J^"V
D
_0 J\0£ .U^'vistit^'L- £
Л о yt .- jz. . ■ ■ о /ЪлЛ M _ „А.
*Л
/
/
/
J
J
\ J
J.

A. H. Ширяев
Броуновское движение
и винеровская мера
Теория, применения,
аналитические методы
Том 1
Москва
Издательство МЦНМО

УДК 519.21+536.95
ББК 22.171
Ш64
Ф
Книга издана при финансовой
BE ГА поддержке Фонда содействия
ИНСТИТУТ развитию науки «Институт
£,:я™с;ли" финансовой и актуарной
математики „Вега"»
Ширяев А. Н.
Ш64 Броуновское движение и винеровская мера. Теория,
применения, аналитические методы : В 2 т. Т. 1. — М.: МЦНМО,
2023.-528 с.
ISBN 978-5-4439-1783-2; ISBN 978-5-4439-1781-8 (том 1)
Настоящее издание (в двух томах) представляет систематическое
изложение теории броуновского движения и винеровской меры. В книге
излагаются физические предпосылки броуновского движения, математическое
изучение которого привело к значительным результатам в теории
вероятностей, теории дифференциальных уравнений, математической физике.
Два тома (39 глав) охватывают большой как классический, так и
современный материал по броуновскому движению и связанной с ним
винеровской мере, явившейся первым примером вероятностной меры на
функциональных пространствах.
Дается также обзор аналитических методов и средств, необходимых
для изложения основного материала. К их числу относятся элементы
векторного анализа, вариационного исчисления, дифференциальных
уравнений, теории мартингалов и др.
ББК 22.171
ISBN 978-5-4439-1781-8
9,|785443,|917818,|>
ISBN 978-5-4439-1783-2
ISBN 978-5-4439-1781-8 (том 1)
© Ширяев А. Н., 2023.
© МЦНМО, 2023.

К 120-летию со дня рождения
Андрея Николаевича Колмогорова
(1903—1987)

Оглавление
Том1
Предисловие 11
Введение 13
Глава I. Броуновское движение, или винеровский процесс
§1. Определения 21
§ 2. Разные свойства инвариантности броуновского движения 24
§ 3. Некоторые процессы, получаемые из броуновского движения ... 26
§4.0 гауссовских (нормальных) величинах, плотностях и процессах 28
§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции. Обобщенные
функции 32
§ 6. Белый гауссовский шум как «производная» броуновского движения 40
§ 7. Фрактальное броуновское движение 42
Глава II. О существовании математического броуновского движения
§ 1. Конструкция броуновского движения в виде функциональных
рядов со случайными коэффициентами 45
§ 2. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданной
системой конечномерных распределений 53
§ 3. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной
модификации 59
§ 4. Применение общих результатов о построении случайных
процессов с непрерывными траекториями к вопросу о существовании
броуновского движения 64
Глава III. Недифференцируемость, немонотонность и другие свойства
броуновского движения
§1. Недифференцируемость 69
§2. Немонотонность, нули и локальные экстремумы броуновского
движения 72
§3. Вариация (]Г|ДВ|) и квадратическая вариация Q] |АВ|2) 75
§4. Некоторые траекторные свойства процесса приращений (ABt)t^0
броуновского движения. Исключительные моменты времени ... 80

Оглавление
5
Глава IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки,
марковские моменты. Прогрессивная измеримость
§1. Фильтрованные пространства и фильтрованные вероятностные
пространства 83
§ 2. Моменты остановки, марковские моменты 86
§ 3. О сг-алгебрах, порожденных моментами остановки и
марковскими моментами 94
§ 4. • Необходимость введения броуновского движения на
фильтрованных пространствах 98
§ 5. Законы нуля или единицы 102
§ 6. О предсказуемых, опциональных, измеримых и прогрессивно
измеримых сг-алгебрах и процессах 104
Глава V. Марковское и строго марковское свойства броуновского
движения
§ 1. Марковское свойство 111
§ 2. Строго марковское свойство для броуновского движения 115
§ 3. Принцип отражения 119
§ 4. О некоторых понятиях общей теории марковских процессов . . . 121
Глава VI. Закон повторного логарифма и законы арксинуса и
арктангенса
§1. Закон повторного логарифма — 1. Формулировка в случае
дискретного времени 125
§2. Закон повторного логарифма —2. Доказательство в случае
дискретного времени 133
§ 3. Закон повторного логарифма для броуновского движения 138
§ 4. Законы арксинуса 141
§ 5. Законы арктангенса 146
Глава VII. Броуновский мост. Применения в математической
статистике
§1. Определения 151
§ 2. О распределении вероятностей броуновского моста как условном
распределении броуновского движения 153
§ 3. О критериях согласия Колмогорова и Смирнова 154
§ 4. О распределениях Колмогорова и Смирнова 160
Глава VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость.
Дискретное время
§ 1. Опциональные теоремы — 1 165
§ 2. Равномерная интегрируемость 171
§ 3. Опциональные теоремы — 2 177
§ 4. Основная опциональная теорема 181

6
Оглавление
Глава IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
§ 1. Опциональные теоремы для мартингалов и субмартингалов .... 185
§ 2. Первое и второе тождества Вальда для броуновского движения . . 187
§ 3. Фундаментальное тождество Вальда и критерии его выполнимости 193
Глава X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского
движения. Мартингальные неравенства
§ 1. Определения, примеры 199
§2. Мартингальная характеризация броуновского движения.
Теоремы П. Леви 202
§ 3. Теорема Гирсанова 205
§ 4. Мартингальные неравенства 212
Глава XI. О вероятностных свойствах некоторых моментов выхода
броуновского движения
§1. Свойства момента остановки Ta = inf{t^0: Bt = a} 221
§2. Свойства момента остановки cra=inf{t^0: |Bt| =a} 224
§3. Свойства момента остановки Tab=inf{t^0: Bt ^a + bt} 228
§4. Свойства момента остановки crab = inf{t^0: Bt£(—a + bt,a + bt)} 231
§ 5. Свойства моментов выхода броуновского движения на некоторые
криволинейные границы 232
§ 6. О свойствах некоторых моментов остановки и распределении sup
для броуновского движения со сносом 236
Глава XII. Броуновское движение и стохастический анализ
§ 1. Стохастический интеграл по броуновскому движению с
фиксированным верхним пределом. Прогрессивно измеримые процессы . 241
§ 2. Стохастический интеграл по броуновскому движению с
переменным верхним пределом 247
§ 3. Расширение класса интегрируемых функций (от Ж2[0, Т]
к^2[0,Г]) 252
§ 4. Формула Ито — 1. Вывод 256
§ 5. Формула Ито — 2. Эвристические рассмотрения 261
§ 6. Формула Танака и локальное время броуновского движения .... 264
§7. Лемма Скорохода. Теорема Леви о совпадении распределений
процессов (тахВ-Б,тахБ) и (|B|,L) 269
§ 8. Обобщение теоремы Леви на случай броуновского движения со
сносом 272
§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака 276
Глава XIII. Возвратность и невозвратность случайного блуждания и
броуновского движения. Время пребывания. Функция Грина
броуновского движения
§1. Мера пребывания и локальное время броуновского движения
(d = l) 285

Оглавление
7
§ 2. Среднее значение меры пребывания и функция Грина для
броуновского движения — 1 289
§ 3. Среднее значение меры пребывания в случае простого d-мерного
случайного блуждания. Возвратность и невозвратность 292
§ 4. Возвратность и невозвратность броуновского движения в
размерностях d ^ 1 298
§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина для
броуновского движения — 2 301
Глава XIV. Аналитические и вероятностные аспекты теории
потенциала. Гармонические функции
§ 1. Исторический экскурс 309
§ 2. Классическая проблема Дирихле для оператора Лапласа 310
§ 3. Решение Пуассона задачи Дирихле на диске 314
§4. Гармонические, субгармонические и супергармонические
функции. Свойства в среднем 319
§ 5. Следствия из свойств в среднем для гармонических функций . . . 327
§ 6. Вероятностный подход к задаче Дирихле для оператора Лапласа . 332
§ 7. Вероятностный подход к задаче Пуассона для оператора Лапласа
с нулевыми граничными условиями 335
§ 8. Вероятностный подход к задаче Пуассона для оператора Лапласа
с граничными условиями Неймана 337
Глава XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории
потенциала
§ 1. Скалярные и векторные поля, скалярное и векторное
произведения, дифференциальные операторы 343
§2. Векторное исчисление — 1. Теоремы Ньютона—Лейбница,
Гаусса—Остроградского 349
§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса 353
§ 4. Первое и второе тождества Грина 361
Глава XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
§1. Фундаментальные решения 363
§ 2. Функции Грина 370
§ 3. Метод отражений — 1. Нахождение функции Грина для оператора
Лапласа в полуплоскости 377
§ 4. Метод отражений — 2. Нахождение функции Грина для оператора
Лапласа в шаре 379
§ 5. Фундаментальные решения и функция Грина для уравнения
теплопроводности 381
Глава XVII. Стохастическая динамика Ланжевена. Процесс Орнштей-
на—Уленбека
§1. Динамика Ланжевена 387

8 Оглавление
§ 2. Процесс Орнштейна—Уленбека 389
§ 3. О неоднородных процессах Орнштейна—Уленбека и
детерминированной замене времени 395
§4. Оценка параметров стационарного комплексного процесса
Орнштейна—Уленбека 400
Глава XVIII. Процессы Бесселя
§ 1. Квадратичные процессы Бесселя целочисленной размерности п^ 1
с нулевыми начальными условиями 403
§ 2. О распределении вероятностей квадратичного процесса Бесселя
размерности 5 ^ 0 с произвольными начальными условиями . . . 406
§ 3. Об обобщенной статистике х1(а) и еш.е °б одном способе
определения квадратичного процесса Бесселя размерности 5^0 412
§ 4. Процессы Бесселя 415
§ 5. Процессы Бесселя и случайная замена времени. Преобразование
Ламперти 421
§ 6. Бесселевские процессы в соотношениях с равенством по
распределению (теоремы Питмена, Рэя и Найта) 423
Глава XIX. О стохастических представлениях по броуновскому
движению
§ 1. Сводка некоторых общих результатов об интегральных
представлениях 431
§ 2. Доказательство утверждений А в теоремах 1и2 434
§3. О стохастических интегральных представлениях некоторых
частичных максимумов броуновского движения 438
§4. Детерминированная и стохастическая замены времени. Теорема
Дамбиса и Дубинса—Шварца для одномерных локальных
мартингалов 446
§ 5. Теорема Найта для многомерных локальных мартингалов.
Тождество Бужероля. Теорема Монро для семимартингалов 451
§ 6. Вложение Скорохода (последовательности случайных величин в
броуновское движение) 454
§ 7. О некоторых преобразованиях вида X =/ о Т +В о Т,
представляющих интерес для математической статистики и финансовой
математики 457
§ 8. О представлении гауссовских процессов, эквивалентных
броуновскому движению, с помощью стохастических интегралов типа
Вольтерра 460
§ 9. О представлении гауссовских процессов посредством замены
времени, стохастических рядов и стохастических интегралов типа
Фредгольма 463

Оглавление 9
Глава XX. О плоском (двумерном) броуновском движении и его связи
с комплексным анализом
§1. Конформная инвариантность П. Леви
§ 2. Об асимптотическом поведении угловой составляющей
комплексного броуновского движения. Теорема Спицера
§3. Об асимптотическом поведении аддитивных функционалов от
комплексного броуновского движения. Теорема Каллианпура—
.Роббинса
§ 4. О некоторых свойствах линейного и плоского броуновских
движений с переменным сносом
§ 5. О площади, заметаемой броуновским диском конечного радиуса.
Теорема Колмогорова—Леонтовича
Литература
Обозначения
Предметный указатель
Том 2
Предисловие
Глава XXI. Винеровская мера
Глава XXII. Дифференциальные уравнения в частных производных
и стохастические представления решений некоторых из них
Глава XXIII. О роли броуновского движения в классических и
функциональных предельных теоремах. Метрические пространства. Критерии
слабой сходимости
Глава XXIV. Регулярность, плотность и равномерная плотность
вероятностных мер. Критерии равномерной плотности
Глава XXV. Слабая сходимость вероятностных мер на метрических
пространствах
Глава XXVI. Метод Стейна в оценивании близости вероятностных мер
Глава XXVII. Предпосылки к исчислению Маллявэна. Полиномы Эрми-
та. Формула Мелера и гармонические осцилляторы
Глава XXVIII. Операторы Эрмита, Мелера, Орнштейна—Уленбека.
Неравенства Эфрона—Стейна, Пуанкаре и Соболева
Глава XXIX. О функционалах, их производных и интегралах (кратных
и повторных) на винеровском пространстве
Глава XXX. Исчисление Маллявэна

10
Оглавление
Глава XXXI. Некоторые приложения исчисления Маллявэна
Глава XXXII. Некоторые применения исчисления Маллявэна в
финансовой математике
Глава XXXIII. Исчисление Маллявэна и метод Стейна в гауссовской
аппроксимации распределений вероятностей функционалов на винеров-
ском пространстве
Глава XXXIV. Диффузия и стохастические дифференциальные
уравнения
Глава XXXV. Обратные стохастические дифференциальные уравнения
Глава XXXVI. Некоторые применения обратных стохастических
дифференциальных уравнений. Нелинейные и сублинейные ожидания. Меры
риска
Глава XXXVII. О принципах вариационного исчисления и обратных
уравнениях в детерминистических и стохастических системах
Глава XXXVIII. Размерности Минковского и Хаусдорфа. Применение
к броуновскому движению
Глава XXXIX. О подходах к основаниям квантовой механики.
Вероятностная интерпретация

Предисловие
Ведущей мыслью автора при написании настоящей книги было,
прежде всего, издание значительно расширенного курса лекций по
теме «броуновское движение и винеровская мера», имеющей широкие
связи с дифференциальными уравнениями в частных производных,
комплексным анализом, теорией функций, математической физикой...
Автор в течение ряда лет читал по этой теме лекции для студентов
и аспирантов механико-математического факультета МГУ, слушателей
научно-образовательного центра в МИАНе и Школы анализа данных в
Яндексе.
Существенную часть книги составляет материал, который автор
планировал прочитать и который, вообще говоря, следовало бы читать
в продвинутых вероятностных курсах. Некоторый материал
докладывался автором на различных научных мероприятиях — конференциях,
симпозиумах, специальных семинарах. Исследователи в области
теории вероятностей и ее применений, а также представители других
математических дисциплин, думается, найдут в книге много нового
для себя и своей работы. По теме книги существует огромная
литература — статьи, монографии, препринты, записки лекций, в том числе
и в электронном виде. Многие из них указаны в библиографии к
книге, в тексте читатель увидит большое число ссылок на используемые
материалы.
Броуновское движение, или винеровский процесс, является одним из
фундаментальных процессов в математике и физике и вообще в
естествознании. Физические предпосылки броуновского движения
излагаются во введении. Там же описывается, какие аспекты этого движения
стали интересными для математиков, а из оглавления читатель увидит,
какой математический аппарат, основанный главным образом на
вероятностных понятиях, представлен в книге. Читатель увидит также,
что по стилю изложения часть материала книги носит лекционный
характер. Иногда мы приводим результаты в общем виде, но доказываем
лишь в простейших (так сказать, «одномерных») случаях, что вызвано
и временными ограничениями, и желанием, чтобы, скажем, студенты
приводили общие доказательства в «многомерных» случаях, например,
как части своих курсовых проектов.

12
Предисловие
Изложение темы «броуновское движение и винеровская мера»
требует большого вспомогательного материала из разных разделов
математики. Чтобы сделать изложение как можно более замкнутым, нам
пришлось дать необходимый материал из векторного анализа,
сведения об элементах теории потенциала, о фундаментальных решениях
и функциях Грина... Броуновское движение и решения стохастических
дифференциальных уравнений (прямых и обратных) самым
непосредственным образом связаны с уравнениями в частных производных
(прямыми и обратными). Поэтому приводится необходимая
информация об этих последних уравнениях. Броуновское движение и вине-
ровскую меру часто рассматривают как предельные объекты в
функциональной центральной предельной теореме (принцип
инвариантности). Именно с этим обстоятельством связано то, что мы помещаем
большой материал о слабой сходимости в метрических пространствах.
С броуновским движением связана теория оптимального
управления в системах, определяемых стохастическими дифференциальными
уравнениями. Эта теория самым непосредственным образом связана с
вариационным исчислением и теорией оптимального управления в
детерминистических системах. Именно поэтому мы приводим большой'
материал, относящийся к вариационному исчислению и результатам
теории оптимального управления в детерминистических системах.
Отметим также, что в книге дается большой библиографический
материал, из которого читатель может увидеть, какими источниками
автор пользовался в своих лекциях и при написании книги, а также
ознакомиться с разнообразной литературой по теме «броуновское
движение и винеровская мера». В частности, во многих местах книги
читатель встретит разнообразный интересный материал о структурных
свойствах броуновского движения.
Автор выражает свою искреннюю признательность главному
редактору издательства МЦНМО Ю. Н. Торхову, Е. А. Макаровой, В. В.
Шувалову и Т. Б. Толозовой за помощь в издании книги.
Автор выражает благодарность Фонду содействия развитию науки
«Институт „Вега"» и лично генеральному директору Фонда К. Ю.
Климову за финансовую поддержку в издании книги.
Москва, 2022 г. А. Ширяев
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Школа анализа данных Яндекса

Введение
Броуновское движение в физике
1. В1827 г. шотландский ботаник Роберт Браун (Robert Brown, 1773—
1858) поместил крошечную крупинку цветочной пыльцы растения Clar-
kia pulchella в воду и наблюдал за ней под микроскопом. Он обнаружил,
что эта крошечная крупинка совершает непрерывное зигзагообразное
движение, хотя, по его же словам, наблюдаемое движение «не связано
с потоками в жидкости, с постепенным испарением, а присуще самим
частичкам».
Описание этих наблюдений было опубликовано в статье R. Brown.
A brief account of microscopical observations made in the months of June,
July, and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants;
and on the general existence of active molecules in organic and inorganic
bodies // Philosophical magazine. 1828. V. 4. P. 161—173.
Нельзя сказать, что подобные движения не были известны ранее.
Так, в поэме «О природе вещей», 60 г. до н. э., римский поэт Лукреций
описывал подобные движения. В 1785 г. Ян Ингенхауз (J. Ingenhousz)
описал движение угольной пыли в алкоголе. Однако лишь Р. Браун дал
подробное описание этих беспорядочных движений.
Некоторые математические описания подобных явлений были даны
Т. Н. Тиле (Т. N. Tiele) в 1880 г. в статье про метод наименьших
квадратов. В 1900 г. Л. Башелье (L. Bachelier) в своей диссертации «Theorie
de la speculation» представил стохастический анализ сходного
беспорядочного движения цен на финансовом рынке.
2. Первые физико-математические объяснения движения,
описанного Р. Брауном и названного в его честь броуновским (брауновским)
движением, были предложены в работах А. Эйнштейна и М. Смолу-
ховского: A. Einstein. Uber die von der molekularkinetischen Theorie der
Warme geforderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten
Teilchen // Ann. Phys. (Ser. 4). 1905. V. 17 (v. 322, № 8). P. 549-560
(рус. пер.: Л. Эйнштейн. О движении взвешенных в покоящейся
жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты //
Собр. науч. тр. Т. 3.1966. С. 108—117) и М. Smoluchowski. Zur kinetischen

14
Введение
Theory der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen // Ann.
Phys. (Ser. 4). 1906. V. 21 (v. 326, № 14). P. 756-780.
В своей работе 1905 г. А. Эйнштейн дал четкое объяснение
механизма броуновского движения. При этом для математического изучения
броуновского движения он применяет вероятностно-статистический
подход, выведя для плотности y = yt(x) (положения частицы в момент
времени t в точке х) уравнение (теплопроводности)
дц _ р д2у
dt ~ 2 Эх2 '
из которого он заключает, что любая из координат перемещаемой
частицы за время t будет не порядка t, как думалось, а порядка yft.
Вторая часть работы —это выяснение зависимости коэффициента
(диффузии) D от ряда физических величин (число Авогадро, константа
Больцмана, температура и т.д.).
Эта работа привлекла внимание физиков, поскольку в ней
давалось (косвенное) доказательство существования атомов и молекул, что
затем было экспериментально подтверждено в работах Жана Батиста
Перрена (Jean Baptiste Perrin, 1870—1942) в 1908 г. (См. первое издание
1913 г. его книги «Les Atomes».)
Броуновское движение и винеровская мера в математике
1. Вот что писал Н. Винер (1894—1964) в своей книге «Я
—математик» (М.: Наука, 1967; Ижевск: РХД, 2001; в английском оригинале —
N. Wiener, I am a mathematician. Garden City, N. Y.: Doubleday & Co., 1956):
«Само по себе броуновское движение вовсе не было совсем
неисследованной областью физики. Но в фундаментальных работах
Эйнштейна и Смолуховского, посвященных этой проблеме, изучалось или
поведение некоторой частицы в какой-то фиксированный момент
времени, или же зависящие от времени статистические характеристики
большой совокупности частиц, математические же свойства
траекторий отдельных частиц никак не затрагивались.
В этом последнем направлении почти ничего не было известно,
если не считать глубокого замечания французского физика Перрена,
отметившего в своей книге «Атомы» [Les Atomes; рус. пер.: М.: Гостехиз-
дат, 1924], что крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих
броуновское движение, заставляют вспомнить непрерывные, нигде не
дифференцируемые кривые математиков. В этом замечании говорится
о непрерывности, поскольку частицы не совершают никаких
мгновенных скачков, и о недифференцируемости, поскольку кажется, что ни в

Введение
15
какой момент времени эти частицы не обладают точно определенным
направлением движения».
Эти слова объясняют представленное Н. Винером изложение
теории броуновского движения (N. Wiener. Differential-space // J. Math, and
Phys. 1923. V. 2. P. 131—174), называемого также винеровским
процессом, почти все траектории которого являются непрерывными нигде не
дифференцируемыми функциялт.
2. В гл. I и II настоящей книги дается определение броуновского
движения и рассматриваются вопросы существования и
математического построения этого движения, называемого, как уже сказано,
также винеровским процессом.
Есть несколько подходов к решению этих вопросов.
Первоначальный метод Винера состоял в построении такого процесса с помощью
функциональных тригонометрических рядов со случайными
коэффициентами. Более общий подход к конструкции процессов был
предложен А. Н. Колмогоровым, который доказал существование
броуновского движения, исходя из общей конструкции процессов по
конечномерным распределениям и теоремы, дающей условия существования
модификации с непрерывными траекториями.
Броуновское движение обладает многими интересными траектор-
ными свойствами — его траектории непрерывные, но не
дифференцируемые и не монотонные. Для них выполнены законы повторного
логарифма, арксинуса, арктангенса. Эти и другие вопросы
рассматриваются в гл. III и VI.
В современной теории вероятностей наряду с вероятностным
пространством рассматривают также фильтрованное вероятностное
пространство. С этим понятием связаны марковские моменты, моменты
остановки, строго марковское свойство и др. Материал, относящийся
к этим вопросам, содержится в гл. IV и V.
Броуновское движение порождает многие известные процессы —
броуновский мост, бесселевские процессы, процессы Орнштейна—Улен-
бека и ряд других. Рассмотрению броуновского моста посвящена
глава VII, в которой дается применение в математической статистике
(критерии Колмогорова и Смирнова).
В главе VIII для случая дискретного времени обсуждаются важные
вопросы равномерной интегрируемости и опциональное™
(сохранения различных свойств при замене детерминированного момента
времени на случайный).
С броуновским движением тесно связана теория мартингалов.
Некоторым вопросам этой теории и ее применениям к броуновскому
движению (тождества Вальда, характеризационная теорема П. Леви, даю-

16
Введение
щая условия, при которых непрерывный мартингал является
броуновским движением, теорема Гирсанова) посвящены гл. IX и X.
В теории вероятностей и ее применениях проводится много
исследований относительно распределений вероятностей моментов выхода
броуновского движения на те или иные границы. Ряд конкретных
случаев рассматриваются в гл. XI. Интересна изложенная здесь техника
получения соответствующих результатов.
Именно с броуновским движением связано развитие
стохастического анализа, в основе которого лежит конструкция стохастического
интеграла Ито и формула замены переменных. Им посвящена глава XII,
результаты которой будут постоянно использоваться в других главах.
Вопросам поведения броуновского движения в пространствах
разных размерностей (возвратность и невозвратность, среднее значение
меры пребывания, вероятностная функция Грина) посвящается гл. XIII.
Теория броуновского движения тесно связана с теорией
потенциала, гармоническими функциями, дифференциальными уравнениями.
Глава XIV дает представление об этих вопросах, включая и такие
вопросы, как вероятностное представление решений задач Дирихле и
Пуассона для оператора Лапласа с граничными условиями.
В гл. XV включен материал векторного исчисления,
дифференциального и интегрального анализа, формулы Грина и Стокса. Это
классический материал, но он включен в книгу, поскольку будет
систематически использоваться и напоминание этих результатов делает наше
изложение более замкнутым.
Как уже говорилось, нас особенно интересует проблематика
вероятностных решений дифференциальных уравнений с частными
производными. Излагаемый в гл. XVI материал о фундаментальных
решениях и функциях Грина можно рассматривать как предпосылку к
сформулированной проблеме. В гл. XVII и гл. XVIII подробно изучаются
процессы Орнштейна—Уленбека, которые далее будут часто встречаться,
и процессы Бесселя, обладающие многими интересными
особенностями. Все эти процессы порождаются броуновским движением.
В следующей главе XIX рассматривается общий вопрос об
интегральных представлениях по броуновскому движению. Здесь также
рассматриваются такие вопросы, как стохастическая замена времени
(теоремы Дамбиса и Дубинса—Шварца, теоремы Найта, Монро и т. п.).
Глава XX посвящена двумерному (плоскому) броуновскому
движению, что иллюстрирует связь этого движения с комплексным
анализом. Особо отметим здесь материал о конформной инвариантности
П. Леви, теорему Спицера об асимптотическом поведении угловой
составляющей комплексного броуновского движения и теорему Кол-

Введение
17
могорова—Леонтовича о площади, заметаемой броуновским диском
конечного радиуса.
Вероятностная мера броуновского движения — это винеровская
мера. Соответствующий материал содержится в главе XXI, в которой
рассматриваются и различные свойства этой меры (например,
квазиинвариантность), и различные вычисления по этой мере. В связи с
понятием винеровской меры следует отметить интересное обобщение (кратко
излагаемое в § 2 гл. XXI) этого понятия — абстрактную винеровскую
меру, введенную Л. Гроссом в 1965 г.
В следующей главе XXII мы подробно рассматриваем вероятностное
представление решений ряда дифференциальных уравнений с
частными производными (уравнение теплопроводности, уравнение Фейнма-
на—Каца, уравнение Блэка—Шоулса). Дается краткое введение к
уравнению Шрёдингера.
О броуновском движении часто говорят как о предельном
объекте в функциональной центральной предельной теореме. С тем чтобы
сделать подобное высказывание более определенным, мы приводим в
гл. XXIII—XXV большой материал о слабой сходимости вероятностных
мер на метрических пространствах (включая теорему Прохорова и
принцип инвариантности Донскера). Этот материал требует большой
предварительной работы, связанной с метрическими пространствами,
свойствами вероятностных мер на таких пространствах, в частности
равномерной плотностью, и др. Изложение здесь завершается
доказательством принципа инвариантности Донскера и существования
винеровской меры как некоторого предельного объекта в смысле слабой
сходимости.
Материал многих последующих глав связан с методом Стейна в
оценивании близости вероятностных мер и исчислением Маллявэна
на винеровском пространстве, т.е. банаховом пространстве С0[0,Т]
(непрерывных функций, выходящих из нуля) с винеровской мерой.
В гл. XXVI подробно рассматривается метод Стейна, позволяющий
оценивать близость вероятностных мер в различных метриках, таких
как равномерная метрика Колмогорова, расстояние по вариации,
метрика Васерштейна и др. Приводится ряд результатов, где в качестве
предельного распределения возникает не только нормальное (гауссов-
ское) распределение, но и пуассоновское (согласно Чену).
Если стохастический анализ связан прежде всего с
интегрированием по броуновскому движению, то материал последующих глав будет
связан с дифференциальным исчислением Маллявэна на винеровском
пространстве. Сначала (гл. XXVII) рассматриваются предпосылки этого
исчисления, называемого также исчислением вариаций. Сюда мы отно-

18
Введение
сим вопросы интегрирования по частям, разные вопросы
дифференцирования в конечномерном пространстве и связанные с ними
операторы D, 5 и L и полиномы Эрмита. Затем (в гл. XXVIII)
рассматриваются операторы Эрмита, Орнштейна—Уленбека, Мелера, разного рода
неравенства (Пуанкаре, Виртингера, Соболева, Эфрона—Стейна,
концентрационные неравенства).
К вопросу о предпосылках к исчислению Маллявэна относится и
глава XXIX, в которой рассматриваются функциональные производные
(по Фреше и по Гато), изонормальные гауссовские процессы и
необходимые для дальнейшего вопросы структуры L2-функционалов на вине-
ровском пространстве, кратные интегралы Винера—Ито и повторные
интегралы Ито.
Собственно изложение исчисления Маллявэна начинается с гл. XXX.
Здесь определяется сначала производная для полиномиальных
функционалов (S) на винеровском пространстве и затем для замыкания (S)
таких функционалов (по Соболевской метрике).
Важными в формуле интегрирования по частям являются
дивергентные операторы, которые, оказывается, совпадают с интегралами
Скорохода, обобщающими интегралы Ито на случай, вообще
говоря, упреждающих функций. Для случая винеровского пространства в
гл. XXX рассматриваются вопросы действия разных операторов
(Эрмита, Орнштейна—Уленбека, Мелера) на функционалы, определенные на
этом пространстве, их структура и свойства (например, гиперсжима-
ющие полугруппы).
Глава XXXI посвящена рассмотрению ряда вопросов, где
применяется исчисление Маллявэна.
Так, использование производных Маллявэна позволяет дать
представление подынтегральных выражений в формуле Кларка—Окона для
L2-функционалов на винеровском пространстве.
Исчисление Маллявэна возникало в связи с разработкой
вероятностного доказательства гладкости решений задачи Коши для
параболического уравнения, где правая часть задается оператором второго
порядка (см. формулы (1), (2) в § 5 гл. XXXI).
Условия гладкости (гипоэллиптичности) были получены в 1967 г.
Хёрмандером чисто аналитическими методами. Переформулировав
эту задачу в терминах решений соответствующего стохастического
дифференциального уравнения, Маллявэн дал вероятностное
доказательство результатов Хёрмандера. Изложению этого круга вопросов
посвящены § 3—5 гл. XXXI.
В финансовой математике многие модели основаны на
стохастических дифференциальных уравнениях, порождаемых броуновским дви-

Введение
19
жением. Тем самым приходится иметь дело с функционалами,
определенными на винеровском пространстве, для которых развито
исчисление вариаций («исчисление Маллявэна»). Глава XXXII содержит
изложение вопросов «чувствительности» (главным образом для некоторых
опционов) цен, когда те или иные характеристики моделей
изменяются, скажем, на эпсилон.
Глава XXXIII представляет интерес и с точки зрения классических
предельных теорем сходимости к гауссовскому закону, и с точки
зрения применения идей исчисления Маллявэна и идей метода Стейна.
В этой главе рассматриваются различные функционалы F на
винеровском пространстве и приводятся оценки расстояния (по вариации и
в метрике Колмогорова) их распределений от гауссовского
распределения.
Глава XXXIV посвящена теории стохастических дифференциальных
уравнений. Многие такие уравнения появляются и в основном
материале книги (уравнения Орнштейна—Уленбека, броуновского моста,
Блэка—Шоулса, Бесселя и др.).
При систематическом изучении материала книги рекомендуется
ознакомиться с данной главой как можно раньше. Это даст
представление о разнице между сильными и слабыми решениями, о теоремах
существования и единственности решений стохастических уравнений.
Рассматриваются здесь также разные подходы к понятию марковских
физических процессов, введенных для случая непрерывного времени
в работе А. Н. Колмогорова «Об аналитических методах в теории
вероятностей» (1931 г.) под названием «стохастически определенных»
процессов (или, как иногда говорят, марковских процессов в широком
смысле). Теорема в § 5 дает представление о разных формах
марковского свойства применительно к решениям стохастических
дифференциальных уравнений.
Глава XXXV посвящена изложению теории обратных
стохастических дифференциальных уравнений, характеризуемых прежде всего
тем, что вместо начального условия задается условие в
терминальный момент времени. Сами же решения таких уравнений являются по
определению адаптированными, как и в обычных стохастических
дифференциальных уравнениях. Такие (обратные) уравнения возникают в
разнообразных вопросах самой теории вероятностей и в ее
применениях, например, к финансовой математике, а также при отыскании
вероятностных представлений решений дифференциальных
уравнений с частными производными. Эти вопросы изучаются в гл. XXXVI,
где также рассматривается проблематика, связанная с нелинейными
ожиданиями и их представлениями.

20
Введение
Впечатляющее применение обратных стохастических
дифференциальных уравнений мы находим в стохастическом управлении в
системах, описываемых стохастическими дифференциальными
уравнениями. В гл. XXXVII мы не только излагаем соответствующую теорию, но
и достаточно подробно описываем нужные здесь вариационные
методы — сначала историю их возникновения, затем основные результаты
(уравнения Эйлера—Лагранжа, принцип максимума и др.)
Броуновское движение ведет себя весьма экзотическим образом,
что демонстрируется во многих главах книги. В главе XXXVIII
поведение траекторий броуновского движения в размерностях п ^ 1
изучается с точки зрения «размерности» различных связанных с ним
случайных множеств, например множества его нулей или множества,
заметаемого его траекториями на временном интервале [0,1]. При
этом размерность множеств понимается в смысле Минковского или
Хаусдорфа; даются определения этих размерностей и излагаются их
основные свойства.
Цель заключительной главы XXXIX —описать вкратце предпосылки
и ряд подходов (Гейзенберг, Шрёдингер, Фейнман) к квантовой
механике и дать некоторые вероятностные интерпретации, в том числе
основанные на диффузионных уравнениях, связанных с броуновским
движением.
В целом о характере материала всех 39 глав читатель может
получить представление из приведенного выше оглавления.

Гл ав а I
Броуновское движение,
или винеровский процесс
§1. Определения
1. Есть разные, но, в сущности, эквивалентные определения
(стандартного) броуновского движения, или винеровского процесса.
Определение 1. Определенный на вероятностном пространстве
(Г2,^",Р) действительный случайный процесс X = (Xt(co))t^0, со е П,
называется броуновским движением или винеровским процессом, если
Г)Х0(со) = 0, соеП;
2°) распределения приращений Xt+h(co) -Xt(co), t ^ 0, h > 0,
являются нормальными QV(0,h)) с
E[Xt+h(co) -Xt(co)] = 0, E[Xt+h(co) - Xt(co)f = h;
3°) для всех 0 ^ t1 < t2 < ... < tn, n > 2, приращенияXti(со) -Х0(со),
Xt2(co) —Xt (со), ...,Xtn(co) —Xtn(со) независимы;
4°) процессX — (Xt(co))t^0 имеет почти наверное (по мере Р)
непрерывные траектории.
Обычно, когда говорят о броуновском движении, его обозначают
В = (Bt(co))t^0. Когда говорят о винеровском процессе, его
обозначают W = (Wt(co))t^0. Индекс со часто опускают. Временным интервалом
может быть не только М+ = [0, оо), но и множества Г = [0,1], Г = [0, а]
и т.п.
Условие 4° (непрерывность) вполне естественно для броуновской
частицы из опытов Р. Брауна; нормальность N(0,h) следует из
условия 3°, стационарности приращений (точнее — стационарности
распределений приращений) и центральной предельной теоремы.
В том случае, когда рассматривается процесс Xх = (Xx(co))t^0, х е
е Ш = (—оо, оо), Xх(со) = х + Xt(co), мы говорим, что имеем дело с
броуновским движением (винеровским процессом), начинающимся из
точки х е R.
2. Другое определение (стандартного) броуновского движения
таково.

22
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
Определение 2. Случайный процесс В = (Bt(co))t^0 есть
броуновское движение, если
ЮВ0О) = 0, со<=П;
2') В = (Bt(co))t^0 является центрированным (EBt(co) — 0, t ^ 0)
гауссовским процессом (т. е. все конечномерные распределения
являются гауссовскими);
30 EBs(co)Bt(co) = s Л t (= min(s, t)) для всех 5 ^ 0, t ^ 0;
40 с вероятностью 1 траектории В — (Bt(co))t-,0 являются
непрерывными функциями.
По соображениям удобства письма вместо Bt(oo) мы часто пишем
Bt, B(t), B(t, со). То же относится и к Wt(co).
Заметим, что если ковариация cov(Bs,Bt) = EBsBt есть 5 Л t, то
корреляция равна
(и D^-_5Mt _5At_ /g A t Л| min(s,Q
corr(B-Bt) = T^pf"Trt ~ V5-^т- \ ^feo'
Отметим также, что
EBsBt = sAt = ^(s + t- |t -s\).
Это представление интересно в связи с рассматриваемым далее (в § 7)
фрактальным (дробным) броуновским движением Вн = (Bf )t^0> для
которого по определению
EBfB? = i(s2H + t2H-|t-5|2H),
где0<Я<1.
Участвующие в условии 2° конечномерные распределения
определяются следующим образом. Пусть
1 -£
<ptW = -=e 2t, t>0. (1)
v znt
Эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности
dyt(x) _ 1 d2ytW
5t ~2 дх2 ' U* Uj
Для 0 < tl < ... < tn конечномерные распределения Ptb...jtfi(Ai x ... хЛп)
процесса В — (Bt(co))t^0 описываются формулой
Pt1,...,tn(A1 X ... ХАП) = Г dXi... Г dxn П У^-^С** "*m-l),
(3)
где А; — борелевские множества (в i-м координатном пространстве
в Rn = R х ... х R). В формуле (3) положено t0 = 0, х0 = 0.

§1. Определения
23
Функции <pt(jt) удовлетворяют уравнению Колмогорова—Чепмена
4>tm+1-tmJ* ~х^ = \ 4>tm-tmJy ~ x)4>tm+1-tm(* ~ У)dy- (4)
R
Соотношению (3) можно придать следующую форму: для всякой
измеримой неотрицательной или ограниченной функции /(х1?...,хп)
выполняется равенство
J л
/Ul,...,Xn) П 4>tm-tn_SXm-xm-l)dx1...dxn. (5)
3. Существует естественное понимание (математического)
броуновского движения как предела случайного блуждания, что
согласуется с тем физическим представлением этого движения, которое было
описано во введении.
Чтобы объяснить, о чем здесь идет речь, начнем со случайного
блуждания (с единичным временным параметром)
Sn = £i + ... + £„, Ol, (6)
где %i, %2>... — независимые одинаково распределенные случайные
величины, принимающие значения ±1 с вероятностями 1/2. Будем
полагать также S0 = 0.
Если Pn(fc) = P(Sn = к), fceZ = {0,±l,±2,...}, то по формуле полной
вероятности
Pn+i(fc) = 5pn(fc + D + £рп№ - 1), (7)
откуда следует, что
Pn+l(fc) " Рп(Л) = \ №n(fc + 1) - 2Pn(fc) + Pn(fc - 1)]. (8)
Это соотношение напоминает формулу (2), что становится более
понятным, если считать, что движение осуществляется не в единичные
моменты времени, а в моменты времени, кратные At, и при этом на
каждом шаге (At, 2At,...) происходит движение вверх или вниз на
величину Ах, т. е. теперь %( принимают значения ±Ах (с
вероятностями 1/2). Вместо вероятностей Pn(fc) = P(Sn = к) рассмотрим сейчас
вероятности PnAt(fcAx) = P(SnAt = к Ах).
По аналогии с уравнением (8) теперь получаем
P(n+l)At(fcAx) - Рпд,(ЬД*) =
= \ [PnAt((fc + DAx) - 2PnAt(fcAx) + PnAt((fc - 1)Ах)], (9)

24
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
что можно понимать как соотношение, в котором «дискретная версия
первой производной по времени» совпадает (с точностью до
множителя 1/2) с «дискретной версией второй производной по
пространственной переменной».
Если считать, что (Ах)2 = At, то, поделив левую часть уравнения (9)
на At, а правую часть на (Ах)2 и устремив At к нулю, придем, по
крайней мере формально, к уравнению (2).
4. Пусть опять Е)1, £2,... —независимые одинаково распределенные
величины с Р(£, = ±1) = х- Положим
Et=Ax(§1 + ... + ^_Lj).
-Лг-
Дисперсия величины St есть
DEt = (A*)*[£].
Отсюда видим, что для близости St к стандартному броуновскому
движению В (у которого DBt = t) надо (снова, как и п. 3) положить Ах =
1
= v At. Если At = тт, то
или, равносильно,
d(n) _ £i + -" + £[jvt]
(N)_ /-fi + —+ £[JVt]
B\N) = Vi-
VNt
будет в силу центральной предельной теоремы при N —» сю
сходиться к нормальному распределению N(0, t), что совпадает с
распределением Bt броуновского движения. Более того, все конечномерные
распределения процесса B(N) = (b[n))^0 будут (по многомерной
центральной предельной теореме) сходиться к конечномерным распределениям
броуновского движения (Bt)t^0.
На самом же деле справедлив и более сильный результат
(принцип инвариантности), который утверждает, что процессы (b[n )t^0 при
N —> сю сходятся по распределению (—>) к броуновскому движению
(Bt)t^0. Подробно эти вопросы будут рассматриваться в гл. XXV.
§ 2. Разные свойства инвариантности броуновского движения
1. Пусть В = (Bt)t^0 — стандартное броуновское движение.
Следующие процессы, полученные из В, также являются (стандартными)
броуновскими движениями:
в[ = —Bt, t ^ 0 (симметрия);

§ 2. Разные свойства инвариантности броуновского движения 25
в[2) = tB1/t, t ^ 0, и В^2) = 0 (временная инверсия);
Яр) = Bt+S - Bs, t ^ 0, 5 ^ 0 (инвариантность относительно сдвига);
в[4) =ВТ - BT_t9 0 ^ t ^ Т, Т > 0 (обращение времени);
Вр^ = -Ba2t, а > О, t ^ 0 (автомодельность).
Остановимся на доказательстве того, что процессы B^l\ i = 1, ...,5,
являются броуновскими движениями (в случае в[4 — на [О, Г]).
(Вр ). Броуновость процесса В^ следует непосредственно из
определения 1 в § 1.
(В,). Понятно, что этот процесс является гауссовским с нулевым
средним. Его ковариация вычисляется по формуле
ЕВр}Вр} =stEB1/sB1/t = st min(±, ±) = min(5, t)
при всех 5 > 0, t > 0. Отсюда следует, что конечномерные
распределения у процесса
В(2)
такие же, как у (некоторого) броуновского
движения В. Далее, из непрерывности броуновского движения на [0, сю)
следует непрерывность процесса В^ на (0, сю). Установим непрерывность
процесса
В(2)
в нуле.
Распределение процесса В^ в рациональных точках (г е Q, г >
> 0) такое же, как и распределение процесса В в этих точках. Значит,
lim Вр) = 0 (почти наверное). Но В^ непрерывно на (0, сю). Поэтому
r<E(Q),r|0
limBp} = lim B^ = 0 (почти наверное).
t[0 reQ,r|0 r
Интересно отметить, что из свойств процесса В^ вытекает, что для
процесса В выполнен усиленный закон больших чисел:
limv = 0 (п-н-). (1)
(Здесь и далее «п. н.» означает «почти наверное по мере Р».)
Соотношение (1) следует из того, что
lim 5l = lim Bp) =HmBp) = Вр} = 0 (п.н.).
(Bt ). Это легко проверяемое свойство можно еще дополнить: этот
(3)
процесс В\ J = Bt+S - Bs не зависит также от значений Ви, 0 ^ и ^ 5,
т. е. удовлетворяет так называемому марковскому свойству.
(Обобщение этого свойства будет дано далее в гл. V.)
(Bt ). Это свойство непосредственно следует, например, из
определения 2 из § 1.
(В^ }). Выполнение этого свойства легко проверяется, если
воспользоваться определением 1 из § 1.

26
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
§ 3. Некоторые процессы, получаемые из броуновского движения
1. Если В = (Bt)t^0 —броуновское движение, то через Вх = (B*)t^0
будем обозначать такой процесс, что
B* = x + Bt, (1)
где х е R \ {0}. Иначе говоря, это снова броуновское движение, но
начинающееся не в нуле, а в состоянии х е R \ {0}, т. е. В£ = х Ф 0.
Через В^ = (Bj )t^o обозначаем процесс, для которого
B^=iJLt + Bt. (2)
Иначе говоря, это есть броуновское движение со сносом. Ясно, что в[м
имеет нормальное распределение N(/it, t). (Иногда вместо В^ мы
пишем В^.)
2. Броуновское движение В = (Bt)t^0 определялось для R+ = [0, оо).
Иногда определяют двустороннее броуновское движение В = (Bt)tGR,
где R = (-оо, оо). Строится это движение так. Берутся два независимых
броуновских движения (В~ )t^0 и (Ё[ )t^0 и полагается
'5(1)
Bt
^"fe t<0.
3. Пусть х,у е R. Процесс В(х°° = (B{tx,y))t^l} где
Б(х,у) =Бх _ f(Bx _ y) = JC(i _ t) + yt + [Bt - tBj, (3)
называется броуновским мостом, начинающимся в состоянии х в
момент t = 0 (Вр ^ — х) и заканчивающимся в состоянии у при t = 1
Из (3) видим, что при х=у=0 стандартный броуновский мост
Б(о,о)
описывается посредством броуновского движения В простой
формулой
B^0)=Bt-tBl} te [0,1].
Далее, в § 2 гл. XVII, будет дан аналог формулы (3) для любого t ^ Г:
B™ = x(l-$) + y$ + [Bt-$BT].

§ 3. Некоторые процессы, получаемые из броуновского движения 27
Если
1 (ь-°)2
4>t{a,b) = 4>t{b-a) = ~=e ъ , (4)
y/Znt
то для всякой измеримой неотрицательной или ограниченной
функции/ = /(хь...,хп)илюбых tb...,tn, 0< tl < ... < tn < 1, выполняется
равенство
= J /Ol, •••'Х")^(^У ' П Vtk-tk_SXk-l>Xk)Vl-tSXn>y)dxl~'dxn-
Шп ' к=2
У броуновского движения В ковариация вычисляется по формуле
EBsBt =5 Л t. У броуновского моста В^0,0\ т.е. такого случайного
процесса, что Bq 0) = 0 и Bj 0) = 0, ковариация вычисляется по формуле
щСо.оЗдСо.о) = (5 Л t)(1 _5 v t) (=5(1 - t) при 0 ^5 ^ t ^ 1).
Интересно отметить, что в[°'0) = Bt - tBl не зависит от В1. Это
следует из нормальности и того, что
EB^Bi = EBtBi - tKB\ = t-t = 0.
(См. также § 3 в гл. XVII, где броуновский мост определяется как
решение некоторого стохастического дифференциального уравнения.)
Если В = (Bt)t^0 — стандартное (непрерывное) броуновское
движение, то процессы
(l-t)B_^ и tBi-j^ (O^t^l) (5)
i-t t
являются броуновскими мостами В(0,0) = (B[0,0))t^i.
Процессы же
(l + t)B(_^ и (l + t)B(_^f (O^tsSl) (6)
i + t i+t
являются броуновскими движениями.
Справедливость формул (5) и (6) следует из подсчета их
ковариационных функций. (Средние значения равны нулю.) Броуновский мост
является примером неоднородного марковского процесса. (В
дальнейшем для броуновского моста будет использоваться также
обозначение В0. Обозначение (1) сохраняется при х ф 0.)

28
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
§ 4. О гауссовских (нормальных) величинах,
плотностях и процессах
1. Винеровский процесс (броуновское движение) определяется
через гауссовость и независимость приращений. Целесообразно
напомнить некоторые общие понятия относительно гауссовости.
Когда в теории вероятностей говорят о случайных процессах, их
обычно обозначаютX = (Xt)t^0, а случайные последовательности (с
дискретным временем) обозначаютX = (Хк)к>1 или X = (ХЪХ2,...) в
случае к^ 1 илиХ = (Х1,Х2,...,Хп), если 1 ^ к^ п.
Мы часто говорим, что (упорядоченный) наборX = {Х1,Х2, ...,ХП) —
это вектор (случайных) величин Х1,Х2, ---,Хп. При этом и с
векторами X, и с их характеристиками (моментами, ковариациями и т. п.) мы
совершаем алгебраические операции, при которых на X надо смотреть
несколько иначе, например, считая, что X — это не просто
упорядоченный набор величин Xl9X2, ---,Хп, а вектор-столбец, состоящий из этих
величин.
2. Следуя понятиям и обозначениям линейной алгебры, свяжем с
некоторыми элементами х1ух2,...,хп их матрицу порядка п х 1, т.е.
вектор-столбец
х =
*2
(1)
Матрицу же порядка 1 х п, т. е. вектор-строку, будем обозначать
что связано с тем, что
*т _
*1
*2
= [хъх2)...,хп]. (2)
Тем самым из приведенных матричных определений следует, что
хТу=[х1,х2,...,хп]
Уг
Уп\
= *1У1+*2У2 + -"+*пУп>
(3)
что совпадает со скалярным произведением (х, у) векторов
Х = (Х1,Х2,...,ХП) И У = {уЪу2,...,Уп).

§ 4. О гауссовских (нормальных) величинах, плотностях и процессах 29
В векторном исчислении хту обычно обозначается х • у и называется
«dot operation» или «dot product», см. гл. XV. Заметим, что хту = утх.
Вместо хт часто пишут х', т. е. знак транспонирования «Т» заменяют
на «/».
Наряду со скалярным произведением, являющимся произведением
вектор-строки на вектор-столбец, в векторном анализе используют
также диадическое произведение («dyadic product»)
х®у = ху =
*1
*2
Хп_
ЬъУъ-
•»Уп] =
х2Уг
.*пУ1
*1У2 •
*2.У2 •
х„У2 ■
•• х2уп
хпУп
(4)
Заметим, что х ® у, вообще говоря, не совпадает с у ® х.
3. Пусть (Г2, &, Р) — вероятностное пространство. Мы говорим, что
случайная величина X = Х{со), cog ft, имеет гауссовское, или
нормальное, распределение (N(/i, сг2)-распределение), если ее
характеристическая функция
/(а)=Ее
— ■cJaX
ае]
имеет такой вид:
/(a)
lay-
(5)
Если сг2 > 0, то функция распределения Ф^ОО = Р(Х ^ х) имеет
плотность
(6)
</w(*) =
л/2г
2а2
Если а2 = 0, то существует обобщенная плотность, равная 5(х — /i),
где 5 —дельта-функция Дирака (подробности см. в § 5).
4. Предположим, что имеется случайный вектор X = (ХЪХ2, •••,Хп).
Через X =
А
обозначаем вектор-столбец. Говорят, что вектор X =
= {ХЪХ2, ...,ХП) имеет гауссовское, или нормальное, N(/i,
^-распределение, если его характеристическая функция
/(a) = Eel(a^+-+a^), a = (a1?..., aj,
имеет вид
/(a) = e!'(a'M)4(Ea-a), (7)
или, в соответствии с введенными обозначениями для векторов,
Лч ia1и— -(На)1а
(8)

30
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
где
а =
г«г
«2
L«n.
, /а=
>ii
м2
JM
(9)
/i£ = EX; и Е есть неотрицательно определенная ковариационная
матрица
Е = Е[(Х-/х)(Х-/х)т] (10)
(см. формулу (4) в п. 2). Если матрица Е положительно определена, то
говорят, что вектор X = {Хъ ...,Хп) имеет невырожденное гауссовское
распределение.
Из вида характеристической функции (8) невырожденного гауссов-
ского распределения N(/i, Е) находим после обращения
преобразования Фурье, что
/(a) = J>*'eV0Od*>
где
ИГ1/2
4>(х) = ^= exp(-|((x - ц)ТЛ-\х - /х))) (11)
и |Е| —детерминант матрицы Е.
Если положить А = Е-1, то (/?(х) запишется следующим образом:
или
|Д|1/2 , ^ т -\
|Л|1/2 f 1 л
^(Х) = (2^ еХР1" 2Л(Х " ^'(Х " ^>
(12)
(13)
если использовать скалярное произведение из п. 2.
Скажем, в двумерном случае, когда X = (Х1?Х2), \х — (/ii,jU2), Е =
erf pcricj2\ EXjXo
pa V2 a2 I, где p — коэффициент корреляции (р = ~^~),
причем p2 ф\,о\Ф О, a2 t^ 0, двумерная плотность имеет вид
2ясг1сг2\/1 -р2
(*i -Mi)2 _ 2pQc1-ju1)(x2 - ju2) t (x2 - ju2):
2 СГ1СГ2
f l г 1*1 ~ i"
+ ^f£]). 04)
5. Если матрица Е является положительно определенной, то
существует такая невырожденная матрица Q, что Е = QQT. Рассмотрим
преобразование Y = Q_1(X - /х).

§ 4. О гауссовских (нормальных) величинах, плотностях и процессах 31
Поскольку EX = jll, нетрудно проверить, что
EY = EQ-1(X-/jt) = Q-1E(X-jLt) = 0
и
cov(Y, YT) = EYYT = Q_1E[(X - /x)(X - /x)T](Q"1)T =
= Q-1E(QTr1 ^Q-'QQ'tQ'T^I,
где J — единичная матрица.
Таким образом, все величины Yl9Y2,...,Yn имеют N(0,1 )-распреде-
ление и независимы.
6. Рассмотрим теперь тот важный случай векторной случайной
величины X = (Xi,X2, ---jXn), когда все величиныХг,Х2 —Xl9...,Xn -Хп_г
являются независимыми и гауссовскими с нулевыми средними и
положительными дисперсиями dl,d2,...,dn. Тогда совместное
распределение
lin{Ai х - xAn) = P(X1€A1,...,X„GAj (15)
будет определяться формулой
/in(Ax х ... хАп) = JdXi...§ dxn П 4>dSxm-xm-\\ (16)
Al An
где x0 = 0, At — борелевские множества на числовой прямой, i = 1,...
...,п, и
^(^)=7^е"^ (17)
(ср. с (3) в § 1).
Формулу (16) можно переписать и в таком виде:
Jun(A1x...xAn) =
*? fe-^l)2 (Xn-X„_!)2
= . = Г... Ге 2d' 2d2 2d„ dXl...dxn. (18)
Al An
7. Перейдем к определению гауссовского процесса X=(Xt)0^t^T с
действительными значениями. Такой процесс, рассматриваемый как
совокупность случайных величин Xt, 0 ^ t ^ Г, определяется тем, что
любой набор (Xti,Xt2,...,Xtn), где 0 ^ tx < t2 < ... < tn ^ Г, имеет
многомерное гауссовское (нормальное) распределение. Характеристическая
функция такого набора
/(а) = Ee'CaAx+.-.+aA,,), а = (а ...,аД

32
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
имеет согласно п. 4 следующий вид:
п п
/(а) = е k=l w=i
где jJLtk =EXtk,aatkA = E(Xtfc - jutfc)(Xt/ - /it/)-ковариация величинXtk
nXtr
Таким образом, гауссовский процесс X = (Xt)0^t^T полностью
характеризуется своими средними значениями /it = EXt и ковариациями
cov(Xt,Xs) = E(Xt-/it)(Xs-/is) (=atfS).
Если положить
T = (tl,t2,...,tn), jU,T =
Mt2
LMtJ
, ET = [cov(Xt.Xt;);l^fc,/^n]
и предположить, что матрица ковариаций Ет не является
вырожденной, то (в соответствии с соотношением (12)) конечномерная
плотность 4>T(xi, ...,хп), для которой характеристическая функция /т(а) =
= £ei(cLlXtl+...+anXtn) имеет ввд
/T(a) = Je^VT(*i,-^n)dx1...djcn,
будет задаваться формулой
(^T(x1,...,xJ = -^^exp(-2(x-iur)TS;1(x-iixT)J, (19)
где
х =
Формула (19) — это общая формула плотности конечномерного
распределения гауссовских величин Xt^,Xt , ---,Xtn с невырожденной
матрицей ковариаций Ет.
§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции.
Обобщенные функции
1. Понятие 5-функции встречается в книге не один раз — например,
при определении белого шума, вырожденного нормального
распределения, при определении фундаментальных решений дифференциальных
уравнений, при определении локального времени.

§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции. Обобщенные функции 33
В этом параграфе даются как формальные определения, так и
интуитивные соображения, приводящие к 5-функциям. Для нас в этих
вопросах особенно важен вероятностный аспект.
2. Общеизвестно, что понятие 5-функции, как обобщения симво-
[О, хфи
Maurice Dirac, 1902—1984) в 20-х годах прошлого столетия в период
создания квантовой механики. Формально 5-функция определяется как
единичный импульс вида
f.oo, х = 0,
ла Кронекера 5tj = \ ^ . _^ .' было введено П. Дираком (Paul Adrien
500 =■.
[0, хфО,
при этом
оо
Г 5(x)dx = l.
i
Сам П. Дирак писал в статье 1926 г. «The physical interpretation of
the quantum dynamics» (см. также [98]): «...Strictly, of course, 5(x) is not
a proper function of x, but can be regarded only as a limit of a certain
sequence of functions. All the same one can use 5(x) as though it were
a proper function for practically all the purposes of quantum mechanics
without getting incorrect results».
3. С точки зрения теории вероятностей к понятию 5-функции
можно было бы прийти таким образом.
Хорошо известно, что со всякой вероятностной мерой (л = /i(dx),
определенной на борелевских множествах числовой прямой R, можно
связать ее функцию распределения
F(jO = ju((-oo,*]), хеш, (1)
удовлетворяющую условиям F(y)^F(x) для у ^ х,
F(-oo) = lim F(x) = 0, F(+oo) = lim F(x) = 1.
x|-oo xfoo
Функция F = F(x) непрерывна справа (F(x) = F(x+), xel).
Если мера (л = /i(dx) абсолютно непрерывна относительно меры
Лебега Я = A(dx) (= dx), то по теореме Радона—Никодима существует
такая плотность /(х) = -ту (х), чт0 Для всех t G ^ выполнено равенство
t
nt)=J/(x)dx. (2)
-ОО
(Функция /(х) определяется Я-почти наверное.)

34
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
4. Эвристическое определение 5-функции. Рассмотрим меру/i5 =
= fJL5(dt), не являющуюся абсолютно непрерывной относительно меры
Лебега и имеющую следующую структуру:
5 (1, еслиОбД
Р (О, если 0фА
(А—борелевское множество на Ж).
Понятно, что соответствующая функция распределения
F5(t) = M5((-oo,t]), teR, (4)
имеет скачкообразную структуру:
75г^ I1' ^°>
W [О, КО.
Эта функция обычно обозначается H(t) в честь О. Хевисайда (Oliver
Heaviside, 1850—1925), систематически ее рассматривавшего в
созданном им операционном исчислении для анализа телеграфных
сообщений.
Из определения (4) следует, что
Я(0 = М5((-оо, t]) = J/(j e (-(X), t})ii5{dy\ (6)
м
где интеграл понимается как интеграл Лебега—Стилтьеса.
Часто рассматривают и функции Хевисайда со скачком в любой
точке а:
*<->-{£ ;<:
Еще раз подчеркнем, что мера (JL5(dt) не является абсолютно
непрерывной относительно меры Лебега и поэтому ни о какой ее плотности
не может быть и речи.
Заметим теперь, что функцию H(t) можно получить, например,
таким предельным переходом:
[\ime-£t, f£0,
H(t) = i ei0 (8)
0, t<0.
Также можно взять функции
t + e \t\<e,
He(t)=\ 2e '' (9)
0, t>e.

§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции. Обобщенные функции 35
Тогда
(Ю)
t\>e,
и Н^(0 не определено при |t| = e, что сейчас не очень важно. (Можно
было бы сгладить функции He(t) в окрестности точек t = -е и t = е,
если бы нам требовалось наличие производной во всех точках t e. R.)
При е —> 0 производные H'e(t), являющиеся ступенчатыми функциями
(определенными всюду, кроме точек t = — e и t = e), сходятся
поточечно к такой импульсной функции 5 = 5(t), что 5(0) = оо, 5(f) = 0, когда
оо
t Ф 0, и J 5(t)dt = 1, где интеграл пока надо понимать в условном
—оо
смысле.
Символически мы можем записать, что
5(t) = j-tH(t), (11)
но, как и отмечал П. Дирак, эта функция не является функцией в
классическом понимании и к тому же неясно, в каком смысле надо пони-
00
мать интеграл J 5(t)dt.
-оо
Способ представления 5-функции как предела функций H'e(t) в
теории вероятностей хорошо известен при определении локального
времени. Например, локальное время L(x, t) (на уровне х) броуновского
движения В = (В5)5^0 по определению (§ 6 гл. XII) есть
1{Х9 0 - Ит Y£ J hx-e,x+e](Bs) dS'
0
(Этот предел существует почти наверное.)
Из соотношений (11) и (10) с учетом предельного перехода при е | О
получаем, что
t
L(x,t)=\5(x-Bs)ds. (12)
о
Хотя в теории вероятностей при описании дискретных
распределений не так уж часто используют 5-функции, тем не менее для
дискретного распределения, сосредоточенного в точках х1,...,хп с
вероятностями рг, ...,рп (рт + ... +рп = 1), можно было бы ввести «плотность»
fM = f^pi5{x-xi), (13)

36
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
которая вполне соответствует часто используемой условной записи
( и '"' п) для указанного дискретного распределения.
Представление 5-функции как предела функций H'e(t) является
далеко не единственным. Из геометрического понимания 5-функции
легко убедиться, что
lim-
1 - —
е 2е\
т={
eio V2ne
lim —^——,,
(14)
lim-^Ve2-t2I(\t\^e).
Иначе говоря, нормальное распределение и распределения Коши и
Вигнера можно использовать для (эвристического) получения
5-функции.
Вообще говоря, к 5-функции можно прийти, используя
произвольные (в том числе и отрицательные) непрерывные функции g = g(t),
для которых
j
g(Odt = l.
Если, например, взять
то убедимся, что
.>. 1 sint
8Ю = Ц—>
ии ии ии
(15)
и, взяв g„(t) = ng(nt), получим gn(t) —► 5(0- (Заметим, что функция
rcg(0 = —— называется sine-функцией — от sinus cardinalis, т. е.
кардинальный синус.)
К 5-функции можно прийти также, например, от функций Эйри
Ai(t), бесселевских функций Ja(t) или полиномов Лагерра Ln(t)
произвольного положительного п:
( lim-Aif- ),
5«= Vd^)'
е[0
(16)
lim-e e Ln( — ]

§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции. Обобщенные функции 37
Замечание. Функции Эйри (G. В. Airy, 1801—1892) Ai(t) и Bi(t) есть
линейно независимые решения линейного дифференциального
уравнения второго порядка у" — tу — 0. В явном виде Ai(t) и Bi(t)
представляются следующим образом:
00
Ai(t) = \ Гcos(y + tu)du, (17)
о
оо
Bi(t) = \ J[exp(-у + tu) + sin(у + ш)] du. (18)
о
5. Определение 5-функции как обобщенной функции. Если
отправляться от эвристического определения 5-функции, то наряду с
формулой
оо
\ 5(t)dt = l (19)
-00
можно установить также, что для любой достаточно гладкой функции
гр = /0(t) справедливо (эвристически) равенство
00
J*5(t-y)tK0dt=tKy), (20)
—оо
или, что эквивалентно, для всякого е > 0 выполняется равенство
у+е
\ 5(t-ymt)dt = tl>(j). (21)
у-е
В случае у = 0 из соотношения (20) находим, что
оо
J5(t)^(0dt = t/;(0). (22)
-СО
Как уже говорилось, левую часть равенства (22) нельзя понимать
как интеграл Римана, Лебега и т. п. Но в то же самое время
выражение (22) можно понимать как отображение функции гр = OKOXgr B
числовое значение гр(0).
Именно эта идея послужила Л. Шварцу [324] для определения
понятия обобщенной функции («распределений», как он их называл).
Итак, пусть 8 — пространство бесконечно дифференцируемых
функций гр = tp(t) с компактными носителями. Как обобщенная функция

38
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
5-функция определяется как непрерывный линейный функционал 5[гр]
на пространстве <£, удовлетворяющий условию
5Ш=г1)(0). (23)
(Функции из пространства 8 называют основными функциями.)
Таким образом, с точки зрения функционального анализа дельта-
функция — это не обычная функция, а результат действия на
пространстве 8 основных функций, или обобщенная функция.
6. Определение 5-функции с помощью «интегрирования по
частям». Помимо данного выше определения 5-функции как
обобщенной функции существуют и другие эквивалентные определения.
Сейчас мы рассмотрим одно из них, основанное на
«интегрировании по частям» (в интегралах Лебега—Стилтьеса).
Если Я = U{t) — функция Хевисайда и гр = i/j(t) e <£, то
00 00
J iKOdH(t) = - J я/>'(ОЖО dt (24)
— 00 —OO
(формула интегрирования по частям). Выше мы уже пользовались
эвристической записью dH(t) = 5(t)dt (см. формулу (11)). Так что
соотношение (24) можно представить в таком виде:
ОО 00
J V>(t)5(0dt = - J tfWWt, (25)
-OO -00
где правый интеграл вполне определен и
00 00
- J t/>'(OH(Odt = -|я/>'(0<*г = г/>(о). (26)
-оо О
Так что функционал 5[/0] (= я/>(0)) можно просто понимать как
00
- ^'{t)H{t)dt.
-00
7. Дельта-функция обладает многими интересными свойствами,,
установленными еще П. Дираком.
Дельта-функция является четной:
5(-t) = 5(t). (27)
Если а ф 0, то
00 00
J5(a0dt=J5(f)g = ^

§ 5. Некоторые общие сведения о дельта-функции. Обобщенные функции 39
и, значит, справедливо свойство автомоделъности:
5(at) = ^, (28)
откуда следует уже отмеченное свойство симметрии (27).
Если функция g(t) непрерывно дифференцируема и g'(t) Ф О, то
J«(g(0)/(«(0)lg,(0|dt= J 5(s)/(s)ds
(«формула замены переменных»).
Если g(t) ^ 0, то 5(g(t)) = 0. Но если g(t0) — 0 (t0
—действительный корень), то
Более общим образом, для непрерывно дифференцируемых
функций g(t) полагают по определению
где сумма берется по всем корням функции g(t), которые
предполагаются простыми (т.е. имеющими кратность 1). Тем самым, например,
если а Ф 0, то
5(t2-a2) = ^[5(t-a) + 5(t + a)].
Для п-й производной 5^ получаем соотношение
00 00
Г xp(t)5^n\t~a)dt = - J t/>'(05(n-1)(t-a)dt.
-00 -00
Отсюда индукцией получаем, что
00
J^(05(n)(t-a)dt = (-l)n
dtn
8. В своем знаменитом труде «Theorie analytique de la chaleur» (1822)
Ж.-Б. Ж. Фурье (J.-В. J. Fourier) получил (эвристически) для 5-функции
представление в виде «интеграла Фурье»:
5(t - а) = ^ J cos(x(t - a)) dx.

40
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
Позднее О. Л. Коши (A. L. Cauchy) дал (опять же эвристически) такое
представление:
00
5{t-a) = ± Je^(t-a)dx,
-00
из которого при а = 0 находим, что
00
-00
Следующая формула показывает, что можно получить из
комбинации 5-функций:
00
2 5(t-n)= £ e2ninc (=l + 2Xcos(27mt)).
-00<Л<00 -00<П<00 П=1
Имея в виду, в частности, и дельта-функции, Дирак так
высказывался о своих работах и работах Шрёдингера: «It was a sort of act of faith
with us that any equations which describe fundamental laws of Nature must
have great mathematical beauty in them... It was a very profitable religion
to hold and can be considered as the basis of much of our success».
§ 6. Белый гауссовский шум как «производная»
броуновского движения
1. Подобно тому как дельта-функция в строго математическом
смысле не является обычной функцией, так и белый шум, понимаемый как
«производная» (недифференцируемого) броуновского движения, не
является обычным случайным процессом (имея бесконечную
дисперсию). При этом, оказывается, между понятиями «5-функция» и «белый
гауссовский шум» есть определенная аналогия.
Напомним, что дельта-функция Дирака есть непрерывный аналог
5-символа Кронекера (Leopold Kronecker, 1823—1891)
связанного со случаем дискретного времени. Точно так же (в случае
дискретного времени) стандартным является случай, когда
последовательность случайных величин £ = (?i,?2j--0 такова, что Е£п = О,
Е<^ = 1 для всех п^1. При этом если R(j = E^t^j = 5tj и
последовательность Е, является гауссовской, то величины £1? £2> ••• будут
независимыми. Так что гауссовость и независимость тесно связаны с 5-символом
Кронекера (5^-).

§ 6. Белый гауссовский шум как «производная» броуновского движения 41
2. Пусть теперь В = (£t)t$>o — стандартное броуновское движение.
Для этого процесса EBt = О, EB^ = t и корреляционная функция имеет
вид Rst = EBsBt = min(s, t) (= ^(t +5 - |t - s|)). Траектории
броуновского движения почти наверное недифференцируемы (§ 1 гл. III), и
величины
At0O = ^A *>о, (2)
таковы,, что
ЕДгО) = 0, ЕД2(е) = 1 (3)
И
!g-|t-s| _
,2 , \t-s\^e, (4)
О, |t-s|>e.
При этом если
5£(t-s) = EAs(e)At(e), (5)
то
оо е
JV(t)= j>(t)dt = l. (6)
— 00 —£
Таким образом (формально),
<5e(0-*S(t) при е-*О, (7)
где <5(t) есть дельта-функция. При этом становится понятной аналогия
соотношений (4) и (7) с результатом Rl; = 5l; для случая дискретного
времени.
Подобно формулам (14) из предыдущего параграфа будем
обозначать
limAt(e) (=limBf+£~Bf)
через Bt.
Понятно, что это предельное образование, называемое белым гаус-
совским шумом, требует точного определения, которое можно дать на
том же пути, что и определение 5-функции.
В предыдущем параграфе мы исходили из того, что для «хороших»
функций (по крайней мере дифференцируемых) имеет место формула
интегрирования по частям:
t t
J^W/(5)ds = ^(0/(0-^(0)/(0)-J^(s)/(s)ds (8)
о о
(раньше эта формула писалась для случая бесконечных пределов).

42
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
Имея в виду эту формулу, определим белый гауссовский шум,
обозначаемый В[гр]=(В [гр] t)t^o> как совокупность таких линейных
функционалов В [tp]t, t ^ 0, гр е £, что
t
BWt=il>(t)Bt- §xj>(s)B5ds. (9)
о
t
Таким образом, вместо J ip(s)Bs ds мы теперь используем обозна-
о
чение B[ip]t, определяемое правой частью равенства (9). Эта правая
часть вполне определена, что дает возможность установить, например,
такие свойства B[tp]t:
а)ЕВДг = 0,~
6)E{BWtf = J,p\sUs.
о
Отсюда, используя произвольность функции гр е 8, получаем
(формально) следующие часто используемые формулы для белого шума:
a') EBt = О,
6')EBsBt = 5(t-s).
§ 7. Фрактальное броуновское движение
1. Такое движение было определено в 1940 г. А. Н. Колмогоровым
в работе «Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в
гильбертовом пространстве» [435].
С современной точки зрения фрактальное броуновское движение
(спираль Винера) может быть определено так.
Пусть (ft, &, Р) — вероятностное пространство. Фрактальное
{дробное) броуновское движение Вн = (Bf (co))t^0 с Я е (0,1] есть такой
случайный процесс, что
а)В^ = 0;
б) распределение приращений B^+h - £f, t ^ 0, h > 0, не зависит
от t и имеет нормальное ]У(0,/г2Я)-распределение, т. е.
E(B?+„-Bf) = 0, E(B?+h-Bf)2 = h2H; (D
в) траектории (Р-п. н.) непрерывны.
Сопоставляя это определение с определением броуновского
процесса (§ 1), видим, что при Н = ~ фрактальное броуновское движение
является броуновским движением.

§ 7. Фрактальное броуновское движение
43
Из свойства б) выводим, что
cov(Bf,Bf) = EBfBf = \[s2H + t2H-\t-s\2H], s^O, t^O. (2)
Существенное отличие фрактального броуновского движения при
Я т^ о от обычного броуновского движения (при Я = ~) состоит
прежде всего в том, что для броуновского движения приращения на
непересекающихся интервалах независимы, а для фрактального броуновского
движения (при Нф-~) это уже не так. При этом
• если Я > ~ , то приращения положительно коррелированы;
• если же Я < х, то приращения отрицательно коррелированы.
Параметр Я принято называть параметром Харста (Harold Edwin
Hurst, 1880—1978). В его гидрологических работах, связанных с
исследованием уровня реки Нил, было обнаружено, что Я > ~z. Более точно,
используя информацию об уровне Нила в период 641—1946 гг., когда
ожидалось, что за п лет они в среднем ведут себя как yfn, Харст, с
помощью разработанного им статистического R/S-анализа, получил пя, где
статистическое значение Я лежит в пределах 0,75—0,80. (Подробно об
R/S-анализе см. в книге [493, гл. IV, § 4].)
В работе 1968 г. [250] Б. Мандельброт и Дж. ван Несс показали, что
процесс Вн допускает следующее интегральное представление с
помощью некоторого броуновского движения В = (Bt), определенного для
всех teR (см. §3):
+ J(t-s)H-2dBsl (3)
о J
для t ^ 0 (аналогично можно определить В^ и для t < 0). В (3)
интегралы по dBs — это стохастические интегралы, рассматриваемые в гл. XII.
(См. также представление Муравлёва [449].)
Подобно тому как для броуновского движения В = В1^2 было
выполнено свойство автомодельности (§ 2), записанное сейчас в виде
(B«t)t*o = (a1/2Bt)t*o, a>0,
так и при любом Н е (0,1] имеем
(B"tbo = (aHB?bo, a>0, (4)

44
Гл. I. Броуновское движение, или винеровский процесс
что вытекает из того, что для Вн ковариационная функция является
2Я-однородной. Часто говорят, что свойство (4) есть свойство Я-авто-
модельности (H-self-similarity). (Равенство = двух случайных
процессов означает совпадение всех их конечномерных распределений.)
2. Положим
Тогда для ковариации рн{п) — cov(/3^,/3^n) из соотношения (2)
найдем
рн(п)= |[(п + I)2" - п2Н + (и - 1)2Н]. (6)
Отсюда видим, что
рн{п) ~ Я(2Я - 1)п2Н"2, п ^ оо. (7)
Если Я = ^, то из соотношения (6) следует, что для обычного
броуновского движения р112{п) — 0. Если же Я ф ~, то с ростом п ковари-
ация убывает достаточно медленно, порядка п-(.2~2Н\ что
интерпретируется как наличие «сильного последействия».
Полезно также отметить принципиальную разницу в случаях
0<Я<| и |<Я^1.
Если 0 < Я < 2? то ковариация рн{п) заведомо (при больших п)
отрицательна и
00
£|рн(п)1<оо, (8)
п=0
что следует непосредственно из соотношений (7) и (6).
Это говорит о том, что фрактальный гауссовский шум (/3^)п5>0
может служить хорошей моделью для описания эффектов
«перемежаемости»: вслед за положительными (отрицательными) значениями
следует ожидать отрицательные (положительные) значения.
Если же 7т < Н ^ 1, то ковариация положительна {рн(п) > О, п > 1) и
00
2 рн(п) = оо. (9)
п=0
Положительность корреляции означает, что за положительными
(отрицательными) значениями следует ожидать также положительные
(отрицательные) значения. Тем самым в случае ^ < Н ^1 мы имеем
эффект «кластерное™» [494, гл. ГУ, § 3, е].

Г л а в а II
О существовании математического броуновского
движения
§1. Конструкция броуновского движения в виде функциональных
рядов со случайными коэффициентами
1. Если исходить из определения 1 в § 1 гл. I, то совершенно
неочевидно, что такой процесс, да еще с непрерывными траекториями,
существует. Правильная постановка вопроса о существовании может быть
такой:
существуют ли вероятностное пространство (Г2, &, Р) и заданный
на нем процесс В = CBt(co))t^0, со е Г2, который удовлетворяет
условиям 1°—4° из определения 1, данного в § 1 гл. I?
Этот вопрос будет далее рассматриваться на основании общей
теоремы А. Н. Колмогорова о существовании процесса с заданной
согласованной системой конечномерных распределений и его теоремы 2
из§3.
2. Но естественно начать с первого конструктивного описания
броуновского движения (винеровского процесса), предложенного Н.
Винером [374] в 1923 г., где построения были основаны на рядах со
случайными коэффициентами. (Вслед за этими построениями в работах
П. Леви 1939 г. и 1948 г. [237, 239] и 3. Чисельского 1961 г. [88] были
даны иные, более простые конструкции; см. далее п. 3 и 4.)
Решающим в конструкции Винера было следующее наблюдение.
Предположим, что на некотором вероятностном пространстве (Г2, &, Р)
уже есть случайный процесс W = (W^.)^, удовлетворяющий
условиям 1°—3° из определения 1, данного в § 1 гл. I. Тогда (см. § 1 в гл. I)
EWsWt = min(s, t), 0 ^ 5, t ^ 1. (1)
Для дальнейшего полезно заметить, что если
[О в других случаях,

46 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
где и е [0, г], г е [0,1], то в формуле (1) имеем
1
min(s, 0 = j /[0,S](V) • I[o,t](")*(du), C2)
о
где A(du) = du — мера Лебега.
Пусть L2(ft,P) — пространство ^"-измеримых случайных величин
£,rj,... с конечным вторым моментом, нулевыми средними и
скалярным произведением
(£,г))р = Ер£г),
где ЕР (пишем также просто Е) — математическое ожидание по
мере Р.
Также пусть L2([0,1],Я) — пространство измеримых (по Борелю)
функций /,g,... с лебеговской мерой A(di/) = du и скалярным
произведением
1
</,g>x = J7(")g(")A(du).
о
Тогда из соотношений (1) и (2) видим, что
откуда следует, что между элементами (Wt)t$a из L2(ft, P) и (i"[0,t])f<;i из
L2([0,1],X) установлено изометрическое соответствие, которое
называют винеровской изометрией.
Приведенные изометрические конструкции показывают, как
можно теперь определить гауссовский случайный процесс W = (Wj^ со
свойством (1). Если это сделать, то тогда этот процесс будет
удовлетворять трем условиям 1°—3° из определения 1 (§ 1 гл. I).
Возьмем Г2 = R°° с естественной а-алгеброй &, порожденной
цилиндрическими множествами [495, гл. II, § 2], и с мерой Р, являющейся
прямым произведением N(0,1 ^распределений [495, гл. II, § 3].
На вероятностном пространстве (Г2,<^,Р), разумеется, определена
последовательность независимых одинаково распределенных, N(0,1),
случайных величин £0>£i>--- Пусть далее в пространстве L2([0,1],A),
где Я —лебеговская мера, функции (/?0,(/?1?... образуют ортонормиро-

§ 1. Конструкция броуновского движения в виде функциональных рядов 47
ванный базис. Понятно, что
где
(3)
1
(4>k> 4>i)x = J ¥>k(")<M")я№)> (£ь£z)p = Ep^^z-
Это свойство изометрии (3) позволяет определить изометрию между
пространствами 12(Г2,Р) и L2([0,1], А). Всякая фикция/ е L2([0,1], А)
может быть представлена в виде
/(0=5>fcV>k(0,
fc$?0
где
1
afc = J/(i/)(^fc(i/)A(di/).
В частности,
г
J[o,r](0=SVfc(Ofvfc(")A(du).
(4)
Соображения изометрии подсказывают, что требуемый процесс W =
= (Wt)t^i надо определять формулой
(5)
где при каждом t е [0,1] ряд в формуле (5) сходится в L2{TL, Р)-метрике,
поскольку
|2
2
J <^(i/)A(di/)
= t
иЕ^(со) = 0,ЕЙ(со) = 1.

48 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
Принимая во внимание соотношения (5), (3) и (4), получаем
6 Г
EPWs(co)Wt(co)= £ Шк(<оШ<о)) LfcCsOACds') rV/(t')A(dt') =
k,i>o J J0
S t
= S <Vfc,Vi> f **(«') A(ds') U(V)A(dt') =
1 s t
= S fvk("M(")A(du)fVfc(s,)A(ds/)r^(t/)A(dt,) =
fc,^o;
i i г l
= E (1 </>*(") f ¥>*(*') A(ds') ^(u) f cMtOACdt')
h,mz
A(du) =
= J /[0)S](u) • /[0)t] (u) A(du) = J /[0,min(5,0](") A(d")= min(5'f)-
о о
Итак, построенный процесс W — (Wt(a>))tsa является гауссовским
(что следует из сходимости частичных сумм в формуле (5) в средне-
квадратическом смысле) с нулевыми средними, EWt(co) = 0, t £ [0,1],
и ковариацией EPWs(a>)Wt(a>) = min(t,s). Отсюда уже нетрудно
вывести, что все три условия 1°—3° (из определения 1 в § 1 гл. I)
выполняются для построенного процесса W = (Wt)t^1.
Однако условие 4° из этого определения ниоткуда не следует, т. е.
непрерывности (Р-п. н.) процесса W = (Wt)t^1 у нас еще нет.
Подход Винера к решению вопроса о непрерывности состоял в
следующем. Из представления (5) видим, что при построении
интересующего нас процесса W = (Wj^ можно брать разные ортонормирован-
ные базисы {</>„, п ^ 0}.
Например, если взять базис
Уо = 1, 4>n(t) = y/2cos(nnt), n^l,
то получим такое представление:
таг г л к г л Г^^{ 2^-п1 у г 4Sin(rcnt)
fc=lVn=2*-1
пп
(6)
(По поводу специальным образом сгруппированных членов в
формуле (6) см. п. 7 в § 2 гл. XXI.)
Если же взять базис
1, V2cos(2nnt), y/2sm{2nnt), О 1,

§ 1. Конструкция броуновского движения в виде функциональных рядов 49
то соответствующее представление для W = (Wt(co))t^1 будет иметь
вид
ОО -.
Wt(<o) = £0O)t + Л £ 2^ [£nO)sin(2nnt) + tj„(co)(1 - cos(27rnt))],
где все случайные величины £0(<^)> £п(<^) и ^(^0* п ^ 1> являются
независимыми N(0,1)-распред елейными.
Еще одним примером ортонормированного базиса является
последовательность
v^cos(rc(n+|)t), п^О,
и тогда
^_ sinffri+iW)
Wt(co) = л/2 2 gn(a>) " ,Г Л
Винер [374] для решения вопроса о непрерывности использовал
представление (6). Именно им было установлено, что ряд в формуле (6)
сходится равномерно на [0,1] (Р-п. н.) и, следовательно, W = (Wt(<o))t^1
является (Р-п. н.) непрерывным процессом. Тем самым все четыре
условия 1°—4° выполнены и, следовательно, процесс W = (W^co))^ в
формуле (6) является броуновским движением (винеровским процессом).
Мы не приводим это доказательство Винера. Ниже мы даем иную
конструкцию броуновского движения, основанную не на
тригонометрическом базисе (как у Винера), а на функциях Хаара, для которых
будет сравнительно просто (Леви, Чисельский) доказать в приводимой
далее конструкции выполнение условий 1°—4°.
3. Введем (следуя Леви и Чисельскому) функции Хаара (0 ^ t ^ 1):
(+1, t<\,
H0(t) = l, Hx(t) =
1-1, 2^>
и вообще при 2п ^ k < 2n+l, п^О, будем полагать
2"/2, ^- < t < —jirA
Н*Ю=< on/2 fc-^ + l^fc-y-H
^ 0 в остальных случаях.
Как хорошо известно [495], эта система функций является ортонор-
мированной и полной в L2[0,1]. Поэтому любая функция / е L2[0,1]

50 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
представима в виде
/(0=E(Afffc)Hfc(t), (7)
к=0
где скалярное произведение вычисляется по формуле
1
(/,Hfc) = J/(5)Hfc(5)d5.
0
Из формулы (7) следует, что если / е L2[0,1], g € L2[0,1], то имеет
место равенство Парсеваля:
00
(Ag)=E(/,Hfc)(g,Hfc). (8)
fc=o
Лемма. Если аь /с ^ 0, таковы, что
\ак\ = От, £<\,
то ряд
t
00 ~
S(0=£afc \Hk(s)ds, O^t^l, (9)
fc=0 J
сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство. Положим
t
Sk(t) = $Hk(s)ds.
о
Эти функции, называемые функциями Шаудера, неотрицательны и не
превосходят « ' 2~п/2 при 2" ^ /с < 2n+1, п ^ 0. Кроме того, если к
меняется в этом интервале, то носители функций Sfc(t) не пересекаются.
Поэтому если
bn= max |afc|,
2"^fc<2"+1
то условие
X Ьп • 2"п/2 < оо (10)
будет достаточным для абсолютной и равномерной сходимости ряда
в (9).
По предположению \ак\= 0{ке), е < ~. Значит, неравенство (10)
выполнено. □

§ 1. Конструкция броуновского движения в виде функциональных рядов 51
4. Положим в этой лемме
ак = /Зк(со),
где 13к(со) имеют N(0,1 ^распределение и независимы при разных к.
Введем события
Ап = {со:Шсо)\>су/ъ^1]. (11)
В силу леммы Бореля—Кантелли ([495, гл. II, § 10] или § 1 гл. VI)
если 2 Р(АП) < оо, то (даже без предположения независимости величин
/Зп(со)) выполнено равенство Р(АП б. ч.) = 0, т. е. вероятность того, что
произойдет бесконечное число событий из Аг,А2,..., равна нулю. Иначе
говоря, для почти всех со найдутся такие номера п0 = п0(со), что
1№)1^ с VbgH (12)
для всех п ^ п0(а>).
Так что надо понять, для каких констант с в формуле (11) будет
выполнено условие ]Г Р(АП) < оо.
п$?1
Наши величины fin{to) имеют N(0,1)-распределение. Для таких
величин
оо г 2 оо 2 л
х \ х J
Отсюда следует, что для больших х выполняется условие
Следовательно, для некоторой константы К > 0 имеем
00 00 -с2/2
п=2 п=2 VlOgn
Таким образом, при с > а/2 правая часть здесь конечна, и, применяя
лемму Бореля—Кантелли, убеждаемся, что будут выполнены
неравенства (12).
Замечание. Наряду с обозначением log для (натурального)
логарифма часто используется обозначение In.
Теперь мы в состоянии сформулировать основной результат.
Теорема (Леви, Чисельский). Пусть f3n(co\ п^ О, есть
последовательность независимых N(0, ^-распределенных случайных величин.
Тогда ряд
t
ОО р
£/ЗпО) H„(s)ds (=Bt(u>), O^tsSl) (13)

52 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
абсолютно и равномерно сходится с вероятностью 1 и процесс В =
= (J3t(co))o^t^i является броуновским движением (в смысле
определения 1 из § 1 гл. I).
Доказательство. Непрерывность (по t) ряда в формуле (13) следует
из непрерывности функций Шаудера, доказанной выше леммы,
свойства (12) и леммы Бореля—Кантелли.
Условие 1° из упомянутого определения 1 очевидно.
Проверим условия 2° и 3°.
Для этого достаточно установить, что при любом к выполнено
равенство
л
[•Уя^В.-В,. J к
Ее"' ' 'н=Пе-А^и)/2, (М)
где Ajf — константы nO = t0<tl< ... <tk^l.
Для простоты ограничимся случаем к = 2. Тогда
EealBtl+ii2{Bt2-Btl) = Eei{xl-x2)Btl+i?L2Bt2 _.
оо оо
КЯХ -Я2) ^] /3„S„(t1 )+iA2 5] /3nSn(t2)
= Ее г,=0 п=0 =
ОО 00
= "Л Ee[l"(Al"A2)Sn(tl)+l"A2Sn(t2)]i8n = П e~[(Al_A2)s"(tl)+A2Sn(t2)]2/2 =
п=0 п=0
оо 2
-[I]((A1-A2)2S2(t1)+2(A1-A2)A2S,I(t1)S,I(t2)+A2S2(t2))] /2
— е п=о . (15)
Мы хотим доказать, что правая часть формулы (15) равна
e-[tiA2+(t2-ti)Al]e (16)
С этой целью заметим, что если
'1, 0^1/^5,
10, s<u^l,
*s(") =
то в силу равенства Парсеваля (8) для 0 ^ s1 ^ s2 ^ 1 выполнено
равенство
00 00
5! = (ф51,ф52)= ЕС*51.н„хф,2,нп)= S sn(5i)s„(s2). (17)
п=0 п=0
(В других обозначениях это свойство уже было использовано в п. 2.)
Из этого соотношения (17) видим, что правая часть равенства (15)
в точности равна выражению в формуле (16). Это доказывает
равенство (14) в случае к = 2. Аналогично рассматривается случай любого
к^2. □

§ 2. Теорема Колмогорова о существовании процесса
53
5. Итак, на интервале [0,1] мы построили броуновское движение
В = (BfCco))^!. Пусть теперь Вп = (£tn)t^i - (подобные этому В)
независимые между собой броуновские движения, п ^ 1. Образуем процесс
В = (Bt), t € [0, оо), полагая
(В], O^t^l,
Bt = iBt1+Bf_1, 1 ^ t ^ 2,
Нетрудно убедиться, что так построенный процесс В будет
броуновским движением на [0, оо).
§ 2. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданной
системой конечномерных распределений
1. В предыдущем параграфе броуновское движение В = {Bt)t^0
было построено с помощью рядов со случайными коэффициентами. При
этом, чтобы удовлетворить требованию 4° определения 1 (§ 1 гл. I),
приходилось строить специальные конструкции, приводящие (почти
наверное) к непрерывным функциям. Можно пойти и дальше: а
именно, задаться вопросом о том, как построить, например, марковский
процесс с заданными свойствами или (негауссовский) процесс с
независимыми приращениями с теми или иными свойствами.
Заметим, что при построении броуновского движения с помощью
рядов со случайными коэффициентами мы существенно пользовались
независимостью и гауссовостью, что приводило к специальным
конструкциям. В связи с упомянутыми марковскими процессами отметим,
что в классической работе А. Н. Колмогорова «Об аналитических
методах в теории вероятностей» ([212], 1931 г.), которую рассматривают как
основу теории марковских процессов с непрерывным временем, на
самом деле их траектории не рассматривались и формулировка давалась
в других терминах («схема стохастически определенного процесса»).
Вызвано это было тем, что у А. Н. Колмогорова общая теорема о
существовании процесса с заданными конечномерными распределениями
была опубликована позже, в 1933 г., в «Основных понятиях теории
вероятностей» [433]. (Эта теорема там названа «основной», и тем самым
подчеркивается ее роль в основах теории случайных процессов.)
2. Итак, остановимся на этой «основной» теореме, из которой далее,
с некоторыми усовершенствованиями, будет выведено существование
броуновского движения, удовлетворяющего всем четырем условиям из
определения 1, данного в § 1 гл. I.

54 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
Предположим, что для любых t ъ..., tn, 0^ tl <...< tn, где tt G Т с [0, оо),
п ^ 1, заданы конечномерные распределения Ptlt.„jtn(Ai x ••• ХЛЛ гДе
А{ — борелевские множества на числовой прямой Ж. В броуновском
случае эти п-мерные вероятности задавались формулой (3) из § 1 гл. I.
(Заметим, что эти распределения определены без наличия какой-то
вероятностной меры на каком-то измеримом пространстве (£3,^).
Построение этого пространства и меры Р на нем на основании
конечномерных распределений Vt t (Аг х ... х Ап), п ^ 1, 0 ^ tl < ... < tn, и
представляет цель «основной» теоремы.)
Распределения Ptb...jt (Ах х ... х Ап) принято называть
вероятностями цилиндрических множеств. Связано это с тем, что эти
распределения должны быть вероятностями P(Xti eAl,...,Xtn<EAn), хотя пока
ни меры Р, ни процесса X = (Xt)teT у нас нет.
Распределения Ptitn (A x x ... хАп) естественно понимать как
вероятность того, что (пока не построенные) траектории (Xt)teT в моменты
времени tl9..., tn проходят через «окна» Аъ ...,АП.
Если речь идет о действительном случайном процессе X = (Xt)t(=T,
заданном на каком-то вероятностном пространстве (ft, &, Р), то знание
его конечномерных вероятностей Pt jt (Aj x ... х An), т.е.
вероятностей
Ptl,...,tn(Aix--xAn) = p(^:Xti(co)eA1,...,Xtn(co)GAn),
равносильно знанию конечномерных функций распределения
Ftu...,tSxi> ->*п) = р(со:Xtl(co) ^ хь ...,Xt|i(co) ^ хп), (1)
гдех^М([495, гл. И, §3]).
Отсюда видим, что необходимым образом эти функции
удовлетворяют условиям согласованности:
Ft1,...,tk,...,tSX'L>'->00>'~>Xn)=:
= ^7t1,...,tfc_1,tfc+1,...,tn(-x:lj •••>xk-l>xk+l> •••Jxn)- ®
Теперь естественно поставить тот центральный вопрос, который
нас интересует: при каких условиях семейство {Fti> tn(xl,..., хп)}, где
tteT с [0,оо), Xj G R, n ^ 1 (или семейство {P^.^O^ х ... x An)}),
может быть семейством конечномерных распределений (или
семейством конечномерных вероятностей) некоторого случайного процесса
на некотором вероятностном пространстве?
Весьма примечательно, что все такие дополнительные условия
исчерпываются условиями согласованности.
Теорема 1 (Колмогоров, [433]). Пусть {Fti t(x1,...,xn)}, где t{ £
G Г с [0, оо), есть семейство функций распределения, удовлетворя-

§ 2. Теорема Колмогорова о существовании процесса
55
ющих условиям согласованности (2). Тогда существуют такое
вероятностное пространство (Г2, J*", P) и такой случайный процесс X —
= (Xt(aj))tGT на нем, что выполнено условие (1).
В качестве (Г2, &) может быть взято измеримое пространство
(Мт, &{ЖТ)\ т.е. со = (cot)tGT есть действительная функция {со€ШТ)
и 38 (RT) есть о-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами.
Доказательство этой теоремы см. в книге [433], а также в [495,
гл. II, § 9]. Эта теорема верна для любого множества Т £ [0, оо)
(например, для Г = {1,2,...}, Т = [а, Ь],...).
При построении броуновского движения В = (Bt)0^r«$i в виде
ряда со случайными коэффициентами мы использовали
последовательность независимых N(0,1)-распределенных величин /?i(a>), 132(со),...
Существование такой последовательности (и вероятностного
пространства (ft, J^, P), на котором она определена) следует из теоремы 1:
надо взять i71)2,...,n(x1,x2,...,xJ = F(x1)F(x2)...F(xJ, п ^ 1, где F(;t) —
функция распределения нормального закона N(0,1).
Выше мы упомянули марковские процессы. Чтобы связать
построение таких процессов с работой «Об аналитических методах в теории
вероятностей» (А. Н. Колмогоров, [212]), покажем, как строятся такие
процессы.
Пусть ГСЕ+ = [0, оо) и P(s, х; t9A) есть семейство неотрицательных
функций, определенных для 5, t е Г, 5 < t, x e R, A e S8(R) и
удовлетворяющих следующим условиям:
а) P(s,x; t, •) является вероятностной мерой на Л(М);
б) при фиксированных 5, t и Л функция P(s, x; t,A) является борелев-
ской функцией по х;
в) для всех 5, t, и, 0 ^ 5 < t < и, и А е £8(R) выполняется уравнение
Колмогорова— Чепмена
P(s,x;u,A) = Jp(s,x;t,dy)P(t,y;u,A).
Пусть, кроме того, тг = я( •) — вероятностная мера на (R, 5£J(R)).
Тогда существуют такое вероятностное пространство (П,^",Р) и
такой случайный процесс X = (Xt(co))teR+ на нем, что для 0 = t0 < tx < ...
... <tn выполнено равенство
Р(со: Xto(co) ^ xQ9Xti(co) ^ х19...,Х^со) ^ хп) =
= \<dy0) |p(o,y0;ti,dyi)... rP(t„-i,y„_i;t„,dy„). (3)

56 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
Так построенный процесс является (неоднородным, вообще говоря)
процессом с переходными вероятностями P(s, x; t,A) и начальным
распределением я = я(-) (подробности см. в [212]).
Рассматриваемое броуновское движение В = (Bt)t^0 является
(однородным марковским) процессом, переходная функция которого имеет
вид
P(s,x;t,dy) = <pt_s(y-x)dy,
где
(у-*)2
4>t-s(j-x)=-/n ) е 2(t-0. (4)
y/2n{t -s)
3. Еще раз подчеркнем, что в теореме Колмогорова процессы X =
= (.Xt(co))tGT строятся координатным образом:
Xt(co) = cot,
где со = (cot)teT является функцией из пространства (Мт, ^(Мт)). Это
пространство довольно-таки сложное: скажем, в случае Г = [0, оо) оно
содержит все функции (а не только непрерывные).
Как описать те множестваЛ, которые входят в сг-алгебру ^(М^0'00^)?
Этот вопрос интересен, поскольку если определена мера Р, то тогда
можно говорить о вероятности Р(А) множества А Скажем, являются ли
измеримыми, т.е. принадлежащими ^(Rc°'°°)), множество
А= {co = (cot)t^Q: cot <k для всех t e [0, оо)}
или множество
А = {co = (cot)t^0: cot < fc и со непрерывно на [0, оо)}?
Оказывается, нет. И вытекает это из того общего факта, что любое
измеримое множество Ле ^f(Mt0'°°)) определяется поведением
функций со = (cot)t^0 в счетном множестве моментов времени. (Вместо
временного интервала [0, оо) можно взять и любое несчетное множество
Г с М+.) Вытекает это из следующего общего факта [495, гл. II, § 2].
Теорема 2. Пусть Т —несчетное множество. Тогда если
множество А принадлежит 03 (RT), то найдутся такое не более чем счетное
множество точек t2, t2,... из Т и такое борелевское множество В из
m(R°°l что
A={co = (cot)tGT: (coti,cot2,...)GB}.
Иначе говоря, в случае несчетных множеств Г с [о, оо) любое
борелевское множество А из сг-алгебры 0$(Ш.Т) определяется
ограничениями, наложенными на функции со = (cot)tGT не более чем в счетном

§ 2. Теорема Колмогорова о существовании процесса
57
числе точек ti,t2,--- из Т. (Разные примеры неизмеримых множеств
см. в книге [495, гл. II, § 2].)
4. Вернемся к случаю броуновского движения.
Если задаться целью доказывать существование такого процесса
с помощью теоремы Колмогорова, то приходим к такому выводу:
существует процесс В = (Bt)t^0, удовлетворяющий условиям 1°—3° из
определения 1 (гл. I, § 1), но заведомо не удовлетворяющий условию 4°
непрерывности траекторий, поскольку пространство О. = М^0,00^ было в
этой теореме пространством всех функций (на [0, оо)). (Здесь полезно
также отметить, что пространство непрерывных функций С [0, оо)
является в ^(R^'00^) неизмеримым множеством, т. е. С[0, оо)^ ^(М[0,оо)).
Суть дела в том, что пространство М^о,оо) является слишком «большим»,
а сг-алгебра 38 (R^0,00^) является слишком «бедной». В измеримом
пространстве (С[0,1], ^(С[0,1])) подпространство дифференцируемых
функций, как показал С. Мазуркевич (1936 г.), является неизмеримым.)
Один путь построения броуновского движения, удовлетворяющего
всем условиям 1°— 4° из приведенного определения 1, состоит,
конечно, в том, чтобы попытаться доказать справедливость теоремы
Колмогорова не в (М^00), dS(R[0lOo)))9 а сразу в (С [0, оо), 5В(С[0, оо))) при
специальных предположениях относительно конечномерных
распределений. Такой путь (для броуновского движения) проделан в книге К. Ито
и Г. Маккина [431]. Наше же изложение будет отталкиваться от
приведенной теоремы Колмогорова с привлечением нового понятия
эквивалентного процесса (или, что равносильно, понятия модификации).
Сразу отметим, что если построено (непрерывное) броуновское
движение В = (Bt)te[o,i], то легко заметить, что новый (разрывный)
процесс
~ (Bt(co), t #£(*>),
B^)=U * = «»),
где Е, — E,(co) — равномерно распределенная на [0,1] случайная
величина, не зависящая от В, будет таким, что все его конечномерные
распределения будут совпадать с конечномерными распределениями
исходного процесса В.
Значит, одними только конечномерными распределениями не
обойтись, если желать получать (даже при дополнительных условиях на
конечномерные распределения) процессы с непрерывными
траекториями.
5. Введем следующее определение.
Определение 1. Два процесса X = (Xt) и У = (Yt), t eT, заданные
на одном и том же вероятностном пространстве (Г2, &, Р), называются

58 Гл. П. О существовании математического броуновского движения
(стохастически) эквивалентными, если при каждом t еТ выполняется
условие
P(Xt#yt) = 0. (5)
При этом один из процессов называется модификацией (или Р-модифи-
кацией) другого.
Замечание. Есть более сильное понятие — неразличимость,
означающее, что почти все траектории X и У совпадают почти всюду. Точное
определение состоит в следующем.
Пусть А есть случайное множество, т. е. некоторое подмножество
в fixR+1 Мы говорим, что это случайное множество А является
исчезающим (evanescent), если множество {со: 3t еМ+,(а>, t) ЕЛ} имеет
нулевую Р-вероятность. (Это понятие предполагает, что исходное
пространство (ft, &, Р) является Р-полным, т. е. & содержит все множества
нулевой Р-вероятности (п. 4 в § 2 гл. IV). В духе современной теории
вероятностей во всех наших рассмотрениях это свойство полноты будет
предполагаться выполненным (см. [495, гл. II, § 3]). Свойство полноты
заведомо обеспечивает то, что если X является <^"-измеримым, a Y
таково, что Y =Х (Р-п. н.), то Y также будет ^"-измеримым.)
Два процессах и У на полном вероятностном пространстве (ft, &, Р)
называются неразличимыми (indistinguishable), если случайное
множество
является исчезающим, т. е. если почти все траектории процессов X и Y
одни и те же.
Примером процессов, не являющихся неразличимыми, могут
служить введенные выше процессы В и В: у В траектории непрерывны, а
у В (почти всюду) разрывны.
Для решения (в следующем параграфе) вопроса о существовании у
некоторого процесса непрерывной модификации нам понадобятся еще
некоторые определения.
Определение 2. Случайный процесс X — (Xt(co))t€T, заданный на '
вероятностном пространстве (ft,^",P), называется стохастически
непрерывным (или непрерывным по вероятности) в точке teT, если для
любого £ > О выполнено условие
V{\Xt{co)-Xs{co)\>e)-+0, s-*t9 seT. (6)
Этот процесс X = (Xt(co))teT называется стохастически непрерывным
на Т, если условие (6) выполнено для всех t^T.

§ 3. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации 59
Определение 3. Если соотношение (6) выполнено равномерно по
всем точкам t е Т, то процесс X = (Xt(co))tGT будет называться
равномерно стохастически непрерывным.
Заметим между тем, что процесс Пуассона, не будучи непрерывным
процессом, является равномерно стохастически непрерывным.
В следующем параграфе исследуется вопрос о существовании
непрерывных модификаций.
§ 3. Теорема Колмогорова о существовании
непрерывной модификации
1. Докажем предварительно следующий общий результат.
Теорема 1. Для того чтобы у процесса X = (Xt)teT, где Т = [а, Ь] с
91&+, существовала непрерывная (на Т) модификация X* = (X*)teT,
необходимо и достаточно, чтобы выпольшлисъ следующие два условия:
1) процесс X стохастически непрерывен на Т;
2) с вероятностью 1 процесс X равномерно непрерывен на
некотором счетном всюду плотном множестве Q^T (например, на множест-
ее, состоящем из точек вида -^, где к и п —целые числа).
Замечание. Сразу скажем, что в условии 2 теоремы просто
непрерывности на множестве Q, вообще говоря, недостаточно. Вот пример.
Пусть Г = [0,2], Q —множество рациональных чисел на Г и на Q
положим
f \l, t>y/2.
Эта функция не является равномерно непрерывной на Q, и ясно, что
Xt, t €Q, продолжается до разрывной (в точке л/2) функции.
Для доказательства сформулированной теоремы будет нужна
следующая лемма из анализа.
Лемма. Если функция f = f(t), t eQC.T, где Q —некоторое всюду
плотное множество в Т, равномерно непрерывна на Q, то ее можно
продолжить до непрерывной функции на всем Т.
Утверждение леммы непосредственно следует из критерия Коши,
согласно которому для непрерывности действительной функции g =
= g(t) в точке t0 € R необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0
существовало положительное 5 = 5(e) такое, что |g(V) — gCt")! < e при
всех тех t' и th', для которых \t' - tQ\ < 5(e), \t" - t0\ < 5(e).
2. Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть на Г = [а, Ъ]
существует эквивалентный процессу X непрерывный (а значит, и рав-
т
номерно непрерывный) процесс X* (обозначение: X* ~Х). Если Q —

60 Гл. И. О существовании математического броуновского движения
счетное множество и X* ~Х, то
J>(C\iXt=X*t}) = l. (1)
\teQ J
Поэтому из соотношения (1) следует, что и траектории X равномерно
непрерывны на Q (условие 2).
Далее,
P(|Xt-X5|>£) = P(|X*-X*|>£), s,teT. (2)
Если t -> 5, то X* ->X* (Р-п. н.), а значит и X* - X* ^> 0. Но тогда из
соотношения (2) следует, что и P(|Xt —Xs\ > e) —> 0, т. е. процесс X
является на Т стохастически непрерывным (условие 1).
Достаточность. Пусть выполнены условия 1 и 2. Построим
требуемый процесс X* следующим образом.
Для тех со, для которых траектории процесса X равномерно
непрерывны на Q, положим
Х*Лсо)= lim Xs(co), teT.
По сформулированной выше лемме эта функция будет непрерывной
на Т. Для всех других со, для которых процесс X не является
равномерно непрерывным на Q (их мера равна нулю), положимХ*(со) = 0, t е Т.
т
Проверим, что процесс X эквивалентен процессу X* (X ~Х*).
Если г € Q, то
P(|Xt-Xt*|>e)<p(|Xt-Xr|>§) + P(|X*-Xr|>§) =
= p(|xt-xr|>§) + p(|x*-xr*|>§).
При г ^> t первое слагаемое в правой части стремится к нулю (по
условию 1), а второе стремится к нулю по непрерывности X*. Поэтому
для всех е > 0 и teT выполняется условие P(|Xt - Х*| > е) —> 0, т. е.
P(Xt ФХ*) = 0, t е Т. Теорема доказана. □
3. Следующая теорема дает, в частности, удобное достаточное
условие выполнения требований 1 и 2 из предыдущей теоремы, а значит,
и существования у процесса X непрерывной модификации X*.
Теорема 2 (критерий непрерывности Колмогорова; см. [471]).
Предположим, что процесс X = (Xt)t<ET, Т = [а, Ъ], таков, что
найдутся числа а>0, /3 > 0 и С >0, для которых выполнено неравенство
E\Xt -Х5\Ы C\t - s|1+a, 5, t € Г. (3)

§ 3. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации 61
Тогда у процесса X = (Xt)teT существует непрерывная модификация X* =
= {X*)t^T, удовлетворяющая с вероятностью единица условию Гёлъде-
ра: для любого у е (0, тг J выполнено неравенство
\X^oj)-X*s(<o)\^Cr(co)\t-s\r, s,teT, (4)
где Сг(со) — некоторая константа, зависящая от у и сое ft (но не
зависящая oms,teT).
Доказательство. Для того чтобы доказать первое утверждение —
о существовании непрерывной модификации, — воспользуемся
предыдущей теоремой, а именно покажем, что условия 1 и 2 теоремы 1
выполнены.
Для простоты будем считать, что Г = [0,1]. Через Q обозначим
множество двоично-рациональных чисел на [0,1]:
Q={|r:fc = 0,l,...,2n, n2l}. (5)
При сделанном предположении (3) условие 1 теоремы 1 выполнено
в силу неравенства Чебышёва:
p(ixt -xs\> s)=P(ixt -x/ > g") ^ E|Xt;// ^
\t-s\1+a
^C1-^ .0, |t-s|->0. (6)
Обратимся теперь к проверке условия 2 теоремы 1 (см. также [399]).
Возьмем некоторое у е (о, ттJ. Тогда для точек «^ и —^- из Q
согласно неравенству (6) имеем
PflXk + i - Х± | > 2-1") ^ С^-5^ = С • 2"" • 2-^-^). (7)
Обозначим
JVn = {fc:0^|r<^1^l}) (8)
An = fmax|Xfc + i-Xfc|>2-'"'}. (9)
Тогда, учитывая неравенство (7), находим, что
P^) = p(U{|*^-*A|>2"n,fH
VfceNn 2П 2П У
< 2 р(|**±1 "*i-I > 2""Г) ^ С • 2-п(а-™. (10)
fceN„ 2" 2"

62 Гл. И. О существовании математического броуновского движения
Ряд Yi Р(Л0 сходится: ^ Р(АП) < оо, поскольку у е ( 0, -^J. Следова-
тельно, по первой лемме Бореля—Кантелли (см. гл. VI, § 1, или [495,
гл. II, § 10]) для почти всех со (т.е. для всех со за исключением точек
из некоторого измеримого множества П0, имеющего Р-меру равную
нулю) найдутся такие числа п0(со), что для всех п ^ п0(со) справедливо
неравенство
max|Xfc + i(o))-X-fc(co)k2-^. (11)
/CGN;1
2П 2П
Тем самым для o>efi1=fi\fi0 и Для всех соседних чисел s и t
(т.е. 5 = т™, t = 2„ ) и всех п ^ п0(со) будет выполнено неравенство
\Xt(co)-Xs(to)\^\t-s\r (\t-s\=2~n). (12)
Но оказывается, что подобное неравенство (с некоторой
константой) можно получить не только для соседних s и t, но и для достаточно
близких точек из множества Q при условии, что со е £1г.
Будем рассматривать точки 5 и t из Q, для которых при
заданном со € Пг выполнено неравенство t — s < 2~п°^со\ Тогда найдется
такое т ^ п0(со), что 2~(m+1) ^ t - 5 < 2~т. При этом можно считать, что
для некоторого к либо обе точки 5 и t попадают в интервал 1 2т , ^г L
либо одна из них попадает в этот интервал, а другая —в смежный
с ним.
Если обе точки s и t попадают в интервал ?т , т^г I, то (в силу их
двоичной рациональности) они могут быть представлены в виде
5 = к • 2~т - 2-"1 - 2-"2 - ... - 2""%
t = fc-2"m-2"Vl -2_V2-...-2~v«
с конечными р и q.
-^r, 2^ J, a t € [т^г, -^r J, то будем иметь
представление
5 = fc • 2_m - 2-"1 - 2-"2 - ... -2""%
t = к • 2"m + 2"Vl + 2"V2 + ... + 2"Y
(14)
В обоих случаях (13) и (14)
rrKi*! <u2<...<up, m<vl <v2<...<vq, (15)
где р и q конечны.
Далее для определенности будем рассматривать случай (14)
(случай (13) рассматривается аналогично).

§ 3. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации 63
Ясно, что
\Xt{co) -Х5(со)| ^ |Xfc.2-m(co) -X5(co)| + \Xt(co) -Xk.2-,n(co)\ ^
^ \Хк.2-т(со) -Xfc.2-m_2-Ul(a))| + |Xfc.2-m_2-ul(co) -Xs(co)| +
+ \Xh2-m{co)-Xk.2-m+2-Vl{co)\ + \Xk.2-m+2-Vl(co)-Xt(<o)\ ^ ... ^
^ (конечная сумма модулей разностей значений процесса X
в соседних двоично-рациональных точках),
а для этих модулей мы уже имеем оценки (12).
Тем самым для со е £1г и рассматриваемых двоично-рациональных
точек 5 и t со свойством 2~(m+1) ^ t - 5 < 2~т, где т ^ п0(со),
справедливы следующие оценки:
|хсм-х,(й))|^ 2 2_ru,+ S 2-^^
щ>т Vj>m
ol-r(m+l) о
<2 V 2~rl = - < -—Ir сIr
^Л 1-2"г ^ 1-2-г|Г 5| *
Отсюда следует, что для со е Q1? где Р(^х) = 1, мы имеем свойство
равномерной непрерывности процесса X на множестве Q с [0,1].
Тогда согласно теореме 1 у процесса X существует непрерывная
модификация, которую можно построить следующим образом: для t е [0,1]
полагаем
Х*А<о)= lim ХЛсо), если со еПъ (16)
1 s^t,seQ *
иХ*(со) = 0, если coeft0 = ^\ni-
Итак первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Для построенной выше непрерывной
модификации X* = (X*)Q^t^i достаточно рассматривать сое 9^. Тогда
для 5, t е [0,1] имеем
|Х*(ео)-Х»| =
= \Х*((о)-Х*(ы)\ [/(|t -s| < 2-"»Сй,)) + I(\t - s\ 2 2~По{ы))] <
^ Щ$ + 2 тах lXtMl • 2"o^\t-s\r =
1 - 2 r o^t^l
= |t -sr(-4— +21+r"o(-) щах |Xt*(u))|),
VI -2 r o^t^i l J
что и есть условие Гёльдера
|Xt*(co)-X»|^Cr(co)|t-sr (17)

64 Гл. П. О существовании математического броуновского движения
с константой
CJco) = ^— + 21+rn°M max |Х*(а>)|. (18)
Теорема 2 доказана. П
4. В том случае, когда вместо t е [0,1] берется £ из d-мерного
куба [0, l]d, процесс X = (Xt)t€(-0jl]d называют случайным полем.
В этом случае имеет место результат Колмогорова—Ченцова: если
для некоторых а > О, (3 >0, С > О выполнено условие
E|Xt-X/s£C||t-s||d+a, (19)
где || • || —норма в Rd, то у X существует непрерывная модификация
X* = (X*)t€[0>1]d.
Замечание 1. Теорема Колмогорова о существовании
непрерывной модификации была впервые опубликована в «Избранных трудах»
Е. Е. Слуцкого [471]. Эта теорема и ее обобщения, данные Н. Н. Чен-
цовым и другими авторами, излагаются во многих книгах по теории
случайных процессов (см., например, [399], [401], [200], [204]).
Замечание 2. Как будет установлено в следующем параграфе, в
случае броуновского движения {X = В) показатель 0 < у < ~ и константа
Су(со) в (17) не зависят от со и у-
§ 4. Применение общих результатов о построении случайных
процессов с непрерывными траекториями к вопросу
о существовании броуновского движения
1. Мы интересуемся вопросом о существовании математического
понятия броуновское движение как процесса, удовлетворяющего
четырем условиям 1°—4° из определения 1, данного в § 1 гл. I.
В § 1 этот вопрос решался с помощью построения функциональных
рядов со случайными N(0,1)-распределейными величинами. Этот
способ «хорошо работает», как мы видели в § 1, в случае
интересующего нас броуновского движения. Однако в более общих неброуновских
ситуациях гораздо более естественно обращаться к изложенным выше
двум теоремам Колмогорова (§ 2 и 3).
Рассмотрим сейчас эти теоремы применительно к вопросу о
существовании броуновского движения.
Из отмеченных выше условий 1°—3° сразу, применяя первую
теорему Колмогорова (§ 2), получаем существование процесса с этими
тремя свойствами 1°—3°. (Напомним, что конечномерные вероятности
удовлетворяют условиям согласованности, что следует из формулы (3)

§ 4. Применение общих результатов о построении случайных процессов 65
в § 1 гл. I, а значит, из первой теоремы Колмогорова (§ 2) следует, что
на вероятностном пространстве (П, &, Р) = (М[од], <^(М[0Д]), Р), где
мера Р строится специальным образом, существует процесс X = (Xt)t^l3
удовлетворяющий всем этим трем условиям 1°—3°.)
Так построенный процесс X, вообще говоря, не является
непрерывным, будучи элементом пространства R^0,1^. Однако здесь (в
броуновском случае) можно воспользоваться второй теоремой Колмогорова,
устанавливающей, когда у процесса X существует непрерывная
модификация.
С этой целью заметим, что для N(0,1)-распределенной случайной
величины £ выполнены равенства
Е|£|2п = (2п-1)!!. (1)
Поэтому если X удовлетворяет условиям 1°—3° из определения 1 (гл. I,
§ 1), то
E\Xt-Xs\2n = Cn\t-s\\ Ol, (2)
гдеСп = (2п-1)!!.
Это соотношение позволяет, основываясь на (второй) теореме
Колмогорова (§ 3), установить следующий результат.
Теорема 1. Упроцесса X={Xt)t^b удовлетворяющего условиям 1°— 3°,
существует непрерывная модификация В = (Bt)t^b т. е. существует
броуновское движение, удовлетворяющее всем условиям 1°—4° из
определения броуновского движения (§ 1 гл. I).
Этот процесс В = ОВ^)^ удовлетворяет условию Гёлъдера с
показателем 0 < у < £ •
\Bt(co) - Bs(co)| ^ Сг(со)|t - s\r (Р-п. н.), 0 < Сг{со) < оо. (3)
Доказательство. Сравнивая оценку (2) с неравенством (3) из § 3,
видим, что в рассматриваемом случае можно взять /3 = 2п, а = п — 1,
где п — произвольное число, большее единицы. Поэтому
а = п-1 1 1
Р 2п 2 2п>
и, взяв п достаточно большим, находим, что у < -~ < -z. □
2. Остановимся теперь подробнее на сделанном в предшествующем
§ 3 замечании 2 о том, что в случае броуновского движения (X* = В)
константу Сг(со) можно выбрать не зависящей от со и у.
Вытекает это из следующего результата П. Леви 1939 г. [237].
Теорема 2. Для броуновского движения В = (Bt)t^i существует
такая константа С > 0, что с вероятностью единица для достаточно

66 Гл. II. О существовании математического броуновского движения
малого h > 0 и всех 0 ^ t ^ 1 — h справедливы неравенства
\Bt+h(co)-Bt(co)\ ^ Cyjhlogl^CW (4)
при любом Т< 2'
Мы не приводим доказательство этого результата. Его можно
найти, например, в книге [259]. Отметим лишь, что доказательство П. Ле-
ви [237] было основано на специальной конструкции броуновского
движения в виде рада
00
л=0
где Fn(t,co), п ^ 0,— кусочно линейные функции, каждая из которых
зависит от стандартной гауссовской случайной величины £п(со),
причем величины £а(со), £2(&0,... независимы. (Ср. с конструкциями
Винера и Чисельского из § 1.)
Более точно, функции Fn(t,co), п ^ 0, строятся следующим
образом [259, гл. 1, § 1]: определяя множества Dn = {™,0 ^ к ^ 2" к п ^ О,
полагаем
{^(со) при£ = 1,
О при t = 0, (5)
линейно между 0 и 1,
и для п ^ 1
jW£t(co) при teDn\Dn_1}
Fn(t,co)=l0 при teDn_1} №
^линейно между последовательными точками в Dn.
Тогда
00
\Bt+h(co) - Bt(co)| ^ 2 \Ы* + h, со) - Fn(t, со)|, (7)
л=0
и, оценивая стоящие в правой части функции, можно прийти к
утверждению (4) теоремы.
3. Напомним классическое определение модуля непрерывности
действительной функции f —f{t), O^t^l.
Говорят, что функция у? = (£(t), 0 ^ t ^ 1, такая, что ц{Ь) —»0 при ft | О,
является модулем непрерывности функции / = /(£), 0 ^ t ^ 1, если
77- l/(t + /Q-/(01 . - гя.
hm sup 77Т ^1. (8)

§ 4. Применение общих результатов о построении случайных процессов 67
В [237] П. Леви установил, что для стандартного броуновского
движения (детерминированная) функция
<Kft)=^2ftlog£ (9)
является точным модулем непрерывности, т. е. с вероятностью
единица выполнено соотношение
— \Bt+h(co)-Bt(co)\
hm sup тгг-1 = 1. (10)
4. Замечание. Выше были изложены два способа построения
броуновского движения: один — с помощью функциональных радов со
случайными коэффициентами, второй основан на двух теоремах
Колмогорова. Третий способ, известный как принцип инвариантности или
функциональная центральная предельная теорема, будет рассмотрен
в § 6 гл. XXV.

Глава III
Недифференцируемость, немонотонность и другие
свойства броуновского движения
§ 1. Недифференцируемость
1. Как было отмечено во введении, Н. Винер, указывая на работу
Ж. Б. Перрена «Les Atomes» (1913 г.; рус. пер.: 1924 г.), говорил, что
«крайне нерегулярные траектории частиц, совершающих броуновское
движение, заставляют вспомнить непрерывные, нигде не
дифференцируемые кривые математиков». Именно это замечание послужило
появлению работы Р. Пэли, Н. Винера и А. Зигмунда 1933 г. [283],
где недифференцируемость броуновского движения была доказана для
всех t (почти наверное по со).
Замечание. Полезно напомнить, что Риман предположил, а Харди
доказал, что ряд
k=l K
является недифференцируемой функцией.
2. Естественно сначала рассмотреть вопрос о
недифференцируемости броуновского движения В = (Bt)t^o для фиксированного момента
времени t.
С этой целью для каждой функции /3 = (/3t)t;>o положим (для
фиксированного t ^ 0)
и
0&=ШпЦ^. (2)
/цо
Теорема 1. Для каждого фиксированного t ^ 0 с вероятностью 1
броуновское движение В = (Bt)t^0 недифференцируемо. При этом с
вероятностью 1 выполнены соотношения
DBt = +оо и DBt = -оо. (3)

70
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
Доказательство. Воспользуемся тем, что (см. § 2 в гл. I) процесс
\tB1/t, t>0,
снова является броуновским движением. Тогда
R(2) _ R(2)
п—>оо А п—>оо 1/п п—>оо vn
и аналогично
DB^2)4 lim Щ=.
Но (см. [283, § 1 в гл. IV])
D R \
lim -р = оо, lim -р = -оо) = 1. (4)
Тем самым процесс В^ недифференцируем в нуле. Процесс В^ =
= (В^ )t^0, Bf = B^t - Bp\ снова является броуновским движением,
и его недифференцируемость при t = О эквивалентна
недифференцируемости В^ в момент 5. Процессы В^2\ В^ являются также
броуновскими движениями, откуда и следуют недифференцируемость
процесса В в точке t и соотношения (3). □
3. То, что соотношения (3) выполнены (почти наверное) для
фиксированного t, еще не означает недифференцируемость при всех t,
поскольку, например, множество Г = [0,1] несчетно. (Полезно
вспомнить, что лебеговская мера одноточечного множества {t} равна нулю,
а (несчетное) объединение таких множеств Т = [0,1] имеет лебегов-
скую меру, равную 1.)
Упомянутый выше результат из работы [283] формулируется
следующим образом.
Теорема 2. Броуновское движение В = (ВД t е Т = [О,1),
является почти наверное нигде не дифференцируемым.. При этом для всех
t€[0,l)
или DBt = +оо, или DBt = —оо,
- (5)
или одновременно DBt = +оо и DBt = —оо
(с вероятностью 1).
Доказательство. Пусть существует такое s е Т = [0,1), что (5) не
выполнено для некоторого со:
-оо < DBs(oj) ^ DBs(co) < оо.

§ 1. Недифференцируемость
71
Из определений (1) и (2) следует, что
— |B5+h(g>)-B5(g>)|
lim г < оо. (о)
Но h
Из этого неравенства и из ограниченности броуновского движения на
Г = [0,1) вытекает, что существует конечное число М(со), для которого
sup г ^ М(со). (7)
Ле[0,1) "
Наша очередная цель будет состоять в том, чтобы показать, что
Pfsup 1иа):ВДимИ) = 0. (8)
Для этого, используя лемму Бореля—Кантелли (см. [495, § 10 в гл. II]
или § 1 гл. VI), мы покажем, что для любого конечного М > 0
выполнено равенство
Pfsup 1В^ш)ГВЛш)им) = 0. (9)
Если это будет установлено, то мы получим и свойство (8).
Итак, для заданного М > 0 положим
Bn,k = {|B(fc+;)/2« " %-i+;)/2" I ^ мЩ± для j = 1,2,3} (Ю)
и
2П—3
fc=i
Тогда в силу соотношения (10), независимости приращений и
свойства автомодельности получаем
P(Bn,fc) = fl Р(|В»+;)/2" " *(k-l+;)/2» I ^ М^) ^
3
г
<\\>(\ПЛ <
л/2^
[pOb^^^Cjm^-/2)3
Следовательно,
р(д.)=p(2U3^n,fc) ^ 2"(7М •2_п/2)3=(7М)3 •2_п
и. значит,
2Р(Ап)<оо.
л>2

72
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
Тогда в силу непрерывности траекторий броуновского движения по
(первой) лемме Бореля—Кантелли
рГсуществует 5 е [0,1): sup 5+ ~Bs ^ м) ^
he[0,l) П J
^ PI (J Впк для бесконечно многих п =
= Р(АП для бесконечно многих п) = Р(АП б. ч.) = 0.
Из сказанного вытекает, что лишь с нулевой вероятностью
существует такое s е Г = [0,1), что —оо < DBS ^ DBS < oo. Этим доказана
недифференцируемость траекторий броуновского движения. □
Замечание. Теорема, конечно, остается в силе и в том случае, когда
вместо Г = [0,1) берется Г = [0, оо).
§ 2. Немонотонность, нули и локальные экстремумы
броуновского движения
1. Рассмотренная в предыдущем параграфе недифференцируемость
броуновского движения, траектории которого непрерывны,
показывает, сколь нерегулярно ведет себя это движение. Мы сейчас рассмотрим
другие свойства нерегулярности траекторий этого движения.
Теорема 1 (немонотонность). Броуновские траектории не
являются монотонными на всяком интервале [а,Ь], 0 < а < Ъ < оо, почти
наверное.
Доказательство. Зафиксируем интервал [а, Ь] и предположим, что
[а, Ь] является интервалом монотонности в том смысле, что Bs ^ Bt для
всех 5, t, для которых а ^ 5 < t ^ Ъ.
Разобьем интервал [а, Ь] на п подынтервалов [at,ai+1] так, что а =
= а1 < а2 < ... < ап+1 = Ъ. По предположению монотонности все
приращения Ва - Ва. имеют один и тот же знак (скажем, (+)), и в силу их
независимости
(fl\r^>°t)=:
►О, n—>oo.
Отсюда вытекает, что для любых рациональных р ид, а^р <q^b,
вероятность монотонности на [p,q] равна (Р-п. н.) нулю. Процесс
броуновского движения является непрерывным (Р-п. н.), и тем самым
вероятность его монотонности на всяком интервале [а, Ь] равна нулю. □
2. Следующий интересный факт нерегулярности состоит в том, что
локальные экстремумы (скажем, максимумы) на двух множествах [а, Ь]
и [c,d], Ъ < с, почти наверное не совпадают.

§ 2. Немонотонность, нули и локальные экстремумы броуновского движения 73
Теорема 2. Пусть В = (В t)t^0 —броуновское движение. Тогда почти
наверное sup Bt и sup В t неравны. Аналогичное утверждение верной
te[a,b] te[c,d]
для inf Bt и inf Bt.
te[a,b] te[c,d]
Доказательство опирается на представление
sup Bt- sup Bt= sup (Bt-Bc) + (BC-Bb)- sup (Bt-Bb). (1)
te[c,d] . te[a,b] te[c,d] te[a,b)
Стоящие в правой части равенства (1) величины являются
независимыми, и каждая из них имеет распределение с плотностью. (О
распределении точных верхних граней приращений см. § 3 гл. V.)
Следовательно, распределение величины, стоящей в левой части равенства (1),
также имеет плотность, а значит,
р( sup Bt= sup Bt) = 0.
te[c,d] te[a,b]
Аналогично устанавливается, что
pf inf Bt = inf Bt) = 0. П
yte[c,d] te[a,b] J
3. Рассмотрим сейчас вопрос о структуре множества нулей Z(co)
броуновского движения В = (Bt(co))teT, Г = [0,1]. (Вместо отрезка [0,1]
можно взять любой отрезок [а, Ь].)
Поскольку траектории Bt{co), t е Г, непрерывны, это множество
является замкнутым. Далее, согласно локальному закону повторного
логарифма (см. гл. VI)
Йт Bt = = 1, Ит Bt = = -l (Р-п.н.).
ti0 y^tloglogf tio y/2t log log |
Значит, множество Z(co) является бесконечным (почти наверное).
Лебеговская мера Я множества нулей Z(co) равна (почти наверное)
нулю, поскольку
1
A(Z(co)) = A({te[0,l]:Bt(co) = 0}) = J/{0}(BtM)dt
о
и
1 1 1
EA(Z(co)) = Ej/{0}(Bt(^
о о о

74
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
Замечание. Согласно теореме Фубини для возможности в
равенстве (*) поменять местами интегрирование по t и взятие
математического ожидания по со нужна измеримость по {со, t) функции Bt{co),
t € Г, со е П. Но это так в силу непрерывности процесса В = {Bt{co))teT
(достаточно только непрерывности справа или слева). Более того,
процесс В является не только измеримым, но и прогрессивно измеримым
(§1гл.1\0.
Сформулируем теперь основную теорему о множестве нулей
броуновского движения.
Теорема 3. Для почти всех со множество нулей Z{co) является
совершенным множеством {замкнутым без изолированных точек, т. е.
совпадающим с множеством всех своих предельных точек) с лебеговской
мерой, равной нулю.
Доказательство. Замкнутость, следующая из непрерывности
процесса В = {Bt{co))teT, T = [О,1], и тот факт, что лебеговская мера
множества Z{co) равна нулю, были доказаны выше. Все, что осталось
доказать, — это отсутствие изолированных точек.
Точка t = О есть (почти наверное) предельная точка нулей Bt{co)
при подходе (к t = 0) справа. Пусть теперь Ъ > 0 и t* есть первый нуль
функции Bt{co) после момента Ь, т. е.
t* = inf{t^b:Bt{co) = 0}.
Понятно, что t* = t*{co).
Процесс В*{со) = Bt+t*(co) - Bt*(co) есть (как будет установлено в § 2
гл. V при рассмотрении строго марковского свойства) снова
броуновское движение, начинающееся в случайный момент t* = £*(co). Тогда
(согласно изложенному) множество Съ тех траекторий, для которых t*
является предельной точкой, имеет меру, равную 1. Следовательно, и
пересечение множеств Съ по всем рациональным Ъ имеет меру 1. Это
означает, что почти каждая траектория имеет то свойство, что первый
нуль в рациональной точке есть предел нулей справа. Это препятствует
тому, что существуют изолированные нули. □
4. Теорема 3 о поведении нулей броуновского движения может
показаться несколько странной. Поэтому целесообразно привести
известный пример канторовского множества, называемого также (в силу его
необычности) канторовским фракталом.
Канторовское множество, описанное Г. Кантором в 1883 г., строится
ТаК* (\ 2Л
Из отрезка С0 = [0,1] удаляется средняя треть — интервал ( о* зг
Из оставшегося множества Сг = 0, « U «, 1 , состоящего из двух от-

§ 3. Вариация и квадратическая вариация
75
резков, удалим их средние трети и т. д. Канторовское множество есть
множество
00
1=0
т. е. множество
с = [од]\03и>^,^).
п=\ к=0
Канторовское множество состоит из чисел от нуля до единицы,
которые в троичной записи имеют вид
00
i=l *
где е{ принимают значения 0 или 2 (исключая е1■ = 1).
Канторовское множество обладает многими замечательными и в
то же время неожиданными свойствами: это континуальное, нигде не
плотное совершенное множество, имеющее лебеговскую меру, равную
нулю, все его точки или рациональны, или трансцендентны.
Примерами рациональных точек, принадлежащих канторовскому множеству,
могут служить точки
g (троичное разложение есть 0,00222...)
и
-у: (троичное разложение есть 0,00202020...).
То, что мера канторовского множества равна нулю, вытекает из
того, что длина исключенных (из отрезка [0,1]) интервалов равна
Zji зп 3 ^ 9 27 " 3l , 2 L'
n=l 3
Совсем удивительно, что если х е [—1,1], то в двух канторовских
множествах (на [0,1]) найдутся такие а и Ь, что х = а-Ь.
§3. Вариация (JJ |ДВ|) и квадратическая вариация (2 |АВ|2)
1. Эти величины (условно обозначаемые ]>]|ДВ| и X!lA£|2) Дают
определенное представление о том, как ведут себя приращения (АБ)
броуновского движения.
Мы уже видели (§ 3 в гл. II), что приращения ABt = Bt+A - Bt
таковы, что с вероятностью 1 выполняется неравенство |ABt| ^ САГ, где

76
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
Y < п (условие Гёльдера). Это неравенство не выполнено при у > й-
Случай у = ~ более деликатен: существуют точки t, в которых условие
Гёльдера с показателем У — й выполнено, но происходит это «очень
редко».
В то же самое время мы знаем, что (из свойств нормального
распределения) в среднем Е| ABt | = у — Аг, где У = о. Так что это свойство
делает весьма правдоподобным гипотезу о том, что ]>]|ДВ| = оо (по
вероятности или с вероятностью 1). Конечно, надо прояснить, в каком
смысле понимается это условное обозначение ^] \АВ\, а также ]>] | АВ\2.
2. С этой целью для всякого t > О будем обозначать через
г"0(о = {о = tf° < t™ <... < tjgj = t} (i)
разбиение отрезка [0, t].
Будем говорить, что эти разбиения удовлетворяют условию
вложенности, если разбиение T^n+1\t) получается из T^n\t) добавлением
одной или нескольких точек. Так обстоит дело, например, при
рассмотрении двоично-рациональных разбиений (t^ = tk • 2~п, к = 0,1,...
...,fc(n) = 2").
Для всех разбиений (1) предполагается, что
А(л)= max (t£° - t^J-^0 прип-*оо. (2)
Теорема 1. Для случая вложенных разбиений, удовлетворяющих
условию (2) с вероятностью \, выполнены соотношения
к(п)
■ Влп) | = оо (3)
lim V \Вм
n^ooj=1 t}
U
Kn)
lim j](Bt(n)-Bt(n-i))2 = t. (4)
Доказательство. По гёльдеровскому свойству броуновского
движения В = (Bs)s<ct с у € [О, ^ J можно утверждать (см. § 2), что для всякого
фиксированного у из этого интервала можно указать такое п, что
\Ва(со) - Въ(со)\ ^ С(со)\а - Ъ\г (Р-п. н.), О < С{со) < оо,
где a,be [0, t] и |а - Ь| ^ А(п) (= max (t[.n) - t^)). Следовательно,
(n) |2. (5)
fc-1
S lBtf) -
fc=l fc
-B.(n)
ck-l
I^C"
ЧсоХДСп))-
fc(n)
r 2 |BtW -
1=1 *
-*<!

§ 3. Вариация и квадратическая вариация
77
Поэтому если стоящая в правой части квадратическая вариация
почти наверное конечна (при п —> оо), то и вариация в левой части будет
почти наверное стремиться к +оо (так как А(п) —> 0 и у е [0, ^)). Так
что надо рассмотреть квадратическую вариацию.
Положим
Кп)
хп=1>(в^-в^)2. (6)
fc=l k к-1
Будем предполагать для определенности, что вложенность такова,
что при переходе от Tw(t) к T(n+1)(t) между точками t^ и t[n)
вставляется в точности одна точка (при каждом п ^ 1).
Пусть фп = а(Хп,Хп+1,...). Тогда
00
?)оо = П ШЯ - Я ?)п+1 с 2)п с ... с 2h.
fc=i
Мы сейчас покажем, что {Xn^n)n^i является обращенным
мартингалом, т. е. Хп = Е(Хг | 2)п).
Пусть 5 е (51?52) есть вставленная точка между точками sx и s2
некоторого разбиения и Bs — BSi, BSi — Bs — соответствующие приращения.
Пусть £ — а -алгебра, порожденная величинами (В5 - BSi )2 + (В52 - Bs)2.
Если £х и £2 — центрированные гауссовские случайные величины,
то
е[(?х+?2)211\+е2]=е[(?х - ?2)21 §;+е2].
Поэтому
Е[((В, - BSi) + (BS2 - В,))2 | Е] = Е[((В5 - В41) - (BS2 - Bs))2 | Е],
и, значит,
Е[(В,2-В5ХВ,-В41)|Е]=0.
Как следствие, отсюда находим, что
E[(BS2 - BSi)2 | Е] = (В, - BSi)2 + (BJ2 - Bs)2,
т.е.
E[(BS2 - BSl )2 - (B, - BSi )2 - (BS2 - Bs)2 | E] = 0.
Тем самым (Хп,2)п)п>1 есть обращенный мартингал.
Из того, что (почти наверное)
Х2 = Е(Хг | 2)2), Х3 = Е(Х2 12)3) = E[E(Xi | 2)2) | 2)3] = Е(Хг | 0)3),
поскольку 2)3 £ 2)г. и вообще для п $■ 1
ХП = Е(Х!|2)П) (п.н.), (7)

78
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
следует, что (Хп,Юп)п21 является обращенным мартингалом Леей. Для
таких мартингалов Леви известно [200, 6.23], [313, гл. II, § 2], [496], что
limE(X1|2)n) = E(X1|?)00) (п.н.).
Следовательно, с учетом соотношения (7) получаем
limX^ECXilSJoJ (п.н.). (8)
л
Покажем, что правая часть Е(Хг | Я)^) равна t (п. н.).
С этой целью заметим, что ЕХг = t и, значит, ЕХП = ЕХг = t. Если £
имеет нормальное N(0, сг2)-распределение, то Е£4 = Зсг4. Поэтому
E[lim(Xn - EXJ]2 ^ limE[Xn - Шп]2 = ИтЕ[Хп - t]2 =
п п п
= ИтЕ X((BtM-Bt^)2-(tin)-t^))\ =
п Ljt=i fc fc J
= 1|т3 2ЙП)-й)2^3^Шпд(Ю = 0-
n fc=l n
Тем самым
EflimCECXi | 2)J - 0] =0.
Отсюда следует, что
UmE(X1|2)n) = limE(X1|2)n) = t (п.н.),
п п
и, поскольку Хп = Е(ХХ | 2)п) (п. н.), получаем, что limXn = t (п. н.), что
л
и доказывает равенство (3) в случае вложенных разбиений в
предположении, что T^n+1\t) получается из T^n\t) вставлением одной точки
(у нас это была точка 5 € (s1}s2)). Общий случай рассматривается
аналогично. □
3. Рассмотрим теперь случай не обязательно вложенных разбиений.
Теорема 2. Пусть T^n\t), п^\, — произвольные разбиения отрезка
[0, t], удовлетворяющие условию
хх±иА ^п)_Дп)
Тогда
Д(п)= max (tW_tW)^0
lim2(Bt(n)-Brn))2 = t (9)
п fc=i k c*-i

§ 3. Вариация и квадратическая вариация
79
в смысле сходимости в среднеквадратическом (т. е. в 12-смыслё), а
значит, и по вероятности. Если дополнительно предположить, что
оо fc(n)
£Z('k°4-i)2<«>. do)
n=lfc=l
то сходимость в формуле (9) будет выполнена почти наверное.
Доказательство. В силу независимости приращений броуновского
движения
В[ f (Bt£o - В,« )2 - t]2 = f E[(Btr - Btc,)2 - (t?> - 4"_\)]2 ^
fc=l k k~l
= 4sW)-t-i)2^4A(n)t2-0, n-
fc=l
►00.
Итак, сходимость (9) установлена.
Для доказательства сходимости почти наверное заметим, что по
неравенству Чебышёва
Р sup j](Bt(n)-Bt(„))2-tЬе =Р U
Wn \k=l k Ь'1 I J \uYn
fc(n)
S(Bt(n)-Bt(n))2-t
fc=l k "-1
^K
;Spf
fc(n)
^(БГ(П)-БГ(П))2-Г
fc=l k '-1
)
=г<?К
; 2 *-2е( s &tM - всМ f-t)^ %-2 2 (tw - 4П\)2;
откуда по предположению (10) следует, что
lim PI sup
Kn)
2(Bt(n)-Bt(n))2-t
fc=l
£e) = 0,
что и доказывает сходимость почти наверное. □
4. Естественно возникает вопрос о том, существуют ли такие
разбиения Г(п), п^ 1,что
или
lim V (В.(П) - Вап) )2 = оо (п. н.)
n^°°k=i k k~l
k(n)
lim V (В.(П) - В.(П) )2 = оо (п. н.).
(11)
(12)

80
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
Ответ на вопрос (И) заведомо положителен, если в разбиениях
моменты t£ брать случайными. В случае (12) можно построить и
неслучайное разбиение.
§ 4. Некоторые траекторные свойства
процесса приращений (ABt)t^0 броуновского движения.
Исключительные моменты времени
1. Как уже отмечалось, для броуновского движения В = (Bt)t^0
приращения Bt+h — Bt таковы, что
-в<\ = уЦ-#»
EiBt+h-Bti=va-^. аз
В связи с этим свойством приращений в среднем естественно
поинтересоваться вопросом о том, при каких h и t приращения \Bt+h - Bt\ ведут
себя как Vh.
Наш основной интерес будет при этом связан со случаем малых h.
Из закона повторного логарифма мы знаем (гл. VI), что для малых h
и всякого t ^ 0 выполнено (Р-п. н.) условие
г-— \Bt+h~Bt\
lim = = 1. (2)
Л1° ^hloglogi
Обратим внимание на то, что (при каждом рассматриваемом t)
это условие выполнено на некотором множестве £lt с вероятностью 1
(P(ftt) = 1) и, следовательно, P(ftt) = 0, хотя отсюда, конечно, не
следует равенство р( (J ftt J = 0. (На самом деле Р( (J £lt J > 0.)
П. Леви был первым, кто получил аналог свойства (1) не для
фиксированного t, а для всех t (скажем, из интервала [0,1)). Именно, в
1937 г. им был получен такой результат: с вероятностью 1 выполнено
равенство
ш sup |B;+ft"Bfl = i. о)
Wo^i-h ^2hlog±
(Подчеркнем, что в этой формуле стоит log r, а не log log t, как в законе
повторного логарифма. Доказательство равенства (3) см., например, в
книге [259].)

§ 4. Некоторые траекторные свойства процесса приращений 81
Из результата (3) следует, между прочим, что для малых h и всех t,
О $ t ^ 1 - h, выполнено неравенство
\Bt+h-Bt\^]f2hb^l №-п-н-)> №
и, так как
Jhbsl^V, y<\,
траектории броуновского движения удовлетворяют условию Гёльдера
с показателем у < -. (Этот результат был уже отмечен во время
доказательства критерия Колмогорова — см. § 3, 4 в гл. И.)
2. В 1974 г. С. Ори и С. Дж. Тейлор [281] установили, что наряду с
соотношениями (2) и (3) имеет место такой результат:
Т.— \Bt+h~Bt\ I rn л ггл
max lim . ■. = 1 (Р-п. н.). (5)
ге1°'« hi0 ^2/ilog±
Из этого результата следует, что в тех точках t, в которых достигается
максимум, закон повторного логарифма не выполняется. Именно
такие моменты, зависящие, разумеется, от со, называют
исключительными моментами.
Заметим, что оценка сверху
max Шп |B;+ft~Btl ^ 1 (Р-п. н.) (6)
te[0,l] НО
Jlhlogl
следует из соотношения (3), поскольку
-—\Bt+h — Bt\ -— \Bt+h—Bt\
sup lim—-f ^lim sup —== = 1 (Р-п.н.). (7)
(Kt<i HO ^2/i log J hi° 0&*i-h ^2/ilog J
(По поводу доказательства противоположного неравенства в
формуле (6) и доказательства результата Леви см. [259].)
3. Перейдем теперь к формулировкам некоторых результатов, в
которых вместо \l2hlog т стоит, как мы этого и хотим, y/h.
Первым результатом в этом направлении был результат Пэли,
Винера и Зигмунда [283], которые установили, что с вероятностью 1
выполняется равенство
т.—\Bt+h~Bt\
SUP1.™ hi/2+g =™ №)
для всякого е > 0.

82
Гл. III. Недифференцируемость броуновского движения
В 1963 г. А. Дворецки [111] улучшил этот результат о поведении
приращений: с вероятностью 1 выполняется неравенство
sup\hiilBt+h~Btl <С0, (9)
где С0 > 0, т. е.
p(Vt ^ 0: Urn lBt+h"Btl < с0) = 1. (10)
V НО y/h UJ
Затем в 1974 г. Ж.-П. Кахан [197] доказал, что
p(3t^0:ito|Bc+fc"Bcl<C1) = l (11)
для некоторой константы Сг>0.
Именно в связи с этим результатом те моменты Г = Г(со), для
которых
Г. \Вт(со)+Ь — ВТ(со)I
hm — _ < оо, (12)
h-+0 y/\h\ '
стали называться медленными (slow).
Б. Дэвис [94] показал, что на самом деле с вероятностью 1
справедливы следующие соотношения:
infUS^^ = l (13)
и
sup hm jz— = 1. (14)
Замечание. Закон повторного логарифма подтверждает, что
медленные точки имеют лебеговскую меру нуль. Но, как установлено Ка-
ханом, их хаусдорфова размерность (см. гл. XXXVIII или [259, гл. 4])
равна 1, при этом те из них, которые являются нулями броуновского
движения, имеют хаусдорфову размерность, равную 1/2.

Глава IV
Фильтрованные пространства.
Моменты остановки, марковские моменты.
Прогрессивная измеримость
§ 1. Фильтрованные пространства и фильтрованные
вероятностные пространства
1. В соответствии с аксиоматикой теории вероятностей,
предложенной в 1933 г. А. Н. Колмогоровым [433], все вероятностные
рассмотрения происходят на вероятностном пространстве (ft, &, Р), где
ft — пространство элементарных исходов со,
& — о -алгебра подмножеств ft и
Р — вероятностная мера, т. е. такая сг-аддитивная функция множеств
из J**, 4ToP(ft) = l.
Пара (ft,^") называется измеримым пространством.
Развитие теории вероятностей и особенно теории случайных
процессов привело к необходимости вводить на измеримом пространстве
(ft,<^) фильтрацию (или поток неубывающих а-алгебр) F = (&t)tzo>
т. е. систему таких сг-подалгебр &t, t ^ О, что
J^C^Cj^Cjr, 0 ^ S $ t < 00.
(В полной общности эти объекты систематически стали
рассматриваться Дж. Дубом [420].) Для наглядности вместо &t часто пишут ^[o)t] •
Обычно ^"о = {0,ft} — тривиальная сг-алгебра, а 3?^ = сг^ |^J &ty
Часто &QQ = &. teR+
Совокупность объектов (ft,^",F) называют фильтрованным
пространством.
В том случае, когда на (ft, 3, F) задана вероятностная мера Р, набор
объектов (ft, &, F, Р) называют фильтрованным, вероятностным
пространством или стохастическим базисом.

84
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
2. С сг-алгебрами &t, t ^ О, связывают также сг-алгебры &t_ и &t+,
t ^ О, определяемые следующим образом:
_(>о, £ = 0,
^-=\°(и^\ 0<t<oo,
и
^+ = С7(П^)> 0^t<oo.
Поскольку P| &s уже является сг-алгеброй, ползаем, что
s>t
s>t
Для сг-алгебры &t_ используют также обозначение
s<t
считая, что &0_ = &0.
В случае t = oo по соглашению обычно принимают
seR+
Если s <t, то, как легко проверить,
Наглядный смысл сг-алгебр J^t, J^t_ и J^t+ понятен: J^. —это
совокупность событий, наблюдаемых до момента t (включительно), &t_ и
&t+ — это события, наблюдаемые до инфинитезимальной близости к t
слева и справа.
Поток F = (^t)t^o называется непрерывным справа, если при всех
t ^ 0 выполняется равенство
Это свойство обозначается также как F = F+ (= (^t+)t^0). Вместо
J^t+ часто используют обозначение ^t+. Таким образом,
3. В тех случаях, когда имеются два потока F = №t\^o и G — (^t)t^o>
мы говорим, что поток G «богаче» потока F (обозначение: F r< G), если

§ 1. Фильтрованные пространства
85
^t^^ti t ^ 0. Соотношение F -<G обладает следующими легко
проверяемыми свойствами:
а) F z< F (рефлексивность);
б) если F ^G и G ^F, то F = G (антисимметричность);
в) если F z<G и Gz< Н, то F z<H (транзитивность).
Если имеется система Fl = (&lt)t^o, i gI, то
F = /\Fl, т.е. F = (^t)^0, где &t = №>
снова является фильтрацией
4. Часто приходится рассматривать потоки (фильтрации) в связи с
некоторыми процессами X = {Xt)t^0.
Именно, положим Fx = (&x)t^o, где
&x=a{Xs,s^t}
есть наименьшая сг-алгебра, порожденная величинами Xs, s ^ t.
Поток Fx называют натуральным или естественным потоком,
порожденным процессом X.
Если заданы процесс X = (Xt)t^0 и поток F = (^t)t^0 такие, что Xt
являются ^-измеримыми при любом t ^ 0, то говорят, что процесс X
адаптирован относительно потока (или согласован с потоком) F.
Если Fx z< F, то процесс X адаптирован относительно F. (Адаптирован-
ность процесса X относительно Fx очевидна.)
Важными понятиями, связанными с процессом X и некоторым
потоком F, являются понятия измеримости и прогрессивной
измеримости.
Определение 1. Процесс X = {Xt(oo))t^0, заданный на (П,^), со
значениями в измеримом пространстве (£, ^) называется измеримым,
если отображение
Х:Пх [0,оо)->£
измеримо относительно & <8> сг([0, оо)) и ^, т. е.
{(^,t):Xt(^)GA}Gj^<g>cr([0,oo))
для всякого А е ^£.
Определение 2. Процесс X = {Xt{co))t^0, заданный на
фильтрованном пространстве [Vl,^,F — G^t)t^o) и принимающий значения
в (Е, 08), называется прогрессивно измеримым, если для каждого t ^ О
выполняется условие
{(u>,5^0:Xs(u>)GA}€^t®(7([0,t])
для всякого AG ^. (См. также § 1 гл. XII.)

86
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Отметим, что если процесс X является прогрессивно измеримым,
то он является измеримым и адаптированным (относительно потока
F = (^t)t^o)- В некотором смысле верно и обратное утверждение,
принадлежащее К. Л. Чжуну и Дж. Л. Дубу (см. [448, гл. IV, § 3]).
Именно, если действительный процесс X = (Xt)t^0, заданный на (ft, &, F, Р),
является измеримым и согласованным с потоком F = (&t)tzo> T0
существует его Р-модификация (версия) X* = (X*)t^0, которая относительно
этого потока является прогрессивно измеримой.
Далее в § 3 будет приведена теорема 3, раскрывающая смысл
понятия прогрессивной измеримости (при суперпозиции измеримых
отображений).
В теории вероятностей важным является понятие полноты
вероятностного пространства (ft,j2",P). Мы говорим, что (ft, J*",P) полно (или
что & полна), если из того, что В с А, где AG & и Р(А) = 0, следует, что
иВе^,а значит, Р(Б) = 0.
Исходное вероятностное пространство (ft, &, P) всегда можно
сделать полным. Для этого положим
J{ = {В с ft: существует такое Ае &, что Р(А) = 0 и В с А}.
Тогда сг-алгебра ^р = сг(^ U сЖ) называется V-пополнением (или
просто пополнением) сг-алгебры &. В этом случае доопределение Р на
множестве В состоит в том, что мы полагаем Р(В) = 0.
Аналогично определяется (в случае фильтрованного пространства
(ft, &у F, Р)) пополненное пространство (ft, <^p, Fp, Р), для которого Fp =
= G^p)t*o, где ^vt = a&t и Л).
Замечание. Наряду с понятием полноты в теории вероятностей
используется также понятие универсального пополнения.
Для введения этого понятия предположим, что 9 = {Р} есть
семейство вероятностных мер на (ft, &). Обозначим
&* = п &\
Ре^>
Эта сг-алгебра && называется универсальным пополнением
сг-алгебры ^. Аналогично определяется и &f, t ^ 0.
§ 2, Моменты остановки, марковские моменты
1. Пусть (ft, &,F), где F = (^t)t;>o> есть фильтрованное
пространство.
Определение 1. Измеримая функция т = т(&>): ft -» [0, оо]
называется моментом остановки (относительно фильтрации F = (J^t) > )

§ 2. Моменты остановки, марковские моменты
87
если для каждого t ^ 0 выполняется включение
{со: T(to)^t}e&t
(или, короче, {т ^ t} е &t).
Класс таких моментов будем обозначать M6{F) или просто Мб,
когда ясно, о каком потоке F идет речь.
Определение 2. Измеримая функция а = а(со): Г2 —> [0,оо]
называется марковским моментом (относительно фильтрации F = 0^t)t^o)>
если для каждого t > 0 выполняется включение
{со: о(со)< t}e&t
(или, короче, {а < t} е J^t).
Класс таких моментов будем обозначать MM{F) (или же просто
ММ, снова если ясно, о каком потоке F идет речь). В англоязычной
литературе моменты остановки t^M6{F) иногда называют F-stopping
times, а марковские моменты т е MM{F) называют F-optional times.
См. также п. 8 ниже.
2. В случае дискретного времени фильтрованное вероятностное
пространство есть, разумеется, (£19&,№п)П2о,,Р). Естественным
определением момента остановки здесь является следующее. _
Определение 3. Измеримая функция т = т(а>): ft —» N = {0,1,...
...,оо} называется моментом остановки (относительно фильтрации
F = (J*n)n^o)> если Для каждого п ^ О выполнено включение
Ясно, что если {т = к} е &к для всех к ^ 0, то {т ^ п} е с^п для всех
п ^ 0. Верно и обратное: если {т ^ n} e &п для всех п ^ 0, то {т = к} е
€ J^fc для всех /с ^ 0. Следует это из того, что для всех к ^ 1 выполнено
равенство {т = /с} = {т ^ /с} \ {т ^ к - 1}.
3. Остановимся на некоторых свойствах моментов остановки (т е
€ M6{F)) и марковских моментов (сг е MM{F)).
Если т — момент остановки, т. е. {т ^ t] е ^t, t ^ 0, то для всех t ^ 0
выполнены включения
Ь>г\ь9и (1)
Первые два свойства почти очевидны:
{T<t} = U{T^t-i}eJft)
{T^t} = {T<t}e&t.

88
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Третье свойство следует из того, что
{T = t} = {T^t}\{T<t}
и {T^t}e&ti {T<t}e3?t.
Теорема 1. Классы *Мб{¥) и MM{F^ удовлетворяют
соотношениям
J10{F)QJIJI{F\ (2)
Jt6(F+) = J{Jt{F). (3)
Доказательство. Прежде всего отметим, что и моменты
остановки, и марковские моменты являются примерами случайных моментов
Y — у(&0: ^ —> [0, оо), т. е. неотрицательных случайных величин. Такие
моменты удовлетворяют следующим теоретико-множественным
соотношениям:
{г^}=ГНг<г} (=n{r<t + £})> №
r>t V п=1 J
{r<t}=Uir^r} f=U{r^t-Ml- (5)
r<t \ n=l J
Если т e *Мб(¥), то согласно соотношению (5) для всякого t > О
имеем
00 -
{T<t}=\J{T^t-l}e^ti (6)
n=l
т.е. выполнено включение (2). Но понятно, что если т е Мб{¥+), то
соотношение (6) также будет выполнено и, значит, *Мб{¥+)<^<ЖЖ{¥).
С другой стороны, если а е MM{F^, то согласно соотношению (4)
имеем
оо Л
{a^t}=f){a<t + j-}<=&t+ (=П^Д
т. е. MJi{F^ с М6{¥^}. Теорема доказана. П
4. Итак, свойство (2) показывает, что, вообще говоря, класс
моментов остановки iM6{F^) уже класса марковских моментов iMM{F^).
В то же самое время равенство ^6{F+) = MM{F^ объясняет, что дело
в том, что сг-алгебра F+ может оказаться «больше» сг-алгебры F (что не
происходит, если F+ = F, т. е. поток F обладает свойством
непрерывности справа: &t = &+ — f] &s для всех t Jr 0).
s>t
Самый простой пример строгого включения MM{F^ э M6{F^
доставляет следующая ситуация.

§ 2. Моменты остановки, марковские моменты
89
Пусть
а(со) = inf{t ^ 0: Bt(co) > 1}, (7)
где В = (Bt(co))t^0 — броуновское движение. В качестве потока F
возьмем натуральный поток FB, порожденный броуновским движением.
Момент а (со) является марковским, но не является моментом
остановки, т. е. включение {ст(со) ^ t} e ^ может и не выполняться. Это
следует из приводимой ниже теоремы 2, но можно дать и эвристическое
объяснение.
Пусть для простоты t = 1. Рассмотрим событие I — {со: Bs(co)<l для
5 < 1 и Вг(со) = 1}. Это событие принадлежит &f. Поставим такой
вопрос: будет ли сг(со) здесь равно 1? Для этого надо, в силу
определения inf, «заглянуть» в инфинитезимальную правую окрестность точки
t = 1. Если в этой окрестности (типа 1 < s < е) броуновское движение
будет принимать значения, большие 1, то понятно, что по
определению inia(co) будет равно 1 (lim£s =Bt = 1). Но все становится не так,
sit
если в инфинитезимальной правой окрестности точки t броуновское
движение будет принимать значения, меньшие 1. В этом случае вполне
может оказаться, что сг(со) будет больше 1. Но «информация» о том, что
а(со) > 1 или сг(со) = 1, вовсе не содержится в &\\ надо знать ^f+, т. е.
знать значения броуновского движения в инфинитезимальной
близости к t = 1 справа (т.е. для значений, больших t = 1). В силу этого
можно утверждать, что, так как {о(со) ^ 1} е ^+9 этот момент
(согласно теореме 1) будет марковским моментом и не будет моментом
остановки (т.е. событие {сг(а>)^1}не будет принадлежать ^).
5. Приведем некоторые полезные свойства моментов остановки
(М6(F)) и марковских моментов (JiJi(F)).
а) Если тг и т2 — моменты остановки, то таковы же и моменты
TiAT^ T1VT2 И Тг+Т2. (8)
б) Если ст1 и сг2 — марковские моменты, то таковы же и моменты
сг1Лсг2, <jlVa2 и сг1+сг2. (9)
Достаточно доказать лишь свойство а) с сг-алгебрами потока F,
поскольку свойство б) будет следовать из а), если воспользоваться
равенством (3), заменяя F на F+.
Для доказательства свойства (8) достаточно лишь заметить, что
{тг А т2 ^ t] = {тг ^ t} U {т2 ^t}e &ti
{тг v т2 ^ t} = {тг ^ t} П {т2 ^ t} e 9t\
Далее,
{тг + т2 > t} = [J {тг > г} П {т2 > t - г},
re(Q>n[0,t]

90
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
где {тг >г}П {T2>t-r}e^max(r>t_r) с J^t, а значит, {тг + z2>t}e&t
и {тг + т2 ^ t} = {тх + т2 > t} е &t (Q — множество рациональных
чисел).
в) Если тп, n ^ 1, являются моментами остановки, то таков же и
момент
T = supTn.
п.
г) Если сгп, n ^ 1, являются марковскими моментами, то таков же и
момент
п
Доказательство свойств в) и г) следует из того, что
00
{suPTn^t}= f){Tn^t}e&t
п п=\
И
00
{inicrn<t}= \J{an<t}e&t.
п п=1
д) Если сгп, п ^ 1, являются марковскими моментами, то моменты
limcrn = infsupcrn,
lima„ = sup inf an
п т п^т
являются марковскими.
е) Если тп, п ^ 1, являются моментами остановки и сг-алгебра F
непрерывна справа (F = F+), то Нттп и Нттп также будут моментами
п п
остановки.
Свойства д) и е) следуют из в) иг).
6. Следующая теорема дает важные примеры марковских моментов
и моментов остановки для броуновского движения В. (По поводу
используемых далее хорошо известных понятий открытых и замкнутых
множеств см. также § 3 гл. XXIII.)
Теорема 2.1. Пусть G — открытое множество (в К). Момент
aG = mf{t^O:BteG} (10)
является марковским моментом (<rG е ЖМ{¥У),
2. Пусть К —замкнутое множество (в К}. Момент
TK = inf{t^O:Bt<EK} (11)
является моментом остановки (гк е M6{F)).

§ 2. Моменты остановки, марковские моменты
91
Доказательство. 1. То, что моменты aG являются марковскими
моментами, следует из того, что при t > О имеет место равенство
{crG<t}= (J |BreG}. (12)
re(Q>n[0,t)
Действительно, если для элементарного исхода со при всех г <t
выполняется включение
Br(<o)eG,
то тогда, очевидно, и а(а>) < t (из определения (10)). Таким образом,
U {BrMGG}c{aG(co)<t}.
r©Q>n[0,t)
Обратно, если {crG(co) < t}, то существует такое s < t, что Bs(co) е G.
Из открытости множества G и непрерывности броуновского
движения (Р-п. н.) следует, что для рациональных г < t, достаточно близких
к t, величины Вг(со) принадлежат G. Значит,
{aG(cj)<t}o{J{Br(co)eG}. (13)
r<t
Таким образом, {aG <t}=[j{Bre G}.
r<t
Правая часть этого равенства принадлежит &t, поэтому и {aG <
Замечание 1. Рассмотрим два момента (для а ^ 0):
Ta=inf{t^0:Bt=a}
и
cra=inf{t^0:Bt>a}.
Согласно теореме 2 момент та является моментом остановки, а момент
aa —марковским моментом. Хотя по внешнему виду это разные
моменты, но интуитивно мы чувствуем, что они (почти наверное)
совпадают. И действительно, можно показать, что
Замечание 2. Для справедливости соотношения (J{Br(a>) e G} с
r<t
Q {crG(co) < t} нет необходимости требовать, чтобы G было открытым
множеством. Достаточно лишь борелевской измеримости. Если под
В — (£t)t^0 подразумевается не обязательно (непрерывное)
броуновское движение, то достаточно, чтобы траектории у В были непрерывны
справа.
Замечание 3. Подчеркнем, что, как обычно, в том случае, когда при
всех t ^ 0 величины Bt не принадлежат G, мы полагаем aG = oo. Это
замечание остается в силе и для других моментов.

92
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Замечание 4. Из теоремы 1 заключаем, что для открытых множеств
G моменты <jg принадлежат Jt6(F+).
2. Свяжем с замкнутым множеством К множества
хек
или, что то же самое,
хеК
Gn = {x:p(x,K)<±],
где р(х,К) = inf \x-y\.
уеК
оо
Множества Gn, п^\, являются открытыми, и f] Gn =K.
Введем теперь моменты
an = ini{t^O:BteGn}, n^l,
которые в силу свойства 1 являются марковскими моментами.
Последовательность {ап, п ^ 1} является неубывающей, и, значит,
существует предел сг^ = limcrn е [0, оо]. При этом ап < тк, если тк > 0.
п
(Если тк = 0, то ап также равно нулю.) Поэтому при а^ = оо имеем
тк = оо; но если а^ < оо, то в силу непрерывности (Р-п. н.) траекторий
броуновского движения имеем
Для любого тп^п точка BGm принадлежит множеству \\х ,х-\—I:
х еК |. Предел В^ также содержится в этом множестве, а значит, BG^ e
Но это и означает, что в момент а^ мы достигли множества К,
следовательно, тк ^ (Too. С другой стороны, ап ^ тк, и, значит, (Joo ^ тк.
Таким образом, а^ = тк. Поэтому если t > 0, то
оо
{тк*а}=Г|{<7п<г}, (14)
поскольку для тк > 0 имеем <тп < т^ при всех п ^ 1. (Если же t = 0, то
Поскольку {ап < t} e &t, n ^ 1, из соотношения (14) следует, что
{т^ ^ t} е J^t, т. е. тк являются моментами остановки. П

§ 2. Моменты остановки, марковские моменты
93
7. Рассмотренные выше моменты aG и тк были моментами вида
inf{t ^ 0: Xt gA}5 т.е. являлись моментами первого попадания в (бо-
релевское) множество А (их называют также дебютами). Часто
приходится рассматривать моменты inf{t > 0:Xt еА} первого после нуля
попадания в множество А. Такие моменты называют в англоязычной
литературе hitting times и обозначают так:
hA = inf{t>0:XteA}.
Приведем лишь один результат относительно таких моментов.
Теорема 3. Если К —замкнутое множество (в Ж) и X — (Xt)t;>0 —
непрерывный процесс, то момент
hK = inf{t>0:XteK}
будет моментом остановки для всех t > 0.
Доказательство следует из того, что
00
{hjc^t}=Un U {рСХг.ККп-1}^. □
e>0n=l re[e,t]
Замечание. Понятно, что моменты hA = inf{t > 0: Xt e А} можно
ввести и для d-мерных процессов X = (Xt)t^0 и (борелевских) множеств
ACMd} считая, как обычно, что inf 0 = оо. Если при этом P(hA < оо) = О,
то множество А называется полярным.
8. В литературе имеется большое разнообразие в определениях и
названиях «момент остановки» и «марковский момент».
1. В книге О. Калленберга [200] (наши) моменты остановки
названы опциональными (optional) или F-опциональными (F-optional)
моментами. Марковские моменты названы слабо опциональными
(weakly optional) или слабо F-опциональными (weakly F-optional).
2. В книге Р. Дарретта [ПО] моменты из определений 1 и 2 названы
моментами остановки (stopping times). Термин «марковские моменты»
не употребляется.
3. В книге Р. Дадли [107] определения моментов остановки и
марковских моментов совпадают с нашими.
4. В изложении П. Мёртерса и Ю. Переза [259] наши марковские
моменты названы моментами остановки (stopping times), а моменты
остановки называются строгими моментами остановки (strict stopping
times).
5. В книгах Л. Бреймана [57] и Д. Ревуза и М. Йора [313] наши
моменты остановки также названы моментами остановки, а термин
«марковские моменты» не используется.

94
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
6. В книге Е. Б. Дынкина[423] наши моменты остановки названы
марковскими моментами или случайными величинами, не
зависящими от будущего.
7. В книге А. Д. Вентцеля [405] наши моменты остановки
называются марковскими моментами.
8. В книге А. В. Булинского и А. Н. Ширяева [401] наши моменты
остановки названы марковскими моментами, а конечные марковские
моменты называются моментами остановки.
9. В книгах Ж. Жакода и А. Н. Ширяева [190] и П.-А. Мейера [448]
наши моменты остановки также называются моментами остановки.
§3. О а-алгебрах, порожденных моментами остановки
и марковскими моментами
1. На фиксированных пространствах (Q.,&,F), где F = С^)^0> мы
интерпретировали &t как совокупность событий, о наступлении
которых нам становится известно к моменту t (включительно). Если
&t — &f, то это по определению есть совокупность событий,
определяемых поведением Bs при Bcexs, O^s ^ t. В случае сг-алгебр ^— Q &t+£
е>0
мы их интерпретируем как совокупность событий, наблюдаемых от
начала до «инфинитезимального будущего» после момента t.
Естественно теперь рассмотреть все эти объекты с заменой t на
моменты остановки т и марковские моменты а.
2. Пусть т е Jt€{¥}. Положим
&т = {Ае&: АП {т ^ t} е &t для всех t 5? 0}. (1)
Совокупность JfrT является, как можно проверить, сг-алгеброй, и ее
основные свойства даются следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть т е M6{F). Тогда:
1) т является ^-измеримой величиной;
2) ^*т — &t при т = t для всякого t ^ 0.
Если тъ т2 £ Мб{¥\ то
3) ^*Т2 П {т2 ^ т2} с J^TiAT9 = ^т п с^Т2 (в тол! смысле, что для
всякого A е Jf выполняется включение АП{т2^т1}с JF Лт2 = ^т п ^т ),
и, в частности,
4){T2^T1}G£^Tin^T2;
5) JFTi = ^Т2 на множестве {тг = т2};
6) ^Т2 с ^ если т2<Т!.

§ 3. О а-алгебрах, порожденных моментами остановки
95
Доказательство. Начнем с доказательства свойства 3. Пусть Ае^Т2,
тогда
АП {т2 ^ тх} П {тх ^ t} =АП {т2 ^ t} n {тх ^ t} П {т2 Л t ^ тх Л t}.
Поскольку {т2ЛГ} и {тх At} принадлежат ^t, в приведенном
соотношении правая часть принадлежит &t. Следовательно, &т П {т2 ^ тх} с
с ^Ti. Заменяя тх на тх Л т2, получаем, что
А заменяя пару (т2, тх) парой (т2 Л тх, т2) и парой (т2 Л тх, тх), видим,
что
Чтобы получить обратное включение, замечаем, что для каждого
А е c^V n J£"T выполнено соотношение
АП {тх Л т2 ^ t} = (АП {т2 ^ t}) U (АП {тх ^ t}) е ^t,
а значит, AG J^TiAT2.
Итак, свойство 3 установлено. Из этого свойства выводятся
свойства 4, 5 и 6.
Осталось доказать свойства 1 и 2. Для доказательства свойства 2
возьмем т = t. Тогда &т = ^т П {т ^ t} с J?t. Обратно, пусть Ae^t
и s е [0,оо). Если s ^ t, то АП {т ^s} =Ае ^ с JF. Если же s < t, то
ЛП{т^5} = 0е^5. Поэтому А е ^*т. Это показывает, что ^т = &t,
когда т = t.
Свойство 1 следует из свойства 3, если взять тх = t и т2 = т. П
Замечание. Поскольку в силу теоремы 1 из § 2 имеем M6{F+) —
= МЖ{^^, свойства 1—6 для марковских моментов получаются из
свойств для моментов остановки с заменой F на F+.
3. До сих пор мы предполагали, что т е MO{F), и для таких
моментов были введены сг-алгебры с^т.
Теперь мы будем рассматривать марковские моменты а е МЖ{¥}.
Для таких моментов по определению полагают
&V+ = {Ае &\ АП {а < t} е &t для всех t > 0}. (2)
Это обозначение ^^ может показаться несколько странным по
сравнению с определением ^т.
Одно из объяснений этого состоит в том, что правая часть
формулы (2) совпадает с f] &а+£, что естественно обозначать ^CJ+ по анало-
гии с уже принятым обозначением &t+ (см. § 1).

96
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Для доказательства того, что определенная в формуле (2) а -алгебра
&о+ равна Р| ^а+е, заметим, что если измеримое множество А при-
надлежит f] &а+е и а — марковский момент, то а + г будет уже мо-
ментом остановки относительно потока F+ = (^t+)t^o- Поэтому
AG f] &a+£ <=> Ае&а+е для каждого f>0^
<=> АП {а + в ^ t} е &t для всех t ^ 0, е > 0 (см. формулу (1)) <=>
<=> АП{а ^s}e&s+e для всех 5 ^0, е >0 «=>
«=> А П {сг ^ s} e ^5+ для всех s)0«
«=> АП{а <s}e&s для всех 5^0^
«=> А€&а+ (согласно соотношению (2)).
Итак, утверждение, что &а+ может быть также определено как
П &а+е, доказано.
Подобно тому как (в § 1) для &t+ мы использовали также
обозначение ^t+, так и в случае марковских моментов а полагаем
4. Напомним, что если тп, п ^ 1, — моменты остановки, то т = sup тп
п
также будет моментом остановки, а если ап, п ^ 1, являются
марковскими моментами, то таковым же будет и момент а — inf an. Для соот-
п
ветствующих а -алгебр этому свойству отвечает следующее
соотношение:
оо
К=ПК„- (з)
Доказывается это так. Из п. 3 следует, что
е>0
При каждом п ^ 1 имеем
Поэтому
а значит,
оо

§ 3. О сг-алгебрах, порожденных моментами остановки
97
Чтобы получить обратное включение, заметим, что
оо
{a<t}=\J{an<t\.
п=1
оо оо
Поэтому А Г){сг <t}=AH |J{crn < t} = |J(An{crn < t})€ J^ для вся-
п=1 п=1
кого t > 0.
оо
ВозьмемЛеП ^+ . Тогда
П=1
ОО
п=1
оо
а значит, П J^j" с JT+ Вместе с противоположным включением (4) мы
n=l
приходим к выполнению свойства (3).
5. Дискретная аппроксимация марковских моментов.
Теорема 2. Пусть а—марковский момент (относительно потока
F = (c^t)t^o) со значениями вЖ+ = [0, оо). Тогда существует такаяубы-
вающая последовательность моментов остановки тп, п^1, что а =
= 1п£т„.
Доказательство. Требуемые моменты тп строятся следующим
образом:
тп = 2~п[2па +1], п GN = {1,2,...}
(где [ • ] — целая часть), т. е.
тп = (т + 1).2-п,
когда
т2-п^ст<(т + 1)-2-п.
Моменты тп являются моментами остановки, поскольку
{тп^т- 2~п} = {а<т- 2~п} е ^т.2-„,
при этом тп е 2"nN, где N = N и {оо}. Ясно также, что тп | а при п —>
-»оо. □
6. Продемонстрируем на конкретном примере пользу понятия
прогрессивной измеримости случайного процессах = {Xt(co))t^0,
заданного на фильтрованном пространстве (n,^,F = С^)^0)-
Пусть т = т(со) — конечный марковский момент. Рассмотрим
величину ХТ =Xt(w)(cl>). Спрашивается: будет ли так определенная
величина случайной величиной, будет ли она измеримой относительно сг-ал-
гебры <^т, определенной выше формулой (1)?

98
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Теорема 3. Если процесс X = (Xt)t^0 является прогрессивно
измеримым, то величина ХТ является случайной величиной (т. е. она
&-измерима) и, более того, Хт является ^-измеримой.
Доказательство. Прежде всего напомним одно свойство
суперпозиции (или композиции) измеримых отображений.
Пусть (S,J^(S)), (Г,с^(Г)) и (17, «^"(10) — измеримые пространства
и рассматриваются измеримые отображения /: S —> Г, g: Т —> [/. Тогда
их суперпозиция g о /: S —> U снова является измеримым
отображением (это сразу следует из определения измеримых отображений).
Согласно определению ^т (см. формулу (1)) надо доказать, что для
любых A е 38 (R) и t е R+ выполнено свойство
{XTGA}n{T^t}G^t. (5)
Если положить у = т Л t, то множество в (5) можно записать в виде
ИХ, е А} П {Г < t}) U ({Xt е А} П {Г = t}) (6)
Отсюда видно, что в силу согласованности процесса X и
определения момента остановки остается доказать только, что величина Ху
является ^-измеримой. Для доказательства этого заметим, что Ху —
= XT(w)At(co). Рассмотрим отображения
/: со ~»(со, т(со) Л t) из (П, &t) в (П х [0, t], ^ <g> 5В([0, t]))
и
g: (co,s) ~>Х5(со) из (П х [0, t], J^ <S> ^([0, t])) в (R, 39 (R)).
Тогда суперпозиция
go/: ^ ~>Х5(со) из (П, J^) в (R, 5B(R)),
а значит, иХг =XT(w)At(co) является ^-измеримой случайной
величиной.
По сказанному выше отсюда в силу произвольности t e R+
вытекает, что Хт является ^-измеримой величиной. D
§ 4. Необходимость введения броуновского движения
на фильтрованных пространствах
1. Как уже было отмечено выше, развитие стохастического
исчисления привело к тому, что помимо основного вероятностного
пространства (П,^",Р) целесообразно рассматривать также фильтрованные
вероятностные пространства (n,^,F,P), где F = (^"t)t^0 — набор сг-ал-
гебр со свойством

§ 4. Броуновское движение на фильтрованных пространствах 99
Естественно, что наличие фильтрации приводит к несколько иному
определению броуновского движения, нежели то, которое было дано
в гл. I.
2. Начнем с некоторого примера, где возникает такая
необходимость.
Предположим, что наблюдается случайный процесс X = (Xt)t^0, для
которого
t
xt = ^esds+Bt) t^o, (i)
о
где в = (0s)s<t есть (прогрессивно) измеримый случайный процесс
(с Е|05| < оо, s ^ 0), не зависящий от броуновского движения В = (Bt)t^0-
Эти процессы заданы на вероятностном пространстве (Г2,^,Р).
Хорошо известно (см., например, [446]), что в связи с оцениванием
процесса 9 по наблюдениям за процессом X надо уметь отыскивать
dPx
плотность -тф меры Рх = Рх\&х по мере PtB = Рв\&*9 где Рх и PtB —
сужения мер Рх и Рв, являющихся распределениями процессов X и В,
т.е. Рх(-) = Р(Хе-), Рв(-) = Р(Ве-), на сг-алгебры J*f = cr(X5,s ^ t) и
Jf = a(B5j5<ct).
dPtB
Равносильным образом можно рассматривать и плотности -jry.
Несложно проверить, что
dPtr л
dp^=E
ехР -Jesdx5 + |Je52d5
V о о
(2)
(см. [446, гл. 7]), где J 6S dXs — стохастический интеграл, который бу-
о
дет далее рассматриваться в гл. XII.
Глядя на формулу (2), мы видим, что подсчет участвующего здесь
условного математического ожидания является делом далеко не
простым. В то же время хотелось бы это условное математическое
ожидание «перенести» под знак экспоненты.
Это заведомо можно было бы сделать, если бы 6S зависело от со
через Хи(со), u^s. Однако в общем случае это затруднительно.
В этой связи поставим такой вопрос: а нельзя ли процесс X
представить в виде
t
xt = J E(es | &?) ds+Bt, tz о, О)

100
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
с некоторым процессом В = (Bt)t^0? Из соотношения (3) понятно, что
процесс В таков, что величины Bt являются ^-измеримыми. Тем
самым на исходном вероятностном пространстве (Г£,^,Р) мы имеем
фильтрацию Fx = №?)t^o-
Если процесс В = (Bt)t^0 определен формулой (3), то из
соотношений (1) (и (3)) получаем
(4)
Но что из себя представляет процесс В?
Для того чтобы это понять, воспользуемся (несколько забегая
вперед) формулой Ито (см. гл. XII). Тогда (при z € R, t^s) получаем
MBt
L
S
t t
+ iz§ е*»»-и[0u(a>) - E(0U | J*f )(a>)] du - ~ J eiz^~^ du.
Но здесь
г t
j>(B>Bs)dBu
9X
= 0
(см. теорему в § 2 гл. XII) и
t
J>(B>BJ[0s(a>) _ m | ^)(co)] du
t
J>&-b,)e[0j(u)) _ E(0s! ^)(ш) | ^X] du
s
Следовательно,
E[e«&-*> l^f] = l-f JE[e^VBs), ^ du
S
Отсюда следует, что (Р-п. н.)
E[e^-^|jt*]=e-^-s)/2) Q f>
&?
= 0.

§ 4. Броуновское движение на фильтрованных пространствах 101
Эта формула говорит о том, что процесс В = (Bt)t^0 является гаус-
совским с независимыми приращениями и ^ с &*. Непрерывность
этого процесса ясна, так что В = (Bt)t^0 является броуновским
движением с <^"*-измеримостью значений Bt. Этот процесс В — (Bt)t^0
имеет специальное название — обновляющее броуновское движение или
обновляющий винеровский процесс [446, гл. 7, § 4].
Представление (3) и формула (2) (с заменой 0S на Е(05 | «?*))
приводят к тому, что (для as(X) — Е(051 &х))
^as{X)dXs + \^a](X)ds\ (5)
dPB
поскольку -т-^ = 1.
t
Тем самым обращение к обновляющему процессу дало
возможности «перенести» условное математическое ожидание в формуле (2) под
знак экспоненты (в смысле выполнения формулы (5)).
Пример. Пусть
Xt = 0t+Bt,
где 9 является нормально распределенной случайной величиной, в ~
~ N(m, сг2), не зависящей от броуновского движения. В этом случае
и формула (3) принимает такой вид:
т + а2Х(
Г т + <jaXs ,
где В = (Bt)t^0 — обновляющее броуновское движение.
3. Проведенные рассмотрения делают целесообразным введение
броуновского движения в связи с некоторой фильтрацией F =
Самоопределение. Заданный на фильтрованном вероятностном
пространстве (Q,^",F = C^"t)t^o>P) процесс В = (Bt)t^0 называется
броуновским движением, согласованным с фильтрацией F = C^"t)t;>o> если вьь
полнены условия 1°—4° определения 1 из § 1 гл. I, а также условия
5°) Bt являются ^.-измеримыми при каждом t ^ 0
и
6°) для каждого t ^ 0 процесс {Ви — Bt)u^t не зависит от &t+ = f] &s.

102
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
Сразу отметим, что броуновское движение В = (Bt)t^0 является
таковым относительно натуральной фильтрации F = FB, где FB = №?)&о>
^f = (j(Bs,s
подсказывается это просто. Действительно, очевидно, что Bt
являются ^-измеримыми при всех t ^ 0 (свойство 5°). Далее, если е > 0, то
процесс (Ви+е - Bt+e)u^t является независимым от &в+е (в силу
свойства 3°). Это свойство независимости и непрерывность процесса В =
= (BJt^o обеспечивают независимость (Ви - Bt)u>t от ^tB+ = П <^f
(при предельном переходе по е 10). u>t
Это последнее утверждение вытекает из следующей общей
леммы [107].
Лемма. Пусть (П, ^,Р) — вероятностное пространство, на
котором задана последовательность случайных величин £i/£2>--- Пусть 2)
есть некоторая а-подалгебра & (2) с ^) ц ^п = <7(£1,£2,...,£п)-
Предположим, что о-алгебры &п при каждом п ^ 1 не зависят от 2)
(обозначение: ^"п л 2)) и £п -^> ^oq. Тогда ^ также не зависит от 2). Иначе
говоря,
(^n^W&^n^oo) => ?oo^2).
Доказательство основано на идеях принципа подходящих множеств
[495, гл. И, §2].
Именно, образуем систему
<# = {с g J^: р(с п В) = Р(С)Р(В) для всех В е 2)}.
Эта система есть монотонный класс [495, гл. II, § 2, определение 1],
включающий алгебру jrf := |J^n и, значит, сг-алгебру cr(j^) [495, гл. II,
п р
§ 2, теорема 1]. Вместо сходимости £п —><^00 (т.е. сходимости по
вероятности) можно считать выполненной сходимость с вероятностью 1
(£п —> ^оо (Р-п. н.)), иначе надо перейти к подпоследовательностям, и
^оо будет сг(^)-измеримой величиной. Но cr(jrf) Я %\ поэтому ^
является независимой от 2): ^ л 2). П
Тем самым броуновское движение В = (Bt)t^0 (B смысле
определения 1 из § 1 гл. I) автоматически удовлетворяет условию 6° из данного
выше определения, т. е. классическое броуновское движение является
не только FB=(^"tB)t^0-cor;iacOBaHHbiM, но и FB=(^_)t^0-cornacoBaHHbiM.
§ 5. Законы нуля или единицы
1. Рассмотрим для броуновского движения В = (Bt)t^0 зачаточную
(germ) сг-алгебру &Ц+. Для событий из этой сг-алгебры справедлива
следующая теорема.

§ 5. Законы нуля или единицы
103
Теорема 1 (закон нуля или единицы Блюменталя [52]). Пусть
AG J^+. Тогда вероятность Р(А) равна 0 или 1.
Доказательство. Если A G J^+, то, очевидно, A G <r(Bt, t ^ 0). Но
<r(Bt, t ^ 0) не зависит от &Ц+ (свойство 6° из определения в п. 3 § 4).
Значит, А не зависит от самого себя:
Р(АПА) = Р(А)Р(А),
т. е. Р(А) = Р2(А), откуда следует, что Р(А) = 0 или 1. □
Этот метод, основанный на сведении задачи к соотношению Р(А) =
= Р2(А), был введен А. Н. Колмогоровым в его фундаментальной
монографии [433].
Применительно к броуновскому движению закон нуля или единицы
формулируется следующим образом.
Пусть 2)f = cr(£5,s 5? t) и 2)в = f] 2)f —хвостовая (tail) сг-алгебра.
Теорема 2 (закон нуля или единицы Колмогорова). Пусть AG
G 2)в, тогда вероятность Р(А) равна 0 или 1.
Доказательство. Для броуновского движения В = (Bt)t^0 имеет
место свойство временной инверсии, состоящее в том, что процесс
в(2) ftBi/t, t>0,
f \о, t = o,
снова является броуновским движением (см. гл. I, § 2). При этой
инверсии хвостовая сг-алгебра (для В) переходит в зачаточную сг-алгеб-
ру (для В^). Эта последняя является тривиальной по закону нуля или
единицы Блюменталя. Значит, и для исходного броуновского движения
события AG 2}в имеют вероятность 0 или 1. □
Замечание. Вместо В = (Bt)t^Q можно рассмотреть также
броуновское движение Вх = (£*)t5>o> выходящее из точки х eR (В* = х).
Закон нуля или единицы Блюменталя также справедлив, но вероятности
РХ(А) для AG J^ могут, принимая значения 0 или 1, зависеть от х.
2. В качестве несложного применения закона нуля или единицы
Блюменталя установим, что у броуновского движения В = (Bt)t^0 B
окрестности нуля имеются и положительные, и отрицательные, и
нулевые значения.
Действительно, введем моменты
T1 = int{t>0:Bt>0}9
T2 = inf{t>0:Bt<0},
T3 = inf{t>0:Bt = 0}.
Тогда Р(7\ = 0) = Р(Г2 = 0) = Р(7'3 = 0) = 1.

104
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
В самом деле, событие {Тг = 0} может быть представлено в
следующем виде:
оо 11
{Тг = 0} = Р| -[существует такое е,0 < е < -, что Ве > 0 J.
л=1
Это событие, очевидно, принадлежит &*+. Поэтому для доказательства
того, что Р(Тг = 0) = 1, достаточно показать, что Р(7\ = 0) > 0. Это
действительно так: для любого t > 0 имеем P(7\ ^ t) ^ P(Bt > 0) = ^-
Поэтому Р(ТХ = 0) ^ « ив силу закона нуля или единицы Блюменталя
р(7х = 0) = 1. Аналогично Р(Г2 = 0) = 1. Из этих двух фактов и
непрерывности броуновского движения следует, что и Р(Т3 = 0) = 1.
3. Х.-Ю. Энгельберт и В. Шмидт установили [124] для
(стандартного) броуновского движения В = (Bt)t^0 следующий закон нуля или
единицы. Если f =f{x\ x e [0,оо), есть борелевская функция, то
следующие утверждения равносильны:
а) РМ f(Bs)ds <оо для всех t ^ 0 J > 0;
б) РМ f{Bs)ds < оо для всех t ^ 0 J = 1;
в) f/(x)dx<oo для всех компактных подмножеств К с R.
§ 6. О предсказуемых, опциональных, измеримых
и прогрессивно измеримых о*-алгебрах и процессах
1. Один из принципиально важных результатов теории
броуновского движения состоит в возможности определить стохастические
процессы
/t(H) = f H(co,s)dB5(co), t ^ 0
(гл. XII), что послужило фундаментом для развития стохастического
анализа (по броуновскому движению В = (В5(со))5^0)-
Точно так же, как в случае интеграла Лебега, на
подынтегральные функции (процессы) Н = (H(co,s))s^0 приходится, конечно,
налагать определенные условия «измеримости» и «интегрируемости», с тем
чтобы полученные интегралы /t(H), t ^ 0, и образованный ими
процесс /(Я) = (Jt(H))t;>0 имели те или иные «хорошие» свойства (см.
далее п. 3 в § 2 гл. XII)"

§ 6. Предсказуемость, опциональность, прогрессивная измеримость 105
Что касается «измеримости», то оказывается, что от функций
(процессов) Н = (H(co,s))5^0 надо требовать прогрессивную измеримость,
являющуюся в определенном смысле тем свойством, которое
обеспечивает естественные «хорошие свойства» интегралов It(H), t ^ 0.
Конструкция этих интегралов будет рассматриваться в гл. XII.
Сейчас же мы приведем полезную информацию о разных классах
случайных процессов, заданных на фильтрованных пространствах, и о
соотношениях между ними, следуя изложению в [190], [448].
2. Предсказуемые а -алгебры и процессы. В случае
дискретного времени и фильтрованного пространства (П,^,(^п)п^0) процесс
Я = (H(cl>, п))п^о называется предсказуемым, если при каждом п ^ 0
величины Я(о), п) являются &n-i-измеримыми (&_г = &0). Если же
величины Н(со,п) являются ^"„-измеримыми, то процесс Н = (Н(со,п))п^0
называется адаптированным или согласованным с потоком F = (&n)n^0.
Определение адаптированности в случае непрерывного времени
формулируется аналогично. Свойство же предсказуемости уже не столь
просто.
Определение 1. 1) Пусть (Q,^,F = (^t)t^o) — фильтрованное
пространство. Предсказуемой сг-алгеброй 0? — 2?(F) на П х М+
называется наименьшая сг-алгебра, порожденная адаптированными
(согласованными с потоком (^t)t^o) непрерывными слева (cag) процессами
X = {Х{со, t))t^0, рассматриваемыми как отображение {со, t) —>Х(со, £).
2) Действительный случайный процесс Н = (Н(со, t))t^0,
рассматриваемый как отображение (со, t) —> Н(со, £), называется предсказуемым,
если он адаптирован и ^-измерим, т. е.
{{co,t)\H{co,t)^B}<E&>
для всякого множества В из 03(R).
Примеры, а) Предсказуемую сг-алгебру & можно было бы
определить, беря вместо непрерывных слева адаптированных процессов
непрерывные адаптированные процессы.
б) Предсказуемую сг-алгебру & можно было бы определить и как
минимальную сг-алгебру, порожденную множествами А х {0}, где Ле
е ^0, и множествами А х (s, t], где А е &s и s < t.
в) Детерминированные процессы являются предсказуемыми.
г) Классическим примером предсказуемого процесса является
кусочно постоянный процесс
оо
Н(со, с) = ?о(")%(0 + Е ? Пы)7(Jl k+jlitl
k=0 2" *-2"' 2" J

106 Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
где п е N.= {1,2,...} и Е, k являются &±_-измеримыми случайными
величинами. 2" 2"
д) Если т = т(со) — конечный момент остановки (т € J10(F)) и Я =
= (Н(со, t))t>0 — предсказуемый процесс, то величина H(cl>, т(со)),
обозначаемая Ят, является ^-измеримой. (Здесь &т есть сг-алгебра,
порожденная J^o и всеми множествами вида An {t < т}, где £ €R+ и Ae^t.
Заметим, что J^t_ = J^0, если t = 0, и^_ = \/ J*;, если t > 0.)
е) Если Я — предсказуемый процесс, то процесс Я = (Н(со, t))t^0, гДе
Н(со, t) = sup5^t H(cl>,5), будет предсказуемым. (Ср. с примерами в [495,
п. 5 гл. II].)
ж) Если Я — предсказуемый процесс и g = g(x) — борелевская
функция на R, то процесс Н8 = g(H) также будет предсказуемым.
з) Одного требования & -измеримости (без согласованности)
недостаточно для того, чтобы процесс был предсказуемым.
и) Если множество А с R+ не является борелевским, то процесс
/1, teA,
\0, t£A,
будет согласованным с любым потоком F = (&t)t^>o, но не будет
^-измеримым, поскольку множество {(со, £): Я(со, £) = 1} = ПхАне
принадлежит сг-алгебре & — 2?(F) (множество А не измеримо по Боре-
лю(!)).
3. Опциональные а-алгебры и процессы.
Определение 2.1) Пусть (П,^, F = (^t)t^0) — фильтрованное
пространство. Опциональной сг-алгеброй б = 6(F) на П х R+
называется наименьшая сг-алгебра, порожденная всеми согласованными
непрерывными справа и имеющими пределы слева (cadlag)
действительными процессами Y — (Y(co, t))t^0, рассматриваемыми как отображения
2) Действительный случайный процесс Я = (Н(со, t))t^0,
рассматриваемый как отображение (со, t) —> Я(со, £), называется опциональным,
если он согласован и 0-измерим, т. е.
{(co,t)\H(co,t)eB}e6
для всякого множества В из 53 (R).
Примеры, а) В определении опциональной сг-алгебры б вместо
cadlag-процессов можно брать cad-процессы, т. е. процессы с
непрерывными справа траекториями.
б) Если Я = (Н(со, t))t5>0 является опциональным процессом, ат =
= т(со) —конечный момент остановки (т е Л6(F)), то остановлен-

§ 6. Предсказуемость, опциональность, прогрессивная измеримость 107
ный процесс Нт = (Н(со, t А т(со)))^0 также является опциональным, а
Ят = Н(со, т(со)) есть ^-измеримая случайная величина.
в) Опциональную сг-алгебру 6 = 6(F) можно определить с
помощью моментов остановки:
0(F) = а( [т, оо]: т € JtC(F)\
где
|[т,оо] = {(со, t):teR+, t(cl>) ^ t}.
— стохастический интервал.
г) Если X = (Xs(co))5^0 является опциональным процессом, то
процесс
Xt* = supX5, t^O,
также является опциональным.
д) Если X = (Xs(co))s^o является опциональным процессом на
фильтрованном вероятностном пространстве (П, &, (^)^съ P) и Для
каждого момента остановки т = т(со) выполнено равенство Хт = 0 (Р-п. н.)
на множестве {т(со) < оо}, то P(sup |Xt| = О) = 1.
vt^o J
е) Как нетрудно видеть, между предсказуемой и опциональной о-
алгебрами имеет место следующее вложение:
4. Измеримые и прогрессивно измеримые о*-алгебры и
процессы.
Определение 3. 1) Если (П,&) и (R+,^(R+)) — измеримые
пространства, то ст-алгеброй Л = М(&) называется сг-алгебра
подмножеств из ft x R+.
2) Процесс Н = (Н(со, t))t->0 называется измеримым, кии
^-измеримым, если для всякого борелевского множества В е <%(R) справедливо
включение
Н~г(В)е^^^(Ш+),
где
Н~\в) = {(со, 0 € П х R+: H(o), t) € В}.
Определение 4.1) Пусть (П,^*, F = (J^t)t^0) —фильтрованное
пространство и ^([0, t]) — борелевская сг-алгебра на [0, t], t ^ 0.
Семейство множеств
{Лс ft х [0, оо):ЛП (П х [0,оо)) € &t <g> #([0, t]) для всех t ^ 0}

108
Гл. IV. Фильтрованные пространства. Моменты остановки
(являющееся сг-алгеброй) называется прогрессивной сг-алгеброй и
обозначается ^prog = ^pr0g(F).
2) Процесс Я = (Н(со, t))t^0 называется прогрессивно измеримым
(или прогрессивным), если для каждого множества В е 38(М)
справедливо включение
Н"ЧВ) e^progCF).
Между четырьмя введенными выше а -алгебрами имеются
следующие соотношения:
9>{F) с 0{F) с ^prog(F) с ЛГ(^)
(подчеркнем, что все вложения строгие).
В гл. XII будут построены стохастические интегралы
t
It(H) = jH(w,5)dBs(co), t^O.
о
Оказывается, что такие интегралы можно определить для прогрессивно
измеримых процессов Я = (Я(со,5))00 (подчиняющихся определенным
условиям интегрируемости). Эти интегралы будут обладать
«хорошими» свойствами из в п. 3 § 2 главы XII.
Примеры, а) Прогрессивно измеримый процесс Я = (Н(со, t))t^0
является адаптированным: Н(со, t) являются ^-измеримыми для
любого t ^ 0 и ^(^)-измеримыми.
б) Не всякий адаптированный измеримый процесс является
прогрессивно измеримым. (П. Халмош в [481, гл. III, § 16, теорема 4],
опираясь на аксиому выбора, доказал существование неизмеримых по
Лебегу множеств. Из этого выводится, что существует адаптированная
функция /: М+ —> R, не являющаяся прогрессивно измеримой.)
в) Поточечный предел измеримых (или прогрессивно измеримых)
процессов является измеримым (соответственно прогрессивно
измеримым) процессом. Так, процесс Я(со, t)=I(Bt(co)>0), где (Bt(co))t^0 —
броуновское движение, прогрессивно измерим как предел при п —> оо
процессов Нп(со, t) = (£t(co) Л 1)1/п, обладающих этим свойством.
г) Если т G Мб{¥), а Я = (Я(о>, t))t5>0 —прогрессивно измеримый
процесс, то Ят/(т < оо), где Ят =Н(оо, т(со)), является ^.-измеримой
случайной величиной.
д) Если Я = (Н(со, t))t>0 — прогрессивно измеримый процесс и
выполнено неравенство |Я(со, t)| ^ К, где К — константа, то существует
последовательность Я", п ^ 1, таких прогрессивно измеримых
непрерывных процессов с |Я"(со, t)| ^ К, п ^ 1, что H(co,t) — ПтЯп(со, t)
(Р-п.н.).

§ 6. Предсказуемость, опциональность, прогрессивная измеримость 109
е) Если Н = (Я(а>, t))t>0 — прогрессивно измеримый процесс,
удовлетворяющий условию
00
00,
О
t
то процессXt{со) = j H(co,s) ds, t ^ 0, является (почти наверное) непре-
о
рывным и прогрессивно измеримым.

Глава V
Марковское и строго марковское свойства
броуновского движения
§ 1. Марковское свойство
1. Броуновское движение по определению является процессом с
независимыми приращениями (см. определение 1 в § 1 гл. I), а значит,
есть марковский процесс. Вытекает это из следующего общего
предложения.
Лемма. Пусть X = {Xt)t^Q есть процесс с независимыми
приращениями (в частности, броуновское движение), определенный на
вероятностном пространстве (JI, &, Р). Введем натуральные а-алгебры
^s]=a(Xsl &X0s]=ct(Xu,0^u^s).
Тогда для всякой измеримой ограниченной (или неотрицательной)
функции g = g(x), xGl, и t>s выполняется равенство
E[g(Xt)|^0s]](co) = E[g(Xj|^]](co) (Р-п.н.), (1)
которое и называют свойством марковости процесса X
(относительно натурального потока а-алгебр Fx = C^*)t^o)-
Доказательство. Для t >s положим
G(x) = Eg(Xt-Xs + x).
Величина X, —Xs не зависит от &*Qsy и поэтому (Р-п. н.)
E[g(Xt) | &*0Л] = E[g(Xt -Xs +XS) | &*0Л] = G(XS), (2)
где G(XS) есть G(x) при x =XS.
Аналогично (Р-п. н.)
E[g(Xt) | ^* ] = E[g(Xt -Xs +XS) | ^* ] = G(XS). (3)
Сравнение соотношений (2) и (3) доказывает равенство (1). □
2. Вместо формулы (1), выражающей марковское свойство
процесса X = (Xt)t2o (не обязательно являющегося процессом с
независимыми приращениями, как в вышеприведенной лемме), часто используют

112
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
другие эквивалентные формулировки. Так, если &ftoo] — cr(Xu,u ^ t),
то для Аг е &ft , и t > s выполнено равенство
Р(Д1 I ^0,5]) = Р(Л1 I &[s]) №-П- Н')- №
Если также А2 € <^* ,, то выполнено равенство
Р(АХ П А2 | ^*) = НАг | ^) • Р(А2 | ^) (Р-п. н.), (5)
которое интерпретируют так: марковское свойство эквивалентно тому,
что при фиксированном «настоящем» C^J «прошлое» (А2) и
«будущее» (Ах) условно независимы, t > 0.
Вместо условий (4) и (5), выраженных в терминах условных
вероятностей, можно дать условия, выраженные в терминах условных
математических ожиданий.
Именно, пусть Fx = F1(co) является ограниченной (или
неотрицательной) &?t л -измеримой функцией, тогда (ср. формулу (4)) для t>s
имеем
E[Fil^[Xo)S]]=E[Fil^]] (Р-п.н.). (6)
Если к тому же F2 = F2(co) является ограниченной и &*
.-измеримой функцией, то
E[FiF2 | ^*] = E[F: | ^*] • E[F2 | ^*] (Р-п. н.). (7)
Доказательство соотношений (4) —(7), а также других форм
марковского свойства можно найти во многих руководствах, см.,
например, [405,422,423]. □
3. В теории марковских процессов одним из важных понятий
является понятие переходной функции P(s,x; t,A), где 0^s$t,xEl,A€
G ^(R). Напомним это понятие (см. также § 2 в гл. II).
По определению переходная функция — это такая функция, что
1) справедливо равенство
P(s,Xs;t,A) = P(XteA|Xs) (Р-п.н.); (8)
2) при любых s,x,t функция Р(5, х; t, •) является мерой на борелев-
ской сг-алгебре SB (К);
3) при любых 5, t, А функция Р(5, •; t,А) является борелевской;
4) для всех х е Ш, Ае <%(Ш) имеет место равенство
P(s,x;s,A) = IAW (=|J' *^);

§ 1. Марковское свойство
113
5) выполняется уравнение Колмогорова—Чепмена
00
P(s, х; t,A) = J P(s, х; и, dy)P{u, у; t,A), (9)
— 00
где s ^ и ^ t, х е R, А е %(R).
Но почему такая функция P(s,x\ t,A), удовлетворяющая всем
сформулированным свойствам, существует? Конечно, можно было бы
думать, что функцию P(s,x;t,A) мы определяем, полагая
P(s,x;t,A) = P(XteA|Xs = x),
т.е. как один из вариантов условной вероятности P(Xt е А | Xs = х).
Однако в силу того, что эта условная вероятность определяется лишь
V-почти наверное, совершенно не очевидно существование функции
P(s,x; t,A), удовлетворяющей всем сформулированным условиям (для
каждых s,x,t и Л).
В статье С. Е. Кузнецова [442], носящей название «Любой
марковский процесс в борелевском пространстве имеет переходную
функцию», дается положительный ответ на вопрос о существовании такой
функции. (В случае однородного марковского процесса, когда условная
вероятность P(Xt е A | Xs) зависит лишь от t — s, в статье [442]
доказано существование такой однородной переходной функции P(t,x;A),
являющейся измеримой по х и мерой по А, что (Р-п. н.)
P(XteA|Xs) = P(t-s,Xs;A).)
Переходная вероятность полезна прежде всего тем, что с ее
помощью можно представить все конечномерные распределения (см. § 1 в
гл. I и § 2 в гл. II)
Pt0,tl,...,tn(Ao хAi х ••• х A,) = P(Xt0 €A,,Xtl eAl9...,Xtn eAj,
гдеО = г0< tx <...< tn,A;e^(R), i = 0,1, ...,rc, в виде
= Jpto(dx0)|p(t0,x0;t1,cix1)|p(t1,x1;t2,dx2)...|p( dxn\
А) Аг А2 An
где Pto(A0) есть вероятность начального состояния (Pto(A0)=P(X0eA0)).
В случае броуновского движения (Xt =Bt), как мы уже знаем (§ 2
в гл. П),
P(Bt е А | Bs = х) = Г <pt_s(z - х) dz, (10)

114
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
где (^t(y) задается формулой
1 у-
V2nt
(см. формулу (1) в § 1 гл. I).
4. В нашем начальном определении броуновского движения В =
= (Bt)t>0 предполагалось, что (начальное значение) В0 = 0. Затем мы
определили броуновское движение Вх = (B*)t^0, просто полагая В* =
= х + Bt, что соответствует тому, что (начальное значение) В£ = х.
Эта идея, допускающая выход процесса из произвольной точки х,
может быть далее распространена на случай, когда в любой момент
времени 5^0 процесс может начинаться в любом состоянии igR.
Именно это приводит к понятию семейства марковских процессов, или
марковского семейства [423].
Для строгого определения будем, как в книге [423], исходить из
того, что a priori задана переходная функция P(s,x; t,A),
удовлетворяющая условиям 2—5 из п. 3. Пусть, далее, задано семейство случайных
величин X = (Xt)t2o, где Xt =Xt(co) осуществляет отображение П в Ш
(с борелевской сг-алгеброй 5U(R)).
Положим, как и выше, &* Л — сг(Хи,и ^ 5), и пусть для каждого
5^0ихеМна (П, <^"[Sj00)) определены вероятностные меры Psx, причем
процесс (Xu)u>s является (по мере Ps х) марковским с заданной
переходной функцией Р = Р( •, •; •, •), т. е. для s ^ t ^ и выполняется равенство
PStX(XueA\&Xtt]) = P(t,Xt;u,A) (Р5,х-п.н.),
где &f , = a(Xv, v e [5, t]). Кроме того, предполагается, что
Ps>x(Xs = x) = l.
Так полученное семейство
С"> К,°о)> &u)u2s> Ps,x; S ^ 0, X G R)
называется марковским семейством (или марковским семейством
случайных процессов) с заданной переходной функцией Р( •,•;•,•).
В случае броуновского движения соответствующее семейство
броуновских движений, выходящих из произвольных точек х,
определяется переходными функциями (5 ^ t)
1 Г -^^
PQ,x;t,A)= . e «'-О dy
V2n(t-s)J
(ср. с формулой (10)).

§ 2. Строго марковское свойство для броуновского движения 115
5. Мы завершим приведенные общие рассмотрения относительно
марковских процессов и марковских семейств (в том числе и
броуновских) еще некоторыми свойствами броуновского движения.
Будем снова обозначать через В — (Bt)t^0 обычное броуновское
движение с В0 = 0 и полагать В* = х +Bti xeM, t ^ 0.
Теорема. Для всякого s > 0 процесс
{B?+J-Bf;t£0}
при любом х Е R по распределению совпадает с процессом {Bt, t ^ 0}:
где «=» означает совпадение всех конечномерных распределений.
Более того, процесс {Bx+s - В*; t ^ 0} не зависит от процесса [Вш 0 ^
Доказательство. Непосредственно видим, что для любого х е Ж
выполнено равенство
Bx+S-Bx =Bt+s-Bs
и что для t ^ 0 процесс {Bt+S — Bs; £ ^ 0} совпадает (по распределению)
с броуновским движением. Тогда упомянутая независимость следует
из независимости приращений броуновского движения. (См. также § 2
гл. I.) □
Как было уже отмечено в § 4 гл. IV, процесс [Bt+S — Bs; t ^ 0} не
зависит не только от ^ — сг(Ви, 0 ^ и ^ 5), но и от
V>5
Это замечание полезно иметь в виду при рассмотрении строго
марковского свойства в следующем параграфе.
§ 2. Строго марковское свойство для броуновского движения
1. Появление слова «строго» связано с тем, что, скажем, в
формуле (1) из § 1 детерминированный момент 5 заменяется на марковский
момент а.
Прежде всего отметим, что все те свойства, которые верны для
детерминированных моментов (s), вообще говоря, могут быть неверны
для марковских моментов (<т). Вот простой пример.
Рассмотрим броуновское движение В = (Bt)t^0. Это марковский
процесс и, более того, процесс с независимыми приращениями. Пусть
a = ini{t^0:Bt=a},
где а > 0.

116
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
Понятно, что при любом 5^0 выполнено равенство
EBS = 0. (1)
Однако
ЕВа = а, (2)
поскольку Р(сг < оо) = 1.
Тем самым в случае моментов <т броуновское движение «ведет» себя
совсем не так, как в случае детерминированных моментов 5.
С другой стороны, есть ситуации, где случайные моменты «ведут»
себя как детерминированные моменты. В качестве примера приведем,
так сказать, «доказательство» того известного факта, что
maxBM = |Bt|, (3)
т. е. для всякого а > 0 выполнено равенство
р( max Ви>а)= P(|Bt| > а),
ИЛИ
р(max Ви>а) = 2P(Bt > а). (4)
Чтобы это установить, можно было бы рассуждать так.
Для фиксированного t > О введем момент остановки
т = inf{0 ^5 ^t:Bs> а},
полагая, как обычно, inf 0 = оо.
Нетрудно видеть, что (Р-п. н.)
{Bt>a} = {BtAT>a,Bt-BtAT^0}.
Поэтому
P(Bt > а) = P(BtAT >a,Bt- BtAT 2 0).
Если бы для случайного момента t А т все было действительно так,
как для детерминированного момента, то мы имели бы
P(BtAT>a,Bt-BtAT^0) =
= P(Bt - BtAT 2 0 | BtAT > a) • P(BtAT > a) ®
C^P(Bt-BtAT£0)-P(BtAT>a)®
® |p(BtAT > a) = 1р(т ^ 0 = 5р(оЖВ" > 4
откуда следует требуемое свойство (4).

§ 2. Строго марковское свойство для броуновского движения 117
Но почему выполнены равенства (а) и (Ь)? На самом деле в
равенстве (а) мы воспользовались независимостью Bt — BtAT от BtAT, а в
равенстве (Ь) — тем, что P(Bt - BtAz ^ 0) = - Но момент t Л т является
случайным и a priori не ясно, что эти свойства выполнены, хотя если
бы t Л т был неслучайным моментом, то это было бы так по свойствам
броуновского движения.
Все это оправдывает интерес следующего предложения,
объясняющего, в частности, что свойства (а) и (Ь), использованные выше,
справедливы.
2. Теорема. Если В = (В t)t^0 —броуновское движение и а = сг(со) —
конечный почти наверное марковский момент (относительно потока
FB =(<^f)t;>oX mo процесс
{Ba+t-B^tZO} (5)
является броуновским движением, не зависящим от а-алгебры <^?+.
Доказательство. Воспользуемся дискретной аппроксимацией
момента <т моментами остановки
тп = (т + 1)2-п, п^1,
когда т2~п $ а < (т + 1)2"" (см. § 3 в гл. IV). Эти моменты тП9 п ^ 1,
таковы, что <т = inf тп.
п
Введем также следующие обозначения:
Вт"=(в;п)^0, где B^=Bt+Tn-BTn,
Mm2~n={Mf-n\^, где Mf-n=Bt+m2-n-Bm2-n,
и пусть А е сг (R^°°^,Ee^+. Тогда
оо
Р({ВТ" е А} П Е) = £ P({Bm2_n е А} П Е П {тп = т2~п}) =
т=0
оо
= 2 Р({Вт2_" еЛ})Р(£ П {т„ = т2-"}), (6)
т=0
где мы воспользовались тем, что
Bm = (В™ )t^o — (£f+m2-n ~ ^m2-" )t^0
не зависит от Е п {тп = т2~п} е «^2_п+ (см. свойство 6° в определении
из § 4 гл. IV).

118
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
Согласно марковскому свойству Р(Вт2 " е А) = Р(В е А) независимо
от т и п. Следовательно,
00
£ Р({Вт2_п е А})Р(Е П {тп = т2-"}) =
т=0
оо
= Р(В е А) • 2 Р(Е П {тп = т2""}) = Р(В е А)Р(£). (7)
т=0
Из соотношений (6) и (7) вытекает не только то, что ВТп есть
броуновское движение, но и то, что ВТп не зависит от Е е ^ + . Это
составляет утверждение теоремы в случае а = тп.
Распространим это свойство моментов тп на марковские
моменты <т, воспользовавшись леммой из § 4 гл. IV.
Броуновское движение Вт" = (Bt+Tn - BTn)t^0 не зависит от ^+,
поскольку тп I а и, значит, J^+ с J^ Устремляя п к бесконечности,
находим, что в силу указанной выше леммы от &^+ не зависит и предел
limlT" = Ва = (Ba+t - Ва; t 2? 0), т. е.
lim(Bt+ -BTn) = Bt+CT-Ba) tjsO,
что верно в силу непрерывности траекторий броуновского движения. □
Справедливо соотношение \Bt\ = maxB5, где «=» означает совпаде-
°^% law
ние по распределению, которое также обозначается « = ».
3. Замечание. Утверждение теоремы о независимости процесса (5)
от а -алгебры J^+ мы называем строго марковским свойством
броуновского движения. В этой связи отметим, что если по традиции
марковское свойство процессах = {Xt>^f\^o> записывать в виде
P(Xt+s€A|^>s]) = P(Xt+sGA|Xs) (Р-п.н.), (8)
то этот процесс будет называться строго марковским в случае, когда
для любого (конечного) момента остановки <т (относительно потока
(c^rosi^o) выполняется равенство
HXt+aeA\^0(j]) = P<iXt+C7eA\X(J) (Р-п.н.). (9)
В случае, когда X = В — броуновское движение, строго марковское
свойство в смысле приведенной выше теоремы влечет за собой
свойство (9).
Хорошо известно, что из марковского свойства строго марковское
свойство, вообще говоря, не следует. Если, например, Bvt = v + Bt, t ^
^ 0, где v — случайная величина (не зависящая от броуновского
движения Bt, t ^ 0), принимающая два значения 0 и 1 с вероятностями те,

§ 3. Принцип отражения
119
то процессXt = BvtI(v = 1), t ^ 0, будет, как можно проверить,
марковским. Однако этот процесс не будет строго марковским: свойство (9) не
выполнено для момента а=inf{ t ^ 0: Xt=0}. (Какими будут значения X
после ст, существенно зависит от значения Х0, т. е. от значения v.)
Другой пример связан с семейством распределений Рх, х ^ 0, и
процессом
Xt = U + t)/(x > 0) + max(0, t - y)J(jc = 0),
где у — стандартная экспоненциально распределенная случайная
величина.
Этот процесс является марковским (Px(Xs+t е А | &f) = Рх (Xt е А),
Рх-п.н., х ^ 0). Но он не будет строго марковским, поскольку для
момента y имеем
Рх(Хг+1еА\^)^РХг(Х^А).
Действительно, при х — 0 величина Ху+1 равна 1, а в правой части
стоит величина Ех Хг = Е0Х1 < 1.
§ 3. Принцип отражения
1. Строго марковское свойство броуновского движения
используется для получения многих результатов. Один из них — принцип
отражения, устанавливающий, что броуновское движение, отраженное в
некоторый марковский момент сг, снова является броуновским
движением.
Теорема. Пусть В = (В t)t^0 —броуновское движение, а — конечный
марковский момент (относительно потока (^tB)t^0) uB* = (.B*)t^0, где
B*=BtACT-(Bt-BtACT) = |2^_Bt> ^ (l)
Процесс В* = (£*)t;>o снова является броуновским движением.
Этот процесс называют отраженным броуновским движением.
Доказательство. Введем процессы Ва = (В?)^о и 1°" = (В^)^0, для
которых
Ш° =Bt+a —BG.
Согласно строго марковскому свойству (§ 2) процесс В°" не зависит
°т ^, и, так как <т является ^-измеримой величиной (§ 3 в гл. IV),
Вст не зависит от (<7,В°"). Так как В°" — броуновское движение,
ползаем, что

120
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
и, значит,
(сг,Вст,Ва) = (сг,Ва,-Вст). (2)
Теперь заметим, что введенный выше процесс В* = (B*)t^0 может
быть записан в виде
в;=в,Аа-ш^_а)+, t>o,
где (t - <т)+ = max(0, t - а), а процесс Б = (Bt)t^0 — в виде
Bt=BtA(T+B(t_a)+, t^O. (3)
Тогда из свойства (2) видим, что В* и В совпадают по
распределению, что и требовалось доказать. D
Следующее полезное следствие принципа отражения (1) часто
также называют принципом отражения.
Следствие. Справедливо соотношение
Р(М, 2 х9 В, ^ у) = Р(В* ^ 2х - у), х ^ тах(0, у), (4)
где Mt = max В..
Результат (4) получается из соотношения (1), если взять
cr = inf{s^0:Bs=x}.
2. Вернемся к приведенному в § 2 «доказательству» того, что в
случае броуновского движения В для каждого t ^ 0 справедливо
соотношение \Bt\ = max В..
Используя принцип отражения, действительно несложно доказать
это свойство.
Положим а = inf{t ^ 0: Bt = b}, и пусть В* = (B*)t^0 — отраженное
(в момент <т) броуновское движение. Тогда если Mt = max В., то
{Mt >b} = {Bt > b} U {Mt >b,Bt^ b}, (5)
где множества в правой части не пересекаются.
Множество {Mt > b,Bt^ b} согласно соотношению (4) по
распределению совпадает с множеством {В*>Ъ}. Тем самым
P(Mt > Ь) = P({Bt > Ъ} U {Mt >b,Bt^ b}) =
= P(Bt > b) + P(Mt > b, Bt ^ b) =
= P(Bt>b) + P(B*>b) = 2P(Bt>b), (6)
что эквивалентно соотношению IB J = max В..

§ 4. О некоторых понятиях общей теории марковских процессов 121
3. Итак, мы доказали, что Mt = \Bt\. Но, оказывается, можно
доказать больше: для каждого t ^ О выполняются соотношения
Mt=Mt-Bt = \Bt\. (7)
Это может показаться удивительным, так как (в явных терминах)
первое утверждение в формуле (7) означает, что для заданного t > 0
выполняется равенство
max Bs = max В, - Bt. (8)
Но это свойство (которое достаточно доказать лишь для t = 1)
можно установить следующим образом.
Согласно (4) выполнено равенство
Р(М2 ^ х, Вг ^ у) = Р(В* ^ 2х - у), х ^ тах(0, у).
Отсюда выводится, что пара (Мг,Вг) имеет вероятностную плотность
-2(//(2х - у), где </?(*) = —=е~х /2. Заменой переменных отсюда за-
/2я
ключаем, что (М1,М1 — Вг) имеет плотность — 2(//(х + у), х,у ^0.
Следовательно, Мг и Мх — Вх имеют одну и ту же плотность 2(/?(х), х ^ 0.
Замечание. Свойство Mt — Bt = \Bt\ для каждого фиксированного
t ^ 0 может быть существенно усилено (гл. XIII, § 1):
(Mt-Bt,Mt;t^0) = (|Bt|,Lt;t^0),
где (Lt)t^o —локальное время в нуле (см. § 6 гл. XII и § 1 гл. XIII).
§ 4. О некоторых понятиях общей теории марковских процессов
1. Из работы Н. Винера 1923 г. «Differential-space» [374] стало
ясно, что с броуновским движением (винеровским процессом) тесно
связан оператор Лапласа А. По крайней мере одномерная плотность ipt(x)
распределения d -мерного броуновского движения удовлетворяет
уравнению
^ = ±Ду>,(х), t>0, xe]
d о2
dt 2
с оператором Лапласа
d я
1=1 oxi
В 1931 г. А. Н. Колмогоров в работе «Об аналитических методах в
теории вероятностей» [212] установил тесную связь марковских
процессов с теорией дифференциальных уравнений (обыкновенных и в
частных производных).

122
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
В современной теории марковских процессов появилось затем
много понятий, устанавливавших тесную связь общей теории марковских
процессов с различными разделами математического анализа. Но,
более того, во многих случаях вероятностные методы дали возможность
привлекать «стохастику» для решения различных классических задач.
Сюда можно отнести, например, стохастические представления задач
Дирихле, Пуассона (гл. XIV) и формулы Фейнмана—Каца (гл. XXII),
что дало возможность использования статистического метода Монте-
Карло для нахождения (хотя бы приближенного) решения этих и
родственных задач.
2. С каждым марковским процессом X — (Xt,^"fx)t.^0 со значениями
в Rd связываются переходные функции
P(5,t;jc,A) = P(Xt€A|Xs=Jc),
часто обозначаемые (л5д(х,Л) и называемые переходными ядрами.
По таким ядрам естественно определить переходные операторы
TsJM = (TsJXx) = Ex[f(Xt)\Xs] = ^f(y)^t(x,dyl
Rd
предполагая, конечно, что функция/ такова, что Ex[f(Xt) \X0 — x]
существует.
В однородном случае, который сейчас и будет рассматриваться,
ядро /is f зависит только лишь от разницы t — s. Будем в этом случае
обозначать jUf_s = jus>t. Операторы Г0 f будем обозначать Tt, так что
rt/W = E[/(Xt)|Xo = x] = J/(y)jLtt(x,dy).
Rd
Из марковского свойства выводим полугрупповое соотношение
TsTt = Ts+t, 5^0, t^O,
которое можно рассматривать как аналог уравнения Колмогорова—Че-
пмена:
Vs+t(x,A) = ^ixs(x,dy)ixt{y,A).
Если процесс X является процессом с однородными независимыми
приращениями (как в случае броуновского движения) с плотностью
pt(x) распределения Xt, находим, что
Ps+tW = §ps(x-y)pt(y)dy, xeRd.
ud

§ 4. О некоторых понятиях общей теории марковских процессов 123
В броуновском случае, как мы уже знаем, для t > 0 выполняется
равенство
3. В общей теории марковских процессов (Е. Б. Дынкин, [423])
большое внимание уделяется феллеровским семействам операторов
Crt)t^0, действующих на пространстве Cb(Rd) непрерывных
ограниченных функций на Rd и обладающих следующими свойствами:
a)TJt = Ts+t;
6)Tt(Cb(Rd))ccb(Rd);
в) TJW ->/(*) при 11 0 для всех / € Cb(Rd).
По поводу свойств операторов (Tt)f^0 и свойств феллеровских
процессов см. [423, гл. I, II].
4. С каждой полугруппой (Tt)f^0 связывают понятие резольвенты.
Определение таково.
Пусть Я > 0 и
*A/(x) = jVAfTt/(x)dt,
хе]
т.е.
Rxf{x) = bx^e-Xtf{Xt)dt, х<
— преобразование Лапласа.
Семейство (#а)а>о так определенных операторов называется
резольвентой полугруппы (Tt)t£0 [423].
В гл. XIII введенные выше понятия будут использоваться при
исследовании среднего значения меры пребывания и функций Грина для
броуновского движения.
С каждой полугруппой (Tt)t^0 связывается инфинитезималъный
оператор М', область определения которого состоит из тех
ограниченных функций / с II/H < оо (где ||/|| = sup |/(x)|), для которых
существует предел lim — по норме || • ||. Этот предел
обозначается j4j{x). При широких предположениях оператор j4 однозначно
определяет переходную функцию (теорема Хилле—Иосида; см. [423],
[405]).
В случае броуновского движения sif — ^А/, где А —оператор
Лапласа.

124
Гл. V. Марковское свойство броуновского движения
Связь резольвенты Яя и инфинитезимального оператора j4
(полугруппы (rt)f^0) дается, например, таким утверждением: уравнение
XF — j4¥ — f (при некоторых условиях) имеет и притом единственное
решение (при Я > 0), такое, что
F=RJ = $e-XtTtfdt
о
(см. [423, гл. I, теорема 1.1] и § 7 гл. XIV настоящей книги).
Если si — инфинитезимальный оператор полугруппы (Tt)t^0, то
справедливы прямое и обратное уравнения Колмогорова
По поводу другой характеристики марковского процесса—
характеристического оператора 21/(х) —см. книгу [423].

Глава VI
Закон повторного логарифма и законы арксинуса
и арктангенса
§ 1. Закон повторного логарифма — 1.
Формулировка в случае дискретного времени
1. Этот закон уже появлялся у нас (§ 4 в гл. III) в связи с изучением
некоторых траекторных свойств приращений броуновского движения.
Сейчас же мы займемся доказательством этого закона.
Целесообразно начать со случая независимых случайных величин и
затем перейти к случаю броуновского движения.
Будем для случая дискретного времени предполагать, что на
вероятностном пространстве (ft, &, Р) задана последовательность таких
независимых одинаково распределенных случайных величин £ = (£п)п^ъ
что
P(£i = 1) = P(£i = -1) = « (схема Бернулли),
и^-^1 + - + ^- (Мы рассматриваем этот классический случай,
поскольку на его примере многое можно объяснить простыми
средствами.)
Хорошо известно (см., например, [495]), что
^-0 (Р-п.н.). (1)
Это есть усиленный закон больших чисел Э. Бореля (1909 г.), который
легко объяснить.
Действительно, по неравенству Чебышёва
pI|t|>5J^^^^-;?5* (2)
(поскольку ES* = 2 Е£? + 6 £ Е£? • Щ ^ Зп2). Поэтому
fc^n ' • к^п ' ' к^п

126 Гл. VI. Закон повторного логарифма
когда п —> оо. Но это и означает, что с вероятностью 1 величины —
сходятся к 0 при п —> оо.
После этого доказательства Ф. Хаусдорф заметил (1914 г.), что
помимо соотношения (1) имеет место также такое свойство:
^7^0 (Р-п.н.) приеХ), (3)
т. е. Sn = o{nl!2+e) (Р-п. н.). Доказательство этого свойства основано на
том, что в формуле (2) вместо четвертого момента ES4
рассматриваются моменты ES^r = 0{пг), где г > тг-.
Действительно (с некоторой константой с > 0),
0 kZn |/C I ° tenK
если взять ^ > о-- Отсюда, как и выше, получаем свойство (3).
Замечание. В связи со свойством (3) отметим, что, тем не менее,
5 S
lim-7= = oo, lim^= = —оо (Р-п.н.)
(см., например, [495, гл. IV, § 1]).
Из приведенных рассмотрений становится ясно, что существенным
моментом при получении результатов (1), (3) явилось наличие
«хороших» оценок для вероятностей P(|Sn| ^ 5t(n)), где t(n) = ny Бореля и
t(n) = п1/2+е у Хаусдорфа. Вслед за ними Г. Харди и Дж. Литтлвуд
получили (1914 г.) оценку с t(n) = (nlogn)1/2, а затем А. Я. Хинчин получил
(1923 г.) оценку вида
P(|Sn|>t)^e 2n\
которая была им использована для доказательства того, что (Р-п. н.)
|Sn| = 0(V/nloglogn).
Это уже близко к закону повторного логарифма (см. далее
соотношения (4), (5) и замечание 3 в § 2). Для случая равномерно ограниченных
(независимых одинаково распределенных) случайных величин этот
закон был установлен А. Я. Хинчиным в 1924 г. В 1929 г. А. Н. Колмогоров
обобщил этот закон на широкий класс независимых случайных
величин £„, п ^ 1. Он предполагал, что Е£п = 0, |£п(с*>)| $ ап < оо (Р-п. н.),

§ 1. Закон повторного логарифма. Формулировка для дискретного времени 127
при этом константы ап, п ^ 1, таковы, что
an(loglogcrJ1/2
при п —>оо, где
Тогда
^ J^n У
Нт г^т -1,
О, сгп -> оо
1/2
где i/j(t) = (2tloglogt)1/2 для t > е.
В 1941 г. Ф. Хартман и А. Винтнер [169] дали формулировку закона
повторного логарифма для броуновского движения. Приводимая
теорема 1 есть в точности аналог их результата для случая дискретного
времени и в предположении гауссовости. В применяемом ими методе был
использован результат А. Н. Колмогорова, в доказательстве которого
были использованы аргументы урезания.
2. Теорема 1 (закон повторного логарифма, дискретное время,
гауссовский случай). Пусть Е, = ^1у^2>--') — после^овательностъ
независимых нормальных:, N(0,1), случайных величин uSn = ^ + (2 + -
... +£п. Тогда V-п.н.
^vfe = "1' (5)
где гр(п) = (2п log log n)1/2.
(По поводу других эквивалентных формулировок закона
повторного логарифма см. замечания 1 и 2 в конце § 2.)
Сразу отметим, что теорема остается в силе, если исключить
предположение гауссовости, но предполагать, скажем, что Е£п = 0, Е£2 = 1,
п ^ 1 (см. гл. XXV, § 7, следствие к теореме 3). Отметим также, что
имеет место и обращение результата теоремы 1 (без предположения
гауссовости). А именно, если Е, = (£i,£2> •••) есть последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин,
удовлетворяющих закону повторного логарифма, то Е£п = О, ЕЕ,* — 1, п ^ 1.
Для доказательства теоремы 1 нам понадобятся следующие две
леммы.
Лемма 1. Пусть Е, = (£i,?2>---) — независимые случайные
величины, имеющие симметричные распределения (Р(£„ еЛ) = Р(—£п еА),

128
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Ае 38(Ш), п ^ 1). Тогда для всякого а > 0 выполняется неравенство
р( max Sk > a) ^ 2P(Sn > а), п ^ 1. (6)
Отметим, что для броуновского движения аналогом неравенства (6)
является равенство
р(max Bs > a) = 2P(Bt > a), (7)
доказанное в § 3 предшествующей главы.
Доказательство. ПустьАк — {St ^a,i^k-l;Sk> a},A= { max Sk >
> а} и В — {Sn > а}. Поскольку
AknB^Akn{SnZSk}, (8)
получаем, что
KAknB)^KAkn{SnZ Sk}) = P(Ak)V(iSnZ Sk) =
= P(Afc)P(£fc + ... + Sn£0).
В силу предположенной симметричности распределений случайных
величин
P(§fc+1 + ... + §п > 0) = P(§fc+1 + ... + §п < 0).
Поэтому Р(^^+1 + ••• + ?п ^ 0) ^ 2' и> значит> из включения (8) следует,
что
Р(В) > t КАк П В) ^ | £ P(Afc) = Ь(А),
fc=i z fc=i z
что и доказывает неравенство (6). D
Лемма 2. Пусть
X
ф) = ;/=е"*2/2> *00 = J ¥>00dj
—оо
и Ф(х) = 1 — Ф(х). Тогда для всехх>0 выполняются неравенства
^~^х)^ФМ^1^(х1 (9)
и, значит, Ф(х) и — </?(*) асимптотически эквивалентны при х —>оо
(т. е. их отношение стремится к 1; для обозначения асимптотической
эквивалентности будет использоваться символ ~).
Если
*«*w=Tib Jе"^=*(!)■

§ 1. Закон повторного логарифма. Формулировка для дискретного времени 129
то
Фа2(х) = 1 - Фа2(х) = 1 - ф(^) = ф( J).
Доказательство правого из неравенств (9) следует из того, что
00 00
X X
Для доказательства левого неравенства положим
00
g(jc) = хе-*2'2 - (х2 + 1) J е~У2'2 dy.
X
Здесь g(0) < 0 и lim g(x) = 0. Для х > 0 имеем
х-+оо
00
я'ОО = (1 - х2 + х2 + 1)е"*2/2 - 2х J е"^/2 dy =
—2x(J«--'»4r-^}
Правая часть здесь больше нуля (при х > 0) по правому неравенству
в (9). Следовательно, g(x) ^ 0, что и доказывает левое неравенство.
Асимптотическая эквивалентность следует из неравенств (9). □
Заметим, что в дополнение к неравенствам (9) для всех х > 0
выполнено неравенство Ф(х) ^ е~х /2. Действительно, для х ^ (27г)-1/2
оно следует из правого неравенства (9). Для 0 < х < (27г)~1/2 имеем
Ф(х)<Ф(0) = «е 4п ^е~х /2. Также отметим, что величина R(x)=—^,
1 — Ф(х)
т. е. R(x) = , ч , называется отношением Миллса (Mills ratio).
3. Помимо сформулированных лемм нам придется пользоваться
известной леммой Бореля—Кантелли. (Впрочем, мы уже ею
пользовались в § 1 гл. II и в § 1 гл. III.)
Напомним необходимые обозначения, формулировку и дадим
доказательство.
Пусть задано вероятностное пространство (ft,^",P) иА1уА2,...
—последовательность событий из &. С этими событиями можно связать
множество lim sup Ап, которое по определению есть [\ |J Am. По свое-
му смыслу в это множество входят те элементарные исходы со, которые
принадлежат бесконечному числу множеств Ап, п^ 1. Это множество
принято обозначать {Ап б.ч.}.

130
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Итак, мы можем записать
{Ап б. ч.} = { § /АпМ = оо} = П U Ап- (Ю)
Именно с этим множеством связана следующая лемма.
Первая лемма Бореля—Кантелли. Если
£Р(Ап)<<ю, (11)
п^1
то
Р{Апб.ч.} = 0. (12)
Доказательство просто:
Р{Ап б. ч.} = р( П U An) = limpf U iO ^ lim £ P(Am) = 0,
поскольку 2 P(Am) < оо.
Заметим, что вместо соотношения {Ап б. ч.} = f) (J Am, можно бы-
ло бы использовать соотношение {Ап б. ч.} = | ]Г] /дп(со) = оо| (см. фор:
п=1
00
мулу (10)). Тогда если N = ^ 1А (со), то по теореме Фубини
00 00 00
™=е2/Ап = 2;е/Ал = ]Гр(ап).
п=1 п=1 п=1
00
Если ]>] P(AJ < оо, то и EN < оо, а значит, N < оо (Р-п. н.). D
С множеством {Ап б.ч.} связана и вторая лемма
Бореля—Кантелли, которая в некотором смысле содержит обращение утверждения
(П)-(12).
Вторая лемма Бореля—Кантелли. Если
£Р(Дп) = сх) (13)
и события Д1,А2,... независимы, то
Р{Апб.ч.} = 1. (14)
Доказательство. Если события ДЬА2,... независимы, то таковы же
и события Ai,A2> ••• Тогда для любого N ^ п имеем
f N _ \ N
3 (ПА = ГП
\k=n J k=n

§ 1. Закон повторного логарифма. Формулировка для дискретного времени 131
а значит, при предельном переходе по N —► оо получаем
/• оо _ \ оо
рП4 =Пр(4).
\к=п у к=п
Принимая во внимание неравенство
log(l-x)$-x, 0^х<1,
находим, что
00 _ 00 00
log П НА) = log П (1 - Р(АО) < - 2 Р(Лк) = -оо.
/с=п к=п к=п
Следовательно,
/ 00 _ \ 00
р П4 =Пад = о,
Vfc=n У fc=n
00
а значит, Р( (J Afc J = 1. Поэтому вероятность события
00
{л„б.ч.}=П 1М
п^1к=п
(для независимых событий А1,А2,...) равна 1, что и доказывает
утверждение (13) —(14). □
Замечание. Существуют различные варианты второй леммы Боре-
ля—Кантелли, в которых отказываются от предположения
независимости событий Аг,А2,... Так, С. Кочен и Ч. Стоун [211] доказали такой
результат.
Пусть А^Дз*... —такие события, что ^] Р(АП) = оо. Пусть также
п^1
к к
£ 2] Р(Ат пд.)
1. т=1 п=1
пт ; < оо.
к
fc-+co
чп=1
(£Р(А„))
Тогда с положительной вероятностью будет осуществляться
бесконечное число событий, т. е. Р(АП б. ч.) > 0.
4. С событиями Ai,A2,... можно связать не только понятие верхнего
предела
HmsupAn = П U Ат (= {Ап б. ч.}),
но и понятие нижнего предела
liminfAn= (J П Ат (={Ап и.к.ч.}).
п^1т^п

132
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Здесь в событии {Ап и. к. ч.} сокращение и. к. ч. означает «исключая
конечное число».
Объяснение этого сокращения состоит в том, что
и ПАт={|;/дл(<о)<оо}
и отсюда следует, что происходит лишь конечное число событий Ап, а
значит, среди событий АЬА2,... не происходит лишь конечное число
этих событий.
5. Приведем два примера на применение первой леммы Бореля—
Кантелли и (модифицированной) второй леммы.
Пример 1. Пусть ?i,?2> •••"""такая последовательность случайных
величин, что £n -^> E, (т. е. имеет место сходимость по вероятности к
некоторой случайной величине £). Тогда существует такая
последовательность n(fc) Т оо при к —» оо, что £„(fc) —> £ (Р-п. н.).
Докажем этот результат, применяя первую лемму
Бореля—Кантелли.
Пусть {ек}к^0 — последовательность таких неотрицательных чисел,
что ек I 0. В силу сходимости по вероятности найдутся такие пь что
P(l?nk-?l>e*)*S2-fc.
Можно считать, конечно, что nfc > пк_г. Тогда
00
ZP(l?nt-?l>efc)<00
fc=l
и по первой лемме Бореля—Кантелли P(|?„fc - ?| > efc б. ч.) = 0. Значит,
для каждого со е £1 найдется такое N(co), что для nfc ^ N(co)
выполняется неравенство
\t;nk(co)-S(co)\$ek.
Но £fc | 0, поэтому ?nfc(co) —> £(со) для почти всех со е ft при /с —> оо.
Пример 2. Пусть АЪА2,... —последовательность независимых
событий и Р(АП) < 1 для всех п ^ 1 (вместо условия ^ К^п) = °°)-
п^1
Мы утверждаем, что условие р( ljAnJ = 1 обеспечивает то, что
п=1
Р({ЛП б.ч.}) = 1. (Во второй лемме Бореля—Кантелли вместо условий
00 00
Р(ЛП) < 1, п ^ 1, и Р^ (J Ап) = 1 было условие £ p(AJ = оо.)
п=\ п=1
В рассматриваемом случае Р(ЛП) > 0, п ^ 1. Из условия р( (J Лп J = 1
п=1
следует, что р( f] An J = 0. Из условия Р(АП) > 0, п ^ 1, тогда следует, что
п=1

§ 2. Закон повторного логарифма. Доказательство для дискретного времени 133
для любого т вероятности р( Q Лп) равны 0. Поэтому
Р({Ап6.ч.}) = рГ0 ПА„1 = 0,
Vm=l n^m J
а значит, Р({АП б. ч.}) = 1, что и надо было доказать.
6. Пусть (ej^!—последовательность экспоненциально
распределенных величин с параметрами (А;)^ъ т. е. Р(е£ ^ х) = е~Х[Х, х ^ 0,
i ^ 1. Тогда
00 ^ ^00 \
X у < оо =» Р £ ef < оо = 1.
i=l Af Vi=i У
(15)
Этот результат весьма схож со следующим (указанным при доказатель-
00
стве первой леммы Бореля—Кантелли) свойством: если N = ^ /д, то
i=l
EN = XIp(A)<oo =» P(N < оо) = P(Af б.ч.) = 1
i=l
ИЛИ
оо г оо \
2 Р(А) = EN < оо =^> P(N < оо) = Р XIh< °° = 1-
i=l V;=i ' У
Результат (15) интересен с точки зрения взрываемости/невзрывае-
мости процесса {Хп)п^ъ где Хп = ег + ... + еп, т. е. вопроса о
конечности или бесконечности предела Х^ = lim Xn. Мы видим, что условие
со - "^оо
У! -г- < оо является достаточным для того, чтобы с вероятностью еди-
ница предел Х^ был конечным. В том случае, когда величины еъ...,еп
являются независимыми, результат (15) может быть обобщен:
оо -, г оо \
J]f<oo<=>P2ef<oo=l.
§ 2. Закон повторного логарифма — 2.
Доказательство в случае дискретного времени
1. Дадим доказательство теоремы 1 из предыдущего параграфа. Как
уже там отмечалось, достаточно доказать, что (Р-п. н.)
Ita-^r = l, (1)
где i/»(n) = (2nloglogn)1/2.
(16)

134
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Установим сначала соотношение (Р-п. н.)
iim-^r^l. (2)
Это будет заведомо не так, если для бесконечно многих значений п
будут выполнены неравенства
S" >1
(с положительной вероятностью).
Чтобы показать, что этого не может быть, введем £>0иА = 1 + е.
Пусть пк = Afc, где к ^ к0 и к0 выбирается так, что loglogfc0 определен.
Обозначим
Ак(е) = №п > Ая/*(п) для некоторого ne(nfc,nfc+1]}.
Пусть также
А(е) = {Ак(е) б. ч.} = {Sn > Ая/*(п) для бесконечно многих п}.
Если мы покажем, что Р(Л(е)) = 0 для всякого е > О, то это будет
означать, что Р-п. н. верно соотношение
В самом деле, справедливы следующие соотношения:
S„ _i г,, г S„
jlim-T^ ^ l} = jlim[sup -т^т] ^ l} =
= j sup ,(m , ^ 1 + г для всякого е > 0 и некоторого na(£) 1 =
— {Sm ^ (1 + е)гр(т) для всякого е > О
и всех m начиная с некоторого п1(г)}.
Поэтому P{lim^^l} = l тогда и только тогда, когда Р(Л(е)) = 0 для
всякого е > 0.
Для доказательства того, что Р(А(е)) = 0, достаточно показать, что
^ V{Ak(e)) < 00. Это действительно так. Согласно леммам 1 и 2 из § 1
к^к0

§ 2. Закон повторного логарифма. Доказательство для дискретного времени 135
для больших к ^ к0 имеем
P(Afc(e)) = P(Sn > Ая/;(п) Для некоторого п е {пк, nfc+1]) $
^ P(Sn > \\р{п) для некоторого п ^ nfc+1) $
Р( max Sn > Ая/>(п*)) ^ 2P(Snfc+1 > АяКп*)) =
-*^™*у>-*!т)~тЬ--ш
lfXlp(nk)}2
2V v^+Г У =
л/2я V^Ofc)
"2^ J4 } =
2_ 1 £;-^(^(21oglognfc)1/2)2
2я VA(2iogiognfc)1/2
_e-AloglogA* <
У2я V^(21oglogAfc)1/2
$ Cie-Alog(fclogA) ^ C2e-Alog/c = С^-Я?
где сг и с2 — некоторые константы.
Итак, при больших к^ к0 имеем
P(Afc(e)Kc2fc-A.
Поэтому ]Г P(Afc(e)) < оо и, значит, Р(А(е)) = 0, что в силу
произвольно
ности е > О означает, как было показано, выполнение неравенства
^J^HP-п.н.).
п гр{п)
2. Установим теперь оценку (Р-п. н.)
lim -rj~ ^ 1.
Возьмем 0 < е < 1 и положим у = о' Нетрудно видеть, что
(1 - у)(1 ~ N_1)1/2 - (1 + е)АГ1/2 > 1 - е, N е N. (3)
Положим
АДе) = {SN> - SN)-i > (1 - уЖМ] ~ ЛГ'"1)}. (4)

136
Гл. VI. Закон повторного логарифма
По лемме 2 из предыдущего параграфа (при больших N) имеем
Щ(е)) = *nj-nI-W - гШ& ~Nj~')) = i((1"r/)l/'(JVJ"^—) =
v VNJ-NJ~L
_ -f (1 - r)V2(NJ -NJ-^loglogCNJr -NJ-X)\ _
^ y/w - NJ~l '
= Ф((1 - r)y/2loglog(N> -Ni-1)) ~
_i I g-Cl-r^loglogC^'-^'"1) ^
У2я (1 - r)v/21oglog(N^' - NJ-1)
> 1 g-logGlogAO^-rt2 =
" i/2S(l -r)\/21ogO'logN)
1 1
(5)
i/2^(l -r)V21og(jlogiV) (jlogNy1^)2
поскольку
loglog(NJ - Nj~l) = loglogJVJ"(l - ^) ^ log(; log AT).
Из соотношений (5) видим, что ^] P(Aj(e)) = оо, а из формулы (4) сле-
;>i
дует, что множества Д, (г), ; ^ 1, являются независимыми. Поэтому из
второй леммы Бореля—Кантелли получаем, что
Р(Л;0)б.ч.) = 1, 0<е<1.
5
Вспомним теперь, что, как было установлено выше, lim -ггт ^ 1
(Р-п. н.). Если вместо £п рассмотреть величины — £п, п ^ 1, то полним
_5 5
lim -77^ ^ 1 (т. е. lim -77Ч ^ — 1 почти наверное). Отсюда вытекает, что
для достаточно больших п выполняется неравенство
я/>(п) v у'
Значит, для достаточно больших j имеем
SNi-i ^ -(1 + еЖЫ^1), 0 < г < 1,
и поэтому на множестве А;(г) (см. формулу (4)) с достаточно
большим j выполнены неравенства
SNj ^ SNJ-i + (1 - гЖМ] - Nj~l) :>
2 (1 - ГЖМ] - Nj~l) - (1 + еЖЫ^1) -
- (1 - гЖАГ'Х! - ЛГ1)1'2 - (1 + еЖМ]Ж1/2, (6)

§ 2. Закон повторного логарифма. Доказательство для дискретного времени 137
где мы воспользовались тем, что
г;-1
И
hm ,>»„•/=АГ1/2.
Из соотношений (3) и (6) с учетом того, что Р(А;(е) б.ч.) = 1, 0 <
< е < 1, находим, что для больших j и достаточно больших N
выполнены неравенства
JgL- z (1 _ r)(i _ дг-1)1/2 _ (1 + е)ЛГ 1/2 ^ ! _ е (0 < е < 1).
Переходя к пределу при е 1О, получаем, что (Р-п. н.)
ton-^4:^1.
Вместе с полученной ранее оценкой
Шп-^Чг$1 (Р-п.н.)
приходим к требуемому (в законе повторного логарифма)
соотношению
Йт-тт4 = 1 (Р-п.н.)
и, как уже отмечалось, к соотношению
5
lim -уЧ = -1 (р"п- н0- □
Замечание 1. Утверждения закона повторного логарифма (4) и (5)
в § 1 можно единым образом записать в виде
Йт-]^ = 1 (Р-п.н.). (7)
Замечание 2. Утверждение (7) закона повторного логарифма
эквивалентно (как это следует из доказательства теоремы 1 в § 1) тому, что
для всякого е > 0 выполняются соотношения
P({|Sn|£(l-eW(n)6.4.}) = l,
P({|Sn|£(l + e)iKn)6.4.}) = 0.
Функции iftl = (1 + е)гр, е >0, называются верхними функциями, а
функции ip*£ = (1 - е)гр, е > О, — нижними.

138
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Наглядный смысл верхней функции я/>* состоит в том, что с
вероятностью 1 для всех п, начиная с некоторого п0(а>), выполняется
неравенство \Sn\ ^гр*(п).
В случае нижней функции гр*£ с вероятностью 1 выполняется
неравенство \Sn\ ^ i/»*e(n) для бесконечно многих п.
Замечание 3. Обычно формулировка закона повторного логарифма
для последовательности (не обязательно гауссовских) независимых
одинаково распределенных величин £ъ£2, •-, для которых ЕЕ)1 — О,
Е<^ = 1, дается в терминах верхнего и нижнего пределов. В этой связи
полезно отметить (ср. с соотношениями (1), (3) в § 1 и (8)), что
* 0, но , с л -+* О
при п —* оо.
§ 3. Закон повторного логарифма для броуновского движения
1. Перейдем теперь к случаю броуновского движения В = (Bt)t^0.
Если проанализировать доказательство (§ 2) для случая дискрет:
ного времени для сумм Sn = %г + £2 + ••• + ?п> п ^ 1> независимых
N(0,1 ^распределенных величин £1? £2,..., то можно заметить, что при
— 5
доказательстве неравенства lim —-гЧ: ^ 1 (Р-п. н.) существенным было
неравенство
р( max Sk > a) ^ 2P(Sn > a), n ^ 1
(см. лемму 1 в § 1). Но для броуновского движения В = (Bt)t^0 мы имели
даже более сильное соотношение, а именно равенство (см. § 4 гл. V)
p(maxB5>a>) = 2P(Bt>a), t ^ 0. (1)
Используя это равенство, легко заметить, что рассуждения, приме-
5
ненные для установления соотношения lim -гтЧ: ^ 1 (Р-п. н.), проходят
и для доказательства неравенства
для броуновского движения (с ip(t) = ^/2tloglogt).
D
Точно так же, как доказывалась оценка Нт-ггт ^ 1 (Р-п.н.), для
броуновского движения доказывается, что lim -ту-: ^ 1 (Р-п.н.). От-
метим лишь, что в случае дискретного времени мы пользовались
леммой 2 из § 1 о свойствах нормального распределения. В броуновской

§ 3. Закон повторного логарифма для броуновского движения 139
ситуации эта лемма применима в силу нормальности распределении у
броуновского движения. Также независимость приращений SNj — SNj-i
здесь будет заменяться независимостью приращений броуновского
движения, что нужно для применения второй леммы Бореля—Кан-
телли.
Все это позволяет доказать по аналогии с теоремой 1 из § 1
следующий результат.
Теорема 1. Для (непрерывного) броуновского движения В = {Bt)t^0
справедлив закон повторного логарифма:
Ш^- = 1 (Р-п.н.) (2)
t-*oo Wit)
Ит^ = -1 (Р-п.н.), (3)
что равносильно тому, что
lim|^ = l (Р-п.н.), (4)
t-*oo W\t)
где
\l)(t)=j2tloglogt. (5)
Доказательство. Пусть M(t) = supBs и я/>(0 = \/2tloglogt. Как мы
знаем (§ 3 гл. V), для каждого t ^ О выполнено равенство
M(t) = |Bt|.
Поэтому из леммы 2 в § 1 следует, что равномерно по t > О справедливо
соотношение
P(M(t) > ut1/2) = 2P(Bt > ut1/2) ~ У|ц-
1e-"2/2. (6)
Считая, что соотношение / < g означает, что / ^ eg для с < оо, из
приведенного свойства (6) находим, что для г > 1 и о 0 имеет место оценка
Р(М(Г") > С^(ГП_1)) < n-T(logn)"2
для любого целого п.

140
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Зафиксировав о 1 и взяв г < с2, из первой леммы Бореля—Кантел-
ли (§ 1) находим, что
р(ton ^ > с) $ Р(М(гп) > сф(гп-1) б. ч.) = 0.
Следовательно, почти наверное
Нт-^-^1. (7)
Чтобы доказать противоположное неравенство, заметим, что (в
силу леммы 2 из § 1) для с > 0 выполнена оценка
с2г _1
Р(Вгп-Вгп-1>СЯ/>(гП))>П r-l(logn) 2, П>1.
Гг-1\1/2
Поэтому, взяв с = I—— 1 и снова применив первую лемму Бореля—
Кантелли, находим, что почти наверное
— Bt-Bt/r ^ —Вгп-Вг„-1 ^fr_ i^i/2
hm —тттт- ^ hm —,, пЛ ^ —— • (8)
Из приведенного выше неравенства (7) заключаем, что почти
наверное
Поэтому, учитывая предыдущее неравенство (8), заключаем, что
77— Вс
lim-^^Cl-r-1)1/2-
t-»oo WJ
-1/2
почти наверное. Перейдя теперь к пределу при г —> оо, получаем
неравенство
почти наверное. Из соотношений (7) и (9) видим, что справедливо
требуемое свойство (2), из которого очевидным образом следует и
свойство (3). □
2. Следствие 1. Сформулированный закон повторного логарифма
относился к предельному случаю, когда t —> оо. Воспользуемся теперь
тем, что для t > 0 процесс Xt = tBl/t также является броуновским
движением (в нуле надо полагать Х0 — 0). Тогда из соотношения (4) после
замены времени получаем локальный закон повторного логарифма:
ton |Bhl = 1 (Р-п. к.). (10)
/40 ^/2h log log \

§ 4. Законы арксинуса
141
Следствие 2. Пусть {Тп,п^ 1} — последовательность таких
случайных моментов (не обязательно марковских моментов или момен-
Т
тов остановки), что Тп —> оо, -^г—> 1 (Р-n. н.). Тогда
— \вт I
lim ,, ". = 1 (Р-n. н.).
п ^<Х)
3. Для броуновского движения В = (J3t)t^0 имеет место такой
результат:
Е|Вг| = дДг.
1 п V 71
Отсюда видим, что «в среднем» \Bt\ ведет себя как yft (с точностью до
константы J —). Закон повторного логарифма (4) говорит о том, что
на самом деле \Bt\ ведет себя сростом t как v/2tloglogt. При малых t
этот закон приводит к тому, что \Bt\ имеет порядок J 21 log log-.
В § 4 гл. III были приведены результаты, показывающие, в каком же
смысле мы имеем для приращений \Bt+h — Bt\ поведение порядка y/h.
Так, результат (13) из этого параграфа показывает, что
inrito|B"*~Btl = i.
tzo h[o Vh
В этом же параграфе приведены и другие результаты относительно
поведения приращений \Bt+h — Bt\ в зависимости от совместного
поведения t и h.
§ 4. Законы арксинуса
1. Хорошо известно, что неотрицательная случайная величина £ =
= sin2(9, где 9 — равномерно распределенная случайная величина на
[0,2тг], имеет распределение арксинуса:
P(f <: t) = p(| sin 0| ^ /t) = | arcsin л/t, t e [0,1]. (1)
Это распределение имеет плотность
/(0 = —7==, te(0,l), (2)
7CVt(l-0
и симметрично относительно точки t = -z-
Распределение арксинуса есть специальный случай
бета-распределения с а = /3 = ~ • Напомним, что бета-распределение имеет плотность
f^=wkjf)ta~1{1-tf'

142 Гл. VI. Закон повторного логарифма
где а, (3 > О и бета-функция определяется соотношением
1
о
Закон арксинуса для броуновского движения В = CBt)t<a утверждает
следующее.
Теорема. Случайные величины
1
п = Я({0 ^ t ^ 1: Bt > 0}) (=| J(BS > 0) ds),
о
r2 = inflow t^l:Bt= тахвЛ,
y3 = sup{0^t^l:Bt = 0},
где Я—лебеговская мера, имеют распределение арксинуса.
2. Доказательство, а) Рассматривая траектории броуновского
движения, видим, что
{v2 ^ t} = { max В, ^ max В Л = { max(Bs - Bt) ^ max(£s - Bt)\.
Ho
max(£s -Bt) = maxBs-Bt = \Bt\ и
max(Bs-Bt) = max Bu = |B2_t| = |B2 -Bt|.
Следовательно, в силу независимости величин Bt и В2 - Bt
получаем
P(r2 ^ 0 = P(|Bt| £ |Bi -Bt|) = p(t£2 ^ (1 - tWl
где £ и г] — независимые N(0, ^-распределенные случайные величины.
Но (см. соотношение (1))
P(t£2 £ (1 - t)TJ2) = P(t(?2 + Г?2) ^ Г)2) = Р(^2 ^ 0 =
= P(sin2 9 ^ t) = - arcsin л/t,
я
где 0 — равномерно распределенная величина на [0,2я].
Итак, величина у2 имеет распределение арксинуса.

§ 4. Законы арксинуса
143
б) Для величины у3 с учетом второго соотношения в (3) и
независимости величин B1—Bt и Bt имеем
Р(Гз < О = P(supBs < о) + P(inf£s > о) = 2Р( sup (Bs - Bt) < -Bt) =
= 2P(|B1-Bj<Bt) = P(|B1-Bt|<|Bt|) = P(r2<0,
d
так что у3-= у2, и, значит, у3 имеет распределение арксинуса.
Доказательство того, что j\ также имеет распределение арксинуса,
является, пожалуй, наиболее трудной частью. Есть много разных
доказательств. Одно из них основано на решении уравнения Фейнмана—
Каца (см. гл. XXII, §2).
Именно, введем процесс
t
rt = J"/(Bs>0)ds, O^t^l, (4)
о
и попытаемся доказать, что
t
Ее"яг'= Г C—du. (5)
о
Отсюда будет следовать, что преобразование Лапласа интересующей
нас величины Г2 есть
1
Ее"ЯГ1 - Г —.е"Я" du,
1
и, значит, с учетом соотношения (2) для уг = Г2 (= fl(Bs > 0)ds) мы
получим распределение арксинуса о
Р(П^О=| arcsinTF. (6)
Для доказательства равенства (5) рассмотрим функцию
00
FM = Ех Гe~at • е"ЯГг dt, а > О, (7)
о
гДе Ех — математическое ожидание по мере Рх, отвечающей
броуновскому движению сВ0 = х,и а>0.

144
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Следуя Фейнману—Кацу (гл. XXII, § 2), для F(x) можно вывести
такие уравнения:
аР{х)=\2л (8)
с условиями
F(0+) = F(O-), F'(0+) = F'(O-). (9)
Единственное решение системы (8) имеет вид
(Ае-х,/2{а+Х) + 1 >()
v a'
Из условий (9) (непрерывности функций F и F7 в нуле) следует, что
л/а + А- л/а
^/a(a + A)
Тем самым при х = 0 получаем
00
F(0)= (VatE0e-Ar'dt = -7=i=, a>0, A > 0. (10)
J Va(a + A)
о
Теперь заметим, что
00 / t N 00 00
J \J ny/u(t-u) ) J Яд/uJ л/t-u
о \o s о u
oo oo
= - ^-Tr-dii e-asV5d5= , X (11)
*J V" J Va(a + A)
о о
поскольку
00
0
Сравнивая соотношения (10) и (11), приходим к заключению, что
преобразование Лапласа имеет вид
1
Ли
Е0е-^=Г—C=du
J 7ly/u{\ —U)
и, значит, плотность f{u) распределения Р(Г2 ^ и) имеет вид f{u) =
= —•===, что отвечает закону арксинуса для у1 = Г1.
Пу/и{1 -и)

§ 4. Законы арксинуса
145
в) Приведем теперь в общих чертах традиционное доказательство
закона арксинуса для уг. Заключается это доказательство в
следующем.
Сначала устанавливается следующая лемма.
Лемма. Пусть £2,£2, ••• — незавиашые одинаково распределенные
случайные величины и
p(51 = i) = P(?1 = -i) = |.
Тогда для любого п ^ 1 выполняется равенство
X /(Sfc>0) = minJ0^fc^n:Sfc = maxS/}5 (12)
2deSfc = £i + ...+€fc, k^n, Ol,S0 = 0.
Эта комбинаторная лемма для независимых одинаково
распределенных величин, и даже в более общем виде —для перестановочных
(exchangeable) случайных величин, принадлежит Э. Спарре-Андерсену
(Е. Sparre Andersen, [336, 337]). В интересующем нас случае,
относящемся к распределению величины уъ доказательство см., например, в
книгах [200, следствие 9.20] или [259, лемма 5.29].
С учетом изменения временного масштаба соотношение (12),
поделенное соответствующим образом на п в обеих частях, может быть
переписано в таком виде:
f/fe>0W^min{0^1:^ = max^}. (13)
0
с
Теперь надо заметить, что —р- —> Bt при всех t, 0 ^ t ^ 1 (по рас-
пределению). где В - (Bt)0<:t<:i — стандартное броуновское движение
(гл. XXV, § 6). Поэтому при предельном переходе по п —> оо получим
1
(п =) Г j(Bt > 0)dt = inf{0 ^ t ^ 1: Bt = 1шВ,) (= у2)- (14)
о
Детали такого подхода см. в книге [200, теорема 11.16].
В связи с изложенной далее (гл. XXV) теорией слабой сходимости в
пространстве непрерывных функций нам ближе следующий подход.
Пусть для t ^ 0
st = s[t] + (t-[t])(s[t]+i-s[t]).

146
Гл. VI. Закон повторного логарифма
Тогда из (12) вместо (13) будет следовать соотношение
rjf%>0)dt = inf{0<t^l:% = max-^} + en(a>), (15)
0
где £n(co) -> 0 (Р-п. н.) при п -> оо.
Существенно здесь теперь то, что процессы Snt, 0 $ t ^ 1, являются
непрерывными процессами и, значит, можно воспользоваться
функциональной предельной теоремой (т. е. принципом инвариантности Дон-
скера, гл. XXV, § 6) о (слабой) сходимости процессов
(ytLt$iк бр°-
уновскому движению В = (JBt)o<$t$a- (Надо при этом еще иметь в виду
что Yi — Y\ifi) и Т2 — УгОЮ являются непрерывными отображениями;
см. теорему 2 в гл. XXV, § 2). D
§ 5. Законы арктангенса
1. В этом параграфе приводятся два закона арктангенса. Первый
закон, открытый В. Папаниколау в работе [284], связан с моментом
рекорда броуновского движения (теорема 1 ниже). Второй закон,
излагаемый в п. 4, связан с нулями броуновского движения (теорема 2).
Пусть для броуновского движения В = (Bt)t^0
r = inf{t^r:Bt=Mr}-r, (l)
где г > 0 и Mr — max В,.
Иначе говоря, рассматривается максимум Мг на отрезке [0, г], и
далее берется тот момент (за вычетом г), когда броуновское движение
достигает того же значения Мг. Это и есть смысл величины у.
Из соотношения (1) следует, что момент у + г является моментом
остановки.
Теорема 1. Функция распределения Fr(t) = Р(у ^ t) имеет
распределение арктангенса:
Fr(0 = f arctg/j, t^O. (2)
Плотность /r(t) этого распределения имеет вид
w=i7h& t>0- (3)
2. Для доказательства этого результата нам понадобятся следующие
две леммы.

§ 5. Законы арктангенса
147
Лемма 1. Если а>Ои
za = mf{tZO:Bt = a}, (4)
то плотность распределения та задается формулой
№=тЬе~*'т* ^°* (5)
и распределение имеет вид
t 00
M0 = J/TeWds = 2P(Bt>a)=Vf J е^'Чх. (6)
О а/yTt
Доказательство дано в § 1 гл. XI.
Лемма 2. Пусть X > 0 является случайной величиной, не зависящей
от броуновского движения В — (Bt)t^0. Тогда для случайного момента
Tx=inf{t^O:£t=X} (7)
его плотность распределения
00
FTx(t) = ^FTa(t)dFx(a), (8)
о
где Fx(a) — распределение величины X >0, задается формулой
f (t) = -jJ=E(Xe-x2W). (9)
х V2nt3
Доказательство. В силу независимости величин X и В имеем
ОО . 00
FTx(t) = KTx ^ 0 = |Р(тх ^ t \X = a)dFx(a) = JР(та ^ t)dFx(a).
о о
Поэтому из соотношения (6) следует, что
dFx{a\ (10)
откуда, дифференцируя по t и меняя порядок интегрирования,
приходим к формуле (9). □
Замечание. Правую часть равенства (10) можно преобразовать
(интегрированием по частям) таким образом:
I— °°
МО = Р(т* ^ 0 = у| le-a2'^Fx{a)da.
(И)

148 Гл. VI. Закон повторного логарифма
3. Доказательство теоремы. Пусть г > 0. Положим
X = Mr-Br, Wt=Bt+r-Br, t^O.
Ясно, что X > 0 (Р-п. н.) и W — (Wt)t;>0 является броуновским
движением (винеровским процессом). При этом X и W независимы.
Из § 3 гл. V видим, что
X = Mr-Br = \Brl (12)
т.е. распределения случайных величин Мг — Вг и \ВГ\ совпадают.
Поэтому fx(a) = f\Br\(а) и> следовательно,
fx(a) = \[^e-a2'{2r\ a>0. (13)
Далее,
тх = inf{t ^ 0: Wt = Х} = inf{t ^ 0: Bt+r - Вг = Мг - Вг} =
= inf{£ ^ 0: Bt+r =Mr} = inf{t ^ r: Bt =МГ} - г = у. (14)
Итак, тх = у и
W = M0 = FT-r_Br(0 = i4rl(0. (15)
Из соотношений (9) и (13) следует, что
00
О
оо
= -7^^[xe-x2^h-x2^Ux = -7^x^) t>0, (16)
о
а это и есть формула (4), поскольку в силу равенства (15) мы имеем
Г = Т|вг|-
Интегрированием по t в формуле (16) приходим к формуле (2) для
Fr(t) = P(r^0- □
4. Приведем также (второй) закон арктангенса, который
непосредственно связан с нулями броуновского движения.
Теорема 2. Пусть г > О, £ > 0. Тогда
P(3t G (г, г + е): Bt = 0) = ! arctg ^|. (17)

§ 5. Законы арктангенса
149
Доказательство. Если х > О, то
Р(Э£€(г,г + г):В, = 0|Вг=х) = р( min Bt < 0 I Б г=х) =
= P( min (Bt-Br) + Br<o|Br=x) = p( min (Bt -Br) < -x) =
Уг<1<г+ек rJ r \ r J \r<t<r+eK l rJ )
= p(minBs < -x) = p(max Bs > x) = P(|Be| > x) = 2P(Be > jc). (18)
Точно так же при х < О получаем равенство
Р(3г € (г, г + е): Bt = 0 | Вг = х) = Р(|Ве| > -х) = 2Р(В£ > -х). (19)
Из (18) и (19) находим, что
00 / 00 Л 2
P(3te(r,r + e):Bt=0) = 4 Г( -^= Ге-^dy ].—1=6"^ dx =
J \ v27ie J / л/2яг
О V х J
П 1 -£-* 2 [7
= 4Jj2WiFe 2£ 2r^dx = -arctg^f.
О *
Последнее равенство следует из сопоставления рада для
стоящего в правой части арктангенса и соответствующего рада,
получаемого в результате разложения в ряд интеграла по dj и последующего
почленного интегрирования по dx. Можно было бы воспользовать-
z
ся также книгой Rosser J. В. Theory and Application of J e~x dx and
z fy \ °
j e~P2y2l j e~x dx dy. Brooklyn, NY: Mapleton House, 1948. □
о v0 J
Заметим, что, поскольку для х > О справедливо соотношение
+ 1 п
arctg* + arctg- = -3,
из (17) следует, что
2 1
РГВ = 0 для некоторого l<s<t) = l — — arctg —==,
v s К y/t — 1
или, по-другому, если Z(co) = {t: Bt = 0}, то
P(Z П (1, t] ф 0) = 1 - | arctg -j==.

150
Гл. VI. Закон повторного логарифма
тс
В частности, если t = 2, то, поскольку arctg 1 = — мы получаем, что
P(Zn(l,2]#0)=|.
Отсюда и из свойства самоподобия броуновского движения вытекает
равенство
P(Zn(a,2a]^0) = i, a>0.

Глава VII
Броуновский мост. Применения
в математической статистике
§1. Определения
1. Простейший (стандартный) броуновский мост В0, выходящий из
нуля и приходящий в момент t — 1 также в нуль, задается согласно § 3
гл. I следующим образом: В0 = (В°), t е [О,1], где
B°=Bt-tBl9 (1)
В = (Bt)t^a —стандартное броуновское движение.
Броуновский мост интересен по многим причинам. Во-первых, это
неоднородный и непрерывный марковский процесс, получаемый из
броуновского движения по простой формуле (1). Во-вторых, это гаус-
совский процесс с нулевым средним и ковариацией
cov(B°, В°) = 5(1 - t), О ^ s ^ t ^ 1, (2)
или, что эквивалентно,
COV(B°,B°) = (5 Л 0(1 "5 V 0 (3)
для любых s, t, 0 ^ 5, t ^ 1.
Наконец, этот процесс представляет большой интерес в
математической статистике в связи с асимптотическим поведением разности
эмпирической функции распределения и непрерывной гипотетической
функции распределения (статистики Колмогорова, Смирнова,
Крамера—фон Мизеса).
2. Процессы
B(i) = (-B?W*n и В?2) = (B?_t)0agtssl (4)
совпадают по распределению с процессом В0. Несложно также
убедиться, что при каждом а е [0,1] процесс

152
Гл. VII. Броуновский мост
для которого (а + t)° = (а + t) - [а + £], где [х] —наибольшее целое
число, не превосходящее х, также является броуновским мостом.
Помимо формулы B°t = Bt - tBi, t e [0,1], броуновский мост (как
гауссовский процесс с нулевым средним и ковариацией (2)) допускает
также уже упомянутые в § 3 гл. I представления:
(1 - t)Bt/(1_t) и tB(1_t)/t, O^t^l, (6)
что проверяется подсчетом их ковариаций и свойствами броуновского
движения.
Наряду с формулами (6) будет интересно напомнить, что и
броуновское движение В = CBt)t<a может быть получено из броуновского моста
по формулам
(1 + 0В?/(1+0 и (1 + 0В?/(1+0, 0^1. (7)
3. Полагая, как всегда,
у/ ZTlt
находим, что плотность р® t (х1з ...,хп) распределения Р(В° ^ хг,...
...,В° ^ хп) для 0 < t1 < ... < tn < 1 задается формулой
P°,...,tnOi> •••>**) =
= Vtl(*i)Vt2-ti(*2 - xi)-^tn-tn_Sxn - *n-i)Vi-tn(*J- (8)
Помимо стандартного броуновского моста (1) рассматривают
также мост, начинающийся в момент t = 0 в точке х и приходящий в
момент t = 1 в точку у. Такой процесс В^х,у^ = (в[*'у )o^t«a определяется
по формуле
B^=x + Bt-t{x-y+B{)\ (9)
см. также формулу (3) в § 3 гл. I. (Таким образом, В(0,0) =В°.)
Для каждой ограниченной (или неотрицательной) функции / ==
= f(x1,...,xn) при 0< ta < ... < tn < 1 имеем
E/(B^,...)B^) = J/(x1,...,xn)^
X
*-у)
х nVtk-tk_Sxk- xk-i)' 4>i-tn(j - xjdx^.dxn (10)
fc=2
(ср. с § 3 гл. I).

§ 2. О распределении вероятностей броуновского моста
153
Из соотношения (9) видим, что
EB[x>y) = x + t(y-x) (11)
и
соу(В{;х'У\в[х'у))=5(1 -0, 0 ^s ^ t ^ 1. (12)
Из того же соотношения (9) заключаем, что имеет место следующее
свойство обратимости:
(В[*°°,^)^(ВЙ\^1). (13)
§ 2. О распределении вероятностей броуновского моста
как условном распределении броуновского движения
1. Пусть В = (Bt)t^ —броуновское движение и В0 = (B°)t*a
—стандартный броуновский мост.
О распределении для броуновского моста можно получать
информацию непосредственно из определения B® = Bt — tB1} t e [0,1]. Но
полезен и интересен следующий подход к распределению броуновского
моста.
Теорема. При е [ О для условного распределения^ Law(B | \Вг \ < е)
имеет место сходимость
Law(B | \Вг | < е) -> Law(B°). (1)
Замечание. Поскольку Р{_\Вг\ < е) > О при всяком е > О, то
условное распределение Р(В е • | \Вг \ < е) определено на (С0, <^(С0)), где С0 —
пространство непрерывных функций на [0,1], выходящих из нуля.
Сходимость в (1) понимается как слабая сходимость <А» в смысле
определения слабой сходимости на метрических пространствах (см.
подробнее гл. XXIII).
Доказательство. Для всякого t, О ^ t ^ 1, имеем
ЕВгВ° = 0. (2)
В силу совместной гауссовости процессов В и В0 из соотношения (2)
находим, что В0 не зависит от Вг.
Понятно, что Bt = B°t + tBa. Введем случайную величину £е, не
зависящую от процесса В0 и такую, что
Law(^,) = Law(B1||B1|<e).
*^Мы применяем несколько раз необычную запись для условных распределений и
распределений в функциональных пространствах. Запись эта вполне наглядна и во многих
случаях бывает полезной.

154
Гл. VII. Броуновский мост
Определим теперь на С [0,1] х R закон распределения Law(B°) x
х Law(£ J. Тогда
Law(B \\B1\<e) = Law(B° + £et;0^t^l).
Следовательно, для всякой ограниченной непрерывной функции G на
С [0,1] имеем
E[G(B) \\Вг\<е]= E[G(B° + Set;t*< 1)] - E[G(B?; t ^ 1)], e - 0.
Поэтому из определения слабой сходимости (см. § 5 в гл. XXIII) следует
утверждение теоремы. □
2. В связи с характеризацией броуновского моста посредством
условных вероятностей, данной в вышеприведенной теореме,
интересно отметить следующие свойства условных математических ожиданий
для броуновского движения В = (Bt)t^0-
ПуСТЬ 0 ^ 5 < t < U И ^ = СГ(ВУ, V ^ S), &zu = a(Bv> v > ")> <^s V <^>u =
= cr(Bv,v ^ [s,u]). Тогда имеют место следующие (Р-п. н.) свойства
условных математических ожиданий:
E(Bt | J^s) = Bs (мартингальность),
E(B,|^J=£bu,
E(Bt | ^ V ^J = ^ B5 + ^f Bu.
Последняя формула использовалась Хаммерсли (J. M. Hammersley)
в связи с изучением кристаллической структуры металлов. Свойство
броуновского движения, выраженное этой формулой, носит название
harness-свойства (слово harness в английском языке имеет много
значений: сбруя, упряжь, подвесная система парашюта и др.).
§ 3. О критериях согласия Колмогорова и Смирнова
1. Предположим, что Х1,Х2,...,Хп, ... — случайные величины,
являющиеся независимыми одинаково распределенными с непрерывной
функцией распределения F = F(x), xgE.
Через Fn = Fn(x) обозначим эмпирическую функцию распределения
величин ХЪХ2,'.-, Хп:
РпМ = ^1(Хк^х)у xeR. (1)
Поскольку величины Хк являются случайными (Хк = Хк(со)),
функция Fn(x) также зависит от со: Fn(x) = Fn(x; со), что будет
подразумеваться, но для краткости записи со будет опускаться.

§ 3. О критериях согласия Колмогорова и Смирнова
155
Согласно теореме Гливенко—Кантелли [495, гл. III, § 13] с
вероятностью единица величины
Dn = sup\Fn(x)-FM\ (2)
X
сходятся к 0 при п —> оо, что является статистической гарантией
возможности проверить согласие «теории» и «эксперимента».
Несмотря на принципиальную важность этой теоремы, она не
отвечает на вопрос о скорости сходимости величин Dn к нулю при п —> оо,
что затрудняет реальное решение вопроса о степени
правдоподобности того, что наблюдения Х1,Х2,--- «идут», соответствуя
гипотетической функции распределения F = F(x).
Именно на этот вопрос и отвечают упомянутые в названии
параграфа критерии согласия Колмогорова и Смирнова. К этому же кругу
вопросов относится критерий согласия Крамера—фон Мизеса и др.
2. Конечно, для решения вопроса о близости Fn к F можно было бы
воспользоваться центральной предельной теоремой, утверждающей,
что
V^(Fn(x) - F(x)) ^ N(0, F(x)(l - F(x)), (3)
где «-^» означает сходимость по распределению. Но здесь в силу
произвольности х становится понятным, что реальное использование
этого результата наталкивается на большие вычислительные трудности.
В этой связи представляют большой интерес равномерные
статистики
Dn = sup|Fn(x)-FO)|,
X
а также
D+ = sup(Fn(x)-FO)) (4)
X
И
D-=sup(FO)-Fn(x)). (5)
X
Ясно, что Dn = max(D+,D~).
Интерес к этим статистикам становится понятным из задач
различения гипотез.
Представим себе, что ставится вопрос о различении гипотез
H°:F = F°
и
Hl:F^F°,

156
Гл. VII. Броуновский мост
где F0 — некоторая функция распределения. Если верна гипотеза Н°, то
по теореме Гливенко—Кантелли Dn = Dn(F°) —»0 при п —» оо, где
Dn(F°) = sup|F°(jc)-i7nWI-
X
Поэтому если окажется, что при больших п выполнено неравенство
Dn(F°) > С, где С — некоторая (большая) константа, то гипотезу Я0
стоит отклонять.
Точно так же в случае, если рассматриваются гипотезы
H°:F = F°
и
H1:F^F°nF^F°y
целесообразно обратиться к статистике
Dn+(F0) = sup(Fn(x)-F0(x)).
X
В случае гипотез
H°:F = F°
и
H1:F^F°nF^F°
разумно рассматривать статистику
D-(F°) = sup(F0(*)-Fn(x)).
X
В этих двух последних случаях гипотеза Н° отвергается, если при
больших п выполнены неравенства D+(F°) > С, D~(F°) > С, где С —
некоторая (большая) константа. (См. далее п. 5.)
3. Следующее наблюдение А. Н. Колмогорова является ключевым и
для различения гипотез, и при исследовании асимптотического
поведения статистик Dn{F), D*(F):
в случае любых непрерывных функций распределения F = F(x)
распределение этих статистик будет одно и то же [495, гл. III, § 13].
Поэтому для отыскания предельных (при п —> оо) распределений этих
статистик достаточно взять какое-то конкретное непрерывное
распределение. В качестве такого распределения можно взять, например,
равномерное распределение
(О, х<0,
F(x)={x, O^x^l, (6)
Д, х>1.

§ 3. О критериях согласия Колмогорова и Смирнова
157
Это означает, что мы можем предполагать, что величины ХЪХ2,...
являются независимыми равномерно распределенными на [0,1].
4. Будем теперь в соответствии со сказанным заниматься
статистикой
Dn= sup \x-Fn(x)\, (7)
JCG[0,1]
где Fn(x) —эмпирическая функция распределения, построенная по
величинам Хг,Х2,..., являющимся независимыми с равномерным
распределением на [0,1].
Для исследования статистики (7) расположим случайные величины
Х1,Х2,...,Хп в порядке их возрастания. Так полученные новые
величины (порядковые статистики) X" X" ,...,Х" могут быть определены
следующим образом:
Х^ = тт(ХъХ2, ...,ХП), ...,Х(пп) = тах(ХъХ2, ...,Хп).
В силу непрерывности распределений величин Х:,Х2, ...,ХП
вероятность того, что две порядковые статистики совпадают, равна нулю.
Положим также
Можно тогда заметить, что если X" ^ х <Х?п+1у то
Отсюда легко заключить, что с точностью до —р величина \fnDn равна
>/пК> гДе
I Ь I
(9)
D' — max
п Ып
и, следовательно, для изучения предельного распределения ^/nDfn, a
значит, и y/nDn надо знать совместное распределение величин X" ,
уп у11
С этой целью введем п + 1 независимых случайных величин Ylf
Y2>...,Yn+1, каждая из которых имеет экспоненциальное
распределение с единичным параметром (P(Yj ^ х) = е~х, х ^ 0). Положим
также Sk = Yl + ... + Yk, 1 ^ к ^ п + 1. Распределение Sn+1 имеет плот-
хп
ность — е х, х ^ 0, а распределение вектора (S:, ...,Sn+1) имеет
плотность е'Хп+11(0 < хг < ... < хп+1). Поэтому условная плотность величин
(Sb...,Sn+1) при условии Sn+l =u имеет вид
^1(0<х1<...<хп<и).

158
Гл. VII. Броуновский мост
Отсюда заключаем, что совместная плотность распределения величин
c-l->-~>-fjl~ имеет вид п!/(О < ха < ... <хЛ
Теперь надо заметить, что плотность распределения величинX" ...
W
,Х" будет в точности равна тому же выражению п! 1(0<хг <... <хп),
т.е.
La^^--^) = Law(xa)--xw)-
(Ю)
(Подробности см. в книге [495, гл. III, § 13].)
Тем самым, в частности, мы видим, что величина Хг", (см. (9))
Sk к
имеет то же самое распределение, что и ^ , и
yfnD' — Уптах
п к^п
= у/птах
~—max
^п+1 к^п
sk к
Sfc+l П
n
= ~— max
Sk-k k Sn+1 - n
yfn П y/n
Положим
Bnt = {
Sk~k к
—■==-, если t = -,
линейно на каждом отрезке I , - .
(И)
Тогда видим, что равенство (11) может быть переписано в таком виде:
V^D' = ^- max Ь" - г(в\ + ^=^0|. (12)
В силу усиленного закона больших чисел имеем ——> 1 (Р-п.н.),
поэтому процесс Вп = CB")t<:i слабо сходится к (некоторому)
броуновскому движению В = CBt)t<a (принцип инвариантности; см. гл. XXV,
§6) и
yft
► 0 (по вероятности) при п —> оо.
Из непрерывности функции max |x(t) — £х(1)| как отображения
класса С[0,1] в R+ (x = x(t) е С[0,1]) следует, что yfnD'n (а значит,
и \fnDn) сходится по распределению к max \Bt - tJBx| (см. гл. XXV).
Процесс В0 = CB°)t<a, гДе В° = Bt - tBa, является броуновским
мостом, поэтому
lim HVnDn ^ jc) = pf max \B°A ^ x).

§ 3. О критериях согласия Колмогорова и Смирнова
159
Распределение
tf(*) = p(max |B?|^x) (13)
называется распределением Колмогорова.
Аналогично показывается, что
lim Р( JnD+ ^ х) = р( max В° ^ х).
Распределение
S(x) = p(maxB°^xl (14)
называется распределением Смирнова.
Эти распределения (13) и (14), точный вид которых изложен в
следующем параграфе, служат основой при построении критериев согласия
«эксперимента» с «теорией».
5. Суть этих критериев состоит в следующем.
Пусть ХЪХ2,... — независимые одинаково распределенные
величины, предположительно имеющие непрерывное распределение F°(x)
(«теория»). По наблюдениям, скажем, Х1уХ2,...,Хп мы строим эмпи-
1 п
рическую функцию распределения Fn(x) = - ]Г I(Xk ^ х) («экспери-
п fc=i
мент»). Поскольку асимптотически распределение статистики y/nDn,
где Dn = sup |F°(x) - Fn(x)|, задается распределением К(х), при бОЛЬ-
ших п мы можем рассуждать так.
Если <JnDn оказывается большим, то гипотезу (Я0) о том, что
«эксперимент» согласуется с «теорией», надо отклонить. Какова
надежность такого решения?
Если, скажем, </nDn > 1,80, то, поскольку К(х) при х = 1,80
принимает значение, примерно равное 0,996932, можно утверждать, что
событие {y/nDn > 1,80} имеет вероятность, равную
1 - Я (1,80) ъ 1,000000 - 0,996932 = 0,003068.
Но события с такой малой вероятностью (=0,003068) мы считаем
практически нереализуемыми. Тем самым гипотезу о том, что Р(Х\ ^ х) —
= F°(x) («теория»), надо, в соответствии с экспериментом, отклонить.
Если же окажется, что */nDn < 1,80, то мы можем сказать, что
примерно в 996932 случаях из 1000000 будет иметь место согласие
«эксперимента» с «теорией». (См. по этому поводу книгу [495, гл. III, § 13], где
помимо изложенного выше материала говорится также о случае, когда
гипотетическая функция распределения может зависеть от некоторого
параметра 0, т. е. F° = F°[x; в).)

160
Гл. VII. Броуновский мост
6. Приведем теперь формулы для распределений К(х) и S(x). В
следующем параграфе будет рассмотрен вопрос их вывода с
использованием свойств броуновского движения и броуновского моста.
Сейчас же лишь отметим, что
1ф0 = Р(тах|В?|^х)= Ё (-l)V2fc*, х^О,
и
S(x) = pf max B° ^ x] = 1 - e~2x\ x^O.
§ 4. О распределениях Колмогорова и Смирнова
1. Начнем с распределения Смирнова.
Пусть В0 = CB°)t<ci —стандартный броуновский мост: В° = Bt - tBb
а в^0,у) = (В^)^!—броуновский мост, начинающийся в точке 0 и
приходящий (в момент t = 1) в точку у: Bt =Bt + t(y — Вг). Как
обычно, здесь В — стандартное броуновское движение и В^ = В0.
В § 1 уже отмечалось, что броуновский мост В0 может быть также
получен по формуле
B° = (l-s)Bs/(1_s), O^ssSl,
и аналогично
B^ = (l-s)Bs/il_s)+sy, O^s^l.
St 1
Следовательно (для t = -^-г, s = тхт, 1 — 5 = тт-), при x^jc учетом
временной инверсии (§ 2 в гл. I) получаем
p(supB^4x) = p(sup[(l-s)Bs/(1_s)+sy]^x) =
-Ksti£».+i?F]«')-K5s^?*')-
= P(BU + у ^ х(1 + iz) для всех и ^ 0) = pf sup(Bu - xu) ^ х - у 1. (1)
и^О
Из § 6 гл. XI мы знаем, что для х > 0 выполнено соотношение
supCBu-xiz)1^ ^-g, (2)

§ 4. О распределениях Колмогорова и Смирнова 161
где <£ —стандартная (с параметром Х — 1) экспоненциально
распределенная величина.
Отсюда и из соотношений (1) получаем, что
P(sup^) * *) = Р(£, * х - у) = Р(1^ (х - |)2 - Й- (3)
Значит, при у = 0 мы имеем
p(supB^x) = p(|^^) = p(v^f^x),
т.е.
d0 law [J
SUP5= ^2>
или, подробнее,
p(supBs° ^ х) = 1 - е'2х\ х^О.
Распределение S{x) — 1 - е~2х , х ^ О, называется распределением
Смирнова.
2. Замечание 1. Используя определение условного броуновского
движения, можно показать, что
р(supBs ^ х | Вг = у) = р(supBc(0'y) ^ х). (4)
v5^i J S^i J
Поэтому из соотношений (3) и (4) следует, что
У 2
p(supB^x,B1^y) = 7|=Jp(^^(x-|)2-^)e-Tdz =
^ —00
= -L Г е-<*-*№-Т dZ = ^=\ е-**-"* dz = Ф(у - 2х).
л/2тг J л/2тг J ^
-00 -00
Отсюда при x^yVO получаем
p(supBs^oc,B1^y) =
= Р(В1^у)-р(8ирВ5^х,В1^у) = Ф(у)-Ф(у-2х),
5^1 У
и, следовательно, совместная плотность величин (sup В^вЛ задается
v5^i J
формулой
/(suPBs>Bl)(*, У) = -|^ VCK - 2х) = 2V'(y - 2х) = -2</(2х - у).

Таким образом,
Р(supBs 2x,Bl**y) = КВг ^2х- у),
что было уже получено ранее (см. формулу (4) в § 3 «Принцип
отражения» в гл. V).
3. Перейдем теперь к распределению Колмогорова
ff(x) = pfsup|B°|$xl х^О, (5)
где В0 = CBs°)s<ci — броуновский мост на [0,1].
Как будет показано, это распределение задается формулой
кы= t (-i)fce-2fcV = i-2f;(-i)fc+16-2fcV. (6)
fc=-oo fc=l
Для доказательства заметим, что аналогично соотношению (1)
выполнено равенство
\Ви+У\
В частности, для у = 0 имеем
\ви\
Отсюда, если ввести момент остановки
rx = inf{t^O:|Bt|^x(l + t)}, (8)
получим, что
p(sup|B°|^xW(rx = cx)). (9)
Итак, нам надо доказать, что
Р(Г* = оо)=1Ф0,
где К{х) задается формулой (6).
С этой целью рассмотрим мартингал
e*Bt , -ABt _Я2 _Я2
Mt = *—Y е 2l (=ch(ABt)e 2 f). (ю)
(Теория мартингалов и, в частности, мартингалов типа (10), излагается
в гл. IX и X.)
По определению (8) имеем
\BtArJ^x(l + tAyx).
pf sup \B?rt\^х) = pfsupl 5h1ZI ^ A (7)
я у — 0 имеем
pfsup |В°| ^ х) = Pfsup r^- ^х) = P(|BJ ^ х(1 + и) для всех u ^ 0).

§ 4. О распределениях Колмогорова и Смирнова 163
Учитывая, что chx ^ е~х, х ^ 0, находим
Я2
Если Я ^ 2х, то ух - у ^ 0 и
0^MtAYjf ^ея*.
По теореме о преобразовании свободного выбора (см. гл. VIII и IX, § 1)
EMtAr, ^ 1
для всех t ^ 0 и, следовательно,
я2
l=limEMtAy =еГ/(гх<оо)сЬ(ЯВу )е~Тг* +/(Гх = оо) • о],
т. е. для Я ^ 2х имеем
E[/(r*<oo)ch(ABrx)e 2Гх\ = 1,
или
Е[щГх < оо)еМ1+г'Ь¥^] = 2 - е[/(Г, < оо)е-^(1+ь)-Т^]. (Ц)
Возьмем Я = 2кх, к = 1,2,... Тогда получаем, что
А2^
(Ax-y)yx + Ax = 2fcx2(l-k)r* + 2fcx2 (12)
и
(-Ах - y)yx - Ях = -2fcx2(l + к)ух - 2кх2. (13)
Учитывая формулы (12) и (13), из соотношения (11) находим
ак = ЧКгх < oo)e2fc(1-fc)*2b] =
= 2е~2кх2 - e-4kx2E[I(yx < oo)e-2fc(1+J:)^] = 2e"2bf2 - е~4кх2ак+1.
Из этих рекуррентных соотношений следует, что
ах = Р(у < оо) = 2е"2*2 - е"4*2а2 = 2е"2*2 - 2е"8*2 + е"т2а3
Поэтому
P(b<oo) = 2 2(-l)fc+1e-2'c2jf2.
к=1

164
Гл. VII. Броуновский мост
Значит,
к-2к2х2
к=\ к=-оо
что и доказывает соотношение (6).
4. Замечание 2. В случае а > О, Ъ > О имеем
00 2
P(|BtI *S at + b для всех t ^0) = Р(Г^ = оо)= 2 (-!)*«• <14)
fc= —00
Для доказательства первого равенства в этой формуле надо
заметить, что согласно автомодельности броуновского движения (гл. I, § 2)
В = (Bt)t;>o процесс В(5) = (~Ba2t) снова является броуновским
движением. Взяв а = J -г, приходим, учитывая равенство (8), к
формуле (14).
Замечание 3. К. Л. Чжуном (К. L. Chung) было установлено, что
распределение К(х) может быть представлено следующим образом:
Kix) = T^t%*2x*y
где 8п, п ^ 1, есть последовательность независимых (стандартных)
экспоненциально распределенных случайных величин.
Замечание 4. В случае броуновского моста В0 = (£°)t<a для
величины размаха (range) sup В0 - inf B° справедлива следующая формула:
при х > О
р( sup В? - inf B° S? х) = 2 V (4ш2х2 - 1)е"
2mzxz
Между прочим, отметим, что величина размаха sup Bs — inf Bs бро-
уновского движения В имеет следующую плотность /(х, t)
распределения вероятностей (В. Феллер):
/(x,0 = 82(-Dfc-1fc2v(^).
где (^ — стандартная гауссовская плотность. (Ср. с формулами (21) и
(22) в § 3 гл. XIII, дающими распределение размаха для простого
случайного блуждания.)

Глава VIII
Опциональность, равномерная интегрируемость.
Дискретное время
§ 1. Опциональные теоремы — 1
1. Для броуновского движения В = (Bt)t^0 имеем EBt = 0 для всякого
t ^ 0. Предположим теперь, что вместо t берется какой-нибудь
конечный случайный момент т = т(со). Спрашивается, будет ли выполнено
свойство ЕВТ = 0, где Вт = Вт^{со).
К сожалению это не так, что было видно на простом примере
момента т(со) = inf{t ^ 0: Bt(co) = 1}. Этот момент обладает свойством
Р(т(со) < оо) = 1, и тогда становится понятно, что Вт^(со) = 1 (Р-п. н.)
и, значит, ЕВТ = 1.
Можно поставить и такой вопрос. Для броуновского движения
выполнено свойство мартингалъности: E(Bt | &f) =BS (Р-п. н.) для
любых t^s. Следует это непосредственно из независимости Bt — Bs от ^
и того, что E(Bt | &f) = Е(В5 -f (Bt - Bs) \ &*) = E(85 | &f) = Bs (Р-п. н.).
Спрашивается, будет ли для двух (скажем, ограниченных)
моментов остановки (говорят также: опциональных*^ моментов) тх и т2
таких, что тг ^ т2 (Р-п.н.), оставаться верным «мартингальное»
свойство, состоящее в том, что Е(ВТ2 | &% ) = BTi (Р-п. н.).
Оказывается, это тоже, вообще говоря, не так.
2. Мы начнем с рассмотрения подобных свойств сначала для
дискретного времени. Случай же непрерывного времени будет получен из
дискретного времени предельным переходом для подходящим образом
построенных моментов времени.
Итак, будем считать, что рассматриваются процессы с дискретным
временем X = (Хп)п^0, заданные на фильтрованном вероятностном
*)Qiobo опциональный (в англоязычной литературе optional) означает свободный,
произвольный, необязательный. Согласно гл. IV, § 1 опциональные моменты —это наши
моменты остановки. Термин «опциональные теоремы» (optional theorems, optional sampling
theorems) восходит к книге Дж. Дуба [420] (английское издание). В русском издании они
названы теоремами о преобразовании свободного выбора.

166
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
пространстве (ft, &, F, Р), где F = (^n)n^0- Предполагается, что при
каждом п случайные величины Хп = Хп{со) являются ^"п-измеримыми.
Определение 1. Процесс X = (Хп)п^0 называется мартингалом
{субмартингалом или супермартингалом), если Е|ХП| < оо для всех п^Ои
Шп\&т)=Хт, п^т
(соответственно Е(ХП | &т) ^Хт или Е(Хп | &т) ^Хт) с вероятностью
единица.
Примеры, а) Классическим примером мартингала является
последовательность Хп = Е>1 + ... + £п, п ^ 1, и Х0 = 0, где £1? £2,. . . —
независимые случайные величины, Е|£п| < оо, Е£п = 0.
Пусть &п = cr(Ci, ...,£ J, п ^ 1, и ^0 = {0,П}. ТогдаХ = (Хп)п^0 (или,
условно, (^п^п)п^о) является мартингалом.
Если г)1}г)2,... — последовательность независимых
неотрицательных случайных величин, Ег?п = 1, ^п = сг(т7ъ..., г\п) для n^l иг)0 = 1,
&о = {0,^Ь то (Vn^J^o, *о = l,Yn = Vi'-Vn Для n ^ 1, бУДет
мартингалом.
б) Пусть ^ъ^2,..- —последовательность независимых бернуллиев-
ских случайных величин, для которых Р(£п = 1) = р, Р(£п = —1) = q,
р + q = 1. Придерживаясь игровой терминологии, будем говорить, что
событие {Е)П = 1} означает успех (выигрыш), а {Е)П = —1} —неуспех
(проигрыш) некоторого игрока в п-й партии. Если ставка игрока в
момент п есть Vn, то суммарный выигрыш этого игрока в момент N
будет равен
xN = 'Lvisi=xN_1 + vNsN, x0 = o.
Положим &о = {0, Q}, &п=о(Е)1,..., £п). Тогда по определению
стратегия игрока в момент времени п должна зависеть лишь от величин
£1?..., £п_1в Иначе говоря, Vn = Vn(£1?..., £n-i). Будем предполагать, что
EJVJ < оо, п ^ 1, и говорить, что игра справедлива (благоприятна или
неблагоприятна), если на каждом шаге с вероятностью единица
ЕЦСп+1-Хп\Рп) = 0 (^или^).
Поэтому ясно, что игра
• справедлива, если р — q — -г, т. е. X —мартингал,
• благоприятна, если р > q, т. е. X — субмартингал,
• неблагоприятна, если р < q, т. е. X — супермартингал.
(Подобная игровая ситуация стала основанием для введения Ж.
Биллем в книге [368] математического понятия мартингал.)

§ 1. Опциональные теоремы — 1
167
в) Пусть £ъ£2,...— независимые случайные величины, Е|£п| < оо,
Е£п = 0, п ^ 1. Последовательность величин
l^i1<...<ik^n
называемых U-статистиками, образует при п^к мартингал.
г) Процесс X = (XjnM с Хп = Е(£ | &п\ где Е|£| < оо, называется
мартингалом Леей.
3. Остановимся на ряде свойств мартингальной теории в случае
дискретного времени.
Если X — мартингал и g = g(x) — такая выпуклая (вниз) функция,
что E|g(Xj| < оо, п ^ 0, то g(X) = (g(Xn),&n) будет субмартингалом
(из неравенства Йенсена). В частности, если X — мартингал, р^1 и
ЩХп\р < оо для всех п ^ 0, то \Х\Р — (\Хп\р,&п) будет субмартингалом.
Если X = {Хп)п^0 — субмартингал, то Х+ — (Х+)п^0 также
субмартингал.
Пусть Я = Шп^п-i) — предсказуемая последовательность (т.е.
величины Нп являются &п-\-измеримыми) и \Нп\ ^ С для всех п (С —
константа). Положим
где
(Н'Д=Еад-Хн) (=£якДХк). (1)
fc=l fc=l
Величины (Я -Х)п, являющиеся дискретным аналогом
«стохастического интеграла» (см. гл. XII), уже упоминались в п. 2 при
рассмотрении выигрыша в момент времени п. В случае, когда X — мартингал,
процесс Я • X называют мартингалъным преобразованием
(аналогичная терминология используется для субмартингалов и
супермартингалов).
Если в соотношении (1) Яп ^ 0 и X — супермартингал
(субмартингал), то Я -X будет таковым же, что следует из того, что
Е((Я -Х)п+1 | ^п) = (Я -Х\ + Е(Яп+1(Хп+1 -Хп) | ^п) =
= (Я.Х)п+Яп+1Е(Хп+1-Хп|^п), (2)
где Е(Хп+1 - Хп | J^J ^ 0 в случае субмартингала и Е(Хп+1 - Хп \ &п) ^ О
для супермартингала.
Из соотношения (2) видим, что в случае мартингалов на знак Яп
никаких условий накладывать не надо (за исключением, скажем, условия
\Нп\ < С, что нужно для существования величин (Я -Х)п) и Я -X будет
мартингалом.

168
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Для всего дальнейшего важным является случай Нп — 7(т ^ п), где
т = т(со) —момент остановки ({т ^ п} е &п и {т ^ п} = {т ^ п — 1} <=
е «^n_! для п ^ 1). Из конструкции Я -X видим, что
п пЛт
(H-x)n = 2/(T^fcx^fc-^fc-i)=S(^fc-^fc-i)=xnAT-^o.
fc=l fc=l
Тем самым если X — мартингал (субмартингал или
супермартингал), то таков же будет и процесс
ХТ = Юп*о, где XI =ХтЫ)Ап(со).
Если X — субмартингал и supEX+ < оо, то Хп —> Х^ (Р-п. н.), где
п
Х^ — некоторая интегрируемая случайная величина (EIXqJ < оо). Этот
результат (Дж. Дуб) выводится из теоремы о числе пересечений
последовательностью (Хп)п^1 произвольного интервала [а,Ь] [420, гл. VII,
§3и4].
В том случае, когда X = (Хп)п$>0 —неотрицательный
супермартингал, имеет место сходимость Хп —»Х^ (Р-п. н.), где Х^ — некоторая
случайная величина, для которой ЕХ^ ^ ЕХ0. Доказательство следует из
предыдущего утверждения (процесс (-Х) = (-Хп)п^0 является
субмартингалом, для которого Е(-Хп)+ = 0; поскольку ЕХ0 ^ ЕХП, по лемме
Фату имеем ЕХ0 ^ ЕХ^).
4.ЕслиХ = (Хп)
п^о ~~ мартингал (относительно потока F — (<^п)п>о)>
то ЕХП = ЕХ0. Вот первый результат, показывающий, когда для момента
остановки т (относительно потока F) мы имеем ЕХТ = ЕХ0.
Мини-теорема 1. Пусть X — (Хп)п^0 —мартингал и т — т(со) —
целочисленный (опциональный) момент остановки. Пусть выполнено
любое из следующих трех условий.
A. Момент т ограничен (т. е. для некоторой константы Т
выполнено неравенство т ^ Г (Р-п. н.)).
Б. Последовательность (Хп) такова, что |ХпЛт(со)| ^ £(а>) (Р-п. н.)
для любого п^О, где Е, = £(со) есть интегрируемая случайная величина
и т — т(со) — конечный (Р-п. н.) момент остановки.
B. Математическое ожидание Ет конечно и для некоторой
константы К выполняется неравенство
*ир\Хп-Хп_г\^К (Р-П.Н.)-
п
Тогда ЕХТ = ЕХ0.
Доказательство. А. ЕслиX — мартингал, то согласно п. 3 процесс Хт
также мартингал и, значит, ЕХпЛт = ЕХ0. Положив п = Г и учитывая,
что т ^ Г (Р-п.н.), получаем ЕХТ = ЕХ0. (Вместо мартингала можно

§ 1. Опциональные теоремы — 1
169
было бы рассматривать субмартингал, и тогда ЕХТ ^ ЕХ0, или
супермартингал, и тогда ЕХТ ^ ЕХ0.)
Б. Понятно, что если т < оо (Р-п. н.), то, как и в п. А, мы получим,
что ЕХпЛт = ЕХ0. Поскольку |ХпЛт| ^ £ (Р-п.н.), где Е£ < оо, по
теореме Лебега о мажорируемой сходимости из равенства ЕХпЛт = ЕХ0 при
п Т оо получим равенство ЕХТ — ЕХ0.
В. Имеем
К^пЛт ^о1 —
пЛт
2^(Хк -Хк_{)
к=1
^Кт.
Но Ет < оо по предположению, поэтому снова (в ЕХпЛт = ЕХ0) можно
воспользоваться теоремой о мажорируемой сходимости и получить
равенство ЕХТ = ЕХ0. □
5. Условия мартингальности, субмартингальности и супермартин-
гальности могут быть записаны для всех п^тпв виде (Р-п. н.)
E(Xn\&m)=Xm, E(Xn\&J^Xm, E(Xn|^mKXm.
Естественно вместо (п, тп) рассмотреть теперь пару моментов
остановки (т, сг). В этом случае справедлив следующий результат.
Мини-теорема 2. Пусть т и а — два таких момента остановки,
что 0 ^ а ^ т ^ Г (Р-п. н.), где Т — некоторая константа. Пусть X —
= (Хп,&п)п^0—мартингал (субмартингал или супермартингал). Тогда
(Р-п.н.)
Е(Х*\Р*)=Ха (3)
(соответственно Е(ХТ \&G)^XG или Е(ХТ \3;СТ)^Х(Т).
Доказательство. Будем вести доказательство для субмартингала.
Результат для супермартингала следует из того, что если X —
супермартингал, то процесс (—X) будет субмартингалом. Для мартингала все
будет следовать из обоих этих случаев.
Для доказательства неравенства Е(ХТ | &а) ^ Ха достаточно
показать, что для всякого А е &G выполнено неравенство
Е(ХТ/(Л))^Е(ХСТ7(А)) (4)
(по определению условного математического ожидания).
Если А е &а9 то по определению &а множество Ап =АП {а — п}
принадлежит &п (эквивалентным образом, вместо {а = п} можно было бы
брать событие {сг ^ п}).
Из того, что А п {т ^ п} = (А п {сг ^ п}) п {сг ^ п} е &п, где А е &а,
следует, что &а с &Т.

170
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Наряду с множеством А е &а определим множества
Aj=An{cr=j},
так чтоД; G&j.
Возьмем такое к, что ;'^ fc ^ Г, и будем теперь обозначать
Ajik=Ajn{z = k}9
Bj}k=f]Aj}i=Ajn{T^k},
Cjlk=BjMi=Ajn{T>kh
Понятно, что Cjfk е &ъ поскольку {т > к} е &к. По определению суб-
мартингальности
Е(Хк1(С]:к))^Е(Хк+11(_С]Л)).
Поэтому
Е(ВДВ;-fc)) ^ Е(ВДА;-fc)) + E(Xfc+1 J(C;-fc)).
Отсюда следует, что
Е(ВДВ;-fc)) - E(Xfc+1J(B;- fc+1)) ^ E(XTI(Aj}k)).
Просуммируем здесь по к от j до Г. Тогда с учетом того, что В}>т+1 =
= 0, получаем
E&jKAj)) = E&jKBjj)) ^ Е(Хт/(А;0).
Суммируя теперь по ; от 0 до Т, находим
Е(Ха1(А))^Е(Хт1Ш
что и надо было установить. D
Замечание. Мини-теорема 2 допускает также распространение на
тот случай ограниченных а и т (^ Г), когда не делается допущения,
что С7 ^ т (Р-п.н.). В этом случае, например, вместо соотношения (3)
(для мартингалов) будем иметь
Е(Хт\Ра)=ХаАт (Р-п.н.).
Аналогичное соотношение имеет место для субмартингалов и
супермартингалов.
6. Приведенные две мини-теоремы и их результаты (ЕХТ = ЕХ0,
Е(ХТ | &а) = Ха, т ^ сг (Р-п.н.) для мартингалов) носят название
опциональных теорем об остановке (optional stopping theorems).
В том случае, когда имеется мартингал X = (Хп)п^0 и
последовательность моментов остановки т0 ^ тг ^ т2 ^ ..., процесс (XTJn^0 при

§ 2. Равномерная интегрируемость
171
определенных условиях также является мартингалом. Этот результат
принято называть опциональной теоремой о свободном выборе (optional
sampling theorem) [420, гл. VII, § 2].
Аналогичная терминология применяется и для
субмартингалов/супермартингалов. Основные опциональные теоремы были получены
Дж. Дубом [420].
7. Согласно данному выше определению процесс X = (Хп)п^0
(относительно потока F = (<&п)п^0) является мартингалом, если Е|ХП| < сю,
п ^ 0, и выполнено собственно мартингальное свойство E(Xn | &т) —Хт
(Р-п. н.) для всех п^ т. Заметим, что условное математическое
ожидание Е(Хп | &т) может быть определено и без требования Е\Хп\ < оо.
Например, в случае, когда Хп ^ 0 (Р-п.н.), это замечание привело к
следующим двум новым понятиям.
Определение 2. Стохастическая последовательность Х = (Хп,&п)п^0
называется обобщенным мартингалом (или обобщенным,
субмартингалом), если Е|Х0| < оо, математические ожидания Е(Хп+1 \&п), п ^ О,
определены и выполнено условие Е(Хп+1 | &п) =Хп (соответственно
условие E(Xn+1 | &п)2Хп) Р-п. н.
Определение 3. Стохастическая последовательность называется
локальным мартингалом (локальным субмартингалом), если найдется
такая (локализующая) последовательность (тк\^г конечных моментов
остановки, что тк ^ тк+1, тк | оо (Р-п. н.) и каждая остановленная
последовательность ХТк = (ХТкАп1(тк > 0),&п)п^0 является мартингалом
(субмартингалом).
(Очевидным образом это определение переносится и на случай
непрерывного времени.)
Оказывается, если Х0 = 0, то следующие три условия являются
эквивалентными (см. [496, гл. VII, § 1]):
а) X —локальный мартингал;
б) X — обобщенный мартингал;
в) X —мартингальное преобразование, т. е. существуют такая
предсказуемая последовательность Я = (Нп,^п_г)п^0, Н0 = 0,и такой
мартингал Y = (¥п,&п)п^о, ¥0 = 0,чтоХ=Н- Y.
§ 2. Равномерная интегрируемость
1. Многие простые схемы, на которые мы хотели бы распространить
первую и вторую мини-теоремы, приводят к тому, что
рассматриваемые моменты остановки т = т(со) оказываются неограниченными, и
тогда надо объяснить, как понимать ХТ на множестве {т = оо}. В
доказательстве утверждений Б и В во второй мини-теореме мы пользо-

172
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
вались теоремой Лебега о мажорируемой сходимости, но этого в более
общих ситуациях оказывается недостаточно.
Важным понятием, которое, в частности, позволяет преодолеть
указанные трудности, является понятие равномерной интегрируемости.
Определение 1. Говорят, что последовательность случайных
величин X = (Хп)п^0, заданных на вероятностном пространстве (ft,^",P),
равномерно интегрируема (по мере Р), если
supE[|Xn№n|>C)]->0, С->оо. (1)
п
Определение 2. Говорят, что последовательность случайных
величин X — (Хп)п^0 является ^-ограниченной, если
supE|Xn|<oo. (2)
п
Эти понятия очевидным образом переносятся и на случайные
процессы X = (Xt)tGT, где Т с [0, оо).
Замечание. На пространстве (П,«^,Р) = ([0,1], Я([0,1]),А), где
Я —мера Лебега, величины Хп = nh i-, являются L1-ограниченными
(так как ЕХП = 1 для всех п ^ 1), но не равномерно интегрируемыми.
2. Теорема 1. Последовательность X = {Хп)п^0 равномерно
интегрируема тогда и только тогда, когда
а) она является L1-ограниченной
и
б) для всякого е >0 найдется такое 5 > О, что для каждого
события A€l&, для которого Р(А) < 5, при всех п ^ 0 выполняется неравеп-
ствоЕ(\Хп\1(А))^е.
Доказательство. Пусть выполнены условия а) и б). Предположим,
что supE|Xn| ^ К < оо. Для С > -=- по неравенству Чебышёва
п
P(|XJ>C)^^ = S
при всех п, и тогда
Е(|Х„№п|>С))<е
(по свойству б)), что и означает равномерную интегрируемость.
Пусть последовательность X = (Хп)п^0 равномерно интегрируема и
С таково, что
Е(ру/(ру>С))<1
для всех п. Тогда Е|ХП| < С +1 для всех п и, значит, последовательность
(Хп)п^о является L1-ограниченной.

§ 2. Равномерная интегрируемость
173
Пусть теперь К является достаточно большим, так что для всех п
выполняется неравенство
E(|XjJ(|Xj >*))<§•
Если Р(Л) < 5, то
Е[РУ/(А)] ^E[|Xn|/(A)/(pg <К)] +Е[|ХЯ|/(|ХП| Ж)] ^ | + f = е,
что и означает выполнение свойства б). Теорема доказана. □
Следствие. Если семейство {Хп,п ^ 0} равномерно интегрируемо,
то оно является ^-ограниченным, т. е. supEpfJ < оо.
п
3. Следующие две теоремы раскрывают роль понятия равномерной
интегрируемости в вопросах о сходимости под знаком
математического ожидания (т. е. под знаком интеграла Лебега).
Теорема 2. Пусть (Хп)п^0 —последовательность случайных
величин и Х^ — такая случайная величина, что
Хп -^Хю (т. е. по вероятности)
и для некоторого К < оо выполнено неравенство
\Хп(со)\^К, соеП, (3)
при всех п^ 0, что, конечно, обеспечивает равномерную
интегрируемость. Тогда Е\Хп -X^l —> 0 при п —> оо.
Эта теорема отличается от классической теоремы Лебега о
мажорируемой сходимости тем, что вместо условий |Хп(со)| ^ У (со), ЕУ(со) < оо,
п^0,иХп^ Xqq (Р-п. н.) сейчас рассматривается, с одной стороны,
более сильное условие |Хп(со)| ^ К, со е П, п ^ 0, а с другой стороны,
более слабое условие Хп ix^ при п —> оо.
Доказательство. Прежде всего проверим, что предельная величина
Х^ такова, что
P(|X00|^JC) = 1. (4)
Действительно, для всякого m ^ 1 имеем
K«*«l>* + ^Kl*«-*„!>£) (5)
при всех п ^ 0. Поскольку Хп ^Х^, из неравенства (5) следует, что
Поэтому
К\Хоо\Ж) = 0,
что доказывает равенство (4).

174
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Пусть е > 0 задано. Выберем п0 так, чтобы выполнялось
неравенство
p(|xn-xj>|)<^
при п ^ 720. Тогда для п^п0 имеем
E|Xn -X00\=E(\Xn -XJ; \Xn -XJ > §) +
+ Е(|ХП -Xj; \Xn -XJ ^ |) ^2КР(\Хп -XJ > §) + § ^ е. П
Теорема 3. Пусть (Хп)п^0 —последовательность случайных
величин из L1 (Е|ХП| < оо, п ^ 0) и Хоо Е L1.
Тогда Е|ХП — X^l —* 0 при п —> оо в том и только том случае, если
а) Хп -^Xqo (т. е. по вероятности) при п —> оо
и
б) последовательность {Хп)п^0 является равномерно
интегрируемой.
Доказательство. Пусть условия а) и б) выполнены. Введем
функции ipk = цк{х) по формуле
, Л_\х> \х\^к,
^W-\fcsignx, \х\>к.
Если Х^ Е L1, то найдется такое к, что при заданном е > О выполняется
неравенство
Е[|Х0О|;|Х0О|>/с]<г (6)
и, значит,
Е[|^(Х0О)-Х0О|]<|. (7)
В силу свойства равномерной интегрируемости б) для всех п ^ О
опять же найдется такое к, что
E[|Vfc(Xn)-Xn|]<§. (8)
Поскольку |<pfc(x) - <pfc(y)| <:\х- у\, получаем, что ч>к(Хп) -^ tpk(Xj
при п —> оо. Поэтому по предшествующей теореме можно найти такое
п0, что для всех п^п0 выполняется неравенство
Е[|^(Хп)-^(Х0О)|]<|. (9)
Из неравенств (7) —(9) заключаем, что
4\Xn-Xj]<e.

§ 2. Равномерная интегрируемость
175
Покажем теперь, что из условий теоремы вытекает выполнимость
условий а) и б).
Если Е|ХП - Х^ | —> 0 при п —> оо, то для всякого е > 0 можно выбрать
такое 5 > 0, что для всякого А, для которого Р(А) < 5, будут
выполняться неравенства
Е[\Хп\;А]<е
и
Е[|Х00|;А]<§.
Это вытекает из следующего общего утверждения.
Лемма. Пусть случайная величина £ = £(а>) принадлежит L1, т. е.
Е|£| <оо. Тогда для всякого е>0 найдется такое 5>0, что если Р(А)< 5
дляАе&, то Е[|£|;А] < г (т. е. Е[|£|/А] < г).
Доказательство. Пусть для некоторого £0 > 0 существует
последовательность таких множеств Ап е &, п ^ 0, что Р(АП) < 2"п и Е[|£ |;АП] ^
00
^ е0. Положим А = ИтАп (= П U АО-
n=lfc£n
Из первой леммы Бореля—Кантелли следует, что Р(А) = 0,
поскольку 2 Р(АП) < оо. Тогда из леммы Фату, примененной к |£|/(Ап), п ^ О
(где Е|£| < оо), следует, что
ШЕ[\тАп)]ЫшШАп)]=Е[\$\1Ш
л L л -•
и, так как Е[|£|;АП] = Е[|£ |/(Ап)] ^ е0, получаем, что и Е[|£|/(А)] ^ е0,
что противоречит тому, что при Р(А) < 5 (а у нас Р(А) = 0) должно
выполняться неравенство Е[|£|;А] < е (а мы получили ^ е0 > 0).
Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Поскольку последовательность (Хп)п^0 такова, что для всех п ^ О
выполняются условия
Е\Хп\<е, EIXJ^ и ElXn-XooHO прип —оо,
можно выбрать К" таким, что
supE|Xn|<!C5.
п
Тогда для п ^ п0 мы имеем Р(|ХП| > К) < 5 и
E[|Xj;|Xj>lC]^E[|X00|;|Xn|>lC]+E[|Xn-X00|]<e. (Ю)
Для п ^ п0 имеем Р(|ХП| <К) < 5 и
Е[|Хп|;|Хп|>1С]<е. (11)

176
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Следовательно, из соотношений (10) и (11) заключаем, что
последовательность (Хп)п^0 является равномерно интегрируемой. Поскольку
также
eH\Xn-X00\>s)^E\Xn-X00\,
получаем, что Хп^Х00. Теорема 3 доказана. D
4. Приведем некоторые достаточные условия равномерной
интегрируемости.
A. Пусть семейство {Хп, п ^ 0} является Lp-ограниченным для р > 1
(т. е. supE|Xn|p < оо). Тогда семейство {Хп, п ^ 0} является равномерно
интегрируемым.
Это условие вытекает из следующего.
Б. Пусть G = G(t) — неотрицательная возрастающая функция,
определенная для t ^ 0 и такая, что
lim-V^=oo и supEG(|Xn|)<oo.
t-oo Г п
Тогда семейство {Хп, п ^ 0} является равномерно интегрируемым..
Доказательство. Пусть е > 0, М = supEGQXj) и а = —. Выберем С
G(t) n e
столь большим, что —— ^ а для t^ С. Тогда
Е[ру/(|ХП| £ С)] ^ h[G(\Xn\)I(\Xn\ Z С)] $ f = e
равномерно по всем п 5^ 0. □
B. Пусть семейство {Хп, п ^ 0} таково, что для некоторой
интегрируемой случайной величины У выполнено условие \Хп\ ^ У, п ^ 0. Тогда
семейство {Хп, п 5^ 0} равномерно интегрируемо.
Г. Пусть случайная величина Е, = £(со) такова, что Е|£| < оо. Тогда
семейство {Е(£ | &п),п ^ 0}, где ^п^^, гс ^ 0, является равномерно
интегрируемым.
Доказательство. Для г > 0 можно найти такое 5 > 0, что для А£
е & из условия Р(А) < 5 следует, что Е(|£|; А) < е. Выберем теперь К так,
чтобы выполнялось неравенство Е|£| ^ К5. Возьмем какое-то &п с # и
положим Уп = Е(£ | J^J. Тогда |УП| ^ Е(|£| | &п) (Р-п. н.), откуда следует,
чтоЕ|Уп|^Е|£|.
Далее,
m\Yn\>K)*ZE\Yn\^E\S\.
Поэтому Р(|УП| Ж) ^5. Но {\Yn\ Ж} е &п, значит,
Е[|У„|;|У„|ЯС]^Е[|51;|Уп|ЯС]<е

§ 3. Опциональные теоремы — 2
177
для всех п ^ О, что и доказывает равномерную интегрируемость
семейства {Е(£ | &п\п ^ 0}. □
5. Во многих предшествующих теоремах предполагалось, что
наряду с последовательностью {Хп)п^0 еще имеется случайная
величина Xqq, к которой в том или ином смысле сходится Хп при п —> оо.
Следующий результат, принадлежащий Дж. Дубу, раскрывает роль
равномерной интегрируемости и L1-ограниченности в вопросах
сходимости Хп (к XqJ при п —> оо.
Теорема 4. Пусть X = {Хп, &п)п^0 — субмартингал.
1. Если supE|Xn| <oo, то с вероятностью 1 существует предел ИтХп,
п п
обозначаемый Х^, и ElX^I < оо.
2. Если семейство {Хп,п ^ 0} равномерно интегрируемо, то
существует такая случайная величина Х^, что Ep^l < оо, HmXn =X0Q с
ветх
роятностью 1 и
Е\Хп—Хоо\-^0 прип-*оо.
При этом последовательность
где ^оо = °"(U^п\ также является субмартингалом.
л
Доказательство см., например, в [496, гл. VII, § 4].
§ 3. Опциональные теоремы — 2
1. Мырассмотрим сейчас опциональные теоремы для мартингалов,
субмартингалов и супермартингалов в предположении их
равномерной интегрируемости.
Начнем с доказательства следующего вспомогательного
утверждения.
Лемма 1. Для мартингала X = (.Хп,&п)п^0 следующие условия
равносильны:
а) равномерная интегрируемость;
б) сходимость в L1;
в) существование такой интегрируемой величины Е, = £(оД что
Хп = Е(£ | JfrJ (Р-п. н.) для всех п > 0.
Доказательство. Из теоремы 4 предшествующего параграфа следу-
ет импликация а) => б).
Покажем, что б) => в). Пусть Х^ = 1ЛИтХп, т. е. Е|ХП -XqJ -> 0 при
п
^ ^ оо. Поскольку X = (Хп, J^) — мартингал, то Е(Хт | &п) = Хп, т ^ п.
Поэтому если А е &п, то Е(ХП; А) = Е(Хт; А) для всякого А е &п.

178
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Если т -> оо, то XnI(A) ^Х^ДА) для всех Ае &п, и,
следовательно, Е(ХП; А) = ЕСХоо;A), A е <^п. Значит, Хп = Е^ | &п) (Р-п. н.), п ^ 0.
Иначе говоря, утверждение в) справедливо с £ = Х00.
Импликация в) => а) следует из утверждения Г § 2, п. 4. □
2. Теорема 1. Пусть X = (Хп, J^n)n;>0 — равномерно интегрируемый
мартингал. Тогда
а) для любого момента остановки т ^ оо выполнено условие
Е(Х00\&Т)=ХТ (Р-п.н.); (1)
б) для любого момента остановки т ^ оо выполнены условия
Е|Хт|<оо и ЕХТ=ЕХ0; (2)
в) если т и а — два момента остановки, а ^ т ^ оо (Р-п. н.), то
Е(ХТ|^а)=Ха (Р-п.н.).
Доказательство, а) Из предшествующей леммы следует равенство
Ер^ | J^J =Xn, где Xqo = L4imXn. Заметим теперь, что если момент
т является ограниченным (т ^ N < оо), то для всякого А е <^"т
выполняются соотношения
E(XN;A) = 2 Е(Х„;АП{т = п}) = £ Е(ХП;АП {т = п}) = Е(Хт;А).
Следовательно, для ограниченного момента тЛпи для А е ^"ТЛП имеем
Е(Хп:А) = Е(ХтЛ„;А),
т.е.
Е(Хп|^тЛп)=ХтЛп (Р-п.н.). (3)
Из этого соотношения, равенства EfX^ \ &п) =Хп (Р-п.н.) и
телескопического свойства условных математических ожиданий [495, гл. II,
§ 7] находим, что
E^Xqq | ^TAn) = ХТАП.
Поэтому для Ае&Т (с учетом того, что А П {т < п} е &ТАп) получаем
EfX^An {т < л}) = Е(ХтЛп;АП {т < п}) = Е(ХТ;АП {т < п}). (4)
(По поводу используемого свойства А П {т < п} е &тАп см. теорему 1
в § 3 гл. IV.)
Считая, если нужно, что Х^ ^ 0, и учитывая, что 7(т ^ п) | /(т < оо)
при п —» оо, по теореме о монотонной сходимости из соотношения (4)
получаем
ЕСХ^АП {т < оо}) = Е(ХТ;АП {т < оо}).

§ 3. Опциональные теоремы — 2
179
Отсюда вместе с очевидным свойством
Ер^АП {т = оо}) = Е(ХТ;АП {т = оо})
получаем, что Ер^; А) = Е(ХТ; А). Событие Л принадлежит &т, поэтому
получаем соотношение (1).
в) Это свойство следует из соотношения (1) и телескопического
свойства условных математических ожиданий.
б) Свойство следует из п. в). □
3. Для получения опциональных теорем для субмартингалов и
супермартингалов (подобных теореме 1) нам понадобится следующий
общий результат.
Лемма 2 (разложение Дуба). 1. ПустьX — (Хп,^п)п^0 — некоторый
процесс, удовлетворяющий условию Хп е L1 (т. е. Е|ХП| < оо) для всех
п ^ 0. Тогда для X имеет место разложение Дуба:
Х=Х0 + М+А, М0=А0 = 0, (5)
где М = (Мп)п^0— мартингал, А = (Ап)п^0 —предсказуемая
последовательность (т. е. Ап является ^п_Гизмеримой) и Е|АП| < оо, п ^ 1.
J2. Разложение (5) единственно в том смысле, что еслиХ =Х0 + М +
+ А— другое разложение с теми же свойствами, что и в формуле (5),
то (Р-п. н.)
Ап=Ап, Мп=Мп
для всех п ^ 0.
3. Последовательность X является субмартингалом в том и
только том случае, когда процесс А является неубывающим:
Р(АП ^ Ап+1 для всех п ^ 0) = 1.
Доказательство. Положим
Mn-i;[X;+1-E(X;+1|^;)]
;=0
И
Тогда, очевидно, Хп =Х0 + Мп +Ап (свойство (5)).
Единственность в утверждении 2 доказывается так. Имеем
An+i ~Ап = (Ап+1 -Ап) + (Мп+1 - Мп) - (Мп+1 - Мп).
Беря условное математическое ожидание Е(-1 ^п) от обеих частей
этого равенства и учитывая, что Ап+1 и Ап+1 являются <^п-измеримыми,

180 Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
получим _ _
Ан-i ~Ап — Ai+i ~Ап.
Но А0 =А0 = 0, поэтому Ап =Ап иМп=Мп для всех п ^ 0, т. е.
утверждение 2 справедливо.
Утверждение 3 очевидно. □
Замечание 1. Обратим внимание на то, что в утверждении 1 ничего
не предполагается относительно структуры процесса X (кроме условия
Е|ХП| < оо, п ^ 1). Это обстоятельство поясняет мартингалъный подход
к изучению любых стохастических последовательностей. См. по этому
поводу [493, гл. II].
Замечание 2. Если М = (Мп)п^0 является квадратично
интегрируемым мартингалом (Mn е L2, п ^ 0), то в силу неравенства Йенсена
[495] процесс (М2)п;>0 является субмартингалом и, следовательно, по
разложению Дуба
Mn2 = M02+Nn+An,
где N = (Nn)n5>0 — мартингал с N0 = О, А = (Ап)п>0 — предсказуемый
возрастающий (точнее, неубывающий) процесс с А0 = 0. Этот процесс А
обычно обозначается (М) = ((М)п)п^0 и называется квадратической
характеристикой (или треугольной скобкой) мартингала М.
Поскольку ЕМ2=ЕАП, мартингал М является L2-ограниченным (в том
смысле, что sup ЕМ2 < оо) тогда и только тогда, когда ЕА^ < оо.
п
4. Теорема 2. Если X = (Хп, ^п)п^0 является равномерно
интегрируемым субмартингалом, то
E(XoJ^T)^XT. (6)
Доказательство. Из теоремы 4 в § 2 следует, что с вероятностью 1
существует HmXn (^X^), причем ElX^I < оо.
п
Из разложения Дуба (5) и теоремы 1 получаем
ЕР^ I ^т) =Х0 + ЕШоо I ^т) + Е(Аоо | ^т) =
= Х0 + МТ Н-ЕСАоо | <^т) ^Х0 + МТ + Е(АТ | J^T) = Х0 + МТ + АТ =ХТ,
что и доказывает неравенство (6). □
Следствие 1. Пусть т— момент остановки, т ^ оо (Р-п. н.). Тогда
ЕХо^ЕХ^ЕХ^. (7)
Следствие 2. Если а и т — два момента остановки, а ^ т < оо
(Р-п. н.) и (YnAT)n^0—равномерно интегрируемый субмартингал, то
ЕУ,^ЕУТ.

§ 4. Основная опциональная теорема
181
Для доказательства этого соотношения надо в неравенстве ЕХТ ^
^ EXqq из формулы (7) взять Хп = УтЛп и т положить равным ст.
5. В следующей теореме, относящейся к супермартингалам, нет
необходимости требовать равномерной интегрируемости.
Теорема 3. Пусть X — (Хп,&п)п^0 —неотрицательный супермар-
тингал и т ^ оо— момент остановки. Тогда (Р-п. н.) существует
предел ИтХп{=ХО0) и
ЕХТ$ЕХ0. (8)
Доказательство. Прежде всего отметим, что если X = (Хп,&п)п^
есть неотрицательный супермартингал, то с вероятностью 1
существует HmXn (—Xqq) и EXqq ^ ЕХ0. Следует это из того, что Yn = —Хп ^ 0 есть
п
субмартингал, для которого Е7п+ = 0, и согласно теореме 4 в § 2 с
вероятностью 1 существует lim Yn, а значит, существует и HmXn (=lim(-Yn)).
п п п
Из оценок (7) выводим, что
ЕХ0^ЕХтЛп, /ОО. (9)
По теореме о монотонной сходимости имеем
Е(ХТ; т < оо) = НтЕ(Хт; т ^ п),
п
а по теореме Фату
Е(ХТ; т = оо) $ limE(X; т > п).
п
Складывая эти последние два соотношения, находим, что
ЕХт^ПтЕХтЛп^ЕХп,
п
что и доказывает неравенство (8). □
§ 4. Основная опциональная теорема
1. Приводимая теорема (Дж. Дуб) интересна тем, что она
непосредственно связывает условия на рассматриваемые последовательности и
моменты остановки.
Теорема, а) Пусть X = (Хп, &п)п^о — супермартингал, а т и <т — два
конечных (Р-п. н.) момента остановки. Предполагается, что
математические ожидания ЕХТ и ЕХа определены (т.е. min(EX+,EX~) < оо и
min(EX+, ЕХ~) < оо). Предположим также, что
lim Е(Х+/(т>т)) = 0. (1)
т—»оо

182
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Тогда
Е(Хт\&а)^ХтАа (Р-п.н.). (2)
В частности, если т ^ о (Р-п. н.), то
Е(ХТ\&а)^Ха (Р-п.н.). (3)
б) Пусть М = (Mn)n5?0— мартингал, а т и а —два таких конечных
(Р-п. н.) момента остановки, что ЕМТ и EMa определены. Пусть
lim Е(|Мт|1(т>т)) = 0. (4)
т-»оо
Тогда
Е(ХТ|^) = МТЛ{7. (5)
В частности, если т ^ а (Р-п. н.), то
Е(МТ|^а) = Ма (Р-п.н.). (6)
Замечание. В формулах (1) и (4) вместоХ+/(т > ш) и |Мт|/(т > т)
можно взять Х+Лт/(т > т) и |МтЛт|/(т > т). Это бывает удобно при
отыскании простых достаточных условий выполнимости
соотношений (1) и (4).
Доказательство, а) Нам надо показать, что для каждого множества
А е &а выполняется неравенство
Е(ХТ/(Д т £ <т)) £ ЕХа/(Д т ^ а), (7)
где /(Д т ^ сг) есть индикатор множества АП {т ^ ст}.
Чтобы установить неравенство (7), достаточно доказать, что
ЕХТ/(Д т ^ ст, ст = п) ^ ЕХа/(Д т ^ сг, а = п) для всякого п ^ 0. (8)
Если положить Б =Ап {а = п}, то надо доказать, что
ЕХТ/(В, т ^ п) ^ ЕХп1(В, т £ п). (9)
Пользуясь субмартингальностью процесса X = {Хп,&п)п^0 и тем
свойством, что Ви{т>п}=Ви{т^п}е^п, итерациями по п
находим, что для всякого т^п выполняются соотношения
ЕХП/(Б, т ^ п) = EXnJ(B, т = п) + ЕХП/(Б, т > пК
^ ЕХП/(В, т = п) + Е[Е(Хп+1 | ^П)/(В, т > п)] =
= ЕХПJ(B, т = п) + ЕХп+1/(В, т ^ п + 1) =
= ЕХТ/(В, м<ст<:п + 1) + ЕХп+1/(В, т ^ п + 1) =
= ЕХТ/(В, п^т^п-Ы) + ЕХп+1 J(B, т £ п + 2) ^ ...
... ^ ЕХТ/(В, п ^ т $ т) + ЕХт/(В, т > т). (Ю)

§ 4. Основная опциональная теорема
183
Отсюда следует, что
ЕХТ/(В, п^т^т)^ ЕХП/(В, т ^ п) - EXmJ(B, т > т). (11)
В силу того, что математическое ожидание ЕХТ определено, по
свойствам интеграла Лебега получаем, что lim ЕХЛ(В, п ^ т ^ т) сущест-
т-»оо
вует. Тем самым из соотношений (10) и (11) в силу конечности (Р-п. н.)
момента т получаем, что согласно условию (1) выполнены
соотношения
EXTJ(B, т^п)^ Hm[EXn/(В, т ^ п) - EXmJ(B, т > т)] =
т
= EXnJ(B, т ^ п) - UmEXmJ(B, т > m) ^
m
^ ЕХП/(В, т ^ п) - ШпЕХ+/(В, т > т) = ЕХ„7(В, т ^ п).
m
Отсюда с учетом обозначения В =ЛП {а — п} находим, что
ЕХТ ДА, а = п, т ^ п) ^ ЕХП/(Д сг = п, т ^ м),
или
ЕХТ/(А, сг = и, т ^ п) ^ ЕХа/(Д а = п, т ^ а).
Поскольку Р(сг < оо) = 1 и ЕХТ, ЕХа определены, отсюда получаем для
всякого п ^ О неравенство (8). Следовательно, неравенства (2) и (3)
верны.
б) Пусть М = (Мп)п^0 — мартингал, для которого выполнено
условие (4). Из этого условия следует, что
НтЕ(М+/(т > т)) = ПтЕ(М~/(т > т)) = 0.
m т
Если в п. а) положитьХ = М иХ = -М, мы получим, что (Р-п.н.)
E[MT\&a]ZMTAa и Е[-Мт|^]^-Мтлст, (12)
так что Е[МТ | ^"о-] ^ МТЛС7. Это неравенство и первое из неравенств (12)
показывают, что Е[МТ | &а] = MTAtJ. Соотношение (5), а значит, и (6)
установлено. □
Следствие 1. Если вероятность Р(сг ^ т ^ Г) для некоторой
константы Т равна 1, то в случае субмартингала
ЕХ0 ^ ЕХа ^ ЕХТ ^ ЕХТ,
а в случае мартингала
ЕМ0 = ЕМа = ЕМТ = ЕМТ.

184
Гл. VIII. Опциональность, равномерная интегрируемость
Следствие 2. Пусть X = (Хп,9п)п^0 — субмартингал и семейство
{Хп,п ^ 0}, равномерно интегрируемо. Тогда для любых конечных
моментов остановки а и т, для которых Р(ст ^ т) = 1, имеем
ЕХ0^ЕХа^ЕХт.
В частности, если X = М —мартингал, то
ЕМ0 = ЕМа=ЕМТ.
Детальный вывод этих соотношений из приведенной теоремы дан
в книге [496, гл. VII, § 2].
Отметим лишь, что ключевые условия теоремы вытекают из
равномерной интегрируемости (см. теорему 1 в § 2). Величины Е\Ха\ и Е\ХТ\
конечны, что следует из оценки Е|ХТ| < 3supE|Xn| < оо. (См. [496, § 2,
п
гл. VII].) То же справедливо и для Е\Ха\. (Конечность supE|Xn| следует
п
из равномерной интегрируемости, см. [495, (16), § 6, гл. II].)
Следствие 3. Пусть X = (.Хп,9*)п^0 — субмартингал, где 9* —
натуральная сигма-алгебра сг(Х0,...,Хп). Предположим, что для
момента остановки т выполнено условие Ет < оо и для любого п ^ 0 и
некоторой константы С справедливо неравенство
Е(|Хп+1 -Хп| | &*) ^ С ({т ^ п}, Р-п. н.).
Тогда Е\ХТ\ < оо и ЕХТ ^ ЕХ0. (Если X = М — мартингал, то ЕМТ =
= ЕМ0.)
Доказательство следует из выполнения здесь условия (1). Детали
см. в книге [496, гл. VII, § 2, теорема 2]. (Ср. с п. 3 § 3 в предыдущей
главе.)

Глава IX
Опциональные теоремы. Непрерывное время
§ 1. Опциональные теоремы для мартингалов и субмартингалов
1. В случае дискретного времени метод доказательства
опциональных теорем существенно использовал рекуррентные, пошаговые
процедуры (от п к п + 1). Такой возможности мы лишены в случае
непрерывного времени. Однако, имея моменты остановки а и т,
принимающие непрерывные значения, можно перейти к новым, дискретным
моментам типа тп = 2~п[2пт + 1] и ап = 2~п[2па + 1], принимающим
не более чем счетное число значений, а затем применить результаты,
приведенные в гл. VIII, с последующим предельным переходом тп | т,
ап | о. Так можно получать интересующие нас опциональные теоремы
для случая непрерывного времени.
2. Теорема 1 (опциональная теорема для мартингалов). Пусть
X = (X(t),^t)t^0—мартингал с непрерывными траекториями и а,т,
О < а ^ т, — два момента остановки (по отношению к непрерывной
справа фильтрации (&t)t^>o)-
Пусть величины X(t Л т), £ ^ О, равномерно интегрируемы, в
частности, \X(t Л т)| ^ Y, где EY <oo, t^O. Тогда
ЕХ(т) = ЕХ(0) (=Х(0), если&о = {0,£1}) Q)
и
Е(Х(т)\&а)=Х(а) (Р-п.н.). (2)
Доказательство. Пусть N е {0,1,...}. Определим процесс с
дискретным временем
Введем также моменты т(л° = [2nt] + 1, сгт = [2N<r] + 1, которые
являются моментами остановки по отношению к фильтрации (^ы\^0г
^„(N)=^/2-

186
Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
Ясно, что процесс (Х^)п^0 является равномерно интегрируемым и,
следовательно, по теореме 1 из § 3 предыдущей главы
Принимая во внимание конструкцию процессов Х^\ сг-алгебр &^ и
моментов т^ и a^N\ из предыдущего соотношения получаем
Е(ВД|^)=Х(тЛа„) (Р-п.н.), (3)
где aN = 2~Nam = 2~n([2ncj] + 1). Переходя теперь к пределу при
N Т оо и учитывая, что &Gn | ^*а, а Х(ЛГ Л aN) —>Х(ст) (Р-п.н.),
приходим к соотношению (2), из которого (при а = 0) получаем также
равенство (1). □
Замечание. При доказательстве того, что Е(Х(т)|е^0-л/)-^Е(Х(т)|^"С7)
при crN l а, мы воспользовались результатом следующей теоремы Леви.
Теорема 2. Пусть £ = £(о>) — случайная величина, Е|£| < оо, и пусть
(^п)-оо<п<оо - поток о-алгебр, 9^ = cr((J ^п), £!«, = f| ^n.
а) Если о-алгебры &п таковы, что &п \ «^ при п Т оо, то
E(£|jy-E(£|^oo)
с вероятностью 1 и в L1.
б) Если а-алгебры &п таковы, что Srn \ &_00, п \, оо, то
с вероятностью 1 и в L1.
По поводу доказательства см. [496, гл. VII, § 4], [107, § 10.6].
3. Тем же самым приемом, переходом к случаю дискретного
времени, можно доказать соответствующий результат и для субмартингалов.
Теорема 3. Пусть X = (X(t), &t)t^Q — субмартингал, причем и про-
цессХ, и поток F = (J*"t)t^0 непрерывны справа. Пусть а и т — моменты
остановки, причем момент т ограничен. Тогда Х(т) интегрируема и
(Р-п. п.)
Х(аЛтКЕ(ВД|^а). (4)
Утверждение (4) распространяется и на случай неограниченных t
в том и только том случае, когда величины (X+(t))t^Q равномерно
интегрируемы.
Доказательство. Введем опциональные моменты ап = 2~п [2па +1]
итп = 2"п[2пт + 1].

§ 2. Первое и второе тождества Вальда для броуновского движения 187
Из теоремы в § 4 предыдущей главы следует, что
X^AtJ^ECXCtJI^J (Р-п.н.),
где m, n G {0,1,...}. Отсюда и из теоремы 2 при m —> оо получим, что
Х(аЛтпКЕ(Х(тп)|^а) (Р-п.н.). (5)
Так как момент т ограничен по предположению, все величины
Х(тп), n ^ 0, равномерно интегрируемы и в формуле (5) возможен
предельный переход по п —> оо, что дает неравенство (4).
Если теперь т неограничено, но (X+(t))t^o равномерно
интегрируемы, то существует некоторая величина Х(оо) со свойством X(t) -»
-*Х(оо) (Р-п.н. ив!1).
Значит, X+(t) -*Х+(оо) в L1 у откуда следует, что
Е(Х+(0 | &S) ± Е(Х+(сх)) | ^5), t - оо,
для каждого s ^ 0.
Понятно, что
ВД < lim E(X+(t) | jg - lim E(X"(t) | J*;) <
^ E(X+(cx)) | J^5) - E(X-(oo) | &s) = E(X(oo) | jg.
Отсюда, как и раньше, выводим, что
Х(аЛт)^Е(Х(т)|^).
Обратно, как установлено, X(s) ^ Е(Х(оо) | ^s) (Р-п.н.) для всех
s ^ 0. Поэтому X+(s) ^ Е(Х+(оо) | &s) (из неравенства Йенсена).
Отсюда следует, что случайные величины X+(s), s ^ О, являются равномерно
интегрируемыми. □
§ 2. Первое и второе тождества Вальда
для броуновского движения
1. Эти тождества интересны не только для теории вероятностей —
они находят применение в математической статистике, например в
задачах различения гипотез.
Теорема 1 (первое тождество Вальда). Пусть В = (Bt)t^Q есть
стандартное броуновское движение и т — такой момент остановки
(относительно FB = (^tB)t^0X что выполнено одно из двух условий:
а) Ет < оо
или
б) {BtAT, t ^ 0} есть ^-ограниченное семейство: supE|BtAT| < оо.

188
Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
Тогда
ЕВт = 0. (1)
Доказательство. Покажем, что на самом деле а) => б). Положим
mfc=mM|Bt+fc-Bfc|
и
[т]
k=o
Тогда
s[t] \ оо оо
Em = Е £ mk )= S Е[/(т ^ fc)mfc] = ^Р(т^ fc)Emfc = Em0 • Ет < ооэ
Vfc=0 -/ k=0 k=0
поскольку Ет < оо по предположению а) и Ет0=Е max \Bt \ < оо (см. гл. VII
или § 2 в гл. XI, где показано, что Е max \Bt\ = \/тг).
O^t^l V Z
Осталось теперь только заметить, что \BtAT | ^ т, где Ет < оо.
Поэтому из условия а) следует б).
Но если выполнено условие б), то можно воспользоваться
теоремой 1 из § 1, положив а = О, что приводит к тому, что ЕБТ = 0. D
2. Теорема 2 (второе тождество Валь да). Пусть т — момент
остановки (относительно FB = (^tB)t^0) и Ет < оо. Тогда
ЕВ^=Ет. (2)
Доказательство. Из свойств броуновского движения следует, что
процесс {В2 - t)t^o является мартингалом, так что ЕВ2 = t. Свойство (2)
есть естественное обобщение свойства ЕВ2 = t на случай моментов
остановки т.
Возьмем моменты остановки
Tn = inf{t^O:|Bt| = n}, Ol. (3)
Тогда величины В2АтАт - t Л т Л тп, t ^ 0, доминируются
интегрируемой случайной величиной п2 + т и согласно теореме 1 из § 1 мы имеем
ЕВ^ЛТп=Е(тЛтп). (4)
Сделаем теперь такое замечание.
Если имеются два таких момента а и т, что а ^ т и Ет < оо, то
ЕВ^ = ЕВ^+Е(БТ-Ба)2. (5)

§ 2. Первое и второе тождества Вальда для броуновского движения 189
Это вытекает из следующих рассмотрений:
ЕВ2=Е[Ва+Вт-Ва]2 =
= ЕВ2а+ 2Е[БаЕ(Бт - Ва \ &а)} + Е[ВТ - BGf. (6)
Но по теореме 1 из § 1 мы имеем Е(ВТ -BG\&G) = 0. Поэтому
справедливо свойство (5).
Согласно этому свойству ЕВ2. ^ ЕВ2Ат . Следовательно, с учетом
соотношения (4) получаем
EB2^limEB2 = ИтЕ(тЛт„) = Ет, (7)
где последнее равенство следует из теоремы о монотонной сходимости.
С другой стороны, по лемме Фату с учетом соотношения (4) имеем
EB^lmEB? =ШпЕ(тЛтп)$Ет. (8)
п п
Из соотношений (7) и (8) получаем требуемое равенство
ЕВ2=Ет
(при условии Ет < оо). □
3. Весьма интересно, что условие Ет < оо, предполагаемое в первой
теореме, может быть существенно улучшено до условия Ел/т < оо.
Теорема 3. Пусть т— момент остановки (относительно потока
F* = &?)&<>) и
Ет1/2 < оо. (9)
Тогда ЕВТ = 0.
Доказательство. Для случая дискретного времени достаточность
условия Ет1/2<оо для того, чтобы суммы Sn=£x + ...+£n, где £ъ £2,... —
независимые одинаково распределенные случайные величины, Е£2 =0,
E|£il < °°> удовлетворяли условию EST = 0, доказана, например, в
книге [496, гл. VII, § 3].
Приводимое доказательство для броуновского движения следует
книге [259, теорема 2.46].
Пусть M(t) = max Bsy t ^ 0 и т — момент остановки, причем Ет1/2 <
< оо. Положим
r=[log4T].
Тогда

190
Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
Согласно теореме 1 для доказательства равенства ЕВТ — 0
достаточно установить, что доминирующий процесс M(t), t ^ 0, таков, что
ЕМ(4г)<оо. (10)
С этой целью введем процесс X = (Хк)к^0, Хк = М(4к) - 2к+2, и
заметим, что у есть момент остановки относительно фильтраций &* =
= а(Х0у...,Хк)ук2 0.
Процесс X есть супермартингал. Действительно,
Е(Хк | J^_!) ^ М{Лк~1) + е[ max вЛ - 2к+2. (11)
L0^t^4fc-4fc_1
Но
е[ max В Л = VV - Лк~1 еГ max В Л =
L0^t^4fc-4fc_1 J L0^t^l J
= -\/4fc—4fc~1E|B1| ^2\/4/c-4/c"1< 2k+2 - 2k+l. (12)
Из соотношений (11) и (12) следует, что
Е(Хк | ^_2) ^ М(4/с~1) - 2k+l =Хк_ъ (13)
откуда и вытекает супермартингальность.
Возьмем t = 4а, а > 0, и используем супермартингальное свойство
для у At:
Е[М(4Г Л 0] = ЕХуЛа + Е[2гла+2] $ ЕХ0 + 4Е[2Г].
Заметим, что Х0 = М(1) — 4и эта величина имеет конечное
математическое ожидание. По нашему предположению Ет1/2 < оо и, значит,
Е[2Г] < оо. Поэтому по теореме о монотонной сходимости
E[M(4r)] =limE[M(4rAt)] < оо,
t|oo
что и доказывает неравенство (10), а значит, и утверждение теоремы. D
Замечание. Моментное условие Ет1/2 < оо для равенства Е£т = 0 в
определенном смысле оптимально. Для установления этого положим
T = inf{t^0:Bt = l}.
Тогда Вт = 1 (Р-п. н.) и Ета < оо, если а < ~ • Отметим, что в этом
примере Ет = оо, но тем не менее ЕВ2 < оо (равно 1, так как Вт = 1).
Можно показать также, что существуют такие моменты остановки
т, что Ет = оо, Ет1/2 < оо. Значит, возможны ситуации, когда ЕВТ = О,
но ЕВ2 = оо.

§ 2. Первое и второе тождества Вальда для броуновского движения 191
4. Применим первое и второе тождества Вальда для установления
следующего результата.
Теорема 4. Пусть а<0, Ъ>0иВ = (Bt)t^0 — стандартное
броуновское движение. Положим
T = inf{t^0:Bt=a unuBt = b}.
Тогда
и
Ет = |а|-Ь. (15)
Доказательство. Понятно, что здесь
\BtAT\^\a\wb. (16)
Поэтому по первому тождеству Вальда ЕВТ =0и, значит,
аР(Бт = а) + ЬР(БТ = Ь) = 0. (17)
Можно показать, что здесь
Р(Вт = а) + Р(Вт = Ь) = 1, (18)
что вместе с соотношением (17) приводит к равенствам (14).
Чтобы установить равенство (15), воспользуемся вторым
тождеством Вальда. Для этого надо проверить, что Ет < оо. Но это
действительно так, поскольку т ^ тл, где тА = inf{t S? 0: \Bt\ =A} и А=тах(Ь, \а\).
Тем самым Ет $ Етл, где ЕтЛ —А2 (см., например, § 2 в гл. XI).
Поскольку Ет < оо, по второму тождеству Вальда
5. Интересным представляется вопрос о том, сохраняется ли,
скажем, первое тождество Вальда (ЕВТ = 0) для ограниченных моментов
остановки т в случае фрактального броуновского движения Вн при
Н Ф х. (Определение Вн см. в § 7 гл. I.)
Ниже приводится пример (М. В. Житлухин и А. Н. Ширяев),
показывающий, что первое тождество Вальда в случае фрактального
броуновского движения уже может быть не выполнено (ЕБ^ Ф 0) для моментов
остановки т, принимающих всего лишь два значения.
Пусть Вн = (#f )t^o — фрактальное броуновское движение и т —
момент остановки (относительно {^f )t^0) такой, что
_(l, eomBf^O,
Т(2, eom£f>0.

192
Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
Этот момент действительно является моментом остановки, так как
(0, если t < 1,
{т^1} = {В**^о}ер*иср?и9 eoral^t<2,
П, если t ^ 2.
Имеем
EBf = EBf /(Bf $ 0) + EBf/(Bf > 0) =
= E[(Bf - Bf )/(Bf > 0) + Bf ] = E[(Bf - Bf )/(Bf > 0)].
Из § 7 гл. I находим, что
cov(B2H - Bf ,B?) = EBf B2H - E(Bf f = 22H~l - 1 = 22M) - 1.
Пусть X =Bf - Bf, У =Bf. Пара (X,Y) — гауссовская с нулевыми
средними, единичными дисперсиями и ковариацией р = 22Н_1 - 1.
Поэтому совместная плотность случайных величин X и У равна
и нетрудно найти, что
а значит,
ЕХ/(У>0) = Р
V^'
п2Н-1 _ 1
EBf = ^_ 1ф0 (20)
при всех 0 < Я < 1, кроме значения U — iz.
В § 5 гл. XXVII для р(х, у) будет приведена так называемая формула
Мелера:
Р(х, у) = р(х)р(у )(l + I] ^Неп(х)Неп(у)), (21)
где Неп(х), п ^ 0, — полиномы Эрмита, являющиеся ортогональными
(по стандартной гауссовской плотности р(х)).

§ 3. Фундаментальное тождество Вальда и критерии его выполнимости 193
Опираясь на (21), к формуле (20) можно было бы прийти
следующим образом:
00 00
EXI(Y >0)= J* xp(x)dx§p(y)dy +
-00 О
оо п - р
+ Е ^Г J *Hen(x)pO)dxJ Hen(y)p(y)dy. (22)
n_1 -oo О
Но х — Нех(х) (см. § 4 в гл. XXVII), поэтому, в силу ортогональности
оо
полиномов Эрмита, в сумме ^] в (22) остается всего лишь один член,
п=1
соответствующий п = 1.
Таким образом, формула (22) принимает совсем простой вид:
00 00
ЕХ/(Т > 0) = р J* х2р(х) dx j* yp(у) dy =
-оо О
00
Г р о2Н-1 _ -,
=>\>™*> = & = ЧяГ- (23)
О
Итак, мы видим, что в случае фрактального броуновского
движения Вн для рассматриваемого момента остановки т математическое
22Н~г — 1 1
ожидание ЕБ^? равно ———, что отлично от нуля при Н Ф ~.
v 2тг ^
§ 3. Фундаментальное тождество Вальда
и критерии его выполнимости
1. Выше было установлено, что если т — момент остановки, то для
броуновского движения В = (Bt)t^0 справедливы следующие первое и
второе тождества Вальда:
Ел/т < оо => ЕВт=0, (1)
Ет<оо => ЕВ^=Ет. (2)
(Для выполнения свойства ЕВТ = 0 сам А. Вальд требовал выполнения
свойства Ет < оо.)
Для случая броуновского движения В = (Bt)t^0 исключительное
значение в разных вопросах имеет фундаментальное тождество Вальда
я2
ЕеАв^Тт = 1, Хеш. (3)

194 Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
АВ - —t
Понятно, конечно, что, поскольку е [ 2 } t ^ 0, является мартинга-
ХВ — — t
лом, Ее f 2 = 1 для любого t ^ 0.
При каких условиях на т выполнено свойство (3)? Наиболее
известят
ным является условие Новикова: Ее 2 < оо.
Ниже мы рассмотрим ряд условий выполнения тождества (3).
Интерес к тождеству (3) связан также с теоремой Гирсанова, излагаемой
в следующей главе. Сейчас же лишь отметим, что для всякого детерми-
Id _ ^_ j-
нированного момента Г, когда, очевидно, Ее т 2 = 1э можно наряду
с исходной мерой, скажем Рт, на (П, <РТ) ввести новую меру РА по
формуле
я2
dP$ = eXBj~~2TdPT.
Эта мера замечательна тем, что если В = (Bt)t^T — броуновское
движение по мере Рт, то процесс
£A = (£fWcBtA=Bt-At, t^T,
будет по мере Р* также броуновским движением (см. гл. X, § 3).
2. Введем на интересующий нас момент остановки т = т(а>)
следующие три условия:
1 + е.
1(^тр;Я): Ее"^~Я2т<оо, 0<е<1;
п(|;Я): Ее2Я2т<оо;
шГ~;Я): limlogEetb^^o.
Понятно, что для каждого Я е R справедливы импликации
1(^;Я) => п(|;Л) => ш(|-;Л).
Покажем, что
1(^;я) ^ад = 1, (4)
где принято обычное обозначение для стохастической экспоненты:
StW = eXBt~^t. (5)
(Импликация (4) —это критерийЛипцера—Ширяева.) Как уже
отмечалось, процесс <^(Я), t ^ 0, является мартингалом.

§ 3. Фундаментальное тождество Вальда и критерии его выполнимости 195
Если семейство (<^Лт W)t^o равномерно интегрируемо, то Е<^Т(Я) =
= 1 согласно теореме 1 из § 1. Для этого, в свою очередь, достаточно
(см. условие Б в п. 4 § 2 гл. VIII), чтобы для некоторого 5 > О
выполнялось условие
supE(^AT(A))1+5<oo. (6)
Покажем, что при условии if—у^;Я) это свойство (6) действительно
выполнено.
Для доказательства прежде всего заметим, что Я можно считать
равным 1 (иначе можно перейти к новому времени и = Я2 О-
Положим
и покажем, что
supE(<£tAT)1+5<oo, <5>0. (7)
\1+5
С этой целью запишем (<^Лт) в следующем виде:
1 + е
и возьмем р = 1 + е, q = . Тогда по неравенству Гёльдера
Е(^лх)1+5 ^ (Е(Ф(Д)тУ)1/"(Е(Ф?л)т)')1/« = 1 • ДО®)')1".
Выберем теперь такое 5 > 0, что для данного е, О < е < 1,
выполняется неравенство
5(1 + еК *2
значит,
(1 + г)(1+2<0"
Тогда
(Ф^)^Н^
Следовательно, Е(<^Лт)1+<5 ^ Ее'2+е)т < оо, и,
1= НтЕ<^Лт=Е<£т.
t—»оо
Покажем теперь, что
Щ^;Я]:Ее 2 < оо => Е«Г(Я) = 1
(это критерий Новикова).

196
Гл. IX. Опциональные теоремы. Непрерывное время
Возьмем 0 < е < 1 и положим Х£ = (1 - е)Х. Для такого Хе имеем
i + g, (i + g)(i-g)2 я^
Ее 2 Лс = Ее 2 т ^ Ее 2 т < оо.
Поэтому можно обратиться к предшествующему случаю, согласно
которому для неравенства Гёльдера с - = 1 — е, - = е имеем
1 = Е<?т(Ае) = Е<?Т(А(1 -- Ю) = ЕеЯ(1"^"Т(1-£)2т =
= Ее(1"в)^-Тт) • е(1-*Т* <: (Е^))1"^1^^ ^
^(Е^САЮ^^ЕеТ'У. (8)
Я^т
Если Ее 2 < оо, то из неравенства (8) предельным переходом при е | О
получаем, что E<fT(A) ^ 1. Но с другой стороны, как уже отмечалось,
Е<£Т(А) $ 1. Тем самым
я2
Il(|;A):Ee"2"T<oo => Е«Г(А) = 1.
Докажем, наконец, импликацию
\\\{\-\Х): limeloge~2~A2T = 0 => Е«Г(А) = 1. (9)
1л£Я2т
С этой целью заметим, что соотношение lim e log Ее 2 =0
равного
сильно тому, что
ИтГЕе"2^я2т1е = 1. (10)
Поэтому для достаточно малых е > О имеем
Ее"^я2т<оо. (11)
Отсюда для Хе = (1 - е)Х в соответствии с неравенством (11)
заключаем, что
l+g.,2 (l + g)(l-g)2 (l-g)(l-g2),
Ее 2 А*т=Ее 2 =Ее 2 < оо.
Следовательно, мы можем воспользоваться критерием if—^-; А А
который с учетом соотношения (8) приводит к неравенству
1$(Е<?т(А))1-е(Ее(1_е)Тт)е.

§ 3. Фундаментальное тождество Вальда и критерии его выполнимости 197
Перейдем здесь к пределу при е | 0. Тогда с учетом равенства (10)
получим, что Е<?Т(Я) ^ 1. Но, как мы уже знаем, Е<^Т(Я) ^ 1. Поэтому из
условия Illf 2-; A J следует, что Е<^Т(Я) = 1. (Импликация (9) —это
критерий Крылова.)
3. Во многих случаях (наряду с критериями I, II и III) полезным
оказывается критерий Казамаки
sup Ее 2 »"« < оо => Е<?Т(А) = 1. (12)
Например, если т = та = inf{t ^ 0: Bt = а}, а > О, то критерий
Нобиле
кова не работает, поскольку здесь Ее 2 Та = оо. Но критерий Казамаки
применим, поскольку
я2 я2
ЕеТв^<сеТа<оо
для всех t ^ 0.
Замечание. Полезно отметить, что выполнено следующее легко
устанавливаемое неравенство, поясняющее соотношение между
критериями Новикова и Казамаки:
Ее2*^<ЦЕе2т) .

Гл ав а X
Мартингальные свойства и характеризация
броуновского движения.
Мартингальные неравенства
§ 1. Определения, примеры
1. Как и при рассмотрении марковского свойства (гл. V), будем
предполагать заданным фильтрованное вероятностное пространство
(ft,J^,F,P), где F = C^t)t^o — поток сг-алгебр. (Если все вероятностные
рассмотрения будут проходить не для t е [0,оо), а для t ^ Т, то поток
F будет предполагаться таким, что F = (J^)^-)
Марковость процесса X = (Xt)t^0, заданного на таком
пространстве, означает, что случайные величины Xt являются ^-измеримыми
и для 0 ^ s ^ t < оо выполняется равенство
P(Xter|^s) = P(Xter|Xs) (Р-п.н.), (1)
где Г € ^(М), что условно записывают также в таком виде:
Law(Xt|^s) = Law(Xt|Xs). (2)
В качестве потока F = (&t)t>o часто берется поток F — \^t Jt^o* где
P? = a(Xu,u^t).
Свойства (1), (2) выражены в терминах условных распределений.
Если же рассматривать аналог этих свойств, выраженный в терминах
условных математических ожиданий, то приходим к уже известному
нам понятию мартингала. Напомним некоторые определения.
Определение. Действительнозначный процесс X = (.Xt,&t)t^0
называется мартингалом, если E|Xt| < оо, t ^ 0, и (Р-п. н.) выполнено
собственно мартингальное свойство
E(Xt\3?s)=Xs, O^s<t<oo. (3)
Процесс X называется субмартингалом, если в формуле (3) вместо
равенства выполнено условие E(Xt | &S)^XS, и супермартингалом,
если вместо равенства мы имеем E(Xt | &s) ^ Xs. (Ср. со случаем
дискретного времени, с которым мы уже имели дело в гл. VIII, § 1.)

200 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Если в качестве X берется (стандартное) броуновское движение В =
= (Bt)t^0, то (Р-п.н.)
E(Bt|^s) = E(Bt-Bs+Bs|^s) =
= E(Bt-Bs|^s) + Bs=E(Bt-Bs)+Bs=Bs,
поскольку E(Bt — Bs) = 0.
Полезно заметить, что если в качестве &s (= &f) брать ^s+ = f] &ЦУ
u>s
где J^ = cr(Bv, v ^ u), то в силу марковского свойства броуновского
движения (гл. V) E(Bt - Bs | J^s+) = 0 и, следовательно, (Р-п. н.)
E(Bt|J^s+) = Bs, 0^s<t<oo. (4)
Таким образом, процесс В+ = (Bt, <^"t+)t$>o также является мартингалом.
2. Прежде чем переходить к мартингальной характеризации
броуновского движения, приведем ряд примеров, считая, что &s = ^в,
s^O.
а) Процесс В — мартингал, но также и процесс (В2 - t)t^Q —
мартингал:
Е(В2 - 11 Ю = E((Bt -Bs +BS)2 - 11 ^s) =
= E((Bt-Bs)2|^s) + 2E((Bt-Bs)Bs|^s) + Bs2-t =
= (t-s) + 0 + Bs2-t = B2-s.
б) Из свойств броуновского движения выводится, что процессы
(B?-3tBt)t>0, (B?-6tB2 + 3t%0,
так же как и стохастическая экспонента
являются мартингалами.
в) Пусть В = (В1,...,Bd) есть d-мерное броуновское движение (т.е.
В1,.--,^ являются независимыми броуновскими движениями). Пусть
функция / =/(*!,..., xd) является дважды непрерывно дифференциру-
t
емой, E|/(Bt)| < оо, Е J |A/(BS)| ds < оо, t ^ 0. Тогда процесс
о
t
Xt=/(Bt)-|jA/(Bs)ds, t£0, (5)
0
есть мартингал.

§ 1. Определения, примеры
201
Действительно, для t>s
s t
E(Xt|^s) = E(/(Bt)|Bs)-|jA/(Bu)du-|E[|A/(Bu)|Bs]du. (6)
0 s
Так как гауссовская плотность (/?t(x,y) = . е 2t удовлетво-
ряет уравнению
±Д¥>,(х,у) = ^(х,у), t>0, (7)
интегрированием по частям находим, что для u>s
е[\а/(Bu)\Bs] = l^u_s(Bs, у) Af (у) dy =
= \l^u-siBs,y)f{y)dy = ^4>u_s{Bs,y)dy.
Поэтому для t>s
t г t -i
jE[|A/(Bu)|Bs]du = lunJ J ^Us(Bs,y)du\f(y)dy =
s \-s+e -I
= J^-s№,y)/(y)dy-Hmj^(Bs,y)/(y)dy = E[/(Bt)|Bs]-/(Bs),
что вместе с соотношением (6) показывает, что процесс (Xt\^0 есть
мартингал.
г) Пусть В = В^ + iB^ — комплекснозначный мартингал (т. е. В^
и В^ — мартингалы), В^ = 0, В^ = 1. Тогда для всякого А е М процесс
^о есть (комплекснозначный) мартингал, Я е М.
д) Если Б — броуновское движение, то процесс (е 2 ch(ABt)J
является мартингалом.
е) Пусть / = /(*) — выпуклая (вниз) функция на открытом
интервале 1/сШ (/(*) = \x\,f(x) = x2,...) VLX = {Xt)t^0— такой субмартингал,
что E|/(Xt)| < оо, t ^ 0. Если функция / =/(*) является неубывающей
илиХ = (Xt)t^Q — мартингал, то (J(Xt))t^0 является субмартингалом.
Доказательство следует из (условного) неравенства Йенсена,
состоящего в следующем.
Пусть (П, &, Р) — вероятностное пространство, а Е, = £ (со) —
случайная величина (случайный элемент) со значениями в открытом вы-

202 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
пуклом множестве G в Rk. Пусть g = g(x) является выпуклой (вниз)
функцией на G. Если |£| и g(£) интегрируемы и а-алгебра 2) с J^ To
E(g|.2))GG(P-n.H.)H
E(g(C)|?))^g(E(?|?))).
е) Если £ —интегрируемая случайная величина, то процесс Х =
= (Xt)t^Q, Xt = Е(£ | J^), является мартингалом (Леви).
ж) Пусть на фильтрованном пространстве (П, &, F) с F = (^"t)t^0
заданы две вероятностные меры Р и Q, причем мера Q локально абсолют-
1ос
но непрерывна относительно меры Р (обозначение: Q <С Р), т. е.
сужения Qt = Q\&t абсолютно непрерывны относительно Pt = P\&t
(обозначение: Qt <C Pt) при каждом t ^ 0.
С точки зрения математической статистики важным является
понятие отношения правдоподобия:
At ~ dPt'
где -75- есть производная Радона—Никодима меры Qt относительно
меры Pt.
Процесс (At)t^0 (относительно меры Р) является мартингалом.
Действительно, мартингальное свойство E(At | &s) = А5 (Р-п. н.), s ^ t,
эквивалентно тому, что
f AtdP= f AsdP
А А
для всякого A е JF. Но это равенство действительно выполнено:
|AtdP = jAtdPt=Qt(A) = Q(A) = Qs(A) = jAsdPs=jAsdP.
§ 2. Мартингальная характеризация броуновского движения.
Теоремы П. Леви
1. В предыдущем параграфе утверждалось, что для стандартного
броуновского движения В = (Bt)t^0 процесс
gtW = e^~\\ t£0, (1)
является мартингалом для всякого действительного А: (Р-п. н.)
E(eA(B^|J*;) = eT(t-s). (2)

§ 2. Мартингальная характеризация броуновского движения. Теоремы П. Леви 203
Соотношение (2) остается верным и для комплексных А = ia, aeR,
т.е.
E(eI"a(B'-B-)|^s) = e"T(t-s). (3)
Весьма замечательно, что это свойство, будучи выраженным для
условной характеристической функции приращений Bt-BSi является
в определенном смысле определяющим для броуновского движения.
Более точно, справедлив следующий результат П. Леви [239].
Теорема 1. Пусть X = (Xt)t^Q, X0 = 0, является случайным
процессом, причем величины Xt являются &\-измеримыми, t^O, и для любых
s, t, O^s < t <oo, a e R справедливы (Р-n. н.) соотношения
E(eia(*'-^jg = e~T(t-5). (4)
Тогда процесс X имеет непрерывную модификацию (версию) X = (Xt)t^Q
(m. е. P(Xt = Xt) = l, t^O), которая является стандартным
броуновским движением (относительно потока (^t)t^0)-
Доказательство весьма просто. Из равенства (4) следует, что
характеристическая функция
EeWt-xs) = e-^(t-s)^ (5)
Отсюда, очевидно, вытекает, что Xt — Xs имеют нормальные
распределения, Xt - Xs ~ iV(0, t - 5), и, значит,
E(Xt-Xsfk = (2k-\)\\(t-s)k. (6)
Подставляя в это равенство к = 2 и применяя критерий Колмогорова
(гл. И), видим, что у процесса X = (Xt)t^0 существует непрерывная
модификация X = (Xt)t^0.
Из соотношений (4) и (5) переходом к условным математическим
ожиданиям находим, что для 0 = t0<tl< ... <tk< tk+1 выполнены
равенства
к к
Ее j0 =e }-° = [ [Ее } ->+1 -» .
;=о
Отсюда вытекает независимость приращений, и, следовательно,
согласно определению 1 из § 1 гл. I процесс X является (стандартным)
броуновским движением.
Мы не будем различать процессыX иХ, считая с самого начала, что
исходный процесс X является непрерывным. □

204 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
2. Перейдем теперь к другой теореме П. Леви [239], которая
показывает важность мартингалъных методов для характеризации
броуновского движения.
Теорема 2. Пусть X = (Xt)t^0 —такой непрерывный процесс, что
величины Xt являются &'^измеримыми, t^O,
E(Xt\&s)=Xs, s^t (Р-гс.н.) (7)
(m. e. X—мартингал) и
E(X2-t|jg=X2-s, 5$t (Р-гс.н.) (8)
(m. e. (X2 - t)t^0—мартингал).
Тогда процесс X является стандартным броуновским движением.
Доказательство. Если / = /(х) — непрерывная ограниченная
функция и таковы же /'(*) и /"(*)> то можно доказать (см. [446, гл. IV,
лемма 4.2]), что свойства (7) и (8) обеспечивают выполнение равенств
(t^5)
t
E[/(Jft) | ^]-/(Xj= | Je[/"(Xu) | ^]du. (Р-п.н.). (9)
S
Доказательство этого равенства основано на том, что соотношение (8)
может быть переписано в виде
E((Xt-X5)2|jg = t-5, (10)
a f{Xt) - f{Xs) допускает представление
/(xj-/(xj = n2[/(^c-))-/(xt(n))], (id
где 5 = t£° < t[n) < ... < t<n) = t, maxltjjj - t;(n)| ^Оприп^оо. Тогда,
пользуясь теоремой о среднем, из соотношений (10) и (11) получаем
равенство (9).
Применим эту формулу (9) к функции /(х) = ехХх (точнее, к ее
действительной и мнимой частям). Тогда получим
t
Е[еш' | J?] - е1™- = -у J*E[e,AX» | J?] du, (12)
S
т. е. для всякого А е &s выполнено равенство
t
E[eW(x,-x,)/(A)] = р(А) _ ^ jE[el'Atx--Jf')J(A)] du. (13)

§ 3. Теорема Гирсанова
205
Непрерывное решение этого интегрального уравнения
единственно, и его легко найти:
я2
E[eaix<-x*)I(A)]=HA)e~^it~s\ Ae&s, (14)
следовательно,
я2
E[eiX{Xt-Xs) | ^ ] = e~ T(t-s) (р_п> н) (15)
Теперь осталось лишь сослаться на теорему 1, которая утверждает,
что тогда (непрерывный) процесс X = (Xt)t^0 является броуновским
движением. □
Замечание 1. Доказательство ключевого соотношения (9) можно
было бы получить из формулы Ито для квадратично интегрируемых
мартингалов (см. далее замечание 2 в § 4 гл. XII).
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 сохраняют свой смысл и в случае d-мер-
ных процессов X = (X1, ...,Xd), гдеX1, ...,Xd являются независимыми и
каждый из этих процессов удовлетворяет условиям, указанным в этих
теоремах.
§ 3. Теорема Гирсанова
1. Стохастические экспоненты <^(Я) = (<^(А))^0, введенные выше
(см., например, формулу (5) в § 3 гл. IX) формулой
<^(А) = еЯВ'-Т', t^O, (1)
играют важную роль, например, в вопросах преобразования меры
(Камерон и Мартин [65], Гирсанов [410]). Основное свойство состоит в
том, что стохастическая экспонента £(Х) является мартингалом,
правда не равномерно интегрируемым. С этим связан общий вопрос
(рассматривавшийся в § 3 гл. IX) о том, когда Е<^Т(Я) = 1 для моментов
остановки т.
Пусть (ft, &, F, Р) с F = (c^t)t^o — фильтрованное вероятностное
пространство. Пусть броуновское движение В = (Bt(co))t^0 таково, что
Вгявляются ^.-измеримыми. В основном сейчас будет
рассматриваться случай t ^ Т < оо, так что и броуновское движение В будет считаться
определенным на [О, Г]. Траектории этого процесса будут по
определению (непрерывными) функциями в пространстве С0[0, Г].
Пусть Рг = Р\&т — ограничение исходной меры Р на сг-алгебру &т,
и пусть Вх = (jB^)t^r есть броуновское движение со сносом:
B*=Bt-Xt. (2)

206 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Введем на (ft, &T) новую меру Р*, для которой
я2
dv\ = eXBj~^T dVT (3)
или, с учетом равенства (2),
dp£ = e^+TrdPr.
(Подробнее: p£(da>) = еХВ*А")+^т PT(dco).)
Теорема (Гирсанов, [410]). Относительно меры Р^ процесс со
сносом B*=Bt — At, t^T, является стандартным, броуновским
движением, что условно можно записать в таком виде:
Law(Bt\ t $ Г | Р*) = Law(Bt, t^T\ Рт). (4)
Замечание 1. Теорема Гирсанова, как это только что изложено,
имеет гораздо более широкий характер (§ 7 в гл. XXXII), а именно,
вместо меры dPj рассматривается мера (А = (А5(б>))5^т)
. fXsdB5-±fX*ds
dP£ = eo 2o dPT, (5)
г г
/AsdBs-±jAs2ds
где Ее° о = 1, а вместо процесса (Bt - At)t^T
рассматривается процесс
t
B* = Bt-\xsds, t^T. (6)
о
Но здесь тогда присутствует (в формуле (5)) стохастический интеграл
т
j As dBs, которого у нас еще не было (см. далее гл. XII).
о
Свойство (4) будет также выполнено, если В^ определять
формулой (6), а меру Р^; — формулой (5).
Замечание 2. Сформулированный в приведенной теореме частный
случай «общей теоремы Гирсанова» (см. § 7 в гл. XXXII) на самом деле
изучался ранее в работах Камерона и Мартина [65, 66], где
рассматривался случай детерминированных функций А = (А5)5^т из
пространства L2.
2. Прежде чем доказывать теорему Гирсанова (пока только в
частном случае А = const), рассмотрим ряд ее следствий.

§ 3. Теорема Гирсанова
207
Если GrO) = GT(xnt ^ Г) есть измеримый функционал на
пространстве С[0,Г] непрерывных функций х = (xt)tKT, то для
неотрицательных или ограниченных (|GrO)| ^ С, х е С[0, Г]) функционалов
из (4) выполняется равенство
Law(Gr(BA) | Р*) = Law(GT(B) | Pr). (7)
Следовательно, для таких «хороших» функционалов получаем
EGr(6A) = E^Gr(BA) = E^-AB^TTGT(BA) = Ee-ABr-¥TGT(B),
где Е^ — математическое ожидание по мере Р*, Вт = Вг(а>), Ву=Ву(со).
Итак, мы получили следующую полезную формулу:
EGr(BA) = Ee"ABr"TrGr(B). (8)
Эта формула интересна тем, что она позволяет найти производную
меры Qj(A) = Р(ВЯ е А) по мере Qr(A) = Р(В е А), где Б = (Bt)t^r, Bx =
= (В*)^г и А принадлежит ^(С[0, Г]) —сг-алгебре борелевских
множеств в С[0, Г]. Делается это так.
По формуле замены переменных в интеграле Лебега [495, гл. II, § 6]
имеем
EGr(BA)= J Gr(x)QA(dx)
С [0, Г]
и
Я2 г Я2
5r"TTG7.(B)= J e"^r"TrGr(jc)Qr(djc).
С[0,Г]
Поэтому согласно соотношению (8) имеем
J Gr(x)QA(dx)= J e-A^-TTGTU)QT(dx).
С[0,Т] С[0,Т]
Положив здесь GT(x) = IA(x), Ae 0S(C[Q, Г]), получаем
Q^(A) = J'e-A^-TTQr(dx))
и> значит, производная Радона—Никодима
dOA
ZrA(x) = gg(x) (9)
Ее"**"^

208 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
находится по формуле
Z*(x) = е~Ххт~\\ х = (xt\eT € С[0, Т].
В частности, положив х =В(со) (= {Bt{co))t^T)y находим, что
Z^B(co)) = e~XBT(oj)~^T
и
Z^(B(<o)) = eXBAco)-TT (=<?Г(А)).
Замечание 3. Формула (9), записанная в виде
— (» = е 2 , x = (xt)t^T,
может рассматриваться как якобиан преобразования броуновских
траекторий в траектории броуновского движения со сносом.
3. Чтобы результат (4) теоремы Гирсанова стал яснее,
целесообразно рассмотреть дискретную версию этой теоремы. Для этого случая
доказательство весьма прозрачно, и оно в то же самое время показывает,
как надо доказывать теорему Гирсанова в общем случае и как ее можно
было бы обобщать.
Пусть ?1,£2> ••• —последовательность независимых одинаково
распределенных величин с нормальным распределением N(0,1).
Положим J^0 = {0,П}, &п = сг(£1,...,£п), и пусть Я = (An,J^_1) —
предсказуемая последовательность, п ^ 1, для простоты такая, что Р(|ЯП l^c)^
= 1, п ^ 1, с —константа.
Образуем последовательность
\k=l k=l
(ср. с формулами (1), (5)). Эта последовательность является
мартингалом (что проверяется непосредственно), при этом EZA = 1, n ^ 1. Как
и в формулах (2) и (3), для n^N, где N фиксировано, определим
еп=^п-к ох)
и зададим меру Р^ по формуле
P*(A) = EZ*J(A), (12)
гдеАе^.
■
л2Я
СЮ)

§ 3. Теорема Гирсанова
209
Дискретная версия теоремы Гирсанова утверждает, что
Law(^, п ^ N | Р*) = Law(£n, п ^ N | PN), (13)
где PN — распределение последовательности £1?..., £N.
Это свойство (13), как и (4), означает, что случайная
последовательность ?i,..., £j^ относительно меры Р^ является, как и £ъ ..., £N,
последовательностью независимых одинаково N(0,1)-распределенных
случайных величин.
Для доказательства достаточно установить, что
E*exp{iJ;an^}=exp{4jx}, (14)
где Е^ — математическое ожидание по мере Р^ и ап € R, п = 1, ...,N.
(См. [494, гл. V].)
Соотношение (14) устанавливается прямым подсчетом:
En expji £ a„^} = EZ* expji J] a„#} = е[мф{^2 «п#} ' Zn-ix
A2
x E(exp{iaN(£N - AN) + AN£N - -|-} | J^j)
= E[exp{i|;|an^}.ZiJ_1e-T] = ... = exp{-i|ian2}J
что и доказывает равенство (14).
4. Доказательство теоремы Гирсанова.
Положим
Xt=Bt-?it(=B*), t^T.
Такое обозначение позволяет непосредственно воспользоваться
теоремой 2 из § 2, согласно которой непрерывный процесс (Xt)t^T будет
броуновским движением (по мере Р^) тогда, когда выполнены следующие
условия (Р^-п.н.):
E*(Xt\P5)=X5, s^t^T, (15)
и
E*(Xt2 -t\&s) =Xf-s, O^s^T, (16)
т.е. процессы {Xt,&t) и {Х^ - t,&t), t^T, являются по мере P^
мартингалами. (Свойства (15) и (16) в нашем случае выполнены и Рт-п. н.,
поскольку Р^ ~ Рт.)

210 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Займемся проверкой равенства (15). Согласно формуле пересчета
в условных математических ожиданиях [495, гл. II, § 7, теорема 6]
(Р^-п.н.)
, с*Ря
Е "
YxtdvT I^J
Здесь
^1 = еяв'-2г (=<?r(A)). (18)
согласно соотношению (З). Поэтому знаменатель в формуле (17) равен
Е[§; I ^]= Е[^(я) I ^] = ^(я)> (19)
так как (<^(А))^Г —мартингал.
Преобразуем выражение в числителе формулы (17):
х\
= E[(Bt - At)E(eAB^TT | &t) | &s] = E[(Bt - Xt)eXB'-^ \ &] =
= <?S(A)(BS - As) + 4(A)E[(Bt - Bs - A(t - s))eA(B'-Bi)-f (t-s)].
Но последнее слагаемое равно нулю, поскольку
(EeACBt-Bs)-f(t-s)y=0
я2
в силу того, что Ее t_ s ~Tu_s) = 1 при любом А е М. (По поводу
дифференцирования математических ожиданий по параметру (А) см. [433,
гл. IV, §5].)
Итак,
или, что эквивалентно,
E[Xt*t(A)|^s]=Jfs*s(A),
т.е. ((Bt - At)<?t(A))t<r есть мартингал.
Из соотношений (17) и (19) получаем равенство E*(Xt | J?) =XS, т. е.
соотношение (15).

§ 3. Теорема Гирсанова
211
Перейдем к доказательству соотношения (16), т.е. к соотношению
(Р^-п.н. илиРг-п.н.)
Е* [(Bt - At)2 -t\&s) = (Bs - As)2 - s. (20)
Снова используя формулу (17), заключаем, что надо доказать
равенство
E[((Bt - At)2 - t)ST{X) I &s] = ((В, - As)2 - sK(A). (21)
Имеем
E[((Bt - At)2 - t)ST{X) | J? ] = E[((Bt - At)2 - tK(A) | ?s] =
= 4(A)e[((B, - В, - A(t - s) + (B, - As))2 - t)|^ | Jfs] =
= 4(A)E[((Bt - B, - A(t - s) + (Bs - As))2 - t)e^.-B.)-T(t-s) \bs] =
= <?s(A)E[((Bt - Bs - A(t - s))2 + 2(BS - As)((Bt - Bs) - A(t - s)) +
+ (Bs - As)2)eA(B'-Bs)-T^ | Bj] - ^(A)tEeA(B,-Bi)-T(t-s). (22)
Ho
(eA(B[-Bs)-f(t-s)y=((Bt_Bs)_;i(t_5))eA(Bt-Bs)4(t-S) (23)
(/(Bt-Bs)-f (t-s)y =
= ((Bt - Bs) - A(t -s))VCB'-B')-^(t"s) - (t -s)eA(B'-Bs)-T^s\ (24)
В силу того что
как и выше, находим, что
EcA(Bt-Bf)-f(t-s) = lj
Я2
(EeA(B-Bs)-T(t-s)); = 0 (25)
И
(EeA(Bt-Bs)-f(t-s)^' = 0 (ад
С учетом соотношений (23) и (24), а также (25) и (26) видим, что
Правая часть равенства (22) равна
<%(A)[(t - 5) + (Bs - А5)2 - t] = <?S(A)[(BS - A5)2 - 5],
°ткуда и следует равенство (20).

212 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Итак, формулы (15) и (16) дляХг = Bt - At доказаны, и,
следовательно, по мере РА процесс (Bt - At)t^r является стандартным
броуновским движением. □
5. Рассмотрим теперь мартингал
ZA = exp(ABtAT - у (t Л т)), t ^ О,
где момент остановки т таков, что EZT = 1.
В этом случае непосредственно видно, что мера Ря, для которой
dPA = ZAdP, является вероятностной, и соответствующее утверждение
теоремы Гирсанова состоит в том, что процесс
BtA=£t-A-(tAT)
является броуновским движением по мере Ря. Это свойство можно
опять же выразить так:
Law(BA|PA) = Law(B|P).
Иными словами, для любого ограниченного или неотрицательного
^.-измеримого функционала GT выполняется равенство
Еря [Gt(Ba)/(t < оо)] = E[Gt(B)/(t < оо)].
Далее, как и выше, имеем
E[Gt(Ba)/(t < оо)] = ЕрЯ[ J^Gt(Ba)/(t < оо)] =
= Еря[е"Я^"ТтСт(Вя)/(т < оо)] = Е[е"ЯВт" VtGt(B)/(t < оо)].
я2
Следовательно, если т таково, что Ее т 2 т = 1? то
я2
E[Gt(Ba)/(t < оо)] = E[e"ABT"TTGT(B)/(T < оо)]
(ср. с формулой (8)).
§ 4. Мартингальные неравенства
1. Эти неравенства, дающие, в частности, оценки максимумов
мартингалов и субмартингалов (по вероятности и в среднем), относятся
к числу мощных средств исследования процессов. Мы будем использо-

§ 4. Мартингальные неравенства
213
вать эти неравенства, например, при установлении таких свойств, как
непрерывность стохастических интегралов.
Наше изложение будет таково: сначала рассмотрим случай
дискретного времени, а затем с помощью аппроксимаций перейдем к
непрерывному времени.
Чтобы яснее была связь этих неравенств с классическими
вопросами теории вероятностей, напомним, что первые такие неравенства
были получены А. Н. Колмогоровым в совместной работе с А. Я. Хинчи-
ным [440], посвященной сходимости почти всюду рядов ^] £ь
состоящих из независимых случайных величин Е)1, £2,'... к^1
В этой работе было показано, что для таких случайных величин с
нулевыми средними имеет место импликация
2 Е<^ < оо => Ya Zk сходится с вероятностью 1. (1)
k^l к^\
Метод доказательства А. Н. Колмогорова состоял в следующем.
Пусть Sn = £х + ... + £п, Е£п =0, п ^ 1. Тогда из приводимого далее
неравенства Колмогорова, обобщающего неравенство Чебышёва,
следует, что
vUxxp\Sn-Sk\^e)^e-2Y4l Для е > 0, (2)
к^п У к^п
откуда и выводится критерий сходимости (1), согласно которому для
сходимости с вероятностью 1 ряда ^ Е,к достаточно сходимости ряда
Неравенство (2) следует из такого утверждения.
Теорема 1 (максимальное неравенство Колмогорова).
Предположим, что ?i,?2j--- ~~ независимые случайные величины с нулевыми
средними, и пусть Sk = £г + ... + %к, к ^ 1. Тогда для е > 0 выполнено
неравенство
p(sup|Sfc|^Ue-2XE^. (3)
Доказательство использует, в сущности, метод, основанный на
привлечении моментов остановки, особенно полезных при обобщениях
этого метода.
Положим
T = inf{fc2*l: \Sk\^e}.

214 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Можно заметить, что случайная величина Бк1(т = к) не зависит от
Sn - Sk для п ^ к. Поэтому
2 Ч\ = ESn2 £ S E[S„2/(t = fc)] = 2 E[(Sk + (S„ - S,))2/(t = fc)] Jr
fc^n k^n k^n
Z 2 E[S2/(t = fc)] + 2 2 E[S,(Sn - Sfc)/(T = fc)] =
k^n k^n
Следовательно, при п —>oo получаем
2 ES2 £ е2Р(т < oo) = e2p(sup |Sfc| £ A
что и доказывает максимальное неравенство (3). О
Замечание 1. В § 6 гл. XXV будет доказана другая полезная оценка
вероятности Р( max \Sk\ ^ е) —неравенство Этемади (см. [130]):
pf max \Sk\ ^ е) ^ 3 max р( \Sk\ > f ).
Замечание 2. В условиях теоремы при дополнительном
предположении Р(|£;| ^ с) = 1, 1 ^ i ^ п, имеет место следующая оценка снизу
[440], [496, гл. IV, §2,(3)]:
p(max|St|£ebl-^f£. (4)
2. Сейчас полезно заметить, что в предположениях ЕЕ,{ = 0, E|£t| <
< oo, i ^ 1, случайный процесс S = (Sn)n-rl будет мартингалом
(относительно «^ = cr(S1,...,Sn) = cr(£1,...,£n), п ^ 1). Из неравенства Йенсе-
на следует, что процессы \S\ = (|Sn|)n>1 и S2 = (S2)n5>i (с
дополнительным условием Е£2 < oo, i ^ 1) будут субмартингалами. Именно с
процессами такого типа связана следующая теорема.
Теорема 2 (максимальные неравенства для субмартингалов;
С. Н. Бернштейн, П. Леви, Дж. Дуб). Пусть X = (Хп)п^0 —
субмартингал. Тогда для всякого е>0 выполняются неравенства
eP(maxXfc ^ e) ^ E\Xnl(maxXk ^ еУ\ $ ЕХ+ (5)
v k^n / L V k^n yJ n
U
ePfmax \Xk\ ^ e) $ 3maxE|Xfc|, (6)
v k^n J k^n
а значит,
ep(sup |Xfc| > e) $ 3 sup E\Xk\. (7)
fc<oo fc<oo

§ 4. Мартингальные неравенства
215
Доказательство. Рассмотрим момент остановки
T = inf{k^l:Xk^e}An
и положим
А= {maxXu ^ е\.
Заметим, что А е &Т и ХТ ^ е на Л. Поэтому
еР(Л) ^ Е[ВДА)] $ E[XnJ(A)] ^ ЕХ+, (8)
где мы воспользовались мини-теоремой 2 из § 1 гл. VIII. Тем самым
неравенство (5) доказано.
Для доказательства неравенства (6) воспользуемся для
субмартингала X ='(Хк)к^п разложением Дуба (см. § 3 гл. VIII):
Х = М+Д
где М = Шк)ып — мартингал и А = (Afc)fc^n — предсказуемый
возрастающий процесс (Ак —&k-i-измеримые, А0 = 0).
Применим неравенство (5) к процессу -М = (-Мк)к^п. Тогда
fPfminXfc ^ -Л ^ еР(ттМк ^ -е) $ ЕМ" =
= EMn+~EMn^EXn+-EX0^2maxE|Xfc|. (9)
Но в то же время согласно неравенству (5) имеем
&(maxXkZe)^E\Xn\. (10)
Из соотношений (9) и (10) получаем требуемое неравенство (6).
Неравенство (7) непосредственно следует из (6). п
Замечание 3. Неравенство (3) вытекает из (5), поскольку Л, —£2
к ^ п, является субмартингалом и fc'
e2p(max|Sfc| 2e) = e2p(max|Sfc|2 ^ s2) =
3. Если X = (Xfc)i^n> то положим
x;=max|Xfc|, ||Хп||р = (Е|ХпП1/р, Р > 0.
l^fc^n
Теорема 3 (неравенства Дуба). Пусть X = (Хк)г^Ып^неотприц
глъный субмартингал (в частности, мартингал), P>l,q>\y i + i_
1. Тогда q
\\Xn\\p^\K\\p^q\\Xn\\p,

216 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
или, что равносильно,
E|X„|^E(max|X,|)P ^ (j^JeIXJP. (12)
Доказательство. Левые неравенства в формулах (11) и (12)
очевидны. Для доказательства правого неравенства (11) (или (12))
предположим вначале, что \\Х*\\р < оо.
Воспользуемся тем, что для неотрицательной случайной
величины £ и г > 0 выполнено соотношение (см. [495, гл. II, § 6])
ОО 00
Е£г = г Г tr_1P(£ ^t)dt (= г Г tr_1P(£ > t)dt).
О О
Тогда из формулы (5) и теоремы Фубини для р > 1 выводим, что
оо
Е|Х*|Р = Е(Х*)Р =р Г tp_1P(X* ^ t)dt ^
о
00 Г^п
^p|tP-1E[Xn7(^^t)]dt=pJxnM tp"2dt
dP =
= Г^Е[ХП|Х„*Г1].
Отсюда с использованием неравенства Гёльдера получаем (при q =
= ^Т)> что
E(X*)^q||Xj|p • №*у-% =ч\\Хп\\р(Е\Х*пП^, (13)
и, следовательно, если 0 < ||Х*||р < оо, то
(E|X*|P)i/p^qiiXJp; (14)
или
\K\\p^q\\Xn\\p. (15)
В случае ||Х*||р = 0 неравенство (14) очевидно. Если же ||Х*||р - оо,
то надо поступить так.
Вместо X* рассмотрим величину X* Л L, где L — некоторая
константа. Тогда из неравенства (13) получим
E(X>L)^q||Xj|p-[ЕСрдЛ!/]1^.
Отсюда в силу неравенства Е(|Х*| AL)P ^Lp получаем
E(X*nALy^qPE\Xn\p=qp\\Xn\\Pp,

§ 4. Мартингальные неравенства
217
а значит,
Е(Х*У = Шп Е(Х* Л L^ ^ q'||Xn||J. □
Замечание 4. В случае р = 1 имеем
ll^nlll^ll^lll^^itl + ll^log+Xjl!].
(Доказательство см., например, в книге [496, гл. VII, § 3].)
Замечание 5. Если рассматривать мартингал М = (Mn)n^b то
процесс X = (Хп)п^г, Хп = |МП|, будет неотрицательным субмартингалом
и согласно предшествующей теореме 3 при р > 1 должно выполняться
неравенство
ElMj^EfmaxlMjM^f-^yElMjP, (16)
которое равносильно неравенству (11) с Хк = \Мк\, к^п.
4. Рассмотрим теперь случай непрерывного времени,
ограничившись переносом на этот случай вышеприведенного неравенства
Етах\Хк\Р^(-^т)РЕ\Хп\Р, р>1. (17)
Теорема 4 (максимальные неравенства Дуба). Предположим, что
X = (X(t))t$>0 — непрерывный (или только непрерывный справа)
субмартингал и р > 1. Тогда для всякого t ^ 0 выполняется неравенство
Esup |x(s)|P^(^)PE|X(Olp. (18)
Доказательство. Для каждого N ^ 1 и фиксированного t > 0
определим дискретный субмартингал Хп = X(tn • 2~N) относительно
фильтрации Gn = &tn-2-N> n ^ 2N. По неравенству (17) имеем
Е sup \Xk\? ^(-^j)PE\X2N\r = (-^j)PE\X(tW. (19)
Переходя здесь к пределу при N | оо и пользуясь теоремой о
монотонной сходимости, получаем неравенство (18). □
Аналогичным образом можно перенести на случай непрерывного
времени результаты теоремы 2. Например, неравенство (5) (слегка
модифицированное) будет иметь такой вид:
pf sup \X(s)\ ^e)^ ^E|X(t)lp Для р ^ 1 и е > 0. (20)
5. Следующий набор двусторонних неравенств имеет своим
началом неравенства Хинчина.

218 Гл. X. Мартингальные свойства и характеризация броуновского движения
Неравенства Хинчина. Если Е, = (£ъ £2> • •.) — последовательность
независимых бернуллиевских величин, Р(£, = ±1) = «, i ^ 1, и (сп)п^1 -.
некоторая последовательность чисел, то для всякого р, 0 < р < оо,
существуют такие универсальные константы Ар и Вр, что для любого
п ^ 1 выполняются неравенства
/ п \1/2 /- I п |РЛ1/р • п \1/2
Эти неравенства Хинчина были затем обобщены на случайные
величины £ = (£1? £2,...) более общей структуры.
Неравенства Марцинкевича и Зигмунда. Если ^ = (?i, ^2» •-•) —
последовательность независимых интегрируемых случайных величин,
для которых E£t- = 0, i ^ 1, то для всякого р ^ 1 найдутся такие
универсальные константы Ар и Вр, что для любого п ^ 1 выполняются
неравенства
Ар[Е
р/2\1/р
да ) <#<) *-'№,«? )
2?;
Рч1/р
Р/2х 1/р
(22)
Неравенства (21), (22) были даны для независимых величин.
Обобщения их на мартингалы были получены Буркхольдером и Дэвисом.
Неравенства Буркхольдера. Если X = (.Хп,^п)п^1 —мартингал, то
для всякого р > 1 существуют такие универсальные константы АриВр,
что для любого п ^ 1 выполняются неравенства
ар Е
ЕС**;)2
Р/2-ч 1/р
) ^(EIXJ^^B^I
S(AX;-):
Р/2ч1/р
(23)
(сДХ;-=Х;--ХЬ1,Х0 = 0).
Неравенства Дэвиса. ЕслиХ = (Хп,^*п)п^1 —мартингал, то дляр = 1
существуют такие универсальные константы А и В, 0 < А < В < оо, что
для любого п ^ 1 выполняются неравенства
АЕ
Е(АХ;.):
1/2
^Emax |Х,|^ВЕ
l^j^n J
S(AX;-)2
1/2
(24)
Неравенства Буркхольдера—Дэвиса—Ганди. Если М = (Mt)t^0^
локальный мартингал с непрерывными траекториями, то для всякого р,
О < р < оо, существуют такие универсальные константы Ар и Вр, что
АрЕ[(М)рТ/2] ^E[(max|Mt|)P]^BpE[(M)p/2], (25)

§ 4. Мартингальные неравенства
219
где (М)—квадратическая характеристика процесса М, т.е. такой
непрерывный процесс (М) = ((M)t)t^r, что Mt2 - (M)t, t ^ Г, является
локальным мартингалом. (В случае стандартного броуновского
движения М = В квадратическая характеристика (B)t равна t.)
Подробнее о приведенных неравенствах говорится, например, в
книгах [313, гл. IV, § 4], [496, гл. VII, § 3].

Глава XI
О вероятностных свойствах некоторых моментов
выхода броуновского движения
§ 1. Свойства момента остановки та = inf{t ^ 0: Bt = а}
1. Будем предполагать, что а > 0. Основные свойства момента
выхода та на уровень а таковы:
Р(та<оо) = 1, Ета = оо,
gyt(g)
Ртв(0-——>
где <pt(a) = -т==е~^, р (t) = 4р(та ^ О, 0 < t < оо.
vZnt Ul
Доказательство. Зафиксируем Я > 0 и рассмотрим мартингал
для которого, очевидно, Е<^(А) = 1, t ^ 0, и
Е^ЛТв(А) = 1 (1)
при любом t ^ 0. Также имеем
0 < ^лта(Я) = eABtATa"T(tATa) $ еЯа.
По теореме о мажорируемой сходимости для интеграла Лебега из
соотношения (1) получаем, что
я2 я2
1= limE*tAT (Я)= НтГЕеАВт""Тт°/(Та^) + ЕеЯВ["Тс7(та><:)1 =
t-+oo а t—►ooL u J
= EeABt°"TT°J(Ta < oo) + lim ЕеАВ'"Т^(та > t).
t-*00
Для всех Я^Опо усиленному закону больших чисел для
броуновского движения (Р-п. н.) имеем
е ' 2 =еЧ t 2J^o при t^oo.

222
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Таким образом, для всякого Я > О имеем
1=ЕеЯВта"ТТа/(та<оо) = ЕеЯа"ТТа/(та<оо) (2)
и снова по теореме о мажорируемой сходимости при Я j 0 из
формулы (2) получаем, что
Р(та<оо) = 1.
Тем самым из формулы (2) следует, что
ЕеЯВта"^Та=ЕеЯа~Тт' = 1
и, значит,
Ее 2Та=е~Ха,
или (Я > 0)
Ее-Ата = e~aV2X^ (3)
Поскольку Р(та < оо) = 1, эта формула остается справедливой и при
А = 0.
Прямые вычисления показывают, что при любом Я ^ О выполняется
равенство
00
je-At£^£)dt = e-aV2A (4)
О
(Можно было бы воспользоваться также руководствами по
преобразованию Лапласа.)
С учетом равенства (3) из соотношения (4) выводим, что
вероятность Р(та ^ t) имеет плотность, задаваемую формулой рт (t)=———,
или, подробнее,
Отсюда следует, что
2. Ясно, что
Ета = J tpXa(t)dt = oo.
о
П

§ 1. Свойства момента остановки та = inf{t ^ 0: Bt = а] 223
Следовательно,
t
ays{a)
p(supB5 > а) = Р(та ^ 0 = J ^7^ d5.
Из соотношения
2t 2 Зх2
находим, что
t оо
0 а
(5)
(6)
(7)
(Для доказательства этого соотношения надо рассмотреть
производные обеих частей по t и воспользоваться равенством (6).)
Правая часть формулы (7) имеет вид
00
2§4>tWdx = 2P(Bt>CL) (=P(|Bt|^a)).
a
С учетом соотношения (5) получаем, что
p(supB5^a) = 2P(Bt^a).
А поскольку
P(supB5 ^a]= p(supB5 ^a,Bt^a) + PfsupB5 ^a,Bt<a) =
= P(Bt ^ a) + p(supB5 ^ a,Bt < a) = 2P(Bt ^ a),
TO
или
p(supB5 ^a,Bt<a) = P(Bt ^ a),
p(supB5 ^ a,Bt ^ a) = P(Bt ^ a),
что, как указывалось в § 3 гл. V, есть один из вариантов принципа
отражения. □
3. Пусть а < 0 < Ъ и т = та Л ть. Тогда EBtAT = 0 (см. § 2 гл. IX) и,
поскольку Р(т < оо) = 1, из теоремы о мажорируемой сходимости следует,
что
О = аР(та < ть) + ЬР(ть < та). (8)

224
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Вместе со свойством
1=Р(та<ть) + Р(ть<та) (9)
равенство (8) приводит к следующим уже нам известным (теорема 4
из § 2 гл. IX) формулам:
Р(т°<ть)=М^> (10)
P^<^=bTR- (П)
§ 2. Свойства момента остановки аа = inf{t ^ 0: \Bt\ = а]
1. Основные свойства этого момента (а > 0) таковы:
P((ja<oo) = l, Есга = а2,
Ее-Яаа = 1 =2у(_1)/се-а(1+2/с)У2Я? Я > 0?
ch(aV2A) fc=0
00
fc=0
где
PaXt)=4lK(Ta^t).
dt1
Доказательство. Ясно, что аа $ та (Р-п. н.), где та определено в
предшествующем параграфе. Поэтому Р(ста < оо) = 1. Чтобы доказать
равенство Еаа = а2, рассмотрим мартингал Mt=B* — t, t ^ 0. По
теореме 2 из § 2 гл. IX получаем EMtA(Ta = 0 или
EBt2Affa=E(tAaa). (1)
Здесь В2Ло. ^ а2, поэтому по теореме о монотонной сходимости [495,
гл. II, § 6] а
limE(tAcra) = Ecra. (2)
£-+00
Из соотношений (1) и (2) видим, что Есга = а2.
Чтобы найти преобразование Лапласа для распределения
момента аа, снова рассмотрим мартингал
<^(А) = еЯВ'~Тг, t^O, A>0.
Здесь 0 < Sth(Ta{X) ^ еХа, и по теореме о мажорируемой сходимости,
учитывая, что (по соображениям симметрии)
P(B(7a=a) = P(Bae = -a) = i,

§ 2. Свойства момента остановки аа = inf{t ^ 0: |Bt| = a} 225
получаем
,„ я2 А2
1 = lim E£tAa (Я) = Е^ (А)еАВ"° 2 ст° = е + е Ee~Tg°.
t-+00 tAUav у ^avy Z
Таким образом,
иг, Л eAa + e_Aa
где ch(Aa) =
Ее A2CTa = ;wTTv О)
cn(Aa)
2
Из соотношения (3) находим собственно преобразование Лапласа:
Ee-Aaa = 1 = 2е-"^ = й fc a(1+2fc)^I (4)
сЬ(ал/2Я) 1+2е-а^я ^ '
Из § 1 мы знаем, что для любого А > 0 выполнено равенство
00
-аШ = Ее-ЯтА = JV*'pTA(t)dt, (5)
е
гдерТл(0 = -^.
Полагая здесь Л = a(l + 2fc), fc = 0,1,..., из формулы (4) получаем,
что
00
Ee-^»=2 2(-Dfc re-Ata(1"|;2fc)yt(a(l + 2fc))dt =
fc=0 J
00
= j«-At{2 S(-Dfc^^Vt(a(l +2fc))}dt.
Из этого представления следует, что
Pa.(0 = 22(-Dfc£UT^2Vt(a(l + 2fc)),
fc=0
или
оо
p.a(0 = 2S(-i)4»+2,(t),
к=0

226 Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
откуда находим
t t
0 *=° 0
00 00
= 2 ЕС-Ч'ИТао+г,,) S t) = 4 £(-1)»Р(В, Ж1 + 2Ц) =
=Г|с-1)'[1-ф(^)]. («
2. Формула (6) вместе с соотношением
P((7a$t) = p(sup|Bs|£a)
позволяет, в принципе, найти
00 00
Esup|Bs|(= Гpfsup\BS\2 a)da = fp(cra sj t)da).
sit J S<t J
Однако это математическое ожидание проще найти, рассуждая
следующим образом.
Возьмем для простоты t = 1. Имеем
P(o-a^l) = p(supiBs|^a) = p(sup|Bs|^l) = P(a1^a-2).
Следовательно,
или, наглядно,
p(sup|Bf|Sa) = p(^a),
Lawfsup |B,|) = Law(-=).
В случае нормального N(0, А2^распределения для каждого Л > О
имеем
00 2

§2. Свойства момента остановки иа = inf{t ^ 0: \Bt\ = a} 227
Поэтому, положив Л = -=, из формулы (3) получаем, что
Esup\Bs\=E-±= = Jf Ее 2 dx =
0
OO OO CO
0 0 0
= 2/farctgy|r = 2/f.f = /f.
Отсюда в силу свойства автомодельности броуновского движения
(§ 2 гл. I) следует, что для любого Г ^ 0 выполняется равенство
Esup|Bs| = J§7\
Отметим для сравнения, что
Е|Вт| = /|г. □
3. Процесс \В\ = (|Bt|)t;>0 принято называть отраженным (от нуля)
броуновским движением. Естественно рассмотреть также броуновское
движение со сносом Вм = (В[*)^0, гДе #{* — № +Bt, (л е R. Можно
было бы думать, что отраженный процесс этого движения Вм есть |ВМ| =
= (|/it +Bt\)t^0. Как объяснено в § 8 гл. XII, отражением этого
процесса Вц является не процесс |ВМ|, а процесс \Х^\, где Xм = (X^)t^0,
dX^ = /x signXf d t + dBt, x£ = 0.
Вводя по аналогии с аа = inf{t: \Bt\ = а} момент
aZ = mf{t:\X?\ = a}, а>0,
можно найти Ее~Яо"а. Используя мартингальные методы, аналогичные
рассмотренным выше, получаем, что (Я > 0)
-Aa£ еа"
Ее"
ch(a д/2Я + |и2) + , ^ sh(a ч/2Я + м2)
V2A+]?
При /i = 0 эта формула превращается в полученную выше формулу
-Ас7г _ 1
Ее" —
сЬ(ал/2Я)'
где сга = а°а.

228
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
§ 3. Свойства момента остановки та& = inf{£ ^ О: Bt ^ а + bt}
1. Момент таЬ может рассматриваться как момент первого выхода
броуновского процесса со сносом (Bt — bt,t^ 0) на уровень а.
Основные свойства этого момента таЬ (для а > 0) таковы.
Для Ъ ^ 0:
Р(таЬ<оо) = 1, ЕтаЬ = щ,
Ее-^аЬ=е-а(Ъ+^Ч^)} A>0j
РТаЬ(0 = 7^(а + Ьг)' t>0'
Для Ъ > 0:
Р(таЬ<оо) = е"2аЬ, ЕтаЬ = оо,
Ее"Ят*ь ДтаЬ < оо) = е-а(ь+л/^т)5 я > 0?
PTjt) = ^t(a + bt), t>0.
Доказательство. Как и выше,
1 _*! а
Случай Ъ ^ 0. Если b = 0, то таЬ = та и Р(таЬ < оо) = Р(та < оо) = 1
в силу § 1.
Если Ъ < О, то таЬ < та (Р-п. н.), и тогда Р(таЬ < оо) = 1, поскольку
Р(та<оо) = 1.
Согласно опциональным теоремам для мартингалов (§ 3 в гл. VIII)
имеем
ЕВ,ЛТвЬ = о.
Ясно, чтоВСЛГаЬ ^a + b(t Л таЬ). Поэтому
0^a + bE(tATab),
откуда (для Ъ < 0) следует неравенство
Е(ГЛтаЬКщ.
Отсюда по теореме о монотонной сходимости получаем
Покажем, что на самом деле здесь имеет место равенство:

§ 3. Свойства момента остановки таЬ = inf{t ^ 0: Bt ^ a + bt} 229
а также установим, что
ЕВТаЬ=0. (2)
в В — — t
С этой целью рассмотрим мартингал gt(0) = e l 2 , t^O, где в =
= Ъ + а/Ь2 + 2Я, Я > 0.
Поскольку
по теореме о мажорируемой сходимости, принимая во внимание
равенство Р(таЬ < оо) = 1, получаем
= Um Е[/(твЬ < оо)евВ^-в>^1(таЬ = оо)^"?'] =
в2 о2
= Е1(таЬ<оо)евВ^~^ТаЬ=ЕевВт*ь~^ТаЬ.
J(a+bTab)-^Tab _.
Отсюда следует, что
Ее"^""'аЬ' '2~"ab = 1,
а значит (при в = Ъ + л/Ь2 + 2Я),
ЕеЯТаЬ=е"а0,
или
ЕеЯтаЬ _ 6-а(Ь+^Ь2+2Я)в
Продифференцируем левую и правую части этого равенства по Я и
затем перейдем к пределу при Я [ 0. Тогда получим, что ЕтаЬ = ттт.
Учитывая равенство
ВТаЬ=а + ЬтаЬ (Р-п.н.), (3)
видим, что
ЕВТаЬ=а + ЪЕтаЬ = а + Ъ.^=0. (4)
Заметим, что в традиционных доказательствах свойств моментов
таЬ сначала показывают, что ЕВТ = 0, и только затем получают
равенство ЕтаЬ=^.
а
|ЬГ
Случай Ъ > 0. Снова рассмотрим мартингал <£t(0) = е f 2 , t ^ О,
^ = 2Ь. Для всех таких Г, что Bt^a + bt, имеем
в2
0<е*в,"ТЧем. (5)

230
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Поэтому по опциональной теореме для мартингалов (§ 4 гл. VIII)
(2b)2 (2b)2
<W0) = 1(таЬ < co)e2bB— -—(tAT„b) + I(Tab = oo)e2^-—'.
Отсюда и из неравенства (5) по теореме о мажорируемой сходимости
получаем
,ьв (2Ь)2 г
l=limEStATab(e) = EI(Tab<cx,)e2bB^- 2 т«' =
= Е/(таЬ < оо)е2аЬ = е2аЬР(таЬ < со),
следовательно (при а > 0, Ъ > 0),
Р(таЬ<со) = е-2аЬ. (6)
Покажем теперь справедливость равенства
Ее-Хт°Ч(таЬ < со) = e-^+Vb^A).
Для этого заметим, что в случае Ъ > 0 вероятность Р(таЬ = оо)
положительна и аналогично случаю Ъ ^ 0 для 0 = Ъ + v Ь2 + 2А имеем
Е/(таЬ<оо)е т«» 2 ввЬ = 1. (7)
Учитывая, что на множестве {таЬ < оо} выполняется равенство
ВтаЬ=а + ЬтаЬ,
из формулы (7) заключаем, что для всякого Я ^ 0 имеет место
равенство
Ее"Ят*ь j(Tab < оо) = е"а0 (= е-а(ь+Уьчад)в (8)
Полезно теперь отметить, что на множестве {таЬ = оо} для Я > 0
выполнено свойство е~Хт°ь = 0. Таким образом, из соотношения (8)
получаем равенство
Ее-АтаЬ = е-ав (= e-a(b+/PTiI))< (9)
Другими словами, в обоих случаях Ь^Ои Ъ > 0 преобразование
Лапласа Ее"ЯТаЬ при Я > 0 задается одной и той же формулой (9).
2. Наконец, докажем формулу
PTjt) = ^t(a + bt), t>0.
Для этого достаточно проверить, что
00
J.
о
7Vt(a + bt)e-Atdt = e-a(b+^r+2^. (10)

§4. Свойства момента остановки ааЪ = inf{t ^0:Bt ф (-а 4- bt,a 4- bt)} 231
Левая часть (LHS) формулы (10) имеет вид
LHS= f-^£e-^e-*dt = e-b f -J=<Le4e~№>dt.
J y/2ni t J V2nt t
о о
Мы знаем (§ 1), что для любого Л > 0 выполняется равенство
ОО 2
[l*-tte-^dt = e-a^K.
J л/2тй£
о
Ъ2
Полагая здесь Л = Я + у, получаем равенство
LHS = е-аЬе"аУ2(Я+^) = е-а(Ь+ч/ь242А)?
что совпадает с правой частью формулы (10).
Имея установленную формулу pTah(t) = j4>t(cL + bt),
непосредственным интегрированием получим
Р(таь^О = |рТоЬ(5)Й5 = 1-ф(^) + е-^ф(^). П (11)
§ 4. Свойства момента остановки
ааЬ = inf{t Z0:Bt£ (-а + bt,a + bt)}
1. Основные свойства этого момента (а > 0) таковы:
Р(стаЬ<оо) = 1,
Ее-ЯааЬ = ЛШ_ =2cKab)^1)ke-(^2k)a^^'\
chfaV^A+b2) fc=o
Для определенности будем предполагать, что Ъ > 0. (При b = 0
момент ааЬ совпадает с моментом сга из § 2.)
По аналогии с последним пунктом в § 3 имеем
-ьи -2.
P(aab<oo) = E/((ja<oo)e а* 2С7а = \)
где <ja = inf{t ^ 0: |Bt| ^ a}. Сходным образом
ь2
Ее-ЯааЬ _ Ее"Яс7ае~ЬВста"ТСта (1)
Ее-Яаа(_ь) =Ее-ЯаСеЬВСТа-уС7а^ ^

232
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Отсюда, учитывая, что
Law(aab) = Law(cra(_b))
и что
Рьваа , р-ьваа
—^ -=ch(ab) (Р-п.н.),
и используя формулы (1) и (2), получаем соотношение
Из формулы (4) из § 2 получаем, что
00
Следовательно,
Ее"
ch(a\/2A + b2)'
и, значит,
Ее-^* = 2ch(ab) g(-l)fce-(1+2fc)a^+^. D
fc=0
2. В рассмотренных выше случаях граница или границы были
линейными. При этом в случае двух границ они были параллельны.
Интересно также рассмотреть вопрос о свойствах момента
aab = inf{t^O: \Bt\ Za+bt},
где в случае а > О, Ъ > О мы имеем расходящиеся границы, а в
случае Ъ < 0, а > О имеем сходящиеся границы. Подробное рассмотрение
этих и многих других случаев дано, например, в работе Г. W. Anderson.
A modification of the sequential probability ratio test to reduce the sample
size // Ann. Math. Statist. 1960. V. 31, № 1. P. 165-197.
§ 5. Свойства моментов выхода броуновского движения
на некоторые криволинейные границы
1. Пусть В = (Bt)t^0 —броуновское движение. Мы будем
интересоваться вопросом о распределении вероятностей момента
r1=mf{t^0:\Bt\^cy/7+b}, b >0, с >0. (1)
При нахождении распределений вероятностей для тг этот случай
криволинейных границ является более трудным, чем случай линейных
границ. В рассматриваемом случае, а также в случае момента
T2 = inf{t^b: \Bt\^cVb-t} (2)

§ 5. Свойства моментов выхода на криволинейные границы 233
ответ относительно средних значений Етг и Ет2 может быть легко
получен из второго тождества Вальда (§ 2 гл. IX).
Так, в случае момента т2 ясно, что Ет2 ^ Ь. Поэтому по второму
тождеству Вальда имеем ЕВ2 = Ет2. Таким образом,
ЕВ^2=с2Е(Ь-т2) = Ет2,
а значит,
Интересно отметить, что в случае Ъ = с = 1 из формулы (3)
получаем, что Ет2 — 5' а если с -»оо, то Ет2 —> Ь.
Аналогичным образом можно найти и Етх. В этом случае не всегда
Ета < оо, что необходимо для применения второго тождества Вальда.
Но понятно, что
ЕВ^ЕСтИО
и поэтому
с2Е((тг Л t) + Ъ)^Е(тг Л t).
Значит,
ЕСтхЛО^^,
и предельным переходом по t —> оо находим, что
Отсюда ясно, что Etj < оо, если с < 1, и поэтому можно применить
второе тождество Вальда (ЕВ2 = Etj), из которого следует, что
ЕТ! = ^ (4)
(ср. с формулой (3)).
2. Введем теперь момент
т3 = inf{r ^ 0: Bt ^ -а + с VM-b},
где b > 0, а > с VT), о 0.
Очевидно, что
где т_а+сут+ь определено в § 1. Из того, что Р(т_а+с^+ь < оо) = 1,
следует, что и Р(т3 < со) = 1.

234
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Для всякого Я > О имеем
Следовательно,
я2 я2
1^ЕеЯВтз"ТТз:>ЕеЯВт"Тт = 1.
ЕеЯВтз"УТз = 1,
т.е.
или
я2
ЕеЯ(-а+с/^+Ь)-^-т3 = х
Я2,. ..ч , Я2
Ee^V^-Y(T3+b) = eaA-^be (5)
Умножая обе части этого равенства на Я~2у_1, где Rev < 0, и
интегрируя по Я, находим, что
~ я2
jVcV^b-T(T3 + b)A_2v-l dA = JeaA-TbA_2v_1 ^ = Hv(^)bV, (6)
0
где
OO 2
Делая в первом интеграле в формуле (6) замену Я д/т3 + Ь = и,
получим
Hv(c)E(T3 + b7=Hv(-^)bv,
и, значит, для всех таких v, что Re v < 0, справедливо равенство
^з + ЬГ = -^_. (7)
С помощью аналитического продолжения или используя известные
функциональные соотношения
-2vHv(z) = Hv_x(z) - *Hv_1/2(s),
устанавливаем, что формула (7) остается справедливой для всех тех v,
для которых Rev < v(c), где v(c) —первый положительный нуль
функции £>2v(-c), которая связана с Hv{z) формулой
Hv(z) = D2v(-z)ez2lAT{-2v), Rev < 0. (8)
Заметим, что на самом деле Dv{z) есть не что иное, как функция
параболического цилиндра порядка v; см. [416].

§ 5. Свойства моментов выхода на криволинейные, границы 235
Более деликатный анализ показывает, что
ъг ^ *.\ const
Р(т3 > 0 ~ ~^Т при t -> оо.
Функция v(c) является непрерывной монотонной функцией,
причем
v(—оо) = 0, v(l) = l, v(oo) = oo.
3. С точки зрения нахождения других моментов кроме первого и
асимптотики распределения при больших t рассмотрим случайный
момент
Tl=mi{t^0\ \Bt\^cVt + b}, b>0, c>0.
Основной результат с использованием обозначений из п. 2 здесь
формулируется так:
Е(Т1 + Ь) =|(яУ(с)+я,(.с» (=адтш] (9)
для v < v*(c), где v*(c) — первый положительный корень уравнения
D2v(c) + D2v(-c) = 0.
Получается равенство (9) таким образом.
Из соотношения (8) выводим, что
I
ch(zt)e-t2/2t-2v-1 dt = kHv(z) + Hv(-z))
2V
= |(D2v(Z) + ^2v(-^)K2/4r(-2v), Rev<0. (10)
Аналогично предыдущему случаю момента т3 получаем, что для
Я > 0 выполнено равенство
ЕсЬСЯт^е 2 1=1. (И)
Тот же метод умножения обеих частей равенства (11) на A~2v_1, Re v <0,
и интегрирования по Я приводит к представлению (9). (См. [450] —
[452].)
Функция v*(c) является непрерывной, монотонной и удовлетворяет
условиям
г*(0) = оо, v*(l) = 1, v*(oo) = 0.
При этом
Р(Т!>0~^Г приг-оо.

236
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
§ 6. О свойствах некоторых моментов остановки
и распределении sup для броуновского движения со сносом
1. Пусть Вм = (В^З^о — броуновское движение со сносом: В{* = /it +
+ Bf, t > 0, /i е R. По определению (§ 3) момента таЬ = inf{t ^ 0: Bt ^
^ a + bt} мы видим, что
{Tab>t} = {sup(Bs-bs)<a}. (1)
Отсюда, если в формуле (11) из § 3 положить ц = -Ь и а = х,
получаем
л/t ' v yF
2цх
р(8ир(аБ5+М5)^х) = ф(^)-е^ф(-^)
(3)
Из формулы (2) видим, что
а) если /i ^ 0, то
p(supBf^x) = 0, х^О;
б) если /i < 0, то
pfsupB^ ^ х) = 1 - е"2№, х ^ 0, (4)
Law(supBr) = Law(^<?), (5)
где <£ —случайная величина со стандартным экспоненциальным
распределением
P(<^t) = e_t, t^O.
2. Интересно, что результат (5) можно также быстро получить из
следующего общего утверждения, которое является следствием
опциональных теорем (гл. IX).
Лемма. Пусть М = (Mf)f^0 — такой неотрицательный
непрерывный мартингал, что М^ = lim Mt = 0 с вероятностью 1иМ0 = т0>0.
Тогда
, , law т ,,^
supMf = - (6)
t£0 U
или, как мы уже писали,
Lawfsup Mt) = Lawf jj \

§ 6. О распределении супремума броуновского движения со сносом 237
где U = U [0,1] — случайная величина, равномерно распределенная на
отрезке [0,1].
Доказательство. Положим
тх = inf{t ^ 0: Mt ^ х}9 х>0.
Тогда согласно теореме 1 из § 1 гл. IX имеем EMtATx = m и в силу того,
что 0 ^ MtATx ^ х, по теореме о мажорируемой сходимости находим,
что
m = lim EMfЛт = Е[/(тх < оо)Мт ] + Е[/(тх = оо)]^] = хР(тх < оо).
t—ОО
Значит,
Р(т,<оо) = ^. (7)
Поскольку {тх < оо} = jsupMt ^ х\, из соотношения (7) получаем,
что
p(supMt^) = l-f=p(l/^) = KF^).
m _ _ law m „
т.е. supMt = —. п
t£0 U
Из этой леммы формулу (4) можно получить, используя следующее
замечание.
Введем традиционный мартингал
взяв Я = -2/i > 0. Это непрерывный мартингал с <£0(А) = 1, причем
^оо(Я) = 0.
Применяя приведенную лемму, получаем
pfsupB" ^ х] = p(supeA(B*+/i5) ^ еХх) = p(supe~2/iBs~Hrs ^ е"2^) =
— 1 L_ — 1 _ ^,2/ix _ -, _ -2\ц\х
~ L e-2ixx — *■ z, — i e ,
что совпадает с соотношением (4).
3. Теперь мы укажем другой метод отыскания распределения
величины supB^, основанный на теореме Гирсанова (§ 3 гл. X) и принципе
отражения для броуновского движения (§ 3 гл. V).

238
Гл. XI. О вероятностных свойствах моментов выхода
Из формулы (8) в § 3 гл. X находим
pfsupBf ^ х) = Ее**'™'j(SupBs ^ x). (8)
S^t J Vs^t J
Отсюда видим, что для нахождения распределения supB^ надо знать
совместное распределение пары случайных величин (sup Bs,Bf J.
Используя принцип отражения (§ 3 гл. V) для броуновского
движения, находим, что для х ^ у V 0 выполнено равенство
p(supBs > х, Bt ^ у) = P(Bt ^ 2х - у) =
2
гдеу>(и) = ^=е "2/2.
= р(в1£^=^) = J (^(u)dii, (9)
{2x-y)/Si
Отсюда заключаем, что вектор ( sup BU,B1 J имеет плотность
распределения вероятностей и^г
^supB^BjJ
и, следовательно, (sup Bu,Bt J имеет плотность
Ku^t
U)(XJ)="vlf)' ^yv0
(10)
Отсюда выводим, что пара величин ( supBu, supBu — Bt J имеет ПЛОТ-
ность распределения вероятностей
J[supBu,supBu-Btr 'JJ Y V Ji Г > J "
Из этой формулы мы видим, что величины supBu и supBu - Bt для
фиксированного t имеют одну и ту же плотность 2щ -^=), которая,
очевидно, совпадает с плотностью распределения величины \Bt\. Таким
образом, для всякого фиксированного t выполнены равенства
supBul=supBu-Btl=\Bt\. (ID

§ 6. О распределении супремума броуновского движения со сносом 239
Далее, имея совместную плотность /> \(х, у), задаваемую фор-
мулой (10), из равенства (8) находим распределение для supB^:
что, очевидно, совпадает с соотношением (2).
Интересно отметить, что для получения этой формулы вовсе не
обязательно оперировать с «двумерной формулой» (9). На самом деле
для получения «одномерной формулы» (12) достаточно лишь знать,
что формула (9) справедлива для у = х и что отраженное броуновское
движение В* (см. § 3 гл. V) совпадает по распределению с броуновским
движением В.
Действительно,
PfsupB^ ^х) = Р(В? ^ х) - р(supB^ > х,В[Ч х) =
= ф(^—^) - Ee^~Tfl(supBu > x,Bt ^ x) =
= Ф(^£)-е*«Ее-'и,'-Т1/(В^х) =
= ф(^) - «*•«„. « -х -МО Л(^) - «-Ф(^),
что равносильно формуле (2).

Глава XII
Броуновское движение и стохастический анализ
§ 1. Стохастический интеграл по броуновскому движению
с фиксированным верхним пределом.
Прогрессивно измеримые процессы
1. Мы рассматриваем броуновское движение В = (Bt)t^0, где Bt =
= Bt(co) задано на вероятностном пространстве (f2,^",F,P) с
фильтрацией F = (^"t)t^o- Мера Р и сг-алгебры J*", 3?t будут считаться
пополненными по мере Р (т. е. Р = Р, & = &, &t = &t, t ^ 0; см. по этому поводу,
например, [495, гл. II, § 3] или § 2 в гл. II и § 2 в гл. IV).
Наша цель —описать конструкцию и свойства стохастического ин-
т
теграла jHs(co)dBs(co), т.е. интеграла на интервале [0, Г]. Если Т =
о
= оо, то под интервалом [О, Г] понимается интервал [0, оо).
При определении такого стохастического интеграла можно было бы
идти по классическому пути, а именно пытаться определять интеграл
как интеграл Лебега—Стилтьеса по стохастическим мерам,
порожденным приращениями ABs(co) = Bs+A(co) — Bs(co), считая cog£1
фиксированным.
К сожалению, таким подходом воспользоваться нельзя, поскольку
для почти всех со соответствующая вариация (£ \АВ\) будет
бесконечна (§ 3 гл. III), а конструкция интеграла Лебега—Стилтьеса требует
конечности этой вариации.
Однако то, что для фиксированного со нельзя определить интеграл
Лебега—Стилтьеса, еще не означает, что такой интеграл нельзя
определить глобальным образом сразу для всех со с учетом того, что у нас
имеются разные виды сходимости (по вероятности, почти наверное, в
среднеквадратическом...), которые применяются при предельных
переходах в вероятностных конструкциях.
2. В случае детерминированных (т. е. не зависящих от со) функций
Т Т
Я5, s G [О, Г], для которых J* Hs2 ds < оо, интеграл J Hs dBs(co) и его кон-
0 О

242
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
струкция хорошо известны в теории интегрирования по случайным
мерам с ортогональными приращениями. (В броуновском случае такие
меры определяются по упомянутым приращениям ABs(co) = Bs+A(co) -
-Bs(col)
т
Конструкция такого интеграла j HsdBs(co) производится следую-
.0
щим образом. Сначала естественным образом определяется интеграл
для ступенчатых функций Н^п\ s е [0, Г], а затем полагается
S
Т
^HsdBs = L2-lim^H^dBs[col
о о
где Я", п ^ 1, таковы, что
т
Г(Я5(п) - Hsf ds -* 0 при п -* оо.
о
(Подробнее все будет далее изложено для функций Hs, зависящих
также и от со.)
т
Мы привели сейчас эту конструкцию интеграла J HsdBs, чтобы
о
сравнить с тем, как Н. Винер давал конструкцию этого интеграла для
функций Не С1 [О, Г], используя соображения «интегрирования по
частям»:
Если Н = (HS)S^T — ступенчатая функция на разбиении 0 = t0 < t1 <
<t2<...<tn = T, то
т
\nsdBs = tHti_l(Bti-Bti_i) =
i=l i=l
= нтвт-Х ■_ -'Bt,fo-t.--i
Отсюда видно, что если последнюю сумму рассматривать для
функций Н еС1 [О, Г], то в силу непрерывности броуновского движения эта
последняя сумма перейдет (при соответствующем предельном
перехоти
де) в интеграл J H'sBsds. Тогда становится ясной идея Винера опреде-

§ 1. Стохастический интеграл с фиксированным верхним пределом 243
Т
ления стохастического интеграла ГHsdBs: надо положить просто по
определению о
г т
[hs dBs d=HTBT - (h'sBs ds.
о о
Наш же основной интерес будет относиться к случаю, когда Hs =
= Hs(co), т. е. когда Hs зависит от со. Соответствующая конструкция ин-
т
теграла J* Hs(co) dBs(co) была дана К. Ито [187], в связи с чем такие сто-
о
хастические интегралы часто называют интегралами Ито, а анализ,
основанный на таких интегралах, принято называть стохастическим
анализом.
т
3. При определении интегралов J* Hs(co)dBs(co) естественно начать
о
с того, какие функции Я = (Ht(co))t^T могут быть интегрируемы, если
мы хотим, чтобы интеграл обладал «хорошими» свойствами (см. § 2,
п.1).
В дальнейшем станет ясно, что следующее определение для
действительных процессов играет существенную роль. (Для более общего
случая процессов со значениями в произвольном измеримом
пространстве такое определение уже было дано в § 1 гл. IV.)
Определение 1. Случайный процесс Я = (Ht(co))t^T, или (в других
обозначениях) Я = (H(t, co))t^T, coGtl, называется прогрессивно
измеримым, если при каждом t ^ Т отображение Я: [О, Г] х ft —> R является
^([0, t]) ® ^-измеримым, где ^f([0, t]) — борелевская а-алгебра на
отрезке [0, t].
Из этого определения ясно, что прогрессивно измеримые
процессы Я таковы, что при каждом t величины Я(г, со) являются
^-измеримыми.
Если процесс Я таков, что H(t,co) являются ^-измеримыми при
каждом t ^ Г и к тому же траектории H(t,co), t ^ Г, при каждом со
являются или непрерывными справа, или непрерывными слева, то Я
будет прогрессивно измеримым процессом (см. § 6 гл. IV).
4. Построение стохастического интеграла
г
§H(s,co)dBs(co)
о
(на фильтрованном вероятностном пространстве (f2,^",F = (<^*t)t^T,P))
начинается с того, что в качестве интегрируемых процессов берутся

244
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
сначала простые процессы вида
Я(5, Со) = h0(co)I{0}(s) + £ Uco)I[ti}ti+l](sl (l)
i=0
^2
где 0 = tl < t2 < ... < tn = T и h{ являются ^.-измеримыми и Ehf < oo,
0 ^ i ^ n — 1. Ясно, что эти функции непрерывны слева и прогрессивно
измеримы.
Для таких процессов естественное определение стохастического
г _
интеграла J H(s,co)dBs(co), конечно, таково:
о
т
[H(s,o>)dBs(co)^ 2 h1-(o)(Bti+I(u>) -Bt»). (2)
Данное определение корректно, т. е. не зависит от представления
H(s, со) в виде (1). (Это легко проверяется тем, что значение этого
интеграла не меняется, если добавлять новые точки разбиения.)
Будем теперь для краткости пользоваться такой сокращенной
записью:
г
(H-B)T = ^H(s,co)dBs(co).
о
И на Я, и в общем случае на Я надо накладывать, конечно,
некоторые условия интегрируемости.
Определение 2. Будем говорить, что прогрессивно измеримый
процесс Я принадлежит:
а) классу Ж2[0, Г], если
г
||H||2=fE \H2(s,co)ds< oo;
о
б) классу «Sf2[0, Г], если
р[ Гя2(5, со) ds< oo 1 = 1.
Ясно, что Ж2 [О, Г] с <£2 [О, Г].
Обратимся к интегралам (Я • В)Т от простых функций Я = (Яг)^7 •
_ Из приведенной выше конструкции (Н -В)т (см. (2)) ясно, что для
Я е^2 [О, Г] выполнены свойства линейности
(аНг + /ЗЯ2) • Б = (*(#! • В) + /3(Я2 • Б)

§ 1. Стохастический интеграл с фиксированным верхним пределом 245
(а, /3 = const) и среднее значение
Е(Н-В)т = 0. (3)
Заметим, что выполнение этого свойства (3) определяется тем, что
ft.(co)HBtf г(со) —Вt.(со) независимы и E(Bt. (со) —Bt (co)) = 0.
Аналогично устанавливаем, что
Е(Я-В)2Г = ||Я||2, (4)
т.е.
(Т \ 2 Т
[H(s,co)dBs(co)) = Е fi?2(s,co)ds. (5)
о J о
Свойство (5) (или (4)) задает линейное изометрическое
отображение
1
Н^ [H(s,oo)dBs(co), (6)
о
т. е. отображение Я в случайные величины Я • В сохраняет скалярные
произведения в пространстве Ж2\0,Т] и пространстве случайных
величин (Я • В)т для простых функций Я. (Это следует из поляризационного
тождества
аЪ = \((а + Ь)2-(а-Ъ)2)
и соотношения (5).)
5. Дав определение стохастического интеграла Я • В для простых
прогрессивно измеримых функций Я из класса <Щ.№> Т], естественно
попытаться определить интеграл
г
(H'B)T = ^H(s,co)dBs^co) (7)
о
для любых Н еЩ[0,Т] по формуле
(Я-В)т = 12-Нт(Яп.В)т, (8)
т.е. положить
т
JЯ(5, со) dBs{co) = L2-lim ГЯп(5, со) dBs(co), (9)
о о
где Нп — (Яп(5, co))s^T, п ^ 1, являются аппроксимирующими
последовательностями: ^
||Н-Нп||2->0 прип^оо. (10)

246
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Конечно, при этом надо показать, что
1) для Н е Ж2[0, Т] найдется последовательность прогрессивно
измеримых простых процессов Нп, п ^ 1, для которых выполнено
свойство (10);
2) для каждой аппроксимирующей последовательности предел в
формуле (8) существует и является с^Т"измеРим°й величиной;
3) предельное значение HjB не зависит (Р-п.н.) от
аппроксимирующих последовательностей Нп, п ^ 1.
Доказательство утверждения 1 проводится следующим образом.
Сначала показывается, что всякая функция Я е Ж2[0, Т] может быть
аппроксимируема ограниченными функциями из Ж2[0,Т]. Затем
такие ограниченные функции можно аппроксимировать
ограниченными (почти всюду) непрерывными функциями из Ж2[0,Т], и, наконец,
последние аппроксимируются простыми прогрессивно измеримыми
функциями из Ж2[0, Г]. (Подробности см. в книге [446, гл. 4, § 2].)
Свойства 2 и 3 доказываются так. Если выполнено соотношение (10),
т. е. свойство 1, то \\Нп — Нт\\^ —> 0 при п, т —> оо (фундаментальность
последовательности {Нп)п^\)- Поэтому из свойства (4) (изометрия)
следует свойство фундаментальности:
е( J(H^s,co)-Hm(s,u>))dBs(co)J -0. (11)
т
Величины J Hn(s,0L>)dBs(co)y п ^ 1, принадлежат (полному) про-
0 Т
странству L2(P), и, значит, существует L2-lim jHn(s,a))dBs(a)), кото-
" о
рый мы обозначаем
г
\H(s,to)dBs(co).
о
Эта величина в силу полноты рассматриваемого пространства (см. п. 1)
является ^-измеримой, что следует из общих результатов о
сходимости случайных величин (см. [495, гл. II, § 4]).
Свойство 3 следует из того, что
т
L2-lim| |Hn(s, со) - Hm(s, co)\2 dBs(a>) = 0. (12)
о

§ 2. Стохастический интеграл с переменным верхним пределом 247
Итак, справедлив следующий фундаментальный результат.
Теорема. Пусть Я е Ж2\0, T] и Нп, п^\, является
аппроксимирующей последовательностью:
т
HmE f(H(5,co)-Hn(5,co))2dt = 0. (13)
п—>оо J
О
Т
Тогда существует 12-предел интегралов J Hn(s, to)dBs(co\ т. е.
о
Т
L2-lim [Hn(s,co)dBs(co)> (14)
п—»оо J
О
который по определению принимается за интеграл
т
j*H(s,co)dBs(co), (15)
о
обозначаемый также (Я -В)г.
12-предел (14) не зависит от выбора аппроксимирующей
последовательности, т
Для интеграла (Я • В)г = J Я(5, со) dBs(w) справедливо равенство
о
Г ч 2 Г
Е( ^(s,co)dBs(co) I =Е Гя:i(5,ш)d5, (16)
j^(s,co)dBs(co) =Е J^2(s,w)ds,
обобщающее свойство (5) для простых процессов Я = (Я(5,со))5^г.
§ 2. Стохастический интеграл по броуновскому движению
с переменным верхним пределом
1. Пусть t е [0, Г]. Для таких t мы хотим рассмотреть вопрос о том,
t
как определить стохастические интегралы j H(s, со) dBs(co), t ^ Г, пре-
о
следуя цель, чтобы это определение давало «хорошее» поведение таких
интегралов по t.

248
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Если иметь уже конструкцию интеграла j H(s, co)dBs(co) для функ-
t О
цийЯе,#?2[0, Г] (§ 1), то интегралы J Я(5, со) dBs(со), t ^ Г,
естественно определить формулой о
t Т
[H(s,co)dBs(co) = r/(5^t)H(5,co)dBs(co),
о о
t Т
т. е. интеграл J H(s, со)dBs(co) определить как интеграл J*(•) dBs(co) от
о о
функции /(5 ^ t)H(s, со), s^T.
Центральный результат здесь будет состоять в том, что при
выборе соответствующих модификаций такие интеграл-процессы будут
прогрессивно-измеримыми, непрерывными (Р-п. н.) и в случае Я е Ж2[0, Т]
будут образовывать квадратично интегрируемые мартингалы, а в
случае Я е J*?2[0, T] —локальные мартингалы (см. далее § 3). Эти свойства
интегралов (Я • B)ti обозначаемых также ^t(Я), мы относим к числу
«хороших» (см. далее п. 3).
Разумеется, можно при каждом t е [О, Г] воспользоваться изло-
t
женным в § 1 и определить интегралы J H(s,co)dBs(co). Но при рас-
о
смотрении этих интегралов при всех t e [О, Г] возникает теоретико-
множественная трудность, связанная с тем, что эти интегралы
определяются при каждом t с точностью до множеств нулевой Р-меры. Если
это множество нулевой Р-меры обозначить Nt, то при желании
определить рассматриваемые интегралы при всех t е [О, Т] мы хотели бы,
чтобы все эти множества давали множество [jNt с нулевой Р-мерой.
t
Но это, конечно, не так, поскольку сумма (J — это несчетная сумма, а,
t
как мы знаем, например, лебеговская мера каждой точки из интервала,
скажем, [0,1] равна 0, тогда как их сумма (J дает интервал [0,1], мера
которого равна 1. f
По счастью, наша ситуация такова, что наличие (в основе всего)
вероятностного пространства позволяет воспользоваться модификаци-
t
ями интегралов что позволяет добиться того, чтобы
о
как функции от t они образовывали непрерывный процесс.
Напомним, что мы говорим, что процесс Y — (Yt)t^T есть
модификация процесса X = (Xt)t^T, если
P(Yt =Xt) = 1 для всех t e [О, Г].

§ 2. Стохастический интеграл с переменным верхним пределом 249
В нашем случае процесс X —это процесс ( ( H(s, co)dBs(co)) , и
V0 Лет
именно эта непрерывная модификация Y будет впредь обозначаться
«н-в\)^т.
2. Теорема. Пусть процесс Н — (H(s, co))s^T) со е Ц является
прогрессивно измеримым иНеЖ2[О, Т], т. е.
t
Е ГH2(s, со) ds< оо, t^T. (1)
0 t
Тогда существуют такие модификации интегралов f H(s, co)dBs(co),
о
t ^Т, обозначаемые (Я • B)t, t ^Т, что процесс Я -В = ((Я • B)t)t^T
будет почти наверное непрерывным.
К тому же эта модификация является (непрерывным)
мартингалом:
E[(H-B)t|^s]=(H-B)s (2)
почти наверное для всех О ^ s ^ t ^ Т. Также
E(H-B)t=0, O^t^T. (3)
Процесс Н • В удовлетворяет следующим максимальным, неравенствам:
1
р(sup |(Я • B)t | > е) ^ \ Г EH2(s, со) ds, e>0,
(4)
о
Т
Esup|(H-B)f|2^4 \EH2(s,oj)ds. (5)
о
Доказательство. Для простых функций Я непрерывность интегра-
лов J H(s, со) dBs(co), t ^ Т, по t следует из непрерывности броуновско-
0
го движения и конструкции (2) из § 1, согласно которой (при
разбиении 0 = t0<t1 <...< tn^t)
i n-i
H(s, со) dBs(co) = J] h^coXBtJco) - Bt.(co)) + hn(co)(BtM - Btn(a>)),
о l=0
что равносильно (при разбиении 0-t0< t1< ... <tn< ...) тому, что
t
J~ 00
H(s, со) dBs(со) = J] Н<о)(ВШм(со) - ВШ1 (со)).
i=0

250
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Из этой конструкции следует также, что
I i ^
§Н(и, со) dBu(co) 1^5= ГН(и, со) dBu(co), s $ t,
Lo Jo
(6)
т.е. JH(u,co)dBu(co), t $ T, образует непрерывный (квадратично ин-
о
тегрируемый) мартингал.
Неравенство (4) следует из неравенства (20) в § 4 гл. X и того, что
(Т \ 2 Т
fH(s,co)dBs(co) J = [EH2(s,co)ds.
(7)
Неравенство (5) для простых функций Н следует из неравенства (18)
в § 4 гл. X.
Пусть теперь НеЖ2 [0, Г], и пусть Нп е Ж2 [0, Г], п ^ 1, есть
аппроксимирующая последовательность таких простых функций, что
т
EJ[H(5,C0)~Hn(5,C0)]2d5<I^, П^1.
Тогда
EJ[Hn(5,co)-Hn+1(s,co)]2d5
<
10л'
(8)
Последовательность J[Hn(5,co) - Hn+1(s9 со)] dBs{co), t^T, являет-
0
ся непрерывным мартингалом, и по максимальному неравенству (4)
с учетом неравенства (8) получаем
Р sup
*¥)*
^Hn(s, со) dBs(co) - $Hn+1(s, со) dBs(co)
о
г г
j*Hn(s, со) dBs(co) - jHn+1(s, со) dBs(co)
НО
= —Ц-^Е j\Hn(s,со) -Hn+1(s,co)\2ds ^ ^ • 22n < ф-,.

§ 2. Стохастический интеграл с переменным верхним пределом
251
Так как ряд J] ^п сходится, по первой лемме Бореля—Кантелли
с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий
А =
sup
>
2п
П Hn(s,co)dBs(co) - ^Hn+1(s,co)dBs(co)\
10 0 I
т.е. Р(ЛП б.ч.) = 0. Это означает, что для почти каждого со найдется
такой номер п0 — п0(со), что для всех п > п0(со) будет справедливо
неравенство
it t I
\§Hn(s,co)dBs{co)-^Hn+1(s,co)dBs(co)\
sup
1_
2n'
lo о
Отсюда следует, что с вероятностью 1 последовательность интегралов
t t
§Hn(s)co)dBs(co) = ^H1(s,co)dBs(co) +
о о
+ ^^Hi+1{s)oj)dBs(oj)-^Hi(s)oj)dBs(oj)\ (9)
равномерно на [0, Г] сходится к пределу, который и является (по опре-
t
делению) интегралом J H(s,co)dBs(co).
о
Этот интеграл определен для почти всех со. Чтобы он был определен
для всех со, мы просто полагаем для t ^Т
, Л I lim Г Hn(s, со) dBs(co), если в (9) есть сходимость,
(H-B)t = \ п JQ
Ю,
если такой сходимости нет.
Процесс Н -В = ((Я • B)t)t<cT прогрессивно измерим и является
непрерывным по t как равномерный предел непрерывных функций. Он яв-
t^T
ляется непрерывной модификацией процесса I jH(s,CL>)dBs((i>) }
Проведенные рассмотрения и справедливость неравенства (5) для
простых функций доказывают неравенство (5) и в общем случае. □
3. Выше мы говорили о «хороших» свойствах стохастических
интегралов
t
/t(H) = J*H(s,a>)dBs(«), t>0,

252
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
которые обеспечиваются прогрессивной измеримостью
подынтегральных функций (процессов) (Я(5, а>))5^0. Резюмируя сказанное, приведем
эти «хорошие» свойства в предположении, что Я е J*?2 [О, t] при любых
t^O.
(а) Линейность: 1^аНг + ЬЯ2) = al^H^ + bIt{H2).
(б) Измеримость: процесс /Г(Я), t ^ 0, является прогрессивно
измеримым.
(в) Непрерывность: процесс /Г(Я), t ^ 0, имеет непрерывную
модификацию.
(г) Среднее и дисперсия It{H) таковы:
t
E/t(H) = О, Е/Г2(Я) = Е Гя2(5, со)ds.
о
(д) Процесс /Г(Я), t ^ О, является квадратично интегрируемым
мартингалом.
Далее мы увидим, что интегралы /Г(Я), t ^ О, входят в так
называемую формулу Ито (§ 4), формулы Танака (§ 6) и др.
§ 3. Расширение класса интегрируемых функций
(от^2[0,Г]к^2[0,Г])
1. До сих пор мы имели дело с классом прогрессивно измеримых
функций Я = (Я(г, co))t^T, принадлежащих Ж2[0, Г], т. е. обладающих
свойством
Г
Е
6
Это ограничение дало возможность определить стохастические ин-
t
тегралы так, чтобы они образовывали непре-
о
рывный процесс. (Мы условились такие интегралы обозначать (Я • B)t,
t ^ Г, хотя часто для наглядности мы пользуемся и интегральной запи-
l [H2(s,oo)ds<oo. (1)
сью J Я(5, со) dBs(co), t ^ Г.)
Оказалось, что класс прогрессивно измеримых функций Ж2[0,Т]
можно расширить до класса ii?2[0, Г], состоящего из тех прогрессивно
измеримых функций Я, для которых
Pi Jh2(s, со)ds< оо 1 = 1. (2)

§ 3. Расширение класса интегрируемых функций (от Ж2 [О, Т] к <£г[О, Г]) 253
В этом расширенном случае интегралы J H(s, со)с1В5(со), t ^T, уже
о
не будут квадратично интегрируемыми мартингалами, а будут
локальными мартингалами в смысле следующего определения, которое
весьма сходно с определением 3 из § 1 гл. VIII.
Определение. Пусть X = (Xt,^t)t5>0 есть (адаптированный
непрерывный справа) случайный процесс. Если можно найти такую
(локализирующую) последовательность моментов остановки (т^)^, что
Tfc ^ тк+1 тк Т оо (Р-п. н.) и при каждом к ^ 1 остановленный процесс
ХТк = (ХТкМ1(<тк > 0),^"t)t^0 является мартингалом, то говорят, что
процесс X — (Xt, <^t)t^0 является локальным, мартингалом с
непрерывным временем.
При условии (2) процесс
Xt = §H(s,co)dBs(co), t^T,
является действительно локальным мартингалом, что легко видеть,
если положить
Tt = minU^r: l H2(s,w)ds^t
: Г H2(s,w)<
Jo
Понятие обобщенного мартингала, для дискретного времени
введенное в определениях из § 1 гл. VIII, для случая непрерывного времени
определить не представляется возможным.
t
2. Для простых функций H = (H(t, co))t^T интегралы J H(s, со) dBs(co)
о
снова определяются естественным образом:
t
$H<is,co)dBs(co) =
о к
= 2 Ho>)(BtiJco) - Bti(co) + hk(co)(Bt(co) - Bt (со)), (3)
i=l
гДе H(s, со) задаются формулой (1) из § 1.
Покажем, что для простых функций Н е if2[A Г] и любых с > О,
N > 0 имеет место следующая полезная оценка:
Р sup
|H(s,со)dBs(w) >c Up( |H2(5,co)d5 >JV j + ^. (4)

254
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Чтобы доказать эту оценку для s ^ Г положим
HN(s,co) =
fH(sy со), если ] Я2(ц, со) du ^ IV,
О, если j Н2{и, со) du > N.
Понятно, что HN(s, со) является ^5-измеримой величиной и
1
\h2n(s,co)
ds^N.
Поэтому HN €Ж2[0, Г] и в силу соотношения (4) из § 2 имеем
Р sup
JH(s,co)dBs(co)
>c Up sup
§HN(s,co)dBs(co)
>c +
+ P(H(s, co)^HN(s, со) для некоторого s e [О, Г]):
^РМЯ2(5,С0)
ds>N +f2,
где использовано то, что
P(H(s, со) Ф HN(s, со) для некоторого s е [0, Г]) —
= Р Я2(и, co)du>N для некоторого 5 е [0, Г]) ^
Vo /г_ У ч
^Р fH2(5,co)ds>N .
Тем самым оценка (4) установлена. °
В случае функций Я е Ж2 [0, Г] в § 1 утверждалось, что можно найти
такую последовательность простых функций Нп, п ^ 1, что
т
lim ГE[H(s, со) - Яп(5, со)]2 ds -* 0 при п -^ оо. (Й)
о
Аналогичным образом показывается, что если Я е i?2lA T], то
сходимость в среднеквадратическом в формуле (5) можно заменить на
сходимость почти наверное:
т
lim Г[Я(5, со) - Яп(5, со)]2 ds-+0 при п -^ оо. (6)

§ 3. Расширение класса интегрируемых функций (от <#f2[О, Т] к 5£2[О, Г]) 255
Из соотношения (6) следует, что последовательность
аппроксимирующих простых функций Нп, п^1, является (п. н.) фундаментальной:
т
[Hn(s, со) - Hm(s, со)]2 ds —> О при n, m —> оо. (7)
о
Воспользуемся теперь оценкой (4). Тогда
t t
PI sup
>e К
§Hn(s,co)dBs(co)- §Hm(s,co)dBs(co)\
0 0 \ У
^ PI J*[Hn(s, со) - Hm(s, со)]2 ds > 5e2 J + 5 (8)
при подходящих 5 > 0, e > 0.
Переходя здесь к пределу при т, п —> оо, а затем при <5 —> О, видим,
что последовательность Яп, п ^ 1, является фундаментальной (в
равномерной норме sup |-|) по вероятности. Поэтому существует такой слу-
чайный процесс, обозначаемый J Я(5, cu)dBs(cL>), t ^ Г, что по
вероятности о
| t t I «
sup fH(s,co)dBs(u>)- fifn(s,co)dBsO)-*0 (9)
lo 0 I
при n —> 00.
Из формулы (9), где имеет место сходимость по вероятности, мы
заключаем, что по некоторой подпоследовательности будет иметь место
и сходимость с вероятностью 1. Отсюда будет следовать также, что про-
t
цесс Г Я(5, со) dBs(co), t^T, будет непрерывным по t с вероятностью 1.
о
Для этих интегралов при п —> оо из формулы (4) получаем
следующее полезное неравенство (о О, N > О, Я е 5£2№> ^]):
Р sup
§H(s,co)dBs(co)bc)^pl JV(s,co)
ds>AM + ^. (10)
Отметим, что если Н,Нп е i?2[0, Г] и /[Я(5,со) - Я^о))]^ -> О
по вероятности, то и о
it t I
\^H{s,co)dBs{co)- §Hn(s,co)dBs(co)\-*0
sup
" 10 0
при n —>00 также по вероятности.

256
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
3. В заключение отметим, что если H(s,co), 5 ^ 0, — прогрессивно
измеримый процесс из <S?2[0, °°], т. е.
PI Г H\s, со) ds< оо 1 = 1,
то, полагая для моментов остановки т (относительно потока (^)^о)
Т 00
J Я(5, со) dBs(co) d= J /[0fT] (s)H(s, со) dBs(co), (ID
о о
мы ползаем стохастический интеграл со случайным верхним
пределом. Множество {т ^5} принадлежит &s, и, значит, процесс /[о,т](5) ~
= 1 — J[ojS](T) является ^-измеримым непрерывным справа
процессом. Поэтому он является прогрессивно измеримым. Тем самым для
прогрессивно измеримого процесса Я процесс в правой части
равенства (11) определен и, более того, является ^.-измеримым.
§ 4. Формула Ито — 1. Вывод
1. Эта знаменитая формула, лежащая вместе со стохастическим
интегралом в основе стохастического анализа, играет в теории
случайных процессов ту же самую роль, что и фундаментальная теорема в
классическом анализе, утверждающая, что если / = /(*) —
непрерывно дифференцируемая функция, a x(t): [0, оо) —> R является
непрерывной функцией ограниченной вариации, то
t
/(х(0) - /0(0)) = J>ОФ)) dx(s). CD
О
Формула Ито, о которой пойдет речь, является аналогом этого
классического утверждения, когда вместо x(t) берется броуновское
движение Bt(co).
В формуле (1) предполагается, что x(t) имеет ограниченную
вариацию, что совсем не так для броуновского движения, и это
обстоятельство приводит к тому, что интеграл в формуле (1) надо будет понимать
как стохастический интеграл, к тому же будут появляться еще
некоторые члены.
Формула (1), записанная в дифференциальной форме, выглядит так:
df{x{t))=f\x{t))dx{t).
(2)

§ 4. Формула Ито — 1. Вывод
257
В том же случае, когда вместо x(t) берется броуновское движение
Bt(co), аналогом соотношения (2) будет следующее выражение:
df(Bt)=f\Bt)dBt + \ftBt)dt. О)
Более точно, имеет место следующая теорема.
Теорема (формула Ито). Пусть f = f(x\ x e Ж, является дважды
непрерывно дифференцируемой функцией (J e C2(R)). Тогда с
вероятностью 1 для каждого t ^ О выполнено равенство
t t
/(Bt) - f(B0) = J/'CBj.dB, + \ §f"(Bs)ds. (4)
0 0
Доказательство. Существуют различные доказательства этой
формулы, впервые полученной Ито в работе [429]. Мы сейчас
воспользуемся приемом, примененным в книге [190] для семимартингалов.
(См. далее также замечание 2 в конце этого параграфа.)
Пусть
co(5,N)d^ sup 1Г0О-Г(у)|
x,y(=[-N,N]
\x-y\<5
есть модуль непрерывности функции f" на [—N,N]. По формуле
Тейлора для х,у е [-N,N], \x-y\< 5, имеем
/00 -/(*)- /'00(у ~х)- У"Ы(у - xf
^co(5,N)(y-x)2. (5)
Возьмем некоторую последовательность 0 = t" < t\ < ... < t" = t, и
пусть
def
5" = max |Btn -ВД NB = max\Bs\.
Тогда из неравенства (5) следует, что
t(/(B£* ) -/(В,,)) - 5/'(Bt-)(Bt-+1 -Bt?) -
I т 1 + 1 1 . - 1 1 + 1 1
n-1
I S/"№")(% -в,»)2
2
1=1
n-1
1=1
^cu(5^,JVB)2(Btn+i-Btr)2. (6)
Первый член в левой части есть f(Bt) - f(B0). Второй член при
Условии, что max |t" 1 - t"| -> 0, п -> оо, сходится (по определению)

258 Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
t
к интегралу J f'(Bs)dBs по вероятности, а выбором соответствующих
о
разбиений (t") можно получить и сходимость с вероятностью 1.
В приводимой ниже лемме мы докажем, что по вероятности
Zf"^^ -Bt?)2 - frauds, (7)
1=1 ' о
и, как и выше, выбором соответствующих разбиений (t") опять же
можно получить сходимость с вероятностью 1, и вся левая часть в
формуле (6) будет при п —> оо сходится с вероятностью 1 к
t t
/(Bj-/(B0)-J>(Bs)dBs-|j7"(Bs)dS
О О
при каждом фиксированном t.
Если max \t? — t"| —>Опри п—>оо, по вероятности со(<5" JVB)—>0
при п —►оо (в силу непрерывности броуновского движения) и к тому же
(см. § 3 гл. III)
Z&t«¥i-Btn)2-+t
(по вероятности). Тем самым если установить соотношение (7), то из
неравенство (6) предельным переходом по п —» оо получим требуемую
формулу Ито (4).
2. Лемма. Пусть g = g(x) — непрерывная на R функция, t > О и 0 =
= t"<... <tj[ = t — разбиения отрезка [О, t], причем max ItJJ-tJJ.J-^O
при п —> оо. Тогда по вероятности
tg(BtiXB[i+i-Btn)2^^g(Bs)ds. (8)
fc-1 Q
Доказательство. Пусть та = inf{s ^ 0: Bs ф [-а,а}}. Вероятность
Р(та < t) при достаточно больших а будет, очевидно, мала.
В силу непрерывности броуновского движения и непрерывности
функции g — g(x) по определению интеграла Римана имеем
tATa
limY, g(Bt^rJtnk+1ATa- tnk Лта)= f g(Bs)dS.
" *=i о
Поэтому для доказательства соотношения (8) достаточно показать, что
limE^|; g(Bt«ATo)((Bt,+]ATc -Bt.ATJ2 -(tfc"+1 лта - t£ATa))) 1 =0. (9)

§ 4. Формула Ито — 1. Вывод
259
Как мы уже знаем (§ 1 гл. X), процесс В2 - t, t ^ 0, является
мартингалом и, значит,
E[(Bs-Br)2-(5-r)|JM=0, s^r.
Это позволяет представить выражение Е[-] в формуле (9) в виде
i;E[g2(BtnATaX(Bt„+iATa -в£„ЛТо)2 - (с£+1 л та - tnk л та))2]. (Ю)
fc=l
Мы хотим показать, что это выражение (при п —» оо) стремится к
нулю.
Из того, что g есть непрерывная функция и |BtnAT | ^ а, следует,
что g2(BtnATJ ограничено и выражение (10) с точностью до константы
ограничено величиной
5 Е(^+1лта " ^лта)4 + Е E(tJJ+1 Л та - t£ Л та)2. (11)
fc=i fc=i
В свою очередь, выражение в формуле (11) оценивается величиной
(с точностью до константы)
£ max (t?,, - t?)-*0 пригс->оо,
что и доказывает лемму. □
Замечание 1. Следующее замечание будет полезно в § 6 при
доказательстве формулы Танака.
Вид формулы Ито (4) показывает, что для функции / е С2
стохастический интеграл зависит от /', а вторая производная /" входит в
интеграл по dt. Эта специфическая ситуация позволяет получить первое
обобщение формулы Ито (другие даются в § 9).
Именно, предположим, что задана функция g = g(x) из класса С1
(для всех х € R) и принадлежащая классу С2 для всех точек из R, за
исключением некоторого конечного множества А точек х1,х2,...,хп.
Пусть для всех х € R \А выполняется неравенство |g/7(x)| ^ M. Тогда
утверждается, что формула Ито также будет справедлива:
t t
g(Bt) = S(Bo) + J gXB5) dBs + l§ g"{Bs) ds (Р-п. н.). (12)
о о
Для доказательства надо воспользоваться тем, что можно найти
последовательность таких функций /п е C2(R), п ^ 1, что /п -> g и /п' -> g7
равномерно и |/п"| ^ М, /п7/ —>g" для всех х е R \ А Затем надо
применить формулу Ито к /п е C2(R), п ^ 1, и сделать предельный переход в

260
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
формулах Ито для /n(Bt), п ^ 1. Сделанные предположения приводят к
формуле (12).
3. Есть разные обобщения формулы Ито. В первую очередь,
функцию/ можно считать также зависящей от t: / = /(t,x), (t,x) e [0, Г] х
х R. В этом случае для справедливости формулы Ито надо
предполагать, что / е С1,2, т. е. / должна быть непрерывной вместе с непрерыв-
df df d2f
ными производными -д-, -д— и -^—2.
В этом случае формула Ито имеет (Р-п. н.) следующий вид:
t t
f(t,Bt) - /(0,В0) = J"[^/(s,Bs) + l£-J(s,Bs)]ds + ^f(s,Bs)dBs
0 0
(13)
или, в дифференциальной форме,
d/(t,Bt) = [^/(t,Bt)+||^/(t,Bt)]dt + |?/(t,Bt)dBt. (14)
Отметим еще один случай. Пусть В = (Bt)t5>0 — броуновское
движение (относительно потока F) и Г = (Tt)t^0 — непрерывный
возрастающий процесс (относительно того же потока F), Т0 = 0. Пусть также
f(t,x)eC1>2n
t
Ej(^/(rs,Bs))2d5<<X), t>0.
о
Тогда справедливо следующее обобщение формулы (13):
f(Tt,Bt)-f(0,B0) =
t t t
= §§-tf(Ts,Bs)dTs + ^f(Ts,Bs)dBs + l$£-2f(Ts,Bs)ds. (15)
0 0 0
(В формулах (13) —(15) можно считать, что В = {Bt)t^0 есть броуновское
движение, начинающееся в произвольной точке В0 е R.) О других
обобщениях формул Ито и Танака будет сказано в § 9.
4. Замечание 2. В книге время от времени появляется важное
понятие семимартпингала как процесса, равного сумме локального
мартингала и процесса ограниченной вариации. В нашей книге с Ж. Жако-
дом [190] первые две главы посвящены общим свойствам таких
процессов. В частности, для них дается определение понятия стохастического
интеграла, доказывается аналог формулы Ито и т. д. Там же приводится

§ 5. Формула Ито — 2. Эвристические рассмотрения
261
общепринятое определение квадратической вариации (или квадрати-
ческой характеристики, или треугольной скобки) квадратично
интегрируемого мартингалаХ как такого предсказуемого процесса (X), что
X2 — (X) есть локальный мартингал.
§ 5. Формула Ито — 2. Эвристические рассмотрения
1. Эвристически к формуле Ито
df(t,Bt) = j-tf(t,Bt)dt + j^f{t,Bt)dBt + l£if(t,Bt-)dt (1)
(см. (14) в предшествующем параграфе) можно прийти следующим
образом.
Пользуясь формулой Тейлора, запишем дифференциал df{r,Bt) в
виде
df(t,Bj=j-tf(t,Bt)dt + -^f(t,Bt)dBt +
+ |(^/(t,Bj(dt)4|^/(t,Bj(dBj2) + ^/(t,Bt)dBtdt. (2)
Таким образом, формула (1) будет следовать из (2), если объяснить,
в каком смысле выполнены соотношения
(dBt? = dt, dBtdt = 0, (dt)2 = 0. (3)
При рассмотрении квадратической вариации ^]|АВ|2 (см. теорему 2
в § 3 гл. III) было показано, что для вложенных разбиений T^n\t) =
= {о = t^ < t^ < ... < t^9, = t} с вероятностью единица выполнено
соотношение
Hm2(Bt(n)-Brn))2 = t. (4)
Именно в этом смысле и понимается условная запись (dBt)2 = dt в (3).
Точно так же для вложенных разбиений имеем
limS)(BtM-BtW)(tJn)-t;")1) = 0
с вероятностью единица (см. доказательство теоремы 1 в упомянутом
§ 3 гл. III), что мы интерпретируем как «интегральную» форму
«дифференциального» соотношения dBtdt = 0.
Формула (dt)2 = 0 есть формальная запись очевидного
соотношения
HmE(t;(n)-tj("_)1)2 = 0.

262
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
2. Показательным примером, позволяющим уловить основные
особенности дифференциальной формулы (1), является случай вычисле-
t
ния J BsdBs.
Еёли следовать классическому анализу, то естественно было бы
считать, что он равен т:В\. Однако из формулы (1) в ее интегральной фор-
2 t
ме видим, что
t
[BsdBs = \B*-\t (5)
О
и, значит,
t
B* = 2§BsdBs + t, (6)
о
что следует из формулы Ито для /(Bt) = B2t.
Как получить формулу (5) исходя из рассмотренного в § 1
определения стохастического интеграла?
Рассмотрим разбиение отрезка [0, t] на интервалы длины А = ^г-
Всего таких интервалов будет t • 2П, и
(7)
ГBsdBs =lim J] Bfc-i(Bfc -Bfc-i).
J " l^/c^t-2" 2" 2" 2"
Здесь
2B^i(Bi_-BfcIlI) = (B2fc -В^.Л-Гв^-Вь^)2. (8)
2" 2" 2" ^ "2^" 2" 2"
Поэтому
2 2 Bk-i(Bk_-Bk-i) =
ЫШ2п 2" 2" 2"
1^Ш2П 2" ^~ l^fc^t2" 2" 2"
= Bf- 2 (ba-b^i)2- (9)'
l^fc^t2" 2" 2"
С учетом соотношений (4), (7) отсюда получаем формулу (6).
Появление члена t, как видим, связано именно с предельным значением
£ (в^-Bk^i)2,
ЫШ2п 2" 2"
которое в классическом случае было бы равно нулю.

§ 5. Формула Ито — 2. Эвристические рассмотрения
263
3. Эвристический вывод формулы Ито (для / =f(Bt)) можно
получить и так. По формуле Тейлора с остаточным членом
2" 2"
= f/(B^)(B±-B^) + lf//(Bk^i)[B±-Bkzl]\eKn, (10)
/,,(C)-/,,(Bfc^)|"|Bi.-Bfc-i
(ii)
2" 2" 2" 2" 2" 2"
где остаточный член <^п не превосходит
max\f \i;)-f [i5t _ _
2п ' ' ' 2" 2"
а £ лежит между Вь_^ и В_^.
2" 2"
Суммируя соотношения (10) по к и переходя к пределу при п —► оо,
в левой части получим /(Bt) — / (В0), тогда как в правой части первые
два члена будут давать примерно
t t
^fXB^dBs + l^f'XB^ds. (12)
о о
В силу предположенной непрерывности второй производной
2<£м-+0 при п-> оо.
к
Тем самым приходим к формуле Ито (4) из § 4. Этот эвристический
вывод полезен для понимания того, что же делалось в § 1 для получения
формулы Ито.
4. В d -мерном случае формула Ито (в дифференциальной форме)
для / -f{B], ...,Bd) G С2 имеет вид
mB\B\..,B^=i^dB^\i^dB4BK (13)
к=1 К i,j=l l J
Компоненты В1,В2, ...,Bd у d-мерного броуновского движения В =
= (В1,В2, ...,Bd) предполагаются независимыми, и тогда при i ф)
естественно считать, что dBl dBj = 0. Следует это из таких (нестрогих)
рассмотрений.
Мы имеем (dB[f = dt, (dBjf = dt. Положим Bij = ~^{B[ +Bj). Это
v2
снова броуновское движение, и (dBli)2 = dt, а значит,
dt = (dB°*)2 = |((dBl*)2 + 2dBIdBJ4(dBJ*)2) = dt + dBidBJ.
Отсюда следует, что dBl dB' = 0 при \ф].

264 Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Обозначая вектор ( ~—,..., -J— J через grad/ и учитывая
соотношения dBldBj= О, i^j, из (13) приходим к такой формуле (В = (В1, ...,Bd)):
d/(B) = grad/(B).dB + |A/(B)dt,
где
д/(в) = _/ + ... + _1 (14)
— оператор Лапласа.
В случае же/ =/(t,Bt1,...,B^)eC1,2 имеем
d/(t,B) = grad/(t,B)-dB + (^^ + |A/(t,B))dt,
Wegrad/(t)B) = (^-,...)^)HA/(t,B)=^ + ...+
^г
§ 6. Формула Танака и локальное время броуновского движения
1. Пусть В = (Bt)t;>0 — стандартное броуновское движение.
Рассмотрим функцию
fW = \x\. (1)
Понятно, что эта функция не принадлежит С1, хотя для всех х Ф О она
есть функция класса С2 и нарушение свойства принадлежности
классу С2 происходит всего лишь в одной точке х — 0. Так что формально
мы не имеем права для отыскания /(Bt) воспользоваться формулой
Ито.
Но вполне естественно для отыскания / (Bt) воспользоваться
формулой Ито для сглаженных функций je{x) (как ниже в формуле (2)) и
затем сделать предельный переход при е —> 0.
Имея в виду эту идею Танака, для е > 0 введем С2-функцию
!\х\9 если \х\ ^ £,
2 + 2^, если|х|<е.
К этой функции можно применить формулу Ито (см. замечание в п. 2
§ 4), из которой следует, что
t t

§ 6. Формула Танака и локальное время броуновского движения 265
где
&*>-<
fh x^e,
-1, х<-е, 1^М = ±Щх\<е).
7> 1*1 <*>
(4)
Значит,
Л(Ве) =
= J[/(B5 £ е) - 7(BS $ е) + |/(|BS| < e)]dBs + ± J/(|BJ < e)d«.
(5)
По свойствам стохастических интегралов
Jf/(|Bs|<£)dB;
О t
= JE[(l)2/(l^l<e)]ds^Jp(l^l<e)ds^0' e^°-
О О
Тем самым по вероятности
t
^I(\Bs\>e)dBs^0 прие^О
и аналогично
(6)
(7)
где
или
signx =
sign x = \
+1, х^О,
-1, х<0
(+1, х>0,
-1, jc<0,
^0, х = 0.
(Безразлично, какое определение signx берется в формуле (7).)
Точно так же и fe{Bt) —>|Bt| при г —> 0 по вероятности равномерно
на любом интервале [0, Г].

266
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Из этого факта и соотношений (6), (7) и (5) получаем, что по
вероятности существует
t
О
который сейчас обозначается Lt и называется локальным временем
броуновского движения в нуле на интервале [0, t].
Если следовать определению дельта-функции, то, как уже
говорилось в § 5 гл. I, локальное время Lt можно (формально) записать в
следующем виде:
t
Lt = §5{Bs)ds.
о
2. Таким образом, для функции /(х) = \х\ имеет место следующая
формула Танака [351]:
t
\Bt\= [signBsdBs + Lt (Р-п.н.), (8)
о
где
t
Lt=]im± \l(\Bs\<e)ds. (9)
0
Замечание 1. Локальное время L = (Lt)t^o Для броуновского
движения было введено в 1948 г. П. Леви в книге «Processus stochastiques et
mouvement brownien» [239].
t
Замечание 2. Процесс Xt = j sign Вs dBS) t ^ О, является мартинга-
o
лом, а формула (8) есть разложение Дуба—Мейера субмартингала \Bt\,
t ^ 0, в сумму мартингала и (непрерывного) возрастающего
процесса Lt, t ^ 0 ([190]; ср. с разложением Дуба (§ 3 гл. III) субмартингалов
в случае дискретного времени). При этом мартингал X = (Xt)t^0 есть
броуновское движение, что вытекает непосредственно из теоремы 2
в § 2 гл. X.
Действительно, поскольку X есть непрерывный мартингал,
достаточно проверить, что (Р-п. н.)
E(X?-t|^s)=Xs2-s, s**t,

§ 6. Формула Танака и локальное время броуновского движения 267
т. е. что {Х^ — t)t^0 есть мартингал. Но это легко проверяется из свойств
стохастического интеграла:
Е(Х2 -X? - (t -s) |jg = E(Xt2 -Xs2 -(t -s)) =
= El J signBudBu I -(t-s) = Ej(signBu)2du-(t-s) =
= (t-s)-(t-s) = 0.
3. Если вместо / (x) = |x| взять теперь f(x) = \х — а\, а € R, то
придем к сходной с (8) формуле
г
|Bt - а\ - \В0 - а\ = Jsign(Bs - a)dBs + L?, (10)
где
L?=lim;J- f/(a-e<Bs<a + e)ds, (11)
О
что можно было бы определить и так:
t
L? = lim^^-J J(an<Bs-a <j8Jd5,
(12)
причем an | О, j8n J0 при n -> 00 (L° = Lt).
Если вместо /(х) = \x — a\ брать фикции
/+(a) = (x - a)+ (= max(0, x - a))
и
/"(a) = О - a)" (= -min(0, x - a)),
то аналогично соотношениям (8), (10) получим, что
t
(Bt- - a)+ - (B0 - a)+ = J/(BS > a)dBs + |l? (13)
о
и
t
(Bt - a)" - (B0 - a)" = - J"/(BS < a)dBs + |l?. (14)
о
(В формулах (13) и (14) допускается произвольное начальное
значение В0 € R.)

268
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
4. Рассмотрим совокупность
L = {LX, jcgR, t^O}.
Эта совокупность локальных времен зависит не только от временного
параметра t, но также и от фазовой переменной х GR. Так что на самом
деле L есть случайное поле. Известная теорема Троттера [353]
утверждает, что это случайное поле имеет модификацию, непрерывную по
паре переменных (£, х) и удовлетворяющую условию Гёльдера с
показателем Т< о-
Интересно отметить, что непосредственно из определения Iх
следует, что
t
EL* = Jp(s,x)ds, (15)
о
где р(5, х) = t-P(#s ^ х). В самом деле,
ELxt=E
О
= lim^- [Hx-e^Bs^x + e)ds= \ p(s,x)ds.
о о
(Ср. с формулами (2) и (3) из § 2 следующей главы.)
5. В литературе есть и другие подходы к определению понятия
локального времени (в нуле). Опишем вкратце подход, приведенный в
книге [420, гл. VI].
Пусть В = (Bt)t$>o — стандартное броуновское движение. Введем
моменты остановки: т0 = 0 и для j "^ 1
сг; =inf{t > Tj_1:Bt = b}, т; =inf{t >cr;:Bt =a},
где a<b.
Определим также величину D(a, b; t), имеющую смысл числа
пересечений интервала [а, Ь] сверху вниз (downcrossings), формулой
D(a,b;t) = max{j: т;-^ £}.
Тогда если ап \ 0 и Ъп | 0, то
lim2(bn-an)D(an,bn;t)
п
существует и совпадает с локальным временем в нуле Lt (= L°).

§ 7. Лемма Скорохода. Теорема Леви
269
Отметим также, что процесс L = {Lt)t^0 является немарковским и
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем у < -.
6. Итак, мы видим, что для функций / = / (jc), принадлежащих
классу С2, верна формула Ито (4) из § 4, а для функции f{x) = \х\ {$. С1)
справедлива формула Танака (8) (в настоящем параграфе), что
привело к формуле Ито—Танака: если функция / =f{x) есть разность двух
выпуклых (convex) функций и В = (Bt)t^0 — броуновское движение, то
t
/(Bt) =/(B0) + Jm)dBs + l$L°f"№.
О Ш
Здесь Lat —локальное время броуновского движения на уровне а е R,
t
Lt = Ц? h J ка-е,а+е)Ш ds
О
и для выпуклых функций / вторая производная /" понимается (в
смысле «распределений», см. § 5 в гл. I) как положительная мера.
Различным обобщениям формул Ито и Танака посвящен § 9.
7. Завершая изложение материала о локальном времени, отметим
следующее.
Броуновское движение В = (Bt)t^0 пересекает, скажем, нулевой
уровень бесконечно часто, но лебеговская мера времени, проведенного
броуновским движением на этом уровне, равна нулю (теорема 3 в § 2
гл. III). Введенное выше локальное время L — (L^)t^0 является
своеобразной (локальной) характеристикой «времени пребывания» на
нулевом уровне.
Наше изложение локального времени относилось к случаю
одномерного броуновского движения. Отметим, что уже в случае двумерного
броуновского движения Bt — {В\,В\\ t ^ О, приведенные выше
конструкции локального времени «не работают», поскольку это движение
невозвратно (гл. XIII).
§ 7. Лемма Скорохода. Теорема Леви о совпадении
распределений процессов (тахВ -В,тахВ) и (|£|,L)
1. Обратимся к формуле Танака (8) из § 6:
t
|Bt| = JsignBsdBs + Lt. Ш
о

270 Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
t
Участвующий здесь процесс /3t = j sign Вs dBs, t ^ 0, является броунов-
0
ским движением (в силу теоремы Леви из § 2 гл. X). Из конструкции
локального времени следует, что
J^cj^l(cj^) (2)
и, разумеется,
&?£&?. (3)
Весьма замечательно, что на самом деле
J*f=J*'B|, (4)
что будет вытекать из приводимой далее леммы Скорохода, из которой
будет также следовать, что локальное время имеет вид
Lt = sup(-ft). (5)
1 Г
(Выше локальное время определялось как Lt = lim тг- I(\BS\ < е)ds.)
Лемма (Скороход, [469], 1961 г.). Пусть Y = (Yt)t^0 — такой
непрерывный случайный процесс, что 70 ^ 0. Тогда существует, и притом
единственная, пара процессов (X,А) = (Xt,At)t^0, называемых
решением Скорохода и таких, что для них:
а) справедлива формула
Xt = Yt+At; (6)
б) Xt 2 0;
в) А= (At)t^0 — непрерывный неубывающий процесс, А0 = 0,
растущий на множестве {t: Xt = 0}.
При этом процесс А= (At)t^0 можно взять в виде
At=sup(-7SV0). (7)
Доказательство. Если в формуле (6) взять процесс Л из формулы (7)
и положить Xt = Yt +Д, то получим, что Xt^0 (свойство б)). Процесс
Д очевидно, удовлетворяет свойству в). Таким образом, для так
определенных А иХ получаем пару (ДХ), для которой выполнены свойства
а), б), в).
Так что надо лишь установить единственность пары (Д X).
Пусть (ДХ) — другая пара, удовлетворяющая условиям а), б), в).
Тогда
Х-Х=А-А.

§ 7. Лемма Скорохода. Теорема Леви
271
В силу того что процесс А — А является процессом ограниченной
вариации, а значит, таков же и процесс X — X, интегрированием по частям
получаем, что (с учетом условий б) ив))
t t t
0^(Xt-Xt)2 = 2^Xs-Xs)d(As-As) = -2^XsdAs-2$XsdAs^0.
О 0 0
Тем самым поточечно выполняется равенствоXt =Xt и, значит, At —At
при всех t ^ 0. □
2. Сравним формулу Танака
|Bt|=ft + Lt, (8)
где
t
fr = j sign BsdBs,
о
с представлением
Xt = Yt+At
из леммы Скорохода в случае Yt = pt.
В силу единственности в этой лемме
Xt = \Bt\, At = Lt, (9)
при этом At = sup(—/35). Тем самым формулу (8) можно переписать в
виде
|Bt| = /3t + sup(-/U (Ю)
откуда сразу следует, что
Поскольку &\ с ^'в|, из формулы (8) получаем, что «^f с <jpf\.
Следовательно,
t
т. е. процесс pt = f signBs dBs, t ^ 0, содержит, так сказать, ту же «ин-
о
формацию», что и процесс |Bt|, t ^ 0.
3. Используя формулу Танака, лемму Скорохода и соотношения (9),
(10), получаем следующий результат П. Леви.
Теорема (Levy, [239]). Пусть В = (В t)t^0 —броуновское движение.
Тогда
(supB,supB-B) = (L,|B|). (ID

272
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Доказательство. Так как В = —/3, получаем, что
(supB, sup В - В) = (sup(-jS), sup(-jS) + Р) = (АА + /3) =
= (L,L + /3) = (L,|B|),
что и доказывает свойство (11). О
§ 8. Обобщение теоремы Леви на случай
броуновского движения со сносом
1. Для стандартного броуновского движения В = (Bt)t^0 теорему
Леви из предыдущего § 7 можно переписать (в несколько иных
обозначениях) в таком виде:
Law(Mt -Bt,Mt; t ^ 0) = Law(|Bt|,Lt(B); t ^ 0), (D
где Mt = supBs, Lt(B) —локальное время броуновского движения (в ну-
ле на [0,t]).
Процесс \В\ = (|Bt|)t^0 носит название отраженного (от нуля)
броуновского движения, что определяется как существом дела, так и
принципом отражения, рассмотренным в § 3 гл. V.
Из свойства (1) следует, конечно, что процесс М — В = (Mt — Bt)t^o
равноправным образом также может быть назван отраженным
броуновским движением.
Зададимся теперь вопросом: что естественно называть
отраженным (от нуля) броуновским движением со сносом Вя = (Bt + At)t^o>
где Я е R?
2. Чтобы ответить на этот вопрос, надо обратиться к общей
теории марковских процессов и прежде всего к работам В. Феллера и
А. Д. Вентцеля, подробно изложенным в монографиях [423].
В этих работах был детально рассмотрен вопрос о том, каковы
допустимые условия на границе dD области D, в которой задан, скажем,
непрерывный марковский процесс,_обеспечивающие, чтобы в области
D = DudD продолженный (с D на D) процесс был также непрерывным
марковским процессом. (С видом таких допустимых условий можно
ознакомиться, например, по § 3 введения из монографии [423].)
В связи с интересующим нас вопросом мы будем рассматривать
область D = {х е R: х > 0} с границей dD = {0}, на которой
действует мгновенное отражение (будем говорить просто отражение), при
котором «блуждающая частица», достигнув границы dD, сразу уходит
непрерывным образом в D, проводя при этом на границе dD нулевое
время. (Другими возможными поведениями на границе могут быть, к

§ 8. Обобщение теоремы Леви на случай броуновского движения со сносом 273
примеру, поглощение, задерживаемое (delayed) отражение, частичное
(partial) отражение, их комбинации.) В теории дифференциальных
уравнений этим условиям соответствуют, например, условия Дирихле,
Неймана, Робина, рассматриваемые в гл. XIV.
3. Согласно общей теории марковских процессов [423]
конкретно отраженным броуновским движением со сносом At, стартующим
из точки х^Ои отражающимся от нуля, называется Рх
-диффузионный марковский процесс 7я = (Y^)t^Q, инфинитезимальный оператор
(см. § 4 в гл. V) которого действует на функциях
^(^) = {/GCb2[0,cx))://(0+) = 0} (2)
по формуле
^/(*) = |/"(*)+ */'(*), *>о. (3)
Более точно это означает, что для каждой функции / е Qi(jrf) и
каждого х ^ О относительно меры Рх выражение
t
/(7tA)-/(x)-J^/(7/)d5, t£0, (4)
о
является локальным мартингалом.
Следуя традиции, будем вместо 7я использовать обозначение ЯВЯ =
4. Введем случайный процесс Xя = (Хя)^0, который имеет
стохастический дифференциал
dxf = AsignX;1 dt + dBt, Хя = х^0. (5)
Стохастическое уравнение (5) имеет единственное сильное решение
(гл. XXXIV).
Во всем дальнейшем изложении существенную роль будет играть
процесс |ХЯ| = (|ХЯ|)^0. Подобно тому как для \Bt\ выводилась формула
Танака (или из [313, гл. VI, § 1]), получаем, что
d\X^\ = signX^dX^ + dL(Xx)t = ?idt + signXfdBt^dL(Xx)t, (6)
где L{Xx)t —локальное время (в нуле) процессаXя на интервале [0, t],
т.е.
t
L(XA)t = lim^J/(|XsA|<e)ds.
О

274
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Пусть теперь / е с£[0,оо), /'(0+) = 0. Тогда по формуле Ито
(формула (14) в § 4 гл. XII) имеем
t t
№?\)-fW = §f'(.\x?\)d\x?\ + ±§f"(\x*\)ds =
о о
t t
= J/'(l^|)(Ads + signXA dBs + dL(X*),) + | j7"(|XsA|)dS =
0 0
t t
= J(A/'(|XA|) + |/"(|XA|)) ds + mt + J//(|XA|)dL(XA)s, (7)
0
t
где mt = J fX\Xx\)signXxdBs есть локальный мартингал,
о
Поскольку /'(0+) = 0 и процесс 1{ХХ) возрастает только на
множестве {s:Xx = 0}, из соотношения (7) заключаем, что
/(|XA|)-/(x)-j*^/(|XA|)ds
есть локальный мартингал. Отсюда и из соотношения (4) следует, что
процессы \ХХ\ и RBX имеют один и тот же инфинитезимальный
оператор. Поэтому (см., например, теорему 2.3 из § 2 гл. II монографии
[423]) у процессов КВХ и |ХЯ| одни и те же конечномерные
распределения, и, следовательно, справедлива следующая теорема [158].
Теорема 1. Имеет место соотношение
Law(RBA) = Law(|XA|), (8)
и, значит, процесс \ХХ\ может рассматриваться как стохастическое
представление для отраженного броуновского движения со сносом.
5. Рассмотрим теперь аналог теоремы Леви, даваемой формулой (1),
в том случае, когда вместо броуновского движения В = (Bt)t^0 с В0 = 0
берется броуновское движение со сносом Вх = (Bx)t>0, где Вх =Bt + At,
AeR.
Здесь нам будет удобнее оперировать с процессом Xх = (Xx)t>0y где
хх=х;х,
dXx = -AsignX* dt + dBt, (9)
причем мы будем считать, что Х~ = 0.

§ 8. Обобщение теоремы Леви на случай броуновского движения со сносом 275
Теорема 2. Для броуновского движения со сносом Вя = {Bx)t^Q, Вх =
= Bt + At, A € R, справедливо следующее обобщение свойства (1):
Ьаш(Мя - Вя, Мх; t ^ 0) = Law(|XA|, 1(ХЯ)), (10)
где Мя = supBA, 1{ХХ) — локальное время процесса Xх (в нуле).
Доказательство этого свойства (10), данное в работе [158], будет
основано на теореме Леви (1) и замене меры процесса В на меру
процесса Вя.
Понятно, что равенство (10) достаточно доказать лишь для t е [0,1].
Рассмотрим такое вероятностное пространство (Г2,^",(^)^0,Р), что
относительно меры Р процесс В — (Вг)^2 является броуновским
движением.
Введем новую меру Ря, для которой
Я2 я Я2
dpx = e~XBl~^dP (=e"ABl+Tdp), (11)
ср. с формулой (3) в § 3 гл. X, посвященном теореме Гирсанова.
Согласно этой теореме в качестве следствия мы имеем
Law(BA | Ря) = Law(B | P). (12)
Обозначим через С+[0,1] пространство непрерывных на отрезке
[0,1] функций, являющихся неотрицательными. Для х,у из С+[0,1]
введем измеримые неотрицательные функционалы G = G(x,y). Тогда
из соотношения (12) и формулы Танака следует, что
EG(MA - Вя, Мя) = Ея[еЯВ*~Т G(MX - Вя, Мя)] =
= E[eABl~G(M-fl,M)]. (13)
Заметим теперь, что в силу соотношения (1) выполняется равенство
Law(B1,M-B,M) = Law(M1-(M1-B1),M-B,M) =
= Law(L(B)1-|B1|,|B|,I(B)).
Поэтому из формулы (13) следует, что
ЕС(Мя-Вя,Мя) = Е[еЯ(ЦВ)1_|В1|)"Тс(|В|,1(В))]. (14)
Введем теперь такую меру рА, что
dF = i\*>*i**.-£ dp=ея/^^4 dP>

276
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
Снова по теореме Гирсанова (в ее общей форме, приведенной в
замечании 1 в § 3 гл. X)
Law(XA | Ря) = Law(B | P). (15)
Поэтому
1 i2
EG(\Xx\,L(Xx)) = Ex[e о 2 G(|XA|,L(XA))J =
= Е[Л**|Ч'-?С(|В|,1(В))]. (16)
Но по формуле Танака
1
JsignBsdBs = |B1|-L(B)1.
о
Следовательно, из соотношения (16) вытекает, что
EG(|XA|,I(XA)) = E[e-A(|Bl|-L(B)lbTG(|BU(B))]. (17)
Сравнивая правые части формул (14) и (17), получаем, что
EG(MA - ВА,Мя) = EG(|XA|, 1(ХЯ)),
откуда следует утверждение (10) теоремы. О
§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака
1. Формулы Ито и Танака явились базовыми в современном
стохастическом исчислении для броуновского движения и более общих
процессов, таких как, например, семимартингалы [190].
Имеется много разнообразных обобщений этих формул. Приведем
некоторые из них.
Прежде всего напомним формулы Ито и Танака (далее (А) и (Б)).
Если функция / = /(*), х е R, принадлежит классу С2, то согласно
формуле Ито
(A) f(Bt)=f(BQ) + ff'(Bs)dBs + lff"(Bs)ds.
о о
Если /(х) = \х - а\, а е Е, х е R, то формула Танака утверждает, что
t
(Б) \Bt -a\ = \B0-a\ + J sign(Bs - a)dBs + L%
о

§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака
277
где локальное время на уровне а е R имеет вид
t
L^ = lim^;[l(a-e<ZBs^a + e) ds.
о
Замечание 1. Вместо непрерывной справа функции
г1, *^0,
sign х ■ ,
можно было бы рассматривать непрерывную слева функцию
г1, х>0,
SgnX=' -I, **0.
Интегралы J signBs dBs и J sgnBs dBs будут отличаться лишь на множе-
0 О
стве нулевой вероятности.
2. Обобщениями этих формул являются следующие.
Пусть функция / = /(х) есть разность двух выпуклых (convex)
функций. Тогда имеет место формула Ито—Танака [313]:
(В) f(Bc)=f(B0) + fnBs)dBs + lfLatf"(da),
О R
где L^—локальное время на уровне ael, j'_— левая производная,
/" — мера на R (в смысле теории «распределений»; см. гл. I, § 5).
Если функция / — j{x) такова, что /' есть функция ограниченной
вариации, то формула Ито—Танака—Мейера [313] утверждает, что
(Г) /(Bt)=/(B0) + / f'(Bs)dBs + lJ LaJ"{da).
О R
Если / = /00 такова, что производная /'(х) является локально
ограниченной функцией, то имеет место формула Було—Йора (Вои-
leau-Yor) [313]:
СЮ /(Bt)=/(Bo) + //,(Bs)dB5-|//,(a)deL?.
2-
О R
Формула Фёлъмера—Проттера—Ширяева [136] утверждает, что
если/7 eL^, т. е. J (f'(x))2dx <оо для всех Л > 0, то
(Е) /(Bt)=/(B0) + J/4Bs)dBs + i[//(B),B]t,
о

278
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
причем [f\B),B] — квадратическая ковариация /'(В) и В:
где sup(t£+1 Л t - t£ Л t) -* 0, п -* оо.
fc
Между этими формулами, обобщающими формулы (А) и (Б),
существует следующая цепочка импликаций:
(В) => (Г) =» (Д) => (Е).
Доказательство формулы (Е) и следствий из нее см. в статье [136].
Замечание 2. Выше при рассмотрении формулы Ито—Танака (В)
было сделано предположение, что функция / = f(x) есть разность двух
выпуклых функций.
Приведем ряд определений и свойств выпуклых функций и
покажем, каким образом можно доказывать формулу Ито—Танака, если
знать формулу Танака.
В одномерном случае действительная функция g = g(x): D с R —> 1
называется выпуклой (вниз), если ее область определения D является
выпуклым множеством [439, гл. III, § 2] и для всех х,у € D и любого.
А е[О,1] выполнено неравенство
g(Ax + (1 - Х)у) ^ Ag(jc) + (1 - A)g(y).
Если функция g = g(x) является непрерывной, то для того, чтобы
она была выпуклой, достаточно выполнения приведенного выше
неравенства лишь для какого-нибудь одного значения А € (0,1), например
для А= 2«
Выпуклыми функциями являются, в частности, следующие: еах для
aeR; log*; |л:|а для а^1;ха при* >Овслучае ае(-оо,0] U [1,+оо);
xlogx при х > 0.
В многомерном случае определение выпуклых функций g = g(x): D с
сГ->1 аналогично.
Примерами выпуклых функций в многомерном случае являются
аффинные функции g(x) = атх + b, x € R", где а е Rn, b € R, и
квадратичные функции g(x) = xTQx + стх + d, x € Rn, где Q — неотрицательно
определенная матрица, с € Rn, d € R.
Выпуклая функция g = g(x): R —» R может быть недифференциру-
емой, хотя производные слева, g'(x—), и справа, g'(x+), всегда
существуют.
Если функция g(x) дифференцируема, то она будет выпуклой в том
и только том случае, когда
g(y) > g(*) + g'(*)(y " х), х, у е R.

§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака
279
Пусть функция g = g(x) выпукла и дифференцируема; тогда х*
является точкой локального минимума этой функции, если g'(**) = 0.
Дважды непрерывно дифференцируемая функция g = g(x) является
выпуклой тогда и только тогда, когда g"(x) ^ 0.
Л. Шварц (Laurent Schwartz) показал, что обобщенная функция
(«распределение»; см. гл. I, § 5) g = g(x) является выпуклой в том
случае, когда ее вторая производная есть неотрицательная мера Радона
(гл. XXXIV, §2).
Такая функция представима в виде
g(x) = а + fix + \ J |* - а\ v{da\ (1)
где v(da) —мера Радона (см. [313, приложение, § 3]), которую
обозначают также g/;(da). Из этой формулы следует, что
g-W =2) sign(x - a) v(da) + /3
(здесь g^_(x) —отрицательная часть функции g'(x)). Формула (1)
делает понятным появление в (В) (т.е. в формуле Ито—Танака) интеграла
J L*f"(da)9 где Ц —локальное время, возникающее в формуле Танака
R
Для \Bt - а\ (см. формулу (10) в § 6).
3. Выше отмечалось, что формулы Ито, Танака и формулы (В) —(Е)
допускают распространение на тот случай, когда вместо броуновского
движения В = (Bt)t^o рассматриваются семимартингалы X = (Xt)t^0.
Дадим некоторые определения и приведем для семимартингалов
формулы Ито, Танака, а также их обобщения, полученные Г. Пешкиром
([300], 2006 г.).
По определению семимартингал X = (Xt)t^0 — 3TO случайный
процесс, заданный на некотором фильтрованном вероятностном
пространстве №,^",(^t)t^0,P), имеющий cadlag-траектории (т. е. непрерывный
справа и имеющий пределы слева) и допускающий представление
Xt=X0 + Mt+At, t^0, (2)
где М = (Mt)t^0 —локальный мартингал, А = (At)t>0 — процесс
(локально) ограниченной вариации, Х0 есть ^-измеримая случайная
величина (М0 = 0, А0 = 0). По поводу разных классов семимартингалов
см. [190, гл. 1, §4с].
Мы будем в основном рассматривать лишь непрерывные
семимартингалы. В этом случае представление (2) является единственным,
а процессы М и А непрерывны. (В общем случае представление (2) не

280
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
всегда единственно. Например, процесс ПуассонаX = (Xt)t^0 = Ot)t;>0
с параметром А > 0, являясь процессом ограниченной вариации, будет
семимартингалом и мы можем положить Х0 = 0, Mt = 0yAt = nt, но
в то же время этот процесс можно представить в виде (2), где Х0 = 0,
Mt = nt - At,At = At.)
Если функция / = /(*) принадлежит классу С2, то для
произвольного семимартингала (2) имеет место следующий аналог формулы Ито:
t t
f(Xt)=f(X0) + §f'(Xs-)dXs + \ §f"(Xs.)d{Xc}s +
0 0
+ 2 [f(Xs)-f(Xs_)-f'(Xs_)AXs], (3)
0<s^t
t
где f f'(Xs-) dXs — стохастический интеграл по семимартингалу, (Xе) —
о
квадратическая характеристика непрерывной мартингалъной
составляющей Xе семимартингала X, т.е. такой непрерывный процесс (Xе),
что (Xе)2 - (Xе) является локальным мартингалом, и АХ =XS -Xs_.
(Подробнее см. [190, гл. 1, § 4а].)
Если семимартингал X является непрерывным, то формула (3)
примет вид
t t
/(Xt)=/(X0) + J//(^)dXs + |J///(Xs)d(Xe)s (4)
о о
(ср. с формулой (А) в начале этого параграфа).
t
Рассмотрим линейное стохастическое уравнение Yt = 1 + j Ys_ dXs
о
(или dYt = Yt_ dXt), t ^ 0; из формулы (З) выводится, что его решение
Y = (Yt)&o имеет вид Yt = St{X\ где
£t(X) = exp{xt-X0-hxc)t\ П(1 + ^.>"М| О
— формула Долеан-Дэд (Catherine Doleans-Dade).
В частности, если процесс X имеет ограниченную вариацию, то
gt{X) = ex<-x« f[ (l + AXje"^, (6)
а если X является непрерывным семимартингалом, то
<?t(X) = exp{xt-X0-|(Xc)t}. (7)

§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака
281
Замечание 3. В случае непрерывных семимартингалов X (тогда,
конечно, Xе =Х) вместо {Xе) обычно пишут (X).
4. Рассмотрим теперь аналог формулы Танака для непрерывных
семимартингалов X = (Xt)t^0.
По аналогии со случаем броуновского движения определим
локальное время Lat (X) формулой
t
Lat{X) = \[m\\l{a^Xs<a + e)d{X)s, (8)
О
где а е R и t ^ 0.
В случае, когда X является непрерывным локальным мартингалом,
формула (8) принимает вид
t
L%X) = \im±^I{\Xs-a\<e)d(X)s (9)
о
(ср. с (11) в § 6).
Тем же методом, что и в случае броуновского движения, из
формулы (4) выводим, что аналогом формулы Танака для непрерывных
семимартингалов является следующее равенство:
t
\Xt - а\ = \Х0 - а\ + Jsign(Xs - a)dXs + Lat(X). (10)
о
Участвующее здесь локальное время обладает такими свойствами:
t
/ДО - L»"(X) = 2 J/(XS = a)dAs,
о
где А= (As)s>0 — процесс из представления X =Х0 + М + Д причем
L%X) = Lf(X).
Формула для времени пребывания (см. гл. XIII, § 1) имеет вид
t
J/(Xs)d(X)s = J/(a)L°(X)da (11)
0 R
Для всякой неотрицательной борелевской функции / =/(х).
5. Формула Ито (3) допускает обобщение и на тот случай, когда
Функция f =f(t,x) зависит также от времени.

282
Гл. XII. Броуновское движение и стохастический анализ
А именно, если / е С1,2 и X = (Xt)t^0 — семимартингал, то
t
/(t,Xt) =/(0,Х0) + J7,'M-) dXs +
о
t t
+ §K(s,X,_)dXs + \ J/^(s,Xs_)d(Xc)s +
о о
+ E U(s,Xs)-f(s-,Xs_)-f^s-,Xs_)-&Xs]. (12)
Следуя Пешкиру [300, гл. II, § 3.5], будем предполагать, что/ =/(t,x)
является кусочной С1,2-функцией.
Более точно, предположим, что в R+ x R заданы два множества
C = {(t,x)eR+ xR:x<b(t)},
D = {(t,x)eR+ xR:x>b(t)},
где b = b(t) —некоторая непрерывная функция ограниченной
вариации. Пусть
/ есть С1,2-функция в С,
/ есть С1'2-функция в D.
Тогда оказывается, что если семимартингал X является
непрерывным, то имеет место следующее обобщение формулы Ито (12):
t
f(t,xt)=/(o,x0) + \ |[/tUxs+)+//(5,xs-)] d* +
о
t t
+ I J[/;(s,Xs+) +/;(s,X,-)] dXs + \ §f?x(s,Xs)I(Xs Ф b(s))d{X)s +
о о
t
+ \ J[A(5,Xs+)-/(s-,Xs-)]7(Xs = b(s))dsIsb(X), • (13)
0
где Lhs{X) есть локальное время непрерывного семимартингала Xt - b(t)
в нуле на интервале [0,5].
Замечание 4. В гл. XXXIV будут рассматриваться стохастические
дифференциальные уравнения
dXt = a(t,Xt)dt + a(t,Xt)dBt, Xt=X0,

§ 9. О некоторых обобщениях формул Ито и Танака
283
или, в интегральной форме,
t t
Xt=X0 + §a(s,Xs)ds + §<r(s,Xs)dBs. (14)
о о
Приведенная выше формула (13) подсказывает, что большой интерес
представляет рассмотрение стохастических дифференциальных
(интегральных) уравнений с локальным временем:
t t t
Xt=x + ja(5,Xs)d5 + J(j(5,Xs)dBs + JJh(5,Xs)dsLsa(X)diLt(a). (15)
О 0 R 0
В качестве примера приведем уравнение
Xt=XQ+Bt + (2a-l)L°t(X),
определяющее скошенное броуновское движение (см. [431]).
Конечно, для уравнения (15) интересны вопросы существования
и единственности сильных и слабых решений.

Глава XIII
Возвратность и невозвратность случайного блуждания
и броуновского движения. Время пребывания.
Функция Грина броуновского движения
§ 1. Мера пребывания и локальное время
броуновского движения (d = 1)
1. Пусть В = (Bt)t^0 — стандартное (одномерное, d = 1) броуновское
движение и /it = /it(-) —случайная мера (время пребывания),
определяемая для борелевских множеств Ае <%(R) формулой
t
Mt(A) = |/A(B5)d5, t>0, (1)
о
где
(l, xeA,
^ (0, хфА.
Сразу заметим, что если А = (—е, е), то
t
/it((-e,e)) = J/(|Bs|<e)d5, (2)
о
что согласно § 6 предыдущей главы делает понятным связь времени
пребывания /it с локальным временем (в нуле) Lt = (L°), определяемым
формулой
t
Lt = lim^Mt((-e,e)) = Hm^ f/(|Bs| <e)ds. (3)
О
Сравнивая эту формулу с формулой (2), видим, что 2е есть мера
Лебега интервала (—е, е) и из существования lim в формуле (3) следует,
что мера Mt((—e,e)) абсолютно непрерывна по мере Лебега.
Следующая лемма содержит общее утверждение относительно
меры /v

286 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
Лемма. Для каждого t > 0 случайная мера {время пребывания) \xt
почти наверное абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.
Доказательство [259]. Согласно Лебегу, /it = /it( •) будет абсолютно
непрерывной по лебеговской мере А = А( •), если для каждого а е R
выполнено условие
jUt(B(g,r))
715- я^а>г»
где В(а, г) = {у € R: |у - а| ^ г}.
По лемме Фату и теореме Фубини имеем
Ejlto^^^dMt(a)^limiEJMt(B(a,r))dMt(a) =
Е г*° ' ri° R t t
= lim^- rfp(|BSi-BS2|<r)dSld52.
r*° 0 0
В силу гауссовости приращений В, — В$2 получаем, что
p(|bSi -bS2\ < г) = р(|?| ^ ^=) ^ -7Т^=т
где £ ~ N(0,1). Тем самым
t t t t
^IJJp(|Bsi-BsJ<r)dSldS24jf||<ooI
r|U 0 0 0 0 ^
и согласно соотношению (4) имеем fjit <C A. □
2. При каждом t ^ 0 случайная мера fjtt абсолютно непрерывна по
мере Лебега, поэтому (по теореме Радона—Никодима)
|Ltt(A) = Jz(t,Jc)dJc. (5)
А
Отмеченная в § 6 гл. XII непрерывность локального времени L* по (t, х)
позволяет утверждать, что плотность Z(t, х) в формуле (5) равна L*, т. е.
в точности совпадает с локальным временем, и, значит,
|Ltt(A) = J L'dx. (6)
И вообще, для всякой локально интегрируемой функции / —f{x) имеем
t оо
J7(a)Mt(da) = J7(Bs)ds= J f{x)Lxtdx. (7)

§ 1. Мера пребывания и локальное время броуновского движения (d = 1) 287
Эта формула носит название occupation time formula, что можно
перевести как формула для времени пребывания.
Из формулы (7) выводится, что для (комплексной) функции /(*) —
= ешх имеет место равенство
t 00
\eiaB*ds= Г eiaxLxtdx.
О -оо
Отсюда, обращая преобразование Фурье, находим, что
-оо Vo У -oo Vo '
3. Как распределено локальное время Iх 1
В случае х = 0, т. е. в случае локального времени Lt (= L°), имеет
место следующая теорема Леви, которая доказывалась в § 7
предшествующей главы, но методом, несколько отличающимся от
приводимого ниже.
Теорема. Процессы
{Mt-Bt,Mt;t2 0} и {|Bt|,Lt;t£0}, (8)
где Mt = supBs, имеют одни и те же конечномерные распределения.
Доказательство. Прежде чем переходить к доказательству,
отметим, что из этой теоремы вытекает на первый взгляд необычный
результат, состоящий в том, что процесс локального времени в нуле и
максимум броунов ского движения имеют одно и то же распределение
(как процессы). Есть много разных доказательств этой теоремы.
Мы применим для доказательства метод, основанный на формуле
Танака (§ 6 гл. XII). Согласно этой формуле (Р-п. н.)
t
\Bt\ = $signBsdBs + Lt=Wt + Lt, (9)
о
t
где Wt = J sign BsdBs есть броуновское движение (винеровский про-
о _
цесс). Обозначим Wt = —Wt9 t ^ 0. Понятно, что это также есть
броуновское движение. Пусть М = (Mt)t^0 есть процесс максимума этого
процесса: Mt = max Ws = max Ws (d — по распределению). Покажем, что
(Р-п.н.) sSt J*<
Mt — Lt для всех t ^ 0. (10)

288 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
В силу того что Ws = -WS9 s ^ 0, из (9) следует, что (Р-п. н.)
WS = LS-\BS\^LS, 5^0,
и, значит, _
Mt^Lt (Р-п.н.), t^O, (ID
поскольку L = (L5)o0 — неубывающий процесс.
С другой стороны, из определения процесса L = (Ls)s^o следует, что
этот процесс возрастает только на множестве А= {(5, со): Bs(co)j= 0}. Но
на этом множестве Ls(co) = Ws(co), и, значит, в силу того что Mt, t^O,
есть неубывающий процесс, получаем, что и на множестве А, и вообще
для всех со € П и t ^ 0 выполнено неравенство
Lt^Mt (Р-п.н.). (12)
Из неравенств (11) и (12) получаем требуемое утверждение:
Lt=Mt (Р-п.н.), t2*0. (13)
Из этого соотношения следует, что (Р-п. н.)
(|B|,L) = (L-W,L), (14)
откуда, также в силу соотношения (13), заключаем, что (Р-п. н.)
{L-W,L) = {M-W,M).
Поэтому
(|B|,L)P=H'(M-W,M) = (M-W,M),
а это и есть требуемое утверждение (8). D
Замечание 1. В § 6 предшествующей главы было отмечено, что
математическое ожидание EL* определяется указанной там
формулой (15).
Замечание 2. То, что по распределению локальное время в нуле
L = (Lt)t^o и максимум броуновского движения М = (Mt)t^0
совпадают, было доказано П. Леви [239] некоторым предельным переходом (от
простого случайного блуждания) еще до появления формулы Танака.
4. Помимо приведенной теоремы П. Леви, утверждающей, в
частности, что для броуновского движения выполнено равенство
есть и другие результаты о свойствах локального времени L* для
разных значений фазовой переменной х. Так, теорема Рэя—Найта [209,
312] утверждает следующее.

§ 2. Среднее значение меры пребывания и функция Грина — 1 289
Пусть В = (£t)t;>o — броуновское движение, для которого В0 = а, где
а > 0. Рассмотрим момент
T = inf{t^0:Bt=0}.
Тогда
{L*:0^x<a} = {\Wx\2:0^x<a}, (15)
где W = (WX)X ->о — стандартное двумерное броуновское движение Wx —
= (Wx, W2) с независимыми стандартными броуновскими движениями
|wj2 = (w^)244wx2)2
есть двумерный процесс Бесселя (гл. XVIII).
Интересно отметить, что для каждого фиксированного х > 0
случайная величина \WX\2 имеет экспоненциальное распределение со
средним 2х.
В самом деле, пусть Е, и г] — две независимые нормально
распределенные, N(0, сг2), случайные величины. Тогда £2 + г)2 экспоненциально
распределено со средним 2сг2 (^-распределение с двумя степенями
свободы). Действительно, для всякой измеримой ограниченной
функции g = g(x), x € R, переходя к полярным координатам, получаем, что
оо оо
Eg(?2 + r,2) = ^ J Jg(x2 + y2)exp(-^f )dxdy =
—оо —оо
00 00
= ^Jg(r2)exp(-^)rdr=:^Jg(a)exp(-^)da = Eg(a
0 0
где £ —экспоненциально распределенная величина со средним 2а2.
§ 2. Среднее значение меры пребывания и функция Грина
для броуновского движения — 1
t
1. Пусть снова iit{A) = J IA(Bs)ds — мера пребывания броуновского
о
движения В = (Bs)s^0 в множестве А к моменту времени t > 0. Нам
удобно сейчас считать, что броуновское движение может выходить
из любой точки х (т.е. В0 = х), сохраняя, однако, за
рассматриваемым процессом традиционное обозначение В = (Bt)t^0. А тот факт,
что В0 — х, мы будем отмечать в его распределении Рх, считая, что
РХ(В0 = х) = 1. (Ср. с понятием семейства процессов в § 1 гл. V.)

290 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
Непосредственно видим, что для всякого А е ^(М) выполняется
равенство
t t
ЕхMt(A) = J"ExIA(Bs)ds = J PX(BS eA) ds =
о о
= Jf Jp(s;x,y)dy Ids = JKp(s;x,y)ds Jdy, (1)
dPx(B,=£y)
где Ex — усреднение по мере Рх и p{s;x, у) — плотность -j- •
Обозначим
Gt(x,y) = ^p(s;x,y)ds.
(2)
Тогда
ExlAt(A) = $Gt(x,y)dy. (3)
Отсюда видно, что Gt(x,y) есть плотность среднего времени
пребывания ExfjLt(-) по мере Лебега в точке у.
Эти рассмотрения являются предысторией к вероятностному
введению функции Грина G{x, у) броуновского движения, которая будет
далее полезна во многих вопросах. (Пока, нестрого говоря, под функцией
Грина G(x,y) можно понимать предел функции Gt(x,y), по крайней
мере в случае d ^ 3, при t —> оо.)
Вышеприведенные формулы можно рассматривать для
броуновского движения любой размерности d ^ 1, и, оказывается, от этой
размерности существенно зависит правильное определение самого понятия
«функция Грина броуновского движения».
2. Наши дальнейшие рассмотрения будут носить вероятностный
характер, но само понятие «функция Грина» возникло в теории
дифференциальных уравнений, когда Дж. Грин (George Green, 1793—1841)
опубликовал (в 1828 г.) работу [159], в которой он рассматривал
уравнение Пуассона Аи = f для электрического потенциала внутри
ограниченной области с заданными граничными условиями (см. гл. XVI).
Идея Грина состояла в следующем. Если рассматривать линейное
неоднородное дифференциальное уравнение Lu — f, то чисто
формально его решение можно записать в виде и = L~lf.

§ 2. Среднее значение меры пребывания и функция Грина —1 291
Обратный к дифференциальному оператору есть интегральный
оператор, который, оказывается, можно иногда искать в виде
u(x) = jG(x,y)/(y)dy.
Функцию G{x,y), участвующую в этом представлении, Риман назвал
функцией Грина. Ее отыскание крайне важно для решения
дифференциальных уравнений типа Lu = f.
Мы увидим далее, что многие дифференциальные операторы тесно
связаны с броуновским движением. Так, в 1900 г. Л. Башелье установил
связь оператора Лапласа с броуновским движением. См. также
формулу Ито (§4 гл. XII).
Можно дать следующую интерпретацию функции Грина.
Рассмотрим уравнение Lu(x) = f{x), и пусть G(x,s) —
фундаментальное решение, т. е. решение уравнения
LGU,s) = 5(>-s), (4)
где 5 —дельта-функция Дирака (§ 5 гл. I). Предположим, что L
—линейный оператор. Тогда из формулы (4) получаем
\LG(x,s)ffis)ds= \5(x -s)f(s)ds=ffix), (5)
и в силу линейности L из формулы (5) следует, что
LJG(jc,s)/(s)ds=/(jc). (6)
Но Lu(x) =/(*), что вместе с соотношением (6) приводит к решению
и(х)= fG(.x:,s)/(s)ds.
(7)
Физический смысл функции G(x,s) здесь ясен —это отклик в
точке х системы, определяемой оператором L, на единичный точечный
источник, находящийся в точке 5. Поэтому представление (7) для
решения и(х) уравнения Lu(x) =f(x) можно мыслить как результат,
созданный системой в виде суперпозиции вкладов отдельных источников.
3. Формула (7) на самом деле хорошо известна из линейной алгебры
при решении линейного алгебраического уравнения
АЛ
(8)
W
или, в матричной форме,
LX = Y.

292 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
Действительно, представим вектор Y в виде
У = У1*\ + -+Уп*п>
(9)
где
ei =
О
W
е„ =
— единичные векторы.
Рассмотрим решения Х{ уравнений AXt =eh i = 1,..., п. Тогда
решение X может быть представлено в виде
Х = у1Х1 + ...+упХп.
Теперь нужно сравнить это представление с формулами (4) — (7), чтобы
увидеть общность нахождения решений у систем Lu=f и LX = Y.
§ 3. Среднее значение меры пребывания в случае
простого d-мерного случайного блуждания.
Возвратность и невозвратность
1. Прежде чем переходить к более детальному изучению средних
значений меры пребывания для броуновского движения и их
применениям к дифференциальным уравнениям (включая и функции Грина),
естественно сначала рассмотреть аналогичные вопросы для простых
случайных блужданий в разных размерностях d ^ 1. Это вполне
целесообразно, поскольку между свойствами таких блужданий и
броуновским движением много общего.
Подобно тому как на броуновский процесс можно смотреть как на
процесс с независимыми приращениями или однородный марковский
процесс, так и на простое случайное блуждание можно смотреть с
разных точек зрения: как на сумму независимых одинаково
распределенных случайных элементов или как на однородную марковскую цепь.
Нам удобен сейчас второй путь. Под простым, d-мерным
случайным блужданием будем понимать однородную марковскую цепь X =
= (Хп)п^0, описывающую блуждание «частицы» по узлам решетки Zd =
= {0, ±1,±2, ...}d. Предполагается, что эта «частица» с некоторой
вероятностью может перейти в любое соседнее состояние. Так, в случае
d = 1 матрица переходных вероятностей имеет вид
(1)

§ 3. Среднее значение меры пребывания для случайного блуждания 293
Если р = 1, то «частица» движется вправо, а если р = О, то «влево».
В этих случаях движение детерминированное и для нас интереса не
представляет. Если р = q = ^, то движение носит симметричный
характер. Именно такие (простые) движения будут для нас представлять
интерес.
Если d = 2, то, скажем, из состояния i — (0,0) частица (в
симметричном случае) может переходить в любое из состояний }: (1,0), (0,1),
(-1,0), (0, —1) с вероятностями -т.
Аналогично рассматривается и случай любой размерности d.
2. Итак, будем рассматривать лишь симметричные простые
случайные блуждания. Начнем со случая d = 1, обозначая через Рх
распределение вероятностей цепи X = {Хп)п^0 сХ0 = х (распределение Р0
обозначаем просто Р). В этом случае (с Х0 = х)
Хп=х + ?1 + ... + ?п, (2)
где £ъ £2,... — независимые случайные величины,
Р(51. = 1) = Р(51. = -1) = 1. (3)
Из свойств биномиального распределения (см., например, гл. I в [495])
следует, что
Р(ХП = к) = Сп2 • 2~п для \к\ ^ п, к = п (mod 2).
В частности,
vCy. —пЛ — г
J2n
P(X2n=0) = C2V2"2n. (4)
Следующие классические результаты для блуждания (2) хорошо
известны [495, 496]), и их полезно сравнить с соответствующими уже
рассмотренными результатами для броуновского движения.
Усиленный закон больших чисел:
p(lim^ = oW. (5)
(Ср. с формулой (1) в § 1 гл. I.)
Центральная предельная теорема:
(у г У
a^-f,<b) = Ф(Ь) - Ф(а), Ф(х) = -р= \ е"2 dy.
-00
(Ср. с § 1 гл. I.)
(6)

294 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
Закон повторного логарифма:
Р(Ш— '*"' - = l). (7)
v п v2nloglogn y
(Ср. с § 4 гл. IV.)
Марковское свойство:
= РХв((Х1,Х2,...)€В) (Рх-п.н.), (8)
где В € ^(Ж00). (Ср. с § 2 гл. V.)
Строго марковское свойство:
Рх((-Хт+1>-Хт+2> ---J^B \Xi,X2, ...,ХТ) =
= PXt((X1?X2,...)gB) (Рх-п.н.) (9)
для конечных марковских моментов т. (Ср. с § 2 гл. V.)
Если тг = min{n ^ 1: Хп = 1}, Х0 = О, то
Р(т!<оо) = 1, Ет = оо.
(Ср. с § 1 гл. XI.)
Если (/?(Я) = Ее"Ят1, Я > 0, то
<р(Х) = ех-у/е2Х-1.
(Ср. с § 1 гл. XI.)
Если таЬ -min{n:Xn = а илиХп = Ь} = та Лть, где та = min{n:Xn =
= а}, ть = min{n: Хп = Ь}, то для а < л: < Ъ (х =Х0) выполнены
равенства
Px(Tb<Te) = fff.
(Ср. с § 2 гл. XI.)
3. Для нас важными будут имеющиеся результаты относительно
возвратности и невозвратности однородных марковских цепей X =
= (Хп)п^о со счетным множеством состояний Е = {1,2,...} (для
простоты) и переходными вероятностями рху = Рх(Хг = у), х,уе£.
Введем моменты остановки
o-^(w) = inf{n ^ 1: Хп(со) = х}
(ах(со) - оо, когда {•} = 0), и пусть также
№ = Ы°х = п) и f™ = Px(ay = n). (10)

§ 3. Среднее значение меры пребывания для случайного блуждания 295
Понятно, что
/Ы = Рх(Хкфхдпя1^к*кп-1иХп = х),
/^ = Рх(Хкфудля1^к^п-1иХп = у).
(И)
Для х,у €.Е положим
П=1
Из соотношений (10) и (12) следует, что
Лу=РхК<00). (13)
Эти величины лежат в основе следующих определений.
Определение 1. Состояние х еЕ называется возвратным
(рекуррентным,— recurrent, повторяющийся время от времени), если
/хх = Ъ т.е.Рх(огх<оо) = 1.
Определение 2. Состояние х GE называется невозвратным,
(нерекуррентным— nonrecurrent, неповторяющийся), если
fxx < 1, т. е. Рх(сгх < оо) < 1 или Рх(сгх = оо) > 0.
Известна (см., например, [496, гл. VIII, § 5]) следующая теорема.
Теорема, а) Возвратность состояния х е Е имеет место тогда и
только тогда, когда
00
2 Рх"х = °° или> что эквивалентно> Р*(Хп = х б.ч.) = 1, (14)
п=1
гдерх^ = Рх(Хп=х).
б) Невозвратность состояния х е Е имеет место тогда и только
тогда, когда
оо
2 РхПх < °° или' что эквивалентно> Рх(хп = х б.ч.) = 0. (15)
п=1
Из этой теоремы становится понятной роль меры пребывания (для
t
броуновского движения /it(X) = //Л(В5) ds; см. § 2). Именно, пусть Ах =
= {х}и °
п оо
M„(AJ=IX(*b>, Моо(ах)=2^(^). (16)
Ь=1 fc=l
Тогда видим, что
ЕХМ„(АХ) = I Px(Xfc еЛх) = 2 Px(Xfc = х) = £ р<£ (17)
fc=l fc=l fc=l

296 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
* -2п
Приведенная теорема в терминах среднего значения времени
пребывания может быть переформулирована следующим образом:
а) состояние х возвратно <=> ExfJLOD(Ax) = оо;
б) состояние х невозвратно <=> Exfji00(Ax) < оо.
4. Что мы имеем для простого случайного блуждания в случае d = 1?
Как мы уже знаем (см. формулу (4)), если Е = {О, =Ы,±2,...} и р =
По формуле Стирлинга п\ ~ v27m( - 1 (см. [495, гл. I, § 2]) имеем
р£^-к, XGE,
и, значит,
00
Тем самым в случае d = 1 простое случайное блуждание возвратно.
Если d = 2, то [496, гл. VIII, § 8]
р^ = Ш2п(с2"п)2
и снова по формуле Стирлинга
„(2п) _ _!_
а значит,
с»
2 pgr} = оо.
п=1
Таким образом, в случае d = 2 простое случайное блуждание по
множеству Е = {0, ±1, ±2, ...}2 также является возвратным. Но в
случаях d ^ 3 ситуация резко отличается от предшествующих двух случаев
d = 1 и d = 2. В этом случае (d ^ 3)
Ухх nd/2 >
и тогда понятно, что
00
Ер£°<оо,
п=1
а значит, мы имеем невозвратные состояния х е £ [496, гл. VIII, § 8].

§ 3. Среднее значение меры пребывания для случайного блуждания 297
Интересно отметить, что если у = тах(п: Хп = 0), т. е. у — момент
последнего достижения нулевого состояния, то при d ^ 3 вероятность
р0(у < оо) равна 1, см. [255].
5. Отметим еще некоторые свойства простого случайного
блуждания, следуя книге [255].
Случай d = 1. Пусть движение начинается из нулевого состояния.
Обозначим через v(N) число посещений нулевого состояния за
время N. Часто считают, как подсказывает интуиция, что v(N) имеет
порядок N. На самом деле точное утверждение здесь состоит в следующем:
СЮ 2
ft,Po(w^') = vIJe~^ (19)
X
(См. [255, 3.3.2]; ср. этот результат с законом арксинуса — см. § 4 в
гл. VI.)
Различные вопросы, например, финансовой математики и
математической статистики приводят к необходимости вычисления «размаха»
V(n) = maxXk - minXfc. (20)
к^п к^п
Оказывается (см., например, [255, с. 85]),
ОО 2
FM = lim Р0(^§ ^ х) = 1 + § (-l)fc4fei/§ Г е"Т dy. (21)
п—»оо V <Jn J ^ ' 7t J
— кх
Соответствующая плотность /(х) = F'(x) задается формулой
ПГ сю к2х2
/W = Vf SC-D^^fcV—. (22)
11 fc=i
Замечание. Для случая броуновского движения соответствующая
плотность дается в замечании 4 в § 4 гл. VII.
Случай d = 2. В этом случае будем обозначать через V(n) число
различных мест, посещаемых двумерным простым случайным
блужданием. Тогда
Poflim ,, =l1 = l (23)
uLn^oo тгп/logn J v '
(cm. [255,4.6]).
Случай d ^ 3. Как и в случае d = 1, простое случайное блуждание
при d = 2 посещает каждое состояние бесконечное число раз. Но в
случае d ^ 3, где фазовое пространство Е слишком «большое», движение
начинает уходить в бесконечность:
P0(lim|Xn| = oo) = l, (24)

298 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
где \Хп | — евклидова норма. (Заметим, что по закону Колмогорова
«нуля или единицы» вероятность Р0( lim\Xn\ = ooj может принимать
только одно из двух значений — нуль или единица.)
Таким образом, весьма правдоподобно, что среднее значение числа
возвращений будет конечным. Известно [255, 4.3], что это значение
00 00
Е0 Е Я*2п = 0) = £ Ро(*2п = 0), (25)
оказалось равным const -K2(k). Здесь К(к) есть полный эллиптический
интеграл Якоби
1 тг/2
К{к) = I ^l-Jxi-M) = I v/1-FsinV (2б)
где /с — некоторая константа, 0 < /с < 1.
Численный расчет показывает, что это среднее число возвращений
3
довольно-таки малое, оно равно примерно ~-
Имея свойство (24), естественно задаться вопросом о том, как
быстро простое случайное блуждание (при d ^ 3) уходит в бесконечность.
В случае d = 3 (см. [255, 4.2]) имеем
Р0(|Хп|^>/г1Й(л)и.к.ч.) = 1
для положительной убывающей функции ft(rc) такой, что £ < оо
1 п
(сокращение и. к. ч. — «исключая конечное число» — введено в гл. VI,
§ 1). В дополнение к формуле (21) (для d = 1) и формуле (23) (для d = 2)
отметим, что при d = 3 выполняется равенство
v(n)
P0(l,m^=c) = l,
где с ^ 2/3 —некоторая константа (см. [255, п. 4.8]).
Дополнительный материал о свойствах простого случайного
блуждания в разных размерностях d можно найти в уже не раз упомянутой
книге [255].
§ 4. Возвратность и невозвратность броуновского движения
в размерностях d ^ 1
1. Уже не раз отмечалось, что между случайным блужданием и
броуновским движением (в разных размерностях d ^ 1) есть много
общего. В § 3 мы рассматривали вопросы возвратности и невозвратности

§4. Возвратность и невозвратность броуновского движения (d ^ 1) 299
для однородных марковских цепей (в том числе и для простого
случайного блуждания). При этом оказалось, что следует различать три
случая: d = 1, d = 2 и d ^ 3. Точно так же и для случая броуновского
движения надо различать эти три случая.
2. Теорема. Пусть В = (В1,...,Bd) есть стандартное d-мерное
броуновское движение, вообще говоря, выходящее из произвольной точки
х €Rd. (Мера такого процесса обозначается Vx.)
A. Б случае d = 1 броуновское движение В = (Bt(co))t^0 является
возвратным, т. е. для любого х е R
множество {t ^ 0: Bt(co) = л:} неограничено (Рх-п. н.).
Б. В случае d = 2 броуновское движение является е-возвратным,
т. е. для любого xel2u любой области (т. е. непустого связного
открытого множества) D с R2
совокупность моментов {t ^ 0: £f(cc>) е D} неограничена (Рх-п. н.) (1)
шш, что эквивалентно, при любом е > 0
множество моментов {t ^ 0: ||£t(o>)|| < е} неограничено (?х-п. н.). (2)
Все точки у е R2 являются полярными в том смысле, что
Vx(Bt=y для некоторого t > 0) = 0 (3)
для любого х € R2 (см. далее замечание к этой теореме).
B. В случае d ^ 3 броуновское движение является невозвратным,
т. е. для любого х е Rd выполняется равенство
lim||BJ| = oo (Рх-/2.н.). (4)
t—»оо
Для доказательства теоремы нам понадобится следующее
предложение.
Лемма. Пусть
A={xeRd:r^\\x\\^R}}
гдеО<г<Жоо, \\х\\ = {х\ + ... + лф1/2, x = (xb...,xd) GRd. Положим
Ty = inf{t>0:||Bt||=y}, y>0.
Для всякого л: е А выполнено равенство
(R-Ы А Л
R_r , если а = 1,
Ы^г<^я)={
logR-log||x|l , 0 р-л
-j—„—; , если d = 2, к.Ь)
logR-logr '
R
2-d .
R2-d
если d ^ 3.

300
Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
В частности, если хфВ{0,г), то {при R —> оо в формуле (5))
(l, если d^ 2,
Рх(тг<оо)=^ г V*"2 ..... ... (6)
(ijjji) , если ОЗ.
Доказательство леммы. Можно непосредственно убедиться, что на
множестве {х: \\х\\ ^0} функция
(||х||, еслис! = 1,
21og||x||, если d =2,
\\x\\d~2, еслиОЗ,
является гармонической (Ди(лг) = 0). Для всякого х е А момент т =
= тг Л tr является конечным (Рх-и. н.). Поэтому из формулы (5) в § 6
гл. XIV, дающей решение задачи Дирихле, следует, что
и(д0 - Е*и(Вт) - и(г)Рх(тг < тя) + u(R)(l " Р*(^я < тг)).
Таким образом,
что и доказывает формулу (5), и предельным переходом при R —> оо
получаем формулу (6). П
Доказательство теоремы. Утверждение А (одномерный случай)
следует непосредственно из закона повторного логарифма.
В двумерном случае (утверждение Б) достаточно доказать
утверждение (2), поскольку (1) следует из него в силу свойств броуновского
движения.
Положим В(0,е) = {у е R2: ||у|| < е} и введем последовательность
моментов
f1=inf{t>0:Bt€B(0,e)},
f 2 = inf{ t > f! + 1: Bt € B(0, e)}
и т.д.
В силу формулы (6) момент f: является Рх-п. н. конечным для
любого х € Ш2. Из строго марковского свойства броуновского движения в
момент f J + 1 следует (опять же в силу формулы (6)), что момент т2
является (Рх-п. н.) конечным, х € R2. Таким образом, мы получаем
последовательность таких (марковских) моментов f п, п ^ 1, что при
любом п ^ 1 выполнено условие Bf п € В(0, е) (Рх-п. н. для любого х € М2).
Отсюда следует ^-возвратность, е > 0, в случае размерности d = 2.
Наконец, чтобы доказать утверждение (4) в случае В, введем
события
Ап = {со: ||Bt(co)|| > п для всех t ^ тпз},

§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина — 2 301
где тг = inf{t > 0: ||Bt|| = г}. Момент тпз конечен (Р^-п.н.). Тогда по
строго марковскому свойству для п^ |М|1/3 согласно формуле (6) имеем
РХ(АП) = Ех [PBv (тп < оо)] = (^)'~2.
Следовательно, по первой лемме Бореля—Кантелли лишь только
конечное число событий Ап осуществится. Значит, (Рх-п. н.) ||Bt|| —> оо
при t —► оо, что и означает невозвратность. □
Замечание. Отметим некоторые траекторные свойства
броуновского движения в размерности d = 2.
В силу свойства Б и произвольности е > 0 траектории такого
движения являются всюду плотными в R2. Но почти наверное эти траектории
не проходят через счетное число фиксированных точек (не считая
точку выхода), например через фиксированные точки с рациональными
координатами. Лебеговская мера Я2 множества {Bt(co): t ^ 0} равна
(Рх-п. н.) нулю. (Подробнее об этих свойствах можно прочитать,
например, в книге [259].)
Напомним, что в одномерном случае (d = l) множество нулей {t^O:
Bt{co) = 0} является (Р0-п. н.) замкнутым множеством без
изолированных точек (совершенным множеством). См. также гл. XXXVIII.
§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина
для броуновского движения — 2
1. Обратимся снова к мерам пребывания (на [0, t])
t
|Ltt(A) = J/A(Bs)ds
0
и их средним значениям
t t
Exlit{A) = Ex J/A(Bs)d5 = §PM eA)ds.
о о
В случае d = 1 рассмотрение мер [jit привело нас к понятию
локального времени (§ 1).
Сейчас мы будем рассматривать меры пребывания и их средние
значения на случайном интервале [0, т], где т —момент остановки.
В том случае, когда т = оо, мы будем величины /^(А) и Е^/х^А)
обозначать просто [л(А) и Ех[л(А). (Ср. с формулами (16) и (18) в § 3.)

302 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
Предварительно докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть А— непустое ограниченное открытое множество
eRd и xeRd. Тогда
00
а) если d = 2,mo J IA(Bs)ds = оо (Рх-п. н.);
о
оо сю
б) если d^3,moExf IA(Bs)ds = J РДВ5 е A) ds < оо.
о . о
Доказательство [259]. Поскольку А является непустым
ограниченным открытым множеством, оно содержится в шарах и содержит шары.
Поэтому доказательство достаточно вести только для шаров, которые
без ограничения общности имеют центр в нуле. Итак, рассмотрим шар
А = В(0, г), г > 0. Положим G = В(0,2г) и т0 = 0.
Для k ^ 1 определим моменты
ак = inf{t > тк_г: Bt е А} и тк = inf{t >ak:Bt(£ G}.
Эти моменты являются почти наверное конечными, и по строго
марковскому свойству (Р*-п. н.) и инвариантности двумерного
броуновского движения относительно вращения
^k
= EV
j/A(Bt)dt^sl Up J J/A(Bt)dt^sl.
Случайные величины J IA(Bt)dt, к ^ 1, одинаково распределены и
o-Jfc
независимы. Они положительны, и по усиленному закону больших
чисел (Р^-п.н.)
= 00.
О ак
Для доказательства утверждения б) в случае х = 0 запишем
00
00 Tfc
f/A(Bt)dt= Km £ f/A(Bt)dt:
E0Jv,r)(Bs)d5 = Jp0{BseB(0,r)}d5 = J J p(s;0,y)dy d5 =
00 0 B(0,r)
"f Г 00 2
Г |p(*;0,y)dsdy = or(5B(0,l)) fp^1 (Y—L-VV^ dsdp>
B(0,r) 0

§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина — 2 303
где сг(ЗВ(0,1)) —лебеговская мера поверхности ЗВ(0,1) шара В(0,1);
см. формулу (6) в § 4 гл. XIV.
Р2
Делая замену переменных t = —, мы получим с некоторой
константой c{d), что правая часть здесь равна
г
c(d) jV~V~d dp = \c{d)r2 < oo.
о
Переход от х = О к произвольному х осуществляется следующим
образом. Выпустим броуновское движение из нуля и рассмотрим первый
момент т достижения сферы В(0, \х\). Тогда из сферической симметрии
и строго марковского свойства следует, что
00 00 00
Ех J /B(0,r)(Bs) ds = Е0 J/В(0)Г)(В5) ds ^ E0 J/В(о,г)№)ds. □
ОтО
t
Замечание. Интересно, а с какой скоростью jUt(A) = J/(A)(Bs)d5
о
стремится к оо при t —> оо в двумерном случае (d = 2)? В работе [201]
(см. также § 3 гл. XX) показано, что для всех (борелевских) множеств А,
для которых 0 < \А\ < оо, справедливо следующее утверждение:
2я^(А) d
|A|logt ~*?'
где <^ — стандартная экспоненциально распределенная случайная
величина:
Р(£ G dx) = e~x dx, 0 < х < оо.
2. Тот факт, что в случае d = 2 величина ju(A) становится равной
бесконечности, мешает определению (в стиле § 2) функции Грина на
[О, оо). Именно это обстоятельство определяет то, что в случае d = 2
рассматривают не величины д(А), а величины jUT(A), где
(ах) т есть экспоненциально распределенная случайная величина,
независимая от В, и
(а2) т есть момент первого выхода из ограниченной области,
содержащей начало координат.
В случае d ^ 3 полагаем
(бх) т = оо.
В этом случае (d ^ 3) броуновское движение (как и для случайного
блуждания, § 3) оказывается невозвратным. Случаи (ах) и (а2) также
оказываются невозвратными, что дает возможность определить
(собственную) функцию Грина.

304
Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
3. Подобно тому как в § 2 определялась величина ExfJit(A) (см.
формулы (1) —(3) в § 2), так и теперь будем рассматривать ExfjLT(A) для
тех т, которые определены соглашениями (ах), (а2) и (6J.
Имеем т
Ex/iT(A) = ExJ/A(Bs)ds =
0 оо оо
= ЕХ J/(5 ^ T)/A(Bs)d5 = JEX/(S ^ T)JA(Bs)dS- (1)
о о
Ниже мы докажем, что математическое ожидание ExI(s ^ т)/Л(В5)
может быть представлено в виде
EJ(s ^ t)/a(Bs) = |p*(5; х,у) dy, (2)
Л
где р*(5;х,у) есть некоторая субплотность:
[0,оо) xMdxi^ [0,1], jV(s;*,y)dy ^ 1.
Тогда из соотношений (1) и (2) (ср. с формулами (1) —(3) в § 2) по
теореме Фубини получаем
00 i' Ч Г 00
rMT(A) = Jl Jp*(s;x,y)dy )ds= П Jp*(s;x,y)ds
dy.
Определение. Величина J p*(s;x,y)ds называется функцией Грина
о
(или гриновским ядром) броуновского движения и обозначается
00
G(x,y) = $p*(s;x,y)ds. (3)
О
Тем самым
E^(A) = jG(x,y)dy. (4)
А
В случае (а^, когда т = тя является экспоненциально распределенной,
случайной величиной с параметром Я > 0, имеем
P*(s;x,y) = e-*3p(is:x,y). (5)
Из определения (3) выводим, что для всякой неотрицательной
измеримой функции / = /(у): Rd —► [о, оо) выполнено равенство
E,j7(Bs)d5 = j7(y)G(x,y)dy, (6)

§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина — 2 305
что следует из того, что
E,J/(Bs)ds = jEx[J(s^TA)/(Bs)]ds = JJp*(s;jc,y)/(y)dyds =
0 0 0 Rd
00
= JJp*(s;*,y)ds/(y)dy = jG(*,y)/(j)dj.
4. Если d ^ 3, то мы полагали т = оо (см. соглашение (б^). В этих
случаях
p4s;x,y)=p(s;x,y),
где плотность имеет вид
п \х-у\2
Поэтому, полагая t = —z , получаем, что
00
О
\x-y\2-d ri-2 _
2nd'2
\t*-2e-Ut = ^-\X-y?-*,
где Г(и) = J tu le f dt — гамма-функция.
о
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 2. В случае d ^ 3 функция Грина для d-мерного
броуновского движения имеет вид
G{x,y) = c{d)\x-y\2~\ (7)
где
гЦ-i)
c(d) =
2nd'2 '
5. Теорема 3. В случае d — 2u при предположении (аг) (т = тя имеет
экспоненциальное распределение с параметром А = 1) функция Грина

306 Гл. XIII. Возвратность. Время пребывания. Функция Грина
для двумерного броуновского движения имеет вид
\х-у\2
(8)
о
где
00
-Ei(-b) = ^~du (9)
— интегральная показательная функция.
Если \х — у\ |0, то
G(x,y)~-^log|x-y|. (Ю)
7U
Доказательство. В рассматриваемом случае (ах) имеем
Г 1 , ^^
G(x,y) = GA(x,y) = J ^7е е 2t dt.
о
Поскольку GA(x - у) = Gx(\/A(a: - у)), без ограничения общности
можно предполагать, что Я = 1. Тогда
00 ^ 00 \ 00 у' 00 Л
0 \x-y\2/(2t) J 0 ^|x-y|2/(25) '
откуда следует формула (8).
Для получения оценки (10) получим сначала для G(x,y) оценку
сверху. Имея в виду получение оценки (10), можем считать, что | х — у | ^
^ 1. Тогда
\x-y\2/{2s)
l0S \Х-у\2 + Ъ еСЛИ 1Х " У^ ^ 25'
если |х -у|2 ^ 25.
Поэтому, полагая у = - j e s logs ds > 0 (у* — константа Эйлера), полу-
о
чаем, что
G(x,y) ^ ^-(1 + log2 - г - 21og |х - у |). (и)

§ 5. Среднее значение меры пребывания и функция Грина — 2 307
Для получения нижней оценки применим неравенство
00 1
|*-y|2/(2s) \x-y\2/{2s)
из которого следует, что
G(x,y)^ ~(-l+loS2-T-2\og\x -у\). (13)
Из неравенств (11) и (13) получаем требуемую оценку (10). □
Замечание. Ср. формулы в теоремах 2 и 3 с формулами в теореме
-из § 1 гл. XVI.

Глава XIV
Аналитические и вероятностные аспекты теории
потенциала. Гармонические функции
§ 1. Исторический экскурс
1. Предпосылками к созданию теории потенциала явились
исследования И. Ньютона (I. Newton, 1642—1727), связанные с описанием
сил гравитации (притяжения) между двумя частицами малого размера
(или, как говорят, между двумя материальными точками). Именно, в
своем законе всемирного тяготения (~ 1687 г.) он установил, что
сила F притяжения двух материальных точек с массами т1 и т2, находя-
щихся друг от друга (в к ) на расстоянии г, пропорциональна —ъ—>
т. е. пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними.
Важный шаг затем был сделан Ж. Л. Лагранжем (J. L. Lagrange,
1736—1813), который установил (~ 1773 г.), что поле гравитационных
сил F является консервативным, т. е. существует такое скалярное поле
и = и(х), что
F = gradu = Vu, (1)
или (в трехмерном случае)
„ ди. . ди. . ди, ._ч
(подробнее об этом будет сказано в § 1 в гл. XV).
Функция и = и(х) была названа Дж. Грином (G. Green, 1793—1841)
потенциальной функцией, а с 1840 г. вслед за К. Гауссом (С. F. Gauss,
1771—1855) ее стали называть потенциалом.
К. Гаусс также установил, что потенциальный подход справедлив
не только для гравитационных сил, но применим также и к другим
силам, например к тем, которые возникают в магнетизме и
электростатике. (Напомним, что работа Дж. Грина называлась «An essay on
the application of mathematical analysis to the theories of electricity and
magnetism», 1828 г., [159].)

310
Гл. XIV. Гармонические функции
Следующий важный шаг состоял в понимании того, что во многих
случаях векторное поле сил F является соленоидалъным (трансверсаль-
ным, вихревым, несжимаемым, недивергентным — divergence-free), т. е.
divF = V-F = 0. (3)
Силовые линии такого поля или замкнуты, или уходят в
бесконечность. Свойство (3) интерпретируют как отсутствие источников или
стоков.
При наличии же источников или стоков, т. е. когда
divF = g, (4)
где g ^ 0, поле называется дивергентным. Если силовые линии
разбегаются от источника, то дивергенция положительна. В случае же
сходимости к стоку дивергенция отрицательна.
Если принять во внимание соотношение (1) — консерватизм поля F,
то из формулы (3) получаем
V • Vu = 0,
или
Аи = 0, (5)
поскольку
V • Vu = V2u = Au (6)
(см. п. 4в§1гл. XV).
2. Итак, мы видим, что во многих случаях (например, для
консервативных векторных полей) исследование свойств полей может быть
сведено к изучению решений и = и(х) уравнений, определяемых
оператором Лапласа Аи, причем в той части пространства, где эти
уравнения действуют.
Эти задачи относятся к классической теории потенциала. Однако
мы уже знаем, что оператор Лапласа самым непосредственным
образом связан с броуновским движением, и получено много результатов,
в которых броуновская теория дает новые подходы к классической
теории потенциала. В качестве иллюстрации мы сосредоточим наше
внимание на классических задачах Дирихле (когда Аи = 0) и Пуассона
(когда Аи = /, / ^ 0) с демонстрацией как классических подходов, так и
вероятностных методов их решения.
§ 2. Классическая проблема Дирихле для оператора Лапласа
1. Из изложенного в предыдущем параграфе материала мы видим,
что при определенных предположениях исследование векторных
полей F может быть сведено к решению задач, связанных с оператором.

§ 2. Классическая проблема Дирихле для оператора Лапласа 311
Лапласа
z = l UXi
для потенциала и = и{х), х = (xl3...,xd) e Rd.
Наиболее известна здесь первая краевая задача, или задача
Дирихле, в общих чертах состоящая в том, чтобы найти функцию, которая
решает некоторое дифференциальное уравнение внутри (или вне)
заданной области с определенными (граничными) условиями на ее
границе.
Пусть D — некоторая область, т. е. непустое связное открытое
множество в Rd, d ^ 1, с границей Г = 3D. (Связность означает
невозможность представить множество D в виде объединения двух
непересекающихся открытых множеств.)
Предположим, что на границе Г задана некоторая функция у —
= у{х)\ Г —> R, которую часто (например, в электростатике)
интерпретируют как «заряд» на границе.
Проблема Дирихле (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805—1859) для
оператора Лапласа состоит в том, чтобы в множестве D — D U Г найти
такую функцию и = и(х), что в области D она является гармонической,
т. е. удовлетворяющей уравнению
Дц(х) = 0, xeD, (1)
а на границе Г = 3D выполняется равенство
и(х) = ¥>(*), xer = dD, (2)
где ip = </?(*) — некоторая заданная функция. (Иногда говорят, что
рассматриваемая проблема есть внутренняя задача Дирихле. Ее также
называют (D, ^-проблемой.)
Основная цель состоит в том, чтобы в том или ином классе функций
и = и(х) доказать существование и единственность решения и найти
его явный вид в зависимости от поведения граничной функции if — ц{х)
и свойств границы Г = 3D.
2. В дополнение к историческому экскурсу (§ 1) отметим также
следующее.
Дж. Грин (1828 г.) был первым, кто рассматривал задачу (1), (2).
Он использовал построения, основанные на функциях, которые теперь
называют функциями Грина (по предложению Б. Римана).
Затем К. Гаусс, У. Томсон (Willian Thomson — Lord Kelvin, 1824—1907)
и, наконец, П. Г. Л. Дирихле обратились к проблеме (1), (2), применяя
иные подходы к ее решению. Так, например, Томсон и Дирихле
использовали вариационный подход, основанный на минимизации «энергии

312 Гл. XIV. Гармонические функции
Дирихле» Е(ц) = X J I Vu|2 dx при условии (2); подробнее об этом будет
сказано в п. 6. (Выражение Е(и) аналогично известной формуле оту2
для кинетической энергии.)
Этой проблемой занимались также Б. Риман (Bernhard Riemann,
1826—1866), предложивший для ее решения метод конформных
отображений, К. Вейерштрасс (Karl Weierstrass, 1815—1897) и Д. Гильберт
(David Hilbert, 1862—1943), которые использовали прямой метод
исчисления вариаций.
Существование решения проблемы Дирихле зависит от
структуры границы Г = 3D и поведения граничной функции у — ц{х). В 1911 г.
С. Заремба (Stanistaw Zaremba, 1863—1942) и в 1914 г. А. Лебег (Henri
Lebesgue, 1875—1941) дали примеры границ и граничных функций, для
которых проблема Дирихле не имеет решения (см. § 6).
3. В том случае, когда в области D искомая функция и = и(х)
удовлетворяет уравнению
Ди(х) =/(*), xeD, (3)
задача (3), (2) называется проблемой Пуассона (Simeon Denis Poisson,
1781-1840).
Если вместо граничного условия (2) действует условие
^00 = ^00, <4>
то говорят, что это условие Неймана.
Если же на границе Г = 3D дано смешанное условие
^- = с(и-'0), с = const, (5)
то говорят, что это условие Робина.
4. Приведем примеры, показывающие, как возникают уравнения
Дирихле и Пуассона в областях, отличных от упомянутых выше.
Гидродинамика. Рассмотрим установившееся течение жидкости
без наличия вихрей. Тогда если V = У(х, y,z) — скорость этого течения,
то, как известно из гидродинамики,
rot V = 0, (6)
или V х V — 0 (см. обозначения в п. 4 § 1 гл. XV).
Отсюда вытекает, что существует такое скалярное поле и
(скоростной потенциал), что
V = gradu (7)
(ср. с формулой (1) в § 1).

§ 2. Классическая проблема Дирихле для оператора Лапласа 313
Если еще дополнительно предположить, что жидкость несжимаема,
то
divV = 0. (8)
Из соотношений (7) и (8) следует, что
divV = divgradu = V • gradu = V • Vu = Au — 0.
Таким образом, мы снова приходим к уравнению Au = 0 для
скоростного потенциала и — и{х, у, z).
Электродинамика. В случае электрического поля F мы (согласно
Дж. Максвеллу) имеем rotF = 0 и divF = 4яр, где р —плотность
заряда. Условие rotF = 0 опять же подтверждает, что F = — gradu, где и —
скалярный электрический потенциал. Следовательно,
Au = V • Vu = V • gradu = div(gradu) = - divF = -4яр.
Тем самым мы видим, как в электростатике возникает уравнение
Пуассона Au =/, где / = -4яр.
Аналитические функции. Пусть z — х + iy и аналитическая
функция h = h(z) записана в виде h{z) — u(x,y) + iv(x,y). Согласно
уравнениям Коши—Римана для аналитических функций имеем (см.,
например, [460])
dii _ ду_ ди _ dv
дх ~ ду' ду ~ дх'
Отсюда следует, что
д2и = д (dv\_ д (ди\__д2и
дх2 ~ дх Уду ) ~ ду \ ду)~ ду2
и, значит,
22" , д2и п
Au=^r2 + W2=0-
Аналогично Av = 0.
Таким образом, действительная и мнимая части аналитической
функции являются гармоническими функциями.
Взяв, например, аналитическую функцию h{z) — z2, где z = x + iy,
получаем, что
h(z) = {x2-y2) + i.2xy,
и, значит, функции х2 - у2 и 2ху являются гармоническими в R2, что,
впрочем, ясно и из прямой проверки.
5. Нас особенно будет интересовать вероятностный метод решения
проблем Дирихле и Пуассона с разными граничными условиями,
опирающийся на развитую технику исчисления для броуновского
движения. Однако, прежде чем переходить к вероятностному решению этих

314
Гл. XIV. Гармонические функции
проблем, естественно сначала остановиться на классических методах
их решения.
6. Остановимся несколько подробнее на упомянутом в п. 2 методе
Дирихле решения задачи (1), (2), основанном на минимизации
«энергии Дирихле».
Пусть D — ограниченная область (в Rd) с С ^границей 3D и у -
= у? (х) является С ^функцией на 3D. Для каждой функции w = w(x),
удовлетворяющей условию w(x) = (/?(х), х е 3D, определим «энергию»
E(w) = \ \\Vw\2dx.
Утверждается, что тогда всякое С2-решение и = и(х) задачи (1), (2),
иеС1^), обладает тем свойством, что для упомянутых функций w =
— w{x) выполняется неравенство
Е(и)^ЕМ.
Действительно, положим v = w - и. Тогда v(x) = 0 для х е 3D.
Далее,
2E(w) = Uvu + Vv)2 dx = Г(|Vu|2 + |Vv|2 + 2Vu • Vv) dx =
D D
= Г I Vv|2 dx + 2E(u) + 2 Uvu • Vv) dx.
D D
Из первого тождества Грина (гл. XV, § 4) следует, что
Г Vii • Vv dx = Г v|^ dS - Г vAu dx = 0
D 3D D
(dS —дифференциал на поверхности 3D). Но так как J |Vv|2 dx ^ 0, то
D
справедливо неравенство E(w) ^ Е(и), что и надо было доказать.
§ 3. Решение Пуассона задачи Дирихле на диске
1. Предположим, что на диске
D = Kxl9x2): x\ + x\< R2}, R > О,
рассматривается уравнение
Аи(х19х2) = 0, (1)

§ 3. Решение Пуассона задачи Дирихле на диске
315
и пусть на границе
Г = dD = {(*i,*2): x\ +x22 =R2}
задана непрерывная функция </? = у(<х1,х2).
В силу двумерности и симметричности рассматриваемой задачи
Дирихле для отыскания функции и = и(хг,х2) естественно перейти от
{хъх2) к полярным координатам (г, в):
хг = rcos0, x2 = r sinO.
Обозначим
[/(г, в) = u(r cos в, г sin в) (= и(х1ух2)).
Тогда
A" = "xlJCl +ux2x2 = Urr + -Ur + ^1/00,
и, следовательно, в полярных координатах исходная задача Дирихле
будет иметь вид
Urr + ±;Ur + ^Uee=0, 0^r<R, 0^в<2п, (2)
с граничным условием
ВД0) = ¥>*(0), (3)
rfle(/?K(0) = (/?(JRcos0,Rsin0).
Замечание. В трехмерном случае вместо Аи(х1,х2,х3) = uXiXi +
+ их2х2 + "дгздгз в сферических координатах (r,6,ip) будем
соответственно иметь
AL/(r,0^) = [/rr + ft/r + ^[^^ + t/^ + ctg^-^].
2. Чтобы решить задачу (2), (3), применим метод разделения
переменных (Д. Бернулли), согласно которому решение надо искать в виде
I/(r,e) = F(r)G(0).
Тогда из уравнения (2) получаем
f"g + -f'g + -Wg" = o,
Г г2
что можно переписать в виде
r2F" + rF' G" r _ ГЛЛ
р = -q (=Я), (4)
где Я — пока произвольная константа. Это определяется тем, что левая
часть уравнения (4) зависит от г, а правая часть —от 0.

316
Гл. XIV. Гармонические функции
Из уравнения (4) следует, что
G"-AG = 0, (5)
r2F" + rF' + XF = 0. (6)
Рассмотрим здесь разные возможности для Я.
а) Пусть Я = 0. Тогда из уравнения (5) следует, что G(0)=A + B0,
где Л и Б — константы. Функция G(0) должна быть 27г-периодической,
что может быть только в случае В = 0.
б) Пусть Я > 0. Тогда решение уравнения (5) имеет вид
С{в)=Аехв +Ве~хв. (7)
Эта функция не может быть 2я-периодической, за исключением случая
А = В = 0. Следовательно, случай Я > 0 не может рассматриваться.
в) Пусть Я < 0. Обозначим Я = — к2. Тогда
G(0) = Acos(fc0) + В sin(fc0).
Чтобы эта функция была 2я-периодической, мы должны потребовать,
чтобы к было положительным целым числом п = 1,2,...
Итак, уравнение для G(0) должно иметь решения
Gn(0)=A„cosn0+Bnsinn0, n = l,2,..., (8)
где ЛпиВп- константы.
Рассмотрим теперь уравнение (6) (называемое уравнением Эйлера)
для F = F(r):
r2F7/+ rF7 - n2F = 0.
Это уравнение имеет общее решение
F{r)=Arn+Br~n, п = 1,2,... (9)
Чтобы в нуле (г = 0) не было бесконечности, мы полагаем В = 0. Тогда
при п = 1,2,... получаем решения
Un(r,6) = (!k)\Ancosne+Bnsmnei
где для удобства дальнейших вычислений добавлены множители (ъ)-
В целом (с учетом также случая а)) получаем
А оо , . п
l/(r,0) = ^ + £(£j (Д,cosn6+Bnsinп0),
П=1
где множитель « добавлен опять же ради удобства в последующих
вычислениях.

§ 3. Решение Пуассона задачи Дирихле на диске
317
Пусть теперь г =R. Тогда
" 2
Л
<ря(0) = U(R, в) = -f + £ (AncosnO +Bn sinnfl). (10)
л=1
Определим здесь константы Лп, п = 0,1,2,..., иВп, п = 1,2,...
Поскольку в формуле (10) мы имеем для ipR(6) ряд Фурье, получаем, что
Лл = ^ J ipR(d)cosnada, n = 0,1,2,...,
о
2тг
#п = ~ J <М«) sin па da, п = 1,2,.
о
Тем самым
tffa0)= —J 2 + 2(^J (cosn0 * cos па + sin пв -sinпа) (/?я(а)<3а =
= £ J U + S(i)ncosп(0-а) Ья(а)da =
о L n=1 J
2тг
= £ J Г1 + 2 (J) V"<e-J + е-^-а))1ыа) da =
g L n=l J
2тг
Q L П—1 П=1 J
_ i гТ йе''(9_а) ie"'(e_e) 1
-2^ J [1+ !_ rei(e_a) + 1 + ^_i(,_a)jVK(a)da =
27Г
_ 1 f|~ rei'(0-«) re-i(0-a) -j
-2^JL1 + K-re^-«)+R-re-^-«)J^(a)da =
о
27Г
_ J_ Г г ге!'(е-а)(Я - re-i(*-a)) + re"^-a)(fl - re1'^) -,
2ti J L1 + (Я-ге^-^ХЯ-ге-^-а)) _|</?*(a)da =
о
1 f^ , 2rRcos(0-a)-2r2 П Aj
~ 2ti J L1 + *2-2r*cos(0-a) + r2J^(a)da =
0
27Г
If R2 -r2
= 2t^J K2-2rRcos(0-a) + r2^(a)da*

318
Гл. XIV. Гармонические функции
Следовательно, решение задачи
Аи(х1,х2) = О, (*!, х2) е D,
и{хъх2) = ч>{хъх2), (xl9x2)er = dD,
задается (в полярных координатах) формулой
U(r 9) = ^- Г „, п ^ "Г*—^ ~wR{a)da9 (И)
^ J 2n J R2-2rRcos(6-a) + r2YR^ J
о
где (/?R(a) = (/?(Rcosa,Rsina).
Эта формула называется интегральной формулой Пуассона решения
задачи Дирихле в диске. Из этой формулы видим, в частности, что
U(Q,0) = ±$4>R(a)da. (12)
О
Формула (11) дает решение задачи Дирихле (в диске) в полярных
координатах. Разумеется, от полярных координат (г, в) можно перейти
обратно к координатам (xltx2).
Если для простоты взять R = 1, то для х — (*!,х2), \х\ < 1, из
формулы (11) будет следовать, что
дВ2(0,1)
где a2(dy) = ^a2(dy), а <т2(с*у)-мера на ЗВ2(0,1) = {у: \у\ = 1}.
(Ср. этот результат с утверждением В теоремы 1 из § 4.)
К сожалению, таким же методом (прямого решения задачи Дирихле
в шаре) даже в случае d = 3 получить решение весьма затруднительно.
Однако обращение ко второму тождеству Грина (гл. XV, § 4) приводит
для единичного шара любой размерности d ^ 2 к такому результату:
и(х)= | P(x,yMy)ad(dy), (14)
гвдод)
где
1- Ixl2
P(x,y) = j^ (15)
—ядро Пуассона, dd(dy) — нормированная мера поверхности dBd{0,1)
шара Bd(0,1) = {у е Rd: |у| < 1}, J ad(dy) = 1. (См. обозначения
в § 4.) адод)

§ 4. Гармонические, суб- и супергармонические функции. Свойства в среднем 319
Замечание. Формула Пуассона (14) дается для шара.
Распространение этой формулы на случай произвольных открытых областей Е,
Имеющих негладкие границы или вообще не имеющих границ, дается
в теории «границ Мартина». В этой теории для Е делается подходящая
компактификация (£) и соответствующее интегральное
представление осуществляется по «границе Мартина» АЕ = Е\Е.
3. Уместно сейчас привести хорошо известный в теории
дифференциальных уравнений результат о существовании и единственности
решения (внутренней) задачи Дирихле в IRd.
Пусть D — ограниченное связное открытое множество в Rd, граница
Которого 3D принадлежит С2 и граничная функция у = у(х) такова,
что у е Cb(dD).
Тогда решение и — и{х) задачи Дирихле
Ди(х) = 0, xgD,
u(x) = c^(x), xedD,
Удовлетворяющее условию
ueC2(D)nC(D),
существует и единственно.
Заметим, что единственность сразу следует из принципа
максимума/минимума для гармонических функций (см. далее § 5). Что же
касается существования, то в случае R2 и области D — {(х,у): х2 + у2 <R2}
решение было в явном виде построено выше.
§ 4. Гармонические, субгармонические и супергармонические
функции. Свойства в среднем
1. Пусть D —область (непустое связное открытое множество) в Kd,
d ^ 1. Действительная функция и = и(х) называется гармонической
на D, если она дважды непрерывно дифференцируема (и е C2(D)) и
Для каждого х е D оператор Лапласа равен 0:
Д"М = ЕЙМ = о. (1)
i=l oxi
Если в формуле (1) вместо равенства нулю имеет место неравенство
^ 0 (или ^ 0), то функция и — и[х) называется субгармонической (или
супергармонической.
Есть прямая связь между «гармоническими, субгармоническими и
супергармоническими» функциями и «мартингалами,
субмартингалами и супермартингалами», порождаемыми броуновским движением.

320
Гл. XIV. Гармонические функции
Если, например, / = f(x1} ...,xd) — гармоническая функция (для
простоты ограниченная), а В = {Bl, ...,Bd) — броуновское движение, то
по формуле Ито (см. § 3 в гл. XII)
d/(B) = grad/(B)dB + |A/(B)dt. (2)
Отсюда, находя условные математические ожидания, сразу получаем,
что
E[/(Bt)|^sB]=/(Bs), 5^t.
Иначе говоря, если /—гармоническая функция, то (J{Bt)t^)t^Q
является мартингалом. Из приводимой далее теоремы «о среднем
значении» выводится и обратное утверждение.
Вот как Дж. Л. Дуб в своей книге «Classical potential theory and its
probabilistic counterpart» [104] описывает связь между приведенными
понятиями:
«Potential theory and certain aspects of probability theory are intimately
related, perhaps most obviously in that the transition function determining
a Markov process can be used to define the Green function of a potential
theory. Thus it is possible to define and develop many potential theoretic
concepts probabilistically... However that may be it is clear that certain
concepts in potential theory correspond closely to concepts in probability
theory, specifically to concepts in martingale theory. For example, superhar-
monic functions correspond to supermartingales».
2. Примеры. 1. Функция f(x) = xlt где x = (xlt ...,xd), является
гармонической. В случае R гармоническая функция и = и(х) как решение
уравнения
имеет вид и(х) = а + Ьх, где а и Ъ — константы.
2. Если функция и = и(х) является гармонической в Rd \ {0}, d > 2,
то такова же и функция
uW = \x\2-du(j^2), \x\.jtO.
В частности, при d > 2 функция ц(х) = \x\2~d («ньютоновский
потенциал») является гармонической в Rd \ {0}. При d = 2 функция й(х) =
= log |х| является гармонической в R2 \ {0}. Заметим, что
lim log \х| = оо, но lim |x|2_d = 0 при d >2.
Это показывает, что в случае d = 2 и в случае d > 2 поведение
гармонических функций при \х\ -> оо различно.

§4. Гармонические, суб- и супергармонические функции. Свойства в среднем 321
3. Функция и(х) = \х\Р является в Rd субгармонической, если /3 + d ^
4. Каждая ограниченная положительная гармоническая функция на
gd является константой.
5. Функция и(х) = \x\2~d на Rd \ {0} является гармонической при
d > 2. (Ср. с примером 3.)
6. Гармоническая функция бесконечно дифференцируема (см.
теорему 2 далее).
7. Частные производные гармонической функции являются
гармоническими.
8. Функции и(х, у) = 1 + log(x2 + у2) и v(x, у) = 1 - log(x2 + у2)
являются гармоническими в R2 \ {0}, совпадая на окружности х2 + у2 =
= 1.
Интересно отметить, что, вообще говоря, гармонические функции
не могут быть представлены в виде элементарных функций.
3. Для решения многих вопросов полезным оказывается «свойство
в среднем», которое часто принимают за определение гармоничности.
Теорема 1. Пусть D есть область в Rd, d^2, a u = и(х): D —»R —
измеримая локально ограниченная функция. Следующие условия
являются эквивалентными:
A) и = и(х) является гармонической функцией;
Б) для каждого шара
В = Bd(x, г) = {у G Rd: \х - у \ < г}, г > 0,
входящего в D, выполнено свойство в среднем (по шару В):
u(x) = ^^u(y)X(dy\ (3)
в
где Я = X(dy) — d-мерная мера Лебега, а Х(В)—мера Лебега (объем) ша-
paB(/A(dy) = A(B));
в
B) для каждого шара В = Bd(x, г) с границей дВ - dBd(x, r),
входящего в D, выполнено свойство в среднем (по поверхности дВ шара В):
дв
где а == a(dy) — (d - 1)-мерная мера Лебега, а а(дВ) — мера Лебега
поверхности дВ шара В (J o(dy) = сг(дВ)).
дв
Прежде чем переходить к доказательствам, сделаем ряд замечаний.

322
Гл. XIV. Гармонические функции
Замечание 1. Свойства в среднем (3) и (4) имеют аналогию с
интегральной формулой Коши
L
выражающей значение аналитической функции f{z) через ее
граничные значения на замкнутом контуре L. В частности, если L есть
окружность радиуса г > 0 с центром в точке z, т. е. L = {£: £ — z + reia}, О ^
^ а < 2я, то
2тс
О
Иначе говоря, значение /(z) равно «среднему арифметическому»
значений функции / на любой окружности, входящей в область
определения этой аналитической функции.
Замечание 2. Скажем несколько слов о d-мерной мере Лебега А(В)
шара В и его поверхностной (d - 1)-мерной мере Лебега сг(ЗВ),
участвующих в формулировке теоремы 1.
Напомним, что если В =Bd{x, r) — открытый шар радиуса г с
центром в xeRd, то
dB = dBd{x,r) = {yeRd:\x-y\ = r}
— его граница (поверхность).
Следующие формулы хорошо известны:
yd(r) = A(Bd(x,r)) = A(Bd(0,r))= f2 rd = ^,rd (5)
4I + 1J <*ГЫ
с г 1- шг чл dA(BdQ,r)) dVd(r) 2^2 d_j
Sd_1(r) = a(5Bd(x)r))= -r = —j—= __rd i.
dr ~ dr
Из этих формул следует, что
Vd(r) = rdVd(l),
Sd_1(r) = rd-1Sd_1(l)
и
Sd_1(l) = dVd(l).
(Для Vd(l) часто используют обозначение cod.)
(6)
(7)

§4. Гармонические, суб- и супергармонические функции. Свойства в среднем 323
В частности,
V2(r) = nr\ V3(r)=fr3,
S!(r) = 2яг, S2(r) = 47rr2.
В связи с формулами (5) и (6) напомним, что
г(о=;<
е~хх'-Чх (8)
— гамма-функция. Ее частные значения: гГх) = >/п, Г(£ + 1) = £Г(£),
T(d 4-1) = d! (d —положительное целое число).
Из формул (5) и (8) следует, что
712 А
если а = пип четно,
w>=
п-1
-гг 9
если d = п и п нечетно.
п+1 п-1
2 2 я 2
1 -3-5-... -I
Многие интересные факты о распределении объема d-мерных
шаров В и поверхностной площади сферы дВ см. в книге В. А. Зорича
[428].
4. Доказательство сформулированной теоремы 1 приводится в
большом числе руководств. Но чтобы иметь представление о связи всех
утверждений теоремы, о методах доказательства, о важности понятия
в «среднем» (которое часто принимают, как уже говорилось, за
определение «гармоничности»), приведем доказательство для случая d = 2,
называя в этом случае свойства А, Б и В свойствами а), б) и в).
Мини-теорема. Условия а), б) и в) равносильны:
а) <=> б) <=> в).
Прежде чем доказывать мини-теорему, приведем разные
формулировки условий б) ив), считая, что г >0, В2(х, r) = {y eR2: \х—у\< г},
дВ2(х,г) = {уе R2: \х - у\ — г}, A(dy) (или dA(y))— дифференциал
двумерной лебеговской меры и cr(dy) (или dcr(у))—дифференциал
лебеговской меры на дВ2(х, г).
Условие б):
"W = ^2 J "(y)A(dy),
В2{х,т)

324 Гл. XIV. Гармонические функции
или, в полярных координатах,
2п г
О О
где n(0) = (cos в, sin в), или
2п г
U(x) = -L- Г fu(jc+5n(0)>d5d0,
и{хъх2) ——2 \ \ u(xi + scos6,x2+ssin6)sdsd0,
о о
или
2п г
l/(x) = _L Г {u(x+sei6)sdsde,
о о
где х = хг + ix2.
Условие в):
и№ = Ш J u^)^(dy),
зв2о,г)
или
2тг
ИЛИ
или
"(x) = ^ju(jc + rn(0))d0)
о
2тг
и(х1,х2)=2^ u(x1 + rcos6,x2 + rsme)d0,
о
2тг
О
где х = хг + ix2.
Доказательство мини-теоремы, б) => в). Из условия б) следует, что
2тг г
яг2иО)= Г fuU + sn(0))sdsd0.
о о
Дифференцируя по г, получим
2п
2лги(х) = Г u(x + rn(0))r dfl,
о
откуда следует условие в).

§ 4. Гармонические, суб- и супергармонические функции. Свойства в среднем 325
в) => б). Если В2(х, г) с D, то для всех 0 < s < г имеем
"W = ^J"(*+*n(0))d0.
о
Умножая обе части равенства на 2ns и интегрируя по s от в до г,
получим
2л г
яг2и(*) = Г [u(x+sn(6))sdsd6,
о о
откуда следует условие б).
а) => в). Мы предполагаем, что ц е C2(D) иАи = 0. Тогда,
интегрируя по частям (или применяя первое тождество Грина, см. § 4 гл. XV),
получаем, что если B2(x,s) с D, то
0= J Au(y)dA(y) = J Aii(x + y)dA(y) = J Vu(x + y) -ndo-(y) =
B2(x,5) B2(0,s) B2(0,5)
2тг 2тг
= 5 f J^(x+sn(0))d0=sj^ fl/(x+sn(0))d0. (9)
0 0
2n
Отсюда следует, что для всех 5, 0 < s < г, интеграл ju(x + sn(0))d0
есть константа. о
Отсюда
2п 2п
Г u(jc + rn(0)) d0 = Г u(jc) d6 = 2пи(х),
о о
а это и есть свойство в).
в) => а). Снова считаем, что и е C2(D). Пусть х е D и
2тг
u(jc) = ^- J и(х + Гп(0)) d0. (10)
о
Как и в формуле (9), считая, что В2(х, г) с D, и используя
соотношение (10), получаем, что
J Au(y)dA(y) = Г Au(x + y)dA(y) = Г Vu(x + у) • nda(y) =
В2(*,г) B2(0,r) B2(0,r)
2тг 2тг
= г Г Jpu(x + rn(0))d9 = ryt f <x + rn(0))d0 = 2nr^u(x) = 0.

326
Гл. XIV. Гармонические функции
Поделив полученное соотношение
J Au(y)dA(y) = 0
B2(x,r)
на nr2, r > О, и переходя к пределу при г —► 0, получаем, что
0 = lim^ J Au(y)dA(y) = Aiz(x),
поскольку А(В2(*>г)) — яг2- П
5. Одно из замечательных свойств гармонических функций и = и(х),
которые таковы, что и € C2(D) и Аи(х) = 0 для х е D, состоит в
следующем.
Теорема 2. Гармоническая функция (в области D) является
бесконечно дифференцируемой (и € C°°(D)).
Доказательство. Поскольку D — область, вокруг каждой точки xeD
можно провести шар, целиком лежащий в D. Для простоты будем
считать, что рассматриваемые точки х принадлежат единичному шару
Bd(0,1), который входит в D. Считая функцию и = ц(х) гармонической
в этом шаре и непрерывной вплоть до границы, мы тогда записать
можем «формулу Пуассона» (см. (14) в § 3):
иМ= J P(*,yMy)5d(dy), (ID
0Bd(O,l)
где
л 1-М2
P(jC,y)=-j Цт
есть ядро Пуассона. Здесь х е Bd(0,1), а у € 3Bd(0,1). При каждом у е
е 3Bd(0,1) функция Р(-,у) является гармонической, и, более того, в
силу ее явного вида можно убедиться, что она является бесконечно
дифференцируемой (по х).
Тогда из формулы (11) можно заключить, что и функция и = и(х)
бесконечно дифференцируема (по х). При этом если Da — производная
по мультииндексу а = (аь а2,..., аД то
Dau{x)= J DaP(x,y)u(y)ad{dy). D
0Bd(O,l)
6. В начале этого параграфа мы показали, как из гармоничности
(в Rd) функции f =f(x) вытекает (по крайней мере в случае ее
ограниченности) мартингальность процесса (/(Bt),^f)t^0. Доказательство

§ 5. Следствия из свойств в среднем для гармонических функций 327
было основано на формуле Ито (2), из которой сразу вытекало, что
E[/(5t) I ^SB] =/(Bs), s ^ t, а это и есть мартингальность.
Но на этом же пути можно из гармоничности вывести и свойства в
среднем. В самом деле, если положить (в случае d = 2)
T = mf{t^Q:BtedB2(x,r)},
то из формулы (2) получим, что
т т
/(BT) = /W + Jgrad/(BI)-dBI + |jAu(BI)ds.
о о
Отсюда (см. гл. IX) следует, что
Е*/(ВТ) =/(*). (12)
Распределение т на дВ2(х, г) является равномерным, поэтому
свойство (12) можно переписать в виде
^ J f(y)dy=f(x),
дВ2(х,г)
что и есть свойство в среднем в). Аналогично в случае любого d ^ 2
доказывается (из гармоничности) свойство В в теореме 1.
§ 5. Следствия из свойств в среднем для гармонических функций
1. Свойства в среднем Б и В (и б) и в) в двумерном случае)
являются весьма эффективными при доказательстве различных утверждений
относительно свойств гармонических функций. Среди таких свойств
отметим рассматриваемые далее принцип максимума/минимума,
теорему Лиувилля и неравенства Гарнака (Харнака).
2. Принцип максимума/минимума. Опять же для простоты
будем рассматривать только случай размерности d = 2. (Общий случай
рассматривается аналогично — вместо свойств типа б), в) надо
пользоваться свойствами Б, В.)
Теорема 1 (сильный принцип максимума). Пусть D с R2
является непустым связным открытым множеством (т. е. областью),
возможно неограниченным. Если и — и{х) е С2(D) — гармоническая
функция, достигающая максимального значения в области D, то эта
функция является константой. {Иными словами, функция и = и(х) не
может принимать максимальное значение в области D, за исключением
случая, когда эта функция является константой.)

328
Гл. XIV. Гармонические функции
Доказательство. Пусть в точке x0eD функция и — и(х) достигает
своего максимального значения. Тогда согласно свойству в среднем б)
имеем
"(*о) = ^2 J u(x)A(dx) (l)
дВ2(х0,г)
(в предположении, конечно, что В2(х0, г) с D).
Из допущения, что в точке х0 непрерывная функция и = и(х)
принимает максимальное значение, из соотношения (1) заключаем, что
при достаточно малом г > 0 значение и(х) для всех х е В2(х0, г) также
равно и(х0).
Рассмотрим теперь какую-то точку у е D. В силу связности
множества D между точкой х0 и точкой у можно провести непрерывную
кривую и на ней взять близкие точки хг, х2,..., хп = у (в конечном числе п)
и вокруг них пересекающиеся диски В2(х[} р) с малым радиусом р так,
что индуктивно на всех этих дисках значения и(х) будут равны и(х0).
В силу произвольности точки у е D получаем, что функция и = и(х)
является константой для всех х е D. □
Теорема 2 (слабый принцип максимума). Пусть D с R2
является ограниченной областью, а функция и входит в класс C2(D) П C(D),
т. е. дважды непрерывно дифференцируема в D и непрерывна вплоть до
границы. Если и = и(х) является гармонической функцией в D, то для
всех х е D выполнено неравенство
и(х) ^ sup и(у). (2)
yedD
(Иначе говоря, такая функция и = и(х) принимает свое максимальное
значение на границе 3D.)
Замечание 1. Условие (2) может быть записано в виде
supii(x)^ sup u(y).
xeD yedD
Важно при этом отметить, что слабый принцип максимума не
утверждает, что максимум достигается только на границе. Он может
достигаться и внутри области D, но заведомо этот максимум достигается на
границе.
Доказательство теоремы 2. Всякая непрерывная функция v = v(x)
на D достигает максимума. При этом из действительного анализа мы
знаем, что во внутренних точках, т. е. в точках х — (хь х2) е D, где
достигается максимум, должны выполняться неравенства —\ ^0, -т—^ ^0
и, значит, Av ^ 0. i 2

§ 5. Следствия из свойств в среднем для гармонических функций 329
Возьмем теперь функцию
ve00 = фс) + е{х\ + х2), е>0.
Тогда Ave(x) > О, х е D, и, следовательно, эта функция принимает свое
максимальное значение на 3D. Тем самым для всякого xeD
выполнены неравенства
u(x) ^ ve(x) ^ sup (u(x) + e{x\ + х2)) ^
^ sup u(x) + ^ sup |x|2 = sup ii(x) + се,
xedD xedD xedD
где с = sup |x|2, т. е. с = sup (x2 + x2). При этом с < oo.
xedD (xl}x2)edD
Отсюда при е —> О находим, что для всех xeD выполняется
неравенство
u(x) ^ sup u(y),
yedD
а это и есть требуемое соотношение (2). □
Замечание 2 (к теоремам 1 и 2). Переходя от функции и к
функции —и, можно получить принцип минимума. Так, в сильном принципе
минимума (теорема 1) гармоническая функция не может внутри
области D принимать минимальное значение, за исключением случая,
когда эта функция является константой. Утверждению (2) (вместе с
принципом минимума) можно придать такой вид:
inf u(y) ^ и{х) ^ sup и(у), х е D. (3)
Уед1) yedD
Замечание 3. Утверждения слабого и сильного принципов
максимума/минимума переносятся и на случай субгармонических (Дц ^ 0)
и супергармонических (Дц ^ 0) функций и = и(х).
Так, например, сильный принцип максимума для
субгармонических функций утверждает, что если существует такое х0 е D, что и(х0) =
= sup и(х), то и(х) является константой. А слабый принцип для субгар-
xeD
монических функций утверждает, что supu(x) = sup u(x).
xeD xedD
3. Теорема Лиувилля (Joseph Liouville, 1809—1882) встречается в
самых разных разделах математики — в комплексном анализе (всякая
голоморфная комплексная функция / = f(z), удовлетворяющая
условию \f(z)\ ^ const для всех комплексных z, является константой), в га-
мильтоновой механике (о постоянстве плотности вероятностей частиц
вдоль траектории движения), в алгебре (фундаментальная теорема
алгебры) и др.

330
Гл. XIV. Гармонические функции
Применительно к рассматриваемому случаю гармонических
функций справедлива следующая теорема.
Теорема (Лиувилль). Если и = и(х) есть гармоническая функция во
всем пространстве Rd, при этом ограниченная сверху или снизу, то она
является константой.
Доказательство следует Э. Нельсону [264]. Не умаляя общности,
можно считать, что и(х) ^ 0. Возьмем две точки х и у в Rd, и пусть
г > 0. Положим R = г + р(х,у), где р(х,у) — евклидово расстояние
между х и у. Пусть также Bd(x, г) и £d(y,R) — два открытых шара.
По свойству Б из теоремы 1 (§ 4) имеем
v J A(BdU,r)) J A(BdO,r)) J
A(Bd(y,R)) i
Г u(z)A(dz) =
A(Bd(x,r)) A(Bd(y,R))
Bd(y,R)
A(Bd(x,JQ) 1 f . ^^_A(Bd(x,R))
А(В,(х,г))'А(В,(у,Я))
Bd(0,R)
I »«*№>=ад^м- м
Заметим, что в силу формулы (5) из § 4 выполнено соотношение
A(Bd(x,R)) _ A(Bd(0,R)) _(r + p(x,y)\d
A(Bd(x,r)) A(Bd(0,r)) l r J -*1
при r —> oo. Поэтому из формулы (4) находим, что и(х) ^ и(у). Меняя
местами х и у, получаем u(y) ^ u(x), и, значит, u(x) = u(y) для любых
х и у из Md. Тем самым, функция и — и(х) есть константа. D
Замечание 4. В случае d = 1 эта теорема была впервые (в 1844 г.)
опубликована О. Коши. В более общем случае d ^ 1 результат теоремы
излагался Ж. Лиувиллем в его лекциях 1847 г.
4. Неравенство Гарнака (A. Harnack, 1851—1888). Это неравенство
дает, например, оценку максимального значения sup и(х) неотри-
*eBd(0,r)
цательной гармонической функции и = и(х) в шаре Bd(0,2г) через
значения минимума inf u(x) этой функции:
xeBd(0,r)
sup u(»^c inf u(», (5)
xeBd(0,r) *<=Bd(0,r)
где с = cd(r) — константа.
Интерес к оценкам такого типа объясняется, например, следующим.

§ 5. Следствия из свойств в среднем для гармонических функций 331
Пусть и = и(х) — неотрицательная гармоническая функция в шаре
В ,(0,2г) и inf u(x) = 0. Тогда из формулы (5) следует, что и(х) = 0
xeBd(0,r)
длявсеххеВДО,?-).
Такой же результат справедлив не только для шара Bd(0, г), но и
для любого шара Bd(0,p), р < 2г. Вытекает это из того, что
соотношение (5) верно и для шаров Bd(0,p), р < 2г, а не только для Bd(0, г).
Доказательство неравенства Гарнака. В случае d — 2 можно
воспользоваться формулой Пуассона (§ 3) для решения двумерной задачи
Дирихле
Ди(х) = 0, х е D = {х = Оъ х2): г2 = х2 + х2 < R2},
u(x) = y?(x), xedD.
Согласно этой формуле
2тг
" W =h\R>- IrRcoste -d) + r* ^(а) d0t' (6)
о
где x = (jc1,x2), *i = rcos0, x2 = rsin0 и (/?R(0) = (/?(Rcos0,Rsin0).
Поскольку
-l^cos(0-a)$l,
из формулы (6) в предположении, что у ^ 0, находим, что
27Г 27Г
2п
о
или
§^^J^(a)da^"W^fr7^^J^(«)d«.
о
т.е.
R ru(0)^u(x)^|±^u(0), (7)
R+r K J^ vJ^R-r
где
2тг
"(°) = ^ J Ы«)^а.
Функция i/^xCr) = ^г—; убывающая, а г/>2(г) = д—~ — возрастающая
(по г). Поэтому из неравенств (7) следует, что для всех х, \х\ < R' < R,
справедлива оценка
f^fu(0Ku(x)^!±|;u(0).

332
Гл. XIV. Гармонические функции
(8)
Отсюда получаем
f^fu(0K inf Mx)< sup u(*K £±|u(0).
R + R xeB2(0,R') xeB2№')
Выражая из левого неравенства и(0), получим, что
sup "W^f»^) inf u(x).
xeB2№') xeB2{0,R')
Таким образом, в случае d — 2 в предположении неотрицательности
гармонической функции и(х) в В2(0,Я) из неравенства (8) получаем
неравенство Гарнака (типа (5), но в других обозначениях):
sup и(Жс2(Я',Д) inf u(x), (9)
xeB2(0,R') xeB2(0,R')
гдеЯ/<Яис2(Р/,Я) = (|^)2. П
Замечание 5. В случае любой размерности d ^ 2 из d-мерного
обобщения формулы Пуассона (6), приведенного в формуле (14) из § 3,
можно таким же образом получить следующий аналог формулы (9):
sup u(x)^cd(R',R) inf u(x), (10)
xeBd(0,R') *€Bd(0,R')
где сноваЯ'<йи
c^.k) = (££)"•
§ 6. Вероятностный подход к задаче Дирихле
для оператора Лапласа
1. Всюду далее будет предполагаться, что область D является
ограниченной (в Rd) с границей 3D. Задача Дирихле заключается в
отыскании такого решения и — и(х), что
Аи(х) = 0 в области D (гармоничность),
и(х) = ф(х) для х е 3D.
Вероятностный подход к решению этой задачи состоит в
следующем. Пусть В — (Bt)t^0 —такое броуновское движение, точнее
семейство броуновских движений, что его распределение Р^, ieRd,
соответствует тому, что В0 = х.
Во всем дальнейшем изложении важную роль будет играть
марковский момент
TD = inf{t^0:BteDc}, (2)
где Dc = Rd\D.

§ 6. Вероятностный подход к задаче Дирихле для оператора Лапласа 333
Имея в виду граничное условие и = у на 3D, будем предполагать,
что
Ex\ip(BrD)\<oo, xeD=DUdD. (3)
В силу предположенной ограниченности области D из свойств
броуновского движения следует, что
Pjc(td<oo) = 1, xeD. (4)
2. Обозначим
u(jc) = E^(BTd). (5)
Если, как обычно, Bd(x, г) = {у € Rd: |х - у | < г}, то по строго
марковскому свойству (гл. V, § 2), предполагая, что Bd(x, r) с D, получаем, что
и(х) = EMB,D) = ЕХЕХЫВТD) I ^BdM) =
= Ехи(ВТв^г))= J u(y)5(dy), (6)
где cr(dy) = („ ( гт и cr(dy) —поверхностная мера шара Bd(x,r),
2nd'2 А_Л
равная f , ra 1 (см. формулу (6) в § 4).
г(§)
Итак, мы видим, что для любого шара Bd(x, r), входящего в
открытую область D, выполнено свойство в среднем
"(*)= J u(y)a(dy). (7)
dBd{x,r)
Следовательно, в силу теоремы 1 из § 4 функция и = и(х) является
гармонической в D. Тем самым эта функция является кандидатом на то,
чтобы оказаться решением задачи Дирихле (1).
Из физических соображений хотелось бы, чтобы решение и = и(х)
задачи Дирихле (1) было непрерывно на границе 3D, т. е. чтобы
выполнялось условие
и(х)->¥>(<0, (8)
когда х —»а и х е D.
С этой целью введем такое определение.
Определение 1. Точка aGdD называется регулярной точкой
границы 3D, если Pa(crD = 0) = 1, где <jd = inf{t > 0: Bt e Dc}. (Заметим, что
crDy вообще говоря, не совпадает с td.)
Следующее утверждение можно найти во многих местах (см.,
например, [204, 4.2, теорема 2.12]).
Предложение. Если точка а границы 3D является регулярной, то
для каждой ограниченной измеримой функции ц> = у{х), х е дТ>, явля-

334
Гл. XIV. Гармонические функции
ющейся непрерывной в точке а, функция и = и(х) из формулы (5)
обладает свойством непрерывности в точке а, т. е.
lim и(х) = limEMBrD) = ¥>(a). (9)
xeD xeD
Таким образом, из предыдущих рассмотрений получаем следующее
утверждение о вероятностном решении (5).
Теорема 1. Пусть функция if — ц{а), а е 3D, ограничена,
непрерывна и все точки а границы 3D регулярные. Тогда функция и — и{х), пред-
ставимая в виде (5), является единственным непрерывным решением
задачи Дирихле на D, являющимся гармонической функцией на D и
обладающим тем свойством, что lim и(х) = (/>(а) для всех а е 3D.
xeD
Отметим, что сформулированное утверждение о единственности
следует из принципа максимума/минимума (см. замечание 2 в § 5).
3. Предположение о регулярности точек границы оказывается
важным для существования решения задачи Дирихле. В подтверждение
этого положения рассмотрим следующий пример С. Зарембы (1911 г.,
[385]), в котором всего лишь одна точка 0 является нерегулярной и'
решение отсутствует.
Пример. Пусть область D имеет вид проколотого (в точке 0) диска:
D = {xeR2:0<\x\<l}.
Пусть ищется решение уравнения Аи(х) = 0, х е D, с граничными
условиями
if(0) = 1, ip(x) — 0 для таких х, что |х| = 1.
Предположим, что существует решение и = и(х) этой задачи,
непрерывное вплоть до границы. Тогда и(х) можно продолжить до
гармонической функции и — й{х) на D = {х е Ш2: \х\ < 1}. Из единственности
решения проблемы Дирихле в D с условием, что на 3D = {х е R2: |х \ = 1}
выполняется равенство u(jc) = 0, вытекает, что й(х) = 0 для всех xeD,
в частности, й(0) = 0. Но поскольку и есть продолжение функции и,
значение и(0) должно быть равно й(0) = 0, а по предположению и{0) = 1.
Полученное противоречие показывает, что исходная задача Дирихле не
имеет решения.
Вероятностное объяснение этого эффекта состоит в том, что в
двумерном случае броуновское движение, выходящее из точки х ф 0, в
нулевое состояние не попадает почти наверное.
В приведенном примере нерегулярной была всего лишь одна
точка 0, которая, как сказано выше, недостижима (почти наверное) при

§ 7. Задача Пуассона с нулевыми граничными условиями 335
выходе броуновского движения из любой другой точки. В 1913 г. А.
Лебег построил пример в Ш3 (Lebesgue's thorn —лебеговская колючка), в
котором множество нерегулярных точек уже состояло из целого
связного куска (см., например, [204]).
4. Остановимся теперь на одном известном критерии регулярности
точек границы 3D.
Определение 2. Говорят, что в точке а границы 3D выполнено
конусное условие Пуанкаре, если существует такой конус V с вершиной в
точке а и высотой h > 0, что
VHBd(a,r)eDc
для некоторого г > 0.
Теорема 2. Если в точке aGdD выполнено конусное условие, то эта
точка является регулярной.
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу закона нуля
или единицы Блюменталя для броуновского движения (гл. IV, § 5)
выполнено условие Pa(TD = 0) = 0 или 1 (поскольку {td = 0} е ^jf+).
Поэтому если окажется, что Pa(TD = 0) > 0, то это будет означать, что
в действительности Pa(TD = 0) = 1. Таким образом, будем
устанавливать, что при наличии конусного условия в точке a e 3D выполнено
неравенство Pa(TD = 0) > 0. С этой целью заметим, что для всякого
t ^ 1 и а е 3D выполнены неравенства
Pa(TD^t)^Pa(BtGDc)^Pa(BtGVnBd(a,h))^
^Pa(BtGy)-Pa(5t^5d(a,h))^P0(B1Gy)-Pa(B1^Bd(a,-|)).
При t i 0 имеем Ра(ва $Bd(a, -y=)) -> 0. Поэтому
K(*D = 0) = l™Pa(^D ^ 0 ^ P0№l ^ V) > 0. □
Следствие. Если множество D является выпуклым, то все точки
а € 3D регулярны.
§ 7. Вероятностный подход к задаче Пуассона для оператора
Лапласа с нулевыми граничными условиями
1. Задача Пуассона, связанная с оператором Лапласа и нулевыми
граничными условиями, состоит в отыскании решения системы
|ди(х) = -/(*), xeD, (1)
u(jc) = 0, xedD, (2)

336
Гл. XIV. Гармонические функции
где D с Rd является ограниченной областью. (В уравнение (1)
множители -z и — 1 вводятся для простоты даваемых ответов.)
Возможность вероятностного подхода к отысканию решения
системы (1), (2) проиллюстрируем, применяя метод, основанный на
формуле Ито, являющейся эффективной во многих подобных вопросах.
Будем предполагать, что функция / — j{x) неотрицательна и
система (1) имеет ограниченное решение и = и(х) класса C2(D) П C{D).
Покажем, что тогда это решение допускает такое представление:
u(x) = Ex$f(Bt)dt, xeD, (3)
о
где
TD = inf{t^O:BteDc}. (4)
Действительно, по формуле Ито (гл. XII, § 5, формула (14))
t t
u(Bt) = и(В0) + J(gradB • dB)s + \ J Au(Bs) ds =
о о
= u(B0) + J(gradB • dB\ - J Af(Bs)ds. (5)
о о
Отсюда, используя формулу (2) и взяв математическое ожидание Ех(-)
от левой и правой частей с заменой t на td, получаем
0 = Exu&Td) = uW-Ex j7(Bs)ds,
о
что и приводит к представлению этого решения в виде формулы (3).
Заметим, что если положить /(*) = 1, то и(х) = ExzD, т. е. и(х) есть
среднее время выхода из ограниченной области D.
В том случае, когда вместо (1), (2) мы имеем систему
|ди(х) = -/(*), xeD} (6)
с ненулевыми граничными условиями
u(x) = ip(x), xGdD,
аналогично формуле (5) устанавливается, что решение будет иметь вид
то
u(x) = EMBTD) + Ex \f(Bt)dt, (7)
о
где td определяется формулой (4).

§ 8. Задача Пуассона с граничными условиями Неймана
337
2. Аналогичный метод позволяет также найти вероятностное
представление уравнения Пуассона
|ди(х)-Аи(х) = -/(*),. (8)
действующего при всех xGMd,B предположении, что А > 0.
Если снова предположить, как и в п. 1, что уравнение (8) имеет
ограниченное С2-решение, то (по формуле Ито) для этого решения мы
получим такое представление с броуновским движением В = (Bt)t^0:
e~Xt
u(Bt) = u(B0) + Je-^CgradB • dBs) +
0 t t
+ |Je-A5Au(Bs)d5-AJe-A5/(Bs)d5. (9)
о о
Взяв Ex( •) от обеих частей и перейдя к пределу при t —»оо, получим,
что
00
u(x) = Ex$e-Xsf(Bs)ds. (10)
о
В § 4 гл. V выражение, стоящее в правой части равенства (10), было
названо резольвентой. Тем самым мы видим, что С2-решение
уравнения (8) есть не что иное, как резольвента.
§ 8. Вероятностный подход к задаче Пуассона для оператора
Лапласа с граничными условиями Неймана
1. Как следует из предыдущего параграфа, для задачи
^Ди(х) = -/(*), xeD,
и(х) = (/>(*), xedD,
вероятностное представление классического решения (при некоторых
условиях технического характера) имеет следующий вид:
и(х) = Ех
¥>(BTD) + J7(Bt)dl
(2)
(формула (7) в § 7), где td = inf{t ^ 0: Bt е £>с}.

338
Гл. XIV. Гармонические функции
Рассмотрим теперь задачу с условием (отражения) Неймана:
|ди(х) = -/(х), xeDCMd,
где D — ограниченная область.
Из второго тождества Грина (формула (13) в § 4 гл. XV) следует, что
j7(x)dx + Jv>O)dcj(x) = 0, (4)
где cr(dx) —дифференциал поверхностной меры. Тем самым для
возможности существования (классического) решения задачи (3)
необходимо предполагать выполнение условия «совместимости» (4). Так что
это условие, а также условия непрерывности и ограниченности
функций /игр будут в дальнейшем предполагаться выполненными.
Следует также сказать, что на область D и ее границу dD надо
накладывать довольно серьезные условия гладкости. См., например,
работы [27, 44, 244], где рассмотрены и задачи (3), и их обобщения.
В следующем пункте при рассмотрении отраженного броуновского
движения, нужного для решения задачи (3), будут указаны
необходимые условия на D, требующиеся для существования такого процесса.
2. Как уже говорилось, для решения задачи (3) и более общих задач
с условиями типа Неймана и Робина (в марковской теории сказали
бы —с условиями типа Феллера—Вентцеля) приходится, в частности,
привлекать отраженное (от границы dD в область D) броуновское
движение.
В рассматриваемом нами случае, где главенствующую роль играет
оператор Лапласа А, тесно связанный, как мы знаем, с броуновским
движением В = {Bt)t^0, нам понадобится процесс X — {Xt)t^0, который
является (сильным) решением уравнения
t
Xt=x+Bt- fn(Xs)dLs, (5)
о
где L = (Ls)s^0 есть локальное время на границе dD, по определению
удовлетворяющее условию
t
Lt = $IdD(Xs)dhs, (6)
о
a n = (n(Xs))s^0 —процесс, образованный единичными внешними
нормалями n(Xs) в точке XsedD.

§ 8. Задача Пуассона с граничными условиями Неймана 339
Уравнение (5) — обобщение одномерного уравнения Скорохода (§ 7
гл. XII), определяющее пару процессов (X,L) = (Xt,Lt)t^0- При этом в
случае размерностей d ^ 1 для существования (непрерывных) X и L
надо требовать, чтобы область D была, например, ограниченной, а ее
граница принадлежала классу С1 (см., например, [55, 244]). Если
граница 3D является С2-границей, то решение будет единственным. В
случае гладких границ, например С3-границ, локальное время можно
находить-по «формуле Леви»:
(7)
где De — {x e D: р(х, 3D) ^ е} и предел существует по Рх-вероятности
для каждого х е 3D.
3. Весьма замечательно, что если (классическое) решение
задачи (3) существует (и обладает свойством центрирования j u(x) dx = О,
D
что всегда будет предполагаться выполненным), то оно может быть
представлено следующим образом:
и(х)= lim Ел
Г—>оо
i 1
]il>(Xt)dbt + §f(Xt)dt
\D.
(8)
-о о
В случае / = 0 эта формула превращается в формулу Бросамлера [60]:
г
(9)
и(х) = lim Ex
Т—>оо
j>(Xt)dLt
xeD.
Чтобы увидеть, как эти формулы можно вывести из формулы Ито и
некоторых эргодических теорем для отраженного броуновского
движения X, рассмотрим сейчас для простоты изложения лишь одномерный
случай. _
Итак, пусть и = и(х), х е D с М, — решение задачи (1). Тогда по
формуле Ито для u{Xt), t ^ 0, получаем, используя формулу (3), что
u(Xt) = u(Xt)dXt + \u"(Xt)dXt =
= u'(Xt)[dBt-n(Xt)dbt] + \u"{Xt)dXt =
= u'(Xt)dBt -uXXt)n(Xt)dbt + \u'{Xt)dt =
= u'(Xt)dBt-rl>(Xt)dht-f(Xt)dt.

340
Гл. XIV. Гармонические функции
Поэтому
t г t t
u(Xt) = uW + Ju,(Xs)dBs-Ji/;(Xs)dLs + J/(Xs)d5
о Lo о
и, значит,
t t
uM = u(Xt)-^uXX5)dBs+Ex^(Xs)dhs+f(X5)ds].
о о
Поскольку и(х) является дважды непрерывно дифференцируемой
t
функцией, ползаем, что Ех J u'(Xs) dBs =0и тем самым
u(jc) = EJcu(Xt) + EJCJ[i/;(Xs)dLs+/(Xs)d5]. (10)
о
Чтобы отсюда полнить формулу (8), перейдем к пределу при t —> оо._
Из результатов работы [60] следует, что процесс X является
экспоненциально эргодическим и предельное распределение имеет
равномерное распределение на D. Следовательно, lim Exu(Xt) = Г u(x)dx = 0,
где равенство нулю вытекает из сделанного предположения, что
таково решение задачи (3). Переходя тогда в формуле (10) к пределу при
t —> оо, получаем требуемое представление (8).
4. В одномерном случае результат (8), дающий вероятностное
представление решения и(х) задачи (3) с условием Неймана на границе,
может быть получен без обращения к формуле Ито и эргодическим
свойствам отраженного броуновского движения. Это можно сделать,
используя обычные свойства локального времени Леви (L° в точке а)
для отраженного броуновского движения и первое тождество Вальда
для броуновского движения. (См. [289].)
Итак, будем рассматривать (одномерную) задачу
jAu(x) = 0, *eD = (-l,l),
du OD
^х) = гР(х), xedD = 1-1,11
(Случай произвольной области D = (а, Ь), а<Ъ, может быть сведен к
случаю D = (—1,1).)
Понятно, что решение и(х) уравнения Аи(х) = 0 (-тЦ и(*) = 0)
имеет вид иМ = ах + Ъ. Поскольку и'(1) = я/>(1) и "4-1) = i/^(—1), из этих

§ 8. Задача Пуассона с граничными условиями Неймана 341
1
условий и условия центрирования J u(x)dx = О следует, что Ъ = О и
-1
а = а, где а = гр(1) = —гр(—1). (Мы рассматриваем изначально только
центрированные решения.) Таким образом,
иМ = ах. (12)
Запишем отраженное (в точках —1 и 1) броуновское движение X =
= (Xt)^o (см. (5)) в виде
Xt=x+Bt-^n(Xs)dLs,
о
т.е. пусть Lt.= ^Lt. Здесь n(x) — единичная внешняя нормаль, и,
следовательно, в точках 1 и — 1 выполнены равенства
п(1)=1, п(-1) = -1. (13)
Локальное время L (так же как L) является локальным временем на
dD = {—1,1}. Но в каждой из этих точек —1 и 1 можно определить
локальное время (для отраженного броуновского движения) так же, как
это делалось в случае броуновского движения (§ 6 гл. XII). А именно,
пусть
t
I?(X) = limifj[a>a+e)(X,)ds. (14)
е[0 с J
О
Тогда в точке а = — 1 определено локальное время L"1, а в точке а = 1
его надо определять следующим образом:
L]~(X) = ]jmLbt(X). (15)
(Такой предел слева существует, что хорошо известно из теории семи-
мартингалов [190].)
Непосредственно из определений (7) и (14) находим, что
Lt = L]-(X) + L;\X). (16)
Согласно теореме 3 из работы [289] имеет место интересная
формула
limEx[L]-(X)-L;\X)]=2xy хе [-1,1], (17)
t—>оо
Получаемая следующим образом.
Если т = inf{t ^ 0: Xt = 0}, то, во-первых, Ет < оо и, во-вторых,
считая сначала, что х ^ 0, мы получаем, что
\l1-{X) = \lt=xI{x^0) + Bt,

342
Гл. XIV. Гармонические функции
а затем, считая, что х < 0, получаем, что
\l~\X) = |lT = -xl{x < 0) + Вт.
Поэтому
\bx[L\-{X)-L-\X)]=xI(x^O) + xI(x<0) = x.
Далее, из строго марковского свойства отраженного броуновского
движения следует, что
eal]-t(x)-l;^(x)]=2x + e0[l]-(x)-l;\x)] = 2x}
поскольку в силу симметрии отраженного броуновского движения,
выходящего из нуля, E0[Lt1_(X) - L^QO] = 0.
Теперь заметим, что
t t t
|^(Xs)dLs = J^(-l)dLs-1(X) + J^(l)^s1-(X) =
0 0 0
= -aL~\X) + aL)~{X) = a{L~\X) - L]-{X))
и, следовательно, с учетом соотношения (17) мы имеем
t
lim Ых [xp(Xs)dLs = f lim EX(L7\X) - Ll~(X)) = ax.
0
Поскольку L = хЬ, отсюда следует, что
t
limEx \ip(Xs)dhs = ax.
t—>00 J
0
Принимая во внимание соотношение (12), получаем требуемый
результат: центрированное решение и(х) задачи (И) допускает следующее
вероятностное представление:
t
u(x)= HmEx [tp(Xs)dhs.
t-»oo J

Глава XV
Векторный анализ и векторное исчисление
в теории потенциала
§ 1. Скалярные и векторные поля, скалярное и векторное
произведения, дифференциальные операторы
1. При доказательстве теоремы в § 2 предшествующей главы (о
связи свойств гармоничности и свойств в среднем) мы использовали
(второе) тождество Грина, являющееся, в сущности, результатом
векторного анализа и векторного исчисления в теории потенциала. Поэтому
представляется целесообразным остановиться на некоторых
положениях этих теорий.
В основе векторного анализа (или векторной алгебры) и
векторного исчисления лежат понятия скалярного и векторного полей (в Rd с
декартовой системой координат).
В случае скалярного поля в каждой точке пространства
рассматривается скаляр, которым может быть математическое число (типа
значения функции f(x) в точке iERd) или физическая величина (типа
температуры, давления...)
В случае векторных полей с каждой точкой пространства Rd
связывается вектор, который можно себе представлять как «стрелку»
определенной длины и определенного направления.
2. Элементы векторной алгебры. Для определенности будем
рассматривать трехмерное пространство R3. Этот случай обладает
определенной наглядностью; случаи других размерностей, в принципе,
рассматриваются аналогично.
Каждый (действительный) вектор V (в R3) можно записать в виде
V = xi + yj + zk, (1)
где i, j, k—стандартные базисные (единичные) векторы: i = (1,0,0),
J = (0,1,0), k= (0,0,1). В формуле (1) коэффициенты х, у, z —
соответствующие компоненты (скаляры).
Часто вместо (1) используют другую запись:
V = (x,y,z), (2)

344 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
которая, впрочем, уже использовалась для стандартных единичных
векторов.
С каждым вектором V связывается его норма («длина») |V|, или ||V||,
определяемая формулой
|V| = (x2 + y2+z2)1/2. (3)
По определению вектор V единичный, если его норма |V| равна 1.
Вектор О нулевой, если О = (0,0,0).
Два вектора Уг = (аг,а2, а3) и V2 = {Ъ1, Ъ2, Ь3) можно складывать:
Уг+У2 = (а2 + Ъъа2 + Ъ2, а3 + Ь3) (4)
и вычитать:
Vi-V2 = (аг - Ъъ а2 - Ъ2, а3 - Ъ3). (5)
Вектор V = {x,y,z) можно умножать на скаляр с:
cV = (cx,cy,cz).
Операция скалярного произведения («dot operation», «dot product»,
«inner product»; см. гл. I, § 4), обозначаемая символом (•, •) или •,
определяется для векторов Уг = {аъа2, а3) и ^2 = (^ъ Ь2, Ь3) формулой
V1-V2 = (a1bl+a2b2 + a3b3) (=У2-У2), (6)
т. е. V\'V2 — скаляр. Также скалярное произведение обозначают (Уь V2).
Скалярное произведение можно (алгебраически) представить в виде
Vi-V2 = |Vi||V2|cos0, (7)
где в, 0 ^ в ^ я, есть «угол» между Vl и V2. Эта формула полезна также
тем, что она дает удобное представление для косинуса угла в:
«** = ■*'*
С помощью скалярного произведения определяется понятие
векторной проекции вектора Vl на вектор V2:
Скалярной проекцией (вектора Vl на вектор V2) называется
величина

§ 1. Скалярные и векторные поля, дифференциальные операторы 345
В числе свойств скалярного произведения отметим следующие:
а) коммутативность: Vl'V2 — V2'Vl)
б) дистрибутивность: Vl • (V2 + V3) = Vl • V2 + Vi * V3;
в) билинейность: Уг • (cV2 + V3) — с(Уг • V2) + Vl • V3.
3. Операция векторного произведения («cross product»),
обозначаемая символом х, определяется для (линейно независимых) векторов
А = (аь а2, а3) и В = (Ьь Ъ2, Ь3) как вектор, который ортогонален
плоскости, где расположены Л и Б, и таков, что
AxB = |A||B|sin0n, (8)
где в — «угол» между Л и В, а п —единичный вектор, ортогональный
этой плоскости, направление которого определяется правилом
буравчика («right-hand screw»):
ВхА=-(АхВ).
(Наглядное объяснение этого правила см. в п. 2 § 3.)
С учетом «правила буравчика» (см. п. 2 в § 3) для стандартных
векторов i,j,k (в направлениях осей x,y,z соответственно) получаем
ixj = k,
jxk = i, (9)
kxi=j.
Аналогично проверяется, что справедливы следующие свойства
антикоммутативности:
jxi = -k,
kxj = -i, (10)
ixk=-j.
Если векторы Л и В имеют одно и то же направление или имеют
в точности противоположные направления, т. е. не являются линейно
независимыми, или если по крайней мере один из векторов
является нулевым, то их векторное произведение полагается равным нулю.
Объединяя все случаи, можем сказать, что величина векторного
произведения равна площади параллелограмма, порожденного векторами
ДиВ.
Из определения векторного произведения следует, что
ixi=jxj = kxk = 0 (нулевой вектор). (11)
Из представлений
А = аг{ + aj + a3k, В = bai + bj + b3k

346 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
ВЫВОДИМ, ЧТО
Ах В = (aji + aj + a3k) x (b2i + bj + b3k) =
= a2bj(i x i) + a2b2(i x j) + aTb3(i x k) + a^O x i) + a2b2(j x j)+
+ a2b3G x k) + a3b2(k x i) + a3b2(k x j) + a3b3(k x k).
Отсюда и из свойств (9) — (11) следует, что
Ах В = -агЬгО + агЬ2к~ агЬ3}—
— a2b2k —a2b20 + a2b3i + a3bj — a3b2i — a3b30 =
= (a2b3-a3b2)i + (a3b1-a1b3)j + (a1b2-a2b1)k. (12)
Используя матричные обозначения, получаем, что векторное
произведение А х В векторов А =(а1уа2,а3) и В = (b2, b2, b3) допускает
следующее представление:
"i j k
aa a2 a3
AxB =
ba b2
(13)
где [ • ] есть (формальный) детерминант.
Как упомянуто выше, скалярное произведение коммутативно и
дистрибутивно. Векторное же произведение антикоммутативно (Л х В -
= -(Вх А)), но дистрибутивно:
Ах(В + С)=АхВ+АхС.
Непосредственно из определений видим, что
Однако
А • (В х С) = В • (С х А) = С • (А х В) =
Лх(ВхС)/(ЛхВ)хС,
bi
Ci
a2
ь2
c2
a3
Ьз
c3
но
Ах(ВхС)=В(А-С)- С (А • В).
(Эта формула называется «правилом ВАС — CAB».)
4. Дифференциальные операторы. Таковыми являются
операторы grad(/), div(F), rot(F) и лапласиан А/, выражающиеся через
оператор V («набла»), который в случае
V
i+^j + ^k,
Зх
имеет вид

§ 1. Скалярные и векторные поля, дифференциальные операторы 347
WV-F (_(&.£.&).(,,.*.,,)_£ + !& + £). 05,
где i = (1,0,0), j = (0,1,0), к = (0,0,1) — стандартные единичные
векторы.
Оператор набла записывают также в виде V '= (^~>~^~^)и назы~
вают оператором Гамильтона.
Градиент (grad(/)) скалярного поля/ = f(x,y,z) определяется
формулой
grad(/) = V/ (=f£i+f£j + §£k). (14)
Градиент (от лат. gradiens — шагающий, растущий) — это вектор,
своим направлением указывающий направление наибольшего
возрастания, а по величине (модулю) указывающий скорость изменения
функции. Из определения видно, что градиент отображает скалярное поле в
векторное.
Дивергенция (div(F)) векторного поля
определяется формулой
з з д_л fF dFx dF2 , dF3
~Щ> дz) '^ъ^з)- ~дх~ + ^Г
Из этого определения видим, что дивергенция отображает векторное
поле в скалярное.
Ротор (rot(F) или curl(F)) векторного поля F определяется
следующим образом:
" i j k"
А. JL JL
дх ду dz
.Fi F2 F3J
_fdF1_ д^Л. ,f^F1_ ЭРзЛ. ,(^2_ dFi\
~\3у dz r^\3z Эх Р ^ \ Эх ду Г'
Часто это записывают в таком виде:
^_Л_^ dF±_dF1 dF1_dF±\
r°W)-\dy dz' dz дх' дх ду У
Таким образом, ротор отображает векторное поле в векторное.
Лапласиан (Д/ = V2/ = V • V/) осуществляет отображение между
двумя скалярными полями.
5. В векторном исчислении часто приводимые формулы
используют не только в декартовой системе координат (что было сделано), но
также и в цилиндрических и сферических координатах. Приведем
основные характеристики этих трех случаев (для R3).
rot(F) = V х F =

348 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
Декартовы координаты {x,y,z).
Скалярное поле: f = f(x,y,z).
Векторное поле: F = Fxi + FJ + F3k.
Градиент: grad(/) = V/ = ^i + ^j + -^k.
Дивергенция: div(F) = V-F = -^ + ^ + ^.
,^ „ г. Г^з ^2V fdF\ дрзЛ. fdFi dF,\
d2f d2f d2f
dx2 + dy2 + a*2
Цилиндрические координаты (г, 0, z). В терминах декартовых
координат (x,y,z) имеем
Лапласиан: A/=V-V/ = ^ + ^ + ■
г = (х2 + у2)1/2,
-1 У г У>
— tg L — i = arrl-сг —
Z —Z.
0 = tg-1^(=arctgi),
Координаты (г, 6,z) называют радиальной, азимутальной и
вертикальной составляющими (г е [0, оо), в е [0,2тг), z е (—оо, оо)). При
этом
х = г cos в,
у = rsinO,
z = z.
Якобиан равен г:
\d{x,y,z)
d(r,6,z)
= г.
Скалярное поле: f =/(r, 9,z).
Векторное поле: F = Frer+Feee+ Fzez, где er, e0, ez — стандартные
базисные векторы.
Градиент: grad(/) = V/ = -^е, + -^ее + ^ег.
Дивергенция: div(F) = V • F = J ^(гР,.) + } Ц^ + ^.
Ротор:
гтчл гг г. (\ дрз dF2\ (dF, dF3\ fid, ч \dF,\
Лапласиан: Д/ = )^[r%) + ±jf2 + g.

§ 2. Векторное исчисление — 1
349
Сферические координаты (р,0,гр).
Скалярное поле: f =f(p,0,\p).
Векторное поле: F = Fpep + Feee + F^e^.
Градиент: grad(/) = V/ = gep + —^f£e, + I J£e*.
Дивергенция:
div(F) = V.F = ^A(p2Fp) + _^^ + _X_^sinV)).
Pomop:
rot(F)=Vxf=^w;[4^si^)-SK +
Лапласиан:
Af-JLJLf 2df\ 1 ^V , 1 д ( . ,df_\
^J "" p2 dplp ^p J + р25т2я/; 302 + p2sin^ d^VmVd^y
6. Если D — некоторая область с границей 3D, то иногда приходится
рассматривать вопрос дифференцирования по отношению к
единичной внешней нормали п(£) в точке £ е 3D. Определение таково.
Пусть и = u(xl,...,xd) и £ е 3D. Тогда по определению
§^(?) = Vu(£)-n(a (16)
d
du
vu(o-n(o=sg(?K(a
i=i 3*
§ 2. Векторное исчисление — 1. Теоремы Ньютона—Лейбница,
Гаусса—Остроградского
Фундаментальная теорема (Ньютон—Лейбниц) интегрального
исчисления говорит о том, что
ч
j>Mdx=/(q)-/(P), (1)
р
ИЛИ
| /,WdJC=/(q)-/(p), (2)
C[p,q]

350 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
где C[p,q] —отрезок [p,q\. (Все интегралы сейчас будут пониматься в
смысле Римана.)
Наша цель будет состоять в том, чтобы для случая Rd изложить
основные интегральные теоремы векторного анализа с ориентацией на
краевые задачи типа проблемы Дирихле (гл. XIV, § 1).
а) Предположим, что в Rd есть векторное поле F = Fjij + ... + Fdid
и непрерывная кривая С = C[P,Q], начинающаяся в точке Р и
приходящая в точку Q. По аналогии с J /'00 dx рассмотрим вопрос о
вычислении интеграла c[p,q]
J F-dr= J (F1dx1 + ...+Fddxd), (3)
C[P,Q] C[P,Q]
где F = Fjij + ... + Fdid, dr = dx^ + ... + dxd\d.
Чтобы получить аналог формул (1), (2), надо предположить, что
векторное поле F является консервативным, т. е. существует такое
скалярное поле/ =f(x1,...,xd), что
V/=F, (4)
или
grad(/) = F,
т.е.
(F1,...,Fd) = (^,...,^).
В этом случае скалярная функция / = f(xl,...,xd) называется
потенциалом векторного поля F, а само поле F называется градиентным.
Именно, в этом предположении мы имеем аналог классического
результата (1), (2): если C[P,Q] —гладкая кривая, соединяющая точки Р
и Q, и функция / = f(x1,...,xd) непрерывна, то линейный интеграл
вдоль кривой С [Р, Q] вычисляется по формуле
J Vf.dr=ftQ)-ftP). (5)
C[P,Q]
Доказательство этого результата сводится к классическому
доказательству формул (1), (2), если предположить, что кривую С [Р, Q] можно
параметризовать.
Более точно, предположим, что / является дифференцируемой
функцией, определенной на некотором открытом множестве U <^Rd и
принимающей значения в R. Пусть также г = r(t) —дифференцируемая

§ 2. Векторное исчисление — 1
351
функция, отображающая замкнутый интервал [а, Ь] в U. Тогда по
правилам дифференцирования
где te[a,b].
Предположим, что область U содержит дифференцируемую кривую
C[P,Q], идущую от точки Р к точке Q. Тогда
ъ ъ
I Vf-dr = $Vf(r(t))-r'(t)dt = $j-[f(r(t))dt =
C[P,Q] a a
= /(r(b))-/(r(a))=/(Q)-/(P). (7)
Из соотношений (5), (7) вытекает, что в случае замкнутых кривых,
когда Q = P, интеграл от градиентного поля F = V/ равен нулю.
Естественно возникает вопрос о том, когда векторное поле F
является градиентным.
Это будет заведомо так, если для всех замкнутых кривых С
интегралы J* F • dr равны 0, или если j F • dr — j F • dr, где С1 и C2 — про-
C Cj C2
извольные кривые с совпадающими концевыми точками. Можно дать
также и такой критерий (в случае R3): если rot(F) = V х F — 0, то F
является градиентным векторным полем.
б) Теорема о дивергенции (К. Ф. Гаусс —1813 г., М. В.
Остроградский—1826 г.) преобразует объемный интеграл в интеграл по
замкнутой поверхности. Более точно, если F —непрерывно
дифференцируемое векторное поле, а D —замкнутая область (в Rd) с поверхностью
dD, то
fdiv(F)dV = f F-ndS, (8)
D 3D
где dV — дифференциал объема (в Rd), dS— дифференциал
поверхности dD (в Rd_1) и п —единичный вектор внешней нормали.
Формулу (8) записывают также в следующем виде:
J(V • F)d(vold) = J F • ndCvoW). (9)
D 3D
Интерпретируют формулу (9) следующим образом: поток
непрерывного дифференцируемого векторного поля F через поверхность
3D, ограничивающую замкнутую область D, определяется свойствами
этого векторного поля внутри D.

352 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
В основном мы будем интересоваться случаем размерности d ^ 3.
В случае d — 3 свойства (8), (9) записывают обычно в таком виде:
JJJ(V-F)dV=|j>F-ndS, (10)
D 3D
где dV — элемент трехмерного объема, a dS — элемент поверхностной
меры. При этом D является компактом, a S — кусочно гладкая
поверхность, являющаяся граничной поверхностью этого компакта.
Соотношение (10) может быть переписано (для F — (F1? F2, F3)) в
таком виде:
D
= rr(F1cos(n,x) + F2cos(n,y) + F3cos(n,2))dS, (11)
3D
^en=(n1,n2,n3) = (cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)), (n,x) —это «угол»
между п и осью х и т.д. Так как cos(n,x)dS — dydz, cos(n,у)dS — dxdz,
cos(n,z)dS — dxdy, формулу (11) можно записать в таком виде:
JIJ(S + ^ + ^)dy = II(Fldy^ + F2dx^ + F3dxdy)- (12)
-3Fl BF2 dF3
< Эх By dz
D 3D
Замечание. Утверждение (11) независимо открыто К. Ф. Гауссом и
М. В. Остроградским (который дал первое доказательство в общей
форме), а затем Дж. Грином (1828 г.) и Дж. Г. Стоксом (1854 г.).
Некоторые варианты этого утверждения были известны еще Ж. Л. Лагранжу
(1762 г.).
Пример. Пусть D является кубом, изображенным на рис. 1*^.
Возьмем векторное поле F = {2ху, уez, x sinz). Задача состоит в том,
чтобы найти <j^>(F • n) dS.
3D
Непосредственное оперирование с этим интегралом приводит к
длинным вычислениям (здесь граница 3D состоит из шести сторон
куба). Однако если обратиться к теореме о дивергенции, то тогда надо
вместо (двойного) интеграла j§> подсчитать (тройной) интеграл JJJ •
3D D^
(Это является довольно-таки типичной ситуацией, когда вместо
двойного интеграла проще и быстрее подсчитать тройной интеграл.)
*)Компьютерные версии всех рисунков в книге подготовлены Е. В. Бурнаевым.

§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса
353
(0,0,0)
(1,0,0)
В нашем случае
1 1 1
fjTdiv(F)dV = Г Г \(2y + ez+xcosz)dxdydz =
D 0 0 0
1 1
= Г Г(2у + ez + | cosz) dy dz =
1 0 0
= f (l + ez + \ Qosz)dz = 1 + (e - 1) + | sinl = e + \ sinl.
§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса
1. а) Теорема Грина (в R2; [159]). Пусть С — кусочно гладкая
замкнутая кривая без самопересечений в плоскости, являющаяся
положительно ориентированной (т. е. ориентированной против часовой
стрелки), и D—множество, ограниченное кривой С. Пусть также F =
^ (Fi,F2) —векторное поле, координаты которого принадлежат С1.
Тогда
Я(Ж - fO dx dy = fa, dx + F2 dy). (1)
D С
Доказательство приведем (для простоты изложения) в случае
области D наподобие изображенной на рис. 2.

354 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
Ь х
Рис. 2
Область D имеет здесь вид
D = {(х,у): а^х^Ъ, gl(x) ^ у ^ g2W],
так что
С = Сг U С2 U С3 U С4,
при этом множества Сх и С2 лежат на прямых, параллельных оси у.
Понятно, что для доказательства формулы (1) достаточно
убедиться, что
§j±dxdy = -§F1dx, JJ§Jdxdy = -<j>F2dy. (2)
Докажем первое равенство, второе доказывается аналогично.
Имеем
ь g2w ъ
JJ^xdy = J J j±dxdy = $[Fl(x9g2W)-F1(x,g1W)]dx. (3)
D
а giM
Далее,
j)F1(x,y)dx= J F1{x,y)dx= J Fl{x,y)dx,
с c1uc2uc3uc4
поскольку, очевидно,
C3UC4
<j> FiU,y)dx = (j) F!(j:,y)djc = 0.
c} c2

§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса
355
Имеем
и
§Fl(x,y)dx = §Fl{xigl{x))dx = ^Fl{x,gl(x))dx
С3 С3 а
j)F1(xiy)dx = -^F1(x,g2(x))dx.
Следовательно,
и
(j) F^x, у) dx = |(^(х, gi(x)) - F2(x, g2(x))) dx.
(4)
C3UC4
Из соотношений (З) и (4) получаем первое из равенств (2). Второе,
как уже говорилось, доказывается аналогично. □
Пример. Рассмотрим рис. 3. Здесь С и D удовлетворяют
условиям теоремы Грина, при этом O^x^l, 0 ^ у ^ х. Возьмем Fx = ху,
F2 — x2y2. Соотношение (1) будет иметь вид
jj(2xy2 -x)dxdy = j>(ху dx + x2y2 dy). (5)
D С
Как и в теореме о дивергенции (см. п. б) в § 2), сейчас проще
подсчитать двойной интеграл (по области D), нежели интеграл в правой
части (по границе С). Имеем
1 г х
jj(2xy2 - х) dx dy = j( j(2xy 2 - х) dy )dx =
D 0 Vq J l
:J(f*W)d*=-I.

356 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
Тем самым
(£(Fl dx + F2 dy) = <£(xy dx + x2y2 dy) = -^
Формула (1) в теореме Грина имеет два аспекта: математический и
физический (точнее — гидродинамический).
б) С математической точки зрения эта формула просто связывает
значение интеграла по области D с интегралом по границе С. При этом
она может быть использована для двух способов подсчета, например,
площади S области D, ограниченной кривой С. Для примера
рассмотрим область D, ограниченную двумя кривыми Ух(х) = х2 и у2(х) = х3
при 0 ^ х ^ 1 (см. рис. 4).
х) = х3
Рис.4
В формуле (1) возьмем
№,У) = 0, F2(x,y) = x.
Тогда эта формула примет вид
§dxdy = U + §)Xdy.
Поэтому площадь S можно подсчитывать двумя способами: как
или как
D
(6)
(7)
(8)
4Ki Уг ■

§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса
357
В случае (7) имеем
D о ^л:3 ' О
_1_
12*
В случае (8) имеем
S=(j) xdy + (pxdy;
J2 Jl
при интегрировании по у2 подставляем dy = Зх2 dx, а при
интегрировании по у1 подставляем dy — 2х dx. Поэтому с учетом ориентации
получаем, что
1 1
(К х dy = Г х • Зх2 dx = Г Зх3 dx = |
J2
(pxdy = \x-2xdx = - 2x2dx = -7>.
У\ 1 О
Значит,5 = |-§ = ^.
Подобный прием может быть использован и в более сложных
случаях. Отметим также, что мы брали F2 = 0 и F2 — x, но можно было
бы для подсчета S брать и^ = —у, F2 = 0, что видно из левой части
формулы (1).
в) С физической точки зрения прежде всего надо объяснить, что есть
циркуляция, а что есть поток.
Рассмотрим часть кривой Сив некоторой ее точке а возьмем
вектор внешней нормали п и касательный (тангенциальный) вектор t
(см. рис. 5).
Рис. 5
Если рассматривается движение в D (скажем, жидкости) вдоль
вектора п, то мы говорим о потоке, а если вдоль вектора t, то о
циркуляции.

358 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
Если dS — элемент дуги кривой С в точке а, то
ndS = (dy,-dx)
tdS = (dx,dy).
Если F = (F1? F2) — векторное поле, то
F-ndS = F1dy-F2dx
F-tdS = F!dx + F2dy.
По теореме Грина
§F.ndS = §(-F2dx + F1dy) = $(^--^)dxdy =
С С D
= §{^ + ^)dxdy = §dHF)dxdy (9)
И
-dF2 bfx
с с Ь
§F-tdS = §(F1dx + F2dy) = §(-£--£)dxdy =
= JTrot(F) dxdy. (10)
(Выше rot(F) определялся в трехмерном случае; в двумерном случае
п*((^2)) = §-§,
эту формулу можно получить из формулы для rot((F1?F2,F3)); см. § 1.)
Итак, формула (9) дает соотношение в случае потока, а (10) — в
случае циркуляции.
Следующая теорема Стокса приводится без доказательства.
2. а) Теорема Стокса (в R3; 1854 г.) может рассматриваться как
обобщение теоремы Грина (в R2). Если в теореме Грина двойной
интеграл по плоской замкнутой области D связывается с интегралом вдоль
граничной кривой 3D, то в теореме Стокса поверхностный интеграл
по поверхности S связывается с соответствующим образом
ориентированным краем С этой поверхности. Предполагается, что S — кусочно
гладкая поверхность, ее край С является замкнутым, состоит из
конечного числа кусочно гладких контуров и ориентирован в соответствии

§ 3. Векторное исчисление — 2. Теоремы Грина и Стокса
359
с правилом буравчика (т. е. если большой палец правой руки
устанавливается на крае С параллельно направлению внешней нормали и
осуществляется вращение к себе вокруг этого пальца, то направление
поворота остальных пальцев указывает направление на С; в плоском
случае, как в теореме Грина, это соответствует движению против
часовой стрелки).
Типичная картина поверхности S, ее края С и соответствующей
ориентации на С показана на рис. 6.
С
Рис. 6
Теорема Стокса. Справедливо равенство
№f-t)^+(M^-(t-f)«^b
S
= §(F1dx + F2dy+F3dz). (11)
с
Выражение, стоящее под двойным интегралом, есть не что иное, как
ротор:
rot(F) =
i J k
A. JL A.
дх ду dz
rdF3 3F2\ rdFl 3F2\ f3F2 8F,\
(ср. с п. 4 в § 1).
В двумерном случае первые два выражения в левой части
равенства (11), очевидно, обращаются в нуль и мы получаем равенство (1), а
это и есть утверждение теоремы Грина.
б) Замечание. Из формулы (11) видно, что если мы желаем
подсчитать <|> (Fx dx + F2 dy + F3 dz), то в качестве S можно взять любую

360 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
поверхность (удовлетворяющую теореме Стокса), имеющую тот же
самый край С.
Пример. Рассмотрим кривую С, являющуюся пересечением конуса
z2 = х2 + у2 с плоскостью z = l (см. рис. 7).
2=1
Рис.7
Пусть нам надо вычислить интеграл § F • dr = ^(F-^dx + F2 dy -f
с с
-f F3 dz). Согласно теореме Стокса
&F-dr= (Trot(F)dS,
где в силу сделанного замечания поверхность S может выбираться так,
чтобы ее край совпадал с заданной кривой С. Например, могут быть
взяты поверхности Sx и S2, изображенные на рис. 8.
Рис.8
Тогда можно выбирать: подсчитывать двойной интеграл по Sx или
по S2. Второй случай, как правило, проще.

§ 4. Первое и второе тождества Грина
361
§ 4. Первое и второе тождества Грина
1. Первое тождество (в Rd) выводится из теоремы о дивергенции
(§ 2), если в ней положить
F = *pVy, (1)
где у е С2 и я/; е С1. Из формулы (1) получаем, что
V • F = V • (-0Vy) = я/>V2(/> + Vi/> • Vy =грА(р + Vi/г- Vy.
Поэтому из формулы (8) в § 2 следует, что
JC0A(/> + V^ • VyOdV = J <KVy>' n)dS, (2)
D dD
где, напомним, 3D —граница замкнутой области D (в Rd), А
—оператор Лапласа, п —единичный вектор внешней нормы, dV —
дифференциал объема (в Rd), dS— дифференциал поверхности 3D (в lRd_1).
Соотношение (2) и есть первое тождество Грина.
В конце § 1 была введена производная по направлению
^ = V^-n. (3)
Поэтому соотношение (2) может быть переписано в виде
f C0 Aip + Vip • VyO dV= f^^dS. (4)
D 3D
Если положить я/j = 1, то из формулы (4) получаем, что
f AydV = Г j^dS. (5)
D 3D
Из этого соотношения видно, что если рассматривается задача
Неймана
Д¥> =/(*)> xeD,
то функции / и h не могут быть произвольными, поскольку
соотношение (5) дает для них условие
j7dv=J
hdS. (7)
3D

362 Гл. XV. Векторный анализ и векторное исчисление в теории потенциала
Первое тождество Грина (4) для случая ч>=гр, где </? — гармоническая
функция, приводит к соотношению
J|V^|2dV=J(^dS. (8)
D 3D
(Как было отмечено в § 1, выражение J\V^\2dV есть «энергия
Дирихле».) D
Соотношение (8) можно использовать для доказательства
единственности проблемы Дирихле.
Действительно, пусть (/?а и </?2 —два решения одной и той же задачи
Дирихле. Тогда функция и = фг — </?2 является гармонической с
нулевым граничным условием и из соотношения (8) получаем
J|Vu|2dV = 0. (9)
D
Отсюда (в силу непрерывности функции и) следует, что |Vu|2 = 0 и,
значит, и{х) = const, причем эта константа, очевидно, равна 0 в силу
того, что на границе 3D выполнено равенство и(х) = 0.
Заметим, что в приведенном доказательстве единственности было
предположено существование решений.
2. Второе тождество Грина (в Rd). Пусть у е С2 и гр € С2. Меняя в
формуле (2) местами </? и гр, получаем
f((/>Ai/j + V</?-Vi/OdV = r</?(Vi/j-n)dS. (10)
D dD
Вычитая соотношение (10) из (2), получаем, что
f (^Ду> - у?Дя/0 d V = Г(яКVy> • п) - y(Vi/> • n)) dS. (U)
D 3D
Согласно формуле (3) имеем
^ = V^n, ^ = V^-n. (12)-
Поэтому формулу (11) можно переписать в таком виде:
J(V^ - *AiP)dV = Jfy|| - ¥>§£)dS, (13)
D 3D
что и есть второе тождество Грина.

Глава XVI
Фундаментальные решения и функции Грина
§ 1. Фундаментальные решения
1. Общепризнано, что Дж. Грин был первым, кто предложил (в 1828 г.,
[159]) идею «функций Грина» (по терминологии Римана) для решения
линейных дифференциальных уравнений, действующих в некоторой
области, с заданными граничными условиями. Понятие же
«фундаментального решения» (или фундаментальной составляющей функции
Грина) связано с дифференциальными уравнениями, действующими
во всем пространстве. (Часто фундаментальные решения тоже
называют функциями Грина).
Фундаментальное решение Ф = Ф(х), xEMd, —это решение или
обобщенное решение линейного дифференциального уравнения
1Ф(*) = 5(*), (1)
где 5 = 5(х) есть дельта-функция (гл. I, § 5).
Если мы знаем Ф(х), то тогда можно найти решение и — и{х)
линейного уравнения
LuM=fM (2)
по формуле
"0)=]7(?)фо-?ж, о)
Rd
здесь и далее Е, есть вспомогательная переменная, по которой
производится интегрирование. (Вопросы интегрируемости сейчас пока не
рассматриваются.)
Действительно, по крайней мере формально,
J ЬФ(х - ?)/(?) d? = J SO - S)f(£№ = /(*)• (4)
Но в силу линейности L имеем
J 1Ф(х - £)/(£Ж = £ J" Ф(* - Ш£Ж-

364
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
Значит,
Rd
и из равенства Lu(x) =/(*), следует, что (ср. с (2) в § 2 гл. XIII)
и(х)=|ф(х-£)ЖЖ. (5)
Это представление записывают в виде
и(х) = (Ф */)(*) (6)
или, что равносильно,
и(х) = (/*Ф)(*)
и называют Ф */ или / * Ф сверткой. (Заметим, что соотношения (5),
(6) известны также как уравнения Фредгольма.)
С физической точки зрения функция Ф интерпретируется как
функция влияния в точке х, производимая «источником» (единичным
импульсом, т. е. 5-функцией), помещенным в точку 0.
2. Отыскание фундаментальных решений для общих линейных
дифференциальных операторов L является делом далеко не простым.
Однако для интересующего нас оператора Лапласа А или —А (т. е. для
уравнений АФ(х) = 5(х) или —АФ(х) = 5(х); последнее уравнение
часто используют в физике) фундаментальные решения можно найти,
что и будет сейчас делаться (для АФ(х) = <5(х)).
Начнем со случая d — 1. В этом случае уравнение АФ(х) = Ь(х)
принимает вид
^2Ф(х) Л
Введенная в § 5 гл. I функция Хевисайда Я{х) = 1{х ^ 0) обладает
(эвристически) свойством
(см. формулу (11) в § 5 гл. I). Следовательно,
с*Ф(х)
dx
= Н(х) + С. (8)
Если здесь константу С положить равной — «, а константу,
возникающую при интегрировании этого уравнения, положить равной нулю,
то получим
Ф(х) = хН(х)-|х = ||х|. (9)

§ 1. Фундаментальные решения
365
Эта функция действительно является решением уравнения АФ(х) =
= 5(х). При этом надо, конечно, прежде всего сказать, как понимать
это уравнение.
В § 5 гл. I говорилось, что при придании 5-функции строгого смысла
ее надо понимать как такой линейный функционал 5[Ч/] на
пространстве 8 основных функций Ч*, что 5 [У] = ^(0), или, образно,
сю
-сю
(в одномерном случае) либо
f <5(хЖх)с*х = Ф(0)
(в d-мерном случае).
Тем самым становится понятно, что уравнение АФ(х) = 5(х) надо
понимать как выполнение равенства
Г ДФОЖх) dx = Ф(0) (10)
Rd
для основных функций Фе^.
Это равенство часто записывают также в виде
(ДФ,Ф) = (5,Ф), (11)
подчеркивая, что действие АФ и 5-функции на основные функции Ф е
е 8 одно и то же.
Непосредственная проверка свойства (10) не совсем удобна хотя бы
потому, что у фундаментальных решений Ф(х) имеется сингулярность
в точке х = 0, где 5-функция принимает «значение -Ьоо». Поэтому
поступают так.
Используя равенство А = V2 и дважды применяя в левой части
соотношения (10) интегрирование по частям, приходят к уравнению
Г Ф(х)ДФ(х) dx = Ф(0). (12)
Rd
Надо при этом, конечно, использовать то, что класс 8 состоит из
бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями: см. § 5
в гл. I.
Именно в смысле выполнения свойства (12) мы и понимаем
уравнение АФ(х) = 5(х), определяющее фундаментальное решение.
(Подчеркнем, что такое понимание позволяет избегать 5-функции. Но тем

366
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
не менее здесь и далее мы используем наглядную запись АФ(х) = 5(х),
имея в виду понимание в смысле формулы (10) или (12).)
3. Теорема. Для всех d ^ 1 (радиалъно симметричные)
фундаментальные решения (АФ(х) = 5(х)) имеют следующий вид:
(13)
d(d-2)cod |x|d-2'
где cod — Vd(l) — объем единичного «шара» в Rd.
В частности, при d = 1, d = 2 и d = 3 имеем
Ф(х) = ||х|, Ф(*) = ^1о8|х|, Ф(х) = -^. (14)
Производная
по внешнему направлению на границе области Вг = {х € Rd: |х| < г}
задается формулой
|iM = :_L_, *еЗВг. (15)
Эти формулы хорошо известны и в математике, и в физике, при
этом в случае d = 3 функцию Ф(х) = — . . называют ньютоновским
потенциалом.
Но тем не менее полезно дать некоторый комментарий к
получению этих формул.
Со случаем d = 1 мы, в сущности, уже имели дело, когда определяли
t
локальное время броуновского движения в нуле (Lt = j5(BS) ds; см. § 6
в гл. XII). о
Напомним, что при определении локального времени Lt мы хотели
применить формулу Ито для процесса u(Bt), где и(х) = \х\, х е R.
Но эта функция ц(х) не принадлежит (в нуле) пространству С2
(и даже С1), и, следовательно, прямое применение формулы Ито к и{х)
невозможно. Поэтому, следуя Танака, мы поступали так.
Для 8 > 0 вводилась функция
(\х\, \х\>е,
^еМ=\е Х2 (16)

§ 1. Фундаментальные решения
367
Для этой гладкой функции ие(х)
d2ue(x) /0, \х\>е,
^~ = Ц, \х\*е, (17)
и тогда (см. формулы (10), (11) в § 5 гл. I) мы получали, что
2 Аие(х) —> 500 при е —> 0.
Это можно интерпретировать как то, что для функции Ф(х) = ^у имеет
место свойство
ДФ(х) = 500. (18)
(Такой подход к 5-функции, основанный на предельном переходе при
е -* 0, был детально описан в п. 4 § 5 в гл. I.)
В общем же случае (d ^ 1) можно поступить следующим образом.
Во-первых, можно просто проверить, что функции (13)
действительно удовлетворяют уравнению АФ(х) = 5(х), понимая, как уже
говорилось, выполнение этого уравнения в смысле выполнения равенств (12)
Для основных функций Ф = Ф(х).
Во-вторых, чтобы лучше понять происхождение всех функций,
стоящих в правой части формулы (13), поступим таким образом.
4. Будем рассматривать сначала уравнение Аи(х) = 0и искать его
радиальные решения, т. е. решения
и(х) = У(г), где г = \х\ = у^ + ...+*2.
(Такое допущение целесообразно, когда нет никаких выделенных
«направлений» и рассматриваемые задачи носят «симметричный»
характер.) Тогда из уравнения Аи(х) = 0 сразу следует, что для г > 0
выполняется равенство
d-1,
г
т.е.
-VXr) + V"(r) = 0, (19)
у"(г) = 1_*у'(г). (20)
Решив это уравнение, видим, что
Vr =
(сгг + с2, d = l,
Cilogr + Ca, d = 2, (21)
(2-d)rd-2+C2? °3,

368
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
Таким образом, радиальные (т. е. инвариантные относительно
вращения) решения уравнения Дц(х) = 0 при х Ф 0 имеют следующий
вид:
(CiM + c2, d = l,
qlogM + Cs, d = 2, (22)
(2-d)|x|d-2+C2' ^3*
Конечно, это решение определено лишь для х Ф О, и для таких х оно
является гармонической функцией, т. е. Аи(х) = 0, х е Rd \ {х = 0}.
Входящие в формулу (22) константы q и с2 будем определять так,
чтобы получающаяся функция ц(х) = Ф(х) обладала тем свойством,
что ДФ(х) = 5(х), понимая это уравнение в смысле выполнения
свойства (12).
Если исходить из того, что константа с2 (как бесконечно
дифференцируемая функция) не может быть причиной возникновения
5-функции, то можно положить ее равной нулю. В случае d ^ 3 это
становится также ясно из того, что единичный импульс в нуле, задаваемый
5-функцией, не может физически оказывать влияние на бесконечно
удаленном расстоянии (г -* оо). Поэтому в выражении d_2 + с2
следует положить с2 = 0.
5. Покажем, что в случае d = 2 константа с2 равна ~—; тогда, считая,
что с2 = 0, получим
Для этого мы должны проверить, что свойство (12) выполнено для
любой функции Ф е 8, где 8 — пространство основных функций (Ф е
€ С°°(М2) с конечными носителями БиррФ).
Пусть Фе^и БиррФ принадлежит B2(0,R) — диску в R2 с центром
в нуле и радиусом R. Для краткости будем обозначать BR = B2(0,R), и
точно так же положим Ве = В2(0, б"), 0 < е < R. Тогда левую часть
равенства (12) можно представить следующим образом:
f Ф(х)ДФ(х)с*х = Нт Г Ф(х)ДФ(х)с*х =
J еЮ J
.В*
= Нт Г (Ф(х)ДФ(х)-Ф(х)ДФ(х))с*х, (23)
elO J
К2 Вя\В,
1
е[0
BR\B£
где второе равенство справедливо, поскольку ДФ(х) = 0 для х Ф 0.

§ 1. Фундаментальные решения
369
BR\Be
По второму тождеству Грина (формула (13) в § 4 гл. XV)
Г (Ф(х)ДФ(х)-Ф(х)ДФ(х)^х =
С(„, лдЪ(х) тГ ,ЗФ(х)л, ,
где п —единичная нормаль к dBR (по направлению от центра), an —
единичная нормаль к дВе (по направлению к центру). При этом в силу
того, что эти нормали должны быть единичными, получаем, что
n=f дляхедВк, п =— дляхедВе.
е ЗФ(х)
Поскольку предположено, что supp Ф с BR, заключаем, что ~- = О
и Ф(х) = 0 на дВк. Следовательно, в формуле (24) интеграл по dBR
равен нулю, и, значит,
.ЗФ(х) .дФ(х)>
J Ф(х)ДФ(х) dx = Игл J (фОО^р " Ф(*)^р) dx.
М2 дВ£
Здесь
кЗФ(х)
J Ф(*)-
dh
]дВ£
-dx
^ce\loge\ —>0, £—>0, с = const,
и, значит,
Наконец, для х € ЗВе, учитывая, что Ф(х) = ^ log |x|, получаем
dn 6- е 2nlr г_1|г=|х|=е 2тг£*
Следовательно,
Итак, в случае R2 установлено, что Ф(х) = ^-log|x|. Случаи d ^ 3
рассматриваются сходным образом.

370
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
§ 2. Функции Грина
1. В то время как понятие «фундаментального решения» связано с
решением неоднородных задач во всем пространстве Rd типа
Lu{x) = f(x), xeRd, (l)
понятие «функция Грина» связано с решением задач в области DCgd:
Lu(x) =/(*), xGDCRd, (2)
с граничным условием
iz(jc) = h(x), xedD. (3)
Как и в предыдущем параграфе, здесь L —линейный оператор.
В том случае, когда оператор L = А — оператор Лапласа,
фундаментальное решение Ф = Ф(х) определялось как решение уравнения
ДФ(х) = 5(х), где 5 = 5(х) — дельта-функция в нуле. (С физической
точки зрения 5{х) интерпретируется, что уже говорилось, как
единичный импульс в нуле, а в свете изложенного в § 5 гл. I ее
можно рассматривать как «плотность» дискретного распределения в нуле,
см. там же формулу (13). В теории вероятностей традиционно буквой
Ф(х) обозначают также нормальное распределение. В конкретных
ситуациях вряд ли можно перепутать фундаментальное решение Ф(х) с
нормальным распределением Ф(х).)
Но можно, конечно, фундаментальное решение определить и тогда,
когда вместо 5(х) рассматривается дельта-функция 5(х — £), где £ —
точка, в которой и сосредоточена эта функция. Такое
фундаментальное решение будем обозначать Ф(х, £) (т. е. АхФ(х, £) = <5(х - £)), где
индекс х у оператора Лапласа означает, что производные берутся по х.
Понятно, что Ф(х, Е,) = Ф(х — £). Так что для фундаментального
решения оператора Лапласа в точке £, где сосредоточен источник, будем
использовать как обозначение Ф(х, £), так и Ф(х - £).
Функция Ф(х - £) у нас уже возникала в формуле (5) в § 1, с
помощью которой давалось решение задачи Аи(х) = /(*).
Сейчас же наш интерес связан с решением задачи (2), (3),
рассматриваемой не во всем пространстве Rd, а в области D £Rd с
границей 3D.
Общий метод решения этой и более общих задач (волновые
уравнения, диффузионные уравнения...) был, как уже отмечалось, предложен
Дж. Грином в 1828 г. [159]. (Интересно отметить, что в то же самое
время, в 1828 г., Р. Браун опубликовал свою работу (см. введение),
послужившую началом «броуновской теории».)

§ 2. Функции Грина
371
2. В общих чертах метод Дж. Грина (для L = А) решения задачи (2),
(3) состоял в следующем.
Пусть существует решение G(x, £) задачи
ДхС(дс,€) = б(х-а *€D, (4)
G(x,£) = 0, xe3D, (5)
где £ е D = D и 3D. (Индекс х у Ах указывает, что оператор Лапласа
действует по х. Все переменные х и £ принадлежат Md, d ^ 1.) Если
такая функция G(x, £) существует, то ее называют функцией Грина.
Имея функцию / =/(х) из формулы (2), положим (аналогично
соотношению (5) из § 1)
и(х) = |с(*,Ш£Ж. (6)
Тогда d
ди(х) = |дс(х,Ш£Ж = |б(*-О/(£)<*£=/00.
D D
При этом, поскольку G(x, £) = 0, х е 3D, получим, что и(х) = 0, х е 3D.
Но, оказывается, подобное представление можно получить не
только при нулевом граничном условии (и(х) = 0), но и в случае (3) (и(х) =
Действительно, возьмем второе тождество Грина (формула (13) в § 4
гл. XV), полагая в нем гр(х) — и(х), (р(х) = G(x, £). Тогда
f (u(x)AG(x, ^) - G(jc, ?)Au(jc)) dx =
Отсюда следует, что
u(0 = J G(x, OAu(x)dx + J "M^T^ dSx, (8)
D dD
и, меняя местами £ и х, получаем, что
Но функция Грина такова, что G(£,x) = G(x,£), что можно видеть
опять же из второго тождества Грина (формула (13) в § 4 гл. XV), если в

372
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
нем взять гр — G(£,x) и </? = G(x, £). Таким образом, соотношение (9) с
Зачетом условий (2) и (3) может быть переписано следующим образом:
и(х) = J G(x, £)ЖЖ + J Л(£)^^ d^, (10)
D 3D K
где n^ —внешняя нормаль в точке Е, и dS^— дифференциал
поверхностной меры в точке £.
Свойство (10) для краткости и наглядности представим в виде
u=[GJ]D + [VG,h]dD, (11)
где (см. формулу (3) в § 4 гл. XV)
3. Как найти функцию Грина? Часто исходят из того, что нужно
просто найти фундаментальное решение Ф(х, О — решение уравнения
ДФ(х,£) = 5(х — £) во всем пространстве Rd. Если L = А, то такое
(радиальное) решение было найдено в § 1. («Радиальность»
обосновывается физическими соображениями, когда все «направления»
равноценны.)
Предполагая, что Ф(х,£) найдено, для отыскания функции Грина
можно поступить следующим образом. Введем вспомогательную
функцию R(x, E,) как решение задачи Дирихле
LxR(x, £) = 0, х е D, (13)
К(х,£) = -Ф(*,а *^D, (14)
считая, что £ фиксировано, £ е D.
Обращаясь теперь к уравнению 1хФ(х,£) = 5(х - £), видим, что
функция
с(*,£) = ф(х, £)+«(*, О (15)
удовлетворяет уравнению
LxG(x,£) = 5(x-a *££>,
при этом выполнено и граничное условие
Формула (15) — это обычный способ построения функции Грина, при
этом Ф(х, £) часто называют фундаментальной составляющей
функции Грина, а К(х, £) — ее корректирующей функцией.
4. Следующий иллюстративный пример показывает, как найти
функцию Грина в случае уравнений первого порядка (в R).

§ 2. Функции Грина
373
Пример 1. Пусть р(х) —непрерывная функция,
LuM = u'W + p(x)u(x) (16)
и требуется найти решение уравнения
Lu(jc)=/(x) (17)
в области
D-{x\ х >а]
с граничным условием и(а) = 0.
В рассматриваемом случае функция Грина G(x,£) удовлетворяет
(по х) уравнению
G'(x, ?) + p(jc)G(jc, О = 5(х - О- (18)
Интегрируя это уравнение (по х) в пределах [£—, £+], получаем, что
G(£+, О - G(£-, £) + | р(х)С(дс, О d* = 1.
Но J p(x)G(x, £) dx = 0 и, значит,
l~ G(?+,0-G(?-,?) = l. (19)
Иначе говоря, у функции Грина G(x, £) при фиксированном Е, есть
скачок: в точке х = £.
В областях (а, £) и (£, оо) функция Грина удовлетворяет уравнению
G' + p(jc)G = 0. Отсюда находим, что
( -]p{s)ds
г ^ ) cie a > а^х <Е,
G(x,0={ l х (20)
-fp{s)ds
Vc2e * , £<х.
Из того, что G(a, Е,) = 0, следует, что сл_ = 0, и с учетом равенства (19)
получаем, что
Г0, а^х<£,
G(*,£)={ _|p(5)d5 (21)
U * , £<х.
Значит, в предположении, что а = 0, имеем
X
-J"p(s)ds
G(x,£) = e « Н(х-£), (22)

374
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
где Я = Н(х) — функция Хевисайда,
HM-\l, xZO.
Если, в частности, p(s) = 1, то
Из приведенных рассмотрений следует, что при а = О решение
уравнения и\х) + р(х)и(х) = f(x) с и(0) — О определяется формулой
00
и(*) = |со,Ш£Ж, (23)
о
где G(x,£) задается формулой (22).
Пример 2. В этом примере мы рассмотрим (в R) оператор второго
порядка Штурма—Лиувилля
Lu(x) = (p(x)u'(x))' + q(x)u(x), (24)
где р(х) и q(x) — непрерывные функции, р(х) > 0. Будем
интересоваться решением неоднородного уравнения
Lu(x)=/(x), (25)
действующего в области D = {х eR: a< x < Ъ}, с начальными
условиями
Da(u) = a^Ca) + а2и'(а) = О (26)
и
Db(u) = j81u(b) + j82ix,(b) = 0. (27)
Как и в случае примера 1 (или из результатов п. 1), можно вывести,
что решение задачи (25) — (27) определяется формулой
ь
и(дО = |с(дс,£)ЖЖ,. (28)
a
где G{x, E,) — функция Грина, т. е. решение задачи
LG(x,£) = 5(x-£) (29)
с условиями
^a(GU,O) = Db(G(x,?)) = 0, (30)
где xgD, ?GD = {xG]R:a^x^b}.

§ 2. Функции Грина
375
Пусть g(x) = GO, £). Тогда
(ptog'OO)' + qMgW = 5{х - а (3D
Отсюда можно заключить, что функция g(x) должна быть
непрерывной в точке х = £. Действительно, если в этой точке есть разрыв, то
тогда в левой части равенства (31) в результате двукратного
дифференцирования по х появилась бы производная от (новой) дельта-функции,
отсутствующей в правой части того же равенства.
Тем самым при каждом фиксированном £ имеем
G(£-,£) = G(£+,a (32)
Построим на [а, Ь] два решения щ и и2 таким образом, что
Lu1=0, Da(Ul) = 0 (33)
и
Lu2 = 0, Db(u2) = 0. (34)
Тогда из соотношения (31) (при х < £ и х > £) заключаем, что
Ic2(£)u2(jc), ?<x^b,
где с1(<^) и с2(£) —пока неизвестные функции.
Из равенства (32) следует, что
ci(0"i(£)=c2(0"2(a (36)
т. е. мы имеем одно условие, связывающее с:(^) и с2(£).
Как и при получении свойства (19), можно (интегрированием
равенства (31) по х в пределах (£-, £+)) получить, что
g,(5+,5)-g,(5-,5) = ^). (37)
С учетом соотношения (35) из равенства (37) получаем второе условие,
связывающее с:(^) и с2(£):
c2(Ou/2(?)-Ci(?)u/1(?)=^5. (38)
Итак, для определения с1(£)ис2(£) мы имеем систему
Ci(S)ui(?)-c2(Ou2(?) = 0,
c1(?)"i(0-c2(?)u/2(?)=^. (39)

376
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
По правилу Крамера
- (П "2(g) m_. "l(?)_
p(C)W(?)' С2^У p(?)W(?)'
где W(£) есть вронскиан (детерминант Вронского):
!":(?) "2(?)|
"^ kC?) u'2(?)|-
Таким образом, искомая функция Грина имеет вид
{"i(g)"2(?) < <F
(40)
Решение неоднородного уравнения (25) с граничными
условиями (26), (27) дается формулой
и
где G(x, £) определено соотношением (40). (То, что Lu = f',
проверяется непосредственно с использованием формулы (40). То же относится
и к начальным условиям (26), (27).)
Замечание. Полезно напомнить, что оператор Штурма—Л иувил-
ля Lu(x) = (р(х)и'(х)У + q(x)u(x) возникает во многих известных
задачах.
Так, уравнение Бесселя
х2и" + xuf + (х2 - v2)u = 0
может быть переписано как
(xuj + (x-^)u = 0,
при этом левая часть принимает вид (24).
Другой пример —уравнение Лежандра
(1 - х2)и" - 2хи' + v(v + l)u = 0,
которое также может быть записано в форме Штурма—Лиувилля:
((l-jc2Vy + v(v + l)i/ = 0.

§ 3. Метод отражений — 1
377
§ 3. Метод отражений — 1. Нахождение функции Грина
для оператора Лапласа в полуплоскости
1. Результаты предшествующего параграфа показывают, что для
решения задач Дирихле и Пуассона
Ди(х) = /(*), xeD^Rd,
u(jc) = h(jc), xedD,
эффективным средством является представление Грина (см.
формулы (10), (11) в § 2), в основе которого лежит знание функций Грина
В свою очередь, для отыскания этих функций можно
воспользоваться представлением G(x, £) = Ф(х, £) + R(x, £). Для оператора Лапласа
мы знаем (радиальные) фундаментальные решения Ф(х,£) (§ 1), так
что надо уметь отыскивать корректирующие составляющие Я(х, £).
2. Чтобы найти R(x, £), будем для примера сейчас предполагать, что
x = (xl,x2)eR2 и
D = {x = (x1,x2):x2>0}
— верхняя полуплоскость с границей
3D = {х = (хг,х2): х2 = 0}.
В этом двумерном случае фундаментальное решение (АхФ(х, £) =
= 5(х — £)) таково, что
*0,£)=2^1ogk-£l, (2)
т.е.
ф(*> ^=h log(\/^i-^)2+fe-?2)2)=
= ^log((x1-C1)2 + (x2-C2)2),
где х = (х1?х2), £ = (?1,?г)- При этом нас сейчас интересует случай
верхней полуплоскости D, а значит, xgD^gD.
Для нахождения корректирующей составляющей R(x, ^),xgD,^g
€ D, введем наряду с точкой Е, = (£1? £2) £ 0 отраженную точку (image
point) £* = (£1? —£2)> лежащую в нижней полуплоскости.
Замечание. Метод отражений (the method of images, или the reflection
method), основанный на построении подходящих точек отражений и
позволяющий строить корректирующие функции Я(х, £), видимо,
принадлежит У. Томсону (лорд Кельвин).

378
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
Пусть
r* = -s/(*1-?1)2 + (x2 + ?2)2
— расстояние от точки х = (х1г х2) е D до точки £* = (£1; -£2), и пусть
Ж*, ?) = ~t log r* = - ^ log( V(x1-?1)2 + (x2 + ?2)2) =
= -^log((x1-?1)2 + (x2 + ?2)2).
Утверждается, что требуемая функция Грина G(x, £) есть
G(x, 5) = Ф(х, О + R(x, ?) = ^ log г - ^ log г* =
- -L 1 Ol-gl)2 + (*2-?2)2 ^
-4я10^(х1-?1)2 + (х2 + ?2)2* WJ
Действительно, AxR(x, £)=0 для x€D, £€D, поскольку 5(х-£*)=0,
и, значит, AxG(x,t;) = 5(<x-t;), x,£eD. Также ясно, что для jc = (jc1,0)€
е dD функция G([xlf 0), £) равна 0.
3. Полученный результат можно использовать, например, для
решения задачи Дирихле в верхней полуплоскости D = {(хъ х2) еМ2: х2 > 0}:
Ai/(x1,x2) = 0, (x1?x2)eD,
u(x1,0) = h(jc1), jqeR.
Согласно формуле (10) из § 2 имеем
00
зя -oo
4. Сходным образом можно было бы рассмотреть и случай первого
квадранта
D = {(х1?х2) € Е2: х: > 0, х2 > 0}. (5)
В этом случае каждой точке £ = (£1? £2) из D будут отвечать три
отраженные точки
(?1,-?2). (-?1.?2). С-?1,-?2)
и функция Грина будет строиться следующим образом (ср. с (3)):
G(*,£) =
= ^ log( V(*i-?i)2 + ('2-?2)2) - hlo^\/(^i-?a)2 + U2+^) _
-ilog(V(x1 + ?1)2 + (x2-?2)2) + ^ logCV^i + Si^ + OcaTi^).

§ 4. Метод отражений — 2
379
Решение задачи Дирихле (4) в области (5) будет определяться (опять
#е по формуле (10) из § 2) следующим образом:
00
■> 4хгх2 Г g2ft(0,g2) ,,. ,
00
,4£ЛГ £ift(gi,0) ,c ffi4
" J ((xi-?i)2+*22X(*i + Si)2 + *22) ?2"
5. Если рассматривать аналогичную задачу в Md, считая, что
D = {х = (хъ ...,xd): xd > 0}
(«верхняя полуплоскость»), то функция Грина G(x,£), x е Rd, £ e Rd,
будет иметь такой вид (ср. с (3)):
где Ф(х, £) — фундаментальное решение в Rd (см. теорему в § 1), а
корректирующая составляющая R(x, £) равна -Ф(х, £*), где £*
определяется следующим образом: £* = (£i, • ••,?d-i>~~?d)-
Аналогично формуле (6) решение задачи Дирихле
Аи = 0, xeD,
u = h, xedD,
в области D = {х — (хъ ...,xd): xd > 0} может быть представлено в виде
2xd г Ы£)
3D
где 3D = {х = (*!, ...,xd): xd = 0} и a>d — объем d-мерного шара
единичного радиуса.
§ 4. Метод отражений — 2. Нахождение функции Грина
для оператора Лапласа в шаре
1. Будем рассматривать двумерный случай R2 и интересоваться
функцией Грина G(x, £), удовлетворяющей уравнению
AG(x,0 = 5(x-0, xeD, (1)
где D = {х — (xlfx2) е М2: М2 = х2 + х\ < 1}, и такой, что на границе
3D = {х: \х\ = 1} выполнено условие
G(x,£) = 0. (2)

380
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
К*
^ — 1Г12 *
Для этого по аналогии с § 3 будем использовать метод отражения,
состоящий прежде всего в выборе подходящей точки отображения.
Если Е, = (£1? £2) ^ D, то такую точку определим следующим
образом:
1?12
Поскольку для каждой точки х на границе \х\ = 1 выполнены равенства
|х - ГI2 = М2 + 1ГI2 - 2х • Г = 1 + |£Г2 - 2х • ?|?|"2 =
= ISrW + l-2x-£)=|?r2|x-?|2;
получаем, что
|х-?|2-|?|2|х-П2. (3)
Функция Грина G(x, E,) здесь такова:
G(x,§) = ^{log|*-e|-log|x-ri-log|£lb (4)
в чем легко убедиться непосредственной проверкой.
В полярных координатах (х —>(г, 0), £ —> (г^, 6^)) имеем
-, r2 + r2-2rr£cos(0-0£)
G((r, В), (г5,05)) = £ tog^^,^^,^- ©
Имея этот результат, можно снова получить найденную в § 1 гл. XIV
формулу Пуассона.
Действительно, если рассматривается задача Дирихле
Дц(г,0) = О, 0^г<1, |0|$тг,
u(l,0) = ft(0), |0|$тг,
то согласно формуле (10) из § 2 имеем
u(r,0) = J h{9{) ^г deS'
Из формулы (5) следует, что
0G((r,0),(l,05)) i i_r2
(6)
dr£ 27ir2 + l-2rcos(0-0£)*
Поэтому
2тг
u^ = hI r* + iXUe-eoKe№> (7)
0
что совпадает с формулой (11) в § 3 гл. XIV (при R = 1).

§ 5. Фундаментальные решения и функция Грина (уравнения теплопроводности) 381
2. Отметим наконец, что в d -мерном случае, когда
D = {x = (x1,...,xd):x* + ...+x*<l}9
соответствующая функция Грина будет иметь такой вид:
G(x, О - Ф(х - О " Ф(|£|(* " Г)), (8)
гдеГ = (?ъ---,<^-1>-?Д
При этом решение задачи Дирихле
Аи = 0, xeBd(0,R),
u = h, xedBd(0,R),
определяется следующим образом:
R2-|x|2 Г Цу) ДоГ
U^ = -d^R- J b^7dS(y)' (9)
3Bd(0,R)
где cod = A(Bd(0,1)) —объем единичного шара в Rd, a dS (у) —элемент
поверхностной меры этого шара.
§ 5. Фундаментальные решения и функция Грина
для уравнения теплопроводности
1. Рассмотренные в предыдущих параграфах системы описывались
системами, зависящими лишь от пространственных переменных х е
€ Rd (оператор Лапласа, обыкновенные дифференциальные уравнения
первого и второго порядков...). Там была показана роль
фундаментальных решений и функций Грина в решении линейных неоднородных
задач во всем пространстве Md или в областях D с граничными
условиями (типа Дирихле, Неймана...) на границе 3D.
Конечно, эти вопросы интересно рассмотреть и для систем,
описываемых уравнениями, зависящими также и от временного параметра
t ^ 0. Примером таких систем являются (параболические) уравнения
теплопроводности, описываемые линейным оператором
* dt 2 Эх2' UJ
Уравнения типа 5£и = 0 нам уже не раз (в теории броуновского
движения) встречались. Достаточно лишь напомнить, что уже в § 1 гл. I мы
имели дело с уравнением 5£yt{x) = 0, которому удовлетворяют
плотности

382
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
вероятностей
Pt(A) = P(BteA), Ae»(R), (3)
для броуновского движения В = (Bt)t5>0, Б0 = 0. (См. формулы (1) —(3)
в § 1 гл. I.)
Непосредственным обобщением уравнения теплопроводности
являются прямые и обратные уравнения Колмогорова (§ 1 гл. XXII),
уравнения Фейнмана—Каца (§ 2 гл. XXII) и т.д. В теории
дифференциальных уравнений уравнения теплопроводности (heat equations) часто
называют диффузионными (diffusion) уравнениями.
2. Из приводимых далее задач и их решений будет ясно, что надо
уметь находить фундаментальные решения и функции Грина,
определения которых весьма схожи с теми, которые были приведены в
предыдущих параграфах. При этом мы будем использовать эти понятия лишь в
случае уравнений теплопроводности, имеющих, как говорилось, самое
прямое отношение к броуновскому движению.
А. Уравнение теплопроводности в случае х G R, t > О.
Предположим, что рассматривается задача отыскания такого решения u=u{t, х),
что
If = 50. *еК> t>0> (4)
с начальными условиями Коши
u(jc,0)=/(jc), xeR, (5)
и, скажем, ограниченной непрерывной функцией / =/(х), х е R.
Уже не раз отмечалось, что функция Ф = Ф(х, t), имеющая вид
х2
Ф(х,0 = -р=е"2г, t>0, (6)
v 2nt
является решением системы Ф,. = -Ф**? причем
НтФ(х,0 = 5(х). (7)
Тем самым по аналогии с предыдущим изложением (см. § 1) эту
функцию естественно назвать фундаментальным решением
уравнения (4) в R х [0, оо). При этом соотношение (7) надо понимать в
смысле выполнения свойства
00
lim Ф(х, t)w{x)dx = </>(0)
цо J
-оо
для основных функций </> = (/?(*) е 8 (см. § 5 в гл. I).

§ 5. Фундаментальные решения и функция Грина (уравнения теплопроводности) 383
Если «источник» (см. § 1) находится не в нулевой точке, а в точке £,
то фундаментальное решение Ф(х, t; £) определяется формулой
Имея функцию Ф(х, t; £), можно определить решение с начальным
условием (5):
00 00 ^ _ ^2
u(*,0= f#(x,t;?)/(?)d§= Г-^e—S-ZC^d?, (8)
J J у/2.711
— 00 -00
что доказывается точно так же, как в формуле (6) из § 2.
Замечание 1. Специалисты по теории вероятностей сказали бы, что
а(х, i) = Ex/(Bt), где.В = (Bt)t^0 ~~ броуновское движение сВ0 = х.
Б. Уравнение теплопроводности в случае х G R+ = [0, оо), t > 0.
Будем рассматривать задачу
f du 1 д2и ^ ~ ^ ^ Л
3F = 2fc?' *>0, t>0,
ii(0,0 = 0, t > 0, (9)
u(jc,o)=/QO, *^о,
где снова функция / = /(х), х $г О, является ограниченной и
непрерывной.
Наличие условия u(0, t) = 0, t > 0, на границе области {х: х > 0},
т. е. в точке 0, требует введения (и соответственно нахождения)
функции Грина G(x,t;£), определяемой как решение дифференциального
уравнения
'Gt(x,t;£)-|GXJC(x,t;£) = 0, х > О, t > О,
G(0,t;§) = 0, t>0, (Ю)
kG(jc,0;§) = 5(x-§), х^О,
Для всех £ > 0.
Как и в однородном случае (§ 3), будем искать функцию G(x, t; £) в
виде
С(х,Г;?) = Ф(х,Г;?)+Я(х,Г;£),
при этом корректирующую составляющую R(x, t; £) находим методом
отражений:
К(х,Г;5) = -Ф(х,Г;£*),
где £* =г -£ (ср. с формулой (3) в § 3).

384
Гл. XVI. Фундаментальные решения и функции Грина
Таким образом, в случае хеМ+, t > О функция Грина будет
задаваться формулой
G(x, t; ?) - ФО - §; 0 - Ф(х + & 0 = -±=(е
(*-£)2
It
■e 2t
)• (ID
Решение задачи (9) будет тогда иметь следующий вид:
00
u(x,t) = §G(x,t;t;)f(OdS =
О
= -^=Г(е 2Г"-е 2T")/(5)d§, х^О, t > 0. (12)
Замечание 2. Используя броуновское движение В = (Bt)t^0>
решение u(x, О можно записать в следующем виде:
u(jc,t) = Ex/(Bt)-E_x/(Bt).
В. Если рассматривать задачу
г ди 1 d2u
, х > О, t > О,
u(0, t) = 0, t > О,
dt 2 дх2
ди
дх
и(х,0) =/(*),
(13)
где / =/(х), х ^ 0, снова является ограниченной непрерывной
функцией, то функция Грина будет иметь вид
и тогда решение задачи (13) будет записываться в таком виде:
(14)
ии
uO,t)= J G(x,t; ?)/(?) d? =
= 7=J(e" 2t +e" 2C )/(?Ж, x^O, t >0.
0
Замечание З. Это решение может быть с помощью броуновского
движения В = (Bt)t^0 представлено в следующем виде:
uU,0 = Ex/(Bt) + E_x/(Bt).
(15)

§ 5. Фундаментальные решения и функция Грина (уравнения теплопроводности) 385
3. Мы рассмотрели лишь однородные уравнения
теплопроводности (4). Можно было бы рассмотреть и неоднородные уравнения вида
ди 1 д2и „г ^л гл,-л
Tt~2^=nx,t) (16)
с граничными условиями разного типа. Для таких систем полезен
следующий общий принцип: «решение неоднородного уравнения (16) с
неоднородными граничными условиями равно сумме решения
неоднородного уравнения с однородными граничными условиями и решения
однородного уравнения с неоднородными граничными условиями».
Для решения уравнений (16) вводится функция Грина G(x, t; £), по
определению являющаяся решением системы
§-tG(xft;^s)-l£-2G(x,t;^s) = 5(x-^Mt-s) (17)
с условием G(jc, 0; £, s) = 0.
Если такая функция найдена, то (по крайней мере формально)
00
u(jc,t) = JjG(jc,t;§,5)F(§,5)d§d5. (18)
о к
Функция G(x,t;%,s) здесь конструируется (с использованием
преобразования Фурье по фазовой переменной х от обеих частей в (17) и
последующим обращением этого преобразования) таким образом:
G(x, t; §,s) =H(t - «)Ф(х - §; t-s).
Здесь
H(t-5)=f1' С-°0'
[О, t-s<0,
— функция Хевисайда (см. § 5 гл. I), а Ф определяется формулой (6).

Глава XVII
Стохастическая динамика Ланжевена.
Процесс Орнштейна—Уленбека
§ 1. Динамика Ланжевена
1. В реальном мире конкретные молекулярные системы находятся,
конечно, не в вакууме. Если «тяжелую» частицу поместить в вязкую
жидкость, состоящую из «легких» частиц, то увидим, что эти частицы
оказывают фрикционное воздействие на «тяжелую» частицу.
Стохастическая динамика Ланжевена (Paul Langevin, 1872—1946) —
это математическое моделирование движения «тяжелой» частицы в
вязкой жидкой суспензии.
Суть этой динамики состоит в следующем. Согласно второму
закону Ньютона «тяжелая» частица массой т, положение которой в момент
t ecTbX(t), описывается тем, что ее скорость V(t) —X(t)
удовлетворяет соотношению
т^=«.Х О)
где F = F(0 — сила, действующая на частицу «легкими» частицами.
Если бы динамика всех «легких» частиц была известна, то тогда
можно было бы говорить, что F(t) — детерминистическая сила. Однако
изобилие «легких» частиц и хаотичность их движения делают такой
путь просто безнадежным, что и заставило Ланжевена идти по
другому — «стохастическому» — пути, ориентируясь на «средние»
характеристики. (Здесь уместно, имея в виду упомянутое изобилие «легких»
частиц, напомнить о числе Авогадро 6,022 х 1023, представляющем
собой, например, число атомов в 12 граммах изотопа углерода-12. Это
значение получено экспериментально.)
Опыт показывает, что относительно F(t) можно считать (в первом
приближении), что
F(0 = F1(0 + F2(t),
(2)

388
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
где F^t) —фрикционная сила, т.е. сила трения, вызванная «легкими»
частицами, которая (согласно закону Гука) имеет вид
*1(0 = -гПО. (3)
Здесь по гидродинамическому закону Стокса у = 6пг\г (для
сферической «тяжелой» частицы радиуса г), где т? — коэффициент вязкости
(viscosity) жидкости, зависящий, разумеется, от температуры.
Через F2(t) обозначается сила взаимодействия «тяжелой» частицы
с «легкими». (В более общем случае в формулу (2) часто еще
добавляют силу F3(t), определяемую потенциалом взаимодействия «легких»
частиц.)
Из формул (2) и (3) следует, что
^ = V(0, Ш = х0, (4)
m^ = -rV(t) + ?(0, V(0) = v0, О)
где «процесс» £(t) представляет силу F2(t).
Сразу отметим, что если пренебречь наличием силы F2(t), то из
формулы (5) при тфО получим
^r=-£no, v(o)=v0, (6)
и, следовательно,
V(0 = e-^f-v0. (7)
Иначе говоря, в отсутствии силы F2(t) скорость «тяжелой» частицы
будет стремиться к нулю при t —> оо, что, как показывает эксперимент,
конечно, не так.
Исходя из наличия очень быстрых взаимодействий «легких» частиц
с «тяжелой» естественно считать, что £(t) является «процессом белого
шума», причем гауссовским (ввиду изобилия частиц), что делает
справедливой центральную предельную теорему с дельтаобразной
корреляцией
E£(s)£(t) = a25(t-s). (8)
Мы сейчас не будем заниматься детальными объяснениями, как все
это понимать (на самом деле — с точки зрения обобщенных функций,
что было объяснено в § 6 гл. I).

§ 2. Процесс Орнштейна—Уленбека
389
2. Если бы процесс £(t) был, скажем, непрерывным, то решение
уравнения (5) записалось бы в виде
t
У(0 = е-т'у0 + 1 fe-£('-*)£(5)ds. (9)
о
Но как понимать этот интеграл в случае «белого шума» £(t)?
Вероятностникам хорошо известно, что все становится
определенным, если под t;(s)ds понимать приращение adWs, где (Ws)s^0 — вине-
ровский процесс (броуновское движение), что, в частности, говорит о
том, что интеграл в формуле (9) надо понимать не как интеграл Рима-
на, а как стохастический интеграл (по всему ансамблю элементарных
исходов, например в среднеквадратическом смысле).
Все эти соображения приводят к тому, что и уравнение (5),
записанное в виде
mdV(t) = -yV(t)dt + Z>(t)dt,
надо понимать как уравнение по винеровскому процессу W = (Wt)t^0:
mdV{t) = -rV{t)dt + a dWt,
которое, строго говоря, надо понимать как сокращенную запись
интегрального уравнения
t
my(t) = mV(0) - г Г V(s) ds + aWt,
о
рассмотренного в 1930 г. Л. С. Орнштейном и Дж. Ю. Уленбеком в
работе «On the theory of the Brownian motion» [358].
§ 2. Процесс Орнштейна—Уленбека
1. Мы говорим, что (непрерывный) процесс V = (V(t))t^0 является
процессом Орнштейна— Уленбека (L. S. Ornstein (1880—1941), G. E. Uhlen-
beck (1900-1988)), если
d V(t) = -AV(t) dt + a dW(t), V(0) = v0, (1)
где Я > 0, a > 0. Уравнение (1) надо понимать (что было уже сказано
в § 1) как сокращенную запись интегрального уравнения
t
V(О = v0 - Я Г У(5) ds + aW(t), t ^ 0. (2)
о

390
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Начальное значение v0 может быть как детерминированной вели»
чиной, так и случайной, не зависящей от винеровского процесса W =г
Часто, особенно в финансовой литературе, рассматривают несколь»
ко более общее уравнение, нежели (1), а именно уравнение
dZ(t) = -A(Z(t) -ix)dt + a dW(t), Z(0) = z0, (3)
где А > 0, a > 0 и \x e R. Если положить Y(t) = Z(t) - ju, то получим
dY(t) = - АУ (t)dt + a dW(t), 7(0) = z0 - /i, (4)
и, следовательно, о свойствах решения уравнения (3) можно судить по
свойствам решений уравнения Орнштейна—Уленбека (1).
О процессе Z = (Z(t))t5>0 принято говорить, что это процесс,
удовлетворяющий уравнению Васичека (О. Vasfcek, [366]).
2. Если иметь в виду формулу Ито (гл. XII, § 4), то уравнение (1)
нетрудно решить. Действительно,
d(eAtV(0) = AeAtV(t) dt + eXt dV(t) =
= \eXtV(t)dt - XeXtV(t)dt + aeXt dW(i) = aeXt dW(t\
и, значит,
Поэтому
или
t
tV(t)-v0 = a\eXsdW(is).
V(t) = v0e-At+cr \ex{s-c)dW(s), (5)
t
V(0 = e'Atlv0 + a§e**dW(s) , (6)
что, конечно, напоминает формулу (9) из § 1.
Из формулы (1) мы видим, что процесс V = (У(0)^0 обладает
свойством возвращения к нулевому состоянию (mean-reverting), состоящим
в том, что при положительных значениях У(0 этот (одномерный)
процесс имеет локально отрицательный снос (-AV(t)), а при
отрицательных значениях V(t) снос становится локально положительным.
Из формул (3) и (4) становится понятно, что процесс Васичека
Z = (Z(t))t5>0 имеет тенденцию возврата к состоянию [л. Явная
формула (5) ддя решения уравнения (1) с V(0) = v0 показывает, что это

§ 2. Процесс Орнштейна—Уленбека
391
решение является марковским и гауссовским процессом. В п. 5 будет
обсужден вопрос о марковости и гауссовости стационарного решения
уравнения (1).
3. Рассмотрим некоторые свойства процесса V = (У(0)^о с
разными начальными условиями V(0) = v0.
Теорема 1. Пусть v0 неслучайно. Тогда
EV(0 = v0e-At, (7)
DV(t) = ^(l-e-2At), (8)
cov(V(s),V(t)) = f^[e_Ak"s| -e"A(t+s)].. (9)
Величина V(t) при каждом t > 0 шиеет нормальное распределение:
V(t)~N(v0e-At,g(l-e-2At)). (10)
Доказательство непосредственно следует из свойств стохастиче-
t
ских интегралов J e^ dW(s). (См. гл. XII.) □
о
Теорема 2. Если v0 случайно, не зависит omW = (W(s))s^0 и имеет
нормальное распределение N(a, t2\ то
V(t) - N(ae"At, т V2At + gj(l - e"2At)). (П)
В частности, если а = 0 и т = ~т, то
y(0-N(0,g). (12)
Доказательство опять же следует из свойств стохастических инте-
t
тралов f e** dW(s) и (всегда предполагаемой) независимости v0 и ви-
о
неровского процесса W = (W(s))s^0- □
Результат этой теоремы важен, поскольку он показывает, что если
v0 ~ N\0, хт J, то и при любом t > 0 значение V(t) имеет то же самое
распределение, V(t)^N\0, ^-J. Нетрудно показать, что
ковариационная функция этого процесса есть
cov(V(t), V(s)) = EV(t)V(5) = fxe~A|t~5' • (13)
Следовательно, процесс V = (У(О)^о является стационарным в
широком смысле, а в силу гауссовости он является стационарным и в узком
смысле.

392
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Замечание. В тех случаях, когда процесс Орнштейна—Уленбека
V = (V(0)t>o является стационарным, мы будем использовать
обозначение v° =ну°(ОЬо-
4. Интересно отметить, что всякий процесс V0 = (V°(t))t^0 имеет
своей модификацией (версией) процесс V = (У(0)<^о> гДе
V(t) = ^=e-XtB{e2Xt\ (14)
а В = (£(t))t5>0 —стандартное броуновское движение.
(Преобразование (14) называется преобразованиемЛамперти [227].) Действительно,
cov(V(5), V(t)) = EV(s)V(t) = f^e"A(t+5) cov(B(e2A5), B(e2Xt)) =
= ^e"A(t+5) min(e2A5, e2At) = f£e"A|t-s| = cov(V°(s), V°(t)). (15)
Тем самым, учитывая гауссовость процессов У0 и V, получаем, что они
являются модификациями (см. гл. II) друг друга.
Для процесса Васичека Z = (Z(t))t5>0 (см. (3)) с Z(0) = v0 определим
7(t) = Z(t) — /i. Тогда нетрудно видеть, опираясь на теорему 1, что
модификацией процесса Y = (7t)t^o будет процесс 7 = (Уг)^о такой, что
ПО = (v0 - M)e"At + J= e"AtB(e2At - 1), (16)
где В — броуновское движение. Поэтому модификацией процесса Z
будет процесс Z = (Z(t))t^0, где
Z(t) = ц + (v0 - /i)e"At + J=e"AtB(e2At - 1).
Соответствующей модификацией процесса Z(t) — Y(i) + /i, для
которого 7(0) = v0 - [л (т. е. Z(0) = v0), будет процесс
Z{t) = v0e~At + /i(l - e"At) + -^=e"AtB(e2At - 1) (17)
v 2Я
(см. §3).
5. Обратимся снова к процессу V° = (У°(0)^0, для которого V°(0) =
= v0, где v0 ^ NyO, -rjJ. Корреляционная функция такого процесса (с
нулевым средним) задается формулой (13), из которой можно
заключить, что такой стационарный процесс является к тому же и
марковским.
Действительно,
V°(t) = -^e"At£(e2At) = e-A(t-sV°(s) + (V°(t) - e-A(t"5V0(s)), (18)
v2A

§ 2. Процесс Орнштейна—Уленбека
393
и при этом для и ^ 5 из формулы (13) следует, что
EV°(i/)(V°(t) - e-A(t"5V0(s)) = EV°(u)V°(t) - е-^-5)^е~^-и) - 0.
В силу гауссовости получаем, что в (18) величина V°(t) - e~A(t_5V°(s)
не зависит от всех V°(u) при и ^ 5. Тем самым в этой формуле
распределение У°(0 при фиксированных значениях V0(u), u ^ s, зависит лишь
от V° (s). Это означает, что (стационарный) процесс У0 = (V°(t))t^0
является марковским процессом. Таким же будет и процесс Z = (Z(t))t5>0
(см. формулу (3)), Z0=y.
Плотность распределения этого процесса
rf ,, л 3P(Z(tKz|Z(0) = y)
tt*,t\y) = Tz
удовлетворяет (при t > 0) уравнению Фоккера—Планка (или прямому
уравнению Колмогорова)
Tt =^((*-м)Л + тЙ« (19)
(20)
решение которого (для t > 0) имеет вид
« t, , / Я ~ /■ Я ((2-м)-(у-д)е-Яс)2^
т. е. это есть плотность нормального распределения
N(ju + (y-ju)e-At,g(l-e-2At)). (21)
Стационарное решение уравнения (19) имеет вид
я -
2е
ясг2
А(*-М)2
2 . (22)
6. Мы определили стационарное решение (при t ^ 0) уравнения
Орнштейна—Уленбека, полагая v0 ~IV^0, ^т). Но можно поступить и
по-другому, полагая
о
= а \ eXudW(u),
v0
-оо
где W = (W(u))ueR — винеровский процесс, определяемый и для
отрицательных значений и в § 3 гл. I. Тогда процесс V0 = (V°(t))tGM, для
которого
V°(t) = c7 J e"A(t-^dW(u),

394
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
будет центрированным (т. е. EV°(t) = 0) стационарным (при всех t e R)
непрерывным гауссовско-марковским процессом с ковариационной
функцией
cov(V°(s),y°(t))=ge-A|t-51, s,teR. (23)
При t ^ 0 этот процесс V0 удовлетворяет, конечно, стохастическому
уравнению Орнштейна—Уленбека
d v°(t) = -AV°(t) d t + a dW{t\ (24)
о
где У°(0) = v0 = a J eXudW{u). Отметим, что процесс V0 = (V°(t))telR
-00
имеет своей модификацией процесс
V°(t) = -^=e"AtB(e2Ai), t € R, (25)
v2A
где В = (BS)S^0 — некоторое броуновское движение (ср. с формулой (14)).
7. Остановимся на том, как соотносится подход Орнштейна и
Уленбека (1930 г.) с подходом Эйнштейна (1905 г.) и Смолуховского (1906 г.).
А. Эйнштейн и М. Смолуховский пренебрегали инерцией частицы, т. е.
считали, что т = 0 (см. формулы (1), (5) в § 1). В этом случае из
уравнения
mdV(t) = -yV(t)dt + a dW(t)
ясно (ср. с формулой (5) в § 1), что положение частицы
t
Х(£)= (V(s)ds (26)
о
будет таким, что X(t) = —W(t), или, как мы писали раньше,
X(t)=yB(t),
где В = CB(t))t5>0 — броуновское движение.
Тем самым становится понятной связь подхода Эйнштейна и
Смолуховского с подходом Орнштейна и Уленбека к теории броуновского
движения: первые описывали положение безынерционной частицы, а
вторые описывали скорость массивной частицы с учетом ее массы т и
коэффициента трения у.
8. Формула (25) означает, что стационарный гауссовско-марков-
ский процесс V0 = V0(t) (точнее, его модификация V0 = У°(0) может
быть получен из некоторого броуновского движения В = (В(О)г^о с

§ 3. О неоднородных процессах Орнштейна—Уленбека и замене времени 395
помощью замены времени и замены фазовой переменной, Но и
наоборот — броуновское движение может быть получено из стационарного
гауссовско-марковского процесса по формуле
(27)
9. Пусть V = (V(t))t5>0 — решение уравнения
Орнштейна—Уленбека (1) с детерминированным начальным значением У(0) = v0. Тогда из
формулы (17) (с V = V) для центрированного процесса
V(t) = V(t) ~ EV(t) = V(t) - e"Atv0
получим представление
V(t) = -^=e"AtB(e2At - 1), t& 0, (28)
весьма близкое к представлению (25).
Сравнение соотношений (28) и (25) приводит ^представлению
процесса V = (V(t))t^o через стационарный процесс V0 = (V°(t))t^0:
V(t)=Vl-6-2^V0(log(e^"1)), t£0. (29)
Отметим, что представление (28) следует из формулы Ито и теоремы
Дамбиса и Дубинса—Шварца (гл. XIX, § 4).
§ 3. О неоднородных процессах Орнштейна—Уленбека
и детерминированной замене времени
1. Во многих случаях, например в системах, имеющих тенденцию
к затуханию, вместо уравнения Орнштейна—Уленбека типа (3) из § 2
рассматривают неоднородные процессы V = (У(0)^0,
удовлетворяющие стохастическому дифференциальному уравнению
dV(t) = (a(t)-A(t)V(t))dt + cj(t)dW(t), V(0) = v0, t^O, (1)
где a(t) и A(t) > 0, cr(t) > 0 являются локально ограниченными;
процесс W = (W(t))t5>0> конечно, есть винеровский процесс (броуновское
Движение).
Уравнение (1), понимаемое в интегральном виде (как в § 1), имеет
единственное решение
V(t) = g(t)
' **\ш*Аш*»<*
(2)

396
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Здесь
g(t) = exp -j*A(s)ds J
(3)
и предполагается, что
о
Часто полагают
*М1
ds < оо
■ i
g(s)\
ds <oo, t > 0.
J*A(t)dt =
00.
Понятно, что при A(t) = A, a(t) = Я/i, cr(t) = а уравнение (1)
переходит в уравнение (3) из § 2.
Величину v0 в формуле (1) можно считать случайной (не зависящей
от W = (W(t))t5>0)- В этом предположении
EV(t) = g(t)fEvo + J|gjdsJ,
cov(V(s),V(t)) = g(s)g(t)l Dv0+ J(f^) dul
Эти формулы оказываются полезными при построении моделей, в
которых а priori
EV(t) = m(t), DV(t) = v(t), (4)
где m(t) и v(t) являются непрерывно дифференцируемыми
функциями, причем cr(t) = а > О, v(t) > 0 и а2 > v'(t).
В этих предположениях для того, чтобы были выполнены условия (4),
надо в формуле (1) взять a(t) и A(t) такими, что
C72-V'(0
a(t) = m'(0 + A(t)m(t), A(t) = -
2v(t)
(5)
2. Введем для каждого t > О следующую детерминированную
замену времени:
' (7(5) >
™=ет*

§ 3. О неоднородных процессах Орнштейна—Уленбека и замене времени 397
и пусть T(t) Т оо при t —> оо. Тогда можно найти новое броуновское
движение (винеровский процесс) В = (B(0)t^o> для которого (по
распределению)
i
oCs)
dW(s) = B(I(t))
(см. [227]). Процесс V = (V(t))t>0, определенный формулой
nt)=f(t) + g(tMT(t)),
где
f(t) = g(t)
Г а(5) Ас
vn +
будет модификацией процесса V = (V(t))t?0 из (1), (2).
Если A(t) = Я, cr(t) = (j, a(t) = A/i, то уравнение (1) перейдет в
уравнение
dV(t) = -A(V(t) - \x)dt + a dW(t)
(ср. с уравнением (3) в § 2) и процесс V = (V(t))ts>0 будет иметь вид
V(t)=/(t) + e-AtB(g(e2At-l)), (6)
где
f(t) = e
-At
v0 + /iAJ
e^ds
= у0е-^+д(1-е-^).
Процесс (в( fr(e2At _ 1)JJ по распределению совпадает с
процессом ( -j=B(e2Xt - 1)) , где В = (£(s))s^0 — новое броуновское движе-
v v 2A ^2. ~
ние. Поэтому процесс V = (У(0)^0 имеет своей модификацией
процесс V = (V(t))^o, где
\7(t) = v0e~Xt + /i(l - e"At) + -~=e-XtB(e2Xt - 1), (7)
v2A
что (в других обозначениях) совпадает с (17) из § 2.
3. Ранее мы всегда предполагали, что t е М+ = [0, оо). Рассмотрим
сейчас случай t е [О, Г], где Г < оо.
Напомним, что в § 3 гл. I было дано определение броуновского
моста B(aj3) = (в[ )t^i как центрированного гауссовского процесса
B[a'w = B«-t(B?-0), te[0,lL
где В" = a + Bt, а В = (Вt)t^ —стандартное броуновское движение.

398
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Но броуновский мост можно определить и как решение
стохастического дифференциального уравнения.
Именно, рассмотрим уравнение
dBt = ~^rdt + dBt, B0 = a, (8)
считая, что t <Т. Это уравнение является неоднородным уравнением
Орнштейна—Уленбека типа (1). (В формуле (8) В = (Bt)t^T, конечно,
есть стандартное броуновское движение.)
Используя, например, формулу (2) или непосредственно применяя
формулу Ито, находим, что решение уравнения (8) для всех t>T
записывается в виде
t
Bt = a(l-f) + /3} + (r-t)J^dB5. (9)
о
Из свойств стохастических интегралов находим, что
О
(см. также теорему Дамбиса и Дубинса—Шварца в § 4 гл. XIX). В
формуле (10) В = (Bs)s5>o — броуновское движение.
Из (9) и (10) видим, что
Bt = a(l-f) + /3f +(Т-ф(тф-Г)), t>T. (ID
Поскольку последнее слагаемое (Г - t)B[ , _ ,j в правой части (11)
при t Т Т сходится к нулю почти наверное (см. § 3 гл. I), видим, что
Bt-^> (3 при t T Т. Тем самым решение В = (Bt)t^T уравнения (8)
задается формулой (11), при этом В0 = а, Вт= (3.
Формулу (11) можно записать также в виде
Bt±a(l-j) + pj + [Bt-jBT],
где В = (Bt)t<;T— также некоторое броуновское движение. (Вытекает
это из соотношения (Г - 0^(т^/_~Р)) = [^ " Т^тУ котоРое легк0
вывести из гауссовости приведенных выражений и равенства их
дисперсий.)
4. В книге [313] и в сборнике [42] приведен ряд интересных
примеров, связанных с неоднородными процессами Орнштейна—Уленбека и
разновидностями броуновских мостов.

§ 3. О неоднородных процессах Орнштейна—Уленбека и замене времени 399
Броуновский мост В = (Bt)t^T, выходящий из состояния 0 и
приходящий в момент времени Г в то же состояние 0, описывается, согласно
соотношению (9), формулой
t
Bt = ^Y^dBs (12)
О
и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
dBt = ~Y^-tdt + dBt, B0 = 0. (13)
Если вместо этого уравнения теперь рассмотреть уравнение
dB[a) = -j^-tdt + dBt, B(0a) = О, (14)
где а € R, то (по формуле Ито) можно убедиться в том, что
единственное (сильное) решение этого уравнения задается формулой
^Ч(Ю>- (15)
о
Если а > 0, то Вj = О, так что это снова мост, выходящий из
состояния 0 и приходящий в состояние 0. Для а ^ 0 это уже не так. При а = 0
это просто броуновское движение. При а < 0 значение By вовсе не
является детерминированной величиной, оно является случайным, так
что в буквальном смысле это не «мост», в отличие от случая а > 0. Тем
не менее принято говорить, что для всех а е R процесс В^ является
а-броуновским мостом.
Можно проверить, что для s,t e [0, Т) выполнено равенство
соу(Щ«\в[а)) =(T-[r}T2-tT[T^ - (Г -s Л О1"2"],
/ 1 1
если а^7,ав случае а = х мы получаем
cov(Bs(1/2),B(t1/2)) = (Г - s)1/2(T - t)1/2[logT - log(r -s Л t)].
Рассмотрим другой пример. Пусть / = /(0 — непрерывная вероят-
t
ностная плотность, F(t) = j f(s)ds — функция распределения. Предпо-
о
ложим, что /(t) > 0 по крайней мере для t е (0,5), где 5 > 0.
Определим
r = inf{teR+:F(t) = l}€(0,oo],
где, как обычно, inf 0 = оо.

400
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Рассмотрим уравнение
dV(t) = -r^^V(t)dt + v^(OdB(0, t<T, V(0) = 0. (16)
По формуле Ито можно показать, что
t
nO = Jx^|§v7WdB(s), te[o,n (17)
о
есть единственное (сильное) решение (см. § 2 гл. XXXIV) уравнения (16).
Математическое ожидание EV(t) равно 0 и
cov(V(s), V(t)) = ^(5 At)- F(s)F(t)
для всех s, t e [0, Г).
§ 4. Оценка параметров стационарного комплексного процесса
Орнштейна—Уленбека
1. До сих пор мы рассматривали лишь одномерные процессы
Орнштейна—Уленбека. Но можно, разумеется, рассмотреть и
многомерные версии таких процессов, которые будут гауссовскими процессами
с ковариационной функцией специальной структуры (см. § 4 в гл. I).
В этом параграфе будет рассмотрен двумерный случай, при этом
основное внимание будет уделяться статистической оценке параметров
такого процесса, которая представляет интерес в связи с так
называемыми «чандлеровскими качаниями» («Chandler wobbles») мгновенной
оси вращения Земли; см. также § 10 гл. XXXIV.
Вот как эта проблематика описывается в работе М. Арато, А. Н.
Колмогорова и Я. Г. Синая «Об оценке параметров комплексного
стационарного гауссовского марковского процесса» (ДАН СССР. 1962. Т. 146,
№4. С. 747-750):
«Мгновенная ось вращения Земли перемещается относительно
малой оси земного эллипсоида (так называемая „свободная нутация")-
В этих перемещениях имеется периодическая компонента с годичным
периодом. После их элиминации остаются чандлеровские
перемещения, имеющие тенденцию к колебаниям с периодом порядка 14
месяцев, но не строго периодические и с большими, в основном плавными
(волны порядка 10—20 лет), изменениями амплитуды».
Далее отмечается, что «чандлеровская компонента перемещения
полюса... удовлетворяет гипотезам», изложенным ниже.

§4. Оценка параметров комплексного процесса Орнштейна—Уленбека 401
2. Рассматривается комплексный стационарный процесс
Орнштейна—Уленбека Z = Z(t), удовлетворяющий стохастическому
дифференциальному уравнению
dZt = -YZtdt + dBt, Z0 = t, (l)
где Zt = Х\ + iX^, В =В] + iB^ —стандартный комплексный процесс
броуновского движения, у = Я - ico, Я > 0, со е R, £ = £х + i£2 с
независимыми N[0, ^^-распределенными случайными величинами С1 и
£ . (Такой выбор параметров (°, от) обеспечивает стационарность
процесса Z.)
Комплексный процесс Z может также интерпретироваться как
такой двумерный процесс X = I х2 I, что
Пусть Л = ( -я )• Тогда ковариационная матрица процесса X =
= I ^-2), мера которого есть Р = jjl^}0O\ задается формулой
Я(т) = е(£г )(XtU?) = е^К(О) =
_AT/rcoscoT -sin сот V,
= е [sin сот cos сот/*(°)> т^°> ®
R(0) = ^т/, где / — единичная матрица.
Из соотношения (3) следует, что комплексная ковариационная
функция процесса Z определяется формулой
С(т) = EZt+TZt = \е~Хт • e''WT = je^T, т £ 0,
где 7 = Я — ico.
Мы желаем получить для Я и со статистические оценки, в качестве
которых будем брать оценки максимального правдоподобия.
С этой целью обозначим через /4A,w) меру пары X], Xf, s^t. Пусть
также v* — вероятностная мера пары хг +£s\ x2 +Bs2, s ^ t О = (хъ х2)),
и vt — такая мера, что
dvt = dvtJCdx1dx2.

402
Гл. XVII. Стохастическая динамика Ланжевена
Тогда из теоремы Гирсанова (гл. X, § 3, замечание 1) следует, что
<*/4'
(А,со)
<х,т) =
= \ ехрЬЯЭД)2 + (X02)2)}(jzt¥ dZt - \ §zjATAZt d t J. (4)
Vo о J
Пусть Я7 и сот —оценки максимального правдоподобия для Я и со.
Тогда, дифференцируя соотношение (4) по Я и со, получим, что
а) Ят —решение уравнения
Ят
•2ЯТ
txl? + {xlY + \\[{x]? + tx2tY}dt
0
= J[Xt1dXt1+Xt2dXt2] (5)
$[X]dX*-X*dX)]
б) сот = ^ .
/ВД2 + (Х2)2]^
(6)
Из этих формул (5) и (6) можно вывести следующее важное
утверждение: оценки Ят и сот асимптотически состоятельны, т. е.
lim М0(|ЯТ - А| > е) = 0, lim /i0(|coT - со| > г) = 0,
Г—* оо '/'—»оо
где 0 = (Я,со).
Также отметим, что случайная величина
(сот — о>)1
J Г[(^)2 + (*2)2]^
No
не зависит от значений 0 = (Я, со) и имеет нормальное
распределение N(0,1). Доказательство этого факта, использующее идеи работ
А. А. Новикова [450] —[452], дано в нашей с Р. Липцером книге [446,
гл. 17] и в книге [392].

Глава XVIII
Процессы Бесселя
§ 1. Квадратичные процессы Бесселя целочисленной
размерности n^lc нулевыми начальными условиями
1. В настоящей главе будут рассматриваться случайные процессы
X = {Xt\^ и Y = (Yt)^0 (1)
с начальными условиями Х0 = х и¥0=у, обозначаемые соответственно
BES5(x) и BESQ5(y). (2)
Эти процессы называются бесселевскими процессами и квадратичными
бесселевскими процессами размерности 5 ^ 0. В случае, когда х = 0и
у = 0, процессы (2) будут обозначаться
BES5 и BESQ5. (3)
Удобным оказывается начать с определения и изложения свойств
квадратичных процессов Бесселя.
2. Пусть на вероятностном пространстве (Г2,^, (^t)t^o^) c
фильтрацией задан п-мерный броуновский процесс В — (В1, ...,ВП) с
независимыми компонентами и нулевыми начальными значениями В10 = 0,
i = l,...,п.
Квадратичным процессом Бесселя размерности п, выходящим из
нуля, называется такой процесс Yn = BESQ", что
У,п = ф)2 + ...+(В,п)2 (=||Bt||2). (4)
Поскольку В\ по распределению совпадают (при каждом t ^ 0) с
Vt£i (кратко: В1 = л/Т^), где £,• имеют стандартное нормальное
распределение, £f ~ N(0,1), видим, что Y? = t#2, где £2 — статистика
Пирсона хи-квадрат:
*„2 = 5?+ ■■• + & W
?!,...,£„ —независимые случайные величины, £f ~N(0,1), i = l,...,n.
Если £ = (£i,..., £„), то ясно, что /2 = ||£||2-

404
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Распределение вероятностей этой статистики, также называемое
^-распределением, хорошо известно: его преобразование Лапласа
имеет вид
Ее-Я*п = ±—j, Я^О, (6)
(1 + 2А)2
а плотность этого распределения задается гамма-плотностью:
р 2(z) = z-?rJL±I(z>o). (7)
22Г(§)
Поскольку для каждого t > 0 выполнено равенство 7tn = £#„, получаем,
что
Ее~^ = -—й-, Я^О, (8)
(1 + 2Я02
и плотность имеет вид
Д_1 -А
Pyt"W= g2n%2t/(g>°)> t>0' (9)
(202Г(§)
3. Изучим динамику процесса Y" по t > 0. Применяя к 7tn = ||Bt||2,
где ||£t||2 = {В])2 +... + (В")2, формулу Ито, получаем, что
t
Ytn=2i, \BisdBi+nt- (io)
1=1 о
Введем процесс
в;
Стоящие здесь выражения —р= определены (почти наверное), посколь-
ку множество {s > 0: Ysn = 0} имеет (почти наверное) лебеговскую ме-
, в'
ру, равную нулю (теорема 3 в § 2 гл. III). К тому же [
(почти наверное).
Из сказанного следует, что в формуле (11) индикатор можно не
писать:
w
^l,i = l,...,n
dB\. (12)

§ 1. Квадратичные процессы Бесселя
405
Из свойств стохастических интегралов следует, что квадратическая
вариация имеет вид
Мы всегда рассматриваем версии стохастических интегралов,
непрерывные по t. Поэтому, так как /3 = (j8t)t^0 является мартингалом,
квадратическая вариация (j8)t которого равна t, t ^ 0, по теореме Леви (§ 2
гл. X) процесс /3 = (/3t)t5>0 является броуновским движением
(относительно потока (^t)t^o), и, значит, из равенства (10) следует, что
t
Ytn = nt + 2$y/Y?dP5, (14)
о
или, в дифференциальной форме,
dY? = ndt + 2y/Y?df5ti У0П = 0. (15)
Еще раз отметим, что (3 является броуновским движением
относительно потока (^)^о- Уравнение (15), являющееся стохастическим
дифференциальным уравнением, имеет единственное сильное решение
(см. гл. XXXIV).
4. До сих пор рассматривался процесс Yn = BESQ", где п —
натуральное число, п ^ 1. Но глядя на уравнения (14), (15), вполне естественно
определить и для всякого 5^0 процесс Y5 — (Yt5)t>0 как решение
уравнения
t
Yt5 = 5t + 2^J\Yf\dl3s, (16)
о
или, в дифференциальной форме,
dY? = 5dt + 2y/\Y*\dpt, Y05=0. (17)
Оказывается, уравнение (17) имеет решение (к тому же сильное),
причем заведомо Yt5 ^ 0. (Это следует из известной теоремы, или
принципа, сравнения; см., например, [469] или § 4 в гл. XXXIV.) Поэтому в
формулах (16), (17) знак модуля можно опустить.
Так мы приходим к определению квадратичных процессов Бесселя
Y5 = (7t5)t^0 произвольной размерности 5^0 как процессов,
удовлетворяющих уравнению
t
Yt5 = 5t + 2(y/Y?dl3s, (18)
о

406
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
или, в дифференциальной форме, стохастическому
дифференциальному уравнению
dYt5 = 5dt + 2)/Yfdl3t. (19)
(Напомним, что такие процессы Y5 мы обозначаем также BESQ5.)
Замечание 1. Уравнение (19) допускает следующее естественное
обобщение:
dZt = (a + bZt)dt + c>/izjdj8t, Z0=z0, (20)
где a ^ 0, Ъ е R, с > 0, которое хорошо известно в финансовой
математике как CIR-уравнение, т.е. уравнение Кокса—Ингерсолла—Росса
(Сох, Ingersoll, Ross), предложенное ими в качестве модели
краткосрочных процентных ставок (short term interest rates). Это уравнение
весьма популярно в связи с моделями стохастической волатильности [493].
Для каждого z0 ^ 0 уравнение (20) имеет единственное сильное
(т.е. адаптированное относительно фильтрации, порожденной
броуновским движением /3) решение.
Если а — 0 и z0 = 0, то решение уравнения (20) таково, что Zt = 0
(Р-п. н.). Поэтому из теоремы сравнения выводим, что если а^Ои
z0 ^ 0, то решение Zt неотрицательно, и, следовательно, в этом случае
вместо y/\Zt\ можно писать просто \/~Z~t'.
dZt=(a + bZt)dt + cy/z~tdl3t, Z0=z0^0. (21)
Замечание 2. Большой материал о бесселевских процессах, в том
числе и многие результаты, которые будут часто использоваться в
данной главе, можно найти в [384, 42, 313].
§ 2. О распределении вероятностей
квадратичного процесса Бесселя размерности 5^0
с произвольными начальными условиями
1. В случае размерности 5 = пи нулевого начального условия
рассматриваемый процесс имеет вид
Ft" = ||Bt||2, (1)
где Bt = (В],...,В") — стандартное п-мерное броуновское движение,
вЪ = ...=вп0 = о.
Пусть теперь
Ytn(a) = \\Bt + a\\2, (2)
где а = (а1з ...,ап) еШп и ||а||2 = а2 + ... + а2.

§ 2. О распределении вероятностей квадратичного процесса Бесселя
407
В случае t = 1 величина У/1 (а) (по распределению) совпадает с
величиной
*n2(a) = (£i + ai)2 + - + (£„ + an)2>
называемой нецентральным хи-квадратом.
Преобразование Лапласа этой величины #^(а) в статистике
хорошо известно: пользуясь нормальностью, можно непосредственно
показать, что
Ee-AzjW = ^^_e4,(-^), А^О. (3)
(1 + 2Я)2 V + ZAJ
Отсюда следует, что
Ес-ЯУ«(а) =Ее-Л||Ве+а||* = L_ ехрГ_Ш-\ (4)
(1 + 2Я)2 i + ZAy
Заметим, что это преобразование Лапласа величины \\Bt + a\\2
зависит от а только через норму ||а|| = Jа\ +... + а^. Плотность
распределения величины Y"(d) = ||Bt + а||2 будет приведена в § 3. Поэтому
логично вместо Y"(a) писать УД||а||) или Ytn(y), считая, что Y£{y) = y.
2. Рассмотрим теперь определенный в § 1 квадратичный процесс
Бесселя размерности 5 ^ 0. В § 1 такой процесс обозначался через
Y5 = (Yt5)t^0 и определялся как решение уравнения
dYt5 = 5dt + 2y/Yfdl3t, Y05 = 0. (5)
Теперь же будем предполагать, что задано начальное условие Y^ = у,
где у ^ 0, т. е. будем квадратичный процесс Бесселя размерности 5^0
считать, вообще говоря, имеющим произвольное начальное условие
У^О.
Если обозначить такой процесс через У5(у) = (Yt5(y))t^0i то,
считая, что
dYt5(y) = 5dt + 2y/Yt5(y)dl3t, YQ5(y) = y, (6)
можно убедиться в том, что
YHyi) + УЧуг) = Г5'+5'(У1 + у2) (7)
и при этом (с некоторым новым броуновским движением /3 = C^t)t?o»
отличным, в принципе, от /3 в формуле (6)) выполнено равенство
dy/1+54y1+y2) = (51+52)dt + 2VYf^4yT+y2)^t- (8)

408
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Если Q5 — распределение вероятностей (в С[0, оо) с борелевской
сг-алгеброй, порожденной цилиндрическими множествами) процесса
Yt5(y), то утверждение (8) равносильно тому, что свертка имеет вид
<#*<*£=<#&■ С9)
Мы знаем, что для одномерного броуновского движения В = (Bt)t^0
имеет место свойство автомодельности: для всякого с > 0 выполнено
равенство
Law(Bt; t ^ 0) = Law(cBt/c2; t ^ 0). (10)
Это свойство распространяется на квадратичные процессы Бесселя
следующим образом: если
Law(y*(y);t£0) = Qj, (11)
то
Law(c7t5/c(y);t^0) = Qfy. (12)
3. Рассмотрим теперь вопрос о распределении величин Yt5(y) при
фиксированном t > 0. (В случае 5 = п, у = 0 это было сделано в п. 1.)
Обозначим
yt(y,5) = Ee-XY<5(y\ A^O. (13)
Из равенства (9) получаем
Vt(yi + У2, бх + <52) = (^(уъ 5J • у t(y2,52), (14)
где <5Х ^ 0, <52 ^ 0. Отсюда следует, что
VtCKi + У2,0) = vt(y!, 0) • Vt(y2,0),
а это равенство вместе с условием <pt(0,0) = 1 показывает, что
для некоторого А > 0.
Аналогично,
Vt(0,5) = C5, О 0,
и, так как
Vt(y,5) = Vt(y,0)-yt(0,5),
получаем, что
у,(У,5)=А*С5. (15)

§ 2. О распределении вероятностей квадратичного процесса Бесселя 409
При 5 = 1 процесс имеет вид Г/Су) = {В) + Jy)2, t ^ 0, где В1 —
стандартное броуновское движение, выходящее из нуля. Поэтому в
силу соотношения (4) получаем
<*(*!)=—^ехр(-ттк> (16)
(l+2At)2
В то же время
Vt(y,l)=A*C. 0-7)
Параметр С можно определить из того, что ^t(0,1) = С. Поэтому из
формулы (16) получаем
С = —р (18)
(l + 2At)2
Тем самым из соотношений (16), (17) следует, что
и, значит,
Vt(y, 5) =Л^с5 = 1__ ехр(__^_). (да)
(l+2At)2
Если у = 0, то
Vt(0,5) = ^,
(l+2At)2
что мы уже видели в § 1 в случае 5 = п.
Итак, преобразование Лапласа имеет вид
Vt(0,5) = Ee"A^o) = L_ (21)
(l + 2At)2
(ср. с формулой (8) в § 1). Из соотношения (21) следует, что при 5 > 0
плотность распределения величины Y"t5(0) имеет вид
Ру««чОО = % /яч ехР(-^Ж2 > °) С22)
(202Г(|)
(ср. с формулой (9) в § 1).
Займемся теперь величиной Yt5(y) при у ^ 0, 5 > 0. Перепишем
экспоненциальный множитель в формуле (20) в следующем виде:
exP(-irk) = «р(£(М(Я) - D) = ехр(-£)ехр(£м(А)), (23)

410
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
где
С учетом этого обозначения первый множитель в формуле (20)
имеет вид
1—Г = (М(Я))§. (24)
(1+2А02
Тем самым
Vt(*5) = е~27(М(Я))2 ехр(^М(А)) =
= 6 * £(£) jfj(M(A))fc+2. (25)
= e-2t(M(A))2 2(^:) ^(M(A))* =
5
Мы уже знаем из (21), что при 5 > 0 функция (М(А))2 есть
преобразование Лапласа гамма-распределения с плотностью (22). Поэтому,
производя в формуле (22) замену ^ —> к + ^ > получаем, что
преобразование Лапласа
00
Vt(y,5) = J e~XzpY?{y)(z) dz
о
имеет плотность (при 5 > 0)
Py«WW - (£)( * )~V^'v(^r >(* > 0), (26)
где v = 2 - 1 и
v+2k
00 (!)
Jv(")=2)fc,r(fc + V + 1) (27)
есть модифицированная функция Бесселя первого рода индекса
(порядка) v. (См. [416]; в формуле (27), вообще говоря, v, и принадлежат С —
множеству комплексных чисел.)
Замечание 1. Функция Бесселя Jv{u) (первого рода порядка v)
определяется формулой
~ (-i)fc(|)
k=0

§ 2. О распределении вероятностей квадратичного процесса Бесселя 411
Появление в плотности (26) модифицированной функции Бесселя
0бъясняет употребляемое название «процесс Бесселя». ху
Замечание 2. При 5 = 0, у > 0 имеем <pt(y,0) — г i + 2Ar. в этом
случае
dY^y) = 2^Y^)d(3ti Y0°(y) = y>0. (28)
Интересно, что преобразование Лапласа ^t(j>0) отвечает
распределению, у которого есть масса в нуле (z = 0), а при z > 0 имеется
плотность: если у > 0, то
Р(У°(у) = 0) = е~£,
P(Y?(y)zdz) = j-t(^ye-—Il(^)Kz>0)dZ.
Замечание 3. Функции Бесселя появляются и в классической
дискретной теории вероятностей.
Так, если n{j\) и я(у2) — Две независимые пуассоновские величины
с положительными параметрами у1иу2,т.е.
к -yi
Ыø) = Ю = П^, i = l,2 и fc = 0,l,...,
то их сумма п{у\) + гс(у2) снова будет пуассоновской величиной, а
именно n{j\ + Тг)- Но разность n{j\) — гс(у2) будет иметь
распределение
Р(я(п) - я(Г2) = fc) = e-^+^(^)5/k(2 VnrD, fc = 0, ±1, ±2,...
(30)
Проще всего это распределение, называемое распределением Скел-
лама (John Gordon Skellam, 1914—1979), получить непосредственным
подсчетом: для fceZ имеем
00
Р(я(п)-я(г2) = Ю= £ P(^(ri) = fc + 0POt(r2) = 0 =
i=max(-/c,0)
= е^^г5 2 !^y=^+^)kIk(2^r-2), (31)
i=max(-fc,0) 1ЛЛ^и" ЧГ2У
где последнее равенство выводится из (27) и того свойства, что Jfc(0) =
= /_/с(е)дляе>Ои/се£.

412
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
§3. Об обобщенной статистике %%(&) и еще об одном способе
определения квадратичного процесса Бесселя
размерности 5^0
1. Напомним, что в § 2 статистика #„(а) для целочисленных п^\
определялась как
1п2(а) = ||В1 + а||2, (1)
где В1 = (Bj, ...,BJ), а = (а1; ...,ап), \\а\\ = ja\ + ... + а2.
Ее преобразование Лапласа имеет вид
Ее-^«) = (1 + 2ЯГ§ехр(-^). (2)
Выше мы по аналогии с процессом Гп(у) = (У/Чу))^*
удовлетворяющим уравнению
dYtn(y) = ndt + 2A/ytn(y)dj8t, Г0п(у) = у£0,
определили для 5-^0 процесс F5(y) = (Yt5(y))t^o как процесс, для
которого имеет место уравнение
dYt5(y) = 5dt + 2yjYt5(y)dt3t, Y05(y) = y>0. (3)
Так и сейчас по аналогии с величиной #^(а), имеющей
преобразование Лапласа (2), определим #|(а) как случайную величину с
преобразованием Лапласа
Ee-^) = (l + 2A)-fexp(-^). (4)
(То, что случайная величина, имеющая своим преобразованием
Лапласа выражение (4), существует, следует из рассмотрений в § 2.)
2. Заметим, что, по аналогии с формулой (14) из § 2, для
независимых случайных величин х\ (а) и %\ (Ь) выполнено свойство
X2SlW + xl2W = xl+sS" + b), (5)
что следует из равенства (4).
Ясно, что
Ее-Я^2(0) = (1 + 2А)"1, (6)
что соответствует гамма-распределению. А случайная величина %i(a),
имеющая преобразование Лапласа
Ее-л*, = ехр(_«), (7)

§ 3. Об обобщенной статистике #|(а)
413
совпадает, как можно убедиться, по распределению со случайной вели-
2т
чиной Ya rf* гДе ^1^2» ••• — независимые стандартные нормально рас-
i=i
пределенные величины, r\{ ~N(0,1), и т — независимая от них пуассо-
(\\а\\2\
новская случайная величина п\ —^- 1.
Заметим, что
V1+2A Fv 1 + 2А7
и, непосредственно сравнивая преобразования Лапласа, можно
убедиться в том, что
d
j12(a) = ||B1+a||2^||B1||2 + 22Cl,
i=l
где £ь £2>... — независимые (стандартные) экспоненциальные величи-
(\\а\\2Л
ны и т — независимая от них пуассоновская величина п\ —^— 1.
Из формулы (5) следует, что
X25(a) = X25(.0) + xfa)> (8)
и это говорит о том, как (по распределению) можно получить ^(а) из
Х25(0) и хЦа).
3. Величины #5 (a) позволяют несколько иначе подойти к данному
выше определению процесса Y5(y) размерности 5 с начальным
условием У^(у) = у ^ 0, избегая обращения к стохастическим
дифференциальным уравнениям.
В самом деле, поступим так. Для целочисленного п имеем
Yt\y) = \\Bt + a\\2, (9)
где у = ||а|| (см., например, формулу (25) в § 2). Поэтому для 5 < t из
свойства независимости приращений броуновского движения следует,
что
или (для у = ||а||)

414
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Отсюда, используя формулу (5) и производя замену переменных
Я ,
—- —> Я, получим, что при s < t выполняется равенство
Е(е"я^ | ?,) = (1 + 2A(t - в))-2 ехр(-1+Я2У{((^5)). (10)
Эта формула позволяет определить (однородный марковский) процесс
Yn(y) — (X^y))t^0, просто полагая (вместо перехода к
стохастическому дифференциальному уравнению (11) в § 2)
Е(е-Яг>) | jg = (1 + 2A(t -5))-f exp(- 1 + Ц^_з)), 5^0. (11)
Строго говоря, этим процесс Y5(y) = (.Yt5(y))t^0 еще не определен,
и для доказательства существования такого процесса надо поступить
так.
Исходя из формулы (11) определим переходную функцию Pt(x,dz)
равенством
00 5
|е-Я2Р,(х,Й2) = (1+2Я0"2ехр(-1^|х--), х>0. (12)
о
Отсюда можно заключить, что PsPt =Ps+t, т.е. выполнено уравнение
Колмогорова—Чепмена, по которому можно определить
согласованные конечномерные распределения, что позволяет по теореме
Колмогорова (§ 2 гл. II) построить меру в пространстве (всех функций) R^000^
с борелевской ст-алгеброй цилиндрических множеств.
Соответствующий координатный процесс X = (Xt)t^0 имеет переходную функцию Pt,
и по двумерным распределениям можно установить, что E[Xt — Xs]4 ^
^ C\t — s\2 (С = const). Поэтому из критерия Колмогорова (§ 3 гл. II)
следует, что у процесса X = (Xt)t^0 существует непрерывная
модификация (версия), которая и будет процессом Бесселя размерности 5^0.
4. Формула (11) позволяет сделать некоторые замечания о
поведении Yt5(y) вблизи нуля. Действительно, из равенства (11) получаем, что
Р(У/(у) = 0|*,)= lim E[e-Ay*W | 9,] =
А—»оо
(0, если 5 > 0,
Отсюда следует, что в случае 5 = 0 выполнено равенство
P(.Y?(y) = 0\Ys°(y) = 0) = l, t>s.

§ 4. Процессы Бесселя
415
Тем самым если в момент времени s > О процесс Fs°(y) равен 0, то
он в нуле и останется, т. е. нуль является для этого процесса
поглощающим состоянием («ловушкой», trap).
Ситуация в случае 5 > 0 иная. Если в момент 5 > 0 имеем У/(у) = О,
то это еще не означает, что процесс У5(у) дальше не обратится в нуль.
Вполне может случиться, что в некоторый случайный момент т
значение Ут5(у) равно 0. Но происходит это весьма редко, поскольку лебе-
говская мера тех t > 0, где У/5 (у) = 0, равна нулю, что видно из того,
что
00 00
Ej/(rt5(y) = 0)dt = Jp(7t5(y) = 0)dt = 0.
о о
Дополним эти факты следующими известными результатами [313].
Если 0 < 5 < 2, то процесс У5(у) может обращаться в нуль, но
нулевая граница является мгновенно отражающей и при этом
ЙтУ,5(у) = оо.
t—»оо L
Из свойств многомерного броуновского движения следует, что при
5 = 2 процесс Гг2(0) положителен для всех t > О, но lim Y"t2(0) = 0, а
£-»00
lim У,2(0) = оо. (Аналогичное верно и для любого начального состоя-
£-»00 L
нияу.)
Если же 5 > 2, то (привлекая теорему сравнения, см. § 4 в гл. XXXIV)
получаем, что Vt5(y) > 0 для всех t > 0 и Yt5(y) —» оо при t —> оо (почти
наверное).
§ 4. Процессы Бесселя
1. Рассмотрим теперь собственно процесс Бесселя. Как и в § 2, будем
обозначать через В = (В1, ...,ВП) многомерное броуновское движение,
состоящее из независимых стандартных броуновских движений В1, i =
= 1,...,п. Пусть также а = (а1,...,ап) и
Х,яОс) = ||В, + а|| (=V(B?+fli)2 + - + (B?+fln)2),
где л: = ||а||.
В случае (одномерного) стандартного броуновского движения В =
= (Bt)t^o Д™ HBtll = lBtl (=*t(0)) имеет место формула Танака (см. § 6
гл. XII)"
t
\Bt\=\sigaBsdBs + Lt (Р-п.н.), (1)
о

416
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
е[0
О
t
где L = (Lt)t^0—локальное время стандартного броуновского
движения в нуле:
t
Lt=lim^J/(|Bs|<e)ds, (2)
или, формально,
Lt = J*5(B,)ds, (3)
О
где 5 —дельта-функция (см. § 5 гл. I).
Наша цель сейчас будет состоять в доказательстве того, что в случае
п ^ 2 для Хп(лг) = (X"(x))t^0 возможно следующее представление:
t
X?W = x + $£^ds + Wt, (4)
о
где W = (Wt)t^o есть одномерный винеровский процесс (броуновское
движение), являющийся ^-измеримым при каждом t ^ 0 и таким, что
wt = £fxS^Bf' (=!>/). (5)
2. Чтобы полнить формулу (4) для п ^ 2, надо, как и в случае п = 1,
воспользоваться приемом г-сглаживания ||Bt + a|| с последующим
применением формулы Ито и предельным переходом по г [ О (см. § 6
гл. XII).
Пусть f{x) = \\х\\, где х е Rn и ||х|| = -у/х2 + ... + х*. Тогда для х е
е Еп \ {0} верны следующие формулы:
3 Х- Я2 5ц Х;Х;
0*/W \\x\\' дх1дх]^Х) \\x\\ ||x||3
для всех 1 ^ i,j^ n; 5 i; —символ Кронекера (5„ = 1, 5[; = 0 для i Ф)).
Для п-мерного броуновского движения положим ГДу2) = ||Ва + а||2,
где ||а|| = у. Мы знаем, что
t
*?(у2) = у2 + 2 2 f Bj dBJ + т. (6)
'=1о
Положим g(y) = уу, у ^ 0, и определим функции
ge(y) = l^+^y-^ly2' У<£' (7)

§ 4. Процессы Бесселя
417
При е 10 имеем ge(y) - g(y) для всех у > 0. Функции ge принадлежат
классу С2, и, следовательно, применима формула Ито. Для краткости
будем писать Ys = Y$n(x2), Xs = J7,. Тогда
где
Ss(Yt) = g£(y) + £ Д<°(<0 + Bt(e) + Q(0,
i=l
0
t
0
t
CtW = Jj(ys<E)^=[3n-(n + 2)f]d5.
(8)
(9)
При п ^ 2 лебеговская мера множества {s > 0: Xsn(x) = 0} почти
всюду равна нулю. Тем самым выражения с ^- определены (не равны оо).
Из теоремы о монотонной сходимости следует, что
t t
\imBt(e) = \l(Ys>0)^ds= \^ds (Р-п.н.),
о о
поскольку P(7t >0,0<£<оо) = 1в случае n S* 2. Далее,
t
0 ^ ECt(e) ^ ^ |р(У, < *) d5.
о
По теореме Фубини имеем
t t
JР(У5 < e) ds ^ J P^1)2 + (B2)2 < e) ds =
(10)
о
Гг2ях/ё
ds
0 Lo 0
л/б Г 00 2
= 2 jp J VTd*
0 Lp/vT
У? г t
e 2s ds
0 Lo
dp =
dprroCv^) прие|0. (11)

418
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Поэтому CtO) -»0 (Р-п. н.) при е 10. Наконец,
t
ЕЩ -А['\е)]2 = Е JVS < е)[± - ^=(3 - Ys)]\bI)2 ds =
О
= Ej/№<4l-|/|(3-Ys)]2(|)2dS^
О
t
^ f P(7S < s)ds = o(v^) при г | 0, (12)
о
и, следовательно,
£л(/}(е)^][>/ = ^. (13)
i=l i=l
Из соотношений (8) — (13) с помощью предельного перехода по е | О
получаем представление (4) (с х = у).
Отметим для этого представления следующие два частных случая.
При п = 2 имеем
dXs = ^xds + dWs, (14)
а при п = 3 имеем
dXs = ^-ds + dWs (15)
с начальными условиями Х0 = х = у/х2 + х^ иХ0 = х = ух2 + х2 + Xg
соответственно.
3. Мы рассматривали процесс Бесселя X" для целочисленных п ^ 2.
При этом Х"(х) определялось формулой y/Ysn(x2). Таким же образом
можно ввести процесс Xs5(x) для любых 5^2, полагая по определению
Xs5(x) = у У/(х2). Если так определить этот процесс Xs5(x), то снова
можно, используя ^-аппроксимацию, уравнения (11) из § 2 и формулу
Ито, получить, что (для 5^2) справедливо уравнение
dXsW = 4^ds + dWs, X50{x)=^Y05(x2). (16)
Важно, что для 5^2 лебеговская мера множества {s > 0: Xf(x) = 0}
снова равна нулю Р-п. н.
Но оказывается, поскольку для 5 > 1 математическое ожидание
Е J * конечно [313, гл. XI, § 1], можно опять применить £-ап-
0 V Ys (*2)

§ 4. Процессы Бесселя
419
проксимацию и формулу Ито и тем самым получить (для 5 > 1)
уравнение (16).
В случае 5 = 1 мы уже знаем, что для Х^(х) имеет место формула
Танака.
В случае же 0 < 5 < 1 для Xs5(x) = ^Ys5(x2) справедливо
представление (см. [313, гл. XI, § 1])
xfW45№+TP'v-f^ + ffr (17)
о и
Здесь p. v. Г " —главное значение (principal value), определяемое
О "W
следующим образом:
S 00
р-v-1 jMt)=Jy 5"2(I"(х) ~ L°(x)) dy' (18)
о и о
где {Lyt(x),y ^ 0} —семейство локальных времен процесса Х5(х) —
— Q^(x))u5,0> определенных так, что для каждой борелевской функции
ц> — (р(у): М+ —»М+ выполняется равенство
t 00
j* V(X?M)ds = ]*¥>Су№)у5-1 dy. (19)
о о
4. Из п. 4 § 3 можно сделать и определенные заключения о свойствах
траекторий (собственно) процессов Бесселя Х5(х), понимаемых как
\/Y5(x2), опираясь на свойства траекторий процессов У5(х2).
Если 5^2, то, конечно, P(Xt5(x) > 0) = 1 для каждого t > 0. Более
интересно, что при 5^2 нулевые значения недостижимы:
P(Xf (х) > 0 для всех 0 < t < оо) = 1, х ^ 0. (20)
Но при этом, однако,
Р(infxf (х) = о) = 1, х > 0. (21)
ч>о г '
Таким образом, в частном случае 5 = 2 броуновское движение,
выходящее из точки х = ух2 + х2, с вероятностью 1 не достигает
нулевого значения, приближаясь тем не менее к этому нулевому значению
сколь угодно близко почти наверное.
В § 4 гл. XIII эту ситуацию мы назвали е-возвратностью (в
двумерном случае).

420
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
По-другому (просто перенося начало координат) можно сказать,
что в двумерном случае броуновское движение, стартующее из
некоторой точки, отличной от фиксированной точки zgR2, почти наверное
не попадает обратно в эту точку, но приближается к ней сколь угодно
близко.
В случае же, скажем, когда 5 = п ^ 3, известно [42, гл. 3, § 3], что
случайная величина /£(х) = infXtn(x) при х > 0 имеет
бета-распределение:
P(/0n(xKiO = (J)n~2, О^и^х. (22)
Отсюда вытекает, что траектории гс-мерного броуновского
движения В = (В1, ...,ВП), ^/(В^)2 + ... + (В£)2 = х > 0, остаются вне
некоторого п-мерного диска около начала координат. (Размер диска зависит
от конкретной траектории.) Сопоставление со случаем п = 2 позволяет
утверждать, что для п ^ 3 бесселевский процесс является
невозвратным (в случае п = 2 он является е-возвратным).
Дополнительно отметим, что для п ^ 3 процесс Хп(х) является
таким, что
pflimX"(x) = oo) = l,
т. е. невозвратным.
5. Имея переходную плотность pY5^{z), можно найти и
вероятность Рх*(х)(0 с плотностью Px5(x)(z)- Напомним полученные в § 2
результаты относительно pY^y)(z).
Если 5 > 0, у > 0, t > 0, то
Если 5 > 0, у = 0, t > 0, то
ру«(0)(2) = (2t)-§ (г(§ ))~ V!"1 ехр(-§). (24)
Если 5 = 0, то
Пользуясь тем, чтоХг5(х) = y/Yt5(x2), по известным формулам
отыскания плотностей одних величин с помощью других [495, гл. II]
получаем следующие результаты.
Если 5 > 0, х > 0, t > 0, то

§ 5. Процессы Бесселя и случайная замена времени
421
Если 5 >0, х = 0, t > О, то
Рх'ф) = 2_V t"(v+1)(r(v + I))-1**-" exp(-g). (27)
Если 5 = 0, то
где <50 = 5(г) — дельта-функция и Р^о^ имеет плотность
^(x,,) = fexp(-^)l1(-f). (29)
§ 5. Процессы Бесселя и случайная замена времени.
Преобразование Ламперти
1. В § 2 предшествующей главы мы уже сталкивались с
представлениями некоторых процессов X = (Xt)t^0 в виде
Х=ХоТ, (1)
т. е. Xt =XT(t), t ^ О, где X = (Xt)t^0 — некоторый «просто» устроенный
процесса Т = T(t), t ^ 0, —случайная замена времени ({T(t)^u} е&и,
и ^ 0, где (^u)u^o — семейство сг-алгебр из заданного
фильтрованного вероятностного пространства (П, J*",C^r)t^o>P) и Г = T(t), t ^ 0, —
неубывающее непрерывное справа семейство [0, оо)-значных
случайных величин).
Так, например, стационарное решение X = (Xt)t^>0 уравнения Орн-
штейна—Уленбека
dXt = -XXtdt + odBt, X0~n(o,^-) (2)
(ср. — в других обозначениях — с уравнением (1) в § 2 гл. XVII)
допускает представление
Х< = Ж~Х%"' (3)
где T(t) = e2Xt и В —некоторое броуновское движение. (Правильнее
было бы сказать, что решение уравнения (2) допускает версию, пред-
ставимую правой частью равенства (3); это надо будет иметь в виду и
в последующих представлениях подобного типа.)
Формула (3) дает пример представления интересующего нас
процесса X с помощью «просто» устроенного броуновского движения В,
замены времени T(t) = e2At и некоторого множителя —=e~Xt.
/2А

422
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Вообще, преобразования типа
Xt=f(t)XTit) (4)
с детерминированными функциями /(t) и (случайной) заменой
времени T(t) принято называть преобразованиями Ламперти [227].
2. Рассмотрим еще некоторые примеры, где в качестве «просто»
устроенных процессов выступают бесселевские процессы.
Пусть Z = (Zt)t^0 является CIR-процессом (см. § 1),
удовлетворяющим уравнению
dZt = (a + bZt)dt + c^tdl3t, Z0=z0^0,
где а^ОиЬбМ, с > О (здесь Zt ^ 0 почти наверное при всех t ^ 0).
Тогда
Zt=ebtY?[ty (5)
где 5 = -f, T(t) = ^-(1 - e~bt) и 75 —квадратичный процесс Бесселя.
Доказательство представления (5) основано на формуле Ито и
теореме Дамбиса и Дубинса—Шварца (см. § 4 гл. XIX).
Рассмотрим другой пример. В финансовой математике
исключительную роль играют геометрические броуновские движения
St=S0exp(vt + aBt), S0 > 0. (6)
Оказывается (Ламперти, [227]), что при г ^ 0
St=XT(-ty (7)
где X5 — процесс Бесселя размерности 5 = —, Х^ = S0 и
t
T(t) = a2j\2dii. (8)
о
Доказательство следует из формулы Ито.
3. Будем рассматривать так называемый CEV-процесс (Constant
Elasticity Variance process), удовлетворяющий уравнению
dVt = nVtdt + aVtadpt, (9)
где V0 = v0 > 0, a > 1, a > 0.
Положим /3 = 2(a — 1) и введем процесс
Ut = ±. (10)

§ 6. Теоремы Питмена, Рэя и Найта
423
Тогда U = (t/t)t^0 удовлетворяет CIR-уравнению:
dl/t = (а - bl/Jdt + c^/jl/J dWt, (11)
/3(0 + lVj2
где а = 2 b = (3iJL,c = -/За.
Для этого процесса (7 мы уже получили представление Лампер-
ти (5). Из формул (5) и (11) можно вывести, что
Vt = e^Ynt), (12)
где
r(t)=(a^!(e2(a_1)Mf_1) (1з)
и
2а -1
1
7 - (BESQ^r(v0-2(a"1}))Я1" «). (14)
§ 6. Бесселевские процессы в соотношениях с равенством
по распределению (теоремы Питмена, Рэя и Найта)
1. Пусть В = (Bt)t^0 ~~стандартное броуновское движение. Тогда из
принципа отражения (гл. V, § 3) следует, что
тахВ-В = |В|, (1)
т.е.
LawfmaxB5 -Bt;t^o] = Law(|Bt|; t ^ 0). (2)
Согласно П. Леви [239] свойство (1) допускает следующее «двойное»
обобщение:
(тахВ - В, тахВ) = (|В|, L), (3)
т.е.
LawfтахВ5 - Bt, maxBs; t^6) = Law(|Bt |, Lt; t ^ 0), (4)
где L = (Lf )t^0 ~" локальное время броуновского движения в нуле.
В § 1 гл. X было дано доказательство этого свойства, основанное на
формуле Танака для |В|.
Процесс |В|, а также тахВ - В называют отраженным броуновским
движением.
2. В 1975 г. Дж. Питмен (J. Pitman, [303]) обнаружил, что
«броуновское движение, отраженное от максимума, т. е. max В + (max В - В) =
== 2тахВ — В», по распределению совпадает с бесселевским процессом
BES3=(BES^0:
2maxB-B = BES3, (5)

424
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Law(2maxB5 -Bt;t^6) = Law(BES3; t ^ 0), (6)
где BES? = BES?(0) = y/{B)f + {Bff + (B?)2 и В1 = (B?)t»o, В2 = (Bf)t^
В3 = (B3)t^0 — независимые стандартные броуновские движения.
Подобно формулам (3), (4), имеется и «двойное» обобщение
свойства (6). Именно, пусть
73 = infBES3. (7)
Тогда
(2 maxB - В; maxB) = (BES3, J3), (8)
т.е.
Lawf 2maxB, - Bt, maxB • t^6) = Law(BES3 J3; t S? 0). (9)
3. В литературе имеется много разнообразных доказательств
собственно теоремы Питмена (5), (6). Предложенное в работе [303]
доказательство основано на следующей идее.
Процесс 2тахВ -В и процесс BES3 являются марковскими.
Поскольку распределение процесса (тахВ,В) хорошо известно (см. § 3
гл. V), можно найти и все конечномерные распределения процесса
2 max В — В в любые моменты 0 < t1 < t2 < ... < tn. Точно так же такие
распределения можно найти для процесса BES3 на основании
результатов § 3, 4. Сопоставление этих распределений показывает, что они
совпадают. Отсюда уже выводится, что совпадают распределения
процессов 2тахВ — В и BES3 (т. е. выполнено свойство (5), (6)).
4. Если в теореме Питмена показывается, как процесс BES3
возникает в связи с распределением вероятностного процесса 2тахВ — В, то в
нижеследующей (первой) теореме Рэя и Найта [209, 312],
относящейся к 1963 г., показывается, как квадратичный процесс Бесселя BESQ2
возникает в связи с вопросом о распределении локальных времен
броуновского движения.
Пусть В = (Bt)t^0 — стандартное броуновское движение (В0 = 0) и
Tl = inf{t^0:Bt = l}. (10)
(Хорошо известно, что Р(тх < оо) = 1; см. § 1 гл. XI.)
Рассмотрим для каждого х е R процесс Iх = (L*)t^0> гДе
t
L* = Hm^J/(|B5-x|<e)ds (И)
о
t
(или, символически, Iх = j <5(В5 — х) ds; см. § 5 гл. I).
о

§ 6. Теоремы Питмена, Рэя и Найта
425
Величина L* называется локальным временем броуновского
движения на уровне х на интервале времени [О, t]. По своему смыслу
локальное время L* растет там, где Bt = х.
В 1958 г. X. Ф. Троттер [353] показал, что всегда можно выбрать
версии локальных времен L*, х € R, t ^ О, так, что (почти наверное)
они будут непрерывны по паре переменных (х, t). (Доказательство
основано на критерии Колмогорова существования непрерывных
модификаций у случайных полей.)
Именно эти версии будут рассматриваться далее (мы снова
обозначаем их L*).
Весьма примечательно, что для этих локальных времен
справедлива следующая (occupation) формула:
t
§g(Bs)ds = $g(x)L*dx, (12)
О R
где g(x) — ограниченная борелевская функция и t > 0.
Локальное время L*, t ^ 0, х е R, участвует в формуле Ито—Тана-
ка—Мейера: если / (х) есть разность двух выпуклых функций, то
t
f(Bt)=f(B0) + $fL(Bs)dBs+l§L*f"(dx).
0 R
(Формула сохраняет свой смысл и тогда, когда вместо В
рассматриваются семимартингалы X. При этом / (Xt), t ^ 0, снова является семи-
мартингалом.)
Упомянутая (первая) теорема Рэя и Найта утверждает, что
(Ll;a; 0 ^ а ^ 1) = (BESQ*(0); 0 ^ а ^ 1), (13)
или, что эквивалентно,
(LaTo; 0 ^ а $ 1) = (BESQ^O); 0 ^ а ^ 1), (14)
где
тг = inf{t ^ 0: Bt = 1} и т0 = inf{t ^ 0: в[1} = 0}, (15)
в предположении, что броуновское движение В(1) = (B^)t^0
начинается в единице (Bq1} = 1).
Замечание. Для каждого фиксированного момента а имеем
besq2(o) = (Blf + (ва2)2 4 уда})2 + (в2)2) 4 л/5*|.
Распределение #2 является экспоненциальным, так что случайная
величина BESQ^(O) имеет экспоненциальное распределение со средним 2а,

426
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Проведем доказательство утверждения (13), следуя работе П. Мак-
гилла [254].
Пусть 7а = BESQ^(O), а ^ 0, т. е. процесс Ya таков, что
а
Ya=2a + 2$V7sdl3s, (16)
о
где /3 = (/35)5^>о — стандартное броуновское движение.
Для установления утверждения (13) достаточно показать, что для
ограниченной непрерывной функции g = g(x), 0 $ х ^ 1, выполнено
равенство
1 1
- J g(l-a)L\-a da -Jg(l-a)Yada
Ее о 1 =Ее о . (17)
Имеем
- J g(l-a)Ll~a da -fg(a)La da
Ее о Tl =Ee * l . (18)
Поэтому достаточно проверить, что
i i
-Jg(a)La da -fg(l-a)Yada
Ее о Tl =Ee ь . (19)
Для доказательства этопмюотношения целесообразно ввести
некоторый новый процесс Y = (Ya)a^0, который при 0 $ а ^ 1 совпадает с
процессом Y = (Га)а<а. Именно, для всех а ^ О положим
а а
yfl = 2j/(0^b$l)db + 2jv^dj8s. (20)
о о
Как мы уже знаем (§ 3), квадратичный процесс Бесселя Y — (Га)а5>0
обладает тем свойством, что
Р(7а > 0, а > 0) = 1
(хотяР( lim Уа=0) = 1). Следовательно, у=inf{а>0: Уа=0} = оо (Р-п.н.).
а-» оо
Ситуация с процессом Y = (Уа)а^0 иная: момент у = inf{a > 0: Ya =
= 0} является конечным (Р-п.н.). Это свойство, доказанное мартин-
гальными методами в работе [254], будет далее существенно
использоваться. Из того, что Ya = Ya, a ^ 1, следует, что (Р-п. н.) у > 1.
Следующий результат хорошо известен: если g(x) > 0 и g является
непрерывной функцией, то задача Штурма—Лиувилля (на Ж)
/" = 2/g, /Ч-оо) = 0, /(0) = с>0 (21)

§ 6. Теоремы Питмена, Рэя и Найта
427
имеет единственное строго положительное, возрастающее, выпуклое
(convex) решение.
Мы будем сейчас доказывать аналог (первой) теоремы Рэя и Найта
в следующей форме (ср. с (13)):
(L^"a; 0 ^ а < оо) = (Ya; О ^ а < оо). (22)
Понятно, что требуемое соотношение (13) является частным случаем
соотношения (22), рассматриваемого на интервале 0 $ а ^ 1..
Для доказательства соотношения (22) достаточно показать, что для
каждой непрерывной функции g ^0 с компактным носителем на (—оо, 1)
выполнено равенство
1 оо
- Г g(a)La_da -Jg(l-a)Yada
Ее -оо 1 =Ее о (23)
(ср. с формулой (19)).
Доказательство равенства (23) будет состоять в подсчете
выражений в его левой и правой частях.
Левая часть равенства (23). Пусть функция / =f(x) является
решением задачи (21) при с = 1. Используя формулу Ито, мы легко находим,
что процесс
ft=/(Bt)expf-jg(Bs)dsJ, t^T1?
Mt
V о
является равномерно интегрируемым мартингалом.
Используя (occupation) формулу (12) и подставляя вместо t момент
остановки т1? получим, что по теореме об остановке мартингалов
EMTi=Eexpl -§g(Bs)ds )/(BTl) =
= Еехр(- J gCa^da J/(BTl) = EM0=/(Bo)=/(0)=.l. (24)
V -оо J
Отсюда следует, что (поскольку /(BTj) =/(1))
Eexpf- J g(a)LaTi da ) = j^. (25)
Правая часть равенства (23). В соответствии с соотношением (12)
выберем функцию V(a), 0 ^ а < оо, как решение задачи
V" = 2g(l-a)V, V(l) = l, V'(+oo) = 0. (26)

428
Гл. XVIII. Процессы Бесселя
Тогда V(a) = /(1 — а),а^ О, где / удовлетворяет задаче (21) с условием
/(0) = 1.
По формуле Ито процесс
N.
является локальным мартингалом.
Этот процесс равномерно интегрируем, поскольку V' ^ 0. Применяя
теорему об оптимальной остановке (в момент у), мы находим (с
учетом соотношений Y0 = 0, 1 < у < оо почти наверное), что
Ш? = Eexpf - J g(l - b)7b db I (=} Eexpl - J g(l - b)Yb db) =
=EN°=vk=m (28)
(Здесь равенство (*) вытекает из того, что при всех а> у выполнено
соотношение
а
?a = 2jA/j^idj8b, (29)
Yn
г
поскольку Yy = 0. Поэтому в силу формулы (13) из § 3 получаем, что
Ya = 0 при всех a ^ у.)
Сопоставление формул (25) и (28) доказывает справедливость
соотношения (23), а значит, и справедливость равенства (22) и собственно
(первой) теоремы Рэя и Найта (13). □
5. Приведем формулировку второй теоремы Рэя и Найта.
Пусть
a1=inf{t^0:Lt = l}, (30)
где Lt = L^. Тогда
(^i;a^0)^(L-;;a^0)^(7a0(l);a^0), (31)
^e7a0(l) = BESQ°(l),T.e.
a
Ya°(l) = l + JV^?COdft- (32)
о
Отметим, что в теоремах Рэя и Найта правые части соотношений (13),
(14), (22) (первая теорема) и соотношения (31) (вторая теорема) опре-

§ 6. Теоремы Питмена, Рэя и Найта 429
деляются поведением марковских процессов по временному
параметру t. Левые же части этих соотношений определяют поведение
локальных времен по фазовой переменной.
Это свойство теорем Рэя и Найта, а также (occupation) формула (12)
показывают замечательную роль локальных времен L* при переходе от
временной переменной к фазовой. (В этом, собственно говоря, и
состояло доказательство первой теоремы, заключающееся в установлении
соотношений (19), (23).)

Глава XIX
О стохастических представлениях
по броуновскому движению
§ 1. Сводка некоторых общих результатов
об интегральных представлениях
1- Из § 2 гл. X мы знаем, что если X = (Xt)t^0 есть непрерывный
квадратично интегрируемый мартингал, заданный на достаточно
«богатом» фильтрованном вероятностном пространстве (П,^, (^t)t5>0>P)
и такой, что {X2 — Ot^o также есть мартингал, то процесс X есть
броуновское движение. (Это утверждение теоремы П. Леви, 1948 г., [239].)
Процесс X2 = (X2)t^0 является субмартингалом, и его разложение
Дуба—Мейера (см., например, [446, гл. 3]) имеет вид
X2 = (X)t+mt, t20, СО
где (X) = {(X)t)t>0 — квадратическая характеристика процессах и т =
^ (mt)t;>o — мартингал. В случае теоремы Леви (X)t = (B)t = t, t ^ 0.
То, что X = В, где В = (Bt)t^0 — броуновское движение, позволяет
воспользоваться определением стохастического интеграла по
броуновскому движению и по формуле Ито записать для мартингала mt =
— В2 — t представление
t
mt=[2BtdBt. (2)
о
Тогда естественно возникает вопрос о том, при каких
предположениях мартингал X = (Xt)t^0 допускает (Р-п.н.) интегральное
стохастическое представление вида
t
Xt{oj) = $Hs(co)dBs{oj\ (3)
о
которое можно рассматривать как обобщение представления (2).
- 2. Рассмотрим сначала более простой вопрос о представлении
типа (3) не для мартингала, а просто для одной «броуновской» случайной
величины X =Х(оо). Сформулируем необходимые понятия.

432
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Пусть {£!,&, (^t)t^o^p) — фильтрованное вероятностное
пространство. Это пространство предполагается достаточно «богатым» в том
смысле, что сг-алгебра & является Р-полной (^ = ^р) и каждая сг-ал-
гебра &t содержит Р-нулевые множества из &. Всегда предполагается,
что фильтрация (^t)t^0 непрерывна справа (^t = &t+ = f] &s). (Часто
s>t
такое фильтрованное пространство (ft,^", (^t)t^o>p) называется
удовлетворяющим обычным условиям [190].)
Будем считать, что на этом пространстве задано броуновское
движение В = (Bt)t>0. Пусть &f = &*+ V Jfy где J*f+ = f| a(Bu; u^s)njf
s>t
есть сг-алгебра Р-нулевых множеств из &. (Напомним также, что для
случайных величин ^иг) равенство £ = т\ всегда понимается как
равенство почти наверное: £ = г) (Р-п. н.).)
Теорема 1 (интегральные представления броуновских
функционалов). ПустпьХ =Х(со) есть ^-измеримая случайная величина
(«броуновский функционал»), где Т ^ оо есть детерминированный момент
времени.
A. Если ЕХ2 < оо, то существует такой стохастический процесс
т
Н = (Ht, &f)t<r, что EJH2dt<oou
о Т
Х = ЕХ + |*HtdBt. (4)
о
Процесс Н является (Яг х Р)-почти наверное единственным (Яг —мера
Лебега на [О, Г]).
Б. Если Е\Х\ < оо, то для процесса Н из утверждения А выполнено
равенство PI j И2 ds < оо 1 = 1.
B. Если X — положительная случайная величина и ЕХ < оо, то
существует такой стохастический процесс h = {hti&f)t^T co свойством
р( J h2 ds < оо j = 1, что
X = EX • expI Г hs dBs - \ Г h2 ds J. (5)
Vo о J
Г. Если \X\ < оо (Р-п. н.), то существуют такая константа С и та-
кой процесс H = (Ht,J^B)t^r, что Pi /H2dt < оо ) = 1 и
г
X = C+fHtdBt. (6)
о

§ 1. Сводка некоторых общих результатов
433
Теорема 2 (интегральные представления броуновских
мартингалов и локальных мартингалов).
А. Пусть X = {Xti^f)t^T —броуновский квадратично
интегрируемый мартингал, где Т ^ оо. Тогда существует такой процесс Н =
т
~{Ht,&*)t<,T, umoEJH2tdt<oou
о
t
Xt=FX0 + ^HsdBs, t^T. (7)
о
Б. Пусть X = {Xt,^f)t^T — броуновский локальный мартингал (см.
§ 3 в гл. XII). Тогда существует процесс И = {Ht3&*)t^T, для которого
(1
H2dt<oo = 1,
и выполняется представление (7).
В. Пусть X = (.Xt,^)t<:T является положительным локальным,
мартингалом и Х0 = const > 0. В этом случае существует такой процесс
h = (ht,&?)t^T, что?! Jh2dt<oo 1 = 1 и
Xt =X0expl j\dBs - \ j\2ds J, t^T, (8)
т.е.
t t
log^ = JhsdBs-|Jhs2d5, t^T. (9)
о о
Конечно, имея интегральные представления в теоремах 1 и 2,
интересно найти явный вид подынтегральных функций Я и ft. Это не
просто. Существует так называемая формула Кларка—Окона [91, 278],
выражающая эти подынтегральные функции в терминах производных
Маллявэна (гл. XXX). Отметим также представления L2-функционалов
посредством кратных и повторных интегралов, рассматриваемых
далее в гл. XXIX.

434
Гл. XIX. О стохастических представлениях
§ 2. Доказательство утверждений А в теоремах 1 и 2
1. Если 8 = (&t(h))t^T —стохастическая экспонента:
£t(h) = expf §hsdBs-l§ h2 ds I, (1)
где детерминированная функция h = (hs)s^T принадлежит L2 [О, Т], т. е.
т
j h2ds < oo, то, применяя формулу Ито, находим, что
0
<gt(h) = l + §£s(h)hsdBs, (2)
о
а это есть представление вида (7) в § 1.
Эта формула (2) играет центральную роль в доказательстве
теоремы 1 из § 1.
Напомним еще один известный результат 12-теории.
Пусть (Г2,^,Р) — вероятностное пространство. Говорят, что
семейство Е = {£1э £2> •••} случайных величин из L2(^") является тотальным,
если линейное многообразие
||]aI-?I-:n = l,2,...,aI-€R,§1,...,§n€£j
(3)
является плотным в L2(J^).
Если Е с L2(^), то через Е1 обозначается его ортогональное
дополнение:
Е1 = {г)е L\&y. Е£т? = 0 для всех I e E]. (4)
Следующая лемма дает условие тотальности семейства Е с L2(^).
Лемма 1. Пусть (П, &, Р) — вероятностное пространство иЕ —
некоторое подмножество в L2(&), для которого Е1 = {0}. Тогда Е есть
тотальное множество в L2(&).
2. Лемма 2. Пусть В = (Bt)t>0 — броуновское движение
относительно потока &в = (&f\^T, где Ф* = J*f+ V Jf (см. п. 2 в § 1). Пусть G -
семейство детерминированных функций g = g(t), t ^ Т\ вида
g(0=E MwjW, (5)
fc=l
где n = l,2,..., XkeR, 0 = t0< t1 <... <tn^T.
Тогда множество
E = {£T{g):g^G],

§ 2. Доказательство утверждений А в теоремах 1 и 2
435
т-е-
E = LxVng(s)dBs-l^g\s)ds):geG
является тотальным множеством в L2(^).
Доказательство. Пусть r\ e L2(&) таково, что
Er?£T(g) = 0 nmgeG.
(6)
Согласно лемме 1 для доказательства тотальности множества Е надо
показать, что tj = О (Р-п. н.).
Для функции g вида (5) свойство (6) принимает вид
0 = ЕГехр( £ Xk(Bh -Btk ) - \ t b\{tk - tk_S]- т?1 =
L Vfc=i ^ fc=i У J
что равносильно тому, что
0 = E[exp^|;Afc(Btlt-Btl_l)j.Tjj
(8)
откуда, переходя к условным математическим ожиданиям
(относительно <r(Bti, ...,Btfc)) и производя перегруппировку выражения под знаком
экспоненты, находим, что
где
Е[ехр( £ акВ^ ■ F+] = Е[ехр(|; akBtk^ ■ У"],
7 = E[r)|a(Bti,...,Btfc)].
(9)
(Ю)
Понятно, что Y может быть представлено в виде Y = Y(Bti,...,Btk).
Следовательно, если ip(_Xi,...,xn) — совместная плотность
рассматриваемых величин Bti,...,Btn, то равенство (9) можно переписать в виде
Гехр( '£akxk)Y+(x1,...,xn)ip(x1,...,xn)dx1...dxn =
R« Vfc=1 J
= fexpf Y, ak*k ]Y~(.Xi,...,xn)ip(x1,...,xn)dx1...dxn. (11)
RJ" Vfc=1 У
Это соотношение говорит о том, что два преобразования Лапласа
(аь ...,ап —любые из Ж) функций Y+y и У~</? совпадают. Отсюда выте-

436
Гл. XIX. О стохастических представлениях
кает, что Y+ = У+{хъ ...,хп) и Y~ = Y~(xl9...,хп) совпадают (почти
наверное по лебеговской мере в R"). Поэтому У = E[rj I cr(Bti, ...,Bt )] =
= 0 (Р-п. н.). В силу произвольности tl5..., tn и п тогда заключаем, что
и 7 ='E[rj I ^"7] = ° (Р-п-н-). Но г] является ^-измеримым, а значит,
т? = 0 (Р-п.н.). □
3. Перейдем непосредственно к доказательству свойств А в
теоремах 1 и 2, называемых представлениями Ито.
Это доказательство существенно опирается на данную К. Ито
конструкцию стохастического интеграла и свойство (2) стохастической
экспоненты (1).
Рассмотрим случайную величину X(h) = &T(h), где
<ВД = ехр{ ^hsdBs-\^h]ds\ t<T, (12)
Т
heL2[О, Г], т. е. J h2sds< oo. Тогда по формуле Ито, как уже было
сказано,
t
St(h) = l + ^Ss(h)hsdBs, t^T, (13)
О
и, в частности,
1
X(ft) = l + JHsdBs, (14)
о
где Hs = *s(h)hs.
По линейности интеграла такое представление будет справедливо
и для линейных комбинаций функций вида X(g), где функции g
задаются равенством (5) из леммы 2.
В силу этой леммы для ^-измеримой случайной величины X со
свойством ЕХ2 < оо найдется такая последовательность {gn, п ^ 1}, что
E|X-X(gn)|2^0 при п-> оо. (15)
Для X(gn) мы имеем представление
г
x(gn)=mgn)+\KdBs- (i6)

§ 2. Доказательство утверждений А в теоремах 1 и 2
437
Поскольку в силу соотношения (15) имеем
E№J-X(gm)]2 = E
1
E(x(g„) - x(gm)) + J(h; - н-) dBs
= E(X(gn)-X(gm))2 + jE(H;-Hsm)2ds-0, n,m-+ oo,
о
последовательность {Яп, п ^ 1} является последовательностью Коши в
L2([0, Г] х Г2) и существует (см. гл. XII, § 1) такой прогрессивно
измеримый процесс Я = (Я5(со))5^т, со е Г2, что Нп ^> Н (для всех s ^ Г и
со G ft). Поэтому в силу изометрии (гл. XII, § 1) из (16) получаем, что
г
Х = ЕХ + j^sndBs. (17)
о
Итак, утверждение А теоремы 1 (§ 1) доказано. □
Используя это свойство, легко доказать утверждение А теоремы 2
(§1).
Пусть выполнены предположения этого утверждения. Нам надо
показать, что для броуновского квадратично интегрируемого мартингала
X = {Xt,^)t^T справедливо соотношение
Xt=EX0 + JHsdBs, t^T,
(18)
где Я = (Ht, &?)t^T и Е j Я2 ds < оо.
о
Если в формуле (17) положить T = t, получим, что
t t
Xt = EXt + f Hs(0 dBs = EX0 + f Hs(0 dBs. (19)
о о
Пусть 0 ^ ta < t2- Тогда в силу мартингальности процессах и свойств
стохастических интегралов имеем
Xtl = E(Xt21 ^ ) = EX0 + e( J H™ dBs | ??\ = EX0 + J Hs^ dBs. (20)
В то же самое время
Xti=VX0 + ^H^dBs. (21)

438
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Сравнивая соотношения (20) и (21), получаем, что
rti -|2 h
0 = E\^H^-H^)dBs =§E[H^-H^]2ds. (22)
Lo Jo
Отсюда для (s, со) е [0, tj x П следует, что
Н^\со)-Н^\со) = 0 (23)
(почти всюду по прямому произведению лебеговской меры на [0, tx] и
вероятностной меры на ^).
Из соотношения (23) следует, что существует такая единая
(прогрессивно измеримая) функция Hs(co), s $ t, что Н^\со) = Hs(co) для
любых t ^ Г и со е П. Тем самым для любого t ^ T имеем
t
Xt=VC0 + $HsdBs, (24)
о
что и есть утверждение А теоремы 2. □
По поводу доказательства других утверждений теорем 1 и 2
(включая и многомерный случай) см., например, [259, 313].
§ 3. О стохастических интегральных представлениях
некоторых частичных максимумов броуновского движения
1. Мы рассматриваем броуновское движение В = (Bt)t^0 и
связанные с ним функционалы
ST=supBt (1)
и
ST = sup Bt, (2)
где Г<оо и T_a = inf{t ^0: Bt = —a}, a>0. (Известно, чтоР(Г_а <оо) =
= 1 — см. гл. XI, § 1.) Сразу отметим, что здесь EST < оо, но EST = оо.
Поскольку Law(ST) = Law(|BT|), в случае (1) имеем ES£ < оо для
любого п ^ 1. Согласно утверждению А теоремы 1 из § 1 выполнено
равенство
т
о
§HtdBt, (3)
и наша задача состоит в том, чтобы найти ядро Ht = Ht(co), зависящее,
быть может, еще и от Г.

§ 3. О представлениях максимумов броуновского движения 439
Далее мы показываем, следуя работам [179, 497], что в случае (1)
имеет место представление
О
а в случае (2) — представление
т
1 -а
St_q = - Jlog(l + |)dBt. (5)
о
2. Доказательство представления (4). Если случайная величина £
неотрицательна, то
ОО
о
Поэтому
ОО ОО
ST=[l(a<supBt)da=(l(Ta<T)da, (6)
о ^т о
где Та = inf{t ^ 0: Bt = a}, a > 0. Покажем, что
талт
7(Га<Г) = Р(Га<Г) + 2 J VT_t(Bt-a)dBt. (7)
о
Используя стохастическую экспоненту
*t(A) = eAB«-¥t, (8)
для которой имеет место уравнение
d<?t(A) = A<?t(A) dBt, <?0(А) = 1,
получаем, что
я2 TVAT я2
Е(е"Тт«|^) = е-Яа+А J e^-^"* dB5.
о
Переходя здесь к пределу при t —> оо и учитывая, что Га < оо (Р-п. н.),
получаем, что
т
Я2 р Я2
е"Тт« =е"Яа + Я| e~A(a_BjbTsdB5. (9)
о

440
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Наша ближайшая цель будет состоять в том, чтобы члены вида е~Хс
представить в виде выражений, зависящих от Я2. Тогда все члены в
формуле (9) будут зависеть лишь от Я2 (а не от Я и Я2), что будет
использовано дальше. Я2
Мы знаем, что е~Ха = Ее~~2~ а (§ 1 гл. XI). Поэтому для всякого с > 0
имеем
22 X2
Яе-яс = _|-е-Ас = - А(Ее-т^) = -£ JV T're(0dt, (Ю)
где
Далее,
rc(t) = ftP(Tc^t).
£$e-Y<rcWt = -$e-YXj-crc(t))dt =
о о
00 2 00 2
поскольку
Тем самым
3yt(c) 1 g2yt(c)
dt 2 Зс2 '
я2
О
и, следовательно, из соотношения (9) вытекает, что
E(e-Tr°|jrt) =
= Ее-Тт-+2 J Je-Tu(AVu(a-Bs))du
О L-0
■е 2sdB =
TnAtr
2 *a"4 ^ .2
= Ее-И + 2} Je-T^A^-a^du
О LQ
dBs. (U)

§ 3. О представлениях максимумов броуновского движения
441
Отсюда для достаточно «хороших» и не слишком быстро растущих
функций / =/(х) получаем, что
тпм
Е(/(Гв)|^) = Е/(Гв) + 2 J M/(u + s)(|lVll(Bs-a))du
dBs. (12)
В частности, полагая /(t) = 7(t < Г), приходим к следующему
соотношению:
Т'аГ 00
dBs =
dB< =
т„лт
1{Та < Г) = Р(Га < Г) + 2 JJ/(u + 5 < T)(^U{BS -a))du\
о Lo
ТаГТ-S
= Р(Га<Г) + 2И J -^<pu(Bs-a)du
о L о
т
= Р(Га<Г) + 2 J v>T_s(Bs-a)dBs
которое в точности совпадает с требуемым соотношением (7).
Из этого соотношения находим, что
Sr = supBt = f/(ra<r)da =
00
= Jp(ra<Dda + 2J| J v>T_s(Bs-a)dB;
о о L о
(X) 00 00
= Г p(supBs > a) da + 2 f J Д> < Ta Л T)ipT_5(Bs -a)dBsda =
о S^T oo
T roo
= EsupBs + 2f r/(s<ra)9T_s(Bs-a)da
0 Lo
Troo
= EST + 2 N J Ч>т-и(Ри - d)I{Su < a)da \dBw Ш)
TnAT
da =
s^T
dBs =

442
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Здесь
00 ОО
J 4>т-и№и - a)^Su <d)da= [ ipT-u(Bu -a)da =
о su
oo
00 2
Из равенств (13) и (14) получаем
т
Sr=EST + 2j[l-#(^^)]dBu, (15)
О
откуда и следует представление (4), поскольку EST = Е|ВТ| = J — Т. . П
3. Доказательство представления (5). Рассмотрим некоторую
достаточно «хорошую» неотрицательную функцию / =/(х), для которой
E/(ST ) < оо. (Напомним, что ESr_ = oo; требование «быть хорошей»
на функцию / =/(х) сформулировано далее в формуле (26).)
Обозначим F =f(ST ), и пусть
Ft=E(F|J*B), t^O.
Процесс (Ft)t;?0 является мартингалом (Леви), ср. с § 1 в гл. VIII.
Зафиксируем некоторое t > 0.
Тогда на множестве {со: t < Г_а(со)} имеем
Ft=E[/(S7._e)|^f]=E[/(max(st, sup Ви))|^1
Положим Bu = Bu+t - Bt, u 5? О, и
f_b = inffu > 0: Bu = -b}, b > 0.
Тогда
sup Bu=Bt + sup (Bu-Bt) = Bt + sup (Bu+t-Bt) =
= Bt+ sup (Bu+t-Bt), (16)

§ 3. О представлениях максимумов броуновского движения 443
где последнее равенство следует из того, что на множестве {t < Т_а}
выполнены соотношения
T-(a+Bt) = mf{u ^ 0: Ви = -(а + Bt)} =
= inf{u ^ 0: Bu+t -Bt = -(а + Bt)} = inf{u ^ 0: Bu+t = -a} = T_a - t.
Из формулы (16) получаем, что на этом множестве {t < T_a}
справедливо равенство
Ft = E[/(max(St,Bt + Sf f +в J) | jf ], (17)
где S образовано по В так же, как S образовано по В. Для упрощения
правой части равенства (17) нам понадобится следующая лемма,
которая в несколько иных обозначениях была доказана в § 6 гл. XI, здесь мы
приводим ее для связности изложения.
Лемма. Пусть М = (Mt)t^0 — непрерывный неотрицательный
мартингал, М0 = Ь и Mqo = lim Mt = 0. Тогда
t->00
Law( sup Mt) = Law( ту ), (18)
где U — U [0,1] —случайная величина, равномерно распределенная на
[0,1], т.е.
p(supMt ^ Ь + х) = -гх", х > 0. (19)
t^0 о-1-х
Доказательство. Обозначим Tb+X = inf{t $?0:Mt = b + x} и Mt =
= MtAT . Мартингал М = (Mt)t^0 является ограниченным и сверху, и
снизу (0 ^ Mt ^ Ь + х). Поэтому (§ 1 гл. IX) ЕМ0 = ЕМТь+х, и, значит,
Ъ = ЕМ0 = ЕМТь+х = ЕМТь+х = EMTb+J(Tb+x < оо) =
= (Ы- х)Р(Гь+х < оо) = (Ь + x)p(supMt ^ Ь + х), (20)
что и доказывает равенство (19). □
Применяя эту лемму к Mt = Ъ + BtAT_b, получаем, что
р( sup Bt > х) = p(supMt > b + х) = т^р^,
t^T_
4^0
и, значит,
p(supBt€dx) = ^g7, x^O. (21)
(Ь+хУ

444
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Из соотношений (17) и (21) с учетом независимости броуновского
движения В = (Bu)u^0 от &t получаем, что на множестве {t < Т_а}
выполнено равенство
Ft = J/(max(St,Bt + x))^^, b = a + Bt.
(22)
Отсюда следует, что
St—B, оо
St-Bt
00
о
00
О
г оо -
+ Bt
/CStJ , f /CSt+yJ .
о
00
^) = ^T^ + aj(a + a + y)2dy)
= g(St) + BtKSt}, (23)
/(cr+y)
dy
^> = -^ + 1<£Ш?<И^+'>-/(.)]^
yf
о о
Процесс S = (St)t^0 является процессом ограниченной вариации.
Поэтому из соотношения (23) по формуле Ито следует, что на
множестве {t < Т_а} выполнено равенство
dFt = [gXSt) + Btti(St)]dSt+h(St)dBt. (24)
HoBth\St)dSt =Sth'(St)dSt, поскольку St растет там, neSt —Bt.
Отсюда и из легко проверяемого равенства g'(cr) + crh'fcr) = 0 следует, что
на множестве {t < T__a} справедливы представления
t t
Ft=F0 + Jh(Su)dBu = g(0) + J/i(Su)dBu. (25)

§ 3. О представлениях максимумов броуновского движения 445
Замечание 1. То, что первый член в правой части равенства (24)
равен нулю, можно было бы заметить и без обращения к
проверяемому равенству g'(<j) + crh'fcr) = 0, поскольку процесс F = (Ft)t^0 —
мартингал, а стохастический дифференциал по dBt дает (в интегральной
форме) локальный мартингал.
Из формулы (25) предельным переходом при 11 Т_а получаем
следующий результат. Пусть функция / =/(*), х ^ О, такова, что для а > О,
а ^ О выполнены условия
оо
7—; ;—^2 dy < оо (26)
J (а + сг + у)2 J
о
1 -а
Г h\Su) du < оо (Р-п. н.). (27)
о
Тогда справедливо следующее стохастическое интегральное
представление:
Т-а
f(maxBu) = Ef(maxBu)+ f h(Su)dBu, (28)
E/(maxBu) = J^dy. (29)
где
оо
_af (у)
о
В частности,
т_
о
Именно это отношение нужно нам для получения представления (5).
1 -а
В самом деле, поскольку J dBu = -а, равенство (30) может быть
переписано в виде °
т.,
'(-?«■>•)-j ^*-
(31)

446
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Отсюда следует, что
Sr_a = sup Bu = \l(ST_a > z) dz = - Г Г -^
«—fl 0
=-J
0
Таким образом,
г оо
rl(z<Su)
J a + z
Lo
7(z<Sj
dB„
dz =
dz
rS„
dB,
J J a + z
dB„ =
-J
1 -a
supBu = - Г log(l + ^0 dBu.
loga-^dBu.
П
Замечание 2. Общее представление (28) интересно для нас, в
частности, тем, что из него получается нужное нам соотношение (30),
если в качестве f(x) взять функцию 1{х > z) (для разных z ^ 0).
Однако, глядя на простое представление (30), естественно задать вопрос,, а
нельзя ли было его доказать непосредственно. Оказалось, что это
действительно возможно.
В самом деле, соотношение (30) равносильно тому, что
(a+z)I(iST_a>z) = a+BT_aATz.
(32)
Но это равенство почти очевидно по следующим причинам.
На множестве {ST_a >z} левая часть (32) равна а + z, а правая часть
также равна а + z, поскольку Вт ЛТ = z на множестве {ST > z}. Если
же ST_ ^ z, то обе части (32) равны нулю.
§ 4. Детерминированная и стохастическая замены времени.
Теорема Дамбиса и Дубинса—Шварца
для одномерных локальных мартингалов
1. Ранее мы не раз видели, как (стохастическая) замена времени
дает возможность представить «сложно» устроенный процесс X с
помощью «просто» устроенного процесса, скажем X, и замены времени Т:
Х=ХоТ,
(1)
т. е. Xt =Xf(ty t ^ 0. (Равенство в формуле (1) может пониматься в том
или ином вероятностном смысле: по распределению, с вероятностью 1
и т. п.)

§ 4. Замена времени. Теорема Дамбиса и Дубинса—Шварца 447
Так, например, преобразование Ламперти дало возможность
представить CIR-процесс через квадратичный процесс Бесселя и
детерминированную замену времени (см. § 5 в предыдущей главе).
Среди важных преобразований случайных процессов отметим
также интегральные преобразования
Х=Н-Х, (2)
t
т. е. Xt = J Hs dXs, t ^ 0 (равенство понимается в том или ином вероят-
о _
ностном смысле), где X — процесс, по которому можно определить
стохастический интеграл. (Например, X может быть семимартингалом,
в частности симметричным устойчивым процессом [202] с параметром
а € (0,2], в последнем случае Н — предсказуемый процесс, для которо-
t
го J* |Я5|а ds < оо, t ^ 0; при а = 2 процесс X есть броуновское движе-
о _ _ ^
ние.) Часто Н -X =Х оТ, где равенство опять же понимается в том или
ином вероятностном смысле (скажем, почти наверное).
В приведенных соотношениях (1) и (2) предполагалось, что все
происходит на некотором фильтрованном вероятностном пространстве
(П,^, (^t)t:>o>p)- Есть и другие интересные преобразования, которые
связаны с преобразованием меры.
Типичным примером является результат Камерона— Мартина и Гир-
санова: если В = (£t)t<^T — броуновское движение с мерой Рт, аВя =
= (BtA)t^T, B^ = Xt +Bt, — процесс с мерой Р^;, то
Law(B*, t ^ Г | Р*) = Law(Bt, t^T\ Рг). (3)
Другим подобным примером является так называемое h-преобразо-
ваниеДуба (см., например, [400]).
2. Перейдем к некоторым понятиям и определениям, нужным при
рассмотрении процессов с помощью стохастической замены времени
(типаХ =Х о Т).
Пусть j4 есть множество неубывающих функций / =/(х), t ^ О,
/(0) = 0, являющихся cadlag-функциями, т.е. непрерывными справа
(continue a droite) при t ^ 0 и имеющими пределы слева (Zimites a
gauche) при t > 0. Как всегда, мы полагаем /(оо) = lim f(t).
t—>оо
Функции / класса jrf, вообще говоря, не являются обратимыми в
этом классе. Но тем не менее они имеют непрерывную справа обратную
функцию g = g(s), 5^0, определяемую формулой
g(s) = inf{t^0:/(t)>s}, 5^0.
(4)

448
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Вместо g мы часто будем для этих функций использовать
обозначение f~l. Время t будем называть «старым» (физическим,
календарным) временем. Время 5 назовем «новым» (операционным, бизнес-)
временем.
3. Определение 1. Всякий случайный процесс (в s-времени)
(as = as(со) — случайные величины, заданные на некотором
измеримом пространстве (П,^")), траектории (as)s5>0 которого принадлежат
множеству j#, называется заменой времени (точнее, заменой
s-времени на t-время). Если величины as, s ^ 0, не зависят от со е П, то а
называется детерминированной заменой времени.
Определение 2. Пусть (П,^,(^)^0) — фильтрованное измеримое
пространство. Набор т = (ts)s^0, где случайные величины т5 = т5(со)
являются марковскими моментами ({т5(со) ^ t} € &t, t ^ 0) и при
каждом со € П траектории (т5(со))5^0 принадлежат множеству j4,
называется стохастической заменой времени (точнее, заменой s-времени на
t-время).
Тем самым слово «стохастический» подчеркивает, что замена
времени осуществляется на фильтрованном измеримом пространстве с
помощью марковских моментов ts, s ^ 0.
Если X = (Xt)t^0 — некоторый случайный процесс (в старом t-вре-
мени), то замена времени т = (т5)5^0 порождает процесс (в новом
s-времени) X = (Xs)s^0, где Xs =XT$.
Точно также если F—{^t)t^o — исходная фильтрация, то с помощью
замены времени можно образовать новую фильтрацию F = (3rs)s^>o, где
Если фильтрация F непрерывна справа, то новая фильтрация F
также будет непрерывна справа.
Если процесс X = (Xt)t^0 является F-адаптированным (т. е.
величины Xt являются ^-измеримыми, t ^ 0), то новый процесс X = (Xs)s5>0
будет F-адаптированным.
Определение 3. Пусть т = (т5)5^0 —стохастическая замена време:
ни. Стохастический процессе = (Xt)t^0 называется т-непрерывным,
если траектории (Xt)t^0 непрерывны и на отрезках [ts_,ts], s ^ 0, эти
траектории являются постоянными (Р-п. н.).
4. Наш дальнейший интерес будет связан со специальным
случаем, когда исходный процесс X = (Xt)t^0 есть непрерывный локальный
мартингал М = (Mt)t^0, M0 = 0. Такой мартингал имеет
непрерывную квадратическую вариацию (М) = ((M)t)t^0 (определяемую так,

§ 4. Замена времени. Теорема Дамбиса и Дубинса—Шварца 449
что М2 - (М) есть локальный мартингал). Именно с помощью этой
квадратической вариации (М) мы определяем случайные моменты
Ts=inf{t^O: (M)t>s} (5)
и затем новый процесс X = (Xs)s^0, полагая Xs = XTs, т. е.
XS=MT$. (6)
Как было сказано в п. 2, величину т5 можно записать в виде (М)~ ,
и, следовательно,
Xs=Mm-u (7)
Далее будет показано, что если (М)^ = оо (Р-п. н.), то процесс Xs будет
броуновским движением Bs, s ^ 0, т. е. М^му\ = Bs.
Отсюда, полагая (М)"1 = t, находим, что s = (M)t и, следовательно,
Mt=B{M)t.
Замечание. В дальнейшем нам будет удобно придерживаться
следующих обозначений: (M)t = Tt, (M)~l = т5. Так что
М=ВоТ (т.е. Mt=BTt)
и
В = Мот (т.е. BS = MT).
Такого рода обозначения особенно полезны в многомерных случаях.
Итак, мы дали наводящие соображения к доказательству
следующего утверждения.
Теорема (Дамбис [419], Дубине и Шварц [105]). Предположим,
что М = (Mt)t5>0 — непрерывный локальный мартингал и (М)^ = оо
(Р-п. н.). Тогда процесс М = (Mt)t^0 допускает представление в виде
Mt=B{M)t, (8)
где В = (В5)5^0 — броуновское движение, определяемое как
Bs=M(M);i, (9)
где
(M);1=inf{t ^ 0: {M)t>s}. (10)
Доказательство. После приведенных наводящих соображений
перейдем к строгим доказательствам.
а) Прежде всего мы покажем, что исходный непрерывный
локальный мартингал М = (Mt)t^0 является т-непрерывным, где т = (тД^0 и

450
Гл. XIX. О стохастических представлениях
т5 = inf{t ^ 0: (M)t > s}, т. е. замена времени строится по квадратиче-
ской характеристике (М) процесса М. (В силу предположения {М)00 =
— оо (Р-п. н.) все величины т5 конечны (Р-п. н.).)
Отметим, что для s > 0 величины т5 имеют вид
T5=inf{t^0: {M)t=s}.
В силу непрерывности процесса М и cadlag-свойства процесса т =
— (Ts)s^o процесс (Мт)5^о также будет cadlag-процессом, т. е.
непрерывным справа и имеющим пределы слева. Поэтому для т-непрерывности
надо показать, что Мт^_ = Мт$ для всех s > О (Р-п. н.). (Это свойство
сильнее свойства Мт _=МТ (Р-п. н.) для каждого s > 0. Чтобы в этом
убедиться, рассмотрим функции Хевисайда Я = H(s, со), где 5 е [0,1]
и со € [0,1] имеет равномерное распределение U = [/[0,1], т. е. пусть
/0, s<co,
H(s, со) = \
[1, s^co.
Тогда при каждом s е (0,1] имеем H(s—, со) = H(s, со) (Р-п. н.), но в то
же время глобально, т. е. для ecexsG (0,1], (Р-п. н.) свойство H(s—, со) =
= H(s, со) не выполнено.)
Чтобы установить глобальность свойства Мт = Мт$ (для всех s > О
(Р-п. н.)), поступим следующим образом.
С помощью локализирующей системы марковских моментов
локальный мартингал М может быть превращен в ограниченный
мартингал (с сохранением свойства непрерывности). То же верно и для
квадратической характеристики (М).
Возьмем рациональное число г е Ш+ и образуем N^ = Mt+r — Mr,
t ^ 0. Процесс N^ = (Nf )t^0 будет мартингалом (непрерывным), и
его квадратическая характеристика имеет вид {N^)t = {M)t+r — (M)r.
Для рассматриваемого г введем марковский момент
Гг = inf{t ^ 0: (N(r))t > 0} = inf{t > 0: (M)t+r - (M)r > 0}.
Тогда остановленный процесс 0\дТ )t^0 есть непрерывный
квадратично интегрируемый мартингал, выходящий из нуля, и {N^)tAT =0
(Р-п. н.) для всех t ^ 0. Значит, ЛГ^Т = 0 (Р-п. н.) для всех t ^ 0, т. е.
MtATr+r-Mr = 0 (Р-п.н.)
для всех t ^ 0, или
MtArr+r=Mr (Р-п.н.).

§ 5. Теорема Найта, тождество Бужероля, теорема Монро 451
Это свойство означает, что на интервале [г,Тг + г] процесс М не
меняет (Р-п. н.) своих значений. Иначе говоря, интервал [г, Гг + г] для
всякого рационального rGl+ есть интервал постоянства.
Множество всех интервалов [т5_,т5], s > 0, есть замыкание
счетного числа интервалов вида [г, t + Гг], где геЕ+, на которых М не
меняет своих значений. Значит, и интервалы [т5_, т5], s > О, являются
такими, что Мт$_ = Мт$, s > 0 (Р-п. н.), т. е. М является т-непрерывным.
Проведенное доказательство показывает, что у непрерывного
локального мартингала М интервалы постоянства мартингалов М и
(М) совпадают.
б) Величины МТ& являются ^-измеримыми, и относительно
фильтрации (^)5;>о процесс (Мт)5^0 есть непрерывный мартингал, у
которого (М)т =5.
в) Следовательно, по теореме Леви (гл. X, § 2) процесс
Bs=MTs, 5^0, (11)
является броуновским движением.
г) Для доказательства того, что
Mt=B{M)t, t^O, (12)
надо заметить лишь следующее.
Мы имеем BWf = Мт . Поскольку М является т<м>-непрерывным,
имеем Mt = МТ = £<M)t> что и требовалось доказать. □
В качестве заключения этой теоремы отметим, что ее важность
состоит в том, что изучение непрерывных локальных мартингалов может
быть сведено (стохастической заменой времени) к исследованию
броуновского движения.
§ 5. Теорема Найта для многомерных локальных мартингалов.
Тождество Бужероля. Теорема Монро для семимартингалов
1. Теорема Дамбиса и Дубинса—Шварца допускает многомерное
обобщение, данное Ф. Б. Найтом (F. В. Knight) [210].
Пусть М = (М1, ...,Md) является непрерывным d-мерным
локальным мартингалом с тем свойством, что квадратические ковариации
(М\Mj) при i Ф j равны нулю, М10 = 0, (Mf>00 = оо.
Теорема Найта утверждает, что найдется такое d -мерное
броуновское движение В = (В1, ...,Bd), что
М'"=В'"оГ, i = l,...,d, (1)
где Т1 = (М().

452
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Сразу заметим, что, вообще говоря, в этом утверждении
стохастическая замена времени своя по каждой координате. В этом смысле в
многомерном случае нет единого (операционного, бизнес-) времени.
По каждой координате это время свое. (Впрочем, см. далее случай d = 2
в § 1 гл. XX.) Броуновские движения В1, ...,Bd независимы.
2. Установив, что непрерывные локальные мартингалы (М) могут
быть представлены как броуновское движение (В) в новом времени
(Г), т. е. как М =В о г, естественно поинтересоваться вопросом о том,
а какие вообще процессы (и в каком смысле) могут быть получены из
броуновского движения соответствующей заменой времени.
Начнем с интересного случая, известного как тождество Бужероля
(Ph. Bougerol). (По поводу этого тождества и исходных предположений
см. [42, с. 75].)
Пусть Xt = shBt, t ^ О, где
Рх _ р-х
shx=e—^—. (2)
Пусть также В = (Bt)t^0 — исходное броуновское движение и
t
Tt(B) = jVB'ds. (3)
о
Тождество Бужероля утверждает, что можно найти такое новое
броуновское движение /3 = (j3t)t>0, что для каждого t ^ О выполняется
равенство
shBt = 07.t(B), (4)
т. е. по распределению (для каждого t ^ 0) shBt и ^(в) совпадают.
Свойство (4), записанное в виде
напоминает результаты теоремы Дамбиса и Дубинса—Шварца и
теоремы Найта, но процесс X = (Xt)t^0 заведомо не является локальным
мартингалом. (Заметим, что E(Xt \ &f) =Xse2 l s , причем Xt
принимают как положительные, так и отрицательные значения.)
Доказать тождество (4) можно на основании формулы Ито и свойств
решений стохастических дифференциальных уравнений (гл. XXXIV).
По формуле Ито имеем
dXt = \xtdt + ^l+X?dBt. (5)

§ 5. Теорема Найта, тождество Бужероля, теорема Монро
453
Из свойств стохастических интегралов и теоремы Дамбиса и Дубин-
са—Шварца для некоторого броуновского движения а = (as)s^0, не
зависящего от броуновского движения В = (Bt)t>0, имеем
t
£Tt(B) = j>das. (6)
О
Поскольку
\e»>das^e»'\e-B>das (=:Rt),
О О
опять же по формуле Ито получаем
dRt = \Rt dt + (Rt dBt + dat) = }^Rtdt+ ^R2t + \d5t, R0 = 0, (7)
где 5 = (5t)t>0 есть новое броуновское движение, не зависящее от В
и а.
Сравнивая соотношения (5) и (7), видим, что X и R
удовлетворяют одному и тому же стохастическому дифференциальному уравнению
(с липшицевыми коэффициентами). Тем самым при каждом
фиксированном t ^ 0 выполнено равенство
Xt =Rt,
а это и есть соотношение (4).
Замечание 1. Также можно доказать, что
sh|Bt| = |j8|Tt(B) (8)
и
sh(supBs) = sup p5. (9)
s^t y s^Tt(B)
3. Из уравнения (5) видим, что процесс X = shB не является
локальным мартингалом: помимо локального мартингала (с
дифференциалом у/\ + X2dBt), он содержит еще и член, являющийся
процессом ограниченной вариации (с дифференциалом ^Xtdt). Иначе
говоря, этот процесс является семимартингалом [190]. Так что возникает
естественный вопрос: а не верен ли результат типа (4) для
произвольных семимартингалов? Оказывается, это действительно так, что было
показано И. Монро [258] в 1978 г. (Результат Бужероля был
опубликован в 1983 г., результаты Дамбиса и Дубинса—Шварца опубликованы в
1965 г.)

454
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Теорема (Монро). Если X = (Х^^ — семимартингал, то на
некотором фильтрованном вероятностном пространстве найдутся такое
броуновское движение В = (Bt)t^0 и такая замена времени Т = {Tt)t^0)
что X = В о Т (в слабом смысле), т. е. при каждом t ^ 0 выполняется
равенство
Xt=BTr (10)
(Доказательство см. в [258].)
Замечание 2. Вообще говоря, представление (10) (с броуновским
движением) далеко не однозначно. Например, пусть N — (Nt)t^0
—считающий процесс (с кусочно постоянными траекториями, выходящими
из нуля и имеющими скачки размера +1) с компенсатором Л = (At)t^0
(см. [245^гл. Ш, § 4])^ Тогда если А00 = оо и ts= inf{t ^ 0: At > s}, то
процесс N = (Ns)s^0? Ns = NT , будет стандартным пуассоновским
процессом и сам процесс N = (Nt)t^0 допускает представление (ср. с (10))
Nt=NTt,
где Tt = (M)t, (M)t = /(1 - AAs)dAs =At - S(AAS)2.
0 s^t
4. А. А. Гущин и М. А. Урусов [417] нашли аналог результата (10) для
случая неотрицательных семимартингалов X. Оказалось, что можно
заменить броуновское движение В на геометрическое броуновское дви-
в -I
жение St{fi) = e ' 2, t^0:
Xt = STt{B\ t^0. (11)
§ 6. Вложение Скорохода (последовательности случайных
величин в броуновское движение)
1. Все предшествующие результаты (Дамбис, Дубине—Шварц, Найт,
Бужероль, Гущин—Урусов) и многие другие являются так или иначе
распространениями известного результата о «вложении» (embedding)
А. В. Скорохода, вошедшего в его докторскую диссертацию,
опубликованную в виде книги в 1961 г. [469].
Вопрос ставится так. Пусть X — случайная величина (на некотором
вероятностном пространстве (Q,^",P)),
ЕХ = 0, ЕХ2<оо. (1)
Цель А. В. Скорохода состояла в том, чтобы показать, что
существуют такое броуновское движение В = (Bt)t^0 и такой момент останов-

§ 6. Вложение Скорохода
455
ки Т (относительного броуновского движения или броуновского
движения и рандомизации), что
Х=ВТ. (2)
Существует много доказательств этого свойства, включая,
разумеется, и доказательство Скорохода (с рандомизацией; см. замечание
в конце этого пункта). Значительную информацию можно найти в
обзорной статье [277]. Дж. Дуб привел простое доказательство
свойства (2), но с таким Т, что ЕТ = оо. Состоит это доказательство в
следующем.
Пусть F(x) = Р(Х ^ х), х е R. Предположим, что функция F = F(x)
является строго возрастающей и Ф = Ф(х) — функция нормального
распределения. Положим g(x) = (F-1 о Ф)(х), т. е. пусть g(x) = Р~г(Ф(х)).
Если В = (Bt)t^0 ~~ броуновское движение на некотором
вероятностном пространстве (ft, &, Р) и
T = inf{t^l:Bt=g(B1)},
тоР(Т<оо) = 1 и (Р-п.н.)
BT = g(B2), (3)
где мы считаем, что Вт(со) = 0на множестве {со: Г (со) = оо}. Поскольку
P(g(Bi) ^ *) = ^"1(Ф(В1)) ^х) = Р(В2 ^ Ф"Ч^(х))) =
= ф(ф-1№))) = г(х),
получаем, что g(B2) =Х, и в силу соотношения (3) имеем
Х=ВТ. (4)
К сожалению, момент остановки Т является «плохим», поскольку ЕТ =
= 00.
Первоначальная процедура А. В. Скорохода построения такого
момента Т, что для случайной величины X (на (Г2, <^,Р)),
удовлетворяющей условиям ЕХ = О, ЕХ2 < оо, выполнено (важное для многих целей,
в частности, для доказательства многих предельных теорем)
соотношение
ЕТ = ЕХ2 < оо, (5)
была иной.
Исходным моментом было следующее наблюдение. Пусть
случайная величина X принимает лишь два значения а и Ь, а <0 <Ь. Если
ЕХ = 0, то хорошо известно (теорема 4 в § 2 гл. IX), что
*х = ^ = тгь> ^ = ь) = ]5!ть-

456
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Возьмем произвольное броуновское движение В = (Bt)t^0 и введем
момент остановки
Tajb=mf{tZO:Bt£(a,b)}.
Тогда, очевидно, ВТаь =Х, при этом по второму тождеству Вальда (§ 2
гл. IX)
ЕТагЪ=ЕВ* =\а\Ъ.
' 1а,Ь
В общем же случае на каком-то вероятностном пространстве (ft, &, Р)
строится (по функции распределения F{x) = Р(Х ^х)) такая пара
случайных величин U = U{а>) и V = V(d>), что для момента
Тиу = inf{t ^ 0: Bt(co) ф (U((b), V(co))}, (6)
где В = (Bt(co))t^0 ~~ броуновское движение (скажем, на том же
вероятностном пространстве (ft, ^, Р), на котором задан X), выполнены
соотношения
Вт =Х (7)
иЕТ^у=ЕХ2<оо.
Построение пары величин (£/(<£>), V(со)) производится следующим
образом. В качестве ft берется R2 с борелевской ст-алгеброй & = &(R2)
и затем Р, U((b), V((b) берутся такими, что
P(«/,V) = (0,0)) = F({0}),
J J (v-u)dF(u)dF(v)
P((17, V) € A) =a^^ ,
jvdF(v)
о
гдеАе^Ш2).
Момент TUfV = Га v(co, d)) определен на произведении пространств
(ft,^,P) х (ft,^,P). Затем показывается, что (Р х Р)-распределение
BTuv^^{(o) совпадает с Р-распределением случайной величины X (т. е.
выполнено соотношение (7)). (Подробности см., например, в
работе [277].)
Замечание. Построенный момент Tuv((o,(b) определен на
произведении пространств (ft, J*",P) х (ft,#~,P), хотя X и броуновское
движение В мы определяли на (ft, &, Р). В этом смысле введение
дополнительного пространства (ft, ^, Р) означает, что для получения
представления (7) были привлечены рандомизированные моменты остановки
(т. е. зависящие еще от вспомогательного пространства (ft,<^,P)).

§ 7. О преобразованиях вида X =f оТ +ВоТ
457
2. Сформулируем теперь результат А. В. Скорохода, который
вытекает из представления (7) и который оказывается полезным, например,
при доказательстве предельных теорем.
Теорема [469, гл. 7, § 2]. Пусть ХЪХ2,...—независимые
одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним и единичной
дисперсией. Положим
Sn=Xl^X2 + ...^Xni п^\.
Тогда существуют такое броуновское движение и такая
последовательность (вообще говоря, рандомизированных) моментов остановки
Т0 = О, ТЪ Г2,..., что для любого п ^ 1 выполняется равенство
Sn=BTn (8)
и Тп — Тп_ъ п ^ 1, являются независимыми одинаково
распределенными величинами.
Доказательство. Пусть (1/а, Уа), (£/2, V2),... являются независимыми
и одинаково распределенными с тем же распределением, что и ([/, V)
в (6). Тогда требуемые моменты Тп) п ^ 1, строятся по формулам
Гп = inf{t > Г„_1:В, -BVl *(l/n,Vn)}. D
§ 7. О некоторых преобразованиях вида Х = f оТ +ВоТ,
представляющих интерес для математической статистики
и финансовой математики
1. В гл. XVII рассматривался процесс Орнштейна—Уленбека V =
— (У(О)г^о (уравнение (1) в § 3 гл. XVII), который был представлен в
виде V(t) = /(t) 4- g(t)£(T(t)), где T(t) — детерминированная замена
времени (см. формулу (7) в § 3 гл. XVII) и функции /(t) и g(t) были в
явном виде выписаны. Этот процесс не является локальным
мартингалом, что и объясняет появление (помимо B(T(t))) также еще функций
/(t)Hg(t).
В этом параграфе мы будем заниматься не тем, когда заданный
процесс X = (Xt)t^o может быть представлен как броуновское движение с
заменой времени (с некоторыми множителями и слагаемыми,
зависящими от t), а тем, какие процессы X могут так получаться.
Чтобы сделать изложение более прозрачным, мы будем сейчас
рассматривать представления вида
Xt=at + hT(t) + cB(T(t)) (1)
или вида
Xt = a(t) + Ь(ОГ(0 + с^ЖТШ (2)

458
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Подробное изложение вопроса о том, какие процессы X таким
образом могут появляться, см. в книге О. Барндорфф-Нильсена и
автора [25]. Там же разобран случай, когда вместо броуновского движения
рассматриваются процессы Леви.
Пример 1. Пусть Г = T(t), t ^ 0, — детерминированная,
неубывающая, непрерывная справа замена времени, Г(0) = 0. Если В = (Bt)t^0 —
броуновское движение, то, очевидно, процесс Xt = ВТ^, t ^ 0, будет
гауссовским, непрерывным справа процессом, для которого EXt = 0,
EXt2 = T(t) и характеристическая функция имеет вид
Еевд-ад==е-¥аа)-ш)_ (3)
Если же Г = T(t), t ^ 0, является случайной заменой времени, не
зависящей от броуновского движения В = (Bt)t^0, то процесс Xt = Вт^,
t ^ 0, будет условно гауссовским и
Е[е^-Х^т]=е"1(™5)), (4)
где^т = ст(Г(0,^0).
Пример 2. Пусть В — {Bt)t^ — такое броуновское движение, что
В0 = 0, EBt = 0, ЕВ2 = 2t. Будем предполагать, что Г = (Г(0)^0 яв_
ляется субординатором (т.е. неубывающим процессом Леви), не
зависящим от В. Тогда если этот субординатор является -^-устойчивым
процессом (0 < а < 2) и
ТО
Ееавпо = Е[Е(е1'явпо | r(t))] = Ее"Т2Т(0 = Ее"*2™ = е"я\
Таким образом, процесс Xt = BT^, t ^ 0, является симметричным
а-устойчивым процессом Леви.
Пример 3. Рассмотрим две безгранично делимые случайные
величины тг и т2, являющиеся неотрицательными и такие, что
Law(T]) является обратно гауссовским распределением IG(a,/3) с
плотностью

§ 7. О преобразованиях вида X =f oT + B оТ 459
Й
Law(T2) является положительным гиперболическим распределением
РН(а,/3) с плотностью
"а
ь-ю-щзщ'-^- ■>•• ">°- («
где ^(х) —модифицированная функция Бесселя третьего рода
индекса 1. Безграничная делимость величин т2 и т2 доказана в работе [23].
Тем самым можно определить два процесса Леви Г1 = (r1(t))t^0 и
72 = (r2(t))t;>Q, обладающих тем свойством, что
Law(r2(l)) = LawO1) и Law(T2(l)) = Law(42).
Возьмем теперь броуновское движение В = (Bt)t^0, не зависящее от Г1
и Г2, и определим два процесса
Х^сцГ + Ь^СО + ВтЧО
и
Xt2 = a2t + b2r2(t) + BT2(t).
Эти процессы, являющиеся процессами Леви, имеют специальные
наименования [25]:
X1 — нормальный обратно гауссовский процесс (обозначаемый N о IG)
и
X2 — гиперболический процесс (обозначаемый Н или N о Я+).
Пример 4. Пусть субординатор Г = (T(t))t^0 является
гамма-процессом, т. е. положительным неубывающим процессом Леви
(субординатором), для которого вероятностная плотность определяется гамма-
плотностью
ГаУ
Pni)(s) = TMsV~le 2' a^0' v>0' s>a
Характеристическая функция величины Т(1) имеет простую
структуру:
Пусть теперь броуновское движение В = (Bt)t>0 и Г = (Г(0)
висимы и
Xt = at + br(t) + Bno. (7)
Этот процесс является процессом Леви и имеет специальное
наименование — VG-процесс (т. е. Variance Gamma process).

460
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Такой процесс, так же как и введенные выше процессы N о ю и
N о Н+, находит широкое применение в математической статистике,
финансовой математике и др. Подробную информацию об этих
процессах и процессах, допускающих представления типа (7), см. в книге [25].
§ 8. О представлении гауссовских процессов, эквивалентных
броуновскому движению, с помощью стохастических
интегралов типа Вольтерра
1. Броуновское движение В = (Bt)t^T является гауссовским
процессом, и с его помощью можно получать разнообразные гауссовские
процессы.
Одним таким примером являются процессы X = (Xt)t^T>
получаемые из В = (Bt)t<:T посредством броуновских стохастических
преобразований Фредголъма:
т
Xt = jV(t,s)dBs, t^T, (1)
о
rfleFGL2([0,T]2).
Другим примером являются процессы, получаемые с помощью
преобразований Вольтерра:
t
Xt = $F(t,s)dBs, t^T, (2)
о
получаемые из (1), если F(t,s) = 0 при s> t.
Хорошо нам известный броуновский мост X = (Xt)t^T, X0 = 0,ХТ =
= 0 (см. гл. VII), может быть представлен в виде
t
xt=\^y^-sdBs, t<T, (3)
о
гдеХг = 0. Интегрированием по частям можно убедиться, что этот
процесс может быть представлен и так:
X^Bt-^n^dBAds, t<T. (4)
Это представление является частным случаем представлений вида
Xt=Bt-ti§F(.s,u)dBu)ds, (5)

§ 8. О представлениях типа Вольтерра
461
т. е. представлений, получаемых из броуновского движения и
стохастических преобразований Вольтерра.
Можно, конечно, желая получить гауссовские процессы из
броуновского движения, рассматривать и представления с помощью
стохастических преобразований Фредголъма, скажем,
Xt=Bt-Jf ^F(s,u)dBu)ds. (6)
Очевидна разница в этих представлениях. В формуле (5)
величина Xt выражается через значения Ви при и ^ t,а в формуле (6) —через
значения Ви при и ^ Т (т. е. с упреждением).
2. Перейдем к некоторым определениям.
Пусть (ft, &, Р) — вероятностное пространство и X = (Xt)t^T — гаус-
совский процесс, определенный на этом пространстве. Напомним, что
гауссовость означает, что для любого набора моментов времени 0 ^
^ tx < t2 < ... < tn ^ Т и любого п ^ 1 совместное Р-распределение
величин Xt ,Xt , -.-,Xtn является n-мерным гауссовским распределением,
или, что равносильно, для любых действительных аь i = 1, ...,п, слу-
п
чайная величина ^ аА, имеет гауссовское (нормальное) распреде-
ление. (Видимо, Ф. Гальтон и К. Пирсон (F. Galton, К. Pearson) были
первыми, кто использовал термин нормальное распределение.)
Будем сейчас считать, что X = (Xt)t^T — гауссовский процесс,
заданный на вероятностном пространстве (ft, &, Р) и имеющий
непрерывные траектории, и пусть &* — a(Xs,s ^ t), t ^ Г. Предположим,
что существует вероятностная мера Р, взаимно абсолютно
непрерывная с мерой Р (обозначение: Р ~ Р) и такая, что процесс X = (Xt)t^T,
рассматриваемый на (ft,&\(^f)t^T>Р)> является броуновским
движением. (Определение броуновского движения на фильтрованных
пространствах дано в § 4 гл. IV.)
Определение. Если случайный гауссовский процесс X = (Xt)t^T,
рассматриваемый на (ft,^,(^)t^T,P), является броуновским
движением, то говорим, что процесс X эквивалентен броуновскому движению
(или, для краткости, является В-эквивалентным процессом).
Приводимый сейчас результат был получен в 1968 г. М. Хитсуда [175].
Теорема, а) Необходимость. Если непрерывный гауссовский
процесс X = (Xt)t^T, заданный на вероятностном пространстве (ft,&,V\
имеет нулевое среднее, EXt = 0, и существует такая мера Р ~ Р, что
процесс X = (Xt)t^T, рассматриваемый на фильтрованном простран-

462
Гл. XIX. О стохастических представлениях
стве (n,^",(^"tx)t^T,PX является броуновским движением, то на
фильтрованном пространстве (ft,^", (^f)t^T,P) найдется такое
броуновское движение В = (Bt)t^T, что процесс X = (Xt)t^T допускает для
каждого t^T представление (Р-п. н.)
Xt=Bt-tf$F(s,u)dBu)ds
(7)
с ядром Волътерра F = (F(s, и), s, iz ^ Г) е L2([О, Г]2).
б) Достаточность. Если В = (Вt)t^T —броуновское движение,
заданное на некотором фильтрованном вероятностном пространстве
(^J^(^t)t<:T,P), и F = F(t,u) — ядро Волътерра, F e L2([0,T]2), то
гауссовский процесс X = (Xt)t^T, допускающий представление (7),
является В-эквивалентным процессом, т. е. найдется такая мера Р ~ Р,
что процесс X = (Xt)t^T, рассматриваемый на (ft, &, (&f )t^T, Р),
является броуновским движением. В качестве такой меры Р можно взять
меру с плотностью Радона—Никодима
5р=ехр-
j[ jF(5,u)dBujdBs-|jf §F(s,u)dBu) d5
Мы не приводим доказательство этой теоремы, данное в [175].
Отметим лишь, что существенным моментом в этом доказательстве
является использование теоремы Гирсанова (гл. X, § 3, замечание 1), из
которой следует, что мера (лх процесса X и мера (лв процесса В таковы,
что производная Радона—Никодима (на [0, t]) имеет вид
Д jFCs.uJdBjdB,-^! jF(s,u)dB„j ds\ (8)
О VQ
(см. гл. X). Заметим, что здесь Bt являются ^-измеримыми, t ^ Г, что
важно для справедливости этой формулы.
Замечание 1. В теореме предполагалось, что EXt = 0, t ^ Т. Если
этого предположения не делать, то найдется такое а = a(t), t ^ Т,
а е L2[0, Г], что (ср. с формулой (7))
Xt=Bt- Jf JV(5,ii)dBu ds - Ja(s)ds, (9)
о Vq У о

§ 9. О представлениях типа Фредгольма
463
а вместо формулы (8) мы получим формулу
-|jMF(s,i/)dBu+a(s)j ds\. (10)
Замечание 2. Подчеркнем, что если результаты Карунена—Лоэва
и Мерсера относились к представлениям процессов и ковариационных
функций в пространстве L2, то результаты Хитсуда и Шеппа относятся
к представлениям гауссовских процессов и их ковариационных
функций в предположении, что мера этих процессов эквивалентна винеров-
ской.
§ 9. О представлении гауссовских процессов посредством
замены времени, стохастических рядов и стохастических
интегралов типа Фредгольма
1. Гауссовский процесс X = (Xt)t^T с точки зрения его
конечномерных распределений полностью характеризуется своим средним
значением m(t) = EXt и ковариационной функцией R(s, t) = cov(Xs,Xt):
R(s, t) = E((XS - m(is))(Xt - m(t))). (1)
Эта функция симметрична и неотрицательно определена:
£ £ XiKst, tj)xj Z 0, (2)
где n^l, х{еШ,1 = l,...,n.
В случае броуновского движения В = (Bt)t^T средние EBt равны
нулю и cov(Xs,Xt) = min(s, t) (=5 Л t).
2. Один из первых результатов о построении процессов с помощью
(детерминированной) замены времени в броуновском движении был
получен Дж. Дубом в статье «Эвристический подход к теоремам
Колмогорова—Смирнова» [103].
Пусть X = (Xt\^T является гауссовским процессом с
ковариационной функцией
R(s,t) = u(s)v(0, s^t^T, (3)
и средним EXt = m{t). Предположим также, что -j-z является
неубывающей функцией. Тогда процесс X = (Xt)t^T может быть представлен с

464
Гл. XIX. О стохастических представлениях
помощью некоторого броуновского движения В = (B(t))t^T в виде
Xt = v(OB(^) + m(t). (4)
(Равенство понимается в смысле совпадения конечномерных
распределений левой и правой частей; аналогичное соглашение принимается
и далее в этом параграфе.)
Устанавливается свойство (4) простым подсчетом ковариационных
функций левой и правой частей. Если предполагать, что функция —г^-
является неубывающей, то аналогично формуле (4) получим
представление
Xt = H(t)B(^) + m(t). (5)
В работе [287] Ч. Парк (С. Park) показал, что представления (4) и (5)
можно обобщить следующим образом.
Пусть ковариационная функция имеет следующий вид:
{г л г л {г л "(5) ^ "(f) 1
u{s)v{t) на множестве \ (s, t): -т-т ^ —г^- г,
(Л v(s) v{t)r
u(t)v(s) на множестве |(s, f): ^) > ^j/•
Тогда
Xt = v(t)B(^) + m(t) = "(t)B(^) + m(t). (7)
Это опять проверяется подсчетом соответствующих ковариаций.
Предположим теперь, обобщая соотношение (7) (см. [287]), что
ковариационная функция процессах имеет следующий вид:
00
R(s,t) = Ylu*(s)v*(t), (8)
1 = 1
где
i/;(s)v;(t) на множестве i (5, t): —гт- ^ —г^- \,
i/z(t)vt(5) на множестве |(s, t): ^ > ^) }•
Тогда по аналогии с представлением (7) получим
Xt = | VjCOB^) + m(t) = t uMB^) + m(t), (9)
где Bi9 i ^ 1, являются независимыми броуновскими движениями.

§ 9. О представлениях типа Фредгольма
465
Ряды в (9) сходятся в среднеквадратическом, поскольку, скажем,
i=n l'^ J J i=n
при n,m-^oo и, таким образом, требуемая сходимость выполнена по
критерию Коши и в силу полноты пространства L2.
Следствие. Если ковариационная функция имеет вид
00
Ж*, 0 = 2 A^-CsMO, А; £ 0, (10)
1=1
то
00
*t = 2 у[ь{иМв{(Х) + m(t). (ii)
3. Представление (11) дает возможность получить следующий
результат, сходный с теоремой Карунена—Лоэва (см. [401, гл. VII]) о
представлении (общих) квадратично интегрируемых процессов с
помощью интегралов по процессам с независимыми приращениями.
(Интегралы, вообще говоря, не являются интегралами типа Фредгольма,
поскольку берутся по всем значениям из R = (-оо, оо).)
Пусть непрерывная ковариационная функция R(s, О (на [О, Г]2)
допускает разложение Мерсера (J. Mercer, 1883—1932) в билинейный ряд:
00
^(5,0=2^^(5)^(0, (12)
i=l
где c^j(t) —ортонормированные собственные функции R(s, О и А; — ее
собственные числа, Х{ ^ 0 (в силу неотрицательной определенности
R(s, 0). См. [401, гл. VII, теорема 18].
Из соотношений (10) — (12) находим, что
оо —
*t = 2v^¥>i№U) + m(0. (13)
i=l
Функции 4>{(t), t^T, являются ортонормированными, поэтому (по
распределению)
т
Bf(l) = J^(5)dB(5), (14)
о
где В = (B(s))s^T —некоторое броуновское движение, одно и то же для
всех i ^ 1.
Из соотношений (13) и (14) следует, что
т
00 /— Г
*t = 2 VA^iCO ^-(5)dB(5) + m(0. (15)
''=1 о

466
Гл. XIX. О стохастических представлениях
Полагая
00
пм)=х;\/А^ам(5), сад
получим
Xt = J"F(t,s)dB(s) + m(0. (17)
о
(Ряд в формуле (16) сходится по 5 в L2[0, Г]; интеграл в формуле (17)
понимается как интеграл Винера, см. гл. XII, § 1.)
Замечание. Вместо непрерывности функции R(s, t) достаточно
требовать лишь ее квадратичной интегрируемости на [О, Т]2.
4. В работе [326] Л. Шепп получил следующий важный результат.
Пусть X = (Xt)t^T — гауссовский процесс. Предположим, что мера
[лх этого процесса взаимно абсолютно непрерывна с броуновской
мерой [лв (обозначение: (лх ~Мв)- Тогда ковариационная функция R(s,t)
процесса X необходимо имеет следующий вид:
s t
R(s,t) = min(s,t)- Г (V(u,v)dudv, (18)
о о
где K{u,v) — симметричное ядро, принадлежащее L2([0, Т]2) и имеющее
спектр
а(К) = I A: f K(t,иШи)du = Xip(t), гр е L2[0, Г] I с (-оо, 1).
00
Пусть ][] ^i^t(.u)^i(v) есть разложение Мерсера ядра К{и, v). Тогда
в соответствии с результатом Л. Шеппа (18) имеем
s t
R(s, 0 = min(s, t) - Г \K(u,v)dudv =
о о
st s t
= 2 J J *M"M(v)dudv-£j J A^MOO dudv =
1-1 0 0 l_10 0
5 t
i=1 о о V l=1 y
где у,: = 1 - Aj > 0.

§ 9. О представлениях типа Фредгольма
467
Следовательно, согласно соотношению (13) получаем
^t = 2v^(j^(v)dvjBl-(l) + m(0,
т
где Bf(l) = J '0[(5)dB(5). Поэтому
о
т
Xt = jF(t,s)dB(5) + m(t), (19)
где
г
00 л
ПМ) = 2 v^O) Vi(v)dv. (20)
i=1 о
oo oo T T
При этом Yt = 1 - К > 0 и 2(1 - Ti)2 = Ё Af = j JK(u,v)dudv < oo.
i=l i=l О О
На самом деле имеет место и обратный результат, в соответствии
с которым из представления (19) со сформулированными условиями
вытекает свойство (Лх ~ /хв. (См. детали в работе [326].)

Глава XX
О плоском (двумерном) броуновском движении
и его связи с комплексным анализом
§ 1. Конформная инвариантность П. Леви
1. Теорема Найта (гл. XIX, § 5), обобщающая теорему Дамбиса и Ду-
бинса—Шварца (гл. XIX, § 4), гласит, что всякий d-мерный
непрерывный локальный мартингал М = (М1, ...,Md) может быть представлен в
виде (В*15 ...9Bjn)9 где у каждой компоненты своя замена времени.
Существует, однако, важный случай размерности d = 2, когда
возможны представления, где замены времени Г1 и Г2 одни и те же. При
этом здесь оказывается полезным обращение к комплекснозначным
процессам.
2. Начнем с некоторых напоминаний относительно формулы Ито.
Предположим, что В = (В1, ...,Bd) — стандартное d-мерное
броуновское движение nf=f(t,x), t^0,xeld5 является непрерывной
функцией, которая к тому же непрерывно дифференцируема по t и дважды
непрерывно дифференцируема по х (J e С1'2). Тогда формула Ито
говорит, что
t t d
/(t,Bt)=/(0,B0) + J(^ + |A)/(s,BJ)ds + j2^:(s,BJ)dB;, (1)
о о l_1 '
где
i=l UXi
— оператор Лапласа.
Из формулы (1) видим, что процесс
t
Mf=/(t,Bt)-/(0,B0)-J(^ + |A)/(s,Bs)ds, tS>0, (2)
о

470
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
таков, что
t d
Mft=\Ti^s,Bs)dBis, f^O, (3)
и, следовательно, является локальным мартингалом (гл. VIII, § 1). Если
3f
частные производные -~—, i = 1, ...,d, например, ограничены, то
процесс Mf — (Mj )t^0 будет мартингалом.
Каждый локальный мартингал
t
M{* = l^{s,Bs)dB\ (4)
0
с (М^1)^ = оо может быть представлен (по теореме Дамбиса и Дубин-
са—Шварца) в виде
!{±(s,Bs)) ds
О i
т.е. как некоторое броуновское движение В1 — (Blt)t^o,
рассматриваете ^/ Л2
мое в новом времени J l^—(s,Bs)J ds. Поскольку квадратические ха-
о '
рактеристики (M^,l}M^,j) равны 0 при i Ф), можно было бы
воспользоваться и теоремой Найта (гл. XIX, § 5) (опять же в предположении, что
(Mf>i)OQ = oo).
3. Будем теперь рассматривать лишь случай d — 2, отождествляя
пару {В1,В2) с В = Б1 + iB2 и считая, что В* = В2 = 0.
Пусть / = f{z)~ комплексная функция комплексной переменной
z = х + iy (/: С —> С). Мы будем предполагать, что эта функция, не
являющаяся константой, является аналитической
(комплексно-дифференцируемой в каждой точке zgC) или, что равносильно, голоморфной
(т.е. допускающей в окрестности каждой точки zgC разложение в
степенной ряд).
Положим
t
a(t) = J l/'OUl2^, (5)
о
и пусть/ =u + iv.
Из условий Коши—Римана [460, гл. II]
ди _ ду_ ди^ _ _ ду_ ,,.
дх~ду' ду~ дх W

§ 1. Конформная инвариантность П. Леви
471
следует, что
д2и^ d2v
Эх2 Эх ду'
и, значит, Аи = 0. Аналогично
d2v д2и
ду2 дхду>
и, значит, Av = 0.
Тем самым компоненты и и v аналитической функции / = и + iv
являются гармоническими функциями. Тогда, обращаясь к формуле Ито,
находим, что
t
uQBt) = u{M0) + ^dB1 + ^dB2) (8)
0
и
t
v(Bt) = v(B0) + J(|^dB1 + gdB2). (9)
0
Отсюда видно, что процессы u(JBt) и v(Bt), t ^ 0, являются
локальными мартингалами и
(u,v) = 0,
а квадратические вариации (и) и (v) равны:
(и) = (v), (10)
при этом
t
<u)t = (v>t = Jl//(Bi)|2ds. (11)
о
(Для доказательства равенства (11) опять же следует воспользоваться
условиями Коши—Римана.)
Используя теорему Найта (гл. XIX, § 5), находим, что
u(Mt) + iv(Bt) = В1, + iB2t , (12)
J |/'(BS)|2 ds J|/'(B,)l2<fc
о о
или, в более компактной форме, предложенной П. Леви [238],
/(Bt) = B? , (13)
о
d2U
ду2
дудх
^1
Эх2
дхду
(7)

472
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
где В = (В1, Б2) — броуновское движение, начинающееся в точке /(0) =
= u(0) + iv(0). В частности, если /(Bt) = exp(Bt), то
exp(Bt) = Bt , (14)
Jexp(2ReBs)ds
о
т.е.
exp(Bt) = Bt . (15)
Jexp(2Bs1)ds
о
Представление (14) позволяет вывести многие интересные свойства
двумерного броуновского движения В.
Свойство 1 (полярность точек для двумерного броуновского
движения). Пусть zx е С \ {z0}, где z0 = B0. Тогда
P(Bt = zl для некоторого t ^ 0) = 0. (16)
Доказательство. Предположим для простоты, что z0 = 1, и возьмем
zl = 0. Пусть Г = {Ft; t > 0} —комплексное броуновское движение,
выходящее из нуля. Тогда в силу формулы (14) имеем
ехр(1Гс) = П\
Jexp(2Rer5)ds
о
где комплексное броуновское движение Г начинается в точке 1 на
оси х.
t
Поскольку lim Г ехр(2 ReIs) ds = оо (Р-п. н.), получаем, что
{f t; t ^ 0} = {exp(Ft); t ^ 0} (Р-п. н.).
Но 0 ф {exp(Ft); t ^ 0}, а значит, 0 ф {f t; t ^ 0}. Заменяя Г на В,
получаем требуемое утверждение.
Свойство 2. Пусть Х—лебеговская мера на С. Тогда A({Bt(co); t ^
5т 0}) = 0 (Р-п. н.).
Доказательство. Принимая во внимание соотношение (16),
получаем (по теореме Фубини)
EA({Bt(co); t ^ 0}) = Е Г I(Mt(co) = у для некоторого t ^ 0) A(dy) =
= P(Bt(co) = у для некоторого t ^ 0) A(dy) = 0.
4. Одномерное броуновское движение обладает многими
замечательными свойствами (см. гл. I, § 2): инвариантность относительно
симметрии и временной инверсии, автомоделъностъ и др.
Установленное П. Леви свойство (13) для комплексного (а значит,
двумерного) случая названо им конформной инвариантностью.

§ 2. Об асимптотическом поведении угловой составляющей 473
Замечание. Известно (см., например, [460, с. 99]), что всякое
отображение, устанавливаемое аналитической функцией / =f(z),
конформно во всех точках z, где f'{z) Ф 0 (т. е. в таких точках это отображение
обладает локально свойством сохранения углов и свойством
постоянства растяжений). Именно этим объясняется название «конформная
инвариантность».
В связи с этим понятием и результатом П. Леви (13) Р. К. Гетур и
М. Дж. Шарп [151] ввели понятие конформного мартингала Z =X + iY
как такого локального мартингала, для которого (X) t = (Y) t и {X, Y) t=0,
t ^ 0. Ими было доказано, что для таких мартингалов
zt = zWt, tzo,
где Z — комплексное броуновское движение (ср. с соотношениями (10),
(И) и (13)).
§ 2. Об асимптотическом поведении угловой составляющей
комплексного броуновского движения. Теорема Спицера
1. Пусть Zt=Xt + iYt, t ^ 0, — комплексное броуновское движение,
исходящее из точки
Z0 = l + i0. (1)
Такое движение (почти наверное) не достигает нулевого значения, и
поэтому можно говорить об «обмотке» (winding) нуля таким
движением.
Чтобы дать точное определение этого понятия, представим процесс
Z = (Zt)t^0 B полярных координатах:
Zt = \Zt\ew>, (2)
где R = |Z| —радиальная часть процесса Z, а в = (0t)t^o — его угловая
составляющая. Именно эту угловую составляющую рассматривают как
«обмотку» нуля процессом Z. При этом в выбирается как такой
(единственный) непрерывный процесс, что 90 = 0.
Процесс Z не обращается в нуль (почти наверное), поэтому из
равенства (2) следует, что
logZt=log|Zt| + i0t. (3)
Поскольку
г.
logZt = ^, (4)
о

474
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
получаем, что
t
JdZ
-£- (5)
Тем самым
log|Zt| = Re(jf), et = lm^f). (6)
(7)
По определению комплексных величин имеем
1 _ 1 _ X, - iYs _ Zs Zs
Zs X, + iY, Xf + Y? ZsZs КГ
Отсюда следует, что
\dZ1_C d(.Xs + iYs) _ r (Xs-iYs)d(Xs + iYs)
J Zs "J Xs + iYs J xf + Y? ' W
0 0 0S
и, значит, согласно формуле (6) получаем
rXsdXs + YsdYs rXsdY,-YtdX,
log|Zt| = J x2 + y2 , 0t = j 2 + y2 . (9)
0 0
Для функции f{z) = logz (при z Ф 0) по формуле (13) из § 1
получаем, что
logZt = log|Zt| + Wt = pHt +irHt, (10)
где
t
Ht = J^, (11)
0
a /3 и у — два независимых стандартных броуновских движения (ранее
такие процессы обозначались В1 и В2).
Заметим, что
Ht = \]zJ= inf 1 U ^ °: I exP(2^) dv > t L
о 5 I о J H(
(Справедливость этого соотношения равносильна тому, что J e2^v dv = t.
0
Это легко установить дифференцированием по t с учетом того, что
dHt -в л

§ 2. Об асимптотическом поведении угловой составляющей
475
Итак, для процесса Z = (Zt)t^0, Z0 = 1, находим, что
Zt = e^+^, (12)
где Ht определяется формулой (11).
Представление (12) есть представление комплексного броуновского
движения с помощью замены времени в новых независимых
броуновских движениях /3 и у, В англоязычной литературе это представление
называют skew-product representation. Новое время Ht часто называют
бесселевским временем.
2. Наш основной интерес будет относиться к асимптотическому
поведению при t —> оо угловой компоненты 6t.
В 1958 г. Ф. Спицер получил [338] следующий результат.
Теорема. При t —> оо выполняется соотношение
logt ^ UJj
где С — случайная величина, имеющая стандартное распределение
Коти с плотностью
Иначе говоря,
ton Pf 7-^7=^ *) = G(x), x E R, (14)
t->oo MOgVt '
где
gm=£ j if?=|u+"«**).
Доказательство Ф. Спицера было основано на методе
характеристических функций. Более точно, он вводил преобразование
00
/(a,/S;jc) = Je-^Ex(efaeOdt
о
и замечал, что эта функция имеет следующий вид:
f(a9frx) = gafi(\x\\
где gap удовлетворяет уравнению
|(У'(г) + )g\r) - ^g(r)) - §g{r) = -1.
Решение этого уравнения можно было обратить (по Фурье) и получить
точную формулу для Ех(е1ав<) в терминах функции Бесселя, откуда и
выводился асимптотический результат (13).

476
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
В 1982 г. Р. Дарретт [109] получил более простое доказательство,
основанное на конформной инвариантности комплексного броуновского
движения (см. § 1 выше). Приводимое далее доказательство
асимптотического результата (13) основано на статьях [373,109].
3. Предварительно установим справедливость следующей леммы,
играющей ключевую роль в доказательстве теоремы Ф. Спицера.
Лемма. Для каждого Я > 0 положим
tiX) = \fat, (15)
Ti1X) = M{tZ0:l3itx) = l}, (16)
Ht = |^JI = inf|u^0:|e2ftdv>t|. (17)
Тогда при t —* оо имеет место соотношение
Ht _ T(log/F) Р п
(log л/7)2 Jl
(18)
Доказательство. Пусть Я = A(t), где A(t) = log vT. Положим е > 0 и
введем величины
T^infJt^O^W + e} (19)
(ср. с формулой (16)).
Покажем, что
р((Ш>Т^)})-*° при^°°- ™
В силу соотношения (17) имеем
= |log J" e2^dv<logt| = j^log J e2P>dv<l\,
0
rfle2A(t) = logt.

§ 2. Об асимптотическом поведении угловой составляющей
477
Далее, после замены переменных получаем
Я2(0Т(Я(0) Т(Я(0)
2А(
о
^♦ЩО*^*^ OT
О
поскольку процессы fim совпадают по распределению.
Воспользуемся теперь тем известным фактом, что для всякой
непрерывной функции / =/(s), s ^ 0, при Я —> оо выполнено соотношение
t
^logfe2^(v)dv->sup/(s).
о [0't]
Тогда в силу равенства (16) имеем
T(i)
т^-log [ e2^vdv ► sup fis = l + e (Р-п.н.),
J A->oo г m -i
о [о,т[1\\
и, значит, из (21) при t —> оо получаем
Я2(0Т(Я(0)
О
что и доказывает свойство (20).
Аналогичным образом доказывается справедливость утверждения
К(Д^<Т1-/)))">0 Щ™'-*00- (22)
Из соотношений (20) и (22) получаем утверждение (18). □
4, Доказательство теоремы Спицера. Нас интересует величина 9t —
= Ун • Для ^ > О положим
(Я) 1
Тогда
Я-t-А'^~'л-2н,
и, значит, в силу доказанной леммы при А = A(t) = log л/Т получаем
Н = тг«, = г?5
Х^-Гт^-0 (Я-оо).

478
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
Заметим теперь, что
Г%^Г% при Я-о),
где
r^infJt^O:^00^!},
а ^(оо) и ^(оо) _ два независимых стандартных броуновских движения,
выходящих из нуля. Тем самым
lim Lawf-^1 = Law(r(^).
Но распределение величины у™!) совпадает с распределением отноше-
N
ния — двух независимых стандартных нормально распределенных
величин N и N, которое, как известно, является распределением Коши. □
§ 3. Об асимптотическом поведении аддитивных
функционалов от комплексного броуновского движения.
Теорема Каллианпура—Роббинса
1. В § 5 гл. XIII было показано, что для двумерного (а значит,
комплексного) броуновского движения В и для любого непустого
ограниченного множества D с R2 время пребывания при увеличении t
неограниченно растет:
t
|UD(0 = JjD(Bs)ds-*oo (Р-п.н.) (1)
о
при t —> оо. Естественно возникает вопрос о том, с какой скоростью
осуществляется сходимость (1) к бесконечности.
Аналогичный вопрос интересен также для простого случайного
блуждания на решетке Z2. Если в этом случае взять D = 0 = (0.0), то для
такого случайного блуждания X = {Хп)п^0 величина
Мо00= 2 Wk)
будет числом моментов попадания в нулевое состояние О = (0,0) (на
интервале [0, п]).
В 1953 г. Г. Каллианпур и Г. Роббинс [201] получили асимптотику
/i0(n) при п->оо:
limP0(^^) = l-e-*, x>0. (2)

§ 3. Об асимптотическом поведении аддитивных функционалов 479
Таким образом, в определенном смысле (по распределению) /i0(n)
растет с ростом п логарифмическим образом.
Замечание. Можно доказать этот результат методом моментов
следующим образом (см. также [255]).
Поскольку V0{X2n = О) ^ —, получаем, что
ЕоМоО)^ Е gk-£logn'
2Ып
EOJu3(n)~^3(logn)2
и, вообще,
00
о
Но единственное распределение F = F(x), х ^ 0, с моментами вида
00
mfc= (VF(dx) = Jfc!, fc^l,
о.
— это экспоненциальное распределение F(x) = 1 — е-*, что и
доказывает формулу (2) (единственность обеспечивается критерием Карлема-
00
на, поскольку J] (fc!)-1^ < оо).
fc=i
2. Прежде чем переходить к формулировке теоремы Каллианпура—
Роббинса для комплексного броуновского движения, остановимся на
одномерном (d = 1) случае.
Пусть В = (Bt)t^o~стандартное броуновское движение, / =
/Соизмеримая интегрируемая функция (J \f(x)\dx < оо). Предположим,
что F = J /QO dx > 0. Тогда к
lnnpf-^J/(Bs)ds<xl = p(|iV|<|), x>0, (3)
где N — стандартная нормально распределенная случайная величина.
Равенство (3) можно переписать в следующем эквивалентном виде:
}™i^Sm)ds<x)=Jiie~yTdy> х>°- №
V О ^ О

480
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
3. Мы интересуемся сейчас аналогом результатов (2) и (4) для
двумерного броуновского движения В = (Bs)s^0- Основной результат Кал-
лианпура—Роббинса таков.
Теорема. Пусть f =f(z): С —> М+ является ограниченной функцией
с компактным носителем, F — Г f(y)dy > 0. Тогда
R2
HmPl ^-t^f(Ms)ds<x) = l-ex, х > 0, (5)
или
где 8 — экспоненциально распределенная случайная величина.
Ewuf{z) = I{\z\<R\ то
^тЬаш|^|я|В5|<К)й5)=Ьаш(|-^). (7)
Доказательство этих утверждений можно легко получить,
основываясь на результате леммы из предыдущего параграфа, если
дополнительно предположить, что рассматриваемая функция /(z) имеет такую
структуру:
/С*) = ¥>(1*1).
Действительно, воспользуемся представлением
Zt = el3Ht+iYHt
(см. формулу (12) в § 2). Тогда
= ^7! J V(exp(fe5))ds = —7= J <Xexp(/3u))exp(2A,)dU. (8)
о о
Пусть, как и ранее, Я = log </*-, /3^ = у/3Я2Г Обозначим через 1^(/3)
локальное время броуновского движения /3 на уровне а в течение ин-

§ 4. О некоторых свойствах броуновского движения с переменным сносом 481
тервала [0, t]. Тогда получаем, что
Ht X~2Ht
j^=J^(exp(j8u))exp(2j8u)dii = A J ^(exp(A^A)))exp(2A^A))dv =
о о
oo
= Я Г (^(ехр(Яа))ехр(2Аа)1°_2н (/3m) da" =
о
00 /" OO Ч
= I rv(r)I^r(/3CA)) dr -^ J r<^(r) dr • L°TaflMl (9)
о ' ~*°° Vo J l
где использовано то, что (согласно лемме из § 2) имеет место
сходимость lT2Ht -^ г}003 при Я = log -/F -> оо, где
Г^003 = inf{t ^ 0: jS^003 = 1}.
Итак, для завершения доказательства надо знать распределение
величины L0(oo)(/3(oo)), где /3(оо) — броуновское движение и Г^ —момент
первого достижения этим броуновским движением уровня 1. Это
распределение нам уже известно — в § 6 гл. XVIII была приведена
теорема Рэя и Найта, из которой, в частности, следует, что распределение
величины L°(00)Q3(oo)) совпадает с распределением £2 + т?2, где £ и т? —
две независимые случайные величины, имеющие N(0,
^-распределение. Но хорошо известно, что распределение величины ^С?2 + V2) есть
в точности экспоненциальное распределение (величины £). Тем самым
из соотношений (8) и (9) следует, что
t 00
^t§f(Zs)ds±e$rf(r)dr при t-сю. (10)
о о
°г R2
Если /(г) = /(г < R), то Г rf(r)dr — -тг, и, следовательно, из соотно-
о 2
шения (10) получаем формулу (7). По поводу общего случая см.
работу [201]. □
§ 4. О некоторых свойствах линейного и плоского
броуновских движений с переменным сносом
1. Броуновское движение B = (Bt)t^1 как в размерности d = 1
(линейный случай), так и в размерности d — 2 (плоский случай) и в
размерности d ^ 3 (многомерный случай) ведет себя крайне экзотически.

482
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
Многие свойства линейного броуновского движения были уже
рассмотрены в гл. III. В частности, там было показано, что с
вероятностью 1 множество
Z(B) = {t€[0,l]:Bt=0} (1)
не имеет изолированных точек (теорема 3 в § 2 гл. III). См. также
гл. XXXVIII.
Пусть / =ft, t G [0,1], есть непрерывная функция. Рассмотрим
теперь вопрос о том, а будет ли множество
Z(B-/) = {te[0,l]:Bt-/t=0} (2)
иметь почти наверное изолированные нули.
Если /принадлежит пространству Камерона—Мартина
CcM = |/=/t,te[0^]:/t = jgsds,|gs2ds<cx)|,
то множество Z{B —/) с вероятностью 1 не содержит изолированных
точек. Вытекает это, конечно, из того факта, что мера броуновского
движения, Рв, и мера броуновского движения со сносом, Рв_/,
являются эквивалентными (взаимно абсолютно непрерывными), см. гл. X,
§ 3, а значит, траекторные свойства процесса В — f такие же, как у
броуновского движения.
В связи с этим возникает естественный вопрос: а существуют ли
такие функции /, для которых с положительной вероятностью
множество Z{B — /) содержит изолированные точки? (Если такие точки
существуют, то это будет означать, что в их окрестности броуновское
движение «ведет» себя примерно как функция /.) Заметим, что если
функция / принадлежит классу Ссм, то она заведомо принадлежит гёльде-
ровскому классу Н( « J, т. е. удовлетворяет условию Гёльдера с
параметром а = т:.
Оказывается [10], ни для какой функции / класса Н( ~ J множество
Z(B — /) с вероятностью 1 не содержит изолированных нулей.
Параметр а = ~ является в рассматриваемых вопросах
критическим в том смысле, что для всякого а < « можно найти такую функцию
/а е Н(а), что множество Z{B — /а) с положительной вероятностью
содержит изолированные нули [10]. Интересно отметить, что такие
функции fa по своему характеру являются функциями канторовского
типа (гл. III, § 2).
2. Перейдем теперь к случаю d—2. Траектории двумерного
броуновского движения В — (Bt)t$1 порождают на плоскости весьма экзотиче-

§ 5. О площади, заметаемой броуновским диском
483
ские кривые типа кривых Пеано. В 1940 г. П. Леви [238] показал, что
двумерная лебеговская мера А2 множества В [0,1] = {Bt eR2, te [0,1]},
т. е. мера
A2(B[0,1]) = |/B[0jl](0dt, (3)
о
равна нулю: А2(В[0,1]) = 0 (Р-п.н.).
Этот результат можно вывести и из более ранней работы А. Н.
Колмогорова и М. А. Леонтовича [438] 1933 г., в которой было найдено
математическое ожидание площади, заметаемой броуновской частицей
конечного размера. (Надо положить этот размер стремящимся к нулю.)
См. далее § 5.
В монографии [259] дано доказательство результата А2(В[0,1]) = 0
(Р-п.н.), опирающееся на марковское свойство и принцип отражения
для броуновского движения. Предварительно при этом доказывается,
чтоЕА2(В[0,1])<оо.
Будем теперь в двумерном случае (d = 2) рассматривать
броуновское движение с переменным сносом: В — f = (Bt — ft)t^i- В двумерном
и, вообще, в многомерном случае принята такая терминология.
Определение. Говорят, что непрерывная функция / =/t, 0 $ t ^ 1,
является полярной для броуновского движения В, если для всякого
начального состояния х (В0 = х G ^d) выполнено равенство
Px(Bt - ft = 0 для некоторого t, 0 < t ^ 1) = 0.
В случае d ^ 2, как мы уже знаем (гл. XIII), функция ft = с является
полярной.
Как и в одномерном случае, из рассмотрений, связанных с
пространством Камерона—Мартина, следует, что все гёльдеровские
функции с параметром а — ~ являются полярными.
Первый результат о «неполярности» был получен в 1982 г. С.-Э. Гра-
версеном [157]. Именно, если d = 2, 0 < а < ~, то существует гёльдеров-
ская функция /^ е Н(а), являющаяся неполярной для плоского
броуновского движения, в частности, EA2({Bt —/t : t е [0,1]}) > 0. Затем
Ж.-Ф. Ле Галль показал, что функции f ен(-)в случае d = 2 являются
полярными. (См., например, [236].)
§ 5. О площади, заметаемой броуновским диском
конечного радиуса. Теорема Колмогорова—Леонтовича
1. Приведем текст из вводной части статьи А. Н. Колмогорова и
М. А. Леонтовича [438], опубликованной в 1933 г.

484
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
«В настоящей работе будет решена следующая задача, поставленная
перед нами С. И. Вавиловым. Требуется определить среднее значение
(математическое ожидание) площади, покрываемой за заданное время
проекцией на плоскость движущейся броуновской частицы конечного
размера. Элементы площади, которые эта проекция проходит
несколько раз, должны засчитываться только единожды. Решение этой задачи
будет нами сведено к решению следующей более общей задачи:
определить вероятность того, что при броуновском движении в области G
плоскости бесконечно малой частицы, находящейся в момент t = 0 в
заданной точке (х,у), эта частица за время t по крайней мере один
раз достигнет границы R данной области. В разделе 1 будет разъяснен
метод решения этой последней задачи, а в разделах 2 и 3 она будет
применена к расчету средней броуновской площади. Разделы 1 и 2 статьи
принадлежат А. Н. Колмогорову, а раздел 3 —М. А. Леонтовичу».
2. В работе [438] поставленная задача рассматривалась как чисто
вероятностная задача, в которой центр диска движется броуновским
образом. Но эту задачу можно рассматривать и как
термодинамическую, связанную с распространением тепла в окрестность диска, при
условии, что температура диска остается постоянной.
Начнем с этой задачи. Пусть D = D(r) —диск радиуса г > 0 с
центром в начале координат (в R2). Предположим, что этот диск (скажем,
металлический) за счет некоторых источников тепла имеет
постоянную температуру: u(t, х) = 1, t ^ 0, х е D(r) с R2. Вне диска начальная
температура (в момент t = 0) равна нулю: u(0, i) = 0,igE2\ D(r).
Еще на заре становления термодинамической теории (как ветви
физики, занимающейся теплом и температурой и их соотношениями
с энергией и работой) Фурье (Joseph Fourier, 1768—1830) опубликовал
в период 1807—1822 гг. ряд работ (например, «Theorie analytique de la
chaleur», 1822), в которых применительно к диску D(r) утверждалось,
что u(t,x) удовлетворяет уравнению
du(t,x) id2u(t,x)
dt 2 дх2
\ВД, (1)
с условиями
а(0,х) = 0, xeR2\D(r), (2)
u(t,x) = l, xeD(r). (3)
(См. также далее § 1 в гл. XXII.) Если интересоваться общим тепловым
потоком в моменты t > 0, то задача работы [438] состояла в том, чтобы
найти величины
J u(t,x)dx. (4)
R2\D(r)

§ 5. О площади, заметаемой броуновским диском
485
Отметим, что именно для решения задач типа (1) — (3) Фурье ввел
ставшее теперь классическим «преобразование Фурье».
Уместно напомнить, что становление и развитие
термодинамической теории и, в частности, создание понятия энтропии и законов этой
теории связано с именами Сади Карно (Sadi Carnot, 1796—1832),
Уильяма Томсона (William Thomson, 1824—1907), Рудольфа Клаузиуса (Rudolf
Clausius, 1822—1888), Джеймса Максвелла (James Maxwell, 1831—1879),
Людвига Больцмана (Ludwig Boltzmann, 1844—1906), Джозайи Уиллар-
да Гиббса (Josiah Willard Gibbs, 1839—1903) и др.
Замечание. Понятие энтропии как численной меры беспорядка
было введено Рудольфом Клаузиусом в 1865 г. Именно это понятие входит
во второй закон термодинамики, гласящий, что энтропия
изолированной системы возрастает и, как следствие, имеет место переход от
«горячего» к «холодному», а не наоборот.
Первый закон термодинамики (называемый также законом
сохранения энергии) утверждает, что в изолированных системах энергия не
может ни создаваться, ни исчезать.
Третий закон утверждает, что при приближении к абсолютному
нулю (—273,15 градусов по Цельсию, или —459,67 градусов по
Фаренгейту) процесс системы замирает, а энтропия стремится к некоторому
постоянному значению.
3. Перейдем теперь к изложению работы [438] А. Н. Колмогорова
и М. А. Леонтовича, являющейся первой работой по определению
площади, заметаемой диском конечного радиуса, центр которого
движется как броуновская частица. В сопоставлении с термодинамическим
подходом, предложенным Фурье (см. формулы (1) —(4)), обращение к
броуновскому движению становится весьма естественным, поскольку
это движение является своего рода (макроскопическим) отражением
(микроскопического) состояния молекул, скажем, той жидкости, в
которую помещена броуновская частица.
О вероятностной природе броуновского движения к 1933 г. уже
было многое известно. Упомянем лишь работу А. Н. Колмогорова «Об
аналитических методах в теории вероятностей» 1931 г. [212], в которой был
изложен основанный на дифференциальных уравнениях метод
исследования броуновского движения и более общего процесса диффузии.
Именно идеи этой работы явились определяющими для
рассматриваемой работы [438] о средней броуновской площади.
4. Пусть В = (В1,...,Вd) — стандартное d-мерное броуновское
движение в пространстве Rd с нормой

486
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
Фиксируя сейчас d ^ 1 и г > 0, введем множества
Ct(co) = {xeRd: \x-Bs(co)\ ^ г для некоторого s, 0^5^ t}. (5)
(Заметим, между прочим, что процесс С = (Q(co))t^0 является
немарковским.) Область Ct{co) есть та область в Rd, которую в течение
времени от 0 до t заметает диск (при d = 2), или отрезок, или шар (при
Понятно, что Ct(co) можно записать и так:
Ct(co)= U (Bs(co) + D(r)), (6)
где D{r) — {х: \х\ $ г} —отрезок (d = 1), диск (d = 2) или шар (d ^ 3).
Для х е Rd и С е @(Rd) положим
/1, XGC,
и пусть
A(C) = J/c(;t)A(d;c). (7)
Нас будет интересовать среднее значение
Vt = EA(Cf (со)) = Е J /С[(ш)(х) dx = | Е/С[(ы)0) dx = J W(t, х) dx, (8)
Rd Ed Rd
где 1У(г,х) есть вероятность того, что на временном интервале [0, t]
точка х е Rd будет по крайней мере один раз покрыта движущимся
броуновским диском (в случае d = 2) радиуса г > 0.
Из соображений симметрии эта вероятность равна также
вероятности того, что броуновская частица, находящаяся в момент t = 0 в
точке х, достигнет границы диска D(r) с центром в начале координат
по крайней мере один раз за время t.
Поэтому если ввести момент остановки
T = inf{tZ0:BteD(r)}, . (9)
то получим
W(t,x) = Px(T^t). (10)
Эта вероятность удовлетворяет (см., например, § 6 гл. XIV и § 1 гл. XXII)
уравнению (в случае d = 2 и аналогично для любого d)
^F4^4 «R»\D(rX (Ш

§ 5. О площади, заметаемой броуновским диском
487
с условиями
W(t,x) = l, xeD(r), (12)
W(0, х) = 0, х е R2 \ D(r), (13)
что совпадает с термодинамическим уравнением и условиями (1) —(3),
которые рассматривал Фурье.
5. Для решения системы (11) —(13) и последующего нахождения
(при d = 2)
Vt=\w{t,x)dx
md
авторы работы [438] переходят к полярным координатам (р,я/0. Ясно,
что W = W(t, x) будет зависеть только от р, но не от гр. Поэтому в
полярных координатах W будет иметь вид W = W(t,p) и удовлетворять
следующей системе:
dW__l d2W ,}_dW_ .
dt ~ 2 dp2 р dp > U4j
W(t,x) = l, (15)
W(0,p) = 0, p>r. (16)
Из физических соображений следует еще добавить условие W(t,oo) =
= 0. Интересующая нас функция Vt будет тогда находиться из
соотношения
00
Vt=\w(t,x)dx = 2n\w(t,p)pdp. (17)
md о
Для решения системы (14) —(16) удобно перейти к преобразованию
Лапласа
00
U(A,p) = jVAtW(t,p)pdt. (18)
о
Из уравнения (14) тогда находим, что
d2l/(A,p) 1 сШ(А,р)
dps +p"^p— -Р^(Я,Р) = 0, (19)
а из условий W(t, г) = 1, W(t, оо) = О получаем еще такие условия:
U{Kp) = \, 1/(А,оо) = 0. (20)
В работе [438] получено решение системы (19), (20) в терминах
специальных функций. Затем, обращая преобразование Лапласа (18),
авторы из соотношения (17) получают в случае d = 2 точное значение Vt,

488
Гл. XX. О плоском (двумерном) броуновском движении
которое при больших t имеет следующий вид:
2nt
V^\ ГНЩ при t-оо. (21)
log t+log-^2"
Так что при фиксированном г > 0 имеем
Vf~^ при.с-оо. (22)
Если обозначить Vt как Vt(r), то можно из свойств броуновского
движения В = (В1, ...,Bd) вывести, что при d ^ 1
Vt(r) = td/2V1(r1/2r). (23)
Отсюда понятно, что исследование асимптотического поведения Vt(r)
при фиксированном г > 0 и при t —> оо равносильно исследованию
асимптотического поведения V^r) при г —> 0.
Из точного результата о поведении Vt(r) при t —> оо и
соотношения (23) можно «почти» заключить, что Уг(г) —> 0 при г —> 0. (Это
«почти» видно и из соотношения (21).) Таким образом, площадь
броуновской траектории, ведущей себя весьма экзотическим образом, равна
нулю. Выше (в § 4) мы отмечали, что в случае d = 2 этот результат был
также получен в 1940 г. П. Леви.
6. Исследованию поведения движущегося броуновского диска,
шара («Wiener sausages») для разных d ^ 1, помимо работы [438] для
d = 2, посвящено много работ. См., например, [37,101, 311, 357,167].
Из всех этих работ можно заключить, что при больших t и
фиксированном г > 0 выполнены соотношения
d = l,
У'~Ш. d=2,
где xd — некоторые положительные константы.

Литература
[I] Abundo М. On the first-passage time of an integrated Gauss—Markov process.
arXiv:1506.01155vl, 2015.
[2] Abundo M. The arctangens law for a certain time relation to a
one-dimensional diffusion. arXiv:1702.08700, 2017.
[3] Acciaio В., Backhoff-Veraguas J., Carmona R. Extended mean field control
problems: stochastic maximum principle and transport perspective // SIAM
J. Control Optim. 2019. V. 57, № 6. P. 3666-3693.
[4] AlexandroffA. D. Additive set-functions in abstract spaces // Матем. сб. 1940.
Т. 8(50), № 2. С. 307-348.
[5] AlexandroffA. D. Additive set-functions in abstract spaces. II // Матем. сб.
1941. Т. 9(51), № 3. С. 563-621.
[6] AlexandroffA. D. Additive set-functions in abstract spaces. Ill // Матем. сб.
1943. Т. 13(55), № 2-3. С. 169-238.
[7] Alexandrian A. On non-existence of Lebesgue-like measure in infinite
dimension. https://aalexan3.math.ncsu.edu/articles/infdim_meas.pdf, 2018.
[8] Alia L, Alia M. S. On stochastic maximum principle: A backward stochastic
partial differential equations point of view. arXiv:2008.01852, 2020.
[9] Allais M. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque. Critique
des postulats et axiomes de l'Ecole americaine // Econometrica. 1953. V. 21.
P. 503-546.
[10] Antunovic T., Burdzy K., Peres Y., Ruscher J. Isolated zeros for Brownian motion
with variable drift // Electron. J. Probab. 2011. V. 16. P. 1793—1814.
[II] Artzner Ph., Delbaen E, Eber J.-M., Heath D. Thinking coherently // RISK.
1997. V. 10 (November). P. 68—71.
[12] Artzner P., Delbaen E, Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk // Math.
Finance. 1999. V. 9, № 3. P. 203-228.
[13] Bachelier L. Theorie de la speculation // Ann. Ecole Norm. (3). 1900. T. 17.
P. 21-86.
[14] Bahlali K., Djehiche В., Mezerdi B. On the stochastic maximum principle in
optimal control of degenerate diffusions with Lipschitz coefficients // Appl.
Math. Optim. 2007. V. 56, № 3. P. 364-378.
[15] Bahlali K., Mezerdi В., Ouknine Y. The maximum principle for optimal control
of diffusions with non-smooth coefficients // Stochastics Stochastics Rep.
1996. V. 57, № 3-4. P. 303-316.

490
Литература
[16] Bakry D. L'hypercontractivite et son utilisation en theorie des semigroupes //
Lectures on probability theory (Saint-Flour, 1992). Berlin: Springer, 1994.
P. 1—114. (Lecture Notes in Math.; V. 1581).
[17] Bakry D., Cattiaux P, Guillin A. Rate of convergence for ergodic continuous
Markov processes: Lyapunov versus Poincare // J. Funct. Anal. 2008. V. 254,
№ 3. P. 727-759.
[18] Bakry D., Emery M. Diffusions hypercontractives // Seminaire de probabilites,
XIX. Berlin: Springer, 1985. P. 177-206. (Lecture Notes in Math.; V. 1123).
[19] Bakry D., Gentil /., Ledoux M. Analysis and geometry of Markov diffusion
operators. Cham: Springer, 2014. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 348).
[20] Bally V. An elementary introduction to Malliavin calculus. INRIA Rapport de
Recherche № 4718, 2003.
[21] Barbour A. D., Chen L. H. Y. (eds.). An introduction to Stein's method.
River Edge, NJ: World Scientific, 2005. (Lecture Notes Series. Institute for
Mathematical Sciences. National University of Singapore; V. 4).
[22] Barbour A. D., HosltL., Janson S. Poisson approximation. Oxford: Clarendon
Press, 1992. (Oxford Studies in Probability; V. 2).
[23] Barndorff-Nielsen O. £., Halgreen С Infinite divisibility of the hyperbolic and
generalized inverse Gaussian distributions // Z. WahrscheinlichkeitstheOr.
verw. Geb. 1977. V. 38. P. 309-311.
[24] Barndorff-Nielsen O. £., Shephard N Non-Gaussian Ornstein—Uhlenbeck-
based models and some of their uses in financial economics // J. R. Stat. Soc,
Ser. B, Stat. Methodol. 2001. V. 63, № 2. P. 167-241.
[25] Barndorff-Nielsen O. £., ShiryaevA. N Change of time and change of measure.
Hackensack, NJ: World Scientific, 2015. (Advanced Series on Statistical
Science & Applied Probability; V. 21).
[26] Bass R. F., Burdzy K. A critical case for Brownian slow points // Probab. Theory
Relat. Fields. 1996. V. 105, № 1. P. 85-108.
[27] Bass R. F, Hsu P. Some potential theory for reflecting Brownian motion in
Holder and Lipschitz domains // Ann. Probab. 1991. V. 19, № 2. P. 486—508.
[28] Beigi S. Hypercontractivity and logarithmic Sobolev inequalities and their
applications. Tehran: School of Mathematics, Institute for Research in
Fundamental Sciences, 2019.
[29] Belisle C, Faraway J. Winding angle and maximum winding angle of the two-
dimensional random walk // J. Appl. Probab. 1991. V. 28, № 4. P. 717—726.
[30] Bell D. R. The Malliavin calculus. Reprint of the 1987 edition. Mineola, NY:
Dover Publications, 2006.
[31] Bendersky M. The calculus of variations. Lecture notes. 2008.
[32] Bensoussan A. Lectures on stochastic control. I: Variational methods in
stochastic control // Nonlinear filtering and stochastic control (Cortona,

Литература
491
1981). Berlin; New York: Springer, 1982. P. 1—39. (Lecture Notes in Math.;
V. 972).
[33] Bensoussan A. Lectures on stochastic control. II: Discrete time stochastic
control and approximation of continuous time stochastic control problems //
Nonlinear filtering and stochastic control (Cortona, 1981). Berlin; New York:
Springer, 1982. P. 40—62. (Lecture Notes in Math.; V. 972).
[34] Bensoussan A. Stochastic maximum principle for distributed parameter
systems // J. Franklin Inst. 1983. V. 315. P. 387-406.
[35] Bentkus V., Pap G., Yor M. Optimal bounds for Cauchy approximations for the
winding distribution of planar Brownian motion // J. Theor. Probab. 2003.
V. 16, № 2. P. 345-361.
[36] Benzi R., Sutera A., Vulpicini A. The mechanism of stochastic resonance //
J. Phys. 1981. V. 14. P. 453-457.
[37] Berezhkovskii B. A., Makhnovskii Yu. Wiener sausage volume moments //
J. Statist. Phys. 1989. V. 57, № 1-2. P. 333-346.
[38] Bernstein S. Equations differentielles stochastiques // Actualites Sci. Industr.
1938. V. 738. P. 5-31.
[39] Berry A. C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of
independent variates // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. V. 49. P. 122—136.
[40] Bertoin J. Excursions of a BES0(d) and its drift term (0 < d < 1) // Probab.
Theory Relat. Fields. 1990. V. 84, № 2. P. 231-250.
[41] Bertoin J., Dufresne D., Yor M. Some two-dimensional extensions of Bougerol's
identity in law for the exponential functional of linear Brownian motion //
Rev. Mat. Iberoam. 2013. V. 29, № 4. P. 1307-1324.
[42] Bertoin J., Jeanblanc M., Le Gall J.-E, Shi Z. (eds.). Mark Yor. La passion du
mouvement brownien. Gazette des mathematiciens/MATAPLL Special issue.
Paris: Societe Mathematique de France, 2015.
[43] Bertoin J., Werner W. Asymptotic windings of planar Brownian motion
revisited via the Ornstein—Uhlenbeck process // Seminaire de probabilites,
XXVIII / J. Azema et al. (eds.). Berlin: Springer-Verlag, 1994. P. 138—152.
(Lecture Notes in Math.; V. 1583).
[44] Beznea L., Pascu M. N., Pascu N. R. An equivalence between the Dirichlet and
the Neumann problem for the Laplace operator // Potential Anal. 2016. V. 44,
№ 4. P. 655-672.
[45] Billingsley P. Convergence of probability measures. New York; London;
Sydney; Toronto: Wiley, 1968.
[46] Bismut J.-M. Conjugate convex functions in optimal stochastic control //
J. Math. Anal. Appl. 1973. V. 44. P. 383-404.
[47] Bismut J.-M. Theorie probabiliste du controle des diffusions. Mem. Amer.
Math. Soc. V. 4, №167.1976.

492
Литература
[48] Bismut J.-M. Linear quadratic optimal stochastic control with random
coefficients // SIAM J. Control Optim. 1976. V. 14. P. 419-444.
[49] Bismut J.-M. An introductory approach to duality in optimal stochastic
control // SIAM Rev. 1978. V. 20. P. 62-78.
[50] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporative liabilities // J. Polit.
Econ. 1973. V. 81, № 3. P. 637-654.
[51] Blei S. On symmetric and skew Bessel processes // Stochastic Process. Appl.
2012. V. 122, № 9. P. 3262-3287.
[52] Blumenthal R. M. An extended Markov property // Trans. Amer. Math. Soc.
1957. V. 85. P. 52-72.
[53] Blumenthal R. M., Getoor R. K. Markov processes and potential theory. New
York; London: Academic Press, 1968. (Pure and Applied Mathematics; V. 29).
[54] Boucheron S., Lugosi G., Massart P Concentration inequalities. A nonasymp-
totic theory of independence. Oxford: Oxford University Press, 2013.
[55] Bouleau N.,Hirsch F. Dirichlet forms and analysis on Wiener space. Berlin etc.:
de Gruyter, 1991. (Gruyter Studies in Mathematics; V. 14).
[56] Bourbaki N. Elements of mathematics. General topology. Ch. 5—10. Berlin:
Springer, 1998.
[57] Breiman L. Probability. Reading, MA, etc.: Addison-Wesley Publishing Co.,
1968. (Addison-Wesley Series in Statistics).
[58] Breuer P., Major P. Central limit theorems for non-linear functionals of
Gaussian fields // J. Multivariate Anal. 1983. V. 13, № 3. P. 425-441.
[59] Brockwell P. J., Davis R. A, Yang Y Estimation for nonnegative Levy-driven
Ornstein—Uhlenbeck processes // J. Appl. Probab. 2007. V. 44, № 4. P. 977-
989.
[60] Brosamler G. A. A probabilistic solution of the Neumann problem // Math.
Scand. 1976. V. 38, № 1. P. 137-147.
[61] Brown R. The miscellaneous botanical works of Robert Brown. V. 1. Published
for the Ray society by R. Hardwicke, London, 1866.
[62] Biihlmann H. Mathematical methods in risk theory. New York; Berlin:
Springer, 1970. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 172).
[63] Burdzy K. Cut points on Brownian paths // Ann. Probab. 1989. V. 17, № 3.
P. 1012-1036.
[64] Burdzy K. On nonincrease of Brownian motion // Ann. Probab. 1990. V. 18,
№ 3. 978-980.
[65] Cameron R. H., Martin W. T. Transformations of Wiener integrals under
translations // Ann. of Math. (2). 1944. V. 45. P. 386-396.
[66] Cameron R. H., Martin W. T. The behavior of measure and measurability under
change of scale in Wiener space // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V. 53, № 2.
P. 130-137.

Литература
493
[67] Carmona R., Delarue F. Probabilistic theory of mean field games with
applications. I: Mean field FBSDEs, control, and games. Cham: Springer, 2018.
(Probability Theory and Stochastic Modelling; V. 83).
[68] Carnot S. Reflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines
propres a developper cette puissance. Paris: Bachelier, 1824. См. также: Ann.
de l'Ecole Norm. (2). 1872. V. 1. P. 393—458.
[69] Cattiaux P. Hypercontractivity for perturbed diffusion semigroups // Ann.
Fac. Sci. Toulouse, Ser. VI Math. 2005. V. 14, № 4. P. 609—628.
[70] Chandrasekhar S. Stochastic problems in physics and astronomy // Rev. Mod.
Phys. 1943. V. 15. P. 1-89.
[71] Chapman S. On the Brownian displacements and thermal diffusion of grains
suspended in a non-uniform fluid // Proc. Roy. Soc. London (A). 1928. V. 118.
P. 34-54.
[72] Chen L. H. Y Poisson approximation for dependent trials // Ann. Probab. 1975.
V. 3. P. 534-545.
[73] Chen I. H. Y, Goldstein L., Shao Q.-M. Normal approximation by Stein's
method. Berlin: Springer, 2011. (Probability and Its Applications).
[74] Chen L. H. Y., Shao Q.-M. Stein's method for normal approximation // An
introduction to Stein's method. Singapore: Singapore University Press, 2005.
P. 1—59. (Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap.; V. 4).
[75] Chen N., Glasserman P. Malliavin Greeks without Malliavin calculus //
Stochastic Process. Appl. 2007. V. 117, № 11. P. 1689—1723.
[76] Chen W., SrivastavA., Travaglini G. (eds.). A panorama of discrepancy theory.
Cham: Springer, 2014. (Lecture Notes in Math.; V. 2107).
[77] Chen Z., Chen Т., Davison M. Choquet expectation and Peng's g-expectation //
Ann. Probab. 2005. V. 33, № 3. P. 1179-1199.
[78] Chen Z., Epstein L. Ambiguity, risk, and asset returns in continuous time //
Econometrica. 2002. V. 70, № 4. P. 1403-1443.
[79] Chen Z., Kulperger R., Sulem A. A representation theorem of g-expectation.
Preprint, 2002.
[80] Cheridito P. Mixed fractional Brownian motion // Bernoulli. 2001. V. 7, № 6.
P. 913-934.
[81] Cheridito P, Kawaguchi H., Maejima M. Fractional Ornstein—Uhlenbeck
processes // Electron. J. Probab. 2003. V. 8. Paper № 3.
[82] ChernoffH. A note on an inequality involving the normal distribution // Ann.
Probab. 1981. V. 9. P. 533-535.
[83] Choi J., Kim K. The derivatives of Asian call option prices // Commun. Math.
Sci. 2008. V. 6, № 3. P. 557-568.
[84] Choquet G. Theory of capacities // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1953/54.
V. 5. P. 131-295.

494
Литература
[85] Chung К. L. Lectures from Markov processes to Brownian motion. New York;
Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag, 1982. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 249).
[86] Chung K. L. Green, Brown, and probability & Brownian motion on the line.
2nd rev. and augmented ed. Singapore: World Scientific, 2002.
[87] Chung K. L., Zhao Z. From Brownian motion to Schrodinger's equation. 2nd
corrected printing. Berlin: Springer, 1995. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 312).
[88] Ciesielski Z. Holder conditions for realizations of Gaussian processes // Trans.
Amer. Math. Soc. 1961. V. 99. P. 403-413.
[89] Ciesielski Z., Taylor S. J. First passage times and sojourn times for Brownian
motion in space and the exact Hausdorff measure of the sample path // Trans.
Amer. Math. Soc. 1962. V. 103. P. 434-450.
[90] Cirel'son B. S., Ibragimov I. A, Sudakov V. N. Norms of Gaussian sample
functions // Proceedings of the 3rd Japan—USSR symposium on probability
theory (Taschkent, 1975). Berlin: Springer, 1976. P. 20—41. (Lecture Notes in
Math.; V. 550).
[91] Clark J. M. C. The representation of functional of Brownian motion by
stochastic integrals // Ann. Math. Statist. 1970. V. 41. P. 1282—1295.
[92] Daniell R J. A general form of integral // Ann. Math. (2). 1918. V. 19. P. 279-
294.
[93] Davis B. On Kolmogorov's inequality ||/||p ^ Cp\\f ||, 0 < p < 1 // Trans. Amer.
Math. Soc. 1976. V. 222. P. 179-192.
[94] Davis B. On Brownian slow points // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb.
1983. V. 64. P. 359-367.
[95] Delbaen F. Coherent risk measures on general probability spaces // Advances
in finance and stochastics. Essays in honour of Dieter Sondermann /
K. Sandmann and P. J. Schoubucher (eds.). Berlin: Springer, 2002. P. 1—37.
[96] Delbaen K, Shirakawa H. A note on option pricing for the constant elasticity of
variance model // Asia-Pacific Financial Markets. 2002. V. 9, № 2. P. 85—99.
[97] Dellacherie C, Meyer P.-A. Probabilites et potentiel. Ch. I—IV. Paris: Hermann,
1975.
[98] Dirac R A. M. The principles of quantum mechanics. 4th ed. London:
Clarendon Press, Oxford University Press, 1958. (International Series of Monographs
on Physics).
[99] Donsker M. D. An invariance principle for certain probability limit theorems //
Four papers on probability / Kai Lai Chung et al. Mem. Amer. Math. Soc, V. 6.
Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1951.
[100] Donsker M. D. Justification and extension of Doob's heuristic approach to the
Kolmogorov—Smirnov theorems // Ann. Math. Statist. 1952. V. 23. P. 277—
281.
[101] Donsker M. D., Varadhan S. R. S. Asymptotic for the Wiener sausage //
Commun. Pure Appl. Math. 1975. V. 28. P. 525—565.

Литература
495
[102] Doob J. L. The Brownian movement and stochastic equations // Ann. of
Math. (2). 1942. V. 43. P. 351-369.
[103] Doob J. L. Heuristic approach to the Kolmogorov—Smirnov theorems // Ann.
Math. Stat. 1949. V. 20. P. 393-403.
[104] Doob J. L. Classical potential theory and its probabilistic counterpart. New
York etc.: Springer-Verlag, 1984. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 262).
[105] Dubins L. E., Schwarz G. On continuous martingales // Proc. Natl. Acad. Sci.
USA. 1965. V. 53. P. 913-916.
[106] Dudley R. M. The sizes of compact subsets of Hilbert space and continuity of
Gaussian processes // J. Funct. Anal. 1967. V. 1. P. 290—330.
[107] Dudley R. M. Real analysis and probability. Cambridge: Cambridge University
Press, 2002. (Cambridge Studies in Advanced Mathematics; V. 74). 1st ed.:
Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software,
1989. (Wadsworth & Brooks/Cole Math. Ser.).
[108] Dufresne D. Bessel processes and a functional of Brownian motion. Preprint.
http://hdl.handle.net/11343/34342
[109] Durrett R. A new proof of Spitzer's result on the winding of two dimensional
Brownian motion // Ann. Probab. 1982. V. 10. P. 244—246.
[110] Durrett R. Brownian motion and martingales in analysis. Belmont, С A:
Wadsworth Advanced Books & Software, 1984. (The Wadsworth Mathematics
Series).
[Ill] DvoretzkyA. On the oscillation of the Brownian motion process // Isr. J. Math.
1963. V. 1. P. 212-214.
[112] Dvoretzky A., Erdos P., Kakutani S. Nonincrease everywhere of the Brownian
motion process // Proceedings of the 4th Berkeley symposium on
mathematical statisitics and probability. Part 2. Berkeley, CA: Univ. California Press, 1961.
P. 103-116.
[113] Efron В., Stein С The jackknife estimate of variance // Ann. Stat. 1981. V. 9.
P. 586-596.
[114] Einstein A. Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffen-
den heuristischen Gesichtspunkt // Ann. der Phys. (4). 1905. V. 17. P. 132—
148.
[115] Einstein A. Uber die von der molekularkinetischen Theorie der Warme ge-
forderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen //
Ann. der Phys. (4). 1905. V. 17. P. 549-560.
[116] Einstein A. On the electrodynamics of moving bodies // Ann. der Phys. (4).
1905. V. 17. P. 891-921.
[117] Einstein A. Does the inertia of a body depend upon its energy content? // Ann.
der Phys. (4). 1905. V. 18. P. 639-641.
[118] Einstein A. Investigations on the theory of the Brownian movement. New York:
Dover, 1956.

496 Литература
[119] El Karoui N., Hamadene S., Matoussi A. BSDEs and applications //
Indifference pricing: Theory and applications / Carmona R. et al. (eds.).
Princeton, NJ: Princeton University Press, 2009. P. 267—320. (Princeton Ser.
Financial Engineering).
[120] El Karoui N., Peng S., Quenez M. C. Backward stochastic differential equations
in finance // Math. Finance. 1997. V. 7, № 1. P. 1—71.
[121] Elliott R. J., van der Hoek J. A general fractional white noise theory and
applications to finance // Math. Finance. 2003. V. 13, № 2. P. 301—330.
[122] Ellsberg D. Risk, ambiguity and the Savage axioms // Quart. J. Econ. 1961.
V. 75. P. 643-669.
[123] Embrechts P., Kliippelberg G, Mikosch T. Modelling extremal events for
insurance and finance. Berlin; Heidelberg, Springer, 1997.
[124] Engelbert H.-J., Schmidt W. On the behaviour of certain functionals of
the Wiener process and applications to stochastic differential equations //
Stochastic differential systems (Visegrad, 1980). Berlin; New York, Springer,
1981. P. 47—55. (Lecture Notes Control Inform. Sci.; V. 36).
[125] Engelbert H.-J., Schmidt W. On solutions of one-dimensional stochastic
differential equations without drift // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb.
1985. V. 68. P. 287-314.
[126] Erdos P. On the law of the iterated logarithm // Ann. of Math. (2). 1942. V. 43.
P. 419-436.
[127] Erdos P., Kac M. On certain limit theorems of the theory of probability // Bull.
Amer. Math. Soc. 1946. V. 52. P. 292-302.
[128] Erdos P., Kac M. On the number of positive sums of independent random
variables // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. V. 53. P. 1011-1020.
[129] Esseen C.-G. On the Liapounoff limit of error in the theory of probability //
Ark. Mat. Astron. Fys. A. 1942. V. 28, № 9. P. 1-19.
[130] Etemadi N. On some classical results in probability theory // Sankhya, Ser. A.
1985. V. 47. P. 215-221.
[131] Fan K. Entfernung zweier zufalliger Grossen und die Konvergenz nach Wahr-
scheinlichkeit // Math. Z. 1944. V. 49. P. 681-683.
[132] Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc.
1954. V. 77. P. 1-31.
[133] Feller W. The general diffusion operator and positivity preserving semigroups
in one dimension // Ann. of Math. (2). 1954. V. 60. P. 417—436.
[134] Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics //
Rev. Mod. Phys. 1948. V. 20, № 2. P. 367-387.
[135] Fleming W. H., Rishel R. W. Deterministic and stochastic optimal control.
Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1975. (Applications of
Mathematics; V. 1).

Литература 497
Follmer Н., Protter Ph., Shiryayev A. N. Quadratic covariation and an
extension of Ito's formula // Bernoulli. 1995. V. 1, № 1-2. P. 149—169.
Follmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints //
Finance Stoch. 2002. V. 6(4). P. 429—447.
Fournie E., Lasry J.-M., Lebuchous J., Lions P-L. Applications of Malliavin
calculus to Monte Carlo methods in finance // Finance Stoch. 1999. V. 3, № 4.
P. 391-412.
Fourier J. B. J. Theorie analytique de la chaleur. Paris: Firmin Didot, 1822;
Cambridge: Cambridge University Press, 2009. (Cambridge Library
Collection — Mathematics).
Freedman D. Brownian motion and diffusion. New York; Heidelberg; Berlin:
Springer-Verlag, 1983.
Freidlin M. I. Quasi-deterministic approximation, metastability and stochastic
resonance // Phys. D. 2000. V. 137, № 3-4. P. 333-352.
Freidlin M. I., WentzellA. D. Random perturbations of dynamical systems. 2nd
ed. New York, NY: Springer, 1998. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 260).
Friedman A. Partial differential equations of parabolic type. Englewood
Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1964.
Friedman A. Stochastic differential equations and applications. Mineola, NY:
Dover Publications, 2006.
Frittelli M., Gianin E. R. Putting order in risk measures // Journal of Banking
Finance. 2002. V. 26. P. 1473-1478.
Gamkrelidze R. Hamiltonian form of the maximum principle // Control
Cybernet. 2009. V. 38, № 4A. P. 959-971.
Gelbrich M. On a formula for the L2 VVasserstein metric between measures on
Euclidean and Hilbert spaces // Math. Nachr. 1990. V. 147. P. 185—203.
GeVfand I. M., Vilenkin N. Ya. Generalized functions. Vol. 4: Applications of
harmonic analysis. Reprint of the 1964 original published by Academic Press.
Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2016.
Gerber H. U. An introduction to mathematical risk theory. Philadelphia, PA:
University of Pennsylvania, Wharton School, S. S. Huebner Foundation for
Insurance Education, 1979. (S. S. Heubner Foundation Monograph Series;
V. 8).
Getoor R. K., Sharpe M. J. Conformal martingales // Invent. Math. 1972. V. 16.
P. 271-308.
Getoor R. K., Sharpe M. J. Excursions of Brownian motion and Bessel
processes // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1979. V. 47. P. 83—106.
GibbsA. L., Su F. E. On choosing and bounding probability metrics // Internat.
Statist. Rev. 2002. V. 70, № 3. P. 419-435.
Gibbs J. W. Elementary principles in statistical mechanics. Developed with
special reference to the rational foundation of thermodynamics. New York:

498
Литература
Dover Publications, 1960. Рус. пер.: Гиббс Дж. В. Основные принципы
статистической механики, излагаемые со специальным применением к
рациональному обоснованию термодинамики. М; Л.: Гостехиздат, 1946.
[154] Gobet Е. Monte-Carlo methods and stochastic processes. From linear to
nonlinear. Boca Raton, FL: CRC Press, 2016.
[155] Goldstein L., Reinert G. Stein's method and the zero bias transformation with
application to simple random sampling // Ann. Appl. Probab. 1997. V. 7, № 4.
P. 935-952.
[156] Gonzdlez-Prida V., Carrier о М. С. (eds.). Advanced models and tools for
effective decision making under uncertainty and risk contexts. ISI Global, 2020.
[157] Graver sen S. E. "Polar"-functions for Brownian motion // Z. Wahrscheinlich-
keitstheor. verw. Geb. 1982. V. 61. P. 261—270.
[158] Graversen S. E., Shiryaev A. N. An extension of P. Levy's distributional
properties to the case of a Brownian motion with drift // Bernoulli. 2000.
V. 6, № 4. P. 615-620.
[159] Green G. An essay on the application of mathematical analysis to the theories
of electricity and magnetism. Nottingham: T. Wheelhouse, 1828; Berlin:
Mayer und Muller, 1889. См. также: J. Reine Angew. Math. 1854. V. 47.
P. 161-221.
[160] Greenwood P., Perkins E. A conditioned limit theorem for random walk and
Brownian local time on square root boundaries // Ann. Probab. 1983. V. 11.
P. 227-261.
[161] Gronwall Т. Н. Note on the derivatives with respect to a parameter of the
solutions of a system of differential equations // Ann. of Math. (2). 1919. V. 20.
P. 292-296.
[162] Gross L. Measurable functions on Hilbert space // Trans. Amer. Math. Soc.
1962. V. 105. P. 372-390.
[163] Gross L. Abstract Wiener spaces // Proceedings of the 5th Berkeley symposium
on mathematical statistics and probability (1965/66). Vol. II, Part 1. Berkeley:
Univ. California Press, 1967. P. 31—42.
[164] Gross L. Logarithmic Sobolev inequalities // Amer. J. Math. 1976. V. 97.
P. 1061-1083.
[165] Hairer M. On Malliavin's proof of Hormander's theorem // Bull. Sci. Math.
2011. V. 135, № 6-7. P. 650-666.
[166] Walgreen C. Self-decomposability of the generalized inverse Gaussian and
hyperbolic distributions // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1979. V. 47.
P. 13-17.
[167] Hamana Y. The expected volume and surface area of the Wiener sausage in
odd dimensions // Osaka J. Math. 2012. V. 49, № 4. P. 853-868.
[168] Hamilton W. R. On a general method in dynamics; by which the study of
the motions of all free systems of attracting or repelling points is reduced

Литература
499
to the search and differentiation of one central relation, or characteristic
function // Philos. Trans. Roy. Soc. for 1834. V. 124. P. 247-308. См. также:
The Mathematical Papers of Sir William Rowan Hamilton. V. 2, Dynamics.
Cambridge: Cambridge University Press; New York: Macmillan, 1940. P. 103—
161.
[169] Hartman Ph., Wintner A. On the law of the iterated logarithm // Amer. J.
Math., 63 (1941), 169-176.
[170] Haussmann U. G. A stochastic maximum principle for optimal control of
diffusions. Harlow: Longman; New York: John Wiley, 1986. (Pitman Research Note
in Mathematics Series; V. 151).
[171] Haussmann U. G., Suo W. Singular optimal stochastic controls I: Existence //
SIAM J. Control Optim. 1995. V. 33, № 3. P. 916-936.
[172] Herrmann S., Imkeller P., Peithmann D. Transition times and stochastic
resonance for multidimensional diffusions with time periodic drift: a large
deviations approach // Ann. Appl. Probab. 2006. V. 16, № 4. P. 1851—1892.
[173] Hida Т., Hitsuda M. Gaussian processes. Providence, RI: Amer. Math. Soc,
1993. (Transl. Math. Monogr.; V. 120).
[174] Hida Т., Ikeda N. Analysis on Hilbert space with reproducing kernel arising
from multiple Wiener integral // Proceedings of the 5th Berkeley symposium
on mathematical statistics and probability (Berkeley, CA, 1965/66). Berkeley,
CA: Univ. California Press, 1967. V. II: Contributions to Probability Theory,
part 1. P. 117-143.
[175] Hitsuda M. Representation of Gaussian processes equivalent to Wiener
process // Osaka J. Math. 1968. V. 5. P. 299-312.
[176] Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded random variables //
J. Amer. Stat. Assoc. 1963. V. 58. P. 13—30.
[177] Hormander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math.
1967. V. 119. P. 147-171.
[178] Horowitz J., Karandikar R. L. Mean rates of convergence of empirical
measures in the Wasserstein metric // J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 55, № 3.
P. 261-273.
[179] Ни Y. Stochastic maximum principle // Encyclopedia of Systems and
Control / Baillieul J., Samad T. (eds.). London: Springer, 2014.
[180] Ни Y, 0ksendal B. Fractional white noise calculus and applications to
finance // Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2003. V. 6, № 1.
P. 1-32.
[181] Ни Y, Peng S. Maximum principle for semilinear stochastic evolution control
systems // Stochastics Stochastics Rep. 1990. V. 33, № 3-4. P. 159—180.
[182] HuberP J. Robust statistics. NY: Wiley, 1981.
[183] Hunt G. A. Some theorems concerning Brownian motion // Trans. Amer.
Math. Soc. 1956. V. 81. P. 294-319.

500
Литература
[184] Ikeda N., Watanabe S. A comparison theorem for solutions of stochastic
differential equations and its applications // Osaka J. Math. 1977. V. 14. P. 619—
633.
[185] Imhof J.-P. Density factorizations for Brownian motion, meander and the
three-dimensional Bessel process, and applications // J. Appl. Probab. 1984.
V. 21. P. 500-510.
[186] Imhof J.-P. A simple proof of Pitman's 2M -X theorem // Adv. Appl. Probab.
1992. V. 24, № 2. P. 499-501.
[187] ltd К Stochastic integral // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. V. 20. P. 519—524.
[188] ltd K. On a stochastic integral equation // Proc. Japan Acad. 1946. V. 22,
№ 1-4. P. 32-35.
[189] ltd К Multiple Wiener integral // J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3, № 1. P. 157-
169.
[190] Jacod J., Shiryaev A. N. Limit theorems for stochastic processes. 2nd ed.
Berlin: Springer, 2003. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 288). Рус. пер. 1-го изд.:
Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов:
В 2 т. М.: Наука. Физматлит, 1994. (Теория вероятностей и
математическая статистика; Вып. 47, 48).
[191] Jarrow R., Protter P. A short history of stochastic integration and
mathematical finance: the early years, 1880—1970 // A Festschrift for Herman
Rubin / Ed. by A. Dasgupta. Beachwood, OH: Institute of Mathematical
Statistics, 2004. P. 75—91. (Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes —
Monograph Series; V. 45).
[192] Jeanblanc M., Yor M., Chesney M. Mathematical methods for financial markets.
London: Springer Finance, 2009.
[193] John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions //
Studies and essays: R. Courant anniversary volume. New York: Wiley, 1948.
P. 187-204.
[194] Kac M. On distributions of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math.
Soc. 1949. V. 65. P. 1-13.
[195] Kac M., Luttinger J. M. Bose—Einstein condensation in the presence of
impurities // J. Math. Phys. 1973. V. 14, № 11. P. 1626-1628.
[196] Kac M., Luttinger J. M. Bose—Einstein condensation in the presence of
impurities. II // J. Math. Phys. 1974. V. 15, № 2. P. 183-186.
[197] Kahane J. P. Sur 1'irregularite locale du mouvement brownien // С R. Acad.
Sci., Paris, Ser. A. 1974. V. 278. P. 331-333.
[198] Kahane J. P. Some random series of functions. 2nd ed. Cambridge etc.:
Cambridge University Press, 1985. (Cambridge Studies in Advanced
Mathematics; V. 5). Рус. пер. 1-го изд.: Кахан Ж.-П. Случайные функциональные
ряды. М.: Мир, 1973.

Литература
501
[199] Kakutani S. Two-dimensional Brownian motion and harmonic functions //
Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1944. V. 20, № 10. P. 706—714.
[200] Kallenberg O. Foundations of modern probability. 2nd ed. New York, NY:
Springer, 2002. (Probability and Its Applications).
[201] Kallianpur G., Robbins H. Ergodic property of the Brownian motion process //
Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1953. V. 39. P. 525-533.
[202] Kallsen J., ShiryaevA. К Time change representation of stochastic integrals //
Теория вероятн. и ее примен. 2001. Т. 46, вып. 3. С. 579—585.
[203] Karatzas 7., ShiryaevA. N., Shkolnikov M. On the one-sided Tanaka equation
with drift // Electron. Commun. Probab. 2011. V. 16. P. 664—677.
[204] Karatzas I., Shreve S. E. Brownian motion and stochastic calculus. New York:
Springer-Verlag, 1988. (Graduate Texts in Math.; V. 113).
[205] Karush W. Minima of functions of several variables with inequalities as side
conditions. M. S. thesis. Dept. of Math., University of Chicago, 1939.
[206] KhintchineA. Uber dyadische Bruche // Math. Z. 1923. V. 18. P. 109-116.
[207] Khintchine A. Uber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Fund.
Math. 1924. V. 6. P. 9-20.
[208] Kline M. Mathematical thought from ancient to modern times. New York etc.:
Oxford University Press, 1972.
[209] Knight F. B. Random walks and a sojourn density process of Brownian
motion // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. V. 109. P. 56—86.
[210] Knight F. B. Essentials of Brownian motion and diffusion. Providence, RI:
Amer. Math. Soc, 1981. (Math. Surveys; V. 18).
[211] Kochen S., Stone C. A note on the Borel—Cantelli lemma // Illinois J. Math.
1964. V. 8. P. 248-251.
[212] Kolmogoroff A. Uber die analytischen Methoden in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ann. 1931. V. 104. P. 415—458. Рус. пер.: Колмогоров А. К
Об аналитических методах в теории вероятностей // УМН. 1938. Вып. 5.
С. 5-41. См. также: [437]. С. 67-111.
[213] Kot M. A first course in the calculus of variations. Providence, RI: Amer. Math.
Soc, 2014. (Student Mathematical Library; V. 72).
[214] Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of
chemical reactions // Physica. 1940. V. 7. P. 284—304.
[215] Kuelbs J. Abstract Wiener spaces and applications to analysis // Pacific J.
Math. 1969. V. 31, № 2. P. 433-450.
[216] Kuhn H. W., Tucker A. W. Nonlinear programming // Proceedings of the
Berkeley symposium on mathematical statistics and probability (California,
July 31 — August 12,1950). Berkeley; Los Angeles, CA: Univ. California Press,
1951. P. 481-492.

502
Литература
[217] Kunita Н Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge:
Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Studies in Advanced
Mathematics; V. 24).
[218] Kuo H.-H. Stochastic integrals in abstract Wiener space // Pacific J. Math.
1972. V. 41,.№ 2. P. 469—483.
[219] Kuo H.-H. Gaussian measures in Banach spaces. Berlin; Heidelberg; New York:
Springer-Verlag, 1975. (Lecture Notes in Math.; V. 463).
[220] Kuo H.-H Introduction to stochastic integration. New York, NJ: Springer,
2006. (Universitext).
[221] Kushner H. J. Necessary conditions for continuous parameter stochastic
optimization problems // SIAM J. Control. 1972. V. 10. P. 550—565.
[222] Kusuoka S., Tudor С A. Stein's method for invariant measures of diffusions
via Malliavin calculus // Stochastic Process. Appl. 2012. V. 122, № 4. P. 1627—
1651.
[223] Lachout P. Linear transformations of Wiener process that born Wiener
process, Brownian bridge or Omstein—Uhlenbeck process // Kybernetika. 2001.
V. 37, № 6. P. 647-667.
[224] Lagrange J.-L. Essai d'une nouvelle methode pour determiner les maxima et
les minima des formules integrates indefinies // Miscellanea Taurinensia. T. II
(1760—1761). Turin, 1762. P. 173—195. См. также: CEuvres completes, T. 1.
P. 335-362.
[225] Lagrange J.-L. Applications de la methode exposee dans le memoir precedent
a la solution de differents problemes de dynamique // Miscellanea
Taurinensia. T. II (1760—1761). Turin, 1762. P. 196—298. См. также: CEuvres
completes. T. 1. P. 365—468.
[226] Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to stochastic calculus applied to
finance. London: Chapman & Hall, 1995.
[227] Lamperti J. Semi-stable stochastic processes // Trans. Amer. Math. Soc. 1962.
V. 104. P. 62-78.
[228] Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien // С R. Acad. Sci. Paris.
1908. V. 146, P. 530-533.
[229] Le Cam L. Convergence in distribution of stochastic processes // Univ.
California Publ. Stat. 1957. V. 2. P. 207-236.
[230] Le Cam L. An approximation theorem for the Poisson binomial distribution //
Pacific J. Math. 1960. V. 10. P. 1181-1197.
[231] Ledoux M. Concentration of measure and logarithmic Sobolev inequalities //
Seminaire de probabilites, XXXIII / Azema J. et al. (eds.). Berlin: Springer,
1999. P. 120-216. (Lecture Notes in Math.; V. 1709).
[232] Ledoux M. The concentration of measure phenomenon. Providence, RI: Amer.
Math. Soc, 2001. (Math. Surveys Monogr.; V. 89).

Литература
503
[233] Ledoux М., Nourdin L, Peccati G. Stein's method, logarithmic Sobolev and
transport inequalities // Geom. Funct. Anal. 2015. V. 25, № 1. P. 256—306.
[234] Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. Isoperimetry and
processes. Berlin: Springer-Verlag, 1991. (Ergeb. Math. Grenzgeb. (3); V. 23).
[235] Le Gall J.-F. Sur la saucisse de Wiener et les points multiples du mouvement
Brownien // Ann. Probab. 1986. V. 14. P. 1219-1244.
[236] Le Gall J.-F. Brownian motion, martingales, and stochastic calculus. Cham:
Springer, 2016. (Graduate Texts in Math.; V. 274).
[237] Levy P. Sur certains processus stochastiques homogenes // Compos. Math.
1939. V. 7. P. 283-339.
[238] Levy P. Le mouvement brownien plan // Amer. J. Math. 1940. V. 62. P. 487—
550.
[239] Levy P. Processus stochastiques et mouvement brownien. Suivi d'une note de
M. Loeve. Paris: Gauthier-Villars, 1948.
[240] Levy P. Le mouvement brownien. Mem. Sci. Math., № 126.1954.
[241] Lewis A. D. The maximum principle of Pontryagin in control and in optimal
control, 2006. https://mast.queensu.ca/~andrew/teaching/pdf/maximum-
principle.pdf
[242] Ley C, Reinert G., Swan Y. Stein's method for comparison of univariate
distributions // Probab. Surv. 2017. V. 14. P. 1-52.
[243] Liberzon D. Calculus of variations and optimal control theory. A concise
introduction. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2012.
[244] Lions P-L., Sznitman A. S. Stochastic differential equations with reflecting
boundary conditions // Commun. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 511—537.
[245] Liptser R. Sh., Shiryayev A. N. Theory of martingales. Dordrecht: Kluwer
Acad. Publ., 1989. (Math. Appl: Soviet Ser.; V. 49). Рус. пер. 1-го изд.: Лип-
цер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука. Физматлит, 1986.
(Теория вероятностей и математическая статистика).
[246] Loerincz К., Gingl Z, Kiss L. В. A stochastic resonator is able to greatly improve
signal-to-noise ratio // Phys. Lett. A. 1996. V. 224, № 1-2. P. 63—67.
[247] Malliavin P Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators //
Proceedings of the international symposium on stochastic, differential
equations (Kyoto, 1976). New York; Chichester; Brisbane: Wiley, 1978. P. 195—263.
[248] Malliavin P. Stochastic analysis. Berlin: Springer, 1997. (Grundlehren Math.
Wiss.;V. 313).
[249] Malliavin P., Thalmaier A. Stochastic calculus of variations in mathematical
finance. Berlin: Springer, 2006. (Springer Finance).
[250] Mandelbrot В. В., Van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional
noises and applications .// SIAM Rev. 1968. V. 10. P. 422—437.
[251] Mansuy R., Yor M. Aspects of Brownian motion. Berlin: Springer, 2008.
(Universitext).

504
Литература
[252] Мао Х.-М., Sun К., Ouyang Q. Stochastic resonance in a financial model //
Chinese Phys. 2002. V. 11, № 11. P. 1106—1110.
[253] Mazzucchi S. Mathematical Feynman path integrals and their applications.
Hackensack, NJ: World Scientific, 2009.
[254] McGill P. Beyond the Ray—Knight theorem // From local times to global
geometry, control and physics (Coventry, 1984/85). Harlow: Longman Sci.
Tech., 1986. P. 287-319. (Pitman Res. Notes Math. Ser.; V. 150).
[255] McKean H. Probability. The classical limit theorems. Cambridge: Cambridge
University Press, 2014.
[256] Mehler F. G. Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Va-
riabeln nach Laplaceschen Functionen hoherer Ordnung // J. Reine Angew.
Math. 1866. V. 66. P. 161-176.
[257] Monroe I. On embedding right continuous martingales in Brownian motion //
Ann. Math. Statist. 1972. V. 43. P. 1293-1311.
[258] Monroe I. Processes that can be embedded in Brownian motion // Ann.
Probab. 1978. V. 6. P. 42-56.
[259] Morters P., Peres Y. Brownian motion. Cambridge: Cambridge University Press,
2010. (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics; V. 30).
[260] Nagasawa M. Transformations of diffusion and Schrodinger processes //
Probab. Theory Relat. Fields. 1989. V. 82, № 1. P. 109-136.
[261] Nagasawa M. Principle of superposition and interference of diffusion
processes // Seminaire de probabilites, XXVII. Berlin: Springer-Verlag, 1993. P. 1—
14. (Lecture Notes in Math.; V. 1557).
[262] Nair Ch. Hypercontractivity and information theory. Preprint. The Chinese
University of Hong Kong, 2016.
[263] Nash J. F. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer.
J. Math. 1958. V. 80. P. 931-954.
[264] Nelson E. A proof of Liouville's theorem // Proc. Amer. Math. Soc. 1961. V. 12.
P. 995.
[265] Nelson E. Dynamical theories of Brownian motion. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1967. (Mathematical Notes).
[266] Nelson E. The free Markoff field // J. Funct. Anal. 1973. V. 12. P. 211-227.
[267] Nicolis C. Solar variability and stochastic effects on climate // Solar Phys. 1981:
V. 74. P. 473-478.
[268] Nourdin I. Yet another proof of the Nualart—Peccati criterion // Electron.
Commun. Probab. 2011. V. 16. P. 467-481.
[269] Nourdin L, Peccati G. Stein's method on Wiener chaos // Probab. Theory
Relat. Fields. 2009. V. 145, № 1-2. P. 75-118.
[270] Nourdin L, Peccati G. Stein's method meets Malliavin calculus: a short survey
with new estimates // Recent development in stochastic dynamics and

Литература
505
stochastic analysis / J. Duan et al. (eds.). Hackensack, NJ: World Scientific,
2010. P. 207-236. (Interdiscip. Math. Sci.; V. 8).
[271] Nourdin L, Peccati G. Cumulants on the Wiener space // J. Funct. Anal. 2010.
V. 258, № 11. P. 3775-3791.
[272] Nourdin I., Peccati G. Normal approximations with Malliavin calculus. From
Stein's method to universality. Cambridge: Cambridge University Press, 2012.
(Cambridge Tracts in Math.; V. 192).
[273]. Nourdin L, Peccati G., Reinert G. Invariance principles for homogeneous sums:
universality of Gaussian Wiener chaos // Ann. Probab. 2010. V. 38, № 5.
P. 1947-1985.
[274] Nualart D. Analysis on Wiener space and anticipating stochastic calculus //
Lectures on probability theory and statistics (Saint-Flour, 1995) / Barlow M. T.
et al. (eds.). Berlin: Springer, 1998. P. 123—237. (Lecture Notes in Math.;
V. 1690).
[275] Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin: Springer,
2006. (Probab. Appl.).
[276] Nualart D. Malliavin calculus and its applications. Providence, RI: Amer.
Math. Soc, 2009. (CBMS Regional Conference Series in Mathematics; V. 110).
[277] Obloj J. The Skorokhod embedding problem and its offspring // Probab. Surv.
2004. V. 1. P. 321-392.
[278] Ocone D. Malliavin's calculus and stochastic integral representations of func-
tionals of diffusion processes // Stochastics. 1984. V. 12. P. 161—185.
[279] Okada I. Last zero time or maximum time of the winding number of Brownian
motions // Electron. Commun. Probab. 2014. V. 19. Paper № 64.
[280] 0ksendal B. Stochastic differential equations. An introduction with
applications. Berlin: Springer, 1998. (Universitext.)
[281] Orey S., Taylor S. J. How often on a Brownian path does the law of iterated
logarithm fail? // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1974. V. 28. P. 174-192.
[282] Osypchuk M. M., Portenko M. I. On Ornstein—Uhlenbeck's measure of a
Hilbert ball in the space of continuous functions // Theory Stochastic Process.
2014. V. 19, № 1. P. 46-51.
[283] Paley R. E. A. C, Wiener N., Zygmund A. Notes on random functions //
Math. Z. 1933. V. 37. P. 647-668.
[284] Papanicolaou V. G. An arctangent law // Stat. Probab. Lett. 2016. V. 116. P. 62—
64.
[285] Pardoux E. Homogenization of linear and semilinear second order parabolic
PDEs with periodic coefficients: A probabilistic approach // J. Funct. Anal.
1999. V. 167, № 2. P. 498-520.
[286] Pardoux Ё., Peng S. G. Adapted solution of a backward stochastic differential
equation // Syst. Control Lett. 1990. V. 14, № 1. P. 55—61.

506
Литература
[287] Park С. Representations of Gaussian processes by Wiener processes // Pacific
J. Math. 1981. V. 94. P. 407-415.
[288] Park C, Schuurmann F. J. Evaluations of barrier-crossing probabilities of
Wiener paths // J. Appl. Probab. 1976. V. 13. P. 267—275.
[289] Pascu M. N, Pascu N. R.} Rachieru O. An asymptotic formula for the
semimaftingale local time of reflecting Brownian motion on an interval //
Bull. Transilv. Univ. Bra§ov. Ser. III. Math. Inform. Phys. 2014. V. 7(56), № 1.
P. 47-55.
[290] Pavlyukevich I. E. Stochastic resonance. Ph. D. thesis. Humboldt University,
Berlin, 2002.
[291] Peccati G., Thieullen M., Tudor C. A. Martingale structure of Skorohod integral
processes // Ann. Probab. 2006. V. 34, № 3. P. 1217—1239.
[292] Peng S. A general stochastic maximum principle for optimal control
problems // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28, № 4. P. 966-979.
[293] Peng S. Backward stochastic differential equations and applications to optimal
control // Appl. Math. Optim. 1993. V. 27, № 2. P. 125-144.
[294] Peng S. Backward SDE and related g-expectation // Backward stochastic
differential equations / El Karoui N. et al. (eds.). Harlow: Longman, 1997.
P. 141—159. (Pitman Res. Notes Math. Ser.; V. 364).
[295] Peng S. BSDE and stochastic optimizations // Topics in Stochastic Analysis /
J. Yan et al. (eds.). Ch. 2. Beijing: Science Press, 1997 (in Chinese).
[296] Peng S. Nonlinear expectations and stochastic calculus under uncertainty
(with robust CLT and G-Brownian motion). Berlin: Springer, 2019.
[297] Peres Y., Sousi P. Brownian motion with variable drift: 0-1 laws, hitting
probabilities and Hausdorff dimension // Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 2012.
V. 153, № 2. P. 215-234.
[298] Peskir G. On boundary behaviour of one-dimensional diffusions: from Brown
to Feller and beyond // William Feller. Selected papers. I. Cham: Springer,
2015. P. 77-93.
[299] Peskir G., Shiryaev A. N. On the Brownian first-passage time over a one-sided
stochastic boundary // Теория вероятн. и ее примен. 1997. Т. 42, вып. 3.
С. 591-602. См. также: Theory Probab. Appl. 1998. V. 42, № 3. P. 444—453.
[300] Peskir G., Shiryaev A. N. Optimal stopping and free-boundary problems. Basel:
Birkhauser, 2006. (Lectures in Mathematics ETH Zurich).
[301] Pham H. On some recent aspects of stochastic control and their applications //
Probab. Surv. 2005. V. 2. P. 506-549.
[302] Phillips J. P. Brachistochrone, tautochrone, cycloid — apple of discord // The
Mathematics Teacher. 1967. V. 60, № 5. P. 506-508.
[303] Pitman J. W. One-dimensional Brownian motion and the three-dimensional
Bessel process // Adv. Appl. Probab. 1975. V. 7. P. 511—526.

Литература 507
Pitman J. W., Yor M. A guide to Brownian motion and related stochastic
processes. Preprint. arXiv:1802.09679vl, 2018.
Prokhorov Yu. V. The method of characteristic functionals // Proceedings of
the 4th Berkeley symposium on mathematical statisitics and probability. V. II.
Berkeley, CA: Univ. California Press, 1961. P. 403-419.
Protter P. E. Stochastic integration and differential equations. 2nd ed. Berlin:
Springer, 2004. (Applications of Mathematics; V. 21).
Qian Z., He S. On the hypercontractivity of Ornstein—Uhlenbeck semigroups
with drift // Seminaire de probabilites, XXIX / Azema J. et al. (eds.). Berlin:
Springer-Verlag, 1995. P. 202—217. (Lecture Notes in Math.; V. 1613).
Rachev S., Stoyanov S. V., Fabozzi F. J. A probability metrics approach to
financial risk measures. Chichester: Wiley-Blackwell, 2011.
Rajput B. S. On abstract Wiener measure // Nagoya Math. J. 1972. V. 46.
P. 155-160.
Ramer R. On nonlinear transformations of Gaussian measures // J. Funct.
Anal. 1974. V. 15. P. 166-187.
Rataj J., Schmidt V., Spodarev E. On the expected surface area of the Wiener
sausage // Math. Nachr. 2009. V. 282, № 4. P. 591-603.
Ray D. Sojourn times of diffusion processes // Illinois. J. Math. 1963. V. 7,
№ 4. P. 615-630.
Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. 3rd ed.
Berlin: Springer, 1999. (Grundlehren Math. Wiss.; V. 293).
Rinott Y., Rotar V. Normal approximations by Stein's method // Decis. Econ.
Finance. 2000. V. 23, № 1. P. 15—29.
Risken H. The Fokker— Planck equation. Methods of solution and applications.
2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1989. (Springer Series in Synergetics; V. 18).
Robbins H., Siegmund D. Boundary crossing probabilities for the Wiener
process and sample sums // .Ann. Math. Stat. 1970. V. 41. P. 1410—1429.
Rogers L. C. G., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales.
V. 1: Foundations. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
Rogers L. C. G., Williams D. Diffusions, Markov processes, and martingales.
V. 2: Ito calculus. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
Ross N. Fundamentals of Stein's method // Probab. Surv. 2011. V. 8. P. 210—
293.
Sagitov S. Weak convergence of probability measures. A course of lectures.
Chalmers University of Technology, 2017.
www.math.chalmers.se/Stat/Grundutb/GU/MSF500/S17/C-space.pdf
Sato H. Gaussian measure on a Banach space and abstract Wiener measure //
Nagoya Math. J. 1969. V. 36. P. 65-81.
Scheffe H. A useful convergence theorem for probability distributions // Ann.
Math. Stat. 1947. V. 18. P. 434-438.

508
Литература
[323] Schrodinger E. Undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules //
Phys. Rev. (2). 1926. V. 28, № 6. P. 1049-1070.
[324] Schwartz L. Theorie des distributions. Paris: Hermann, 1966. (Publications de
l'lnstitut de Mathematique de l'Universite de Strasbourg, IX-X).
[325] Serfaty S. Lagrange and the calculus of variations // Lett. Mat., Int. Ed. 2014.
V. 2, № 1-2. P. 39-46.
[326] Shepp L. A. Radon—Nikodym derivatives of Gaussian measures // Ann. Math.
Stat. 1966. V. 37. P. 321-354.
[327] Shepp L. A. First passage time for a particular Gaussian process // Ann. Math.
Stat. 1971. V. 42, № 3. P. 946-951.
[328] Shi Z. On transient Bessel processes and planar Brownian motion reflected at
their future infima // Stochastic Process. Appl. 1995. V. 60, № 1. P. 87—102.
[329] Shigekawa I. Stochastic analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc, 2004.
(Transl. Math. Monogr.; V. 224).
[330] Simon B. Functional integration and quantum physics. 2nd ed. Providence, RI:
AMS Chelsea Publishing, 2005.
[331] Skinner R. First-order equations of motion for classical mechanics // J. Math.
Phys. 1983. V. 24. P. 2581-2588.
[332] Skinner R., Rusk R. Generalized Hamiltonian dynamics. I: Formulation on
T*Q <8> TQ // J. Math. Phys. 1983. V. 24. P. 2589-2594.
[333] Skinner R., Rusk R. Generalized Hamiltonian dynamics. II: Gauge
transformations // J. Math. Phys. 1983. V. 24. P. 2595-2601.
[334] SkorokhodA. V. Selected works. Cham: Springer, 2016.
[335] Sottinen T. On Gaussian processes equivalent in law to fractional Brownian
motion // J. Theoret. Probab. 2004. V. 17, № 2. P. 309-325.
[336] Sparre Andersen E. On the fluctuations of sums of random variables // Math.
Scand. 1953. V. 1. P. 263-285.
[337] Sparre Andersen E. On the fluctuations of sums of random variables. II //
Math. Scand. 1954. V. 2. P. 195-223.
[338] Spitzer F. Some theorems concerning 2-dimensional Brownian motion //
Trans. Amer. Math. Soc. 1958. V. 87. P. 187-197.
[339] Spitzer F. Electrostatic capacity, heat-flow, and Brownian motion // Z. Wahr-
scheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1964. V. 3. P. 110—121.
[340] Stein Ch. A bound for the error in the normal approximation to the
distribution of a sum of dependent random variables // Proceedings of the
6th Berkeley symposium on mathematical statistics and probability. V. II:
Probability theory. Berkeley: Univ. California Press, 1972. P. 583—602.
[341] Stein Ch. Approximate computation of expectations. Hayward, CA: Institute
of Mathematical Statistics, 1986. (Institute of Mathematical Statistics Lecture
Notes — Monograph Ser.; V. 7).

Литература
509
[342] Stein Ch. A way of using auxiliary randomization // Probability theory: Proc.
Singapore Probab. Conf. (Singapore, 1989) / L. H. Y. Chen et al. (eds.). Berlin:
De Gruyters, 1992. P. 159—180.
[343] Stone M. К Notes on integration. II // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. V. 34.
P. 447-455.
[344] Strassen V. An invariance principle for the law of the iterated logarithm //
Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1964. V. 3. P. 211—226.
[345] Stroock D. W. Abstract Wiener space, revisited // Commun. Stoch. Anal. 2008.
V. 2, № 1. P. 145-151.
[346] Stroock D. W., Varadhan S. R. S. Diffusion processes with continuous
coefficients. I, II // Commun. Pure Appl. Math. 1969. V. 22. P. 345—400, 479—530.
[347] Stroock D. W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. Berlin;
Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1979. (Grundlehren Math. Wiss.;
V. 233).
[348] Sussmann H. J. 18 examples of calculus of variations and optimal control
problems, 2000.
[349] Sussmann H. J., Willems J. C. 300 years of optimal control: From the brachys-
tochrone to the maximum principle // IEEE Control Systems Magazine. 1997.
V. 17. P. 32-44.
[350] Swishchuk A. Change of time methods in quantitative finance. Cham:
Springer, 2016. (SpringerBriefs in Math).
[351] Tanaka H. Note on continuous additive functionals of the I -dimensional
Brownian path // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1963. V. 1. P. 251—
257.
[352] Thomson W. (Lord Kelvin). Mathematical and physical papers. V. I.
Cambridge: Cambridge University Press, 1882.
[353] Trotter К F. A property of Brownian motion paths // Illinois J. Math. 1958.
V. 2. P. 425-433.
[354] Troutman J. L. Variational calculus and optimal control. Optimization with
elementary convexity. 2nd ed. New York, NY: Springer-Verlag, 1996.
(Undergraduate Texts in Mathematics).
[355] TychonoffA. Theoremes d'unicite pour l'equation de la chaleur // Матем. сб.
1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.
[356] Uchiyama К. Brownian first exit from and sojourn over one sided moving
boundary and application // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1980.
V. 54. P. 75-116.
[357] Uchiyama K. The expected area of the Wiener sausage swept by a disc //
Stochastic Process. Appl. 2013. V. 123, № 1. P. 191-211.
[358] Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S. On the theory of the Brownian motion // Phys.
Rev. (2). 1930. V. 36. P. 823-841.

510
Литература
[359] Ulam S. M. On the distribution of a general measure in any complete metric
separable space// Bull. Amer. Math. Soc. 1938. V. 44, № 11. P. 786. Abstracts
of papers, abstract № 462.
[360] Ustunel A. S. Analysis on Wiener space and application. Preprint. arXiv:
1003.1649v2, 2010.
[361] Ustunel A. 5.. Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Berlin:
Springer, 2000. (Springer Monogr. Math.).
[362] Vakeroudis S. On hitting times of the winding processes of planar Brownian
motion and of Ornstein—Uhlenbeck processes, via Bougerol's identity //
Теория вероятн. и ее примен. 2011. Т. 56, № 3. С. 566—591. См. также: Theory
Probab. Appl. 2012. V. 56, № 3. P. 485-507.
[363] Vakeroudis S., Yor M., Holcman D. The mean first rotation time of a planar
polymer // J. Stat. Phys. 2011. V. 143, № 6. P. 1074-1095.
[364] Varadhan S. R. S. Lectures on diffusion problems and partial differential
equations / Notes by Pi. Muthuramalingam, T. R. Nanda. Bombay: Tata
Institute of Fundamental Research; Berlin; Heidelberg; New York: Springer-
Verlag, 1980. (Lectures on Mathematics and Physics; V. 64).
[365] Varberg D. E. On Gaussian measures equivalent to Wiener measure // Trans.
Amer. Math. Soc. 1964. V. 113. P. 262-273.
[366] Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // J. Financ.
Econ. 1977. V. 5, № 2. P. 177-188.
[367] Verzani J. Slow points in the support of historical Brownian motion // Ann.
Probab. 1995. V. 23, № 1. P. 56-70.
[368] Ville J. Etude critique de la notion de collectif. These. Paris, 1939. Mono-
graphies des probabilites. Publiees par Emile Borel. Fasc. 3. Paris: Gauthier-
Villars, 1939.
[369] von Neumann J., Morgenstern O. Theory of games and economic behavior.
Princeton. NJ: Princeton University Press, 1944. Рус. пер. 3-го изд.: фон
Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.
М.: Наука. Физматлит, 1970.
[370] Wang X., Fan S. A class of stochastic Gronwall's inequality and its
application // J. Inequal. Appl. 2018. Paper № 336.
[371] Wang S. S., Young V. R., Panjer H. Y. Axiomatic characterization of insurance
prices // Insurance: Mathematics and Economics. 1997. V. 21, № 2. P. 173—
183.
[372] Ward A. R., Glynn P. W. Properties of the reflected Ornstein—Uhlenbeck
process // Queueing Syst. 2003. V. 44, № 2. P. 109-123.
[373] Wendel J. G. Spitzer's formula: A short proof // Proc. Amer. Math. Soc. 1959.
V. 9. P. 905-908.
[374] Wiener N. Differential-space // Amer. Math. Soc. Bull. 1923. V. 29. P. 105;
J. Math. Phys. 1923. V. 2. P. 132-174.

Литература
511
[375] Wiener К The Dirichlet problem // J. of Math. Massachusetts. 1924. V. 3.
P. 127-146.
[376] Wiener К The homogeneous chaos // Amer. J. Math. 1938. V. 60. P. 897—936.
[377] Williams D. Probability with martingales. Cambridge: Cambridge University
Press, 1991.
[378] Wirtinger W. Zur Theorie der 2rc-fach periodischen Functionen. 1 // Monatsh.
f. Math. 1895. Bd. 6. S. 69-98.
[379] Wirtinger W. Zur Theorie der 2n-fach periodischen Functionen. 2 // Monatsh.
f. Math. 1896. Bd. 7. S. 1-25.
[380] Xu R., Guo R. Pontryagin's maximum principle for optimal control of
stochastic SEIR models // Complexity. 2020. Article ID 6479087.
[381] Yamada T. On a comparison theorem for solutions of stochastic differential
equations and its applications // J. Math. Kyoto Univ. 1973. V. 13. P. 497—512.
[382] Yamada T., Watanabe S. On the uniqueness of solutions of stochastic
differential equations // J. Math. Kyoto Univ. 1971. V. 11. P. 155—167.
[383] Yong J., Zhou X. Y Stochastic controls. Hamiltonian systems and HJB
equations. New York, NY: Springer, 1999. (Appl. Math.; V. 43).
[384] Yor M. Generalized meanders as limits of weighted Bessel processes, and
an elementary proof of Spitzer's asymptotic result on Brownian windings //
Stud. Sci. Math. Hung. 1997. V. 33, № 1-3. P. 339-343.
[385] Zaremba S. Sur le principe de Dirichlet // Acta Math. 1911. V. 34. P. 293—316.
[386] Zhang J. Backward stochastic differential equations. From linear to fully
nonlinear theory. New York: Springer, 2017. (Probab. Theory Stoch. Model.;
V. 86).
[387] Zhou Y, Cai W. Numerical solution of the Robin problem of Laplace equations
with a Feynman—Kac formula and reflecting Brownian motions // J. Sci.
Comput. 2016. V. 69, № 1. P. 107-121.
[388] АграчевА. А, Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. М.: Физ-
матлит, 2004.
[389] Александров А. Основания геометрии. М.: Наука. Физматлит, 1987.
[390] Анищенко В. С, Астахов В. В., Вадивасова Т. Е, Нейман А Б.,
Стрелкова Г. И. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах.
М.; Ижевск: Ин-т компьютер, исслед., 2003. (Компьютинг в математике,
физике, биологии).
[391] Анищенко В. С, Нейман А. Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л.
Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени
порядка // УФН. 1999. Т. 169, № 1. С. 7-38.
[392] Арато М. Линейные стохастические системы с постоянными
коэффициентами. Статистический подход. М.: Наука, 1989. Пер. с англ.: Arato M.
Linear stochastic systems with constant coefficients. A statistical approach.

512
Литература
Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1982. (Lecture Notes in
Control Inform. Sci.; V. 45).
[393] Беллман P. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. Пер. с англ.:
Bellman R. Dynamic programming. Princeton, NJ: Princeton University Press,
1957.
[394] Белополъская Я. И. Стохастические дифференциальные уравнения:
Приложения к задачам математической физики и финансовой математики.
СПб.: Лань, 2019.
[395] Бернштейн С. Я. О линейных квази-непрерывных цепях Маркова. Докл.
АН СССР. 1934. Т. 1. С. 1-9, 361-365.
[396] Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950. Пер.
с англ.: Bliss G. A. Lectures on the calculus of variations. Chicago, IL: The
University of Chicago Press, 1947.
[397] Богачев В. И. Гауссовские меры. М.: Наука. Физматлит, 1997.
[398] Богачев В. И. Слабая сходимость мер. М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед.,
2016.
[399] Бородин А. Я. Случайные процессы. СПб.: Лань, 2013.
[400] Бородин А. Я, Салминен П. Справочник по броуновскому движению..
Факты и формулы. СПб.: Лань, 2000. Пер. с англ.: Borodin A. N., Salmi-
пеп P. Handbook of Brownian motion — facts and formulae. Basel: Birkhauser,
1996. (Probability and Its Applications).
[401] БулинскийА. В., Ширяев А. Я. Теория случайных процессов. М.:
Физматлит, 2003.
[402] Ватанабэ С, Икеда Я. Стохастические дифференциальные уравнения
и диффузионные процессы. М.: Наука. Физматлит, 1986. Пер. с англ.:
Watanabe S., Ikeda N. Stochastic differential equations and diffusion
processes. Amsterdam; Oxford; New York: North-Holland Publishing Co.; Tokyo:
Kodansha, 1981. (North-Holland Math. Library; V. 24). 2nd ed.: 1989.
[403] Вентцелъ А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных
процессов // Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4, № 2. С. 172—185.
[404] Вентцелъ А. Д. Общие граничные задачи, связанные с диффузионными
процессами (доклад на заседании Московского математического
общества) // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 2. С. 202—204.
[405] Вентцелъ А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. Физматлит,
1975. 2-е изд.: М.: Наука, 1996.
[406] Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических
дифференциальных уравнений // Теория вероятн. и ее примен. 1979. Т. 24, № 2.
С. 348-360.
[407] Гелъфанд К М, Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз,
1961.

Литература
513
[408] Гелъфанд И. М., Шилов Г Е. Обобщенные функции и действия над ними.
2-е изд. М.: Физматгиз, 1959. (Обобщенные функции; Вып. 1).
[409] Гиндикин С Г. Рассказы о физиках и математиках. 6-е изд. М.: МЦНМО,
2018.
[410] Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с
помощью абсолютно-непрерывной замены меры // Теория вероятн. и ее
примен. 1960. Т. 5, вып. 3. С. 314—330.
[411] Гихман К К, Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.
[412] Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т. 1—3. М.:
Наука. Физматлит, 1971,1973,1975. (Теория вероятностей и математическая
статистика).
[413] Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные
уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982.
[414] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
[415] Граверсен С. Э., Ширяев А. К, Йор М. К вопросу о стохастических
интегральных представлениях функционалов от броуновского
движения. II // Теория вероятн. и ее примен. 2006. Т. 51, вып. 1. С. 64—77.
[416] Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. Изд. 4-е, перераб. М.: Физматгиз, 1962.
[417] Гущин А. А., Урусов М. А. Процессы, вкладывающиеся в
геометрическое броуновское движение // Теория вероятн. и ее примен. 2015. Т. 60,
вып. 2. С. 248-271.
[418] Гущин А. А., Урусов М. А. Минимальные вложения интегрируемых
процессов в броуновское движение // Успехи матем. наук. 2019. Т. 74,
вып. 5(449). С. 185-186.
[419] Дамбис К. Э. О разложении непрерывных субмартингалов // Теория
вероятн. и ее примен. 1965. Т. 10, вып. 3. С. 438—448.
[420] Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. Пер. с англ.: Doob J. L.
Stochastic processes. New York: Wiley, 1953.
[421] Дубине Л. Е., Шепп Л. А., Ширяев А. К Оптимальные правила остановки
и максимальные неравенства для процессов Бесселя // Теория вероятн.
и ее примен. 1993. Т. 38, вып 2. С. 288—330.
[422] Дынкин Е. Б. Основания теории марковских процессов. М.: Физматгиз,
1959.
[423] Дынкин Е. Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. (Теория
вероятностей и математическая статистика).
[424] Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Строго марковские процессы // Теория
вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, вып. 1. С. 149—155.

514
Литература
[425] Житлухин М. В. О совместном распределении sup(B5 - \is) и inf(B5 - vs)
для броуновского движения Bs // Успехи матем. наук. 2008. Т. 63,
вып. 6(384). С. 163-164.
[426] Золотарев В. М. Метрические расстояния в пространствах случайных
величин и их распределений // Матем. сб. 1976. Т. 101(143), № 3(11).
С. 416-454.
[427] Золотарев В. М. Идеальные метрики в проблеме аппроксимации
распределений сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. и ее
примен. 1977. Т. 22, вып. 3. С. 449—465.
[428] Зорич В. А. Математический анализ задач естествознания. М.: МЦНМО,
2017.
[429] Ито К Об одной формуле, касающейся стохастических
дифференциалов // Математика (сборник переводов). 1959. Т. 3, вып. 5. С. 131—141.
Пер. с англ.: ltd К. On a formula concerning stochastic differentials // Nagoya
Math. J. 1951. V. 3. P. 55-65.
[430] Ито К Вероятностные процессы. I, И. М.: ИЛ, 1960,1963.
[431] Ито К, Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.:
Мир, 1968. Пер. с англ.: ltd К., МсКеап К P., Jr. Diffusion processes and
their sample paths. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1965.
(Grundlehren Math. Wiss.; V. 125).
[432] Кац М. О некоторых связях между теорией вероятностей,
дифференциальными и интегральными уравнениями // Математика (сборник
переводов). 1957. Т. 1, вып. 2. С. 95—124. Пер. с англ.: Кае М. On some
connections between probability theory and differential and integral
equations // Proceedings of the 2nd Berkeley symposium on mathematical
statistics and probability (California, July 31 —August 12, 1950). Berkeley;
Los Angeles, CA: Univ. California Press, 1951. P. 189—215.
[433] Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.; Л.: ОНТИ,
1936. (Математика в монографиях. Сер. обзоров; Кн. 2). 2-е изд.: М.:
Наука. Физматлит, 1974.
[434] Колмогоров А. К Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные
по отношению к однопараметрической группе движений // Докл. АН
СССР. 1940. Т. 26. С. 6-9.
[435] Колмогоров А. К Спираль Винера и некоторые другие интересные
кривые в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. 1940. Т. 26. С. 115—
118.
[436] Колмогоров А. Н. О сходимости А. В. Скорохода // Теория вероятн. и ее
примен. 1956. Т. 1, вып. 2. С. 239—247.
[437] Колмогоров А. Н. Избранные труды. Т. 2: Теория вероятностей и
математическая статистика. М.: Наука, 2005.

Литература
515
[438] Колмогоров А. Н., Леонтович М. А. К вычислению средней броуновской
площади // Phys. Z. Sowjetunion. 1933. V. 4. P. 1—13. См. также: [437].
С. 131-141.
[439] Колмогоров А. Я., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука. Физматлит, 1981.
[440] Колмогоров А. Н., Хинчин А. Я. О сходимости рядов, члены которых
определяются случаем // [437]. С. 7—16. Пер. с нем.: Khintchine A.,
Kolmogoroff A. Uber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall
bestimmt werden // Матем. сб. 1925. Т. 32, № 4. С. 668—677.
[441] Королев В. Ю., Шевцова И. Г. Новая моментная оценка скорости
сходимости в теореме Ляпунова // Теория вероятн. и ее примен. 2010. Т. 55,
вып. 3. С. 577—582.
[442] Кузнецов С. Е. Любой марковский процесс в борелевском пространстве
имеет переходную функцию // Теория вероятн. и ее примен. 1980. Т. 25,
вып. 2. С. 389—393.
[443] Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления.
2-е изд., перераб. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
[444] Леонов В. П., Ширяев А. К К технике вычисления семиинвариантов //
Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4, вып. 1. С. 342—355.
[445] Леонов В. П., Ширяев А. Н. Некоторые вопросы спектральной теории
старших моментов. II // Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5, вып. 4.
С. 460-464.
[446] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов:
Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука. Физматлит, 1974.
(Теория вероятностей и математическая статистика). Англ. пер.: LiptserR. S.,
Shiryaev A. N. Statistics of random processes. V. 1: General theory. V. 2:
Applications. Berlin: Springer, 2001. (Applications of Mathematics; V. 5, 6).
[447] Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972. Пер. с англ.:
МсКеап К P. Stochastic integrals. Reprint of the 1969 edition, with errata.
Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2005.
[448] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. М.: Мир, 1973. Пер. с англ.:
Meyer P.-A Probability and potentials. Waltham, MA; Toronto; London:
Blaisdell Publishing Co., 1966.
[449] Муравлёв А. А. Представление фрактального броуновского движения
через бесконечномерный процесс Орнштейна—Уленбека // Успехи матем.
наук. 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 235-236.
[450] Новиков А. А. Последовательное оценивание параметров диффузионных
процессов. В статье: Резюме докладов, сделанных на заседаниях
семинара по теории вероятностей и математической статистике в
Математическом институте Академии наук СССР // Теория вероятн. и ее примен.
1971. Т. 16, вып. 2. С. 394-396.

516
Литература
[451] Новиков А. А. Последовательное оценивание параметров процессов
диффузионного типа // Матем. заметки. 1972. Т. 12, вып. 5. С. 627—638.
[452] Новиков А. А. Мартингалы и моменты первого выхода для процесса Орн-
штейна—Уленбека со скачками // Теория вероятн. и ее примен. 2003.
Т. 48, вып. 2. С. 340—358.
[453] Оптимальное управление и дифференциальные игры: Материалы
Международной конференции, посвященной 110-летию со дня рождения
Льва Семеновича Понтрягина (Москва, 2018 г.). М.: МИАН, МАКС Пресс,
2018.
[454] Папалекси Н. Д. (ред.). Курс физики: В 2 т. М.; Л.: ОГИЗ-Гостехиздат, 1948.
[455] Петровский И. Г. Исследования по теории дифференцируемых функций
многих переменных и ее приложениям. III // Тр. МИАН СССР. Т. 105 /
Ред. С. М. Никольский. 1969.
[456] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. 6-е изд., испр. М.: Наука. Физматлит, 1970.
[457] Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи
матем. наук. 1959. Т. 14, вып. 1(85). С. 3—20.
[458] Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф.
Математическая теория оптимальных процессов. 3-е изд. М.: Наука.
Физматлит, 1976.
[459] Пресман Э. Л. О сближении по вариации распределения суммы
независимых бернуллиевских величин с пуассоновским законом // Теория
вероятн. и ее примен. 1985. Т. 30, № 2. С. 391—396.
[460] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.: ГИТТЛ, 1954.
[461] Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального
распределения // Успехи матем. наук. 1953. Т. 8, вып. 3(55). С. 135—142.
[462] Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы
теории вероятностей // Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, вып. 2.
С. 177-238.
[463] Прохоров Ю. В. Избранные труды. М.: Торус-Пресс, 2012.
[464] Прохоров Ю. В. Избранные труды. Т. П. М.: МЦНМО, 2016.
[465] Пуанкаре А. Теория вероятностей. Ижевск: РХД, 1999. (Лекции по
математической физике). Пер. с франц.: Poincare H Calcul des probabilites.
2-ieme ed. Paris: Gauthier-Villars, 1912.
[466] Сазонов В. В. О совершенных мерах // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1962.
Т. 26, вып. 3. С. 391-414.
[467] Синай Я. Г. О распределении максимума дробного броуновского
движения // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52, вып. 2(314). С. 119—138.

Литература
517
[468] Скороход А. В. О существовании и единственности решений
стохастических дифференциальных уравнений // Сиб. матем. журн. 1961. Т. 2, № 1.
С. 129-137.
[469] Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов:
Стохастические дифференциальные уравнения и предельные теоремы для
процессов Маркова. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1961.
[470] Скороход А. В. Об одном обобщении стохастического интеграла //
Теория вероятн. и ее примен. 1975. Т. 20, вып. 2. С. 223—238.
[471] Слуцкий Е. Е. Несколько предложений к теории случайных функций //
Избр. труды. М.: Изд-во АН СССР, 1960. С. 269-280,
[472] Соболев С. Об одной теореме функционального анализа // Матем. сб.
1938. Т. 4(46), № 3. С. 471-497.
[473] Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Изд. 3-е. М.: Гостехиз-
дат, 1954.
[474] Судаков В. Н. Гауссовские меры, меры Коши и ^-энтропия // Докл. Акад.
наук СССР. 1969. Т. 185. С. 51-53.
[475] Судаков В. Н., Цирелъсон Б. С. Экстремальные свойства полупространств
для сферически инвариантных мер // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1974. Т. 41.
С. 14-24.
[476] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:
Наука. Физматлит, 1966.
[477] Тюрин И. С. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова //
Успехи матем. наук. 2010. Т. 65, вып. 3. С. 201—202.
[478] Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
[479] Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.
М.: Мир, 1968. Пер. с англ.: Feynman R. Р, HibbsA. R. Quantum mechanics
and path integrals. Maidenhead, Berksh.: McGraw-Hill, 1965. (International
Series in Pure and Applied Physics).
[480] Феллер В. Параболические дифференциальные уравнения и
соответствующие им полугруппы преобразований // Математика (сборник
переводов). 1957. Т. 1, вып. 4. С. 105—153. Пер. с англ.: Feller W. The parabolic
differential equations and the associated semigroups of transformation //
Ann. of Math. (2). 1952. V. 55. P. 468-519.
[481] Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953. Пер. с англ.: Halmos P. R. Measure
theory. New York: D. Van Nostrand; London: Macmillan, 1950. (University
Series in Higher Mathematics).
[482] Хасъминский Р. З. Диффузионные процессы и эллиптические
дифференциальные уравнения, вырождающиеся на границе области // Теория
вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, вып. 4. С. 430—451.

518
Литература
[483] Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир,
1967. Пер. с англ.: Hadley G. Nonlinear and dynamic programming.
Reading, MA; Palo Alto; London: Addison-Wesley, 1964.
[484] Xuda Т. Броуновское движение. М.: Наука. Физматлит, 1987. Пер. с англ.:
Hida Т. Brownian motion. New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag,
1980. (Appl. of Math.; V. 11).
[485] Хинчин А. Я. Асимптотические законы теории вероятностей. М.; Л.:
ОНТИ, 1936. (Математика в монографиях. Сер. обзоров; Вып. 3).
[486] Цирелъсон Б. С. Один пример стохастического дифференциального
уравнения, не имеющего сильного решения // Теория вероятн. и ее примен.
1975. Т. 20, вып. 2. С. 427-430.
[487] Черный А. С, Ширяев А. К Некоторые свойства броуновского движения
со сносом и обобщение одной теоремы П. Леви // Теория вероятн. и ее
примен. 1999. Т. 44, вып. 2. С. 466—472.
[488] Шепп Л. А, Ширяев А. Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» //
Теория вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, вып. 1. С. 130—149.
[489] Ширяев А.. Н. Случайные процессы: Лекции. М.: Изд-во МГУ, 1972.
[490] Ширяев А. К Вероятность, статистика, случайные процессы. Ч. 1: (Курс
лекций, весенний семестр 1973 г.). М.: Изд-во МГУ, 1973.
[491] Ширяев А. К Вероятность, статистика, случайные процессы. Ч. 2: (Курс
лекций, осенний семестр 1973 г.). М.: Изд-во МГУ, 1974.
[492] Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ: Оптимальные
правила остановки. М.: Наука. Физматлит, 1976. (Теория вероятностей и
математическая статистика).
[493] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1:
Факты. Модели. М.: МЦНМО, 2016.
[494] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2:
Теория. М.: МЦНМО, 2016.
[495] Ширяев А. Н. Вероятность — 1: Элементарная теория вероятностей.
Математические основания. Предельные теоремы. М.: МЦНМО, 2021.
[496] Ширяев А. Н. Вероятность — 2: Суммы и последовательности случайных
величин — стационарные, мартингалы, марковские цепи. М.: МЦНМО,
2021.
[497] Ширяев А. Н., Йор М. К вопросу о стохастических интегральных
представлениях функционалов от броуновского движения. I // Теория
вероятн. и ее примен. 2003. Т. 48, вып. 2. С. 375—385.
[498] Ширяев А. Я., Эрлих И. Г., Яськов П. А. Вероятность в теоремах и задачах
(с доказательствами и решениями). Кн. 1. М.: МЦНМО, 2013.

Обозначения
It,ооЦ 107
= 44,115
^ 118
= 118
~ 128
^ 155
Г
JHsdBs 241
0
|^(jc) 312
дпк J
dBd(x,r) 322
3D 311
/?г,(в) 453
/?ПН 44
Гс 143
Г 472
Г\> Г2, Гз 142
АВ, АВС 75
Д/ 347
Д 311
5(х) 33
5Ц 33
9t 477
A(du) 46
А, 202
ц5(А) 34
jut(A) 285
li 23
Сп-^Соо 102
тг(0 55
рн{п) 44
сгаЬ 231
о-м 32
crG 90
f i> ^2? тз 232, 233
таЬ 228
та 147
td 332
тк 90
тх 147
Ф(х) 128
ФШ 128
Фст2(х) 128
ФО) 128
ФД)Сг2(х) 29
ф(зс) 128
<рм,<Х*) 29
Vt(a.b) 27
VtW 22
Zi(a) 412
Xn 404
Xn(a) 407
(n,J?,P) 21
(£1,&,F) 83
(a^,F,P) 83

520
Обозначения
co(5,N) 257 С0 153
Ct{co) 486
{Лпб.ч.} 129 corr(BSJBt) 22
{Лпи.к.ч.} 131 cov(Bs,Bt) 22
Ах В 345
j*f{x) 273 D(a,b;t) 268
21 124 Dv(z) 234
Ai(t) 36 D^:^' 155
Dn{F°\ D+(F°\ D;(F°) 156
b(m)jBCm) 26 £fr,D/3t 69
B(*,y)jB(*o0 26 ®Ы) 273
BH,B?(co) 42 divF,V-F 310,347
Bx Bx 26 dSC 372
B^ ™> EP 46
Br"v 456 £(u) 312
BT 454 i
T' E1- 434
Bd(x,r) 321
Bt(co) 21
<§■ 37,236
«r(B) 454
rV'J 9/1 ос 't
^ Z^'Z;5 St(X) 194
B* 119 <ЗД 434
Bt 41
ЯД 399 Fn(x) 154
B,Bt 101 J^J^ 86
Bt 26 ^^ 83
Bt{co) 57 J?«+ 102
В 470 4v*VA Ш
ft
»t 53,470 ^oo-,^oo+ 84
,-t 117 **M 112
00—5 ^00 +
472 ^,^U.^V^U 154
^(Er) 55 J?CT+ 95
BES5 403 JP+ 96
BES6(x) 403 J?T 94,106
BESQ5 403 &t-,&t+ 84
BESQ5(y) 403 ^„Ji-2) 102

Обозначения
&t,&[o,t] 83 К(х) 159
J*f 102
&* 85,Ш 1Ш) 35
f<g 139 12([0Д]Д) 46
№,f$ 294 LB(0 36
/,y 295 It 266,285
L? 267,269
GO,y) 290,304 if 381
Gt(x,y) 290 ^2[0,Г] 244
g(s) 447 Law(Xt|jT5) 199
grad(/), V/ 347 liminfAn 131
limsupAn 129
(H-B)T 244
(.H-B)T 245 M(M);i 449
(H-B)t 249 Wr 146
H-X 447 Aft 287
H-X 167 ■* Ю7
H(t) 34 MM, MM(F) 87
Hv(z) 234 M€,M6{F) 87,106
Hfc(t) 49
H 459 N^'E) 29
^f2[0,T] 244 N^,°2) 29
J[o,r](") 45
/» 410
l(±^;A) 194
П(|;А) 194
IIi(|-;A) 194
Jv(u) 410
Ja(t) 36
NoH+ 459
N 87
Hen(x) 192
hA 93
h, 93 "Ю 349
n, n 369
О 106
Р-П.
Р(Д
P(s,
pt,..
PT
pA
н. 49
,6.4.)
x; t,A)
t (A\ x
205
206
51
55
...xA„)

522
Обозначения
P(s,x;t,A) 112
& 105
^prog 108
p*(s;x,y) 304
Pij 292
p° t(xu...,xn) 152
Pxy 294
proj^Vi 344
loc
Q<P 202
Q5y 408
«00 129
KA 123
«,t 41
R+ 21
(Rr,^(RT)) 55
RBX 273
rot(F), V x F 347
SOO 159
Sd(r) 322
Sk(t) 50
Sn 23
ST) Sr o 438
sVt 22
s Л t 22
supp Ф 368
Га,Ь 456
Ts>t,Tt 122
TUiV 456
Tt(B) 452
V(n) 297
Vx-V2 344
Vd(r) 322
Vt 487
W(C) 376
Wt(w) 21
W* 289
ItfUlp 215
<X),(X)t 431
X 449
T
X*~X 59
XT,X* 168
Xx,X?{a>) 21
XT 97
X* 215
Xt(a>) 21
Xt"00 415
(x,y) 28
x®y 29
x, xT 28
Yn, Yt5 405
Ytn, Ytn(a) 406
?)B,2)f 103
9oo 77
2)„ 77
Z(o>) 73

Предметный указатель
5 -функция 33
Автомодельность 39
Анализ стохастический 104, 241
Вариация 75
— квадратическая 75
Вектор-столбец 28
Вектор-строка 28
Величины гауссовские 28
Вероятностное пространство 83
Вероятность конечномерная 54
— цилиндрических множеств 54
Вложение Скорохода 454
Возвратность 285
Время локальное 35, 266
броуновского движения 264
на границе 338
— пребывания 285
Гамма-процесс 459
Гидродинамика 312
Градиент 347, 348
Движение броуновское 21, 22, 70,
74
двустороннее 26
, конструкция 45
, локальные экстремумы 72
, мартингальная характериза-
ция202
, недифференцируемость 69
, немонотонность 69
, нули 72
обновляющее 101
плоское (двумерное) 469
скошенное 283
со сносом 26
фрактальное 42
фрактальное (дробное) 42
Дельта-функция Дирака 29
Дивергенция 347, 348
Динамика Ланжевена 387
Задача Дирихле 314, 319
Закон арктангенса второй 148
первый 146
— больших чисел усиленный 125,
293
— нуля или единицы 102,104
Блюменталя 103
Колмогорова 103
— повторного логарифма 125-127,
133,139, 294
для броуновского
движения 138
локальный 140
Законы арксинуса 125,141
— арктангенса 125,146
Замена времени
детерминированная 396
случайная 421
стохастическая 446, 448
Игра благоприятная 166
— неблагоприятная 166
— справедливая 166
Изометрия винеровская 46
Импульс единичный 33
Инвариантность конформная 469
Интеграл Ито 243

524
Предметный указатель
Интеграл стохастический по
броуновскому движению 241, 247
Интегрирование по частям 242
Интегрируемость равномерная
165,171,172
Интервал стохастический 107
Качания чандлеровские 400
Класс монотонный 102
Координаты декартовы 348
— сферические 349
— цилиндрические 348
Критерий Казамаки 197
— Крылова 197
— Липцера—Ширяева 194
— непрерывности Колмогорова 60
— Новикова 195
Лапласиан 347, 348
Лемма Бореля—Кантелли вторая
130
первая 130
— Скорохода 269
Максимумы частичные 438
Мартингал 166
— Леви 442
обращенный 78
— локальный 171, 253, 470
— обобщенный 171
— обращенный 77
Мера пребывания 301
среднее значение 289, 292
Метод отражений 377, 379
Множество канторовское 74
— случайное 58
— совершенное 74
— тотальное 434
Модификация интегралов 249
— процесса 58
непрерывная 58, 249
Момент марковский 83, 87
— опциональный 165
— остановки 86, 87
Мост броуновский 26,151, 399
Невозвратность 285
Неравенства Буркхольдера 218
— Буркхольдера—Дэвиса—Ганди
218
— Дуба максимальные 217
— Дэвиса 218
— максимальные для
субмартингалов 214
— мартингальные 199, 212
— Марцинкевича и Зигмунда 218
— Хинчина 218
Неравенство Гарнака (Харнака)
327, 330
— Колмогорова максимальное 213
Неразличимость 58
Нормаль внешняя 341
Обобщение теоремы Леви о
совпадении 272
— формул Ито 276
Танака 276
Оператор инфинитезимальный 123
— Штурма—Лиувилля 374, 376
Операторы переходные 122
Опциональность 165
Отношение Миллса 129
— правдоподобия 202
Отображение изометрическое 245
Оценка параметров 400
Параметр Харста 43
Плотность обобщенная 29
Подход вероятностный к задаче
Дирихле 332
Пуассона 335, 337
Поле векторное 343, 348
— скалярное 343, 348
— случайное 64
Полнота вероятностного
пространства 86
Пополнение о -алгебры 86
универсальное 86
Последовательность L1
ограниченная 172
— фундаментальная 255

Предметный указатель
525
Поток (векторное поле) 357
Поток (процесс) 83
— натуральный 85
Предел событий верхний 131
нижний 131
Представление броуновского
мартингала интегральное 433
функционала интегральное
432
— гауссовских процессов 463
— Ито 436
— локального мартингала
интегральное 433
— стохастическое 431
Преобразование Вольтерра 460
— Ламперти 392, 421, 422
— Лапласа 404, 410
— мартингальное 167
— Фредгольма 461
Пример Зарембы 334
Принцип максимума 327
сильный 327
слабый 328
— минимума 327, 329
— отражения 119,120, 423
Проблема Дирихле 311
— Пуассона 312
Прогрессивная измеримость 97
Произведение диадическое 29
— скалярное 28, 344
Пространство фильтрованное 83
Процесс CEV (constant elasticity
variance) 422
— адаптированный 85
— взрывающийся 133
— винеровский 21
— гауссовский 31
— гиперболический 459
— измеримый 85,107
— Кокса—Ингерсолл а—Росса
(CIR) 406
— нормальный обратно
гауссовский 459
— опциональный 106
— Орнштейна—Уленбека 389, 398
— предсказуемый 105
— прогрессивно измеримый 74, 85,
108
— прогрессивный 108
— случайный прогрессивно
измеримый 243
равномерно стохастически
непрерывный 59
стохастически непрерывный
58
Процессы Бесселя 403, 415, 421
квадратичные 403
Равенство Парсеваля 50
Разложение Дуба 179
— Дуба—Мейера 266
Размах 297
Распределение Вигнера 36
— Колмогорова 159,160,162
— Коши 36
— нормальное 36
— Смирнова 159-161
— экспоненциальное 236
Резольвента 123
Решение вероятностное 342
— радиальное 367
— фундаментальное 363, 366
Ротор 347, 348
Свойства моментов выхода
вероятностные 221
Свойство в среднем 321
— марковское 111, 294
— строго марковское 115,118, 294
Семейство марковское 114
— операторов феллеровское 123
— тотальное 434
Семимартингал 279
Сигма-алгебра опциональная 106
— предсказуемая 105
— прогрессивная 108
Символ Кронекера 40
Скобка треугольная 180
Составляющая фундаментальная
функции Грина 372

526
Предметный указатель
Субмартингал 166,171
Супермартингал 166
Теорема Гаусса—Остроградского
349
— Гирсанова 205
— Гливенко—Кантелли 155
— Грина 353
— Дамбиса 449, 451
— для мартингалов опциональная
185
— Дубинса—Шварца 449, 451
— Каллианпура—Роббинса 478
— Колмогорова о непрерывной
модификации 59
о существовании процесса 54
— Колмогорова—Ченцова 64
— Колмогорова—Леонтовича 483
— Леви о совпадении
распределений 269
— Леви и Чисельского 51
— Лиувилля 327, 329
— Монро 451, 454
— Найта 451
— Ньютона—Лейбница 349
— о дивергенции 351
— основная опциональная 181
— Питмена 423
— Рэя и Найта 423
вторая 428
первая 425
— Спицера 473, 475
— Стокса 358, 359
— Троттера 268
— центральная предельная 293
Теория потенциала 309
Тождество Бужероля 451
— Вальда второе 187,188, 456
первое 187
фундаментальное 193
— Грина второе 361
первое 361
— поляризационное 245
Точка границы регулярная 333
— полярная 299
Траектория броуновская 72
Уравнение Бесселя 376
— Кокса—Ингерсолл а—Росса
(CIR) 406
— Колмогорова обратное 124
прямое 124
— Колмогорова—Чепмена 23, 55,
113
— Лежандра 376
— теплопроводности 22
Уравнения Коши—Римана 313
Условие конусное 335
— Неймана 312, 338
— Пуанкаре 335
— Робина 312
Условия согласованности 55
Фильтрация 83
Формула Бросамлера 339
— Було—Йора 277
— для времени пребывания 287
— замены переменных 39
— Ито 256, 261, 276
— Ито—Танака 277
— Ито—Танака—Мейера 277
— Пуассона интегральная 318
— Танака 264, 276
—
Фёльмера—Проттера—Ширяева 277
Функция аналитическая 313
— Бесселя модифицированная 410
— выпуклая 278
— гармоническая 309
— Грина 290, 304, 363, 370, 371
броуновского движения 290
— корректирующая 372
— обобщенная 37
— основная 38
— переходная 122
— Хаара 49
— характеристическая 31
— Хевисайда 34, 364
— Шаудера 50

Предметный указатель
527
Характеристика квадратическая Электродинамика 313
180 Энтропия 485
Циркуляция 357 Ядро гриновское 304
— переходное 122
Шум белый 32
— гауссовский фрактальный 44

Научное издание
Альберт Николаевич Ширяев
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ И ВИНЕРОВСКАЯ МЕРА.
ТЕОРИЯ, ПРИМЕНЕНИЯ, АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ТОМ 1
Подписано к печати 24.03.2023 г. Формат 60 х 90/16. Печать офсетная.
Объём 33 печ. л. Тираж 800 экз. Заказ № ВЗК-01363-23.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел.: (499) 241-08-04.
Отпечатано в АО «Первая Образцовая типография»,
филиал «Дом печати — ВЯТКА».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122. Факс: (8332) 53-53-80, 62-10-36.
http: //www. gipp. kirov. ru e-mail: orderOgipp. kirov. ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru