полуплоскостях

198 7. Преобразование Фурье
соответственно, то в силу интегральной формулы Коши
)dg = lim \ F+(?)dZ- \ f_
4
= lim
Таким образом, постоянная 2я в интегральной формуле Коши
«та же самая», что и в формуле обращения Фурье, и зачастую
мы вольны выбирать между этими формулами.
Можно было бы, и не привлекая лемму 7.1.4, непосредствен-
непосредственно проверить, что формула обращения Фурье должна выпол-
выполняться с некоторой постоянной с вместо Bп)п. Решающий мо-
момент— это вычисление двойного интеграла
Поскольку он не сходится абсолютно, порядок интегрирования
поменять нельзя, и для того, чтобы обеспечить сходимость, надо
ввести некий множитель, функцию от |. Итак, выберем функцию
гр ^9 с г|>@) = 1 и заметим, что по теореме о мажорированной
сходимости
\ Ф (g) /' <*•?> d\ = lim U (eg) ф (g) el <*• e»'rfg
J * e->0 J
= lim [ U (eg) Ф (y) el <*-* & dl dy.
e->0 J J
В этом абсолютно сходящемся двойном интеграле мы уже мо-
можем проинтегрировать сначала по g, что дает
\ ф (Б
6» d? = lim
e->0
= lim \ ф (х + ег) $ (z) с?г = ф (х) \ 4>
Теперь установим ряд фундаментальных свойств преобразо-
преобразования Фурье на 91.
Теорема 7.1.6. Для любых ф, ^^9"
G.1.7) \j№dx = \jy$dx,
G.1.8) \ фт{> dx = Bл;)"" [(ptydx (формула Парсеваля),
G.1.9) ф"^ф = ф1|>,
G.1.10) ф^=Bя)~пф*1('.
Чтобы доказать G.1.8), положим x^
обращения Фурье,
Ш = Bя)"
7.1. Преобразование Фурье в 9" и в 9" 199
Доказательство. Обе части G.1.7) равны двойному интегралу
i). В силу формулы
= + (g).
Поэтому G.1.8) вытекает из G.1.7) с ip, замененным на %. До-
Доказательство равенства G.1.9), столь же элементарное, как и
доказательство равенства G.1.7), предоставляется читателю. На-
Наконец, чтобы установить G.1.10), заметим, что преобразование
Фурье от фт|э равно Bя)лф(—x)ty(—х), а преобразование Фурье
от ф*^ равно Bя)"ф(—х)Bп)"т$>(—х), ввиду G.1.9) и формулы
обращения Фурье. Теорема доказана.
Определение 7.1.7. Непрерывные линейные формы на 9* назы-
называются умеренными распределениями (или распределениями
умеренного роста). Множество всех умеренных распределений
обозначается через 9".
Ограничение умеренного распределения на подпространство
Со" (R") в 91 будет, очевидно, распределением из @>'(Rn). В дей-
действительности 9" можно отождествить с соответствующим под-
подпространством в iZ)'(R"), ибо, как показывает приводимая ниже
лемма, распределение и ^9', равное 0 наСГ(К")> должно рав-
равняться 0 на всем 9.
Лемма 7.1.8. Со" плотно в 9'.
Доказательство. Пусть ф е 9. Возьмем функцию 1|з е Со°, такую
ЧТО "ф (ДС> == I ПРИ |*|<1, И ПОЛОЖИМ фе (х) = ф (х) ф (sx). ЯСНО,
что фе е С^°, а поскольку
М () ()(() 1) = 0 при |дс|<1/е,
то фе^-ф в 9 при е-»-0.
Очевидно, что <%' с: 9". Другим примером элементов из 9'
служат меры d\i, удовлетворяющие при некотором m условию
Отсюда, в частности, следует, что Lp(Rn)cz9' для любого р.
Ясно, также, что 9' замкнуто относительно операций диффе-
дифференцирования и умножения на многочлены или функции из 9.

200 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в SP и в 9" 201
Определение 7.1.9. Для всякого распределения ы<
образование Фурье й определяется формулой
G.1.11) Й(ф) = «(ф), ф?^.
его пре-
преИз леммы 7.1.3 следует, что ug?", и, поскольку доказа-
доказательство равенства G.1.7) сохраняет силу для всех ф, ^ei1,
это определение согласуется с определением G.1.3) в случае,
когда и е= L1.
Формула обращения Фурье, доказанная в теореме 7.1.5,
утверждает, что
я
Ф = Bя)*ф для ф<=^, где ф (х) = ф (— х).
Отсюда вытекает, что для usf
I (Ф) = «(ф) = Bя)" и (ф) = Bя)" и (Ф).
Здесь и— это, конечно, композиция распределения и с отобра-
отображением *->-—х. Таким образом, справедлива
Теорема 7.1.10. Преобразование Фурье осуществляет изоморфизм
пространства 9" (со слабой топологией) на себя, и для всякого
us^ имеет место формула обращения Фурм и = Bя)пй.
В частности, если f^L] и fei1, то формула обращения
G.1.*4) справедлива для почти всех х. Следовательно, можно
изменить / на множестве меры нуль так, что она станет непре-
непрерывной и G.1.4) будет выполняться всюду.
Теорема 7.1.11. Если «eL2(R"), то преобразование Фурье й
тоже принадлежит L2(Rn), и формула Парсеваля G.1.8) верна
для всех ф, фЕ L2.
Доказательство. Выберем последовательность Ы/ s С", такую
что И/-»-ы в /Анорме. Тогда
||й, - йкН*. = Bл)"||и, -uk\\l->0
в силу равенства G.1.8), уже доказанного для 9". Отсюда еле--
дует по теореме Рисса — Фишера, что существует функция
U^L2, такая что й/->-?/ в' L2, и, ввиду непрерывности преоб-
преобразования Фурье в 9", U = й. Далее, обе части равенства
G.1.8) суть непрерывные функции от ф и ip в 1Анорме, поэтому
оно сохраняет силу для любых функций из ZA
Если u^L" и 1 ^ р ^ 2, то и можно представить в виде
суммы функции из L2 и функции из L1, и, значит, преобразова-
преобразование Фурье от и принадлежит Lioc. Более сильное заключение
можно сделать, используя следующую теорему Рисса — Торина
о выпуклости:
Теорема 7.1.12. Пусть Т — линейное отображение из LPl[\LPl в
Lqi П Lq\ такое что
G.1.12) ШЦ^едПр,, /=1,2.
Если \/p = t/pi+({—t)/p2, \/q = t/q1+(l—t)/q2 для неко-
некоторого t^@, 1), то
G.1.12)'
Доказательство. Можно считать, что р < <х>, ибо иначе pi =
р2 = оо, а тогда G.1.12)'следует из неравенства Гёльдера.Метод
доказательства данной теоремы сходен с методом доказатель-
доказательства теоремы 4.5.1. Прежде всего перепишем G.1.12) в виде
\(Tf, g)\<:Mj\\f\\pj\\g\\(l>r Щ+Щ=1.
Для любых неотрицательных F, G^V с ||F||t, = ||GИ^, = 1
функция
ф(z) = (Т(fQFzl^+{l-z)lp>), gQG<^-z)l<)M\ZMV
по абсолютной величине не превосходит 1 при Re z = 0 или
Re 2 = 1, при условии что |/о|^1, I go |^1- Если взять в ка-
качестве F и G функции, принимающие лишь конечное число значе-
значений, то функция Ф будет аналитической и ограниченной при
0 ^ Re z^l. По теореме Фрагмена — Линделёфа ее абсолют-
абсолютная величина не будет превосходить 1 и внутри этой полосы;
следовательно,
\(T(f0Fllp), gfi^l^MiMl-'. 1/<7-И/<7'= 1.
Тем самым G.1.12)' доказано для некоторого плотного подмно-
подмножества в LPl П L"\ Но в силу наших предположений обе части
этого неравенства -непрерывны в Lp' Г) ^. Доказательство за-
завершено.
Теорема 7.1.13 (Хаусдорфа — Юнга). Если f<=L" с 1 < р < 2,
то f^f, где 1/p-f 1/р'=1, и
G.1.13)
Доказательство. Неравенство G.1.13) справедливо при р = 2
в силу формулы Парсеваля и очевидно при р = \, поэтому в
общем случае оно следует из теоремы 7.1.12.

202 7. Преобразование Фурье
Как мы увидим в § 7.6, при р > 2 преобразование Фурье
функции из Lp может быть распределением положительного по-
порядка.
Уже лемма 7.1.3 показывает, что преобразование Фурье пе-
переводит друг в друга свойства локальной гладкости и свойства
роста на бесконечности. Другим подтверждением этому служит
следующая
Теорема 7.1.14. Преобразование Фурье всякого распределения
«eI"(R") является функцией
G.1.14) u{l) = ux{e~i<x'l)) °.
При этом правая часть определена для всех комплексных век-
векторов | е С" и представляет собой целую аналитическую функ-
функцию от |, называемую преобразованием Фурье —
Лапласа от и.
Доказательство. Для феС"(R")
ввиду теоремы 5.1.1 или, точнее, ее аналога для распределений
с компактным носителем и пробных функций из С00. Отсюда
следует, что распределение и есть функция G.1.14), которая
в силу теоремы 2.1.3 является С^-функцией на С". Она удов-
удовлетворяет уравнениям Коши — Римана, поскольку мы можем
дифференцировать по | прямо экспоненту, чем теорема и до-
доказана.
Заметим, что и *е'{- &> = й(?)е'<'>Е>. Свойства целой анали-
аналитической функции и будут обсуждаться ниже в § 7.3.
Теорема 7.1.15. Если и\<=9", а u2^S', то и,\*и2<^9" и преоб-
преобразованием Фурье свертки U\ * и2 служит щй2.
Последнее произведение определено, ибо ввиду предыдущей
теоремы й2 е С°°.
Доказательство. Для qieC" имеем, в силу свойств свертки,
(и, * и2) (ф) = щ * и2 * ф @) = и{ (й2 * ф).
Правая часть представляет собой непрерывную линейную форму
на 9*, поскольку для феУ свертка й2*ф тоже принадлежит SP,
и если и2 — распределение порядка, скажем, k, то
7.1. Преобразование Фурье в 9" и в 9" 203
Чтобы вычислить преобразование Фурье от «i * «г, заметим, что
Если ф е С^°, то ы2 * Ф есть преобразование Фурье от й2ф, так
как это последнее равно
ввиду теоремы 5.1.1. Следовательно,
чем наше утверждение и доказано.
Из теоремы 7.1.15 вытекает, что основные свойства преоб-
преобразования Фурье, отмеченные в лемме 7.1.3, распространяются
на 9": ^ ^
G.1.15) D^u = lju, xp = — D,u {u<=9"),
поскольку дифференцирование можно записать как свертку с
производной от меры Дирака в 0. Равенства G.1.15) можно так-
также получить дифференцированием соотношений
G.1.16)
6ft * и = е-' <"•
{е1 <• *>и)~ = К *
Еще можно было бы рассуждать так: равенства G.1.15) долж-
должны выполняться в 9", потому что они выполняются в его плот-
плотном подмножестве 9>, а обе части каждого из равенств непре-
непрерывны в 9". Последнее рассуждение показывает также, что для
всякой линейной биекции Т: R"->R'1
G.1.17)
ЛI det Г
Г1
Теорема 7.1.16. Если распределение «e/(R") однородно сте-
степени а, то й однородно степени —а — п.
Доказательство. Пусть Mt обозначает оператор умножения на t.
Тогда M'tu = tau, а потому G.1.17) дает при i>0
а \п, т. е. M'su = s~n~au, s>0.
Замечание. Как мы увидим ниже (теорема 7.1.18), каждое одно-
однородное распределение ue2)'(R") автоматически принадлежит
9" (R").
Пример 7.1.17. В обозначениях § 3.2, для всякого аеС преоб-
преобФ ^(но/
1) То есть
ы(е~1<''*>). — Прим. перев.
разованием Фурье распределения %а± служит
ХA + *0) а~, а преобразование Фурье от (х ± Ю)а равно
2пе± IIta/2x~a~1 (|). Для всякого целого k преобразованием Фурье

204 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в & и в 9" 205
-1-*
от лг-1-* служит nH-*(sgn %)%k/k\, если k^O, и 2ni-1-ktf-k-i\
если А < 0.
Второе утверждение следует из первого в силу формулы об-
обращения Фурье, а третье — из второго в силу C.2.10)' и C.2.17)'.
Чтобы доказать первое утверждение, заметим, что при е > 0 и
Re а > — 1 преобразованием Фурье от е~гхх\ (х) будет функция
(здесь предполагается, что последний интеграл берется по лучу,
идущему в направлении е + i|, а функция 2а определена на
комплексной плоскости с разрезом вдоль R_ так, что 1" = 1).
В силу интегральной формулы Коши интеграл можно брать по
R+, так что он равен Г(а + 1)- Следовательно, это преобразо-
преобразование Фурье есть функция
Устремляя е к 0, заключаем, что преобразование Фурье от Х+
имеет указанный вид (заметим, что это проливает свет на фор-
формулу C.4.10)), т. е.
(Г+, ф) =-<?-'«<«+'«((Б- ю)--1, Ф), Фе <?,
при Rea>—1. Обе части последнего равенства — целые ана-
аналитические функции от а; значит, это равенство должно выпол-
выполняться при всех ае.С. Парное утверждение получается, если
заменить х и ? на —х и —?.
Теперь рассмотрим однородные распределения на R" или
R"\0.
Теорема 7.1.18. Если и s 2Ь' {R") и ограничение и на R*\0 одно-
однородно степени а, то аеР". Если вдобавок u^C°°(Rn\0), то и
UeC»(R"\0).
Доказательство. Выберем функцию фе C"(Rn\0), удовлетво-
удовлетворяющую условию C.2.22). Тогда функция
принадлежит С™, и мы можем написать
и(ф) = и
Положим /Со = supp ф0, К — supp ф, и пусть k — порядок рас-
распределения и в какой-нибудь (компактной) окрестности нуля.
Тогда
У snp\D\\+\ У
|<ft K° 1 |a|<
a|<fe
|a|<fe
для любого целого Af>Rec + n- Тем самым доказано, что
и е 5". Допустим теперь, что « е С* на R"\0. Если Re a < —п,
то й — непрерывная функция, ибо u = ifo« + (l — 'Фо)", причем
первое слагаемое имеет компактный носитель, а второе есть
интегрируемая функция. В общем случае мы заключаем, что
распределение Ьр1ай, представляющее собой преобразование
Фурье от (—x)$Dau, является непрерывной функцией, если
Re a — | а | +1 р | < —п. Так как это верно для любого | fJ | при
|a|>Rea + |p|+n, то «eC°°(R"\0).
Теоремы 7.1.16 и 7.1.18 показывают, что преобразование
Фурье есть биекция множества однородных распределений сте-
степени а на R", принадлежащих классу С°° в R"\0, на множество
таких же распределений степени —п — а. Рассмотрим теперь
преобразование Фурье V распределения и, удовлетворяющего
соотношению C.2.24)', т. е. соотношению
й = Г
й +logt Z S(xau)(-lfda60/ah
||fe
В силу G.1.17) мы имеем в R"
где Q — однородный многочлен степени k, задаваемый фор-
формулой
G.1.18) Q(l) = Sx((-ix,l)k
(Напомним, что Sx обозначает интегрирование по единичной
сфере.) Далее, распределение
= U + Qlog\
однородно етепени k, ибо
^По-
^Последовательно, Uo есть ограниченная в некоторой окрестности
нуля функция, однородная степени k и класса С°° в iR"-\0.

208 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в 9> и в 9" 207
Таким образом,
G.1.19) ?/(!) = ?/0№)-Q
Применяя этот факт, мы будем строить сейчас фундаментальные
решения, но сперва надо ввести соответствующую терминологию.
Определение 7.1.19. Однородный многочлен от п переменных
Р(|) с комплексными коэффициентами называется эллиптиче-
эллиптическим, если РA)ФО при 0#^eR°. Неоднородный многочлен
называют эллиптическим, если эллиптична его однородная часть
старшей степени.
Теорема 7.1.20. Пусть Р — однородный эллиптический многочлен
степени m на Rn. Тогда оператор P(D) обладает фундамент а.ль-
ным решением Е вида
E = E0-Q(x)log\x\,
где Ео — однородное распределение степени m — п, принадле-
принадлежащее классу С°° в R*\0, a Q — многочлен, при я > m тожде-
тождественно равный 0, а при п^. m задаваемый формулой
G.1.20) Q(x) = Sl((ix, l)m-n/P(l))Bn)-n/(m-n)\.
Доказательство. Определим Е так, чтобы Е==A/Р)' (в обозна-
обозначениях теорем 3.2.3 и 3.2.4). Тогда РЕ= I' — Ь, а значит,
P(D)E = 6, и распределение Bя)"Ё = Е обладает всеми тре-
требуемыми свойствами.
Замечание. Используя аналитичность Р, легко показать, что Ео
аналитично в R"\0. Мы докажем это для более общего случая
в § 8.6. (См. также замечание после теоремы 7.1.22.)
Из теоремы 7.1.20 вытекает, что каждый однородный эллип-
эллиптический оператор с постоянными коэффициентами удовлетво-
удовлетворяет условию теоремы 4.4.1. Однако в такого рода приложениях
главную трудность, преодолеваемую при доказательстве тео-
теоремы 7.1.20, — определение распределения A/Р)"— удается
обойти. В самом деле, доказательства теорем 4.4.1 и 4.4.2 про-
проходят и тогда, когда мы располагаем не настоящим фундамен-
фундаментальным решением, а лишь параметриксом:
Определение 7.1.21. Пусть P{D) — дифференциальный оператор
с постоянными коэффициентами. Распределение Е ^2)'(Rn)
называется параметриксом для P(D), если
P(D)? = 6 +со, где coe=C°°(R'1).
При построении параметрикса можно не обращать внимания
на определение \/Р в 0, поскольку преобразование Фурье рас-
распределения с компактным носителем всегда принадлежит клас-
классу С°°. Более общим образом, справедлива
Теорема 7.1.22. Всякий эллиптический оператор P(D) с постоян-
постоянными коэффициентами обладает параметриксом Е, являющимся
на R"\0 функцией класса С°°.
Доказательство. Запишем Р в виде
где Pj — однородный многочлен степени / и Рт(?,)ФО при
| Ф 0. Тогда | Рт(|) | ^ с > 0 при 111 = 1, и по однородности
\Pm{Q\ = \l\m\Pm Ц/\ 11) | > с | ? Г, ^eR".
Отсюда следует, что найдутся такие постоянные С и R, что
|P(|)|>|Pn(?)|-|Pm-,F)l-...
для всех geRrt с |||^/?. Поскольку, как это немедленно про-
проверяется по индукции, всякая частная производная порядка k от
\/Р{1) имеет вид Q(|)/P(|)*+1, где Q — многочлен степени
<; (т — 1) k, мы заключаем, что при | \ \ > R
G.1.21) |?^аA/Р(Е))|<СарШ1Р|-|а|-т.
Выберем функцию %^C™(Rn), равную 1 в шаре {|; |||</?}.
Тогда A—1(\))/Р(\) является ограниченной С°°-функцией, а
значит, преобразованием Фурье некоторого распределения
Е е 9". Ясно, что Р (D) Е = б -f- со, где ю = —%. Следовательно,
со е 91, и из G.1.21) вытекает, как и при доказательстве тео-
теоремы 7.1.18, что D$xaE — непрерывная функция при |р| — |а| —
т < —п. Тем самым теорема доказана.
Замечание. Поправочный член со, полученный при доказатель-
доказательстве теоремы, обладает по теореме 7.1.14 аналитическим продол-
продолжением на С". Легко также показать, сдвигая контур интегри-
интегрирования в комплексную область, что Е допускает аналитическое
продолжение в некоторую коническую окрестность множества
R"\0. Мы предоставляем доказать этот факт читателю в каче-
качестве упражнения, потому что в § 8.6 будут представлены более
общие результаты.
Доказательство теоремы 7.1.22 сохраняет силу для всех Р,
таких что Р("Щ)/Р (!)-»- 0 для каждого а^=0 при |->оо в R";
здесь Р(а)(|) = даР (|). Надо просто показать, что Р{-аЩ)/РA) =
С*(|Е|"|а|с) при |-»-оо для некоторого с > 0, а затем убедиться,
что ?(|)=1/Р(|) наследует то же свойство для всех а (так
что с не зависит от а). Верно и обратное утверждение. По по-
поводу этих и многих других связанных с ними результатов отсы-
отсылаем читателя к гл. 11.

208 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в 91 и в 9" 208
Найдем теперь преобразование Фурье однородных распреде-
распределений, изучавшихся в § 6.2.
Теорема 7.1.23. В предположениях теоремы 6.2.1 преобразова-
преобразованием Фурье распределения (А ± ДО) B-я><'2 служит
(п - 2)сп\ det А Гше
Гше*п1п-'2
(В =F /О)

а преобразованием Фурье распределения
det A
- i0)~l - fe* я1|1±/2 (Д + i0)~l).
Доказательство. Если бы А была не вещественной, как в тео-
теореме 6.2.1, а комплексной формой с положительно определенной
вещественной частью, то выполнялось бы равенство F.2.1)".
Переходя к преобразованиям Фурье, мы нашли бы, что преоб-
преобразование Фурье от Л'2-"'/2 равно
(n-2)cn(detA)-ll2/B(l) '
всюду вне 0. В силу теорем 3.2.3 и 7.1.16 это должно быть верно
и во всём пространстве. Пусть теперь форма А всего лишь (ве-
(вещественна и) невырожденна. Применим полученный только что
результат к Ае = —iA + е|х|2, е > 0. Рассуждая, как при дока-
доказательстве теоремы 6.2.1, мы получим при е->-0, что преобразо-
преобразование Фурье распределения
равно помноженному на | det Л r1/2e"'(sgnA)/4(n — 2)с„ пределу
распределения 1/IF&A), где Fe(?) — квадратичная форма с ма-
матрицей
(alk + Mlkyl = (Ь]к) - ы (bjkf + О (е2).
Предел этот равен г-'(В(?)— ДО)-1. Действительно, поскольку
мы имеем дело с функциями, однородными степени —2 > —п,
достаточно (по теореме 3.2.3) установить этот факт в R"\0, a
там он следует из деммы 6.2.2. Тем самым доказано первое
утверждение теоремы. Другие выводятся из него, как в начале
доказательства теоремы 6.2.1.
Далее, вычислим преобразование Фурье произвольного рас-
распределения ttG2)'('RB), для которого при некотором целом k
выполняется условие
-к ,
¦ Г1
:L0
G.1.22) (и, ф) = (sgn tI * (и, ф (/ • )>,
Это означает, что и однородно степени —п — k и имеет четность,
противоположную четности k (см. C.2.18)'). Согласно теореме
3.2.4, взятие ограничения на Rn\0 задает биегащю множества
всех таких распределений в R" на множество всех распределе-
распределений в R"\0, удовлетворяющих тому же условию при фЕС0°°
(R"\0). В силу C.2.23)",
<и, <P> = S(u<r*-\ ф(/-)))/2, q>eCo~(Rn).
Эта формула распространяется по непрерывности на все
фе?1. Чтобы вычислить <й, ф> = <и, ф>, выразим сперва через
ф значение <^~*~1,ф(^)> при л; = A,0, ..., 0). Функция
2—>-ф(/, 0, ..., 0) есть преобразование Фурье от функции
ii-M<p(ii. l')dl', где 1' — A2> ¦¦•' In)- Преобразованием Фурье
от t~ ~l служит 2пГ1~ ak, где
G.1.23) ak(x)
( 2~[(sg
2~l(sgnx)xk/k\ при k — 0, 1
при & = —1, —2, ...
(пример 7.1.17). Следовательно,
\t_ , ф (tx)) = 2ni \ {ak (т), ф (т, |')) d\'
'!-l-k(<yk((x,t)),4®).
Заметим, что Ok однородно степени k, а потому последнее выра-
выражение однородно ио х степени k. По соображениям инвариант-
инвариантности относительно вращений это выражение дает значение
<*-', ф(tx)> при любом хФО, и мы заключаем, что для всех
G.1.24) (й,
или, формально,
G.1.24)'
> = ж" ' Sx(u(x)(ok((x,
I»).
В § 8.2 и 12.6 мы придадим точный смысл таким формулам. От-
Отметим, что из G.1.24) и G.1.23) вытекает, что при k < 0 пре-
преобразование Фурье й в окрестности данной точки | вполне опре-
определяется ограничением распределения и на некоторую окрест-
окрестность проходящей через 0 плоскости, ортогональной вектору |;
при k :> 0 это верно лишь в отношении особенностей й. В гл. 12
мы вернемся к формуле G.1.24), представляющей собой квинт-
квинтэссенцию формулы Герглотца — Петровского для фундамен-
фундаментального решения гиперболических уравнений. Чтобы иметь там
удобную ссылку, подытожим полученные результаты в виде от-
отдельной теоремы:
Теорема 7.1.24. Если распределение me/(R") удовлетворяет
условию. G.1.22), т. е. является однородным степени —п — k и
14 Зак. 821

210 7. Преобразование Фурье
7.1. Преобразование Фурье в & и в 9" 211
имеет четность, противоположную четности числа k {целого), то
преобразование Фурье от и задается формулой G.1.24), где аь
определяются по формуле G.1.23).
В заключение этого параграфа рассмотрим преобразования
Фурье от плотностей (типа простых слоев) на подмногообразиях
в R". Прежде всего напомним, что преобразованием Фурье от
So служит мера Лебега dx, а значит, в силу формулы обращения
Фурье, преобразование Фурье от dx равно Bл) "б0. Более общо:
Теорема 7.1.25. Пусть V — линейное подпространство в R" «
Vх — ортогональное к нему подпространство. Преобразованием
Фурье евклидовой поверхностной меры на V служит взятая с
множителем Bn)dimV евклидова поверхностная мера на Vх.
Доказательство. Ортогональным преобразованием можно до-
добиться, чтобы V задавалось уравнением х" = (xk+i, ..., х„) = 0.
Положим х' = (х\, ..., Xk). Тогда
G.1.25) J ф(*', 0)dx' = Bя)* Jф@, х")dx", фе^.
Действительно, функция Ф на iRft, определенная формулой
Ф (х') = \ ф (х', х") dx", принадлежит классу 9>, и Ф(|') =
ф(|', 0). Поэтому G.1.25) сразу следует из формулы обращения
Фурье для Ф. Теорема доказана.
Пусть dSv и dSvx — евклидовы поверхностные меры на V
и V1 соответственно и «о ^L2(dSv)- Тогда /Лплотность и =
UodSv принадлежит 9"'(Rn) и ее преобразованием Фурье будет,
в использованных выше координатах, йо(|'). Следовательно, в
силу формулы Парсеваля, для ф е C0(Rn)
k~n
й (?) Р ф (l/tf) dl = \ | й0 (Г) I2 Ф (Г//?. Г) d\
(Г) I2
@,
\" = Bя)* \ | u012 dSv J ф dSvJL
при R—>• оо.
Мы собираемся обобщить этот факт на случай произвольных
поверхностей. Как показывает предыдущая формула, удобно из-
изменить обозначения и понимать под k не размерность, а кораз-
коразмерность подпространства V.
Теорема 7.1.26. Пусть К — компактное подмножество ^-мно-
^-многообразия MczRn коразмерности k, и пусть dS обозначает
евклидову поверхностную меру на М. Если u = uodS, где и0 —
функция с носителем в К, квадратично-интегрируемая по мере
dS, то
G.1.26) \ \U(l)\2dt^CRk\\u0fdS, R>0,
где С не зависит от и и R.
Доказательство. Привлекая, если надо, разбиение единицы,
можно считать, что в некоторой окрестности множества К мно-
многообразие М имеет вид
х"-= h (*'); хг = (*„ .... xn_k) e Rn~k,
(АеС). Тогда dS = a(x')dxr, где а —положительная непре-
непрерывная функция, «о есть функция от х' и
= J в-1 «^ Vh-оихъ г»„0 (Х*) а (xr) dx'.
При фиксированном \" формула Парсеваля дает
J | й (|) |2 d\' = BлГ~* \ | «012 a2 dx' = Bn)"-ft J | и0
Интегрируя это равенство по 5" в шаре |^"|<
G.1.26).
Несмотря на простоту доказательства, оценка G.1.26) яв-
является оптимальной:
Теорема 7.1.27. Пусть и е <?", /J e Z.L. Предположим, что
приходим к
G.1.27) limsup \ \йA)
оо.
г/ ограничения распределения и на данное открытое мно-
множество X в Rn носитель лежит в некотором С1-подмногообразии
М в X коразмерности k, то это ограничение представляет собой
Ь2-плотность uodS на М и
G.1.28)
м
limsup \ \й(%)\2
R-*~ \i\J*
где С зависит лишь от п.
Доказательство. Выберем функцию % е С~ (R") с носителем
в единичном шаре и с \%dx=l. Преобразование Фурье от
«е = и*Хе, где %е(х) = е-п%(х/е), равно й(|)х(е|). Следователь-
Следовательно (ниже || || обозначает /Анорму),
14*

212 7. Преобразование Фурье
где
/С(8)-зирBя)-п \ \u
= sup
1Е1
sup
Пересечение носителя распределения иг с произвольным ком-
компактным подмножеством в X содержится в множестве Ме всех
точек, находящихся на расстоянии <е от suppu*c:Af (здесь их
обозначает ограничение распределения и на X), при условии что
е достаточно мало. Геометрически очевидно и легко доказыва-
доказывается при помощи замены переменных, что для ty e С^° {X)
e-fe
при
supp
где Cft — объем единичного шара в R*. Поэтому
| (и, *> I2 = lim | <ue, i|)> |2 < C" \ | ip P dS lim tf (e).
е-Ю J e-*o
еЮ e-*o
SUPP Ug
Отсюда видно, что существует ^-плотность UodS на М, такая
что для ф е С" (ЛГ)
\ С | А (|) |2 dl/Rk.
Теорема доказана.
Следующая теорема служит заменителем формулы Парсе-
валя:
Теорема 7.1.28. Пусть <peCo(R"). Тогда для всякой ^-плот-
^-плотности с компактным носителем и = uodS на ^-многообразии
jMc-R" коразмерности k
G.1.29) \ш^ \\u®?<?(Z/R)dtJRk
= Bя)я"* \ | и0 (х) Р ( \ Ф (I) da (| A rfS (х),
м \nx J
где dS — евклидова поверхностная мера на М, a da — евклидова
поверхностная мера на проходящей через 0 плоскости Nx, нор-
нормальной к (касательной плоскости к) многообразию М в точке х.
Доказательство. Ввиду теоремы 7.1.26 достаточно установить
G.1.29) для случая,когда функция ыонепрерывна,а феС™(R")-
7.1. Преобразование Фурье в 9* и в 9" 21$
Пусть ф = Ф, так что Фе/ Положим
Преобразование Фурье от (DR равно /?-*ср(?//?), а потому преоб-
преобразованием Фурье от ы*Ф« будет u{%)<p(l/R)R-k. Следова-
Следовательно, по формуле Парсеваля,
I й A) Р Ф (l/R) dllRk = Bп)п(и * Фя, и).
Остается вычислить предел свертки и * Фк на М. Запишем
u*$>R(x)=f\iu0(y)<I>(R(x-y))Rn-kdS(y), x^M.
Без ограничения общности можно считать, что многообразие М
задается, как и в доказательстве теоремы 7.1.26, уравнением
x" — h{xr) (поскольку вне носителя функции и0 интеграл в пра-
правой части быстро стремится к нулю). Во введенных там обозна-
обозначениях имеем
д))
= \ «о (</') Ф (R (*' - У'), R (Л (*') - h [у'))) Rn~ka (у') dy'
= \ «о(*'- SIR)Ф{У', R(h(x') -h{x'- y'lR)))а(х' - y'lR)dy'
', h' (х') у') а (х') dy' при R -> сх>
(по теореме о мажорированной сходимости). Ясно, что эта схо-
сходимость локально равномерна. Но последний интеграл есть ин-
интеграл от Ф по касательной плоскости ГкМв точке (xf, h(x')),
взятый по евклидовой поверхностной мере. Поэтому, согласно
теореме 7.1.25, он равен
BяГ*
откуда сразу и следует формула G.1.29).
Теорема 7.1.28 часто выступает в другом обличье, которое
окажется нам полезным в гл. 14:
Теорема 7.1.29. Пусть F^Cl(Rn)—вещественнозначная функ-
функция, tiei2 и Vt — преобразование Фурье от eitFv, (eR. Если
cp<=C0(Rn)fH°°('R'1), то
G.1.30) Bя)
(I/O
| v (х) \\(Ff{x))dx при t
oo.
Доказательство. Предположим сперва, что veС", а
Тогда <p(i/f)V<(i) есть преобразование Фурье от свертки

214 7. Преобразование Фурье
7.2. Формула суммирования Пуассона и периодические распределения 215
и ve'tF, где if — функция, удовлетворяющая условию ф = ф.
Произведение этого преобразования Фурье на функцию, комп-
комплексно сопряженную с veiip, равно
= vjx)
при
Поскольку, кроме того, средняя строчка допускает мажоранту
C\v(x)\, отсюда следует G.1.30). Для ф = 1 соотношение
G.1.30) вытекает из формулы Парсеваля, которая также пока-
показывает, что G.1.30) выполняется для всех ф из замыкания мно-
множества 9* в sup-норме, т. е. для всех ф е C°(R), стремящихся к
нулю на те. Если 0^ф^1,феС"и ф=1 в {F'(x); x<=supp у},
то
Q при t-
¦ оо.
Отсюда видно, что G.1.30) справедливо для всякой ограничен-
ограниченной непрерывной функции ф, равной нулю на некотором доста-
достаточно большом компактном множестве. Тем самым G.1.30) до-
доказано для всех фе С°(К")П L°°CRn), при условии что оеС?
Но С~ плотно в L2, поэтому G.1.30) выполняется для всех
tie!2.
Приводимое ниже следствие по существу идентично частному
случаю k—l теоремы 7.1.28. Случай более высоких коразмер-
коразмерностей можно рассмотреть аналогичным образом.
Следствие 7.1.30. Пусть Vt определено, как в теореме 7.1.29, и
ФеС0(К"+1). Тогда
G.1.31) Bя)
Vt (?) Р Ф (?//?, № dl dt/R
при
Доказательство. Взяв s = t/R в качестве новой переменной, пе-
перепишем левую часть доказываемого соотношения в виде
Заменяя в теореме 7.1.29 t на R, F на sF и ср(|) на <?(|,s),
заключаем, что внутренний интеграл ограниченно сходится к
Bя)я \j\v(x)\2O(sF'{x), s)dx.
Отсюда следует G.1.31), ибо интегрирование по s производится
по конечному интервалу..
7.2. Формула суммирования Пуассона
и периодические распределения
В § 7.1 мы вычислили преобразование Фурье для меры Лебега
на произвольном линейном подпространстве в R". Нашей первой
целью здесь будет найти преобразование Фурье от суммы мер
Дирака в точках некоторой дискретной подгруппы в R".
Теорема 7.2.1. Если иа — сумма мер Дирака,
то ua =
Доказательство. Поскольку 6ag * иа = иа для g
Z",
то
Все множители в круглых скобках одновременно обращаются
в нуль лишь в точках решетки Bn/a)Zn. В точке, скажем, 0
распределение йа должно быть просто кратным меры Дирака,
ибо (sin(ax//2))uo = 0, / = 1, ..., п, и мы можем применить
теорему 3.1.16, взяв sin(ax//2) в качестве новых переменных.
Далее, йа инвариантно относительно сдвигов на элементы из
Bn/a)Za, так как e2ni{'-&>laua = ua. Отсюда вытекает, что йа
есть мера с одной и той же массой в каждой точке решетки
{2n/a)Zn, т. е.
В явном виде это означает, что
G.2.1) Хф(а?) = са?фBзт?/а), Ф е 9>.
Заменяя функцию ф произвольным ее сдвигом, получаем
ZФ(ag)е1 <°г.» = саZФBng/a + х), ф? 9.
Проинтегрируем обе части по 0 < Xj < 2л./а, 7 = 1, •-., п. Все
члены в левой части с g Ф0 исчезнут, и мы придем к равенству
ф @) Bя/а)" = са J ф (х) dx = саф @),
чем и завершается доказательство.

216 7. Преобразование Фурье
7.2. Формула суммирования Пуассона и периодические распределения 217
Заметим, что в проведенном рассуждении формула обраще-
обращения Фурье не использовалась. Поскольку из теоремы 7.2.1 сле-
следует, что
то мы тем самым нашли постоянную, фигурирующую в формуле
обращения Фурье, еще одним способом, имеющим то преиму-
преимущество, что эта постоянная прямо связана с объемом ячейки-пе-
ячейки-периода экспонент ei{x< e\ gEZ". Перепишем формулу G.2.1),
подставив в нее явное значение постоянной са:
{7.2.1)'
<р
Это равенство называется формулой суммирования Пуассона.
Отметим, что при а->-0 или с» в качестве частных случаев полу-
получаются преобразования Фурье от 1 и б0.
Рассмотрим теперь произвольное распределение и, периоди-
периодическое с периодом 1 по каждой переменной, т. е. удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
и (х — g) = и (х), g e Z".
Такое распределение автоматически является умеренным. Дей-
Действительно, пусть ф — функция из C™(R"), для которой
G.2.2) 1ф(*-*)=1
(см. теорему 1.4.6). Тогда для ifeC™
{и, \\>) = X(«. ^Ф(• — 8))=Yj(u> Ф(• Н
в силу периодичности и. Поскольку отображение
непрерывно, этим доказано, что и умеренно. Найдем <й, г|э>=
<u, i{>>. Для этого применим формулу суммирования Пуассона
к Ир(-)е~'<х'->. Получим
Ф (х) Z! Ф (х + g) = {2л)п X Ф Bng)e~2ni <JC> «'ф (х).
Следовательно,
где
Заметим, что в случае, когда и — непрерывная функция,
где /^{х; 0 ^ Xj < 1} — единичный куб; надо просто разбить
интеграл слева на интегралы по целочисленным сдвигам куба /
и просуммировать их, используя периодичность и и равенства
G.2.2). Произвольное периодическое распределение и с перио-
периодом 1 по каждой переменной можно рассматривать как распре-
распределение на торе Тп = R"/Z", и соответствующий предельный
переход показывает, что правая часть формулы, определяющей
cg, есть «интеграл» по этому тору. Таким образом:
G.2.3)
G.2.4)
для
В силу формулы обращения Фурье,
G.2.5) и
(сходимость в 9"). Тем самым мы переоткрыли основные факты,
касающиеся рядов Фурье. Если аеС*, то cg = uq>Bng) =
O(|g1~ft), так что ряд G.2.5) равномерно сходится при k ~> л.
Итак, справедлива
Теорема 7.2.2. Для всякой функции ыеС*(К"), k ~> п, перио-
периодической с периодом 1 по каждой переменной, справедливо пред-
представление G.2.5) с равномерно сходящимся рядом и с коэффи-
коэффициентами, даваемыми формулой G.2.4).
То, что Cg должны задаваться формулой G.2.4), сразу полу-
получается интегрированием равенства G.2.5) по тору, и основное
содержание теоремы — в утверждении о существовании такого
разложения в ряд. Это очевидное вычисление коэффициентов
Фурье и лежит, конечно, в основе способа определения постоян-
постоянной в формуле обращения Фурье, указанного после тео-
теоремы 7.2.1.
Теорема 7.2.3. Если и е L2(Tn), то разложение G.2.5) с коэффи-
коэффициентами G.2.4) справедливо в смысле сходимости в L2(Tn).
Имеет место формула Парсеваля
G.2.6)
Обратно, если Zkgp< оо, то ряд G.2.5) сходится в L?{Tn) и
коэффициенты Фурье его суммы равны cg.

218 7. Преобразование Фурье
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в &' 219
Доказательство. Для иеС+^Р) мы имеем разложение
G.2.5) с абсолютно сходящимся рядом, так что
| и [2 dx =
Следовательно, отображение /,2(Г")э u->{cg}e/2(Z") является
изометрическим. Его образ содержит плотное подмножество
ll(Zn) пространства /2(Z"), а потому это отображение унитарно.
С формулой суммирования Пуассона тесно связана формула
G.2.7)
-<а
/-1 n /=1 n
справедливая для функций feC+'fR"), периодических с пе-
периодом а по каждой переменной, и натуральных k. Она полу-
получается, если заметить, что функция
F(x)=
периодична с периодом a/k по каждой переменной, а в правой
части G.2.7) стоят как раз ее коэффициенты Фурье. При
а = &-> с» мы формально еще раз получаем формулу Пуассона,
и этот предельный переход можно строго обосновать.
Укажем теперь для случая п = 1 иной путь к формуле сум-
суммирования Пуассона, аналогичный нашему выводу формулы об-
обращения Фурье при помощи интегральной формулы Коши. Пусть
if e 9>. Рассмотрим
оо
где и — мера с массой 1/2 в точке 0 и массами 1 в точках 2я&,
отвечающих натуральным k. Поскольку и является пределом
мер ие~ех при е-> +0, то
й{1)= lim A/2
е-*-+0 V
= lim
= lim -^-
(сходимость в 9"). Следовательно,
G.2.8)
Заменяя ф на -ф, получаем
G.2.8)' Ч> @)/2 + Z ¦ Bя*) = - <ctg л (• + Ю),
— оо
Но
ctg я (I - Ю) - ctg я (| + Ю) = 2/ J б,
ввиду примера 3.1.13, ибо я^яг имеет в целых числах простые
полюсы с вычетом 1. Складывая G.2.8) и G.2.8)', получаем
формулу суммирования Пуассона.
Тот факт, что я ctg яг имеет в целых числах простые полюсы
с вычетом 1, часто позволяет вычислять суммы вида J] ^ (&)
прямо как сумму вычетов функции if (г) я ctg яг. Возьмем, на-
например, ifB)=l/B — w), где w не является целым числом, и
проинтегрируем Bni)-1if B)яctgя2 по прямоугольному контуру,
стороны которого задаются условиями |Re2| = iV + 1/2 или
|Im2| = iV, где N — целое. По интегральной формуле Коши этот
интеграл при достаточно больших JV равен
N
— 2j (да — k)~ +л ctg яда.
Далее, интеграл от z~l ctg nz по указанному контуру равен 0,
так как подынтегральная функция четна и вклады от противо-
противоположных точек взаимно сокращаются. На нашем прямоуголь-
прямоугольном контуре функция ctg лг равномерно ограничена и
z~x—(z — w)~l = O(N~2), поэтому мы заключаем, что предыду-
предыдущий интеграл стремится к 0 при N-*-oo. Тем самым получена
известная формула
я ctg nw = lim
ЛГ
-N
тесно связанная с формулой C.4.11).
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в &'
Как было показано выше (теорема 7.1.14), преобразование Фурье
й всякого распределения «e^'fR") можно продолжить до це-
целой аналитической функции на С", называемой преобразова-
преобразованием Фурье — Лапласа от и. Рассмотрим теперь подробнее свой-
свойства этого преобразования. Ясно, что если «gL1 и Н — опор-
опорная функция для suppu (см. D.3.1)), то
G.3.1)

220 7. Преобразование Фурье
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в &' 221
Теорема 7.3.1 (Пэли — Винера — Шварца). Пусть К —выпуклое
компактное подмножество в Rn с опорной функцией Я. Если и —
распределение порядка N с носителем в К, то
Обратно, всякая целая аналитическая функция на С", удовлет-
удовлетворяющая оценке вида G.3.2), представляет собой преобразова-
преобразование Фурье — Лапласа некоторого распределения с носителем,
содержащимся в К. Если и е С" (К), то для каждого N суще-
существует такая постоянная Сц, что
<7.3.3) \U(
Обратно, всякая целая аналитическая функция на Сп, удовлет-
удовлетворяющая оценке G.3.3) для каждого N, представляет собой
преобразование Фурье — Лапласа некоторой функции из С™ (К)-
Доказательство. Чтобы доказать необходимость условия G.3.2),
выберем функцию Ха е С~ (К6), где К6 = {х + у; х <= К, | у | < 6},
такую что х«=1 на /С6/2и |?>ах«|=^ Сад-м (см. A.4.2)). Тогда
для всякого и е 8'N (К)
\й(?,)\=\и(Хбе-н-Ь)\^С
I
а К Л'
Оценка G.3.2) получается, если взять 6 =
убедиться в справедливости G.3.3) для и е
заметить, что в силу G.3.1)
Чтобы
(К), достаточно
Теперь докажем достаточность условия G.3.3). Пусть И —
¦целая аналитическая функция, удовлетворяющая этому условию
для каждого N. Тогда ограничение V на :R" является преобразо-
преобразованием Фурье С°°-функции
и{х) = Bл)~
поэтому все, что нам нужно доказать, — это что supp и с К.
¦С этой целью заметим, что при любом выборе ц е R"
{7.3.4) и (ж) = Bя)~я5 *'«*'«+"»?/(Б+ '¦
поскольку быстрое убывание U на бесконечности позволяет
сдвинуть прямую, по которой производится интегрирование, на
вектор ir\ в комплексную область. (Или можно рассуждать так:
дифференцирование по щ под знаком интеграла эквивалентно
дифференцированию по |/ с последующим умножением на t, а
интеграл от производной равен 0.) Оценивая G.3.4) с помощью
G.3.3) при JV = п + 1, получаем
|и(х)|<е-<*ч>+*(ч)С J A + ISI)"""' d\.
Заменяя х\ на tx\ и устремляя t к +°°» заключаем, что и(х) мо-
может быть отлично от 0, лишь если Я(т])^<х, tj>. Поскольку это
верно для любого ц, мы должны иметь *е К (по теореме 4.3.2).
Тем самым установлено, что supp ua К-
Чтобы доказать достаточность условия G.3.2), заметим
прежде всего, что ограничение на R" функции II, удовлетворяю-
удовлетворяющей этому условию, является преобразованием Фурье некото-
некоторого распределения и е 9". Выберем функцию <р е С^° с носи-
носителем в единичном шаре и с Urft=l и положим <рв(х) =
6~n(f(x/8). Тогда преобразованием Фурье свертки u*cpe будет
произведение йф6, обладающее целым аналитическим продолже-
продолжением ?/фв, для которого
=1, 2,
Действительно, для ф6 справедлива оценка G.3.3) с Я, заменен-
замененной на опорную функцию шара радиуса б с центром в 0. По-
Поэтому из уже доказанного результата следует, что
supp и * <рв с Кй. Но и*ф6-^и при 6->0, значит, supp и cz К.
Доказательство завершено.
Отметим, что для частного случая u\=Uz равенство D.3.5),
утверждаемое теоремой 4.3.3, является непосредственным след-
следствием теоремы 7.3.1. Дадим, далее, некоторые приложения этой
теоремы к изучению дифференциальных операторов с постоян-
постоянными коэффициентами. Пусть Р — многочлен от (?ь ..., ?„)
с комплексными коэффициентами и P(D) — дифференциальный
оператор, полученный из него заменой ?/ на —id/dx,.
Теорема 7.3.2. Пусть f
G.3.5)
e"{Rn). Уравнение
P(D)u = f
имеет решение «e^'fR") тогда и только тогда, когда
f{%)•?(?,) — целая функция. В этом случае решение однозначно
определено и
G.3.6)
ch supp u = ch supp /.
Доказательство. Если уравнение G.3.5) имеет решение и е &',
то, взяв преобразование Фурье — Лапласа от обеих частей урав-

222 7. Преобразование Фурье
нения, мы получим
так что f(?)/^(?) есть Делая функция ц(?). Во второй части
доказательства нам понадобится следующая лемма:
Лемма 7.3.3. Для всякой аналитической функции h(z) от гЕ С.
и всякого многочлена p(z) со старшим коэффициентом а
|аА(О)|<тах|Л(г)р(г)|.
|г| = 1
Доказательство. Положим q(z) = zmp(l/z), где m — степень мно-
многочлена р, а р — многочлен, полученный из р переходом к комп-
комплексно сопряженным коэффициентам. Тогда q@) = a, и по прин-
принципу максимума
|ah@) | = |q@)h@) |<max|q(z)h(z) | = max|p(z)h(z)|,
1z1=1 |z1—1
чем лемма и доказана.
Завершение доказательства теоремы 7.3.2. Если степень Р равна,
скажем, гп, то можно выбрать координаты так, чтобы в много-
многочлене Р(?) коэффициент а при?[" был отличен от 0. Тогда Р(%\-\-
z, t,2, • ¦ •) как многочлен по г имеет старшим коэффициентом а,
и из леммы 7.3.3 вытекает, что если функция g =f/P целая, то
I Я! 1 — 1
I «1—1
Поэтому g удовлетворяет той же самой оценке вида G.3.2), что
и /, только с другой постоянной, и, значит, g = й, где «gI'h
ch supp uach supp f = ch supp Pu. Поскольку противоположное
включение очевидно, мы получаем равенство G.3.6), которое
следует также и из теоремы 4.3.3.
В качестве приложения доказанной теоремы получим (уточ-
(уточненную) теорему Асгейрссона о средних значениях:
Теорема 7.3.4. Пусть и{х,у) — непрерывное решение уравнения
(Д,-Д,)и = 0
в некоторой окрестности множества К = {(х,у); x,y^Rn; \x\-\-
М<Д}. Тогда
u(x,0)dS(x)= \ и@, y)dS(y).
\x\-R \v\-R
В случае когда п нечетно и отлично от 1, достаточно предпола-
предполагать, что и является решением вблизи дК.
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в &' 223
Доказательство. Регуляризацией дело сводится к случаю, когда
и е С°°. Обозначим через f меру, задаваемую формулой
/(Ф)=
Тогда
- J ф@, y)dS(y).
где G — некоторая целая функция одной комплексной перемен-
переменной, ибо четная целая функция одной комплексной переменной
z есть целая функция от z2. Далее,
1
G(z)-G (w) = (z-w)\jG'(w + t(z — w)) dt,
о
и потому (G(z)—G(w))/(z — w) — целая функция на СЛ Сле-
Следовательно,
Н
будет целой функцией, а значит, преобразованием Фурье неко-
некоторого распределения \i с носителем в К, такого что (Ь.х — А
= —f. Таким образом,
если и является решением нашего уравнения в некоторой окрест-
окрестности множества К. Доказательство более сильного утвержде-
утверждения для нечетных п требует более пристального рассмотрения
распределения ц.. Поскольку, в силу D.4.2), [i — E*f, где Е —
любое из фундаментальных решений, даваемых теоремой 6.2.1,
с п+ = п- = л, то по теореме 4.2.5
sing supp ц с {(х + х', у + у')\ | х | = | у |, (*', у') <= supp f}.
Значит, |а/| + |«/'| = ^? и |л:'| = 0 либо \у'\ = 0. Ввиду неравен-
неравенства треугольника отсюда вытекает, что \х-{-х'\-{-\у-\-у'\~^ R,
и поскольку supp \iczK, то
sing supp {i с {(х, у); \x\ + \y\ = R}=dK.
В случае когда п нечетно и отлично от 1, формула F.2.1)' дает
фундаментальное решение Е, такое что Ы = |#| для (х, г/)е
supp?, и мы получаем то же самое включение уже не для но-
носителя сингулярности, а для самого носителя ц. Тем самым до-
доказательство теоремы завершено. Заметим, что для четных п
фундаментальное решение Е, даваемое формулой F.2.1), удов-
удовлетворяет условию
\<0 при

224 7. Преобразование Фурье
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в Ж' 225
Поэтому ii(x, y) = E*f(x, у) имеет знак (—1)'+"/2 при \x\-\-
\y\<.R, и, значит, для соответствующей регуляризации рас-
распределения Е заключение теоремы Асгейрссона не выполняет-
выполняется ]), поскольку фигурирующие в этой теореме средние имеют
противоположные знаки.
В том частном случае, когда и не зависит от у, теорема 7.3.4
просто выражает свойство среднего значения для гармонических
функций (ср. с теоремой 4.1.8). Далее, рассмотрим решение и
волнового уравнения
(Ах - P/Ofi) и = О
в R3+1. Будем предполагать, что u e С вблизи двойного ко-
конуса, определенного неравенством |*|-ЬИ ^ R- Мы можем
применить теорему Асгейрссона к
U(xu х2, х3, уи у2, у3) = и(х1, х2, х3, ух)
и получить
G.3.7)
2я
, t)dt =
<a, 0)dS(<a).
Дифференцирование по R дает
2я (и @, R) + u (О, -/?))= $ ("(i?<0>0) + R <"*
!°)>ю» dS
!<o|=i
а применяя G.3.7) вместо и к du/dt, приходим к равенству
2я(и@, R)-u@, — #)) = /? \ u't(Ra,0)dS(&).
Исключая u@, —R), получаем после замены обозначений фор-
формулу Кирхгофа
G.3.8)
"@> '>=i S ("(to> 0) + ^ (("* {ш>0)> ш)+"'(Ло> 0)))rfs (co)-
Конечно, это частный случай формулы F.2.9).
После этого отступления, имевшего целью показать, что в
общих результатах типа теоремы 7.3.2 может быть заключена
вполне конкретная информация, докажем одну аппроксима-
ционную теорему, близкую к теореме 4.4.5.
" Хотя эта регуляризация удовлетворяет рассматриваемому уравнению
вблизи дК. — Прим. перев.
Определение 7.3.5. Решение и дифференциального уравнения
P(D)u — 0 в R" называется экспоненциальным решением, если
его можно записать в виде
где t, е ;.СД а / — многочлен.
Теорема 7.3.6. Для любого открытого выпуклого множества
Ic R" замкнутая линейная оболочка в С(Х) множества
экспоненциальных решений уравнения P(D)u=0 состоит из
всех его решений в C°°(X).
Доказательство. Ввиду теоремы Хана — Банаха нам надо по-
показать, что если v е^Г'(Х) ортогонально ко всем экспоненциаль-
экспоненциальным решениям указанного уравнения, то v ортогонально ко всем
вообще его решениям в С°°(Х). Для этого достаточно устано-
установить, что v(?)/P(—t) — целая функция, ибо тогда, в силу тео-
теоремы 7.3.2, v = Р(—D)\i для некоторого це^'(Х), а значит,
<v, и) = (Р (- D) [I, и) — <ц, Р (D) и) = О,
если и^С°°(Х) и P(D)u = 0. Поэтому доказательство завер-
завершает следующая
Лемма 7.3.7. Если velf'fR") ортогонально ко всем экспонен-
экспоненциальным решениям уравнения P(D)u = 0,.to v{t,)/P(—%) —
целая аналитическая функция.
Доказательство. Выберем и зафиксируем вектор 6 ф О, такой
что Р(—^6 — %) ии при каком % не является константой (как
функция от t). Так будет, например, если Рт(в)ф0, где Рт —
главная часть многочлена Р, т. е. его однородная часть стар-
старшей степени. Из сделанных предположений следует, что
v(tB-\-t)/P(—ft) — t) при фиксированном t, — аналитическая
функция от t. Действительно, если функция Р(—/6 — ?), рас-
рассматриваемая как многочлен от t, имеет при t = t0 нуль по-
порядка k, то, дифференцируя по t тождество
мы получим
P(D)((x,
= 0,
Следовательно, v((x, Q)' e-'<*-'«9+t>) = 0, /< k, откуда вытекает,
что v(ft) -\-t) имеет в точке t0 нуль порядка по меньшей мере k.
Мы можем поэтому положить для каждого %
F ft) = lim («(В + DIP (- Л - О).
<»0
15 Зак. 82!

226 7. Преобразование Фурье
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в 8' 227
То, что F— целая функция, следует из подготовительной тео-
теоремы Вейерштрасса (теорема 7.5.1), но легко дать и прямое
доказательство. Для произвольного фиксированного to выберем
г так, чтобы Р{—т — 1о)фО при \t\ = r. Тогда Р(—tQ — 1)фО
при l^^/1 для всех ? из некоторой окрестности точки ?о- Сле-
Следовательно,
\t\-r
— аналитическая функция от % в окрестности ?о- Доказатель-
Доказательство завершено.
У теоремы 7.3.1 есть аналог, дающий характеризацию вы-
выпуклой оболочки носителя сингулярности.
Теорема 7.3.8. Пусть «e^'(R") и К — выпуклое непустое ком-
компактное подмножество в R" с опорной функцией Н. Для того
чтобы sing supp и с= К, необходимо и достаточно, чтобы нашлись
постоянная N и последовательность постоянных Ст, такие что
для m = 1, 2, ...
G.3.9) |
при
?€=С.
Доказательство. Чтобы доказать необходимость условия G.3.9),
представим и в виде суммы и = щ -f- «2, где и\ — распределение
с носителем в K\im> a «2^Co°(R"). (Множество Кц определя-
определяется, как в доказательстве теоремы 7.3.1.) Если и — распределе-
распределение порядка N— 1, то в силу теоремы 7.3.1
Следовательно,
|u1a)l<Cm(l+IUr^('m5) при |Im?|<nilog(|?| + l),
а ввиду G.3.3) мы имеем «2(?)e~H(Im!:>->-0, когда % стремится
к оо, оставаясь в множестве, определенном последним неравен-
неравенством. Отсюда видно, что при несколько большем Ст справед-
справедливо G.3.9).
Чтобы доказать достаточность условия G.3.9), используем,
как и при доказательстве теоремы 7.3.1, прием с заменой «кон-
«контура» интегрирования, только теперь это надо делать иначе,
дабы не выйти из множества, в котором применимо G.3.9).
Именно, для произвольного т] е R" обозначим через Г„ цикл
R" еэ |-> Ш = Е +/г] log A + Ш2).
Непосредственное вычисление показывает, что dt,i л ... hdt,n
<=F(l)dtiA ... Ad?n, где F^-l при g-voo. Далее, |
2|il|log(l +151) на Гч. Выберем q>t, как в доказательстве тео-
теоремы 7.3.1. Поскольку "(?)Фв(?) быстро убывает, применение
формулы Стокса к гомотопным циклам Го и Гп дает
G.3.10) и * Фв (х) = Bя)
е1 *
Л ...
(Фактически мы изменяем контур интегрирования лишь в одном
направлении, поэтому можно было бы обойтись интегральной
формулой Коши.) На Г„
G.3.11) |в*
Для всякой точки Хо ф К можно подобрать %\ так, чтобы
при всех, х из некоторой окрестности Хо этой точки. Из G.3.11)
следует, что если мы заменим х\ на t\\, где t удовлетворяет усло-
условию 2t>n-\-N, то интеграл в G.3.10) будет абсолютно схо-
сходиться для isl0 даже при опущенном убывающем множителе
фв. Поскольку Фв(^) = ф|(б^) ограниченно сходится к 1 при
6-+-0, мы заключаем, что ограничение и на Хо есть функция
G.3.12) и (х) = Bяр J е'<*.
Хо,
при .условии что 2t > n -f- Л^. Если взять 2t> n-\- N -\-}, то ин-
интеграл G.3.12) остается абсолютно и равномерно сходящимся
для х е Хо и после / дифференцирований под знаком интеграла.
Следовательно, и е С!(Х0) для каждого У, а значит, и еС°° (С/С),
что и требовалось доказать.
Следующее приложение к дифференциальным операторам
аналогично G.3.6).
Теорема 7.3.9. Для ы«= 3"(R")
G.3.13) ch sing supp ы = ch sing supp P (D) u.
Доказательство. Положим f = P(D)u, и пусть Я — опорная
функция для sing supp f. Тогда f удовлетворяет условию G.3.9),
а значит, ему удовлетворяет и й — это устанавливается с по-
помощью леммы 7.3.3 точно так же, как при доказательстве тео-
теоремы 7.3.2. Следовательно, левая часть G.3.13) содержится в
правой, обратное же включение очевидно.
Теорема 7.3.9 утверждает, в частности, что и е С", если
ые^" и Р(?>)иеС°°. Для произвольных дифференциальных
операторов с переменными коэффициентами класса С" это уже
15*

228 7. Преобразование Фурье
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в &' 229
не так. Например, для функции и, равной 0 при х < 0, равной
1 при 0 < х < 1 и гладко сходящей к нулю при 1 < х < 2, мы
имеем xdu/dx gC™. Для носителей сингулярности не существует
аналога теоремы о носителях (теоремы 4.3.3), верного для про-
произвольных распределений. В самом деле, можно указать распре-
распределения «ь «2 s<^'(R")> для которых щ * «2 е С , хотя ки один
из сомножителей не принадлежит классу С°°. Вот пример: и\(х)
= %{х)/{х + Щ, u2(x) = %(x)/(x — i0), где xe=cr(R). Однако
G.3.13) дает такой аналог в случае, когда носитель одного из
сомножителей сводится к точке; он верен также, когда носитель
одного из сомножителей является конечным множеством. Изуче-
Изучение этих вопросов будет продолжено в § 16.3.
Из теоремы 7.3.1 вытекает, что весьма общие преобразования
Лапласа определяют распределения в R". Чтобы мотивировать
последующее определение, напомним, что
(и, ф) = Bя) "(и, ф(—
для
\9>.
Поэтому для заданной меры d\i в С" попробуем определить
ue2)'(R") аналогичной формулой
G.3.14) м(ф)
Это определение годится, если при некоторых т ^ О и С, N
G.3.15) |ImCKmlog(l+l?l) + C для
G.3.16)
Действительно, для <р^С™({х; \x\^.R}) мы имеем в силу
G.3.3), а точнее — на основании рассуждений, использованных
при выводе G.3.3) из G.3.1),
При k ^ Rm экспоненту можно оценить на множестве supp d\i
величиной (l-f"|S|)*- Следовательно, интеграл G.3.14) схо-
сходится и
|и(ф) |<СЯ
\a\<N+k
sup |
({х; \х
Таким образом, формула G.3.14) задает распределение, которое
в шаре |л:| <? имеет порядок ^ N-\-Rm -f-1. Его порядок не
превосходит N, если величина |Im?| ограничена на ^
Для всякого многочлена Р
а преобразованием Фурье — Лапласа от Р(—?>)ф служит
Р(— 5)«Ф(Е). Поэтому
G.3.17) (РФ)и, ф) = BяГл$ф(-?)^(?L1(&).
В качестве приложения этой формулы мы докажем сейчас, что
каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффи-
коэффициентами обладает фундаментальным решением. Для этого нам
надо подобрать меру d\i так, чтобы интеграл в правой части
G.3.17) был равен интегралу от ф по R".
Теорема 7.3.10. Для всякого многочлена Р ФО от п переменных
найдется распределение ?e^(R"), такое что P(D)E = b.
В порядке подготовки к доказательству этой теоремы уста-
установим две леммы, используемые при построении меры с?ц.
Лемма 7.3.11. Если ФеСГ(С) и
G.3.18) ФИ) = ФЙ)(ве
где dX — мера Лебега в С", то
G.3.19)
для любой целой аналитической функции F.
Доказательство. Согласно интегральной формуле Коши,
Умножим это равенство на Ф(?) и проинтегрируем по dX. Ввиду
G.3.18) получим G.3.19).
Для фиксированного натурального т обозначим через
Pol(m) комплексное векторное пространство многочленов сте-
степени не выше т от п переменных и через Pol°(m) — то же про-
пространство с выколотым началом. Наделим Pol(m) нормой
Q—*~<3@), где
G.3.20) Q(l) =
Заметим, что для всякого Q?=0 функция Q ограничена снизу
положительной константой, поскольку некоторая производная
от Q есть ненулевая константа.
Лемма 7.3.12. Для всякого шара ZcrC" с центром в 0 найдется
неотрицательная функция Ф s Cco(Pol°(m)X;C") со следую-
следующими свойствами:

230 7. Преобразование Фурье
7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 231
(i) <D(Q,!;) абсолютно однородной степени О по Q;
(ii) <D(Q, %) удовлетворяет условиям G.3.18) при каждом
фиксированном Q и равно нулю при %&Z;
(Hi) существует постоянная С, такая что
G.3.21)
Q@)<C|Q(O|, если S>(Q,
Для любой аналитической в Z функции F и любого многочлена
Q степени не выше пг
\
z
Доказательство. Для фиксированного Qo существование такой
функции Ф в достаточной мере очевидно. Действительно, всегда
найдется ais?", для которого Qo(w)^Q. Далее, можно по-
подобрать г>0 так, чтобы rwsZ и Qo(zw)фО при |z| = r, ибо
последнее требование исключает самое большее лишь пг зна-
значений г. Если теперь Ч* — неотрицательная функция класса С"
с носителем вблизи rw, интеграл от которой равен 1, то функция
будет обладать требуемыми свойствами. Эту же самую функ-
функцию Ф можно использовать для всех Qs РоГ(т), таких что aQ
близко к Qo при некотором а е С. Соединив эти локальные кон-
конструкции воедино с помощью разбиения единицы в проективном
пространстве, порожденном Pol°(m), т. е. разбиения единицы,
члены которого суть абсолютно однородные функции порядка
нуль, мы получим функцию Ф с нужными свойствами. Послед-
Последнее утверждение леммы следует из G.3.19) и G.3.21), так как
Доказательство теоремы 7.S.10. Обозначим через Pg многочлен
?-»-P(?-f-5), получаемый сдвигом многочлена Р, и положим
G.3.22) Е (Ф) = Bяр J dl \ ф (- % - DIP (I + О Ф (Plt С) dl ft).
Это формула вида G.3.14), и для соответствующей меры d\i
при N > п. (Напомним, что значения Р(|) отделены от нуля.)
Поскольку Im? ограничено на suppdn, E есть распределение
порядка не выше п + 1. Из G.3.17) и G.3.19) вытекает, что
(Р (D) Е, Ф> = BяГя \ d\ \ ф (-1 - О Ф (Р», С) dX (О
*> То есть однородно по отношению к гомотетиям с любыми комплекс-
комплексными коэффициентами. — Прим. перев.
Доказательство завершено.
Из указанной выше конструкции можно извлечь весьма точ-
точное описание свойств регулярности фундаментального решения
Е — и при фиксированном Р и как функции от Р. Это будет сде-
сделано в § 10.2.
7.4. Более общие преобразования
Фурье — Лапласа
Для распределений с компактным носителем мы определили пре-
преобразование Фурье — Лапласа формулой
G.4.1) Л(е) = <и, <?-'<¦•?>), ?еС*.
Часто оказывается возможным определить й(?) хотя бы на не-
некоторой части ,'С* и для более общих распределений и. При
фиксированном r\ = Im e мы можем во всяком случае опреде-
определить G.4.1) как распределение от |==Re?, если е('>т11ие/.
Поэтому начнем с того, что изучим для данного и е 2)'(R")
множество
G.4.2) Гв = {r\ e= R"; е°' ™и е= 9'}.
Лемма 7.4.1. Если се?" и ф — функция класса С°°, у которой
производные любого порядка ограничены, то q>v e 9'. Если
¦ф е= 9, то преобразование Фурье распределения фу есть
С°° -функция
G.4.3) l->(v, е~1<--Щ.
Доказательство. Первое утверждение следует из того факта, что
умножение на такую функцию ф — непрерывный оператор в 9'.
Второе следует из теоремы 7.1.14, если i|jgC".B общем случае,
опираясь на лемму 7.1.8, выбираем последовательность iffeeC",
такую что iJ*-*-^ в 9", и замечаем, что -фло—>-ч|)о в 9", а зна-
значит, tykV-ytyv в 9', и, кроме того, е~и''^к-*е~п'-^ в 9 лр-
кально равномерно по |. Отсюда вытекает, что функция G.4.3)
есть предел в смысле теории распределений соответствующих

232 7. Преобразование Фурье
7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 233
функций с г|з, замененным на tyk. Этим все доказано, поскольку
G.4.3) задает С°°-функцию ввиду первого утверждения леммы '\
Из доказанной леммы сразу следует, что множество Ги,
определенное формулой G.4.2), выпукло. Действительно, если
¦Hi, т^еГы, то, вводя обозначение ыч = е<-'т1>н, мы имеем для
0
= ф (Ыт), +
где
*. по
Но эта функция ограничена (снизу нулем, сверху единицей),
и все ее производные ограничены.
Предположим теперь, что Гы имеет непустую внутренность
Вб фф Г° Т
р р,
Г°. Выберем аффинно независимые точки ti
уу ур
0, ..., цп ^ Г°. Тогда
для любой точки т], лежащей внутри симплекса, натянутого на
Цо, ¦. •, Цп,
где функция
принадлежит 9>. В самом деле,
ЪМ-СХУ*11'-1»).
а если точка 0 лежит внутри выпуклой оболочки точек гц — г\, то
| х |< С max {х, П/ — ч)>
так что \|)ti и все ее производные экспоненциально убывают. По-
Последняя оценка выполняется равномерно по т|, принадлежащим
любому компактному подмножеству внутренности симплекса.
Отсюда следует, что'й„ есть С°°-функция
от (I, у\). И, конечно, она аналитична, поскольку, как непосред-
непосредственно проверяется дифференцированием, выполнены условия
Коши — Римана (d/d? + id/d)u(l) O
Теорема 7.4.2. Для всякого u^S)'(Rn) формула [7.4.2) задает
выпуклое множество Ги. Если его внутренность Г„ непуста, то
существует аналитическая функция й в R" + iTa, такая что для
'> И гладкости функции |->e
в?. — Прим. ред.
~i<-'
как функции от | со значениями
всех tj е Г„ преобразованием Фурье от е(' п>и служит й(- + i\\).
Для каждого компактного множества М с: Г 2 справедлива оценка
Обратно, если Г — открытое выпуклое множество в R" и U —
аналитическая функция в Rn-\-il\ удовлетворяющая оценке
вида G.4.4) для каждого М Ш Г, то существует распределение
и, такое что для всех х\ е Г распределение е<-> ч)« принадлежит
9" и имеет преобразованием Фурье ?/(• +ir\).
Доказательство. Осталось доказать лишь последнее утвержде-
утверждение. Пусть «т, — обратное преобразование Фурье от ?/(-+й)).
Тогда ди^/дх]м — обратное преобразование Фурье от
dil {I + Mi)/diiv = idU (I + ii\)/d%v,
так что dur\/d\\v = xvu^ и, следовательно, e"<JC>11>utl = w не зависит
от т|. Доказательство завершено.
Рассмотрим теперь распределение и с носителем, содержа-
содержащимся в произвольном (не обязательно компактном) выпуклом
замкнутом множестве К. По-прежнему можно определить опор-
опорную функцию такого множества формулой
Нк {%) = sup (x, I),
и это будет выпуклая положительно однородная функция со
значениями в (—оо, со]. Правда, она уже может не быть непре-
непрерывной, но как точная верхняя грань семейства непрерывных
функций она полунепрерывна снизу. Обратно, для всякой функ-
функции Н с такими свойствами существует ровно одно выпуклое
замкнутое множество К, такое что Я = Нк, а именно
Доказательство теоремы 4.3.2 без особых изменений проходит
и в этом случае, ибо полунепрерывность Н снизу означает в точ-
точности то, что множество {(Tj)eR°+l; х^НЦ)} замкнуто.
Из условия supp и а К вытекает, что
т1<=Гц=^т) + 6еГи, если #к(8)<оо.
(Ясно, что множество {В; #кF)<оо} представляет собой вы-
выпуклый конус.) Действительно, возьмем функцию xeC<x>(R)
равную 1 на (—сю, 1/2) и 0 на A, оо). Тогда
G.4.5)
вблизи suppw,
а функция в правой части есть функция с ограниченными про-
производными по х.

234 7. Преобразование Фурье
Теорема 7.4.3. Пусть и удовлетворяет условиям, теоремы 7.4.2.
Если supp и с= К, то
G.4.6)
|Л@КСA + Ш)АГея*<1ше-'|) пРи леМ, ЯхAтС-л)<«>
О '
для любого компактного подмножества М в Г„. Обратно, если
для некоторого х\ выполнено G.4.6), то supp и с: К, при условии,
что К замкнуто и выпукло.
Доказательство. Чтобы установить неравенство G.4.6), запи-
запишем ? = E + i(9 + Ti). Тогда Я*(8)< оо и
й (?) = <ич, е-' <*• »**• 9>x «*, 9) - Я*
в силу G.4.5). У функции, на которую здесь действует «„, про-
производные k-то порядка ограничены (по модулю) величиной
Cft(l + |?l) e"Kl )# Поэтому G.4.6) вытекает из утверждений от-
относительно «ч, содержащихся в абзаце перед теоремой 7.4.2.
Предположим теперь, что для некоторого у\ выполнено G.4.6).
Пусть ф е С" и А — опорная функция для supp <p. Тогда
Заменяя 9 на /9, заключаем, что <нп, <р>=0, если HK(Q)-\-
h(—8)<0v Следовательно, ы = 0 вблизи х, если Я*(9) —
(х, Э> ¦< 0 при некотором 8. Отсюда вытекает, что если х е
supp и, то (х, 8> ^ Я* (8) для всякого 9, т. е. suppuc=/C. Этим
и завершается доказательство, которое, очевидно, представляет
собой не что иное, как незначительную модификацию второй
части доказательства теоремы 7.3.1.
Замечание. В теореме 7.4.2 мы рассматривали й лишь во внут-
внутренности множества Rn+tTu. Из непрерывности преобразова-
преобразования Фурье в 9" следует, что если т] е Гц \ Гц, то преобразование
Фурье от ё^^и есть предел в 9" при t-*-0 функций ?-*-#(!-f-
(A — t)\\-{-itQ), равномерный по 9, принадлежащим любому
компактному подмножеству М в Гц.
В качестве приложения полученных результатов вычислим
преобразование Фурье от опережающего фундаментального ре-
решения Е волнового оператора
? = с'Ф/дР - А
7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 235
в R"+l (см. § 6.2). Носитель этого решения лежит в конусе
опорная функция которого равна
Нк(т, \) = sup(tx-f (x, g» = sup
К t>0
ct\l)),
так что HK(x,t)=.O при т + с|Е|^0 и HK(r,l)= оо при т +
с|||>0. Отсюда видно, что преобразование Фурье — Лапласа
?{т, 5) должно быть аналитично на множестве, задаваемом
условием Im т < —с\ Im t,\. Поскольку
=1, где ? =
то
G.4.7)
на этом множестве. Следовательно (лемма 6.2.2), преобразова-
преобразование Фурье от Е равно пределу
lim (?2-(т — ie
при т > О,
т<0;
(I2 - т2/с2 + Ю
в начале координат оно определяется по однородности.
Нетрудно также, отправляясь от G.4.7), построить Е.
Для этого надо сначала убедиться, что <?, t) — г2/с2Ф0, в слу-
случае если 1тт< —c|Im?|. С этой целью заметим, что квадрат-
квадратное уравнение
имеет в таком случае вещественные корни, ибо иначе квадра-
квадратичная форма ?2 — %2/с2 была бы неположительной на некоторой
вещественной двумерной плоскости. Следовательно, |?(i)l не
меньше, чем абсолютная величина старшего коэффициента мно-
многочлена q, т. е.
G.4.8)
- т2/с21 > | Im т |2/с2 - | Im ?|2-
Из G.4.8) и теоремы 7.4.3 сразу следует, что правая часть
G.4.7) есть преобразование Фурье — Лапласа от некоторого
распределения Е+ с носителем в переднем конусе {(t, x)\ct^
\х\}. Тем самым мы получаем другую конструкцию опережаю-
опережающего фундаментального решения, и у этой новой конструкции
область применения гораздо шире, чем у старой (см. § 12.5).

236 7. Преобразование Фурье
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 237
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа
Разлагая преобразование Фурье данной функции ф е 9> при
помощи разбиения единицы, мы получаем представление самой
этой функции в виде суммы целых аналитических функций. Ис-
Используя это простое наблюдение, мы выведем в настоящем па-
параграфе подготовительную теорему Мальгранжа из ее класси-
классического аналитического аналога, который сейчас и напомним:
Теорема 7.5.1 (подготовительная теорема Вейерштрасса). Пусть
fit, z)—аналитическая функция от (t, z)e,C1+n в некоторой
окрестности точки @, 0), такая что
G.5.1) f = df/di= ...=dk-lf/dik-l = O, dkf/dtk?^O в @, 0).
Тогда существует единственное разложение
G.5.2) / (/, г) = с (/, г) (tk + а*_, (г) **~' + ... + а„ (г)),
где а/ и с аналитичны в некоторых окрестностях точек 0 и @, 0)
соответственно, причем с@, 0)=5^0, а а/@) = 0.
Доказательство. Выберем г > 0 так, чтобы f была аналитична
в (t, 0) при \t\<2r и fit, 0)^=0 при 0<|/|<2г. Затем выбе-
выберем 6 >0 так, чтобы f(t, z) была аналитична при \t\<.3r/2y
<д и fit, г)ф0 при \t
) бш.
\ = г,
|г|<б. Тогда для всякого z
z|<6 уравнение f(t, г) = 0 будет иметь ровно k корней t,-
tj\<r (считаемых с учетом их кратности). Поэтому если
разложение G.5.2) существует, то мы должны иметь
= exp(Bni)
-1
((df (s, z)lds)lf is, z)) log (t - s) ds\
В последнем равенстве предполагается, что \t\> r, так что
логарифм допускает аналитическую ветвь в круге |s|<r.
Экспонента в правой -части является аналитической функцией
от t и z и многочленом по t. Поэтому, используя, например, ин-
интерполяционную формулу Лагранжа, мы заключаем, что а,- (г) —
аналитические функции от z. Если положить
p{t, z) = tk + ak_xiz)tk'x+ ...+ао(г),
то частное fit, г)/рЦ, г) аналитично в круге
рованном z, |г|<б. Следовательно,
^ г при фикси-
f it, z)lp it, z) = i2nifl J / is, z) p is, z)~x is - /)"' ds
при |^|<r и |z|<6. Но правая часть — аналитическая функ-
функция от it, z) в этой области, чем и завершается доказательство.
Часто под подготовительной теоремой Вейерштрасса пони-
понимают следующий более общий результат, известный также как
теорема о делении (или формула Вейерштрасса):
Теорема 7.5.2. Если f удовлетворяет условию G.5.1), а функция
g аналитична в некоторой окрестности точки @, 0) в :С1+п, то
G.5.3)
t,z) = q(t,z)f(t,
где q и г,- аналитичны вблизи точек @,0) и 0 соответственно.
При этом как частное q, так и остаток определяются однозначно.
Доказательство. Ввиду теоремы 7.5.1 можно считать, что f —
многочлен по t степени k. Пусть g аналитична при |i!|<2r и
|z|<6, a fit, г)ф0 при \t\&* r, |z|<6. Тогда из G.5.3) сле-
следует, что
G.5.4) q it, z) = Bш')-' $ g is, z) f is, z)~l (s - /)"' ds
\s\-r
при \t\<r, |z|<o,
ибо интеграл
, z)~4s-t)~lds
равен нулю, поскольку в качестве контура интегрирования мож-
можно взять сколь угодно большую окружность, а подынтегральное
выражение есть O(|s|~2) при s-voo. Следовательно, G.5.3)
влечет
G.5.5)
g(s, z)(f(s, г)
$
-fit,z))/is-t)ds/fis,z).
Частное ifis,z)—f(/,z))/(s — t) представляет собой многочлен
степени k— 1 от s и t, поэтому правая часть последнего равен-
равенства действительно задает многочлен от t нужной степени при
всех z. Его коэффициенты суть аналитические функции от z при
|z|<6. Так как формула G.5.4) тоже определяет аналитиче-
аналитическую функцию при |z|<6 и \t\<r, существование и един-
единственность разложения G.5.3) доказаны.
Рассмотрим теперь соответствующие результаты для С°°-
функций. Здесь возникает та трудность, что могут «теряться»
нули. Например, t2 + х имеет два вещественных нуля при х < 0

238 7. Преобразование Фурье
7.5. Подготовительная теорема Мальграижа 239
и ни одного при х > 0. Поэтому, чтобы суметь «уследить» за
нулями, начнем с теоремы о делении для функций, аналитиче-
аналитических в тонкой полосе вокруг вещественной оси, для случая, когда
/ — многочлен. Мы снимем зависимость от параметра х, но вза-
взамен установим некие равномерные оценки. Итак, пусть
G.5.6) p(t) = tk + ak-/-l + ...+a0
есть многочлен от <еС фиксированной степени k. Предполо-
Предположим, что ^_,\а}\<.\. Пусть, далее, g— ограниченная аналити-
аналитическая функция в полосе |InW|< e. Мы хотим выполнить де-
деление
G.5.7) g(t) = q(t)p(t)+ttlrl
так, чтобы q и г,- в некоторой меньшей полосе |Im?|<ce оце-
оценивались через M — sup{\g(t) |; |Im/|<e}. Кроме того, наше
разложение должно аналитически зависеть от р, если изменять
р не слишком сильно. Чтобы достичь поставленной цели, прежде
всего выберем /, 1 ^ / ^ k -f- 1, такое что
G.5.8) рЦ)фО при 11 Im *| - e//(Jfe + 2) |< e/2 (Jfe + 2).
Это можно сделать, потому что у р лишь k нулей. Из доказа-
доказательства теоремы 7.5.2 следует, что если и — ограниченное от-
открытое множество в С, g — аналитическая в ш функция, ар —
многочлен, не имеющий нулей на да, то (при условии что
дС1)
где
q (t) = BЯ0 \g(s)p is)'1 (s - tfl ds, I
k-l
есо,
r(t) = }] t'r, = Bш)"' ) g (s) ((p (s) - p (t))/(s - 0) P (s)~l ds.
0 da
Заметим, что г однозначно определяется дополнительным требо-
требованием, чтобы r(t) = O, если p(t) = O и tf?a>. В случае когда g
аналитична при |Im/|<e и выполнено G.5.8), мы получаем
G.5.9) q @ = BШГ1 \g(s)p (s)-1 (s - t)~l ds,
*-,
G.5.10) 5Угу = Bя0-' \g(s)((p(s)-p(t))/(s-t))p(s)-lds,
0 V
причем в G.5.9) предполагается, что jlm t\ < Ej/(k + 2). Здесь
у — граница прямоугольника {s; |Im s\ < sj/(k -f-2), |Res|<2},
a yi — граница объединения этого прямоугольника и конгруэнт-
конгруэнтного ему с центром в точке Re t на вещественной оси. Очевидно,
что справедливы оценки
G.5.11)
при
| rv К
СМг~к.
Действительно, с учетом того факта, что |s|< 1, если p(s) = 0,
мы имеем на ду и dyt оценку \p(s) \ ^ се*.
Теперь посмотрим, что будет, если изменять коэффициенты
многочлена р. Положим
G.5.12) p(t, Ь) = 1к + bk-itk~l+ ...+V
Поскольку ввиду G.5.8)
|р(/, о)|>св* при |Im/|=-e//(* + 2),
мы по-прежнему имеем оценку
| р (/, Ь) | > се*/2 при | Im t\ = ej/(k + 2), \a — b\< с{ек.
Поэтому для деления g(t) на p(t,b) можно использовать фор-
формулы G.5.9), G.5.10) с тем же самым / при всех be \a — 6|<
CiB*. Следовательно,
А — 1
G.5.7)' g(t) = q(t,b)p(t,b)+Ztirj(b), |6-а|<с/
где q(t,b) и rj(b) аналитичны и по Ь. Из неравенств Коши
вытекает, что при \Ь — а\ < с2е*, с2 < с\
G.6.11)'
\datdlq{t,
lmt\<B/2(k
Чтобы соединить полученные локальные решения задачи о
делении G.5.7)', воспользуемся разбиением единицы, даваемым
теоремой 1.4.6, для пространства C* = R2*. Обозначая через К
диаметр носителя функции ф из этой теоремы, имеем
У функций фо диаметр носителя равен c<&k. Для каждой из тех
точек G рассматриваемой решетки в R2fe, для которых
G.5.13)
suppФо П {а;
К
0.
выберем в этом пересечении точку аа и применим описанную
выше конструкцию с а—аа. Это даст qG(t,b) и ri,o(b), удовлет-
удовлетворяющие G.5.7)' и G.5.11)' при be supp фС. Отсюда следует,

240 7. Преобразование Фурье
что функции
Я* (U b,g)=Z Фо (b) qQ (U Ь), г) (Ь, g) = Z Фо (Ь) ги 0 (Ь),
где суммирование проводится по всем G, удовлетворяющим
условию G.5.13), обладают свойствами, указанными в приводи-
приводимой ниже лемме, в которой Ъ рассматривается как переменная
из 'R2fe.
Лемма 7.5.3. Для всякой ограниченной аналитической функции
g в полосе {fsC; |Im^|<e} существуют функции qe(t,b,g)
<=C°°(RXR2ft) и r){b, g)ge C°°(R2fe). линейно зависящие от g,
такие что
<7.5.7)" g(t) = q4U b, g)p{t, b)+ ? *г)(Ь, g) при Е|6,|<1,
G.5.11)'
\d?dlqe(t, b,
Здесь M = sup{|g(s) |; jlm s\ < e} и постоянные не зависят от г.
А теперь освободимся от предположения об аналитичности
g, используя разложение С°°-функции в сумму аналитических
функций, упомянутое в начале параграфа.
Теорема 7.5.4. Для всякой функции g е ^ AR) найдутся функции
q(t, Ь, g)<= C°°(R XR2*) и n(b, g)<= C°°(iR2ft), линейно зависящие
от g, такие что выполнено G.5.7)" с qe и г!, замененными на q
и г, соответственно, и
t, b,
G.5.14)
1).
Доказательство. Выберем функцию \|> s С" (R), удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям 0^\|з^1, -ф(т) = 1 при |т|<1, -ф(т) = 0 при
|т| > 2, и положим
go{i) =
/=1,2
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 241
Ясно,, что все g, аналитичиы и g — ^gf в 9>. Используя тот
факт, что
нетрудно показать, что
при
Поэтому применение леммы 7.5.3 дает
t
g, @ = q*1 (t, b, gj) p (t, b)-i-t t'rV (b, g,),
\d?dlq*<(t, b, ft
1,
При указанном в формулировке теоремы выборе v правые части
этих неравенств образуют сходящиеся геометрические ряды,
откуда видно, что
Я (t, *.?)=? 4е' U, Ь, g,), n (b, g) = Z П> (b, gj)
1о /о
? , ( ) Z
суть Сет-функции с требуемыми свойствами.
Замечание. Еслн g(t, х) ^ 9" {Я1+п), то
В самом деле, дифференцирование левых частей по х ввиду их
непрерывности и линейности по g можно выполнять прямо
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать часть подготови-
подготовительной теоремы Мальгранжа, соответствующую теореме 7.5.1.
Теорема 7.5.5. Пусть f(t,x) есть С°°-функция от (t,x)
вблизи точки @,0), удовлетворяющая G.5.1). Тогда существует
разложение
G.5.2)' f(t,x) = c(l,x)(tk + ak^(x)tk-l+...+a0(x)),
где а; и с суть С^-функции вблизи точек 0 и @,0) соответствен-
соответственно, причем с @,0) Ф 0, a at @) = 0. Когда f вещественна, это раз-
разложение можно выбрать вещественным.
Доказательство. Поскольку доказываемое утверждение носит
локальный характер, можно считать, что f e Со°- В силу тео-
16 Зак. 821

242 7. Преобразование Фурье
ремы 7.5.4 и замечания после ее доказательства имеем в неко-
некоторой окрестности точки @, 0, 0)
й-1
fit, x) = Q(t, x,b)p(t,
, b),
где Q и Rj — функции класса C°°. Полагая в этом равенстве
х = Ь = 0, получим
f(t, O) = Q(t,O,O)tk+t t'Ri@,0),
так что, ввиду G.5.1), /?,@, 0) = 0, a Q@, 0, 0)=^0. Дифференци-
Дифференцируя же его по ft и полагая затем х = 0, Ь• = 0, получим, что при
6=0
й-1 fc-1
0 = dbQ (/, 0, Ь) tk + Q (t, 0, 0) X t! dbj + ? /' rf6tf; @, 6).
о о
влечет а0 =
fc-i
Так как Q@, 0, 0)=^0, то Q(t, 0, 0) ? ^а; = О
о
.,. = а*-! = 0. Отсюда видно, что производная отображения .
(bo fcfc-i)-»-(/?o, ••-, Rb-i) биективна в точке @,0). На
основании теоремы о неявной функции мы заключаем, что урав-
уравнения
Rl(x, Ь) = 0, j = 0, ... , k-l,
определяют в некоторой окрестности нуля С°°-функции &,(¦*)»
/ = 0, ..., k — 1. Поскольку
f(t,x) = Q(t, х, b(x))p(t,b(x))
и &@) = 0, существование разложения G.5.2)' установлено.
В случае когда f вещественна, Q и R тоже можно взять веще-
вещественными при b e'R* и применить теорему о неявной функции
к ситуации с fteR*, а не с ft eLCj* = R2*. Доказательство за-
завершено.
Следующая теорема о делении — аналог теоремы 7.5.2. От-
Отметим, что ни в теореме 7.5.5, ни в теореме 7.5.6 единственность
разложения не имеет места.
Теорема 7.5.6 (подготовительная теорема Мальгранжа). Если f
удовлетворяет предположениям теоремы 7.5.5, a g(t,x) — функ-
функция класса С°° в некоторой окрестности точки @,0), то
t
G.5.3)'
g (i, x) = q (U х) f (t, x
(x),
где q и rj — функции класса С°° в некоторых окрестностях точек
@,0) и 0 соответственно.
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 243
Доказательство. Ввиду теоремы 7.5.5 можно считать, что
t
f (t, x) = tk + t t'a, (x) = p(t,a (x)).
Кроме того, мы вправе предположить, что g e С™- Поэтому,
в обозначениях теоремы 7.5.4, нам подходят
q{t,
t, a(x), g(-, х)), rl(x) = ri(a(x), g(-, x)).
Заметим, что теорема 7.5.5 — это фактически частный случай
теоремы 7.5.6, отвечающий g(t, x)= tk. Далее, в доказательстве
теоремы 7.5.6 единственным моментом, налагающим ограниче-
ограничения на размеры окрестности, в которой справедливо утверждае-
утверждаемое разложение, было применение теоремы 7.5.5. Точнее, для
g^C°°(Rl+n) разложение G.5.3)' имеет место в некоторой ок-
окрестности точки @,0), не зависящей от g.
Подготовительная теорема Мальгранжа в высшей степени
нетривиальна даже в случае k = 1. На самом деле это как раз
тот случай, который нам чаще всего будет встречаться. В § 7.7
нам понадобится обобщение подготовительной теоремы Маль-
Мальгранжа с k = 1 на случай нескольких ^-переменных.
Теорема 7.5.7. Пусть fi(t,x), j = 1 m, — комплекснозначные
С-фунщии в некоторой окрестности нуля в Rm+n, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям /7@,0) = 0, /=1, .... т, и detdfj(O,O)/dtk?=O.
Для всякой функции g, принадлежащей классу С°° в некоторой
окрестности точки @,0), найдутся функции q,(t;x) класса С°°
вблизи точки @,0) и функция г(х) класса С°° вблизи точки 0,
такие что
m
g(Ux)=Y,q,(t,x)fl(t,x
Доказательство. При m = 1 это частный случай теоремы 7.5.6.
Всегда можно перенумеровать функции f/ так, чтобы
.<5/i@,0)/d*i=^=0. Поэтому, вводя обозначение t' —(t2, ..., tn),
применением теоремы 7.5.6 с k = 1 получаем
g(t, x) = qx(t, x)h(t, x) + h(t', x),
f, (t, x) = q, (I, x) U (t, x) + Ff (/', x), / = 2 m.
Поскольку dfj = q/dfi + dFt- в нуле, производные функций
/г, ••., Fm по ? линейно независимы в нуле. Предполагая, что
16*

244 7. Преобразование Фурье
для т — ] переменных теорема уже установлена, заключаем, что
т
h(t\ *)=1>Н1', x)F,(?t x) + r(x),
2
/т. ч
g(t, x) = (ql(t, *)- Е P,(f. x)q,(t, x))U(t, x)
m
+ I/>/(''• x)f,(t, x) + r(x),
2
чем все и доказано.
Чтобы сформулировать аналог теоремы 7.5.5 для этой ситуа-
ситуации, введем идеал I = I(fi, ..., fm), порожденный функциями
fu •••, fm. Это — множество всех функций g класса С°° вблизи
нуля '\ таких что для некоторых щ е С00
т
8V, x)=Zq,(t, x)f,(t, x)
вблизи нуля.
Лемма 7.5.8. Если Fu ..., Fmel(fu ..., fm), dF\ dFm ли-
линейно независимы в нуле и f\— ... = fm = 0 в нуле, то
Доказательство. По предположению
Поскольку ff@, 0) = 0, то dFi = ^gijdf/ в нуле. Следова-
Следовательно, detgfj^O, а потому ,
^e/fF,, ..., Fm).
Обобщение теоремы 7.5.5 с k = 1 на случай m-мерного t вы-
выглядит так:
Теорема 7.5.9. Если fu .... fm удовлетворяют условиям тео-
теоремы 7.5.7, то
Щи .... fJ = nti-Tl(x), ...,tm-Tm(x))
для некоторых Tj e С°°, обращающихся в нуле в нуль.
11 Здесь и ниже точнее было бы говорить не о функциях класса Сте,
определенных вблизи нуля, а об их ростках в нуле, т.е. классах эквивалент-
эквивалентности, означающей совпадение функций в некоторой окрестности нуля.—
Прим. ред.
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 245
Доказательство. Теорема 7.5.7, примененная к координатным
функциям U, дает
tf=I.qti(t, x)f,(t, x) + Tt(x),
и из леммы 7.5.8 следует, что функции U—Tt(x) порождают тот
же идеал, что и функции /,-.
Посмотрим, в какой мере неоднозначно определены функции
Ti(x). Ясно1', что к ним можно добавлять любые функции от х,
принадлежащие /, поэтому следует охарактеризовать такие
функции.
Лемма 7.5.10. Если R(x)<= I(h — Т^х), ..., tm — Tm{x)), то
G.5.15) \R{x)\KCN\lmT{x)\N, tf=l, 2, ...
в некоторой окрестности нуля.
Доказательство. Найдутся С°°-функции Ra(x) и Qa(t,x), такие
что в некоторой фиксированной окрестности точки @,0)
G.5.16) R(x)=
(i-T(x))aRa(x)/a\
|a|=V
(t~T(x)fQa(t,
V
для N = ], 2, ... . Для N = 1 это следует из предположения,
что R^I, а если уже известно, что представление G.5.16) имеет
место для какого-то значения N, то его справедливость при N,
замененном на УУ+1, легко установить, «поделив» Qo на
h — Т\(х), ..., tm-^Tm(x) при помощи теоремы7.5J. (Как было
отмечено после доказательства теоремы 7.5.6, окрестность, в ко-
которой справедливо представление, можно выбрать не зависящей
от N.) Для малых |х| положим
Тогда из G.5.16) следует, что при 0 ^ s ^ 1
S (s-i)la[(lmT(x))aRa(x)/a\\^CN\lmT(x)\N.
0 < | a| < Л^ [
Как вытекает из любой формулы для интерполяционного много-
многочлена, коэффициенты фигурирующего в левой части многочлена
от s — i допускают аналогичные оценки, что и дает оценку
G.5.15) с некоторой другой постоянной CN.
Лемма 7.5.11. Пусть F^O — липшицева функция в некоторой
окрестности нуля в R". Если g е С°° и \g\^ CnFn для всякого
'' Ввиду той же леммы 7.5.8. — Прим. перев.

246 7. Преобразование Фурье
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 247
N, то (в этой окрестности нуля)
при всех а, N.
Доказательство. Поскольку F(x-{- x')^CF(x) при | xf \ ^ F (х),
то, разлагая g(x-\- F(x)x') по формуле Тейлора, получаем .
1а|<ЛГ
Поэтому для коэффициентов многочлена Тейлора справедлива
оценка
| g{a) (x) F (xf а' | < CN<a F (хУ, \a\<N,
и ввиду произвольности N лемма доказана.
Теорема 7.5.12. Пусть I = I(tx—Tx(x), ..., tm — Tm(x)), где
Тх@)== ... =Тт@) = 0, и пусть /?(дс)еС°°. Следующие усло-
условия равносильны:
(i) R е / вблизи точки @,0);
(и) в некоторой окрестности точки 0 выполнено G.5.15);
(ш) R e /°°=. [\IN вблизи точки @, 0), т. е. существуют окре-
окрестность V точки @, 0) и функции qa e C°° (Rm+rt), такие что для
всякого N
R(x)= ? qa (t, x) (t - T (x))a/a\, (t, x)
V.
Доказательство. В силу леммы 7.5.10, (i)=>(ii). Ввиду леммы
7.5.11, из (ii) следует, что для всех р и v мы имеем в некоторой
окрестности точки 0
В тех точках, где F Ф 0,
Но в силу полученной выше оценки функция qa и все ее произ-
производные стремятся к нулю, когда F->-0, поэтому повторное при-
применение следствия 1.1.2 показывает, что ^а е С°°, если доопре-
доопределить qa нулем в точках, где F = 0. Поскольку (ш) очевидным
образом влечет (i), доказательство теоремы завершено.
В качестве приложения теоремы 7.5.5 установим еще сле-
следующий результат, который понадобится нам в § 7.7 и который
показывает, что в случае вещественнозначной функции / к нор-
нормальной форме, указанной в теореме 7.5.5, можно прийти, не
выделяя соответствующий множитель, а произведя замену пере-
переменных.
Теорема 7.5.13. Пусть f(t,x) — вещественнозначная функция
класса С°° вблизи точки @, 0) в Rl+n, такая что
G.5.17) f = df/dt=...=dk~1f/dtk-1 = O, dkf/dtk>0
в точке @, 0).
Тогда найдутся вещественнозначная С"-функция T(t,x), удов-
удовлетворяющая условиям
7 = 0, dT/dt > 0 в точке @, 0),
и вещественнозначные С"-функции uj(x), обращающиеся в нуль
в точке 0, такие что в некоторой окрестности точки @, 0)
G.5.18)
fit, x) = Tkl
ft-2
Доказательство. Поскольку f(t,O) = tkc(t)/k, где с^С°° и
с@)>0, можно взять tc(t)l/k в качестве новой переменной
(вместо t). Таким образом, можно считать, что f(t, 0)= tk/k. По-
Поэтому если п > 1 •> и теорема уже доказана для меньших зна-
значений п, то, вводя обозначение х' ={х\, ..., xn-i), можно счи-
считать, что
Положим
f(t, х\ 0) =
F(t, х, a) = f(t,
t
a/,
так что F(t, х, 0) = f(t, x). Мы хотим, изменяя t и а с измене-
изменением хп, добиться того, чтобы F(t, х, а) оставалось постоянным.
Иными словами, мы хотим, чтобы
G.5.19) (df/dt + f. la/t1'1) dt/dxn + df/dxn + ? (das/dxn) if = 0.
\ l / о
Применение теоремы 7.5.6 дает в некоторой окрестности нуля
разложение
n = q(t, х,
r,(x, a)t!,
откуда видно, что G.5.19) будет выполнено, если
G.5.20) dtldxn = -q(t, x, a), da,ldxn--¦= - г,{х, а).
11 Ввиду только что сделанного наблюдения все последующие рассужде-
рассуждения проходят и при п = 1 уже без привлечения предположения индукции.—
Прим. перев.

248 7. Преобразование Фурье
Проинтегрировав эти уравнения с начальными данными t= T и
а = А при хп = 0, получим определенные вблизи точки 0 функ-
функции t{T, х, А) и а(х, А) класса С°°, такие что t(T, x, А)=Т и
а(х, А) = А при хп = 0. В некоторой окрестности нуля
fc-2
f(i(T, x, A), x)+^a,(x, A)t(T, x, Л/
= / (Т, х', 0) + ? А,Т' = Tk/k + t И/ + */ (JcO) T1.
о о
Так как матрицы Якоби да/дА и <Э(^, х, а)/д(Т, х, А) при хп = 0
равны единичной матрице, мы можем в некоторой окрестности
нуля выразить Л как функцию от х и а(х, А), а Т — как функ-
функцию от t(T, х, Л), д; и а(х,А). Следовательно,
fit, *)+
k-2
jix, a) + b,(x'))T(t, x, aI.
Полагая a = 0, видим, что теорема доказана.
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций
Пусть А — симметричная п X n-матрица с комплексными эле-
элементами. Ясно, что функция
G.6.1) R;c-»exp(—(Ax, х)/2)
принадлежит 9" тогда и только тогда, когда <(Re А)х, х) ^ 0,
Теорема 7.6.1. Если А—невырожденная симметричная матрица,
для которой Re Л ^ 0, то преобразованием Фурье гауссовой
функции G.6.1) служит другая гауссова функция
G.6.2) R* э I - Bя)п/2 (det B)['2 exp (- (BZ,, |)/2),
г5е В = Л-1 и квадратный корень понимается, как объяснено
в § 3.4. В случае когда Л=—iA0, где Ао — вещественная сим-
симметричная невырожденная матрица, G.6.2) принимает вид
G.6.2)' R" э I -> Bя)"/2| det Ло Г1/2ехр (nf(sgn Ло)/4-г<Ло~^, |>/2).
Доказательство. Если и(х) = ехр(—<Лд:,д:>/2), то
G.6.3) Dlu = i(Ax),u, /=l, ...,».
Обратно, если ц—распределение, удовлетворяющее этим урав-
уравнениям, то все первые частные производные от и ехр {(Ах, х}/2)
равны 0, так что и лишь постоянным множителем отличается
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 249
от функции G.6.1). Переходя в G.6.3) к преобразованиям Фурье,
получим
или, после умножения соответствующего векторного уравнения
на матрицу В,
i(Bl),u = Dfl, j=U ..... п.
Следовательно,
(-№, 1I2).
В случае когда Re Л — положительно определенная матрица, мы
имеем, в силу C.4.1)", С = {2n)n/2(detA)-l/z = {2n)"<2(detВI'2,
а когда Re Л—лишь неотрицательно определенная матрица, тот
же результат получается, если заменить А на Л + е/(е>0)
и устремить е к 0. Заключительное утверждение теоремы выте-
вытекает из C.4.6).
Замечание. Первую часть доказательства можно было бы, ко-
конечно, заменить рассуждением со сдвигом контура интегрирова-
интегрирования. — Квадратичные формы <Лдс, х} и <5|, |> называются двой-
двойственными друг другу. Поскольку <В|, ?>=<*, |>2/<Лдс, дс>,
когда дх((х, |>2/<Лдс, *>) = 0, это — инвариантное соответствие
между квадратичными формами на двойственных простран-
пространствах.
Теперь становится совершенно очевидной формула C.3.3^,
ибо (в обозначениях теоремы 3.3.5) E(x,t) при фиксированном
t > 0 представляет собой не что иное, как обратное преобразо-
преобразование Фурье от ехр(—<<Л|, |>), а потому стремится к б0 в 9"
при ?->0. Решение задачи Коши
G.6.4) du/dt + (AD, Д)и = 0, *>0; u(-, 0) = »
даваемое формулой
и(х, /)=
-у, i)v(y)dy,
имеет следующее преобразование Фурье по х:
й(?, 0 = в
Это решение немедленно получается переходом к преобразова-
преобразованиям Фурье по х в G.6.4).
Изучим подробнее операторы такого вида, с тем чтобы за-
заготовить ряд результатов для применения в гл. 18. Для произ-
произвольной квадратичной формы Л на R" с Re Л ^ 0 введем обо-
обозначение

250 7. Преобразование Фурье
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 261
для обратного преобразования Фурье от е-лE>у(|). Ясно, что
e-A(D) непрерывно отображает 9" в &*г 9" в 9" и L2 в L2. Отме-
Отметим, что
Поэтому очевидно, что в результате линейной замены коорди-
координат e-A<D> преобразуется в e~A'{D\ где A'(D) — дифференциаль-
дифференциальный оператор A(D), выраженный в новых координатах.
Теорема 7.6.2. Если Re А
0, то для всякого целого k
k
О
G.6.5) \e~A{D)u- ? (-A(D))'u/j\\ <||A(D)
Доказательство. После перехода к преобразованиям Фурье это
неравенство сводится ввиду формулы Парсеваля к неравенству
которое вытекает из формулы Тейлора.
Чтобы перейти в G.6.5) к sup-нормам, нам понадобится один
простой частный случай неравенств Соболева (§ 4.5). Мы дадим
для этого случая прямое доказательство и сформулируем соот-
соответствующий результат в виде отдельного утверждения, по-
поскольку нам еще придется ссылаться на него:
Лемма 7.6.3. Для всякого целого s > л/2
G.6.6) |
Доказательство. По теореме 7.1.22 оператор (—A)s обладает
параметриксом Е с носителем в открытом единичном шаре. Та-
Таким образом, (—A)s? = 6 + <o, <оеСо°» а потому | ?Р*^ (?) —
ограниченная функция. Следовательно, ||в?(|)|^СA +
]||)-seL2npH |a| = s. Поскольку
* / Л\« С1 ^ S' Па Or.
Li I0I-5
оценка G.6.6) вытекает из неравенства Коши — Шварца.
Применяя G.6.5) к Dau при |а|, равном s из леммы 7.6.3, и
учитывая тот факт, что е-4**3) коммутирует с Da, получаем,
ввиду G.6.6),
G.6.7) sup »~MD)'
<(C/kl) E IU(D)ftD°a|k as^.
Следовательно, разность e~A^u(x)—и(х) равномерно стремится
к 0 при ||А||-»-0, а в области вне suppu эта разность есть
О(||А||*) при любом k. Докажем для этой области более точную
оценку.
Лемма 7.6.4. Пусть Re A ^0, ||Л||^ 1 и s —целое >п/2. Если
евклидово расстояние d(x) от х до ,supp и не меньше 1, го для
всякого целого k^O
G.6.8)
У
sup |
Доказательство. Можно считать, что * = 0, а значит, и(у) = 0
при \у\ < d = d@). Поскольку для любого у^О мы имеем
\ifi\l\y 1^ 1/л/л при некотором /, можно выбрать разбиение
единицы 1 = ?х/ (У) на R"\0, такое что_ функции // е С°° одно-
однородны степени 0 и (t/, у)^\ у \I'2 д/п при г/esuppx/, где
±/у — один из базисных векторов. Так как
/ |a|<1+2s |a|<fc+25
оценка G.6.8) будет доказана для и, если мы покажем, что она
верна для каждой из функций %jU. Таким образом, при выводе
оценки G.6.8) мы можем считать, что
G.6.9) (t, у)>\у\}2л/п для #e=suppu,
где t — некоторый единичный вектор. Далее, если В — двойствен-
двойственная к А форма, то
е~А <°> и @) = с J е~в Ы'4 и {у) dy,
(у, f)e~BMl* = 2Л {t, — д/ду)
Поэтому повторное интегрирование по частям дает
е-АЮиф) = 2'с\е-вш<{А(ид1ду)(у, t)-l)lu(y)dy
= 2' е~* <*» (A (t, д/ду) (у, /Г1)' и (у) \у=0
для /=0, 1 Применяя G.6.7) с'й=0, заключаем, что
, д/ду)(у,
|a|<s
Учитывая G.6.9) и тот факт, что \у\~^ d
чаем при 2/ > п
\е-л<пи@)Г<С,<Г-'11А?( Е
V|a|<s+/
Берем / = k + s, и оценка G.6.8) установлена.
в supp и, полу-

полу252 7. Преобразование Фурье
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 253
Теорема 7.6.5. Пусть Re Л ^=0, ||Л||< 1 и s —целое >я/2. Тогда
для всякого целого k ^ s распределение e-A(-D>u есть непрерыв-
непрерывная функция и
G.6.10)
~А {D)
u (х)
? (-Л (D))'u (*)/Л
<С*||Л||*. ? sup|Dau|,
если и е Cs+2k и правая часть последнего неравенства конечна.
В точках х, евклидово расстояние d(x) которых от suppu не
меньше 1, справедлива более сильная оценка G.6.8).
Доказательство. Предположим сперва, что и е Со", и пусть
х = 0. Выберем функцию % е Со°> равную 1 в единичном шаре.
Применяя G.6.7) к уи,, а G.6.8)—к A—х)". заключаем, что
G.6.10) выполняется для х = 0, а значит, и для всех х. В слу-
случае когда и е Cl+2 , мы можем применить этот результат к ре-
гуляризациям функции и, а точнее к их попарным разностям,
и заключить, что e~A(D)u есть непрерывная функция и оценки
G.6.8), G.6.10) остаются верными для и. Наконец, если дано
лишь, что иеС!+и и правая часть G.6.10) конечна, то мы при-
применяем полученный результат к иц = %(• /R)u и, устремляя R
к оо, заключаем, что e~A<-D'>u e L°° и оценки G.6.8), G.6.10)
верны почти всюду. (Напомним, что e~A<-D> непрерывно отобра-
отображает 9" в 9", так что e~A{-D^uR—>-е~А^и в 9".) Но е~Д(О'и«еС
и е-А(-°Ци — Ur)-*~0 в L°° на каждом компактном множестве
(в силу G.6.8)), откуда и следует, что e-A<Z))u — непрерывная
функция.
Заметим, что в случае, когда матрица Re Л не является по-
положительно определенной, априори совсем не очевидно, что
е-А(,о)и будет непрерывной функцией для таких функций и, у ко-
которых производные ограничены, но не стремятся к нулю на бес-
бесконечности. Теорему 7.6.5 можно рассматривать как утвержде-
утверждение о задаче Коши G.6.4). Как уже упоминалось, предыдущие
результаты будут играть важную роль в гл. 18. Изучение ло-
локальных свойств оператора е-А<°> будет продолжено в § 18.4,
Другой аспект полученных выше результатов связан с методом
стационарной фазы, который мы рассмотрим в § 7.7.
Дадим еще одно приложение теоремы 7.6.1—докажем ре-
результат, обещанный после теоремы 7.1.13.
Теорема 7.6.6. Если для всех ueLp(R") порядок распределе-
распределения й не превосходит k, то
G.6.11)
Доказательство. Из сделанного предположения вытекает, что
для любого данного компактного множества К в R"
G.6.12) |(й, ф)|<С||и||?р ? sup|Оаф|
при всех и ef, фе С™ (К).
Действительно, билинейная форма <й, ср> непрерывна по «ef
при каждом фиксированном ф е Со° (^С), поскольку <й, <р> =
<и, ф> и фе^. По предположению теоремы она также непре-
непрерывна по ф в С*-норме при каждом фиксированном и е L". Но
раздельно непрерывная билинейная, форма на произведении
пространства Фреше и метризуемого пространства всегда непре-
непрерывна, откуда и следует G.6.12). Выберем теперь ненулевую
функцию ие?1, для которой й имеет компактный носитель К,
и применим G.6.12) к^и ф<, где
а t — большое положительное число. В силу теоремы 7.6.1, ш
есть свертка функции и с функцией с/~п/2е~"*'2'4* (где с — по-
постоянная, которую можно найти из G.6.2)), а потому
II и< lit. =11 и lit,,' II и, K^'V По-
Последовательно, при р > 2
IIЩ fLP =[\щ Г21 щ |2 dx < СиГп <р-2)'2.
При и = щ, ф = ф< левая часть G.6.12) постоянна. Поэтому
при сколь угодно больших t, откуда и следует G.6.11). (Заме-
(Заметим, что в случае р=^2 условие G.6.11) становится бессодер-
бессодержательным.)
В § 7.9 мы докажем, что если в G.6.11) имеет место строгое
неравенство, то й е Ж>'к для всех и е L".
Рассмотрим теперь два примера, показывающих, что с по-
помощью теоремы 7.6.1 можно иногда решать и дифференциаль-
дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Нашим первым
примером будет построение фундаментального решения для
уравнения Колмогорова
у, с ion &"№ + хди1дУ ~duldt = °. * > °>
\7.0.10)
u{t, •)->6iXa, Ut) при <->-0.
Предположим, что и имеет преобразование Фурье U по (л:, у),
которое хорошо себя ведет при *-»-0. Тогда, переходя в G.6.13)

254 7. Преобразование Фурье
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 255
к преобразованиям Фурье, получим
— |2?/ — л dU/dl — dU/dt = 0, / > 0.
Поэтому если dr\ = 0, а d| = T]<#, то dU = —|2ч[/Л-и, следова-
следовательно,
С/(Л S + tf. п)
. С/ @, I, ц) ехр (
- |2/ - W2 -
W2
(It t2 \
Полагая В = [ 3 I, имеем detB = /4/3 и
\t М /о/
Ав { )
Значит, последняя экспонента есть преобразование Фурье от
(х, у) -> 31/2/Bл/2) ехр (- x2/t + Зху/fi - Зу2/?).
Обращая преобразование Фурье, получаем, при условии '> что
и(t, х, у- tx) = 31/2/Bя/2)ехр(.-(х-
+ 3 (х - Хо) (У
Полагая u(t, x, y) = E(t, x, у; х0, уо), заключаем, что
E(t, х, у; х0, i/o)=
Ч- 3 (х - Jco) (y + tx- уйI? - 3 (у + tx - yof/fi).
Нетрудно обратить это рассуждение и убедиться, что Е является
С°°-функцией при />0 и удовлетворяет G.6.13). Отображение
ds
Ef(t, х, у)= \ E(t — s, х, у; х0, yo)f(s, x0, yo)dxodyo
представляет собой двустороннее фундаментальное решение для
оператора Колмогорова, задаваемого левой частью уравнения
G.6.13), т. е. служит левым и правым обратным для этого опе-
оператора.
Вторым нашим примером будет построение фундаменталь-
фундаментального решения для оператора — Do + 2D0Di + x\D\. Ввиду его
трансляционной инвариантности по дс0 и х% достаточно найти
решение и уравнения
G.6.14) (- Dl + 2DoD, + x2Dl) и = б@, «. о).
Мы хотим, чтобы у этого решения и носитель лежал в полу-
полупространстве х0 > 0, потому что тогда можно решать задачу
Коши. Пусть U является для и преобразованием Фурье по х2 и
преобразованием Фурье — Лапласа по д;0; ожидается, что по-
последнее определено при Im |0 < 0. Тогда мы получаем уравнение
G.6.15)
Для уравнения G.6.14) без члена x\D% фундаментальное реше-
решение, сосредоточенное в полупространстве jco > 0, имеет носитель
в области, задаваемой неравенствами х\ < а, 2х0 + х\ — а > 0;
поэтому естественно ожидать, что и равно нулю при х\ > а. Ин-
Интегрирование уравнения G.6.15) дает при х\ < а
U = C (lo, h) ехр (i (Й*, - *?Й/3)/2Ь>),
и, чтобы эта функция U, доопределенная нулем при х\ > а,
удовлетворяла G.6.15), нужно, чтобы 2goCtехр(t(ioa — а3|г/з)/
2|о)=1» а следовательно,
Xi < а.
Заметим, что вещественная часть показателя экспоненты равна
0 при Im|0<0.
Обращая теперь с помощью теоремы 7.6.1 преобразование Фурье
по х2, получим функцию
V (|о, Хи х2) = (- г/2|0) (Зг|о/(а3 -
Отвечающем начальному условию задачи G.6.13).— Прим. перее.
ехр (IE),
Здесь берется корень (г'1оI/2, лежащий в правой полуплоскости,
так что (г|0)~1/2 = е~Я1/4|0-1/2 при — n<arg|o<O. Согласно
— Лапласа по
приводит к соот-
соответствующему сдвигу, и мы получаем
и (х) - V3 BЯ) (Bjc0 + х, - а) (а3 - х?) - Ъх1)~т,
в случае когда х0 > 0, Xi <. а и выражение под знаком квадрат-
квадратного корня положительно. В остальных случаях и = 0. Как не-
непосредственно проверяется, интеграл от и по х2 не зависит от
Хо и Х\, и, значит, и — локально интегрируемая функция. Не-
)
примеру 7.1.17, это есть преобразование Фурье
х0 от x~ll2jT A/2) = дс^/л1'2. Множитель е'Е пр

256 7. Преобразование Фурье
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 257
трудно обратить проведенные вычисления и убедиться, что и
действительно удовлетворяет G.6.14).
При обсуждении гауссовых функций было бы неестествен-
неестественным обойти молчанием центральную предельную теорему, хоть
она и лежит в стороне от нашей главной темы.
Теорема 7.6.7. Пусть ц — положительная мера в R", такая что
и мы заключаем, что ц е С2,
чит,
А(|I(Л
= Ajk, D/ji(O) = O. Зна-
ЗнаДопустим, что носитель меры ц не содержится ни в какой про-
проходящей через О гиперплоскости, и положим
A,k=\x,xkd\i(x).
Тогда А есть положительно определенная симметричная ма-
матрица. Если обозначить через цу умноженную на v"/2 компози-
композицию \-кратной свертки ц* ... *ц с отображением x-»-rv1/2, то
в смысле слабой сходимости мер
\iv-+\ detBяА)Г1'2ехр(-(А'1 х, х)/2) при v-^oo.
Доказательство. Поскольку величина
неотрицательна и равна нулю, лишь если <х, уУ = 0 для всякого
х е supp \i, то ясно, что матрица А является положительно
определенной. Свертка двух мер ц' и ц", каждая из которых
положительна и имеет полную массу 1, определяется формулой
(ц' • ц") (ф) = ^ ф (* + у) dv? (x) dv." (у)
для всех ограниченных непрерывных функций <р. Как отмеча-
отмечалось в § 5.1, в случае когда ц" и q> имеют компактные носители,
это определение согласуется с нашим прежним определением.
Очевидно, что мера ц,' * \л" тоже имеет полную массу 1 и что ее
преобразованием Фурье служит ?'?". Следовательно, преобра-
преобразованием Фурье меры ц* будет (см. G.1.17))
Так как J dpy (дс) = 1, то | р.у (§) К 1 для всех v. В силу сде-
сделанных предположений законно двукратное дифференцирование
под знаком интеграла в равенстве
а потому равномерно на каждом компактном множестве
А (!/лМ = 1 - <АЬ D/2v + о (l/v) = ехр (- (Ah |)/2v + о A/v)).
Отсюда вытекает, по теореме о мажорированной сходимости, что
(Ч-*ехр(-<Л|, |>/2) в 9".
Следовательно, ввиду непрерывности в 9" оператора взятия об-
обратного преобразования Фурье,
Hv-*|detBn/l)r1/2exp(— {A~lx, х)/2)
в 9". Но все Цу — положительные меры, поэтому, в силу теоремы
2.1.9, мы имеем здесь сходимость в слабой топологии простран-
пространства мер.
До сих пор мы рассматривали преобразование Фурье от
экспоненты ехр Q лишь для случая, когда Q — многочлен второй
степени. В заключение этого параграфа коротко разберем слу-
случай простейшего многочлена третьей степени Q от одной пере-
переменной. Чтобы не отступать от стандартных обозначений, возь-
возьмем не прямое, а обратное преобразование Фурье:
Определение 7.6.8. Функцией Эйри АЦя) на R называется об-
обратное преобразование Фурье функции |-*-exp(i|3/3).
Априори можно лишь утверждать, что Ai принадлежит 9>/,
но мы докажем сейчас, что фактически Ai есть С°°-функция, за-
задаваемая формулой
G.6.16)
С этой целью заметим, что, полагая ? = | + щ, мы имеем при
вещественных х
Re (t?3/3 -f %x) = - !2т) + Л3/3 - цх.
Отсюда видно, что интеграл в G.6.16) сходится и не зависит от
Л- Далее,
ехр(г"A + глK/3)^ехр(г|3/3) в / при i)-* + 0,
откуда и следует справедливость представления G.6.16). По-
Поскольку ^2tj растет при | -*¦ оо быстрее любой линейной функции
от |, интеграл в G.6.16) сходится при всех *е С. Таким обра-
образом, Ai(x) — целая аналитическая функция от^ёС. Она удов-
17 Зак. 821

268 7. Преобразование Фурье
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 259
летворяет дифференциальному уравнению Эйри
G.6.17)
ибо
, (I2 + х) ехр («ДО + ад dl *= 0.
Из этого уравнения вытекает, что Ai"@) = 0. Преобразуя кон-
контур интегрирования '>, вычисляем
= 3~1/6ГA/3)/2я,
Ai' @) = Bя)-' J
= -3Г B/3)/2я.
Очевидно, что если со — кубический корень из единицы, т. е.
сй3 = 1, то лс—>-Ai(cojc) будет другим решением уравнения
G.6.17), имеющим в нуле то же самое значение и производную
oAi'(O). Поэтому любые два из этих трех решений образуют
фундаментальную систему решений уравнения Эйри. Указанные
три решения связаны между собой линейным соотношением
G.6.18) XcoAi(co*) = 0.
Это следует из того, что решение, стоящее в левой части, имеет
в нуле значение Ai@)?co = 0 и производную Ai' @) ? со2 = 0.
Получим для функции Эйри асимптотическое разложение
при *-»--|-оо. Для этого выберем т\ в G.6.16) так, чтобы произ-
производная от ?3/3 -f- %х обращалась в нуль в точке щ, т. е. возьмем
тJ = х. Тогда по формуле Тейлора
(? + tnf/3 + x(l + in) = g»/3 +
и мы получаем
оо
G.6.19) Ai Ос) = ехр (-2*3/2/3)Bл)-1 $ е^
— 00
Как и в доказательстве теоремы 7.6,2, разлагаем е*&3 по фор-
формуле Тейлора и приходим к асимптотическому ряду с общим
членом
= (-1)
'> В угол, образованный лучом R+ei3T/6
тельно мнимой оси. — Прим. перев.
¦* 3~2k Г Ck + 1/2УB*)! Х'т+т.
и симметричным ему относи-
Таким образом,
G.6.20) Ai(jc)~
X I (~9)"fe Г Ck + 1/2)/B?)! х-3
о
Это означает, что разность между Ai(x) и частичной суммой
ряда в правой части по абсолютной величине не превосходит
первого отброшенного члена ряда. Этот результат верен не
Рис. 4. Функции Ai(Jt) и Ai'(*)/2.
только для положительных х. Для любого е > 0 формула
G.6.19) сохраняет силу при |-argjc|<n — е, и для таких х
асимптотическое разложение G.6.20) по-прежнему справедливо,
только ошибка оценивается теперь первым отброшенным чле-
членом с л/х, замененным на Re д/дс . Заметим, что Ai(x) экспо-
экспоненциально убывает при | arg jc| ¦< (jt — е)/3, осциллирует при
argJc = ±n/3 и экспоненциально возрастает при (л+е)/3<
|argjc|<n — е. Увидеть, что происходит при argx, близких
к —я, можно с помощью G.6.18). В частности, из этого соотно-
соотношения вытекает, что при г > 0
G.6.21) Ai(—r) = n
О(г-3'2)).
Отсюда видно, что при каждом достаточно большом натураль-
натуральном п у функции Ai (—г) имеется нуль г, для которого 2т*12/3 +
л/4 близко к ля. Фактически нуль имеется для каждого п =
= 1, 2, ..., и этим исчерпываются все нули функции Эйри (см.
рис. 4, где пунктирными линиями изображены старшие члены
соответствующих асимптотических разложений).
17*

2вО 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы
В этом параграфе мы будем заниматься систематическим изуче-
изучением асимптотического поведения интегралов вида
где f и и — гладкие функции, Ira f ^ 0 и <в -*¦ +«>. Если « е Со*»
/еС** веществениозначна и f не обращается в нуль нигде в
supp м, то
\ifd O(k) ш-*оо,
для каждого k. Для случая когда носитель функции и столь
мал, что f можно взять в качестве одной из координатных функ-
функций в новой локальной системе координат в некоторой окрест-
окрестности множества supp и, это следует из леммы 7.1.3. Разлагая
и с помощью разбиения единицы, дело всегда можно свести к
этому случаю. В следующей теореме, развивая метод интегри-
интегрирования по частям, примененный при доказательстве леммы
7.1.3, мы получим соответствующие равномерные оценки и охва-
охватим также и случай комплекснозначных f.
Теорема 7.7.1. Пусть /CcrR" — компактное множество, X — его
открытая окрестность и /, k — неотрицательные целые числа.
Если и (
G.7.1)
р
cl(K),
/, рц
fe=Ck+1(X) и Im/>0 в X, то
u{x)(lmf(x))'ei«>fMdx\
sup\Dau\{\n2+lmf?ai'2-\
I a Г
Постоянную С можно выбрать одной и той же для всех f, при-
принадлежащих любому заданному ограниченному множеству в
Ck+1(X). В случае когда f вещественнозначна, оценка G.7.1)
сводится к оценке
G.7.1)' <ok\[u(x)eiaf{x)dxUc ? sup
||<fc
f " И2
со >0.
|a|<fc
Доказательство. При k = 0 утверждение теоремы очевидно, по-
поскольку функция t'e-' ограничена при t > 0. Поэтому можно
считать, что k>0 и что оценка G.7.1) уже доказана для всех
меньших значений k, а также, в случае / > 0, для всех мень-
меньших значений / и того же самого k. Далее, можно считать, что
функция
N = \f'?+lmf
7.7. Метод стационарной фазы . Ml
положительна на К, ибо если оценка G.7.1) уже получена при
этом предположении, мы всегда можем заменить в ней f на
/ + ei и положить е -*- +0.
Имея в виду увеличить значение / на 1, или, что то же са-
самое, проинтегрировать по частям, заметим, что
а значит,
G.7.2) •
п
« = Z "v
+ «о Im f,
где uv для v = 0, 1, ..., п определяется равенствами Ыи„
udf/dXy при v ф 0 и Nuq = и. Так как
интегрирование по частям дает
и (Im f)! e'«f dx = J щ (Im f)'+1 eiaf dx
"f dx "
Im f) (Im f)Hl e^dx)
Вводя обозначение
I « U= Z \dau\,
loT-li
имеем по предположению индукции
G.7.3)
+ Z Z
n-o v
Чтобы оценить правую часть этого неравенства, нам понадо-
понадобится следующая лемма.
Лемма 7.7.2. Для всякой неотрицательной функции g^C2(—S,б)
sup
Доказательство. Выбрав х/6 в качестве новой переменной, сво-
сводим дело к случаю 6=1. Кроме того, можно считать, что
g@)= 1. В силу формулы Тейлора,
при |*|<1; M = sup\g"\.

262 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 283
Если М ^ 2, берем *2->-1 и получаем \g'@) |< 1 + М/2 ^
A +2Л1I/2, так как М2/4 < М, а если -М> 2, берем х2 = 2/М
и получаем |g'@) 1^ 2/\х\ = BМI/г. Тем самым лемма до-
доказана.
Завершение доказательства теоремы 7.7.1. Применение леммы
7.7.2 к Im f и к N дает
G.7.4) |dvIm/|2<CIm/, \dvNf^CN в К-
Покажем теперь, что при ц ^ k
G.7.5)
N
112
1
v=l
I "v I» + N | и01Й < С 11" Ir
r0
1
r=0
Для (л = 0 это следует из определения Л7 и uv- Пусть 0 < ц ^ k
и оценка G.7.5) уже установлена для всех меньших значений \л.
Рассмотрим мультииндексы ас |а| = ц и применим да к урав-
уравнениям
Nuv = udf/dxv при v=#=0, ./V«o = O.
Оценивая в получаемых уравнениях все члены, кроме члена
A^c^Uv в левой части, с помощью G.7.5) и учитывая G.7.4), по-
получим при v Ф 0
откуда и вытекает G.7.5). Аналогичнр
X\u\rN{r->l)n,
о
чем и завершается доказательство оценки G.7.5). Из G.7.5) и
G.7.4) следует, что
G.7.6) iMvImfl^Clllul,^-^2, v^=0, n^k.
• °
Оценивая правую часть G.7.3) с помощью G.7.5) и G.7.6), по-
получаем G.7.1).
Теорема 7.7.1 показывает, что интеграл
co>O,
есть быстро убывающая функция от со, если и е Со", / е С",
Im / ^ 0 и supp и ие содержит ни одной точки, в которой
Im/=0 и f = O. Таким образом, решающий вклад в интеграл
всегда вносят те точки, где фаза / вещественна и стационарна.
Этот факт лежит в основе метода стационарной фазы, который
также описывает вклады от простейших типов таких критиче-
критических точек. В § 7.6 мы уже рассмотрели частный случай, когда
f — квадратичная форма. Переформулируем полученный там
результат в виде, более удобном для наших теперешних целей.
Лемма 7.7.3. Пусть А — симметричная невырожденная матрица
с Im А ^ 0. Для любых целых чисел k > 0 и s > я/2
-)Г1/2 7\ (со)
G.7.7) \\и(х) еШАх- *>'2 dx - (det (со
<ck(lA-lV*Y'2+k Е I
|o|<2ft+s
G.7.8)
Tk(©) =
(A~l D, DJ и@)//!.
Доказательство. По теореме 7.6.1 преобразованием Фурье функ-
функции Jt->-exp(i©</4;e, x}/2) служит функция
= exp{-i{A~% i)/2cu)(det(M/2m))-1/2.
Следовательно,
J eia^- х>1> и (x) dx = (det (соЛ/2ш)Г1/2e~'U~iD-о)Ыи @),
а потому G.7.7) вытекает,из G.6.7).
Замечание. Если В — другая симметричная матрица с ImB^O,
то, заменяя в G.7.7) матрицу А на A -f tB, дифференцируя по
t разложение интеграла в левой части полученной оценки, отве-
отвечающее этой оценке, и используя аналогичное разложение для
производной по t от интеграла, получим, что при малых t
G.7.9) Bко)-' [4 ({А + tB)~l D, D)' и @)//!
- ± tr (В (А + tB)~l) {(А + tB)-' D, DI и @)//l]
= BюL-1 {(А + tB)~l D, D)'+i (/со (Вх, х)и (x)/2)x=0J(j + 1I.
Это, конечно, тождество, которое остается справедливым для
всех симметричных матриц А, В и всех t, таких что матрица
A -f tB невырождениа.

164 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 285
Вычисление сумм вида G.7.8) иногда упрощается, если пе-
переписать их, как если бы часть экспоненты в G.7.7) входила
множителем в и. Алгебраическое содержание этого приема вы-
выражается следующей леммой.
Лемма 7.7.4. Пусть А — симметричная невырожденная матрица,
а В — симметричная матрица, такие что det (Л + tB) не зависит
от t Это означает ровно то, что матрица А~1В нильпотентна,
т. е. (A~lB)k = 0 для некоторого k. При этом k
cf(K),
G.7.10) ? B*©)"' {{А + В)" D, D)' и @)//!
/<лг
S
/<
/! = О (©"
(со-»оо).
Доказательство. Если Я»— собственные значения матрицы А~1В,
то
det (A + tB) = det A det (/ + М В) = det Л П A + Л,).
Правая часть не зависит от t тогда и только тогда, когда, все
Л( равны нулю, т. е. когда матрица А~ХВ нильпотентна. Пусть
(Л~'В)* = 0. В таком случае
-1 -1 *~l/ v
(А + tB)~l = (/ + tA ' В) А =Е \—tA~lB) A ,
v=0
Разлагая многочлен <(Л -\-tB)~xD, ?>Ум@) от t по формуле
Тейлора и используя G.7.9), можно записать первую сумму в
G.7.10) в виде
N-U(k-l)
G.7.11) Е Е (И»)-'-*(Л Я. DI+v((m(Bx,x)/2)vu)@)
Z Е
-0 v-0
По той же формуле Тейлора вторая сумма в G.7.10) равна
Е Е BbL(A-lD, D)'((i(o(Bx, x>/2)vu)@)//!v!.
t<N V-0
Все члены с v > / равны здесь нулю, поэтому можно заменить
/ на / + v, где / ^ 0, v ^ 0 и / + v < N. Другими словами, вто-
вторая сумма в G.7.10) есть в точности сумма членов ряда G.7.11)
с j + v<N. Для прочих членов j + v^N и v <;/(? — 1), а
значит, N ^ jk; следовательно, они дают О (©-*/*), чем и за-
завершается доказательство.
Используя формулу Тейлора, нетрудно распространить
G.7.7) иа более общие фазовые функции:
Теорема 7.7.5. Пусть KczRn — компактное множество, X — его
открытая окрестность и k — натуральное число. Если и е
=sO в X, Im/(*<,) = !
Owf^Oe /С\Ы, то
det Г
G.7.12) |^u(jc)eiu>fWdjc —
> (det («of"
I a K 2ft
©-' L,u |
/<*
sup|Z)aM|, co>O.
Здесь С можно выбрать одним и тем же для всех f, которые
принадлежат заданному ограниченному множеству в C3k+l(X)
и для которых отношение \х — jko | /1 f (x) | равномерно ограни-
ограничено. Если положить
«Г* (*) = f(x)-f (xo) - <Г (Хо) (х - хо), х - хо)/2
(эта функция имеет в точке Хо нуль третьего порядка), то
23
L,u=
5го дифференциальный оператор порядка 2/, действующий на и
в точке Хо. Его коэффициенты суть рациональные однородные
степени —/ функции от f"(xo), ..., /B'+2)(хо) со знаменателем
(detf"(jto)K/. В каждом его члене суммарное число производ-
производных, взятых от и и от У, не превосходит 2].
Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку
Г (х) = Г (х) - Г (хо) = Г (х0) (х-хо) + 0(\х-х0 р),
то
Следовательно, \х — jco| ^ 2||/"(д:о)~1|1 \t'(x) I ПРИ достаточно ма-
малых \х — jco|, так что из предположений относительно f, сде-
сделанных перед G.7.12), вытекает, что отношение \х — xo\/\f (x) \
ограничено вблизи jco. Чтобы получить «равномерную» констан-
константу С, мы лишь добавили условие, исключающее близкие к 0 зна-
значения /' в других точках множества К.
Предположим сначала, что Dau(x0) = 0 при |a[<2?. Тогда
формула Тейлора дает
-xofk-*a]M, M=
и из теоремы 7.7.1 вытекает ввиду ограниченности
\\
В общем случае, выбрав функцию реСо\ равную 1 вблизи д:о,
и обозначив через щ произведение р на тейлоров многочлен по-

26в 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 267
рядка 2k для функции и eQf (К) в точке х0, мы можем приме-
применить этот результат к ио = и— и\. Таким образом, остается
только оценить \ ще1е>Ых. Все производные от функции и\ оце-
оцениваются через М, и ее носитель лежит вблизи х0.
Считая, как мы это вправе делать, что f(xo) = O, положим
fs (х) = <Г (*о) (х - хо), х - хо)/2 + sgXo (х).
Ясно, что fi(x) = f(x), a fo(x) есть квадратичная форма от
х — Jto с Imfo^O. Если suppp лежит в достаточно малой
окрестности точки jco, то отношение | х — xQ |/| f's (x) | равномерно
ограничено при 0 ^ s ^ 1 и х е supp p. Дифференцируя 2k раз
функцию
получим
При |aj< 3k
|i)e(
и применение теоремы 7.7.1 с А, замененным на 3k, дает
sup |
0 < s < 1
В силу формулы Тейлора,
/A)- ?
H<2ft
Величина в правой части оценивается нужным нам образом.
Теперь, если G*, — тейлоров многочлен порядка 3k для gx,, то
и эта разность есть функция из С3* с= Cfe+^ (при ц<2?). По-
Поэтому, еще раз применяя теорему 7.7.1, получаем
/AЛ)@)-
Применяя к интегралу в левой части лемму 7.7.3, заключаем,
что
H<2k
D, D)v (mGxf и (xQ)M ц1
Ненулевыми в этой сумме будут лишь члены с 2v ^ 3,u. Если
положить v — ц = /, то для таких членов мы имеем 3/ = 3v —
X <Г
Зц ^ v, 2/ = 2v — 2\х^\х. Чтобы нейтрализовать нуль функции
GXt в дс0, нужно 3\х производных, и остаются еще 2v — 3\х =
2/ — ц производных. При (л = 0 получаем 2/ производных, дей-
действующих на и. При (л > 0 имеем в общей сложности самое
большее 2/ — ц производных, действующих на и и на (G*,) ,
т. е. самое большее 2/ производных, действующих на и и на f.
Доказательство завершено.
Замечание. В случае когда функция f вещественна, теорему
7.7.5 можно также доказать, используя лемму Морса, а именно
заменяя переменные так, чтобы разность f(x) — f(xo) стала
квадратичной формой. На этом пути результат того же вида, что
и лемма 7.7.3, получается для f e C2k+2+s, и аналогичное уточ-
уточнение может быть получено для комплексных f. Однако нас
интересует в первую очередь С°°-случай, и мы предпочли дока-
доказательство, которое требует большей регулярности /, чем это не-
необходимо, но зато дает эффективный метод для вычисления
весьма сложных выражений L/.
На практике функции и и f часто зависят от параметров.
Как мы сейчас увидим, в случае когда f вещественнозначна, это
не создает никаких проблем. Ради простоты сформулируем ре-
результат лишь для С°°-случая.
Теорема 7.7.6. Пусть f(x, у)—вещественнозначная С°°-функция
в некоторой окрестности точки @, 0)eRn+m. Предположим, что
f'x@, 0) = 0, a f'x'x@, 0)— невырожденная матрица с сигнату-
сигнатурой а. Обозначим через х(у) решение уравнения f'x(x, y) = 0 с
х @) = 0, даваемое теоремой о неявной функции. Существуют
дифференциальные операторы Ц, !>у по х порядка 2/ со свой-
свойствами, описанными в теореме 7.7.5, такие что для u€ Co°(/f)>
где К лежит вблизи точки @, 0),
G.7.13) | $и
-1/2
ft-i
y)/2n)\
sup \Daxu{x, У)\.
0 |a|<2fe X
Эта теорема непосредственно следует из теоремы 7.7.5. Оче-
Очевидно, что в левой части достаточно просуммировать по /, удов-
удовлетворяющим условию / + п/2 < k. Иногда удобнее группиро-
группировать члены в сумму по-другому, как в лемме 7.7.4. Дадим один
пример, который будет нам полезен в § 18.1.
Теорема 7.7.7. Пусть f — вещественнозначная функция
р
°°(R"+'"
из
C°°(R"+'"), К — компактное подмножество в R2n+m u

268 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 269
Тогда для
G.7.14) \\и{х, I, у)е**М*'»>-<*•*»dxdg
(И»,
«(x. Б.
f)
sup|/>" iu{x, t, y)\,
x, I
где ry(x) = f(x, y) — f(O, y) — (f'x(O, у), х) {эта функция имеет
при * = О нуль второго порядка).
В сумме в левой части G.7.14) производные по \ действуют
иа и, а производные по х, действующие на еШГи{х\ приводят к
появлению ©вместе с производной от гу, обращающейся в нуль
при х = 0. Чтобы получить ненулевой вклад, на иее надо подей-
подействовать еще одной производной по х. Это показывает, что
v-й член указанной суммы есть О(©^/2), ибо множитель со вы-
выделяется «в чистом виде» самое большее при v/2 дифференци-
дифференцированиях.
Доказательство. Производная от фазы f(x,y)—(х, ?> по сово-
совокупности х и % равна нулю ровно в одной точке х = 0,
| = /^@, у). Матрица Гессе в этой точке есть сумма матрицы
Гессе В = { хх ) Для/(х, у) и матрицы Гессе A = f _. „
для — <*, g>. Заметим, что |det/4| = l, sgn/4=0, A=A-[ и
(Л-1?J = 0. В соответствии с теоремой 7.7.6 асимптотическое
разложение интеграла в G.7.14) имеет вид
Bл/со)" У
v<ft-n
где Ry(x) = r(х)-(Г;х@, у)х,х)/2 и форма ((А -f Я) D, D)
= — %(DX, DS — {f"x(Q> У)Dp D*) есть дифференциальный опе-
оператор порядка 1 по х. В силу сказанного между формулиров-
формулировкой и доказательством теоремы, отброшенные члены представ-
представляют собой О (aHfc-n>/2). По лемме 7.7.4 и тем же соображениям
разность между написанной выше суммой и суммой
оценивается величиной Ссо ( )!
I
доказано.
12k
\ВахЛи\, чем G.7.14) и
Замечание. Нетрудно дать прямое доказательство теоремы, ана-
аналогичное доказательству теоремы 7.7.5.
В случае когда фазе / разрешается принимать комплексные
значения, возникают трудности уже с самой формулировкой
аналога теоремы 7.7.6, поскольку при уфО уравнение
Гх(х> У) = ® Уже не определяет больше критической точки
х е R". Справиться с этой проблемой можно, используя подго-
подготовительную теорему Мальгранжа, доказанную в § 7.5. Предпо-
Предположим, что функция f(x,y) принадлежит классу С в некоторой
окрестности точки @,0)е/?л+т и удовлетворяет условиям
G.7.15)
0,
, 0) = 0,
В силу теоремы 7.5.9, где переменные (t, x) соответствуют на-
нашим (х,у), найдутся функции Xj{y) класса С°° вблизи точки
0 е Rm, такие что
. / = / (дЦдхи ..., df/dxn) = /(*,- X, (у), ..., хп-Хп (у))-
Если точка Х(у) вещественна, то отображение x-*-f(x, у) имеет
критическую точку в X(у). В противном случае у этого отобра-
отображения нет критических точек вблизи нуля, но все равно полезно
думать об Х(у) как о критической точке, которая стала комп-
комплексной, хотя это не больше чем фигуральное выражение. По-
Повторное применение теоремы 7.5.7 дает (см. доказательство
леммы 7.5.10)
G.7.16) f(x,y)= E fa(y)(x-X(y))a!a\modIN
при некоторых faeC°°. Поскольку д"/(х, у) — fa(y)^I, можно
думать об /*(«/) как о значении производной dxf(x, у)в нашей
критической точке. В частности, при |сс| == 1 мы имеем ^(?/)е/,
а значит, ^(у)^1°° по теореме 7.5.12. Следовательно, в G.7.16)
можно взять {а = 0 при | а | = 1, так что f — f° e P.
Лемма 7.7.8. Из условий G.7.15) вытекает, что вблизи нуля
7.7.17)
lmf°(y)^C\lmX(y)?
при некотором С > 0.
Ни j°, ни X не определены однозначно. Однако, как показы-
показывает теорема 7.5.12, при другом их выборе каждая из двух ча-
частей оценки G.7.17) изменилась бы лишь на член, представляю-
представляющий собой OdlmXI*) при любом ./V, а это не влияет на спра-
справедливость оценки вблизи нуля, поскольку Х@) = 0.

270 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 271
Доказательство. В силу G.7.15) и G.7.16)
0<Im/(*, y)=lm(f{y)+ ? fa(y){x-X(y))a/a\)
V |оР=2 )
+ О(\х-Х(у)\%
Возьмем x = ReX(y) — t\lmX(y)\ c^gR", | /1 < 1. Если точка
Х(у) вещественна, то мы сразу получаем G.7.17). Если же нет,
то, полагая r\ = Im X (у) / | Im X(у) |, имеем
O^lm(J°(y) + \lmX(y)f ?Ja(y)(t + iti)a/a!H + (|ImX(»)|»).
Следовательно,
lmf(y)>\lmX(y)\2(sup (-Im ? fa(y)(t+ b\)afa\)
VI f I<1 V |a[->2 /
-C\lmX(y)\).
Ho fa(y)-+fa(O) = dxf(O, 0) при t/->0. Если обозначить через Л
матрицу с элементами Ajk = d2f(Q,O)/dXjdxk, то det/4^0 и
ImArssO, ввиду G.7.15). Поэтому доказательство завершает
следующая
Лемма 7.7.9. Для всякой невырожденной симметричной дХл-
матрицы А с 1mA ^0 существует положительная постоянная с,
такая что (для f, tj e= R")
G.7.18) sup (-1т(Л(/ + и1), t + ix\))>c, \i\\=l.
Доказательство. По соображениям компактности достаточно до-
доказать это утверждение при фиксированном г). Запишем А =
Л] + iA2. Тогда
- Im (A (t + й)), / + й)> = (Л2т1, л) - (Л^, 0-2 (Л,/, л).
Если <Л2Т1, т)>=^= 0, то мы просто берем t = 0. Если <Л2Т1, л> = 0,
то Л2т1 = 0 (ибо матрица Л2 является полуопределенной)!), а
значит, Л^^О (так как Лт1=^=0). Поэтому можно взять
t = —eAir\ с малым положительным е.
Используя аналитическое продолжение, мы распространим
сейчас формулу стационарной фазы, данную ¦ в теореме 7.7.6,
с вещественного случая на комплексный. Как и прежде, поло-
положим
" В силу неравенства Коши — Буняковского, |</42tj, |>|2 ^ (.Агг\, л)
Х<г?, D. 5eR", откуда (Ащ, |> = 0 для любого g и, следовательно, Агц
= 0. — Прим. ред.
Тогда detЛ =^= 0, и мы утверждаем, что det(Лi + 2Л2)=^=0 при
Im гфО. Действительно, если леС" и (Л i -f zA2) x = 0, то
0 = Im ((Л! + гЛ2) х, х) = Im z (A2x, x).
Отсюда следует, что Л2* = 0 при Imz=?^=0, ибо матрица Л2 яв-
является полуопределенной. Следовательно, А\х = 0, а значит,
Ах = 0, откуда х = 0. Уравнение det(Ai-\-zA2) = 0 имеет самое
большее п вещественных корней г. Поэтому найдется X е [0,1 ],
такое что det (Л i + ЯЛ2) Ф 0. Тогда
det (Л, + гЛ2) #=0, z ее Z,
где Z — достаточно малая окрестность прямолинейного отрезка
[i, i], соединяющего точки X и /. Теперь введем функцию
F(x, у, z) = Ref{x, y) + zlmf(x, у), j
Если х и у достаточно малы, то det F"xx (х, у, z) Ф 0, z^Z, и
ImF{х, у, г)>0 при zeZ+ = {zeZ; 1тг>0}.
Пусть К— малая компактная окрестность точки @,0) в
Rn+m и и^Со'(К)- Чтобы получить асимптотическое разложе-
разложение интеграла
рассмотрим более общий интеграл
S(a>, у, z)=
При zeZ0 = Zn R его разложение дается теоремой 7.7.6. Кроме
того, поскольку lmF(x, у, z)^0 при z ge Z+, мы имеем для S
равномерную оценку в Z+. После установления определенных
свойств аналитичности разложения G.7.13) это даст нам асимп-
асимптотическое разложение для s(©, у) = S (со, у, i). При z e= Zo члены
нашего асимптотического разложения суть значения функций
вида
G.7.19) (det(©77;y2ni))-1/2e^co-/LF ,u,
вычисленные в критической точке, определяемой уравнением
F'x = 0. Здесь Lf, / — дифференциальный оператор по х порядка
2/, коэффициенты которого, будучи умноженными на (det F^W,
представляют собой многочлены степени Зя/ — / от D^F) 2«^
|a|^2/-f-2. Квадратный корень из определителя понимается,
конечно, в смысле, объясненном в § 3.4.
Чтобы распространить определение функции G.7.19) на Z+,
рассмотрим идеал /, порожденный частными производными

272 7. Преобразование Фурье
dF(x,y,z)/dXj,j = \, ..., п, в некоторой окрестности множества
М = {@, 0, а + A—<)/); 0</<1}
в Rn+mXC Поскольку Fx — Q на М, из теоремы 7.5.9 в соче-
сочетании с использованием разбиения единицы по г вытекает, что
/ порождается элементами вида х\ — Xj(y,z). Эти функции
приближенно удовлетворяют условию Коши — Римана; более
общим образом, справедлива
Лемма 7.7.10. Пусть ?(*, у, г) — функция класса С°° в некото-
некоторой окрестности множества М. Если дЧ?/дг = 0, то
Ч(х, У, *)= E%(*> У, z)dF(x, у, г)/дх, + Уа(у, г),
где dW°/dz e /°°,# а следовательно,
\dW°/dz\^CN\lmX(y, г)|*. ЛГ = 1, 2,...,
для малых у е R" и z из малой окрестности отрезка {К, г].
Доказательство. Так как d4?/dz = dF/dz = 0, то, дифферен-
дифференцируя приведенное в формулировке леммы разложение для W 1\
получаем
2
Поэтому утверждение леммы следует из теоремы 7.5.12.
Множество Z можно взять столь малым, чтобы эта лемма
была применима при всех z из его замыкания. Обозначим те-
теперь через S/(<o, у, г) функцию, получающуюся из G.7.19), если
каждую производную dxF (соотв. д%и) заменить некоторой
функцией Fa(y, z) (соотв. и$(у, г)) из того же самого класса вы-
вычетов по модулю /. При zeZo это будут в точности члены
асимптотического разложения, даваемого теоремой 7.7.6, по-
поэтому
G.7.20) S (со, у, z)
Sj(a>, у, г)
Ясно, что S(a>,y,z) — аналитическая функция от г, и в силу
лемм 7.7.8 и 7.7.10
G.7.21) |dS/(<o, у, zpKC/iVffl-v, v —1, 2, .... z<=Z+,
ибо
7.7. Метод стационарной фазы 273
Выберем Z так, чтобы граница множества Z+ была кусочно клас-
класса С1, и положим
"' J S(ю У' О<*Ш -z), z<=Z+\ Zo.
S7(<d, у, г) = BшГ' J
«Функция S? аналитична в Z+. Из интегральной формулы
Коши C.1.11) следует, ввиду G.7.21), что
|///<»~v. v=l, 2, ....
Таким образом, G.7.20) остается верным, если заменить
Sj на S?. Очевидно, что справедлива оценка
|S(ев, у, г) — .2^S/(o», у, z) <C, ze=Z+
(поскольку lmF°(y, z
ная у > 0, такая что
z^Z+). Поэтому найдется постоян-
постоянG.7.22)
s (©, у)
S°(co, у, О
<Ссо'
Это вытекает из следующей элементарной леммы:
Лемма 7.7.11. Пусть Z+ односвязно. Тогда на нем существует по-
положительная гармоническая функция у (г) с таким свойством:
если функция g аналитична в Z+ и \ g \ ^ 1 в Z+, \ g | ^ е < 1 на
Z0,to |()KvwZ
Доказательство. Можно подобрать конформное отображение
z-+w(z) множества Z+ на верхнюю полуплоскость в С, пере-
переводящее Zo в (—1, 1). Пусть g{z)= G(w(z)). В силу принципа
максимума модуля
log | G (w) I — (log e) (arg (w — a) — arg (w + d))jn < 0, Im w > 0,
при 0<«2<1, поскольку это неравенство выполнено на гра-
границе. Полагая а->1, получаем \g(z) |^ е^<г>, где v(z) =
(arg(a;(z)—1)—arg(a»(z)+l))/n.
Из G.7.22) следует, что
G.7.22)'
s(», у)-
), у, i)
<Car<*+»/8>.
•> Существование которого следует нз теоремы 7.5.7. — Прим. перев.
Действительно, эта оценка вытекает из G.7.22) с N, заменен-
замененным на v столь большое, что y(v + п/2) > N-\-п/2, ибо ясно,
что члены с j ^ N оцениваются правой частью G.7.22)'. Итак,
доказана
Теорема 7.7.12. Пусть f(x, у) — комплекснозначная функция клас-
класса С°° в некоторой окрестности точки @, 0) в R"+m удовлетво-
18 Зак. 821

274 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 275
ряющая условиям G.7.15), и u^Cq'(K), где К — малая окрест-
окрестность точки (О, 0) в Rn+m. Тогда
G.7.23) I J и(х, у)е1°>Нх-У)dx - ((det (<of'^x/2ni)H
0y112
где для функций G(x,y) символ G°(y) обозначает произвольную
функцию от одного у, принадлежащую тому же классу вычетов
по модулю идеала, порожденного df/дх/, / = 1, ..., п. При
у = 0 квадратный корень определяется, как в § 3.4, а при ма-
малых уфО — по непрерывности.
На самом деле мы пока еще не доказали, что оценка G.7.23)
верна. при любом выборе представителей классов вычетов; мы
установили лишь, что она выполняется при том их выборе, ко-
который был сделан в ходе доказательства. Ее справедливость в
общем случае вытекает из следующего результата.
Предложение 7.7.13. Пусть выполнены предположения теоремы
7.7.12 и f°, G° принадлежат тем же классам вычетов, что и f°,
G° соответственно. Тогда
G.7.24) | GV"f° — С°е|мГ| <CN(o-N, N = 1, 2,
Доказательство. Проинтегрировав ег от г до до, нетрудно по-
получить оценку
| ег — ew К | z — w I exp max (Re z, Re до).
Поэтому из лемм 7.5.10 и 7.7.8 следует, что при любом N
Предложение доказано.
Важность полученных выше результатов обнаружится в пол-
полной мере в гл. 18 и особенно в гл. 25, целиком на них основан-
основанной. (Теорема 7.7.12 понадобится нам лишь в § 25.4.) Однако
мы уже сейчас прервем поток чисто технических результатов и
дадим одно простое их приложение;
Теорема 7.7.14. Пусть u = adS — плотность класса Со" на С°°"
гиперповерхности 2 в R", полная (гауссова) кривизна которой К
всюду отлична от нуля (dS обозначает евклидову поверхностную
меру). Тогда
G.7.25) | т("-1)/2й (тб) - ? а (х) \ К {xf12 Bnf-l)l2 e~Hx- ^niali \
<С/т при |Ц=1, т>1.
Здесь сумма берется по всем точкам х е supp и, в которых нор-
нормаль к поверхности S параллельна вектору |, а а — разность
между числом центров кривизны в точке х '>, расположенных
в направлении вектора %, и числом центров кривизны, располо-
расположенных в направлении вектора —|.
Доказательство. Пусть п(х) обозначает единичный нормальный
вектор к поверхности S в точке х. Отображение Гаусса (сфери-
(сферическое отображение) Зэх-^л^еХ"-1 является в нашем слу-
случае локальным Диффеоморфизмом, поскольку полная кривизна
нигде не обращается в нуль. Можно считать, что носитель плот-
плотности и столь мал, что 2 можно параметризовать в некоторой
его окрестности при помощи параметра t^ R"~' и сужение ото-
отображения Гаусса на эту окрестность есть диффеоморфизм. За-
Записывая нашу плотность в виде adS = b(t)dt, получаем
Фазовая функция f(t, g)=—<*@.?> как функция от t имеет
в t критическую точку, если вектор % параллелен нормали к 2
в точке x(t), и вычисленная при таком значении t матрица Гес-
Гессе f"t — — (x"(t), t) будет задавать вторую квадратичную форму
поверхности S в точке jk(/) относительно нормального направ-
направления —%. Поэтому ее собственные значения по отношению
к первой квадратичной форме
равны главным кривизнам К\ Кп-\ поверхности 2 в точке
x(t), а значит, ее сигнатура равна числу центров кривизны, ле-
лежащих в направлении —%, минус число центров кривизны в на-
направлении | и
II
Г1/2
det(/S)/det(e/l) = IIiCl = iC.
Следовательно,
| det (хГ/Щ Г1'2 = Bя/т)(п-1)/2 \КГ'2\ det (gtl) Г
Поскольку Ъ = a\det(gi) |1/2 оценка G.7.25) вытекает из
| det (хГ/Щ Г1'2 = (
Поскольку Ъ = a\det(g,i)
G.7.13) при k> 1 + п/2.
Т 771
Теорема 7.7.14, когда она применима, намного точнее теорем
7.1.28 и 7.1.29, зато в последних не делается никаких предполо-
предположений относительно кривизны рассматриваемой поверхности.
Следствие 7.7.15. Пусть Xc=R"—ограниченное открытое вы-
выпуклое множество с С°°-границей, имеющей строго положительную
перев.
18*
Отвечающих главным кривизнам поверхности 2 в этой точке. — Прим.

276 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 277
кривизну К. Если х — характеристическая функция множе-
множества X, то
величиной
G.7.26) 11 % \(n+l)l2jt(l) - Bn)(n-
где х+ (соотв. х-)—точка на дХ, в которой внешняя нормаль
к X задается вектором % (соотв. —\).
Доказательство. В силу C.1.5), <?/х = tijdS, где п — единичный
вектор внутренней нормали к X. Поэтому для /= 1, -.., п пре-
преобразованием Фурье плотности tt/dS служит ig/зсШ- Записав для
каждой из этих плотностей оценку G.7.25), получим G.7.26).
Классическим приложением следствия 7.7.15 является сле-
следующая оценка числа точек целочисленной решетки, содержа-
содержащихся в выпуклых подмножествах пространства R".
Теорема 7.7.16. Пусть множество X обладает свойствами, указан-
указанными в следствии 7.7.15, и пусть ОеХ Если N(t) — число точек
множества Z" Л tX, t > 0, то '>
| N @ - frn (X) | < с/"
> 1.
G.7.27)
Доказательство. Можно считать, что л> 1. Характеристической
функцией множества tX служит %(x/t), следовательно,
N(t)= Б
Напрашивается идея применить формулу суммирования Пуас-
Пуассона, но функция х недостаточно гладкая. Поэтому возьмем ее
регуляризацию
ХЕ(*)= \х(х —
где 0<<p€ECS\ ^<fdy=l. Если supp<р<= (XП(— Х))/2, то
ЗС(*A+е)) <&(*)<*(* A-е)), 0<е<1.
Отсюда следует, что
G.7.28) Л(//A + е))<?х,(*//)<ВД1-в)).
Теперь формула суммирования Пуассона применима. Она дает
I = tn
У ряда в правой части член с g=0 равен tnm(X); это главный
член в G.7.27). Сумма членов с g=^=0 оценивается ввиду G.7.26)
Cta
где N может быть выбрано сколь угодно большим. Будем счи-
считать е столь малым, что и et тоже мало. Тогда второй сомно-
сомножитель в выражении под знаком суммы не будет играть роли
при суммировалии по |g|< \/et, а при \g\> l/tt его можно за-
заменить на \get\~fl. Сравнивая получающиеся две суммы с соот-
соответствующими интегралами, нетрудно подсчитать, что написан-
написанная выше сумма оценивается величиной
C'f (zt)~n г(п+1I2 = С'е-{
Это позволяет переписать G.7.28) в виде
Чтобы минимизировать разность между верхней и нижней гра-
границами, выберем е так, чтобы tnz = е-<"-1>/2, т. е. е = t~2nl(n+lK
что и дает GЛ.27).
До сих пор мы изучали асимптотическое поведение интегра-
интеграла
взятого по всему пространству. Посмотрим теперь, что будет,
если интегрировать лишь по некоторому открытому множеству
X с С°°-границей дХ. Соответствующие результаты не понадо-
понадобятся нам в этой книге, поэтому изложим их совсем кратко. По-
Поскольку все эти результаты носят локальный характер, мы
вправе произвести локальную замену переменных, после кото-
которой X превратится в полупространство в R", определяемое усло-
условием х„ < 0. Положим х' = (хи ..., xn-i).
Теорема 7.7.17. Пусть функция /eC°°(Rn) удовлетворяет усло-
условию Im f ^ 0 при хп < 0, а иеСо™ (R") — функция с носителем*
лежащим вблизи нуля. Тогда
(i) если df @)/дх' Ф 0, то
= O(a-N), <о-*+оо, ЛГ=1, 2, ...;
х„<0
'> Ниже т(Х) —мера Лебега множества X. — Прим. перев.
(и) если df @)/dxf = 0,. det &f @)/дх'дхг Ф 0 и df (Q)/dx Ф 0,
то
оо
\ и (х) el<*f <x> dx ~ e^f (о>ш-(п+ D/2 ^ а/@-/;
хп<0 0
где а0 = (det (/^ @)/2ш'))/2 (/ df @)/dxn)-1 и @);

278 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 279
(Hi) если df@)/dx=0, но det d2f @)/дх'дх'Ф0 и det д2} @)/дх дх
Ф О, то
J и (х) eiaf(ж>dx
где b0 = (det (?, @)/2я/))-ы@)/2.
Доказательство. Утверждение, (i) сразу следует из теоремы 7.7.1,
поскольку интеграл по х' от рассматриваемой подынтегральной
функции быстро убывает по со равномерно по хп. В случаях (и)
и (Hi) по теореме 7.7.12 справедливо асимптотическое разложе-
разложение
/(*„, со)= J и(x)e
Здесь
при малых хп^0, носители функций
лежат вблизи нуля и м0@) = м@)
2- Так как
то df/дхп — df°/dxn^ Л а потому в случае (ii) мы имеем
р>'@) дК0)/дф0. Следовательно,
/o' @)
= ц, @)
Проведенное интегрирование по частям можно продолжить, и
прочие члены в разложении интеграла 1(хп,&) рассматриваются
точно таким же образом. Этим доказано утверждение (ii).
В случае (ш) заметим, что если обозначить через L-, производ-
производную в 0 от df/dx,; то
(Г@)х,х) = Г@)х1+ "Z a,kL,(x)Lk(x).
J, ft — 1
Отсюда вытекает, что /°"@)=^=0, функции1* Ь/(х', 0) линейно не-
независимы и
det Гхх @) = (det (dLJdxtfU Г @) deta/fe = Г @) det /^,@).
Обозначим /°"@) через с. Ясно, что Im с ^ 0.
Для оеСо° (R) асимптотическое разложение интеграла
можно получить, представив v в виде v = vq + v\, где vo{t) =
(v(t)+v(—t))/2 — четная функция, а fi@= (у@—"(—0)/2 —
нечетная. Из тейлоровского разложения функции v сразу видно,
что vi(t)=tw(t2), где w<=C°°, a»<v>@)/v! = B+')@)/B + 1)!
Следовательно,
= J eiact'v0(t)dt/2-
v @) vl/Bv
Доказательство теоремы 7.7.5 показывает, что аналогичное раз-
разложение справедливо и в случае, если заменить фазовую функ-
функцию ct2/2 на /°, и этим завершается доказательство утвержде-
утверждения (Hi).
В случае когда' фаза / вещественна, можно при помощи тео-
теоремы 7.5.13 с k = 2 исследовать в описанной ситуации влияние
параметров на асимптотическое поведение интеграла. Это при-
приводит к интегралам Френеля. Мы, однако, предоставим это чи-
читателю, поскольку ниже рассмотрим аналогичную более слож-
сложную проблему.
В заключение коротко обсудим асимптотическое поведение
интеграла
'> Линейные! — Прим. перев.
в случае, когда f вещественнозначна, но имеет вырожденную
критическую точку xq. Начиная с этого места интегрирование
выполняется снова по всему пространству, так что никаких гра-
граничных проблем исследовать не приходится. Простейшим яв-
является случай, когда ранг матрицы /" в точке л:о равен п—1.
Можно выбрать координаты так, чтобы матрица f",x,, где х'=
(х{, ••¦»*„_!), была невырожденной. Асимптотическое поведе-
поведение интеграла по х' описывается теоремой 7.7.6. Тем самым дела
сводится к изучению остающегося интеграла по хп. После

280 7. Преобразование Фурье
7.7. Метод стационарной фазы 281
соответствующего изменения обозначений задача состоит в ис-
исследовании асимптотического поведения интеграла
в случае, когда носитель функции и е Со" лежит вблизи точки 0
«Г(О) = по) = о.
Если р имеет в точке 0 нуль конечного порядка к—1, то /
можно записать в виде
Вводя Ца(г)\1/к в качестве новой переменной и снова изменяя
¦обозначения, приходим к интегралу
или к его комплексному сопряженному. Предположим сначала,
что к = 3. Поскольку еш* есть преобразование Фурье от
Ai(xC(o)-i/3) (За)-1'3 (см. § 7.6), то
Разлагая Ai в ряд Тейлора, заключаем, что для и
<7.7.29)
Производные Ai(/> @) можно выразить через гамма-функцию.
В случае произвольного к преобразование Фурье от еи тоже
является целой функцией, как легко проверить, записав это пре-
преобразование в виде интеграла по контуру, на котором Цк отри-
отрицательно. Нетрудно проверить, что для «gCo° мы имеем при
нечетных к
<7.7.30)
а при четных к
/<JV
X ш-tf+W* (- D)! и @)//! + О (co-
© _> оо,
<7.7.31) \ иA)ешкdt = ? 2АГ'ГB/-г-
О
Провести эту проверку во всех деталях предоставляется чита-
читателю в качестве упражнения. Отметим, что в G.7.30) отсут-
отсутствуют члены, для которых k делит /+ 1.
Все это вполне элементарно, но когда имеется (многомер-
(многомерный) параметр у, ситуация усложняется, поскольку кратность
нулей f't\t, у) как функции от t может меняться с у. Мы разбе-
разберем лишь случай к = 3, где появляется функция Эйри, а обоб-
обобщение приводимых ниже результатов на случай произвольного
к предоставим читателю.
Теорема 7.7.18. Пусть f(t,y) — вещественнозначная функция
класса С00 вблизи точки 0 в R1+", удовлетворяющая в этой точке
условиям df/dt = d2f/dt2 = 0, д31/дРФО: Существуют ве-
щественнозначные функции а{у), Ь(у) класса С00 вблизи нуля,
такие что а@) = 0, 6@) = /@) и
G.7.32)
u(t,
X
«ov (У)<*-"
{ Ai (а(у)со2/3)о»-'/3
V -
'(а(у)со*3) (D-2/з ? „
о
/
функции и достаточно
при условии что и^С™ и носитель
близок к нулю. Здесь И/, е С".
Доказательство. Заменяя, если надо, t на —t, можно считать,
что d3f(O)/dfi > 0. Применение теоремы 7.5.13 с k = 3 дает функ-
функцию T(t,y) с Г @,0) = 0, dT(t,Q)/dt>0, такую что
где а, Ь е С00. Взяв 7" в качестве новой переменной интегриро-
интегрирования вместо t, получим, при условии что носитель функции и
достаточно близок к нулю,
/(со, у)= \u(t, y)
где v — функция класса С" с носителем, близким к нулю. Вы-
Выберем функцию xeCo°(R) с малым носителем, равную 1 в не-
некоторой окрестности нуля. Тогда
оо.
Теперь привлечем теорему 7.5.6 и поделим и иа Т2-{- а(у):
v (Т, у) = (Т2 + а (у)) q (Т, у) + г, (у) Т + г0 (у).

282 7. Преобразование Фурье
Интегрируя по частям, получаем
/(со, y) = -L\JL
+ \%(Т) (Г, (У)Т + Го (У)) <?'°><Г'/3+а(у)+6<V»dT.
Первый интеграл в правой части — того же типа, что и исход-
исходный интеграл в левой части, только впереди появился множи-
множитель 1/(о. Далее,
= [ е1
В последнем интеграле интегрирование вне носителя функции
Х(Г©-|/3) надо выполнить по контуру, сдвинутому в верхнюю
полуплоскость, а, используя теорему 7.7.1, легко проверить, что
правая часть быстро убывает при ю-ь+оо. Аналогично и раз-
разность
является быстро убывающей. Повторное применение этого рас-
рассуждения доказывает теорему.
Нетрудно распространить теорему 7.7.18 на случай несколь-
нескольких переменных интегрирования:
Теорема 7.7.19. Пусть f(x,y) — вещественнозначная функция
класса С°° вблизи точки 0 в R"+m, удовлетворяющая условиям
<7.7.33)
f'x @, 0) = 0, rank fxx @, 0) = я - 1,
ker f»x@) 0)
Тогда существуют вещественнозначные функции а(у), Ь{у) клас-
класса С°° вблизи нуля, такие что а@) = 0, b(O) = f(O) и
.G.7.32)' J и{х, у)е'"«
X ? «ov (у) а»-* + Ai' (а (у) ш2/з) ш-2
о о
при условии, что и е Со° ы носитель функции и достаточно близок
к нулю. Здесь и1ч е С".
Доказательство. Прежде всего покажем, что последнее из усло-
условий G.7.33) инвариантно относительно локальных замен коор-
7.7. Метод стационарной фазы 283
динат. С этой целью рассмотрим произвольную гладкую кривую
() @) 0 '@) Х n O
</;л@, 0)Х, x"@)>.
Так как X sker /^@, 0), то второй член в правой части равен
нулю. Таким образом, последнее из условий G.7.33) означает.
что
G.7.33)'
d3f (x (s), 0)/ds3
при s =
а это условие не зависит от выбора локальных координат. Да-
Далее, можно считать, что координаты занумерованы так, что
del(Pfldxtdx,)lH24bO в точке @,0).
Тогда уравнения д}(х,у)/дх,==0, / = 2, ..., п, определяют дс/
как С°°-функции Х,{хиу) от хи у, / = 2 п. Взяв Xj — Xj
в качестве новых переменных вместо */, / = 2, ..., п, мы сведем
дело к случаю, когда df(x,y)/dxi = 0, / = 2, ..., п, при
Х2= ... =лс„ = О. В силу теоремы 7.7.6 интеграл G.7.32)', взя-
взятый лишь по переменным х% ..., х„, имеет вид
, у, со),
где U допускает асимптотическое разложение по степеням 1/©
при ©->оо. Применяя теорему 7.7.18 к каждому члену этого раз-
разложения, получим G.7.32)'. (Заметим, что, поскольку
<32/@,0)/dxidx/ = 0 для всех /, можно считать, что Х =
A,0, .... 0).)
Ввиду G.6.20), при а(у)>0 правая часть G.7.32)' быстро
убывает с ростом ю. С другой стороны, из G.6.21) следует, что
при a(y)<iO разложение G.7.32)' совпадает с разложением,
даваемым теоремой 7.7.6 (с двумя критическими точками). При
а(у) = 0 мы имеем асимптотическое разложение по степеням
ю-'/3, и это продолжает оставаться верным во всякой области,
где величина а(у)а>2/3 ограничена. Однако значение нашего ин-
интеграла («амплитуда») быстро становится очень малым, когда
эта величина возрастает, будучи положительной. В § 12.2 мы
увидим, что эти разложения представляют в оптике поведение
волн вблизи каустики соответственно в зоне тени, освещенной
зоне и зоне полутени. Роль функции Эйри состоит в описании
переходов между этими различными типами асимптотических
разложений.

284 7. Преобразование Фурье
7.8. Осцилляторный интеграл 285
7.8. Осцилляторный интеграл
Теорема 7.7.1 позволяет ввести полезное понятие осциллятор-
яого интеграла. Пусть XcRn— открытое множество и Г — от-
открытый конус в произведении XX(R"\{0}) при некотором N.
Под этим мы понимаем здесь, что множество Г инвариантно
¦относительно операции умножения R^-компонент точек произ-
произведения на положительные числа. Будем говорить, что функ-
функция ф е С°° (Г) есть фазовая функция в Г, если
(i) q>(x, tQ) = i<?(x, В) для {х, 8)еГ, I > 0;
(И) 1тф>0 в Г;
(ш) dtp Ф 0 в Г.
Мы хотим показать, что интеграл вида
определяет распределение в X даже для весьма быстро расту-
растущих функций а •>, при условии что а колеблется медленнее, чем
множитель el<f.
Определение 7.8.1. Пусть т, р, 6— вещественные числа, причем
О <р < 1, 0 <б< 1. Обозначим через S%6(XXRN) множе-
множество всех а ^ С°° (Xy,RN), таких что для каждого компактного
множества KdX и любых мультииндексов аир при некото-
некоторой постоянной Со, з, к справедлива оценка
G.8.2) \DxDaea(x, 9)|<С«,р.кA+|Э|)т-р|а|+в|р|,
Элементы множества S?a называют символпми порядка т
я типа р, 6. Наименьшими возможными постоянными в G.8.2)
задаются полунормы в 5™ в. превращающие его в пространство
4>реше.
Теорема 7.8.2. Пусть ф — фазовая функция в открытом конусе
rcXXR" " F —замкнутый конус сгГЩЯХДО}). Тогда функ-
функционал /ф, определяемый формулой
G.8.3)
, B)u(x)dxdQ
для таких а и и, для которых этот интеграл абсолютно сходится,
можно, и притом единственным образом, продолжить на все
ле U S?6(XXRN) с носителем в F и все и<=СТ(Х) так,
т, р, б
1> Функцию а обычно называют амплитудой. — Прим. перев.
чтобы /ф{аи) было непрерывной линейной функцией от a^S™6
при любых фиксированных иеСЛД /neR, pe@,1] и
5е[0,1 ). Линейная форма
/ф,в:
представляет собой распределение порядка ^k, если asSy{ и
m — kp<-N, m — k{l — b)<-N.
Доказательство. Выберем функцию хеСо° (&ы), такую что
%@)=1 при |8|< 1 и х(б) = О прн |0|>2, и положим (ср. с до-
доказательством теоремы 7.5.4)
Xv(9) = xB-ve)-xBl"ve)) v>0; ЭСо (в) = X (в).
Тогда
=l и
2V-'<|0|<2V+I
х^КшХ, то
при eesupp-Xv. v ф 0.
)a(x, в)|<С„,р.кA+|в|)т-р|а1+6|Р|,
Если fl
поскольку справедлива оценка |/Э°^(в) |^ СоA + |8|)~1а| с по-
постоянной, не зависящей от v. Следовательно, ряд ?&,а схо-
сходится к а в S^'e при любом гп' ~> пг, потому что у членов этого
ряда носители могут перекрываться самое большее по два. От-
Отсюда следует, что если продолжение функционала /ф с требуе-
требуемыми свойствами существует, то оно должно задаваться фор-
формулой
G.8.4) /,(aa)=E
Поэтому теорема будет доказана, если мы установим, что ряд
в правой части сходится и его сумма обладает указанными в
теореме свойствами.
Установим это. Для v ^ 0
= 2
NV
(9) а (х, е>9) и (х) dx dB,
где © = 2V. В силу наших предположений у = max (б, 1 — р) < 1,
и, подбирая для произвольного заданного k такое М, что
\DxDla(x, e)|<7W(l+|6|)m-plai+e|pl при |о
мы получаем
|D2ea(*,2v8)|<CyW2v(m+v|aI)npH х^К, 1/2<

286 7, Преобразование Фурье
Поэтому теорема 7.7.1 дает оценку
sup|Da4 u
Мы видим, что при A—y)k> N-\- m ряд G.8.4) сходится и
ы->/(р(аы) есть распределение порядка ^k, как и утверждалось.
Удобно записывать /ф(аы) в виде интеграла G.8.3) и тогда,
когда этот интеграл не сходится. Определенное выше продол-
продолжение интеграла G.8.3) будем называть осцилляторным инте-
интегралом. Для распределения ы->-/<р(аы) часто будем использо-
использовать обозначение
$ «to (ж,
Приведем важный пример осцилляторного интеграла:
G.8.5)
е1 <*• »№ = 50(ж) Bя)л.
Чтобы доказать эту формулу, нам надо в соответствии с опре-
определением вычислить оцилляторный интеграл
Если хF) — функция класса С", равная 1 в некоторой окрест-
окрестности нуля, то %('/t)-*-l в Suo при t-*-oo для любого m >¦ 0.
Значит, наш осцилляторный интеграл есть предел при ?->оо
сходящегося двойного интеграла
~ **) u (ж) dx = J ? (- ж) и
x @) =? и @) B
е1 «• е>х (в//) и (ж) dx dB
-> «@) J * (~
Это доказывает формулу G.8.5), которую, таким образом, мож-
можно трактовать как новый способ записи формулы обращения
Фурье. То, что левая часть G.8.5) представляет собой распре-
распределение, сингулярное лишь в нуле, вытекает также из следую-
следующей теоремы:
Теорема 7.8.3. Для распределения /ф а, задаваемого формулой
G.8.3),
в некоторой точке (х, 8) е F} = S.
7.8. Осцилляторный интеграл 287
Ограничение распределения /ф,а на X\S является С°°-функцией
<7.8.6) *-> Jei»«*-ete(je, в) Л,
значение которой при каждом фиксированном х определено как
осцилляторный интеграл.
Доказательство. Из определения множества S следует, что
<р (х, 8) представляет собой фазовую функцию от 0 при каждом
фиксированном х из X\S, а потому осцилляторный интеграл
в правой части G.8.6) определен при таких х. Он является не-
непрерывной функцией от х, ибо, как видно из доказательства су-
существования осцилляторного интеграла, служит локально рав-
равномерным по х пределом С°°-функций
Производная по х от последнего интеграла равна интегралу
J е*"> <*• е> (Ар; (ж, в) а (х, Э) + о? (ж, 9)) % (9/0 «Ю,
который сходится к осцилляторному интегралу, получаемому
дифференцированием G.8.6) под знаком интеграла. Таким об-
образом, функция G.8.6) принадлежит C[(X\S) и ее производ-
производную можно вычислять формальным дифференцированием под
знаком интеграла. Поскольку у'х(х, в)а (х, 9), а'х(х, 9)е S™^1,
это рассуждение можно повторить, и мы заключаем, что пра-
правило G.8.6) задает функцию из C°°(X\S). Эта функция совпа-
совпадает на своей области определения с распределением u-*Iq>(au),
ибо для и е С"(Х \S)
/ф (аи) = lira J u (ж) dx ( J в'ф «*• % (ж, 9) х (8//) do)
Проведенные в этом доказательстве рассуждения показы-
показывают, что, вообще, с осцилляторными интегралами можно обра-
обращаться, как с обычными интегралами, — можно дифференциро-
дифференцировать под знаком интеграла, менять порядок интегрирования
и т. д. Мы не будем здесь рассматривать такое обобщение ин-
интегрального исчисления, предоставив это читателю, а приведем
лишь один пример.
Пример 7.8.4. Задача Коши
G.8.7)
-A? = 0 в
при / =

288 7. Преобразование Фурье
" $ (е1 <с<I^|
имеет решение
Е(/, х) =
В области 111 < 1 этот интеграл абсолютно сходится, а в об-
области Ц|>-1 он определяется как разность двух осциллятор-
ных интегралов с фазовыми функциями <*, ?>±с<|?|. У этих
фазовых функций производная по х нигде не равна 0 в области
Ш> 1, поэтому E(t,x) есть С'-функция от / со значениями в
3b (iR"). Дифференцируя под знаком интеграла и учитывая
G.8.5), получаем G.8.7). В силу теоремы 7.8.3
singsuppЕс: {(*, дс); х±ctll\|| = 0 при некотором ? Ф 0}
Это двойной световой конус. Предоставляем читателю в ка-
качестве упражнения проверить, что 2с2Е — Е+ — ?_, где ?+ и
?_ — опережающее и запаздывающее фундаментальные реше-
решения из теоремы 6.2.3.
7.9. Пространства H{s), L" и гельдеровы
пространства
В теореме 7.1.11 было доказано, что преобразование Фурье ото-
отображает пространство L? на себя. Из теоремы 7.1.13 мы знаем
также, что при 1 ^ р < 2 пространство Lp отображается в Lpf.
Однако образ его существенно меньше, чем Lp/, поскольку, как
показывает теорема 7.6.6, при р' > 2 преобразование Фурье от
V содержит распределения положительного порядка. Завер-
Завершая этот цикл результатов, мы изучим сейчас некоторые про-
пространства распределений, тесно связанные с пространством L2,
ввиду чего удается проследить за их поведением при преобра-
преобразовании Фурье.
Определение 7.9.1. Для всякого вещественного числа s через
#(S>(R") обозначается пространство всех uef, для которых
ueL|, где L\ есть ^-пространство относительно меры A+
|||2)ed|/Bjt)n. В H(S) вводится норма
G.9.1) ||Ц„=
Поскольку L?s <= 9"', преобразование Фурье осуществляет
изоморфизм #(s) на L\. Дадим теперь описание пространства
ЯE), не привлекающее й. Согласно теореме 7.1.11, Я@) = 12, и
очевидно, что с ростом s пространство H(s) сужается. Для на-
начала рассмотрим случай, когда s есть целое положительное
7.9. Пространства ЯE), LP и гельдеровы пространства 289
число k. Разлагая многочлен A + Ц |2)* = A + Щ +
получаем
G.9.2) ||«Ц(%= Z ca\\Daut,
I И |
где са — полиномиальные коэффициенты1). Таким образом, #<&)
представляет собой пространство всех и е L2, для которых
Dau ei! при |а|^ k. (Если заменить здесь L2 на V, то полу-
получатся общие пространства Соболева, обычно обозначаемые че-
через W\.) Далее, пусть 0 < is < 1. Мы утверждаем, что тогда
яO? \ | й A) f A +11 |2S) d%
G.9.3) || и
а также что
G.9.4) Bя
(где As — некоторая положительная постоянная). Отсюда сле-
следует, что H(S) состоит из всех функций, которые принадлежат L2
и для которых правая часть G.9.4) конечна. Ввиду G.9.1) оцен-
оценки G.9.3) равносильны элементарным неравенствам
A + ШУ<1+ИГ<2A+ШУ, 0<s< 1.
(Первое из этих неравенств тривиально, а второе получается,
если поделить обе его части на (l+|||2)s и заметить, что
as^a при O^a^l и 0<s<l.) Докажем G.9.4). В силу
формулы Парсеваля,
\\\u{x)-u{y)\2\x-y\'n-2sdxdy
= Bлу
| е«*. В - 1
|2 \х Г'2е\ й A) |2 dx d%,
поскольку преобразованием Фурье функции у-+и(х-\-у)—и(у)
служит йA)(е1<х-&— 1). Но величина
не зависит от |, так как она, очевидно, является функцией лишь
от ||| и ее значение в точке | совпадает со значением в любой
точке t%, что сразу видно, если заменить х на tx. Тем самым
'' Ясно, что са > 0 для любого мулыииндекса ac |a | ^ k.— Прим. ред.
19 Зак. 821

290 7. Преобразование Фурье
7.9. Пространства H(S),LP и гёльдеровы пространства 291
G.9.3) и G.9.4) доказаны. (Нетрудно показать, что As/{\—s)
имеет конечные пределы при s->-0 и s->-l.) Если 0 < s < 1 и
k — положительное целое число, то так же, как в рассмотрен-
рассмотренном выше случае пространства H(k), устанавливается, что #(s+ft)
состоит из всех и е L2, для которых Dau^ L2 при |сс[ sg: k и
G.9.5) \\t\Dau(x)-Dau(y)\2\x-yr^2sdxdy<oo, |а| = ?.
Норма ||u[|(S+fc) в #(«+*) эквивалентна норме
Dau\\L,+ Y. (\\\Dau{x)-D%{y)\2\x-yr-2sdXdy)U2.
lal=fe
Описав пространства #(s) с s ^ 0, заметим теперь, что &
плотно в L2S, а значит, и в #(s) прн любом s. Отсюда следует,
что для не?' величина
sup | {и, ф) 1/Ц ф ||
sup | Bп)- (й, ф) | / (Bя)-" \ | фA) |2 A +1112)"* d\)m
конечна тогда и только тогда, когда и е #($>, и равна в таком
случае ||ы||E). Таким образом, пространство ЯE) является со-
сопряженным к #(_s>. Тем самым получено описание пространств
Hs с s < 0.
Обозначим через О пространство всех гёльдеровых функций
на R" порядка уе@, 1)> т- е- (см- теорему 4.5.12) пространство
всех непрерывных функций и, таких что для любого компакт-
компактного множества К
sup \и(х) — и(у)\/\х — y|v<oo.
х. уе=К
Будем говорить, что us Cft+v, где k — положительное целое чис-
число, а 0 < у < 1, если иеС'и для всякого компактного множе-
множества К
sup \Dau(x)~Dau(y)\/\x-y\''<oo, \a\ = k.
х, У^К
Рассмотрим подпространство Co+V пространства Ck+y, состоя-
состоящее из функций, принадлежащих C*+v и имеющих компактный
носитель. Такие функции удовлетворяют условию G.9.5) при
s <Су. Таким образом,
G.9.6) Co+Vc#,s) при s<k + y.
Если и е #(_s) nO<s<fe + Y, то
К",
для всех феСо°(/С), где К — произвольное компактное множе-
множество в Rn. На основании очевидного включения Со с: #(fe) мы за-
заключаем также, что
G.9.7) #(_S)
rk
если 0<s<fe
fe — целое.
Теперь выясним связь между преобразованием Фурье L2S про-
пространства H(s) и пространствами V.
Лемма 7.9.2. L$ с L4 тогда и только тогда, когда q = 2, a
s^O или же 1 s^<7<2, a s>n(l/9— 1/2).
Доказательство. В случае # = 2 наше утверждение очевидно.
Ясно также, что L2S с: Lff влечет q < 2, поскольку для # > 2 не
все функции из L2S принадлежат Lfoc. При 1 ^ q < 2 имеем
в силу неравенства Гёльдера
если 2qs/B — q)>n, т. е. если s > n(\/q—1/2). Пусть
s = «A/9—1/2). Рассмотрим функцию v = A +\Ц2)-п/2"Х
(logB -f-1 g|))—°. Она принадлежит L" тогда и только тогда,
когда qa>\, а L| тогда и только тогда, когда 2а > 1. Выби*
рая aG()/2, l/<7), заключаем, что L2S не содержится в ^9.
Теорема 7.9.3. Преобразование Фурье пространства H{s) содер-
содержится в Lq, если 1 <?<2 «s> n(\/q — 1/2). Преобразование
Фурье пространства Lp содержится в #(_s), если 2 < р ^оо и
s>n{\/2-\/p).
Доказательство. Первое утверждение немедленно следует из
леммы 7.9.2. Докажем второе. Пусть иеV. Тогда для <ре^
| <й, ф)) = | (и, ф) |<||и\\LPЦф\\LP,<С|]ф||(s),
как видно из доказательства леммы 7.9.2. Следовательно,
йе=Я(_8),
Комбинируя второе утверждение теоремы 7.9.3 с включением
G.9.7), заключаем, что при р>2 преобразование Фурье про-
пространства Lp содержится в 2)Г1, если ;>пA/2—1/р). (На-
(Напомним, что, согласно теореме 7.6.6, при /<яA/2—\/р) это
уже неверно.) В действительности мы доказали гораздо более
сильное утверждение, потому что левая часть включения G.9.7)
помещается в правой с большим «зазором».
19*

292 7. Преобразование Фурье
Особенно важный частный случай теоремы 7.9.3 — следую-
следующая теорема Бернштейна:
Следствие 7.9.4. Преобразование Фурье пространства H(s) содер-
содержится в L1, если s > п/2, а само H{s) содержится для таких
s в пространстве непрерывных функций на R", стремящихся к О
на бесконечности.
Очевидно, что следствие 7.9.4 представляет собой несколько
усиленный вариант леммы 7.6.3. Поэтому в оценках типа G.6.10)
можно было бы, используя ЯE)-норму, брать любые s > п/2, а
не только целые, как мы делали.
Проведенные выше рассмотрения показывают, что ?р-норму
функции и нельзя выразить удобным образом в терминах ее
преобразования Фурье й. По этой причине для доказательства
непрерывности отображений в пространствах V (отличных от
L2) преобразование Фурье редко оказывается пригодным. Тем
не менее мы получим сейчас некоторые весьма точные оценки,
дополняющие оценки из § 4.5, сочетая использованные там ме-
методы с преобразованием Фурье в L2.
Теорема 7.9.5. Пусть k e 9>' (R"). Предположим, что k e L\oc
и для некоторого целого числа s > я/2
G.9.8)
R>OlK
Тогда для 1 < р < со
G.9.9) l|fc*U||LP<CpHliP, asL^n*".
Кроме того,
G.9.10) тт{х; |fc *ы(*)| >т} <с||ы||?., ые=12П#'
(m — мера Лебега в R").
Доказательство. Выберем функцию ijj е С™ ({i; 11К 2} ), рав-
равную 1 при |||^1. Тогда при 1=5^=0
оо
G.9.11) l = Z(+B"ll)- + B'"/E))-
— оо
Ниже мы воспользуемся этим разбиением единицы для разло-
разложения функции &. Положим
!) Тем самым предполагается, что для |сс| г?Г s сужения распределений
Dak на R™ \ {0} локально принадлежат L2. — Прим. перев.
7.9. Пространства Я,5), V к гёльдеровы пространства 293
Из G.9.8) следует, что (с другой постоянной С)
G.9.12) ? \\DakR(l)\2dl^C.
|al<s
Значит, в силу леммы 7.6.3, sup j >?« | ^ С, а потому \8(Ri) | ^ С'
при |||= 1, откуда вытекает, что
G.9.13) |j5(g)KC
при | Ф 0. Но по предположению k e Lloc, следовательно,
/г е L°°. Поэтому применение формулы Парсеваля дает оценку
G.9.9) для р = 2 с с% = С. Далее, следствие 7.9.4 показывает,
что ?я есть преобразование Фурье некоторой функции kf> e L1,
удовлетворяющей условиям || fc^lL^ С" й kR e С°°. Более точно,
а потому, применяя неравенство Коши — Шварца, мы получаем
G.9.14) J \kR(x)\dx^C2tn/2-s.
Оценки того же вида справедливы и для 1/^r, а значит, и для
DjkR; поэтому
G.9.15) \\k'R(x)\dx^C3,
откуда
G.9.16) \
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать следующий аналог
оценки D.5.16):
G.9.17)
k *
с/*
[ w\dx, если t»sC~G) и J wdx =
Здесь, как и в лемме 4.5.6, / — произвольный куб, а /* — «удвоен-
«удвоенный» куб. При доказательстве оценки G.9.17) можно считать,
что центром куба / служит точка 0, а в качестве нормы в R"
взята тах-норма, так что / определяется условием \x\<Zt, а
/* — условием |л:|<2?. Поскольку преобразованием Фурье от
kR(Rx)Rn будет &R(t/R), из G.9.11) следует, что

294 7. Преобразование Фурье
7.9. Пространства Hlsj, Lp и гёльдеровы пространства 295
(сходимость в 9"). Далее, так как suppler/, то G.9.14) и
G.9.16) дают соответственно
\ Rn\kR{-R)*w\dx^\\w\dx \ \kR(Rx)\d(Rx)
\ !Rn\kR(-R)*w\dx^\\\(kR((x-y)R)-kR(xR))w(y)\Rndxdy
Следовательно, в силу неравенства треугольника,
чем G.9.17) и доказано.
Теперь докажем G.9.10). Для этого разложим и согласно
лемме 4.5.5 с s, замененным на т (ибо буква s у нас уже за-
занята). Все члены разложения D.5.9) принадлежат L2. По-
Поскольку для р = 2 оценка G.9.9) уже установлена, то
т2т {х; | k * v (х) | > т/2} < 41| k * v \fL, <С;|| v \fL,
x || v
\L,.
Положим
дает
m
{x\
L)/*- В силу D.5.13), Tm@)<2"||«flLI, и G.9.17)
\
о
со
Так как \k *ы(л:) | > т, только если |^ * v(х) ] > т/2, или л:еО,
или ^ ф О и ^ I k * Wj (х) | > т/2, оценка слабого типа ]> G.9.10)
доказана.
Оценку G.9.9) достаточно установить для и е Со°- Если уже
известно, что она верна для некоторого р, то она верна и для
сопряженного показателя р', 1/р+ 1/р/ = 1. Действительно,
v@)\ = \ k *v * u
v\\lp\\u\\lp,^C\\v\\lp\\u\\lP'
!) См. лемму 4.5.7. — Прим. перев.
при к, de Co°- Отсюда вытекает, что k*u^.Lp> и G.9.9) спра-
справедливо с р, замененным на р'. Таким образом, можно считать,
что 1 < р <С 2. В этом случае доказательство получается приме-
применением интерполяционного приема Марцинкевича, уже исполь-
использовавшегося в аналогичной ситуации при доказательстве тео-
теоремы 4.5.3. Для т > 0 запишем и = их-\- ?/т, где ыт = и при
|м|<т и Ux = и при \и\~^х. Оба слагаемых принадлежат L2,и
т{х; | k*u(x) | > х}<т{х; | k * их{х) \>х/2}+т{х; \ k*U^(x) | >т/2>
в силу оценок G.9.9) с р = 2 и G.9.10). Следовательно,
= p$ x»-*m{x;\k*u{x)\>T}dx
\u(x)\2xP~3dxdx
|И(Л)|<Т
\u{x)\x"-2dxdx
)
dx,
чем доказательство теоремы и завершено.
Отчасти сходные, но намного более простые рассуждения
позволяют установить соответствующую оценку и для гёльдеро-
вых пространств. А именно, положим для 0 < у < 1
| и |v = sup | и {х) — и (у) |/| х — у |v.
Теорема 7.9.6. Если k удовлетворяет предположениям теоремы
7.9.5 и 0 <у<1, то
G.9.18) | k * и \у <Cv| и \у, ueCov(RB).
Доказательство. Используя разбиение единицы G.9.11), разло-
разложим и в ряд
Е
Мы положили здесь ф(|) = ^A) —1B1), так что фе?1. В яв-
явном виде функция щ дается формулой
и, (х) = J ы (ж - 2~^) Ф («/) d«/ = J (и (ж - 2"^) - и {х)) ф (г/) dy,
поскольку
Следовательно,
G.9.19)

296 7. Преобразование Фурье
а так как
ul(x) = 2i\iu(x-2 iy)dvy{y)dy,
то справедлива также оценка
G.9.20) |и)|г
Выберем функцию X G Co° (R" \ О), равную 1 на supptp. Тогда
Оценка G.9.12) выполняется (равномерно по R) и для функции
?(/?!)х(|). Поэтому эта последняя есть преобразование Фурье
некоторой функции kR e L1, причем L'-нормы функций Iir равно-
равномерно ограничены. При R = 2' имеем
k*uj = RnkR(R-)*uj,
и из G.9.19), G.9.20) вытекает, что
G.9.19)' |A!*«/|<C'2~Y/|U|Y,
G.9.20)' |fe*w
Используя эти оценки (последнюю в сочетании с теоремой о
среднем значении), получаем
\k*u(x)-k*u(y)l^Z\k*u,(x)-k*uI(y)\
<C'|m|vB ? 2-v/ + U-yl ? 2A-
V 2~/<|x-j| 2~i>\x-y\
Доказательство завершено.
Типичным примером применения теорем 7.9.5 и 7.9.6 в тео-
теории дифференциальных уравнений с частными производными
может служить следующий результат.
Теорема 7.9.7. Пусть P(D)—эллиптический дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами в R" порядка пг,
X с R"— открытое множество и ug2)'(X). Тогда для 1<
р < оо если Р(D)и (= Lfoc(Z), то D°hg Lfoc№ «/ш |а| = /п, ы
^ля 0<y<1 ^лы P(Z))ueCY(X), го
| а | = т.
Доказательство. Пусть Е — параметрикс, построенный в теоре-
теореме 7.1.22. Поскольку Ё С°°
7.9. Пространства H(S), Lp и гёльдеровы пространства 297
(в силу G.1.21)), для D&E с |fi|= m выполнены предположения
теорем 7.9.5 и 7.9.6. Пусть У — произвольное относительно ком-
компактное открытое множество в X. Выберем функцию 5CeCo°(Z),
равную 1 на У. Тогда
где fi = %P(D)u^Lp (соотв. Су), а f2 = 0 на У. Следовательно,
%и + со * (%и) =
откуда вытекает, что
У
(DaE)*fi является С°°-функцией
у f у
на У. Но ввиду теоремы 7.9.5 (сойтв. 7.9.6) DaE*fi^Lp (со-
(соотв. Су) при |a| = m, чем доказательство теоремы и завершено.
Заключение теоремы 7.9.7 справедливо, конечно, и при
|а|</п, но комбинация теорем 7.9.7 и 4.5.13 дает в этом слу-
случае значительно лучший результат. Следующая теорема пока-
показывает, что распространить теорему 7.9.7 на исключенный пре-
предельный случай целочисленных у нельзя. Этот результат оправ-
оправдывает сделанное во введении к книге замечание о недостатках
классического понятия решения дифференциального уравнения.
Теорема 7.9.8. Пусть X — открытое множество в Rn, n > 1, и
P(D) — произвольный дифференциальный оператор с постоян-
постоянными коэффициентами порядка m > 0. Существует функция
' такая что P{D)uz=C°0{X).
Доказательство. Можно считать, что OsX Пусть К =
{х; ]х\*?: R}cX — компактный шар с центром в 0. Множество
всех ugCJ1^), для которых Р (D) ы е Со (/С), наделенное
нормой
sup|P(D)u|+ ? sup|d"m|,
|a|<m
представляет собой банахово пространство. Если бы все функ-
функции из этого пространства принадлежали С™, то в силу тео-
теоремы Банаха об обратном операторе мы имели бы
? sup|Z)au|<C(sup|P(D)u|
\=m \
|aT<m
sup
Dauh,
а тогда н для главной части Рт оператора Р выполнялась бы
оценка
G.9.21)
?
|al=m
?
\а\<т
МЬСо

298 7. Преобразование Фурье
Примечания 299
Пусть U e С°°(R") — решение уравнения Pm{D)U = 0. Вы-
Выберем функцию х^СТ(К), такую что х(*)=1 при \x\<ZR/2,
и положим
Как легко проверить,
sup|DeU/|^C2<|a'"m)/ при |a|^m
и supp Pm{D)Uj лежит в шаровом слое R/2 ^ 2i\x\ ^ R, так
что эти носители попарно не пересекаются. Применяя G.9.21)
к и =
ui> получаем
N ? \DaU@)\
Устремляя N к оо, заключаем, что Da?/@) = 0 при |a| = m
для всякой функции U е С°°, удовлетворяющей уравнению
Pm(D)U = 0. Беря U(x) = eiiX-b ^gC", приходим к выводу,
что Рт(%) = 0 влечет ? = 0. Но это невозможно при п > 1, чем
теорема и доказана.
Замечание. Используя в конце доказательства лемму 7.3.7,
можно показать, что для любого данного мультииндекса a
с |<х I =/пнайдется функция ыеС™~' с P(D)aeC§ и Dau^C°Q,
если только Pm(D) не является кратным Da. Отсюда в силу
простых категорных!) соображений следует, что функцию и
можно выбрать так, чтобы Dau\^do для всякого а с \а\= т.
для которого Pm{D) не кратно Da.
Примечания
Изложенные в § 7.1 основные факты, касающиеся преобразо-
преобразования Фурье, восходят к Фурье, в более или менее точной фор-
форме. Однако идея Л. Шварца начинать с всюду плотного про-
пространства функций 91 привела к существенным упрощениям
даже в самих классических основаниях предмета. Определение
преобразования Фурье в 9" по двойственности поглотило целый
ряд более ранних определений, в частности определение Бох-
нера (Bochner [1]), причем сохранилась классическая легкость
вычисления. Если отвлечься от этих моментов и от наведения
строгости благодаря использованию интеграла Лебега, то пер-
первый результат § 7.1, датируемый нашим столетием, — это тео-
теорема 7.1.13, аналог которой для рядов Фурье был получен Юн-
" В смысле Бэоа.— Поин. пеоев.
гом для четных целых р' и Хаусдорфом (Hausdorff [1]) в об-
общем случае. Теорема 7.1.12 и ее приложение к теореме Хаус-
дорфа — Юнга для рядов Фурье, равно как и для интегралов
Фурье, принадлежат М. Риссу (М. Riesz [2]), а приведенное
нами доказательство этой теоремы — Торину (Thorin [1]). Фи-
Фигурирующая в теореме 7.1.13 наилучшая возможная постоянная
найдена Бекнером (Beckner [1]). Преобразование Фурье од-
однородных распределений рассмотрено гораздо подробнее у
Гельфанда и Шилова [2] и Гординга (Girding [4]). Теоре-
Теорема 7.1.24 очень близка к формуле Герглотца — Петровского, как
она дана в статье Atiyah, Bott, Garding [1] (см. § 12.6). Пре-
Преобразования Фурье плотностей на многообразиях в R" часто
появляются в теории рассеяния и будут нам полезны в таком
контексте в гл. 14. Теорема 7.1.26 и последующие результаты
вплоть до следствия 7.1.30 по существу содержатся в работах
Hormander [32] и Agmon, Hormander [1], где можно найти и
ссылки на более раннюю литературу.
Название «теорема Пэли — Винера — Шварца» для теоремы
7.3.1 прочно установилось, хотя, быть может, оно и не совсем
точно. Пэли и Винер (Paley, Wiener [1]) на самом деле получили
частный случай теоремы 7.4.2, относящийся к преобразованиям
Фурье — Лапласа квадратично-интегрируемых функций на по-
полупрямой, а Л. Шварц (Schwartz 15]) установил теоремы 7.4.2
и 7.4.3 в полной общности. Теоремы 7.3.2 и 7.3.6 взяты у Маль-
гранжа (Malgrange 11]). Асгейрссон (Asgeirsson [1]) доказал
теорему 7.3.4 совсем другим путем. Приведенный уточненный
вариант теоремы Асгейрссона принадлежит Леви (Lewy [2]).
Теорема 7.3.8 была впервые сформулирована и доказана в кни-
книге— предшественнице настоящей монографии, но основная идея
идет от Эренпрейса (Ehrenpreis [2]) (см. также Malgrange [1]
и Hormander [14]). Теорема 7.3.10 принадлежит Эренпрейсу
(Ehrenpreis [1]) и Мальгранжу (Malgrange ll]), которые до-
доказали ее, используя соображения двойственности. Попытка
конструктивного доказательства была предпринята еще Коши
(Cauchy [1]); к сожалению, она была связана с использованием
преобразования Фурье от экспоненциально растущих функций,
но этот дефект легко поправим. Для широких классов диффе-
дифференциальных операторов фундаментальные решения были по-
построены уже давно (см., например, Fredholm [I], Herglotz [I],
Zeilon [1]). Общая конструкция, дающая фундаментальное ре-
решение с хорошими свойствами регулярности, была предложена
в книге — предшественнице настоящей монографии. (По поводу
одной более ранней конструкции см. Агранович [1].) Изложен-
Изложенный здесь усовершенствованный вариант конструкции впервые
был опубликован в работе Horniander [29].

300 7. Преобразование Фурье
Примечания 301
С историей подготовительной теоремы Вейерштрасса и кри-
критическими замечаниями Зигеля по поводу современной терми-
терминологии и общих тенденций в математике читатель может озна-
ознакомиться, прочитав его статью Siegel [1]. Ранние доказатель-
доказательства подготовительной теоремы Мальгранжа можно найти в ра-
работах Malgrange [6], Mather [1] и Nirenberg [3]. Данное здесь
доказательство близко к доказательству Мезера (Mather [1]).
Теорема 7.5.13 для аналитического случая принадлежит Честе-
Честеру, Фридману и Урселлу (Chester, Friedman, Ursell [1]) и Ле-
винсону (Levinson [1]). Теория версальных деформаций при-
привела к большим упрощениям в рассуждениях и позволила рас-
распространить теорему на С°°-случай при помощи подготовитель-
подготовительной теоремы Мальгранжа (см. Guillemin, Schaeffer [1], Duister-
maat [1] и указанную там литературу). Мы доказали здесь
в том же духе и ряд более ранних результатов.
Преобразование Фурье гауссовых функций — это, конечно,
классика. В качестве примера мы находим фундаментальное
решение уравнения Колмогорова [1], играющего важную роль
в теории броуновского движения. Оператор G.6.14)—одна из
простейших нормальных форм гиперболических операторов с
двойными характеристиками (см. Hormander [36]). Функцию
Эйри ввел Эйри (Airy [1]) для изучения свойств света вблизи
каустики (см. § 12.2). Данное Стоксом (Stokes [1]) доказатель-
доказательство справедливости асимптотического разложения функции Ai
можно рассматривать как предтечу метода стационарной фазы,
описанного в § 7.7. Этот метод получил большую популярность
у физиков нашего века под именем метода ВКБ в честь Вент-
целя, Крамерса и Бриллюэна :); иногда, трактуемый с несколько
иной аналитической точки зрения, он выступает также под име-
именем метода седловой точки. За систематическим обсуждением
вопроса отсылаем к статье Froman [1]. Для случая нескольких
переменных этот метод впервые появился, по-видимому, у Хлав-
ки (Hlawka [1]), который доказал теоремы 7.7.14, 7.7.16 и след-
следствие 7.7.15. Данное здесь изложение до теоремы 7.7.6 включи-
включительно близко к изложению в работах Hormander [26, 34], хотя
здесь мы обошлись без привлечения леммы Морса. В подхо-
подходящей форме эту лемму можно найти в работе Hormander [26].
Обобщение на комплекснозначные фазовые функции принад-
принадлежит Мелину и Шёстранду (Melin, Sjostrand [1]). Они ис-
использовали теорию почти-аналитического продолжения, пред-
представляющую собой систематическое развитие соображений, при-
примененных здесь при доказательстве теоремы 3.1.15. Ниренберг
(Nirenberg [3]) доказал таким методом подготовительную тео-
теорему Мальгранжа. Поэтому неудивительно, что мы смогли за-
заменить аппарат почти-аналитического продолжения подготови-
подготовительной теоремой Мальгранжа. Однако читателю следует иметь
в виду, что метод Мелина и Шёстранда дает более точные ре-
результаты в отношении числа требуемых производных. Теоре-
Теорема 7.7.18 восходит к Эйри (Airy [1]). Полное ее доказательство
для аналитического случая было дано Честером, Фридманом и
Урселлом (Chester, Friedman, Ursell [1]; см. также Ludwig
[2]). Здесь мы следовали более простому и более общему со-
современному подходу, предложенному Гийемином и Шеффером
(Guillemin, Schaeffer [1]) и Дёйстермаатом (Duistermaat [1]),
которые опирались на прогресс в теории особенностей, достиг-
достигнутый Томом, Арнольдом и другими.
Понятие осцилляторного интеграла в том виде, как оно из-
изложено здесь, было введено в работе Hormander [26]. Далее,
особенно в гл. 25, нам будет удобно иметь в своем распоряже-
распоряжении это эвристически ценное понятие, которое, конечно, широко
используется в прикладной математике без точного определения.
Как уже отмечалось в тексте, пространства #(s) при неот-
неотрицательных целых s — частный случай пространств Соболева
[2]. Для отрицательных целых s они возникают в теории диф-
дифференциальных уравнений с частными производными в связи
с методами двойственности (см., например, Lax [2]) и для по-
полуцелых— в связи с краевыми задачами (см., например, Агоп-
szajn [1]). Эти пространства много обобщались и изучались в
последние десятилетия. Примеры таких более общих пространств
Бесова встретятся нам в гл. 14 и 30, а по поводу общей их
теории отсылаем к Peetre [4]. Теорема 7.9.5 по существу при-
принадлежит Михлину [1], а в данной здесь форме она была
доказана в работе Hormander [13]. Однако у нее есть прото-
прототип— теорема М. Рисса (М. Riesz [3]) о сопряженных функ-
функциях и ее я-мерное обобщение, данное Кальдероном и Зигмун-
Зигмундом (Calderon, Zygmund [1]), доказательству которых мы и
следуем здесь. Читателя, желающего изучить эти вопросы даль-
дальше, отошлем к книге Стейна (Stein [1]). В теории линейных
дифференциальных уравнений, которой посвящена настоящая
книга, у нас в общем почти не будет случая обратиться к тео-
теории пространств V или гёльдеровых пространств.
') В оригинале: (J)WKB method for (Jeffreys), Wentzel, Kramers, Bril-
louin. В отечественной литературе Джеффрис обычно не упоминается. —
Прим. перев.

8
Спектральный анализ
особенностей
Краткое содержание главы
В гл. 7 мы видели, что распределение и с компактным носите-
носителем является гладкой функцией тогда и только тогда, когда его
преобразование Фурье й быстро убывает. Если распределение и
не гладкое, то множество направлений, в которых й не быстро
убывает, может быть использовано для описания высокочастот-
высокочастотных компонент и, из-за которых возникают особенности. Ока-
Оказывается, что соответствующий анализ имеет локальный и ин-
инвариантный характер. Для распределения и^ЭУ (X) на С°°-мно-
гообразии X мы, таким образом, приходим к определению мно-
множества
WF(u)czT*(X)\0,
проекция которого на X совпадает с sing supp и и которое яв-
является коническим относительно умножения на положительные
числа в слоях Т*(Х). По аналогии с классической гюйгенсовой
конструкцией бегущей волны мы называем это множество вол-
волновым фронтом и. В упомянутой конструкции положение волны
и ее ориентированные касательные плоскости предполагаются
известными в начальный момент времени. Тогда в последую-
последующие моменты волна перемещается по нормали со скоростью
света. Следовательно, данные — это в точности лучи в кокаса-
тельном расслоении.
Понятие волнового фронта оказывается полезным во многих
отношениях. Прежде всего оно позволяет распространить на
распределения целый ряд операций. Так, например, сужение
и^.Ф'(Х) на подмногообразие У в X всегда может быть опре-
определено, если нормальное расслоение к У не пересекается с
WF(u). При этом высокочастотные компоненты и остаются вы-
высокочастотными и после сужения на У. Далее, дифференциаль-
дифференциальные операторы и до некоторой степени их фундаментальные
решения допускают локализацию даже на уровне волновых
фронтов. Это приводит при их изучении к значительным упро-
упрощениям. Такой подход называется микролокальным анализом.
Краткое содержание главы 303
В § 8.1 даны основные определения волновых фронтов и при-
приведены некоторые важные примеры. В § 8.2 с новой точки зре-
зрения рассматриваются операции, определенные ранее в гл. 3—4.
Так, наряду с расширением определений композиции и умно-
умножения приводится более точная информация об особенностях
результатов этих операций. В § 8.3 доказываются простейшие
факты, касающиеся волновых фронтов решений дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных, например то, что
волновой фронт содержится в объединении характеристического
множества и волнового фронта правой части. Отметим, что без
понятия волнового фронта удовлетворительно сформулировать
этот результат нельзя, поскольку проекция характеристического
множества (лежащего в Т*(Х)\0) обычно совпадает со всем X.
В случае вещественной главной части и постоянных коэффи-
коэффициентов мы также устанавливаем инвариантность волнового
фронта относительно сдвигов по бихарактеристикам, что для
волнового уравнения совпадает с гюйгенсовой конструкцией,
упомянутой выше, и, таким образом, оправдывает нашу тер-
терминологию.
Можно рассмотреть и более жесткую классификацию осо-
особенностей, например, с помощью множества singsupp^u, со-
состоящего из точек, в которых и не является аналитической функ-
функцией. Последнее также допускает представление с помощью
множества WFa(u)cz. T*(X)\0, определенного в § 8.4 и изу-
изучаемого в § 8.5 и 8.6. В частности, это позволяет точнее сфор-
сформулировать теорему о единственности аналитического продол-
продолжения: если распределение и обращается в нуль по одну сторону
от гиперповерхности У класса С1 и нормаль к У в точке у не
лежит в WFA(u), то и равно нулю в окрестности точки у. Дру-
Другими словами, нормали к С-участкам границы множества
supp и должны лежать в WFa (и) . Это утверждение становится
справедливым во всех точках границы supp и после того, как
в § 8.5 вводится понятие нормали к границе произвольного
замкнутого множества. Это понятие довольно подробно обсу-
обсуждается с геометрической точки зрения для использования его
в дальнейших приложениях. Первое из них появляется уже в
§ 8.6, где даны различные обобщения теоремы Хольмгрена о
единственности продолжения решений дифференциальных урав-
уравнений в Частных производных с аналитическими коэффициен-
коэффициентами.
Наконец, в § 8.7 обсуждаются аналитические волновые
фронты распределений, возникающих как пределы функций
F(x -f- iy)~l, где F аналитична, а у-*-0 в таком конусе, что
нули F встречаются лишь в пределе. Соответствующие резуль-
результаты оказываются полезными при изучении задачи Коши в
гл. 12.

304 8. Спектральный анализ особенностей
8.1. Волновой фронт 305
8.1. Волновой фронт
Если v e &" (R"), то можно выяснить, является ли v элементом
С", исследовав поведение преобразования Фурье v на бесконеч-
бесконечности. Именно, если v e С™ (R"), то по лемме 7.1.3
(8.1.1)
N=1, 2, ....
Наоборот, на основании формулы G.1.4) для обращения пре-
преобразования Фурье из (8.1.1) вытекает, что иеСо° (см. также
теорему 7.3.1). Для произвольного v^S" мы определили
sing supp v как множество точек, не имеющих окрестности, в
которой »еС°° (определение 2.2.3). Аналогично можно ввести
конус 2 (и) всех ц е Rrt\0, не имеющих такой конической
окрестности V, что (8.1.1) выполняется для всех | е V. Ясно,
что 2 (и) есть замкнутый конус в Rrt\0 и что 2(и) = 0 тогда
и только тогда, когда v e Со°-
В то время как sing supp v описывает только расположение
особенностей, конус 2 (v) описывает только направления высо-
высоких частот, из которых эти особенности возникают. Оба эти
описания можно объединить с помощью следующей леммы.
Лемма 8.1.1. Если <f<=C~(Rn) и кеГ(^), то
(8.1.2) 2(фо)с2(о).
Доказательство. Преобразованием Фурье функции и = фи яв-
является свертка
где
Пусть 0 < с < 1. Разобьем область интегрирования на две ча-
части, в которых |т)|<с|1| и |т)|^с|Ц. Во втором случае
11 — 'nl^O + C)!1!!- Получаем
(8.1.3) BяПЛ(Б)|<. sup, |t5(T))|||<i>llL,
\Ц>(Ц)\A
Если Г — открытый конус, в котором верно (8.1.1), a Fi — зам-
замкнутый конус, содержащийся в Г|_1{0}> то с можно выбрать
так, что т] е Г при | е Ti и | g — т) | > с | g |, поскольку это, оче-
очевидно, можно сделать при |||=1. Так как |т)| ^A — с) |?|, то
". Для некоторого М ^ 0 имеем
из (8.1.3) и (8.1.1) вытекает, что й быстро убывает в Гь Дей-
Действительно, для N ^0 имеем
(8.1.3/
г,
Лемма доказана.
Для открытого множества Xc=Rrt, ue2)'(I) и х^Х по-
положим
(8.1.4) 2я(и)=Г
ф
Из леммы 8.1.1 следует, что
(8.1.5) 2(фы)-*2х(ы) при фЕС0"(Д ф(л)^=0
и зиррф-*{д:}.
Действительно, если V — открытый конус, содержащий 2*(ы),
то в силу компактности единичной сферы найдутся функции
ф1; ..., ф;еС"(Х), для которых
ф1 (*)... Ф/(*)=?«= 0, П2(Ф/н)с1/.
Для функции ф s Со° (X), носитель которой настолько близок
к х, что на нем ф! ... ф/ ф 0, имеем ф = 1|зф1 ... ф/, где
<$е=С"(Х). Из (8.1.2) получаем
Это доказывает (8.1.5), поскольку по определению
Их (и) при ф(*)#=0.
В частности, из (8.1.5) следует, что 2*(ы) = 0 тогда и только
тогда, когда ф«еС°° для некоторой (р^Со'(Х) с ц>(х)Ф0, т. е
х ф. sing supp ы.
Определение 8.1.2. Пусть «eS)'(I). Тогда замкнутое подмно-
подмножество в XX(R"\0)> определяемое соотношением
WF(и) = {(*, УеХХ(К"\0); |е2Х(и)},
называется волновым фронтом и. Его проекция на X совпадает
с sing supp и.
Множество WF(u)—коническое в том смысле, что оно ин-
инвариантно относительно умножения второй переменной на по-
положительные числа. Следовательно, его можно рассматривать
как подмножество в XX.Sn~l, где 5"-1 — единичная сфера.
20 Зак. 821

306 8. Спектральный анализ особенностей
8.1. Волновой фронг 307
Предложение 8.1.3. Если ue^"(R"), то проекция WF(u) на
второй сомножитель совпадает с 2(«).
Доказательство. Эта проекция W содержится в Б (и) по опре-
определению WF(u). Она замкнута, так как ее пересечение с еди-
единичной сферой является проекцией компактного подмножества
произведения R" X 5". Если V—коническая окрестность мно-
множества W, то для всякого ieR" найдется такая его окрест-
окрестность Ux, что
2(<ри)с=У при ере Со00 (?/*).
Конечное число окрестностей Ux. покрывает suppu. Найдутся
такие функции ф/^С"(
тогда
исключением конечного числа, обращаются в нуль на Uu если
U\ с: U. Далее,
), что ?ф/=1 вблизи suppu. Но
что заканчивает доказательство.
Предложение 8.1.3 показывает, что WF(u) содержит всю ин-
информацию как о sing suppu, так и о 2(ы). Тем не менее проек-
проекция, фигурирующая в предложении 8.1.3, имеет ограниченный
интерес, поскольку она не инвариантна при замене переменных.
Теорема 8.1.4. Для любых открытого множества XaRn и зам-
замкнутого конического подмножества S c:Xy.(Rn\0) найдется
такое и <= 2)'(Х), что WF{u)=S.
Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать для
X = Rn. Общий случай сводится к этому, если заменить S на
его замыкание в Rn X (R"\0). Выберем последовательность
(^,9*)е5 с |в*| = 1 так, чтобы всякая пара (х, 8)е 5 с
]6]=1 была пределом некоторой ее подпоследовательности.
Пусть феС* и ф @) == 1. Тогда
(8.1.6)
будет непрерывной в Rn функцией и мы докажем, что
WF(u)= S. Сначала покажем, что WF(u)a S. Если (х0, |0)^5,
то можно выбрать открытую окрестность U точки xq и открытую
коническую окрестность V точки |0, такие что
(8.1.7)
(UXV)US=0.
Запишем и в виде и = щ + и2, где щ — сумма членов из (8.1.6)
с Xk ^ U, а ы2 — сумма членов с х& s U. Тогда щ s C°° в окрест-
окрестности Ui точки Хо, так как все члены суммы, задающей и\, за
(8.1.8)
x
Здесь Bft ф. V вследствие (8.1.7). Если V\ — другая коническая
окрестность 10 и F1<=FU{0}, то \\ — т]|$г c(fg| + |ii|) Для не-
некоторой постоянной с > 0, когда ? е V\ и т\ ф. V, поскольку
это верно при |g| + |ri|= 1. Итак,
рткуда вытекает, что й2 быстро убывает в Vi, так как фе^.
Следовательно, (х0, ?0) не принадлежит WF(u).
Пусть теперь (^o,lo)eS. Выберем функцию %еС~, рав-
равную 1 вблизи Хо. Чтобы установить включение (лг0, lo)e WF(«),
достаточно показать, что х« не может быстро убывать в кони-
конической окрестности ?о- Для этого заметим сначала, что
X (*) <p(k(x — хк)) = Ф* (ft (* - xk)),
где (fk(x) = %{x/k + xk)q>(x) принадлежат ограниченному в У
множеству. Преобразование Фурье функции %и есть сумма вида
(8.1.8), в которой ф заменено на ф*. Если Xk близко к хв и k ве-
велико, то фй = ф и для любого N получаем
если кф\.
2, получаем для
если Xk близко к хо. Так как («о, 1о/|1о|) является предельной
точкой последовательности (xkf Q*), то %и не может быстро убы-
убывать в конической окрестности |о и теорема доказана.
Теперь мы опишем волновые фронты для некоторых часто
встречающихся классов распределений.
Теорема 8.1.5. Пусть V — линейное подпространство в R" и и —
«0d5, где uo^C°°(V), a dS — поверхностная евклидова мера.
Тогда
WF (и) = supp и X (Кх \ 0).
20*
Здесь
Поэтому сумма есть O(k~N). Выбирая N > п
больших k

308 8. Спектральный анализ особенностей
Доказательство. Если % е Со", то
Записывая | = g' + ?", где ?' s У, |" е V1, мы видим, что это
выражение есть быстро убывающая функция от |'. За исклю-
исключением случая чи = 0, оно не обращается в нуль ни на каком
открытом множестве. Поэтому на любом конусе, пересекаю-
пересекающемся с V1, оно не является быстро убывающим. Но быстрое
убывание имеет место для всякого конуса, в котором |&|^
С|?'|, что доказывает утверждение теоремы.
Теорему 8.1.5 было бы достаточно доказать лишь для самой
меры dS, поскольку всегда
(8.1.9)
WF(auyczWF(u), если ae=C°°.
Это следует непосредственно из определения. Другой важный
общий факт состоит в том, что для всех а
(8.1.10)
WF (Dau) с WF (и).
Для доказательства возьмем х^Со°> равную 1 вблизи х, и
Xi е С~, равную 1 в окрестности supp х- Тогда
2, (Dau) с 2 (%Dau) = 2 (%D\u) a 2 {D\{u) с 2 (х,и).
При supp xi ->~{x} получаем (8.1.10). Суммируя, найдем:
(8.1.11) WF(Pu)<=WF(u),
если Р — линейный дифференциальный оператор с С°°-коэффи-
циентами.
Займемся теперь граничными значениями аналитических
функций, определенными в соответствии с теоремой 3.1.15. Пусть
Г — открытый выпуклый конус, а
Г° = {?
(8.1.12)
"; (у, ?>>0 для любого
— двойственный конус. Он является замкнутым, выпуклым и
собственным, т. е. не содержит никакой прямой, ибо в против-
противном случае конус Г содержался бы в некоторой гиперплоскости
и не имел бы внутренних точек. Верно и обратное: всякий зам-
замкнутый выпуклый собственный конус Г° является двойственным
ровно для одного открытого выпуклого конуса Г. Последний
определяется соотношением
(8.1.13) r = {j/eR*;(j|,|)>0 для любого ?<=Г°\0}.
8.1. Волновой фронт 309
Доказательство, проводимое с помощью теоремы Хана — Ба-
Банаха, очень близко к доказательству теоремы 4.3.2 и предостав-
предоставляется читателю. Вместо этого будет доказана
Теорема 8.1.6. В предположениях теоремы 3.1.15
(8.1.14) WF(fo)dXX(T°\O),
где конус Г° двойствен к Т.
Доказательство. Представление C.1.20) для </о, Ф> имеет
место с N, замененным на любое целое v ^ N, если ф^СоЧА')
и такая же замена произведена в равенстве C.1.18), опреде-
определяющем функцию Ф. Поэтому
(8.1.15) (ft®-
+ (v+l) \\ f(x+itY)e
При (Y, |) < 0 получаем
(8.1.16) |ф7Л1;
-*(*+«у>в ? d\(x)(iY)a/aUvdxdt.
|a|=v+l
'*Гым\
Правая часть есть O(|||Ar~v-1) в конической окрестности про-
произвольного вектора из полупространства <У, IX 0. Следова-
Следовательно, для любого УеГ с |У|<7 верно включение 2(ф/0)с
{?; <У, |>^0}. Итак, 2(ф/0)<=Г°, что доказывает теорему.
Условия теоремы могут быть ослаблены в нескольких на-
направлениях. В частности^ достаточно предполагать аналитич-
аналитичность / при z е Хх + /Г1 и малы* |Imz|, где Xi<mX и Г\ с:
Г1){0). К /о можно также добавить С°°-член, так как это не
влияет на WF(fo). Тогда верен обратный результат, который
будет доказан в § 8.4. Мы также покажем, что теорема 8.1.6
остается справедливой в случае, когда особенности определяют-
определяются как точки неаналитичности.
В качестве подготовки к обсуждению волновых фронтов од-
однородных распределений мы установим сейчас аналог лем-
леммы 8.1.1.
Лемма 8.1.7. Если v <= 9", то WF(v)<= Rn X F, где F —предель-
—предельный конус для supp v на бесконечности. Он состоит из пределов
последовательностей ife с |,- e-supp v и 0 < tj -> 0.
Доказательство. Конус F, очевидно, замкнут. Для всякого зам-
замкнутого конуса Г с ГП-f ={0} можно выбрать е > 0 и С так,

310 8. Спектральный анализ особенностей
что
если
г, е supp d и
Действительно, иначе найдутся ^-еГ и т\, е supp v, удовле-
удовлетворяющие неравенствам ||; — Л;|<|Ы// и |1/|>Ь а тогда
последовательность т)//|Ы имеет предельную точку BeFflf
с |Э|=1, что невозможно. Для q>eCo°(Rn) преобразование
Фурье от и = фи равно Bл)-"'р,*й. Выберем if (= С (Rn) так,
что 1р(Б)=1 при |?|>1 и г|з(|) = О при \Ц < 1/2. Тогда
Ж# совпадает с ф .A) при |?|$г#, откуда
Г,
"(i+ll\)N
1
u(t) = v^(Q>R(Z-i))) при Ее=Г,
Так как ое/, то для некоторых N, С, С" и \
i? ^ e||| имеем
E
Если выбрать # = е|?|, то правая часть быстро убывает, по-
поскольку фе^1. Это доказывает лемму.
Теорема 8.1.8. Пусть ие®'(К") однородно в R"\0. Тогда
(8.1.17) (х, ?)<= U7F (и) <=>(?, - х) <= I7F (й), если ^Ои^О;
(8.1.18) jc se supp и <=> @, — *)<= IFF (й), если х ф 0;
(8.1.19) ?eEsuppu^@, l)e=WF (и), если ? =#= 0.
Доказательство. Предположим сначала, что и однородно в R".
Для доказательства (8.1.17) достаточно показать, что если
хо Ф 0, go Ф 0, то
(8.1.17)' («о, b>)&WF(u)=>fo, -xo)<?WF(u),
поскольку и также однородно и обратная импликация полу-
получается применением (8.1.17)' к й, так как й = Bя)"й. Выберем
функцию хе Cq (Rn), равную 1 в окрестности |о, и функцию
•ф е Со° (R11)» равную 1 в окрестности хо, с настолько малыми
носителями, что
(8.1.20) (supp* Xsuppх)П l^F(и)=0-
Нам нужно оценить преобразование Фурье функции v = %й в
конической окрестности точки —л:о. Пусть * (х) = 1 при
\х — хо|<2г. Рассмотрим v(—tx) при |л: —хо|<г и боль-
больших t. Если « однородно в R" степени а, то
8.1. Волновой фронт 311
Положим 1|зы = ы0 и A — ip)w = «i. Тогда 2(ио)Л supp х = 0
в соответствии с предложением 8.1.3 и формулой (8.1.20). Сле-
Следовательно,
(«о, t (t( ¦ - к))) = J щ (|) х A/0 ег {х'1) <Щ1п
быстро убывает при t-*~oo, так как tNu0(tQx(?,) ограничено при
любом N. Сверх того,
также быстро убывает вследствие ограниченности семейства
функций
в 9? при любом N. Действительно, \х — лго|< г по предположе-
предположению, а |у — х0| > 2г на suppA — \f) (г/)), откуда t^t\y — x\/r
и |#|^|# — *| + |*о| + Л Поскольку xs^' T0 доказательство
(8.1.17)' закончено.
В общем случае из GЛ.19) и G.1.18) вытекает, что « =
w + Wo -\- Q(D)wi й = w-\-Wo +Q(Qwu где w однородно,
suppt#oc:{O}, w\(x) = \x\-n/cn при хфО, $i(?)=—log|?| и
Q — многочлен. Так как и — w и й—w принадлежат С00 вне
начала координат, то (8.1.17) получается в общем случае.
Чтобы доказать (8.1.18), заметим сначала, что, так как
и = Bл)пй, то из леммы 8.1.7 с и = й вытекает импликация
х цё. supp и =*¦ @,—x)^WF(u). Теперь предположим, что
@, — xq)^WF(u). Выберем х е С™ так, чтобы %@) ^ 1 и пре-
преобразование Фурье от х^ быстро убывало в конической окрест-
окрестности Г точки —xq. Добавление к и члена с носителем в 0 не
сказывается на (8.1.18). Поэтому мы можем считать, что либо и
однородно в Rn порядка а, либо а = —п — k при некотором
целом J^O и выполнено C.2.24). Следовательно, преобразо-
преобразование Фурье распределения х" в точке tx равно
% * й (tx) = (и, х (¦ + tx)) = t" (и, ф( (" + х))
+ log/ Zkca(dax)(tx)/al,
где Фг(х)= tnx(tx) и сумма присутствует лишь для целых k =
—п — а ^ 0. При хеГ левая часть, равно как и сумма, быст-
быстро стремятся к 0 при f->oo. Таким образом,
(и, ф((- -\-х))= й *(ft(x) ->0 в Г при /-*оо.
Так как свертка сходится к Bп)"й в 9"(Rn), то й = 0 в Г. Зна-
Значит, Хо ф. supp и и (8.1.18) доказано.
Если и, а следовательно, и и однородны в R", то (8.1.19)
вытекает из (8.1.18), примененного к й. Если и не однородно.

312 8. Спектральный анализ особенностей
8.1. Волновой фронт
то для некоторого />0 распределение u(t ¦) — tau ненулевое и
имеет носителем 0. Поэтому @, |) лежит в WF(u) для всех
| ф 0 и 1 е supp и, поскольку й = U + V, где U имеет вид
G.1.19) с однородными t/j и Q, Q^O, a V—полином. Дока-
Доказательство закончено.
Наш последний пример касается распределений, определен-
определенных в § 7.8 осцилляторными интегралами.
Теорема 8.1.9. Для распределения
•, Q)dQ,
определенного в теореме 7.8.2, имеем
по 9, получаем
Перед доказательством заметим, что из щ(х, Э) = 0 следует
<р (х, 6) = 0, так как функция ф однородна по 9 степени 1. Пред-
Предполагается, что 1тф^0, откуда Im ф^ (х, 9) = 0. Поэтому
¦Ф^С*. G) в (8.1.21) вещественно.
Доказательство. Пусть tj? e Со* (X). Тогда определение А озна-
означает, что
Х = J jj е1 <*<*¦ »>-**¦ Щ (х) а (х, 9) dx dQ,
где правая часть понимается как осцилляторный интеграл. Мы
хотим показать, что это выражение быстро убывает в произ-
произвольном замкнутом конусе V с R", не пересекающемся с мно-
множеством
{у'х(х, 9); (х, 0)ef, *e
Тогда с некоторой постоянной с > 0 имеем
<8.1.22) |Б-ф;(дс, в)| + |в||ф^(дс, 9)|>с(|Б| + |в|),
если (jc,9)ef, *esuppij>, |sF.
Для доказательства (8.1.22) сначала заметим, что <р'х(х, Э) и
19|фд(я, 9) непрерывны в F и равны 0 при 9=0. Вследствие
однородности достаточно установить (8.1.22) при |g| + |9l=l.
Но из-за компактности нужно лишь показать, что левая часть
никогда не обращается в 0 при (x,9)ef, i'G suppij>, 1 s V.
Если 9=0, то || —ф^(*. 9)|=1. Если же 9 Ф 0, ф^{х, 9) = 0,
то ЪФ<{>'х(х, 9), поскольку l^V, что и доказывает (8.1.22).
Представляя осцилляторный интеграл с помощью использо-
использованного при доказательстве теоремы 7.8.2 разбиения единицы
оо
=Z S S
о
где все слагаемые принадлежат ^. При R = 2V
v =^= 0 могут быть записаны в виде
слагаемые с
(8.1.23)
1 fl)"Wi
xi @) а
Полагая Ф(дг, Q) = (Rtp(x, 9)—<л:, |»/(/? + |Ц) на носителе
ip W Xi F) я (^, #6), при | е V получаем
Верны также оценки
где y ^ max(l — р, б) < 1. Из теоремы 7.7.1 вытекает, что
(8.1.23) при больших k оценивается через
Так как ?2'~v = 2, то отсюда следует, что %-<4A) быстро убы-
убывает в V. Это заканчивает доказательство теоремы.
Теорема 8.1.5 является весьма частным случаем теоре-
теоремы 8.1.9. Действительно, пусть М есть С°°-многообразие в Rn,
определяемое вблизи точки х0 равенствами
Ф,(дг)= ... =Vk(x) = 0,
причем с?фь ..., dqik линейно независимы в точке х0. Если
а е Со° (R") имеет носитель вблизи хо, то распределение
k
в силу G.8.5) равно
где б есть б-«функция» в 0 на R*. Такой вид имеет произволь-
произвольная гладкая плотность на М с носителем вблизи лг0. Теоре-
Теорема 8.1.9 показывает теперь, что
WF(A)cz {(х, Ф; (х, 9)); сру (х) =. О, / = 1, .. ., k, x e= supp a}.
Справа стоит конормальное расслоение к Л1 над supp а (в § 8.2
мы увидим, что на самом деле вместо включения здесь равен-

314 8. Спектральный анализ особенностей
8.2. Обзор операций над распределениями 315
ство). Мы предоставляем читателю в качестве упражнения при-
применить теорему 8.1.9 к распределениям примера 7.8.4. Теоре-
Теорема 8.1.9 оказывается одним из основных результатов, приводя-
приводящих к лагранжевым распределениям (см. гл. 25).
8.2. Обзор операций над распределениями
Из-за особенностей невозможно в общем случае определить для
распределений умножение и композицию с отображениями. Мы
сейчас покажем, что определения обеих операций могут быть
обобщены, если принять во внимание более подробное описание
особенностей, даваемое волновыми фронтами. Как и в § 6.1, мы
всегда будем определять такие операции посредством продол-
продолжения по непрерывности с гладкого случая. Таким образом,
первое, что следует обсудить, — это топология на пространстве
распределений с заданным условием на волновой фронт.
Пусть X— открытое множество в Rn, Г — замкнутый конус
в XX(R"\0). Положим
3D'T (X) =
)' (X); WF (и) с Г}.
Лемма 8.2.1. Распределение кей)'(Х) принадлежит 2D'T(X)
тогда и только тогда, когда для всякой у^Со'(Х) и произволь-
произвольного замкнутого конуса V с: R", такого что
справедливы оценки
<(8.2.2)
Доказательство. Из (8.2.2) следует, что (х,%)$? WF(u), если
"ф(л:)=7^0 и % лежит во внутренности V. Поэтому условие доста-
достаточно. С другой стороны, если и e®J,(I) h^g 2(фы), то в со-
соответствии с предложением 8.1.3 и соотношением (8.1.9)
(х, |)еГ для некоторого х е= supp q>, откуда ^F в силу
(8.2.1), что и доказывает оценку (8.2.2).
Определение 8.2.2. Относительно последовательности uj ge 3)'Г (X)
и распределения «e2)j(j[) условимся говорить, что ut~*u
в 2>'Г(Х), если
(i) и,-* и в 3>'{Х) (слабо),
для любых N==\, 2 ере Со" СЮ и замкнутого конуса V
bR", для которых имеет место (8.2.1).
Так как из (i) вытекает, что еры/ -> еры равномерно на вся-
всяком компакте, и N в (ii) произвольно, то мы можем заменить
условие (ii) на
(ii)' supsup|?Hq^(?)|<oo, N=l, 2
Следующая теорема обобщает теорему 4.1.5.
Теорема 8.2.3. Для любого и ge 3)'г (X) существует такая по-
последовательность Uj еСГ(А"), что U/^-u в З)'г(Х).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.1.5, рассмот-
рассмотрим щ = (xju) * f /, где
a) %j^C™(X) и для любого компакта К с: X имеем х/= 1
на К при большом /,
b) 0<[fje= C~(Rn), \<P)dx—l и suppf/ настолько мал,
что имеет место D.1.4).
Тогда мы уже знаем, что uf^C™(X) и Uj-*u в З)'(Х).
Если ф и V удовлетворяют (8.2.1), то можно выбрать функцию
¦ф ge Co" (Z), равную 1 в окрестности supp ф, и замкнутый конус
W, внутренность которого содержит V\0, таким образом, что
Для больших / имеем ф«/ =
где W] = ф/ *(
, откуда
(ii)
sup 11И фи"(|) — фи/ (I) [ -> 0 при /->оо
Так как \tyu\ быстро убывает в W, то доказательство лем-
леммы 8.1.1 дает (ii)' (см. (8.1.3)'), и теорема доказана.
Теорема 8.2.4. Пусть X и Y — открытые подмножества в Rm и R"
соответственно и f: X -*¦ Y есть С°°-отображение. Введем мно-
множество нормалей к f:
N? = Ш(х), 4)^YXR"; 'Г(х)ц = о}.
Тогда обратный образ f*u может быть единственным способом
определен для всех и е= 3)' (Y), для которых
(8.2.3) Nf(]WF(u)=0,
так, что f*u — и о f при и ge C°° и для произвольного замкнутого
конического подмножества Г с: У X(Rrt\0), для которого ГП
Nf = 0, мы получаем непрерывное отображение /*: 2D'T (У) ->¦
3>'ГГ(Х), где
(8.2.4) /Т - {(х, Г (х) л); (/ (х), л) е Г}.

316 8. Спектральный анализ особенностей
8.2. Обзор операций над распределениями 317
В частности, для любого u<=2)'(Y), удовлетворяющего (8.2.3),
WF(fu)(=fWF(u).
Доказательство. Для и <= C°°{Y) положим f*u = u°f. По тео-
теореме 8.2.3 достаточно доказать, что /* переводит последователь-
последовательности uj e С°°, сходящиеся в 3>'Г (Y), в последовательности,
сходящиеся в 2>'ftJ,(X). Докажем сначала просто сходимость в
Ж)'{Х). С помощью формулы обращения преобразования Фурье,
примененной к и, при иеСГ(К) и %^С™(Х) получаем
(8.2.5)
(Ги, г) = Bп)-п J и (л) 1% (л) dx\,
'4> dx.
Пусть хо<=Х, yo = f(xo), ТУо = {ц; (у0, л)^П- Выберем:
a) такую замкнутую коническую окрестность V множества
IV чго TWi#0- 4^V;
b) такую компактную окрестность Уо точки у0, что V яв-
является окрестностью Гу для всех у s Уо; такая окрестность
существует, так как конус Г замкнут;
c) такую компактную окрестность Хо точки х0, что f(X0)
содержится во внутренности Уо и '/'(дс)т| =^= 0 при хё!0 и
Выберем функцию феС^(К0). равную 1 на f(X0). Тогда
если %^С™(Х0), то равенство (8.2.5) верно после замены про-
произвольной функции u^C°°(Y) на еры в его правой части. По-
Поскольку cKf(x),i\>=<dx, 7'(*)Л> и
И Т)ЕУ,
N=1,2,....
я для некоторого М (ср. с доказательством теоремы 2.1.8)
из теоремы 7.7.1 следует, что
<8.2.6) /x(
Если ut e C°° (Y) и ^ -»• и в 3>'т (Г), то
Поэтому применение теоремы Лебега о мажорированной схо-
сходимости в V и в CV дает
и, следовательно, /*ы,- сходятся в 3)' к пределу, не зависящему
от выбранной последовательности (см. замечание после теоре-
теоремы 2.2.4). Обозначим этот предел через f*u.
Для доказательства непрерывности отображения /*: &)'Т(Х)-*-
->^„Г(Х) положим %f*uj = vj. Тогда после замены х на%е~1<шЛ>
из (8.2.5) получаем
J (Л, Б) dr\,
Пусть W — открытая коническая окрестность множества
'/' (х0) ТУо = (/T)v Можно считать, что F и Хо выбраны выше
так, что
ff (x) т)еГ, если х<=Х0 и i\^V.
При таком выборе для некоторого е > 0 имеем
17;(*)Ч-Б1>е(Ш + |т11) при *еХ0> чеУ и Б^И7,
так как левая часть не обращается в нуль при ||| + |t]|=l.
Поэтому для любого N теорема 7.7.1 дает
(8.2.6)' |/я(л, 5)|<С,A+1Б1+ 1Л1Г" при 1&W и tieF.
Если i)<? V, то мы воспользуемся другим очевидным след-
следствием теоремы 7.7.1:
(8.2.6)" |/х(л, Ш<С„A+|л1)"A + 1иГ"-
Объединяя предыдущие оценки, получаем при 1ф.ЧР:
cv
Поскольку (puj удовлетворяют условию (И)' (сформулирован-
(сформулированному после определения 8.2.2) в CV, то
sup sup |i |wIЗсГ"/(Ш < °°> ЛГ= I, 2, ...,
/ ЪФЧ?
где W — некоторая коническая окрестность множества (fT)*0.
a supp х достаточно близок к х0. С помощью разбиения единицы
получаем теперь, что fu^fu в Щ*т, и доказательство завер-
завершено.
Если X есть С°°-многообразие и и^2)'(Х), то мы можем
определить WF(u)cz Г(Х)\0 так, чтобы его сужение на

318 8. Спектральный анализ особенностей
8.2. Обзор операций над распределениями 319
координатную окрестность Хж было равно к* WF (и °х,-1). Действи-
Действительно, если f — диффеоморфизм двух открытых подмножеств
Rn, то из теоремы 8.2.4 следует, что WF(f*v) есть обратный об-
образ множества WF(v), рассматриваемого как подмножество ко-
касательного расслоения. Поэтому предыдущее определение не
зависит от выбора локальных координат. Ясно, что WF{u) —
замкнутое подмножество в Т*(Х)\0, которое является кони-
коническим в том смысле, что его пересечение с векторным простран-
пространством Т'х(X) есть конус для всех igIB самом деле, эти свой-
свойства локальны и наследуются при переходе от координатных
окрестностей.
Если Е— векторное расслоение класса С°° над X и ые
2)'(Х,Е), то определим WF(u) локально как \]WF(ui), где
(«1, ..., иы) —компоненты и относительно некоторой локальной
тривиализации Е. Переход к другой тривиализации означает
лишь умножение («ь ..., иы) на обратимую С°°-матрицу, и по-
поэтому определение не зависит от выбора локальной тривиали-
тривиализации.
Пример 8.2.5. Если и есть С°°-плотность на некотором С*°-под-
многообразии У многообразия X, то
WF (и) = {(х, I) <= Г (X); х е supp и,1Ф0 и (Тх (У), 1} = 0}.
Действительно, при подходящем выборе координат это просто
теорема 8.1.5 Таким образом, волновой фронт представляет со-
собой сужение на supp и нормального расслоения
. #(У) = {(у, ?); yeY, (Ty(Y), ?> = 0}
с удаленным нулевым сечением.
Пример 8.2.6. Для распределения (А ± Ю)<2-п>/2 в F.2.1) имеем
(8.2.7) WF {(А ± i0f~n)l2) = {(x, t dA (*)); х Ф 0,
Д(х) = 0, ±*>0}1Ш\0.
Действительно, поскольку, в силу теоремы 8.1.6,
WF((t ± iO)a)cz {@, т); ±т > 0}, из теоремы 8.2.4 вытекает, что
левая часть содержится в правой при х Ф 0, а при х = 0 это
тривиально. Так как
где сфО, то из (8.1.11) и равенства WFF0) = Tq\0 (верного
по теореме 8.1.5) следует, что левая часть (8.2.7) содержит
rj\O. Далее, распределение (Д ± Ю) B~л)/2 не принадлежит
к С00 ни в какой точке х ф 0, в которой А (х) = 0, что доказы-
доказывает наличие равенства в (8.2.7). Если вспомнить, каким обра-
образом в доказательстве теоремы 6.2.1 распределение х± записы-
записывалось в виде линейной комбинации распределений (t±i0)a
при а ф. Z+, то в R"\0 получим
(8.2.8) WF (Л*х(|-")/2) = Цх, tdA(x)); A(x) = 0, х Ф 0, /^=0}.
В начале координат этот волновой фронт в силу замкнутости
содержит множество
(8.2.9) {@, dA (*)); А (х) = 0, х Ф 0} = {@, ?); ? Ф 0, В (I) = 0},
а при нечетных n+{nJ) аргументы, приведенные выше, показы-
показывают, что он содержит Го \ 0. При четных п+(п_) из теоре-
теоремы 8.3.1 будет следовать, что волновой фронт в 0 совпадает
с множеством (8.2.9). Из приведенных соображений сразу вы-
вытекает, что волновой фронт опережающего фундаментального
решения волнового оператора есть объединение нормального
расслоения к переднему световому конусу без нуля и множе-
множества Го \ 0.
В гл. 6 мы не могли взять обратный образ распределения
на многообразии меньшей размерности. Однако теорема 8.2.4
позволяет иногда сделать это, что мы видим в следующем част-
частном случае:
Следствие 8.2.7. Пусть Y — подмногообразие в X с нормальным
расслоением N(Y). Если и — распределение на X и WF{u){\
N{Y) = 0, то сужение и\г корректно определено как обратный
образ при вложении Y<=~X.
Пример 8.2.8. Пусть Z — другое подмногообразие в X, и — плот-
плотность класса С°° на Z. Тогда WF(u)a N(Z), a N(Z)f\N(Y) со-
содержится в нулевом сечении в том и только том случае, когда из
x^.Z[\Y и ортогональности |еП к TX(Z) и TX(Y) следует
|=0, т. е. когда TX(Z)+TX(Y)=TX(X), что означает транс-
трансверсальность пересечения Z с У. В этом случае сужение и на У
определено и является С°°-плотностью на Y {]Z. Действительно,
локальные координаты можно выбрать так, что ^ = Rn, У имеет
вид х' = 0, Z имеет вид х" = 0, где х' — первые п' координат,
х" — следующие п" координат, х'" — координаты в Z[\Y и
х = (х',х",х'"). Тогда и = а{хг,х"')ХЬ{х") и и есть предел
а(х', x'")X<p(*7e)e~rt" в S>n{Z){X) при в->0, если ?eC"(Rn")
и \ ф (*") rf*" = 1 • Сужением на У является функция
а@, х'")ф{хг)г~п", стремящаяся в 3)'(Y) при е->0 к плот-
плотности а@, х'")8(х") на пересечении Z[\Y, рассматриваемом
как подмногообразие в У.
Теперь мы в состоянии определить произведение некоторых
пар распределений, имеющих особенности в одних и тех же

320 8. Спектральный анализ особенностей
8.2. Обзор операций над распределениями 321
точках. Для этого сначала заметим, что если и и v — функции
на X, то произведение u(x)v(x) есть сужение тензорного про-
произведения u(x)v(y), определенного при (х,у)^ХХХ, на диа-
диагональ. Поэтому займемся сначала тензорным произведением.
Теорема 8.2.9. Если и е= 3>'{Х), v <=3)r{Y), то
(8.2.10) WF (и ® v) с (WF (и) X WF (v)) [] ((supp и X {0}) X WF (о))
Доказательство. Если u^&"'(Rm), we^'fR"), то преобразова-
преобразование Фурье от «®у есть й(?)а(г|). Ясно, что при и=фО, а=#=0
2 (U ® и) с: B (и) X 2 (у)) U ({0} X 2 (у)) U B (и) X {0}).
Для доказательства (8.2.10) нужно лишь применить это соот-
соотношение к фы и гри, где ф, if e Сю и носители ф и if сосредото-
сосредоточены вблизи х и у соответственно.
Теорема 8.2.10. Если и, v^3>r(X), то произведение uv можно
определить как обратный образ тензорного произведения и ® v
относительно диагонального отображения 6: Х-+ХХ.Х, если
не существует такого (х, I) ^ Т* (Х)\0, что (x,Q^WF(u),
(х, — ?)е= WF(v). При этом
(8.2.11) WF (uv) с {(х, ? + л); (х, |) е= WF (и)
или % = 0, (х, 4)(=WF(v) или л = 0}.
Доказательство. Для диагонального отображения б (х) = (х, х)
из X в X X -^ имеем
6'(х)/ = (/, 0. где t^Tx(X),
'(|, л) = I + Ч, где |, tiefiЦ).
Поэтому данная теорема есть непосредственное следствие тео-
теорем 8.2.4, 8.2.9.
Пример 8.2.11. Если и и v — плотность класса С°° на трансвер-
сальных подмногообразиях Y и Z в X, то uv есть С°°-плотность
на У П Z. Действительно, и ® v является С°°-плотностью на под-
подмногообразии YX.Z, трансверсальном диагонали в XX Х- По-
Поэтому утверждение вытекает из примера 8.2.8.
Так как обратный образ был определен непрерывным про-
продолжением композиции функций, то ясно, что приведенное опре-
определение умножения распределений расширяет операцию умно-
умножения распределений и гладких функций из гл. 2. По той же
причине все стандартные правила вычислений сохраняются для
расширенных операций, определенных выше. Восполнить оче-
очевидные детали мы предоставляем читателю.
В заключение обсудим свойства WFCFu), где Ж — линейное
преобразование из С™ (Y) ъ 2>' (X). Для простоты формулировок
ограничимся открытыми подмножествами X и Y евклидовых
пространств.
Теорема 8.2.12. Пусть XcRn, Y<=. Rn — открытые множества и
Ke^'(^XJ'). Через Ж обозначим соответствующее линейное
преобразование из С" (У) в 2Ь' (X). Тогда при и^С7 (Y)
WF{Wu) с {(х, |); (х, у, |, 0)>= WF (К) для некоторого у е= supp и}.
; выберем такое %^С™{Х), что
Доказательство. Пусть
%(хо)=и и положим
Преобразование Фурье от %Жи есть Ri(%, 0). Предложение 8.1.3
дает
|, л); (х, у, I, i\)(=WF(K) для некоторых
2 (К,)
Поэтому
Ъ(хЖи)<=:{1; (х, у, |, 0)(=WF(K) для некоторых
х <= suppx,js supp и).
При supp х -+{хо} получаем утверждение теоремы.
Это доказательство показывает, что Ж непрерывно отобра-
отображает Со°(Л1) в 2>rW» если М — компакт в У и
Г = {(х, |); (х, у, I, 0) е= WF (К) Для некоторого у «= Af}.
Для объединения всех таких множеств будем пользоваться
обозначением
= i(x, 1У, (х, у, t 0)s WF(K) для некоторого уеГ}.
Это множество, конечно, не обязано быть замкнутым. Если оно
пусто, то Ж непрерывно отображает Со°(У) в С°°(Х).
Первая часть следующей теоремы по существу двойственна
теореме 8.2.12.
Теорема 8.2.13. Существует единственный способ определения
Ж2)'(Х) для всех u<=&'(Y), таких что WF(u)f\
d
WFr (Kh = {(У, Л); (х, y,0,—i\)^WF (К) для некоторого х е X),
при котором отображение <?'(М)[\$)'Т зи-+Жи^ЗУ(Х) непре-
непрерывно для любого компакта М с У и любого замкнутого конуса
21 Зак. 821

322 8. Спектральный анализ особенностей
8.2. Обзор операций над распределениями 323
Г, не пересекающегося с WFr(K)r. При этом
(8.2.12) WF (Жи) <= WF (К)х U WF' (К) ° WF (и),
еде
WF'(K) = {(x, у, g, г,); (х, у, g, -r\)<=WF(K)}
рассматривается как отношение, переводящее подмножества
Т* (У)\0 в подмножества Т* {Х)\0.
Доказательство. Пусть t|> е Со° (У) равна 1 в окрестности ком-
компакта М. Если носитель функции и е Со° содержится в этой
окрестности, то
где ядро Ж и. равно
Если ией)'(У), то из теоремы 8.2.9 находим
WF(l ® «) = {(*, У, 0, ц); (у, 4)<=WF(u)}.
Произведение Ки определено, таким образом, для всех и е 2Ь'Т (У),
если Г и WF'(K)y не пересекаются. Теорема 8.2.10 также дает
WF (Ки) с {(х, у, h г, + Ч'); (У. Л) е WF (и) и
(х, у, g, r,') s W (/С)} U WF (К) U W A ® и).
Ясно, что отображение ^ э и->•/С„ е й/(^ X У) непрерывно.
Равенство J?u =J^uij), следовательно, дает непрерывное продол-
продолжение Ж на все и е ^ с носителями вблизи М. Единствен-
Единственность такого продолжения вытекает из теоремы 8.2.3. Пользуясь
теоремой 8.2.12, получаем
WF (Жи) с= {(а;, |); (х, у, g, - r\) e Ff (iC)
для некоторого (г/, т])е= fl^F (ы)} (J IFF (K)x>
что доказывает (8.2.12).
Пусть теперь X с R", У с= Rm, Z c= IRp — открытые множества,
К\*вЗ)'(ХХУ), Ki<=3)'(YXZ)- Предположим, что проекция
(8.2.13) supp К2 э (г/, г) -> 2
собственная, т. е. прообраз всякого компакта есть компакт. От-
Отсюда следует, что если и е С?° (Z), то J^2U e ^" (I') и по теореме
8.2.12
то композиция Ж\°Жг определена как непрерывное отображе-
отображение С™(Z)->Ф'(X). Поэтому оно имеет ядро Шварца /(е
?>'(XXZ). Если Ki и /С2 — гладкие, то
К(х, г)=
, У)К2(У, z)dy.
В общем случае ядро К также получается с помощью обрат-
обратного образа тензорного произведения Ki ® Кг^З>'(ХХ YX
У X Z) относительно отображения (х, у, z)-*-(x, у, у, z). Множе-
Множество нормалей к нему есть (х, у, у, г; 0, rj>—Ч>0), и благодаря
(8.2.14) обратный образ определен. Наконец, его нужно проин-
проинтегрировать по у в У, что дает К, а если воспользоваться теоре-
теоремой 8.2.12, то и оценку для WF(К). Это приводит к следующей
теореме, опущенные и повторяющиеся детали доказательства ко-
которой читатель без труда восстановит.
Теорема 8.2.14. Если справедливо (8.2.14) и проекция (8.2.13)
собственная, то композиция yt\°Xi определена и для ядра К
имеем
{0})
Если мы предположим, что
(8.2.14)
WF'(K)
Для иллюстрации предыдущих результатов рассмотрим опе-
оператор свертки с распределением k^?D'(Rn). Его ядро — рас-
распределение К, получаемое из k переходом к обратному образу
относительно отображения
Теорема 8.2.4 дает
WF (К) с= {(х, у, h -1); (х - у, g) e= WF (*)}.
Для произвольной постоянной с имеем k = f*cK, где fe (x) =
(х + с, с), откуда *Ус(х)(%, ч) = ?- Также по теореме 8.2.4
WF (k) c= {(х, I); (х + с, с, g, - g) e WF (К)},
Итак, в действительности имеет место равенство
(8.2.15) WF(K) = {(x, у, h -|); (х-у, g)e WF(k)}.
Так как обе частотные компоненты обращаются в нуль одно-
одновременно, то свертка с k отображает С~ в С°° и имеет непре-
непрерывное продолжение до отображения <§' -+2Е)'. Более того,
(8.2.16) WF (k * и) с= {(* + У, 1У, (х, I) e WF (k) и
(y,t)t=WF(u)}, и ей".
21*

324 8. Спектральный анализ особенностей
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 325
Это значительное усиление теоремы 4.2.5 (прямое доказатель-
доказательство этого включения легко получается из теоремы 4.2.5 и того
очевидного факта, что 2(&*ц) содержится в 2(&)|"|2(и) при
к, и <=»').
8.3. Волновые фронты решений уравнений
в частных производных
Дифференциальный оператор порядка т с С°°-коэффициентами
имеет в открытом множестве X с R" вид
(8.3.1)
= P{x,D)=
|
aa(x)Da
Его главный символ (или главная часть) Рт определяется ра-
равенством
8.3.2) Рт(х, |)= Е аа(хIа.
|a|=m
Отметим, что это определение отличается от данного в § 6.4 на
множитель im. В соответствии с F.4.6)' имеем
(8.3.2)'
Рт(х, dq>)= lira Гте-"9Реш.
t
Если X есть С°°-многообразие, то дифференциальный оператор
порядка т на X — это по определению оператор, имеющий вид
(8.3.1) в локальных координатах. Из (8.3.2)' следует, что глав-
главный символ инвариантно определен на кокасательном расслое-
расслоении. Мы сейчас докажем ослабленное обратное к включению
(8.1.11).
Теорема 8.3.1. Если Р — дифференциальный оператор порядка
m с С™-коэффициентами на многообразии X, то
(8.3.3) WF (u)aCharPUWF(Pu), и<=Ф'{Х),
где характеристическое множество Char P определяется как
8.3.4) Char Р = {(х, |) е Г (X) \ О, Pm (x, g) = 0}.
Следствие 8.3.2. Если Р эллиптичен, т. е. Рт (х, |) ф 0 на
Г(Х)\0,то
WF(u) = WF(Pu), ие=2У(Х).
Следовательно,
sing supp и = sing supp Pu, u^.2Dr (X).
Доказательство теоремы 8.3.1. Результат сформулирован для
многообразия, но является чисто локальным, так что в доказа-
доказательстве можно считать, что ZczR". Если Рт (х0, Ы Ф 0, то
можно выбрать окрестность UczX точки хо и открытый конус
V э |0 так, что для некоторого С
(8.3.5) Шт<С|Рт(л:, |)| при xe=U и |еУ.
Ниже на U и V будут наложены дополнительные условия. Вы-
Выберем фиксированную функцию феС"(У), ф(*о)= 1- Для оцен-
оценки фы(|) при |е V заметим сначала, что если
т. е. *Р — формально транспонированный к Р оператор, то
Pu = f означает, что
Хотелось бы выбрать v так, чтобы левая часть превратилась
в фы(|), или, иными словами,
При больших | приближенным решением будет e~i<x>®/Pm(x, |).
Улучшим его, положив
Уравнение для v примет вид
w — Rw = Ф.
Здесь /? = /?!+ ... -\-Rm и /?/|?|7 — дифференциальный опера-
оператор порядка ^/ с коэффициентами, однородными по | степени
0. Член из R степени однородности —/ получается, если пг — /
дифференцирований действуют на экспоненту е"'<ж>5>. Тогда не
более / оставшихся будут действовать на ш. Ввиду (8.3.5) лю-
любые производные по х коэффициентов Я/Щ' ограничены в
Ц X V. Формально уравнению w — /?ш = ф удовлетворяет
w= E -^*Ф- Но сходимость этого ряда сомнительна, и мы огра-
ничимся конечной суммой
*>'н=ЬЕ /г*Ф-
Тогда
wN — RwN = Ф — RN(f,
где R1* — сумма членов, каждый из которых содержит множи-
множитель |||~* с k 23s N. Это уравнение означает, что
*Р (х, D) («-'«*• bwH (x)/Pm (х, I)) = е~1 «•»(Ф - Я"Ф).

326 8. Спектральный анализ особенностей
Поэтому
(8.3.6) щA) = и (е-' <•• Щ»ч) + /(*-'<•• *>wN/Pm
Если распределение и имеет порядок ц вблизи supp ф, то пер-
первое слагаемое в правой части (8.3.6) оценивается через
Т
I6I>1.
Мы можем здесь сделать N— ц, произвольно большим. Если
(х0, Ъ)ф WF(f), то в силу (8.1.3)' окрестность U точки х0 и ко-
конус Уэ|0 можно выбрать так, что для некоторого целого М
при любом k = 1, 2, ...
Взяв ф = Wn/Рщ(•, I), видим, что второе слагаемое в правой
части (8.3.6) есть О(|||-*) при |->-оо в V. Поэтому
^ = О(Ш~*), lev, *=1, 2
Это доказывает теорему 8.3.1.
Теорема 8.3.1 позволяет завершить доказательство того, что
волновой фронт распределения Л*х|~п)/2 (из теоремы 6.2.1) в
точке 0 при четном п+ (л_) выражается формулой* (8.2.9). Как
мы знаем, (8.2.9) оценивает его снизу, а так как?(?>) Л*х(|~п)/2=0
при четном п+ (п~), то (8.2.9) оценивает его и сверху.
В обозначениях теоремы 6.2.1 заметим, что
== б,
Е± =
(8.2.7)
при подходящем выборе с+, с— Записывая в
или x — Bt)~lBl, получаем
(8.3.7) WF (Е±) = №' (|), I); ± / > О, I Ф О, В (I) = 0} U П \ 0.
Разность Е+ — ?_ удовлетворяет уравнению B(D)(E+ — ?_) = 0
WF (Е+ - Я_) = №' (
= 0}.
Действительно, это следует из (8.3.7) при хфО, поскольку оба
члена имеют непересекающиеся волновые фронты, а в точке 0
применимы те же соображения, что и выше для %(|~п)/2. Сдви-
Сдвигом получаем решение уравнения B(D)u = Q с WF(u),.содер-
WF(u),.содержащим произвольную точку из Char В. Однако не любое под-
подмножество из Char В может быть волновым фронтом решения.
Для доказательства рассмотрим pejgT'fK") и положим
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 327
B(D)v—g. Тогда
и (8.2.16), (8.3.7) дают +
WF (v) с WF (g) U {(х + tV ®, I);
(х, I) e
Используя Е- вместо Е+, получаем аналогичное включение
с t < 0. Если
то .6(|) = 0 по теореме 8.3.1, и предыдущее включение показы-
показывает, что найдутся такие t- и t+, /_<0<^+, что {х—t+B'(?,),
|)е WF(g). Отсюда получается
ТеЪрема 8.3.3. Пусть В — вещественная невырожденная квадра-
квадратичная форма в R", X —открытое множество в R" ииеО'(Х) —
решение уравнения B(D)u = f. Если {x,%)<=WF(u)\WF(f), то
B(ZH
где I — такой отрезок прямой, проходящей через точку х в на-
направлении В'A), что /Х{?} не пересекает WF(f).
Таким образом, особенности и частоты | распространяются
в X, не меняя частоты в направлении 5'(|), пока они не встре-
встретят особенности /.
Доказательство. fi(g) = 0 по теореме 8.3.1. Выберем <р<=С|Г(Х)
так, что ф(д;)= 1, ?П$иррфс:/, где L — прямая, содержащая /,
Тогда v = ф« <= &' и
В (D) v = фВ (D) и + w = ф/ + w,
где supp w a supp с?ф. Поскольку
а х ш) п wf (в (D) v)=а х а» п wf <»),
то из предваряющих теорему рассуждений следует существова-
существование таких точек г± е L, лежащих по обе стороны от х, что
<z±, |)e fl7f(a(). Поэтому
Lf| supp
(z±, I)
u).
Для произвольных у+ и г/_, лежащих во внутренности / по раз-
разные стороны от х, можно выбрать ф так, чтобы L П supp dq> было
как угодно близко к {у+, у-}. Тогда (#±, |)е WF{u), что доказы-
доказывает теорему.
Чуть ниже будет доказана справедливость теоремы 8.3.3 для
значительно более общих дифференциальных операторов

328 8. Спектральный анализ особенностей
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 320
с постоянными коэффициентами, хотя тогда в нашем распоряже-
распоряжении не будет столь явных фундаментальных решений. Но сначала
приведем пример решения волнового уравнения в !R4, демон-
демонстрирующий, что теорема 8.3.3 исчерпывает все условия, кото-
которым должен удовлетворять.№^(«) при B(D)u = 0.
Пример 8.3.4. Для произвольного у с |z/|=l существует реше-
решение и e^)'(iR4) волнового уравнения
для которого
WF (и) = {(/, cty; sc, - sy); * e R, s =? 0}.
Для построения и изменим обозначения, положив Е+, Е- рав-
равными опережающему и запаздывающему фундаментальным ре-
решениям (см. § 6.2). Они пропорциональны 6(с2/2—\х\2) при
±t > 0, и, следовательно, для решения Ео = Е+ — ?_ уравнения
??о = 0 на основании примера 8.2.5, теоремы 8.2.4 и тео-
теоремы 8.3.1
WF{E0) с {(/, ctx; sc, — sx); t «= R, s e= R \ 0, x e= R3, | x | = 1}.
Рассмотрим положительную Со°-плотность / на прямой L, про-
проходящей через 0 в направлении A,су), и положим u — Ea*f.
Пример 8.2.5 дает
WF (f) с= {((, cty; т,
R, т + с {у, |) = 0}.
Касательная плоскость %-\-с(у, |>=0 характеристического
конуса т2 — с2|||2 = 0 пересекает сам конус лишь в точках, в
которых вектор (т, |) пропорционален (с,—у). Поэтому (8.2.16)
дает
(8.3.8) WF(и) <= {(*, cty; sc, - sy); /eR,s#0}.
По D.2.2) имеем {(t,x); ct = (x, у}} f\ supp и с= L. Если t на-
настолько велико, что u-=f*E+ в окрестности точки (t, cty)^ L,
то из F.2.7) вытекает, что масса меры и для множества точек,
отстоящих от (t, cty) не более чем на б, оценивается снизу че-
через Сб2 для некоторого С > 0. Поэтому (t, cty)^ singsuppu.
Так как и вещественно, волновой фронт симметричен относи-
относительно начала координат по частотной переменной. Итак, в
(8.3.8) имеет место равенство, поскольку потеря одной точки
влечет по теореме 8.3.3 пустоту левой части.
С помощью другой свертки можно легко построить решение
с «половиной» волнового фронта решения, построенного выше.
Мы предоставляем это читателю, так как общий результат по-
подобного рода будет доказан ниже (теорема 8.3.8).
Распространим теперь теорему 8.3.3 на общие дифференци-
дифференциальные операторы с постоянными вещественными коэффициен-
коэффициентами и невырожденным характеристическим множеством.
Определение 8.3.5. Дифференциальный оператор P(D) с постоян-
постоянными коэффициентами в R" называется оператором веществен-
вещественного главного типа, если его главный символ Рт веществен и
при |eRn\0.
(8.3.9) Р'т(Ъ)Ф
Так как из Р'т(%) = 0 следует, что mPm{Q = (P'm(l), i) = 0,
то достаточно предполагать, что (8.3.9) имеет место при
По теореме 7.1.23 преобразование Фурье использованного
в доказательстве теоремы 8.3.3 фундаментального решения Е±
оператора B(D) есть E(i)=F i'0)~'. В соответствии с лем-
леммой 6.2.2 последнее является пределом B(g + fcf(I))" при
e->-=FO, если а —векторное поле и <В'(|), а(|)>>0. Мы вос-
воспользуемся этим как мотивировкой для построения фундамен-
фундаментального решения в общем случае, но присутствие младших чле-
членов заставит нас выйти на конечное расстояние в комплексную
область. С оператором Р вещественного главного типа свяжем
векторное поле
Оно однородно по | степени 0. В следующей лемме дается оцен-
оценка снизу для Р в направлении ц>(|) из точки |.
Лемма 8.3.6. Существуют такие положительные постоянные t,
СиС2и С3, что
(8.3.10) lm P(l + iiv
>C1(l+|g|)"-'+<P;F), V)-C2(\V\+l)\V\(\Z\+\V\)m-*
при |<=Rn, |||ЗгСз, FeR».
Доказательство. Формула Тейлора дает
Im Р (| + Uv (I) + IV) > {P'm {%), to (I) + V)
-c(t+\v\f(m+t+\v\)m-2-c(\t\+t+\v\)m-1.
В силу (8.3.9) существует такое с > 0, что
Фиксируя t так, что tc>C, получим (8.3.10) при У = 0. Оче-
Очевидная оценка содержащих V членов приводит к (8.3.10) в об-
общем случае.

830 8. Спектральный анализ особенностей
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 331
Теорема 8.3.7. Если P(D) — оператор вещественного главного
типа, то существуют такие E±^0'(Rn) и ©+e C°°(Rn), что
(E
(8.3.11) WF (E±)cz{(iP'm{l),iy,±t>0, Рт{Ъ) = О,
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
т>п-\-\, так как если Е± обладают сформулированными
свойствами для AkP(D), то AkE± обладают ими для P(D) (здесь
А — оператор Лапласа). Замена Р на —Р меняет Е+ и ?_ ро-
ролями, так что достаточно построить ?_. Руководствуясь рассмот-
рассмотренным выше случаем операторов второго порядка, обозначим
через Г цепь
(8.3.12) RB3g-*g + «ti(g), |
где С3 и t взяты из леммы 8.3.6. Замечая, что, в силу (8.3.10),
Ci(I + |Re?|)n+1 на Г, положим
(8.3.13) Е_ (х) = Bя)-п J е1 <*• »//> (?) а%х А ... л d?n, x e Rn.
г
В терминах параметров |i |„ на Г в явном виде имеем
)n -.., Б„)-*1 на оо,
так что интеграл (8.3.13) локально абсолютно и равномерно
сходится. Если феС™ и ф = Р(— D)<р, то
_, ф> = (Е_, о|з> = Bя)-в
Л ...
Проинтегрируем сначала по л: и используем равенство ij>(—^) =
Р(^)ф(—?). Для любой аналитической функции F дифферен-
дифференциальная форма F(t,)dt,i л • • • Adt,n замкнута, так как dF — ли-
линейная комбинация аХи ..., й%п. Поэтому ф(—?)c?Si Л ••• /\dt,n —
замкнутая дифференциальная форма, быстро убывающая на
бесконечности, и по формуле Стокса
(Р (D)?¦_, Ф> = Bл)-" J ф (- О d?i Л ... л а%п
г
= Bя)-" J ф (- Б) rfg - Bя)-
Rn Г
Здесь Го есть цепь
Л ... Л
где vo — гладкое продолжение v с ||| = С3 на |||^С3, делаю-
делающее Г U Го гомотопным R". Следовательно, P(D)E- — h-\- ©-,
где, так как Го — компакт,
<»_ (х) = — Bя)"п \
Л ... Л
— целая аналитическая функция. Теорема 8.3.1 показывает, что
РтA) = 0, если (jc,g)e WF(E-) ид;^0.
Для завершения доказательства нужно еще проверить, что
(xo,lio)&WF(E-), если х0 ф R_P'm (i0). Последнее в точности
означает, что найдется вектор 7eR", |У|=1, для которого
(8.8.14) (xo,V)>O, <P
Выбирая для go коническую окрестность W так, что с некото-
некоторым с > 0
1
из (8.3.10) при
получаем
если 0<s<er||| и ||| достаточно велико. Заменяя V на
получаем
(8.3.15) lm P (l + itv
Выберем такую однородную степени 0 функцию
с носителем в №, что O^x^l ИХ^1 в конической окрестно
сти Wo вектора go. Если (х, V} > 0, что верно в некоторой ок
рестности точки хо, то по формуле Стокса находим
(8.3.13)' Е_(х) = Bя)-п
где Г' — цепь вида
а Гд — объединение части Г, на которой С3 < 111< С'3, и цепи
{(i, s); т = С'у 0<s<C'3}->t
с подходящими ориентациями. При (х, Y) > 0 вклад в (8.3.13)'
части с ? е Гд или с Re S S IF0 — аналитическая по л; функция.
Если же Л1 — измеримое коническое множество, содержащееся

332 8. Спектральный анализ особенностей
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 333
в замкнутом собственном выпуклом конусе G, то волновой
фронт функции
Л ... Л а%п,, (х,
О,
содержится в множестве {(х, g); <*, V> > О, |eG}. Это следует
из теоремы 8.1.6. Действительно, заменяя х на z = x-\-iy, при
ограниченном \х\, (х, V} > 0 и при г/ из внутренности двой-
двойственного к G конуса, мы получаем ограниченную аналитиче-
аналитическую функцию, так как
Мы можем покрыть CW0 конечным числом таких конусов G,
не содержащих |0- Поэтому (л:0, |о)^ WF (E-). Доказательство
закончено.
Повторение доказательства теоремы 8.3.3 показывает, что
верна
Теорема 8.3.3'. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа. Если ueS>'(X), P(Z))u = f и (x,t)e=WF(u)\WF(f), то
Р(|) 0
где IaX — такой прямолинейный отрезок, проходящий через х
в направлении Р^,{|), что /Х{|} tie пересекает WF{f).
В заключение дадим обобщение примера 8.3.4.
Теорема 8.3.8. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа, O^geR" и Рт(|) = 0. Тогда найдется такая функция
«sCm(R"), что P(D)u«=C°°(Rn) и
8.3.16)
R, s > 0}.
Доказательство. Положим L = RP'm (?), и пусть #" — множество
всех ue=Cm(Rn), для которых Рн е= С°° (Rn), u<=C°°(CL) и
WF (и) с R" X (R+S). Поскольку для uef
и (по теореме 8.3.3') и е С°°, если включение строгое, то тео-
теорема утверждает, что найдется функция ие^, не принадлежа-
принадлежащая С°°. Множество У является пространством Фреше с полу-
полунормами:
@ sup|Deu|, |a|<m, К — компакт в R";
(п) sup|Daa|, a произвольно, К — компакт в CL;
к
(Hi) sup(DaP(D)u\, а произвольно, К — компакт в R";
к
(iv) sup|4Hqw(T])|, N=\, 2 ф
Здесь Гц — последовательность конических окрестностей точки
I в R", стягивающихся к R+|. Достаточно ограничиться счетным
числом компактов К и функций <р, так как полунорма (iv) с не-
некоторым ф оценивается через соответствующую полунорму, в ко-
которой ф заменено на функцию о|з, равную 1 на эиррф (см. дока-
доказательство леммы 8.1.1). Доказательство полноты мы предо-
предоставляем читателю в качестве упражнения. Если У с Cm+i, то
по теореме о замкнутом графике вложение ^~<=*.Cm+1 непрерыв-
непрерывно. Поэтому найдутся такие N, ф е С~ (Rn), Ki Ш R" и /Сг ^ CL,
что
(8.3.17) ? |Da«@)|<C( Z sup|Da«|+ У, sup\Dau\
|a|-m+l l|-o|<m Ki |аТ<ЛГ Кг
| + p
CTN
Чтобы показать ошибочность (8.3.17), нужно построить при-
приближенное решение уравнения Ри = 0, сконцентрированное
вблизи L и, следовательо, вне Кг. Чтобы сделать малым послед-
последнее слагаемое, нужно еще, чтобы преобразование Фурье от и
было сконцентрировано вблизи |. Поэтому естественно положить
для / > 0
Тогда
P{D)ut (ж) = е" <*-
где точками обозначены члены, содержащие отрицательные сте-
степени переменной t, и P'j? = д/^. Формальное решение
о* = »о + *
-1.

334 8. Спектральный анализ особенностей
можно найти, решая уравнение первого порядка
(8.3.18)
Lvo=
а затем последовательно цепочку уравнений
(8.3.19) Lv, = f,,
где fi выражаются через vo, .... »/-ь Носителем v0 будет ци-
цилиндр с направляющей, параллельной Р'т(%)- Можно выбрать
функцию vo с t>o(O)= 1 и с носителем вблизи L, задавая для нее
подходящие значения на ортогональной к Р„A) плоскости 2.
Если следующие функции Vj удовлетворяют граничному усло-
условию Vj = 0 на 2, то ясно, что supp Vj c= supp vo, j Ф 0. Для
км
лервая сумма в правой части (8.3.17) есть O(tm); вторая сумма
равна нулю при подходящем выборе р0; третья сумма есть
O(tm-l-M+N), а последний член быстро убывает при t-*-oo, так
как
и t + М^ C\i\ — tl\ при ti<^IV Левая же часть (8.3.17) ра-
растет как tm+l, поскольку g Ф 0. Взяв М = N, приходим к проти-
противоречию, что и завершает доказательство.
Предыдущим рассмотрениям можно, конечно, придать более
конструктивную форму, суммируя сильно лакунарную последо-
последовательность функций ш, как это делалось в доказательстве тео-
теоремы 8.1.4. Однако расшифровывая рассуждения, связанные с
использованием теоремы о замкнутом графике, мы бы затуше-
затушевали идею доказательства. В гл. 10 будет доказано, что уравне-
уравнение Р(D)v = f имеет решение уеС°°(Rn) для любой функции
/eC°°Rn). Если взять f = P(D)u и заменить и на и — v, то
получится решение однородного уравнения P(D)u = 0, удов-
удовлетворяющее (8.3.16).
То обстоятельство, что мы ограничились рассмотрением опе-
операторов вещественного главного типа с постоянными коэффи-
коэффициентами, не означает, что результаты типа теорем 8.3.3' и 8.3.8
не верны в случае переменных коэффициентов. Мы вернемся к
ним в гл. 26 после введения подходящих технических средств.
8.4. Волновой фронт относительно С& 335
8.4. Волновой фронт относительно CL
Пусть Lk — возрастающая последовательность положительных
чисел, такая что Lo = 1 и
(8 4 П k<LLu /.. ,<CCLu
с некоторой постоянной С. Если X a R" — открытое множество,
то через CL(X) обозначим множество всех функций ue C°° (X),
таких что для любого компакта К сг X при некоторой постоян-
постоянной С к выполнены оценки
(8.4.2) |Яви(*)|<Сх(ада|)|в|, хШК,
где а — произвольный мультииндекс. (Обозначение CL, исполь-
используемое начиная с этого места, несколько отличается от стандарт-
стандартного, употреблявшегося в § 1.3.) При Lk = k-\-\ это означает,
что CL{X) есть множество вещественно аналитических в X функ-
функций. Класс CL с Lk =(k -f-1)", а > 1, называют классом Жеврея
порядка о. Он весьма часто встречается в теории уравнений с
частными производными.
Предложение 8.4.1. CL(X)—кольцо, замкнутое относительно
дифференцирования. Если f: У-vZ — аналитическое отображе-
отображение открытого множества Y cz Rm в открытое множество X с= R",
то композиция с f определяет отображение f: CL(X)-*-CL(Y).
Доказательство. Так как Lk возрастают, то по правилу Лейбница
если и и v удовлетворяют (8.4.2). Итак, CL — кольцо. Из нера-
неравенства
@.1.0) (Lj+i) S^.yULj) ^; С Lift
являющегося следствием второй из оценок (8.4.1), вытекает, что
CL замкнуто относительно дифференцирования. Для доказа-
доказательства последней части утверждения заметим, что производ-
производные от f*u порядка k в точке у совпадают с такими же произ-
производными функции
(Dau)(f(y))(if(z)~if(y))%\
при z = y. Правая часть аналитична по г при у ^ К и таких
комплексных г, что \у — z\ < г, где г > 0 достаточно мало. По-
Поэтому ее можно оценить через
|aT<ft

336 8. Спектральный анализ особенностей
8.4. Волновой фронт относительно CL 337
Но L!f/]\^.L^/k\ по первой из оценок (8.4.1), и сумма оцени-
оценивается через
CL\\k\ ? (nCC'rI < 2CLkk/k\,
если г eg: \/BпСС). Из неравенств Коши заключаем, что
при
| = *. у<=К,
и тем самым завершаем доказательство.
Предложение 8.4.1 показывает, что класс CL(X) может быть
посредством локальных координат определен на вещественном
аналитическом многообразии X. (Это означает, что отображе-
отображения F.3.1) атласа многообразия X вещественно аналитичны.)
Для произвольного распределения u^S)'(X) мы определим
sing suppjr. и как наименьшее замкнутое подмножество в X, в до-
дополнении которого и принадлежит CL. (Когда Cl — класс ве-
вещественно аналитических функций, будем пользоваться обозна-
обозначением sing эиррл и.) Цель настоящего параграфа — показать,
как осуществить спектральный анализ этого множества парал-
параллельно § 8.1 и 8.2. Новая трудность возникает, когда
оо
(8.4.4) Е1/^ = °°.
1
поскольку тогда класс CL квазианалитичен по теореме Дан-
жуа — Карлемана (теорема 1.3.8), и поэтому срезающие функ-
функции нельзя выбирать в CL. (Умножение на С°°-функции, не ле-
лежащие в CL, может, конечно, увеличить sing supp*. и.) Однако
эту трудность можно обойти, пользуясь теоремой 1.4.2 для вы-
выбора пробных функций с подходящими ограничениями на про-
производные до определенного порядка. Это приводит к следую-
следующему описанию singsuppL в терминах преобразования Фурье:
Предложение 8.4.2. Пусть xo^XczRn и и^Ф'(Х). Тогда м <=
CL в окрестности хо в том и только том случае, когда для неко-
некоторой окрестности U точки хо найдется ограниченная последо-
последовательность распределений ин е<8"'{X), равных и в U и удовле-
удовлетворяющих оценкам
(8.4.5) \uN{l)\<C{CLNl\l\Y, N=l,2,...,
с некоторой постоянной С.
Доказательство, а) Необходимость. Пусть u^CL при \х — л:0|
< Зг. Выберем такую функцию xN е С", чтох^=1 при \х — лго|
у
\х —
где Ci не зависит от N. Это возможно по теореме 1.4.2 с 4 =
r/2N при k^N. Учитывая, что N^Ln и /,|<х|^?лг при |а|
^ N, из (8.4.2) и (8.4.6) для un = %nU получаем
\
Поэтому
|6Xffi)l<Ca"+ILJJ, \a\=N,
и так как |||< n1/2max||/|, то (8.4.5) доказано.
Ь) Достаточность. В 0 при Л^ = |а| +
(8.4.7) Dau{x) = Bn)-
имеем
поскольку |айлг(|) интегрируемо в силу (8.4.5). Ограниченность
un в &' влечет по теореме Банаха — Штейнгауза неравенства
(8.4.6)
где С и М не зависят от Af (см. доказательство теоремы 2.1.8).
Используем их для оценки подынтегрального выражения в
(8.4.7) при |||</,лг, а при \l\> Ln воспользуемся оценкой
^8.4.5). В U получаем
\Dau(x)\^C3(C3L]a\+n+l)[a]+n+M,
и повторное применение (8.4.3) показывает, что ue CL(U).
Предложение 8.4.2 подсказывает следующее
Определение 8.4.3. Для Zc=Rn и и^?Е>'(Х) обозначим через
WFl(u) дополнение в X~X(Rn\0) к множеству точек (хо, |о),
для которых существуют окрестность U точки xq, коническая
окрестность Г вектора |о и ограниченная последовательность
распределений Un^<?'(X), равных и в U и удовлетворяющих
(8.4.5) при | е Г. Если CL — класс аналитических функций, бу-
будем пользоваться обозначением WFA{u).
По определению WFL(u) — замкнутое подмножество в XX
(Rn\0). Следующая лемма показывает, что «лг всегда могут
быть выбраны в виде произведения и и подходящих срезающих
функций, получаемых регуляризацией соответствующих функ-
функций из предложения 8.4.2.
Лемма 8.4.4. Пусть и^З)'(Х), К — компактное подмножество
в X и F— замкнутый конус в R", причем WFL(u)f\(ICXF) = 0.
Если %N e Со° (К) и для всех а
(8.4.6)' |Da+hN|<Са(CaLjр', | р |<N = 1, 2, ...,
а и имеет порядок М в окрестности К, то %nu ограничены в со-
совокупности в Sm и
(8.4.5)' | ?5
22 Зак. 821

338 8. Спектральный анализ особенностей
8.4. Волновой фронт относительно CL 339
Доказательство. Ограниченность %лг« очевидна, так как %ы огра-
ограничены в Со°. Пусть Хо^К, |о^^\{О}, a U, Г, «лг выбраны
в соответствии с определением 8.4.3. Если supp %N cr U, то хлги =
улгылг. По предположению, для к» в Г выполнено (8.4.5) и
1 uN (|) К С A +1 ё |)м для некоторых С, М ^ 0. Из (8.4.6)' по-
получаем
I %n (л) I <CN+l (LN/( | г] | + LX A +1 4 I )"""!"M.
Если воспользоваться (8.1.3)' с v—Un и Ф=х# и заменить i7
на замкнутую коническую окрестность точки go, содержащуюся
во внутренности Г вне нуля, то получается оценка (8.4.5)'. Так
как F можно покрыть конечным числом таких окрестностей, то
справедливость (8.4.5)' установлена при условии supp%ArC=?/
и достаточной малости окрестности U точки xq. Покрое;М К та-
такими окрестностями U,-, /=1, ..., /. Выберем %N, t ^ С™ (U ])
так, чтобы ? Xw, /= 1 в К н для %н, / выполнялось (8.4.6)'. Для
этого достаточно регуляризовать разбиение единицы посред-
посредством функции $n, выбираемой в соответствии с теоремой 1.4.2
так, что для нее выполняется (8.4.6). Если Xn^C^(K) удовле-
удовлетворяет (8.4.6)', то ясно, что это неравенство с другими постоян-
постоянными будет удовлетворяться и для %N, }%N. Так как ? Хлл /Хлг
= Xn> to доказательство закончено.
Из леммы 8.4.4 и предложения 8.4.2 легко получается
Теорема 8.4.5. Для ие25'A) проекция WFL{u) на X равна
sing suppjL и.
Доказательство, а) Если иеСд в окрестности хо, то, по пред-
предложению 8.4.2, (х0, Iq)^WFl(u) при любом |0^Rn\{0}.
b) Предположим, что {хо, |о)Ф WFL(u) для любого |0^R\
{0}. Тогда существует такая компактная окрестность К точки Хо,
что WFL(u)i](KX.Rn) = 0. По лемме 8.4.4 найдется последова-
последовательность функций %s e С™ {К)> равных 1 в окрестности U точки
Хо, для которых xNu удовлетворяют (8.4.5) и ограничены в <$".
В силу предложения 8.4.2, Хо ф sing suppL«.
Условие (8.4.6)' выполнено для произвольной фиксированной
функции из CL с носителем в К. Поэтому если класс CL не
квазианалитичен, то можно упростить определение 8.4.3, потре-
потребовав существования фиксированного распределения v, совпа-
совпадающего с и в окрестности х0, преобразование Фурье которого
удовлетворяет (8.4.5) в конической окрестности точки go-' По-
Последнее аналогично определению 8.1.2, откуда получается
Теорема 8.4.6. Для всех и uL имеем WF (и) с: WFL (и) с= WF А (и).
Более того, если L'^L", то WFLn(u)czWFLr{u).
Условие (8.4.6)' остается справедливым, если умножить все
%н на одну и ту же функцию из CL(X). Поэтому верна
Теорема 8.4.7. WFL(au)c=: WFL(u), если at=CL{X) и и<=2>'{Х).
Ясно, что
WFL{dufdx,)czWFL{u),
поскольку из оценки (8.4.5) с учетом (8.4.3) следует, что
I &Лг+1 (I) К С | ё | (CLN+,/| || )"+1 < С (C'LN/\ g | )"•
Комбинируя этот результат с теоремой 8.4.7, получаем
WFL(P(x,D)u)czWFL{u)
для и^З)'(Х) и дифференциального оператора
P(x,D)= ? aa(x)Da
|a|<m
с коэффициентами из CL(X).
Теперь мы можем продолжить изучение WFl(u) совершенно
аналогично § 8.1 и 8.3. Однако, чтобы избежать утомительных
повторений, мы используем иной подход, имеющий то преиму-
преимущество, что он применим также для изучения гиперфункций в
гл. 9. Первым шагом будет усиление теоремы 8.1.6.
Теорема 8.4.8. В условиях теоремы 3.1.15
(8.4.8) WFA{fo)<=XX(T°\{O}),
где Г° — конус, двойственный к Г.
Доказательство. Пусть Хх Ш Хо <^ X — открытые множества.
Пользуясь теоремой 1.4.2, выберем последовательность (pve
е С~ (Хо) так, чтобы <pv = 1 на Xi и
Как и в C.1.18), положим
Ф*(*. У)=
Ввиду (8.1.15) для фиксированного УеГс
фЗь(ё) = J Фч (*. Y)f(x + iY) е-' w. 6> dx
При
имеем
и | F |, =
|a|=v+l
получим
-H
V (x) (iY)a!a\ < C? (v + 1TIY
22*

v+1
340 8. Спектральный анализ особенностей
откуда
laFv+1
где C2 = 2eCilyli. Оценка (8.1.16) заменяется, таким образом, на
I ft) F) I < Сз+1 (elY-в + (v - N)\ <- Y, if""^), (Y, |> < 0.
Положим /v = (fif+v-ifo- При (Y, |> <—с||| для фиксирован-
фиксированного с с некоторой постоянной С± получаем
(8.4.9) lfv(i)l<Cr'v!|irv,
поскольку е-°№ ^ v!(c|||)-v.
Заметим, что fo^?t>'N+i по теореме 3.1.15. Если последова-
последовательность <pv выбрана ограниченной в Co+l, то /v ограничены
в §""+1 Итак, установлено, что
8.4. Волновой фронт относительно CL 341
а так как вектор У из Г произволен, то теорема доказана.
Теперь мы покажем, что всякому распределению «e?
можно сопоставить аналитическую в выпуклой трубе
(евклидова норма) функцию U так, что
8.4.10) и= J U{+i(u)d<o.
Полезность такого разложения становится понятной, если за-
заметить, что для граничных значений ?/(• +»©)== Нт ?/(• +ira>)
гл 1
по теореме 8.4.8 имеем
WFA {U (• + ив)) <= Rn X R_®.
Поэтому, чтобы выяснить, принадлежит ли {х, —о) к WFa(u),
достаточно рассмотреть поведение U вблизи x+ia.
Предполагая, что U хорошо ведет себя на бесконечности,
обозначим через 0A, у) преобразование Фурье U(x+iy) по х.
Уравнения Коши — Римана дают
ifi + dOldy^O, /=1, .... п.
Следовательно, t/(i, у) = Uo (|) е-<». 5>, и (8.4.10) приводит к усло-
условию fl(E) = /(g)t/0F),
(8.4.11) /(!
|0)Г=1
При п = 1 имеем /(|)=2ch|. Если же п>1, то /(?) =
(8.4.11/
-1
где Сл-1 — площадь сферы 5"~2. С точностью до множителя это
есть функция Бесселя /(п-гугО'р), лоделенная на р<п-2>/2, и ее
асимптотика хорошо известна. Для удобства читателя мы даем
прямое доказательство того, что нам нужно.
Лемма 8.4.9. /0 — четная аналитическая в 1С] функция, и для
всякого е > 0
(8.4.12) /0(р)==Bя)(п-1)/2ерр-("-1)/2A + ОA/р))
при р -> то, | arg р | < я/2 — е.
Существует такая постоянная С, что для всех р е ,С-
(8.4.12)' |A)/2|К1
Доказательство. Так как /0(р) = /о(р), то при доказательстве
(8.4.12) и (8.4.12)' можно считать, что 0 < argp < я/2. Для
доказательства J.8A. 12) выполним интегрирование между —1 и
1 в (8.4.11)' вдоль двух катетов прямоугольного треугольника
с гипотенузой (—1,1) и условием (t—1)р<0 на катете, вы-
выходящем из 1. Записав 1 — Р = {\ — t) A +*), взяв s = A —2)р
в качестве переменной интегрирования на этом катете и заме-
замети», что 1 + t = 2 — s/p, получим
(р)Р(
(п-1)/2
= *_, f Bsf ~3)/2e~sds + О A/р),
о
откуда с учетом C.4.2) следует (8.4.12). Если вместо этого мы
проинтегрируем по лучам (+1 — ?)р < 0, то получим (8.4.12).
Введем теперь функцию К, соответствующую разложению
и = 6:
(8.4.13) К{г) = Bп)-п^е1^->1П1)й%, z<=Q.
Из (8.4.12) немедленно вытекает, что интеграл сходится и опре-
определяет аналитическую в Q функцию.
Лемма 8.4.10. Функция K{z) аналитична в связном открытом
множестве
Q = {z6=C"; <z, z) <?{— 00, -1]}=3Q.
Для любого замкнутого конуса Г cz Q>, для которого <г, г> не
может быть ^0 ни при каких z e Г\ {0}, найдется такая

342 8. Спектральный анализ особенностей
8.4. Волновой фронт относительно О 343
постоянная с > О, что K(z) = O(e-cw) при г->оовГ. Для веще-
вещественных х и у
(8.4.14) \K{x + iy)\^K(iy) = (n-l)H2n)-n(l-\y\yn
ЖA 4-0A —! г/1)), \у\/1.
Доказательство. Вводя полярные координаты, получим K(z) —
Ko((z, z>1/2), где Ко— четная аналитическая функция
Осталось проверить, что Ko(w) экспоненциально убывает
при | w | < С Re w. При Re w ~> 1 имеем
Ко (w) = Bя) п \ \ (exp (tpu>iB»y/0 (p)) Р"¦
J J
оо
= Bп)~п J (/0 (фа»у/о (Р)) Р" dp, I Im да |< 1, шеС.
о
При w = —it, 1/2 < t < 1, получаем
оо
Ко (- «) = Bп)~п J (/0 (Р0//о (Р)) Р"-1 Ф
о
-пA -0~яA + 0A -0).
что доказывает (8.4.14). Для изучения области аналитичности
К заметим, что если w = it, —1 <^<1, то по интегральной
формуле Коши
оо
Ко (w) = Bit)-n J (/о (фа» A + »*))//„ (р A + /s))) A + is)n р" dp
о
для любого вещественного s. На самом деле 1оФО во всей пра-
правой полуплоскости, так как бесселева функция /v имеет лишь
вещественные нули при v > —1 (см. Hurwitz [1]). Правая часть
Ks(w) аналитична на множестве
Zs = {w; |Re(M»(l+fc))|<l} = {a;; \sRew + lmw\< 1}.
Это полоса, ограниченная прямыми с наклоном —s, проходя-
проходящими через ±i. Мы имеем Ks (w) — Ks' (w) в 1^1^, так как это
выпуклое множество, содержащее интервал мнимой оси, где,
как мы знаем, равенство имеет место. Поэтому совокупность
всех Ks определяет аналитическое продолжение Ко в C.\{tf;
/eR, \t\^ 1}. Итак, К аналитична в Q. Множество Q связно,
поскольку его компонента, содержащая R", содержит все точки
вида x-\-iy с (х,у}фО, так как x-{-ity^Q при O^^^l, a
всё Q содержится в замыкании этого множества.
\K0(w)\ =
Bп)~п J (/0 (ф | w |2)//0
Далее, Ко экспоненциально убывает на R, так как выражение
К (х) е<х- п> = Bл)~п J (el <x- S>// (| + in)) d\
ограничено при JceR" и малых |tj|. Поэтому по теореме Фраг-
мена — Линделёфа j Ko(w)\^C3e~cRew\ w\n при Rew> 1. Дока-
Доказательство завершено.
Теорема 8.4.11. Если ae/(Rs) и U = K*u, где К имеет вид
(8.4.13), то U аналитична в Q = {z; | Imг| < 1} и для некоторых
С,а,Ь
(8.4.15) |?Л»|<СA +UI)a(l — |Imz|)~b, 2<=Q.
Граничные значения U(- +iv>) непрерывно зависят от aeS"-'
в 9"(Rn) и
(8.4.16) (и, q>)=\(U(- + г©), ф>d©, фер'.
Обратно, если дана функция U, удовлетворяющая (8.4.15), то
(8.4.16) определяет такое распределение и е/, что U = K*u.
Для всякого L
(8.4.17) (RnXSn~l)(]WFL(u)
= {(*, ©); |©|= 1, ?/ ке принадлежит CL в точке х — t©},
и аналогичное описание верно для WF(u).
Принадлежность U к CL в точке .y — г© означает, разумеется,
что для некоторой окрестности V точки х — г© и постоянной С
|<Э2а?/(г)|<С1+|аВД, если 2eF, |Imz|<l.
Для класса вещественно аналитических функций это означает,
что U можно аналитически продолжить в некоторую полную
окрестность х — г©.
Доказательство теоремы 8.4.11. Принадлежность и к 9" озна-
означает, что найдутся а, Ь, для которых
|и(ф)|<С S UM

344 8. Спектральный анализ особенностей
Из
неравенств Коши и (8.4.14) для любого' |3 получаем
что дает (8.4.15) с Ъ-\-п вместо Ь. Преобразование Фурье функ-
функции U(x-\-iy) есть е~{у-Щ(?)//(?). Поэтому оно непрерывно при
|z/[^ 1 как функция от у со значениями в 91'. По определению
/(?) получаем (8.4.16).
Обратно, имея аналитическую функцию U, удовлетворяю-
удовлетворяющую (8.4.15), положим Uy = U(- -\-iy), \у\<. 1. Как показывает
доказательство теоремы 3.1.15, предел иш функций Uy при
z/->a), |со|= 1, существует в 9". Если Ъ ^ 0 —целое, то
+ (b+\)
IPK&
U(x + i{\ — t)<a) Yj {d\(x){-mfl$\)tbdxdt,
|P 1-6+1
Поэтому Ua — непрерывная функция со со значениями в 9" и
\(l+\x\)a\d%{x)\dx.
Следовательно, (8.4.16) определяет распределение мер", удов-
удовлетворяющее такой же оценке. Имеем Ue> = e~i'-oi>Uo, откуда й =
Юо и, значит, 0 = и*К, как и утверждалось.
Для доказательства (8.4.17) предположим сначала, что
(jc0, (Ao)^WFl(u), |©о|=1. Нужно показать, что U = К*и^
С1 в точке *о — но0. По предположению найдутся г > 0, ограни-
ограниченная последовательность распределений tiN^<?"(Rn), равных
и при |jc.— jco|<r, и коническая окрестность Г вектора ©о, та-
такие что
(8.4.18) \uN(l)\^C(CLN/\l\)N, N=l,2 |еГ.
Напомним, что ограниченность идг влечет для некоторых фикси-
фиксированных СиМ>0 неравенство,
(8.4.19) I^(|)|<CA + IEI)M, i^Rn.
Положим и = Ufi + vn. Тогда U = К * иы + К * w-v и
Поскольку функция K(x-\-iy — t) корректно определена при
|z/|2 < I 4-|*— /|2, то она корректно определена и быстро убы-
убывает со всеми производными при |/ — хо\ ^ г, если
(8.4.20) |г/|2<1+(г-и-л:о1J, |*-*0|<г.
8.4. Волновой фронт относительно С1 345
Поэтому K*vn аналитична и равномерно ограничена на ком-
компактных подмножествах множества (8.4.20), являющегося
окрестностью точки х0 — i©o.
Преобразование Фурье от К *Un(- -\-iy) равное"
и (8.4.12) дает
Пользуясь (8.4.18), можно оценить интеграл по
через
|||>La-,
если |a|<# — 2«, \y\<\.
Интеграл по | е Г, ||| ^ Ln оценивается величиной
в силу (8.4.19). Остается изучить интеграл
С \ e-<^-^(l+lil)M+(n-I)/2|g|la|d?.
Выберем е >0 так, что <a>cu IXA— 2е)|?| при |^Г. Тогда
(8.4.21) -(у, D-|i|<-e|i| при |^Г и
Следовательно, если N = | а | + 2п + М, то
С \ e-w-E>-|SI(l+|||)M+('l-1)/2|i||a|di<Co^<o
| z/ + (% | < е.
Суммируя эти оценки, с помощью повторного применения
(8.4.3) получим неравенство
I1++
в пересечении й и некоторой окрестности точки jc0 — /©о-
Другое включение в (8.4.17) вытекает из следующей леммы:
Лемма 8.4.12. Пусть d\k — мера на S"-1 и Г — открытый выпук-
выпуклый конус, такие что
(у, со) < 0 при О^^еГ, © е supp dp.
Если U аналитична в Q и удовлетворяет (8.4.15), то при доста-
достаточно малых \lmz\ и ImzeT функция

346 8. Спектральный анализ особенностей
8.4. Волновой фронт относительно CL 347
аналитична и \F(z) |<[ C'(l-f |Rez|)a[Im2[-6. Для любой меры.
d\i на S"-1 имеем
(8.4.22) WFL(?/д) с {(*, g; _|/|||е suppdu и
U<?CL в точке х — ifi/IH},
(8.4.22)' ГСТ (?/„) с {(х, |); -1/| 11 e supp Йц и
?/<?С°° в гоч/се *-ig/lil}.
Доказательство. Если сое supp du. и 1тгеГ, то существует
такое с > О, что при |Imz| < с
1 — с|1тг|.
Поэтому 1 — |1т(г + «">) |> с|1тг|/2, если |1т2|<с, и пер-
первое утверждение доказано. По теореме 8.4.8
где Г° — конус, двойственный к Г. Очевидно также, что
singsuppL(/n с {х\ U фСь в точке je + to для
некоторого со е supp d\i).
Чтобы доказать (8.4.22), положим d\i='?ld\ii, где
содержится в пересечении supp ф, с узким открытым выпуклым
конусом Vj. Применяя только что доказанный результат к dm
вместо фик внутренности двойственного конуса — V° вместо
Г, получим
U {(*, |); -S/|g|e?/f U
в точке
для некоторого со е F7}.
Если —1/|?|^ suppdji или С/еС1 в точке х — i?/|||, то мы
можем так выбрать рассматриваемое покрытие, что —|/|||fi F/
для каждого / или что это выполняется для всех / ф 1 и U e CL
в точке х + i© для любого ае Vi. В обоих случаях (х, \) <ф.
WFj.(Ulxf, что доказывает (8.4.22). Точно так же устанавлива-
устанавливается (8.4.22)'. Этим заканчивается доказательство леммы 8.4.12
и теоремы 8.4.11.
Следствие 8.4.13. Пусть Гь ..., Г/ — замкнутые конусы в Rn\0,
объединение которых есть всё Rn\0. Любое u^9"(Rn) можно
представить в виде ы = 2 «/• где и^Я*' и
Если и = 2 u'i — другое такое разложение, то и'( = и, -\-
где
ujk,
= — ukj и
WFL (ulk) с WFL (и) П (Rn X (Г; П Г*)).
Доказательство. Если <р; — характеристическая функция мно-
множества Г/МГ/ГНГШ ••• иГ;.,)), то Еф;=1. Для U = K*u
и Uj = К * («у — м;) имеем 2 ^/ — 0> и по теореме 8.4.11 и
лемме 8.4.12 можно взять
Uj = ( U (• — to) ф; (со) dco,
u/fe = \ Uj (• — to) ф? (со) dco — x Uk (• — to) ф? (со) dco.
Теперь мы усилим теорему 8.1.4.
Теорема 8.4.14. Если X с: R" открыто и S — замкнутое коническое
подмножество в X X (R"\0), то существует распределение и е
^(Х), 5ля которого WF(u)=WFL(u) = S при всех L.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем X = R".
Кроме того, для выбранного и нужно лишь проверить, что
WF (и) = WFA (и) = S.
Пусть (xk, 6ft)—некоторая последовательность без повторений,
плотная в {(х, 8)eS; |8| = 1}. Положим
UB) = ? S~kK(B-xk-iQk)/2), | Im21< 1,
где К определяется равенством (8.4.13). Так как
\K((z-vk- tefe)/2) |< | К (I (Im 2 - 0fe)/2) < С A -1 Im г | Г",
то ясно, что U — аналитическая функция, удовлетворяющая
(8.4.15). Замечая, что Z 3~* = 3~72 и что |Ю* + 6|<*+1
ЛГ+1
при 101 = 1, ^ > 0, получаем
\U(xk-mk)\> 3~k\K(- i(t+\)BJ2 |/2
loo, t/\.
Итак, U даже не ограничена в Q вблизи произвольной точки из
5'={(jc, -0); (х, e)ES и |8|=1}.

348 8. Спектральный анализ особенностей
С другой стороны, ясно, что вблизи любой точки из (R* X-S"-1)
\S' функция U аналитична. По теореме 8.4.11 это завершает
доказательство.
Теперь мы докажем обращения теорем 8.1.6 и 8.4.8.
Теорема 8.4.15. Пусть и^Ф'(Х), XcR". Предположим, что
WFL(u)<=XXT° (соотв. WF(u)<=XXT°), где конус Г° двой-
двойствен к открытому выпуклому конусу Г. Если Xi <ШХ, Fi — от-
открытый выпуклый конус с замыканием, лежащим в Г[) {0}, то
существует такая аналитическая на множестве {х + iy; x e Xi,
i/еГь \у\<у} функция F, что
\F(x + iy)\<C\y\-N, уеГ„ \у\<у, х<=Хи
и предел F(- -f iy)' при у->0 в Fi отличается от и на функцию
из CL(Xl) (соотв. C°°(Xi)).
Доказательство. Положим v = %и, где функция Х^С™ (X)
равна 1 в Х\. Если свертка V = K*v определена как в теореме
8.4.11, то V<=CL во всякой точке из Хх + i (Sn~l f) C(— Г°)). Вы-
бере_м открытое М cr Sn~l так, чтобы Г° (J 5я-1 cr М и М содер-
содержалось во внутренности множества Г°. Тогда v = vl + v2, где
= \
-шфМ
принадлежит CL в Хи a v2 есть граничное значение аналитиче-
аналитической функции
f(z)= \ V (z + 2*со) do>, Imzer1( \lmz\<.y.
Применение леммы 8.4.12 завершает доказательство.
Замечание. Из следствия 8.4.13 и теорем 8.4.15 и 8.4.8 вытекает,
что WFl(u) (соотв. WF(u)) является пересечением WFa(u — Mi)
по всем Mi e CL (соотв. С°°). Поэтому понятия WFl(u) и WF(u)
можно вывести из WLa(u). В аналитическом случае утвержде-
утверждение теоремы 8.4.15 упрощается: сужение и на Х\ есть граничное
значение аналитической функции F с указанными свойствами.
Следствие 8.4.16. Если мей)'A), где X — интервал в "R и
х0 е X — граничная точка supp«, то (х0, ±1)е WFa(u).
Доказательство. Предположим, например, что (х0, —1) ф. WFa (и).
Тогда найдется аналитическая в Q ={z; Imz > 0, \z — xo\<ir)
функция F с граничным значением и. Кроме того, и=0 на неко-
некотором интервале /с=(*0 — г,хо-\-г). По теореме 3.1.12 (и тео-
теореме 4.4.1) F можно аналитически продолжить за / так, что
8.4. Волновой фронт относительно CL 349
F = 0 ниже /. Единственность аналитнческого продолжения дает
F = 0, откуда и = 0 на (jco — г, х0 + у). Это противоречит тому,
что хо — граничная точка supp и. Следствие доказано. (См. также
теорему 3.1.15 и ее доказательство.)
Отметим, что этому следствию можно придать форму тео-
теоремы единственности: если мы знаем, что WFa (и) не содержит
7*3ё(R) \ 0 ни для какого х^Х, и и обращается в нуль на ка-
каком-либо открытом множестве, то и тождественно равно нулю.
В заключение докажем аналоги леммы 8.1.7 и теоремы 8.1.8.
Лемма 8.4.17. Если и<=9", то WFA(u)(=.\RnXF, где F — пре-
предельный конус множества supptf, определенный в лемме 8.1.7.
Доказательство. Преобразование Фурье от и*К есть
Если Г — открытый конус и ГA ^ —{0}> то можно выбрать замк-
замкнутый конус F', содержащий FXfO} в своей внутренности, так,
что T[\F' —{0}. Тогда для некоторого с <. 1
(У, t><c\y\\t\ при уеТ, ?еГ
Поэтому лемма 8.4.9 показывает, что функция e~w>6>//(|) огра-
ограничена вместе со всеми производными по | при у е —Г,
] у\ < 2/A + с), is/7'. Так как supp й содержится в объедине-
объединении F' и компактного множества, то #(i)e~Wt6>//F) принадлежит
9" при z/e—Г, |#|<2/A+с). По теореме 7.4.2, и*К имеет
аналитическое продолжение на {z; 1тге—Г, |Imz|<
2/A + с)}. Поэтому WAA(u)czCT по теореме 8.4.11, что дока-
доказывает лемму.
Теорема 8.14.18. Если u<=9"(Rn) однородно в IR"\O, то
(8.4.23) (х, t) s WFL(и)^(I, - *)е WFL(й) при | Ф 0, х Ф 0,
(8.4.24) Jte=supptt<s=HO, — x)e= WFL(u), хфО,
(8.4.25) |e=suppu<=M0, 5)e WFL(u), g Ф 0.
Доказательство. Так как й = Bп)пй, то из леммы 8.4.17 следует
импликация
х ф. supp и =*> @, — х) ф. WFL (й), если х Ф0.
С другой стороны, теорема 8.1.8 дает
@, —х)ф WFL(u)=>@, —
что доказывает (8.4.24). Если и однородно, то (8.4.25) совпадает
с (8.4.24), примененным к й. В противном случае suppu= Rn и
@,1)^ WF(u)czWFl(u) для всех g, как и в доказательстве
(8.1.19). Итак, (8.4.25) верно. Действуя точно так же, как и при
доказательстве (8.1.17), заключаем, что (8.4.23) имеет место,

350 8. Спектральный анализ особенностей
8.5. Правила вычисления для WFL 351
если доказано, что
(8.4.23)' (*о, So) Ф WFL (и) => (|з, - *„) ф WFL (й)
Если fi' — целое, ц' ^ 0 и ц' ^ ц + a + п, то с учетом (8.4.3) по-
получаем
для лго^О, 1оФО и и однородного в IR*. Доказательство по су-
существу повторяет доказательство (8.1.17)' с более аккуратно
выбираемыми срезающими функциями.
Выберем компактные окрестности К и Я точек х0 и ?о
в R"\0 так, что
(8.4.26)
(KXK)(\WFL(u)=0.
По теореме 1.4.2 найдется последовательность функций
%ы s С~ (К), равных 1 в фиксированной окрестности точки |0 и
таких, что (8.4.6)' справедливо для всех а. Оценим преобразо-
преобразование Фурье от vN = %nu в конической окрестности точки —jco.
Как и в доказательстве (8.1.17)', однородность и дает
Выберем г>0 и ^ыеС"(К) так, что ^лг(х) = 1 при \х — хо\<
2г и фдг удовлетворяют (&.4.6)', и положим иОлг = флги, «iw =
A — ^лг)м. Тогда
/о = <«№,- х»(<(• - *))>
и по лемме 8.4.4 и соотношению (8.4.26)
Следовательно,
Далее,
н так как и ^.9", то при \х — дсо|<г для некоторых С, С и ц
<с у. sup i
1<ЖП<И \y\>tr
Теперь (8.4.6)' дает с некоторой постоянной С:
\yf\D\N(y)\^C(CLNf, |р |<
Таким образом, нами получена оценка
если * лежит в конусе, порожденном множеством {х; \х + *о| <
г}. Это означает, что (|0, — х0)ф- WFl(й), и (8.4.23)' доказано.
8.5. Правила вычисления для WFL
Теперь для WFl мы установим результаты, аналогичные полу-
полученным в § 8.2 для WF, начиная с аналога основной тео-
теоремы 8.2.4.
Теорема 8.5.1. Пусть X и Y — открытые подмножества в Rn и
Rm соответственно и f: X-+-Y — вещественно аналитическое ото-
отображение с нормальным множеством Nf. Тогда
(8.5.1) WFL(Ги)<= fWFL(и), если «eS/(Y), Nf Л WFL(и) = 0.
Доказательство. Сначала предположим, что имеется функция Ф,
аналитическая в
Q = W + W\ У' е Y, у" е Г, | у" |< Y},
где Г — открытый выпуклый конус, причем
Wr" в Q,
и= lim
Г
Тогда WFa{u)czYXV°. Пусть хо<=Х и Ч'{хо)цфЪ при
tier°\{0}. Тогда *f (jco) Г° — замкнутый выпуклый и собствен-
собственный конус. Мы утверждаем, что
(8.5.2) WFA {f*и) ^ с= {(хо. *Г (*б) Л); Л е Г° \ {0}}.
Чтобы придать правой части иной вид, рассмотрим такой откры-
открытый выпуклый конус Ti с замыканием, содержащимся в Г|_|{0},
что '/' (х0) г\ Ф 0 при ti с= Г; \ {0>. Тогда '/' (х0) Г° — замкнутый
выпуклый конус с двойственным конусом
{h e R"; (Л, Г (*„) 1)>0.че Г°} = {A; f'(х0) As Г,},
откуда следует, что
'/' (*о) т° = (Е: <Л> ^> > ° ПР« ^ Ю h e Fi}-
Так как Тх а Г U {0}, то при 1\ / Г получаем
'/' (*ь) Г° = ft; {h, |> > 0 при Г (*0) Л е Г}.

352 8. Спектральный анализ особенностей
8.5. Правила вычисления для WF,. 353
Итак, пусть h e= R" и f (х0) АеГ. Тогда lmf(x + i&h) е= Г для
малых е > 0, если х лежит в достаточно малой окрестности Хо
точки х0. В Хо
/*ы= lim Ф"(/(- + ieh)).
е->+0
Действительно, доказательство теоремы 3.1.15 показывает, что
Ф (/ (• + ieft) + iy) есть непрерывная вблизи нуля функция от
(е, j/)g!R+XF со значениями в 2)'. Полагая сначала е->0,
получаем левую часть равенства, а полагая сначала г/->0 —
правую. Теперь по теореме 8.4.8
<={(*„, |);<Л
что доказывает (8.5.2).
С помощью следствия 8.4.13 и теоремы 8.4.15 произвольное
и представимо в виде конечной суммы 2и/, где каждый член
либо является О-функцией в окрестности точки f(x0), либо удов-
удовлетворяет сделанным выше предположениям с некоторым кону-
конусом IV, таким, что конус Г° мал и пересекает, WFL(u) \f{Xt). По
условию *f(xo)r) фО, когда (f(xo),r\)^WFL(u). Поэтому
WFL (f и) \х> с {(х0, Г (*0) Л); Л е U Г?,
откуда следует (8.5.1).
Замечание. Теорема 8.5.1 показывает, в частности, что WFL(u)
может быть определен как подмножество Т*(Х)\0, если X —
вещественное аналитическое многообразие.
Теорема 8.5.2. Теорема 8.2.9 остается справедливой после замены
WF на WFl.
Доказательство является очевидной модификацией доказа-
доказательства теоремы 8.2.9. В частности, теоремы 8.5.1 и 8.5.2 пока-
показывают, что если и — ненулевая аналитическая плотность на ве-
вещественном аналитическом подмногообразии, то WFa(u) есть
нормальное расслоение к этому подмногообразию. Так же не-
непосредственно получается пример 8.2.6 с WFA в левой части
(8.2.7). Комбинируя теоремы 8.5.1 и 8.5.2, получаем следующее
утверждение:
Теорема 8.5.3. Если u,v^2>'(X) и из (x,Q&WFL(u) следует
(х,—|)^ WFl(v), to определено произведение uv и
WFL (uv) с= Цх, I + л); (х, I) e WFL (и) или I = О,
(х, i\)<=WFL(v) или л = 0}.
Доказательство аналога теоремы 8.2.12 начнем с частного
случая, хорошо приспособленного к обозначениям теоремы 8.4.11.
Теорема 8.5.4. Пусть u^S"'(Rn). Разобьем координаты Rn на
две группы: х'=(хи ..., хп,), x" = (xn,+h .... хп) и положим
«,(*')=$«(*', x")dx"
в том смысле, как это определено в § 5.2. Тогда
WFL (и,) с= {(*', |'); (х', х", |', 0) е= WFL (и) для некоторого х").
Доказательство. В обозначениях теоремы 8.4.11 имеем
(и, ф®т|з)= jj <[/(• +мо),
Возьмем ip(x") = %(8x"), где /=1 в единичном шаре, и пусть
6->0. Так как на бесконечности U экспоненциально убывает, то
<И„ ф) =
где
есть аналитическая при | lm z' | < 1 функция, оцениваемая через
— \lmz'\)~N. Если К]=1 и {х', х", a>'0)<?WFL(u) для лю-
1 «а 1=1 f ш 1=1
', (г') = [ U (г', x")dx" = [ U (zf, х" + iy") dx",
б ого х" е R" п, то их е С в точке х' — UaL В силу леммы 8.4.12,
Следующий результат соответствует теореме 8.2.12, но по су-
существу он эквивалентен теореме 8.5.4.
Теорема 8.5.4'. Пусть ^cR" YczlRm — открытые множества и
К^ S)'(Xy^ Y) — такое распределение, что проекция suppK->^
собственная. Если u^CL(Y), то
WFL (Жи) = {(х, |); (х, у, I, 0) *= WFL (К) для некоторого
у е supp и).
Здесь Ж — линейный оператор с ядром К.
Доказательство. Перейдя от К к /С A ®и), можно считать, что
м= 1. Не меняя К на произвольно заданном компактном под-
подмножестве, можно заменить К на распределение с компактным
носителем, и тогда утверждение совпадает с теоремой 8.5.4.
23 Зак. 821

354 8. Спектральный анализ особенностей
8.5. Правила вычисления для WFL 355
Следующая теорема представляет собой аналог теоремы 8.2.13,
и наши обозначения являются очевидной модификацией исполь-
использованных в ней обозначений.
Теорема 8.5.5. Если веУ(Г) и WFL{u)RWF'L{K)Y=- 0, то
WFL (Хи) с WFL (K)x U (WF'L (К) о WFL (и)).
Доказательство. По теореме 8.5.2 имеем
WFL(l ® и) с Цх, у, О, л); (У, 4)eWiD
Если Ки = K(l ® и), то из теоремы 8.5.3 следует, что
{, у, I, Л + ЛО; (У- 4)s^(a), (jc, у, I, ч')
(/С)} U W^L (/С) U WFL A <8> и).
Так как Ж и является интегралом Ки по У, то применение тео-
теоремы 8.5.4 заканчивает доказательство.
Приложение к сверткам, продемонстрированное в конце §8.2,
очевидным образом переносится на WFl. He останавливаясь на
этом подробнее, мы взамен докажем n-мерный аналог следствия
8.4.16, касающийся единственности аналитического продолжения.
Теорема 8.5.6. Пусть u^?D'(X), XcRn, f — вещественнознач-
ная вещественно аналитическая функция на X и х° — такая точ-
точка из supp и, что
(8.5.3) df(x°)^0, f(*)<f(*°) при *e=suppH.
Тогда
(8.5.4) (х°, ± df (x0)) c= WFA (и).
Доказательство. Заменяя f на f(x) — \х — х°|2, можем считать,
что
f(x)<f (х°) при х° Ф х е supp и.
Так как df(x°)=?0, то можно взять f в качестве локальной ко-
координаты / (jc) = хп и считать, что х° = 0. Выберем окрестность
Уточки 0«=Rn-' так, что УХ{0}рХ Так как suppMfl(FX{0}) =
{0}, то найдется такой открытый интервал /e'R, что Ое/,
YXK^X и (oYX/)nsuppH=0.
Если а(х') — целая аналитическая функция от х' =(хи ..., xn-i),
то теорема 8.5.4' (с XX.Y, х я у, замененными на /X У. хп и jc')
показывает, что
Va{xn)=\u(x)a{x')dx'
— корректно определенное распределение на / и
WFA(Ua)c:{(xn, |„); (х', хп, 0, la)e=WFA(u)
для некоторого х' е У}.
Здесь точка (jc', хя) должна быть близка к 0 при малых хп. Если,
скажем, @, еп)ф- WFA(u), где е„ = @ 0, 1), то / можно вы-
выбрать так, что (jc, en)ф WFa(и) при хеУХ^- Поэтому
(хп, 1)^ WFa(Uo) при jcn e/, откуда ввиду следствия 8.4.16 за-
заключаем, что Uа = 0 в /, поскольку Uа = 0 при хп > 0. Р1так,
если «1 — сужение и на У X Л т0
для вещественно аналитических а и всех ф^С~(/). Поскольку
а может пробегать плотное подмножество в Cco(Rn~l), то из тео-
теоремы 5.1.1 следует, что и = 0 в VX.I. Это противоречие дока-
доказывает (8.5.4).
Теорема 8.5.6 приобретает многообещающую форму, если для
произвольного замкнутого множества FczX ввести множество
нормалей. '
Определение 8.5.7. Если F — замкнутое подмножество С2-много-
образияХ,то множество его внешних нормалей Ne(F)c T*(X)\0
определяется как набор всех таких (х°, |°), что jc° e F и для не-
некоторой вещественной функции f^C2(X) с df (х°) = |° ф 0
имеет место неравенство
(8.5.3)' /W</(jc°) при *е=Л
Достаточно требовать, чтобы / была определена в окрестно-
окрестности U точки jc°, так как / можно заменить на ф (х)f (х) + A —
ф(х))/^0), где О<феСо(?/) и у(х)=\ вблизи х°. Поэтому
определение Ne(F) полностью локально. В локальных коорди-
координатах можно заменить / на f2(x) — |;с — лг°|2, где /2 — многочлен
Тейлора второго порядка для / в точке jc°, и, следовательно, f
всегда можно взять аналитической и строго меньшей f(x°) при
х° фх^ F. Следующее предложение показывает, что если
dF ф 0, то множество нормалей достаточно велико.
Предложение 8.5.8. Для всякого замкнутого в С2-многообразии
X подмножества F проекция Ne(F) на X плотна в dF. Если
°F Cl(X df(°)^O °
x°<=F, f<=Cl(X),
и f(x)^f(x°) при x<=F, то
(х°, |°) е Ne (F). Если X crIR" и У—выпуклое открытое подмно-
подмножество в X\F, x°(=Ff\dY,To (X°, 1°)е Ne(F) для некоторого 1°,
такого что (х — д:0, g°> > 0 при х е У.
Доказательство. Так как все утверждения локальны, то можно
считать, что Xcz\Rn. Если y^X\F и z^F находится на
23*

356 8. Спектральный анализ особенностей
минимальном евклидовом расстоянии до у, то
8.5. Правила вычисления для WFL 357
Поэтому (z, у — j)eJV8(f). Для x°^dF мы можем выбрать
последовательность уу е X\F, сходящуюся к л°, и получить по-
последовательность (zv, %v) e Ne (F) с 2v->x°, что доказывает пер-
первое утверждение. Если feC1 и /(лг)^/(^°) при xef, то вы-
выберем точки yv = х°-\- f'{x°)/v, лежащие на внешней нормали, и
получим zv = х° -f wv,
I /' (*°)/v |2 > | wv - Г (*°)/v P,
Поэтому v\wv\2/2^ Ov, f'(*°)> ^o(|
t»
, откуда va>v-»-0 при
- zv) = Г (*°) -
Г
что доказывает принадлежность (л°, f'(jc0)) к Ne(F).
Предположим теперь, что У выпукло, УшХ, F[\dY — {x°},
Г [\Y = 0. Пусть ОеУ. Тогда однородная степени 1 функция f,
для которой У ={х; f (х) < 1}, выпукла, поскольку из f() +
f(y) = M следует f (x + у) ^ М, так как
(*
= (*// (*)) f (х)/М + {уIf (у)) f (y)/M e У.
Пусть О<хеСо°°, \)%dx=\ и fE = f*5Ce. где XeW =
е~"х(*/8)- Тогда |/ — /е|<Се, так как / удовлетворяет усло-
условию Липшица. Замечая, что 1 —/ ^ 0 на F с равенством только
в точке х0, заключаем, что максимум функции 1 — fe в F будет
<Се и что он достигается в точке хе, где хе-*-х° при е->0.
Поскольку /е выпукла, для %е = — f'e (xe)/| /e' (xe) | получаем
(х„ У е Ne (F); (х - дс„ |е> > 0 при f, (х) < f, (дс,).
Если
|° —
предел
при е->0, то
Ne(F)
| р
— д:0,|0>>0
Если У — произвольное выпуклое открытое подмножество в
и jc°e F(]dY, то можно применить полученный результат
к внутренности выпуклой оболочки х° и произвольного компакт-
компактного подмножества К в У, имеющего внутренние точки. Тогда
последнее утверждение предложения получается при К / У.
Ниже мы также пользуемся обозначениями
для множества внутренних нормалей к F и_N(F) = Ne(F)[)
Ni(F) — для множества всех нормалей. Через N(F) обозначим
замыкание последнего в Т*(Х)\0. Теорему 8.5.6 можно теперь
переформулировать следующим образом:
Теорема 8.5.6'. Для любого и е 3>'{Х)
(8.5.5)
N (supp и) <= WFA (и).
Важность этой теоремы выявится во всей полноте в § 8.6, где
доказано, что если и удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению Р(х, D)u = 0 с аналитическими коэффициентами, то
WFa {и) содержится в характеристическом множестве опера-
оператора Р. Следовательно, главный символ р(х, |) обращается в
нуль на WFa(u), а значит, в силу (8.5.5) и на #(suppи). Сей-
Сейчас мы проанализируем чисто геометрические следствия наличия
такой функции. Напомним (см. § 6.4), что если р — вещественно-
значная функция из С°°(Г*(Х)\.О) и р(х°, |°) = 0, то уравнения
Гамильтона
dx/dt = dp (x, iVd|, dlldt = -др (х, 1)/дх *
с начальными данными (х, |) = (jc°, |°) прн ^ = 0 определяют
проходящую через (х°, |°) кривую, на которой р = 0. Она назы-
называется бихарактеристикой {бихарактеристической полоской), ее
проекция на X называется бихарактеристической кривой. Она не
имеет особенностей, если др/д\ Ф 0. ¦
Теорема 8.5.9. Пусть F — замкнутое подмножество в X и р е
С°° (Г* (X) \0) — вещественнозначная функция, обращающаяся
в нуль на Ne(F). Если (х°, |°) е Ne (F), то существует окрест-
окрестность точки (х°, |°) на проходящей через (х°, |°) бихарактери-
бихарактеристике t-*-(x(i),?(t)) для р, которая остается в Ne(F). Если
р'г (*°> 1°) Ф 0, то найдутся ФеГ(Х) и е > 0, для которых
= Ut) при \t\<e
и Ф(л)<0 для х из окрестности кривой T={x(t), U|<e} на
F,x&Y.
Доказательство. Поскольку результат локальный, можно счи-
считать, что XcRn. Выберем /еС°° с /(jc°) = O, df(x°)=l° и
f(x)<C.O при х® =ф jce F. Используя теорему 6.4.5, можно найти
решение ф задачи Коши
<8.5.6)
'x) = O, Ф@, jc) =
определенное при |?| < б и х из выпуклой компактной окрестно-
окрестности W точки х°, иа которой df(x)?::O. ИмеемФ^О в (— б, б)Х^
и q>'x(l, x) = l, q>'t(t, x) = — p(x, I) на кривых, определяемых ус»
ловиями
dx/dt = dp (x, Z)№> dl/dt = -др(х, 1)/дх;
К7) при *=0.

353 8. Спектральный анализ особенностей
8.5. Правила вычисления для WFL 359
При у — х° имеем, в частности, q>'x(t, x(t)) = l(t) и <p(t,x(t))
не зависит от выбора /.
Если б достаточно мало, то
М@ =
F U
max
F ft dW
, х),
так как это верно при ? = 0. Поэтому максимум функции M(t)
достигается в точке xt e F во внутренности множества W. Мы
утверждаем, что M(t) = 0 при |^|<б (по предположению это
верно при t = 0). Для доказательства заметим, что так как
|sup«—¦ sup у | г^ sup| и—v\ для всех ограниченных функций
и, v, то
| М @ - М (s) |< max | ф (t, х) — <р (s, x) |.
FftW
Максимумы М (t) и M(s) не изменятся, если заменить здесь
^П^на {xt,xs}. Но (хг q,x(t, xt))e=N.(F) и (*,, <?'x(s, х,))
e=Ne(F), а значит, p(xt, <p'x(t, xt)) = p(xs, yx(s, xs)) = Q.
В силу (8.5.6), y't{t, xt) = <p's(s, ¦*s) = 0, и формула Тейлора дает
Ф (t, xt) - Ф (s, х,) = О ((/ - sJ), Ф (t, х,) - Ф (s, xt) = O((t- sf).
Это означает, что M(t) — М(s)—O((t — (sJ), откуда M'(t) = Q
и M(t) = M(Q) = Q.
Теперь заменим в предыдущих рассмотрениях f(x) на g(x) =
f(x) — | jc — x° |2, и пусть ij) — решение уравнения
+ p (x, .tfx) = o, ф (o. *) = e (*)•
Если 8и f достаточно малы, то результаты, доказанные для ф,
верны также и для if>, а ф(^, х) — ф(/, х)— строго выпуклая функ-
функция от х, когда ^е W. При jc = jc(^) мы знаем, что ф(?, x(t)) —
г|з (t, х (t)) и ф^ (/, л; (/)) == ^ (t> x (t)) = | (t), и из выпуклости сле-
следует, что (f(t,x)^> ty(t,x) при x^x(t). Поскольку обе функции
ф(^,х) и -^(t,x) имеют в W[)F максимальное значение нуль, то
для ty(t, x) оно достигается в точке x(t) и только в ней. Итак,
((t)t( (*@)
((),U))() Ф(@)
Предположим теперь, что р'^ (х°, 1°) ф 0. Уравнение ф^ (Г, х) = 0
определяет С°°-функцию Т(;с) в окрестности точки д:0 с T(jc°) = O,
за исключением случая
0 = Ф- @, дс°) = - (р'% (х°, |°), Ф? @, х0))
когда / следует лишь заменить на g. Заметим, что q>f(t, x(t)) =
=-p(x(t), !(/)) = 0, так как (дс(/), g(/)) s .Ve (/="), откуда
T((^))=^. Можно считать, что ф(^,л:)<0 при x^W[\F и
. Тогда Ф(х)= у(Т(х),х) обладает всеми требуемыми
свойствами.
Следствие 8.5.10. Пусть F — замкнутое подмножество в X и
р = 0 на Ne(F)}.
Тогда JCF — идеал в С°° (Т* (Х)\0), замкнутый относительно взя-
взятия скобки Пуассона, т. е. такой, что если р, q e JCF, то JCF
содержит скобку Пуассона
{р, Я) =
) (dq/дх,) - (dp/dxt)(dqfd&t)).
Доказательство. В проверке нуждается лишь последнее утверж-
утверждение. Можно считать, что р вещественнозначна. Если (х°, |°) е
Ne(F), то по теореме 8.5.9 бихарактеристика t-*-(x(t),l(t)) для
р, проходящая через (х°, |°), остается в Ne(F) при малых t.
Поэтому
0 = dq (х @, I @УЛ = {p, q) (x (t), | (/)),
что и завершает доказательство.
Если ри ..., pk^JCp и dpi, ..., dp,* линейно независимы в
точке (х°, |°) s iVe (f), то повторное использование теоремы 8.5.9
дает ^-мерное многообразие в Ne(F), проходящее через {х!0, ?°).
Ограничение 1-формы (l,dx}, а значит, и канонической симп-
лектической формы на произвольное многообразие JlczNe(F)
равно 0. В самом деле, если (л;0, g°) e Ne(F), то существует та-
такая функция /, что f^f(x°) в F и на касательном пространстве
к Б в точке (х°, |°) выполнено равенство <|°, dx} = df (x). Но это
есть нуль, так как / достигает максимума на Б в точке (л°, |°).
Следовательно, k^n, а поскольку JVe коническое, то k <. п,
если др\/д\, ..., dpk/d\ линейно независимы.
Кратко обсудим теперь объекты, двойственные к Ne(F). Это
на самом деле не связано с главной темой настоящей главы, но
доказательства содержат аргументы, близкие к использованным
при доказательстве предложения 8.5.8, и проливают дополни-
дополнительный свет на множество Ne(F). Кроме того, важность резуль-
результата выяснится в гл. 26. Он подтверждает тот геометрически
правдоподоб.ный факт, что фазовая кривая векторного поля не
может покинуть замкнутое множество иначе, как выйдя наружу
в одной из его граничных точек.
Теорема 8.5.11. Пусть v — векторное поле в X класса С1 (или
хотя бы липшицево) и F — замкнутое подмножество в X. Сле-
Следующие условия равносильны:
(i) всякая фазовая кривая уравнения dx/dt = v{x(t))r
О ^ t ^ Т, с Jc@)e F содержится в F;
(») <v(x), IX 0 для всех (x,l)<=Ne(F).

360 8. Спектральный анализ особенностей
8.6. WFL для решений дифференциальных уравнений 361
Доказательство. (i)=>(ii). Пусть feC2, df(x) = l и предполо-
предположим, что сужение / на f имеет в х локальный максимум. Ло-
Локально разрешима задача dy/dt — v(y(t)), #(O) = je. Из (i) сле-
следует, что f(x)^f(y(t)) при малых t > О, поэтому производная
f(y(t)) по t при t = 0 должна быть ^0, т. е. (v(x), |> ^0. До-
Доказывая импликацию (ii)=*-(i), можно считать, что Х = Rn. Нач>
нем с простой леммы.
Лемма: 8.5.12. Пусть F — замкнутое множество в Ra. Положим
f (х) = min \x-zf,
zs=F
где | • | — евклидова норма. Тогда
f (х + у) = / (х) + /' (х, у) + о (| у |),
У(х. у) = min{{2y, x-z);z^F,\x-z\2 = f(x)}.
Доказательство. Можно считать, что х = 0. Положим
?е (У) = inf {- 2 (у, z); z e F, \ z | < (/ @)I/2 + в}.
Тогда qe — однородная степени 1 функция и qty q0 при е { 0,
причем на единичной сфере предел равномерный. Поэтому
Vo (у) ^ <7е (у) ^ <7о (у) — се I У 1> се -> 0 при е -> 0.
Далее,
что немедленно дает
С другой стороны, если |м|^ е/2, то для точки г, в которой
предположительно достигается минимум из определения f(y),
имеем |zK(/@)I/2 /
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 8.5.11. В обозначениях (i) и леммы
8.5.12 при t < Т имеем
lim (f(x(s))-f(x(t)))l(s-i) = r(x(t), v(x (()))•
Вследствие локальности доказываемого результата можно счи-
считать, что при всех х и у
\v(x)-v(y)\^C\x-y\.
Еслиге?и \x(t)— z|2 = f(x(t)), то
2 (v (x @), x(t)-z) = 2 (v (z), x(t)-z)-2 (v (z) -v(x (t)), x (t) - z).
Последний член ^2C/(jc(/)). Из доказательства предложения
8.5.8 вспомним, что из неравенства f(x(t))>0 вытекает включе-
включение (z,x(t)—z)^Ne(F) для всех таких z, что |.*:(*)—z\2 =
f(x(t)). Поэтому первый член справа ^0 по условию (п), так
что правая производная функции f(x(t)) не превосходит
2Cf(x(t)). Следовательно, правая производная функции
f(x(t))e-2ct неположительна, и, значит, эта функция невозра-
стающая, как показывает простая модификация доказательства
теоремы 1.1.1 (напомним, что / непрерывна). Если /(*@)) = 0,
то получаем /(х(^)) = 0, 0 < t < Т, как и утверждалось.
8.6. WFL для решений дифференциальных уравнений
в частных производных
Если
Р(х, D)=
|
aa(x)Da
— дифференциальный оператор с коэффициентами из CL(X), то
нами доказано, что
WFL (Р {х, D) и) с= WFL (и), «625' (X).
В случае вещественно аналитических коэффициентов аа это
также является следствием теоремы 8.4.8, леммы 8.4.2 и тео-
теоремы 8.4.5. При таком предположении мы сейчас установим об-
обратное подобно теореме 8.3.1.
Теорема 8.6.1. Если P(x,D) — дифференциальный оператор в X
с вещественно аналитическими коэффициентами, то
(8.6.1) WFL(u) cz CharP U WFL(Pu), «e25'ffl,
где характеристическое множество Char P определено посред-
посредством (8.3.4).
Доказательство. Мы повторим доказательство теоремы 8.3.1, бо-
более тщательно выбирая срезающие функции. Нужно проверить,
что если (jco, ?o) не принадлежит правой части (8.6.1) и ?о=#=О.
то (jc0, \о)Ф WFl(u). Из сделанных предположений вытекает су-
существование компактной окрестности К точки х0 и замкнутой
конической окрестности V вектора g0 в Rn\0, таких что
(8.6.2) Рт(х,1)Ф0 в К XV,
(8.6.3) (KXV)[)WFL(Pu)=0.
С помощью теоремы 1.4.2 выберем теперь последовательность
таких функций %N e С~(К), равных 1 в некоторой фиксированной

362 8. Спектральный анализ особенностей
8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 363
окрестности V точки Хо, что при всех а
(8.6.4) |?a+PxJ<Ca(CaAOlpl, 1РКЛГ.
Тогда последовательность иы — /глм ограничена в &"' и un — u
/ р
в ?Л Теорема будет доказана, если мы докажем справедливость
(8.4.5) в V при |&|>ЛГ, поскольку (8.4.5) при |g|^iV^Ly
вытекает из ограниченности u#.
Чтобы оценить u#(?), нужно приближенно решить уравнение
(8.6.5) t
Полагая v = e~ilx>^w/Pm(x, ?) и замечая, что главный символ
оператора *Р есть Рт(х,—g), получим вместо (8.6.5) уравнение
(8.6.6)
... +Rm,
где #у|?|у— дифференциальный оператор порядка не выше /
с аналитическими коэффициентами, однородными степени 0 по
g при g е V и х е К- Формальным решением был бы ряд
Мы, однако, не должны использовать производные слишком вы-
высокого порядка и поэтому положим
Простой подсчет дает
„, _ D«, — V — У /? J? V —V —Р
JV ^ N ™2N &-* . /. * * * ^]u**2N ™2Af /V*
что эквивалентно равенству
/^ (х, и) (е '»Ш// (я, ъ)/'т (%> ъ)) ^= е * * (Хг/v '¦"•) ^w '^' =))•
Обозначая интегралом действие распределений, получаем
(8.6.7)
\f(x)е
-1 «*.
Здесь f = P(x, D)и. Для оценки правой части (8.6.7) докажем
сначала простую лемму.
Лемма 8.6.2. Существует такая постоянная С, что если
у ===== /1 —|— ... + jk и j + j p | ^ 2N, то
(8.6.8) D^R, ... Rj Х2
Доказательство. В силу однородности лемму достаточно дока-
доказать лишь при |||==1. При таких |, ^еУ, все коэффициенты
оператора R/ ограничены в некоторой фиксированной комплекс-
комплексной окрестности множества К, и доказательство завершает сле-
следующая
Лемма 8.6.3. Пусть К — компакт в IR" и К' — окрестность К в
.С". Если аи ..., a,-i аналитичны в К' и |ai|<l, ...,
| a/_i | < 1 в К', j < N, то
(8.6.9)
Доказательство. В силу неравенств Коши, для некоторого г > О
|?>%|<|а|!гЧа| в К,
и (8.6.4) дает
|D %дгI ^Co(CoN) =$^Со? Со | <х |! при |<z|=^./V,
так как iV'a'/|a |! ^eN. Ясно, что Diai ... a,^Di%tl является
суммой членов вида \D 'aj ... \D /~Ia/_1)?) '%N, где
Если Cfej... k- — число членов с \а{\ = ku ..., \а,/\ = kjt то левая
часть (8.6.9) оценивается через
CoPN(max(Co, WlCj,...^! ... k,\.
Так как дифференцирование Dik в (8.6.9) действует на все по-
последующие сомножители, то легко видеть, что
...*,.
Отсюда вытекают соотношения
оо оо
= B/-l)B/-3) ... 3
(Интеграл вычисляется переходом к новым переменным Xi + ...
+ Xj, x2 + ... + Я/, ... .) Этим заканчивается доказательство.
Окончание доказательства теоремы. 8.6.1. Если М — порядок и
в окрестности компакта К, то первый член справа в (8.6.7)
для больших N и 111 > N, | е У, оценивается через
С Z O+IEI)M-|a|sup|?>eew(*, ?)|.
Т

364 8. Спектральный анализ особенностей
8.6. WFL для решений дифференциальных уравнений 365
Число слагаемых в е» не может превосходить 2", и каждое из
них допускает оценку посредством (8.6.8), что дает верхнюю
грань
Заменяя N на N + т + М, получаем неравенство искомого вида
(8.4.5) даже для аналитического класса. Для оценки последнего
члена в (8.6.7) заметим, что (8.6.8) дает
(8.6.10) |DV|<Cf+1iVIPl, |p|<vV, |eV, \1\>N.
Аналогичная оценка верна и для wN\l\m/Pm(x, |). Завершить
доказательство позволяет следующая
Лемма 8.6.4. Пусть /eiZ)'(X), К — компакт в X, V—замкнутый
конус в IR"\0 и
WFL(f)n(KXV)=0.
Если t%eCo°C/0 " выполнено (8.6.10), то
(8.6.11)
при БегУ, \\\>N, N>M + n.
Здесь М — порядок f в окрестности множества К.
Доказательство. По лемме 8.4.4 найдется такая ограниченная
в <?'м последовательность распределений fN, равных f в некото-
некоторой окрестности К, что
где W — коническая окрестность множества V. Тогда wNf =
wNfN', N'' = N — М — п. Так как
\>N.
в силу (8.6.10), то из (8.1.3) вытекает оценка
\Q®\<C%+1((LN№f + NN\Z\n+M-N), Бегу,
Поскольку N'^LN', то отсюда следует (8.6.11).
Комбинируя теоремы 8.6.1 и 8.5.6', получаем следующее
утверждение:
Теорема 8.6.5 (теорема единственности Хольмгрена). Если
ией)' (X) — решение дифференциального уравнения P(x,D)u = 0
с аналитическими коэффициентами, то главный символ Рт (х, |)
обращается в нуль на Af(suppu). Следовательно, и=0 в окре-
окрестности нехарактеристической С1-поверхности, если это имеет
место по одну сторону от нее.
Последнее утверждение верно ввиду предложения 8.5.8 (на-
(напомним из § 6.4, что С^-поверхность с нормалью | в точке х
нехарактеристическая в этой точке, если Рт (х, ?) Ф 0). Если
Р — эллиптический оператор (ср. со следствием 8.3.2), то тео-
теорема утверждает, что ./V(suppu) пусто, и, значит, suppu не имеет
граничных точек в X. Если X связно и и = в окрестности точки
из X, то и = 0 на X.. Более сильная теорема о единственности
продолжения получается, если дополнительно воспользоваться
следствием 8.5.10:
Теорема 8.6.6. Пусть Р (х, D) — дифференцильный оператор с
аналитическими коэффициентами и <& — наименьшее подмноже-
подмножество в С°°(Т*(Х)\0), содержащее все С00-функции, равные нулю
на Char P, и замкнутое относительно взятия скобок Пуассона.
Если и ei?>'(X) и Р(х, D)u = 0, то все функции из <& обращают-
обращаются в нуль на N^supp и).
В частности, если функции из ^ не имеют общих нулей, X
связно и и обращается в нуль на открытом множестве, то и —
тождественный нуль на X. Если и равно нулю по одну сторону
от. С-поверхности с нормалью | в точке х, то это верно и в ок-
окрестности х, когда не все функции из "й? обращаются в нуль
в точке (х, ?). Как показывает следующий пример, это является
усилением классической теоремы единственности Хольмгрена.
Пример I. Если Р (х, ?)=6?+*^+ •.. +*?_,& то |,, х& *„_,?„
обращаются в нуль на Char P. Взяв скобки Пуассона, получаем
\Sli #1Ь2}=:Ь2> \S2> ^2Ьз}==ёз (ba-l> #/»-lSn} = S/j>
и, следовательно, функции из W не имеют общих нулей.
Пример 2. Если Р(х, 1) = хЩ + Ц + Ц, то V содержит Ь, Ь,х2
и, поскольку {^2, х2}= 1 е^7, общих нулей нет. Однако решения
уравнения Р(х, D)u = 0 не обязаны быть аналитическими. Дей-
Действительно, функция
и% (х) = ехр (хх3 + ixyx2 — x\x2l2)
является решением при любом т. Поэтому функция
оо
и(х)=\ ux(x)e~xdx
о
есть С°°-решение при |*з|< 1, но и не вещественно аналитична,
поскольку
D*u@)=\

366 8. Спектральный анализ особенностей
Для дифференциальных операторов с постоянными коэффи-
коэффициентами нет смысла брать скобки Пуассона, так как скобка
Пуассона двух произвольных функций от | равна 0. Следующее
утверждение отчасти является обратным к теореме 8.6.5.
Теорема 8.6.7. Пусть плоскость (x,N) = 0, iVeiR", характери-
характеристична относительно дифференциального оператора P(D), т. е.
Рт (АО = 0. Тогда существует такое решение и уравнения
P(D)u=0, что u€=C°°(Rn) и suppu={*; <*, N)^0}.
Доказательство. Пусть Р = Рт + Pm-i + ... + Яо, где Яу одно-
однороден степени / и Рт ф 0. Фиксируем вектор | так, что Рт (?) ф 0,
и исследуем решения уравнения
(8.6.12) P($N + tt) = Q
при больших s. Для этого положим t = ws, что сводит (8.6.12)
к алгебраическому относительно w и l/s уравнению
... =0.
При l/s = 0 это алгебраическое уравнение относительно w не
удовлетворяется тождественно, так как Рт(?,)Ф0, но выполнено
при w = 0, так как Pm(N) = 0. Поэтому из леммы А. 1.3 (см.
т. 2, дополнение А) следует, что для некоторого целого р урав-
уравнение (8.6.12) имеет решение, являющееся аналитической функ-
функцией от (l/sI/p в окрестности нуля и равное в нем нулю. Это
означает, что (8.6.12) имеет решение
оо
(8 6 13^ /М—сУс Сч-'/рУ
l
аналитическое при |s1/p|>Al, где М — постоянная. Следова-
Следовательно, с некоторой постоянной С
8.6.14) U(s)|<C|sri/p, |s|>BM)p. '
Выберем теперь число р так, что 1 — 1/р<р<1, и, взяв
t > BM)p, положим
(8.6.15)
и(х)=
ix-oa
Здесь мы определяем функцию (s//)p так, чтобы она была веще-
вещественной и положительной, когда s лежит на положительной
части мнимой оси, и выбираем фиксированную ветвь функции
s'/p в верхней полуплоскости. Интеграл сходится и не зависит
от т, поскольку для х, принадлежащих некоторому фиксирован-
8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 367
ному ограниченному множеству, ввиду (8.6.14) имеем
(8.6.16) Re (i (x, sN -f t (s) I) - {s/If)
<-T<jt, jV)-c\s\9,
если 0 < с <; cos (лр/2) и \s\ велико. Эта оценка показывает
также, что, когда х меняется на компакте, интеграл (8.6.15)
сходится равномерно даже после любого числа дифференциро-
дифференцирований по х. Следовательно, иеО, и, используя (8.6.12), за-
заключаем, что P(D)u=0. Из (8.6.16) также получаем
Устремляя т к +оо, найдем, что и(х) = 0 при <*, ЛО>0 (ср.
с доказательством теоремы 7.3.1). Если <*, Af>< 0, то мы можем
заменить контур интегрирования в (8.6.15) на отрицательно
ориентированную границу множества
{s; | s | < BМ)" или Im s < 0, | Re s | < BМ)"}.
В таком случае подынтегральное выражение экспоненциально
убывает и остается таковым для всех х с <Re#, Л^> < 0. По-
Поэтому функция и аналитична в полупространстве {jcelR";
{х, N) < 0} и не равна нулю тождественно по формуле обраще-
обращения преобразования Фурье. (Заметим, что и(х) совпадает с пре-
преобразованием Фурье от ехр (— (s/i) р) при (х, N) = t и (х, ?> = 0.)
Поэтому supp и совпадает с замыканием полупространства. Тео-
Теорема доказана.
Замечание. Разделяя в (8.6.15) интегрирование по Res>0 и
Res<0, можно записать и(х) = и+ (х) + и-(х), где ы+(и_) —
граничное значение функции, аналитической при <Imz, N} > 0
(соотв. <1т2, #> <0). Это доказывает, что WFA(u) = {(
(x,N} =0}—нормальное расслоение к границе носителя.
Следующая теорема дает полезную сводку результатов в слу-
случае постоянных коэффициентов.
Теорема 8.6.8. Пусть Ху и Х2 — открытые выпуклые множества
в Rn, X\<=X2, P(D) — дифференциальный оператор с постоян-
постоянными коэффициентами. Следующие условия эквивалентны:
(i) Каждое ие2)'№), удовлетворяющее уравнению
P(D)u = Q в Х2 и обращающееся в нуль на Х\, должно также
равняться нулю на Х2.
(П) Каждая характеристическая относительно Р гиперпло-
гиперплоскость, пересекающая Х%, пересекает также и Х\.

368 8. Спектральный анализ особенностей
8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 369
Доказательство. (i)=*-(ii) Предположим, что л — характеристи-
характеристическая гиперплоскость, не пересекающая Х\. Пусть Н — полу-
полупространство, ограниченное я и не пересекающее Xi. По тео-
теореме 8.6.7 найдется решение и уравнения P(D)u = 0 с suppu = ff.
Из 0) следует, что Н[\Х2 = 0, и, значит, nf\X2 = 0.
(ii)=^(i) Пусть у2еХ2. Выберем точку ^elj и обозна-
обозначим через / отрезок прямой, соединяющий ук и у2. Можно ука-
указать такое открытое выпуклое множество X ш Х\, что всякая ха-
характеристическая плоскость, пересекающая /, пересекает также
и X. Действительно, если лго<=/ и go^'R", Pm{lo) — O, |go|=l,
то можно выбрать открытый шар 2<г=Хь через который прохо-
проходит плоскость (х — -Го, ?>=0, а следовательно, и любая характе-
характеристическая плоскость с близкой к go нормалью, содержащая
точку, близкую к jc0. По лемме Бореля — Лебега множество X
с требуемыми свойствами можно построить, взяв выпуклую обо-
оболочку конечного числа открытых шаров 2 ш X.
Пусть Yt — внутренность выпуклой оболочки X и yt = yx-\-
НУ2 — У\), 0 =SS t ^ 1. Если t мало, то yt^.X\ и поэтому Yt а Х^
им=0.в Yt. Пусть Т — точная верхняя грань тех *е[0, 1], для
которых и = 0в У». Тогда и = 0 в YT и ут^Х\. Если л— опор-
опорная гиперплоскость к YT и ут е я, то л нехарактеристична, так
как она пересекает /, но не пересекает X. Если же ут ф я, то
п П ?г с 1 ё Ii. Из предложения 8.5.8 и теоремы 8.6.5 следует
тогда, что dYT Л supp и = 0. Поэтому Т = 1 и и = 0 в окрестно-
окрестности произвольно выбранной точки у2 е Х2. Выполнение условия
(i) доказано.
Следствие 8.6.9. Если носитель решения «e25'(R") уравнения
P(D)u = Q содержится в полупространстве с нехарактеристиче-
нехарактеристической границей, то и = 0.
Доказательство. Каждая характеристическая плоскость пересе-
пересекает это полупространство.
Следствие 8.6.10. Пусть Ni и Л^— такие вещественные векторы,
что
(8.6.17) Рт (тМ + x2N2) ф 0 при Т!>0, т2>0.
Положим. Хаи аг={х\ (х, Nj)<at, /=1, 2}, где а{ и с^ — веще-
вещественные числа или + оо. Если и е <?>' (Xat, аг) удовлетворяет
уравнению P{D)u = 0 и и = 0 в Хс,а2 при некотором с<аи то
U = 0 в Хаи а2-
Доказательство. Нормаль к гиперплоскости, не пересекающей
Хс, о2. должна быть линейной комбинацией Nt и N2 с неотрица-
неотрицательными коэффициентами. Если плоскость характеристична, то
в силу (8.6.17) нормаль пропорциональна #2. Поэтому выпол-
выполняется условие (И) теоремы 8.6.8.
Следствие 8.6.11. Пусть X — открытый собственный конус с вер-
вершиной у, причем ни одна характеристическая гиперплоскость,
проходящая через у, не пересекает X лишь в у. Всякое решение
и^З)'(Х) уравнения P(D)u=0, обращающееся в нуль вне
ограниченного подмножества конуса X, равно нулю во всем X.
Доказательство. Так как конус X — собственный, то через у про-
проходит плоскость я, не содержащая других точек из X. Приме-
Применим теорему 8.6.8 к Х2 = Х и Х\, равному пересечению X и
подходящего полупространства с границей, параллельной л. Усло-
Условие означает, что любая характеристическая плоскость, содер-
содержащая точки множества Х2, содержит целый луч, лежащий в Х2.
Последний пересекает Xit и поэтому следствие вытекает из тео-
теоремы 8.6.8.
В доказательстве теоремы 8.3.7 мы видели, что <о_ является
целой аналитической функцией. Если ссылку на теорему 8.1.6
в этом доказательстве заменить ссылкой на теорему 8.4.8, то по-
получается
Теорема 8.6.12. Пусть Р(D) — оператор вещественного главного
типа; тогда существуют такие Е±^?Ю'(^п) и аналитические
функции со±, что P(D)E+ = б + <о+ и
(8.6.18) WFA (Е±) с {(iP'm (I), |); ± t > 0, Рт (?) = 0, Б Ф 0}
иг*\{0}.
Теперь мы в состоянии доказать аналог теоремы 8.3.3'.
Теорема 8.6.13. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа. Если uez2>'{X), P(D)u=f и (х,%)<= WFL(u)\WFL(f),
то Pm(l) = 0 и
I X Ш <= WFL (и),
где /с=Х — такой отрезок прямой, проходящий через хв направ-
направлении Р'т A), что
(IX{t})nWFL(f)=0.
Доказательство. Не Ограничивая общности, можно считать, что
и е 8''. Пусть U и F — аналитические функции в {г; \ Im г\ < 1},
соответствующие и и / по теореме 8.4.11. Так как U=K*u и
F = K*f, то P(D)U = F. В частности, если |со|=1, то
P(D)U(- —ta) = F(- -rco).
Если найдется точка у^.1, для которой {у, |)^ WFl(u), to су-
существует такая окрестность W вектора —?/|Ё| на S"~', что
V
24 Зак. 821

370 8. Спектральный анализ особенностей
8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 371
где V — окрестность точки у и Vi — окрестность отрезка /. Так
как (*,?)? WFL(u — щ), то (x,Z)e= WFL(m) uP(Z))«i=fi.
Можно считать, что x — y = tP'm(l) для некоторого / > 0.
Положим
Выберем теперь такую срезающую функцию %^С™, равную I
вблизи отрезка [у, х], что I-f)suppd%cz V. Мы можем выбрать
X так, что %(х) = $((х, г\У), х^. V, для некоторых ^ е С°° и век-
вектора т) с (Ят (|), т)^ =г^= 0, откуда следует линейная независимость
| и т). По теореме 8.5.1 отсюда вытекает, что
Тогда v =
¦«"и
WFl(P(D)v)\j_czVXRk\-
Из теоремы 8.5.5 следует, что для WFl имеет место аналог
(8.2.16). Значит, для v = E+*P(D)v — со+*и имеем
Так как v = щ в окрестности я, то полученное противоречие по-
показывает, что (у, g)e WFl{u). Доказательство закончено.
Следствие 8.6.14. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа, и е= 3>'(X) и P(D)u = 0. Если (x, g)e=#(suppu) ы/с=Х —
содержащий х интервал на прямой, проходящей через точку х
в направлении P'm(k), то /czsuppu.
Доказательство. По теореме 8.5.6' имеем (х, |)е WT,i(u). Сле-
Следовательно, / ХШС №/л(ы) по теореме 8.6.13. Утверждение до-
доказано
казано. ,
Следствие 8.6.14 полезно сравнить с теоремой 8.5.9, значи-
значительно более общей, но только локальной. Теорему 8.6.13 и след-
следствие 8.6.14 можно обобщить на уравнения с вещественно ана-
аналитическими коэффициентами, но в этом случае доказательства
требуют использования дополнительных технических средств.
Вместо этого мы докажем обобщение теоремы 8.6.1 на уравне-
уравнения в свертках, которое окажется полезным в § 12.9.
Для \x^9"("Rn) характеристическое множество допускает
следующее определение. Положим сначала Г равным множеству
всех go^lRn\O, для которых найдутся такие комплексная кони-
коническая окрестность V вектора |0, постоянные С, N, С\ и анали-
аналитическая в Vc={?^V; jS^Q функция Ф, что фA=1 в
Vcfl'R". и
8.6.20)
Через СЬаг|л мы обозначим дополнение к Г B-:Rn\{0}.
Теорема 8.6.15. Если ]x(=9"(Rn) и mg^'(R"), to
(8.6.21) WFA (и) с WFA (ц * и) U (R" X Char ц).
Доказательство. Воспользуемся описанием WFa, данным в тео-
теореме 8.4.11. В соответствующих обозначениях нужно доказать,
что u*K(z) аналитично в точке х0 — ??0, если |0 9^ Char (л,
|?о| = 1 и (х0, |о)ф WFa(f), где / = ц*и. Выберем V и Ф так,
что выполняется (8.6.20) и Фр, = 1 в Vc(]Rn. Пусть W и W" —
такие замкнутые конические окрестности точки go в R"\{0}, что
W" содержится во внутренности окрестности W и FcK Вы-
Выберем такую функцию / е С°, 0 ^ / ^ 1, равную 1 в окрестности
множества. W%c, что suppjc^ W2C и / однородна степени 0 при
|?|>ЗС. Тогда преобразование Фурье от и*К(- +iy), jy|< 1,
можно представить в виде
йе~<У- б>/7 (|) = й A - г (?)) е-<»-»// (Е) + /Ф (I) X (I
Вводя обратные преобразования Фурье
i B) =
B) =
- г (?
я J х (Б) Ф (I)
) d\,
быстро убывающие при Re2-»-oo, \lmz\ < 1, имеем
8.6.22) ff««B) = ffi*«(z) + iW(z), |Im2|<l.
Ясно, что, когда jlmz + io| достаточно мало, К.\ остается ана-
аналитической и поэтому Ki*u(z) аналитично в точке *о — tlo-
Для изучения свойств Kz поступим, как в доказательстве лем-
леммы 8.4.10, хотя теперь нам придется работать со всеми перемен-
переменными и применять формулу Стокса. Пусть xi(l) — функция клас-
класса С°° с носителем в W"c, равная 1 в W'^, где W'" — еще
одна коническая окрестность вектора ?0 и ^i однородна степени 0
при |?|>4С. Мы хотим сдвинуть контур интегрирования, пре-
превратив его в контур (л: = Re 2)
Rn э Б-*| + ifijci (БI Б|дсA +1 х I2)'2,
где 0 < б ^ 1 выбрано настолько малым, чтобы не выйти за
пределы Vc, когда \ е supp %\. Для оценки подынтегрального
выражения воспользуемся леммой 8.4.9 и неравенством
Re (i(x + iy, I + щ) _ <| + /г), 1 + ir\f2)
24*

372 8. Спектральный анализ особенностей
8.7. Микрогиперболичность 373
справедливым при |т)|<|?| (оно вытекает из того факта, что
Re да2 < (Re даJ). Для -л =p]g}jc(l -Ыл:]2)-»/2, OsSpsgl, левая
часть неравенства оценивается через
В скобках стоит выпуклая по р функция, равная —1 при р = 0
и — A -f-1 х |2I/2 при р = 1. Поэтому
Re (i {x + iy, I + й|> - (I + it|, ? + mf2)
Используя формулу Стокса, согласно сказанному получим, что
при некотором б > 0 функция /Сг имеет аналитическое продол-
продолжение в область
{г; \\тг\< 1 - 6 + 6A +|Rez рI/2, 11тг + ЕоК б},
где второе ограничение возникает, как и в обсуждении /Сь при
рассмотрении тех \, где контур не деформировался. Интегриро-
Интегрированием по частям убеждаемся, что на этом множестве Кг быстро
убывает на бесконечности.
Свойства /Сг показывают, что граничное значение функции
/Сг*/(- —ih) равно свертке / и граничных значений /Сг(- —г'Ы>
аналитических вне 0. Записывая / = /i + /2, где fi e <%' и /2 обра-
обращается в нуль при |л: — jco|<r, видим, что функция
аналитична при г, настолько близких к Хо — /?о, что функции
/Сг(' —г) равномерно ограничены в 9" при \х — хо\^г. По тео-
теореме 8.4.8 имеем WFA(K2{—i?o))<={@, rfg0), t > 0} (ср. с лем-
леммой 8.4.12). Вспоминая теперь, что (х0, ?о)^? WFA(fi), из аналога
соотношения (8.2.16) для WFa получаем
Хо ф. sing supp^ !л * К2 (• — *1о)-
Следовательно, свертка К.ъи аналитична в точке Хо — г|о. что
завершает доказательство.
Замечание. Теорема остается справедливой, если. «е2)'A) и
отображение
supp |л X supp u^(x, y)-+x + y
является собственным. Действительно, в этом случае fi * и опре-
определено (см. §4.2) и для всех х имеем \х*и == ц.*(сры), и = ф«
в окрестности точки х, если функция q>eCo° равна 1 на доста-
достаточно большом множестве. Применяя (8.6.21) к ери, заключаем,
что (8.6.21) верно в слое над х.
8.7. Микрогиперболичность
Если F — вещественнозначная вещественно аналитическая функ-
функция в открытом множестве XcR" и 0 — такой вещественный
вектор, что <8, F'(x)} > 0 при F(x) = 0, то формула
= lim
e->+0
+ieB)
задает корректно определенное распределение, для которого
WFA(Fel) = {(x, tF'(x)); F(x) = 0,t>0}.
Действительно, если Г — такой открытый выпуклый конус, что
{y,F'(x))>0, 0фуе=Г, х<=Х0шХ,
то по формуле Тейлора
(8.7.1) \y\<C\F(x + iy)\, если х^Х0, у^Т и \у\ мало.
Утверждение, таким образом, является следствием теоремы 8.4.8.
Если F имеет критические точки, то может иметь место более
слабая форма (8.7.1). Типичный пример дает форма Лоренца
F(x) = x\-x\— ...--**. Ввиду G.4.8)
F(y)<\F(x + iy)\; x,y€=Rn.
Поэтому (8.7.1) будет верно после замены \у\ на. \у\2, если
Г\{0} содержится в открытом световом конусе. Этот пример
мотивирует следующую терминологию.
Определение 8.7.1. Вещественно аналитическая функция F в от-
открытом множестве X cz'Rn называется микрогипёрболической от-
относительно 0 е |R", если существует такая положительная не-
непрерывная функция ^(*) на X, что
(8.7.2)
при 0 < / < t (x), хе=Х.
В последующем обсуждении локальных свойств функции F мы
можем уменьшить X так, чтобы t было отделено от нуля на X,
и, заменяя 0 на его кратное, считать, что
(8.7.2)' F(х + Ид) ф 0 при Ь<*<1, хсеХ.
Для упрощения обозначений мы предположим также, что OgI,
и будем изучать F вблизи точки 0.
Лемма'8.7.2. Если F удовлетворяет (8.7.2)' и F(tQ) имеет нуль
в точности порядка m при t = 0, то
F(x) = FQ(x) + O(\x\m+l),

374 8. Спектральный анализ особенностей
8.7. Ммкрогинерболмчность 375
где Fo — однородный полином степени m и
(8.7.3) Fo @) Ф 0, Fo (х + Щ Ф 0 при 0#/eR, ^eR".
Доказательство. Пусть у— фиксированный вещественный век-
вектор. Положим
Тогда g(t, 0) = ctm + O(tm+1), сфО, и мы утверждаем, что
g(t, s) = O(\t\ + \s\)m в точке @,0),
В противном случае наибольшее X, для которого
g{t, s) = O(U| + UlT в точке @,0),
является рациональным числом, 1/т^Я,<1. Запишем X = p/q,
где р и q — взаимно простые натуральные числа, и рассмотрим
пределы
g±(w)= Hm g(w\sts)/\s\m\
Если at'sk — член ряда Тейлора для g{t,s) с j + k/X = m, то
m — / делится на </. Поэтому
gt (ш) = сшт + (± 1)Р с,^7 + (± 1JР с2шт-2" + ...,
где Cj не все равны 0. Из (8.7.2)' следует, что Imto^O для
нулей функции g* (w), так как если g(o>|s|\ s) = F(Rea>|s|v9
+ sy + i Im w j s 14)) = 0 и s мало, то Im w ^ 0. Теперь мы можем
найти такое число гфО, 4Tog±(w) = 0 при wq = {±\)pz. Если
все такие w лежат в полуплоскости, то q = 2 и р четно, что
противоречит условию 1 г?1 р < ^. Следовательно, Я,= 1, и в
силу произвольности у заключаем, что F(x) = O(\x\m),х^>~0.
Далее,
Fo (*) = lira F (ex)!em
есть однородный многочлен степени т. Как и выше, из (8.7.2)'
следует, что
F0(x-\-wQ)=?0 при *eERn, Ima>>0.
Поэтому F0(* + t4>8) = (—l)mF0(—л; — ш0)=/=О при ^еК"и
1тш < 0, что доказывает (8.7.3).
Замечание. Для доказательства соотношениея g(t, s) = O(\t\-\-
\s\)m достаточно было бы предположить, что при малых веще-
вещественных s и малых |/|
g(t, s) =
Действительно, тогда для нулей функции g(w\s\x,s)/\s\'mX
имеем Im ay|s|* ^ C|s|, и поскольку Х<1, то Imtiy^O, если
w — нуль функции g*. Это наблюдение будет полезно в гл. 12.
Лемма 8.7.3. Пусть Fo — однородный многочлен, удовлетворяю-
удовлетворяющий (8.7.3). Тогда связная компонента Г вектора 8 в {jgR";
Fq(x)?=0} представляет собой выпуклый конус. Все нули мно-
многочлена F0(x-\-ty) вещественны, если teiR" и </еГ; они от-
отрицательны тогда и только тогда, когда х также лежит в Г.
Коэффициенты многочлена Fo(*)/FoF) вещественны.
Доказательство, а) Для любого вещественного х нули t много-
многочлена F0(jc + ^6) вещественны, так как если F0(* + ft)) = 0, то
F0(.x + Re/6 + /InU8) = 0, и поэтому lmt = 0 в силу (8.7.3).
Отсюда следует вещественность Fo(x)/FoF) — отношения млад-
младшего и старшего коэффициентов рассматриваемого многочлена
от L
Ь) Положим
Тогда Ге открыто и 6еГ, так как при х = 0 все нули совпа-
совпадают с —1. Если *о принадлежит замыканию Ге, то верна им-
импликация Fo (*о + *8) = 0 =ф- t ^0, откуда х0 е Ге при Fo (Jfo) Ф 0.
Итак, Ге открыто и замкнуто в множестве {jtelR"; Ро(х)фО},
гак что связная компонента Г вектора 0 в этом множестве со-
содержится в Ге.
c) Если х е Ге, то
Fo(e* + (l-e)8) = emFo(* + (l-e)e-I8)=5?O при 0<е<1.
Поэтому Fo ф 0 на прямолинейном отрезке, соединяющем х и 6.
В частности, Ге сГи, значит, эти конусы совпадают.
d) Если уеГие>0 фиксировано, то множество
Еу = {х е= R"; Fo(^ + геб + lsy) = 0=>Res < 0}
открытой 0 е Еу, так как из Fo(ie0 + isy) = (is)mF0(eQ/s + y) = 0
следует, что s < 0. Если х принадлежит замыканию Еу, то из
Fo (х + ?е8 + isy) = 0 следует, . что Res^O. Но равенство
Re\s = 0 противоречило бы (8.7.3); следовательно, х^Еу, а,
значит, Еу = R" и
F0(x + i(e8 + y))=?Q, если * <= R", i/еГ и е > 0.
Так как Г открыто, то
F0(x + iy)=?Q при *<=R", ye Г.
Таким образом, Fo(x-\-ty) имеет лишь вещественные нули
(см. а)). Поскольку связная компонента у в {*eiRn; FoM^O}

376 8. Спектральный анализ особенностей
совпадает с Г, то из Ь), с) следует, что нули отрицательны тогда
и только тогда, когда х е Г, и в этом случае прямолинейный от-
отрезок, соединяющий х и у, лежит в Г. Доказательство окон-
окончено.
Однородные многочлены, удовлетворяющие (8.7.3), назы-
называются гиперболическими относительно 6. Мы продолжим их
изучение в § 12.4. Сейчас же нам нужно доказать, что F, по су-
существу, обладает свойствами, установленными для Fo- Доказа-
Доказательство будет основано на идее части d) доказательства лем-
леммы 8.7.3.
Лемма 8.7.4. Для любого содержащегося в Щ{0} замкнутого
конуса Г\ найдется такое б > 0, что
(8.7.4) 6\y\m^\F{x
если
Г„
\у\<Ь,
\х\<6.
Доказательство. Пусть К — такое выпуклое компактное подмно-
подмножество в Г, что 9g/i и i( порождает конус, содержащий Г) и
6. Так как
F(rz)/rm^F0(z) при г^О
и Fq ф О в К, то можно выбрать г > О так, что
(8.7.5) F(ty)?=O при /еС, 0<U|<r, ys=K-
Заметим, что ^ = 0 — нуль порядка т. При у^К рассмотрим
уравнение
F( +
Если (j;,e)eR"+1 и |je|-f-|e| достаточно мало, то существует
в точности т корней s с | s | < г, поскольку корней с | s | = г нет,
а при х = е = 0 имеется m-кратный корень s =0. Если х = 0 и
у = 0; то все корни суть s = —е, так что они отрицательны, если
только е > 0, что мы теперь и предположим. Если s — корень
с Re s=0, то F(х — ylms + ie0) = O, что противоречит допу-
допущению (8.7.2)'. Следовательно, при малых
у е К для всех т корней имеем Re s < 0,
:|+ е, е > 0, и при
s|<r. Устремляя е
к 0, мы видим, что F(x-i-isy) имеет т корней с Res^O и
Для функции /(z), аналитической в круге {ге:С; |г|^г}
и имеющей в нем т нулей Z\, ..., гт, по принципу максимума
верно неравенство
p
|ш|=г
Если Re Zj ^ 0, j = 1 т, то
l/|/B)|<Br/Rez)m sup
8.7. Микрогиперболичность 377
при \z\<r, Rez>0.
Применим это неравенство к F{x + izy) при малых hgR" и
у е К. Получим
1/| F (х + isy) | < Br/s)m sup 1/| F (x + iwy) |, 0 < s < r,
\w\-r
что доказывает (8.7.4).
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать главный результат
этого параграфа.
Теорема 8.7.5. Пусть F — вещественно аналитическая функция в
окрестности множества X cz Rn, микрогиперболическая относи-
относительно 6 е R". Для х^Х через Fx(у) обозначим ненулевую
однородную часть наименьшей степени ряда Тейлора функции
y->F(x-\-у). Тогда Рх(^)Ф0 и связная компонента Г* вектора
8 в {ye R"; Fx(y)?:0} является открытым выпуклым конусом.
Если Г° — двойственный, конус, то множество
Г° = {(х, |); х s X, I е Г°} с Г (X)
замкнуто* Предел
' l
+
существует в 2t>'(X) и
(8.7.6) WFA(Fil)czTo\{0}.
Доказательство. Существование предела и включение (8.7.6) —
следствия теоремы 8.4.8 и леммы 8.7.4. Если (х0, go) ф Г°, то
найдется вектор Уо е Г*,, для которого <г/0, |о> < 0- По лемме
8.7.4, F также микрогиперболична относительно уо в некоторой
окрестности U точки х0; следовательно, Fx (уо) Ф 0 при х е V
в силу леммы 8.7.2. Поэтому (х, ?) е Г° при x^U п <у0, |> < 0,
так что Г° замкнуто.
Замечание. Включение (8.7.6) было бы невозможно, если бы
Г° имело меньшие выпуклые слои. Действительно, предположим,
что Го — замкнутая выпуклая собственная коническая окрест-
окрестность слоя множества WFAiFe1) над х0. Из теоремы 8.4.15 и за-
замечания после ее доказательства вытекает существование функ-
функции G с граничным значением Fq\ аналитической в
(8.7.7) {x + iy; \х - хо\ < 6, | у |< б, jgQ
при некотором б > 0. Но непрерывная аналитическая функция
однозначно определяется своими граничными значениями, и

378 8. Спектральный анализ особенностей
Примечания 379
теорема 3.1.15 показывает, что это верно, даже когда граничные
значения понимаются в смысле распределений. Таким образом,
С — налитическое продолжение функции 1/F. Значит, F^=0 на
множестве (8.7.7) и
е-»-0
не имеет нулей с 1гаг во внутренности множества Г°. Поэтому
Обсудим теперь пример
F{x) = x\-x\- ... -4- -0 = A. О, ..., 0),
упоминавшийся в начале этого параграфа. Теорема 8.7.5 дает
для него включение
WFa (Fe') cz {{x, tF' (x)); F (x) = 0, txx > 0}
U{@, y);yi>0, F(у)>0}.
С другой стороны, волновой фронт WFa (Fe ) должен содержать
первое из множеств правой части, так как sing supp Fe" есть
множество нулей функции F. Следовательно, он содержит и за-
замыкание указанного множества, которое вне точки 0 является
границей второго множества. Однако при п = 4 множество
WFa (Fe ) ничего более не содержит. Для доказательства заме-
заметим, что в силу G.4.7) преобразование Фурье от Fe совпадает
с сужением на ?i > 0 распределения, кратного 6 (if — Щ— 1|
— Щ\. Из теоремы 8.4.18 следует, что включение @, у)е
е WFa{Fq1) при уфО эквивалентно соотношениям г/1>0/
F(y) = 0, и тем самым утверждение доказано.
Примечания
Необходимость спектральной классификации особенностей была
понята независимо и с разных точек зрения несколькими мате-
математиками около 1970 г. Первым, возможно, был Сато (Sato
[3, 4]) (см. также Sato, Kawai, Kashiwara [1])., который ввел
и изучил для гиперфункций и множество SS(u) (называемое
носителем сингулярности), совпадающее в случае распределений
с нашим WFa(u). Как доказал Бонн (Bony [3]), оно совпадает
также с существенным носителем по Бросу и Ягольнитцеру (см.
§ 9.6 и Iagolnitzer [1]). Множество WF(u) впервые было опре-
определено Хёрмандером (Hormander [25]) с помощью псевдодиф-
псевдодифференциальных операторов. Это определение, приведенное ниже
в § 18.1, на самом деле более или менее явно содержалось в
обычных методах локализации с помощью таких операторов.
Использованное здесь эквивалентное определение WF(u) восхо-
восходит к работе Hormander [26], где доказаны также результаты
§ 8.2. В § 8.4, начав с определения WFl{u), данного в работе
Hormander [27], мы перешли к тесно связанным с определе-
определениями Сато эквивалентным определениям посредством аналити-
аналитического разложения б-функции. Последнее очень похоже на раз-
разложения б, использованные в работах Sato, Kawai, Kashiwara
[1, с. 473] я Bony [3], но его значительным преимуществом яв-
является аналитичность. На это указал автору Буте де Монвель;
см. также связанную с этим работу его ученика Лебо (Lebeau
[1]) и обзор Шапира (Schapira [2]).
Волновой фронт был введен Хёрмандером (Hormander [25])
с целью упростить изучение распространения особенностей. За-
Заметим, что результаты о волновом фронте типа теоремы 8.3.3'
полностью локальны и поэтому доказываются проще, чем соот-
соответствующие более слабые результаты о sing supp и. Действи-
Действительно, последние в простейшей форме состоят в том, что если
P{D)u&C°° и 0 е sing supp и, то RP'm (I) c= sing supp и для не-
некоторого ? с Рт(|) = 0. Впервые это было доказано Грушиным
[1], построившим фундаментальное решение с носителем син-
сингулярности, содержащимся в произвольной «половине» бихарак-
теристического конуса, получаемого проектированием Char P в
R". На аналитический случай метод был распространен Ан-
дерссоном {Andersson [1]).) Фундаментальное решение прихо-
приходится приспосабливать к рассматриваемому распределению и,
С другой стороны, наш подход нуждается лишь в двух есте-
естественных фундаментальных решениях ?± (имеющих для урав-
уравнения Клейна — Гордона в квантовой электродинамике более
или менее классические свойства). Он позволяет избежать зна-
значительных трудностей, особенно в аналитическом случае и слу-
случае переменных коэффициентов. Разумеется, очень удобно было
бы точно знать, в каком направлении будет распространяться
особенность, задаваемая точкой множества WF(u). По поводу
примера 8.3.4 и теоремы 8.3.8 см. Zerner [1, 2] и Hormander [24].
Результаты, касающиеся дифференциальных операторов, при-
приведены в § 8.3 и 8.6 просто в качестве примеров. Третья часть
этой книги будет в основном посвящена изучению множества
WF(u) для решений (псевдо) дифференциальных уравнений.
В аналитическом случае имеется также развитая теория мно-
множества WFa (и), как правило даже для решений в гиперфунк-
гиперфункциях. По этому поводу отсылаем читателя к работам Sato, Ka-
Kawai, Kashiwara [1], Kashiwara [1], Sjostrand [1, 2] и приведен-
приведенной там библиографии.
Теорема единственности Хольмгрена (теорема 8.6.5) была до-
доказана для классических решений в частном случае Хольмгреном

380 8. Спектральный анализ особенностей
(Holmgren [1]) и в полной общности Джоном (John [1]).
Ключом к доказательству служит результат об аналитичности
интегралов решений дифференциальных уравнений по нехарак-
нехарактеристическим поверхностям, зависящим от параметра. Джон
использовал это для доказательства аналитичности решений эл-
эллиптических дифференциальных уравнений и для установления
близких результатов, касающихся регулярности. Как заметили
Хёрмандер (Hormander [27]) и независимо Каван (см. Sato,
Kawai, Kashiwara [1, с. 470—473]), порядок тут можно обратить
и вывести теоремы единственности из теорем о микролокальной
регулярности. Целью этого было получение теорем единствен-
единственности, подобных теореме 8.6.13, в случае характеристической
границы. Единственность продолжения через поверхность 2 в
характеристической точке, где 2 строго выпукла относительно
соответствующих касательных бихарактеристик, была доказана
в книге, предшествовавшей данной, с помощью чисто геометри-
геометрических соображений и теоремы Хольмгрена. Впоследствии в ра-
работах Bony [1, 2] и Hormander [28] была развита усовершен-
усовершенствованная геометрическая методика. Все это теперь заменяет
полученная Шёстрандом (Sjostrand [1]) теорема 8.5.9. Один из
результатов Бонн приведен в виде теоремы 8.6.6. Конструкция
следующего за ней примера 2 восходит к работе Baouendi,
Goulaouic [1]. (Гипоэллиптичность таких операторов будет до-
доказана в гл. 22, где приведены дальнейшие ссылки.) Теорема
8.6.7 взята из работы Hormander [1]. В работе Hormander [9]
доказана плотность нуль-решений в множестве всех решений из
С°°({х; (х, jV.> > 0}), в случае когда P{D) не имеет нехаракте-
нехарактеристических множителей. Теорема 8.6.8 и следствия 8.6.9—8.6.11
близки результатам Джона (John [1]) ив сформулированном
выше виде были доказаны в книге, предшествовавшей данной.
Дальнейшая взаимосвязь между supp и и WFa (и) будет обсуж-
обсуждаться в § 9.6.
Андерссон (Andersson [1]) ввел понятие локальной гипер-
гиперболичности относительно 9, означающее микрогиперболичность
сразу относительно 9 и —9. Его исследования были продолжены
Гордингом (Garding [5]). Так же, как здесь, микрогиперболич-
микрогиперболичность была определена в работе Kashiwara, Kawai [1], в кото-
которой для доказательства ключевой леммы 8.7.4 использовалась
локальная теорема Бохнера о трубе (см. Komatsu [1]). Даль-
Дальнейшую информацию на эту тему читатель найдет в гл. 12.
9
Гиперфункции
Краткое содержание главы
Мы определили 2)'(Х) как множество непрерывных линейных
форм на С™ (X). Это ни в коей мере не является самым общим
понятием такого рода, поскольку более широкоа пространство
распределений получится, если заменить С™(Х) на плотное под-
лространство с более сильной топологией. Примером является
пространство функций из CL с компактным носителем (опреде-
(определенное в § 8.4), если только оно не состоит из одного 0, т. е.
если
Изучение двойственного пространства распределений в этом слу-
случае вполне аналогично изучению S)'(X).
Совершенно иная ситуация возникает в квазианалитическом
случае, когда
ZVLk = oo.
В этом случае нет аналога пространства С™ (X), но С (X) мож-
можно рассматривать вместо С°°(Х). Двойственное к CL(X) про-
пространство можно использовать как множество элементов с
компактным носителем в некоторой теории распределений, сохра-
сохраняющей многие черты теории пространства З)'(Х), но и отли-
отличающейся от нее в ряде отношений. Самое широкое простран-
пространство распределений получается, когда CL — класс вещественно
аналитических функций. Другим способом оно было введено
Сато, отчеканившим для его элементов термин «гиперфункция».
В настоящей главе дается введение в теорию гиперфункций, по
возможности максимально приближенное к теории распределе-
распределений Шварца.
В § 9.1 изучаются гиперфункции с компактным носителем.
В частности, дается элементарное доказательство основопола-
основополагающего и нетривиального факта о наличии корректного поня-
понятия носителя. Оно позволяет дать в § 9.2 общее определение

382 9. Гиперфункции
9.1. Аналитические функционалы 383
гиперфункций способом, впервые предложенным Мартино. Па-
Параграф 9.3 посвящен волновому фронту гиперфункции относи-
относительно аналитических функций и определению операций, подоб-
подобных умножению. Это делается весьма бегло, поскольку большин-
большинство доказательств § 9.4 и 8.5 были выбраны так, что они
применимы к гиперфункциям после того, как установлены не-
несколько основных фактов.
В § 9.4 исследуется существование аналитических решений
аналитических дифференциальных уравнений. В дополнение к
классической теореме, Коши — Ковалевской приводится точная
информация об оценках решений и областях их существования.
С ее помощью в § 9.5 доказываются некоторые важные факты
о решениях в гиперфункциях аналитических дифференциальных
уравнений. В заключение в § 9.6 мы приводим определение
WFa(u) по Бросу — Ягольнитцеру и в качестве приложения до-
доказываем теорему Касивары о соотношении между supp и и
WFa(u), похожую на теорему единственности Хольмгрена.
9.1. Аналитические функционалы
Если К — компакт в R", то распределение и^&'(К)—это та-
такая линейная форма на C^R"), что для любой окрестности о»
компакта К верно неравенство
1"(ФI<С. 2 sup|Do<p|, "-ф«еС-(И-
По непрерывности ы(ф) можно продолжить на все (ре С00(со)
(см. теорему 2.3.1 и замечания после ее формулировки). Так как
производные аналитической функции на компакте можно оце-
оценить через максимум модуля в его окрестности, то следующее
определение совершенно аналогично.
Определение 9.1.1. Если /CcrLC/1— компакт, то пространство
А' (К) аналитических функционалов, сосредоточенных на К,—
это пространство таких линейных форм и на пространстве А це-
целых аналитических функций в 1С/1, что для любой окрестности
со компакта К
(9.1.1) |и(фI<С.зир|ф|, феЛ.
(О
Пример. ы(ф)= ? ао?)аф@)/а! является аналитическим функ-
ционалом, сосредоточенным в, точке 0, тогда и только тогда,
когда |аа| =^ Ceeiai для каждого е>0. (Достаточность следует
из неравенств Коши, а в необходимости убеждаемся, взяв q>(z)
= za.) Форма и не является распределением, если только сумма
не является конечной.
В определении достаточно ограничиться полиномами ф, по-,
скольку любая целая аналитическая функция локально есть
равномерный предел конечных сумм своего ряда Тейлора. От-
Отметим, что А'(К)—пространство Фреше с наилучшими постоян-
постоянными Ccu(u) в качестве полунорм.
Вопреки тому, что можно ожидать по аналогии с &"(К), не
всегда верно, что ие А'(К\)[\А'{К2) влечет иё А'(К\ Г\К2). На-
Например, для функционала
1
u(q>)=\tq>(z)dz,
минимальным множеством, на котором он сосредоточен, являет-
является любая С1-кривая, соединяющая 0 и 1. Мы, однако, докажем,
что это верно в случае Ki, /СгсИЗ", представляющем для нас
основной интерес. В качестве первого шага в этом направлении
будет доказано, что если u^Af(K), /CcilR", то ы(ф) можно
определить для всех ф, аналитических лишь в окрестности К.
Предложение 9.1.2. Пусть К — компакт в IR* и г > 0. Положим
КЕ = {z е С"; IRez — *|-f2|Imz|<e для некоторого х е К}.
Для каждой функции ф, аналитической в окрестности V ком-
компакта Ке, существует последовательность ф/ ge А, для которой
Доказательство. Выберем функцию % е С" (V Л R"). равную 1
вбЛИЗИ Ке П R". И ПУСТЬ
где Е,- — нормализованная гауссова функция
Так как ?,-ёЛ, то ясно, что ф,-еД. Множество Кг определяется
соотношением
Kz = {z; 2|Imz|<^(Rez)}, F(y) = e- mini x - y\.
По неравенству треугольника \F{y) — F(y')\^Z\y — y'\. Если
zq=Xq-\- iy0 s Ke, to в Кг при 0 ^ t ^ 1 лежат цепи
, 0:
ityQ(l-\x-xQ\/2\y0\), |х-хо\<2\уо\,

384 9. Гиперфункции
9.1. Аналитические функционалы 385
имеющие одинаковую границу. Поскольку форма Ej(z— ?)ф(?)Х
X dt,i Л ... Л dt,n замкнута в /Се> то по формуле Стокса получаем
El(z-x)%(x)q>(x)dx
Г (го, 1)
Возьмем z = 2о н заметим, что
если | х — *о I > 211/о 1>
Re(-(zQ-?, 20- $)) = -\xQ-х|2 +1х -х0Р/4 = - 3\х-х0Р/4,
если ^еГ(г0, 1), Re? = *.
Так как в интегралах |ф(?)— Ф (zo) | ^ С | *— jco|, то заключаем,
что
Фу (г0) - Ф (z0) J Е, (го — х)%(х)dx
Далее, при j-+oo последовательность
l-\jEi(zQ-x)x(x)dx=\(l~%(x))Ei(zQ~x)dx
экспоненциально убывает, так как Re<z0— x,z0 — х} имеет по-
положительную нижнюю грань, когда zo s Кв и jcesupp(l—%)•
Это завершает доказательство.
В обозначениях предложения для и^А'(К) в силу (9.1.1)
имеем
I «(Ф/) — « (Фа) ! < С sup | Фу — ФЛ | -> 0 при /, &->оо,
и, следовательно, мы можем определить
и (ф) = lim и
Так как множества Ке образуют фундаментальную систему
окрестностей компакта К, то ясно, что мы сейчас получили одно-
однозначное определение и(ф) для любой функции ф, аналитической
в некоторой окрестности оэ компакта К, и (9.1.1) остается спра-
справедливым для всех ф, аналитических в оз.
Теперь со всяким и^А'(К) свяжем его регуляризацию, по
котр'рой и может быть удобно восстановлен. Пусть Е — фунда-
фундаментальное решение оператора Лапласа в 'Rn+I, указанное в тео-
теореме 3.3.2, и
= (х,
является нечетной по хп+\ функцией, гармонической вне КУС{0}
и стремящейся к ±«/2 при xn+i->±0. Следовательно, и есть
скачок при переходе через плоскость xn+i=0 гармонической
функции U, что ясно также из равенств
Rn+1. Если ые Со(/f)> где К — компакте R", то
-yf + xl+iy(n+l)l2dyfcn+i
= kP* (ы
) = ы®<3„+16.
Очень немногое нужно изменить в этом обсуждении для и е
А'(К):
Предложение 9.1.3. Если К — компакт в R" и меЛ'(/(), то
(9.1.2) U{X) = u9{P{X-{y,0)))
есть нечетная по xn+i функция, гармоническая в Rn+'\(/CX{0})-
Если Ф — гармоническая в Rn+1 функция и 5C^Coe(Rn+1) равна
1 в окрестности компакта /СХ{0}, то
(9.1.3) и(дп+1Ф\Хп+1=0)=-\иА(%Ф)с1Х.
Доказательство. U(X) определена при вещественныхХ§?/СХ{0}»
так как функция у->-Р(Х — (у, 0)) является в этом случае ана-
аналитической в окрестности компакта К. Из непрерывности и вы-
вытекает непрерывность U и возможность вычислять производные
U путем дифференцирования Р в (9.1.2). Из гармоничности Р
вне 0 следует гармоничность U. Для доказательства (9.1.3) за-
заметим, что если Уе,К"+| и х = 1 вблизи Y, то
\jP(X-Y)A (хФ) (X) dX = (АР (X - Y), %Ф (X)) = (дп+ ,ву> %Ф)
= -дп+1Ф(?).
Вследствие единственности аналитического продолжения это
остается справедливым для всех Y из комплексной окрестности
^Х{0} в С/4, и левая часть есть равномерный предел соответ-
соответствующих римановых сумм. Полагая У = (г/,О) и действуя функ-
функционалом и на каждое слагаемое римановой суммы, получаем
(9.1.3). Равенство (9.1.3) полностью определяет и, поскольку
имеет место
Лемма 9.1.4. Для всякой целой аналитической функции ц> в С,п
существует и единственна целая аналитическая функция Ф в
25 Зак. 821

386 9. Гиперфункции
9.1. Аналитические функционалы 387
,С,"+1, для которой
л+1
(9.1.4) ? (Э2Ф/<3;г2 = 0 и Ф = 0,
+,Ф = ф при 2„+,
Для каждого R > 1 существует такая постоянная CR, что
(9.1.5) |ФB,2„+1)|<Сл|2„+1| sup |ФE)|.
1СКЛ||
Доказательство. Если Ф удовлетворяет (9.1.4), то
u(t, *) = ФB + ;г„+1дс, zn+lt), isR, xeR",
является решением волнового уравнения d2u/dt2 = S.xu и
и = 0, du/dt — zn+lq>(z -\-izn+xx) при * = 0.
Поэтому из теоремы 6.2.4 вытекает, что
где Е+(\) — распределение с носителем в {jce Re; |*|^ 1}.
имеющее явный вид F.2.4)'. Это доказывает единственность в
(9.1.5). С другой стороны, если мы определим Ф по этой фор-
формуле, то получим целую аналитическую функцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую (9.1.4) при zn+i > 0 и вещественных z/i. Но целая функция
^д^Ф/дг*, равная 0 на таком множестве, обращается в нуль
тождественно. Итак, лемма доказана.
Замечание. Прямое доказательство можно получить, оценивая
члены разложения в степенной ряд
Ф (г, гп+[) = ? z
*+« (-
A)k Ф (z)/Bk + 1)!.
Как уже отмечалось, из леммы 9.1.4 следует инъективность
определяемого формулой (9.1.2) отображения, сопоставляющего
аналитическим функционалам гармонические функции. Теперь,
используя эту лемму, мы докажем его сюръективность.
Предложение 9.1.5. Если К — компакт в R" и U — гармоническая
в Rn+1\(/CX{0}) функция, нечетная по хп+и ТО существует
единственный функционал и^А'(К), для которого имеет место
(9.1.3), когда %е= C~(R"+1), %= Х
вольная гармоническая функция в >R1+1. Имеем
uy(P(--(y,0)))-U = H,
где функция Н гармонична в Rn+l; H тождественно обращается
в нуль тогда и только тогда, когда U-+0 на бесконечности.
Доказательство. Правая часть (9.1.3) не зависит от выбора %,
так как она равна 0, если %^С™(Rn+1 \(К Х@}))- Следова-
Следовац
C~(R"+1), %=\ вблизи /СХ{0} и Ф — произ-
произR1+1 И
тельно, для всякого 6 > О можно выбрать % так, чтобы расстоя-
расстояние от любой точки из suppx до /СХ{0} было <Сб и функция
X была четной по xn+i. Тогда в случае функции Ф, четной по
хП+и (9.1.3) выполняется автоматически. Для полинома ф в С
определим теперь
(9.1.6) и(ф) =
где Ф дается леммой 9.1.4. Взяв в лемме R = 4/3, получим
«76
так как если | х — у f + jcn+1 < б2 для некоторого у е К, то из
неравенства \z — Jc|^4|jcn+i|/3 следует, что \г — </|<76/3, от-
откуда z e Kye- Это доказывает, что иеЛ'(/(), Из соображений
непрерывности справедливость (9.1.3) вытекает теперь для лю-
любой целой гармонической функции Ф, нечетной по xn+i, а зна-
значит, и для произвольной целой гармонической Ф.
Из предложения 9.1.3 мы знаем, что для гармонической в
Rn+I\(/CX{0}) функции
= ut(P(X-(y, 0)))
вместо U. Записывая H=U\ — U, по-
по(9.1.3) справедливо с
лучаем
для любой целой гармонической Ф. Выберем теперь 5Ci()
так, что %i = 1 в окрестности /СХ{0} и % = 1 на supp%i. Тогда
A—%i)# = Н{ е С°° и для всех экспоненциальных решений Ф
оператора А в R"+1 имеем
0 = J Я,Д (хФ) dX = J (АЯ,) Ф dX.
Поэтому из теоремы 7.3.2 и леммы 7.3.7 вытекает, что A#i = А/
для некоторого fsC". Это означает, что Hi — / есть гармони-
гармоническая функция, равная Н вне некоторого компакта, а значит,
и вне /СХ{0}. Таким образом, Н продолжается до функции,
гармонической в Rrt+1. Поскольку в силу принципа максимума
равенство Я = 0 эквивалентно условию #-»-0 на бесконечности
и так как Ui-+0 на бесконечности, то получаем последнее
утверждение предложения. Для любой гармонической в Rn+I
функции Ф равенство (9.1.3) имеет место, так как оно верно,
если заменить U на U\, a
25*

388 9. Гиперфункции
9.1. Аналитические функционалы 389
• Теперь все готово для доказательства некоторых важных фак-
фактов, касающихся элементов пространства
i4'(R») = U А'(К).
Теорема 9.1.6. Для «e^'fR") существует наименьшее ком-
компактное множество KcR", для которого и^А'(К). Оно назы-
называется носителем функционала и.
Доказательство. Пусть К есть пересечение всех компактов
/C'czR", для которых и^А'(К'). В силу предложения 9.1.3
формула (9.1.2) определяет функцию, гармоническую в
RB+l\CK'X{0}). Она однозначно восстанавливается по своему
сужению на дополнение к плоскости *n+i = 0. Функции, полу-
получаемые при разном выборе К', должны, следовательно, совпа-
совпадать в общей области определения. Вместе они дают гармониче-
гармоническую функцию в Rn+1\(/CX{0}). Тогда ы<= А'(К) в силу пред-
предложения 9.1.5.
Следующим шагом является доказательство теоремы о пол-
полноте для аналитических функционалов. Затем с целью подго-
подготовки к построению граничных значений аналитических функций
Б § 9.3 мы рассмотрим аналитические функционалы, сосредото-
сосредоточенные на компактах, лежащих вблизи IR", но не содержащихся
в нем. Для этого нужно иначе взглянуть на предложения 9.1.3
и 9.1.5. Если ыеЛ'(/Се), где Кв определено в предложении 9.1.2,
то (9.1.2) определяет функцию U, гармоническую в дополнении к
KE = {X<=Rn+l; \х — г/|2 + л?+1<Б2 для некоторого уе=К}-
Для этого достаточно показать, что
l+l
>0, если X ф КЕ
(9.1.7) Re(x-z, x-
Левая часть равна
и для некоторого у е К
IRez —y| + 2|Imz|<e.
ПОСКОЛЬКУ X ф Кг, ТО
e2<U-yl2 + 4+i-
Поэтому неравенство треугольника дает
/Се.
что доказывает (9.1.7). С другой стороны, мы фактически убе-
убедились при доказательстве предложения 9.1.5, что из гармонич-
ности U вне Ке следует принадлежность и к A'(Kit)- Сейчас мы
готовы к доказательству ключевого результата о полноте.
Теорема 9.1.7. Пусть Ко и К —компакты, /Coc:/tcrRn и
Uj e А' (С). Предположим, что
(i) для любой компактной окрестности V множества К в
С" имеем и,-еЛ'(У) при больших /;
(и) для любой компактной окрестности Vo множества Ко
в ,С" имеем
Uj — ий <= A' (Vo) при больших j, k.
Тогда найдется такой функционал и^А' (К), что для любой
компактной окрестности Vo множества Ко
(Ш) и — щ е A'(Vo) при больших j.
Условие (Ш) определяет и однозначно по модулю А'(Ко)-
Доказательство. Если (ш) выполнено для v вместо и, то
и — vеЛ'(Vo) для произвольной Vo, откуда и — OGi4'(Ко),
как и утверждалось. Остается доказать существование и. Вы-
Выберем последовательность е/-»-0 так, что в обозначениях пред-
предложения 9.1.2
(и)' и, — иь «= А' (/Со, Е/), если &>/.
Как мы только что видели, из (i)' следует, что функция
U,(X) = uly(P(X-(y,0)))
гармонична вне Ке., а из (И)' — что Uj—Uk гармонически
продолжается в дополнение к Ко, е/ при k > /'. По теореме Рунге
об аппроксимации (теорема 4.4.5) Uj+i — U/ может быть аппрок-
аппроксимирована в С/Со, ei функциями, гармоническими в дополнении
Q к /СоХ{О}. Действительно, множество Ко, е/ не является объ-
объединением двух непересекающихся непустых компактных мно-
множеств, одно из которых не пересекается с /СоХ{О}. поскольку
Ко, е. есть объединение шаров с центрами в /СоХ{О}- Пусть
Mj = {X s Rn+1; | X | < /, | х - у f + х2п+1 > 2е2, для всех у е= Ко}-
Это компактные подмножества из дополнения к Ко. е/- Прн
/->оо они расширяются до Q. Поэтому можно так выбрать функ-
функции Vj, гармонические в Q, что
(9.1.8)
Uf+l — Uf —
на М,-
(Строго говоря, Uj+i — Uj нужно заменить на соответствующее
гармоническое продолжение в дополнение к Ко, е,-) Так как V/

390 9. Гиперфункции
9.1. Аналитические функционалы 391
можно заменить в (9.1.8) на (V/(x, xn+l)—Vj(x,—хп+{))/2, то
V,- могут быть взяты нечетными по хп+\.
Из (9.1.8) вытекает, что предел
U = \im(Uj-Vl- ... -V,-i)
существует и гармоничен вне /СХ{0}> Так как сумма гармонична
вне Ко,е- в силу (9.1.8), а остальные члены гармоничны вне
Ке . Пусть и — соответствующий функционал из А' (К). По-
Поскольку U— U/ гармонична вне Ко, е-> имеем и — и,- е А' [Коле]),
что и доказывает (ш).
Следующая теорема в некотором смысле заменяет существо-
существование разбиений единицы.
Теорема 9.1.8. Если Ки ..., Кг— компакты в R" и u^A'(Ki[)
... U Кг), то существуют такие щ е А'(/С/), что
Доказательство. Утверждение достаточно доказать при г = 2.
Функция U, даваемая равенством (9.1.2), гармонична вне
K1UK2, где Я/ = /С/ X {0} • Теорема будет доказана, если удастся
разбить U в сумму двух слагаемых
где Uj гармоничны вне К/. Для этого с помощью следствия
1.4.11 выберем функцию фе C°°(R"+1\(?i ПК2)), равную 0 при
большом \Х\ и вблнзн ЯгХО^лПЯг), но равную 1 вблизи
#\ (Ki П Я2) • Тогда функции
С00 (;R "+'\ (Дл
обладают требуемыми свойствами, если v
и
Здесь мы по определению полагаем ф?/ = 0 вблизи Яг\ (Я1 П -
и A — ф)?/ = 0 вблизи ^i\(^ifl-^i2)- Так как функция (p)
обращается в нуль вблизи ^i U Кг\ (Ri П Кг), то вне ^i П ^2 она
принадлежит С00. Существование v является, таким образом,
следствием теоремы 4.4.6. (Отметим, что последняя получается
на основе еще одного приложения теоремы Рунге об аппрокси-
аппроксимации.)
В заключение заметим, что если и e<ff'(R"), то и опреде-
определяет элемент из A'(Rn) с тем же носителем. Действительно, гар-
гармоническая функция U(x,xn+i), определяемая равенством
(9.1.2), имеет в 2>' пределы ±ы/2 при *rt+i->±0. Поэтому гар-
гармоническое продолжение U возможно лишь вне suppuX{0}-
Следовательно, имеется сохраняющее носители вложение
Операции, определенные для распределений в гл. 3—7, легко
переносятся на A'(Rn). Мы ограничимся лишь кратким напоми-
напоминанием, оставляя все детали читателю.
а) Если «sA'(R"), то <5у-ие A'(R") можно определить со-
соотношением
для целой функции ф, так как sup|d?f| оценивается через
со
sup|фj по произвольной окрестности компакта©.
Ь) Если и^А'{К), К a R", и / аналитнчна в окрестности ю
компакта К, то fu определяется соотношением
для функции ф, аналитической в оз. Здесь, конечно, существенно,
что предложение 9.1.2 позволяет нам распространить и на все
функции, аналитические в со.
c) Если ие= A'(R") и »GA'(Rffl), то и® v <=A'(Rn+m) опре-
определяется как
(и ® о) (ф) = их (vy (ф (х, у))) = vy (их (ф (х, у))),
тде ф — многочлен в С"+/п. При этом второе равенство очевидно,
а первое является определением. Ясно, что в результате полу-
получается аналитический функционал, сосредоточенный на supp и X
supp v.
d) Если /Се A'(RnX R) и v аналитична в окрестности
проекции supp К на Rm, то jtfv gA'(R") определяется соотноше-
соотношением
для всякой целой функции ф на С".
е) Если и^А'(К), где К—компакт в R", и / — вещественно
аналитическое отображение открытого множества ш a R на ок-
окрестность компакта К, a h — обратное отображение, то обратный
образ f*u ge A'(f*K) определяется как
для функции ф, аналитической в оз.
f) Если м,оеА'(Р"), то с), d), e) позволяют нам опреде-
определить и * v, действуя обратным образом функционала и <8> v при

392 9. Гиперфункции
отображении (х, у)-*-(у, х — у) на функцию, тождественно рав-
равную 1.
g) Если и^А'(К), где К — компакт в R", то преобразование
Фурье — Лапласа
и (?) = «(exp(-t <.,?»)
есть такая целая аналитическая функция, что для всякого е > О
Это немедленно вытекает из определения пространства А'(К)-
Обратно, всякая целая функция, удовлетворяющая этим оцен-
оценкам, есть преобразование Фурье — Лапласа единственного эле-
элемента из А'(К). Единственность здесь следует из того, что
u(P) = P(—D)u@)
для любого полинома Р. Доказательство существования будет
дано в теореме 15.1.5, и пока этот результат использоваться не
будет.
9.2. Общие гиперфункции
Мы хотим определить гиперфункции в R" таким образом, чтобы
локально они были эквивалентны аналитическим функционалам
с компактными носителями в R". Осуществлено это будет в
два этапа.
Определение 9.2.1. Если IcR" открыто и ограничено, то про-
пространство гиперфункций В(Х) в X определяется как
(9.2.1) В(Х) = А'(хIА'(дХ).
Здесь читатель может возразить, что это не дает желаемого
результата в случае распределений, поскольку
Однако определение 9.2.1 оправдает себя, как только будет
доказан аналог теоремы 2.2.4 о локализации.
Если u,v^A'(X) и и— v^A'(dX), то Zf)suppu =
X П supp v, так как supp и с: supp v \j дХ и supp v с: supp и (J дХ.
Следовательно, корректным является определение носителя
класса и' функционала и в В (X) по формуле
supp «" = ATI supp ы.
Если У а X и X, У открыты и ограничены, то для любого
Л'(^ найдется такой функционал t»e Л'(р),что У Л supp (и —
9.2. Общие гиперфункции 393
v) = 0. Это вытекает из теоремы 9.1.8, примененной кии ком-
компактам 7 и X\Y. Класс v функционала v в B(Y) однозначно
определяется классом и' функционала и в В(Х) и называется
ограничением w на У. Отметим, что ограничение и' на У равно О
тогда и только тогда, когда У Л supp и = 0. Как и в случае рас-
распределений, носителем гиперфункции является, следовательно,
наименьшее замкнутое множество, такое что ограничение гипер-
гиперфункции на дополнение к этому множеству равно 0. Определе-
Определение sing supp и также без изменений переносится на случай ги-
гиперфункций.
Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему о ло-
локализации.
Теорема 9.2.2 Пусть Xj — открытые множества в R" с ограни-
ограниченным объединением X. Если щ е В (Xj) и ш = щ в Xi f] X;
(т. е. их ограничения совпадают) для всех i, j, то существует
единственная гиперфункция «ей(X), ограничение которой на
Xj равно Uj для всех j.
Доказательство. Единственность очевидна, поскольку если v об-
обладает теми же свойствами, что и и, то носитель и — v пуст,
откуда и — v = 0. Доказательство существования мы начнем со
случая лишь двух открытых множеств Х\ и Х2. Выберем функ-
функционалы Uj^A'(Xj), определяющие щ при /= 1,2. Носитель
U\ — U2 содержится в
(Х{ U Х2) \ (Хх П Х2) с (С*, П Х2) U № П СХ2).
Поэтому теорема 9.1.8 приводит к разложению
Теперь равенство
U Х2)
•> Определение Н^ см. в § 4.3. — Прим. ред.
определяет элемент из B(Xi\JX2), ограничения которого на X,-
совпадают с и,- при /==1,2.
Далее предположим, что имеется счетное число множеств X,-,
7 = 1,2 Повторное использование результата, относя-
относящегося к только что доказанному частному случаю, дает после-
последовательность v,^.B(X\\] ... \}Xj) с ограничениями щ на Xi
при i^/. Пусть функционал У,- ^А'{Х^\] ... U Xj) лежит в
классе1_определяющем гиперфункцию vj. Поскольку supp(Vj —
Vk)aX\(Xi U ... [}Xj) при k>j, то из теоремы 9.1.7 следует
существование такого функционала V^A'(X), что supp(V —
V/) с=-Х\ (Xi U ... \JX/) при любых /. Итак, класс и функцио-
функционала V обладает требуемыми свойствами.

394 9. Гиперфункции
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 395
Если имеется более чем счетная система множеств Xs, мы
выберем счетную подсистему с тем же объединением и соответ-
соответствующую ей гиперфункцию и. Установленная в самом начале
доказательства единственность показывает, что ограничение и
на X,- совпадает с и/ для всех /.
Из теоремы 2.2.4 и замечаний в конце § 9.1 следует, что
имеется вложение Ф'(Х)-+В(Х). Отметим здесь также, что ги-
гиперфункции из В (X) с компактными носителями могут быть
отождествлены с функционалами из A'_(Rn), имеющими носи-
носители в X. В самом деле, пусть и^А'(Х), и предположим, что
носитель класса и' есть компакт /СсгХ. Тогда supp и сг К U дХ,
и по теореме 9.1.8 существует разложение
и — щ + щ, «ie А' (К), U2<=Af(dX),
единственное в силу пустоты пересечения К и дХ. Это означает,
что и' = и[ для единственного иу е А' {К).
Несложно распространить на В(Х) операции на A'(Rn), об-
обсуждавшиеся в конце § 9.1. Прежде всего ясно, что наличие ве-
вещественного аналитического диффеоморфизма / окрестности
компакта У на окрестность компакта X для двух открытых огра-
ограниченных множеств X и У в R" (отображающего У на X) при-
приводит к биективному отображению
Г: В(Х)->В(У),
возникающему из биекций
Г: А'(Х)->А'(У) и Г: А'(дХ) ^ А'(дУ).
Оставляем читателю простое доказательство равенства
Теперь мы в состоянии определить В(Х) для любого веще-
вещественного аналитического многообразия X. Сначала выберем
атлас ?F аналитических диффеоморфизмов х: Хк-+Хк коорди-
координатных окрестностей Хк ш X на открытые ограниченные множе-
множества XKm\Rn так, чтобы х допускали аналитические продолже-
продолжения на окрестности их замыканий. Тогда диффеоморфизм
хх'~': у.'{Хн{\Х^^%{Хк{\ХЛ х, х'еУ,
имеет аналитическое продолжение на окрестности замыканий и,
значит, определено отображение
(их'" ')*: В (х (Хк П XW)) -> В (х' (Хк П X*)).
Поэтому гиперфункцию и^В(Х) можно определить как набор
гиперфункций их^В(Хм), xe^F, для которого имеет место
F.3.3). Простое, но утомительное доказательство независимости
В(Х) от выбора атласа и согласованность с ранее приведенным
для случая X Ш R" определением мы предоставляем добросо-
добросовестному читателю.
Понятия носителя н ограничения немедленно переносятся на
общий случай. Окончательно целесообразность определения
9.2.1 подтверждается следующей теоремой.
Теорема 9.2.3. Если X — вещественное аналитическое многообра-
многообразие и У — его открытое подмножество, то всякая гиперфункция
u^B(Y) есть ограничение на У гиперфункции v^B(X) с носи-
носителем в У.
Доказательство. Пусть х: Хк->-Хк — система координат (при-
(принадлежащая ^") на X. Тогда класс мхе5(х(УП^х)) элемента
{/еЛ'(и(УПХх)) определяет также гиперфункцию VgB(^),
так как x(Yf\Xx)cz Хк. Ограничение V на и(УП-^и) равно ых.
И X
(f\x) к р (Пи) р х
Искомое продолжение и на Y\)XK немедленно получается, если
к атласу на У с координатными окрестностями ШУ мы добавим
систему координат х с гиперфункцией V. Действуя таким же
образом, мы можем последовательно продолжить и на всё X.
(Если X не имеет счетного атласа, то нужно воспользоваться
леммой Цорна, но подобная общность для нас интереса не пред-
представляет.)
На случай вещественного аналитического многообразия X и
его открытых подмножеств X,- немедленно обобщается теорема
9.2.2. Так же обстоит дело с определением произведения fu ги-
гиперфункции иб?(X) и вещественно аналитической в окрестно-
окрестности supp и функции / и с определением тензорного произведения.
9.3. Аналитический волновой фронт
гиперфункции
Определения 8.1.2 и 8.4.3 множеств WF и WFl не имеют смысла
в случае гиперфункций, однако использовать для них эквива-
эквивалентное описание из теоремы 8.4.11 оказывается возможным. Для
краткости мы ограничимся обсуждением лишь WFa- Обозначая,
как и выше, через К аналитическую в {2; |Imz|2 < 1 -j-1 Re г;|2}
функцию, построенную в лемме 8.4.10, докажем сначала аналог
части теоремы 8.4.11.
Предложение 9.3.1. Если aGA'(R"), то
— аналитическая функция на множестве
Z = {z; |Imz|2< I +|Rez — t\2,

396 9. Гиперфункции
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 397
Если X — ограниченная открытая окрестность компакта supp и
в R", то
(9.3.1) ы(ф)
где у (со, б) — цепь
J J
Для любой функции U, аналитической при |Imz|<; 1, и любого
ограниченного открытого множества X через 2(?/, X) обозначим
множество всех тех yeR'c |у|= 1. для которых U аналитична
в точке х + iy при всех х е дХ. Тогда функционал, определяе-
определяемый формулой
принадлежит А'(К) при jgR", \y\<.\, и функционал Ux мо-
может быть доопределен для всех y^I,(U,X) так, чтобы Ux был
непрерывной функцией от у со значениями в А'{Х). Таким обра-
образом, формула
Vх(Ф) = [ Vх(Ф)d\k(со) = lim \\ U(х + irco)Ф(х)dxd\i(со), Фе= А,
J г-mJJ
определяет функционал из А'(X) для произвольной меры d\i
с носителем в 2(?/, X).
Доказательство. Если z^Z, то К (z — t)—аналитическая по t
функция в комплексной окрестности компакта supp и. Поэтому
U определена в Z и аналитична, поскольку производные от U
получаются дифференцированием К- Если феЛ нг<1, тп
U (х -f ira) ф (х) dxda — u (Фг),
|=1 X
=1 X
loo 1 = 1 X
(Напомним, что функция К четная.) По теореме 8.4.11 Фг->-ф
в Ф'(Х) при г-*-1. Выберем такую функцию %^С™(Х), что
O^x^l и Х==1 в окрестности supp и. Тогда по формуле
Стокса
... hdzn,
X э х -> х + ie% (x) со.
Устремляя г к 1, видим, что Фг@ имеет аналитический предел
в комплексной окрестности компакта supp и. Этот предел с не-
необходимостью совпадает с q>(t), что доказывает (9.3.1).
Переходя ко второй части предложения, в тех же обозначе-
обозначениях имеем
U$ (Ф) = \ U(z + iy) Ф B) dzx Л ... Л dzn,
если |г/|<1 и |г/ + еоэ|-<1. Это доказывает утверждение о не-
непрерывности в точках множества
{г/; |у|=1, (г/, со) < — 1/2, U аналитична в точке x-\-iy при
х<=Х, %(х) = 0).
Поскольку вектор со е Sn~l произволен и % может быть выбрана
равной 1 на любом компакте из X, доказательство завершено.
В обозначениях первой части предложения 9.3.1 предполо-
предположим, что для некоторой точки х0 е supp и функция U аналитична
во всех точках вида Ло + ico, где |со|=1. Тогда U аналитична
на Af-f- iS"-1 для некоторой компактной окрестности М а X
точки Хо. Поэтому
Y(co,e)
10I = 1 М
Ограничение и на внутренность М является, следовательно, ана-
аналитической функцией
- to) dco, x ge M.
Определение 9.3.2. Если «geA'(R"), to WFa(u) — это множество
всех (х, g)e R"X(R"\0), для которых U = K*u не аналитична
в точке х — il/1g|.
Только что мы доказали совпадение проекции WFa(u) на R"
с singsuppAu. Так как WFA(u) определяется локальными свой-
свойствами и в точке х, то определение немедленно переносится на
общие гиперфункции в открытом подмножестве пространства
R". Чтобы доказать справедливость результатов § 8.4—8.6 для
гиперфункций, мы будем последовательно использовать гранич-
граничные значения функций, аналитических в трубчатых областях.
Сейчас мы установим аналог теорем 3.1.15 и 8.4.8.
Теорема 9.3.3. Пусть X — открытое множество в R", Г — связ-
связный открытый конус в R"\{0} и f — аналитическая функция

398 9. Гиперфункции
в таком открытом множестве Zcz С", что для всякого откры-
открытого множества ХушХ и замкнутого выпуклого конуса Т\ с
Г U {0} при некотором у > 0
Zd{zsC";
u 1гагеГ,, 0<|Imz|<v}.
Тогда
(i) найдется единственный mod А'(дХ\) элемент /х, е Л' (Xi),
не зависящий от Гь для которого аналитический функционал
сосредоточен в произвольно заданной окрестности компакта дХ\
в .С", если yeFi и \у\ достаточно мал. Таким образом, fXi
однозначно определяет гиперфункцию из В(Х{).
(И) Если Z2 <= ^i — другое открытое множество, то fXs — fXi^
е А' (Хх \ ХЛ и поэтому существует единственная гиперфунк-
гиперфункция fx^B(X), имеющая то же ограничение на Хи что и
fXi, для любого Xv
(iii) Если, как в теореме 3.1.15, \f(x-\-iy)\s?:C\y\-N при
jcg^i, y^Ti, |y|<Y> то ограничение fx на Х\ равно предель-
предельному распределению, существование которого гарантирцется тео-
теоремой 3.1.15.
(iv) Если f допускает непрерывное аналитическое продолже-
продолжение на окрестность компакта дХи то при Г\ эу->0 аналитиче-
аналитический функционал
ф-> \f(x + iy)q>(x)dx, ф«=Л,
х,
стремится в А'{Х\) к элементу, удовлетворяющему условию (i).
(v) Если fx = 0 на некотором непустом XtcX и Z связно,
f 0
f fx
(vi) WFA(fx)cXX(T°\{0}).
Доказательство. Аналитический функционал
ф
f(x + iyd Ф (х + iy\) dx
х,
iy2) Ф (х + iy2) dx
сосредоточен на dXi -\- i[y\, ys]. Действительно, если граница
dXi гладкая, то по формуле Стокса написанная выше разность
равна интегралу замкнутой формы f(z)tp(z)dziA...Adzn по
цепи дХ\ + i[y2, у\]. В общем случае Х\ может быть сколь угод-
угодно точно аппроксимировано открытым множеством с О'-грани-
цей. Поэтому (i) вытекает из теоремы 9.1.7. Для доказательства
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 399
(ii) нужно лишь заметить, что аналитический функционал
^ f(x + iy) q>(x + iy) dx
сосредоточен на Х\\Х2 + iy, так как отсюда следует, что
fx — fx сосредоточен на произвольной окрестности компакта
^!\Х2 => дХх U дХ2. (iii) Пусть f0 — предельное распределение
в 3!)'(Xi). Если яре Л, то о|з/о — предельное распределение для
¦ф/. Поэтому C.1.20) дает
Ыо. Ф> = \ Ф (х, У) Ш) (х + iy) dx
+ (#+1) [[ Ш)(х+иу) У (daHp(x)(iy)a/a\)tNdxdt.
Здесь феС*A|), Ф определяется посредством C.1.18) и ysFi,
\у\<Су. Формула C.1.20) позволяет продолжить /0 до распре-
распределения из &'{Х\), если в ней ограничиться интегрированием по
Х\, афЕ С~ (R"). Для функции феСом{Х\), равной 1 на боль-
большом компактном подмножестве в Хи из предыдущей формулы
вытекает, что функционал
сосредоточен на дХ{ + t[0, у]. Поэтому единственность, установ-
установленная в (i), приводит к соотношению /0 — fXi e Л' (дХ^, откуда
fx = U в Х\. (iv) К существованию предела f0 в А'(Х\) приво-
приводят те же рассуждения, что и в доказательстве предложения
9.3.1, и мы оставляем их читателю. Поскольку
f (х + iy)ф(х + iy)dx->f0(ф), чреЛ,
из (i) вытекает, что функционал fXi — fQ сосредоточен на дХ\.
Для доказательства (v) и (vi) обозначим через Ry разность
из (i), сосредоточенную в произвольной окрестности компакта
dXi при малом \у\. Тогда
iy)dt = Ry (K(z - •)).
X,
если |1тг| + |г/|< 1, У^ГЬ \у\<у. Здесь функция Ry(K(z —
•)) аналитична на любом компактном подмножестве в
{z; |Imz|2< I +|Rez — х\2, x&dXi}, если \у\ мал. Если

400 9. Гиперфункции
fXi& А' (дХ^ н Х2ШХ{, то функция
Fy{z)=\K{z-i- iy) f (t + iy)dt
аналитична в фиксированной комплексной окрестности компакта
%2 + t'S"-1 при j/sl1! и малом \у\. Поэтому функция
/ (х + iy) =
I
аналитична для х из некоторой фиксированной комплексной
окрестности компакта Х2 при малом \у\. Следовательно, функ-
функция / допускает аналитическое продолжение в некоторую окре-
окрестность компакта Х2. Это продолжение тождественно равно 0 на
Х2. Поэтому / = 0 на Z, если Z связно, что доказывает (v). Для
доказательства (vi) заметим, что функция
K(z — t — iy) f(t-\- iy) dt + Rtt{K(z— ¦))
x,
аналитична на Х2 + ко, если |со — y\ < 1. Так как
|co-z/|2=l-2<(o, y) + \y\2,
то последнее неравенство имеет место в случае <со, у} > 0, если
заменить у на еу для достаточно малого б > 0. Итак, функция
К * fx, (z) аналитична на Х2 + ico при всех ю, кроме тех, для ко-
которых <со, у} ^ 0 при любых i/еГ, т. е. —со е Г°. Этим завер-
завершается доказательство (vi) и теоремы в целом.
Гиперфункция fx ^ В (X) будет называться граничным зна-
значением функции / из Г. Мы будем изредка использовать обозна-
обозначение f0 из теоремы 3.1.15, но в случае, когда нужно подчерк-
подчеркнуть, что предел берется из Г, будем пользоваться обозначением
bTf. Оно молчаливо подразумевает, что / аналитична на множе-
множестве Z, свойства которого перечислены в теореме 9.3.3. При этом
/ называется Г-аналитической на X.
Приведем утверждение, обратное к (vi) в теореме 9.3.3 (ср.
с теоремой 8.4.15).
Теорема 9.3.4. Пусть X — открытое подмножество в R" и
и<=В(Х). Если
где Г — открытый выпуклый конус в R" \0, то существует такая
Г-аналитическая функция f, что и = bvf.
Доказательство. Для Хх <е X можно выбрать функционал v e
A'(Xi), определяющий и в Хи Положим V=K*v. Пусть Fi —
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 401
замкнутый конус сгГЩО}. Выберем открытое McS" с
Г° П S"-1 а М так, чтобы М содержалось во внутренности конуса
Г°. Если ХхШХошХ, то предложение 9.3.1 показывает, что
v = vI + v2, где
и функционал vi является аналитической в Х\ функцией, a v%
есть граничное значение аналитической функции
V2(z)=
|Imz|<Y.
-M
Следовательно, если Х2 m Xh то ограничение и на Х2 будет гра-
граничным значением функции /, аналитической в {г; Re z s X2,
ImzeFi, |Inizj-<Yi} ПРИ некотором Yi > 0- Единственность
функции /, вытекающая из теоремы 9.3.3 (v), показывает, что
функции /, получаемые из разных П и Х2, в совокупности опре-
определяют Г-аналитическую функцию на X.
Немедленным следствием теоремы 9.3.3 является классиче-
классическая теорема «об острие клина» («edge of the wedge» theorem):
Теорема 9.3.5. Пусть функции /* аналитичны в
Z± = {x + iy; хе=Х, ±уеГ, \у\<у),
где у >> 0, а Г — открытый выпуклый конус. Если /0 = &г/+ =
6-г/ , то /о — аналитическая функция, являющаяся продолже-
продолжением как f+, так и f~.
Доказательство. Если |еГ°П(—Г°), то <г/,|>=0 при всех
уеГ, откуда | = 0. По теореме 9.3.3(vi) получаем, что WT^/o)
пуст. Это означает, что f0 вещественно аналитична. Если вычесть
аналитическое продолжение функции f0 нз /*, то из теоремы
9.3.3 (v) следует, что разность обращается в 0 в Z± при малом
| Im z\. Это доказывает теорему.
Мы можем дополнить предложение 9.3.1 аналогом леммы
8.4.12.
Лемма 9.3.6. В обозначениях предложения 9.Ъ.1 имеем
WFA(Ux) с= {(х, 1); хе=Х,-Ц\1\^ suppdp и
U не аналитична в точке х — i|/|| |} \jdX X(R" №)•
Доказательство. Достаточно заменить ссылку на теорему 8.4.8
в доказательстве леммы 8.4.12 ссылкой на теорему 9.3.3(vi).
Теперь мы подошли к важной теореме о разложении, соот-
соответствующей следствию 8.4.13.
26 Зак. 821

402 9. Гиперфункции
Теорема 9.3.7. Пусть Гь ..., Г/ — замкнутые конусы в R"\{0}
с объединением, равным R"\{0}. Если X — ограниченное откры-
открытое множество в R" и иеВ(Х), то и= ?«/, г^е Uj^B(X) и
WFA(u,)czWFA(u)t)(XXTi),!=h •¦•- J-Если «=?«;- дру-
гое такое разложение, то и'. = и. +
tk >
"/*
= —и/у и
(и/*) cz X X (Г/ П Гй).
Доказательство. Поднимем и до v^A'(X). Пусть У =
определим w/Si4'(P) формулой
= J Vl W) ф; (©)
Здесь У — ограниченная открытая окрестность компакта X,
функционал Допределен в предложении 9.3.1, а ф,- — разбие-
разбиение единицы из доказательства следствия 8.4.13. Тогда ? vf = t/»
и если ы,- — ограничение и,- на X, то
WF(u,)<=WFA(u)u(XXT,)
ввиду леммы 9.3.6. Чтобы доказать вторую часть теоремы, рас-
рассмотрим функционалы ш;еЛ'A), являющиеся продолжениями
гиперфункций u'j — ujt так что до= ]? до;. е Л'(дХ). Заменяя ayi
на w\ — до, можно считать, что ^lwl = 0. Положим Wj = К * До/ и
H ^ -
/ И *<
Так как
то для ограничений
= О,
функционалов Wjk на
V и —и' —и
получаем
что завершает доказательство.
Последняя часть теоремы называется теоремой об острие
клина в форме Мартино. Ее важность, возможно, станет понят-
понятнее, если взять конусы Г,- выпуклыми и собственными, а через
Gj обозначить внутренности двойственных конусов. Тогда по
теореме 9.3.4 имеем и, = Ьа /. и u'i = bQ f, для некоторых G.-ана-
/ /
литических функций ft, f'r Более того, ujk есть предел из G.+
+ Gk функции f.k, //ft= — /ft/, так что
L t L С U t U t
Ik — °Qk\\k — — OQfJki'
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 403
и этим подтверждается равенство
Таким образом, В(Х) может быть определено как множество
всех (fi, ..., //), где // является Gy-аналитической на X, причем
наборы вида
в которых функции fjk = —/и/являются G,- -\- Gft-аналитическими,
отождествляются с 0. (Две Gz-аналитические функции считаются
равными, если они имеют одинаковые Gz-аналитические ограни-
ограничения.) Данное наблюдение можно использовать для перенесе-
перенесения на гиперфункции различных операций, подобно тому как это
делалось в § 8.5. Предположим, к примеру, что X с= R",
YcRm — открытые множества и h — вещественно аналитиче-
аналитическое отображение X-*-Y. Положим
Если u^B(Y) и NhП WFa(и) = 0, то определим h*u так,
чтобы, как и выше, было выполнено соотношение
(9.3.2) WF A (h*u) cz h*WFA (и).
и в окрестности
Для этого возьмем произвольную точку ^
точки h(x0) запишем и в виде
« = /о + И ba.fj,
где /о вещественно аналитична и гк'(хй)х\ф0 при O=?r\^G°
Доказательство теоремы 8.5.1 показывает тогда, что функция
// о h является Gy-аналитической вблизи хо для любого конуса
G',, замыкание которого содержится в h'(xo)~lG/ — внутренности
двойственного к 'ft' (;c0) G° конуса. Поэтому в окрестности точки
хо можно определить
Независимость от использованного разложения гиперфункции
и вытекает из сделанного выше замечания. (Отметим, что если
имеется два разных покрытия Rm\0==Ur,-, то можно перейти
к покрытию, состоящему из конусов Г/, встречающихся хотя бы
в одном из них.) Доказательство теоремы 8.5.1 без всяких изме-
изменений приводит к (9.3.2). В частности,волновой фронт WFA(u)cz
Т*(Х)\0 теперь корректно определен для гиперфункции и на
вещественном аналитическом многообразии X. (Предоставляем
читателю в качестве упражнения проверить, что определение
26*

404 9. Гиперфункции
9.4. Аналитическая задача Коши 405
п*и, данное выше, согласуется с данным в § 9.1 и 9.2 для слу-
случая аналитического диффеоморфизма.)
Если ае В(Х) и v e В (У), то определено u®v^B(XX.Y)n
(9.3.3) WFA (и <8> v) с: (WFA (и) X WFA (v))
U (WFA (и) X (supp v X {0})) U ((suppи X {0}) X WFA (v)).
Достаточно доказать это в случае ХсК"и YczRm. Но тогда
мы можем воспользоваться теоремой 9.3.7 для разложения гипер-
гиперфункций и и v. Утверждение получается, если заметить, что
гиперфункция / <8> g является Gf X Gg-аналитической, если fug
. соответственно Gf- и Gg-аналитичны. Двойственный к GfX.Gg
конус есть G°fX.G°g. Он сводится к G°fX{®}> если Gg — Rm, и
к {0} X G°, если Gf = R".
Остальные построения § 8.5 без изменения переносятся на
случай гиперфункций. Соответствующие повторения мы остав-
оставляем читателю.
Доказательство. При п = 1 из формулы Тейлора получаем един-
единственное решение вида
Рассматривая поочередно по одной переменной, для любого п
при Pi > 0 р* > 0, pft+1 = ... = рл = 0 находим, что
, ..., tkZk, Zk+i, .-., Zn)
k а-'/Л"
dt
является единственным решением граничной задачи. Оценка
(9.4.3) для него очевидна.
Чуть более слабая теорема существования имеет место для
малых возмущений уравнения (9.4.1). Для простоты возьмем
R \
9.4. Аналитическая задача Коши
В лемме 9.1.4 мы уже решили аналитическую задачу Коши для
лапласиана. Чтобы распространить на гиперфункции теорему
8.6.1 в § 9.5, нам потребуется общая теорема существования для
аналитической задачи Коши и точная информация об области
существования решения. Соответствующие результаты будут
доказаны в этом параграфе.
Через z=(zi, ..., zn) будем обозначать точки пространства
С", а через
QR = {z; ]z,\<R, /=1, ..., п)
— полидиск радиуса R с центром в точке 0. Лишь в этом пара-
параграфе Da будет использоваться для обозначения оператора
(d/dZ]) ... (d/dzn)a", действующего на аналитические функции.
Начнем с решения самого простого дифференциального урав-
уравнения
(9.4.1) D*u = f
с граничными условиями
(9.4.2) Dju = 0 при z;. = 0 и О^й<Р/, /=1, ..., л.
Лемма 9.4.1. Для любой функции f, аналитической в QR, суще-
существует и единственно решение уравнения (9.4.1), аналитическое
в QR и удовлетворяющее (9.4.2). Справедлива оценка
(9.4.3)
sup|«|<#!plsup|/|/pL
и* ад
Теорема 9.4.2. Пусть р — фиксированный мультииндекс, \ р | = т,
и пусть аа, ja|^m, и f — ограниченные аналитические в fii
функции, причем
(т2\\
Тогда уравнение
(9.4.1/
Q,
|a|<m
aaDau-\-f
имеет единственное решение, аналитическое в fii/2 и удовлетво-
удовлетворяющее (9.4.2); при этом.
(9.4.3)' supluKO-^r^uplfl/p!.
Для доказательства понадобятся "две элементарные леммы.
Лемма 9.4.3. Если v — такая функция одной комплексной пере-
переменной ?, аналитическая при \Ъ,\ < 1, что
, |С|<1, и о@) = 0,
где a ^ 1, то с той же самой постоянной С
^-IEir", ICK1-
Доказательство. Если а > 1, то утверждение является след-
следствием того факта, что функция от г

406 9. Гиперфункции
достигает своего максимума, когда аA—r)a~l = l, причем ее
максимальное значение A — г)/а меньше \/а. Устремляя а к 1,
получаем утверждение при а = 1.
Лемма 9.4.4. Если функция v аналитична при |?| < 1 и
где а ^ 0, то с той же самой постоянной С
Доказательство. Если 0<е<р=1—|?|, то при |?i — ?|<е
имеем |y(^i)|^C(p — е)-". Следовательно, неравенство Коши
дает |и'(^)^ Се-'(р —е)-°. Выбирая e = p/(a-f 1), мы мини-
минимизируем правую часть, откуда
| o'E)|<C(a+ 1H
<Се(а+
Доказательство теоремы 9.4.2. Мы сведем (9.4.1)' к (9.4.1), по-
последовательно решая с помощью леммы 9.4.1 уравнения
(Q 4 П" Г)ри = У* паПан Л. f
начиная с м0 = 0. По лемме 9.4.1 имеем
Af = sup|«,|<sup|f |/р!.
a, я,
Вычитая два последовательных уравнения (9.4.1)" и записывая
Vv = «v+l — «v, ПОЛУЧИМ Vo — Щ И
aaDavy, v = 0, 1, 2, ....
(9.4.4) D\+l= Z
|o|<m
Мы утверждаем, что с постоянной С = А/2ппг выполнены оценки
(9.4.5) !ovB)|.<CvMn(l-|z/|)-MV, 2GQ,, v = 0, I
При v = 0 это просто определение М. Если (9.4.5) выполнено
для некоторого v, то из (9.4.4) и леммы 9.4.4 следует, что
Так как yv+i удовлетворяет (9.4.2), то можно m раз применить
лемму 9.4.3 и получить неравенство
I wv+1 (г) |< А BпеУт Cv Мет П A - \г, |
9.4. Аналитическая задача Кошн 407
Итак, неравенство (9.4.5) с v + 1 вместо v установлено. При
z e Й!/2 из (9.4.5) вытекает, что
Поэтому предел и = lim uv = ? vv существует и аналитичен
в Qi/2, причем |«|г?:.М/A—А), что доказывает (9.4.3)'. По-
Поскольку limDaUv = Dau для любого а, то при v->oo в (9.4.1)"
получим (9.4.1)'.
Если и — решение уравнения (9.4.1)' с / = 0, ограниченное
в Qi, и выполнены условия (9.4.2), то vv = u удовлетворяют
уравнениям (9.4.4). Как уже было доказано, uv-»-0 в окрестно-
окрестности 0 и, значит, и = 0. Если и есть решение лишь в окрестности
0, то данное заключение применимо к u(Rz) при некотором
R > 0 после замены аа на aa(Rz)/?m~'a|. Это заканчивает до-
доказательство.
Теорему 9.4.2 можно использовать для решения некоторых
смешанных задач, однако мы ограничимся лишь нужной нам
здесь задачей Коши. Так как переменная zn выделена, введем
полидиски с неравными радиусами
при
\zn\<6R}.
\D\+l(z)\<ABneymCvM(em(v+l))m'n.(l-\zl\yni{4+1\ zefi,. (9.4.9)
Теорема 9.4.5 (Коши — Ковалевской). Предположим, что коэф-
коэффициенты дифференциального уравнения
(9.4.6) ? aaDau = /
|a|<m
аналитичны в йд, в и коэффициент ар, р = @, ..., 0, пг), при
D%u равен 1. Если
(9.4.7) 2Bne)m Z Rm-]al6m-a»\aa(z)\^l, гейи,
a f ограничена и аналитична в Q«,e, то уравнение (9.4.6) имеет
единственное аналитическое решение в ?2^/2, в> удовлетворяющее
граничным условиям Коши
(9.4.8) D'nu = 0 при zn = 0, } < m.
Для и имеет место оценка
sup |«|<2(/?6)msup|f|.
QRI2. б Qr, &
Доказательство. При б = R = 1 утверждение вытекает из тео-
теоремы 9.4.2 с A sg: 1/2. Полагая z' = (zi, ..., zn-i), мы можем
записать уравнение (9.4.6) в виде
l R6zn) = f(Rz', R6zn).

408 9. Гиперфункции
9.4. Аналитическая задача Коти 409
После умножения иа R^ утверждение сводится к случаю
б = R = 1. Доказательство окончено.
Поскольку |а|^т, ап<.т для мулыииндексов а из усло-
условия (9.4.7), то оно автоматически выполняется при малых R и
б, если коэффициенты аа аналитичны в точке 0. Поэтому, в ча-
частности, мы имеем локальную теорему существования для одно-
однородной задачи Коши (задачи Коши с однородными граничными
условиями (9.4.8)). Вместо однородных условий (9.4.8) могут
быть наложены неоднородные условия Коши
(9.4.8)'
D'n(u — ф) = 0 при zn =
т,
где ф — заданная аналитическая в йд, в функция. Записывая
и =ф-(- v, мы получаем для v однородные условия Коши и урав-
уравнение
Таким образом, мы вновь находимся в условиях применимости
теоремы 9.4.5. При этом важна лишь аналитичность функций
DnW Ln-o> / < т> так как Ф можно заменить на
Приведем теперь глобальный вариант теоремы 9.4.5. Поло-
Положим
P(z,D)= E aa(z)Da,
| a|<m
и пусть
— главный символ оператора Р. Если ф — аналитическая функ-
функция, причем
Ф = 0 и Зф/dz = (дф/dzi, ..., дср/дгп) Ф0 в точке z0,
то уравнение ф(г) = 0 определяет аналитическую гиперповерх-
гиперповерхность вблизи z0. Она называется нехарактеристической, если
Рт(г, дфг)Ф0.
Если ф — такая вещественнозначная С'-функция, что -ф = 0 и
dif> Ф 0 в точке Zo, то уравнение ф = 0 определяет вещественную
^-гиперповерхность 2 вблизи точки z0. Ее касательная пло-
плоскость
= 0;
содержит единственную аналитическую гиперплоскость, опреде-
определяемую уравнением дф = 0. Будем называть Б нехарактеристи-
нехарактеристической, если эта гиперплоскость нехарактеристическая, иными
словами, если
Pm(z,
Формально это условие выглядит точно так же, как в аналитиче-
аналитическом случае.
Теорема 9.4.6. Пусть P(z,D) — аналитический дифференциаль-
дифференциальный оператор порядка m в открытом множестве Z cz С". Если
S a Z — аналитическая нехарактеристическая гиперповерхность,
то задача Коши
Р (г, D) u = f, Da(u — (f>) = 0 на S при
пг,
имеет единственное аналитическое в окрестности гиперповерх-
гиперповерхности S решение и для любых функций f и ф, аналитических
в Z.
Доказательство. Вблизи произвольной точки zqeS можно сде-
сделать такую аналитическую замену переменных, чтобы z0 стала
началом координат и гиперповерхность 5 определялась бы урав-
уравнением zn = 0. Тогда после деления на аР мы получим ситуацию,
в которой применима теорема 9.4.5. (Заметим, что аР Ф§ в точке
0 вследствие нехарактеристичности S.) Таким образом полу-
получаются локальные решения, и так как имеет место единствен-
единственность, то в совокупности они склеиваются в решение, удовлет-
удовлетворяющее всем требованиям теоремы.
Множество, в котором решение существует, часто может
быть увеличено с помощью метода продолжения.
Теорема 9.4.7. Пусть f — функция, аналитическая в открытом
множестве Za,Cn, и и — аналитическое решение уравнения
P(z,D)u=f в открытом множестве ZoczZ. Если zoeZf]dZ0 и
Zo имеет в точке z0 нехарактеристическую С1-границу, то и мо-
может быть аналитически продолжена как решение уравнения
P(z, D)u=f в окрестность точки z0.
Доказательство. После замены координат вблизи zo можно счи-
считать, что 2о = 0 и что Zo задается вблизи 0 соотношением
Rezn<\|j(zi, ..., Zn, Imz,,), где фе=С1, -ф@) = 0 и d\|>@) = 0.
Задача Коши
Р(z, D)v = f, D'nv = D'nu при zn = — e,
удовлетворяет предположениям теоремы 9.4.5 в йд, 6+ @, ...,
0, —е), если е, б > 0 достаточно малы и
(9.4.10) - е < ф (г', 0), \zr\<R.

410 9. Гиперфункции
9.4. Аналитическая задача Коши 411
Следовательно, v дает аналитическое продолжение и в окре-
окрестность точки 0, если R8/2 > е. При фиксированном б и R =
Зе/б условие (9.4.10) выполнено при малых е, поскольку
-ф (z', 0) = о (| г' |). Теорема доказана.
Мы докажем теперь общий глобальный вариант теоремы су-
существования, аналогичный лемме 9.1.4, который будет играть
важную роль в § 9.5. Как и выше, будем писать г' = (г\,..., zn-\)
и использовать евклидову норму
Теорема 9.4.8. Пусть Z — такое открытое выпуклое подмноже-
подмножество в С, что
(9.4.11) {(/,0); |z'|</?}cZc={z; \zn\/e + \z'\<R),
и пусть P(z,D) — аналитический дифференциальный оператор
порядка m в Z, для которого
(9.4.12) Рт(г,$Ф0 при z^Z, |?'|<в|Ы.
Тогда для всякой функции f, аналитической в Z, задача Коши
(9.4.13) P(z,D)u = f в Z, D'nu = 0 при zn = 0, j < m,
имеет единственное решение, аналитическое в Z.
Доказательство. Можно найти такое г > 0, что @, zn) e Z при
zn\<.r. Выпуклость Z показывает, что z<^Z, если \zn\/r-\-
z'\/R < 1. Применяя теорему 9.4.5 к малым полидискам с цен-
центрами на плоскости zn = 0, получаем решение задачи Коши
в окрестности 2 множества {(г', 0); |z'|-</?} в Z. Нужно пока-
показать, что это решение можно аналитически продолжить в лю-
любую точку w — (w',wn)^ Z вдоль прямой линии, проходящей че-
через (w',0). Можно считать, что wn > 0. Более того, заменяя Z
на пересечение с меньшим множеством вида {z; |zn|/e + |z'—
w' | < a}, где a -+-1 w' | < R, можно даже предположить, что w' = 0
и @, wn) e Z при 0 <; wn < eR.
Итак, предположим, что @,Zj)eZ при 0 ^zn<. e.R. Фикси-
Фиксируем малое с > 0, затем большое М и положим при 0 ^ t ^ e
В Zt имеют место соотношения \lmzn\<ZR/M, 0<Rezn<e(/?—
(|z'|2-f-cI/2), и поскольку Z содержит все z, для которых
О < Re zn < е (R — | z' \), Im zn = 0, то Zt c= Z, если М достаточно
велико. Но тогда также ZtczZ при малых ? и {z^dZt; Rezn =
0} cz2, 0 < t ^ e. На остальной части dZ? аналитическая каса-
касательная плоскость определяется уравнением <dz, ?> = 0, где
(9.4.14) ?' = /z'(|z'|2 + M
Поэтому |^|<^|S«Ke|S«| и Рт(гЛ)Ф0 в силу (9.4.12). Тео-
Теорема 9.4.7 показывает, что множество значений tfe[0, e], для
которых и аналитически продолжается в Zt, открыто. Но оно
также, очевидно, замкнуто и непусто. Следовательно, оно совпа-
совпадает с [0, е]. Таким образом, продолжение возможно на Ze для
любого с > 0. Это завершает доказательство того, что решение
допускает аналитическое продолжение из 0 до @, zn), если
0 < zn < eR.
Следствие 9.4.9. Пусть Г — открытый выпуклый конус в С", для
которого существует такое а > 0, что верна импликация
(9.4.15) \mzn>a\z'\, Rezn = 0=^(z', zn)e Г.
Пусть W — открытая окрестность точки 0 и P(z,D) — такой
аналитический дифференциальный оператор порядка m в W, что
(9.4.16) Р„ @,5)^0 при |Г
Для всякой функции f, аналитической в W Г) Г, найдется анали-
аналитическое решение уравнения P(z,D)u = f в W (]Т, где W —
некоторая другая окрестность точки 0, не зависящая от f. Если
и — любое такое решение и f аналитична в полной окрестности
точки 0, то и аналитически продолжается в некоторую полную
окрестность точки 0.
Доказательство. Можно так выбрать число е > а и окрестность
Wq ТОЧКИ 0, ЧТО
(9.4.16)'
Пусть ^ =
Р„(г, Б)=И=О при
, 0,а?) и
и |?'|<e|E«|.
\z'\<R}(](T-iT).
Тогда Z удовлетворяет (9.4.11),так как (z', iaR)^ Г при \z'\ < R
в силу (9.4.15). Если R достаточно мало, то P(z + it, D)—ана-
D)—аналитический в Z оператор, удовлетворяющий там (9.4.12) в силу
(9.4.16)'. Также и f(z-\-iT) аналитична в Z. Поэтому из тео-
теоремы 9.4.8 следует, что однородная задача Коши для уравнения
P(z + iT, Z))u(z)= f(z -f- гТ) имеет аналитическое решение в Z.
Тогда P(z,D)u(z — iT)=/(z) на множестве Z-\-iT, содержа-
содержащем пересечение конуса Г и некоторой окрестности точки 0, по-
поскольку е > а. Первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения возьмем
<R}
и решим уравнение
P(z
Z,

412 9. Гиперфункции
9.5. Гиперфункции — решения уравнений 413
с данными Коши
D'nv (г', 0) = D'nu (zr, iaR); j<m, | z' \ < R.
Если R достаточно мало, то эта задача совпадает с задачей
Коши изучавшегося в теореме 9.4.8 вида для функции
w(z)=*v(z)- ? zLD'nu(z', iaR)l\\.
о
Следовательно, решение в Z существует, и тогда v(z — IT) яв-
является аналитическим продолжением функции и в окрестность
точки 0.
9.5. Гиперфункции — решения дифференциальных
уравнений в частных производных
Если P(x,D) — дифференциальный оператор с вещественно ана-
аналитическими коэффициентами в открытом множестве X с= R", то
(9.5.1) WFA(P(х, D)и) с WFA(и), и^В{X).
Это немедленно следует из теорем 9.3.7 и 9.3.4, так как если
u = brf, то P(x,D)u = brP(z,D)f. Сейчас будет доказано неко-
некоторое обратное утверждение (ср. с теоремой 8.6.1).
Теорема 9.5.1. Если P(x,D) — дифференциальный оператор по-
порядка m с вещественно аналитическими коэффициентами в
IcR", то
(9.5.2) WFA(и) cz CharP U WFA(P{x, D)и), и^В{X).
Доказательство. Нужно доказать, что если (х0, %,о)ф WFa (P(x,
D)u) и Pm{x0, io) =?^= 0, то (х0, Ъ)Ф WFa (и). При этом можно счи-
считать, что л'о = О и ?0=@, •••> 0,1). Выберем а >0 так, что
(9.5.3) @, I) <? WFA (Р (х, D) и), если |„ = 1, | ?' I < а,
(9.5.4) Рт@,®ф0 при 1С'К а, &,= 1-
Пусть R" \ 0 = [J Г/, где Г,- — собственные замкнутые и выпук-
0
Поэтому
0
лые конусы, \l'\ <.aln в Го и ?о^Г/ при ]ФЪ. Первая часть
теоремы 9.3.7 и соотношение (9.5.3) показывают, что в некото-
некоторой окрестности У точки 0
Р(х, D)U=f = Zf/.
Р(х,
, D)u,-f,)=*0.
Из второй части теоремы 9.3.7 вытекает, что
Р (х, D) щ =
WFA (f0/) c= Y X (Го П Г/).
Замыкание множества Go ={y e R"; уп > а|у'|} в R"\0 содер-
содержится во внутренности двойственного к Го конуса. Так как
?о^Г,- при }Ф0, то найдутся такие открытые выпуклые конусы
Gi, j Ф 0, что замыкание каждого из них лежит во внутренности
конуса, двойственного к Г,, и ?0 ф G°. По теореме 9.3.4
'О/ G0 + O,j'
где F,- аналитичны в пересечении R" + i(G0-f-G,)= Г,- с окре-
окрестностью точки 0. При этом Г/ удовлетворяет (9.4.15), так как
последнее выполнено для R" -f- jG0, и (9.4.16) имеет место в силу
(9.5.4). Из первой части следствия 9.4.9 вытекает, что суще-
существуют такие функции ?/,-, аналитические в пересечении Г, с ок-
окрестностью точки 0, что Р (z, D) Uj = Fj. Кроме того, щ = beJUo,
где Uo аналитична в пересечении R" + r'G0 с окрестностью точки
0. Поэтому вблизи 0 в R"-f-iGo теорема 9.3.3(v) дает
Р {z, D) I Uo — ? U, I = 0.
Но, как показывает вторая часть следствия 9.4.9, функция
Uo — Е^// может быть аналитически продолжена на окрестность
точки 0. Итак,
и0 — 2j ba.Ut
i ;
аналитична в 0. Так как @, |q) ф WFa (bo.UA по теореме
9.3.3(vi) и @, \о)ф WFa(ui) при / Ф0, то получаем, что @, %о)ф
WFa (и). Доказательство закончено.
Это доказательство дает также следующую микролокальную
теорему существования.
Теорема 9.5.2. Пусть вектор (х0, ?0) е Т* (X) \0 нехарактеристи-
нехарактеристичен относительно дифференциального оператора P(x,D) с ве-
вещественно аналитическими коэффициентами. Для любой гипер-
гиперфункции f еВ(X) найдется такая гиперфункция и е В(X), что
(x0,to)<?WFA(P(x,D)u-f).

414 9. Гиперфункции
9.5. Гиперфункции — решения уравнений 415
Доказательство. Если Г/ определены как в доказательстве тео-
теоремы 9.5.1, то существует разложение
f = l.f,. WFA(f,)<=XXT,.
Здесь fo — baFQ, где Fo аналитична в пересечении R" + Шо с ок-
окрестностью точки хо. Благодаря следствию 9.4.9 найдется анали-
аналитическое решение U уравнения P(z, D)U = Fo, определенное в
пересечении R" -f- iG0 и некоторой другой окрестности точки х0.
Теорема получается, если взять u = baJJ.
Ввиду теоремы 9.5.1 теорема единственности Хольмгрена и
ее уточнения, доказанные в § 8.6 для решений уравнения
P(x,D)u = 0 в классе распределений, остаются справедливыми
и для решений в классе гиперфункций. Мы докажем далее, что
данные Коши также могут быть определены на произвольной
нехарактеристической аналитической поверхности. Для простоты
будем считать ее совпадающей с плоскостью.
Итак, пусть X — открытое подмножество в R" и
Х± = {х^Х; ±хп>0}, Х0 = {х^Х;1хп^0].
Если ueB(X+) удовлетворяет аналитическому дифференциаль-
дифференциальному уравнению P(x,D)u = ObX+hXo нехарактеристична от-
относительно Р, то мы докажем, что естественным образом могут
быть определены Dnu\x =ое^(-^о)- (Здесь Хо есть Хо, рассмат-
рассматриваемое как подмножество в iR", т. е. Jf0 = -^o X {0}-) Сначала
рассмотрим в X гиперфункцию и0, равную и в Х+ и 0 в X— То-
Тогда f=P(x, Б)щ имеет носитель в Хо. Мы можем заменить но на
и0 — v, если гиперфункция ней (X) такова, что supp v cz Хо,
поскольку это приводит к замене f на f — P(x,D)v. Имеется
наилучший естественный выбор v.
Теорема 9.5.3. Предположим, что оператор P(x,D) имеет ве-
вещественно аналитические коэффициенты и гиперплоскость Хо
нехарактеристична относительно P(x,D). Тогда любая гипер-
гиперфункция f е В (X), для которой supp f cz Xo, единственным обра-
образом разлагается в сумму
(9.5.5) f = P(x,D)v+ I viQD'nboixn),
I <m
где »еВ(X), supp v czХо и Vj<=B(Хо) при 0</ < m.
Доказательство. Предположим сначала, что имеются некоторые
f, v, vi, удовлетворяющие (9.5.5), с suppf, supp у и supp о,Х{0}»
содержащимися в некотором компакте К cz Хо. Тогда (9.5.5)
эквивалентно равенству
(9.5.6) f (Ф) = v (*Р (х, D) Ф) + Z v, ((- Dn)i ф (•, 0))
с (sup |
для функций ф, аналитических в окрестности К. По теореме 9.4.6
функция ф может быть выбрана так, что в окрестности ком-
компакта К
(9.5.7) *Р(z, D)ф = ф; (— Dn)'q>(¦, 0) = Ф/, / = 0, ..., от - 1,
где ф и ф,— произвольные целые функции от п и п—1 пере-
переменных соответственно. Поэтому если / = 0, то v = 0 и v, = 0
для всех ;. Для доказательства существования предположим, что
дана гиперфункция f^B(X) с компактным носителем suppf =
К cz Хо, и определим
(9.5.8) v (ф) -\- 2I ®i (Ф/)== f (ф)*
Если й — окрестность компакта /С в С" и ?2' cz С—окрест-
С—окрестность компакта К0 = {х' ^ R"; (х\ 0)е/С}, то по теореме 9.4.5
в некоторой окрестности © компакта К задача (9.5.7) имеет
решение ф, для которого
sup | ф К С (sup | Ф | + Е sup | ф/1).
CD Q ?f
Следовательно,
Z .
1<т
Это доказывает, что (9.5.8) определяет функционалы v
v,- ^A'(Ко), удовлетворяющие (9.5.5). Единственность, установ-
установленная выше, дает равенство
(9.5.9) supp f = supp о U U supp v, X {0}
при условии, что выполнено (9.5.5), носители гиперфункций
f, v, v,- компактны и supp v (J supp f cz Xo.
Для произвольной гиперфункции fsB (X) с supp f czX0 и
любого открытого Y ш Х'о мы можем выбрать гиперфункцию
/V <= В {X), для которой supp /у с: У X {0} и fY = f в X П (У X R).
Действительно, нужно лишь расширить гиперфункцию, равную
f в Xfl(yXR) и 0 в Х+ U X_ U (X Л (С? X R)). Разлагая в соот-
соответствии с предыдущей частью доказательства
fY = P(x,D)uY+ ? uYl®D'n60(xn),
I <.tn
из (9.5.9) находим, что
supp («у - uz) U LJ supp (uy/ — uzl) X {0} с supp (/у — /z),
если Z<$=X'O. Следовательно, uy и му. определяют для возрас-
возрастающих У глобальное решение задачи (9.5.5). Единственность
аналогично вытекает из (9.5.9), если начать с решения задачи

416 9. Гиперфункции
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 417
(9.5.5) для / = 0 и срезать v, v,- вне окрестности какой-нибудь
точки из Хо. Доказательство завершено.
Следствие 9.5.4. Если P(x,D) имеет вещественно аналитические
коэффициенты в X и гиперплоскость Хо нехарактеристична отно-
относительно Р(х, D), то любая гиперфункция и ^В(Х+), удовлетво-
удовлетворяющая уравнению P(x,D)u = 0, имеет единственное расшире-
расширение «о «о X, обращающееся в 0 на Х_ и такое, что для некото-
некоторых vj^B(X'o)
(9.5.10) Р(х, D)uo= ? v,®Dlbo{xn).
Если все у, равны 0, то и = 0 в окрестности гиперплоскости Хо.
Доказательство. Расширение, удовлетворяющее (9.5.10), полу-
получается, если сначала взять произвольное расширение м0, равное
0 в Х-, применить к f = P(x,D) u0 теорему 9.5.3 и вычесть v из
но- Последнее утверждение следует из теоремы единственности
Хольмгрена.
Чтобы дать иную интерпретацию (9.5.10),_предположим на
время, что и е Ст(Х+), и положим ы0 = и в Х+ и и0 =0 в Х-.
Тогда по индукции получаем
i<k
для k ^ т. Обозначим через Р/(х, ?;) полиномиальную часть от
Р(х, C)/Si+1. Тогда
Р(х, D)uo= — i Z Pi(х, D)и |Жп=0®D'n6o(хя).
Таким образом, расширение мо совпадает с тем, которое дается
следствием, и
(9.5.11)
Эти уравнения можно рассматривать как систему дифференци-
дифференциальных уравнений относительно Uj = Dlnu\x _0, j < т. Если
а(х)—коэффициент при D™ в P(x,D), по предположению не
равный 0 на Хо, то /-е уравнение содержит член —iaum-i-i, a
сверх того лишь ик с k < т — 1 — /. Начиная с последнего
уравнения (9.5.11) (с / = т — 1), можно последовательно опре-
определить «о, «1, ..., «m-i в терминах vm-i, ¦•-, v0. Так же можно
действовать и с гиперфункциями. Поэтому в условиях след-
следствия 9.5.4 мы получаем корректно определенные «нормальные
производные» и^. е В (Х'о), Это определение согласуется с при-
приведенным в теореме 4.4.8', когда применимы оба определения,
'ui-, 0)®Dln60(xn)
iPj (x, D) и \хп-о= vi> / = 0, ..., m — 1.
поскольку обсуждение Ст-случая, приведенное выше, остается
в силе на основании замечаний, следующих за теоремой 4.4.8'.
Итак, теперь мы имеем все необходимое для постановки гра-
граничных условий для дифференциальных уравнений, содержащих
гиперфункции. Соответствие между аналитическими функцио-
функционалами и гармоническими функциями, установленное в § 9.1,
является лишь частным случаем задачи Дирихле в полупро-
полупространстве. Этим, однако, мы и ограничимся в нашем кратком
введении в теорию гиперфункций.
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель
Мы начнем с того, что дадим эквивалентное определение WFa (и)
по Бросу и Ягольнитцеру. Для u^A'{Rn) с помощью гауссовой
свертки определим целую функцию 7\и, зависящую от положи-
положительного параметра к, формулой
(9.6.1)
где z2 = z\-\- ... -\-z2n. Так как
(9.6.2) Re (- (z - у?) = (Im (z - у)? - (Re (z - y)f
то для всякого е
¦0
(9.6.3) | ТКи (г) | < Се ехр (к (| Im г | + еJ/2).
Функция Ti тесно связана с преобразованием Фурье, поскольку
ехр (к {i (x, |> —:
= и, (ехр (- к (х - у?12 + ik {у, |»)
есть преобразование Фурье от и в точке —Л|, умноженное на
е-\\х-у\Ч2ш Этот множитель локализуется вблизи точки х анало-
аналогично срезающим функциям из леммы 8.4.4. Поэтому естествен-
естественно ожидать, что (х0, |0) ф WFa (и) тогда и только тогда, когда
правая часть есть О(е~°я) для некоторого с>0 в окрестности
точки (х0,—to) при к-*~оо. Чтобы это доказать, начнем с оценки
Tt,u в случае, когда и — граничное значение аналитической функ-
функции. Будем пользоваться обозначением d(x, A)= inf | а; — у\
у <=А
для евклидова расстояния между х е R" и A a Rn.
Предложение 9.6.1. Пусть Q cr R" — открытое выпуклое множе-
множество, Оей, Г = R+Q, — выпуклый конус, порожденный множе-
множеством Q, и X с: R" — открытое множество. Если f — аналитиче-
аналитическая функция в X-\-IQ и гиперфункция u^A'(Rn) равна bvf
27 Зак. 821

418 9. Гиперфункции
в X, ТО
(9.6.4) |7\гф)|<Сехр?.ФB), zeff, Л >0
для любого компакта К а С" и всякой непрерывной функции Ф
на К, для которой
(9.6.5) Ф (г) > (| Im г I2 - d (Re z, CXf)/2, z<=K,
(9.6.6) Q)(z)>d(lmz, Qf/2 при Rez^X, z<=K.
Если и = О в X, то (9.6.6) может быть опущено.
Доказательство. Можно считать, что X ограничено, так как
(9.6.5) остается справедливым, если заменить X на его пересече-
пересечение с шаром достаточно большого радиуса. Оценка (9.6.4) вы-
вытекает из (9.6.2) и (9.6.5), если Rez принадлежит окрестности
СХ. Поэтому в доказательстве можно предполагать, что
Re К сг X. Запишем и = и\ + «о, где supp и\ с: X и supp uo с: СХ.
Благодаря (9.6.5) и (9.6.2)
Re(-(z-yfj2)<<$(z), z^K,
для всех у из некоторой комплексной окрестности компакта
supp u0- Поэтому (9.6.4) имеет место для 7\и0- Пусть Хо <== X.
Для всякого уей аналитический функционал
А еэ ф -> щ (Ф) — ^ / (х + iy) ф (х + гу) d*
сосредоточен в (Х\Х0) U (дХ0 + [0. iy]) • Следовательно, щ сосре-
сосредоточен в
М = (X \ Хо) U (ах0 + [0, iy] )\J(XO+ {iy}).
Для каждого zo^ К можно выбрать % е ?2 так, что
При г/ s ^\-^о в силу (9.6.5) имеем для достаточно большого Хо
(\lmz?-\Rez-y\2)!2<<J>(z), zs=K,
откуда ввиду выпуклости 11т(г — у) |2 получаем
Re(-(z-yJl2)<O(z)
для z из окрестности точки Zoe/( и у из окрестности множе-
множества М. Получаем оценку- (9.6.4) в окрестности z0, а, значит,
с учетом леммы Бореля — Лебега и во всем К.
Предложение 9.6.1 и установленное в теореме 9.3.7 разложе-
разложение легко приведут к тому факту, что 7j,u (x -f- »g) растет мед-
медленнее ехр %12/2, если (я, —|) ф WFA (и). Для доказательства
обратного результата нужно выяснить, как и восстанавливается
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 419
по Т\и. Мы начнем с формулы обратного преобразования Фурье
где множитель е~е|?' обеспечивает абсолютную сходимость.
Если ? = g -f ir\, то
С2 = 12 — л2 + 2i<|, г|>
имеет аналитический квадратный корень с положительной ве-
вещественной частью при |т]|<;|?[. Если а > 0 настолько мало,
что а|(/|<1 при г/евиррф, то интегрирование по | можно
сдвинуть, производя его по цепи
Заметим, что Ку,0 — КуЛУ — «У2|5| имеет неположитель-
неположительную вещественную часть и что
rfg,A ... AdZn = (l+ia(y,l/\t\))dllA ... Adtn,
так как d|il = ?(i//li l)rfl/ и d\l]Ad\%\ = 0. Поэтому
Ф@) = limBn)-n \ d\ \ exp(i(у, ?)-ау*\1\-е VF)
Здесь функция у-* {{у, |> + шг/211 ] -f- ге д/?2 )/111 имеет неотри-
неотрицательную мнимую часть, ограничена в С°° и норма ее диффе-
дифференциала по у имеет положительную нижнюю грань, не завися-
зависящую от е и |. Следовательно, по теореме 7.7.1 внутренний ин-
интеграл является быстро убывающей функцией от | равномерно
по е, откуда
(9.6.7)
если а > 0 достаточно мало. Однако функция, стоящая справа,
аналитична по а при Rea>0. Поэтому формула справедлива
при всех а > 0.
Фиксируем г>0и положим | = —Лгсо, где <о е 5"-1 иХ>0.
Заменяя ф на ф(лг-+- •)> получим
(9.6.7)' Ф (х) = Bл)"п J rnkn~l dl .J dco J exp Я (i (x - y, rco>
0 l<o| = l
— ar(x — yf) (l + ia(x — у, со» ф(у)dy.
Выбрав а = \/2r, превратим показатель экспоненты в умножен-
умноженную на "К функцию
Е(х-у, rco) = i(x - у, гсо) -(х- yf/2 = -(x~y- iraf/2 - r*/2,
27*

420 9. Гиперфункции
откуда следует, что
<?-Xl"/27Vp(x — гУсо) =
е-*'12 (со, D) 7\ф (х — it%) =
Поэтому для феС0°°
(9.6.8) <р(х) =
оо
i
г0»ф (у) dy,
f • ™> (г -f t (к — у, со» ф (у) dy.
где подынтегральное выражение есть O(k~N) для любого iV при
к-*-оо и ограничено при Л,-»-0. Сказанное непосредственно пе-
переносится на аналитические функционалы:
Предложение 9.6.2. Если uGi4'(R"), то
суть аналитические функции в (ге С"; |Imz| < 1}, остаю-
остающиеся аналитическими в точке x0-}-i<o0, |соо|= 1, если для неко-
некоторых С, с > 0
9.6.9) |7>(* + ii)|<CeV2-a |д. _^0| + 1?-со01< с, А, > 0.
По предложению 9.6.1 эго имеет место для всякого ©0, если
х0 ф. supp u. Если X — ограниченная открытая окрестность ком-
компакта supp и в R", то в обозначениях предложения 9.3.1
(9.6.8)' «(ф)=
|<о[=1
Доказательство. Аналитичность F и F, сразу следует из (9.6.3)
и (9.6.9). Для доказательства (9.6.8)' рассмотрим функцию
фоеС0°°(А), равную ф в окрестности компакта supp и. Правую
часть (9.6.8)' с ф0 вместо ф обозначим через R(q>o). Тогда R{vp0)
есть предел при г->1 выражения
Тки (х
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 421
Из определения 7\ теперь находим, что
J Ф0 (х) Т^и (х + trffl) dx = u (Гхф0 (• - fr©)),
Фо (х) <- со, D/k) Тки (х + ггсо) dx = и ((со, D/X) Tx<f>0 (• - '>«>))•
Таким образом, R (ф0) = lim u(ф0, г), где
Из (9.6.8) следует, что фо, r^-фо равномерно при г->1, так как
для г ^ 1 подынтегральное выражение равномерно быстро убы-
убывает при А,—»-оо. Вследствие аналитичности ф0 в окрестности
компакта supp и с учетом предложения 9.6.1 имеем
17\Фо B — im) | < Се»2~с\ 0 < г < 1,
для некоторого с > 0 и всех г из комплексной окрестности ком-
компакта supp и. Поэтому фО|Г(г) равномерно сходится в такой ок-
окрестности компакта supp и, и предел должен равняться ф в силу
единственности аналитического продолжения. Из сказанного
вытекает, что и(фо, г)-*- «(ф), т. е. /?(фо) = и(ф). Итак, R — 0
вне supp и и (9.6.8)' доказано.
Сочетание предложений 9.6.1 и 9.6.2 приводит к определению
WFA (и) по Бросу — Ягольнитцеру (существенного носителя по
их терминологии):
Теорема 9.6.3. Пусть u<=A'(Rn) и (х0, ?„)<= 7*(Кл)\0. Тогда
(х0, go) Ф WFa (и) в том и только том случае, когда существуют
такие окрестность V точки xo — i%o и положительные постоян-
постоянные С, с, что
(9.6.10) ^ифКСе^'Ы'/г-о, zeV, К > 0.
Доказательство. Предположим сначала, что выполнено (9.6.10).
Если 0^«eR и Mt(х) = tx, x<= R", то
так как
Взяв <=|go|. мы сводим доказательство к случаю |?о|= 1- Но
тогда для и имеет место представление (9.6.8)', где F и .F,- ана-
литичны в точке х0 — /?о, откуда {х0, g0)^ W/7^(«) по лемме 9.3.6.
Теперь предположим, что (х0, Ъ)Ф WFa(u). Выберем покры-
покрывающие >Rn\o замкнутые выпуклые собственные конусы
Гь .,., Гу так, что^Г,-, }Ф\,и Г, П WFA (и)^ = 0. По тео-
теоремам 9.3.7 и 9.3.4 найдутся окрестность X точки х0 и функцио-

422 9. Гиперфункции
налы и/ ^А'(Х), для которых ы = 2"/ в X, и\ аналитична в X,
a Uj = bG.fi, j Ф 1; здесь Gj — внутренности конусов, двойствен-
двойственных к Г/, a fj аналитичны в X + /Я/, где Я/ — выпуклое множе-
множество, порождающее Gj. Применим к каждому из и,- и к « — Xй/
предложение 9.6.1. Если % eR", то
если только 0 не является ближайшей к
Отсюда следует, что для любого у е G/
точкой множества Я/.
при малом е > 0. Поэтому <|, у} ^С 0, т. е. —% е Г/. Так как
?о^Г; при \ф 1, то найдутся такие окрестность К точких0 — i|o
и число с > 0, что при всех z e К
| |о |2/2 - с >( | Im z |2 - d (Re z, CXJ)/2,
I g i2/2 с > d (Im z, Я;J/2, z -/- 1.
Теперь (9.6.10) является следствием предложения 9.6.1.
Если произвести изменение масштаба, то различие между Я/
и G,- в предыдущем доказательстве перестанет играть роль и мы
получим весьма точное добавление к предложению 9.6.1.
Предложение 9.6.4. Пусть «eA'(R"), Wo ={g; @, l)e=WFA{u)}.
Положим и& = М\и = и{& ¦). Если для компакта К а С" и не-
непрерывной на нем функции Ф
(9.6.11) O(z)>(|Imz|2-d(Imz, - U70J)/2, z<=K,
то для.малых б имеет место оиенка
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 9.6.3, возьмем
произвольное покрытие R"\{0} малыми выпуклыми собствен-
собственными конусами. Тогда и = и0 + X и;> гДе «о = 0 в окрестности
X точки 0 и Uj = ba fj в X с функциями //, аналитическими в
X + iQj. Здесь Я; — окрестность точки 0, если Г/ f\Wo = 0, и Я/
порождает открытый выпуклый конус G/, двойственный к Г/,
в противном случае. Имеем «б = 2 и1й, где «оа обращается в 0 на
Х/б, а ограничение ы/в на Х/б есть граничное значение функции
fi(8z), /=й=0, аналитической в Х/б + /Я//6. При малом б оценка
(9.6.12) вытекает из предложения 9.6.1, если верно неравенство
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 423
Поскольку d(lmz, Я,/б) Ч d (Im z, Gj) при 6-»-0, то последнее
неравенство имеет место, если б достаточно мало и
(9.6.13) Ф(г)> d(lmz, GjJ/2, zee К, ]ФО, T][\W^2>.
Теперь установим следующий вариант теоремы Пифагора:
Так как G,- Л (—Г/) = {0} и отношение между этими конусами
симметрично, то указанное равенство достаточно проверить при
«*¦¦
Рис. 5.
| ф. Gj. Если I* — ближайшая к | точка из G/, то <|* — |, ti —
!*>5>0, ti e Gj, откуда |* — | е Г/, так как G/ — конус, и
<?*-!, 1*>=0><8, |*>, Эе —Г/. Итак, ? — |* — ближайшая
к | точка из —Г/ и (см. рис. 5)
O(z)>d(lmz,
1Ф0,
Поэтому (9.6.13) означает, что
(9.6.13)' O(z)>(\lmz\2-d(lmz, - ГJ)/2,
где Г — объединение конусов Г/, для которых Г/ П ^о Ф 0- Сле-
Следовательно, конус Г близок к Wo, если все Г/ малы, так что
(9.6.13)' вытекает из (9.6.11). Доказательство закончено.
Важной особенностью неравенства (9.6.11) является линей-
линейность его правой части вдоль любой внешней нормали к —Wo-
Чтобы воспользоваться этим, нам понадобится простая
Лемма 9.6.5. Пусть а и Ъ — положительные числа и и — субгар-
субгармоническая функция в R ={ze.C; 0 < Rez < a, \lmz\<.b),

424 9. Гиперфункции
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 425
причем для некоторого е > О
(max(О, — lmz)f при
\lmz\<b
Теорема 9.6.6. Если и <^В (X) и х0 е X, то
0<Rez<e.
Пусть еще A(x) = (b/3)sh(n(a — x)/.b)/sh(na/b). Тогда
(9.6.14)
и (х + iy) < — А(х) Bу + Л (%)), если | г/1< А (х)/2, 0<х<а.
Доказательство. Применим принцип максимума к функции
v (х + iy) = u(x + iy) -62
(x) sin (я (у + 5)/Ь)
в прямоугольнике R6 = {z; О <С Rez <С а, —6-<Ini2-<6 — б},
где 0 < б <С Ь. Функция у субгармонична, поскольку мы доба-
добавили к и гармоническую функцию, и v < 0 вблизи границы. Сле-
Следовательно, v < 0 в /?в. Так как sin 8 > 28/я при 0 < 8 < я/2,
то при 0 < г/+б < Ь/2 получаем
u(x + iy)<62-2A(x)(y + 6).
Минимизируем правую часть, полагая 8~А(х), что допустимо,
так как 0 < у + А (х) < ЗА (х)/2 < Ь/2 при |у\ < Л (х)/2. Тем
самым (9.6.14) доказано.
Важным моментом, связанным с (9.6.14), является отрица-
отрицательность правой части при у = 0. Хорошая оценка на одном
конце прямоугольника с некоторым ухудшением распространяет-
распространяется вдоль линии Im2 = 0.
Теперь все готово.для того, чтобы сформулировать и дока-
доказать основной результат данного параграфа о связи между
supp и в точке х0 и WFa(u) в той же точке. Он получен Каси-
варой, но иногда называется кохольмгреновской теоремой, чтобы
подчеркнуть аналогию с теоремой 8.5.6'. При его формулировке
понадобится понятие касательного конуса к множеству. Для
xoEjMcR" определим ТХ(,(М) как множество пределов последо-
последовательностей tj(Xj — х0), где *,-->-оо и Xj&M. (По поводу ана-
аналогичного понятия предельного конуса на бесконечности см.
лемму 8.1.7.) Ясно, что ТХо(М) является замкнутым конусом.
Если t|> €= С1 (К", R7*), a ti(x, — Xo)-+T, то tjft (*,) —
т!р'(хо)Т. Поэтому
что доказывает, в частности, инвариантность определения
Г*о (М) а ТХе (х) в случае, когда М — подмножество С'-многооб-
разия X, а не пространства R".
(9.6.15)
N(W0)(=dWoXTXo(suppu),
где Wo={l^T'x,(X); (x0, |)se WFa(h)} рассматривается как
подмножество векторного пространства Т*Х>(Х) без нуля.
Доказательство. Локальность утверждения позволяет считать,
что X=Rn, *o = O и иеА'(К'). Пусть (to,t0)<=Ne(W0). В со-
соответствии с определением 8.5.7 это означает, что go e ^о и су-
существует такая С°°-функция /,что 0 =^/'(go)= /о,/(IX f(go) = 0
при g eE Wo. Если мы докажем, что при выполнении хотя бы
одного из условий to ф TxJsuppu), — t0 ф ТХя (supp и) вектор ?0
не лежит в Wo, то (9.6.15) будет установлено.
Выберем компактную окрестность Д" интервала [—10, to] — /go
в С. Каково бы ни было фиксированное е > 0, предложение
9.6.4 показывает, что для ив = «(б-) при достаточно малом б
(9.6.16) v6 (г) = 2%~х log | Tku6 (z)/C61.
<e + |Imz|2-d(Imz, - Wof, z<=K-
Рассмотрим такую компактную окрестность Д"о одной из точек
to —Но или — *о — г'Ео, что Re Д"о П TXo(suppu)= 0. В силу пред-
предложения 9.6.1 существует такое с > 0, что при малом б
(9.6.17) ye
если С6 выбрано достаточно большим.
Возьмем вещественные х, g, для которых |x| + |g — go| мало,
a /(g) = 0, и рассмотрим субгармоническую функцию
Если R={w;\Rew\<.\, \lmw\<b} и b +\х\ + \% —10| доста-
достаточно мало, то х — t'g — »f(yei( при ше/?. Расстояние от
точки Im a»/'(g)+g до гиперповерхности f = 0 равно ±Imtw|/'(g) |
при достаточно малом Ь. Поэтому расстояние от неё до Wu не
меньше, чем Imo>|/'(g) |, и при w^R из (9.6.16) получаем
+ 18 + 21та;<^ (S), I) + | Imai |2| f(E) I2, 1<
Опять при достаточно малом |х| + |? — |0|+Ь, а также при
ие/? и Reiiy, близком к 1 или —1, из (9.6.17) получаем
V(w)<- с/2 + |2 + 2 Im w </' (|), |>.
Если применить лемму 9.6.5 к выражению (V(w)—е — |2 —
I<f'(g), g>)/|f'(?)]2, рассматриваемому как функция от

426 9. Гиперфункции
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 427
1 ± w, то для некоторых со > 0 и г > О, не зависящих от е,
имеем
при
Теорема 9.6.6'. Пусть и^В(Х), хоеХ, V — линейное подпро-
подпространство в Тха(Х)- Через Тх„, v (supp и) обозначим замыкание об-
образа ^(suppu) в TXc(X)/V. Тогда
и
Взяв е = Со/2, приходим к неравенству
| Ткщ (х-%- wf' (I)) | < С6 ехр (X (- Со/2 + |2)/2)
при \w\<r и |x| + |t-6ol<r, f(S) = O-
При условии достаточной малости |z + t|o| оно означает, что
|ГхывB)|<С/ехр(я(Ео —со/3)/2), откуда в силу теоремы 9.6.3
вытекает, что @,|о)^ WFA(u&). Доказательство окончено.
Все рассуждения § 8.6, основанные на теореме Хольмгрена,
имеют очевидные аналоги, получаемые заменой характеристиче-
характеристического множества на касательный конус носителя. В частности,
доказательство теоремы 8.6.8, повторенное без изменений, при-
приводит к такому утверждению:
Следствие 9.6.7. Пусть для открытых выпуклых Множеств
W\ a W2 <=¦ П„ (X) \ {0} выполнены условия
(i) WinWFA(u)Xt=0;
(ii) всякая гиперплоскость с нормалью из Г*, (supp и)
П(— 7\ (supp м)), пересекающая W2, пересекает также и Wx.
Тогда W2 П WFA (u)^ = 0.
Следствие 9.6.8. Если (х0, g0) е Ne (supp и), то из соотношения
(xo,i)^WFA(u) вытекает, что (х0, |+ ^о)<= WFA(u) для лю-
любого /eR.
Доказательство. Если вектор | пропорционален вектору" go, то
утверждение является следствием теоремы 8.5.6' (которая в свою
очередь вытекает из следствия 9.6.8 и того факта, что множе-
множество WFA (u)x не может быть пустым). В противном случае, пред-
предполагая, что I + *So Ф WFA (u)x , выберем выпуклую открытую
окрестность Wx вектора | + Цо, для которой W\ f] WFA(u)x<>= 0
и W2=Wi + Rlo не содержит 0. Так как TXa(suppu)(](—TXll
(supp«)) содержится в гиперплоскости, ортогональной к i0, a
всякая гиперплоскость, имеющая нормаль, ортогональную к |0,
и пересекающая W2, пересекает также и W\, то утверждение
вытекает из следствия 9.6.7.
Теорему 9.6.6 и следствие 9.6.8 можно рассматривать соот-
соответственно как 0-мерный и (л — 1) -мерный случаи следующей
теоремы.
(9.6.15)' JV(W
где W0—WFA(u)x и V + {1}—произвольное аффинное подпро-
подпространство в ТХа(Х), параллельное ортогональному дополнению к
V, обозначенному через V'. Здесь Wo Л (V + {1}) рассматривается
как подмножество в V + {?} (без 0 при ?е V'), и, значит, нор-
нормали принадлежат двойственному к V' пространству Тх„ (X)/V-
Доказательство. Можно считать, что X = R", хо = Ои V задает-
задается соотношениями ?" = (|*-н> ..., |л) = 0. Предположим, что
go Ф 0 и существует такая компактная окрестность К вектора |0,
что для некоторой функции feCc°(R*-1) выполнены условия
«о,-f G)"
где |' = (|2, ••-. I*). Нужно доказать, что если A, —df/dl') или
(— 1, df/dl') не принадлежит ТХа< к (supp и) при |' = %, то |0 ^ №„.
Пусть для определенности
(9.6.19) (-1, df/dt) ф ТХо. v (supp и), I e /С-
Выберем М настолько большим, что
(9.6.20) | еdK, h>f (Е0 + М|Г - ^|2 => I^ Го.
Последнее возможно, так как мы имеем здесь компактное под-
подмножество в дК, уменьшающееся с ростом М до
ts^dA, ii^r(s). s =So;c=bW/o-
Пусть t — наименьшее число ^0, такое что
I е К, ii > f (^0 + ^ + Af 11" — |0' |2 => | ^e H70.
Если Бе/С и и = 1A') + 1 + М\1"-1^\\ тolфW0. Это выте-
вытекает из (9.6.20) при I <= (Э/С и из теоремы 9.6.6 при | е К^ч^ЛГ,
так как
(-1, df/dl', 2M (Г - Б^)) ^ ТХа (supp «)
в силу (9.6.19). Поэтому ^ = 0 и %оф №о, что завершает доказа-
доказательство.
В заключение укажем одно приложение к вопросу о регуляр-
регулярности решений граничных задач. Как и в § 9.5, границу будем
считать плоской. Пусть X — открытая окрестность точки 0 е R",
-Л ± • \Х С— л ) _1_ X п ^ yJjt Л.^ \Х ^= Л> Лд U j >

428 9. Гиперфункции
Примечания 429
P(x,D)—дифференциальный оператор порядка т с аналитиче-
аналитическими в X коэффициентами и гиперплоскость Хо нехарактери-
нехарактеристична. ПОЛОЖИМ X' = (*ь ..., Хп-\).
Теорема 9.6.9. Если гиперфункция и^В(Х+) удовлетворяет
уравнению Р (х, D) и = 0 и
/ = 0, .... ш— 1,
\x'-x'o
то существует такое г > О, что
{x,\)<?WFA{u) при 0<х„<е, \x-xo\
Отметим, что никаких условий на |л не накладывается.
Доказательство. В соответствии со следствием 9.5.4 можно так
продолжить и до гиперфункции ио^В(Х), равной 0 на Z_, что
Р(х, D)uo= ? i
<
где все у,- являются линейными комбинациями граничных зна-
значений производных ?>*ы, так что {х, |„) §Ё Н?ТЛ (о,). Поэтому
существует такое е0 > 0, что
(Q&A(f) при |;с'-4| + |Г + 1о1<е и хе!
Если ei < е0 достаточно мало и Af достаточно велико, то имеем
также
Рт(х,1)ф0 npH\xf-x'0\ + \r-l'0\<El, \xn\<Bv \ln\>M
в силу нехарактеристичности гиперплоскости Хо. Итак, (х, ?) ф.
WFa(u0) для таких х, | по теореме 9.5.1. При лсп = О это справед-
справедливо при любых \п ввиду следствия 9.6.8. Так как WFa(uo)
замкнут, то найдется настолько малое е < еь что
(x,t)<?WFA(u0)n№\x'-x'0\ + \Z-t'0\<e, \xn\<e, \1п\<М.
Это завершает доказательство, поскольку ко = йв Х+.
Замечание. Аналог теоремы 9.6.9 с WF вместо WFA неверен
даже в случае оператора Р с постоянными коэффициентами.
Действительно, пример 8.3.4 позволяет указать для оператора
Р (D) = DiD2-\-D\-\-D\ такое решение мое С2 уравнения
P(D)uo = O, что sing supp щ совпадает с осью хх. Тогда при
условии достаточно быстрого убывания коэффициентов а/ полу-
оо
чаем: u = ^aiuo(xi> Х2> хз> х4— 1//) eС2(R4), и и D4« принадле-
принадлежат С00 (R3) при xt = 0, a sing supp и = {(xlt 0, 0, х4); х4 = 0 или
l/jc4eZ+}. Поскольку Р(?))ы = 0, мы имеем контрпример к
С°°-аналогу теоремы 9.6.9. (Очень общий вариант данного при-
примера может быть получен из теоремы 11.3.1.)
Примечания
Преобразование Фурье функции f на R является суммой гранич-
граничных значений аналитических в верхней и нижней полуплоско-
полуплоскостях функций F+ и F-, определяемых преобразованием Фурье —
Лапласа ограничений / на R_ и R+ соответственно (см. также
обсуждение после теоремы 7.1.5). Последние корректно опреде-
определены, если, например, |/(х) | = О(ев'дс|) для любого е > 0. Это
наблюдение было использовано Карлеманом (Carleman [2]) для
определения обобщенного преобразования Фурье. Однако, чтобы
граничные значения существовали в классическом смысле, на
рост f нужно наложить дополнительные ограничения (см. Beur-
ling [2,3]). Сказанное приводит к определению абстрактных
граничных значений путем введения пространства пар (F+>F-),
состоящих из функций F±, аналитических при ±Imz>0, по
модулю пар вида (F,—F), где функция F целая. Именно так
Сато (Sato [1]) впервые определил гиперфункции на R. Впо-
Впоследствии Сато (Sato [2]) распространил эту идею на R". Это
технически хлопотливо, поскольку инвариантная постановка
включает использование относительных когомологий порядка .п.
Мартино (Martineau [1]) отметил, что возможен довольно эле-
элементарный подход, если начать вместо этого с понятия аналити-
аналитического функционала. При доказательстве ключевого утвержде-
утверждения о существовании единственного носителя для функционала,
сосредоточенного на компактном подмножестве пространства R",
Мартино опирался лишь на элементарные факты, касающиеся
когомологий пучка ростков голоморфных функций. Следуя в це-
целом Мартино в § 9.1 и 9.2, мы исключили даже обращение к ко-
гомологиям благодаря тому простому соображению, что реше-
решение задачи Дирихле дает изоморфизм между аналитическими
функционалами и некоторыми гармоническими функциями. Этот
изоморфизм легко исследуется методами, развитыми в предыду-
предыдущих главах. Преимущество состоит в изучении одного уравне-
уравнения вместо переопределенной системы Коши — Римана в случае
нескольких комплексных переменных.
После основных определений в § 9.1 и 9.2 мы в § 9.3 изучили
WFa (и) для гиперфункций. Как уже сказано в примечаниях к
гл. 8, это понятие было впервые введено Сато (Sato [3]). Дока-
Доказательства в § 8.4 и 8.5 выбирались так, чтобы с небольшими из-
изменениями они были применимы и к гиперфункциям. Решаю-
Решающим техническим средством является теорема 9.3.7, вторая часть
которой есть теорема об острие клина в форме Мартино (Маг-
iineau [2]).
Оставив на время гиперфункции, в § 9.4 мы изучили анали-
аналитическую задачу Коши. После такого же, как и в предшествую-
предшествующей книге, доказательства локальной теоремы существования

430 9. Гиперфункции
приведены усовершенствования, касающиеся области существо-
существования и взятые из работ Leray [2], Zerner [3] и отчасти Bony,
Schapira [1]. Этим было подготовлено приведенное в § 9.5 до-
доказательство Бонн и Шапира (Bony, Schapira [1]) нехарактери-
нехарактеристической теоремы регулярности, принадлежащей Сато (Sato
[3]). Следуя работам Komatsu [2] и Schapira [1], мы также
определили для решений в гиперфункциях данные Коши на не-
нехарактеристической поверхности.
В § 9.6 дано определение WFA(u) по Бросу — Ягольнитцеру
в духе работы Sjostrand [1]. Доказательство теоремы 9.6.6, при-
принадлежащей Касиваре, также в основном следует работе Sjost-
rand [1]. По поводу приложений теоремы 9.6.9 см. дополни-
дополнительно Schapira [3], Sjostrand [2]. Весьма обширный обзор тео-
теории аналитической регулярности содержится в работах Sjost-
Sjostrand [1,2].
Целью настоящей главы было дать лишь введение в теорию
гиперфункций, по возможности максимально приближенное к
теории распределений Шварца. Читатель, желающий глубже
изучить предмет, должен, конечно, обратиться к основополагаю-
основополагающей работе Sato, Kawai, Kashiwara [1]. В этом случае полез-
полезным также будет знакомство с введениями, данными в работах
Kashiwara [1] и Cerezo, Chazarain, Piriou [1].
Литература
Агранович М. С. [1] Об уравнениях в частных производных с постоянными
коэффициентами. — УМН, 1961, т. 16, № 2, с. 27—93.
Арнольд В. И. fl] О характеристическом классе, входящем в условия кванто-
квантования.— Функц. анализ и прил., 1967, т. 1, № 1, с. 1—14:
Аткинсон Ф. В. [1] Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормиро-
нормированных пространствах. -^ Матем. сб., 1951, т. 28 G0), с. 3—14.
Бернштейн И. Н. [1] Модули над кольцом дифференциальных операторов. Ис-
Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами.— Функц. анализ и прил., 1971, т. 5, № 2, с. 1—16.
Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И. [1] Мероморфность функции Р^.— Функц.
анализ и прил., 1969, т. 3, № 1, с. 84—85.
Буслаев В. С, Матвеев В. Б. [1] Волновые операторы для уравнения Шрёдин-
гера с медленно убывающим потенциалом.—ЖЭТФ, 1970, т. 2, с. 266—274.
Векуа И. Н. fl] Systeme von Differentialgleichungen erster ordnung vom ellip-
tischen Typus und Randwertaufgaben mit einer Anwendung in der Theorie
der Schalen. — Berlin 1956. [Перевод статьи: Системы дифференциальных
уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с
применением к теории оболочек. — Матем. сб., 1952, т. 31, № 2, с. 217—
314.]
Вишик М. И. [1] Об общих краевых задачах для эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений. — Труды ММО, 1952, т. 1, с. 187—246.
Вишик М. И., Эскин Г. И. [1] Уравнения в свертках в ограниченной обла-
области.—УМН, 1965, т. 20, № 3, с. 89—152.
[2] Уравнения в свертках в ограниченной области в пространствах с ве-
весовыми нормами. — Матем. сб., 1966, т. 69, № 1, с. 65—110.
[3] Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их при-
приложения. — УМН, 1967, т. 22, № 1, с. 15—76.
[4] Уравнения в свертках переменного порядка.— Труды ММО, 1967, т. 16,
с. 25—50.
[5] Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в
свертках. — Матем. сб., 1967, т. 74, № 3, с. 326—356.
Габриэлов А. М. [1] Об одной теореме Хёрмандера. — Функц. анализ н прил.,
1970, т. 4, № 2, с. 18—22.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. [1] Преобразование Фурье быстро растущих
функций и вопросы единственности решения задачи Коши. — УМН, 1953,
т. 8, № 6, с. 3—54.
[2] Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над
ними. 2-е изд. ^М.: Физматгиз, 1959. Вып. 2. Пространства основных и
обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958.
Горин Е. A. fl] Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических
функций от нескольких переменных. — УМН, 1961, т. 16, № 1, с. 91—118.
Грушин В. В. [1] Распространение гладкости решений дифференциальных
уравнений главного типа. —ДАН СССР, 1963, т. 148, № 6, с. 1241—1244.

432 Литература
Литература 433
[2] Об одном классе гипоэллиптических операторов. — Матем. сб.. 1970,
т. 83, № 3, с. 456—473.
Гуревнч Д. И. [1] Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. — Функц. анализ и
прил., 1975, т. 9, № 2, с. 29—35.
Дейч В. Г., Коротаев Е. Л., Яфаев Д. Р. [1] Теория потенциального рассея-
рассеяния при учете пространственной анизотропии. — Записки научи, сем.
ЛОМИ, 1977, т. 73, с. 35—51.
Егоров Ю. В. [1] О канонических преобразованиях псевдодиффереициальиых
операторов. — УМН, 1969, т. 24, № 5, с. 235—236.
[2] О субэллиптических и псевдодифференциальиых операторах. — ДАН
СССР, 1969, т. 188, № 1, с. 20—22.
[3] О субэллиптических операторах. — УМН, 1975, т. 30, № 2, с. 57—114:
№ 3, с. 57—104.
Иврий В. Я- [1] Достаточные условия регулярной и вполне регулярной ги-
гиперболичности. — Труды ММО, 1976, т. 33, с. 3—65.
[2] Волновые фронты решений краевых задач для одного класса симмет-
симметрических гиперболических систем. — Сиб. матем. ж., 1980, т. 21, № 4,
с. 62—71. •
[3] О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа —
Бельтрами на многообразиях с краем. — Функц. анализ и прил., 1980, т. 14,
№ 2. с. 25—34.
Иврий В. Я., Петков В. [1] Необходимые условия корректности задачи Коши
для нестрого гиперболических уравнений. — УМН, 1974, т. 29, № 5,
с. 3—70.
Колмогоров А. Н. [1] Zufallige Bewegungen. — Ann. of Math. 35 A934), 116—
117.
Левитан Б. М. [1] Об асимптотическом поведении спектральной функции
самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. — ИАН
СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 325—352.
[2] Об асимптотическом поведении спектральной функции и о разложении
по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравне-
уравнения второго порядка. II.— ИАН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, с. 33—58.
Лопатинский Я. Б. [1] Об одном способе приведения граничных задач для
системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным
интегральным уравнениям. — Укр. матем. ж., 1953, т. 5, с. 123—151.
Маслов В. П. [1] Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: МГУ,
1965.
Михлин С. Г. [1] О мультипликаторах интегралов Фурье. — ДАН СССР, 1956,
т. 109, с. 701—703.
Олейник О. А. [1] On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 569—586.
Олейиик О. А., Радкевнч Е. В. [1] Уравнения второго порядка с неотрица-
неотрицательной характеристической формой. В сб.: Матем. анализ 1969 (Итоги
науки). —М.: ВИНИТИ, 1971, с. 7—20.
Паламодов В. П. [1] Линейные дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами. — М.: Наука, 1967.
Петровский И. Г. [1] Ober das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen
Differentialgleichungen. — Матем. сб., 1937, т. 2D3), с. 815—870.
[2] О проблеме Cauchy для системы линейных уравнений с частными про-
производными в области неаналитическнх функций. — Бюлл. Моск. ун-та (А),
1938, № 7, с. 1—72.
[3] Sur l'analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles. —
Матем. сб., 1937, т. 5 D7), с. 3—70.
[4] On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations. —
Матем. сб., 1945, т. 17 E9), с. 289—370.
E] Некоторые замечания к моим работам о задаче Коши. — Матем. сб.,
1956, т. 39 (81), с. 267—272.
Повзнер А. Я. [1] О разложении произвольных функций по собственным ха-
характеристическим функциям оператора —Ди + си. — Матем. сб., 1953,
т. 32 G4), с. 109—156.
Радкевич Е. В. [1] Априорные оценки и гипоэллиптические операторы с крат-
кратными характеристиками. — ДАН СССР, 1969, т. 187, с. 274—277.
Соболев С. Л. [1] Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour les
equations lineaires hyperboliques normales. — Матем. сб., 1936, т. 1 D3),
с. 39—72.
[2] Об одной теореме функционального анализа. — Матем. сб., 1938,
т. 4 D6), с. 471—498.
Федосов Б. В. [1] Непосредственное доказательство формулы для индекса
эллиптической системы в евклидовом пространстве. — Функц. анализ и
прил., 1970, т. 4, № 4, с. 83—84.
Agmon S. [I] The coerciveness problem for integro-differential forms. — J. Ana-
Analyse Math. 6 A958), 183—223.
[2] Spectral properties of Schrodinger operators. — Actes Congr. Int. Math.
Nice 2 A970), 679—683.
[3] Spectral properties of Schrodinger operators and scattering sheory.—
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa D) 2, A975), 151—218.
[4] Unicite et convexite dans les problemes differentiels. — Sem. Math. Sup.
No 13, Les Presses de l'Univ. de Montreal, 1966.
[5] Lectures on elliptic boundary value problems. — Van Nostrand Math.
Studies 2, Princeton, N. J., 1965.
[6] Problemes mixtes pour les equations hyperboliques d'ordre superieur.—
Coll. Int. CNRS 117, Paris 1962., 13—18.
[7] Some new results in spectral and scattering theory of differential ope-
operators on R". — Sem. Goulaouic-Schwartz 1978—1979, Exp. II, 1—11.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. [1] Estimates near the boundary for solu-
solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary
conditions. I. —Comm. Pure Appl. Math. 12 A959), 623—727; II. —Comm.
Pure Appl. Math. 17 A964), 35—92. [Имеется перевод части I: Агмои С,
Дуглис А., Нирёнберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вбли-
вблизи границы. — М.: ИЛ, 1962.1
Agmon S., Hormander L. [1] Asymptotic properties of solutions of differential
equations with simple characteristics. — J. Analyse Math. 30 A976), 1—38.
Ahlfors L., Heins M. [1] Questions of regularity connected with the Phrag-
men-Lindelof principle. — Ann. of Math. 50 A949), 341—346.
Airy G. B. [1] On the intensity of light in a neighborhood of a caustic.—
Trans. Cambr. Phil. Soc. 6 A838), 379—402.
Alinhac S. [1] Non-unicite du probleme de Cauchy.— Ann. of Math. 117 A983),
77—108.
[2] Non-unicite pour des operateurs differentiels a caracteristiques complexes
simples. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 13 A980), 385—393.
[3] Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Contemporary
Mathematics (to appear).
Alinhac S., Baouendi M. S. [1] Uniqueness for the characteristic Cauchy prob-
problem and strong unique continuation for higher order partial differential
inequalities. — Amer. J. Math. 102 A980), 179—217.
Alinhac S., Zuily С [1] Unicite et non-unicite du probleme de Cauchy pour des
operateurs hyperboliques a caracteristiques doubles. — Comm. Partial Diffe-
Differential Equations 6 A981), 799—828.
Alsholm P. K- [1] Wave operators for long range scattering. — Mimeographed
report, Danmarks Tekniske H0jskole 1975.
Alsholm P. K., Kato T. [1] Scattering with long range potentials. In: Partial
Diff. Eq. — Proc. of Symp. in Pure Math. 23, pp. 393—399. Amer. Math. Soc.
Providence, R. I., 1973.
28 Зак. 821

434 Литература
Литература 435
Amrein W. О., Martin Ph. A., Misra P. [1] On the asymptotic condition of
scattering theory. — Helv. Phys. Acta 43 A970), 313—344.
Andersson K. G. [1] Propagation of analyticity of solutions of partial differen-
differential equations with constant coefficients. — Ark. Mat. 8 A971), 277—302.
Andersson K. G., Melrose R. B. [1] The propagation of singularities along gli-
gliding rays. — Invent. Math. 41 A977), 197—232.
Aronszajn N. [1] Boundary values of functions with a finite Dirichlet inte-
integral. — Conference on Partial Differential Equations 1954, University of
Kansas, pp. 77—94.
[2] A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differen-
differential equations or inequalities of second order. — J. Math. Pures Appl. 36
A957), 235—249.
Aronszajn N., Krzywicki A., Szarski J. [1] A unique continuation theorem for
exterior differential forms on Riemannian manifolds. — Ark. Mat. 4 A962),
417—453.
Asgeirsson L. [1]- Ober eine Mittelwerteigenschaft von Losungen homogener
linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffi-
zienten. — Math. Ann. 113 A937), 321—346.
Atiyah M. F. [1] Resolution of singularities and division of distributions. —
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 145—150.
Atiyah M. F., Bott R. [1] The index theorem for manifolds with boundary.—
Proc. Symp. on Differential Analysis, Oxford, 1964, pp. 175—186.
[2] A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I. — Ann. of
Math. 86 A967), 374—407.
Atiyah M. F., Bott R., Garding L. [1] Lacunas for hyperbolic differential opera-
operators with constant coefficients. I. —Acta Math. 124 A970), 109—189. [Име-
[Имеется перевод: Атья М., Ботт Р., Гординг Л. Лакуны для гиперболических
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. I. ¦— УМН,
1971, т. 26, № 2, с. 25—100.]
[2] Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients.
II. —Acta Math. 131 A973), 145—206. [Имеется перевод: Атья М„ Ботт р.,
Гординг Л. Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами. П.—УМН, 1984, т. 39, № 3, с. 171—224.]
Atiyah M. F., Bott R., Patodi V. К. [1] Оп the heat equation and the index
theorem. — Invent. Math. 19 A973), 279—330. [Имеется перевод: Атья М.,
Ботт Р., Патоди В. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе. —
Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 3—48.]
Atiyah M. F., Singer I. M. [11 The index of elliptic operators on'compact ma-
manifolds. — Bull. Amer. Math. Soc. 69 A963), 422—433. [Имеется перевод:
Атья М., Зингер И. Индекс эллиптических операторов на компактных мно-
многообразиях. — Математика, 1966, т. 10, Ms 3, с. 29—38.]
B1 The index of elliptic operators. I, III.— Ann. of Math. 87 A968), 484—
530, 546—604. [Имеется перевод: Атья М., Зингер И. Индекс эллиптиче-
эллиптических операторов. I, III. —УМН, 1968, т. 23, № 5, с. 99—142; 1969, т. 24,
N° 1, с. 127—182.]
Avakumovie V. G. [1] Ober die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riernann-
schen Mannigfaltigkeiten. — Math. Z. 65 A956), 327—344.
Bang T. [1] Om quasi-analytiske funktioner. Thesis, Copenhagen 1946.
Baouendi M. S., Goulaouic Ch. [1] Nonanalytic-hypoellipticity for some dege-
degenerate elliptic operators. — Bull. Amer. Math. Soc. 78 A972), 483—486.
Beals R. [1] A general calculus of pseudo-differential operators. — Duke Math.
J. 42 A975), 1—42.
Beals R., Fefferman С [I] On local solvability of linear partial differential
equations. — Ann. of Math. 97 A973), 482—498.
[2] Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators I. — Comm. Pure
Appl. Math. 27 A974), 1—24.
Beckner W. [1] Inequalities in Fourier analysis. — Ann of Math. 102 A975),
159—182.
Berenstein C. A., Dostal M. A. [1] On convolution equations I. In: L'anal
harm dans le domain complexe. — Springer Lecture Notes in Math. 336
A973), 79—94. .
Bernstein S. [1] Sur la nature analytique des solutions des equations
aux derivees partielles du second" ordre. — Math. Ann. 59 A904),
20—76.
Beurling A. [1] Quasi-analyticity and general distributions. Lectures 4 and 5,
Amer. Math. Soc. Summer Inst. Stanfood 1961 (Mimeographed).
[2] Sur les spectres des fonctions. — Anal. Harm. Nancy 1947, Coll. Int. XV,
pp. 9—29.
[3] Analytic continuation across a linear boundary.—Acta Math. 128 A972),
153—182.
Bjorck G. [1] Linear partial differential operators and generalized distribu-
distributions. — Ark. Mat. 6 A966), 351—407.
Bjork J. E. [1] Rings of differential operators. — North-Holland Publ. Co. Math.
Library series 21 A979).
Bochner S. [1] Vorlesungen uber Fouriersche Integrate. — Leipzig 1932. [Име-
[Имеется перевод: Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. — М.: Физматгиз,
• 1962.]
Boman J. [1] On the intersection of classes of infinitely differentiable func-
functions. — Ark. Mat. 5 A963), 301—309.
Bonnesen Т., Fenchel W. [1] Theorie der konvexen Korper. — Erg. der Math.
und ihrer Grenzgeb. 3, Springer-Verlag, 1934.
Bony J. M. [1] Une extension du theoreme de Holmgren sur l'unicite du prob-
leme de Cauchy. — С R. Acad. Sci. Paris 268 A969), 1103—1106.
[2] Extensions du theoreme de Holmgren. — Sem. Goulaouic — Schwartz
1975—1976, Expose no. XVII.
[3] Equivalence des diverses notions de spectre singulier analytique. — Sem.
Goulaoic-Schwartz 1976—1977, Expose no. III.
Bony J. M., Schapira P. [1] Existence et prolongement des solutions holomor-
phes des equations aux derivees partielles.— Invent. Math. 17 A972), 95—
105. [Имеется перевод: Бонн Ж.-М., Шапира П. Существование и про-
продолжение голоморфных решений уравнений с частными производными. —
Математика, 1973, т. 17, № 1, с. 162—171.]
Borel Е. [1] Sur quelques points de la theorie des fonctions. — Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. 12 C) A895), 9—55.
Boutet de Monvel L. [1] Comportement d'un operateur pseudo-differentiel sur
une variete a bord. — J. Analyse Math. 17 A966), 241—304.
[2] Boundary problems for pseudo-differential operators. — Acta Math. 126
A971), 11—51.
[3] On the index of Toeplitz operators of several complex variables. — In-
Invent. Math. 50 A979), 249—272.
[41 Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo-
differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 27 A974), 585—639.
Boutet de Monvel L., Guillemin V. [1] The spectral theory of Toeplitz opera-
operators,—Ann. of Math. Studies 99 A981).
Boutet de Monvel L., Grigis A., Helffer B. [1] Parametrixes d'operateurs
pseudo-differentiels a caracteristiques multiples. — Asterisque 34—35 A976),
93—121.
Brezis H. [1] On a characterization of flow-invariant sets —Comm Pure Appl
Math. 23 A970), 261—263.
Brodda B. [1] On uniqueness theorems for differential equations with constant
coefficients. — Math. Scand. 9 A961), 55—68.
Browder F. [1] Estimates and existence theorems for elliptic boundary value
problems. — Proc. Nat. Acad. Sci. 45 A959), 365—372.
Calderon A. P. [1] Uniqueness in the Cauchy problem for partial differential
equations. — Amer. J. Math. 80 A958), 16—36.
28*

436 Литература
Литература 437
[2] Existence and uniqueness theorems for systems of partial differential
equations. Fluid Dynamics and Applied Mathematics (Proc. Symp. Univ. of
Maryland 1961). —New York 1962, pp. 147—195.
[3] Boundary value problems for elliptic eqautions. Outlines of the joint
Soviet-American Symposium on partial differential equations, Novosibirsk
1963, pp. 303—З94.
Calderon A. P., Vaillancourt R. [1] On the boundedness of pseudo-differential
operators. — J. Math. Soc. Japan 23 A972), 374—378.
[2] A class of bounded pseudo-differential operators. — Proc. Nat. Acad Sci.
USA 69 A972), 1185—1187.
Calderon A. P., Zygmund A. [1] On the existence of certain singular inte-
integrals.—Acta Math. 88 A952), 85—139.
Caratheodory С [1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen
Erster Ordnung. — Berlin: Teubner, 1935.
Carleman T. [1] Sur un probleme d'unicite pour les systemes d'equations aux
derivees partielles a deux variables independentes. — Ark. Mat. Astr. Fys.
26B No 17 A939), 1—9.
[2] L'integrale de Fourier et les questions qui s'y rattachent. — Publ. Sci.
Inst. Mittag-Leffler, Uppsala 1944.
[3] Proprietes asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes
vibrantes. — С R. Congr. des Math. Scand. Stockholm 1934 (Lund 1935),
pp. 34—44.
Catlin D. [1] Necessary conditions for subellipticity and hypoellipticity for the д
Neumann problem on pseudoconvex domains. In: Recent developments in
several complex variables. — Ann. of Math. Studies 100 A981), 93—100.
Cauchy A. [1] Memoire sur l'integration des equations lineaires. — С R. Acad.
Sci. Paris 8 A839). In: Euvres IV, pp. 369—426. — Paris: Gauthier-Villars,
1884.
Cerezo A., Chazarain J., Piriou A. [1] Introduction aux hyperfonctions. — Sprin-
Springer Lecture Notes in Math. 449 A975), 1—53.
Chaillou J. [1] Hyperbolic differential polynomials and their singular pertur-
perturbations. — D. Reidel Publ. Co. Dordrecht, Boston, London, 4979.
Chazarain J. [1] Construction de la parametrix du probleme mixte hyperbolique
pour l'equation des ondes. — С R. Acad. Sci. Paris 276 A973), 1213—1215.
[2] Formules de Poisson pour les varietes riemanniennes. — Invent. Math.
24 A974), 65—82.
Chazarain J., Piriou A. fl] Introduction a la theorie des equations aux derivees
partielles lineaires. — Gauthier-Villars, 1981.
Chester C., Friedman В., Ursell F. [1] An extension of the method of steepest
descent. — Proc. Cambr. Phil. Soc. 53 A957), 599—611.
Cohen P. [1] The non-uniqueness of the Cauchy problem. — O. N. R. Techn.
Report 93, Stanford 1960.
[2] A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem. — Amer. Math. Monthly
75 A968), 26—31.
[3] A simple proof of Tarski's theorem on elementary algebra. Mimeo-
Mimeographed manuscript. — Stanford University 1967.
Colin de Verdiere Y. [1] Sur le spectre des operateurs elliptiques a bicaracteri-
stiques toutes periodiques. — Comment. Math. Helv. 54 A979), 508—522.
Cook J. [1] Convergence to the Meller wave matrix. — J. Mathematical Physics
36 A957), 82—87.
Cordes H. O. [1] Uber die eindeutige Bestimmheit der Losungen elliptischer
Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben. — Nachr., Akad. Wiss. Got-
tingen Math.-Phys. Kl. Ha, No. 11 A956), 239—258.
Cotlar M. [1] A combinatorial inequality and its application to Z-2 spaces. —
Rev. Math. Cuyana 1 A955), 41—55.
Courant R., Hilbert D. [1] Methoden der Mathematischen Physik II.— Berlin
1937. [Имеется перевод: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической
физики. Т. 2. —М.: ГТТИ, 1951.]
Courant R., Lax P. D. [1] The propagation of discontinuities in wave motion.—
Proc. Nat. Acad. Sci. 42 A956), 872—876.
De Giorgi E. [1] Un esempio di non-unicita della soluzione del problema di
Cauchy relativo ad una equazione differenziale lineare a derivate parziali ti
tipo parabolico. — Rend. Mat. 14 A955), 382—387.
[2] Solutions analytiques des equations aux derivees partielles constants.—
Sem. Goulaouic-Schwartz 1971—1972, Expose 29.
Dencker N. [1] On the propagation of singularities for pseudo-differential ope-
operators of principal type.— Ark. Mat. 20 A982), 23—60.
[2] The Weyl calculus with locally temperate metrics and weights. — to ap-
appear.
Dieudonne J. [1] Sur les fonctions continue numeriques definies dans un pro-
duit de deux espaces compacts. — С R. Acad. Sci. Paris 205 A937), 593—
595.
Dieudonne J., Schwartz L. fl] La dualite dans les espaces (#") et (S1^).—
Ann Inst. Fourier (Grenoble), 1 A949), 61—101. [Имеется перевод: Дьё-
донне Ж. Шварц Л. Двойственность в пространствах (&~) и (S'ff').—
Математика, 1958, т. 2, № 2, с. 77—117.]
Dollard J. D. [1] Asymptotic convergence and the Coulomb interaction. — J.
Math. Phys. 5 A964), 729—738.
[2] Quantum mechanical scattering theory for short-range and Coulomb
interactions. — Rocky Mountain J. Math. 1 A971), 5—88.
Douglis A., Nirenberg L. [1] Interior estimates for elliptic systems of partial
differential equations. — Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), 503—538.
Duistermaat J. J. [1] Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding
of singularities. — Comm. Pure Appl. Math. 27 A974), 207—281.
Duistermaat J. J., Guillemin V. W. [1] The spectrum of positive elliptic opera-
operators and periodic bicharacteristics. — Invent. Math. 29 A975), 39—79.
Duistermaat J. J., Hormander L. [1] Fourier integral operators II. — Acta Math.
128 A972), 183—269.
Duistermaat J. J., Sjostrand J. [1] A global construction for pseudo-differential
operators with non-involutive characteristics. — Invent. Math. 20 A973),
209—225.
DuPlessis N. [1] Some theorems about the Riesz fractional integral. — Trans.
Amer. Math. Soc. 80 A955), 124—134.
Ehrenpreis L. [1] Solutions of some problems of division I. — Amer. J. Math.
76 A954), 883—903.
[2] Solutions of some problems of division III. — Amer. J. Math. 78 A956),
685—715.
[3] Solutions of some problems of division IV.— Amer. J. Math. 82 A960),
522—588.
[4] On the theory of kernels of Schwartz. — Proc. Amer. Math." Soc. 7
A956). 713—718
[5] A fundamental principle for systems of linear differential equations with
constant coefficients, and some of its applications. — Proc. Intern. Symp. on
Linear Spaces, Jerusalem 1961, pp. 161—174.
[6] Fourier analysis in several complex variables. — Wiley-Interscience
Publ., New York, London, Sydney, Toronto 1970.
[7] Analytically uniform spaces and some applications. — Trans. Amer. Math.
Soc. 101 A961), 52—74.
[8] Solutions of some problems of division V. Hyperbolic operators.—
Amer. J. Math. 84 A962), 324—348.
Enqvist A. [1] On fundamental solutions supported by a convex cone.— Ark.
Mat. 12 A974), 1—40.
Enss V. [1] Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scatte-
scattering. I. Short range potentials. — Comm. Math. Phys. 61 A978), 285—291.
[2] Geometric methods in spectral and scattering theory of Schrodinger

438 Литература
Литература 439
operators. In: Rigorous Atomic and Molecular Physics, G. Velo and
A. Wightman ed. — Plenum, New York, 1980—1981 (Proc. Erice School of
Mathematical Physics 1980).
Eskin G. I. (Эскин Г. И.) [1] Краевые задачи для эллиптических псевдо-
днфференцнальиых уравнений. — М.: Наука, 1973.
[2] Parametrix and propagation of singularities for the interior mixed hy-
hyperbolic problem. — J. Analyse Math. 32 A977), 17—62.
[3] General initial-boundary problems for second order hyperbolic equations.
In: Sing, in Boundary Value Problems. — D. Reidel Publ. Co., Dordrecht,
Boston, London 1981, pp. 19—54.
[4] Initial boundary value problem for second order hyperbolic equations
with general boundary conditions I. —J. Analyse Math. 40 A981), 43—89.
Fefferman С L. [1] The uncertainty principle. — Bull. Amer. Math. Soc. 9
A983), 129—206.
Fefferman C, Phong D. H. [1] On positivity of pseudo-differential operators.—
Proc. Nat. Acad. Sci. 75 A978), 4673—4674.
[2] The uncertainty principle and sharp Garding inequalities. — Comm. Pure
Appl. Math. 34 A981), 285—331.
Fredholm I. [11 Sur l'integrale fondamentale d'une equation diffarentielle ellip-
tique a coefficients constants. — Rend. Circ. Mat. Palermo 25 A908), 346—
351.
Friedlander F. G. [1] The wave front set of the solution of a simple initial-
boundary value' problem with glancing rays. — Math. Proc. Cambridge Phi-
los. Soc. 79 A976), 145—159.
Friedlander F. G., Melrose R. B. [1] The wave front set of the solution of
a simple initial-boundary value problem with glancing rays. II. — Math.
Proc. Cambridge Philos. Soc. 81 A977), 97—120.
Friedrichs K. [1] On differential operators in Hilbert spaces. — Amer. J. Math.
61 A939), 523—544.
[2] The identity of weak and strong extensions of differential operators. —
Trans. Amer. Math. Soc. 55 A944), 132—151.
[3] On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential
equations. — Comm. Pure Appl. Math. 6 A953), 299—326.
[4] On the perturbation of continuous spectra. — Comm. Pure Appl. Math. 1
A948), 361—406.
Friedrichs K., Lewy H. [1] Ober die Eindeutigkeit und das Abhangigkeitsgebiet
der Losungen beim Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differential-
gleichungen. — Math. Ann. 98 A928), 192—204.
Froman N., Froman P. O. [1] JWKB approximation. Contributions to the
theory. — North-Holland Publ. Co. Amsterdam 1965. t
Fuglede B. [1] A priori inequalities connected with systems of partial differen-
differential equations. — Acta Math. 105 A961), 177—195.
Carding L. [1] Linear hyperbolic partial differential equations with constant
coefficients. — Acta Math. 85 A951), 1—62.
[2] Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations. —
Math. Scand. 1 A953), 55—72.
[3] Solution directe du probleme de Cauchy pour les equations hyperboli-
ques. — Coll. Int. CNRS, Nancy 1956, pp. 71—90. [Имеется перевод: Гор-
динг Л. Прямое решение задачи Коши для гиперболических уравнений. —
Математика, 1958, т. 2, № 1, с. 81—96.]
[4] Transformation de Fourier des distributions homogenes. — Bull. Soc.
Math. France 89 A961), 381—428.
[5] Local hyperbolicity. — Israel J. Math. 13 A972), 65—81.
[6] Le probleme de la derivee oblique pour l'equation des ondes. — С R.
Acad. Sci. Paris 285 A977), 773—775. Rectification С R. Acad. Sci. Paris
286 A978), 1199.
[7] On the asymptotic distribution of the eigenvalues and eigenfunctions
of elliptic differential operators.—Math. Scand. 1 A953), 237—255.
Garding L., Lions J. L. [11 Functional analysis. — Nuovo Cimento N. 1 del
Suppl. al. Vol. A0) 14 A959), 9—66.
Garding L., Malgrange B. [1] Operateurs differentiels partiellement hypoellip-
tiques et partiellement elliptiques.— Math. Scand. 9 A961), 5—21.
Cask H. [11 A proof of Schwartz' kernel theorem. — Math. Scand. 8 A960),
327—332.
Gevrey M. [1] Demonstration du theoreme de Picard — Bernstein par la me-
thode des contours successifs; prolongement analytique. — Bull. Sci. Math.
50 A936), 113—128.
Glaeser G. [1] Etude de quelques algebres Tayloriennes. — J. Analyse Math. 6
A958), 1—124.
Godin P. [1] Propagation des singularites pour les operateurs pseudo-differen-
tiels de type principal a partie principal analytique verifiant la condition (P),
en dimension 2. — С R. Acad. Sci. Paris 284 A977), 1137—1138.
Grubb G. [1] Boundary problems for systems of partial differential operators
of mixed order.— J. Functional Analysis 26 A977), 131—165.
[2] Problemes aux limites pseudo-differentiels dependant d'un parametre. —
C' R. Acad. Sci. Paris 292 A981), 581—583.
Gudmundsdottir G. [1] Global properties of differential operators of constant
strength. — Ark. Mat. 15 A977), 169—198.
Guillemin V. [1] The Radon transform on Zoll surfaces. — Adv. in Math. 22
A976), 85—119.
[21 Some classical theorems in spectral theory revisited. Sem. on sing, of
sol. of diff. eq. — Princeton University Press, Princeton, N. J., 1979, pp.219—
259.
[3] Some spectral results for the Laplace operator with potential on the
«-sphere. — Adv. in Math. 27 A978), 273—286.
Guillemin V., Schaeffer D. [1] Remarks on a paper of D. Ludwig. — Bull.
Amer. Math. Soc. 79 A973), 382—385.
Guillemin V., Sternberg S. [1] Geometrical asymptotics. — Amer. Math. Soc.
Surveys 14, Providence, R. I. 1977. [Имеется перевод: Гийемнн В., Стерн-
берг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1980.]
Hack M. N. [1] On convergence to the Meller wave operators. — Nuovo Cimen-
Cimento A0) 13 A959), 231—236.
Hadamard J. [1] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles
lineaires hyperboliques. — Paris 1932.
Haefliger A. [1] Varietes feuilletees. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16 A962),
367-397.
Hanges N. [1] Propagation of singularities for a class of operators with double
characteristics. Sem. on sing, of sol. of linear partial diff. eq. — Princeton
Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 113—126.
Hardy G. H., Littlewood J- E. [1] Some properties of fractional integrals.
(I) Math. Z. 27 A928), 565—606; (II) Math. Z. 34 A931—32), 403—439.
Hausdorff F. [1] Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes fiber Fourierrei-
hen.-Math. Z. 16 A923), 163—169.
Hayman W. K., Kennedy P. B. [1] Subharmonic functions I. — Academic Press,
London, New York, San Francisco 1976. [Имеется перевод: Хейман У.,
Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мир, 1980.]
Hedberg L. I. [1] On certain convolution inequalities. — Proc. Amer. Math. Soc.
36 A972), 505—510.
Heinz E. [1] Ober die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem
einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. — Nachr. . Akad.
Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. Ha No. 1 A955), 1 — 12.
Helffer B. [1] Addition de variables et applications a la regularite. — Ann.
Inst. Fourier (Grenoble) 28:2 A978), 221—231.
Helffer В., Nourrigat J. [1] Caracterisation des operaterus hypoelliptiques ho-
homogenes invariants a gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradue.—
Comm. Partial Differential Equations 4:8 A979), 899—958.

440 Литература
Литература 441
Herglotz G. [1] Ober die Integration linearer partieller Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten I—III.— Berichte Sachs. Akad. d. Wiss. 78
A926), 93—126, 287—318; 80 A928), 69—114.
Hersh R. [1] Boundary conditions for equations of evolution. — Arch. Rational
Mech. Anal. 16 A964), 242—264.
[2] On surface waves with finite and infinite speed of propagation. — Arch.
Rational Mech. Anal. 19 A965), 308—316.
Hirzebruch F. [1] Neue Topologische Methoden in der algebraischen Geomet-
rie. — Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1956. [Имеется пере-
перевод (англ. изд. 1966 г.): Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраи-
алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1973.]
Hlawka Е. [1] Uber Integrale auf convexen Korpern. I. — Monatsh. Math. 54
A950), 1—36.
Holmgren E. [1] Ober Systeme von linearen partiellen Differentialgleichun-
Differentialgleichungen. — Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akad. Forh. 58 A901), 91—103.
[2] Sur l'extension de la methode d'integration de Riemann. — Ark. Mat.
Astr. Fys. 1, No 22 A904), 317—326.
Hormander L. [1] On the theory of general partial differential operators.—
Acta Math. 94 A955), 161—248. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. К тео-
теории общих диифференцналышх операторов в частных" производных. — М.:
ИЛ, 1959.]
[2] Local and global properties of fundamental solutions.—Math. Scand. 5
A957), 27—39.
[3] On the regularity of the solutions of boundary problems. — Acta Math.
99 A958), 225—264. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О регулярности ре--
шений граничных задач. — Математика, 1960, т. 4, № 4, с. 37—73.]
[4] On interior regularity of the solutions of partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 11 A958), 197—218.
[5] On the division of distributions by polynomials.—Ark. Mat. 3 A958),
555—568. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О делении обобщенных функ-
функций на полиномы. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117—130.]
[6] Differentiability properties of solutions of systems of differential equa-
equations.—Ark. Mat. 3 A958), 527—535.
[7] Definitions of maximal differential operators. — Ark. Mat. 3 A958),
501—504.
[8] On the uniqueness of the Cauchy problem I, II.— Math. Scand. 6 A958),
213—225; 7 A959), 177—190.
[9] Null solutions of partial differential equations. — Arch. Rational Mech.
Anal. 4 A960), 255—261.
[10] Differential operators of principal type.— Math. Ann. 140 A960), 124—
146. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные операторы глав-
главного типа. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 89—114.]
[11] Differential equations without solutions. — Math. Ann. 140 A960),
169—173. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные уравнения
без решений. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 115—120.]
[12] Hypoelliptic differential operators. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11
A961), 477—492. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные операторы. — Математика, 1963, т. 7, № 1, с. 66—78.]
[13] Estimates for translation invariant operators in W spaces. — Acta Math.
104 A960), 93—140. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Оценки для опера-
операторов, инвариантных относительно сдвига. — М.: ИЛ, 1962.1
[14] On the range of convolution operators. — Ann. of Math. 76 A962),
148—170. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об области значений диффе-
дифференциальных операторов и операторов свертки. — Математика, 1962, т. 6,
М> 3, с. 37—66.]
[15] Supports and singular supports of convolutions. — Acta Math. 110
A963), 279—302.
[16] Pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 18 A965),
501—517. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные опе-
операторы. В сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967,
с. 63—87.]
[17] Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems.—
Ann. of Math. 83 A966), 129—209. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Псев-
Псевдодифференциальные операторы и неэглиптические краевые задачи. В том
же сб., с. 166—296.]
[18] Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. — Amer. math.
Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 138—183. [Имеется перевод:
Хёрмандер Л. Псевдоднфференциальные операторы и гипоэллиптические
уравнения. В том же сб., с. 297—367.]
[19] An introduction to complex analysis in several variables.— D. van Nos-
trand Publ. Co., Princeton, N. J. 1966. «Имеется перевод: Хёрмандер Л.
Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.:
Мир, 1968.]
[20] Hypoelliptic second order differential equations. — Acta Math. 119
A967), 147—171. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные уравнения второго порядка. — Математика, 1968, т. 12,
№ 2, с. 88—109.]
[21] On the characteristic Cauchy problem.— Ann. of Math. 88 A968),
341—370. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О характеристической задаче
Коши. — Математика, 1969, т. 13, № 1, с. 83—110.]
[22] The spectral function of an elliptic operator. — Acta Math. 121 A968),
193—218. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Спектральная функция эллип-
эллиптического оператора. — Математика, 1969, т. 13, № 6, с. 114—137.]
[23] Convolution equations in convex domains. — Invent. Math. 4 A968),
306—317.
[24] On the singularities of solutions of partial differential equations. —
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 329—358. [Имеется перевод: Хёрман-
Хёрмандер Л. Об особенностях решений дифференциальных уравнений в част-
частных производных. — Математика, 1972, т. 16, № 6, с. 33—59.]
[25] Linear differential operators. — Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 1,
pp. 121—133.
[26a] The calculus of Fourier integral operators. — Prospects in math. Ann.
of Math. Studies 70 A971), 33—57.
[26b] Fourier integral operators I.— Acta Math. 127 A971), 79—183. [Име-
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Интегральные операторы Фурье. I. — Матема-
Математика, 1972, т. 16, № I, с. 17—61.]
[27] Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear diffe-
rentialequations with analytic coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 24
A971), 671—704. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Теоремы единственно-
единственности и волновые фронты для решений линейных дифференциальных урав-
уравнений с аналитическими коэффициентами. — Математика, 1973, т. 17, №6,
с. 82—110.]
[28] A remark on Holmgren's uniqueness theorem. — J. Diff Geom. 6 A971)
129-134.
[29] On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-dif-
pseudo-differential equations. — Ens. Math. 17 A971), 99—163. [Имеется перевод:
Хёрмандер Л. О существовании и регулярности решений линейных псевдо-
псевдодифференциальных уравнений. — УМН, 1973, т. 28, № 6, с. 109—164.]
[30] On the singularities of solutions of partial differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 13 A972), 82—105.
[31] On the existence of real analytic solutions of partial differential equa-
equations with constant coefficients. — Invent. Math. 21 A973), 151—182.
[32] Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 16 A973)', 103—116.

442 Литература
Литература 443
[33] Non-uniqueness for the Cauchy problem. — Springer Lecture Notes in
Math. 459 A975), 36—72.
[34] The existence of wave operators in scattering theory. — Math. Z. 146
A976), 69—91.
[35] A class of hypoelliptic pseudo-differential operators with double cha-.
' racteristics. — Math. Ann. 217 A975), 165—188.
[36] The Cauchy problem for differential equations with double characte-
characteristics. — J. Analyse Math. 32 A977), 118—196.
[37] Propagation of singularities and semiglobal existence theorems for
(pseudo-) differential operators of principal type. — Ann. of Math. 108
A978), 569—609.
[38] Subelliptic operators. Seminar on sing, of sol. of diff. eq. — Princeton
Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 127—208.
[39] The Weyl calculus of pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl.
Math. 32 A979), 359—443.
[40] Pseudo-differential operators of principal type. Nato Adv. Study lnst.
on Sing, in Bound. Value Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981,
pp. 69—96.
[41] Uniqueness theorems for second order elliptic differential equations.—
Comm. Partial Differential Equations 8 A983), 21—64.
[42] On the index of pseudo-differential operators. In: Elliptische Differen-
tialgleichungen, Band II. — Akademie-Verlag, Berlin 1971, S. 127—146.
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об индексе псевдодифференциальных
операторов. — Математика, 1970, т. 14, № 4, с. 78—97.]
[43] L2 estimates for Fourier integral operators with complex phase. — Ark.
Mat. 21 A983), 294—313.
[44] On the subelliptic test estimates. Comm. Pure Appl. Math. 33 A980),
339—363.
Hurwitz A. [1] Ober die Nullstellen der Bessel'schen Funktion. — Math. Ann. 33
A889), 246—266.
Iagolnitzer D. [1] Microlocal essential support of a distribution and decompo-
decomposition theorems — an introduction. In: Hyperfunctions and theoretical phy-
physics. — Springer Lecture Notes in Math. 449 A975), 121—132.
Ikebe T. [1] Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger operator
and their applications to scattering theory. — Arch. Rational Mech. Anal. 5
A960), 1—34.
Ikebe Т., Saito Y. [1] Limiting absorption method and absolute continuity for
. the Schrodinger operator.— J. Math. Kyoto Univ. 12 A972), 513—542.
Iwasaki N. [1] The Cauchy problem for effectively hyperbolic equations (a spe-
special case). —J. Math. Kyoto Jniv. 23 A983), 503—562; (a standart type).—
Publ. Res. lnst. Math. Sci. 20 A984), 543—584.
Jauch J. M., Zinnes I. I. [1] The asymptotic condition for simple scattering
systems. — Nuovo Cimento A0) 11 ( 1959), 553—567.
Jerison D., Kenig С. Е. [1] Unique continuation and absence of positive eigen-
eigenvalues for Schrodinger operators. — Univ. of Minnesota Math. Report 83—
160.
John F. [1] On linear differential equations with analytic coefficients. Unique
continuation of data.— Comm. Pure Appl. Math. 2 A949), 209—253.
[2] Plane waves and spherical means applied to partial differential equa-
equations. — New York 1955. [Имеется перевод: йон Ф. Плоские волны и сфе-
сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с част-
частными производными. — М.: ИЛ, 1958.]
[3] Non-admissible data for differential equations with constant coeffici-
coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 A957), 391—398.
[4] Continuous dependence on data for solutions of partial differential equa-
equations with a prescribed bound. — Comm. Pure Appl. Math. 13 A960), 551—
585.
Й
[5] Linear partial differential equations with analytic coefficients. — Proc.
Nat. Acad. Sci. 29 A943), 98—104.
Jorgens K, Weidmann J. [1] Zur Existenz der Wellenoperatoren. — Math. Z.
131 A973), 141—151.
Kashiwara M. [1] Introduction to the theory of hyperfunctions. In: Sem. on
microlocal analysis. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 3—
38.
Kashiwara M., Kawai T. [1] Microhyperbolic pseudo-differential operators. I.—
J. Math. Soc. Japan 27 A975), 359—404.
Kato T. [1] Growth properties of the reduced wave equation with a variable
coefficient. — Comm. Pure Appl. Math. 12 A959), 403—425.
Keller J. B. [1] Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for non separ-
separable systems. — Ann. Phys. 4 A958), 180—188.
Kitada H. [1} Scattering theory for Schrodinger operators with longrange po-
potentials. I: Abstract theory. —J. Math. Soc. Japan 29 A977), 665—691;
II: Spectral and scattering theory.— J. Math. Soc. Japan 30 A978), 603—
632.
Knapp A. W., Stein E. M. [1] Singular integrals and the principal series.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 63( A969), 281—284.
Kohn J. J. [1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds I, II.—
Ann. of Math. 78 A963), 112—148; 79 A964), 450—472.
[2] Pseudo-differential operators. CIME conference, Stresa 1968. — Edizione
Cremonese, Roma 1969, pp. 157—165.
Kohn J. J., Nirenberg L. [1] On the algebra of pseudo-differential operators.—
Comm. Pure Appl. Math. 18 A965), 269—305. [Имеется перевод: Кон Дж.,
Ниренберг Л. Алгебра псевдодифференциальных операторов. В сб.: Псев-
Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967, с. 9—62.]
[2] Non-coercive boundary value problems. — Comm. Pure Appl. Math. 18
A965), 443—492.
Komatsu H. [1] A local version of Bochner's tube Theorem. — J. Fac. Sci. To-
Tokyo Sect. I-A Math. 19 A972), 201—214.
[2] Boundary values for solutions of elliptic equations. Proc. Int. Conf. Funct.
Anal. Rel. Topics.—Univ. of Tokyo Press, Tokyo 1970, pp. 107—121.
Kieiss H. O. [1] Initial boundary value problems for hyperbolic systems.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 A970), 277—298. [Имеется перевод: Крайс Х.-О.
Смешанная задача для гиперболических систем. — Математика, 1970, т. 14,
№ 4, с. 98—111.]
Krzyzanski М., Schauder J. [1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter
Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randwertaufgaben. — Studia
Math. 6 A936), 162—189.
Kumano-go H. [1] Factorizations and fundamental solution for differential
operators of elliptic-hyperbolic type. — Proc. Japan Acad. 52 A976), 480—
483.
Kuroda S. T. [1] On the existence and the unitary property of the scattering
operator. — Nuovo Cimento A0) 12 A959), 431—454.
Lascar В., Lascar R. [1] Propagation des singularites pour des equations
hyperboliques a caracteristiques de multiplicity au plus double et singularites
Masloviennes II.—J. Analyse Math. 41 A982), 1—38.
Lax P. D. \l] On Cauchy's problem for partial differential equations with mul-
multiple characteristics. — Comm. Pure Appl. Math. 9 A956), 135—169.
[2] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiability
of solutions of elliptic equations. — Comm. Pure Appl. Math. 8 A955),
615-633.
[3] Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems. — Duke Math.
J. 24 A957), 627—646.
Lax P. D., Nirenberg L. [1] On stability for difference schemes: a sharp form
of Garding's inequality. — Comm. Pure Appl. Math. 19 A966), 473—492.
[Имеется перевод: Лаке П., Ниренберг Л. Об устойчивости разностных

444 Литература
Литература 445
схем; точная форма неравенства Гординга. ¦— Математика 1967, т 11 №6
с. 3—20.] ' '
Lebeau G. [1] Fonctions harmoniques et spectre singulier. — Ann. Sci Ecole
Norm. Sup. D) 13 A980), 269—291.
Lelong P. [1] Plurisubharmonic functions and positive differential forms. —
Gordon and Breach, New York, London, Paris 1969.
[2] Proprietes metriques des varietes definies par une equation — Ann Sci
Ecole Norm. Sup. 67 A950), 22—40.
Leray J. [1] Hyperbolic differential equations. — The Institute for Advanced
Study, Princeton, N. J., 1953. [Имеется перевод: Лере Ж. Гиперболические
дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.]
[2] Uniformisation de la solution du probleme lineaire analytique de Cauchy
pres de la variete qui porte les donnees de Cauchy. — Bull. Soc. Math.
France 85 A957), 389—429. [Имеется перевод: Лере Ж. Униформизации ре-
решений линейной аналитической задачи Коши в окрестности многообразия,
несущего начальные данные. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 57—89.]
Lerner N. [1] Unicite du probleme de Cauchy pour des operateurs elliptiques.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ser. 4, 17 A984), 469—505.
Lerner N., Robbiano L. [1] Unicite de Cauchy pour des operateurs de type
principal. — J. Analyse Math, to appear.
Levi E. E. [1] Caratterische multiple e problema di Cauchy.— Ann. Mat. Рига
Appl. C) 16 A909), 161—201..
Levinson N. [1] Transformation of analytic function of several variables to a
canonical form. — Duke Math. J. 28 A961), 345—353.
Lewy H. [1] An example of a smooth linear partial differential equation with-
without solution. — Ann. of Math. 66 A957), 155—158.
[2] Extention of Huyghen's principle to the ultrahyperbolic equation. — Ann.
Mat. Рига Appl. D) 39 A951), 63—64.
Lions L. J. [1] Supports dans la transformation de Laplace.— J. Analyse Math.
2 A952—53), 369—380.
Lions J. L., Magenes E. [1] Problemes aux limites поп homogenes et applica-
applications I—III. — Dunod, Paris, 1968—1970. [Имеется перевод: Лионе Ж.-Л.,
Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения..— М.:
Мир, 1971.]
Lojasiewicz S. [1] Sur le probleme de division. — Studia Math. 18 A959), 87—
136.
Luke G. [1] Pseudodifferential operators on Hilbert bundles. — J. Differential
Equations 12 A972), 566—589.
Ludwig D. [1] Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem. — Comm.
Pure Appl. Math. 13 A960), 473—508.
[2] Uniform asymptotic expansions at a caustic. — Comm. Pure Appl. Math.
19 A966), 215—250.
Malgrange B. [1] Existence et approximation des solutions des equations aux
derivees partielles et des equations de convolution. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 6 A955—56), 271—355.
[2] Sur une class d'operateurs differentiels hypoelliptiques. — Bull. Math.
France 85 A957), 283—306.
[3] Sur la propagation de la regularity des solutions des equations a coeffi-
coefficients constants. — Bull. Marh. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie 3 E3)
A959), 433—440.
[4] Sur les ouverts convexes par rapport a une operateur differentiel. —
С R. Acad. Sci. Paris 254 A962), 614—615.
[5] Sur les systemes differentiels a coefficients constants. — Coll. CNRS,
Paris 1963, pp. 113—122.
[6] Ideals of differentiable Functions. — Tata Institute, Bombay, and Oxford
University Press 1966. [Имеется перевод: Мальграиж Б. Идеалы диффе-
дифференцируемых функций. — М.: Мир, 1968.]
Mandelbrojt S. [1] Analytic functions and classes of infinitely differentiable
functions. — Rice Inst. Pamphlet 29 A942), 1—142.
[2] Series adherentes, regularisations des suites, applications. — Coll. Borel,
Gauthier-Villars, Paris 1952.
Martineau A. [1] Les hyperfonctions de M. Sato. — Sem. Bourbaki 1960—1961,
Expose No 214.
[2] Le «edge of the Wedge theorem» en theorie des hyperfonctions de Sato.
Proc. Int. Conf. Funct. Anal. Rel. Topics. — Univ. of Tokyo Press, Tokyo
1970, pp. 95—106.
Mather J. [1] Stability of C" mappings: I. The division theorem. — Ann. of
Math. 87 A968), 89—104.
Melin A. [1] Lower bounds for pseudo-differential operators. — Ark. Mat. 9
A971), 117—140.
[2] Parametrix constructions for right invariant differential operators on
nilpotent groups. — Ann. Global Analysis and Geometry 1 A983), 79—130.
Melin A., Sjostrand J. [1] Fourier integral operators with complex-valued phase
functions. — Springer Lecture Notes in Math. 459 A974), 120—223.
[2] Fourier integral operators with complex phase functions and parametrix
for an interior boundary value problem. — Comm. Partial Differential Equa-
Equations 1 :4 A976), 313—400.
Melrose R. B. [1] Transformation of boundary problems. — Acta Math. 147
9—236.
Invent. Math. 37 A976), 165-
A981), 149—2
[2] Equivalence of glancing hypersurfaces. ¦
191.
[3] Microlocal parametrices for diffractive boundary value problems. —
Duke Math. J. 42 A975), 605—635.
[4] Local Fourier-Airy integral operators. — Duke Math. J. 42 A975), 583—
604.
[5] Airy operators. — Gomm. Partial Differential Equations 3:1 A978),
1—76.
[6] The Cauchy problem for effectively hyperbolic operators. — Hokkaido
Math. J. to appear.
[7J The trace of the wave group. — Syrnp. Amer. Math. Soc. to appear.
Melrose R. В., Sjostrand J. [1] Singularities of boundary value problems I,
II. —Comm. Pure Appl. Math. 31 A978), 593—617; 35 A982), 129—168.
Mikusinski J. [1] Une simple demonstration du theorerne de Titchmarsh sur
la convolution. — Bull. Acad. Pol. Sci. 7 A959), 715—717.
[2] The Bochner integral. — Birkhauser-Verlag, Basel, Stuttgart 1978.
Minakshisundaran S., Pleijel A. [1] Some properties of the eigenfunctions of
the Laplace operator on Riemannian manifolds. — Canad. J. Math. 1 A949),
242-256.
Mizohata S. [1] Unicite du prolongement des solutions des equations elliptiques
du quatrieme ordre. — Proc. Jap. Acad. 34 A958), 687—692.
[2] Systemes hyperboliques. — J. Math. Soc. Japan 11 A959), 205—233.
[3] Note sur le traitement par les operateurs d'integrale singuliere du prob-
probleme de Cauchy.— J. Math. Soc. Japan 11 A959), 234—240.
[4] Solutions nulles et solutions non analytiques. — J. Math. Kyoto Univ. 1
A962), 271—302.
[5] Some remarks on the Cauchy problem.— J. Math. Kyoto Univ. 1 A961),
109—127.
Moller С [1] General properties of the characteristic matrix in the theory of
elementary particles. I. — Kongl. Dansk. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 23
A945), 2—48.
Моггеу С V. [1] The analytic embedding of abstract real-analytic manifolds. —
Ann. of Math. 68 A958), 159—201.
Моггеу С. В., Nirenberg L. [1] On the analyticity of the solutions of linear
elliptic systems of partial differential equations. — Comm. Pure Appl. Math.
10 A957), 271—290.

446 Литература
Литература 447
Moyer R. D. [I] Local solvability in two dimensions: Necessary conditions for
the principal-type case. Mimeographed manuscript. — Univ. of Kansas 1978.
Miiller C. [1] On the behaviour of the solutions of the differential equation
&U = F(x, U) in the neighborhood of a point.— Comm. Pure Appl Math
7 A954), 505—515.
Miinster M. [1] On A. Lax's condition of hyperbolicity. — Rocky Mountain J
Math. 8 A978), 443—446.
[2] On hyperbolic polynomials with constant coefficients. — Rocky Moun-
Mountain J. Math. 8 A978), 653—673.
von Neumann J., Wigner E. [11 Ober merkwurdige diskrete Eigenwerte. — Phys.
Z. 30 A929), 465—467.
Nirenberg L. [1] Remarks on strongly elliptic partial differential equations,—
Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), 648—675.
[2] Uniqueness in Cauchy problems for differential equations with constant
coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 A957), 89—105.
[3] A proof of the Malgrange preparation theorem. Liverpool singulari-
singularities I. —Springer Lecture Notes in Math. 192 A971), 97—105.
[4] On elliptic partial differential equations. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa
C) 13 A959), 115—162.
[5] Lectures on linear partial differential equations. — Amer. Math. Soc. Re-
Regional Conf. in Math. 17 A972), 1—58. [Имеется перевод: Ниренберг Л.
Лекции о линейных дифференциальных уравнениях в частных производ-
производных.—УМН, 1975, т. 30, № 4, с. 147—204.]
Nirenberg L., Treves F. [1] Solvability of a first order linear partial differen-
differential equation. — Comm. Pure Appl. Math. 16 A963), 331—351.
[2] On local solvability of linear partial differential equations. I. Necessary
conditions. II. Sufficient conditions. Correction. — Comm. Pure Appl. Math.
23 A970), 1—38, 459—509; 24 A971), 279—288. [Имеется перевод: Нирен-
Ниренберг Л., Трев Ф. О локальной разрешимости лилейных дифференциальных
уравнений в частных производных. 1. Необходимые условия. II. Достаточ-
Достаточные условия. Поправка к статье «О локальной разрешимости...». — Мате-
Математика, 1971, т. 15, № 3, с. 142—172; № 4, с. 68—110; 1972, т. 16, № 4,
с. 149—152.]
Nishitani I. [1] Local energy integrals for effectively hyperbolic operators I.—
J. Math. Kyoto Univ. 24 A984), 623—658.
Noether F. [1] Ober eine Klasse singularer Integralgleichungen. — Math. Ann.
82 A921), 42—63.
Oshima T. [1] On analytic equivalence of glancing hypersurfaces. — Sci. Papers
College Gen. Ed. Univ. Tokyo 28 A978), 51—57.
Paley R. E. A. C, Wiener N. [1] Fourier transforms in the complex domain.—
Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XIX, New York 1934. [Имеется перевод: Ви-
Винер H., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Нау-
Наука, 1964.]
Pederson R. [1] On the unique continuation theorem for certain second and
forth order elliptic equations. — Conn. Pure Appl. Math. 11 A958), 67—80.
[2] Uniqueness in the Cauchy problem for elliptic equations with double
characteristics. — Ark. Mat. 6 A966), 535—549.
Peetre J. [1] Theoremes de regularity pour quelques classes d'operateurs diffe-
rentiels. Thesis. — Lund 1959.
[2] Rectification a l'article «Une caracterisation abstraite des operateurs dif-
ferentiels». — Math. Scand. 8 A960), 116—120.
[3] Another approach to elliptic boundary problems. — Comm. Pure Appl.
Math. 14 A961), 711-731.
[4] New thoughts on Besov spaces. Duke Univ. Math. Series I. — Durham,
N. C, 1976.
Persson J. [1] The wave operator and P-convexity. — Boll. Un. Mat. Hal. E)
18-B A981), 591—604.
Pham The Lai [1] Meilleurs estimations asymptotiques des restes de la fonction
spectrale et des valeurs propres relatifs au laplacien. — Math. Scand. 48
A981), 5—31.
Piccinini L. С [1] Non surjectivity of the Cauchy — Riemann operator on the
space of the analytic functions on R". Generalization to the parabolic opera-
operators. — Bull. Un. Mat. Ital. D) 7 A973), 12—28.
Plis" A. [1] A smooth linear elliptic differential equation without any solution
in a sphere. — Conn. Pure Appl. Math. 14 A961), 599—617.
[2] The problem of uniqueness for the solution of a system of partial diffe-
differential equations. — Bull. Acad. Pol. Sci. 2 A954), 55—57.
[3] On non-uniqueness in Cauchy problem for an elliptic second order diffe-
differential equation. — Bull. Acad. Pol. Sci. 11 A963), 95—100.
Poincare H. [1] Sur les proprietes du potentiel et les fonctions abeliennes.—
Acta Math. 22 A899), 89—178.
Ralston J. [1] Solutions of the wave equation with localized energy. — Comm.
Pure Appl. Math. 22 A969), 807—823.
[2] Gaussian beams and the propagation of singularities. — MAA Studies
in Math. 23 A983), 206—248.
Reed M., Simon B. [1] Methods of modern mathematical physics. III. Scattering
theory. — Academic Press 1979. [Имеется перевод: Рид М., Саймон Б. Ме-
Методы современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. — М.:
Мир, 1982.]
Rempel S., Schulze B.-W. [1] Index theory of elliptic boundary problems.—
Akademie-Verlag, Berlin 1982. [Имеется перевод: Ремпель С, Шульце Б.-В.
Теория индекса в эллиптических граничных задачах. — М.: Мир, 1986.]
de Rham G. [1] Varietes differentiables. — Hermann, Paris 1955. [Имеется пе-
перевод: Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.]
Riesz F. [1] Sur l'existence de la derivee des fonctions d'une variable reelle
et des fonctions d'intervalle. — Verh. Int. Math. Kongr. Zurich 1932, I,
S. 258—269.
Riesz M. [11 L'integrale de Riemann — Liouville et le probleeme de Cauchy.—
Acta Math. 81 A949), 1—223.
[2] Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineai-
res. — Acta Math. 49 A926), 465—497.
[31 Sur les fonctions conjuguees. — Math. Z. 27 A928), 218—244.
[4] Problems related to characteristic surfaces. — Proc. Conf. Diff. Eq. Univ.
Maryland 1955, pp. 57—71.
Rothschild L. P. [1] A criterion for hypoellipticity of operators constructed
from vector fields. — Comm. Partial Diff. Equations 4:6 A979), 645—699.
Saito Y. [1] On the asymptotic behavior of the solutions of the Schrodinger
equation (—Д — Q(y) — k2) V = F. — Osaka J. Math. 14 A977), 11—35.
[2] Eigenfunction expansions for the Schrodinger operators with long-range
' potentials Q(y) =O(\y\~e), e > 0. — Osaka J. Math. 14 A977), 37—53.
Sakamoto R. [1] ?-well posedness for hyperbolic mixed problems with constant
coefficients. — J. Math. Kyoto Univ. 14 A974), 93—118.
[2] Mixed problems for hyperbolic equations I. — J. Math. Kyoto Univ. 10
A970), 375—401; II ibid. 403—417.
Sato M. [1] Theory of hyperfunctions I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 A959)
139—193.
[2] Theory of hyperfunctions II.— J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 A960),
387—437.
[3] Hyperfunctions and partial differential equations. — Proc. Int. Conf. on
Funct. Anal, and Rel. Topics, Tokyo Univ. Press, Tokyo 1969, pp. 91—94.
[4] Regularity of hyperfunction solutions of partial .differential equations. —
Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 2, pp. 785—794.
Sato M., Kawai T. Kashiwara M. [1] Hyperfunctions and pseudodifferential
equations. — Springer Lecture Notes in Math. 287 A973), 265—529.

448 Литература
Литература 449
ffi
Scbaefer H. H. [1] Topological vector spaces. — Springer-Verlag, New York,
Heidelberg, Berlin 1970. [Имеется перевод: Шефер X. Топологические век-
векторные пространства. — М.: Мир, 1971.]
Schapira P. [1] Hyperfonctions et problemes aux Hmites elliptiques. — Bull.
Soc. Math. France 99 A971), 113—141.
[2] Propagation at the boundary of analytic singularities. — Nato Adv.
Study Inst. on Sing, in Bound. Value Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht
1981, pp. 185—212.
[3] Propagation at the boundary and reflection of analytic singularities of
solutions of linear partial differential equations. — Publ. RIMS, Kyoto Univ.,
12 Suppl. 1977, pp. 441—453.
Schechter M. [1] Various types of boundary conditions for elliptic equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 13 A960), 407—425.
[2] A generalization of the problem of transmission. — Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa 14 A960), 207—236.
Schwartz L. [1] Theorie des distributions I, II.— Hermann, Paris, 1950—51.
[2] Theorie des noyaux. — Proc. Int. Congr. Math. Cambridge 1950, I,
p. 220—230.
Sur l'impossibilite de la multiplication des distributions. — С R. Acad.
Sci. Paris 239 A954), 847—848.
[4] Theorie des distributions a valeurs vectorielles I. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 7 A957), 1—141.
[5] Transformation de Laplace des distributions. — Comm. Sem. Math. Univ.
Lund, Tome suppl. dedie a Marcel Riesz, 1952, pp. 196—206.
[6] Theorie generate des fonctions moyenne-periodiques. — Ann. of Math. 48
A947), 857—929.
Seeley R. T. [1] Singular integrals and boundary problems. — Amer. J. Math.
88 A966), 781—809.
[2] Extensions of C°° functions defined in a half space. — Proc. Amer. Math.
Soc. 15 A964)), 625—626.
[3] A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Lapla-
cian in a domain of R3.—Advances in Math. 29 A978), 244—269.
[4] An estimate near the boundary for the spectral function of the Laplace
operator. — Amer. J. Math. 102 A980), 869—902.
[5] Elliptic singular integral equations. — Amer. Math. Soc. Symp. on Sin-
Singular Integrals, 1966, pp. 308—315.
Seidenberg A. [1] A new decision method for elementary algebra. — Ann. of
Math. 60 A954), 365—374.
Shibata Y. [1] ?-well posedness of mixed initial-boundary value problems with
constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 A980),
32—45.
Siegel С L. [1] Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass.
In: Abhandl. aus Zahlenth. u. Anal. — Plenum Press, New York 1968,
pp. 299—306.
Sjostrand J. [11 Singularites analytiques microlocales. — Prepublications Uni-
versite de Paris-Sud 82—03.
[2] Analytic singularities of solutions of boundary value problems. — Nato
Adv. Study Inst. on Sing, in Bound. Value Prob., Reidel Publ. Co., Dord-
Dordrecht 1981, pp. 235—269.
[3] Parametricies for pseudodifferential operators with multiple characte-
characteristics. — Ark. Mat. 12 A974), 85—130.
[4] Propagation of analytic singularities for second order Dirichlet problems
I, II, III. —Comm. Partial Differential Equations 5: I A980), 41—94; 5:2
A980), 187—207; 6:5 A981), 499—567.
[5] Operators of principal type with interior boundary conditions. — Acta
Math. 130 A973), 1—51.
Sommerfeld A. [1] Optics. Lectures on theoretical physics IV.—Academie
Press New York 1969. [Имеется перевод: Зоммерфельд А. Оптика. — M.:
ИЛ, 1953.]
Stein E. M. [1] Singular integrals and differentiability properties of func-
functions. — Princeton Univ. Press 1970. [Имеется перевод: Стейн И. Сингуляр-
Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.]
Sternberg S. [1] Lectures on differential geometry. — Prentice-Hall Inc., Engle-
wood Cliffs, N. J., 1964. [Имеется перевод: Стернберг С. Лекции по диф-
дифференциальной геометрии. — М.: Мир, 1964.]
Stokes G. В. [1] On the numerical calculation of a class of definite integrals
and infinite series. — Trans. Cambridge Philos. Soc. 9 A850), 166—187.
Svensson L. [1] Necessary and sufficient conditions for the hyperbolicity of
polynomials with hyperbolic principal part. — Ark. Mat. 8 A968), 145—162.
Sweeney W. J. [1] The O-Neumann problem. —Acta Math. 120 A968), 223—
277.
Szego G. [1] Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen.—Math. Z. 6
A920), 167—202.
Tacklind S. [1] Sur les classes quasianalytiques des solutions des equations aux
derivees partielles du type parabolique. — Nova Acta Soc. Sci. Upsaliensis
D) 10 A936), 1—57.
Tarski A. [1] A decision method for elementary algebra and geometry. Manu-
Manuscript, Berkeley 1951, 63 pp.
Taylor M. [1] Gelfand theory of pseudodifferential operators and hypoelliptic
operators. — Trans. Amer. Math. Soc. 153 A971), 495—510.
[2] Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equa-
equations. — Comm. Pure Appl. Math. 29 A976), 1—38.
[3] Diffraction effects in the scattering of waves. In: Sing, in Bound. Value
Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 271—316.
f4] Pseudodifferential operators. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J.,
981. [Имеется перевод: Тейлор М. Псевдодифференциальные операто-
операторы.—М.: Мир, 1985.]
Thorin О. [1] An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. — Kungl.
Fys. Sallsk. Lund. Forh. 8 A939), No. 14.
Titchmarsh E. C. [1] The zeros of certain integral functions. — Proc. London
Math. Soc. 25 A926), 283—302.
Treves F. [1] Solution elementaire d'equations aux derivees partielles dependant
d'un parametre. — С R. Acad. Sci. Paris 242 A956), 1250—1252.
[2] These d'Hormander II. —Sem. Bourbaki 135, 2e ed. (Mai 1956).
[3] Relations de domination entre operateurs differentiels. — Acta Math. 101
A959), 1—139.
' [4] Operateurs differentiels hypoelliptiques. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
9 A959), 1—73.
[5] Local solvability in L2 of first order linear PDEs. — Amer. J. Math. 92
A970), 369—380.
[6] Fundamental solutions of linear partial differential equations with con-
constant coefficients depending on parameters. — Amer. J. Math. 84 A962),
561—577.
[7] Un theoreme sur les equations aux derivees partielles a coefficients con-
constants dependant de parametres.— Bull. Soc. Math. France 90 A962), 473—
486.
[8] A new method of proof of the subelliptic estimates. — Comm. Pure Appl.
Math. 24 A971), 71—115.
[9] Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vo-
Volume 1: Pseudodifferential operators. Volume 2: Fourier integral operators.—
Plenum Press, New York, and London 1980. [Имеется перевод: Трев Ф.
Введение в теорию псевдодифференциальных операторов н интегральных
операторов Фурье. — В 2-х томах.—М.: Мнр, 1984.]
2$ Зак. 821

450 Литература
Tsuji M. [1] Singularities of elementary solutions of hyperbolic equations with
constant coefficients. — Nato Adv. Study Inst. on Sing, in Bound. Value
Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 317—326.
Vauthier J. [1] Comportement asymptotique des fonctions entieres de type
exponentiel dans C" et bornees dans le domaine reel. — J. Funct. Analysis
12 A973), 290—306.
Veselic K., Weidmann J. [1] Existenz der Wellenoperatoren fur eine allgemeine
Klasse vort Operatoren. — Math. Z. 134 A973), 255—274.
[2] Asymptotic estimates of wave functions and the existence of wave oper-
operators. — J. Funct. Analysis 17 A974), 61—77.
van der Waerden B. J. [1] Einfuhrung in die algebraiche Geometrie. — Berlin
1939.
[2] Algebra I—II. 4. Aufl. — Springer Verlag, Berlin — Gottingen— Heidel-
Heidelberg 1959. [Имеется перевод: Ван дер Вардеи Б. Алгебра. 2-е изд. — М.:
Наука, 1979.]
Wang Rou-hwai, Tsui Chih-yung [1] Generalized Leray formula on positive
complex Lagrange — Grassmann manifolds. — Res. Report, Inst. of Math.,
Jilin Univ. 8209, 1982.
Warner F. W. [1] Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups. —
Scott Foresman and Co., Glenview, 111., London 1971.
Weinstein A. [1] The order and symbol of a distribution. — Trans. Amer. Math.
Soc. 241 A978), 1—54.
[2] Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. —
Duke Math. J. 44 A977), 883—892.
[3] On Maslov's quantization condition. In: Fourier integral operators and
partial differential equations. — Springer Lecture Notes in Math. 459 A974),
341—372.
Weyl H, [1] The method of orthogonal projection, in potential theory. — Duke
Math. J. 7 A940), 411—444. [Имеется перевод: Вейль Г. Метод ортого-
ортогональной проекции в теории потенциала. — В кн.: Вейль Г. Избранные тру-
труды. Математика. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1984, с. 275—307.]
[2] Die Idee der Riemannschen Flache. 3. Aufl. — Teubner, Stuttgart 1955.
[3] Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willkQrlicher Funktionen.— Math. Ann. 68 A910),
220—269.
[4] Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie Hohlraum-
strahlung). —Math. Ann. 71 A912), 441—479.
Whitney H. [1] Analytic extensions of differentiable functions defined in closed
sets.— Trans. Amer. Math. Soc. 36 A934), 63—89.
Widom H. [1] Eigenvalue distribution in certain homogeneous spaces. — J.
Funct. Analysis 32 A979), 139—147.
Yamamoto K. [1] On the reduction of certain pseudo-differential operators with
non-involution characteristics. — J. Differential Equations 26 A977), 435—
442.
Zeilon N. [1] Das Fundamentalintegral der allgemeinen linearen Differential-
gleichung mit konstanten Koeffizienten. — Ark. Mat. Astr. Fys. 6 A911),
No 38, 1—32.
Zerner M. [1] Solutions de l'equation des ondes presentant des singularites
sur une droite. — С R. Acad. Sci. Paris 250 A960), 2980—2982.
[2] Solutions singulieres d'equations aux derivees partielles. — Bull. Soc
Math. France 91 A963), 203—226. '
[3] Domaine d'holomorphie .des fonctions verifiant une equation aux derivees
partielles. —C. R. Acad. Sci. Paris 171 A971), 1646—1648.
Zuily C. fl] Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Progress
in Math. 33. Birkhauser, Boston, Basel, Stuttgart 1983.
Zygmund A. [1] On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of
operators. — J. Math. Pures Appl. 35 A956). 223—248.
Именной указатель
Авербух В. И. 6
Агмон (S. Agmon) 299
Агранович М. С. 299
Адамар (J. Hadamard) 47, 90
Андерссон (К. G. Andersson) 47, 379,
380
Арнольд В. И. 301
Ароншайн (N. Aronszajn) 301
Асгейрссон (L. Asgeirsson) 299
Атья (М. F. Atiyah) 299
Бауэнди (М. S. Baouendi) 380
Бекнер (W. Beckner) 299
Берхин П. Е. 6
Бёрлинг (A. Beurling) 70, 429
Бонн (J. M. Bony) 378—380, 430
Боннезен (Т. Bonnesen) 153—154
Борель (Е. Borel) 46
Ботт (R. Bott) 299
Бохнер (S. Bochner) 298, 380
Нриллюэн (L. Brillouin) 300
Брос (Bros) 378, 382, 417, 421, 430
Брэй (Н. Е. Bray) 46
Буте де Монвель (L. Boutet de Mon-
vel) 10, 379
Бьёрк (G. Bjorck) 70
Бэиг (Т. Bang) 47
Бэр (R. Baire) 298
Ван Роухвай (Wang Rou-hwai) 10
Вейль (Н. Weyl) 47
Веитцель (G. Wentzel) 300
Вииер (N. Wiener) 299
Гаек (Н. Gask) 162
Гельфанд И. М. 70, ПО, 154, 299
Герглотц (G. Herglotz) 299
Гийемин (V. W. Guillemin) 300, 301
Глезер (G. Glaeser) 71
Гординг (L. Garding) 71, 299, 380
Грубб (G. Grubb) 10
Грушин В. В. 379
Гулауик (Ch. Goulaouic) 380
де Ram (G. de Rham) 191, 192
Дёйстермаат (J. J. Duistermaat) 300,
301
Джеффрис (Н. Jeffreys) 300
Джон ( = Иок) (F. John) 191, 380
Дьёдонне (J. Dieudonne) 47, 71
Дю-Плесси (N. DuPlessis) 154
Зигель (С. L. Siegel) 300
Зигмунд (A. Zygmund) 154, 301
Каваи (Т. Kawai) 378—380, 430
Кальдерон (А. Р. Calderon) 154, 301
Карлеман (Т. Carleman) 429
Касивара (М. Kashiwara) 378—380,
382, 424, 430

452 Именной указатель
Именной указатель 453
Кеннеди (Р. В. Kennedy) 154
Кокхольм (N. J. Kokholm) 10
Колмогоров А. Н. 300
Комацу (Н. Komatsu) 380, 430
Коши (A. Cauchy) 299
Коэн (P. Cohen) 47
Крамере (Н. Kramers) 300
Лаке (P. D. Lax) 301
Лебо (G. Lebeau) 379
Левн (Н. Lewi) 299
Левнисои (N. Levinson) 300
Лелон (P. Lelong) 154
Лере (J. Leray) 430
. Лионе (J.-L. Lions) 71, 154
Литтлвуд (J. E. Littlewood) 154
Людвиг (D. Ludwig) 301
Мальгранж (В. Malgrange) 299
Мандельбройт (S. Mandelbrojt) 46,
47
Мартино (A. Martineau) 382, 429
Мезер (J. Mather) 300
Мелин (A. Melin) 10, 300, 301
Микусиньский (J. Mikusinski) 154
Мнхлни С. Г. 301
Ниренберг (L. Nirenberg) 154, 300
Петре (J. Peetre) 163, 301
Пирну (A. Piriou) 430
Пуанкаре (Н. Poincare) 154
Пэли (R. Е. А. С. Paley) 299
Рисе М. (М. Riesz) 90, 110, 299, 301
Рисе. Ф. (F. Riesz) 154
Рокафеллар (R. Т. Rockafellar) 154
Сигурдссон (R. Sigurdsson) 10
Сили (R. Т. Seeley) 71
Соболев С. Л. 70, 154, 301
Стейи (Е. М. Stein) 301
Стернберг (S. Stemberg) 192
Стоке (G. В. Stokes) 300
Титчмарш (Е. С. Titchmarsh) 154
Том (R. Thorn) 301
Торин (О. Thorin) 299
Трев (F. Treves) 47
Уитни (Н. Whitney) 47, 70, 71
Уорнер (F. W. Warner) 192
Урселл (F. Ursell) 300, 301
Фенхель (W. Fenchel) 154
Фредгольм (I. Fredholm) 299
Фрёман Н. (N. Froman) 300
Фрёман П. (Р. О. Froman) 300
Фридман (В. Friedman) 300, 301
Харди (G. H. Hardy) 154
Хаусдорф (F. Hausdorff) 299
Хедберг (L. I. Hedberg) 154
Хейман (W. К. Hayman) 154
Хёрмандер (L. Hormander) 5—7, 10,
47, 71, 299-301, 379, 380
Хлавка (Е. Hlawka) 300
Хольмгрен (Е. Holmgren) 379
Цайлон (N. Zeilon) 299
Цернер (М. Zerner) 379, 430
Честер (С. Chester) 300, 301
Шварц (L. Schwartz) 8, 9, 49, 62, 70,
71, 110, 154, 162, 298, 299, 430
Шефер (Н. Н. Schaefer) 448
Шеффер (D. Schaeffer) 300
Шёстранд (J. Sjostrand) 10, 300, 301,
379, 380, 430
Шилов Г. Е. 70, ПО, 154, 299
Шубин М. А. 6, 7
Эйри (G. В. Airy) 300, 301
Эренпрейс (L. Ehrenpreis) 46—47,
162, 299
Юнг (W. H. Young) 298—299
Ягольнитцер (D. Iagolnitzer)
382, 417, 421, 430
378,
Сато (М. Sato) 9, 378—381, 429, 430
Серезо (A. Cerezo) 430
Шазарен (J. Chazarain) 430
Шапира (P. Schapira) 10, 379, 430

Предметный указатель
амплитуда 284
аналитический функционал 382
Асгейрссона теорема о средних зна-
значениях 222
атлас 176
Бернштейна теорема 292
Бесселя функция 341
бета-функция 109
бихарактеристика 188, 357
бихарактернстическая кривая 357
— полоска 357
Бореля теорема 28
-быстро убывающая функция 193
Вейерштрасса подготовительная тео-
теорема 236, 237
— формула 237
векторное поле 181
вещественно-аналитическая функция
6, 38
вещественный главный тип 329
ВКБ 300
внешнее произведение 183
волновое уравнение 12
волновой фронт 305
выпуклая оболочка (замкнутая) 132
— функция 115, 116
Гамильтона—Якоб и теория 192
гамильтонова система 188
гамильтоново векторное поле 188
гамма-функция 94
Гаусса — Грина формула 79
гауссова функция 248
Герглотца—Петровского формула
209, 299
гёльдерова функция 153
гиперболический многочлен 376
гиперфункция 392, 394
гипоэллиптический оператор 138
главное значение 94
главный символ 185, 324
— тнп (вещественный) 329
граничное значение аналитической
функции 400
Данжуа—Карлемана теорема 36
двойственные квадратичные формы
249
двойственный конус 308
диагональ 160
диагональное отображение 320
Дирака мера 74
дифференциал 16, 18, 22
дифференциальная форма см. форма
дифференциальный оператор 25, 324
дифференцируемое отображение 16,
18
длина мультииндекса 24
Жеврея класс 335
запаздывающее фундаментальное ре-
решение 174
Кальдерона—Зигмунда лемма о по-
покрытии 146
каноническая один-форма 182
каноническое преобразование 189
Карлемана неравенство 37
касательное пространство 179
касательный вектор 179
квазианалитнческий класс 36
Кирхгофа формула 224
Колмогорова уравнение 253
координатная окрестность 175
— система 175
координаты локальные 175
конечная часть 91
конус двойной световой 288
— двойственный 308
— задний 172
— касательный 424
— передний 172, 173
— предельный 309
— собственный 308
коиормальное расслоение 183
Коши задача 174, 407
— интегральная формула 82
Коши—Ковалевской теорема 407
кохольмгреновская теорема Касивары
424
критическая точка 263
Лапласа уравнение 11
Лейбница формула 25
локализация 58, 393
Лоренца форма 373
Мальгранжа подготовительная теоре-
теорема 241—243
Марцинкевича приём 149
матрица перехода 180
медленно меняющаяся метрика 43
мера 53
микрогиперболичность 373
микролокальный анализ 302
Предметный указатель 455-
Минковского неравенство 150
многообразие 175
— вещественное аналитическое 336
— ориентированное 184
мультииидекс 24
нехарактеристическая гиперповерх-
гиперповерхность 408, 409
нормаль к отображению 315
— — подмножеству многообразия:
внешняя 355
— — — — внутренняя 356
нормальная производная 416
носитель аналитического функциона-
функционала 388
— гиперфункции 392
— распределения 58
— сингулярности 58
— функции 26
обратный образ гиперфункции 403
— — распределения 166, 315
— — формы 182
ограничение гиперфункции 393
— распределения 58
одии-форма 182
однородность 92, 95
— абсолютная 230
опережающее фундаментальное ре-
решение 174
опорная функция 133
ориентация 184
осцилляторный интеграл 286
открытое отображение 165
отражение 92
параметрикс 206
Парсеваля формула 198, 212, 217
перехода матрица 180

456 Предметный указатель
Предметный указатель 457
плотность 178, 181
— класса С~ 178
— непрерывная 178
— обобщённая 178
плюрнсубгармоническая функция 122
поднятие 166, 182
полидиск 404, 407
порядок распределения 49
пробная функция 26
продолжения метод 409
проекция расслоения 179
произведение распределений 73, 320
производная 16, 18, 22
Пуассона скобка 191
— формула суммирования 2,16
Пэли—Винера—Шварца теорема 220,
299
разбиение единицы 42
распределение 49
— на многообразии 177
~ однородное 95
— положительное 53—54
расслоение векторное 179
— касательное 180
— кокасательное 182
— комплексное 181
— конормальное 183
— линейное 181
— нормальное 183
регуляризация 30
регулярное в смысле Уитни множе-
множество 70
Рисса—Торина теорема о выпукло-
выпуклости 201
Рунге теорема 139
свёртка 29, 112, 128
секвенциальная непрерывность 50
сечение расслоения 180
— обобщённое 181
сигнатура 108, 169
символ 284
симплектическое преобразование 189
— форма 187
сингулярный носитель 58
слабая топология (слабая * тополо-
топология) 54
слабое решение 12
слабый тип A, а) 148
слой кратный 168
— простой 168
Соболева неравенство 250
— пространства 289
— теоремы вложения 153
собственное отображение 131
собственный конус 131
сосредоточенный на К (об аналити-
аналитическом функционале) 382
срезающая функция 38
стационарной фазы метод 260
точка 263
Стилтьеса—Витали теорема 138
Стокса формула 185
субгармоническая функция 117
сужение см. ограничение
существенный носитель (по Б росу и
Ягольнитцеру) 378
Тейлора формула 24, 25
тензорное произведение распределе-
распределений 156
теорема о делении 237
— — локализации для гиперфункций
393
— — — — распределений 59
— — носителях 134
— — обратной функции 21
— — острие клина 401
— в форме Мартино 402
— — разложении гиперфункций 402
— — среднем 17
• ядре 158
— продолжения Уитни 65
трансверсальность 319
транспоинроваиный оператор 140
трнвиализация векторного расслое-
расслоения 180
Уитни теорема продолжения 65
умеренное (умеренного роста) рас-
распределение 199
фазовая функция 284
фейимаиовское фундаментальное ре-
решение 174
форма 182, 183
формально транспонированный опе-
оператор 325
фундаментальное решение 102
Фурье анализ 194
— коэффициент 217
— преобразование 195, 200
— формула обращения 195
Фурье—Лапласа преобразование 202
характер 194
характеристика 186
характеристическое множество 186,
324, 408, 409
— поверхность 186
Харди—Литтлвуда—Соболева нера-
неравенство 146
Хаусдорфа—Юнга теорема 201
Хевисайда функция 74
Хольмгрена теорема единственности
364
целочисленная решётка 43
центральная предельная теорема 256
цепное правило 20
Шварца теорема о. ядре 158
Шрёдингера оператор 104
Эйлера тождество для однородных
функций 96
Эйри дифференциальное уравнение
258
— функция 257
экспоненциальное решение 225
эллиптический многочлен 206
— оператор 139, 324
ядро (шварцево) 158
С'-граница 78
С°°-структура 175
й-форма 183
1Лплотность 210, 211
Г-аналитичность 400
1-форма 182
¦-слабая топология 54

Указатель обозначений
Пространства функций
и распределений
с1
ск
с°°
С1
ск
Со
см
&
18, 176
22, 26, 176
26
153, 290
26
26
35
335
L\oz 53, 176
ay
9>'
II i
Ll
A
A'
X
49, 177
k 49, 177
> 49
7 314
62
k 62
195
199
„ 288
Um 288
288
382
(K) 382
(RB) 388
B(X) 392, 394
Pol(m) 229
Pol°(m) 229
S?e 284
Специальные символы
а (мультииндекс) 24
| а | (его длина) 24
а! 25
d 20
д, 24, 73
да 24, 74
D, 196
D" 196, 404
Уа 25
P(jc, д) 25
221
(а)
, д/дг 81
Г(л) 16, 18
РЧх; уи '..., yk) 22
А 102
D 171
й 92, 140
и 136
г2 195, 200
Q 229
<и, ф) 61
Г (обратный образ) 166, 182,
315, 403
/. 181
* (свертка) 29, 112, 128
° (композиция) 161, 165
Char 324, 371
supp 26, 58, 392
singsupp 58, 393
sing suppx, 336
sing suppx 336
WF 305
WFX 321
WFy 321
WF' 322
WFL 337
WFA 337, 397
deg 98
sgn (сигнатура) 108
ch (замкнутая выпуклая обо-
оболочка) 132
Нк (опорная функция) 132
Г° (двойственный конус) 308
Ne{F) 355
Nt{F) 356
N(F) 356
N(F) 356
Указатель обозначений 459>
Nt 315
Т(Х) 180
Ьт (/) 400
© (каноническая один-форма)
182
а (симплектическая форма) 186=
Re Л 104
Ш 60
=» 184
С (дополнение)
0 (пустое множество)
А\В(=А fl CB)
Специальные распределения
Н (функция Хевисайда) 74
6„ (мера Дирака) 74
PV (главное значение) 94
х% 88, 89
xt 92
(х ± Ю)а 93
Х+ 95
х~к 93
Г (гамма-функция) 94
Ai (функция Эйри) 257
m (мера Лебега) 292

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие . . • 8
Введение 11
1. Пробные функции . • 16
Краткое содержание главы 16
Обзор дифференциального исчисления 16
1.2. Существование пробных функций 26
1.3. Свертка 29
1.4. Срезающие функции и разбиения единицы .... 38
Примечания 46
2. Определение и основные свойства распределений • . • • 48
Краткое содержание главы 48
2.1. Основные определения 48
2.2. Локализация 58
2.3. Распределения с компактным носителем . . . . 61
. Примечания 70
3. Дифференцирование и умножение на функции 72
Краткое содержание главы 72
3.1. Определения и примеры 72
3.2. Однородные распределения 88
3.3. Некоторые фундаментальные решения 102
3.4. Вычисление некоторых интегралов 106
Примечания 109
4. Свертка 111
Краткое содержание главы . 111
4.1. Свертка с гладкой функцией 112
4.2. Свертка распределений 127
29*
Оглавление 461
4.3. Теорема о носителях 132
4.4. Роль фундаментальных решений 137
4.5. Основные ?р-оценки для сверток 144
Примечания ....... 153
5. Распределения в произведениях пространств 155
Краткое содержание главы 155
5.1. Тензорные произведения 155
5.2. Теорема о ядре 157
Примечания 162
6.' Композиция с гладкими отображениями 164
Краткое содержание главы 164
6.1. Определения 164
6.2. Некоторые фундаментальные решения 169
6.3. Распределения на многообразии 175
6.4. Касательное и кокасательное расслоения . . . .178
Примечания 191
7. Преобразование Фурье : 193
Краткое содержание главы 193
7.1. Преобразование Фурье в 9" и в 9" 193
7.2. Формула суммирования Пуассона и периодические
распределения 215
7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в <8' 219
7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа . . 231
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 236
7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций . . . 248
7.7. Метод стационарной фазы 260
7.8. Осцилляторный интеграл 284
7.9. Пространства #(s), IP и гёльдеровы пространства 288
Примечания 298
8. Спектральный анализ особенностей 302
Краткое содержание главы 302
8.1. Волновой фронт 304
8.2. Обзор операций над распределениями 314
8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных
производных 324
8.4. Волновой фронт относительно CL 335
8.5. Правила вычисления для WFL 351
8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений в
частных производных 361
8.7. Микрогиперболичность 373
Примечания 378

462 Оглавление • УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Q ГипешЬункиии 381 Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
^*^ ' нии, качестве перевода и другие просим присылать
Краткое Содержание главы 381 по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский
9.1. Аналитические функционалы . : 382 пер., 2, издательство «Мир».
9.2. Общие гиперфункции 392
9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции . . 395
9.4. Аналитическая задача Коши 404
9.5. Гиперфункции — решения дифференциальных урав-
уравнений в частных производных 412
9.6. Аналитический волновой фронт и носитель . . . 417
Примечания 429
Литература 431
Именной указатель 451
Предметный указатель 454
Указатель обозначений 458