Автор: Хермандер Л.  

Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения   конечные разности   вариационное исчисление   функциональный анализ   математический анализ   математика  

Год: 1986

Похожие

Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 4. Интегральные операторы Фурье

Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 3. Псевдодифференциальные операторы

Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Текст
                    Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 2£
Lars Hormander
The Analysis of Linear Partial
Differential Operators I
Distribution Theory and Fourier Analysis
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983


Л.Хёрмандер
Анализ линейных
дифференциальных
операторов
с частными
производными
Том 1
Теория распределений
и анализ Фурье
Перевод с английского под редакцией
М.	А. Шубина
В четырех томах
Москва «Мир» 1986


ББК 22.162
X 39
УДК 517.9
Херман дер Л.
X 39 Анализ линейных дифференциальных операторов с част¬
ными производными: В 4-х т. Т. 1. Теория распределений и
анализ Фурье. Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.— 464 с., ил.
Первый том фундаментальной монографии крупного шведского математика,
знакомого советским читателям по переводам его книг и статей, посвящен теории
распределений и анализу Фурье и дает систематическое изложение современного
состояния в данной области.
Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов универси¬
тетов.
х
1702050000—316
041(01)—86
22—86, ч.
ББК 22.162
Редакция литературы по математическим наукам
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983
All rights reserved. Authorized translation
from English language edition published
by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York
© перевод на русский язык, «Мир», 1986


Предисловие редактора
перевода
Имя шведского математика Ларса Хёрмандера не нуждается
в рекламе ни для кого из специалистов по уравнениям с част¬
ными производными и смежным вопросам анализа. Он давно
уже является одним из классиков и признанных лидеров в этой
области. Его книги б и работы написаны сжато, но при этом
четко, замкнуто и полно. По ним можно изучать соответствую¬
щие разделы теории, и притом с уверенностью, что ничто суще¬
ственное не будет упущено. Не является исключением и настоя¬
щая книга, вышедшая на английском языке в 4-х томах. Многие
западные математики называют ее библией уравнений с част¬
ными производными. Как и все книги Хёрмандера, она исклю¬
чительно богата материалом, причем это богатство не всегда
отражено в оглавлении. Например, первая глава содержит срав¬
нительно новое доказательство классической теоремы Данжуа —
Карлемана о квазианалитических классах, вторая глава — тео¬
рему Уитни о продолжении гладких функций, четвертая — изло¬
жение теории плюрисубгармонических функций и т. д.
Стиль, в котором написаны книги и работы Хёрмандера, не
назовешь легким: их чтение требует серьезной работы практи¬
чески над каждой строкой. Однако читателя, преодолевшего все
эти трудности, ждет большая награда: он овладеет современной
и трудной техникой и сможет после этого сам работать в изучае¬
мой области. Существенно, что при этом вследствие замкнутости
изложения ему практически не придется обращаться к другим
источникам — это свойство книг и многих статей Хёрмандера
достигнуто им .благодаря тщательнейшему продумыванию мате¬
риала и отбору используемых результатов других авторов.
В итоге Л. Хёрмандер, как правило, полностью описывает и до¬
казывает в своих книгах и статьях большое число результатов
других авторов, причем чаще всего в более совершенном виде,
чем в первоисточниках.
При работе над книгой переводчики и редактор старались
возможно точнее следовать оригиналу. В частности, это относится
и к терминологии: при переводе выбирались термины, наибо¬
лее близкие к использованным в оригинале, даже если они не
являлись самыми употребительными в литературе на русском
’> На русском языке вышли четыре книги Хёрмандера — см. литературу
в конце книги.


в Предисловие редактора перевода
языке. По этой причине мы пользовались термином «распреде¬
ление», а не эквивалентным ему термином «обобщенная функ¬
ция», и термином «аналитическая функция» вместо «голоморф¬
ная функция» (для функций одного или нескольких веществен¬
ных переменных, разлагающихся в окрестности каждой точки
в сходящийся степенной ряд, используется термин «вещественно
аналитическая функция»). Более того, вместо термина «осцил¬
лирующий интеграл», уже вошедшего в литературу на русском
языке, в качестве перевода английского «oscillatory integral»
здесь употребляется термин «осцилляторный интеграл», более
соответствующий английскому термину и сути дела. Мы надея¬
лись, что такое отношение к терминологии, принятой автором,
у которого учились и учатся многие математики, облегчит чита¬
телю дальнейшее чтение литературы на английском языке, так
как большинство авторов, несомненно, будет следовать в тер¬
минологии Л. Хёрмандеру — одному из главных законодателей
в этой области.
Переводчики и редактор старались, по возможности, не ме¬
шать читателю примечаниями. Текст книги настолько концентри¬
рован, что поясняющие его примечания могли бы занять слиш¬
ком много места; кроме того, мы не хотели лишать читателя
возможности и удовольствия развить свою аналитическую тех¬
нику, расшифровывая трудные места.
Поскольку литература по линейным уравнениям с частными
производными необозрима, а чтение книги не предполагает ни¬
каких предварительных знаний (исключая стандартные универ¬
ситетские курсы анализа и алгебры), мы решили не добавлять
ничего к списку литературы, составленному самим Хёрмандером.
Появление новой книги Л. Хёрмандера — крупное событие
в математической науке. Нет сомнений, что она будет полезна
очень многим категориям читателей и долго будет служить всем,
кто хочет изучить излагаемый в ней один из самых важных и
самых разработанных разделов математики. Автору прекрасно
удалось продемонстрировать красоту и содержательность совре¬
менной теории линейных уравнений с частными производными.
Вполне доступная начинающим, эта книга доведет настойчивого
читателя до вершин теории.
Перевод первого тома осуществлен В. И. Авербухом (пре¬
дисловие, введение и главы 1—7) и П. Е. Берхиным (главы 8
и 9).
Перевод книги выполнялся в тесном контакте с автором,
приславшим для русского издания ряд исправлений. Издатель¬
ство, переводчики и редактор выражают за это Л. Хёрмандеру
глубокую благодарность.
9 апреля 1985 г.
М. А. Шубин


Предисловие
к русскому изданию
Русское издание содержит некоторые изменения по сравнению
с английским. Исправлены ошибки, которые обнаружил я сам,
и, кроме того, внимательные переводчики, возглавляемые проф.
М. А. Шубиным, сделали много других уточнений. Тщательная
работа переводчиков произвела на меня большое впечатление,
и я весьма признателен им за сотрудничество, благодаря кото¬
рому в последующие английские издания можно будет внести
ряд улучшений. Наконец, я хотел бы поблагодарить издатель¬
ство «Мир» за решение осуществить этот перевод, который де¬
лает мою книгу доступной более широкому кругу читателей.
Юрсхольм, август 1985 г.
Ларе Хёрмандер


Предисловие
В 1963 г. в серии Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
вышла моя книга, озаглавленная «Линейные дифференциаль¬
ные операторы с частными производными»1}. Некоторые ее части
благополучно выдержали испытание временем, другие же с по¬
явлением методов, использующих псевдодифференциальные опе¬
раторы и интегральные операторы Фурье, довольно скоро уста¬
рели. Поскольку эта область быстро развивается, довести эту
книгу до уровня сегодняшнего дня было трудно. Однако новые
методы, по-видимому, уже достаточно созрели, и такая попытка
стоила затраченных усилий.
Прогресс в теории линейных дифференциальных уравнений
с частными производными за последние тридцать лет был до¬
стигнут во многом благодаря теории распределений (обобщен¬
ных функций), созданной Лораном Шварцем в конце сороко¬
вых годов. Она подытожила большой опыт, накопленный к тому
времени при изучении дифференциальных уравнений с частными
производными, и стала идеальной основой для дальнейшего раз¬
вития теории. «Линейные дифференциальные операторы с ча¬
стными производными» начинались с краткого изложения тео¬
рии распределений, потому что двадцать лет назад она была
еще незнакома многим аналитикам. Затем сразу шло изложение
самых общих известных результатов о дифференциальных опе¬
раторах с частными производными. Таким образом, предпола¬
галось, что читатель в какой-то мере знаком с классической
теорией, хотя явно эта последняя и не привлекалась. Сейчас,
пожалуй, уже нет необходимости включать в книгу изложение
основ теории распределений, а вот предполагать знакомство с
классическими вопросами теории дифференциальных уравнений
с частными производными представляется неразумным, посколь¬
ку современное изложение этих вопросов встречается весьма
» Русский перевод этой книги опубликован издательством «Мир> в
1965 г. — Прим. ред.


Предисловие 9
редко. Далее, методы, разработанные для исследования особен¬
ностей решений дифференциальных уравнений, позволили рас¬
сматривать значительную часть этого материала как следствия
далеко продвинутой теории распределений. Поэтому вместо того
чтобы совсем опустить теорию распределений, я решил отвести
весь первый том этой книги широко развернутому ее изложению.
Название книги изменено так, чтобы оно отражало общее ана¬
литическое содержание этого тома. Особый упор сделан на ана¬
лиз Фурье, в частности на результаты, относящиеся к Методу
стационарной фазы и анализу Фурье особенностей. Излагаемая
теория всюду иллюстрируется примерами, взятыми из теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Эти
рассеянные по тексту примеры должны дать сведения из клас¬
сической теории, достаточные для того, чтобы служить введе¬
нием к систематическому изложению теории дифференциальных
уравнений в последующих томах. Том 1 должен также послу¬
жить введением в гармонический анализ. Цель главы о гипер¬
функциях в конце тома — дать выдержанное в духе теории
распределений Л. Шварца введение в этот предмет и в анали¬
тическую теорию дифференциальных уравнений с частными
производными. Основные результаты в этой области, принад¬
лежащие главным образом школе Сато, остались, однако, за
пределами книги.
Второй и третий тома будут посвящены теории дифференци¬
альных уравнений с постоянными коэффициентами (т. 2) и с пе¬
ременными коэффициентами (т. 3). Подробнее их содержание
будет описано в предисловиях к иим. Том 2 выйдет почти одно¬
временно с томом 1, а том 3 появится, надеюсь, немногим позже,
чем через два года 9.
В работе такого рода нелегко дать правильные ссылки на
первоисточники. Многие идеи и методы медленно развивались
в течение столетий, и полное раскрытие их становления — это
уже задача’историка математики. Но и результаты более недав¬
него времени доставляют много трудностей при попытках точно
установить приоритет, а вопросы приоритета обычно восприни¬
маются очень остро. Поэтому у меня1 было искушение вообще
опустить ссылки на первоисточники. Я решил все же не делать
этого, а дать в конце каждой главы небольшое число ссылок на
недавние работы по теме главы и близким темам. Иногда ука¬
зываются и более ранние работы. Надеюсь, это будет полезно
читателю, которого интересует происхождение излагаемых ре¬
зультатов. Надеюсь также, что те, кто сочтут мои ссылки на
') Фактически книга вышла в четырех томах.— Прим. ред.


10 Предисловие
первоисточники совсем не соответствующими истине, сообщат
мне об этом, чтобы я смог внести поправки в следующие из¬
дания.
Улучшению этой книги способствовали многие мои коллеги и
ученики, и я хотел бы поблагодарить их всех. Изложение теории
аналитического волнового фронта во многом выиграло благо¬
даря замечаниям Луи Буте де Монвеля, Пьера Шапира и
Йоханнеса Шёстранда. Андерс Мелин и Рагнар Сигурдссон из
Лундского университета прочитали значительную часть ру¬
кописи и высказали ценные критические замечания, а профессор
Ван Роухвай из Цзилиньского университета прочитал значи¬
тельную часть корректур. Весьма полезной была обстоятельная
и конструктивная критика книги на семинаре по ее изучению
в Копенгагенском университете, который вела Герда Грубб.
Нильс Йерген Кокхольм принимал самое активное участие в
работе этого семинара, а также прочитал все дорректуры. При
этом он нашел целый ряд ошибок и предложил много усовер¬
шенствований. Его помощь была для меня неоценимой.
Наконец, я хочу выразить признательность издательству
«Шпрингер», которое на протяжении ряда лет всячески поощ¬
ряло мои намерения, касавшиеся этой книги, и с неизменным
терпением содействовало их осуществлению на первоклассном
техническом уровне.
Лунд, январь 1983
Ларе Хёрмандер


Введение
В дифференциальном исчислении мы почти сразу сталкиваемся
с тем неприятным фактом, что не всякая функция дифференци¬
руема. Цель теории распределений — устранить этот изъян: в
сущности, пространство распределений — это наименьшее рас¬
ширение пространства непрерывных функций, в котором опера¬
ция дифференцирования всегда выполнима. Быть может, жела¬
тельность такого расширения очевидна и сама по себе, но мы
все же рассмотрим несколько примеров-того, как это неудобно,
когда нельзя дифференцировать.
Наш первый пример относится к преобразованию Фурье, ко¬
торое будет изучаться в гл. 7. Для всякой интегрируемой функ¬
ции v на вещественной прямой ее преобразование Фурье Fv—
это непрерывная функция, определенная формулой
оо	в
(Fv)&)= J e-l*o(x)dx, |<=R.
— op
Преобразование Ф^рье обладает тем важным свойством, что
(1)	F (Dv)== MFv, F{Mv) = — DFv,
если обе части определены; здесь Dv(x) = —idv/dx и Mv(x) —
xv(х). В первой из этих формул оператор умножения М опреде¬
лен всегда, поэтому то же самое должно было бы быть верным
и для D. Между прочим, вторая из формул (1) подсказывает
тогда, что оператор F следовало бы определить и для функций
полиномиального роста.
Далее, рассмотрим некоторые примеры из теории дифферен¬
циальных уравнений с частными производными, также демон¬
стрирующие потребность в более общем определении производ¬
ной. Классические решения уравнения Лапласа
(2)	дРи/дх2 + дРи/ду2 = 0


12 Введение
или волнового уравнения (в двух измерениях)
(3)	dPvjdx2 — cPv/dy2 = О
— это дважды непрерывно дифференцируемые функции, всюду
удовлетворяющие уравнению. Легко показать, что равномерные
‘пределы классических решений уравнения Лапласа также яв¬
ляются классическими решениями. У волнового же уравнения
•классическими решениями служат все функции вида
(4)	v (х, у) = f (х + у) + g (х — у)
с дважды непрерывно дифференцируемыми / и g, и равномер¬
ными пределами этих решений будут все функции вида (4) с
непрерывными fag. Все эти функции следовало бы поэтому
признать решениями уравнения (3), так что понятие классиче¬
ского решения слишком ограничительно.
Рассмотрим теперь соответствующие неоднородные уравне¬
ния:
(5)	d?u/dx2 + d2u/dy2 = F,
(6)	д^/дх2 - dPv/dy2 = F,
где F — непрерывная функция, равная нулю вне некоторого
ограниченного множества. Если F непрерывно дифференцируема,
то решение уравнения (6) дается формулой 7 8(7)	v (х, у) =	^	— F(%, r\)dldr\/2.
r\-y+\x-l\<0
Но эта формула определяет непрерывно дифференцируемую
функцию v, даже когда F всего лишь непрерывна. Ясно, что
нужно считать такую функцию v решением уравнения (6), даже
если у нее нет вторых производных. Аналогично уравнение (5)
имеет классическое решение
(8)	и (х, у) = (4я)~‘ jj jj F (I, л) log ((x — lf + (y — Л)2) d\ dt\,
если F непрерывно дифференцируема. И снова формула (8) оп¬
ределяет непрерывно дифференцируемую функцию и, даже
когда F всего лишь непрерывна, и хорошо бы иметь возмож¬
ность принять_ы в качестве решения уравнения (5) также и в
этом случае.
Затруднения, проиллюстрированные в их простейшей форме
предыдущими примерами, устраняются уже введением понятия
слабого решения, которое предшествовало теории распределе¬
ний. Идея состоит в том, чтобы переписать рассматриваемое
уравнение в виде, где бы неизвестную функцию и не приходи¬
лось более дифференцировать. Возьмем для примера уравнение


Введение 13
(6). Если и — его классическое решение, то
(6)'	^(&1u/dx2 — df1u/dy2)q)dxdy=^Fq)dxdy
для каждой непрерывной функции <р, равной нулю вне некото¬
рого компактного (т. е. замкнутого и ограниченного) множе¬
ства. Обратно, если (6)' выполняется для всех таких <р, которые,
скажем, дважды непрерывно дифференцируемы, то выполнено
(6). В самом деле, если бы (6) не выполнялось в некоторой точ¬
ке (хо,уо), то мы могли бы взять ненулевую функцию ф, всюду
неотрицательную и равную нулю вне малой окрестности точки
(-^о, Уо), и заключить, что (6)' тоже не выполняется. Для таких
«пробных функций» <р можно два раза проинтегрировать по ча¬
стям в левой части (6)' и получить эквивалентную формулу
(6)"	^ и (д2<р/дх2 — д2ц>/ду2) dx dy = ^ Fq> dx dy.
Итак, если функция и дважды непрерывно дифференцируема,
то (6) равносильно справедливости (6)" для всех пробных
функций ф, т. е. дважды непрерывно дифференцируемых функ¬
ций ф, равных нулю вне некоторого компактного множества.
Но (б)" имеет смысл и тогда, когда и всего лишь непрерывна,,
и и называют слабым решением уравнения (6), если выполнено
(б)"1). Легко проверить, что указанные выше недостатки клас¬
сических решений устраняются, если допустить слабые непре¬
рывные решения.
Функция F однозначно определяется по и, если только (6)"
вообще выполняется. Однако для произвольной непрерывной
функции и может и не существовать непрерывной функции F,
такой что функционал
(9)	L (ф) = ^ и (д2ц>/дх2 — cftp(ду2) dx dy
представим в виде
(10)	£(ф)= ^ Fcpdxdy.
Теория распределений идет дальше понятия слабого решения,
принимая ~к рассмотрению выражения L вида (9), даже если
они не представимы в виде (10). Распределение — это любое
такое выражение, линейно зависящее от пробной функции ф
(и ее производных). В случае когда его можно записать в виде
(10), оно отождествляется с функцией F. Оказывается, на
распределения можно распространить все основные операции
Заметим, что в вариационном исчислении дифференциальные уравне¬
ния естественным образом появляются именно в слабой форме.


14 Введение
анализа. В частности, всегда определена операция дифферен¬
цирования.
Приведем еще некоторые примеры подобных • выражений,
встречающиеся в физике. Прежде всего рассмотрим единичную
точечную массу, сосредоточенную в точке а вещественной оси.
Ее можно трактовать как предельный случай массы, равномер¬
но распределенной на интервале (а — е, а +е) с плотностью
1 /2© (при е-*-0). Соответствующий функционал запишется так:
а+е
Lb (ф) = ^ Ф (*) dx/2ti.
а-г
При е-*-0 мы имеем Ге(ф)-*-ф(а), так что выражение
L(cp)=cp(a) должно представлять единичную массу в дочке а.
Такая интерпретация является, конечно, стандартной в теории
меры.
Далее, рассмотрим диполь в точке 0 с моментом 1. Его мож¬
но определить как предел пары точечных масс 1/6 в б и —1/6
в 0 при 8-*-0. Таким образом, речь идет о пределе функцио¬
нала
(Ф) = б_1ф (б) — б-1ф (0)
при 6-»-0, равном Л1(ф) = ф'(0). Этот функционал дает, таким
образом, подходящее описание для диполя.
Можно продолжать в том же духе и определить распределе¬
ния как пределы функционалов вида (10). Однако мы не станем
так делать, а последуем по пути, подсказываемому определе¬
нием слабой производной. Таково было первоначальное опреде¬
ление Шварца, и оно имеет то преимущество, что позволяет из¬
бежать вопроса о том, когда указанные пределы определяют
одно и то же распределение.
Формальное определение распределения дается в гл. 2 после
достаточно подробного обсуждения свойств пробных функций
в гл. 1. Затем в гл. 3 изучается операция дифференцирования
распределений; в' § 4.4 показано, что мы действительно полу¬
чаем минимальное расширение пространства непрерывных функ¬
ций, в котором всегда выполнима операция дифференцирования.
В гл. 4—б понятия свертки, прямого произведения и компо¬
зиции распространяются с функций на распределения. Глава. 7
посвящена анализу Фурье функций и распределений. Выбор
материала во многом отличается от принятого в стандартных
руководствах, поскольку он диктовался тем, что требовалось
в следующих главах. Особенно обстоятельно изложен метод ста¬
ционарной фазы. В гл. 8 обсуждается проблема анализа Фурье
особенностей распределений. Оказывается, эта проблема ло¬
кальна, и потому ее можно исследовать также для случая рас¬


Введение 15
пределений на многообразиях. Использованное выше выражение
«особенность» умышленно расплывчато; фактически мы рас¬
смотрим особенности как с С00-, так и с аналитической точек
зрения. Полученные результаты приведут к важным обобщениям
теории распределений, изложенным в гл. 3—6. Например, можно
определить ограничение распределения и на подмногообразие У,
если и не имеет особенностей на нормалях к У. Кроме того,
дается много приложений к вопросам регулярности и единствен¬
ности решений дифференциальных уравнений. Аналитическая
теория продолжается в гл. 9, посвященной гиперфункциям. Они
определяются точно так же, как и распределения, только при
этом используются вещественно аналитические пробные функ¬
ции. Главная новая трудность связана здесь с тем фактом, что
среди таких пробных функций не существует функций, которые
бы обращались в нуль всюду вне некоторого компактного мно¬
жества.


1
Пробные функции
Краткое содержание главы
Как отмечалось во введении, в теории распределений прихо¬
дится систематически иметь дело с гладкими «пробными функ¬
циями». В этой главе собраны основные факты, которые надо
знать о таких функциях. В качестве вступления в § 1.1 дан крат¬
кий обзор дифференциального исчисления. Он написан в рас¬
чете на читателя, уже знакомившегося с материалом прежде,
но, быть может, с другими акцентами и в других обозначениях.
Читателю, которому изложение покажется трудным,, рекомен¬
дуем сначала изучить какой-нибудь более подробный современ¬
ный курс дифференциального исчисления для функций несколь¬
ких переменных, а искушенный читатель может приступить
сразу к § 1.2. Помимо основных обязательных фактов мы вклю¬
чили в § 1.3 и 1.4 описание ряда более тонких конструкций, ко¬
торые будут время от времени использоваться в книге, но не
так уж важны для главной темы. Нетерпеливый читатель может
поэтому опустить § 1.3 начиная с теоремы 1.3.5, а также тео¬
рему 1.4.2, лемму 1.4.3 и остаток § 1.4 начиная с теоремы 1.4.6.
1.1.	Обзор дифференциального исчисления
Сначала мы рассмотрим функции одной вещественной перемен¬
ной, но со значениями в банаховом пространстве. Итак, пусть
/ — открытый интервал вещественной прямой R и V — банахово
пространство с нормой, обозначаемой || ||. Отображение
/: I->-V называется дифференцируемым в точке хе/, с произ¬
водной (или дифференциалом) /'(ле)е V, если
(1.1.1)	\\(f(x-\-h) — f{x))/h — f'(x)\l-*-0 при Л-* 0.
Соотношение (1.1.1) можно переписать в следующей эквивалент¬
ной форме:
(1.1.1) '	\\f(x + h) — f(x) — f'(x)h\\ = o{\h\) при Л-* 0.


1.1. Обзор дифференциального исчисления 17
В случае V = R™, когда можно записать f = (fи ..., /л)> диф¬
ференцируемость /, разумеется, равносильна дифференцируе¬
мости каждой компоненты fj. Для векторнозначных функций тео¬
рема о среднем значении заменяется следующей теоремой:
Теорема 1.1.1. Если отображение f: I-+-V дифференцируемо в
каждой точке интервала I, то
(1.1.2)	||f(i/) — M-OIKIy — x I sup {|| Г (x+ /(«/ — *))||, 0<*<1};
х, у (= I.
Доказательство. Пусть М > sup{||/'(x + t(y — х))||, 0^(^1).
Положим
£ = {/; 0<t<l, \\f(x + t(y-x))-f(x)\\^Mt\x-у\).
Множество Е замкнуто ввиду непрерывности f и содержит точку
О, а потому в нем имеется наибольший элемент s. Если / >$и
t — s достаточно мало, то
II f(x + i(y — x)) — f(x) ||
<	Н f (х + t (у—х)) — f(x + s (у—х)) II -HI f (х + s (y—x))—f (х) II
<	М | (/ — s) (у — х) И- Ms | у — х | = Mi | у — х |.
Следовательно, s = 1, что и доказывает теорему. '
Замечание. В случае когда f лишь непрерывно на [л:, у] и диф¬
ференцируемо внутри этого интервала, справедливо неравенство
(1.1.2)	с супремумом, взятым по 0< К 1; оно получается как
предел неравенств (1.1.2), примененных к меньшим интервалам.
Для всякого lie V применение неравенства (1.1.2) к отображе¬
нию х-*~f(x) — xv дает неравенство
(1.1.2)	'
И/(у) — f(x) — v(y — x)IKIy — х\ sup \\f'(x + t(y — X)) — ц||,
0<f< I
которое часто оказывается более полезным, особенно в случае,
когда v — f'(x).
Следствие 1.1.2. Пусть отображение f непрерывно на интервале 1
и дифференцируемо вне некоторого его замкнутого подмножества
F, на котором f — 0. Если л: е F и f'(y)-*- 0 при I\F э у-+х,то
производная f (х) существует и равна 0.
Доказательство. Если y^F, то f(y)—f(x)*= 0. Если уф-F, то
пусть 2 — ближайшая к у точка из F [\[х, у\. Тогда (1.1.2)' дает
\\f(y) — fWII = ||f(y)— f(z)H<|y — z\ sup ||f'(z-H(y — z))||,
0<f <1
что есть o(|i/— x\) при y->~x.
2 Зак. 821


18	1. Пробные функции
Пример 1.1.3. Если Р — многочлен и f(x) = P(l/x)e~l/x при
х>0, f(x) — 0 при х^О, то функция f непрерывна. Ее произ¬
водная при хФО является функцией того же самого вида
с Р(1/х), замененным на (Р{\/х) — Р' (1 /х)) /х2, поэтому произ¬
водная f'(0) существует и равна 0.
Пусть U — еще одно банахово пространство и X — открытое
подмножество в U. Для отображения из X в V мы определяем
дифференцируемость по аналогии с (1.1.1)'.
Определение 1.1.4. Отображение f: Х-* V называется дифферен¬
цируемым в точке	если существует элемент f'(x)е
L(U, V), такой что
(1.1.1) "	\\f(x + h)-f(x)-f'(x)h\\ = o(W\\),	0.
Здесь L(U,V) — пространство всех непрерывных линейных
отображений из U в V, представляющее собой банахово про¬
странство с нормой
IIГ|| = sup ||7x||, TeiL(U,V).
Обозначим через Cl(X, V) множество всех непрерывно диффе¬
ренцируемых функций из X в V, т. е. множество всех’функций/,
которые дифференцируемы в каждой точке и для которых функ¬
ция X^x~*-)'(x)^l\U,V) непрерывна.
Если функция f дифференцируема лишь в каждой точке дан¬
ного прямолинейного отрезка [х, у] = {х +t(y — х); O^tsZZ 1},
то для всякого Г е L(U, V)
(1.1.2)	"
\\f(y) — f(x)~ Т(у — *)||<||0 — *|| sup \\f'(x + t(y — x)) — T\\.
o<t<i
Это вытекает из (1.1.2)', поскольку f(x-\-t(y— х))—Tt(y — х)
дифференцируемо по / на [0, 1] с производной
П* + *(У — х))(у — х) — Т (у — х).
Теорема 1.1.5. Если fj^Cl(X, V) и	—>-локально
равномерно в X, то f^Cl(X, V) и f' — g.
Доказательство. Применив к f/ неравенство (1.1.2)" с T — f'^x)
и устремив / к оо, получим
\\f (у) — fix)—g{x){y—х) IK II у—х\\ sup \\g(x + t(y—*))—g (ж) ||.
0<t<l
Это доказывает, что функция f дифференцируема в точке х
с f'(x) = g(x). Поскольку g непрерывна, теорема доказана.


1.1. Обзор дифференциального исчисления 19
Теорема 1.1.6. Пусть f и g—непрерывные функции на X со зна¬
чениями в V и L(U,V) соответственно и отображение t
f(x-{-ty) для всех х, у е U дифференцируемо по t с производ¬
ной g(x + ty)y, если х + ty е X. Тогда f е С1 и f' = g. Доста¬
точно предполагать, что указанное условие выполняется для
всех у из некоторого множества YczU, замкнутая линейная обо¬
лочка которого совпадает с U.
Доказательство. В силу (1.1.2)', для малых ||^||
\\f(x + y) — f(*) — £(*)0||<Ы1 sup ||£(* + ty) — £(*)||,
0<f < 1
чем доказано первое утверждение. Чтобы установить второе, до¬
статочно показать, что множество всех у, для которых выпол¬
нено условие теоремы, линейно и замкнуто. Это следует из
(1.1.2)'. Подробности предоставляем читателю.
Если f — непрерывное линейное отображение U->-V, то оно,
конечно, дифференцируемо и f'(x)= f для каждого х. Более об¬
щим образом, пусть Uь ..., Uk— банаховы пространства и
L(U 1, ..., Uk’, V)—пространство всех полилинейных отображе¬
ний (или полилинейных форм)
UiX ■■■ XU„3(xlt .... xk)-+f(xu .... xk)^V,
которые непрерывны, т. е. удовлетворяют условию
Of 11= sup Hf(*i. •••• **)ll< °°-
!*/!<>
Будучи наделено этой нормой, L(U\, ..., Uk\ V0 становится ба¬
наховым пространством. Отображение
СЛ0 ... ф1/*э(х1( ..., xk)->f(x 		xk)<=V
дифференцируемо в каждой точке (х\, ..., хк), и производная
в этой точке равна
£Л® ••• ®nk^{yi	yk)~+fty\’ х2, .... xk)
+ / (*1> У2> хк)-\- ... -(“/(xi, х2, • ••> хк_и ук).
Другим важным примером (^-отображения служит отобра¬
жение /, сопоставляющее каждому обратимому элементу
Т е L(U, V), где U и V — банаховы пространства, его обратный
r-’eifV, U). То что Т~1 — обратный элемент, означает, что
TT~l = \Av, T~lT — idy.
Для всякого S^L(U,V) мы имеем (Г + S)^1 = id^ + ST-\
поэтому если ||5||||7’-1||<: 1, то правым обратным к Т -f- S слу¬
2*


20	1. Пробные функции
жит оператор
оо
Г-1 (id„ + ST~iy' = Е Т-1 (- ST~')\
о
Аналогичным образом убеждаемся, что он будет и левым об¬
ратным. Итак, f(T)—T~l определено на некотором открытом
множестве и
I / (74- 5) — / (Т) + T~'ST~l II < II Т~' f II5 Il7( 1 — II5II\т-1 II),
так что f дифференцируемо в Г и f'(T)S = —T~lST~l. Следова¬
тельно, / непрерывно, а потому и f' непрерывно.
Теперь рассмотрим вопрос о дифференцируемости сложной
функции. Пусть X, как и прежде, — открытое подмножество ба¬
нахова пространства U и f — отображение из А в банахово про¬
странство V, образ (множество значений) которого содержится
в открытом множестве У, на котором определено другое отобра¬
жение g, принимающее значения в третьем банаховом простран¬
стве W. Если f дифференцируемо в точке х,, a g дифференци¬
руемо в точке у = f(x)i то h = g of дифференцируемо в точке х и
(1.1.3)	. h'(х) = g'(у) f'(х) (цепное правило).
Доказательство очевидно. Из (1.1.3) следует, что АеС1, если
ge О и /е С1.
Производную f' можно рассматривать как отображение
ХХи=э(х, /)-^(/(*), f'(x)i)eYXV,
линейное по второй компоненте, которую можно представлять
себе как касательный вектор. Тогда цепное правило утверж¬
дает, что если дана коммутативная диаграмма
с (, g g С1, то ft е С1 и имеет место другая коммутативная
диаграмма
Вместо f' часто пишут df, особенно когда f вещественно¬
значно. Если / определено на некотором открытом множестве


1.1. Обзор дифференциального исчисления 21
в R" и мы запишем / = Е */<?/> где <?, — это /-й стандартный ба¬
зисный единичный вектор, то
(df) (t) = (df) (Z Uet) = E */ **/ (ei) = E (df/dXj) it.
Ho ti — (dxj){t), поэтому мы можем переписать последнее ра¬
венство в виде
df — Zidf/dx^dxf.
Ввиду цепного правила эта формула остается справедливой,
когда х, являются на самом деле функциями от г е Z и / тоже
рассматривается как функция на Z, так что обе части послед¬
него равенства суть линейные функции на Z. Это называется
свойством инвариантности дифференциала.
Теперь докажем теорему об обратной функции, которая по¬
казывает, что дифференциальное исчисление действительно вы¬
полняет свою роль — сводит изучение произвольных уравнений
к изучению линейных.
Теорема 1.1.7. Пусть X — открытое подмножество в U, fe
0(Х, V), х0 е X, f(x0) — у о- Для того чтобы существовало ото¬
бражение g^Cl(Y,U), где Y— некоторая окрестность точки
у0> такое что a) f°g = idv вблизи у0, или b) g,°f==idu вблизи
х0> или с) f о g = idy вблизи у0 и g °f — idu вблизи х0, необхо¬
димо и достаточно, чтобы существовало линейное отображение
А е L(V,U), такое что соответственно
a)' f'(xa)A = ldv, b)' Af'(x0) = idy,
с)' f'(x0)A = idv, Af'(x0) = idy.
Условие с)' равносильно биективности f'(x0), и из него следует,
что g однозначно определено вблизи у0. Если V (соотв. U)
конечномерно, то условие а)' (соотв. Ь)') равносильно сюръек¬
тивности (соотв. инъективности) f'(x0).
Доказательство. Необходимость сразу следует из цепного пра¬
вила (1.1.3). Докажем достаточность. Прежде всего заметим,
что если f о g-, = id вблизи у0 и g% ° f = id вблизи х0, то g\ —
g2o f о g{ = g2 вблизи y0. Это доказывает утверждение о един¬
ственности в случае с) и сводит все к доказательству утвержде¬
ния о существовании в случаях а) и Ь). Заменяя / на f° A, со¬
ответственно на A of, видим, что достаточно разобрать случай,
когда U = V и f'(xo)— id. Выберем 6 > О так, чтобы
IIГМ —id II< 1/2 при ||х — х0||<6.
При ||х,-— х0||=^ 6, У = 1,2, имеем в силу (1.1.2)"
(1.1.4)	|| f М) - f (х2) - (х, - х2) || < || х, - *21|/2.


22	1. Пробные функции
Следовательно, f инъективно в шаре {х; ||х — хо'Н^б}. Чтобы
решить уравнение f(x) — y при \\у — уо\\ <6/2, положим
(1.1.5)	хк ~ i У	/ (^ft—1)> ^ == 1» 2
при условии, что это правило дает точки с ||хй—х0||<; 8. Имеем
II *1 — *о II = 11 У — Уо11<6/2-
Если k > 1 и ||х;- — х0|| < б при /' < k, то
II Xk — Xk_i II = || Xk_i—f (х6_!) — (xft_2 — f (xk_2)) II
<\\хк^-хк_2\\12<6/2к
в силу (1.1.4). Следовательно,
k
II Хк — х0 II < б £ 2“' < б,
1
так что точки хк определены при всех k и образуют последова¬
тельность Коши. Для ее предела х выполняется оценка
||х — Хо11< б, и при k —оо равенство (1.1.5) дает f(x) = y.
Для того чтобы доказать, что обратная функция g(y) = x,
которая, как мы только что установили, определена при ||у —
Уо11 < 6/2, принадлежит С1, положим
g(y) = x, g{y + k) = x + h.
Это означает, что f(x + h)= у -f k и f(x) = y. Следовательно,
k = f(x-\-h) — f(x) = f'(x)h-\-o{\\h\\).
Ввиду (1.1.4), ||* — Л||<ЦЛ/2Ц, поэтому ||Л||/2 <|[*||< 2||*||. По¬
скольку ||f (х)-11| < 2, мы получаем
h = f'{xYxk + o{ || Д||);
это доказывает, что g дифференцируема, причем ее производная
равна g'(y)= f'(g(y))~l и, значит, является непрерывной функ¬
цией от у.
Определим теперь производные (или дифференциалы) выс¬
ших порядков и пространство Ск{Х, V), где, как и прежде, X—
открытое подмножество банахова пространства U, a k — любое
целое >1. Это делается по индукции, а именно f^Ck(X,V),
если /<= С‘(Х, V) и f е= С*-‘(Х, L(U, V)). Производная f" от f
называется второй производной от /, и т. д.;
fW<=C(X, L(U, L(U	L(U,V))).
Векторное пространство L{U,L(U, ..., L(U,V))) изоморфно
как банахово пространство пространству L(U, ..., U; V) —
Lk(U,V) всех ^-линейных отображений из 0 в К. Действительно,


1.1. Обзор дифференциального исчисления 23
мы всегда имеем
L(U, L(UU .... Ui; V)) = L(U, U{, ..., V,\ V),
ибо если f — элемент из пространства в левой части равенства
и для j, замененного на /—1, это равенство уже установлено,
то отображение
t/.X^lX ... Х^/Э (х, Х\	X,)^f(x)(x 		x,)^V
будет элементом из пространства в правой части, и все его
элементы могут быть так получены. Описанное соответствие,
очевидно, линейно и сохраняет норму.
Обозначим через L*(t/, V) пространство всех симметричных
^-линейных форм из U в V, т. е. форм, значение которых в точке
(*1, ..., хк) не меняется при перестановке аргументов х\, ..., хк.
Теорема 1.1.8. Если f е Ск, то р> — симметричная полилинейная
форма, т. е. порядок, в котором берутся «частные производные-»,
несуществен.
Доказательство. Положим AyF(х) = F(х + у) — F(x). Повтор¬
ным применением (1.1.2)" получаем, что для всякой полилиней¬
ной формы L
;.. AyJ{x) — L{yx, .... ук)\
+	—£(У1. •••’ Уь)I
/<*>(* +	У и .... Ук) — Цуи •Ук) •
Выбирая L =	заключаем, что
(1.1.6) V Адй • • • Ajf,/ (х) — /(й> (х; ух, .... Ук)\=о( ll^i II .*. IIУ к ID-
Очевидно, что /(*> вполне определяется этим соотношением, и,
поскольку Аук ...A yJ(x) не зависит от порядка, в каком бе¬
рутся разности, Отсюда следует, что форма /<*>(*) симметрична.
Из (1.1.3) легко выводится по индукции, что h = g °f ^ Ск,
если g е Ск. Действительно, если это уже доказано для мень¬
ших значений к, то мы имеем g'of^ Ск~1 и f' е Ск~1, а отобра¬
жение взятия композиции линейнйх отображений
L(V, W)XL(U, V)—>L(U, W)
является непрерывным, а значит, бесконечно дифференцируе¬
мым. Теорема об обратной функции (теорема 1.1.7) также
остается справедливой, если в ней всюду заменить С1 на Ск.
^ sup
0«,<1


24	1. Пробные функции
Действительно, отображение
L(U, V)=>T-^T~l^Hy, U)
принадлежит классу Ск там, где оно определено, причем его
k-я производная в точке Т равна
(5„ .... Sk)->(— 1)й2T~lSilT~iSiiT~l ...SihT~l
(сумма берется по всем перестановкам индексов 1,	k). По¬
этому, используя тот факт, что g'{y) = f'(g(y))_1> и рассуждая,
как при доказательстве теоремы 1.1.7, мы получим по индук¬
ции, что g е Ск, если f е С*.
Если /еС‘ в некоторой окрестности прямолинейного отрезка
[х, *-{- у], то имеет место формула Тейлора
fc.-i
(1.1.7)	/(х + y) = Yjf(l)(x; у’ • • •’ у№
' О
1
+ \f{k4x + ty, у,..., у){1 — t)k~l d(/(ft — 1)!.
о
Она получается по индукции интегрированием по частям, по¬
скольку
-§[■ Рк~1Чх + ty\ у	y) = f{k)(x + ty\ у, .... у).
Из формулы Тейлора следует, в частности, что
(1.1.8)	|/(де-f-у) — £Р(*; У, . •	г/)/л| = о(||у||*) при у-*0.
Предположим теперь, что функция / определена на открытом
множестве X a Rn. Из теоремы 1.1.6 вытекает, что f е Ск тогда
и только тогда, когда все частные производные
д	df
дх, ' ' ' дх,
h	‘I
порядка j^k определены и непрерывны. Из теоремы 1Л.8 мы
знаем, что порядок, в котором берутся производные, не играет
роли. Вводя обозначение д,- — д/дх/, мы можем поэтому записы¬
вать эти частные производные в виде
д“1 ...dan"f = daf,
где а=(ось ..., а„)— мультииндекс, т. е. набор из п неотрица¬
тельных целых чисел и да = д“‘ ... д“п. Положим |a| = £ct/;


1.1. Обзор дифференциального исчисления 25
это — порядок соответствующей производной. Заметим, что
?к)(х\ у	у)= Zk\daf(x)yala\,
la1-ft
где а! = а,! ... ап! и у° = у“1 ... у“п. Таким образом, формулу
Тейлора можно записать в виде
(1.1.7)' f(x + y)= Y WWa*/*1
|а| <к
1
+ Л$(1-0‘"' Y daf(x + ty)yala'.dL
О	1 а 1=-*
Вот одно приложение этой формулы, которое часто бывает по¬
лезным:
Теорема 1.1.9. Если f^.Ck(B), где 5={xe Rn, |д:|<;/?}
и Л>1, то f(x)-f(0) = £x,f,(x). где f,^Ck~x{B), dafj(0)
— dadjf (0)/( 1 +1 а |) и
(1.1.9)	sup|(90/<)<sup|«90d/f |,	| а 1 < Л.
В	в
Доказательство. Ввиду (1.1.7)' при k—\ можно взять
1
fJ(x)=\(dlf)(ix)d{;
fj е Ck~l, поскольку подынтегральное выражение принадлежит
классу Cft_1. Оценка (1.1.9) очевидна.
Всякий линейный дифференциальный оператор
Р =
laS
аа(х)да
можно записать в виде Р(х, д), где
Р(х, i)= £ аа(х)1а
I a |<m
— многочлен по | е R". Примем соглашение записывать коэф¬
фициенты всегда слева от операторов дифференцирования. За¬
метим, что
Р(х, g) = e-<*.S>Pe<*.S>.
Формула Лейбница для дифференцирования произведения при¬
нимает вид
(1.1.10)	Р (х, д) (uv) = £ (Р{а) (х, д) и) dav/a\,


26	1. Пробные функции
где Р “’(■*. |) = д| Р(х, |). В самом деле, отображение и-*■
P(x,d)(uv) при фиксированном v есть дифференциальный опе¬
ратор, и
е_<*' 1>Р (х, д) (е<*' l>v) = P(x,l + d)v = '£ Р{а) (х, 1) dav/a\
по формуле Тейлора. Мы будем ссылаться на (1.1.10) как на
формулу Лейбница.
1.2.	Существование пробных функций
Для всякого открытого множества X в Rn будем обозначать че¬
рез Ск(Х) пространство всех k раз непрерывно дифференцируе¬
мых комплекснозначных функций на Х\ здесь k — произвольное
неотрицательное целое число. Положим, далее,,
c°°(X)=ncft(*),
где пересечение берется по всем таким k. Во введении мы ви¬
дели, что есть потребность в функциях следующего типа.
Определение 1.2.1. Обозначим через Со(Х) пространство всех
функций иеС* (А) с компактным носителем. Элементы из С“ (X)
называются пробными функциями.
Определение 1.2.2. Для всякой функции «еС(Х) ее носителем
suppn называется замыкание в X множества {х е X; и(х)ф0};
другими словами, supp и — это наименьшее замкнутое подмно¬
жество в X, для которого и = 0 на X\supp и.
Если продолжить функцию и^Со(Х) на R", положив ц=0
на Rn\X, то мы получим, конечно, функцию H3Co(Rn). Таким
образом, мы можем рассматривать С*(Х) как подпространство
в Cg (R"), расширяющееся вместе с X. Далее, для произвольного
подмножества McR" мы можем определить Со (М) как мно¬
жество всех элементов из Cg (Rn) с носителем, содержащимся
в М. В случае k — 0 мы будем иногда одускать индекс k.
Лемма 1.2.3. Существует неотрицательная функция cp е С“ (R")
с ф (0) > 0.
Доказательство. Положим f(rf) = exp(—l/t),t>0, и f(t) = 0,
/ ^ 0. Из примера 1.1.3 мы знаем, что feC^R). а повторное
применение того же самого рассуждения показывает, что


1.2. Существование пробных функций 27
feC”(R). Поэтому функция
1	7
обладает требуемыми свойствами.
При помощи сдвига и изменения масштаба мы получаем не¬
отрицательную Со°-функцию
(1.2.1)	х^у({х — х0)/&)7
которая положительна в точке лго и носитель которой лежит в
шаре радиуса 8 с центром в хо. Теперь мы можем доказать факт,
уже отмечавшийся во введении.
Теорема 1.2.4. Если f,gе С(Х) и
(1.2.2)	^f<$dx=^g<$dx, ф еС0*(Х),
то f = g.
Доказательство. Для h — f — g имеем
(1.2.3)	Jftq>djt = 0,	q>eC?(X).
Взяв вещественную и мнимую части, видим, что h можно счи¬
тать вещественнозначной, при условии что и ф тоже берутся
вещественнозначными. Допустим, что И.(х0)ФО. Тогда можно
выбрать неотрицательную функциюфеС0“(X) с ф(х0) #0 и но¬
сителем, настолько близким к дг0, чтобы функция фИ. имела по¬
стоянный знак, а это противоречит (1.2.3). Следовательно, Л = О
тождественно, как и утверждалось.
Более общий, но менее элементарный результат того же рода
доставляет .
Теорема 1.2.5. Если /, g — локально интегрируемые функции на
X и выполнено (1.2.2), то f = g почти всюду в X.
Доказательство. Снова достаточно показать, что если h удовлет¬
воряет (1.2.3), то А=0 почти всюду. Для этого воспользуемся
теоремой Лебега, утверждающей, что
Нш Г"
/-*о
S
IX-y\<t
\h(x) — h(y)\dy = Q
для почти всех х. Если теперь функция ф еСГ имеет носитель
в единичном шаре и ^ q>dx= 1, то при х <=Х и малых i
h(x)=\h (*) Ф ((* — У)10 dylf1
— J (А (х) — h {у)) ф {{х — y)/t) dy/in + $ h (у) q> ((x — y)lt) dy/tn.


28	1. Пробные функции
Второй интеграл в правой части равен нулю по предположению,
а первый стремится к нулю вместе с i для почти всех х, откуда
следует, что h(x) = О почти всюду.
Замечание. Эта теорема непосредственно вытекает также из тео¬
ремы 1.3.2.
Лемма 1.2.3 — все, что нужно, чтобы можно было начать
строить теорию распределений. Однако в дальнейшем при раз¬
витии теории понадобится ряд более тонких конструкций проб¬
ных функций, и мы опишем их в следующих двух параграфах.
В качестве свидетельства того, насколько богато пространство
сг {К), докажем уже сейчас классическую теорему Бореля, ко¬
торая иногда будет нам полезной.
Теорема 1.2.6. Для / = 0, 1, ... пусть	где К — ком¬
пактное подмножество в R", и пусть I — компактная окрестность
нуля в R. Тогда можно найти функцию f е С” (А- X П> такую что
d1f{x,t)ldtl = fj(x) при t = 0, / = 0, 1, ....
Доказательство. Выберем функцию g е Со° (/), у которой
dl(g(t)—l)/dt* = 0 при t= 0 и / = 0, 1, ... . Например, если
(—в, в) с /, мы можем воспользоваться функцией ф из лем¬
мы 1.2.3 с носителем в (0, в) и J qi(t)dt= 1 и взять в качестве g
решение уравнения g'(t) = ф(—t)—ф(0> имеющее носитель в I.
Далее, функция
£/(*. 0 = £ (*/8/)^//(*)/Л
принадлежит С“ (К X /)> и
(1.2.4)	\dagj(x, 0l<2~' при |а|</'— 1,
если в,- достаточно мало. Действительно, приняв t/ej за новую
переменную, мы видим, что
o|<cai/B;A
где at — порядок производной по t. Для малых в/ мы получаем
отсюда (1.2.4), поскольку at < j. Следовательно, модифициро¬
ванный ряд Тейлора
оо
f(x,t) = Eg/(x,t)
о
равномерно сходится. Равномерно сходятся и ряды, полученные
из него почленным дифференцированием. Ввиду теоремы 1.1.5
отсюда следует, что f е С“ {К XI) и
drf(х, t)/dt’ = Еd!gk(*• f)ldt! — fi(x) при / = 0.


1.3. Свертка 29
1.3.	Свертка
Если функции и и v принадлежат C(R't) и хотя бы одна из них
имеет компактный носитель, то их свертка и * v есть непрерыв¬
ная функция, задаваемая формулой
<1.3.1)	(и * v) (х) = ^ и (х — у) v (у) dy, *gR".
Таким образом, u*v — это суперпозиция сдвигов и, взятых с ве¬
сами v (у) dy, поэтому можно ожидать, что и * v наследует такие
свойства и, как дифференцируемость. С другой стороны, беря
х— у в качестве новой переменной интегрирования в (1.3.1), мы
видим, что
(1.3.2)	u*v = v*u,
так что и свойства v тоже должны наследоваться. Причина ком¬
мутативности (1.3.2) станет, быть может, более ясной, если за¬
метить, что из (1.3.1) вытекает соотношение
<1.3.1)' ^ (и * V) ф dx = ^ и (х) v (у) ф (х + у) dx dy,	<peC2(R")>
из которого в свою очередь следует (1.3.1) по теореме 1.2.4. Со¬
отношение (1.3.1)' показывает, что (1.3.2) попросту выражает
коммутативность сложения в Rn. Аналогично ассоциативность
сложения приводит к соотношению
<1.3.3)	(и* v) * w — и* (v * w),
справедливому при условии, что все функции и, v, w, кроме,
быть может, одной,,имеют компактный носитель. Нетрудно, ко¬
нечно, и прямо вывести (1.3.3). из (1.3.1). Полагая в (1.3.3)
w = 1, получаем
udx^v dx,
при условии что и и v имеют компактный носитель.
Если иеС1, atiG С°, причем хотя бы у одной из этих функ¬
ций носитель компактен, то можно продифференцировать под
знаком интеграла в (1.3.1) и заключить, что и * v е С1 и
<1.3.5)	di{u*v) — {diu)*v, /=1, .... я.
Ввиду соотношения коммутативности (1.3.2) можно было бы
с равным успехом дифференцировать не первый, а второй со¬
множитель, v, при условии что v е С1. Отсюда следует, что если
н е С' и с G Ск, то ii*oG Cl+k и
<1.3.6) <Эа+р(u*v) = (даи) * (<Эро) при | а/,	| р |^ k.
<1.3.4)	\(u*»)dx = f


30	1. Пробные функции
Приведенные выше утверждения могут быть усилены раз¬
ными способами. Например, ясно, что u*v будет непрерывной
функцией, если и ^ С0, a v лишь локально интегрируема. От¬
сюда мы заключаем, что если и е Со, то для локально интегри¬
руемой v имеем utiieO. Итак, установлена следующая
Теорема 1.3.1. Если и^С!0, то u*v^Cf при neL'oс и и* v
еС,+* при чеС*.
Свертку можно использовать для того, чтобы аппроксимиро¬
вать данную функцию более гладкими функциями, — метод, из¬
вестный под названием регуляризации:
Теорема 1.3.2. Пусть 0<среС™, ^<pdx=l. Если u^C!0(Rn),
то Uy — u*q><=C™(Rn). При suppqp-»•{()}
)
(1.3.7)	sup | даи — д0Цр | -*• 0 для |а|^/;
если »е PR"), го	(Rn) и	в LP-норме при
р < оо.
Доказательство. Ввиду (1.3.6) и теоремы 1.3.1 достаточно дока¬
зать (1.3.7) для случая а =0. Но если носитель <р лежит в шаре
М<б, то
\и(х) — кф(х)| = | $ {и(х)~ и(х — y))y(y)dy
< sup \и(х) — и(х — у)\,
а величина в правой части стремится к нулю вместе с 6 равно¬
мерно по х, поскольку функция и равномерно непрерывна. Так
как || \\Lp OI v ||Lp и Со плотно в Ьр, отсюда сразу следует по¬
следнее утверждение теоремы.
Иногда полезно знать более точно, как сходятся регуляриза¬
ции. Приведем один-результат такого рода:
Теорема 1.3.3. Пусть сеС( (R") и <pеС“(Rn), ^ фdx = 1. Тогда
функция
(1.3.8)	и {х, t) = ^ v {х — ty) ф (у) dy
принадлежит классу С" на множестве {(х, 0е^п+1» ^=И=0}, а
функция tku(x,t) принадлежит Cft+/(Rn+I) для всякого неотри¬
цательного целого k. При t = 0
(1.3.9)	dl(?u(x, 0) = 0 для i < k; dkt(iku{x, t)) = k 1о(дс).


1.3. Свертка 31
Доказательство. Поскольку и(х, f)->- v(x) при /->0 по теоре¬
ме 1.3.2, мы сразу получим (1.3.9) из формулы Тейлора, если
покажем, что tku {х, t) е Ск+!. Докажем это для произвольной
функции ф е С“. То, что и е С1, немедленно получается, если
продифференцировать под знаком интеграла в (1.3.8). Поэтому
в случае k-Ф0 можно предполагать наше утверждение уже до¬
казанным для всех меньших значений k. При t ф 0 имеем
tku {х, t) = tk \t г" 5 v (#) ф ((* — У)1{) dy-
Дифференцируя и производя обратную замену переменных, по¬
лучаем
а,(iku(х, t)) = tk-x^v(x — ty)d&(y)dy,
dt (iku (x, 0) = tk~l \ v (x — ty) ((£ — n) ф (у) — £ у Дм (у)) dy.
Ввиду следствия 1.1.2 это верно и при / = 0; значит, производ¬
ные первого порядка от tku(x, t) принадлежат Ck~l+I, что и до¬
казывает теорему.
Следствие 1.3.4. Для любых заданных и,- е Ck~! (Rn), 0 ^ ^ к,
можно найти такую функцию «G С*(Кп+‘), что
(1.3.10)	dtu(x, t) = Uj(x) при t = 0, j — 0,..., k.
Доказательство. Для г = 0, ..., k мы докажем по индукции, что
можно найти функцию и = аг, удовлетворяющую (1.3.10) при
0г^/^г. Можно взять u°(x,t)=uo(x). Пусть функция иг~1
уже подобрана. Нам надо выбрать ur — ur~l + U так, чтобы
dtU = 0, / < г, dtU — Vr = ur — dtu~l при ( = 0.
Поскольку vr е Ск~г, мы получим функцию U с этими свойствами
при помощи теоремы 1.3.3.
Регуляризация функции не слишком сильно увеличивает ее
носитель, так как
(1.3.11)
supp и * v с supp и + supp v = (х + у, хе supp и, у е supp о}.
Это сразу следует из (1.3.1) или (1.3.1)'.
При применении теоремы 1.3.2 мы должны, конечно, ссылать¬
ся на факт существования пробных функций, доказанный в лем¬
ме 1.2.3. Однако пробные функции на iR можно также построить
при помощи сверток, отправляясь. от простейших ступенчатых
функций, и мы сейчас обсудим это построение, поскольку оно
дает важную количественную информацию.


32	1. Пробные функции
Положим
Н„(х) = а~1 при 0 < х < а и #а(х) = 0 в остальных точках.
Для всякой непрерывной функции и свертка
а	х
и* На(х) = а~1 ^ и(х — t)dt — а~1 ^ и(t)dt
О	х-а
принадлежит С1 и ее производная равна (и(х)— и(х — а))/а,
поэтому и * На s С*+‘, если и е Ск.
Теорема 1.3.5. Пусть а0 ^ Qi ^ ... — последовательность поло¬
жительных чисел, для которой
Положим
00
<2 = £ <2, <
О
оо.
Uk — Пай* ••• * На
Тогда и4еСо 1 (R) имеет носитель в [0, а] и сходится при k-*-oo
к некоторой функции и^С™ (R) с носителем в [0, а], такой что
^ и dx — 1 и
(1.3.12)	\u<k)(x)\^±\\u<k+'4x)\dx^2k/(a0. ..ak), * = 0,1
Доказательство. Функция щ равна нулю всюду вне интервала
[O.ao + Qi], возрастает с коэффициентом наклона l/a0ai на
[О, ai], постоянна на [ai, a0] и линейно убывает до нуля на
(ao, a0 + Qi) (см. рис. 1), так что она непрерывна. Следова¬
тельно, ик^Со~\ согласно сделанному перед формулировкой
теоремы замечанию, и ее носитель лежит в интервале [0, о0 + ...


1.3. Свертка 33
-f а*] в силу (1.3.11). Вводя обозначение
(т аи) {х) = и{х — а)
(позднее мы увидим, что это тоже свертка), получаем
u(i) = Hir(l~Xai)(Hal* ■” *Нан) ПРИ
о 1
Так как ^Hadx — 1, то из (1.3.4) следует, что
(1.3.12)'	|«2'|<2</(ар...о,)>	(|кР|^<2</(а„...а,.,),
ибо свертка u*v всегда может быть оценена величиной
sup| а| ^ | v \dx. Далее,
I U-k+m Чт | == j Um * Н ат+\ * ••• * ^ am+k —	I
^ (^т+1 + ••• +am+ft)sUP|«,m|
^ 2а0 'Qj 1 (am+i + • ■ • + ат+к)
в силу доказательства теоремы 1.3.2, так что ит имеет равно¬
мерный предел и. Аналогично имеет равномерный предел и про¬
изводная
ит =
ТП
и т. д. Ввиду теоремы 1.1.5 отсюда следует, что иеС*, и
(1.3.12)' дает (1.3.12). Поскольку ^ukdx— 1 для каждого k в
силу (1.3.4), мы имеем \ и dx — 1.
Лишь на последнем шаге мы использовали предположений о
сходимости ряда £ а,-. Однако если он расходится, то предель¬
ная функция и должна быть тождественно равна нулю. Это вы¬
текает из приводимой ниже леммы, которая показывает, на¬
сколько точной является в действительности конструкция тео¬
ремы 1.3.5.	s;j
Лемма 1.3.6. Если функция ueCm((—оо, Г]) равна нулю на
отрицательной полуоси и а/ — такие положительные числа, не¬
возрастающие с увеличением номера /, что Т ^ а\ -f ... + am,
то
(1.3.13)	|и(х)|< X 22/supах ... а,|ии)(у)| при х^.Т-
1Ю у<х
Здесь J = {/; 1 ^ ^ m и а/-и < а/ или.] == т}.


.34	1. Пробные функции
Доказательство. Формула
и = На*аи'-f хаи,
использованная при доказательстве теоремы 1.3.5, дает для
/<т—1
(1.3.14)	«»> = Лв/+1 *al+lu.U+» + xaj+luW.
Это позволяет нам, отправляясь от / = 0, записать и как конеч¬
ную сумму членов вида
(1.3.15)	тaki ■ • • xakjHai * ... * Я0/ *0, . . .
i	^ m, j^rti и afev ^ av, v ^ i.
(Последнее условие гарантирует, что Taft[ ... тak[ есть сдвиг по
меньшей мере на а\ + ... +.а«.) Действительно, скажем, что
(1.3.15)	— правильный член типа (/, /), и будем представлять
его точкой (г, /)-е R2. Рассмотрим произвольный член, отвечаю¬
щий (i, /) е Z, где
2	= {(/./); 0<t<m, 0</<m, a/+i>ai+i}.
Применяя к нему (1.3.14), получим два новых члена. Поскольку
a/+1 ^ а<+1, тот из них, который отвечает второму члену в
(1.3.14), будет правильным типа (г+ 1, /), причем (/+ 1» /)sZ,
за исключением случая г'+ 1 = т, ибо а/+2 ^ а.+ь Другой член
будет правильным типа (£, / -(- 1), причем (i, / + l)eZ, за
исключением случаев, когда / -f 1 = пг — и, значит, / + 1 е / —
нли же a/+2 < a«+i; поскольку ai+1 ^ a/+i, мы имеем в последнем
случае »+1</ + 2 и a/+2 < a/+i, а значит, /+1е/. Таким
образом после конечного числа шагов мы представим и в виде
суммы членов (1.3.15), у которых либо i^tn, либо /е/ и
i + 1 ^ /. (На рис. 2 такие (t, /) представлены свободными кон¬
цами стрелок.) Число членов типа (/, /) не больше 2г+/, по¬
скольку каждый такой член отвечает возрастающему пути от
(О, 0) к (1, /) по точкам решетки, так что имеется i + / шагов
с максимум двумя выборами на каждом из них. Так как
Е 2г+/ < 22/,
i<l
а члены с i = m равны нулю на (0, Т), то неравенство (1.3.13)
тем. самым доказано.
Если опустить в лемме 1.3.6 предположение Т ^ ai + ... + am
и положить с — Т/(а\-\- ... +ат), то можно применить лемму
1.3.6 к функции и(сх), определенной при х ^ fli + ... +Om-
Это даст	I
(1.3.13)' I и (х) К Е (4с); sup ai ... a, 1 и(1) (у) | при х^Т.
/ее/ у<х


1.3. Свертка 35
Отсюда следует, что если
(1.3.16)	| u(/)(х) | ^КЧ{ах ... dj) при /е/ и х^.Т,
то
(1.3.17)
\u(x)\^STKl(ai+ ... +am) при x<7'<(a,+ ... + am)/87C*
Действительно,
оо
Е (4сЮ' = 4сК/( 1 - 4СК) < 8ск при 8с/С < 1.
1
Применяя (1.3.17) с К = 2 к интегралу от функции и из тео¬
ремы 1.3.5, мы видим, что носитель и не' может уместиться в
интервале длины, меньшей EaJ 16, ибо 8с/(1—8с) < 1 при
с <1/16. Таким образом, если отвлечься от фиксированного
скалярного множителя, то конструкция теоремы 1.3.5 совер¬
шенно точна.Мы заключаем,далее,что если £а, = °° и (1.3.16)
выполняется для всех /, то и = 0. Фактически мы докажем сей¬
час теорему Данжуа — Карлемана в полном объеме.
Пусть Мо = 1, М\, М2, ... — заданная последовательность
положительных чисел. Обозначим через См([а, Ь]) множество
3*


36	1. Пробные функции
всех функций «еС°°([а, Ь\), таких что для некоторого К
(1.3.18)	| и.УЦх) | ^ KI+lMf при а^.х^.Ь и / = 0, 1
Определение 1.3.7. Класс См называется квазианалитическим,
если для всякой функции и^См([а, Ъ]) условие ии)(х) = 0 при
всех j в некоторой точке х е [о, Ь] влечет и = 0 на [а, Ь).
Положим
(1.3.19)	L,= inf AfV*
b>i
(наибольшая неубывающая миноранта последовательности
Мк1к) и обозначим через М} наибольшую логарифмически вы-
пуклую миноранту последовательности М/:
(1.3.20)	М) = inf {М,-, M{k~m~k)M{i~mi~k) при k<j< /}•
Отсюда следует, что	/ > 0, а значит, М)> 0
для всех /, за исключением случая, когда М) = 0 йри каждом
/ > 0. Далее,
(1.3.21)	а; = М1-,/М),	/ = 1,2,..’,
— невозрастающая последовательность. (В случае М] = 0 мы
полагаем ^ = 4-00.)
Теорема 1.3.8 (Данжуа — Карлеман). Следующие условия рав¬
носильны:
(i)	класс См квазианалитичен;
оо
00 Е l/L^oo;
о
(in) %(M*i)'ul = оо;
чГ
оо
(iv) Е>/ = оо.
Доказательство. Рассмотрим сперва сравнительно неинтересный
случай, когда L/ ^ L < оо при всех j, т. е. limAfjO^L для
некоторой последовательности &/->- оо. Заставляя I в (1.3.20)
пробегать эту последовательность и полагая там k — О, получим
VM^M) = M,{ax	...	/</,
откуда следует, что ar!^L. Таким образом, выполнены усло¬
вия (ii) — (iv);'Если и удовлетворяет (1.3.18) и «(/)(хо) = 0 при


1.3. Свертка 37
всех /, то, в силу формулы Тейлора, для каждого х е [а, Ь]
\u(x)\^Kki+l\x-x0\kiMkl/kjl^O при /-►оо.
Таким образом, (i) тоже выполнено.
Предположим теперь, что оо при /->- оо, т. е. Л/*/й-^оо
при k-*-oo. Тогда точки (&, log-M*) лежат выше прямой со
сколь угодно большим коэффициентом наклона, так что М] по¬
ложительны и а/-*-0. Таким образом, J = {/; а1+1 < а/} есть
бесконечное множество точек, в которых график log Ml как
функции от kl) имеет излом. Отсюда ясно, что Mj — Mj при
/ е 7; аналитически это следует из того, что для & < / < /
>	<J-kw-k)a-v-nu-mi-k) ^щ (a./a/+J)i/2 > м].
Поскольку
Mk = M0/a, ... ak^.akk,
to ^ 1 /а! при / e 7. Если й</е7 и ks^ i <. j влечет
i ^ 7, то О; = а, при k ^ i ^ /; поэтому L, ^ L/ -< I/а/ = 1/a*,
а следовательно, Lj ^ 1/a/ цри всех /. Это показывает, что
(iv)=>(ii). Поскольку log Л1/ — выпуклая функция от /, обра¬
щающаяся в нуль при j = 0, то коэффициент наклона } logM/
хорды, выходящей из точки (0,0), не убывает, т. е. Ш))111 не
убывает. Следовательно,	откуда следует, что (П)1^
(ш). Если (iv) не выполняется, то в силу теоремы 1.3.5 в
C“([a, 6]) найдется функция иФ 0, для которой
| и{!) (х) | < Kl+lla 1 .. • а/ =	< Ki+lMh
так что не выполняется (i). Таким образом, (i)=J-(iv). С другой
стороны, если (iv) выполнено, то мы можем применить (1.3.17)
с т, равным некоторому элементу из 7. Действительно, фигури¬
рующее в (1.3.16) множество 7 (определенное в лемме 1.3.6)
совпадает в этом случае с множеством всех элементов из
7, так что (1.3.16) следует из (1.3.18), ибо —	= 1/a, ...
при /е 7. Итак, (iv)=*-(i). Наконец, импликация (iii)=^(iv) вы¬
текает из доказываемого ниже неравенства Карлемана.
Лемма 1.3.9 (неравенство Карлемана). Для любых а, > 0
оо	ОО
(1 :з.22)	£ (а,02 ... а„)1/п < е £ а„.
1	1
п Продолженной по линейности на нецелые значения k. — Прим, перев.


38	1. Пробные функции
Доказательство. Вводя вспомогательные числа с/ > 0, которые
будут выбраны ниже, имеем в силу неравенства для среднего
арифметического и среднего геометрического
(а, ... а„)1/п = (с, ... сп)~11п{схах ... спап)ш
<(сх ...cny'lnn-'£cmam. '
I
Если теперь взять cm = (tn-\-\)mlmm~x, то {сх ... сп)1/п = п+1>
и мы получаем
оо	оо
£ (ах ... ап)т <	£ cmajn (я + 1) < £ cmajtn < £ еат,
1 < т ^ п	1	1
чем и доказано (1.3.22).
В случае Мп = п\ из формулы Тейлора следует, что для вся¬
кой функции / е См ([а, Ъ\)
f(x) = tf{I4y)(x-y)l/j\
о
при х, у е [а, Ъ] и | л: — у\ < г для некоторого г. Таким образом,
в этом случае теорема 1.3.8 вполне элементарна. Заметим, что
выписанный выше ряд Тейлора абсолютно сходится для всех
хеС, с |х — г/|<ги задает аналитическое продолжение f на
множество
(zeC; |z — у\<г при некотором уе[а, Ь]}.
Обратно, если F — аналитическая функция в некоторой комп¬
лексной окрестности отрезка [а, Ь\, то ограничение F на [а, Ь]
принадлежит классу См([а, 6]) в силу неравенств Коши. По¬
этому этот класс называют классом вещественно аналитических
функций. Очевидно, что предыдущие замечания применимы и к
функциям многих переменных.
1.4.	Срезающие функции и разбиения единицы
В теории распределений часто бывает нужно заменить данную
функцию функцией с компактным носителем, принимающей те
же значения на некотором большом компактном множестве. Это
делается с помощью умножения на «срезающие функции» типа
той, которая строится в следующей теореме.
Теорема 1.4.1. Для любого открытого множества X в Rп и любого
его компактного подмножества К можно найти функцию


1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 39
q>eC“(X), удовлетворяющую условию 0 ^ ф ^ 1 и такую, что
Ф = 1 в некоторой окрестности К.
Доказательство. Выберем е > О настолько малым, что
(1.4.1)	|* — у|>4е при хеК,, уеСХ,
и пусть v — характеристическая функция множества
/С2е = {у, I х — у | ^ 2е для некоторого х е К}.
Согласно лемме 1.2.3, существует неотрицательная функция
хеС„"(В) , где В — единичный шар, такая что ^%dx = 1. Тогда
функция Хв(х) = е~пх{х/в) имеет носитель в шаре {х\ |х|< е} и
^%&dx=\, а потому
ф = У*ХееСГ(/Сзе)»
в силу теоремы 1.3.1 и (1.3.11), и 1—ф—(1—о)*Хе равняется
нулю на Кг ввиду (1.3.11). Тем самым теорема доказана.
Для дальнейших ссылок заметим также, что
I д“ф I < \ I да%е | dx — еч “1 J | да% | dx.
Таким образом,
(1.4.2)	|даф|<Сав"|а|,
где Са зависит лишь от ос, и и выбора нормы в Rrt. Используя
теорему 1.3.5, можно получить более точный результат, который
мы и приведем для полноты, поскольку он иногда оказывается
полезен. Однако читатель может сразу перейти к теореме 1.4.4,
не теряя жити изложения.
Теорема 1.4.2. Пусть X — открытое множество в п-мерном век¬
торном пространстве V с нормой || || и К — его компактное под¬
множество. Если
d = inf{||x — у ||;	У^К}
и dj — положительная невозрастающая последовательность с
00
то можно найти функцию ф	удовлетворяю-
1
щую условию 0 < ф < 1, равную 1 в некоторой окрестности К
и такую, что	. '
(1.4.3)
| ф<*>(лг; ух, ..., у k) | С* || Ух II ... \\yk\]jdx ... dh\ k=l, 2
Здесь С зависит лишь от размерности п.


40	1. Пробные функции
Доказательство. Предположим сперва, что V = R" и ||х||=
тах|х/|. Пусть и — функция из теоремы 1.3.5 при а,-— й/+ь По¬
ложим Л(0 = «(И-Е ^//2). Тогда I / К £I *t I/2 при t <= supp h,
и для всякого /
5|A</>(/)|d/<2i/d1 ... d]t ^ h{t)dt= 1.
Теперь мы можем применить доказательство теоремы 1.4.1 с
8 = 1 И
%(x) = h(xl) ... h(xn),
взяв в качестве v характеристическую функцию множества
{у; || х — y\\^.d/2 для некоторого хе/С}.
В результате получим, что
|da<p|<$|d°3c|d*<2|a,M ••• d|ai,
или, если перейти от частных производных к полной,
| <р<*> (х; у» .... у к) К (2 п)к || У: || ... || у k ll/d, •: ■ dk,
чем теорема 1.4.2 для рассматриваемого случая и доказана. Пе¬
реход к евклидовой норме, а от нее к произвольной норме
можно выполнить с помощью следующей леммы, которая дает
(1.4.3) с С = 2л2.
Лемма 1.4.3. Для любого выпуклого симметричного относительно
0	тела в п-мерном векторном пространстве V можно найти эл¬
липсоид В с центром в 0, такой что
В<=К c.B's/n.
Доказательство. Пусть В — эллипсоид максимального объема,
содержащийся в К■ Выберем координаты так, чтобы_ он был
единичным шаром. Нам надо показать, что К^Вл/п. С этой
целью_предположим, что К содержит точку (/, 0, ..., 0) с
t> л/п, и докажем, что в таком случае В не может быть мак¬
симальным. Касательный конус к В с вершиной в (t, 0, ..., 0)
касается В в точках с х\ = l/i, поэтому та часть В, где |xi | >
1	/t, лежит во внутренности множества К, ввиду его выпуклости
н симметричности относительно нуля. Рассмотрим теперь эл¬
липсоид
О-еГ^ + ^/О-бХ!, y={xl+ ... + *2)1/2,


1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 41
имеющий тот же объем, что и В. Определяющее этот эллипсоид
неравенство при е j 0 можно записать в виде
х21+У2 — ((я— 1)*? — г/2)е + 0(е2)< 1,
или
(х? + у2 _ 1) (1 + е) < 8 [пх\ - 1) + О (е2).
Для малых е > 0 правая часть отрицательна при | Xi | < (l/t +
+1ЛМ/2. так что эта часть эллипсоида лежит во внутренности
Рис. 3.
К. Но то же самое верно и в отношении_остальной части эллип¬
соида, поскольку там | хх | ^ (l/t + l/л/п )/2 > l/t (см. рис. 3).
Следовательно, В не максимален.
Эквивалентная формулировка леммы 1.4.3 состоит, очевидно,
в том, что для любой нормы | | в V можно найти евклидову
норму || ||, такую что
UK ||х || <|x| V«.	x^V.
Для того чтобы можно было делать заключения о распреде¬
лении, исходя из локальных предположений, необходимо уметь
записывать произвольные пробные функции как суммы пробных
функций с малыми носителями.
Теорема 1.4.4. Пусть Хи ..., Хк —открытые множества в R* и
Ф е ^ U . Можно найти функции ф;еС0“(^;), / = 1, ..., k,
такие что
к
(1.4.4)	ф = £ф ;•
1
В случае ф ^ О можно взять все ф/ ^ 0.


42	1. Пробные функции
Доказательство. Мы можем подобрать компактные множества
k
Ки	такие что Kj сг и supp ф с: (J К/■ (Действитель¬
но, каждая точка из supp <р имеет компактную окрестность, со¬
держащуюся в некотором X/. По лемме Бореля — Лебега'можно
выбрать конечное число таких окрестностей, покрывающее весь
suppq>. Объединение тех из них, которые содержатся в А,-, даст,
компактное множество КусдА/.) Далее, используя теорему 1.4.1,
мы можем выбрать функции ф/еС”(Ау), удовлетворяющие
условиям 0 < фу < 1 и фу = 1 на Kj. Тогда функции
Ф, = фф1, ф2 = фф2(1 — ф,), .... ф* = фф*(1 — Ф,) ... (1 — ф*_1>
обладают требуемым свойством, поскольку
k	k
Еф/ —ф = — фП(1 — Ф/) = о,
так как в каждой данной точке либо ф, либо какая-нибудь из
функций 1—фу обращается в нуль.
Комбинируя теоремы 1.4.4 и 1.4.1, получаем следующий ре¬
зультат:
Теорема 1.4.5. Пусть Хи ..., А*— открытые множества в R" 11
k
К — компактное подмножество в U Х}. Можно найти функции
к 1
Ф/еСо"^), такие что фу^О и Еф/*^1> причем равенство вы¬
полняется в некоторой окрестности К.
Замечание. В теоремах 1.4.4 и 1.4.5 можно было бы допустить
и бесконечное число открытых множеств Xу, при этом в заклю¬
чениях теорем лишь конечное число функций фу будут отличны
от тождественного нуля. Действительно, в силу леммы Бореля —
Лебега, для того чтобы покрыть supp ф и К соответственно, до¬
статочно конечного числа множеств X,-.
Про функции ф/ из теоремы 1.4.5 говорят, что они образуют
разбиение единицы на К, подчиненное покрытию компакта К
множествами X;. Иногда требуются бесконечные разбиения еди¬
ницы, и для полноты мы дадим один простой и один довольно
сложный примеры таких разбиений.
Теорема 1.4.6. Для всякой окрестности X куба
/C = {xeRn; |ху|<1/2, }=\, ..., п)
можно найти неотрицательную функцию ф е СГ (X), такую что
Еф(*-£)=Ь


1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 43
где g пробегает все точки целочисленной решетки? т. е. все
точки с целочисленными координатами.
Доказательство. По теореме 1.4.1 мы можем выбрать функцию
i|> s С” (X), такую что 0 ^ ф ^ 1 и ф = 1 на К. Поэтому функция
'Р (*) = £’И* — g)
является периодической С°°-функцией, которая всюду ^1, так
что функция ч>(*) = ф(х)/Чг(*) обладает требуемым свойством.
Теорема 1.4.6 дает разбиение единицы, подчиненное покры¬
тию пространства R" сдвигами X + {g} множества X. А сейчас
построим разбиения единицы, отвечающие покрытиям выпуклы¬
ми центрально-симметричными открытыми множествами, кото¬
рые могут меняться как по форме, так и по размеру. Эти от¬
крытые множества удобно описывать в терминах соответствую¬
щих норм.
Определение 1.4.7. Пусть X — открытое множество в конечно¬
мерном векторном пространстве V и II IU — норма в V для лю¬
бого Jtel Скажем, что в X задана медленно меняющаяся
метрика, если верна следующая импликация:
(1.4.5)	ie X и \\у — xll* < 1 =>у<=Хи Ml, < С || о Ц*, oeV,
где постоянная С ^ 1 не зависит от х, у, v.
Заметим, что если С||х — у\\х < 1, то ||*— у^у <L 1, а потому
Заменяя норму || ||* на С|| И*, получаем
(1.4.5) '	C-VlI^IMI^CIMI, при Wx-yWtKl.
Пример 1.4.8. Пусть X — открытое множество в V и d(x) — лип-
шицева функция, положительная на X и равная нулю на V'XX,
причем
| d. (х) — d (у) | < || х — у || при *, У е X,
где || ||—некоторая фиксированная норма в V. Тогда формула
\\v\\x = 2\\v\\Jd (х)
задает медленно меняющуюся метрику на X, поскольку если
II* — у\\х< 1, то ||* —yll < d (*) /2, откуда следует, что \d(x)~
d (у) | < d(*) /2 и d (*) /2 < d (у) <2d(x). Для любого заданного
открытого множества X=£V в качестве d(x) всегда можно
взять расстояние до множества F — СХ, определяемое равен¬
ством
rf(x)= inf И* — yt
yeF


44	1. Пробные функции
Теперь покажем, • как с помощью медленно меняющейся
метрики можно построить сперва покрытие, а затем и подчи¬
ненное ему разбиение единицы.
Лемма 1.4.9. Пусть е <С 1 /С. Выберем в X какую-нибудь макси¬
мальную последовательность х\, Х2, ... со свойством
(1.4.6)	IIX» — ll*v > 8 при
Тогда шары
By = {*; || jc — *vll*v < R},
где еС <Z R ^ 1, образуют покрытие X, причем ни одна точка не
принадлежит более чем N = (2С2/е + 1)" различным шарам By.
Доказательство. Существование указанной максимальной после¬
довательности следует из того факта, что множество, удовлетво¬
ряющее условию (1.4.6), обязано быть дискретным. Для всякой
ТОЧКИ X £= X либо II X — Ху II*v < 8, либо \\х — JCvlU < е при неко¬
тором v, причем в последнем случае || х —■ ху ||* < Се, так что в
обоих случаях х>
R< 1,
By. Если х<
X — X.
v Их
By, то мы имеем, поскольку
<С
и, кроме того, при р ф v
8 ^ II	Ху ||*^ ^ С )| Xщ	Ху ||*.
Следовательно, шары
(у; IIУ — Ху II* < е/2С},
отвечающие тем v, для которых xefiv. попарно не пересе¬
каются, и все они содержатся в шаре
{у; ||х-у||*<С + е/2С}.
Поэтому число таких v не превосходит отношения мер этих ша¬
ров, которое равно (2С2/г + 1)п.
Возьмем е = 1/2С и для всякого v выберем неотрицательную
функцию ^veC“(Bv). равную 1 в шаре ВЦ* и удовлетворяю¬
щую для заданной невозрастающей последовательности й/ с
1 оценке
|Ч*Ч*; У!	^)I<C?NLV ••• !M*v/rfi
Это возможно по теореме 1.4.2, причем в качестве С\ можно
взять утроенную постоянную из (1.4.3). Так как llylkv^C||y||*
для каждой точки х е supp ф.у, мы получаем
к*>(*: »,	».).|<(CC,)*I».L •••!».ILM


1.4. Срезающие функции и разбиения единицы 45
Как и в доказательстве теоремы 1.4.4, положим
<Pv = 'Ы1 — 4>i) • • • (1 — 4>v-i)-
Очевидно, что £ ЧЧ = 1 на I. Ни одна точка не принадлежит
носителю более чем N функций фц. Заметим теперь, что если
для некоторой нормы мы имеем в точке х
I	(х, г/,	yk) I ^ Л* [ г/, I ... I i/j'1/flf, • • • dk
при & = 0, 1, ... и / — 1, 2, то та же самая оценка справедлива
и для /i/г, но только уже с постоянной А\ +Л2. Это следует,,из
того факта, что d\ не возрастают, и из правила дифференциро¬
вания произведения. Следовательно,
у,....» yk)\<{brccl)k\yl\s...\yhydl
Итак, доказана
Теорема 1.4.10. Для всякой медленно меняющейся метрики на
открытом 'множестве X в п-мерном векторном пространстве V
можно выбрать последовательность хч е X, такую что шары
Bv = {*; || х — xv|LCv< 1}
образуют покрытие X, причем пересечение любого множества
этих шаров, состоящего более чем из N = (4С3 + 1)п шаров,
пусто. Далее, для всякой невозрастающей последовательности
d\ с Yjd]=\ можно выбрать неотрицательные функции
<pv е С (Bv), удовлетворяющие условию qpv = 1 на X и такие,
что для всех k
(1.4.7)	у,	... dt.
где С — постоянная из (1.4.5), a Cj/3 — постоянная из (1.4.3),
так что С{ зависит лишь от п.
Замечание. Числа d/ могут — это не приводит ни к каким изме¬
нениям в доказательстве — быть функциями от х, при условии
что они будут медленно меняться по отношению к рассматривае¬
мой медленно меняющейся метрике, т. е.
(1.4.5)'	di(y)^.Cd/(x) при х е X и \\у — *11* < 1.
Полезным дополнением к теореме 1.4.1 оказывается иногда
приводимое ниже следствие теоремы 1.4.10.
Следствие 1.4.11. Пусть F0 и F\ — два замкнутых множества в
R". Существует такая функция ср е С” (С (^0 П Л))> что ф = 0
вблизи Fo\{F0 ПЛ), ф = 1 вблизи F\\'{F0 П Л) и (в обозначе¬


46	1. Пробные функции
ниях теоремы 1.4.10)
(1.4.8)	|(х; у
Здесь
d (х) = max (d (х, F0), d (х, F/)), d (x, FA = min || x — у ||.
jeFy
При этом если Fi компактно, то в качестве <р можно взять функ¬
цию с ограниченным носителем.
Доказательство. Функция d(x) липшицева с постоянной Лип¬
шица 1, поэтому IMU = 2\\v\\/d{x) будет медленно меняющейся
метрикой на C(F0DFi) (пример 1.4.8). Шар
(!-4-9)	{у;\\х — у ||* <1}
не может пересекаться одновременно с F0 и с Ft, ибо если d(x)
— d(x, Fj), то для у из этого шара ||х — у\\х ^ d(x, F,)/2, а
значит d(y, Fj)^d(x, Fj)/2. Образовав разбиение единицы в
соответствии с теоремой 1.4.10, мы можем поэтому взять в ка¬
честве ф сумму всех функций фу, носители которых пересекаются
с F1. В случае когда F\ компактно, d(x, F0)<. 2d(x, Fi) при до¬
статочно больших |х[. Следовательно, для таких х выполняется
неравенство d(x) <2d(x, F i) и, значит, шар (1.4.9) не может
пересечься с F\. Таким образом, supp ф оказывается ограни¬
ченным.
Примечания
Как уже отмечалось в «Кратком содержании главы», § 1.1 со¬
держит лишь классический материал, и мы не будем обсуждать
историю излагаемых там вопросов. Использование пробных
функций, рассматривавшихся в § 1.2, также имеет давние тра¬
диции в вариационном исчислении. Так, теорема 1.2.4 весьма
близка к лемме Дюбуа-Реймона, которая приводится в лю¬
бом вводном изложении этого предмета. Теорема 1.2.6 принад¬
лежит Борелю (Borel [1]). Более тонкие теоремы продолже¬
ния— это следствие 1.3.4 и приводимая в следующей главе тео¬
рема 2.3.6.
Конструкция бесконечно дифференцируемых функций, осно¬
ванная на использовании повторных сверток и примененная
нами при доказательстве теоремы 1.3.5, имеет древние корни в
гармоническом анализе. Ее систематически и в явном виде упо¬
треблял Мандельбройт (Mandelbrojt [1,2]), который припи¬
сывает саму идею Брэю (Н. Е. Bray), не опубликовавшему своих
результатов. Затем этот метод появился снова в работе Эрен-


Примечании 47
прейса (Ehrenpreis [3]) по операторам свертки, и с тех пор он
часто использовался в теории дифференциальных уравнений с
частными производными (см. Hormander [21, 27, 30)). Коэн
(Cohen [2]) заметил, что данное Бэнгом (Bang [1]) доказа¬
тельство теоремы Данжуа — Карлемана можно изложить в ана¬
логичных терминах. В нашем доказательстве использован ва¬
риант его подхода в сочетании с рассуждениями из работы
Mandelbrojt [2]. Понятие квазианалитичности будет играть роль
в § 8.4. Пожалуй, стоит упомянуть здесь, что проблема характе¬
ризации квазианалитических классов берет начало в теории диф¬
ференциальных уравнений с частными производными (см. На-
damard [1, р. 37]).
Непрерывные разбиения единицы на компактных множествах
были введены Дьёдонне (Diendonne [1]), и на самом деле не¬
которое время был в ходу термин «разложение Дьёдонне». Кон¬
струкция, использованная в доказательстве теоремы 1.4.4, заим¬
ствована из третьего издания классической монографии Г. Вейля
о римановых поверхностях (Weyl [2]), где главным изменением
по сравнению с предыдущими изданиями было как раз привле¬
чение разбиений единицы. Однако лемма о покрытии 1.4.9 и
разбиение единицы из теоремы 1.4.10 идут по существу от
Уитни (Whitney [1]), откуда видно, что весьма сложные раз¬
биения единицы использовались еще за несколько лет до за¬
метки Дьёдонне. Лемма Уитни в ее первоначальной форме поя¬
вится ниже как лемма 2.3.7. Один более общий вариант этой
леммы был дан Тревом (Treves [5]). Результаты § 4.1 в их
полной общности нужны в общей теории псевдодифференциаль-
ных операторов (гл. 18). Комбинация этих идей с применением
повторных сверток в § 1.3 является, по-видимому, новой в пол¬
ной ее общности, но отдельные частные случаи можно, найти,
например, у Андерссона (Andersson [1]).


2
Определение и основные
свойства распределений
Краткое содержание главы
Мы уже видели во введении, как различные трудности в теории
дифференциальных уравнений с частными производными и в
анализе Фурье приводят к необходимости расширить простран¬
ство непрерывных функций до пространства распределений.
В § 2.1 мы даем явное и точное определение этого понятия, ис-'
пользуя свойства пробных функций, доказанные в гл. 1. Кроме
того, там вводится слабая топология в пространстве распреде¬
лений. В § 2.2 мы распространяем на распределения понятие
носителя и показываем, что распределения можно определять
локально, при условии что все локальные определения согласо¬
ваны. Помимо того доказывается, что для всякого данного рас¬
пределения и можно единственным образом определить и(ср)
для всех ф е С”, таких что пересечение supp и П supp ф ком¬
пактно. В § 2.3 весьма обстоятельно изучается проблема оценки
м(ф) через производные ф на одном лишь носителе и. Самым
глубоким результатом является здесь теорема продолжения
Уитни (теорема 2.3.6). Различные вытекающие из нее резуль¬
таты редко будут нужны нам, поэтому читатель может при же¬
лании пропустить весь конец этого параграфа, начиная с тео¬
ремы 2.3.6.
2.1.	Основные определения
Во введении наши рассуждения привели нас к рассмотрению вы¬
ражений вида
(2.1.1)	L (ф) = £ \ fad\ dx, Ф е= С0°° (X),
где fa^-C(X) и число слагаемых конечно. Здесь X — открытое
множество в Rn. Однако одна и та же форма L может иметь
много различных представлений такого рода, поэтому в приводи¬


2.1. Основные определения 49
мом ниже определении мы просто выделяем одно очевидное
свойство выражения (2.1.1).
Определение 2.1.1. Распределение и на X—это линейная форма
на С0 (X), удовлетворяющая условию: для всякого компакта
KczX существуют такие постоянные С и к, что
(2.1.2)	|«(«р)|<С £ sup|<Э“<р|, Фе=Со°°(Ю-
|а|<*
Множество всех распределений на X обозначается через 3)'(Х).
Если в (2.1.2) можно использовать одно и то же целое число k
для всех К, то говорят, что и — распределение порядка не выше
k 1). Будем обозначать множество всех таких распределений че¬
рез S)'k(X). Их объединение S)'f(X) — [}2)'k (X) есть простран¬
ство распределений конечного порядка.
То что и — линейная форма на С“ (X), означает, конечно,
что и есть функция из С” (X) в С, удовлетворяющая условию
и (аф 4- 6ф) = аи (ср) + Ьи (ф); a, b е С; Ф, феС”(Х).
Замечание. Происхождение традиционного обозначения 2)'(Х)
связано с тем, что Лоран Шварц использовал обозначение S) (ЛГ),
а не Со“ (X).
Сумма (2.1.1) определяет распределение порядка не выше k,
если fa = 0 при \а\> k. Она определяет распределение и тогда,
когда является лишь локально конечной, т. е. для каждого ком¬
пактного множества имеется только конечное число_ функций fa,
не равных на нем нулю тождественно. Позднее мы увидим, что
фактически все распределения могут быть представлены в виде
(2.1.1).
Пример 2.1.2. Для всякой точки х0еХ формула ц(Ф) = <Mp(x0)
определяет распределение порядка |а|. То, что порядок не
меньше, следует из того, что если взять ф е С“ с ф (0) = 1 и
положить фв(х) = (х — х0)аф((х — х0)/б), то и(ф6) = а! и
sup|(Ape[<C6,aHP,-*0 при в-»0, | Р | < [а |.
Более общим образом, для любой последовательности х/ е X,
не имеющей предельных точек в X, и любой последовательности
мультииндексов аформула
“ (ф) = £ д“/ф (xt)
1) Если и — распределение порядка ие выше k, но ни при каком мень¬
шем целом числе I не является распределением порядка ие выше I, то гово¬
рят, что и — распределение порядка (точно) k. — Прим, перев.
4 Зак. 821


50	2. Определение и основные свойства, распределений
задает распределение на X, потому что компактное подмноже¬
ство в X может содержать лишь конечное число точек х,-. В силу
первой части примера,	тогда и только тогда, когда
последовательность |а/| ограничена, и порядок распределения
равен в таком случае шах|а, |.
Условие непрерывности (2.1.2) из определения 2.1.1 гаран¬
тирует, что и «хорошо ведет себя» при действии на функции,
зависящие от параметра:
Теорема 2.1.3. Если ф (лс, у) е С°° (X X У), где Y — открытое мно¬
жество в Rm, и существует компактное множество KczX, такое
что <р (х, у) = 0 при х^кК, то для любого распределения и <=
ЗУ(Х)
у-*и(ф(-, у))
есть С^-функция от у и
дауиЫ-,У)) = и{даМ-,у)).
Доказательство. При фиксированном у имеем в силу формулы
Тейлора
ф (*, У + А) = ф (х, у) + £ Ау <Эф (х, у)/ду! + ф (х, у, А),
sup | <Э?ф (х, у, А) | = О (| АI2) при А->0,	¥а.
X
Следовательно,
«(Ф(*, У + А)) = и(ф(-, у))-\- Е А/и(дф(-, y)ldyj)-\-0(\h\2),
откуда видно, что функция у-*-и(ф(-, у)) дйфференцируема и
и (ф (•у)) = и (<Эф (•, у)1ду,).
Повторное применение этого результата доказывает теорему.
Условие непрерывности (2.1.2) часто формулируется как
условие секвенциальной непрерывности:
Теорема 2.1.4. Линейная форма и на С“ (X) является распреде¬
лением тогда и только тогда, когда п(ф/)-»-0 при /-► оо для
всякой последовательности ф/ е С" (X), сходящейся к нулю в
том смысле, что sup|d°4p/|-»-0 при каждом фиксированном а и
существует такой компакт /(сХ, что suppф/ сд К при всех /.
Доказательство. Очевидно, что условие (2.1.2) влечет условие,
указанное в теореме. Обратно, предположим, что существует
компактное множество КсХ, такое что условие (2.1.2) не вы¬
полняется ни при каких С и А. Взяв С = k = j, заключаем, что


2.1. Основные определения 51
для некоторой функции ф/ е С” (7()
1«(ф/)1>/ £ sup|d>J.
Ю7</
Поскольку это неравенство не нарушится, если умножить ф/ на
постоянную, можно считать, что н(ф/) = 1. В таком случае мы
имеем |д“ф/|^ 1 // при у^|а|, так что ф/-»-0, но ц(ф/) к 0 не
сходится. Таким образом, указанное в теореме условие тоже не
выполняется, чем наше утверждение и доказано.
Третья эквивалентная форма условия непрерывности такова:
Теорема 2.1.5. Линейная форма и на С” (X) является распреде¬
лением тогда и только тогда, когда существуют функции рае
С(Х) , такие что
(2.1.3)	I « (ф) К £ sup | рвд“ф |, ф^СГШ,
а
и на каждом компактном множестве в X все функции, кроме ко¬
нечного числа, тождественно равны нулю. Взять ра = 0 при
J а | > k можно в том и только том случае, если и — распреде¬
ление порядка не выше k.
Доказательство. Достаточность условия (2.1.3) очевидна. Обрат¬
но, пусть ие2)'(Х). Возьмем возрастающую последователь¬
ность компактов KjaX, такую что всякое компактное подмно¬
жество в X содержится в некотором К/, и выберем такие X/ е
еС”(Х),что X/ = 1 наKj (теорема 1.4.1).Полагая ф/= х/— Х/-Г
при ) > 1 и ф] = Xi, имеем
ОО
Ф = £ф/Ф> если <peC0"U);
число; слагаемых здесь, очевидно, конечно. Поскольку носитель
функции ф/ф содержится в носителе функции ф/, определение
2.1.1	дает
ОО	ОО
|и(ф)1<£|и(Ф/ф)К£С/ sup sup | <?“ (ф7ф) |
1	]	I а | < fey
для подходящих С/ и неубывающих kj. Дифференцируя произве¬
дение и учитывая, что £ 2"1 = 1, получаем
Функции
| ы (ф) | ^ sup 2УС,2*/ sup sup |дрф.ч?“ф|.
I	la+PKfty
pa(*) = sup
/
sup 2/+ft/C,|a%|
I o+P |
4*


52	2. Определение и основные свойства распределений
непрерывны на X, так как дрф/ =0 на Ki при / > i, а значит,
верхние грани берутся фактически лишь по конечным множе¬
ствам индексов / и р. Далее, ра = 0 на Кг при \а\> kt. По¬
скольку
2i+kfCj |	| ^ | рад“ф | " при |а + р|^^/,
У
мы получаем | ы(ф) | ^sup sup | рад“ф |, откуда и следует (2.1.3).
a
Приведем теперь в некотором смысле двойственную форму
условия (2.1.3), весьма близкую к (2.1.1). Пусть £(Х)—про¬
странство всех непрерывных функций на X, стремящихся к нулю
на границе, т. е. сколь угодно малых вне компактных подмно¬
жеств в X. Это — банахово пространство с max-нормой, и двой¬
ственным к нему пространством служит пространство всех огра¬
ниченных мер на X. Пусть В — пространство всех совокупно¬
стей U = {иа} с С(Х) при каждом а и нормой
||t/|| = £sup|«0|.
Всякая линейная форма L на В с нормой г^1 представима в виде
Uad
где d\ia.— мера на X с общей массой, не превышающей 1. Усло¬
вие (2.1.3) означает, что отображение
{рЛ} и (ф), феС0°° (X),
есть линейная форма с нормой, не большей 1, определенная на
линейном подпространстве пространства В. По теореме Хана —
Банаха ее можно продолжить до линейной формы L на всем В
с нормой, не большей 1; это означает, что существуют меры
Pa С 'jldpaKl, такие что
и (ф) = L ({рад“ф}) = Y \ Ра<Э<1ф
а
Полагая dva = padpa, получаем
(2.1.1)'	и(ф)=	jj<Apdva, ф gC0"(X),
причем совокупность носителей мер d\a локально конечна.
Как было описано во введении, отождествим пространство
всех непрерывных функций на X с некоторым подпространством
в &)'(Х), сопоставив каждой непрерывной функции f распре¬
деление
(2.1.4)	С0”(Х)эф->$/фсг*,


2.1. Основные определения 53
которое также будем обозначать через f. Это законно, ибо тео¬
рема 1.2.4 гарантирует, что две функции, задающие одно и то же
распределение, совпадают между собой. Более общо, мы можем
провести такое отождествление и для f из /-ioc(X)— простран¬
ства всех функций, интегрируемых на компактных подмноже¬
ствах в X, взятого по модулю функций, почти всюду равных
нулю. Действительно, теорема 1.2.5 гарантирует, что функции,
задающие одинаковые распределения, будут в одном и том же
классе эквивалентности. Мы можем, далее, отождествить произ¬
вольные меры с распределениями порядка 0, так как имеет
место
Теорема 2.1.6. Если и е 3)'k (X), то можно единственным образом
продолжить и до линейной формы на С0 (X), для которой усло¬
вие (2.1.2) остается справедливым при всех q>^-C0(K) и неко¬
торой постоянной С.
Доказательство. Из теоремы 1.3.2 следует, что для всякой функ¬
ции ф е С0 (X) мы можем найти последовательность функций
ФУеС”(1) с носителями в некоторой фиксированной компакт¬
ной окрестности К носителя ф, такую что
(2.1.5)	У sup | да (ф — фу) | -► О, V—>• оо.
| аТ< ft'
Таким образом, мы должны положить н(ф) = lim u(q>v). Этот
предел существует, поскольку из (2.1.5) следует ввиду (2.1.2),
что при V, ц ОО
l»(<Pv) — и(фц)1 = |и(ЧЧ — Фц) I	£ sup | да (ф¥ — фД |-*0.
| а | < ft
То, что предел не зависит от выбора последовательности, сразу
получается, если перемешать две рассматриваемые последова¬
тельности. Применяя (2.1.2) кфУи устремляя.v к оо, заключаем,
что (2.1.2) справедливо для всех феС* с носителем во вну¬
тренности К, чем теорема и доказана.
Так как меры ^огут быть определены как линейные формы
на С°(Х), удовлетворяющие условию непрерывности (2.1.2) при
k=0, то мы тем самым отождествили &'°(Х) с пространством
всех мер на X. Если какую-либо интегрируемую функцию f
отождествить сперва с мерой fdx, как это принято в теории
интегрирования, а затем меру fdx отождествить с соответствую¬
щим распределением, результат, очевидно, будет такой же, как
и в случае, когда мы непосредственно отождествляем / с распре¬
делением.
Положительное распределение — всегда мера:


54	2. Определение и основные свойства распределений
Теорема 2.1.7. Если распределение и на X таково, что u(q>)^0
для всех неотрицательных ф е С” (X), то и — положительная
мера.
Доказательство. Нам надо показать, что и является распреде¬
лением порядка 0. С этой целью заметим, что для любого ком¬
пактного множества К cz X теорема 1.4.1 дает нам функцию
X е С” (X), удовлетворяющую условиям 0 х ^ 1 и х = 1 на К.
Ясно, что
xsup | ф | ± Ф ^ 0
для всякой вещественнозначной функции ф е СГ (К)- По пред¬
положению отсюда следует, что
и (X) sup | ф | ± ы (ф) ^ 0,
или, эквивалентно, что
(2.1.6)	I а (ф) | ^ и (х) sup | ф |, ф сеСо(К)-
Применив это неравенство к функции Re егеф, где 0 — веществен¬
ное число, и подобрав 0 так, чтобы е‘ди(ф) было вещественным,
получим (2.1.6) также и для комплекснозначных ф; значит,
«е®/0.
Очевидно, что З)'(Х) является векторным пространством с
естественно определенными операциями сложения и умножения
на комплексные числа:
(щч-i + <hu2) (ф)= aiui (ф) + <44 (ф);
Ф е= С0°° (X), и, е= ЗУ (X), а} <= С.
Мы будем всегда наделять 3)'(Х) слабой топологией (назы¬
ваемой также «-слабой (или слабой*) топологией), т. е. топо¬
логией, определяемой семейством полунорм
3>'(Х) э и-Н «(ф)|,
где ф — произвольный фиксированный элемент из С“ (X). Таким
образом, и, —*■ и означает, что
«£(ф)-*ы(ф)
для всех ф е С“ (X). Время от времени мы будем использовать
следующее свойство полноты пространства З)'(Х):
Теорема 2.1.8. Пусть щ — последовательность в 2)'(Х). Если
предел
(2.1.7)	«(ф)= Иш и,(ф)
/-«ОО


2.1. Основные определения 55
существует для каждой функции ф g Со” (I), то и<=3)'(Х). Та¬
ким образом,	в З)'(Х) при /-»-оо. Далее, соотношение
(2.1.2)	выполняется для всех Uj с постоянными С и k, не зави¬
сящими от /, и Uf(q>f)-*-u(q>), если ф/->ф в СГ (X).
Доказательство. Для всякого компактного подмножества К в X
пространство Со (К) является пространством Фреше с тополо¬
гией, задаваемой полунормами
II Ф На == S.Up | (?аф |, феСГ(К)- '
(Полнота пространства С” (К) в этой топологии вытекает из
теоремы 1.1.5.) Для-каждого из распределений и,- выполняется
соотношение (2.1.2) (с постоянными С и k, априори зависящими
от /), поэтому ограничение и; на С” (К) представляет собой
непрерывную линейную форму на Со (К)- Из (2.1.7) следует,
что при каждой фиксированной функции ф еС" (К) последова¬
тельность Uj(ф) ограничена. Следовательно, в силу принципа
равномерной ограниченности (теорема Банаха — Штейнгауза),
соотношение (2.1.2) выполняется для всех Ц/ с постоянными С
и k, не зависящими от /. Устремляя / к оо, получаем, что (2.1.2)
справедливо для предельного распределения и. Если ф/^-ф в
Со°(Х), то эиррф/сг/С для некоторого компактного подмноже¬
ства К в X и всех /. Значит, в силу равномерности (2.1.2),
и/(ф/ — ф)->0, чем и доказано, что и/(ф/)—*и(ф)-
Ввиду критерия сходимости Коши для ,С! существование пре¬
дела (2.1.7) означает в точности, что Ы/(ф)— w*(ф)-»-0 при
/, k-*-oo. Следовательно, эквивалентная формулировка теоремы
2.1.8 состоит в том, что всякая последовательность И/ в З)'(Х),
такая что Ц/ — ц*->-0 при /, k-*-oo, должна иметь некоторый
предел и в З)'(Х).
Теорема 2.1.9. Если Uj^.3)'(X), щ ^ 0 и и/^-и в 2>'(Х), то
ц ^ О и и/ -> и в слабой топологии пространства мер, т. е.
ц,-(ф)->-ц(ф) для всех феС“(1).
Доказательство. То, что и^О, очевидно, и теорема 2.1.7 пока¬
зывает, что Uj и и — меры. Кроме того, из доказательства тео¬
ремы 2.1.7 вытекает, что для каждого компакта К cr X справед¬
лива равномерная оценка
|«/(<p)|<CJCsup|q>|,	фе=С°(К),	V/.
Отсюда следует, что соотношение u/(q>)—^u((p), выполненное для
Ф еС“(К), остается справедливым для всех ф из замыкания F
множества СГ (К) в Со (К)- В силу теоремы 1.3.2, F содержит


56	2. Определение и основные свойства распределений
все непрерывные функции с носителями, лежащими во внутрен¬
ности К, что и Доказывает теорему.
Дадим теперь ряд простых примеров, показывающих, что
означает сходимость распределений в различных конкретных
случаях. Эти примеры иллюстрируют также тот факт (мы дока¬
жем его в гл. 4), что всякое распределение есть предел некото¬
рой последовательности функций из Со •
Пример 2.1.10. Пусть aeC0”(R11). Положим иг (х) = e~nv (х/е).
Тогда
ие (ф) = ^ e~nv (х/е) ф (х) dx — ^ v (х) ф (ex) dx -> ф (0) ^ v (х) dx
при е —*■ 0
для всех tpGC”(R"). (Ср. с теоремой 1.3.2.) ■
Пример 2.1.11. Пусть а>еСГ(Кп)- Предположим, что
^xaw(x)dx — 0 при |а] < Дг, и положим ие(х) = e~n~kw(xje).
Тогда для всех ф е С5° (R")
ие (ф) = ( ф (ex)e~kw (х) dx = ^ ( V е|а,~*х“даф(0)/а!
J \|а|<*
+ О (еЛ w (х) dx —>• ^ даф(0) ^ xaw(x)dx/a\ при е->0.
/	j а I=*
Пример 2.1.12. Если ut(x) = tNeitx, jteR, где N — натуральное
число, то
щ(ф) = ^ tNeltxф(х) dx = i iN~leltxф'(x)dx= ...
— iN+xt~l ^ е‘*ху[М+1) (x)dx—>0 при t—>oо, феСГ(К).
Пример 2.1.13. Если ut\x) — teitx, x > 0, и и*(х) = 0, x ^ 0, то
OO	CO
и/(ф)=5 teltxq>(x)dx = iq)(Q)-\-i ^ elixq>'{x)dx
о	о
OO
= /ф(0) — ф' (0)/* — ^ е“*ф" (x)dx/t ->• /ф(0) при t-> oo
о
для всех ф e Co” (R).
Пример 2.1.14. Пусть ut(x) —tllkeitxk, teR, где k — целое
число > 1. Чтобы найти предел ut при	рассмотрим сна¬


2.1. Основные определения 57
чала функцию
X
F(x)=^ elyk dy.
о
В случае х > 0 заменим интегрирование по отрезку веществен¬
ной оси интегрированием по отрезку прямой arg z = л/2k и со¬
ответствующей круговой дуге, на которой, как легко видеть,
Imzft ^ c\z\k~l Imz, где с > 0. В результате получим
оо
F(х)-»■ eni/2k ^ е~укdy при
о
Следовательно,
F(x)
— e*U2k ^ e~yk dy для четных к,
о
— е~п112к ^ е~ук dy
о
для нечетных k
при
х~> — оо.
Далее, для <р е С” (Rn)
щ (ф) — ^	0^1/А) Ф (х) dx = — ^ F (х1ик) ф' (х)йх
о	ОО
— F(— оо) ^ y'(x)dx — F (оо) ^ q>'(x)dx
— оо	0
= (F (оо) — F(— оо)) ф (0) при ► оо.
Здесь
F(oo) — F(— оо) —
2	cos (л/2/г) ^ е~ук dy при нечетных к,
о
ОО
2enil2k ^ е~ук dy	при четных к,
о
так что множитель при ф(0) отличен от нуля. (Используя
гамма-функцию, которая будет определена ниже в § 3.2, по¬
следний интеграл можно записать в виде Г((1+ &)/&).) Отме¬
тим различие со случаем k = 1.


58	2. Определение и основные свойства распределений
2.2.	Локализация
Если ycrXcrR" и и<=3)'(Х), то можно сузить (ограничить) и
до распределения uy на У, положив
«у(ф) = “(ф)> феЕСГ(У)-
Наша следующая цель — доказать тот менее тривиальный факт,
что распределение однозначно определяется своими ограниче¬
ниями на множества из данного открытого покрытия:
Теорема 2.2.1. Если аей)'(Х) и каждая точка из X обладает
окрестностью, ограничение на которую распределения и равно О,
то и = 0.
Доказательство. Пусть ф gC" (X). Для всякой точки х <= supp <р
можно найти открытую окрестность УсХ, такую что ограни¬
чение а на У равно 0. По лемме Бореля — Лебега можно вы¬
брать конечное число таких открытых множеств У/ cr X, покры¬
вающее supp ф. Но по теореме 1.4.4 функция <р допускает тогда
представление ф=Хф/> где фуеС“(Уу). Имеем ы(<р/) = 0,
откуда и следует, что и (ф) = £ и (фу) = 0.
Ввиду теоремы 2.2.1 естественно обобщить определение 1.2.2
следующим образом:
Определение 2.2.2. Для ae2)'(l) носитель распределения и,
обозначаемый через suppu,— это множество всех точек из X,
у которых не существует ни одной открытой окрестности, огра¬
ничение на которую распределения и равно 0.
Таким образом, J\supp и представляет собой открытое мно¬
жество, состоящее из всех точек, обладающих окрестностями, на
которых и равняется нулю, так что и равно 0 на всем Jt\suppu
по теореме 2.2.1 и .X\supp и содержит всякое открытое множе¬
ство, на котором и равно 0. Итак,
(2.2.1) и(ф) = 0, если u^S)'(X), ф еСГ№
и suppц(1 suppф= 0.
С понятием носителя тесно связано понятие носителя сингу¬
лярности (или сингулярного носителя):
Определение 2.2.3. Для aeS)'(X) носитель сингулярности рас¬
пределения и, обозначаемый через sing suppu, — это множество
всех точек из X, у которых нет ни одной открытой окрестности,
ограничение на которую распределения и является (^-функ¬
цией.


2.2. Локализация 59
Поскольку каждая точка из A\singsuppu обладает окрест¬
ностью, на которой и представляет собой С00-функцию, из тео¬
ремы 2.2.1 следует, что ограничение и на X\singsuppu явля¬
ется С°°-функцией. Ни для какого большего, чем A\singsuppu,
открытого множества это уже не верно.
Теперь дополним теорему 2.2.1 теоремой существования:.
Теорема 2.2.4. Пусть Х(> i е I, — произвольное семейство откры¬
тых множеств в Rn. Положим X — \SXi. Если u,e£Z5'(X,) и
щ = и/ на Xi П Xj для всех i, / е I, то существует одно и только
одно распределение ие^)'(Х), такое что ш есть ограничение
и на Xi для всякого i.
Доказательство. Утверждение о единственности — это в точности
теорема 2.2.1, и утверждение о существовании по существу вы¬
текает из того же самого доказательства. Для распределения и
с требуемыми свойствами мы должны иметь
(2.2.2)	и(ф)= £ и,(Фг). если ф=£фг, фгеСГ(Хг),
причем число слагаемых в последней сумме конечно. По тео¬
реме 1.4.4 каждую функцию феС^(Х) можно записать в виде
такой суммы, и мы покажем, что £ ыг (фг) не зависит от выбора
такого представления. Это будет доказано, если мы покажем,
что £ Фг = О влечет £ “г (ф») = 0. Положим К = U supp фг; это —
компактное подмножество в X. Опираясь на теорему 1.4.5, вы¬
берем функции ф*еСГЦ*)> такие что £ф*=1 на К, при¬
чем число слагаемых конечно. Ясно, что Ф^ф,- е С” (Xk f) Х{); по¬
этому
«/ (Ф*Фг) =	(Ф*Ф<)-
Следовательно,
£ Щ (Фг) — £ £ Щ (ФгФ*) = £ £ Ч (фггу = £ uk (ф* £ фг) = 0.
После того как доказано, что формула (2.2.2) однозначно
определяет линейную форму на С” (X), надо показать, что эта
форма обладает свойством непрерывности, требуемым от рас¬
пределений. Возьмем произвольное компактное множество
К сг X и, как и выше, выберем функции Ф* е СГ №). такие
что £,фй = 1 на К, причем число слагаемых конечно. Если
ФеС”(Д), то мы имеем Ф = £фф*, где фф* еС“(Xk), поэтому
(2.2.2)	дает
и (ф) = £ Щ (фф*).
Поскольку каждое из и* удовлетворяет условию (2.1.2) и макси¬
мум модуля производных произведения фф* можно оценить


60	2. Определение и основные свойства распределений
через максимум модуля производных функции ф, мы заключаем,
что
| и (ф) К С Y, SUPI |> Ф е= Со (К),
чем и завершается доказательство. Между прочим, оно показы¬
вает, что если ш е3)'к для всех i, то и не &'к.
Замечание. Из проведенного доказательства вытекает, что если
«ve2)'(X), v = 1, 2, ..., и для каждого i последовательность
ограничений wv на X,- имеет предел Ui^.3)'(Xt), то и сама по¬
следовательность uv имеет предел в &)' (X). Действительно, при¬
менив (2.2.2) к каждому uv, мы найдем, что ц'Чф) имеет предел
u(q>), удовлетворяющий условию (2.2.2). Непрерывность и сле¬
дует из второй части доказательства или же из теоремы 2.1.8.
Для MGijocffl форма
и (ф) = ^ Цф dx,
очевидно, имеет смысл при всех ф е С°°(Х), таких что
(2.2.3)	эиррцПзиррф^Х.
(Запись АшХ означает, что А компактно и содержится в X.)
Докажем теперь, что таким образом можно расширить область
определения любого распределения.
Теорема 2.2.5. Пусть «е^)'(Х) и F — относительно замкнутое
подмножество в X, содержащее supp и. Существует одна и толь¬
ко одна линейная форма й на (ф; феС°°(Х), Ef| supp ф X},
такая что
(i) м(ф) = ц(ф), если ф еС0м(Х),
(ii)	м(ф) = 0, если ф еС°°(Х) и ЕЛзиррф=0.
Область определения й будет, конечно, наибольшей в слу¬
чае, когда F — supp и, но утверждение о единственности понадо¬
бится нам и в случае других множеств I.
Доказательство, а) Единственность. Пусть феС“ (X) и F П
виррф = /( — компакт в X. По теореме 1.4.1 можно найти функ¬
цию ф = С“ (X), такую что ф = 1 в некоторой окрестности К.
Тогда Ф = фо + фь где фо = ффеС”(Х), а ф1 = (1 — Ф) ф, так
что Е f| supp ф! = 0. Используя (i) и (ii), получаем
й (ф) = й (ф0) + й (<р,) = и (ф0),
чем единственность й и доказана.
Ь) Существование. Как мы видели в а), каждую функцию
феС°°(Х), для которой пересечение ЕГ^иррф компактно,


2.3. Распределения с компактным носителем 61
можно записать в виде Ф=фо+фь где Фо еС0“(1) и Ef) $иррф1
= 0. Если ф = Фо + ф[ — другое такое разложение, то X = Ф0 —
и F П supp x = Ffl supp (ф, - ф[) = 0, а потому, в
силу (2.2.1), 0 = и (х) — и (ф0) — и (фц)* Следовательно, формула
Л(ф) = и(ф0) однозначно определяет линейную форму й, кото¬
рая, очевидно, обладает всеми требуемыми свойствами.
Начиная с этого места будем писать и(ф) вместо й(ф) и тем
самым считать, что и(ф) определено для всех «е2)'(Х) и
всех феС“(Х), удовлетворяющих условию (2.2.3). Ввиду сим¬
метричности этого условия мы будем иногда писать <ы, ф>
вместо ы(ф).
2.3.	Распределения с компактным носителем
Как мы видели, если ае^)'(Х) имеет компактный носитель, то
и(ф) можно определить для всех феС°°(Х). Пусть if е С“(I)
и ф = 1 в некоторой окрестности носителя и. Тогда
и(ф) = и(фф) + ы((1 — ф)ф) = и(фф), ф е С°° (X).
Поэтому в силу (2.1,2)
<2.3.1)	|и(ф)|<С £ sup|<9“Ф[, ФеС°°(Х),
|a|<ft К
где К — носитель ф, а С, k — постоянные. Обратно, предполо¬
жим, что линейная форма v на С°°(.£) такова, что для некото¬
рых постоянных С и k и некоторого компактного множества
LczX
<2.3.2)	|о(ф)|<С £ sup |<Э“ф|, фбС”(1).
I a |< k L
Тогда ограничение формы v на С” (X) будет распределением и
с носителем, содержащимся в L. Поскольку из (2.3.2) следует,
что v (ф) = 0, если L П supp ф = 0, то мы заключаем на основа¬
нии теоремы 2.2.5, что а(ф)=«(ф) для всех феС”(Х). Итак,
доказана
Теорема 2.3.1. Множество всех распределений на X с компактным
носителем совпадает с пространством, двойственным к простран¬
ству С°° (X), наделенному топологией, задаваемой полунормами
Ф -> £ sup I д“ф I,
|a|<fc К
где К пробегает множество всех компактных подмножеств в X,
a k — множество всех целых чисел ^ 0.


62	2. Определение и основные свойства распределений
Для пространства С°° (X), снабженного этой топологйей,
Л. Шварц использовал обозначение 3(Х). Соответственно про¬
странство всех распределений с компактным носителем на X
обозначается через З'(Х). Из доказательства теоремы 2.3.1 вы¬
текает, что S' (X) отождествимо с множеством всех распределе¬
ний из 3'{Rn), у которых носители содержатся в X. По¬
этому мы можем применять символ З'(А) и в случае, когда
А — произвольное подмножество в R", для обозначения множе¬
ства всех распределений из 3'(Rn), у которых носители содер¬
жатся в А. Далее, положим S’'*(А) = 3"(А)[\3)'к(Кп)-
Наименьшее k, которое годится в (2.3.1), равно, конечно,
порядку распределения и. В качестве К можно взять любую
окрестность носителя и, но, как правило, не-\сам этот носитель.
Пример 2.3.2. Пусть К — компактное множество в R", не пред¬
ставимое в виде объединения конечного числа компактных связ¬
ных множеств. Тогда найдется распределение и^З'(К) по¬
рядка 1, для которого условие (2.3.1) не выполняется ни при
каких С и k. Действительно, из сделанного предположения вы¬
текает, что можно найти последовательность попарно непересе-
кающихся непустых компактных подмножеств /С/ в К, такую что
множество /С\ {К\ U ... U Kj) компактно для любого /. Выбе¬
рем X/е/(/, и пусть Хо— предельная точка последовательности
{Xj}. Положим
И (ф) = £ ГП, (ф (х,) — ф (х0)),
где т/ — положительные числа, такие что
J^tnilXj — х0| = 1»	£т,= оо.
Такая последовательность т/ существует, поскольку lim inf | х,-—
Хо | = 0. Ясно, что
|«(<p)|<sup|<p' |;
следовательно, и — распределение. С другой стороны, допустив,
что для и выполнено (2.3.1), и выбрав функцию ср еС", равную
1 в некоторой окрестности множества К\ U • • • U А/ и 0 вблизи
K\(Ki U	UК,), а значит, и в х0, мы получим
»</
что приводит при jоо к противоречию.
Хотя (2.3.1), вообще говоря, и не верно при К = supp и, тем
не менее можно доказать, что левая часть этого неравенства
должна равняться нулю, если равна нулю правая:


2.3. Распределения с компактным носителем 63
Теорема 2.3.3. Пусть uef' — распределение порядка ^ k,
<peCft м
(2.3.3)	даф(ж) = 0 при |а|5^& и хевирри.
Тогда ы(ф) = 0.
Напомним, что и(ф) было определено нами в теореме 2.1.6
для всех ф eCj, и, как и в теореме 2.2.5, имеется единственное
продолжение и на все феС*, для которого ы(ф) = 0, если
supp и П supp ф == 0. Ясно, что оценка (2.3.1) остается справед¬
ливой для всех ф е С*, если в качестве К взята произвольная
окрестность носителя и.
Доказательство. В силу теоремы 1.4.1 и сделанных после ее до¬
казательства замечаний можно выбрать функцию хе е С*»
такую что хе = 1 в некоторой окрестности носителя и, %е = О
вне множества
Ме — {у; | х — у | ^ е для некоторого х е supp и}
и
|<ЭаХе|<Св-|а1,	|а|<£.
Поскольку supp и и supp(l —Хе)ф не пересекаются, то
и (ф) = и (фХе) + и (ф (1 — Хе)) = Н (фХе),
откуда, используя (2.3.1), получаем
1«(ф)1<С У sup|da(qpxe)|<C' У sup|а“ф11<?РХе|
|a|<b	|o|+l6|<ft
<С" У 6|al-ftsup |а“ф[.
I «7^ k	Ме
Для того чтобы установить, что правая часть стремится к О
вместе с е, нам надо доказать, что
(2.3.4)	е1 a |_* sup |д“ф I-* 0 при е->0,	|а|=^&.
Мг
Ввиду определения множества Ме, для каждого у е М* мож¬
но подобрать xssuppu так, чтобы |х—г/|^е. Это дает
(2.3.4)	для случая |а|'=&, так как производная д“ф равномерно
непрерывна и равна нулю на suppu. В случае |а|<& в силу
формулы Тейлора имеем для у^Ме
1	(у) 1 < _j- j }| Q sup 11 (dldtf 4 a 1 (ааФ) (x + t(у — *)) |,
поскольку производные от ф порядка < k обращаются в нуль
в точке х. Выполняя дифференцирование, получим сумму


64	2. Определение и основные свойства распределений
членов, содержащих множители (у — х)Р, |р| = &—|а|, и част¬
ные производные от ф порядка k, чем (2.3.4) и доказано.
Важным следствием теоремы 2.3.3 является
Теорема 2.3.4. Всякое распределение и порядка k, носителем
которого служит одноточечное множество {у}, имеет вид
(2.3.5)	и (ф) = Е аада<р{у), ф е=С*.
1а|<*
Доказательство. Разлагая ф в ряд Тейлора
ф(*) = Е #*у(у)(х — У)а/аЛ+ $(*)>
| о I < *	^
имеем <?С6г|}(г/) = 0 при	а значит, ы(г|з) = 0 по теореме
2.3.3.	Отсюда следует (2.3.5) с аа = и(( — у)а/а\) (здесь •
обозначает переменную).
Между прочим, теорема 2.3.4 объясняет, почему пределы в
примерах 2.1.10, 2.1.11, 2.1.13 и 2.1.14 имели вид (2.3.5).
Имеется аналог теоремы 2.3.4 для случая, когда точка за¬
меняется на подпространство, но доказательство в этом случае
сложнее:
Теорема 2.3.5. Пусть х==(х',х")— разбиение переменных в R" на
две группы. Всякое распределение и на R" порядка k с компакт¬
ным носителем, содержащимся в плоскости ■ х' = 0, имеет вид
(2.3.6)	и(ф)= Е МФо).
I «R*
где иа — распределение от х"-переменных порядка k — | а | с
компактным носителем, а = (а', 0) и
Фа (*") = <Л> (х', х") |д/„0.
Доказательство. Пусть ф е С°°. Запишем разложение Тейлора
по х'-переменным:
Ф (Jf) = Е д“ф(0, х")х'а/а\ + Ф (х).
I a7|<ft. а*'~0
Поскольку <?аФ(х) = 0 при х' = 0 и |а|^ k, то и(Ф) = 0. Таким
образом, ы(ф) имеет вид (2.3.6) с
М^) == « Of (*") *'°/а0-
Не очевидно лишь то, что иа—распределение порядка k — |а|,
а не «полного» порядка k. Чтобы доказать это, заметим, что
ы<х(Ф) = м(ф) для всех феС”, таких что
(2.3.7)	Ф (х) = ф (х") х^/а! + О (| х' |6+I) при х'-+0.


2.3. Распределения с компактным носителем 65
Последовательно применяя следствие 1.3.4 к каждой из х'-пере¬
менных по отдельности, получим, что для любой функции ф е
можно найти функцию <р е С*, удовлетворяющую условию
(2.3.7). Доказательство следствия 1.3.4 показывает, что для вся¬
кой функции феС” можно найти функцию среС°°, такую что
для любого данного компактного множества К с: R"
Z siip|dYqp|<C 2 sup | <3^ф |.
1 YJ К	|Р)<*-|а|
Следовательно,
I “а НО К С' Z sup |	|, i|ieC",
| Р К*-| а |
чем и завершается доказательство.
Для полноты рассмотрим в заключение один метод продол¬
жения функций, более общий, чем даваемый следствием 1.3.4, и
приведем получаемые с его помощью результаты, касающиеся
структуры распределений с заданным носителем.
Для всякой функции «е Cfe(R") обозначим ее тейлоров мно¬
гочлен порядка k в точке у через Uk(x,y) или, короче, через
и(х, у):
и(х, у)= Z даи(у)(х —у)а/а\.
| а |
Остаточный член будем обозначать через R(x, у), так что и(х)
= и(х, y) + R(x, у). Отметим, что производная
daxR(x, у) = даи(х)~ Z	да+*и(у)(х-у){7{И
|p|<fc-|o|
определяется значениями производных от и лишь в точках х
и у. В силу формулы Тейлора частное | <?“/?(*, у) \j\x— у
непрерывно на R" X Rn> если на диагонали определить его как 0.
Теорема 2.3.6 (теорема продолжения Уитни). Пусть К—ком¬
пактное множество в R" и иа, | се | ^ k, — непрерывные функции
на К■ Положим для \ а | ^ k
Ua(x> У)= Ua(x)— Z “а+й(У)(х — у?/$\\\Х — у\
| Р |<*-1 а | р	I
при х, у е К и хФу, Ua(x, х) = 0 при жеК, Если все функции
1 а | ^ k, непрерывны на /С X ^С, то можно найти функцию
i/gC‘(R"), такую что дао(х) = иа{х) при х^К, |a|s£:&. При
этом v можно выбрать так, чтобы
где постоянная С зависит лишь от К.


66	2. Определение и основные свойства распределений
Выше мы уже убедились в необходимости указанного в тео¬
реме условия. Доказательство достаточности опирается на сле¬
дующую лемму:
Лемма 2.3.7. Существует разбиение единицы 1=Хф/ на С К,
такое что ни одна точка не принадлежит носителям более чем
N функций фI, диаметр носителя ф/ не превосходит удвоенного
расстояния от этого носителя до К и
<2.3.9)	\d\i(x)\^Cad(x)-la', хфК,
где d(x) — расстояние от х до К.
Доказательство. Это — частный случай теоремы 1.4.10 с метри¬
кой, выбранной, как в примере 1.4.8 при F = К.
Доказательство теоремы 2.3.6. Выберем для каждого / точку
у, е к, находящуюся на минимальном расстоянии от suppq>/.
Обозначим через и(х, у) ожидаемый тейлоров многочлен для v
в точке у ^ К-
и (х, у) — Z «а (у)(х — у)а/а\
|о|<6
и ПОЛОЖИМ
V (*) = Z ф/ (*) и (х, у,), хфК\ о(*) = «о(*)> X:еК.
Для каждого х выберем точку дс* е К, для которой \х — дс* | =
d(x). Если х лежит в носителе функции ф/, то расстояние от
виррф,- до К не превосходит d(x), а диаметр этого носителя не
превосходит 2d (х); поэтому \х — у, | ^ 3d (х) и | х* — у;-1 ^ 4d (я).
Мы утверждаем, что для произвольной точки у аз К
(2.3.10)	\v(x) — u(x, у)\ = о(\х —y\k)
равномерно по у. В случае х е К это следует из непрерывности
Uo(x,y). В противном случае воспользуемся тем фактом, что
\v(x) — u(x, #) К £ Ф/(*) I«(*. yj) — u(x, у) |.
Здесь \х — г/;-1 ^ 3d (х) ^ 31 х — у |, если q>i(x)^=0. При
имеем
(2.3.11)	\дЦи (х, ух) — и (х, у2)) J
= о ((I дс — Ух\ + \Ух~ &l)‘~,vl). Уи Уг<^к,
поскольку д1(и(х, Ух) — и(х, у2)) есть многочлен по х степени
k — | YI и
| д$дух(и(х, у{) — и (Ху У2))х^у\
= t/p+v (Уи Уг) \У\ ~ Уг I*РНV1 = о (| ух — у21*_1 S+v')-


2.3. Распределения с компактным носителем 67
При y = 0 соотношение (2.3.11) дает (2.3.10); общий случай по¬
надобится нам позднее.
Из (2.3.10) вытекает, что функция и непрерывна, а в случае
k ^ 1, что она и дифференцируема во всякой точке К, с про¬
изводной dxu(x, у) |Хг=у Для хф.К и k > 0 получаем дифферен¬
цированием
(2.3.12)	dvv (*) = Y dvq>, (х) и (х, «/,-) + Y <р, (х) dvu (х, у,).
Положим vv(x) — Yvi(x)dvu(x, yf), хфК, и vv(x) = иау{х),
х е /С, где av = (0, .... 1,0, ...) (единица на v-м месте). Пусть
наше утверждение уже доказано для k, замененного на k—1.
Тогда vv е С*-1. Если мы докажем, что первая сумма в (2.3.12)
и ее производные порядка — 1 стремятся к 0 при х-*-К, то
отсюда будет вытекать ввиду следствия 1.1.2 (точнее, его обоб¬
щения на случай п переменных), что производная dvv непре¬
рывна, а фактически принадлежит классу Cfc_1, и что dav = иа
на К, |а| ^ k.
Для хфК мы имеем при |Р| + |у|^! & и Р=т^=0
Y	1 (х) духи (х, у,) = Y d\j (х) д\ (и (х, у,) —и (х, **))>
так как ХдРФ/(*) = 0 при р Ф 0. Учитывая, что \х —
3d(x), получаем из (2.3.11) и (2.3.9)
чем и доказано утверждение о первой сумме в (2.3.12).
Последняя оценка и тривиальная оценка для
Если теперь опустить в определении функции v те члены, для
которых supp<p/ находится от К на расстоянии >1, то мы н(е
изменим v в области, где d(x) <Z 1, но сделаем и(д;) = 0 там, где
d(x) > 3, так что будет выполняться (2.3.8).
Следствие 2.3.8. Для всякого распределения и порядка k с ком¬
пактным носителем К справедлива оценка
£<ЭРФ ,(х)духи(х, yj) — o{d (х) l0l+fe lvl),
Y<P/(x)dxu(x, у,)
дают, если принять во внимание и константы,
(2.3.13)
5*


68	2. Определение и основные свойства распределений
Доказательство. Применив теорему-2.3.6 с «а = д“ф|*, мы полу¬
чим функцию v, для которой u(v — <р) = 0, в силу теоремы 2.3.3.
Следовательно,
|и(ср)| = |ы(о)|<С D sup|d°u|,
|о|<*
и потому (2.3.13) вытекает из (2.3.8).
Пример 2.3.2 показывает, что первую сумму в правой части
(2.3.13)	нельзя опустить, если К не является конечным объеди¬
нением компактных связных множеств. Из теоремы Банаха мы
знаем также, что для того, чтобы всякая линейная форма, не¬
прерывная относительно полунормы в правой части (2.3.13),
была непрерывна относительно полунормы У sup 1 <?“ф |, необ-
I о|<fe к
ходимо и достаточно, чтобы первая сумма в этой правой части
оценивалась через вторую. Одно необходимое условие для этого
дает следующая
Теорема 2.3.9. Пусть К — компактное связное множество в R".
Предположим, что оно удовлетворяет условию
(2.3.14)	sup |’Ф(лс) — ’Ф(г/)1/|х — г/|<С У, supi<?а1фI, ifeC".
*■ У е= к	I als; 1 к
хф у
Тогда существует постоянная С', такая что любые две точки
х, г/ е К можно соединить в К спрямляемой кривой длины
^С'\х-у\.
Доказательство. Фиксируем две точки х0, Уо ^ К- Рассмотрим
какую-нибудь связную открытую окрестность X множества К и
обозначим через d(y) точную нижнюю грань длин ломаных, сое¬
диняющих хо с у и лежащих в X. Положим и(у) = min(d(у),
d(y0))- Ясно, что и(х0) = 0, и(уо) = d(y0) и
(2.3.15)	| и(х) — и(«/)К1 х — у |, если [х, y]czX.
Определим «ф, как в теореме 1.3.2, взяв в качестве ф функцию
со столь малым носителем, чтобы свертка иф была определена
в некоторой окрестности множества К. Ввиду (2.3.15)
|Иф(х) — иф(г/)|<|х — у\
в некоторой окрестности компакта К, если | х — у | достаточно
мало; следовательно, | д,-ыф К 1 на К. При ф = иф получаем из
(2.3.14)
I «ф (*о) — «ф (Уо) КI х0 — у„ | С (d (t/„) + п);
Полагая suppф^->-{0}, заключаем, что
d(y0) <\x0 — y0\C(d (у0) + п).


2.3. Распределения с компактным носителем 69
При \х0 — у0\^ 1/2С отсюда следует, что d{yo) ^ 2пС\х0 — t/o|.'
Для всякого е > 0 множество
Ке = {х; \х — у\<г при некотором у^К)
является связной окрестностью К, поскольку К связно. Следова¬
тельно, это множество содержит ломаную длины <2/гС|х0—
г/о|+е, соединяющую х0 с уо. Представляя ее в параметриче¬
ском виде как функцию длины вдоль ломаной, мы получим при
е-*0 некоторую кривую длины ^2пС|хо— у0|, соединяющую .хъ
с уо и лежащую в К, при условии что |лго — г/о| ^ 1/2С. Так как
К компактно и связно, это доказывает теорему.
Условия, указанные в примере 2.3.2 и теореме 2.3.9, являются
также и достаточными:
Теорема 2.3.10. Пусть К — компактное множество в R" с конеч¬
ным числом связных компонент, такое что любые две точки х,у
из одной и той же компоненты можно соединить в К спрямляе¬
мой кривой длины ^C|x — у|. Тогда для всякого распределе¬
ния и порядка k с supp и а К. справедлива оценка
(2.3.16)	|и(ф)|<С £ sup|<3“<р|, ?eCft(R").
|a|<ft К
Доказательство. Пусть s^>x(s) — кривая в К с х(0) = у, пара¬
метризованная длиной s. Тогда для функции
Fa (s) = д\ (х (s)) - У да+% (у) (х (s) - yf/fll
|PI<T-|a|
выполняется неравенство
(2.3.17)	|Fa(s)|<CsftHo1 У sup|(, |аЮ-
к
При \a\ = k это очевидно. Если |а|<& и'(2.3.17) уже дока¬
зано для более высоких порядков производных, то мы заклю¬
чаем, что
|<tf7a(syrfs|<C/w*“|e|“1 Z sup | д^(р |.
IPI-* к
Поскольку Fa(0) = 0, получаем (2.3.17) с С, замененным на Сп.
Если обозначить через d(x,y) нижнюю грань длин кривых в К,
соединяющих у с х, то (2.3.17) дает
(2.3.17)	' Iд“Ф(х) — Е da+%(y)(x-y?lw\ .
<crf(x, yf~la] У sup|а^ф|.
I РИ-*
При d(x, z/X C\x — y\ оценка (2.3.16) следует из (2.3.13) и
(2.3.17)	'.


70	2. Определение н основные свойства распределений
Теорема 2.3.11. Пусть К — компактное множество в R" с конеч¬
ным числом связных компонент, причем любые две его точки х,
у, лежащие в одной компоненте, можно соединить спрямляемой
кривой в К, длина которой не превосходит С\х — y\v, у ^ 1.
Тогда для всякого распределения и порядка k с supp и cz К и
любого целого числа т, такого что my ^ k, справедлива оценка
(2.3.18)	|и(ф)|<С Е sup | (?“ф |, Фе=С”
| а | <т
Доказательство. Используем оценки (2.3.13) и (2.3.17)' с k, за¬
мененным на т, учитывая, что
\Х — i/|v(m_la|)<| х — г/|Ма| при \х — у\<\
(поскольку у ^ 1).
Множества, удовлетворяющие условиям теоремы 2.3.11,
иногда называют регулярными в смысле Уитни.
Примечания
Как отмечалось во введении, используемое здесь определение
распределения принадлежит Шварцу (Schwartz [1]). Одно из
его достоинств в том, что оно подсказывает естественный способ
доказательства теорем существования для дифференциальных
уравнений, основанный на теории двойственности (теорема
Хана — Банаха). Развивая сходные идеи, Соболев [1] еще
раньше продвинулся весьма далеко вперед по пути к построению
теории распределений.
Другие пространства пробных функций приводят к другим
пространствам распределений. В гл. 7 мы определим простран¬
ство промежуточное между <lf'(Rn) и ^'(R"), используя
в качестве пространства пробных функций некоторое подпро¬
странство 91 в С°°(РП), выделяемое определенными глобальными
условиями. В роли пространства пробных функций, приводящего
к пространству распределений со свойствами, аналогичными
свойствам распределений Шварца, может выступать любой не-
квазианалитический класс функций. Такая теория была развита
Бёрлингом (Beurling [1]; см. также Bjorck [1]). В качестве
пробных функций можно использовать и квазианалитические
классы функций, но вопросы локализации становятся в таком
случае гораздо более трудными. В гл. 9 мы рассмотрим типич¬
ный случай — класс вещественно аналитических функций. Даже
и пространства целых аналитических функций могут оказаться
пригодными в качестве пространств пробных функций для спе¬
циальных целей (см. Гельфанд, Шилов [1]), но тут мы уже до¬


Примечания 71
вольно далеко уходим от интуитивного понятия обобщенной
функции.
Топология в С“ (X), задаваемая полунормами в правой
части (2.1.3), является индуктивным пределом топологий в
С™ (К), когда компактное множество К, возрастая, стремится к
X, и, значит, представляет собой 2HF - топологию (см. Dieudonne,
Schwartz [1]). Мы избегали этой терминологии, чтобы не по¬
ощрять распространенное одно время заблуждение, что знаком¬
ство с теорией ^^"-пространств необходимо для понимания
теории распределений. Удобная явная форма полунорм, данная
в (2.1.3), заимствована у Гординга и Лионса (Garding, Lions
[1]); она время от времени будет существенным образом ис¬
пользоваться в дальнейшем изложении (см., например, § 10.7).
Проблема оценки и(q>) через значения функции ф и ее про¬
изводных на одном лишь носителе и была исследована в трак¬
тате Schwartz Ш. где даны пример 2.3.2 и теоремы 2.3.10,
2.3.11,	лишь в чуть ином виде. Следствие 2.3.8 и теорема 2.3.9
были доказаны в статье Glaeser [1] (см. также Hormander
[5]). Ключевой пункт здесь — это, конечно, теорема продолже¬
ния Уитни 2.3^6 (Whitney [1]). Результаты Уитни в действи¬
тельности сильнее и покрывают также случай продолжения
С“-функций. В этом случае продолженная функция v уже не за¬
висит линейно от исходных данных иа. Линейное продолжение
С°°-функций с полупространства на всё пространство было по¬
строено Сили (Seeley [2]).


3
Дифференцирование
и умножение на функции
Краткое содержание главы
Наш интерес к теории распределений в значительной мере объ¬
ясняется теми ограничениями, которые связаны с классическим
понятием дифференцируемости. В этой главе мы убедимся, что
дифференцирование распределений, действительно, всегда воз¬
можно. Кроме того, мы обсудим вопрос об умножении распре¬
делений. Эта операция определена уже не всегда, если только не
предполагать один из сомножителей гладким.
Операции дифференцирования распределений и умножения
их на гладкую функцию определяются в § 3.1. Для примера рас¬
смотрен вопрос о дифференцировании функций с простыми раз¬
рывами; эти рассмотрения приводят нас к формуле Гаусса —
Грина и к интегральной формуле Коши. В качестве приложе¬
ния последней мы, несколько отвлекаясь от основной темы, об¬
суждаем вопрос об обобщенных граничных значениях (гранич¬
ных значениях в смысле теории распределений) аналитических
функций. В порядке дальнейшей иллюстрации операций умно¬
жения и дифференцирования распределений в § 3.2 довольно
подробно обсуждаются однородные, распределения. В § 3.3
строятся фундаментальные решения для некоторых классиче¬
ских дифференциальных операторов второго порядка. В заклю¬
чительном § 3.4 собраны вычисления ряда интегралов, в част¬
ности гауссовых интегралов, используемых в этих построе¬
ниях.
3.1.	Определения и примеры
Если и — непрерывная функция, для которой частная производ¬
ная дки всюду определена и непрерывна, "то, как легко полу¬
чается интегрированием по частям,
^ (дки) ф dx — — ^ идкф dx, q> еСо“ (X)


3.1. Определения и примеры 73
(ср. с обсуждением слабых производных во введении). Если
/ — непрерывная функция, то
^ (fu) ср dx = ^ и (/ф) dx, ф еСГ (X),
где f<p— снова пробная функция, в случае когда /еС”. По¬
этому следующее определение — обобщение классического:
Определение 3.1.1. Для всякого распределения и^З)'(Х) пола¬
гаем
(3.1.1)	(д*и)(ф) = —и(д*ф), «ре СП*),
и для всякой функции / е С°°(Х) полагаем
(3.1.2)	(/и)(ф) = и(/ф); ФеСГ(*).
Очевидно, что формулы (3.1.1) и (3.1.2) задают распределе¬
ния дш и fu с носителем, содержащимся в supp и, и что отобра¬
жения и-^дш и и fu непрерывны.
Замечания. 1) Утверждение о единственности из теоремы 2.2.5
(с F = suppu) показывает, что (3.1.1) и (3.1.2) верны для всех
Ф е С°°(Х), удовлетворяющих условию supp и П виррф Ш X.
2)	Произведение fu определено для всех и, f^3)'(X), таких
что
(3.1.3)	sing supp и П sing supp f= 0.
Действительно, X можно покрыть открытыми подмножествами
У, для каждого из которых иеС”(1') или /еС“(У), так что
наше произведение определяется на У по формуле (3.1.2), если
/еС“(У), и по формуле
(3.1.2/	(/И)(Ф) = /(«Ф).	ФеС0“(У),
если иеС“(У). В случае когда как /, так и и принадлежат
С°°(У), оба эти определения совпадают с определением поточеч¬
ного произведения uf; поэтому мы имеем однозначно определен¬
ное произведение (fu)у е И)'(У). Его ограничением на Zc У
будет, конечно, (fu)z. Согласно теореме о локализации 2.2.4,
отсюда следует, что существует единственное распределение
fu^S)'(X), ограничение которого на У равно (fu)y для каж¬
дого У.
3)	Если f<=C“(*)> иев&'(Х) и
(3.1.3/	supp и П supp / <ш X,
то в соответствии с определениями, данными в конце § 2.2, мы
имеем
(и, /> = «(/) = (/«)( 1),


74	3. Дифференцирование и умножение на функции
ибо u(f)= u(q>f) = (fu) (q>) — (fu) (1) для всякой функции
феСоЧ-Х), равной 1 вблизи suppuf)suppf. Ввиду предыдущего
замечания мы можем поэтому, используя эту формулу, распро¬
странить определение <ы,/> на все и,	удовлетворяю¬
щие условиям (3.1.3) и (3.1.3)'.
4)	Из теоремы 2.1.6 следует, что формула (3.1.2) задает рас¬
пределение fu^3)'k(X), если f^Ck{X) и и^Ф'к(Х). Преды¬
дущие замечания применимы, конечно, и к этому случаю, но
формулировки здесь более громоздки.
Как и для гладких функций, для распределений можно ме¬
нять порядок взятия производных:
djdku = dkdjU, и^.ЯУ (X).
В самом деле, согласно данному определению, для любой функ¬
ции ф е С“ (X)
(д,дки) (ф) = — (дки) (д/ф) = и (д*д,ф) = и (djdk ф) = (дкд,и) (ф).
Поэтому мы можем использовать обозначение даи для частных
производных от распределений точно так же, как и в случае
функций. Повторное применение соотношения (3.1.1) дает
(3.1.1)'	(д°ы) (Ф) = ( — 1)'“1 ц (д“Ф),	ф«=С0°°(Х).
Для распределений сохраняет силу обычное правило дифферен¬
цирования произведения
(3.1.4)	dk(fu) = (dkf)u + f(dkuy, f<=C~(X),	ut=®'(X);
действительно, написанное равенство означает, что
— и (fdk ф) = и ((dkf) ф) — и (дк (/ф)), феС“ (X),
а это так, поскольку дк (/ф) = (dkf) ф + fdkф.
Пример 3.1.2. Функция Н на iR, задаваемая правилом Н(х)= 1
при х> 0, Н(х) = 0 при х ^ 0, называется функцией Хевисайда.
Ее производная в смысле распределений по определению равна
оо
Н' (ф) = — Н (ф') = — ^ ф'(х) dx = ф (0).
о
Мера Дирака бо в точке aeR" определяется формулой
Ьа (ф) — Ф (а);
другими словами, это единичная масса, сосредоточенная в точке
а. В этих обозначениях Н' = бо. Производные от меры Дирака
равны
(д“60) (ф) = (— 1)1a I д“ф (а), ф <= С°°;


3.1. Определения и примеры 75
поэтому теорема 2.3.4 означает, что единственными распределе¬
ниями с носителем в точке а являются линейные комбинации
меры Дирака ба и ее производных.
Теорема 3.1.3. Пусть и — функция на открытом множестве
A'cR, принадлежащая С1(Х\ {хо}) для некоторого х0 е X.
Если функция v, равная и' при х Ф х0, интегрируема в некоторой
окрестности х0, то пределы
существуют и
ы(х0± 0)= Пт и(х)
х->Ло ± О
и' = V + (и (х0 + 0) — и (х0 — 0)) 6*„.
Доказательство. Если Хо < у и интервал [хо, у] содержится в X,
ТО
У
u{x) = u(y)—^v(t)dt,	х0<х<у,
X
откуда видно, что существует и (хо + 0). Аналогично, существует
и и(хо — 0). Имеем
)
= lim (и
е-*+0 I
(*о+е) Ф (x0-f е)—и (х0-
-е)ф(х0—е)+	^ р(х)ф(х)сЬЛ
f jc—лсо (>е	/
и' (ф) = — ы (фОНт (—	\ ы (х) ф' (х) dx
е-*+01	.
\	1 JC-Xo |>8
для фе Со (X). Тем самым теорема доказана.
Заметим, что, поскольку и' — v = 0 на Х\{х0}, то, очевидно,
разность и' — v должна быть распределением с носителем в хо,
а значит, должна представлять собой линейную комбинацию
меры Дирака 6*0 и ее производных. Это дает качественное объ¬
яснение вида производной и'.
Теорема 3.1.3 показывает, что при поточечном дифференци¬
ровании можно потерять существенную информацию в точках
разрыва. При дифференцировании в смысле распределений этого
уже не происходит:
Теорема 3.1.4. Пусть ие^'(А), где X — открытый интервал ве¬
щественной прямой R. Если и' =0, то и — константа.
Доказательство. Равенство и' — 0 означает, что
-и(Ф') = 0,	ф^С0“(А).


76	3. Дифференцирование и умножение на функции
Для всякой функции ф ^ С“ (X) уравнение ф' = ф имеет един¬
ственное решение
X
<pW= ^
равное нулю слева от носителя ф. Оно принадлежит С“ (Jf)
тогда и только тогда, когда оно равно нулю и справа от этого
носителя, т. е. когда интеграл
оо
/(г|>)= ^ ф(x)dx
— оо
равен 0. Следовательно, ы(ф) = 0, если /(ф) = 0, откуда следует,
что ы(ф) = С/(ф) при некоторой постоянной С. Действительно,
выберем какую-нибудь функцию ф0еСо°(Х) с 7(ф„)= 1. Тогда
интеграл от ф — 7(ф)ф0 будет равен 0, а потому
0 = ы (ф — / (ф) ф0) = ы (ф) — / (ф)ы(Фо).
Значит, и = С = «(фо), как и утверждалось.
Следствие 3.1.5. Если и е З)'(Х), где X cz R, и
и' -|- аи = / GE С(Х),
где аеС°°(Х), то и еС’(Х). Таким образом, u'-\-au — f в
классическом смысле.
Доказательство. Предположим сперва, что а — 0. Поскольку /
имеет первообразную seC1^) и (и — v)' = и' — v' = f — f = 0,
из теоремы 3.1.4 следует, что и — v = С, а значит, иеС1. В слу¬
чае произвольного а пусть Е — какое-нибудь нигде не обращаю¬
щееся в нуль решение уравнения Е' — Еа\ можно взять
Е = exp ^ a dx, так что Е е С°°. Имеем
{Ей) = Ей' -f Е'и = Е (и' + аи) = Ef е С,
поэтому Ей е С1, а следовательно, иеС1.
Это следствие остается справедливым, и если и ==(ыь ..., Uk)
и / = (/1, ..., fk) имеют по k компонент, а а — произвольная
k X ^-матрица С°°-функций. Надо только в предыдущем доказа¬
тельстве взять в качестве Е какую-нибудь обратимую k X &-мат-
рицу, удовлетворяющую уравнению Е'= Еа. Так как обыкно¬
венные дифференциальные уравнения высших порядков сводят¬
ся к системам уравнений первого порядка, мы можем теперь
получить


3.1. Определенна и примеры 77
Следствие 3.1.6. Пусть и е З)'(Х), X с R. Если
ы(т> +	+ ... +OoU = feEC(X),
где коэффициенты а/ (X), то меСя (X), так что написан¬
ное уравнение выполняется в классическом смысле.
Доказательство. Полагая щ = uu~l), I ^ j ^ т, получаем си¬
стему уравнений
Um + am-lUm+ ••• +a0ui = f>	, = °.	1 < / < «.
В силу сделанного выше замечания по поводу следствия 3.1.5,
щ е С1 (X),. Следовательно, и е Ст.
Перейдем теперь к случаю нескольких переменных. Сначала
докажем аналог теоремы 3.1.4.
Теорема 3.1.4'. Пусть и е 3)'(У X I), где У — открытое множе¬
ство в Rn~1 и I — открытый интервал в R. Если дпи = 0, то
ы(ф)= ^ «о (ф (•» xn))dxn, ф еС”(УХ/),
где Ыо^^'(У). Таким образом, и представляет собой распреде¬
ление uq от х' — (х\,	x„-i), не зависящее от хп-
Доказательство. Выберем ij>0 еС0“(/) с ^	(t) dt= 1 и положим
ио(х) = «Ы; X^Co(Y), Xo(x) = x(x')ty0(xn).
Очевидно, что щщЗ)' (Y). Если для ф е С“ (У X /) положить
(1ф)(х )= ^ ф (х , xn)dxn,
то точно так же, как в доказательстве теоремы 3.1.4, мы имеем
Ф (х) — </ф) (*') фо (хя) = д„Ф,
где Ф е С“ (У X /)• Следовательно,
и ((р) = и ((/ф)0) = «о (/ф) = ^ «о (ф (•. *„))
последнее равенство вытекает из теоремы 2.1.3, примененной к
хп
$ Ф dxn.
— оо	"
Теперь докажем один слабый, но полезный аналог след¬
ствия 3.1.5.


78	3. Дифференцирование и умножение на функцив
Теорема 3.1.7. Пусть и и f — непрерывные функции на Ха R".
Если dju — f в смысле теории распределений, то д,и(х) суще¬
ствует во всякой точке х а X и равняется f(x).
Доказательство. Можно считать, что / = п и X = У X Л как
в теореме 3.1.4', ибо наше утверждение локально. Пусть Т —
фиксированная точка в I. Положим
хп
v 5 f (х'• 0 di-
т
Тогда дп(и — v)=f — f = 0 в смысле теории распределений; по¬
этому из теоремы 3.1.4' и ее доказательства вытекает, что
и(х)—v(x) = ио(х'), где ы0 — некоторая непрерывная функция.
Поскольку функция v (х) + «о (х') поточечно дифференцируема
по хп с производной f, теорема доказана.
Обобщим теперь пример 3.1.2, продифференцировав характе¬
ристическую функцию открытого множества в R" с С1-грани¬
цей.
Определение 3.1.8. Пусть У а X — открытые множества в R".
Говорят, что У имеет С'-границу в X, если для каждой гранич¬
ной точки х0 е X множества У можно найти С'-функцию р, опре¬
деленную в некоторой окрестности Х0 точки Хо, такую что
p(x0) = 0, йр(х0)фО, УПХ0 = {хеХ0; Р(*)<0}.
Используя разбиение единицы, легко показать, что в этом
случае существует функция реС1 (X), такая что р = 0, dp Ф О
на границе дУ множества У в X и У f| X = {х е X; р(х) < 0}.
Мы предоставляем читателю доказать этот факт в качестве
упражнения. В данный момент для нас важнее заметить, что
если, скажем, др/дх^ФО в х0, то С'-отображение
(Xj, ..., хп) > (р (х), Х<£, ..., хп)
в некоторой окрестности точки хо имеет обратное, также класса
С1. Отсюда следует, что условие р = 0 равносильно условию
х\ = ф(х'), где феС1 и х' = (х2, ..., хп). Если dp/dxi ^ 0 в х0,
то множество У определяется неравенством х\ ^ ф(х') в некото¬
рой окрестности Xq точки х0.
Рассмотрим характеристическую функцию %у множества У.
Ясно, что д/%у имеет носитель, лежащий в дУ. Чтобы вычислить
djXy в Х'0, заметим, что если функция fteC“ равна нулю в ин¬
тервале (—оо,0) и единице в интервале (1,оо), а множество
У П Х'0 определяется неравенством х\ > ф(х'), то
Ху = Hm h ((*, — ф (х'))/г) в Х'0


3.1. Определения и примеры 79
как поточечно, так и в смысле теории распределений; поэтому
в последнем смысле
д,Ху = lim \fh' ((*, — -ф (*'))/e)/e,
г->0
где v = (1, — dty/dx'). Таким образом, для ф^СоЧЛ'о)
(diXY, Ф> = lim \ v,h' ((*i — ф (лг'))/е) е“*ф (л:) dx
= ^ vy (лс') qp (ф (jc'). x')dx'
(ср. с теоремой 1.3.2). Учитывая, что евклидов элемент поверх¬
ности dS на dY имеет вид (1 + |ф'|2) l/2dx', a v/(l + |ф'|2)1/2 = п
есть единичный вектор внутренней нормали к дУ, заключаем, что
(3.1.5)	djXy — tijdS
в Х'0, а значит, и во всем X.
Если f=(f 1, ..., fn) — векторное поле с компонентами из
С(Г (X), то из (3.1.5) следует, что
$ div / dx = (%у, £ д/ff) = — Y,	fj> = — $ </. «) dS ■
Y	dY
Формула
(3.1.6)	\ div fdx = - J </, n)dS
Y	dY
называется формулой Гаусса — Грина. В силу теоремы 1.3.2 она
верна для всех / е С* (X). Легко проверить, что фактически фор¬
мула (3.1.6) верна для всех непрерывных / с компактным носи¬
телем в X, у которых дивергенция div /, определенная в смысле
теории распределений, оказывается принадлежащей Ll(Y). Од¬
нако мы оставим и это как упражнение читателю. Формулы
(3.1.5)	и (3.1.6) совершенно равносильны, поэтому если бы мы
предположили формулу (3.1.6) известной, то можно было бы
дать чуть более короткое доказательство формулы (3.1.5).
Теорема 3.1.9. Пусть У czX — открытые подмножества в R", та¬
кие что У имеет С1-границу дУ в X, и пусть и <= С‘(Х). Если Ху
обозначает характеристическую функцию множества У, dS —
евклидова поверхностная мера на дУ и п — единичный вектор
внутренней нормали к этой границе, то
(3.1.7)	dj(uxy) = (dlu)Xy + unjdS.
Доказательство. Для и^С°°(Х) равенство (3.1.7) следует из
(3.1.5)	и (3.1.4). Всякая функция й^Со(Х) является по


80	3. Дифференцирование и умножение на'функцнн
теореме 1.3.2 пределом некоторой последовательности функций
из С” (A1), сходящейся в Со(Х); поэтому формула (3.1.7) справед¬
лива для всех таких и, а значит, и в указанном в теореме об¬
щем случае, поскольку Зта формула имеет локальный характер.
Наше доказательство формулы (3.1.5) сохраняет силу и для
случая, когда функция ф липшицева; только нормаль п будет
в этом случае определена не всюду, а почти всюду относительно
меры dS. Отсюда следует, в частности, что формула (3.1.6) при¬
менима к кубам,— факт, который совершенно элементарно про¬
веряется и непосредственно. Этот факт полезен при доказатель¬
стве следующего результата.
Теорема 3.1.10. Пусть Р = Yiai(x)df + Ь{х), где a, s С1 и
b е С°, — линейный дифференциальный оператор с частными
производными первого порядка в Xcz R". Если функция и диф¬
ференцируема в каждой точке множества X и существует не¬
прерывная функция /, такая что Ри(х) = f(x) для всех х^Х,
то Ри = f в смысле теории распределений.
Доказательство. Пусть ф^СГ(Х'). Нам надо доказать, что
J и (&Ф — Y, д1 <а/Ф>) dx = $ /ф dx-
Для произвольного куба I со сторонами, параллельными осям
координат, положим
Ри(1) = Р(1)= 5 (/ф + ы(£д/(а/ф) — 6ф)) dx -f ^ и(а, n)q>dS,
1	di
где п — внутренняя единичная нормаль, а (а,п) — евклидово
скалярное произведение. В силу (3.1.6), Fu(I) = 0, если иеС1 ’>.
Для произвольной и мы сначала покажем лишь, что
(3,1.8)	lim F(/)/m(/) = 0
Ха е /, т(/)->О
при всяком фиксированном хо^Х. С этой целью обозначим че¬
рез v тейлорово приближение первого порядка к и в х0, так что
v(x) — и{х) = о(\х — х0|). Тогда
FuU) = Fu(l)-F0(I)
= \(f — Pv) Ф	+ $ (ы — v) ( dj (а,ф) — 6ф) dx
I	г
+ ^(м — v)(a, n)q>dS,
дI
1J div (uaq>) равна подынтегральному выражению в интеграле по / в фор¬
муле, определяющей F(I). — Прим, первв.


3.1. Определения и примеры 81
где Fv определено, как Fu, но только с f, замененным на Pv.
Ясно, что
f{x)—Pv(x)^>0 прн х^>х0, sup|M — »| = o(s(/)),
i
где s(I) — длина ребра куба /. Тем самым (3.1.8) доказано.
Из (3.1.8) следует, что /*'(/) = 0 для всех I. В самом деле,
•отправляясь от произвольного куба /о, мы можем разбить его
на 2" кубов со сторонами вдвое меньшей длины, и по крайней
мере для одного из этих кубов 1\ должно выполняться нера¬
венство
\F(h)\>\F(I0)\l2n,
поскольку функция F(I) аддитивна, т. е. F(Io) равняется сумме
F(Ii), где /1 пробегает все малые кубы. Таким образом мы мо¬
жем найти стягивающуюся последовательность кубов // с
m(I,+1)= m(/у)/2", такую что
IF (/о) 11т (/о) < | F (/,) |/т(Л) < | F (/2) |/т (f2)<
У всех этих кубов имеется общая точка х0, поэтому предел
выписанных выше отношений равен 0, согласно (4.1.8). Следо¬
вательно, F(Io) = 0. Выбирая /0 настолько большим, чтобы
supp ср с=/о, получаем требуемое равенство. Теорема доказана.
Доказательство предыдущей теоремы построено по образцу
классического доказательства того факта, что если и — диффе¬
ренцируемая функция на X а С =iR2 и du пропорционально dz
в каждой точке, то и — аналитическая функция. Записывая
z = х + iy, мы имеем для всякой дифференцируемой функции v
на С.
dv = dv/dx dx + dv/dy dy = dv/dz dz + dv/dz dz,
где
d/dz = y (djdx — idjdy), djdz = (d/dx + id/dy).
Условие на и состоит, следовательно, в требовании, чтобы
du/dz = 0 в каждой точке; как было выше показано, отсюда
следует, что du/dz — 0 в смысле теории распределений. В § 4.4
мы увидим, что такие распределения являются аналитическими
функциями в обычном смысле и, в частности, принадлежат
классу С°°. Тем не менее уже сейчас мы сделаем ряд дальней¬
ших замечаний об аналитических функциях и операторе d/dz.
Прежде всего отметим тот факт, что если УсХсС — от¬
крытые множества, такие что Y имеет С‘-границу в X, то
(3.1.9)	2 ^ dq>/dzdxdy = — i (х + iy), ф ^С10(Х),
у	ду
6 Зак. 821


82	3. Дифференцирование и умножение на функции
где (Д-кривая дУ ориентирована так, чтобы множество У распо¬
лагалось слева от нее. Для доказательства этого факта заме¬
тим, что если s — длина дуги на дУ, то (dx/ds, dy/ds) есть еди¬
ничный касательный вектор к дУ, а (—dy/ds, dx/ds)—единич¬
ная внутренняя нормаль. Взяв /=(ф, цр) в (3.1.6), получим,
следовательно,
2 ^ dqt/dz dx dy =
у
^ (— ф dy/ds + йр dx/ds) ds
дУ
= — i $ Ф (dx + i dy).
ay
Формулу (3.1.9) можно записать также в виде
(3.1.10)	(dXyjdz, ф) = у \ Ф(dx + idy), феС‘(X).
Z дУ
Пусть ^еУ. Применим к функции q>(x,y)/(z — £) формулу
(3.1.9)	с У, замененным на Y\De, где De — круг радиуса е с
центром в £, причем е мало. Получим
2	[	<?<р (х, y)/dz [z — £)-1 dx dy
y\Dt
= — i^y{x,y){z — i)~xdz + i J ф(х, y)(z — £)-1 dz
ay	aDt
где кривая dDe ориентирована как граница Dt, а не Y\De. Мы
повсюду пишем z = х + iy. Так как
^ Ф(*> У) (г — £fldz = y{£) ^ (z — £)-1 ete + О (е),
дог	д°г
то, устремляя е к 0, приходим к интегральной формуле Коши
(3.1.11)	ф(£) = — л-1 ^<3ф(х, y)/dz(z — t)~l dx dy
у
+ (2я0-1 \ Ф (*, У) (г - О-' dz, ф е Cj (X), £ е У.
ат
(Заметим, что функция (х, у)-*-(х + iy — £)-1 локально инте¬
грируема.) В частности, при Y — X криволинейный интеграл
отсутствует и (3.1.11) означает, что для функции Et(x,y) =
лг1 (2 — £)-'
(3.1.12)
дЕх/dz = б;.


3.1. Определения и примеры 83
В свою очередь полная формула (3.1.11) следует из (3.1.12) и
(3.1.10), поскольку
д (х уЕ^дг = б с + £; d%Y/dz,
ввиду (3.1.4) и принципов локализации, изложенных в § 2.2, ибо
в каждой точке хотя бы один из сомножителей гладок.
Теперь обсудим вопрос о существовании для аналитических
функций граничных значений в смысле теории распределений.
Теорема 3.1.11. Пусть I — открытый интервал в R и
Z = {zeC; Reze/, 0 < Imz < у)
— его «односторонняя комплексная окрестность». Если f — ана¬
литическая функция в Z, такая что для некоторого неотрица¬
тельного целого N
|/(г)|<С(1тг)_ЛГ, zgZ,
то f(- + iy) имеет предел f0 е 3!>'N+l (/) при г/ —»—1-0, т. е.
lim \f(x + iy) ф (*) dx = (/„, ф), ф s С*+1 (/).
Доказательство. В случае N > 0 выберем какое-нибудь zq е Z и
рассмотрим интеграл
Z
zeZ,
z„
взятый вдоль некоторого пути в Z. Этот интеграл задает анали¬
тическую функцию, не зависящую от выбора пути, F'(z) — f(z),
и, выбирая путь из точки zo в точку z идущим сначала горизон¬
тально, а затем вертикально, мы получим (если интервал / огра¬
ничен, как это можно предположить)
C1(Imz),'*f
— Cloglmz + Ci
при N > 1,
при N= 1.
В случаеJV = I отсюда сразу следует, что интеграл от F непре¬
рывен в Z, поскольку logZ— интегрируемая функция от t вбли¬
зи 0. В общем случае мы заключаем после JV+ 1 интегрирова¬
ний, что /(z)=G<*+‘>(z), где функция G непрерывна в Z и ана-
литична в Z. Это показывает, что
lim f(-+iy)= lim dN+lG(- + iy)/dxN+1 — dN+1G(-)/dxN+l
y-*-+о	у-*+й
в &>,N+l(I), чем теорема и доказана.
6*


84	3. Дифференцирование и умножение на функции
Другое доказательство, дающее полезную формулу для fo,
проводится следующим образом. Положим для q>^Co+l (I)
ф(х, у) = £ фЩх){1уЩ\.
i<N
Это N-я частичная сумма для тейлорова разложения по у, ко¬
торым бы обладало аналитическое продолжение ф, если бы оно
существовало. Ясно, что Ф(дс, 0) = ф(дс) и
2 дФ/дг = (д/дх + id/dy) Ф = <p№+1> (х) (iy)N/N\.
Зафиксируем Y, удовлетворяющее условию 0 •< Y < у. Если
О < г/< у — Y, то в СИЛУ формулы (3.1.9), примененной к
Ф (z)f(z + iy),
J Ф(дс, 0)/(х+ iy)dx — ^ Ф(дс, Y)f(x + iY + iy)dx
= 2 i	П / (z + iy) дФ/дг dX (z),
0<Iraz<y
где dX— мера Лебега в С. Записывая z = х-\- itY, 0 <С t < 1,
получаем
(3.1.13)	^ ф (дс) f (х + iy) dx = $Ф(дс, Y)f(x + iY + iy)dx
+ И flx + itY + W <P<Af+1) (x) (iYf+liN/N\ dx dt.
о
Подынтегральное выражение в двойном интеграле допускает
равномерную оценку при «/-»--{-0, поэтому
$ Ф {х) f (х + iy) dx -* ^ Ф (jc, Y)f(x + iY) dx
i
+ J J f (x + itY) <p("+l)(x) (iYf+l tN[N\ dx dt при у -> + 0.
о
Мы часто будем использовать символ /(дс + iO) для обозна¬
чения только что определенного обобщенного предела. Анало¬
гично будем записывать как f(x — ДО) такой же предел со сто¬
роны нижней полуплоскости.
Теорема 3.1.12. Пусть I — открытый интервал в R и
Z±={ze С; R еге/, 0 < ± Im z < у}-
Если f — аналитическая функция в Z = Z+ (J Z-, такая что
|f(z)|<C|Imzr\ ze=Z,


3.1. Определения и примеры 85
то повторный интеграл
(3.1.14) Е(ф) = ^ ($ / (* + *'#) Ф (*> У)дх) аУ> q>^Co(Z\)I),
существует-и определяет распределение из 2>'N(Z (J I), для ко¬
торого
(3.1.15) {dF/dz, Ф> = у</(-+*))-/(• -10), <р(-, 0)),
(peC0"+1(ZU/).
При этом F = / в Z.
Доказательство. Первое доказательство теоремы 3.1.11 показы¬
вает, что F — G(Ar>, где | G(z) | ^ С' log(C'/|z|), а значит, G е L1.
Интегрирование по частям дает
F (ф) = (— 1)" 5 5 G (х + iy) д"<р (х, у)/дх” dx dy, ф е С» (Z U /),
чем доказано первое утверждение теоремы. Если ф е C^+1 (Z U
/), то
{dF/dz, ф) = — {F, dq>/dz) = lim \ ^ f{x-\- iy) <?ф (jc, y)/dz dx dy
I у l>e
= lim ~ ( ^ f(x + ie) ф (x, e) dx — f {x — ie) ф (x, — e) dx')
->у</(*+/0)-/(--Ю), ф(-, 0)),
чем доказано (3.1.15).
Пример 3.1.13. В силу (3.1.15),
{х + iO) 1 — (* — i0) 1 = — 2ягб0,
поскольку d{\/z)/dz = лб0, о согласно (3.1.12). Здесь бо, о — мера
Дирака в С, сосредоточенная в точке 0.
В случае когда /(• +Ю) = /(- — ДО), мы имеем dF/dz = 0.
Как уже говорилось, мы покажем в § 4.4, что отсюда следует,
что распределение F задается аналитической функцией. Таким
образом, f является ограничением на Z некоторой аналитиче¬
ской функции в Z U / тогда и только тогда, когда оба эти пре¬
дела совпадают.
Предположения теоремы 3.1.11 нельзя существенно ослабить:


86	3. Дифференцирование и умножение на функции
Теорема 3.1.14. Если функция f аналитична в прямоугольнике Z,
определенном в теореме 3.1.11, и lim /(•-(-iy) существует в
у-> +0
3)'k (I), то для любого интервала J ш I
|f(z)|<C'(Imzr*_1,	z<=Z',
где Z' — произведение J и, скажем, интервала (0, у/2).
Доказательство. Выберем функцию <peCo°(R2). которая равна 1
вблизи Z' и носитель которой лежит в {z; Re z е I, | Im z| < у}-
Пусть £ = £ -f- гт) е Z'. В силу интегральной формулы Коши,
примененной к функции /ф и множеству {z; Imz > Im £/2},
/ (S) = — л-1 ^ f(x + iy) dq> (x, y)jdz (z — £)“' dx dy
+ (2to’)-1	<p(x, r\/2) (x — | — ir\/2)~l f (x + ir\/2)dx.
Из предположения теоремы вытекает наличие равномерной по
0 <. у <. у/2 оценки, выражающей принадлежность распределе¬
ний f(- -{-iy) к 2D'k, поэтому последний интеграл оценивается
величиной
Ci £ sup | ^2 (Ф (л:, п/2) (д: — i — гл/2)-1) | ^С21 т| Г*-1.
1а|<*
Двойной же интеграл просто ограничен по т). Тем самым тео¬
рема доказана.
Теорема 3.1.11 имеет аналог для аналитических функций не¬
скольких переменных:
Теорема 3.1.15. Пусть X — открытое множество в Rrt, Г — откры¬
тый выпуклый конус в Rn и для некоторого у > 0
Z = {2G С"; Re z е X, Im z е Г, | Im z | < у).
Если f — аналитическая функция в Z, такая что
(3.1.16)	|/(z)KC|Imzr"> zgZ,
то /(•+/«/) имеет предел faе3)'"+1 (X) при Г э г/—>-0. Если
f0 = 0,Tof= 0.
Доказательство. Выберем и зафиксируем УеГ с |У|-<у.
Можно считать, что 0 ф. Г, поскольку в противном случае утвер¬
ждение теоремы тривиально; поэтому мы можем подобрать С,
такое что
(3.1.17)	t^C\y + tY\ при уеГ и t> 0.


3.1. Определения и примеры 87
Действительно, достаточно проверить это для t = 1, а в этом
случае надо просто заметить, что —Y ф Г, ибо иначе точка О
принадлежала бы Г. Положим теперь для
(3.1.18)	Ф (х,у)=	£ д\ (x)(iy)a!a\.
| а К ЛГ
Тогда при i/еГи |«/| + | У| < у
(3.1.19)	^ ф (jc) f (х + iy) dx — ^ Ф (х, Y) f (x + iy + iY) dx
+ (N+ 1) f(x + iy + itY) Y, d\(x)(iY)a/a\tNdxdt.
0</<l	| a ] = ЛГ-Н1
Действительно, эта формула, очевидно, инвариантна относи¬
тельно линейных замен переменных, поэтому можно предполо¬
жить, что точка Y лежит на положительной полуоси х\. А тогда
формула (3.1.19) получается применением формулы (3.1.13) при
фиксированных х2	хп с последующим интегрированием по
этим переменным. В силу (3.1.16) и (3.1.17), tN\f(x-{-iy-\-
itY) | ^ С', так что подынтегральное выражение в двойном
интеграле имеет интегрируемую мажоранту. Следовательно,
f( • +it/) сходится в <&'"+' к /0, где
(3.1.20)	</0, ф) = J Ф (х, Y) f (х + iY) dx
+ (N+ 1) f(x + iiY) Z d\(x)(iY)a/a\tNdxdt.
a<t<l	| а | = ЛГ+1
Предположим теперь, что /0 = 0. Возьмем t/еГ, фёСо’(Х)
и образуем
F (w) = 5 ф (х) f(x + wy) dx — 5 Ф (х — Re wy) f(x + i Im wy) dx.
Это аналитическая функция от w при 0<1тау|г/|<у и
|Reaj| \у\ < d, где d — расстояние от supp ф до дХ. Поскольку
fo = 0, то F и все ее производные стремятся к 0, когда 1тю->-0.
Следовательно, F остается аналитической и при |Ret«| \у\ < d,
если при Im w •< 0 положить F = 0. Ввиду единственности ана¬
литического продолжения отсюда следует, что F — 0 тожде¬
ственно. Значит, / = 0 в Z, чем и завершается доказательство.
Замечание. Если /о = 0 на некотором непустом открытом под¬
множестве Х0 в X, то мы по-прежнему получаем, что f(z) — 0
для всех точек zeZ, у которых RezeA0. Следовательно,
/ = ObZh/o = ObI, в случае когда X связно.


88	3. Дифференцирование и умножение на функции
В заключение докажем аналог теоремы 3.1.4 для операции
умножения.
Теорема 3.1.16. Если ие£)'(Х) и Х;и = 0, / = 1	п, то
и — сбо, где с — некоторая постоянная.
Доказательство. Очевидно, что носитель и — в 0. Всякую функ¬
цию ф е С°°(Х) можно по теореме 1.1.9 записать в виде
ф(*) = ф(0)+ £ лг/ф/(лс), ф/еГ,
откуда
и(ф) = ф(0)и(1)+ Z <*/«> Ф/) = Сф(0). .
3.2.	Однородные распределения
Для всякого комплексного числа а с Rea>—1 функция х
на R, заданная формулой
( ха при х > 0,
Х+ (0 при х ^ 0,
локально интегрируема и потому определяет распределение.
(Мы считаем log* вещественным при х > 0, и этим ха одно¬
значно определяется для х > 0.) Ясно, что
(3.2.1)	хх“=х“+1 при Rea> —1,
и по теореме 3.1.3
(3.2.2)	-J^-x“=ax“-1 при Rea>0.
Мы хотим распространить определение дс“ как распределения
на все йеС так, чтобы по возможности сохранялись указан¬
ные свойства. То, что некоторые отклонения от этих свойств все
же неизбежны, видно из того, что при а = 0 левая часть (3.2.2)
равна H'(x)=8q (пример 3.1.2), правая же должна равняться0.
Для ф еС0" (R) функция
00
а-*1а(Ф) = <*“> ф)=$ x<1<f(x)dx
О
аналитична при Re а > —1, поскольку ее дифференциал равен
оо
da ^ ха log хф (х) йх.
о
Далее, (3.2.2) означает, что
(3.2.2/	/д(ф')= — ala_l(q>) при Rea>0, феСГ(К),
+в


3.2. Однородные распределения 89
поэтому при Re а > —1 и любом целом А > О
(3.2.3)	/0(ф) = (-1)‘/а+*(ф'*>)/((а + 1) ••• (a + k)).
Правая часть аналитична в полуплоскости Rea > —А — 1 всюду,
кроме точек —1, —2, ..., —А, где она имеет простые полюсы.
Таким образом, если а не является отрицательным целым чис¬
лом, то мы можем определить /а(ф) с помощью аналитического
продолжения по а, или, эквивалентно, с помощью (3.2.3) при
любом А>—1 — Rea. Ввиду (3.2.3), так полученное 1а будет
распределением порядка =^А. Обозначим его снова через
В полюсе а — —А вычет функции a —/а (ф) равен
Um (a + А)/а.(Ф)=(—1)*/0(ф(*>)/(1-А) ... (-1)=Ф<‘-»(о)/(А-1)!,
a-*~k
так что
(3.2.4)	(a-f k)x% -►(-!)*-'в'*-1)/(й— 1)! при а-*-А.
Вычитая из /а (ф) сингулярную часть, получим при а + А =
е—► О
fa (ф) — Ф(й_1)(0)/((А — 1)! е)
00
= (-1)‘ 5 (хе - 1)ф'4) (*)/((« + 1 -k)...t)dx
О
+ ф1‘-1|(0)(1/((Л— 1 — е) ... (1 — в)) — 1/(А — 1)!)/е
->—■ ^ (log jc)ф(й)(at)dx/(k—1)! + Ф(*-1)(0)
о '
-1)!.
Поэтому положим
00
(3.2.5)	*+4(ф) = — ^ (log дс) фс*> (jc) — 1)!
О	^ ^
+ Ф'*-1>(0)(Х 1//^/(А — 1) !•
Соотношение (3.2.1), или, что то же самое,
(3.2.1)'	<х%, *ф) = (*++1’ ф)
сохраняет силу для всех ae С. Действительно, будучи верным
при Rea>—1, оно ввиду аналитичности продолжения верно
при всяком а, не являющемся отрицательным целым числом,
значения же обеих частей при a = —А получаются устремле¬
нием а к —А после предварительного вычитания члена С/(а + А),
что должно дать одинаковый результат в обеих частях. Также


90	3. Дифференцирование и умножение на функции
и (3.2.2) сохраняет силу, если а не есть отрицательное целое
или 0. Если к — неотрицательное целое число, то, ввиду (3.2.4),
lim {-гг xa,k + кха~Л — lim {a-\-k)xa_rx
a-*-k^ax ^	^	'	a-*--k
= lim (a + k + 1)jc“ =(— 1)*6<*>Ш>
a-*-k-1	+	u '
так что, опуская члены вида Сб<*>/(а + к), которые должны со¬
кратиться, мы получаем
<3.2.2)'	~Sx~x+k = —кх~к~1 + (—l)ft6<0fc>/£!.
Это легко получить и прямо из (3.2.5) простым вычислением.
Изложенные выше рассуждения по существу принадлежат
Марцелю Риссу. Есть более старый способ определения распре¬
деления	восходящий к Адамару и состоящий в том, что
сначала из области интегрирования выбрасывается некоторая
окрестность особой точки 0. А именно, образуем — теперь для
любого не С —
оо
На. е(ф) = ^ (x)dx, <peC|T(R).
8
Предположим, что а не является отрицательным целым числом,
и пусть к— наименьшее целое ^0, такое что £-(-Rea>—1.
Интегрируя по частям к раз и выражая фМ(е) через производ¬
ные от ф в 0 с помощью формулы Тейлора, получим тождество
вида
оо
<3.2.6) На, в (ф) = (-1 )* 5 Ха+к ф<‘> (х )/((а +l)...(a + k))dx
о
ife-1
+ £ A/V<'>(0)ea+1+' + o(l),	е->0.
о
Никаких других разложений вида
Яа>е(ф) = бо+ ZS/e_Jk/ + o(l),	е-*0,
где число членов в сумме конечно и ReXj^O, Х-,ф0, не суще¬
ствует. Действительно, справедлива
Лемма 3.2.1. Если С0, ..., Ск и Xi, ..., Хк— различные комп¬
лексные числа, удовлетворяющие условиям Re X,- ^ 0 и X, ф 0,


3.2. Однородные распределения 91
то соотношение	k
С0+ '£с,е~к1-+0, е—> О,
1
влечёт С0 = ... = Ck = 0.
Доказательство. Допустим сперва, что все %; чисто мнимые. За¬
меним е на ве~* и устремим е к 0 по некоторой последователь¬
ности, такой что е-^ имеет предел — обозначим его у/— Для
каждого /. Тогда | V/1 = 1 и
c0+£c/Y/<rv = o
для всех вещественных t, а значит, и для всех комплексных t.
Когда / оо по мнимой оси, один из членов «подавит» осталь¬
ные, поэтому написанное выше равенство возможно, только если
все С/ = 0. В общем случае, когда шах Re К,- = о> 0, имеем
С,ва-Х1-+ 0,	е->0,
Re
следовательно, все коэффициенты здесь должны быть нулевыми,
чем и завершается доказательство.
Итак, согласно лемме 3.2.1, члены в разложении (3.2.6) с
Rea + l + /^0 однозначно определены, поэтому будет закон¬
ным отбросить эти сингулярные члены и определить конечную
ОО
часть интеграла ^xay{x)dx как
о
00
(—l)ft ^ xa+kq><ft)(x)/((a + 1)... (a + k))dx.
a
Это согласуется с нашим предыдущим определением , q>)
по формуле (3.2.3). В случае когда а — отрицательное целое,
а = —k, используется несколько иная процедура. В этом случае
ОО
Н-ь,г (ф) = 7F=T)T S *-1<P(fc-1) (x)dx
е
ft-2
+ Y, Ф(/)(е)(^ —/—2)!Bl+i~k/(k— 1 )1
О
оо
= - S(log*)&k)Mdx
0
ft-2 ^
+ Y Л/Ф(/)(0)	<p<fc-» (0) + о (1).
+ ф^-'ЧО)
(2 ■//)/<*-
1)!


92	3. Дифференцирование и умножение на функции
Чтобы определить конечную часть, надо отбросить не только
линейные комбинации степеней е-1, с Re А, ^ О, к Ф 0, но также и
некоторое кратное loge. Такое отбрасывание (которое можно
оправдать при помощи соответствующего аналога леммы 3.2.1)
снова дает (3.2.5). Однако понятие конечной части здесь более
тонкое: если заменить е, скажем, на 2е, то она изменится •>!
Функция х% однородна степени а при Rea>—1. Это озна¬
чает, что для t > О
00	00
(*+> ф) = J *вФ М dx = ta ^ xaq> {tx) tdx — ta (jc“, ф^,
о	о
где q>t(x) = t(p(tx). Аналитические продолжения обеих частей
должны совпадать, поэтому
<3.2.7)	ф) =	q>t) при qieC“(R)t
если а не является неотрицательным целым. Если же а — —k,
то, в силу (3.2.5),		 ;
оо
Г* (х~к, q>t) = — log *ф<*> (lx) d (tx)/(k — 1)!
о
+ Ф<‘-‘>(0)
= (xlk, ф) + log t 5 Ф(*> (X)
0
Следовательно,
<3.2.8)	(х~к, <р) = Гк(х;к, Ф/> Ч- log /ф(*_,)(0)/(Л — 1)1,
так что однородность в этом случае частично утрачивается.
Помимо лс“ нам придется также использовать функцию
( 0 при х > О,
1|х |“ при х < О
<Rea>—1). Это — отражение функции относительно на¬
чала координат:
(ха_, 4>) = (ха+, ф), где ф(х) = ф(—х)\
*) Это следует из соотношения log 2е = log 8 + log 2. — Прим, перев.


3.2. Однородные распределения 93
поэтому ясно, что все сказанное по поводу определения при
произвольном комплексном а остается верным и для ха_.
По теореме 3.1.11 функция za, определенная в C\R- как
са log zj где Взята та ветвь log г, которая вещественна при ze R+,
имеет на вещественной оси граничные значения (* + $)“ со
стороны верхней и нижней полуплоскостей соответственно. Ясно,
что при Re а > О
<3.2.9)	(* ± *0Y = ха+ + e±niaxa_.
Но <(х±Ю)°, ф> для всякой пробной функции ф есть целая
.аналитическая функция от а (как предел целых аналитических
функций). Следовательно, (3.2.9) сохраняет силу для любого а,
не являющегося отрицательным целым. При а -► —к, где к — по¬
ложительное целое число, мы получаем, принимая во внимание
<3.2.4) и выкладки, предшествовавшие определению (3.2.5),
х% -(-l)k~%k-l)/((k - 1)!(а+ *))-*;*
а поскольку
етл«а_(_ 1)*(1=рлг(а + /г)4-0(а + £)2) ПРИ a~+—k,
отсюда следует, что при а-*—к
e*niaxa+ + в£-»/((й - l)!(fl + к)) 4= nibf-Vj{k - 1)! ->(-1)* x~k.
В (3.2.9) при —к должно произойти сокращение сингуляр¬
ных членов, и мы приходим к равенству
<3.2.10) (х ± i0)~k = x+k + (-1)* xzk ± ni(— l)fc “ J)!-
Из этого равенства вытекает, в частности, что
<3.2.11) (х + i0)~k — (х — i0)~k = 2ni(-l)k 6{к~1)/(к - 1)!;
это согласуется с примером 3.1.13 (где 6 = 1). Фактически ра¬
венство (3.2.11) для произвольного k получается из того же ра¬
венства для к = 1 дифференцированием, ибо
<3.2.12)	~{х±Ю)а = а(х±Ю)а-К
Арифметическое среднее двух распределений (3.2.10) иногда
обозначают через х~к, так что
<3.2.10)' х~к = ((* + i0)~k + (х- i0)~k)/2 = х+к + (— l)fc xZk.
Из (3.2.12) и того очевидного факта, что лс (лс ± Ю) “ =
(х ± 10) “+1, следует, что
<3.2.12)'	-fj— х~к = — kx~k~1, хх~к = х1~к.


94	3. Дифференцирование и умножение на функции
В силу (3.2.5)
оо
£-Чф) = *^Чф — ф) = — $ log л: (ф' (дс) + ф' (—x))dx
о
Следовательно,
(3.2.13)
= — ^ (log |*|)ф'(*)<**•
— i = -zrl°z 1*1-
Поскольку ф(я) — ф(—х) = 0(х) при х->-0, интегрирование по
частям дает, далее,
х
оо
ф(х) dx/x.
г
Последний предел, в котором «снимается» стягивающаяся к О
симметричная окрестность особой точки, называется интегралом
в смысле главного значения ’>. Таким образом,
(3.2.14)
(х ’, ф) = Пт \
8-*0 . ,4
*1>
Ф (х) dx/x = PV ^ ф (jc) dxjx,
г
Ф GE Со*
Трудности, с которыми мы столкнулись при обсуждении
функции х“, когда а—отрицательное целое, связаны с наличием
множителя а в (3.2.2). Их можно избежать, произведя некую
«перенормировку». Прежде всего заметим, что (3.2.2)' прини¬
мает особенно простой вид, если ф' =—ф, т. е. ц>(х) = е~х. Эта
функция не является функцией с компактным носителем, но она
так быстро убывает на +оо, что доказательство формулы
(3.2.2)' сохраняет для нее силу. Положим
(3.2.15)	Г(а)= \ xa-'e-xdx, Rea>0;
о
в наших прежних обозначениях это 1а-\{ег'). Равенство (3.2.2)'
означает, что
(3.2.16)	Г(а+1) = аГ(а) при Rea>0.
Используя (3.2.16), можно аналитически продолжить Г (а) до
мероморфной функции на С с простыми полюсами в целых чис¬
лах г=:02>, н формула (3.2.16) остается верной всюду вне этих
По-английски principal value. Отсюда обозначение PV $•—Прим, перев.
2) Эта функция называется гамма-функцией. — Прим, перев.


3.2. Однородные распределения 95
полюсов. Вычет в полюсе —k ^ 0 равен
lim (а + £)Г(а) = Пт Г (а + k + 1 )/а (а + 1) • • • (а + k — 1)
a-y-k	a-*-k
Разумеется, это просто (3.2.4) с 6-+ 1 вместо k, примененное к
■е~х. В § 3.4 мы докажем, что
Г (а) Г (1 — а) = я/ sin (яа).
Отсюда следует, что гамма-функция не имеет нулей, а потому
отношение ха+ к Г(а + 1), обозначаемое через х+:
<3.2.17)	Х‘=*‘/Г(а+1), Rea > —1,
аналогично по а при Rea > — 1. Поскольку (3.2.2)' в сочетании
-с (3.2.16) дает
<3.2.2)'"	%а+ (ф') = — Х+~‘ (ф).
*го ясно, что х“ можно аналитически продолжить на все аеС,
причем е?х+/^* = Х+-1- Замечая, что %°+ = Н, получаем
<3.2.17)'	Х+к = Ь{йк~и, k—\, 2
Теперь перенесем некоторые из полученных результатов на
случай Rn. Прежде всего заметим, что если функция
и е Lioc (Rn \ О) однородна степени а, т. е. u{tx)~ t“u(x) при
х ф 0 и t > 0, то
<3.2.18)	(и, <p) = ta(u, ф;) при ф е С“ (Rn \ О),
Ф* (х) = tnq> (tx), t > О,
я обратно, из этого соотношения вытекает, что и однородна.
Если Rea > —п, то и интегрируема в некоторой окрестности О,
так как в полярных координатах (х=г(о, | ш | = 1) мы имеем
[ и (т) | = rRea | и (to) [, dx = rn~ldrdсо,
где diо — поверхностная мера на единичной сфере. В этом слу¬
чае и задает распределение в R“ и соотношение (3.2.18) спра¬
ведливо для всех ф е Со° (Rn)-
Определение 3.2.2. Распределение и в Rn\0 называется одно¬
родным степени а, если для него выполняется (3.2.18). Если и
является распределением в R“ и (3.2.18) выполняется для всех
<реС“ (Rn), то говорят, что и однородно степени а в Rn.
Проблема, которую мы сейчас хотим обсудить, — это про¬
должение однородных распределений с Rra\0 на Rra; как мы


96	3. Дифференцирование и умножение на функции
знаем из случая и= 1, такое продолжение не всегда возможно.
Прежде всего представим соотношение (3.2.18) в другом виде.
Продифференцируем его по t, опираясь на теорему 2.1.3, и поло¬
жим t = 1. Это даст
(3.2.19)	{а + п)(и, ф) + (ц, A<p) = 0, <peCo°(Rra \0),
где к = Xjdj — радиальное векторное поле. Докажем, что из
(3.2.19)	вытекает, что
оо
(3.2.20)	и(ф) = 0, если ф<=С|Г(Рп\0) и $ ra+n"l^(rx) dr=0;
о
поскольку последний интеграл — однородная функция от х сте¬
пени —а — п, можно считать в этом интеграле |дс|=1. Импли¬
кация (3.2.19)=^ (3.2.20) будет установлена, если мы покажем,
что уравнение
(а + п) ф + Аф = ф
имеет решение q>eC“(R"\0). В полярных координатах это
уравнение запишется в виде
(ra+ntp (г©)) = ф (г©) га+п~1.
Поэтому то решение, которое равно нулю при малых г, будет
равно нулю и при всех достаточно больших г. Тем самым тре¬
буемая импликация доказана, а поскольку
ОО
5 га+п~1 (ф (г*) - f+nф (rtx)) dr = 0, ф е= Са (Rn \ 0),
о
мы видим, что соотношения (3.2.18) — (3.2.20) равносильны. За¬
мечая, что
(и, Яф)= £{*/«, д/ф> = — £(<?/*/«, ф> = — (ки, ф) — п(и, ф),
мы можем, далее, переписать (3.2.19) в виде
(3.2.19)'	ки = аи
(тождество Эйлера для однородных «функций»). В частности,
применяя следствие 3.1.5, мы заключаем, что однородные рас¬
пределения' в случае п = 1 —это просто кратные [х|а на каждой
полуоси. Ясно также, что если ф— однородная С”-функция на
Rn\0 степени Ъ, то фц однородно степени а-\- Ь. Так как
кд,и = д/ки — djU = (а — 1)д/и,
дифференцирование понижает степень однородности на единицу.


3.2. Однородные распределения 97
Теорема 3.2.3. Пусть и	однородно степени а. Если а
не является целым числом ^ —п, то и обладает единственным
продолжением « е (Rn), однородным степени а. Для всякого
однородного многочлена Р имеет место равенство (Ри)* = Рй; ес¬
ли аф 1 —п, то (djU)' — д]й. Отображение
(Rn \0)э«->йе^(Rra)
непрерывно.
Доказательство, а) Единственность. Разность двух однородных
продолжений есть распределение с носителем в 0 и, следова¬
тельно, представляет собой линейную комбинацию производных
от б0. Но да8о однородно степени —п — |а|, поскольку
<а°б0, Ф<> = f+lal(да60, ф>, феСо (Rn),
так что всякое однородное распределение с носителем в 0 обя¬
зательно является однородным целой степени ^я.
Ь)	Существование. Если и — функция и <реС“ (Rn \ 0), то
ОО
(и, ф)=^	^ и (со) гв+п-1ф(гю)^г й®.
О | т
Это наводит на мысль, что для произвольной функции ф е
С" (R”) стоит ввести
(3.2.21)	ФЙ,	Rrt.
Из (3.2.7) следует, что Ra<f> — однородная функция степени
—п — а. В силу теоремы 2.1.3, Ra есть непрерывное отображе¬
ние из Со (К) в С°° (Rn \ 0) для каждого компактного множе¬
ства KcR“.
Выберем и зафиксируем функцию феС" (Rn \ 0), такую что
00
(3.2.22)	J ф (tx) dt/t = 1, хф 0.
о
Например, в качестве ф(х) можно взять функцию, зависящую
только от |лс|, для которой (3.2.22) выполняется для какого-
нибудь одного х. Тогда ф/?вф ^ С“ (Rn \ 0) и
ОО
Ra Wa4>) (X) = J /а+П"‘ф {tx) (ЯоФ) ((х) dt
О
оо
= (Я аф) (*) J Ф (tx) dt/t = (tf аф) (х).
о
7 З&к. *21


98	3. Дифференцирование и умножение на функции
Из (3.2.20) вытекает поэтому, что «(фЯаф) при любых <р не
зависит от выбора ф и что ы(ф/?аф) = ы(ф) при феС“ (Rn \ 0)_
Таким образом, формула
(3.2.23)	(й, ф> = (и, фЯвф>, ф е=СГ (Rn),
определяет распределение « в Rn, являющееся продолжением и.
Отображение «-»-«, очевидно, непрерывно. Поскольку
(/?вф<) W = {Л+п~\ Лр Ш) = tn~X~{a+n~X)Ra4> (jc) = t-RmФ (х).
снова в силу (3.2.7), то («, ф*> = t~a («, ф), так что « однородно.
Наконец, заметим, что (Ри)* — Рй и (<?/«)' — dfii суть одно¬
родные распределения степени а + deg Р и а — 1 соответствен¬
но, имеющие носитель в 0, а потому они должны равняться нулю
ввиду наших предположений. Тем самым доказательство тео¬
ремы завершено.
Формула (3.2.23) определяет продолжение « распределения
«ив случае, когда а есть целое число —п — k ^ —п, но в этом
случае продолжение может уже зависеть от выбора ф. Далее,
ы может оказаться неоднородным. Действительно, в силу (3.2.8),
(/г_„_»Ф<)(дс) = <г;‘-1, tnq>(trx))
= f»»-i+fc+i^r-k-it v(r*))_log/ ±_q,(rx)/fcl|^ J
= ^+n (R-n-kq (x) — log (x)),
где Ф* — однородная часть степени k тейлорова разложения для
ф. Следовательно,
(3.2.24)	<«, ф) = Гк~п («, ф,) + log t У («, х“ф)<?аф(0)/а!.
I аТ=к
Любое другое продолжение и имеет вид U = й + У aada60, где
сумма распространяется на конечное число слагаемых. Замена
ы на U не изменяет логарифмического члена в (3.2.24), а приво¬
дит лишь к появлению нового члена
£(l-*la|-ft)
который будет равен нулю, если aa = 0 при |а|ФИ. Таким об¬
разом, ослабленное свойство однородности (3.2.24) улучшить
нельзя. В частности, мы получаем, что однородное продолжение
существует тогда и только тогда, когда
(3.2.25)	(«, х“ф) = 0 при [ а | = /г = —п — а.
о Через deg Р обозначается степень многочлена Р. — Прим, перев.


3.2. Однородные распределения 99
То что (3.2.25) не зависит от выбора ф, ясно из предыдущего
результата, но в этом можно убедиться еще н так. Если v — од¬
нородное распределение степени —п в Rn\0, то о (if) ввиду
(3.2.20)	не зависит от выбора функции ф, удовлетворяющей
условию (3.2.22), поэтому мы можем положить
для таких ф. В случае когда о — непрерывная функция, полу¬
чаем, вводя полярные координаты,
т. е. S(o) есть интеграл от о по единичной сфере. (В действи¬
тельности евклидова метрика здесь ни при чем, с равным успе¬
хом можно было бы проинтегрировать кронекерову форму
£(—1)/_1 v(x)x/dxiA ... AdXf^Adxj+iA ... Лdxn
по границе любой С*-гладкой окрестности точки 0.) Распределе¬
ние хаи в условии (3.2.25) как раз однородно степени —п, а по¬
тому мы можем записать это условие в виде
(3.2.25)' S (*“«) = 0 при |a| + deg« = — п.
Мы можем также переписать (3.2.24) следующим образом:
(3.2.24)'	(й, <р) = Гк~п (й, ф,) + log t £ S (xau) da<f (0)/a!.
lal=ft
Заметим, что если и однородно степени а и а не есть целое
число ^—п, то (3.2.23) можно записать в виде
(3.2.23/	<й, Ф) = 5 М«Ф) = S(u (ta++n~\ Ф (*•)», Ф^Со~ (R“),
поскольку uRatf в этом случае однородно степени а — п — а =
—п. Однако когда а = —п — k является целым числом ^—п,
то (3.2.23) зависит от выбора ф. Наш выбор й с фиксированной
функцией ф гарантирует, что
для всякого однородного многочлена Р. Действительно, если сте¬
пень Р равна яг, то
'	P{tx)<f(tx))=±P(x), ф(**)>
(в силу (3.2.1)'), а значит,
(Рй, ф) = (й, Рф> = («, ф(Р_„_*Рф))-=<Ц, фРР-n+m-SФ>
— <Ры, ФР_п+т_,ьФ) = ((Р«)'> Ф>-
S(v) = (v, ф)
(3.2.26)
(.Ры)' = Р«
7*


100	3. Дифференцирование и умножение на функции
Условие (3.2.25) автоматически выполняется в случае одно¬
родного и степени а = —п — к, где к — целое ^0, если и имеет
четность, противоположную четности k. Под этим мы понимаем,
что вместо (3.2.18) имеет место более сильное соотношение
(3.2.18)'	(и, ф) — sgn t • f (и, (ft) при <peC"(Rn\0),
<ft(x) = in<f(tx),
для любого	Разумеется, достаточно предполагать, что в
дополнение к (3.2.18) выполнено (3.2.18)' при t — —1. В случае
когда и — функция, (3.2.18)' означает при t = —1, что
^ы(*)ф(л:)Лс=(— 1)1+а+п ^ и(*)ф(—x)dx=(—1)1+<! ^ы(—x)(f(x)dx,
т. е. что «(*) = (—1)‘+1«(—я).
Из (3.2.18)' всегда следует (3.2.25). Действительно, если
функция ф четна и удовлетворяет условию (3.2.22), а ф(х) =
(дс), \а\ —k, то ф_1=(—1)п+*ф = (—1)аф, так что (3.2.18)'
дает <ы, ф> = —<«, ф>, т. е. <«, ф> = 0. Таким образом, и допу¬
скает однородное продолжение. Мы утверждаем, что существует
единственное продолжение ы, удовлетворяющее (3.2.18)' при
всех ф е Co°(Rra), и что это продолжение задается формулой
(3.2.23)" <«, (f) = S{u(e+n~\ ф(1*)>/2),	V6=C0”(R").
Здесь ta+n~l определяется формулой (3.2.10)'. Единственность
очевидна, ибо если | а | = к, то
(да60, <f) = rk-n(da\, (ft),
а потому обычная неопределенная часть продолжения имеет не¬
подходящую четность. Из второго равенства в (3.2.10)' следует,
что функция <^+п-1, ф(^-)> в правой части (3.2.23)" равна (на¬
помним, что а + п — —к)
(гк~\ ф(*.)) = <*;‘-‘, Ф(/.) + (-1)*'‘ф(-/•))•
Поэтому если U — продолжение распределения и, определенное
формулой (3.2.23), то (3.2.23)" означает, что
2(й, ф> = (U, Ф) + (-l)ft+n"1 (U, ф_!>, tpе=Со”(Rn).
Следовательно, (3.2.23)" действительно задает распределение.
В случае когда ф е C”(Rra \ о), правая часть последнего равен¬
ства в силу (3.2.18)' равняется 2<С, ф>, так что й = и в Rn\0.
Наконец, (3.2.18)' с и, замененным на й, справедливо для всех
феС“ (Rn) и t = — 1, поскольку
2 (И, Ф_!> — ((/, Ф-1> + (-1)‘+“_,<У. ф> = 2 (—1)й+п-1 <ц, ф>.
В итоге мы доказали следующий результат:


3.2. Однородные распределения 101
Теорема 3.2.4. Всякое распределение ueS5'(Rn\0), однородное
целой степени а = —п — k ^ —п, допускает продолжение
й е &'(Rn), удовлетворяющее (3.2.24)'. Этим требованием й
определяется однозначно с точностью до линейной комбинации
производных порядка k от 60. Возможен согласованный выбор
продолжений, при котором (3.2.26) выполняется для всякого
однородного многочлена Р. Однородное продолжение существует
тогда и только тогда, когда справедливо (3.2.25)'. Если и удов¬
летворяет (3.2.18)', то существует единственное продолжение й,
удовлетворяющее тому же условию при всех фе CS°(Rn). Оно
задается формулой (3.2.23)".
Замечание. В случае когда и однородно целой степени а=—п—
k>—п и удовлетворяет (3.2.18)', его единственное однородное
продолжение также задается формулой (3.2.23)".
Мы воздержимся от обсуждения разности д<й — (<?/ы)* в об¬
щем случае, так как она зависит от выбора ф. Укажем, однако,
один полезный случай, когда ф не играет роли:
Теорема 3.2.5. Пусть щ, ..., ип е^'(R^XO) все однородны сте¬
пени 1 —п в Rn\0 и удовлетворяют там условию £ д,и, = 0. То¬
гда
£ djUj = с60, с = X 5 (и/ф/),
где ф/(дс) = *//|jt|2 (|*| обозначает евклидову метрику).
Доказательство. Мы знаем, что распределение	однородно
степени —п и имеет носитель в 0; поэтому 2	= с60 при не¬
которой постоянной с. Если q>eCo°(Rn) и ф(0) = 1, то
с = Z Ф> = — £ <«/» д/Ф>-
Выберем ф(*) = х( 1*1 )> где xeCo"(R) и х=1 вблизи 0. Тогда
— <5/ф = ф, (*) ф (*), ф (*) = — %' (| х |) | х |,
а поскольку
00	00	. <•
$ ф (tx)dt/t = — ^ %'{t\ *|)| x\dt= 1, х ф О,
0	0
то условие (3.2.22) выполнено, так что *> —<«/, <?/ф> = S (ф/«/)
по определению S.
Точку над И/ можно не ставить, так как е С“ (Rn \ 0).— Прим.
перев.


102	3. Дифференцирование н умножение на функции
3.3.	Некоторые фундаментальные решения
Как мы видели в § 3.1, интегральная формула Коши тесно свя¬
зана с тем фактом, что дЕ/дг = бо для Е = \/пг. Интегрирова¬
ние (взятие первообразной) функции на R есть не что иное, как
взятие ее свертки с функцией Хевисайда Я, a dH/dx = во. Это —
два примера фундаментальных решений:
Определение 3.3.1. Распределение Е^2>'{ R") называется фун¬
даментальным решением для дифференциального оператора
Р=£аада с постоянными (комплексными) коэффициентами,
если РЕ = б0.
Фундаментальные решения играют весьма важную роль при
исследовании вопросов существования и регулярности решений
дифференциальных уравнений. Такие приложения будут обсуж¬
дены в § 4.3, после того как мы изучим понятие свертки распре¬
делений. Там нам будет удобно иметь в своем распоряжении
некоторые примеры фундаментальных решений, которые мы сей¬
час и представим.
Теорема 3.3.2. Положим для х е
где \х\ обозначает евклидову норму, а сп — площадь единичной
сферы. Обобщенная производная д;Ё задается локально инте¬
грируемой функцией xi\x\~n/cn, и
по формуле Гаусса. Поверхностный интеграл есть 0(e) при
п >2 и 0(elog(l/e)) при п = 2, поэтому предел в правой части
равен 0. Таким образом, д/Е задается локально интегрируемой
функцией djE (х) (для п> 2 это следует также' из теоремы
3.2.3). При Хт4=0
(2я) 1 log | х |	при п — 2,
— | х \2~п/(п — 2) сп при п>2,
Доказательство. Для ipeC"(R")
А Е (х) = (п\хГ-'£пх]\хГп-2)/сп = 0.


3.3. Некоторые фундаментальные решения 103
Следовательно, в силу теоремы 3.2.5 и того факта, что s(Z*?/
\х\п+2сп) = \,
Л£= £^£=60.
К этому заключению можно было бы прийти и без привлечения
теоремы 3.2.5:
(Д£, <р> = (Е, Дф) = lim ( (£Дф — фЛ£) dx
в-М). У
X |> е
= lim \ div (Е grad Ф — Ф grad Е) dx
= lim ^ ^grad£ — £,gradф, x/\x\)dS— <р(0).
У
Х\ «6
Заметим, что при п = 2 мы имеем Д =Ад2/дгдг и
4дЕ/dz = z/| z |2 я = 1/яг,
так что мы возвращаемся к нашему старому результату
д(1/яг)/дг = Ь0.
Рассмотрим теперь уравнение теплопроводности в R"+1.
Теорема 3.3.3. Обозначим переменные в Rn+I через (х, t)e Rn
X R и положим	*
((4я/)~ п>2 ехр (— | х |2/4/) при i > 0,
Е(х, 0 = |0	при t^Q
Функция Е локально интегрируема в R“+l, £eCoo(R'l+1\0), u.
(3.3.2)	(dfdt — Ax)E = 60.
Доказательство. To, что E принадлежит классу С°° на Rrt+1\0,
вытекает из следствия 1.1.2, как и в тесно примыкающем сюда
примере 1.1.3. В силу приводимой ниже формулы (3.4.1)" ин¬
теграл от Е(х, t) по х равен 1 при каждом t> 0, поэтому Е
локально интегрируема и задает распределение. При t > 0
дЕ/дх, = —x,E/2t, Д ХЕ = -nEj2t + \xf E/4fi = dEfdt\
следовательно, (d/dt — ДХ)Е имеет носитель в 0. ДляфеС*
((d/dt — Ах) Е, Ф> = — (Е, дф/д/ + Axq>)
= Нш \ — Е(х, t) (dq>/dt + Дхф) dx dt = Нш [ Е {х, е)ф(х, e)dx
e->0f	е->0 J
—lim\£(x, 1)ф(д/8*» в)Жг = ф(0)
£->0 J
по теореме о мажорируемой сходимости. Теорема доказана.


104	3. Дифференцирование и умножение на функции
Теперь мы хотим рассмотреть тесно связанный с предыду¬
щим оператором оператор Шрёдингера id/dt -)- Д* или, более
общим образом, операторы вида
(3.3.2)'	L = d/dt — У A;bdjdk,
/.*=1
где симметричная матрица Л=(Л/*) постоянна и det Л =7^0. По
аналогии с теоремой 3.3.3 будем искать решение в виде
Е(х, t) = ct~nl2exp(—(Bx, x)/t)
при t > 0, где В — другая симметричная матрица. Имеем
д,Е — -2Е (Bx),/t, dfikE = -2EB„Jt + 4 Е (Вх), (Bx)Jf,
LE = (2 tr BA - n/2) E/t + ((Bx, x) - 4 (ABx, Bx)) E/f.
Чтобы последнее выражение равнялось нулю, надо выбрать В
так, чтобы 4ВАВ — В, т. е. В — А~1/4- Поскольку Е экспонен¬
циально возрастает при f-»-+0, если только не выполнено усло¬
вие Re В 5s О1*, мы должны принять это условие.-Но Rе<£х, *>
— Re(Ay, уУ, если х = 2Ау, следовательно, это равносильно
предположению, что Re Л 5s 0. Однако и тогда мы не обяза¬
тельно получим локально интегрируемую функцию при п> 1;
в связи с этим нам понадобится следующая
Теорема 3.3.4. Если В — симметричная невырожденная матрица
с Re Я 55 0, го
(3,3.3)	(niyn,2(detB)ll2^e~lBx’Xilt<p(x)dx-*<p(0) при /-*+0
для всех qpеСо°(R"). Для любого четного целого k^n
(3.3.4) Гп/2|$е-чв*-*М*)Жс|<С* £ ($ |д“ф|dx + supW).
Ial<fc
Здесь (det В)1?2 определяется, как объяснено в § 3.4.
Отложим на минуту доказательство теоремы и дадим ее не
медленное следствие:
Теорема 3.3.5. Пусть А — симметричная п X п-матрица с Re А 5= 0
и det Л ф 0. Тогда формула
(3.3.5)	(Е, ф>= J (4n0"n/2(det A)~mdt ($ е~{А~'х’	t) dx) ,
о
Напомним, что матрица Re А, получаемая взятием вещественных ча¬
стей у всех элементов матрицы А, в случае симметричной матрицы А удов¬
летворяет соотношению <(Rei4)x, х> = Re<4x, х), х 9Е С". — Прим, перев.


3.3. Некоторые фундаментальные решения 103
(реСо“(Rn+1), задает распределение в Rn+l порядка<л+1 и
(3.3.6)	LE — 60,
где L — оператор, определенный формулой (3.3.2)'.
Доказательство этой теоремы получается очевидной моди¬
фикацией доказательства теоремы 3.3.3, если иметь в распоря¬
жении теорему 3.3.4. Поэтому мы предоставим доказать ее чи¬
тателю, а сами перейдем к главному шагу в доказательстве
теоремы 3.3.4.
Лемма 3.3.6. Пусть В удовлетворяет предположениям теоремы
3.3.4. Тогда
(3.3.7)	Ке_<Вдс>х>/<ф(лг)^|<С/ У N (<3aq>), q> €= Cl’ (Rn),
|1|<2/
если d®q>(0) = 0 при |а|<2/. Здесь / = 0, 1, .... 0 < t < 1 и
N (ф) = sup | ф | + $ | ф | йх.
Доказательство. Для j — 0 оценка (3.3.7) очевидна, поэтому
предположим, что / > 0 и что для всех меньших значений / наша
оценка уже доказана. Мы можем записать функцию ф в виде
П
Ф (*) = Е xk4>k (х),
1
где ф*«=Со'“‘, <?“фй(0) = 0 при | а | + 1 < 2; и
N(daq>k)^C S М(йаф).
1а|<2/
Действительно, при | х | > 1/2 мозшаЛшло бы взять ф^ = лглф/| х f,
а при | х | < 1 — использовать функций4^, даваемые теоремой
1.1.9. Если	имеет носитель р единичном шаре и %(х)= 1
при |х|< 1/2, то функции
Ф* (х) — X (х) ф|(х) + (1 — зс (х)) ф^ (х)
будут обладать требуемыми свойствами. Полагая
имеем
Xk= Е С kid (Bx, x)/dxi,
I
С = в-1/ 2,
так что интегрирование по частям дает
jj е~<Вх’ x)i* xk(fk (х) dx — t ^ Cki ^ е~{Вх' x),t д(рк[дх, dx.
i


106	3. Дифференцирование и умножение на функции
Поскольку d(fk/dxi удовлетворяют условиям леммы с /, заменен¬
ным на /—1, справедливость оценки (3.3.7) вытекает теперь из
предположения индукции.
Доказательство теоремы 3.3.4. Прежде всего заметим, что до¬
казательство оценки (3.3.7) проходит и для всех тех <р е С2>,
у которых носитель не обязательно компактен, но производные
быстро стремятся к 0 на оо. В частности, она верна для таких
функций, как ехр(—<Ял:, х>), где Я— диагональная матрица с
положительными диагональными элементами Я/. В силу (3.4.1)"
$ е~<Вх- xVte~{U’ *>dx = (Ш)ф (det (В +
Дифференцируя это равенство соответствующее число раз по
соответствующим Я/ и полагая затем Я/ = 1, получаем
-	Je-<^.^/WU|2dx = o(r/2+|a|),	/->0,
(ntynl2^e~{Bx-x>lte'[x]2dx->(detBym, t-> 0.
Кроме того,
xWxae-\x\*dx = 0, если хотя бы одно из ay нечетно.
Запишем теперь функцию ср из теоремы 3.3.4 в виде
ф(х) = Г(х)е-|;с12 + ф(д;),
где Г — многочлен степени k — 1, а ф имеет в точке 0 нуль по¬
рядка k. Это означает просто, что Г — тейлоров многочлен для
ф(*)е,де,\ Так как
ЛГ(даф)<С £ N (даф)
1«К* .
и коэффициенты Г оцениваются через производные ф в 0, оценка
(3.3.4)	вытекает из (3.3.7) с 2j=k и ф, замененной на ф. Ис¬
пользуя тейлоров многочлен степени k + 2, а не k — 1, приходим
к (3.3.3).
Как мы увидим в гл. 7, предыдущие результаты легче полу¬
чить с помощью преобразования Фурье.
3.4.	Вычисление некоторых интегралов
Чтобы не прерывать основную линию изложения, мы отложили
некоторые элементарные вычисления до этого параграфа. Суть


3.4. Вычисление некоторых интегралов 107
дела состоит в изучении интеграла
^ dx
чп
где | х р = х\ + ...-{- х2п. Если обозначить площадь единичной
сферы S'1-1 с R" через сп, то, вводя полярные координаты, мы
получаем
e-ry„-iCf| dr = (сп/2) J	dt = фà (п/2)12.
о
При п — 2 правая часть равна я, так что
оо
(3.4.1)	$ e~vdt=nW,
откуда следует, что в общем случае
(3.4.2)	с„ = 2я»/2/Г(п/2).
При /1 = 3 это дает 4я =2я3/2/Г(3/2); следовательно, 2Г (3/2)
= я1/2, или
(3.4.3)	Г (1/2) == я1/2.
Таким образом,
(3.4.4)	с2п — 2пп1(п — 1)!,	c2„+1 = 2'l+V/((2ft^l)...3-1).
Объем Сп единичного шара в R" равен сп/п, что видно, напри¬
мер, из формулы Гаусса, примененной к радиальному вектор¬
ному полю х. Следовательно,
(3.4.5)	С2„ = я7«!, С2„+1=2п+1я7((2/г+1)(2п-1)...3. И-
Из (3.4.1) с помощью замены переменной получаем
00
(3.4.1)7	J e~aPdt = (n/a)m, а > 0.
Более общо, если А — симметричная положительно определен¬
ная «X «-матрица, то
(3.4.1)"	J g-o4*. за dx = яп/2 (det Л)~1/2.
R"
Это немедленно следует из (3.4.1)', когда А диагональна, а мы
всегда можем привести А к диагональному виду ортогональным


108	3. Дифференцирование и умножение на функции
преобразованием. Далее, множество Я, состоящее из всех сим¬
метричных матриц Л, для которых матрица Re Л положительно
определена, есть открытое выпуклое множество в «(«-}-1)/2-
мерном комплексном векторном пространстве симметричных
п X «-матриц. Если А е Я, то det А ф 0, поскольку Ах = О,
х е С.п, влечет
0 = Re<i4x, ^) = ((ReA)je, х), а значит, х = 0.
Так как Я выпукло, имеется единственная аналитическая ветвь
функции Яэ /f-»-(det Л)1/2, такая что (det Л)1/2 > 0 для веще¬
ственных Л. Но обе части (3.4.1)" аналитичны по ЛеЯ, по¬
этому мы заключаем, что (3.4.1)" справедливо для всех ЛеЯ.
По непрерывности квадратный корень (detЛ)1/2 однозначно
определен и для Л, принадлежащих замыканию Я. Действи¬
тельно, если det Л Ф 0, то мы имеем две аналитические ветви
этого квадратного корня в окрестности Л, лишь одна из кото¬
рых согласуется с определением, выбранным в Я. Вычислим
(det Л)1/2 для случая, когда A=iB есть чисто мнимая невы¬
рожденная матрица. При этом вычислении мы можем считать
матрицу В диагональной, ибо вещественное ортогональное пре¬
образование не изменяет значения (deM)I/2 для ЛеЯ, раз
оно не изменяет его для вещественных Л. Итак, предположим,
что (Вх, х) — X bjx), где все bt ф 0. Тогда
и то значение нашего квадратного корня, которое положительно,
когда все Ь,- равны нулю, имеет аргумент
где каждое слагаемое заключено между —я/2 и я/2. При е 0
эта величина стремится к
Сумма	называется сигнатурой sgn В матрицы В. Та¬
ким образом, мы доказали, что
Изредка нам придется также использовать некоторые свой¬
ства гамма-функции. Прежде всего заметим, что для любых
а > 0 и b > 0
det (iB + е/) = П (е + #/)*
YXarg(e + i6y).
(3.4.6)	(det (iB))1/2 = | det В |1/2 ехр (я£ (sgn В)/4).
(3.4.7)
х+~1 *
= В (а, Ь)ха+Ь~\


Примечания 109
где
1
(3.4.8)	В {a, b)=^f~'l(l — t)b~ldt.
о
Функция £(•, •) называется бета-функцией. Взяв скалярное
произведение обеих частей (3.4.7) с функцией е~\ получаем в
силу определения гамма-функции
Г(а)Г(й) = В(а, й)Г(а + й),
т. е.
(3.4.9)	В (a, b) = Y(a)Y(b)/Y(a + b).
Поэтому, используя обозначение (3.2.17), можно переписать ра¬
венство (3.4.7) в виде
(3.4.10)	3C+_I*3C+_I = X“+6_I.
В силу единственности аналитического продолжения это равен¬
ство окажется справедливым для всед вообще a, b е 1C', после
того как в § 4.2 будет определено понятие свертки распре¬
делений.
Произведя замену ^=l/(l-f-s), получим при 0 < а < 1
1	ОО
В (а, 1 -а)= $ /0_1(1 -tyadt= $s'°(l +s)~lds.
о	о
Интегрируя s-a/(l+s) как функцию на С с разрезбм вдоль
R+ сначала от R — ДО до 0, затем от 0 до R + ДО и наконец по
окружности |s| = /? от i? + i0 до R— ДО, приходим, положив
R-+00, к равенству
В (а, 1 — а) (1 — е_2я*°) = 2те-я<в,
которое можно переписать в виде
(3.4.11)	Г (а) Г (1 —а) = В(а, 1 - а) = я/sin (ла).
В силу аналитического продолжения это равенство справедливо
для любых нецелых а.
Примечания
В § 3.1 мы просто переписали ряд основных фактов веществен¬
ного и комплексного анализа на языке теории распределений.
Обсуждение граничных значений аналитических функций будет
продолжено в гл. 8, где это понятие играет важную роль. Про¬
веденное в § 3.2 исследование функции восходит к Адамару


НО 3. Дифференцирование и умножение на функции
(Hadamard [1]) и Марцелю Риссу (М. Riesz [1]). Однородные
распределения от нескольких переменных также впервые были
рассмотрены ими. Такие распределения были весьма обстоя¬
тельно изучены Гельфандом и Шиловым [2]. Читатель может
найти в их книге дополнительные сведения и примеры. Мате¬
риал § 3.3 и 3.4 тоже вполне классический. По поводу доказа¬
тельства того факта, что произведение распределений, обла¬
дающее разумными алгебраическими свойствами, не всегда
можно определить, отсылаем читателя к статье Schwartz [3].


4
Свертка
Краткое содержание главы
В § 1.3 мы определили свертку и\ * и2 двух непрерывных функ¬
ций «1 и и2, одна из которых имеет компактный носитель. Это
определение применимо без изменений к случаю, когда и\ е ЗУ
(coqtb. S'), а и2 еС” (соотв. С°°); при этом Ui*U2^C°°‘ Рас¬
смотрению таких сверток посвящен §4.1. Как и в случае функций,
свертка дает эффективный метод приближения распределении
С°°-функциями. Часто с его помощью удается распространить
утверждения о гладких функциях на случай распределений, осо¬
бенно когда речь идет о вопросах, где имеется инвариантность
относительно сдвигов. В качестве иллюстрации этого положения
в § 4.1 проводится обсуждение выпуклых, субгармонических и
плюрисубгармонйческих функций.
В § 4.2 дается определение свертки двух распределений,
у одного из которых носитель компактен. Свертка определяется
так, чтобы сохранялась ассоциативность:
(«! * и2) * ф — «1 * («2 * ф)»	Ф^С”.
Легко проверяется, что при этом
supp (и{ * и2) a supp «! + supp «2-
Параграф 4.3 посвящен доказательству теоремы о носителях,
утверждающей, что в случае, когда у обоих распределений и\
и и2 носитель компактен, знак включения можно заменить зна¬
ком равенства, если взять выпуклые оболочки носителей. Стан¬
дартные доказательства этого факта опираются на теорию ана¬
литических функций, и мы рассмотрим их позднее. Поэтому чи¬
татель может не разбирать конец доказательства теоремы 4.3.3,
а подождать до § 7.3.
Цель § 4.4 — представить основные методы, используемые
при выводе результатов о существовании и гладкости решений
дифференциальных уравнений в частных производных с
постоянными коэффициентами из свойств соответствующего


112	4. Свертка
фундаментального решения. Это — важное приложение теории
свертки. Заключительный § 4.5 посвящен ^-оценкам для свер¬
ток. Помимо оценок, связанных с неравенством Гёльдера, мы
доказываем потенциальные оценки типа Харди — Литтлвуда —
Соболева и устанавливаем с их помощью связь между ^-клас¬
сами (или гёльдеровскими классами) данной функции и ее про¬
изводных. Эти оценки особенно важны при изучении эллипти¬
ческих дифференциальных уравнений. Мы дополним их в § 7.9,
когда будем иметь в своем распоряжении анализ Фурье.
4.1.	Свертка с гладкой функцией
Свертка и * <р распределения «ей)'( R") и функции qp е С” (R“)
определяется формулой
(и*ф)(х) = и(ф(х — •)),
где правая часть обозначает результат применения и к ф (х — у)
как функции от у. В случае когда и — непрерывная функция,
это определение, очевидно, совпадает с нашим прежним опре¬
делением (1.3.1), и свойства свертки, установленные в § 1.3,
сохраняют силу и для распределений:
Теорема 4.1.1. Если «ей)' (R”) и феСГ(R"), то a*ipeC"(R”)
и
(4.1.1)	supp (и * ф) с supp и "4* supp ф.
Для любого мультииндекса а
(4.1.2)	да(и *ф) = (даи) *ф = и * (д“ф).
Доказательство. Из теоремы 2.1.3 следует, что ияреС* и
д“ (м * ф) = и * д“ф.
Этим доказано (4.1.2), ибо второе равенство в (4.1.2) непосред¬
ственно вытекает из определения даи. Что касается (4.1.1), то
заметим, что и * ф (х) может быть отлично от нуля, только если
х — у s supp ф для некоторого у е supp и, а это означает, что
х е supp и + supp ф. Последняя сумма есть замкнутое множе¬
ство, поскольку носитель ф компактен. Теорема доказана.
Говорить о коммутативности свертки в данном асимметрич¬
ном контексте не приходится, но имеет место важная ассоциа¬
тивность:


4.1. Свертка с гладкой функцией 113
Теорема 4.1.2. Если «е^5'(Кя) и <р, феСо°(Кп)> то
(и * ф) * ф = и * (ф * ф).
Это — простое следствие приводимой ниже леммы.
Лемма 4.1.3. Если q> е Со (Rn) и if е Со (R'1), то римановы суммы
(4.1.3)	^ ф (х — kh) hny$ (kh)
IeZ"
сходятся к q *0p(x) в Со при h->0.
Доказательство. Носитель суммы (4.1.3) содержится в компакт¬
ном множестве supp ф + supp ф. Поскольку функция (х,у)->-
ф (•* — У) Ф (у) равномерно непрерывна, сумма (4.1.3) равномерно
сходится к ф*ф(х) при h-*-6. Дифференцируя эту сумму соот¬
ветствующее число раз, получим то же утверждение для произ¬
водных, поскольку д®(ф*ф) = (д“ф)*ф при |а|^/. Тем самым
лемма доказана.
Доказательство теоремы 4.1.2. В предположениях теоремы
имеем в силу леммы 4.1.3
и * (ф * ф)(х) — lirn u(Y, ф(* — • — kh) Аяф (khj)
ft-> о
= lim У (и * ф) (х — kh)	(kh) = ? (к * ф) (х — у) ф (у) dy,
ft->о L-‘	J
чем наше утверждение доказано даже для любых Ф ^ Со-
Теперь мы можем доказать аналог теоремы 1.3.2 для распре¬
делений:
Теорема 4.1.4. Пусть 0<(реС“, ^фйх=1. Если и<=2)'(R”),
то Ыф = и * ф s C“(Rn) и Цф ~и в 3>'(R") при зиррф->-{0}.
Доказательство. Чтобы пояснить дальнейшие вычисления, заме¬
тим, что и(ф) = и* ф(0) для ij:eC“(Rn), где ф(*) = Ф(—х).
Поэтому
ыф(Ф)==мф*Ф(°)=:Ы *Ф *ф(0) = и(ф*ф).
Ввиду теоремы 1.3.2, ср * ф —>■ ф в Со° при supp Ф~>{0}; следо¬
вательно, Пф (ф)~и(ф), что и требовалось доказать.
Теорема 4.1.4 показывает, что 2)'(R”) можно было бы опре¬
делить, пополняя С°(Й“)или даже C°°(Rn) так, как подсказы¬
вают примеры из физики, о которых говорится в конце введе¬
ния. Это верно и для З)'(Х), где X — произвольное открытое
множество в R":


114	4. Свертка
Теорема 4.1.5. Для всякого tte2)'(I) существует последова¬
тельность Uj е CS°(X), такая что и)—>и в 2D'(X).
Доказательство. Выберем последовательность X/ ^ С“ (X), та¬
кую что на любом компактном подмножестве в X все функции
из этой последовательности, начиная с некоторого номера /,
равны 1. Затем выберем функции ф/ ^	(Rn)> удовлетворяю¬
щие предположениям теоремы 4.1.4 и имеющие столь малый но¬
ситель, что
(4.1.4)	supp ф/ + supp %jCz X
и |jc| < 1 // для jcesuppcp,-. Так как	мы
можем образовать
Ы/ = (Х/Ы)*Ф/.
В силу (4.1.4) и (4.1.1) это будет функция из Со° (Аг). Для ife
С” (X) имеем, как и в доказательстве теоремы 4.1.4,
“/ (Ф) = (Х/«) (ф/ * Ф) = и (х/ (Ф/ * Ф))-
Поскольку носитель ф, * ф содержится в любой окрестности но¬
сителя ф при всех достаточно больших /, то Х/(Ф/*Ф)= Ф/*Ф
при таких у, откуда следует, что и/(ф)-»-и(ф), как и утверж¬
далось.
Замечание. То, что С“(X) плотно в 0'(Х), вытекает также из
теоремы Хана —Ъанаха, ибо пространство, двойственное к
2)'(Х) (наделенному слабой топологией), совпадает с С0 {X)
в силу известного элементарного результата о слабых тополо¬
гиях. Отметим еще, что с помощью теоремы 4.1.5 можно полу¬
чать для распределений различные формальные правила вычис¬
лений вроде (3.1.4), если известно, что эти правила верны для
С°°-функций.
Для ие25'(1) и <peC“(R'1) свертка и * ф определена на
множестве
(4.1.5)	{х;х — у^Х при yesuppcp},
которое близко к X, если ф имеет малый носитель, близкий к 0.
Все свойства, установленные выше для случая X = R", с оче¬
видными видоизменениями сохраняют силу и для общего случая.
Используя регуляризацию при помощи свертки, часто удается
сводить вопросы, касающиеся распределений, к соответствую¬
щим вопросам для гладких функций. Дадим ряд важных при¬
меров.
Теорема 4.1.6. Если и, »е®'(Х), где X — открытый интервал
в R, то и'^0 тогда и только тогда, когда и задается неубы¬


4.1. Свертка с гладкой функцией 115
вающей функцией, a о" ^ 0 тогда и только тогда, когда v за¬
дается выпуклой функцией, т. е. непрерывной функцией, удов¬
летворяющей соотношению
(4.1.6)	v{tx + { 1 — t)y)^tv(x) + (l — t)v(y); 0 < t < 1; х, у(=Х.
Доказательство, а) Предположим сначала, что и,ле С”, Тогда
из условия и'^ 0 вытекает, что
1
и{х + у) — и(х) = у ^ и'(x-\-ty)dt^Q при	0.
о
В частности, мы видим, что v' является неубывающей функ¬
цией, а значит,
1
(v (х + у) — v (х))/у = ^ v' (х + ty) di
в
— неубывающая функция от у при у ^ 0. Следовательно,
0	(* + ty) — v (*) < t(v (х + у) — v (ж)),
если	и х, х + у е J,
а это равносильно выпуклости v. Обратные утверждения оче¬
видны. Заметим еще, что если 0<;ф+<=СГ (R+), ^ “ф+ rfjc = 1, то
функция
и * W" (*) = ^ и {х — гу) ф+ (у) dy 1>
(там, где она определена) есть неубывающая функция от а: и
невозрастающая функция от е, а если 0^фееСо° (R), Ji|)ed* =
1	и фе четна, то
о * Ф? (*) = ^ v (* —	(У) dy
= \ (v(x — ey) + v(x + ey))^(y)dy
у>о
есть выпуклйя функция от л: и неубывающая функция от е при
е > 0, поскольку
jf(v(x + y) + v(x — y))==v'(x + y) — v'(x—y)^ 0 при у>0.
Ь) В общем случае выберем ср, как в теореме 4.1.4, и обра¬
зуем регуляризации ыф = и * ср, v9 = и * ф. Предположим, что
о Здесь использовано обозначение <р8 (*) == в ”<р (х/е) для функции ср
на R ". — Прим, перев. ч
8*


116	4. Свертка
и' ^ О, у" ^ 0. Тогда й'=й'*ф^0, о'' = о"'* <р^0, так что
и *	(*) есть неубывающая функция от х и невозрастающая
функция от е, а уф * Ф| (*) — выпуклая функция от х, неубываю¬
щая с ростом е. Полагая supp<p-»-{0}, заключаем, чтоы*ф*
и у * ip® обладают темн же самыми свойствами. Поэтому при
е -(• 0 мы получаем
и * Фе+ t «о- у vo>
где йо не убывает, а Уо удовлетворяет (4.1.6), и
(и, зс> = J й0хdx, (v, i) = $ у0%dx, 0<xSС“(X).
Отсюда следует, что функция йо всюду конечна, ибо иначе она
равнялась бы +оо на некотором интервале, и у0 тоже конечна,
ибо иначе в силу (4.1.6) она равнялась бы —оо на некотором
интервале. Далее, из условия (4.1.6) вытекает непрерывность у,
поскольку
v (х) — v (х — «/X (v (х + hy) — v (x))/h < v {х + у) — у (х),
\h\< 1.
Таким образом, йо и Уо обладают указанными в формулировке
теоремы свойствами. Обратно, если и и у задаются соответ¬
ственно неубывающей и выпуклой функциями, то таковы же
будут и функции цф и Уф. Следовательно, йф ^ 0 и у" ^ О,
откуда при supp ср->- {0} получаем и’ 0 и у" ^ 0.
Теорема 4.1.7. Пусть у е З)'(Х), где X— открытое множество в
R". Если
(4.1.7)	2 Z У1Укд1дки > 0 для всех у <= R",
то у задается непрерывной выпуклой (г. е. удовлетворяющей
(4.1.6)	на каждом прямолинейном отрезке в X) функцией, и
обратно.
Доказательство. Можно считать, что X выпукло. В случае когда
уеС", условие (4.1.7) означает в точности, что
-jp у (* + ty) ^ 0, если x + ty^X,
а потому наше утверждение следует из теоремы 4.1.6. Если
0<феСГ- четная функция с ^ -ф rfjc = 1, то
у *Фе(х) = \ v(x — ey)^(y)dy


4.1. Свертка с гладкой функцией 117
тоже будет выпуклой функцией, которая не убывает с ростом е.
Поэтому в случае когда про v известно лишь, что оно принад¬
лежит З)'(Х), мы можем рассуждать точно так же, как при
доказательстве теоремы 4.1.6. Функция удовлетворяет (4.1.7),
так что Оф * фе есть выпуклая функция, не убывающая с ростом
е, а значит, и п*фе выпукла и не убывает с ростом е. Предел
v0 этих функций при е-(• 0 задает v и удовлетворяет (4.1.6), сле¬
довательно, функция Vo всюду конечна и полунепрерывна сверху
(как предел невозрастающей последовательности непрерывных
функций). Отсюда следует, что v0 непрерывна, поскольку для
всех достаточно малых \у\
Vo(х + hy) — v0(х) > h (ро (х) — v0(х — у)) > — Ch, 0 < h < 1 >>.
Обратное утверждение очевидно.
Докажем теперь аналог второй части теоремы 4.1.6 для
функций нескольких переменных.
Теорема 4.1.8. Пусть X — открытое множество в Rn. Если рас¬
пределение и&2)' (X) вещественно и Аи ^ 0, то и задается
субгармонической функцией и0, т. е. полунепрерывной
сверху функцией со значениями в [—оо, с»), такой что
сп =	\ dto
-	М = 1
есть неубывающая функция от г для х е X и 0	г < е? (х, СХ)
(расстояние от х до дХ). Обратно, если и0 — полунепрерывная
сверху функция со значениями в [—оо, с»), не равная тож¬
дественно —оо ни на какой связной компоненте X, и если и0(х)
^ М(х,г) при r<d(x, СХ), то «0е /.{^(Х) и для распределе¬
ния и, задаваемого Ыо, выполнено соотношение Аи ^ 0. Функция
щ> однозначно определяется распределением и в каждой точке.
Для всякого компактного подмножества К в X справедлив прин¬
цип максимума:
sup щ = sup щ.
дК	К
Доказательство. Предположим сперва, что «еС“ и Аи ^0.
Возьмем 0 < г < R и положим
1°
v (х) = < е (R) Е (х)
U(/?) — e(r)
при | х | > /?,
при г < | х | < /?,
при | х | < г,
М (х, г)=	\ и0 (х + rto) dco/c„ [
iJ=i	V
о Так что v0 полунепрерывна н снизу. — Прим, перев.


1 IS 4. Свертка
где Е — функция, определенная в теореме 3.3.2, Е(х) = е(jx|).
Ясно, что функция v непрерывна и grad v есть функция, равная
grad v = — grad Е при г<|х|</?
и 0 в остальных точках. По теореме 3.1.9
Av — div grad v = (— grad E, — xj \x D dSR + (— grad E, x/\ x |) dSr
= dSR/cnlf~l — dSr/cnra~\
где dSr и dSR— евклидовы поверхностные меры на сферах
|х|=г и |х| = /?• Если d(x, СХ) > R, то, поскольку Аи ^ О
а с>0,
О ^ (Аи) *v(x) — u *Av (х) = М(х, R) — М (х, г);
этим доказано, что М (х, г) не убывает по г при г > 0, а значит,
по непрерывности, и при г ^ 0. Заметим, что если	С",
^ ф dx — 1 и ф есть функция от | х |, то
u*$Ax) = \u{x — ny)y{y)dy
—	неубывающая функция от е. В этом легко убедиться, введя
полярные координаты.
С другой стороны, для и е С°“
5 и (х + т) dm = $ (и (х) + г £ &td,u (*) + -J-	®/®*aA“ (*)
+ О (г3))^® = сп (и (х) + г2 А и {х)/2п + О (г3)).
Действительно, ^ co/coftdco = 0 при / ф k, а
^ a>]d<o = n~I ^ cof d® = с„/п.
■Следовательно,
Аи(х) — \'ш2п(М{х, г) —u(x))jr2^Q, если и(х)^.М(х, г).
г-Ю
Пусть теперь u^SD'(X) и Аы^О. Для всякой функции q>,
удовлетворяющей условиям теоремы 4.1.4, к, = ШфеС” и
Ацф ^ 0 там, где ыф определена. Поэтому
«<р*Фе
—	неубывающая функция от е, и, устремляя supp ф к {0}, мы
заключаем, что и * фе — неубывающая функция от е, причем
^ (и * ф8) (х + rco) da,


4.1. Свертка с гладкой функцией 119
— неубывающая функция от г на интервале [0, а), где она
определена. Следовательно,
при е | О,
где и0— полунепрерывная сверху функция, для которой- М (х, г)
есть неубывающая функция от г при O^r < d(x, СХ), и
<«» Х>= ^ и0(х)х(х)йх при 0<х^СГ(Х).
Значит, u0^Llloc(X).
Предположим теперь, что «о — полунепрерывная сверху
функция на связном открытом множестве X, такая что uq(x) ^
М(х, г) при 0<r<d(x, СХ), причем иоФ—оо. Тогда если
Ыо(х)>—оо, то и0 интегрируема в шаре с центром х и любым
радиусом г <d(x, СХ). Поэтому открытое множество Xq cz X,
состоящее из всех точек, в окрестности которых и0 интегри¬
руема, является и замкнутым; в самом деле, если хе Х—> пре¬
дельная точка множества Хо, то найдется точка у е А0, такая
что ио(у) > —оо и I х — у | < d (у, СХ). Таким образом, Хо = Х„
а потому «0 е LJoc. Для функции ф, выбранной, как выше,
Цо(х)<ао*фЕ(х)
ввиду предположения о средних по сферам и
Итио*фе (*)<«(,(*)
е->0
ввиду полунепрерывности щ сверху. Следовательно,
Ио*ФеМ-*Ыо(*) при е->0,
так что функция ио однозначно определяется задаваемым ею
распределением. Поскольку ыо * фе наследует от и0 свойство,
касающееся средних по сферам, то
О < А («о * фЕ) = (Д«о) * фе А«о при 6-> 0.
При доказательстве принципа максимума можно считать,
что sup«0 = 0. Тогда ыо(х) = 0 для некоторого xei(, так как
К
«о полунепрерывна сверху. Если расстояние от х до дК равно г,
то
0 = Ыо (х) ^	^ ий (х + rco)cfco/ ^ е?со.
|ш|-1	^	1<01 = 1
По определению г для некоторого со0 мы должны иметь х +
то^дК. Если Ыо(х+гсо0)<: 0, то и0 < 0 в некоторой окрест¬
ности точки х + гщ, а поскольку а < 0 в К, отсюда следует, что


120	4. Свертка
J u0 (x + no) da < 0. Полученное противоречие показывает, что
«о (х + гсо0) = 0, а значит, sup«0 = O. Доказательство завершено.
дК
Для дальнейших ссылок приведем здесь одно свойство суб¬
гармонических функций, доказательство которого тесно примы¬
кает к доказательству предыдущей теоремы:
Теорема 4.1.9. Пусть о/ — последовательность субгармонических
функций на связном открытом множестве X сг R", равномерно
ограниченных сверху на любом компакте. Тогда
a)	если последовательность V,- не сходится к —оо равно¬
мерно на каждом компактном подмножестве в X, то у нее су¬
ществует подпоследовательность vik, сходящаяся в L\x (X)
b)	если v — субгармоническая функция и Vj-^v в 2)'(Х), то
vt-*v в L\oc(X) и
(4.1.8)	Нш	х^Х,
/-> оо
причем почти всюду левая и правая части равны и конечны;
более общо,
(4.1.9)	Нш sup(o/ — f)<!sup(u — /)
/->°° к	к
для каждого компакта KczX и каждой непрерывной функции
f на К.
Доказательство, а) Ввиду сделанного предположения найдутся
последовательности /* и х*, такие что все х* принадлежат не¬
которому компактному подмножеству в X и последовательность
o,k(xk) ограничена. Можно считать, что хк-*- хо ^ X, и, упро¬
щая обозначения, принять, что /* = k. Мы утверждаем, что для
всякого замкнутого шара В с X с центром х0 последователь¬
ность интегралов ^ vk dx ограничена снизу. Действительно, для
в
всех достаточно больших k существуют замкнутые шары Вк с
центром хк, такие что В a Bk с: X и m (Bk) -+m(B). Поэтому
последовательность
\ vkdx= J vkdx— J vkdx^tm(Bk)vk(xk)— $ vkdx
В	Bk	Bk\B	Bk\B
ограничена снизу. Поскольку функции vk равномерно ограни¬
чены сверху на В, отсюда следует, что последовательность
п То есть сходящаяся в Ll(K) на каждом компакте /С cr X.— Прим,
перев.


4.1. Свертка с гладкой функцией 121
^ | cj* | rfjc ограничена. Если	то среднее значение функции
в
Vk в шаре с центром х и радиусом г есть неубывающая функция
от г, принимающая конечные значения при малых положитель¬
ных г. Мы заключаем, что для всякого такого шара, содержа¬
щегося в X, последовательность /Лнорм функций Vk на этом
шаре ограничена. Рассуждения, использованные при доказатель¬
стве теоремы 4.1.8 для установления того факта, что м0е ii0CW>
показывают теперь, что последовательность Vk ограничена в
L\oc (X)- Следовательно, найдется ее подпоследовательность v!k,
сходящаяся в смысле слабой сходимости мер к некоторому пре¬
делу v с Xv = limAo/ft^0 (теорема 2.1.9). В силу теоремы 4.1.8,
v является субгармонической функцией, поэтому из Ь) будет
следовать, что vik~*v в ^-Lc-
b) Выберем ф, как в доказательстве теоремы 4.1.8. Тогда
о/(х)<о/*фв(х)->о*фв(х) при j->oo
равномерно на всяком компактном подмножестве в X, если б
достаточно мало. Пусть О^х^СсГ- Имеем
^ (о * Фв (*) + е — v, (х)) % (х) dx
-►$(0*ФбМ + е — v(x))x(x)dx при /->оо,
причем для каждого е > 0 подынтегральное выражение в левой
части положительно при больших /. Следовательно,
Нш \(о — 0/1хЛкХ2\ |0*фв + е— vj%dx.
/->00 J	•	J
Ввиду произвольности е и б отсюда вытекает, что v-*-v/ в
L\x. По теореме Дини
SUp (V, — /)< SUp (О; * фб — f)
к	к
->sup(u*t|3e — /)<sup(o — /) + 8, б<бе,
к	к
что доказывает неравенства (4.1.8) и (4.1.9). Пусть опять 0 ^
X ^ С“ (х). По лемме фату
^ Пш Vj% dx lim ^ vfx dx = ^ vx dx.
Используя (4.1.8), заключаем, что lim V/(х) == v(х) почти всюду.
Доказательство завершено.
Пример 4.1.10. Если f—аналитическая функция на Хс= С, то
функция log|/| субгармонична и на любой компоненте X, на


122	4. Свертка
которой f Ф О,
Alog|fI = 2n Ц mfiZj,
где 2/ — нули /, a т/— их кратности.
Доказательство. Вблизи точки, где f¥= 0, можно выбрать анали¬
тическую ветвь g функции log /; следовательно, log | /1 = Re g —
гармоническая функция. В некоторой окрестности нуля 2/ можно
написать
f (*) = (2 — Zj)ml g (2), log I f (z) I = m, log I 2 — 2/ I + log | g (i2) |,
где g(2,)^=0. В силу теоремы 3.3.2 отсюда следует, что A log|f |
= 2nm/6Zj в этой окрестности.
Для всякого натурального N функция log(|f|1/,Ar) =
AH log | f | тоже, конечно, будет субгармонической с лапласианом
2л ^ (ntjlN) 6Zj. Любую меру можно аппроксимировать мерами
такого вида, поэтому весьма правдоподобно, что субгармониче¬
ские функции на А'с= С можно аппроксимировать функциями
вида log (| f |1/лг). Мы еще вернемся к этому вопросу в § 15.1.
Теорема 4.1.11. Пусть X — открытое множество в .СД Всякое ве¬
щественное распределение «е®'(1), такое что
(4.1.10)	^WfW^uIdZjdZk^ 0 в X при всех дае С",
задается некоторой плюрисубгармонической функцией
«о, т. е. полунепрерывной сверху функцией, для которой функ¬
ция С. э /->-н0(г + tw) субгармонична всюду, где определена,
для любых z, w е .СЛ Обратно, всякая такая функция и0, не
равная тождественно —оо ни на какой связной компоненте мно¬
жества X, принадлежит L\qz и задает распределение, удовле¬
творяющее условию (4.1.10). Функция «о определяется по и
однозначно.
Доказательство. В случае когда и е С00, утверждение очевидно.
Заметим, что если в (4.1.10) взять в качестве w базисные век¬
торы и сложить полученные неравенства, то мы придем к не¬
равенству
Л«>0.
Поэтому для доказательства теоремы в общем случае годится
без всяких изменений метод аппроксимации с помощью регу¬
ляризаций, использованный при доказательстве теоремы 4.1.8.
Проверить это предоставляется читателю в качестве упраж¬
нения.
Для примера рассмотрим функцию « = log|f|, где 0 —
аналитическая функция на открытом множестве X с— С". Вблизи


4.1. Свертка е глвдкой функцией 123
точки, в которой / ф 0, можно выбрать аналитическую ветвь g
для log/, так что log|/| = Reg и сумма в (4.1.10) равна нулю.
Таким образом, носитель этой суммы лежит в множестве нулей
функции /. Пусть 0 является нулем функции / порядка, скажем,
k. Тогда в тейлоровом разложении
/ = /* + fk+i + • • •
однородный член /* степени k не равен тождественно нулю, и
мы вычислим (4.1.10) вблизи 0 для тех w, для которых fk(w)
ф0. Этого будет достаточно, поскольку всякая квадратичная
форма (в том числе и форма, коэффициентами которой служат
распределения) вполне определяется конечным числом своих
значений. Пусть w — единичный вектор вдоль «оси» z\. Поло¬
жим г'=(2г, ..., 2д). При фиксированном г7
15^1Г 1о£1 f(z” z'>1 = Т Z mt <z'> 6*/’
где £;(z')—малые решения уравнения /(£, z') = 0, a m/— крат¬
ности этих нулей, которые ^ k, ибо dkf/dzi Ф 0- «Считающая»
мера в правой части непрерывно зависит от z', так как
log|/(zj, zr) | непрерывно зависит от z' (в топологии простран¬
ства распределений; см. теорему 4.1.9), и для феС" с носите¬
лем, близким к О,
(4.1.11) (д* log \f\ldZidzu Ф>=т5Ет/^<Р^^’ z')dx(z')>
где dX — мера Лебега в С""1.
Теперь мы различаем два случая:
(i) mi = k, функция Si (z') аналитичиа и	/(z) =
(zi — Si(z/))*g(z), gФ 0;
(ii)	mi < k всюду, за исключением точек z' из некоторого
множества меры нуль.
Один из этих случаев непременно имеет место. Действи¬
тельно, нуль порядка k функции / является нулем функции
d*"7(z)/dzf_1.
и теорема о неявной функции показывает, что zi = £(z/), где
£ — некоторая аналитическая функция. Имеются две возмож¬
ности: либо
/ = dfldz{ ==...= dk-lf/dz^' = 0 при z, = £ (г'),
и тогда реализуется случай (i), либо одна из этих функций не
равна тождественно нулю, и тогда мы имеем случай (И). В слу¬
чае (ii) выбросим из области интегрирования в (4.1.11) мно¬
жество, на котором Ш\ = k. Повторяя это рассуждение конечное


124	4. Свертка
число раз, пока не придем к случаю (i) и порядок нуля уже
нельзя будет больше понизить, получаем следующий результат:
Теорема 4.1.12. Пусть f Ф 0 — аналитическая функция на откры¬
том множестве X с: .С", Z — множество всех ее нулей Zo, таких
что в некоторой окрестности Zo
f(z) = g(z)h(z)m,
где g(zo)=H=0, ft(z0) = 0 и dh(z0)/dz Ф 0, и dS — евклидова по¬
верхностная мера на Z. Тогда dS локально интегрируема в Х1) и
<4.1.12)	WjWkd2 log | f 1jdzj dzk — -у Ц (w) dS,
где вблизи zo
ц (да) — m | (w, h') p/| h' p.
В частности, A log | /1 = 2nmdS.
Доказательство. Остается только заметить, что в указанном
выше случае (i) равенство (4.1.12) следует из (4.1.11), по¬
скольку dS =(1 + \<Ho\/dz(\2)di.(z').
Всякая плюрисубгармоническая функция на X с С", разу¬
меется, будет субгармонической как функция на X с R2", но у
длюрисубгармонических функций имеются и некоторые допол¬
нительные свойства:
Теорема 4.1.13. Если и — плюрисубгармоническая функция на
JTc=C" и р— положительная мера А и, то
г2_2я	$ dp (z)
1 z-C |<r
— неубывающая функция от г при 0 < г < d (£, ОХ).
Доказательство. Можно считать, что £ = 0. а) Предположим
сперва, что и принадлежит классу С°° и является функцией
лишь от |z|. Запишем u(z) = F(|z|2). Ясно, что FeC" и из
плюрисубгармоничности и следует, что
F7' (| z |2) | да р + f" (| z |2) | (да, z)f> 0
для любых z, да е С", так что F'(s)^ 0 и F'(s)-\- sF"(s) 0.
Таким образом, sF'(s)—положительная неубывающая функция
о То есть мера dS любого компакта К<^Х конечна, нлн, что эквива¬
лентно, конечен любой интеграл ^ <р dS, где f (X). — Прим. ред.
z


4.1. Свертка с гладкой функцией 126
от s. (Отметим, что это условие не зависит от п.) Далее,
A« = 4(raF/(s) + sF"(s)), s = | z р,
г1
5 5 Ли dx cly = 4 ^ (nF'(s) + sF" (s)) d (C2nsn),
|z| <r	0
где C2n — объем единичного шара в R2". Следовательно,
г2-2" Mdxdy = 4nC2nr2F'(r2) = 4nC2n_2r2F'(r2)-,
1*1 <г
последнее равенство вытекает из (3.4.5). Это, действительно,
неубывающая функция от г. Позднее мы воспользуемся ра¬
венством
(4.1.13)	^ (bu/2n)dxdy/r2a-2C2n_2 = 2r2F'(r2).
|Z| <Г
b)	Пусть по-прежнему и принадлежит классу С°°, но зависит
теперь не только от |z|. Для всякого унитарного преобразова¬
ния U функция u(Uz) также будет плюрисубгармонической с
лапласианом (Au)(Uz). Следовательно, функция
v(z)— J u{Uz)dU,
где dU — мера Хаара на унитарной группе, будет плюрисубгар¬
монической С°°-функцией от одного \z\ и
5 Avdxdy =	5 Audxdy,
\г\<г	I z |<г
поэтому наше утверждение следует из уже рассмотренного слу¬
чая а). Заметим, что для всякой четной невозрастающей на по¬
ложительной полуоси функции ф е (R)
г2-2я 5 Диф(I х |/г) dx = [ — <*ф(/?)г2_2я	5 Audiс
X	R>0	I j|<Sf
есть неубывающая функция от г.
c)	В общем случае образуем в соответствии с теоремой
4.1.4	регуляризации щ функции и. Имеем	в 2D', а зна¬
чит, Д«ф-»-Дм в 3>'. Следовательно,
г2-2" J ф(| х \jr)dy.(x)
х
— неубывающая функция от г. Когда ф, возрастая, стремится
к характеристической функции интервала (—1, 1), получаем
утверждение теоремы.


126	4. Свертка
Общепринято и удобно использовать следующую нормировку:
(4.1.14)	в(«, г, Е) = (га»-«С2«-2Г1	\ Ли/2я;
l*-;i <г
ввиду теоремы 4.1.13 это — неубывающая функция от г.
Предложение 4.1.14. Если и — плюрисубгармоническая функция,
такая что функция еи однородна степени k^O, то В (и, г, 0) = k.
Доказательство. Усредняя по унитарной группе, как в части Ь)
доказательства - теоремы 4.1.13, сводим дело к случаю, когда
и — функция от |z|, и, значит, u{z) = k\og\z\+С. В этом слу¬
чае F{s) = {k/2)\og s + С, а потому В (и, г, 0) — k в силу
(4.1.13).
Теорема 4.1.15. Если f — аналитическая функция на X с=СЛ не
равная тождественно нулю ни на какой связной компоненте X,
то
(4.1.15)	© (log | /1, г, Q-*k при г-+0 для всех £,&Х,
где k — порядок нуля в точке £. Если f — многочлен, то предел
того же выражения при оо равен степени этого многочлена.
Доказательство. Можно считать, что £ = 0. Согласно определе¬
нию k,
f(z) = fk(z)+0{\z\k+1) (z —> 0),
где fk — однородный многочлен степени k, не равный тожде¬
ственно нулю. Положим
FT{z) = f{rz)lrk.
Ясно, что FT локально равномерно сходится к fk при г->0, так
что log | Ft I | /й I в £)' ввиду теоремы 4.1.9. Следовательно,
то же самое верно и для лапласианов, и мы заключаем, как в
части с) доказательства теоремы 4.1.13, что при г->-0
0(log|Fr|, 1, O)-+0(log|M, U 0) = k;
последнее равенство вытекает из предложения 4.1.14. Но
0(logI Fr I, 1, 0) = ©(log! f b r, 0);
это сразу получается, если заменить log|/| его гладкой аппрок¬
симацией. Тем самым (4.1.15) доказано. В случае когда f —
многочлен, мы можем устремить г не к 0, а к оо и получить в
качестве предела старший однородный член многочлена, откуда
и следует последнее утверждение теоремы.


4.2. Свертка распределений 127
4.2.	Свертка распределений
Чтобы определить свертку двух распределений, мы восполь¬
зуемся свойствами свертки
С~(Rn) 3ip->«*ipeC“(Ра¬
спределенной в § 4.1 для не2>'(R”). Из (4.1.2) очевидным
образом следует, что н*ф/-»-0 в C“(Rn), если ф;-»-0 в С“(Rn)
(по поводу определения сходимости в этих пространствах см.
соответственно теоремы 2.3.1 и 2.1.4). Для всякого fte R" вве¬
дем оператор сдвига тл по формуле (тлф)(х)=ф(х— h) (заме¬
тим, что это — свертка с б/t). Ясно, что
и * (тЛф) = т н(и* ф).
Таким образом, и* коммутирует со сдвигами. Обратно, спра¬
ведлива
Теорема 4.2.1. Пусть U — линейное отображение из С™ (R”) в
С°°(КЯ), непрерывное в том смысле, что fAp/->-0 в С°°(R”),
когда ф/->-0 в■	(R"). Если U коммутирует со всеми сдви¬
гами, то существует единственное распределение и, такое что
Уф = н*Ф,феС0”(Р'!).
Доказательство. Если такое распределение существует, то мы
должны иметь «(Ф)=£/ф(0). (Напомним, что Ф(х) = ф(—х).)
Далее, линейная форма
Со~Эф-([/ф)(0)
в силу сделанного предположения о непрерывности является
распределением. Оно и будет искомым распределением и. Дей¬
ствительно, из того факта, что (f/ф) (0) = (н*ф) (0), получаем,
заменяя ф на Тлф и используя предположенную перестановоч¬
ность с Т h,
(t/ф) (— h) = (тЛС/ф) (0) = {Uxhq>) (0) = (и * тАф) (0) = (и * Ф) (- h),
откуда следует, что СЛр = и* <р, ф е СГ (R")- Теорема доказана.
Если ae^'(Rn), то, как вытекает из (4.1.1), ф->н*ф яв¬
ляется непрерывным отображением из С” (Rn) в С” (R”), т. е.
последовательности, сходящиеся к нулю, переводятся в такие же
последовательности. Кроме того, свертка и * ф определена в этом
случае для любых ф е C°°(R") и задает непрерывное отобра¬
жение из C°°(Rn) в С°°(КЯ).
Существует единственный способ определить свертку двух
распределений и\ и «2, у одного из которых носитель компактен,


128	4. Свертка
так, чтобы ассоциативность
(щ * щ) * ср = U] * (^2 * ф)
продолжала иметь место для всех ф е С“ (Rn)- Действительно,
отображение
С” (Rn) э ф -*• ы, * («2 * ф)
линейно, перестановочно со сдвигами и непрерывно, будучи ком¬
позицией двух таких отображений. Следовательно, существует
единственное «e£Z5'(R"), такое что
(4.2.1)	«] * («2 * ф) = и * ф, феС"(|?п).
Определение 4.2.2. Свертка щ * и2 двух распределений и\ и и2,
одно из которых имеет компактный носитель, определяется как
единственное распределение и, для которого справедливо (4.2.1).
В силу теоремы 4.1.2 это определение согласуется с опреде¬
лением предыдущего параграфа в случае, когда щ е Со°, а в
силу простой модификации теоремы 4.1.2 оно согласуется с ним
и в случае, когда u\^S'(Rn), и2 е C°°(Rn). Рассмотрим не¬
сколько более общий случай:
Теорема 4.2.3, Если U\ е 3) (R")> и2 ge Со (Rn) (или и^ е= & (R ),
«2 еС1 5 (R"))* то щ*и2 есть непрерывная функция х->
щ(и2(х — •)).
Доказательство. Обозначим эту функцию через и. Ничего не из¬
меняя в доказательстве теоремы 4.1.2, получаем, что если фе
Со, «1 е= 3>'k (R"), ы2 е Со (Rn), то
и * Ф = Щ * («2 * Ф).
Этим доказано первое утверждение теоремы, а второе устанав¬
ливается точно так же.
Из данного выше определения следует, что свертка ассоциа¬
тивна, т. е.
Щ * («г * Щ) = («1 * «г) * «з>
если все распределения «/, кроме, быть может, одного, имеют
компактный носитель.
Теорема 4.2.4. Свертка коммутативна, т. е.
щ *«2 = «2* «1»
если у одного из распределений и\, и2 носитель компактен.
Имеет место включение
(4.2.2)	supp («1 * «2)с SUPP ui + supp Щ.


4.2. Свертка распределений 129 ч
Доказательство. Для того чтобы установить, что два распреде¬
ления Vi и v2 равны, достаточно показать, что
v 1 * (<р * ф) = v2 * (ф * ф) при ф, ф е С“.
В самом деле, тогда (t>! *ф)*ф = (п2*ф)*Ф по теореме 4.1.2,
а значит, ui * ф = v2 * ф и, следовательно, Vi = v2. Имеем
(«! * «г) * (ф * ф) = «1 * (и2 *(ф * ф)) = «I * ((«г * ф) * ф)
= «, * (ф * («г * ф)) = («1 * ф) * («2 * ф)-
Помимо теоремы 4.1.2 мы воспользовались здесь коммутатив¬
ностью свертки функций. Тем же путем получаем
(«г * щ) *(ф * Ф) — («г * и\) * (Ф * ф) = («2 * ф) * (Ы1 * Ф)
= («! * «г) * (ф * ф).
Таким образом, и\*и2 = и2*и\. Чтобы доказать последнее
утверждение, выберем ф, как в теореме 4.1.4, н заметим, что
поскольку (щ * И2)*ф = щ *(и2* ф), то
supp ((Uj * и2) *ф) с: supp «1 + supp Uj + supp ф
в силу (4.1.1). При supp ф —{0} получаем (4.2.2). Теорема до¬
казана.
Из (4.2.2) следует, что если, скажем, и2 имеет компактный
носитель, то свертка u\*u2 определена вблизи данной точки х
и тогда, когда щ известно лишь в некоторой окрестности мно¬
жества {х} — suppu2. Поэтому если	то свертка
ui* u2 определена на множестве
{х;х — у^Х для всех i/esuppua}.
Теорема 4.2.5. Для любых двух распределений и\, и2 в R", у од¬
ного из которых носитель компактен,
(4.2.3)	sing supp (ui * и2) <= sing supp щ + sing supp^.
Доказательство. Пусть u2 e S'. Выберем функцию ф e Co°, рав¬
ную 1 вблизи sing supp и2, и запишем и2 в виде и2 = v2-\- w2,
где t»2 = фиг, a w2 = (l — ф)«2еС“. Тогда ul*w2^C,x>, щ*и2
является С"-функцией на множестве
{х; {*} — supp v2cz С sing supp щ).
Отсюда следует, что
sing supp щ * «2 = sing supp и, * v2 с: sing supp щ + supp v2,
и, поскольку supp v2 c— supp ф можно взять сколь угодно близ¬
ким к sing supp и2. мы получаем (4.2.3). 99 Зак. 821


130	4. Свертка
Дифференцирование можно толковать как свертку, ибо
(4.2.4)	даи = (да60) * и, «<=0'(R").
Действительно, в силу (4.1.2) для любой функции (peC^fR")
(даи) * ср = и * (<3“ф) = и * (б0 * (<5аф)) = и * (да60) * ср,
чем (4.2.4) и доказано. Отметим, в частности, что свертка с б0
есть тождественный оператор. Для всяких двух распределений
и\, «2, У одного из которых носитель компактен, справедливы
равенства
(4.2.5)	да (ы, * «г) = (дащ) *и2 = и1* d“«2.
В самом деле, если записать дифференцирования как свёртки
с д“бо, то это сразу следует из ассоциативности и коммутатив¬
ности свертки. Более общо, для любого дифференциального
оператора с частными производными
Р = Ема
с постоянными коэффицентами аа е G. (число слагаемых ко¬
нечно) справедливы равенства
(4.2.4) '	Ри = (РЬ0)*и,	ве2)'( R"),
(4.2.5)	' Р{и1*и2) — (Ри1)*и2 = щ*(Ри2),	R"), н.2<=<1f'(Rn).
Докажем теперь локальный вариант теоремы 4.2.3, содержа¬
щий теорему 4.2.5.
Теорема 4.2.6. Пусть «1е2)'(Кл) и «2 е<^'(R"). Свертка щ *«2
принадлежит классу Ck вблизи точки х, если для всякой точки
у е supp ы2 можно указать целое число / >0 и открытую окрест¬
ность Vy этой точки, такие что щ ё ZD'1 ({х} — Vy), а н2 е
Ck+i(Vy) или же «1 е Ck+!({x} — Vy), а ы2<= 3)'!{Vy).
Доказательство. Можно считать, что х = 0 — иначе нужно про¬
сто произвести соответствующий сдвиг распределения и\. Из
теоремы 4.2.3 и (4.2.5) следует, что если Ф, феС”(Уу), то
(ф«,) * (ф«2)еСо (Rra). Выберем открытое покрытие Wu ..., WN
носителя распределения ы2, такое мелкое, что U7vf| ^ii=H=0 вле¬
чет W'vU W'nC: Vy для некоторого у. Пусть ф¥еСо°(^) и 2ф¥ =
1 вблизи носителя щ,. Тогда и2 = J^v«2 и
«1 * »2 = ((1 — Е Фц) «О * «г + S (Фц«1) * (Фу«г)-
V. и
Те слагаемые в последней сумме, для которых supp ф¥ Л
supp фц ф 0, принадлежат классу Ck, поскольку supp ф¥ 0


4.2. Свертка распределений 131
suppq>nC=Vj, при некотором у. Все прочие слагаемые равны
нулю в некоторой окрестности О в силу (4.2.2). Тем самым тео¬
рема доказана.
Часто свертку т * ы2 можно определить и в тех случаях,
когда ни «1, ни «2 не имеют компактного носителя. На самом
деле все, что нужно, — это чтобы отображение
(4.2.6)	supp щ X supp «г еэ (*, у) х + у е R"
было собственным, т. е. чтобы прообраз каждого компакта был
компактом. Это требование выглядит весьма естественным в
свете определения свертки функций при помощи формулы
(1.3.1)'. Итак, предположим, что «/ — произвольные распреде¬
ления, для которых отображение (4.2.6) является собственным.
Тогда для всякого ограниченного открытого множества X в R"
существует такая постоянная С, что
(4.2.7)	xesuppM], j/esupp«2, ху <= Х=>\х\^.С ц |у|^С.
Отсюда вытекает, что ограничение на X свертки (ф1«1)*(ф2Ыг)
не зависит от выбора функций Ф/ е С“ (Rrt), при условии что
Ф/= 1 в некоторой окрестности шара {х; |х|^С}. Действи¬
тельно, предположим, что мы изменили функцию фЬ добавив к
ней функцию ф1, равную нулю вблизи этого шара. В силу (4.2.2)
supp (1М1) * (фгМг) cr supp (фщ,) + supp (Ф2Ы2).
Ввиду (4.2.7) правая часть не содержит ни одной точки множе¬
ства X, поэтому
((Ф1 Ч- 4>l) Wl) * (Ч>2«2) == (ф1«1> *	В X.
Таким образом, мы можем определить свертку щ * ы2 в X как
указанное выше ограничение. Заметим, что в силу теоремы 2.2.4
эти локальные определения в совокупности определяют и\ * «2
как элемент из 3)'(Rn)- Более общо, если X — наибольшее
открытое множество, на прообразе которого отображение (4.2.6)
является собственным, то свертка и\ * «2 определена в X и оста¬
ется верным соотношение (4.2.2).
В качестве примера заметим, что если M/e^5'(R), / = 1^2„
и supp«;q:R+, то свертка щ*и2 определена и supp(«i*«2)c:R+.
Более общим образом, пусть Гсг R"— замкнутый выпуклый ко¬
нус, собственный в том смысле, что он не содержит ни одной
прямой. Тогда при любом С множество
{(*, л)еГХГ, \х + у\^С}
ограничено. Действительно, если '(х/,у/)еГХГ и |х/ + ^/|г£: С,
[х,-|->-оо, то можно перейти к подпоследовательности, для ко¬
торой х//|х/|->х е Г, а значит, yj/\х/|-»- — х е Г. Но тогда
9*


132	4. Свертка
прямая R* лежит в Г, вопреки предположению. Следовательно,
для всякого такого конуса свертка распределений, принадлежа¬
щих множеству
Rn), supp«c=r},
всегда определена и превращает это множество в алгебру.
4.3.	Теорема о носителях
В этом параграфе мы докажем для носителя свертки включе¬
ние, противоположное (4.2.2). Без определенных ограничений
это нельзя сделать. В самом деле, если мы возьмем щ == I, а в
качестве и2 — функцию с ^щйх — О, то получим щ*и2 = 0.
Поэтому приходится предполагать, что как щ, так и и2 имеют
компактный носитель. Однако и этого мало: если и\ — характе¬
ристическая функция ограниченного открытого множества X,
a supp и2 а В, где В — некоторый шар 1>, то
supp щ * «а с: (дХ) + В,
но множество в правой части не содержит X -{- supp и2, если
шар В достаточно мал. Это вынуждает нас брать выпуклые обо¬
лочки носителей, и мы сделаем небольшое отступление, чтобы
обсудить это понятие, а уже затем вернемся к основной теме.
Определение 4.3.1. Для всякого компактного подмножества Е
в R" через chE обозначается его замкнутая выпуклая оболочка,
т. е. пересечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержа¬
щих Е.
Эквивалентное определение: chE — это замыкание выпук¬
лого множества центров тяжести
VLhxb °<^/. Е^/=1 и *,<=£}.
По теореме Хана — Банаха если уф chE, то можно разделить
у а chE гиперплоскостью <х, £>=с так, что <лг, %) < с. для
х-е chE, но <у, £> > с. Положим
(4.3.1)	НЕ (|) = sup (х, g) = sup (х, |), l^R".
х е Е	хесА Е
Как мы только что видели, уф chE влечет <у, £> >Яя(|) при
некотором |, поэтому ch Е совпадает с множеством всех х е R".
таких что
(4.3.2)	{хЛ)<НЕ{\), £eRn.
*) И опять-таки J и* dx = 0. Прим. ред.


4.3. Теорема о носителях 133
Функцию Не называют опорной функцией (для) множества Е.
Будучи точной верхней гранью линейных функций, она обла¬
дает следующими свойствами:
(4.3.3)	Я£(Б + т,)<Я£(Б) + Я£(т,), Не (© = Шв (Б);
* > О, Б, г) е R".
Далее, Не(1)< оо для всех R", поскольку Е ограничено, и
из (4.3.3) видно, что Не выпукла.
Теорема 4.3.2. Для всякой выпуклой положительно однородной
функции Я на R" существует ровно одно выпуклое компактное
множество К, такое что Я = Я*, а именно
(4.3.4)	К = {х; (х, Б> < Я (|), 6 €= R"}.
Доказательство. Мы уже доказали, что если К выпукло и H ==■
Нк, то К должно задаваться формулой (4.3.4), Поэтому остается
только проверить, что НК=Н для К, заданного этой формулой.
В силу определения К, Нк ^ Я. Положим
0 = {(Б, T)6=Rn+1; т>Я(Б)}.
Это — замкнутое выпуклое множество, поскольку функция Я
выпукла, а значит, непрерывна. Следовательно, для любой
точки ц е R" существует полупространство, содержащее G и
такое, что точка (Л, #(л)) лежит на его граничной гиперпло¬
скости. Таким образом, мы имеем для некоторой точки (у, /)е
Rn+l\0 и некоторого agR
(У, l) + tr>a при (|, т)еб; (у, rj) + Ш(ц) = а.
В этом неравенстве т можно заменить любым большим числом,
поэтому t ^ 0. Если бы t = 0, то мы получили бы <у, Б> ^ а
для всех Б е R", что невозможно, поскольку тогда бы и у = 0.
Следовательно, t > 0. Так как Я положительно однородна, мно¬
жество G инвариантно относительно умножения на положитель¬
ные скаляры, откуда следует, что а^Ои что
<»//,£> +Я (Б) > 0, £e=Rn.
Значит, х = —y/t еК и
Нк (Л) >(х, л> = Я (ц) — a/t > Я (ц),
чем и завершается доказательство.
Для любых двух компактных подмножеств Ki и Ki в R"
опорная функция их суммы
Ki + Яг = {*1 + х2; Xj ^ К,},


134	4. Свертка
очевидно, дается формулой
К К1+К2 ЯЛ, "I- Нft,.
Далее, для всякого компактного множества К и всякого
полагая
tK = {tx; х^К},
t е R,
получаем Я;*(£) = HK(tl), т. е.
я Г«-Л ^(g)
S)
при
при
О О,
*<0.
Наконец, если Ка— произвольное семейство компактных мно¬
жеств, содержащихся в некотором фиксированном компактном
множестве, и К— замыкание объединения множеств из этого
семейства, то
Я* = sup Я*
а
Обратно, если правая часть конечна при всех |, то она является
опорной функцией некоторого выпуклого кмпактного множества
К', содержащего Ка для каждого а, и, следовательно, справед¬
ливо записанное выше равенство. Таким образом, имеется про¬
стой способ переходить от операций над множествами к опера¬
циям над опорными функциями.
Теперь сформулируем главный результат этого параграфа —
теорему о носителях:
Теорема 4.3.3. Для любых ии
(4.3.5)	ch supp «1 *щ = ch supp щ + ch supp щ.
Доказательство. To что левая часть содержится в правой, сле¬
дует из (4.2.2), поэтому достаточно показать, что
(4.3.6)	supp «1 + supp ы2 с ch supp «1 * «2-
При этом можно считать, что й;еСо" В самом деле, если
функция ф выбрана, как в теореме 4.1.4, а (4.3.6) уже установ¬
лено для сверток гладких функций, то
supp («1 * ф) + supp («2 * ф) с= ch supp («! * ф * «2 * ф)
с= ch supp («1 * и2) + ch supp ф * ф,
и при supp ф —*■ {0} мы получаем (4.3.6) в общем случае. Пока¬
жем, что (4.3.6) для «/ е С” вытекает из следующего включе¬
ния, отвёчающего частному случаю = и2 = и:
(4.3.7)	2 supp и сг ей supp и * и, - u^C^iR"),
а потом докажем само это включение.


4.3. Теорема о носителях 135
При фиксированных щ, щ е С” (Rn) положим для / = 0,1,...
Ki = ch U supp (pjHi) * (p2«2),
deg pip2</
где Pi и p2 — многочлены. Ясно, что Ко = ch supp щ * и2, и
(4.3.6)	будет установлено, если удастся показать, что Kj = Ко
при всех /. Действительно, это означает, что
SUPP (PiUi) * (P2U2) <= Ко
для любых многочленов р/, а значит, и для любых целых ана¬
литических функций р,-, поскольку последние суть пределы своих
многочленов Тейлора. Возьмем
р,(х) = Е(х — х,, t),
где Е определено, как в теореме 3.3.3, а X/— точки, в которых
щ (xj) ф 0. При 11 6 получаем
supp щ (Xj) щ (х2) б*, * 6*, с= Ко,
откуда и следует, что supp щ + supp и2 сг Ко-
Для того чтобы доказать, что К,- = Ко при всех /, достаточно
показать, что
(4.3.8)	2K,<=Ki-i + Kj+i, />0.
В самом деле, из (4.3.8) вытекает, что если Я/ — опорная функ¬
ция множества X/, то
Hi-H^^H^i-H,,	}> 0,
а значит, Я/+* ^ Я/_i +(А:-Ь 1) (Я,- — Я/_ 1). Поскольку Н!+к ма¬
жорируется суммой опорных функций для supp щ и supp ы2, мы
заключаем, что Я/ — Я/_i ^ 0. Но Я/-1 ^ Я/, ибо Ki-i с: К/,
следовательно, Я/ = Я/_i при всех / > 0, что и требовалось до¬
казать.
Включение (4.3.8) означает, что если degpi + deg р2 ^/, то
2 supp (рм) * (р2Иг) <=K/-i + Kj+i.
Чтобы установить это последнее включение, достаточно, в силу
(4.3.7)	, показать, что
(4.3.9)	supp (р,и,) * (paiij,) * (р,ы,) * (р2аь) с= X/_i + Я/+1-
Доказывая (4.3.9), можно считать, что р\ (х) = xv<7i (х). Поло¬
жим q2(x) = Xvp2(x). У свертки
((?l«l) * (P2«2)) = (Pl«l) * (Р2«2) + (<7l«l) * (?2«2)


136	4. Свертка
носитель лежит в Ki-i, поэтому у ее свертки с (pi«i)*(p2M2) но¬
ситель лежит в Ki-1 + /(/<= Кi-i + Kj+1. Но и у
(<7i«i) * (^2«г) * (pi«i) * (Рг«г) = ((?i«i) * (Рг«2)) * ((Pi«i) * (?2«г))
носитель лежит в Kj-i + Kj+u чем включение (4.3.9) и доказано.
Оставшееся за нами доказательство включения (4.3.7) осно¬
вано на следующих леммах:
Лемма 4.3.4. Если ueCo°(Rra) и й(х) = и(— х), то
(4.3.10)	||u*H||2 = |l«*«lli».
Доказательство. Для всякой функции geC”
(4-3.11)	l\g\\h = g*g(0),
поэтому обе части (4.3.10) равны и*й*и*й(0).
Лемма 4.3.5. Для всякого компакта К в R"
(4.3.12)	sup|«|<Cla? ... dlu\L„ ц«=С“(/().
Доказательство. Последовательное интегрирование по частям по
каждой переменной дает формулу
и(х)= \ (хх — Pi) ... (ха — у„)д 1 ... д\и(у)dy,
У!<х!
из которой и следует (4.3.12).
Завершение доказательства теоремы 4.3.3. Используя (4.3.10)
и (4.3.12), получаем с учетом (4.3.11)
||ii|||,<sup|«*«KC||(di ... дпи)*(д 1 ... дпй)||it
= Cjd i ... dlu * u\L„ u(=Ca (K).
Заменяя здесь и на функцию Mg, задаваемую формулой
Ч (х) = е{х'*>и(х),
и замечая, что
ui*ui(x) = elx’®u*u(x),
да (щ * щ) (х) = е{х'5> (£ + д)а (и * и) (х),
приходим к неравенству
e2te|>|«(x)|2rfx<C' £ 1112яНа|(^2<д:’1>|аа«*«Г^)1/2
| а К 2n
<c"(i + UI)2n <?Я(Е).


4.4. Роль фундаментальных решений 137
где Н—опорная функция для supp«*«. Заменяя £ на tc и по¬
лагая f-*-+oo, заключаем, что
2	если и(х)^=0.
Следовательно, 2<х, |> ^ Я (£) для х е supp и, что и доказывает
включение (4.3.7), а с ним и теорему 4.3.3.
4.4.	Роль фундаментальных решений
Прежде всего напомним, что дифференциальный оператор с по¬
стоянными коэффицентами в RA— это конечная сумма
Р=1,аада,
где аа^ С. В соответствии с определением 3.3.1 распределение
Е^З.5'(Rn) именуется фундаментальным решением для Р, если
(4.4.1)	. РЕ — 60.
В § 3.3 были построены фундаментальные решения для ряда
операторов. Позже мы докажем (теорема 7.3.10), что у каждого
оператора есть фундаментальное решение.
Важность фундаментальных решений объясняется следую¬
щими двумя соотношениями, вытекающими из формул (4.2.5)':
(4.4.2)	Е*(Ри) = и, u<=S'( R"),
(4.4.3)	p{E*f) = f,	fe=ar'( Rn).
Таким образом, оператор свертки с Е является и левым, и пра¬
вым обратным к оператору Р. Из (4.4.3) вытекает, что уравне¬
ние Ри = f имеет решение для любого f е S'(Rn), а с помощью
(4.4.2)	оказывается возможным, скажем, получать информацию
об особенностях и, располагая информацией об особенностях
Ри:
Теорема 4.4.1. Если у Р имеется фундаментальное решение с
sing supp £ = {0}, то для всякого открытого множества X в R"
(4.4.4)	sing supp и — sing supp Ри, и^З)'(Х).
Доказательство. Всегда верно, что sing supp Ри a sing supp и.
Если и е S', то в силу (4.4.2) и теоремы 4.2.5
sing supp и = sing supp Е * (Ри) с sing supp Ри,
так что для u^S' наше утверждение доказано. Далее, для про¬
извольного открытого относительно компактного подмножества
У в X, выбирая функцию ф е С* (X), равную 1 на этом


138	4. Свертка
подмножестве, получаем
У П sing supp Ри= Y П sing supp Р (фы)
= Y Л sing supp фы == Y Л sing supp ы,
откуда и следует (4.4.4).
Примерами операторов, к которым применима теорема 4.4.1,
служат оператор Коши — Римана, оператор Лапласа и оператор
теплопроводности; для них в § 3.3 были построены фундамен¬
тальные решения, имеющие особенность лишь в 0. Заметим, что,
взяв X=’Rn, а и равным фундаментальному решению Е для
рассматриваемого оператора, мы получим, что (4.4.4) влечет
sing supp £ = {0}. В § 11.1 мы охарактеризуем операторы, к ко¬
торым применима теорема 4.4.1; они называются гипоэллиптиче-
скими. А сейчас, повторяя доказательство теоремы 4.4.1, пока¬
жем, что для всех таких операторов справедлив аналог теоремы
Стилтьеса — Витали:
Теорема 4.4.2. Пусть Р удовлетворяет предположениям тео¬
ремы 4.4.1. Если в,еС”(Х), Рщ — 0 и щ-*-и в ZD'(X) при
у —► оо, то	С°°(Х) и Uj-*-и в С°°(Х).
Доказательство. Поскольку Ри = Игл Рщ = 0, то ы<=С°°(Х)
в силу теоремы 4.4.1. ПоэтЪму можно считать, что ы = 0. Если
выбрать У и ф, как в доказательстве теоремы 4.4.1, то /;-=
Р(ф«/)->-0 в и supp fj cz supp с?ф с ДГ\У. На произвольном
компакте К с: У
дащ{х) = даЕ * f/(x)= f/(daE(x — •)) -»0 равномерно при у-»оо,
что и доказывает теорему.
Для операторов Коши — Римана и Лапласа мы имеем фун¬
даментальные решения, которые вещественно аналитичны в
R"N{0}, т. е. аналитичны в некоторой окрестности этого мно¬
жества в С". В таких случаях можно усилить теорему 4.4.2:
Теорема 4.4.3. Предположим, что Р имеет фундаментальное ре¬
шение Е, вещественно аналитическое в Rra\{0). Тогда у всякого
открытого множества Xc=iRn существует такая открытая окре--
стность Z cz,Cn, что каждое решение в X уравнения Ри = 0
можно продолжить до аналитической функции в Z. Если Puj = 0
в X и щ-*-и в S)'(X), то последовательность таких продолже¬
ний функций щ — и на Z сходится к 0 равномерно на компакт¬
ных подмножествах множества Z.
Доказательство. Пусть Zo — открытое множество в С", такое что
Zo П'К* = RnX{0} и Е аналитично в Z0. Выберем У, ф, как в


4.4. Роль фундаментальных решений 139
доказательстве теоремы 4.4.1, и положим / = Р(фа). Тогда
u(x) = E*f(x)=^^E(x — y)f{y)dy, хеУ.
Правая часть определена и аналитична на множестве
(4.4.5)	{z;Rezey и г — y^Z0 при уевиррйф},
являющемся окрестностью множества У в С". Мы можем вы¬
брать Z0 так, чтобы
x + iy^Z0=$-x + ity^Z0, 0<f<l,
а тогда тем же свойством будет обладать и множество (4.4.5).
В таком случае всякая аналитическая функция на множестве
(4.4.5)	однозначно определяется своими значениями при веще¬
ственных аргументах, и, варьируя ф и У, мы получаем аналити¬
ческое продолжение решения и на объединение Z всех открытых
множеств вида (4.4.5). Этим доказано первое утверждение тео¬
ремы, а второе устанавливается аналогично.
В гл. 7 и 8 мы покажем, что теорема 4.4.3 применима тогда
и только тогда, когда оператор Р эллиптичен, т.. е.
2 ааё“ Ф О, О Ф | е R",
I а |=т
где т обозначает порядок оператора Р.
Следствие 4.4.4. Пусть Р удовлетворяет предположениям тео¬
ремы 4.4.3 и X — связное Открытое множество в R". Если реше¬
ние и е З)'(Х) уравнения Ри = 0 равно нулН) на некотором от¬
крытом непустом подмножестве в X, то и = 0.
Доказательство. Это следует из единственности аналитического
продолжения.
Мы можем теперь доказать обобщение классической аппрок¬
симационной теоремы Рунге:
Теорема 4.4.5. Пусть Р удовлетворяет предположениям теоремы
4.4.3	и Ус^сГ — открытые множества, такие что Х\У не
представимо в виде дизъюнктного объединения F[)K, где К ком¬
пактно и непусто, a F замкнуто в X. Тогда всякое решение
«G С“(У) уравнения Ри= 0 является пределом в С°°(У) неко¬
торой последовательности ограничений на У решений того же
уравнения в X.
Доказательство. В силу теоремы Хана — Банаха, достаточно по¬
казать, что если распределение а)е^'(У) ортогонально всем
решениям уравнения Ри = 0 в X, то оно ортогонально всем его


140	4. Свертка
решениям в У. Положим
(Е, Ф) = (Е, ф>,
где ф(х)=ф(—х). Ясно, что Ё(х) = Е(—х) при хФО, поэтому
распределение Ё аналитично при х Ф 0. Далее, *РЁ = бо, где
'/’-Еоа (-<?)“
— транспонированный к Р оператор, т. е.
{* Pv, u) = {v, Ри) при v е (Y),	ыеС°°(У).
Положим теперь
v = Е *w.
Тогда *Рv = w. Поэтому если мы покажем, что v е«?'(У), то от¬
сюда будет следовать, что
Ри = 0 в У=ф-(о), u) = (*Pv, u) = (v, Ри) = 0,
и теорема будет доказана.
Но v является аналитической функцией вне М = supp w. При
хфХ
dav(x)^{daxE(- — x), w) = 0
для каждого а, поскольку
PydlE(y — x) = 0 при у^Х.
Следовательно, v = 0 во всякой связной компоненте О множе¬
ства СМ, содержащей точки из СХ. Если О — связная компо¬
нента множества СМ, содержащаяся в X и ограниченная, то
множество К = О П(^\У)<=^\У ограничено и замкнуто, ибо
дО cz дМ а У а X. Значит, К компактно, a F = (CO)f\(X\Y)
замкнуто в Х\ поэтому К = 0, и, следовательно, OczY. Таким
образом, о = 0 в каждой связной компоненте множества СМ,
не содержащейся в У, за возможным исключением неограничен¬
ной компоненты, если она является подмножеством в X. Тем
самым теорема доказана для случая, когда X не содержит окре¬
стности бесконечности.
Повторно используя уже доказанную часть теоремы, убе¬
димся, что для любого шара В каждое решение уравнения
Ри = 0 в В является пределом некоторой последовательности
решений и,- этого уравнения в R". Действительно, пусть В =
Вое:fii с:с: ... — последовательность концентрических ша¬
ров, радиусы которых стремятся к бесконечности. Существует
последовательность ы}, такая что Ри| = 0 в В, и	в В, и
далее можно последовательно найти решения ц* в Bk, такие что


4.4. Роль фундаментальных решений 141
Тогда предел ,
«,= Нш иН
‘	к-*ов '
существует во всем R" и Рщ =0. Кроме того,
\щ —	в В0,
чем и доказано сделанное утверждение.
Возвращаясь к доказательству самой теоремы, мы видим,
что если supp w содержится, скажем, в шаре радиуса R с цент¬
ром в 0, то
V (х) = <£'(• — х), w) = о при | х | > R,
так как функция у-+Е(у— х) есть предел в С°°({у; |*/|<#})
последовательности решений в :Rn, ортогональных к ш по пред¬
положению. Итак, ц = 0 и в неограниченной компоненте мно¬
жества СМ, чем и завершается доказательство.
Замечание. В случае когда предположение теоремы 4.4.5 относи¬
тельно множества Х\У не выполняется, эта аппроксимационная
теорема неверна, ибо всякая последовательность решений в X,
сходящаяся в У, должна была бы тогда сходиться и на откры¬
том множестве У U К = X\F. Дело в том, что, взяв функцию
Ф ^C™(X\F), равную 1 в некоторой окрестности О множества
К, мы имеем на О
и, = фU/ = F* f
но у функции fi = P(q>Uj) носитель лежит в supp йф с: Х\ (FIJ
К) = У, поэтому последовательность щ сходится к некоторому
решению в Y\}0. Однако для х0е/( решение и(у) = Е(у — х0)
уравнения Ри = 0 в У нельзя продолжить до решения в У U /С,
поскольку для такого продолжения U разность w = u—U рав¬
нялась бы нулю в У11К\{хо}, что невозможно, так как Pw = bx,
в У UK (мы предполагаем, что оператор Р не есть константа).
Наконец, докажем одну теорему существования, в которой
используются как (4.4.2), так и (4.4.3):
Теорема 4.4.6. Пусть Р удовлетворяет предположению теоремы
4.4.3	и X — открытое множество в iRn. Тогда для всякого
f е Sb'(X) существует и е 2)'(Х), такое что Ри = f.
Доказательство. Обозначим через Х{ множество всех точек
хеХ с |х|< /, находящихся от СХ на расстоянии >1//.Усло¬
вие теоремы 4.4.5 выполнено для У — X/. Действительно, для
всякой точки хеК расстояние между нею и произвольной точ¬
кой у^СХ должно превышать 1 //, поскольку отрезок с кон¬
цами у их должен содержать точки из X/, и |х|< /, поскольку


142	4. Свертка
точка х должна принадлежать некоторому отрезку с концами,
лежащими в X,-. Выберем функцию ф/ <= С” (ЛГ), равную 1 на X,-,
и положим Vj = E*(<f>jf). В силу (4.4.3),
PVj = (pjf — f в Xj.
Теперь нам надо подправить v/ так, чтобы существовал предел
при у'->оо. С этой целью заметим, что Vj+\ — v/ удовлетворяет
в X} уравнению P(i»/+i — Vj) = 0. Поэтому, согласно теореме4.4.5,
найдется функция w,- е O’ (X), такая что Pw, = 0 и
Тогда предел
|»/+1 — V, — Ш/|<2 1 В */_!•
и= Нш (v,— Е пуЛ
V i<i )
существует в Ж>'(Х) и удовлетворяет уравнению Pu = f. В са¬
мом деле, на множестве Xk мы имеем при / > k -f- 1
/-1	к
Н/ — Е = Е (»i+i — »г — ®г) + »fe+i — Е ®г-
г</ fe+i	1
При / —> оо первая сумма в правой части равномерно стремится
на Хк к некоторому решению v уравнения Pv = 0, откуда и сле¬
дует наше утверждение, ибо Pvk+i = f в Xk.
Теперь легко показать, что все распределения представимы
в виде (2.2.1):
Теорема 4.4.7. Для всякого f^ZD'(X), XczRn, существуют
fa^C(X), такие что совокупность множеств supp/a локально
конечна и
/ (ф) = Yj S ^аф dx’ ф s С° W*
В случае f е Я)? число слагаемых в сумме можно взять конеч¬
ным.
Доказательство. Так как х™/т\ служит фундаментальным ре¬
шением для оператора (d/dx)m+l на R при любом целом неот¬
рицательном т, то произведение
£■(*) = *«. ... х™+Цт\)п
будет фундаментальным решением для Р = (дх ... дп)т+1 в R",
причем £еС* при k < т. Следовательно, если /е<§"*(R"),
то и = Е */ е C(R”) удовлетворяет уравнению Ри = f. В общем
случае, действуя, как при доказательстве теоремы 2.1.5, выбе¬
рем сперва какое-нибудь разбиение единицы 1 = Е 'Ф/ на а
затем для каждого / функцию х/ &С” (.Х), равную 1 вблизи


4.4. Роль фундаментальных решений 143
носителя функции ф/. Если ntj больше, чем порядок распреде¬
ления %jf, то, как мы только что видели, существует функция
Uj е C(R"), такая что (di ... dn)mi+x uj = %jf. Поэтому
</» Ф> = Е Ш> Ф/Ф> = Е (и/. ± (<3i • •. dn)mi+l (Ф/ф)).
Выполняя дифференцирования, получаем искомое представле¬
ние.
В качестве приложения теоремы 4.4.7 докажем такое обоб¬
щение следствия 3.1.6:
Теорема 4.4.8. Пусть X = УХ/с:iRn, где Y — открытое множе¬
ство в Rn_1, а 1 — открытый интервал в R, и пусть и е Ж)'(Х)
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
dnU-\-am-{dn~xu+ ... + aQu = f,
где а,- — дифференциальные операторы по х' = (хь ..., xn-i)
с коэффициентами из С°°(Х), a f — непрерывная функция от
Хг.^.1 со значениями в 3)'(Y). Тогда и является Ст-функцией
от ХпЕ= I со значениями в 3)'(Y).
Доказательство. Если допустить векторнозначные и и матрично¬
значные коэффициенты, то дело сводится к случаю m = 1, точно
так же, как это было для следствия 3.1.6. Поэтому будем далее
считать, что т = 1. Уменьшая, если надо, У и /, мы можем в
силу теоремы 4.4.7 записать и в виде конечной суммы
(4.4.6)	и= Е даиа,
|а|<ц
где С(Х), а из доказательства этой теоремы следует, что и
/= Е dafa, f.eCffl
| a |=S% а„=0
(просто рассматриваем хп как параметр и применяем это дока¬
зательство к остальным переменным). Если иа — 0 для всех а
с ап > 0, то и и дпи = f — aQu — непрерывные функции со значе¬
ниями в £D'(Y). В противном случае пусть v — наименьшее це¬
лое число, такое что иа = 0 при |а„| > v. Тогда
dnu = f — OqU = £ dafa — £ Оодаиа = £ даоа = d„E daVa,
где va и Va — непрерывные функции, причем va — 0 при ап > v,
Va = 0 при ап > v — 1. Действительно, представление с функ¬
циями va получается, если последовательно «протащить» коэф¬
фициенты оператора а0 через каждый оператор частного диф¬
ференцирования; напомним, что в а0 входят лишь производные
по х'. Чтобы перейти к представлению с Va, просто выделяем


144	4. Свертка
один множитель дп, если ап >• 0, или берем первообразную от
va по хп, если ап = 0. Для w = u — X daVa имеем d„w =0. Сле¬
довательно,
w — Y, dawa (xr)
В силу теорем 3.1.4' и 4.4.7. Таким образом,
» = X dawa (х') + £ daVa,
причем в каждом члене ап ^ v—1. Повторяя рассуждение v
раз, получим аналогичное представление, для которого ап = 0
в каждом члене, чем теорема и доказана.
В случае когда для и существует представление (4.4.6) с иа>
непрерывными в У X 7, проведенное выше доказательство дает
больше:
Теорема 4.4.8'. В дополнение к условиям теоремы 4.4.8 предполо¬
жим, что и можно продолжить до распределения в YX,J, где
J — некоторая открытая окрестность интервала I, a f непрерывна
в 7 (как функция со значениями в Ж)' (Y)). Тогда и является
Ст-фунщией на I со значениями в Ж>'(У).
■Заметим, что теорема 3.1.11 —в сущности лишь частный слу¬
чай последней теоремы, в котором речь идет о решениях уравне¬
ния Коши — Римана. Теорема 4.4.8' весьма важна, поскольку
она позволяет дать интерпретацию граничных условий типа
и = и о	при хп = х0,
где хо — концевая точка интервала I, a uo^3)'(Y). Кроме того,
она доставляет возможность однозначно продолжать и до рас¬
пределения в TXR, полагая и как функцию от хп равным 0
вне I.
4.5.	Основные //-оценки для сверток
В этом параграфе используется обозначение
II«Нр = ( JI и (Jf) 1р
для u^Lp(Rn), 1 ^ р < оо. Чтобы не возникало вопросов о
сходимости, мы обычно предполагаем, что и е С0, и в таком#
случае пишем [|u|[„> = sup|u|. Следующее неравенство по суще¬
ству представляет собой неравенство Гёльдера, к которому оно
и сводится в частном случае 6 = 2.


4.5. Основные ^-оценки для сверток 145
Теорема 4.5.1. Для любых т, • • •. iiieCj
(4.5.1)	l«i *«2* ••• *«fc(0)Kl|«illPl ••• ll«fellpfe,
если
(4.5.2)	l/pi+ ••• l/pk = k — 1 и Is^pjs^oo.
Доказательство. Рассмотрим сперва крайний случай, когда
pi = оо для некоторого скажем рi = с». Тогда р,- = 1 для всех
} ф 1 и неравенство (4.5.1) проверяется непосредственно. С дру¬
гой СТОРОНЫ, еСЛИ ПОЛОЖИТЬ 1 /pj — tj И Vi = \Uj\pj, то ясно, что
(4.5.1)	равносильно неравенству
(4.5.3)	v\l * ... *н**(0)г^ 1 при Os^i^eCo, ^Vjdx= 1,
где 0 s^l и £ </ = 6 — I. Левая часть этого неравенства —
выпуклая функция от t, поскольку выпукла по t функция
П V/ (Xjf1 = exp (£ tj log v, (x{)). Далее,
(tu..., y=E(i — */)?/.
где ё,- — вектор, у которого /-я координата равна 0, а все осталь¬
ные 1. Так как 0^1 —1/^1 и Yj (1 — t/) = 1, то справедли¬
вость нашего неравенства следует из того, что оно верно в слу¬
чае t = ei, разобранном в начале доказательства.
Следствие 4.5.2. Если 1^р/^°о, j — 1, ..., k, и
1/Pi + • • • + I/P* = k — 1 + l/q, 1 <<7<oo,
to
(4.5.4)	|| щ * ... * uk ||? < || щ ||p, ... || «* ||Pft.
Доказательство. Обозначая свертку в левой части через и, имеем
для любой функции v е С0
I	и * v (0) |< || щ Upj ... || ||pfe || v ||9„ I/р + \/q' = 1,
в силу (4.5.1) с & + 1 сомножителями. Неравенство (4.5.4) сле¬
дует поэтому из теоремы об обращении неравенства Гёльдера.
В частности,
(4.5.5)	||«*/г||д<С||«||р,
если l^p^^^'oo и k е Ьг, где \/r=\-\-l/q—1 /р. При
q = оо, как видно из обращения неравенства Гёльдера, оценка
(4.5.5)	может выполняться, только если k^Lr. То же верно и
для р=1, ибо в силу неравенства Гёльдера и его обращения
оценка (4.5.5) равносильна оценке
iu*i»*ft(0)KC||«||p||o||,',


146	4. Свертка
а значит, сохраняет силу, если заменить в ней q и р на р' и q',
где 1/р+1/р'=1, 1/<7+ \/qr = 1. Отсюда следует, в частно¬
сти, что наш результат (4.5.5) неприменим ни к какой однород¬
ной функции к при г < В самом деле, если, скажем,
(4.5.6)	Hy) = \yVnla, уе=Г,
то интеграл ^ k(y)rdy расходится на оо, когда г/а ^ 1, или
в 0, когда г/а ^ 1. Тем не менее мы докажем сейчас неравен¬
ство Харди — Литтлвуда — Соболева, утверждающее, что оцен¬
ка (4.5.5) остается справедливой и для этой функции k, как
если бы она принадлежала Ьа, за исключением крайних слу¬
чаев, в которых, как мы знаем, оценка (4.5.5) выполняться не
может:
Теорема 4.5.3. Если 1<а<оо, I<P<<7<00U
(4.5.7)	1/р+1/а=1 + 1/<7,
то
(4.5.5)'	||6а*и||д<Ср,а||ц||р, иеС0,
где ka — функция, заданная формулой (4.5.6).
Доказательство теоремы основано на нескольких леммах.
Ниже 1 /а + 1/а' = 1 •
Лемма 4.5.4. Еслц 1 ^ р < а', то
(4.5.8)	[|^*н|1со<Ср,а||и|Г'||ц||1ГР/а',	u<=Lp[\U°.
Доказательство. Для всякого R > О
\ka*u(x)\< J \уГп1а\и(х-у)Ыу+ J \yfnla\u(x-y)\dy
|y|<tf	1»1>я
< С (Еп~п1а || и IU -f En,p,~n,a || u ||p),
так как
\ I У Г"р7“ dy = ClRn~npr,a
\v\>k
при некотором конечном Си ибо р' > а. Если мы сбалансируем
слагамые, выбрав R так, чтобы Rn,p = || и|[р/|| иIL, то получим
/Гв, = |И^||и||;*в', откуда и следует (4.5.8).	*
Далее нам понадобится следующая фундаментальная лемма
Кальдерона и Зигмунда о покрытии:


4.5. Основные 2>-оценки для сверток 147
Лемма 4.5.5. Пусть «eL‘(R") и s — положительное число. Су¬
ществует представление функции и в виде суммы
оо
(4.5.9)	=
I
где все слагаемые принадлежат L1,
00
(4.5.10)	II ^ Hi + £l|iMi<3||u||If
1
(4.5.11)	| а (я) | <! 2rts почти всюду
и для некоторой последовательности попарно непересекающихся
кубов Ik
(4.5.12)	Wk(x) = 0 при хф.1к, ^wkdx — 0,
оо
(4.5.13)	.	«!>(/*)< II и II,.
. 1
В случае когда и имеет компактный носитель, носители функции
v и всех функций wu содержатся в некотором общем компакт¬
ном множестве.
Доказательство. Разобьем все пространство R" на кубы объема
> s_1^| ы Idx, так что среднее значение \и\ в каждом кубе <s.
Разобьем каждый куб на 2п равных кубов, и пусть 1ц, /!2,
/ 1з, ... —те из полученных таким образом открытых кубов, сред¬
нее по которым от |ы| не меньше sh. Имеем
(4.5.14)	sm(Ilk)s^ ^ | и \dx <2nsm(Ilk).
hk
Действительно, если куб /1* был получен разбиением куба I,
то, как следует из описанной конструкции,
sm(hk) ^ ^ | и \dx ^ | и \ dx < sm(I) = 2пsm{I\k) .
hk	i
Положим
v(x)= J udyjm(Iik)
при
Х^ Ilk,
(4.5.15)
hk
. . ( и (x)-v(x)
Wlk (*) = j 0
при
при
х ^ Ilk,
X^Iik-
Теперь произведем новое подразбиение всех кубов, не вхо¬
дящих в число кубов Iik, выберем новые кубы /21, /22, .... сред-
Число таких кубов конечно. — Прим, перев.
10*


148	4. Свертка
ние по которым от [ы| не меньше s, и распространим опреде¬
ления (4.5.15) на эти кубы. Продолжая так и далее, получим
попарно непересекающиеся кубы'//* и функции г»/*; перенуме¬
руем их в виде последовательностей. Если дополнить определе¬
ние функции v, положив v(x)= и(х) при хф.0 = 11/*, то, оче¬
видно, (4.5.9) будет выполнено. Чтобы доказать (4.5.10), заме¬
тим, что
J (|о| + |ю*|)Лс<3$ \u\dx.
'k	1к
Поскольку наши кубы попарно не пересекаются, до* равно нулю
вне /* и v — и на СО, мы немедленно получаем (4.5.10) . Далее,
в силу (4.5.14) неравенство (4.5.11) справедливо для каждого
ugO. Если же х^О, то найдутся сколь угодно малые кубы,
содержащие х, среднее по которым от |ы| меньше s. Следова¬
тельно, |h(x)|^s во всякой точке Лебега функции и в СО, а
значит, почти всюду. Соотношения (4.5.12) верны по построе¬
нию, а, складывая неравенства (4.5.14), мы получаем и (4.5.13),
поскольку наши кубы попарно не пересекаются. Доказательство
завершено.
Причина, по которой мы хотели, чтобы функции до* имели
нулевой интеграл, — в следующей лемме:
Лемма 4.5.6. Если у функции ®gE носитель лежит в кубе I,
^ до dx = 0 и I* — удвоенный куб, т. е. куб с тем же центром
и в два раза большей стороной, то
(4.5.16)	М |/га*до№у/а<Са||до||,.
V с/*	/
Доказательство. Можно считать, что центр куба / находится
в точке 0; длину его ребра обозначим L. Используя теорему о
среднем, получаем
| ka * до (х) | = | J (ka (х — у) — ka (x))w(y) dy |
<CL\x\-'-nla\\wl, хфГ,
откуда и следует (4.5.16), ибо
( $ |*ra-"d*y/a<C/L.
Лемма 4.5.7. Оператор ka* является оператором слабого типа
(1, а) в том смысле, что
(4.5.17)	m{x\ \ka*u(x)\> t}f ^Са||«||ь
ttG Ll.


4.5. Основные ^-оценки для сверток 149
Доказательство. Можно считать, что [|u||i = 1. Разложим и в со¬
ответствии с леммой 4.5.5. В силу (4.5.8) с р — 1
|fte*o|<Cs1'e.
Выберем s так, чтобы Csl/a = t/2. Тогда \ka * и(х) | > 1 влечет
H\ka*wk\> t/2. Для О =[} 1% имеем (ввиду (4.5.13), (4.5.10)
и (4.5.16))
m(0)<2"/s, J | ka * Wk |) dx^.C.
со
Отсюда вытекает, что
m {*; 'L\ka*wk\> t/2} < 2 n/s -f C (1/2)"a < CTa,
чем (4.5.17) и доказано.
Оценка (4.5.17) служит неким заменителем оценки (4.5.5)',
сохраняющим силу и при р = 1. Используя прием Марцинке-
вича, покажем теперь, что вместе с леммой 4.5.4 она дает тео¬
рему 4.5.3:
Доказательство теоремы 4.5.3. Можно считать, что ||ы||р = 1. По¬
лагая
m(t) — m {х; \ka*u(x)\> t),
имеем
оо	оо
\\ka*u\\4q = — ^ f dm(1) — q ^ t9~lm(1)dt,
о	о
так что нам надо оценить m(t). Расщепим функцию и по
«уровню» s, который будет выбран позднее:
и = v + w, причем v = и там, где [ и | ^ s, w — u там где | и | > s.
В силу (4.5.8) и (4.5.7)
II * V L < Csl-p!a’ = CsPt<i.
Выберем 5 так, чтобы
CspIo = 1/2.
Тогда \ka*u(x) |> 1 влечет \ka*w{x)\> t/2, а потому (4.5.17)
дает
{х; | ka * w {х) | > 1/2} = С'Га || w 11“,


150	4. Свертка
и мы получаем, используя неравенство Минковского1>,
[|6a*u||’<C"^,“1“a/' \ \u\dxX di
\lul>s J
с"(\( s
V Vs<( u(x) I	/	/
Интеграл no t (неопределенный) пропорционален f«-°, так как
q>a. При з = |ц(л:)| эта величина пропорциональна
\u{x)\{q-a)p,t, = \u{x)\ap'p'.
Поэтому
\\ka * и II? < С3 ( 5 | и (х) |1+р/р' dx)a = Сз ( 5 | и (*) |р dx)a = С3)
чем и завершается доказательство оценки (4.5.5)'.
В качестве приложения докажем сейчас теоремы вложения
Соболева, для вывода которых в действительности теорема
4.5.3	и предназначалась первоначально. Сперва дадим один ло¬
кальный вариант:
Теорема 4.5.8. Пусть ией)'(Х), где X — открытое множество
в Rn, и 1 < р < п. Если djU е LfQC(X), /= 1, ..., п, то не
L?0C(X), где q определяется равенством
(4.5.18)	l/p=l/q+l/n.
Доказательство. Пусть Е — фундаментальное решение для опе¬
ратора Лапласа, указанное в теореме 3.3.2. Положим £/ =
д,Е = Xj\x\~n/cn. Тогда
|£/(дс)К| xfnla/cn, где 1/a = 1 — 1/п,
и теорема 4.5.3 дает (поскольку С0 плотно в Lp)
(4.5.19)	П£/*р||,<С|[рЦ„> v^LpГ)*'-
Выберем функцию % ^ СГ (X), равную 1 в некотором большом
открытом подмножестве У в X. Имеем
%и = Е*Е(хи)= £ Е}*д,{уи)
=	(д,и)) +ZE, * {ид,х).
о Имеется в виду неравенство
(Л5/(/. *)^|вл)1/в<5(5|/(/. х) \а dtyia dx,
получающееся предельным переходом из неравенства треугольника в про¬
странстве La.— Прим, перев.


4.5. Основные ^-оценки для сверток 151
Здесь Ei»{i(djU.))^Lq в силу (4.5.19), a Ej *(ид,%)е C°°'(Y)
в силу теоремы 4.2.5, поэтому це£?ос(У), чем теорема и дока¬
зана.
Теперь дадим глобальный вариант теоремы 4.5.8:
Теорема 4.5.9. Пусть и<^0'(R") и 1 <. р < п. Если д,и е
Lp{R"), j — 1, ..., п, то найдется постоянная С, такая что
и — С ^ Lq (R"), где q определяется формулой (4.5.18).
Доказательство. Используя обозначения из доказательства тео¬
ремы 4.5.8, положим
0=X£,*3/liGt«( R")
и докажем, что dkV = dku, 6 = 1, ..., п, — отсюда будет следо¬
вать, что v — и есть константа. Здесь Lp^f-*-Ej*f^Lq обо¬
значает непрерывное продолжение отображения свертки с £/,
определенного на С0. Выберем функцию X s Со° (Rn), такую что
O^x^l и ][=1 в некоторой окрестности нуля, и положим
£®(х) = х(ех)£/(х). Мы утверждаем, что для w^Lp
E)*w-+Ej*w в L?(Rn) при е->0.
Поскольку |£® * w\q <Х|| w\\p, где С не зависит от е, достаточно
доказать это для w е С0. Но тогда E)*w — Ej*w на любом ком¬
пактном множестве при малых е, а | Е) * о>1 ^ j £,- j * j w |e Lq,
поэтому наше утверждение следует из теоремы о мажорирован¬
ной сходимости. Таким образом,
v = lim Е/ * djU, dkV — Нт YjE)* dkd,u = Нш ^ djEf * дш
В->0	Е->0	В-М)
(сходимость в 0'). Далее,
Ъ д,Е) = х (ех) А £ + е Z X/ (е*) ^/ = йо + «Ех, (ex) £,,
где X/ = <% Но £9-норма свертки (х/(ех)£/)*дй« остается рав¬
номерно ограниченной при е-»-0, следовательно, dkV = dku, что.
и требовалось доказать.
Когда р, возрастая, приближается к п, показатель q стре¬
мится к оо, и в предельном случае наш результат теряет силу *>.
Однако при р > п справедлив некий его заменитель, основанный
на следующем дополнении к теореме 4.5.3:
Теорема 4.5.10. Пусть функция 6е C1(R"\0) однородна степени
—п/а, 1 ^ р ^ оо и
(4.5.20)	0< Y = n(l- 1/fl— 1/р)< 1.
'> Заметим, что в случае л = р = 1 он верен. — Прим, перев.


1S2	4. Свертка
Тогда
(4.5.21)	sup \k*u(x) — k*u(y)\\x — i/rv<C||u[|p,
Доказательство. Рассматриваемая свертка является функцией,
поскольку
(4.5.22)	(	\ \k(y)f dyX'P'^CR(n~np,la)lp' = CRy.
Доказывая (4.5.21), мы можем считать, что у = 0, и будем ис¬
пользовать обозначение h — \x\. Имеем
k * и (х) — k * и (0) = ^ (k {х — у) — k (— у)) и (у) dy.
ч
Разобьем этот интеграл на два — интеграл по шару \y\<2h и
интеграл по его дополнению. Первый <.С'ИУ\\и\\р в силу (4.5.22).
Чтобы оценить второй, воспользуемся тем фактом, что \k(x\-
У) — ^ (у) | ^ Ch | у |	Это неравенство вытекает из теоремы
о среднем (ср.с доказательством леммы 4.5.6). Его правая часть
принадлежит Lv' на оо, поскольку
п — р'( 1 + п/а) = р'п (1/р' — 1 /а) — р' = р'(у— 1) < 0.
Следовательно,
( \ \k(x — у) — k{— y)f dy\IP' <C7i\
чем (4.5.21) и доказано.
Упомянутый заменитель теоремы 4.5.9 выглядит так:
Теорема 4.5.11. Пусть KG^'fR'1) и р > п. Если djU^Lp(R"),
/ = 1, ..., п, то и является непрерывной функцией и
(4.5.23)	sup \ и(х) — и(у)\/\ х — у \у	Y,\\ diu НР>
х Ф у
где у = 1 —п/р.
Доказательство. Рассмотрим свертку
» (х)= 5 Yj (£/(* — У) — Ei(— У))д1и(У)йУ’
представляющую собой модификацию свертки, использованной
в доказательстве теоремы 4.5.9. Из теоремы 4.5.10 и ее доказа¬
тельства вытекает, что v — непрерывная функция и что справед¬
ливо неравенство (4.5.23) с и, замененным в левой части на v.
Повторяя доказательство теоремы 4.5.9 и учитывая тот факт,
что Ер/-норма функции exi(ex)Ej в силу (4.5.22) есть 0(e1-v),


Примечания 153
получим, что dkV = dku для каждого k. Тем самым теорема до¬
казана.
Приводимый ниже локальный вариант теоремы 4.5.11 дока¬
зывается точно так же, как теорема 4.5.8, только со ссылкой
на теорему 4.5.10 вместо теоремы 4.5.3.
Теорема 4.5.12. Пусть и^З)'(Х), где X — открытое множество
в R", и р > п. Если djU е Lfoc (J), /'==1, ..., п, то и является
гёльдеровой функцией порядка у = 1 — п/р, т. е.
(4.5.24)	sup | и(х) — и (у) |/| х — у |v < оо для К ШХ.
X ф у, х, у <з к
Повторно применяя предыдущие теоремы, получаем теоремы
вложения Соболева в полном объеме:
Теорема 4.5.13. Пусть ией)'(1), где X — открытое множество
в R”, 1 < р < оо и m — натуральное число. Предположим, что
даи^ LioC(X) при \а\ = т. Тогда при |а| Cm
(i) даи е L?oc(X), если р < оо и 1/р ^ 1/р + (т— |а})/п,
(И) даи является гёльдеровой функцией порядка у, если
0 < у < 1 и
1/р<(т —|а[ —у)//г.
Доказательство. Утверждение (i) получается из теоремы 4.5.8
индукцией по убывающему |а|. Чтобы доказать (И), достаточно
ввиду теоремы 4.5.12 показать, что d/daueL?0с> / = 1, ..., п,
если n/q = 1 —у. Но в таком случае
1/р < l/q + (пг — [ а | — 1)/п,
так что это следует из (i) или из предположения теоремы.
Соответствующий глобальный результат совершенно анало¬
гичен, только в (i) и (И) знаки заменяются знаками =, и
мы опустим его формулировку.
Примечания
Описанные в § 4.1 приложения метода регуляризации к изуче¬
нию выпуклых, субгармонических и плюрисубгармонических
функций предназначены в основном для того, чтобы проиллю¬
стрировать пользу этого метода, но некоторые из полученных
результатов понадобятся нам в гл. 15 и 16. Более подробное из¬
ложение затронутых вопросов теории выпуклых функций и мно¬
жеств читатель может найти в классическом руководстве Бонне-


154 ' 4. Свертка
зена и Фенхеля (Bonnesen, Fenchel [1])!). В гл. 16 мы продол¬
жим исследование субгармонических и плюрисубгармоническйх
функций, используя формулы представления из теории потен¬
циала. По теории субгармонических функций имеется недавно
вышедшая монография Hayman, Kennedy [1], а насчет теории
плюрисубгармонических функций читатель может справиться в
книге belong [1]. Теорема 4.1.12 по сути дела восходит к Пуан¬
каре (Poincare [1]), а теорема 4.1.15 принадлежит Лелону
(belong [2]).
Определение свертки распределений в § 4.2 мы дали, следуя
Гельфанду и Шилову [1]. Определение самого Л. Шварца будет
дано в § 5.1. Теорема о носителях из § 4.3 в одномерном случае
принадлежит Титчмаршу (Titchmarsh [1]). Простой способ
обобщить ее на я-мерный случай был предложен Лионсом
(bions [1]). Большинство доказательств этой теоремы в той
или иной степени опирается на теорию аналитических функций
(см. § 16.3). Микусиньский (Mikusinski [1]) изобрел способ рас¬
суждения (которым мы здесь и воспользовались), сводящий
дело к случаю свертки с одинаковыми сомножителями. В этом
случае теорема о носителях является следствием теоремы
Пэли — Винера (теоремы 7.3.1). Мы дали прямое элементарное
доказательство, использующее лишь свертки. Сходное рассуж¬
дение встречалось у Микусиньского (Mikusinski [2]).
Сделанные в § 4.4 замечания об использовании фундамен¬
тальных решений будут в систематической форме развиты в
гл. 10 и 11, поэтому здесь мы воздержимся от обсуждения этих
результатов. Оценки §4.5 для случая я= 1 принадлежат Харди и
Литтлвуду (Hardy, bittlewood [1]). Соболев [2] довольно слож¬
ным способом, использующим сферическую симметризацию, свел
я-мерный случай к одномерному. Позднее Дю-Плесси (DuPlessis
[1]) заметил, что имеется совсем простой способ такого сведе¬
ния, основанный на неравенстве, связывающем среднее геоме¬
трическое и среднее арифметическое. Здесь мы предпочли дать
доказательства в духе Зигмунда (Zygmund [1]), применимые
и в близкой ситуации, которая будет обсуждаться в § 7.9. Клю¬
чевой момент этих доказательств —лемма о покрытии, принад¬
лежащая Кальдерону и Зигмунду (Calderon, Zygmund [1]), а
в одномерном случае фактически Ф. Риссу (F. Riesz [1]). Об¬
стоятельное изложение результатов, родственных теоремам вло¬
жения Соболева, читатель найдет в работе Nirenberg [4].
Весьма простой вывод теорем вложения из максимальной тео¬
ремы Харди — Литтлвуда можно найти в статье Hedberg [1].
о Или в книге Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1973. — Прим, перев.


5
Распределения
в произведениях пространств
Краткое содержание главы
В гл. 3 мы не могли определить произведение произвольных рас¬
пределений. Однако, как мы сейчас увидим, это всегда можно
сделать, если рассматриваемые распределения зависят от раз¬
личных переменных. А именно, для произвольных распределе¬
ний Uj '(Xj), где Xj — открытое множество в R , (/ = 1, 2),
мы определим в § 5.1 произведение их <8>U2^0'(X 1X^2) — рас¬
пределение в XtXX2cz Rrtl+fl2. В случае когда щ — функции, это
будет функция XlXX2^(Xi,X2)^Ui(Xl)U2(X2).
С другой стороны, каждую функцию Kg С(Х\ X Х2) можно
рассматривать как ядро интегрального оператора Ж:
(Жи) (х,) = ^ К {хи х2) и (х2) dx2,
отображающего, скажем, Со(Х2) в C(Xi). Охарактеризовать
все операторы, обладающие такими ядрами, нелегко. В теории
же распределений имеется весьма удовлетворительный аналог
такой характризации. Это так называемая теорема Шварца о
ядре, утверждающая, что распределения КС е к)'(Х{ X Х2) на¬
ходятся во взаимно однозначном соответствии с непрерывными
линейными отображениями Ж из С™(Х2) в Я)’ (AY). Она доказы¬
вается в § 5.2. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 8.2. Полу¬
ченная к тому времени довольно точная классификация особен¬
ностей позволит нам обсудить вопрос о регулярности распреде¬
ления Ж и и о его определении для случая, когда и не является
гладкой функцией.
5.1.	Тензорные произведения
Пусть Xj — открытое множество в R' Ч / = 1,2, и и;е= С(Х,).
Функция их <g> м2 на АС-! X АГ2 <= R”,+'t!, задаваемая формулой
*2) = «l(*l)«2(*2), Xj€=Xj,


156	5. Распределения в произведениях пространств
называется тензорным произведением функций и\ и ы2. Чтобы
распространить это определение на распределения, заметим, что
u^ ® U2 £= С (X) X Х2) и
^ («1 ® Щ) (<Pi ® ф2) dx{ dx2 = 5 Ы1Ф1 dx! 5 «гф2 dx2, ф/ <= С” (Я/).
Теорема 5.1.1. Для любых распределений Uj^2)'(Xj), j— 1,2,
существует единственное распределение и^З)'(Х 1X ^2), такое
что
(5.1.1)	' а(ф1®ф2) = н1(ф1)и2(ф2), ф/б= СГ (Х/>.
При этом
(5.1.2)	«(ф) = и1[«2(ф(х1, дг2))] = «2 [«I (ф («I, *2))], фе=СГ№Х*2);
здесь предполагается, что и/ действует на последующую функ¬
цию как на функцию лишь от Xj. В случае когда и/ е <§’, / = 1,2,
та же формула справедлива для <р е С°°. Распределение и назы¬
вают тензорным произведением распределений ui и ы2
и пишут U = Ul<8> U2.
Доказательство, а) Единственность. Нам надо показать, что если
и*=3)'{Х 1X^2) и
ы(ф,®ф2) = 0 для	ф j^C^(Xj),
то и = 0. С этой целью возьмем функции ф; е C”(r"0» такие что
ф/^о, 5ф/^К/=1 и \Х/ 1^1 ДЛЯ XySSUppify, и положим
^(*1, x2) = e-'l'-n^l(xl/s)ty2(x2/e).
В силу теоремы 4.1.4 для всякого Ecs.X'iX^ мы имеем
u*We-*-u в 2D’{Y) при е->0. Но ы*Чге = 0 в Y при малых е,
поскольку ^(xi — У\,х2 — У2) есть произведение функции от уi
и функции от у2. Поэтому и = 0 в У, а значит, и в X.
Ь) Существование распределения и и формула (5.1.2). Пусть
Kj — компактное подмножество в Xj. Тогда
1«;(ф/)КС7 £ sup I авф;	ф ,s=Co(Kj).
I
Если фе=СГ(Д1Х Дг). то
/ф (*l) = «2 (ф (■»!. ’))
принадлежит Co°(#i) по теореме 2.1.3 и
dS.M*i) = “a(dStf(*i> •))•
Следовательно,
supI^“,/ф(дгО| С2 £ supIд“Дф(*!, х2)\.
I 0 | ^ &2


5.2. Теорема о ядре 157
Таким образом, щ(1ч) определено и
I	Щ (Лр) К СА Z sup|d2$Jfr(*i, ж2)|-
\al\<kl
Полагая u(<p) = ui(/<p), получаем распределение и, удовлетво^
ряющее равенству (5.1.1) и первому равенству (5.1.2). Тем же
путем получим распределение и, для которого выполнено (5.1.1)
и равны первый и третий члены в (5.1.2). Следовательно, в силу
уже доказанной единственности, для и выполняются оба ра¬
венства (5.1.2). Заключительное утверждение теоремы доказы¬
вается аналогично. Заметим, что
(5.1.3)	supp щ <g> «2 = supp и{ X supp «2-
Пример 5.1.2. Тензорное произведение б0[ X 6а2 мер Дирака 60/
в точках а/еХ/ есть мера Дирака ба в точке а = (аь а2)е
X Х2. Теорему 2.3.5 можно теперь переформулировать сле¬
дующим образом: если и <= !&'(Xi X Х2)— распределение по¬
рядка k и supp и с= Xj X {a2}, «2 е Х2, то
и= Y иа<8)дада„
| а | < k
где а — мультииндекс, отвечающий Х2-переменным, и иа<=
0'*Ча|(Х,)-
Прямой проверкой можно убедиться, что формула (1.3.1)'
пригодна для определения свертки и в общем случае. В самом
деле, если щ, и2^Ж>'( Rn) и одно из этих распределений имеет
компактный носитель, то
(5.1.4)	(и{ <g> щ) (ф (xj + х2)) = (и{ * щ) (ф), феСГ(К"),
так как
щ (ф (х, + х2)) = («г * ф) (— х,)
(напомним, что ф(х) = ф(—х)), а потому левая часть (5.1.4)
равна Ui *(и2 * ф) (0) = (ui * ы2)« ф(0)). Равенство (5.1.4) можно
было бы принять в качестве определения свертки распределе¬
ний. Однако нам было удобно уже иметь в своем распоряжении
свертку при доказательстве теоремы 5.1.1.
5.2.	Теорема о ядре
Каждая функция К е С (Xi X Х2) задает интегральный опера¬
тор Ж из С0(Х2) в С(Хi) по формуле
(Жу) (*[) = ^ К (хь х2) ф (х2) dx2,
Ф^Со(Х2), хх^Х\.


158	5. Распределения в произведениях пространств
Мы покажем сейчас, что если ограничиться функциями ф из С”
и позволить Жф быть распределением, то это определение мож¬
но распространить на произвольные распределения К. Начнем
с того очевидного наблюдения, что в случае, когда К ^
С(Х:ХХ2),
(5.2.1)	{Жц>, Ф) = Х(Ф®ф); Ф е= Со (X,). фёСГ№).
Теорема 5.2.1 (теорема Шварца о ядре). Каждое распределение
К е 3)' {Х\ X Хг) определяет по формуле (5.2.1) линейное ото¬
бражение Ж из С™ (Х2) в 3'(Хх), непрерывное в том смысле,
что Жц>/ —► 0 в ЗУ (Х\), если ф,-»-0 в С“(Х2). Обратно, для каж¬
дого такого линейного отображения Ж существует одно и только
одно распределение К, для которого выполнено (5.2.1). Его на¬
зывают ядром отображения Ж.
Доказательство. Если К^З)'(Х\ X Х2), то формула (5.2.1) за¬
дает распределение Жу, поскольку отображение ф-> Х(ф ® ф)
непрерывно, и Ж непрерывно, поскольку отображение ф->
Х(ф®ф) непрерывно. Переходя к обратному утверждению, за¬
метим прежде всего, что единственность устанавливается точно
так же, как в теореме 5.1.1. Доказательство существования нач¬
нем с того замечания, что для любых компактных множеств
Kj a Xj найдутся постоянные С, N,, такие что
(5.2.2)	\(Ж<р, ф>|<С У sup|d“ip| У supI^Рф|;
фе=СГ(*1),	ФеС„"(/(2).
Действительно, билинейная форма
Со (Л-,) X Со (К2) э (Ф, Ф) — (Ж<Р, Ф)
по предположению непрерывна по ф (соотв. по ф) при фиксиро¬
ванном ф (соотв. ф), а всякая раздельно-непрерывная билиней¬
ная форма на произведении пространств Фреше непрерывна.
Пусть У/<шХ/. Выберем компактные множества К/, являю¬
щиеся окрестностями множеств ?/, и положим для (хи х2)е
Y\ X У2 и малых е > О
(5.2.3)	Кг(хи х2) — e~n'~ni{Жфз((х[ — •)/«)> ФД^ — - )/г)),
где функции ф/ — такие же, как в доказательстве теоремы 5.1.1.
Заметим, что если бы мы уже знали, что распределение К,
удовлетворяющее (5.2.1), существует, то Ке равнялось бы
/С*Чге1> и, следовательно, стремилось бы к К при е->0. Наша
дальнейшая программа — показать, что Ке действительно имеет 11) Ye было определено в доказательстве теоремы 5.1.1. — Прим, перев.


5.2. Теорема о ядре 159
предел в ZD'(Y\ X У2) при е-»-0, а затем проверить, что для
этого предела выполнено (5.2.1).
Значение Кг(хь х2) определено при всех е, меньших чем
минимальное из расстояний от У/ до С К/, и в силу (5.2.2)
(5.2.4)	|/t6(*i, х2)КСе-^ при Ху^Уу, /= 1,2,
где р = Ni + N2 + tii + п2. Покажем, что Ке имеет предел в
2[)'v-+i(Yl X У2) при е-> 0 (последующее рассуждение весьма
близко к использованному при доказательстве теоремы 3.1.11).
Заметим, что для всякой функции ф е C°°(R")
(5.2.5)	(е-пф (х/е)) = ^	где Ф/ (*)="- *&(*)•
В самом деле, ввиду тождества Эйлера для однородных функций
е~§£ (®'"Ф (Ф)) + TixiS^	“ ПЕ~П^
откуда и следует (5.2.5). Далее, из условия непрерывности
(5.2.2)	вытекает, что мы можем дифференцировать (5.2.3) как
по е, так и по х,- «под знаками» < > и Ж, и ввиду (5.2.5) это
дает
дКг(х\, х2)/де= £ d£(xi, x2)/dxv,
V
где xv пробегает все координаты точки (xi, х2). Здесь 1Л опре¬
деляется точно так же, как Ке, только функция Ф1 или фг за¬
меняется на ее произведение с —х„, поэтому (5.2.4) справедливо
и для Le• Повторяя эту процедуру, заключаем, что
K(Hxv х2)==д’Ке (*j, х2)/де!
есть сумма производных /-го порядка от функций, удовлетво¬
ряющих оценке вида (5.2.4), а, следовательно, множество рас¬
пределений	ограничено в ^УДУ^Уг) при каждом /. За¬
фиксировав малое б > О, запишем формулу Тейлора
/Сг = £(е~ 6)7 кТ/р. + (е-б)1**1 5 /C^Ve-б)(1 - tf/nl dt
О	о
и устремим е к 0. Поскольку при е < б
(1-/УУ(в + /(в-в))®<в-|\


160	5. Распределения в произведениях пространств
то для
р
{Кг-i Ф)-*<Ко, Ф>=£(- ^ W/!, Ф>
О
1
+ (- б/+1 5 <*tu\ Ф>(1 - 07и! dt при е-*■(),
О
где Kq^^+1(Y;xY2).^
Пусть теперь ф,еС0“(^). Рассмотрим
(Ке, Ф1 ® Ф2> = 5 S	ф1 ^ ^ dXl dx2-
Вводя обозначение ф/.в (*/) = е_,1/Ф/(—*//е)> получаем
$$ Де(*1> x2)yl{xl)q2(x2)dxldx2
= 5 \ (X$i. е ( • — Х2) ф2 (х2), Фь е (• — *i) Ф1 (*i)> dx{ dx2.
Приближая интеграл римановыми суммами, заключаем, как и
при доказательстве леммы 4.1.3, что интегрирование можно вы¬
полнить «под знаками» < > и Ж, а значит,
(Key Ф1 ® Ф2> = (X (ф2 * %, в)> Ф1 * Фи в>-
Так как ф/*Ф/, 8->ф/ в С“(У/) при е->0, то ввиду (5.2.2) пра¬
вая часть последнего равенства стремится к <Хф2, ф1> при
е->0. Таким образом,
(Ко, Ф1®ф2> = (Жц2, ф!> для фj^CoiY,),
а поскольку Y/— произвольные относительно компактные под¬
множества в Х[, доказательство этим и завершается.
Пример 5.2.2. Ядром тождественного отображения Ж: Со’(Х)-*-
С“(Х), где X — открытое множество в R", является распреде¬
ление
(К, Ф) = J Ф (х, х) dx, Ф е= Со (X X X),
носителем которого служит диагональ {(*, л:), j:gX}.
Теорема 5.2.3. Ядро непрерывного линейного отображения
Ж: Со (X) —»• Я)' (X) имеет носитель на диагонали произведения
X X X тогда и только тогда, когда
(5.2.6)	Хф=2>а<5“ф.
где аа е Я)' (X) и число слагаемых в сумме локально конечно.


5.2. Теорема о ядре 161
Доказательство. Для оператора (5.2.6)
<Хф, Ф)= Е («а. (даф) ф).
Поэтому его ядро задается формулой
(К, Ф)=£<аа, дауФ(х, у)\х.у)
и, очевидно, имеет носитель на диагонали. Обратно, если у ядра
К оператора X носитель лежит на диагонали, то, как следует
из теоремы 2.3.5,' К имеет указанный выше вид, чем теорема и
доказана.
Операторы, описанные в теореме 5.2.3, сохраняют носители.
Более общим образом, справедлива
Теорема 5.2.4. Если К е Ф'{Хх X -Хг) и X — соответствующий
оператор, то
(5.2.7)	supp Хы<= supp/(° supp и, иеС0"(12).
Здесь supp К сХ)Х^2 рассматривается как отношение,
действующее на множество supp и а Х2, т. е. значок композиции
понимается в следующем смысле:
supp К 0 М = {*i е Хх\ Зх2 €= М, (хх, х2) е supp К}-
Для компактных М это множество замкнуто, ибо supp К —
замкнутое множество.
Доказательство. Предположим, что хх ф supp К ° supp и. Тогда
найдется окрестность V точки хх, такая что Ef) (supp К° supp и)
= 0. Если иеСЛЕ), то
(supp v<8> и) П supp К = 0,
а значит, {Жи, п>=0. Следовательно, Жи — 0 в V.
Пример 5.2.5. Пусть f: Хх-*Х2 — непрерывное отображение и
Хф =ф°/ для	(Х2). Ядро отображения X задается фор¬
мулой
(К, Ф> = J Ф (х, f (х)) dx, Ф е cf(Xx X Х2),
так что носитель К совпадает с графиком /.
Оператор (5.2.6) допускает естественное продолжение на все
Ф е если коэффициенты аа принадлежат С°°. Общие условия
на гладкость коэффициентов, достаточные для существования
таких продолжений, будут даны в гл. 8, а здесь мы приведем
лишь один элементарный пример: 1111 Зак. 821


162	5. Распределения в произведениях пространств
Теорема 5.2.6. Если К е С°°(Х! ХХД, то отображение Ж, опре¬
деленное формулой (5.2.1), можно продолжить до непрерывного
линейного отображения из <?"(Х2) в С°°(Хi), а именно по фор¬
муле
(5.2.8)	Жи(х1) = и(К{х1, •)).	м<=<Г(Х2), л^еХ,.
Обратно, всякое непрерывное линейное отображение Ж из
<&'(Х2) в C°°(Xi) задается таким образом при помощи некото¬
рого ядра К е C°°(Xi Х-^г).
Доказательство. Пусть К & С°°. То, что формула (5.2.8) задает
отображение $'(Х2)-+- C°°(Xi), вытекает из теоремы 2.1.3, а его
непрерывность следует из теоремы 2.1.8. Обратно, пусть нам за¬
дано непрерывное линейное отображение Ж: S"(X2)-+- C°°(Xi).
Тогда
К (•> х2) = Ж6х2,	х2^Х2,
есть непрерывная функция от х2 со значениями в C°°(Xi). Рас¬
сматривая соответствующее разностное отношение, убеждаемся,
что функция К непрерывно дифференцируема по х2, причем
(у, дХ2) К (•, х2) = — Ж (у, д) 6Х2.
Повторяя это рассуждение, находим, что К е C°°(Xi X Х2). Со¬
отношение (5.2.8) справедливо, поскольку оно выполняется для
конечных линейных комбинаций мер Дирака, а эти комбинации
плотны в (S’.
Примечания
Тензорное произведение распределений было определено
Л. Шварцем в его монографии Schwartz [1], а теорема о ядре
была анонсирована чуть погодя в докладе Schwartz [2]. В обоих
случаях ключевым моментом было разложение пробных функ¬
ций на X! X Х2 в сумму тензорных произведений пробных функ¬
ций на Xi и на Х2. В связи с этим превлекалось к рассмотрению
топологическое тензорное произведение пространств C“(Xi) и
С0 (Х2), и этот аспект подчеркивается в данном самим Швар¬
цем доказательстве теоремы о ядре (Schwartz [4]). Эренпрейс
(Ehrenpreis [4]) предложил более элементарное доказатель¬
ство, в котором указанное разложение осуществлялось с по¬
мощью разложения в ряд Фурье (см. также Gask [1]). Мы же
использовали здесь тот факт, что регуляризацию произвольной
пробной функции на XiXX2, выполненную при помощи произ¬
ведения двух пробных функций на соответствующих простран¬
ствах Rn' и Rni, можно рассматривать как суперпозицию тен¬


Примечания 163
зорных произведений пробных функций на Xi и на Х2. Чтобы
иметь возможность воспользоваться этим рассуждением, нам
пришлось определить свертку прежде тензорного произведения.
Отметим интересное добавление к теореме 5.2.3, принадле¬
жащее Петре (Peetre [2]): всякое линейное отображение
Ж: С™ {Х)-+С°° (X), такое что supp Ж cz supp и для всех и
е Со” (X), представляет собой дифференциальный оператор с
С°°-коэффициентами, т. е. имеет место (5.2.6) с аа е С*4. Заме¬
тим, что непрерывность Ж не предполагается, — она вытекает
из предположения о носителях.
и*


6
Композиция
с гладкими отображениями
\
Краткое содержание главы
Если задано отображение f: R" Rm, то всякую функцию и на
Rm можно «поднять» на R", а именно образовать композицию
ко/. В § 6.1 мы покажем, что эту операцию можно распростра¬
нить на все распределения и, если отображение / принадлежит
классу С" и его производная сюръективна. (Как будет обна¬
ружено в § 8.2, такую композицию можно определить и для
более общих отображений /, в случае когда в некотором точном
смысле известно расположение особенностей к.) В качестве ппи-
мера в § 6.2 показывается, как, используя степени веществен¬
ных квадратичных форм, строить фундаментальные решения для
однородных дифференциальных операторов второго порядка
с вещественными коэффициентами. В § 6.3, опираясь на тот
факт, что можно брать композиции распределений с диффеомор¬
физмами, мы определяем распределения на С°°-многообразиях —
просто как распределения в локальных координатах, ведущие
себя надлежащим образом при заменах координат. В 4 6.4,
продолжая обсуждение многообразий, мы даем краткий обзор
исчисления дифференциальных форм на многообразии, завер¬
шающийся изложением теории Гамильтона — Якоби для диф¬
ференциальных уравнений первого порядка. Эти результаты не
понадобятся нам вплоть до гл. 8. Геометрические понятия, свя¬
занные с теорией Гамильтона — Якоби, будут значительно более
глубоко рассмотрены в гл. 21.
6.1.	Определения
Пусть Xj — открытое множество в R , 7 = 1, 2, и /: Xi->X2 —
отображение класса С°°. Мы хотим распространить определение
композиции
СИви-^йо/еС0®


6.1. Определения 165
на распределения и так, чтобы получающееся отображение
было непрерывным. Из теоремы 4.1.5 следует, что если это
вообще можно сделать, то лишь единственным образом. Однако
на f заведомо придется наложить определенные условия:
Теорема 6.1.1. Если u/of-^-O в ЗЬ'{Х\) для всякой последова¬
тельности И/ е С (Х2), сходящейся к 0 в ®'(Х2), то отображение
f открыто, т. е. f (V) открыто в Х2 для любого открытого V cz Х{.
Если иеС0“(Г2) влечет ио/еС“№)> то отображение f явля¬
ется собственным.
Доказательство. Второе утверждение очевидно, ибо для каж¬
дого компактного подмножества К в Х2 можно подобрать функ¬
цию и, равную на нем 1, и заключить, что и о f — 1 на множестве
F~t(К), которое, следовательно, обязано быть компактным, если
«o/eCfli). Докажем первое утверждение. Допустим, что f
не открыто. Для определенности предположим, что 0 е Хь
/(0) = 0 и V — компактная окрестность нуля в Xi, такая что
f(V) не является окрестностью нуля в Х2. Выберем последова¬
тельность точек yi^f(V), сходящуюся к 0, и положим |г//| = 8/.
Далее, возьмем какую-нибудь неотрицательную функцию и е
Co°(Rnj), равную 1 в единичном шаре, и положим ие{у) =
г~п'и(у/е.). Тогда ме ° f (х)^е~п‘ при С | л: | <С е. Поскольку u8°f
^ 0, отсюда следует, ввиду, например, теоремы 2.1.9, что ue°f
не стремится к 0 в g)'(Xi) при е-»-0. Но последовательность
Vj = Uz.	^	Н/, ад б у
1 I а |	1
сходится к 0 в @>'(Х2) при п2 — «1 + Р^О и надлежащим об¬
разом подобранных числах а/,а- Действительна,
{v~, ф> = в»»-*- J ф (е,*/) и (у) dy— Yj ai. а (— д)“ Ф (У/)
I а I <11
= еГ""'5 S <?“ф (у!)1(г!у ~~ yifU ^ dy!a[
U|<li
+ 0(е»2-'1‘+‘‘+1)— £ а/.а(— <3)“ф («//)>
I а| <ц
и надо просто взять
а, а = (—1)! “1	J (в}y — yt)a и (у) dy/a\.
Заменяя распределения да6й/ их гладкими аппроксимациями
с носителем в Сf{V), получим последовательность


166	6. Композиция с гладкими отображениями
в (Х2), такую что = в V. Эта последовательность
не сходится к 0 в	чем Теорема и доказана.
Если f открыто, то производная f'(x) сюръективна для всех
х из некоторого открытого плотного подмножества в Xt. Об¬
ратно, в силу теоремы о неявной функции f открыто, если f(x)
сюръективна для всех х. Покажем, что в этом случае можно
определить композицию f с распределениями:
Теорема 6.1.2. Пусть Xj cr Rn/, / = 1, 2, — открытые множества
и f: Xi-+X2 — отображение класса С°°, у которого производная
f (х) сюръективна для всех х е Хь Тогда существует единствен¬
ное непрерывное линейное отображение /*: 2)'(X2)-+2)'(Xi),
такое что f*u — u°f, когда и^С°(Х2). Для каждого k оно пе¬
реводит ЗУ*(Х2) в 2)'k(Xi). Распределение f*u называют об¬
ратным образом распределения и при отображении f или
поднятиеми при помощи отображения f.
Доказательство. Как уже было замечено, единственность сле¬
дует из теоремы 4.1.5. Докажем существование. Для произволь¬
ной фиксированной точки *0 е Xj возьмем какое-нибудь (^-ото¬
бражение g: X1->R'l'~ni (например, линейное отображение), та¬
кое что прямая сумма
f®g: Xl^x^(f(x), g(x))^Rn‘ = Rn’®Rni~ni
имеет в хо биективную производную. По теореме об обратной
функции найдется открытая окрестность У1 cz Xi точки лг0, су¬
жение на которую отображения f®g является диффеоморфиз¬
мом ее на некоторую открытую окрестность У2 точки (f(x0),
g(x0)). Обозначим обратный диффеоморфизм через А. Для лю¬
бых «еС°(Х2) и <peC”(Fi), производя замену переменных,
получаем
^ (f*u)<р dx=^u{f (*))ф(х) dx = ^ и(у')ф(А (у)) | det Л' (у) \ dy;
мы пишем здесь у = {у', y")^Rn2®Rn,~nt- Следовательно,
(6.1.1)	(Г“)(ф) = (ы® 1) (Ф), где ф {у) = ф(А{у)) | det А'(у) \
(1 в тензорном произведении — это функция 1 на Rrtl п*)• Пусть
теперь и^&'(Х2). Выберем последовательность '	(Х2),
такую что	в Ф'(Х2). Из замечания после теоремы 2.2.4
вытекает, что последовательность f*Uf сходится в @>'{Х) к не¬
которому распределению f*u, задаваемому на Уi формулой
(6.1.1)	. Таким образом, эта формула дает локальное определе-
■> В оригинале pullback. — Прим, перев.


6.1. Определения 167.
ние f*u, и из нее сразу вытекает непрерывность отображения
и ->/*«. Теорема доказана.
Замечание. Из проведенного доказательства видно, что в слу¬
чае, когда f — всего лишь класса С.*+1, отображение /* опреде¬
лено и непрерывно на &>'*. Действительно, ф->Ф— непрерыв¬
ное отображение из Со в Со- (Одна «лишняя» производная у f
нужна, потому что в det А' входит производная от f.)
Поскольку мы определили f*u непрерывным продолжением,
исходя из случая функций к, ясно, что сохраняют силу обычные
правила вычисления:
(6.1.2)	djf'u — 2 dtfkf*dku, u^SD' (Х2) (цепное правило),
<6.1.3) f*(au) = (f'a)(fu),	аеС°°(Л’2), ией)'№).
Здесь предполагается, что f удовлетворяет предположениям тео¬
ремы 6.1.2. Если имеется еще одно С°°-отображение g: Х2-*-Х%
с сюръективной производной, то
<6.1.4)	(gof)*« = /Vu, и<=Ф'{Х3).
На практике часто бывает удобно вместо f*u использовать
обозначения u(f), u°f или даже u(f(x)), так как формулы
(6.1.2)	— (6.1.4) выглядят тогда более привычно. Однако при
этом следует всегда помнить, что речь идет об обобщении по¬
точечного определения, задаваемом формулой (6.1.1).
Пример 6.1.3. Если f — диффеоморфизм Х)->-Х2 открытых мно¬
жеств в R", то f*6y = | det f(x) |-‘6*. где f(x) = у. Это следует
из (6.1.1) с А = f~l.
Пример 6.1.4. Если Mtx = tx, х е R", t > 0, то
(Mtu) (ф) = и (ф (•//)//“).
Таким образом, соотношение (3.2.18) с t, замененным на 1 /(,
означает, что
Mtu = fu в Rn \ О,
а это не что иное, как обычное определение однородности сте¬
пени а.
Теорема 6.1.5. Пусть р — вещественнозначная функция из С°° (X),
X cz R". Если | Р' I = (ZI дфх, |2)1/2 ф 0 в тех точках, в которых
р — 0, то р*60 = dS/Ip'l, где dS — евклидова поверхностная
мера на поверхности {х\ р(х) = 0}.
Доказательство. Пусть р(хо) = 0, и пусть для определенности
<Эр (х0) /дх\ ф 0. Тогда в некоторой окрестности точки хо


168	6. Композиция с гладкими отображениями
применима формула (6.1.1) с
Л"' (*) = (р(ДС), *2	*»)•
Точка Л(0, у2, .... Уп) = ($(у2, .... уп), У2, •••. Уп) лежит на
поверхности р = 0, и для «реС"(У), где У — указанная выше
окрестность точки хо,
<р*60, ф) = 5	51рI)°hУ* •••’ У»)аУ2 ••• ЛУп-
Поскольку р (ф, у2, .... Уп) = 0, то для / = 2, ..., п
d\pd$/dyj + djP = 0.
Следовательно,
/	п	\ 1/2
I р' I = I а,Р | м, м = (^1 + I №/ду,у) .
Так как на рассматриваемой части нашей поверхности, задавае¬
мой при помощи параметров у2	уп, мы имеем dS = Mdy2...
dyn, то теорема доказана.
Из (6.1.2) следует, что для функции Хевисайда Н
д}Р*Н = (<?/Р) р*60 = (<5/P) dS/\ р'|.
Тем самым мы получили другое доказательство формулы Гаус¬
са— Грина (3.1.5). Распределение р*б0 называют простым слоем
на поверхности р = 0, а его производные — кратными слоями.
Последние по сути дела представляют собой поднятия при по¬
мощи р производных от в0. Действительно, пусть
L=^aa{x)da
— дифференциальный оператор с (^-коэффициентами. Опреде¬
лим операторы Lk следующим образом: L° = L, L*+1 =[Lk, р],
т. е.
Lk+iu — Lkpu — pLku.
Очевидно, что Lk — дифференциальные операторы убывающего
порядка. Мы утверждаем, что
(6.1.5)	L (ир*60) = X (Lku) рХУkl, и е= С”,
где число слагаемых в сумме локально конечно. В самом деле,
заменой переменных дело сводится к случаю р(л) = лгь а тогда
можно считать, что L = d?, и мы имеем Lk — <9?~fe/nl/(/n — k)\,
так что формула (6.1.5) превращается в формулу Лейбница для
дифференцирования произведения.


6.2. Некоторые фундаментальные решения 169
6.2.	Некоторые фундаментальные решения
Пусть Л — вещественная невырожденная квадратичная форма
на R", так что дА/дх фО при хфО. Тогда для всякого fe
&>'(R) на R"\0 определено распределение A*f. В случае когда
f однородно степени а, распределение f(A) — A*f однородно сте¬
пени 2а. Действительно, если Mtx = tx при х& R", t > О, то
MiA'f = {AMtf f = (fiAY f == A'mbf = Р*А%
где ms обозначает оператор умножения на s, действующий на R.
В силу теоремы 3.2.3, если 2а не является целым числом ^ —п,
то f(A) допускает единственное продолжение на всё R", одно¬
родное степени 2а, и мы будем обозначать его тем же символом
/(Л), когда не может возникнуть недоразумений.
Запишем
А (я)	2
(a/б = aki) и введем дифференциальный оператор
В(д) = b;kdidk,
где (bjk)—матрица, обратная к (а;*). Вычислим B(d)A*f на
R"\0 для случая, когда f однородно степени а. Поскольку
dkf(A) = dA/dxkf'(A),
W И) = 2aikf' (Л) + (дА/дх,) (дА/дхк) f" (А)
и ^ bjk дА/дхJ = 2хк, то
В (д) f (Л) = 2 nf' (Л) + 4ЛГ (А) = g (Л),
где ввиду (3.2.19)'
g = 2nf' + 4if" = (2п + 4 (а - 1)) f'.
Правая часть равна 0 при а =(2 — п)/2, так что В(д)ДЛ)
равно 0 в R"\0 для такого а. Таким образом, когда f однородно
степени (2 — п)/ 2, распределение В (д) f(A) однородно степени
—п и имеет носителем {0}, а значит, является некоторым крат¬
ным меры Дирака б0. Сейчас мы вычислим это кратное для че¬
тырех различных f:
Теорема 6.2.1. Пусть указанная выше форма А имеет сиг на -
ТУРУ (га+> п-)> т- е. п+-\-п~ = п и А — положительно (соотв.
отрицательно) определенная форма на некоторой п+- (соотв.
п--)мерной плоскости. При п > 2
(6.2.1)	В(5)(Л ± Ю)(2_п)/2 = (2 — п)сп\ det Л \~me*nin-'%,
(6.2.1) '	В (д) AYtn)l2 = ± 4я(»-2)/2 sin (пп±/2) | det Л fI/2 60,
где сп — площадь единичной сферы в R".


170	6. Композиция с гладкими отображениями
Доказательство. Достаточно проверить, что
(6.2.1)	+ В (д){А + i0f-n)l2 = (2-п)сп\ det А \~ше~я,п-\.
Действительно, комплексное сопряжение дает вторую формулу
(6.2.1)	. Две формулы (6.2.1)' переходят одна в другую при за¬
мене А на —А. В силу (3.2.9)
х\ (e*ia — e-nia) = (х — i0)aenia — {х + Ю)° е~л1а, Re а > 0.
Следовательно, поскольку Г (а + 1) Г (— а) = — я/sin (яа) и
# = *£/Г(а+1),
%+ = (ЙГ (— а)/2я) ((л: — Ю)а еЛ‘а — (х + Ю)а e~nia), Re а > 0, а ф Z+.
Аналитическим продолжением это равенство распространяется
на все а <ф. Z+. Замечая, что
(2 — п) с„Г (п/2 — 1)/я = — 4я<»-2>/2,
а
ninJ2 + лг (1 — п/2) — лг (1 — п+/ 2),
заключаем, что (6.2.1)' следует из (6.2.1).
Докажем сначала, что для всякой комплексной формы А с
положительно определенной вещественной частью
(6.2.1) "	В (д) Л(2-п)/2 = (2 - п) сп (det А)~1/2 60,
где (det А)-1/2 понимается, как в § 3.4. Здесь А(2~п)/2 обозначает,
конечно, однородное продолжение на R" функции A {x)<-2~n)l2 на
R"\0, где —л/2 < argA(x)<in/2. Ввиду единственности ана¬
литического продолжения достаточно установить (6.2.1)" для
случая, когда сама А положительно определенная. В этом слу¬
чае существует линейная биекция Т пространства R" на себя,
такая что обратный образ Т*А формы А при Т будет евклидовой
метрической формой. Равенство (6.2.1)" вытекает поэтому из
теоремы 3.3.2. Действительно, в силу этой теоремы обе части
(6.2.1)	" имеют один и тот же обратный образ при Т, ибо
| det А Г11/2 Гб0 = | det А Г1/21 det Т\~1 б0 = б0.
Пусть теперь форма А вещественна и иевырожденна. При¬
меним (6.2.1)" к Ае(х)=; — iA(x)-\- е\х\2, е > 0. При е->0
(det ЛеГ!^ | det А Г!'2еяМ58пЛ,/4
(см. (3.4.6)), Bt-> iB и
А<ГП)'2 = (а-""2 (А + si \х |2))(2-л)/2 i~lenlnli (А + iOf^2
в iZ)'(R"\0) ввиду приводимой ниже леммы 6.2.2. В силу тео¬
ремы 3.2.3, для однородных продолжений будет иметь место
сходимость в 2)'(Rn), а потому (6.2.1)+ следует из (6.2.1)".


6.2. Некоторые фундаментальные решения 171
Лемма 6.2.2. Пусть F — функция класса С00 на XX. J, где X cz
R"— открытое множество, a J — окрестность нуля в R. Пусть,
далее, f, I и Z— такие же, как в теореме 3.1.11. Если F(«,0)e/
и dF(х, 0) /дх ф 0 при х е X, a F(x, е) е Z при х е X, 0 < е е /,
то f{F(-, e))-*-F(-, 0)*/(- +Ю) при е->+0.
Доказательство. Утверждение леммы является локальным и ин¬
вариантно относительно замен координат, поэтому можно счи¬
тать, что F(х, 0) = jci. Из доказательства теоремы 3.1.11 мы
знаем, что f = G(A,+1), где функция G аналитична в Z и непре¬
рывна в Z. Выполняя интегрирования по частям по х\, полу¬
чаем, что для феС“(Я)
^ Ф {х) f (F (х, е)) dx = ^ qp {х) G(JV+1> (F (х, е)) dx
= \ G (F (х, е)) (д, (- dF (х, e)/dXl)-y+l <р (jc) dx
-*\g(F(x, 0))(-df+l<t(x)dx
= \jG(xl)(-df+l^{x)dx
= §(/(• + t'0), Ф (•, *')) dx'
при e->-0, чем лемма и доказана.
Поделив любое из равенств (6.2.Г), (6.2.1)' на постоянную
в его правой части, получим некоторое фундаментальное реше¬
ние Е для оператора В(д), однородное степени 2 — п. (Как
легко проверить, равенства (6.2.1)' остаются верными и при
п+ = п~= 1, так что они дают фундаментальные решения так¬
же и в этом случае.) Рассмотрим теперь частный случай волно¬
вого оператора в Rn+1:
□ = с-ЩдР — А,
где /eR, с — скорость света, а А — оператор Лапласа по
хеР". В наших прежних обозначениях это оператор -8(d), от¬
вечающий форме
А =с2Р — |хр.
Согласно (6.2.1)', одним из фундаментальных решений волно¬
вого оператора служит (n ^ 1)
Е = п{1-п)12с4~1А\{1~п)12.
Его носитель лежит в двойном конусе, определяемом условием
А ^ 0. Положим
( 2Е при	t > 0,
^+	1 0	при ct < | х |.


172	6. Композиция с гладкими отображениями
Эти два определения согласуются друг с другом на перекрытии
областей определения и задают распределение в R^+'XO, одно¬
родное степени 1 — п. Будем обозначать тем же символом его
однородное продолжение на все пространство. Тогда
£ = (£+ + £_)/2,
где £_ = s*£+, a s обозначает отражение относительно начала
координат. Далее, □ £+ = □£_ = 60, так что £+ и £_ оба
являются фундаментальными решениями. Носитель первого ле¬
жит в переднем конусе (том, в котором 0), а носитель вто¬
рого—в заднем (где t^O). В случае когда п нечетно и от¬
лично от 1, носителями этих фундаментальных решений служат
в силу (3.2.17)' границы соответствующих конусов.
Мы можем вычислить А*у^1~п)12 при t > 0, используя фор¬
мулу (6.1.1) с А, обратным к отображению
(t, х)-^(А, х).
Имеем
h(s, x) = ((s + \x\2f2/c, х),	| det/г' | = (2c)_1 (s + ] л: р)_1/2.
Следовательно, для функций ф, на носителе которых t > 0,
(6.2.4)	<£+, ф) = jr('-n)/V {%TnV2> Ф>.
где
(6.2.5)	Ф0?)=$ф(0? + |* 12)т/с, jc) (s +1 * 12Ги2йх.
Положим
(6.2.6)	ф (t,r) — rn~2 ^ ф (t, rco) fifeo !>.
1 <в I = 1
Переходя в (6.2.5) к полярным координатам, получаем
Ф(5)=$ф ((s + г2)1'2/с, г) dr (s + r2ym
= с ^ ф (t, (сН2 — sf2) dt.
s<cH2
Таким образом, в соответствии с теоремой 4.4.8, £+ является
непрерывной функцией от t > 0 со значениями в ^f'(Rrt), зада¬
ваемой формулой
(6.2.4/	<£+М, «_Я"-“|'гС4-,<хГда, ШЛ‘~ О1")).
	 ifeC"(R"), / > 0,
11 При п = 1 интеграл здесь понимается как сумма ф(/, г) +<р(?, —г).—
Прим, пррев.


6.2. Некоторые фундаментальные решения 173
где
(6.2.6) '	^(г) — гп~2 ^ ф(гео)Ло; ф(г/-) = 0, reR.
| (0 | = 1
Поскольку %°+ = Н, %~[12 = х'11'2^1!2,	для целых
v > 0, то
(6.2.7)
с2
-1
$ ФМ
dx
I X I<ct
при /1=1,
<£+(*)> -ф> = с (2л)-1	^ ф {х) {сЧ2 — | х |2)-1/2 dx при га=2,
|*|<е<
n“vc4_1 {d/ds)v~l \j> (sll2)s=c’t*	при n— 2v+l.
Из теоремы 4.4.8' мы знаем, что E+{t) и E'+{t) = dfE+{t) имеют
пределы в &)' при /-»- + 0, и
00
<£+, ф> = J <£+ (О, Ф (/, •)) dt, Ф е= Со (Rn+1).
О
ибо это равенство справедливо для феСо° (Rn+1 \ 0) и распре¬
деление в правой части однородно степени 1 — п. Используя тот
факт, что £+ представляет собой фундаментальное решение,
можно проверить, что £+ (+0) = о, Е'+ (+0) = с26и.
Теорема 6.2.3. Рассмотренный выше волновой оператор обладает
единственным фундаментальным решением Е+ {соотв. £_) с но¬
сителем в переднем конусе, задаваемом неравенством
ct ^ \х (соотв. в заднем конусе, задаваемом неравенством
ct ^— х|). В случае когда п нечетно и отлично от 1, носите¬
лем этого фундаментального решения служит граница конуса.
Доказательство. Остается доказать лишь утверждение о един¬
ственности. Мы установим даже более сильное утверждение, а
именно что не существует отличного от £+ фундаментального
решения с носителем в полупространстве t ^ 0. Любое такое
фундаментальное решение должно иметь вид £+ + и, где и яв¬
ляется решением уравнения □« = () и удовлетворяет условию
< ^ 0 на supp и. Но тогда
ы = 6*« = (П£+)*и = £+*Пк = 0;
вычисление законно, потому что отображение
supp Е+ X supp и =э ((*, О» (У> s)) -+{х + у, t + s)
— собственное (см. конец § 4.2). Действительно, ограниченность
t + s влечет ограниченность ins, поскольку 0 и s ^ 0. а


174	6. Композиция с гладкими отображениями
так как |лг|^с^, то из ограниченности х + у следует тогда
ограниченность х и у. Доказательство завершено.
Указанные в теореме 6.2.3 фундаментальные решения на¬
зываются соответственно опережающим и запаздывающим, а
фундаментальные решения, даваемые равенством (6.2.1),—
фейнмановскими. Знание фундаментальных решений позволяет
быстро решить задачу Коши для волнового уравнения:
Теорема 6.2.4. Для произвольных ф0, ф, е С°° (Rn) и f е С°° (R++1),
где R++1={(/, х)\	0, *gR“}, задача Коши
(6.2.8)
□ « = f в R++1,
к = ф0, du/dt = ф! при I = О
имеет единственное решение ueC“(R“+l). Оно дается формулой
(6.2.9)	u{t, •) = с~2Я+(/) * ф1 + с~2£Д (/) * ф0
t
+ ^ E+{t — s)*f(s, •)ds.
О
Доказательство. Если функция KeC°°(R+H) является реше¬
нием задачи (6.2.8) с / = 0 и ф0 = ф1 = 0, то функция «о, равная
и в R++l и нулю в R"+1 \R++1, будет удовлетворять уравнению
□м0=0 в Rn+1. Из доказательства теоремы 6.2.3 вытекает, что
«о должна тогда равняться нулю. Тем самым единственность
доказана. Далее, формула (6.2.9) задает решение задачи
(6.2.8), принадлежащее C°°(R++1). В самом деле, то что иеС“,
следует из того факта, что функция E+(t) и все ее производные
по t непрерывны при / ^ 0 как функции со значениями в S'.
Поскольку Я+( + 0) = 0,	то
t	t
-§f^E+{t — s)*f(s, ■)ds=^E'+(t — s)*f(s, •)ds,
0	0J
t	t
JP-§E+(1 — S)*f(s, -)ds = ^ E" (t — s) * f (s, -)ds + c\* f(t, •).
о	0
Отсюда видно, что □u = f, ибо ПЯ+ = 0при l > 0. Выполне¬
ние граничных условий проверяется непосредственно, если за¬
метить еще, что Д+ (+0) = с2АЯ+(+0) = 0. Теорема доказана.
К рассмотрению задачи Коши мы вернемся в гл. 12.


6.3. Распределения на многообразии 175
6.3.	Распределения на многообразии
Возможность брать композиции распределений с диффеомор¬
физмами позволяет нам определить распределения на произ¬
вольных С°°-многообразиях. Сначала напомним определение мно¬
гообразия.
Определение 6.3.1. Под n-мерным многообразием понимается
отделимое топологическое пространство со счетной базой, каж¬
дая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной неко¬
торому открытому множеству в R". Под С°°-структурой на мно¬
гообразии X понимается семейство ф гомеоморфизмов % откры¬
тых множеств Ху, cz X на открытые множества X* cz R" (эти
гомеоморфизмы называются локальными системами координат),
удовлетворяющее следующим условиям:
(i)	для любых к, у! ^Ф отображение
(6.3.1)	х'х-': x(Xy(]XKr)^K'(Xy{]Xyf)
(открытых множеств в Rn) бесконечно дифференцируемо (в ча¬
стности, это относится и к обратному отображению);
(и)	=
(iii)	если х0 — гомеоморфизм открытого множества Х0с.Х
на открытое множество в R" и отображение
хх->: х0(Х0Гия)^х(*0Гик),
равно как и обратное к нему, бесконечно дифференцируемо для
всякого х е то Хо G Ф.
Многообразие, наделенное С°°-структурой, называется С°°-
многообразием (или многообразием класса С°°). Множества X
называют координатными окрестностями, а декартовы коорди¬
наты точки х(х), j(eXk, — локальными (С°°-) координатами
В
Условие (iii) определения 6.3.1 до некоторой степени избы¬
точно. Дело в том, что если семейство ф удовлетворяет усло¬
виям (i) и (ii), то его можно одним и только одним способом
расширить до семейства Ф', удовлетворяющего всем трем усло¬
виям. Действительно, единственным таким семейством ф' бу¬
дет множество всех гомеоморфизмов у! открытых множеств Ху;
в X на открытые множества в R", таких что отображение (6.3.1)
и обратное к нему бесконечно дифференцируемы для любого
у^Ф. Несложная проверка этого утверждения предоставляет¬
ся читателю. (Ясно, что всякое расширение семейства Ф, удов¬
летворяющее (i), содержится в этом семействе Ф'. То что Ф'
удовлетворяет уловиям (i) и (ii) и содержит ф, вытекает из


176	6. Композиция с гладкими отображениями
того факта, что SF удовлетворяет (i) и (и).) Таким образом,
С"-структуру можно задать при помощи произвольного семей¬
ства 2F, удовлетворяющего лишь условиям (i) и (и), но опуска¬
ние условия (ш) приводит к тому, что имеется много семейств,
задающих одну и ту же С°°-структуру. Каждое из таких семейств
называется С°°-атласом, и два атласа называют эквивалент¬
ными, если они задают одну и ту же С°°-структуру.
Определение 6.3.2. Пусть X — многообразие класса С". Говорят,
что функция и на X принадлежит Ск (X) или L\0C{X), если для
всякой системы координат х сложная функция (х~х)*и, опреде¬
ляемая формулой
(х~1)* и(х) = и(х~1 (х)),
принадлежит соответственно Ск {X*) или Lf0C(Zx).
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения прове¬
рить, что достаточно потребовать, чтобы композиция и оку1 при¬
надлежала Ск{Хх) или LfoC(Xn) для всякого х из некоторого ат¬
ласа. Заметим еще, что если для данной функции v на с ком¬
пактным носителем положить
и =
{
V ° X
О
на ХК,
в остальных точках,
то «е Ск(Х) тогда и только тогда, когда v е Ск(Хм); аналогич¬
ное утверждение верно и для Lfoc- Мы будем не совсем кор¬
ректно обозначать и через v °х.
Чтобы мотивировать наше определение распределения на X,
дадим теперь чуть иное описание Ск(Х). Пусть и^Ск(Х). По¬
ложим для всякой системы координат х
ыи— и о и-1.
Тогда м„ принадлежит Ск(Хм), и поскольку для любой пары х, х'
систем координат и = м„ ° х — иК' °х' в ХК П Хх', то
(6.3.2)	Щ( = и* о(хох'->) в x'(Xx[)Xs).
Обратно, если для каждой системы координат к задана функция
к„ на Хм таким образом, что для любых двух систем координат
х и х' выполнено (6.3.2), то существует одна и только одна функ¬
ция и на X, такая что мх = «»г! для всякого х, и и^Ск(Х)
тогда и только тогда, когда иК^Ск(Хм) для всех х. По ана¬
логии с этим описанием функции из Ск(Х) как системы функций
е С* (•£„), удовлетворяющей условию (6.3.2), введем следую¬
щее определение распределения на многообразии:


6.3. Распределения на многообразии 177
Определение 6.3.3. Пусть X—многообразие класса С°°. Если для
каждой системы координат х в X задано распределение
(Хн), такое что
(6.3.3)	ых/ = (иои'_1)*ых в х' (ХхП Хх'),
то мы называем систему распределений и„ распределением и
на X. Множество всех распределений на X обозначается через
&'(Х). Аналогично определяется 2)'к(Х).
- Удобно использовать для распределений ту же запись
= и°и-1, что и в рассмотренном выше случае, когда и было
непрерывной функцией на X. Таким образом, ЗЭ'(Х) предстает
как расширение пространства С°(А), если отождествлять функ¬
цию и е С°(А) с системой функций к* = и °х~1. Следующая тео¬
рема показывает, в частности, что определение 6.3.3' совпадает
с нашим прежним определением, когда X — открытое подмно¬
жество в К".
Теорема 6.3.4. Пусть SF — произвольный атлас многообразия X.
Если для каждого иеУ задано распределение их е3)'(Хк)
и для любых х и х' из 8Г выполнено (6.3.3), то существует одно
и только одно распределение ме£5'(Х), такое что u°x~l = Ux
для всех xef.
Доказательство. Пусть ф — произвольная локальная система ко¬
ординат в X. Прежде всего заметим, что существует одно и
только одно распределение е2)'(^), такое что для каждого
[/М) = (хоф-1)*ых в ф П Хх) cz Х$.
Это следует из теоремы 2.2.4 ввиду принятых нами предполо¬
жений. В частности, если фе?", то Uy = u$, ибо можно взять
х = ф. Далее, непосредственно проверяется, что распределения
U+ удовлетворяют условию (6.3.3). Следовательно, они опре¬
деляют распределение и с требуемыми свойствами. Тем самым
теорема доказана, поскольку единственность и очевидным обра¬
зом вытекает из предыдущего.
У читателя мог возникнуть вопрос, почему мы не определили
<Е)'(Х) как пространство непрерывных линейных форм на Со"(Х).
Дело в том, что для fe С (А) н <реС“(Х) нет никакого инва¬
риантного способа проинтегрировать произведение /ф, с тем
чтобы отождествить f с такой линейной формой. Тем не менее
мы получили бы нечто весьма близкое к 2Ь’{Х). Действительно,
пусть и—непрерывная линейная форма на Со(Х). Тогда и оп¬
ределяет распределение им ей)'(^) по формуле
Кч(ф) = и(ф°и). Ф е С“ (Аи)
12 Зак. 821


178	6. Композиция с гладкими отображениями
(фои полагается равным 0 вне Хх). Для феС”(х'(4П4'))
«ч' (ф) = и (ф О к') = V (ф о Ф, О к) = ик (ф О Ф,)(
где ф1 = х,ох-1. Ввиду (6.1.1) это означает, что
(6.3.4)	к^ = | detф' |(а1з*ых) в х'(*хП**'),
где ф=хох'-1. Обратно, пусть заданы распределения ы„ в Х^?
удовлетворяющие условию (6.3.4) для всех к из некоторого ат¬
ласа SF. Выберем разбиение единицы 1 = 2 5С/> такое что каж¬
дая функция %{ принадлежит	при некотором К/ е SF.
Тогда
U (Ф) = Z (“К/* (^Ф) ° ИГ‘)’ Ф е СГ W*
есть непрерывная линейная форма на С“ (X). Мы предостав¬
ляем читателю в качестве упражнения проверить при помощи
теоремы 6.1.2, что 1!м = им для всякого хе^", Таким образом,
непрерывные линейные формы а на С" (X) можно отожде¬
ствить с системами распределений ик ^ Ф'(ХН), удовлетворяю¬
щими условию (6.3.4). Такие системы называют обобщенными
плотностями. В случае когда все ы„ являются непрерывными
функциями (соотв. функциями класса С°°), мы говорим, что и
является непрерывной плотностью (соотв. плотностью класса
С°°). Если и — распределение, а ф — плотность класса С", то,
как следует из (6.3.3) и (6.3.4), фм будет обобщенной плот¬
ностью, так что определено
(U, ф) = <фК, 1>
при дополнительном условий, что ф имеет компактный носи¬
тель. Снова предоставляем читателю в качестве упражнения
проверить, что это позволяет отождествить 2)'(Х) с простран¬
ством непрерывных линейных форм на С“-плотностях.
Как только зафиксирована какая-нибудь строго положитель¬
ная С°°-плотность а на X, можно при помощи отображения
и -+аи
отождествить распределения с обобщенными плотностями, а
функции — с плотностями. Так обстоит дело в случае XcR*,
где для проведения такого отождествления используется мера
Лебега. Другой важный случай — римановы многообразия.
6.4.	Касательное и кокасательное расслоения
Теперь, после того как мы ввели понятие С°°-многообразия, об¬
судим некоторые .основные факты, относящиеся к дифферен¬


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 179
циальному исчислению на многообразиях. Они не понадобятся
вам вплоть до гл. 8. Всюду ниже X обозначает С°°-многообразие.
Определение 6.4.1. Векторное пространство ^(Х) касательных
векторов к X в точке х — это пространство всех вещественных
обобщенных плотностей < на ^ порядка 1 с носителем в х и
с /(1) = 0.
В оправдание этого определения заметим, что в случае
X cz Rn мы имеем в силу теоремы 2.3.4
П
*(ф)= Z t/dffixydx,
для некоторых t\, tn<^ R, т. е. £(ф) есть производная функ¬
ции ф в точке х по направлению вектора (tt, ..., t„), так что t
естественно рассматривать как касательный вектор в точке х.
Если X — произвольное многообразие и точка х лежит в коорди¬
натной окрестности то ^*(ф) = /(ф°х) имеет вид
t* (Ф) = Z #д/Ф (*(*))» Ф S СГ (Хм) •
Таким образом, Тх(Х) всегда есть векторное пространство раз¬
мерности п = dimX, и сказанное выше позволяет отождествить
U TAX) с XKXRn. Если	то
хеХк
{tw, ф) = (f, ф ° /) = Z йдк (ф ° }) (я (*)), ф е Со {у! {Хн П Хх'))>
где / — х'ох-1: и(ХхЛ Ху)-*■*.'(ХК[\ ХК')- Следовательно,
tf = Z дыЬй, т. е. tw = /' (х (дс)) Л
Это — отображение класса С00, и поэтому атлас, состоящий из
отображений
и Г, (Х)Э *->(*(*),	^ Х„ X R",
*eJtn
задаёт на Т(Х) структуру С°°-многообразия, Эти наблюдения
можно подытожить, сказав, что Т (X) представляет собой век¬
торное расслоение над X со слоем размерности п:
Определение 6.4.2. Вещественное векторное С°°-расслоение над
X со слоем размерности N— это С°°-многообразие V, для кото¬
рого заданы
(i)	С“-отображение я: V-*-Х, называемое проекцией,
(и) структура векторного пространства в каждом слое
ух = я-*(х),
(iii)	локальные изоморфизмы между V и произведениями от¬
крытых подмножеств в X на R*.
12*


180	6. Композиция с гладкими отображениями
В более развернутом виде условие (ш) означает, что для
каждой точки х^Х существуют такая ее открытая окрестность
У и такое С°°-отображение ф многообразия У|у=л-1(У) на
УХ RN, что ф-1 также принадлежит классу С°°, ф(У*) =
для всех У и составное отображение
Vx-+{x} XRN-+RN
является линейным изоморфизмом. В случае расслоения Т(Х)
мы как раз определили изоморфизмы
п-'Хн^ХнХ f?^X*XRa
с такими свойствами. Расслоение 7’(^) называется касательным
расслоением (для) многообразия X.
Пусть V— произвольное векторное расслоение над X. Выбе¬
рем открытое покрытие {^,}is/ многообразия X, такое что для
каждого i существует С°°-отображение ijji прообраза я-1№) на
XiX^N, обладающее указанными выше свойствами. Тогда ото¬
бражения
£*/ = VV
можно рассматривать как С°°-отображения из Х{ f| Xj в группу
GL(N,R) всех обратимых Л^Х^-матриц с вещественными эле¬
ментами, и справедливы соотношения
(641)	*i/*/» = id на ЪПХ,,
gijSjkgki — id на А"гЛ^/
Систему таких матриц gu размера N X N, элементами которых
служат С“-функции, называют системой матриц перехода. Рас¬
слоение V можно восстановить по иим, образуя множество V'
всех троек (i,x,t)^IXXXlR*, таких что	и полагая
тройки (г, х, I) и (i', х', t') эквивалентными, если х = х' и
t' — gi'it• Из (6.4.1) следует, что это действительно отношение
эквивалентности, и легко проверяется, что V, профакторизован-
ное по этому отношению эквивалентности, будет векторным рас¬
слоением. Это расслоение изоморфно V, если gu были получены
исходя из локальных тривиализаций векторного расслоения V,
как объяснялось выше. Такой подход к векторным расслоениям,
прямо приспособленный для вычислений, будет нам иногда весь¬
ма удобен.
Итак, векторное расслоение — это семейство векторных про¬
странств Vx, х^Х, гладко меняющихся с изменением х. Для
У cz X сечением и расслоения V над У называется всякое отобра¬
жение У е у-^-и(у)^ Vy, т. е. сечение и — это такое отображе¬
ние из У в V, для которого я о и = id. Поскольку V является
С°°-многообразием, для & = 0, 1, ... или ft—оо корректно опре¬


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 181
делено множество Ck(Y, V) всех сечений класса Ск. Если, как
выше, рассмотреть покрытие X = (JX,- с локальными тривиали-
зациями ф< «сужений» V I*,., то «г = фг°ыеСй(У П^, R^) и
(6.4.2)	U( = gi/Uj в У fUifUi.
Обратно, любая система функций «ге С*(У f)X,-, R*), удовлетво¬
ряющая условию (6.4.2), задает некоторое сечение векторного
расслоения. Соответственно можно определить и, скажем, про¬
странство обобщенных сечений ЗЬ'(У, V) (для открытого У) как
пространство всех систем распределений щ ^30>'(Y f) X,-, RN),
удовлетворяющих условию (6.4.2). Можно было бы допустить и
распределения ш, принимающие комплексные значения (строго
говоря, это означает, что мы комплексифицируем расслоение V;
определение комплексного векторного расслоения получается
заменой R на С в определении 6.4.2).
Примеры. 1) Линейное расслоение1* Q над X — это векторное
расслоение, отвечающее системе 1 X 1-матриц перехода, зада¬
ваемых формулой
£Хх = | det (я о я'-1)' | о я' в Хи• П Хн'
для произвольных координатных окрестностей Хи и ХК> в X. Се¬
чения Q суть плотности, введенные в § 6.3.
2) С°°-сечения и расслоения Т(Х) над У называются вектор¬
ными полями класса С°° на (или в) У. Для всякого такого век¬
торного поля и отображение С’(У)Эф^-и(ф) есть дифферен¬
циальный оператор первого порядка на У без постоянного
члена, т. е. аннулирующий константы.
Рассмотренное выше отображение из Т (X) I* в Хи X Rre
представляет собой частный случай весьма общей конструкции.
А именно, пусть Xi, Х2— многообразия класса С00 и /: Xi->X2—
отображение класса С°°. Тогда можно определить отображение
f*: Т(Хх) —>-Т(Х2), отображающее ^(Xi) в Tf(x)(X2), по фор¬
муле
(fj) (Ф) = t(ф о f), фё Со” (Х2),	16= Т (X,).
Если ввести в Х\ и в Х2 локальные координаты, то матрицей,
отвечающей линейному оператору /*: Tx(Xl)^Tf(X)(X2), будет
просто матрица Якоби отображения f в точке х, вычисленная
в этих координатах; поэтому мы будем иногда писать f' вместо
f*. В частности, если /: R-»-X— кривая на многообразии X, опи¬
санная конструкция определяет касательный вектор /'еТ^(Х)
к этой кривой как образ вектора d/dt на R.
■> Вообще, линейным расслоением называется векторное расслоение с
одномерным слоем. — Прим. ред.


182	6. Композиция с гладкими отображениями
Для всякого векторного расслоения V можно рассмотреть
двойственный объект V'— \J V'x. Очевидно, что это тоже век-
X
торное расслоение, поскольку всякая тривиализация V задает
и тривиализацию V'. Матрицами перехода для V' служат
В частности, мы получаем таким образом расслоение Т*(Х),
двойственное к Т(Х). Оно называется кокасательным расслое¬
нием многообразия X. Для любой заданной функции ф£ Ck(X),
k > 0, отображение
Tx(X)3t-*t( ф)
(производная ф в точке х) есть элемент пространства Т*х{Х)
(обозначаемый через ф'(х) или с?ф(х)), так что ф определяет
С*_1-сечение с?ф (или ф') расслоения Т*{Х). Произвольное се¬
чение расслоения Т*(Х) называется 1-формой на X.
Рассмотрим Т*(Х) в локальных координатах. Пусть
Ху_ еэ х > к (х) = {хь ..., ^)gXxcR"
— локальная система координат. Как было показано выше, мы
можем отождествить Т (X) \Хк с Хк X R" и считаться, t) каса¬
тельным вектором
С" (Хх) э ф -►'( Ц tjd/dx/) ф (х).
Далее, для ^ е R" мы имеем (/, £) = (£ tjd/dx/) (£ l/Xj), поэтому
в соответствующей тривиализации расслоения Т*(Х) форме
^HjdXj в точке х отвечает пара (*, £). Если рассматривать X/
и как функции на Хх X то и	можно рассматри¬
вать как дифференциальную форму на этом произведении. Ее
значение на касательном векторе t к Х^Х R" равно <я»^, |>, где
it — проекция Хк X R" -*• Хх. Таким образом, мы инвариантно
определим на Т* (Х) некую 1-форму со, положив ее значение на
касательном векторе t в точке у е Т*(Х) равным
(t, ®) = (n,t, у).
В стандартных локальных координатах на Т*(Х) эта форма
записывается так: сa— J^^.dX/. Она называется канонической
V-формой на Т*(Х),.
Для всякого С^-отображения /: Х1-*-Х2 можно построить
отображение
/*: Ск-1(Г(Х2))^СкгНГ(Х1)),
называемое поднятием (или взятием обратного образа) 1-форм
при помощи f, полагая для 1-формы и на Х2 и касательного
вектора t е Т(X)
/*и> = (fj, и).


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 183
Например, если феС1 (X), то ф' будет отображением Х-*-Т* (X),
и мы можем при помощи этого отображения поднять канониче¬
скую 1-форму со с Т* (X) на X. Как ясно из локального коорди¬
натного представления формы со, получится 1-форма
(6.4.3)	(ф')*со = с?ф.
Фактически это другая характеризация 1-формы со.
Пусть У — подмногообразие класса С°° в X. Ненормальное
расслоение N (У) (для) подмногообразия У определяется как
{у е V (А); яу = у е У и у = 0 на Ту (У)}
(здесь л —проекция расслоения' Т*(Х)). Если ввести на X ло¬
кальные координаты х = (х\, ..., х„), в которых У задается
уравнениями Х\ = ... = х*=0, то N(Y) будет задаваться в
соответствующих координатах на Т* (А) уравнениями Xi = ...
= xk-=\k+\= ... =Ел = 0. Следовательно, N{Y) — векторное
расслоение полной размерности п. Из определения 1-формы
со или из ее координатного представления сразу видно, что огра¬
ничение со на N (Y) равно 0. Расслоение N(Y) двойственно к рас¬
слоению на У со слоем ТУ(Х)/Ty(Y), называемому нормальным
расслоением. Это последнее вряд ли нам где-нибудь понадобит¬
ся, и потому мы часто будем опускать приставку «ко» в слове
«конормальное», когда это не может вызвать недоразумений.
Другой важный пример векторных расслоений над X — это
расслоение АкТ*(Х), слой которого в точке х состоит из всех
антисимметричных ^-линейных форм на Тх(Х). Для любых
ij, • •.. lk е Т\(X) форма
Гя(А)‘э(/„ ..., /*) —det^,
является элементом пространства АкТх(Х), обозначаемым через
Л ... Л и такие элементы порождают весь слой. Можно
однозначно определить билинейное отображение
АкТх(Х)ХА1Гх(Х)->Ак+1Гх(Х),
называемое (внешним) произведением и обозначаемое тем же
символом д, такое что произведение форм л • • • A tk и
i'll Л • • • А Щ равно h л ... л %к д тц А • • • А Щ- Сечения
класса С°° расслоения АкТ*(Х) называются ^-формами на X.
Всякую &-форму можно записать в виде линейной комбинации
форм специального вида
(6.4.4)	/о dfi А ... A dfk, f,^C°°(X),
причем функции fi, Д могут быть даже выбраны из числа
локальных координатных функций. Существует единственный
дифференциальный оператор первого порядка d, переводящий


184	6. Композиция с гладкими отображениями
&-формы в (k + 1)-формы, такой что
d(fodf\ А ... A dfk) = rffo Л df{ А ... Л dfk.
Справедливо равенство d? = 0. При А > 0 для любой &-формы
/ с df = 0 можно локально найти (& — 1) -форму и, для которой
/ = du (С^-функции рассматриваются как 0-формы). Если
ф: У^>~Х — отображение класса С°° и / — форма на X, то точно
так же, как и в случае 1-форм, можно определить ф*/, и
dtff^rdf,
поскольку это верно для 0-форм (инвариантность дифферен¬
циала), а значит, и для форм вида (6.4.4).
Многообразие X называют ориентированным, если для него
задан атлас, такой что для любых и, %' из этого атласа яко¬
биан композиции к о и'-1 положителен всюду, где определен.
Если X имеет размерность п, то для всякой л-формы / на X
f = fxdxx л ... Adxn в Хк,
где у,(х) = {х\, хп). Так как для произвольных локальных
координат
/х' = (с1е1ф')Ф7ч в к'(Хх[)Хх'), ф = кок/-1,
то в случае, когда к и %' принадлежат атласу, задающему ори¬
ентацию, мы получаем закон преобразования (6.3.4), ибо фигу¬
рирующий в написанном выше равенстве якобиан в этом случае
положителен. (Заметим, что, с другой стороны, каждая л-форма
/, отличная от 0 во всякой точке, определяет ориентацию, зада¬
ваемую атласом, состоящим из всех к, для которых /х > 0. При
этом говорят, что X ориентировано условием / > 0.) Следова¬
тельно, / определяет обобщенную плотность, которая как линей¬
ная форма на Со° записывается так:
ф-*$ф/, ф<=с;г№.
х
Если теперь рассмотреть &-форму / и ориентированное ^-мерное
подмногообразие У в X, то правило
Ф->$Ф/, феСо°°(ЙГ)
Y
(подразумевается, что в правой части ф и / подняты на У при
помощи отображения включения Y<=~X) задает обобщенную
плотность с носителем в У. Далее, если / — произвольная
(k— 1)-форма, то
0=^(ф/) = $ф<Д +
У	У	У


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 185
(это очевидно, когда носитель <р лежит в некоторой координат¬
ной окрестности). Пусть М — открытое подмножество в У с глад¬
кой границей дМ и компактным замыканием М. Устремляя <р
к характеристической функции множества М, получаем, как
в §3.1,
(6.4.5)	= \ f (формула Стокса).
м ам
Здесь граница дМ ориентирована следующим образом: берем
на У локальную систему координат уи ■.., Ук с У\ = 0 на дМ и
У\ <0 в М; если она принадлежит положительному атласу для
М, то i/2, ..., ук принадлежит положительному атласу для дМ.
На этом завершим наш краткий обзор дифференциального
исчисления на многообразиях; читателю, совсем незнакомому
с этим предметом, стоит обратиться к какому-нибудь более под¬
робному изложению либо самому восполнить недостающие под¬
робности. Однако мы сделаем еще ряд замечаний о том, как по¬
являются кокасательные расслоения при изучении дифференци¬
альных операторов.
Пусть X — многообразие и Е, F — два (комплексных) век¬
торных расслоения на X. Линейный дифференциальный опера¬
тор Р, определенный на сечениях расслоения Е и отображаю¬
щий их в сечения расслоения F, — это линейное отображение
С°°(Х,Е)^-Ссо(Х, F), которое является дифференциальным опе¬
ратором в обычном смысле, если записать его с помощью ло¬
кальных координат на X и локальных базисов для Е и F.
А именно, пусть хи ..., хп — локальные координаты в1хсХ и
еь ея (соотв. ft, ..., fin) — сечения расслоения Е (соотв.F),
образующие базис в каждой точке множества ХК. Тогда указан¬
ное выше условие состоит в том, что если и = £ ukek — сече¬
ние расслоения Е и Ри = Y*(Pu)i fi> то (в ХК)
{Ри),= Z РцМ*
где
P,k=HP,ka(x)da
а
— дифференциальный оператор в локальных координатах. Это
условие, очевидно, не зависит от выбора локальных координат
и локальных базисов для Е и F. Говорят, что Р — оператор по¬
рядка *£Ztn, если в этой сумме |а|^т. Главный символ р(у)
оператора Р порядка т в точке у е Т* (X) с локальными коор¬
динатами х, | определяется как линейное отображение из Ех
в Fx, х = яу, задаваемое в базисах ek, fi формулой
(6.4.6)	(p(Y)«)/= ? ]Р,чЛх) IV
I а |=т


186	6. Композиция с гладкими отображениями
Это определение в действительности не зависит от выбора ло¬
кальных координат и базисов, поскольку оно означает, что если
<pGC“(X) и (х, у'(х)) = у, то для любого сечения и расслоения
£ мы имеем в х
<6.4.6)'	р(у)и— lim t~me'i<fP (е<ч>ы),
f -»оо
а правая часть последнего равенства определена инвариантно.
(Впоследствии мы слегка видоизменим определение р, введя
множитель im, но сейчас это не играет роли.) Чтобы убедиться
в эквивалентности определения (6.4.6) и бескоординатного опре¬
деления (6.4.6)', надо просто заметить, что при вычислении вы¬
ражения (6.4.6)' в локальных координатах ненулевой вклад по¬
лучается лишь тогда, когда все т производных падают на экспо¬
ненту.
Если Р — скалярный дифференциальный оператор, т. е. диф¬
ференциальный оператор из С°°(Х) в Ссо(Х), то р представляет
собой функцию, определенную на Т*(Х). Ее нули, лежащие вне
нулевого сечения кокасательного расслоения, называются харак¬
теристиками оператора Р, а множество всех этих нулей — его
характеристическим множеством. Поверхность в X, задаваемая
уравнением ц> = с, называется характеристической (в точке х),
если р(х, ф'(х)) = 0 всякий раз, когда ф(х) = с (соответственно
в данной точке х), т. е. если конормальное расслоение для этой
поверхности (в данной точке х) содержится в характеристиче¬
ском множестве оператора Р. Обсудим теперь проблему интег¬
рирования характеристического уравнения р(х, ф'(х)) = 0, т. е.
проблему построения функций, у которых все поверхности уровня
являются характеристическими. При этом обсуждении мы раз¬
решим р быть любой вещественнозначной С°°-функцией на
Т*(Х), иначе говоря, будем игнорировать то свойство главного
символа, что он является однородным многочленом в каждом
слое.
Обозначим сечение ф' расслоения Т*(Х) через |. Оно долж¬
но удовлетворять двум условиям:
(i)	содержаться в множестве нулей функции р,
(ii)	быть сечением вида ф'.
Но в силу (6.4.3) условие (ii) влечет
(1ц> = |*со.
Следовательно,
(6.4.7)	dV<>> = l*d(s> = 0.
Обратно, если выполнено (6.4.7), то локально является фор¬
мой вида с?ф, и мы получаем локально решение характеристиче¬
ского уравнения р(х, ф'(х)) = 0. Дифференциальная форма
(6.4.8)	o = da>


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 187
называется симплектичестй формой на Т* (X). Она играет ос¬
новную роль в последующих рассмотрениях. (Позднее мы по¬
святим целую главу 21 изучению геометрии, связанной с этой
формой.) В стандартных локальных координатах х, | на Т*(Х)
Это означает, что значение симплектической формы на паре ка¬
сательных векторов к Т*(Х) с координатами	и (t",x")
равно
Эта билинейная форма невырожденна, т. е. обращается в нуль
при всех (/", г") тогда и только тогда, когда (t', т') = 0. По¬
скольку о = da, то, конечно, do = 0.
Мы можем теперь дать новую интерпретацию соотношения
(6.4.7). Пусть s = {(х, g(x))}cr Т*(Х) — график нашего сечения.
Он представляет собой n-мерное многообразие, параметризован¬
ное посредством х, и (6.4.7) означает в точности, что ограниче¬
ние формы о на 5 равно 0, т. е. поднятие о на S при помощи
включения S=*.!T*(Z) равно 0. Иными словами, касательная пло¬
скость к S во всякой точке у ортогональна самой себе в смысле
билинейной формы о. Так как а невырожденна, то аннулятор
произвольного A-мерного подпространства в ТУ(Т*(Х)) относи¬
тельно о должен иметь размерность 2п — k, так что касатель¬
ная плоскость к 5 в любой точке совпадает со своим аннуля-
тором.
Итак, из (i) и (И) следует, что n-мерное многообразие
5 ={(х, |(х))}с: Т*(Х) удовлетворяет условиям
(i)' р = 0 на 5,
(и)' ограничение формы о на 5 равно 0, т. е. касательная
плоскость к многообразию S во всякой его точке является сво¬
им собственным аннулятором относительно о.
Обратно, если S удовлетворяет условиям (i)', (ii)7 и огра¬
ничение проекции я на 5 есть диффеоморфизм 5 на X, то S
представляет собой сечение, удовлетворяющее (i) и (ii). Таким
образом, условия (i)', (ii)' — это чуть обобщенный геометриче¬
ский вариант нашей проблемы.
Из того факта, что р = 0 на S, следует, что dp = 0 на каса¬
тельных плоскостях к 5. Чтобы воспользоваться этим наблюде¬
нием, определим на Т*(Х) векторное поле Нр по формуле
(это возможно, поскольку форма о невырожденна). В локаль¬
ных координатах равенство (6.4.9) означает, что если t = (tx,
(6.4.8)'
o=Yjdljh dxj.
(6.4.8)"
(6.4.9)
(t,dp) = o{t, Hp), t<=T(T’(X))


188	6. Композиция с гладкими отображениями
И Яр = (fix, h\) , ТО
{tx, dpjdx) + (ti, dpfil) = (ii, hx) — (ix, hi),
t. e. hx = dp/d%, hi = —dpjdx. Таким образом, в локальных ко¬
ординатах
Векторное поле Нр называется гамильтоновым векторным по¬
лем, отвечающим функции р. Из (i)' вытекает, что
поэтому, ввиду (ii)7, вектор Нр должен лежать в касательной
плоскости к 5. Следовательно, S порождается интегральными
кривыми векторного поля Нр, т. е. решениями гамильтоновой
системы
(в локальных координатах). Заметим, что из (6.4.11) следует,что
т. е. функция р постоянна на таких кривых. Если р обращается
в нуль в какой-нибудь одной точке интегральной кривой, то она
тождественно равна нулю на ней; в таком случае кривая назы¬
вается бихарактеристикой для р.
Теорема 6.4.3. Пусть So— nodMHOzoodpaeue размерности п—1
в Т* (X), такое что
(a)	р — 0 на So,
(b)	ограничение формы о на So равно 0, т. е. касательное
пространство к многообразию So в кажбой его точке ортого¬
нально самому себе относительно о,
(c)	векторное поле Нр не является касательным к многооб¬
разию So ни в какой его точке.
Toeda oбъeduнeнue всех бихарактеристик функции р, прохо¬
дящих через So, образует п-мерное многообразие, удовлетворяю¬
щее условиям (i)' и (ii)' в некоторой окрестности So-
Доказательство. Пусть Ф(0у — значение в момент t решения
гамильтоновой системы (6.4.11), удовлетворяющего начальному
условию Ф(0)у = у. Оно определено для всех достаточно малых
t. Поэтому отображение
определено в некоторой окрестности множества S0X{0}> и в
каждой точке этого множества производная этого отображения
(6.4.10)
о(t, Нр) = 0, если y^S и t^Ty(S),
(6.4.11)	dXj/dt = dp(x, Dldlj, d^dt = — dp (x, l)!dx}
S0XRe3(y, 0 —Ф(0уеГ(Х)


6.4. Касательное и кокасательное расслоения 189
инъективна, ибо ее образ содержит как Нр, так и Г (So), а по¬
тому имеет размерность п в силу условия (с). Следовательно,
образ достаточно малой окрестности множества SoX{0} пред¬
ставляет собой «-мерное многообразие S. Поскольку a{t,Hp) =
(t,dpy= 0 для t^T(So) и а(Нр, Нр) = 0, из (Ь) вытекает, что
условие (ii)' выполняется на So, а условие (i)' выполнено на S,
так как S представляет собой объединение бихарактеристик.
Остается доказать, что (ii)' справедливо на всем S. Для этого
достаточно установить, что
<6.4.12)	ф (t)*o = o,
ибо тогда из того факта, что ограничение а на S равно 0 на
So, будет следовать, что оно равно 0 и на Ф(/)5о, а значит, на
всем S.
Чтобы доказать (6.4.12), заметим прежде всего, что
ф(5 + /) = ф(5)ф(г).
Следовательно, если мы покажем, что производная от Ф(^)*а по
t равна 0 при t = 0, отсюда будет вытекать, что она равна О
при всех t, а значит, выполнено (6.4.12). Вычисление производ¬
ной при t — 0 проведем в локальных координатах. Поскольку
Ф (0 (х, l) = (x + tdp (х,	l — tdp (х, l)ldx) + 0(f),
то
ф (0* о = Е №/ — / d. dpjdxi) л (dxj +1 d dpjdl/) + О (t2)
— о +1 (Z <*£/ A d др/dlj — d dp/dxj A dxj) + О (i2)
= a — t<Pp + 0{tz) = a + 0 (P).
Этим завершается доказательство равенства (6.4.12) и теоремы
6.4.3.	Одновременно мы доказали, что разрешающие операторы
Ф(/) гамильтоновой системы (6.4.11) представляют собой ка¬
нонические преобразования:
Определение 6.4.4. С°°-отображение Ф из Qi с: Т* (Л) в й2 с:
Т*(Х) называется каноническим (или симплектическим) преоб¬
разованием, если Ф*<т = а.
Заметим, что1) Ф*а" == о" и что а" есть 2«-форма на Т*(Х),
нигде не равная 0, ибо в локальных координатах а" =
пШ% 1 л'^1 А ••• /\dt,n/\dxn■ Таким образом, форму ап можно
использовать для того, чтобы ориентировать Т*(Х), и мы за¬
ключаем, что производная канонического преобразования всегда
биективна.
Теорема 6.4.3 дает решение геометрического варианта задачи
с начальными значениями для уравнения р(х, q/(x) ) = 0.
') Ниже от" = от Л ... Л от (п раз). — Прим, перев.


190	6. Композиция с гладкими отображениями
Следующая теорема — более привычный аналитический вариант
этого результата:
Теорема 6.4.5. Пусть р — вещественнозначная С00-функция, опре¬
деленная в некоторой окрестности точки (0, rj)ef*(R"), такая
что
(6.4.13)	р (0, л) = 0, др (О, i\)/dln Ф О,
и ф— вещественнозначная С°°-функция на Rn-1, такая что
<Эф (0)/дх/ = Л/. i<n.
Тогда в некоторой окрестности точки Og Rnсуществует един¬
ственное вещественнозначное решение <р уравнения
(6.4.14)	р(х, <p'(*)) = 0,
удовлетворяющее граничным условиям
(6.4.15)	qp(*', 0) = 'ф(д:/),	<3ф (0)/дх = л-
Здесь x'=(xi, ..., xn-i).
Доказательство. По теореме о неявной функции уравнение
р(х', 0, д$(х')/дх', |„) = 0
имеет единственное решение |п=|л(*/) с £п(0) = ля при до¬
статочно малых \х'\. Множество
So = {{х', 0, д$/дх', £„(*'))}
представляет собой (п — 1) -мерное многообразие, удовлетворяю¬
щее условиям (а) и (Ь) теоремы 6.4.3. Условие (с) также вы¬
полнено, поскольку х„-компонента др/д\п вектора Нр отлична от
0.	Следовательно, для поверхности S, даваемой теоремой 6.4.3,
ограничение проекции я на 5 имеет сюръективную производную
в точке (0, л), так что вблизи точки 0gR“ эта поверхность
является сечением расслоения Т*( R”). Тем самым мы получаем
вблизи нуля некоторое решение ф уравнения (6.4.14), такое чтл
(х, ф'(г))е5; в частности,
<3ф (х', 0)jdx' = д^/дх',	д(р(0)/дх = ц.
Таким образом, (fix', 0) = ф(х')+С, а потому ф — С обладает
всеми требуемыми свойствами. Единственность решения выте¬
кает из предшествовавшего теореме 6.4.3 обсуждения различных
способов формулировки условия (6.4.14). Теорема доказана.
Иногда бывает нужно решать одновременно два уравнения
р(х, ф'(х)) = 0, q(x, ц>'(х)) = 0.
Поскольку интегральные кривые гамильтонова поля Нр должны
лежать на поверхности S, задаваемой графиком производной


Примечания 191
<р', и поскольку вдоль этих кривых
<6-4-i6)
то скобка Пуассона функций р и q
<6.4.17,
тоже должна равняться 0 на S. Повторяя это рассуждение,
можно доказать, что и кратные скобки Пуассона {р, {р, </}},
должны равняться 0 на 5. Модифицируя доказательство тео¬
ремы 6.4.3, нетрудно показать, что если скобка {р, q} тожде¬
ственно равна 0 на множестве {(х, |); р(х, g) = </(x, |) = 0} и
dp, dq линейно независимы, то существует поверхность 5, удов¬
летворяющая условию (i)' для р и q, равно как и условию (и)',
которая проходит через заданное многообразие S0 размерности
п — 2, удовлетворяющее условиям (а), (Ь) и подходящему ва¬
рианту условия (с). Мы не будем здесь продолжать обсужде¬
ние этого вопроса, потому что обстоятельное его изложение
будет дано в гл. 21. Однако понятие скобки Пуассона играет
важную роль в гл. 8, и стоит подчеркнуть, что в силу (6.4.16)
скобка Пуассона двух функций на Т*(Х) определена инва¬
риантно.
Примечания
Как было отмечено в конце § 6.3, в случае когда X — многооб¬
разие, пространство З)'(Х) можно определить как двойственное
к пространству С°°-плотностей на X с компактным носителем.
Это частный случай теории потоков де Рама (de Rham [П),
которая занимается также изучением обобщенных дифференци¬
альных форм любой степени. Поэтому результаты § 6.1 по су¬
ществу содержатся в теории де Рама, ибо композиция с отобра¬
жением f, имеющим сюръективную производную, может быть
после замены переменных в области определения f локально
расщеплена в тензорное произведение с функцией 1 от соответ¬
ствующей части новых переменных. Формула (6.1.5) взята,
правда, из статьи John [5].
Аналогично тому как в § 1.1 мы дали краткий обзор диффе¬
ренциального исчисления, в § 6.3 и 6.4 мы напомнили понятия
многообразия, касательного расслоения и кокасательного рас¬
слоения, а также общее понятие векторного расслоения и исчис¬
ления дифференциальных форм. Этого достаточно, чтобы объяс¬
нить наши обозначения, но читателю, не имевшему прежде дела
с этими предметами, придется хотя бы посмотреть где-нибудь


192	6. Композиция с гладкими отображениями
подробное изложение теории дифференциальных форм. Помимо
книги де Рама (de Rham [1]) он может обратиться, например,
к руководствам Warner [1] или Sternberg [1].
В § 6.4 изложена, кроме того, теория Гамильтона — Якоби
для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Мы избрали геометрический способ изложения, ведущий к поня¬
тиям гамильтонова векторного поля, бихарактеристики и скобки
Пуассона, которые все понадобятся для некоторых результатов
§ 8.5. Эти понятия лежат в основе симплектической геометрии,
пронизывающей значительную часть современной теории линей¬
ных дифференциальных операторов в частных производных с
переменными коэффициентами. Мы специально посвятим целую
главу 21 изложению всей той части симплектической геометрии,
которая нужна для реализации нашей программы.
Читатель может спокойно отложить изучение § 6.3 и 6.4 до
того момента, когда он доберется до третьего тома. В большой
мере именно для того, чтобы сделать это возможным, мы пред¬
почли определить композицию распределений с отображениями,
не привлекая понятия распределения на многообразии, хотя в
концептуальном плане обратный порядок изложения имел бы
определенные преимущества.


7
Преобразование Фурье
Краткое содержание главы
Преобразование Фурье функции keL1 определяется формулой
ы(£) = ^ e~i<x,lyu(x)dx.
В § 7.1 мы распространяем это определение на все и, принад¬
лежащие 9' — пространству умеренных распределений. Это наи¬
меньшее подпространство в ЗУ > содержащее L1 и инвариантное
относительно операций дифференцирования и умножения на
многочлены. В том, что такое распространение оказывается воз¬
можным, нет ничего удивительного, поскольку при преобразо¬
вании Фурье операции дифференцирования и умножения на ко¬
ординаты переходят одна в другую. (См. также введение.)'
Правда, технически удобнее определить 9" как пространство,
двойственное к пространству 9 быстро убывающих пробных
функций. Доказав формулу обращения Фурье и основные пра¬
вила вычислений с преобразованиями Фурье, мы изучаем в
§ 7.1 преобразование Фурье функций из L2, распределений с
компактным носителем, однородных распределений и плотно¬
стей на подмногообразиях. В качестве приложения исследуются
фундаментальные решения эллиптических уравнений. Параграф
7.2 посвящен формуле суммирования Пуассона и разложениям
в ряды Фурье. В § 7.3 мы возвращаемся к изучению преобразо¬
вания Фурье — Лапласа распределений с компактным носите¬
лем. После доказательства теоремы Пэли — Винера — Шварца
здесь даются такие приложения, как существование фундамен¬
тального решения у любого дифференциального оператора с по¬
стоянными коэффициентами, теорема Асгейрссона о средних зна¬
чениях и формула Кирхгофа для решений волнового уравнения.
В § 7.4 исследуется преобразование Фурье — Лапласа распре¬
делений, не обязательно имеющих компактный носитель. В част¬
ности, мы вычисляем преобразование Фурье — Лапласа опере¬
жающего фундаментального решения волнового уравнения. 1313 Зак. 821


194	7. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье доставляет удобный метод приближения
С°°-функций аналитическими функциями. Используя этот ме¬
тод, мы доказываем в § 7.5 подготовительную теорему Маль-
гранжа, предварительно напомнив ее классический аналитиче¬
ский аналог — подготовительную теорему Вейерштрасса.
В § 7.6 рассматриваются преобразование Фурье гауссовых
функций и операторы свертки, задаваемые такими функциями.
Это подготавливает почву для проводимого в § 7.7 довольно об¬
стоятельного изучения метода стационарной фазы, который слу¬
жит основным средством иследования псевдодифференциальных
операторов и интегральных операторов Фурье в гл. 18 и 25. Во
многих доказательствах этого параграфа существенную роль
играет подготовительная теорема Мальгранжа. В качестве при¬
ложения метода стационарной фазы в его простейшей форме
мы вводим в § 7.8 понятие осцилляторного интеграла. Это по¬
зволяет придать точный смысл соотношениям типа
6(£) = (2яГл \el«-bdx
и соответственно упростить обозначения. Наконец, в § 7.9 мы
продолжаем начатое в § 4.5 получение //-оценок для операто¬
ров свертки. Даются некоторые приложения таких оценок, ка¬
сающиеся регулярности решений эллиптических дифференциаль¬
ных уравнений с постоянными коэффициентами. Хотя эти резуль¬
таты весьма важны при изучении нелинейных эллиптических
дифференциальных уравнений, в этой книге они не играют су¬
щественной роли, и читатель может пропустить § 7.9, не теряя
общей линии изложения.
7.1.	Преобразование Фурье в у и в д>'
Цель анализа Фурье в R”—разложить произвольную функцию
в сумму (обычно не дискретную, а непрерывную) характеров.
Под характером понимается собственная функция операторов
сдвига, т. е. такая функция f, что для всякого у е R”
f(x + y) = f(x)c(y), xeR",
при некотором с(у). Следовательно, если /(0) = 0, то f равня¬
ется 0 тождественно. Исключая этот неинтересный случай, мы
можем нормировать f так, чтобы f(0)= 1. Полагая х = 0, полу¬
чаем f(y)= с (у), так что
f(x + y) = f(x)f(y), f( 0)=1.
(7.1.1)


7.1. Преобразование Фурье в У и в 9”	195
Предположив, что / непрерывна, и выбрав какую-нибудь функ¬
цию g^C™, для которой ^fgdy = 1, заключаем, что
f (■)=]!(■+y)g(y)dy<=C”
(теорема 1.3.1). Дифференцирование (7.1.1) по у дает прл
У = О
d,f = a,f, где а, = d,f (0).
Поскольку f(0)= 1, отсюда следует, что
П
(7.1.2)	f(x) = exp(x, а), где (х, а)=£хуа/.
Обратно, экспонента (7.1.2) удовлетворяет условию (7.1.1), так
что мы нашли все непрерывные характеры.
Какие именно характеры требуются для разложения данной
функции и, зависит от свойств этой функции. Мы в основном
будем рассматривать функции и распределения, достаточно хо¬
рошо ведущие себя на бесконечности, и потому будем исполь¬
зовать лишь ограниченные характеры, т. е. будем брать а в
(7.1.2)	чисто мнимым.
Определение 7.1.1. Для всякой функции	R") ее преобра¬
зованием Фурье называется ограниченная непрерывная функция
f на R", определяемая формулой
(7.1.3)	!®=\e-l«-bf{x)dx, te=Rn.
Если f тоже окажется интегрируемой, то f восстанавливается
по f с помощью формулы обращения Фурье
(7 1.4)	f (х) = (2я)~л J eiix‘ (1)
Таким образом, f(l) есть плотность характера ei<x-& в гармо¬
ническом разложении функции f. Чтобы изучить свойства преоб¬
разования Фурье и, в частности, доказать формулу (7.1.4), рас¬
смотрим сперва функции из некоторого подкласса класса С°°,
содержащего С”:
Определение 7.1.2. Через 9> или 5”(R") обозначается множество
всех <реС” (R"), таких что
(7.1.5)	sup | хрд“<р (х) | < оо
X
для любых мультииндексов аир. Топология в 9, задаваемая
полунормами, равными всевозможным левым частям (7.1.5),
превращает 9* в пространство Фреше.
13*


196	7. Преобразование Фурье
Важность класса объясняется следующим результатом, в
котором вместо операторов д/ мы используем операторы
Dj = — id,-,
что гораздо удобнее, когда речь идет о преобразовании Фурье.
Заметим, что а 9”, Xjff’ cz91 и Ф с L1.
Лемма 7.1.3. Преобразование Фурье ф-»-ф непрерывно отобра¬
жает 9* в У. Преобразованием Фурье функции D/ф служит
1/Ф:(1)* а преобразованием Фурье функции хщ> служит —D/ф-
Доказательство. Дифференцирование (7.1.3) дает
Da^(l)=\e-i<x-ll(-x)aq,(x)dx
(оно законно, поскольку получающийся интеграл равномерно
сходится). Следовательно, феС°° и Daф есть преобразование
Фурье от (—х)“ф. Далее, интегрируя по частям, получаем
(7.1.6)	£р1)аф (|) = J е_<<Х'?> Dp((— х)а ф (х)) dx
(интегрирование по частям законно, так как феУ). Следова¬
тельно,
sup | Ер£>?ф (|) | < С sup (1 +1 дс |)л+11 Dp ((- xf Ф (х)) |,
X
где С= ^ (1 +1 х | )-"-1 dx, так что преобразование Фурье не¬
прерывно отображает 91 в 9*. Равенство (7.1.6) при а = 0 по¬
казывает, что £рф есть преобразование Фурье от £рф, чем и
завершается доказательство.
Лемма 7.1.4. Если линейное отображение Т: 9>^>-9> удовлетво¬
ряет условиям
TDj(f = D/Tq>, TXj(p = XjT(p, /=1, ..., я, фе?1,
то 7\р = сф, где с — некоторая постоянная.
Доказательство. Если (реУ и ф(у) = 0, то функция ф пред¬
ставима в виде
Ф (х) = Z (х/ — Уд Ф/ (х),
где ф)ЕУ, (Действительно, теорема 1.1.9 гарантирует суще¬
ствование такого представления с ф/ е С°°, а при хфу можно
было бы взять ф/ (х) = q> (х) (xj — у,) | х — у |-2 — эта функция
ведет себя на бесконечности как функция из 9. Сочетая эти два
выбора при помощи разбиения единицы, получаем ф/ с нуж¬


7.1. Преобразование Фурье в & и в 9"	197
ными свойствами.) Следовательно, и
T<p(x)='L(xl — yl)Tq>i(x) = 0 при х = у.
Отсюда вытекает, что для всех ipe^1
Гф(х) = с(х)ф(х),
где с не зависит от ф. Выбирая функцию ф, всюду отличную от
О, заключаем, что с е С°°. Далее,
0 = DjT(f — TDIq> = (Dlc)(p, фЁ?,
значит, функция с должна быть постоянной.
Теорема 7.1.5. Преобразование Фурье F: ф-»-ф есть изоморфизм
пространства 9? на себя, обратный к которому задается форму¬
лой обращения Фурье (7.1.4).
Доказательство. В силу леммы 7.1.3, F2 отображает 9> в 9? и
антикоммутирует с О/ и х/. Вводя обозначение 7?ф(х) = ф(—х),
заключаем на основании леммы 7.1.4, примененной к Т = RF2,
что RF2 = с. Чтобы определить с, можно взять функцию ф (х) =
ехр(—|х|2/2). принадлежащую 97. Для нее (х,- + iDj)y = 0, а
потому ( —D/ + &,j) ф (£) = 0, j= 1,..., п. Следовательно, ф =
йф, где Ci = ф(0) = (2я)л/2, ввиду (3.4.1)'. Таким образом, F2(p =
с^р, а значит, с = с2=(2я)л, чем и завершается доказатель¬
ство.
Другой интересный способ определения постоянной с, фигу¬
рирующей в этом доказательстве, состоит в следующем. Рас¬
смотрим случай п = 1 (в общем случае надо просто ниже вместо
f взять произведение /i(xi) ... fn(xn)). Разбивая интеграл
(7.1.3)	на два — по отрицательной полуоси и по положительной
и интегрируя по частям, получаем f(g) = /'+(6) + F-(|), где
оо	оо
F+ (6) = 5 f (*)dx = f (°)М + /' ШИ)2 + \ f"(*)^ dx№?
О	О
= /(0)/*1 + О(||Г2) при £->оо, 1ш|<0,
О
F_ (6) = \f (х) е-** dx =	/ (0)/i| +0(16 Г2)
— оо
при £ —► оо, 1ш|^0.
Предположим, что / е С”. Тогда F_ и F+ будут целыми ана¬
литическими функциями. Если обозначить через ун окружность
|£| = У?, ориентированную против часовой стрелки, а через
У)? — ее полуокружности в верхней и нижней полуплоскостях


198	7. Преобразование Фурье
соответственно, то в силу интегральной формулы Коши
\f(l)dl= lim ( F+(£)dZ- \ F_(g)dg
v* v*
= lim ( / (0)//£ dt, = 2л/ (0).
Таким образом, постоянная 2я в интегральной формуле Коши
«та же самая», что и в формуле обращения Фурье, и зачастую
мы вольны выбирать между этими формулами.
Можно было бы, и не привлекая лемму 7.1.4, непосредствен¬
но проверить, что формула обращения Фурье должна выпол¬
няться с некоторой постоянной с вместо (2л)". Решающий мо¬
мент— это вычисление двойного интеграла
(y)e~i<y’& dy, ф е 91.
Поскольку он не сходится абсолютно, порядок интегрирования
поменять нельзя, и для того, чтобы обеспечить сходимость, надо
ввести некий множитель, функцию от g. Итак, выберем функцию
с ф(0) = 1 и заметим, что по теореме о мажорированной
сходимости
\ Ф (Б) /*' <*•£> d\ = lim U (eg) ф (g) el <*■ e»'rfg
J	•	e->0 J
= lim И ф (eg) ф (y) el <x~y' ® dg dy.
e->0 J J
В этом абсолютно сходящемся двойном интеграле мы уже мо¬
жем проинтегрировать сначала по g, что дает
\ Ф (I) l> d% = lim \ ф (у) ф ((у — x)/e) dyl&n
J	е->о J
= lim \ ф (х + ег) ф (z) dz = ф (х) \ ф (z) dz.
Теперь установим ряд фундаментальных свойств преобразо¬
вания Фурье на
Теорема 7.1.6. Для любых ф, фе?1
(7.1.7)	^ффс?х = ^фф<£г,
(7.1.8)	^ фф dx — (2л)~п ^ фф dx (формула Парсеваля),


7.1. Преобразование Фурье в и в 9"	199
Доказательство. Обе части (7.1.7) равны двойному интегралу
^ Ф (х) ф (g) e~ilx- & dx dg.
Чтобы доказать (7.1.8), положим х=(2я)_"ф. В силу формулы
обращения Фурье,
Ш) = (2я)_п J ф (х) е1 ь dx = ф (g).
Поэтому (7.1.8) вытекает из (7.1.7) с ф, замененным на %. До¬
казательство равенства (7.1.9), столь же элементарное, как и
доказательство равенства (7.1.7), предоставляется читателю. На¬
конец, чтобы установить (7.1.10), заметим, что преобразование
Фурье от фф равно (2я)лф(—х)ф(—х), а преобразование Фурье
от ф*фравно (2я)"ф(—х) (2я)"ф(—х), ввиду (7.1.9) и формулы
обращения Фурье. Теорема доказана.
Определение 7.1.7. Непрерывные линейные формы на 9 назы¬
ваются умеренными распределениями (или распределениями
умеренного роста). Множество всех умеренных распределений
обозначается через 9'.
Ограничение умеренного распределения на подпространство
С” (R") в 9 будет, очевидно, распределением из iZ5'(R"). В дей¬
ствительности 9” можно отождествить с соответствующим под¬
пространством в &'(Rn), ибо, как показывает приводимая ниже
лемма, распределение и е 9", равное 0 на СГ (Rn)> должно рав¬
няться 0 на всем 9.
Лемма 7.1.8. Со° плотно в 9.
Доказательство. Пусть ф е 9. Возьмем функцию ф е С“, такую
ЧТО ф (х) = 1 при |х|<1, и ПОЛОЖИМ Фе (*) = ф (х) ф (вх). ЯСНО,
что фе е С“, а поскольку
Фе(х) — ф (х) = ф (х) (ф (ех) — 1) = 0 при | х | < 1/е,
то фе-^-ф в 9 при е-»-0.
Очевидно, что &' с: 9'. Другим примером элементов из 9'
служат меры dp, удовлетворяющие при некотором m условию
$ (1 +|x|rm|dp(x)|< оо.
Отсюда, в частности, следует, что Lp(Rn)cz9' для любого р.
Ясно, также, что 9' замкнуто относительно операций диффе¬
ренцирования и умножения на многочлены или функции из 9.


200	7. Преобразование Фурье
Определение 7.1.9. Для всякого распределения и ^9' его пре¬
образование Фурье й определяется формулой
(7.1.11)	й (ф) = и (ф),	<р<=9.
Из леммы 7.1.3 следует, что uef, и, поскольку доказа¬
тельство равенства (7.1.7) сохраняет силу для всех <p, ijieL1,
это определение согласуется с определением (7.1.3) в случае,
когда и е L1.
Формула обращения Фурье, доказанная в теореме 7.1.5,
утверждает, что
Ф = (2я)* ф для ipe^, где ф (х) = ф (— х).
Отсюда вытекает, что для us?'
и (ф) = «(ф) = (2я)" и (ф) = (2я)" й (ф).
Здесь й — это, конечно, композиция распределения и с отобра¬
жением х-э—х. Таким образом, справедлива
Теорема 7.1.10. Преобразование Фурье осуществляет изоморфизм
пространства 9' (со слабой топологией) на себя, и для всякого
•	Я
nef имеет место формула обращения Фурм и = (2я)п«.
В частности, если f е L1 и f е L1, то формула обращения
(7.1.*4) справедлива для почти всех х. Следовательно, можно
изменить f на множестве меры нуль так, что она станет непре¬
рывной и (7.1.4) будет выполняться всюду.
Теорема 7.1.11. Если aeL2(Rs), то преобразование Фурье й
тоже принадлежит L2(R"), и формула Парсеваля (7.1.8) верна
для всех ф, фе L2.
Доказательство. Выберем последовательность И/ е С”, такую
что Uj —*■ и в /Анорме. Тогда
II й, - йл = (2я)1 и, - uk \\ъ -> о
в силу равенства (7.1.8), уже доказанного для 9. Отсюда еле--
дует по теореме Рисса — Фишера, что существует функция
U^L2, такая что	в L2, и, ввиду непрерывности преоб¬
разования Фурье в 9', U = й. Далее, обе части равенства
(7.1.8)	суть непрерывные функции от ф и ф в Т2-норме, поэтому
оно сохраняет силу для любых функций из L2.
Если u^Lp и 1 ^ р ^ 2, то и можно представить в виде
суммы функции из L2 и функции из L1, и, значит, преобразова¬


7.1. Преобразование Фурье в SP и в 9"	201
ние Фурье от и принадлежит Lioc. Более сильное заключение
можно сделать, используя следующую теорему Рисса — Торина
о выпуклости:
Теорема 7.1.12. Пусть Т — линейное отображение из Lp'f\LPi в
L41 П L4\ такое что
(7.1.12)	№\\я,<М,т1рг	/= 1.2.
Если l/p = t/pi-\-(1—t)/p2, \/q = t/qi-\-(1—t)/q2 для неко¬
торого t е (0, 1), то
(7.1.12) '	||7711,<М1МГ‘||Л1Р. f^Lp'(\LPl.
Доказательство. Можно считать, что р < сю, ибо иначе pi =
р2 = оо, а тогда (7.1.12)'следует из неравенства Гёльдера. Метод
доказательства данной теоремы сходен с методом доказатель¬
ства теоремы 4.5.1. Прежде всего перепишем (7.1.12) в виде
| <77, g) | < М, || /1| || g \\q’, llq, + 1 lq' = 1.
I
Для любых неотрицательных F, G е D с || F \\L, = || G ||^, = 1
функция
ф (г) = (т (/0Fz/p‘+o~z)/p2), g0Gzlq'l+il~z)lq2)MizM%~1
по абсолютной величине не превосходит 1 при Re z — 0 или
Rez = l, при условии что |/о|^1, |go|^l. Если взять в ка¬
честве F и G функции, принимающие лишь конечное число значе¬
ний, то функция Ф будет аналитической и ограниченной при
0 ^ Re z^l. По теореме Фрагмена — Линделёфа ее абсолют¬
ная величина не будет превосходить 1 и внутри этой полосы;
следовательно,
|<Г(/о^> £оС1/9'>1<Л1^-‘,	1/<7-ИД7'=1.
Тем самым (7.1.12)' доказано для некоторого плотного подмно¬
жества в LPl П Lp\ Но в силу наших предположений обе части
этого неравенства -непрерывны в Ер‘ f] Ьрг. Доказательство за¬
вершено.
Теорема 7.1.13 (Хаусдорфа — Юнга). Если f<=Lpc 1 ^ р ^ 2,
то	где 1/p-f l/p'—l, и
(7-1.13)	llfll^<(2nr/p,||fllLP.
Доказательство. Неравенство (7.1.13) справедливо при р — 2
в силу формулы Парсеваля и очевидно при р = 1, поэтому в
общем случае оно следует из теоремы 7.1.12.


202	7. Преобразование Фурье
Как мы увидим в § 7.6, при р > 2 преобразование Фурье
функции из Lp может быть распределением положительного по¬
рядка.
Уже лемма 7.1.3 показывает, что преобразование Фурье пе¬
реводит друг в друга свойства локальной гладкости и свойства
роста на бесконечности. Другим подтверждением этому служит
следующая
Теорема 7.1.14. Преобразование Фурье всякого распределения
является функцией
При этом правая часть определена для всех комплексных век¬
торов g е ’С" и представляет собой целую аналитическую функ¬
цию от |, называемую преобразованием Фурье —
Лапласа от и.
Доказательство. Для феС“(Rrt)
ввиду теоремы 5.1.1 или, точнее, ее аналога для распределений
с компактным носителем и пробных функций из С°°. Отсюда
следует, что распределение и есть функция (7.1.14), которая
в силу теоремы 2.1.3 является С^-функцией на Сп. Она удов¬
летворяет уравнениям Коши — Римана, поскольку мы можем
дифференцировать по | прямо экспоненту, чем теорема и до¬
казана.
Заметим, что и * eil ' Р = й(£,)е10, Е>. Свойства целой анали¬
тической функции й будут обсуждаться ниже в § 7.3.
Теорема 7.1.15. Если «ie/, a U2то	и преоб¬
разованием Фурье свертки и\ * и2 служит щй2.
Последнее произведение определено, ибо ввиду предыдущей
теоремы й2 е С°°.
Доказательство. Для <реС” имеем, в силу свойств свертки,
(и, * и2) (ср) = Hj * ц2 * ер (0) = и1 (й2 * ф).
Правая часть представляет собой непрерывную линейную форму
на 9>, поскольку для феУ свертка й2 * ф тоже принадлежит SP,
и если и2 — распределение порядка, скажем, k, то
(7.1.14)
й(1) = их (<г'<*-*>) ”.
й (ф) = и
(ф) = (ых®<р5) {e~iix- *>)= J<p(|) и (£-*<•• b)dl
1) То есть й (£) = и (е ‘<Р’ 5>). — Прим, перев.


7.1. Преобразование Фурье в £7 и в 203
Чтобы вычислить преобразование Фурье от ui * «г, заметим, что
(«! *ы2)(ф) = и1(ы2*ф),	(ре?1.
Если <р е С“, то ы2 * Ф есть преобразование Фурье от йгф, так
как это последнее равно
jj е~1<х-	{е~‘ <•• Щ ф (|) dl = щ, (ф {х + •))
ввиду теоремы 5.1.1. Следовательно,
(U[ * «2) (ф) =	(й2ф) =	(ф), феС
чем наше утверждение и доказано.
Из теоремы 7.1.15 вытекает, что основные свойства преоб¬
разования Фурье, отмеченные в лемме 7.1.3, распространяются
на 9>'\
(7.1.15)	5р = Ъ,й, xp = -D,a {и<=9>'),
поскольку дифференцирование можно записать как свертку с
производной от меры Дирака в 0. Равенства (7.1.15) можно так¬
же получить дифференцированием соотношений
(7.1.16)	6ft * и = e~uh- ’уй, (ег<'- ft)u)'> = 6ft * й.
Еще можно было бы рассуждать так: равенства (7.1.15) долж¬
ны выполняться в потому что они выполняются в его плот¬
ном подмножестве 9>, а обе части каждого из равенств непре¬
рывны в Последнее рассуждение показывает также, что для
всякой линейной биекции Т: R'I->R'1
(7.1.17)	f*u = (fr_l)*“l det T Г1.
Теорема 7.1.16. Если распределение ue/( R") однородно сте¬
пени а, то й однородно степени —а — п.
Доказательство. Пусть Mt обозначает оператор умножения на с.
Тогда M)u — tau, а потому (7.1.17) дает при t> 0
tatl = М\рйСп, т. е. м1й = з~п~ай, s> 0.
Замечание. Как мы увидим ниже (теорема 7.1.18), каждое одно¬
родное распределение ue2)'(!R") автоматически принадлежит
^'(R").
Пример 7.1.17. В обозначениях § 3.2, для всякого аеС преоб¬
разованием Фурье распределения %а± служит ё* «"(“+U/2
X(l=f ЮГв_1, а преобразование Фурье от (л: ± Ю)“ равно
2пе± «яа/г^-а-! (|) ДЛЯ всякого целого k преобразованием Фурье


204	7. Преобразование Фурье
от хгх~к служит ni_1_*(sgn \)%k/k\, если k^O, и 2лН_*б(_*_1>,
если k < 0.
Второе утверждение следует из первого в силу формулы об¬
ращения Фурье, а третье — из второго в силу (3.2.10)' и (3.2.17)'.
Чтобы доказать первое утверждение, заметим, что при е > 0
Re а > —1 преобразованием Фурье от е~£х%а+ (х) будет функди
00	со
*-►$ хае-*ь+*Ых1Т{а+ 1) = (в + £Гв_1 $ zae~z dz/Г (а + I)
о	о
(здесь предполагается, что последний интеграл берется по лучу,
идущему в направлении е + i|, а функция za определена на
комплексной плоскости с разрезом вдоль R_ так, что 1° = 1).
В силу интегральной формулы Коши интеграл можно брать по
R+, так что он равен Г(а + 1). Следовательно, это преобразо¬
вание Фурье есть функция
1(в-Н1Га_1 = е-‘‘я(а+1>/2 (1 - 16)-“'.'.
Устремляя е к 0, заключаем, что преобразование Фурье от Х+
имеет указанный вид (заметим, что это проливает свет на фор¬
мулу (3.4.10)), т. е.
<j£, ф) =	>•*<*+0/2<(g— ю)-а~\ ф), Фе <?,
при Rea>—1. Обе части последнего равенства — целые ана¬
литические функции от а; значит, это равенство должно выпол¬
няться при всех ае.С. Парное утверждение получается, если
заменить х и £ на —х и —£.
Теперь рассмотрим однородные распределения на Rrt или
Rn\0.
Теорема 7.1.18. Если «ей)'(Кл) и ограничение и на R*\0 одно¬
родно степени а, то	Если вдобавок ueC"(R'l\0), то и
й е C”(R'I\0).
Доказательство. Выберем функцию i|jeC“(RB\0), удовлетво¬
ряющую условию (3.2.22). Тогда функция
сю
ф0(х)= 1 — 5 $(xlt)dtlt
1
принадлежит С“, и мы можем написать
00
л
Ы (ф) = ы (ф0ф) + \ и (ф (• /0 ф) dt/t
1
ОО
= «(ФоФ)+$ ы(Фф(/-)На+'1~1^. феС
X к


7.1. Преобразование Фурье в SP и в 9”	205
Положим /Со — supp фо, К — supp ф, и пусть k — порядок рас¬
пределения и в какой-нибудь (компактной) окрестности нуля.
Тогда
|«(ф)кс( у suP|o>|+( у
1 |a|<ft	^	tK	)
<С' ^	sup|x*Daф|,	феС"(Rn),
|a|<ft | Р К I а |+Л1
для любого целого Af>Rea + n- Тем самым доказано, что
и е Допустим теперь, что и е С°° на R^NO. Если R еа < —п,
то й — непрерывная функция, ибо и = ф0и + (1— Фо)«, причем
первое слагаемое имеет компактный носитель, а второе есть
интегрируемая функция. В общем случае мы заключаем, что
распределение Ь$1ай, представляющее собой преобразование
Фурье от (—x)$Dau, является непрерывной функцией, если
Rea — |a| + |p|<—п. Так как это верно для любого |р| при
| а | > Re a +1 р | + п, то й е= С'ЧК^ЧО).
Теоремы 7.1.16 и 7.1.18 показывают, что преобразование
Фурье есть биекция множества однородных распределений сте¬
пени а на R”, принадлежащих классу С°° в Rn\0, на множество
таких же распределений степени —п — а. Рассмотрим теперь
преобразование Фурье U распределения й, удовлетворяющего
соотношению (3.2.24)', т. е. соотношению
й = Гк~пМ\цй + log t Z 5 (хаи) (— 1)* da6o/al.
|a|=ft
В силу (7.1.17) мы имеем в R"
Uf=rkMtU + Qlogt,
где Q — однородный многочлен степени к, задаваемый фор¬
мулой
(7.1.18)	Q(l) = Sx((~ix, lfulk\).
(Напомним, что Sx обозначает интегрирование по единичной
сфере.) Далее, распределение
t/0 = t/ + Qlog|-|
однородно етепени k, ибо
rkMtU0 = t~kMtU + Q (log 1 + log И ) = t/ + Q log | • | = По¬
следовательно, Uо есть ограниченная в некоторой окрестности
нуля функция, однородная степени k и класса С°° в Rn\0.


208	7. Преобразование Фурье
Таким образом,
(7.1.19)	£/(!) = £/„ (6)-Q(S) login.
Применяя этот факт, мы будем строить сейчас фундаментальные
решения, но сперва надо ввести соответствующую терминологию.
Определение 7.1.19. Однородный многочлен от п переменных
Р(|) с комплексными коэффициентами называется эллиптиче¬
ским, если Р(|)=^=0 при 0=^=geRn. Неоднородный многочлен
называют эллиптическим, если эллиптична его однородная часть
старшей степени.
Теорема 7.1.20. Пусть Р — однородный эллиптический многочлен
степени m на Rrt. Тогда оператор P{D) обладает фундаменталь¬
ным решением Е вида
E = E0 — Q{x) log | дс I,
где Е0 — однородное распределение степени тп — п, принадле¬
жащее классу С°° в Rn\0, a Q — многочлен, при п~> m тожде¬
ственно равный 0, а при л ^ пг задаваемый формулой
(7.1.20)	Q(x) = Sl((ix, t)m~n/P (£)) (2n)~n/(m — n)!.
Доказательство. Определим E так, чтобы E — (ljP)' (в обозна¬
чениях теорем 3.2.3 и 3.2.4). Тогда РЕ=1' — б, а значит,
P(D)E = б, и распределение (2я)"£ = £ обладает всеми тре¬
буемыми свойствами.
Замечание. Используя аналитичность Р, легко показать, что Е0
аналитично в R"\0. Мы докажем это для более общего случая
в § 8.6. (См. также замечание после теоремы 7.1.22.)
Из теоремы 7.1.20 вытекает, что каждый однородный эллип¬
тический оператор с постоянными коэффициентами удовлетво¬
ряет условию теоремы 4.4.1. Однако в такого рода приложениях
главную трудность, преодолеваемую при доказательстве тео¬
ремы 7.1.20, — определение распределения (1/Р)‘— удается
обойти. В самом деле, доказательства теорем 4.4.1 и 4.4.2 про¬
ходят и тогда, когда мы располагаем не настоящим фундамен¬
тальным решением, а лишь параметриксом:
Определение 7.1.21. Пусть P{D) — дифференциальный оператор
с постоянными коэффициентами. Распределение £ей)'(R")
называется параметриксом для P(D), если
P(D)E = 6 +со, где coeC°°(R'1).
При построении параметрикса можно не обращать внимания
на определение 1 /Р в 0, поскольку преобразование Фурье рас¬


7.1. Преобразование Фурье в & и в 9"	207
пределения с компактным носителем всегда принадлежит клас¬
су С°°. Более общим образом, справедлива
Теорема 7.1.22. Всякий эллиптический оператор P(D) с постоян¬
ными коэффициентами обладает параметриксом Е, являющимся
на R"\0 функцией класса С°°.
Доказательство. Запишем Р в виде
/3(£) = Л„(£) + Л„_1(£) + ... +Р0,
где Pj — однородный многочлен степени / и Рт{1)ф 0 при
£ Ф 0. Тогда | Pm(£) | 5s с > 0 при | £ | = 1, и по однородности
\Рт{1)\ = \1\т\РтШ\)\>с\1\т, l^Rn.
Отсюда следует, что найдутся такие постоянные С и R, что
\Р(1)\>\Рт(1)\-\Рт-Л1)\- ...
>с|£Г-С(|£Г,-1+ ... + 1)>с|£Г/2
для всех	с |£| ^ R. Поскольку, как это немедленно про¬
веряется по индукции, всякая частная производная порядка k от
1 /Я(£) имеет вид Q(|)/P(£)ft+1, где Q — многочлен степени
(т — 1) k, мы заключаем, что при | £ | > R
(7.1.21)	||РПа(1/Р(£))|<Сар|£||Р|-|а|-'".
Выберем функцию x^C(T(R'1), равную 1 в шаре {£; |£|<Р}.
Тогда (1—%(£))/Р(£) является ограниченной С°°-функцией, а
значит, преобразованием Фурье некоторого распределения
Е е . Ясно, что Р (D) Е = б + где ю — —%. Следовательно,
о е 9“, и из (7.1.21) вытекает, как и при доказательстве тео¬
ремы 7.1.18, что D$xaE — непрерывная функция при |р| — |а| —
т < —п. Тем самым теорема доказана.
Замечание. Поправочный член м, полученный при доказатель¬
стве теоремы, обладает по теореме 7.1.14 аналитическим продол¬
жением на С”. Легко также показать, сдвигая контур интегри¬
рования в комплексную область, что Е допускает аналитическое
продолжение в некоторую коническую окрестность множества
R"\0. Мы предоставляем доказать этот факт читателю в каче¬
стве упражнения, потому что в § 8.6 будут представлены более
общие результаты.
Доказательство теоремы 7.1.22 сохраняет силу для всех Р,
таких что Р<-а) (£)/7> (£)-»- 0 для каждого афО при £->оо в R";
здесь 7>(а)(£) = daP{i). Надо просто показать, что 7>(а) (£)/Р (£) —
О (| £ |-|а,с) при £->-оо для некоторого с > 0, а затем убедиться,
что .£'(£)= 1/Р(£) наследует то же свойство для всех а (так
что с не зависит от а). Верно и обратное утверждение. По по¬
воду этих и многих других связанных с ними результатов отсы¬
лаем читателя к гл. 11.


208	7. Преобразование Фурье
Найдем теперь преобразование Фурье однородных распреде¬
лений, изучавшихся в § 6.2.
Теорема 7.1.23. В предположениях теоремы 6.2.1 преобразова¬
нием Фурье распределения (А ± Ю) (2_я)/2 служит
(п — 2) са | det А Г1/2 е* п1п~12(В =F Ю)~\
а преобразованием Фурье распределения Л*х±~п,/2 —
2я<а“2),2| det A fI/2 {ie±ain±l2(B — i0)~l — ie*nin±l2 (В + i0)_l).
Доказательство. Если бы А была не вещественной, как в тео¬
реме 6.2.1, а комплексной формой с положительно определенной
вещественной частью, то выполнялось бы равенство (6.2.1)".
Переходя к преобразованиям Фурье, мы нашли бы, что преоб¬
разование Фурье от Л<2-п)/2 равно
{n-2)cn{tetA)-mlB® '
всюду вне 0. В силу теорем 3.2.3 и 7.1.16 это должно быть верно
и во всём пространстве. Пусть теперь форма А всего лишь (ве¬
щественна и) невырожденна. Применим полученный только что
результат к Ае = —iA + е|х|2, е > 0. Рассуждая, как при дока¬
зательстве теоремы 6.2.1, мы получим при е-»-0, что преобразо¬
вание Фурье распределения
r'eninii{A + i0f~nm
равно помноженному на | det/4 P1/2eIU(sgnA)/4(rc — 2)с„ пределу
распределения 1 ДРе(£)> где Ре(|) — квадратичная форма с ма¬
трицей
(a/fc + et"fyft) l — (bjk) — si (t»;ft)2 + О (е ).
Предел этот равен Н(В(|) — Ю)-1. Действительно, поскольку
мы имеем дело с функциями, однородными степени —2 > —п,
достаточно (по теореме 3.2.3) установить этот факт в R”\0, а
там он следует из деммы 6.2.2. Тем самым доказано первое
утверждение теоремы. Другие выводятся из него, как в начале
доказательства теоремы 6.2.1.
Далее, вычислим преобразование Фурье произвольного рас¬
пределения u^2D'(Rn), для которого при некотором целом k
выполняется условие
(7.1.22)	(и, ф> = (sgn 0 Гк (и, Ф (/ • )>, ф <= С (Rn), t Ф 0.
Это означает, что и однородно степени —п — k и имеет четность,
противоположную четности k (см. (3.2.18)'). Согласно теореме
3.2.4,	взятие ограничения на Rn\0 задает биегащю множества


7.1. Преобразование Фурье в & и в 9”	209
всех таких распределений в R" на множество всех распределе¬
ний в R”\0, удовлетворяющих тому же условию при <реС”
(Rn\0). В силу (3.2.23)",
(и, (f) = S(u(rk'\ ф(/-)))/2,	ф(=СГ^п).
Эта формула распространяется по непрерывности на все
tpe?1. Чтобы вычислить <й, ф> = (и, ф>, выразим сперва через
ф значение	ф (tx) > при л: = (1,0, ..., 0). Функция
>-ф(/, 0, ..., 0) есть преобразование Фурье от функции
ii —V ^ ф(ii,	где g' = (E2> •••. £«)• Преобразованием Фурье
от t~*~l служит 2тсГ1~*ак, где
( 2-1 (sgn т) xk!k\ при k = 0, 1
(7.1.23)	ok( т)=	*	ь .	9
(o'	"	при k = — 1, — 2, ...
(пример 7.1.17). Следовательно,
(Г*"1, ф(tx)) — 2яГ1~к ^ (ak(т), ф(т, £'))dl'
= 2пГ1~к(ак{(х, £», ф(£)>.
Заметим, что а* однородно степени k, а потому последнее выра¬
жение однородно ио х степени k. По соображениям инвариант¬
ности относительно вращений это выражение дает значение
ф(/л;)> при любом хФО, и мы заключаем, что для всех
qfei9>
(7.1.24)	(й, q>) = nr'-kSx(u(x)(ok((x, £)), ф(|)>)
или, формально,
(7.1.24) '	й(Ъ) = пГ'-к8х{и{х)ок({х, £»).
В § 8.2 и 12.6 мы придадим точный смысл таким формулам. От¬
метим, что из (7.1.24) и (7.1.23) вытекает, что при k < 0 пре¬
образование Фурье й в окрестности данной точки | вполне опре¬
деляется ограничением распределения и на некоторую окрест¬
ность проходящей через 0 плоскости, ортогональной вектору
при k ^ 0 это верно лишь в отношении особенностей и. В гл. 12
мы вернемся к формуле (7.1.24), представляющей собой квинт¬
эссенцию формулы Герглотца — Петровского для фундамен¬
тального решения гиперболических уравнений. Чтобы иметь там
удобную ссылку, подытожим полученные результаты в виде от¬
дельной теоремы:
Теорема 7.1.24. Если распределение ue/( R") удовлетворяет
условию(7.1.22), т. е. является однородным степени —п — k и 1414 Зак. 821


210	7. Преобразование Фурье
имеет четность, противоположную четности числа k (целого), то
преобразование Фурье от и задается формулой (7.1.24), где оь
определяются по формуле (7.1.23).
В заключение этого параграфа рассмотрим преобразования
Фурье от плотностей (типа простых слоев) на подмногообразиях
в К". Прежде всего напомним, что преобразованием Фурье от
So служит мера Лебега dx, а значит, в силу формулы обращения
Фурье, преобразование Фурье от dx равно (2л) "бо. Более общо:
Теорема 7.1.25. Пусть V — линейное подпространство в R" и
Vх — ортогональное к нему подпространство. Преобразованием
Фурье евклидовой поверхностной меры на V служит взятая с
множителем (2n)dimV евклидова поверхностная мера на У1.
Доказательство. Ортогональным преобразованием можно до¬
биться, чтобы V задавалось уравнением х" = {Xk+u ■■■, х„) = 0.
Положим х' = (*1, ..., Xk). Тогда
(7.1.25)	J ф (х', 0) dx' = (2л)* ^ <р (0, х") dx", <ре^.
Действительно, функция Ф на определенная формулой
Ф (х') = ^ ср (х'г х") dx", принадлежит классу 9>, и Ф(|') =
ф(|', 0). Поэтому (7.1.25) сразу следует из формулы обращения
Фурье для Ф. Теорема доказана.
Пусть dSv и dSvx — евклидовы поверхностные меры на V
и Ух соответственно и ц0 ^ L2{dSv)- Тогда /Аплотность и =
UodSv принадлежит ^'(R") и ее преобразованием Фурье будет,
в использованных выше координатах, й0(1'). Следовательно, в
силу формулы Парсеваля, для <p е C0(Rn)
Rk-n 51 й (£) I2 Ф m) dl= 51 flo (1012 Ф (17/?. Г) dl
-> 5 I й0 (Г) I2 dl' J <p (0, l") dl" = (2л)* J | u012 dSv J q> dSvx
VX
при R-y oo.
Мы собираемся обобщить этот факт на случай произвольных
поверхностей. Как показывает предыдущая формула, удобно из¬
менить обозначения и понимать под k не размерность, а кораз¬
мерность подпространства V.
Теорема 7.1.26. Пусть К — компактное подмножество ^-мно¬
гообразия М cR" коразмерности k, и пусть dS обозначает
евклидову поверхностную меру на М. Если u — UodS, где м0 —
функция с носителем в К, квадратично-интегрируемая по мере


dS, то
(7.1.26)
7.1. Преобразование Фурье в У и в 9"	211
\ I ^ (I) I2
Ш<Я
^CRk\\u0fdS,
где С не зависит от и и R.
R> О,
Доказательство. Привлекая, если надо, разбиение единицы,
можно считать, что в некоторой окрестности множества К мно¬
гообразие М имеет вид
x" = h(x'); х' = (хи .... xn_k)(=Rn~k,
X ' =z (^n—A+l>	хп) s R
(AeC1). Тогда dS = a(x')dx', где a —положительная непре¬
рывная функция, «о есть функция от х' и
й (£) = J в~1 «*'■ V>+ «мп Г»ц- (х') а (х') dx'.
При фиксированном формула Парсеваля дает
J I й (I) I2 dl' = {2n)n~k J | и012 a2 dx' = (2n)n~k $ | u0 \2 a dS.
Интегрируя это равенство no %" в шаре |£"|<;/?, приходим к
(7.1.26).
Несмотря на простоту доказательства, оценка (7.1.26) яв¬
ляется оптимальной:
Теорема 7.1.27. Пусть «е/, /JeZ,L Предположим, что
(7.1.27)
lim sup
00
\ \d(l)\2dl/Rk<oo.
1\<Я
Если у ограничения распределения и на данное открытое мно¬
жество X в R" носитель лежит в некотором С1 -подмногообразии
М в X коразмерности k, то это ограничение представляет собой
Ь2-плотность uodS на М и
(7.1.28)	(|u0|2dS<Climsup ^
м	R-*°° Ш<*
где С зависит лишь от п.
й(1) \2dHRk,
Доказательство. Выберем функцию % е С” (Rn) с носителем
в единичном шаре и с ^%dx=l. Преобразование Фурье от
«е = ы*Хе, где %s(x) = е~пх(х/е), равно й(|)х(е|). Следователь¬
но (ниже || || обозначает ТАнорму),
|| це ||2 = (2п)~п J | й (I) |21 % (eg) |2 dl < С'г-кК (г),
14*


212	7. Преобразование Фурье
где
К (e) = sup (2л) "
вН> 1
J
Л(£) ?dHRk,
С'= sup 1х(Ю|2+У sup \i®f2ki.
IEI<«	, I 6 f>2/-l
Пересечение носителя распределения «е с произвольным ком¬
пактным подмножеством в X содержится в множестве Ме всех
точек, находящихся на расстоянии <е от supp и* с: Л1 (здесь их
обозначает ограничение распределения и на X), при условии что
е достаточно мало. Геометрически очевидно и легко доказыва¬
ется при помощи замены переменных, что для if е С“ (X)
e~fe ^ 11И*) \2dx->Ck ^ |ifpdS при е-^-О,
supp их
где Ck — объем единичного шара в Rk. Поэтому
IЫ, if) |2 = lim [ <ые, if) |2 < С"
г-¥0
J
supp Ug
hf |2dSIim/C(e).
£->0
Отсюда видно, что существует ^-плотность uodS на М, такая
что для if еС0°° (А')
(и, if) = jj u0if dS,
Теорема доказана.
ип Р dS<C'‘
lim sup
R-* оо
J \a(t)\4i/Rk
1\<я
Следующая теорема служит заменителем формулы Парсе-
валя:
Теорема 7.1.28. Пусть <peCo(Rn). Тогда для всякой L2-плот¬
ности с компактным носителем и = u0dS на С1-многообразии
М с -R " коразмерности k
(7.1.29)	lim t|«(|)p(p(|//?)d|//?ft
J
ф(£ )do®)dS(x),
где dS — евклидова поверхностная мера на М, a da — евклидова
поверхностная мера на проходящей через 0 плоскости Nx, нор¬
мальной к (касательной плоскости к) многообразию М в точке х.
Доказательство. Ввиду теоремы 7.1.26 достаточно установить
(7.1.29)	для случая,когда функция ыонепрерывна,а феС”(R“).


7.1. Преобразование Фурье в <7 и в 9”	21$
Пусть ф = ф, так что Фе^1. Положим
Фк(х) = Яп-кФ(Ях).
Преобразование Фурье от Фк равно /?~*Ф (£//?), а потому преоб¬
разованием Фурье от и*Ф« будет й(|)ф(l/R)R~k. Следова¬
тельно, по формуле Парсеваля,
$|Л(6)Рф№) dl!Rk = (2nf{u * Ф*, и).
Остается вычислить предел свертки и * Фк на М. Запишем
и * Фд (*) = J ио (У)ф (R (х — У)) Rn~k dS (у), ХЕЕМ.
Без ограничения общности можно считать, что многообразие М
задается, как и в доказательстве теоремы 7.1.26, уравнением
х" — h(x') (поскольку вне носителя функции и0 интеграл в пра¬
вой части быстро стремится к нулю). Во введенных там обозна¬
чениях имеем
и * Фд {х', h (х'))
= 5 «о (У') Ф (R (*' - У'). R (Л (*') - h (у'))) Rn~ka (у') dy'
= 5 “«~ у'1® ф	~к(х' — у'/R)))а (х' — y'lR) dy'
-► «о (х') ^ Ф (у', h' (.X') у') а (X') dy' при R с»
(по теореме о мажорированной сходимости). Ясно, что эта схо¬
димость локально равномерна. Но последний интеграл есть ин¬
теграл от Ф по касательной плоскости Т к М в точке (x',h(x')),
взятый по евклидовой поверхностной мере. Поэтому, согласно
теореме 7.1.25, он равен
(2л)~к ^ф(1)й<т(£),
гл¬
отнула сразу и следует формула (7.1.29).
Теорема 7.1.28 часто выступает в другом обличье, которое
окажется нам полезным в гл. 14:
Теорема 7.1.29. Пусть FeCfR11)—вещественнозначная функ¬
ция, v е L? и Vt—преобразование Фурье от eitFv, leR. Если
Ф е C°(R")f| £°°('R"), то
(7.1.30)	(2л)-" $ | У, (|) |2 ф (|/0	| о (х) |2 ф (F' (х)) dxnput-* оо.
Доказательство. Предположим сперва, что v е С”, а феЛ
Тогда ф(|/0^<(1) есть преобразование Фурье от свертки ^лф(^-)


214	7. Преобразование Фурье
и veitF, где if — функция, удовлетворяющая условию ф = <р.
Произведение этого преобразования Фурье на функцию, комп¬
лексно сопряженную с veitp, равно
H^)e~itF{x)\v(x-y)eimx^(ty)dy
= v {х) ^ v(х — y/t)eit{F{x~y!t)~F{x))^>(у) dy
—1 v (х) I2 ^ е~Цу' F'w>if (у) dy = | v (х) |2ф(/?'(лг)) при /-»• оо.
Поскольку, кроме того, средняя строчка допускает мажоранту
С|у(х)|, отсюда следует (7.1.30). Для <р = 1 соотношение
(7.1.30)	вытекает из формулы Парсеваля, которая также пока¬
зывает, что (7.1.30) выполняется для всех <р из замыкания мно¬
жества 9? в sup-норме, т. е. для всех qieC0(R), стремящихся к
нулю на оо. Если 0^(р<1,феС”и <р=1 в {F'(x); xesupp у},
то
$1 У<(£)120 — ср (£//)) dx-»-0 При t ► оо,
Отсюда видно, что (7.1.30) справедливо для всякой ограничен¬
ной непрерывной функции <р, равной нулю на некотором доста¬
точно большом компактном множестве. Тем самым (7.1.30) до¬
казано для всех <peC0(R“)f| L°°('R'1), при условии что »еС*
Но С0°° плотно в L2, поэтому (7.1.30) выполняется для всех
оеД
Приводимое ниже следствие по существу идентично частному
случаю k — 1 теоремы 7.1.28. Случай более высоких коразмер¬
ностей можно рассмотреть аналогичным образом.
Следствие 7.1.30. Пусть Vt определено, как в теореме 7.1.29, и
ФеС0(Кл+|). Тогда
(7.1.31)	(2 п)~п	| Vt (£) I2 Ф №, t/R) dl dt/R
-»■ 5 5 I v W I2 ®	(x), t) dtdx при R-> oo.
Доказательство. Взяв s = t/R в качестве новой переменной, пе¬
репишем левую часть доказываемого соотношения в виде
(2л)-га5^5|К5«Ш 12Ф№ s)dt


7.2. Формула суммирования Пуассона и периодические распределения 215
Заменяя в теореме 7.1.29 t на R, F на sF и ср(|) на Ф(|, s),
заключаем, что внутренний интеграл ограниченно сходится к
{2л)п ^ | v (х) |2 Ф (sF' (х), s) dx.
Отсюда следует (7.1.31), ибо интегрирование по s производится
по конечному интервалу..
7.2.	Формула суммирования Пуассона
и периодические распределения
В § 7.1 мы вычислили преобразование Фурье для меры Лебега
на произвольном линейном подпространстве в <Rn. Нашей первой
целью здесь будет найти преобразование Фурье от суммы мер
Дирака в точках некоторой дискретной подгруппы в R".
Теорема 7.2.1. Если иа — сумма мер Дирака,
«а = И 6ag. 0#aeR,
fieZ*
то йа = (2п/а)п u2nia-
Доказательство. Поскольку 6ag *иа = иа для g е Zn, то
(ef<ag, •>_ 1)йа = 0,	geZ“.
Все множители в круглых скобках одновременно обращаются
в нуль лишь в точках решетки (2n/a)Zn. В точке, скажем, О
распределение йа должно быть просто кратным меры Дирака,
ибо (sm(ax//2))n0 = 0, j = 1, п, и мы можем применить
теорему 3.1.16, взяв sin(ax//2) в качестве новых переменных.
Далее, йа инвариантно относительно сдвигов на элементы из
{2n/a)Zn, так как е2пП‘-&1аиа = иа. Отсюда вытекает, что йа
есть мера с одной и той же массой в каждой точке решетки
(2я/а) Z", т. е.
йа ~ CaU2nla-
В явном виде это означает, что
(7.2.1)	Z$(ag) = caS<P(23tg-/a), ср е 9>.
Заменяя функцию ф произвольным ее сдвигом, получаем
ZФ(ag)е1 <as-х> = cazФ(2ng/a + х), (ре 5v.
Проинтегрируем обе части по 0 < х,- < 2я/а, /=1, ..., п. Все
члены в левой части с g ФО исчезнут, и мы придем к равенству
ф (0) (2я/а)п = са ^ ф (х) dx = саф (0),
чем и завершается доказательство.


216	7. Преобразование Фурье
Заметим, что в проведенном рассуждении формула обраще¬
ния Фурье не использовалась. Поскольку из теоремы 7.2.1 сле¬
дует, что
иа = (2 п/а)п апиа = (2л)п иа,
то мы тем самым иашли постоянную, фигурирующую в формуле
обращения Фурье, еще одним способом, имеющим то преиму¬
щество, что эта постоянная прямо связана с объемом ячейки-пе¬
риода экспонент ei{x< е\ geZ“. Перепишем формулу (7.2.1),
подставив в нее явное значение постоянной са:
(7.2.1) '	X Ф (ag) = (2я/а)" X ф (2ng/a), <р «= 9>.
Это равенство называется формулой суммирования Пуассона.
Отметим, что при а->- 0 или оо в качестве частных случаев полу¬
чаются преобразования Фурье от 1 и б0.
Рассмотрим теперь произвольное распределение и, периоди¬
ческое с периодом 1 по каждой переменной, т. е. удовлетворяю¬
щее условию
u(x — g) = u (х),	g <= Z“.
Такое распределение автоматически является умеренным. Дей¬
ствительно, пусть ф — функция из С™ (R“), для которой
(7.2.2)	Хф (*-*)=!
(см. теорему 1.4.6). Тогда для ijieC”
{и, ф>=Х(«> ч>яр(- — g))= Х<«> ’И- +г)ч>)
в силу периодичности и. Поскольку отображение
£?’Еэф-»фХф(-+£)<=СГ
непрерывно, этим доказано, что и умеренно. Найдем <й, ф>=
<ц, ф>. Для этого применим формулу суммирования Пуассона
к ф(-)е_г<:1:’->. Получим
Ф (х) X Ф (х + g) = (2nf X Ф (2пg)e~2ni <*■ г>ф (х).
Следовательно,
(й, Ф) = (2я)я X с8ф (2ng),
где
cg = {u, фе-2яг<-, g>).
Заметим, что в случае, когда и — непрерывная функция,
С цфе-2Я1<-, g>dx — С ие-2пц-, 0 dx>


7.2. Формула суммирования Пуассона и периодические распределения 217
где I ={х\ 0 ^ X) <С 1} — единичный куб; надо просто разбить
интеграл слева на интегралы по целочисленным сдвигам куба /
и просуммировать их, используя периодичность и и равенство
(7.2.2)	. Произвольное периодическое распределение и с перио¬
дом 1 по каждой переменной можно рассматривать как распре¬
деление на торе Tn=Rn/Zn, и соответствующий предельный
переход показывает, что правая часть формулы, определяющей
cg, есть «интеграл» по этому тору. Таким образом:
(7.2.3)	й=(2п)п£св62пе,
(7.2.4)	се = (и,
cg = шр (2ng) = О (| g |ft) для и 2Ук.
В силу формулы обращения Фурье,
(7.2.5)	« = ЕсЛ'11,г>
(сходимость в &'). Тем самым мы переоткрыли основные факты,
касающиеся рядов Фурье. Если аеС\ то cg = uq>(2ng) =
0(|g1-ft), так что ряд (7.2.5) равномерно сходится при k>n~
Итак, справедлива
Теорема 7.2.2. Для всякой функции u<=C*(lRrt), k>n, перио¬
дической с периодом 1 по каждой переменной, справедливо пред¬
ставление (7.2.5) с равномерно сходящимся рядом и с коэффи¬
циентами, даваемыми формулой (7.2.4).
То, что се должны задаваться формулой (7.2.4), сразу полу¬
чается интегрированием равенства (7.2.5) по тору, и основное
содержание теоремы — в утверждении о существовании такого
разложения в ряд. Это очевидное вычисление коэффициентов
Фурье и лежит, конечно, в основе способа определения постоян¬
ной в формуле обращения Фурье, указанного после тео¬
ремы 7.2.1.
Теорема 7.2.3. Если и е L2(Tn), то разложение (7.2.5) с коэффи¬
циентами (7.2.4) справедливо в смысле сходимости в L2(Tn)~
Имеет место формула Парсеваля
(7.2.6)	$|врЛе = £|свр.
Обратно, если Х|свр< оо, то ряд (7.2.5) сходится в L2{Tn) и
коэффициенты Фурье его суммы равны cg.


218	7. Преобразование Фурье
Доказательство. Для иеС+^Г") мы имеем разложение
(7.2.5)	с абсолютно сходящимся рядом, так что
\\u\2dx = J Yj csCg'e2ni <*• е~е,) dx = YJ\cg I2-
*J\tT
Следовательно, отображение Z,2 (Гэ и->{cg}е Z2(Z") является
изометрическим. Его образ содержит плотное подмножество
l1(Zn) пространства l2(Zn), а потому это отображение унитарно.
С формулой суммирования Пуассона тесно связана формула
(7.2.7)	£ f(aglk) = (k/a)n £	$	/(х)е~^^dx,
О <gj<k	g 0<х j<a
l—l п	/=1	и
справедливая для функций feCra+'(R"), периодических с пе¬
риодом а по каждой переменной, и натуральных k. Она полу¬
чается, если заметить, что функция
F(x)= Е f(x + ag/k)
o<g{<k
/ = 1	п
периодична с периодом a/k по каждой переменной, а в правой
части (7.2.7) стоят как раз ее коэффициенты Фурье. При
а = &-> с» мы формально еще раз получаем формулу Пуассона,
и этот предельный переход можно строго обосновать.
Укажем теперь для случая п = 1 иной путь к формуле сум¬
мирования Пуассона, аналогичный нашему выводу формулы об¬
ращения Фурье при помощи интегральной формулы Коши. Пусть
Рассмотрим
00
ф (0)/2 + Е Ф (2я6) = (и, ф) = (й, ф),
где и — мера с массой 1/2 в точке 0 и массами 1 в точках 2nk,
отвечающих натуральным k. Поскольку и является пределом
мер ие~гх при е-> +0, то
<*(£) = Пт ( 1/2+ Е е-2я,^-2яе*
е-М-0 V	1
= Пт (1/2 + е-2"'&-2ЯЕ/(1 — е-2яЦ-2«))
е-м-0
= lim -gj-ctgnd — ei) = -^-ctg«(| — t'O)
е-м-о Zl	Zl
(сходимость в 9?/). Следовательно,
оо
(7.2.8)	ф (0)/2 + Е Ф (2яЛ) = (ctg л (• - Ю), ф/2г).
1


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в S' 219
Заменяя ф на ф, получаем
(7.2.8)' ф (0)/2 + Z М» (2я*) = - (ctg я (• + ГО), ф/2*>.
— 00
Но
Ctg Я (I — Ю) — ctg я (£ + 10) = 2г X 6ft (I)
— оо
ввиду примера 3.1.13, ибо я ctg яг имеет в целых числах простые
полюсы с вычетом 1. Складывая (7.2.8) и (7.2.8)', получаем
формулу суммирования Пуассона.
Тот факт, что я ctg яz имеет в целых числах простые полюсы
с вычетом 1, часто позволяет вычислять суммы вида£ф(&)
прямо как сумму вычетов функции ф(г)я^яг. Возьмем, на¬
пример, ф (г) =1/(г — w), где w не является целым числом, и
проинтегрируем (2я1')_1ф(г)я^я2 по прямоугольному контуру,
стороны которого задаются условиями |Re2| = Я + 1/2 или
|1тг| = Я, где N — целое. По интегральной формуле Коши этот
интеграл при достаточно больших N равен
N
— 2 (w ~ &)”' + л ctg ЯW.
-N
Далее, интеграл от г-1 ctg я г по указанному контуру равен О,
так как подынтегральная функция четна и вклады от противо¬
положных точек взаимно сокращаются. На нашем прямоуголь¬
ном контуре функция ctg яг равномерно ограничена и
z~l—(г— w)~l = 0(N~2), поэтому мы заключаем, что предыду¬
щий интеграл стремится к 0 при N-*-°o. Тем самым получена
известная формула
N
я ctg nw = lim ^(w—k)~\
ЛГ-Х» —N
тесно связанная с формулой (3.4.11).
7.3.	Преобразование Фурье — Лапласа в &'
Как было показано выше (теорема 7.1.14), преобразование Фурье
й всякого распределения r'(Rn) можно продолжить до це¬
лой аналитической функции на С", называемой преобразова¬
нием Фурье — Лапласа от и. Рассмотрим теперь подробнее свой¬
ства этого преобразования. Ясно, что если иеР и Н — опор¬
ная функция для suppu (см. (4.3.1)), то
(7.3.1)	|й(Ш<1|ы1ЬехрЯ(1т£).


220	7. Преобразование Фурье
Теорема 7.3.1 (Пэли — Винера — Шварца). Пусть К —выпуклое
компактное подмножество в Rn с опорной функцией Н. Если и —
распределение порядка N с носителем в К, то
<7.3.2)	|й(£)|<С(1+Ш)л^'1,пЧ ЕеС*.
Обратно, всякая целая аналитическая функция на С", удовлет¬
воряющая оценке вида (7.3.2), представляет собой преобразова¬
ние Фурье — Лапласа некоторого распределения с носителем,
содержащимся в К. Если и е С" (К), то для каждого N суще¬
ствует такая постоянная Сц, что
<7.3.3)	|Я(Ш<с„(1+Ш)-л,<?Я(1тЕ),
Обратно, всякая целая аналитическая функция на Сп, удовлет¬
воряющая оценке (7.3.3) для каждого N, представляет собой
преобразование Фурье — Лапласа некоторой функции из С” {К).
Доказательство. Чтобы доказать необходимость условия (7.3.2),
выберем функцию хй (= С™ (Кй), где К& ={х + у, х <= К, |г/|<б},
такую что %в=1 на ^6/2и l^aXe I ^ Са6-|“1 (см. (1.4.2)). Тогда
для всякого и	(К)
1ЖШ=и(хб^г< ’Е>)|<С Е sup | Da('ibe~i<"Е>) I
| а | < Л'
<C'exp(tf(Im£) + 6|Im£|) I в_|ч,,(1 + 151)"'1а1-
I а | < ЛГ
Оценка (7.3.2) получается, если взять 6 = 1/(1 +1Ш- Чтобы
убедиться в справедливости (7.3.3) для цеС0"(К), достаточно
заметить, что в силу (7.3.1)
\fu(0\<\\Dau\\LiexpH(lmZ).
Теперь докажем достаточность условия (7.3.3). Пусть U —
■целая аналитическая функция, удовлетворяющая этому условию
для каждого N. Тогда ограничение U на Rn является преобразо¬
ванием Фурье С°°-функции
и(х) = (2л)~п W(l)dl,
поэтому все, что нам нужно доказать, — это что supp и с К.
■С этой целью заметим, что при любом выборе tj е R"
<7.3.4)	и (х) = (2я)~п J е1 <*- l+l*U (1 + й]) d\,
поскольку быстрое убывание U на бесконечности позволяет
сдвинуть прямую, по которой производится интегрирование, на
вектор /г| в комплексную область. (Или можно рассуждать так:


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа ■	221
дифференцирование по ц, под знаком интеграла эквивалентно
дифференцированию по |/ с последующим умножением на i, а
интеграл от производной равен 0.) Оценивая (7.3.4) с помощью
(7.3.3)	при N = п + 1, получаем
|иМКе-«*ч'+я1ч)с $(1 +|iir"-1d|.
Заменяя ц на 1ц и устремляя t к +°°» заключаем, что и(х) мо¬
жет быть отлично от 0, лишь если Я(ц) ^<х, ц>. Поскольку это
верно для любого ц, мы должны иметь хе К (по теореме 4.3.2).
Тем самым установлено, что supp ас К-
Чтобы доказать достаточность условия (7.3.2), заметим
прежде всего, что ограничение на R" функции U, удовлетворяю¬
щей этому условию, является преобразованием Фурье некото¬
рого распределения и е 9>'. Выберем функцию <р е С“ с носи¬
телем в единичном шаре и с ^ ф dx = 1 и положим <рв(х) =
б-"ф(х/6). Тогда преобразованием Фурье свертки «*срв будет
произведение йф6, обладающее целым аналитическим продолже¬
нием Яфв, для которого
1^)Фв(Ш<^в(1ЧЧШ~"ехр(Я(1т£) + 6|1тШ,
N=1,2
Действительно, для ф6 справедлива оценка (7.3.3) с Я, заменен¬
ной на опорную функцию шара радиуса б с центром в 0. По¬
этому из уже доказанного результата следует, что
supp и * фв с: Кй. Но ц*ф6-*-ц при 6->0, значит, supp и а К.
Доказательство завершено.
Отметим, что для частного случая ti\=U2 равенство (4.3.5),
утверждаемое теоремой 4.3.3, является непосредственным след¬
ствием теоремы 7.3.1. Дадим, далее, некоторые приложения этой
теоремы к изучению дифференциальных операторов с постоян¬
ными коэффициентами. Пусть Р — многочлен от (£ь ..., £„)
с комплексными коэффициентами и P(D) — дифференциальный
оператор, полученный из него заменой £/ на —id/dx,.
Теорема 7.3.2. Пусть /е^Г(Rrt). Уравнение
(7.3.5)	P(D)u = f
имеет решение uel'( R") тогда и только тогда, когда
f(t,)‘P(t,) — целая функция. В этом случае решение однозначно
определено и
(7.3.6)	ch supp u = ch supp/.
Доказательство. Если уравнение (7.3.5) имеет решение и е <§',
то, взяв преобразование Фурье — Лапласа от обеих частей урав¬


222	7. Преобразование Фурье
нения, мы получим
Р(£)й(£) = !($,
так что f(£)/P(£) есть делая функция ц(£). Во второй части
доказательства нам понадобится следующая лемма:
Лемма 7.3.3. Для всякой аналитической функции h(z) от ге С.
и всякого многочлена p(z) со старшим коэффициентом а
| ah (0) К шах | h (z) р (z) |.
I г | = 1
Доказательство. Положим q(z) = zmp(l/z), где пг — степень мно¬
гочлена р, а р — многочлен, полученный из р переходом к комп¬
лексно сопряженным коэффициентам. Тогда q(0) = a, и по прин¬
ципу максимума
| ah (0) | = | q (0) h (0) | ^ max \q(z)h (z) | = max | p (z) h (z) |,
I Z 1 = 1	I z I —1
чем лемма и доказана.
Завершение доказательства теоремы 7.3.2. Если степень Р равна,
скажем, ш, то можно выбрать координаты так, чтобы в много¬
члене Р(£) коэффициент а при^т был отличен от 0. Тогда P(£i-f-
z, £2, • ■ •) как многочлен по z имеет старшим коэффициентом а,
и из леммы 7.3.3 вытекает, что если функция g =f/P целая, то
|a||g(OI<max|P(£i+z, £2, ...)g(Ei + z, •••)!
I г | = 1
= max | / (£1 + z, Ег> • • •) I-
I г | = 1
Поэтому g удовлетворяет той же самой оценке вида (7.3.2), что
и /, только с другой постоянной, и, значит, g — й, где и е <В' и
ch supp uach, supp f = ch supp Pu. Поскольку противоположное
включение очевидно, мы получаем равенство (7.3.6), которое
следует также и из теоремы 4.3.3.
В качестве приложения доказанной теоремы получим (уточ¬
ненную) теорему Асгейрссона о средних значениях:
Теорема 7.3.4. Пусть и{х,у) — непрерывное решение уравнения
(Ах —Ау)и = 0
в некоторой окрестности множества К = {(х,у); х,у^>R"; М~Ь
М ^ Р}- Тогда
$ и(х, 0)dS(x)= ^ ы(0, y)dS(y).
\x\-R	\у\=Я
В случае когда п нечетно и отлично от 1, достаточно предпола¬
гать, что и является решением вблизи дК.


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в S' 223
Доказательство. Регуляризацией дело сводится к случаю, когда
и е С°°. Обозначим через f меру, задаваемую формулой
/(<р)=	^	<р(ж, Q)dS(x)~ $ Ф (0, y)dS(y).
|*|=д	|»|=/г
Тогда
f(i. n) = G((i, i))-G«Ti, П».
где G — некоторая целая функция одной комплексной перемен¬
ной, ибо четная целая функция одной комплексной переменной
есть целая функция от z2. Далее,
1
G(z) — G (w) = (z — w) ^ G' (w + / (z — w)) dt,
о
и потому (G(z)—G(w))/(z — w) — целая функция на С,2. Сле¬
довательно,
f(l> ШЬ I) —(il. П»
будет целой функцией, а значит, преобразованием Фурье неко¬
торого распределения ц с носителем в К, такого что (А* — Д»)р
= — f. Таким образом,
— </,«) = <ц, (А, — Ау) и) = О,
если и является решением нашего уравнения в некоторой окрест¬
ности множества К. Доказательство более сильного утвержде¬
ния для нечетных п требует более пристального рассмотрения
распределения ц. Поскольку, в силу (4.4.2), ц — Ex-f, где Е —
любое из фундаментальных решений, даваемых теоремой 6.2.1,
с п+ = п— = п, то по теореме 4.2.5
sing supp (ic{(f + х', у + у')-, \х\ = \у\, (ху') е supp f}.
Значит, \х'\-\-\у'\ = R и lx'^0 либо |*/'| = 0. Ввиду неравен¬
ства треугольника отсюда вытекает, что \х -f- х'\Ц-1 у -)- у'\ ^ R,
и поскольку supp цсК, то
sing supp р с {(х, у)\ \x\-\-\y\ = R}=dK.
В случае когда п нечетно и отлично от 1, формула (6.2.1)' дает
фундаментальное решение Е, такое что Ы = М для (х, г/)е
supp£, и мы получаем то же самое включение уже не для но¬
сителя сингулярности, а для самого носителя ц. Тем самым до¬
казательство теоремы завершено. Заметим, что для четных п
фундаментальное решение Е, даваемое формулой (6.2.1), удов¬
летворяет условию
Ч1+П/2Г >0 при \х\>\у\,
I < 0 при \х\ <\у\.
Е(х, у)(-\)1


224	7. Преобразование Фурье
Поэтому p(x, y) = E*f(x, у) имеет знак (—1)1+п/2 при U| +
];/]</?, и, значит, для соответствующей регуляризации рас¬
пределения Е заключение теоремы Асгейрссона не выполняет¬
ся поскольку фигурирующие в этой теореме средние имеют
противоположные знаки.
В том частном случае, когда и не зависит от у, теорема 7.3.4
просто выражает свойство среднего значения для гармонических
функций (ср. с теоремой 4.1.8). Далее, рассмотрим решение и
волнового уравнения
(Ах - д21дР) п = О
в R3+1. Будем предполагать, что иеС1 вблизи двойного ко¬
нуса, определенного неравенством |х| -+-11\ ^ R- Мы можем
применить теорему Асгейрссона к
U (•£], #2» *3> У\> У2* 1/з)==^(^1>	*3> Уl)
и получить
(7.3.7)	2л [ u(Q,t)dt = R \ u(R<a, 0)dS(<o).
-R	|e> 1=1
Дифференцирование no R дает
2л (и (О, R) + и (О, —R))= ^ (и (R&, 0) + R <ы' (/?ю,|0), ю)) dS (<о),
I <01=1
а применяя (7.3.7) вместо и к du/dt, приходим к равенству
2я(ы(0, R) — и (0, —R)) = R \ u't(Ra, Q)dS(&).
1<0| =1
Исключая ы(0, — R), получаем после замены обозначений фор¬
мулу Кирхгофа
(7.3.8)
«(О, 0=4^- \ (и (to, о) +1 ((«' (to, 0), со) + u't (to, 0))) dS (со).
1 <o 1=1
Конечно, это частный случай формулы (6.2.9).
После этого отступления, имевшего целью показать, что в
общих результатах типа теоремы 7.3.2 может быть заключена
вполне конкретная информация, докажем одну аппроксима¬
ционную теорему, близкую к теореме 4.4.5.
*> Хотя эта регуляризация удовлетворяет рассматриваемому уравнению
вблизи дК. — Прим, перев.


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в S' 225
Определение 7.3.5. Решение и дифференциального уравнения
P(D)u — 0 в R" называется экспоненциальным решением, если
его можно записать в виде
u{x) = f (jc) el <х- Р,
где Z, е ;СД а / — многочлен.
Теорема 7.3.6. Для любого открытого выпуклого множества
X a Rn замкнутая линейная оболочка в С°°(Х) множества
экспоненциальных решений уравнения P(D)u=0 состоит из
всех его решений в С°°(Х).
Доказательство. Ввиду теоремы Хана — Банаха нам надо по¬
казать, что если v ^l<$' (X) ортогонально ко всем экспоненциаль¬
ным решениям указанного уравнения, то v ортогонально ко всем
вообще его решениям в С°°(Х). Для этого достаточно устано¬
вить, что v(£)/P(—t) — целая функция, ибо тогда, в силу тео¬
ремы 7.3.2, v = Р(—Д)р для некоторого це^(Х), а значит,
<v, и) = (Р (- D) р, и) = <р, Р (D) и) = О,
если ыеС°°(Х) и P(D)u = 0. Поэтому доказательство завер¬
шает следующая
Лемма 7.3.7. Если vslf'(R") ортогонально ко всем экспонен¬
циальным решениям уравнения P(D)u = 0,.to v(t,)/P(—£) —
целая аналитическая функция.
Доказательство. Выберем и зафиксируем вектор 0 ф 0, такой
что Р(—^0 — £) ии при каком £ не является константой (как
функция от t). Так будет, например, если Рт(0)^=О, где Pm —
главная часть многочлена Р, т. е. его однородная часть стар¬
шей степени. Из сделанных предположений следует, что
v(f0 + £)/P(—ft} — £) при фиксированном £ — аналитическая
функция от t. Действительно, если функция Р(—/0 — £), рас¬
сматриваемая как многочлен от t, имеет при t = tо нуль по¬
рядка k, то, дифференцируя по t тождество
Рф)е~‘<*•<9+*> = P(—tQ — £)e~i<x- <9+Е>,
мы получим
P(D)((x, &)1е~1<х’*№■>) = 0, j<k.
Следовательно, v ((х, вуе~1<х' <о9+£>) = 0, у <; k, откуда вытекает,
что v(ft) -{-£) имеет в точке to нуль порядка по меньшей мере k.
Мы можем поэтому положить для каждого £
F (£) = lim (* (Я + DIP (- *0 - £)).
<->о


226	7. Преобразование Фурье
То, что F— делая функция, следует из подготовительной тео¬
ремы Вейерштрасса (теорема 7.5.1), но легко дать и прямое
доказательство. Для произвольного фиксированного to выберем
г так, чтобы Р(—/0— go) =5^= 0 при \t\ = r. Тогда Р(—/0 — £)=5^=0
при | /1 = г для всех £ из некоторой окрестности точки £о- Сле¬
довательно,
F (£) = (2л/)-1 t v Ш + 0/Р (- /0 - С) dtlt
m=r
— аналитическая функция от £ в окрестности £о- Доказатель¬
ство завершено.
У теоремы 7.3.1 есть аналог, дающий характеризацию вы¬
пуклой оболочки носителя сингулярности.
Теорема 7.3.8. Пусть «ef^R") и К — выпуклое непустое ком¬
пактное подмножество в R" с опорной функцией Н. Для того
чтобы sing supp и а К, необходимо и достаточно, чтобы нашлись
постоянная N и последовательность постоянных Ст, такие что
для m = 1,2, ...
(7.3.9)	|й(Ш<Ст(1+ШГе*<1тЕ>
при 1 ImSI <mlog(|£|-f- 1), JgC*.
Доказательство. Чтобы доказать необходимость условия (7.3.9),
представим и в виде суммы и = щ-\- «2, где и\ — распределение
с носителем в Ki/m, a «2^Co°(R”). (Множество определя¬
ется, как в доказательстве теоремы 7.3.1.) Если и — распределе¬
ние порядка N— 1, то в силу теоремы 7.3.1
IЙ1 (0 \<Cm (1 +1СI )v_l eH<Im4+l Im? I/™.
Следовательно,
|й1(Ш<Ст(1+ШГе*<‘тг> при |ImC|</nlog(|£| + l),
а ввиду (7.3.3) мы имеем #2 (t)e-H(Imt>-»-0, когда % стремится
к оо, оставаясь в множестве, определенном последним неравен¬
ством. Отсюда видно, что при несколько большем Ст справед¬
ливо (7.3.9).
Чтобы доказать достаточность условия (7.3.9), используем,
как и при доказательстве теоремы 7.3.1, прием с заменой «кон¬
тура» интегрирования, только теперь это надо делать иначе,
дабы не выйти из множества, в котором применимо (7.3.9).
Именно, для произвольного т] е R" обозначим через Г„ цикл
R"E3i-t(E)=E + /riiog(i+m2).
Непосредственное вычисление показывает, что fi?£i л ... hdt,n
<=F(l)dhA ... Лс?£„, где Z7-»-! при £-»-оо. Далее, |1т£|^


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в S' 227
2|n|log(l +151) на Г„. Выберем <р4, как в доказательстве тео¬
ремы 7.3.1. Поскольку и(?)Ф«(£) быстро убывает, применение
формулы Стокса к гомотопным циклам Го и 1%, дает
(7.3.10)	и * фв (х) = (2я)~п J е{<*• (?) Фв (?) <*?, А ... A d?„.
гч
(Фактически мы изменяем контур интегрирования лишь в одном
направлении, поэтому можно было бы обойтись интегральной
формулой Коши.) На Г„
(7.3.11)	|<*• S>fi(?)|<Сяехр(Я(Im?)-<*, Im?»(l + l?l)w
= СЛ(1 + 16Р)Я(Ч>-«’Ч,(1+1?'1)\
Для всякой точки Хо ф К можно подобрать г) так, чтобы
Я (Л) — <ж, п) < — 1
при всех, х из некоторой окрестности Х0 этой точки. Из (7.3.11)
следует, что если мы заменим г) на 7г), где t удовлетворяет усло¬
вию 21> п-\- N, то интеграл в (7.3.10) будет абсолютно схо¬
диться для jjeaq даже при опущенном убывающем множителе
фв. Поскольку Фв(?) = Ф'(б?) ограниченно сходится к 1 при
б —>■ 0, мы заключаем, что ограничение и на-Хо есть функция
(7.3.12)	и (х) = (2я)~п J е1 «*• Щ (?) d?j А ... A rf?„, X е= Х0,
при .условии что 2t > п -f- N. Если взять 2t > п + N + /, то ин¬
теграл (7.3.12) остается абсолютно и равномерно сходящимся
для	и после / дифференцирований под знаком интеграла.
Следовательно, и^С1 (Xq) для каждого J, а значит, и еС°° (С/С),
что и требовалось доказать.
Следующее приложение к дифференциальным операторам
аналогично (7.3.6).
Теорема 7.3.9. Для ug^,(R'‘)
(7.3.13)	ch sing supp« = c/t sing suppP(D)w.
Доказательство. Положим f — P(D)u, и пусть Я — опорная
функция для singsuppf. Тогда f удовлетворяет условию (7.3.9),
а значит, ему удовлетворяет и й — это устанавливается с по¬
мощью леммы 7.3.3 точно так же, как при доказательстве тео¬
ремы 7.3.2. Следовательно, левая часть (7.3.13) содержится в
правой, обратное же включение очевидно.
Теорема 7.3.9 утверждает, в частности, что и е С", если
и Р(£>)иеС°°. Для произвольных дифференциальных
операторов с переменными коэффициентами класса С" это уже
15*


228	7. Преобразование Фурье
не так. Например, для функции и, равной 0 при х < 0, равной
1 при 0 < л: < 1 и гладко сходящей к нулю при 1 < х < 2, мы
имеем xdu/dx gC“. Для носителей сингулярности не существует
аналога теоремы о носителях (теоремы 4.3.3), верного для про¬
извольных распределений. В самом деле, можно указать распре¬
деления «ь Ыг^^ДК”), для которых щъщ еС , хотя ни один
из сомножителей не принадлежит классу С°°. Вот пример: Ui(x)
=* %(х) / (х + iO), u2(x) = %(x)/(x — i0), где/еСГО?)- Однако
(7.3.13)	дает такой аналог в случае, когда носитель одного из
сомножителей сводится к точке; он верен также, когда носитель
одного из сомножителей является конечным множеством. Изуче¬
ние этих вопросов будет продолжено в § 16.3.
Из теоремы 7.3.1 вытекает, что весьма общие преобразования
Лапласа определяют распределения в R” Чтобы мотивировать
последующее определение, напомним, что
(и, ф) = (2я)~"(и, ф(— •)) для не/, фе?’.
Поэтому для заданной меры dp в С" попробуем определить
«e^)'(R“) аналогичной формулой
(7.3.14)	н(ф) = (2яГл$ф(-£Ир(£), ФеСЛ^).
Это определение годится, если при некоторых т ^ 0 и С, N
(7.3.15)	|ImZ;Kmlog(l + 1Ш + С для £esuppdp,
(7.3.16)	S(H-ICI)"w|rf|i(C)l<~.
Действительно, для <реСГ({*; |*К#}) мы имеем в силу
(7.3.3), а точнее — на основании рассуждений, использованных
при выводе (7.3.3) из (7.3.1),
(1+1С1)"+‘|ф(Е)КС*.*е*|1тС1	£ sup|D“<p|.
| а | < ЛГ+fc
При k ^ Rm экспоненту можно оценить на множестве supp d.u
величиной (1 -(- ] ^ 1) *. Следовательно, интеграл (7.3.14) схо¬
дится и
1«(Ф)1<С*	£ sup |£)аф|, феС0"({*; | х |< /?}).
I а I ^ ЛГ+k
Таким образом, формула (7.3.14) задает распределение, которое
в шаре \х\< R имеет порядок ^N-\-Rtn-f-1. Его порядок не
превосходит N, если величина |Im£| ограничена на supp dp.
Для всякого многочлена Р
(Р (D) и, <р> = (и, Р (— D) ф),


7.3. Преобразование Фурье — Лапласа в ё' 229
а преобразованием Фурье — Лапласа от Р(—£>)<р служит
Р(—ЕЖЕ). Поэтому
(7.3.17)	(P(D)u, ф) = (2яГл5ф (-OPiOdpiQ.
(
В качестве приложения этой формулы мы докажем сейчас, что
каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффи¬
циентами обладает фундаментальным решением. Для этого нам
надо подобрать меру dp так, чтобы интеграл в правой части
(7.3.17)	был равен интегралу от ф по К".
Теорема 7.3.10. Для всякого многочлена Р Ф 0 от п переменных
найдется распределение E^®f{R"), такое что P(D)E — б.
В порядке подготовки к доказательству этой теоремы уста¬
новим две леммы, используемые при построении меры dp.
Лемма 7.3.11. Если ФеСГСС") и
(7.3.18)	Ф(е«0 = Ф(£) (0sR),	$Ф(Е)<*МО=1,
где dX— мера Лебега в Сп, то
(7.3.19)	5 /=■ (С)Ф (С) ^ (е) = F (0)
для любой целой аналитической функции F.
Доказательство. Согласно интегральной формуле Коши,
$F(£<?i9)d9 = 2jtF (0).
Умножим это равенство на Ф(Е) и проинтегрируем по dX. Ввиду
(7.3.18)	получим (7.3.19).
Для фиксированного натурального m обозначим через
Pol(m) комплексное векторное пространство многочленов сте¬
пени не выше m от п переменных и через Pol°(m) — то же про¬
странство с выколотым началом. Наделим Pol(m) нормой
<?-»-Q(0), где
(7.3.20)	Q (g) = (Z I Q(ct) (g) Г)1/2.
Заметим, что для всякого Q¥=0 функция Q ограничена снизу
положительной константой, поскольку некоторая производная
от Q есть ненулевая константа.
Лемма 7.3.12. Для всякого шара Zcr C” с центром в 0 найдется
неотрицательная функция Ф е C00(Pol°(m)X ;C”) со следую¬
щими свойствами:


230	7. Преобразование Фурье
(i)	<T>(Q,5) абсолютно однородной степени О по Q;
(ii)	Ф(<2, £) удовлетворяет условиям (7.3.18) при каждом
фиксированном Q и равно нулю при %&Z;
(Ш) существует постоянная С, такая что
(7.3.21)	Q(0)<C|Q(£)|> если Ф(Я, 0.
Для любой аналитической в Z функции F и любого многочлена
Q степени не выше m
QmFm^cz\\ni)Q{t)\dK{i).
z
Доказательство. Для фиксированного Qo существование такой
функции Ф в достаточной мере очевидно. Действительно, всегда
найдется доеС", для которого Qo(zw)^0. Далее, можно по¬
добрать г > 0 так, чтобы rwsZ и Qo(zw)=£Q при \z\-r, ибо
последнее требование исключает самое большее лишь m зна¬
чений г. Если теперь Ч* — неотрицательная функция класса С"
с носителем вблизи rw, интеграл от которой равен 1, то функция
Ф(?)=^(е^)й0/2л
будет обладать требуемыми свойствами. Эту же самую функ¬
цию Ф можно использовать для всех Qs РоГ(т), таких что aQ
близко к Qo при некотором а е С. Соединив эти локальные кон¬
струкции воедино с помощью разбиения единицы в проективном
пространстве, порожденном Pol°(m), т. е. разбиения единицы,
члены которого суть абсолютно однородные функции порядка
нуль, мы получим функцию Ф с нужными свойствами. Послед¬
нее утверждение леммы следует из (7.3.19) и (7.3.21), так как
Q (0) IF (0) I = | $ F (Q Q (0) Ф (Q, 0 dX (D | < Cz $ | F (D Q (£) \ dX (£).
z
Доказательство теоремы 7.S.10. Обозначим через многочлен
£-»-P(g + 5), получаемый сдвигом многочлена Р, и положим
(7.3.22)	Е (Ф) = (2яр $*$ф(-Б-DIP (I + D Ф (Pi, D dX (Q.
Это формула вида (7.3.14), и для соответствующей меры dp.
S (1 +1СI Г" I dp. (DI < $	(1+1 E-KI )~N IФ (Pi, D l/l Pi (DI dX (0
< c 5 di 5 (1 +1 i + с I rN p (g)-‘ dX (D < oo
z
*> To есть однородно по отношению к гомотетиям с любыми комплекс¬
ными коэффициентами. — Прим, перев.


7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 231
при N > п. (Напомним, что значения Р(|) отделены от нуля.)
Поскольку Im£ ограничено на supp dp,, Е есть распределение
порядка не выше п + 1. Из (7.3.17) и (7.3.19) вытекает, что
(Р (D) Е, <р> = (2яГ* J d% J ф (-1 - О Ф (РЬ С) dX (£)
= (2я)-л$ф(-|)^ = Ф(0).
Доказательство завершено.
Из указанной выше конструкции можно извлечь весьма точ¬
ное описание свойств регулярности фундаментального решения
Е — и при фиксированном Р и как функции от Р. Это будет сде¬
лано в § 10.2.
7.4.	Более общие преобразования
Фурье — Лапласа
Для распределений с компактным носителем мы определили пре¬
образование Фурье — Лапласа формулой
(7.4.1)	Л (В = <и, <?-“■•»>, &еСл.
Часто оказывается возможным определить й(£) хотя бы на не¬
которой части |С” и для более общих распределений и. При
фиксированном т] = 1т £ мы можем во всяком случае опреде¬
лить (7.4.1) как распределение от |==Re£, если
Поэтому начнем с того, что изучим для данного mg25'(R")
множество
(7.4.2)	Ги = {г)е R"; е<-’ *и<= 9Р'\.
Лемма 7.4.1. Если се/и Ф — функция класса С°°, у которой
производные любого порядка ограничены, то фие^'. Если
if	то преобразование Фурье распределения фо есть
С10 -функция
(7.4.3)	Б-►(о.
Доказательство. Первое утверждение следует из того факта, что
умножение на такую функцию ф — непрерывный оператор в 9>.
Второе следует из теоремы 7.1.14, если (>еС”.В общем случае,
опираясь на лемму 7.1.8, выбираем последовательность фьеС”,
такую что ф*-»-ф в 9\ и замечаем, что ф*У-»-ф0 в 9Р', а зна¬
чит, фАу->-фу в 9Р', и, кроме того, е-‘< > £>фь->е-г<->&ф в 9> де¬
кально равномерно по |. Отсюда вытекает, что функция (7.4.3)
есть предел в смысле теории распределений соответствующих


232	7. Преобразование Фурье
функций с ф, замененным на ф*. Этим все доказано, поскольку
(7.4.3)	задает С°°-функцию ввиду первого утверждения леммы б.
Из доказанной леммы сразу следует, что множество Ги,
определенное формулой (7.4.2), выпукло. Действительно, если
тц, тр е Гы, то, вводя обозначение Щ = е<-'т')и, мы имеем для
ri = fr)i + 0 — 0П2, 0< t < 1,
где
«г, = <р («„, + Щ2),
ф (*) = <?<*,	^ + eix' ^>).
Но эта функция ограничена (снйзу нулем, сверху единицей),
и все ее производные ограничены.
Предположим теперь, что Гы имеет непустую внутренность
Г°. Выберем аффинно независимые точки п0> ..., т]л е Г°. Тогда
для любой точки ip лежащей внутри симплекса, натянутого на
По, • • •, Пп,
где функция
Щ — Фг) 2
о 1
%(x) = e'x'x‘!Ze<x-x‘A
принадлежит 9>. В самом деле,
а если точка 0 лежит внутри выпуклой оболочки точек rj/ — И> т0
| х К С шах {х, П/ — и).
так что фп и все ее производные экспоненциально убывают. По¬
следняя оценка выполняется равномерно по п> принадлежащим
любому компактному подмножеству внутренности симплекса.
Отсюда следует, что'#,, есть С°°-функция
от (£, п)- И, конечно, она аналитична, поскольку, как непосред¬
ственно проверяется дифференцированием, выполнены условия
Коши — Римана (d/d£v + id/dr\v)il1](l) = 0.
Теорема 7.4.2. Для всякого	R") формула £7.4.2) задает
выпуклое множество Ги. Если его внутренность Гц непуста, то
существует аналитическая функция й в R" + гГ„, такая что для бб И гладкости функции §->е г<‘‘^ф как функции от § со значениями
в 93. — Прим. ред.


7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 233
всех т] е Г„ преобразованием Фурье от е{'' п>« служит й( - -{- щ).
Для каждого компактного множества М cz Г 2 справедлива оценка
(7.4.4)	|й(0|<С(1+|С1Л ImgeAf.
Обратно, если Г — открытое выпуклое множество в Rп и U —
аналитическая функция в R" гТ’, удовлетворяющая оценке
вида (7.4.4) для каждого М Ш Г, то существует распределение
и, такое что для всех т] е Г распределение е<•’	принадлежит
9” и имеет преобразованием Фурье U{ • +iri).
Доказательство. Осталось доказать лишь последнее утвержде¬
ние. Пусть — обратное преобразование Фурье от £/(-+/т|).
Тогда диц/дt]v — обратное преобразование Фурье от
dU (I + rn)/dilv = idU (I + »l)/d!v.
так что dur\/d\\v — XvU^ и, следовательно, e~<JC- ^и^ = и не зависит
от тр Доказательство завершено.
Рассмотрим теперь распределение и с носителем, содержа¬
щимся в произвольном (не обязательно компактном) выпуклом
замкнутом множестве К. По-прежнему можно определить опор¬
ную функцию такого множества формулой
HK(l)= sup (х, I),
хе=К
и это будет выпуклая положительно однородная функция со
значениями в (—сю, оо]. Правда, она уже может не быть непре¬
рывной, но как точная верхняя грань семейства непрерывных
функций она полунепрерывна снизу. Обратно, для всякой функ¬
ции Н с такими свойствами существует ровно одно выпуклое
замкнутое множество К, такое что Н = Нк, а именно
* = {*;<*, Б>< я (g),	R»}.
Доказательство теоремы 4.3.2 без особых изменений проходит
и в этом случае, ибо полунепрерывность Н снизу означает в точ¬
ности то, что множество {(Tj)eR"+I; % ^Н(1)} замкнуто.
Из условия supp и а К вытекает, что
г]еГц=4»т] + 0еГи, если Я^(0)<оо.
(Ясно, что множество {0; #к(0)<сю} представляет собой вы¬
пуклый конус.) Действительно, возьмем функцию xe^"(R),
равную 1 на (—сю, 1/2) и 0 на (1, сю). Тогда
(7.4.5)	е<х' е>"як(9)==еа’ 9>-як<0)%((л:, 0) — Нк (0)) вблизи suppw,
а функция в правой части есть функция с ограниченными про¬
изводными по х.


234	7. Преобразование Фурье
Теорема 7.4.3. Пусть и удовлетворяет условиям теоремы 7.4.2.
Если supp и а К, то
(7.4.6)
|Л(0КС(1 + |С|)лге"«<,ше-ч> при леМ, Ях(1тС-л)<«»
О
для любого компактного подмножества М в Гц. Обратно, если
для некоторого л выполнено (7.4.6), то supp и с К, при условии
что К замкнуто и выпукло.
Доказательство. Чтобы установить неравенство (7.4.6), запи¬
шем 5 = | + г(9 + л) - Тогда Нк(0)<°° и
й (Е) = <ич, е~‘ <*•	9>х ((х, 0) - Нк (0))>
в силу (7.4.5). У функции, на которую здесь действует про¬
изводные k-то порядка ограничены (по модулю) величиной
Cft(l + |£l) еЯ/с<9). Поэтому (7.4.6) вытекает из утверждений от¬
носительно ич, содержащихся в абзаце перед теоремой 7.4.2.
Предположим теперь, что для некоторого л выполнено (7.4.6).
Пусть ф е С” и h — опорная функция для supp ф. Тогда
(2я)д I («„, ф) I = | ^ й (I + г (9 + л)) Ф (— Е — г’6) d% |
<с J (1 + 161 + 101)" ^(9)+M_e>(i+lil + i0ir^”"“1rf|
<C'V,A:(e)+A(_e>.
Заменяя 0 на /0, заключаем, что <«„, ф>=0, если #*(9) +
А(—0)<Ov Следовательно, и = 0 вблизи х, если Нк(9) —
<х, 0> < 0 при некотором 0. Отсюда вытекает, что если х е
supp и, то <х, 0> ^ #*(0) для всякого 0, т. е. suppuc=/(. Этим
и завершается доказательство, которое, очевидно, представляет
собой не что иное, как незначительную модификацию второй
части доказательства теоремы 7.3.1.
Замечание. В теореме 7.4.2 мы рассматривали й лишь во внут¬
ренности множества Rn+tTu. Из непрерывности преобразова¬
ния Фурье в 9” следует, что если Л е Гц \ Гц, то преобразование
Фурье от е^’^и есть предел в 9*' при t-*~ 0 функций |-^й(| +
1(1 — Ол + ^9)» равномерный по 9, принадлежащим любому
О
компактному подмножеству М в Гг
В качестве приложения полученных результатов вычислим
преобразование Фурье от опережающего фундаментального ре¬
шения Е волнового оператора
□ = с-ф/дР - А


7.4. Более общие преобразования Фурье — Лапласа 235
в R"+l (см. § 6.2). Носитель этого решения лежит в конусе
K = {(t, х)\ с/>|*|},
опорная функция которого равна
Нк (т, I) = sup (tr -f (х, |» = sup {tX-\-Ct\\\ ),
К	t> О
так что Нк(х,1) = О при т + с|Е|^0 и Нк{х, £)=оо при r-f-
с|||>0. Отсюда видно, что преобразование Фурье — Лапласа
•£(т, £) должно быть аналитично на множестве, задаваемом
условием Im т < —с| Im £|. Поскольку
(£2-т2/с2)£= 1, где £2 = <£, 0,
то
(7.4.7)	Ё(т,£) = (?-т2/с2У1
на этом множестве. Следовательно (лемма 6.2.2), преобразова¬
ние Фурье от Е равно пределу
lim (£2-(т — ге)2/с2)-1
е-М-0
;2 — т2/с2 + Ю) 1	при Т > О,
;2 — т2/с2 — Ю)-1	при т < 0;
в начале координат оно определяется по однородности.
Нетрудно также, отправляясь от (7.4.7), построить Е.
Для этого надо сначала убедиться, что <5, £>— х2/с2Ф0, в слу¬
чае если 1тт< —c|Im£|. С этой целью заметим, что квадрат¬
ное уравнение
q (s) = (Re £ + s Im £)2 — (Re т + s Im xf/c2 — 0
имеет в таком случае вещественные корни, ибо иначе квадра¬
тичная форма £2— х2/с2 была бы неположительной на некоторой
вещественной двумерной плоскости. Следовательно, |?(i)l не
меньше, чем абсолютная величина старшего коэффициента мно¬
гочлена q, т. е.
(7.4.8)	| £2 - т2/с2| > | Im т |2/с2 - | Im £ |2.
Из (7.4.8) и теоремы 7.4.3 сразу следует, что правая часть
(7.4.7)	есть преобразование Фурье — Лапласа от некоторого
распределения Е+ с носителем в переднем конусе {(t, x)\ct^
1*1). Тем самым мы получаем другую конструкцию опережаю¬
щего фундаментального решения, и у этой новой конструкции
область применения гораздо шире, чем у старой (см. § 12.5).


236	7. Преобразование Фурье
7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа
Разлагая преобразование Фурье данной функции	при
помощи разбиения единицы, мы получаем представление самой
этой функции в виде суммы целых аналитических функций. Ис¬
пользуя это простое наблюдение, мы выведем в настоящем па¬
раграфе подготовительную теорему Мальгранжа из ее класси¬
ческого аналитического аналога, который сейчас и напомним:
Теорема 7.5.1 (подготовительная теорема Вейерштрасса). Пусть
,С
\+п
в некоторой
dkfldtk =
= 0 в (0, 0).
fit, z)—аналитическая функция от (t, z)
окрестности точки (0, 0), такая что
(7.5.1)	f = df/dt = ...=dk~lf/dtk-l = 0,
Тогда существует единственное разложение
(7.5.2)	} (t, z) = с (/, z) {tk + ак-i (г) l*"1 + ... + a0 (z))>
где а/ и с аналитичны в некоторых окрестностях точек 0 и (0, 0)
соответственно, причем с(0, 0)=5^0, а а, (0) = 0.
Доказательство. Выберем г> 0 так, чтобы f была аналитична
в (/, 0) при | /| < 2г и fit, 0) =т^= 0 при 0 < | / | < 2г. Затем выбе¬
рем 6 > 0 так, чтобы f(t, z) была аналитична при |/|<Зг/2,
|z < б и fit, г)ф0 при \t\ = r, |z|<6. Тогда для всякого z
с z|<!6 уравнение fit, z) = 0 будет иметь ровно k корней t,-
с tj\<.r (считаемых с учетом их кратности). Поэтому если
разложение (7.5.2) существует, то мы должны иметь
k
tk + ak-1 (z)tk 1 -f- ... + clq (z) = IT (/ tj)
= expf(2m‘)_1	^ ((df(s, z)/ds)/f(s, z))\og(t —s)ds\.
v	uf=r	/
В последнем равенстве предполагается, что \t\> г, так что
логарифм допускает аналитическую ветвь в круге |s|<r.
Экспонента в правой -части является аналитической функцией
от < и г и многочленом по t. Поэтому, используя, например, ин¬
терполяционную формулу Лагранжа, мы заключаем, что а-, (г) —
аналитические функции от z. Если положить
pit, z) = tk а
k—\
(z)t 1 + • ■ • + я0 iz),
то частное f(t, z)/p(t, z) аналитично в круге г при фикси¬
рованном z, |z|<6. Следовательно,
f it, z)!p (t, z) = (2ш')м ^ / is, z) p is, z)~l is — /)“' ds


7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 237
при \t\<.r и |z|<6. Но правая часть — аналитическая функ¬
ция от (t, z) в этой области, чем и завершается доказательство.
Часто под подготовительной теоремой Вейерштрасса пони¬
мают следующий более общий результат, известный также как
теорема о делении (или формула Вейерштрасса):
Теорема 7.5.2. Если f удовлетворяет условию (7.5.1), а функция
g аналитична в некоторой окрестности точки (0, 0) в :С.!+П, то
6-1
(7.5.3)	g (/, z) = q (t, z) f ((, z) + £	(z),
о
где q и r/ аналитичны вблизи точек (0,0) и 0 соответственно.
При этом как частное q, так и остаток определяются однозначно.
Доказательство. Ввиду теоремы 7.5.1 можно считать, что f —
многочлен по t степени k. Пусть g аналитична при |t|<2r и
|z|<6, a f(t, z)=Ф0 при |/|^r, |z|<6. Тогда из (7.5.3) сле¬
дует, что
(7.5.4)	q(t, z) = (2m')-1 ( g (s, z) f (s, z)~l (s — t)~l ds
I s I = r
ибо интеграл
при I / 1 < r, I Z I < б,
S (z's'ow)
|s|=rV 0	/
/ (s, z) 1 (s — /) 1 ds
равен нулю, поскольку в качестве контура интегрирования мож¬
но взять сколь угодно большую окружность, а подынтегральное
выражение есть 0(|s|-2) при s->-оо. Следовательно, (7.5.3)
влечет
ft-i
(7.5.5)	V//г/(г) = (2ш)“'	\ g (s, z){f (s, z)
0	|s|=r
— f(t, z))/(s — t) ds/f (s, z).
Частное (f(s,z)—f(t,z))/(s — t) представляет собой многочлен
степени k— 1 от s и t, поэтому правая часть последнего равен¬
ства действительно задает многочлен от t нужной степени при
всех z. Его коэффициенты суть аналитические функции от z при
|z|<6. Так как формула (7.5.4) тоже определяет аналитиче¬
скую функцию при |z|<6 и |^| < г, существование и един¬
ственность разложения (7.5.3) доказаны.
Рассмотрим теперь соответствующие результаты для С°°-
функций. Здесь возникает та трудность, что могут «теряться»
нули. Например, t2 + х имеет два вещественных нуля при х < 0


238	7. Преобразование Фурье
и ни одного при х > 0. Поэтому, чтобы суметь «уследить» за
нулями, начнем с теоремы о делении для функций, аналитиче¬
ских в тонкой полосе вокруг вещественной оси, для случая, когда
f — многочлен. Мы снимем зависимость от параметра х, но вза¬
мен установим некие равномерные оценки. Итак, пусть
(7.5.6)	p(t) = tk-\-ak-xtk~l + ... +а0
есть многочлен от ie С фиксированной степени k. Предполо¬
жим, что	Пусть, далее, g— ограниченная аналити¬
ческая функция в полосе |1т£|< е. Мы хотим выполнить де¬
ление
ft-i
(7.5.7)	g(t) = q(t)p(t)+'£tlr,
о
так, чтобы q и г,- в некоторой меньшей полосе |1ш^|<се оце¬
нивались через М = sup{|g(/) |; |1ш/|<е}. Кроме того, наше
разложение должно аналитически зависеть от р, если изменять
р не слишком сильно. Чтобы достичь поставленной цели, прежде
всего выберем /, 1 ^ ^ k -f- 1, такое что
(7.5.8)	р(1)ф0 при 11 Im 11 — ejl(k + 2) | < е/2 (k + 2).
Это можно сделать, потому что у р лишь k нулей. Из доказа¬
тельства теоремы 7.5.2 следует, что если со — ограниченное от¬
крытое множество в С, g — аналитическая в со функция, а р —
многочлен, не имеющий нулей на дсо, то (при условии что
да> еС1)
g{i) = q{t)p(t) + r(t), t eco,
где
q(t) = (2ni)~l ^ g(s)p(s)~'(s — t)"1 ds, t<= со,
ды
k-l
r(t)=y h, = (2ju)~‘ ( g (s) ((p (s) — p (t))/(s — t)) p (sfl ds.
0	da
Заметим, что г однозначно определяется дополнительным требо¬
ванием, чтобы r (t) = 0, если p(t) = 0 и t<£ со. В случае когда g
аналитична при |1т/|<е и выполнено (7.5.8), мы получаем
(7.5.9)	q (0 = (2ni)~l \g (s) р (s)"‘ (s - i)~l ds,
(7.5.10)	£Yrv = (2nif1 \g(s)((p(s)-p(t))/(s-t))p(s)-1 ds,
0	V
причем в (7.5.9) предполагается, что ] Im t\< е//(£ -f- 2). Здесь
у — граница прямоугольника (s; | Im s| < е//(& -f- 2), |Res| <2},


7.5. Подготовительная теорема Мальграижа 239
а 7г — граница объединения этого прямоугольника и конгруэнт¬
ного ему с центром в точке Re t на вещественной оси. Очевидно,
что справедливы оценки
(7.5.11)	\q(t)\^.CMe~k~l при | Im/| < е/(2 (& + 2));
| rv К	СМг~к.
Действительно, с учетом того факта, что |s|< 1, если p(s) = О,
мы имеем на ду и dyt оценку \p(s) | ^ се*.
Теперь посмотрим, что будет, если изменять коэффициенты
многочлена р. Положим
(7.5.12)	p{t, b) = tk + bk-itk-i+ ... + V
Поскольку ввиду (7.5.8)
|pit, а) | > сек при | Im t | = ej/ik + 2),
мы по-прежнему имеем оценку
| р it, b) I > сгк/2 при | Im 11 = ej/ik + 2), | а — Ь \ < схгк.
Поэтому для деления git) на pit,b) можно использовать фор¬
мулы (7.5.9), (7.5.10) с тем же самым / при всех b с |а — b|<
CiE*. Следовательно,
А-1
(7.5.7)' git) = q it, b) р it, b) + Z tjr, ib), \b — a\< с/,
о
где qit,b) и r/(fe) аналогичны и по Ь. Из неравенств Коши
вытекает, что при | b — а | < с2е*, с2 < сх
(75 11)'	*)l<CaaAfe-«-‘-“H»l+“, | Im ^ | < е/2 (& + 2),
I д\г] ib) I ^ С$Ме~к И РI+D.
Чтобы соединить полученные локальные решения задачи о
делении (7.5.7)', воспользуемся разбиением единицы, даваемым
теоремой 1.4.6, для пространства C* = R2*. Обозначая через К
диаметр носителя функции ф из этой теоремы, имеем
1 — Ефо(а)> Фо(а) = ф(Ка/с2е* — G), aeCs.
У функций фо диаметр носителя равен с2е*. Для каждой из тех
точек G рассматриваемой решетки в R2fe, для которых
(7.5.13)	supp^Gfl{a; El «/К l}=^0.
выберем в этом пересечении точку аа и применим описанную
выше конструкцию с а—аа. Это даст qdt,b) и г/, о ib), удовлет¬
воряющие (7.5.7)' и (7.5.11)' при Ьезиррфс. Отсюда следует,


240	7. Преобразование Фурье
что функции
4е (*. Ъ, g) = £ Фй (*) ?G (*> 6). г? (*» Я) = Е Фо (6) Г/. G (&)>
где суммирование проводится по всем G, удовлетворяющим
условию (7.5.13), обладают свойствами, указанными в приводи¬
мой ниже лемме, в которой Ь рассматривается как переменная
из 'R2fe.
Лемма 7.5.3. Для всякой ограниченной аналитической функции
g в полосе {(еС.; |Im/|<e} существуют функции qe(t,b,g)
е С°° (R X R26) и г) (b, g) е С°° (R2fe)> линейно зависящие от g,
такие что
ft-i
(7.5.7)" g(t) = qe(t, b, g)p(t, Ь) + Tj^r){b,g) при £|fyl<l,
о
(7 5 in" Idtdiqe(t, b, g)\^CaiMz-«-'~kW+»,
K''	’	\d^(b, g)|<CpAfe-*<IPI+i>.
Здесь М = sup {| g(s) j; j Im s | < e} и постоянные не зависят от г.
А теперь освободимся от предположения об аналитичности
g, используя разложение С°°-функции в сумму аналитических
функций, упомянутое в начале параграфа.
Теорема 7.5.4. Для всякой функции g е 91 (1R) найдутся функции
q(t, Ь, g)<= C°°(R XR2*) « fj(b, g)e C°°(iR2ft), линейно зависящие
от g, такие что выполнено (7.5.7)" с qe и г), замененными на q
и г, соответственно, и
(7.5.14)
|datd\q(t, Ъ, я)|<С„Р$(|яН-1яМ|)^
v = 3 + a-f-^(|p| + l),
|д1г](Ь, я)|<Ср$ (IЯI + l^(V)|)^»
v — 2 + ^(| p | + 1).
Доказательство. Выберем функцию i|ieC“ (R), удовлетворяю¬
щую условиям 0<ф < 1, ф(т)=1 при |т|<1, ф(т) = 0 при
|т| > 2, и положим
g0 (t) = (2я)-1 J g (т) ф (т) eiH г/т,
Я/ (/) — (2я)-1 ^ g (т) (ф (2_,т) — ф (21_/т)) eitx dr, j= 1,2, ... .


7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 241
Ясно,-что все gt аналитичиы и g = 2 Я/ в &1- Используя тот
факт, что
|Tv£(T)|<$|g<v>(0|dl,
нетрудно показать, что
\g!(t)\<C2ni-y)\(\g\ + \gM\)dt при Цщ/|<в, = 2-'.
Поэтому применение леммы 7.5.3 дает
Si (0 = Я*! (U Ь, g,) р (I, 6) 4 Ё tr\! (Ь, g,), Z1I < 1,
|а?д&Л(*, 6, ff/)|<Can2-/(v-1-e-1-‘(l|,|+1))J(ig'i + |fir«v)|)rf/,
I dlrV (b, g) I 2~> (v_1“fe(l p l+1)) 5 (I g i +1 g(v) I) dt.
При указанном в формулировке теоремы выборе v правые части
этих неравенств образуют сходящиеся геометрические ряды,
откуда видно, что
Я {U Ь, g) = £ qel (t, b, gj), n (b, g) = f) rV (b, gj)
l=o	1=0
суть Сет-функции с требуемыми свойствами.
Замечание. Если g(t, х)е ^’(iR1+n), то
Я (i, Ь, g(.,x))^C°°{ Rl+n+2k),
г,(Ь,8(-,х))с=<Г( Rn+2i).
В самом деле, дифференцирование левых частей по х ввиду их
непрерывности и линейности по g можно выполнять прямо над£.
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать часть подготови¬
тельной теоремы Мальгранжа, соответствующую теореме 7.5.1.
Теорема 7.5.5. Пусть f(t,x) есть С°°-функция от (t,x)<=Rl+n
вблизи точки (0,0), удовлетворяющая (7.5.1). Тогда существует
разложение
(7.5.2)' f(t, x) = c(t, x)(tk + ak^(x)tk~l+...+а0(х)),
где а/ и с суть Ст-функции вблизи точек 0 и (0,0) соответствен¬
но, причем с (0,0) Ф 0, а а} (0) = 0. Когда f вещественна, это раз¬
ложение можно выбрать вещественным.
Доказательство. Поскольку доказываемое утверждение носит
локальный характер, можно считать, что feCo°- В силу тео-
16 Зак. 821


242	7. Преобразование Фурье
ремы 7.5.4 и замечания после ее доказательства имеем в неко¬
торой окрестности точки (0, 0, 0)
ft-i
f(t, x) = Q(i, х, b)p(i, ft)-f X) №}(х, b),
о
где Q и Rj — функции класса С°°. Полагая в этом равенстве
х = b = 0, получим
*-i
f(t, 0) = Q(t, 0, 0)tk+X ^/(0, 0),
0
так что, ввиду (7.5.1), /?/ (0, 0) = 0, a Q(0, 0, 0)^=0. Дифференци¬
руя же его по ft и полагая затем х = 0, ft = 0, получим, что при
ft =0
ft-i	*-i
0 = dbQ (/, 0, ft) tk + Q (t, 0, 0) £ tl db, + £ t! dbR, (0, ft).
0	0
ft-1
Так как Q(0, 0, 0)^=0, то Q(t, 0, 0) X i/a/ = 0(/ft) влечет a0 =
о
... = a*_! = 0. Отсюда видно, что производная отображения
(fto	bk-i)^~(Ro, .... Rn-i) биективна в точке (0,0). На
основании теоремы о неявной функции мы заключаем, что урав¬
нения
Rj(x, ft) = 0, j = 0, ... , Де — 1,
определяют в некоторой окрестности нуля С°°-функции bj(x),
j — 0, ..., k — 1. Поскольку
f(t, x) = Q(t, х, b(x))p(i, ft(x))
и ft (0) = 0, существование разложения (7.5.2)' установлено.
В случае когда f вещественна, Q и R тоже можно взять веще¬
ственными при ft e'RA и применить теорему о неявной функции
к ситуации cfteR*, а не eft = R2A. Доказательство за¬
вершено.
Следующая теорема о делении — аналог теоремы 7.5.2. От¬
метим, что ни в теореме 7.5.5, ни в теореме 7.5.6 единственность
разложения не имеет места.
Теорема 7.5.6 (подготовительная теорема Мальгранжа). Если f
удовлетворяет предположениям теоремы 7.5.5, a g(t,x)— функ¬
ция класса С°° в некоторой окрестности точки (0,0), то
*-1
(7.5.3)'	g(t, x) = q(i, х) f(t, *)+ Ц (*),
о
где q и rj — функции класса С°° в некоторых окрестностях точек
(0,0) и 0 соответственно.


7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 243
Доказательство. Ввиду теоремы 7.5.5 можно считать, что
*-1
f(t, x) = ik+Y. i'a,(x) = p(t, a(x)).
о
Кроме того, мы вправе предположить, что geC“ Поэтому,
в обозначениях теоремы 7.5.4, нам подходят
Я{U x) — q(t, а(х), g(-, х)), r,(x) = r/(a(x), g{-, *))•
Заметим, что теорема 7.5.5 — это фактически частный случай
теоремы 7.5.6, отвечающий g(t, х) = tk. Далее, в доказательстве
теоремы 7.5.6 единственным моментом, налагающим ограниче¬
ния на размеры окрестности, в которой справедливо утверждае¬
мое разложение, было применение теоремы 7.5.5. Точнее, для
geC"(R1+,!) разложение (7.5.3)' имеет место в некоторой ок¬
рестности точки (0,0), не зависящей от g.
Подготовительная теорема Мальгранжа в высшей степени
нетривиальна даже в случае k — \. На самом деле это как раз
тот случай, который нам чаще всего будет встречаться. В § 7.7
нам понадобится обобщение подготовительной теоремы Маль¬
гранжа с k — 1 на случай нескольких ^-переменных.
Теорема 7.5.7. Пусть fj(t,x), j = 1	m, — комплекснозначные
С^-функции в некоторой окрестности нуля в Rm+n, удовлетворяю¬
щие условиям fj(0,0) = 0, / = 1, .... т, и det<5f,(0,0)/dtk¥=0.
Для всякой функции g, принадлежащей классу С°° в некоторой
окрестности точки (0,0), найдутся функции q,{t;x) класса С°°
вблизи точки (0,0) и функция г(х) класса С°° вблизи точки 0,
такие что
g(t, x)='Zlql(t, x)f/(t, х) + г(х).
Доказательство. При m — 1 это частный случай теоремы 7.5.6.
Всегда можно перенумеровать функции fj так, чтобы
<?/i(0,0)/<?^0. Поэтому, вводя обозначение t'—(t2, .... tn),
применением теоремы 7.5.6 с k = 1 получаем
g (t, х) = qx (t, х) h (t, x) + h (/', x),
fj (t, x) = q, (t, x) fi (t, x) -f Fj (/', x), / = 2	m.
Поскольку dfj = q/dfi + dF,- в нуле, производные функций
Fi, Fm по t' линейно независимы в нуле. Предполагая, что
16*


244	7. Преобразование Фурье
для т — ] переменных теорема уже установлена, заключаем, что
т
h(t', *)=£рД<', x)Fj({', x) + r(x),
2
8(U = x) — Z Pj(t', x)(?/(/, x^fiit, x)
m
+ £ Pi V', x) f, (t, x) + r (x),
2
чем все и доказано.
Чтобы сформулировать аналог теоремы 7.5.5 для этой ситуа¬
ции, введем идеал I — I(fь ..., fm), порожденный функциями
fit -	/т. Это — множество всех функций g класса С°° вблизи
нуля таких что для некоторых щ е С00
m
g(t> x)='Zq,{f, x)fj(t, x)
вблизи нуля.
Лемма 7.5.8. Если Fu ..., Fm^I(f,, ..., fm), dFi, ..., dFm ли¬
нейно независимы в нуле и f\ = ... = fm=0 в нуле, то
I (Fu .... Fm) — I (fu ... , fm).
Доказательство. По предположению
m
Fi = 'Z,gijfjt i— 1	m.
Поскольку fj(0, 0) — 0, то dFi = £gljdfl в нуле. Следова¬
тельно, detgfj^O, а потому	,
Обобщение теоремы 7.5.5 с 4 = 1 на случай m-мерного t вы¬
глядит так:
Теорема 7.5.9. Если fu ..., /т удовлетворяют условиям тео¬
ремы 7.5.7, то
Kfu ■■■ , fm) = I(tl-T1(x),	, tm-Tm(X))
для некоторых Т\ е С°°, обращающихся в нуле в нуль. 1111 Здесь и ниже точнее было бы говорить не о функциях класса Сте,
определенных вблизи нуля, а об их ростках в нуле, т. е. классах эквивалент¬
ности, означающей совпадение функций в некоторой окрестности нуля.—
Прим. ред.


7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 245
Доказательство. Теорема 7.5.7, примененная к координатным
функциям ti, дает
и =	x)fj{t, x) + Ti(x),
и из леммы 7.5.8 следует, что функции U—ТДх) порождают тот
же идеал, что и функции
Посмотрим, в какой мере неоднозначно определены функции
Ti{x). Ясно1*, что к ним можно добавлять любые функции от х,
принадлежащие /, поэтому следует охарактеризовать такие
функции.
Лемма 7.5.10. Если R(x)^I(ti— ТДх), ..., tm — Tm(x)), то
(7.5.15)	|/?(Jc)|<CArlIm7'(Jc)|J'\ JV=1, 2, ...
в некоторой окрестности нуля.
Доказательство. Найдутся С°°-функции Ra(x) и Qa(t,x), такие
что в некоторой фиксированной окрестности точки (0,0)
(7.5.16)	R(x)= Z (t-T(x))aRa(x)la\
0<|a 1<N
+ S (t~T(x))aQa(t, x)/a\
|a|=V
для N = i, 2, ... . Для N = 1 это следует из предположения,
что R^I, а если уже известно, что представление (7.5.16) имеет
место для какого-то значения N, то его справедливость при N,
замененном на УУ+1, легко установить, «поделив» Qa на
ti— Т\(х), ..., tm -Т m (х) при помощи теоремы 7.5J. (Как было
отмечено после доказательства теоремы 7.5.6, окрестность, в ко¬
торой справедливо представление, можно выбрать не зависящей
от N.) Для малых |х| положим
t^Rer(x) + sImr(x), 0<«<1.
Тогда из (7.5.16) следует, что при 0 ^ s ^ 1
■\1a 1
\С
:|<
R(x)- S (s-i)lal(lmT(x))aRa(x)la\\<C„\ImT(x)
0<\а]<Н
Как вытекает из любой формулы для интерполяционного много¬
члена, коэффициенты фигурирующего в левой части многочлена
от s — i допускают аналогичные оценки, что и дает оценку
(7.5.15)	с некоторой другой постоянной Сц.
Лемма 7.5.11. Пусть F^O — липшицева функция в некоторой
окрестности нуля в R”. Если g еС°° и |g|^ CnFn для всякого
1> Ввиду той же леммы 7.5.8. — Прим, перев.


246	7. Преобразование Фурье
N,	то (в этой окрестности нуля)
при всех а, N.
Доказательство. Поскольку F(x + х') ^ CF(x) при |х! j ^ F(х),
то, разлагая g (хF (х) х') по формуле Тейлора, получаем
£ g«e)(x)jc,eF(jc)|e|/a!|<C^(x)",
1 а| <ЛГ	I
Поэтому для коэффициентов многочлена Тейлора справедлива
оценка
| g{a) (х) F (х)1 a 11 < Cjv.a F (*)", | a I <N,
и ввиду произвольности N лемма доказана.
Теорема 7.5.12. Пусть I = I(t\—Тх{х), tm — Т„(х)), где
Т\(0) == ... = Т„(6) = 0, и пусть /?(дс)еС°°. Следующие усло¬
вия равносильны:
(i) R е / вблизи точки (0,0);
(и) в некоторой окрестности точки 0 выполнено (7.5.15);
(Ш) /?е/°° = П^ вблизи точки (0,0), г. е. существуют окре¬
стность V точки (0, 0) и функции qa<^C°° (Rm+rt), такие что для
всякого N
R{x) =	£ qa(t, x)(t — T{x))°/a!, (*,*)«= V.
I a |-N
Доказательство. В силу леммы 7.5.10, (i)=>(ii). Ввиду леммы
7.5.11,	из (ii) следует, что для всех р и v мы имеем в некоторой
окрестности точки 0
<CV,/V, F='Z\fif, fi^tt-Tiix).
В тех точках, где F Ф 0,
F = (l.fifl/F)NR = ill ГЯа, q* = cafaF~|a|tf.
| а|=ЛГ
Но в силу полученной выше оценки функция qa и все ее произ¬
водные стремятся к нулю, когда F-*- 0, поэтому повторное при¬
менение следствия 1.1.2 показывает, что qa^ C°°, если доопре¬
делить qa нулем в точках, где F = 0. Поскольку (Ш) очевидным
образом влечет (i), доказательство теоремы завершено.
В качестве приложения теоремы 7.5.5 установим еще сле¬
дующий результат, который понадобится нам в § 7.7 и который
показывает, что в случае вещественнозначной функции f к нор¬
мальной форме, указанной в теореме 7.5.5, можно прийти, не
выделяя соответствующий множитель, а произведя замену пере¬
менных.


7.5. Подготовительная теорема Мальгранжа 247
Теорема 7.5.13. Пусть f(t,x) — вещественнозначная функция
класса С°° вблизи точки (О, 0) в R1+n, такая что
(7.5.17)	f = df/dt= ...=dk^f/dtk-l = 0, dkf/dtk>0
в точке (0, 0).
Тогда найдутся вещественнозначная С°°-функция T(t,x), удов¬
летворяющая условиям
Т = 0, dTjdt >0 в точке (0, 0),
и вещественнозначные С°°-функции а, (х), обращающиеся в нуль
в точке 0, такие что в некоторой окрестности точки (0, 0)
fe-2
(7.5.18)	f(t, x) = Tktk+ 2,а,(х)Т'.
о
Доказательство. Поскольку f(t,0) = tkc(t)/k, где сеС“ и
с(0)>0, можно взять tc(t)1/k в качестве новой переменной
(вместо t). Таким образом, можно считать, что f{t, 0)— tk/k. По¬
этому если п > 1 *> и теорема уже доказана для меньших зна¬
чений п, то, вводя обозначение х'={хи .... xn-i), можно счи¬
тать, что
fe-2
f(t, х', О) = **/£+ £ bjix')^
о
Положим
fe-2
F it, х, a) — f it, x) + £ a,t!,
и
так что Fit,x,0) = fit,x). Мы хотим, изменяя t и а с измене¬
нием хп, добиться того, чтобы Fit,x,a) оставалось постоянным.
Иными словами, мы хотим, чтобы
(7.5.19)	[dffdt + £ fa/-1 J dt/dxn -f df/dxn + £ ida,/dxn) t1 = 0.
Применение теоремы 7.5.6 дает в некоторой окрестности нуля
разложение
/	yfe	-2	ч k — 2
df/dxn = qit, х, a)[df/dt+ £/a/~‘J + £ 0(*> a)^>
откуда видно, что (7.5.19) будет выполнено, если
(7.5.20)	dtjdxn — — qit,x,a), daj/dxn-- — гДх, а). 1111 Ввиду только что сделанного наблюдения все последующие рассужде¬
ния проходят и при л = 1 уже без привлечения предположения индукции.—
Прим, перев.


248	7. Преобразование Фурье
Проинтегрировав эти уравнения с начальными данными t = Т и
а = А при хп = 0, получим определенные вблизи точки 0 функ¬
ции t(T, х, А) и а(х, А) класса С°°, такие что t(T, х, А)=Т и
а(х, А) —А при хп = 0. В некоторой окрестности нуля
Л—2
f U (Т, х, A), *)+£<*/(*• A)t(T, х, А)*
0	ft	ft
= f (T, x', 0) + t А{Т* = Tk/k + t + b, (x')) T>.
0 0
Так как матрицы Якоби да/дА и d(t, х, а)/д(Т, х, А) при хп = 0
равны единичной матрице, мы можем в некоторой окрестности
нуля выразить А как функцию от х и а(х, А), а Т — как функ¬
цию от t(T,x,A), х и а(х,А). Следовательно,
fit, х)+ Ёа/ = 7Ч<. *. а)*/* + £(Л/(х, a) + bl(x'))T(t, x, a)1.
о	0
Полагая a = 0, видим, что теорема доказана.
7.6.	Преобразование Фурье гауссовых функций
Пусть А — симметричная п X n-матрица с комплексными эле¬
ментами. Ясно, что функция
(7.6.1)	R" э х ->■ ехр (—(Ах, х)/2)
принадлежит 9” тогда и только тогда, когда <(Re/4)x, х} ^ 0,
ie R".
Теорема 7.6.1. Если А—невырожденная симметричная матрица,
для которой Re А ^ 0, то преобразованием Фурье гауссовой
функции (7.6.1) служит другая гауссова функция
(7.6.2)	R" э I -+ (2я)п/2 (det В)1’2 ехр (- <ВЕ, |>/2),
где В = А~1 и квадратный корень понимается, как объяснено
в § 3.4. В случае когда А=—1Ай, где А0 — вещественная сим¬
метричная невырожденная матрица, (7.6.2) принимает вид
(7.6.2)	' R" э^(2я)"/2| det Л0 Г1/2ехр (nf(sgn Л„)/4-г (аЛ, £>/2).
Доказательство. Если и(х) = ехр(—(Ах, х>/2), то
(7.6.3)	DjU = i(Ax)jU, /=1, ... , я.
Обратно, если и—распределение, удовлетворяющее этим урав¬
нениям, то все первые частные -производные от и ехр {(Ах, ху/2)
равны 0, так что и лишь постоянным множителем отличается


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 249
от функции (7.6.1). Переходя в (7.6.3) к преобразованиям Фурье,
получим
lj{L = — i{AD)ja, /= 1, ...,п,
или, после умножения соответствующего векторного уравнения
на матрицу В,
i(Bl)jй = Dfi, j= 1, ... . я.
Следовательно,
й = Сехр(-<5£, £)/2).
В случае когда Re Л — положительно определенная матрица, мы
имеем, в силу (3.4.1)", C = (2n)n/2(detA)-1/2 = (2n)"/2(detB)1/2J
а когда Re Л—лишь неотрицательно определенная матрица, тот
же результат получается, если заменить Л на Л + е/(е>0)
и устремить е к 0. Заключительное утверждение теоремы выте¬
кает из (3.4.6).
Замечание. Первую часть доказательства можно было бы, ко¬
нечно, заменить рассуждением со сдвигом контура интегрирова¬
ния. — Квадратичные формы (Ах, х) и (В|, |) называются двой¬
ственными друг другу. Поскольку <В|, £>=<*, |>2/<Лх, х>,
когда дх((х, 1У2/(Ах, х>) = 0, это — инвариантное соответствие
между квадратичными формами на двойственных простран¬
ствах.
Теперь становится совершенно очевидной формула (3.3.3),
ибо (в обозначениях теоремы 3.3.5) Е (х, t) при фиксированном
t > 0 представляет собой не что иное, как обратное преобразо¬
вание Фурье от ехр(—t(A%, |>), а потому стремится к б0 в 9”
при t->0. Решение задачи Коши
(7.6.4)	du/dt + (AD, D)u = 0, t>0; и(-, 0) = ve=9(Rn),
даваемое формулой
и(х, 1)—^Е(х — у, 1) v (у) dy,
имеет следующее преобразование Фурье по х:
й(£» 0 = й(£)ехр(— t{Al, D).
Это решение немедленно получается переходом к преобразова¬
ниям Фурье по х в (7.6.4).
Изучим подробнее операторы такого вида, с тем чтобы за¬
готовить ряд результатов для применения в гл. 18. Для произ¬
вольной квадратичной формы Л на Rn с Re Л ^ 0 введем обо¬
значение
e-A{D)v = (2n)-n\et<x’*>-A{l)
’6(6)rf6, о<=9,


250	7. Преобразование Фурье
для обратного преобразования Фурье от е“л(5)и(|). Ясно, что
e~A(D) непрерывно отображает У в S’, 9” в 9" и L2 в L2. Отме¬
тим, что
e-ACD)e<<..S>=se-A(6)ei<,6»>
Поэтому очевидно, что в результате линейной замены коорди¬
нат e-A<D> преобразуется в e~A'(D\ где A'(D) — дифференциаль¬
ный оператор /4(D), выраженный в новых координатах.
Теорема 7.6.2. Если Re А ^ 0, то для всякого целого k^O
(7.6.5)	|e“A(%-^£ft(-^(D))/«/y!||t2<|M(D)ftu/A!|b #еЯ
Доказательство. После перехода к преобразованиям Фурье это
неравенство сводится ввиду формулы Парсеваля к неравенству
еа— X w’/jl I ^ | w \k/k\, Reiw^O,
/<* I
которое вытекает из формулы Тейлора.
Чтобы перейти в (7.6.5) к sup-нормам, нам понадобится один
простой частный случай неравенств Соболева (§ 4.5). Мы дадим
для этого случая прямое доказательство и сформулируем соот¬
ветствующий результат в виде отдельного утверждения, по¬
скольку нам еще придется ссылаться на него:
Лемма 7.6.3. Для всякого целого s > п/2
(7.6.6)	|«(*)Р<С J ( Y, \Dau{y)f + \u{y)f\dy, и<=9>.
| х-у| <1 \|a|-s	/
Доказательство. По теореме 7.1.22 оператор (—A)s обладает
параметриксом Е с носителем в открытом единичном шаре. Та¬
ким образом, (—Д)*£ = 6 + ю, <оеСо°> а потому | ^Р*£■ (^) —
ограниченная функция. Следовательно, ||«£(|) |	С(1 +
]!|)-seL2 при |a| = s. Поскольку
и = и* (— A)s Е — и * со = ^ -^-Dau* DaE — u*iо,
:	I a. I—s
оценка (7.6.6) вытекает из неравенства Коши — Шварца.
Применяя (7.6.5) к Dau при |а|, равном s из леммы 7.6.3, и
учитывая тот факт, что е~А^°> коммутирует с Da, получаем,
ввиду (7.6.6),
(7.6.7)	sup|е“Л(В)и(*)-’£ {-Аф))!и{х)Ц\
2


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 261
Следовательно, разность егА<-вЫ{х)—и(х) равномерно стремится
к 0 при ||Л||-»-0, а в области вне suppu эта разность есть
О (||Л.||*) при любом k. Докажем для этой области более точную
оценку.
Лемма 7.6.4. Пусть Re Л ^0, ||Л||^ 1 и s — целое >п/2. Если
евклидово расстояние й(х) от х до ,supp и не меньше 1, то для
всякого целого k ^ 0
(7.6.8)	|e-*<D>u(jt)|<Cft|HI|ft+srf(jtr* £ sup | Dau |,
|a|<*+2s
ae^(R").
Доказательство. Можно считать, что jc = 0, а значит, и(у) = 0
при \y\<d = d{Q). Поскольку для любого у^ 0 мы имеем
\У,\/\У\ ^ l/^fn при некотором /, можно выбрать разбиение
единицы 1 ===== 22 ЗС/ (У) на R”\0, такое что функции // е С°° одно¬
родны степени 0 и (t/г у)'^\у\1%л!п при г/esuppx/, где
±/у — один из базисных векторов. Так как
I, |ovl«V Z \Dau\
l |a|<S+2s	lal^ft+2s
оценка (7.6.8) будет доказана для и, если мы покажем, что она
верна для каждой из функций /,-и. Таким образом, при выводе
оценки (7.6.8) мы можем считать, что
(7.6.9)	(t, у)'^\у\/2л/п для «/esuppu,
где t — некоторый единичный вектор. Далее, если В — двойствен¬
ная к А форма, то
е~А (D) и (0) = с ^ е~в (г/)/4 и (у) dy,
(у, f)e~ в (y)li — 2А (t, — д/ду) е~В{у)1*.
Поэтому повторное интегрирование по частям дает
e-*V>u(0) = 2!c\e-ai*vt(A(t,d/dy)<!,, I)"1)' u(y)dy
= 21 е~А о» (Л (t, д/ду) (у, i)-1)1 и (у) |,_0
для / = 0, 1	Применяя (7.6.7) с &=0, заключаем, что
|e-*<fl>u(0)P<4'C £ \Da (Л ((, д/ду){у, tf1)1 и(у)&.
|о|<5
Учитывая (7.6.9) и тот факт, что \у\^ d^ I в supp и, полу¬
чаем при 2/ > п
|e~AlD)и(0)|2^.Cfdn~2i||Л ||2/ (	£ suplD°«h2.
Ч|а|<®+/	/
Берем / = k + s, и оценка (7.6.8) установлена.


252	7. Преобразование Фурье
Теорема 7.6.5. Пусть Re А ^ 0, ||Л||г=С 1 и s — целое >п/2. Тогда
для всякого целого k ^ s распределение е-л(г)>ц есть непрерыв¬
ная функция и
(7.6.10)
e~A{D)u(x) — 2 (~A(D)iu(x)H\
i<k
< С* || Л ||‘	£ sup | Dau |,
!a|<s+2*
если и e Cs+2k и правая часть последнего неравенства конечна.
В точках х, евклидово расстояние й(х) которых от suppu не
меньше 1, справедлива более сильная оценка (7.6.8).
Доказательство. Предположим сперва, что и е С“> и пусть
х = 0. Выберем функцию % <= СГ» равную 1 в единичном шаре.
Применяя (7.6.7) к уи, а (7.6.8)—к (1—%)и, заключаем, что
(7.6.10)	выполняется для х = 0, а значит, и для всех х. В слу-
чае когда и е Со , мы можем применить этот результат к ре¬
гуляризациям функции и, а точнее к их попарным разностям,
и заключить, что e-A(D)u есть непрерывная функция и оценки
(7.6.8), (7.6.10) остаются верными для и. Наконец, если дано
лишь, что u^Cs+2k и правая часть (7.6.10) конечна, то мы при¬
меняем полученный результат к и« = %(•//?) и и, устремляя R
к оо, заключаем, что	и оценки (7.6.8), (7.6.10)
верны почти всюду. (Напомним, что e~A(-D> непрерывно отобра¬
жает 9' в 9", так что е~л<0>ня-»-е^А(г)>« в 9'.) Но е-д(°)и«еС
и е^^Ци — Ur)-»-0 в Ь°° на каждом компактном множестве
(в силу (7.6.8)), откуда и следует, что ет^^и — непрерывная
функция.
Заметим, что в случае, когда матрица Re Л не является по¬
ложительно определенной, априори совсем не очевидно, что
е~А(-°)и будет непрерывной функцией для таких функций и, у ко¬
торых производные ограничены, но не стремятся к нулю на бес¬
конечности. Теорему 7.6.5 можно рассматривать как утвержде¬
ние о задаче Коши (7.6.4). Как уже упоминалось, предыдущие
результаты будут играть важную роль в гл. 18. Изучение ло¬
кальных свойств оператора e~A<-D'> будет продолжено в § 18.4.
Другой аспект полученных выше результатов связан с методом
стационарной фазы, который мы рассмотрим в § 7.7.
Дадим еще одно приложение теоремы 7.6.1—докажем ре¬
зультат, обещанный после теоремы 7.1.13.
Теорема 7.6.6. Если для всех ueLp(Rrt) порядок распределе¬
ния й не превосходит k, то
(7.6.11)	fc>n(l/2— lip).


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 253
Доказательство. Из сделанного предположения вытекает, что
для любого данного компактного множества К. в R"
<7.6.12)	\(й, cp>|<C||u||LP £ sup | Daqp |
|a|<*
при всех и <= L”, ф е= С“ (К)-
Действительно, билинейная форма <#, ф> непрерывна по и е L”
при каждом фиксированном ф <=	(К), поскольку <й, ф> =
<и, ф> и	По предположению теоремы она также непре¬
рывна по ф в О-норме при каждом фиксированном и е L”. Но
раздельно непрерывная билинейная, форма на произведении
пространства Фреше и метризуемого пространства всегда непре¬
рывна, откуда и следует (7.6.12). Выберем теперь ненулевую
функцию и е 9*, для которой й имеет компактный носитель К,
и применим (7.6.12) к щ и ф<, где
М6) = й(£)е‘т1\ <Pt№) = MT).
а t — большое положительное число. В силу теоремы 7.6.1, ш
есть свертка функции и с функцией ct~nl2e~i]x^!it (где с — по¬
стоянная, которую можно найти из (7.6.2)), а потому
II Ilf “IIИ lit,,’ ll«Jt=o<crr,/2||U||L,.
Следовательно, при р > 2
IIЩIfLp = $ IЩ Г21 и, |2 dx < СиГп (р'2)/2.
При u — ut, ф = ф< левая часть (7.6.12) постоянна. Поэтому
при сколь угодно больших t, откуда и следует (7.6.11). (Заме¬
тим, что в случае р^2 условие (7.6.11) становится бессодер¬
жательным.)
В § 7.9 мы докажем, что если в (7.6.11) имеет место строгое
неравенство, то й е 2Е>'к для всех и е Lp.
Рассмотрим теперь два примера, показывающих, что с по¬
мощью теоремы 7.6.1 можно иногда решать и дифференциаль¬
ные уравнения с переменными коэффициентами. Нашим первым
примером будет построение фундаментального решения для
уравнения Колмогорова
&и/дх2 + х ди/ду — du/dt = О, t > О,
\/.6.13)	(4	\ К	4 Г\
и (t, ■) -> 6(Хо, у,) при 0.
Предположим, что и имеет преобразование Фурье U по (х,у),
которое хорошо себя ведет при	Тогда, переходя в (7.6.13)


254	7. Преобразование Фурье
к преобразованиям Фурье, получим
-12и-Чди/дЪ — ди/д1 = 0, t > 0.
Поэтому если dr\ = 0, a d\, = r\dt, то dU = —^JUdt и, следова¬
тельно,
t
U(t, I + 4t, ц) = [/(0, |, г])ехр ^ — (| + nsfds
о
= и (0, i, rj) exp (- 14 - Ы2 - rffi/S).
Полагая B =
12 )
2(3/3/
, имеем detB = /4/3 и
-i = f 2lt ~3/f\
l-з/*2	6/<v •
Значит, последняя экспонента есть преобразование Фурье от
(х, у) -+ 31/2/(2л/2) exp (— x2/t + Зху/t2 — Зу2/?).
Обращая преобразование Фурье, получаем, при условии что
U(0, |, tj) =
u(t, х, у — tx) = 3ll2/(2nf)exp(—(х ~ x0f/i
+ 3 (* — дсо) (У — Уо)1? — 3 {у — УоТ/Р)-
Полагая u(t, х, y) — E(t, х, у\ х0, уо), заключаем, что
E{t, х, у, х0, y0)=3ll2/(2af)exp(—(x~x0f/t
Ч- 3 (х — Xq) (y + tx — у0)/Р — 3 (y + tx — yof/i3).
Нетрудно обратить это рассуждение и убедиться, что Е является
С°°-функцией при / >0 и удовлетворяет (7.6.13). Отображение
Co°°(R3)3f-^£fe=C" (R3),
Ef(t, х, у) = ^ E(i — s, х, у; х0, y0)f(s, х0, y0)dx0dy0ds
s<t
представляет собой двустороннее фундаментальное решение для
оператора Колмогорова, задаваемого левой частью уравнения
(7.6.13), т. е. служит левым и правым обратным для этого опе¬
ратора.
Вторым нашим примером будет построение фундаменталь¬
ного решения для оператора — Do + 2D0Di + x2D\. Ввиду его
трансляционной инвариантности по хо и jc2 достаточно найти
'> Отвечающем начальному условию задачи (7.6.13).— Прим, перев.


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 255
решение и уравнения
(7.6.14)	(— Do “Ь 2DoDi -}- XiD2) и = 6(о, а, о)-
Мы хотим, чтобы у этого решения и носитель лежал в полу¬
пространстве х0 > 0, потому что тогда можно решать задачу
Коши. Пусть U является для и преобразованием Фурье по х2 и
преобразованием Фурье — Лапласа по хо‘, ожидается, что по¬
следнее определено при Im |0 < 0. Тогда мы получаем уравнение
(7.6.15)	(- |о + 2|оD, + д&|) U = b(xx- а).
Для уравнения (7.6.14) без члена х\й\ фундаментальное реше¬
ние, сосредоточенное в полупространстве хо > 0, имеет носитель
в области, задаваемой неравенствами хх <. а, 2х0 -(- х\ — а > 0;
поэтому естественно ожидать, что и равно нулю при хх > а. Ин¬
тегрирование уравнения (7.6.15) дает при х\ < а
U = C (go, Ь) ехр (г (gfo - х%1/3)/2g0),
и, чтобы эта функция U, доопределенная нулем при хх > а,
удовлетворяла (7.6.15), нужно, чтобы 2|оСг ехр (г (g^a — а3|2/з)/
2|о)=1, а следовательно,
^(Ео. W = (- «Щехр (i (Ц (хх -а)-Ц(х\- a3)/3)/2g0),
хх < а.
Заметим, что вещественная часть показателя экспоненты равна
Iml0((a —Xi)/2+g2(a3-x3)/6|io|2)<0 ПРИ lmg0<0.
Обращая теперь с помощью теоремы 7.6.1 преобразование Фурье
по х2, получим функцию
К(Ь, *|. хг) = (- 1рЬ)	- x!))4‘('2xf'"exp НЕ),
£=«о ((*.-«) + а^/М-«*))/2
Здесь берется корень (г'1о)1/2, лежащий в правой полуплоскости,
так что (г|0)-1/2 = е_я‘/4|^1/2 при — n<arggo<0. Согласно
примеру 7.1.17, это есть преобразование Фурье — Лапласа по
х0 от х~^/2/Т (1/2) = х~^,2/л112. Множитель eiE приводит к соот¬
ветствующему сдвигу, и мы получаем
и (х) = УЗ (2п) -11 ((2х0 + х1-а)(а3- *?) - 3x1) ~
в случае когда Хо > 0, хх < а и выражение под знаком квадрат¬
ного корня положительно. В остальных случаях и = 0. Как не¬
посредственно проверяется, интеграл от и по х2 не зависит от
Хо и Х\, и, значит, и — локально интегрируемая функция. Не¬


256	7. Преобразование Фурье
трудно обратить проведенные вычисления и убедиться, что и
действительно удовлетворяет (7.6.14).
При обсуждении гауссовых функций было бы неестествен¬
ным обойти молчанием центральную предельную теорему, хоть
она и лежит в стороне от нашей главной темы.
Теорема 7.6.7. Пусть р— положительная мера в R", такая что
^dp=l, ^|jcpdp<oo, ^xdp = 0.
Допустим, что носитель меры р не содержится ни в какой про¬
ходящей через 0 гиперплоскости, и положим
Aik = ^ x,xkdp(x).
Тогда А есть положительно определенная симметричная ма¬
трица. Если обозначить через pv умноженную на \п/2 компози¬
цию ^-краткой свертки р* ... *р с отображением x-»-rv1/2, то
в смысле слабой сходимости мер
pv-4 det(2jt/4)T1/2exp(— (А~1х, х)/2) при v->oo.
Доказательство. Поскольку величина
Yj А1кУ1Ук = \ (X, У)2 dp (х)
неотрицательна и равна нулю, лишь если <х, у} = 0 для всякого
х е supp р, то ясно, что матрица А является положительно
определенной. Свертка двух мер р' и р", каждая из которых
положительна и имеет полную массу 1, определяется формулой
(р' • р") (ф) = \ J Ф (х + у) dp' (х) dp" (у)
для всех ограниченных непрерывных функций ф. Как отмеча¬
лось в § 5.1, в случае когда р" и ф имеют компактные носители,
это определение согласуется с нашим прежним определением.
Очевидно, что мера р' * р" тоже имеет полную массу 1 и что ее
преобразованием Фурье служит р'р". Следовательно, преобра¬
зованием Фурье меры pv будет (см. (7.1.17))
М£) ==£(£/Vv)v*
Так как ^dpv(x)=l, то |pv(§)|s^l для всех v. В силу сде¬
ланных предположений законно двукратное дифференцирование
под знаком интеграла в равенстве
p(Z)=$ez!1x'*dp(x),


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 257
и мы заключаем, что р е С2, D/Dftp(0) = Ajk, D/p(0) = 0. Зна¬
чит,
р(|)=1-(Л|, |)/2 + о(11р),
а потому равномерно на каждом компактном множестве
Р (|/лМ = 1 - <№, D/2V + о (1/v) = exp (- (А1, £>/2v + о (1/v)).
Отсюда вытекает, по теореме о мажорированной сходимости, что
pv -+ exp (— {AI, 1)/2) в 9'.
Следовательно, ввиду непрерывности в 9" оператора взятия об¬
ратного преобразования Фурье,
pv->| det(2n/4)r1/2exp(—(л-1х, х)/2)
в 9". Но все pv — положительные меры, поэтому, в силу теоремы
2.1.9, мы имеем здесь сходимость в слабой топологии простран¬
ства мер.
До сих пор мы рассматривали преобразование Фурье от
экспоненты exp Q лишь для случая, когда Q — многочлен второй
степени. В заключение этого параграфа коротко разберем слу¬
чай простейшего многочлена третьей степени Q от одной пере¬
менной. Чтобы не отступать от стандартных обозначений, возь¬
мем не прямое, а обратное преобразование Фурье:
Определение 7.6.8. Функцией Эйри Ai(x) на R называется об¬
ратное преобразование Фурье функции |-»-exp(ii3/3).
Априори можно лишь утверждать, что Ai принадлежит 9',
но мы докажем сейчас, что фактически Ai есть С°°-функция, за¬
даваемая формулой
(7.6.16)	Ai (х) = (2п)~1	^	ехр(г£3/3 + i£x)d£.
im5=.Ti>o
С этой целью заметим, что, полагая £ = | + гг), мы имеем при
вещественных х
Re {it,3/3 -f it,x) = — |2т| + т|3/3 — цх.
Отсюда видно, что интеграл в (7.6.16) сходится и не зависит от
тр Далее,
ехр (г (| + гт])3/3) ехр (г'|3/3) в 9' при tj —► + О,
откуда и следует справедливость представления (7.6.16). По¬
скольку l2^ растет при | оо быстрее любой линейной функции
от |, интеграл в (7.6.16) сходится при всех геС. Таким обра¬
зом, Ai(x) — целая аналитическая функция от^еС. Она удов- 1717 Зак. 821


268	7. Преобразование Фурье
летворяет дифференциальному уравнению Эйри
(7.6.17)	Ai"(x)-xAi(x) = 0,
ибо
$ (£2 + х) ехр (г'£73 + /£х) d£ — 0.
Из этого уравнения вытекает, что Ai"(0) = 0. Преобразуя кон¬
тур интегрирования 1), вычисляем
оо
Ai (0) = (2л)-1 J exp(i£3/3)= Re я"1 J	dt
R+i	0
= 3_1/6Г(1/3)/2я,
Ai' (0) = (2я)-1 J i&W = -3‘/3Г (2/3)/2я.
Очевидно, что если со — кубический корень из единицы, т. е.
со3 = 1, то х->-Ai(cox) будет другим решением уравнения
(7.6.17)	, имеющим в нуле то же самое значение и производную
©Ai'(0). Поэтому любые два из этих трех решений образуют
фундаментальную систему решений уравнения Эйри. Указанные
три решения связаны между собой линейным соотношением
(7.6.18)	£ coAi(cox) = 0.
Это следует из того, что решение, стоящее в левой части, имеет
в нуле значение Ai(0)£co = 0 и производную Ai' (0) £ со2 = 0.
Получим для функции Эйри асимптотическое разложение
при х —>■ —|-оо. Для этого выберем ^ в (7.6.16) так, чтобы произ¬
водная от t3/3 +1* обращалась в нуль в точке гг), т. е. возьмем
т)2 = х. Тогда по формуле Тейлора
(| + да + х (| + щ) = Г/3 + i лГх |2 + 2ix3/2/3,
и мы получаем
оо
(7.6.19)	Ai (х) = ехр (—2х3/2/3) (2я)-1 $	d\.
— ОО
Как и в доказательстве теоремы 7.6.2, разлагаем е4^3 по фор¬
муле Тейлора и приходим к асимптотическому ряду с общим
членом
со
5 .-«•*(_! )* fk3~2kf(2k)\ d%
— ОО
= (-1)* 3~2k Г (3k + l/2)J(2k)\ x~m+m. 1111 В угол, образованный лучом R+e45^6 и симметричным ему относи¬
тельно мнимой оси. — Прим, перев.


7.6. Преобразование Фурье гауссовых функций 259
Таким образом,
(7.6.20) Ai (х)
(2я)-1 ехр (-2*^/3) XT1'*
оо
X I (-9)~fe Г (3k + l/2)/(2k)l x-W.
о
Это означает, что разность между Ai(x) и частичной суммой
ряда в правой части по абсолютной величине не превосходит
первого отброшенного члена ряда. Этот результат верен не
только для положительных х. Для любого е >0 формула
(7.6.19)	сохраняет силу при |argjt|<n — е, и для таких х
асимптотическое разложение (7.6.20) по-прежнему справедливо,
только ошибка оценивается теперь первым отброшенным чле¬
ном с л/х, замененным на Re л/х . Заметим, что Ai(x) экспо¬
ненциально убывает при |argx|<(n — е)/3, осциллирует при
argje = ±n/3 и экспоненциально возрастает при (я+е)/3<
j arg jc| <С те — е. Увидеть, что происходит при argx, близких
к —я, можно с помощью (7.6.18). В частности, из этого соотно¬
шения вытекает, что при г > 0
(7.6.21)	Ai (— г) = я~1/2г~1/4(вт ((2/3) гь>2 + я/4) + О (г-3/2)).
Отсюда видно, что при каждом достаточно большом натураль¬
ном п у функции Ai (—г) имеется нуль г, для которого 2rz/2/3 +
я/4 близко к ля. Фактически нуль имеется для каждого л =
= 1, 2, ..., и этим исчерпываются все нули функции Эйри (см.
рис. 4, где пунктирными линиями изображены старшие члены
соответствующих асимптотических разложений).
17*


260	7. Преобразование Фурье
7.7.	Метод стационарной фазы
В этом параграфе мы будем заниматься систематическим изуче¬
нием асимптотического поведения интегралов вида
jj ueiaf dx,
где f и и — гладкие функции, Im f ^ 0 и <в -> +оо. Если аеС"»
/ е СГ веществениозначна и f' не обращается в нуль нигде в
supp «, то
^ иеш1 dx = О (со-*), ш->оо,
для каждого k. Для случая когда носитель функции и столь
мал, что f можно взять в качестве одной из координатных функ¬
ций в новой локальной системе координат в некоторой окрест¬
ности множества supp«, это следует из леммы 7.1.3. Разлагая
и с помощью разбиения единицы, дело всегда можно свести к
этому случаю. В следующей теореме, развивая метод интегри¬
рования по частям, примененный при доказательстве леммы
7.1.3,	мы получим соответствующие равномерные оценки и охва¬
тим также и случай комплекснозначных f.
Теорема 7.7.1. Пусть К с: R" — компактное множество, X — его
открытая окрестность и /, k — неотрицательные целые числа.
Если ut=d(K), fe=Ck+l(X) и 1ш/>0 в X, то
(7.7.1)	®/+*| $ u(*)(Im/(*))V“f<*>dx|
<С £ sup | Dau | (| Г l2 + Im /)' “ i,2~k,	®>0.
laRft
Постоянную С можно выбрать одной и той же для всех f, при¬
надлежащих любому заданному ограниченному множеству в
Ск+1(Х). В случае когда f веществениозначна, оценка (7.7.1)
сводится к оценке
(7.7.1)' fflftKu(*)efrafwdjc|<C ^ sup|Dau||/'|la| **, со>0.
1«|<*
Доказательство. При k = 0 утверждение теоремы очевидно, по¬
скольку функция Ре~‘ ограничена при t > 0. Поэтому можно
считать, что &>0 и что оценка (7.7.1) уже доказана для всех
меньших значений k, а также, в случае / > 0, для всех мень¬
ших значений / и того же самого k. Далее, можно считать, что
функция


7.7. Метод стационарной фазы . Ml
положительна на К, ибо если оценка (7.7.1) уже получена при
этом предположении, мы всегда можем заменить в ней f на
/ + et и положить е -»- +0.
Имея в виду увеличить значение j на 1, или, что то же са¬
мое, проинтегрировать по частям, заметим, что
Nu = u^\ df/dxv |2 + u Im f,
а значит,
(7.7.2)	•	и = X «v df/dxv «о Im f,
i
где uv для v = 0, 1, ..., n определяется равенствами Nuv =
udf/dXy при v^Oh Nuo = u. Так как
m (df/dxv) eiof = dvei(°f,
интегрирование по частям дает
^ uilmf)1 eie>f dx — ^ щ( lmf)l+1 eiaf dx
+ (г/ш) ^ ^ (^v“v) (Im fi eie>f dx + ^ /«v (dv Im f) (Im f)!~l eiaf dx') .
V
Вводя обозначение
i«iii= Z l^°ul.
loT-H
имеем по предположению индукции
(7.7.3)	®/+*| ^uilmf)1 е1<*Ых\
<c Sup (s’ (i««u+£; i “v u,)w№-*+i
+ Z ZfMvIm/UlV1/2-*).
n-o v	/
Чтобы оценить правую часть этого неравенства, нам понадо¬
бится следующая лемма.
Лемма 7.7.2. Для всякой неотрицательной функции geC2(—б, б)
б21г,(0)Р<г(0)(5(0) + 2 sup 6*lg"(x)l).
1*к«
Доказательство. Выбрав */6 в качестве новой переменной, сво¬
дим дело к случаю 6=1. Кроме того, можно считать, что
g(0)= 1. В силу формулы Тейлора,
1 +g'(°)x + Mx2/2^g(x)^0 при |*| <1; Af = sup|g"|-


262	7. Преобразование Фурье
Если М ^ 2, берем *2	1 и получаем |g'(0) | <: 1 + М/2 ^
(1+2М)1/г, так как Л42/4 ^ Л4, а если М > 2, берем х2 = 2/М
и получаем |g'(0) | ^ 2/|х| = {2М)1/2. Тем самым лемма до¬
казана.
Завершение доказательства теоремы 7.7.1. Применение леммы
7.7.2	к Im f и к N дает
(7.7.4)	|dvIm/|2<CIm/, IdvNf^CN в К-
Покажем теперь, что при р ^ k
(7.7.5)	N112 £ | uv |„ + N | «о 1й < С Z I и 1г	■
.	v=l	/-=0
Для р = 0 это следует из определения N и uv. Пусть 0 <Г р ^ k
и оценка (7.7.5) уже установлена для всех меньших значений р.
Рассмотрим мультииндексы ас |а| = р и применим да к урав¬
нениям
Nuv = udf/dxv при v=#=0, Nuq = 0.
Оценивая в получаемых уравнениях все члены, кроме члена
Nd^Uv в левой части, с помощью (7.7.5) и учитывая (7.7.4), по¬
лучим при v Ф 0
ЛП uv 1ц С ( I	I UV 1й-1 + I UV 1ц-2 + • • • ~Н “v 1о +
+ I И I ц I /1] -+ I и 1ц_1 + • • • + I И 1о)
< С' (ЛГ1/2| и, ^_, +1 и, |й_2 +...+1 и |„ Nllz + I и |й_,+...)
<С" Х|и|гЛГ<г_й+1)/2,
о
откуда и вытекает (7.7.5). Аналогичнр
•Л^1ио1й^С(|Л?|1|и01й_1 +1 Щ |й_2 + •.. +1 «о 10 +1и 1ц)
<СЕ|и|г^<г_й)/2,
0
чем и завершается доказательство оценки (7.7.5). Из (7.7.5) и
(7.7.4)	следует, что
I*
(7.7.6)	|uvdvlmf |Й<С Х)1“1гЛГ(г_й)/2.	v=^0,	р<&.
• 0
Оценивая правую часть (7.7.3) с помощью (7.7.5) и (7.7.6), по¬
лучаем (7.7.1).
Теорема 7.7.1 показывает, что интеграл
^ ueiaf dx, со > 0,


7.7. Метод стационарной фазы 283
есть быстро убывающая функция от со, если иеСо, /еС ,
Im / :5s 0 и supp и ие содержит ни одной точки, в которой
1т/=0 и f = 0. Таким образом, решающий вклад в интеграл
всегда вносят те точки, где фаза f вещественна и стационарна.
Этот факт лежит в основе метода стационарной фазы, который
также описывает вклады от простейших типов таких критиче¬
ских точек. В § 7.6 мы уже рассмотрели частный случай, когда
f — квадратичная форма. Переформулируем полученный там
результат в виде, более удобном для наших теперешних целей.
Лемма 7.7.3. Пусть А — симметричная невырожденная матрица
с Im А ^ 0. Для любых целых чисел k > 0 и s > п/2
(7.7.7)	| ( u(x)elu,<Ax' xi,2dx — (det (atA[2ni))~ll2Tn(e>)
<c.(M-,N4W‘ £ |DH„
I o | <2fc+s
*-1 .
(7.7.8)	Tk(©) = Z (2/(0)-'(A~lD, DJ u(0)//!.
.	о
Доказательство. По теореме 7.6.1 преобразованием Фурье функ¬
ции х->-ехр(г©</4х, х>/2) служит функция
£-*ехр(— г<Л_1|, £)/2oi>)(2n)nl2{det(i<i>-lA-l))U2
= exp (— i (Л-1£, g)/2co) (det (соЛ/2яг'))-1/2.
Следовательно,
$ еш<Ах’ х>1> и (.х) dx = (det (аА/2Ш)Уше~1	°)Ыи (0),
а потому (7.7.7) вытекает.из (7.6.7).
Замечание. Если В — другая симметричная матрица с ImB^O,
то, заменяя в (7.7.7) матрицу А на A -f tB, дифференцируя по
t разложение интеграла в левой части полученной оценки, отве¬
чающее этой оценке, и используя аналогичное разложение для
производной по t от интеграла, получим, что при малых t
(7.7.9)	(2kd)-' [4 {(А + tB)~l D, D)f и (0)//!
- -i- tr (В (A + tB)~l) {(A + tB)~l D, D)' и (0)//!]
= (2коГ/_1 ((A + tB)~l D, ОГ (*» (Bx, x)и (x)/2)x=0/(j + 1)1.
Это, конечно, тождество, которое остается справедливым для
всех симметричных матриц А, В и всех t, таких что матрица
A -f tB невырождениа.


164	7. Преобразование Фурье
Вычисление сумм вида (7.7.8) иногда упрощается, если пе¬
реписать их, как если бы часть экспоненты в (7.7.7) входила
множителем в и. Алгебраическое содержание этого приема вы¬
ражается следующей леммой.
Лемма 7.7.4. Пусть А — симметричная невырожденная матрица,
а В— симметричная матрица, такие что det (A + tB) не зависит
от t. Это означает ровно то, что матрица А~1В нильпотентна,
т. е. (A~lB)k =0 для некоторого k. При этом k
(7.7.10)	Е (2to)_/ {{А + В)-1 D, D)1 и (0)//!
1<н
— Е (2ia)~l (A~lD, d)1 (eltoiBx’ х><2 и) (0)//! = О (co-W*)	(со->оо).
1<Н
Доказательство. Если Я,-— собственные значения матрицы А~1В,
то
det (А + tB) = det A det (/ + tA~l В) = det А П (1 + &,).
Правая часть не зависит от t тогда и только тогда, когда, все
Я( равны нулю, т. е. когда матрица А~1В нильпотентна. Пусть
(А_1В)* = 0. В таком случае
(А + tB)~l = (/ + tA~l В)~‘ A~‘ = Ё (~ *А~1вУ А"1,
v=0
Разлагая многочлен <(А + tB)~xD, Dyu(0) от t по формуле
Тейлора и используя (7.7.9), можно записать первую сумму в
(7.7.10)	в вцде
(7.7.11)	D)l+V ((/со (Вх,х)/2)чи) (0)
0	v-0
/(/ +V)lvl.
По той же формуле Тейлора вторая сумма в (7.7.10) равна
Е Е (2/со)-'(A-lD, оУ((ю(Вх, x)J2)vи)(0)//!v!.
I<li v—о
Все члены с v > / равны здесь нулю, поэтому можно заменить
/на / + V, где |0, v ^ 0 и / + v < N. Другими словами, вто¬
рая сумма в (7.7.10) есть в точности сумма членов ряда (7.7.11)
с j + v < N. Для прочих членов / + v ^ ./V и v ^ j(k — 1), а
значит, N^jk; следовательно, они дают 0(ю-АГ/*), чем и за¬
вершается доказательство.
Используя формулу Тейлора, нетрудно распространить
(7.7.7)	на более общие фазовые функции:
Теорема 7.7.5. Пусть Kcz Rn — компактное множество, X — его
открытая окрестность и k — натуральное число. Если не


7.7. Метод стационарной фазы 265
С2* {К), f^C3k+l(X), Imf^O в X, 1ш/Ы = 0, Г(х0) = О,
det ГЫ =7^ 0 и f фО в К\{х0}, то
(7.7.12)	j Ц u(x)ei<i>f(x) dx — еш^Хй)(det(af"(x0)/2ni))~112 ^ <ц-1 L}u
/<*
^Ссо~* ^ sup I [, со > 0.
|a|<2i
Здесь С можно выбрать одним и тем же для всех f, которые
принадлежат заданному ограниченному множеству в C3fe+1(X)
и для которых отношение \х— xo\/\f(x)\ равномерно ограни¬
чено. Если положить
ST*. (х) = f(x) — f (х0) — (f" (Хо) (х — х0), х — х0)/2
(эта функция имеет в точке Хо нуль третьего порядка), то
Ltu= Y. Г1(f" (xqV1 D, D)v (g&u) Ы/ц! v!.
V —и=/
2v >3ц
Это дифференциальный оператор порядка 2/, действующий на и
в точке Хо. Его коэффициенты суть рациональные однородные
степени —/ функции от f"(xo), ..., /(2/+2)(хо) со знаменателем
(det f"(xo))3>. В каждом его члене суммарное число производ¬
ных, взятых от и и от Г. «е превосходит 2j.
Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку
Г (х) = Г (х) — Г Ы = Г (х0) (х — х0) + О (| х — х0 Р),
то
U-^oKlir^or'lKirWI + Ck-^oP).
Следовательно, \х — *о| ^ 2||/"(*о)-1Н 1Г(*) I при достаточно ма¬
лых |х— jto|, так что из предположений относительно f, сде¬
ланных перед (7.7.12), вытекает, что отношение \х — xo[/\f'(x) |
ограничено вблизи х0. Чтобы получить «равномерную» констан¬
ту С, мы лишь добавили условие, исключающее близкие к 0 зна¬
чения /' в других точках множества К.
Предположим сначала, что Dau(xG) = 0 при \a\<.2k. Тогда
формула Тейлора дает
'	|z>aH(*)|<CU--*0|2fe-la|jW, м= Е sup|D^u],
I Р |< 2ft
и из теоремы 7.7.1 вытекает ввиду ограниченности
|* — хо|/|П*)|, что
IS
uel<“f dx
<CAfco
-k
В общем случае, выбрав функцию р еС*, равную 1 вблизи .sco,
и обозначив через щ произведение р на тейлоров многочлен по¬


266	7. Преобразование Фурье
рядка 2k для функции и ^.cf' (К) в точке х0, мы можем приме¬
нить этот результат к и0 = и — и\. Таким образом, остается
только оценить ^ ще1^dx. Все производные от функции ui оце¬
ниваются через М, и ее носитель лежит вблизи х0.
Считая, как мы это вправе делать, что f(xо) = 0, положим
fs (х) = (f" (х0) (х — х0), х — xQ)/2 -f sgXo (х).
Ясно, что fi(x) = f(x), a fo(x) есть квадратичная форма от
х — Jto с Imfo^sO. Если suppp лежит в достаточно малой
окрестности точки jco, то отношение \х — xQ\l\fs (х) | равномерно
ограничено при 0 ^ s ^ 1 и х е supp р. Дифференцируя 2k раз
функцию
/ (s) = ^ ы, {х) eiafs(ж> dx,
получим
/<2*>(s) = (K0f 5 щ (x)gxAxf e^dx.
При |aj^ 3k
|о°(“,еЙ)М|р-*.Г'_**«см,
и применение теоремы 7.7.1 с k, замененным на 3k, дает
|/(2*)(s)|<CAf«>“\	0<х<1.
В силу формулы Тейлора,
1/(1)- £ Iw(0)/р!
I ■	< 2ft
sup
О < s < 1
/№(s)|/(2A)!.
Величина в правой части оценивается нужным нам образом.
Теперь, если GM — тейлоров многочлен порядка 3k для gx„ то
gl - Gl = О (| jc - *0 f+Зй~2) = О (| * - *0 \2к+*),
и эта разность есть функция из C3k<^Ck+il (при р< 2k). По¬
этому, еще раз применяя теорему 7.7.1, получаем
Ий*
(0)- $(kdGJ
^uieiaUdx
Применяя к интегралу в левой части лемму 7.7.3, заключаем,
что
| ^ uei6>f dx — (det (cof" (x0)/2ni)) 1/2 ^	^ (2ко) v
Й<2ft v<|i+ft
X(f"(xo) lD, D)v (mGXof и (xQ)/v\ p!
Ненулевыми в этой сумме будут лишь члены с 2v ^ Зр. Если
положить v — р = /, то для таких членов мы имеем 3/ = 3v —


7.7. Метод стационарной фазы 267
Зр ^ V, 2/ = 2v — 2р ^ р. Чтобы нейтрализовать нуль функции
GXo в х0, нужно Зр производных, и остаются еще 2v — Зр =
2/ — р производных. При р = 0 получаем 2/ производных, дей¬
ствующих на и. При р > О имеем в общей сложности самое
большее 2/ — р производных, действующих на и и на (G*/) ,
т. е. самое большее 2} производных, действующих на и и на f".
Доказательство завершено.
Замечание. В случае когда функция f вещественна, теорему
7.7.5	можно также доказать, используя лемму Морса, а именно
заменяя переменные так, чтобы разность f(x) — f(xo) стала
квадратичной формой. На этом пути результат того же вида, что
и лемма 7.7.3, получается для f е C2k+2+s, и аналогичное уточ¬
нение может быть получено для комплексных f. Однако нас
интересует в первую очередь С°°-случай, и мы предпочли дока¬
зательство, которое требует большей регулярности /, чем это не¬
обходимо, но зато дает эффективный метод для вычисления
весьма сложных выражений L/.
На практике функции и и f часто зависят от параметров.
Как мы сейчас увидим, в случае когда f вещественнозначна, это
не создает никаких проблем. Ради простоты сформулируем ре¬
зультат лишь для С“-случая.
Теорема 7.7.6. Пусть f(x, у)—вещественнозначная С“-функция
в некоторой окрестности точки (0, 0)eRn+m. Предположим, что
/'(О, 0) = 0, a f"(0, 0)— невырожденная матрица с сигнату¬
рой а. Обозначим через х(у) решение уравнения f'x(x, у) = 0 с
х(0) = 0, даваемое теоремой о неявной функции. Существуют
дифференциальные операторы Lf, /, у по х порядка 2/ со свой¬
ствами, описанными в теореме 7.7.5, такие что для ueC“(/f)>
где К лежит вблизи точки (0, 0),
(7.7.13)	| ^и(х, у)еш!{х'y)dx — elaf<x{y)'y)\det(<of''x(x(y), y)/2n)\~U2
fc-i
Xe"i0/4X Lf.i,eu(x(y), ^CD-'I^CCD-* £ sup I DxU(x, y)J.
0	|a|<2fe	*
Эта теорема непосредственно следует из теоремы 7.7.5. Оче¬
видно, что в левой части достаточно просуммировать по /, удов¬
летворяющим условию / + п/2 < k. Иногда удобнее группиро¬
вать члены в сумму по-другому, как в лемме 7.7.4. Дадим один
пример, который будет нам полезен в § 18.1.
Теорема 7.7.7. Пусть f — вещественнозначная функция из
С°° {Rn+m), К — компактное подмножество в R2n+m « ы<=Со°(Ю.


268	7. Преобразование Фурье
Тогда для
(7.7.14)	| $ и{х, £, у)<*.*>-<*. *»d*d|
ft-rt
-ем^\2фТ^ <И». D<)4eiarylx)u(x. I. If)),.*
1Чх(0.у)
<Са,-(*+п)/2 у SI1p|D«j„^, g, у)|,
l«l<2ft *,S
где г# (л) = f(x, у) —f (О, у) — (f'x (0, г/), ж) (эта функция имеет
при х = 0 нуль второго порядка).
В сумме в левой части (7.7.14) производные по g действуют
иа и, а производные по х, действующие на ешгу{х\ приводят к
появлению © вместе с производной от гу, обращающейся в нуль
при х = 0. Чтобы получить ненулевой вклад, на нее надо подей¬
ствовать еще одной производной по х. Это показывает, что
v-й член указанной суммы есть О (©_v/2), ибо множитель © вы¬
деляется «в чистом виде» самое большее при v/2 дифференци¬
рованиях.
Доказательство. Производная от фазы f(x,y)—<х, £> по сово¬
купности х vl % равна нулю ровно в одной точке х = 0,
£ = /^(0, у). Матрица Гессе в этой точке есть сумма матрицы
-(
=(-° ~о)
Г 0\
Гессе В = \ хх J для/(х, у) и матрицы Гессе А—y_j о
для —<х, £>. Заметим, что j det Л | = 1, sgn/4=0, А=А~‘ и
(Л_,£)2 = 0. В соответствии с теоремой 7.7.6 асимптотическое
разложение интеграла в (7.7.14) имеет вид
e,<flf(°.у)(2ф)п V {2ia)-*((A + BylD, dY {е1аКУми)х^/у\,
y<k-n
где Ry (x) = r (x) — (fxx (0, y) x, x)j2 и форма <(Л -f В)'1 D, D)
=— 2 (Dx, Z)J — (fxx(0, y)DD^ есть дифференциальный опе¬
ратор порядка 1 по х. В силу сказанного между формулиров¬
кой и доказательством теоремы, отброшенные члены представ¬
ляют собой 0(©-<к_п>/2). По лемме 7.7.4 и тем же соображениям
разность между написанной выше суммой и суммой
Е (2ico)~v(y4_1Z), bf (е1шу (x)u)/v\
v<T-п
оценивается величиной Са~(к~п)12 Е	чем (7.7.14) и
I а I < 2ft
доказано.


7.7. Метод стационарной фазы 266
Замечание. Нетрудно дать прямое доказательство теоремы, ана¬
логичное доказательству теоремы 7.7.5.
В случае когда фазе / разрешается принимать комплексные
значения, возникают трудности уже с самой формулировкой
аналога теоремы 7.7.6, поскольку при уф 0 уравнение
f'x (х, у) = 0 уже не определяет больше критической точки
х е R". Справиться с этой проблемой можно, используя подго¬
товительную теорему Мальгранжа, доказанную в § 7.5. Предпо¬
ложим, что функция f(x,y) принадлежит классу С® в некоторой
окрестности точки (0,0)e/?n+m и удовлетворяет условиям
(7.7.15)	1т/>0, 1т/(0, 0) = 0,	(0. 0) = 0, detf"x(0, 0)ф0.
В силу теоремы 7.5.9, где переменные (t, х) соответствуют на¬
шим (х, у), найдутся функции Х/(у) класса С°“ вблизи точки
0 е Rm, такие что
1 = 1 {dftdxi, ..., df/dxn) = I(xl — Xi (у), .... хп — Хп (у)).
Если точка Х{у) вещественна, то отображение x-*-f(x,y) имеет
критическую точку в X(у). В противном случае у этого отобра¬
жения нет критических точек вблизи нуля, но все равно полезно
думать об Х(у) как о критической точке, которая стала комп¬
лексной, хотя это не больше чем фигуральное выражение. По¬
вторное применение теоремы 7.5.7 дает (см. доказательство
леммы 7.5.10)
(7.7.16)	f(x,y)= У, /“ (у) (х — X (y))ala\ mod IN
\*T<N
при некоторых	Поскольку д“/(х, у) — /“(у)е /, можно
думать об /“(«/) как о значении производной д“/(х, у) в нашей
критической точке. В частности, при |сь| = 1 мы имеем /“(£/)е/,
а значит, /“(у)е/“ по теореме 7.5.12. Следовательно, в (7.7.16)
можно взять /« = 0 при | а | = 1, так что / — fe /2.
Лемма 7.7.8. Из условий (7.7.15) вытекает, что вблизи нуля
7.7.17)	lmf°(y)^C\lmX(y)?
при некотором С > 0.
Ни /°, ни X не определены однозначно. Однако, как показы¬
вает теорема 7.5.12, при другом их выборе каждая из двух ча¬
стей оценки (7.7.17) изменилась бы лишь на член, представляю¬
щий собой OdlmXj^) при любом N, а это не влияет на спра¬
ведливость оценки вблизи нуля, поскольку Х(0) = 0.


270	7. Преобразование Фурье
Доказательство. В силу (7.7.15) и (7.7.16)
0<lm/(x, у) = Irn Q°(y) +	(у) (х — Х{у))а/а\^
+ 0(\х-Х(у)\3).
Возьмем ^ = ReX(y)—^|1шХ(г/)| с t <= Rn, 111 < 1. Если точка
Х(у) вещественна, то мы сразу получаем (7.7.17). Если же нет,
то, полагая л = ImX(y)/\\тХ(у) |, имеем
О < 1ш (7° (у) +1 Im X (у) |2) Е 2 Г (У) V + ^Л)“/а!) О + (| Im X (у) I3).
Следовательно,
Im f (у) > | Im X (у) |2 ^sup^ (— Irn ^	2 г (у) (/ + ir\)a/a\^
-С\1тХ(у)\).
Но fa(y)-+fa(0) = dxf(0, 0) при у-*-0. Если обозначить через А
матрицу с элементами A/k = d2f(0,0)/dx,dx/t, то det/4^0 и
1шЛ^0, ввиду (7.7.15). Поэтому доказательство завершает
следующая
Лемма 7.7.9. Для всякой невырожденной симметричной дХл-
матрицы А с ImA ^0 существует положительная постоянная с,
такая что (для /, це R")
(7.7.18)	sup (—1т(Л(/ + г'л), * + г'л»>с,	|л1=1-
1<1<‘
Доказательство. По соображениям компактности достаточно до¬
казать это утверждение при фиксированном т]. Запишем А =
Ai г'Л2. Тогда
— Im {А (t -f in), t + in) = (Л2Л> Л> — (A2t, t) — 2 (AJ, л>.
Если <Л2л, Л)=?^ 0, то мы просто берем t = 0. Если <Л2л, л) = 0>
то А2л = 0 (ибо матрица Л2 является полуопределенной)1*, а
значит, А^фО (так как Лл=?^0). Поэтому можно взять
t = —еЛ^ с малым положительным е.
Используя аналитическое продолжение, мы распространим
сейчас формулу стационарной фазы, данную в теореме 7.7.6,
с вещественного случая на комплексный. Как и прежде, поло¬
жим
f" (0, 0) = Л=Л, + гЛ2.
*> В силу неравенства Коши — Буняковского, 1 <Л2Т1, |>|2 ^ (.А2г\, Л>
Х<Лг£, g>,	R", откуда <Л2т], £> = 0 для любого g и, следовательно, А2ц
= 0. — Прим. ред.


7.7. Метод стационарной фазы 271
Тогда deti4^=0, и мы утверждаем, что det(i4i + гА2)ф 0 при
lmz=?^0. Действительно, если леС” и (Лi -f zA2)x = 0, то
0 = Im ((Л! + zA2)x, x) = Imz(A2x, х).
Отсюда следует, что Л2* = 0 при lmz=?^0, ибо матрица Л2 яв¬
ляется полуопределенной. Следовательно, Aix = 0, а значит,
Ах — 0, откуда х = 0. Уравнение det (Лi + гЛ2) = 0 имеет самое
большее п вещественных корней z. Поэтому найдется К е [0,1 ],
такое что det (Л 1 + ЯЛ2)=?^=0. Тогда
det (Л] + zA2) Ф 0, z е Z,
где Z — достаточно малая окрестность прямолинейного отрезка
[Л,, г], соединяющего точки к и /. Теперь введем функцию
F (х, у, z) = Re / (х, у) + z Im / (х, у), 4z ее Z.
Если х и у достаточно малы, то detF''x(x, у,г)Ф 0, zgZ, и
ImF(х, у, z)^0 при zeZ+ = {zeZ; 1тг>0}.
Пусть К— малая компактная окрестность точки (0,0) в
Rn+m и «еС“(К). Чтобы получить асимптотическое разложе¬
ние интеграла
s (©, у) = ^ и (х, у) etaf <*■у) dx,
рассмотрим более общий интеграл
S(со, у, z)=^u(x, y)eiaF(x’y-z)dx, zgZ+,
При z е Z0 = Z П R его разложение дается теоремой 7.7.6. Кроме
того, поскольку 1тЕ(х, у, z)^ 0 при zgZ+, мы имеем для S
равномерную оценку в Z+. После установления определенных
свойств аналитичности разложения (7.7.13) это даст нам асимп¬
тотическое разложение для s(©, y) — S (а, у, i). При zgZ0 члены
нашего асимптотического разложения суть значения функций
вида
(7.7.19)	(det(©E"/2nz))“1/2e^ffl-/LF
вычисленные в критической точке, определяемой уравнением
F'x = 0. Здесь Lf, / — дифференциальный оператор по х порядка
2/, коэффициенты которого, будучи умноженными на (det F"^31,
представляют собой многочлены степени 3nj —} от D^Ft 2«^
| а |	2/+ 2. Квадратный корень из определителя понимается,
конечно, в смысле, объясненном в § 3.4.
Чтобы распространить определение функции (7.7.19) на Z+,
рассмотрим идеал /, порожденный частными производными


272	7. Преобразование Фурье
dF(x, у, г)/дх), / = 1, п, в некоторой окрестности множества
М = {{О, О, Л + (1—<)/);
в Rn+mXC. Поскольку Fx — О на М, из теоремы 7.5.9 в соче¬
тании с использованием разбиения единицы по z вытекает, что
I порождается элементами вида х/ — Xj(y,z). Эти функции
приближенно удовлетворяют условию Коши — Римана; более
общим образом, справедлива
Лемма 7.7.10. Пусть ¥(*, у, г) — функция класса С°° в некото¬
рой окрестности множества М. Если dW/dz = 0, то
W(x, у, z)= £ф/(х, у, z)dF(x, у, z)/dx, + W°(y, z),
где дЧР/дг е I°°,t а следовательно,
\d^°ldz\^CN\lmX{y, z)|#, ЛГ = 1, 2,...,
для маль1х у е R" и г из малой окрестности отрезка [А,, г].
Доказательство. Так как dV/dz = dF/dz = 0, то, дифферен¬
цируя приведенное в формулировке леммы разложение для ЧГ *>,
получаем
dW°/dz = - 2 (d^i/dz) (dF/dx,) €= /.
Поэтому утверждение леммы следует из теоремы 7.5.12.
Множество Z можно взять столь малым, чтобы эта лемма
была применима при всех z из его замыкания. Обозначим те¬
перь через S/(©, у, z) функцию, получающуюся из (7.7.19), если
каждую производную dxF (соотв. д£и) заменить некоторой
функцией Fa(y, z) (соотв. и$(у, z)) из того же самого класса вы¬
четов по модулю /. При zeZo это будут в точности члены
асимптотического разложения, даваемого теоремой 7.7.6, по¬
этому
(7.7.20)
5 (со, у, z) — £ S,- (со, у, г)|<Суо-*-«/2,
i<N	I
Z ^ Zq.
Ясно, что S(co, у, 2) — аналитическая функция от г, и в силу
лемм 7.7.8 и 7.7.10
(7.7.21)	|&S/(©, у, z)/dzKC/iV ©~v, v = l, 2, .... z<=Z+,
ибо
|ImXre-£“|,mJC|,<Cv©-v.
*> Существование которого следует из теоремы 7.5.7. — Прим, перев.


7.7. Метод стационарной фазы 273
Выберем Z так, чтобы граница множества Z+ была кусочно клас¬
са С1, и положим
S“ (©, у, z) = (2ni)~l \ Sy(©, у, QdZj{l — z), zeZ+\4
dZ+
Функция аналитична в Z+. Из интегральной формулы
Коши (3.1.11) следует, ввиду (7.7.21), что
|S/-S“|<C/>V©“V. v=l, 2, ....
Таким образом, (7.7.20) остается верным, если
S/ на S/. Очевидно, что справедлива оценка
S (©, у, z) — ]£ Sf (©, у, г)
i<N
<С,
;Z+
заменить
(поскольку lmF0(у, z)^0, zeZ+). Поэтому найдется постоян¬
ная у > 0, такая что
(7.7.22)
s (©, у)
■ Б s“(©. у.
/<лг
о
<!С©
-уЩ+п/2)
Это вытекает из следующей элементарной леммы:
Лемма 7.7.11. Пусть Z+ односвязно. Тогда на нем существует по¬
ложительная гармоническая функция y(z) с таким свойством:
если функция g аполитична в Z+ и \ g | ^ 1 в Z+, | g | ^ е < 1 на
Z0, то | g{z) К evw, z <= Z+.
Доказательство. Можно подобрать конформное отображение
z->-w(z) множества Z+ на верхнюю полуплоскость в С, пере¬
водящее Zo в (—1, 1). Пусть g(z)= G(w(z)). В силу принципа
максимума модуля
log | G (w) | — (log е) (arg (w — а) — arg (ш + a))/n ^0, Im w > 0,
при 0 < <z < 1, поскольку это неравенство выполнено на гра¬
нице. Полагая а-*- 1, получаем |g(z) |^ ev<2>, где y(z) =
(arg(w(z) — l)^arg(w(z) + 1))/л.
Из (7.7.22) следует, что
(7.7.22)'	Ы©, у)- Е S,(ffl, у, i)
I	!<н
<с©-(лг+л/2>.
Действительно, эта оценка вытекает из (7.7.22) с N, заменен¬
ным на v столь большое, что y(v -f n/2) > N п/2, ибо ясно,
что члены с j N оцениваются правой частью (7.7.22)'. Итак,
доказана
Теорема 7.7.12. Пусть f(x, у) — комплекснозначная функция клас¬
са С°° в некоторой окрестности точки (0, 0) в Rn+m удовлетво-
18 Зак. 821


274	7. Преобразование Фурье
ряющая условиям (7.7.15), и и^Со’(К), где К — малая окрест¬
ность точки (0, 0) в Rn+W. Тогда
(7.7.23)	j ^ ы (jc, у) еш{ <*• v) dx — ((det (оо/^/гл;/))0) 1/2e<<0f°
ЛГ-1
где для функций G(x,y) символ G°(y) обозначает произвольную
функцию от одного у, принадлежащую тому же классу вычетов
по модулю идеала, порожденного df/dxj, j — 1, ..., п. При
у = 0 квадратный корень определяется, как в § 3.4, а при ма¬
лых уф0 — по непрерывности.
На самом деле мы пока еще не доказали, что оценка (7.7.23)
верна. при любом выборе представителей классов вычетов; мы
установили лишь, что она выполняется при том их выборе, ко¬
торый был сделан в ходе доказательства. Ее справедливость в
общем случае вытекает из следующего результата.
Предложение 7.7.13. Пусть выполнены предположения теоремы
7.7.12 и f°, <3° принадлежат тем же классам вычетов, что и f°,
G° соответственно. Тогда
(7.7.24)	| GV“f' — д°е1аГ \^CN(o~N, N= 1,2,....
Доказательство. Проинтегрировав ег от г до до, нетрудно по¬
лучить оценку
| ег — ew | <: [ z — до | exp шах (Re z, Re до).
Поэтому из лемм 7.5.10 и 7.7.8 следует, что при любом N
| G°e<<of° — GV“?° | < С„со | Im X |" e~™ IIm * 1г < С>‘~N^.
Предложение доказано.
Важность полученных выше результатов обнаружится в пол¬
ной мере в гл. 18 и особенно в гл. 25, целиком на них основан¬
ной. (Теорема 7.7.12 понадобится нам лишь в § 25.4.) Однако
мы уже сейчас прервем поток чисто технических результатов и
дадим одно простое их приложение;
Теорема 7.7.14. Пусть u = adS — плотность класса Со° на С°°*
гиперповерхности Е в R", полная (гауссова) кривизна которой К
всюду отлична от нуля (dS обозначает евклидову поверхностную
меру). Тогда
(7.7.25)	| т(п~1)/2й (тб) - Z а(х) | К (х)\~1/2 (2nf~l)l2 е~Нх' х|>~nW \
<С/т при |||=1, т>1.


7.7. Метод стационарной фазы 275
Здесь сумма берется по всем точкам х е supp и, в которых нор¬
маль к поверхности 2 параллельна вектору а о — разность
между числом центров кривизны в точке х *>, расположенных
в направлении вектора £, и числом центров кривизны, располо¬
женных в направлении вектора —£.
Доказательство. Пусть п(х) обозначает единичный нормальный
вектор к поверхности 2 в точке х. Отображение Гаусса (сфери¬
ческое отображение) 2 э х-+ п(х)^ S'*-1 является в нашем слу¬
чае локальным Диффеоморфизмом, поскольку полная кривизна
нигде не обращается в нуль. Можно считать, что носитель плот¬
ности и столь мал, что 2 можно параметризовать в некоторой
его окрестности при помощи параметра t е R"-1 и сужение ото¬
бражения Гаусса на эту окрестность есть диффеоморфизм. За¬
писывая нашу плотность в виде adS = b(t)dt, получаем
A(%%)=\e-««d)>4{t).dt,	|g|=l.
Фазовая функция	—<*(0>£> как функция от t имеет
в t критическую точку, если вектор 6 параллелен нормали к 2
в точке x(t), и вычисленная при таком значении t матрица Гес¬
се f"t — — (x"(t), 6) будет задавать вторую квадратичную форму
поверхности 2 в точке x(t) относительно нормального направ¬
ления —6- Поэтому ее собственные значения по отношению
к первой квадратичной форме
£ gfi dtj dti = | dx (0 P
равны главным кривизнам K\	Кп~\ поверхности 2 в точке
x(t), а значит, ее сигнатура равна числу центров кривизны, ле¬
жащих в направлении —6, минус число центров кривизны в на¬
правлении 6 и
det det (£/г) = П ^ = #•
Следовательно,
| det(T/"/2n) ]Т1!2 = (2я/т)(п-1>/2| К Г/2| det (*„) \~m.
Поскольку b = а | det (g/г) |1/2, оценка (7.7.25) вытекает из
(7.7.13)	при k > 1 + п/2.
Теорема 7.7.14, когда она применима, намного точнее теорем
7.1.28 и 7.1.29, зато в последних не делается никаких предполо¬
жений относительно кривизны рассматриваемой поверхности.
Следствие 7.7.15. Пусть X<=R"—ограниченное открытое вы¬
пуклое множество с С**-границей, имеющей строго положительную
О Отвечающих главным кривизнам поверхности 2 в этой точке. — Прим,
перев.
18*


276	7. Преобразование Фурье
кривизну К. Если х — характеристическая функция множе¬
ства X, то
(7.7.26)	11 % |<n+I)/2x(£) — (2я)<п_1)/2 (к(х+)-Ч2е-Чх+'*)+я1<п+№
+ K(x_)-ll2e-i<x-’l')-*iln+m) |<С/Ш,	|6| > 1,
где х+ (соотв. х-)—точка на дХ, в которой внешняя нормаль
к X задается вектором | (соотв. —|).
Доказательство. В силу (3.1.5), dj% — tijdS, где п — единичный
вектор внутренней нормали к X. Поэтому для / = 1, ..., п пре¬
образованием Фурье плотности ti/dS служит i\j%(\). Записав для
каждой из этих плотностей оценку (7.7.25), получим (7.7.26).
Классическим приложением следствия 7.7.15 является сле¬
дующая оценка числа точек целочисленной решетки, содержа¬
щихся в выпуклых подмножествах пространства R".
Теорема 7.7.16. Пусть множество X обладает свойствами, указан¬
ными в следствии 7.7.15, и пусть Ое! Если N(t) — число точек
множества Z" Л tX, t > 0, го *>
(7.7.27)	| N (0 - fm (X) | < c/',-2n/<n+1), t > 1.
Доказательство. Можно считать, что п> 1. Характеристической
функцией множества tX служит %(x/t), следовательно,
N(t)= Б %Ш-
Напрашивается идея применить формулу суммирования Пуас¬
сона, но функция х недостаточно гладкая. Поэтому возьмем ее
регуляризацию
ХЕ (х) — $ X (х — еу) <р (у) dy,
где	^<pdy=l. Если supp ф <= (X П (— Х))/2, то
%(х(\ +е))<ЭСе(*Хх(*(1 — е)). О < е < 1.
Отсюда следует, что
(7.7.28)	N (//(1 + в)) < £ хе (ёП) < N (tj(1 - в)).
Теперь формула суммирования Пуассона применима. Она дает
S Xe (g/t) = tn £ Хе (2п£0 = tn £ X (2ngt) ф (2ngnt).
У ряда в правой части член с g=0 равен tnm(X)\ это главный
член в (7.7.27). Сумма членов с g¥=0 оценивается ввиду (7.7.26)
11 Ниже т(Х) —мера Лебега множества X. — Прим, перев.


7.7. Метод стационарной фазы 277
величиной
Cta 2 |g/r(,,+1)/2(l+|£e/|r",
« ч* О
где N может быть выбрано сколь угодно большим. Будем счи¬
тать е столь малым, что и et тоже мало. Тогда второй сомно¬
житель в выражении под знаком суммы не будет играть роли
при суммировании по |g|< 1 /et, а при |g|> 1 /zt его можноза-
менить на |get|_JV. Сравнивая получающиеся две суммы с соот¬
ветствующими интегралами, нетрудно подсчитать, что написан¬
ная выше сумма оценивается величиной
СГ (е/)-" г{п+1)12 = С'е-{"-1)12.
Это позволяет переписать (7.7.28) в виде
е (1 - e)n т (X) - Сг~{п~1)П <N(t)<e(l + t)nm (X) + Се"(""1)/2.
Чтобы минимизировать разность между верхней и нижней гра¬
ницами, выберем е так, чтобы tne = е-<п-1>/2, т. е. е = t~2ndn+l\
что и дает (7.7.27).
До сих пор мы изучали асимптотическое поведение интегра¬
ла
^ иеФ>! dx,
взятого по всему пространству. Посмотрим теперь, что будет»
если интегрировать лишь по некоторому открытому множеству
X с С°°-границей дХ. Соответствующие результаты не понадо¬
бятся нам в этой книге, поэтому изложим их совсем кратко. По¬
скольку все эти результаты носят локальный характер, мы
вправе произвести локальную замену переменных, после кото¬
рой X превратится в полупространство в Rra, определяемое усло¬
вием Х„ < 0. Положим х' =(хи JCn-l).
Теорема 7.7.17. Пусть функция f е С°° (Rn) удовлетворяет усло¬
вию Im f 0 при хп < 0, а иеСо" (Rn) — функция с носителем»
лежащим вблизи нуля. Тогда
(i)	если df (0)/дх' Ф 0, то
f uetaf dx = О (©_ЛГ),	©->+ оо, N—1,2,...;
хп<°
(ii)	если df (0)/дх' = 0, det d2f (0)/дх'дх' Ф 0 и df (0)/дх ф О»
то
оо
^ и (х) e<mf (х> dx ~ e‘mf <°)©-(«+1>/2 V а/(о~>,
*„<°
где а0 = (det (f"x,(0)/2m))~U2 (idf (0)/дхп)-1 и (0);


I
278	7. Преобразование Фурье
(iii)	если df (0) /дх=0, но det д2{ (0) /дх' дх'ФО и det д2} (0)/дх дх
Ф0, то
оо
^ и (х) eiaf{x) dx ~ elaf (°>со-Ф	йусо-^2,
хп<о	о
где й0 = (det (f" (0)/2я/))-1/2 и (0)/2.
Доказательство. Утверждение, (i) сразу следует из теоремы 7.7.1,
поскольку интеграл по х' от рассматриваемой подынтегральной
функции быстро убывает по со равномерно по х„. В случаях (И)
и (iii) по теореме 7.7.12 справедливо асимптотическое разложе¬
ние
/(*„, со) = \и{х)еЫНхЧх'~^<й-{п~тЧи,{хп)Г?(хп\
Здесь Irn f° (хп) ^ 0
X(det(/;V(0)/2«0)_1/2
при малых х„^0, носители
лежат вблизи нуля и и0
. Так как
функций
(0) == и (0)
f(x) — f°(х„) е= I(df/dx{	dfjdxn_xf,
то df/dxn — df°/dxn^ I, а потому в случае (ii) мы имеем
f°'(0) = df(0) /дхп Ф 0. Следовательно,
о
/(со)= ^ щ(хп)е,<of (*n)dxn
— оо
О
= Uq (0) е1(й? W/iaf0' (0) + ^ (г'/со) (ujf°')' ei6>f> dxn.
— со
Проведенное интегрирование по частям можно продолжить, и
прочие члены в разложении интеграла 1(хп, со) рассматриваются
точно таким же образом. Этим доказано утверждение (ii).
В случае (iii) заметим, что если обозначить через Lj производ¬
ную в 0 от df/dxj, то
(Г (0) х, х) = Г (0) х2п + aikL, (х) Lk (х).
Отсюда вытекает, что /°"(0)=^=0, функции1* Lj(x',0) линейно не¬
зависимы и
det f" (0) = (det (dLJdxtfU Г (0) deta/fe = Г (0) det /",,(0).
’> Линейные! — Прим, перев.


7.7. Метод стационарной фазы 279
Обозначим /°"(0) через с. Ясно, что Im с ^ 0.
Для seCo” (R) асимптотическое разложение интеграла
о
J elac*2l2v(t)dt
— оо
можно получить, представив v в виде v = vq + v\, где vo(t) =
(y(£)+y(—t))/2 — четная функция, a yi(/) = (y(0—v(—t))/2—
нечетная. Из тейлоровского разложения функции v сразу видно,
что v\ (t)= tw(t2), где шеС", ne;(v)(0)/v! = y(2v+1>(0)/(2v + 1)L
Следовательно,
0	оо	оо
^ etocty2v щ fa _ ^ eiactlv0 (t) dtj2—^ ei<£>csw{2s)ds
— оо	— оо	0
CO
~ -j (с(о/2ш)_1/2 ^ (2ia>c)~v D^v (0)/v!
о
oo
+ (coc)-1 £ (i(ac/2yv D2v+lv (0) v!/(2v + 1)!.
0
Доказательство теоремы 7.7.5 показывает, что аналогичное раз¬
ложение справедливо и в случае, если заменить фазовую функ¬
цию ct2/2 на /°, и этим завершается доказательство утвержде¬
ния (iii).
В случае когда' фаза / вещественна, можно при помощи тео¬
ремы 7.5.13 с k =2 исследовать в описанной ситуации влияние
параметров на асимптотическое поведение интеграла. Это при¬
водит к интегралам Френеля. Мы, однако, предоставим это чи¬
тателю, поскольку ниже рассмотрим аналогичную более слож¬
ную проблему.
В заключение коротко обсудим асимптотическое поведение
интеграла
^ u(x)eiaf(x) dx
в случае, когда f вещественнозначна, но имеет вырожденную-
критическую точку хо. Начиная с этого места интегрирование
выполняется снова по всему пространству, так что никаких гра¬
ничных проблем исследовать не приходится. Простейшим яв¬
ляется случай, когда ранг матрицы f" в точке xq равен п—1.
Можно выбрать координаты так, чтобы матрица f",x„ где х' =
(Xj, ...,хп_1), была невырожденной. Асимптотическое поведе¬
ние интеграла по х' описывается теоремой 7.7.6. Тем самым дела
сводится к изучению остающегося интеграла по хп. После


280	7. Преобразование Фурье
соответствующего изменения обозначений задача состоит в ис¬
следовании асимптотического поведения интеграла
00
^ и (t) eiafdt
— 00
в случае, когда носитель функции иеСо" лежит вблизи точки О
и Г(0) = Г(0) = о.
Если f имеет в точке 0 нуль конечного порядка k—1, то /
можно записать в виде
=	+	а(0) Ф 0.
Вводя t\a(t)\'/k в качестве новой переменной и снова изменяя
■обозначения, приходим к интегралу
^ u(t)eia>tkdi
или к его комплексному сопряженному. Предположим сначала,
что k = 3. Поскольку е<<0*5 есть преобразование Фурье от
Ai(т(Зсо)~1/3) (Зсо)~1/3 (см. § 7.6), то
^ и{(]ешгdt= ^ й(т) Ai (т(Зсо)~1/3) (3co)-1/3dr.
Разлагая Ai в ряд Тейлора, заключаем, что для «еСо"
<7.7.29) t)elat3dt
= £ (Ai(/> (0)//!) (Зо>Га+1>/3 2nD*u (0) + О (co'(W+1)/3).
/< ЛГ
Производные Ai(/> (0) можно выразить через гамма-функцию.
k
В случае произвольного k преобразование Фурье от еи тоже
является целой функцией, как легко проверить, записав это пре¬
образование в виде интеграла по контуру, на котором itk отри¬
цательно. Нетрудно проверить, что для	мы имеем при
нечетных k
<7.7.30) \u(t)el«tkdt = £ 2fe~‘r ((/ + lp) (sin {-k ~
S<N
X CD~0+Ip(_ D)1 u(0)/jl + О (tD_(W+1)/ft),	©-> oo,
а при четных k
<7-7.31)	\ u(t)eiatkdt = £ 2k~lV (2j + l)/k)e*lW+lV2ka-W+lVk
i<N
X(iD)2> и(0)/(2/)1 + О (©-(2ЛГ+0/*), со-* oo.


7.7. Метод стационарной фазы 28t
Провести эту проверку во всех деталях предоставляется чита¬
телю в качестве упражнения. Отметим, что в (7.7.30) отсут¬
ствуют члены, для которых k делит / + 1.
Все это вполне элементарно, но когда имеется (многомер¬
ный) параметр у, ситуация усложняется, поскольку кратность
нулей f't (i, у) как функции от t может меняться с у. Мы разбе¬
рем лишь случай k = 3, где появляется функция Эйри, а обоб¬
щение приводимых ниже результатов на случай произвольного
k предоставим читателю.
Теорема 7.7.18. Пусть f(t,y) — вещественнозначная функция
класса СГ вблизи точки 0 в R1+n, удовлетворяющая в этой точке
условиям df/dt = d2f/dt2 = 0, d3f/dt3 ф 0! Существуют ве¬
щественнозначные функции а{у), Ь(у) класса С” вблизи нуля,
такие что а(0) = 0, 6(0) = /(0) и
(7.7.32) J u(t, у)е1^<‘-y)dt ~	Ai (а(у)со2/3)©-1/3
О*	\	в*	.
X £ «Ov (у)®v + Ai' (а (у)	) ф-2/3 £ щv (у) ц,-v | (
о	о	/
при условии что иеС“ и носитель функции и достаточно
близок к нулю. Здесь в/, е С“.
Доказательство. Заменяя, если надо, t на —t, можно считать,
что d3f(0) /дР > 0. Применение теоремы 7.5.13 с k = 3 дает функ¬
цию Т (t, у) с Т (0,0) = 0, дТ (t, 0) /dt > 0, такую что
f(t,y) = T3IS + a(y)T + b(y),
где а, 6еС". Взяв Т в качестве новой переменной интегриро¬
вания вместо t, получим, при условии что носитель функции и
достаточно близок к нулю,
/(со, у)=^ и (it y)el<i>fit,y)dt— ^ v(T, у) el<*irt3Jra{y)T+b{y'» dT,
где v — функция класса CJT с носителем, близким к нулю. Вы¬
берем функцию % е С“ (R) с малым носителем, равную 1 в не¬
которой окрестности нуля. Тогда
/(©, у)=^%(T)v(T, у)е1ш(г’/з+а(у)г+ ь(у))dT.
Теперь привлечем теорему 7.5.6 и поделим и иа Т2-{-а(у):
v (7\ у) = (Т2 + а (у)) q (Т, у) + г, (у) Т + г0 (у).


282	7. Преобразование Фурье
Интегрируя по частям, получаем
У (со, y) = -L^(x (у) q (У, у)) е^13+а(у)т+Ь(у)) dT
+ \ X (Т) (г, (у) Т + Го (У)) <?“■>№* (v>+* (у)) dT.
Первый интеграл в правой части — того же типа, что и исход¬
ный интеграл в левой части, только впереди появился множи¬
тель 1 /со. Далее,
^ е1<й(тъЫ+а(у)т) ^(T)dT = ^ е1 (т31з+а(у)в>213т)у1 (Уш-1/3) dT/ы113
— 2п Ai (а(у)со2/3) со- ‘/3 —	е1^3+а^а213тЦ1 — %(T(s>-43))dT/<s>'l3.
В последнем интеграле интегрирование вне носителя функции
Х(7’со-,/3) надо выполнить по контуру, сдвинутому в верхнюю
полуплоскость, а, используя теорему 7.7.1, легко проверить, что
правая часть быстро убывает при ю->-+оо. Аналогично и раз¬
ность
S еш^Т!>13+а^т^%(Т)Т dT — (2л/г) Ai'(а (г/) со2/3) со-2/3
является быстро убывающей. Повторное применение этого рас¬
суждения доказывает теорему.
Нетрудно распространить теорему 7.7.18 на случай несколь¬
ких переменных интегрирования:
Теорема 7.7.19. Пусть f(x,y) — вещественнозначная функция
класса С°° вблизи точки 0 в R'*+m, удовлетворяющая условиям.
Гх (0, 0) = 0, rank f"x (0, 0) = п - 1,
<7.7.33)	^ а/а^У»/(0, О) Ф о при 0фХ<^ ker f'xx(0, 0).
Тогда существуют вещественнозначные функции а(у), Ь(у) клас¬
са С°° вблизи нуля, такие что а(0) = 0, b(0) = f(0) и
<7.7-32)'	^ и(х, у)ei<af<*• y)dx ~ ег<^(у)со_(га_1>/2 ^Ai (а{у)со2/3)©-1/3
оо	оо
Xj>v (у)m_v + Ai' (а (у) со2/3) со-2/3 £ ulv (у) ©~v) ,
о	о
при условии, что 1/еС" « носитель функции и достаточно близок
к нулю. Здесь u/v е Со°.
Доказательство. Прежде всего покажем, что последнее из усло¬
вий (7.7.33) инвариантно относительно локальных замен коор¬


7.7. Метод стационарной фазы 283
динат. С этой целью рассмотрим произвольную гладкую кривую
s^>-x(s) с х(0) = 0 и х'(0) = Х. При s — О
d3f(x(s), 0)/ds? = (X, d/dx)3f(0, 0) + 3</" (О, 0)Х, *"(0)).
Так как X е кег(0, 0), то второй член в правой части равен
нулю. Таким образом, последнее из условий (7.7.33) означает,
что
(7.7.33)'	d3f(x(s),0)/ds3^0 при s — 0,
а это условие не зависит от выбора локальных координат. Да¬
лее, можно считать, что координаты занумерованы так, что
deii&fldXidXi)]' j=2 Ф 0 в точке (0,0).
Тогда уравнения df(x, y)/dXj =0, j = 2, ..., л, определяют Xf
как С°°-функции Xj{x\,y) от хи у, j — 2	п. Взяв Xj — Xf
в качестве новых переменных вместо х,-, j — 2,	, п, мы сведем
дело к случаю, когда df(x,y)/dxj = 0, / = 2, ..., п, при
Х2= ... =дсл = 0. В силу теоремы 7.7.6 интеграл (7.7.32)', взя¬
тый лишь по переменным хг, .... х„, имеет вид
а)-(п-1Н^Щ(хиО)щХ1г уу ^
где U допускает асимптотическое разложение по степеням 1/©
при © —оо. Применяя теорему 7.7.18 к каждому члену этого раз¬
ложения, получим (7.7.32)'. (Заметим, что, поскольку
d2f(0,0) fdxidxj = 0 для всех /, можно считать, что Х =
(1,0, .... 0).)
Ввиду (7.6.20), при а(у)> 0 правая часть (7.7.32)' быстро
убывает с ростом ©. С другой стороны, из (7.6.21) следует, что
при а (у) < 0 разложение (7.7.32) ' совпадает с разложением,
даваемым теоремой 7.7.6 (с двумя критическими точками). При
а(У) — 0 мы имеем асимптотическое разложение по степеням
©-1/3, и это продолжает оставаться верным во всякой области,
где величина а(г/)©2/3 ограничена. Однако значение нашего ин¬
теграла («амплитуда») быстро становится очень малым, когда
эта величина возрастает, будучи положительной. В § 12.2 мы
увидим, что эти разложения представляют в оптике поведение
волн вблизи каустики соответственно в зоне тени, освещенной
зоне и зоне полутени. Роль функции Эйри состоит в описании
переходов между этими различными типами асимптотических
разложений.


284	7. Преобразование Фурье
7.8.	Осцилляторный интеграл
Теорема 7.7.1 позволяет ввести полезное понятие осциллятор-
яого интеграла. Пусть X cz R" — открытое множество и Г — от¬
крытый конус в произведении XX(R"\{0}) при некотором N.
Под этим мы понимаем здесь, что множество Г инвариантно
■относительно операции умножения ^-компонент точек произ¬
ведения на положительные числа. Будем говорить, что функ¬
ция феС°° (Г) есть фазовая функция в Г, если
(i) ф(лс, Я)) = /ф(х, 0) для (х, 0)еГ, t > 0;
(и) 1тф^0 в Г;
(Ш) dy Ф 0 в Г.
Мы хотим показать, что интеграл вида
<7.8.1)	^ег<Р<л-е>а(х, 0)а0 '
определяет распределение в X даже для весьма быстро расту¬
щих функций а *>, при условии что а колеблется медленнее, чем
множитель е‘<Р.
Определение 7.8.1. Пусть т, р, б — вещественные числа, причем
0<р^1, 0*^6<1. Обозначим через S^eC^XR^) множе¬
ство всех а е С" (^X'R^), таких что для каждого компактного
множества К с X и любых мультииндексов аир при некото¬
рой постоянной Са, з, к справедлива оценка
(7.8.2)	\D*xD%a{x, 0)|<С„,з.к(1+|0|Г-р|а|+в|Р1,
хе/С, 0€=R".
Элементы множества в называют символами порядка т
я типа р, б. Наименьшими возможными постоянными в (7.8.2)
задаются полунормы в 5” в. превращающие его в пространство
4>реше.
Теорема 7.8.2. Пусть ф — фазовая функция в открытом конусе
Г с: X X и F— замкнутый конус сгГЩ^ХДО}). Тогда функ¬
ционал /ф, определяемый формулой
(7.8.3)	/ф (аи) = $ а'*<*•<%(*, B)u(x)dxdQ
■для таких а и и, для которых этот интеграл абсолютно сходится,
можно, и притом единственным образом, продолжить на все
ле U в (X X RW) о носителем в F и все и е CS° (X) так,
т, р, б
!> Функцию а обычно называют амплитудой. — Прим., перев.


7.8. Осцклляторный интеграл 285
чтобы /ф(аи) было непрерывной линейной функцией от aeS"j
при любых фиксированных «еСо" (X), me R, ре(0,1] и
б е [0,1). Линейная форма
/ф, и —> /ф (аи)
представляет собой распределение порядка ^k, если ае5™{ и
m — kp< — N, m — & (1 — б) < — N.
Доказательство. Выберем функцию xeCo°(RW)» такую что
%(0)= 1 при 101 < 1 и х(0) = О прн |0|> 2, и положим (ср.сдо-
v>0; ЭСо (0) = X (0)-
при 0 е supp xv» v Ф 0.
lZ)g/5gXv(0)a(JC, 0)|<С„.р.к(1+|0|)т-р|а,+6|Р|,
поскольку справедлива оценка |(0) | ^ Co(l + |0|)-ia| с по¬
стоянной, не зависящей от v. Следовательно, ряд	схо¬
дится к а в в при любом т' > т, потому что у членов этого
ряда носители могут перекрываться самое большее по два. От¬
сюда следует, что если продолжение функционала /ф с требуе¬
мыми свойствами существует, то оно должно задаваться фор¬
мулой
(7.8.4)	/ф (аи) = X /ф (Xv«“)-
Поэтому теорема будет доказана, если мы установим, что ряд
в правой части сходится и его сумма обладает указанными в
теореме свойствами.
Установим это. Для v ^ 0
/„(Xv+iO«)= $е,<р(*’8)х, (2-v0)a(x, Q)u(x)dxdQ
= 2Wv $ elmt {x• \ (0) a (x, ©0) и (x) dx d0,
где © = 2\ В силу наших предположений у = шах (б, 1 — р) < 1,
и, подбирая для произвольного заданного k такое Af, что
|Z)*Z>ea(x, 0)|^Л4(1 -{-101р 1 “'Р' при la+pKfe,
мы получаем
| Dx& а (х, 2V0) | ^ CAf2v(m+v 1 “1 ’ при х^К, 1/2 < 101 < 2, |а|<*.
казательством теоремы 7.5.4)
Xv(0) = x(2-v0)-x(2l-v0),
Тогда
XXv=l и 2V-,<|0|<2V+1
о
Если aeSJj н х^КшХ, *го


286	7, Преобразование Фурье
Поэтому теорема 7.7.1 дает оценку
IMXv+i^)l<CM2y("+m+Y*-ft) £ sup|Z)a4 и^Со(К).
I a |<fe
Мы видим, что при (1—y)k> N + т ряд (7.8.4) сходится и
w->/(p(a«) есть распределение порядка как и утверждалось.
Удобно записывать /ф(ан) в виде интеграла (7.8.3) и тогда,
когда этот интеграл не сходится. Определенное выше продол¬
жение интеграла (7.8.3) будем называть осцилляторным инте¬
гралом. Для распределения u-+I<t(au) часто будем использо¬
вать обозначение
<*.%(*, 0)rf0.
Приведем важный пример осцилляторного интеграла:
(7.8.5)	$ е1 «*• dB = б0(*) (2я)я.
r"
Чтобы доказать эту формулу, нам надо в соответствии с опре¬
делением вычислить оцилляторный интеграл
^el“‘*>u{x)dxde, и^Со( R").
Если х(6) — функция класса С“, равная 1 в некоторой окрест¬
ности нуля, то	в Sbo при t-*-oo для любого m > 0.
Значит, наш осцилляторный интеграл есть предел при <-> оо
сходящегося двойного интеграла
§ J е‘«• ®>х(0//) и(х) dxdd^^ (njr (— tx) u(x)dx = ^ у(— x) и (x/t)dx
-> «(0) J % (- x) dx = и (0) (2я)ях (0) =* и (0) (2я)я.
Это доказывает формулу (7.8.5), которую, таким образом, мож¬
но трактовать как новый способ записи формулы обращения
Фурье. То, что левая часть (7.8.5) представляет собой распре¬
деление, сингулярное лишь в нуле, вытекает также из следую¬
щей теоремы:
Теорема 7.8.3. Для распределения /ф а, задаваемого формулой
(7.8.3),
sing supp /ф a с= {х е X; (х, 0) = 0
в некоторой точке (х, 0) е F} = S.


7.8. Осцилляторный интеграл 287
Ограничение распределения /ф, а на X\S является С°°-функцией
<7.8.6)	^Ф<*.в>а(х, 0)d0,
значение которой при каждом фиксированном х определено как
осцилляторный интеграл.
Доказательство. Из определения множества S следует, что
<р (х, 0) представляет собой фазовую функцию от 0 при каждом
фиксированном х из A\S, а потому осцилляторный интеграл
в правой части (7.8.6) определен при таких х. Он является не¬
прерывной функцией от х, ибо, как видно из доказательства су¬
ществования осцилляторного интеграла, служит локально рав¬
номерным по х пределом С°°-функций
jj % (х, 0) х (Q/i) dQ.
Производная по х от последнего интеграла равна интегралу
$	(*. в) (Ар; (х, 0) а (х, 0) + а'х(х, 0)) х (0//) dQ,
который сходится к осцилляторному интегралу, получаемому
дифференцированием (7.8.6) под знаком интеграла. Таким об¬
разом, функция (7.8.6) принадлежит C‘(-X\S) и ее производ¬
ную можно вычислять формальным дифференцированием под
знаком интеграла. Поскольку q>'x(x, 0)а (х, 0), а’х(х, 0) <= S£+',
это рассуждение можно повторить, и мы заключаем, что пра¬
вило (7.8.6) задает функцию из C°°(X\S). Эта функция совпа¬
дает на своей области определения с распределением u-*Iv(au),
ибо для и е С"(Х \ S)
/ф (аи) =\im ^ и (x) dx ( ^ е1*(*> % (х, 0) х (0/0
= ^ u(x)dx Q %(*:, 0)d0).
Проведенные в этом доказательстве рассуждения показы¬
вают, что, вообще, с осцилляторными интегралами можно обра¬
щаться, как с обычными интегралами, — можно дифференциро¬
вать под знаком интеграла, менять порядок интегрирования
и т. д. Мы не будем здесь рассматривать такое обобщение ин¬
тегрального исчисления, предоставив это читателю, а приведем
лишь один пример.
Пример 7.8.4. Задача Коши
c-W/d/2 —Л£ = 0 в R1+n,
(7.8.7)	£ = 0, dE/dt — 60 при / — 0,


288	7. Преобразование Фурье
имеет решение
Е (/, х) = (2я)_л $ (el <с‘ I ^ !+<*• *» - е1 <-«' И '+<*•1») d|/2t 111 с.
В области 111 < 1 этот интеграл абсолютно сходится, а в об¬
ласти |1|>1 он определяется как разность двух осциллятор-
ных интегралов с фазовыми функциями <Jt, £>:fccf|£|. У этих
фазовых функций производная по х нигде не равна 0 в области
1, поэтому E{t,x) есть С“-функция от t со значениями в
ЗУ (|R"). Дифференцируя под знаком интеграла и учитывая
(7.8.5), получаем (7.8.7). В силу теоремы 7.8.3
sing supp Е с: {(/, х); х ± сЩ\ 11 = О при некотором £ Ф 0}
— {(*. х); | х | = с U | }■
Это двойной световой конус. Предоставляем читателю в ка¬
честве упражнения проверить, что 2с2Е — Е+ — Е~, где £+ и
£_ — опережающее и запаздывающее фундаментальные реше¬
ния из теоремы 6.2.3.
7.9.	Пространства H{s)t Lp и гельдеровы
пространства
В теореме 7.1.11 было доказано, что преобразование Фурье ото¬
бражает пространство L2 на себя. Из теоремы 7.1.13 мы знаем
также, что при 1 sg: р < 2 пространство Lp отображается в Lpf.
Однако образ его существенно меньше, чем Lp', поскольку, как
показывает теорема 7.6.6, при р' > 2 преобразование Фурье от
Lpr содержит распределения положительного порядка. Завер¬
шая этот цикл результатов, мы изучим сейчас некоторые про¬
странства распределений, тесно связанные с пространством L2,
ввиду чего удается проследить за их поведением при преобра¬
зовании Фурье.
Определение 7.9.1. Для всякого вещественного числа s через
H(s)(Rn) обозначается пространство всех и ^9', для которых
где L2S есть /^-пространство относительно меры (1-|-
|Ц2)*с?1/(2я)л. В ff(S) вводится норма
(7.9.1)	||иЦ„= ((2!гГ* J |Й(|)|2(1 + ШУ^)'/2.
Поскольку L2 а 9', преобразование Фурье осуществляет
изоморфизм #(s) на L2. Дадим теперь описание пространства
Я(5), не привлекающее й. Согласно теореме 7.1.11, Я(0) = /Л и
очевидно, что с ростом s пространство H(S) сужается. Для на¬
чала рассмотрим случай, когда s есть целое положительное


7.9. Пространства H(s), Lp и гёльдеровы пространства 289
число k. Разлагая многочлен (1 + 11 |2)ft = (1 + I2 + ... +1 2)fe,
получаем
(7.9.2)	II и 11?*,= Z ca\\Daut,
la|<fc
где са — полиномиальные коэффициенты Таким образом, #(fe)
представляет собой пространство всех и е L2, для которых
Dau ei2 при |a|^ k. (Если заменить здесь L2 на Ьр, то полу¬
чатся общие пространства Соболева, обычно обозначаемые че¬
рез W%.) Далее, пусть О С is С 1. Мы утверждаем, что тогда
(7.9.3)	|| и ||fs) < (2л)-: J | й (1) f (1 +11 |2S) d% <21| иII2,,
а также что
(7.9.4)	(2п)~п ^ | ы (|) |2 (1 + | i |2s) d\
= ^ Iи f dx + As ^ Iu (*) — u (У) l21 x — у Г"-25 dx dy
(где As — некоторая положительная постоянная). Отсюда сле¬
дует, что H(S) состоит из всех функций, которые принадлежат L2
и для которых правая часть (7.9.4) конечна. Ввиду (7.9.1) оцен¬
ки (7.9.3) равносильны элементарным неравенствам
(1 + ШУ<1+ИГ<2(1+шУ, 0 < s < 1.
(Первое из этих неравенств тривиально, а второе получается,
если поделить обе его части на (l+|£]2)s и заметить, что
as ^ а при 0< asS 1 и 0<s<l.) Докажем (7.9.4). В силу
формулы Парсеваля,
$$|и(х)-и(у) f\x-y fn~2sdx dy
=	и(хА-у) — u{y)\2\x\~n~2s dxdy
= (2луп ^ |e<<x,i>_ i \2\х\~п~2*\й (|) |2 dx d%,
поскольку преобразованием Фурье функции у-^и(х-\-у)—и(у)
служит	— 1). Но величина
А;' = 1| Г25 \ | е1<*■ 5' - 1121 х Г"-25dx
не зависит от |, так как она, очевидно, является функцией лишь
от ||| и ее значение в точке | совпадает со значением в любой
точке t%, что сразу видно, если заменить х на tx. Тем самым
Ясно, что са > 0 для любого мультииндекса ac |а | ^ k.— Прим. ред.
19 Зак. 821


290	7. Преобразование Фурье
(7.9.3)	и (7.9.4) доказаны. (Нетрудно показать, что As/{1—s)
имеет конечные пределы при s->-0 и s —1.) Если 0<s< 1 и
k — положительное целое число, то так же, как в рассмотрен¬
ном выше случае пространства Hw, устанавливается, что
состоит из всех и е L2, для которых	L2 при |а[ ^ k и
(7.9.5)	^\Dau(x)-Dau(y)\2\x — уГп~2*dxdy < оо, \a\ = k.
Норма ||ы[|(s+A) в #(s-Hs) эквивалентна норме
Y, 1яа“1к>+ 2 ($$ \Dau{x) — Dau(y)\2\x — y]~n~2sdxdyy12.
|а|<£	I а)=&
Описав пространства #<s) с s>0, заметим теперь, что д*
плотно в L2, а значит, и в H{s) прн любом s. Отсюда следует,
что для	величина
sup | [и, ф) 1/Ц ф ||
(-S)
= sup I (2я)~л (й, ф) I / ((2л)-" С | ф (1) |2 (1 + Ш2Г di)'12
конечна тогда и только тогда, когда и е His), и равна в таком
случае ||u||(S). Таким образом, пространство #(s) является со¬
пряженным к	Тем самым получено описание пространств
Hs с s <1 0.
Обозначим через СУ пространство всех гёльдеровых функций
на R" порядка уе(0, 1), т. е. (см. теорему 4.5.12) пространство
всех непрерывных функций и, таких что для любого компакт¬
ного множества К
sup \и{х) — и{у)Щх — у\ч< оо.
x,ys=K
Будем говорить, что us Cft+v, где k — положительное целое чис¬
ло, а 0 < V < 1, если иеС* и для всякого компактного множе¬
ства К
sup [ Dau (,*) — Dau (у) \/\х — у\у< оо, | а | = k.
х, у i=K
Рассмотрим подпространство Co+v пространства Ck+y, состоя¬
щее из функций, принадлежащих C*+v и имеющих компактный
носитель. Такие функции удовлетворяют условию (7.9.5) при
s <Су. Таким образом,
(7.9.6)	C*+v с: tf(s) при s < k + у.
Если и е #(_s) H0<s<fe + Y, то
I (w, ф) I < || и ||,_s)|| Ф 11^ < С ( Z sup | £>вФ (х) — Daq> (у) |/| ху |Y


7.9. Пространства #(5),ЛР и гёльдеровы пространства 291
для всех ф е СТ (К), где К — произвольное компактное множе¬
ство в Rra. На основании очевидного включения С0 с: #<&) мы за¬
ключаем также, что
(7.9.7)	#<-s) <= Ф'к, если 0 < s ^ & и k — целое.
Теперь выясним связь между преобразованием Фурье L2 про¬
странства H(S) и пространствами Lp.
Лемма 7.9.2. L2 с= L4 тогда и только тогда, когда q = 2, а
s ^sO или же 1 ^ q < 2, a s > n{l/q— 1/2).
Доказательство. В случае q = 2 наше утверждение очевидно.
Ясно также, что L2 с: L4 влечет q ^ 2, поскольку для q > 2 не
все функции из Lf принадлежат Lfoc. При 1 ^ q < 2 имеем
в силу неравенства Гёльдера
51 о fdi=5 (| о \г12 <% < (j [ о ? (1+II
X ( 5 (1 + \1 Р)"*в/(2_,>rf|)'_,/2 < С ( 5 | О Р (1 +11Р)'diy12,
если 2qs/(2 — q)>n, т. е. если s~>n(\/q—1/2). Пусть
s = n(l/q—1/2). Рассмотрим функцию v = (1 +|1|2)-л/2|?Х
(log(2 + |||))"*. Она принадлежит L" тогда и только тогда,
когда qa> 1, a тогда и только тогда, когда 2fl> 1. Выби¬
рая ug( 1/2, 1/<7), заключаем, что L2 не содержится в ^9.
Теорема 7.9.3. Преобразование Фурье пространства Я(5) содер¬
жится в Lq, если 1 ^ q < 2 « s > n(l/q — 1/2). Преобразование
Фурье пространства U содержится в Я(_х), если 2 ■< р ^оо и
s > я(1/2— 1/р).
Доказательство. Первое утверждение немедленно следует из
леммы 7.9.2. Докажем второе. Пусть ue/Л Тогда для <ре^
| <й, ф)) = I (и, ф) КII и \\LP И ф IU < СIIФ ||(s),
как видно из доказательства леммы 7.9.2. Следовательно,
й е Я(_5).
Комбинируя второе утверждение теоремы 7.9.3 с включением
(7.9.7), заключаем, что при р> 2 преобразование Фурье про¬
странства Lp содержится в	если j > п{ 1/2—1/р). (На¬
помним, что, согласно теореме 7.6.6, при /<я(1/2—1/р) это
уже неверно.) В действительности мы доказали гораздо более
сильное утверждение, потому что левая часть включения (7.9.7)
помещается в правой с большим «зазором».
19*


292	7. Преобразование Фурье
Особенно важный частный случай теоремы 7.9.3 — следую¬
щая теорема Бернштейна:
Следствие 7.9.4. Преобразование Фурье пространства H(s) содер¬
жится в U, если s > п/2, а само Н{3) содержится для таких
s в пространстве непрерывных функций на R", стремящихся к О
на бесконечности.
Очевидно, что следствие 7.9.4 представляет собой несколько
усиленный вариант леммы 7.6.3. Поэтому в оценках типа (7.6.10)
можно было бы, используя Я(5)-норму, брать любые s > п/2, а
не только целые, как мы делали.
Проведенные выше рассмотрения показывают, что L "-норму
функции и нельзя выразить удобным образом в терминах ее
преобразования Фурье й. По этой причине для доказательства
непрерывности отображений в пространствах Lp (отличных от
L2) преобразование Фурье редко оказывается пригодным. Тем
не менее мы получим сейчас некоторые весьма точные оценки,
дополняющие оценки из § 4.5, сочетая использованные там ме¬
тоды с преобразованием Фурье в L2.
Теорема 7.9.5. Пусть	(R"). Предположим, что k е L\ос
и для некоторого целого числа s > я/2
(7.9.8)	£ J \R'a'Dak(l)\2dlRn^C< оо, >0*>.
|ai<s/J/2<|5|<2«
Тогда для 1 < р < оо
(7-9.9)	l|fc*w||LP<Cpl|M|liP, u<=Lp П#'.
Кроме того,
(7.9.10)	тт{дс; \k*u{x)\ >тХс||ы||^„ ие!2[\ёг
(т — мера Лебега в R").
Доказательство. Выберем функцию ф е С” ({1; Ш ^ 2} ), рав¬
ную 1 при |||^1. Тогда при 1=5^0
(7.9.11)	1 = Е(ф(2-/|)-ф(2,-/Е)).
— ОО
Ниже мы воспользуемся этим разбиением единицы для разло¬
жения функции &. Положим
^Ш = (Ф(1)-Ф(2 6))£(Я6).
1) Тем самым предполагается, что для |a| < s сужения распределений
Dak на R" \ {0} локально принадлежат L2. — Прим, перев.


7.9. Пространства H(S), Lp и гёльдеровы пространства 293
Из (7.9.8) следует, что (с другой постоянной С)
(7.9.12)	£ \\0акк(1)\2й$^С.
|al<s
Значит, в силу леммы 7.6.3, sup|£R| ^ С', а потому |£(#|)
при ||| = 1, откуда вытекает, что
(7.9.13)
£(1)|<С'
при | Ф 0. Но по предположению k е 7.1ос. следовательно,
& е L°°. Поэтому применение формулы Парсеваля дает оценку
(7.9.9)	для р = 2 с с2 = С'. Далее, следствие 7.9.4 показывает,
что HR есть преобразование Фурье некоторой функции kR е О,
удовлетворяющей условиям || kR (|L, ^ С" и kR е С°°. Более точно,
-S [(JC)Р(1 + \x?)sdx^Cu
а потому, применяя неравенство Коши — Шварца, мы получаем
(7.9.14)	\	\kR(x)\dx^C2tn,2~s.
l*l>*
Оценки того же вида справедливы и для g;£ff, а значит, и для
DjkR; поэтому
(7.9.15)	$ |^(*)|rf*<C3,
откуда
(7.9.16)	J | Лл (* + у) - kR (х) | dx < С31 у |.
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать следующий аналог
оценки (4.5.16):
(7.9.17)	^ | k * w | dx ^ С ^ [ w | dx, если w е С™ (/) и ^ w dx = 0.
с/*
Здесь, как и в лемме 4.5.6, I — произвольный куб, а I* — «удвоен¬
ный» куб. При доказательстве оценки (7.9.17) можно считать,
что центром куба I служит точка 0, а в качестве нормы в R"
взята шах-норма, так что I определяется условием | де | С /, а
I* — условием \x\<C.2t. Поскольку преобразованием Фурье от
kR{Rx)Rn будет £ff(g/R), из (7.9.11) следует, что
*=ЕМ2,-)2"'


294	7. Преобразование Фурье
(сходимость в SP'). Далее, так как supptwcr/, то (7.9.14) и
(7.9.16)	дают соответственно
[ #"|*я(-Я)*а>|Ле<$1о>|Лс	\ \kR(Rx)\d (Rx)
*<£/•	Ul >t
<c\\w\dx(tR)nl2~s,
$ [Rn | kR (• R) * w | dx < jj J | {kR ((jc—y) R)—kR (xR)) w (у) I Rn dx dy
x<£l*i
^.C ^\w\dxtR.
Следовательно, в силу неравенства треугольника,
\	У (2Н)п12~*+ У 2'Л
**!•	ЛЛ> I	sJt<\ у
< С' ^ | w | dx,
чем (7.9.17) и доказано.
Теперь докажем (7.9.10). Для этого разложим и согласно
лемме 4.5.5 с s, замененным на т (ибо буква s у нас уже за¬
нята). Все члены разложения (4.5.9) принадлежат L2. По¬
скольку для р = 2 оценка (7.9.9) уже установлена, то
т2т {x\\k*v{x)\> т/2} < 41| к * у |£3 < С;|| о fL, < С'т || о \\L,.
Положим О = U 7s- В силу (4.5.13), Tm(OX2n||a||iI, и (7.9.17)
дает
mix', хфО, | fe *	(х) | > т/2 j т/2 < ^ ^ | k *	| dx
со
<С SZ | Wf | dx ^ ЗС || и \\L,.
Так как |^*«(л:)|>т, только если \k * v(x) ] > т/2, или геО,
или хфО и £ | k * Wj (х) | > т/2, оценка слабого типа (7.9.10)
доказана.
Оценку (7.9.9) достаточно установить для и е Со°- Если уже
известно, что она верна для некоторого р, то она верна и для
сопряженного показателя р', l/p+l/p' — l. Действительно,
| k*u * t>(0)| = |£ *v *н(0)|<||&* w|lLp||«lliP'<C||t>||ip||«llip'
•> См. лемму 4.5.7. — Прим,, перев.


7.9. Пространства His), Lp и гёльдеровы пространства 295
при к, DE Со°. Отсюда вытекает, что b#G I? и (7.9.9) спра¬
ведливо с р, замененным на р'. Таким образом, можно считать,
что 1 < р < 2. В этом случае доказательство получается приме¬
нением интерполяционного приема Марцинкевича, уже исполь¬
зовавшегося в аналогичной ситуации при доказательстве тео¬
ремы 4.5.3. Для т > 0 запишем и = их + Ux, где их = и при
|«|-<т и Ux — u при ]«]^т. Оба слагаемых принадлежат L2,и
т{х; | k*u{x) | >	| k * ur(x)\>x/2}-\-m{x\\ k*U^{x) \ >т/2}
<C(T-*Klg, + T-*||£/t||iil)
в силу оценок (7.9.9) с р — 2 и (7.9.10). Следовательно,
оо
\\k*u\?LP = />5	\k*u{x)\>x}dx
Q
((	| u(x)\2xp~3 dx dx -f	\u(x)\xp~2dxdx'\
\|b(jc)I<t	|k(x)|>t	/
= C ((2 - p)~l + (p - 1Г1) 5 | и (x) \p dx,
чем доказательство теоремы и завершено.
Отчасти сходные, но намного более простые рассуждения
позволяют установить соответствующую оценку и для гёльдеро-
вых пространств. А именно, положим для 0 < у < 1
|«|Y= sup \и{х) — и(у)\/\х — у |v.
Хфу
Теорема 7.9.6. Если k удовлетворяет предположениям теоремы
7.9.5	и 0 < у <С I, то
(7.9.18)	|fe*u|Y<CY|u|Y, «eC0v(R").
Доказательство. Используя разбиение единицы (7.9.11), разло¬
жим и в ряд
й/(|) = ф(£/2')Л(1).
Мы положили здесь Ф(5) = Ф(1)— Ф(21), так что фе?1. В яв¬
ном виде функция щ дается формулой
и,- (х) = $ ы (дс — 2~'*/) ф (у) dy=^(u(x — 2 ~‘у) — и (*)) ф {у) dy,
поскольку
Следовательно,
(7.9.19)
$ф(*)^ = Ф(0) = 0.
|«/|<C2“Y/|«|V,


296	7. Преобразование Фурье
а так как
dvti, (*) = 2' ^ и (х — 2~’у) dvq> (у) dy,
то справедлива также оценка
(7.9.20)	|w;|<C2<‘-v)/|«|y.
Выберем функцию хе Со° (R" \ О), равную 1 на supptp. Тогда
Оценка (7.9.12) выполняется (равномерно по R) и для функции
ЦкШ1). Поэтому эта последняя есть преобразование Фурье
некоторой функции ky s V-, причем /.‘-нормы функций kR равно¬
мерно ограничены. При R — 2> имеем
k*u} = Rnk R(R-)*Uj,
и из (7.9.19), (7.9.20) вытекает, что
(7.9.19) '	\k*Uj |^C'2-Y/1 и |Y,
(7.9.20) '	|fe*«;|<C'20-v)/|u)v.
Используя эти оценки (последнюю в сочетании с теоремой о
среднем значении), получаем
| k * и (дс) — k * и (у) [ ^ Z I & * и1 (*) — k * М/ (У) I
<C'|h|v(2	£	2-v/ + U-yl Z 2°-у)'Л
<C"|ti|Y|*-0|v/(Y(l-Y)).
Доказательство завершено.
Типичным примером применения теорем 7.9.5 и 7.9.6 в тео¬
рии дифференциальных уравнений с частными производными
может служить следующий результат.
Теорема 7.9.7. Пусть P{D)—эллиптический дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами в R" порядка т,
X<^Rn — открытое множество и ug2)'(X). Тогда для 1 <
р < оо если Р (D) и е Lioc (X), то Da и е Z,foc (X) при | а | =т, и
для 0 < v < 1 если Р {D) и <= Су {X), то D“«eCv(X) при
| а | = т.
Доказательство. Пусть Е — параметрикс, построенный в теоре¬
ме 7.1.22. Поскольку Ё еС°° и
il Р |-m-| а I


7.9. Пространства Lp и гёльдеровы пространства 297
(в силу (7.1.21)), для D&E с |(5|= т выполнены предположения
теорем 7.9.5 и 7.9.6. Пусть У— произвольное относительно ком¬
пактное открытое множество в X. Выберем функцию	(X),
равную 1 на У. Тогда
P(D)(3tu) = f, + f2,
где /[ = %P(D)u^Lp (соотв. Су), a f2 = 0 на У. Следовательно,
Х« + ® * (х«) = Е * f! + Е * /2,
откуда вытекает, что Dau — (DaE)*fi является С°°-функцией
на У. Но ввиду теоремы 7.9.5 (сойтв. 7.9.6) Dot£,*fieLp (со¬
отв. О) при |а| = т, чем доказательство теоремы и завершено.
Заключение теоремы 7.9.7 справедливо, конечно, и при
|а|<т, но комбинация теорем 7.9.7 и 4.5.13 дает в этом слу¬
чае значительно лучший результат. Следующая теорема пока¬
зывает, что распространить теорему 7.9.7 на исключенный пре¬
дельный случай целочисленных у нельзя. Этот результат оправ¬
дывает сделанное во введении к книге замечание о недостатках
классического понятия решения дифференциального уравнения.
Теорема 7.9.8. Пусть X — открытое множество в R", п > 1, и
P(D) — произвольный дифференциальный оператор с постоян¬
ными коэффициентами порядка m > 0. Существует функция
«GC‘U)\Com(X), такая что P{D)u*=C°o{X).
Доказательство. Можно считать, что ОеХ Пусть К =
{х; |х|^Р}с:А' — компактный шар с центром в 0. Множество
всех иеС0",‘1(К), для которых P(9)«sCS(/Q, наделенное
нормой
sup | Р (D) и | + £ sup|Da«|,
I a|<m
представляет собой банахово пространство. Если бы все функ¬
ции из этого пространства принадлежали С”, то в силу тео¬
ремы Банаха об обратном операторе мы имели бы
£ sup|Z)a«|<Cfsup|P(D)«|+ £ sup | Dau | , и<=С?(К),
Ia|=m	\	|a|<m	/
а тогда н для главной части Рт оператора Р выполнялась бы
оценка
(7.9.21)	£ sup | Dau I ^ С' Г sup | Рт (D) и | + £ supp^h,
|al=m	Ч	|a|<m	/
UGCom(K).


298	7. Преобразование Фурье
Пусть [/еС°°(К")—решение уравнения Pm(D)U = 0. Вы¬
берем функцию /еСГ(/С)> такую что х(*)=1 при \x\<ZR/2,
и положим
Щ(х) = 2~ml(%U) (21х).
Как легко проверить,
sup|Dau/|<C2Ua|"n)/ при |а|<ш
и suppPm(D)«/ лежит в шаровом слое R/2	2/|x| ^ R, так
что эти носители попарно не пересекаются. Применяя (7.9.21)
N
к и= У и,, получаем
о
N У |£>“t/(0)|<C.
| аТ=т
Устремляя N к оо, заключаем, что D“t/(0) = 0 при |a| = m
для всякой функции U е С°°, удовлетворяющей уравнению
Pm(D)U = 0. Беря U(x) = eiiX-b (£еСто, приходим к выводу,
что Рт (£) = 0 влечет £ = 0. Но это невозможно при п> 1, чем
теорема и доказана.
Замечание. Используя в конце доказательства лемму 7.3.7,
можно показать, что для любого данного мультииндекса а
с | a I =m найдется функция и е С”-1 с P(D)u^Cq и Dau^Co,
если только Pm{D) не является кратным Da. Отсюда в силу
простых категорных!) соображений следует, что функцию и
можно выбрать так, чтобы Da и\Ф Со для всякого a с | а | — т.
для которого Pm{D) не кратно Da.
Примечания
Изложенные в § 7.1 основные факты, касающиеся преобразо¬
вания Фурье, восходят к Фурье, в более или менее точной фор¬
ме. Однако идея Л. Шварца начинать с всюду плотного про¬
странства функций 91 привела к существенным упрощениям
даже в самих классических основаниях предмета. Определение
преобразования Фурье в по двойственности поглотило целый
ряд более ранних определений, в частности определение Бох-
нера (Bochner [1]), причем сохранилась классическая легкость
вычисления. Если отвлечься от этих моментов и от наведения
строгости благодаря использованию интеграла Лебега, то пер¬
вый результат § 7.1, датируемый нашим столетием, — это тео¬
рема 7.1.13, аналог которой для рядов Фурье был получен Юн-
•> В смысле Бэоа.— Поим, пеоев.


Примечания 299
гом для четных целых р' и Хаусдорфом (Hausdorff [1]) в об¬
щем случае. Теорема 7.1.12 и ее приложение к теореме Хаус-
дорфа — Юнга для рядов Фурье, равно как и для интегралов
Фурье, принадлежат М. Риссу (М. Riesz [2]), а приведенное
нами доказательство этой теоремы — Торину (Thorin [1]). Фи¬
гурирующая в теореме 7.1.13 наилучшая возможная постоянная
найдена Бекнером (Beckner [1]). Преобразование Фурье од¬
нородных распределений рассмотрено гораздо подробнее у
Гельфанда и Шилова [2] и Гординга (Garding [4]). Теоре¬
ма 7.1.24 очень близка к формуле Герглотца — Петровского, как
она дана в статье Atiyah, Bott, Garding [1] (см. § 12.6). Пре¬
образования Фурье плотностей на многообразиях в R" часто
появляются в теории рассеяния и будут нам полезны в таком
контексте в гл. 14. Теорема 7.1.26 и последующие результаты
вплоть до следствия 7.1.30 по существу содержатся в работах
Hormander [32] и Agmon, Hormander [1], где можно найти и
ссылки на более раннюю литературу.
Название «теорема Пэли — Винера — Шварца» для теоремы
7.3.1	прочно установилось, хотя, быть может, оно и не совсем
точно. Пэли и Винер (Paley, Wiener [1]) на самом деле получили
частный случай теоремы 7.4.2, относящийся к преобразованиям
Фурье — Лапласа квадратично-интегрируемых функций на по¬
лупрямой, а Л. Шварц (Schwartz 15]) установил теоремы 7.4.2
и 7.4.3 в полной общности. Теоремы 7.3.2 и 7.3.6 взяты у Маль-
гранжа (Malgrange [1]). Асгейрссон (Asgeirsson [1]) доказал
теорему 7.3.4 совсем другим путем. Приведенный уточненный
вариант теоремы Асгейрссона принадлежит Леви (Lewy [2]).
Теорема 7.3.8 была впервые сформулирована и доказана в кни¬
ге— предшественнице настоящей монографии, но основная идея
идет от Эренпрейса (Ehrenpreis [2]) (см. также Malgrange [1]
и Hormander [14]). Теорема 7.3.10 принадлежит Эренпрейсу
(Ehrenpreis [1]) и Мальгранжу (Malgrange П]), которые до¬
казали ее, используя соображения двойственности. Попытка
конструктивного доказательства была предпринята еще Коши
(Cauchy [1]); к сожалению, она была связана с использованием
преобразования Фурье от экспоненциально растущих функций,
но этот дефект легко поправим. Для широких классов диффе¬
ренциальных операторов фундаментальные решения были по¬
строены уже давно (см., например, Fredholm [1], Herglotz [1],
Zeilon [1]). Общая конструкция, дающая фундаментальное ре¬
шение с хорошими свойствами регулярности, была предложена
в книге — предшественнице настоящей монографии. (По поводу
одной более ранней конструкции см. Агранович [1].) Изложен¬
ный здесь усовершенствованный вариант конструкции впервые
был опубликован в работе Hormander [29].


300	7. Преобразование Фурье
С историей подготовительной теоремы Вейерштрасса и кри¬
тическими замечаниями Зигеля по поводу современной терми¬
нологии и общих тенденций в математике читатель может озна¬
комиться, прочитав его статью Siegel [1]. Ранние доказатель¬
ства подготовительной теоремы Мальгранжа можно найти в ра¬
ботах Malgrange [6], Mather [1] и Nirenberg [3]. Данное здесь
доказательство близко к доказательству Мезера (Mather [1]).
Теорема 7.5.13 для аналитического случая принадлежит Честе-
ру, Фридману и Урселлу (Chester, Friedman, Ursell [1]) н Ле¬
винсону (Levinson [1]). Теория версальных деформаций при¬
вела к большим упрощениям в рассуждениях и позволила рас¬
пространить теорему на С°°-случай при помощи подготовитель¬
ной теоремы Мальгранжа (см. Guillemin, Schaeffer (1], Duister-
maat [1] и указанную там литературу). Мы доказали здесь
в том же духе и ряд более ранних результатов.
Преобразование Фурье гауссовых функций — это, конечно,
классика. В качестве примера мы находим фундаментальное
решение уравнения Колмогорова [1], играющего важную роль
в теории броуновского движения. Оператор (7.6.14)—одна из
простейших нормальных форм гиперболических операторов с
двойными характеристиками (см. Hormander [36]). Функцию
Эйри ввел Эйри (Airy [1]) для изучения свойств света вблизи
каустики (см. § 12.2). Данное Стоксом (Stokes [1]) доказатель¬
ство справедливости асимптотического разложения функции Ai
можно рассматривать как предтечу метода стационарной фазы,
описанного в § 7.7. Этот метод получил большую популярность
у физиков нашего века под именем метода ВКБ в честь Вент-
целя, Крамерса и Бриллюэна иногда, трактуемый с несколько
иной аналитической точки зрения, он выступает также под име¬
нем метода седловой точки. За систематическим обсуждением
вопроса отсылаем к статье Froman [1]. Для случая нескольких
переменных этот метод впервые появился, по-видимому, у Хлав-
ки (Hlawka [1]), который доказал теоремы 7.7.14, 7.7.16 и след¬
ствие 7.7.15. Данное здесь изложение до теоремы 7.7.6 включи¬
тельно близко к изложению в работах Hormander [26, 34], хотя
здесь мы обошлись без привлечения леммы Морса. В подхо¬
дящей форме эту лемму можно найти в работе Hormander [26].
Обобщение на комплекснозначные фазовые функции принад¬
лежит Мелину и Шёстранду (Melin, Sjostrand [1]). Они ис¬
пользовали теорию почти-аналитического продолжения, пред¬
ставляющую собой систематическое развитие соображений, при¬
мененных здесь при доказательстве теоремы 3.1.15. Ниренберг
о В оригинале: (J)WKB method for (Jeffreys), Wentzel, Kramers, Bril-
louin. В отечественной литературе Джеффрис обычно не упоминается. —
Прим, перев.


Примечания 301
(Nirenberg [3]) доказал таким методом подготовительную тео¬
рему Мальгранжа. Поэтому неудивительно, что мы смогли за¬
менить аппарат почти-аналитического продолжения подготови¬
тельной теоремой Мальгранжа. Однако читателю следует иметь
в виду, что метод Мелина и Шёстранда дает более точные ре¬
зультаты в отношении числа требуемых производных. Теоре¬
ма 7.7.18 восходит к Эйри (Airy [1]). Полное ее доказательство
для аналитического случая было дано Честером, Фридманом и
Урселлом (Chester, Friedman, Ursell L1 ]; см. также Ludwig
[2]). Здесь мы следовали более простому и более общему со¬
временному подходу, предложенному Гийемином и Шеффером
(Guillemin, Schaeffer [1]) и Дёйстермаатом (Duistermaat [1]),
которые опирались на прогресс в теории особенностей, достиг¬
нутый Томом, Арнольдом и другими.
Понятие осцилляторного интеграла в том виде, как оно из¬
ложено здесь, было введено в работе Hormander [26]. Далее,
особенно в гл. 25, нам будет удобно иметь в своем распоряже¬
нии это эвристически ценное понятие, которое, конечно, широко
используется в прикладной математике без точного определения.
Как уже отмечалось в тексте, пространства H{S) при неот¬
рицательных целых s — частный случай пространств Соболева
[2]. Для отрицательных целых s они возникают в теории диф¬
ференциальных уравнений с частными производными в связи
с методами двойственности (см., например, Lax [2]) и для по-
луцелых — в связи с краевыми задачами (см., например, Агоп-
szajn [1]). Эти пространства много обобщались и изучались в
последние десятилетия. Примеры таких более общих пространств
Бесова встретятся нам в гл. 14 и 30, а по поводу общей их
теории отсылаем к Peetre [4]. Теорема 7.9.5 по существу при¬
надлежит Михлину [1], а в данной здесь форме она была
доказана в работе Hormander [13]. Однако у нее есть прото¬
тип— теорема М. Рисса (М. Riesz [3]) о сопряженных функ¬
циях и ее я-мерное обобщение, данное Кальдероном и Зигмун¬
дом (Calderon, Zygmund [1]), доказательству которых мы и
следуем здесь. Читателя, желающего изучить эти вопросы даль¬
ше, отошлем к книге Стейна (Stein [1]). В теории линейных
дифференциальных уравнений, которой посвящена настоящая
книга, у нас в общем почти не будет случая обратиться к тео¬
рии пространств Lp или гёльдеровых пространств.


8
Спектральный анализ
особенностей
Краткое содержание главы
В гл. 7 мы видели, что распределение и с компактным носите¬
лем является гладкой функцией тогда и только тогда, когда его
преобразование Фурье й быстро убывает. Если распределение и
не гладкое, то множество направлений, в которых й не быстро
убывает, может быть использовано для описания высокочастот¬
ных компонент и, из-за которых возникают особенности. Ока¬
зывается, что соответствующий анализ имеет локальный и ин¬
вариантный характер. Для распределения и^З)'(X) на (^-мно¬
гообразии X мы, таким образом, приходим к определению мно¬
жества
WF(u)^T*(X)\О,
проекция которого на X совпадает с sing supp и и которое яв¬
ляется коническим относительно умножения на положительные
числа в слоях Т*(Х). По аналогии с классической гюйгенсовой
конструкцией бегущей волны мы называем это множество вол¬
новым фронтом и. В упомянутой конструкции положение волны
и ее ориентированные касательные плоскости предполагаются
известными в начальный момент времени. Тогда в последую¬
щие моменты волна перемещается по нормали со скоростью
света. Следовательно, данные — это в точности лучи в кокаса-
тельном расслоении.
Понятие волнового фронта оказывается полезным во многих
отношениях. Прежде всего оно позволяет распространить на
распределения целый ряд операций. Так, например, сужение
ией5'(Х) на подмногообразие У в X всегда может быть опре¬
делено, если нормальное расслоение к У не пересекается с
WF(u). При этом высокочастотные компоненты и остаются вы¬
сокочастотными и после сужения на У. Далее, дифференциаль¬
ные операторы и до некоторой степени их фундаментальные
решения допускают локализацию даже на уровне волновых
фронтов. Это приводит при их изучении к значительным упро¬
щениям. Такой подход называется микролокальным анализом.


Краткое содержание главы 303
В § 8.1 даны основные определения волновых фронтов и при¬
ведены некоторые важные примеры. В § 8.2 с новой точки зре¬
ния рассматриваются операции, определенные ранее в гл. 3—4.
Так, наряду с расширением определений композиции и умно¬
жения приводится более точная информация об особенностях
результатов этих операций. В § 8.3 доказываются простейшие
факты, касающиеся волновых фронтов решений дифференци¬
альных уравнений в частных производных, например то, что
волновой фронт содержится в объединении характеристического
множества и волнового фронта правой части. Отметим, что без
понятия волнового фронта удовлетворительно сформулировать
этот результат нельзя, поскольку проекция характеристического
множества (лежащего в Г*(Х)\0) обычно совпадает со всем X.
В случае вещественной главной части и постоянных коэффи¬
циентов мы также устанавливаем инвариантность волнового
фронта относительно сдвигов по бихарактеристикам, что для
волнового уравнения совпадает с гюйгенсовой конструкцией,
упомянутой выше, и, таким образом, оправдывает нашу тер¬
минологию.
Можно рассмотреть и более жесткую классификацию осо¬
бенностей, например, с помощью множества singsupp^w, со¬
стоящего из точек, в которых и не является аналитической функ¬
цией. Последнее также допускает представление с помощью
множества WFa(u)czT*(X)\0, определенного в § 8.4 и изу¬
чаемого в § 8.5 и 8.6. В частности, это позволяет точнее сфор¬
мулировать теорему о единственности аналитического продол¬
жения: если распределение и обращается в нуль по одну сторону
от гиперповерхности У класса С1 и нормаль к У в точке у не
лежит в WFa(u), то и равно нулю в окрестности точки у. Дру¬
гими словами, нормали к (^-участкам границы множества
suppu должны лежать в WFa{u). Это утверждение становится
справедливым во всех точках границы supp и после того, как
в § 8.5 вводится понятие нормали к границе произвольного
замкнутого множества. Это понятие довольно подробно обсу¬
ждается с геометрической точки зрения для использования его
в дальнейших приложениях. Первое из них появляется уже в
§ 8.6, где даны различные обобщения теоремы Хольмгрена о
единственности продолжения решений дифференциальных урав¬
нений в частных производных с аналитическими коэффициен¬
тами.
Наконец, в § 8.7 обсуждаются аналитические волновые
фронты распределений, возникающих как пределы функций
F(x + iy)~x, где F аналитична, а у-*-0 в таком конусе, что
нули F встречаются лишь в пределе. Соответствующие резуль¬
таты оказываются полезными при изучении задачи Коши в
гл. 12.


304	8. Спектральный анализ особенностей
8.1.	Волновой фронт
Если v е &" (R"), то можно выяснить, является ли v элементом
Со, исследовав поведение преобразования Фурье v на бесконеч¬
ности. Именно, если v (= С” (Rrt), то по лемме 7.1.3
(8.1.1)	ItUDKCjvO+Uir", N=1, 2, ...,
Наоборот, на основании формулы (7.1.4) для обращения пре¬
образования Фурье из (8.1.1) вытекает, что кеС* (см. также
теорему 7.3.1). Для произвольного v^S" мы определили
sing supp v как множество точек, не имеющих окрестности, в
которой веС°° (определение 2.2.3). Аналогично можно ввести
конус 2 (о) всех т| е R"\0, не имеющих такой конической
окрестности V, что (8.1.1) выполняется для всех £ е V. Ясно,
что 2 (о) есть замкнутый конус в Rrt\0 и что 2(о) = 0 тогда
и только тогда, когда v е С“-
В то время как sing supp и описывает только расположение
особенностей, конус 2 (о) описывает только направления высо¬
ких частот, из которых эти особенности возникают. Оба эти
описания можно объединить с помощью следующей леммы.
Лемма 8.1.1. Если <p^C™{Rn) и v ^	(Rn), то
(8.1.2)	2(сро)с:2(о).
Доказательство. Преобразованием Фурье функции и = сро яв¬
ляется свертка
й (|) = (2л)~" $ ф (л) v (I — л) di\,
где	Для некоторого М^О имеем
lu(i)i<c(i + iiir.
Пусть 0 < с < 1. Разобьем область интегрирования на две ча¬
сти, в которых |л|<с|1| и |т)|^с|Ц. Во втором случае
|? — Л | ^ (1 + с-1) [л I- Получаем
(8.1.3)	(2лПй(£)|< sup I п (л) IIIФIL'
+ С 5 I Ф(л) I (1 +	+ I Л I )м
1ч1>с||1
Если Г — открытый конус, в котором верно (8.1.1), a Ti — зам¬
кнутый конус, содержащийся в Г|_|{0}> то с можно выбрать
так, что л е Г при g е Ti и | g — л | > с | £ |, поскольку это, оче¬
видно, можно сделать при |g|=l. Так как |л | ^ (1 — с) | £|, то


8.1. Волновой фронт 305
из (8.1.3) и (8.1.1) вытекает, что й быстро убывает в Гь Дей¬
ствительно, для N ^ 0 имеем
(8.1.3)	' sup (1 +111 /1 й (£) | < (1-сГ" sup | v (л) I (1+1Л | f || ф ||L,
г,	г
+ С(1 + с-')к+м 5 | ф(л) Id + I Л I f+Mdn.
Лемма доказана.
Для открытого множества X cz Rrt, иеЗ)'(Х) и х^Х по¬
ложим
(8.1.4)	2*(и)= П 2(<ри); феС0"(Д ф(*)=^0.
<р
Из леммы 8.1.1 следует, что
(8.1.5)	2 (фы)-»• 2* (ы) при qieCtl), ф(л;)^0
и эиррф-*■ {*}.
Действительно, если V — открытый конус, содержащий 2*(ы),
то в силу компактности единичной сферы найдутся функции
Фь .... Ф;- е С“ (X), для которых
Ф1 (*)••• Ф/(*)=?*= 0,	ПЦф/«)с1/.
Для функции ф s Со° (X), носитель которой настолько близок
к х, что на нем ф! ... ф/ ф 0, имеем ф = фф! ... ф/, где
•ф^СГ(^). Из (8.1.2) получаем
/
2	(фы) с f] 2 (фуы) с; V.
1
Это доказывает (8.1.5), поскольку по определению 2(ф«)=>
2х(и) при ф(х)#= 0.
В частности, из (8.1.5) следует, что Е*(ы) = 0 тогда и только
тогда, когда фЫ^С°° для некоторой феС“(Х) с ф(х)^=0, т. а
х ф. sing supp и.
Определение 8.1.2. Пусть и^З)'(Х). Тогда замкнутое подмно¬
жество в XX(Rn\0)> определяемое соотношением
WF (и) = {(jc, Уе1ХГ\ 0); £ г 2* («)},
называется волновым фронтом и. Его проекция на X совпадает
с sing supp и.
Множество WF(u)—коническое в том смысле, что оно ин¬
вариантно относительно умножения второй переменной на по¬
ложительные числа. Следовательно, его можно рассматривать
как подмножество в 1Х5Я_1, где 5Л_1 — единичная сфера.
20 Зак. 821


306	8. Спектральный анализ особенностей
Предложение 8.1.3. Если ue^'(R“), то проекция WF(u) на
второй сомножитель совпадает с 2(«).
Доказательство. Эта проекция W содержится в 2 (и) по опре¬
делению WF(u). Она замкнута, так как ее пересечение с еди¬
ничной сферой является проекцией компактного подмножества
произведения R" X Sn~K Если V—коническая окрестность мно¬
жества W, то для всякого jceR’ найдется такая его окрест¬
ность Ux, что
2	(фы) с V при феС0“ (£/*).
Конечное число окрестностей UXj покрывает suppu. Найдутся
такие функции фчто	вблизи suppu. Но
тогда
2(и) = 2(£ фjUj с: IJ 2(фу«)с V,
что заканчивает доказательство.
Предложение 8.1.3 показывает, что WF(u) содержит всю ин¬
формацию как о sing suppu, так и о 2(и). Тем не менее проек¬
ция, фигурирующая в предложении 8.1.3, имеет ограниченный
интерес, поскольку она не инвариантна при замене переменных.
Теорема 8.1.4. Для любых открытого множества X <= R" и зам¬
кнутого конического подмножества S с^Х(R”\0) найдется
такое и е 0'(Х), что WF(u)— S.
Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать для
X = Rn. Общий случай сводится к этому, если заменить S на
его замыкание в Rn X (R“\0). Выберем последовательность
(^,0*)е5 с |0а| = 1 так, чтобы всякая пара (x,0)eS с
] 0 ] = 1 была пределом некоторой ее подпоследовательности.
Пусть феС* и ф (0)= 1. Тогда
сю
(8.1.6)	и(х) — Y k~2<p(k(x — хк))е1кг(х,вй
будет непрерывной в R" функцией и мы докажем, что
WF(u)= S. Сначала покажем, что WF(u)a S. Если (х0, |0)^5,
то можно выбрать открытую окрестность U точки хо и открытую
коническую окрестность V точки |0, такие что
(8.1.7)	(£/XWflS=0.
Запишем и в виде и = щ + и2, где щ — сумма членов из (8.1.6)
с х* ^ U, а ц2 — сумма членов с x* е V. Тогда ui е С°° в окрест¬
ности U\ точки х0, так как все члены суммы, задающей и\, за


8.1. Волновой фронг 307
исключением конечного числа, обращаются в нуль на Uu если
U1 с: U. Далее,
(8.1.8)	й2(|)= £
Xks=U
Здесь 0ft ф. V вследствие (8.1.7). Если V\ — другая коническая
окрестность £0 и F^EUfO}, то |g —т]|$г с([£| + |т]|) Для не¬
которой постоянной с > 0, когда £ е V\ и т) ф. V, поскольку
это верно при |£| + |tiI= 1- Итак,
\l-^Qk\>c{\l\ + k?)>c\l\2l3k, l^Vu
откуда вытекает, что й2 быстро убывает в Еь так как ф еР’.
Следовательно, (лг0, £о) не принадлежит WF(u).
Пусть теперь (лго, ?о)^5. Выберем функцию	рав¬
ную 1 вблизи Ха. Чтобы установить включение (х0, |0)е WF(u),
достаточно показать, что %и не может быстро убывать в кони¬
ческой окрестности go- Для этого заметим сначала, что
X (х) <p(k(x — хк)) = ф* (к (х — хк)),
где фй(лг) = %{x/k + лгй)qp(л:) принадлежат ограниченному в Я’
множеству. Преобразование Фурье функции %и есть сумма вида
(8.1.8)	, в которой ф заменено на ф*. Если хк близко к хэ и k ве¬
лико, то фй = ф и для любого N получаем
\Я(к%,)\>к-'~г-сИ 2 r-’daV-JW".
Здесь
| k?Qk — /30Д ks — у31^ к2 + kj + kj, если k Ф j.
Поэтому сумма есть 0(к~ы). Выбирая N > п + 2, получаем для
больших k
\^M{k\)\> к~п~2/2,
если Хк близко к xq. Так как (х0, go/|go|) является предельной
точкой последовательности (хк, 0*), то %и не может быстро убы¬
вать в конической окрестности go и теорема доказана.
Теперь мы опишем волновые фронты для некоторых часто
встречающихся классов распределений.
Теорема 8.1.5. Пусть V — линейное подпространство в R" и и —
UodS, где uo^C°°(V), a dS — поверхностная евклидова мера.
Тогда
WF (и) = supp и X (V1 \ 0).
20*


308	8. Спектральный анализ особенностей
Доказательство. Если х s С“, то
(Х“)(Ю= ^ e~UX' b%(x)uo(x)ds(x)-
v
Записывая £ = £' + £", где £'s V, £" s V-1, мы видим, что это
выражение есть быстро убывающая функция от £'. За исклю¬
чением случая = 0, оно не обращается в нуль ни на каком
открытом множестве. Поэтому на любом конусе, пересекаю¬
щемся с Vх, оно не является быстро убывающим. Но быстрое
убывание имеет место для всякого конуса, в котором |&|^
С|£'[, что доказывает утверждение теоремы.
Теорему 8.1.5 было бы достаточно доказать лишь для самой
меры dS, поскольку всегда
,(8.1.9)	WF (au).cz WF (и), если as С00.
Это следует непосредственно из определения. Другой важный
общий факт состоит в том, что для всех а
(8.1.10)	WF (Dau) s WF (и).
Для доказательства возьмем хеСо°> равную 1 вблизи х, и
Xi е С“, равную 1 в окрестности supp х- Тогда
2* (Dau) с: 2 (%Dau) = 2 (xD\u) а 2 (DaXi«) <= 2 (Xj«).
При supp xi ->{х} получаем (8.1.10). Суммируя, найдем:
(8.1.11)	WF{Pu)c=WF(u),
если Р — линейный дифференциальный оператор с С°°-коэффи-
циентами.
Займемся теперь граничными значениями аналитических
функций, определенными в соответствии с теоремой 3.1.15. Пусть
Г — открытый выпуклый конус, а
(8.1.12)	Г0={£еКп; {у, |)>0 для любого i/sT}
— двойственный конус. Он является замкнутым, выпуклым и
собственным, т. е. не содержит никакой прямой, ибо в против¬
ном случае конус Г содержался бы в некоторой гиперплоскости
и не имел бы внутренних точек. Верно и обратное: всякий зам¬
кнутый выпуклый собственный конус Г° является двойственным
ровно для одного открытого выпуклого конуса Г. Последний
определяется соотношением
(8.1.13)	Г — {у s Rn; (у, £> > 0 для любого £<=Г°\0}.


8.1. Волновой фронт 309
Доказательство, проводимое с помощью теоремы Хана — Ба¬
наха, очень близко к доказательству теоремы 4.3.2 и предостав¬
ляется читателю. Вместо этого будет доказана
Теорема 8.1.6. В предположениях теоремы 3.1.15
(8.1.14)	WF (/о)	(Г° \ 0),
где конус Г° двойствен к Г.
Доказательство. Представление (3.1.20) для </о, Ф> имеет
место с N, замененным на любое целое v ^ N, если феС”(А")
и такая же замена произведена в равенстве (3.1.18), опреде¬
ляющем функцию Ф. Поэтому
(8.1.15)	(фШ) = </ое-£(^\ Ф>= $ Ф(х, Y)f(x + iY)e~ilx+iY-^dx
+ (v+l) ^ /(jc+ itY)e~Hx+itY'l) Yj d\{x){iYfla\(ldxdt.
0<1<1	| a |=v+l
При (К, £) < 0 получаем
(8.1.16)	|^(i)l<C(p,v(V’s> + J eUY’l)?-Ndt
V о
= Сф, v (e(Y- b + (v- N) 1 <- У,
Правая часть есть 0(|£|A,-V~1) в конической окрестности про¬
извольного вектора из полупространства <У, |>< 0. Следова¬
тельно, для любого УеГ с |У|<у верно включение 2(ф/0)с;
{£; <У, £>^0}. Итак, 2(ф/0)сГ°, что доказывает теорему.
Условия теоремы могут быть ослаблены в нескольких на¬
правлениях. В частности^ достаточно предполагать аналитич¬
ность f при zeli -[- /Г1 и малых |Imz|, где Xi<sX и Ti а
Ги{0}. К /о можно также добавить С°°-член, так как это не
влияет на WF(f0). Тогда верен обратный результат, который
будет доказан в § 8.4. Мы также покажем, что теорема 8.1.6
остается справедливой в случае, когда особенности определяют¬
ся как точки неаналитичности.
В качестве подготовки к обсуждению волновых фронтов од¬
нородных распределений мы установим сейчас аналог лем¬
мы 8.1.1.
Лемма 8.1.7. Если и е 91', то WF{v)ai Rrt X F, где F — предель¬
ный конус для supp v на бесконечности. Он состоит из пределов
последовательностей tfe с |/ e -supp v и 0 < tj -> 0.
Доказательство. Конус F, очевидно, замкнут. Для всякого зам¬
кнутого конуса Г с fni7 ={0} можно выбрать е>0 и С так,


310	8. Спектральный анализ особенностей
что
|£ — т||>б|||. если £<=Г, л еsuppб и |£|>С.
Действительно, иначе найдутся ^-еГ и т), е supp v, удовле¬
творяющие неравенствам ||/ — т);| < | £,■[// и | £;[>/, а тогда
последовательность т)//||/| имеет предельную точку беГП^
с 101 == 1, что невозможно. Для среСоЧК”) преобразование
Фурье от и — фо равно (2я)-пф,*б. Выберем ifeo (Rn) так,
что ф(£)=1 при |£|>1 и ф(£) = 0 при ||| <1/2. Тогда
Фя(£) = ф(£)ф(£/Я) совпадает с ф .(g) при |£|	#, откуда
(2я)Лй(Е) = 0ч(Ф/г(Е-л)) при £еГ,	\1\>С.
Так как йе/, то для некоторых N, С', С" и £ е Г, |£|>С,
R ^ е|£| имеем
|й(£)1<с' Е sup | лай^Фр (| — л) I
[ <х+Р| < iv
<C"(1+|£I)W Е sup |т,а/)рф(т,)|.
|а+Р1<ЛГ |т)|>«/2
Если выбрать /? = в|£|, то правая часть быстро убывает, по¬
скольку ф е 9*. Это доказывает лемму.
Теорема 8.1.8. Пусть u^2)'(Rn) однородно в R"\0. Тогда
<8.1.17) (x,l)<=WF(u)^(l, -x)<=WF{a), если ^Ои^О;
<8.1.18) х €= supp и ■<=>■ (0, — х) ^ WF (й), если х ф 0;
(8.1.19)	£ е supp й-<=>-(0, |) е WF (и), если £ Ф 0.
Доказательство. Предположим сначала, что и однородно в R".
Для доказательства (8.1.17) достаточно показать, что если
Хо ¥=0, £о ¥= 0, то
(8.1.17)' (хо, b>)<£WF(u)=>(£о, -x0)<£WF(a),
поскольку й также однородно и обратная импликация полу¬
чается применением (8.1.17)' к й, так как й = (2я)"ы. Выберем
функцию хе Со° (R"), равную 1 в окрестности £о, и функцию
•ф е Со° (R"), равную 1 в окрестности хо, с настолько малыми
носителями, что
(8.1.20)	(supp ф X suppx) П WF{u) = 0.
Нам нужно оценить преобразование Фурье функции v = %й в
конической окрестности точки —хо. Пусть ф (лг) = 1 при
\х — х0|<2г. Рассмотрим v(—tx) при |х — х0|<г и боль¬
ших t. Если и однородно в R" степени а, то
V (— tx) = х * й (— tx) = (и, х (— tx + •)) = ta+n (и, х (/ (■ — х))).


8.1. Волновой фронт 311
Положим фи = «о И (1 — ф)ц = И1. Тогда 2 (и0)П supp % = 0
в соответствии с предложением 8.1.3 и формулой (8.1.20). Сле¬
довательно,
ч. х (/ (• - *))> = $ “о т % т е1 <*• тп
быстро убывает при tоо, так как Рй0(^)х(£) ограничено при
любом N. Сверх того,
Ч. %(Н- -х))) = (и, (1 -Ф)£(/(• —х)))
также быстро убывает вследствие ограниченности семейства
функций
— ^(y))%(t(y — х))
в ТР при любом N. Действительно, \х — лг0|< г по предположе¬
нию, а | у — х01 > 2г на supp (1 — ф {у)), откуда t ^ 11 у — х\ /г
и |#|^г|# — *| + |*о| + Л Поскольку j(E^, то доказательство
(8.1.17)' закончено.
В общем случае из (7! 1.19) и (7.1.18) вытекает, что и =
w + Wo + Q (D) wi й = w + Wo + Q(£)$i, где w однородно,
supp ш0 <={0}, Wi{x) = \x\~n/cn при Х=ф0, Ч(£) = — log|£| и
Q — многочлен. Так как и — w и й—w принадлежат С°° вне
начала координат, то (8.1.17) получается в общем случае.
Чтобы доказать (8.1.18), заметим сначала, что, так как
и = (2л)пй, то из леммы 8.1.7 с и = й вытекает импликация
х ^ supp и =>■ (0,—x)^WF(d).	Теперь предположим, что
(0, — х0)<£ WF(d). Выберем х^СГ так, чтобы х(0)=1 и пре-
образование Фурье от %й быстро убывало в конической окрест¬
ности Г точки —А'0. Добавление к и члена с носителем в 0 не
сказывается на (8.1.18). Поэтому мы можем считать, что либо и
однородно в Rn порядка а, либо а = — п — k при некотором
целом	и выполнено (3.2.24). Следовательно, преобразо¬
вание Фурье распределения %й в точке tx равно
X * «(tx) = Ч X (• + tx)) = ta (и, ф, (• + х))
“Ь log t Е ca(day)(tx)/a\,
|a| = ft
где Ф;(х)= tn%(tx) и сумма присутствует лишь для целых k =
—п — а ^ 0. При хеГ левая часть, равно как и сумма, быст¬
ро стремятся к 0 при t-*■ оо. Таким образом,
(и, фД • + х))= й * фДх) -> 0 в Г при t —> оо.
Так как свертка сходится к {2л)пй в ^'(Rn), то й = 0 в Г. Зна¬
чит, Хо ф supp и и (8.1.18) доказано.
Если и, а следовательно, и й однородны в R", то (8.1.19)
вытекает из (8.1.18), примененного к й. Если и не однородно.


312	8. Спектральный анализ особенностей
то для некоторого / >0 распределение u(t ■) — tau ненулевое и
имеет носителем 0. Поэтому (0, |) лежит в WF(u) для всех
%Ф0 и 1 е supp й, поскольку й = U + V, где U имеет вид
(7.1.19)	с однородными U0 и Q, Q Ф 0, а V—полином. Дока¬
зательство закончено.
Наш последний пример касается распределений, определен¬
ных в § 7.8 осцилляторными интегралами.
Теорема 8.1.9. Для распределения
А=	0)rf0,
определенного в теореме 7.8.2, имеем
(8.1.21)	WF (А) с {(х, <р' (х, 0)); (х, 0) <= F и ф'(х, 0) = О}.
Перед доказательством заметим, что из (лг, Э) = 0 следует
<р(х, 0) = 0, так как функция ф однородна по 0 степени 1. Пред¬
полагается, что 1гпф^0, откуда Im ф' (х, 0) == 0. Поэтому
ф'(х, 0) в (8.1.21) вещественно.
Доказательство. Пусть феС*(Х). Тогда определение А озна¬
чает, что
фА (|) = ^ ^ е‘(ч>(х’ в>~1х’^гр(х)а (х, 9)dx dd,
где правая часть понимается как осцилляторный интеграл. Мы
хотим показать, что это выражение быстро убывает в произ¬
вольном замкнутом конусе V с: R”, не пересекающемся с мно¬
жеством
{ф'(*, 0); {х, 9)<^F, хеЕэиррф, ф^ (лг, 0) = О}.
Тогда с некоторой постоянной с > 0 имеем
(8.1.22)	|Б-Ф;(*, 0)| + |0||Фв(дс, 0)|>с(1Б1 + |01),
если {х, 0) е F, хевиррф, |еУ.
Для доказательства (8.1.22) сначала заметим, что ф*(х, 0) и
]0|фд(х, 0) непрерывны в F и равны 0 при 0=0. Вследствие
однородности достаточно установить (8.1.22) при ||| + |01=1.
Но из-за компактности нужно лишь показать, что левая часть
никогда не обращается в 0 при (х, 6)ef, хеэиррф, V.
Если 0 = 0, то 1£ — ф' (х, 0) | = 1. Если же 0 Ф 0, фд (х, 0) = 0,
то ЪФу'х(х, 0), поскольку l^V, что и доказывает (8.1.22).
Представляя осцилляторный интеграл с помощью использо¬
ванного при доказательстве теоремы 7.8.2 разбиения единицы


8.1. Волновой фронт 31В
по 0, получаем
оо
фА (£) = ^ ^ е‘(ч> <*• 6) ~(х•	(х) xv (9) о. (х, Q)dxdQ,
о
где все слагаемые принадлежат 9>. При R — 2V_1 слагаемые с
v Ф 0 могут быть записаны в виде
(8.1.28) RN ^ el e)-w- 5»ф (*) Xi (0) а (х, RQ) dx dQ.
Полагая Ф(х, 0) = (/?qp(лг, 0)—<Х £>)/(#-{-11|)	на носителе
ф (*) Хх (0) а (х, RQ), при I е V получаем
|ф;| + |фе|>с(^101 + 1^)/(^ + 1^1)>с-
Верны также оценки
| DlDh М X, (в) а(х, RB) | < CapRm+v (1“|+|РП,
где у = шах(1 —р, б) < 1. Из теоремы 7.7.1 вытекает, что
(8.1.23)	при больших k оценивается через
CkRm+N+ky (R + 1£1 Г* <CkR~l 1£ |»+"+i+«v-D\	£ s F.
ОО	^
Так как £21_v = 2, то отсюда следует, что %Л(£) быстро убы-
1
вает в V. Это заканчивает доказательство теоремы.
Теорема 8.1.5 является весьма частным случаем теоре¬
мы 8.1.9. Действительно, пусть М есть С°°-многообразие в Rn,
определяемое вблизи точки х0 равенствами
ф|(*)= ••• =Ф*(*) = 0,
причем ейрь ..., dqik линейно независимы в точке х0. Если
аеСо^Г) имеет носитель вблизи хо, то распределение
k
Л = ^a(-)ei<p('’ e)dQ, ф(х, 0) = ^]ф/(*)0/,
1
в силу (7.8.5) равно
(2я)*а(х)6(ф„ ..., фА),
где б есть б-«функция» в 0 на R*. Такой вид имеет произволь¬
ная гладкая плотность на М с носителем вблизи х0. Теоре¬
ма 8.1.9 показывает теперь, что
WF (Л) с {(х, ф' (х, 0)); фу (х) =• О, / = 1, .. ., k, х <= supp а).
Справа стоит конормальное расслоение к М над supp а (в § 8.2
мы увидим, что на самом деле вместо включения здесь равен¬


314	8. Спектральный анализ особенностей
ство). Мы предоставляем читателю в качестве упражнения при¬
менить теорему 8.1.9 к распределениям примера 7.8.4. Теоре¬
ма 8.1.9 оказывается одним из основных результатов, приводя¬
щих к лагранжевым распределениям (см. гл. 25).
8.2.	Обзор операций над распределениями
Из-за особенностей невозможно в общем случае определить для
распределений умножение и композицию с отображениями. Мы
сейчас покажем, что определения обеих операций могут быть
обобщены, если принять во внимание более подробное описание
особенностей, даваемое волновыми фронтами. Как и в § 6.1, мы
всегда будем определять такие операции посредством продол¬
жения по непрерывности с гладкого случая. Таким образом,
первое, что следует обсудить, — это топология на пространстве
распределений с заданным условием на волновой фронт.
Пусть X — открытое множество в R”, Г — замкнутый конус
в XX(R"\0). Положим
®'т (*) = {ие®' (X); WF (и) cz Г}.
Лемма 8.2.1. Распределение ией)'(Х) принадлежит &Г{Х)
тогда и только тогда, когда для всякой среСГ № и произволь¬
ного замкнутого конуса V a R", такого что
<8.2.1)	m{suppcpXK}= 0.
справедливы оценки
<8.2.2)	sup|g|w|q>u(6)[< °о, N=1, 2
Доказательство. Из (8.2.2) следует, что (х, |)^ WF(и), если
"Ф^^О и g лежит во внутренности V. Поэтому условие доста¬
точно. С другой стороны, если и е2)р(Х) и 2 (еры), то в со¬
ответствии с предложением 8.1.3 и соотношением (8.1.9)
(х, |)еГ для некоторого х е supp qp, откуда g ф. V в силу
(8.2.1), что и доказывает оценку (8.2.2).
Определение 8.2.2. Относительно последовательности uj е SD'V (X)
и распределения и^0^(Х) условимся говорить, что
в 3)'Г(Х), если
v
0)
<11)
Uj-*u в З)'(Х) (слабо),
sup 11И фи (|) — еры/ (g) [ -> 0 при /->
v
оо


8.2. Обзор операций над распределениями 315
для любых N = 1, 2	ере Со” СЮ и замкнутого конуса V
в Rn, для которых имеет место (8.2.1).
Так как из (i) вытекает, что ери/ -> еры равномерно на вся¬
ком компакте, и JV в (И) произвольно, то мы можем заменить
условие (И) на
(И)' sup sup 11 |w | cpvj (|) | < oo, N = l, 2
/ NK
Следующая теорема обобщает теорему 4.1.5.
Теорема 8.2.3. Для любого и е 2)'v (X) существует такая по¬
следовательность Uj е Со° (А), что Uj-+u в 2>'г(Х).
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.1.5, рассмот¬
рим и, = (х/ы) * ф/, где
a)	%]^С™(Х) и для любого компакта К с: X имеем х/= 1
на К при большом /,
b)	0<f/eC0‘°(R'1), ^(fjdx—l и suppf/ настолько мал,
что имеет место (4.1.4).
Тогда мы уже знаем, что Uj^.C™(X) и u.j-±u в 2>'(Х).
Если <р и V удовлетворяют (8.2.1), то можно выбрать функцию
ipeCo°(^)i равную 1 в окрестности supp ср, и замкнутый конус
W, внутренность которого содержит К\0, таким образом, что
rn(suppip X W)= 0.
Для больших j имеем еры/ = фа>/, где ш; = ф/*(ф«), откуда
^ I 1 = 1 Ф/ II фы|<|фы|.
Так как ]гры| быстро убывает в W, то доказательство лем¬
мы 8.1.1 дает (ii)' (см. (8.1.3)'), и теорема доказана.
Теорема 8.2.4. Пусть X и Y — открытые подмножества в Rm и Rn
соответственно и f: X -»• Y есть С°°-отображение. Введем мно¬
жество нормалей к f:
Nf = Ш(х), t])erxR"; 'Г«ч = о}.
Тогда обратный образ f*u может быть единственным способом
определен для всех и е 2)' (У), для которых
(8.2.3)	Nf[]WF(u)=0,
так, что f*u — u°f при и^С°° и для произвольного замкнутого
конического подмножества Г a Y X (Rrt\0), для которого ГП
Nf — 0, мы получаем непрерывное отображение /*: 2)'т (У) ->■
2>'f,r(X), где
(8.2.4)
Гг = {(*. ГМл);	л)еГ).


316	8. Спектральный анализ особенностей -
В частности, для любого u^2)'{Y), удовлетворяющего (8.2.3),
WF(fu)c:rWF{u).
Доказательство. Для «е С°°(У) положим f*u = u°f. По тео¬
реме 8.2.3 достаточно доказать, что f* переводит последователь¬
ности ыу е С°°, сходящиеся в 3)'Г (Y), в последовательности,
сходящиеся в ZD'f,T(X). Докажем сначала просто сходимость в
Ж)'{Х). С помощью формулы обращения преобразования Фурье,
примененной к и, при неС|Г (Y) и	(X) получаем
(8.2.5)	<Г«, Х> = (2я)~п ^ й (л) 1Х (л) <*Л.
1% (л) = ^ % (*) е1 <*>• dx.
Пусть х0^Х, г/0 = / (х0), Г„0 = {л; (у0, л)еП- Выберем:
a)	такую замкнутую коническую окрестность V множества
IV что */'(*о)Л Ф 0, л V;
b)	такую компактную окрестность У0 точки у0, что V яв-
является окрестностью Гу для всех у е У0; такая окрестность
существует, так как конус Г замкнут;
c)	такую компактную окрестность Х0 точки х0, что f(X0)
содержится во внутренности Уо и ‘['(х)цфО при хеХо и
1|еУ
Выберем функцию ф еС0"(У0), равную 1 на f(X0). Тогда
если	то равенство (8.2.5) верно после замены про¬
извольной функции иеС°°(У) на еры в его правой части. По¬
скольку d(f(x),i])=(dx, (Г(х)г}) и
IЛ |^С!*Г(*)Л I при xesuppx и л^Е,
из теоремы 7.7.1 следует, что
<8.2.6) /х(л)<Сдг.х(1 + |л1Г", Л^Е, N=1,2,....
Если ы;еС“(У) и ну->н в 3)'T{Y), то
|ф^(л)|<СИ» + 1л1Г".	N= 1,2,...,
и для некоторого М (ср. с доказательством теоремы 2.1.8)
1фМл)1<с(1 + |л1)л,>
Поэтому применение теоремы Лебега о мажорированной схо¬
димости в Е и в СЕ дает
(ГЫ/, %) -* (2я)~п ^ <рн (л) 1% (л) Лц,


8.2. Обзор операций над распределениями 317
и, следовательно, f*u,- сходятся в 3)' к пределу, не зависящему
от выбранной последовательности (см. замечание после теоре¬
мы 2.2.4). Обозначим этот предел через f*u.
Для доказательства непрерывности отображения /*: 3)'г(Х)->
-+3)'f,T(X) положим xf'Uj = vj. Тогда после замены х нахе_<<'’^
из (8.2.5) получаем
Vj (I) = (2л)~п ^ ери, (л) /х (т], |) di\,
1х(т\, Ю =
Пусть W — открытая коническая окрестность множества
*f' (х0) Г^0 = (/Т)^. Можно считать, что V и Х0 выбраны выше
так, что
если *еХ0 и т) <= V,
При таком выборе для некоторого е > О имеем
|7'(*)П-£1>е(Ш + Ы) при *еХ0> цеУ и 1&W,
так как левая часть не обращается в нуль при ||| + |ч|—1-
Поэтому для любого N теорема 7.7.1 дает
(8.2.6)	' |/xh, i)l<C*(l+m + |Tiir" при 1<£W и r,eF.
Если x\^LV, то мы воспользуемся другим очевидным след¬
ствием теоремы 7.7.1:
(8.2.6) "	|/х(т], aKCHl+liil)"(1+ШГ*.
Объединяя предыдущие оценки, получаем при | ф W:
K(l)l<CwQ(l +Ш + 1л1)М_ЛГ^
+ 0 + 111)'" J 14^(4)1(1+141)^^.
си	/
Поскольку фщ удовлетворяют условию (И)' (сформулирован¬
ному после определения 8.2.2) в CV, то
sup sup 11 \N | хГ«/ (S) I < °°> N— 1, 2, ..
/ ЪФЧР
где W — некоторая коническая окрестность множества (fT)^,
a supp х достаточно близок к х0. С помощью разбиения единицы
получаем теперь, что	—»■ f*ti в	и доказательство завер¬
шено.
Если X есть (^-многообразие и ие2)'(Х), то мы можем
определить WF(и)	Т* (Х)\0 так, чтобы его сужение на


318	8. Спектральный анализ особенностей
координатную окрестность Хж было равнои'ШДц °и-1). Действи¬
тельно, если f — диффеоморфизм двух открытых подмножеств
то из теоремы 8.2.4 следует, что WF(f*v) есть обратный об¬
раз множества WF(v), рассматриваемого как подмножество ко-
касательного расслоения. Поэтому предыдущее определение не
зависит от выбора локальных координат. Ясно, что WF{u) —
замкнутое подмножество в Т*(Х)\0, которое является кони¬
ческим в том смысле, что его пересечение с векторным простран¬
ством Т*х (X) есть конус для всех ле! В самом деле, эти свой¬
ства локальны и наследуются при переходе от координатных
окрестностей.
Если Е — векторное расслоение класса С°° над X и us
3)'(Х,Е), то определим WF(u) локально как (JWF(m), где
(«1, иы) —компоненты и относительно некоторой локальной
тривиализации Е. Переход к другой тривиализации означает
лишь умножение («ь ..., иы) на обратимую С°°-матрицу, и по¬
этому определение не зависит от выбора локальной тривиали¬
зации.
Пример 8.2.5. Если и есть С°°-плотность на некотором С*°-под-
многообразии У многообразия X, то
WF(u) = {(x, Е)еГ'(Х); x<=supp«, 0 и <Г*(У), |> = 0}.
Действительно, при подходящем выборе координат это просто
теорема 8.1.5 Таким образом, волновой фронт представляет со¬
бой сужение на supp и нормального расслоения
N (У) — {(у, £); уеГ, (Ту(У), £> = 0}
с удаленным нулевым сечением.
Пример 8.2.6. Для распределения (Л ± Ю)(2-п*/'2 в (6.2.1) имеем
(8.2.7)	WF ((Л ± i0f~n)l2) = {(*, t dA (*)); х =Ф 0,
А (я) = 0, ±*>0}1Ш\0.
Действительно, поскольку, в силу теоремы 8.1.6,
WF((t ± i0)a)cz {(0, т); ±т > 0}, из теоремы 8.2.4 вытекает, что
левая часть содержится в правой при х Ф 0, а при х = 0 это
тривиально. Так как
В(<Э)(Л ±10)<2-п)/2=с6о,
где с =?^0, то из (8.1.11) и равенства Ц7/-’(60) = 7'о \ 0 (верного
по теореме 8.1.5) следует, что левая часть (8.2.7) содержит
Т„\ 0. Далее, распределение (Л ± Ю) (2~")/2 не принадлежит
к С00 ни в какой точке хфО, в которой Л(я) = 0, что доказы¬
вает наличие равенства в (8.2.7). Если вспомнить, каким обра¬
зом в доказательстве теоремы 6.2.1 распределение записы¬


8.2. Обзор операций над распределениями 319
валось в виде линейной комбинации распределений (/±Ю)а
при а ф. Z+, то в Кя\0 получим
(8.2.8)	WF (Л*х(|~")/2) = {(*, ЫА(х)); Л(х) = 0, х Ф 0, /^=0}.
В начале координат этот волновой фронт в силу замкнутости
содержит множество
(8.2.9)	{(0, dA (*)); Л (х) = 0, х Ф 0} = {(0, £); £ Ф 0, В (£) = 0},
а при нечетных п+(п-) аргументы, приведенные выше, показы¬
вают, что он содержит Го \ 0. При четных п+(п_) из теоре¬
мы 8.3.1 будет следовать, что волновой фронт в 0 совпадает
с множеством (8.2.9). Из приведенных соображений сразу вы¬
текает, что волновой фронт опережающего фундаментального
решения волнового оператора есть объединение нормального
расслоения к переднему световому конусу без нуля и множе¬
ства Го \ 0.
В гл. 6 мы не могли взять обратный образ распределения
на многообразии меньшей размерности. Однако теорема 8.2.4
позволяет иногда сделать это, что мы видим в следующем част¬
ном случае:
Следствие 8.2.7. Пусть У — подмногообразие в X с нормальным
расслоением N(Y). Если и — распределение на X и WF{u){\
N(Y) = 0, то сужение и | г корректно определено как обратный
образ при вложении У<=*. X.
Пример 8.2.8. Пусть Z — другое подмногообразие в X, и — плот¬
ность класса С°° на Z. Тогда WF(u)aN(Z), a N(Z)f\N(Y) со¬
держится в нулевом сечении в том и только том случае, когда из
х е Z П Y и ортогональности £еГ* к TX(Z) и TX{Y) следует
|=0, т. е. когда Tx(Z)-\-TX(Y)—Тх(Х), что означает транс¬
версальность пересечения Z с У. В этом случае сужение и на У
определено и является С°°-плотностью на Yf]Z. Действительно,
локальные координаты можно выбрать так, что X — Rn, Y имеет
вид х' = 0, Z имеет вид xf = 0, где х' — первые п' координат,
х" — следующие п" координат, х'" — координаты в Z [) Y и
х = (х', х", xf"). Тогда м = я(/,/')Х8(/) и и есть предел
а(х', x'")X<f>(x"/s)e~n" в &)щг\{Х) при в->0, если ср^С“(Рп)
и ^ ф (х") dx" = 1.	Сужением на У является функция
а(0, х'")ф(х"/г)е~п’, стремящаяся в 2)'(Y) при 8->0 к плот¬
ности а(0,х"')б(х") на пересечении Z (] У, рассматриваемом
как подмногообразие в У.
Теперь мы в состоянии определить произведение некоторых
пар распределений, имеющих особенности в одних и тех же


820	8. Спектральный анализ особенностей
точках. Для этого сначала заметим, что если и и v — функции
на X, то произведение и(х)и(х) есть сужение тензорного про¬
изведения u(x)v(y), определенного при (х,у)^ХуХ, на диа¬
гональ. Поэтому займемся сначала тензорным произведением.
Теорема 8.2.9. Если и е 2)'{Х), v <=SD'(К), то
(8.2.10)	WF {и ® и) cz (WF (и) У WF (v)) (J ((supp и X {0}) X WF (о))
U (WF (и) X (supp v X {0})).
Доказательство. Если ией"(ROT), v^S''(Rn), то преобразова¬
ние Фурье от	есть tf(£)u(r)). Ясно, что при иф 0, оФ0
2	(U ® v) а (2 (и) X 2 (о)) (J ({0} X 2 (v)) (J (2 (и) X {0}).
Для доказательства (8.2.10) нужно лишь применить это соот¬
ношение к фы и фи, где ф, ф е С°° и носители ф и ф сосредото¬
чены вблизи х и у соответственно.
Теорема 8.2.10. Если и, v^2)'(X), то произведение uv можно
определить как обратный образ тензорного произведения и ® о
относительно диагонального отображения б: Х-^ХУХ, если
не существует такого (x,^)sP(X)\0, что (x,Q^WF(u),
(х, —£)е WF(v). При этом
(8.2.11)	WF {uv) а {(х, £ -f- ц); (х, |) е= WF (и)
или | = 0, (х, ц) е WF (о) или т) = 0}.
Доказательство. Для диагонального отображения б (х) = (х, х)
из X в X X X имеем
6'(*)/ = (/, 0. где ts=Tx(X),
(х)(|, т]) = I + т), где I, т]еП(Я)-
Поэтому данная теорема есть непосредственное следствие тео¬
рем 8.2.4, 8.2.9.
Пример 8.2.11. Если и и v — плотность класса С°° на трансвер¬
сальных подмногообразиях У и Z в X, то uv есть С°°-плотность
на У П Z. Действительно, и ® v является С°°-плотностью на под¬
многообразии YXZ, трансверсальном диагонали в X у X. По¬
этому утверждение вытекает из примера 8.2.8.
Так как обратный образ был определен непрерывным про¬
должением композиции функций, то ясно, что приведенное опре¬
деление умножения распределений расширяет операцию умно¬
жения распределений и гладких функций из гл. 2. По той же
причине все стандартные правила вычислений сохраняются для
расширенных операций, определенных выше. Восполнить оче¬
видные детали мы предоставляем читателю.


8.2. Обзор операций над распределениями 321
В заключение обсудим свойства WF(X’u), где Ж— линейное
преобразование из С™ (У) в 2D' (X). Для простоты формулировок
ограничимся открытыми подмножествами X и У евклидовых
пространств.
Теорема 8.2.12. Пусть XciR", Ус Rm — открытые множества и
s (XX У). Через Ж обозначим соответствующее линейное
преобразование из С” (У) в 2D' (X). Тогда при меСо“ (У)
WFfflu) с {(х, |); (х, у, 0)’е WF (К) для некоторого у е supp у}.
Доказательство. Пусть t0eZ; выберем такое % е СГ (X), что
Х(Х0)=1, и положим
lKt = (%®u)K^&'(XXY).
Преобразование Фурье от %Жи есть /^(g, 0). Предложение 8.1.3
дает
2(/С,)с{(£, г)); (х, у, I, т])<= WF{K) для некоторых
tE SUpp X, у е SUpp ti).
Поэтому
2{%Жи) <=: {I; (х, у, O)^WF(K) для некоторых
X <= supp X, js supp и).
При supp х -»-{хо} получаем утверждение теоремы.
Это доказательство показывает, что Ж непрерывно отобра¬
жает С0~ (М) в ЯЬ? (-Х). если М — компакт в У и
Г = {(х, |); (х, у, £, 0) е WF (К) для некоторого у е М}.
Для объединения всех таких множеств будем пользоваться
обозначением
WF(K)x = {(x, Е); (х, у, |, 0)е WF(K) для некоторого y<=Y}.
Это множество, конечно, не обязано быть замкнутым. Если оно
пусто, то Ж непрерывно отображает С“ (У) в С°°(Х).
Первая часть следующей теоремы по существу двойственна
теореме 8.2.12.
Теорема 8.2.13. Существует единственный способ определения
Жи<^20'(Х) для всех u^.&'{Y), таких что U7f(u)f)
WF'(K)y — 0, где
WF' {К)у — {(У, Л)', (х, у, 0, — л) ^WF (К) для некоторого хе!},
при котором отображение <S'{М) (\2D'Tm и-+Жи^ ЗУ (X) непре¬
рывно для любого компакта Mcz.Y и любого замкнутого конуса
21 Зак. 821


322	8. Спектральный анализ особенностей
Г, не пересекающегося с WF'(K)r. При этом
(8.2.12)	WF (Жи) с WF (К)х U WF' (К) ° WF (и),
&дв
WF'(K) = {(x, у, Ь ч); (х, У, b -r\)<BWF(K)}
рассматривается как отношение, переводящее подмножества
Т* (У)\0 в подмножества Т* (Х)\0.
Доказательство. Пусть ф е Со° (У) равна 1 в окрестности ком¬
пакта М. Если носитель функции иеС“ содержится в этой
окрестности, то
Жи = Ж(и^) = Жи^,
где ядро Ж и. равно
Ки = К(\®и).
Если u^£B'(Y), то из теоремы 8.2.9 находим
WF(l ® «) = {(*, У, 0, цУ, (у, 4\)t=WF(u)}.
Произведение Ки определено, таким образом, для всех и е Ф'т (У),
если Г и WF'(K)y не пересекаются. Теорема 8.2.10 также дает
WF (Ки) <= {(*, У, Ъ> Ч + ч'); (*/. Ч) е WF (и) и
(х, у, I, х]') е WF (К)} U WF (К) U WF (1 ® и).
Ясно, что отображение Stfv э и -»• Ки е ЗУ (X X Y) непрерывно.
Равенство Жи =Ж葧, следовательно, дает непрерывное продол¬
жение Ж на все и е 9b'v с носителями вблизи М. Единствен¬
ность такого продолжения вытекает из теоремы 8.2.3. Пользуясь
теоремой 8.2.12, получаем
WF (Жи) с= {(х, |); (х, у, g, - Ч) е WF (К)
для некоторого (у, ц) <= WF (и)} (J WF (/С)*»
что доказывает (8.2.12).
Пусть теперь X сzRn, Y с= Rm, Z с= IRp — открытые множества,
Ki е3)'(X X Y), K2e=&'(YXZ). Предположим, что проекция
(8.2.13)	supp/C2 э (У> z)-* г
собственная, т. е. прообраз всякого компакта есть компакт. От¬
сюда следует, что если и е СГ (Z), то Ж2и е <8' (Y) и по теореме
8 2 12
WFW2u)<=WF(K2)y-
Если мы предположим, что
(8.2.14)	WF'(Ki)r(]WF(Kih = 2),


8.2. Обзор операций над распределениями 323
то композиция Ж\°Ж2 определена как непрерывное отображе¬
ние С” (Z) -»• 3)' (X). Поэтому оно имеет ядро Шварца /(е
ЗУ (X'XZ). Если Ki и К2— гладкие, то
К(х,	у) К2 (у, z) dy.
В общем случае ядро К также получается с помощью обрат¬
ного образа тензорного произведения /и ® К2^3)'(Х'Х УХ
У X Z) относительно отображения (х, у, z)-*-(x, у, у, z). Множе¬
ство нормалей к нему есть (х, у, у, z; 0, х\,—ц, 0), и благодаря
(8.2.14)	обратный образ определен. Наконец, его нужно проин¬
тегрировать по у в У, что дает К, а если воспользоваться теоре¬
мой 8.2.12, то и оценку для WF(K). Это приводит к следующей
теореме, опущенные и повторяющиеся детали доказательства ко¬
торой читатель без труда восстановит.
Теорема 8.2.14. Если справедливо (8.2.14) и проекция (8.2.13)
собственная, то композиция УС\°Ж2 определена и для ядра К
имеем
WF' (К) с= WF' (Кг) ° WF'(К») U (WF (Kih X Z X {0})
иихдох^'ош
Для иллюстрации предыдущих результатов рассмотрим опе¬
ратор свертки с распределением k^3)'(Rn). Его ядро — рас¬
пределение К, получаемое из k переходом к обратному образу
относительно отображения
R" X R" ^ (х, у) -*■ х — у е R".
Теорема 8.2.4 дает
WF (К) с= {(х, у, I, -1); (х - у, g) е= WF (k)}.
Для произвольной постоянной с имеем k = f*cK, где fc (х) =
(х + с, с), откуда */'(*)(£, т]) = |. Также по теореме 8.2.4
WF (k) с= {(х, g); (х + с, с, I, -1) е WF (К)},
Итак, в действительности имеет место равенство
(8.2.15)	WF(K) = {(x, у, Ь -6); (х-у, g)e WF(k)}.
Так как обе частотные компоненты обращаются в нуль одно¬
временно, то свертка с k отображает С0" в С“ и имеет непре¬
рывное продолжение до отображения %'-+£&'. Более того,
(8.2.16) WF (km и) с= {(я + У, 6); (х, 6) е WF (k) и
(y,l)t=WF(u)), и eff'.
21*


324	8. Спектральный анализ особенностей
Это значительное усиление теоремы 4.2.5 (прямое доказатель¬
ство этого включения легко получается из теоремы 4.2.5 и того
очевидного факта, что 2(&*и) содержится в 2(&)f|2(w) при
k, ие^').
8.3.	Волновые фронты решений уравнений
в частных производных
Дифференциальный оператор порядка т с (^-коэффициентами
имеет в открытом множестве X с= R" вид
(8.3.1)	P = P(x,D)= £ aa(x)Da.
|a|<m
Его главный символ (или главная часть) Рт определяется ра¬
венством
8.3.2)	Рт(х, g)= £ aa(x)ia.
| a|=m
Отметим, что это определение отличается от данного в § 6.4 на
множитель im. В соответствии с (6.4.6)' имеем
(8.3.2) '	Рт (х, dq>) = lim rme~itvPettv.
t-> ОО
Если X есть С°°-многообразие, то дифференциальный оператор
порядка т на X — это по определению оператор, имеющий вид
(8.3.1)	в локальных координатах. Из (8.3.2)' следует, что глав¬
ный символ инвариантно определен на кокасательном расслое¬
нии. Мы сейчас докажем ослабленное обратное к включению
(8.1.11).
Теорема 8.3.1. Если Р — дифференциальный оператор порядка
m с С°°-коэффициентами на многообразии X, то
(8.3.3)	WF (и) a Char Р U WF(Pu), и*=2У{Х),
где характеристическое множество Char Р определяется как
8.3.4)	Char Р = {(л, |) е Г (X) \ 0, Pm (х, g) = 0}.
Следствие 8.3.2. Если Р эллиптичен, т. е. Рт (х, |) ф 0 на
Т*(Х)\0, то
WF (и) = WF (Ри),	ие=2У(Х).
Следовательно,
sing supp и = sing supp Ри, ней)' (X).
Доказательство теоремы 8.3.1. Результат сформулирован для
многообразия, но является чисто локальным, так что в доказа¬


8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 325
тельстве можно считать, что ZczR". Если Рт (*0> £о) Ф 0, то
можно выбрать окрестность U с= X точки хо и открытый конус
V э |0 так, что для некоторого С
(8.3.5)	Шт<С|Рт(х, |)| при xt=U и £е=У.
Ниже на U и V будут наложены дополнительные условия. Вы¬
берем фиксированную функцию q>^C™(U), ср(х0)~ 1. Для оцен¬
ки фы(|) при V заметим сначала, что если
*Pv = X (— D)a(aav),
т. е. *Р— формально транспонированный к Р оператор, то
Ри — f означает, что
(и, *Pv) = (f, v), v^Co(X).
Хотелось бы выбрать v так, чтобы левая часть превратилась
в <ры(£), или, иными словами,
*Pv (х) = ф (х) е~Их- в.
При больших | приближенным решением будет e~i{x’®/Pm(x, |).
Улучшим его, положив
v{x) = t»(X)e-t<pc‘t>IPmix, I).
Уравнение для v примет вид
до — Rw — Ф.
Здесь R = Ri+ ... +Pm и	— дифференциальный опера¬
тор порядка с коэффициентами, однородными по £ степени
0.	Член из R степени однородности —/ получается, если m — /
дифференцирований действуют на экспоненту e~iix’%>. Тогда не
более / оставшихся будут действовать на до. Ввиду (8.3.5) лю¬
бые производные по х коэффициентов Р/|£|7 ограничены в
U X V. Формально уравнению до — Rw = ф удовлетворяет
00
ничимся конечной суммой
®N = X RkФ-
k<N
Тогда
wN — Rwn = ф — RN ф,
где RN — сумма членов, каждый из которых содержит множи¬
тель |£|-* с k ^ N. Это уравнение означает, что
*Р (х, D)	bwN (.x)/Pm (х, I)) = (ф - RNV).


326	8. Спектральный анализ особенностей
Поэтому
(8.3.6)	$T(g) = и(е~1	+ /(е~1<’• *>wN/Pm(•, g)), |sV.
Если распределение и имеет порядок р вблизи supp ф, то пер¬
вое слагаемое в правой части (8.3.6) оценивается через
С £ sup|Da(e“<<-’5>/?%)|<CA,lirw,	ш>1.
|аТ<р
Мы можем здесь сделать N — р произвольно большим. Если
(х0, Ъ)ф WF{f), то в силу (8.1.3)' окрестность U точки х0 и ко¬
нус V э |0 можно выбрать так, что для некоторого целого М
- при любом k = 1, 2, ...
sup I i !& [ Ш)\^Сь	£ sup | £>“ф |, фе Co” (U).
V	|a|<%+M
Взяв ф = ауЛГ//5т(.,|), видим, что второе слагаемое в правой
части (8.3.6) есть 0(|||-*) при |->-оо в V. Поэтому
Ф«(Ю = 0(||Г*).	k=\, 2
Это доказывает теорему 8.3.1.
Теорема 8.3.1 позволяет завершить доказательство того, что
волновой фронт распределения Л*х|-П)/2 (из теоремы 6.2.1) в
точке 0 при четном п+ (я_) выражается формулой- (8.2.9). Как
мы знаем, (8.2.9) оценивает его снизу, а так какВ(£>) Л*х(2_п)/2=0
при четном п+ (я_), то (8.2.9) оценивает его и сверху.
В обозначениях теоремы 6.2.1 заметим, что
В (D) Е± — б, Е± = с± (А ± i0f~n)l2
при подходящем выборе с+, с_. Записывая в (8.2.7) | = 2tAx
или х — (2получаем
(8.3.7) WF (£±) = №' (|), |); ± / > 0, £ Ф О, В (|) = 0} U П \ 0.
Разность Е+ — £_ удовлетворяет уравнению B(D)(E+ — £_) = 0
WF (Е+ - £_) = ШВ' (|), 6); / е R, g # 0, В (|) = 0}.
Действительно, это следует из (8.3.7) при х^=0, поскольку оба
члена имеют непересекающиеся волновые фронты, а в точке 0
применимы те же соображения, что и выше для %(2-п,/2. Сдви¬
гом получаем решение уравнения В (£>)« = 0 с WF(u),. содер¬
жащим произвольную точку из Char В. Однако не любое под¬
множество из Char В может быть волновым фронтом решения.
Для доказательства рассмотрим »е|,/(к'1) и положим


8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных вронзводных 327
B(D)v=g. Тогда
v — E+*g
и (8.2.16), (8.3.7) дают
WF (v) с WF (g) U {(х + iB' (g), g);
(х, Z)<=WF(g), О0ЛФ0, В (|) = 0}.
Используя Е- вместо Е+, получаем аналогичное включение
с t < 0. Если
(*, l)^WF(v)\WF(g),
то .6(|) = 0 по теореме 8.3.1, и предыдущее включение показы¬
вает, что найдутся такие t- и t+, t~<.Q<.t+, что {х—t+B'(l),
Z)^WF(g). Отсюда получается
ТеЪрема 8.3.3. Пусть В — вещественная невырожденная квадра¬
тичная форма в R", X — открытое множество в R" ице D' (X) —
решение уравнения B(D)u = f. Если {х, |)е WF(u)\WF(f), то
£(|) = 0и
IX{l}^WF{u),
где I — такой отрезок прямой, проходящей через точку х в на¬
правлении	что /Х{|} не пересекает WF(f).
Таким образом, особенности и частоты g распространяются
в X, не меняя частоты в направлении В'(|), пока они не встре¬
тят особенности f.
Доказательство. 6(|) = 0 по теореме 8.3.1. Выберем феСо°(^)
так, что <р(*)= 1. £ Л supp ф с=/, где L — прямая, содержащая /,
Тогда v — фц е= и
В (D) v — фб (D) и + w = ф/ + w,
где supp w сz supp dq>. Поскольку
(L X {£}) Л WF (В (D) v) = (LX {!}) Л WF (ю),
то из предваряющих теорему рассуждений следует существова¬
ние таких точек г± е L, лежащих по обе стороны от х, что
(z±, |)<= WF(w). Поэтому
г± s L Л supp сйр и (z±, g) <= WF (и).
Для произвольных у+ и у-, лежащих во внутренности I по раз¬
ные стороны от х, можно выбрать ф так, чтобы L Л supp dqi было
как угодно близко к {у+, у-}. Тогда (у±, g)e WF(u), что доказы¬
вает теорему.
Чуть ниже будет доказана справедливость теоремы 8.3.3 для
значительно более общих дифференциальных операторов


328	8. Спектральный анализ особенностей
с постоянными коэффициентами, хотя тогда в нашем распоряже¬
нии не будет столь явных фундаментальных решений. Но сначала
приведем пример решения волнового уравнения в !R4, демон¬
стрирующий, что теорема 8.3.3 исчерпывает все условия, кото¬
рым должен удовлетворять/R7£(«) при B(D)u = 0.
Пример 8.3.4. Для произвольного ус |г/|=1 существует реше¬
ние и e,2)'(iR4) волнового уравнения
Пи = (с~2д2/дР-Ах)и = 0,
для которого
WF (и) = {(/, cty; sc, — sy); t <= R, s Ф 0}.
Для построения и изменим обозначения, положив Е+, £_ рав¬
ными опережающему и запаздывающему фундаментальным ре¬
шениям (см. § 6.2). Они пропорциональны 6(с2/2—|х|2) при
±t > 0, и, следовательно, для решения Е0 = Е+ — £_ уравнения
□£0 =0 на основании примера 8.2.5, теоремы 8.2.4 и тео¬
ремы 8.3.1
WF{E0) с= {(/, ctx; sc, — sx); /eR, sgR\0, igR3, | x | = 1}.
Рассмотрим положительную СГ-плотность f на прямой L, про¬
ходящей через 0 в направлении (1 ,су), и положим u — Eo*f.
Пример 8.2.5 дает
WF (f) с= {{t, cty; т, I); /eR.t + с (у, I) = 0}.
Касательная плоскость т + с(у, £>=0 характеристического
конуса т2 — с2|£|2 = 0 пересекает сам конус лишь в точках, в
которых вектор (т, £) пропорционален (с,—у). Поэтому (8.2.16)
дает
(8.3.8)	WF(u)c: {(*, cty; sc, — sy); / eR, s ф 0}.
По (4.2.2) имеем {(f, x); ct = <x, у}) П supp и c L. Если t на¬
столько велико, что u = f*E+ в окрестности точки (t, cty)^ L,
то из (6.2.7) вытекает, что масса меры и для множества точек,
отстоящих от (t, cty) не более чем на 6, оценивается снизу че¬
рез С62 для некоторого С > 0. Поэтому (t, cty)^ sing Supp и.
Так как и вещественно, волновой фронт симметричен относи¬
тельно начала координат по частотной переменной. Итак, в
(8.3.8)	имеет место равенство, поскольку потеря одной точки
влечет по теореме 8.3.3 пустоту левой части.
С помощью другой свертки можно легко построить решение
с «половиной» волнового фронта решения, построенного выше.
Мы предоставляем это читателю, так как общий результат по¬
добного рода будет доказан ниже (теорема 8.3.8).


8.3. Волновые фронты решений уравнений и частных производных 320
Распространим теперь теорему 8.3.3 на общие дифференци¬
альные операторы с постоянными вещественными коэффициен¬
тами и невырожденным характеристическим множеством.
Определение 8.3.5. Дифференциальный оператор P(D) с постоян¬
ными коэффициентами в R“ называется оператором веществен¬
ного главного типа, если его главный символ Рт веществен и
(8.3.9)	Р'т(1)Ф 0 при | е R" \0.
Так как из Р'т(1) = 0 следует, что тРт(Ъ) = (Р'т{%), £) = 0,
то достаточно предполагать, что (8.3.9) имеет место при
Лп(1) = 0.
По теореме 7.1.23 преобразование Фурье использованного
в доказательстве теоремы 8.3.3 фундаментального решения Е±
оператора B(D) есть (В (|) =F iO)-1. В соответствии с лем¬
мой 6.2.2 последнее является пределом £(| + йщ(£))-1 при
e-»-=F0, если о —векторное поле и <£'(£), £>(£)> >0. Мы вос¬
пользуемся этим как мотивировкой для построения фундамен¬
тального решения в общем случае, но присутствие младших чле¬
нов заставит нас выйти на конечное расстояние в комплексную
область. С оператором Р вещественного главного типа свяжем
векторное поле
o(i)=p;(S)isrm.
Оно однородно по | степени 0. В следующей лемме дается оцен¬
ка снизу для Р в направлении iv(%) из точки |.
Лемма 8.3.6. Существуют такие положительные постоянные t,
Си С2 и С3, что
(8.3.10)	Im Р (g + iiv (£) iV)
io-c2(m+i)m(i£i+mr-2
при |eRn, |£123* С3, Re R".
Доказательство. Формула Тейлора дает
Im Р (£ + itv (£) + IV) > {P'm (£), iv (£) + F)
— C(/-f-|F|)2(|£|-M + |F |)m~2 — С (I £ 1 + * + 1 F | )m-1.
В силу (8.3.9) существует такое с > 0, что
(p'm®, o(g)>>c|6r-‘.
Фиксируя t так, что tc>C, получим (8.3.10) при F = 0. Оче¬
видная оценка содержащих V членов приводит к (8.3.10) в об¬
щем случае.


$30	8. Спектральные анализ особенностей
Теорема 8.3.7. Если P(D) — оператор вещественного главного
типа, то существуют такие Е±^£Ю'(Rn) и <о+е C°°(Rn), что
P(D)E± = 8 + и
(8.3.11)	WF (Е±) с= {(iP'm (g), g); ± t > 0, Pm (g) = 0, g ф 0} U Г0 \ 0.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что
m > л + 1, так как если Е± обладают сформулированными
свойствами для A*Р(£>), то AkE± обладают ими для P(D) (здесь
А — оператор Лапласа). Замена Р на —Р меняет Е+ и £_ ро¬
лями, так что достаточно построить Е_. Руководствуясь рассмот¬
ренным выше случаем операторов второго порядка, обозначим
через Г цепь
(8.3.12)	RB3g-^g + «ti(g),	|||>С3,
где С3 и / взяты из леммы 8.3.6. Замечая, что, в силу (8.3.10),
Im Р (£) ^ Ci (1 +1 Re £1)n+1 на Г, положим
(8.3.13)	Е_ (х) = (2я)~п J ei «*• 0//> (£) dh Л ... Л d£n, х е Rn.
В терминах параметров gi	g„ на Г в явном виде имеем
rfSiA ... hd^n = Jdlxh ... t\d%n,
I = D(h + itvx(l)	g„ + itvn (l))/D (ii, .... i„)	1 на oo,
так что интеграл (8.3.13) локально абсолютно и равномерно
сходится. Если ф еСГ и ф = Р (— D) ф, то
<Р (D)E_, ф) = (Е_, ф> =, (2яГп ^ ф (х) ег <*■ »/р (g) dx dg, Л ... Л d£n.
r
Проинтегрируем сначала по х и используем равенство ф(—£) =
Р(£)ф(—£). Для любой аналитической функции F дифферен¬
циальная форма F(t)dt,i л • • • bdln замкнута, так как dF — ли¬
нейная комбинация d%\, ..., d%n. Поэтому ф(—g)^ Л •• • Л dt,n —
замкнутая дифференциальная форма, быстро убывающая на
бесконечности, и по формуле Стокса
<Р (D) Е_, Ф> = (2я)~п J ф (- g) dg, Л ... Л dU
г
Здесь Го есть цепь
Л
Л dt,n.
Rn=3i^i + to0(i),	m<c3,
где oo — гладкое продолжение ос ||| = С3 на |||^С3, делаю¬
щее Г U Го гомотопным R". Следовательно, P(D)E- = 6 + ©-,


8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 331
где, так как Го — компакт,
ю_ (ж) = - (2я)-п J е* <*• S> d£, Л ... Л </£„
г,
— целая аналитическая функция. Теорема 8.3.1 показывает, что
^тШ = 0, если (ж, |)е= WF(E-) ихфО.
Для завершения доказательства нужно еще проверить, что
(ж0, lo)£ WF(E-), если х0 ф R_P^ (g0). Последнее в точности
означает, что найдется вектор 7бКп, |У|=1, для которого
(8.3.14)	<ж0, V)>0,	(Р'т(io), Г)>0.
Выбирая для go коническую окрестность W так, что с некото¬
рым с > О
<р;а). v>>C|gim-1, gег,
из (8.3.10) при ge W получаем
Im Р (g + itv (g) + *W)
^c.d+mr^ + cigr-^-c^s + Osdgi+sr-2
если 0<s<e,|g| и |g| достаточно велико. Заменяя V на eV,
получаем
(8.3.15)	ImP(g + itv (g) + isV)^Ci(l +1g|)m_1,
geF, 0<s<|g|,	|g|>c;
Выберем такую однородную степени 0 функцию %^C°°(Rn^\0)
с носителем в W, что 0 ^ х ^ 1 и х = 1 в конической окрестно¬
сти Wq вектора go. Если <ж, У) > 0, что верно в некоторой ок¬
рестности точки жо, то по формуле Стокса находим
(8.3.13)' Е_ (ж) = (2я)_п \ (e^b/P^d^A... лс%п,
*'к
где Г' — цепь вида
Rn3g^g-HMI) + *lllx(l)F, III >С'3,
а Г' — объединение части Г, на которой С3 < | g | < С3, и цепи
{(I, s); ||| = С;, 0<s<C'3}->t + itv{t) + isx(t)V
с подходящими ориентациями. При <ж, Г> >0 вклад в (8.3.13)'
части с $еГ' или с Re £ S W0 — аналитическая по ж функция.
Если же М — измеримое коническое множество, содержащееся


332	8. Спектральный анализ особенностей
в замкнутом собственном выпуклом конусе G, то волновой
фронт функции
*	J	(е‘ <*• VP (0) rfC, л ... л dZn,, (х, У) > О,
ter'.ReteM
содержится в множестве {(х, |); (х, V) > 0, | еб), Это следует
из теоремы 8.1.6. Действительно, заменяя х на z — x-\-iy, при
ограниченном \х\, <х, У) > 0 и при у из внутренности двой¬
ственного к G конуса, мы получаем ограниченную аналитиче¬
скую функцию, так как
Re I {г, 0 = — <х, 1ш £) — (у, Re £> < — i (х, v (£)) < С | х |.
Мы можем покрыть С№0 конечным числом таких конусов G,
не содержащих |0- Поэтому (х0, Ъ)ф WF(E-). Доказательство
закончено.
Повторение доказательства теоремы 8.3.3 показывает, что
верна
Теорема 8.3.3'. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа. Если um2)'{X), P(D)u=*f и (г, |)е= WF(u)\WF(f), то
Рm (|) = 0 U
ix®<=wf(u),
где I с= X — такой прямолинейный отрезок, проходящий через х
в направлении Р'т{|), что /Х{|} не пересекает WF{f).
В заключение дадим обобщение примера 8.3.4.
Теорема 8.3.8. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа, O^geR" и Pm(g) = 0. Тогда найдется такая функция
u<=Cm(R"), что P(D)u«=C°°(Rn) и
8.3.16)	WF (и) = {((Р'т (g), sty Ш R, s > 0}.
Доказательство. Положим L = RР'т (g), и пусть FF — множество
всех иеСт(R”), для которых РцеС°°(Rn), «<=C°°(CL) и
WF (и) с: Rn X (R+g). Поскольку для uef
yP(«)<=Rp;(S)XR+6,
и (по теореме 8.3.3') и е С°°, если включение строгое, то тео¬
рема утверждает, что найдется функция «ef, не принадлежа¬


8.3. Волновые фронты решений уравнений в частных производных 333
щая С°°. Множество является пространством Фреше с полу¬
нормами:
(О sup|Da«|, |a|^m, К — компакт в R";
к
(И) sup|Da«|, а произвольно, К — компакт в OL;
к
(iii)	sup |DaP(D)«|, а произвольно, ^—компакт в R";
к
(iv)	sup | т] |'фи (т]) |, N= 1, 2	qpeC“(R").
crN
Здесь Га? — последовательность конических окрестностей точки
£ в R", стягивающихся к R+g. Достаточно ограничиться счетным
числом компактов К и функций <р, так как полунорма (iv) с не¬
которым ф оценивается через соответствующую полунорму, в ко¬
торой ф заменено на функцию ф, равную 1 на виррф (см. дока¬
зательство леммы 8.1.1). Доказательство полноты мы предо¬
ставляем читателю в качестве упражнения. Если с Cm+1, то
по теореме о замкнутом графике вложение Э~ <=~Ст+х непрерыв¬
но. Поэтому найдутся такие Af, ф е С“ (Rn), Ki Rn и К2 ^ CL,
что
(8.3.17)	£	|Яа«(0)|<С/ £ sup|DauI + £ sup|Dau I
I a l-nt+1	Ki	|аГ5лг Кг
+	2 sup I DaP(D)u \ + sup (1 + I Л I )w| ФИ(Т)) I, US=9~.
I a|<N Ki	CTN
Чтобы показать ошибочность (8.3.17), нужно построить при¬
ближенное решение уравнения Ри = 0, сконцентрированное
вблизи L и, следовательо, вне К2. Чтобы сделать малым послед¬
нее слагаемое, нужно еще, чтобы преобразование Фурье от и
было сконцентрировано вблизи g. Поэтому естественно положить
для / > О
ut(x) — eiUx'&vt(x).
Тогда
P{D)ut {х) = еи <*• &>Р (D + т vt (х)
= Г-У*	Ptt (g) DjVt + Pm-, (!) vt + 1 . . ) .
где точками обозначены члены, содержащие отрицательные сте¬
пени переменной t, и Р^ = д/Рт. Формальное решение
vt = v0 -ЬГ^-Ь ...


334	8. Спектральный анализ особенностей
можно найти, решая уравнение первого порядка
п
(8.3.18)	Lv„-Z (1) 0,0, + P„_,(I)о,—О,
а затем последовательно цепочку уравнений
(8.3.19)
где fj выражаются через по, .... г>/-ь Носителем v0 будет ци¬
линдр с направляющей, параллельной Р^(|). Можно выбрать
функцию vo с г»о (0) = 1 и с носителем вблизи L, задавая для нее
подходящие значения на ортогональной к Р'т(Ю плоскости 2.
Если следующие функции V/ удовлетворяют граничному усло¬
вию Vj = 0 на 2, то ясно, что supp Vj с= supp vo, j ф 0. Для
первая сумма в правой части (8.3.17) есть 0(tm)\ вторая сумма
равна нулю при подходящем выборе о0; третья сумма есть
Оцт-i-M+N)^ а последний член быстро убывает при t-*~ оо, так
как
и f +	при rj^rV. Левая же часть (8.3.17) ра¬
стет как tm+l, поскольку g ф 0. Взяв М = N, приходим к проти¬
воречию, что и завершает доказательство.
Предыдущим рассмотрениям можно, конечно, придать более
конструктивную форму, суммируя сильно лакунарную последо¬
вательность функций ш, как это делалось в доказательстве тео¬
ремы 8.1.4. Однако расшифровывая рассуждения, связанные с
использованием теоремы о замкнутом графике, мы бы затуше¬
вали идею доказательства. В гл. 10 будет доказано, что уравне¬
ние Р(D)v = f имеет решение иеС"(Rn) для любой функции
/еС°°R"). Если взять f = P(D)u и заменить и на и — v, то
получится решение однородного уравнения P(D)u = 0, удов¬
летворяющее (8.3.16).
То обстоятельство, что мы ограничились рассмотрением опе¬
раторов вещественного главного типа с постоянными коэффи¬
циентами, не означает, что результаты типа теорем 8.3.3' и 8.3.8
не верны в случае переменных коэффициентов. Мы вернемся к
ним в гл. 26 после введения подходящих технических средств.
»f= Z.vtt 1
Ф«<(Л)= Z t 1
(фУ/Хт] —/1),
1<м


8.4. Волновой фронт относительно СС 335
8.4.	Волновой фронт относительно CL
Пусть Lk — возрастающая последовательность положительных
чисел, такая что Lo == 1 и
(8.4.1)	k^Lk,
с некоторой постоянной С. Если X cz R" — открытое множество,
то через CL (X) обозначим множество всех функций ые С” (JT),
таких что для любого компакта К сг X при некоторой постоян¬
ной С к выполнены оценки
(8.4.2)	\Dau(x)\^CK(CKL[a])'a', х^К,
где а— произвольный мультииндекс. (Обозначение CL, исполь¬
зуемое начиная с этого места, несколько отличается от стандарт¬
ного, употреблявшегося в § 1.3.) При Lk = &+1 это означает,
что С^(ЛГ) есть множество вещественно аналитических в X функ¬
ций. Класс CL с Lk =(k + 1)“, а > 1, называют классом Жеврея
порядка а. Он весьма часто встречается в теории уравнений с
частными производными.
Предложение 8.4.1. CL(X)—кольцо, замкнутое относительно
дифференцирования. Если f: Y-+X — аналитическое отображе¬
ние открытого множества Y cz Rm в открытое множество X с= R",
то композиция с f определяет отображение р: CL(X)-*~CL(Y).
Доказательство. Так как Lk возрастают, то по правилу Лейбница
sup | Da (uv) | ^ C% (2CkL\ a|)‘ “'»
К	~
если и и v удовлетворяют (8.4.2). Итак, CL — кольцо. Из нера¬
венства
(8.4.3)	a/+1)/+1 < (CL/)/+1 <С2/+14
являющегося следствием второй из оценок (8.4.1), вытекает, что
CL замкнуто относительно дифференцирования. Для доказа¬
тельства последней части утверждения заметим, что производ¬
ные от f*u порядка k в точке у совпадают с такими же произ¬
водными функции
2-> Е (Dau)(f(y))(if(z)~if(y))a/al
I
при z — y. Правая часть аналитична по z при у^К и таких
комплексных г, что \у — z\ < г, где г > 0 достаточно мало. По¬
этому ее можно оценить через
С Е (CLfe)1 a 1 (С7)1 a '/a! = С £ (nCC'rLk)!Ij\-
I aT<fc	о


336	8. Спектральный аналнз особенностей
Но UJjl ^.L%/k\ по первой из оценок (8.4.1), и сумма оцени¬
вается через
k
CLkk/kl X (пСС'гУ < 2CL\jk\,
если г < 1/(2пСС'). Из неравенств Коши заключаем, что
\0Ти(у)\<2СГкй при |а | = A:, yt=K, '
и тем самым завершаем доказательство.
Предложение 8.4.1 показывает, что класс CL(X) может быть
посредством локальных координат определен на вещественном
аналитическом многообразии X. (Это означает, что отображе¬
ния (6.3.1) атласа многообразия X вещественно аналогичны.)
Для произвольного распределения u^S)'(X) мы определим
sing suppi. и как наименьшее замкнутое подмножество в X, в до¬
полнении которого и принадлежит CL. (Когда Cl— класс ве¬
щественно аналитических функций, будем пользоваться обозна¬
чением sing эиррл и.) Цель настоящего параграфа — показать,
как осуществить спектральный анализ этого множества парал¬
лельно § 8.1 и 8.2. Новая трудность возникает, когда
(8.4.4)	Е 1/^ = 0°,
1
поскольку тогда класс CL квазианалитичен по теореме Дан-
жуа — Карлемана (теорема 1.3.8), и поэтому срезающие функ¬
ции нельзя выбирать в CL. (Умножение на С°°-функции, не ле¬
жащие в CL, может, конечно, увеличить sing supp*. и.) Однако
эту трудность можно обойти, пользуясь теоремой 1.4.2 для вы¬
бора пробных функций с подходящими ограничениями на про¬
изводные до определенного порядка. Это приводит к следую¬
щему описанию singsuppL в терминах преобразования Фурье:
Предложение 8.4.2. Пусть Xo^ZczR" и не^'(Х). Тогда не
CL в окрестности хо в том и только том случае, когда для неко¬
торой окрестности U точки Хо найдется ограниченная последо¬
вательность распределений H,ve<ff'(X), равных и в U и удовле¬
творяющих оценкам
(8.4.5)	IMI) КС (С LJII)", N= 1,2,...,
с некоторой постоянной С.
Доказательство, а) Необходимость. Пусть н е (Д при \х — х0|
<	Зг. Выберем такую функцию %N еС”, что %N= 1 при \х — хо|
<	г, Хлг = 0при \х — Х0|>2ги
(8.4.6)	|/>вХ*1<(С,Л0|в|,	|а|<ЛГ,


8.4. Волновой фронт относительно CL 337
где Ci не зависит от N. Это возможно по теореме 1.4.2 с 4 =
r/2N при k^N. Учитывая, что N^Ln и /,|в|=^£лг при |а|
^ N, из (8.4.2) и (8.4.6) для иы = %ыи получаем
iD'usl^CKiCK + CtfLS, |а | = ЛЛ
Поэтому
| IX (i)| <C?+lL%,	\a\=N,
итак как |g| ^ n1/2max||/|, то (8.4.5) доказано.
Ь) Достаточность. В U при Af = |a| + n+l имеем
(8.4.7)	Dau{x) = {2n)-n\l4N{l)ei{x'l)dl,
поскольку |“йлг(|) интегрируемо в силу (8.4.5). Ограниченность
un в S' влечет по теореме Банаха — Штейнгауза неравенства
IМШ<С(1 +111)"	Л7= 1, 2
где С и М не зависят от N (см. доказательство теоремы 2.1.8).
Используем их для оценки подынтегрального выражения в
(8.4.7)	при |£|<Сль а при |£|>Слг воспользуемся оценкой
(8.4.5)	. В U получаем
I Dau (х) I < Сз (СзС| а |+п+1)' “]+п+М.
и повторное применение (8.4.3) показывает, что u^CL((J).
Предложение 8.4.2 подсказывает следующее
Определение 8.4.3. Для X с= R" и	обозначим через
WFl(u) дополнение в XX(Rn\0) к множеству точек (хо, |о),
для которых существуют окрестность U точки хо, коническая
окрестность Г вектора go и ограниченная последовательность
распределений иц^&'(Х), равных и в U и удовлетворяющих
(8.4.5)	при | е Г. Если CL — класс аналитических функций, бу¬
дем пользоваться обозначением WFa(u).
По определению WFL(u) — замкнутое подмножество в XX
(R"\0). Следующая лемма показывает, что «лг всегда могут
быть выбраны в виде произведения и и подходящих срезающих
функций, получаемых регуляризацией соответствующих функ¬
ций из предложения 8.4.2.
Лемма 8.4.4. Пусть и^З)'{Х), К — компактное подмножество
в X и F—замкнутый конус в R", причем WFL(u)f\(K'X.F) = 0.
Если %N е Со (К) и для всех а
(8.4.6)	'	| Da+hN I < Са (CaLj р ’, |р|<ЛГ=1, 2, ....
а и имеет порядок М в окрестности К, то %nu ограничены в со¬
вокупности в <Sm и
(8.4.5)'	|X^(!)I<C(CL„/Ii|)", N —I, 2
22 Зак. 821


S38	8. Спектральный анализ особенностей
Доказательство. Ограниченность %nu очевидна, так как %ы огра¬
ничены в Со°. Пусть Хо^К, goeF\{0}, a U, Г, им выбраны
в соответствии с определением 8.4.3. Если supp %м cr U, то хлгм =
улгылг. По предположению, для им в Г выполнено (8.4.5) и
1МБ) | ^ С(1 +|Б|)М для некоторых С, М ^ 0. Из (8.4.6)' по¬
лучаем
I xN (л) I <c"+1 (ln/( i ч i + ln))n (i +1 ч I yn-l~M.
Если воспользоваться (8.1.3)' c v—Um и ф —%n и заменить F
на замкнутую коническую окрестность точки go, содержащуюся
во внутренности Г вне нуля, то получается оценка (8.4.5)'. Так
как F можно покрыть конечным числом таких окрестностей, то
справедливость (8.4.5)' установлена при условии supp%лгcut/
и достаточной малости окрестности U точки хо. Покроем К та¬
кими окрестностями U,-, / = 1, ..., /. Выберем Хм. / е С<Г (^/)
так, чтобы 2 Xw, i= 1 в К и Для Хн, i выполнялось (8.4.6)'. Для
этого достаточно регуляризовать разбиение единицы посред¬
ством функции флг, выбираемой в соответствии с теоремой 1.4.2
так, что для нее выполняется (8.4.6). Если Хлг е С(Г (Ю удовле¬
творяет (8.4.6)', то ясно, что это неравенство с другими постоян¬
ными будет удовлетворяться и для Xn.iXn• Так как £Хлл/Хлг
— Хм> то доказательство закончено.
Из леммы 8.4.4 и предложения 8.4.2 легко получается
Теорема 8.4.5. Для ией)'(Х) проекция WFL(u) на X равна
sing supp*. и.
Доказательство, а) Если «еС1 в окрестности хо, то, по пред¬
ложению 8.4.2, (х0, go)0WFl(u) при любом g0eRn\{0}.
b) Предположим, что (хо, go)ф WFL(u) для любого goeRh\
{0}. Тогда существует такая компактная окрестность К точки Хо,
что WFL(u)i}(KXRn) = 0- По лемме 8.4.4 найдется последова¬
тельность функций Хм е (Ю> равных 1 в окрестности U точки
х0, для которых Хми удовлетворяют (8.4.5) и ограничены в S'.
В силу предложения 8.4.2, Хо ф sing suppL«.
Условие (8.4.6)' выполнено для произвольной фиксированной
функции из CL с носителем в К. Поэтому если класс CL не
квазианалитичен, то можно упростить определение 8.4.3, потре¬
бовав существования фиксированного распределения v, совпа¬
дающего с и в окрестности х0, преобразование Фурье которого
удовлетворяет (8.4.5) в конической окрестности точки go/ По¬
следнее аналогично определению 8.1.2, откуда получается
Теорема 8.4.6. Для всех и и L имеем WF (и) с= WFL {и) с= WFA (и).
Более того, если L'^L'', то WFL„(u) с= WFL,(u).


8.4. Волновой фронт относительно CL 339
Условие (8.4.6)' остается справедливым, если умножить все
%н на одну и ту же функцию из О(ЙГ). Поэтому верна
Теорема 8.4.7. WFL(au)с= WFL(u), если at=CL(X) и и <=2>'{Х).
Ясно, что
WFl (du/dxi) a WFl (и),
поскольку из оценки (8.4.5) с учетом (8.4.3) следует, что
I &Лг+1 (I) КСШ(CLN+l/\ 11)N+l <С(C'Ln/\ g1 f.
Комбинируя этот результат с теоремой 8.4.7, получаем
WFl(P(x, D)u)czWFl(u)
для aeSУ(Х) и дифференциального оператора
Р(х, D)= £ aa(x)Da
| a|<m
с коэффициентами из CL(X).
Теперь мы можем продолжить изучение WFl(u) совершенно
аналогично § 8.1 и 8.3. Однако, чтобы избежать утомительных
повторений, мы используем иной подход, имеющий то преиму¬
щество, что он применим также для изучения гиперфункций в
гл. 9. Первым шагом будет усиление теоремы 8.1.6.
Теорема 8.4.8. В условиях теоремы 3.1.15
(8.4.8)	WFAfo) czZX(r°\{0}),
где Г° — конус, двойственный к Г.
Доказательство. Пусть Хх Ш Х0 X — открытые множества.
Пользуясь теоремой 1.4.2, выберем последовательность <pve
eC“(Jf0) так, чтобы фу = 1 на Х{ и
|o4k(Ci(v+l))la|, |a|<v+l.
Как и в (3.1.18), положим
Фv (*.*/) = , Е da?vM(n/)7“l-
|a|<v
Ввиду (8.1.15) для фиксированного УеГ с |У|<у имеем
Qo(6) = 5	(X, Y)Hx + iY) еdx
+ (v+1) ^ f(x-\-itX)e-“x+“Y-b Yj da^(x)(iY)alalfdxdt.
0<«1	| a |=v+l
При ji^v+1 и | У |j = £ | У/1 получим
£ даФ„ (*) (iY)a/a\ I <C*(v + 1)“| У l7p!,
|a|-H	I .
22*


340	8. Спектральный анализ особенностей
откуда
|ф„(*. ПКеГ1, | (v + 1) (аg+idaq>, (х) (iY)a/a\ | <C2V+1,
где С2 = 2ec,lyl'. Оценка (8.1.16) заменяется, таким образом, на
I Й> (Б) I < сГ1 (eiY'в + (V - АО! <- Y,	(Y, £> < 0.
Положим /v = ф^+v-i/o. При <У, £> <—с | g [ для фиксирован¬
ного с с некоторой постоянной С4 получаем
(8.4.9)	[МЮКСГЧЩГ,
поскольку ^ v!(c|g|)-v.
Заметим, что fo^3),N+l по теореме 3.1.15. Если последова¬
тельность <pv выбрана ограниченной в Co+l, то /v ограничены
в	Итак, установлено, что
WFA(fo)<=XX&{Y,Z)> 0},
а так как вектор У из Г произволен, то теорема доказана.
Теперь мы покажем, что всякому распределению ue^'(R")
можно сопоставить аналитическую в выпуклой трубе
Q = {ze С"; | Imz | < 1}
(евклидова норма) функцию U так, что
8.4.10)	и= \ U(+m)d<o.
I €0 | = 1
Полезность такого разложения становится понятной, если за¬
метить, что для граничных значений U (• + to) — lim U (• + in»)
ГЛ 1
по теореме 8.4.8 имеем
WFA(U(- +tto))c=RnXR-©.
Поэтому, чтобы выяснить, принадлежит ли (х, —о) к WFa(u),
достаточно рассмотреть поведение U вблизи х+*и-
Предполагая, что U хорошо ведет себя на бесконечности,
обозначим через 0(1, у) преобразование Фурье U(x-{-iy) по х.
Уравнения Коши — Римана дают
iyt/ + dfj/dyj — 0,	/=1, .... п.
Следовательно, U(£, y) = U0(l)e~l!l’^, и (8.4.10) приводит к усло¬
вию й (g) = / (i) U0 (|),
(8.4.11)
7(Б)=	\ е-«*»Лв.


8.4. Волновой фронт относительно CL 341
При п— 1 имеем /(g)=2ch|. Если же п>1, то /(£) =
1о«ЫУ/2),
1
(8.4.11) '	/0(р) = с„_1
-1
где сп-1 — площадь сферы Sn~2. С точностью до множителя это
есть функция Бесселя /(„_2>/2 (ф), поделенная на р(п~2)/2, и ее
асимптотика хорошо известна. Для удобства читателя мы даем
прямое доказательство того, что нам нужно.
Лемма 8.4.9. /0 — четная аналитическая в LC] функция, и для
всякого е > О
(8.4.12)	Л> (р) — (2я)(п-1)/2ерр~(п-1)/2(1 + О (1/р))
при р -> то, | arg р I < я/2 — е.
Существует такая постоянная С, что для всех ре,С.
(8.4.12) '	I /о (Р) К С (1 +1 р | )'(п~1)/2 e,Repl.
Доказательство. Так как /0(р) = /о(р), то при доказательстве
(8.4.12)	и (8.4.12)' можно считать, что 0 ^ argр < я/2. Для
доказательства Д 8.4.12) выполним интегрирование между —1 и
1 в (8.4.11)' вдоль двух катетов прямоугольного треугольника
с гипотенузой (—1,1) и условием (t—1)р<0 на катете, вы¬
ходящем из 1. Записав 1 — t2 = (1 — t) (1 -f-1), взяв s =Д1 — t)p
в качестве переменной интегрирования на этом катете и заме¬
тив, что 1 +t = 2 — s/p, получим
оо
е~*1о (р)Р(п_1)/2 = J (2sfn~3)l2e~sds + О (1/р),
о
откуда с учетом (3.4.2) следует (8.4.12). Если вместо этого мы
проинтегрируем по лучам (+1 — ^)р < 0, то получим (8.4.12).
Введем теперь функцию К, соответствующую разложению
и — б:
(8.4.13)	Д {г) = (2я)-п ^ е1 (г- &/I (|) d%, ге Q.
Из (8.4.12) немедленно вытекает, что интеграл сходится и опре¬
деляет аналитическую в Q функцию.
Лемма 8.4.10. Функция K(z) аналитична в связном открытом
множестве
9 = {ze С"; {z, z) ф (— оо, — 1] } гэ Q.
Для любого замкнутого конуса Г с= й, для которого (г, г> не
может быть ^0 ни при каких геГ\{0}, найдется такая


342	8. Спектральный анализ особенностей
постоянная с > 0, что K(z) = 0 (е~см) при z -> оо в Г. Для веще¬
ственных х и у
(8.4.14)	\K(x + iy)\<K О1у) = (я - 1)! (2п)~п(1 - | у \ )~п
Х(1+0(1 — I у I ))> \у\/1.
Доказательство. Вводя полярные координаты, получим К(г) —
/(о(<2, 2>1/2), где Ко — четная аналитическая функция
Ко (w) = (2п)~п ^ U (exp (tpto^y/o (р)) р^1 da> dp
оо
= (2п)_п ^ (/0 (ipw)II0 (р)) Pn_1 dp, | Im w \ < 1, ®eC.
0
При w = —it, 1/2 < / <; 1, получаем
oo
Ко (- U) = (2«)-n J (/0 (P0//o (P)) Pn-‘ Ф
0
oo
— (2n)_n $ e_p(1_<)(i +0(l/(p+ l)))r(n_1)/2pn_1dp
о
= (n- 1)! (2я)_п(1 — 0_n(l + 0(1 - 0).
что доказывает (8.4.14). Для изучения области аналитичности
К заметим, что если w = it, —1 <^<1, то по интегральной
формуле Коши
оо
Ко (w) = (2п)_п J (10 (ipw (1 + is))/I0 (Р (1 + is))) (1 + isf pn~l dp
о
для любого вещественного s. На самом деле 1о¥=0 во всей пра¬
вой полуплоскости, так как бесселева функция 7V имеет лишь
вещественные нули при v > —1 (см. Hurwitz [1]). Правая часть
Ks(w) аналитична на множестве
Zs = {w, | Re(ia> (1 + is)) | < 1} = {w\ \ s Re w + Im w | < 1}.
Это полоса, ограниченная прямыми с наклоном —s, проходя¬
щими через ±г. Мы имеем Ks(w) — Ks'(w) в Zs[\Z;j, так как это
выпуклое множество, содержащее интервал мнимой оси, где,
как мы знаем, равенство имеет место. Поэтому совокупность
всех Ks определяет аналитическое продолжение Ко в С\ {it;
/eR, \t\^ 1}. Итак, К аналитична в Q. Множество Q связно,
поскольку его компонента, содержащая Rn, содержит все точки
вида x-\-iy с (х,у}ф 0, так как x + ity^Q при O^^^l, а
всё £2 содержится в замыкании этого множества.


8.4. Волновой фронт относительно CL 343
Осталось проверить, что Ko(w) экспоненциально убывает
при | w | < С Re w. При Re w 1 имеем
| Ко (w) | =
(2л) п J (/0 (ip | w f)!h (рй)) wY 1 dp
< С, J <ГРRe■ ((1 + р | w 1/(1 + р | w IТ~Ш I w Г Pn_1 dp < С21 w |*.
О
Далее, Ко экспоненциально убывает на R, так как выражение
К (X) е«*• П> = (2л)-п $ (е‘ <х•»// (| + it])) d\
ограничено при леК'и малых |т||. Поэтому по теореме Фраг-
мена — Линделёфа J Ko(w) | ^C3e“cRett,| w \п при Reo>> 1. Дока¬
зательство завершено.
Теорема 8.4.11. Если ие/(Rn) и U = K*u, где К имеет вид
(8.4.13), то U аналитична в Q = {z; |Imz| < 1} и для некоторых
С, а, b
(8.4.15)	|t/T2)|<C(l+U|)a(l-|Imz|)“b, гей.
Граничные значения U(• + гю) непрерывно зависят от ueS"-1
в P"(Rn) и
(8.4.16)	(и, ср) = ^ (U(• + гю), ф)da>, фер'.
Обратно, если дана функция U, удовлетворяющая (8.4.15), то
(8.4.16)	определяет такое распределение и^9", что 11 = К* и.
Для всякого L
(8.4.17)	(^XS^On^M
= {(*, ю); |ю| = 1, U не принадлежит Сь в точке х — гю},
и аналогичное описание верно для WF(u).
Принадлежность U к CL в точке х — гю означает, разумеется,
что для некоторой окрестности V точки х — гю и постоянной С
|<?"t/(z)|<C1+|a|Z.|Si, если ге7, |Imz|<l.
Для класса вещественно аналитических функций это означает,
что U можно аналитически продолжить в некоторую полную
окрестность х — гю.
Доказательство теоремы 8.4.11. Принадлежность гг к ЕР' озна¬
чает, что найдутся а, Ъ, для которых
|гг(ф)|<С X) sup | ЛЛр |, фе^.
|a|<a, |М<Ь


344	8. Спектральный анализ особенностей
Из неравенств Коши и (8.4.14) для любого' |3 получаем
|лР/С(* + ^)КСр(1Н01Г““1р,е“в|Ч	\У\< 1,
что дает (8.4.15) с Ь-\-п вместо Ь. Преобразование Фурье функ¬
ции U{x-\-iy) есть е~<у- 5>u (1)// (|). Поэтому оно непрерывно при
Iwl^ 1 как функция от у со значениями в 9'. По определению
/(£) получаем (8.4.16).
Обратно, имея аналитическую функцию U, удовлетворяю¬
щую (8.4.15), положим Uy = U(- + iy), |у|<1. Как показывает
доказательство теоремы 3.1.15, предел иш функций Uy при
у-хо, |<о|= 1, существует в 9”. Если Ъ ^ 0 — целое, то
=$*/(*) £ (<?р<р (х) ( m'flpi) dx
IPK Ь
+№+i) \\ U (x + i (1 — /) to) Y (<3% (x)(— ia>)p/[J!) tb dx dt,
о < f < 1	|PI=»+1
Фе?.
Поэтому Ua — непрерывная функция to со значениями в 9" и
|нш(Ф)|<с £ S(i + UI)al<3p<pW|^.
|РКь+1
Следовательно, (8.4.16) определяет распределение мер", удов¬
летворяющее такой же оценке. Имеем Йш = е_<'-и>1Уо> откуда й =
Ю0 и, значит, U = и * К, как и утверждалось.
Для доказательства (8.4.17) предположим сначала, что
(х0, coo) ф WFl(u), |ооо| = 1 - Нужно показать, что U = К* и е
CL в точке .Ко — гсо0. По предположению найдутся г > 0, ограни¬
ченная последовательность распределений un^S'{\R"), равных
и при |х.— х0|<г, и коническая окрестность Г вектора ©о, та¬
кие что
(8.4.18)	1М1)1<С(С/,„/Ш)" N= 1,2	 |еГ.
Напомним, что ограниченность иы влечет для некоторых фикси¬
рованных С и М ^ 0 неравенство,
(8.4.19)	1М1)1<С(1 + Ш)М, i^Rn.
Положим и = Un + Одг. Тогда U = К * Un + К * V// и
K*vN(z) = (K(z—■), vN).
Поскольку функция К(х + iy — t) корректно определена при
|у|2<1+|* —1\2, то она корректно определена и быстро убы¬
вает со всеми производными при |/ — х0| ^ г, если
(8.4.20)	| у |2 < 1 + (г — | х — х01 )2,	| х — х01 < г.


8.4. Волновой фронт относительно CL 345
Поэтому K*VN аналитична и равномерно ограничена на ком¬
пактных подмножествах множества (8.4.20), являющегося
окрестностью точки Хо — ш>о-
Преобразование Фурье отK*uN(- -f- iy) равно e~<lf-&dN(i)/I(l),
и (8.4.12) дает
| DaK *uN(x + iy) | <C J e"®'|>ч 51 (1 + Ш fn~mШ1 “11 йд, (I) | dg.
Пользуясь (8.4.18), можно оценить интеграл по |еГ, |£|>La,
через
CN+lL%	$ in \o\+(n-l)l*-N dl^C$+lL",
\V>ln
если |а|<;# — 2ra, |y|<l.
Интеграл по | e Г, | £| ^ Ln оценивается величиной
CL,Ara|+(n_1)/2+M+'1 <C"+1L", I a | < N - M — 2л,
в силу (8.4.19). Остается изучить интеграл
С \ е~ш'5>_| 51 (1 -f-||| )м+(п_1)/2| | |la|dg.
Выберем е>0 так, что <a>cu |><(1— 2е) |g| при £^Г. Тогда
(8.4.21)	— (у, £> — HI < — еHI при |<£Г и |у + ®оI < е-
Следовательно, если N = | a | -f- 2 л -f- М, то
С J e-«.e>-UI(1 + \l\)M+{n-l)l2\lta]dl^CoN\^CoLN,
lir
I У + ®о I < е.
Суммируя эти оценки, с помощью повторного применения
(8.4.3)	получим неравенство
| DaU (г) | < Cl“ l+2n+Af+1Z.J" j Хы+м < C'2a ]+lL\Z I
в пересечении й и некоторой окрестности точки х<>— йо0.
Другое включение в (8.4.17) вытекает из следующей леммы:
Лемма 8.4.12. Пусть dp. — мера на S"-1 и Г — открытый выпук¬
лый конус, такие что
(у, ю) < 0 при 0 ф у е Г, ю е supp dp.
Если U аналитична в Q и удовлетворяет (8.4.15), то при доста¬
точно малых 11m2j и 1тгеГ функция
F(z) = J t/(2-W<o)dp(<D)


346	8. Спектральный анализ особенностей
аналитична и |F(z)	С' (1 +1 Re г |)а j I m г | —6. Для любой меры
dp на Sn~l имеем
(8.4.22)	WFl (UJ <= {(*, Е; -1/1 i I е supp dp и
U <£CL в точке
(8.4.22) '	WF (£/„) с {(*, |); -1/| 11 е supp dp и
U фС°° в точке х — i%j\ 11},
где Up = ^ U (• + ко) dp (ю).
Доказательство. Если ю е supp dp и 1тгеГ, то существует
такое с > 0, что при |Imz| < с
| Im (z + гоо) |2 = 1 + 2 (ю, Im z) +1 Im z Р
< 1 — 2с | Im г | +1 Im z f < 1 — c | Im z |.
Поэтому 1—| Im(z -f- J©) I > c\Imz|/2, если |Imz|<c, и пер¬
вое утверждение доказано. По теореме 8.4.8
WFa ((/ц) с: Rn X Г°,
где Г° — конус, двойственный к Г. Очевидно также, что
singsuppif/ц а {х; U фСь в точке х + «о для
некоторого ю е supp dp}.
Чтобы доказать (8.4.22), положим dp=£dp/, где suppdp/
содержится в пересечении supp dp с узким открытым выпуклым
конусом V/. Применяя только что доказанный результат к dp/
вместо dp и к внутренности двойственного конуса — V° вместо
Г, получим
WFl(V*)<= U {(*, I); -S/lE|e?/f U &CL в точке х + т
1
для некоторого со е F;}.
Если —|/|E|^suppdp или U^CL в точке х — i\/|g|, то мы
можем так выбрать рассматриваемое покрытие, что —V;
для каждого / или что это выполняется для всех j ф 1 и U е Сь
в точке х + г© для любого аеКь В обоих случаях (х, £) ф.
WFtiUnf, что доказывает (8.4.22). Точно так же устанавлива¬
ется (8.4.22)'. Этим заканчивается доказательство леммы 8.4.12
и теоремы 8.4.11.
Следствие 8.4.13. Пусть Гь ..., Г/ — замкнутые конусы в Rn\0,
объединение которых есть всё Rn\0. Любое aeP"(R'1) можно
представить в виде u=^iui, где	и
WFl(u,)^WFl{u) n(RnXr/).


8.4. Волновой фронт относительно CL 347
Если и=2ы/ — другое такое разложение, то u' =	^ ujk,
где uik ge 9', ujk = — ик, и
WFl (u!k) <= WFl (и) П (Rn X (Г/ ПГ*)).
Доказательство. Если <p; — характеристическая функция мно¬
жества Г; 4(1^ Л (Г! U ••• U Г/_])), то 2ф/—R Для U = K*u
и Uj = K*(u'j — и;) имеем 2	— 0> и по теореме 8.4.11 и
лемме 8.4.12 можно взять
Uj=^U(- — to) ф; (ю) dca,
^ Uj(• — гсо)фй((о)й(в — ^ Uk(- — to)ф?(со)da>.
Теперь мы усилим теорему 8.1.4.
Теорема 8.4.14. Если IcRB открыто и S — замкнутое коническое
подмножество в X X (R"\0), то существует распределение и е
2)'(Х), для которого WF(u) — WFl(u) = S при всех L.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем X — R".
Кроме того, для выбранного и нужно лишь проверить, что
WF(u)=WFA(u) = S.
Пусть (Xk, 0*)—некоторая последовательность без повторений,
плотная в {(л, 0)eS; |0| = 1}. Положим
00
U (z)= Z 3~kK ((z -xk- iQk)l2),	| Im 21 < 1,
i
где К определяется равенством (8.4.13). Так как
\K((z — vk — iQk)/2) |<|К(i(Im2 -0*)/2)<С (1 -1 Im2 |)"п,
то ясно, что U — аналитическая функция, удовлетворяющая
оо
(8.4.15). Замечая, что 2 3 * = 3 N/2 и что |f0jt + 0| ^ t-\-1
ы+1
при 101 = 1, t > 0, получаем
| U (xk - mk) \> 3~k\K(—i(t+ 1)0*/2 |/2
—	34 К ((Xk -x,-i(iQk + 0y»/2) | -> OO, t/l.
Итак, U даже не ограничена в Q вблизи произвольной точки из
5'={(х, -0); (х, 0)eS и 101= 1>.


348	8. Спектральный анализ особенностей
С другой стороны, ясно, что вблизи любой ТОЧКИ ИЗ (R" XS"-1)
\S' функция U аналитична. По теореме 8.4.11 это завершает
доказательство.
Теперь мы докажем обращения теорем 8.1.6 и 8.4.8.
Теорема 8.4.15. Пусть «ейУ(Х), Xc:Rn. Предположим, что
WFl(u)cz ХУ, Г° (соотв. WF(u)cXy(.Y), где конус Г° двой¬
ствен к открытому выпуклому конусу Г. Если Х\ШХ, Ti — от¬
крытый выпуклый конус с замыканием, лежащим в Г U {0}, го
существует такая аналитическая на множестве {x-\-iy\ х^Хи
</еГь |г/|<у} функция F, что
\F(x + iy)\<C\y\~N, уе=Т1г |г/|<у,
и предел F( - + iy) при «/-> 0 в Ti отличается от и на функцию
из Cl(Xi) (соотв. С°°(Хi)).
Доказательство. Положим v — %и, где функция % е С” (X)
равна 1 в Ль Если свертка V = K*v определена как в теореме
8.4.11,	то	во всякой точке из Х\ + i (Sn_1 f)C(—Г°)). Вы¬
берем открытое М сг 5"-1 так, чтобы Г° (J 5я-1 с: М и М содер¬
жалось во внутренности множества Г°. Тогда 0 = 0^ »2, где
°i=	| К (• + i©) йю
-to# М
принадлежит О в Хи a v2 есть граничное значение аналитиче¬
ской функции
F(z)=	| V (г + гео) йю, tazeTj, |1тг|<у.
-toe М
Применение леммы 8.4.12 завершает доказательство.
Замечание. Из следствия 8.4.13 и теорем 8.4.15 и 8.4.8 вытекает,
что WFl(u) (соотв. WF(u)) является пересечением WFa(u — Mi)
по всем Mi е Сь (соотв. С°°). Поэтому понятия WFl(u) и WF(u)
можно вывести из WLa(u). В аналитическом случае утвержде¬
ние теоремы 8.4.15 упрощается: сужение и на Х\ есть граничное
значение аналитической функции F с указанными свойствами.
Следствие 8.4.16. Если мей5'(^), где X — интервал в 'R и
х^^Х— граничная точка suppM, то (дг0, ±1)е WFa(u).
Доказательство. Предположим, например, что (х0, —1) ф WFa (и).
Тогда найдется аналитическая в Q = {z; Imz > 0, \ z — jco | <1 г}
функция F с граничным значением и. Кроме того, м=0 на неко¬
тором интервале /сг(*о — г, *0 + г). По теореме 3.1.12 (и тео¬
реме 4.4.1) F можно аналитически продолжить за / так, что


8.4. Волновой фронт относительно CL 349
F = 0 ниже /. Единственность аналитического продолжения дает
F = 0, откуда и = 0 на (хо — г, х0 + у). Это противоречит тому,
что хо — граничная точка supp и. Следствие доказано. (См. также
теорему 3.1.15 и ее доказательство.)
Отметим, что этому следствию можно придать форму тео¬
ремы единственности: если мы знаем, что WFa (и) не содержит
Ттх(R)\0 ни для какого х^Х, и и обращается в нуль на ка¬
ком-либо открытом множестве, то и тождественно равно нулю.
В заключение докажем аналоги леммы 8.1.7 и теоремы 8.1.8.
Лемма 8.4.17. Если и ^9", то WFA(u)<r.\Rn'X.F, где F — пре¬
дельный конус множества supp й, определенный в лемме 8.1.7.
Доказательство. Преобразование Фурье от и* К есть й(|)//( 1).
Если Г — открытый конус и Г П ^ ={0>, то можно выбрать замк¬
нутый конус F', содержащий {0} в своей внутренности, так,
что ГПЕ/ ={0}. Тогда для некоторого с< 1
(у, £><с|г/|Ц| ДРи z/еГ, t<=F'.
Поэтому лемма 8.4.9 показывает, что функция е-<»•£>//(|) огра¬
ничена вместе со всеми производными по | при у е —Г,
]г/1 < 2/(1 + с), | е F'. Так как supp й содержится в объедине¬
нии F' и компактного множества, то #(|)е-<»•£>//(£) принадлежит
9” при г/е^Г, \у\ < 2/(1 + с). По теореме 7.4.2, и* К имеет
аналитическое продолжение на {z\ 1тге—Г,	|Imz|<
2/(1 +с)}. Поэтому WAa(u) cz СГ по теореме 8.4.11, что дока¬
зывает лемму.
Теорема 8.14.18. Если ae7(R“) однородно в IR"\0, то
(8.4.23)	(х, 1) s WFl (и)	(|, - х)е WFL (й) при 1Ф0, хф 0,
(8.4.24)	хе supp и #=>-(0, — *)е WFL(fi),	хф 0,
(8.4.25)	£esupp/2<=>-(0, ?)е WFl(u),	1¥=0.
Доказательство. Так как й — (2п)пй, то из леммы 8.4.17 следует
импликация
х ф. supp и (0, — х) ф. WFl (й), если х Ф$.
С другой стороны, теорема 8.1.8 дает
(0, — х)ф WFL(ty=>(0, — x)<£WF(&)=>x&suppu,
что доказывает (8.4.24). Если и однородно, то (8.4.25) совпадает
с (8.4.24), примененным к й. В противном случае supp# = Rn и
(0, |)е WF(u)c WFl(u) для всех g, как и в доказательстве
(8.1.19). Итак, (8.4.25) верно. Действуя точно так же, как и при
доказательстве (8.1.17), заключаем, что (8.4.23) имеет место,


350	8. Спектральный анализ особенностей
если доказано, что
(8.4.23)' (хь, Ь,) Ф WFl (и) => (U, - х0) & WFL (й)
для х0фО, |о =?^0 и и однородного в IRn. Доказательство по су¬
ществу повторяет доказательство (8.1.17)' с более аккуратно
выбираемыми срезающими функциями.
Выберем компактные окрестности К и Я точек х0 и go
в R"\0 так, что
(8.4.26)	(KXK)(\WFl(u)*=0.
По теореме 1.4.2 найдется последовательность функций
Хы s Со (К), равных 1 в фиксированной окрестности точки g0 и
таких, что (8.4.6)' справедливо для всех а. Оценим преобразо¬
вание Фурье от vn = %nA в конической окрестности точки —хо.
Как и в доказательстве (8.1.17)', однородность и дает
eN(-ix)=ta+n(u,iN(t(--x))).
Выберем г > 0 и	(К) так, что флг(х) = 1 при \х — Хо| <
2г и фдг удовлетворяют (8.4.6)', и положим и0ы = флгм, Щы —
(1 — Флг)м. Тогда
/о = («о*. XnVV - *))> =	(I)Xn W)е*лdltf,
и по лемме 8.4.4 и соотношению (8.4.26)
I Аодг VI) I < С (CLN/tf, I е= supp %N.
Следовательно,
\l0\<Cf(CLH/^.
Далее,
Л ==<«!№ XffVi- — *))> = <«> (1-уЬ)хы(Н- —х))),
н так как aef, то при \х — х0| <г для некоторых С, С' и ц
1ЛКС £ sup |	(1 —	(^)) 2jv (/ (^ — х» |
I а+р|<ц
<С' У. sup ^Н0||/^(у)|.
1а+рТ<|1 \y\>tr
Теперь (8.4.6)' дает с некоторой постоянной С:
1</ИДРЫ!/)1<С(С/.Х 1Р|<ц.
Таким образом, нами получена оценка


8.5. Правила вычисления для WF^ 351
Если р' — целое, р' ^ 0 и р' ^ р + а + п, то с учетом (8.4.3) по¬
лучаем
I М*) К СДСг^У!*!
если х лежит в конусе, порожденном множеством {х\ \х + х0| <
г}. Это означает, что (|0,—х0)ф. WFl(H), и (8.4.23)' доказано.
8.5.	Правила вычисления для WFt
Теперь для WFt мы установим результаты, аналогичные полу¬
ченным в § 8.2 для WF, начиная с аналога основной тео¬
ремы 8.2.4.
Теорема 8.5.1. Пусть X и У — открытые подмножества в Rn и
Rm соответственно и f: X-*-Y — вещественно аналитическое ото¬
бражение с нормальным множеством Nf. Тогда
(8.5.1)	WFl (Г и) с f*WFL (и), если ае2)' (У), Nf Л WFL (и) = 0.
Доказательство. Сначала предположим, что имеется функция Ф,
аналитическая в
Q = w + у'е Y> у" е Г, I у" I < у},
где Г — открытый выпуклый конус, причем
|Ф(/ + й/")КС|г/"Г" в Q,
и = lim Ф (•+“/)•
г э
Тогда WFa{u)czYX Г°. Пусть х0^Х и (*о)Л при
ЛеГ”\{0}. Тогда ^(-to)Г° — замкнутый выпуклый и собствен¬
ный конус. Мы утверждаем, что
(8.5.2)	WFa (Г и) ^ с= {(х0,	(*б) Ч); ^Г\{0}}.
Чтобы придать правой части иной вид, рассмотрим такой откры¬
тый выпуклый конус Ti с замыканием, содержащимся в Щ{0},
что */' (х0) ч Ф 0 при г] е Tj \ {0>. Тогда */' (х0) Г° — замкнутый
выпуклый конус с двойственным конусом
{h е R"; (Л, г (*„) л) > 0, Л S Г°} = {Л; f' (х0) h е= Г,},
откуда следует, что
*Г (*0) г? = {Б: <h> Б> > 0 при f (х0) h «= Г1}.
Так как с: Г U {0}, то при 1\ / Г получаем
*Г(*>)Г° = {I; (h, 1)>0 при г (Хо)h е= Г}.


352	8. Спектральный анализ особенностей
Итак, пусть АеК“и /,(л0)АеГ. Тогда Im f(x -f- ieh)^ Г для
малых е > 0, если х лежит в достаточно малой окрестности Х0
точки хо. В Х0
f'u — lim Ф'(/ (• + ieh)).
е->+0
Действительно, доказательство теоремы 3.1.15 показывает, что
Ф (/ (• + ieh) + iy) есть непрерывная вблизи нуля функция от
(е, г/) е !R+ X Г со значениями в 2)'. Полагая сначала е->0,
получаем левую часть равенства, а полагая сначала z/->0 —
правую. Теперь по теореме 8.4.8
WMF«)U «={(*„, 1);<л,6»о),
что доказывает (8.5.2).
С помощью следствия 8.4.13 и теоремы 8.4.15 произвольное
и представимо в виде конечной суммы 2и/, где каждый член
либо является О-функцией в окрестности точки f(x0), либо удов¬
летворяет сделанным выше предположениям с некоторым кону¬
сом Г/( таким, что конус Г° мал и пересекает, WFL{u) |f(X(>). По
условию *Г(х0)г] =^0, когда (/(хо).л)е WFL{u). Поэтому
WFl (f*“) U c {(*о» *f' (*o) Ч):чеУ Ift
откуда следует (8.5.1).
Замечание. Теорема 8.5.1 показывает, в частности, что WFL(u)
может быть определен как подмножество Г*(Х)\0, если X —
вещественное аналитическое многообразие.
Теорема 8.5.2. Теорема 8.2.9 остается справедливой после замены
WF на WFl.
Доказательство является очевидной модификацией доказа¬
тельства теоремы 8.2.9. В частности, теоремы 8.5.1 и 8.5.2 пока¬
зывают, что если и — ненулевая аналитическая плотность на ве¬
щественном аналитическом подмногообразии, то WFa(u) есть
нормальное расслоение к этому подмногообразию. Так же не¬
посредственно получается пример 8.2.6 с WFa в левой части
(8.2.7). Комбинируя теоремы 8.5.1 и 8.5.2, получаем следующее
утверждение:
Теорема 8.5.3. Если м,»е2)'(Х) и из (х, g)e WFl(u) следует
(х,—|) ф WFl(v), то определено произведение uv и
WFl {uv) cz {{х, l + л); (х, t) <= WFl (и) или 1 = 0,
(х, t\)<=WFl(v) или Т1 = 0}.
Доказательство аналога теоремы 8.2.12 начнем с частного
случая, хорошо приспособленного к обозначениям теоремы 8.4.11.


8.5. Правила вычисления для WFi. 353
Теорема 8.5.4. Пусть и е &‘,(Rn). Разобьем координаты Rn на
две группы-, х' =(хи .... хп,), х" = (хп,+1, хп) и положим
«1(■*') = ^ и (х', х") йх"
в том смысле, как это определено в § 5.2. Тогда
WFl (и,) с: {(*', |'); (х', х", £', 0) <= WFL (и) для некоторого х").
Доказательство. В обозначениях теоремы 8.4.11 имеем
<ы, ф <S> ’Ф) =	^ (U (• + йо), Ф <8> if) dca,
I И 1 = 1
фе‘СИ, ^CCR"-"').
Возьмем ф (.к") = х (Sx"), где х=1 в единичном шаре, и пусть
6->0. Так как на бесконечности U экспоненциально убывает, то
<и„ ф)=	( (t/(- + гео), ф <g> 1 )fte> =	? <£Л(- + г©'), ф>йю,
I о» 1=1	|ш|=1
где
U, (z') = J Viz', x")dx" = J U (zх" + iy")dx",
| Imz' I2 -\-\y" |2 < 1,
есть аналитическая при | Imz' | < 1 функция, оцениваемая через
С(1 — | Imz'l)-*- Если |со'j = 1_и (У, х", ©') ф. WFL(u) для лю¬
бого х" е R"-'17, то \JX е С1 в точке х' — мо'. В силу леммы 8.4.12,
(*', CDra)&WFL{Ul).
Следующий результат соответствует теореме 8.2.12, но по су¬
ществу он эквивалентен теореме 8.5.4.
Теорема 8.5.4'. Пусть IcR", YczlRm— открытые множества и
Кей)'(1Х I7) — такое распределение, что проекция supp К-^Х
собственная. Если и е CL(Y), то
WFl(Xu) — {{x, |); (х, у, |, 0)е WFl(K) для некоторого
у е supp и).
Здесь Ж — линейный оператор с ядром К.
Доказательство. Перейдя от К к /С (1 ®и), можно считать, что
и= 1. Не меняя К на произвольно заданном компактном под¬
множестве, можно заменить К на распределение с компактным
носителем, и тогда утверждение совпадает с теоремой 8.5.4.
23 Зак. 821


354	8. Спектральный анализ особенностей
Следующая теорема представляет собой аналог теоремы 8.2.13,
и наши обозначения являются очевидной модификацией исполь¬
зованных в ней обозначений.
Теорема 8.5.5. Если и^ё>'(У) и WFL(u)f\WF'L(K)Y—0, то
WFl (Жи) с= WFl (К)х U (WF’l (К) - WFL (и)).
Доказательство. По теореме 8.5.2 имеем
WFL (1 <8>и)с{(л:, у, 0, л); (У, л)еИ>Т£(и)}.
Если Ки = К(1®и), то из теоремы 8.5.3 следует, что
WFl(Ku) <={(х, у, I, Л + Л'); (У, ri)e=WPL(u), (х, у, I, л')
е WFl (К)} U WFl (К) U WFl (1 <8> и).
Так как Жи является интегралом Ки по У, то применение тео¬
ремы 8.5.4 заканчивает доказательство.
Приложение к сверткам, продемонстрированное в конце §8.2,
очевидным образом переносится на WFl. Не останавливаясь на
этом подробнее, мы взамен докажем n-мерный аналог следствия
8.4.16, касающийся единственности аналитического продолжения.
Теорема 8.5.6. Пусть u^£D'(X), X c:Rn, f — вещественнознач¬
ная вещественно аналитическая функция на X их0 — такая точ¬
ка из supp и, что
(8.5.3)	df (х°) Ф 0, f(x)^f (х°) при xssuppw.
Тогда
(8.5.4)	(х°, ± df (х0)) с= WFa (и).
Доказательство. Заменяя f на f(x) — \х — х°|2, можем считать,
что
f(x)<f(x°) при х° ^ х е supp и.
Так как df(x°)=£ 0, то можно взять f в качестве локальной ко¬
ординаты /(х) = х„ и считать, что х°=0. Выберем окрестность
У точки OeRn_1 так, что УХ{0}<^Х Так как зирриП(УХ{0}) =
{0}, то найдется такой открытый интервал /е'R, что Ое/,
YXI^X и (дУ X/)HsuppM=0.
Если а(х') — целая аналитическая функция от х' = (хь ..., xn-i),
то теорема 8.5.4' (с XX У, х я у, замененными на /X У. хп и х')
показывает, что
и а (Хп) = 5 и (х) а (х') dx'


8.5. Правила вычисления для WFL 355
— корректно определенное распределение на / и
WFA(Ua)<={(хп, |„); (*', хп, О, |a)e=WFA{u)
для некоторого х' е У}.
Здесь точка (х', х„) должна быть близка к 0 при малых х„. Если,
скажем, (0, еп)ф WFA(u), где еп = (0	О, 1), то I можно вы¬
брать так, что (х, еп) ф WFa (и) при УХА Поэтому
(хп, 1)^ WFa{Uo) при хп е /, откуда ввиду следствия 8.4.16 за¬
ключаем, что Uа == 0 в /, поскольку Ua = 0 при хп > 0. Итак,
если Mi — сужение и на У X Л то
(ии а 0 ср> = 0
для вещественно аналитических а и всех <р^С“(/). Поскольку
а может пробегать плотное подмножество в C°°(iR'1-1), то из тео¬
ремы 5.1.1 следует, что м = 0 в УУ.1. Это противоречие дока¬
зывает (8.5.4).
Теорема 8.5.6 приобретает многообещающую форму, если для
произвольного замкнутого множества FczX ввести множество
нормалей.	#
Определение 8.5.7. Если F — замкнутое подмножество С2-много-
образияХ,то множество его внешних нормалей Ne(F)czT* (Х)\0
определяется как набор всех таких (х°, |°), что х° е F и для не¬
которой вещественной функции f^C2(X) с df (х°) = £,° ф 0
имеет место неравенство
(8.5.3)'	/М</(*°) при *е=Е.
Достаточно требовать, чтобы / была определена в окрестно¬
сти U точки х°, так как f можно заменить на ф(х)/(х) + (1 —
ф(х))/(х°), где О^феСоДО и ф(х)=1 вблизи х°. Поэтому
определение Ne(F) полностью локально. В локальных коорди¬
натах можно заменить / на /2(*)— |* — х°|2, где /2— многочлен
Тейлора второго порядка для / в точке х°, и, следовательно, f
всегда можно взять аналитической и строго меньшей f(x°) при
х° т^xeF. Следующее предложение показывает, что если
6F ф 0, то множество нормалей достаточно велико.
Предложение 8.5.8. Для всякого замкнутого в С2-многообразии
X подмножества F проекция Ne(F) на X плотна в dF. Если
x°^F, /еСДХ), d/(x°)= |° =т^0 и f(x)^f(x°) при x^F, то
(х°, 1°) е Ne (F). Если XcrlR" и У—выпуклое открытое подмно¬
жество в X\F, х° е ЕП дУ, то (х°, £°)е Ne(F) для некоторого |°,
такого что <х — х°, £°> > 0 при х^У.
Доказательство. Так как все утверждения локальны, то можно
считать, что XcrlRn. Если y^X\F и z^F находится на
23*


356	8. Спектральный анализ особенностей
минимальном евклидовом расстоянии до у, то
Поэтому (z,y — z)eN'(F). Для х0 е <?Е мы можем выбрать
последовательность уу е X\F, сходящуюся к х°, и получить по¬
следовательность (zv, |v) е Ne (F) с 2v->x°, что доказывает пер¬
вое утверждение. Если feC1 и f(x)^f(xF) при хеЕ, то вы¬
берем точки уч = х° -f f'(x°)/v, лежащие на внешней нормали, и
получим zv = х° + wv,
I V (*°)/v I2 > | Wv - V (*°)/v P, / (X° + B»v) < f (A
Поэтому x\wv\2/2 ^ <>v, f'(x°)> ^ o(|a>v|), откуда v^v->0 при
V -> oo и
V(yv — Zv) = f'(x°) — VWv-*f'(x°),
что доказывает принадлежность (x°, f'(x0)) к Ne(F).
Предположим теперь, что У выпукло, YmX, ЕПдТ = {*°Ь
Г Г) Y = 0. Пусть ОеУ. Тогда однородная степени 1 функция f,
для которой У = {х; f (х) < 1}, выпукла, поскольку из f(x) +
f(y) = M следует f (х + у) ^ М, так как
(х + у)/М = (x/f (х)) f (х)/М + {уIf {у)) f (у)/М е У.
Пусть 0<% е=С0°°, \)%dx= 1 и fE = f*Xe, где хЛ*) =
е_яХ (*/*)■ Тогда |/ — /е | < Се, так как / удовлетворяет усло¬
вию Липшица. Замечая, что 1 —f < 0 на F с равенством только
в точке х°, заключаем, что максимум функции 1 — fe в F будет
<Се и что он достигается в точке хе, где хе->х° при е->0.
Поскольку fe выпукла, для %е = — f'e (хе)/|/' (хе) | получаем
{хе, %e)^Ne(F)\ {х хе, 0 при fе(х) /е(хе).
Если |° — предел £е при е->0, то (х°, Afe(E) и
<х — х°, £°> > 0 для хеУ.
Если У — произвольное выпуклое открытое подмножество в
Х\Е и х0еЕПдУ, то можно применить полученный результат
к внутренности выпуклой оболочки х° и произвольного компакт¬
ного подмножества К в У, имеющего внутренние точки. Тогда
последнее утверждение предложения получается при К / У.
Ниже мы также пользуемся обозначениями
=	I); (X, -Z)<=Ne(F)}
для множества внутренних нормалей к F и_N(F) = Ne(F)\J
Ni(F) — для множества всех нормалей. Через N(F) обозначим
замыкание последнего в Г*(Х)\0. Теорему 8.5.6 можно теперь
переформулировать следующим образом:


8.5. Правила вычисления для WFl 357
Теорема 8.5.6'. Для любого и е
(8.5.5)	N (supp и) cz WFa (и).
Важность этой теоремы выявится во всей полноте в § 8.6, где
доказано, что если и удовлетворяет дифференциальному уравне¬
нию P(x,D)u = 0 с аналитическими коэффициентами, то
WFa{u) содержится в характеристическом множестве опера¬
тора Р. Следовательно, главный символ р(х, |) обращается в
нуль на WFa(u), а значит, в силу (8.5.5) и на N (supp и). Сей¬
час мы проанализируем чисто геометрические следствия наличия
такой функции. Напомним (см. § 6.4), что если р— вещественно¬
значная функция из С°°(Г*(Х)\0) и р(‘х°, |°) = 0, то уравнения
Г амильтона
dx/di = dp (х, l)/dl, dl/dt = — др (х, Q/dx
с начальными данными (х, |) = (х°, |°) при * = 0 определяют
проходящую через (х°, |°) кривую, на которой р — 0. Она назы¬
вается бихарактеристикой (бихарактеристической полоской), ее
проекция на X называется бихарактеристической кривой. Она не
имеет особенностей, если др/д\ Ф 0. •
Теорема 8.5.9. Пусть F — замкнутое подмножество в X и р е
С°°(Т*(Х)\0) — вещественнозначная функция, обращающаяся
в нуль на Ne(F). Если (х°, |°)е Ne(F), то существует окрест¬
ность точки (х°, |°) на проходящей через (х°, £°) бихарактери¬
стике t-*-{x(t),\(t)) для р, которая остается в Ne(F). Если
р'(х°, |°) Ф 0, то найдутся ФеС”(X) и е > 0, для которых
Ф (х (0) = 0, йФ (х (t)) = I (0 при | /1 < е
и Ф(х)<0 для х из окрестности кривой Г={х(£), |^|<е} на
F,x&г.
Доказательство. Поскольку результат локальный, можно счи¬
тать, что Xc=iRn. Выберем /еС“ с /(х°) = 0, df(x°)=l° и
/(х)< 0 при х? фхе F. Используя теорему 6.4.5, можно найти
решение ср задачи Коши
<8.5.6)	ду/dt + р (х, <р') = 0, ср (0, х) = / (х),
определенное при |£| < 6 и х из выпуклой компактной окрестно¬
сти W точки х°, иа которой df(x) ф 0. Имеем	в (—6, 6)Х^
и ф'0, х) = ф'(t, х) = — р(х, |) на кривых, определяемых ус*
ловиями
(8.5.7)
dxjdt = др (х, \)/д%, dl/dt = — др (х, 1)/дх;
(X, 1) = {у, Г (у)) при *=0.


358	8. Спектральный анализ особенностей
При у —хй имеем, в частности, <р'(/, x(t)) = l(t) и <р(^, x(t))
не зависит от выбора /.
Если 6 достаточно мало, то
М(0 = тахср(/, jc) > max ф(/, х),	|/|<6,
F U V	FftdW
так как это верно при t = 0. Поэтому максимум функции M(t)
достигается в точке xt е F во внутренности множества IF. Мы
утверждаем, что M(t) = 0 при |^|<б (по предположению это
верно при t = 0). Для доказательства заметим, что так как
|sup«—supo|:^ sup|«—v\ для всех ограниченных функций
и, v, то
| М (i) — М (s) | ^ max | ф (/, х) — ф (s, х) |.
F П W
Максимумы М (i) и M (s) не изменятся, если заменить здесь
F()W на {xt, xs}. Но (xt, q>'x(t, xt))e=N,(F) и (xs, xs))
<=Ne(F), а значит, p(xt, ф'(*, xt)) = p(xa, ф'(в, xt)) = 0.
В силу (8.5.6), ф't{t, х() = ф'(5, xs) = 0, и формула Тейлора дает
Ф (/, xt) — ф (s, xt) — 0{{t	s)2), ф (t, xs) — Ф (s, xs) = 0((t — sf).
Это означает, что M(t) — M(s)=0((t — (s)2), откуда M'(t) = 0
и AT (/) = AT (0) = 0.
Теперь заменим в предыдущих рассмотрениях f(x) на g(x) =
f(x) — | x — x° |2, и пусть ф — решение уравнения
d^/dt + р (х, ф') = 0, ф (0, x) = g (х).
Если 6 и IF достаточно малы, то результаты, доказанные для ф,
верны также и для ф, а ф (t,x) — ф(^, х)—строго выпуклая функ¬
ция от х, когда не IF. При x = x(t) мы знаем, что <p(t, x(t)) —
ф(£, x(t)) и ф'(/, x{t)) — ^'x(t, x(t)) = \(t), и из выпуклости сле¬
дует, что ф(^, х)> ф(/, х) при хфхЩ. Поскольку обе функции
Ф(t,x) и ф(^, х) имеют в W[\F максимальное значение нуль, то
для ф(^, х) оно достигается в точке x(t) и только в ней. Итак,
(x(t),l(t))^Ne(F) Иф(*,ДС(0) = 0.
Предположим теперь, что р' (х°, 1°) ф 0. Уравнение ф^ (Г, х) = 0
определяет С°°-функцию Т (х) в окрестности точки х° с Т(х°) = 0,
за исключением случая
0 = Ф" (0, х°) = - <р' (х°, |°), Ф" (0, х0))
= (PvP*) + (f"*PvP'l)’
когда / следует лишь заменить на g. Заметим, что ф't(t, x(i)) =
=—р(х(0, !(/)) = 0, так как	(x(t), %(t)) <= Ne'(F), откуда
T(x(t))=t. Можно считать, что ф(£, х)<0 при x^W[\F и


8.5. Правила вычисления для WFL 359
x=jf=x{t). Тогда Ф(х) = <р(Т(х),х) обладает всеми требуемыми
свойствами.
Следствие 8.5.10. Пусть F — замкнутое подмножество в X и
Л>Р=*{реС~(Г(Х)\0); р = 0 на Ne(F)}.
Тогда — идеал в С°°(Т*(Х)\0), замкнутый относительно взя¬
тия скобки Пуассона, г. е. такой, что если р, q е JCf, то
содержит скобку Пуассона
{р, Я) — £ ((dp/dlj) (dq/дх,) — (dp/dx^dqfdlj)).
Доказательство. В проверке нуждается лишь последнее утверж¬
дение. Можно считать, что р вещественнозначна. Если (х°, |°) е
Ne(F), то по теореме 8.5.9 бихарактеристика t-*-(x(t),l(t)) для
р, проходящая через (х°, |°), остается в Ne(F) при малых t.
Поэтому
0 = dq (х (0, I (t))/dl = {р, q} (х (t), | (0),
что и завершает доказательство.
Если pi, ..., pk^JFp и dp и .... dpk линейно независимы в
точке (х°, |°)<= Ne(F), то повторное использование теоремы 8.5.9
дает ^-мерное многообразие в Ne(F), проходящее через (х15, £°).
Ограничение 1-формы <£, dx}, а значит, и канонической симп-
лектической формы на произвольное многообразие ScrMe(f)
равно 0. В самом деле, если (х°, g°) е Ne(F), то существует та¬
кая функция /, что /<;/(х°) в F и на касательном пространстве
к Б в точке (х°, |°) выполнено равенство <|°, dx} = df(x). Но это
есть нуль, так как f достигает максимума на Б в точке (х°, |°).
Следовательно, k^n, а поскольку Ne коническое, то k < п,
если др\/д\, ..., dpk/d| линейно независимы.
Кратко обсудим теперь объекты, двойственные к Ne(F). Это
на самом деле не связано с главной темой настоящей главы, но
доказательства содержат аргументы, близкие к использованным
при доказательстве предложения 8.5.8, и проливают дополни¬
тельный свет на множество Ne(F). Кроме того, важность резуль¬
тата выяснится в гл. 26. Он подтверждает тот геометрически
правдоподобный факт, что фазовая кривая векторного поля не
может покинуть замкнутое множество иначе, как выйдя наружу
в одной из его граничных точек.
Теорема 8.5.11. Пусть v — векторное поле в X класса С1 (или
хотя бы липшицево) и F — замкнутое подмножество в X. Сле¬
дующие условия равносильны:
(i) всякая фазовая кривая уравнения dx/dt = v{x(t)),
0 ^ t ^ Т, с x(0)e F содержится в F;
(И) <п(х),	0 для всех (x,l)^Ne(F).


360	8. Спектральный анализ особенностей
Доказательство. (i)=*-(ii). Пусть feC2, df(x) = g и предполо¬
жим, что сужение / на F имеет в х локальный максимум. Ло¬
кально разрешима задача dy/dt = v(y(t)), у(0) = х. Из (i) сле¬
дует, что f(x)^f(y(t)) при малых t> 0, поэтому производная
f (y(t)) по t при t = О должна быть ^0, т. е. <о(х), |> ^0. До¬
казывая импликацию (ii)=*-(i), можно считать, что X = Rn. Нач>
нем с простой леммы.
Лемма 8.5.12. Пусть F — замкнутое множество в iR“. Положим
f (х) — min | х — z I2,
z ^ F
где | • | — евклидова норма. Тогда
f(x + y) = f(x) + f'(x, у) + о(\у\),
V(х, у) — min{<2у, x — z)\z<=F,\x—z\* = f(*)}.
Доказательство. Можно считать, что х = 0. Положим
q* (у) = inf {— 2(у, z>; г еF, I г |<(f (0))1/2 + в}.
Тогда qe— однородная степени 1 функция и q0 при е { 0,
причем на единичной сфере предел равномерный. Поэтому
Яо(у)>йАу)><1о(у) — се1 у\, се-> 0 при е->0.
/Т Я Л РР
\y-z? = \z?-2{y,z) + \y\\
что немедленно дает
f (y)<f (0) + qo(y) + IУ I2-
С другой стороны, если |и|^Г е/2, то для точки г, в которой
предположительно достигается минимум из определения f(y),
имеем |z| ^(/(О))1/2 + е/2 и
f(y)>f(0) + qe(y) + \y\2< М<е/2.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 8.5.11. В обозначениях (i) и леммы
8.5.12 при t <Т имеем
lim (f(x(s)) — f(x(t)))/{s — l) = f'(x(t), v(x(t))).
s->t+0
Вследствие локальности доказываемого результата можно счи¬
тать, что при всех х и у
\v{x)-v{y)W\x-y\.
Если г е F и |x(f)—z|2 = f (x(t)), то
2 (v (x (0), x (t) — z) — 2 (v (z), x (0 — z) — 2 (v (г) — v(x (t)), x (t) — z).


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 361
Последний член ^2Cf(x(t)). Из доказательства предложения
8.5.8 вспомним, что из неравенства f(x(t))>0 вытекает включе¬
ние (z,x(t)—z)^Ne(F) для всех таких г, что |х(г)—z|2 =
f{x(t)). Поэтому первый член справа ^0 по условию (п), так
что правая производная функции f{x(t)) не превосходит
2 Cf(x(t)). Следовательно, правая производная функции
f(x(t))e-2ct неположительна, и, значит, эта функция невозра¬
стающая, как показывает простая модификация доказательства
теоремы 1.1.1 (напомним, что / непрерывна). Если f(x(0)) = 0,
то получаем f(x(t)) — 0, 0 < t < Т, как и утверждалось.
8.6.	WFl Для решений дифференциальных уравнений
в частных производных
Если
Р(х, D)= £ aa(x)Da
[ а | ^ тп
— дифференциальный оператор с коэффициентами из CL(X), то
нами доказано, что
WFL (Р (х, D) и) с= WFl (и),	и<=2У (X).
В случае вещественно аналитических коэффициентов аа это
также является следствием теоремы 8.4.8, леммы 8.4.2 и тео¬
ремы 8.4.5. При таком предположении мы сейчас установим об¬
ратное подобно теореме 8.3.1.
Теорема 8.6.1. Если P(x,D) — дифференциальный оператор в X
с вещественно аналитическими коэффициентами, то
(8.6.1)	WFl (и) cz Char Р U WFL (Ри), и^ЗУ(Х),
где характеристическое множество Char Р определено посред¬
ством (8.3.4).
Доказательство. Мы повторим доказательство теоремы 8.3.1, бо¬
лее тщательно выбирая срезающие функции. Нужно проверить,
что если (х0, £о) не принадлежит правой части (8.6.1) и go^Oi
то (х0, |о)^ WFl(u). Из сделанных предположений вытекает су¬
ществование компактной окрестности К точки х0 и замкнутой
конической окрестности V вектора g0 в Rn\0, таких что
(8.6.2)	Рт{хЛ)Ф 0 в К XV,
(8.6.3)	(KXV)[)WFl(Pu)=0.
С помощью теоремы 1.4.2 выберем теперь последовательность
таких функций %N е С“(К), равных 1 в некоторой фиксированной


362	8. Спектральный анализ особенностей
окрестности U точки хо, что при всех а
(8.6.4)	\Da+*xN\<Ca(CaN)ifi', 1РКЛГ.
Тогда последовательность иу — хглгм ограничена в и и»— и
в U. Теорема будет доказана, если мы докажем справедливость
(8.4.5)	в V при	поскольку (8.4.5) при | £| ^ jV ^ Ly
вытекает из ограниченности цу.
Чтобы оценить йу(£), нужно приближенно решить уравнение
(8.6.5)	tpv(x) = x2N (х)е~‘<х-*>.
Полагая v — e~i(x> l)w/Pm (х, £) и замечая, что главный символ
оператора *Р есть Рт(х,—£), получим вместо (8.6.5) уравнение
(8.6.6)	W — Rw = ЗСгло R = Ri + R2 + • • • + Rm>
где #/|£|у— дифференциальный оператор порядка не выше /
с аналитическими коэффициентами, однородными степени 0 по
£ при | е V и х е К. Формальным решением был бы ряд
оо
2	Rk%2N-
Мы, однако, не должны использовать производные слишком вы¬
сокого порядка и поэтому положим
wN =
h+
z
-+'*<w-
R<
Rjfcit'
Простой подсчет дает
wn-Rwn = % 2Д,-
/1+	^ j2+ • +/fc
Rjt • • • Rjk^2N %2N eN>
что эквивалентно равенству
*Р(х, D){e~l^wN{х, 1)1Рт(х, 1)) = е-1**>(ъя(х)-ея(х, £)).
Обозначая интегралом действие распределений, получаем
(8.6.7)	^ u(x)%2N(x)e~iix’l)dx= ^ u{x)eN{x, Qe~iix-l)dx
+ $/(•*) е~1<*• bwN (х, I)/Рт (х, g) dx.
Здесь f = P(x,D)u. Для оценки правой части (8.6.7) докажем
сначала простую лемму.
Лемма 8.6.2. Существует такая постоянная С', что если
] = } 1 + • • • + jk и / + j Р| < 2N, то


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 363
Доказательство. В силу однородности лемму достаточно дока¬
зать лишь при |£|=1. При таких	все коэффициенты
оператора R/ ограничены в некоторой фиксированной комплекс¬
ной окрестности множества К, и доказательство завершает сле¬
дующая
Лемма 8.6.3. Пусть К — компакт в IR" и К' — окрестность К в
Если аи ..., a,-i аналитичны в К' и |ai|<l, ...,
| a/_i | < 1 в К', j ^ N, то
(8.6.9)	• • • ai-iDiXN\<C'N+iN1.
Доказательство. В силу неравенств Коши, для некоторого г > О
|£>%|<|a|!r-|a| в К,
и (8.6.4) дает
|£>аХАг|<С0(Со^)|а,<Со^с!,а||а|! при |а|<ЛГ,
так как iV|a|/l a |! ^eN. Ясно, что Dial...aj_lDi^N является
суммой членов вида (£)a‘aJ ... (Da'~laj_])Da,%N, где
| а! | + ,.. | ay. | = /.
Если Cfej... kj — число членов с |	| = ku ..., | a; | = kjt то левая
часть (8.6.9) оценивается через
C0eN (max (С0, l/r))N £ Ck1... k^. ... kj\.
Так как дифференцирование Dik в (8.6.9) действует на все по¬
следующие сомножители, то легко видеть, что
X ... kjXi1 • • • xj’ — (^i + • • • + xj) {x2 + • • • + xj) •••*/•
Отсюда вытекают соотношения
oo	oo
...k]k\\ ... kj\ — ^ ... ^ (X[ + ... + Xj)(x2 + ... + xj)
о 0
... Xje-(Xl+-+xiUx = (2j-l)(2j-3) ... 3- l<(2jV).'
(Интеграл вычисляется переходом к новым переменным Xi + ...
-|- х,-, х2 + ... + Xj, ... .) Этим заканчивается доказательство.
Окончание доказательства теоремы 8.6.1. Если М — порядок и
в окрестности компакта К, то первый член справа в (8.6.7)
для больших N и 111 > N, | <= V, оценивается через
С Z (l+|£|)M4a|sup|£>“<?„(*, £)|.
| аТ<М	х


364	8. Спектральный анализ особенностей
Число слагаемых в вн не может превосходить 2N, и каждое из
них допускает оценку посредством (8.6.8), что дает верхнюю
грань
Заменяя N на N + т + М, получаем неравенство искомого вида
(8.4.5)	даже для аналитического класса. Для оценки последнего
члена в (8.6.7) заметим, что (8.6.8) дает
(8.6.10) |Д%|<СГ+1Л^1Р|,	| р |<ЛГ, |e=V,	||| > N.
Аналогичная оценка верна и для WN\%\m/Pm{x, |). Завершить
доказательство позволяет следующая
Лемма 8.6.4. Пусть f^S>'(X), К — компакт в X, V—замкнутый
конус в IR"\0 и
WFL(f){](KXV)=0.
Если е Со° (/С) и выполнено (8.6.10), то
(8611) I Q (Б) I < СГ1 (Ln_m_J\ 11 f-M~n
при |eV, |||>jV, N>M + n.
Здесь M — порядок f в окрестности множества К..
Доказательство. По лемме 8.4.4 найдется такая ограниченная
в <g’M последовательность распределений fN, равных f в некото¬
рой окрестности К, что
|^(Л)|<С(С^/|Л1Г, лег,
где W — коническая окрестность множества V. Тогда wNf =
wNfN>, N' = N — M — п. Так как
|^(л)|<с^+чда + |л1)Г
в силу (8.6.10), то из (8.1.3) вытекает оценка
\Q(Z)\<C$+l((LN'j\Z\f + NN\Z\n+M-N), lev, |||>tf.
Поскольку N'^.LN', то отсюда следует (8.6.11).
Комбинируя теоремы 8.6.1 и 8.5.6', получаем следующее
утверждение:
Теорема 8.6.5 (теорема единственности Хольмгрена). Если
ией)'(X) — решение дифференциального уравнения Р(х, D)u = 0
с аналитическими коэффициентами, то главный символ Рт (х, |)
обращается в нуль на Af(suppu). Следовательно, и= 0 в окре¬
стности нехарактеристической С1 -поверхности, если это имеет
место по одну сторону от нее.


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 365
Последнее утверждение верно ввиду предложения 8.5.8 (на¬
помним из § 6.4, что С'-поверхность с нормалью | в точке х
нехарактеристическая в этой точке, если Рт (х, £) Ф 0). Если
Р — эллиптический оператор (ср. со следствием 8.3.2), то тео¬
рема утверждает, что N(suppu) пусто, и, значит, suppu не имеет
граничных точек в X. Если X связно и и ='0 в окрестности точки
из X, то и = 0 на X.. Более сильная теорема о единственности
продолжения получается, если дополнительно воспользоваться
следствием 8.5.10:
Теорема 8.6.6. Пусть Р (х, D) — дифференцильный оператор с
аналитическими коэффициентами и 9? — наименьшее подмноже¬
ство в С°°(Т*(Х)\0), содержащее все С00-функции, равные нулю
на Char Р, и замкнутое относительно взятия скобок Пуассона.
Если и е k)' (X) и Р(х, D) и = 0, то все функции из 9? обращают¬
ся в нуль на N (supp и).
В частности, если функции из не имеют общих нулей, X
связно и и обращается в нуль на открытом множестве, то и —
тождественный нуль на X. Если и равно нулю по одну сторону
от. (^-поверхности с нормалью | в точке х, то это верно и в ок¬
рестности х, когда не все функции из “g? обращаются в нуль
в точке (х, |). Как показывает следующий пример, это является
усилением классической теоремы единственности Хольмгрена.
Пример 1. Если Р (х, |)=1*+*^+ _ _ _	то ^		хп_£п
обращаются в нуль на Char Р. Взяв скобки Пуассона, получаем
{^1> Х[%%} = ^2»	{^2> -^2^з} == ^3	{£а-1> %п— 1^п} = £/»>
и, следовательно, функции из 9? не имеют общих нулей.
Пример 2. Если Р(х, 1) = х212-\-Щ + Щ, то содержит |2, £з, х2
и, поскольку {^2, х2}= 1 е'ё’, общих нулей нет. Однако решения
уравнения P(x,D)u = 0 не обязаны быть аналитическими. Дей¬
ствительно, функция
и% (х) ='ехр (тх3 + ix{t2 — х2т2/2)
является решением при любом т. Поэтому функция
оо
и(х)= ^ ux(x)e~xdx
о
есть С°°-решение при |х3|< 1, но и не вещественно аналитична,
поскольку
ОО
D*u(0)=^ i2ke~x ch; = {2k)l.
о


366	8. Спектральный анализ особенностей
Для дифференциальных операторов с постоянными коэффи¬
циентами нет смысла брать скобки Пуассона, так как скобка
Пуассона двух произвольных функций от | равна 0. Следующее
утверждение отчасти является обратным к теореме 8.6.5.
Теорема 8.6.7. Пусть плоскость (x,N) = 0, jVeiR'1, характери¬
стична относительно дифференциального оператора P(D), т. е.
Pm (N) = 0. Тогда существует такое решение и уравнения
P(D)u =0, что	и supp и = {х; <х, N) ^ 0}.
Доказательство. Пусть Р = Рт + Рт-\ + ... + Р0, где Pj одно¬
роден степени / и Рт ф 0. Фиксируем вектор | так, что Рт{%) ф 0,
и исследуем решения уравнения
(8.6.12)	P(sN + %) = 0
при больших S. Для этого положим t = ws, что сводит (8.6.12)
к алгебраическому относительно w и 1/s уравнению
РтШ + о£)+ ... +mm~kPk(N + wt)+ ... =0.
При 1/s = 0 это алгебраическое уравнение относительно w не
удовлетворяется тождественно, так как Рт(1)Ф 0, но выполнено
при w = 0, так как Pm{N) — 0. Поэтому из леммы А. 1.3 (см.
т. 2, дополнение А) следует, что для некоторого целого р урав¬
нение (8.6.12) имеет решение, являющееся аналитической функ¬
цией от (l/s)1/p в окрестности нуля и равное в нем нулю. Это
означает, что (8.6.12) имеет решение
оо
(8.6.13)	t(s) = s'Zcl(s-4i>y,
аналитическое при |s1/p|>Al, где М — постоянная. Следова¬
тельно, с некоторой постоянной С
8.6.14)	|f(s)|<C|s|1-1/p, |s|>(2M)p. '
Выберем теперь число р так, что 1 — 1/р<р<1, и, взяв
т > (2Л1)р, положим
tt+oo
(8.6.15)	и(х)= J ei«*. **+*<«) ae-WOPds.
ix-oo
Здесь мы определяем функцию (s/г)р так, чтобы она была веще¬
ственной и положительной, когда s лежит на положительной
части мнимой оси, и выбираем фиксированную ветвь функции
s'/p в верхней полуплоскости. Интеграл сходится и не зависит
от т, поскольку для х, принадлежащих некоторому фиксирован¬


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 367
ному ограниченному множеству, ввиду (8.6.14) имеем
(8.6.16)	Re (г (х, sN + t (s) l) — (siif)
Л/) + С|*11111s|1-1/p — | $ |pcos (яр/2)
< — x(x, N) — c|s|p,
если 0 < c <; cos (лр/2) и jsj велико. Эта оценка показывает
также, что, когда х меняется на компакте, интеграл (8.6.15)
сходится равномерно даже после любого числа дифференциро¬
ваний по х. Следовательно, иеО, и, используя (8.6.12), за¬
ключаем, что P(D)u= 0. Из (8.6.16) также получаем
оо
|Jj e-c>0'pda.
— оо
Устремляя х к +оо, найдем, что и(х) = 0 при <х,	0 (ср.
с доказательством теоремы 7.3.1). Если <х, N}<. 0, то мы можем
заменить контур интегрирования в (8.6.15) на отрицательно
ориентированную границу множества
{s; | s К (2М)Р или Im s < 0, | Re s | < (2М)р}.
В таком случае подынтегральное выражение экспоненциально
убывает и остается таковым для всех х с <Rex, У> < 0. По¬
этому функция и аналитична в полупространстве {jceR“;
<x, N) < 0} и не равна нулю тождественно по формуле обраще¬
ния преобразования Фурье. (Заметим, что и(х) совпадает с пре¬
образованием Фурье от ехр(— (s/i)p) при <х, У> = / и <х, £> = 0.)
Поэтому supp и совпадает с замыканием полупространства. Тео¬
рема доказана.
Замечание. Разделяя в (8.6.15) интегрирование по Res>0 и
Res<0, можно записать и(х)= и+(х)-\-и~(х), где ы+(н_)—
граничное значение функции, аналитической при <1шг, У) > 0
(соотв. <1гп2, Ny <С0). Это доказывает, что WFa(u) = {(x, tN)',
(x,N}= 0}—нормальное расслоение к границе носителя.
Следующая теорема дает полезную сводку результатов в слу¬
чае постоянных коэффициентов.
Теорема 8.6.8. Пусть Ху и Х2 — открытые выпуклые множества
в R", Ху<=Х2, P(D) — дифференциальный оператор с постоян¬
ными коэффициентами. Следующие условия эквивалентны:
(i) Каждое	не2)' (Х2),	удовлетворяющее уравнению
P(D)u = 0 в Х2 и обращающееся в нуль на Ху, должно также
равняться нулю на Х2.
(п) Каждая характеристическая относительно Р гиперпло¬
скость, пересекающая Х2, пересекает также и Ху.


368	8. Спектральный анализ особенностей
Доказательство. (i)=£-(ii) Предположим, что л — характеристи¬
ческая гиперплоскость, не пересекающая Хь Пусть Н — полу¬
пространство, ограниченное я и не пересекающее Х\. По тео-
реме 8.6.7 найдется решение и уравнения P(D)u = 0 с suppu = #.
Из (i) следует, что Н [}Х2 = 0, и, значит, nf\X2 = 0.
(ii)=^(i) Пусть у2^Х2. Выберем точку у\^Хг и обозна¬
чим через / отрезок прямой, соединяющий у\ и у2. Можно ука¬
зать такое открытое выпуклое множество X ш Хи что всякая ха¬
рактеристическая плоскость, пересекающая /, пересекает также
и X. Действительно, если Хое / и go^R", Рт{\о) = 0, |Ео|=1,
то можно выбрать открытый шар	через который прохо¬
дит плоскость <х — Хо, g>=0, а следовательно, и любая характе¬
ристическая плоскость с близкой к go нормалью, содержащая
точку, близкую к х0. По лемме Бореля — Лебега множество X
с требуемыми свойствами можно построить, взяв выпуклую обо¬
лочку конечного числа открытых шаров Е (Ш X.
Пусть Yt — внутренность выпуклой оболочки X и yt = yl-\-
t(y2 — pi),	Если t мало, то yt^X\ и поэтому Yt с: Xi
и и =0.в Yt. Пусть Т — точная верхняя грань тех *е[0, 1], для
которых н=0 в Yt. Тогда и = 0 в YT и утфХ\. Если я — опор¬
ная гиперплоскость к Yt и ут е я, то я нехарактеристична, так
как она пересекает /, но не пересекает X. Если же ут ф я, то
я Г) Fr <= X ш Х\. Из предложения 8.5.8 и теоремы 8.6.5 следует
тогда, что dYт П supp и = 0. Поэтому Т = 1 и и = 0 в окрестно¬
сти произвольно выбранной точки у2 е Х2. Выполнение условия
(i) доказано.
Следствие 8.6.9. Если носитель решения ue^'fR11) уравнения
P(D)u = 0 содержится в полупространстве с нехарактеристиче¬
ской границей, то и = 0.
Доказательство. Каждая характеристическая плоскость пересе¬
кает это полупространство.
Следствие 8.6.10. Пусть N\ и N2 — такие вещественные векторы,
что
(8.6.17) Pm (tiNi + x2N2) ф 0 при Т[ > 0, т2^0.
Положим Xauai={x\ {х, Nj)<aj, j= 1, 2}, где а! и сц — веще¬
ственные числа или + оо. Если и е <£>' (Хаи аг) удовлетворяет
уравнению P{D)u = 0 и и = 0 в Хс. аг при некотором с<аи то
U = 0 в Xai, а2«
Доказательство. Нормаль к гиперплоскости, не пересекающей
Хс. о2, должна быть линейной комбинацией и N2 с неотрица¬
тельными коэффициентами. Если плоскость характеристична, то
в силу (8.6.17) нормаль пропорциональна N2. Поэтому выпол¬
няется условие (И) теоремы 8.6.8.


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 369
Следствие 8.6.11. Пусть X — открытый собственный конус с вер¬
шиной у, причем ни одна характеристическая гиперплоскость,
проходящая через у, не пересекает X лишь в у. Всякое решение
и^З)'(Х) уравнения P(D)u= 0, обращающееся в нуль вне
ограниченного подмножества конуса X, равно нулю во всем X.
Доказательство. Так как конус X — собственный, то через у про¬
ходит плоскость л, не содержащая других точек из X. Приме¬
ним теорему 8.6.8 к Х2 = Х и Хь равному пересечению X и
подходящего полупространства с границей, параллельной л. Усло¬
вие означает, что любая характеристическая плоскость, содер¬
жащая точки множества Х2, содержит целый луч, лежащий в X%.
Последний пересекает Xlt и поэтому следствие вытекает из тео¬
ремы 8.6.8.
В доказательстве теоремы 8.3.7 мы видели, что ю_ является
целой аналитической функцией. Если ссылку на теорему 8.1.6
в этом доказательстве заменить ссылкой на теорему 8.4.8, то по¬
лучается
Теорема 8.6.12. Пусть Р (D) — оператор вещественного главного
типа; тогда существуют такие Е+ е iZ)'(lRn) и аналитические
функции со±, что P(D)E+ = б + ю± и
(8.6.18) WFA(E±)cz{{iP'm{l), |); =Ы > О, Рт&) = 0, 1^=0}
иг*\{0}.
Теперь мы в состоянии доказать аналог теоремы 8.3.3'.
Теорема 8.6.13. Пусть P{D) — оператор вещественного главного
типа. Если и е £>'(*), P{D)u=f и (х, £)е WFL(u)\WFL(f),
то Pm(l) = 0 и
IX ш <= wfl (и),
где / Х — такой отрезок прямой, проходящий через хв направ¬
лении Р'т (1), что
(/Х{!})ПГ/ч (f)=0.
Доказательство. Не Ограничивая общности, можно считать, что
и е Пусть U и F — аналитические функции в {2; | Im z \ < 1},
соответствующие и и / по теореме 8.4.11. Так как U — К*и и
F = K*f, то P(D)U = F. В частности, если |со| = 1, то
Р (D) U (• — ico) = F (• — до).
Если найдется точка г/е/, для которой {у, |)^ WFl(u), то су¬
ществует такая окрестность W вектора —£/||| на S"-1, что
их = ^ U (- + /со) dat е CL (V),
v
/,= \F{- + «o)d(o еС^И,),
v
24 Зак. 821


370	8. Спектральный анализ особенностей
где V — окрестность точки у и V\ — окрестность отрезка /. Так
как {x,1)^WFl{u — ux),io (x,l)<= WFl(u\) и P{D)u\ = f\.
Можно считать, что х — y = tP'm(£) для некоторого / > 0.
Положим
/_ = W + R_p;(g).
Выберем теперь такую срезающую функцию	равную I
вблизи отрезка [у,х], что /-Dsuppdx^ V. Мы можем выбрать
X так, что х(*) = Ф(<*> Л)),	Для некоторых ф е С°° и век¬
тора т) с (]?т (|), т)^ Ф 0, откуда следует линейная независимость
| и тр По теореме 8.5.1 отсюда вытекает, что
WFA(X) \v<=VXRr\.
Тогда v = %Ui е &' и
WFl(P(D)v)\i_czVX^-
Из теоремы 8.5.5 следует, что для WFl имеет место аналог
(8.2.16). Значит, для v = E+*P(D)v — (о+*и ймеем
(х, %)&WFl(v).
Так как v = U\ в окрестности х, то полученное противоречие по¬
казывает, что (#, WFl(u). Доказательство закончено.
Следствие 8.6.14. Пусть P(D) — оператор вещественного главного
типа, и е Ф’ (X) и P(D)u — 0. Если (х, g)ejV(suppu) ы/с=2Г—
содержащий х интервал на, прямой, проходящей через точку х
в направлении P'm(k)> то /czsuppu.
Доказательство. По теореме 8.5.6' имеем (х, |)е WFa(u). Сле¬
довательно, / ХШ<= WFa(u) по теореме 8.6.13. Утверждение до¬
казано.	t
Следствие 8.6.14 полезно сравнить с теоремой 8.5.9, значи¬
тельно более общей, но только локальной. Теорему 8.6.13 и след¬
ствие 8.6.14 можно обобщить на уравнения с вещественно ана¬
литическими коэффициентами, но в этом случае доказательства
требуют использования дополнительных технических средств.
Вместо этого мы докажем обобщение теоремы 8.6.1 на уравне¬
ния в свертках, которое окажется полезным в § 12.9.
Для р е	(R л) характеристическое множество допускает
следующее определение. Положим сначала Г равным множеству
всех g0slRn\0, для которых найдутся такие комплексная кони¬
ческая окрестность V вектора |0, постоянные С, N, С\ и анали¬
тическая в Vc={£eV; |£|>С} функция Ф, что Фр=1 в


8.6. WFl для решений дифференциальных уравнений 371
Vcfl'R". и
8.6.20)	|Ф(Ш<С,КГ.
Через Charp мы обозначим дополнение к Г B-:Rn\{0}.
Теорема 8.6.15. Если pe^'(R") и	то
(8.6.21)	WFa (и) cz WFa (р * и) U (R“ X Char ц).
Доказательство. Воспользуемся описанием WFa, данным в тео¬
реме 8.4.11. В соответствующих обозначениях нужно доказать,
что и*К(г) аналитично в точке х0— ig0, если go ^ Char р,
|go| = l и (л:0, go)Ф WFa (f), где f = p*u. Выберем V и Ф так,
что выполняется (8.6.20) и Фр=1 в	Пусть W' и W" —
такие замкнутые конические окрестности точки go в Кга\{0}, что
W" содержится во внутренности окрестности W' и W' с V. Вы¬
берем такую функцию / е С°°, 0 ^	^ 1, равную 1 в окрестности
множества. W%c> что supp jccz W'2C и / однородна степени 0 при
|g|>3C. Тогда преобразование Фурье от ы*/С(* +й/), |у|< 1,
можно представить в виде
йе-ъ в// (Б) = й (1 - г (£))	в// (Б) + /ф (Б) г (I) *-<* »// (Б).
Вводя обратные преобразования Фурье
/Cl (2) = (2яуп 5 (1 - X (Б)) е1«.»// (Б) d%,
Кг (2) = (2я)“" J % (Б) Ф (I) е‘<г- В// (Б) dl,
быстро убывающие при Re2-»-сю, \lmz\ < 1, имеем
8.6.22) K*u(z) = Kl*u(z) + K2*f(z), | Im2 | < 1.
Ясно, что, когда |Ini2 + go| достаточно мало, К\ остается ана¬
литической и поэтому Ki*u(z) аналитично в точке Хо— tgo.
Для изучения свойств Кг поступим, как в доказательстве лем¬
мы 8.4.10, хотя теперь нам придется работать со всеми перемен¬
ными и применять формулу Стокса. Пусть хДБ) — функция клас¬
са С°° с носителем в W"c, равная 1 в W'^, где W" — еще
одна коническая окрестность вектора g0 и однородна степени 0
при |g|>4C. Мы хотим сдвинуть контур интегрирования, пре¬
вратив его в контур (х — Re 2)
Rn э 1-+1 +	(Б)I Б1*(1 + | х |2Г1/2,
где 0 < 6 ^ 1 выбрано настолько малым, чтобы не выйти за
пределы Vc, когда g е supp /ь Для оценки подынтегрального
выражения воспользуемся леммой 8.4.9 и неравенством
Re (i(х + iy, g + it)> — <g + Щ, g + iri)1/2)
<-(x. ri)-(у, Б> — (IБ P — I л|2)1/2,
24*


372	8. Спектральный анализ особенностей
справедливым при |ц|<;||| (оно вытекает из того факта, что
Re w2 ^ (Re да)2). Для -ri = р] |J jc(1 + |х|2)-1/2, 0 sg: р sg: 1, левая
часть неравенства оценивается через
UI (- 9\Х т + | х I2)1'2 - (1 - Р2| * |2/(1 + I * Р))1/2) - {у, 1>.
В скобках стоит выпуклая по р функция, равная —1 при р = 0
и — (1 +1 х |2)1/2 при р = 1. Поэтому
Re (г (х + iy, I + щ) — <| + й), | + it])112)
<-|g|(l-p + p(l+UI2)1/2)-<i/, £>.
Используя формулу Стокса, согласно сказанному получим, что
при некотором 6 > О функция К2 имеет аналитическое продол¬
жение в область
{г\ 11гп2 | < 1 — б + б(1 +1 Re2 р)1/2, 11гп2 + go | < б},
где второе ограничение возникает, как и в обсуждении К\, при
рассмотрении тех £, где контур не деформировался. Интегриро¬
ванием по частям убеждаемся, что на этом множестве К2 быстро
убывает на бесконечности.
Свойства К2 показывают, что граничное значение функции
K2*f(- —г£о) равно свертке / и граничных значений К.2(- —i£о),
аналитических вне 0. Записывая / = /1 + /2, где f\ е <£' и f2 обра¬
щается в нуль при |х— Хо| <. г, видим, что функция
К2 * /2 (2) = /2 (К2 ( ■	2))
аналитична при 2, настолько близких к Хо —1'|о, что функции
К2(- —2) равномерно ограничены в & при \х — х0|^г. По тео¬
реме 8.4.8 имеем WFa(K2{—е£о))<= {(0, ^о), t> 0} (ср. с лем¬
мой 8.4.12). Вспоминая теперь, что (х0, £0)^ WFA(fi), из аналога
соотношения (8.2.16) для WFa получаем
х0 ф sing supp^ h*K2{- - tlo):
Следовательно, свертка К*и аналитична в точке Хо— г£о. что
завершает доказательство.
Замечание. Теорема остается справедливой, если. ие2)'(1) и
отображение
supp р X supp из(х, у) -+ х + у
является собственным. Действительно, в этом случае р * и опре¬
делено (см. §4.2) и для всех х имеем р* и — р*(срц), и = ери
в окрестности точки х, если функция феСо° равна 1 на доста¬
точно большом множестве. Применяя (8.6.21) к ери, заключаем,
что (8.6.21) верно в слое над х.


8.7. Микрогиперболичность 373
8.7.	Микрогиперболичность
Если F — вещественнозначная вещественно аналитическая функ¬
ция в открытом множестве XcR" и 0 — такой вещественный
вектор, что <0, F'(x)} > 0 при F(x) = 0, то формула
Fol= lim l/F(- +is0)
e-»+0
задает корректно определенное распределение, для которого
WFA(Fel) = {(x, tF'(x)y, F(x) = 0, t > 0}.
Действительно, если Г — такой открытый выпуклый конус, что
(y,F'(x))> 0,	0#|/еГ", х^Х0тХ,
то по формуле Тейлора
(8.7.1)	| у |	| F (х + iy) |, если iel0, г/еГ и \у\ мало.
Утверждение, таким образом, является следствием теоремы 8.4.8.
Если F имеет критические точки, то может иметь место более
слабая форма (8.7.1). Типичный пример дает форма Лоренца
F {х) = х\ — х| — ... — х2п. Ввиду (7.4.8)
F(y)<\F(x + iy)\; х,уе= R".
Поэтому (8.7.1) будет верно после замены \у\ на. \у\2, если
Г\{0} содержится в открытом световом конусе. Этот пример
мотивирует следующую терминологию.
Определение 8.7.1. Вещественно аналитическая функция F в от¬
крытом множестве X cz'Rn называется микрогипёрболической от¬
носительно 0 е |Rn, если существует такая положительная не¬
прерывная функция t(x) на X, что
(8.7.2)	F (х + Ш) =t= 0 при 0 < t < t (х), х^Х.
В последующем обсуждении локальных свойств функции F мы
можем уменьшить X так, чтобы t было отделено от нуля на X,
и, заменяя 0 на его кратное, считать, что
(8.7.2) '	F (х + Ш) ф 0 при 0<*<1, хсеХ.
Для упрощения обозначений мы предположим также, что 0ё1,
и будем изучать F вблизи точки 0.
Лемма'8.7.2. Если F удовлетворяет (8.7.2)' и F(tQ) имеет нуль
в точности порядка m при t = 0, то
F(x) = F0(x) + O{\x\m+l),


374	8. Спектральный анализ особенностей
где Fo — однородный полином степени m и
(8.7.3)	Fo(0)¥=O, F0{х + Щ ф 0 при 0#/eR,
Доказательство. Пусть у — фиксированный вещественный век¬
тор. Положим
g(t, s) = F(tB + sy).
Тогда g(t, 0) = ctm + 0(tm+l), с Ф 0, и мы утверждаем, что
g(t, s) = О (| 11 + |s |)m в точке (0,0),
В противном случае наибольшее X, для которого
git, s) = О (\t | +1 s t)m в точке (0, 0),
является рациональным числом, \/m <^Х < 1. Запишем X = p/q,
где р и q — взаимно простые натуральные числа, и рассмотрим
пределы
gf(w)= Hm g(to|s|\ s)/\s\m\
s->± 0
Если at’sk — член ряда Тейлора для g(t,s) с j + k/X = m, то
m — j делится на q. Поэтому
gt (to) = cwm + (± l)p cxwm q + (± l)2p c2wm 24 + ...,
где Cj не все равны 0. Из (8.7.2)' следует, что Imto^O для
нулей функции g* (w), так как если g(to|s|\s) — jF(Reш|s|v0
+ sy -f- i Im w j s 14)) = 0 и s мало, то Im w ^ 0. Теперь мы можем
найти такое число гф 0, что g*(w) = 0 при wg = (=bl)pz. Если
все такие w лежат в полуплоскости, то q = 2 и р четно, что
противоречит условию 1 р < q. Следовательно, Л,= 1, и в
силу произвольности у заключаем, что F(x) = 0( |х|т), х-*~0.
Далее,
Fo (х) = lim F (ex)/em
e-M)
есть однородный многочлен степени m. Как и выше, из (8.7.2)'
следует, что
F0 (х + to0) ф 0 при ^eR", Im to > 0.
Поэтому F0(* + to0)==(—l)mF0(—x — иид)ф0 при хеКя-и
Imto < 0, что доказывает (8.7.3).
Замечание. Для доказательства соотношениея g(f,s) = 0(|f| +
| s |)m достаточно было бы предположить, что при малых веще¬
ственных s и малых |/|
g{t, s) = 0 =>- Im t < С | s |.


8.7. Ммкрогинерболмчность 375
Действительно, тогда для нулей функции g(w |s |х, s) /1 s |'mX
имеем Im га? | s |л ^ С | s |, и поскольку Я,<1, то Imto^O, если
w — нуль функции g*. Это наблюдение будет полезно в гл. 12.
Лемма 8.7.3. Пусть Fo — однородный многочлен, удовлетворяю¬
щий (8.7.3). Тогда связная компонента Г вектора 0 в {xe’R";
Fo(.v)¥=0} представляет собой выпуклый конус. Все нули мно¬
гочлена Fo(x-\-ty) вещественны, если xeIRп и г/еГ; они от¬
рицательны тогда и только тогда, когда х также лежит в Г.
Коэффициенты многочлена Fq(x)/Fq(Q) вещественны.
Доказательство, а) Для любого вещественного х нули t много¬
члена F0(* + <0) вещественны, так как если /•’о (jc + ^0) = 0, то
Fq(x + Re/6 + i Im/0) = 0, и поэтому lmf = 0 в силу (8.7.3).
Отсюда следует вещественность Fo(x)/Fq(Q) — отношения млад¬
шего и старшего коэффициентов рассматриваемого многочлена
от t.
b)	Положим
Гg — {х €= Rra; Fq {х -j- Й)) = 0 =► t <^. 0}.
Тогда Ге открыто и 0еГ, так как при х = 0 все нули совпа¬
дают с —1. Если *о принадлежит замыканию Ге, то верна им¬
пликация Fo (*о + *0) = 0 => t sg: 0, откуда х0 gTj при F0 (хо) ф 0.
Итак, Ге открыто и замкнуто в множестве {xelR'1; Fo(x)^0},
гак что связная компонента Г вектора 0 в этом множестве со¬
держится в Ге.
c)	Если х е Ге, то
F0(ex + (1 — е)0) — ёmF0 (х + (1 — ё) ё-10) Ф 0 при 0 < е^ 1.
Поэтому Г0 ф 0 на прямолинейном отрезке, соединяющем г и 0.
В частности, Ге сГ и, значит, эти конусы совпадают.
d)	Если уеГи8>0 фиксировано, то множество
£, = (*£ R"; F0(х +180 + isy) = 0 =>Res < 0}
открытой 0 е Еу, так как из F0(ieQ isy) = (is)mF0(eQ/s у) = 0
следует, что s < 0. Если х принадлежит замыканию Еу, то из
Fo (х + £е0 + isy) = 0 следует, . что Res<0. Но равенство
Re\s = 0 противоречило бы (8.7.3); следовательно, ге£,, а,
значит, Ey = Rn и
F0 (л: + i (е0 + у)) Ф 0, если reR", г/еГ и е > 0.
Так как Г открыто, то
F0(х + iy) ф 0 при х е R",	1/еГ.
Таким образом, Fo(x-\-ty) имеет лишь вещественные нули
(см. а)). Поскольку связная компонента у в {xeiR п; Ро(х)фО}


376	8. Спектральный анализ особенностей
совпадает с Г, то из Ь), с) следует, что нули отрицательны тогда
и только тогда, когда х е Г, и в этом случае прямолинейный от¬
резок, соединяющий х и у, лежит в Г. Доказательство окон¬
чено.
Однородные многочлены, удовлетворяющие (8.7.3), назы¬
ваются гиперболическими относительно 0. Мы продолжим их
изучение в § 12.4. Сейчас же нам нужно доказать, что F, по су¬
ществу, обладает свойствами, установленными для Fo. Доказа¬
тельство будет основано на идее части d) доказательства лем¬
мы 8.7.3.
Лемма 8.7.4. Для любого содержащегося в Г (J {0} замкнутого
конуса Ti найдется такое 8 > 0, что
(8.7.4)	6\y\m^\F(x + iy)\, если г/еГ1( х е R",	|г/|<6,
| JC | < б.
Доказательство. Пусть К. — такое выпуклое компактное подмно¬
жество в Г, что 0еК и К порождает конус, содержащий Г) и
0. Так как
F (rz)/rm ->- F0 (2) при г ->- 0
и Fo ф 0 в К, то можно выбрать г > 0 так, что
(8.7.5)	F (ty) Ф 0 при /е С, 0<U|<r, у <= К-
Заметим, что ^ = 0 — нуль порядка т. При у^К рассмотрим
уравнение
F (х + 2ё0 + is у) = 0.
Если (х, 6)eR,+1 и |х| + |е| достаточно мало, то существует
в точности т корней sc | s | < г, поскольку корней с | s | = г нет,
а при х = е = 0 имеется m-кратный корень s = 0. Если х = 0 и
у = 0, то все корни суть s = —е, так что они отрицательны, если
только е > 0, что мы теперь и предположим. Если s — корень
с Re s— 0, то F(x — i/Ims -f- ie0) = O, что противоречит допу¬
щению (8.7.2)'. Следовательно, при малых ]х| + е, е > 0, и при
у^К для всех т корней имеем ResCO, |s|<r. Устремляя е
к 0, мы видим, что F{x \-isy) имеет т корней с Res^O и
| SI < г.
Для функции f(z), аналитической в круге {zeiС; |z|^r}
и имеющей в нем т нулей ги zm, по принципу максимума
верно неравенство


8.7. Микрогиперболичность 377
Если Re Zj ^ 0, / = 1	т, то
VI / (2) К (2r/Re г)т sup | 1// (w) | при \z\<r, Rez>0.
| w I=r
Применим это неравенство к F(x-\-izy) при малых xgR" и
у ^ К. Получим
1/| F {х + isy) | < (2r/s)m sup 1/| F (x + iwy) |,	0 < s < r,
\w\-r
что доказывает (8.7.4).
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать главный результат
этого параграфа.
Теорема 8.7.5. Пусть F — вещественно аналитическая функция в
окрестности множества X a Rn, микрогиперболическая относи¬
тельно 0 е Rrt. Для Jtel через Fx(у) обозначим ненулевую
однородную часть наименьшей степени ряда Тейлора функции
y-*-F(x + у). Тогда Fx(9)¥=0 и связная компонента Г* вектора
0 в {у е Rn; Fx(y) Ф 0} является открытым выпуклым конусом.
Если Г° — двойственный, конус, то множество
Г6 = {(*, |); х s X, I е Г°} с Г (X)
замкнуто<■ Предел
Fel= Um F(- +te0)-1
е-*+0
существует в £Е>'(Х) и
(8.7.6)	WFa (Ftl) cz Г° \ {0}.
Доказательство. Существование предела и включение (8.7.6) —
следствия теоремы 8.4.8 и леммы 8.7.4. Если (*0, £о) Ф Г°, то
найдется вектор Уо^Г*,, для которого (у0, £о) < 0. По лемме
8.7.4,	F также микрогиперболична относительно уо в некоторой
окрестности U точки Хо; следовательно, Fx (уо) Ф 0 при х е U
в силу леммы 8.7.2. Поэтому (х, £) е Г° при х е U и <у0, £> < 0,
так что Г° замкнуто.
Замечание. Включение (8.7.6) было бы невозможно, если бы
Г° имело меньшие выпуклые слои. Действительно, предположим,
что Го — замкнутая выпуклая собственная коническая окрест¬
ность слоя множества WFaW) над *0. Из теоремы 8.4.15 и за¬
мечания после ее доказательства вытекает существование функ¬
ции G с граничным значением Ft)1, аналитической в
(8.7.7)	{x + iy; \х - х0\< 6, | у | < б, уеГ°}
при некотором б >■ 0. Но непрерывная аналитическая функция
однозначно определяется своими граничными значениями, и


378	8. Спектральный анализ особенностей
теорема 3.1.15 показывает, что это верно, даже когда граничные
значения понимаются в смысле распределений. Таким образом,
G — налитическое продолжение функции 1 /F. Значит, рф 0 на
множестве (8.7.7) и
Fxо (2) = lim F (*о + Ez)/em
e-*0
не имеет нулей с 1тг во внутренности множества Г°. Поэтому
ГоСгГ*„ и Г0=>5Гх0.
Обсудим теперь пример
F{x) = x\-x\- ... -4, -0 = (1, 0, .... 0),
упоминавшийся в начале этого параграфа. Теорема 8.7.5 дает
для него включение
WFa (Fe1) cz {(де, tF' (*)); F (x) = 0, txx > 0}
U{(0, y)\	F(y)>0}.
С другой стороны, волновой фронт WFa (Fe1) должен содержать
первое из множеств правой части, так как singsuppFe есть
множество нулей функции F. Следовательно, он содержит и за¬
мыкание указанного множества, которое вне точки 0 является
границей второго множества. Однако при п = 4 множество
WFa (Fe1) ничего более не содержит. Для доказательства заме¬
тим, что в силу (7.4.7) преобразование Фурье от Fe совпадает
с сужением на |i > 0 распределения, кратного б (if — Щ— ||
—||). Из теоремы 8.4.18 следует, что включение (0, </)е
<=WFA(Fel) при уФ 0 эквивалентно соотношениям уi>0,'
F(y) = 0, и тем самым утверждение доказано.
Примечания
Необходимость спектральной классификации особенностей была
понята независимо и с разных точек зрения несколькими мате¬
матиками около 1970 г. Первым, возможно, был Сато (Sato
[3, 4]) (см. также Sato, Kawai, Kashiwara [1])., который ввел
и изучил для гиперфункций и множество SS(u) (называемое
носителем сингулярности), совпадающее в случае распределений
с нашим WFa(u). Как доказал Бони (Bony [3]), оно совпадает
также с существенным носителем по Бросу и Ягольнитцеру (см.
§ 9.6 и Iagolnitzer [1]). Множество WF(u) впервые было опре¬
делено Хёрмандером (Hormander [25]) с помощью псевдодиф-
ференциальных операторов. Это определение, приведенное ниже
в § 18.1, на самом деле более или менее явно содержалось в


Примечания 379
обычных методах локализации с помощью таких операторов.
Использованное здесь эквивалентное определение WF(u) восхо¬
дит к работе Hormander [26], где доказаны также результаты
§ 8.2. В § 8.4, начав с определения WFl{u), данного в работе
Hormander [27], мы перешли к тесно связанным с определе¬
ниями Сато эквивалентным определениям посредством аналити¬
ческого разложения б-функции. Последнее очень похоже на раз¬
ложения б, использованные в работах Sato, Kawai, Kashiwara
[1, с. 473] я Bony [3], но его значительным преимуществом яв¬
ляется аналитичность. На это указал автору Буте де Монвель;
см. также связанную с этим работу его ученика Лебо (Lebeau
[1]) и обзор Шапира (Schapira [2]).
Волновой фронт был введен Хёрмандером (Hormander [25])
с целью упростить изучение распространения особенностей. За¬
метим, что результаты о волновом фронте типа теоремы 8.3.3'
полностью локальны и поэтому доказываются проще, чем соот¬
ветствующие более слабые результаты о sing supp и. Действи¬
тельно, последние в простейшей форме состоят в том, что если
P{D)u<=C°° и 0 е sing supp и, то RP'm (i) <= sing supp и для не¬
которого £ с Pm (i)== 0. Впервые это было доказано Грушиным
[1], построившим фундаментальное решение с носителем син¬
гулярности, содержащимся в произвольной «половине» бихарак¬
тер истического конуса, получаемого проектированием Char Р в
R". На аналитический случай метод был распространен Ан-
дерссоном (Andersson [1]).) Фундаментальное решение прихо¬
дится приспосабливать к рассматриваемому распределению и,
С другой стороны, наш подход нуждается лишь в двух есте¬
ственных фундаментальных решениях Е± (имеющих для урав¬
нения Клейна — Гордона в квантовой электродинамике более
или менее клаЬсич'еские свойства). Он позволяет избежать зна¬
чительных трудностей, особенно в аналитическом случае и слу¬
чае переменных коэффициентов. Разумеется, очень удобно было
бы точно знать, в каком направлении будет распространяться
особенность, задаваемая точкой множества WF(u). По поводу
примера 8.3.4 и теоремы 8.3.8 см. Zerner [1,2] и Hormander [24].
Результаты, касающиеся дифференциальных операторов, при¬
ведены в § 8.3 и 8.6 просто в качестве примеров. Третья часть
этой книги будет в основном посвящена изучению множества
WF(u) для решений (псевдо) дифференциальных уравнений.
В аналитическом случае имеется также развитая теория мно¬
жества WFa(u), как правило даже для решений в гиперфунк¬
циях. По этому поводу отсылаем читателя к работам Sato, Ka¬
wai, Kashiwara [1], Kashiwara [1], Sjostrand [1, 2] и приведен¬
ной там библиографии.
Теорема единственности Хольмгрена (теорема 8.6.5) была до¬
казана для классических решений в частном случае Хольмгреном


380	8. Спектральный анализ особенностей
(Holmgren [1]) и в полной общности Джоном (John [1]).
Ключом к доказательству служит результат об аналитичности
интегралов решений дифференциальных уравнений по нехарак¬
теристическим поверхностям, зависящим от параметра. Джон
использовал это для доказательства аналитичности решений эл¬
липтических дифференциальных уравнений и для установления
близких результатов, касающихся регулярности. Как заметили
Хёрмандер (Hormander [27]) и независимо Каван (см. Sato,
Kawai, Kashiwara [1, с. 470—473]), порядок тут можно обратить
и вывести теоремы единственности из теорем о мнкролокальной
регулярности. Целью этого было получение теорем единствен¬
ности, подобных теореме 8.6.13, в случае характеристической
границы. Единственность продолжения через поверхность 2 в
характеристической точке, где 2 строго выпукла относительно
соответствующих касательных бихарактеристик, была доказана
в книге, предшествовавшей данной, с помощью чисто геометри¬
ческих соображений и теоремы Хольмгрена. Впоследствии в ра¬
ботах Bony [1, 2] и Hormander [28] была развита усовершен¬
ствованная геометрическая методика. Все это теперь заменяет
полученная Шёстрандом (Sjostrand [1]) теорема 8.5.9. Один из
результатов Бони приведен в виде теоремы 8.6.6. Конструкция
следующего за ней примера 2 восходит к работе Baouendi,
Goulaouic [1]. (Гипоэллиптичность таких операторов будет до¬
казана в гл. 22, где приведены дальнейшие ссылки.) Теорема
8.6.7 взята из работы Hormander [1]. В работе Hormander [9]
доказана плотность нуль-решений в множестве всех решений из
С°°({х; <х, М>>0», в случае когда P{D) не имеет нехаракте¬
ристических множителей. Теорема 8.6.8 и следствия 8.6.9—8.6.11
близки результатам Джона (John [1]) ив сформулированном
выше виде были доказаны в книге, предшествовавшей данной.
Дальнейшая взаимосвязь между suppw. и WFa(u) будет обсуж¬
даться в § 9.6.
Андерссон (Andersson [1]) ввел понятие локальной гипер¬
боличности относительно 0, означающее микрогиперболичность
сразу относительно 9 и —9. Его исследования были продолжены
Гордингом (Garding [5]). Так же, как здесь, микрогиперболич¬
ность была определена в работе Kashiwara, Kawai [1], в кото¬
рой для доказательства ключевой леммы 8.7.4 использовалась
локальная теорема Бохнера о трубе (см. Komatsu [1]). Даль¬
нейшую информацию на эту тему читатель найдет в гл. 12.


9
Гиперфункции
Краткое содержание главы
Мы определили £D'(X) как множество непрерывных линейных
форм на С0Ю (X). Это ни в коей мере не является самым общим
понятием такого рода, поскольку более Широков пространство
распределений получится, если заменить С” (X) на плотное под¬
пространство с более сильной топологией. Примером является
пространство функций из CL с компактным носителем (опреде¬
ленное в § 8.4), если только оно не состоит из одного 0, т. е.
если
Z 1 !Lk < оо.
Изучение двойственного пространства распределений в этом слу¬
чае вполне аналогично изучению S)'(X).
Совершенно иная ситуация возникает в квазианалитическом
случае, когда
Е l/Lk = oo.
В этом случае нет аналога пространства С” (X), но CL (X) мож¬
но рассматривать вместо С°°(Х). Двойственное к CL(X) про¬
странство можно использовать как множество элементов с
компактным носителем в некоторой теории распределений, сохра¬
няющей многие черты теории пространства S)'(X), но и отли¬
чающейся от нее в ряде отношений. Самое широкое простран¬
ство распределений получается, когда CL — класс вещественно
аналитических функций. Другим способом оно было введено
■Сато, отчеканившим для его элементов термин «гиперфункция».
В настоящей главе дается введение в теорию гиперфункций, по
возможности максимально приближенное к теории распределе¬
ний Шварца.
В § 9.1 изучаются гиперфункции с компактным носителем.
В частности, дается элементарное доказательство основопола¬
гающего и нетривиального факта о наличии корректного поня¬
тия носителя. Оно позволяет дать в § 9.2 общее определение


382	9. Гиперфункции
гиперфункций способом, впервые предложенным Мартино. Па¬
раграф 9.3 посвящен волновому фронту гиперфункции относи¬
тельно аналитических функций и определению операций, подоб¬
ных умножению. Это делается весьма бегло, поскольку большин¬
ство доказательств § 9.4 и 8.5 были выбраны так, что они
применимы к гиперфункциям после того, как установлены не¬
сколько основных фактов.
В § 9.4 исследуется существование аналитических решений
аналитических дифференциальных уравнений. В дополнение к
классической теореме, Коши — Ковалевской приводится точная
информация об оценках решений и областях их существования.
С ее помощью в § 9.5 доказываются некоторые важные факты
о решениях в гиперфункциях аналитических дифференциальных
уравнений. В заключение в § 9.6 мы приводим определение
WFa (и) по Бросу — Ягольнитцеру и в качестве приложения до¬
казываем теорему Касивары о соотношении между supp и и
WFa (и), похожую на теорему единственности Хольмгрена.
9.1. Аналитические функционалы
Если К — компакт в R", то распределение и^&'(К)—это та¬
кая линейная форма на C°°(Rn), что для любой окрестности со
компакта К верно неравенство
|и(ф)1<С. £ sup | D“qp |, qfe С°° (R")-
I о К* ш
По непрерывности ы(ф) можно продолжить на все ф е С°° (ш)
(см. теорему 2.3.1 и замечания после ее формулировки). Так как
производные аналитической функции на компакте можно оце¬
нить через максимум модуля в его окрестности, то следующее
определение совершенно аналогично.
Определение 9.1.1. Если Ка[С,п — компакт, то пространство
А' (К) аналитических функционалов, сосредоточенных на К,—
это пространство таких линейных форм и на пространстве А це¬
лых аналитических функций в iC’", что для любой окрестности
со компакта К
(9.1.1)	1«(ф) KC^suplq) |,	ф€=Л.
(О
Пример. ы(ф)= £ аоПаф(0)/а! является аналитическим функ-
а
ционалом, сосредоточенным в’ точке 0, тогда и только тогда,
когда | аа | ^ С ее1“1 для каждого е > 0. (Достаточность следует
из неравенств Коши, а в необходимости убеждаемся, взяв <p(z)
= z“.) Форма и не является распределением, если только сумма
не является конечной.


9.1. Аналитические функционалы 383
В определении достаточно ограничиться полиномами ф, по-,
скольку любая целая аналитическая функция локально есть
равномерный предел конечных сумм своего ряда Тейлора. От¬
метим, что А'(К)—пространство Фреше с наилучшими постоян¬
ными С»(и) в качестве полунорм.
Вопреки тому, что можно ожидать по аналогии с <К'(К), не
всегда верно, что ueA'(Ki)f]A'(K2) влечет и е А'(К\ П Кг). На¬
пример, для функционала
1
и (ф) = 5 Ф (z) dz, феЛ(С‘)>
о
минимальным множеством, на котором он сосредоточен, являет¬
ся любая С1-кривая, соединяющая 0 и 1. Мы, однако, докажем,
что это верно в случае Ki, K2cz\Rn, представляющем для нас
основной интерес. В качестве первого шага в этом направлении
будет доказано, что если и^А'(К), /CcilR", то ы(ф) можно
определить для всех ф, аналитических лишь в окрестности К.
Предложение 9.1.2. Пусть К— компакт в IR" и г > 0. Положим
/Се = {z е Сп; | Re z — x| + 2|Imz|^e для некоторого х е /С}.
Для каждой функции ф, аналитической в окрестности V ком¬
пакта Ке, существует последовательность ф; g у4, для которой
sup I ф/ ф I ► 0,	/->-00.
Ке
Доказательство. Выберем функцию % е С“ (F f) R"), равную 1
вблизи Ке П R". И пусть
Фу (г) = ^E/(z — x)%(x)q>(x)dx,	z<= С",
где Е,- — нормализованная гауссова функция
Е/ (х) = {ЦпГ ехр (— / (х, х}).
Так как Е,-^А, то ясно, что ф,-еЛ. Множество Кг определяется
соотношением
Ке = {z; 21 Imz|</’(Rez)}, F(y) = e — mini x — y\.
leK
По неравенству треугольника IF(y) — ^(y')l^li/ — У'\- Если
Zq = xQ + iyo e Ke, то в Ке при 0 ^ t ^ 1 лежат цепи
Г(z0, t): x-*x + ity0(l — \x — x0\/2\y0\), \x — jc0I<2|y0\.


384	9. Гиперфункции
имеющие одинаковую границу. Поскольку форма Ej(z— £)<р(£)Х
X 1Л ... Л d£n замкнута в /Се> то по формуле Стокса получаем
<P/(z)=	^ Et(z — x)%(x)<p(x)dx
\X-X,\>2\yel
+	$ E,(z — Qtf(Qd^A ... hdin.
Г (го, 1)
Возьмем z = zo н заметим, что
Re (— (z0 — x, z0 — x)) = — | *0 — x p + | t/o P < — 31 x0 — x P/4,
если | x — x01 > 21 y01,
Re (— (z0 — £, z0 — £» = — \xQ — x p +1 x — x0 P/4 = — 31 x—x0 P/4,
если ^еГ(г0, 1), Re£ = *.
Так как в интегралах |<р(£) — ф (zo) |	С | х— х0|, то заключаем,
что
Ф/ (z0) — Ф (z0) J Ej (z0 — x)%(x)dx |
<Co J (j/n)nl2e~3i 1 *”*•|!/4\x-x0\dx^С,Г1/2.
Далее, при j-*~ oo последовательность
1 — ^Ej(z0 — x)%(x)dx= $ (l—%(x))E,(z0 — x) dx
экспоненциально убывает, так как Re<Zo — х, Zq — х> имеет по¬
ложительную нижнюю грань, когда zo е Ке и xesupp(l—%).
Это завершает доказательство.
В обозначениях предложения для и^А'(К) в силу (9.1.1)
имеем
1«(ф/) —“fo»)l<Csup|<py —<pfc|-»>0 при /, k-*oo,
ке
и, следовательно, мы можем определить
и (ф) = lim и (фЛ.
/-»«>
Так как множества Ке образуют фундаментальную систему
окрестностей компакта К, то ясно, что мы сейчас получили одно¬
значное определение и(ф) для любой функции ф, аналитической
в некоторой окрестности со компакта К, и (9.1.1) остается спра¬
ведливым для всех ф, аналитических в со.
Теперь со всяким и^А'(К) свяжем его регуляризацию, по
котррой и может быть удобно восстановлен. Пусть Е — фунда¬


9.1. Аналитические функционалы 385
ментальное решение оператора Лапласа в !Rn+I, указанное в тео¬
реме 3.3.2, и
Р = дЕ!дхп+х = хп+х\Х\~п~'/сп+
где X = (х, xn+l) е Rn+1. Если и е Со (К), где К — компакте R", то
U (X) = Р * (и ® 6) (X) = *л+1 \ и (у) (| * - у I2 + 4+1 )~in+mdylcn+1
является нечетной по xn+i функцией, гармонической вне КХ{0}
и стремящейся к ±и/2 при xn+i-*-±:0. Следовательно, и есть
скачок при переходе через плоскость хл+1=0 гармонической
функции U, что ясно также из равенств
AU — АР * (и ® 6) = и ® дп+ \Ь.
Очень немногое нужно изменить в этом обсуждении для и е
А'(К):
Предложение 9.1.3. Если К — компакт в Rn и и^А'(К), то
(9.1.2)	и{Х) = ии{Р{Х-{у,Щ
есть нечетная по xn+i функция, гармоническая в Rn+'\ (/СХ{0}).
Если Ф — гармоническая в Rn+1 функция и xsC0"(Rn+1) равна
1 в окрестности компакта /СХ{0}, то
(9.1.3)	«(дп+1Ф|*„+1=0)=- $£/Д(хФ)<«.
Доказательство. U(X) определена при вещественных X ф /С X {0}»
так как функция у-*-Р(Х — (у, 0)) является в этом случае ана¬
литической в окрестности компакта К. Из непрерывности и вы¬
текает непрерывность U и возможность вычислять производные
U путем дифференцирования Р в (9.1.2). Из гармоничности Р
вне 0 следует гармоничность U. Для доказательства (9.1.3) за¬
метим, что если Уе.Кя+1 их = 1 вблизи У, то
\P(X-Y) А (%Ф) (X) dX = (АР (X - Y), %Ф (X)) - (дп+ А, %Ф)
= -дп+1Ф(¥).
Вследствие единственности аналитического продолжения это
остается справедливым для всех У из комплексной окрестности
КХ{0} в С/4"1, и левая часть есть равномерный предел соответ¬
ствующих римановых сумм. Полагая Y = (y, 0) и действуя функ¬
ционалом и на каждое слагаемое римановой суммы, получаем
(9.1.3)	. Равенство (9.1.3) полностью определяет и, поскольку
имеет место
Лемма 9.1.4. Для всякой целой аналитической функции <р в С.п
существует и единственна целая аналитическая функция Ф в
25 Зак. 821


386	9. Гиперфункции
,C."+1, для которой
Л+1
(9.1.4)	£<32®/<3z2 = 0 и Ф = 0, <Зл+,Ф = ф при zn+1 = О.
Для каждого R > 1 существует такая постоянная CR, что
(9.1.5)	|Ф(г, 2„+1)|<Сд|2„+11 sup IФ(S)I-
1С-* I <*!*„+! |
Доказательство. Если Ф удовлетворяет (9.1.4), то
u{t, х) = Ф(г +izn+lx, гп_ц{),	t<= R,
является решением волнового уравнения d2u/dt2 = Ахи и
и = 0, du/dt = zn+lq>(z + izn+\x) при ^ = 0.
Поэтому из теоремы 6.2.4 вытекает, что
Ф(г, zn+l) = zn+1(£+(l), <p(z + izn+1-)>,
где £+(1)— распределение с носителем в {x^R e; W<i}.
имеющее явный вид (6.2.4)'. Это доказывает единственность в
(9.1.5)	. С другой стороны, если мы определим Ф по этой фор¬
муле, то получим целую аналитическую функцию, удовлетворяю¬
щую (9.1.4) при zn+1 > 0 и вещественных z/i. Но целая функция
^д^Ф/дг*, равная 0 на таком множестве, обращается в нуль
тождественно. Итак, лемма доказана.
Замечание. Прямое доказательство можно получить, оценивая
члены разложения в степенной ряд
Ф (г, гп+[) = £ z»+« (- А)* Ф (z)/(2* + 1)!.
Как уже отмечалось, из леммы 9.1.4 следует инъективность
определяемого формулой (9.1.2) отображения, сопоставляющего
аналитическим функционалам гармонические функции. Теперь,
используя эту лемму, мы докажем его сюръективность.
Предложение 9.1.5. Если К — компакт в R" и U — гармоническая
в Rn+1\(KX{0}) функция, нечетная по xn+i, то существует
единственный функционал и^А'(К), для которого имеет место
(9.1.3), когда %еС“(R"+1), %=1 вблизи /СХ{0} и Ф — произ¬
вольная гармоническая функция в 'Rn+1. Имеем
иу(Р(‘ — (Уу 0)))-!/ = Я,
где функция Н гармонична в iRn+1; Н тождественно обращается
в нуль тогда и только тогда, когда U-+0 на бесконечности.
Доказательство. Правая часть (9.1.3) не зависит от выбора %,
так как она равна 0, если % е СГ (R"+1 \(К X (0}))- Следова¬


9.1. Аналитические функционалы 387
тельно, для всякого 6 > О можно выбрать х так, чтобы расстоя¬
ние от любой точки из suppx до /СХ{0} было <6 и функция
X была четной по хп+\. Тогда в случае функции Ф, четной по
х„+\, (9.1.3) выполняется автоматически. Для полинома ф в С"
определим теперь
(9.1.6)	и(<р) = -$£/Д(хФ)<«,
где Ф дается леммой 9.1.4. Взяв в лемме R = 4/3, получим
I A(xO)KQsup|<p|,
К 76
так как если | х — у р + х2+1 < б2 для некоторого у <= К, то из
неравенства | z — х\ г£1 4|jen+i|/3 следует, что | г — у | < 76/3, от¬
куда zsK7a. Это доказывает, что иеЛ'(К). Из соображений
непрерывности справедливость (9.1.3) вытекает теперь для лю¬
бой целой гармонической функции Ф, нечетной по хп+\, а зна¬
чит, и для произвольной целой гармонической Ф.
Из предложения 9.1.3 мы знаем, что для гармонической в
Rn+,\(/CX{0}) функции
Ux{X) = uy{P{X-{y, 0)))
(9.1.3)	справедливо с Ui вместо U. Записывая H=Ui — U, по¬
лучаем
J ЯД(хФ)ЛГ = 0
для любой целой гармонической Ф. Выберем теперь Xi еС“ (Rrt+I)
так, что xi = 1 в окрестности ЯХ{0} и % = 1 на suppxi. Тогда
(1—%\)Н = Ну^С°° и для всех экспоненциальных решений Ф
оператора А в ;R'*+1 имеем
0 = $ Я,Д (хФ) dX = $ (АЯ,) Ф dX.
Поэтому из теоремы 7.3.2 и леммы 7.3.7 вытекает, что АН\ = А/
для некоторого /еС0“- Это означает, что Н\ — / есть гармони¬
ческая функция, равная Я вне некоторого компакта, а значит,
и вне ЯХ{0}. Таким образом, Я продолжается до функции,
гармонической в Rrt+1. Поскольку в силу принципа максимума
равенство Н — 0 эквивалентно условию Я-»-0 на бесконечности
и так как	на бесконечности, то получаем последнее
утверждение предложения. Для любой гармонической в Rn+I
функции Ф равенство (9.1.3) имеет место, так как оно верно,
если заменить U на Uь а
$ЯД(ЗСф)с?Х = 0.
25*


388	9. Гиперфункции
■ Теперь все готово для доказательства некоторых важных фак¬
тов, касающихся элементов пространства
A' (R”) = (J А'{К).
KsRn
Теорема 9.1.6. Для u^A'(Rn) существует наименьшее ком¬
пактное множество /CcR", для которого и^А'(К). Оно назы¬
вается носителем функционала и.
Доказательство. Пусть К есть пересечение всех компактов
/C'czR", для которых и^А'(К'). В силу предложения 9.1.3
формула (9.1.2) определяет функцию, гармоническую в
Rn+1\ (К'Х{0}). Она однозначно восстанавливается по своему
сужению на дополнение к плоскости *n+i = 0. Функции, полу¬
чаемые при разном выборе К', должны, следовательно, совпа¬
дать в общей области определения. Вместе они дают гармониче¬
скую функцию в Rn+1\(/(X{0})- Тогда и^А'(К) в силу пред¬
ложения 9.1.5.
Следующим шагом является доказательство теоремы о пол¬
ноте для аналитических функционалов. Затем с целью подго¬
товки к построению граничных значений аналитических функций
в § 9.3 мы рассмотрим аналитические функционалы, сосредото¬
ченные на компактах, лежащих вблизи IR", но не содержащихся
в нем. Для этого нужно иначе взглянуть на предложения 9.1.3
и 9.1.5. Если и^А'(Ке), где Ке определено в предложении 9.1.2,
то (9.1.2) определяет функцию U, гармоническую в дополнении к
КВ = {Х ^ Rn+1; I х — у |2 + х2п+1 ^ б2 для некоторого у е К}-
Для этого достаточно показать, что
(9.1.7)	Re(x — z, х — z) + х\+х > 0, если ХфК& и геК6.
Левая часть равна
| х — Re г р + х2п+1 — 11ш z р,
и для некоторого у <= К
| Re z — у | + 21 Im z \ ^ е.
Поскольку X ф Ке, то
е2 < | х — у |2 + *2+1.
Поэтому неравенство треугольника дает
(| х — Rez |2 -f- x2n+l)m > е — | Rez — у |>| Im21,
что доказывает (9.1.7). С другой стороны, мы фактически убе¬
дились при доказательстве предложения 9.1.5, что из гармонии-


9.1. Аналитические функционалы 389
ности U вне Ке следует принадлежность и к A'{Kit). Сейчас мы
готовы к доказательству ключевого результата о полноте.
Теорема 9.1.7. Пусть Ко и К — компакты, KoCiKczR" и
Uj^A'(С"). Предположим, что
(i) для любой компактной окрестности V множества К в
Сп имеем и/ £= А'{V) при больших /';
(И) для любой компактной окрестности У0 множества Ко
в £,п имеем
Uj — Ufi е= А' (К0) при больших j, k.
Тогда найдется такой функционал «еЛ'(К), что для любой
компактной окрестности К0 множества Ко
(iii)	и — Uj е А'(Ко) при больших /.
Условие (iii) определяет и однозначно по модулю А'(Ко)-
Доказательство. Если (iii) выполнено для v вместо и, то
и — v ^ A'(Vo) для произвольной Ко, откуда и — неЛ'(Ко),
как и утверждалось. Остается доказать существование и. Вы¬
берем последовательность б;->-0 так, что в обозначениях пред¬
ложения 9.1.2
(i) '	Uj е А' (КЕ/),
(ii) '	Uj — uk е А' (Ко. Ej)> если &>/.
Как мы только что видели, из (i)' следует, что функция
и,(Х) = и1у(Р(Х-(у, 0)))
гармонична вне К8;., а из (ii)' — что Uj—Uk гармонически
продолжается в дополнение к Ко, 8/ ПРИ k > /. По теореме Рунге
об аппроксимации (теорема 4.4.5) Uj+i— Uj может быть аппрок¬
симирована в СКо, Ej функциями, гармоническими в дополнении
£2 к КоХ{0}. Действительно, множество К0,8/ не является объ¬
единением двух непересекающихся непустых компактных мно¬
жеств, одно из которых не пересекается с КоХ{0}> поскольку
Ко, Ej есть объединение шаров с центрами в КоХ{0}- Пусть
Mj ={Zs Rn+1; | X К j, \x — yf + xl+i > 2e* для всех у e Ко}-
Это компактные подмножества из дополнения к Ко. 8/- При
/-> оо они расширяются до Q. Поэтому можно так выбрать функ¬
ции Vj, гармонические в Q, что
(9.1.8)	\Uf+l — U, — Vj\^24 на Mv
(Строго говоря, Uj+i — Uj нужно заменить на соответствующее
гармоническое продолжение в дополнение к Ко, 8/-) Так как Vj


390	9. Гиперфункции
можно заменить в (9.1.8) на (Vi(x,xn+1)—Vj{x,—xn+l))/2, то
Vj могут быть взяты нечетными по хп+\.
Из (9.1.8) вытекает, что предел
U = lim(Uj — Vi — ... -Ун1)
со
— Uj — V\ — ... — Vj-1 + X (Uk+1 — Uk~Vk)
I
существует и гармоничен вне /С X {0}, так как сумма гармонична
вне Ко,в/ в силу (9.1.8), а остальные члены гармоничны вне
KSj. Пусть и — соответствующий функционал из А'{К.). По¬
скольку U— Uj гармонична вне Ко, Bj> имеем и — и,- е А' (Ко,7в/),
что и доказывает (Ш).
Следующая теорема в некотором смысле заменяет существо¬
вание разбиений единицы.
Теорема 9.1.8. Если Ки ..., Кг — компакты в R" и ыеЛ'^и
... U Кг), то существуют такие щ е A'(Kj), что
U = Wj -f- ... -f- ur.
Доказательство. Утверждение достаточно доказать при г = 2.
Функция U, даваемая равенством (9.1.2), гармонична вне
ЯШЯг, где Kj = KiX{0}. Теорема будет доказана, если удастся
разбить U в сумму двух слагаемых
и = и1 + и2,
где Uj гармоничны вне Я/. Для этого с помощью следствия
1.4.11 выберем функцию фе C°°(R"+,\(^i П Я2)), равную 0 при
большом |Х| и вблизи ЯгХО^лПЯг), но равную 1 вблизи
£i\ (Я1 f] К2) ■ Тогда функции
Ui = <fU — v, £/2 = (1 — ф)£/ + о
обладают требуемыми свойствами, если v е C00(JRn+I\ (Я1 Г) Яг))
и
Av = А (ф!У).
Здесь мы по определению полагаем фU = 0 вблизи Яг\(Я1 П Яг)
и (1 — ф)^ = 0 вблизи ДлХ^ПЯг). Так как функция A(<pU)
обращается в нуль вблизи Ki U Яг\ (Я1 П Яг), то вне Ki П Яг она
принадлежит С00. Существование v является, таким образом,
следствием теоремы 4.4.6. (Отметим, что последняя получается
на основе еще одного приложения теоремы Рунге об аппрокси¬
мации.)
В заключение заметим, что если ug^'(R"), то и опреде¬
ляет элемент из /l'(Rn) с тем же носителем. Действительно, гар¬


9.1. Аналитические функционалы 391
моническая функция U(x,xn+1), определяемая равенством
(9.1.2), имеет в 0' пределы +и/2 при *rt+i->±0. Поэтому гар¬
моническое продолжение U возможно лишь вне suppuX{0}.
Следовательно, имеется сохраняющее носители вложение
Л'(Ко¬
операции, определенные для распределений в гл. 3—7, легко
переносятся на Л'(КП). Мы ограничимся лишь кратким напоми¬
нанием, оставляя все детали читателю.
a)	Если «eA'(Rn)> то ^меЛ'(К") можно определить со¬
отношением
(dtu) (ф) = — и(ду<р)
для целой функции ф, так как sup | <3?ф I оценивается через
0)
sup|ф| по произвольной окрестности компакта®.
b)	Если и^А'(К), К ci R", и / аналитнчна в окрестности со
компакта К, то fu определяется соотношением
(fu) (ф) = «(/ф)
для функции ф, аналитической в со. Здесь, конечно, существенно,
что предложение 9.1.2 позволяет нам распространить и на все
функции, аналитические в со.
c)	ЕслииеА'(1Я”) и v е A'(Rm), то и <8> v <= A'(Rn+'n) опре¬
деляется как
{и ® v) (ф) = их (vy (ф (х, у))) = vy (их (ф (х, у))),
тде ф — многочлен в (У1+т. При этом второе равенство очевидно,
а первое является определением. Ясно, что в результате полу¬
чается аналитический функционал, сосредоточенный на supp и X
supp V.
d)	Если Ked/(RnXRft) и v аналитична в окрестности
проекции supp К на Rm, то jtfv GA'fR'1) определяется соотноше¬
нием
(Жи) (ф) = /С(ф <g> v)
для всякой целой функции ф на С".
e)	Если иеЛ'(К), где К—компакт в R", и f — вещественно
аналитическое отображение открытого множества со cr R" на ок¬
рестность компакта К, a h — обратное отображение, то обратный
образ	определяется как
(Гы) (ф) = и ((ф ° ft) |det/г'|)
для функции ф, аналитической в со.
f)	Если и, »e<4'(R"), то с), d), е) позволяют нам опреде¬
лить и * v, действуя обратным образом функционала и <8> v при


392	9. Гиперфункции
отображении (х, у)->-(у, х— у) на функцию, тождественно рав¬
ную 1.
g)	Если и^А'(К), где К — компакт в R", то преобразование
Фурье — Лапласа
й(0 = и(ехр(— i(-, £»)
есть такая целая аналитическая функция, что для всякого е > О
|А(£)|<Свехр(Як(1шО + е|£|),
Это немедленно вытекает из определения пространства А'(К)-
Обратно, всякая целая функция, удовлетворяющая этим оцен¬
кам, есть преобразование Фурье — Лапласа единственного эле¬
мента из А'(К). Единственность здесь следует из того, что
и(Р) = Р(—й)й( 0)
для любого полинома Р. Доказательство существования будет
дано в теореме 15.1.5, и пока этот результат использоваться не
будет.
9.2.	Общие гиперфункции
Мы хотим определить гиперфункции в R" таким образом, чтобы
локально они были эквивалентны аналитическим функционалам
с компактными носителями в R". Осуществлено это будет в
два этапа.
Определение 9.2.1. Если X cz R" открыто и ограничено, то про¬
странство гиперфункций В (X) в X определяется как
(9.2.1)	В(Х) = А'(Х)/А'(дХ).
Здесь читатель может возразить, что это не дает желаемого
результата в случае распределений, поскольку
<Г (X)/&'(dX)<-+£>'F (X).
Однако определение 9.2.1 оправдает себя, как только будет
доказан аналог теоремы 2.2.4 о локализации.
Если u,v^A'(X) и и — ое Л'(51), то Xf)suppu =
X П supp v, так как supp и cz supp v\jdX и supp v cz supp и (J dX.
Следовательно, корректным является определение носителя
класса и* функционала ив В(Х) по формуле
supp и — X П supp и.
Если Y cz X и X, Y открыты и ограничены, то для любого
и е= А'(Х) найдется такой функционал v е Л'(р), что У Л supp (и —
•> Определение см. в § 4.3. — Прим. ред.


9.2. Общие гиперфункции 393
v) = 0. Это вытекает из теоремы 9.1.8, примененной кии ком¬
пактам ? и X\Y. Класс V' функционала v в B(Y) однозначно
определяется классом и* функционала и в fi(X) и называется
ограничением и‘ на У. Отметим, что ограничение и’ на У равно О
тогда и только тогда, когда У П supp и = 0. Как и в случае рас¬
пределений, носителем гиперфункции является, следовательно,
наименьшее замкнутое множество, такое что ограничение гипер¬
функции на дополнение к этому множеству равно 0. Определе¬
ние sing supp и также без изменений переносится на случай ги¬
перфункций.
Теперь мы можем сформулировать и доказать теорему о ло¬
кализации.
Теорема 9.2.2 Пусть Х-, — открытые множества в R" с ограни¬
ченным объединением X. Если ui е В (X,) и щ = и,■ в Xi f] X,-
(т. е. их ограничения совпадают) для всех i, /, то существует
единственная гиперфункция и^В(X), ограничение которой на
Xj равно Uj для всех /.
Доказательство. Единственность очевидна, поскольку если v об¬
ладает теми же свойствами, что и и, то носитель и — v пуст,
откуда и — v —0. Доказательство существования мы начнем со
случая лишь двух открытых множеств Х\ и Х2. Выберем функ¬
ционалы Uj^A'(Xj), определяющие щ при /= 1,2. Носитель
U1 — U2 содержится в
(X, и х2) \ (Хг п х2) с (СХ: П Х2) U № П ОХ2).
Поэтому теорема 9.1.8 приводит к разложению
U1 Е 2 = К!	V 2»	К2еЛ'(Г!ПСХ2).
Теперь равенство
U = U, - К, = U2 - V2 «= А' (ТЛТХ2)
определяет элемент из В(Х{\}Х2), ограничения которого на X,-
совпадают с щ при / = 1, 2.
Далее предположим, что имеется счетное число множеств Xj,
У = 1,2	 Повторное использование результата, относя¬
щегося к только что доказанному частному случаю, дает после¬
довательность Vj ^ B(Xi\J ... U*/) с ограничениями ш на Xt
при i /. Пусть функционал К,- ^А'(Х\[] ... U Xs) лежит в
классе,^ определяющем гиперфункцию Vj. Поскольку supp (К/ —
1Д)с=л:\№и ••• U*/) при &>/, то из теоремы 9.1.7 следует
существование такого функционала КеЛ'(^),что supp (К —
V/)c:Z\(X1U ... \JXj) при любых /. Итак, класс и функцио¬
нала V обладает требуемыми свойствами.


394	9. Гиперфункции
Если имеется более чем счетная система множеств Xh мы
выберем счетную подсистему с тем же объединением и соответ¬
ствующую ей гиперфункцию и. Установленная в самом начале
доказательства единственность показывает, что ограничение и
на X,■ совпадает с щ для всех /.
Из теоремы 2.2.4 и замечаний в конце § 9.1 следует, что
имеется вложение ££>' (Х)-+ В(Х). Отметим здесь также, что ги¬
перфункции из В(Х) с компактными носителями могут быть
отождествлены с функционалами из y4^(R"), имеющими носи¬
тели в X. В самом деле, пусть и е А'(Х), и предположим, что
носитель класса и* есть компакт К с= X. Тогда supp и а /С U дХ,
и по теореме 9.1.8 существует разложение
и = щ -f- щ, Ui А' (К),	— А' (дХ),
единственное в силу пустоты пересечения К и дХ. Это означает,
что и’ — и[ для единственного и\ е А' (К).
Несложно распространить на В(Х) операции на j4'(R”), об¬
суждавшиеся в конце § 9.1. Прежде всего ясно, что наличие ве¬
щественного аналитического диффеоморфизма / окрестности
компакта 7 на окрестность компакта X для двух открытых огра¬
ниченных множеств X и У в R" (отображающего Y на X) при¬
водит к биективному отображению
Г: B(X)->B(Y),
возникающему из биекций
Г: A'(X)->A'(Y) и Г: А'(дХ) ^ A'(dY).
Оставляем читателю простое доказательство равенства
(fe)* = *r.
Теперь мы в состоянии определить В(Х) для любого веще¬
ственного аналитического многообразия X. Сначала выберем
атлас tF аналитических диффеоморфизмов х: Х„-+Хк коорди¬
натных окрестностей ХкшХ на открытые ограниченные множе¬
ства -^(gilR" так, чтобы х допускали аналитические продолже¬
ния на окрестности их замыканий. Тогда диффеоморфизм
хх/-1: х'(Хя ПХЛ^х(Х„ПХЛ х, х'еУ,
имеет аналитическое продолжение на окрестности замыканий и,
значит, определено отображение
(хх'- ')*: В (X (Хя п xw)) -> В (х' (Хя П У*'))-
Поэтому гиперфункцию и^В(Х) можно определить как набор
гиперфункций ия^В(Хя), xe^F, для которого имеет место
(6.3.3). Простое, но утомительное доказательство независимости


9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 395
В(Х) от выбора атласа и согласованность с ранее приведенным
для случая X <Ш R" определением мы предоставляем добросо¬
вестному читателю.
Понятия носителя н ограничения немедленно переносятся на
общий случай. Окончательно целесообразность определения
9.2.1	подтверждается следующей теоремой.
Теорема 9.2.3. Если X — вещественное аналитическое многообра¬
зие и Y — его открытое подмножество, то всякая гиперфункция
u^B(Y) есть ограничение на Y гиперфункции	с носи¬
телем в 7.
Доказательство. Пусть х: Хх-*-Хх— система координат (при¬
надлежащая F) на X. Тогда класс ииеВ(х(УП^)) элемента
£/еЛ'(х(У П^х)) определяет также гиперфункцию УеВ(^),
так как x(Y [\Хх)<^ Хх. Ограничение V на х(УП-^и) равно их.
Искомое продолжение и на Y[)Xx немедленно получается, если
к атласу на У с координатными окрестностями ШУ мы добавим
систему координат х с гиперфункцией V. Действуя таким же
образом, мы можем последовательно продолжить и на всё X.
(Если X не имеет счетного атласа, то нужно воспользоваться
леммой Цорна, но подобная общность для нас интереса не пред¬
ставляет.)
На случай вещественного аналитического многообразия X и
его открытых подмножеств X,- немедленно обобщается теорема
9.2.2. Так же обстоит дело с определением произведения fu ги¬
перфункции и^В(X) и вещественно аналитической в окрестно¬
сти supp и функции / и с определением тензорного произведения.
9.3.	Аналитический волновой фронт
гиперфункции
Определения 8.1.2 и 8.4.3 множеств WF и WFl не имеют смысла
в случае гиперфункций, однако использовать для них эквива¬
лентное описание из теоремы 8.4.11 оказывается возможным. Для
краткости мы ограничимся обсуждением лишь WFa- Обозначая,
как и выше, через К аналитическую в {2; |Imz|2 < 1 +|Re2|2}
функцию, построенную в лемме 8.4.10, докажем сначала аналог
части теоремы 8.4.11.
Предложение 9.3.1. Если	то
U(z) = K*u{z) = Uf (К(z — t))
— аналитическая функция на множестве
Z = {z; | Im z |2 < 1 -f- | Re z — i |2, is supp u}.


396	9. Гиперфункции
Если X — ограниченная открытая окрестность компакта supp ц
в R", то
(9.3.1)	ы(ф) = Нт \	\ U(jc + ira)ф(х)dxda, феЛ.
г-»1 , J , J
1 <в 1=1 X
Для любой функции U, аналитической при |Imz|<; 1, и любого
ограниченного открытого множества X через 2(t/, X) обозначим
множество всех тех г/е R” с \у\ — 1, для которых U аналитична
в точке x-\-iy при всех х^дХ. Тогда функционал, определяе¬
мый формулой
Uy fo)= 5 U (х + 1У)Ф № dx’ Ф s А'
х
принадлежит А'(Я) при j/gR", |г/|< 1, и функционал U* мо¬
жет быть доопределен для всех y^1,(U,X) так, чтобы U* был
непрерывной функцией от у со значениями в А'(Х). Таким обра¬
зом, формула
^(ф)= \ U* (ф) dp (со) = lim ^ U(x-\- ira)q>(x)dxdp(a), фЕ А,
определяет функционал из А'(Х) для произвольной меры dp
с носителем в 2 (£/,*)•
Доказательство. Если z е Z, то К (z — t) — аналитическая по t
функция в комплексной окрестности компакта supp и. Поэтому
U определена в Z и аналитична, поскольку производные от 0
получаются дифференцированием К. Если феЛ и г<1, то
^ J U (х + ira) ф (х) dx da — и (Фг),
|<В| = 1 х
Or(t) =	^	^ К (х + ira — 0 Ф (•*) dx da
| со 1=1 х
—	\	\ К (t + ira — х) ф (*) dx da.
I©1=1 x
(Напомним, что функция К четная.) По теореме 8.4.11 Фг->-ф
в &'(Х) при т —► 1. Выберем такую функцию	что
и %=1 в окрестности suppu. Тогда по формуле
Стокса
^ К (t + ira — х) ф (х) dx
х
= ^ К {t + ira — z) ф (z) dzi л ... Л dzn, 0 < е < 1,
Y (со. е)


9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 397
где у (со, б) — цепь
X э х -> х + ie% (х) со.
Устремляя г к 1, видим, что Фг(0 имеет аналитический предел
в комплексной окрестности компакта supp и. Этот предел с не¬
обходимостью совпадает с ср(t), что доказывает (9.3.1).
Переходя ко второй части предложения, в тех же обозначе¬
ниях имеем
иу (ф) = J U (г + iy) ф (z) dzi Л ... Л dzn,
V (о), е)
если \у\< 1 и Iу + БСОI < 1. Это доказывает утверждение о не¬
прерывности в точках множества
{у; | у | = 1 > (у, со) < — 1/2, U аналитична в точке х + iy при
х<=Х, х(х) = 0}.
Поскольку вектор со е S"-1 произволен и % может быть выбрана
равной 1 на любом компакте из X, доказательство завершено.
В обозначениях первой части предложения 9.3.1 предполо¬
жим, что для некоторой точки х0 е supp и функция U аналитична
во всех точках вида Xo + ico, где |со|=1. Тогда U аналитична
на М + iS"-1 для некоторой компактной окрестности М с X
точки Хо. Поэтому
и (ф) = м (ф) +	\ \u(x + ia>)<{>(x)dxd<i>.
1 0)1 = 1 М
Ограничение и на внутренность М является, следовательно, ана¬
литической функцией
\ U (х + гео) da, х е М.
| 0) | = 1
Определение 9.3.2. Если weA'(Rn), то WFa(u) — это множество
всех (х, g)e R"X(R"\0), для которых U = K*u не аналитична
в точке х — il/1 g |.
Только что мы доказали совпадение проекции WFa(u) на R"
с sing supply. Так как WFa(u) определяется локальными свой¬
ствами и в точке х, то определение немедленно переносится на
общие гиперфункции в открытом подмножестве пространства
R". Чтобы доказать справедливость результатов § 8.4—8.6 для
гиперфункций, мы будем последовательно использовать гранич¬
ные значения функций, аналитических в трубчатых областях.
Сейчас мы установим аналог теорем 3.1.15 и 8.4.8.
Теорема 9.3.3. Пусть X — открытое множество в R", Г — связ¬
ный открытый конус в R"\{0} и f — аналитическая функция


398	9. Гиперфункции
в таком открытом множестве Z cr С", что для всякого откры¬
того множества Х\<шХ и замкнутого выпуклого конуса Г1 cz
Г U {0} при некотором у > 0
Zd{zs С"; Re2 е Хх, Imz е Г,, 0 < | Imz | < у}-
Тогда	_
(i)	найдется единственный mod А'(дХ\) элемент f х, ^ А'(Xi),
не зависящий от Гь для которого аналитический функционал
А Эф->/^(<р) — jj f(x + iy)q>(x + iy)dx
х,
сосредоточен в произвольно заданной окрестности компакта дХг
в .С", если у е Г, и \у\ достаточно мал. Таким образом, fx>
однозначно определяет гиперфункцию из В(Х i).
(ii)	Если Х2<=Х{ — другое открытое множество, то fXi — fx^
е А' (Хх \ Х2~) и поэтому существует единственная гиперфунк¬
ция fx^B(X), имеющая то же ограничение на Ai, что и
fXi, для любого ХГ
(iii)	Если, как в теореме 3.1.15, |/(jc + iy) | ^ С\у\~ы при
х^Хи г/еГ), |у|Су> то ограничение fx на Х\ равно предель¬
ному распределению, существование которого гарантируется тео¬
ремой 3.1.15.
(iv)	Если f допускает непрерывное аналитическое продолже¬
ние на окрестность компакта дХи то при Г) э у->0 аналитиче¬
ский функционал
ф-> ^f(x + iy)<р(л)dx,
х,
стремится в А'{Х\) к элементу, удовлетворяющему условию (i).
(v)	Если fx = 0 на некотором непустом cz X и Z связно,
то f = fx = 0.
(vi)	WFA(fx)^XX(T°\{0}).
Доказательство. Аналитический функционал
ф -> ^ f(x + iy\) Ф (х + 1У\) dx — jj / (х + iy2) ср (х + iy2) dx
X,	Хг
сосредоточен на дХ\ + i[yi, у2]. Действительно, если граница
дХх гладкая, то по формуле Стокса написанная выше разность
равна интегралу замкнутой формы f (z) ф (z) dz{ Л ... Л dzn по
цепи <3Ai + i[y2,yi]- В общем случае Х\ может быть сколь угод¬
но точно аппроксимировано открытым множеством с O’-грани¬
цей. Поэтому (i) вытекает из теоремы 9.1.7. Для доказательства


9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 399
(И) нужно лишь заметить, что аналитический функционал
^ f(x + iy) ф(х + iy) dx
xl\x2
сосредоточен на Х\\X2-\-iy, так как отсюда следует, что
fXi — fXi сосредоточен на произвольной окрестности компакта
^i\Х2 => дХх U дХ2. (iii) Пусть f0 — предельное распределение
в	Если феА, то ф/0— предельное распределение для
ф/. Поэтому (3.1.20) дает
<ф/о. Ф) = J Ф (х, У) (Ф/) (х + iy) dx
+ (iV+l) jjjj (Фf){x+ity) Yj (da^(x)(iy)a/a\)iNdxdi.
0< f < 1	| a |=Af+l
Здесь qpeC“(Z|), Ф определяется посредством (3.1.18) и уеГi,
\у\<.у. Формула (3.1.20) позволяет продолжить /0 до распре¬
деления из	если в ней ограничиться интегрированием по
Хи а феС“(К“)- Для функции <peC“(J|), равной 1 на боль¬
шом компактном подмножестве в Хь из предыдущей формулы
вытекает, что функционал
Ф-*(/о>Ф>- J f(x + iy)yHx + iy)dx
х,
сосредоточен на дХ\ -f- i[0, у]. Поэтому единственность, установ¬
ленная в (1), приводит к соотношению /0 — fXi е А' (5J,), откуда
fx = fo в Xi. (iv) К существованию предела f0 в А'(Хi) приво¬
дят те же рассуждения, что и в доказательстве предложения
9.3.1,	и мы оставляем их читателю. Поскольку
\ f (х + iy) ф {х + iy) dx -> f0 (<р), феЛ,
х,
из (i) вытекает, что функционал fXi — /0 сосредоточен на дХ\.
Для доказательства (v) и (vi) обозначим через Ry разность
из (i), сосредоточенную в произвольной окрестности компакта
дХх при малом \у\. Тогда
K*fXt(z)- \K(z-t-iy)f(t + iy)dt = Ry(K(z- ■)),
х,
если | Im г| + |у| < 1, уеГь |у|<у- Здесь функция Ry(K(z —
•)) аналитична на любом компактном подмножестве в
{z; |Imz|2< 1 + |Rez— х|2, хед-Х^}, если \у\ мал. Если


400	9. Гиперфункции
fXi^A'(dX^ н Х2ШХ{, то функция
Fy(z)= jj K(z — i — iy) f (t + iy)dt
X,
аналитична в фиксированной комплексной окрестности компакта
Х2 + iS"-1 при ysTi и малом \у\. Поэтому функция
f(x + iy)= \ Fy{x + iy + m)d<i>
1 to 1 = 1
аналитична для х из некоторой фиксированной комплексной
окрестности компакта Х2 при малом \у\. Следовательно, функ¬
ция / допускает аналитическое продолжение в некоторую окре¬
стность компакта Х2. Это продолжение тождественно равно 0 на
Х2. Поэтому / = 0 на Z, если Z связно, что доказывает (v). Для
доказательства (vi) заметим, что функция
К * fXl (z) = \K{z —( —iy)f{t-\- iy) dt + Ry (К (z — •))
x,
аналитична на Х2 + /со, если | со — у | < 1. Так как
| со — у |2 = 1 — 2 (со, у) +1 у |2,
то последнее неравенство имеет место в случае <со, у) > 0, если
заменить у на еу для достаточно малого б > 0. Итак, функция
К * fx, (z) аналитична на Х2 + ico при всех со, кроме тех, для ко¬
торых <со, уУ ^ 0 при любых у е Г, т. е. —со е Г°. Этим завер¬
шается доказательство (vi) и теоремы в целом.
Гиперфункция fx^B(X) будет называться граничным зна¬
чением функции / из Г. Мы будем изредка использовать обозна¬
чение f0 из теоремы 3.1.15, но в случае, когда нужно подчерк¬
нуть, что предел берется из Г, будем пользоваться обозначением
bTf. Оно молчаливо подразумевает, что / аналитична на множе¬
стве Z, свойства которого перечислены в теореме 9.3.3. При этом
/ называется Г-аналитической на X.
Приведем утверждение, обратное к (vi) в теореме 9.3.3 (ср.
с теоремой 8.4.15).
Теорема 9.3.4. Пусть X — открытое подмножество в R" и
и е= В(Х). Если
WFA(u)cXX(T°\0),
где Г — открытый выпуклый конус в R" \0, то существует такая
Г-аналитическая функция f, что и = Ьт!-
Доказательство. Для Ji <= J можно выбрать функционал не
А'(Хi), определяющий и в Хь Положим V=K*v. Пусть Ti —


9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 401
замкнутый конус сгГЩО}. Выберем открытое McS'1-1 с
Г° П S'*-1 cr М так, чтобы М содержалось во внутренности конуса
Г°. Если	то предложение 9.3.1 показывает, что
v = 1>1 + v2, где
»i (ф) =	\	V*'(<p)d<o,	ф«=Л,
— М
и функционал v\ является аналитической в Х\ функцией, а иг
есть граничное значение аналитической функции
^2(z)= ^ V (z + гео)dm, |Imz|<y. Imzer1!, RezsJ0-
-м
Следовательно, если Х2 Ш Хи то ограничение и на Х2 будет гра¬
ничным значением функции /, аналитической в {z; Re z s X2,
InizeTi, |Imzj< Yi} при некотором yi > 0. Единственность
функции /, вытекающая из теоремы 9.3.3 (v), показывает, что
функции /, получаемые из разных П и Х2, в совокупности опре¬
деляют Г-аналитическую функцию на X.
Немедленным следствием теоремы 9.3.3 является классиче¬
ская теорема «об острие клина» («edge of the wedge» theorem):
Теорема 9.3.5. Пусть функции f* аналитичны в
Z± = {x-\-iy\ xt=X, ± у е Г, | у \ < у},
где у > 0, а Г — открытый выпуклый конус. Если /о = 6г/+ =
то /о — аналитическая функция, являющаяся продолже¬
нием как /+, так и f~.
Доказательство. Если £еГ°П(—Г°), то <у, £> = 0 при всех
уеГ, откуда | = 0. По теореме 9.3.3(vi) получаем, что WFA(fo)
пуст. Это означает, что /0 вещественно аналитична. Если вычесть
аналитическое продолжение функции /0 нз /=■=, то из теоремы
9.3.3	(v) следует, что разность обращается в 0 в Z± при малоад:
| Im z|. Это доказывает теорему.
Мы можем дополнить предложение 9.3.1 аналогом леммы
8.4.12.
Лемма 9.3.6. В обозначениях предложения 9.3.1 имеем
WFa (U*) а {(х, 1); rejf, — £/| 11 f= supp dp. и
U не аналитична в точке х — t|/| 11} U дХ X (Rrt \ 0).
Доказательство. Достаточно заменить ссылку на теорему 8.4.8
в доказательстве леммы 8.4.12 ссылкой на теорему 9.3.3(vi).
Теперь мы подошли к важной теореме о разложении, соот¬
ветствующей следствию 8.4.13.
26 Зак. 821


402	9. Гиперфункции
Теорема 9.3.7. Пусть Гь .... Г/ — замкнутые конусы в R"\{0}
с объединением, равным R"\{0}. Если X — ограниченное откры¬
тое множество в Rn и иеВ(Х), то и= £“/> где Uj^B(X) и
WFa(u,)cz №(н)Л(*ХГ/),;= 1. J-Если	дру¬
гое такое разложение, то и'. = и. + У, u.k, где Ujk^B(X),
]	} k *
Ujk = —Uki U WFa (u,k) cix (Гу n rft).
Доказательство. Поднимем и до v^A'(X). Пусть V — K^v,
определим Vj^A'(?) формулой
v, (Ф) = J ^ (Ф) Ф; (со) Ло, феЛ.
Здесь У — ограниченная открытая окрестность компакта X,
функционал определен в предложении 9.3.1, а ф,- — разбие¬
ние единицы из доказательства следствия 8.4.13. Тогда £ v} = о»
и если Uj — ограничение V,- на X, то
WF («у) cz WFa (и) П (X X Гу)
ввиду леммы 9.3.6. Чтобы доказать вторую часть теоремы, рас¬
смотрим функционалы Wj^A'(X), являющиеся продолжениями
гиперфункций Ыу — ujt так что w— £ до. е А' {дХ). Заменяя w\
на w\ — до, можно считать, что £ до;- = 0. Положим W; = К * до у и
wjk (Ф) = $ ^ (Ф) Фа N	(Ф) Ф/ И da-
Так как
^	(Ф) — Wj (ф) = О,
то для ограничений ujk функционалов Wjk на X получаем
£«,а =«,■-«/>
что завершает доказательство.
Последняя часть теоремы называется теоремой об острие
клина в форме Мартино. Ее важность, возможно, станет понят¬
нее, если взять конусы Гу выпуклыми и собственными, а через
Gj обозначить внутренности двойственных конусов. Тогда по
теореме 9.3.4 имеем u^bg f;. и ii'j = ba f'j для некоторых G.-ана¬
литических функций fjt f'r Более того, u)k есть предел из G;.+
+ Gk функции fjk,	— так что
bojfjk = baj+ajik = bejik =	bojkp


9.3. Аналитический волновой фронт гиперфункции 403
и этим подтверждается равенство
Таким образом, В(Х) может быть определено как множество
всех (fu ..., fj), где // является Gz-аналитической на X, причем
наборы вида
в которых функции fjk — —fkj являются Gj -f- Gfc-аналитическими,
отождествляются с 0. (Две ^/-аналитические функции считаются
равными, если они имеют одинаковые Gz-аналитические ограни¬
чения.) Данное наблюдение можно использовать для перенесе¬
ния на гиперфункции различных операций, подобно тому как это
делалось в § 8.5. Предположим, к примеру, что X a Rn,
У cr R"1 — открытые множества и ft— вещественно аналитиче¬
ское отображение X -> У. Положим
Nh={(h(x), л)еУХКт; V(a:)ti = 0}.
Если кеВ(У) и Nh П WFa (и) = 0, то определим h*u так,
чтобы, как и выше, было выполнено соотношение
(9.3.2)	WFa (h*u) с: h*WFA (и).
Для этого возьмем произвольную точку хо^ X и в окрестности
точки h(x0) запишем и в виде
и = /о + 2 b0.fj,
где f0 вещественно аналитична и lh'(xq)x\ ф 0 при 0=£t\^G°
Доказательство теоремы 8.5.1 показывает тогда, что функция
//oft является Gy-аналитической вблизи хо для любого конуса
G't, замыкание которого содержится в h'(xo)~1G/ — внутренности
двойственного к *h' (л:0) G° конуса. Поэтому в окрестности точки
хо можно определить
A*« = /0oft + 2>oJ(f,oft).
Независимость от использованного разложения гиперфункции
и вытекает из сделанного выше замечания. (Отметим, что если
имеется два разных покрытия Кт\0==иГ/, то можно перейти
к покрытию, состоящему из конусов Г/, встречающихся хотя бы
в одном из них.) Доказательство теоремы 8.5.1 без всяких изме¬
нений приводит к (9.3.2). В частности,волновой фронт WFA(u)a
Т*(Х)\0 теперь корректно определен для гиперфункции и на
вещественном аналитическом многообразии X. (Предоставляем
читателю в качестве упражнения проверить, что определение
26*


404	9. Гиперфункции
tfu, данное выше, согласуется с данным в § 9.1 и 9.2 для слу¬
чая аналитического диффеоморфизма.)
Если и е В(Х) и v е В (У), то определено «®оеВ(^Х1')и
(9.3.3)	WFa (и ® v) с: (WPA (и) X WFA (о))
U (WFA (и) х (supp о х {0})) и ((supp и X {0}) х WFA (v)).
Достаточно доказать это в случае IcR" и УсКт Но тогда
мы можем воспользоваться теоремой 9.3.7 для разложения гипер¬
функций и иг». Утверждение получается, если заметить, что
гиперфункция / ® g является Gf X Gg-аналитической, если fug
. соответственно Gf- и Gg-аналитичны. Двойственный к Gf X Gg
конус есть G°f'XG°. Он сводится к G^X{0}> если Gg — Rm, и
к {0} X G°, если G{ = R".
Остальные построения § 8.5 без изменения переносятся на
случай гиперфункций. Соответствующие повторения мы остав¬
ляем читателю.
9.4.	Аналитическая задача Коши
В лемме 9.1.4 мы уже решили аналитическую задачу Коши для
лапласиана. Чтобы распространить на гиперфункции теорему
8.6.1	в § 9.5, нам потребуется общая теорема существования для
аналитической задачи Коши и точная информация об области
существования решения. Соответствующие результаты будут
доказаны в этом параграфе.
Через z==(zi, ..., z„) будем обозначать точки пространства
iC", а через
9/j = {2J | Zj | ^ /?, / = 1 > . . ., /t}
— полидиск радиуса R с центром в точке 0. Лишь в этом пара¬
графе Da будет использоваться для обозначения оператора
(д/дг^1 ... (d/dz„)“n, действующего на аналитические функции.
Начнем с решения самого простого дифференциального урав¬
нения
(9.4.1)	D*u = f
с граничными условиями
(9.4.2)	Д*и = 0 при Zj = 0 и 0 <!&<(},,	/—1, ..., п.
Лемма 9.4.1. Для любой функции f, аналитической в й*, суще¬
ствует и единственно решение уравнения (9.4.1), аналитическое
в йл и удовлетворяющее (9.4.2). Справедлива оценка
(9.4.3)	sup|«K#!Plsup|/|/p!.


9.4. Аналитическая задача Коши 405
Доказательство. При п — 1 из формулы Тейлора получаем един¬
ственное решение вида
2	1	Р-1
и(2)= $ f(t)(z —	l)! = zp $ f(tz) (1(p~J)1)[ dL
о	0
Рассматривая поочередно по одной переменной, для любого п
при Pi > 0	р* > 0, pft+1 = ... = р„ = 0 находим, что
1	'	k (1 —tjfr1
и (Z) = Z& ^	^ / (/,2b . . •, tkzk> 2ft+i, • • •, Zn) ^  JJ| dt
является единственным решением граничной задачи. Оценка
(9.4.3)	для него очевидна.
Чуть более слабая теорема существования имеет место для
малых возмущений уравнения (9.4.1). Для простоты возьмем
R = 1.
Теорема 9.4.2. Пусть р — фиксированный мультииндекс, | р | = т,
и пусть а“, ]а|^т, и f — ограниченные аналитические в fii
функции, причем
А = (2ne)m sup £ | аа | < 1.
Qi
Тогда уравнение
(9.4.1)'	D&u= £ aaDau-\-f
| а|
имеет единственное решение, аналитическое в fii/2 и удовлетво¬
ряющее (9.4.2); при этом
(9.4.3)'	sup|«|<(l-A)~1sup\f |/pl.
ai/2	ai
Для доказательства понадобятся две элементарные леммы.
Лемма 9.4.3. Если v — такая функция одной комплексной пере¬
менной С, аналитическая при |£[< 1, что
|г>'(С)|<С(1-|С1Га,	|С|<1, и v (0) = 0,
где а ^ 1, то с той же самой постоянной С
IHOKCa-^l-IEir", ICK1-
Доказательство. Если а > 1, то утверждение является след¬
ствием того факта, что функция от г
Г
(1 - r)a J (1 — t)~a dt = ((1 — r) - (1 - rf)/(a - 1)
о


406	9. Гиперфункции
достигает своего максимума, когда а(1—r)0-1 = 1, причем ее
максимальное значение (1 — г)/а меньше 1 /а. Устремляя я к 1,
получаем утверждение при а = I.
Лемма 9.4.4. Если функция v аналитична при |£| < 1 и
|г>(£)|<С(1-|С1Га,	|Е|< 1,
где а ^ 0, то с той же самой постоянной С
|н'(£)|<Се(1+а)(1-|С1Га~\	1Е1<1.
Доказательство. Если 0 <; е <; р = 1—[£|, то при |£i — £|<е
имеем | и (£i) | ^ С(р— е)-". Следовательно, неравенство Коши
дает |о/(^)^ Се_1(р — е)-“. Выбирая е = р/(а-{-1), мы мини¬
мизируем правую часть, откуда
|о/(5ЖС(а+ 1)0 + 1/а)ар-а~' <Се(а+ 1)р-“->.
Доказательство теоремы 9.4.2. Мы сведем (9.4.1)' к (9.4.1), по¬
следовательно решая с помощью леммы 9.4.1 уравнения
(9.4.1)"	ДЧ-и= Е aaDau, + f
| а |< m
начиная с «0 =0. По лемме 9.4.1 имеем
M = sup| Uj К sup | f l/B!.
Вычитая два последовательных уравнения (9.4.1)" и записывая
Ov = Uv+l — Uv, получим Vo — Ui И
(9.4.4)	D\+i= Е aaDavv, v = 0, 1, 2, ....
|o К m
Мы утверждаем, что с постоянной С = А/2пт выполнены оценки
(9.4.5)	|yv(z)|<CvMn(l -|2,|Гт\ ze Q„ v = 0, 1
l
При v = 0 это просто определение М. Если (9.4.5) выполнено ■
для некоторого v, то из (9.4.4) и леммы 9.4.4 следует, что
ID\+l(z)\^A {2ne)~mCvM(ет(v-j-l))m П(1- \z, irm(v+1), zeQ,.
Так как uv+i удовлетворяет (9.4.2), то можно т раз применить
лемму 9.4.3 и получить неравенство ii wv+1 (2) К Л (2пеУт Cv Мет П (1 - I 2/1 rm(v+I),
1
2 е Й,.


9.4. Аналитическая задача Коши 407
Итак, неравенство (9.4.5) с v + 1 вместо v установлено. При
г е Qi/2 из (9.4.5) вытекает, что
| vv (z) | ^ AVM.
Поэтому предел и = Игл uv = £ vv существует и аналитичен
в Qi/2, причем |и|^Л1/(1—А), что доказывает (9.4.3)'. По¬
скольку limDau-i = Dau для любого а, то при v->oo в (9.4.1)"
получим (9.4.1)'.
Если и— решение уравнения (9.4.1)' с / = 0, ограниченное
в и выполнены условия (9.4.2), то vv = u удовлетворяют
уравнениям (9.4.4). Как уже было доказано, uv-»-0 в окрестно¬
сти 0 и, значит, и = 0. Если и есть решение лишь в окрестности
0, то данное заключение применимо к u(Rz) при некотором
R> 0 после замены а“ на a“(/?z)/?m~!a|. Это заканчивает до¬
казательство.
Теорему 9.4.2 можно использовать для решения некоторых
смешанных задач, однако мы ограничимся лишь нужной нам
здесь задачей Коши. Так как переменная гп выделена, введем
полидиски с неравными радиусами
i = {2£ С"; \Zj\<R при /<п, |z„|<6#}.
Теорема 9.4.5 (Коши — Ковалевской). Предположим, что коэф¬
фициенты дифференциального уравнения
(9.4.6)	£ aaDau = f
| а | <m
аналитичны в Qr, а и коэффициент ap, p = (0, ..., 0, m), при
DnU равен 1. Если
(9.4.7)	2(2Ле)га J r"|a|Sm_a"laa(2)kl, ZeQA{,
a f ограничена и аналитична в Qr,6, то уравнение (9.4.6) имеет
единственное аналитическое решение в йд/2,а> удовлетворяющее
граничным условиям Коши
(9.4.8)	DnU = 0 при zn = 0,	/ < т.
Для и имеет место оценка
(9.4.9)	sup | и К 2 (R6)m sup | f |.
-1Щ2,6	а
Доказательство. При 6 — R = 1 утверждение вытекает из тео¬
ремы 9.4.2 с А ^ 1/2. Полагая z' — {z\, ..., zn-1), мы можем
записать уравнение (9.4.6) в виде
Zaa(Rz', R6zn)R4ai6~anDau(Rz', R6zn) = f(Rz', R6zn).


408	9. Гиперфункции
После умножения иа Rmб"1 утверждение сводится к случаю
б = R = 1. Доказательство окончено.
Поскольку |а|^т, ап<т для мультииндексов а из усло¬
вия (9.4.7), то оно автоматически выполняется при малых R и
б, если коэффициенты а“ аналитичны в точке 0. Поэтому, в ча¬
стности, мы имеем локальную теорему существования для одно¬
родной задачи Коши (задачи Коши с однородными граничными
условиями (9.4.8)). Вместо однородных условий (9.4.8) могут
быть наложены неоднородные условия Коши
i
(9.4.8)'	Dn(u — ф) = 0 при z„ = 0,	/ < т,
где ф — заданная аналитическая в в функция. Записывая
и = ф + V, мы получаем для v однородные условия Коши и урав¬
нение
ZaaDav = f-ZaaD%
Таким образом, мы вновь находимся в условиях применимости
теоремы 9.4.5. При этом важна лишь аналитичность функций
DnФ LB-o. / < m> так как Ф можно заменить на
Е Дпф(2', 0)z'n/j\.
1 <т
Приведем теперь глобальный вариант теоремы 9.4.5. Поло¬
жим
Р (z, D) = Е aa(z)Da,
| а | <т
и пусть
Рт(гЛ)= Е аа(2)?°
| о
— главный символ оператора Р. Если ф — аналитическая функ¬
ция, причем
Ф = 0 и Зф/Зг = (Зф/dzi, ..., дфгп) Ф 0 в точке z0,
то уравнение q>(z) = 0 определяет аналитическую гиперповерх¬
ность вблизи 20. Она называется нехарактеристической, если
Pm(z, дфг)ф0.
Если ф— такая вещественнозначная С'-функция, что ф=0 и
Зф Ф 0 в точке zo, то уравнение ф = 0 определяет вещественную
(Д-гиперповерхность 2 вблизи точки zo. Ее касательная пло¬
скость
Зф = Зф + Зф = 0;
Зф = Е (Зф IdZj) dZj,	Зф fdZj = (djdxj — гЗ/Зг/^/2,


9.4. Аналитическая задача Коши 409
содержит единственную аналитическую гиперплоскость, опреде¬
ляемую уравнением Зф = 0. Будем называть Б нехарактеристи¬
ческой, если эта гиперплоскость нехарактеристическая, иными
словами, если
Pm{z, 3<p/3z) Ф 0.
Формально это условие выглядит точно так же, как в аналитиче¬
ском случае.
Теорема 9.4.6. Пусть P(z,D) — аналитический дифференциаль¬
ный оператор порядка пг в открытом множестве Z а Сп. Если
S a Z — аналитическая нехарактеристическая гиперповерхность,
то задача Коши
Р (z, D) и = f, Da (и — ф) = 0 на S при \ а | < пг,
имеет единственное аналитическое в окрестности гиперповерх¬
ности S решение и для любых функций f и ф, аналитических
в Z.
Доказательство. Вблизи произвольной точки zoeS можно сде¬
лать такую аналитическую замену переменных, чтобы z0 стала
началом координат и гиперповерхность 5 определялась бы урав¬
нением zn = 0. Тогда после деления на аР мы получим ситуацию,
в которой применима теорема 9.4.5. (Заметим, что а$ Ф0 в точке
0 вследствие нехарактеристичности S.) Таким образом полу¬
чаются локальные решения, и так как имеет место единствен¬
ность, то в совокупности они склеиваются в решение, удовлет¬
воряющее всем требованиям теоремы.
Множество, в котором решение существует, часто может
быть увеличено с помощью метода продолжения.
Теорема 9.4.7. Пусть f — функция, аналитическая в открытом
множестве Zcz,Cn, и и — аналитическое решение уравнения
P(z,D)u=f в открытом множестве ZqciZ. Если z0eZf|3Zo и
Z0 имеет в точке z0 нехарактеристическую С1-границу, то и мо¬
жет быть аналитически продолжена как решение уравнения
P(z, D)u=f в окрестность точки z0.
Доказательство. После замены координат вблизи zo можно счи¬
тать, что Zo = 0 и что Z0 задается вблизи 0 соотношением
Не2„<ф(21, ..., zn, Irazn), где феС1, ф(0) = 0 и 3ф(0) = 0.
Задача Коши
Р (z, D)v = f, D’nv = DnU при zn = — е,
удовлетворяет предположениям теоремы 9.4.5 в QR, в+ (0,
0, —е), если е, б > 0 достаточно малы и
(9.4.10)	— е < ф (г', 0),	|z'|</?.


410	9. Гиперфункции
Следовательно, v дает аналитическое продолжение и в окре¬
стность точки 0, если R6/2 > е. При фиксированном б и R =
Зе/б условие (9.4.10) выполнено при малых е, поскольку
-ф(2/, 0) = o(|z'|). Теорема доказана.
Мы докажем теперь общий глобальный вариант теоремы су¬
ществования, аналогичный лемме 9.1.4, который будет играть
важную роль в § 9.5. Как и выше, будем писать z' = (zi,..., zn-1)
и использовать евклидову норму
|z/p = |z1p+ ... +|Z„_1|2.
Теорема 9.4.8. Пусть Z — такое открытое выпуклое подмноже¬
ство в С", что
(9.4.11)	{(«', 0); |z'|</?}cZc={z; | z„ |/е +1 z' | < R},
и пусть P(z,D) — аналитический дифференциальный оператор
порядка m в Z, для которого
(9.4.12)	Рт(г, $Ф0 при zeZ, |£'|<в|Ы.
Тогда для всякой функции f, аналитической в Z, задача Коши
(9.4.13)	Р(г, D)u = f в Z, D]nu — 0 при z„ = 0, j < m,
имеет единственное решение, аналитическое в Z.
Доказательство. Можно найти такое г > 0, что (0, zn) е Z при
zn\<.r. Выпуклость Z показывает, что zgZ, если |zn|/r +
z'\/R<l. Применяя теорему 9.4.5 к малым полидискам с цен¬
трами на плоскости zn = 0, получаем решение задачи Коши
в окрестности Z множества {(г', 0); |z'|</?} в Z. Нужно пока¬
зать, что это решение можно аналитически продолжить в лю¬
бую точку w — (w', w„)^Z вдоль прямой линии, проходящей че¬
рез (w't 0). Можно считать, что wn > 0. Более того, заменяя Z
на пересечение с меньшим множеством вида {z; |zn|/e + | z' —
w' | < a}, где a +1 w' | < R, можно даже предположить, что w' = 0
и (0, wn) е Z при 0 < Шя < eR.
Итак, предположим, что (0,Zj)eZ при 0 ^zn< eR. Фикси¬
руем малое с > 0, затем большое М и положим при 0 ^ t ^ е
Zt = {z; 0<Rezn<t(R-(lz'l2 + IMImznr + c),/2)}.
В Zt имеют место соотношения | Im zn\ <ZR/M, OCRez^Ce (R—
(\z'\2 -f- с)1/2), и поскольку Z содержит все z, для которых
0 < Rezn < e(R —\z'\), Im zn — 0, то Zt a Z, если M достаточно
велико. Но тогда также ZtaZ при малых t и {z^dZt; Rezn =
0}czZ, 0 < t	e. На остальной части dZt аналитическая каса¬
тельная плоскость определяется уравнением <dz, £;> = 0, где
(9.4.14)	£' = /z'(|z'|2 + |MImz„|2 + cr1/2, Re£n = l.


9.4. Аналитическая задача Коши 411
Поэтому |£'| <	е|£„| и Рт(гХ)Ф 0 в силу (9.4.12). Тео¬
рема 9.4.7 показывает, что множество значений £е[0, ej, для
которых и аналитически продолжается в Zt, открыто. Но оно
также, очевидно, замкнуто и непусто. Следовательно, оно совпа¬
дает с [0, е]. Таким образом, продолжение возможно на Ze для
любого с > 0. Это завершает доказательство того, что решение
допускает аналитическое продолжение из 0 до (0, z„), если
0 < zn < eR.
Следствие 9.4.9. Пусть Г — открытый выпуклый конус в С”, для
которого существует такое а > 0, что верна импликация
(9.4.15)	Imz„>a|z'|, Rez„ = 0 =>(z', zn) <= Г.
Пусть W— открытая окрестность точки 0 и P(z,D) — такой
аналитический дифференциальный оператор порядка m в W, что
(9.4.16)	Рм(0, 5)^0 при |Г1<а|£п1^0.
Для всякой функции f, аналитической в W Г) Г, найдется анали¬
тическое решение уравнения P(z,D)u = f в Ц7'ПГ, где W' —
некоторая другая окрестность точки 0, не зависящая от f. Если
и — любое такое решение и f аналитична в полной окрестности
точки 0, то и аналитически продолжается в некоторую полную
окрестность точки 0.
Доказательство. Можно так выбрать число е > а и окрестность
Wo точки 0, что
(9.4.16)	' Pm(z, Ъ)ф0 при zeir0 и |£'|<в|£„|.
Пусть Т —(0, ..., 0, aR) и
Z = {ze С"; 1|/е +1 z' | < /?} П (Г — iT).
Тогда Z удовлетворяет (9.4.11),так как (z',iaR)^T при |z'|<R
в силу (9.4.15). Если R достаточно мало, то P(z + iT, D)—ана¬
литический в Z оператор, удовлетворяющий там (9.4.12) в силу
(9.4.16)	'. Также и /(z + гТ) аналитична в Z. Поэтому из тео¬
ремы 9.4.8 следует, что однородная задача Коши для уравнения
P(z + iT, D)u(z) = f(z -f- гТ) имеет аналитическое решение в Z.
Тогда P(z,D)u(z— гТ)=/(г) на множестве Z iT, содержа¬
щем пересечение конуса Г и некоторой окрестности точки 0, по¬
скольку е > а. Первое утверждение доказано.
Для доказательства второго утверждения возьмем
Z = {z; izJ/e + lz'KR}
и решим уравнение
Р (z + iT, D)v = f{z + iT), zeZ,


412	9. Гиперфункции
с данными Коши
DLv (z0) = D'nu (ziaR); j <m,	| zr \ < R.
Если R достаточно мало, то эта задача совпадает с задачей
Коши изучавшегося в теореме 9.4.8 вида для функции
т-1
w(z) — v{z) — 2 zlnDlnu(z', iaR)/j\.
о
Следовательно, решение в Z существует, и тогда v(z — iT) яв¬
ляется аналитическим продолжением функции и в окрестность
точки 0.
9.5.	Гиперфункции — решения дифференциальных
уравнений в частных производных
Если P(x,D) — дифференциальный оператор с вещественно ана¬
литическими коэффициентами в открытом множестве X a Rn, то
(9.5.1)	WFa (Р (х, D) и) с WFa (и),	и^В (X).
Это немедленно следует из теорем 9.3.7 и 9.3.4, так как если
u = brf, то P(x,D)u = bTP(z,D)f. Сейчас будет доказано неко¬
торое обратное утверждение (ср. с теоремой 8.6.1).
Теорема 9.5.1. Если P(x,D) — дифференциальный оператор по¬
рядка m с вещественно аналитическими коэффициентами в
X cz Rn, то
(9.5.2)	WF А (и) с: Char Р U WFA (Р (х, D) и),	и^В (X).
Доказательство. Нужно доказать, что если (лг0, £0)^WFa(P(x,
D)u) и Pm{xо, 1о)¥= о, то (лг0, lo)& WFa (и). При этом можно счи¬
тать, что л'о = 0 и g0 = (0, ..., 0,1). Выберем а > 0 так, что
(9.5.3)	(0, 0 ф WFa (Р (х, D) и), если |„ = 1, | Г | < а,
(9.5.4)	Рт( 0, 0^0 при |С'К а, Ь,= 1-
j
Пусть R"\0 = [J Г/, где Г,- — собственные замкнутые и выпук-
0
лые конусы, ||'|<а£„ в Го и £0^Г/ при j ф 0. Первая часть
теоремы 9.3.7 и соотношение (9.5.3) показывают, что в некото¬
рой окрестности У точки 0
Р(х, D)u=f = ^f„	WF А (fj) с= У X Гу;
/
и=Е«/, WFa (и}) с У X Г/.
О


9.5. Гиперфункции — решения уравнений 413
Поэтому
Р(х, D)u0 + ±(P(x, D)Uj — f/) = 0.
Из второй части теоремы 9.3.7 вытекает, что
Р (х, D)u0 = Z hi. WFa (f0/) сУХ(Г0Л Г/).
Замыкание множества G0 = {у е R"; Уп> а\у'\) в Rn\0 содер¬
жится во внутренности двойственного к Г0 конуса. Так как
£о^Г,- при }Ф 0, то найдутся такие открытые выпуклые конусы
G/, j Ф 0, что замыкание каждого из них лежит во внутренности
конуса, двойственного к Tjt и £0 ф. G°. По теореме 9.3.4
1 = Ьа0+аР,’
где Fj аналитичны в пересечении R" + г (Go G,) = Г/ с окре¬
стностью точки 0. При этом Г/ удовлетворяет (9.4.15), так как
последнее выполнено для Rn -f- jG0, и (9.4.16) имеет место в силу
(9.5.4). Из первой части следствия 9.4.9 вытекает, что суще¬
ствуют такие функции U\, аналитические в пересечении Г, с ок¬
рестностью точки 0, что P(z,D)Uj = Fj. Кроме того, Uo = baJJo>
где Uo аналитична в пересечении R" + i'G0 с окрестностью точки
0. Поэтому вблизи 0 в Rn ф iGo теорема 9.3.3(v) дает
P(z, D)(u0-£u^ = 0.
Но, как показывает вторая часть следствия 9.4.9, функция
/
U0 — X Ui может быть аналитически продолжена на окрестность
точки 0. Итак,
/
«о — Л ba Uj
1 '
аналитична в 0. Так как (0, |q) ф WFa (bojUj} по теореме
9.3.3(vi) и (0, Ь>)Ф WFa(ui) при / ф 0, то получаем, что (0, %о)ф
WFa (и). Доказательство закончено.
Это доказательство дает также следующую микролокальную
теорему существования.
Теорема 9.5.2. Пусть вектор (лг0, £о) е Т* (X) \0 нехарактеристи¬
чен относительно дифференциального оператора P(x,D) с ве¬
щественно аналитическими коэффициентами. Для любой гипер¬
функции f е В (X) найдется такая гиперфункция и е В (X), что
(х0, £0) ф WFa(P (х, D)u — f).


414	9. Гиперфункции
Доказательство. Если Г/ определены как в доказательстве тео¬
ремы 9.5.1, то существует разложение
f = Zf/. WFA(f,)<=XXTj.
Здесь f0 — baF0, где F0 аналитична в пересечении R" + iG0 с ок¬
рестностью точки хо. Благодаря следствию 9.4.9 найдется анали¬
тическое решение U уравнения P(z,D)U = F0, определенное в
пересечении Rn -f iG0 и некоторой другой окрестности точки х0.
Теорема получается, если взять u = baJJ.
Ввиду теоремы 9.5.1 теорема единственности Хольмгрена и
ее уточнения, доказанные в § 8.6 для решений уравнения
P(x,D)u = 0 в классе распределений, остаются справедливыми
и для решений в классе гиперфункций. Мы докажем далее, что
данные Коши также могут быть определены на произвольной
нехарактеристической аналитической поверхности. Для простоты
будем считать ее совпадающей с плоскостью.
Итак, пусть X — открытое подмножество в R" и
1± = {геX; ±лг„>0},	^0 = {jce^„ = 0}.
Если и е В (Х+) удовлетворяет аналитическому дифференциаль¬
ному уравнению Р(х, D)u = 0 в Х+ и Х0 нехарактеристична от¬
носительно Р, то мы докажем, что естественным образом могут
быть определены Z)£u |*п=0е Б (Хо). (Здесь Х0 есть Х0, рассмат¬
риваемое как подмножество в R"-1, т. е. Хо = Х0 X {0}-) Сначала
рассмотрим в X гиперфункцию и0, равную и в Х+ и 0 в X— То¬
гда f=P(x, D)-u.q имеет носитель в Хо. Мы можем заменить ио на
и0 — v, если гиперфункция ней (X) такова, что supp v а Х0,
поскольку это приводит к замене f на f — P(x,D)v. Имеется
наилучший естественный выбор v.
Теорема 9.5.3. Предположим, что оператор P(x,D) имеет ве¬
щественно аналитические коэффициенты и гиперплоскость Х0
нехарактеристична относительно P(x,D). Тогда любая гипер¬
функция f^B (X), для которой supp f а Х0, единственным обра¬
зом разлагается в сумму
(9.5.5)	f = P(x,D)v+'£i У/® D»60 (*„),
i <m
где «ей (X), supp v а X0 и у7 e Д (Хо) при 0	/ < m.
Доказательство. Предположим сначала, что имеются некоторые
f, v, и/, удовлетворяющие (9.5.5), с supp f, supp у и suppy,X{0}»
содержащимися в некотором компакте К с: Х0. Тогда (9.5.5)
эквивалентно равенству
(9.5.6)	f (Ф) = у (*Р (х, D) Ф) + £ у, ((- Dn)> Ф (•, 0))
/ <т


9.5. Гиперфункции — решения уравнений 415
для функций ф, аналитических в окрестности К. По теореме 9.4.6
функция ф может быть выбрана так, что в окрестности ком¬
пакта К
(9.5.7)	*Р (г, D) ф = ф; (- Dn)! <р( •, 0) = ф,-, / — 0, .... от - 1,
где ф и ф,— произвольные целые функции от п и п—1 пере¬
менных соответственно. Поэтому если / = 0, то v = 0 и v,- — 0
для всех j. Для доказательства существования предположим, что
дана гиперфункция feB(X) с компактным носителем suppf =
К с Х0, и определим
(9.5.8)	о(Ф)+ £ О/(’!’/) =/(ф)-
i <т
Если й— окрестность компакта К в Ся и й' с С"-1—окрест¬
ность компакта К0 = {х' е Rn_1; (х\ 0)е/(}, то по теореме 9.4.5
в некоторой окрестности © компакта К задача (9.5.7) имеет
решение ф, для которого
sup | ф К С (sup | Ф | -f £ sup | ф, |).
ю	Q	O'
Следовательно,
»(Ф) + £ 0/(ф,)
I <т
<С' (sup | ф | “Ь £ sup IФ/!)
<2	Q'
Это доказывает, что (9.5.8) определяет функционалы v^A'(K),
V,- ^А'(Ко), удовлетворяющие (9.5.5). Единственность, установ¬
ленная выше, дает равенство
(9.5.9)	supp f — supp u (J И supp v, X {0}
при условии, что выполнено (9.5.5), носители гиперфункций
f, v, V/ компактны и supp v (J supp f c: Xo.
Для произвольной гиперфункции fsB (X) c supp fcX0 и
любого открытого У Xq мы можем выбрать гиперфункцию
[rsB(X), для которой supp fr с Ух{0} и fY — f в XП(У X R).
Действительно, нужно лишь расширить гиперфункцию, равную
f в ХП(УХ R) иОв X+UX_U(^n (СУ X R))- Разлагая в соот¬
ветствии с предыдущей частью доказательства
fY = P(x, D)uY+ £ Uyf®Dlfi0(xa),
j <m
из (9.5.9) находим, что
supp (uY — uz) (J U supp (uYI — uzj) X {0} c= supp (/y — fz),
i
если Z Ш X'0. Следовательно, uy и uYj определяют для возрас¬
тающих У глобальное решение задачи (9.5.5). Единственность
аналогично вытекает из (9.5.9), если начать с решения задачи


416	9. Гиперфункции
(9.5.5)	для / = 0 и срезать v, Vj вне окрестности какой-нибудь
точки из Х0. Доказательство завершено.
Следствие 9.5.4. Если P(x,D) имеет вещественно аналитические
коэффициенты в X и гиперплоскость Х0 нехарактеристична отно¬
сительно Р(х, D), то любая гиперфункция и В (Х+), удовлетво¬
ряющая уравнению Р (х, D)u — 0, имеет единственное расшире¬
ние «о на X, обращающееся в 0 на Х_ и такое, что для некото¬
рых vj gB(^)
(9.5.10)	Р(х, D)u0= £ v,®D%{xn).
j<m
Если все а,- равны 0, то и = 0 в окрестности гиперплоскости Х0.
Доказательство. Расширение, удовлетворяющее (9.5.10), полу¬
чается, если сначала взять произвольное расширение м0, равное
0 в Х-, применить к f = Р (х, D) и0 теорему 9.5.3 и вычесть v из
uq. Последнее утверждение следует из теоремы единственности
Хольмгрена.
Чтобы дать иную интерпретацию (9.5.10),предположим на
время, что и е Ст(Х+), и положим м0 = и в Х+ и и0 = 0 в Х_.
Тогда по индукции получаем
DknUo = {Dnu)0-i £ Dkn4~lu(-, 0)<8D!nbo(хп)
i<b
для k ^ т. Обозначим через Pj(x,t,) полиномиальную часть от
Р(х, СШ+1- Тогда
Р(х, D)u0= — i £ Р/(х, D) и \х 0® Dh60(хп).
I <т
Таким образом, расширение uq совпадает с тем, которое дается
следствием, и
(9.5.11)	— iPj (х, D) и \Xn=Q =vjt j = 0, ..., т — 1.
Эти уравнения можно рассматривать как систему дифференци¬
альных уравнений относительно Uj = Dhu\Xn_0, j < т. Если
а(х)—коэффициент при D% в P(x,D), по предположению не
равный 0 на Хо, то /-е уравнение содержит член —iaum-j-ь а
сверх того лишь uk с k < т — 1 — /. Начиная с последнего
уравнения (9.5.11) (с j = m — 1), можно последовательно опре¬
делить «о, «1. •••. «т-1 в терминах vm-u ..., v0. Так же можно
действовать и с гиперфункциями. Поэтому в условиях след¬
ствия 9.5.4 мы получаем корректно определенные «нормальные
производные» м;.е В (Х^). Это определение согласуется с при¬
веденным в теореме 4.4.8', когда применимы оба определения,


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 417
поскольку обсуждение Ст-случая, приведенное выше, остается
в силе на основании замечаний, следующих за теоремой 4.4.8'.
Итак, теперь мы имеем все необходимое для постановки гра¬
ничных условий для дифференциальных уравнений, содержащих
гиперфункции. Соответствие между аналитическими функцио¬
налами и гармоническими функциями, установленное в § 9.1,
является лишь частным случаем задачи Дирихле в полупро¬
странстве. Этим, однако, мы и ограничимся в нашем кратком
введении в теорию гиперфункций.
9.6.	Аналитический волновой фронт и носитель
Мы начнем с того, что дадим эквивалентное определение WFa (и)
по Бросу и Ягольнитцеру. Для	с помощью гауссовой
свертки определим целую функцию 7\и, зависящую от положи¬
тельного параметра к, формулой
(9.6.1)	7\ы (z) = yy (ехр(— k(z — y)2J2)), геС",
где z2 = z2 + ... 4-z2. Так как
(9.6.2)	Re (— (z — yf) = (Im (z — y)f — (Re (z — y)f
<(Im (z — y)f, z, y<= Cn,
то для всякого e > 0
(9.6.3)	| Txu (z) | < Ce exp (k (| Im z j + e)2/2).
Функция Tj, тесно связана с преобразованием Фурье, поскольку
ехр(Я(г{х, £)-|2/2))7>(* + 1|)
= иу (ехр (— к{х — yfj2 + ik (у, |»)
есть преобразование Фурье от и в точке —k'g, умноженное на
е-л|х-0|'/2. Этот множитель локализуется вблизи точки х анало¬
гично срезающим функциям из леммы 8.4.4. Поэтому естествен¬
но ожидать, что (х0, |0) ^ WFa (и) тогда и только тогда, когда
правая часть есть 0(е~сХ) для некоторого с>0 в окрестности
точки (х0,—go) при Я-*-оо. Чтобы это доказать, начнем с оценки
Т^и в случае, когда и — граничное значение аналитической функ¬
ции. Будем пользоваться обозначением d(x, Л) = inf | х — у\
у еД
для евклидова расстояния между х е R" и А с Rn.
Предложение 9.6.1. Пусть Q с= R" — открытое выпуклое множе¬
ство, Оей, Г = (R+Q — выпуклый конус, порожденный множе¬
ством Q, и X с: R" — открытое множество. Если f — аналитиче¬
ская функция в X + Й2 и гиперфункция uei4'(Rn) равна brf
27 Зак. 821


418	9. Гиперфункции
в X, ТО
(9.6.4)	|Гя,гф)КСехрА,Ф(2), ze=/f, Л>0
для любого компакта с= С" и всякой непрерывной функции Ф
на К, для которой
(9.6.5)	Ф (z) > (| Im z |2 — d (Re z, CXf)/2,	z<=K,
(9.6.6)	Ф(г) > d(Imz, Q)2/2 при Rez^X, z^K-
Если и = 0 в X, то (9.6.6) может быть опущено.
Доказательство. Можно считать, что X ограничено, так как
(9.6.5)	остается справедливым, если заменить X на его пересече¬
ние с шаром достаточно большого радиуса. Оценка (9.6.4) вы¬
текает из (9.6.2) и (9.6.5), если Rez принадлежит окрестности
СХ. Поэтому в доказательстве можно предполагать, что
Re К cr X. Запишем и = и\ + «о, где supp щ cz X и supp ио а CX.
Благодаря (9.6.5) и (9.6.2)
Re(-(z-yf/2)<<$(z), z^K,
для всех у из некоторой комплексной окрестности компакта
suppu0- Поэтому (9.6.4) имеет место для 7\ц0- Пусть Х0(=Х.
Для всякого уей аналитический функционал
А э ф -* и, (ф) — ^ / (х + iy) ф (х + iy) dx
Хо
сосредоточен в (^\X0)U (d-Хо + [0, ty]). Следовательно, и\ сосре¬
доточен в
M = (X\J0)U (дХ0 + [0, iy]) U (Х0 + {iy}).
Для каждого zo е К можно выбрать к е £2 так, что
| Im z0 — у |2/2 < Ф (z0).
При у е Х\Х0 в силу (9.6.5) имеем для достаточно большого Х0
fllmzp — |Rez — у\2)/2<Ф(г),	z<=K,
откуда ввиду выпуклости |Im(z — у) |2 получаем
Re (— (z — у)2/2) < Ф (z)
для z из окрестности точки Zo е К и у из окрестности множе¬
ства М. Получаем оценку. (9.6.4) в окрестности zo, а, значит,
с учетом леммы Бореля — Лебега и во всем К.
Предложение 9.6.1 и установленное в теореме 9.3.7 разложе¬
ние легко приведут к тому факту, что Тьи(х -{- »£) растет мед¬
леннее exp к%2/2, если (х, —|) ф WFA (и). Для доказательства
обратного результата нужно выяснить, как и восстанавливается


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 419
по Тхи. Мы начнем с формулы обратного преобразования Фурье
Ф (0) = Нт (2л)	\	<!Л ?>"е 1 ? 'Ф (у) d\ dy, Ф е Со°° (R"),
в-»0	J J
где множитель	обеспечивает абсолютную сходимость.
Если ^	| -+- гт1> то
S2 = |2_t]2 + 2i(b Tl>
имеет аналитический квадратный корень с положительной ве¬
щественной частью при |т)| < |£[. Если а > 0 настолько мало,
что а\у\<.\ при г/еэиррф, то интегрирование по | можно
сдвинуть, производя его по цепи
l->t = t + iay\l\.
Заметим, что Ку,£> — КуЛУ— аг/2 |£| имеет неположитель¬
ную вещественную часть и что
dt, [Л ... Ad£„ = (l +ia(y, |/|||»dg, А ... Л d\n,
так как d 11| = £ (£// III) и d 111 л d 111 = 0. Поэтому
ф ^=	(2я)”П S ^ $ ехр (г (у’ § — аУ21^1 —е Vs2)
Х(1 + ia{y, ё/1iI))ф(y)dy.
Здесь функция у-*({у, I) -+- гаг/2|£ | + ге У£2 )/|| | имеет неотри¬
цательную мнимую часть, ограничена в С°° и норма ее диффе¬
ренциала по у имеет положительную нижнюю грань, не завися¬
щую от е и |. Следовательно, по теореме 7.7.1 внутренний ин¬
теграл является быстро убывающей функцией от | равномерно
по е, откуда
(9.6.7)
ф(0) = (2лГл^| ^^-“^'(l+ia^, £/Ш»Ф(y)dy, Ч>еС
если а > 0 достаточно мало. Однако функция, стоящая справа,
аналитична по а при Rea>0. Поэтому формула справедлива
при всех а > 0.
Фиксируем г > 0 и положим | = —Кга>, где го е S'1-1 и X > 0.
Заменяя ф на ф(л:-{- •)> получим
00
(9.6.7)	'	ф(*) = (2я)-п ^ rnkn~l dk dco ^ ехр Я (г (х — у, гео)
О	|<о| = 1
— аг(х — у)2) (1 + ia(x — у, со» ф (у) dy.
Выбрав а = \/2г, превратим показатель экспоненты в умножен¬
ную на % функцию
Е(х — у, гео) — i(x— у, гео) — (х — у)2/2 = — {х — у — ira)fj2 — г72,
27*


420	9. Гиперфункции
откуда следует, что
e~lr,i2T},(f> {x — im) —
^ {х у,
1 г0>)ф (У) dy,
e~^2 <co, D) 7\<p (x - itk) =
к ^ еХЕ <*-
-У. по) (г 4- i (х
— У> ®»Ф (y)dy.
Поэтому для феС*
(9.6.8) <р(л:) =
2 (2я)п S Г Х dK \
+ ((0, у- к})
T)jf(x — im) da,
о	I © 1=1
где подынтегральное выражение есть 0(k~N) для любого N при
К-^оо и ограничено при Х-»-0. Сказанное непосредственно пе¬
реносится на аналитические функционалы:
Предложение 9.6.2. Если usA'(Rn), то
ОО
F& = T (2^И
о
f < И=т w $Vwv" ж-W <а
о	‘
суть аналитические функции в {z е С"; | Im z\ < 1}, остаю¬
щиеся аналитическими в точке л:о + Шо, |©о|= 1. если для неко¬
торых С, с > 0
9.6.9)	| 7>(л: + г|)|<С^/2-а	| д: -л;01 +11-со01 < с, к > 0.
По предложению 9.6.1 это имеет место для всякого ©о, если
х0 ф supp и. Если X — ограниченная открытая окрестность ком¬
пакта supp и в R" то в обозначениях предложения 9.3.1
(9.6.8)' и (<р) = jj F*(q>)da-f г	\ Ffa (Ф) ©/ da,	феЛ.
|<о|-1	| <о| = 1
Доказательство. Аналитичность F и F, сразу следует из (9.6.3)
и (9.6.9). Для доказательства (9.6.8)' рассмотрим функцию
фоеС0"(А), равную ср в окрестности компакта supp и. Правую
часть (9.6.8)' с <ро вместо <р обозначим через /?(<ро). Тогда /?(<р0)
есть предел при r-> 1 выражения
ОО
^ Фо (*)dx ^ e~xl2kn~l dk jj (1 — (<о, D/k)) Thu (х -f im) da.
0	| to


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 421
Из определения 7\ теперь находим, что
5 Фо (*) тхи (* + im) dx = u (TVр0 (• — inа)),
^ Фо (х) (— ®> D/к) ТКи (х + ina) dx = u «со, D/Я) 7\<р0 (• — /г©)).
Таким образом, R (qp0) = lim и (ф0, г), где
ОО
<po.cW = TW \е~шкп~1ёк J (\+(p,D/k))TK%(x-ir^d^.
О	| (о [=1
Из (9.6.8) следует, что Фо, r-^фо равномерно при г-*-1, так как
для г < 1 подынтегральное выражение равномерно быстро убы¬
вает при к —оо. Вследствие аналитичности ф0 в окрестности
компакта supp и с учетом предложения 9.6.1 имеем
I(z — г>©)I<Се»2~с\	0 < r< 1,
для некоторого с > 0 и всех z из комплексной окрестности ком¬
пакта supp и. Поэтому фо, r(z) равномерно сходится в такой ок¬
рестности компакта supp и, и предел должен равняться ф в силу
единственности аналитического продолжения. Из сказанного
вытекает, что и(ф0, г)-*- «(ф), т. е. /? (фо) = и (ф) • Итак, R — О
вне supp и и (9.6.8)' доказано.
Сочетание предложений 9.6.1 и 9.6.2 приводит к определению
WFa (и) по Бросу — Ягольнитцеру (существенного носителя по
их терминологии):
Теорема 9.6.3 .Пусть иеД'(К'1) и (х0, |0)s 7^(КЛ)\0. Тогда
(х0, ?о)^ WFa (и) в том и только том случае, когда существуют
такие окрестность V точки х0 — /|о и положительные постоян¬
ные С, с, что
(9.6.10)	|7’fc«(z)|<Cefc<|6*i'/2-c), ze=v> я > 0.
Доказательство. Предположим сначала, что выполнено (9.6.10).
Если O^feR и Mt(x) = tx, х е Rrt, то
ПиДМ\и) (z) — T\U(tz),
так как
Т%и (tz) = и (е-я('г-)г) = f {М/и) (е'м'{г-)г).
Взяв t =|go|, мы сводим доказательство к случаю |£о|= 1- Но
тогда для и имеет место представление (9.6.8)', где F и Fj ана-
литичны в точке х0 —	0, откуда (х0, £0)<^ WFa(u) по лемме9.3.6.
Теперь предположим, что (х0, h)^ 1VFa(u). Выберем покры¬
вающие 'R"\0 замкнутые выпуклые собственные конусы
Гь •Г/ так, что £0 ф Г,-, }Ф 1, и П WFA{u)x= 0. По тео¬
ремам 9.3.7 и 9.3.4 найдутся окрестность X точки хо и функцио-


422	9. Гиперфункции
налы Uj^A'(X), для которых ы =	в X, и\ аналитична в X,
a U/ = bQjfj, j ф I', здесь Gj— внутренности конусов, двойствен¬
ных к Г/, a fj аналитичны в X + iQj, где Q/ — выпуклое множе¬
ство, порождающее G,. Применим к каждому из и,- и к и — X и/
предложение 9.6.1. Если | eR", то
d(l, Q,f<\l?.
если только 0 не является ближайшей к | точкой множества Q/.
Отсюда следует, что для любого у е G/
\\-*yf>\lf
при малом е > 0. Поэтому <|, у} ^ 0, т. е. —^ е Г,-. Так как
£о^Г; при j ф 1, то найдутся такие окрестность К точки х0 — о
и число с > 0, что при всех z е К
| go |2/2 - с > (I Im z |2 - d (Re z, C2f)2)/2,
\lom-c>d(lmz,Qlyt/2, i¥=l-
Теперь (9.6.10) является следствием предложения 9.6.1.
Если произвести изменение масштаба, то различие между Q,-
и Gj в предыдущем доказательстве перестанет играть роль и мы
получим весьма точное добавление к предложению 9.6.1.
Предложение 9.6.4. Пусть и еЛ'(Г), W0 = {£; (0, £)<= WFA(u)}.
Положим «в = М\и — и (б •). Если для компакта К а Сп и не¬
прерывной на нем функции Ф
(9.6.11)	Ф (z) > (| Im z |2 — d (Im z, — W0)2)/2,	z<=K,
то для.малых 6 имеет место опенка
(9.6.12)	|T’x«a(z)KC4ew>‘z), z^K, X > 0.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 9.6.3, возьмем
произвольное покрытие Rn\{0} малыми выпуклыми собствен¬
ными конусами. Тогда u = i/0 + £«/, где «0=0 в окрестности
X точки 0 и Uj = b0jfj в К с функциями //, аналитическими в
X + iQj. Здесь Qj — окрестность точки 0, если Г/ Л 1^о = 0» и Qj
порождает открытый выпуклый конус G/, двойственный к Г/,
в противном случае. Имеем «б = £ «/б, где «оа обращается в 0 на
Х/Ь, а ограничение ы;в на Х/Ь есть граничное значение функции
fi(bz), }ф 0, аналитической в Х/Ь iQj/Ь. При малом 6 оценка
(9.6.12)	вытекает из предложения 9.6.1, если верно неравенство
Ф (z) > d (Im z, Q,/6)2/2, z<eeK, /Ф 0,	Yj[\W^0^


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 423
Поскольку d( 1тг, Qj/d)\d (Imz, Gj) при 6-»-0, то последнее
неравенство имеет место, если 6 достаточно мало и
(9.6.13)	Ф(г)> d(Imz, G,)2/2, z^K, ]Ф О, Гу П ^ОФ0-
Теперь установим следующий вариант теоремы Пифагора:
da, Gjf+da, — Г/)2=и|2.
Так как G, n(—Г/) = {0} и отношение между этими конусами
симметрично, то указанное равенство достаточно проверить при
Рис. 5.
| ф Gj. Если |* — ближайшая к | точка из О/, то <|* — |, ri —
|*>^ 0, ri е Gj, откуда |* — | е Г/, так как Gj — конус, и
<|* — I, |*>= 0 >=<0, Г>, 0е - Г/. Итак, |—|* — ближайшая
к | точка из —Г/ и (см. рис. 5)
da, Gjf+da, — Г/)2=11—гi2+1п2=иi2-
Поэтому (9.6.13) означает, что
(9.6.13) '	Ф (г) > (| Im z |2 — d (Im z, - Г)2)/2,
где Г — объединение конусов Г/, для которых Г/ П Wo Ф 0. Сле¬
довательно, конус Г близок к Wo, если все Г/ малы, так что
(9.6.13)	' вытекает из (9.6.11). Доказательство закончено.
Важной особенностью неравенства (9.6.11) является линей¬
ность его правой части вдоль любой внешней нормали к —Wo-
Чтобы воспользоваться этим, нам понадобится простая
Лемма 9.6.5. Пусть а и Ъ — положительные числа и и — субгар¬
моническая функция в R ={ze.C; 0 <С Rez <С а, |1тг|<Ь},


424	9. Гиперфункции
причем для некоторого е > О
и
(шах (О, — Im z)f при z^R,
— b2l3 при | Im z | < b и 0 < Re z < e.
Пусть еще A (x) = (6/3)sh(n(a— x)/b)/sh(na/b). Тогда
(9.6.14)
и (x + iy) < — A(x) (2 у -f A (x)), если \y\< A (x)J2,	0 < x < a.
Доказательство. Применим принцип максимума к функции
v {х + iy) = и (х + iy) — б2 + ЬА (x) sin (я (у + 6)/Ь)
в прямоугольнике R6 —{z\ О <С Rez <С а, —6-<Imz<;6— 6},
где 0 •< 6 <С Ь. Функция v субгармонична, поскольку мы доба¬
вили к и гармоническую функцию, и и < 0 вблизи границы. Сле¬
довательно, v < 0 в R6. Так как sin 0 > 20/я при 0 < 0 < я/2,
то при 0 < г/+б < 6/2 получаем
Минимизируем правую часть, полагая 6=Л(х), что допустимо,
так как О < у + А (х) < ЗА (х)/2 ^ 6/2 при | у \ < А (х)/2. Тем
самым (9.6.14) доказано.
Важным моментом, связанным с (9.6.14), является отрица¬
тельность правой части при у = 0. Хорошая оценка на одном
конце прямоугольника с некоторым ухудшением распространяет¬
ся вдоль линии Im 2 = 0.
Теперь все готово.для того, чтобы сформулировать и дока¬
зать основной результат данного параграфа о связи между
supp и в точке х0 и WFa(u) в той же точке. Он получен Каси-
варой, но иногда называется кохольмгреновской теоремой, чтобы
подчеркнуть аналогию с теоремой 8.5.6'. При его формулировке
понадобится понятие касательного конуса к множеству. Для
xoeiMcR" определим ТХд(М) как множество пределов последо¬
вательностей tj(Xj — х0), где	о и х,-еМ. (По поводу ана¬
логичного понятия предельного конуса на бесконечности см.
лемму 8.1.7.) Ясно, что ТХо(М) является замкнутым конусом.
Если	R'"), а tj(Xj — х0)-+Т, то ?/(ф(х;)— ф(х0))->-
ф'(хо)7\ Поэтому
что доказывает, в частности, инвариантность определения
TXg(M)aTXg(x) в случае, когда М — подмножество ^-многооб¬
разия X, а не пространства
и (х + iy) < б2 — 2А (х) (у + б).
фДх0)Г*ДМ)с7Ч(*о)(гНЛ4)),


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 425
Теорема 9.6.6. Если и^В (X) и х0 е X, то
(9.6.15)	N(W0)c=dWoXTXo(suppu),
где Wq= {ge Тх, (X); (х0, g) е WFa (ц)} рассматривается как
подмножество векторного пространства TXg (X) без нуля.
Доказательство. Локальность утверждения позволяет считать,
что X = Rn, Хо = 0 и «ei4'(Rs). Пусть (l0,t0)^ Ne(W0). В со¬
ответствии с определением 8.5.7 это означает, что go е W0 и су¬
ществует такая О-функция /, что 0 ф /'(g0) = to,/(g) ^ / (g0) = О
при g е W0. Если мы докажем, что при выполнении хотя бы
одного из условий <о Ф 7*,(supp и), — t0 ф 7\x,(supp и) вектор g0
не лежит в Wo, то (9.6.15) будет установлено.
Выберем компактную окрестность К интервала [—t0, *0] — По
в С". Каково бы ни было фиксированное е > 0, предложение
9.6.4	показывает, что для ий = и(6-) при достаточно малом 6
(9.6.16)	об (z) = 2Я"1 log | Тки,s (z)/C„1.
< е + | Im z |2 — d (Imz, — W0f, zeK-
Рассмотрим такую компактную окрестность Ко одной из точек
to —Но ИЛИ —to —По, ЧТО Re Ко П 7*0(supp ы) = 0. В силу пред¬
ложения 9.6.1 существует такое с > 0, что при малом 6
(9.6.17)	oe(z)<| Imz I2— с, геК0.
если С6 выбрано достаточно большим.
Возьмем вещественные х, g, для которых |x| + |g— go 1 мало,
a /(g) == 0, и рассмотрим субгармоническую функцию
V (w) = v6 (х — И — wf' (I)),	idgC.
Если R —{w, |Re w| < 1, |Im w \ < b) и b + |x| + |g—■ g0| доста¬
точно мало, то x — И — zw/'(g)eK при w е R. Расстояние от
точки Im wf' (g)+g до гиперповерхности / = 0 равно ±1ш w | /'(g) |
при достаточно малом Ь. Поэтому расстояние от неё до 1Ео не
меньше, чем Im |/'(g) |, и при w^R из (9.6.16) получаем
Г е + (Im wf' И) + If - (Im wf' (g))2
F(ay)<'j	= e + g2 + 2 Im ay </'(g), I). Im w > 0,
l e + g2 + 2Im w{f'(l), g) + | Im a» |2| /'(g) |2,	1тда<0.
Опять при достаточно малом |x| + |g — g0|+6, а также при
шеЛ и Retp, близком к 1 или —1, из (9.6.17) получаем
V	(w) < - с/2 + |2 + 2 Im w </' (|), !>.
Если применить лемму 9.6.5 к выражению (V(w)—е — g2 —
— 2Ima»</'(g), g»/)/'(g)l2, рассматриваемому как функция от


426	9. Гиперфункции
1 ± w, то для некоторых со > 0 и г > 0, не зависящих от е,
имеем
V (иу) < — с0 + е -f g2 при | w | < г и | х \ + 1g — g01 < г, f(l)~ 0.
Взяв е = с0/2, приходим к неравенству
| Тки6 (x-tl- wf' (£)) | < С6 exp (l (- ф + g2)/2)
при f ay f < г и Ul + ll — go | <r,	f( |) = 0.
При условии достаточной малости |z + /go| оно означает, что
| Tku& (z) К С7 exp (Я (|о — с0/3)/2), откуда в силу теоремы 9.6.3
вытекает, что (0, |0)^ WFA(u&). Доказательство окончено.
Все рассуждения § 8.6, основанные на теореме Хольмгрена,
имеют очевидные аналоги, получаемые заменой характеристиче¬
ского множества на касательный конус носителя. В частности,
доказательство теоремы 8.6.8, повторенное без изменений, при¬
водит к такому утверждению:
Следствие 9.6.7. Пусть для открытых выпуклых Множеств
W\ a W2 <= П„(Х) \ {0} выполнены условия
(i)	Wt П WFA(u)x=®\
(ii)	всякая гиперплоскость с нормалью из 7\ (supp и)
П(—Тх, (supp и)), пересекающая W2, пересекает также и Wx-
Тогда W2 П WFA («), = 0.
*0
Следствие 9.6.8. Если (х0, g0)e jVe(supp и), то из соотношения
(x0,1)^WFa(u) вытекает, что (х0, 1 + ^о) е WFA (а) для лю¬
бого /eR.
Доказательство. Если вектор g пропорционален вектору' go, то
утверждение является следствием теоремы 8.5.6' (которая в свою
очередь вытекает из следствия 9.6.8 и того факта, что множе¬
ство WFa(u)x не может быть пустым). В противном случае, пред¬
полагая, что g + Ф WFa {и)х , выберем выпуклую открытую
окрестность Wx вектора g + £g0, для которой Wx П WFA(u)x — 0
и W'2=W'i + Rg0 не содержит 0. Так как Г^Дэирр и) f| (— 7Т„
(suppu)) содержится в гиперплоскости, ортогональной к g0, а
всякая гиперплоскость, имеющая нормаль, ортогональную к g„,
и пересекающая W2, пересекает также и Wто утверждение
вытекает из следствия 9.6.7.
Теорему 9.6.6 и следствие 9.6.8 можно рассматривать соот¬
ветственно как 0-мерный и (п—1)-мерный случаи следующей
теоремы.


9.6. Аналитический волновой фронт и носитель 427
Теорема 9.6.6'. Пусть и^В(Х), х0еХ, V — линейное подпро¬
странство в ТХо(Х). Через ТХо, v (supp и) обозначим замыкание об¬
раза ^„(suppu) в Tx0(X)/V. Тогда
<9.6.15)'	N (Г0 П (V' + Ш)) с д (W0 П (V" + Ш)) X Тх0. v (supp и),
где W0—WFa(u)Xi)U V" + Ш—произвольное аффинное подпро¬
странство в Тха(Х), параллельное ортогональному дополнению к
V, обозначенному через V'.Здесь Го Л (К' +{!}) рассматривается
как подмножество в F' + {g} (без 0 при ge V'), и, значит, нор¬
мали принадлежат двойственному к V' пространству TXi{X)/V-
Доказательство. Можно считать, что X = R", х0 = 0 и V" задает¬
ся соотношениями g" = (g*-H, ..., |л) = 0. Предположим, что
go Ф 0 и существует такая компактная окрестность К вектора g0,
что для некоторой функции /еС00^*-1) выполнены условия
Soи
(9.6.18)	1оФ1<=К,	I " = &'=>Е<£Г0,
где |' = (|2, •••> Ik)- Нужно доказать, что если (1, —df/d%') или
<— 1, df/dg') не принадлежит Тх„, v (supp и) при g' = g$, то g0 ф Г0.
Пусть для определенности
(9.6.19)	(— 1, дЦд1')фТХе. p(supp«),
Выберем М настолько большим, что
(9.6.20)	g едК,	h>f (£') + М1g"	Г0.
Последнее возможно, так как мы имеем здесь компактное под¬
множество в дК, уменьшающееся с ростом М до
(g€=d/C;	(Г), g" = с С Г0.
Пусть t — наименьшее число ^0, такое что
1<еек,	+ t +
Если g ЕК и =	+ t + M |g"-lol2, Tog^r0. Это выте¬
кает из (9.6.20) при g е дК. и из теоремы 9.6.6 при g <= К\дК,
так как
(— 1, df/dg', 2М (g" — I")) ф ТХа (supp и)
в силу (9.6.19). Поэтому ^ = 0 и g0^ Г0, что завершает доказа¬
тельство.
В заключение укажем одно приложение к вопросу о регуляр¬
ности решений граничных задач. Как и в § 9.5, границу будем
считать плоской. Пусть X — открытая окрестность точки 0 е
Х± = {х^Х, ± хп > 0}, Х0 — {х^Х', х„ = 0},


428	9. Гиперфункции
P(x,D)—дифференциальный оператор порядка т с аналитиче¬
скими в X коэффициентами и гиперплоскость Л"0 нехарактери¬
стична. Положим	.... Хп-х).
Теорема 9.6.9. Если гиперфункция и^В(Х+) удовлетворяет
уравнению P(x,D)u = 0 и
«. S3#rf,(0'«|I„-.>	/ = 0	m- 1,
то существует такое е > 0, что
(х, I) ф WFa (и) при 0 < хп < е, |	— х'0 | -f| ? — UI < е.
Отметим, что никаких условий на не накладывается.
Доказательство. В соответствии со следствием 9.5.4 можно так
продолжить и до гиперфункции и0^В(Х), равной 0 на А_, что
Р (х, D) и0= £ 0/0 D’n&o (хп) = f,
i <m
где все о,- являются линейными комбинациями граничных зна¬
чений производных £>*«, так что (х', £') ф WFA (vПоэтому
существует такое е0 > 0, что
(x,t)£WFA(f) при |х'-4|-НГ + 1о1<е и хе!
Если ei < е0 достаточно мало и М достаточно велико, то имеем
также
Рт{х>1)ФЪ прн \х'— x'0\ + \l'—	|| < е,,	|1„|>М
в силу нехарактеристичности гиперплоскости Х0. Итак, (х, £) ф
WFa(u0) для таких х, % по теореме 9.5.1. При х„ = 0 это справед¬
ливо при любых ввиду следствия 9.6.8. Так как WFA(uo)
замкнут, то найдется настолько малое е <С еь что
(x,t)&WFA(u0) при	+ IГ — So I < е, I хп | < ®» |1„|<Л4.
Это завершает доказательство, поскольку м0 = и в Х+.
Замечание. Аналог теоремы 9.6.9 с WF вместо WFA неверен
даже в случае оператора Р с постоянными коэффициентами.
Действительно, пример 8.3.4 позволяет указать для оператора
Р (D) = DiD2-{- £>з + Е>\ такое решение аоеС2 уравнения
P(D)uo = 0, что singsuppuo совпадает с осью хх. Тогда при
условии достаточно быстрого убывания коэффициентов а/ полу-
оо
чаем: и = ^а!иЛхи х2> хз> х4— l//)eC2(R4), и и D4h принадле¬
жат С°° (R3) при х4 = 0, a sing supp и = {(хи О, 0, х4); х4 = 0 или
1/x4eZ+}. Поскольку P(D)u — 0, мы имеем контрпример к
С°°-аналогу теоремы 9.6.9. (Очень общий вариант данного при¬
мера может быть получен из теоремы 11.3.1.)


Примечания 429
Примечания
Преобразование Фурье функции f на R является суммой гранич¬
ных значений аналитических в верхней и нижней полуплоско¬
стях функций F+ и F-, определяемых преобразованием Фурье —
Лапласа ограничений / на R_ и R+ соответственно (см. также
обсуждение после теоремы 7.1.5). Последние корректно опреде¬
лены, если, например, \f(x) | = 0(e8iJC|) для любого е > 0. Это
наблюдение было использовано Карлеманом (Carleman [2]) для
определения обобщенного преобразования Фурье. Однако, чтобы
граничные значения существовали в классическом смысле, на
рост f нужно наложить дополнительные ограничения (см. Beur-
ling [2,3]). Сказанное приводит к определению абстрактных
граничных значений путем введения пространства пар (F+,F-),
состоящих из функций F±, аналитических при ±lmz>0, по
модулю пар вида (F,—F), где функция F целая. Именно так
Сато (Sato [1]) впервые определил гиперфункции на R. Впо¬
следствии Сато (Sato [2]) распространил эту идею на R". Это
технически хлопотливо, поскольку инвариантная постановка
включает использование относительных когомологий порядка .п.
Мартино (Martineau [1]) отметил, что возможен довольно эле¬
ментарный подход, если начать вместо этого с понятия аналити¬
ческого функционала. При доказательстве ключевого утвержде¬
ния о существовании единственного носителя для функционала,
сосредоточенного на компактном подмножестве пространства R",
Мартино опирался лишь на элементарные факты, касающиеся
когомологии пучка ростков голоморфных функций. Следуя в це¬
лом Мартино в § 9.1 и 9.2, мы исключили даже обращение к ко¬
гомологиям благодаря тому простому соображению, что реше¬
ние задачи Дирихле дает изоморфизм между аналитическими
функционалами и некоторыми гармоническими функциями. Этот
изоморфизм легко исследуется методами, развитыми в предыду¬
щих главах. Преимущество состоит в изучении одного уравне¬
ния вместо переопределенной системы Коши — Римана в случае
нескольких комплексных переменных.
После основных определений в § 9.1 и 9.2 мы в § 9.3 изучили
WFa(u) для гиперфункций. Как уже сказано в примечаниях к
гл. 8, это понятие было впервые введено Сато (Sato [3]). Дока¬
зательства в § 8.4 и 8.5 выбирались так, чтобы с небольшими из¬
менениями они были применимы и к гиперфункциям. Решаю¬
щим техническим средством является теорёма 9.3.7, вторая часть
которой есть теорема об острие клина в форме Мартино (Маг-
lineau [2]).
Оставив на время гиперфункции, в § 9.4 мы изучили анали¬
тическую задачу Коши. После такого же, как и в предшествую¬
щей книге, доказательства локальной теоремы существования


430	9. Гиперфункции
приведены усовершенствования, касающиеся области существо¬
вания и взятые из работ Leray [2], Zerner [3] и отчасти Bony,
Schapira [1]. Этим было подготовлено приведенное в § 9.5 до¬
казательство Бони и Шапира (Bony, Schapira [1]) нехарактери¬
стической теоремы регулярности, принадлежащей Сато (Sato
[3]). Следуя работам Komatsu [2] и Schapira [1], мы также
определили для решений в гиперфункциях данные Коши на не¬
характеристической поверхности.
В § 9.6 дано определение WFA(u) по Бросу — Ягольнитцеру
в духе работы Sjostrand [1]. Доказательство теоремы 9.6.6, при¬
надлежащей Касиваре, также в основном следует работе Sjost-
rand [1]. По поводу приложений теоремы 9.6.9 см. дополни¬
тельно Schapira [3], Sjostrand [2]. Весьма обширный обзор тео¬
рии аналитической регулярности содержится в работах Sjost¬
rand [1,2].
Целью настоящей главы было дать лишь введение в теорию
гиперфункций, по возможности максимально приближенное к
теории распределений Шварца. Читатель, желающий глубже
изучить предмет, должен, конечно, обратиться к основополагаю¬
щей работе Sato, Kawai, Kashiwara [1]. В этом случае полез¬
ным также будет знакомство с введениями, данными в работах
Kashiwara [1] и Cerezo, Chazarain, Piriou [1].


Литература
Агранович М. С. [1] Об уравнениях в частных производных с постоянными
коэффициентами. — УМН, 1961, т. 16, № 2, с. 27—93.
Арнольд В. И. [1] О характеристическом классе, входящем в условия кванто¬
вания.— Функц. анализ и прил., 1967, т. 1, № 1, с. 1—14:
Аткинсон Ф. В. [1] Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормиро¬
ванных пространствах.Матем. сб., 1951, т. 28 (70), с. 3—14.
Бернштейн И. Н. [1] Модули над кольцом дифференциальных операторов. Ис¬
следование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффи¬
циентами.— Функц. анализ и прил., 1971, т. 5, № 2, с. 1—16.
Бернштейн И. Н., Гельфанд С. И. [1] Мероморфность функции Р1.— Функц.
анализ и прил., 1969, т. 3, № 1, с. 84—85.
Буслаев В. С., Матвеев В. Б. [1] Волновые операторы для уравнения Шрёдин-
гера с медленно убывающим потенциалом.—ЖЭТФ, 1970, т. 2, с. 266—274.
Векуа И. Н. [1] Systeme von Differentialgleichungen erster ordnung vom ellip-
tischen Typus und Randwertaufgaben mit einer Anwendung in der Theorie
der Schalen. — Berlin 1956. [Перевод статьи: Системы дифференциальных
уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с
применением к теории оболочек. — Матем. сб., 1952, т. 31, № 2, с. 217—
314.]
Вишик М. И. [1] Об общих краевых задачах для эллиптических дифферен¬
циальных уравнений. — Труды ММО, 1952, т. 1, с. 187—246.
Вишик М. И., Эскин Г. И. [1] Уравнения в свертках в ограниченной обла¬
сти,—УМН, 1965, т. 20, № 3, с. 89—152.
[2]	Уравнения в свертках в ограниченной области в пространствах с ве¬
совыми нормами. — Матем. сб., 1966, т. 69, № 1, с. 65—ПО.
[3]	Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их при¬
ложения.— УМН, 1967, т. 22, № 1, с. 15—76.
[4]	Уравнения в свертках переменного порядка.— Труды ММО, 1967, т. 16,
с.	25—50.
[5]	Нормально разрешимые задачи для эллиптических систем уравнений в
свертках. — Матем. сб., 1967, т. 74, № 3, с. 326—356.
Габриэлов А. М. [1] Об одной теореме Хёрмандера. — Функц. анализ и прил.,
1970, т. 4, № 2, с. 18—22.
Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. [1] Преобразование Фурье быстро растущих
функций и вопросы единственности решения задачи Коши. — УМН, 1953,
т.	8, № 6, с. 3—54.
[2]	Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над
ними. 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959. Вып. 2. Пространства основных и
обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958.
Горин Е. А. [1] Об асимптотических свойствах многочленов и алгебраических
функций от нескольких переменных. — УМН, 1961, т. 16, № 1, с. 91—118.
Грушин В. В. [1] Распространение гладкости решений дифференциальных
уравнений главного типа. —ДАН СССР, 1963, т. 148, № 6, с. 1241—1244.


432 Литература
[2]	Об одном классе гипоэллиптических операторов. — Матем. сб., 1970,
т. 83, № 3, с. 456—473.
Гуревнч Д. И. [1] Контрпримеры к проблеме Л. Шварца. — Функц. анализ и
прил., 1975, т. 9, № 2, с. 29—35.
Дейч В. Г., Коротаев Е. Л., Яфаев Д. Р. [1] Теория потенциального рассея¬
ния при учете пространственной анизотропии. — Записки научи, сем.
ЛОМИ, 1977, т. 73, с. 35—51.
Егоров Ю. В. [1] О канонических преобразованиях псевдодиффереициальиых
операторов. — УМН, 1969, т. 24, № 5, с. 235—236.
[2]	О субэллиптических и псевдодифференциальиых операторах. — ДАН
СССР, 1969, т. 188, № 1, с. 20—22.
[3]	О субэллиптических операторах. — УМН, 1975, т. 30, № 2, с. 57—114:
№ 3, с. 57—104.
Иврий В. Я- [1] Достаточные условия регулярной и вполне регулярной ги¬
перболичности. — Труды ММО, 1976, т. 33, с. 3—65.
[2]	Волновые фронты решений краевых задач для одного класса симмет¬
рических гиперболических систем. — Сиб. матем. ж., 1980, т. 21, № 4,
с. 62—71.	•
[3]	О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа —
Бельтрами на многообразиях с краем. — Функц. анализ и прил., 1980, т. 14,
№ 2. с. 25—34.
Иврий В. Я-, Петков В. [1] Необходимые условия корректности задачи Коши
для нестрого гиперболических уравнений. — УМН, 1974, т. 29, № 5,
с.	3—70.
Колмогоров А. Н. [1] Zufallige Bewegungen.— Ann. of Math. 35 (1934), 116—
117.
Левитан Б. M. [1] Об асимптотическом поведении спектральной функции
самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка. — ИАН
СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 325—352.
[2] Об асимптотическом поведении спектральной функции и. о разложении
по собственным функциям самосопряженного дифференциального уравне¬
ния второго порядка. II. — ИАН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, с. 33—58.
Лопатинский Я. Б. [1] Об одном способе приведения граничных задач для
системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным
интегральным уравнениям. — Укр. матем. ж., 1953, т. 5, с. 123—151.
Маслов В. П. [1] Теория возмущений и асимптотические методы. — М,: МГУ,
1965.
Михлин С. Г. [1] О мультипликаторах интегралов Фурье. — ДАН СССР, 1956,
т.	109, с. 701—703.
Олейник О. А. [1] On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 569—586.
Олейник О. А., Радкевнч E. В. [1] Уравнения второго порядка с неотрица¬
тельной характеристической формой. В сб.: Матем. анализ 1969 (Итоги
науки). — М.: ВИНИТИ, 1971, с. 7—20.
Паламодов В. П. [1] Линейные дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами. — М.: Наука, 1967.
Петровский И. Г. |Т] Ober das Cauchysche Problem fur Systeme von partiellen
Differentialgleichungen. — Матем. сб., 1937, т. 2(43), с. 815—870.
[2]	О проблеме Cauchy для системы линейных уравнений с частными про¬
изводными в области неаналитическнх функций. — Бюлл. Моек, ун-та (А),
1938, № 7, с. 1—72.
[3]	Sur l’analyticite des solutions des systemes d'equations differentielles. —
Матем. сб., 1937, т. 5 (47), с. 3—70.
[4]	On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equations. —
Матем. сб., 1945, т. 17 (59), с. 289—370.
[5]	Некоторые замечания к моим работам о задаче Коши. — Матем. сб.,
1956, т. 39 (81), с. 267—272.


Литература 433
Повзнер А. Я. [1] О разложении произвольных функций по собственным ха¬
рактеристическим функциям оператора —Д и + си. — Матем. сб., 1953,
т. 32 (74), с. 109—156.
Радкевич Е. В. [1] Априорные оценки и гипоэллиптические операторы с крат¬
ными характеристиками. — ДАН СССР, 1969, т. 187, с. 274—277.
Соболев С. Л. [1] Methode nouvelle a resoudre 1е ргоЫёгпе de Cauchy pour les
equations lineaires hyperboliques normales. — Матем. сб., 1936, т. 1 (43),
с.	39—72.
[2]	Об одной теореме функционального анализа. — Матем. сб., 1938,
т.	4 (46), с. 471—498.
Федосов Б. В. [1] Непосредственное доказательство формулы для индекса
эллиптической системы в евклидовом пространстве. — Функц. анализ и
прил., 1970, т. 4, № 4, с. 83—84.
Agmon S. [I] The coerciveness problem for integro-differential forms. — J. Ana¬
lyse Math. 6 (1958), 183—223.
[2]	Spectral properties of Schrodinger operators. — Actes Congr. Int. Math.
Nice 2 (1970), 679—683.
[3]	Spectral properties of Schrodinger operators and scattering sheory.—
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4) 2, (1975), 151—218.
[4]	Unicite et convexite dans les problemes differentiels. — Sem. Math. Sup.
No 13, Les Presses de l’Univ. de Montreal, 1966.
[5]	Lectures on elliptic boundary value problems. — Van Nostrand Math.
Studies 2, Princeton, N. J., 1965.
[6]	Problemes mixtes pour les equations hyperboliques d’ordre superieur.—
Coll. Int. CNRS 117, Paris 1962, 13—18.
[7]	Some new results in spectral and scattering theory of differential ope¬
rators on R". — S£m. Goulaouic-Schwartz 1978—1979, Exp. II, 1—11.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. [1] Estimates near the boundary for solu¬
tions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary
conditions. I. — Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623—727; II. — Comm.
Pure Appl. Math. 17 (1964), 35—92. [Имеется перевод части I: Агмои С.,
Дуглис А., Нирёнберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вбли¬
зи границы. — М.: ИЛ, 1962.)
Agmon S., Hormander L. [1] Asymptotic properties of solutions of differential
equations with simple characteristics. — J. Analyse Math. 30 (1976), 1—38.
Ahlfors L., Heins M. [1] Questions of regularity connected with the Phrag-
тёп-Lindelof principle. — Ann. of Math. 50 (1949), 341—346.
Airy G. В. [1] On the intensity of light in a neighborhood of a caustic.—
Trans. Cambr. Phil. Soc. 6 (1838), 379—402.
Alinhac S. [1] Non-unicite du probleme de Cauchy. — Ann. of Math. 117 (1983),
77—108.
[2]	Non-unicite pour des operateurs differentiels a caracteristiques complexes
simples. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 13 (1980), 385—393.
[3]	Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Contemporary
Mathematics (to appear).
Alinhac S., Baouendi M. S. [1] Uniqueness for the characteristic Cauchy prob¬
lem and strong unique continuation for higher order partial differential
inequalities.—Amer. J. Math. 102 (1980), 179—217.
Alinhac S., Zuily С. [1] Unicite et non-unicite du probleme de Cauchy pour des
opGrateurs hyperboliques a caracteristiques doubles. — Comm. Partial Diffe¬
rential Equations 6 (1981), 799—828.
Alsholm P. К- [1] Wave operators for long range scattering. — Mimeographed
report, Danmarks Tekniske Hojskole 1975.
Alsholm P. K., Kato T. [1] Scattering with long range potentials. In: Partial
Diff. Eq. — Proc. of Symp. in Pure Math. 23, pp. 393—399. Amer. Math. Soc.
Providence, R. I., 1973.
28 Зак. 821


434 Литература
Amrein W. О., Martin Ph. A., Misra P. [1] On the asymptotic condition of
scattering theory. — Helv. Phys. Acta 43 (1970), 313—344.
Andersson K. G. [1] Propagation of analyticity of solutions of partial differen¬
tial equations with constant coefficients. — Ark. Mat. 8 (1971), 277—302.
Andersson K. G-, Melrose R. В. [1] The propagation of singularities along gli¬
ding rays.— Invent. Math. 41 (1977), 197—232.
Aronszajn N. [1] Boundary values of functions with a finite Dirichlet inte¬
gral. — Conference on Partial Differential Equations 1954, University of
Kansas, pp. 77—94.
[2] A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differen¬
tial equations or inequalities of second order. — J. Math. Pures Appl. 36
(1957), 235—249.
Aronszajn N., Krzywicki A., Szarski J. [1] A unique continuation theorem for
exterior differential forms on Riemannian manifolds. — Ark. Mat. 4 (1962),
417—453.
Asgeirsson L. [1]- Ober eine Mittelwerteigenschaft von Losungen homogener
linearer partieller Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffi-
zientgn. — Math. Ann. 113 (1937), 321—346.
Atiyah M. F. [1] Resolution of singularities and division of distributions. —
Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 145—150.
Atiyah M. F., Bott R. [1] The index theorem for manifolds with boundary.—
Proc. Symp. on Differential Analysis, Oxford, 1964, pp. 175—186.
[2] A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I. — Ann. of
Math. 86 (1967), 374—407.
Atiyah M. F., Bott R., Garding L. [1] Lacunas for hyperbolic differential opera¬
tors with constant coefficients. I. — Acta Math. 124 (1970), 109—189. [Име¬
ется перевод: Атья M., Ботт Р., Гординг Л. Лакуны для гиперболических
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. I. ■— УМН,
1971, т. 26, № 2, с. 25—100.]
[2] Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients.
II. — Acta Math. 131 (1973), 145—206. [Имеется перевод: Атья M., Ботт R.,
Гординг Л. Лакуны для гиперболических дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами. II.—УМН, 1984, т. 39, № 3, с. 171—224.]
Atiyah М. F., Bott R., Patodi V. К. [1] On the heat equation and the index
theorem. — Invent. Math. 19 (1973), 279—330. [Имеется перевод: Атья M.,
Ботт Р., Патоди В. Уравнение теплопроводности и теорема об индексе. —
Математика, 1973, т. 17, № 6, с. 3—48.]
Atiyah М. F., Singer I. (М [1] The index of elliptic operators on'compact ma¬
nifolds.— Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 422—433. [Имеется перевод:
Атья M., Зингер И. Индекс эллиптических операторов на компактных мно¬
гообразиях. — Математика, 1966, т. 10, № 3, с. 29—38.]
[2]	The index of elliptic operators. I, III. — Ann. of Math. 87 (1968), 484—
530, 546—604. [Имеется перевод: Атья M., Зингер И. Индекс эллиптиче¬
ских операторов. I, III, — УМН, 1968, т. 23, № 5, с. 99—142; 1969, т. 24,
N° 1, с. 127—182.]
Avakumovic V. G. [1] Ober die Eigenfunktionen auf geschlossenen Riemann-
schen Mannigfaltigkeiten.— Math. Z. 65 (1956), 327—344.
Bang T. [1] Om quasi-analytiske funktioner. Thesis, Copenhagen 1946.
Baouendi M. S., Goulaouic Ch. [1] Nonanalytic-hypoellipticity for some dege¬
nerate elliptic operators. — Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 483—486.
Beals R. [1] A general calculus of pseudo-differential operators. — Duke Math.
J. 42 (1975), 1—42.
Beals R., Fefferman С. [1] On local solvability of linear partial differential
equations. — Ann. of Math. 97 (1973), 482—498.
[2] Spatially inhomogeneous pseudo-differential operators I. — Comm. Pure
Appl. Math. 27 (1974), 1—24.
Beckner W. [1] Inequalities in Fourier analysis. — Ann of Math. 102 (1975),
159—182.


Литература 435
Berenstein С. A., Dostal М. А. [1] On convolution equations I. In: L’anal
harm dans le domain complexe. — Springer Lecture Notes in Math. 336
(1973), 79—94. .
Bernstein S. [1] Sur la nature analytique des solutions des equations
aux derivees partielles du second ordre. — Math. Ann. 59	(1904),
20—76.
Beurling A. [1] Quasi-analyticity and general distributions. Lectures 4 and 5,
Amer. Math. Soc. Summer Inst. Stanfoi^d 1961 (Mimeographed).
[2]	Sur les spectres des fonctions. — Anal. Harm. Nancy 1947, Coll. Int. XV,
pp. 9—29.
[3]	Analytic continuation across a linear boundary —Acta Math. 128 (1972),
153—182.
Bjorck G. [1] Linear partial differential operators and generalized distribu¬
tions. — Ark. Mat. 6 (1966), 351—407.
Bjork J. E. [1] Rings of differential operators. — North-Holland Publ. Co. Math.
Library series 21 (1979).
Bochner S. [1] Vorlesungen fiber Fouriersche Integrate. — Leipzig 1932. [Име¬
ется перевод: Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. — М.: Физматгиз,
•	1962.]
Boman J. [1] On the intersection of classes of infinitely differentiable func¬
tions. — Ark. Mat. 5 (1963), 301—309.
Bonnesen T., Fenchel W. [1] Theorie der konvexen Korper. — Erg. der Math.
und ihrer Grenzgeb. 3, Springer-Verlag, 1934.
Bony J. M. [1] Une extension du theoreme de Holmgren sur l’unicite du prob-
leme de Cauchy. — C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), 1103—1106.
[2]	Extensions du theoreme de Holmgren. — Sem. Goulaouic — Schwartz
1975—1976, Expose no. XVII.
[3]	Equivalence des diverses notions de spectre singulier analytique. — Sem.
Goulaoic-Schwartz 1976—1977, Expose no. III.
Bony J. M., Schapira P. [1] Existence et prolongement des solutions holomor-
phes des equations aux derivees partielles.— Invent. Math. 17 (1972), 95—
105. [Имеется перевод: Бони Ж.-М., Шапира П. Существование и про¬
должение голоморфных решений уравнений с частными производными. —
Математика, 1973, т. 17, № 1, с. 162—171.]
Borel Е. [1] Sur quelques points de la theorie des fonctions. — Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. 12 (3) (1895), 9—55.
Boutet de Monvel L. [11 Comportement d’un operateur pseudo-differentiel sur
une variete a bord. — J. Analyse Math. 17 (1966), 241—304.
[2]	Boundary problems for pseudo-differential operators. — Acta Math. 126
(1971), 11—51.
[3]	On the index of Toeplitz operators of several complex variables. — In¬
vent. Math. 50 (1979), 249—272.
[4]	Hypoelliptic operators with double characteristics and related pseudo¬
differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 585—639.
Boutet de Monvel L., Guillemin V. [1] The spectral theory of Toeplitz opera¬
tors.— Ann. of Math. Studies 99 (1981).
Boutet de Monvel L., Grigis A., Helffer В. [1] Parametrixes d’operateurs
pseudo-differentiels к caracteristiques multiples. — Asterisque 34—35 (1976),
93—121.
Brezis H. [1] On a characterization of flow-invariant sets. — Comm. Pure Appl.
Math. 23 (1970), 261—263.
Brodda В. [1] On uniqueness theorems for differential equations with constant
coefficients. — Math. Scand. 9 (1961), 55—68.
Browder F. [1] Estimates and existence theorems for elliptic boundary value
problems. — Proc. Nat. Acad. Sci. 45 (1959), 365—372.
Calderon A. P. [1] Uniqueness in the Cauchy problem for partial differential
equations. — Amer. J. Math. 80 (1958), 16—36.
28*


436 Литература
[2]	Existence and uniqueness theorems for systems of partial differential
equations. Fluid Dynamics and Applied Mathematics (Proc. Symp. Univ. of
Maryland 1961). — New York 1962, pp. 147—195.
[3]	Boundary value problems for elliptic eqautions. Outlines of the joint
Soviet-American Symposium on partial differential equations, Novosibirsk
1963, pp. 303—304.
Calderon A. P., Vaillancourt R. [1] On the boundedness of pseudo-differential
operators. — J. Math. Soc. Japan 23 (1972), 374—378.
[2] A class of bounded pseudo-differential operators. — Proc. Nat. Acad. Sci.
USA 69 (1972), 1185—1187.
Calderon A. P., Zygmund A. [1] On the existence of certain singular inte¬
grals.— Acta Math. 88 (1952), 85—139.
Caratheodory С. [1] Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen
Erster Ordnung. — Berlin: Teubner, 1935.
Carleman T. [1] Sur un probleme d’unicite pour les systemes d’equations aux
derivees partielles a deux variables independentes. — Ark. Mat. Astr. Fys.
26B No 17 (1939), 1—9.
[2]	L’integrale de Fourier et les questions qui s’y rattachent. — Publ. Sci.
Inst. Mittag-Leffler, Uppsala 1944.
[3]	Proprietes asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes
vibrantes. — C. R. Congr. des Math. Scand. Stockholm 1934 (Lund 1935),
pp. 34—44.
Catlin D. [1] Necessary conditions for subellipticity and hypoellipticity for thed
Neumann problem on pseudoconvex domains. In: Recent developments in
several complex variables. — Ann. of Math. Studies 100 (1981), 93—100.
Cauchy A. [1] Mfemoire sur l’integration des equations lineaires. — C. R. Acad.
Sci. Paris 8 (1839). In: Euvres IV, pp. 369—426. — Paris: Gauthier-Villars,
1884.
Cerezo A., Chazarain J., Piriou A. [1] Introduction aux hyperfonctions. — Sprin¬
ger Lecture Notes in Math. 449 (1975), 1—53.
Chaillou J. [1] Hyperbolic differential polynomials and their singular pertur¬
bations.— D. Reidel Publ. Co. Dordrecht, Boston, London, 4979.
Chazarain J. [1] Construction de la parametrix du probleme mixte hyperbolique
pour l’equation des ondes. — C. R. Acad. Sci. Paris 276 (1973), 1213—1215.
[2] Formules de Poisson pour les varietes riemanniennes. — Invent. Math.
24 (1974), 65—82.
Chazarain J., Piriou A. fl] Introduction a la theorie des equations aux derivees
partielles lineaires. — Gauthier-Villars, 1981.
Chester C., Friedman B., Ursell F. [1] An extension of the method of steepest
descent. — Proc. Cambr. Phil. Soc. 53 (1957), 599—611.
Cohen P. [1] The non-uniqueness of the Cauchy problem. — O. N. R. Techn.
Report 93, Stanford 1960.
[2]	A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem. — Amer. Math. Monthly
75 (1968), 26—31.
[3]	A simple proof of Tarski’s theorem on elementary algebra. Mimeo¬
graphed manuscript. — Stanford University 1967.
Colin de Verdiere Y. [1] Sur le spectre des operateurs elliptiques a bicaracteri-
stiques toutes periodiques. — Comment. Math. Helv. 54 (1979), 508—522.
Cook J. [1] Convergence to the Moller wave matrix. — J. Mathematical Physics
36 (1957), 82—87.
Cordes H. О. [1] Ober die eindeutige Bestimmheit der Losungen elliptischer
Differentialgleichungen durch Anfangsvorgaben. — Nachr., Akad. Wiss. Got¬
tingen Math.-Phys. Kl. Ila, No. 11 (1956), 239—258.
Cotlar M. [1] A combinatorial inequality and its application to L2 spaces.—
Rev. Math. Cuyana 1 (1955), 41—55.
Courant R., Hilbert D. [1] Methoden der Mathematischen Physik II. — Berlin
1937. [Имеется перевод: Курант P., Гильберт Д. Методы математической
физики. Т. 2, —М.: ГТТИ, 1951.]


Литература 437
Courant R., Lax P. D. [1] The propagation of discontinuities in wave motion.—
Proc. Nat. Acad. Sci. 42 (1956), 872—876.
De Giorgi E. [1] Un esempio di non-unicita della soluzione del problema di
Cauchy relativo ad una equazione differenziale lineare a derivate parziali ti
tipo parabolico. — Rend. Mat. 14 (1955), 382—387.
[2] Solutions analytiques des equations aux ddrivees partielles constants,—
Sem. Goulaouic-Schwartz 1971—1972, Expose 29.
Dencker N. [1] On the propagation of singularities for pseudo-differential ope¬
rators of principal type. — Ark. Mat. 20 (1982), 23—60.
[2] The Weyl calculus with locally temperate metrics and weights. — to ap¬
pear.
Dieudonnfe J. [1] Sur les fonctions continus numeriques definies dans un pro-
duit de deux espaces compacts. — C. R. Acad. Sci. Paris 205 (1937), 593—
595.
Dleudonnfe J., Schwartz L. fl] La dualite dans les espaces (&~) et (S?!F).—
Ann Inst. Fourier (Grenoble), 1 (1949), 61—101. [Имеется перевод: Дьё-
донне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (&~) и [S’#").—
Математика, 1958, т. 2, № 2, с. 77—117.]
Dollard J. D. [1] Asymptotic convergence and the Coulomb interaction. — J.
Math. Phys. 5 (1964), 729—738.
[2] Quantum mechanical scattering theory for short-range and Coulomb
interactions. — Rocky Mountain J. Math. 1 (1971), 5—88.
Douglis A., Nirenberg L. [1] Interior estimates for elliptic systems of partial
differential equations.-—Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 503—538.
Duistermaat J. J. |T] Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding
of singularities. — Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 207—281.
Duistermaat J. J., Guillemin V. W. [1] The spectrum of positive elliptic opera¬
tors and periodic bicharacteristics. — Invent. Math. 29 (1975), 39—79.
Duistermaat J. J., Hormander L. [1] Fourier integral operators II. — Acta Math.
128 (1972), 183—269.
Duistermaat J. J., Sjostrand J. [1] A global construction for pseudo-differential
operators with non-involutive characteristics. — Invent. Math. 20 (1973),
209—225.
DuPlessis N. [1] Some theorems about the Riesz fractional integral. — Trans.
Amer. Math. Soc. 80 (1955), 124—134.
Ehrenpreis L. [1] Solutions of some problems of division I. — Amer. J. Math.
76 (1954), 883—903.
[2]	Solutions of some problems of division III. — Amer. J. Math. 78 (1956),
685—715.
[3]	Solutions of some problems of division IV.— Amer. J. Math. 82 (1960),
522—588.
[4]	On the theory of kernels of Schwartz. — Proc. Amer. Math.' Soc. 7
(1956). 713—718
[5]	A fundamental principle for systems of linear differential equations with
constant coefficients, and some of its applications. — Proc. Intern. Symp. on
Linear Spaces, Jerusalem 1961, pp. 161—174.
[6]	Fourier analysis in several complex variables. — Wiley-Interscience
Publ., New York, London, Sydney, Toronto 1970.
[7]	Analytically uniform spaces and some applications. — Trans. Amer. Math.
Soc. 101 (1961), 52—74.
[8]	Solutions of some problems of division V. Hyperbolic operators. —
Amer. J. Math. 84 (1962), 324—348.
Enqvist A. [1] On fundamental solutions supported by a convex cone.— Ark.
Mat. 12 (1974), 1—40.
Enss V. [1] Asymptotic completeness for quantum-mechanical potential scatte¬
ring. I. Short range potentials. — Comm. Math. Phys. 61 (1978), 285—291.
[2] Geometric methods in spectral and scattering theory of Schrodinger


438 Литература
operators. In: Rigorous Atomic and Molecular Physics, G. Velo and
A. Wightman ed. — Plenum, New York, 1980—1981 (Proc. Erice School of
Mathematical Physics 1980).
ESkin G. I. (Эскин Г. И.) [1] Краевые задачи для эллиптических псевдо-
днфференцнальиых уравнений. — М.: Наука, 1973.
[2]	Parametrix and propagation of singularities for the interior mixed hy¬
perbolic problem. — J. Analyse Math. 32 (1977), 17—62.
[3]	General initial-boundary problems for second order hyperbolic equations.
In: Sing, in Boundary Value Problems. — D. Reidel Publ. Co., Dordrecht,
Boston, London 1981, pp. 19—54.
[4]	Initial boundary value problem for second order hyperbolic equations
with general boundary conditions I. — J. Analyse Math. 40 (1981), 43—89.
Fefferman C. L. [1] The uncertainty principle. — Bull. Amer. Math. Soc. 9
(1983), 129—206.
Fefferman C., Phong D. H. [1] On positivity of pseudo-differential operators.—
Proc. Nat. Acad. Sci. 75 (1978), 4673—4674.
[2] The uncertainty principle and sharp GSrding inequalities. — Comm. Pure
Appl. Math. 34 (1981), 285—331.
Fredholm I. [1] Sur l’integrale fondamentale d’une equation diffarentielle ellip-
tique a coefficients constants. — Rend. Circ. Mat. Palermo 25 (1908), 346—
351.
Friedlander F. G. [1] The wave front set of the solution of a simple initial¬
boundary value' problem with glancing rays. — Math. Proc. Cambridge Phi¬
los. Soc. 79 (1976), 145—159.
Friedlander F. G., Melrose R. В. [1] The wave front set of the solution of
a simple initial-boundary value problem with glancing rays. II. — Math.
Proc. Cambridge Philos. Soc. 81 (1977), 97—120.
Friedrichs К. [1] On differential operators in Hilbert spaces. — Amer. J. Math.
61 (1939), 523—544.
[2]	The identity of weak and strong extensions of differential operators. —
Trans. Amer. Math. Soc. 55 (1944), 132—151.
[3]	On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential
equations. — Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 299—326.
[4]	On the perturbation of continuous spectra. — Comm. Pure Appl. Math. 1
(1948), 361—406.
Friedrichs K., Lewy H. [1] Ober die Eindeutigkeit und das Abhangigkeitsgebiet
der Losungen beim Anfangswertproblem linearer hyperbolischer Differential-
gleichungen. — Math. Ann. 98 (1928), 192—204.
Froman N., Froman P. О. [1] JWKB approximation. Contributions to the
theory. — North-Holland Publ. Co. Amsterdam 1965.	t
Fuglede В. [1] A priori inequalities connected with systems of partial differen¬
tial equations. — Acta Math. 105 (1961), 177—195.
Carding L. [1] Linear hyperbolic partial differential equations with constant
coefficients. — Acta Math. 85 (1951), 1—62.
[2]	Dirichlet’s problem for linear elliptic partial differential equations. —
Math. Scand. 1 (1953), 55—72.
[3]	Solution directe du probleme de Cauchy pour les equations hyperboli-
ques. — Coll. Int. CNRS, Nancy 1956, pp. 71—90. [Имеется перевод: Гор-
динг Л. Прямое решение задачи Коши для гиперболических уравнений. —
Математика, 1958, т. 2, № 1, с. 81—96.]
[4]	Transformation de Fourier des distributions homogenes. — Bull. Soc.
Math. France 89 (1961), 381—428.
[5]	Local hyperbolicitv. — Israel J. Math. 13 (1972), 65—81.
[6]	Le probleme de la derivee oblique pour l’equation des ondes. — C. R.
Acad. Sci. Paris 285 (1977), 773—775. Rectification C. R. Acad. Sci. Paris
286 (1978), 1199.
[7]	On the asymptotic distribution of the eigenvalues and eigenfunctions
of elliptic differential operators.—Math. Scand. 1 (1953), 237—255.


Литература 439
Garding L., Lions J. L. [11 Functional analysis. — Nuovo Cimenio N. 1 del
Suppl. al. Vol. (10) 14 (1959), 9—66.
Garding L., Malgrange В. [1] Opferateurs differentials partiellement hypoellip-
tiques et partieliement elliptiques.— Math. Scand. 9 (1961), 5—21.
Gask H. [1) A proof of Schwartz’ kernel theorem. — Math. Scand. 8 (1960),
327—332.
Gevrey M. [1] Demonstration du theoreme de Picard — Bernstein par la me-
thode des contours successifs; prolongement analytique. — Bull. Sci. Math.
50 (1936), 113—128.
Glaeser G. [1] Etude de quelques algebres Tayloriennes. — J. Analyse Math. 6
(1958), 1—124.
Godin P. [1] Propagation des singularites pour les opfcrateurs pseudo-diff£ren-
tiels de type principal a partie principal analytique v^rifiant la condition (P),
en dimension 2. — C. R. Acad. Sci. Paris 284 (1977), 1137—1138.
Grubb G. [1] Boundary problems for systems of partial differential operators
of mixed order. — J. Functional Analysis 26 (1977), 131—165.
[2]	Problemes aux limites pseudo-differentiels dependant d’un parametre. —
C.' R. Acad. Sci. Paris 292 (1981), 581—583.
Gudmundsdottir G. [1] Global properties of differential operators of constant
strength. — Ark. Mat. 15 (1977), 169—198.
Guillemin V. [1] The Radon transform on Zoll surfaces. — Adv. in Math. 22
(1976), 85—119.
[21 Some classical theorems in spectral theory revisited. Sem. on sing, of
sol. of diff. eq. — Princeton University Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 219—
259.
[3]	Some spectral results for the Laplace operator with potential on the
«-sphere. — Adv. in Math. 27 (1978), 273—286.
Guillemin V., Schaeffer D. [1] Remarks on a paper of D. Ludwig. — Bull.
Amer. Math. Soc. 79 (1973), 382—385.
Guillemin V., Sternberg S. [l] Geometrical asymptotics. — Amer. Math. Soc.
Surveys 14, Providence, R. I. 1977. [Имеется перевод: Гийемнн В., Стерн-
берг С. Геометрические асимптотики. — М.: Мир, 1980.J
Hack М. N. [1] On convergence to the Moller wave operators. — Nuovo Cimen-
to (10) 13 (1959), 231—236.
Hadamard J. [1] Le probleme de Cauchy et les equations aux derivees partielles
lin^aires hyperboliques. — Paris 1932.
FJaefliger A. [l] Varietes feuilletees. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 16 (1962),
367—397.
Hanges N. [1] Propagation of singularities for a class of .operators with double
characteristics. Sem. on sing, of sol. of linear partial diff. eq. — Princeton
Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 113—126.
Hardy G. H., Littlewood J. E. [1] Some properties of fractional integrals.
(I)	Math. Z. 27 (1928), 565—606; (II) Math. Z. 34 (1931—32), 403—439.
Hausdorff F. [1] Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes fiber Fourierrei-
hen.-Math. Z. 16 (1923), 163—169.
Hayman W. K., Kennedy P. B. |T] Subharmonic functions I. — Academic Press,
London, New York, San Francisco 1976. [Имеется перевод: Хейман У.,
Кеннеди П. Субгармонические функции. — М.: Мнр, 1980.]
Hedberg L. I. [1] On certain convolution inequalities. — Proc. Amer. Math. Soc.
36 (1972), 505—510.
Heinz E. [1] Ober die Eindeutigkeit beim Cauchyschen Anfangswertproblem
einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung. — Nachr. . Akad.
Wiss. Gottingen Math.-Phys. Kl. Ila No. 1 (1955), 1 — 12.
Helffer В. [1] Addition de variables et applications & la regularite. — Ann.
Inst. Fourier (Grenoble) 28:2 (1978), 221—231.
Helffer B., Nourrigat J. [1] Caracterisation des operaterus hypoelliptiques ho¬
mogenes invariants a gauche sur un groupe de Lie nilpotent gradue.—
Comm. Partial Differential Equations 4:8 (1979), 899—958.


440 Литература
Herglotz G. [1] Ober die Integration linearer partieller Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten I—III.— Berichte Sachs. Akad. d. Wiss. 78
(1926), 93—126, 287—318; 80 (1928), 69—114.
Hersh R. [1] Boundary conditions for equations of evolution. — Arch. Rational
Mech. Anal. 16 (1964), 242—264.
[2]	On surface waves with finite and infinite speed of propagation. — Arch.
Rational Mech. Anal. 19 (1965), 308—316.
Hirzebruch F. [1] Neue Topologische Methoden in der algebraischen Geomet-
rie. — Springer-Verlag, Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1956. [Имеется пере¬
вод (англ. изд. 1966 г.); Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраи¬
ческой геометрии. — М.: Мир, 1973.]
Hlawka Е. [1] Uber Integrate auf convexen Korpern. I. — Monatsh. Math. 54
(1950), 1—36.
Holmgren E. [1] Ober Systeme von linearen partiellen Differentialgleichun¬
gen.— Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akad. Forh. 58 (1901), 91—103.
[2] Sur l’extension de la methode d’integration de Riemann. — Ark. Mat.
Astr. Fys. 1, No 22 (1904), 317—326.
Hormander L. [1] On the theory of general partial differential operators.—
Acta Math. 94 (1955), 161—248. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. К тео¬
рии общих диифференцнальных операторов в частных'производных. — М.:
ИЛ, 1959.]
[2]	Local and global properties of fundamental solutions.—Math. Scand. 5
(1957), 27—39.
[3]	On the regularity of the solutions of boundary problems. — Acta Math.
99 (1958), 225—264. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О регулярности ре-—
шений граничных задач. — Математика, 1960, т. 4, № 4, с. 37—73.]
[4]	On interior regularity of the solutions of partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 11 (1958), 197—218.
[5]	On the division of distributions by polynomials.—Ark. Mat. 3 (1958),
555—568. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О делении обобщенных функ¬
ций на полиномы. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 117—130.]
[6]	Differentiability properties of solutions of systems of differential equa¬
tions.—Ark. Mat. 3 (1958), 527—535.
[7]	Definitions of maximal differential operators. — Ark. Mat. 3 (1958),
501—504.
[8]	On the uniqueness of the Cauchy problem I, II. — Math. Scand. 6 (1958),
213—225; 7 (1959), 177—190.
[9]	Null solutions of partial differential equations. — Arch. Rational Mech.
Anal. 4 (1960), 255—261.
[10]	Differential operators of principal type. — Math. Ann. 140 (1960), 124—
146. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные операторы глав¬
ного типа. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 89—114.]
[11]	Differential equations without solutions. — Math. Ann. 140 (1960),
169—173. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Дифференциальные уравнения
без решений. — Математика, 1961, т. 5, № 5, с. 115—120.]
[12]	Hypoelliptic differential operators. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 11
(1961), 477—492. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные операторы. — Математика, 1963, т. 7, № 1, с. 66—78.]
[13]	Estimates for translation invariant operators in IS spaces. — Acta Math.
104 (1960), 93—140, [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Оценки для опера¬
торов, инвариантных относительно сдвига. — М.: ИЛ, 1962.]
[14]	On the range of convolution operators.—Ann. of Math. 76 (1962),
148—170. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об области значений диффе¬
ренциальных операторов и операторов свертки. — Математика, 1962, т. 6,
№ 3, с. 37—66.]
[15]	Supports and singular supports of convolutions. — Acta Math. 110
(1963), 279—302.


Литература 441
[16]	Pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965),
501—517. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные опе¬
раторы. В сб.: Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967,
с. 63—87.]
[17]	Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems.—
Ann. of Math. 83 (1966), 129—209. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Псев¬
додифференциальные операторы и неэглиптические краевые задачи. В том
же сб., с. 166—296.]
[18]	Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. — Amer. math.
Soc. Symp. on Singular Integrals, 1966, pp. 138—183. [Имеется перевод:
Хёрмандер Л. Псевдодифференциальные операторы и гипоэллиптические
уравнения. В том же сб., с. 297—367.]
[19]	An introduction to complex analysis in several variables.— D. van Nos¬
trand Publ. Co., Princeton, N. J. 1966. «Имеется перевод: Хёрмандер Л.
Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.:
Мир, 1968.]
[20]	Hypoelliptic second order differential equations. — Acta Math. 119
(1967), 147—171. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Гипоэллиптические
дифференциальные уравнения второго порядка. — Математика, 1968, т. 12,
№ 2, с. 88—109.]
[21]	On the characteristic Cauchy problem. — Ann. of Math. 88 (1968),
341—370. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. О характеристической задаче
Коши. — Математика, 1969, т. 13, № 1, с. 83—ПО.]
[22]	The spectral function of an elliptic operator. — Acta Math. 121 (1968),
193—218. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Спектральная функция эллип¬
тического оператора. — Математика, 1969, т. 13, № 6, с. 114—137.]
[23]	Convolution equations in convex domains. — Invent. Math. 4 (1968),
306—317.
[24]	On the singularities of solutions of partial differential equations. —
Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 329—358. [Имеется перевод: Хёрман¬
дер Л. Об особенностях решений дифференциальных уравнений в част¬
ных производных. — Математика, 1972, т. 16, № 6, с. 33—59.]
[25]	Linear differential operators.—Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 1,
pp. 121—133.
[26a] The calculus of Fourier integral operators. — Prospects in math. Ann.
of Math. Studies 70 (1971), 33—57.
[26b] Fourier integral operators I. — Acta Math. 127 (1971), 79—183. [Име¬
ется перевод: Хёрмандер Л. Интегральные операторы Фурье. I. — Матема¬
тика, 1972, т. 16, № 1, с. 17—61.]
[27]	Uniqueness theorems and wave front sets for solutions of linear diffe-
rentialequations with analytic coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 24
(1971), 671—704. [Имеется перевод: Хёрмандер Л. Теоремы единственно¬
сти и волновые фронты для решений линейных дифференциальных урав¬
нений с аналитическими коэффициентами. — Математика, 1973, т. 17, №6,
с. 82—110.]
[28]	A remark on Holmgren’s uniqueness theorem. — J. Diff Geom. 6 (1971),
129—134.
[29]	On the existence and the regularity of solutions of linear pseudo-dif¬
ferential equations. — Ens. Math. 17 (1971), 99—163. [Имеется перевод:
Хёрмандер Л. О существовании и регулярности решений линейных псевдо-
дифференциальных уравнений. — УМН, 1973, т. 28, № 6, с. 109—164.]
[30]	On the singularities of solutions of partial differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 13 (1972), 82—105.
[31]	On the existence of real analytic solutions of partial differential equa¬
tions with constant coefficients. — Invent. Math. 21 (1973), 151—182.
[32] Lower bounds at infinity for solutions of differential equations with
constant coefficients. — Israel J. Math. 16 (1973)’, 103—116.


442 Литература
[33]	Non-uniqueness for the Cauchy problem. — Springer Lecture Notes in
Math. 459 (1975), 36—72.
[34]	The existence of wave operators in scattering theory. — Math. Z. 146
(1976), 69—91.
[35]	A class of hypoeliiptic pseudo-differential operators with double cha-.
racteristics. — Math. Ann. 217 (1975), 165—188.
[36]	The Cauchy problem for differential equations with double characte¬
ristics.— J. Analyse Math. 32 (1977), 118—196.
[37]	Propagation of singularities and semiglobal existence theorems for
(pseudo-) differential operators of principal type. — Ann. of Math. 108
(1978), 569—609.
[38]	Subelliptic operators. Seminar on sing, of sol. of diff. eq. — Princeton
Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 127—208.
[39]	The Weyl calculus of pseudo-differential operators. — Comm. Pure Appl.
Math. 32 (1979), 359—443.
[40]	Pseudo-differential operators of principal type. Nato Adv. Study Inst,
on Sing, in Bound. Value Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981,
pp. 69—96.
[41]	Uniqueness theorems for second order elliptic differential equations.—
Comm. Partial Differential Equations 8 (1983), 21—64.
[42]	On the index of pseudo-differential operators. In: Elliptische Differen-
tialgleichungen, Band II. — Akademie-Verlag, Berlin 1971, S. 127—146.
[Имеется перевод: Хёрмандер Л. Об индексе псевдодифференциальных
операторов. — Математика, 1970, т. 14, № 4, с. 78—97.]
[43]	L2 estimates for Fourier integral operators with complex phase. — Ark.
Mat. 21 (1983), 294—313.
[44]	On the subelliptic test estimates. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980),
339—363.
Hurwitz A. [1] Ober die Nullstellen der BesseTschen Funktion. — Math. Ann. 33
(1889), 246—266.
Iagolnitzer D. [1] Microlocal essential support of a distribution and decompo¬
sition theorems — an introduction. In: Hyperfunctions and theoretical phy¬
sics.— Springer Lecture Notes in Math. 449 (1975), 121—132.
Ikebe T. [1] Eigenfunction expansions associated with the Schrodinger operator
and their applications to scattering theory. — Arch. Rational Mech. Anal. 5
(1960), 1—34.
Ikebe T., Saito Y. [1] Limiting absorption method and absolute continuity for
. the Schrodinger operator. — J. Mam. Kyoto Univ. 12 (1972), 513—542.
Iwasaki N. [1] The Cauchy problem for effectively hyperbolic equations (a spe¬
cial case). — J. Math. Kyoto Jniv. 23 (1983), 503—562; (a standart type).—
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20 (1984), 543—584.
Jauch J. M., Zinnes I. I. [1] The asymptotic condition for simple scattering
systems. — Nuovo Cimento (10) 11 ( 1959), 553—567.
Jerison D., Kenig С. E. [1] Unique continuation and absence of positive eigen¬
values for Schrodinger operators. — Univ. of Minnesota Math. Report 83—
160.
John F. [1] On linear differential equations with analytic coefficients. Unique
continuation of data. — Comm. Pure Appl. Math. 2 (1949), 209—253.
[2]	Plane waves and spherical means applied to partial differential equa¬
tions. — New York 1955. [Имеется перевод: Ион Ф. Плоские волны и сфе¬
рические средние в применении к дифференциальным уравнениям с част¬
ными производными. — М.: ИЛ, 1958.]
[3]	Non-admissible data for differential equations with constant coeffici¬
ents.— Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 391—398.
[4]	Continuous dependence on data for solutions of partial differential equa¬
tions with a prescribed bound. — Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 551—
585.


Литература 443
[5]	Linear partial differential equations with analytic coefficients. — Proc.
Nat. Acad. Sci. 29 (1943), 98—104.
Jorgens K., Weidmann J. [1] Zur Existenz der Wellenoperatoren. — Math. Z.
131 (1973), 141—151.
Kashiwara M. [1) Introduction to the theory of hyperfunctions. In: Sem. on
microloca! analysis. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1979, pp. 3—
38.
Kashiwara M., Kawai T. [1] Microhyperbolic pseudo-differential operators. I.—
J. Math. Soc. Japan 27 (1975), 359—404.
Kato T. [1] Growth properties of the reduced wave equation with a variable
coefficient. — Comm. Pure Appl. Math. 12 (1959), 403—425.
Keller J. В. [1] Corrected Bohr-Sommerfeld quantum conditions for non separ¬
able systems. — Ann. Phys. 4 (1958), 180—188.
Kitada H. [1] Scattering theory for Schrodinger operators with Iongrange po¬
tentials. I: Abstract theory. — J. Math. Soc. Japan 29 (1977), 665—691;
II: Spectral and scattering theory. — J. Math. Soc. Japan 30 (1978), 603—
632.
Knapp A. W., Stein E. M. [1] Singular integrals and the principal series.—
Proc. Nat. Acad. Sci. USA 63( (1969), 281—284.
Kohn J. J. [1] Harmonic integrals on strongly pseudo-convex manifolds I, II.—
Ann. of Math. 78 (1963), 112—148; 79 (1964), 450—472.
[2]	Pseudo-differential operators. CIME conference, Stresa 1968. — Edizione
Cremonese, Roma 1969, pp. 157—165.
Kohn J. J., Nirenberg L. [1] On the algebra of pseudo-differential operators.—
Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269—305. (Имеется перевод: Кон Дж.,
Ниренберг Л. Алгебра псевдодифференциальных операторов. В сб.: Псев-
додифференциальные операторы. — М.: Мир, 1967, с. 9—62.]
[2]	Non-coercive boundary value problems. — Comm. Pure Appl. Math. 18
(1965), 443—492.
Komatsu H. [1] A local version of Bochner’s tube Theorem. — J. Fac. Sci. To¬
kyo Sect. I-A Math. 19 (1972), 201—214.
[2]	Boundary values for solutions of elliptic equations. Proc. Int. Conf. Funct.
Anal. Rel. Topics.—Univ. of Tokyo Press, Tokyo 1970, pp. 107—121.
Kreiss H. О. [1] Initial boundary value problems for hyperbolic systems.—
Comm. Pure Appl, Math. 23 (1970), 277—298. [Имеется перевод: Крайс X.-O.
Смешанная задача для гиперболических систем. — Математика, 1970, т. 14,
№ 4, с. 98—111.]
Krzyzanski М., Schauder J. [1] Quasilineare Differentialgleichungen zweiter
Ordnung vom hyperbolischen Typus. Gemischte Randwertaufgaben. — Studia
Math. 6 (1936), 162—189.
Kumano-go H. (1] Factorizations and fundamental solution for differential
operators of elliptic-hyperbolic type. — Proc. Japan Acad. 52 (1976), 480—
483.
Kuroda S. T. [1] On the existence and the unitary property of the scattering
operator. — Nuovo Cimento (10) 12 (1959), 431—454.
Lascar B., Lascar R. [1] Propagation des singularites pour des equations
hyperboliques a caracteristiques de multiplicity au plus double et singularites
Masloviennes II.—J. Analyse Math. 41 (1982), 1—38.
Lax P. D. (1] On Cauchy’s problem for partial differential equations with mul¬
tiple characteristics. — Comm. Pure Appl. Math. 9 (1956), 135—169.
[2]	On Cauchy’s problem for hyperbolic equations and the differentiability
of solutions of elliptic equations. — Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955),
615—633.
[3]	Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems. — Duke Math.
J. 24 (1957), 627—646.
Lax P. D., Nirenberg L. [1] On stability for difference schemes: a sharp form
of GSrdmg’s inequality. — Comm. Pure Appl. Math. 19 (1966), 473—492.
[Имеется перевод: Лаке П., Ниренберг Л. Об устойчивости разностных


444 Литература
схем; точная форма неравенства Гординга. — Математика, 1967, т. 11, №6,
с. 3—20.]
Lebeau G. [1] Fonctions harmoniques et spectre singulier. — Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (4) 13 (1980), 269—291.
Lelong P. [1] Plurisubharmonic functions and positive differential forms. —
Gordon and Breach, New York, London, Paris 1969.
[2]	Proprietes metriques des varietes definies par une equation. — Ann. Sci.
Ecole Norm. Sup. 67 (1950), 22—40.
Leray J. [1] Hyperbolic differential equations. — The Institute for Advanced
Study, Princeton, N. J., 1953. [Имеется перевод: Лере Ж. Гиперболические
дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.]
[2]	Uniformisation de la solution du probleme lineaire analytique de Cauchy
pres de la variete qui porte les donnees de Cauchy. — Bull. Soc. Math.
France 85 (1957), 389—429. [Имеется перевод: Лере Ж. Униформизациире¬
шений линейной аналитической задачи Коши в окрестности многообразия,
несущего начальные данные. — Математика, 1959, т. 3, № 5, с. 57—89.]
Lerner N. [1] Unicite du probleme de Cauchy pour des operateurs elliptiques.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ser. 4, 17 (1984), 469—505.
Lerner N., Robbiano L. [1] Unicite de Cauchy pour des operateurs de type
principal. — J. Analyse Math, to appear.
Levi E. E. [1] Caratterische multiple e problema di Cauchy.— Ann. Mat. Рига
Appl. (3) 16 (1909), 161—201..
Levinson N. [1] Transformation of analytic function of several variables to a
canonical form. — Duke Math. J. 28 (1961), 345—353.
Lewy H. [1] An example of a smooth linear partial differential equation with¬
out solution. — Ann. of Math. 66 (1957), 155—158.
[2]	Extention of Huyghen’s principle to the ultrahyperbolic equation. — Ann.
Mat. Рига Appl. (4) 39 (1951), 63—64.
Lions L. J. [1] Supports dans la transformation de Laplace.— J. Analyse Math.
2 (1952—53), 369—380.
Lions J. L., Magenes E. [1] Problemes aux limites non homogenes et applica¬
tions I—III. — Dunod, Paris, 1968—1970. [Имеется перевод: Лионе Ж.-Л.,
Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения..— М.:
Мир, 1971.]
Lojasiewicz S. [1] Sur le probleme de division. — Studia Math. 18 (1959), 87—
136.
Luke G. [1] Pseudodifferential operators on Hilbert bundles. — J. Differential
Equations 12 (1972), 566—589.
Ludwig D. [1] Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem. — Comm.
Pure Appl. Math. 13 (1960), 473—508.
[2] Uniform asymptotic expansions at a caustic. — Comm. Pure Appl. Math.
19 (1966), 215—250.
Malgrange В. [1] Existence et approximation des solutions des equations aux
derivees partielles et des equations de convolution. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 6 (1955—56), 271—355.
[2]	Sur une class d’operateurs differentials hypoelliptiques. — Bull. Math.
France 85 (1957), 283—306.
[3]	Sur la propagation de la regularity des solutions des equations a coeffi¬
cients constants. — Bull. Marh. Soc. Sci. Math. Phys. R. P. Roumanie 3 (53)
(1959), 433—440.
[4]	Sur les ouverts convexes par rapport a une operateur differentiel. —
C. R. Acad. Sci. Paris 254 (1962), 614—615.
[5]	Sur les systemes differentiels a coefficients constants. — Coll. CNRS,
Paris 1963, pp. 113—122.
[6]	Ideals of differentiable Functions. — Tata Institute, Bombay, and Oxford
University Press 1966. [Имеется перевод: Мальграиж Б. Идеалы диффе¬
ренцируемых функций. — М.: Мир, 1968.]


Литература 445
Mandelbrojt S. [1] Analytic functions and classes of infinitely differentiable
functions. — Rice Inst. Pamphlet 29 (1942), 1—142.
[2] Series adherentes, rfegularisations des suites, applications. — Coll. Borel,
Gauthier-Villars, Paris 1952.
Martineau A. [1] Les hyperfonctions de M. Sato. — Sem. Bourbaki 1960—1961,
Expose No 214.
[2] Le «edge of the Wedge theorem» en theorie des hyperfonctions de Sato.
Proc. Int. Conf. Funct. Anal. Rel. Topics. — Univ. of Tokyo Press, Tokyo
1970, pp. 95—106.
Mather J. [1] Stability of C" mappings: I. The division theorem. — Ann. of
Math. 87 (1968), 89—104.
Melin A. [1] Lower bounds for pseudo-differential operators. — Ark. Mat. 9
(1971), 117—140.
[2] Parametrix constructions for right invariant differential operators on
nilpotent groups. — Ann. Global Analysis and Geometry 1 (1983), 79—130.
Melin A., Sjostrand J. [1] Fourier integral operators with complex-valued phase
functions. — Springer Lecture Notes in Math. 459 (1974), 120—223.
[2] Fourier integral operators with complex phase functions and parametrix
for an interior boundary value problem. — Comm. Partial Differential Equa¬
tions 1 : 4 (1976), 313—400.
Melrose R. В. [1] Transformation of boundary problems. — Acta Math. 147
(1981), 149—236.
[2]	Equivalence of glancing hypersurfaces. — Invent. Math. 37 (1976), 165—
191.
[3]	Microlocal parametrices for diffractive boundary value problems. —
Duke Math. J. 42 (1975), 605—635.
[4]	Local Fourier-Airy integral operators. — Duke Math. J. 42 (1975), 583—
604.
[5]	Airy operators. — Gomm. Partial Differential Equations 3:1 (1978),
1—76.
[6]	The Cauchy problem for effectively hyperbolic operators. — Hokkaido
Math. J. to appear.
[7J The trace of the wave group. — Symp. Amer. Math. Soc. to appear.
Melrose R. B., Sjostrand J. [11 Singularities of boundary value problems I,
II. —Comm. Pure Appl. Math. 31 (1978), 593—617; 35 (1982), 129—168.
Mikusinski J. [1] Une simple demonstration du theoreme de Titchmarsh sur
la convolution. — Bull. Acad. Pol. Sci. 7 (1959), 715—717.
[2] The Bochner integral. — Birkhauser-Verlag, Basel, Stuttgart 1978.
Minakshisundaran S., Pleijel A. [1] Some properties of the eigenfunctions of
the Laplace operator on Riemannian manifolds. — Canad. J. Math. 1 (1949),
242—256.
Mizohata S. [1] Unicitfe du prolongement des solutions des §quations elliptiques
du quatrieme ordre. — Proc. Jap. Acad. 34 (1958), 687—692.
[2]	Systemes hyperboliques. — J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 205—233.
[3]	Note sur le traitement par les operateurs d’integrale singuliere du prob¬
leme de Cauchy. — J. Math. Soc. Japan 11 (1959), 234—240.
[4]	Solutions nulles et solutions non analytiques. — J. Math. Kyoto Univ. 1
(1962), 271—302.
[5]	Some remarks on the Cauchy problem. — J. Math. Kyoto Univ. 1 (1961),
109—127.
Moller С. [1] General properties of the characteristic matrix in the theory of
elementary particles. I. — Kongl. Dansk. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 23
(1945), 2—48.
Моггеу С. V. [I] The analytic embedding of abstract real-analytic manifolds.—
Ann. of Math. 68 (1958), 159—201.
Моггеу С. B., Nirenberg L. [1] On the analyticity of the solutions of linear
elliptic systems of partial differential equations. — Comm. Pure Appl. Math.
10 (1957), 271—290.


446 Литература
Moyer R. D. [1] Local solvability in two dimensions: Necessary conditions for
the principal-type case. Mimeographed manuscript. — Univ. of Kansas 1978..
Muller С. [1] On the behaviour of the solutions of the differential equation
AU = F(x, U) in the neighborhood of a point. — Comm. Pure Appl.. Math.
7 (1954), 505-515.
Munster M. [1] On A. Lax’s condition of hyperbolicity. — Rocky Mountain J.
Math. 8 (1978), 443—446.
[2] On hyperbolic polynomials with constant coefficients. — Rocky Moun¬
tain J. Math. 8 (1978), 653—673.
von Neumann J., Wigner E. [1) Ober merkwiirdige diskrete Eigenwerte. — Phys.
Z. 30 (1929), 465—467.
Nirenberg L. [1] Remarks on strongly elliptic partial differential equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 648—675.
[2]	Uniqueness in Cauchy problems for differential equations with constant
coefficients. — Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 89—105.
[3]	A proof of the Malgrange preparation theorem. Liverpool singulari¬
ties I. — Springer Lecture Notes in Math. 192 (1971), 97—105.
[4]	On elliptic partial differential equations. — Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa
(3)	13 (1959), 115—162.
[5]	Lectures on linear partial differential equations. — Amer. Math. Soc. Re¬
gional Conf. in Math. 17 (1972), 1—58. [Имеется перевод: Ниренберг Л.
Лекции о линейных дифференциальных уравнениях в частных производ¬
ных.— УМН, 1975, т. 30, № 4, с. 147—204.]
Nirenberg L., Treves F. [1] Solvability of a first order linear partial differen¬
tial equation. — Comm. Pure Appl. Math. 16 (1963), 331—351.
[2] On local solvability of linear partial differential equations. I. Necessary
conditions. II. Sufficient conditions. Correction. — Comm. Pure Appl. Math.
23 (1970), 1—38, 459—509; 24 (1971), 279—288. [Имеется перевод: Нирен¬
берг Л., Трев Ф. О локальной разрешимости лилейных дифференциальных
уравнений в частных производных. 1. Необходимые условия. II. Достаточ¬
ные условия. Поправка к статье «О локальной разрешимости...». — Мате¬
матика, 1971, т. 15, № 3, с. 142—172; № .4, с. 68—110; 1972, т. 16, № 4,
с. 149—152.]
Nishitani I. [1] Local energy integrals for effectively hyperbolic operators I.—
J. Math. Kyoto Univ. 24 (1984), 623—658.
Noether F. [1] Ober eine Klasse singularer Integralgleichungen. — Math. Ann.
82 (1921), 42—63.
Oshima T. [1] On analytic equivalence of glancing hypersurfaces. — Sci. Papers
College Gen. Ed. Univ. Tokyo 28 (1978), 51—57.
Paley R. E. A. C., Wiener N. [1] Fourier transforms in the complex domain.—
Amer. Math. Soc. Coll. Publ. XIX, New York 1934. [Имеется перевод: Ви¬
нер H., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. — М.: Нау¬
ка, 1964.]
Pederson R. [1] On the unique continuation theorem for certain second and
forth order elliptic equations. — Conn. Pure Appl. Math. 11 (1958), 67—80.
[2] Uniqueness in the Cauchy problem for elliptic equations with double
characteristics. — Ark. Mat. 6 (1966), 535—549.
Peetre J. [1] Theoremes de regularity pour quelques classes d’operateurs diffe¬
rentials. Thesis. — Lund 1959.
[2]	Rectification a Tarticle «Une caracterisation abstraite des operateurs dif¬
ferentials».— Math. Scand. 8 (1960), 116—120.
[3]	Another approach to elliptic boundary problems. — Comm. Pure Appl.
Math. 14 (1961), 711—731.
[4]	New thoughts on Besov spaces. Duke Univ. Math. Series I. — Durham,
N. C„ 1976.
Persson J. [1] The wave operator and P-convexity. — Boll. Un. Mat. Ital. (5)
18-B (1981), 591—604.


Литература 447
Pham The Lai [1] Meilleurs estimations asymptotiques des restes de la fonction
spectrale et des valeurs propres relatifs au laplacien. — Math. Scand. 48
(1981), 5—31.
Piccinini L. С. [1] Non surjectivity of the Cauchy—Riemann operator on the
space of the analytic functions on R". Generalization to the parabolic opera¬
tors. — Bull. Un. Mat. Ital. (4) 7 (1973), 12—28.
PliS A. [1] A smooth linear elliptic differential equation without any solution
in a sphere. — Conn. Pure Appl. Math. 14 (1961), 599-^617.
[2]	The problem of uniqueness for the solution of a system of partial diffe¬
rential equations. — Bull. Acad. Pol. Sci. 2 (1954), 55—57.
[3]	On non-uniqueness in Cauchy problem for an elliptic second order diffe¬
rential equation. — Bull. Acad. Pol. Sci. 11 (1963), 95—100.
Poincare H. [1] Sur les proprietes du potentiel et les fonctions abeliennes.—
Acta Math. 22 (1899), 89—178.
Ralston J. [1] Solutions of the wave equation with localized energy. — Comm.
Pure Appl. Math. 22 (1969), 807—823.
[2] Gaussian beams and the propagation of singularities. — MAA Studies
in Math. 23 (1983), 206—248.
Reed M., Simon В. [1] Methods of modern mathematical physics. III. Scattering
theory. — Academic Press 1979. [Имеется перевод: Рид M., Саймон Б. Ме¬
тоды современной математической физики. Т. 3. Теория рассеяния. — М.:
Мир, 1982.]
Rempel S., Schulze B.-W. [1] Index theory of elliptic boundary problems.—
Akademie-Verlag, Berlin 1982. [Имеется перевод: Ремпель С., Шульце Б.-В.
Теория индекса в эллиптических граничных задачах. — М.: Мир, 1986.]
de Rham G. [1] Varietes differentiables. — Hermann, Paris 1955. [Имеется пе¬
ревод: Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — М.: ИЛ, 1956.]
Riesz F. [1] Sur l’existence de la derivee des fonctions d’une variable reelle
et des fonctions d’intervalle. — Verh. Int. Math. Kongr. Zurich 1932, I,
S. 258—269.
Riesz M. [1] L’integrale de Riemann — Liouville et le probleeme de Cauchy.—
Acta Math. 81 (1949), 1—223.
[2]	Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles lineai-
res. — Acta Math. 49 (1926), 465—497.
[3]	Sur les fonctions conjuguees. — Math. Z. 27 (1928), 218—244.
[4]	Problems related to characteristic surfaces. — Proc. Conf. Diff. Eq. Univ.
Maryland 1955, pp. 57—71.
Rothschild L. P. [1] A criterion for hypoellipticity of operators constructed
from vector fields. — Comm. Partial Diff. Equations 4:6 (1979), 645—699.
Saito Y. [1] On the asymptotic behavior of the solutions of the Schrodinger
equation (—A — Q (у) — Щ V = F. — Osaka J. Math. 14 (1977), 11—35.
[2] Eigenfunction expansions for the Schrodinger operators with long-range
' potentials Q(y) == О(]t/[—e ), e > 0. — Osaka J. Math. 14 (1977), 37—53.
Sakamoto R. [1] £-well posedness for hyperbolic mixed problems with constant
coefficients. — J. Math. Kyoto Univ. 14 (1974), 93—118.
[2] Mixed problems for hyperbolic equations I. — J. Math. Kyoto Univ. 10
(1970), 375—401; II ibid. 403—417.
Sato M. [1] Theory of hyperfunctions I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 (1959),
139	i93
[2]	Theory of hyperfunctions II. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo I, 8 (1960),
387—437.
[3]	Hyperfunctions and partial differential equations. — Proc. Int. Conf. on
Funct. Anal, and Rel. Topics, Tokyo Univ. Press, Tokyo 1969, pp. 91—94.
[4]	Regularity of hyperfunction solutions of partial .differential equations. —
Actes Congr. Int. Math. Nice 1970, 2, pp. 785—794.
Sato M., Kawai T. Kashiwara M. [1] Hyperfunctions and pseudodifferential
equations. — Springer Lecture Notes in Math. 287 (1973), 265—529.


448 Литература
Schaefer Н. Н. [1] Topological vector spaces. — Springer-Verlag, New York,
Heidelberg, Berlin 1970. [Имеется перевод: Шефер X. Топологические век¬
торные пространства. — М.: Мир, 197Ц
Schapira Р. [1] Hyperfonctions et problemes aux limites elliptiques. — Bull.
Soc. Math. France 99 (1971), 113—141.
[2]	Propagation at the boundary of analytic singularities. — Nato Adv.
Study Inst, on Sing, in Bound. Value Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht
1981, pp. 185—212.
[3]	Propagation at the boundary and reflection of analytic singularities of
solutions of linear partial differential equations. — Publ. RIMS, Kyoto Univ.,
12 Suppl. 1977, pp. 441—453.
Schechter M. [1] Various types of boundary conditions for elliptic equations.—
Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 407—425.
[2] A generalization of the problem of transmission. — Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa 14 (1960), 207—236.
Schwartz L. [1] Theorie des distributions I, II. — Hermann, Paris, 1950—51.
[2]	Theorie des noyaux. — Proc. Int. Congr. Math. Cambridge 1950, I,
pp. 220—230.
[3]	Sur Timpossibilite de la multiplication des distributions. — C. R. Acad.
Sci. Paris 239 (1954), 847—848.
[4]	Theorie des distributions a valeurs vectorielles I. — Ann. Inst. Fourier
(Grenoble) 7 (1957), 1—141.
[5]	Transformation de Laplace des distributions. — Comm. Sem. Math. Univ.
Lund, Tome suppl. dddie a Marcel Riesz, 1952, pp. 196—206.
[6]	Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques. — Ann. of Math. 48
(1947), 857—929.
Seeley R. T. [1] Singular integrals and boundary problems. — Amer. J. Math.
88 (1966), 781—809.
[2]	Extensions of C" functions defined in a half space. — Proc. Amer. Math.
Soc. 15 (1964)), 625—626.
[3]	A sharp asymptotic remainder estimate for the eigenvalues of the Lapla-
cian in a domain of Rs.—Advances in Math. 29 (1978), 244—269.
[4]	An estimate near the boundary for the spectral function of the Laplace
operator. — Amer. J. Math. 102 (1980), 869—902.
[5]	Elliptic singular integral equations. — Amer. Math. Soc. Symp. on Sin¬
gular Integrals, 1966, pp. 308—315.
Seidenberg A. [1] A new decision method for elementary algebra. — Ann. of
Math. 60 (1954), 365—374.
Shibata Y. [1] £-well posedness of mixed initial-boundary value problems with
constant coefficients in a quarter space. — J. Analyse Math. 37 (1980),
32—45.
Siegel C. L. [1] Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass.
In: Abhandl. aus Zahlenth. u. Anal. — Plenum Press, New York 1968,
pp. 299—306.
Sjostrand J. [1] Singularites analytiques microlocales. — Prepublications Uni-
versite de Paris-Sud 82—03.
[2]	Analytic singularities of solutions of boundary value problems. — Nato
Adv. Study Inst, on Sing, in Bound. Value Prob., Reidel Publ. Co., Dord¬
recht 1981, pp. 235—269.
[3]	Parametricies for pseudodifferential operators with multiple characte¬
ristics. — Ark. Mat. 12 (1974), 85—130.
[4]	Propagation of analytic singularities for second order Dirichlet problems
I, II, III. — Comm. Partial Differential Equations 5: 1 (1980), 41—94; 5:2
(1980), 187—207; 6:5 (1981), 499—567.
[5]	Operators of principal type with interior boundary conditions. — Acta
Math. 130 (1973), 1—51.


Литература 449
Sommerfeld А. [1] Optics. Lectures on theoretical physics IV.—Academie
Press New York 1969. [Имеется перевод: Зоммерфельд А. Оптика. — M.:
ИЛ, 1953.]
Stein Е. М. [1] Singular integrals and differentiability properties of func¬
tions.— Princeton Univ. Press 1970. [Имеется перевод: Стейн И. Сингуляр¬
ные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973.]
Sternberg S. [1] Lectures on differential geometry. — Prentice-Hall Inc., Engle¬
wood Cliffs, N. J., 1964. [Имеется перевод: Стернберг С. Лекции по диф¬
ференциальной геометрии. — М.: Мир, 1964.]
Stokes G. В. [1] On the numerical calculation of a class of definite integrals
and infinite series.—Trans. Cambridge Philos. Soc. 9 (1850), 166—187.
Svensson L. [1] Necessary and sufficient conditions for the hyperbolicity of
polynomials with hyperbolic principal part. — Ark. Mat. 8 (1968), 145—162.
Sweeney W. J. [1] The D-Neumann problem. — Acta Math. 120 (1968), 223—
277.
Szego G. [1] Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen.—Math. Z. 6
(1920), 167—202.
Tacklind S. [1] Sur les classes quasianalytiques des solutions des equations aux
derivees partielles du type parabolique. — Nova Acta Soc. Sci. Upsaliensis
(4)	10 (1936), 1—57.
Tarski A. [1] A decision method for elementary algebra and geometry. Manu¬
script, Berkeley 1951, 63 pp.
Taylor M. [1] Gelfand theory of pseudodifferential operators and hypoelliptic
operators. — Trans. Amer. Math. Soc. 153 (1971), 495—510.
[2]	Grazing rays and reflection of singularities of solutions to wave equa¬
tions.— Comm. Pure Appl. Math. 29 (1976), 1—38.
[3]	Diffraction effects in the scattering of waves. In: Sing, in Bound. Value
Problems. — Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 271—316.
[4]	Pseudodifferential operators. — Princeton Univ. Press, Princeton, N. J.,
1981. [Имеется перевод: Тейлор M. Псевдодифференциальные операто¬
ры.— М.: Мир, 1985.]
Thorin О. [1] An extension of a convexity theorem due to M. Riesz. — Kungl.
Fys. Sallsk. Lund. Forh. 8 (1939), No. 14.
Titchmarsh E. С. [1] The zeros of certain integral functions. — Proc. London
Math. Soc. 25 (1926), 283—302.
Treves F. [1] Solution elementaire d’equations aux derivees partielles dependant
d’un parametre.— C. R. Acad. Sci. Paris 242 (1956), 1250—1252.
[2]	These d’Hormander II. — Sem. Bourbaki 135, 2® 6d. (Mai 1956).
[3]	Relations de domination entre operateurs differentials. — Acta Math. 101
(1959), 1—139.
»	[4] Operateurs differentials hypoelliptiques. — Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
9 (1959), 1—73.
[5]	Local solvability in L2 of first order linear PDEs. — Amer. J. Math. 92
(1970), 369—380.
[6]	Fundamental solutions of linear partial differential equations with con¬
stant coefficients depending on parameters. — Amer. J. Math. 84 (1962),
561—577.
[7]	Un theoreme sur les equations aux d6rivees partielles a coefficients con¬
stants dependant de parametres.— Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 473—
486.
[8]	A new method of proof of the subelliptic estimates. — Comm. Pure Appl.
Math. 24 (1971), 71—115.
[9]	Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vo¬
lume 1: Pseudodifferential operators. Volume 2: Fourier integral operators.—
Plenum Press, New York, and London 1980. [Имеется перевод: Трев Ф.
Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных
операторов Фурье. — В 2-х томах.—М.: Мнр, 1984.]
2i Зак. 821


450 Литература
Tsuji М. [1] Singularities of elementary solutions of hyperbolic equations with
constant coefficients. — Nato Adv. Study Inst, on Sing, in Bound. Value
Problems. Reidel Publ. Co., Dordrecht 1981, pp. 317—326.
Vauthier J. [1] Comportement asymptotique des fonctions entieres de type
exponentiel dans C" et bornees dans le domaine reel. — J. Funct. Analysis
12 (1973), 290—306.
Veselic K., Weidmann J. [1] Existenz der Wellenoperatoren fur eine allgemeine
Klasse von Operatoren.— Math. Z. 134 (1973), 255—274.
[2] Asymptotic estimates of wave functions and the existence of wave oper¬
ators. — J. Funct. Analysis 17 (1974), 61—77.
van der Waerden B. J. [1] Einfiihrung in die algebraiche Geometrie. — Berlin
1939.
[2] Algebra I—II. 4. Aufl. — Springer Verlag, Berlin — Gottingen — Heidel¬
berg 1959. [Имеется перевод: Ван дер Варден Б. Алгебра. 2-е изд. — М.:
Наука, 1979.]
Wang Rou-hwai, Tsui Chih-yung [1] Generalized Leray formula on positive
complex Lagrange — Grassmann manifolds. — Res. Report, Inst, of Math.,
Jilin Univ. 8209, 1982.
Warner F. W. [1] Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups. —
Scott Foresman and Co., Glenview, 111., London 1971.
Weinstein A. [1] The order and symbol of a distribution. — Trans. Amer. Math.
Soc. 241 (1978), 1—54.
[2]	Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. —
Duke Math. J. 44 (1977), 883—892.
[3]	On Maslov’s quantization condition. In: Fourier integral operators and
partial differential equations. — Springer Lecture Notes in Math. 459 (1974),
341—372.
Weyl H, [1] The method of orthogonal projection, in potential theory. — Duke
Math. J. 7 (1940), 411—444. [Имеется перевод: Вейль Г. Метод ортого¬
нальной проекции в теории потенциала. — В кн.: Вейль Г. Избранные тру¬
ды. Математика. Теоретическая физика. — М.: Наука, 1984, с. 275—307.]
[2]	Die Idee der Riemannschen Flache. 3. Aufl. — Teubner, Stuttgart 1955.
[3]	Ober gewohnliche Differentialgleichungen mit Singularitaten und die
zugehorigen Entwicklungen willktirlicher Funktionen.— Math. Ann. 68 (1910),
220-269.
[4]	Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller
Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie Hohlraum-
strahlung). —Math. Ann. 71 (1912), 441—479.
Whitney H. [1] Analytic extensions of differentiable functions defined in closed
sets. — Trans. Amer. Math. Soc. 36 (1934), 63—89.
W'idom H. [1] Eigenvalue distribution in certain homogeneous spaces. — J.
Funct. Analysis 32 (1979), 139—147.
Yamamoto К. [1] On the reduction of certain pseudo-differential operators with
non-involution characteristics. — J. Differential Equations 26 (1977), 435—
442.
Zeilon N. [1] Das Fundamentalintegral der allgemeinen linearen Differential-
gleichung mit konstanten Koeffizienten. — Ark. Mat. Astr. Fys. 6 (1911),
No 38, 1—32.
Zerner M. [1] Solutions de l’equation des ondes presentant des singularites
sur une droite. — C. R. Acad. Sci. Paris 250 (1960), 2980—2982.
[2]	Solutions singulieres d’equations aux derivees partielles. — Bull. Soc,
Math. France 91 (1963), 203—226.	‘
[3]	Domaine d’holomorphie .des fonctions verifiant une equation aux derivees
partielles. — C. R. Acad. Sci. Paris 171 (1971), 1646—1648.
Zuily С. [1] Uniqueness and non-uniqueness in the Cauchy problem. — Progress
in Math. 33. Birkhauser, Boston, Basel, Stuttgart 1983.
Zygmund A. [1] On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of
operators. — J. Math. Pures Appl. 35 (1956). 223—248.


Именной указатель
Авербух В. И. 6
Агмон (S. Agmon) 299
Агранович М. С. 299
Адамар (J. Hadamard) 47, 90
Андерссон (К. G. Andersson) 47, 379,
380
Арнольд В. И. 301
Ароншайн (N. Aronszajn) 301
Асгейрссон (L. Asgeirsson) 299
Атья (М. F. Atiyah) 299
Бауэнди (М. S. Baouendi) 380
Бекнер (W. Вескпег) 299
Берхин П. Е. 6
Бёрлинг (A. Beurling) 70, 429
Бони (J. М. Bony) 378—380, 430
Боннезен (Т. Bonnesen) 153—154
Борель (Е. Borel) 46
Ботт (R. Bott) 299
Бохнер (S. Bochner) 298, 380
Нриллюэн (L. Brillouin) 300
Брос (Bros) 378, 382, 417, 421, 430
Брэй (Н. Е. Bray) 46
Буте де Монвель (L. Boutet de Mon-
vel) 10, 379
Бьёрк (G. Bjorck) 70
Бэиг (T. Bang) 47
Бэр (R. Baire) 298
Ван Роухвай (Wang Rou-hwai) 10
Вейль (H. Weyl) 47
Веитцель (G. Wentzel) 300
Вииер (N. Wiener) 299
Гаек (H. Gask) 162
Гельфанд И. M. 70, 110, 154, 299
Герглотц (G. Herglotz) 299
Гийемин (V. W. Guillemin) 300, 301
Глезер (G. Glaeser) 71
Гординг (L. Garding) 71, 299, 380
Грубб (G. Grubb) 10
Грушин В. В. 379
Гулауик (Ch. Goulaouic) 380
де Ram (G. de Rham) 191, 192
Дёйстермаат (J. J. Duistermaat) 300,
301
Джеффрис (H. Jeffreys) 300
Джон ( = Ион) (F. John) 191, 380
Дьёдонне (J. Dieudonne) 47, 71
Дю-Плесси (N. DuPlessis) 154
Зигель (C. L. Siegel) 300
Зигмунд (A. Zvgmund) 154, 301
Каваи (T. Kawai) 378—380, 430
Кальдерон (A. P. Calderon) 154, 301
Карлеман (T. Carleman) 429
Касивара (M. Kashiwara) 378—380,
382, 424, 430


452 Именной указатель
Кеннеди (Р. В. Kennedy) 154
Кокхольм (N. J. Kokholm) 10
Колмогоров А. Н. 300
Комацу (Н. Komatsu) 380, 430
Коши (A. Cauchy) 299
Коэн (Р. Cohen) 47
Крамере (Н. Kramers) 300
Лаке (Р. D. Lax) 301
Лебо (G. Lebeau) 379
Левн (Н. Lewi) 299
Левнисои (N. Levinson) 300
Лелон (Р. Lelong) 154
Лере (J. Leray) 430
Лионе (J.-L. Lions) 71, 154
Литтлвуд (J. Е. Littlewood) 154
Людвиг (D. Ludwig) 301
Мальгранж (В. Malgrange) 299
Мандельбройт (S. Mandelbrojt) 46,
47
Мартино (A. Martineau) 382, 429
Мезер (J. Mather) 300
Мелин (A. Melin) 10, 300, 301
Микусиньский (J. Mikusinski) 154
Михлни С. Г. 301
Ниренберг (L. Nirenberg) 154, 300
Петре (J. Peetre) 163, 301
Пириу (A. Piriou) 430
Пуанкаре (Н. Poincare) 154
Пэли (R. Е. А. С. Paley) 299
Рисе М. (М. Riesz) 90, 110, 299, 301
Рисе. Ф. (F. Riesz) 154
Рокафеллар (R. Т. Rockafellar) 154
Сато (М. Sato) 9, 378—381, 429, 430
Серезо (A. Cerezo) 430
Сигурдссон (R. Sigurdsson) 10
Сили (R. Т. Seeley) 71
Соболев С. Л. 70, 154, 301
Стейи (Е. М. Stein) 301
Стернберг (S. Sternberg) 192
Стокс (G. В. Stokes) 300
Титчмарш (Е. С. Titchmarsh) 154
Том (R. Thom) 301
Торин (О. Thorin) 299
Трев (F. Treves) 47
Уитни (Н. Whitney) 47, 70, 71
Уорнер (F. W. Warner) 192
Урселл (F. Ursell) 300, 301
Фенхель (W. Fenchel) 154
Фредгольм (I. Fredholm) 299
Фрёман Н. (N. Froman) 300
Фрёман П. (Р. О. Froman) 300
Фридман (В. Friedman) 300, 301
Харди (G. Н. Hardy) 154
Хаусдорф (F. Hausdorff) 299
Хедберг (L. I. Hedberg) 154
Хейман (W. К. Hayman) 154
Хёрмандер (L. Hormander) 5—7, 10,
47, 71, 299-301, 379, 380
Хлавка (Е. Hlawka) 300
Хольмгрен (Е. Holmgren) 379
Цайлон (N. Zeilon) 299
Цернер (М. Zerner) 379, 430
Честер (С. Chester) 300, 301
Шазарен (J. Chazarain) 430
Шапира (Р. Schapira) 10, 379, 430


Именной указатель 453
Шварц (L. Schwartz) 8, 9, 49, 62, 70,
71, 110, 154, 162, 298, 299, 430
Шефер (Н. Н. Schaefer) 448
Шеффер (D. Schaeffer) 300
Шёстранд (J. Sjostrand) 10, 300, 301,
379, 380, 430
Шилов Г. Е. 70, 110, 154, 299
Шубин М. А. 6, 7
Эйри (G. В. Airy) 300, 301
Эренпрейс (L. Ehrenpreis) 46—47,
162, 299
Юнг (W. Н. Young) 298—299
Ягольнитцер (D. Iagolnitzer) 378,
382, 417, 421, 430


Предметный указатель
амплитуда 284
аналитический функционал 382
Асгейрссона теорема о средних зна¬
чениях 222
атлас 176
Бернштейна теорема 292
Бесселя функция 341
бета-функция 109
бихарактеристика 188, 357
бихарактернстическая кривая 357
—	полоска 357
Бореля теорема 28
быстро убывающая функция 193
Вейерштрасса подготовительная тео¬
рема 236, 237
—	формула 237
векторное поле 181
вещественно-аналитическая функция
6, 38
вещественный главный тип 329
ВКБ 300
внешнее произведение 183
волновое уравнение 12
волновой фронт 305
выпуклая оболочка (замкнутая) 132
—	функция 115, 116
Гамильтона—Якоби теория 192
гамильтонова система 188
гамильтоново векторное поле 188
гамма-функция 94
Гаусса — Грина формула 79
гауссова функция 248
Герглотца—Петровского	формула
209, 299
гёльдерова функция 153
гиперболический многочлен 376
гиперфункция 392, 394
гипоэллиптический оператор 138
главное значение 94
главный символ 185, 324
— тип (вещественный) 329
граничное значение аналитической
функции 400
Данжуа—Карлемана теорема 36
двойственные квадратичные формы
249
двойственный конус 308
диагональ 160
диагональное отображение 320
Дирака мера 74
дйфференциал 16, 18, 22
дифференциальная форма см. форма
дифференциальный оператор 25, 324
дифференцируемое отображение 16,
18
длина мультииндекса 24
Жеврея класс 335
запаздывающее фундаментальное ре¬
шение 174


Предметный указатель 45$
Кальдерона—Зигмунда лемма о по¬
крытии 146
каноническая одии-форма 182
каноническое преобразование 189
Карлемана неравенство 37
касательное пространство 179
касательный вектор 179
квазианалитнческий класс 36
Кирхгофа формула 224
Колмогорова уравнение 253
координатная окрестность 175
—	система 175
координаты локальные 175
конечная часть 91
конус двойной световой 288
—	двойственный 308
—	задний 172
—	касательный 424
—	передний 172, 173
—	предельный 309
—	собственный 308
коиормальное расслоение 183
Коши задача 174, 407
—	интегральная формула 82
Коши—Ковалевской теорема 407
кохольмгреновская теорема Касивары
424
критическая точка 263
Лаплцра уравнение 11
Лейбница формула 25
локализация 58, 393
Лоренца форма 373
Мальгранжа подготовительная теоре¬
ма 241—243
Марцинкевича приём 149
матрица перехода 180
медленно меняющаяся метрика 43
мера 53
микрогиперболичность 373
микролокальный анализ 302
Минковского неравенство 150
многообразие 175
—	вещественное аналитическое 336
—	ориентированное 184
мультииидекс 24
нехарактеристическая гиперповерх¬
ность 408, 409
нормаль к отображению 315
—	— подмножеству многообразия:
внешняя 355
—	— — — внутренняя 356
нормальная производная 416
носитель аналитического функциона¬
ла 388
—	гиперфункции 392
—	распределения 58
—	сингулярности 58
—	функции 26
обратный образ гиперфункции 403
—	— распределения 166, 315
—	— формы 182
ограничение гиперфункции 393
—	распределения 58
одии-форма 182
однородность 92, 95
—	абсолютная 230
опережающее фундаментальное ре¬
шение 174
опорная функция 133
ориентация 184
осцилляторный интеграл 286
открытое отображение 165
отражение 92
параметрикс 206
Парсеваля формула 198, 212, 217'
перехода матрица 180


456 Предметный указатель
плотность 178, 181
—	класса С” 178
—	непрерывная 178
—	обобщённая 178
плюрнсубгармоническая функция 122
поднятие 166, 182
полидиск 404, 407
порядок распределения 49
пробная функция 26
продолжения метод 409
проекция расслоения 179
произведение распределений 73, 320
производная 16, 18, 22
Пуассона скобка 191
—	формула суммирования 2J6
Пэли—Винера—Шварца теорема 220,
299
разбиение единицы 42
распределение 49
—	на многообразии 177
~ однородное 95
—	положительное 53—54
расслоение векторное 179
—	касательное 180
—	кокасательное 182
—	комплексное 181
—	конормальное 183
—	линейное 181
—	нормальное 183
регуляризация 30
регулярное в смысле Уитни множе¬
ство 70
Рисса—Торина теорема о выпукло¬
сти 201
Ру нее теорема 139
свёртка 29, 112, 128
секвенциальная непрерывность 50
сечение расслоения 180
— обобщённое 181
сигнатура 108, 169
символ 284
симплектическое преобразование 189
—	форма 187
сингулярный носитель 58
слабая топология (слабая * тополо¬
гия) 54
слабое решение 12
слабый тип (1, а) 148
слой кратный 168
—	простой 168
Соболева неравенство 250
—	пространства 289
—	теоремы вложения 153
собственное отображение 134
собственный конус 131
сосредоточенный на К (об аналити¬
ческом функционале) 382
срезающая функция 38
стационарной фазы метод 260
—	— точка 263
Стилтьеса—Витали теорема 138
Стокса формула 185
субгармоническая функция 117
сужение см. ограничение
существенный носитель (по Бросу и
Ягольнитцеру) 378
Тейлора формула 24, 25
тензорное произведение распределе¬
ний 156
теорема о делении 237
—	— локализации для гиперфункций
393
—	— — — распределений 59
—	— носителях 134
	 	 обратной функции 21
—	— острие клина 401
	— — в форме Мартино 402
—	— разложении гиперфункций 402
—	— среднем 17
		 ядре 158
—	продолжения Уитни 65
трансверсальность 319
транспоинроваиный оператор 140
трнвиализация векторного расслое¬
ния 180


Предметный указатель 457
Уитни теорема продолжения 65
умеренное (умеренного роста) рас¬
пределение 199
фазовая функция 284
фейимаиовское фундаментальное ре¬
шение 174
форма 182, 183
формально транспонированный опе¬
ратор 325
фундаментальное решение 102
Фурье анализ 194
—	коэффициент 217
—	преобразование 195, 200
—	формула обращения 195
Фурье—Лапласа преобразование 202
характер 194
характеристика 186
характеристическое множество 186,
324, 408, 409
—	поверхность 186
Харди—Л иттлвуда—Соболева нера¬
венство 146
Хаусдорфа—Юнга теорема 201
Хевисайда функция 74
Хольмгрена теорема единственности
364
целочисленная решётка 43
центральная предельная теорема 256
цепное правило 20
Шварца теорема о ядре 158
Шрёдингера оператор 104
Эйлера тождество для однородных
функций 96
Эйри дифференциальное уравнение
258
—	функция 257
экспоненциальное решение 225
эллиптический многочлен 206
—	оператор 139, 324
ядро (шварцево) 158
С'-граница 78
С"-структура 175
ft-форма 183
ТЛплотность 210, 211
Г-аналитичность 400
1-форма 182
♦-слабая топология 54


Указатель обозначений
Пространства функций
и распределений
С
18, 176
€k
22, 26, 176
С°°
26
153, 290
Со
26
Л»
'-'О
26
€м
35
&
335
Цос 53, 176
ЗУ
49, 177
ЗУ
k 49, 177
> 49
3>г 314
62
g'k 62
9>
195
9>’
199
Ни) 288
11 1
Iks) 288
L2
288
A
382
A'
(K) 382
A'
(IR") 388
B{X) 392, 394
Pol (m) 229
Pol°(m) 229
S£e 284
Специальные символы
а (мультииндекс) 24
| а | (его длина) 24
а! 25
d 20
д, 24, 73
<3° 24, 74
Dj 196
Da 196, 404
Уа 25
P(x, д) 25
P(D) 221
p(°) 26
djdz, djdz 81
f'(x) 16, 18
fk)(x\ yu yk) 22
A 102
□ 171
й 92, 140
й 136
й 195, 200
Q 229
(и, ф) 61


Указатель обозначений 459
Г (обратный образ) 166, 182,
315, 403
/. 181
* (свертка) 29, 112, 128
о (композиция) 161, 165
Char 324, 371
supp 26, 58, 392
singsupp 58, 393
singsupPi 336
sing slippy 336
WF 305
WFX 321
WFy 321
WF' 322
WFl 337
WFa 337, 397
deg 98
sgn (сигнатура) 108
ch (замкнутая выпуклая обо¬
лочка) 132
Нк (опорная функция) 132
Г° (двойственный конус) 308
Ne{F) 355
Ni{F) 356
N(F) 356
N{F) 356
Nf 315
T(X) 180
br (f) 400
о (каноническая один-форма)
182
о (симплектическая форма) 186
Re Л 104
Ш 60
=* 184
С (дополнение)
0 (пустое множество)
А\В(=А П С В)
Специальные распределения
Н (функция Хевисайда) 74
б„ (мера Дирака) 74
PV (главное значение) 94
х% 88, 89
хЧ 92
(л: ± Ю)а 93
Х+ 95
x~k 93
Г (гамма-функция) 94
Ai (функция Эйри) 257
т (мера Лебега) 292


Оглавление
Предисловие редактора перевода	 5
Предисловие к русскому изданию	7
Предисловие		 . . •	8
Введение	 11
1.	Пробные функции 	 16
Краткое содержание главы	16
Обзор дифференциального исчисления	16
1.2.	Существование пробных функций	26
1.3.	Свертка	29
1.4.	Срезающие функции и разбиения единицы .... 38
Примечания	46
2.	Определение и основные свойства распределений - ■ - ■	48
Краткое содержание главы	48
2.1.	Основные определения	48
2.2.	Локализация	58
2.3.	Распределения с компактным носителем . .	. . 61
. Примечания	70
3.	Дифференцирование и умножение на функции	72
Краткое содержание главы	72
3.1.	Определения и примеры	72
3.2.	Однородные распределения	88
3.3.	Некоторые фундаментальные решения	102
3.4.	Вычисление некоторых интегралов	106
Примечания	109
4.	Свертка 		  111
Краткое содержание главы . 		111
4.1.	Свертка с гладкой функцией	112
4.2.	Свертка распределений	127
29*


Оглавление 461
4.3.	Теорема о носителях	132
4.4.	Роль фундаментальных решений	137
4.5.	Основные 7.р-оценки для сверток	144
Примечания 	 ....... 153
5.	Распределения в произведениях	пространств	155
Краткое содержание главы	155
5.1.	Тензорные произведения	155
5.2.	Теорема о ядре	157
Примечания	162
6.	' Композиция с гладкими отображениями	164
Краткое содержание главы	164
6.1.	Определения	164
6.2.	Некоторые фундаментальные решения	169
6.3.	Распределения на многообразии	175
6.4.	Касательное и кокасательное расслоения	.	.	.	.178
Примечания	191
7.	Преобразование Фурье	  193
Краткое содержание главы	193
7.1.	Преобразование Фурье в ^	и в 5"	193
7.2.	Формула суммирования Пуассона и периодические
распределения 	 215
7.3.	Преобразование Фурье — Лапласа в <§'	219
7.4.	Более общие преобразования Фурье — Лапласа	.	.	231
7.5.	Подготовительная теорема Мальгранжа	236
7.6.	Преобразование Фурье гауссовых функций	.	.	.	248
7.7.	Метод стационарной фазы	260
7.8.	Осцилляторный интеграл	284
7.9.	Пространства H(S), Lp и гёльдеровы пространства	288
Примечания	298
8.	Спектральный анализ особенностей	302
Краткое содержание главы	302
8.1.	Волновой фронт	304
8.2.	Обзор операций над распределениями	314
8.3.	Волновые фронты решений уравнений в частных
производных	324
8.4.	Волновой фронт относительно CL	335
8.5.	Правила вычисления для WFL	351
8.6.	WFl для решений дифференциальных уравнений в
частных производных	361
8.7.	Микрогиперболичность	373
Примечания 		378


462 Оглавление
9. Гиперфункции • ■
Краткое содержание главы
9.1.	Аналитические функционалы . :
9.2.	Общие гиперфункции
9.3.	Аналитический волновой фронт гиперфункции .	.
9.4.	Аналитическая задача Коши
9.5.	Гиперфункции — решения дифференциальных урав¬
нений в частных производных
9.6.	Аналитический волновой фронт и носитель . .	.
Примечания
Литература
Именной указатель
Предметный указатель
Указатель обозначений


УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле¬
нии, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский
пер., 2, издательство «Мир».